АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Институт проблем механики
В.Ф. Журавлёв
Д.М.Климов
ПРИКЛАДНЫЕ
МЕТОДЫ
ВТЕОРИИ „
КОЛЕБАНИИ
Ответственный редактор
академик А. Ю. ИШЛИНСКИЙ
6
МОСКВА «НАУКА» 1988
УДК 534
Прикладные методы в теории колебаний/В. Ф. Жу-
равлев, Д.М. Климов.— М.: Наука, 1988, с. 328. ISBN
5-02—006627—3.
Монография посвящена изложению современных методов
исследования линейных и нелинейных колебательных систем.
В основу анализа линейных систем положены эффективные
алгоритмы, предложенные Б. В. Булгаковым. Основу нелиней-
ного анализа составляет метод осреднения (метод двух масшта-
бов). Рассматриваются современные направления развития
теории возмущений, основанные на понятии одночленных групп
Ли (метод Хори—Депри, его обобщения). Изложение иллюстри-
руется многочисленными конкретными примерами колебательных
систем. Отдельная глава посвящена использованию методов тео-
рии колебаний для решения различных задач техники.
Для специалистов в области прикладной механики и точного
приборостроения.
Ил. 82. Табл. 1. Библиогр. 69 назв.
Автор предисловия академик А. Ю. И ШЛИ ИСКИ Й
Рецензенты:
доктор физико-математических наук Л. Д. АКУЛЕНКО
доктор физико-математических наук И. В. НОВОЖИЛОВ
2105000000-463
Ж	042(02)—88
278-88—IV
© Издательство «Наука», 1988
ISBN 5-02-006627—3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Трудно указать области науки и техники, в которых не встреча-
ются колебательные процессы. Физика, астрономия, радиотех-
ника, механика, энергетика — это далеко не полный список
областей, в которых используются методы теории колебаний.
Поэтому неудивительно, что книги по теории колебаний не за-
леживаются в магазинах.
Существующая в теории колебаний литература может быть
условно разделена на две группы. К первой относятся математи-
ческие монографии, написанные специалистами по асимптотиче-
ским методам. Эти книги отличаются, как правило, математиче-
ской строгостью изложения методов, в то время как конструктив-
ная сторона исследований в них представлена в меньшей степени.
При построении, к примеру, оценок погрешностей методов для
авторов важна сама принципиальная возможность построения
этих оценок, а не конкретная процедура их явного построения,
которую можно было бы использовать в прикладных задачах.
К литературе второго типа относятся книги, написанные
специалистами, занимавшимися решением конкретных задач.
Такие книги содержат интересные результаты, однако им часто
недостает строгости изложения, а излагаемые многочисленные
методы исследования лишены внутреннего единства.
В настоящей книге авторы стремятся объединить строгость
изложения с указанием эффективных прикладных методов. Ис-
следование любого явления начинается с изучения малых движе-
ний, чему соответствуют линейные уравнения. Поэтому книга
начинается с подробного изложения теории линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами. Авторы
широко используют результаты Б. В. Булгакова, позволяющие
построить решение уравнений в общей форме без ограничений на
исходную форму уравнений. Для облегчения использования
полученных результатов в ряде параграфов приводится сводка
правил, по которым строится решение линейных систем.
Центральное содержание книги — это методы исследования
нелинейных систем. Основное внимание уделяется изложению
эффективных асимптотических процедур и получению конструк-
тивных оценок точности. Широко используемый в настоящее
время метод осреднения, созданный работами Н. Н. Боголюбова
и Ю. А. Митропольского, доводится до конкретных алгоритмов.
Особо следует отметить строгое и оригинальное содержание раз-
делов, связанных с методами исследования сильно нелинейных
систем и виброударных систем.
3
В последние годы в области нелинейных колебаний все более
широко применяется теория групп Ли, основные положения
которой в компактной и ясной форме приведены в отдельной
главе книги. Этот раздел, необходимый для последующего из-
ложения, сам по себе представляет интерес, так как в сущест-
вующей литературе теория групп Ли обычно излагается в общей
форме и ее результаты трудно использовать в конкретных прило-
жениях.
