Автор: Маслов В.П.
Теги: вычислительная математика численный анализ математика физика механика
ISBN: 5-02-013784-7
Год: 1988
Текст
В. П. МАСЛОВ
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
И ТЕОРИЯ
ВОЗМУЩЕНИЙ
москва «наука>
главная редакция
физико-математической литературы
1988
ББК 22.193
М31
УДК 519.6
М а с л о в В. П. Асимптотические методы и теория возмущений.— М.: Нау-
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—312 с—ISBN 5-02-013784-7.
Содержит изложение основных результатов исследований автора по асимпто-
асимптотическим методам решения широкого крута задач физики, механики, информа-
информатики. Теория возмущений рассматривается самостоятельно и как инструмент,
применяемый для уточнения и обоснования асимптотических формул. Примеры,
которыми богата книга, позволяют читателю оценить большие возможности
асимптотических методов, которые кроются в их глубокой связи с характерными
особенностями, спецификой решаемой задачи.
За разработки этой тематики автор удостоен Ленинской премии 1986 г.
Для специалистов в области математики, физики, механики, а также для
студентов старших курсов и аспирантов.
Табл. 2. Библиогр. 152 назв.
М
1602080000—177
053@2)-88
ISBN 5-02-013784-7
¦31-88
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы. 1988
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
Введение
Глава 1. Поведение собственных функций на бесконечности и теория
возмущений для уравнений с операторными коэффициентами
§ 1. Некоторые сведения из теории операторов
§ 2. Основной метод оценок решения
§ 3. Дифференциальное уравнение второго порядка с операторными
коэффициентами
§ 4. Оператор первого лорядка
§ 5. Основная оценка для собственных функций
§ 6. Две леммы абстрактной теории возмущений
§ 7. Теория возмущений оператора первого порядка
Глава 2. Сильная сходимость решений операторных уравнений
§ 1. Слабая сходимость решений
§ 2. Условия сильной сходимости решений
§ 3. Ряды теории возмущений для обратного оператора ....
Глава 3. Возмущения однопараметрических полугрупп операторов и эво-
эволюционных уравненяй
§ 1. Введение
§ 2. Основная оценка решений эволюционного уравнения ....
§ 3. Теория возмущений эволюционного уравнения
§ 4. Теория возмущений полугрупп операторов
Глава 4. Слабая сходимость операторов
§ 1. Теорема о сходимости гомоморфизмов в топологических группах
§ 2. Слабо предельная непрерывность
§ 3. Теорема о сильной сходимости обратных операторов и ее приме-
применение
§ 4. Регуляризация в теории возмущений слабо сходящихся опера-
операторов
ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В БОЛЬШОМ И АСИМПТО-
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ....
Глава 1. Постановка задачи
§ 1. Характеристики уравнений квантовой механики
§ 2. Постановка задачи Коши для уравнений квантовой механики
§ 3. Общее определение характеристик для уравнения с операторными
коэффициентами
7
7
10
10
13
16
20
21
23
24
28
28
31
41
43
43
45
49
51
59
59
63
68
72
72
72
85
89
3
Глава 2. Канонический оператор 93
§ 1. Одномерный случай 93
§ 2. Многомерный случай 106
Глава 3. Асимптотика решенвй уравнений с частными производящие 113
§ 1. Квазиклассическая асимптотика 113
§ 2. Асимптотика решений релятивистских уравнений 115
§ 3. Примеры и следствия 117
§ 4. Система уравнений теории упругости 121
§ 5. Стационарный случай 123
Г л а в а 4. Уравнения с операторными коэффициентами ill
§ 1. Уравнения в счетио-иормированиых пространствах н задача мно-
многих тел в квантовой механике 127
§ 2. Асимптотика решения задачи Коши уравнений с операторными ко-
коэффициентами 130
§ 3. Гиперболическая система 134
§ 4. Асимптотика собственных значений уравнения с операторными
коэффициентами 136
Глава 5. Характеристическое представление в малом для уравнений вол-
волнового типа . 140
§ 1. Асимптотика решения уравнения Шредингера в малом . . . 141
§ 2. Теорема вложения для абстрактных функций и оценки в счетно-
нормированиых пространствах 146
§ 3. Релятивистские уравнения 152
§ 4. Разложение произвольных начальных условий на. компоненты, от-
отвечающие различным корням характеристического многочлена . 159
§ 5. Решение уравнений переноса для некоторых уравнений (систем)
волнового типа 162
Глава 6. Асимптотика в малом операторных уравнений с частными про-
производными 169
§ 1. О корне квадратном из оператора в банаховом пространстве . 169
§ 2. Метод стационарной фазы для абстрактных функций . . 176
§ 3. Асимптотика в малом решений абстрактных уравнений ... 197
Глава 7. Асимптотика в большом решений абстрактных уравнений . . 218
§ 1. Лемма о локальных координатах 218
§ 2. Доказательство теорем об инвариантности . . . . . . 220
§ 3. Асимптотика решения в большом 229
Глава 8. Квазиклассические формулы для решений уравнений квантовой
механики в целом 233
§ 1. Метод шагов для построения асимптотики в целом . . . 234
§ 2. Леммы о решениях уравнений Гамильтона 252
Глава 9. Асимптотика решений уравнений туннельного типа . . . 269
§ 1. Системы туннельных гамильтонианов 269
§ 2. Примеры экспоненциальных асимптотик 272
§ 3. Туннельный канонический оператор н асимптотика фундаменталь-
фундаментального решения 277
§ 4. Задача о больших уклонениях 285
Добавление. Асимптотика решения задач Коши для эволюционных
уравнений с быстроубывающими начальными условиями .... 288
Список основной литературы 303
Список дополнительной литературы 306
Список литературы к добавлению 310
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее издание является переработанным вариантом кни-
книги автора «Теория возмущений и асимптотические методы», из-
изданной малым тиражом издательством МГУ в 1965 г. Многие
теоремы и доказательства звучат несколько наивно сейчас, но,
во-первых, для определенного круга читателей они окажутся бо-
более доступными, а во-вторых, идеи, заложенные в этой книге, по-
послужили отправной точкой обширного круга исследований в об-
области асимптотических методов, например, в работах [13, 39, 44,
46, 54, 64] (см. дополнительную литературу), и, безусловно, могут
стимулировать новые исследования в этой области.
По замыслу автора книга в известной степени связывает клас-
классические уравнения математической физики и уравнения квантовой
механики, которые рассматриваются как частные случаи общих
уравнений с операторными коэффициентами в функциональных
пространствах. Такое обобщение оказывается полезным и в кон-
конкретных физических приложениях, поскольку оно устанавливает
соответствие между асимптотическими формулами, относящимися
к различным областям физики.
Достаточно простые формулы, полученные в книге, могут быть
непосредственно использованы в теории дифракции и рефракции в
электронной оптике, а также в акустике, теории ударных волн и
квантовой теории молекул.
В первой части рассматривается, во-первых, теория возмущений
самосопряженных операторов с дискретным спектром, а во-вторых,
теория возмущений операторных уравнений. Эта последняя теория
является тем аппаратом, который используется для уточнения оце-
оценок асимптотических формул и установления сходимости в тех или
иных функциональных пространствах.
Применение абстрактных теорем иллюетрируется на примерах
уравнений в частных производных.
Во второй части исследуется асимптотическое поведение реше-
решений уравнений в частных производных с осциллирующими и раз-
разрывными начальными данными, а также асимптотика собственных
значений самосопряженных дифференциальных операторов. Поста-
Постановка задач и формулировки основных теорем даны в гл. 1—4. Да-
Далее, в гл. 5—8, дается доказательство этих теорем. Из методических
соображений топологические утверждения доказываются в гл. 7 в
формулировке, достаточной для приложений, но более ослабленной,
чем та, которая дана в гл. 2. В гл. 9 рассматривается асимптотика
решений уравнений туннельного типа.
В Добавлении исследуется асимптотическое поведение решении
эволюционных уравнений с быстро убывающими начальными дан-
данными. Асимптотики решения линейных задач оказываются част-
частным случаем асимптотик, полученных в гл. 1—4 части II, и вместе
с тем интересны сами по себе, поскольку обладают свойством са-
моподобности. Это свойство оказывается присущим и ряду нели-
нелинейных задач, рассмотренных также в Добавлении.
ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
ВВЕДЕНИЕ
Исходным пунктом обширного круга вопросов, который объеди-
объединяется общим названием «теория возмущений», служит следующая
задача. Пусть нам известны собственные значения и собственные
векторы матрицы А. Требуется найти собственные векторы и собст-
собственные значения матрицы
А(е)=А+еВ, @.1)
где В — фиксированная матрица, е — малое число. Решение этой
задачи хорошо известно. Оно состоит в том, что собственные значе-
значения А* (б) матрицы А (е) записываются в виде ряда
по степеням е, где ЯЛ — собственное значение невозмущенной мат-
матрицы А @), а с» — не зависящие от е коэффициенты. Аналогичное
представление имеет место и для собственных векторов 1|3л(в).
В некоторых задачах, также относящихся к теории возмущений,
приходится искать представление в виде ряда по степеням е для
той или иной функции от А (в), например для (А+&В)-1 или для
ехр{А+еВ}. Все эти задачи, не вызывающие больших затруднений,
когда речь идет о матрицах, становятся весьма сложными, если вме-
вместо матриц рассматриваются линейные операторы, действующие в
том или ином бесконечномерном банаховом пространстве.
В конечномерном случае очевидно следующее. Если А (в) =А-\~
+еВ, то при 8->-0 имеют место предельные соотношения ЛЛ(8)-»-Я»,
1рл(е)-Нъ, (А+еВ)-1-*-А~1 (если А~1 существует), ехр{А+еВ}-*-
->ехр А и т. д., т. е. собственные значения, собственные векторы, об-
обратная матрица и т. д., отвечающие невозмущенной матрице, слу-
служат нулевыми приближениями (т. е. приближениями с точностью-
до членов, стремящихся к нулю при е—»-0) соответствующих вели-
величин, относящихся к возмущенной матрице А+еВ.
В противоположность этому, для операторов, действующих в бес-
бесконечномерном пространстве, вопрос о нулевом приближении (т. е.
о сходимости при е-»-0) некоторой функции возмущенного операто-
оператора к той же функции невозмущенного оператора представляет су-
существенную трудность, а иногда соответствующий предельный пере-
переход может оказаться вообще невыполнимым. В качестве примера
можно указать известную теорему Г. Вейля, из которой, в частно-
частности, следует, что всякий ограниченный самосопряженной оператор
А, действующий в гильбертовом пространстве, можно представить
соображений топологические утверждения доказываются в гл. 7 В
формулировке, достаточной для приложений, но более ослабленной,
чем та, которая дана в гл. 2. В гл. 9 рассматривается асимптотика
решений уравнений туннельного типа.
В Добавлении исследуется асимптотическое поведение решений
эволюционных уравнений с быстро убывающими начальными дан-
данными. Асимптотики решения линейных задач оказываются част-
частным случаем асимптотик, полученных в гл. 1—4 части II, и вместе
с тем интересны сами по себе, поскольку обладают свойством са-
моподобности. Это свойство оказывается присущим и ряду нели-
нелинейных задач, рассмотренных также в Добавлении.
ЧАСТЬ I
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
Исходным пунктом обширного круга вопросов, который объеди-
объединяется общим названием «теория возмущений», служит следующая
задача. Пусть нам известны собственные значения и собственные
векторы матрицы А. Требуется найти собственные векторы и собст-
собственные значения матрицы
А{г)=А+гВ, @.1)
где В — фиксированная матрица, е — малое число. Решение этой
задачи хорошо известно. Оно состоит в том, что собственные значе-
значения A*(s) матрицы А (е) записываются в виде ряда
Me) =
по степеням е, где Kh — собственное значение невозмущенной мат-
матрицы А @), а с# — не зависящие от е коэффициенты. Аналогичное
представление имеет место и для собственных векторов фЛ(в).
В некоторых задачах, также относящихся к теории возмущений,
приходится искать представление в виде ряда по степеням е для
той или иной функции от Л(е), например для (А+&В)-* или для
ехр{А+еВ}. Все эти задачи, не вызывающие больших затруднений,
когда речь идет о матрицах, становятся весьма сложными, если вме-
вместо матриц рассматриваются линейные операторы, действующие в
том или ином бесконечномерном банаховом пространстве.
В конечномерном случае очевидно следующее. Если А (е) =А+
+еВ, то при е-»-0 имеют место предельные соотношения ЯЛ(в)-*-Я»г
ipft(s)-H>jk, (A+sB)-1-*-A~i (если A~l существует), ехр{А+гВ}-*-
-»-ехр Лит. д., т. е. собственные значения, собственные векторы, об-
обратная матрица и т. д., отвечающие невозмущенной матрице, слу-
служат нулевыми приближениями (т. е. приближениями с точностью-
до членов, стремящихся к нулю при е-*-0) соответствующих вели-
величин, относящихся к возмущенной матрице А+еВ.
В противоположность этому, для операторов, действующих в бес-
бесконечномерном пространстве, вопрос о нулевом приближении (т. е.
о сходимости при 8->0) некоторой функции возмущенного операто-
оператора к той же функции невозмущенного оператора представляет су-
существенную трудность, а иногда соответствующий предельный пере-
переход может оказаться вообще невыполнимым. В качестве примера
можно указать известную теорему Г. Вейля, из которой, в частно-
частности, следует, что всякий ограниченный самосопряженной оператор
А, действующий в гильбертовом пространстве, можно представить
как предел (по норме) последовательности операторов Ап, имею-
имеющих чисто точечный спектр.
Если рассматривать оператор вида @.1), где А и В неограниче-
ны, то само понятие малости возмущения теряет определенный
смысл: здесь нет оснований ожидать, что влияние возмущения гВ
будет в каком-то смысле мало даже при сколь угодно малых е. Для
получения содержательных результатов обычно приходится требо-
требовать, чтобы возмущающий оператор был в некотором смысле «под-
«подчинен» невозмущенному оператору.
Другая возможность (именно ее мы будем рассматривать ниже)
состоит в том, что можно наложить некоторые условия на поведе-
поведение А (е) как функции от е при 8->0. При этом нет необходимости
считать, что зависимость А (в) от параметра е определяется именно
формулой @.1).
Методы теории возмущений широко применяются в различных
•физических задачах, в частности в квантовой механике. Гамильто-
Гамильтониан некоторой квантовомеханической системы часто можно рас-
рассматривать как сумму вида
Н=Н1+еНг, @.2)
где гНг представляет собой малую «поправку» к невозмущенному
гамильтониану Hit собственные функции и собственные значения
которого считаются известными. (Такая ситуация возникает, напри-
например, в случае системы частиц, слабо взаимодействующих частиц, а
е#2 — их взаимодействие.)
Если рассматривается оператор вида @.1), где В ограничен, то
известно, что перечисленные задачи теории возмущений имеют ре-
решение при достаточно малом е. Решение поставленных задач дает-
дается в виде сходящегося ряда по степеням е.
Приведем соответствующие формулы (так называемые формулы
теории возмущений) ~ -
(А + еВГ =
(- if
*=0
А=0
k\
@.3)
@.4)
Пусть А и В — самосопряженные операторы, Ха — изолированная
¦m-кратная точка спектра оператора A, d — расстояние от А,„ до ос-
остального спектра А.
Проекционный оператор E)a-dn, \^а/2 на подпространство соб-
собственных функций оператора А, отвечающих точке Яо, имеет вид
{А — г) г dz,
@.5)
где контур — кривая в комплексной плоскости, пересекающая
действительную прямую в точках K0—df2, Ka-\-d/2. При этом,
в
Я
очевидно,
для любого g, проекция которого на рассматриваемое подпростран-
подпространство собственных функций отлична от нуля. При достаточно малом
е проекционный оператор ЕА+гВ имеет размерность т и
z)^fdz, @.6>
где контур - окружность с центром Л„ и радиусом d/2. Следователь-
Следовательно, собственные функции и собственные значения оператора А+еВ'
в d/2-окрестности точки Яо совпадают с собственными функциями»
и собственными значениями оператора
*=0
r'fdz, @.7)*
который можно рассматривать на подпространстве размерности пт.
Последняя задача сводится к отысканию собственных функций и
собственных значений симметрической матрицы порядка т. Полу-
Полученные таким образом ряды для собственных функций и собствен-
собственных значений оператора А+вВ называются рядами теории возму-
возмущений. В учебниках квантовой механики [20, 48] приводятся обыч-
обычно лишь первые два члена этих рядов.
Мы будем рассматривать в первых двух главах лишь случай;,
когда спектр оператора А дискретный или имеет по крайней мере*
одну изолированную точку Я. .
Задача о возмущении унитарных операторов и однопараметри-
ческих полугрупп операторов рассматривается в гл. 3. Там же изу-
изучается более общая задача — поведение при /г-*-оо решения урав-
уравнения
удовлетворяющего начальному условию u(Q)—u0. Здесь An(t) —
некоторый оператор в банаховом пространстве В, непрерывно за-
зависящий от параметра t и сходящийся в некотором смысле при
я-хэо, F(t) — заданная функция от t со значениями в В. В гл. 2, 4
изучается и более общая задача. Она ставится следующим образом.
Пусть семейство {Тс} операторов (или последовательность опе-
операторов {Тп}) в банаховом пространстве В, зависящее от парамет-
параметра е, сходится в том или ином смысле к предельному оператору Т.
Прямая задача теории возмущений заключается в построении ап-
аппроксимации оператора 771 (или TZ1) с помощью известных опера-
операторов Т и Г. Так же изучается и обратная задача теории возму-
возмущений — выяснение существования обратного оператора Т~1 и ап-
аппроксимация его с помощью семейства 77\
ГЛАВА 1
ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИИ
С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Некоторые сведения из теории операторов
Мы будем рассматривать линейные операторы (вообще говоря,
^неограниченные), действующие из некоторого банахова простран-
пространства Bi в другое банахово пространство Вг. Таким образом, под ли-
мейным оператором А понимается функция
v=A(u),
«определённая на некотором линейном многообразии D{A)czBu со
.значениями в Вг, удовлетворяющая условию
Л(<
=(аЛ (ut
Область значений оператора Л, т. е. совокупность {Аи;,
обозначим через R(А)..Оператор Л называется непрерывным, если
из и»-*-« следует Аип-*-Аи. Оператор Л ограничен, если
sup
величина sup """" называется нормой оператора Л и обозначает-
Ш=О(А) 1«11
ся ЦЛ||. Как известно, непрерывность линейного оператора равно-
равносильна его ограниченности. Если оператор Л непрерывен, то его
можно продолжить по непрерывности на замкнутое подпространст-
подпространство D(A), рассмотрением которого (вместо всего Bt) можно при
этом и ограничиться. Таким образом, ограниченный линейный опе-
оператор естественно считать определенным на всем пространстве.
Некоторое семейство операторов {Аа} мы будем называть огра-
ограниченным в совокупности, если существует такая константа М, что
ЦЛа1!^Л1 для всех Аа из рассматриваемого семейства.
Оператор А называется замкнутым, если из того, что ип-*-и и
Aiin-t-v, следует u^D(A) и Aii=v. Всякий ограниченный оператор
замкнут, но, вообще говоря, не наоборот.
Оператор А называется расширением оператора Л, если D(A)cz
czD(A) и Аи=Аи для всех u^D(A).
10
Ниже мы будем рассматривать, как правило, операторы или
замкнутые, или такие, для которых существуют замкнутые расши-
расширения. Если оператор Л имеет замкнутые расширения, то среди них
существует наименьшее (т. е. имеющее наименьшую область опре-
определения), называемое замыканием оператора Л. Мы обозначим
его А.
Если область определения D(A) оператора Л всюду плотна в BiT
то существует однозначно определенный оператор Л*, действующий
из В\ в В* (* означает сопряженность) и удовлетворяющий ус-
условию
(Аи, Мр) ={и,
(где
для всех
Нетрудно проверить, что сопряженный оператор всегда зам-
замкнут. Если из Аи=0 следует ы = 0, то на R(A) определен обратный
оператор Л~\ область значений которого есть D(A). Из определе-
определения следует, что оператор А замкнут в том и только том случае,
если замкнут оператор Л~*. Замкнутый оператор А, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию D (А) = Ви ограничен.
Пусть А — линейный замкнутый оператор в гильбертовом про-
пространстве Н с плотной областью определения D(A). Тогда сущест-
существует оператор
являющийся ограниченным самосопряженным оператором, причем
Оператор АВ также ограничен: ||Л?||^1. Области определения"
D(A') и D(A'A) операторов Л* и А*А плотны в Н. Оператор А" су-
существует и равен Л.
Ниже нам придется все время пользоваться понятием сходящей-
сходящейся последовательности операторов. Можно определять различные
виды сходимости линейных операторов. Для нас будут существен-
существенны следующие. Пусть {Ап} — последовательность ограниченных опе-
операторов. Говорят, что эта последовательность сходится равномерно»
к оператору А, если ||Ап—А ||-»-0 при я-»-оо.
Последовательность {Л„} линейных операторов (вообще говоря,
неограниченных) с общей областью определения D называете»
сильно сходящейся на D (к оператору Л), если для любого ией
||Лпи—Лы||—Ю при я-»-оо.
Наконец, последовательность {Л„} называется слабо сходящей-
сходящейся (к Л), если для любого ueD последовательность {Л„ы} слабо,
сходится к Аи. Иначе говоря, это означает, что (Апи, ijp)-*~(Au, if)
для любого uefl и любого я|з е В\.
Связь между этими тремя видами сходимости можно изобразить
схемой
равномерная—>-сильная—хлабая.
Применительно к линейным преобразованиям конечномерного
пространства все эти три вида сходимости означают одно и то же;
в бесконечномерном случае эти понятия различны.
Сформулируем известные результаты о сходящихся последова-
последовательностях линейных операторов, на которые нам придется опи-
опираться ниже.
1. Теорема Банаха — Штейнгауз а. Пусть {Ап} — огра-
ограниченная последовательность линейных операторов, действующих
из В± в Вг, т. е. пусть \\Ап\\^М (M = const) для всех п и пусть
ll^nf—Л/Ц-vO для всех f, принадлежащих некоторому множеству,
всюду плотному в Bi. Тогда \\Anf—Af\\-*-Q для всех f^Bt и \\\А\\^М.
2. Если последовательность {/„} (fn^Bi) слабо сходится, то
{llfnll} ограничена.
3. В рефлексивном банаховом пространстве всякая ограничен-
ограниченная последовательность слабо компактна.
4. Если в банаховом пространстве последовательность {fn} сла-
слабо сходится к f, a {II/UI} сходится к ||lf||, то {/„} сильно сходится к f.
5. Теорема Лебега. Если последовательность измеримых
на [0, 1] функций {fn(t)} сходится почти всюду к f(t) и ограничена
A I
(I
некоторой интегрируемой функцией, то К /„ (/) dt\ сходится к
I"
1
о
Ниже придется рассматривать операторы, действующие в про-
пространстве функций со значениями в банаховом (в частности, гиль-
гильбертовом) пространстве. Для нас существенны будут три варианта
такой конструкции.
а) Пусть Bi — банахово пространство и пусть C(Bt) — совокуп-
совокупность функций u(t) со значениями в Bt, определенных на отрезке
[О, s] и непрерывных (т. е. таких, что ||ы(/)^—ы(?„)||->0 при t-*-to).
Определим в С(В±) норму
при этом С(В4) становится банаховым пространством.
б) Пусть И — гильбертово пространство и пусть Ьг[Н~\ —сово-
—совокупность функций h(t) со значениями в Н, измеримых (в том смыс-
смысле, что (h(t), А^) есть измеримая числовая функция при любом
ho^H) и удовлетворяющих условию
%dt<oo.
J
Если определить скалярное произведение в L2[H] как
то Lt[H] будет гильбертовым пространством, сепарабельным, если
сепарабельно Н.
Нам понадобится следующий факт: если функции h, g^
стремятся к нулю при ?->±оо и h'', g'^Lz[H], то
Для доказательства реализуем Н в виде пространства последо-
последовательностей 1г- Тогда каждый элемент из LZ[H] есть последова-
последовательность {an(t)}, где an(t) —измеримые числовые функции и
Скалярное произведение элементов а, Ь^Ьг[Н] запишется в виде
Если все On{t) и bn(t) стремятся к нулю при |?|-»-оо, ап,Ь'п —эле-
—элементы из LZ[H], то
J an(f)bn(t)dt=- J an{f)b'n{f)dt
и, следовательно,
2J<
=-2 J e»
в) Пусть В — банахово пространство и пусть Lt(B) —совокуп-
—совокупность функций u(t) со значениями в В, определенных на отрезке
[О, s] и таких, что функция ||и@11в интегрируема по t на [0, s].
Определим норму в Lt(B):
при этом Lt{B) становится банаховым пространством. Функции со
значениями в В, принадлежащие LX(B), называются функциями,
интегрируемыми по Бохнеру.
Множество всех двузначных функций фундаментально в Lt(B),
т. е. линейная оболочка этого множества плотна в Li{B).
§ 2. Основной метод оценок решения
Основную идею метода мы изложим вначале на простом при-
примере.
Пример. Рассмотрим в L2[Ra] оператор
дх
дх
V dy J
12
13
где В(х, у, д/ду)—линейный оператор, коммутирующий с х,
А(х, у) —числовая функция, \А(х, у) | ^1. Предположим вначале,
что оператор L~l существует и ограничен: ||L~Ml^iV. Пусть итЬг —
решение уравнения
Lu = f(x,y), /e=L2, f(x,y) = 0 при x^x.
Очевидно, что если <р (х) — кусочно дифференцируемая функция,
причем, если q»(x)f (x, у) = 0, то
— ф/ = Ау'хи.
Следовательно,
Полагая
где k — любое целое,
оо с
1 = ((* — I)" при х>1,
\ 0 при
', получаем
$ (* — if J иЧуdx ^ AW J (х — If-3 dx J B
B.1)
При k=l интегралы в правой части неравенства сходятся. Из этого
неравенства следует сходимость интеграла в левой части. Предпо-
Предположим по индукции, что интеграл
сходится. Из B.1) следует сходимость интеграла Ux— ?)** ^ u*dy dx.
. . -¦¦ . . '. ., . 5. - . -» ¦ -... ~
Отсюда следует, что все интегралы в B.1) сходятся приЛ = п,
где л — любое положительное число.
Обозначим
Тогда из B.1) имеем
2п Bя — 1
¦©;©.
оо оо
Это неравенство позволяет оценить интеграл V dx \ и2 (х, у) dy при
6 -оо
больших I.
Имеем
где бп->0 при л-^-оо. Домножив обе части неравенства на
и проинтегрировав от | до оо, придем к неравенству
Отсюда, учитывая, что фп(оо) =0, получим
B.2)
Приведем пример оценки решения обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения, когда B.2) остается справедливым при б„ = 0.
Пусть L — h l.j Тогда IIZz-'ll-'Cl. Пусть Lu = 0 при х>а\ тогда
, и=Сег*
Г {х — |Г иЧх = ±^- Се-*К
Следовательно,
Из B.2) следует оценка для С uadx, поскольку
Г
С dx С iPdy^ \ {x — lfndx [ u2dy^ S.(x — Q*"dx [ иЧу = Фп®.
j о „J j j j
g+l -oo 6+1 -oo g -oo
Замечание 1. Нетрудно видеть, что от оператора В требует-
требуется лишь, чтобы он коммутировал с <р(х). От оператора А, помимо
этого, требуется ограниченность. Следовательно, В может быть
матрицей, содержащей производные по всем аргументам, за исклю-
исключением х, с любыми коэффициентами, зависящими от всех перемен-
переменных. Оператор А может быть матрицей с ограниченными элемента-
элементами, зависящими от всех переменных. Иначе говоря, А(х) и В(х) —
операторы в некотором гильбертовом пространстве Н, зависящие
от х как от параметра. Будем обозначать норму в Н через
14
Оператор 2,=Л——\-В(х) будем рассматривать в гильбертовом
ох
пространстве L2[H] функций от х с интегрируемым квадратом, при-
принимающих значения в Н.
Если А(х), В(х) —матрицы, то элемент h^L2[H] будет столб-
столбцом ftv и в определение нормы войдет также сумма по индексу v.
Поэтому B.1) остается справедливым для систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка по х.
Аналогичный метод можно применить в банаховых простран-
пространствах.
Замечание 2. При выводе формул B.1) мы требовали суще-
существования и ограниченности оператора L~l. Однако, если учесть,
15
что <p(je)=O при х<|, то станет ясно, что достаточно^потребовать
существования и ограниченности оператора Lg*, где ?g — сужение
оператора L на множество функций, обращающихся в нуль при
х<% (LiCzL). При этом норма обратного оператора Ц Lg11 = N (?)
будет зависеть от |, и в неравенствах B.1) вместо N можно напи-
написать NA).
Это замечание будет особенно важно, когда мы перейдем к опе-
операторам вида
например, не имеющим обратного. Здесь, если В(х)>0 при х>а,
причем B(x)~>N(|) при х>%^а, то на функциях, равных нулю
L
р ((| р фу р у
при х<\, обратный оператор L^1 будет существовать, причем
§ 3. Дифференциальное уравнение второго порядка
с операторными коэффициентами
Изложенный метод мы применим для получения оценок собствен-
собственных функций самосопряженных операторов.
Рассмотрим пространство LZ(H) функций g(x) со значениями
в некотором гильбертовом пространстве Я:
1 = J IIS (x) 1я dx, (glt gj =l(gi (x), gt'(x))H dx.
—oo —oo
Рассмотрим в L2(H) самосопряженный оператор
C.0)-
где В(х) коммутирует с оператором умножения на х и удовлетво-
удовлетворяет условию
UB(x)g(x),g(x))Hdx^a*]lg(x)fHdx, g-^oo, и g(x)e=D(B(x))
C.1)
(D(B) — область определения оператора В).
Теорема 1.1. Пусть Я — точка дискретного спектра оператора
L, d<oo — расстояние от точки X до предельного спектра опера-
оператора L, a=d2—Я. Каждая собственная функция ty(x) оператора L,
отвечающая собственному значению Я,, удовлетворяет неравенству
J 1 у (х) ${ dx ^ с (в) в-*»-в)-8,
C.2)
где б>0 — любое заданное число, с (б)—константа, зависящая
0Гб'° ш-[0,4а+@,16а1+0,2<Р)»]4' C.3)
и является точной константой *).
Следствие. Пусть $(х, у, г) — собственная функция уравне-
уравнения Шредингера
—Д1|з+и(л, у, 2)г|>=Ъ|>
и пусть
inf u(x,y,z)^d*.
Известно [10], что для этого случая
C.4)
где PQ — расстояние между точками Р и Q. Тогда из C.2) и C.4)
следует оценка
I ¦ (х. У, г) |2 < с 1 dx' JJ | ip (х1, у', г') |s dy' dz' < с (в
ЛГ-1
© выражается формулой C.3). Яз эгой оценки следует оценка
Замечание. Пусть Я — числовая прямая,J?(я) =а(*)-»4) при
[л(->-оо. Тогда а=<2, и мы получим из C.3) ©/Уа = const. Ha самом
деле в этом случае г|э (х) — er*r*xm Таким образом, в этом примере
значение константы © достигается.
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая
лемма.
Лемма 1.1. Пусть g(x)<=D{L), причем g{x)=Q, Lg(x)=Q при
х^%. Тогда для любого е>0 найдется |е, не зависящее от g и такое,
что при 1>1е
(rf-e)alffWP<I[l-X]g(x)P. C.5)
Доказательство. Пусть Я, — р-кратное собственное значе-
значение, я|з[ (i—1, ..., р) —его собственные функции, а трхк—осталь-
трхк—остальные собственные функции оператора L.
Докажем неравенство
•) См. замечание.
16
C.6)
17
Пусть /= (L—K)g и пусть R^— резольвента оператора L в точке
Я (на подпространстве, ортогональном г|?я (»=1, 2, ..., р)); имеем
=1 2
I
- 2
Отсюда следует C.6).
По условию имеем
Отсюда и из C.6) следует неравенство
J
Отсюда при |>1. получаем
Следовательно,
(d-e)
или
Обозначив О4(е) снова через г, получим утверждение леммы.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть <р(х) —дважды
дифференцируемая скалярная функция, обращающаяся в нуль при
Имеем
- Ь] Ф (
) Is = I
'*' Р = |ФЧ> I2
Очевидны тождества
2 (Ф'
Ч1а. C.7)
C.8)
О =
. [? — Я] ф) = — ([
= 2
([(В -
Ч' f + AД—
Из C.8) в силу условия C.1) при достаточно большом | следует
неравенство
-1 фЖ Р - 2 (я> V*. ФО > «I фЧ Is. C.8')
Из C.5), C.8), C.8') и C.7) следует неравенство
(d - е)« | фг|з |2 < I ф"^ р + 2 ([ф'У] v, tf) - 4с | Ф> |2. C.9)
Пусть теперь
По индукции из неравенства C.9) следует, что функция
существует при любом п. При достаточно большом п>пв1 неравен-
неравенство C.9) принимает вид
1 Ыг A — е.) Ф г^5ФAV)—16сФ".
Отсюда следует, что Ф (|) удовлетворяет неравенству
)—16аф"—16d2(l—е»)Ф^0. C.10)
Корни характеристического многочлена, соответствующего опе-
оператору, имеют вид
8а —
о2 _
Р
у2 =
80tP (I — ej
= Ф/'+|р|2Ф. Тогда из C.10) следует
C.11)
18
Обозначим
неравенство
Умножим обе части неравенства на F' и проинтегрируем с учетом
равенств F(oo) =F'(oo) =0; получим
19
Отсюда в силу F'(l) <0 имеем
т. е.
и, значит, в силу неравенств Ф"(|) >0, Ф (|) >0 имеем
Ф A)
Отсюда в силу неравенства
получаем
C.12)
C.13)
[я dx < са (е) tr* = с2 (в
и теорема доказана.
§ 4. Оператор первого порядка
Изложенный метод может быть применен также для оценки соб-
собственных функций самосопряженных операторов первого порядка
по х вида
dx
где ||Л||^1, В{х) коммутирует с х; в частности, для собственных
функций стационарного уравнения Дирака *).
Пусть Я — собственное значение, ¦$ — соответствующая собствен-
собственная функция оператора L, ф^С2 и равна нулю при х<%\ тогда
\А±
[ dx
т. е. \L—Я]г|зф(х) =Лф'1|5. В силу леммы 1.1 для достаточно большо-
большого
Аналогично предыдущему, полагая
0,
и ФA) =|||ф'ф||2 при достаточно большом n>n,t, получаем Ф
^4(d—8tJ®. Аналогично C.12) имеем
Ф A)
•) Если в уравнении Дирака [5, 47] коэффициенты не зависят от t, то с по-
помощью замены ij)=ea'<p мы придем к стационарному уравнению Дирака для
функции <р.
20
Отсюда в силу C.13)
[я
dx < с2
Нетрудно убедиться на примере обыкновенного дифференциаль-
дифференциального оператора, что эта оценка достигается при et = 0. Итак, дока-
доказана
Теорема 1.2. Для собственных функций оператора L справед-
справедлива теорема 1.1, причем a—d и является точной константой.
§ 5. Основная оценка для собственных функций
Рассмотрим самосопряженный оператор
dx
коэффициенты которого зависят от некоторого параметра ц. На-
Напомним, что если g<=L2(H) обращается в нуль и Lg=0 при х<\,
то в силу леммы 2.1 для заданного в>0 существует такое |„ не за-
зависящее от g, что при |^|8 выполняется неравенство
(d — e^lirP^lIX — Я]|гР. E.1)
Фиксируем |8 для данного оператора L.
Положим х\ = AS)T, где ч>1 —любое число. Совершим перенос
начала координат в точку xj. Рассмотрим в новой системе коор-
координат у — х — х\ функцию
Пусть К xv
(х — х%J> |2;
о-
le.; тогда нз х<|е следует х<.х% — |, т. е.
значит, г/2^|2. Следовательно, <р(у, х) =0 при
Оп
ператор
в новой системе координат будет иметь вид
Пусть и (у) еЯ при условии | у\ ^ х% — ?е удовлетворяет уравнению
Очевидно, что неравенство E.1) выполняется для функции g=
()«(у), поскольку при *<|. имеем ^=0 и Lg=0. Таким
21
образом,
Обозначим
Нетрудно убедиться, что
-I
Положив 1/п = О (е), получим
(d — Ог(е))аФ < - ф" ~ "~V« ф' < Лф\
4 g " 4
поскольку Ф'>0 и |^=0. Отсюда, обозначив О4(е) снова через е,
имеем
Ф'Фг=4D—еJФФ',
или
Проинтегрировав от 0 до |, получим
?—е)Ф,
или
—е).
Проинтегрировав это неравенство от а> 1 до %, получим
т. е.
Поскольку
-a+l
5 с^-
I
1 j
-S
S
то при 1<*J—!, имеем
и (у) р, dy ^ Г*"Ф (I) ^=
поскольку
22
, e)e-2e(E-4).
ь
~ь
Переходя к координатам х и обозначая 2е снова через е, полу-
получаем
Положим %=*х1 — ie, тогда
С |a
. E.2)
Константа с2(й, е) = ^(й, е) earfSe не зависит от *(. Таким образом,
неравенство E.2) выполняется при любом f > 1.
Полагая
in (tj/2)
7 = —
мы приходим к следующему утверждению.
Лемма 1.2. Пусть ц — некоторый параметр, ti>0 и пусть
и(х)<=Н при х<.ц удовлетворяет уравнению
Тогда для любого а>0 и е>0 найдется такое С(а, е), что
E.3)
(Заметим, что м(х), вообще говоря, может и не принадлежать
Щ)
§ 6. Две леммы абстрактной теории возмущений
Докажем теперь две нужные для дальнейшего леммы (см. [7]).
Лемма 1.3. Пусть А — самосопряженный оператор в гильбер-
гильбертовом пространстве Н.
Пусть [I — некоторая точка на вещественной прямой, d — рассто-
расстояние от ii до спектра оператора А.
Тогда для любого g^D(A) справедливо неравенство
F.1)
Доказательство. Если р, принадлежит спектру оператора
А, то d=0 и неравенство F.1) очевидно. Пусть jx не принадлежит
23
спектру оператора А. Тогда неравенство F.1) следует непосредст-
непосредственно из известного неравенства
|||(Л—|x)-Ml^l/d
(см. [39]). Действительно, обозначив /=(Л—p.)g, получаем
Лемма 1.4. Пусть Хп — некоторая изолированная точка спект-
спектра самосопряженного оператора А, М^ — оставшийся спектр (т. е.
МХа — множество, равное спектру аЛ, из которого выброшена одна
точка Я=Яо) и пусть du — расстояние от точки \i до множества Mw
Пусть Pi* — проекционный оператор на подпространство собст-
собственных функций, соответствующих точке Кп-
Тогда для g^D(A) справедливо неравенство
I dj(l—Л.)*1К11(Л—|х)*||. F.2)
Доказательство. Ортогональное дополнение к подпро-
подпространству собственных функций, соответствующих Яо, инвариантно
относительно оператора А. Поэтому неравенство F.2), записанное
для этого ортогонального дополнения, будет иметь вид
Поэтому, положив f— (Л—\i)g, получим (поскольку
рует с Л)
коммути-
коммути<-±HiPxuAv)g\
§ 7. Теория возмущений оператора первого порядка
Лемма 1.5. Пусть и — решение уравнения
dx
где операторы В(ц,х), v(r\,x) коммутируют с х, ЦЛ(т])||^1, удов-
х
летворяющее условию Пи Ifadx^ се8*, где с=с(е) не зависит от х\
о
при любом е>0, и пусть v(r\,x)=Q при \x\<Li\, d — расстояние от
точки X до предельного спектра оператора Lo:
24
Тогда
1)
tj/a+e
a>0;
2) найдется такое собственное значение ц оператора L, что
*. с (г) ft1-*"
«ОН»-
б)
Л/2|| р г^/а -.
где dp, — расстояние от точки рь до остального спектра L, чру, (»=»¦
-=1, ..., р) — ортонормированный базис собственного подпростран-
подпространства оператора L, отвечающего точке р..
Доказательство. Очевидно, что
Поэтому в силу оценки E.3) и условия леммы для достаточно
больших г] выполняется неравенство
Отсюда и из условий леммы следует утверждение 1).
В силу q>(x)v(r), x)=0, Lvu=Xu имеем
<р(х)? = Ф (*)!„, q>(x)[Lv~ Я]м = 0.
Отсюда ^ » '
[1„ — Я,] ф (дг) м = Л (п) Ф' (х) и.
Из леммы 1.3 следует, что найдется такое собственное значение
|i оператора Lo, что
/П/а+а \У,
J lu&dx
'ф'"Я ^- \ Л/а У ^- с (а.
е)
Возьмем функцию ф(*), равную единице при \х\<т\12, равную
нулю при \х\ >ц/2 + а, а в промежутке т]/2^ |х| ^т]/2 + а линей-
линейную: ф(х) = 1 + 1/а(т1/2—х). Кроме того, из леммы 1.4 получим
Ф (лг) и - 2 (Ф W и.
25
т. е.
П«-2(ф«и,
Поскольку в силу теоремы 1.2
Л/а
(<р(*)ы, г{)?.)— J (а,^
то отсюда следует утверждение леммы.
Рассмотрим теперь самосопряженный оператор
L (е) = Л (т) -?- + В (т) + ея (т, в),
где у(т, е) — ограниченный оператор в Я, непрерывный по т. Пусть
ц — изолированная точка спектра оператора
4 —расстояние от ц до остального спектра оператора ?@).
Пусть т8 таково, что если
т-
Г
't
то
[О, т>2тв,
(а>0), н пусть о=у(т> е)—и(т, е). Тогда
оператор L(e) можно представить в виде
L(z) = L @) + ей(т, в) + ей (т, е).
Полагая в предыдущей лемме т)=2т„ у(т, Т1)=еп(т, е), мы вы-
выводим в силу лемм абстрактной теории возмущений следующую
ниже теорему. ¦
Пусть 0<6<1. Рассмотрим пространство непрерывных функций
от е @<е<е0) и отождествим функции, разность между которы-
которыми не превосходит a(e)=Cexp{-d(l-5)T8}; полученное фактор-
пространство обозначим через S. Рассмотрим пространство
La[H, S] функций из L2[H] со значениями в S. Равенство а=Ь в
этом пространстве будем записывать а =§=6.
Предположим, что оператор
самосопряжен в L2[H], а ?(т) коммутирует с т. Оператор ву(т, е)
коммутирует с т и стремится к нулю по норме Н при любом фик-
фиксированном т.
Теорема 1.3. Пусть решение гря уравнения
1
удовлетворяет условию
[L @) + ю (т,
G.1)
где 5 — любое, константа С (б) не зависит от е, а ближайшая к
h точка спектра оператора L@) есть собственное значение р, этого
оператора конечной кратности. Тогда
1) оператор ^ _^
~ ф [I @) - г] 2 <—tf8*[Ъ <т« е> ^ <°> - z)~1]ftdz'
г^е Г — окружность с центром в точке ц радиуса d/2, имеет l^m
различных собственных значений {х4=|х<(е) (t=l, 2, ..., /), а сум-
сумма проекционных операторов Л(е) (i=l, 2, ...,/) ка собствен-
собственные подпространства, отвечающие им, имеет размерность пг;
2) выполняется соотношение
3) найдется такое i (O^isg:/), что
min \\iii —
f |(l-
Xe
Замечание 1. Если ближайшими к точке Я являются два
собственных значения \it и \iz оператора L @), то
26
Замечание 2. Для действительных к только решения, удов-
удовлетворяющие условию G.1), имеют физический смысл. Известно,
что собственные функции непрерывного спектра широкого класса
дифференциальных операторов с частными производными удов-
удовлетворяют этому условию.
Для дифференциального оператора второго порядка вида C.0),
удовлетворяющего условиям теоремы 1.1, будет справедлива пре-
предыдущая теорема, если положить с(«)=ехр{— A— б)><от8}, где ш
определяется формулой C.3). Это утверждение доказывается ана-
аналогично предыдущей теореме.
ГЛАВА 2
СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЯ
ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Слабая сходимость решений
Рассмотрим следующую задачу: пусть {Л„} — последователь-
последовательность линейных операторов, действующих из Bt в Вг (где Вх и Ва—
банаховы пространства) и имеющих одну и ту же область опре-
определения D (Л„) =D.
Рассмотрим последовательность уравненнй
Anxn=vn A.1)
и предположим, что как последовательность операторов {Ап}, так
и последовательность {vn} правых частей уравнений A.1) сходят-
сходятся (в том или ином смысле) к оператору А и элементу v соответ-
соответственно. Рассмотрим наряду с уравнениями A.1) предельное урав-
уравнение
Ax=v. A.2)
Возникает вопрос — какие условия должны быть наложены на
последовательность операторных уравнений A.1), чтобы последо-
последовательность их решений {хп} сходилась (в том или ином смысле)
к решению предельного уравнения A.2)?
Установим лрежде всего условия, при которых имеет место
слабая сходимость решений, а потом перейдем к условиям силь-
сильной сходимости. При рассмотрении слабой сходимости мы огра-
ограничимся случаем операторов, действующих в гильбертовом прост-
пространстве.
Теорема 2.1 [28, 29]. Пусть {Ап} — последовательность ли-
линейных операторов в гильбертовом пространстве Н, имеющих одну
и ту же область определения D, всюду плотную в Я, пусть {Л»|
сильно сходится к А и пусть {/„} — последовательность элементов
из Н, слабо сходящаяся к f.
Если для последовательности уравнений
A'nXn = fn A.3)
существует ограниченная последовательность {хп} их решений, то
существует такая последовательность {уп} решений предельного
уравнения
A*x=f, A.4)
что последовательность {хп—уп} слабо сходится к нулю.
28
Доказательство. Так как последовательность {хп} огра-
ограничена, то из нее можно выбрать слабо сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность {хп^. Пусть v -~ предел этой последовательности. По-
Покажем, что v — решение предельного уравнения A.4). Действи-
Действительно, для любого g^D имеем
(Ag, xnk) = ([Л — Ank] g, xnk) + (g,
и B то же время (Ag,'xn,) -*¦ {Ag, v), откуда
(Ag,v) = (g,f) VgGD.
¦ (g, f)
A.5)
Поскольку D всюду плотно в Н, то A.5) означает, что
Amv=f.
Обозначим через Hi подпространство решений однородного
уравнения Л**=0, а через Нг — его ортогональное дополнение, и
пусть Pi, Рг — проекционные операторы, отвечающие этим подпро-
подпространствам. Положим
Zn — P2(V—Хп), ,j дч
Уп — Zn +• Хп.
Каждый элемент уп будет решением уравнения A.4); действи-
действительно,
A.7)
Поэтому для завершения доказательства остается показать, что
последовательность {г„} слабо сходится к нулю. Эта последова-
последовательность ограничена, так как
а последовательность {*„} ограничена по условию. Далее, гпеЯ2,
поэтому для всех x^Ht имеем
(z., *)-0. A-8)
Кроме того, если g^D, то Ag^H, поэтому
(А8, zn) — (Ag, уп — хп) = ([An — A] g, Хп) + (Ag, yn) — (Ang, xn) =
b=([An — A]g,Xn) + (g,f — fn)^O при n->oo Vgefl. A.9)
Из A.8) и A.9) следует, что соотношение
(zn, u)->0 при /г-voo A.10)
выполнено для каждого иеЯ,ф/?(Л). Но R(A) всюду плотно
в Нг, ибо иначе в Я2 нашелся бы ненулевой элемент уй,
29
ш
ортогональный R(A), и мы имели бы
откуда А*уо=0, т. е. уа^.Ни что невозможно.
Итак, соотношение A.10) выполнено на множестве, замкнутая
линейная оболочка которого есть все пространство Н. Отсюда сле-
следует, что ограниченная последовательность {zn} слабо сходится к
нулю. Теорема доказана.
Замечание. Если оператор Л* существует (т. е. уравне-
уравнение А*х=0 имеет лишь тривиальное решение), то утверждение тео-
теоремы 2.1 можно сформулировать так: всякая ограниченная после-
последовательность {хп} решений уравнений A.3) сходится к решению
предельного уравнения A.9). Более того, если А*~ существует, то
теорема 2.1 имеет место и для операторов, действующих из одного
банахова пространства в другое, поскольку единственный пункт
проведенного выше доказательства, использующий гильбертовость
пространства Н,— это возможность представить его в виде суммы
подпространств Нх и Яа.
Следствие 1. Предположим, что выполнены условия теоре-
теоремы 2.1 и, кроме того, (хп, уп—*п)-й). Тогда \\уп—хл\\-*~0.
Действительно,
(Уп-хп, уп—хп)~->-(уп, уп—хп) = (г/„, zn) = (y, гп)-*-0,
поскольку элемент yn—v^Hi ортогонален г„.
Пример. Рассмотрим задачу
Uua = — >Д A + sin2 -|-j ua + k* (x, y)u& = F (x, у),
и.|г=0, kz(x, r/)>a>0, A.11)
где A — оператор Лапласа, Г — гладкий контур, a,eL2[Q] (й—
область, ограниченная Г). .
Докажем, что ик(х, у) слабо сходится при е-*-0 к F(x, у)/
/kz(x, у) в области Q. Очевидно, что сопряженный оператор г
сходится при е->-0 к оператору умножения на k2(x, у). Для при-
применения теоремы 2.1 остается доказать ограниченность ||м8|| при
в-»-0. Умножим A.11) на A + sin2 — J и проинтегрируем по х, у
в Q. Интегрированием по частям получаем
sin2 т) "Тdx dy+JIk* (l+sin2 т) "^dy=
= JJ
a
sin
2 -|-
Следовательно,
значит,
-\\п
§ 2. Условия сильной сходимости решений
Перейдем теперь к установлению условий, при которых после-
последовательность решений уравнений вида A.1) сходится к решению
предельного уравнения A.2) не только слабо, но и сильно. Но
решение уравнения вида
Ax=f
— это обращение оператора А, поэтому нам удобнее будет сфор-
сформулировать и доказать соответствующий результат не для урав-
уравнений, а для обратных операторов. Здесь мы рассмотрим общий
случаи операторов, действующих из одного банахова пространства
в другое.
1. Теорема о сильной сходимости решений. Пусть {Л»)—по-
{Л»)—последовательность линейных операторов из банахова пространства
St в банахово пространство Вг с одной н той же областью опре-
определения D и пусть Л — оператор, действующий из Bt в Вг, с той
же областью определения D такой, что
= limAng Vg(=D.
Операторы Л„ мы предположим допускающими замкнутые рас-
расширения, обозначаемые Ап.
Теорема 2.2 [13, 46]. Пусть последовательность {А^1} суще-
существует и ограничена в совокупности:
и;1 к с.
Тогда
1) существует обратный оператор А~\ ограниченный на мно-
множестве R(A), где R(A) —замыкание области определения опера-
оператора А~1;
2) A*f = lim Anf {fsBR (Л)),
Л-юо
Доказательство*). Для существования Л до-
достаточно доказать, что уравнение Aqa=Q имеет единственное реше-
решение #0=0. Итак, допустим, что Aqa=Q, где qo^D(A). Оценим H^oll.
Имеем в силу условия теоремы lim Anqa=Aqa; следовательно,
п—»оо
Л»1
=8 (n<N*). Отсюда в силу ограниченности
имеем
| ft I = | AfAnq, КI Л11 Anq01| < ее.
А поскольку е — любое, то ||#011=0 и qo=0.
Докажем, что lim An1f = A~1f для f<=R(A). Имеем
Следовательно, оператор AnA~lf определен для всех f<=R(A). По-
*) Ср. гл. 4, § 1 (теорема 4.1).
30
31
строим последовательность
hn = An (An1 - Л) /=-/— АпА-Ч.
В силу тото, что Ang-*-Ag для g=A~i<^D (A), получаем ||Л»||-»-0
при п-»-оо.
Для любого f^R (А) имеем
?-A-1) f 1 =
что и доказывает сходимость Ап*-*-А~1 на R(A). Отсюда по тео-
еме Банаха — Штейнгауза {А?} сходится к А~1 на R(A) и
лмкс
б) Обратимся теперь к общему уравнению B.1). Рассмотрим
его в пространстве L2 функций от х (либо в области, ограничен-
ограниченной Г (если «|г=0), либо (если ||«||2= ^ |ы|аЛс< оо ) Во всем про-
пространстве R3).
Пусть Lu=F(x, t). Умножим B.1) скалярно на dufdt. Имеем
2. Примеры.
Пример 1. Рассмотрим задачу
01я
-— А" + * (x)u = F(x, t, 8),
(xlt x2, x3),
Проинтегрировав по /, в силу условий
«» I/-.= 0'
получим равенство
•1--°. %
dt
t=0
= 0, с2(лг)^а>0,
B.1)
= 0, либо
оо,
i Проинтегрируем его по t от 0 до 1:
и будем изучать поведение решения при е—>-0. (К этому случаю
сводится задача об асимптотическом поведении решения уравне-
уравнения Клейна—Гордона—Фока при t-^-oo.) В уравнении B.1) для
этого надо сделать замену т=//е и положить F(x, t, e)=F(x, t/e).
а) Чтобы понять, как может вести себя решение уравнения
B.1) при е-Ч), рассмотрим частный случай обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения
?¦ *
B.2)
следовательно,
с начальными условиями
и|«_о=0, и/|«>о=0.
Если F(t) — непрерывно дифференцируемая функция, то ре-
решение ме@ может быть представлено в виде
t t
«е(/)=— Г sin-^.F(T)dT
8 J 8
а значит, Jj|_ ^ существует, если только существует
Пусть F принадлежит банахову пространству W с нормой
= F(f) — F @) cos Г F' (т) cos -^^- dx;
8 J 8
следовательно, если F@)=0, F'eL2, то сходимость «,(^)@
при е-*-0 будет сильная в L2; если же f@)?=0, то сходимость будет
слабая.
32
1 t
Тогда, интегрируя Jd/ J(f(x, /), |^-)л по частям, получим
о о
2 В. П. Маслоа
33
Отсюда
Следовательно, оператор Le\ действующий из IF в гильбертово
пространство L2 функций от х, t с нормой
равномерно ограничен при е—>-0:
Предельный оператор имеет вид
B.3) ;.
По теореме 2.2 us сильно сходится к и, если правая часть g
F(x, t) принадлежит R(L"). Область R(La) состоит из дважды I
дифференцируемых по t функций, обращающихся в нуль при /=0 {
вместе со своими первыми производными. Замыкание R{L") в про- ]
странстве W сохраняет одно начальное условие F(x, 0)=0. ''¦}
Таким образом, в случае уравнения B.1), как и в примере а), '
если правая часть принадлежит R(L°) и обращается в нуль при ;
^=0, то Г IIие—v\\2dt сходится к нулю. Это можно доказать и в ;i
о
случае, когда правая часть зависит от е и сильно сходится в W к
некоторой функции Fo при е—*-0. ,
Предположим теперь, что F(x, t)<=W, но F(x, 0)^0. Докажем,
что в этом случае для любой функции q>(t) на [0, 1] с интегрируе-
интегрируемым квадратом
г е. осуществляется смешанная сходимость — слабая по t и силь-
сильная по х. -
Для доказательства умножим B.1) на дважды дифференцируе-
дифференцируемую функцию ф@, обращающуюся в нуль на концах отрезка
[О, 1] вместе со своей производной, и проинтегрируем по t:
. B.4)
Поскольку в силу B.3)
¦о,
а оператор {La}-1 существует и ограничен (как обратный к эллип-
эллиптическому оператору L"; см. предыдущий пример), то из B.4) вы-
вытекает равенство
J ф @ Uefit - {L0} J ф (/) F (х, 0 dt = _ е {L°}-i J Ф" (i) u&dt.
0 0 0
Отсюда в силу равенств
имеем
1 J Ф (О F (Jfr 0 * = J Ф (О {L0}-1? {х, 0 rf/1 = J с'Ф (/) dt
0 0 О
|'ф@[«е V\dt -*-0 При 8^-0.
Поскольку множество {|«„—о|} ограничено в La, то это соот-
соотношение будет выполнено по замыканию для всех ф(/) с инте-
интегрируемым квадратом.
3. Теорема Реллиха. Сейчас мы укажем одно применение тео-
теоремы 2.2 к спектральной теории самосопряженных операторов, а
именно получим из нее с помощью элементарных рассуждений
следующую теорему Реллиха [68, 35, 70].
Теорема 2.3 (Реллиха). Пусть {Ап} — последовательность
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Н, схо-
сходящаяся к самосопряженному оператору А (в том смысле, что А
есть замыкание оператора НтЛ„). Если {Е{"}}, {Е^} — спектраль-
34
2*
35
ные семейства, отвечающие Ап, А соответственно, то {??} сильно
сходятся при п-*-<х> к Ех в каждой точке К, не принадлежащей то-
точечному спектру оператора А.
Доказательство элементарно, если последовательность {Л„}
равномерно ограничена по норме. Действительно, в этом случае
можно, не ограничивая общности, считать, что 1ИП||^1. Для лю-
любого многочлена P(t) имеем Р(АП)-^Р(Л). С помощью теоремы
Вейерштрасса это переносится на любые функции, непрерывные
на отрезке [ — 1, 1]. Возьмем, в частности, функцию
"Но,
о,
t<o.
Соответствующей функцией от оператора А будет ЕаА.
Таким образом, получаем ?оП)Л„ -*-ЕоА. Отсюда следует, что
Действительно, для любого /еЯ имеем
|| (Л —
B.5)
0.
Если нуль не есть собственное значение оператора Л, то R(A)
всюду плотно в Н и на R(A) определен обратный оператор А~*
(вообще говоря, неограниченный). Для всякого f^R(A) в силу
B.5) имеем
Множество R(A) всюду плотно в Н, поэтому
F*n)f-*-F f \/fe=H
т e E^ -*- E
Если теперь Я. — произвольная точка, не являющаяся собствен-
собственным значением оператора Л, то достаточно те же рассуждения
применить к оператору (Л—Я); получим Е^^-Ек. Таким образом,
для равномерно ограниченной последовательности {Л„} теорема
доказана.
Рассмотрим общий случай. Из условия
Ап-+А на D
следует, что
An±i-^-A±i на D.
Операторы [Л„ + г] существуют и равномерно ограничены (норма
каждого из них не презосходит 1); в силу теоремы 2.2
Аналогично, (Л„—0-1-*-(Л—г)-1 и, следовательно,
1,1 2Л„ 2А
An-t
Проекционные операторы Еа, Е?\ отвечающие операторам Ап, Л,
совпадают с соответствующими операторами, отвечающими
Л/(Л2+1), поэтому общий случай теоремы Реллиха сводится с по-
помощью теорем § 2 к уже рассмотренному частному случаю ограни-
ограниченной последовательности операторов.
4. Критерий дискретности спектра уравнения с операторными
коэффициентами. Рассмотрим оператор
Q(x),
dx2
действующий в пространстве Нх функций, определенных на R, со
значениями в гильбертовом пространстве Н. Норму в Нх опреде-
определим формулой
\-эо
Предположим, что почти для всех х самосопряженный опера-
оператор Q(x) имеет чисто дискретный спектр и положительно опре-
определен.
Пусть &~ — линейное подпространство в #t функций, удовлет-
удовлетворяющих неравенству
где Q — любое ограниченное измеримое множество, ю = С dx.
Определим на &~ функционал
Теорема 2.4. Спектр оператора L дискретный тогда и толь-
только тогда, когда
inf Г J?iM
У<3? J (У, У)
Q
•dx-
¦ос
при |л0|->-оо для любой ограниченной области Q, где
= {х: х=ха+х', /eQ}.
В дальнейшем слабую сходимость последовательности z,, в Н
или Hi обозначим zn ¦?¦ г, или zn ^ г-
Для доказательства теоремы воспользуемся следующими лем-
леммами.
36
37
Лемма 2.1. Если А — такой вполне непрерывный оператор,
что Л существует и D{A~l) плотна в Н, то для любой последо-
последовательности {yn}ciD(A-1) и Ут-%0 последовательность crm=
=pml!#mli, где $? =тах{||Л-1г/т||, а], сходится к нулю для любого
а>0.
Доказательство. Пусть g^D((Л-1)*); тогда
(g, KA'
= Р» (И)* g, ym) < — ((A-1)' g, ym).
а
Отсюда последовательность $тА~*ут-*-0 при т-^-оо в силу того, что
D(A~l) плотна в Я.
Так как А вполне непрерывен, то
-оо
при т-*-оо.
Лемма 2.2 (критерий вполне непрерывности). Ограниченный
обратимый оператор А, для которого D(A~1) плотна в Н, вполне
непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последователь-
последовательности {ym}czD(A-1) такой, что ||г/т|| = 1 и ym-f; О, последователь-
последовательность \\А~1ут\\—*-ос при т—*-оо.
Доказательство. Необходимость следует из леммы 2.1.
Докажем достаточность. Для подпоследовательноста тк такой, что
|Лг/тА| > s, выполняется неравенство " *~Л " ' " " ¦¦ "
а поскольку очевидно, что АУтк1\ лут/с || -р и, то по условию
это неравенство невозможно при mft—>-оо; значит, ||Лг/т||—*-0. Пусть
дана последовательность ДеЯ, ||fj| = l и fn-ft 0. Возьмем такие
^„е?)(Л-'), что \\уп—/nli^sn-*-0 при я->~оо. Имеем ||Л/„||^
=^11Л (fn—Уп) I! + 1!Лу„1!-*-0. при л-»-оо, а значит, Л вполне непре-
непрерывен. ¦
Доказательство теоремы 2.4. Необходимость.
Предположим, что L (а значит, и ~]/L) имеет дискретный спектр,
т. е. (yL)-1 вполне непрерывен в //4. Пусть последовательность
такова, что
(yk, Qyk) , , .
* — Ф*(со) <s, где &к = хк-\-и, \xk\->-°o, B.6)
Пусть у^С1 — финитная функция с носителем в Q такая, что
j ф (х) | ^ 1. Введем обозначения сх (to) = max | ф (х) \, с2 (со) =С ф2 (х) dx,
фл{х)=ф(х+л'А). Так как l-^l"""*~°° ПРИ к-*-оо, то
Урь = — ¦? 0. В силу критерия вполне непрерывности необ-
38
ходимо, чтобы ИУ/.'фЛн.-э-оо, т. е.
X* == /I (ЧЫ/мУ ^ + J ф» (У*,
¦ ос.
B.7)
Так как
, то
J I
2*
B.8)
Оценим снизу |дар*||л.. Применяя теорему о среднем, для любо-
любого xeQ4 получим
(О
= 2
-|/ 4 j I^lpdi,. j
1ы?*г.
Отсюда, раскрывая модуль, получим
_ 3
2ft
- Следовательно, умножая это неравенство на
= c4 (со) j ij yk f dg.
Ф* (*) и интегрируя его, получим
f dx > -^L- J Ф| (х) dx
Отсюда и из B.8) следует
сюда же следует, что ||#*(*) JJ*
B.7) следует, что
1
2@ с2 (ш)
:"с3({о)/с2(со). От-
Поэтому из
при
а поскольку | <р* U) | < 1, первый, а следовательно, и второй члены
левой части неравенства B.6) стремятся к оо. Необходимость до-
доказана.
Достаточность. Пусть Фк(со)-*-оо при всех 0<со<1^Нам
нужно показать, что для любой последовательности i/neD(]/L) та-
такой, что ynrfi 0, ЦупЦнг=1, выполняется ||у/л/„||Я1-э-оо (тогда в
силу приведенного критерия^оператор (У!)-1 будет вполне непре-
непрерывным, а следовательно, ~\/L (а значит, и L) имеет дискретный
39
спектр). Предположим противное: пусть существует такая после-
последовательность указанного вида, что
B.9)
а следовательно, С {jyn, Qyn)dx^с и ЦупЦн^^с- Из последнего нера-
неравенства в силу теоремы вложения следует \\уп(х) \\2^с. Выберем из
упг слабо сходящуюся подпоследовательность Ущ-ff у^.Нх. По-
Поскольку Ущ-^ 0, то у=0. Пусть Р(|) — функция, равная 1 при О^С
и 0 вне этого интервала. Для любой f^Ht (поскольку
а Уп?-н[ 0) имеем
и,УпЛх) — УпЛО)) = \Г, С y'nidl\ = С (fP, y'n)dl-^0. B.10)
V oJ / J
Выберем из у<ц{0) слабо сходящуюся подпоследовательность
уп. @)-^ h. Из B.10) следует, что и yni (x)-p h; следовательно,
так как г/^^ 0, то й=0. Пусть 0<е<1/G2 с). По условию най-
найдется &0 такое^ что Фа(е)>1 пр^ k>k0. Положим N=koe,
m = nik, hm—\Qym. Поскольку (VQ) вполне непрерывен почти
для всех х, то в силу леммы 2.1 \\ут\\2=<Ут^, где от-*-0 почти
для всех х. Очевидно, от измерима на интервале A—(—N, N) и
на этом интервале от стремится к нулю по мере. Значит, для про-
произвольных 6>0, т]>0 можно указать р=р(-ц, б) такое, что для
каждого т>р найдется множество FmczA, удовлетворяющее усло-
условию mes(A\Fm) ^ц и от^8 для x^Fm. Следовательно,
max Qhmf, a)
-f 2oN).
С другой стороны,
зом
, Г \ym
Iiym|i2dx^cmes(A\Fm)^CT]. Таким обра-
-^- при m>p, если Л<—, 6<(8c+l6aN)-1.
4 ОС
Рассмотрим теперь \ \ymfdx. Если на Qh при \k\>ka и со=е
\x\>N
функция ут^&~, то, используя теорему о среднем, для некоторой
точки х т ^Qk получим
, Qy
= \ym (xL) 1а = f (fro> Qy
dx =s
| Ут (Xkm) I2 Ok (СЭ) ^ || Ут (Xkrn) f;
если же ут не принадлежит 5^", то найдется такая точка
что
Отсюда следует, что всегда найдется точка **„, ей» такая, что
1 Ут {Xlm) f ^ 16 J { 1 ут f + (ym, Qi/ra)} ^ДГ.
Вместе с тем для любой точки
'¦km
4- {ym,Qym))dx. B.11)
Отсюда
Dm) Г ЛС 4-
) f -
Ц») ^
Таким образом, получаем
40
\x\>N
Следовательно, при т>р имеем
11г/т11я1^1/2,
что противоречит условию ||ут|1я,= 1. Теорема доказана.
Замечание. Если заменить константу 1/A6 со2) на с (со) =gT
^S 1/A6 со2) такую, что с(со)-*-оо при со—>-0, то теорема 2.4 остается
в силе.
§ 3. Ряды теории возмущений для обратного оператора
Теорема 2.5. Пусть линейные операторы А, В, действующие
из банахова пространства 54 в банахово пространство В2, удовлет-
удовлетворяют следующим условиям:
1) замыкание А+еВ существует;
2) область D{A+eB) плотна в Bt;
3) А = lim (A -J- вВ)',
8—0
4) оператор [Л-j-eS]-1 равномерно ограничен при е-*-0;
5) существуют элементы
A-l(BA-l)kf, k=l,2,...,n, /eB,. C.1)
41
Тогда
[А +
/ — Л
(— lf
= О(е«).
Доказательство. Заметим вначале, что поскольку п
элементов вида C.1) существуют, то («— 1) первых элементов при-
принадлежа^ D (Л) и D{B), а следовательно, и ?>(Л + еВ)сг
D(A B)
( + )
Докажем тождество
n-i
(А + ей)/ = Л ^ (— *)* (ЯЛ)* / +
(— в)"
Действительно, подействовав на обе его части оператором А+еВ
(это возможно в силу сделанного выше замечания), получим
Л—I Л-1
/ = 2 (- 4 {.BA-iff + еВА-1 ^ (- е)* EЛ-1)* / + (- е)л
Поскольку оператор (А+еВ)-1 существует и ограничен, то тем са-
самым тождество доказано.
Имеем
В "
(Л + еВГ^-Л'1 V(-l)*f
= в» 1 {(Л 4- еВ) — Л
По предположению Л (ЯД-1)"/ существует, т. е.
Следовательно, в силу теоремы 3.2
| {[Л-т-еВ] — Л} (ВА'1O1 -* О
при е-»-0.
Теорема доказана.
ГЛАВА 3
ВОЗМУЩЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП
ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Введение
В этой главе мы будем рассматривать однопараметрические по-
полугруппы операторов Tt, OsS^<oo, определенные в некотором ба-
банаховом пространстве В и удовлетворяющие следующим условиям:
1) ограниченность:
(постоянная k зависит, вообще говоря, от s);
2) сильная непрерывность, т. е.
||7W-7yi|-4), /sfl, прие-И)
при всех t, включая ?=0.
При этих условиях предел
Л = Нш—(Г8 —/)
Е
(здесь / — единичный оператор, а предел понимается в смысле
сильной сходимости операторов) существует и представляет собой
замкнутый оператор, имеющий всюду плотную в В область опре-
определения*). Он называется производящим оператором полугруп-
полугруппы Tt.
Нас будет интересовать связь между сходимостью производя-
производящих операторов и сходимостью отвечающих этим операторам по-
полугрупп. Для того чтобы сама постановка такого вопроса имела
определенный смысл, нужно предварительно установить, что по-
полугруппа Tt однозначно восстанавливается по своему производя-
производящему оператору Л. Если оператор Л ограничен, то это непосред-
непосредственно ясно, ибо тогда
= е'
A.1)
причем ряд сходится при всех t. Если же оператор А неограничен,
то ряд A.1) непосредственного смысла не имеет; тем не менее по-
*) См., например, [35, 46].
43
Тогда
тч—а-1 2 (—i
k=0
Доказательство. Заметим вначале, что поскольку а
элементов вида C.1) существуют, то (л— 1) первых элементов при-
принадлежа^ D(A) и D(B), а следовательно, и D(A B)
D(A B
( + )
Докажем тождество
{А + еВГЧ = А* 2 (- г)* (ВЛ)* / + (Л+efl)-* (- е)п
Действительно, подействовав на обе его части оператором А+еВ
(это возможно в силу сделанного выше замечания), получим
Л-1
П—1
: = f. Й
Поскольку оператор (Л+eS) существует и ограничен, то тем са-
самым тождество доказано.
Имеем
|(л + ввг1 / - л-12 (-1)
* «*
1)* /I=
= в» | {(Л + еБГ1 — Л} {ВА-*)п f |.
По предположению A~i(BA~1)nf существует, т. е.
О
Следовательно, в силу теоремы 3.2
1 {[Л + еБГ1 — Л}
при е-й).
Теорема доказана.
ГЛАВА 3
ВОЗМУЩЕНИЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП
ОПЕРАТОРОВ И ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИИ
§ 1. Введение
В этой главе мы будем рассматривать однопараметрические по-
полугруппы операторов Ти 0^^<оо, определенные в некотором ба-
банаховом пространстве В и удовлетворяющие следующим условиям:
1) ограниченность:
(постоянная k зависит, вообще говоря, от s);
2) сильная непрерывность, т. е.
при всех t, включая ^=0.
При этих условиях предел
— {Те—I)
е
(здесь / — единичный оператор, а предел понимается в смысле
сильной сходимости операторов) существует и представляет собой
замкнутый оператор, имеющий всюду плотную в В область опре-
определения*). Он называется производящим оператором полугруп-
полугруппы Tt.
Нас будет интересовать связь между сходимостью производя-
производящих операторов и сходимостью отвечающих этим операторам по-
полугрупп. Для того чтобы сама постановка такого вопроса имела
определенный смысл, нужно предварительно установить, что по-
полугруппа Г, однозначно восстанавливается по своему производя-
производящему оператору Л. Если оператор Л ограничен, то это непосред-
непосредственно ясно, ибо тогда
r,= V^=^, A.1)
причем ряд сходится при всех t. Если же оператор А неограничен,
то ряд A.1) непосредственного смысла не имеет; тем не менее по-
*) См., например, [35, 46].
43
лугруппа Ти ограниченная и сильно непрерывная, восстанавлива-
восстанавливается по А однозначно. Существует несколько явных формул, вы-
выражающих Г( через А. Например,
= lim (I—La)'
или Tt = lime л, где Ап ограничены, коммутируют между собой и
lim Ап = А.
П—*оо
Сводка такого рода формул имеется, например; в книге Э. Хил-
ле и Р. Филлипса [46, 13]. Обобщение этих формул дано в § 4.
Полугруппы операторов, действующих в банаховом простран-
пространстве, тесно связаны с дифференциальными уравнениями с опера-
операторными коэффициентами. Если А — производящий оператор огра-
ограниченной сильной непрерывной полугруппы Т, и /0е?>04), то функ-
функция f{t) = Ttf0 со значениями в В удовлетворяет дифференциально-
дифференциальному уравнению '
df/dt=Af
в том смысле, что
II (f(t+e)—№)/e—Af(t) II—^-0 при
Мы рассмотрим более общее уравнение вида
du(t)/dt—A(t)u(l)=F(t), 0</<a, A.2)
где u(t)—элемент комплексного банахова пространства В, зави-
зависящий от действительного параметра t, F(t)—заданный элемент
из В, A(t)—заданный, вообще говоря, неограниченный, завися-
зависящий от t, линейный оператор в В- ....... ..:..'.
Если оператор. A (t) не зависитот t, a F=0, то решение уравне-
уравнения D.2) формально дается формулой eAtu@), где и@)еВ. Стро-
Строгое определение и свойство такой экспоненты дается в теории полу-
полугрупп. В теории полугрупп найдены необходимые и достаточные
условия, которые нужно наложить на инфинитезимальный опера-
оператор А с всюду плотной областью определения, чтобы полугруппа
Tt=eAt была сильно непрерывна. Нужно, чтобы существовали та-
такие вещественные числа со в М, что все 1>со принадлежат резоль-
резольвентному множеству оператора А и
II'(Л—1)-«\
со)", я=1, 2,
A.3)
(см. [13], теорема Хилле — Филлипса — Иосиды).
Мы обобщим это условие (как достаточное, но не необходимое!)
на случай, когда оператор А зависит от t.
В дальнейшем нам понадобится менее общее необходимое усло-
условие: если полугруппа Tt = eAt ограничена единицей, то при всех
е>0 оператор A—еА)-1 определен всюду в В и ограничен еди-
единицей.
44
§ 2. Основная оценка решений эволюционного уравнения
Введем следующее определение. Будем говорить, что оператор
A (t) в В обладает свойством Р, если выполнены следующие
условия:
1) оператор А замкнут и имеет плотную область определения
D(A(t))<=B;
2) существует такое со, что все 1>со принадлежат резольвент-
резольвентному множеству оператора A(t);
3) функция [A(t)~xy-h (X>a, й«=?) интегрируема по Бох-
H6DV*
4)
V
4) существует такое М>0, что для любого разбиения
*0
Лемма 3.1. Пусть A(t) обладает свойством Р. Пусть u(t) —
некоторая непрерывная функция параметра t со значениями в
D(A(t))czB и такая, что функции du/dt и F(t)=du/dt—A(t)u ин-
интегрируемы по Бохнеру. Тогда
max u
B.1)
Следствие 1. В предположениях леммы решение u(t) урав-
уравнения A.2) однозначно определяется начальным значением «@)
и правой частью F(t).
В случае F(t)—O и Л1=1 лемма 3.1 является следствием тео-
теоремы Като [59]. Метод, излагаемый ниже, отличается от метода
Като и примыкает к методам Иосиды [35].
Доказательство леммы 3.1. Введем следующие обозна-
обозначения. Обозначим через С (В) пространство непрерывных функций
на [0, s] со'значениями в В; норму введем следующим образом:
L±(B)—банахово пространство абсолютно интегрируемых (ин-
(интегрируемых по Бохнеру) функций со значениями в В; норму
определим следующим образом:
Через Lt@B обозначим банахово пространство пар функций
{g, f(t)}, где g<=B, f€=Lt(B), с нормой
Обозначим через L оператор, который переводит элемент из
C(t, В) в элемент из 14ФВ (будем обозначать это действие сле-
45
w
дующим образом: L^C(B)-*-Li(B)(BB). При этом, если и(^)е
e=D(L)c:C(S), то Lu = $и@), —— A(t)ul . Таким образом, об-
область определения оператора L есть пересечение областей опреде-
определения операторов
didti=C(B)^-Lx(B)t A(t)e=C{B)-*-LdB).
Введем операторы
/в<0 = A—&4<0)-', Bb(t)=A(t)h(t).
Оператор h(t) ограничен. Действительно,
а так как \\[X—A(t)]-l\\^M/(X—(o), то
Положим раз и навсегда 6г^1/B<а), тогда
тор Bs>(t) также ограничен, так как
. Опера-
Опера1 — 6А (t)
Следовательно,
б \1-«ЛИ
J_
6
Из теоремы 2.2 следует, что /в(^)->-1 при 6-*-0 на D(A(t))czB;
значит, Bn{t)-*-A(t) на D(A(t))czB. Обозначим, далее, через Lb(t):
r/R^-^rffiR оператор, действующий следующим образом па
«(/)={«@),^— B6(t)uj
Докажем, что Lb-*L в смысле нормы Lt®B на D{L)aC(B). По
определению имеем
B.2)
Вычтем одно равенство из другого и возьмем нормы
s
1 Ьйи — Lu \\U(BB = | {О, B&U — Аи} \и<ЁВ = J || [В6 @ — A (t)] и |s dt.
о
46
Докажем, что этот интеграл стремится к 0 при б-»-0. Выраже-
Выражение стоящее под интегралом, как доказывалось выше, стремится к
О при 6-Н). Остается доказать (см. § 1 гл. 2), что это выра-
выражение ограничено интегрируемой функцией. Но A(t)—Bb(t)=
tz[\—h{t)\A(t), и так как Ш1^2М, то ||1—h{t) \\^2M + 1; сле-
следовательно,
|| [1—
Поскольку «@е2)A)с:/)(Л@), где A{t)t=C{B)~*Lt{B), то
\\A(t)u(t)\\a интегрируема. По теореме Осгуда можем утверждать,
что
^-B6(t)]u(t)\\Bdt-+O при 6 + 0.
ограничены в сово-
совоB.3)
Итак, U-+L в Ь±ФВ на D(L)czC(B).
Докажем, что операторы/.^1
купности, т. е.
max !«6@IU^c|h0)||s+
если Uue,= {u@), F(t)}. Это и будет означать, что |La1
Для доказательства B.3) рассмотрим задачу
dub(t)/dt—Bb(t)ub(t)=F(t), ыв@)=ы„. B.4)
Сделаем замену ue,= e~i/6v. Задача B.4) перепишется в виде
Учитывая, что В& (t) -\ == — /а @, имеем
д д
B.5)
Докажем, что решение этого уравнения можно записать в виде
ряда
I6(tn)u0dtn +
... j /б (/„) F (т) dtn. B.6)
t
47
Нетрудно убедиться, что формальная подстановка B.6) в B.5) '
действительно обращает уравнение B.5) в тождество.
Остается доказать, что ряд B.6) и ряд из производных от его
членов по t сходятся. В силу условия 4)
h (h) dt,
Аналогично B.7) имеем
) dt2... J /6 (tn) F (x) dtn
M(t~f \\F(x)jB. B.7)
Отсюда следует, что ряд B.6) сходится, причем
.. j h(tn)dtnu0
/„) F (т
Теперь получим требуемую оценку для ue@. Вспомним, что
равенство u6(t)=e-t/6v(t) может быть записано в виде
. B.8)
Возьмем coi>(o. Тогда при всех достаточно малых 6 <Oi>u>/A—бол).
Учитывая это, можем записать
I
Выражение в правой части последнего неравенства не зависит от
t, поэтому та же оценка будет справедлива и для max ||(^)|]
max | ад (О IU
N|3 S
Л=0
б" A — бш)" п\
|| ы0 lie
^^ || F (т)
Аналогично доказывается сходимость ряда из производ- I
ных. Таким образом, ряд B.6) удовлетворяет уравнению B.5). I
Единственность этого решения следует из интегрального урав- |
нения I
т. е.
итак, \Lu И
Таким образом, операторы Lt, L удовлетворяют всем условиям
теоремы 2.2 об обратных операторах, на основании которой мы
можем утверждать, что lim L&1 == L~x существует и ограничен той
б—»0
же величиной.
Итак, решение задачи
— — A{t)u = F{t), u{0)='uo,
которая соответствует Lu= {и0, F{t)}, единственно, и имеет место
оценка B.1).
Лемма доказана.
§ 3. Теория возмущений эволюционного уравнения
Пусть A (t) {O^ts^to) —семейство операторов из банахова про-
пространства ВвВ'с общей плотной в В областью определения D.
Пусть
^1 Vt,s<z0. C.0)
соответствующего B.5), и доказывается методом сжатых отобра-
отображений.
48
Рассмотрим последовательность таких семейств An{t), удовле-
удовлетворяющую условию C.0), что
t
Jl[A»(Q — A(t)]g(t)ldt-+0 при п-+со, C.1)
49
на некотором плотном в С (В) множестве Dt дифференцируемых в
Lt(B) функций g(О-
Теорема 3.1. Решение un(t) уравнения
duJdt—An(t)un{t)=Fn(t),
удовлетворяющее условию ы„@) =gn, где g.i-*-g в В,
^Fn(t)-F(t)\\Bdt-+O, C.2)
о
сходится сильно в В равномерно по t к решению u{t) задачи
Lu(t)=F(t), u@)=g
(если таковое существует), где L есть замыкание оператора
d/dt—A (t), заданного на множестве Dt.
Доказательство. Рассмотрим операторы Ln и L из С (В)
в L^В:
Lnun @ = {«„ @), ^р- - Ап (t) un (
Lu{t) = {u@),Lu(t)}.
Из условия C.1) следует, что последовательность {Ln} сходит-
сходится к оператору L. Из леммы 3.1 следует, что IILnNl^l, поэтому
в силу теоремы 2.2 получаем требуемое утверждение.
Пример (из теории дифференциальных уравнений). Рассмот-
Рассмотрим задачу
х=(хи...,хп),
'функция «n@)=0, 6>0, Fn(x, t)^C(L2) (сг(х, t) — непрерывная
¦функция). Очевидно, что для дважды дифференцируемой по х и
¦один раз дифференцируемой по t функции v(x, t)
!ПрИ П-*-ОО.
Кроме того, оператор п*~вГД удовлетворяет условию C.0). Все
условия теоремы 3.1 выполнены; следовательно, решение un{t, x)
сходится в среднем по х и равномерно по t при O^^^l к функции
t
t -{ ^ c'(x,x)dx
F(x,x)dr,
где F (x, т) = lim Fn (x, т).
Л—»оо
.50
§ 4. Теория возмущений полугрупп операторов
1. Основная лемма. Пусть A (t) — одиопараметрическое
@^=^5) семейство операторов банахова пространства В с общей
плотной в В областью определения DcB. Пусть A (t) зависит от
параметра t непрерывно, т. е.
Пусть, далее, F(t)—некоторая
функция со значениями в В.
Рассмотрим уравнение
интегрируемая по Бохнеру
От решения u(t) потребуем, чтобы это была непрерывная функ-
функция, удовлетворяющая нулевому начальному условию
u@)sB. . D.2)
Иначе говоря, мы рассмотрим оператор L из банахова простран-
пространства С (В) непрерывных функций g(t) со значениями в В в бана-
банахово пространство V=BQLi(B):
= {tt@), ^--Л@и}, Lu(t)e=V.
Классическим решением будем называть функцию u(t), при-
приD (—) ПО и
надлежащую пересечению
(
V
удовлетворяющую урав-
V I
нению D.1) и начальному условию D.2). Решением будем назы-
называть функцию u(t), если существует последовательность {un(t)}
классических решений уравнений
duJdt—A(t)urt=Fn(t),
сходящихся в С (В) к u(t), т. е.
тах|ы(/) —ы
соответствующие правые части при этом сходятся в L,(B), на-
начальные условия сходятся в В: ы„@)-*-и@).
Будем говорить, что оператор A(t) удовлетворяет условию (Р),.
если
1) A(ti) коммутирует с A(t2) при всех tu t2<=@, s);
2) оператор A—еЛ(^))-1 существует, ограничен единицей и
определен всюду.
Если A(t) удовлетворяет условию (Р), то будем писать-
0<=(Р)
0()
Известно, что если при этих условиях uo^D и F(t)<=D, то клас-
классическое решение уравнения D.1) существует [59].
SL
Лемма 3.2. Пусть An(t), A(t)<=(P), Fn(t),
, D — некоторая область, плотная в В, и пусть
j\\Fn(t)-F(t)\\Bdt-+O,
^g— [1 —
, gn,
D.3)
D.4)
D.5)
при п-*-оо для всех g^B и при любом фиксированном ео>е>0.
Тогда последовательность решений задачи
dun(t)/dt—An(t)un(t)=Fn(t),
un(O)=g
сходится к решению задачи
du(t)/dt—A(t)u(t)=F(i),
"@)=?
равномерно по t, т. е.
max \un(t) — u(t)\L-*-0 при n-*~oo.
Доказательство. Из условия следует, что последователь-
последовательность /„.(/) = A— еЛп(О)-1 сходится в Lt(B) к /.(/) = A— вЛ(*))-'.
Следовательно, и Bns= Ап1Пг = — A—?пе) сходится к Бе=Л/8=
Е
= — A —/е) на всех элементах Lt(B) (т. е. сильно в /.,(/?)). Отсю-
е
да в силу вложения C(B)<zzLi{B) следует, что" операторы"
(У
Lf u @ = {и @), d«/d^ — |
сходятся к оператору L»: С(Б)-»-У: |
Le« (/) = {и @), dufdt—Beu} I
ла множестве дифференцируемых в L^B) функций из С (В) (.т. е.|
непрерывных функций с производной из Lt{B)). Это и есть область|
определения оператора Le в пространстве С(В). По формуле B.1) |
имеем
max || L^ \p — L? || < б.
для любого элемента
Кроме того (см. доказательство леммы 3.1),
max flLgSp —ZT^IkjS^e прие^еб.
D.6)
Как известно, множество двузначных функций фундаментально
(т. е. их линейная оболочка плотна) в Ь±(В) (см. гл. 1, § 1). Пусть
Ф={/@> g} и пусть f(t)—двузначная функция со значения-
значениями в D:
е?> при t>t0.
Рассмотрим оператор LG1>: C(B)-*-V:
L<*>u(t) = {u@), du/dt—An(t)u}<=V.
Обозначим
^1 {g, f (/)} - [L(">r {g, f (Щ = ию-ип.
Отсюда следует, что ы„„ и и„ принадлежат D(d/dt)f)D(An(t)).
Имеем
Lw (u« - «„) = {0, dune/dt - Л„ @ um—f~Bnz @ + A,e @ иле} =
= {0,[5«@—A.@1«*}e
= Jo, [В„»@-А,@] J exp {ITS A» Wrfx)l/(T)dTJ =
= 0, J ехр К Бта (х) dx\ [Впг @ —
Поэтому
'* II f ' 1 И
1 Z.("> (ыта - и) 1 ^ П ехр J Вта (jf) dx [В„8 (/) _ л„ @] / (т) х dx
о I U j |в
Следовательно, на области значений оператора Le> которая со-
совпадает с V, в силу теоремы 2.2 имеем
I
— An(t)]f(x)\
-1.
-е при П-+-ОО.
Иначе говоря, для б>0 найдется такое лв,Ф(е), что при
52
1 I
J Is
'.{t)-An{t)\f(x)\Bdx, D.7)
поскольку в B.1) в данном случае полагаем М=\, <а = 0.
53
Следовательно,
[BnE(t)-
0 0
t0 J dt 1 [Bns (t) - An @1 fx \b + (s - fo) JII [Вт @ - An @1 ft \\
о о
s J1 [/» @-И Л @ fi Is Л + s JI [/„ @ - 1] Л„ @ f2 ls d*. D.8)
Рассмотрим отдельно
Имеем
[1ПЁ (o—i] И„ @ - Л @1 |в л + 51| [/«@ -1]
о
Первый член правой части не превосходит
2Si\\[An(t)-A(t)]flBdt
о
и, следовательно, при п>пь может быть сделан меньше 6 (An(t)-*-
—)-A(t)). Следовательно, при л>п8
J < б + j 1 !/„ (О — 1J А @ f |B *.'
о
Оценим второй член. Пусть q(t)—конечнозначная функция,
удовлетворяющая неравенству
и пусть она принимает значение qh (k=l, 2, ..., kb); q(t)=qk при
4^^^^*+i- Возьмем rh<=D так, чтобы \\гк—^*||^6. Положив rs(/) =
= rh при 4^ts^:th+l, получим
@ — Я @1^=
—tk) ^ б ' S-
Имеем
@ — 1] Л@/1
— n(t)]\dt +
в. D.10)
Заметим, что
Следовательно,
54
D.9)
Следовательно, ||[/„@—1 ]^в(/) ||
D:10) имеем
|. Отсюда в силу
б + 26 A + s) -f- e J || Л„ @
Следовательно, при п>п'6 и
е s^ e« = ¦
6
имеем /ssj48 + 26s. Отсюда в силу D.8) следует
S
. J I L{n) (une — ип) \\dt ^ 2s D6 + 26s) = 46s B + s).
о
Поскольку || [Z,(">]—iJ|:^ 1, то при п> Пй. ег^её имеем
max | «„е — ип J = max [/Яр {^(п) ("«8 — ыл)} < '
B
т. е. при п> пъ и
max || [[/4Л)Г - [Z-^V1] {/ @} ||^6. const.
Следовательно, в силу D.6) и D.7) при л>л/ и n>ne,(e0), где
eo=min{ee, ee }, имеем
-Z.-!] {/@, ^K^axiKL'"')-1 -(^П {/@, g) \\ +
-f max I [(L?>ri - L] {/ @, g] | +
max 1 [(L-l)-i - L-iJ {/ @, j}|<8- const.
55
Отсюда следует, что
lim max
- L~*\ {f (/), g} | = О
D-11)
для любой двузначной функции f(t) со значениями в D. Поскольку
D плотно в В, то для любой двузначной функции g(t) со значения-
значениями в В и е>0 найдется такая функция f(t), что
-f{t)\\dt^e.
Но множество двузначных функций фундаментально в L,(B),
поэтому и множество двузначных функций со значениями в D фун-
фундаментально в Li(B). Соотношение D.11), очевидно, имеет место
на линейном многообразии, натянутом на это множество, т. е. на
некотором множестве, плотном в L(B). Поскольку || (Z/"')!!^;!
для всех п, то по теореме Банаха — Штейнгауза D.11) выполняет-
выполняется для всех F(t)^L(B).
Пусть, наконец, {gn, Fn(t)}—последовательность, сходящаяся
в V к {g, F(t)}. Имеем
max
{gn, Fn (/)} - (L(V {g, F (Q) ||
Отсюда и из D.11) следует окончательно
lim max || (L(;V {Fn @. gn} - (^Г1 {ДО, g) 1 = 0.
2. Обобщение теоремы Хилле. |
i~
Теорема 3.2. Пусть T(t) — сильно непрерывная полугруппа, р
удовлетворяющая условию |
Ш01К1, D.12I
и А — ее производящий оператор. Пусть, далее, {Ля} — последова-1
тельность операторов, сходящихся на общей плотной области опре-1
деления D, причем Л = НтЛп, и тоже удовлетворяющих условию'^
(Р) 2). Тогда последовательность A—Ant/n)~n при п~-*-оо сильно §
сходится кТ(г) на всем пространстве В. . jj
Д о к а з а те л ьств о. Рассмотрим элемент . f
un=(l—AJ/n)-nuQ, i
и составим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет f
ип. Это будет уравнение в банаховом пространстве В: I
dt
х Апип = 0, ип @) = ип.
D.13)
В силу условия (Р) 2) операхир A—Ап1/п)~1 существует на всем В
и ограничен единицей, поэтому из теоремы 2.2 следует, что
A— Ant/n)-l-+l.
Значит, для g<=D имеем
-П« '-i-
(A- A)gl
" V X
t Ag
J
при
Следовательно, A— Aj/n)-1An-^A. В силу B.1)
этому (см. § 1) II [1—б5е]-'||^1 и, значит,
[1— 6ЛПA— Лп^)-4]-1=[1—6В(/я]-'<
1, по-
Таким образом, условия леммы 3.2 для задачи D.13) выполнены.
Отсюда следует, что решение un(t) уравнения D.13) сходится к
решению u(t) задачи
и теорема доказана.
Заметим, что для случая ограниченных операторов Ап теоре-
теорема 3.2 была доказана Хилле [46].
3. Сходимость производящих операторов и сходимость полу-
полугрупп.
Теорема 3.3. Пусть операторы Ап сходятся к А на плотной
области D- и последовательность {A—еЛп)-'} ограничена едини-
единицей, определена всюду и сходится сильно к A—еЛ) для любого
бо^е>О. Тогда операторы eAnt сходятся сильно к еА'.
Доказательство этого утверждения следует из леммы 3.2, если
положить An(t)=An, A(t)=A, F(t)=O, gn=g.
Из теоремы 3.3 вытекает следующая
Теорема 3.4 [29J. Пусть {T(tn)} (л=1, 2, ...) и {Т,}—силь-
{Т,}—сильно непрерывные полугруппы линейных операторов в В с произво-
производящими операторами Ап (л=1, 2, ...) и А. Если ||Гг(л)||<; 1
если А есть замыкание оператора
и
lira An {D (lim An)=D{An)),
tno {Tin)} сильно сходится к Tt при п—»-оо равномерно относитель-
относительt (OS)
56
но t
Действительно, из ||71П)||^1 имеем ||[1—еЛп]!!^!. Поэтому
из теоремы 2.2 следует, что A—еЛп)-'->-A—еЛ)-' при всех е>0.
Условия теоремы 3.3 выполнены. Утверждение доказано.
Пример. Рассмотрим задачу
и \i=0 = О, и \x*+t?=i = 0, 0
D.14)
в классе непрерывных функций от t с интегрируемым по х, у квад-
квадратом (в области, ограниченной Г). Обозначим
cu,
дх
дх
Операторы A—Л„(*))-' ограничены единицей; кроме того, как из-
известно, решение задачи
е? — ec2u = F(x, у),
ы|г=0
при /г-»-0 сходится к решению задачи
Значит, в силу теоремы 3.3 решение уравнения D.14) сходится
равномерно по t и сильно в L2 к решению уравнения
ди ди . а р
dt дх '
ГЛАВА 4 , • •
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Теорема о сходимости гомоморфизмов
в топологических группах
Вначале напомним некоторые понятия теории топологических
групп [33]. , ¦ .
Множество G элементов называется группой, если в нем вве-
введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов
a, b^G некоторый элемент c^.G, так, что выполнены перечислен-
перечисленные ниже условия 1), 2), 3), называемые групповыми аксиомами.
Операция эта по большей части называется умножением, и ре-
результат ее записывается аЪ (произведение аЪ может зависеть от
порядка сомножителей: ab, вообще говоря, не равно Ьа).
1) Ассоциативность: для любых трех элементов а, Ъ, c^G вы-
выполнено соотношение (ab)c=a(bc).
2) В G имеется левая единица, общая для всех элементов груп-
группы, т. е. такой элемент е, что еа=а для любого a^G.
3) Для всякого элемента a^G существует левый обратный эле-
элемент, т. е. такой элемент а-1, что ат^а=е.
Если А и В — два подмножества группы G, то через АВ обо-
обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида ху,
где х<=А, у^В. Через А-1 обозначим подмножество, составленное
из всех элементов вида х~\ где хеА. При натуральном m подмно-
подмножество Am+1 определим индуктивно, считая, что А1=А и Am+i =
=AmA. Подмножество A~m определим, положив А~т= (Л~')т.
Пользуясь установленными обозначениями, можно составить про-
произведение произвольного числа подмножеств, возведенных в про-
произвольные целые степени. В дальнейшем мы иногда не будем де-
делать различия между множеством, содержащим один элемент,
и самим этим элементом, поэтому для нас имеет теперь смысл обо-
обозначение АЬ, где ЛеО, b^G. Отметим, что если А непусто, то
Ае = еА — А.
Множество Н элементов некоторой группы G называется подгруп-
подгруппой или делителем группы G, если Н есть группа в силу того же
закона перемножения, который имеет место в G
59
Пример. Рассмотрим задачу
D.14)
в классе непрерывных функций от t с интегрируемым по х, у квад-
квадратом (в области, ограниченной Г). Обозначим
Л*@и = ЛДм+ —— с2и,
дх
Аи = — (?и + ^.
дх
Операторы A—Ah(t))~l ограничены единицей; кроме того, как из-
известно, решение задачи
— и + heAu + е ^ — ес2и = F (х, у),
ы|г=0
при Л-»-0 сходится к решению задачи
— v + е -^ ec2v = F (х, у),
дх
Значит, в силу теоремы 3.3 решение уравнения D.14) сходится
равномерно по t и сильно в L2 к решению уравнения
dt дх
и
ГЛАВА 4 , ¦ ¦¦
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Теорема о сходимости гомоморфизмов
в топологических группах
Вначале напомним некоторые понятия теории топологических
групп [33].
Множество G элементов называется группой, если в нем вве-
введена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов
a, b^G некоторый элемент c^.G, так, что выполнены перечислен-
перечисленные ниже условия 1), 2), 3), называемые групповыми аксиомами.
Операция эта по большей части называется умножением, и ре-
результат ее записывается аЪ (произведение аЬ может зависеть от
порядка сомножителей: ab, вообще говоря, не равно Ьа).
1) Ассоциативность: для любых трех элементов а, Ь, c^.G вы-
выполнено соотношение (ab)c-a(bc).
2) В G имеется левая единица, общая для всех элементов груп-
группы, т. е. такой элемент е, что еа = а для любого a^G.
3) Для всякого элемента a^G существует левый обратный эле-
элемент, т. е. такой элемент а-1, что ат%а=е.
Если А и В — два подмножества группы G, то через АВ обо-
обозначим подмножество, составленное из всех элементов вида ху,
где х^А, у^В. Через А~х обозначим подмножество, составленное
из всех элементов вида х~\ где х^А. При натуральном m подмно-
подмножество Лт+' определим индуктивно, считая, что АХ=А и Лт+' =
=АтА. Подмножество А~т определим, положив А-т=(А~1)т.
Пользуясь установленными обозначениями, можно составить про-
произведение произвольного числа подмножеств, возведенных в про-
произвольные целые степени. В дальнейшем мы иногда не будем де-
делать различия между множеством, содержащим один элемент,
и самим этим элементом, поэтому для нас имеет теперь смысл обо-
обозначение АЬ, где ЛеО, teG. Отметим, что если А непусто, то
Ае = еА — А.
Множество Н элементов некоторой группы G называется подгруп-
подгруппой или делителем группы G, если Н есть группа в силу того же
закона перемножения, который имеет место в G
59
Отображение g группы G в группу G* называется гомоморфным
отображением или гомоморфизмом, если оно сохраняет операцию
умножения, т. е. если
g(x-y)=g(x)-g(y)
для любых двух элементов х, y^G. Множество g~'(e*) всех эле-
элементов группы G, отображающихся в единицу е* группы G* при
гомоморфизме g, называется ядром гомоморфизма g.
Множество R называется топологическим пространством, если
каждому множеству М _элементов пространства R поставлено в
соответствие множество М, называемое замыканием множества М,
так, что выполнены следующие условия:
1) если М содержит только один элемент а, то М=М или, что
то же, а=а;
2) если М, N — два множества в R, то M\jN=Ji[jN, т. е. замы-
замыкание суммы равно сумме замыканий;
3) М=М, т. е. двукратное применение операции замыкания
дает тот же результат, что и однократное.
Множество Г элементов топологического пространства R назы-
называется замкнутым, если F=F. Множество G элементов из R назы-
называется открытым или областью, если i?\G есть замкнутое мно-
множество.
Множество G пространства R называется всюду плотным, если
G = R.
Система 2 областей пространства R называется базисом про-
пространства R, если всякая непустая область из R может быть полу-
получена как сумма некоторого множества областей, входящих в 2.
Базис 2 пространства R иначе называется полной системой окрест-
окрестностей пространства R, а каждая область системы 2 — окрест-
окрестностью всякой точки, содержащейся в этой области.
Система 2' окрестностей точки а_ называется базисом в точке а
или полной системой окрестностей точки а, если для каждой обла-
области G, содержащей точку а, найдется такая окрестность ?/е2', что
UczG. Задание полной системы окрестностей в пространстве R
дает возможность однозначно определить операцию замыкания в
этом пространстве.
Отображение / топологического пространства R на топологиче-
топологическое пространство R' называется гомеоморфным или топологиче-
топологическим, если оно 1) взаимно однозначно и 2) сохраняет операцию
замыкания: f(M)=f(M) для всякого MczzR.
Легко видеть, что если отображение / гомеоморфно, то обрат-
обратное ему отображение /~1 также гомеоморфно. Два топологических
пространства R и Rr называются гомеоморфными, если одно из
них можно гомеоморфно отобразить на другое.
Отображение g топологического пространства R в топологиче-
топологическое пространство R' называется непрерывным, если для всякого
множества MczR выполнено соотношение
Множество G называется топологической группой, если
1) G есть группа;
2) G есть топологическое пространство;
3) групповые операции в G непрерывны в топологическом про-
пространстве G.
Более полно требование это формулируется так: групповые опе-
операции в множестве G непрерывны в G как топологическом прост-
пространстве.
а) Если a, b^G, то для любой окрестности W элемента ао
найдутся такие окрестности U и V элементов а и Ь, что UVaW.
б) Если а есть некоторый элемент множества G, то для любой
окрестности V элемента а~1 найдется такая окрестность U элемен-
элемента а, что tZ-'crV.
Пусть G — топологическая группа, 2 — некоторая полная си-
система окрестностей ее единицы е и М — некоторое множество, всю-
всюду плотное в G. Тогда совокупность 2 всех множеств вида Ux, где
2Г, х^М, есть полная система окрестностей пространства G, а
*
система 2* удовлетворяет следующему условию:
для всякого множества U системы 2* найдется такое множест-
множество V той же системы, что VV~lczU.
Отображение g топологической группы G в топологическую
группу G* называется гомоморфным, если 1) g является гомоморф-
гомоморфным отображением алгебраической группы G в алгебраическую
группу G'; 2) g является непрерывным отображением топологиче-
топологического пространства G в топологическое пространство G*. Гомомор-
Гомоморфизм g называется мономорфизмом, если он имеет своим ядром
единицу.
Последовательность {gn} гомоморфных отображении топологи-
топологической группы Ж, в топологическую группу 3@2 называется пре-
предельно непрерывной, если для любой окрестности е единицы е
группы 5#2 найдутся такое число пе и такая окрестность б единицы
е группы Жи что при п>п„„ х<=6
lim gnXk = е*.
g(M)dg(M).
60
в частности, если хк-+е, то
Теорема 4.1. Пусть {gn\ — предельно непрерывная последо-
последовательность мономорфных отображений топологической группы Эв*
в топологическую группу Эё2. Пусть /? = riff-E»i) " для х ^R ^"^
П
ствиет \img~n(*?). Тогда существует подгруппа DczM, и гомоморф-
гомоморфное отображение g подгруппы В в 2ё2, обладающее свойствами:
1) lim g(gz43Ti) = *',x'e=:R', g(x) =\imgn(x), bD
2) если
61
( = е, mo lim gn(ak)g (xс) = e\
f
Доказательство. Обозначим через Т оператор, определен,
ный на R и такой, что Тх*= lim g~^x*. Оператор Т есть гомомор-
Л—*OQ
физм алгебраической группы R. Действительно,
Т <*ЭД = lim g? (x\xl) = (lim g+x^ (Urn ^<) = Tx\Tx*2, x*v x\ (= #,
в силу непрерывности групповых операций в 36^. Докажем, что
ядро гомоморфизма Т состоит из единицы. Действительно, пусть
Тх*=е. Значит, limg^1 (х*) = е. При й>/СF[е]) имеем xh=
= ?fk1 (;с*)^б[е]; при n>N(s, б[е]) имеем gn(xh)^e; значит, при
л>тах(/С, N) gn(xn)^e, т. е. x*=gn(xn)^s. Следовательно, х*=
= е", так как е — любая окрестность е.
Докажем, что при x&D= {xe5^4: x= lim g^1 (**), Ar'^i?}
lim ?„ (x) = Г (х).
n-*oo
Действительно, поскольку T~lx^R, то lim g^1 (Г (х)) = x. Следо-
л—«о
вательно, при й>/С(б[е])
Ун = gj1 (Г (дс)) х-1 = ^ (Г-1 (х) [ft (л)]-1) €= б [е],
и при rt>iV(e, б[е]) имеем gnyh^.z. Значит, при n>max(/C, iV)
Следовательно, lim gn (x) = Т (х).
Л—»оо
Докажем, что оператор Г непрерывен. Пусть ехе~х d e. При
6,[eJ] имеем gnx^.z, если
. Кроме того, при
Следовательно, при л>тах(Л/,
Знач-ит, при х^бЛеА имеем Т~1{) _
Обозначим через g гомоморфизм из D в <5#2, совпадающий с Г
на Z). Докажем, что
Пусть y^D, x^D, х~1у^.Ь. Поскольку |
8Аух-1)=вЛуПшЛ*)\-1 и g[yx-i]=g(y)[g(x)]-i=g(y)[T-4x)]-\ I
то t
g»(V) iS(У) ]-'=§п(ух-1)§п(х) [Т-\х) ]-'[?(#*-') I.
Пусть е1^'С8, ejE-'CEj1; при л>Л/[б,, 6[eJ ], бс=б[е!] имеем |
[7" ]
gn(yx-i)^ei; при n>Ni{xu е2) имеем §„
62
]-!<=е2; при jj
бс:б[е2] имеем g{yx~i)^.zz. Следовательно, при n>N[et, 6(е,)],
V,(x, e2) и 6б[е,]Пб[е2] получаем
gn(y)[g(y)Tx?
d e.
Таким образом, при N>N(e) выполняется включение
Докажем 2). Заметим, во-первых, что из условия Hm akXi=
k—>a
следует, что lim xrlxk = e. Действительно, пусть 6/8 CZ б. При п>
k—»CX
имеем anxh^6i,anXk' G= б1# Отсюда (а,
>, т. е. при kxk'^>k {b^x^Xk'Cl б; значит,
Нш ХТ^Хь ~— ?
Пусть A'i&D, ал^^ и lim afejet- = e; имеем
gn (ak) g (xm) — gn (akXi) [gn (хсУГ1 g (xi) g (xjlxm).
При k>K(8, [et], e,), t>/F[e,], e,), n>NF[et], e.) имеем
g-n(а^)ее,-; при rt>iVl(82, t) имеем ^я(х;) [g(xA ]"'ee2. Отсюда
при л>Л^=тах[Лг(б[е1]е1), Nl(e2i)], k>K(&[&A, e.i), m>M(e2)
получаем
gn (a*) Я (xm) e e1e-1e2 CZ ej^e CZ s.
Таким образом, N, К, М не зависят друг от друга и зависят лишь
от е. Значит,
lim gn{
Я—>оо
т—»<х>
и теорема доказана.
§ 2. Слабо предельная непрерывность
1. Равномерная ограниченность слабо непрерывной последова-
последовательности операторов. Пусть В, В' — банаховы пространства. Рас-
Рассмотрим множество замкнутых операторов ^~={Г„}, отображаю-
отображающих В в В'.
Будем обозначать знаком =Ф> слабую сходимость.
Множество 5Г называется слабо предельно непрерывным, если
для любой последовательности fh^B /„=Ф-0 и любой последователь-
последовательности Tnk e ST имеем TnJk =»0 в В'.
Лемма 4.1. Если 5Г слабо предельно непрерывно на рефлек-
рефлексивном пространстве В, то оно равномерно ограничено по норме.
Доказательство. Поскольку операторы Тп заданы на всем
пространстве В, то каждый из них ограничен (см. гл. 1, § 1). Допу-
63
^ljfml, имеем также
стим, что не существует такой константы с, что II 7"я || ^ с V я. Зна-
Значит, в 0~ можно выбрать такую последовательность {Тт}, что
Поскольку
Введем семейство непрерывных полуаддитивных функционалов
на В'*:
По предположению
supFm(9)==||f^|-^cx) при пг-^<х. B.1)
Если бы sup Fm (ф)< оо Уф, то по известной теореме [6]
supFm(<p) был бы ограничен (для всех гп), что противоречит B.1).
Следовательно, найдется такое <рое5'*, что
Fm' (ф0) = || 2"т'Фо || -*¦ °° При т'->-00.
Здесь Fm.—-некоторая подпоследовательность последовательности
Fт. Введем последовательность
8т'
т' = — 7Г '
ЮЛ'1
где gn
причем \\gn-1=|
при
Полученное противоречие доказывает лемму.
2. Необходимое и достаточное условие слабо предельной непре-
непрерывности последовательности операторов.
Лемма 4.2. Для слабой предельной непрерывности множества
3~ на рефлексивном банаховом пространстве В необходима и до~
В силу рефлексивности В можно положить gm. = (Т„<ф0)*. От-
Отсюда |/m'jj — ||^п'ФоГ'/г~*" О ПРИ т'-*-00- Из сильной сходимости по-
последовательности в В следует слабая сходимость к тому же эле-
элементу, поэтому
fm. =*. о при т'-*• оо.
Из слабой предельной непрерывности ?Г следует, что
(Фо, Tm.fm-)-
С другой стороны,
(Фо, ?m-fm,) =
статочна компактность &~*={Тп} на каждом элементе ф€ЕВ'*.
Если 2Г слабо предельно непрерывно, то из слабой сходимости
tfn(p} следует сильная сходимость этой последовательности.
"Доказательство. Необходимость. Пусть 2Г слабо
предельно непрерывно. Тогда в силу леммы 4.1
Значит, множество 7^ф(фе5'#) ограничено в В. Следовательно
(см. § 1 гл. 1), оно слабо компактно. Выберем из этого множества
слабо сходящуюся подпоследовательность т*П'Ц> => g. Поскольку
|| (Гп'ф)*|| = || 7л'ф||^с[|ф||, то множество {G^, ф)*} слабо компактно
в В.
Пусть {G"„»ф)*} — слабо сходящаяся подпоследовательность:
G/г"ф)* =* п- Из слабой предельной непрерывности ST следует
(ф, ТП" [Т1'Ц>У — Тп-п) -*¦ О при п" -> с»
и по критерию Коши
(Ф, Тп- [Тп»<рГ - 7> [Т'п"<р]') -» 0 при п > п" -+ оо.
р р
Перебрасывая операторы 7V, Тп- на ф, получаем
р
или, что то же самое,
при л'
, откуда
¦О при п
B.2)
По известной теореме (см. гл. 1, § 1) из T*n»y=?g и B.2) сле-
следует сильная сходимость
*~g при п" —*- оо.
Достаточность. Пусть ?Г"* компактно на каждом элементе
Ф?В''. Предположим, что %Г не является слабо предельно не-
непрерывным. Это значит, что существуют такие фбй'^и а>0, что
1(ф» Tnk,fk') | >» а, где {&'}—некоторая последовательность индек-
индексов, а {/„} — некоторая слабо сходящаяся последовательность.
Пусть {Tn^fp} —сильно сходящаяся подпоследовательность:
при
64
3 В. П. Маслов
Тогда
(Ф, Tnk.fkf') =
- g, fa) + (g,
-g\\lfk'\\ + (s,fk-). B.3);
Поскольку Tn^-*-g, то \\Tnk~q> — g||-»-0. Нормы ||Д»|| ограничены
(см. гл. 2, § 1), поэтому
ЦТ^ф — g\ || /*"!-*¦ О при k" —»-оо. •'
Имеем {g, fk"}-*-0 в силу слабой сходимости {/#>}. Из B.3) полу-
чаем
(ф. 7VM-*-0 при ?-*-оо,
что противоречит предположению.
§ 3. Теорема о сильной сходимости обратных операторов
и ее применение
Из доказанных лемм вытекает следующая
Теорема 4.2. Пусть {Тп} — последовательность замкнутых
операторов с общей областью определения DczB и областью значе-
значений R(Tn) =B', где В' рефлексивно.
Пусть последовательность {Tng} для g^D слабо сходится к
элементу Tg. Пусть, далее, Т~? и TZ1* существуют и последова-
последовательности {Т'л1} и {ГЦ1 } слабо предельно непрерывны.
Тогда оператор Т~1 существует и ограничен на своей области
определения R = T{D) и последовательность Гй1 сильно сходится к
Т-1 на R.
Доказательство. В силу теоремы 4.1 оператор Г~1 суще-
существует и {ТЦ1} слабо сходится к Т~1 на R. Поскольку последова-
последовательность {Тп1*} слабо предельно непрерывна, то из слабой сходи-
сходимости {Г^1} в силу леммы 4.2 следует сильная сходимость этой
последовательности операторов.
Пример. Рассмотрим уравнение
C.1)
== 0, с2>а>0,
где Г — выпуклая поверхность. Рассмотрим пространство L2[Q]
функций в области Q, ограниченной Г. Очевидно, что оператор L,
слабо сходится к оператору
0 дг2 2 '
определенному на функциях, обращающихся в нуль на Г. Пока-
66
ясем, что из теоремы 4.2 вытекает, что {«,} сильно сходится к ре-
решению задачи
Low=F(x, уг г), ш|г=0.
Заметим прежде всего, что обратный оператор Цг ограничен.
Действительно, умножим уравнения C.1) на ие и проинтегрируем
по х, у, г; получим
+ Jsin2 j-c*u\dxdydz=?F(x, у,
Отсюда в силу I"l«:||jf-| (И II — норма в L2(Q)) имеем
следовательно, ||
Покажем, что обратный оператор Ьё1 слабо предельно непре-
непрерывен. Пусть правая часть Fn(x, у, г) уравнения
Leuta=Fn(x, у, z), u|r=0,
слабо сходится к нулю. Надо показать, что игп слабо сходится к
нулю при е-*-0, л-^оо. Умножим уравнения C.1) на гладкую функ-
функцию ф(х, у, г), обращающуюся в нуль на Г, и проинтегрируем по
области Qr:
пг
~ 2" JJI
" <¦*> У'
Имеем
при
равномерно по п, поскольку {uen} ограничена по норме.
Из ограниченности дигп/дг в L2 следует
dz
при
Г(?cos2-yusndQ = — -i Г sin —
J е 2 J e
равномерно по п. Отсюда
lim f Ф(*.У.»){?г— Ct(X'y' Z) uJdxdydz=0.
л—*»,
е-м)
Следовательно,
lim Г
•g-^dx.dydz-O.
дг с2
Сопряженный оператору А = — —(х,у,г), заданному на
дг2 2
гладких функциях, обращающихся в нуль на Г, есть, очевидно, са-
самосопряженный оператор —-—: — (х, у, г), заданный в области
дг2 2
Q. Он не имеет нулевого собственного значения, поэтому область
значений исходного оператора А всюду плотна. Следовательно,
сходимость {unE}->-0 осуществляется на всюду плотном множестве,
поскольку из ограниченности по норме {ип,} следует слабая сходи-
сходимость им к нулю. Мы доказали, таким образом, что оператор Ь?
слабо предельно непрерывен. Из теоремы следует, что семейство
{Lg1} сильно сходится к LZ1, что и требовалось.
§ 4. Регуляризация в теории возмущений
слабо сходящихся операторов
Рассмотрим пространство W%[p*] —банахово пространство
функций g (х) (x^Rn) (p (х) непрерывна) с нормой
Р Ра
\Р Р
р (дс)
Мы будем рассматривать в L2 некоторое семейство линейных
операторов {Lt} с плотной областью определения такое, что Ц*
существует, его область определения, содержит Wp [p2] и его суже-
сужение как семейство операторов" из W" [р2] в L2 равномерно ограни-
ограничено. ]
Рассмотрим положительную функцию G{y) = Gl J такую,
•оо
что $ G(y)dy=l. Относительно G(y) сделаем дополнительные
—оо
предположения:
1) I G(y)\y\2dy<ao;
3)
4)
при
(а
при а—»- оо.
При р(л:) =const условия 3) и 4) можно опустить.
68
Рассмотрим в гильбертовом пространстве Lt[Rn] оператор Lt=
=Д+еВ. и семейство {/„} (/.eL,^»]), сильно сходящееся к /е=
^U[Rn]- Обозначим в(е) = 11/.—f]]^
Теорема 4.3. Предположим, что
1) Ls1 существует;
2) Л/ — непрерывно дифференцируемая функция;
3) операторы А'^В'еЦ1* и Щ1* как операторы, действующие
из Wp[p2] в L2[Rn~[, ограничены, т. е.
Тогда
1
ция.
— [G ( x l ) Ltfe(l)dl— A-*f{x)
F (8) + 8)"« _? \ [8 (8) +E]a J
a=B+N+n/q)-1(l/q+l/p=l), c(x) — непрерывная функ-
'fl^vi ii/i.
Доказательство. рМ
, ц%—л-1/)=(ф, ьг% - l;1 (а + еве) л-1/)
= (L?\, fz)- (Л'(Л + еВеГ Lex4, /) =
Учитывая неравенства
получим
Утверждение теоремы будет следовать из следующей леммы.
Лемма 4.3. Пусть семейство обобщенных функций {/*(*)} яв-
является семейством функционалов на Wp [p2] и
(М*) — fix), <р(х))и^*Ы*"т *),
где f(x) —дважды непрерывно дифференцируемая функция. Тогда
*) То есть life—/!l _jv ^ е, поскольку именно так определяется норма
в W-p».
69:
для любой фиксированной точки х выполняется соотношение
Доказательство. Сделаем в интеграле
замену т\—{х—|)/е2:
Представим этот интеграл в виде суммы /=/,
-1/Е06
/i(e",*)= J
(r|)|V(x —
i/ea
Имеем
/a (*», x) < max pa (x -1) X J | D"G (n) 1'
p2 (x - ле«) ^Л =
i/e»
l/E06
DNG
Аналогичное неравенство, очевидно, имеет место и для /,(8а, х).
Таким образом,
cs(x)
D.1)
70
Очевидно, что
во
J
—00
Пусть
dr] = Cea(/I+2)" D-2)
Имеем
:-|
Отсюда и из D.1), D.2) следует неравенство
| / (х) — /? (х) 1 ^ се2» + с3 (х)
Полагая a~*=2+iV+rt/<7, получаем
D.3)
что и требовалось.
Полученная теорема может быть применена к интегро-диффе-
ренциальным уравнениям с параметром, например, к таким, кото-
которые встречаются в специальной теории регуляризации некоррект-
некорректных задач. Кроме того, при Вг=0 она может быть использована
для решения некорректных задач
Tu=f,
если J1*— ограниченный оператор из Wp [р2] в L2.
С помощью леммы 4.3 можно «улучшать» слабую и сильную
сходимость решений, доказанную в этой главе. В частности, если
II/»—flk=o»-»-0 при
то
ЧАСТЬ II
ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРИСТИК В БОЛЬШОМ
И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ГЛАВА 1 ;.¦•¦¦
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
§ 1. Характеристики уравнений квантовой механики
, Свойства волнового уравнения, соответствие между волновой и
геометрической оптикой были положены в основу классификации
уравнений с частными производными, выделив среди них гипербо-
гиперболические уравнения. С этой классификацией связаны такие глубо-
глубокие понятия, как характеристики и бихарактеристики гиперболи-
гиперболического уравнения. Строящиеся формальным образом бихаракте-
бихарактеристики и характеристики, квантовых уравнений, в отличие от
гиперболических уравнений, не совпадают с траекториями и по-
поверхностями постоянного действия классической механики. Тем не
менее в квантовой физике именно решения уравнений Гамильтона
считают бихарактеристиками соответствующего уравнения Шрэ-
дингера.
Анализ специфики постановки задач квантовой механики по-
позволяет обобщить классическое понятие характеристики и с еди-
единых позиций рассматривать волновые уравнения и уравнения кван-
квантовой механики.
1. Распределение разрывов решений некоторых задач.
1.1. Задача о распространении разрывов решений гиперболиче-
гиперболических систем непосредственно приводит к определению характери-
характеристик. Пусть и(х, t) —обобщенное разрывное решение, a tp(x, t) —
такая функция, что и(х, t)—<р(*, t) —достаточно гладкая. Тогда
<р{х, t) и будет характеризовать поведение разрыва.
При достаточно малом t задача построения функций <р(х, t)
может быть сведена к более простой задаче решения уравнения
характеристик.
Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение
dzu/dt2=c2(x7 t)Au,
, x=(xt, ..., Хп),
A.1)
72
где и{х, t) удовлетворяет разрывным*) начальным условиям
х), щ(х,0) = 0, (l.la)
f+(x)=f(x) при f(x)>0; /+(х)=0 при /(х)<0. Функции Ф(*),
f(x), c(x, t) предполагаются достаточно гладкими; кроме того,
q>(x) — финитная функция с компактным носителем.
Характеристическое уравнение для A.1) имеет вид
Положим S(x, O)=f(x). Чтобы выделить одну из ветвей решения
характеристического уравнения, зададим
dSJdt],—=*(—l)vc(*, 0) |VS,(x, t) | ,_.= (— \)-c{x, 0) |grad/(*) |.
Двум ветвям решения характеристического уравнения
dSJdt=(-iyH(x, V5V, /), v=l, 2, ;
H(x, p, t)=c(x, t)\p\, i
P=(Pi, ¦¦¦, pn),
соответствуют решения pv=Pv(t, x0), xv=X"(t, xa) (v==l, 2) двух,
систем бихарактеристических уравнений:
dt
удовлетворяющие начальным условиям
= l,...,n, A.2)
v,p\t)), v = l,2,
При достаточно малом t^t0 кривые Xv(t, x0) при всевозможных
xo^Q и при фиксированном v образуют л-параметрическое семей-
семейство, причем
r0/
поскольку 7v@, д:0) = 1. Поэтому неявное уравнение
имеет не более одного решения xo=xl(x, t) при всех *г^0.
Нетрудно видеть, что решение исходной задачи может быть
представлено в виде полусуммы двух решений и(х, t) =
*) Здесь рассматривается слабый разрыв, т. е. разрыв производной.
73
= — [ut(x, t) + uz(x, t)] волнового уравнения, удовлетворяющих
начальным условиям
at
, 0) =
at
A.3)
1, 6^0,
о, ко.
Каждое из решений щ, иг, как мы сейчас видим, отвечает одной из
ветвей S4(x, t) решения характеристического уравнения.
При высказанных предположениях имеет место следующее
Предложение [19]. Решение Uy(x, t) (v = l, 2) задачи
A.1), A.3) может быть представлено в виде
где F'iXy t) — непрерывно дифференцируемая функция.
Следствие. Поскольку решение задачи A.1), A.1а) пред-
представило в виде
то решение и(х, t) непрерывно дифференцируемо вне суммы двух
областей Q't=X''(t, Q) (v=l, 2). Действительно, если x^eqZ, to
Хо §ёй; следовательно, ф(лго) =0.
1.2. Рассмотрим теперь смешанную задачу. Пусть и(х, у, t)
удовлетворяет линейному уравнению четвертого порядка
краевым условиям
и разрывным начальным условиям
где ф — финитная функция. Если бы коэффициент а(х, у, t) не за-
зависел от у, т. е. а(х, у, t)=c(x, t), то можно было бы применить
метод разделения переменных. В этом случае замена и(х, у, 0 =
= v{x, t)smy приводила бы к уравнению
74
характеристики которого удовлетворяют уравнению
Но когда а(х, у, t) зависит от у, такой метод, разумеется, неприме-
неприменим. Тем не менее и в этом случае, как мы увидим в дальнейшем,
распространение разрыва решения и(х, у, t) определяется решени-
решением уравнения A.4), которое мы будем считать характеристиче-
характеристическим*). В гл. 4 будет приведена общая формула, определяющая
распространение разрыва решений широкого класса задач, с по-
помощью которой решение исходной задачи может быть представле-
представлено в виде
и = — («+ (х, У, t) + "_ (х, у, 0),
и± = 2Н± (х, Р (xf (х, t)), t) Ф (*f {х, t))
** t)
дх
¦/•
sin ух.
где
Н±{х, р, 0 = ±
¦^±(^0, t), P±{xa, t) —решение системы
хс = дН±/дрь рс = —
удовлетворяющее начальным условиям
= 1, ... r n,
хТ(х, t) —решение уравнений Х±(х0, t)=x, F(х, у, t) —непрерыв-
—непрерывно дифференцируемая функция.
1.3. Рассмотрим теперь другой пример, в котором разрыв рас-
распространяется не по характеристикам, понимаемым в обычном
смысле.
Пусть и (х, у, z, t) — решение задачи
dt
дх
дг*ду '
*) Напомним, что обычно уравнение характеристик определяется лишь чле-
членом, содержащим четвертую производную.
75
I
<р(лг)—финитная бесконечно дифференцируемая функция. В этом |
случае, как мы увидим ниже, решение может быть представлено в
виде
хexp
где F (х, у, z, t)—непрерывная функция.
Здесь разрыв распространяется вдоль поверхностей, определяе-
определяемых уравнением
- ^- + Y^{xt - -f - -j-)} + F(x, y, z, 0,
которое естественно считать в данном случае характеристическим.
1.4. Аналогичную задачу мы поставим для более общих уравне-
уравнений, несколько видоизменив условия на разность и(х, t)—ф(*, t).
Потребуем, чтобы некоторое число производных от этой разности
принадлежало банахову пространству В (не обязательно простран-
пространству С).
Рассмотрим задачу
и (х, у, 0) = ф (х) 8(у — г/о), tit (х, У, 0) = 0,
A.5а)
где коэффициенты уравнения достаточно гладкие (а*(х, t)+ba(x,
/)=^=0), а функция <р(х) финитна и имеет компактный носитель Q.
Требуется найти функции <р(х, у, t), для которых разность и(х,
у, t)—ф(*, у, t) принадлежит L2[fC]. ^ласе функций <р(х, у, t) мо-
может быть построен с помощью решений уравнения
которое мы и назовем характеристическим. (Ниже будет дано об-
общее определение характеристик.)
Соответственно имеем систему Гамильтона
Р =
dS
dt
= [Н-рНр].
Решения x{t)t p(t), S(t) при достаточно малых ts?Zta и при началь-
начальных условиях
*<0)-хо, р@)-0, S@)-0
образуют однопараметрическое семейство. Обозначим, как и
прежде,
При достаточно малых
x{t)=X{t,x0),
p(t)=P(t,x0),
S(t)=S(t,x0).
имеем
решение уравнения X(t, х„)=х0 единственно: хо=хо(х, t). Имеет
место следующее
Предложение. Решение и(х, у, t) задачи A.5), A.5а) при
ta может быть представлено в виде
u{x,y,t).
ф
I cos-
2S (*, х0)
VS (/, *о) Y (t, x0)
x=xo(x,t),
\+F\x,y,t\
где F(x, у, t) <=L2[R3] при любом фиксированном ^0
Следствие. Сужение решения задачи A.5), A.5а) на область
R2\Qt, где Q,=X(t, Q) X (— оо, оо), принадлежит L3[R2\Q,].
1.5. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механи-
механики — уравнение Шредингера — имеет вид
хп);
A.6)
здесь h, (г — константы (ft — постоянная Планка, \i — масса ча-
частицы) .
Предположим, что ty(x, t) удовлетворяет условию
Ъ(х,0)=д(х—хо). A.7)
Если v(x, t) ограничена и v(x, t)eC", то решение ty(x, t) в лю-
любой момент ?>0 является бесконечно дифференцируемой функцией
в каждой точке х. Однако как само решение ty(x, t) при фиксиро-
фиксированном t, так и его производные по х не принадлежат LJR"]. Сле-
Следовательно, задача о нахождении функции фо(*, t), для которой
разность г|?(лг, t)—фоО*. t) дифференцируема в L2[Rft], нетриви-
нетривиальна.
Мы наложим еще более ограничительные условия на разность
Ф(*. t)—фо(*1 0- Забегая вперед, заметим, что нам будет важна за-
зависимость решения уравнения Шредингера от параметра Л, поэто-
поэтому мы будем считать г|? функцией не только от х и t, но и от Л: i)j=
=^>(хг t, ft). Предположим, что решение г|? при каждом фиксирован-
фиксированном t принадлежит пространству Z.2[Rn+1l функций F(x, h) с нормой
Y
h)\*dx
A.8)
77
Функция
, Л) =
A.9)
финитна, если <p<=c;T(Rn). Однако /^2[]
Решение уравнения A.6), удовлетворяющее начальному усло-
условию
оК*, 0, h)=F(x, h), A.10)
при f>0 также не будет дифференцируемо в ?2[Rn+1]. Поэтому
можно поставить задачу о построении функции -ф0 (х, t, h), для ко-
которой разность ip—ipo дифференцируема в La[R"+1]. Уравнением, по-
позволяющим получить функцию -фо(х, t, Л), является уравнением Га-
Гамильтона — Якоби
Его характеристиками служат решения системы Гамильтона
^ р, р ?,^ = е(х,ъ. A.„)
Поставим начальные условия
*@)=*0, p@)-V/(*e), S@) =/(*„).
Обозначим, как и ранее,
x(t)=X{t,x0),
p(t)=P(t,xa), S(ty=S(t,x0).
При ts?Zt0 решение уравнения X(t, x0) —x для Jcesupp<p=Q един-
единственно и якобиан
с(t,x0) I
отличен от нуля.
Предложение. Решение задачи A.6), A.9), A.10) может
быть представлено в виде
Лhy=z
)- AЛ2)
где Ф(х, t, К), -Ф{х, t, h), Эф {х' *' h) принадлежат L2[Rn+1].
h dxt
Заметим, что оператор умножения на 1/Л в L2[R"+1] неограни-
неограничен и в некотором смысле «равноправен» с оператором д/дх.
Следствие. Решение задачи A.6), A.10) вне области X(t, Q)
дифференцируемо в L2[Rn+i\X{t, Q) X [0, 1 ] ].
Рассмотрим теперь пространство 3r[Rn+1] непрерывных функ-
функций от h (Ог^Л<;1) с интегрируемым квадратом полис нормой
= шах
78
Оказывается, что функция
Ф(х, t, h), ]-d){x,t,h),
h
, х, К) в формуле A.12) такова, что
<-*> (i=l, ..., П) принадлежат
2. Обобщенная задача о «распространении разрыва» для урав-
уравнения с операторным коэффициентом. Пусть функция u(t) со зна-
значениями в гильбертовом пространстве Н удовлетворяет эволюцион-
эволюционному уравнению
A.13)
где А — неограниченный оператор в гильбертовом пространстве, и
D (Ая), D (A*N) плотны в Н (N — любое целое число).
Предположим, что
Задача, аналогичная проблеме распространения разрыва решения
гиперболического уравнения, заключается в том, чтобы построить
такой элемент uN(t), что *
u{t)-uN(t)e=D{A").
A.14)
Обобщенным решением уравнения A.13) будем называть не-
непрерывный функционал на D(A*N), удовлетворяющий условию
(w(t), g) = (u(t), A*Ng), A-15)
где g€=D{A*N), a u(t) удовлетворяет A.13).
Пусть w(t) —обобщенное решение уравнения A.13), определен-
определенное как функционал naD(A*N). Задача о выделении его «сингуляр-
«сингулярной части» заключается в следующем. Требуется построить такую
обобщенную функцию wo(t), чтобы разность w(t)—wo(i) принадле-
принадлежала Н.
Очевидно, что, не уменьшая общности, мы можем ставить зада-
задачу A.14), A.15) и рассматривать лишь классические решения
b(t)^D(A) уравнения A.13). Если—tA—самосопряженный опера-
оператор, Ек — его спектральная функция, то очевидно, что
и (t) = е*и @) = J e™ dEku @) =
J
Последний интеграл при любом конечном Я„ принадлежит D(AN),
Т. е.: ¦ : . .
и(t) —
{An).
i
79
Отсюда следует, что эта задача связана с задачей об асимптотике
Е% при Я-»-оо.
3. Классификация уравнений второго порядка. Общие свойства
решений уравнений A.1), A.4), A.6) могут служить основой для
классификации широкого класса уравнений с операторными коэф-
коэффициентами в гильбертовом пространстве. Мы рассмотрим наибо-
наиболее простой случай, охватывающий, однако, все уравнения кванто-
квантовой механики.
Рассмотрим пространство вектор-функций ^(jc, t) (x—(xi,...
..., хп), -ф= (tpj(jc, t), ..., t|).(^, t))) со значениями в гильбертовом
пространстве И.
Пусть Вг(х, t) (t= 1, ..., я), R(x, t) —ограниченные бесконеч-
бесконечно дифференцируемые матрицы порядка s, зависящие от парамет-
параметров х, t, ak(x, t) (k=l, 2, 3), b(x, 0 = (M*. t) bn(x, t)) —за-
—заданные комплексные бесконечно дифференцируемые функции от х
и t (b (x, t) — вектор-функция) со значениями на действительной
прямой, Л—самосопряженный неограниченный оператор в гиль-
гильбертовом пространстве Н, не зависящий от х и t. Векторное s-мер-
ное пространство мы обозначим через R\
Рассмотрим уравнение
L (х,
~
(x, t)± + A*a3 (х, t)
,0 = 0. (i.i6)
Если корни характеристического многочлена
После подстановки т|) = exp {iAS(х, t)}, приравняв нулю коэффици-
коэффициент при Аг, получим уравнение, которое назовем характеристиче-
характеристическим:
1Щ)% 'O-f: - М*. О + ivs + Ъ[х, t)f = о. A.17)
A.18)
действительны при любых ри ..., рп, х, то будем говорить, что урав-
уравнение A.16) волнового типа; если чисто мнимы — туннельного типа;
если в некоторой области действительны, а в оставшейся чисто мни-
мнимы— смешанного типа. Остальные типы уравнений мы рассматри-
рассматривать не будем.
4. Преобразование типа Фурье для абстрактных функций. Вве-
Введем понятие импульсного представления (р-представления). Если
оператор А неотрицательно определен, переход к импульсному пред-
представлению совершается при помощи унитарного оператора Фа'
J
A.19)
80
Обратно,
(х)
Если оператор А неотрицательно определен, то
">**1p (р) dp.
.20)
.21)
Пусть оператор А не является знакоопределенным. Разложим
пространство Н на сумму Н=Н++Н~ таких подпространств, что су-
сужение оператора А на Н+ есть неотрицательно определенный опера-
оператор, который мы обозначим через Л+, а сужение оператора —А на
Н~ есть неотрицательно определенный оператор; обозначим его че-
через А~.
Пусть г|)(р) —функция со значениями в Н. Положим
Тогда по определению
?(Р)ЕЯ+
= ФРА^+ (Р) + Фа-V (p). A.22)
Аналогично определяется оператор Фа.
Введем теперь аналогичный оператор в пространстве функций от
х со значениями в банаховом пространстве В.
Рассмотрим оператор А с всюду плотной областью определения
D{A). Пусть A + еЛ)-1 и Л~* существуют и определены всюду в В,
причем || (И-вЛ)-1!!^! при 8>0 и в чистомнимом. Рассмотрим опе-
сю
ратор Т ^ ф= е~Сп'*А Г eiAx' dx, заданный на D (Л). Этот опе-
0
ратор обладает следующими свойствами (см. гл. 6, § 1):
а) Г=А на Я (А);
6J Г=Г,
где Т — комплексно сопряженный оператор,
У я j
о
Таким образом, оператор Т существует как оператор в действитель-
действительном банаховом пространстве. Обозначив Т—~]/А~, определим преоб-
преобразование типа Фурье формулами A.19), A.20) для функций со
значениями в В.
Можно также рассматривать оператор Л, для которого —Л об-
обладает перечисленными выше свойствами. В этом случае в качест-
качестве преобразования типа Фурье введем формулу A.21).
81
5. Инвариантность типа уравнения относительно перехода к
р-представлению. Тип уравнения A.16) инвариантен относительно
перехода к р-представлению с помощью преобразования фД. В са-
самом деле, после подстановки eiASip-t} в уравнение A.16), записанное
в р-представлении (т. е. в уравнение для функции ^(р, t)), мы вновь
получим (приравняв коэффициент при Аг нулю) уравнение Гамиль-
Гамильтона — Якоби
{p,), p
6. Уравнения волновой механики и оптики. Приведем таблицу
специальных значений коэффициентов уравнения A.16), при кото-
которых получаются уравнения волновой механики и оптики. Заметим,
что большая часть конкретных применений развиваемой далее тео-
теории относится именно к этим уравнениям. Нетрудно проверить, что
все они принадлежат волновому типу в смысле проведенной перед
этим классификации.
Здесь Е=Е(х, t) —электрическое поле, Ф0 = Ф0(лг, t) —скаляр-
—скалярный потенциал, А»—А»(х, t) (ц,= 1, 2, 3) — компоненты векторного
потенциала, & = е(х, t), [i = \i(x, t) —диэлектрическая и магнитная
проницаемость среды, с — скорость света в_пустоте, т — масса ча-
частицы, е — заряд, h — постоянная Планка, ст2 — матрица Паули вто-
второго порядка:
О
= (а21, ст23, ст24),
О —
П 01
= [o -ij
а, а — матрицы Дирака четвертого порядка [53]:
«== («ь
. а = (°ъ °а> а8),
J L о a2k
Если 01 = 02—0, 6 = 0, 2Jft=0, R = 0, то мы имеем уравнение Гельм-
гольца. При А = (о имеем уравнение туннельного типа с чисто мни-
мнимыми характеристиками: если сделать замену S-»-f\S', то мы полу-
получим действительные решения для S'. Характеристическую систему
для уравнения, определяющего S', будем называть бихарактеристи-
ческой для данного туннельного уравнения.
Уравнение A.4) получается из A.16), если положить
а2 (х, t)
а„ =
ь* (х, t)
а остальные коэффициенты уравнения A.16) принять равными
нулю.
82
Начальные данные для уравнений 2 и 3 табл. 1 (уравнения
Даксвелла и Дирака) не являются произвольными; они удовлетво-
удовлетворяют определенным соотношениям, обладающим свойством инва-
инвариантности, т. е. если они выполнены в начальный момент, то реше-
решение уравнений будет удовлетворять им в любой момент времени.
Пусть
?(*,0) = ?„(*), H(x,G) = H0(x),
-|L {х> 0) = ?0 {х)з М. {х> о) = Н'о (х)
— начальные условия для уравнения Максвелла. Указанные соот-
соотношения имеют вид
dive?o = 0,
A.23a)
?;
— ?; = rotF0, JL])'0 = — rot?0.
С "С
Пусть решение ^(х, t) уравнений Дирака удовлетворяет условиям
ф (х, 0) = г|з0 (х), -^- (х, 0) = гро (х). A.236)
Соотношения, наложенные на эти условия, имеют вид
-j- ib + -^-Ф(х, 0) ф0 = — ih(a,
A.24)
Поскольку соотношения (L23) и X 1.24) инвариантны и выполняют-
выполняются в любой момент времени t, то можно записать уравнения Дира-
Дирака и Максвелла, как это принято, в виде системы уравнений перво-
первого порядка. При этом условия A.23а) можно наложить непосред-
непосредственно на решения уравнения A.236).
Заметим, что скалярное волновое уравнение и уравнение Макс-
Максвелла вообще не зависят от оператора А. Тем не менее начальное
условие может зависеть от оператора А. Действительно, в первом
примере A.1) начальное условие A.2) мажет быть представлено
в виде
и {х, 0) = Ф (х) Г (х) = Ф (дг) [6 + / (*)ls=o = Ф (*) \еПХ) ^Г1&-.
Таким образом, здесь и(х, 0)=e-iA/(x)g, где A = i —, g==%+. Кро-
Кроме того, может быть поставлено «осциллирующее» начальное
условие
и(х, О)=Ф(лг)е1"-"*'
(т. е. g=\,-A = <a).
83
al
и.
с
1сч la, a
*. ae*. So
S IbJ. 2 |?_
: -e " ^
•I-
I 8
I О
i
3»
s
й-°
№
us
Во всех рассмотренных примерах начальные условия зависят от
А специальным образом. Мы увидим в следующем параграфе, что
специальный вид начальных условий не-случаен. Он продиктован
самой физической постановкой задачи.
§ 2. Постановка задачи Коши для уравнений квантовой
механики
Квантовая механика, как известно, основывается на целом ряде
физических принципов. Не будем касаться тех, которые постулиру-
постулируют связь математического аппарата с экспериментом. Не будем ка-
касаться также и правил, служащих для написания уравнений.
Весь известный математический аппарат квантовой механики
может бысть построен на основе нескольких эволюционных (неста-
(нестационарных) уравнений в частных производных, приведенных в
табл. 1. Поэтому, чтобы аксиоматизировать математическую тео-
теорию квантовой механики, надо еще знать, каким условиям долж-
должны удовлетворять начальные значения решений этих уравнений.