Специальная глава посвящена развитию асимптотических
процедур, использующих теорию групп Ли. В ней получены
алгоритмы, позволяющие эффективно вычислять в нелинейных
системах высшие приближения. Эти алгоритмы, легко поддаю-
щиеся формализации, используются для символических вычис-
лений на ЭВМ в Институте проблем механики АН СССР, что
позволяет успешно решать сложные задачи механики.
Последняя глава книги содержит решение различных приклад-
ных задач: сильно нелинейные колебания гироскопа в кардановом
подвесе, явление самосинхронизации в гироскопах с шарикопод-
шипниковым подвесом, явление инерционности волн в упругих
системах, поведение волчка Лагранжа на подвижном основании,
явление ядерного магнитного резонанса и др.
Хотя книга содержит большое количество оригинальных
результатов, многие ее разделы могут использоваться для перво-
начального изучения теории Колебаний. Авторы книги дают
ясное представление идей и методов теории колебаний с большим
количеством примеров, после чего методы колебаний легко ис-
пользовать для решения прикладных задач. Мне представляется,
что книга В. Ф. Журавлева и Д. М. Климова будет полезной для
широкого круга читателей, начиная от студентов и кончая вы-
сококвалифицированными специалистами в различных областях
науки и техники*
А. Ю. ИШЛИНСКИЙ
4
Глава	ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
первая	с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1.
Основные понятия теории матриц
Матрицей называется набор чисел (действительных или комплекс-
ных), образующих прямоугольную таблицу:)
/Дц С12
021	Д22
(1.1)
ml m2 тп
Указанная матрица имеет т строк и п столбцов, т. е. она имеет
размерность (т X п). Сокращенная запись матрицы имеет вид
а =	(1*2)
(mxn)
При п = 1 мы имеем матрицу-столбец
(mxi) I ; I ’
\vmJ
при т == 1 — матрицу-строку
w = (м^, w2, . . ., wn).
(1ХП)
Из элементов матрицы, стоящих на местах пересечения неко-
торых строк и столбцов матрицы а, образуется субматрица:

Если субматрица квадратная, то ее определитель
называется минором порядка I матрицы а. Матрица имеет ранг г,
если хотя бы один из миноров r-го порядка не равен нулю, в то
время как все миноры более высоких порядков обращаются в
нуль. Разность между наименьшим из чисел т, п и рангом г на-
зывается дефектом матрицы.
5
Если определитель квадратной матрицы а
(пхп)
А = det а = |а^| = О,
то матрица а называется особой; в противном случае — неособой.
Если строки матрицы превратить в столбцы, то из матрицы а
мы получаем транспонированную матрицу ат. Для элементов
матриц а и ат имеет место равенство
4 = ак}	(1.3)
Сложение (вычитание) матриц и умножение матрицы на скаляр
подчиняется следующим правилам:
с = а + b =	+ bjx,	(1-4)
(mXri) (mxn) (mxn)
b = s a ->bjx = safr.	(1.5)
(mxn) (ixi) (mxn)
Произведением двух матриц a, b является матрица
p
с = a b -^Cjk= аяЪ1к.	(1.6)
(mxn) (mxp) (pXn)	Z=1
Из этой формулы видно, что перемножать можно только кон-
формные матрицы (число столбцов левой перемножаемой матрицы
равно числу строк правой матрицы).
Обозначим алгебраическое дополнение элемента вд квадрат-
ной матрицы а = (aJk) через Для его вычисления нужно
вычеркнуть J-ю строку и к-й столбец в матрице вычислить
определитель полученной матрицы и умножить его на (—l)J+k.
Если из алгебраических дополнений составить квадратную мат-
рицу, а потом ее транспонировать, то мы получим присоединен-
ную к матрице а матрицу
А = (Ак]).	(1.7)
(пхп)
Известно, что
2 а№Ли = S Л„аи = | d”‘ “ I(1.8)
r=i	k=i	I 0 при /=0J.
Из соотношений (1.7) и (1.8) получаем, чю
аА = Аа = Е det	(1
где единичная матрица
(1 0 ... 0\
О 1...0
.......I
О 0 ... 1/
6
Если матрица а неособая, то она имеет обратную матрицу
а"1 = Л/det а.	(1.10)
В соответствии с формулами (1.5), (1.9), (1.10) получаем
ааГ1 = а-1 а = Е.