Итак, мы сформулируем лишь те постулаты квантовой механики,
которые могут быть использованы для определения вида началь-
начальных условий. Такими постулатами являются принцип тождествен-
тождественности частиц и принцип соответствия квантовой и классической ме-
механики. Им удовлетворяют далеко не все решения уравнений, отве-
отвечающие произвольным начальным данным, принадлежащим L2.
Сформулируем аксиому, которой может быть заменен принцип
тождественности.
Пусть уравнение Шредингера зависит от двух троек переменных
(х1г уи Zi) и (хг, у*, г2) так, что при перестановке индексов уравне-
уравнение не изменяется. Тогда начальное условие при перестановке ин-
индексов может изменить только знак.
Нетрудно доказать, что решение уравнения будет обладать этим
свойством не только в начальный момент, но и в любой момент вре-
времени t. Это и означает выполнение принципа тождественности в
общепринятой формулировке [20, 48].
Другое ограничение, сказывающееся на начальных условиях,
формулируется следующим образом*). «Мы всегда будем требо-
требовать, чтобы при соответствующем предельном переходе результаты
любых вычислений совпадали с классическими выражениями. Это
требование выражает принцип соответствия Бора...» [48].
Поясним, что означает термин «предельный переход». Пусть /0,
'о. Vo = lo/to, Vo — постоянные: длина, время, скорость и потенциал,
характерные для данной квантовой системы. Предельный переход
квантовомеханических величин в классические осуществляется при
таком изменении этих параметров, когда безразмерная константа
v= стремится к нулю. Это означает, что так называемая
де-бройлевская длина волны h/(mv0) мала сравнительно с харак-
•) См. Ш н ф ф Л. Квантовая механика.— М.: ИЛ.
84
85
терной длиной системы. Остальные безразмерные параметры
T| , 1Л
eV0
vo mv
(с — скорость света, е — заряд, Vo — характерный потенциал) не за-
зависят от Л и /0. А поскольку h постоянно, то v может стремиться к
нулю лишь за счет увеличения 10 (или при одновременном стремле-
стремлении VQ и г>о к оо, если eV0~ vim). Однако для удобства обычно по-
полагают Л-»-0 вместо v-»-0 или 1„->-°°.
Таким образом, принцип соответствия может быть применен
лишь к системам, которые содержат малый параметр Л. Этим он
отличается от принципа тождественности.
Теперь разберемся, о какой задаче классической механики идет
речь. Всякой конкретной квантовомеханической задаче, содержа-
содержащей параметр h и имеющей физический смысл, соответствует в
классической механике вполне определенная задача. Эта задача
может быть поставлена как обычная вариационная: ищутся экстре-
экстремали функционала с закрепленным правым концом и левым кон-
концом, трансверсальным к некоторому ^-мерному (k^Zn) многообра-
многообразию (в частности, при & = 0 левый конец закреплен).
Рассмотрим, например, уравнение Шредингера. Уравнениями
Эйлера соответствующей ему классической вариационной задачи
будут уравнения Ньютона
____dv_ .__
дх{ ' l~ '•••'"•
Рассмотрим Аг-мерное многообразие хо=хо(а) (а= (а4, ..., а*), й^
^п), вложенное в R". Обобщение условия трансверсальности мо-
может быть представлено в виде
.. .,. д.ху.^дхо (а) . дх0 (а). дх\ (ос) . . _ . .
да.
да,-
да.
да,
B.Г)
р„ (а) = ц±0 (а).
Удобнее рассматривать в фазовом пространстве q = x, p = \ix «-мер-
«-мерное неособое дифференцируемое многообразие q — q(a), p = iiq(a)
(а= (а4, ..., а„)). Условие B.1) можно переписать в виде
О, *,/<«, B.2)
да, да
i
да, dat
т. е. в любой локальной системе координат многообразия скобки
Лагранжа равны нулю. Такое многообразие называется лагранже-
вым.
Квантовый переход системы из состояния tyt(x) при ?=0 в со-
состояние tyi(x) при t — x описывается формулой
) = $ Фа W К (х, I х) ^ (I) dx dl,
B.3)
где К(х, 1, х) —фундаментальное решение (функции Грина) урав-
уравнения Шредингера A.6). Вероятность этого перехода равна
^Решение задачи Коши для A.6) получается из формулы B.3),
если положить ¦$2(х)=Ь(х—х'), что соответствует задаче с закреп-
закрепленным правым концом.
Само фундаментальное решение можно получить из B.3), если
положить ^I(х)=8(х—%'), 1$>2{х)=-8(х—х'). Следовательно, фунда-
фундаментальное решение описывает квантовый переход частицы из точ-
точки х=%' за время х в точку х=х', что соответствует вариационной
задаче с закрепленными концами.
Начальное лагранжево многообразие в этом случае имеет вид
х—%! и представляет собой поверхность, расположенную парал-
параллельно координатной плоскости х=0.
Начальному условию вида
¦ф(*, 0)=exp{ipox/h}
(po=pOi, ..., Pan — константы) соответствует лагранжево многобра-
зие р = ро- Условию, не зависящему от h, соответствует многообра-
многообразие р = 0.
С помощью принципа соответствия Бор получил квантование
классической механики, которое, как оказалось, дает лишь первый
член асимптотики при h—*-0 решения истинного квантового уравне-
уравнения Шредингера A.6). Квантование Шредингера заключалось в
том, что он поставил в соответствие классическому импульсу опера-
оператор —ihd/dx, энергии Е — оператор ihd/dt, сопоставив тем самым
уравнению Гамильтона — Якоби линейное уравнение в частных
производных второго порядка. Квантование, таким образом, тесно
связано с принципом соответствия; в приведенной выше формули-
формулировке Шиффа это есть понятие, обратное квантованию. Квантова-
Квантование ставит в соответствие классическому объекту квантовый!.объ-
квантовый!.объект, зависящий от h, а принцип соответствия требует, чтобы ре-
результаты вычисления имели классический предел при h—>-0. Есте-
Естественно, что принцип соответствия был призван «помогать кванто-
квантовать».
Оказывается, однако, что для произвольного решения уравне-
уравнения Шредингера принцип соответствия, вообще говоря, не выпол-
выполняется. Например, пусть ty(x, t) —решение уравнения Шредингера,
удовлетворяющее начальному условию г|з(л, 0) = <р (л:) eixlh*\ тогда
среднее значение импульса, равное (см. [48])
86
будет стремиться к оо при h-*~Q. Значит, чтобы удовлетворить прин-
принципу соответствия, нужно прежде всего проквантовать начальное
условие для уравнений Ньютона — условие трансверсальности, т. е.
каждому лагранжеву многообразию поставить в еоответствие век-
векторную функцию от х и h — начальное условие для решения урав-
87
нения Шредингера (иначе говоря, проквантовать скобки Лагранжа
B.2)). И лишь после этого доказать принцип соответствия.
Итак, задача заключается в том, чтобы найти класс К функций
от х и h, удовлетворяющий следующим условиям:
1) Асимптотичность. Две функции от х и h из К считаются экви-
эквивалентными, если их разность стремится к нулю при ft-»-0 в средней
(т. е. по норме в L2[Rn]).
2) Выполнение принципа соответствия. Если в начальный мот
мент решение принадлежит классу К, то в любой момент выполня-
выполняется принцип соответствия, т. е. все квантовомеханические величи-
величины, имеющие физический смысл, переходят при /г->-0 в классиче-
классические.
3) Инвариантность. Если в начальный момент решение ty(x, 0)
принадлежит классу /С, то и в любой фиксированный момент оно
принадлежит этому же классу.
4) Полнота. Каждому многообразию лг0 = лг0(а), х0=х0(а), удо-
удовлетворяющему условию B.2), соответствует функция <pos/(. Кван-
Квантовомеханические величины, отвечающие решению ty(x, t) уравне-
уравнения A.6) с условием т|з(лг, 0) =<р0, сходятся при h-*-Q к классическим
величинам, отвечающим задаче
х'= —dvjdx1, xt @) = xoi (a), xt (а) = poi (а).
B.4)
Таким образом, для наших целей достаточно провести кванто-
квантование скобок Лагранжа в квазиклассическом приближении — при-
приближении старой квантовой механики Бора. Забегая вперед, заме-
заметим, что условия квантования скобок Лагранжа будут совпадать с
условиями Бора — Зоммерфельда старой квантовой теории в слу-
случае, когда лагранжево многообразие является инвариантным отно-
относительно динамической системы B.4).
Свойство асимптотичности для класса К мы заменим более
сильным условием, учитывающим ..«равноправность» оператора
умножения на 1/Л и оператора дифференцирования по х. Рассмот-
Рассмотрим в L2[Rn+1] область D — пересечение областей определения опе-
оператора умножения на 1/Л и оператора дифференцирования по х.
Область D незамкнута в норме L2[R"+1]. Отождествим элементы из
¦^2[Rn+1], разность между которыми принадлежит D. Полученное
пространство (фактор-пространство*)) обозначим через S = LJD.
Требование асимптотичности будет выполнено, если класс К при-
принадлежит 5. В дальнейшем мы будем записывать равенство в про-
пространстве S в виде fi=§>fz, т. е. с точностью до элемента, принадле-
принадлежащего D. Так, Vp {х, t) =g= \|з0 (х, f).
Задача о построении инвариантного класса функций может
быть поставлена и для задачи о разрывах скалярного волнового
*) Пространство L2[Rn] есть группа по сложению, D — его подгруппа. Пусть
L2/D — класс смежности в L2 по подгруппе D. Совокупность классов смежности
и является фундаментальным множеством элементов линейного пространства 5.
Фактор-простраиство L2/D незамкнуто.
88
уравнения. Если рассматривать решение задачи A.1) при t>tQ, то
якобиан Y(t, х0) может обратиться в нуль в некоторой точке t = f.
j-[pH л = 2 для аналитических коэффициентов уравнения A.1) в
простейшем случае (простая каустика) было исследовано поведе-
поведение разрыва в точке t=t'. Оказалось, что разрыв решения описыва-
описывается весьма сложным интегралом.
Вопрос заключается в том, чтобы построить инвариантный класс
разрывов К, т. е. такой класс, что если ^(х, 0)е/С, то и \!p(x, t)<=K
в любой момент времени t. Таким образом, здесь идет речь, в част-
частности, о решении задачи A.1) в целом для любого t.
Рассмотрим пространство L2[Rn, Я] функций от xt, .. ., xn^Rn
со значениями в гильбертовом пространстве. Пусть А —самосопря-
—самосопряженный оператор в Я, а область D(AN) плотна в Я при любом N.
Будем рассматривать в L2[Rn, Я] обобщенные функции, т. е. функ-
функции вида ANf{x), где /eL2[Rn, Я]. Не ограничивая общности, мож-
можно считать f(xHD(A). Поэтому, оставаясь в пространстве L2[Rn,
Я1, мы выделим класс функций, не принадлежащий пересечению
областей определения оператора Ли операторов д/dxt (i— I, ..., л);
в дальнейшем все результаты будем формулировать для функции
из пространства L2[Rn, Я]. Если на эти функции подействовать опе-
оператором А", или (d/dxt)N, то мы придем к обобщенным функциям.
Все теоремы гл. 2 переносятся очевидным образом на обобщен-
обобщенные функции, поэтому в части примеров, служащих для иллюстра-
иллюстрации теорем, мы будем использовать именно обобщенные функции.
Для выделения «сингулярной части» функции f^D рассмотрим
фактор-пространство 5 = L2[Rn, H]/D, т. е. отождествим между со-
собой элементы пространства L2[Rn, Я], разность между которыми
принадлежит
D = D(d/dx)nD(A).
Для общего уравнения A.16) задача также заключается в том,
чтобы построить класс /CcrS, инвариантный относительно уравне-.
ния A.16), т. е. такой, что если if>(x, 0)<=/<C, то и ty(x, t)<=K для лю-
любого t.
§ 3. Общее определение характеристик для уравнения
с операторными коэффициентами
Пусть Ж (В)—банахово пространство функций от х=(хи ...
... , хп) со значениями в абстрактном банаховом пространстве В
(например, С" (В) или W%(B)).
Рассмотрим пространство Ж {В) с нормой
Обозначим через S фактор-пространство
Ж (В)/Ж (В).
89
I
Пусть L: Ж^В^^-Ж^Вг) —линейный ограниченный оператор.
Предположим, что L отображает 21ё'\ (Bt) в 3@/(В2). Пусть S4 =
=^1(Б1)/^1' (Bt), 8г=Жг{ВгIЖ\ (В2). Оператор L порождает ли-
линейный оператор Ls: Si—*-S2) называемый характеристическим опе-
оператором. Пусть для некоторой функции %{xt) уравнение
Lsx(<p(*))=0 разрешимо в том и только том случае, когда <реС
удовлетворяет некоторому уравнению типа Гамильтона — Якоби.
Будем говорить, что оператор L имеет характеристики, а уравне-
уравнение первого порядка для определения функции ф (х) назовем харак-
характеристическим. Оператор L может иметь, вообще говоря, не одно
характеристическое уравнение.
Когда оператор L: Ch-*-C — гиперболически оператор Аг-го по-
порядка, определение характеристик совпадает с общепринятым.
Пусть 1А— некоторый неограниченный оператор в В, порож-
порождающий группу.
Если функция %(xi) имеет вид
где g^B, то уравнение будем называть Л-характеристическим и
будем говорить, что оператор L имеет Л-характеристики. Если при
этом характеристическое уравнение имеет один и тот же вид для
всех неограниченных операторов LA, порождающих группу, то бу-
будем называть его сильно характеристическим и говорить, что опе-
оператор L имеет сильные характеристики. Легко видеть, что класси-
классические характеристические уравнения для гиперболических систем
являются сильно характеристическими, если считать, что решение
уравнения есть функция со значениями в некотором банаховом про-
пространстве В (например, зависит от некоторого параметра).
Для волнового уравнения
2/ \ А
= с2 (х) Аи
уравнение
dS
dt
= с2 (х) (VSJ
C.1)
является сильно характеристическим, а уравнение
= 1 C.2)
является d/df-характеристическим. Если начальное условие для
уравнения C.1) удовлетворяет уравнению C.2), то сильные харак-
характеристики в данном случае будут совпадать с д/с^-характеристи-
ками.
Перейдем теперь к конструктивному определению Л-характери-
Л-характеристик.
Пусть 2 (х, р, t, h) — самосопряженный (неограниченный, вооб-
вообще говоря) оператор в гильбертовом пространстве Я, зависящий от
параметров х, р, h, t (х= (хи ..., хп), р= (р„ ..., рп), 0==^ |*| <оо,
OsS[|p|<oo, 6>ss;fss;?Oi Ог^Л) и бесконечно дифференцируемый по
90
всем этим параметрам. Пусть Х(х, р, t) —изолированная равномер-
равномерно по всем параметрам точка спектра оператора 9? (х, р, t, 0).
Пусть L2[Rn+1, H]—пространство функций от х и h со значе-
значениями в Я, с нормой
О
IIFIU-Ч
Рассмотрим в L2[Rn+\ H] оператор S'ix, p, t, h), где р3= —ihd/dxjt
t — параметр, причем в операторе вначале действует р5, затем х,;
иначе говоря,
1 ж
S (х, р, t, h) F (х, h) = —L_ f dper<P*<b& (ДГ) Pt tt h) f eW*F (g, Щ d\.
Рассмотрим в пространстве непрерывных функций от t со значения-
значениями в L2[Rn+1, Я] оператор
at
C.3)
Для этого оператора одно из ^-характеристических уравнений
имеет вид
= 0. . •¦ C.4)
dt
\ ' дх
Оно отвечает собственному значению к(х, р, t). Вместо 1/Л в этом
примере можно взять резольвенту самосопряженного оператора А,
действующего в пространстве L2 функций от т. При этом норма
элемента F(x, T)<=L2[Rn+1, Я] должна иметь вид
= ]/ J dx J \F(x,r)\*dx.
—эо —ос
Тогда уравнение C.4) будет iA-характеристическим для операто-
оператора C.3), где h = (Л—z)-1 (гер(Л)) (р(-А)—резольвентное множе-
множество оператора А). Это определение г'Л-характеристик, как мы по-
покажем ниже, согласуется с приведенным выше определением.
Дадим общее конструктивное определение характеристик для
дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами;
с помощью этого определения будет проведена классификация
уравнений.
Рассмотрим замкнутый оператор i? с всюду плотной областью
определения в гильбертовом пространстве Я и областью значений
в Я, зависящий от 2д+3 параметров р,, ..., р«, р0, хи ..., х„, t, со
и являющийся полиномом т-п степени параметра р:
т
2 = 9? (icop, icopo, x, t, оэ) = ^ ^7 («op, x, t, со) (йор0)'. C.5)
/=0
91
Предположим, что существует сильный предел
lim
шр, icopo, х, t, со) = 2* (р, р0, х, /) = ^ 21 (р, х, t) pi C.6)
i=0
где I — некоторое действительное число.
Пусть Х(р, ро, х, t) —равномерно по всем параметрам р,
а^лг^р, c^.po^d, О^^^Г изолированная точка спектра*) опе-
оператора 3?°{р, ро, х, t) кратности г<оо. Пусть А—некоторый не*
ограниченный самосопряженный оператор в Я, коммутирующий с
оператором &.
Рассмотрим в пространстве бесконечно дифференцируемых
функций от х и t со значениями в Я оператор 9? вида
где операторы Si действуют следующим образом:
C.7)
J e-ipxASj (_ ipAf Xf tf A) dp J etpiAip gf t) dg
Уравнение
, ро, x, 0=0, Pt =
dS
dx,. '
dS
будем называть характеристическим уравнением (одним из харак-
характеристических, поскольку изолированных точек спектра у операто-
оператора 2? может быть много) для уравнения
2>$(x,t) = F(x,t), C.9)
t-(x,t), F(x,t)G=C-[H].
Если уравнение C.9) имеет т действительных корней относи-
относительно ро, то мы будем говорить, что уравнение C.9) имеет харак-
характеристику волнового типа; если все т корней р0 чисто мнимы — то
характеристику туннельного типа.
Мы увидим из дальнейшего, что приведенное конструктивное
определение Л-характеристик совпадает с определением, данным
в начале этого параграфа (см. теоремы 4.1,а и 4.2). Нетрудно убе-
убедиться, что определение характеристик, данное в примерах § 1,
следует из приведенного здесь общего определения.
*) Функцию К(р, Ро, х, t) будем называть термом.
ГЛАВА2
канонический оператор
§ 1. Одномерный случай
Для построения класса К асимптотических формул, равномер-
равномерных по переменной х на всей числовой оси, нам придется вначале
построить некоторый оператор, зависящий от параметра h, ото-
отображающий пространство функций на заданной кривой Г в фазо-
фазовой плоскости в пространство функций на прямой. Для построения
этого оператора, называемого каноническим, вводится понятие ин-
индекса пути на кривой, и кривая покрывается интервалами, взаимно
однозначно проектируемыми *) на одну из координатных осей
(р или q). Вначале канонический оператор определяется локаль-
локально— для каждого из таких интервалов, а затем с помощью раз-
разбиения единицы строится оператор для всей кривой Г. Канониче-
Канонический оператор, вообще говоря, зависит от способа покрытия кри-
кривой Г интервалами и от способа разбиения единицы. Оказывается,
однако, что если кривая незамкнута, то эта зависимость проявля-
проявляется лишь на величинах первого порядка малости относительно
параметра h. To же справедливо и для замкнутой кривой при усло-
условии, что данная кривая удовлетворяет некоторому соотноше-
соотношению— так называемому условию квантования Бора. При помощи
канонического оператора мы выразим известную асимптотику соб-
собственной функции стационарного уравнения Шредингера, а также
асимптотику решения задачи Коши для временного уравнения
Шредингера. Приводимые в этом параграфе теоремы — частный
случай более общих теорем для произвольного числа измерений.
Теоремы формулируются в §§ 2—4.
1. Топологические предложения. Рассмотрим на фазовой плос-
плоскости **) ограниченную гладкую несамопересекающуюся кривую Г
(не обязательно замкнутую), определяемую уравнениями q=q{ct),
р—р(а). Параметром можно считать, например, длину дуги, от-
отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Точку кривой Г
с координатами q(a.), р(а) будем также обозначать <х. Точки кри-
кривой Г, в которых выполняется условие dqfda^O, назовем неосо-
*) Под этим понимается, что проекции являются диффеоморфизмами (глад-
(гладкие взаимно однозначные отображения с невырожденными якобианами).
**) Точнее, одномерное гладкое подмногообразие (возможно, открытое).
93
Предположим, что существует сильный предел
lim co'S' {imp, шр0, x, t, со) = 2° (p, p0, x, 1) = у>2?1 (р, x, t) plQ, C.6)
где / — некоторое действительное число.
Пусть К(р, Ро, х, t)—равномерно по всем параметрам a^/J^6>
а^дг^р, c^.po^d, b^t^T изолированная точка спектра*) опе-
оператора 9f°(p, Ро, х, t) кратности г<оо. Пусть А — некоторый не*
ограниченный самосопряженный оператор в Н, коммутирующий с
оператором 2'.
Рассмотрим в пространстве бесконечно дифференцируемых
функций от х и t со значениями в Н оператор 9? вида
где операторы 9?$ действуют следующим образом:
C.7)
Bя)'
Г ег1РхАа?1 (— ipA, х, t, A) dp Г е'"^ф (|, /) dl. C.8)
Уравнение
К(р, Ро, х, t)=0, pi =
dS
дх, '
dS
dt '
будем называть характеристическим уравнением (одним из харак-
характеристических, поскольку изолированных точек спектра у операто-
оператора 9? может быть много) для уравнения
&Me(x,t) = F(x,t), C.9)
ф(*. t), F(x, t)€=C°°[H].
Если уравнение C.9) имеет т действительных корней относи-
относительно ро, то мы будем говорить, что уравнение C.9) имеет харак-
характеристику волнового типа; если все т корней р0 чисто мнимы — то
характеристику туннельного типа.
Мы увидим из дальнейшего, что приведенное конструктивное
определение Л-характеристик совпадает с определением, данным
в начале этого параграфа (см. теоремы 4.1,а и 4.2). Нетрудно убе-
убедиться, что определение характеристик, данное в примерах § 1,
следует из приведенного здесь общего определения.
*) Функцию Х(р, ро. х, t) будем называть термом.
ГЛАВА2
канонический оператор
§ 1. Одномерный случай
Для построения класса К асимптотических формул, равномер-
равномерных по переменной х на всей числовой оси, нам придется вначале
построить некоторый оператор, зависящий от параметра h, ото-
отображающий пространство функций на заданной кривой Г в фазо-
фазовой плоскости в пространство функций на прямой. Для построения
этого оператора, называемого каноническим, вводится понятие ин-
индекса пути на кривой, и кривая покрывается интервалами, взаимно
однозначно проектируемыми *) на одну из координатных осей
(р или q). Вначале канонический оператор определяется локаль-
локально— для каждого из таких интервалов, а затем с помощью раз-
разбиения единицы строится оператор для всей кривой Г. Канониче-
Канонический оператор, вообще говоря, зависит от способа покрытия кри-
кривой Г интервалами и от способа разбиения единицы. Оказывается,
однако, что если кривая незамкнута, то эта зависимость проявля-
проявляется лишь на величинах первого порядка малости относительно
параметра h. To же справедливо и для замкнутой кривой при усло-
условии, что данная кривая удовлетворяет некоторому соотноше-
соотношению— так называемому условию квантования Бора. При помощи
канонического оператора мы выразим известную асимптотику соб-
собственной функции стационарного уравнения Шредингера, а также
асимптотику решения задачи Коши для временного уравнения
Шредингера. Приводимые в этом параграфе теоремы — частный
случай более общих теорем для произвольного числа измерений.
Теоремы формулируются в §§ 2—4.
1. Топологические предложения. Рассмотрим на фазовой плос-
плоскости **) ограниченную гладкую несамопересекающуюся кривую Г
(не обязательно замкнутую), определяемую уравнениями q=q(a)t
р—р(а.). Параметром можно считать, например, длину дуги, от-
отсчитываемую от некоторой фиксированной точки. Точку кривой Г
с координатами q(a), р(а) будем также обозначать а. Точки кри-
кривой Г, в которых выполняется условие dqfda^O, назовем неосо-
*) Под этим понимается, что проекции являются диффеоморфизмами (глад-
(гладкие взаимно однозначные отображения с невырожденными якобианами).
**) Точнее, одномерное гладкое подмногообразие (возможно, открытое).
93
быми или, подробнее, неособыми относительно операции проекти-
проектирования кривой Г на координатную ось параллельно оси р. Осталь-
Остальные точки назовем особыми.
Пусть множество М особых точек конечно и особые точки та-
таковы, что при переходе через них производная dq/dp вдоль Г ме-
меняет знак. Сопоставим каждой такой точке а<=М единичный каса-
касательный вектор ёа в направлении возрастания dq/dp (т. е. в сторо-
сторону положительного значения dq/dp).
Определим индекс пути /[а1, а2]с=Г с началом в неособой точ-
точке а1 и концом в неособой точке а2 следующим образом: если путь
проходит особую точку а в направлении вектора еа, то к индексу
прибавляется 1; если в противоположном направлении — то вычи-
вычитается 1. Индекс пути /[а1, а2] обозначается символом IncUfa1, a2].
Итак, индекс пути определен при некоторых ограничениях на
множество М и на точки а1 и а2, выполняемых, когда кривая и
путь находятся «в общем положении» [33].
Определим индекс произвольного пути на произвольной кри-
кривой Г, приведя ее и путь в общее положение малым поворотом осей
по часовой стрелке. Имеет место следующее важное предложение,
доказательство которого почти очевидно из наглядных сообра- ,
жений.
Предложение. Индекс замкнутого пути (цикла), проходи-
проходимого в направлении часовой стрелки, является инвариантом отно-
относительно диффеоморфизмов.
Рассмотрим систему Гамильтона
¦ дН (q, р, t) -_-dH(q,p,t)
4 dp ' И dq
A.1)
где H(q, p, t) —достаточно гладкая функция. Пусть {q°{a),
p°(a)}—несамопересекающаяся гладкая кривая в фазовой плос-
плоскости, Q,(a, t)>=q(t), P(a, t)=p(t) —решение системы A.1) с на-
начальными- данными-q°(a),p"(а), лежащими наТ. Функции Q(a, t),
Р(а, t) задают отображение и, кривой Г в некоторую кривую Г,:
Г 1\
Всякий путь /[а1, а2] переходит при этом в некоторый путь
utl[al, a2] =/«[&', а2]сгГ(. Возникает вопрос — как выражается
Ind/ifa1, a2] через Ind/fa1, a2]? Чтобы ответить на него, напом-
напомним некоторые определения, относящиеся к решению системы A.1).
1) Множество точек Q(a°, т) (О^т^^) называется траекто-
траекторией (путем) и обозначается Q(a°; 0, t).
2) Точка Q(a,°, т) на траектории Q(a°; 0, t) называется фо-
фокальной, если dQ(a°, т)/да° = 0.
3) Пусть д2Н/др2>0. Индексом траектории Q(a°; 0, t) назовем
число фокальных точек на полуинтервале (Xt^zt (так называе-
называемый индекс по Морсу [64]).
Имеет место следующее соотношение, которое решает вопрос
об изменении индекса пути при отображении «<:
Ind/fa1, a2]+IndQ(a2; O,.t)=Indlt[<t\ a2]+IndQ(aI; 0, i).
A.2)
94
Положим H=p2/2 + v(q), где v(q) — дважды дифференцируе-
дифференцируемая функция, тогда для достаточно малого t имеем
Q(a, *)=P0( )'(()
Произведем сначала деформацию
Pi=p°(a), <7i=pe(
Обозначим образ кривой Г при этой деформации через 1\. Теперь,
оставляя q = qi постоянным, произведем деформацию р=р°(а) —
—t/(q° (a))т (Os^ts^O- Таким образом, Г/ переходит в Г(. Но
эта последняя деформация, очевидно, не меняет соотношения A.2)
между индексами.
2. Канонический оператор. Рассмотрим пространство 1^[Г, п]
функций с интегрируемым квадратом по мере da, на кривой Г, со
значениями в гильбертовом пространстве Я и пространство
L2[R\ H] функций от х с интегрируемым квадратом на прямой
оо<;л:<;оо, со значениями в гильбертовом пространстве Н. Пусть
^4 неограниченный самосопряженный положительно определен-
определенный оператор, причем спектр А содержит сколь угодно большие
собственные числа.
Нас будут интересовать значения функций из Ь2[Г, Н] лишь с
областью определения в фактор-пространстве
S = L2[r, H]/D(A)nD(d/da).
Рассмотрим случай, когда кривая Г взаимно однозначно про-
проектируется на ось q. Таким образом, из уравнения q — q(rx,) находим
a=a(q). Обозначим через ^"г линейный оператор, определен-
определенный на финитных бесконечно дифференцируемых функциях ф(а),
<ре=1я[Г,Я]:
dq(<x)
da.
expliA \ pdq\cp[a(q)]\ , A.3)
a=cc(<7) la0 > >q=x
где ^ — константа, не зависящая от а, а0—точка на кривой Г.
Пусть теперь кривая Г не проектируется взаимно однозначно
на прямую q, но зато взаимно однозначно проектируется на пря-
прямую р. Таким образом, из р=р(<х) следует а=а(р). В этом слу-
случае обозначим через Ка% оператор, действующий на ф(а) сле-
следующим образом:
exp i 7 —
\ipxA dp (a) Г* х
da lo=a(p)
exp — iA \ #U(a (p)) dp, A.4)
.1 a» J
95
где f — константа, а0—точка на Г, в которой dq(a)/da = 0. Интег-
Интеграл берется по отрезку, на котором <р[а(/э)] отлична от нуля. Если
х лежит вне отрезка а оси q, на который проектируется носитель
ф(«), то
& . A.4')
Теперь рассмотрим произвольную кривую Г описанного типа. По-
Покроем ее конечным числом открытых интервалов Q' так, чтобы в
каждом интервале Q' либо dq(a)/rda=#=0 для всех точек интервала,
либо dp (а.) №афО для всех его точек, a dq{<x)lda. обращается в
нуль в некоторой точке. Области первого типа назовем неособыми;
области второго типа — особыми. В неособой области зададим в
качестве локальных координат q; в особой области — р. Обозна-
Обозначим через Q'o неособую область Q1 с введенными в ней коорди-
координатами q (неособая локальная карта), а через Qi — особую область
Qj с введенными в ней координатами р (Qi — особая локальная
карта). Пусть Qt — совокупность всех особых карт, Q { —совокуп-
—совокупность всех неособых карт. Одну из точек a'eQ', в которой dq{a,)/
/da = 0, назовем центральной точкой особой карты*). Возьмем про-
произвольную точку aJ'^Qi' и назовем ее центральной точкой карты.
Совокупность карт Q{, Q'o образует атлас Ж кривой.
Сопоставим действительное число ¦у центральной точке одной из
карт атласа Ж; эту точку назовем начальной и обозначим а0.
Пусть носитель R функции фёЕС°° лежит в области Q1. Опреде-
Определим действие канонического оператора на функцию ф(а) форму-
формулой A.3), если Q1—неособая, и формулой A.4), если QJ—особая,
положив в этих формулах7 = 7°——Ind/[<x°, а1], где ^°—не зави-
зависящее от / число, <х>—центральная точка карты, 1[а°, а'] —некото-
—некоторый путь из а" в а?. В общем случае можно" определить канониче-
канонический оператор с помощью разложения единицы по локальным кар-
картам. Обозначим через е'(а) (t=l, ..., Лг) разложение единицы, от-
отвечающее покрытию {Q1} компакта R. Это означает, что е'(а) удо-
N
,
N
влетворяет условиям: 1)
и е' = 0 вне Q'; 2)
— ^ если
N
Для финитной функции <р(а) имеем ф(а)=2 е*(«)<р(.а). Но-
ситель каждого члена суммы принадлежит лишь одной локальной
карте, поэтому на каждой функции е*(«)ф(«) (t=l, ¦¦-, Ю кано-
канонический оператор определен выше. Отсюда в силу линейности по-
получим общий вид канонического оператора, действующего на фи-
финитную функцию ф(а).
*) Если их несколько, то можно взять любую из них.
96
Пусть j(x)—совокупность номеров всех карт атласа Ж, кото-
которые содержат множество пересечений прямой q=x с отрезком
RczT. Отрезок RczT покрывается конечным числом карт Q1, ..., Q"
RczT.
атласа Ж. В общем случае канонический оператор
вид
xei'[<x(q)]
имеет
^ехрГм j р^|ф[а(<7)]
dp
-f-
dec
ехР i — — Ind J
I-1/.
[a
-M J
lla°,a(pI
A.5)
где /[a0, aA] •— некоторые пути из а0 в а*.
Замечание. Если Г — неограниченная кривая Л = 1/Л, то за-
заменяя в формуле A.5) ф(а) на 1(а, Л)-ф(а), где |(os, Л)—функ-
ция-регуляризатор, равная единице с точностью до O(h°°) в любой
ограниченной области и достаточно быстро стремящаяся к нулю
при а-»-оо (например, |(а, Л)=ехр{—a2e~1/h}), приходим к тому,
что ряды в A.5) сходятся для любой ограниченной функции ф(а).
Нетрудно убедиться, что для определенного таким образом кано-
канонического оператора справедливы (при некоторых ограничениях)
в любой ограниченной области все сформулированные ниже теоре-
теоремы. Аналогично и в многомерном случае.
3. Инвариантность канонического оператора. Пусть кривая Г
незамкнута. Тогда канонический оператор Ка% не зависит от вида
атласа и от способа разбиения единицы-, т. е. выражения KjCf ф(а)
для различных атласов и разбиений единицы отличаются лишь на
функции вида К!&Р(а), где F(=D(A) f\D(д/да).
Подразумевается, что точка а0 при новом разбиении осталась
начальной точкой атласа, а значит, осталась центральной точкой
некоторой карты.
Если же точка а=<х° не осталась при новом разбиении цент-
центральной точкой карты, а стала принадлежать карте с центральной
точкой cci, то в качестве начальной точки нового атласа должна
быть взята какая-либо другая точка, например а?. Тогда прежний
канонический оператор при новом разбиении равен (в S) К*А%
где
• = Y — —-ШЦа,0, о?]+Л
pdq.
Если кривая Г замкнута, то канонический оператор Ка% не
зависит от способа разбиения единицы, но зависит, вообще говоря,
4 В. П. Маслов
97
от выбора путей 1[а°, а*] из начальной точки в центральные точка
карт.
В этом случае, для того чтобы канонический оператор K*a?v не
зависел от выбора канонического атласа и путей 1[<х", аА], необхо-
необходимо и достаточно, чтобы точки спектра оператора А удовлетво-
удовлетворяли соотношению
A.6)
(ppdq
Заметим, что если положить Я. = 1/Л, то эта формула совпадает по
форме с известной формулой квантования Бора.
Замечание относительно начальной точки атласа остается в силе
и для случая замкнутой кривой.
Условие A.6), а следовательно, и инвариантность канонического
оператора сохраняется при каноническом преобразовании (сохра-
(сохраняющем площадь).
4. Квазиклассическая асимптотика. Рассмотрим на прямой за-
задачу на собственные значения для уравнения
y"+vQ(x)y=0,
A.7)
где Q<=C~, Q(±oo)=—оо.
Рассмотрим в фазовой плоскости р, q кривую р2/2—Q(q)=0.
Известно, что собственные значения v=vn задачи A.7) — A.8) бу-
будут удовлетворять условию A.6) [18,41].
Рассмотрим уравнение Шредингера
rdx <оо, A.8)
-A ¦ ¦— '-
где ysC°°, t)(±oo) =oo.
Предложение. Пусть Tn={qn(a), Pn(a.)}—последователь-
Pn(a.)}—последовательность, замкнутых кривых, удовлетворяющих уравнениям
Рп
-
где Еп—множество (зависящее от Л), определяемое условием
y
Существует (зависящий от Л) набор собственных значений А.=Я„
уравнения A.8) такой, что
Кп~Еп = О (Л2), || Уп - K°uZrn • 1 h = 0 (h),
где Tf>n— собственные функции, отвечающие %п.
Выписанная здесь асимптотика сводится к общеизвестной с по-
помощью формул, приведенных в [42].
98
Приведенная запись первого члена асимптотики собственной
функции в определенном смысле инвариантна относительно пере-
перехода к /э-представлению.
Предложение. Пусть функции v(x, t), ф(а) удовлетворяют
условиям иеС, <р^С\ Решение ур(х, t) уравнения A.6) гл. 1 с
начальным условием
г|> (х, 0)
имеет вид
&Ф (a), T = {q° (а), р» (а)},
(х, t) = KXrtV (a) + zh (x, t),
, t), P(a, t)}.
A.9)
A.10)
где Q (a, t), P (a, /) — решение задачи Коши для системы уравне-
уравнений Гамильтона
, t)=P(a, t), Q(a, 0)=q°(a),
A.11)
7= ^
aO; 0,
Таким образом, решение уравнения A.6) гл. 1 в любой момент
t принадлежит с точностью до функций zh(x, t) одному и тому же
классу функций вида К.1*?,т*9(а), где f> Г переменны. Это означает,
что условие инвариантности в определении класса К (см. § 2 гл. 1)
выполнено.
Принцип соответствия также будет выполнен для решеняйта-
кого вида.
Следствие. Пусть носитель R функции <рОа) достаточно мал:
R={a0—s^a^ao + s} и выполнены все условия предыдущего
предложения. Тогда, если образ Rt носителя R на Г< состоит из не-
неособых точек, то
S ^da A.12)
и стремится к нулю вне этой области.
Если же Rt целиком принадлежит особой карте, то
и стремится к нулю вне этой области.
Это означает, что интеграл от |г|з|2 либо в х-, либо в /э-пред-
ставлении ведет себя при А-»-0 как классическая вероятность
99
f<p2(a)<ia, оставаясь в пределе постоянной вдоль классически*
траекторий. Аналогично можно показать, что все квантовомехани-
ческие величины в пределе при Л->-0 переходят в классические,
т. е. принцип соответствия выполняется. Таким образом, все усло-
условия, требуемые в § 2 гл. 1 от класса Л', выполнены для /С^/л^гф (с).
Таким образом, мы получаем переход в классическую механику
в любой точке х, t. Значит, предельный переход существует и в
фокальных точках (точках поворота), только в этих точках функ-
функцию if» нужно рассматривать в /^-представлении.
Итак, мы видим (и увидим далее в многомерном случае), что
переход в классическую механику (а аналогично и в геометриче-
геометрическую оптику) совершается в любой точке. Чтобы в этом убедиться,
нужно лишь перейти к соответствующему представлению функ-
функции if».
5. Асимптотические ряды. Поскольку в дальнейшем речь всегда
будет идти об асимптотических рядах, то и знак равенства мы
условимся понимать в некотором «асимптотическом» смысле, ко-
который мы сейчас определим.
Будем говорить, что функция вГ(х, t) со значениями в Я экви-
эквивалентна нулю, если для любых целых Nu N2, N3 функция
,•*j- (x, т) ограничена по норме в Н равномерно по
ln, те[/—s, / + e], s>0. Будем отождествлять функции, раз-
разность между которыми эквивалентна нулю.
Таким образом, функции от х и t факторизуются по подпро-
подпространству функций, имеющих бесконечно много ограниченных про-
производных и принадлежащих D(A°°). Мы будем рассматривать так-
также функции со значениями в банаховом и счетно-нормированном
пространстве. И в этом случае осуществим такую же факториза-
факторизацию, т.. е. функций, принадлежащие D(AN) при любом N и беско-
бесконечно дифференцируемые, полагаем эквивалентными нулю.
Все равенства, которые в дальнейшем будут написаны для
функций от х со значениями в банаховом или счетно-нормирован-
счетно-нормированном пространстве, справедливы лишь с точностью до функций,
эквивалентных нулю.
Далее, если мы говорим, что функция /(х, t, h) дифференцируе-
дифференцируема N раз, то это значит, что все ее N производных по х, t ограни-
ограничены при h-^-О. Если f(x, t, a) —функция со значениями в банахо-
банаховом (или счетно-нормированном) пространстве, то Af-кратная диф-
ференцируемость функции означает, что ее N производных ограни-
ограничены по норме в этом пространстве (или соответственно ограниче-
ограничены все нормы счетно-нормированного пространства) равномерно
по h при /г—>-0.
Рассмотрим функцию е'(а, h) (аеГ) в окрестности точки Л = 0,
принадлежащую С°° (a, h). Иначе говоря,
¦ (а, ft) = V h! Л е) (а) + О (А~). A.13)
да"
дап
100
Слагаемое О(Л°°) означает, что написанные ряды асимптотические
при Л-^0. Пусть, далее, е'(а, О)=е'(а) (t = l, ..., N), где е*(а)
принадлежит разложению единицы по атласу Ж Заменим теперь
в выражении Я7/л,гф(а) функцию е"(а) на е{(а, Л). Получается
семейство операторов^ зависящих от Л. Мы будем их обозначать
через Ki/h,T,ii, Ki'/h,v,h, К1'%,тл- Таким образом, запись КТ/Тт ?.ф (а)
не определяет вида в*(a, h) при Л=#=0. Заметим, что два члена ука-
указанного семейства равны, вообще говоря, лишь с точностью до
O(h):
^Ci/л.г.лф (а) = КТ/л.'г.лф (а) [1 +О(Л)].
Аналогичным образом определяется оператор /CSiiv?z где А по-
положительно определенный оператор, Rz—его резольвента (А—z)-1
В этом случае в формулах A.13) надо заменить Л на Rz. При этом
е'(а, Rz) и все их производные по а будут ограниченными опера-
операторами в Н, зависящими от параметра а.
Аналогично, если <р(а) —функция со значениями в счетно-нор-
счетно-нормированном пространстве, которое является пересечением банахо-
банаховых пространств Ви ..., BN, ..., B{+i^Bt, a А — оператор, удовле-
удовлетворяющий в каждом из этих пространств условиям п. 4 § 1 гл. 1,
то ег(а, Rz), где Rz= (А—г)-1 являются непрерывными оператора-
операторами в Б°°, причем е{(а, 0)—числовые функции, являющиеся эле-
элементами разложения единицы.
6. Квазиклассическая асимптотика решения задачи Коши.
Пусть функции v(x, t), ф(а) принадлежат С°°, <р(«) финитна и
пусть решение ty{x, t) уравнения Шредингера
dt
A.14)
удовлетворяет начальному условию"'" - ~ .
г|з(х, 0) = /С^г,йф(а). A.14')
Тогда if {x, t) представимо в виде
г|з (х, t) = K^tkh Ф (а), Г, = {Q (a, t), P (a, t)}, A.15)
где
Г0 = Г, ц<?=Л P=—dv/dQ,
7 = 7о_ | IndQ(ao. 0> t) + JL$pf^L -vlQlcfi, т), x]Xdx.
0
Пример. Теперь мы покажем, какой вид имеет в конкретных
случаях выписанная выше асимптотика решения уравнения Шре-
Шредингера.
Предположим, что начальное условие для уравнения A.14)
имеет вид
|?} A.16)
101
где у(х) —финитная функция с носителем [—1, 1], f^C2, ДО) =0.
Это есть условие вида A.14) при
Г= {</•(«) «а, р°(«)=Г(а)}.
ае[-1—8, 1+8], 8>0, а° = 0, "г° = 0.
Канонический атлас состоит из одной неособой карты, е'(а, Н)Ф0
при —la^a^l.
Пусть пересечение прямой q=x с кривой I\ = {Q(a, t), P(a, t)}
при всех лге(лг/—б, х' + б) не содержит особых точек; тогда оно
состоит лишь из конечного числа точек а.1, .... а*. Пусть ^— ин-
индекс пути Q(ai-, 0, t), т. е. число нулей функции dQ(a', т)/да3 при
, S(«J, t) —решение уравнения
-v{Q, t),
удовлетворяющее условию S(<x', 0) =f (aJ).
Поскольку /(a)= ^ pd? и
= J
то решение можно записать в виде
к
^ (jc, о = 2 ехр
да'
(а/ (дс, 0,
xexp {±S[al(x, t), /]} +/гФ(х, t, h), A.17)
где Ф(*, ^, Л) ограничена при Л—Ю в окрестности точки х=хг.
Этот результат может быть сформулирован ещ двумя различны-
различными способами.
Пусть точка (х, t) не является фокальной ни для одной из экст-
экстремалей функционала
x.t
' t, A.18)
т. е. все решения задачи
удовлетворяют условию
102
, q{f)=x A.19)
. Тогда задача A.19) име-
имеет лишь конечное число решений
<7i(T), .... qk{%),
" ( (УЩ
ф (х, о = 2 ехР 1 —5~ ф [9v (°)]
dx
A.20)
где ifv—число фокальных точек на пути q4(r) при
Предположим, что решение уравнения цХ = — — (X, t) удо-
дХ
влетворяет условиям
Х{0)=х0,
ах
Рассмотрим множество М{х) решений уравнения Х(х0, t)=x. Если
М(х) не содержит фокальных точек (т. е. точек, в которых
—^—=0),то оно состоит лишь из конечного числа точек х/,
..., х%, которые являются функциями от х и t: xo'=xa/(x, t),
.... *S = ^ = ^ (*• 0 • Пусть if^— индекс пути X (xfr 0, t), т. е. чис-
число нулей производной —- (х'о, т)при 0^т^^, 5(л„, ^)—решение
К
уравнения dSldt=^l2—v{x, t) при условии S(x0, O)=f(x0).
Тогда
, 01
^(^(*, 0,
-У,
. 0.21)
Пусть теперь пересечение прямой 9=^ с кривой r<={Q(a, t),
Р(а, t)} есть отрезок p'^p^/j". Следовательно, для р<={р'—в,
р"+е) из Р(а, 0=Р получаем a=a(p, *). Тогда решение 1|з(лг, <)
представимо в виде
Mp(x,t)-
где
«(Р, О, Ч Г'7* ехр |^- S [а (р, 0, q J dp + УЛ Ф (х, t, h), A.22)
0,
— гладкая функция, ^ — число фокальных точек на какой-либо
траектории Q(a(p, t); 0, 0 при р(=[р', р"\, а ф(х, t, h) равномерно
ограничена при /г->-0 в окрестности точки х=хг.
103
Заметим, что если р'=р'\ а точка q=x/—особая, то интеграл
A.22) можно упростить, разложив подынтегральное выражение в
ряд в окрестности точки р—р' и ограничившись первыми членами
(см. [42]).
7. Асимптотика решения системы уравнений. В общем случае
можно считать, что функция ф(а) на многообразии Г есть сумми-
суммируемая по Бохнеру функция со значениями в банаховом простран-
пространстве В. (Впрочем, во всех конкретных случаях табл. 1 <р(а) есть
просто вектор-функция, т. е. В конечномерно.)
В качестве примера рассмотрим уравнение
^ ^d^ t)^ + v{x,t)^, A.23)
где R(x, t)—ограниченная бесконечно дифференцируемая гХг-
матрица, чеС". Пусть
г|з (х, 0) =
(a) e (а),
A.24)
где ф(а)—финитная суммируемая функция, / (та) = {/4 (та), ...
..., U (а)} — вектор-функция, | / (а) | = 1. Тогда
1> (х, t) = AKvft<P (a) exp ft J R [Q (а, т), т] dx\ l (а), A.25)
t
где выражение exp{t С R[Q(a., r), x]dx}l(a) обозначает функцию
о
f (a, t) со значениями в В, удовлетворяющую уравнению
ДИ°;0 = Ш [Q («, *), t] f (а, t), f (а, 0) = / (а) €= В, A.26)
t
Г(, Q, Р определены выше,' a
, т),
(a«; 0, 0-
8. Поведение разрывов решений гиперболического уравнения.
Чтобы получить асимптотическое разложение разрыва решения
гиперболического уравнения, необходимо определить канонический
оператор К"л%л Для случая, когда оператор А равен i — (см. § 1
гл. 1), т. е. не является положительно определенным.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор А отрицательно
определен. Полагаем
Ал.г = Л-дг-
Если оператор А не является знакоопределенным, то разложим
пространство Н на сумму Н = Н+ + Н- таких, что сужение опера-
оператора А на #+ есть неотрицательно определенный оператор А+,
104
а сужение оператора —А на Н-— неотрицательно определенный
оператор А~.
Пусть ф(а)=ф+(а)+ф-(а), где
По определению положим
JCj&p (а) = /а?°г<Р+ (а) + KjgrqT (a).
Например, когда A = i— —оператор в пространстве Н =
= L2[—оо, оо] функций от т, Г —прямая р=0, <р(а) = 6(х)f (q), то
оо
б (т) = б+ (т) + б_ (т), где б+ (т) = J i^dx, а *) б_ (т) = б; (т). Поэтому
Г? J (Я) в (т) = 2f (х) Re e'v6+ (т).
dx '
dx
Перейдем теперь к изучению поведения разрыва решения ги-
гиперболического уравнения.
Рассмотрим решение и(х, у, t) уравнения
д2и
A.27)
удовлетворяющее условиям
и{х, у, 0)=8(у—yo)q>(x), u/(x, у, 0)=0. A.28)
Пусть коэффициенты уравнения достаточно гладки, ф(*) финитна
и имеет компактный носитель. Положим А=1д/ду. Тогда Л-харак-
теристическое уравнение имеет вид
Оно распадается на два уравнения
Пусть Q» (a, t), P1 (a, t), S" (а, /) (v= 1,2)— решения систем
_/ nv c{q, t)
A.29)
удовлетворяющие условиям
q4 @) = a, /Jv @) = 0, 5V @) = 0.
*) Об обобщенных функциях см. [9].
105
I"¦
Решение задачи A.27) — A.28) можно представить в виде
"(*, У, 0= У, & a v ф(а)б(у — у0) + F(x, у, f),
V=l W
где F(x,y,t)—ограниченная функция, а Го (v=l,2) есть мно-
многообразие р=0, Г? (v=l, 2)—соответственно сдвинутое много-
многообразие /J=0 вдоль траекторий системы A.29),
vv 0) = — Sv (a0, f) + — я Ind Qv [а0; 0, fl.
r w h 2
Далее, если точка х, t не является фокальной ни для одной из
траекторий Q"(a;0,t) (v=*l, 2), то существует конечное число ре-
решений а/ {х, t) (/—1,...,АТ) уравнения
и решение и(х, у, t) может быть представлено в виде
г к
""/
da]
F (*, у, t),
где F(x, у, t) — ограниченная, функция.
Таким образом, мы видим, что если число фокальных точек на
траектории Qv(«7;0,0 нечетно, то разрыв решения имеет вид
полюса первого порядка; если же число фокальных точек четно,
то разрыв имеет вид б-функции.
§ 2. Многомерный случай
Многомерный случай мы будем исследовать по тому же плану,
что и одномерный.
1. Топологические предложения. Мы будем, рассматривать глад-
гладкую л-мерную поверхность q=q(a), р=р(<х), а=(а4,..., а„) в 2л-
мерном фазовом пространстве q, p или, точнее, гладкое л-мерное
подмногообразие (возможно, открытое) T={q(a),p(a)} 2л-мер-
ного евклидова пространства, для которого выполняется условие
B.2) гл. 1 в каждой локальной системе координат а. Такую поверх-
поверхность мы будем называть лагранжевым подмногообразием Г. Ус-
Условие B.2) гл. 1 означает, что Spdq на Г локально не зависит
от пути.
Множество М многообразия Г, удовлетворяющее условию
Dq/Da = 0 (как обычно, Dq/Da, обозначает detfldg'j/daill), называ-
называется особым*).
*) Относительно проектирования на плоскость
106
Лагранжево подмногообразие r={q(a),p(<x)} обладает заме-
замечательным свойством, которое позволяет обобщить понятие кано-
канонического оператора на многомерный случай. Это свойство выра-
выражается следующей леммой о локальных координатах.
Лемма 2.1. Для любой точки а0 на лагранжевом подмногооб-
подмногообразии Г существует поворот осей q=Aq, p=Ap такой, что некоторая
окрестность точки а," взаимно однозначно проектируется на одну из
п-мерных координатных плоскостей вида qi=q2=. . .=qh=ph+1 = . ..
... = .р»=0.
Заметим, что преобразование вида
q=Aq,
B.1)
где А —унитарная матрица, является каноническим. Напомним, что
каноническим преобразованием является такое преобразование,
которое оставляет инвариантным условие B.2) гл:. 1. Координаты
вида pi,.. ., pk, qh+u .. . ,qn, в которых Dyh/Da^0, будем называть
фокальными координатами точки а. Например, в двумерном слу-
случае утверждение леммы означает, что если ранг Hctyi/dajH равен
нулю, то detl—4-1^=0. Если же ранг Wdqi/dajW равен 1 и много-
многообразие Г находится в общем положении, то проекция подмногооб-
подмногообразия особенностей М на плоскость q может иметь вид кривой ¦у.
В этом случае gt ортогонально у, а q2 направлено по касательной
к у- Утверждение леммы в данном случае означает, что отображе-
отображение окрестности точки аеМ на плоскость ри q2 взаимно одно-
однозначно.
Эта лемма может быть использована при выборе локальных ко-
координат (локальных карт лагранжева подмногообразия). Действи-
Действительно, мы можем в качестве локальной системы координат окрест-
окрестности точки аеГ всегда вместо «,,...,«„ брать фокальные коор-
координаты этой точки ри ..., ph, qk+u . . . ,qn. (Для произвольного под-
подмногообразия это не имеет места.) Всякий компакт на подмного-
подмногообразии Г мы сможем покрыть конечным числом областей, каждая
из которых взаимно однозначно проектируется на одну из коорди-
координатных плоскостей вида pt pk, qh+u ..., qn. В качестве локаль-
локальных координату такой области примем ри ..., ph, qk+u ... ,qn (ло-
(локальная карта QA). В каждой локальной карте QA существует точка,
в которой
да.,
да.,
= 0, i =
я.
(При k=0 это любая точка карты.)
Выбрав произвольно одну из таких точек, назовем ее центром
локальной карты. Система локальных карт такого вида, покры-
покрывающих компакт R, составляет канонический атлас Зё компакта R.
Множество центральных точек обозначим через $?.
10?
Назовем точки, в которых якобиан J ( —¦ —— 1
\а1г .... ап j
не-
неособыми, так же как и карты, у которых k = 0. Остальные точки и
карты назовем особыми.
Введем индекс пути 1[а\ а2] на лагранжевом многообразии.
Рассмотрим лагранжево многообразие в общем положении от-
относительно проектирования вдоль координат р. Оказывается, что
в этом случае подмногообразие особенностей М имеет размерность
не более п—1 и ранг матрицы \\dqi (a)/daj\\ при а&М меньше п—1
лишь для размерности, меньшей *) п—2. Фиксируем точку а°^М.
Произведем канонический поворот вида B.1) ив качестве локаль-
локальных координат будем рассматривать ее фокальные координаты
pi, q2,..., qn-
Иначе говоря, мы возьмем каноническую карту с центром в точ-
точке а0. Таким образом, локально qi=qi (pi, q2, ¦ ¦ ¦ , q~n) на подмного-
подмногообразии. Проведем в этой точке единичный вектор е, касательный
к многообразию, параллельно JU в направлении возрастания dqj
/дри т. е. изменения dqjdpi от отрицательных значений к положи-
положительным. Заметим, что в общем положении производная dqi/dpt
будет менять знак вдоль ^i при переходе через а0.
Таким образом, получаем нормальное поле на подмногообра-
подмногообразии М.
Пусть точки а1 и а2 — неособые. В качестве индекса (одномер-
(одномерного) пути /[а1, а2] мы будем брать индекс пересечения этого пути
с подмногообразием М. Таким образом, если путь пересекает под-
подмногообразие М в направлении вектора /, то значение индекса пути
увеличивается на единицу. Если же он пересекает М в противопо-
противоположном направлении, то значение индекса пути уменьшается на
единицу.
Мы введем сейчас другое определение индекса пути, которое
использует, лишь тот факт, что в. общем положении размерность. М
не превосходит п—1.
Пусть точки а1 и а2, принадлежащие одной и той же карте QA,
являются неособыми. Мы определим индекс пути 1[аг, а2] как раз-
разность индекса инерции матрицы
1 *Р{ l,-,/<fe | dq{dq}
в точке а=а' и индекса инерции той же матрицы в точке <х=а2.
Индекс пути /[а', а"], если а." — центральная точка карты ?3? ,
а а' — неособая точка этой карты, равен индексу инерции матрицы
Вк в точке а'.
*) Если ранг матрицы ||<Э^4(а)/Лх^|| равен я—г, то dimM=n—г, если Г нахо-
находится в общем положении. В доказательстве теорем, однако, используется лишь
тот факт, что dim М^п—1. Все остальные свойства подмногообразия в общем
положении используются лишь для иллюстрации.
108
Теорема 2.1. Ind /[a', а"], где /[a', <x"]czQh,, не зависит от
карты Q*,, т. е. если 1[а/, а"] принадлео/сит одновременно QAs, а' и
а" — неособые, то
Ind Ъ^ (а') — Ind Ък1 (а") = Ind Зкг (а') — Ind %г (а"). B.2)
Произвольный путь 1[а', а"] можно покрыть картами. В каждой
карте определен индекс отрезка пути*). Индекс 1[<х', а"] опреде-
определяется в силу аддитивности индекса. Из теоремы 2.1 следует, что
Ind /[a', a"] не зависит от покрытия и не меняется при непрерыв-
непрерывной деформации пути 1[а',а"] в путь Г[а', а"], т. е. Ind/[а', а"]
является гомотопическим инвариантом.
Теорема 2.2. Индекс одномерного цикла есть целочисленный
инвариант инфинитезимальных канонических преобразований.
Пусть q(t), p(t) —решение системы Гамильтона q = Hp, р=—Hq,
удовлетворяющее условию q(Q)=qu(a), p@)=p°(a,), где q°(<x),
p°(a) определяют лагранжево подмногообразие Г. Обозначим
q(t)=Q(a,t), p(t)=p(a,t). Подмногообразие I\={Q(a, t),p(a, t)},
где t фиксировано, является лагранжевым подмногообразием фа-
фазового пространства. Всякий путь 1[а,', а,"]сТ отобразится на путь
lt[a', a"]c:I\. Определим индекс траектории Q(oc; 0, t). Предполо-
п
жим вначале, что форма
СТРОГО положительна. Из-
вестно, что в этом случае число нулей якобиана DQ(a,x)/da при
0<т^ с учетом их кратности конечно. Это число мы будем назы-
называть индексом траектории Q(a;0, t) (индекс по Морсу). Мы вве-
введем индекс пути и для произвольного гамильтониана Н, не удов-
летворяющего условию
0. Рассмотрим в Bя+1)-
мерном пространстве р, q, t (n+\)-мерную пленку Rt, являющуюся
объединением семейства я-мерных многообразий Гт при т, меняю-
меняющемся от 0 до t. В каждой точке пленки Rt в силу леммы невырож-
невырождена некоторая матрица типа Sh. Поэтому мы можем покрыть
пленку Rt каноническими картами QA размерности л+1. Мы опре-
определим индекс одномерного пути, лежащего в пленке, в том числе
и индекс траектории Q(a;0, t). Рассмотрим отрезок пути /[а1, а2],
целиком принадлежащий одной канонической карте Qh с локаль-
локальными каноническими координатами г/А>(, концы которого являются
неособыми точками. Аналогично тому, как это было сделано для
лагранжева многообразия, определим индекс пути Ind /[a1, a2] как
разность индексов инерции матрицы Sh, взятых последовательно в
точках а1 и а2. Аналогично предыдущему определяется централь-
*) Прн условии, что подмногообразие особенностей имеет размерность, мень-
меньшую, чем п; например, многообразие Г находится в общем положении по отно-
отношению к проекции. Этого достаточно, поскольку общего положения можно до-
достичь сколь угодно малым каноническим поворотом.
109
ная точка карты и индекс пути bid/[a*, a|], где аа — неособая точ-
точка и а* — центральная точка, как индекс инерции матрицы Д, в
точке а2.
Доказательство теорем об инвариантности будет дано в гл. 7.
Там же мы определим индекс пути, соединяющего две произволь-
произвольные точки а1 и ос. Для пленки имеет место аналог теоремы 2.1,
и индекс любого пути в Rt определяется в силу аддитивности.
Мы докажем, что в случае, когда путь есть траектория Q(a; 0, t)
и условие
° при 24 =5^0 выполнено, так определенный
индекс совпадает с индексом пр Морсу.
2. Определение канонического оператора. Пусть на лагранже-
вом многообразии Г задана финитная функция ф(а)еС°° со зна-
значениями в гильбертовом пространстве, носитель которой есть неко-
некоторый компакт R. Обозначим снова через ф(а) класс, эквивалент-
эквивалентный ф(а) в фактор-пространстве S. Обозначим через Щ канониче-
канонический атлас, отвечающий конечному покрытию {Q*} (/'=1,..., N)
компакта R, а через е'(а) (t=l,. .., N)—разложение единицы,
отвечающее покрытию {Q4}. Напомним, что локальной карте о?
отвечает а.= а*(ук), где yh= (pu .... ph, qk+i, ..., qn). Обозначим
через о (а) некоторую меру на многообразии Г, а через
D<s{oL)IDyh—производную от нее по мере dpi...dph, dqh+i...dqn.
В частности, если на Г можно ввести глобальные координаты а,
то можно положить, например,
, . , . Да (a) Da ^J dac Д
o(a)=aai. . . аа„, —— = ^ det |—zr~ •
°Ук °Ук |д (У к) 1
Обозначим, через j(x) совокупность номеров всех тех карт атласа
Ж, которые содержат точки плоскости q—x. Пусть А — самосопря-
самосопряженный положительно определенный неограниченный опера-
оператор в гильбертовом пространстве Н, S — фактор-пространство
L2(T, H)ID(A\, S'— фактор-пространство L2(Rn, H)/L>(jAnD(A).
Определим канонический оператор К?а?г из S в S'. Этот оператор
можно рассматривать так же, как оператор из Ь2(Г, Н) (простран-
(пространство функций с интегрируемым квадратом на Г, со значениями в Н)
в фактор-пространство S'. Иными словами, мы определяем Ка'%
ф(а) (<p^L2(T, Я)) с точностью до дифференцируемых функций,
принадлежащих D (А):
/СГгФ («) = е* 2 ехр {— i"- Ind / [a0, afll d?V {a/ &)),
mn*) I i B3)
\D(o)/Dyk
110
-Рь — преобразование типа Фурье по первым k переменным функ-
функции, финитной по этим переменным с носителем R, т. е.
Bл)
ft/2
¦fexpla
{Pi, ... , pk, <7ft+b ...,qn)dpx ... dpk.
а <^ — некоторая линейная функция оператора А. В случае отрица-
отрицательно определенного А по определению полагаем
/Жг == компл. сопряж. (Kl'Zr). B.4)
Если оператор А не является знакоопределенным и А~1 существует,
то поступаем согласно п. 1.8 гл. 2.
Теорема 2.3. Для того чтобы канонический оператор К а',?
не зависел от выбора канонического атласа, путей I [a0, ai] и от
способа разбиения единицы, необходимо и достаточно, чтобы для
точек спектра X оператора А выполнялись соотношения *)
k0,
B.5)
где интеграл берется по k-му базисному циклу подмногообразия Г,
1к — индекс этого цикла, k0 — одномерное число Бетти подмногооб-
подмногообразия Г.
Заметим, что условия B.5) накладывают ограничения на зна-
значения величин /»= & р dq. При ko = 2 для существования такого А,
чтобы выполнялось B.5), достаточна несоизмеримость /4 и /а.
Поскольку &pdq и 1к инвариантны относительно канонических
преобразований, то, очевидно, указанное свойство оператора /Cl'jr
также сохраняется при канонических преобразованиях.
Если начальную точку а" атласа заменить на точку "а" и одно-
одновременно величину ^ заменить на
f
pdq—^
то канонический оператор останется неизменным.
Замечание. Для получения значений выражения Kl'jry(a)
в окрестности точки х=х удобно пользоваться следующим специ-
специальным атласом Эё{х).
Пусть пересечение плоскости q—x и Г состоит из конечного чис-
числа точек a*(x) (t=l,... ,i0). Выберем атлас Ж{х) так, чтобы каж-
каждая из этих точек была центральной точкой некоторой карты Щ(х).
*) Символ / (mod 4) означает любое число вида 1+4п, где п — целое.
И!
Канонический оператор, отвечающий атласу Ж{х) в окрестно-
окрестности точки х=х, будет состоять из суммы i0 членов.
Заметим далее, что при выполнении условий B.5)
Ф («)
1?Ф (а),
а*
V = - -f- bid / [а«, а"] + A J р dgr
Условия B.5) независимости оператора Ял'д1 от вида канони-
канонического атласа в пространстве 5 в силу теоремы 2.1 и инвариант-
инвариантности /ft сохраняются при сдвиге вдоль траекторий динамической
системы Гамильтона: Г-»Т*. Мы будем всегда полагать, что К*а'?г
не зависит от разбиения на канонические карты в пространстве S,
т. е. что соотношения B.5) выполнены.
Пусть теперь ф(а) (аеГ) является бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой функцией а со значениями в некотором счетно-нормированном
пространстве.
Рассмотрим линейные непрерывные операторы e'(a,h) (аеГ,
Ле(О, 1)) в этом пространстве, зависящие от параметров а и Л,
а также от пути 1[<х°, а] и бесконечно дифференцируемые по а и
h при /i=0, т. е. предположим, что выполняются соотношения вида
A.13). Пусть при /г=0 эти операторы обращаются в финитные чис-
числовые функции е'(а, О)=е'(а), которые являются элементами раз-
разложения единицы по атласу 36.
Подобно п. 5 § 1 заменим в операторе Ка'Зс функции е'(сх) на
операторы е*(а,Яг)- Мы получим семейство операторов Лл',г°.д2,
Ka'$,rz> %a%,rz, зависящих от е' (a, Rz).
Теорема 2.4. Пусть лагранжеву подмногообразию Г сопо-
сопоставлен канонический атлас Ж с начальной точкой а0 и некоторый
оператор K"a%,rz. Пусть>-5?-~—другой канонический атлас подмно-
подмногообразия Г с начальной точкой а". Тогда существует единственный
оператор вида Ka'!t.rz равный Ka^c.rz. При этом
=v— -~Inde[a°,
Г
pdq.
е[а°,сГ»]
ГЛАВА 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Квазиклассическая асимптотика
Теорема 3.1. Пусть Г — компактное лагранжево многообра-
многообразие, инвариантное относительно динамической системы
1 dv . ,
1=1, ... t П,
dxt
lim
oo, a>0.
Тогда существуют собственные значения X* уравнения
,{—A+XAv(x)—E]}^N=O, yN<=L2[Rn],
удовлетворяющие соотношениям B.5) *).
Теорема 3.2. Пусть v(x, t) в уравнении Шредингера A.6)
гл. 1 —[п/2]+4 раза дифференцируемая функция, ф(а) дважды
дифференцируема.
Пусть решение ty(x, t) уравнения A.16) гл. 1 удовлетворяет на-
начальному условию
T={q°(a), р°(а)>, *= (х» ...,хп), >= (ри ..., рп); '
тогда решение -ф (х, t) имеет вид
у (х, t)= JG/&SP (а) + zh (x, t), A.2)
=2
(Т)
k
*) Таким образом, при ?=* ?*, Л.п = 1/я удовлетворяются условия ф pdq=*
k
'2n(mh+th/4)h+O(h2), ft=(l, ..., fto), где k0—число Бетти многообразия Г,
— интеграл по ft-му независимому циклу, 1\ — его индекс, т\ — любые целые
к
числа. Эти формулы носят название в физической литературе формул Бора —
Зоммерфельда, или формул квантования старой квантовой теории. В физической
литературе, однако, не были найдены значения констаит 1\. Было известно лишь,
что Zfts?4 [17, 51].
113
I
Канонический оператор, отвечающий атласу Ж(х) в окрестно-
окрестности точки л=х, будет состоять из суммы и членов.
Заметим далее, что при выполнении условий B.5)
а*
К>А-% ф (а) = /а'.?Ф (а), V = - "f- Ьк1 / [а°, а»] + A j* p dq.
а
Условия B.5) независимости оператора К?Х% от вида канони-
канонического атласа в пространстве S в силу теоремы 2.1 и инвариант-
инвариантности Ik сохраняются при сдвиге вдоль траекторий динамической
системы Гамильтона: Г-^-Г,. Мы будем всегда полагать, что /Сд,?
не зависит от разбиения на канонические карты в пространстве S,
т. е. что соотношения B.5) выполнены.
Пусть теперь ф(а) (аеГ) является бесконечно дифференцируе-
дифференцируемой функцией а со значениями в некотором счетно-нормированном
пространстве.
Рассмотрим линейные непрерывные операторы е'(а, К) (аеГ,
Ле(О, 1)) в этом пространстве, зависящие от параметров а и Л,
а также от пути /[а0, а] и бесконечно дифференцируемые по а и
h при h=0, т. е. предположим, что выполняются соотношения вида
A.13). Пусть при Л=0 эти операторы обращаются в финитные чис-
числовые функции е'(а, 0) =е* (а), которые являются элементами раз-
разложения единицы по атласу Ж.
Подобно п. 5 § 1 заменим в операторе Кл'% функции е'(а) на
операторы e*(a,Rz). Мы получим семейство операторов Ka'!t,rz,
K?/yRz, Ka'%,rz, зависящих от е'(а,Rz).
Теорема 2.4. Пусть лагранжеву подмногообразию Г сопо-
сопоставлен канонический атлас Ж с начальной точкой а" и некоторый
оператор Ka%.rz- Пусть Ж:—другой канонический атлас подмно-
подмногообразия Г с начальной точкой а". Тогда существует единственный
оператор вида Ka'!t.rz равный Ka%,rz. При этом.
J
«[a»,a"]
ГЛАВА 3
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Квазиклассическая асимптотика
Теорема 3.1. Пусть Г — компактное лагранжево многообра-
многообразие, инвариантное относительно динамической системы
Х р р\ tl Г
lim lifL =oo, a>0.
1*1-*» У | х |а
Тогда существуют собственные значения kN уравнения
,{—A+Xn[v(x)—E]}tyN=0, ¦^N^LalR"],
удовлетворяющие соотношениям B.5) *).
Теорема 3.2. Пусть v(x, t) в уравнении Шредингера A.6)
гл. 1 —[п/2]+4 раза дифференцируемая функция, ф(а) дважды
дифференцируема.