Квадратная матрица, у которой все элементы, не расположен-
ные на главной диагонали, равны нулю, называется диагональ-
ной. Произведение двух диагональных матриц а и b представляет
собой диагональную матрицу
С — CL Ъ —> Сц—
(nxn) (nxn) (nxn)
(i= 1, . . ., n).
(1.11)
Скалярным произведением двух n-мерных векторов
(1.12)
в случае действительных координат называется число
(х, у) = Х^! + . . . + Хпуп.
Рассматривая запись такого вектора в качестве матрицы-столбца^
скалярное произведение можно представить с помощью произ-
ведения матриц так:
(ж, у) = хт у .
(1Хп) (ПХ1)
Векторы называются ортогональными, если их скалярное
произведение (х, у) равно нулю.
Билинейной формой от двух n-мерных векторов называется
многочлен с числовыми коэффициентами, однородный и имеющий
первую степень относительно координат каждого из векторов:
(х, ау) = хт а </ = 3 Е аих{у}.
(IXn) (nxn) (nxi) i=l j=l
Матрица а называется матрицей билинейной формы.
Если положить xt = yt (i = 1, . . ., п), то билинейная форма
превратится в однородный многочлен второй степени от пере-
менных Xi, называемый квадратичной формой относительно этих
переменных.
Разные билинейные формы могут определять одну и ту же
квадратичную форму.
Взаимнооднозначное соответствие между билинейными и квад-
ратичными формами получается, если ограничить матрицы били-
нейной формы классом симметрических матриц:
а = а».
7
Для симметрических матриц
х^ау — у*а?х = утах.
Любая квадратичная форма получается единственным образом из
симметрической билинейной формы. Соответствующая ей симмет-
рическая матрица называется матрицей квадратичной формы.
Квадратичная форма
п п
(ж, ах) = х*ах —	S auxixj
i=l j=l
называется положительно определенной, если (х, ах) > 0 для
любых значений координат ях, . . ., хп, не все из которых равны
нулю, и отрицательно определенной, если (ж, ах) < 0.
Симметрическая матрица а называется положительно опреде-
ленной (а > 0), если соответствующая ей квадратичная форма
положительно определена.
2.
Блочные матрицы
Элементами матриц могут быть не только числа, но и любые дру-
гие объекты, для которых определены и возможны операции сло-
жения, вычитания и умножения (см. (1.4) — (1.6)). Можно рас-
сматривать блочные матрицы, элементами которых являются
простые матрицы. При этом для сложения (вычитания) блочных
матриц требуется, чтобы они имели одинаковое число строк и
столбцов как в целом, так и для соответствующих элементов.
Для умножения требуется конформность как в целом, так и для
соответствующих элементов. Рассмотрим, например, матрицы
g _____/ £11 £12
(2X3)	\^21 ^22
hi\
Дг/ *
К =
(зхз)
^i hi hi
&2 ^21 hi
т, | П1 n2
(2.1)
которые дополнительно разделены вертикальными и горизонталь-
ными линиями. Перемножая эти матрицы, имеем
qjq  f £11^1 + £12^2 +	£ц/ц + £12^21 + ^1И1 gllZ12 + £12^22 + ^1^2 \
(2X3)	\ £21^1 + £22^2 + hi™ g2ihi + £22^21 + ^-2Л1 £21^12 + gahi + h^n^J
(2.2)
Введем теперь матрицы, которые определяются совокупностью
элементов, определенных вертикальными и горизонтальными
линиями в формулах (2.1):
£п
g21
£12
£22
hi
hi
hi\
hi)
т = (тп), п = (nv п2).
(2.3)
8
Тогда матрицы G и К переписываются в виде
G = (g,h),	К = Р 1
(1X2)	(2X2) \т П
перемножая которые, получаем
GK = (gk + hm, gl -|- hn).