Пусть решение ^(х, t) уравнения A.16) гл. 1 удовлетворяет на-
начальному условию
A.1)
P=(Pi рп);
тогда решение -ф (х, t) имеет вид
Ф (х, t)= KfigrfP (а) + 2ft (x, t), A.2)
*) Таким образом, при ?=* ?*, Л,„=1/п удовлетворяются условия ф pdq=
k
=2n(mik+/ik/4)A+O(A2), ft=(l, .... ko), где k0 — число Бетти многообразия Г,
ф —интеграл по ft-му независимому циклу, lh — его индекс, mh — любые целые
k
числа. Этн формулы носят название в физической литературе формул Бора —
Зоммерфельда, или формул квантования старой квантовой теории. В физической
литературе, однако, не были найдены значения констант /*. Было известно лишь,
4To;ftS=:4 [17, 51].
113
где Q (a, t), Р (a, t) — решение уравнений Гамильтона
,4,-Л. A—JsigiiL, <-i я,
Q(a,0)=<7°(a), Р(а, О)=р°(а),
а Г \zh(x, t) \2dx-+O при h-+0.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3.2 и ni/сть
носитель R функции ф(а) достаточно мал, настолько, что его образ
Rt на Г« целиком лежит в одной из карт отласа Ж с локальными
координатами pt,..., ph, qh+i,..., qn- Пусть
xn) = Ф**^ (x, t),
т. е. мы рассматриваем решение ij>(x, t) в р-представлении по пере-
переменным Zi xh. Тогда
J |tp (Pi, .... T>k,
... dxn
Фа (a) da
и стремится к нулю вне этой области (ср. гл. 2, п. 3 § 1).
Обобщение понятия канонического оператора на случай, когда
оператор А не является положительно определенным, и на случай,
когда ф(а) есть вектор-функция со значениями в гильбертовом
или счетно-нормированном пространстве, проводится совершенно
аналогично тому, как это было сделано в одномерном случае.
Рассмотрим-уравнише A.13) гл. 1 при at=0, a2=l, 5=0, A=lfh.
В частности, при R=*(oz,H) оно совпадает с уравнением Паули
(табл. 1, п. 5).
Теорема 3.3. Пусть решение -ф (дг, /) (функция со значениями
в В) уравнения A.16) гл. 1 при at=0, аг=\, В=0, A=\/h удовлет-
удовлетворяет начальному условию
Г = {q° (a), p» (a)}
Ир (х, 0) =*КЬКт№
(уравнение Паули; см. табл. 1), ф(а)еС°° и финитна, g(a)
ничный бесконечно дифференцируемый вектор. Тогда
—еди-
—едиa) exp \i\R[Q(atf),t\dt\gla),
Мр (х, t)»
где а" — начальная точка на многообразии Г,
V=
114
Q(a, t), P(a,t), S(oc,t) —решение системы Гамильтона
qi = HPt, А=Я,., $ = Я+2#,
<7@)=<7°(а), р@)-р°(а), S@)=0,
H(q,pJ) = [p+A(q,t)Y—<ba(q,t),
Tt=(Q(a,t),P(a,t)},
R(Q,t)=ie(o2,E(Q,t)).
Для интеграла от квадрата модуля вектор-функции -^(ри ..., рк,
Xk+u • • • > Хп) при начальных условиях, локализованных в окрест-
окрестности точки х0, справедливо следствие теоремы 3.2. Однако для
интеграла от каждой компоненты вектора if следствие выполняться
не будет. Для уравнения Паули это означает, что классической
частице соответствует некий вектор (спиновая ось), который меня-
меняется вдоль траектории по закону
~r (a, t) = exp h J R [Q (a, т), т] dx j r (a, 0),
т. е. спиновая поляризация имеет классический предел.
§ 2. Асимптотика решений релятивистских уравнений
Рассмотрим уравнение A.16) гл. 1 и предположим, что его ко-
коэффициенты принимают значения, приведенные в табл. 2 с 1-й по
4-ю строку (уравнения: волновое, Максвелла, Дирака, Клейна —
Гордона — Фока).
Таблица 2
Уравнение
Волновое
Максвелла
Дирака
Клейна —
Гордона —
Фока
Ф {X, t)
0
<?{х, t)>0
Ф (х, t)
потен-
потенциал
*
с* (х, f)
с\х, t)>0
0
са=const
*
А (х, t)
0
А (дг, /) =
—ЛИЛ1 Ч' •••
...,An(x,t)
векторн.
потенц.
V
0
0
тс — const
S
в
0
см.
табл. 1
0
0
R (х, t)
0
1
е _
— (a, H) -
-Ц*,Е)
0
115
В этом случае уравнение A.16) гл. 1 можно переписать в виде
[-|- - МФ_(х, О]' - с2 (х, О [(V + М А (х, ОJ + A2Y2] +
ft=l
Bk (x, 0 ~- + iAR (x, t) * (x, /) = 0, B.1)
1, «
где тE(jc, t) —вектор-функция: ty(x, t) = (^t, ..., ips), а коэффициен-
коэффициенты принимают одно из четырех значений табл. 2.
Характеристическое уравнение для B.1) имеет вид
~?2—.ф(х,1)]* — <*(х,1) {[VS+A(x, 0]2 + Y2} = 0. B.2)
- °t J
Двум ветвям решения этого уравнения (относительно dS/dt)
dt
B.3)
соответствуют две (v=l,2) системы бихарактеристических урав-
уравнений
;.v _ dHv (?v, pv, t) . ,
Pi = T^ . f = 1, . . . , П,
q=(qi,...,qn), P= (pi, ¦ ¦ ¦, P*), v=l,2,
B.4)
Пусть9@)=<7°(а), р@)=р°(а), Sv@) =0,Г{<7°(а),Р°(а)} - лагран-
жево многообразие. Обозначим
Q"(a, 0 =<7v@, ^v(a. 0-P*@.
B.5)
(«, t) = sv@, Г? = {(? (a, 0, Pv (а, Щ.
Имеет место следующая
Теорема 3.4. Пусть rv(a) (v=l,2) —две произвольные еди-
единичные бесконечно дифференцируемые вектор-функции, a cpv(a)
(v=l, 2) — произвольные финитные функции на Г со значениями *)
в Н.
*) Можно также брать <р (а) со значениями в пространстве обобщенных функ-
Q
ций в Н. Если A=i— , то <pv(a) может быть равно обобщенной функции т:
6(т),в(т),т+,...
116
Существуют решения уравнения B.1), которые могут быть
представлены в виде
хехр
{a, t),
(a, t),
(a), v=l,2,
= L Sv (a°, 0 - ^- bid Qv (a9, 0, 0-
Коэффициенты (sXs-матриц etj (a)) для ^"(х, t), зависящие
от t как от параметра, могут быть найдены после подстановки
4f(x, t) в уравнение B.1) и приравнивания нулю коэффициентов
при степенях Rz. Такая процедура возможна в силу теоремы 3.4.
Элементарным образом может быть найдено решение ф(х, t)
г
уравнения B.1) как линейная комбинация 2 с^(х, t) указанных
V=l
решений tyv(x, t), удовлетворяющее начальным условиям вида
i|> (х, 0) = К7л"яжЧ («) г (a),
, 0) = 0
(при произвольных ограниченных sXs-матрицах etj(a)), или
М? (х, 0) = 0, -g- (х, 0) = КТтя2Ч> («) /• («)
(при произвольных ограниченных sXs-матрицах ч())
В пространстве S (т. е. в нулевом приближении по Rz) в первом
случае, например, нужно положить
Ф*(«)-Ф.(9е(«), 0) +,(-rf с;(9°(а)Г0)У^р°(а) ^ А(9».(а), 0)|а + 7а
и взять полусумму решений ^(х, t) (v=l, 2).
§ 3. Примеры и следствия
Если #=L2[l,oo] —пространство функций от <а, а А — опера-
оператор умножения на а, то поставленная задача в случае уравнений,
волнового и Максвелла, является задачей о коротковолновой
асимптотике решений этих уравнений. В частности, когда Tt при
/=0 есть плоскость р=р0, параллельная координатной плоскости q,
то решение гр1 (х, t) соответствует случаю, когда в начальный мо-
момент имеется плоская волна импульса р0. Подробно физический
смысл такой постановки и связь ее с приближением геометрической
оптики изложены в 5-м издании книги Куранта и Гильберта *). Там
речь идет о постановке и решении задачи в малом, т. е. при таких
*)КураитР., Гильберт Д. Методы математической физики.— М.— Л.:
Гостехиздат, 1951.
117
,, при которых бихарактеристики не пересекаются и якобиан
DX/Dx0 не обращается в нуль (ср. п. 1 § 1 гл. 1).
Из B.6) следует переход от волновой оптики к геометрической
в целом. В частности, для ty(x, t) справедливо утверждение, анало-
аналогичное § 1, п. 1. Получается также, что поляризация решения урав-
уравнения Максвелла имеет коротковолновый предел, а значит, может
наблюдаться в геометрооптическом приближении. Каждому гео-
метрооптическому лучу нужно поставить в соответствие вектор e(t),
который меняется вдоль луча. Для электрического поля Е вектор е
имеет вид еЕ=Уц/еи, для магнитного Н ен=Уе/|лы, где и — единич-
единичный вектор, удовлетворяющий уравнению (ср. [52, 37])
~7 = — (« grad In n) p (a, t),
at
C.1)
где п=сУ|ле. Эта формула справедлива для любого времени t. Та-
Таким образом, наличие фокальных точек не сказывается на класси-
классической поляризации: поляризация не меняется при переходе через
фокальные точки.
Аналогичное утверждение справедливо и относительно поляри-
поляризации спина уравнения Дирака (см. [6.63]). Два решения ipv(x, t)
(v=l,2) в уравнении Дирака соответствуют электрону и позитро-
позитрону [45, 47].
Начальные условия уравнения Дирака удовлетворяют соотно-
соотношениям A.24) п. 6 § 1 гл. 1. Эти соотношения накладывают огра-
ограничения на векторы Р(а) (v=l,2) в формуле B.6). Именно, ока-
оказывается, что вектор Р(а) является нуль-вектором характеристиче-
характеристической матрицы
С = (— If Y(cVS0 + cAf + т2с* •/ —
л.
-f а^тс\ C.2)
где / — единичная матрица.
Ранг матрицы С" равен 2, поэтому существуют два линейно не-
независимых вектора rj(i= 1, 2), которые она переводит в нуль.
Система векторов rj (t= I, 2, v= 1, 2) образует базис в четырех-
четырехмерном векторном пространстве, поэтому любое решение уравнения
Дирака, удовлетворяющее начальному условию if>(x, 0) =
= KT/h.F.hф (а), можно представить в виде линейной комбинации вы-
выражений B.6), если положить в этой формуле
77 = rv (v=l,2, i-1,2).
Рассмотрим решение ty1 (x, t) волнового уравнения, удовлетво-
удовлетворяющее начальному условию
Мр (х, 0) = Ф (x)exv{iAf (x)} g, Л =»*-?-;
от
g — обобщенная функция.
118
Пусть начальное многообразие Г= {|f=«, p=grad/(a)} удовлет-
удовлетворяет соотношению
| р° (а) | V (а, 0) = const. C.3)
Пусть плоскость q=x пересекается с 1\ только в неособых точках.
Тогда число этих точек конечно. Иначе говоря, точка (х, t) не яв-
является фокальной, и уравнение Q (cc, t) =x имеет конечное число ре-
решений «*,..., а*. Поскольку они зависят от х, t, будем писать
а1 (ж. О (Ki<*).
В силу B.6) решение гр1 (х, t) имеет вид
f)] с [а/ (х, t), 0] х
х, f) = с (х, 0 2 Ф
C-4)
где У — индекс по Морсу пути Q(a,'; 0, t), т. е. число нулей
Э(?(а;т)
J(af, x) = det| Э(?(а;
I дае
при
После подстановки выражения C.4) в волновое уравнение и при-
приравнивания нулю коэффициентов при степенях Rz получим, что
" '¦> 0> '] удовлетворяют уравнениям
С [Q (g/, 0, t]
•' с (д/, о) Y\ 1 («'; t) j
где По/1 — оператор Д'Ламбера в «криволинейных» координатах
a', L
Пусть g=Q (т); тогда
Re [ехр {- -f- 7'j exP;|t/ [a/ (x, t)} -A} 9»] -
f (— l)~y/S 6 [т— f [а/ (х, /)]] при у/ четном,
j *- In | т — / [а/ (х, f)] | при y;' нечетном.
Совершенно аналогичное утверждение справедливо относительно
ф(*!:(г, t). Отсюда получается решение задачи A.1)—A.2) гл. 1 в
целом в случае, когда точка (х, t) не является фокальной.
Если точка (х, t) — фокальная, то асимптотика решения по тео-
теореме 3.3 представляется в виде интеграла такой кратности, каков
119
дефект (порядок минус ранг) матрицы
(а, О
да,
в точке (х, t).
Рассмотрим здесь случай, когда многообразие Tt находится в об-
общем положении и дефект равен 1.
Пусть задано волновое уравнение с коэффициентом, не завися-
зависящим от времени. Предположим, что носитель R функции ф(а) столь
мал, что его образ Rt принадлежит только одной карте атласа Зё.
Пусть
i|) (х, 0) =<р(*) exp {iaf (х)}
и
с2(л:) | grad/(*)|2 = const.
Пусть ри x2, .... хп — локальные координаты канонической
карты.
Обозначим через pi значение импульса р' в центральной точке
карты.
Асимптотика при ю—»-оо функции г|з'(х, t) имеет вид
е у ta>
= J7|s с{х)
... дх„
-У,
... дхп
х
х с г (а) ехр {ко/ (a)} exp {ia> (хг — Хг (a, t)) pi} dpx + О A /У"ш),
где
находится из уравнений
i = Pi(cc, t),
(a, t),
функция
= l при
=0 при
i—e и является достаточно гладкой, у — число
II d~Qt (а, т) II
нулей det вдоль полуинтервала 0<t^/.
II **/ II
В двумерном случае, например, при наших условиях ранг мат-
IdQ? (a, t) i
не может быть меньше 1. Поэтому любая фокаль-
f
да/ II
ная точка выражается с помощью одномерного интеграла. Напри-
Например, если проекция многообразия особенностей на плоскость (каус-
(каустика) имеет вид неособой главной кривой, х=х/ — проекция цент-
центра карты, то оси Si и х2 направлены соответственно по касательной
и нормали к кривой в точке х'. Интеграл в этом случае можно уп-
упростить: разлагая подынтегральное выражение по степеням е, мы
придем к сумме функции Эйри и ее производной.
120
§ 4. Система уравнений теории упругости
Рассмотрим систему уравнений теории упругости:
dhi
(к + ц) grad div и + \iAu -+- grad {К div и) + 2?>grad Ц = р •—- ,
г7("ь «а. «з).
где К=Х(х)>>0, ц=ц(х)>0, х=(хи х2, х3) (коэффициенты Ламэ),
р = р(х) (плотность среды)—заданные функции х, принадлежа-
принадлежащие С°°,
— тензор деформации.
Характеристический многочлен имеет четыре действительных
корня. Им соответствуют следующие характеристические уравне-
уравнения [30, 48]:
dt
dt
S?|, о=1,2,
1\, о=1, 2.
Эти уравнения в свою очередь определяют системы уравнений би-
бихарактеристик:
^-^(-lfap^pir' a=1> 2> P = 1' 2- f'=l. 2,3,
t | |
— (%> -«92» лез), pp = tp&i, Pg2,
I
b при р = 2.
о
Пусть Г| — некоторое трехмерное лагранжево многообразие в шес-
шестимерном фазовом пространстве:
Положим в выписанной системе Гамильтона
121
и обозначим, как обычно,
xg @ = Х$ (t, a), pi @ = Pi (t, a), Tit =
, а), Pg (/, а)}
образ лагранжева многообразия Гр при свиге вдоль решений си-
системы Гамильтона, отвечающей функции Sp.
Теорема 3.5. Существуют решения и1 (сг= 1, 2) уравнения уп-
упругости, имеющие следующий вид:
jsi
I {a, *)] + 2|i[J4(a,0l
где ф? (a)eC" (ст=1, 2)—dee произвольные финитные функции
на Г со значениями в Н, а
Л. ind / [ао, «•] _
Пусть ла(а, t) и va(a, 0 — единичные векторы в трехмерном про-
пространстве, ортогональные между собой и ортогональные вектору
R° (a, ?). Существуют решения уравнения упругости, имеющие сле-
следующий вид:
= X
x|na(a, 0 cos Г (-
(a,
где
= 1- Ind /
— Л
а фа^С" (а=1, 2) —любые финитные бесконечно дифференцируе-
дифференцируемые функции со значениями в Н.
Обычно оператор A=i—,а ф(а) — некоторая «разрывная»
ОХ :
функция т (например, т+, б(т), 0(т) и т. д.), умноженная на финит-
финитную бесконечно дифференцируемую функцию а со значениями на
122
прямой. Линейная комбинация решений иЧ в силу произвольности
функции Ф? (г=1, 2, с=1, 2) может удовлетворить произвольным
начальным условиям вида
a), ^ (Xt о) =
п(х, 0) =
§ 5. Стационарный случай
Пусть выполнено условие C.3). Если мы положим A = i—, то
dt
можно будет записать волновое уравнение в виде
с2(л)Дл|з—Л2т1? = 0. E.1)
Это также волновое уравнение по нашей классификации. Если по-
положить А=<о, то мы придем к уравнению Гельмгольца. Переход от
i —- к оператору умножения на со совершается с помощью преоб-
dt
разования Фурье.
Поскольку в физике постановка задачи для уравнения Гельм-
Гельмгольца восходит всегда к постановке задачи Коши для волнового
уравнения, естественно говорить о решении уравнения Гельмголь-
Гельмгольца, индуцированном решением данной задачи Коши для волнового
уравнения.
Аналогичная ситуация имеет место для стационарного и неста-
нестационарного уравнений Шредингера.
Таким образом, формально можно определить решение тр(х, ш)
уравнения E.1) при Л = <а, индуцированное задачей A.1), A.2)
гл. 1, как преобразование Фурье по t @^t<.oo) от решения и(х, t)
задачи A.1), A.2) гл. 1 как от обобщенной функции t, принадлежа-
принадлежащей некоторому пространству обобщенных функций К. Простран-
Пространство К при этом определяется поведением функции и(х, t) при t—»-oo.
Тогда асимптотическое разложение и(х, t) по степеням Rz перей-
перейдет в асимптотическое разложение решения ty(x, at) как обобщен-
обобщенной функции со пространства R (по степеням 1/ш). Не уточняя про-
пространство К и пространства основных функций, мы можем сформу-
сформулировать очевидное следствие из B.6):
тр (х, ш) = с(х)
+ ф {х,
где Ф(х, со) такова, что а>Ф(х, а) принадлежит данному простран-
пространству обобщенных функций R.
В точках, не являющихся фокальными, мы можем использовать
формулу C.4). Однако при t—»-oo число k° может, вообще говоря,
стремиться к оо. Поэтому для улучшения сходимости ряда добавим
под знак суммы член ( 1 1 .От этого первый член асимптоти-
V 1 + Ла /
ки не изменяется. Тогда преобразование Фурье по t первого члена
123
для функции Грина в нефокальных точках будет иметь вид
~*к
ехр
1@
c-»[Q(a*.
2 r
6=0 у
det
,- (a*
. E.2)
где Q (a, t) — решение системы
(Q)
, i = 1, ... , п,
P(a,0)=a, Q(a,O)=g, |a|2 = c2U),
a a*=a*(*i g), **=**(*, i) находятся из уравнения Х(а%, g, **) =x
По-видимому, эта асимптотика справедлива и в случае, когда
с~г{х)—Е—v(x), и мы имеем стационарное уравнение Шредингера
(уравнение смешанного типа). На примерах можно показать, что
полюса функции E.2) (т. е. точки Е—Еп, в которых ряд E.2) рао
ходится) и вычеты в этих точках определяют (приближенно) не
только собственные значения и собственные функции уравнения
Шредингера, как это следовало бы ожидать, но и так называемые
квазистационарные уровни и резонансные точки (ср. [24J).
Эта формула может быть получена другим методом, который
дает более точную оценку. Кроме того, можно написать также и
асимптотику функции Грина в фокальных точках. В настоящей ра-
работе мы, однако, не будем этого делать, поскольку это требует до-
дополнительных конструкций.
Формула E.2), точнее ее аналог для граничной задачи первого
рода, является обобщением известного метода «отражений», при-
меняемогопрй построении функций Грина для прямоугольника.
Задача о коротковолновом асимптотическом разложении реше-
решения уравнения E.1), когда с~2(х)=Е—v(x), эквивалентна задаче о
квазиклассической асимптотике решения задачи на собственные
функции оператора Шредингера
¦ v (х) -ф = k^Sp, х = (х1г ... , хп),
со
f -фа dx = 1.
E.3)
Асимптотика здесь ищется по двум параметрам одновременно:
/^0, fc^oo, E.4)
причем так, что &/i-i-const. В случае, когда v(x) растет как полином,
такая асимптотика совпадает с асимптотикой по одному параметру:
124
Эта задача эквивалентна задаче об асимптотике решения урав-
уравнения E.1) при со-^оо, с~2=Е—v(x)—эту последнюю задачу мы
уже ставили в теореме 3.1. Мы сформулируем сейчас более общую
теорему относительно решения задачи E.3).
Теорема 3.6. Пусть семейство компактных канонических мно-
многообразий Т(Е) непрерывно зависит от параметра Е^{Е°—г, Е°+е}
и является инвариантным относительно динамической системы
Рс = —
= Pi, i, = 1 п,
E.5)
р= (р4, ..., рп), q= (<7. <7„),
где v(q) при |<7|-*-°° стремится к <х> и является бесконечно диффе-
дифференцируемой функцией. Пусть р(Е) — собственная функция унитар-
унитарного оператора сдвига динамической системы E.5), отвечающего
инвариантной мере а{а), т. е.
Ы ? дх{
Тогда существуют собственные значения Ji*(/i) оператора Гамиль-
Гамильтона
i, .... Хп),
E.6)
такие, что Xh(h)—Ek+n(Ek)h = O(h2), где Ek — некоторый набор из
[Е°—е, Е°+е], зависящий от h и такой, что на T(Eh) удовлетворя-
удовлетворяются условия
¦g-(f)pdq = li (mod4), i=*l, ... , l0,
{
где i0— число Бетти многообразия T(Ek), ф—интеграл по i-му не-
независимому циклу, U — его индекс.
Пусть Еы — спектральная функция интервала ДЛ; тогда
[ЦЯдх- ^KZn^i{o.)\t = 0{h), E.7)
где ДХ= {?*—о (А), ?»+о(А)>.
Изложенный ниже метод позволяет также найти приближения
собственных значений с точностью до О{кя), где N — любое целое
число, и сузить в соотношении E.7) интервал АЛ до величины
O(hN). Таким образом, если точка Eh — простая и интервал
125
E*±O(hir) не содержит точек спектра, то получается асимптотика
собственной функции ij)ft оператора Н.
Рассмотрим уравнение Паули
#«Ч> = {(- ih V + А (*))* - Фо (х) - the (а2, H (х))} ф = ЕМр. E.8)
Пусть Т(Е) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы при
Н(х, р) = [р+А (х) ]2-ф (х). E.9)
Оператор вида
самосопряжен в пространстве функций с интегрируемым квадра-
квадратом на Т(Е) по инвариантной мере ст(а). Предположим, что ц(?) —
его собственное значение, а х(°0 — соответствующая ему собствен-
собственная функция. (Заметим, что в случае, когда R = i— (например,
dt
для уравнения Шредингера), то можно положить, в частности, ц = 0,
Х(а)Е=*1.)
Теорема 3.6, а. При высказанных предположениях выполняет-
выполняется теорема 3.6, если положить в E.5) Н(р, q) = (p+A(q)J—Ф„(<7)
и заменить оператор Гамильтона оператором
Нп = [—[ihV + А{х)\* — Фо (х) — ihe](p%, H(x)).
Мы видим, что для уравнения Паули к обычному оператору
сдвига вдоль динамической системы добавляется матрица, харак-
характеризующая изменение спиновой поляризации вдоль траектории.
Таким образом, спин в классической механике существует, но не
сказывается на классической траектории*). Однако при наличии
спина необходимо изучать спектральные свойства не оператора
сдвига вдоль траектории, а- оператора E.10), поскольку собствен-
собственные функции и собственные значения оператора R отвечают задаче
о классической частице, обладающей спином.
*) О существовании классического предела у спиновой поляризации см. [54,
37, 66, 69]. В настоящей работе дано строгое доказательство этого факта, полу-
получена связь с оператором сдвига динамической системы н изучено поведение спина
как вблизи фокусов, так и вдали от них.
ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Уравнения в счетно-нормированных пространствах
и задача многих тел в квантовой механике
Мы остановимся на наиболее общей и наиболее актуальной с
точки зрения квантовой физики и химии задаче, когда в линейном
уравнении с частными производными малый параметр стоит лишь
при производных по некоторым выделенным переменным. Этому
случаю отвечает задача, связанная с взаимодействием тяжелых и
легких частиц, которая, например, имеет место в квантовой теории
молекул или в теории столкновений.
Таким образом, дифференциальный оператор будет зависеть от
двух систем переменных. Пусть переменные, при производных по
которым стоит малый параметр (например, описывающий систему
тяжелых частиц), имеют размерность п. Тогда в дифференциальном
уравнении зависимость от остальных переменных мы можем запи-
записать в виде операторных коэффициентов, зависящих от выделенных
переменных.
Например, уравнение
2/tzi
где
, мы представим в виде
— оператор:
A{Xl)=-
h* a»
2Ш2 дх%
зависящий от Xi как от параметра. Оператор А(х^) неограничен.
В случае, если v(xu x2)^C°°, мы можем сказать, что он переводит
пространство Wt [R] функций от х2 в №*~2 [R]. Таким образом, если
рассмотреть счетно-нормированное пространство WftR], то оче-
очевидно, что оператор А (х±) переводит это пространство в себя.
Функция ty(xu x2) может быть рассмотрена как функция от xt
со значениями в пространстве W? [R] функций от х2. В общем слу-
127
E*±O(hir) не содержит точек спектра, то получается асимптотика
собственной функции if* оператора Н.
Рассмотрим уравнение Паули
Йпур = {(— ih V + А (х))а — Фо (л:) — the (а2, H (х))} Мр=ЕМр. E.8)
Пусть Т(Е) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы при
Н(х,р) = [р+А(х)]2-Ф(х). E.9)
Оператор вида
R = i-j- + ie(o2,H) E.10)
at
самосопряжен в пространстве функций с интегрируемым квадра-
квадратом на Т(Е) по инвариантной мере ст(а). Предположим, что ц(?) —
его собственное значение, а х(°0 — соответствующая ему собствен-
собственная функция. (Заметим, что в случае, когда /? = »— (например,
dt
для уравнения Шредингера), то можно положить, в частности, ц=0,
Х(«) = 1.)
Теорема 3.6, а. При высказанных предположениях выполняет-
выполняется теорема 3.6, если положить в E.5) Н(р, q) — {p+A(q))z—Ф„(<7)
и заменить оператор Гамильтона оператором
А(х)]* — Фа (х) — t
Нп = [-[i
Мы видим, что для уравнения Паули к обычному оператору
сдвига вдоль динамической системы добавляется матрица, харак-
характеризующая изменение спиновой поляризации вдоль траектории.
Таким образом, спин в классической механике существует, но не
сказывается на классической траектории*). Однако при наличии
спина необходимо изучать спектральные свойства не оператора
сдвига вдоль траектории, а* оператора E.10), поскольку собствен-
собственные функции и собственные значения оператора R отвечают задаче
о классической частице, обладающей спином.
*) О существовании классического предела у спиновой поляризации см. [54,
37, 66, 69]. В настоящей работе дано строгое доказательство этого факта, полу-
получена связь с оператором сдвига динамической системы и изучено поведение спина
как вблизи фокусов, так и вдали от них.
ГЛАВА 4
УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Уравнения в счетно-нормированных пространствах
и задача многих тел в квантовой механике
Мы остановимся на наиболее общей и наиболее актуальной с
точки зрения квантовой физики и химии задаче, когда в линейном
уравнении с частными производными малый параметр стоит лишь
при производных по некоторым выделенным переменным. Этому
случаю отвечает задача, связанная с взаимодействием тяжелых и
легких частиц, которая, например, имеет место в квантовой теории
молекул или в теории столкновений.
Таким образом, дифференциальный оператор будет зависеть от
двух систем переменных. Пусть переменные, при производных по
которым стоит малый параметр (например, описывающий систему
тяжелых частиц), имеют размерность п. Тогда в дифференциальном
уравнении зависимость от остальных переменных мы можем запи-
записать в виде операторных коэффициентов, зависящих от выделенных
переменных.
Например, уравнение
(U)
где
i, мы представим в виде
А2 д*\ь , .
2т1 дх\
где A(Xi) — оператор:
зависящий от хг как от параметра. Оператор А{х^) неограничен.
В случае, если v(xu л:2)еС", мы можем сказать, что он переводит
пространство W\ [R] функций от х2 в №*~2 [R]. Таким образом, если
рассмотреть счетно-нормированное пространство W™ [R], то оче-
очевидно, что оператор А(х±) переводит это пространство в себя.
Функция \tp(xt, x2) может быть рассмотрена как функция от xt
со значениями в пространстве W? [Rl функций от хг. В общем слу-
127
чае мы не будем конкретизировать счетно-нормнрованное простран-
пространство, в котором действуют операторные коэффициенты, но во всех
приложениях это пространство есть пространство векторов, нормы
которых принадлежат Wf [R5], где s — некоторое целое число.
Рассмотрим в качестве примера еще одну задачу
ФЬ-о^ФЛ*!. ха, К).
Предположим, что все заданные функции принадлежат С°° по всем
аргументам, а выражения
/ ft 2 =»
^B 2 J
d>
T F (xlt x2, t, h)
* «
max
22 J
dx',
, *«, h)
dxx dx2
dxx dx.
A.3)
A.4)
ограничены при k=l, 2, ... Это означает, что F(xt, x2, t, h) как
функция аргументов х, и хъ принадлежит W? (R2) и непрерывна
по t и h. Пространство функций со счетным числом норм вида A.3)
или вида A.4) мы будем обозначать соответственно Wf[R2, C2] и
Мы убедимся (см. гл. 5), что решение ^(лг^ х2, t, К) задачи A.2)
удовлетворяет условию
Иначе говоря, найдется такое Af, что если
. V (xlt x2, t, h) e= W? [R2, С2], % (х1г х2, h) t=W% [R2, Сг],
то
причем
lim m (N) = оо.
Мы здесь не выделяли переменных t и xlt при производных по ко-
которым стоит малый параметр h. Однако мы можем рассматривать
пространство W% [R2, Сг] как пространство W"[R, Ca] функций
от хи t, h со значениями в пространстве W% [R] функций от х2.
Таким образом W% [R2, С2] з ^ {R, C2> W^ [R]}.
128
Действительно,
= тах 1/
V
/
A.5)
Пусть {S'v} — некоторая последовательность банаховых про-
пространств:
N=1,2, ...,
определяющая счетно-нормированное пространство В°°.
В общем случае мы будем рассматривать пространство функций
от хи х2, ..., хп, t, h, принадлежащих WT [Rn. Сг], со значениями в
некотором абстрактном счетно-нормированном пространстве В°°,
которое мы обозначим через
со счетным числом норм вида
max
Ъх~
^с=ах^.. .dxn, xn+l = t.
dx
A.6)
Аналогично, через C°°[Rn+i, Cit B°°] мы обозначим пространство
со счетным числом норм вида
max
. A,7)
Пусть на многообразии Г задан некоторый набор базисных век-
векторов Xv(a) (v=l, ..., г), принадлежащих некоторому счетно-нор-
мированному пространству Б°° и бесконечно дифференцируемых по
параметру а, в том смысле, что производные этих векторов по а
вновь принадлежат В°°.
Канонический оператор КХ'/%,т,н, переводящий функцию вида
г
2 <Pv (°0 Zv (О)
со значениями в В°° з некоторую функцию от хи ..., хп со значения-
значениями в Б™, определяется обычным образом.
Напомним, что е1 (а, 0) = ei(a)I, где /—единичная матрица з
этом подпространстве. Функции (е'(а)} являются разложением еди-
нецы по каноническому атласу Ж.
5 В. П. Маслоа 129
§ 2. Асимптотика решения задачи Коши уравнений
с операторными коэффициентами
Мы будем изучать асимптотику решения уравнения C.7) гл. 1.
Рассмотрим в счетно-нормированном пространстве Выявляющемся
пересечением банаховых пространств В1, Вг, .. ., Вя, ... таких, что
Bi+i^B\ оператор
2 (р1у ..., рп, Pn+i, х„ ..., хп, t, h),
зависящий от 2«+3 параметров и отображений В" в себя. Мы пред-
предположим, что оператор 3? бесконечно дифференцируем по всем этим
параметрам в области peQ,, x^Qx, Q^t^.T и что все его частные
производные отображают В°° в себя.
1) Предположим, что В1— гильбертово пространство.
Мы предположим, что существует собственное значение
Х(р, ра+1, х, t) операторов 2>0=2'(Р, Рп+и х, t, 0) и &> =2"(Р, Рп+и
х, t, 0), зависящее от параметров р, pn+l, x, t. Пусть кратность этого
собственного значения одинакова для 2?а и 3?"а, не зависит от па-
параметров и либо конечна, либо i?<>= 2?о = ^(Р> pn+i, x, t). Пусть
собственные функции операторов 3?(р, рп+и х, t, 0) и 2"(р, рп+±, xy
t, 0), соответственно
Xl(P. Рп+и X, t),Xz(P, Pn+i, X,t),..., %T(p, pn+i, X, t),
Xi (P, Ры, x, t), X2 (P, P»+i, x, t), ..., X? (p, Pn+i, x, t),
отвечающие Х(р, pn+u x, t), принадлежат В°° и
Из последнего неравенства следует, что можно выбрать х»
(t=l, .-.., г) таким образом, что (х?, %з)=Ьц- Обозначим через. Рх
проекционный оператор- на собственное подпространство операто-
оператора З'а, отвечающее Х(р, pn+i, x,t),a через Р% — проекционный опе-
оператор на подпространство, натянутое на векторы %ti%2> •••¦Хл.
Предположим, что оператор
, Рп+их, t, 0) — ЧР, Рп+их, Щ [1— РхГ1 U—t
,x,t,h) = ^Ak{p,x,t,h)pn
существует в В" и определен всюду в В°°, а
&(р,
Положим
=2 Ak{-ihit; ~
-ih jr
BЛ)
130
где операторы Aft определяются формулой
дхг ' ' ' '' * дхп ' Xl' ' ' •' *"' ' ) * ~
эо оо
= BяЛ)"" j eWtfp J Л& (р, х, t,
—ЭО —JO
2) Мы предположим, что решение задачи
N*
t) dg. B.2)
B.3>
где г и sk (k = 0, ..., т—1)—некоторые фиксированные числа, а
?Г=&'(х, t, h) и ф>—фо(<Х| h)—произвольные бесконечно диффе-
дифференцируемые функции х и непрерывные функции h и t со значе-
значениями в В°°, существует и единственно в классе таких же функ-
функций*). Наконец, предположим, что характеристическое (в смысле
§ 3 гл. 1) уравнение Х(р, pn+i, x, t) =0 имеет действительный корень
Pn+i — ^(p, х, t) постоянной кратности и, следовательно,
Пусть Q(a, t), P(a, t)
Щ дН
Эр,
решения уравнений
'П+1
dt
дР,
dt
1, ...,«,
B.4)
dQe '
удовлетворяющие начальным условиям
принадлежат С°° и лежат соответственно в областях Qx и Qp.
Заметим, что из этих-условий практически в конкретных кванто-
вомеханических задачах нужно проверять лишь условие постоянной
кратности и изолированности точки Х(р, pn+l, x, t). Из остальных
условий нетривиальными для дифференциальных операторов явля-
являются: а) принадлежность собственных функций х» Хс пространст-
пространству В°°; б) существование решения х^?°° уравнения
u х, t, 0)—X]y = F,
где F^B°°; в) существование и единственность решения уравнения
B.3). Эти условия проверяются для уравнений квантовой механи-
механики с помощью энергетических неравенств.
При этих предположениях справедлива следующая
*) Этот класс функций F(x, t, h) есть пространство со счетным числом норм
виДа "!ах._II Dг) n=c,t,h)\ D=1,2,...)-
5*
131
Теорема 4.1. Пусть Го= {<7J(«)- Р°(а)} —лагранжево много-
многообразие, а0 — его начальная точка.
Для каждой финитной бесконечно дифференцируемой по а и
ограниченной при О^Я^ 1 вместе со всеми производными вектор-
функции
<р„ (а, К) = {ф01 (а, К), . . . , -фог (а,
существует решение уравнения
представимое в виде
! <Pv (а, *, Л) Xv [Р (а, О, Q («, О, 'Ь
B.6)
B.7)
где Г,= {<2(а, 0. ^(а> 0). а° —начальная точка на многообра-
многообразии Г4)
у = —-5- bid Z [а
, а?] + у j /—
+ 2 /**?<) , B.8)
»,а]
а <р= {ф4(а, /, ft), ф2(а, *, Я), ..., фг(а, if, ft)} удовлетворяет урав-
уравнению
дРп
J_4
2 ^
Xn+i=?t, p = P(a, t), x=Q{a, t), и начальному условию <р|(=о=.
==<po(a,h).
. В случае, когда 2й = 3?'а =к{р, р»+1, х, t) в предположении, что
С. 3S3 \
eXPV~aft" J —отображение В°° в себя, ф удовлетворяет урав-
уравнению
aPn+1 at
2 ^dpjdxj
dh
ft=0
Напомним, что равенство B.7) справедливо с точностью до функ-
функций, бесконечно дифференцируемых по х и t и вместе со всеми свои-
своими производными имеющих порядок O(h°°).
Укажем на следующее важное обобщение теоремы 4.1.
Пусть А — замкнутый оператор с плотной областью определе-
определения D (А) <=Б* (i=l, 2, ...).
132
Пусть A+еЛ)-1 существует и определен всюду в В* (i= 1,2,...),
причем
Ю + еЛГ1!)^!, i=l,2,...,
при всех е>0 и при всех е чисто мнимых, и пусть А~1 существует.
Заменим формально в операторе 9? параметр ljh на оператор А.
Теорема 4.2. В предположениях теоремы 4.1 существует*)
решение уравнения
представимое в виде
a, t) Xv [Р (а, 0, Q (а, 0, fl, B.10)
где у, o-t, Г«,'х„ Р{а, t), Q(a, t) определены в предыдущей теоре-
теореме, а ф,(а, t) удовлетворяет уравнению B.9) и начальному усло-
условию фv(a, 0) = Ф°(а), где Ф°(а) (v = l, ..., г) — произвольные фи-
финитные бесконечно дифференцируемые функции.
Из этой теоремы следуют все предыдущие результаты относи-
относительно асимптотики задачи Коши.
Положим в теореме 4.1 m=l, Ai==l, а А0(р, х, t, h) —
^S'ip, x, t, ft). Пусть 5?а = 2? (р, x, t, 0) самосопряжен в В1. Мы при-
придем к следствию.
Теорема 4.1, а. В предположениях теоремы 4Л решение за-
задачи
c,t,h)y>, B.11)
B.11а)
может быть представлено в виде
_, „о г
гбе
B.12)
P(a, ^), Q(a, /) определены ранее, а
ф(а, ^,Л) = {ф1(а, t,h),...,<pr(a,t, h)}
•) Заметим, что в этом случае в C.3) надо заменить h на 1/Л, а F и %, оче-
очевидно, не зависят от h и принадлежат пространству функций со счетным числом
| / ? \ * ц
норм тпах_|||—i F\x, t)\\ (k=],2, ...).
133
w
удовлетворяет уравнению
dx \ п
1a
a 1
+
+ -г'
и начальному условию
' B13>
Из общей теоремы могут быть без труда получены асимптотиче-
асимптотические формулы (в целом) для решения гиперболических систем с ос-
осциллирующими или разрывными начальными данными.
В качестве примера рассмотрим слабо связанные гиперболиче-
гиперболические системы. Теорема 3.4 и все примеры гл. 1 также следуют из
теоремы 4.2.
§ 3. Гиперболическая система
Рассмотрим слабо связанную гиперболическую по Петровскому
систему вида
*••¦¦*»
S, « = (ии .. . , Ur),
где ant...kn+l (x, t) при ?,+ ... +kn+,<s—матрицы порядка г. Вве-
Введем следующие обозначения: через
а / д д Л
А , —, х. t)
V дх dt ' ' }
обозначим главную часть оператора L:
' в г Л _ vi - д*
'~дТ' ' )~k+ 2
а через
«*!-.*„
— матричный оператор вида
°* * ' "
Мы предполагаем, что
134
1) кории H—Hv(x, p, t) многочлена А(р, Н, х, t) —0 относитель-
относительно Н действительны и различны;
2) многочлен по р: Л(р, 0, х, t) неотрицателен, причем, если
3) коэффициенты уравнения принадлежат С°°.
Характеристическое уравнение для C.1) имеет вид
ds ds „л п C4)
Корням
' = 1, . . ., s,
C.5)
этого уравнения отвечает s бихарактеристик, удовлетворяющих
уравнениям Гамильтона вида A.2) гл. 1 при v=l, ..., s.
Теорема 4.3. Пусть А — произвольный самосопряженный опе-
оператор гильбертова пространства Н, <р (а) — произвольная финитная
бесконечно дифференцируемая вектор-функция на многообразии Г
со значениями в Н. При высказанных предположениях относитель-
относительно гиперболического уравнения C.1) существуют такие его реше-
решения и(х, t) вектор-функции со значениями в Н, которые могут быть
представлены в виде
= - -=- Ind / [а°, а,0] + Л Г (-
^РЧа, t), q*=
(a, t), P"(a,t),t],
] j —иг/гь, соединяющий
a? —начальная точка атласа Зё,, 1[а°, с^]
точки а" и а' и принадлежащий пленке /?,.
Этот запас решений достаточно велик, и их линейная комбина-
комбинация отвечает решению рассматриваемого уравнения C.1), удовле-
удовлетворяющему произвольным начальным условиям вида
135
W
где Г* (f=l, .--, s) —произвольные лагранжевы подмногообразия,
Ф«(а)—произвольные финитные бесконечно дифференцируемые
вектор-функции на Г' со значениями в пространстве Н. Сюда, в ча-
частности, включаются случаи осциллирующих и разрывных началь-
начальных условий, рассматриваемых в книге Куранта [19]. Это вытекает
из следующего замечания.
Как и ранее, на обе части равенства в теореме 4.3 можно подей-
подействовать оператором А". При этом мы получим в правой и левой
частях равенства обобщенные в смысле § 1 гл. 1 функции. Функция
A"u(x, t) будет являться обобщенным решением рассматриваемого
уравнения. Поэтому, если A — i ——, а Н — пространство L2[R]
функций от т, то мы можем положить ф(а) = g(t)f(а), где g(x) —
обобщенная функция, равна Лг-й производной от непрерывной функ-
функции, a f (а) —финитная функция со значениями на прямой.
В случае осциллирующих начальных условий надо положить
H — Lz[$t] — пространству функций от о> на отрезке [1, оо], Л = о —
оператору умножения на ш, <р(а) = gf(a), g = —eL2[R]. Тогда
(О
=1, Аи(х, t) есть функция, зависящая от параметра и, а
§ 4. Асимптотика собственных значений уравнения
с операторными коэффициентами
Рассмотрим пространство В™, где Б1 гильбертово.
Рассмотрим оператор
= L (хг
•и
, хп, — th
., д ,
, . . ., — ih ——, h
. . . дхп
введенный в § 2. При этом дополнительно мы полагаем, что этот
оператор не зависит от t. Предположим, что этот оператор самосо-
самосопряжен в гильбертовом пространстве L2[B'] = W\ [Rrt, Б1] функций
от хи ..., хп со-значениями в В1 и что условия 1), наложенные на
этот оператор в § 2, выполнены. Сверх того, мы предположим, что
спектр оператора L не является предельным при к=Е°.
Предположим, что существует семейство компактных замкну-
замкнутых лагранжезых многообразий Г(Е) без края при
где е>0, такое, что
1) Т(Е) непрерывно зависит от Е;
2) Н{р{а), q{a))=E при аеГ(
оператора L);
3) Г?(?)=Г(Е).
В качестве меры о (а) на многообразии Г(Е) мы возьмем меру,
инвариантную относительно сдвигов вдоль траекторий гамильтоно-
вой системы. В пространстве функций с интегрируемым квадратом
136
(//(р, q)—гамильтониан
на Г по этой мере оператор *)
' 3MU
на многообразии Г(Е) самосопряжен. Предположим, что \i(E) —
его собственное значение, а |(а) —соответствующая ему собствен-
собственная функция.
Теорема 4.4. Пусть {Ег}а& (i=l, ..., i0) — зависящее от h
множество из !S такое, что на Г(?') удовлетворяется система урав-
уравнений
a) = lk (mod4),
D.1)
где ф обозначает интеграл по k-му базисному циклу многообразия
Т(Е{), lh—индекс этого базисного цикла, k0 — одномерное число
Бетти многообразия Г(Е'). Тогда существует подпоследователь-
подпоследовательность X' собственных значений оператора L такая, что
К*=Е!—hii(E')+O(h2),
а спектральная функция ЕА>. интервала
АХ = {Я1—о (п), Я'+о (h)}
оператора, L удовлетворяет соотношению
D.2)
D.3)
Заметим, что в случае, когда г=1, а %(х, р) действительна, зада-
задача сводится к отысканию собственных функций и собственных зна-
значений оператора сдвига вдоль гамильтоновой системы (или опера-
оператора i —) на многообразии Г. Эта задача широко изучена **). Кро-
Кроме того, мы можем взять в этом случае ц=0, | (а) = 1.
В качестве примера рассмотрим оператор Гамильтона вида
Я = —
2М
*) Напомним, что скалярные произведения здесь берутся в В1.
**) В противном случае см. [1].
D.4)
337
где
74 = (Xi, у и Zi), Г2 =
д
г, Zz),
, t = 1,2,
е —заряд, а //«• A rt—Рг|) —оператор Гамильтона общего вида для
системы N электронов в поле двух неподвижных протонов (см., на-
например, [48]). ^
Оператор Гамильтона Н отвечает двухатомной молекуле.
Пусть E{\fi—fz\) — некоторое собственное значение оператора
Ля(i?i—rz|) (так называемый электронный терм). Мы предполо-
предположим, что функция
е F7\
\
имеет минимум (т. е. терм E(\rx—F2|) —устойчивый (см., например,
[20]). Для простоты будем полагать, как это обычно имеет место,
что этот минимум единствен. (Это условине несущественно.)
Будем искать асимптотику собственных значений оператора Н,
расположенных вблизи точки V, лежащей между минимумом и аб-
абсолютным максимумом функции u(|rt—F2|). В этом промежутке
спектр Н дискретен (см.[10]).
Мы предположим, что кратность собственного значения
Е(\гх—r3\) остается постоянной в области (rt—гг)ей, для которой
и(\гх—г2|) ^А,0, т. е. что в этой области терм ?(|ri—F2|) не пересе-
пересекается ни с каким другим. Пусть эта кратность равна 1. Нетрудно
доказать, что при этих ограничениях оператор #w(|Fi—г2|) удовле-
удовлетворяет условиям 1), если в качестве В°° взять^а* [R3WL a оператор
Н — условиям теоремы 4.4.
Обозначим через а линейные размеры молекулы.
Перейдем в D.4) к безразмерным переменным. Положим р4==
— rja, p2 = rs/a и разделим D.4) на Fo= min ?(|Pi—r2|). Мы по-
лучим оператор"
.^.д ^1д _1 El
2 2 |?г-р2|
1 Pi — p,|,ai,a,L
где
aV0 ' "" a VmVo
(m —масса электрона). Здесь
(o=l. 2) снова обозначена
через До. Поскольку для реальных молекул v^—10~3—10~4, а а4 и
а2~ 1, можно рассматривать v как малый параметр и искать асимп-
асимптотику уравнения
при V—>-0. Гамильтониан оператора 36 имеет вид
*- + =
Pa))
2 ' 2 Pi—Pa ^o
Ему отвечает следующее уравнение Гамильтона — Якоби:
-f _
IPi — Pal "о
Введем новые переменные
r=pi—Ра, Л = р1+р2.
Мы получим, обозначая через V^ и V- операторы V по переменным
Лиг соответственно,
1
Таким образом, переменные разделяются, и, полагая S=S(r), полу-
получаем
чаем
дг ) г* [дб J r2sin26 \5ф / г Vo
Нетрудно убедиться, что условия D.1) в данном случае будут
иметь вид
—огф)=яB/+1),
где г, и г2 — нули подкоренного выражения.
Таким образом,
где Я,? удовлетворяет уравнению
Заметим, что известный метод Борна — Опенгеймера (адиабатиче-
(адиабатический метод) может быть применен к решению поставленной задачи
лишь при дополнительном условии k~ 1 (см. [48]).
138
ГЛАВА 5
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В МАЛОМ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛНОВОГО ТИПА
Асимптотика в малом, т. е. при достаточно малом t, для решения
системы уравнений гиперболического типа с разрывными и быстро
осциллирующими начальными условиями была доказана в матема-
математической литературе (см., например, [55, 4, 60, 53, 19, 62, 57, 3]).
Формально квазиклассическое разложение в малом для уравне-
уравнений квантовой механики, совершенно аналогичное асимптотическо-
асимптотическому разложению вышеуказаных задач, было выписано в физической
литературе [11, 56] (см. также [50, 22, 55]).
Настоящая глава посвящена доказательству этих формул, кото-
которое основывается, с одной стороны, на теореме 2.2 теории возмуще-
возмущений; с другой стороны, на оценке обратного оператора в том или
ином пространстве*). Математическое обоснование этих формул
может быть проведено следующим образом: 1) Доказывается, что
подстановка этих априори взятых асимптотических формул в урав-
уравнение дает выражение порядка ( — 1 (так называемая «невяз-
«невязка»). 2) Оценивается обратный оператор. Отсюда получится оценка
разности между точным решением и данной асимптотической фор-
формулой. Заметим, что в фокальных точках и сами асимптотические
формулы, и невязка обращаются в бесконечность. Для уравнений
туннельного типа такая схема, однако, не годится. Мы здесь при-
приведем несколько.измененную схему доказательства, которая будет
в дальнейшем нами перенесена и на уравнения туннельного типа.
1 а
*) Заманчиво было бы (см. [14]), заменив — на (' (переход к «пятиоп-
п до
тике»; см. [36, 34]}, свести задачу о каазнклассической асимптотике к задаче,
рассмотренной Людвигом [62], об асимптотике гиперболических систем с осцил-
осциллирующими начальными данными. Нетрудно убедиться, однако, что полученная
таким способом задача отнюдь не удовлетворяет условиям теорем Людвига и
Лакса. Более того, задача о квазиклассической асимптотике сводится, таким об-
образом, для уравнения Шредингера, например, к весьма сложной задаче с началь-
начальными данными, лежащими на характеристике. Эта задача не охватывается даже
теорией «униформизации» Лере [55]. Для релятивистского случая плоскость
^ = 0 может не быть даже (при некоторых соотношениях коэффициентом) прр-
странственноподобкок. Эти дополнительные затруднения связаны с тем, что точка
д I
л=0 является точкой спектра для оператора i —— , в то время как —=^=0.
dS h
Кроме того, приведенные нами доказательства дают возможность
опираться на теоремы 2.2 и 2.6 абстрактной теории возмущений.
Это, с одной стороны, упрощает доказательство; с другой стороны,
снижает требования на гладкость коэффициентов уравнения.
§ 1. Асимптотика решения уравнения Шредингера в малом
1. Квазиклассическое представление. Вначале построим харак-
характеристическое (квазиклассическое) представление для уравнения
Шредингера
ih-?- = Л if + v(x)ip, x = (xl7 ...,xn). A.1)
Соответствующая система бихарактеристик (з смысле § 2 гл. 1)
имеет вид уравнений Гамильтона
dv . л
Xi = /Jj, pi = — , I = 1, . . ., П.
"xi
Предварительно докажем лемму. Рассмотрим общую систему
Гамильтона
дН
dpi
дН dS
дН
A.2)
Предположим, что третьи производные непрерывны и что система
A.2) имеет «-параметрическое непересекающееся семейство ре-
решений
х(р, t),
——J удовлетворяет уравне-
нию непрерывности
Доказательство. Рассмотрим У —det
дх{.\
A.3)
Очевидно,
что
где определитель Д- получен из Y заменой элементов t-й строки на
dp,- (/= 1, .... л). Но ЗГ<(Р> t] =— и, значит,
dt
д2х, "
**i
140
141
От остальных строк определителя Dt линейно не зависит только t-й
член суммы, поэтому
т. е. dY/dt=YAS; следовательно,
dY-'/dt+Y-'AS^O.
Отсюда dY^Jdt+grad Y~' gradS+Y-lAS = O.
Для "]/У-1 получаем уравнение
+ di
^1 grad 5) + grad 5 grad УУ4 = 0.
Перейдем к выводу характеристического представления для
уравнения A.1). Подставляя
г|з (х, t) = /f=i exp S-L S {x, Ol ф (x, t) A.4)
I» J
в A.1) и учитывая, что для любой дифференцируемой функции
а 5 удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби
dS . 1
получаем
= -±h*A (У-%Ф) — jih [div(Y~\gradS) + grad 5grad Y].
Отсюда
ih {^ + -i- [div Y-'A grad 5 + grad S grad У"'7']} cp +
+ ЙУ-* g-+ grad S grad <pj==-^- А (Г* A.5)
Сделаем замену ф(х, О=ф(^(Р, 0. О=ф(Р. 0- Очевидно, что
Из A.6) и A.15) получаем окончательно
A.7)
где Дц — оператор Лапласа в «криволинейных» координатах р. Это
и есть характеристическое представление уравнения Шредингера
в малом.
2. Оценка обратного оператора. Рассмотрим оператор Гамиль-
Гамильтона
LJ ^ А I „ /у f\ „ __^ /у „ \ /л О\
су l-\»/f \Х» »/* \*/
в пространстве L2[Rn].
Обозначим через L4[L2] пространство интегрируемых по Бохне-
ру функций от / на отрезке [О, ^0] со значениями в L2[R"]. Через V
обозначим прямую сумму L,[L2]®L2. Пусть C[L2] — пространство
непрерывных функций на [0, t0] со значениями в L2.
Нормы в этих пространствах имеют вид
Ш =5 \/\\g{t,x)pdxdt, gGL, [La],
О oo
= max l/ Г I g (t, x) |a dx.
имеем
, feL2)
Рассмотрим оператор L с областью определения в V и областью
значений в C[L2], действующий следующим образом:
Lg(t, х) -
f 5«tt x),
V,
В силу леммы 3.1 ч. I, в частности, имеем HL!!!^const. Если v(x, t)
не зависит от t, это следует из самосопряженности оператора Н.
Действительно, если Lu(t, x) = {f{x), @~{x, t)}, то
= exp [j
t
f + j exp j-i Я (< - т)| У (x, т) Jr
Отсюда
И'.х;
шах
142
A.9)
A..Ю)
143
Рассмотрим пространство r2[R"] функций от Р= (р4, ..., Р„) |
с нормой
Ему соответствуют пространства Lt[Lz], C[L2].
Оператор М:
Mf (P, t) = У-'Л (Р (х, t), t) exp i-i 5 (P (x, t), 0I / (P (*, 0. *)
унитарно отображает пространство L2 на L2.
Действительно, пусть g(x, t) = У-''*ехр i^-S(x, t)lf($, *)>
\ ft J
тогда
| g (x, t) f dx =, J [ / (p, 012 У'1 d$=ll | / (P, 012 dP.
Точно так же оператор М отображает V на V, L4[r2] на Lt[L2]
и С[Г2] на C[L2] с сохранением нормы.
Оператор L при "таком отображении переходит в оператор L± с
областью определения в С[Г2] и областью значении в V. Очевидно,
что ||L11^ U. В силу изложенного выше оператор Lt действует сле-
следующим образом:
где
? —оператор Лапласа в координатахр).-
3. Ряд теории возмущений. Рассмотрим теперь оператор
Lo: C[12]-+V вида
и оператор Й,: C[L2]-+V вида
Имеем Li = Lo+ihS1, причем
Кроме того, если функции /(р), ^(р, 0 2й раз дифференцируемы
по р и потенциал v(x, t) 2k раз дифференцируем по х, то выраже-
выражение Lo1 (HiL^ftfifi), ^(p, t)} существует и принадлежит C[L2].
Следовательно, все условия теоремы 2.5 выполнены, и мы имеем
144
для
где
2
р),
ПРИ А-»-0. В частности, если g-={0, ^"(p, ?)}, то
xg (Р, *) = $*¦ (Р. 0 Л, ^Zo1^ = (о, Ях J ^" (р, t) dt\ ,
о Л о J
t' J jT(p,
?гг{о,гГ(Р, о> =
ft / 4-х ti
= 2 Л' J Я^/х .. . J Я^/,., J ^- (р, /,) ^ + А*гл (/, р).
i=O О 0 0
Аналогично,
ft < /, //-.
?г1{/(Р,о)}=2^р1^1}я1
»=о о о
Следовательно, решение задачи
ди ,, „,
+ А*%(/,р).
имеет вид
«(о,Р)=/(Р)
к t
u(t,V) = 2hi[H1dt1...
j=o о
+ hkzh (t, p),
где max||zft(^, P) 1!т2-*О при /г-ч-0, если выражение, стоящее под зна-
знаком суммы, является непрерывной функцией от t я интегрируемой
с квадратом функцией от р.
Аналогичное утверждение справедливо и в случае, когда /(Р) =
= /(р, h) есть аналитическая функция от h.
Рассмотрим теперь задачу
dt 2 ' A v • /
Ч> 1^=о = ^о = Ф(х, h)exp S±S0(x)\. A.12)
Теорема 5.1. Решение задачи A.11), A.12) при условии, что
™ — ^ ' — ^4, представило в виде
'» ") ~Г 2ft (р, t).
Этот результат, так же как и результаты § 2, очевидным обра-
образом переносится на случай, когда потенциал зависит от времени.
§ 2. Теорема вложения для абстрактных функций
и оценки в счетно-нормированных пространствах
1. Теорема вложения. Для дальнейшего нам понадобится сле-
следующая
Теорема. Пусть А — самосопряженный оператор в гильберто-
гильбертовом пространстве В такой, что А~1 существует, IKl-f-еЛ-1) ||<.1 при
8>0 и е чисто мнимом. Пусть feijR", В] принадлежит области
определения оператора (d/dxi)lnm+i (t = l, .... и) и Л[Т1/2)+1. Поло-
Положим ап = ((—1)" + 3) /4. Тогда Vrai sup f Ла"ф (х) fB < const.
Доказательство. Обозначим
Имеем <&(x) = (R?l)ln/2i+i&-(x), где /&= A+Л)-1. Заметим, что
%AR-j. || < 2, поскольку AR-i = 1 — R-i.
Обозначим
Тогда
= |^-|, @~(p) = Фх&~(х) фурье-образ P'i.x).
oo
Г exp {— LApx) ЗГ (p) dp
(RA
яГ/2 J
= BяГ/2 J
V
'Имеем
= J | [(_ Д)«
ф ф |2
Если [га/2] + 1 четно, то ограниченность правой части равенства сле-
.146
дует из условия теоремы вложения. Если же [л/2] + 1 нечетно, то^
используя тождество
(-Д)%/(*)Р=-- ^ К—A)
= - J
= J
получим
ф
= _ J (_
д ц_ A)HW.l ф (JC)] dx =
оо
= J 1 V (— V)*l4/>1 Ф (л:) I2 d».
Ограниченность последнего интеграла следует из условия теоремы'
вложения. Аналогично, доказательство проводится и для А, удовле-
удовлетворяющего условию [|A—еЛ)!!^ при е>0 и е чисто мнимом.
Общий случай получается с помощью разложения А=А++А~, где-
А+ и А~ — неотрицательные операторы.
Замечание 1. Если оператор А положительно определен,.
Л существует и ограничен, то в этом случае в теореме вложения'
вместо R-i мы можем брать
2. Операторы в счетнотнормированных пространствах. Рассмот-
Рассмотрим пространство Sh со счетным числом норм вида
M>m= max [ (ih-^)xmp'gr(x, t, A) |, k, m, /= 1, 2, .... B.1>
где
1*1«»
14Г
Рассмотрим также пространство Rh. со счетным числом норм вида
!j <Г Ц,т>/ = max \\[ih -ЦА х'"р!<Г (х, t, h) |2 dx.
Лемма 5.2, а. tf г/стъ &~^Rh; тогда
Доказательство. Обозначим
Очевидно, что
рВ.ГЙ —
V dp
Следовательно,
^(Р, <, А) = <Df/* [— *f
\ ох
, *, А).
'Отсюда следует утверждение леммы 5.2, а. Очевидно, что Sh вложе-
вложено в Rb.
Лемма 5.2. Пусть g^R*; тогда *)
B.2)
Доказательство. В силу теоремы вложения
(С„|| ;
ih-^-)xmplg{x, /, ft) | <
Следовательно, h"*2g^SnCzRh. Лемма доказана. •
Рассмотрим следующие пространства: W\ (p) с нормой
я КЛх, р) с нормой
оо
Теорема 5.2. ?Ъш ysSft, то
Предварительно докажем две леммы.
*) Точнее, ^(лг, f, А) можно изменить на множестзе меры нуль так, чтобы вы-
выполнялось включение B.2).
148
Лемма б.З. Пусть существует I ограниченных производных
v(x); тогда оператор exp-j — ffti равномерно ограничен в про-
пространстве W[ (р) при 0<А^А0, 0^^tt.
Доказательство. Нетрудно убедиться в том, что имеет ме-
место тождество
\Ь, ехр ^Я/}]=-^
, Н\ ехр
'. B.3)
(Здесь [ , ]—коммутатор, т. е. [А, В]=АВ^-ВА.) Оно приводит
к неравенству
|! Bg \и ^ || By \и + ~ max | [S, Н] g \u,
h os.'^.'t'
B.4)
где
¦зо
Предположим, что лемма справедлива при l—k. Очевидно, что
коммутатор [pk+l, H]=[pk+l, v(x)] в силу ограниченности произ-
производных v(x) будет ограничен в W\. Из B.4) вытекает, что если
у р= Wi^\ то норма ||pft+1g'lli,j ограничена, поскольку по индуктив-
индуктивному предположению g<=Wt. Лемма доказана.
Лемма 5.4. Пусть I производных v(x) равномерно ограниче-
ограничены.. Тогда оператор ехр J — Htv равномерно ограничен в простран-
пространстве Kt(x, p) при 0<A«SA0, O^ts^t,.
Доказательство. Сделаем индуктивное пред положен ие.-
Предположим, что g^Ki-i и что норма \\xm-lpl~m+lg\\L.2 ограничена.
Докажем, что g^Kt, тогда норма \\xmp!-mg\\L2 тоже будет ограни-
ограничена. При т=1 индуктивное предположение выполняется в силу
леммы 5.3. Первый член правой части тождества
1, H]g=x™ [р'Л v (х)] — ih
ограничен по норме в L2, поскольку g^Kt-i, а второй — в силу на-
нашего индуктивного предположения. Из B.4) следует, что норма
\\xmpl-mg\\Ll также будет ограничена. При /=1 индуктивное пред-
предположение очевидно. Лемма доказана.
Докажем теперь, что если g^Rh, то g= ехр l^-Ht\y^Rh
iтогда из леммы 5.2 будет следовать утверждение теоремы). Для
этого остается доказать, что норма fiA — j g I равномерно огра-
II V ot J \\U
ничей а при 0<.h^.h0, Q^.t^.tl, если y<^Rh, Это следует из
149
тождества
Теорема доказана.
Из последнего рассуждения следует также следующая важная
для дальнейшего
Теорема 5.1, а. Оператор \ i 1 Н\ отображает Rh
I at Л J
в Rh.
Аналогичная теорема может быть доказана в случае, когда
потенциал v (х) зависит также и от времени. При этом следует опи-
опираться на оценку B.1) леммы 3.1 ч. I.
Теорема 5.1, а справедлива и в случае, когда оператор Н
есть оператор Дирака первого порядка. Доказательство этого про-
проводится аналогично доказательству теоремы 4.1, а.
Из теоремы 5.1 вытекает следующее предложение.
Теорема 5.2. Решение задачи A.11), A.12) может быть пред-
представлено в виде A.10)„где z^Sk.
Доказательство. Переход к квазиклассическому пред-
представлению совершается с помощью замены
Очевидно, что если u^Sh, то и if>^Sh, и обратно.
Доказательство теоремы проводится с помощью следующей
леммы, относящейся вообще к абстрактной теории возмущений.
Лемма 5.5. Пусть А, С, ?/< (»=1, ..., N) — линейные опера-
операторы с областями определения и областями значений, лежащими в
счетно-нортированном пространстве В°°. Оператор С имеет об-
обратный, коммутирует с А и U+, определен на всем В", сужение А
оператора А имеет обратный*), а область значений оператора
С"п \А—2
Предположим, что существуют решения х0, .... xNl+m+1 уравне-
уравнения Ах=0 такие, что /о=*о,
при k=\, ...,
N
тора В = у
принадлежат области определения опера-
С'-1ии Тогда существует решение уравнения
V
[a-J Clf\y = !r.
*) То есть уравнение Ах=0 при д:еО(Л) может иметь и нетривиальное ре-
решение, а при x^D(A) имеет лишь тривиальное решение.
150
которое может быть представлено в виде
у=2 с*/* + §
где f— некоторый элемент из В", при условии, что
N+m
V " 8T(=D {В).
Доказательство. Подействуем оператором А—СВУ где
N
1 = 2 Сг~lUu на элемент вида
i=i
*=0
fe=o
Поскольку АА~1В=В и Лх:=0, то .
1=1
k=o
/=0
где полагаем Uj=0 при />iV. Очевидно, что
W N—i N+m+Nt+i k
?=0
k=0
1=0
- 2
*!=0
Поэтому
N "I N+m+Nr-l *
л - 2 cU U = 2 c*+12 t/i
1=1 J *=/V,+m /=o
= CNl+m+1g
где g^B™ в силу условия леммы. Таким образом,
(Л + CS) г|з = c+1+/ng + У.
В силу условия леммы существует решение v уравнения
C-m(A + CB)v=g.
Очевидно, что
y = ^-CNl+1v
служит решением уравнения
(Л + СВ)у=&-.
151
Отсюда следует утверждение леммы.
Положим в лемме 5.5
±
на функциях, обращающихся в нуль при /=0, B=HU C=h. Усло-
Условия леммы для оператора i ——f- hHx выполнены, поскольку об-
область его значений, как мы доказали, равна Sh.
Решениями уравнения
dt
служат функции, зависящие лишь от хо= (xoi, ..., хйп). Отсюда
следует, что решение уравнения
может быть представлено в виде
(~ h)k {- l Jdt) (-Я»
fc=o V / \ У
где /е5Л.
Следовательно, решение if задачи A.8), A.9) может быть пред-
представлено в виде A.10), где
z=fj f exp {-iS/h} G&,
что и требовалось доказать.
§ 3. Релятивистские уравнения
I. Уравнение Дирака. Рассмотрим уравнение Дирака
C.1)
где
Нт = еФ (х,
^-A (х,
х= {xt, xit х3},
А(х, t) = {Aly A2, A3} и Ф(х, t) — векторный и скалярный потенциа-
потенциалы электромагнитного поля, которые являются здесь заданными
функциями х, t.
152
Предположим, что решение уравнения C.1) удовлетворяет на-
начальному условию вида
г|з1,=о = Фо(л:)ехр14-5о(*I- C.2)
I л /
Рассмотрим соответствующее уравнению C.1) классическое
Зфавнение Гамильтона — Якоби
[~дТ + еф) — ^(VS тА) ~т — °-
Из C.3) видно, что dS/dt имеет два значения. Решения
х* (О -X* (х„ 0, р* (О -Р* (х0> 0, S* (О =S* (х., О
системы уравнений
дрс
дН±
~ дх,: '
C.4)
Х
= 1,2,3,
dt
соответствующие знакам «±», отвечают двум ветвям решения
уравнения Гамильтона — Якоби. Предположим, что А (х, t) и
Ф(х, t) ограничены вместе со своими двумя производными и вто-
вторые производные от S0(x) также ограничены. Тогда (см. гл. 8,
§ 2) при t, меньшем некоторого t0, семейства решений системы
C.4), соответствующие знаку «+» (так же как и знаку «—»), не
пересекаются, якобиан
дХ- (х0, t)
дх,
о/
отличен от нуля и решение уравнения Х±(л0, t)=x единственно:
Xq
Пусть S^ix, t)=S±(x0, t) —две ветви решения уравнения C.3),
удовлетворяющие условию S±(x, 0)=S0(x). Квадрированное урав-
уравнение Дирака (см. [47, 45]) имеет вид
JL — еф\2 — с2(ihV
J-A)* — п?Ф + hR (х, г)]х =0, C.5)
153
где R (x, t) — четырехрядная матрица вида
R (х, t) =*ес [ (<т, Л) +1 (аЕ) ],
Е(х, t), Н(х, t) — векторы электромагнитного поля, a o=(cri, аг,
<т,) — четырехрядные матрицы Паули [47].
Полагая
ih
dt
= \еФ + су (ihV — — Л) + тЛ Фо exp j-i- So (x)\ , C.6)
мы получим, что 5с='Ф» гДе Ч1"~ решение уравнения C.1), удовлетво-
удовлетворяющее условию C.2) (см. гл. 1). Обозначим через Р(*о, t) функ-
цию г— (х0, t), а через
с dt
где
/ = exp J- ,• -Л- jRlx (*0, t), t] |^(x) dx\ f,
— решение задачи
Заменами
х exp
i-S* (х, 0} ф* [X* (jce, т), /* (*0, тI = 6± (*0, т)?
^i (^0. f) = exp j- JL J /? [X* (дг0, /), t\t=t{x) dt\ 6± (xo, т) C.6a)
уравнение C.5) приводится к виду («квазиклассические представ-
представления» уравнения Дирака для электрона (« + ») и позитрона
())
Г=~ьЬа± {х°'т) Ux"x IJ 1"'/>с
где
(З.бб)
Охцд — оператор Даламбера в «криволейных» координатах х0, т.
Этот результат следует аналогично из дополнения (см. § 5 «Ре-
«Решение уравнений переноса»). Пусть А(х, t), Ф(х, t), Sn(x) беско-
бесконечно дифференцируемы. Пусть
дх
i С ч-
х ехр | I /<~ t
2mc3J
1 о
; |т=0 = ?"* (д:0, Я), 5^* |т=0 = 0, л > О, Эё_г = О,
где S2"* (xo
Обозначим
— бесконечно дифференцируемые функции х0 и h.
= exp ji-
/* Г'7':
. C.6b)
Доказательство того, что существуют решения т|э+ и г|з- уравне-
уравнения Дирака C.1) такие, что
V-til = hN*xz{x,t,h), y--1u = hN+\(x,t,h), C.6r)
154
где zeSj, zt^Sh, проводится совершенно аналогично доказатель-
доказательству теоремы 5.2. При этом надо воспользоваться оценками реше-
решения уравнения C.5), аналогичными тем, которые были получены
для уравнения Шредингера. Все рассуждения относительно урав-
уравнения Шредингера, как мы уже говорили в замечаниях к теоре-
теореме 4.1, переносятся на случай неквадрированного уравнения Ди-
Дирака C.1).
2. Оценки для решений квадрированного уравнения Дирака и
уравнения Клейна—Гордона — Фока. Обозначим через Qm опера-
оператор C.5), определенный на достаточно гладких вектор-функциях
и(х, t)^C(L2), удовлетворяющих условию и(х, 0)=и/(х, t)—0.
Здесь Lz — пространство вектор-функций с интегрируемым квад-
квадратом. Обозначим, далее, через L±m замкнутый оператор из C(L2)
в себя вида
L+mti (x, t) = ih -?¦ + Н±ти,
at
где Н±т определено в C.1), определенный на достаточно гладких
функциях и(х, t)^C(L2), удовлетворяющих условию и(х, 0) =0.
Теорема 5.3. Операторы hL~? и hLZm отображают Rh в Rb.
Эта теорема доказывается аналогично теореме 5.1, а. Нетруд-
Нетрудно убедиться (см. [47]), что
155
Очевидно, что на D(Lm)=D(L-m) справедливо тождество
2mc2=Z._m—Lm.
Отсюда
П'1 /-1 /-1 L_ (г-1 Ш 7~М
2тс*
Теорема 5.4. Справедлива оценка
t
max
Обозначим через L±m оператор из пространства C(LZ) в прямую
сумму Г2ФС(Г2) вида
lamM (л, /) = {" (*, 0), to а" (^' ° — // ±1Яа (дс, /)} ,
а через й?т —оператор из пространства С[2Г2] в прямую сумму
Г2ФГ2ФС(Г2) вида
Qmu (х, /)==-• J и (х, 0); /Я — (х, 0); Г( to еФV —
— с2 (toV -! .?- лY — mV + Л/? (х, /I и (х, О} .
Справедливо тождество
Q» (Л,№. °> = i^ tf™1 ^2 — ^-«Л, 0} + LZ^ {- ^2 + Йт1Л, 0}]. !
C.7)
В нем можно убедиться, подействовав на обе части равенства
C.7) оператором Qm. Действительно, поскольку
ih
dt
t=o
= H+nZtm {У, 0} |*=0 = H±my,
TO
Qm \Щ {^2 — H-mJh, 0}
ъ 0}] =
H-m{
), 0} = 2mc2 {ylt y2, 0}.
Аналогично теореме 5.2 можно получить теоремы:
Теорема 5.5. Если y<E=Sh, to hn/2L^ {у, 0}<=Sh.
Отсюда и из равенства C.7) получаем:
Теорема 5.6. Если у, y.^S^, то n«/2CJ? {у, уи 0}<=Sh.
Теорема 5.5, а. Если y(==Rh, то Хй1 {у, 0} <= Rh.
Теорема 5.6, а. Если у, ^е/?*, то Qm{y, yu 0}e=Rh.
156
Теорема 5.7. Существуют решения -ф" и \{)~ уравнения C.1)
такие, что
N
г, и
Аналогичные утверждения мы докажем для решений уравнений
Клейна — Гордона — Фока.
Рассмотрим оператор Клейна — Гордона — Фока
K=Qm-hR{x,t).
Формальное разложение К~' в ряд по степеням hRQ? имеет вид
K-i^Q-1^ hk(RQ?f. C.8)
Последний ряд сходится. Действительно, для оператора
справедлива оценка (см. лемму 4.1 ч. I)
t
Поскольку
Qm —
L
из предыдущего неравенства следует
Отсюда получаем оценку
I*»* П
из которой следуют сходимость ряда в C.8) и неравенство
II К- ЧК const/Л.
Рассмотрим пространство 5Л со счетным числом норм вида
х, /, А) Чс = max
где р = —
д
дх
Теорема 5.8. Если коэффициенты уравнения Клейна — Г ор-
ордена— Фока бесконечно дифференцируемы, то оператор hK~l onpe-
157
делен всюду в Sk, т. е. для любого /&5Л справедливо включение
JK'iezSb.
Доказательство. Сначала докажем, что
п / *¦
тде const зависит только от t.
Доказательство проведем по индукции. При t=0 сделанное
утверждение верно. Пусть оно верно при i^N—l. Оценим
Учитывая тождество [А, В-1]^=—В-*[А, В]В-1, получим
Для первого слагаемого имеет место оценка
t
„ const
Для суммы остальных слагаемых из условий теоремы и индук-
индуктивного предположения следует
j 2 Ip'vb
Таким образом, индукция завершена. Из доказанного утверждения
получаем
'*' t ... . "...'..
и так же, как при доказательстве C.8), делаем вывод, что
КI <^~^
Подставляя эту оценку в C.8) и учитывая (см. теорему 5.4), что
если y^Sh, то hQ?(p ^Sk, получаем, что
Пусть теперь <p^Rh и u=hK~1<p. Имеем
Kxtu=[k, хг]и + hyXi=hf+li<p(x), i=l,..., п.
По доказанному f^Sh. По условию x,<p<=Sh. Значит,
По индукции получаем, что x?u<=5h и, значит,
т. е. hK~l : Rh—*-Rn. Обозначим через К оператор из пространства
158
С(Ьг) в прямую сумму L2(BL2(BC[L2] вида
= |ы (х, 0), Ш — (х, 0), (ih — + ефJ — с2 (ihV— JL-aJu — mac*«|.
Аналогично предыдущей теореме, из тождества C.7) получаем:
теорему.
Теорема 5.8, а. Если yt^Rh, y2^Rh, то
§ 4. Разложение произвольных начальных условий
на компоненты, отвечающие различным корням
характеристического многочлена
Покажем теперь, что начальное условие вида
и |*=о = ф (х) ехр /-?- 50 (х)\,
«П'=о = Фх (*) ехр i-$-S0 (
может быть разложено на слагаемые, соответствующие различным!
корням характеристического многочлена.
Рассмотрим уравнение второго порядка
-? ЛФ (х, *))* _ с" [- V» +
+ (В (х, t), grad) +
«(*, 0 = 0.
На общий случай уравнения A.16) гл. 1 все рассуждения непо-
непосредственно переносятся, однако получаются более громоздкие.
выражения. Характеристическое уравнение для D.1) имеет вид
Л± + Ф (х, 0 — с2 [(V5J + V2]
Двум ветвям решения этого уравнения
d-^- = -H*(x,VS*,t),
¦0. D.2)
D.3)
D.4)
D.5)
dt opt ' dt °xi ¦ ' v
Пусть {Х(х„, t), Р&о, t)} — решение бихарактеристической систе-
системы D.5), удовлетворяющее начальным условиям вида
Х(х0, 0)=х„, Р(х0, O)=grad S0(x0),
15а
Н- (х, р, 0 = + Ф (х, t) =p cYp2 + V2
соответствуют две системы бихарактеристических уравнений
dxf
dP
- = — Лу. , I — 1, ..., л.
дх
и пусть уравнение Х(ха, t)=x однозначно разрешимо относитель-
относительно х0: хо=ха(х, t).
Введем обозначение
S±(x,t)=S±(xa,t).
Введем функцию v± (x, t) с помощью соотношения
о*(х, t)=u(x, t) exp{-iS±(x, t)A}.
D.6)
Подставив в уравнение D.1) и=и* exp{iS±(x, t)A}, получим сле-
следующее уравнение для v^^x, t):
dS- до- , дфу± , ф до- ^ у да- dS-
dt dt dt dt ^ dxc dxt
— [(B (x, t), grad S*) + DS* — iR (x, t)] u*} =
'*)!. D.7)
где D =c2V2 —
a3
dt* '
Рассмотрим уравнение D.7) в представлении, в котором опе-
оператор А диагоналей и является оператором умножения на <о:
Решение v±(x, t, а») представим формально в виде ряда по степе-
степеням 1/ш:
D.8)
Теперь формально выпишем для функций
vf =
а=о
рекуррентные соотношения
dt dt dt dt
±t dxk dxk
- [(B, grad S*) + ? S* - Ш (x, t)] vf =
= - i [Uvf-, + (B, grad 0,101. D.9)
Пусть при f=0 S±=S0(x), Ф=Ф0(х). Положив в соотношении
160
D.9) /=0, и?!-0, ^=0, получим
IT t=o ~ ~2
v* (х, 0) = 5f vf {x, 0). D.10)
Мы будем называть начальные условия вида
\>f (x, a) ec<oS»(a\
и* \t=0
dt
dt
D.11)
D.12)
где( Фо^(х, со) —две произвольные аналитические функции ш и бес-
бесконечно дифференцируемые функции х, соответственно положи-
положительными и отрицательными. Они отвечают двум корням харак-
характеристического многочлена.
Лемма 5.6. Начальное условие вида
ut \i=0 = 0
или же вида
и \i=0 = 0,
u't |*=0 == i (x, ш) et'a
может быть представлено с точностью до
()
положительного и отрицательного начальных условий
в виде суммы
и |
и
u
либо
=0 = О,
\i=0
du
dt
(=0
dt
N l
d"N
dt
О
/=0
-7—
at \t
и
и |,=о = 0,
^ |*=о определяются формулами D.4) и D.12).
Доказательство. Для доказательства леммы необходи-
необходимо найти такие функции <р+(х, ш) и ф~(х, со), что
и |*«о = (un 4- иЪ) |<=о + О i
Ut
(9un ,
= —— -f- ¦
dig,
~ЬТ~
т. е.
fdS+
{dt
6 В. П. Маслов
dt
dv
'N
dt
.
: О
161
Разлагая я|з(*, со), ¦ф±(л, ©) в ряды по степеням 1/© и приравнивая
коэффициенты при 1/со в нулевой степени, получаем
фо + Фо = ^о.
(Фо + с /(VS0J + v2) Фо + (Фо — с2 V(VS0J + V2) <Й = 0.
Отсюда
Приравнивая коэффициенты при со, получаем
9i + фГ = Фъ
i (Фо + с V(V50J + ?2) tf + t (Ф, - с
поскольку vo(x, О)==-фо(л;). Отсюда
_ _ (Фо =F
У2)
где В«г|3о== г (Bj" + S7") 4"о- Аналогичным образом могут быть полу-
получены и Ф* (х) при k-^N. Подобные формальные разложения на-
начальных условий на слагаемые, соответствующие различным кор-
корням характеристического многочлена, могут быть произведены и
для произвольного уравнения с операторными коэффициентами
вида A.16) гл. 1.
§ 5. Решение уравнений переноса для некоторых уравнений
(систем) волнового типа
Важным для решения уравнений переноса будет являться сле-
следующее вспомогательное
Предложение 5.1. Пусть уравнение
dx
-— = F(x), х = (xlt .... xn+i),
dx
имеет семейство интегральных кривых х(х, аи ..., а„). Тогда спра-
справедливо равенство
jg_lng,divF.
dx D{ax ап, х)
Это предложение легко получается с помощью небольшой мо-
модификации леммы С. Л. Соболева.
Обратимся теперь к рассмотрению конкретных уравнений вол-
волнового типа.
162
Рассмотрим слабо связанную гиперболическую систему с раз-
различными характеристиками.
at
2
= 0. E.1)
Здесь iiJ={i|3i, ..., i|)n} — вектор-функция с Л/1 компонентами и мат-
матрицы о*,...*^! при ki+ ... +kn+i=m пропорциональны единичной
матрице. Введем следующие обозначения:
дх dt
а*11»
gm-l
¦л...к„
Пусть S (x, ^) — решение одной из ветвей характеристического по
отношению к E.1) уравнения. Подставим в систему <p=*«ei<DS и при-
приравняем нулю коэффициент при <o~m+1. Полученное уравнение на-
называется уравнением переноса для E.1).
Уравнение переноса можно представить в виде
E.2)
dx{dxf
Здесь т — параметр (*|t_0=0, xn+i=t). Вместо х, р, t нужно под-
подставить соответствующие функции т, вычисленные вдоль бихарак-
бихарактеристик системы E.1), т. е. вдоль характеристик характеристи-
характеристического уравнения.
Сделав замену и == exp i — С В dx\ v, перепишем уравнение пере-
I у I
носа в виде
Л
dXidXj
Очевидно, что направление вектора v не меняется вдоль бихарак-
бихарактеристики. Поэтому можно искать v в виде
где
= const, J=
Получим
= Dlt'x)
D (т, х0)
6*
163
Воспользуемся предложением 5.1. Для того чтобы использовать
это предложение, выпишем уравнения для х{х), t(x):
d*t
= — ,
dx др?
itал
Имеем
дЛ
/
Л
-22- х А
' at ' ' J
[=1 * aP, V "f dt '"'') ' а; аРл+1 V
Подставляя в уравнение переноса полученное выражение для
получаем
а2л
1 а2л
2 dp^ с
= 0.
Интегрируя это уравнение, получим
> = ф. + -Н\1У, ^^- +
Переходя к интегрированию по t и учитывая, что
, D (f, х) Dx dt Dx аЛ
D (т, *0) D*o dx Dx0 дрп+1
получим результат, который сформулируем ~в
Лемма 5.7. Решение уравнения E.2) и
виде леммы.
имеет
ЗА
I ал \~1 ?>л;о
1 Г1
L
д*А
а2л
— В
• E.3)
Пример. Рассмотрим волновое уравнение
Здесь
Л (р, pn+i, л, 0 = р2л+1 - с2 (х, О Р2, Я = 0.
Уравнение переноса имеет вид
164
где t и х связаны уравнением
dt
dx
п
и так как
-с2р2==0, то
Вычисляя производные от Л и подставляя их в E.3), получаем
Рассмотрим уравнение волнового типа
-|- + АФ (х, t)J + с2 (х, t) ([V - iAA (x, t)f -
+ 2 Bk (x, t) -±- + ai? (x, t)\ ф (х, 0 « 0, E.4)
введенное в ч. II, гл. 1, § 2 и включающее в качестве частных слу-
случаев различные уравнения квантовой механики. Потребуем, чтобы
выражение
где S(x, ^)—решение характеристического для E.4) уравнения,
формально удовлетворяло уравнению E.4). Уравнение, которому
должна при этом удовлетворять функция if0, назовем уравнением
переноса для E.4). Для решения уравнения переноса, соответст-
соответствующего уравнению E.4), применим следующий прием. Заменим
в уравнении E.4) оператор- iA.на-оператор djdy (г/ —новая пере-
переменная, которую мы вводим в дополнение к х и t). Тогда E.4)
превратится в слабо связанную гиперболическую систему
дУ )
Используя решение урагБ«ения переноса для E.4)*, данное выше, и
подставляя в конечном результате 1 вместо Pv, получаем следую-
следующий результат.
Лемма 5.8. Решение уравнения переноса для E.4) имеет зид
Dx c(x,t)
O) 1
,t) У
хехр
Г
(р-А(ж, ^)J
•2с {/(р_АJ-72
'> — BkPk-R}dtl.
165
Рассмотрим теперь систему уравнений теории упругости:
дх,
дис
Характеристическое уравнение для E.5) распадается на ветви, ко-
которые имеют вид
а*
¦=/?¦
Уравнение переноса для E.5) определим аналогично тому, как мы
это сделали для предыдущих уравнений.
Решения уравнения переноса для Sf будем называть продоль-
продольными волнами, а для S? — поперечными волнами. Характеристи-
Характеристическое и бихарактеристическое уравнения будем называть также
уравнением Гамильтона — Якоби и системой Гамильтона соответ-
соответственно. Рассмотрим в отдельности случай продольных и попереч-
поперечных волн.
а) Продольные волны. Уравнение переноса после под-
подстановки u=<pVS, где ф — скалярная функция, принимает вид
VSM<pVS=0.
Здесь М — следующий оператор:
— ц («AS + 2V« VS) — VX (и VS) — VS (u Vfx) — и (Vjx VS)
(мы использовали обозначение
dS
Используя уравнение Гамильтона — Якоби, можно получить сле-
следующие тождества (здесь и далее без уменьшения общности рас-
рассматривается волна, соответствующая S+, знаки « + », «—» опуска-
опускаются) :
dt
2|V5|
dt* 21 VS | ^
Подставляя cpVS в уравнение переноса и используя предыдущие
166
равенства и уравнение Гамильтона — Якоби, получаем
— (Я + 2fx) [фД51 V512 + 2УФ VS | V512 + 9VS V (VSJ} —
— 2ф Vfi VS I VS j2 — (VX VS) | VS |2ф + —о2рф V SA(ASJ -f-
VSIVSI^ — 2ap | VS |3 ^P-+ 2Vo VSo | VS [2 рФ = 0.
Напоминаем, что а=У(Я+2ц)/р. Для дальнейшего упрощения
уравнения воспользуемся леммой Л. С. Соболева (см. предложе-
предложение 5.1); если х удовлетворяет уравнению dxjdt=X{t, x), то
In
dt Dx0
Применительно к траекториям данной системы эта лемма дает
I vs]
VaVS
dt
Dx0
¦
2|VS|3
'-}¦
Используя это выражение для AS, а также вытекающее из системы
Гамильтона равенство
и тот факт, что р, А, и \i не зависят явно от времени, приводим урав-
уравнение переноса к виду
dt
Dx0 a2
откуда
Фо
р , У Dx/Dx0 oo
Точно такое же решение получается для волны, соответствующей
S". Полученный результат сформулируем в виде леммы.
Лемма 5.9. Вектор-функция
Фо
р y~Dx/Dxa aa
удовлетворяет уравнению переноса для уравнения упругости в слу-
случае продольных волн.
б) Поперечные волны. Положим u=nvn + vvv, где vn и о,
скалярны, п и v — два непрерывно дифференцируемых векторных
поля такие, что
iS=0 и rt2=v2=l.
v) = 0,
v) = 0.
167
Уравнение переноса имеет вид
п.М {рп ¦ п
vM (vn • п
Эти уравнения приводятся с использованием тех же тождеств, что
и в случае продольных волн, к виду
— dv
. _„ 1П I/ D hOv
dt ' dt
V I
dt
Из /iv=0 вытекает
¦,-i.in/
Полагая 2=и„+if v, получаем
Окончательный результат формулируем в виде леммы.
Лемма 5.10. Функция
«==?J 1
j- t -i
JB». ?^» 2»_ cos > v — Л -f- у 4
p Dx cos 7 J «
ge ,, _ константа, удовлетворяет уравнению переноса для уравне-
уравнения упругости в случае поперечных волн
Если cosy = 0, то нужно положить
u=v т/ -^j-
Dx0
Dx
X Ov,, COS
ГЛАВА 6
АСИМПТОТИКА В МАЛОМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В этой главе исследуется асимптотика решений уравнений в
частных производных я-го порядка по временной координате с опе-
операторными коэффициентами, зависящими от xeR". Результаты
этой главы будут использованы для построения асимптотики з це-
целом решений гиперболических уравнений.
Первые два параграфа носят вспомогательный характер. Они
посвящены асимптотическому разложению интегралов вида
Хя),
где g(x)—функция со значениями в банаховом пространстве В,
){х)—функция со значениями на прямой, a iA — производящий
оператор группы в В. Задача заключается в том, чтобы вычислить
этот интеграл с точностью до функций, принадлежащих D(AN).
На основе полученных в §2 формул и леммы 5.5 (ч.. II) теории^
возмущений строится асимптотика в малом решений операторных
уравнений. При этом предполагается существование, единствен-
единственность и гладкость решений таких уравнений.
§ 1. О корне квадратном из оператора
в банаховом пространстве
Рассмотрим производящий оператор А в банаховом простран-
пространстве В, обладающий следующими свойствами:
1) оператор (l + TfMI
ограничен единицей;
2) оператор А~1 существует;
3) \\eiJLt\\^M, — оо<*<оо.
Все утверждения лемм, доказанных ниже, непосредственно пе-
переносятся и на случай, когда оператор А удовлетворяет вместо ус-
условия 1) условию:
1,а) оператор A—*fA)~l существует, определен всюду и огра-
ограничен единицей.
щ
существует, определен всюду в В н
Эти уравнения приводятся с использованием тех же тождеств, что
и в случае продольных волн, к виду
dt
dt
*?*. у;
Dx
dt
_d
dt
Dx0 dt
,^-ln
Из nv=0 вытекает
dt
Dx0 ' "rt Л
dt
Полагая z=vn+ivy, получаем
exp
N
Tdt\.
Окончательный результат формулируем в виде леммы.
Лемма 5.10. Функция
и =п
где ч — константа, удовлетворяет уравнению переноса для уравне-
уравнения упругости в случае поперечных волн
Если cos7 = 0, то нужно положить
u=v л/ —
Рх0
Dx
COS
ГЛАВА 6
АСИМПТОТИКА В МАЛОМ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИИ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В этой главе исследуется асимптотика решений уравнений 8
частных производных л-го порядка по временной координате с опе-
операторными коэффициентами, зависящими от xeR". Результаты
этой главы будут использованы для построения асимптотики з це-
целом решений гиперболических уравнений.
Первые два параграфа носят вспомогательный характер. Они
посвящены асимптотическому разложению интегралов вида
e?*f<*>g(x)dx,
(*„..., хп),
где g(x)—функция со значениями в банаховом пространстве В,
){х)—функция со значениями на прямой, а 1А — производящий
оператор группы в В. Задача заключается в том, чтобы вычислить
этот интеграл с точностью до функций, принадлежащих D(AN).
На основе полученных в § 2 формул и леммы 5.5 (ч.Л1) теории..
возмущений строится асимптотика в малом решений операторных
уравнений. Прн этом предполагается существование, единствен-
единственность и гладкость решений таких уравнений.
§ 1. О корне квадратном из оператора
в банаховом пространстве
Рассмотрим производящий оператор А в банаховом простран-
пространстве В, обладающий следующими свойствами:
1) оператор (l+^A)-1 существует, определен всюду в В ч
ограничен единицей;
2) оператор А'1 существует;
3) ||е"'1К<М, —оо</<оо.
Все утверждения лемм, доказанных ниже, непосредственно пе-
переносятся и на случай, когда оператор А удовлетворяет вместо ус-
условия 1) условию:
1,а) оператор A—ч2/!)-1 существует, определен всюду и огра-
ограничен единицей.
В силу теоремы Хилле — Филлипса — Иосиды (см. ч. I, гл. 3,
§ 1) следует, в частности, что
1
1 Voc.
Кроме того, имеем
II 1
(i.i)
— ia
поскольку в силу B.8) ч. I, гл. 4, § 2
где Бт=А/A + ч2А), а значит, в силу той же теоремы Хилле —
Филлипса — Иосиды
1 [<1.
1-;«в7||
Мы будем пользоваться следующей очевидной формулой «инте-
«интегрирования по частям»:
1
Г (*а№ [.еЖ.)' dt = — tf*№ J
J V f (t) J r
<P):
iA Гe*
Г
J
0
f'(t)
df (л (l.2)
Здесь g(t) —дифференцируемая функция со значениями в В, об-
обращающаяся в нуль при t=l. Эта формула справедлива при усло-
условии, что интеграл в левой части существует.
Лемма 6.1. Оператор
*dx
о
существует как оператор в В на области D(A).
Доказательство. Пусть g^D(A). Докажем, что
A.3)
Разобьем интеграл A.3) на сумму двух интегралов:
оо 1 со
0 0 1
1
Очевидно, что /t= J e^Agdx <= В:
A.4)
170
Теперь оценим норму
Сделаем замену xz = t. Имеем
Применив формулу интегрирования по частям A.2), получим
1 1
Первый член правой части, очевидно, не превосходит — ||g||, а для
2
второго члена справедлива оценка
J_j
4
II о В |] 1
Таким образом, окончательно имеем
ОО
Определим оператор Ра следующим образом:
A.6)
A.7)
где g^B, a>0 — действительное число.
Очевидно, что этот оператор ограничен и определен на всем В.
Действительно,
Лемма 6.2. Имеет место равенство
1
А 4- ia
g
, a>0.
Действительно,
ni
оо Я/2 оо
(см. [13]).
171
Лемма 6.3. Для любого g<=D(A) справедливо равенство
r-g=Ag.
Доказательство. Обозначим Та=АРа, D{Ta)=D(A).
Прежде всего докажем, что
Tg A.8)
при а-*-0, g^D(A) з смысле сильной сходимости в В.
Имеем
^—^r- Г ёА*ет** Ag dx +
V "» J
о
— e rL g—л/ -!—\-^
r лг
• 'A.9)
Очевидно, что предел первого члена правой части при a-*-0, a
затем при iV—ьоо равен 7|г. Из следующих ниже неравенств следу-
следует, что остальные члены правой части A.9) при а->-0, а затем при
N-*-oo стремятся к нулю:
(loo
2) if
3) a
OQ
*,-»*
UJV
Л/
Таким образом, A.8) доказано.
Рассмотрим теперь Т? и докажем, что
lim Та = Г2 на D (Л2).
Для g^D (А2) имеем
Т%8 = Та {Та — Т) g + TaTg.
Очевидно, что А(Та— T)g=(Ta—T)Ag-+Q при a-»-0.
172
A.10)
A.10а)
Аналогично доказанному выше неравенству A.6) имеем
H^tlKC.IHff.ll+ ^11^11 для g^D(A).
Полагая (Та—T)g=gt, получаем
l . A.106)
Поскольку ATg—TAg<=B, ибо Ag<=D(A), а значит, Tg^D(A), то
в силу A.8) TaTg -+Tzg. Отсюда н из A.10а), A.106) следует
A.10).
Очевидно, что
4 Г Г
"« J J
9 О
оо
= — i JV^-*dt A2g = -
Поскольку
а
то отсюда следует, что Tig ^0 Ag при ?<=?>(Л2). Таким образом,
для g<=D(Az). По замыканию в норме l!g1i + IHg|| это тождество
продолжается на область D(A). Лемма доказана.
Обозначим через Ра комплексно сопряженный к Ра оператор
зида
Г eriA"er** dx.
J
Лемма 6.4. Для любой функции g^B и а>0 справедливо ра-
равенство
gN<^D (AN), a ch — некоторые константы.
Доказательство. Имеем
Я/2 оо
Г Г
Я/2
я J J
= — \e-iA?-
n J
0
r^-^a-'g-iiAr' oos^
¦a?* d\ \ etArf-anpg
J
0
tgr dr= -|- f d<
0
oo
0
173
Я/2 л/2
__ _2_ Г" d<p _л_ С _
п J a — iA (I — 2 cos2 ф) S 2 J а •
iA cos 2ф
__ 1 Г dtp __ 1 Г <*г
я J a + iAcosq> S я J a + iAcosz '
где контур Св состоит из точек
X
2
при
бе1'* при
при
л
2
2Ф
+
S
— -б.
^ л- < я.
Таким образом, на полуокружности
i cos z = j cos (— -f 6e'4)<j =
— * cos f-y- + 5 cos q>) ch (S sin ф) -f sin f-j- -f- 8 cos ф} sh (S sin ф),
причем sin ^- + 6cosqAshFsinq>)SsO при S<60,
да следует в силу A.1)
. Отсю-
Отсюcos
когда геСв.
Из A.10b) следует
л (iA — «)
cosz
а A + cos г) I
(fA — а) coszj
я (/A —a)
м С_ая Г 1+cosz I"
^ J cosz L (a-M) cos г J g
a
N+l
cosz
iA — a
Поскольку интеграл
(—О" Г 1 A+cos z)n
я J cosz (cosz)"
dz
174
существует и равен некоторой константе с„, то можно записать
я J
cos z
. + cos z)
A — а
Л' „ „/г
Л' п „N+l r,
— У 1 S— ; ^7Ж —¦
^-J (ia + il" (а — *А) J (i.
A + COS 2)
A+coszy
Докажем теперь, что
а Г
(а — iA)N j (iAcos z + а) (cosz)^+1
Действительно,
| ANa С A +cosz)J
ействительн
AN* С _
—iAf J (i.
c
(iA cos z + a) (cos z)N+1 S 2 \\
max
:a\\\i(l 2_
111. V a —tA yj [| ce
x ^ [j (г"Л cos 2 + a)
(COS
/И (
с{N, 8).
Лемма доказана.
Заметим, что если А удовлетворяет условию 1,а), то нужно
брать —я^ф^О.
Лемма 6.5. Для любого g^D(A) справедливо равенство
T-T=Ag. A.11)
Доказательство. Имеем
rrg- = — f ef***A dx Г e-lAy'Ag dy.
J
0 0
Аналогично тому, как было доказано в лемме 6.3 соотношение
A.10), получаем
7 etA*'A dx J erWAg dy = lim J ^'^^"Mdx j е-^»2-«^Лг^г/. A.12)
0 0 0 0
Аналогично тому, как это было проделано в леммах 6.3 и 6.4, по-
получаем
l
1+'
t'A cos г
l С f A . . «
я J 1 t cos z J cos2 z
:m.
COS8 2(l+ COS 2 j j
a
175
ш
Поскольку
— \-^—==я
cosz
то
COS2Z
lira — e'"
a-»o !t J
0
= Ag.
Отсюда и из A.12) следует равенство A.11). По замыканию в
норме Hgil + H-Agll оно остается справедливым для всех g<=D(A).
Лемма доказана.
Лемма 6.6. Имеет место равенство
Доказательство. Для g<=D(A2) по предыдущей лемме
TTg=Ag.
С другой стороны, в силу леммы 6.3
T2g=Ag.
Следовательно,
Tfg=T2g :
для g^D(A). Значит, для g<=D(A2)
T2Tg=T3g,
т. е.
ATg—ATg=Q.
Отсюда в силу условия 3) _
Tg^Tg
для g(=D(A2): По замыканию в норме ll?|| + IUg|| это равенство
сохраняется для всех g<=?>(A). Лемма доказана. _
В дальнейшем оператор Т мы будем обозначать 7=уЛ, а опе-
оператор Ра= {A-\-i<x)~in. Такие обозначения определены доказанны-
доказанными выше леммами.
В случае, когда А — «отрицательный», т. е. удовлетворяет усло-
условию 1, а), под ЦА\ мы будем понимать У—А.
§ 2. Метод стационарной фазы для абстрактных функций
В этом параграфе будут выведены асимптотические формулы
метода стационарной фазы применительно к интегралам от абст-
абстрактных функций. Метод стационарной фазы для функций со зна-
значениями на прямой обоснован, например, в работах [43, 49].
1.76
Приведем вначале известный формальный способ получения
асимптотических формул метода стационарной фазы. При этом
выводе, как мы увидим, встречаются расходящиеся интегралы, ко-
которые мы совершенно формально регуляризуем. Заметим, что обо-
обоснование метода стационарной фазы, которое здесь будет дано, на
в какой мере не опирается на приведенный ниже прием.
1. Формальный пркем вычисления членов асимптотического ря-
ряда. Рассмотрим интгграл
exp J — / (x) l ф (#) d*,
J l Л J
где ф, /еС", ф(х) финитна. Для вычисления членов асимптотики
/(Л) при й-»-0 применяем следующий формальный метод.
Пусть х=хв — единственная стационарная точка, т. е. точка, в
которой grad/(A:)=0. Разложим f(x) и tp(x) в асимптотические
ряды Тейлора в окрестности точки х=х0;
а*/
-(Xc)(Xi — X0)(Xi
Ф W = Ф
Сделаем в интеграле B.1) замену переменных:
xi — хо}=
Тогда
оо ос
— ос —ОО
p-e|gi* exn i — V fh ¦ (х
- Фх (^о.
B.2)
где
• • ¦dx t
i»i • • • It*.
Поскольку
Ф (л) = ф (?) =
- .,
177
то имеем
ф (х0,1) = exp {i
Ю + • • •
0,5), B-3)
v=o
где Qv{xg, |)—полином v-й степени относительно |» (&=1, .... л)
с коэффициентами, являющимися линейными функциями произ-
производных ф(х) до v-ro порядка в стационарной точке х=хв. Подста-
Подставив ф(х0, 1) из B.3) в B.2), получим
/ (h) = exp .[I
B.4)
где
v=o
При нечетных v функция Qv(x0, I) нечетна и коэффициенты при
полуцелых степенях h обращаются в нуль. Следовательно,
/ (h) = exp \jf(x
где C2v(*o) —линейная функция ф(х) и ее производных по х до
2v-ro порядка в точке х=х0.
Обоснование этого разложения мы получим, опираясь в основ-
основном лишь на формулу интегрирования по частям*). Как уже было
указано в предыдущем параграфе, эта формула для абстрактныг
функций g(x) со значениями в гильбертовом пространстве В ч
оператора А, порождающего группу в этом пространстве, имеет
следующий вид:
f eiAtw ( ММ.)' dx = —
ь
g(a). — iA Г
Г («) J
f'W
df (t) B.5)
при условии, что g(b)=O, g(a)lf'{.a)^B и интеграл, стоящий в
левой части равенства, существует. Эта формула позволяет пере-
перенести известные результаты метода стационарной фазы на абст-
абстрактные функции.
Рассмотрим в качестве наиболее простой иллюстрации следую-
следующую очевидную лемму.
*) Нетрудно получить и непосредственное обоснование вышеизложенного ме-
метода разложения и регуляризации интегралов, взяв вне носителя функции ф(х)
область интегрирования в комплексном пространстве так, чтобы интеграл в фор-
формуле B.4) сходился.
178
Лемма 6.7. Пусть ф€=С~ ,
оо
grad/(x)=7*=0 при xeQ; тогда I(h)= Г ..
—со
= О (hN), где N — любое число.
Доказательство. Очевидно, что
Q — носитель <р(х) и
ос
Тогда, интегрируя B.6) по частям, получим, что
Продолжая этот процесс, получим утверждение леммы. Для абст-
абстрактных функций такая лемма может быть сформулирована сле-
следующим образом.
Лемма 6.8. Пусть феС°°(Б) (*=:(*„ ... , хп)) и финитна, Q —
носитель ф(х), /еС°° и grad/(x)=H=0 при x<=Q, A — самосопряжен-
самосопряженный оператор; тогда
где N — любое целое число.
Доказательство, аналогично лемме 6.7, проводится с помощью
формулы B.5) интегрирования по частям.
2. Одномерный случай. Разложение в асимптотический ряд.
В этом пункте мы будем рассматривать интеграл вида
B.7)
где АеС°°, а ?<=С°°[?] — бесконечно дифференцируемая функция
со значениями в банаховом пространстве В, А — производящий
оператор, обладающий свойствами 1)—3), перечисленными в
предыдущем параграфе.
В частности, можно рассматривать g(t) как непрерывную
функцию параметра h: g(t)=g(t, h) такую, что все ее производ-
производные по t ограничены при O^ft^l, а оператор А — как оператор
умножения на 1/А. В этом случае вся развитая теория будет сов-
совпадать с обычным общеизвестным методом стационарной фазы,
изложенным, например, з книге Эрдейи «Асимптотические разло-
разложения» [49].
Мы будем опираться здесь на результаты предыдущего пара-
параграфа и на формулу интегрирования по частям B.5).
Лемма 6.9. Пусть /sC", Г(«)=0, /"(а)>0, ГЦ)Ф0 при
a<.tr^Lb, g(t) —бесконечно дифференцируемая функция со значе-
значениями в В, обращающаяся в нуль вместе со всеми производными
при i=b. Тогда в случае нечетного пг при всех а^О выполняется
179
соотношение
{А
Г eiAht) у _ a}
a
2 f
r(«)J
exp
2 У * I 4
+ (Л + ia)-y' exp {i (Л + fa) / (a)} Ф1 (a) +
+ (A + ia) exp {i (Л + fa) f (a)} Фг (a) +
+ (Л + ia) j exp {i (A + ia) (g - aJ} ^ (g) dg + X («), B-8)
где <pt(a), фг(й)—бесконечно дифференцируемые функции от а
со значениями в В, ijji(?)—бесконечно дифференцируемая функ-
функция от | со значениями в В, обращающаяся в нуль вместе со всеми
производными в точке b, %(a)^D(A°°) и бесконечно дифференци-
дифференцируема по а. В случае четного пг при всех а^О имеет место соотно-
соотношение
{А + ja)(m+1)/2 j eiA№ (/ ~a)mg{t)dt =
+ (Л + ia)-y' J exp {I (A + ia) (g — аJ} ф, (|) di + Xl (a), B.9)
фз(а), 5Ci(a)— бесконечно дифференцируемые функции' со зна-
значениями в В, ^г{\) -г бесконечно дифференцируемая функция % со
значениями в В, i|4n) F)=0, л=0, 1, ..., %1(a)
Доказательство. Очевидно, что
a)m e*Mg {t)dt =
= J exp {? (Л + at
= j exp {t (Л + fa) / (t)} (t - a)m gl (t) dt
<2Л0)
где g»(t) = (^—a)meant)g(t), поскольку при m^> 1
* m
Г exp {i (A + ia) / (t)} -^—^ ~~a)— df (f) =
a
= i{A + iaT1 exp {t (Л -b fa) / @}
(t)
r w
d/.
Обозначим
ь(Н?г
Очевидно, что в случае, если m четно, то /i(a)#=0, а в случае не-
нечетного m ft(t) имеет нуль первого порядка в точке г=а. Предпо-
Предположим, что пг нечетно. Тогда, интегрируя B.10) один раз по час-
частям, получаем
/т =
) {А
+ ;""+1)/2 (Л + fa)-(««)/» j exp {i (Л + fa) / @} ~ [^
a
где c(m) — (m—1)!!, поскольку
i J exp {i (Л-W
,1 B.11)
= (Л + /a)-1 {exp {i (Л -f ia) / (/)} ^
Очевидно, что равенство B.11) можно переписать в виде
ь
(Л + ta)-<m+1>/2 J exp {/ (Л + ia) f (t)} Л. \Ш\ dt. B.12)
a
Таким образом, задача сводится к изучению интеграла вида
/0 = J exp {i (A + fa) f (f)} Ф (t) dt,
180
181
где ФеС"[В], ф(о)^=0, Ф^(й)=0 (й=0, 1, ...). Имеем
/0 = J ехр {I (A + ia) f(t)} Ф @ dt =
а
= ехр {i (Л + at) / (a)} J ехр {i (Л + ia) (g - aJ} q> (f (g)) -g- dg =
= exp {i (A + ia) / (a)} J exp {i (Л + ia) (g - af} q> (\
a
О при g — a]
где (|-аJ=/@— /(a).
Пусть /еС" и при этом
— a
при |_
Имеем
/0 = exp {i (Л + ia) / (a)} $ exp {»(Л + ia) (g - aJ} I (g) Ф (a
+ exp {i (Л + ia) / (a)} J I (g) exp {i (Л + **) (I - aJ} (Фх (I) - Ф (a)) dg +
+ exp {f (Л + ia) / (a)} j [1 — I ®] exp {t (Л + ia) (g — aJ} Фх (|) dg.
В силу свойств i(|) получаем
= J exp {i (A + ia) (g — aJ} <p (a) I (g) dg =
t (Л + ia) (I — оJ} ф (a) dg +
+ J [/ (i) - И exp {i (Л + at) (I - aJ} Ф (a) dg «=
a
«= J exp {i (Л + ia) л2} Ф (о) с?л + j [I (g)— Ц x
x exp {i (Л + ia) (I - aJ} Ф(а) d| =
(g) _ j j exp {t- (Л + fa) (g _ aJ} ф (
182
Отсюда
J
A -t to
: exp {i {Л + ta) / (a)} q> (a) +
+ exp {i (Л + ia) / (a)} J [/ (g) — 1 ] exp (i (Л -f ia) (g — af} «p (a) dg +
a
[ii
j / (|) exp {i (Л + ia) (I - aJ} (9l (g) — q> (a)) dg +
+ J [ 1 -1 AK exp {i (Л -f ia) (g - aK} 9l (g) dgl.
Заметим, что для любого (/ей имеет место тождество
J exp {i (Л + ia) (| - aJ} <? A -1 (g)) dg ==
oo
= j exp {i (Л + ia) (g - aK} q{l—l (%)) dl =
* -
где c
4
Таким образом,
J exp {i (Л + ia) (g — аJ}Ф (а) A — / (g)) dg <= D (Л°°).
Кроме того, поскольку
J [I — I (g)j exp {i (Л + ia) (g — аJ} Фх (g) dg =
a
oo
= S U — ' Ш exp {i {A + ia) (g - аK} Фх (g) dg,
а последний интеграл в силу леммы 6.8 принадлежит D(A°°), то,
183
следовательно,
ь
= yj е'"\ exp {i (A + ia) / (a)} Ф (a) + exp {i (A + ia) / (a)} j I
4- exp {i (A + ia) (I - aJ} (ф1 (g) — <p (a)) dl + x (a)r
где %(a)^D(A°°) и бесконечно дифференцируема по а. Очевидно,,
что
Z (g) exp {i (Л + ia) (I — aJ} (Фх E) - q> (a)) dg = j- (A + lay- ц>[ (a) +
far1 j exp {i (A + ia) (I - a?} ±
bt
i. (Л + iccf1 Ф' (a) + »(A + ia) J exp {i{A + ia) (| - aJ} *L
где
Отсюда
A) («Pi (I) - Ф
2A-a)
ein/i
exp {i (A + ia)/(a)} Фа (a)
• 2 yA _;-
+ | exp {i (Л + to) / (a)} (A + ia) ц>[ (а)]+
+ i{A+ far j exp {i (A + fa) (g - aJ} ^- ^S, B.13)
где я|з(|) —бесконечно дифференцируемая функция | со значения-
значениями в Б и \|3<S)Fi)=O, й = 0, 1, ...,у(а)фО.
Подставив
184
из B.13) в B.12), получим
f
- of g (t) dt =
+ (A + Щ~х!* exp {i (A + i«) / (о)} Ф1 (a) +
+ (A + far exp {i (A + fa) / (a)} <P3 (a) +
(Л + ia)-1 J ex? {i (A + fa) (g - of) ^ (I) dc + %(a), B.14)
.где cpi(a), ф2(а), x(a) —бесконечно дифференцируемые функции a
со значениями в В, %(а) е?> (А°°), ¦ф1(^)—бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция | со значениями в В. Пусть теперь т четно;
тогда
ь ь
С
_ a)» dt _ j
exp
tf B.15)
где ft(t) —бесконечно дифференцируемая функция i,
[f(a)]
m/2
Используя B.13), получим
ь
(A + i(m+1>/2
exp {i (A + fa) / (a)} Фз (a) +
(A + ia)"l/2 exp {i (A + ia) / (a)} ф4 (a) + (A + ia)/2 x
x J exp {i (A + ia) (g - aJ} ^2 E) d\ + %1 (a), B.16)
где
/" (a)
т()а(|) —бесконечно дифференцируемая функция | со значениями
в В, фз(а), ф4(а), х(а) —бесконечно дифференцируемые функции а
со значениями в В,
%i(a)t=D(A~).
¦ 185
Поскольку fx (a) =
= Cl ^т'8
, то в случае четного т имеем
(А + ia)
lm+1)/2
(t — a)m g (t) dt =
4 (а) +
+ {A + ia)~%
+ (Л + iaf'' f exp {t (Л + ia) (I - aJ} ф, (I) d§ +
B.17)
где ф4(а) —бесконечно дифференцируемая функция а со значения-
значениями в В, %A) —бесконечно дифференцируемая функция ? со зна-
значениями в Б, обращающаяся в нуль со всеми производными в точ-
точке t — bu %l(a)^D(A°°) и бесконечно дифференцируемая. Лемма
доказана.
Положим теперь в формулах B.8), B.9) сс=О и применим эти
же формулы к интегралам, стоящим в правых частях равенств
B.8), B.9), но уже при a=ao>O. К полученным интегралам вновь
применяем формулы B.8), B.9) при a = a0. Продолжая этот про-
процесс, мы придем к асимптотическому разложению интеграла B.7)
по степеням оператора (Л + aoi) ~1/2.
Рассмотрим теперь интеграл
где ga) (—b)=g(}) (Ь)=0 (y = 0,
при t-фа. Разбив этот интеграл.на сумму^ двух: Г = С ф. ( , мы к.
-ь -ь а
каждому из интегралов, стоящих в правой части, можем приме-
применить лемму 6.9 и, следовательно, асимптотическое разложение по
степеням (Л + ?ао)~1/2. Нетрудно видеть, что при этом останутся
лишь четные степени этого оператора, и получаем окончательно
— У ~
у а с
ao)
I
B.18)
где &~к+1(а) ^D(A*+1) и N+1 раз дифференцируемая*) функ-
функция а со значениями в В, & gj(a) —бесконечно дифференцируемая
функция а со значениями в В, причем
?о(«> = 7Г
В случае, когда оператор А-1 ограничен, можно положить ао=(К.
Г (?)ехр
sign/"(a)}*
*) То есть ее N+1 производная принадлежит В.
186
3. Одномерный случай. Первый член разложения. В дальней-
дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 6.10. Пусть g (i)—дифференцируемая [m/2] + l раз
функция со значениями в банаховом пространстве В и все ее про-
производные обращаются в нуль в точке t=a, g{0) =5^0.
Пусть
g (t) dt,
B.19)
где a>0, f (t)
f'@)=0, f"@)
Тогда функция
.виде
— функция со значениями на прямой,
?=0 при /s=@, a],
при k-*-<x> может быть представлена в
2 Li г @)
\П
sign
, B.20)
где ||c*li-»-0 при
Доказательство. Очевидно, что функция f'(t) может быть
представлена в виде
где
/А ,— Wm/
ф \1) — С[0,а
Проинтегрируем B.19) по частям [т/2] раз:
ik J Г
о
¦Функция
J /'(о
no
~п^г]
[т/а]
со значениями в В при четном тп имеет вид
B.21)
B.22)
где ф4@—непрерывно дифференцируемая функция, причем
i — iS91 t и при четном т ¦§{{) имеет полюс первого
[Г()]
порядка при ^=0. При нечетном m функция
может быть
187
представлена в виде
где тЬг^С1, причем ф„@) =
, а
Следовательно, при нечетном т
образом,
Мр (Л) = '
B.23)
При четном т, таким
Uk)
m/2
г*
(m) е
J
При нечетном т имеем
~'т)""'"'
, (o) +
т) J
@ Л.
' (/) Л =
B.24)
x exp |i (m41)n sign /" @)|
где ||а*Ив-»-0 при fe^-oo. При четном т имеем
(k) = Yk J
+ a*), B.25)
ф(О()ф(О
Поскольку f"@)=7^0, то выберем a>0 столь малым, что/"(?)=О
при ^е[0, а]. Разобьем I{k) на сумму трех интегралов:
Оценим последний интеграл:
J e*«« фз (t) dt | =
N/Vk
(t)
N'V k
1 i gikut) _«_ _Ф;
(О
@
dt
.V/V я
/'
_ ~ Г
/'@
188
поскольку
J
dt f
OS
J (/' (ОJ
¦dt:
N/Yk
<__ ?i_
i /' W
N
Оценим предпоследний интеграл:
yt
Таким образом, переходя последовательно к пределу при &-»-оо »
N—*-oo, получаем
limlim
.V
lim lim f exp fi* Г/
= Фз@) lim f eTwv/«dg = ф3 @)у „2Q f exp {tg* sign/" @)} d\ =
о о
= Фз @) KfT^y exP {x si§n Г @)} -
- exp j— sign /" @I .
= i^cx (m) g @)
Следовательно,
2 i<"
if @)| J
2 J
x exp j'(fn^"n:r sign /" @)| k-^1):ie*mg @) (l + CTft),
где Haft||B—ИЗ при &^-оо, что и требовалось.
Замечание 1. Из предыдущих оценок следует, что если вы-
выполнены все условия предыдущей леммы, за исключением-
/"@) ф0, т. е. если /"@) =0, то lim \^{k)\?l"l+I)/2 = со.
k—*оо
4. Многомерный случай. Пусть теперь f{x)=f(xu ..., хп)^
g(x)=g(xu ..., хп)—дифференцируемые [п/2] + 1 раз функции
со значениями в банаховом пространстве В, обращающиеся в нуль
на границе области по={\х{—л-9 |^б, i=l, ..., п) вместе со вее-
веемы производными, х=х„—единственная стационарная точка
189
функции f(x), т. е.
Пусть, далее,
gradf(xo)=O.
f
(x \ lln
dxidx/ ilt-,
невырождена и индефинитна,
— \ v/
Лемма 6.11. При высказанных предположениях справедли-
справедливо равенство
-1Я6/4 /п_ч п/2
B.26)
„Й16/4 (п-s Л/3
* (*, *о) = ^, ^ «"'<*•>*(*,) A + <*).
где б — сигнатура квадратичной формы с матрицей R, J=detR,
Ио*11в->~0 при k-*-oo.
Доказательство. Очевидно, что
в б
Мр (k) = J ... J exp {ikf (х0 + Ti)} g (хв + ц)йц, л = X — х0. B.27)
-в -б
При малых т]
B.28)
г,/=1
Сделаем замену переменных |<=|,(л) (t=l, .... л), приводящую
квадратичную форму
к каноническому вид}г
Отсюда следует, что при малых
i—l
Поскольку D%ID-x\ = \, то
B.29)
B.30)
5 J
б, -в„
Пусть Я„ ..., Яз,>0, A,j,+1, ..., Яп<0. Положим r/3= |Xj|1/2iJt обозна-
190
чим через fz(y), ёЛу) функции
(y)=fi{Z(y))-f(xo)=j2y*c-i 2
/=p+i
Поскольку dy= TT l^l^di,-, то
Jkf{) /i Л
J ••• J
6' 6'
i
Перейдем к биполярным координатам
2=1, ..., р, /=р+1, ..., п.
Полагая g2(y)=g*(r, p, ос, ?), h(y)=h(r, p, ос, р), получаем
а Ь
I (k) = J j rfQx dQ2 5 5 exp {ikfs (r, p, oc, f,)} g3 (r, p, oc, p) r^p'-p-^p rfr,
о о
B.32)
где
p,cc,p)=T- —
Очевидно, что f3(r, p, a, ji) имеет столько же непрерывных произ-
производных по своим аргументам, сколько f(t). Имеем (угловые пере-
переменные опускаем)
f,(r, p)=f,(r, p)—/,(r, O)+f,(r, 0),
/. (г, P) - /, (г, 0) = p а/з f 0) - P2/5 (r, p).
Окончательно
-P%(r, p).
191
'Я1Г
Полагая
|^=13,-, i=l, ..., п—р— 1,
получаем
/ (k) = JJ
exp {tt [g -
, B.33)
e 0
Обозначим через f(r, p) и ср(г, р) функции вида
/(г> P)=r4fdr)+pfAr)), Ф(г> Р)=Р2/=(Г. Р)-
Поскольку
<*it _ ^_ 512 _. Ф2
Л- 2 Vf ' дг 2
аР 2
аР 2
и —HULL отличен от нуля при малых gj и 12, то функция
¦° di» la)
является [л/2]+2 раза дифференцируемой. Следовательно,
*>
Рассмотрим
Поскольку g(g) при ii = a, и s2=^i обращается в нуль со всеми
производными, то, интегрируя по частям, получим
а о
/ д 1 ч[(Р-«/а] j д j ,t,- . -,-,
х i _— | ^ ( _ ?3 <¦ g^CLCft, \^.М)
где
192
q=[(p—l)/2]
функция
ЕР-1
Si
имеет нуль в точке |1 = |2 = 0 не выше первого порядка. Оценим
интеграл вида
B.35)
При этом возможны два случая: либо п—р—1 четно, либо п—р—1
нечетно. Пусть п—р—1 четно; тогда
Сч
Функция
[Со-1)/2]
Следовательно,
В силу лемм 6.7, 6.10 имеем
^2 (^- Si) = — Cl (я'_р^ у л е~'"п/4ф (|х> 0) -)-
Ь1 хи-ьЪ
где е^С°° и к тому же
о Н- .
1 ПрИ 5 ^ —i-
0 при 1^-^-
—q?(ii. 0).
I 7 В. П. Маслов
193
Оценим
/,(*Л) = —^-Ф&.О) —
Следовательно,
^ 0)
j
Отсюда
b, 0)*+
-^Sr1 \ fexp
Очевидно, что для
имеем
при
/з (k) = J J exp {ik (g - g)} ^ |
о о
dg, -*O
Оценим интеграл
Л (Л) = f e l f rf- ^-)
0
Пусть p—1 четно; тогда
(abb)
, 0) dg
где
194
Следовательно, в силу леммы 6.10
/4(?) = c4(p)Je 1Ф(?1)^1=-^-
о
Очевидно, что
\ eW*gt @, 0) A + <т*). B.36)
B.37)
Из B.36) и B.37) следует, что
Поскольку
б — сигнатура квадратичной формы с матрицей
то
Отсюда и из того, что
следует
где ||<7i||ir-»-0 при k-*<x.
Все остальные случаи рассматриваются аналогично. Лемма
доказана.
Аналогично, опираясь на лемму 6.9, можно получить асимпто-
асимптотическое разложение интеграла
оо ао
B.38)
—ОО —ОО
где
, grad/(xo)=O, gradf(x)^=O при хфхй, g(x)(=C°°(B)
7* 195
и финитна, оператор А удовлетворяет условиям 1)—3) § 1. Имен-
Именно, справедлива
Лемма 6.12. При высказанных предположениях имеет место
разложение
п/2 \
—ОО —ОО
(*„)
). B-39)
gj(x0) (J^N) —бесконечно дифференцируемая функция х0 со
значениями в В: ^"№+1(х0)е?>(Л№+1) и N+1 раз дифференцируема
в В, а
V\T\
Заметим, что здесь, так же как и в одномерном случае B.19),
разложение ведется по целым степеням резольвенты (A + ia)—'. Не-
Нетрудно убедиться, что члены, содержащие 1/(Л-Ма) з полуцелых
степенях, обращаются в нуль, вследствие интегрирования по угло-
угловым координатам в представлении B.33), точно так же, как это .
имеет место и для асимптотического разложения по методу ста-
стационарной фазы для обычных функций [42, 43].
Аналогичная формула имеет место и для оператора А, удовле-
удовлетворяющего условиям 1), 1, а), 2) § 1. При этом функции gj(x0)
в формуле B.39) будут комплексно сопряжены с соответствующи-
соответствующими функциями, получаемыми при асимптотических разложениях
интеграла B.38), с «положительным» оператором Л, удовлетво-
удовлетворяющим условиям 1), 2), 3) § 1, и вместо А71'2 нужно взять |Л|"/2,
т. е. (—Л)"/2. ' ¦- •- - -- ¦ ¦ •--
Очевидно, что асимптотическое разложение можно получить в
случае, когда Л не удовлетворяет условию 1 или 1, а) и 2), но
можно разложить g(t) на сумму g+(t) и g-(t):
причем сужение оператора А на В+ удовлетворяет условиям 1) и
2), а сужение оператора А на В- удовлетворяет условиям 1, а) и
2). Кроме того, разложение можно применить также в случае,
когда g(t) есть обобщенная функция в смысле п. 2 § 1 гл. 1. Для
этого достаточно подействовать на обе части равенства B.39) опе-
оператором А1, где / — любое целое положительное число, и учесть,
что
A'D(Am)=D(Am-').
= L2[—оо, оо]—гильбертово пространство
А= .—- , g(t, %)=go(t)8(x) (см.
I 0%
Пример. Пусть
функций от т, —
гл. 2, § 1, п. 6), go(t)(=C°°. Тогда g9{tN+(x)e=B+, a go(t) 6+(т) <=В-
196
Пусть f(t)^C°°, gv&df(t) = O лишь при t=0. Имеем
Таким образом, при п четном имеем
[т- / @)] + ?r*v< [т - /@)]}
= 2{^Т go @) Re {е^*6+ [т - / @)]} + ?Г (т),
!f
где &~(t)^L2, б и / определены выше.
Заметим, наконец, что в многомерном случае имеет место
утверждение, аналогичное замечанию к лемме 6.10. Это эквива-
эквивалентно следующему утверждению. Пусть
Tim kn
к—>оо
для любой функции g(x); тогда
det
а2/
отличен от нуля в стационарной точке и метод стационарной фазы
применим.
§ 3. Асимптотика в малом решений абстрактных уравнений
1. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициен-
коэффициентами. Пусть дана последовательность вложенных друг в друга ба-
банаховых пространств Bv+1sB' (v—1, 2, ...), которая определяет
линейное пространство В°° со счетным числом норм вида
K,, v =
Рассмотрим оператор
L — 2 ^' (Р1г • • • > Рп> Х1> • • • > xn+l, h) pn+l, Хп+1 = t,
зависящий от 2п+2 параметров и отображающий счетно-нармиро-
ванное пространство В°° в себя. Предположим, что оператор L бес-
бесконечно дифференцируем по всем параметрам, т. е. все его част-
частные производные отображают 5°° в себя.
Теперь рассмотрим счетно-нормированное пространство Яь
функций Xi, ..., хп+и h со значениями в В". Пространство Rh
J97
"W
определяется счетным множеством норм вида
оо оо
vi7
max
Г ...
J
^:const, 1
Пусть Vh—некоторое счетно-нормированное пространство, объем-,
лющее Rh: Vh^Rh. Обозначим через Rl подпространство Rh функ-
функций, не зависящих от хп+1.
Замечание. В этой главе мы будем проводить доказатель-
доказательства для случая, когда пространства S* (t= 1, ..., оо) гильбертовы,
используя тот факт, справедливый лишь в этом случае, что
Фх/hRhCzRh. Если же пространства В{ банаховы, то мы можем
утверждать лишь, что Л"/2Ф5/& Rhc^Rh. Это обстоятельство не влия-
влияет на ход доказательства приводимых здесь теорем, но сказывает-
сказывается на оценке, которая понадобится при доказательстве теоремы 4.4.
В пространстве Rh рассмотрим оператор
~ih-~, ...,-ih^-, xlt ...,Xn+uh)(ih-±-)J,
dxi дхп V dxn+l J
У=0
причем операторы —ih-
т. е. *)
Lj (р, х, t, h) ф (х) =
. Т } it% _. «*
—/Л
действуют первыми,
дх
, хъ .. .,
5« 5п
Пусть сужение L оператора L, определенное на множестве эле-
элементов из /?л, обращающихся в нуль при х„+1 = 0 вместе со своими
т—1 производйыми по xn+i, имеет обратный L~l.
Предположим, что выполнены следующие условия:
2) существует единственное решение уравнения
L\p = 0,
C.0)
*) Здесь при А = 1/Л (см. гл. 2, § 2) ФР1 Р*ср (р) = (— 2ziih)~k'2 \ eipx/h X
—ОО
ф (Р) d (р), Ф^1 = Фд при Л = 1/А, т. е. Ф йф (g) = Bmh)~k/u >c
оо
J в-^^ф(В**©.
198
удовлетворяющее при xn+l = t0 условиям
Rl J = 0, ..., от—1,
при
а^
, такое, что
Очевидно, что если выполнены условия теоремы 4.1, то выпол-
выполнены и условия 1), 2). Это следует из леммы 5.2.
Пусть
Ч> (Ри ¦ ¦ ¦ , Pk, хш, . . . , Xn+i, h) =
= Ф (Ръ ¦ ¦ ¦ , Pk, xk+1, xnyx, h) exp j-i- 5 (p, x) I
где S(p, x)=S(pu ..., ph, xh+1, ..., ^+1)eC", а <р(р„ ..., pft,
xi+1, ..., xn+1, h)—бесконечно дифференцируемая ограниченная
функция при
и финитная функция аргументов ри ..., рк, xk+i, ..., хп со значе-
значениями в счетно-нормированном пространстве В°°. Для упрощения
формул обозначим рк+1, ..., рп+1 через |i+1, ..., |я+1, ах,,..., хк—
через т]„ ..., г\к соответственно, &==& при i>&. Теперь мы можем
обозначить
Ф (А Pa, ATfe+i, .... дгп+i, А) = ф (р, дс, /г),
? = L (ц, дг, р, |, Л) =J
i, .... х„+и — ih ——, ... , — ih-—, — ih — h) ,
0% dr\k dx J
= L
д д д
Тч ТТЛ ^^ ^_____
Эх oxfe+1 "Xn+i
2. Асимптотическое разложение линейного дифференциального
оператора с частными производными и операторными коэффициен-
коэффициентами.
Лемма 6.13. Имеет место следующее соотношение:
Цг\,х, р, С К) Ф' ¦ -"*ф {р, x,h) =
, jc, p, g», 0)Ф
а?»
199
dL
A
1=0 J
N
2
-^ • *• It) ф
lft=o
1, x, h), C.1)
Pf [ x, —, p, — ) — полином 21-го порядка по д/дх и д/др,
\ дх dp J
Zh(r\, x, h)ezRk, L°=L(t]°, x, p, 1°, A) |*_..
Доказательство. Обозначим через Lj=Lj{.x\, x, p, g, h)
оператор, действующий следующим образом:
dpk
, xk+u ....
дх,
¦*+l
Ь±.Ь)Ы*.„)-?-$ ...J тт
druexplj
-2
п
__ VI
xn, p'n,
\J> (p'f *'
. .. , ln, h) x
Очевидно, что
1=1 J
У=О
Рассмотрим пространство C°°[Rn+2, 5°°] функций от
Pi, ¦ ¦ •, Рю xk+i, . .., xn+i, h,
со значениями в В°° и пространство С? [R"+2, S°°] функций тех же
аргументов в области
оо,
со значениями в В°°, обращающихся в нуль вне интервала
200
Пусть «peC-LR-Л Д-], а
. Положим
и <рв=ф при
Р = (Л, - •., Р*),
Очевидно, что 24>e=Zif> при
представлена интегралом вида
и функция 2/фв может быть
= I(x, p, h) =
BяА)"
1 ... Г П dg/II^expH-[2 ^-2 ^
'? 7 f i Г fe . rt+1 Л)
••• 6ХР Т 2 WJ- 2 ?/^ UK^P',S,^95(p',x',A)>
.-во -оо I LV=1 ^=*+1 JJ
хехр j-lS(p',x')f П dXjRdp'A
Обозначим через /4(tj, jc, |, /г) интеграл вида
оо оо
1Лт],х, t A)= j ... j
— ,х> —эо
х exn i—
exp (l
>',*', А)
Пусть Q — носитель функции <pe(p', x', h). Обозначим
. C.2)
ч/ аР(.
1,»=1,...,Л.
Возьмем финитную функцию Ф_(г), |), носитель которой содержит
область Q0 = IlQ nxQ 0, причем Ф(ц, |) = 1 при tj, g^Q0-
C.I Я/ *'
Рассмотрим интеграл
= j... 5 п ^/n
-оо -оо /=4+1 /=1
/=i
\ 1 Г °° (
К ... f exp l-
yj Lio ji Ih
/ х
201
-± g itx'AL (n, *, р', 5, Л) exp i—±S(p', x')j Фв 0»', x', h) x
n+i k -i
x П dx} Ц dp]
j=k+l /=1 J
Из определения Ф(т], g) следует, что /2(х, р, Л) отличен от нуля
лишь при т|, i^EQo, т. е. при
^S (р'? х'), цФ—gradp-S (р', *').
Но если т), g^EQo, то Ii(r\, x, |, /г) не имеет стационарных точек.
В силу леммы 5.7
I{x,p,h)=h{x,p,h)+O(h«),
где
с» оо
\/=ft+i
/*/ — 2
(Л. ^. Р\ 5,
ic ( k ' n+1 Al , r i , , \
x exp \—\ v r\;pi — V i/Jf/ И Фз (р , x , ft) exp -{—S (p , л; ) J. x
IH/ti Д1 Л u j
n+i fe
x T~f dx'jd&j JJ dpfdT],;, C.3)
iV — любое целое число.
Для вычисления Ia(x, p, h) применяем метод стационарной фазы.
Стационарными точками
S/, Jfy.P/, Л?, / = А+1, ..'., л+.1, t=l, ...,*,
являются решения системы
-• ¦ as (р'а, *'') _?0 ._, , , .
дх,
as (p'°, ^'°
= — Цс, Рс =Pu i=\, ... , k.
Эта система, очевидно, имеет единственное решение
=Х{,
(р,
р» =Pi.
202
Поскольку определитель
О
det
, л:)
дх?
О
о
о
о
= 1,
¦II о
то можно непосредственно применить метод стационарной фазы к
Применяя метод стационарной фазы к I3(x, p, h) и учитывая, что
Цх,р, h)=I3(x, p, h)+O[h*),
получим
/(х, р, /г) = ехр j-1- S (p, jc)\ JL(т]°, х, р, |°, 0) Фб (р, х, h) +
k n+i
+ fft [a,/, (rf, x, p, 1°, 0) + V a/ -t- + Vi,-^ +
S 2
— *тг(Л0, *, P, S, A)
фа (*, /», А) +
+ 2 h*P' (x> t Р> Л) Фз (Р, л, А) + hN^zh [р, х, ЛI . C.4)
j
Здесь
as
p.U, 1, P, ц) —полином 2г-й степени относительно |, r\, au bt, cu aih
bv, dth eihjij—коэффициенты, зависящие от р и х. Определим их.
Пусть Г(г], х, р, |, Л) =со = const; тогда, очевидно,
/ (х, р, я) = с0 ехр j-i- 5 (р, x)J Фв (р, х, Л).
Из C.4) следует, что ао = О. Пусть теперь
L (л, ^, Р, i, h) = гц +1/ + pv.
203
В этом случае очевидно, что 1{х, р, h) можно представить в виде
/ (х, р, К) = [ ih (JL __?_)¦ + Pv J exp ji- S (p, x)j Фз (p, x, h).
Следовательно,
, p, fc)=
Поскольку
dp,
dLf.dLf.dL
~ == "<7. —-— = Oft,
то из C.4) получаем
/=1, ...,&,
ЬрГ
Эф,
Пусть, далее, L(r\, x, р, |, К) =г\<г\)-\-Ь%™- В этом случае
/Э2 д2 \ ( i 1
/ (х, р, К) = — /г j I exp i — S (р, х) I фа (р,
\ Эл;тЭл;; Эр:-ар- J \ h )
Следовательно,
C.5)
C.6)
C.7)
/г).
, р, h) =exp ||s(p,
+
дх1 дхт дхт. дх1
-h4-^- +
dS dS
др{ др.-
+ ¦
дхтдх,
dxmdXl
dpj
фв —
^Pa_ , as дфа
dp/ dpj 9P(
Из C.4) и C.8) следует
Ф6,
'? dPj
Подставив Otj, Ьц из C.9), C.10) в C.4), получим
C.8)
C.9)
C.10)
C.11)
204
d2L
C.12)
Пусть теперь L(r\, x, p, g, /i) =р(Р;-+т]трг. В этом случае
/ {х, р, К) = ^ih JLpt + Pip^ exp | j- S (p, x)\ фб (р, x, h) =
= ргр/ exp ij-S (p, x)| фа (р, x, /г)
— Pl
as
Поскольку
p, S, A) _
1
1
Пс dp;
то из C.4) следует, что
C.13)
'./=1
dmi — dmtq>ii, cy=0.
T],gm4-Pv^. Следовательно,
(x, p, h) = h2 —— exp f-i- 5 (p, *)] фа (р, x, h) —
Предположим, что ? =
— ihpv -?— exp f-L-S (p, *)} Ф (p, x, h) = exp {J- 5 (p,
0xt \ h J L /г
dS dS
dS аФа , dS dfP
+
dPl дхп
др1
h дх
Отсюда и из C.4) получаем
2 2
/=*+! « = 1
дх
-фз.
./ C.14)
C.15)
Следовательно,
I, /—- " ¦
¦фз-
Из C.14) и C.4) следует, что /«=0. Из соотношений C.5) — C.7),
205
C.9) — C.13), C.15) при us?.;cn+1;?;a следует равенство
Life = Zip = L exp {-!- S (p, x)\ cp (p, x, h) =
1
B.1171/
j ... j
j j
/=4+1
/=4+1
xexp --2 4/P/ | ... J expl 2w;-
1 '=1 ' I x -co I \/=l
? 01, x, p', I h) exp j-±- S (p't x')l ф5 (p\ x', h') JJ dx) T\ dp'A
/=4+1 t=i J
ih
— 2 У У
Ф
—0 jTl»=-gr
+
ad;,S(p,j«r)
<P+h +1Z;L{P, X, h)\ C.16)
В силу того, что
Pit
• • ' *Р.Ь
^ отображает /?д в /?Л, мы получаем утверждение леммы
СлУчлаи бесконечнократных термов. Рассмотрим оператор
^ * ^+i. ^) в счетно-нормированном пространст-
пространстве Rh. Напомним, что
рп,
— t
Лс„
206
а операторы ps действуют «первыми», т. е.
U(pi, . . ., pn, xu . . . , xn+l, h)\|j(xu ... , xn) —
==ФР' "nLk(Pu . • • , Pn, xlt ... , *„„
Мы предположим, что
L(pu ..., pn+i, xu ..., xn+l, 0)
li, .-., In).
C.16a)
является константой в В1 (зависящей, разумеется, от параметров
хи ¦ ¦., хп+и р„ ... , pn+i) (т. е. собственное значение оператора
C.1ба) (терм) является бесконечнократным). Здесь
i, . . . , xn+i, h) —
m
= V Lk(P!, ..., pn,xx, . .. , xn+l, Щpn+1.
Возвращаясь к нашим прежним обозначениям, переобозначим
L(Pi Рп+и Хи .. ., хп+1, h) через L(r\, x, p, |, h), где
Через L" обозначим L(r\, x, р, |, 0), равный C.16а) *).
Таким образом, L°(r\, x, p, g) есть многочлен порядка т относи-
относительно gn+i = pn+1. Предположим, что
1) полином L°(t], х, р, g) имеет действительный корень gn+1^
=Pn+i = MPi Рп, хи ..,. хп, t) **) постоянной кратности и, сле-
Н{ p,x,t).