(1X2)
(2.4)
Элементы этой матрицы вычисляются по формулам
, . ,	4“ £12^2	\	,	(him \	(gnki -р gi2^2	+ h±m
"I- hm	= I , . ,	I	4-	I . I	== I , . 7	I i
\ g2i^i 4- ^22^2	/	\ h2m J	\ g2i^i 4~ g22^2	4~ h2m
gl 4- hn =
guhl + g12^21
o21^11 4" g22^21
gll^l2 4“ g12^22 \ । fhi4i hill2
g21^12 4* #22^22/	h2n2
/ gll^ll 4" g12^21 + hini gnll2 4" 812^22 + ^1^2
\g21hl 4- g22^21 4~ ^2^1 g21^12 4" g22^22 4~ ^2^2
(2-6)
Сравнение формул (2.2) с формулами (2.4)—(2.6) показывает,
что перемножение матриц G и К обычным способом или перемно-
жение с использованием блочных матриц дает один и тот же
результат.
Для матриц
3.
Матрицы Кейли
(3.1)
имеют место такие же соотношения
Е* = Е, Р - -£, El = IE = I,
как для действительной и мнимой единиц 1, i. Матрица Е носит
название единичной матрицы, матрица I — симплектической
единицы. Перемножая матрицы
= ьЕ 4- оз/,
Е'=(Л' 8“ ) = е'Е + <о7, (3.2)
получаем
(ее' — coco'
—есо' — сое'
есо' 4~
ее' — coco'
(ее' — cow') Е 4- (so>' 4- <ое') I.
Итак, если образовать две матрицы (3.2) из действительных
и мнимых частей чисел е 4- io), е' 4- то после перемножения
получится матрица того же вида, образованная из действительной
и мнимой частей произведения (е 4- io>) (е' 4- м>')-
9
о о
В дальнейшем мы будем использовать матрицы Кейли вида
/х
Q= Р
\о
8 СО
—СО	8 .
(3.3)
Они принадлежат к разряду квазидиагональных блочных матриц.
Если у диагональной матрицы по главной диагонали расположены
некоторые числа, а все остальные элементы — нули, то у квази-
диагональной матрицы по главной диагонали расположены квад-
ратные матрицы, а все остальные элементы — нулевые матрицы.
При этом матрицы, расположенные на главной диагонали, могут
иметь как одинаковый, так и различный порядок.
Введем матрицу
/х' О О
Q' = I 0 в' со'
\0	—СО' 8'
которая имеет тот же тип и размерность, что и матрица Q. Про-
изведение
/ хх' 0	0	\
@@' = | о 88' —СОСО' 8С0' + С08'	(3.4)
\ 0	—8С0' — С08' 88' — coco' /
показывает, что х и х' перемножаются, а 8, s', со, со' комбини-
руются как действительные и мнимые части комплексных чисел.
Это правило справедливо при возведении матрицы Q в целую
неотрицательную степень р:
О
Re (8 +
—Ijn (е + ico)p
О
Im (8 + ico)p
Re (8 + ico)p
Если det @=#0, то можно
построить обратную матрицу
(3-5)
Поэтому формула (3.5) справедлива и для целых отрицательных р.
Отсюда видно, что для полинома Р (0 с действительными скаляр-
ными коэффициентами справедлива формула
/Р (х)	0	°	\
Р(0 = 1 0 ReP(s+ico) ImP(e + ico)j.	(3.7)
\ 0 —ImP(e + ico) Re P(s + ico)/
Обобщением полиномиальной матрицы Р (Q) со скалярными
коэффициентами являются матричные ряды со скалярными коэф-
10
(3.8)
(3.9)
фициентами, посредством которых могут быть определены функции
sine=e-4res+4-e5 + ---’
cos^ = E-4-(?8 + 4-^+'--’	(3.10)
^Q = cos^4- isin().	(3.11)
Для дальнейшего изложения представляют интерес частные
случаи, когда
/*1
I О
X =
(s'xs') I *
\о
матрицы х, 8, со являются диагональными:
О ... О ч	/81 0 ... О к
х2... О |	__/ О 82 ... О |
(s"Xs")	\.........../
0 ... xs,
0 ... 0
co2.. . 0
.0 0 ... 8.