довательно,
dLa dL°
~дк~ ~ Эрл+1
отлично ох нуля;
2) оператор L(pu ..., р„, р„+1, хи ¦ ¦ ¦, хп, t, h) вместе со всеми
производными по параметрам и оператор exp{itdL/dh}h=,0 отобра-
отображают В™ в В°°;
3) выполняются предположения п. 1 § 3.
При этих предположениях для достаточно малого t существует,
очевидно, решение
S(t)=S{xa,pa,t), p(t)=p(xo,po,t), x(t)=x(xt,po,t),
• • i -^o*) > Po == (Po*+i> • ¦ • > Pan)
системы
dPi
Pi =
? dPi
Pi, i=l, ... , n, C.17)
*)• В обозначениях § 1 гл. 4 L° = SS0 = SS*0 =X{r\, x, p, |).
**) В отличие от обозначений § 1 гл. 4, где корень рп+\ обозначался через
,х, t).
207
dS°
которое удовлетворяет начальным условиям, отвечающим локаль-
локальной карте типа Qh лагранжева подмногообразия, т. е.
5@) =О (Poll • • • . Poh, Xoh+l, - • ¦ . -^Ол) ,
C.18)
pi@) =Аи, t= 1, . • . , k, X,@) =A'0j, j = k+l, ... ,tl,
dS°
Xi @) = = Xai (poi, . . . , Рок, X0,k+i, - - - , Xon), l = 1 > • • ¦ , *,
C.19)
dS°
Pi @) = — =pOj (Pox, ¦¦-, Pok, XOk+i, .... *o«), /==Л + 1, . . . , Л.
Для достаточно малого времени t существует также, очевидно,
единственное решение
Pat== Pot\Pi, • • • > Phi Xh+l, . . . , Хп, Г),
xai==xai\Pu • • ¦ > /?s» -^m-i» • • • » Xn, *)
неявной системы уравнений
Pc(Poi, ¦ ¦ ¦ , Pok, хо/1+и . .. , xon, t) = pi, i= 1, . . . , k,
Xi (Рои • • • > PoA, -*Wl, • • • , Xon, 0 = */, / = * + ],••¦,"•
Сохраняя обозначения леммы 6.13, положим S(p, х) =3(х0, ра, t)
для хо = хо(х, р, t), ро = Ро(х, р, t). Как известно, решения системы
C.17) — C.19) в силу теоремы Гамильтона — Якоби удовлетворяют
также системе
J!*L = -^4-(t\°. х. п. 1°). / = ?4-1 л4-1.
где
Следовательно, справедливо равенство
&3p д^ ^ а*
C.20)
Рассмотрим оператор, стоящий в правой части формулы C.1) в фи-
фигурных скобках, на который действует оператор Ф^ "к. Обозна-
Обозначим этот оператор через R. Таким образом, формула C.1) перепи-
шется в виде
Сделаем замену
208
k exp
Ф = и /7,
C.21)
где
Тогда
Р(Ри ... , pt, ATfe+1 Хп, t)
Эт у J \dv 2
В силу леммы С. Л. Соболева (см. гл. 5, § Б)
_d_
dx
vi _f!_ j aL° / о x p jo\\
i=\ * l
_2
- . C.22)
Отсюда
= Ru ¦¦
A - "+1
dft
"} = - ih(A
поскольку в этом случае L(j\°, x, p, |°, 0) =0.
Рассмотрим оператор
Ли = — ih(Au+hBu),
где
u + hBu),
C.23)
_d I_
dx 2
+
. dL
dh
ft=o
Обозначим через iT сужение оператора Л на множестве функций,
обращающихся в нуль при т = 0. Очевидно, что Л~1 существует.
Поскольку Pi (х, , р, ) выражаются линейно через про-
V дх др 1
изводные от L по параметрам р, х, h, а последние по условию отоб-
отображают В°° в себя, то и Pi (х, , р, ] отображают В°° в себя.
V дх dp j
Очевидно, что если f<^Rh и бесконечно дифференцируемо в Rh, та
Pi (х, , р, )/(х)е Rh и бесконечно дифференцируемы в Rh.
V д dp j
Д отображает В°° в В", та
dh h=o J
, р,
V дх dp
Далее, поскольку expJi
209-
C.24)
существует решение уравнения
A v @=0,
удовлетворяющее при 2 = 0 начальному условию v\t^o = v0^Rh, бес-
бесконечно дифференцируемому в Rk, и v^Rh и бесконечно дифферен-
дифференцируемое в Rh. To же замечание справедливо и относительно опе-
оператора Ж~\ Поэтому действительно (A~1B)!fv(t)^Rh для любого N
и при этом бесконечно дифференцируемо в Rh. Пусть v'(t) —реше-
—решения уравнения C.24), удовлетворяющие начальным условиям бес-
бесконечно дифференцируемым в Rh.
Аналогично тому, как это было сделано в лемме 5.5, можно до-
доказать, что выражение
/1=0
)" 2
удовлетворяет уравнению
где zh^Rh. Отсюда следует, что
. .,Pk
_ exp |_?_
= hN+1z!t(x,t), zh(x,t)e=Rh, C.25)
в силу того, что оператор Ф*3' Pk отображает Rh на Rh. По условию
существует решение w^Vh уравнения
Поэтому
? (ФР1 P
C.26)
Поскольку N сколь угодно велико, то отсюда следует
Теорема 6.1. При высказанных предположениях существует
решение уравнения
представимое в виде
y S
/"
V
(Pi,
, ...,*„) \/~~ШЕ-
1 x) * dX
x exp
D(p01, ...,pok,xok+1 xon)
. dL
dh
Л=о
дХ
dt\x
N
Л'ф/ (Pi, - • •, Pk, Xk+1, . . ., Хп, t)
zh(x,t,h).
210
Здесь
dL° d*L° dL
дХ '
dh
h=o
— функции X = X(XO, p0, t), p = Po(xo, p., t) ,
S(pt, ..., ph, xh+1, ...,xn, t)=3(xo(p, x, t), po(p, x, t), t),
Uj(Pi, • • •, Pk, Xh+i, ..., xn, t) —некоторые бесконечно дифференци-
дифференцируемые функции, финитные по р и х, со значениями в В°°, zh^.Rh,
причем
Phi
i • • • » Xn, t) =l\Poi, • - • > Рои,
где f — произвольная финитная функция.
4. Случай конечнократных термов. Теперь мы предположим, что
выполнено условие 1) теоремы 4.1, причем точка Я(р, рп+и x, t)
(терм) конечнократна.
Мы сохраним обозначения и предположения 1), 2) п. 1 и пред-
предположение 1) гл. 4, § 2.
Основные тождества. Пусть Хь •••. Ъ — нормированная
система собственных векторов
L | й=оХг = L°%t=ЛХь i = 1, - ¦ •, г, C.27)
%i=Xi(xl, .. ., хп, t, р„ ..., рп+1),
Л = л(Х1, . . . , Хп, t, ри . . . , Pn+i) >
а X*. •••«%/•" — нормированная система собственных векторов опе-
оператора (L0)':
(Ь°Гх?=Ьуй, ?== 1 г, C.28)
при том же значении Л=Я( хи-. ., xn,t, ри ... , pn+i).
Докажем следующие равенства:
а)(хЬ|^хЛ =
V др у
дХ
dL°
дХ
Продифференцировав C.27) по pv, получим
dPv
CJ29)
Умножая скалярное это тождество на х/ и учитывая C.28), полу-
получаем равенство а). Аналогично, из
dL°
dxv dxv
получаем б).
211
щ
Продифференцируем C.29) по х№. Мы получим
• + ¦
г ^
дХ
г
Hi , &Xt
dPv ' ««Л .
Умножая это равенство скалярно на %}, получаем
и аналогично
г) [XI,я я Ул
.+ | а/.» ах 1 дхс
др.
Обозначим, как и ранее, через R оператор, стоящий в правой части
равенства C.1) в фигурных скобках, так что равенство C.1) пере-
переписывается в виде
-Ф Pk
, t).
В этом случае мы представим R в виде
где
, l\ 0)=L°,
d2S d"-L«
к /1+1
22 2
ft=o
Очевидно, что уравнению
X
удовлетворяет у, принадлежащая подпространству собственных
векторов оператора L", т. е. S(p, x) удовлетворяет уравнению Га-
512
мильтона — Якоби
По условию
dS
дх
' х>
dS
др
= 0.
C.30)
Л=А(\—р%)
имеет обратный в В°° и оператор
определен на всем В°°; Ж есть сужение оператора А на подпро-
подпространстве A—РхM°°, имеющее обратный. Для того чтобы можно
было применить лемму 5.5 (ч. II) теории возмущений и найти та-
такое ф, чтобы
нам нужно существование N членов теории возмущений. Так, для
определения первого члена асимптотики в этой лемме требуется су-
существование выражения вида Ж~1и1%. Это означает, что
e=D (Ж-1), т. е.
t = 0.
Предположим вначале, что размерность г подпространства собст-
собственных функций оператора L0 равна 1, т. е. точка X—простая. Тог-
Тогда условие C.30) примет вид
(Х+, ".Х)=О. C.31)
Скалярное произведение понимается здесь в объемлющем прост-
пространстве В1. Поскольку х=ХоФо, где Ilxoll = l, a <po=«Po(Pi, ..., Рь,
xh+i, ..., хп+1)—скалярная функция, а с другой стороны, опера-
оператор ы4 есть оператор в Rh, включающий дифференцирование по аргу-
аргументам j>i, . .., pk, xh+i, . . ., xn+i, то уравнение C.31), которое, оче-
очевидно, мы можем переписать в виде
ОС», «iXo) Фо = О,
C.31а)
есть дифференциальное уравнение для определения функции
фо \Р\, ¦ ¦ ¦ , Рку *М-1> • • • » Xn + l) ¦
Совершенно аналогично в случае r-кратного собственного значе-
значения л, если %!, ..., %г— нормированная система собственных век-
векторов, то уравнение C.31а) можно переписать в виде системы
дифференцированных уравнений для определения скалярных коэф-
коэффициентов фоь ..., фОг при Хь ¦ ¦ ¦, %т- (Напомним снова, что хотя
<Poi = <Poi(/?i, - - - , Ph, Xh+i, . . . , Xn+i)
являются функциями параметров ри .. ., ph, xh+u . .. , хп+и но явля-
являются функциями со значениями на прямой, т. е. скалярами в про-
пространстве В1. Векторы же %1; ..., %г являются функциями ри ...
.. ., ph, xh+i, ..., хп+1, но со значениями в В1, причем эти векторы по
норме в В1 равны единице.)
Система уравнений, эквивалентная C.31а), имеет вид
2 Ьл, щх/) ф„у = 0, t =1, .... л
принадлежал области определения оператора Ж~\ т. е.
pt к 7г*-щ 2 4W*/ + 2 ф1^-/ + 2
Таким образом,
Г + ( 'Г
2. <* • ЪЪ) Ч>« - ~ \%с, \ихА и, +«,] Д 4W
и мы получаем систему уравнений для определения
Аналогично, для ?-го члена
мы должны потребовать, чтобы
к -1-1
Таким образом,
г
Zj VKi'
где Т7 зависит лишь от <ра при
= 0.
C.32)
и мы получим уравнение для
Итак, задача сводится к отысканию дифференциального оператора
L= (X«."iX/) B пространстве С°° и доказательству существования
решений <р уравнений Lф = 0 и L<p=/?, где
Ф<=С°° и F<=C°°. C.33)
Заметим, что оператор и4 состоит из суммы вида
4 at» a . 2tx 3L° в , „
214
где оператор 7?4 не содержит операторов дифференцирования, а яв-
является оператором в В°°, зависящим от параметров ри ..., ph,
Лн-i. • • •. Л»+1- Поэтому
В силу леммы 5.5 для вычисления следующего члена нужно, чтобы ' 51
элемент ! ?^.х
( г г \ г
I I „ ^
=1 lv=l
2 at#fu.
где а№ — известные функции параметров ри ... , рк, xh+i, ..., хп+1.
В силу тождеств а, б)
- 2
Kv
где d/dx—производная вдоль траекторий системы Гамильтона, от-
отвечающей C.30). Отсюда следует, что решения уравнений C.32),
C.33) существуют. Далее, применяя рассуждения C.25), C.26), мы
приходим к асимптотике решения уравнения
Нам, однако, еще нужно получить решение уравнения C.33) в «яв-
«явном виде», т. е. выписать матрицу ai9 в C.34). Для этого мы вос-
воспользуемся тождествами а)—г). Заметим прежде всего, что
(Xv, «*J = - ^ -
dL°
C.35)
где 6/5/?j и ЫЬХ] обозначают полные частные производные по неза-
независимым переменным ри ..., ph, хк+и ..., хп+1, т. е.
vti *,
el я
215
Аналогично,
у
2
< dXj
и аналогичные им, получим, используя равенства вида
дх,
s? dx.dXj ..
=1, ..., ra+l,
Подобно тому, как это было сделано в предыдущем пункте по
ложим
где
(Рь • • •. Pa, xh+u ..., хп, t) — решение системы Гамильтона
причем /@)=0, а р и х удовлетворяют условиям C.18), C.19),
в силу леммы А. С. Соболева удовлетворяют уравнению
dx
Подставляя
d<PoJ _ 1
dx ~ \П
2 dx
в выражение для оператора щ (см. C.35)) и учитывая тождества
в), г) вида
л+1
S
i,J=k+x
d2L°
к I
= 2 S
^J "
и аналогичные им, следующие уравнения для вектора и =
216
dx
где G — матрица вида
" dx
t=l
. C.36)
Оператор ~\fJ (Xv, «i^u) тт^ соответственно имеет вид — (- G.
Отсюда следует
Теорема 6.2. При высказанных предположениях существует
решение уравнения
представимое в виде
\fj (р, х, i)
л^
V=l /=0
/v (Р, х, t) Xv
Ф,(/7, л:, t)—векторные бесконечно дифференцируемые функ-
функции, финитные no p и х, со значениями в В°°, zh^Rh, причем
(pOv (p, х, t) удовлетворяет уравнению
Зфо = °» Фо = (Фоь • ...Фог).
dr
(Напомним, что функция S(p, x, t)—действие — удовлетворяет
уравнению C.10), а производная djdx берется вдоль траекторий си-
системы Гамильтона, отвечающей S(p, x, t).)
Докажем, что С1 = (-\(а'>) и есть искомая ортогональная матри-
матрица ИМа°) II- Положив д(а) =dq(a), получим
да
да
ГЛАВА7
АСИМПТОТИКА В БОЛЬШОМ РЕШЕНИЯ АБСТРАКТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы докажем теоремы, сформулированные в гл. 2—
4. При этом в основном мы повторять эти формулировки не будем.
§ 1. Лемма о локальных координатах
Прежде всего мы докажем лемму о локальных координатах
(лемма 2.1), которая использовалась при конструкции канониче-
канонического оператора.
Лемму о локальных координатах мы сформулируем в виде двух
лемм 7.1,а и 7.1,6.
Лемма 7.1,а. Пусть в точке а=а° матрицаВ = \\—-1 име-
Эа/ I
ет ранг f<in. Тогда существует такая ортогональная пхп-матрица
||Eу(«°)Н, что при каноническом преобразовании
A.1)
да,
¦ (а0) = О
равенство
выполняется для всех l^e^k, lsg/sgrn, где k = n—т.
Доказательство. Существуют такие ортогональные матри-
матрицы С1 = С1(а°) и С2 = С2(а°), что матрица B^dBC?. диагональна
при <х=а° (см. [8]), причем ее первые k строк состоят из нулей.
Очевидно, что первые k строк матрицы Bz = B1Cl = C1B тоже рав-
равны нулю.
218
Отсюда следует, что (dqa/da,)a=.a<>=0 (o=l, ..., k). Преобразова-
Преобразование A.1) оставляет инвариантными скобки Лагранжа. Лемма до-
доказана.
Лемма 7.1,6. Если ранг матрицы _—I равен
dq(a)/da1(a°)=0 при a^k, l^j^n, то матр
и dq(a)/da1(a°)=0 при
\\d()i/daj\\iii^n, где
т, k = n—г
матрица Dh =
(а) при
(а.) при i^>kt
невырождена.
Доказательство. Умножение матрицы В2 справа на С2
эквивалентно ортогональному преобразованию координат аи ..., а->
вида a=Cla. Поэтому Bt = B2C2= \\dqt/da.j\\.
Поскольку в матрице В1 при a=a° отличны от нуля лишь чле-
члены (dqifdai)a=*° при i>k, то из условия B.2) гл. 1 следует, что
(dp,-/da/)a==ao = 0 при [>4и/<^. A.3)
-^—l т^О- Предположим противное, тог-
тогда в силу A.3) ранг прямоугольной матрицы А = ||дре/да,- [|,-^„ при
<z=ia° меньше k. Прямоугольная же матрица [| dqa/daf |a=ao (ls^a^
^«) равна нулю. Отсюда следует, что ранг прямоугольной матри-
матрицы вида
а».
дРа
да,-
п
п
k
0
А
г
меньше га, что невозможно, поскольку {q(a), р(а,)} —n-мерное под-
подмногообразие. Полученное противоречие доказывает, что
л
det A U=a° = П
что и требовалось.
Координаты точки а0 вида y=(pi, ..., ph, qk+i, -•-, qn) (k =
= n—г) будем называть фокальными координатами точки a°, а со-
соответствующую плоскость — фокальной плоскостью.
219
§ 2. Доказательство теорем об инвариантности
1. Мы докажем теперь инвариантность индексов по модулю 4,
поскольку для определения канонического оператора достаточно
знать лишь такие индексы.
Если некоторая область QcrF взаимно однозначно проектиру-
проектируется на плоскость
то будем писать QczQht, а если одновременно проектируется вза-
взаимно однозначно и на плоскость
Яг — Яг — ¦ ¦ ¦ = Як,
— • • ¦ = Рп = 0,
то будем сокращенно писать Qc=Q.ftlDQft2. Если точка а принадле-
принадлежит карте Qh атласа 3%, то будем писать аей4.
Точки аейЛ поставлены во взаимно однозначное соответствие
со своими проекциями ук на плоскость qi = q2 = ... =qh—ph+i= ...
...=рп = 0; при этом будем писать ук=ук (а) иа=а(г/д).
Последняя функция определена лишь на проекции области Q,
отвечающей Qh, на указанную плоскость. Обозначим
7k = Da {a)/Dyk, Y* = Ind Bk.
Пусть S(oc) — некоторая функция, удовлетворяющая уравнению
dS(a,)/da.j=pdq/da.j.
Обозначим
7k=h (yk) = |Л |l/*exp HA 5 (a) — |] p,q, (a) 1J Ф (a) j
где ф(а) —некоторая гладкая функция с носителем.QcrQ,,,
Соответствующие величины, отвечающие Qh, будем обозначать
двумя волнами. Обозначим через Ф** обратное преобразование
Фурье:
фДд^^ ??|_;
4 -ос -ex: >¦ 1=L >
B.1)
равен R, интеграл
В случае, когда носитель функции if>(</i, ...,
нужно брать по R.
Доказательству трех сформулированных теорем мы предпошлем
несколько лемм. Заранее условимся, что все равенства в леммах
7.2—7.5 и доказательстве теоремы 2.3 мы будем понимать в фак-
фактор-пространстве 5 (см. гл. 2, §§ 1,2).
Лемма 7.2. Пусть носитель Q финитной функции ц> (а) при-
принадлежит лагранжеву многообразию T={q{a), p(a)} и проекти-
проектируется взаимно однозначно на координатную плоскость q и на
220
плоскость <г1 = <7, = ... = <7ь=А+1 = ••• = .?»—°> а &к—его проекция ни
плоскость ql = q2 = ... = qk = ph+l = .-.=pn=0. Тогда выражение
ф"Ч0 (q) равно 71 ехр J —уЛпри yh^Qh и равно нулю при
k! (q)
Доказательство. Для вычисления интеграла Ф k!0 (q) при-
применяем метод стационарной фазы. Стационарные точки qi= qi
(i = 1, ..., k) определяются из системы
B.2)
Положим в B.2)
Поскольку
= qi(a), i = k-\- 1, .... n, /=1, ..., k. B.3)
=^a при
то система B.2) удовлетворяется при q?=qi(a) (j=l, ..., k).
Положим в системе B.3) ¦a = a(yk)
Получим, что <7° = ф [«(#*)] (t=l, ••-, *) являются решениями
системы B.2) при произвольных yh^Qh, поскольку pj[a.(yh)]=p}
(/=1 А) и
[()] = Яс i = А + 1, . . ., п.
det
Если yh$zQh, то стационарные точки qf (i=l, .. ¦, k) не принад-
принадлежат области, в которой подынтегральная функция отлична от
нуля.
Единственность решения системы B.2) в области ук^пА следу-
следует из того факта, что
(а(ф) Д _ dct g-i __ Do (a)/Dq , Q
?=9f(«)-
Условия применимости метода стационарной фазы выполнены, от-
откуда следует утверждение леммы.
Лемма 7.3^ Пусть носитель функции qp (a) принадлежит пере-
пересечению Q&, Г) Qa2; тогда в точках Укг е Йа2 таких, что ce.(yks) яв-
является неособой, имеет место равенство *)
B-5)
*) Здесь
А1/А ] ~.
221
Доказательство. В силу леммы 7.2 в неособых точках
. B.6)
Отсюда
Поэтому в силу леммы 7.2
B.7)
= exp j-J-
, - Щ \, B.8)
OV4t = exp {-^ fAi
что и требовалось.
Лемма 7.4. Пусть носитель ф (а) принадлежит Q^t f") Q^2; тог-
<?а имеет место соотношение
где пг — некоторое целое число, не зависящее от у^.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
имеющий вид
Bя)(/;1+,2)/2
x exp |_
Jexp |г-Л Is (a) - 2 Pi (<7/<«)-?/)!}>
где
t B.9)
л, • ¦ -, рь,
Для вычисления интеграла B.9) применяем метод стационар-
стационарной фазы. Стационарные точки q°c, p) (,i=l, ..., k2, /=1, ..., К)
определяются из системы
Fv
=0, v=i, ..., А,. B.11)
222
Как известно,
ap,
4r Г^ (a) - |l /7/Г7/ (a)l = pv (a), v =
^v L /=1 J
a) I = —<7/(a). /=1. ••-, *i. B.12)
Ai + 1, ...,n. B.13)
Из B.13) следует, что
= 2
r'v
B.14)
В силу B.12), B.14) систему B.10) — B.11) можно переписать в
виде
?/(«) = ?/, /=1. .--.Аь B-Ю')
2 P/P/v=?v, v = l, ...,A,. B.1 Г)
Можно убедиться, что система B.10) — B.11) имеет решение
Р/ = Р/ = Р/ («), ^ =1? =1? S,
где a=a(j/ft2) —решение системы
pf(a) = pi, /= 1, . . ., А,, ^,(а)==%, t = A2+ 1, .... га.
Пусть, далее, DhxM(a)—определитель матрицы А (а) вторых про-
производных фазы интеграла B.9). Из формулы B.8) следует, что
при yk2 таком, что а (у^) — неособая точка,
ft-M)
Следовательно (см. утверждение § 2 гл. 6), DhlM(a(yh2)) ?=0, и ме-
метод стационарной фазы применим. Отсюда и из соотношения B.8)
следует, что в неособых точках a
I T /7Т\ I
B.15)
*, («)
откуда по непрерывности получаем, что это равенство сохраняется
и в особых точках aeQ^fl^. Значит, DhjM(a)?=0 при аей*,П^-
223
С помощью метода стационарной фазы получаем
= ехр |— —¦ /n
где/n = Ind Л (а)—?2. _
Из B.15) следует, что DklM(a) не обращается в нуль на пересе
чении карт Qhl и Qft2. Следовательно, ШAЛ(а) не меняется при
<=Qft,n?W Лемма доказана.
Следствие. Разность ^Й1—-yft2 равна пг для всех неособых
Отсюда, поскольку /п не зависит от
для любых неособых точек at и a2, принадлежащих пересечению
ft2.
Следовательно,
— 7*. (<*2) =
=Inv-
Мы доказали, что индекс пути из а1 в а2 является инвариантом, не
зависящим от того, в какую карту попали точки а1 и а2. Отсюда
следует теорема 2.1 о гомотопической инвариантности индекса
пути*).
2. Доказательство теоремы 2.3. Обозначим через
Kax\SB , <№, ie'}, {l1}] канонический оператор вида B.3) гл. 2, за-
зависящий от атласа Ж, совокупности центров SB, разбиения едини-
единицы W} и путей {Is}. Нетрудно убедиться, что в силу гомотопической
инвариантности в малом f pdq и Ind /[a°, а.} выполнение условий
B.5) гл. 2 необходимо и достаточно для того, чтобы (в фактор-
ттространстве 5) оператор Ка% однозначным образом определял-
определялся данным атласом Ж, центрами SB и данным разбиением едини-
единицы. Таким обрЛзом,
<}, {1%
и мы можем оператор B.3) гл. 2 обозначить через
Прежде чем переходить к доказательству независимости кано-
канонического оператора от разбиения единицы, докажем лемму.
Лемма 7.5. Пусть области Ql = Q'(P) (i — l, ¦¦-, Ю—элемен-
Ю—элементы, покрытия 3>ё{$) с совокупностью центров 85{§) и ё'(«) =ёг(а, р)
*) По определению, Ind/fa^, aftj = m, где а^, ak^ — центральные точки
карт Qki, Ък%.
224
{элементы разложения единицы) зависят от некоторого параметра
ре[0, е], так что каждая область Q'(P) nPu всех Р^[0, е] взаим-
взаимно однозначно проектируется на одну и ту же плоскость р1г ..., рк>
и ¦•¦, qn, а е*(<х, р) дважды дифференцируема по р. Тогда
Доказательство. Достаточно доказать утверждение лем-
леммы для точки р=0. Пусть ei(a,J) —элемент разложения единицы,
отвечающий некоторой карте QL ф), и пусть карта Q?(P) пересе-
пересекается только с / картами Й^.(Р) (/=1, ..., /). Рассмотрим
^лг°Ф (a) = KZv 2 ^ (а, 0), <р (а). B.16)
Докажем, что
Г-tz Кл^ек («, 0)<р(с
Имеем
— Кл^ек (а, 0) ф (аI == \ фРк ехр \ —
0.
?i (а, 0). B.17)
Здесь ё1 и hv отвечают картам &IV Ф), а
В силу лемм 7.3 и 7.4
= ехр
{-•%Ь'
B.18)
.,/ при
(а. Р)
Поскольку
В. П. Маслов
22S
то
в указанных точках. Отсюда, из B.17) и B.18) следует утвержде-
утверждение леммы. _
Пусть 36 и 36 — атласы с одной и той же совокупностью_цент-
ров SB, т. е. одной центральной точке а* отвечают области п'^ЭЁ
Рассмотрим атлас 36 с центрами SB и областями Q'=
Им отвечают разложения единицы {е'(а)}, {?(«)} и
(Р(а,)}. Рассмотрим разложение единицы {ei(a, ?)}, где е*(а, ji) =
= [?(а):+?е'(«)]A + Р)~\ отвечающее покрытию Q'(?), где" ?*(?)!=
= Q* при jie(O, 1] и Qs@) =Q*. В силу леммы 7.5 получаем, что ка-
канонический оператор не меняется (в фактор-пространстве S) от
замены атласа 36 на 36. Аналогичное утверждение справедливо,
очевидно, и относительно атласа 36. Следовательно, замена атласа
~36 на Шб сказывается в каноническом операторе лишь на величи-
величинах, эквивалентных нулю. Поэтому мы можем записать
Пусть теперь дан атлас 36. Возьмем некоторую точку
афВВ. Изменим покрытие 36 (сохраняя его центры SB) так, чтобы
точка а. принадлежала только одной карте Q'k нового атласа 3$'
с теми же самыми центрами SB. По доказанному эта процедура
оставляет KYx инвариантным. Окружим точку а такой областью,
которая пересекается только с Qk и целиком проектируется на фо-
фокальную плоскость, отвечающую а. Таким образом, мы построим
новую карту с центром-в точке а, обозначим ее через ^<?, а допол-
дополненный этой картой атлас 36 и дополненное точкой а множество
9В соответственно обозначим 36" и SB". Пусть {е[1( (а)} — разбиение
единицы по атласу Ж; тогда можно построить следующее разбие-
разбиение единицы Щ2) (а)} по атласу Ж':
efo (щ = е% (а) ¦+¦ е& (а) при
Рассмотрим разность выражений КА%Ч>(а), соответствующих ат-
атласам Ж и 36" с разбиениями единицы e\i) и е[2) соответственно.
Очевидно, что
KXv (SB) Ф (а) - К>А% (SB") Ф (а) =
= exp hy — JZ-lndl[а0, а?о]| фР* [eft (а)— е& (аI h —
- exp hy— -^ Ind / [а°, а»]} Фй'вй (а) ГА„ B.19)
Так как eft (а) — е% (а) == е?г) (а) и носитель ^ е Й*° П ^™-, то в
силу лемм 7.3 и 7.4 разность B.19) эквивалентна аулю. Следова-
Следовательно, к центрам SB отласа 36 можно добавить новые центральные
точки, и от этого оператор Ка% не будет изменяться. Пусть даны
канонические атласы 36' и 36" с совокупностями центров 8В' и SB".
Рассмотрим атлас 36 с совокупностью центров SB =SBf\}SB". По
доказанному
К\% \ЯГ\ ~Куа% [SB], Т
13В"]
[ЯП;
следовательно, Кта'[SB"[ — КЬЛ* \SB"\, что и требовалось.
Теорема 2.4 доказывается аналогично при учете, что в леммах
7.2—7.4 метод стационарной фазы дает асимптотические ряды по
степеням Rz.
3. Доказательство теоремы 2.2. Пусть Го и Г*—ла-
гранжевы многообразия, причем Го может быть непрерывно дефор-
деформировано в Tt, так что они включаются в однопараметрическое се-
семейство Гт (O^T^f), где Гх—лагранжево многообразие при лю-
любом т.
Пусть, как обычно, 360—канонический атлас начального лагран-
жева подмногообразия Г0={д°(а), р°(а)}. Обозначим через иХх%%
отображение подмногообразия Гх, на ГХ2: ыт,Т2Гт, = ГТ2, через 36Х—
канонический атлас подмногообразия Гт.
Пусть Q> отвечает карте Q* с5^0. По определению карты Q?
область ?У взаимно однозначно проектируется на плоскость ри ...
• • •, ръ, ?а+1, • ¦ •, ?п. Положим q@ = Ыо.т»^7- Очевидно, что при хо<С&
область QTo также будет взаимно однозначно проектироваться на
ту же плоскость. Поскольку областей Q3' конечное число, то най-
найдется такое е>0, что при ТоХ^е во всех областях QT'O можно ввести
те же локальные координаты _ghJ чТ0 ив 'этих, прообразах Q{, Таким
образом, в качестве атласа 36^ на Гт„ можно взять совокупность
локальных карт (QtJ* = u0^0Qlk, отвечающих областям Qt0 и ко-
координатам ук=р!, ..., ph, qk+1, ..., qn, так, что при то^е можно по
определению написать 2f6Xa=uax?f6a.
В силу леммы Бореля конечный интервал [0, t] мы можем раз-
разбить (точками хи х2, .... tm = t) на конечное число интервалов дли-
длины Д, обладающих следующим свойством: на ГТ? может быть вы-
вы1
226
бран такой атлас 36Х{, что 36х— и^^Зб^ —атлас при
В свою очередь на ГХ{+1 может быть выбран такой атлас
вообще говоря, отличный от атласа 96\l+x = url;xi+1^xi, что Э61Х+Х =
Рассмотрим цикл y%i на подмногообразии ТХ?. Докажем инва-
инвариантность lndyXi относительно деформации 1\—»-ГХ? т. е. до-
докажем, что при этой деформации
227
Поскольку мы доказали инвариантность Ind'y при переходе от
одного атласа к другому, то тем самым будет доказана инвариант-
инвариантность индекса любого цикла относительно деформации Г-*-Г(.
Вначале допустим, что цикл уХ[ можно деформировать на Гт
таким образом, чтобы он не проходил подряд через две особые
карты атласа Ж\г. Рассмотрим отрезок lxt = l'xt [а1, а2] цикла
7т,-, лежащий целиком в трех картах Q1, Qh, Q2, где Qk— особая,
a Q1 и Q2— неособые карты.
Карты uTftXQo.(.<x=l, 2), "Tf.t'Qft при т(^т^т<+1 мы будем обо-
обозначать снова через 0° (о=1, 2), Qh соответственно.
Рассмотрим отрезок «т?,х,-+1^- ==*т?+1 С yXi+1- Докажем, что
Ind 1Ч = Ind lX[+1. Тем самым будет доказана инвариантность Ind 7т,-,
поскольку по построению величина индекса может изменяться лишь
при переходе через особые точки. В силу этого замечания, не умень-
уменьшая общности, мы можем предположить, что а1, а!ейь т. е^а'е
<=ЯкГ\&\ a a2eQkn^2. На каждом из пересечений QJIQ1, ЙЛПйг
якобиан Dj/o/Dj/ъ по определению -карт Q12 и Qft не обращается в
нуль. По построению он отличен от нуля и в точках иХ{Лаа (а=1, 2,
Ti^T^T.+i). Следовательно, и равный ему определитель матрицы
Sh=\\dqi/dp]\\ij^h отличен от нуля в этих точках. Поэтому индекс
инерции матрицы Бк не меняется при переходе от астс1Гт, к
uXi,Xi+laa ^. Гх.+1. Следовательно, Ind/Tt. = Ind/Tt+1, что и требова-
требовалось. • . ¦
Рассмотрим теперь общий случай. Деформируем цикл уХ{ и
цикл 7х,-+1 таким образом, чтобы они проходили через централь-
центральные точки всех карт, которые эти циклы пересекают. Рассмотрим
отрезок цикла yXi,'."проходящий из центральной точки a*r карты
Й*! в центральную точку ahl карты Qk2 на многообразии ГТ?. Рас-
Рассмотрим соответствующий отрезок пути цикла Тх,-+1 из центральной
точки o^1-erxf+1KapTHQ^ = tttf,TiwQft1B центральную точку a'kl e I\+3L
карты Йц = Uzcxi+Tpkf Докажем, что индексы этих . путей совпа-
совпадают. Отсюда, очевидно, будет следовать, что индекс цикла yxi
равен индексу цикла v^+i-
Напомним, что мы определили индекс пути из неособой точки
а1 карты Qh в центральную точку <xh этой же карты как индекс
инерции матрицы Бк в точке а1.
Пусть a'eQ^n^fc, и является неособой,, а ак, и а,кз—централь-
а,кз—центральные точки карт Qh, и Qka соответственно. Очевидно, что.
Ind/[aftl, aft2]=—Ind/[a1, aj + lnd l[a\ al2]. Таким образом, ин-
индекс пути из aftl в <x,ki равен разности индексов инерции матриц Бч,
228
й Bhl, взятых в точке а'ейь.П&ь- По доказанному в лемме 7.4 эта
разность равна индексу инерции матрицы Л (а1).
Заметим, что мы всегда можем считать, что многообразия ТХ{
и 1\.+1 находятся в общем положении. Однако при некоторых те
s{t<^t^t<+1} многообразие может и не находиться в общем по-
положении [1].
Пусть a'eQk.riGJ», и лежит на ух., а а? = «т,,т,+|а° лежит на
Yr/+1, причем точки а0 и а/— неособые. Докажем, что индексы
инерции матрицы Л (а) в точках a-и aj совпадают. Этим и в силу
сказанного выше и будет исчерпано доказательство инвариантности
индекса цикла уХ{.
Равенство B.15), доказанное для случая, когда многообразие
особенностей М имеет размерность не более чем п—1, по непре-
непрерывности продолжается на общий случай. Поэтому detA(a) не
обращается в нуль на пересечении карт йк1ПЦк„ а также вдоль
пути uX[i xa при т4^т^т<+|. Следовательно, вдоль этого пути ин-
индекс инерции матрицы .Л (а) не изменяется (в противном случае
det.4(a) обратился бы в нуль), что и требовалось. Отсюда следует
и аналог теоремы 2.1 для плёнки.
,.§ 3. Асимптотика решения в большом
1. Доказательство теоремы 4.1. Теорему 4.1 докажем в случае
т= 1 и Ai = l, т. е. теорему 4.1, а. В общем случае произвольного m
эта теорема и теорема 4.2 доказываются совершенно аналогично.
Прежде, всего покажем, что теорема 4.1, а непосредственно сле-
следует из утверждений, доказанных в теореме 6.2 при условии, что
время t достаточно мало (т. е. теорема 4.1, а справедлива в ма-
малом). Для этого получим из формулы C.37) гл.. 6 формулу B.12)
гл. 4. Предположим, что носитель вектор-функции <p°(a, h) (см.
теорему 4.1, а) принадлежит области Q'. В силу B.13) гл. 4 носи-
носитель вектор-функции <p(a, t, h) будет принадлежать QJ'. Поэтому
выражение B.12) в этом случае в силу определения каноническо-
канонического оператора может быть записано в форме C.37) гл. 6 при учете
равенства
ь
,x,t)= J {—Hdt + pdq}+ J pd~q—
Но формула C.37) получена в предположении, что
D [Рх (a, t), ..., Рф, t), Qft+li(a, t), ..., §„ (a,
при *^[е. Поскольку канонический оператор может быть разложен
на конечную сумму выражений вида C.37), то мы получаем утвер-
утверждение теоремы 4.1, а при fs^s. Все эти рассуждения, разумеется,
8* В. П. Маслов 229
могут быть отнесены к произвольному начальному моменту t0. Ре-
Решение Q(a, t), P(a, t) задачи B.4) — B.5) гл. 4 задает отображе-
отображение ыо,( подмногообразия Го на подмногообразие Г«.
Применим к отображению ыо,г построение, приведенное в на-
начале доказательства теоремы 2.2 (см. п. 3 § 2), и разобьем отрезок
[О, Т] на интервалы 0<ti<t2... <Т. Сохраним введенные
обозначения 5#? =u»,t3e0 при
при
Пусть при *=0 решение уравнения B.11) гл. 4 удовлетворяет усло-
условию B.11а) гл. 4. По доказанному при t^A.^ это решение можно
Представить в виде B.12) гл. 4, где
а? = a», Ind / [а°, а?] = 0, 36 [Г,] = Ж.
Таким образом,
v=i
Заметим, что из условий теоремы 4.4, а следует, что решение урав-
уравнения B.11), удовлетворяющее начальному условию, эквивалент-
эквивалентному нулю, эквивалентно нулю.
Для решения уравнения B.11) вновь поставим начальное усло-
условие вида
(з. i
v=l
при t=tt.
В силу единственности решения (см. условие теоремы 4.1) мы
получим при tz^sti решение -ф(дг, t) задачи B.11), B.11а).
Перейдем в начальном условии C.1) к другому атласу Щ\
тогда мы получим с точностью до функции, эквивалентной нулю,
v=l
где a?—начальная точка 3&tt, а
= | J pdq + y-^lndl[a°,*l].
Как было замечено, решение уравнения при t>ti от этого не из-
изменится с точностью до функции, эквивалентной нулю. Поэтому
получим
Я 2
при t!^t^.U. Продолжая этот процесс по индукции, придем к
утверждению теоремы 4.1, а.
230
2. Доказательство теоремы 4.4. Сохраняя обозначения,
введенные в доказательстве теоремы 4.1, рассмотрим
при t^tu где
7,= | pdq—Hdt,
t
,(а, 0 =5» (а) в*', li=l
В силу C.2) гл. 6 при М=1, i = 0 (см. также замечание в начале
этого параграфа), поскольку Ind/ [a0, a»] = 0 по построению,
имеем
где 2(х, ^, 1г)&:Ьг(В\ С2)—пространству непрерывных по t и h и
квадратично интегрируемых функций x^Rh со значениями в ВЧ
В дальнейшем буквами zu 22, z3, ... мы будем обозначать функции
изЫЯ'.С,].
Очевидно, что
поскольку rt(E3)=T(Ei), H=E\ точка а» на подмногообразии
Tt (Es) совпадает с точкой а" на подмногообразии Г в объемлющем
евклидовом пространстве и, следовательно,
¦¦— I
Поскольку условия теоремы 2.3 в силу D.1) гл. 4 выполнены, мы
можем применить лемму 7.5 и на основании ее получить
Поэтому
-ih 4т ^H^Eh №) 2 <Р» (а» О XV («) =
= - ih jf
= (- E' + W exp {i (ц- ^-
V=I
8** 231
Отсюда
= ^3, C.2)
v=l'
причем либо E3—
является точкой спектра оператора L, либо
= й«| [L-E1 I
где || Ik, — норма в U[Bl]. Поскольку || (L—E>+ftji)-MI*,<l/rf, где
d — расстояние от точки Е'—Лц до спектра оператора L, то отсюда
получаем, что d^O(h2), что и требовалось.
Заметим, что соотношение C.2) приводит также с помощью лем-
леммы 2.4 ч. I теории возмущений к асимптотике спектральной функ-
функции Еы. интервала ДА,—О (Л) оператора L, а именно,
[1—?дх]
2 М°ОГИ
V=l
О {К),
C.3)-
где
АХ={Х!—O(h); }
Теорема доказана. ,
3. Из теоремы 4.4 непосредственно следуют теоремы 3.1, 3.6 и
3.6, а. Из теорем 4.1, 4.1, а, 4.2 при учете теорем 5.2, а, 5.3, 5.5, а,
5.6, а следуют теоремы 3.3 и 3.4 (последняя теорема для уравнений
Зи4табл. 2).
Очевидно, что для гиперболической системы условие 1) §2 гл. 4
выполняется, если в качестве пространства В°° взять конечномерное
пространство. Известно, что из условий теорем 3.4 (для уравнений
1 и 2 табл. 2), 3.5 и 4.3 следует условие 2) § 2 гл. 4 (см. [12, 61, 19,
67, 32]). Из условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3 следует существование при
любом времени t решения задачи Коши для соответствующих биха-
рактеристических. уравнений. Таким образом, все требования тео-
теоремы 4.2 выполняются при осуществлений условий теорем 3.4, 3.5
и 4.3.
ГЛАВА8
КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИИ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В ЦЕЛОМ
Задача квазиклассической асимптотики в целом, т. е. в случае,
когда траектории пучка пересекаются, является весьма сложной.
Аналогичная проблема в оптике была исследована в частных при-
примерах в физической литературе (о переходе волны через каустику
см., например, в книге Ландау и Лившица «Теория поля»). По ана-
аналогии с оптикой априори можно было заключить, что если траекто-
траектории пересекаются и в одну точку х в момент времени t приходит k
траекторий, по этому отвечает k различных волн, которые интерфе-
интерферируют в точке х. Эта интерференция зависит существенно от мно-
множителя вида exp {—Ik^j/2}, который стоит при /-й волне. Эти сооб-
соображения приводятся в [56]. Там же указано, что из априорных со-
соображений нельзя угадать величину у}. В случае оптической задачи
в пустоте с отражающими зеркалами величина у, зависит от числа
отражений, которые претерпела /-я траектория.
Мы видели, что для асимптотики решений уравнений квантовой
механики роль таких отражающих зеркал играют огибающие се-
семейства (пучка) траекторий классических частиц.
При этом, как указывалось в гл. 2, величина ^ оказывается рав-
равной так называемому индексу Морса /-й траектории. Этот индекс
был введен М. Морсом при изучении вариационной задачи для
функционала и определен как число отрицательных собственных
значений второй вариации функционала [64]. Теория Морса сыгра-
сыграла существенную роль в развитии топологии дифференцируемых
многообразий [31] ив изучении задачи о числе геодезических, сое-
соединяющих две точки (вариационное исчисление в целом) [16]. Здесь
мы видим, что индекс Морса имеет конкретное физическое содер-
содержание.
В предыдущей главе мы уже получили значение fit однако еще
не доказали, что значение ^ совпадает с индексом Морса. Кроме
того, мы и требовали,, чтобы коэффициенты уравнения были беско-
бесконечно дифференцируемы. Большая гладкость коэффициентов суще-
существенна даже для получения первого члена квазиклассической асимп-
асимптотики с помощью метода, который был дан выше. Но вопрос об
установлении такой минимальной гладкости коэффициентов при та-
такой "fa, равной индексу Морса, является принципиальным. Легко
233
Отсюда
[L-Er + hp] K9Xv(eI) Wb 2J Ь (а) Г (a) — h%, C.2)
причем либо E1—h\i(E1) является точкой спектра оператора L, либо
где || IL, —норма в UIB1]. Поскольку || (L—?/+ftf4)-MLa<l/d, где
d — расстояние от точки ?j—йц до спектра оператора L, то отсюда
получаем, что d^O(h2), что и требовалось.
Заметим, что соотношение C.2) приводит также с помощью лем-
леммы 2.4 ч. I теории возмущений к асимптотике спектральной функ-
функции ?д* интервала ДЯ~О(А) оператора L, а именно,
[1-
2J 6» («) Г (a)
О (Л),
C.3)-
где
ДЬ= {^— О (Л); Я/ + О (Л) >.
Теорема доказана.
3. Из теоремы 4.4 непосредственно следуют теоремы 3.1, 3.6 и
3.6, а. Из теорем 4.1, 4.1, а, 4.2 при учете теорем 5.2, а, 5.3, 5.5, а,
5.6, а следуют теоремы 3.3 и 3.4 (последняя теорема для уравнений
Зи4табл. 2).
Очевидно, что для гиперболической системы условие 1) §2 гл! 4
выполняется, если в качестве пространства 5" взять конечномерное
пространство. Известно, что из условий теорем 3.4 (для уравнений
1 и 2 табл. 2), 3.5 и 4.3 следует условие 2) § 2 гл. 4 (см. [12, 61, 19,
67, 32]). Из условий теорем 3.4, 3.5 и 4.3 следует существование при
любом времени t решения задачи Коши для соответствующих биха-
рактеристических уравнений. Таким образом, все требования тео-
теоремы 4.2 выполняются при осуществлений условий теорем 3.4, 3.5
и 4.3.
ГЛАВА 8
К ВАЗ И КЛАССИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИИ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В ЦЕЛОМ
Задача квазиклассической асимптотики в целом, т. е. в случае,
когда траектории пучка пересекаются, является весьма сложной.
Аналогичная проблема в оптике была исследована в частных при-
примерах в физической литературе (о переходе волны через каустику
см., например, в книге Ландау и Лившица «Теория поля»). По ана-
аналогии с оптикой априори можно было заключить, что если траекто-
траектории пересекаются и в одну точку х в момент времени t приходит k
траекторий, по этому отвечает k различных волн, которые интерфе-
интерферируют в точке х. Эта интерференция зависит существенно от мно-
множителя вида ехр {—inyJ2], который стоит при /-й волне. Эти сооб-
соображения приводятся в [56]. Там же указано, что из априорных со-
соображений нельзя угадать величину f}. В случае оптической задачи
в пустоте с отражающими зеркалами величина ^ зависит от числа
отражений, которые претерпела /-я траектория.
Мы видели, что для асимптотики решений уравнений квантовой
механики роль таких отражающих зеркал играют огибающие се-
семейства (пучка) траекторий классических частиц.
При этом, как указывалось в гл. 2, величина ^ оказывается рав-
равной так называемому индексу Морса /-й траектории. Этот индекс
был введен М. Морсом при изучении вариационной задачи для
функционала и определен как число отрицательных собственных
значений второй вариации функционала [64]. Теория Морса сыгра-
сыграла существенную роль в развитии топологии дифференцируемых
многообразий [31] и в изучении задачи о числе геодезических, сое-
соединяющих две точки (вариационное исчисление в целом) [16]. Здесь
мы видим, что индекс Морса имеет конкретное физическое содер-
содержание.
В предыдущей главе мы уже получили значение fj, однако еще
не доказали, что значение ъ совпадает с индексом Морса. Кроме
того, мы и требовали, чтобы коэффициенты уравнения были беско-
бесконечно дифференцируемы. Большая гладкость коэффициентов суще-
существенна даже для получения первого члена квазиклассической асимп-
асимптотики с помощью метода, который был дан выше. Но вопрос об
установлении такой минимальной гладкости коэффициентов при та-
такой X;, равной индексу Морса, является принципиальным. Легко
233
проверить на конкретных примерах в одномерном случае, что для
разрывных коэффициентов величина ^ отлична от индекса Морса.
Мы даем в этой главе вывод формулы квазиклассической асимп-
асимптотики, существенно отличный от вывода, данного в предыдущей
главе. Требование на гладкость коэффициентов уравнения оказыва-
оказывается зависящим от степени гладкости функций в интеграле вида
/ (А) = J Ф (х, у) exp [iF{Xhy)] dx,
достаточной для утверждения: «Если уравнение <?F=0 имеет един-
единственное решение х—х0, форма d*F при х=х0 невырождена и имеет
индекс инерции f > то справедливо соотношение
= Bmhf* | D Г1/2ехр \—fy\ *™Ф (*•) + zh (y),
гДе zh(y) сильно сходится к нулю в L2 при А-*-0, a D — дискрими-
дискриминант формы d2F в точке х0».
В методе, который дан в предыдущей главе, требование на глад-
гладкость коэффициентов уравнения зависит от степени гладкости функ-
функций q>(x, у) и F(x, у), которая достаточна для получения второго
члена асимптотики в методе стационарной фазы.
По-видимому, утверждение, взятое в кавычки и доказанное в
гл. 6, может быть улучшено. Вероятно, можно требовать, чтобы
функции ф(дг, у) и F(x, у) принадлежали пространствам W\nli]
(вместо C[n/2]+1) и Wn/n+3 (вместо С[п/2]+4) соответственно. Это
улучшение теоремы о методе стационарной фазы немедленно повле-
повлечет за собой уточнение теорем, которые будут доказаны в этой
главе. _.._..
§ 1. Метод шагов для построения асимптотики в целом
Асимптотика функции Грина G(x, |, t) уравнения Шредингера
*-§- = —f A* + ^W* 0.1)
при А—»-0 может быть представлена в виде
A.2)
в том случае, когда через точки | и х за время t—t0 проходит толь-
только одна траектория х=Х(х, |, t, t0), являющаяся решением задачи
x(to)=l, x(t)=x.
A.3)
234
При этом S(x, 1, /) является решением соответствующего уравнения
Гамильтона — Якоби и определяется формулой
t
S (х, 11) = J (-i- X* {x, 11, t0, x)~V{X (x, I), t, t0, t)) dx. A.4)
Однако физический интерес представляет как раз случай, когда су-
существует «отражение», а следовательно, через две точки проходит
более одного пути. Можно предполагать, что в этом общем случае
асимптотика будет состоять из суммы выражений A.2), соответст-
соответствующих различным траекториям. Основная идея вывода общей
асимптотической формулы заключается в следующем. Формула
A.2) оказывается верной для малого времени t^.l/^2M(л+1), где
= шах
дХ{дх-
поскольку для такого времени через две точки | и х может пройти
лишь одна классическая траектория A.3). На большой, и притом
произвольный, отрезок времени формула A.2) может быть продол-
продолжена с помощью свертки:
, tr -10) =
G (Ь, St-i, U - ^-
-oci=l
A.5)
| tt — tt-+ \ < ^==
1
(n+l)
причем асимптотика последнего интеграла вычисляется по методу
стационарной фазы.
Пусть г|з(р, t) — преобразование Фурье решения i!p(x, t):
2*Ы п'*
Рассмотрим решение г|з(л, t) уравнения Шредингера A.1), удовле-
удовлетворяющее или начальным условиям вида
(х, 0) = Ф (х) ехр (± f (
A.7)
где
и f(x) не зависят от h, или условию вида
0-8>
я fi(p) не зависят от А. (Приф1(р) = 1/Bя«А)п/2,/:1(/7)=р|
имеем -ф'(лс, О)=б(д:—?).) Начальными условиями вида A.8), A.7)
исчерпываются в основном встречающиеся в физике случаи.
235
При этом оказывается, что задача A.1), A.7) связана с решени-
решением уравнений Ньютона
X = -grzdV(X), Х = (Х1>...,Хп), A.9)
удовлетворяющим начальным условиям
), A.10)
а задача A.1), A.8) —с решением уравнений Ньютона A.9), удо^
влетворяющим начальным условиям
X\t=0 = gradf1(p0), X\t=0 = p0. A.11)
Предположим, что функции |grad V(x) j, |grad/(;e)|, \gradf1(p)\
при всех действительных значениях х и р ограничены, a V(x)^sO,
f(x), ft (x) — голоморфные функции в каждой точке. Отсюда, в част-
частности, будет следовать существование в целом решения Х(х0, t) за-
задачи A.9), A.10) и решения X^p^t) задачи A.9), A.11).
Пусть M^ix)—множество точек х0, для которых Х(х0, t).=x.
Соответственно, МРо(х) —'множество точек р0, для которые
XiiPo, t)=x. • :. ;; ,;
1. Основные результаты. Сформулируем'ряд определений, свя-
связанных с задачей A.9), A.10). На задачу A.9), A.11) они перено-
переносятся дословно, если заменить всюду х0 на р0, Х(х0, t) на Xi(p0, t)
иЛГ^ОО наМРо(х).
Если
дх.
о/
обращается в нуль в какой-либо точке х0 множества М^х), то со-.
ответ ствующая точка х, t называется фокусом задачи A.10), A.11).
Точка'¦? называется фокусом на траектории Х(х0, t), если
det
ч J
A.12)
Заметим, что этот якобиан обращается в нуль, если две «бесконеч-
«бесконечно близкие» траектории пересекаются в точке Х(х0, f), if.
. Ниже будет доказано, что если х, t не является фокусом задачи
A.9), A.10), то множество М^{х) состоит не более чем из конечно-
(?= 1, 2,..., k0), для которых
^ \ло \Л,Ч,1) — х. \1Ло)
го числа точек xf (x, t)
Если матрица
в фокусе V имеет ранг л—1, то будем говорить, что фокус простой.
236
Сигнатурой фокуса назовем сигнатуру а квадратичной формы с ма-
матрицей
индексом ч фокуса назовем число отрицательных коэффициентов
при квадратах координат в каноническом виде квадратичной фор-
формы с данной матрицей: ч= (л—а) 12.
Очевидно, что в случае простого фокуса индекс фокуса равен
числу (нулю или единице) перемен знака &&t\\dXt(xa, t)/dxOJ\\ при
переходе вдоль траектории через фокус.
Индексом m^t классического пути Х(х0, т) (O^t^t) назовем
сумму индексов всех фокусов, которые лежат на этом пути. Если
все фокусы, лежащие на данном пути, простые, то индекс пути ра-
равен числу перемен знаков det[dXt(x0, t)/dxOj] при т, меняющемся
рт; нуля до t.
Пусть q>(x) и соответственно rpi(p) при |x|-»-oo, |pj_voo стре-
стремятся, к нулю, так же как и их производные любого порядка, быст-
быстрее любой степени 1/\х\ и 1/|р| (т. е. принадлежат пространст-
пространству основных функций). Пусть Qe—область, состоящая из всех
8-окрестностей фокусов задачи. A.9), A.10) (или задачи A.9) ^
(Ы1)).
Теорема 8.1. Решение-^(х, t) задачи A.1), A.7) может быть
представлено в виде
—^-^
A.15)
где x, t(?Qs, xf> == xik) (x, t)eMx.(x), zfteSft, Св—константа, N-*
любое целое, число,' а Zq{xt\,t) определяется из рекуррентных соот-
соотношений . . i
-А
det
t (xf\, т)
dxof
У,
det
дх,
о/
A.16)
где zt=l,
та» ХоЛ).
^(в -^- оператор Лапласа в. «.криволинейных» координа-
'.•¦I
237
Теорема 8.2. Решение ^(х, t) задачи A.1), A.8) может быть
представлено в виде
det
°of
xexp Ы-
lk (x, grad / (/#>), t, h)\ , A-17)
=1
где Ро=Ро(х, t)eMPo(x), С,— константа, (х, t) фп^, N — любое
целое число, причем zlq(pp,t) удовлетворяет рекуррентному соотно-
соотношению
*«Ф1 (РР) = [ У% (Ро\т) А„(*) {У"%{pt\ т)ггл-гЪ. (РоА))} dx, A.16')
J о
о
где У (pf, 0 = | det [^Xi,- (pt\ x)/dpoj] |, z10 = 1, A <ft) — оператор Лапла-
о
ca e «криволинейных» координатах pi \ zxk ^ Sh.
Решение G(x, g, ^) уравнения A.1) с начальным условием G(x,
g, 0)=б(х—g) (функция Грина) может быть представлено в виде
A.17), если положить
• ехр -г —— gp,
причем zik(x, |, ^, й) будет удовлетворять условию
*(^, Л, ^.h)&,(J\,&)dx\
для любого 6e,^Sft, отличного от нуля в некоторой 8j (е)-окрестно-
(е)-окрестности точки |.
2. Доказательство теоремы 8.1. Пусть х, t — некоторая точка, не
являющаяся фокусом задачи A.9), A.10). Ниже будет доказано,
что на каждой траектории X (xf\ т) (О^т^О. 4'e^W (* =
= 1, 2, ..., Ло) лежит конечное число qh фокусов (см. лемму 1.4),
расположенных, например, в точках т= тд*> (9=1, 2, ..., qk).
Разобьем отрезок [t0> t] точками tt (l^i^r) так, чтобы
1) tt—ti-i<min{
—, .
5nM ' V2M (я + 1)
2) для каждой точки фокуса xqiK) нашлись tu и tj+1 такие, что ^=
= х?) — 8, //+i = xjr*' -f- 8» где 8 достаточно мало, прежде всего на-
настолько, чтобы в промежутке [tjt tj+i] не было больше фокусов.
Обозначим через 5(|,+1, &, ^+1, ^), где %,=* (|й |<я) (ie{0, 1,
2, ..., г—1}) —действие A.2) вдоль пути .?(§<+,, §,-, f1+1, tt, т), про-
проведенного из точки %г в точку |1+1, за время от U до ti+1. Формулы
238
A.4) и A.5) и соображения, высказанные вначале, позволяют
сформулировать лемму (ее доказательство будет приведено ниже).
Лемма 8.1. Справедливо соотношение
nr+N
«7=1
det
fi/a
»?+!'
Hfr,^,/,/!), A.18)
где !г=*, ^г = ^, ueS», «,eS, Af — любое целое число.
Система уравнений для определения стационарных точек в ин-
интеграле A.18) имеет вид
grade, {S (Ь+1, Ь, ti+1, tt) + S (&, Ь+1, th t^)} = 0,
gradg, {5 &, lo. 'i. U + f Eo)> = 0.
A.19)
Ho grad^S(?i+1, |i,
Действительно,
¦i+i
В то же время grad|,+1 5 (gt+1, ?,, ^) =X (g,+1, g,, /,+1, /,, т) |T^.+l.
Пусть %c*-(x, t)—«стационарные точки», являющиеся решени-
решением системы A.19). Следовательно,
X (Ef«, t"\ t?+1, tt, x) |W| = X (gf>, L-,, 4-, **-„ т) |TW/,
^ (Si, tf\ k, t0, f) |t=<0f
A.20)
Это означает, что траектория X(%t, &k), tu t0, x) в момент x=t0 про-
проходит через точку gj,fc) с импульсом grad / (|lft)). Следовательно,
¦^(li. ?ofe)» U, t0, x) совпадает с решением X ($\х) задачи A.9),
A.10). Из A.20) по индукции следует равенство
, ??\ tt+u tt, x) =x(tf\ x),
1, 1 = 0, 1, .... r—1,
A.21)
поскольку обе части его удовлетворяют одним и тем же начальным
условиям при x=U и одному и тому же уравнению A.9).
239
Наконец, из равенства
(в силу A.21) при t = r—1) вытекает, что
if >=х ai+u t\ tt+u ь, т) |т=<? =
щ (х). Значит,
Интеграл A.18), таким образсм, в силу метода стационарной фазы
будет с точностью до O(hN+1), где N — любое число, равен сумме
&, интегралов вида
Bnih)
A.21')
где rjidi) —бесконечно дифференцируемая функция, равная едини-
единице в бгокрестности стационарной точки $*\= X(xl?\U\ 64<6, и
нулю вне б-окрестности этой точки (это утверждение доказывается
в следствии 8.1).
Пусть по индуктивному предположению первые / интегралов в
формуле A.21') для j^l в области ||^— X (xf\. t}) | ^б равны
Bnih)
N+nr
Л/г
DX
*\l+.
где
, «/F/f ^, A)
ift) = xfy
MX
/,'/,A), A-22)
(L22a)
S(xo,i) =
.есть действие вдоль классической траектории Х(х0, t).
Покажем,, что формула A.22) будет справедлива и для /=/+1.
Вычислим интеграл
l
=. ¦¦ ¦
Bnih)nJ
1/2
xexp
-j-S (g
z+1,
tl+u
I, (
по методу стационарной фазы.
Стационарные точки определяются из уравнения
gradg, {S (Ь+1, Ь, ti+u т) + 5 (дг<4) (Ь, т), т)} = 0
при |1,—Х(дгГ (*, 0, /i)|^6, Jim—X(xV (х, t),
Пусть 5° — стационарная точка; тогда
& X (Arf 'F?, 'i), т) |
Из этого равенства вытекает, что
^F/+1, ??, tl+1, U, т) = X (x
, т)
A.23)
A.24)
.24а)
.25)
ПРИ
Следовательно, - Х(дс?*-E?, ft). -**) — Si*»; отсюда x0(fe) E?, ft) =
tf' 4ft) j
(fe)
. no3TOMyg?=XDft)(ii+i, ft+tj'.ft) и
u ft, t)
-26)
Из равенства A.26) и того, что точка tl+u g,+1 не является фоку-
фокусом, следует, что при достаточно малом б стационарная точка един-
единственна'.- ¦¦ • ' ' •• ¦ : "¦ ; . .. ,.¦¦:'¦¦¦¦¦¦¦¦,
Допустим, что существует еще точка |*: | |J —-|? | :^б. Это озна-
означает, что из двух «близких» точек ?? и %j за время от t- до ti+t в
точку |,+1 приходят две классические траектории. Отсюда следует
(в силу единственности и непрерывной зависимости от начальных
условий решения задачи A.3) для |/,+i—ft] ^1/У2М(л+1)), что эти
траектории «близки». Каждая из них в силу A.25), A.26) служит
решением задачи A.9), A.10); значит, точка tl+1, |,+1 является фо-
фокусом. Но в точке ft+i, Й+\ якобиан DX/Dx0 не равен нулю. В силу
непрерывности якобиан DX/Dx0 не равен нулю и в б-окрестности
этой точки. Мы пришли к противоречию. Все рассмотрение ведется
в окрестностях траектории X (х^ {x,t), т). Следовательно, речь
идет о фокусах на траектории Х(х?> (д:, t), т). .
В силу метода стационарной фазы
D* {S
(gj.
I
241
У,
N+nr
f4" iS (Ь+ь gze. *z«, tt) + S (jr*> (g?, *,), ty}} +
I A J
4- /г^+1г/ (|/+1, ^z+i, h), A.27)
g? = X (x?\l,+u tl+1), t,), yqt=S,y<= Sh,
где а' — сигнатура матрицы
Г a2 (S (g/+1,1,. //+„ tt) + s (*<*> F,. <,), /;))J ] I
— ! A.28)
L a5ziOg// J \%
В силу A.25), A.26)
5 (gz«, g?, tt+u ti) + S (x?> (g?t t,), t,) =
Кроме того, если продифференцировать уравнение для стационар-
стационарной точки A.24) по х0, считая, что & и |(+1 зависят от х0, то мы полу-
получим равенство
f г), т)} а*, (хь. т)
= 0,
A.30)
которое справедливо для любого
. Отсюда следует
(x<*>
. (x,, t)
при
242
t), дг0
В силу A.29) и A.31) формула A.27) приводится к виду
(gz«. <z«) = exp {- -^
Г
S Л'уЛ exp |y S Dft) (gz+ь /z+x),
7=1 J
—
hN+1y,
.32)
Остается вычислить а'. Предположим вначале, что на отрезке
t траектория X (xfy (x, t), т) не имеет фокусов, т. е. яко-
якоDX
*, 0, т)
DX
биан
не обращается в нуль при ti^x^tl+t. В силу непрерывности это бу-
будет выполняться во всей области |gJ+1—gz+i|^6. Как будет дока-
доказано ниже, при /i<T<fi+i определитель
, lt, tl+1, т)
не обращается ни в нуль, ни в бесконечность (следствие 8.1). Сле-
Следовательно, в силу A.31) и детерминант матрицы A.28) не обра-
обратился на интервале t,<x<tt+i ни в нуль, ни в бесконечность. Отсю-
Отсюда в силу непрерывности матрицы A.28) по т следует, что сигнату-
сигнатура ее тоже не меняется в указанном интервале. Но в точке t=?u+i—e
матрица A.28) будет положительно определена в силу A.31), по-
поскольку матрица
при малом е мало отличается от единичной, умноженной на отри-
отрицательную константу, а матрица
и дХс (х0, */+1) ц i дХ{ (хо, tl+l — 8)
мало отличается от единичной матрицы. Значит, матрица A.28) бу-
будет положительно определена и в точке x=U. Из A.32) в этом слу-
случае следует A.22) при j=l+l, поскольку, если на отрезке *,^т^
1 нет фокусов, то
243
Предположим теперь, что на отрезке [th tt+±] лежит фокус тра-
траектории Х(х{*} (х, t),x) в точке т'. В силу разбиения отрезка [/„, t]
имеем /,=т'—е, /г+1 = т'+ е. Поскольку матрица
при достаточно малом е мало отличается от единичной, умножен-
умноженной на отрицательную константу, то в силу A.31) сигнатура а' ма-
матрицы A.28) при ii+i= ?/+i будет равно сигнатуре а фокуса A.14).
Матрица A.28) в точке x = th %i+i=%i+l отлична от нуля. Поэтому
в силу непрерывности ее сигнатура не изменится, если вместо ?i*\
взять |,+1 такое, что |?j+1—§/+i| г^6. Следовательно, поскольку
nix,.tl+l— (я— а)/2-J-mXttil, где о — сигнатура фокуса, то формула
A.32) совпадает с формулой A.22) при/ = /+1. ¦'"¦¦
Остается еще доказать A.22) для /=1.. Как будет доказано ни-
ниже, при ¦
5 1
Т ~""" (ЗМ'±5)Мп '
на траектории Х'(х® (х, t), х) фокусов нет; а для;этаго случая фор-
формула A.22) доказана в гл. 5. J ' ¦
Таким образом, мы получили формулу A.15). Теперь нужно по-
показать, что z, удовлетворяют рекуррентным соотношениям A.16).
Можно показать, что заменой
Dx(x™(x,i
Dx
expJ^-.
] (xrf), t, h)
A.33)
уравнение A.1) приводится к виду
Л2 /~DX(xf\f)\f
.udQ(x?Kt)
ih f
Dx?
A.34)
Следовательно, если мы подействуем оператором ih — + — Д —
dt 2
— V(x) на обе части равенства
(xf\
A.35)
244
то в силу A.33) и A.34) получаем
_ (дХ (х?\ t)\~
{., д h* ¦x/~DX(xM,t) (
х Л I/ А (*)
[ dt ¦ -2- V Dxm A \
dX(xjk\t) Y*
N
yv+i-
1+ S h%\ = h"+1z(x, t,h), A.36)
где zeSft. Приравнивая коэффициенты при степенях hq, получим
для z, (q= 1, 2, ..., N—1) рекуррентные соотношения A.16)..
3. Доказательство леммы 8.1. Пусть
t
S {х, р, t, g = рх0 + j j-i-X2 (х0, р, t, t0, t)-V(X (*0, p, t, t0, t»| dx,
U A.37)
где X(Xo, p, t, t0, т)—решение уравнения A.9), удовлетворяющее
начальным условиям X\^ta — x0, X\x-to=p, xo = x0(x, p, f) —решение
уравнения
Х{хо,р, t, U, x)\^t = x.
Пусть и(х, р, t)—функция, ограниченная вместе со всеми произ-
производными. Обозначим через В.иФ операторы вида
BuF (х) = j exp j-j- S (x, p, 0| и (x, p, t) F (x) dx,
—ОС . . - .
ос ¦
$F {x)= J exp {j-pxj F {p) dp,
—ОС
а через Л,— операторы вида
AzF(p) = J z(x,p,t,h)F{x)dx.
В работе [22] (см. §3) было доказано, что решение i|>(#, p, t, t0)
уравнения A.1), удовлетворяющее условию 1|з(х, р, t, fo)|«-«o—
= ехр |— Рх\л ПРИ U—^i| ^1/EяМ) может быть представлено в
виде , . ' ¦ ¦ , , ^
D*S (х, р, t, t0)
DxDp
y'exV{—L-S(x,p,t,t0)}
. nr+N+i_
nr+N )
х A + 2 h'Ft (x, p, t, g + ft"rw+1z (x, p, t, h)
245"
(Fi(x, p, t, t0)—некоторые ограниченные вместе со всеми своими
производными функции). При этом
В гл. 5 мы показали, что Л"ехр | —Ht\ : Sh-*~Sh и Ви: Sh-*~Sh.
Отсюда ЛМг: Sh-*-Sh. Очевидно, что Ф: Sfc-»-SA. Как известно,
G (х, Е, t, t0) =-—¦ f ехр {- ±рх\ г|5 (Е, р, *, g dp.
Bя»А) J I Л J
В силу A.5) решение г|з(х, /) можно записать в виде
=—-— Г ... Г ч> (go. о) ехр -г 2 Is (ь, pt+t, и, ь+г) —
(ZnthI^ J J л 7Zn
—ос —ос ' l—°
—ОС
г-1 С nr+N
п
t=0
A-38)
Оператор ^ является линейной комбинацией произведений опера-
операторов h"Az, В„ и Ф. Отсюда следует, что R: Sh-*-Sh и ?г|>(?0, 0)^5А.
Чтобы из A.38) получить A.18), нужно применить метод ста-
стационарной фазы. Докажем предварительно вспомогательную лемму.
Лемма 8.2. Пусть f{x, p, |, К) бесконечно дифференцируема
по р и аполитична no h при О^й^й0 " пусть ф (|, h}^Sn, | t—fa \ <
<1/]2М(п+ 1), ро = ро(х, %, t, t0)—решение уравнения
S(x,po,t,tQ)=l. A.39)
Наконец, пусть
тогда
отлично от нуля в е-окрестности точки р0;
= hNz{x,t,h), A.40)
где z^Sh, N — любое целое число.
Доказательство. В силу теоремы 8.3 в интервале 11—U \ ^
<1/У2М(п+1) решение A.39) ра(х, I, t, t»)=X(x, I, t, t0, x)\^u
единственно. Из A.9) следует, что
•—'g1. C>|gradF|,
246
поэтому й силу непрерывности, если |gradpS(je( p, ^, ta)—||<S, то
\р—/?0|<ев. Отсюда следует, что в области \р—ро|>ев в любом
круге радиуса е± хотя бы одна из производных dSldpt удовлетворя-
ос
ет условию \д8/дрг—g
Пусть 1=2 ^'(Р)—разложение еди-
ницы, причем при />0 функция r)t^S обращается в нуль вне облас-
области Qh границу которой можно заключить между концентрическими
сферами радиусов е± и 82<8!. Число областей Qh с которыми пере-
пересекается каждая фиксированная область Qio, ограничено некоторой
постоянной величиной d (одной и той же для всех йг). В силу ска-
сказанного в области Qi для одной из производных справедливо нера-
неравенство
3 (S(x,p,ttt0)—pl)
др.
Интеграл / в A.40) будет равен
/ = J Ф & К) <%$ ехр j-L (S - рБ)} / (х, р, |, К) 2 ч, (р) dp =
= (Wf 2 J Ф E. й>d^ f ехР {х E - P
Очевидно, что
-iV
Так как t-й член суммы равен нулю вне Й<, а производные выше пер-
первой от S(x, p, t, t0) ограничены равномерно по р, отсюда и из гл. 5
следует A.40). Лемма доказана.
В силу метода стационарной фазы
/ = j ехр j-i- [S {х, р, t, t0) - pSlJ: / (х, р, I, h) Ф (Е, п) ч0 (р) d\ dp =
— J Ф (Е, Щ ехр |-L [S {х, р„ f, д — р,а } т!0 (р0) / (х, р0,1, h) х
(Ро)
» h)\
1
AЛ2)
247
где N — любое целое число, ро = Ро{х, ?, t, t0) —решение уравнения
A.39).
Аналогично формулам A.29) — A.31) получаем
1) S(x,l,t,to)=S(x,pa,t,ta)—pol, pa=pa(x,l,t,ta); A.43)
2)
d*s (x, p, t, t0)
x, g, t, ta) [I _| d»s
=pJ
p, t, t0)
dxcdPi
A-44)
Из A.38), A.42), A.44) получаем A.18).
Замечание. Из формулы A.18) следует A.21). Это доказы-
доказывается совершенно аналогично лемме 1.2. Нужно лишь показать,
что вне е-окрестности стационарных точек левые и правые части
уравнений A.24), A.24а) будут отличаться больше чем на бЕ; иначе
говоря, условия A.24) не будут выполняться в пределе при ||<|-»-оо
(ни для какого i). Это будет следовать из неравенств
X (tt+1) - X (tt) | < С (tt+t — tt), С = max | grad V |,
и
! = 0, 1, ...,г—1,
которые вытекают из A.9). Поскольку |gradf|<Ci, то из первых
неравенств по индукции следует ограниченность X, а поскольку \т=
= х ограничено, то из второй системы неравенств будет следовать
по индукции ограниченность ?4.
4. О существовании и единственности решения краевой задачи
для уравнений Ньютона.
Теорема 8.3. Решение системы уравнений
удовлетворяющее условиям
•л|т—о
существует и единственно при
0
где
A.46)
A.47)
М= max \dFi/dXj\.
i.i.x
При этом
1) все диагональные миноры матрицы
дкЛ
A.48)
отрицательны;
238
2) lim (—
?" (Е — единичная матрица);
3) если F(x, т) бесконечно дифференцируема по х, то Хг\х„(
бесконечно дифференцируема по х и\, причем все эти производные
ограничены.
Доказательство. Представим систему A.45) в виде
Xi = Pi, Pi = — Fc(X,x). A.49)
Рассмотрим систему A.45) с начальными условиями
XL_0=g0, pi o_po_ A.50)
Из [22] (лемма 3) следует, что решение A.49), A.50) сущест-
существует при
где
а= шах \Xi —
in(,
»¦ V Poi +b М(па + а)
= max |Pt — poi\, а=
Нетрудно видеть, что а, b, t, определенные условиями
-f-) + K A.51)
V2M (я + 1)' ' ™ ' '
удовлетворяют этому неравенству. Предварительно докажем две
леммы.
Лемма 8.3. Решение уравнения A.45) с условиями
J?L_0 = ?0) Х\х / = 0 A52)
существует, если t удовлетворяет неравенству A.47).
Доказательство. Рассмотрим сначала! задачу A.49),
A.50). Пусть р0 удовлетворяет неравенству A.51). Очевидно, что
\Х{—gM—poit\ ^bt, т. е. X=%a+pot+4, причем |^| t^Lbtyn.
Рассмотрим отображение шара {ра: \ро\ ??Z—+bn} в R":
о) — Ро
р, р0, t)
Если р принадлежит поверхности шара, то
j
t
-.1 /| & 1
р(С'(р),0) =
- х (go, р, о
р .
Тем самым С имеет неподвижную точку, т. е. найдется такое /?<>',
удовлетворяющее A.51), что С'{ра')=р0', т. е. ХЦ0, ра', t)=0. Лем-
Лемма доказана.
9 В. П. Маслов
249
Из леммы 8.3 следует, что решение задачи A.45), A.46) сущест-
существует при условии A.47). Действительно, положим Х=Х—|, %а~
=х—?. Тогда X будет удовлетворять условиям леммы 8.3.
Для доказательства утверждения 1) заметим, что dXJd^j и dPt/
у удовлетворяют системе
dp, » dFt (X, т) dXk
дХь
и условиям
дХ{
дХ,
= 6/,
dXt
A.53)
A.54)
Если в A.53) считать решение Х(т) задачи A.45), A.46) заданной
функцией т, то мы получим вновь систему вида A.45), A.46) при
§<=б«, *,=0. Следовательно, решение задачи A.53), A.54) суще-
ствует.
Лемма 8.4. Решение системы A.49) с условиями Xt|T=o = 6w,
Ат=* = 0 (где j фиксировано) при t^lty2M(n+l) удовлетворяет
неравенствам
Доказательство. Пусть 1ф\, т. е. Xt@) = 0, Xt(t) = 0. Следо-
Следовательно, в силу A.45) \Xt\ ^Mna; отсюда
" , A.55)
Xt{f)\:
а следовательно,
в силу A.47).
Пусть i=*j, т. е. ХД0) = 1, ВД)=0; тогда из A.55) следует
11 + X) @) t\ ^Mnat2/2.Поэтому и 11 + Xs(t) t \ s^Mnat2/2, а следователь-
следовательно \Xj{f)\^s ^— ^ ~ТТ' что и тРебовалось доказать.
Из гл. 5 следует, что для задачи A.53), A.54) справедливы
оценки
ЭР,-
ЭЕ/
1
при i ф /,
L_ при i = .
Отсюда следует, что все диагональные миноры матрицы \\dPt/d%j\\x=t
не обращаются в нуль при условии A.47).
Но Pi(t) =dS(x, g, t)/dx{; следовательно,
_ II d*S (x, g, f) II
| I
Поскольку S(x, |, f) удовлетворяют уравнению Гамильтона — Яко-
би, а якобиан D2S/DxD% = 0 при условии A.47), то S(x, |, ^) явля-
является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби. Следова-
СледоваPdS/d dS/d
тельно, решение системы Р{=д8/дх{, р{= —
Докажем утверждение 2). Сделав замену
получим
дР t Д dFt ЭХ,
единственно.
= x/t, в A.53), A.54)
d
dx' Si,
±: *Xk
df
(±=t^
A.56)
= 6/
dXt
= 0,
i=l,2,...,
Как известно, решение задачи A.56) будет сходиться при t-
решению «невозмущенного» уравнения
d2 дХ°{
¦О к
dxf
т. е. к
дх,
¦ = A
дх.
Отсюда следует, что в пределе при t-*-Q матрица —FWJjt
стремится к единичной. Значит, характеристические миноры матри-
матрицы \\dPJdx,\\x=mt отрицательны при 0<^^1/у2Ж(л+1) (поскольку в
этом промежутке они не меняют знака).
Утверждение 3) доказывается с помощью дифференцирования
A.45), A.46) соответственно по параметрам х и ?, затем дифферен-
дифференцирования A.53), A.54) по параметрам х и | и т. д. Теорема дока-
доказана.
Следствие 8.1. При условии A.47)
1) \D2S(x,l, t)/DlDx\ ^б>0;
2) lim (-11| d*S (х, Б, f)/dxt o\i \) = E.
г0
250
9*
251
§ 2. Леммы о решениях уравнений Гамильтона
Известно, что функции Н (р, х, t) можно поставить в соответст-
соответствие самосопряженный оператор Н (р, х, t), например, по формуле
Н(р, х,
= (Jft)a Jexp U- 2 PixX dp' x
J
x j exp J- -jL 2 рЦ Я (р', x\ О ф (*') d*\
Если Н(р, х, t) —достаточно гладкая функция своих аргументов,
то, аналогично лемме 6.13 и теореме 6.1, можно получить для за-
задачи
dt '
где ф(я) финитна, асимптотику при достаточно малом t с оценкой
в L2.
Метод шагов вдоль траектории переносится на этот случай не-
непосредственно, и при условии достаточной гладкости Н(р, х, t) мы
получим формулу, аналогичную A.15) для произвольного времени
Т в нефокальной точке.
Теперь мы докажем, что фаза, которую мы получаем методом
шагов вдоль траектории, совпадает с индексом по Морсу, если
форма
. B.0)
положительно определена.
В гл. 7 мы дока-зали, что фаза равна индексу траектории, введен-
введенному в гл." 2, § 2 для путей в пленке. Поэтому из доказанного будет
следовать, что при условии B.0) этот индекс совпадает (по моду-
модулю 4) с индексом Морса.
1. Предварительные сведения. В этом параграфе мы будем су-
существенно использовать следующую теорему Морса:
Если Н(р, q, t) —недостаточно гладкая функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая B.0), то t=ta является нулем функции J = DX(a, t)/D<x крат-
кратности, равной дефекту матрицы \\дХг{а, t)/da.j\\ при t=ta.
Отсюда следует, что число фокусов на конечном отрезке траек-
траектории конечно. Поэтому для любой фиксированной точки х0, t при
достаточно малом е существует матрица
ч II дХАх0, t-г)
дх,
о/
dxoj
Мы будем обозначать через Я<(е, t) (i=l, .... л) ее собственные
значения.
Введем с помощью матрицы еще одно определение индекса тра-
траектории Х(х0, 0, F) как
у= var
-trT
hm
J e^o \\Х. (8, 01
Мы докажем в лемме 8.10, что фазовый множитель в формуле
A.15) равен exp{in^}/4. Затем в лемме 8.11 мы докажем, чта
—^ + п/2 равно индексу Морса.
При этом лемму 8.10 мы докажем в такой форме, которая была
бы пригодна и для бихарактеристик волнового уравнения, несмотря
на то, что для гамильтониана волнового уравнения условие B.0)
не выполняется. Напомним, что метод шагов вдоль траектории, раз-
развитый в предыдущем параграфе, автоматически переносится на
случай волнового уравнения при дополнительном условии конеч-
конечности числа фокальных точек на траектории. Поэтому при этом ус-
условии введенное здесь понятие индекса может быть использовано
для вычисления асимптотики решения волнового уравнения.
Для доказательства лемм 8.10 и 8.11 нам понадобится оценка
решения краевой задачи для гамильтоновой системы и оценки про-
производных решения уравнения Гамильтона — Якоби. Этим вопросам
посвящены леммы 8.5 и 8.8.
В лемме 8.6 доказывается, что релятивистский гамильтониан
удовлетворяет условию B.0).
В лемме 8.5 мы будем опираться на следующую топологическую
теорему:
Пусть С и С — два непрерывных отображения замкнутого
шара Tnc=Rn в пространство R™, имеющие на Т" лишь конечное чис-
число неподвижных точек, которые все лежат в Тп. Пусть, кроме того,
для всех точек, принадлежащих границе шара, выполняется нера-
неравенство р(Ср, Ср/)<р(Ср, р), где р(р, р')—расстояние между точ-
точками р и р'. Тогда отображения С и С имеют в Тп одно и то же
алгебраическое число неподвижных точек (см. [4]).
2. О нечетном числе решений.
Лемма 8.5. Пусть xt{t), yt{t) (i—\,...,ri) удовлетворяют си-
системе уравнений
xt = Fc(x,y, t), i=l, ... , п,
B.1)
Ус = U {х, у, t), х = (хи ..., хп), у = (уг уп),
и краевым условиям
где функции Ft(x, у, t) и )\{х, у, t) удовлетворяют условиям
B.2)
B.3)
252
253
при
B.4)
где b>0, a>0, T>0 — некоторые константы*). Тогда при
^ <g; (JL , т] число решений либо нечетно, либо беско-
\ci с2 + cxczn J
нечно (с учетом их кратности) **), причем
У?\<(п+1)а- B-5)
Доказательство***). Задача B.1) —B.2) приводится с по-
помощью замены
z = х — х°,
B.6)
?/ = у - г/» (л:) = у —у° (z + х°)
к задаче
dz.
dt
ди{
~дТ
2@) =0, «(/0=0, y°=yn(z+x°).
Рассмотрим сначала решение задачи Коши для уравнений B.7) с
начальными условиями
г@) =0, и@)=и°. ' B.9)
*) Вместо условия B.4) можно потребовать, чтобы иа решениях x(t), y(t)
имели место априорные оценки B.3). Тогда для любого конечного t будет суще-
существовать нечетное (с учетом кратности) или бесконечное число решений задачи
B.1) — B.2). Для уравнений Гамильтона при весьма широких ограничениях (см.
дополнение) могут быть получены априорные оценки для импульсов, а отсюда и
для правых частей системы B.1). Такая задача отвечает задаче об экстремалях
для интеграла от соответствующей функции Дирака с одним закрепленным кон-
концом и другим концом, удовлетворяющим условию трансверсальности (см. [64]).
**) Положив й = Ь'-в A>б>0), c% = c(b), a=b[c{b) + l], b = t\/6, придем
к следствию.
Следствие. Пусть Ft{x, у, t), fi(x, у, t) непрерывны, \Ft(x, у, t)\sZ
s^c\x\x-6, \fi(x, у, t) | s^c(y), а\ dy°(/dxf | <: с3, где с (у) непрерывно. Тогда число
решений задачи B.1)—B.2) либо нечетно, либо бесконечно (для любого конеч-
конечного ti).
\\дХс II
***) Если det I а 0 | Ф0, то кратность решения Х(ха, f) равна 1.
0
254
Кроме того, будем считать, что
г — и? 1^0.
B.10)
(отсюда |ы(|<(п+ 1)а).
Из теоремы существования следует, что для
J
задача B.7), B.9) имеет решение, удовлетворяющее условиям
B.10) и непрерывно зависящее от и". Покажем далее, что сущест-
существует (не обязательно одна) такая точка и", принадлежащая шару
у
) чт0 если
u(tt) =и{Ц\ U)=Q. Для это-
го рассмотрим два отображения шара.
В качестве первого — обозначим его через С — возьмем отобра-
отображение шара в нуль.
/2 7) Второе отображение С зададим функцией и0—и(и°, tt). Обо-
Обозначим через p(Pi, pi), как обычно, расстояние между точками pt
а и р2. Пусть р принадлежит границе шара. Очевидно, что С(р)=0
и р (С (р), р) =па. Кроме того, в силу B.10)
B.8) р (С (р), С (р)) = р (С (р), 0) =]/ 2 (и? - и, (ы°, Г)J < па=р (с (р), р).
Так как С имеет одну неподвижную точку, то либо число непо-
неподвижных точек С равно оо, либо их алгебраическое число равно 1,
т. е. существует нечетное (считая кратность точек и") число точек
й°, принадлежащих шару, для которых
u°—u(uo,t1)=u°.
Следовательно, и(й°, ^)=0, что и требовалось.
3. Оценки решений.
Лемма 8.6. Пусть
Я* (х, р, t) = — Ф (х, 7) =р с {х, t) Y[A(x,t) — /7]2
тогда матрица
положительно определена при пгФО и неотрицательно определена *)
при т=0.
*) То есть ее определитель равен нулю, а все остальные диагональные миноры
положительны.
255
Доказательство. Пусть
F(H, р, х, 1) = [Н+Ф{х, t) Y—c2(x, t) [р—А(х, 0 ]2—t
тогда
8F (Я, р, х, t) __ dF dH . 3F_ = q
Т. е.
далее,
дН
дрс dp{
I dF
dp? dpj dH '
d*F dH dH , dF d2H
(xj);
B.11)
B.12)
dpt dpi
dpt dpi дН dpt
dp{
Подставляя B.12), получим
dF dF
dPi dpf \dH J dH dPcdP[
Отсюда, обозначая Р=р—A (x, t), получим
diH± [I
± {Ye2 (x, t) | P |2 + т*с* (х, О}3
У матрицы
dPtdPj I
= c4 (x, t) I {IPtP,- [P* + m?c*] 6t7|
PlP2 • ¦ • PlPn
все строчки линейно зависимы, и, следовательно, ее ранг равен 1.
Значит, л—1 ее собственных значений равны нулю, и характери-
характеристический многочлен имеет вид Хп—а^'^'^О. Очевидно, что а=\Р\2.
Следовательно, после вычитания из ||Р*Р,-|| матрицы {\Р\2 + т*с2Х
X (х, t)}E мы получаем при т?=0 положительно определенную мат-
матрицу, а при т=0 — неотрицательно определенную. Отсюда выте-
вытекает утверждение леммы.
Лемма 8.7. Пусть в гамильтониане Я+ (х, р, t, m) m=0, Ф=0,
А=0. Тогда, если S(x,p) удовлетворяет уравнению Гамильтона —
Якоби
и условию S | t==0=px, то
B.13)
Доказательство. Для действия S (x, p, t) имеем
П
при условии S\t=0=px. Следовательно, S(p, x, 0=2 P\XaAx,p,t)
Отсюда
dx^
Но так как
значит,
¦ = xoC + V pfe —— .
— OPi
dS (x, p. t)
Эр,
B.14)
при всех /=1, ...,п. Поскольку рФО, то det
dPf
=0, что в силу
B.4) дает B.13).
Мы будем теперь рассматривать два случая: либо
A) гамильтониан H(x,p,t), удовлетворяет условию B.0), либо
B) гамильтониан имеет вид ±C{x,t)\p\.
Все дальнейшие результаты будут относиться к случаям А), В),
если не будет сделано специальных оговорок.
Будем обозначать через 3(х, р°, tu t2) решение задачи
\Х, VO, I) =^= и,
dt
а через S(xo,t), X(xo,t), P(xo,t) —решение задачи
v- _ дн ¦ дН х
256
х@)=х0, p(O)=grad/(xo), S(O)=f(xo).
Через хо=ха(х, t) будем обозначать решение уравнения
Х(х0, t)=x. Через Е будем обозначать единичную матрицу
Лемма 8.8. Пусть
\xi\<a, \р]\^Ь; B.15)
тогда при \tt—^2|<е имеет место соотношение
257
где D(e) — матрица, стремящаяся по норме к нулю при e-М). Если,
кроме того, в случае В) выполняется условие р°п =^0*), то при
tU матрица
и I! 0 0 0 1!
хt t) у ;;; ;;; I
ers
дР1др)
;;; Q ;;;
0 ... О ... P
BЛ7)
отрицательно определена при достаточно малом р
Доказательство. Из теоремы Гамильтона — Якоби следу-
следует, что
Отсюда
дР)
др{
' дх?др1 dp)
где q(x), р(х) — решения системы Гамильтона
dPi _ дН (р,<?, т) fy- _ дЯ (р, «?, т)
dx 3i?? ' Зт Зр;
1=1,...,П, ?=(?!,...,?«), р=(ри...,рп),
удовлетворяющие условиям
BЛ8)
B.19)
B.20)
Краевые условия B.21) удовлетворяют оценкам
— Г/>?1<&, l^-t^a-
Отсюда следует в силу леммы 8.5, что при
дН дН
дР{
дН л
—,—— ,
B.21)
B.22)
B.23)
выполняются неравенства
B.24)
Обозначим через Mt константу, которой не превосходят первые,
вторые и третьи производные от Н по р и q при т«?7\, |/?|sS& + n+l,
*) Поскольку одно из pj, (t=l, ..., я) не равно нулю, можно полагать, не
уменьшая общности, р' ф 0.
258
Продифференцируем уравнения B.20) и условия B.21) по р{°,
тогда для dqk/dpi и дрк/др1 получим систему
dPt
dp,
q,- dp? • dpkdpf dpi
А. (-^-\ = — у f dm dq{ д2Н дрЦ
иг \ An0. I ^J van. Fin. Яп. Лп. Яп. Яп? I
B.25)
\ dp\
}
i \
с условиями
Положив
dPk
dpi
dqt
dp0/
— 8k
x=t,
dqk
U dpi
dpk <
dpi
x=t
= 0.
B.26)
B.27)
мы получим существование решения задачи B.25) — B.26) при
условиях B.27) в силу леммы 8.5 для
2М1
B'28)
при достаточно малом е. Проинтегрировав по т уравнения B.25),
получим
dqk
dp?
dPkdPi dpi
^zj J I dpk dq> dpi
lp±. = у f \J"L. ?EL + _*?_ ilLl dx + 6ik
dPi /*? I [dqkdPj dpi ^ dqkdq} dp°{ J ^
Отсюда в силу B.27), B.28)
dqk
dpi
x=h
dpk dpt
dpi
x=t
Из формул B.19) и B.31) следует первая часть утверждения лем-
леммы. По формуле Лагранжа, учитывая B.20), имеем
dpk
x=U
д*Н дН
д*Н
дН
dptdpkdp{
L-
где t±<x'<t2.
259
Из B.27), B.28), B.30), B.32) следует
Pp°i
dpt dpk
B.33)
т=о
В оценку О (в2) войдут константы а, Ь, Т. Отсюда вытекает, что
знаки диагональных миноров матрицы
а<7*«прит = 0
совпадают со знаками диагональных миноров матрицы
если е достаточно мало по сравнению с ними.
Пусть все диагональные миноры матрицы —|-
I дР(др{ ||
положительны. Отсюда и из B.33) вытекает, что матрица
строго
II М lk=o
положительно определена, а следовательно, и матрица —Ве при
достаточно малом р=О (вэ) также будет положительно определена.
Пусть теперь Н=с(х, t)\p\. В силу условия леммы р°п "^0,
а следовательно, в силу леммы 8.6 все диагональные миноры мат-
матрицы — | 1, за исключением n-го порядка ( det ],
Цdp?dpj || \ l"Pi^Pf\y
больше нуля. Отсюда в силу B.33) следует, что при достаточно ма-
за исключе-
нием детерминанта этой матрицы, строго положительны. В силу
леммы 8.7 в этом случае
=0.
Поэтому
дР°/
>0
при всех [}>0. Остальные же диагональные миноры матрицы —В$
при достаточно малом р<О(в2) будут иметь тот же знак, что и
—Н , т. е. при достаточно
°Pj ||ir=0
малом в будут положительны, что и требовалось доказать.
260
4. Основные тождества.
Лемма 8.9. Имеет место равенство
d*s(х, р, tlt tj) [I АсйдХ{-х°' *а) 11 =
dP{dxf |р=Р(ж„<,) i дх'
x=X(x,',U)
d*S (х, р, tr, h) Д
о[
= —det
dpc dpj
— E
— E
d2S(x0(l, у,
dx
of
=X(xe,tt)
B.34)
Доказательство. Рассмотрим систему уравнений
dS (x, p, tlt t%) у.
др{
B.35)
пои х=Х(х0, t2). Этой системе удовлетворяют точки
Pi=Pi (х0, f,), §4=Хг- (х0, tt). B.36)
Продифференцируем систему B.35) по хОк с учетом B.36). Мы
получим
. ,
дРс {х0,
дхп,
Запишем эти равенства в матричной форме
о> 0Ц || ^5 illl dXtixo, t
дхл
| dXt (x0,
(x0,
, B.37)
B.38)
Здесь индекс «0» при матрице означает, что
Подставив B.38) в B.37), получим
аа5
|
dpi dxf |
dx{(xo,t2) о их, (г, ад
дх0
дх,
ok
. B.39)
261
Следовательно,
det.
= —det
d*S
Обозначим
dp, dXj
В:
det
d*S
k) ff-w-tfld*^.
дх,
ok
B.40)
В силу равенства B.40) det (ЯЛ—E) отличен от нуля.
Рассмотрим преобразование матрицы
которое не меняет ее детерминанта: умножим ее справа на матрицу
ГО -Е
[ в
Л
в результате чего получим матрицу
Г? -Л Л
|_о ва — е] '
детерминант которой равен det(BA—Е). Следовательно,
B.41)
Из B.41) и B.40) получаем B.34).
Рассмотрим промежуток [tt, ta], столь малый, что внутри него
лежит один фокус х0, t1 траектории Х(ха, t), и, кроме того, в этом
промежутке
***'- р'^™ *ф0.
Лемма 8.10. Сигнатура матрицы
'S (х, р, tlt tz
др^ dp j
— E
— Е
B.42)
равна
Доказательство. Обозначим сигнатуру матрицы R(tut2)
через f (t±, t2).
262
Докажем вначале, что t(ii,t2)=f(t/,ta/), если tt<t/<f<tar<ti
(f — фокус).
Будем непрерывно менять t от tt до t/. Если число f (t, t2) из-
изменяется, то, следовательно,
det
idXt(x0.t)
дх,
01
должен обратиться в нуль в некоторой точке t^t/'^t/ в силу не-
непрерывной зависимости от t. Но это невозможно, поскольку
det R(tutz) =
dxi
det
d^L(x0,tJdet-4d^(x0,t)\.BAZ)
dxo! II ll^o/ II
Первый детерминант правой части равенства B.43) отличен от
нуля в силу выбора промежутка [tit t2], a
det II
II dxoi
не обращается ни в нуль, ни в оо, если t не является точкой фокуса.
Аналогично, "i(ti,t2)—'i(ti',tz'), если ti<.ti'<.t'<tz'<.t2. Поэтому
нам достаточно доказать утверждение леммы для промежутка
['/. V]. гДе hr и W сколь угодно близки к V. Для этого промежутка
мы будем обозначать
S = S{x,p,tl,t2),
Возьмем промежуток [?/, /2'] столь малым, чтобы все диагональные
миноры матрицы
10 0 1.
были положительны. Это можно сделать в силу леммы 8.8.
Обозначим
\dPiaPj
Рассмотрим матрицу
А=\
-Е а\
:н
Индекс инерции квадратичной формы с данной матрицей R$ сов-
совпадает с индексом инерции квадратичной формы с матрицей 7?р',
поскольку это та же квадратичная форма, но в другом базисе.
263
В результате умножения матриц получим
о л-
Поскольку В$ положительно определена, то индекс инерции /?/ сов-
совпадает с индексом инерции матрицы D(ttf, tz')=A—Be. Таким
образом, t(tut2) равно индексу инерции матрицы D(t/,t/). Но в
силу B.39)
dXt I
\dPidxi\n uxoi
Домножим D (t/, t2) слева и справа на В^; в силу самосопря-
самосопряженности Вр1 сигнатура полученной матрицы равна сигнатуре
матрицы D {ti, tz').
Следовательно, число ^(t/, t/) равно sign B%* D(t/,t2') B$, т. е.
разнице между числом положительных и отрицательных собствен-
собственных значений матрицы
Но собственные значения этой матрицы совпадают с собственными
значениями матрицы
Окончательно можно сказать, что t(ti,t2) равно разности меж-
между числом положительных и числом отрицательных собственных
значений матрицы
дХс(х0, 4) \\SXt . t
dpt dxi
dx,
o/
dx.
of
где
Матрица А в силу равенства B.38) ограничена, поскольку точ-
точка t/ не является фокусом. Поэтому матрица /РЛ стремится по
норме к нулю при [}-*-0 и
3 Hm BBD (^ 4) =
Детерминант предельной матрицы отличен от нуля, а потому зна-
знаки собственных значений матриц lim B$P (tu t2) и B^D (tlt t%) при
B-»o
достаточно малом р совпадают. Сигнатуры матриц R»(t'i, ?) и
R (^» *'*) равны, поскольку det/? (t[,
264
Следовательно, сигнатура матрицы R(tut2) (равная сигнатуре
матрицы R (t'u 4)) равна разности между числом положительных
и числом отрицательных собственных значений матрицы
дХ
о/
Зх
0,
Обозначим *i = ?' — е, ^ =^+е; будем иметь в силу леммы 8.8
хо/
xoi
где ?>(е)—некоторая стремящаяся к нулю при е->0 матрица.
Пусть Ki(z) (i=l,..., п) — собственные значения и ip<(s) (г=1, . ..
. .., п) — нормированные собственные функции матрицы C{t', s),
dx
of
I
dx
oi
C(t',s)= -
II
Следовательно,
| С (t'u t2) ф (8) — К (8) ф (в) 1 = | %с (8) D (в) ф (8) |
- *' ~ 8)
Отсюда следует (лемма 1.3 ч. I), что
¦ о
B.44)
при 8-э-0, где
С (t[, t2).
Пусть Kk(s) =ah(e) +ibh(s); тогда
%k (8) sign ak (e)
= ^ft(^i> *a) —собственное значение матрицы
sign &A (e)
В силу B.44) 1 +
•О, поскольку M*(s) действитель-
действительны в силу самосопряженности D(tu 4), т. е.
^0. Значит,
lira
= hm
|
= hm
поскольку sign
(e)
не зависит от г *).
а (в)
= sign щ. (е),
)|
*) Так как Ца (е) не может обращаться в нуль при 8—-0 в силу того, что
det R (t[, t'%) Ф 0.
265
Таким образом, мы пришли к заключению, что ^(tut2) равно
lim
, где К(е) —собственные значения матрицы С{?, s),
так как это и есть разность между числом положительных и чис-
числом отрицательных ц*(е), что и требовалось доказать.
Лемма 8.11. Пусть выполнено условие
и пусть
II dxt (х0, t0)
дх,
ot
точка х0, t0 фокальная; тогда дефект матрицы
равен числу отрицательных членов набора
Ч (8. ^
lim
8-М)
- (8, t0
=1, .... П.
Доказательство. Рассмотрим матрицу
( (x0, 0 |
ы
—lac
в точке t=t<1. Существуют матрицы C(t) и Ci{t), det C=det Ct=l,
такие, что матрица A(t)=CAC± диагональна при t=ta.
Если фокус t=t0 &-ro порядка, то в силу теоремы Морса
10 0|
A(to) =
,...0
о о
= a{i(t0) при i
Рассмотрим матрицу Ak(t) = \\at}\\
= lim(*—*i)-i;rk@. Имеем | JTk(
и матрицу Bh(t0) =
k|B | O(ft+
). Докажем, что 1^(^0I^0. Вычитая /-е столбцы (где
/) матрицы A{t), умноженные на величины порядка O(t—ta),
из первых k столбцов, мы можем добиться того, что все элементы
а,3-@> где i>k, j^k, будут иметь порядок O[(t—taJ].
Аналогично, вычитая строки i>k, умноженные на величины
O{t—?0), из первых k строк, получим второй порядок малости по
t—10 для коэффициентов ау@ (й?&, j>{k).
Эта процедура не изменит матрицы Bh(t0) и не изменит det A[t).
Поэтому .^.^Ш
\A(t)\=(t-tof\Bk(to)\ f[ aif1
то
\(\
Пусть ?>i я D2 — такие ортогональные матрицы, что матрица
Sh(t0)=D1Bh(t0)D2, диагональна.
266 н
Поскольку в силу теоремы Морса \A(t)\=O[(t—^0)
\B(t)\^O
Взяв матрицы
-(o e)' D*-(o е)'
получим матрицу A(t)=CA(t)Cl. Очевидно, что матрица A(t) мо-
может быть представлена в виде
| (t -10) at... О
O(t-t0)
О (t — to)ak
ak+1+O(t-t0) O(t-t0)
O(t-to) O(t-t0) an + O{t—t
где аи...,ап не равны нулю.
Вычитая линейные комбинации (с постоянными коэффициен-
коэффициентами) первых k строк из последних п—k строк, мы можем добиться
того, что элементы ай(?) (i>k, /<?) полученной матрицы будут
иметь порядок O[(t—А>J]. Аналогично, вычитая линейные комби-
комбинации (с постоянными козфициентами) первых k столбцов из по-
последних п—k столбцов, можно добиться того, что у полученной
матрицы элементы a{j(t) {i>k, j<k) будут иметь порядок
O[(t-toy].
В дальнейшем мы условимся обозначать через D$(t) некоторые
неособые матрицы &-го порядка. Мы доказали, что существуют та-
такие невырожденные постоянные матрицы S^ и S2, что SiA(t)S2 име-
имеет вид
где
Имеем *)
о (*-
Отсюда
о
*) Мы используем тождество, справедливое для произвольных матриц А я В:
(А+В)-'=*{A+ВА-1)А}=А-1A+ВА-1)-1 при условии, что обе части тож-
тождества существуют.
267
Собственные значения матрицы
C(z,to)=A(to—e)[A(tt
совпадают с собственными значениями матрицы
SiA (t - е) [Л {t0 + е)]-1 S? = SjA (>- в) S2 [StA (t0 + 8) S2r =
II — Ей О
где Ei — единичная матрица i-ro порядка. При g->-0 число отрица-
тельных членов последовательности lim г—;—тг A"=1...., п) рав-
8 (Л (8 У)
Л^ (8,
8
но ?, что и требовалось доказать.
Из лемм 8.10 и 8.11 следует в силу теоремы Морса, что фазовый
множитель^ exp{mfi/4} в формуле A.15) равен exp{wm/4} x
X ехр{—тч/2}, где ^— индекс Морса траектории Х(х0; 0, Т).
ГЛАВА 9
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ
ТУННЕЛЬНОГО ТИПА
Для широкого круга задач теории вероятностей был получен
первый член логарифмической асимптотики семейства вероятно-
вероятностей, зависящего от малого параметра. Оказывается, что анало-
аналогичная асимптотика имеет место и в некоторых других задачах ма-
математической физики, представляющих исключительный интерес.
Это, прежде всего, задачи квантовой механики, связанные с тун-
туннельным эффектом, асимптотика уравнений магнитной гидродина-
гидродинамики и теории плазмы при малой вязкости и теплопроводности да-
далеко впереди ударной волны. Подобная асимптотика возникает в
современной квантовой теории поля и тесно связана с теорией ин-
стантонов. Уравнения, описывающие перечисленные выше задачи,
содержатся в классе уравнений туннельного типа.
§ 1. Системы туннельных гамильтонианов
Рассмотрим систему псевдодифференциальных уравнений с ма-
малым параметром h>0:
A.1)
L (~~
L (~ip% x-f)u il-
где u = u(x, t) —W-вектор (столбец), (,)—вещественное скалярное
произведение, L(p, x, t) — Bл+ 1)-параметрическая А/Х-^-матри-
ца, элементы которой — целые функции аргумента р, бесконечно
дифференцируемые по х и t и равномерно ограниченные по х вме-
вместе со всеми производными.
Собственные значения матрицы L(p, x, t) назовем гамильтониа-
гамильтонианами системы A.1). Гамильтониан Н(р, х, t) назовем гамильтониа-
гамильтонианом туннельного типа при fe[0, T], Т>0, если
{
р [ ], ,
I) При AreER", p<=Cn\{n Rep,- = o} функция Н(р, х, t) глад-
ко зависит от аргументов х, t и регулярно от аргумента р.
269
Собственные значения матрицы
С (г, to)=A (to—s) [A D + e) 1
совпадают с собственными значениями матрицы
SjA (t - е) [Л (t0 + 8)Р SZ1 = SjA (t — е) S2 [5И (t0 + е) S2TX =
\\ — Еу О Ц
где ?¦( — единичная матрица i-ro порядка. При е-Ю число отрица-
С»=1,... ,п) рав-
тельных членов последовательности lim
8->0
(8,
но fe, что и требовалось доказать.
Из лемм 8.10 и 8.11 следует в силу теоремы Морса, что фазовый
множитель^ exp{mfi/4} в формуле A.15) равен exp{t:rm/4} x
X ехр{—m-Y/2}, где ^ — индекс Морса траектории Х(х0; О, Т).
ГЛАВА 9
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ
ТУННЕЛЬНОГО ТИПА
Для широкого круга задач теории вероятностей был получен
первый член логарифмической асимптотики семейства вероятно-
вероятностей, зависящего от малого параметра. Оказывается, что анало-
аналогичная асимптотика имеет место и в некоторых других задачах ма-
математической физики, представляющих исключительный интерес.
Это, прежде всего, задачи квантовой механики, связанные с тун-
туннельным эффектом, асимптотика уравнений магнитной гидродина-
гидродинамики и теории плазмы при малой вязкости и теплопроводности да-
далеко впереди ударной волны. Подобная асимптотика возникает в
современной квантовой теории поля и тесно связана с теорией ин-
стантонов. Уравнения, описывающие перечисленные выше задачи,
содержатся в классе уравнений туннельного типа.
§ 1. Системы туннельных гамильтонианов
Рассмотрим систему псевдодифференциальных уравнений с ма-
малым параметром /i>0: _
^ Iexp
L{~ip'Xtf)u
где u=u(x, t) —W-вектор (столбец), (,) — вещественное скалярное
произведение, L(p, x, t) — Bл + 1)-параметрическая Л^Х-Л^-матри-
ца, элементы которой — целые функции аргумента р, бесконечно
дифференцируемые по х и t и равномерно ограниченные по х вме-
вместе со всеми производными.
Собственные значения матрицы L(p, x, t) назовем гамильтониа-
гамильтонианами системы A.1). Гамильтониан Н(р, х, t) назовем гамильтониа-
гамильтонианом туннельного типа при te[0, T], Т>0, если
I) При at^R", p<=Cn\{n Rep,- = o| функция Н(р, х, t) глад-
ко зависит от аргументов х, t и регулярно от аргумента р.
269
II) max Re Н(р+щ, x, t)=H(p, x, t), peR",
n
", \р\ФО,
III) Лагранжиан 3Z = (p, Hp(p, x, t)}—H(p,x, )^
IV) det\\Hpp(p, x, 011=И=0при |р|<оо.
Гамильтониан Hi (p, x, t) называется подчиненным гамильто-
гамильтониану H2(p, х, t), если при х', ^eR", T]eRn, 0^|p'|<;oo и
0=#= \р\ <оо справедлива оценка
<р, Н2Р (р, х, ф - Н2 (р, х, t) < <р', Н1р (р\ х', ф -
— maxReНг(р' + 1ц, х\ f). A.2)
п
Система гамильтонианов называется туннельной, если все они
удовлетворяют условиям I), III), IV), имеют постоянную кратность
при ^eR", peRn\{0} и для любого гамильтониана, не удовлетво-
удовлетворяющего условию II), существует гамильтониан туннельного типа,
которому он подчинен.
Систему A.1) будем называть системой туннельного типа, если
туннельна система ее гамильтонианов.
Замечание 1. Условия I)—IV) являются весьма жесткими.
Например, среди полиномов по р им удовлетворяют, по-видимому,
полиномы не выше второй степени. Очень сильным условием явля-
является и требование постоянной кратности при a:gR", peRn\{0} га-
гамильтонианов. Тем не менее ряд интересных физических и мате-
математических задач приводит к уравнениям туннельного типа.
Замечание 2. Класс уравнений туннельного типа можно
t Эй
расширить, включив в него уравнения, в которых вместо п -=гт стоит
выражение Lo [h—)и, где производная dLo(pt)/dpt^O (^gR)
\ ot I
при |р(| <оо (см. ниже пример в)).
Приведем примерыуравненйй туннельного типа,
а) Уравнение Колмогорова — Феллера:
-|- = /& (х, t), ?^ и + Я j {и (х + hi, t)-u (x, t)} v*t (с®,
где ^eR", h>Q — малый параметр, \ixt(d%) —мера на Rn при фик-
фиксированных х, t. Это уравнение представимо в виде
Его гамильтониан
является гамильтонианом туннельного типа. Проверка условий III)
270
и IV) элементарна. Проверим условие II). Имеем
Re Я (р + щ, х, t) = j (e-<*-5> cos < л, Б> — 1
R"
Очевидно, что интеграл
f е<"-?> cos (Ti, I) р
достигает максимального значения при т]=0. Точка т]=0 является,
вообще говоря, не единственной точкой глобального максимума
б) Приведем пример из теории марковских цепей. Пусть в мо-
момент времени th=kh процесс находится в точке x}=jh, в момент '
времени th+i с вероятностью Р] происходит скачок вправо в точку
xj+i= (j+l)h и с вероятностью Р]—аналогичный скачок влево.
Пусть Р] + P~j = 1. Если Uj = u(jh, kh)—вероятность обнаружить
процесс в момент времени tk в точке хь то
Перейдем от функций и/, Р) и Р], заданных на сетке {jh, kh},
к функциям и(х, t), p+(x), р~(х), заданным при всех (х, t)^Rz
так, что и(х, t) |x=3h, *=№= "/, р± (х) \x=ik = Pf. Перепишем приве-
приведенное выше разностное уравнение в псевдодифференциальной
форме
exp
е
\h A j и (х, t) = j^exp |- h |-| р+ (х) +
ехр |а |-| р
и (х, t).
Заменяя оператор — h—символом р, а оператор h гамильто-
дх at
нианом Н(р, х), получим
Н(р, х)=\п{р+(х)еР+р-(х)е->}.
Легко проверить, что Н(р, х)—гамильтониан туннельного типа,
если при xgeR функции р+ (х) и р~(х) строго положительны.
в) Примером системы туннельного типа может служить линеа-
линеаризованная система Навье — Стокса с малой вязкостью:
30¦ + («, V>o + a2Vp — cji^v — C2ftVdivy = 0,
dt
dt
где v=(vt(x, t), v2(x, t), v3(x, t)) и p(x, t)—искомые функции;
xe=R3; u= (и±(х, t), u2(x, t), u3(x, t)); щ(х, t) (/=1, 2, 3) —гладкие
функции; az = az{x, t)—скорость звука; h>Q — малый параметр;
Ci>Q, c-z~>Q — физические константы.
271
Гамильтонианы приведенной системы имеют вид
Кратность гамильтониана Н, равна двум. Выполнение условий
I)—IV) для гамильтониана Ht очевидно, а для гамильтонианов Нг
и Н3 проверяется в результате несложных, но громоздких выкла-
выкладок. Их мы опускаем.
г) Модель Максвелла в теории упругости:
hutt-\-ut = hE(x) Аи, x^R3,
где Е(х)>0 — гладкая функция, /ц>0 — малый параметр. Приве-
Приведенному уравнению отвечают следующие гамильтонианы:
, = -±-Л/ Ер*-и
Можно показать, что система {Hit H2} является туннельной. Га-
Гамильтониан Нг (не удовлетворяющий условию II)) подчинен га-
гамильтониану туннельного типа Ht.
Основной результат состоит в построении всех членов ряда,
определяющего глобальную асимптотику фундаментального реше-
решения и(х, t) системы туннельного типа A.1),т. е. решения, удовлетво-
удовлетворяющего при ^ = 0 условию
и(х,%, О|.-о=б(л—1I, A.3)
где / — единичная Л^Х-^-матрица, б (л:—?)—б-функция Дирака.
Асимптотика решения поставленной задачи дается построенным
ниже туннельным каноническим оператором и является экспонен-
экспоненциально малой при Л—>-0 почти при всех х, |.
Отметим, что "в «малом», т. е. при таких fe@, б], что решения
вариационных задач, отвечающих гамильтонианам системы A.1),
на полуинтервале @, б] единственны, при отсутствии точек Якоби
или фокальных точек, вычисления всех членов асимптотического
ряда для некоторых задач теории вероятностей приводились в [28
доп. лит.]. В работе [45 доп. лит.] найдена глобальная асимптоти-
асимптотика решения уравнения теплопроводности на римановом многооб-
многообразии.
§ 2. Примеры экспоненциальных асимптотик
Прежде чем привести решение задачи A.1), A.3), рассмотрим
два примера.
Пример 1. Сначала остановимся на простой задаче опреде-
определения обобщенных решений простейшего гиперболического квази-
квазилинейного уравнения,исследованной Хопфом [58]:
B.1)
В процессе ее решения Хопф фактически исследовал задачу о пер-
первом члене логарифмической асимптотики решения уравнения теп-
теплопроводности с малой диффузией.
Как известно, в «малом» задача B.1) решается методом харак-
характеристик. Уравнение характеристик имеет вид
р = 0, х = р.
B.2)
Здесь мы для простоты остановимся лишь на случае, когда
ро(х)=ехр(^хг). Обозначим через p = P(t, |), x=Q(t, |) решение
системы B.2), удовлетворяющее условию
и через Л'—-кривую {p = P(t, |), x=Q(t, |)} в фазовом пространст-
пространстве RpX, полученную сдвигом начальной кривой Л°={р=р0Ш> х=%}
вдоль траекторий системы B.2) за фиксированное время t. Точки
на кривой Л' обозначим через г; r—(P(t, ?), Q(t, ?)). При
*<^кР = е3/2/У2 кривая Л' проектируется на ось х диффеомор-
фно (уравнение Q(t, ?)=лг однозначно разрешимо относительно
? = ?(л:, t)) и функция р = р(х, t)=P{t, %\x, t)), задающая Л', яв-
является решением задачи B.1). При t>tvv кривая Л* проектируется
на ось х не взаимно однозначно и классического решения задачи
B.1) не существует. При таких временах на кривой Л* появляются
точки, в которых якобиан J (%, t)=dQ(^,, t)/d\ обращается в нуль.
Они называются фокальными точками кривой Л*.
Для определения решений при Л>?кр Хопф предложил рассмот-
рассмотреть уравнение Бюргерса
dv
до
h d2t»
и назвать (обобщенным) решением уравнения B.1) функцию
Роб = 1нпи. Решение v уравнения Бюргерса выражается через лога-
рифмическую производную v== — h — In и решения и уравнения
теплопроводности
ди h 32и
dt 2 дх2
. «1/-о = ехР \—\ J Po W dx\ ¦
B.3)
272
Таким образом, исходная задача сводится к изучению логарифми-
логарифмического предела решения уравнения теплопроводности. Известно,
что решение задачи B.3) имеет вид
и = BnhtT% J exp j— Их — If + 2t J p0(g) dt\ I 2tAd?. B.4)
Асимптотика интеграла B.4) вычисляется методом Лапласа. При
273
t<CtKP имеем
и = (| J Г* F (х, О, 0 + О (Я)) ехр {- -i- 5 (дг, О} • B.5)
/¦<*)
Здесь S(*, *) = Г pdx, а интеграл вычисляется вдоль Л', г(х) —
точка на Л'. При t>tKp существуют три точки rt(x), r2(x), гя(х) на
V, проекции которых на ось х совпадают или, иначе говоря, урав-
уравнение Q(t, ?)=х при х<=(хи х2) имеет три решения lt(x, t),
%z{x,t) и %3(x,t). Обозначим S(x, t) = ^ рdx при х<хи х>х2 и
—оо
5(х, O=min (S...S,, 5,), S/= J р Лс, где/=1, 2, 3 при
[!, 2]
В том случае, когда х=хи ri(xl)=r2(x1) —фокальная точка на
А* и Si(x, ^)=52(л:, t); аналогично, когда х=х2, г^(х2) = г3(х2),
Точку, в которой Si = S3 = S, обозначим х?. Тогда при х<с х*
и х^>х* асимптотика интеграла B.4) по-прежнему имеет вид
B.5), с той лишь разницей, что | в этой формуле полагается рав-
равным |i (x, t) при х±^х<С x*t и |3 (х, t) при д:2^д:> Xt. В точке д:*
асимптотика интеграла B.4) состоит из двух слагаемых вида
B.5), одно из которых отвечает точке rt (x*), а другое — точке
г3(х*). Таким образом, при Xi^.x<c x* точки г{(х) и г{(х), распо-
расположенные на Л', вносят в асимптотику решения задачи B.3) ма-
малый (порядка не более O{h)es/h) вклад. Поэтому эти точки мы бу-
будем называть несущественными, а остальные точки кривой .Л' —
существенными. Области на кривой Л*, состоящие из несуществен-
несущественных или существенных точек, назовем также несущественными или
существенными соответственно.
Приведенные рассуждения позволяют получить обобщенное раз-
разрывное решение задачи B.1) при временах t>tKV — оно определя-
определяется функцией р=р(х, t), задающей существенные области кривой
Л*. Заметим, что отсюда, в частности, следует известное в гидроди-
гидродинамике правило равных площадей для определения фронта удар-
ударной волны, эволюция которой описывается уравнением B.1).
Рассмотрим теперь асимптотику интеграла B.4) в момент вре-
времени ^ = ^кр. Тогда xi = x2, фокальные точки rt(Xi) и г±(х2) на Л'
совпадают и при вычислении асимптотики интеграла B.4) при
хф = х1 = хг. Соответствующая критическая точка оказывается вы-
вырожденной. Это приводит к другой асимптотической формуле для
решения и задачи B.3). Вне окрестности точки хф, которую мы бу-
будем в дальнейшем называть фокальной точкой в Rx, решение по-
прежнему имеет вид B.5), а в точке дгф имеем и(хф, tKp) =
= Л-1/4ехр{—5(хф, fKp)}(a + O(ft)), где а —константа. Из последней
274
формулы следует, что логарифмический предел не учитывает
«всплеск» амплитуды в фокальной точке хф. Этот всплеск характе-
характеризуется вторым членом логарифмической асимптотики:
1пи== -S — Qlnh + O(l).
h
Здесь Q = l/i при лг=дгф, t — tIcp, а в остальных случаях равно 0.
Туннельный канонический оператор позволяет записать равно-
равномерную (по х) экспоненциальную асимптотику решений уравнений
туннельного типа. Как уже говорилось, в конструкции этого опера-
оператора существенную роль играют геометрические объекты, обоб-
обобщающие кривые Л* — лагранжевы многообразия в фазовом прост-
пространстве Rp" . Вне окрестности проекций в R2 особых точек из су-
существенных областей лагранжева многообразия — фокальных
точек в R"—асимптотика соответствующего решения представляет-
представляется в виде, аналогичном B.5). В окрестности фокальных точек —не-
—некоторыми интегралами, аналогичными B.4), асимптотика которых
иногда выражается через специальные функции. Отметим, что фо-
фокальные точки одновременно являются точками Якоби экстрема-
экстремалей вариационной задачи, определяемой гамильтонианом. В общей
ситуации в фокальных точках, как и в рассмотренном выше при-
примере, коэффициент Q при In h во втором члене логарифмической
асимптотики не равен нулю (в отличие от нефокальных точек).
Этот коэффициент выражается через некоторый новый инвариант
вырождения соответствующей экстремали.
Пример 2. Выше была рассмотрена задача Коши B.3) для
уравнения теплопроводности с начальным условием, зависящим от
к. Нас же в первую очередь интересует асимптотика фундамен-
фундаментального решения систем туннельного типа. Эта асимптотика для
систем туннельного типа в общем случае будет построена в § 3.
Опишем эту асимптотику для примера б) § 1 в случае
=7 + 7 cos2
=7 +1sin2
+ (т+
?}] «. B.6)
Задаче B.6) соответствует гамильтониан
Н(р, х)=\п [р+
Уравнение B.6) не представляется в виде A.1), и поэтому теорема
9.2 об асимптотике фундаментального решения задачи Коши к за-
задаче B.6) непосредственно неприменима. Тем не менее для задачи
B.6) может быть доказана теорема, аналогичная теореме 9.2, при-
причем схема построения соответствующей асимптотики здесь та же,
что и далее в § 3. В то же время асимптотика решения задачи B.6)
относительно легко исследуется с помощью ЭВМ.
275
Начальному условию для B.6) в фазовом пространстве Ra
отвечает прямая Л?' ={р = р0, х=0}, poeR. Асимптотика решения
задачи B.6) определяется кривой Л''0, полученной сдвигом прямой
Л?'° вдоль траекторий системы Гамильтона
л—11Р* Р——пх \*.7)
за фиксированное время t. На кривой Л* определим функцию
5 (Ро, t) = J [PHP (P, Q)-H (P, Q)] dx,
о
где функции Р = Р(р0, t), Q = Q(Po, ^—решение системы B.7) с
данными КошиР(р0, 0)=р0, Q(p0, 0)=0. Функцию 5(р0> t) мыназы-
ваем энтропией. При любом времени ?>0 кривая А(>0 проектирует-
проектируется в Нх на отрезок [—t, t], причем до момента времени 4P = 3X"|/V,
якобиан /(р0, t) = dQ(p0, t)/dp0 при |р0|<оо, т. е. любая конечная
дуга кривой Ait0 при 0<^<:4р диффеоморфно проектируется на
ось х.
Асимптотика решения задачи B.6) при хе[—t-\-f, t—У], где
:ло f сколь угодно мало, для фиксированного времени 0<С^<:^
число
имеет вид
и =»j 2яЛ J | % ехр Ц- j Нрх (Р (Ро, т), Q (р0, т)) dx—
S (pp. t)
h
Po=Po(X,t)
, (х, t) — решение уравнения х=Q (p0, t).
B.8)
где функция )
В точке reAi'° с координатами @, хг), где ось х пересекает
кривую А{'°, энтропия обращается в нуль, и функция и в точке х{
равна O(h~1/2). Вне окрестности точки xt величина и экспо-
экспоненциально мала. Зависимость от времени координаты xt вычисля-
вычисляется явно из'системы Гамильтона. Легко показать, что lim xt = n/4.
При t>tKV на кривой Л!'0 появляются участки с одинаковой про-
проекцией на ось х. По аналогии с примером 1 выделим на кривой
Ai>0 существенные и несущественные области. Среди точек кривой
Ai°, проектирующихся в одну и ту же точку на оси х, существен-
существенными называются те точки, энтропия в которых минимальна. Асим-
Асимптотика решения задачи B.6) при t>tKp определяется только су-
существенными областями кривой А{-\ Скачок из одной существен-
существенной области кривой Ai'° в другую в этой задаче происходит всегда
вдоль оси р. Напомним, что фокальными точками называются точ-
точки на Ах'0, в которых обращается в нуль якобиан /(р0, t). Заме-
Заметим, что при t>tKp все фокальные точки кривой Ai'° попадают в не-
276
существенные области, поэтому при t>tKV асимптотика задачи
B.6) имеет вид B.8).
В момент времени t = tRV кривая А?р'° имеет существенную фо-
фокальную точку с координатами (—J*11^' J* Асимптотика реше-
решения задачи B.6) в окрестности точки х=0 в момент времени 4р
определяется некоторым интегралом. В этом примере, как и в рас-
рассмотренном ранее, в проекции фокальных точек на ось х амплитуда
решения резко возрастает. Именно, при х^(—4р, *кр) вне окрест-
окрестности точек х = 0 и х=х(кр при /i=0,0l величина и(х, tKp)cal0-s,
тогда как и@, tKJ>)cnl0~2.
§ 3. Туннельный канонический оператор и асимптотика
фундаментального решения
Сформулируем основные результаты. Рассмотрим задачу A.1),
A.3). Введем обозначения: На(р, х, t)—гамильтониан системы
A.1), а = 1,..., т, ms^.N; ха — кратность гамильтониана На при
Ipl^OjA^CZRp"— плоскость {р=ро, *=?}, (ро. S)eR2n, | —фик-
—фиксированный вектор; Л^|—лагранжево многообразие, полученное
сдвигом плоскости Л?'5 вдоль траекторий системы Гамильтона
ра = —
C.1)
г — точка на мно-
мноза фиксированное время t, т. е. А^а = ёнлА°п'ъ
гообразии Л^|, (р(г), х(г)) — ее координаты; Qa, Pa — решение
системы C.1) с начальными данными на An' ; якобиан
Ja=det(dQJdp0).
Назовем энтропией на многообразии Л = AnJ функцию
t
S = 5а (t t, г), Sa = J ({Ра, Нлр (Ра, Qa)> - Яа (Ра> Q«)) da.
о
Точку г,еЛ назовем несущественной точкой многообразия Л, если
найдется точка /-2&Л. с такой же проекцией на R" и такая, что эн-
энтропия в ней будет меньше, чем в точке г1г т. е. х{г^)=х{гг) и
5|5|
5|Г=Г1>5|Г=Г2. ¦
Введем на многообразии Л канонический атлас {Q,}. Именно,
покрываем многообразие Л картами, которые диффеоморфно проек-
проектируются на одну из координатных_ лагранжевых плоскостей.
(Плоскость вида {*i = 0, рг=0}, где / и I — наборы чисел такие, что
/|j/=(l) ..., п), If]l=0, называется координатной лагранжевой
плоскостью.)
Пусть t^8>0, а б — сколь угодно малое число. Определим
оператор K(Qj), действующий из пространства СЦ0 (Я/)в пространст-
пространство С30 (R"). Пусть <р (г, h) <= С? (Q/ х @, 1]).
277
Рассмотрим два случая.
1. Qj — неособая карта (т. е. якобиан Ja отличен от нуля для
всех точек области Qj). Обозначим через ?>(Г R" множество nx(Qe/),
где ях — естественная проекция R*" на R", Q) —замыкание мно-
множества существенных точек области й,, через DTc: R" — f°KPeCT-
ность множества D, т. е. такую окрестность, что \х—х?\~^°\ для лю-
любой точки *<=R?\.DT и для всех точек *'<=?>. Введем функцию
Э(л:, ч) «= С~ (RJJ), равную единице при x^D*1 и нулю при
J:SRj \?>2т. Положим
К (Q,) <р = | Л Г54 ехр {- -1 Sv} Ф (г (х), К) 6 (х, у), C.2)
где г (х) еЛ- решение системы х=х(г), Л(х, ?) и БЩ, t, r(x)) —
гладкие функции, совпадающие с функциями Ja(r(x)) и Sa(%, t,
г{х)) на множестве D. Полученная функция K(Qj) зависит от аргу-
аргументов (х, 1, t,i,h).
2. Q}— особая карта с фокальными координатами (р/? х7), т. е.
область Qj диффеоморфно проектируется на плоскость {*/ = ()
/= (ти ...,mh),T= (mh+1, ...,mn), I{JI= (I,..., л),
k = max (n — rank (dQJdp0)).
ей
Легко убедиться, что для любого сколь угодно малого а>0
можно выбрать покрытие Л особыми и неособыми картами, так что
1 k
для любой особой карты Q, область gTfjQ/, где Я/=— V р^., диф*
феоморфно проектируется на "R" и энтропия в этой области строго
положительна. Определим оператор K(QS) формулой
Ф = ехр {— Н,а) (К (gH,Qf) Ф) =
ехр
2fto
C.3)
Полученная функция зависит от аргументов х, %, t, 7, К о.
Введем разбиение единицы {еДг)} на многообразии Л, подчинен-
подчиненное каноническому атласу {Q3}. Определим оператор К на функциях
( Л)СГ(Лх[0, 1))следующим образом:
= 2 К (П/) (е/ (г) Ф (г,
C.4)
Обозначим В= /С (С~ (Л х @, 1]))и 7? отношение эквивалентности на
В: Kq>(r,h) = К^х{г,К), если в существенных точках г функция
ф(л Л) —ф4(г, Я) имеет порядок малости О (К).
278
Теорема 9.1. Туннельный канонический оператор
К: С0~(Лх@, 1])-»-В (modi?)
не зависит от выбора канонического атласа, разбиения единицы,
параметров f>0 и а>0 и от способа продолжения энтропии и
якобиана на множества D1.
Схема доказательства этой теоремы совпадает со схемой дока-
доказательства аналогичного утверждения в теории канонического опе-
оператора, с той лишь разницей, что в данном случае асимптотические
разложения соответствующих интегралов получаются применением
метода Лапласа, а не метода стационарной фазы.
Замечание. Определение туннельного канонического опера-
оператора автоматически переносится на случай произвольных лагран-
жевых многообразий Л, на которых заданы энтропия 5 и якоби-
якобиан /.
Пусть выполнено условие, более сильное, чем IV).
IV')- Существует такое е>0, что det|#apf.P/- l|^s>0 при
|р| <оо. Предположим также, что выполнено условие:
V) Существует такое Д, что при 0<^^Д все многообразия
A^'J диффеоморфно проектируются на R" и на Rp. (Условие V)
выполнено, например, в случае, когда матрица L(p, x, t) не зависит
от х при |лг|>аХ), где а — некоторое число, и выполнено IV').)
Ниже туннельный канонический оператор на многообразии Л^|
будем обозначать К^. Введем в рассмотрение А^Х^-матрицы
Чга(а=1, 2, ..., пг), определив их следующим образом. Пусть
f$ (р, х, t) (р= 1,2,..., ха) — ортонормированные собственные век-
векторы матрицы L(p, х, t), отвечающие собственному числу (гамиль-
(гамильтониану) На.; Ко. — кратность этого числа (|р|=5^=0, ос= 1, 2,..., пг).
Обозначим через &р° коэффициенты разложения 1-го базисного
орта е* в RlY по векторам /» (р, х, О):
пг х<х
и через Sip — решения систем обыкновенных дифференциальных
уравнений
S 2 ^dv = о,
dt
где
vg — \ /а, / ~г /, \ /а
— (хаХха) —матрицы (а фиксировано), d/dt — производная вдоль
траекторий системы Гамильтона C.1) с данными Коши наЛ°'5 и
значения аргументов р и х берутся на этих же траекториях.
279
, М).
Положим
Здесь и далее ЛГ означает любое сколь угодно большое наперед за-
заданное число, а функция e(r, M) —сужение на многообразие, по
которому строится соответствующий туннельный канонический
оператор, гладкой финитной функции на R|?, тождественно равной
единице в шаре р2 + х2^.М. Асимптотика матрицы Грина в окрест-
окрестности множества (dSJdx{=0) {i=l,..., п) построена операторным
методом с использованием комплексного ростка [43 доп. лит.].
Вне этой окрестности имеет место следующее утверждение.
Теорема 9.2. Пусть выполнены сформулированные выше ус-
условия I)—V), IV). Тогда для любого сколь угодно большого М>0
при d^tz^T матрица Грина системы A.1) представила в виде
+ О (h)) + О (егм>н).
и (х, I, t, h) = Bnh)-n/2
Доказательство теоремы для простоты выкладок проведем в
случае N— 1 (тогда индекс а можно опустить) и будем считать, что
L(p, х, О=Я(р, х, t) =H(p, x), det |#|
при |д:|<;оо. Предварительно приведем эвристический вывод фор-
формулы для формальной равномерной асимптотики решения задачи
A.1), A.3) при О^^^Д. Заметим, что при ? = 0 все начальное лаг-
ранжево многообразие (плоскости Л°'?) состоит из фокальных то-
точек и покрывается одной особой картой, диффеоморфно проекти-
проектирующейся на плоскость х=0. Однако записать асимптотику при
М.в виде, аналогичном C-3), нельзя, так как энтропия на плос-
плоскости Л?'6 равна нулю и сдвиг Л°'? вдоль характеристик соответ-
соответствующего параболического уравнения приводит к растущим при
h-*-0 экспонентам. (По той же причине невозможно представить
асимптотику при f-*-Q в виде преобразования Фурье, как это можно
сделать при построении канонического оператора.) Поэтому для
задачи A.3) при t->-0 построим равномерную (формальную) асимп-
асимптотику, отличающуюся от C.2). При малых t естественно считать,
что коэффициенты уравнения B.6) можно «заморозить», т. е. пред-
представить решение задачи A.1), A.3) в виде
оо
j exp {j- [<р, х -1) + Я (— ip, I) *]} dp.
Приведенная формула дает асимптотическое решение лишь при
t<g.h. Обобщая эту формулу, построим равномерную (формаль-
(формальную) асимптотику решения задачи (Ы). A.3). Будем искать ее в
виде
во
lBnh)-nA (х, g, t) J exp {1 [i(p, у {x, %,t) + H (- ip, yx (I, 0) f\j dp, C.5)
—oo
где A(x, %, t), y(x, %, t), yi(%, t) —новые неизвестные гладкие функ-
функции. Покажем, что асимптотику при h-*-0 интеграла Лапласа, со-
содержащегося в формуле C.5) при условии 0<б<?^Д, где
<8 — фиксированное сколь угодно малое число, можно вычислить
методом перевала. Для определения критических точек интеграла
C.5) имеем уравнение
y=HA-ip, Vi)t.
В силу условия IV) у приведенного уравнения существует гладкое
чисто мнимое решение p=iz, z=z{y, yu t). Условие II) на гамиль-
гамильтониан Н(р, х, t) делает топологическую часть метода перевала
тривиальной: сдвигаем контур интегрирования в комплексное про-
пространство С" таким образом, что Imp=z. Критическая точка p=iz
на полученном контуре является перевальной, поскольку в ней до-
достигается максимум реальной части фазы интеграла. Отсюда най-
найдем асимптотику интеграла C.5) :
и = Bnh)-n/2<p exp {— i- ф| A + О (h)), C.6)
где функции Ф, ф имеют вид -. j
Ф (х, I, 0 = <z (у (х, %, t), у, (I, t) ,t), у (х, I, t) >—
—H(z(y(x, I, t), yt(l, t),t), yt(l, t),t), C.7)
<p(*, I, t)=A(x, I, t) (det (HPP(z(y(x, %, t),
Vi{%, t),t), yt(I, t),t),t))~\ C.8)
Подставим функцию и вида C.6) в уравнение A.1). Воспользуем-
Воспользуемся формулой коммутации экспоненты e-*"h с псевдодифференци-
псевдодифференциальным оператором [43 доп. лит.]. Сократим полученное соотноше-
соотношение на е~ф/н и приравняем коэффициенты при степенях п° и А1.
В результате получим, что функция Ф в асимптотике C.6) интегра-
интеграла C.5) удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби
C.9)
dt
дх
а функция ф — уравнению переноса
дх /
+ 4- V. Я
\==о
} '
{ дх ' ) дхсд.
¦Ф = 0. C.10)
280
Начальное условие вида A.3) индуцирует условие при ^=0 на
функции у(х, I, t) и А(х, %, t) —функция у(х, |, 0) обращается в
10 В. П. Маслов
281
нуль лишь при х=1, у%(х, х, 0) =7^=0 при всех j;eR":
А (х, х, 0) = у\ (х, х, 0). C.11)
Таким образом, задача построения асимптотического решения вида
C.5) сводится к задаче отыскания функций Ф(лг, g, t), <$(x, %, t),
у(х, t) и А(х, g, t), удовлетворяющих уравнениям C.7) — C.10) и
условию C.11). Уравнениям C.9) и C.10) удовлетворяют функции
Ф(х, t,t)=S(r(x,l, t),t) и q>(x, I, t)=.\J(r(x))\-'hW(r(x)),
где S — энтропия и / — якобиан на многообразии Л=Л„'5, функ-
функция 47" определена перед формулировкой теоремы 9.2. Существова-
Существование решения г(х) системы х—х(г) следует из диффеоморфного про-
проектирования многообразия Л„5 на Rjnpn 0<^^_Л. Построим реше-
решение у(х,%, t), yi(l, t) уравнения C.7) (если //@, х) =const, то
УЛ%> 0=1)- Разложим в сумму квадратов правую часть уравнений
C.7) в точке 2=0 и левую часть в точке х=х\\, t), где *(?, t) —
решение системы Sx(r(x), g, t) =0. Это возможно в силу предполо-
предположения невырожденности матрицы //« и леммы Морса. Приравни-
Приравнивая соответствующие квадраты в разложениях, найдем решение
У! (g, t); подставляя затем функцию г/4 (?, /) в правую часть уравне-
уравнения C.7) и вновь применяя лемму Морса при фиксированном g и
приравнивая соответствующие квадраты в разложениях, получаем
искомое решение у (х, ?, t). Функцию А(х, |, t) найдем из уравне-
уравнения C.8). В результате несложных, но громоздких вычислений
легко убедиться, что построенные функции удовлетворяют условию
C.11). Тем самым получена равномерная (формальная) асимпто-
асимптотика решения задачи A.1), A.3) вида C.5). Обозначим
= G(x, Е, *, Л)вBяЛр Y(r(x))\det(Hpp (г, ?)t)[* 1J(r<*))\~%x
x J exp |I- [i (p, у (x, g, /)> + Я (- ip, yx (S, 0) fl
C.12)
В силу проведенных выше рассуждений главный член асимптотики
функции G при фиксированном 0<*^Д и фиксированных х и |
имеет вид'туннельного канонического оператора на многообразии,
примененного к функции W(r)e(r; M).
Доказательство теоремы 9.2. Подставим функцию G
C.12) в уравнение A.1). Воспользовавшись формулой коммутации
псевдодифференциального оператора с экспонентой и учитывая
определение функций у(х, \, t) и t/i(i, t), получим
где
F = F(x, % t, h)=gl(x, g, t, h) J exp {(t(p, y(x, g, /)> +
\ и (- ip, Уг a, t)) t} gz (p, x, г, t,
Здесь функции ^(х, |, /, Л) и ^,(р, лг, |, /, Л) класса С", причем
ёг(р, х, |, ^, Л) — целая функция аргумента р.
Точное фундаментальное решение уравнения A.1) представим
в виде ряда
A=0
J G(x, r,, ^-
E, t,
, C.13)
где F* — Ля степень оператора
(ftp) (x, g, ?, A) = J J f (jr. r\,t — x, А) ф(т|, g, т) dtj dr.
о Rn
Зафиксируем в формуле C.13) время ?=б. Покажем, что асим-
асимптотику при h-*-Q суммы C.13) можно вычислить. При этом будем
рассматривать k-e слагаемое в сумме C.13) не как повторный,
а как nBk+3) -кратный интеграл по р и г\. При таком подходе со-
соответствующие критические точки интегралов оказываются невы-
невырожденными. Заметим, что непосредственное применение метода
перевала к интегралам в сумме C.13) невозможно, поскольку фаза
в них — неаналитическая (по переменным ti) функция. Воспользу-
Воспользуемся методом, развитым в кн.: Хартман Ф. Обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения.—М.: Мир, 1970. Для упрощения обозначе-
обозначений рассмотрим подробно лишь член суммы с индексом & = 0 в
случае Н(р, х) = const (т. е. когда ух (|, /)=?):
б
б—
], ?, т, h)g2(p, т|, g, т, А)х
J /(*,
+ i (Pi, У К Б, т)> + Щ— ipx, I) т] j dp dPl dr\ dx. C.14)
Здесь через f(x, r\, б—т) обозначена функция, стоящая перед ин-
интегралом C.12). Для вычисления C.14) применим метод перевала
(Лапласа). Найдем стационарные точки фазы интеграла C.14) по
переменным r\, p и pt. Для их определения имеем следующие урав-
уравнения;
х, т|, б — т) л. Нх (— ip, ц) (б — т) + iPly'x (ц, I, т) = 0,
У (х, ц,8 — т)=Нр (— ip, ц) (б — т),
, Б, т) =НР (— iPl, g) т.