(3.12)
(C01
0
0	0 ... co^/
Пусть s' + 2s" = s. Для матричного ряда, определяемого ма-
трицей Кейли в соответствии с формулами (3.3), (3.5) и (3.8)
имеем
е& =| о
(sXs) \
\ О
/ eHt
= 1 О
\ О
О
1те<е+ш>*
Re e<8+i^>
О
ezt sin (of
eEt cos co/,
(3.13)
0
Re e(e+iw^
-Ime<e+i(a^
0
eet cos co/
—ezt sin cof
Элементы матрицы eQt с учетом соотношений (1.11) и
писываются в следующей форме:
/

(3.12) за-
е**
(s'xs')
(sin coif	О
О sin со2/
• *
О
о
о
-COS COif
t \ 0
cos со/ =
(S"XS")	\	•
\ о
О
О
COS CO2f
о
sin cos/4
О
О
(3.14)
. .. cos cos„t
И
Re e(8+i<°)* = ezt cos g)£ =
(s"Xs")	(s"Xs") (S"XS*)
eCit cos CO]/
0
0
0
ег*г cos cd2£ • • .
0
0
0
e э cos cos,4
Im ^(8+iw)i — eRt sinco£ =
(sTxs")	(«"xs") (S*XS*)
e&lt sin toit
0
0
sin co2£ • • •
0
0
Для дальнейшего нам полезно установить некоторые свойства
матриц Кейли с диагональными матрицами х, 8, со. Произведение
w
(зхп)
Q w
(SXS) (зхп)
(3.15)
переписывается с помощью блочных матриц в виде
откуда
й?х == X , we = 8We + ©H'co »
(s'xn) (s'Xs') (s'xn) (s*Xn) (s*xs*) (s?Xn) (s”XS”) (s*Xn)
W® = — (i)lP8 +	8W&
(sTxn) (sfXsT) (rf*xn) (8f*X8*) (sTxn)
Записывая матрицы w, w в виде блочных матриц
где элементы w*, wk (к = 1, . . ., $) представляют собой матрицы-
строки размерностью (1 X п), и учитывая, что х, 8, со — диаго-
нальные матрицы, находим
wG , (о = 1,..., s'),
(1ХП)	(1X1) (1ХП)
^s'+^=== Ws'+h “F ^s'+s"+hi
(lXn) (1X1) (1+n)	(1X1) (IXn)
^ЧГ+Л = — ®h Wa,+h + eft w3'+s~+h	(h=l,..	(3.16)
(IXn)	(1X1) (IXn) (1X1) (IXn)
12
Умножая 2?S4s"+h на i и вычитая из 2v+h, переписываем два
последних соотношения в форме
wS'+h — iwS'+ar+h = (8Л + iah) (wS'+h — ws4s*+h) (Л = 1,. . ., s”).
(3.17)
Аналогичным образом произведение
v = v Q	(3.18)
V1 XS) (nxs) (sxs)
переписывается с помощью блочных матриц в виде
/х 0 0 \
(vH Ve V») = (VxlWi)) I 0	6 “ ’
(nXsz) (nxs*) (nxs")	\q	g ]
откуда
=	= Vee “ ^©0),	=1?8й)4-рш8.
Записывая матрицы v, v в виде блочных матриц
V = (Vj, . .	V,), v = (ylt . . vg),
где элементы (к = 1, . . s) представляют собой матрицы,
столбцы размерностью (л X 1), и учитывая, что х, 8, со — диа-
гональные матрицы, находим
= vG На (0=1,.. ., s'),
(ПХ1) (nxi) (1X1)
Vs'+h == Vs'+h &h	Vs'+s"+h	(3.19)
(nxi) (nxi) (1X1)	(nxi) (1X1)
Vs'+r+h =vs^h toh 4- vs^+h zh (fe = 1,..., s”).
(nxi) (nxi) (1X1) (nxi) (1X1)
Умножая vS'+8-+h на i и складывая c переписываем два по-
следних соотношения в форме
vs,+h 4- ivS'+S''+h = (y8^h 4- ivS'+s4h) (8Л 4- iah)
(3.20)
4.
Полиномиальные матрицы
Матричный полином от скалярной переменной X, имеющий вид
/ (^*)== «0^ +	Х4- • • • + #l-iX 4-
Ш =(W))> «О =(а?Л	«1 =(4’).