282
Приведенная система разрешима для чисто мнимых р и р4. Этот
факт следует из диффеоморфного проектирования многообразия
Ля на Rx и проверяется дифференцированием. Обозначим полу-
полученные решения через р° и р {. Сдвинем контур интегрирования в
10» 283
интеграле C.14) по переменным р° и pi так, чтобы Imp=Imp° и
Imp1 = Imp?, и сделаем замену переменных р'-*-р+ р\ и p'i-*-p1 +
+ pi. В результате получим интеграл Лапласа по пространству
R3" с неаналитической (по переменной г\) фазой, стационарная точ-
точка которой вещественна. Вычисляя асимптотику этого интеграла
указанным выше методом и, аналогично, асимптотику интегралов;
в k-x членах суммы C.14), получим
м
J J G(x, л, б-т, h){PkF)D, t т,
C-15)
О Rn
где К=КЛЛ — канонический оператор на Л*'5, функции gh=gh(x, !>•
б, Л) равномерно по п ограничены. Из соотношения C.15) следует
доказательство теоремы для времени ?=б. Пусть теперь 8<it^T.
Имеем
и (х, t t, h) = (GnG) (x, t, 5X, ?, h), C.16>
где 61 = ?/m, Gm— т-я степень оператора
(бф)(х, *, оъ I h) = I G(xt т,, 6lf К) ф(Л, I, t, h)dr\
и целое число m>0 — такое, что t/m^.8.
Асимптотика интегралов, стоящих в правой части равенства
C.16), легко считается методом Лапласа, если стационарные точки
фазы невырождены. Результатом соответствующих вычислений
является формула C.2). Такая ситуация имеет место в том случае,
когда точка х, в которой вычисляется асимптотика, не является
проекцией (существенной) фокальной точки. Если же стационар-
стационарная точка вырождена, воспользуемся следующим приемом.. С по-
помощью метода Лапласа легко убедиться, что один из операторов в
формуле C.16), например, действующий последним, можно запи-
записать в виде канонического оператора C.3) в области пх (g~j°Q).
Здесь Q — окрестность соответствующей фокальной точки на мно-
многообразии Лп6. Асимптотика представленной таким образом функ-
функции C.16) с помощью метода Лапласа легко приводится к виду
C.3). Это рассуждение завершает доказательство теоремы.
Замечание. Построенный выше туннельный канонический
оператор определяет главный член асимптотики решения задачи
A.1), A.3). Решение задачи о построении глобального асимптоти-
асимптотического ряда требует определения на многообразии A^'J некоторого
набора дифференциальных операторов V порядка / (зависящих,
вообще говоря, от выбора канонического атласа и разбиения еди-
единицы). Алгоритм построения операторов V приведен в [45, доп.
лит., § 9] и переносится на рассматриваемый случай без изменения.
Для построения М членов асимптотического ряда необходимо ре-
решить с точностью до 0{hM) дифференциальное уравнение
284
1=0
h'V'q> = Q. Подставляя в это уравнение искомую функцию ф в
виде ряда по степеням h, т. е. ф =
М-1
т=о
и приравнивая нулю коэф-
фициенты при одинаковых степенях параметра h, получим систему
М дифференциальных уравнений для определения функций фт.
Порядок каждого уравнения полученной системы меньше М, коэф-
коэффициенты уравнения ра функцию ф зависят от решений, ц>и ...
..., фт-!. Искомый асимптотический ряд получается применением
туннельного канонического оператора, построенного на многообра-
многообразии A^'J, к функции ф.
§ 4. Задача о больших уклонениях
Рассмотрим задачу Коши для уравнений туннельного типа с на-
начальными данными, не зависящими от h:
A|-J?(-Af,
D.1)
где функция <р°(х) не обращается в нуль в некоторой замкнутой ог-
ограниченной области iZ>ocz R?, ф°(лг) = О вне области 2D и
Ф°(лг)^С~(^>о); граница dDa — гладкая.
Решение задачи D.1) выражается через туннельный каноничес-
канонический оператор К на семействе лагранжевых многообразий An5, по-
полученных способом, указанным в § 3. Именно,
и (х,
=l (К С? (г, /И) + О (h)) (|, h) ф«
dl +
D.2)
Преобразуем формулу D.2), вычислив по методу Лапласа асимп-
асимптотику интеграла в правой части. Согласно определению операто-
оператора К для этого достаточно вычислить асимптотику каждого из ин-
интегралов вида
j/C(Q/)(e/?)9°(|)d|, D.3)
где /C(Qj) определен формулами C.2), C.3) и {е,} — разбиение еди-
единицы, подчиненное каноническому атласу {?23}. Сначала найдем
асимптотику интеграла в правой части D.2) в области
3)t = я-х[Ц*н(р = 0, х^2H}]. Здесь, как и в § 3, лх — естественная про-
проекция точек фазового пространства R™x на координатную плоскость
R" и ?я—фазовый поток в R?", отвечающий функции Н. Исполь-
Используя явный вид оператора /C(Qj), легко показать, что главный вклад
в асимптотику интеграла D.3) вносят точки %{х, t)^2
285
(т. е. лежащие внутри области 2>а), удовлетворяющие уравнению
Q(l(x,t),t)=x. D.4)
Здесь Q (|, t) — проекция в конфигурационное пространство RJ
траектории (Р(|, t), Q(i, 0) системы Гамильтона C.1), удовлет-
удовлетворяющей данным Коши
QI <-. = ?, Р|<-о = 0. D.5)
Проводя соответствующие вычисления, используя при этом прием
§ 3, приводящий к формулам C.3), легко получим, что асимптотика
функции и(х, t, h) в области 3>t\d2>t имеет вид
и(х, U Л)=/С1о(<?(г, M)y(r)+O(h))+O(e-*«h), D.6)
где Kin — туннельный канонический оператор C.4), построенный на
лагранжевых многообразиях Л =Лл'1п = ?я {р = 0, х=Щ, |eRn,
по формулам C.2), C.3), в которых якобиан J = det—^J|— и эн-
энтропия S = J (Р {%, т), НР (Р (|, т), Q (S, т) )> -Я (Р A, т), Q (|, т),
о
Функция ф(г) имеет вид
Ф (г) = exp
I '=1
где интеграл вычисляется вдоль траектории Q(?, t), P(|, /) задачи
C.1), D.4).
В случае xeRB\^, главный вклад в асимптотику интеграла
D.2) вносят граничные точки %(х, t)<=dgH, удовлетворяющие урав-
уравнению Q(l(x, i),t) = x. Здесь Q(|, т) — проекция в R? решения
Ъ t), Q(|, 0) системы Гамильтона C.1) с данными Коши
, D.7)
где 1^д&H,- п(|) —: вектор единичной внешней нормали к дЗ) в
точке |. Проводя соответствующие вычисления, получим, что асимп-
асимптотика функции и(х, t, h) в области R.n\?Dt имеет вид
D.8)
Здесь туннельный канонический оператор Коп% построен на лагран-
лагранжевых многообразиях Л = Л«out = ^нЛ', где А"п ={р=рп(х),
хе.д2>0), peR, п(х) —вектор единичной внешней нормали к d?D9 в
точке х. В этом случае в формулах C.2), C.3) следует положить
286
где а= (а1? а2, ..., ап-±) — (локальные) ортонормированные криво-
криволинейные координаты с единичным метрическим тензором на мно-
многообразии д&о, Р, Q — решение системы Гамильтона C.1), удов-
удовлетворяющее начальному условию D.7), в котором
&-6(а)е=дФв. D.9)
Функция/(г) в формуле D.8) определяется равенством
/ (г)
Здесь интеграл вычисляется вдоль траекторий задачи C.1), D.7),
D.9), функцияр(г) определяется соотношением p(r)n(gHr)=p(grfr).
Итогом проведенных рассуждений является следующее утверж-
утверждение.
Теорема 9.3. Пусть гамильтониан Н(р, х, t) задачи D.1) удов-
удовлетворяет условиям теоремы 9.2. Тогда решение задачи Коши D.1),
D.2) при x<=&t\dg>t имеет вид D.6), а при ^eR"\^5, вид D.8).
Замечание. Пусть в задаче D.1) //@, х, t) =0. Тогда об-
область &)t получается в результате сдвига области ?Е)й вдоль харак-
характеристик уравнения
^L = /b(x,t),±-yw, b(x,f)=Hp@,x,f). D.10)
Прообраз nZ\3>t) области 3>t на многообразии Л^>!ппри этом при-
принадлежит плоскости R?, энтропия равна нулю, и функция D.6) с
точностью до О {К) совпадает с решением w задачи Коши
w\t=o=<f>°{x) для уравнения D.10). Иначе говоря, в этом случае
решение D.6) в области 3)t находится методом регулярной теории
возмущений.
ДОБАВЛЕНИЕ
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОШ И ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ
УРАВНЕНИИ С БЫСТРОУБЫВАЮЩИМИ НАЧАЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
§ 1. Линейные задачи
В этом разделе мы рассмотрим асимптотику решения задачи
Коши для эволюционных уравнений с малым параметром Л—»-0.
Начальные условия определяются функциями, имеющими вид
«пика» ширины —Л:
ы|,=0 = Ф(*/Л); Ф(т)-^0 при |т|-*оо. A.1)
Оказывается, что для широкого класса уравнений с параметром
асимптотика решения такой задачи имеет вид ц = /(-—'¦—),
V h, x,t}
естественным образом обобщающий функции A.1). Асимптотиче-
Асимптотические решения такого вида интересны и сами по себе, поскольку
они обладают свойством «самоподобности»: если решение имеет
такой вид при t=t0, то оно имеет такой же вид и на некотором
временном отрезке [to,t']. В линейной теории, в отсутствие фо-
фокальных точек, самоподобные решения, как правило (для урав-
уравнений с дисперсией), имеют вид ВКБ-асимптотик:. /(т, х, t).=
=Ф (х, t) exp (ix). Для уравнений без дисперсии, например для вол-
волнового уравнения, зависимость от т оказывается отличной от экс-
экспоненциальной. Этот же факт имеет место и для нелинейных урав-
уравнений. Еще одно важное свойство «самоподобных» решений состо-
состоит в том, что на них выходят решения задачи Коши A.1), т. е.
спустя сколь угодно малое время / асимптотика принимает вид
само подобного решения.
1. Гиперболические уравнения (уравнения без дисперсии).
Проиллюстрируем сказанное на примере задачи Коши для вол-
волнового уравнения:
0, A.2)
"L_ =
= о.
A.3)
Здесь с(х)>0, Ф(т) — гладкие функции, функция Ф(т) финитна.
Вычислим асимптотику решения задачи A.2), A.3) при Л—*-0
на временах te[0, Г], где Т не зависит от Л. Сначала найдем
288
асимптотические «самоподобные» решения уравнения A.2), а за-
затем сконструируем из них решение задачи Коши.
Самоподобные решения будем искать в виде
-..., A.4)
где f(x,x,t), S(x,t) -гладкие функции, /° быстро убывает при
|т|-*-оо. Подставляя A.4) в A.2) и приравнивая к нулю коэффи-
коэффициент при к~г, получим:
Отсюда следует, что функция S удовлетворяет одному из уравне-
уравнений характеристик: 5* ± с (х) S* = 0; S* |<=0 =х. Каждому из
этих уравнений отвечает своя функция f; мы будем различать их
с помощью индексов ±: /"-»- f±. Обозначим через X±(t,x<t) ре-
решения уравнений Х±=±с(Х±) с начальным условием X±\t=.0=x0.
t
Очевидно, якобианы J*=dX±ldx0=exp(dz f c(X*(|, «e))d|) отлич-
0
ны от нуля при всех t. Поэтому функции S* определены при лю-
любых /^0 и имеют вид S±= Xf (x, t), где Xt — решение уравнения
X±(t, xo)=x. Приравнивая к нулю коэффициент при Л и учитывая
уравнения характеристик, получим уравнение переноса:
Интегрирование этого уравнения с учетом условия убывания
при (т|—»-оо дает формулу
(т.
с(х)
с (Xf (*, 0)
где ф± (т, х) — произвольные быстроубывающие функции. Таким
образом, главный член «самоподобного» асимптотического реше-
решения имеет вид
ul = Г* ^ 'х' 0 =
V h J
(Г ± (х, t), t)
с(х)
c(Xf(x,t))
Аналогичным образом строится первая поправка /*: уравнение для
нее получается приравниванием к нулю коэффициента при Л° и
имеет вид П~ —=- = —[ cz(x, t) —- ) Д. Интегрирование
от V Л &*)
289
этого уравнения приводит к определению/±- Полученная функция
ц±=Д+ЛД удовлетворяет уравнению A.2) с точностью до
O(h). Подбирая функции ф± из начальных условий, используя
принцип суперпозиции и применяя затем результаты об оценках
решения неоднородного волнового уравнения, легко приходим к
следующему утверждению:
Теорема 1.1. При t^[0, Т] G не зависит от h) для решения
u(x,t,h) задачи A.2), A.3) справедлива формула
c(x)
у>
, о, П с (X* (х, о)
¦+¦
V>
[x,t),f)c(X7(x,t))
Замечание. Выбирая различные функции Ф(т), можно по-
получать различную зависимость решения от «быстрой» переменной
т—-^ при t>0. Это свойство характерно для уравнений без дис-
дисперсии.
2. Уравнения с дисперсией. Прогрессивные волны. Рассмотрим
задачу Коши
A.5)
A.6)
Здесь AreR"; L(x,p), Ф(т) —гладкие функции, функция Ф финит-
финитна, а для L выполнена оценка ------
при некотором т>0 для любых мультииндексов а, р. Покажем,
действуя по той же схеме, что и в предыдущем пункте, что само-
самоподобные решения для таких уравнений имеют вид ВКБ-асимпто-
тик. Для простоты ограничимся случаем, когда L—p3a(x), n=l
(тогда уравнение A.5) будет линеаризованным уравнением Кор-
тевега —де Фриза). Элементарное вычисление приводит к сле-
следующему уравнению для /°: Stf-t + S3xa(x)fTtx = Q. Его решения,
«ограниченные при t^R вместе с производными,— это функции
<р(х, Оехр(±пг), причем фаза 5 должна удовлетворять уравнению
Гамильтона — Якоби: St— a (x) S% = 0. Это, очевидно, означает, что
-«самоподобные» решения в данном случае — ВКБ-асимптотики.
Покажем, что при некоторых условиях асимптотика решения
задачи Коши для уравнений с дисперсией превращается при
>8>0 в самоподобное решение.
290
Рассмотрим задачу Коши для системы Гамильтона
x = Lp\ р = — Lx; x\t=0 = 0; р|*=0 = р0
A.7)
Предположим, что эта задача имеет при te[0, Г] единственное ре-
решение {X(t, po), P(t, po)}eCe>([0, T]XR"). Рассмотрим в фазовом
пространстве RT.p семейство лагранжевых многообразий Л", по-
полученных из плоскости х=0 сдвигом вдоль траекторий системы
A.7).
Теорема 1.2. 1) В сформулированных предположениях ре-
решение и(х, t, h) задачи A.5), A.6) имеет вид
где
и = Bл/1J ехр (Й/Л) КЛп (Ф) + W {х, t, h),
п
(<const-h2 +1. Здесь 6= j (pdx—Ldt) —
(v)
гд'е
Y — дуга траектории, соединяющая некоторую фиксированную точ-
точку плоскости х=0 с многообразием Л? ,цG) —ее индекс Морса.
2) Пусть при /е[е, Т], е>0, многообразия А? диффеоморфно
проектируются на плоскость р = 0. Тогда при таких t функция
и(х, t,h) имеет вид
и = ф (х, 0 Bnh) ехр
где
S (х, t) = J [Р (|, d0) X (I, р0) - L (X, Р)] dt, \p.=Mx,t);
, о
ро (х, t) — решение уравнения Х(р0, t)=x.
Доказательство. Достаточно заметить, что при ?=0 на-
начальное условие A.6) представляется в виде канонического опе-
оператора на плоскости х=0, примененного к функции Ф:
и |<=. = J ехр (i <р, х} | h) Ф (р) dp = BяЛ)
(Ф).
После этого доказательство следует из результатов соответствую-
соответствующих глав части II.
Замечание. 1) Условие п. 2) теоремы заведомо не выполне-
выполнено, если LP не зависит от р, т. е. для уравнений без дисперсии.
Именно этот факт и приводит к асимптотике, рассмотренной в пре-
предыдущем пункте. 2) В физической литературе решения, приведен-
приведенные в п. 2 2) теоремы, часто называют прогрессивными волнами.
29L
§ 2. Нелинейные задачи
Этот параграф посвящен изложению нелинейных аналогов ре-
результатов § 1. Именно, рассматриваются самоподобные решения
нелинейных уравнений, изучается вопрос о выходе на них решения
задач'и Коши. Оказывается, что асимптотика по-прежнему имеет
вид A.4), но, в отличие от линейного случая, для полного описа-
описания главного члена /° требуется исследование уравнений для двух
младших членов разложения.
В нелинейных уравнениях тип «самоподобного» асимптотиче-
асимптотического решения определяется типом начальной функции, т. е. глав-
главный член асимптотики быстро осциллирует или быстро убывает
вместе с функцией ф.
Рассмотрим в качестве примера нелинейное волновое уравне-
уравнение:
h*utt—h2c2(x, 0Аи+Ф„(и, х, /)=0; jceR"; t<=R. B.1)
Здесь с>0, Ф(и, х, t) —гладкие функции. Предположим, что функ-
функция ф обладает следующим свойством: существуют гладкие функ-
функции Ei{x, t), E2(x, t) такие, что при любых фиксированных х, t на
интервале Еь<Е,<.Ег уравнение Ф(г, х, t)=E имеет по крайней
мере два решения z*(x, t, E), z~<Cz+, гладко зависящих от х, t, E
и таких, что Ф1(г±, х, *)=й=0 и Ф(г, х, t),<ZE при z~<.z<.z+. Такое
условие гарантирует существование «самоподобных» асимптотиче-
асимптотических вещественных решений уравнения B.1). Как и в предыдущих
пунктах, самоподобное решение (согласно методу Уизема) ищем
в виде A.4). Будем считать, что /* периодичны по т с периодами,
не зависящими от х, t, и период f° равен 2я. Подставляя A.4) в
B.1) и приравнивая к нулю коэффициенты при всех степенях h,
получим соотношения
?=1,2,...,
B.2)
B.3)
где ? = (S? — <?Sl)
Фци(/°, х, t); f»—полиномы от St, Sx, c\
Ф«, /°, ...» /*~4 и их производных. Главный член асимптотики —
функция f—определяется из уравнения B.2) и условий разреши-
разрешимости уравнений B.3) при k=l, 2; уравнение B.1)—обыкновен-
B.1)—обыкновенное по переменной т. Его интегрирование и условие ограниченности
f°(r) вместе с производными приводит к утверждению о том, что
/° — 2я-периодическая функция, имеющая вид /°(т, х, t) =
a=f(x+Co(x, t), E(x, t), x, t), где / определяется из уравнения
* B.4)
z+(E,x,t)
V2(E—OB,x,t))'
292
?(х, t), co(x, t)—«константы интегрирования». При этом Е(х, t)
и S(x, t) связаны соотношением
E? - с2 (х, f) S%) = (IE (E, x, f))~\
B.5)
/(Е,x,t) = я I
— O(z,x,t))dz.
Недостающие соотношения для определения S, Е и с0 находятся
из условий ортогональности в пространстве L2.(Si) правых частей
в B.3) при k=l, 2 ядру оператора L (это ядро состоит из одной
функции —— ] . Эти соотношения имеют вид
от /
- с* {х, f) (у, р (х, t, E) VS> == 0, B.6)
±- (р {х, t,
4r (StllriBPB (ВД - Соф) - с2 (х, t) < V,
¦s-Pvc0))=;o,
B.7)
где
р (х, t,Е) = BЯ) J (a/(T'^;x'°JdT = / {Е, х
Аналогично предыдущим пунктам, приходим к следующему
утверждению:
Теорема 2.1. Пусть функции f(x, с0, Е, х, t), S(x, t), E(x, t),
со(х, t) удовлетворяют уравнениям B.4) —B.7). Тогда функция
uo=f° (—, х, ) является главным членом некоторого формального
асимптотического решения уравнения B.1).
Вывод уравнений B.4) —B.7) можно найти, например, в [3].
Уравнения B.4) — B.6) получаются элементарно. Уравнение B.7)
следует из условия разрешимости B.3) при k=2, которое содержит
функцию f1, и ее исключение требует известных усилий. К сожале-
сожалению, в [3*] уравнение B.7) написано неверно —при преобразова-
преобразовании условия ортогональности к виду B.7) пропущены слагаемые
cotp и pVc0 (на эту ошибку указано в статье [13*]). Учет этих сла-
слагаемых оказывается вполне элементарным и не требует привлече-
привлечения новых в сравнении с [3*] идейных соображений.
Замечание. Уравнение B.7) — второго порядка. Поэтому для
выделения единственного решения необходимо поставить два на-
293
чальных условия. Это означает «асимптотическую неустойчивость»
главного члена. Именно, запишем уравнение B.1) в виде системы
hut = v; hvt = h2cz(x, t)Au—Фи(и, х, t). Изменение производной
co«|i=.o индуцируется изменением v\t=-o на функцию порядка О (К).
Таким образом, изменение начального условия на малую (<~Л)
величину изменяет асимптотику на величину 0A).
Нелинейные уравнения могут иметь не только периодические
самоподобные решения, но и решения, имеющие вид «пиков» ши-
ширины <~Л или сглаженных ударных волн с шириной сглаживания
~Л. Например, уравнение B.1) в частном случае Ф = аг(х, t)cosu,
п—\, с=\ (уравнение sine—Гордон) обладает решениями типа
ударной волны (при д=1 это хорошо известные кинки —точные
решения уравнения sine—Гордон). Именно, имеет место следую-
следующее утверждение:
Теорема 2.2. Пусть я=1, с=1, Ф = аг cosu, и <р(/), p(t),
q(t)—гладкие функции, удовлетворяющие при /е[0, Т] уравне-
уравнениям
дН
dp
дН
др
at
— а (ф, t) if
at
=0; Mi — (i— ф?)
я (а« — ахх) + а
(а? —
Тогда для любого целого N>0 существует асимптотическое по
mod О (Л") решение уравнения B.1), главный член которого имеет
вид
Метод построения таких решений изложен в работе [7*]. Заме-
Заметим, что при построении и0 возникает тот же вопрос о вычислении
поправки к фазе q. Это вычисление проводится в [7*] с помощью
соображений, близких к изложенным в [3*].
Пример самоподобных асимптотических решений, имеющих вид
пиков,—так называемых солитонообразных решений —дает урав-
уравнение Кортевега — де Фриза с переменными коэффициентами
Я„ а.. =«..
B.8)
= С°° равномерно
Здесь Л-И) — малый параметр, коэффициенты
по JteR, fe[0, Т] удовлетворяют условиям
Y/ — некоторые константы.
294
B.9)
В частном случае я-солитонной начальной функции асимптоти-
асимптотические решения уравнений с малой дисперсией построены в рабо-
работах [7*—10*]. Вне окрестности точек столкновения солитонов
главный член /° такой асимптотики B.8) имеет простой вид
tv(T, t) = A, @ eh ф/ (t, h) % + в/ (t, h)),
B.10)
т. е. является суммой искаженных солитонов, переменные ампли-
амплитуды и скорости которых удовлетворяют уравнениям
B.11)
Коэффициенты Pj вычисляются по формуле р^=
функции 9j определяются из линейного уравнения второго
порядка, явный вид которого приведен в [7*].
Ясно, что солитонообразные функции составляют узкий класс
решений уравнения B.8). Тем не менее самоподобная асимптотика
B.10) является в некотором смысле универсальной. Именно, рас-
рассмотрим для B.8) задачу Коши
и|,-.=Ф((л:—ха)!п). B.8')
Оказывается, что для любых гладких достаточно быстро убываю-
убывающих Ф(|) главный член асимптотики B.8), B.8') за малое время
превращается в решение вида B.10).
Сформулируем- основное утверждение. Для упрощения формул
будем считать в дальнейшем, что Yi@, 0)=6, ^2@, 0)=1, Фе= Cj°,
Ф@)>0, л:0 = 0. Рассмотрим задачу Штурма — Лиувилля на R
Пусть Ц, /=1 п — ее дискретный спектр, 0<Я1<:Я2'<:...
.. .<Я„.
Теорема 2.3. Асимптотическое решение задачи B.8) имеет
вид
где f при t^sQiX) определяется формулой B.10), амплитуды А} и
координаты центров солитонов <р} представляются в виде
A, (t, h) = A, (t, 0) + h In (-J-) A) @,
Ф/ it, h) = Ф/ (t, 0) + h In (-!¦) Ф/1 @.
B.12)
295
Здесь A}(t, 0), q>](t, 0) находятся из системы B.11) с начальны-
начальными условиями
Л/@>0) = 2Я?,Ф/@,0) = 0,/=1,2 п, B.13)
поправки А), ф/ вычисляются из соответствующих B.11) уравне-
уравнений в вариации с начальными условиями B.31). В области t^Q,
х^<6гХ) разность между точными решением и /° имеет равномер-
равномерные по t^[0, T] оценки
{со2+ (п доо/дх)*} dx < сгп3/2+ш,
max
I со
B.14)
c,->0 — не зависящие от h постоянные, б<>0— любые констан-
константы, n<=@, 1/4).
Замечание 1. Минимальные значения б< уточняются при до-
доказательстве теоремы: в,>х»Л1п A/й), 62>*2A2/3-41/3+v, ve@, 2/3),
*4— некоторые числа. В области f^t^h 1пA/Л), ^^*c2/i2/s~vX^/3+v
решение задачи имеет максимальную амплитуду 0({t~lhX
Xln(t/h)}2/3) и при конечных временах не дает вклада в главный
член асимптотики.
Замечание 2. Заменой % = xjh, r\ = tjh задача B.8) преобра-
преобразуется к следующему виду:
+
Н, пц) и &L + 7а
= 0, и [^ = ф (|). B.15)
При этом асимптотика B.12) переходит в асимптотику B.15)
при т]~ l//i-voo. В случае постоянных коэффициентов yf утвержде-
утверждение теоремы совпадает с известными результатами [12*, 13*]^ (см.
также [Г]). ........
Приведем схему доказательства теоремы, выделив основные ут-
утверждения, на которых оно основано.
Рассмотрим вначале задачу B.8) на малых временах, т. е. при
t~h\n A/Л). Сделаем указанную в замечании 2 замену и рассмот-
рассмотрим вспомогательную задачу
= 0, У|г,=о = Ф(|). B.16)
Известно, что решение B.16) может быть найдено методом об-
обратной задачи рассеяния. При т-*-оо асимптотика функции Y в об-
области !^sCtiI/3+v дается формулой [Г, 12*, 13*]
7
(Р@)
B.17)
О (Ti-x
296
где v>0 — некоторая константа, р(k) — коэффициент отражения,
|о. б/ —константы, определяемые по данным рассеяния, А/ (г) —
производная функции Эйри. В области |^iCnI/s+v максимальная
амплитуда У при ti-»-oo имеет величину О((т"* In г\)г/3).
Из законов сохранения следуют равномерные по т^О оценки
для решения задачи B.16)
di+'Y
¦ С.
B-18)
Здесь и ниже || • II = || • ||х„ через 1-\lp обозначена норма в LP(R), /,
/^sO, через с>0 мы обозначаем константы, точное значение кото-
которых не существенно.
Нетрудно также доказать, что равномерно по те[0, 7"J спра-
справедливо неравенство
Is
а'У
B.19)
Оценим величину погрешности, к которой привела заморозка ко-
коэффициентов в уравнении B.15). Обозначим ю=ы—Y, тогда из
B.15), B.16) получаем задачу для невязки ©
где
Е. An) ^ = F,
F = F-y1(a*,hr]))Y2L+(l-yi(ht
0Д2.20)
Существование решения задачи вида B.8), B.20) хорошо из-
известно (см., например, L8*, 5*, 4*]), поэтому мы ограничимся выво-
выводом априорных оценок. При ri^^iln A/Л) эти оценки мы получим
в два этапа.
Лемма 1. Существует константа х„'>.0 такая, что равномерно
по rie[0, т)о = х„1п A/Л)] справедливо неравенство
||<о|Ц-||д<в/д*;||^сА1/2+|* B.21)
с не зависящей от Л постоянной с, ц,е @, 1/4).
Для доказательства B.21) умножим B.20) на со и проинтегри-
проинтегрируем по |. После несложных преобразований получаем
оо
' U 1) hrt | t
= - J {
- 2/^} dy.
B.22)
297
Аналогично, умножив B.20) на функцию Y='
получаем
+ —
эр*
*
B.23)
Здесь ai, ..., а»— гладкие, ограниченные в С функции.
Разлагая fi по формуле Тейлора, в силу B.18), B.19) имеем
-g-f), B.24)
$Т» постоянная
где
С помощью мультипликативных оценок (см., например, [2*])
заключаем, что
©
дш
\cU\
B.25)
Умножим B.22) на 2си сложим с B.23) и воспользуемся B.24),
B.25). Обычным образом приходим к неравенству
?/(x)<c(/ia-eTio+ max U2 (т')) exp (ад), B.26)
где постоянная с^ ^= 4 Vi B — + СГ * —)
Выберем число х0 следующим: хо=A/14—ц)/с2, це@, 1/14).
Тогда из B.26) следует [8*, 6*] оценка G(т)^сЛ1+2ц, завершаю-
завершающая доказательство.
Лемма 2. Неравенство B.21) выполнено равномерно по
te[t]D, ti1 = xi 1пA/Л) ], где Xi^Xo—произвольная константа.
Ограничение ti^t]0 при доказательстве леммы 1 возникло из-за
наличия в правых частях B.22), B.23) членов ю*л—, g>2Vi— ве-
di ал
личины 0A).
298
Заметим, что то=ио1п J-*00 ПРИ h~*°- Поэтому при
для функции Y справедливо асимптотическое разложение B.17).
Легко видеть, что производные dYjd\ и dYldr[ для каждого из со-
литонов в главном члене асимптотики отличаются множителем
— 4Я/. Вместе с тем центры солитонов отстоят друг от друга на
расстояние, большее 4(Я/+Х — А,/) х0 In (— 1 ,J и вне малых окрест-
окрестностей точек |=4А,/Т1 функция У имеет величину O(ha), a>0.
Используя это замечание, введем подходящее разбиение единицы
и получим локальные энергетические равенства, аналогичные
B.22), B.23). Комбинируя эти равенства, приходим к оценке
иг (г0 < ch1+211 + cUl + ±- \ {U1 (г,*) + Щ (л')} *,'.
где t/x =
мы 2 при
станта.
Т
+ УТа-^гГ- Отсюда следует утверждение лем-
II »| ||
ln/—)—произвольная, не зависящая от h кон-
конПроведение аналогичной процедуры при т> О Aп—) невоз-
невозможно, поскольку заморозка коэффициентов на таких временах
приводит к большой ошибке. Вернемся к исходным переменным
а;=Л|, t-=hr\ и рассмотрим при /;> ХхЛ In j — j уравнение B.8) с
начальным условием
)
При этом мы выбираем число xt столь большим, чтобы поправка
7 при x3sx2/i2/3-%,1/3+v имела величину О (Л2), х2>0, ve=@, 2/3) —
произвольные числа.
Как уже отмечалось выше, солитонообразная асимптотика для
уравнения B.8) построена в [7*] и главный член ее вне точек
столкновения солитонов имеет вид B.10). Таким образом, асимп-
асимптотическое решение задачи B.8), B.27) на положительной полу-
полуоси имеет вид
удовлетво-
B.28)
29»
где /'—ограниченная в С функция, равномерно по
ряющая оценкам
•=-*¦?>< const.
Для невязки со, как и ранее, имеем задачу
<o\t=u = <»0(x,h), B.29)
где правая часть F имеет оценку, аналогичную B.28), функция
а>о=а>(х, t0) в силу лемм 1, 2 и сделанной замены переменных
оценивается следующим образом:
Рассмотрение задачи B.29) проводится по такой же схеме, что
и доказательство леммы 2. После проведения весьма громоздких
построений приходим к следующему утверждению:
Лемма 3. Для решения задачи B.29) равномерно по t^[t0, T]
выполнены оценки B.14).
Нам осталось найти амплитуды и фазы солитонов B.10). Из
явного вида входящих в B.10), B.27) функций следует, что при
построении асимптотики задачи B.8), B.27) мы получаем началь-
лые условия
<. = 2ХЪ cp,\t=io = 4X}to, B.30)
0.
Тем самым Aj=Aj(t, t0), ф,=<р,(г, t0), to= xa/iln f— J
Используя непрерывную зависимость решения B.11), B.30) от па-
параметра, представим Ait q>} в виде разложения по tjxi. Тогда для
главного члена A}(t, 0), <р3-(?, 0) получаем задачу B.1.1), B.13) для
первой поправки Л/, ф/ — соответствующие B.11) уравнения в ва-
вариации с начальными условиями
@,0) C + 4^36) + j
2^36) +
„ = 0. B.31)
Следующие члены разложения At, ер,- имеют величину О f(h In [—j )
и не влияют на главный член асимптотики.
Весьма важным, но и достаточно сложным представляется нам
вопрос о формировании самоподобного решения и у уравнений с
малой вероятностью (диссипацией). Ряд примеров убеждает в
справедливости гипотезы, которая, как мы считаем, распространя-
распространяется на все модели сплошных сред с малой диссипацией. Проде-
Продемонстрируем ее на примере системы уравнений движения баротроп-
ного газа с малой вязкостью:
17+UfL + 1-!L=>5- + T-W-0. B.32)
дх
дх
дх
Здесь v — скорость движения газа, р — плотность, Р=Р(р) —дав-
ление, -^->0, р>0, Л«<1.
ар
Обозначим через и вектор-функцию (р, v). Пусть в начальный
момент решение имеет вид ударной волны, фронт которой имеет
произвольную финитную структуру:
где ио(т, х,
и+, и-^С°°. Пусть, кроме того, lim u0 удовлетворяет условию Гю-
Л-»0
гонио
где квадратные скобки обозначают скачок соответствующей функ-
функции на фронте ударной волны.
Суть гипотезы состоит в том, что при /^б>0 существует окре-
окрестность фронта порядка 0A), в которой формируется самоподоб-
самоподобная ударная волна
Асимптотическое разложение этого решения по степеням малого
параметра определяется методом, изложенным в работе В. П. Мас-
лова, В. А. Цупина (ВИНИТИ.—1978.—Т. 8.—Совр. проблемы ма-
математики). В той части этой области, где \s\^r, для любого сколь
угодно малого г>0; решение можно представить в виде
u = u± + w±J B.33)
где
x®± = ty±{x, t, п) ехр{—h~tS±(x, 0}(l + 0(n°°)).
ы± определяется из системы уравнений B.32) перед и за фронтом
ударной волны x>q>(t, h) и x<q>(t, h) соответственно и из условий
Гюгонио на фронте л;=<р
Зср [pv]
.300
Функция w±=(R±, ш±) в соответствующих областях удовлетворяет
линеаризованной системе уравнений, в которой для упрощения
301
записи мы опустили знак (+) и (—) при w и R:
дсо дсо 1 ry / dR
^~™" ~т~ ^ i~ — *\ (о) ^^~* ~~~
dt дх ф дх р* дх
На поверхности фронта х=<р амплитуда гр и фаза s удовлетво-
удовлетворяют условиям
гр±|я=,= ±[и], s:t\x=lf=0.
Далее, вне некоторой, более широкой чем для B.33), окрестно-
окрестности фронта решение имеет вид
u = u±+[u]exp{—h-1{O±(x,t)+O(hlnh))}.
Здесь Ф± является решением уравнения Гамильтона — Якоби
1 г
2
и удовлетворяет начальному условию
4р'Фах) = О
B.34)
О, х = 0.
ос,
B.35)
Решение задачи B.34), B.35) строится с помощью преобразования
Лежандра, при этом Ф удовлетворяет условию
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адрианова Л. Я. О непрерывности систем n-линейных дифференциальных
уравнений с квазипериодическими коэффициентаыи//Вестник ЛГУ. Сер. мат.
и мех.— 1962.—Вып. 2.—С. 14—24.
2. Александров П. С. Комбинаторная топология.— М.— Л.: Гостехиздат,
1947.
З.Алексеев А. С, Гельчинский Б. Я. Лучеой метод вычисления ин-
интенсивности головных волн//Вопросы динамич. теории распростр. сейсмич.
волн.—Изд-во ЛГУ, 1961.
4. Б а б и ч В. М. Фундаментальное решение гиперболических уравнений с пере-
переменными коэффицнентами//Мат. сб.— I960.— Т. 52(94), № 2.
5. Боголюбов Н. Н., Широков Д. В. Введение в теорию квантованные
полей.— 4-е изд.— М.: Наука, 1984.
6. Виленкин Н. Я. и др. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1964.
7. Г а в у р и н М. К. Об оценках для собственных чисел и векторов возмущен-
возмущенного оператора//ДАН СССР.— 1954.—Т. 96.—С. 1093—1095.
8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— 4-е изд.—М.— Л.: Наука, 1988.
9. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщен-
Обобщенные функции и действия над ними.— М.: Физматтиз, 1959.
10. Г л а з м а н И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа син-
сингулярных дифференциальных операторов.— М.: Физматгиз, 1963.
11. Глезер В. Основы электронной оптики.— М.: Гостехиздат, 1957.
12. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений.— М.: ИЛ, 1961.
13. Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Г. Линейные операторы (общая теория).— М.:
ИЛ, 1962
14. Дубровский В. А., Скурдин Г. А. Асимптотические разложения в вол-
волновой механике//ЖВМ и МФ.— 1965.—Т. 4.—С. 848—870.
15. Эволинский Н. В., Скурдин Г. А. Об асимптотическом методе реше-
решения динамических задач теории упругости//Изв. АН СССР. Сер. геофиз.—
1956.—№ 2.— С. 134—143.
16. 3 ей ферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.— М.:
ИЛ, 1947.
17. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры.— М.: Гостехиздат, 1956.
18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—
5-е нзд.—М.: Наука, 1976.
19. Курант Р. Уравнение с частными производными.— М.: Мир, 1964.
20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика.— М.: Физматгиз,
1963.
21. Левин М. Л., Рыжов С. М. О переходе к геометрическому приближению
в теории упругости//Акуст. ж.— 1956.— Т. 2, № 2.— С. 173.
22. М а с л о в В. П. Квазиклассическая асимптотика решений некоторых задач
математической физики. I, П//ЖВМ и МФ.— 1961.— Т. 1, вып. 1.— С. 113—
128; 1961.—Т. 1, вып. 4.—С. 638—663.
23. М а с л о в В. П. Квазиклассическая асимптотика решения уравнения Ди-
рака//УМН.— 1963.—Т. 18, вып. 4A12).—С. 220—222.
24. М а с л о в В. П. Задача рассеяния в квазиклассическом приближении//ДАН
СССР.— 1968.—Т. 151, № 2.—С. 306—309.
303
записи мы опустили знак ( + ) и (—) при w и R:
at дх ф дх р» дх дх*
На поверхности фронта х = ц> амплитуда if и фаза s удовлетво-
удовлетворяют условиям
Далее, вне некоторой, более широкой чем для B.33), окрестно-
окрестности фронта решение имеет вид
u=u±+[u]exp{—Л-'(ф±(л;, t)+O(hlnh))}.
Здесь Ф± является решением уравнения Гамильтона — Якоби
B.34)
Ф; + v<bx -f ± (Ф* — УФ% + 4р'Ф1) = О
и удовлетворяет начальному условию
B.35)
Решение задачи B.34), B.35) строится с помощью преобразования
Лежандра, при этом Ф удовлетворяет условию
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Адрианова Л. Я. О непрерывности систем и-линейных дифференциальных
уравнений с квазипериодическими коэффициентами//Вестник ЛГУ. Сер. мат.
и мех.— 1962.—Вып. 2.—С. 14—24.
2. Александров П. С. Комбинаторная топология.— М.— Л.: Гостехиздат,
1947.
З.Алексеев А. С, Гельчинский Б. Я. Лучеой метод вычисления ин-
интенсивности головных волн//Вопросы динамич. теории распростр. сейсмич.
волн.—Изд-во ЛГУ, 1961.
4. Б а б и ч В. М. Фундаментальное решение гиперболических уравнений с пере-
переменными коэффициентами//Мат. сб.— I960.— Т. 52(94), № 2.
5. Боголюбов Н. Н., Широков Д. В. Введение в теорию квантованньи
полей.— 4-е изд.— М.: Наука, 1984.
6. Виленкин Н. Я- и др. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1964.
7. Г а в у р и н М. К- Об оценках для собственных чисел и векторов возмущен-
возмущенного оператора//ДАН СССР.— 1954.—Т. 96.—С. 1093—1095.
8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— 4-е изд.— М.—Л.: Наука, 1988.
9. Гельфанд И. М-, Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1. Обобщен-
Обобщенные функции и действия над ними.— М.: Физматгиз, 1959.
10. Г л аз май И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа син-
сингулярных дифференциальных операторов.— М.: Физматгиз, 1963.
11. Глезер В. Основы электронной оптики.— М.: Гостехиздат, 1957.
12. Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравнений.— М.: ИЛ, 1961.
13. Данфорд Н., Шварц Дж. Г. Линейные операторы (общая теория).— М.:
ИЛ, 1962
14. Дубровский В. А., Скурдин Г. А. Асимптотические разложения в вол-
волновой механике//ЖВМ и МФ.— 1965.—Т. 4.—С. 848—870.
15. Эволинский Н. В., Скурдин Г. А. Об асимптотическом методе реше-
решения динамических задач теории упругости//Изв. АН СССР. Сер. геофнз.—
1956.—№2.—С. 134—143.
16. Зейферт Г., Трельфалль В. Вариационное исчисление в целом.— М.:
ИЛ, 1947.
17. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры.— М.: Гостехиздат, 1956.
18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—
5-е изд.— М.: Наука, 1976.
19. Курант Р. Уравнение с частными производными.— М.: Мир, 1964.
20. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика.— М.: Физматгиз,
1963.
21. Левин М. Л., Рыжов С. М. О переходе к геометрическому приближению
в теории упругости//Акуст. ж.— 1956.— Т. 2, № 2.— С. 173.
22. Масло в В. П. Квазиклассическая асимптотика решений некоторых задач
математической физики. I, П//ЖВМ и МФ.— 1961.— Т. 1, вып. 1.— С. 113—
128; 1961.—Т. 1, вып. 4.—С. 638—663.
23. М а с л о в В. П. Квазиклассическая асимптотика решения уравнения Ди-
рака//УМН.— 1963.— Т. 18, вып. 4 A12).— С. 220—222.
24. М а слов В. П. Задача рассеяния в квазиклассическом приближении//ДАН
СССР.— 1968.—Т. 151, № 2.—С. 306—309.
303
25. М а с л о в В. П. Асимптотика собственных значений для уравнения Шредин-
гера в одномерном и радиально-симметрическом случае//УМН.— I960.— Т. 15
вып. 4(94).— С. 220—221.
26. М а с л о в В. П. Метод теории возмущений для отыскания спектра обыкновен-
обыкновенных дифференциальных операторов с малым параметром при старшей произ-
производи ой//ДАН СССР.— 1956 —Т. Ill, Ns5.— C. 977—980.
27. Ma ел о в В. П. Теория возмущений многомерного уравнения Шрединге-
ра//УМН.— 1961.—Т. 16, вып. 3(99).—С. 217—218.
28. Маслов В. П. Теория возмущений линейных операторных уравнений и про-
проблема малого параметра в дифференциальных уравнениях//ДАН СССР.—
1956.—Т. III, № 3.—С. 531—534.
29. Маслов В. П. О переходе квантовой механики в классическую в много-
многомерном случае//УМН.— I960.—Т. 15, вып. 1(91).—С. 213—219.
30. Маслов В. П. Метод ВКБ в многомерном случае//Хединг Дж. Введение а
метод фазового интеграла.— М.: Мир 1965.
31. М и л н о р Дж. Теория Морса.— М.: Мир, 1965.
32. П е т р о в с к н й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.—
М.: Физматгиз, 1961.
33. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— 3-е изд.— М.: Гостехиздат,
1973.
34. П ы т ь е в Ю. П. О связи классической механики и волновой//ДАН СССР.—
1963.—Т. 149, № 2.—С. 298—301.
35. Рисе Ф., Секефальви -Надь Б. Лекции по функциональному анали-
анализу.—М.: ИЛ, 1954.
36. Руммер Ю. Б. Исследования по пятиоптике.— М.: Гостехиздат, 1956.
37. Р ы т о в С. М. Модулированные колебания и волны//Тр. ФИАН СССР.—
1938.—Т. 2, № 1.—С. !.
38. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в мате-
математической физике.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
39. С о л о м я к М. 3. О собственных числах и собственных векторах возмущен-
возмущенного оператора//ДАН СССР.— 1953.— Т. 90.— С. 29—32.
40. С о л у я н С. И., Хохлов Р. В. Распространение акустических волн конеч-
конечной амплитуды в диссипативной среде//Вестн. МГУ.— 1961.— № 3.— С. 52—62.
41. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с диф-
дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 2.— М.: ИЛ, 1961.
42. Ф е д о р ю к М. В. Метод стационарной фазы. Близкие седловые точки в мно-
многомерном случае//ЖВМ и МФ.— 1964.—Т. 4, № 4.— С. 671—683.
43. Ф е д о р ю к М. В. Метод стационарной фазы для . -многомерных интегра-
лов//ЖВМ и МФ.— 1962.— Т. 2, № 1.— С. 145—150.
44. Ф е и н м а и Р. Пространственно-временной подход к нерелятивистской кван-
квантовой механике//Вопросы причинности в квантовой механике.— М.: ИЛ, 1955.
45. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля.— Изд-во ЛГУ, 1957.
46. X и л л е Э., Ф и л л и п с Р. Функциональный анализ и полугруппы.— М.: ИЛ,
1962.
47. Ш в е б е р С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.— М.: ИЛ,
1963.
48. Шифф Л. Квантовая механика.— М.: ИЛ, 1957.
49. Э рдей и А. Асимптотические разложения.— М.: Физматгиз, 1962.
50. BirkhoffJ. D. Quantum mechanics and asymptotic series//Amer. Math. Soc.—
1933.—V. 39.—P. 681—700.
51. Born M. Vorlesungen flber Atommechanik.— Berlin, 1925.
52. В о г п М., V о 11 P. Principles of Optics.— Pergamon Press, i960.
53. CourantR., LaxP. The propagation of discontinuities in wave motion//Proc.
Nat. Acad. Sci., USA.— 1956.—V. 42, N 11.—P. 872—876.
54. G a 1 a n i n A. D. Untersuchung der Eigenschaften des Elektronen und Meso-
nenspins in der klassische Nabrung//J. of Phys.— 1942.— V. 6, N 1—2, P. 35.
55. G a r d i n g L., К a t a k e Т., L e г а у J. Uniformisation... (Probleme de Cau-
chy).—College de France, 1963.
56. G г о е п e w о 1 d H. J. Quasi—classical path integrals//Math. fis. medd. Kgl dan-
ske vid selskab.— 1956.—V. 30, N 19.—P. 1—34.
57. Hadamar. Lectures on Cauchy's problem.— Gale—University Press, 1923.
304
58. Hopf E. The partial differential equation at+niii=u,i//Communs. Pure and
Appl. Math.— 1950— V. 3, N 3.—P. 201—230.
59. Kato. Perturbation theory of semi-bounded operators//Math. Ann.—1953.—
V. 125.—P. 435—447.
60. Lax P. D. Asymptotic solutions of oscillatory initial value problems//Duke Math.
Journal.— 1957.—V. 24, N 4.—P. 627—646.
61. Leray J. Lectures on hyperbolic equations with variable coefficients.— Inst.
for Adv. Study, Princeton, 1952.
62. Ludwig D. Exact and asymptotic solutions of the Cauchy problem//Communs
Pure and Appl. Math.— I960.—V. 13, N 13.— P. 473—508.
63. M a s 1 о v V. P. Quasiclassical asymptotic solutions of Dirac's system of equati-
equations in the large//Outlines of the Joint Soviet-American Symposium on Partial
Differential Equations. Acad. of Sciences of USSR.— M., 1963.
64. Morse M. The calculus of variations in the large//Amer. Math. Soc. Colo-
quium Publ. 18.—N. Y., 1934.
65. M о r e 11 e C. On the definition and approximation of Feynman path inte-
gral//Phys. Rev.— 1951.—V. 81.—P. 848—852.
66. P a u 1 i W. Dirac's Wellengleichung des Elektrons und geometrische Optik//
Helv. Phys. Acta.— 1932.— V. 5, N 3.— P. 179.
67. P e t г о v s k у I. G. Ober das Cauchysche Problem fur System von partiellen
differential Gleichungen//Matli. Ann.— 1949.—N 2.—P. 815—870.
68. R e 11 i с h F. Storungs Theorie der Spektralzerlegung//Math. Ann.— 1936.—
V. 113.—P. 116—185; 1941.—V. 117.—P. 356—382; 1943.—V. 118.—P. 462—
484.
69. R u b i n о v J., Keller Y. Asymptotic solution of Dirac's equation//Phys.
Rev.— 1963.—V. 131, N 6.—P. 2789—2796.
70. Secifelvi-Na d у В. Spectraldarstellung linearer Transformationen des НП-
bertschen Raumes//Ergebnisse des Math. J. Springer.— 1942.— V. 5.
список дополнительной литературы
Идеи и конструкции, изложенные в этой книге, получили за последние
двадцать лет широкое развитие и обобщение. Мы перечислили здесь некоторые
работы в этом направлении.
Прежде всего, теория индекса кривых на лагранжевых многообразиях интен-
интенсивно исследовалась и развивалась в геометрии [1, 13, 34, 50, 53, 64, 65, 68, 78,
79], в теории псевдодифференциальных уравнений [7, 52, 54, 57], в теории пред-
представлений [35, 56, 61, 67, 77], в квантовой теории [58, 60, 63, 66, 74, 75]. Кон-
Конструкция канонического оператора рассматривалась и применялась в работах
[4, 8, 10, 15, 18, 31, 33, 44, 49, 54, 59, 61, 70, 71, 73, 80, 82]. Дальнейшее раз-
развитие получила тематика, связанная с распространением особенностей решений
псевдоднфференциальных уравнений [36, 54, 59, 71], а также с вычислением
асимптотик быстроосциллирующих интегралов [2, 3, 37, 51].
Обобщение этих конструкций шло в нескольких направлениях. Во-первых,
был охвачен случай комплексных функций Гамильтона (расслоение лагранжевых
комплексных положительных плоскостей) — в работах [38, 39] и затем в [5, 14,
35, 32, 40, 36, 48, 62, 69, 76]. Получен аналог конструкции канонического опера-
оператора на уравнение туннельного типа с экспоненциальной мультипликативной
асимптотикой решения [42].
Кроме того, на основе техники [39] интенсивно развивалось обобщение тео-
теории канонического оператора в разностных схемах и операторных уравнениях
[11, 12, 14, 16, 17, 20, 24, 25, 30, 43], в том числе — в уравнениях самосогласован-
самосогласованного поля [41, 25].
В последние годы удалось перенести эту технику на искривленные фазовые
пространства, в которых отсутствует глобальное разделение переменных «ко-
«координаты— импульсы» [26, 27], а также на случай общих нелинейных скобок
Ли — Пуассона [21, 22, 25]".' Интересные обобщения и приложения возникли в
теории псевдодифференцнальных уравнений с алгебрами симметрии [22], для
уравнений с быстроосциллирующимн коэффициентами [6, 9, 19] н с адиабатиче-
адиабатическими инвариантами [23, 24]. Критерий дискретности спектра, приведенный в ч. I
книги, нашел применение в работе [55].
1. Арнольд В. И. О характеристическом классе, входящем в условия кванто-
вания//Функцион. анализ, и его прил.— 1967.— Т. 1, № 1.— С. 1—14.
2. Арнольд В. И. Интегралы от быстро осциллирующих функций и сингуляр-
сингулярности проекций лагранжевых многообразий//Функцион. анализ и его поил
1972.—Т. 6, №3.—С. 61—62.
3. Арнольд В. И., Верченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности
дифференцируемых отображений. I, II.—М.: Наука, 1982, 1984.
4. Белов В. В. Точная функция Грина уравнений квантовой механики в элек-
электромагнитном поле//Изв. вузов. Физика.— 1975.— № 11.— С. 45—56.
5. Белов В. В., Доброхотов С. Ю. Канонический оператор Маслова на
изотропных многообразиях с комплексным ростком и его приложения к спек-
спектральным задачам//ДАН СССР.—1988.—Т. 289, № 5.—С. 1037—1042.
6. Берлянд Л. В., Доброхотов С. Ю. Операторное разделение перемен-
переменных в задачах о коротковолновой асимптотике псевдодифференциальных
уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами//ДАН СССР — 1987
Т. 296, № I.
306
7. Буслаев В. С. Производящий интеграл и канонический оператор Маслова
в методике ВКБ//Функцион. анализ н его прил.— 1969.— Т. 3, № 3.— С. 17—31.
8 Буслаев В С. Квантование и метод ВКБ//Тр. МИАН СССР.-1970.-
Т. ПО.—С. 5—28.
9 Буслаев В С. Квазиклассическое приближение для уравнении с периоди-
периодическими коэффицинтами//УМН.— 1987.—Т. 42, № 6.—С. 77—98.
10 Вайнберг В Р. Асимптотические методы в задачах математической фи-
физики.—М.: МГУ, 1982.
11. Воробьев Ю. М., Доброхотов С. Ю. Квазиклассическое квантование
периодической цепочки Тоды с точки зрения алгебр Ли//Теор. мат. физ.—
1983.—Т. 54, № 3.—С. 477—480.
12. Воробьев Ю. М., Доброхотов С. Ю. Квазиклассические асимптотики
для дискретных моделей электрон-фононного взаимодействия: метод Маслова
и адиабатического приближения//Теор. мат. физ.—1983.— Т. 57, № I.—
С. 63—74. w хл
13 Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики.— М.: Мир,
1981.
14. Данилов В. Г. Оценки для канонических псевдодифференциальных опера-
операторов с комплексной фазой//ДАН СССР.—1979.—Т. 246, № 4.—С. 800—804.
15 Данилов В. Г., Ле By Ань. Об интегральных операторах Фурье//Мат.
сб.— 1979.—Т. ПО, № 3.—С. 323—368.
16. Данилов В. Г., Масло в В. П. Квазиобратимость функций от упорядо-
упорядоченных операторов в теории псевдодифференциальных уравнений//Соврем.
пробл. мат. Т. 6.—М.: ВИНИТИ, 1975.—С. 5—132.
!7. Данилов В. Г., Масло в В. П. Принцип двойственности Понтрягина для
вычисления эффекта типа Черенкова в кристаллах и разностных схемах//Тр.
МИАН СССР —1984 —Т. 166.—С. 130—160; 1985.—Т. 167.—С. 24—45.
18. Доброхотов С. Ю. Методы Маслова в линеаризованной теории гравита-
гравитационных волн на поверхности жидкости//ДАН СССР.— 1983.— Т. 268, № 1.—
С. 76—80.
19. Доброхотов С. Ю. Приложения теории Маслова к двум задачам с опера-
торнозначным символом//УМН.— 1984.— Т. 39, № 4.— С. 125.
20. Доброхотов С. Ю., Жевандров П. Н. Нестандартные характеристики
и операторный метод Маслова в линейных задачах о неустановившихся вол-
волнах на воде//Функцион. анализ и его прил.— 1985.— Т. 19, № 4.— С. 43—54.
21. Карасев М. В. Квантование нелинейных скобок Ли — Пуассона в квази-
квазиклассическом приближении.— Препринт/ИТФ АН УССР.— Киев, 1985.— ИТФ-
85-72Р.— 36 с.
22. Карасев М. В. Пуассоновы алгебры и асимптотика спектральных серий//
//Функцион. анализ и его прил.—1986.—Т. 20, № 1.—С. 21—32.
23. Карасев М. В. Лагранжевы кольца. Многомасштабная асимптотика спек-
спектра вблизи резонанса//Функцион. анализ и его прил.— 1987.— Т. 21, № 1.
24. Карасев М. В. Квантовая редукция на орбиты алгебр симметрии и за-
задача Эренфеста.—Препринт/ИТФ АН УССР.—Киев, 1987.— ИТФ-87-177Р.—
36 с.
25. Карасев М. В., М а с л о в В. П. Алгебры с общими перестановочными со-
соотношениями и их приложения//Совр. пробл. матем. Т. 13.— М.: ВИНИТИ,
1979.—С. 145—267.
26. Карасев М. В., М а с л о в В. П. Псевдодифференциальные операторы и
канонический оператор в общих симплектических многообразиях//Изв. АН
СССР. Сер. мат.— 1983.—Т. 47, № 5.—С. 999—1029.
27. Карасев М. В., М а с л о в В. П. Асимптотическое и геометрическое кван-
тование//УМН.— 1984.— Т. 39, К» в.— С. 115—173.
28 К и ф е р Ю. И. О малых случайных возмущениях гладких динамических си-
' стем//Изв. АН СССР. Сер. мат.—1974.—Т. 38, № 5.—С. 1091—1115.
29. К р а х н о в А. Д. Асимптотика собственных значений псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных операторов и инвариантные торы//УМН.— 1976.— Т. 31, № 3.— С. 217—
218.
30. К р е й н С. Г. О сингулярно возмущенных линейных дифференциальных урав-
уравнениях в банаховом пространстве//Дифференц. уравнения.—1985.— Т. 21,
№ 10.—С. 1814—1817.
307
31
32.
33
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
308
Кучеренко В. В. Квазиклассическая асимптотика функции точечного источ-
источника для стационарного уравнения Шредингера//Теор. мат. физ.— 1969.— Т. 1,.
№ 3.— С. 384—405.
Кучеренко В. В. Канонический оператор Маслова на ростке комплексного
почти аналитического многообразия//ДАН СССР.— 1973.— Т. 14.— С. 1879—
1883.
Кучеренко В. В. Асимптотика решения системы А(х,— ihd/dx)u==Q при?
Л—0 в случае характеристик переменной кратности//Изв. АН СССР. Сер.
мат.— 1974.—Т. 38.—С. 625—662.
Л ере Ж. Лаграижев анализ н квантовая механика.— М.: Мир, 1981.
Лион Ж., В е р н ь М. Представление Вейля, индекс Маслова и тэта-ряды.—
М.: Мир, 1983.
Масло в В. П. Регуляризация задачи Коши для псевдодифференциальных'
уравнений//ДАН СССР.— 1967.—Т. 177.—С. 1277—1280.
Маслов В. П. К методу стационарной фазы для континуальных интегралоа
Фейнмана//Теор. мат. физ.— 1970.—Т. 2, № I.—С. 30—40.
. Маслов В. П. Канонический оператор на лагранжевом многообразии с ком-
комплексным ростком и регуляризатор для псевдодифференциальных операторов
и разностных схем//ДАН СССР.— 1970.—Т. 195.—С. 551—554.
. Маслов В. П. Операторные методы.— М-: Наука, 1973.
.Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях.— М.:
Наука, 1977.
.Маслов В. П. Уравнения самосогласованного поля//Совр. пробл. матем.
Вып. П.—М.: ВИНИТИ, 1978.—С. 153—234.
, Маслов В. П. Глобальная экспоненциальная асимптотика решений уравне-
уравнений туннельного типа//ДАН СССР.—1981.—Т. 261.—С. 1059—1062.
Маслов В. П. Асимптотические методы решения псевдодифференциальных
уравнений.— М.: Наука, 1987.
Маслов В. П., Федор юк М. В. Квазнклассическое приближение для
уравнений квантовой механики.— М.: Наука, 1976.
Молчанов С. А. Диффузионные процессы и риманова геометрия//УМН.—
1975.—Т. 30, № 1.—С. 3—59.
Мищенко А. С, СтернинБ. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многооб-
многообразия и метод канонического оператора.— М.: Наука, 1978.
Новиков С. П. Алгебраическое построение и свойства эрмитовых аналогов
•/С-теории над кольцами с инволюцией с точки зрения гамнльтонова форма-
формализма. Некоторые применения к дифференциальной топологии н теории ха-
характеристических классов//Изв. АН СССР.— 1970.— Т. 34, № 2.— С. 253—288;
N° 3.— С. 475-^500. __ ... _ _. . .-- - - - -
Стерни н Б..Ю..-0 топологическом смысле условий кваятовання в комплекс- ¦
ной теории Маслова//Тр. семинара С. Л. Соболева. Вып. 1.— Новосибирск,
1976.—С. 141—156.
Т р е в Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и инте-
интегральных операторов Фурье. Т. 2.— М.: Мир, 1984.
Т у р а е в В. Г. Коцикл для симплектического класса Черна и индексы Мас-
лова//Функцион. анализ и его прил.— 1984.— Т. 18, № I.— С. 43—48.
Федорюк М. В. Метод стационарной фазы и псевдодифференциальные опе-
раторы//УМН.— 1971.—Т. 26, № 1.—С. 67—112.
Федосов Б. В. Квантование и нндекс//ДАН СССР.— 1986.—Т. 291, № 1.—
С. 82—86.
Ф у к с Д. Б. О характеристических классах Маслова — Арнольда//ДАН
СССР.— 1968.—Т. 178, № 2.—С. 303—306.
Хёрмандер Л. Интегральные операторы Фурье//Математика.—1972.—
т. 16, № 1.— С. 17—61; № 2.— С. 79—136.
В г ц п i n g J. On Schrodinger Operators with Diskrete Spectrum.— Universitat
Augsburg, 1987.—Report Nr. 147.
С z у z J. On geometric quantization and its connections with the Maslov theo-
ry//Repts. Math. Phys.— 1979—V. 15, N I.— P. 57—97.
D a z о r d P. La classe de Maslov—Arnold; L'operateur canonique de Maslov//
//Seminaire de Geometrie.— Univ. Claude Bernard, Lyon, 1975/76.
D e L e о п M., Heller E. J. Semiclassical quantization and extraction of eigen-
functions using arbitrary trajectories//J. Chem. Phys.—1983.—V. 78, part 2,
N 6.— P. 4005—4017.
59. D u i s t e г m a t J. J. Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unfolding
of singularities//Comm. Pure Appl. Math.—1974—V. 27.—P. 207—281.
60. Echmann G. P., Seneor B. The Maslov-WKB method for (un-)harmonic
oscillator//Arch. Rat. Mech. Anal.— 1976.—V. 61, N 2 —P. 1—10.
61. Fuji war a H. Certain operateurs d'entrelacement pour des groupes de Lie
resolubles exponentiels et leurs applications//Mem. Fac. Sci. Kynshu Univ.
Ser. A.— 1982.—V. 36, N 1 —P. 13—72.
62. Hess H. On geometric quantization scheme generalizing those of Kostant—
Souriau and Czyz//Lect. Notes in Phys.—1981.— V. 139 —P. 1—35.
63. L e г а у J. Application de la theory de Maslov des developpement asymptotique
l'equation de Schrodinger//Colloque internationaux du C. N. R. S., N 237, Geo-
Geometrie symplectique et physique mathematique.— Aix-en-Provence, 1974.
64. L e г а у J. Analyse Lagrangienne et mecanique quantique, une structure ma-
mathematique apparentee aux developpements asymptotiques et l'indice de Mas-
Maslov.— Strasbourg, 1978.
65. Lion G. Extansions de representations de groupes de Lie nilpotents et indices
de Maslov//C. R. Acad. Sci.—1979.—V. AB288, N 12.—P. A615—A618.
66. L i 111 e j о h n R., R о b b i n s G. L. New way to computer Maslov indexes/A
//Phys. Rev.— 1987.—V. 36, N 6.—P. 2953—2961.
67. Magneron В. Operateurs d'entrelacement des representations unitaires irre-
ductibles des groups de Lie nilpotents et indice de Maslov//C. R. Acad. Sci.—
1980.—V. AB290, N 20.—P. A943—A946.
68. M a g n e г о n B. Une extension de la notion d'indices de Maslov//C. R. Acad.
Sci.— 1979.—v. AB289, N 14.—P. A683—A686.
69. M a g n e г о n B. Spineurs symplectique purs et indice de Maslov de plans Lag-
ran giens positifs//J. Funct. Anal.— 1984.—V. 59, N 1.—P. 90—122.
70. Mai grange B. Operateurs de Fourier (d'apres HSrmander et Maslov)//Se-
minaire Bourbaki, N 411.— 24-e annee, 1971/72.
71. Melrose R., Uhlmann G. Lagrangian intersection and Cauchy problem//'
Comm. Pure. Appl. Math.— 1979.—V. 32 —P. 483—519.
72. M e r e n о С. Invariant star-products and representations of compact semi-sim-
semi-simple Lie groups//Lett. Math. Phys.—1986.—V. 12, N 3 —P. 217—229.
73. Omori H., Maeda Y., Yoshioka A. On regular Frechet — Lie groups. II.
Composition rules of Fourier integral operators on a Riemann manifold. III.
A second cohomology class related to the Lie algebra of pseudo-differential
operators of order one//Tokyo J. Math.—1981.—V. 4, N 2.—P. 221—277.
74. Percival Г. С Semiclassical theory of bound states//Adv. Chem. Phys.—
1977.—V. 36—P. 2—61: -¦ -•
75. Robnik M. The algebraic quantization of the Birkhoff — Gustavson normal'
forms//J. Phys.-A: Math, and Gen.— 1984.— V. 17, N 1.—P. 109—130.
76. S j 6 s t r a n d J., M e li n A. Fourier integral operators with complexvalued
phase functions//Lect. Notes Math.— 1975.— V. 459 —P. 120—223.
77. Souriau J.-M. Structure des systemes dynamiques.— Paris: Dunod, 1970.
78- Souriau J.-M. Construction explicite de Pindice de Maslov. Applications//
Lect. Notes Phys.— 1976.—V. 50.—P. 117—148.
79. Souriau J.-M. Indice de Maslov des varietes Lagrangiennes orientables//C. R.
Acad. Sci.—1973.—V. A276.—P. 1025—1026.
80. V о г о s A. The WKB—Maslov method for non-separable systems//Colloques-
internationaux du С N. R. S., N 237, Geometrie symplectique et physique mathe-
mathematique.— Aix-en-Provence, 1974.
81. Weinstein A. On Maslov's quantization condition//lect. Notes Math.—
1975.—V. 459.—P. 341—372.
82. Yoshikava B. On Maslov's canonical operator//Hokkaido Math. J.— 1975.—
V. 4. N 1.—P. 8—38.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ДОБАВЛЕНИЮ
1*. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи.— М.: Мир,
1987.-479 с
2*. Б е с о в О. В., И л ь и н В. П., Никольский С. М. Интегральные представ-
представления функций и теоремы вложения.— М.: Наука, 1975.— 480 с.
3*. Доброхотов С. Ю., М а с л о в В. П. Конечнозонные, почти периодические
решения в ВКБ-приблнжениях//Современные проблемы математики. Т. 15.—
М.: ВИНИТИ, 1980.—С. 3—94.
4*. Кружков С. Н., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши
для уравнения Кортевега — де Фриза//Мат. сб.— 1983.— Т. 120, № 3.—
С. 396—425.
5*. Л и о н с Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач.— М.:
Мир, 1972.— 586 с.
6*. М а с л о в В. П., Мосолов П. П. Задача Коши для уравнений вязкой сжи-
сжимаемой жидкости.—М.: МИЭМ, 1984.— 126 с.
7*. М а с л о в В. П., О м е л ь я н о в Г. А. Асимптотические солитонообразные ре-
решения уравнений с малой дисперсией//УМН.— 1981.— Т. 36. № 3— С 63—
126.
8*. М а с л о в В. П., О м е л ь я н о в Г. А. Об условиях типа Гюгонио для беско-
бесконечно узких решений уравнения простых волн//Сиб. мат. журн.— 1983.—
Т. 24, № 5.— С. 172—182.
9*. М а с л о в В. П., О м е л ь я н о в Г. А., Ц у п и н В. А. Асимптотика некоторых
дифференциальных, псевдодифференциальных уравнений и динамических си-
систем прн малой дисперсии//Мат. сб.— 1983.— Т. 122, № 2.— С. 197—219.
10*. М а слов В. П., Цупин В. А. б-образные обобщенные по Соболеву реше-
решения квазилинейных уравнений//УМН.— 1979.— Т. 34, № 2.— С. 235—236.
11*. МасЛов В. П., Цупин В. А. Распространение ударной волны в изоэнтро-
пическом газе с малой вязкостью//Итогн науки и техники. Современные про-
проблемы математики. Т. 8.—М.: ВИНИТИ, 1977.—40 с.
12*. Шабат А. Б. Об уравнении Кортевега —де Фриза//ДАН СССР — 1973 —
Т. 211, №6 —С. 1310—1313.
13*. Haberman. The Modulated Phase Shift for Weakly Dissipated Nonlinear
Oscillatorey waves of the Korteveg — de Vrises Type//Stud. in Appl. Math.—
14*. В u s 1 a e v V. S., F a d d e e v L. D., T a k h t a j a n L. A. Scattering theory for
the Korteveg —de Vrises (KaV) equation and its Hamiltonian interpretation//
Physica D. Nonlinear phenomena.— 1986.—V.18, № 1.—P. 255—266.
Научное издание
МАСЛОВ Виктор Павлович
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
И ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
Заведующий редакцией Е. Ю. Ходан
Редактор А. Г. Давтяк
Художественный редактор Т. Я. Кольченко
Технический редактор JI. В. Лихачева
Корректоры: Г. В. Подволъская. Я. Б. Румянцева
ИБ № 32554
Подписано к печати 31.08.88.
Сдано в набор 08.04.88.
Формат 60X9a7ie.
Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная.
Усл. печ. л. 19,5. Усл. кр.-отт. 19,5. Уч.-изд. л. 21,63.
Тираж 8300 экз. Заказ. № 4542 Цена 2 р. 60 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция фязнко-натематвческой литературы
117071 Москва В-71. Ленинский проспект, 15
Вторая типография издательства «Наука»
121099 Москва, Шубинскнй пер., 6.
Печать высокая.