(nxn)	(nxn)	(пХп)
ас,-! =	aL =	(4.1)
(nxn)	(nxn)
носит название полиномиальной матрицы, так как ее элементы
представляют собой скалярные полиномы от X:
Лк (М =	1 4- • • • + л;к 4-	(4-2)
13
Под производной от матрицы / (X) по X понимается матрица,
элементы которой равны производным от элементов матрицы / (X)
по X:
(„К) v di )
Рангом г полиномиальный матрицы называется порядок ее
старших не обращающих тождественно в нуль миноров. Если
вместо X подставить какое-нибудь число, то мы получим числовую
матрицу ранга р, причем р^г. Полиномиальная матрица, ранг
которой равен ее порядку, называется неособой; если ранг мат-
рицы меньше ее порядка, то матрица называется особой.
Общий наибольший делитель Dk (X) всех миноров А:-го порядка
полиномиальной матрицы называется детерминантным делителем
(для определенности коэффициент старшей степени к в Dk (X)
приводится к единице).
Возьмем любой из миноров Л-го порядка полиномиальной
матрицы и разложим его по элементам какой-либо строки или
столбца. Каждый член разложения делится на Dk_r (X), так как
он содержит множителем минор (Л—1)-го порядка. Следовательно,
любой минор Ar-го порядка делится на ZK^X), поэтому и Dk (X)
делится на (X), так что частное
Elc(k)=Dlt(k)/Dlt.1(k)	(4.3)
представляет собой полином, коэффициент старшего члена кото-
рого равен единице. Полиномы Ек (X) называются инвариантными
множителями. Если положить условно Do (X) = 1, то Ек (X)
определяются для всех А: от 1 до г. Перемножая соотношения
(4.3), имеем
Dk (X) = £х (X) . . . Е* (X) {к = 1, . . ., г)	(4.4)
Можно показать, что Ек (X) делится на Et (X) (I = 1, . . ., А:—1).
Рассмотрим неособую матрицу / (X). Ее старший детерми-
(пхп)
нантный делитель Dn (X) отличается от определителя матрицы
Д (X) = det / (X) лишь постоянным множителем, поэтому Dn (X)
не равен нулю тождественно. Если а, а', ... — различные между
собой корни Dn (X), то
Dn (X) = (X - a)q (Х-а')*'. . .	(4.5)
Так как в соответствии с (4.4)
Dn (1) = £х (X) . . . Еп (1),	(4.6)
то, сравнивая между собой (4.5) и (4.6), находим
Ег (^) = (X — а)е’ (X — а')*1 • • • >
Е2 (1) = (Х-а)е« (Х-а')е* . . .,
Еп (X) = (X - а)е» (X - а')е« ....	(4.7)
14
причем
£Х ^2	^2	...	&п, ...
Множители (X—а)е* (к = 1, . . ., п), у которых ек #= 0, носят
название элементарных делителей, соответствующих корню а.
Каждому инвариантному множителю и корню а соответствует
свой элементарный делитель. Поэтому, например, если даже ех =
= е2, тем не менее элементарные делители (X — а)% (X — а)е* счи-
таются различными. Сумма степеней элементарных делителей,
соответствующих корню а, равна, очевидно, его кратности:
ei + е2 + • • • + еп = q.	(4.8)
Аналогично определяются элементарные делители для других
корней.
Пример. Пусть		
/I2- 21 + 1	1-1	1-1\
/(Х)=ф-1	А,2_2Х+1	1 — 11.
U- 1	1-1	X —17
Детерминантные делители этой		матрицы имеют следующий вид:
D 3 (X) = (X - 1 )3 (X - 2)2, D2 (X) = (1 -1 )2 (X - 2), Dx (X) = X - 1.
Отсюда по формуле (4.3) находим инвариантные множители и эле-
ментарные делители:
Ey (X) = X — 1	->Х—1,
(X) = (X — 1) (X — 2) —э- X — 1, X — 2,
Е3 (X) = (X — 1) (1 —2)->Х —1, X —2.
Все элементарные делители в рассмотренном примере линейны.
Рассмотрим теперь вопрос о соотношении между рангом п
неособой полиномиальной матрицы /(X) и рангом р, соответст-
вующей числовой матрице / (а), когда скаляр X полагается равным
некоторому числу а. Очевидно, что Если а не является
корнем det / (X) = Д (X) (Д (а)=#0), то п — р.
Пусть теперь Д (X) = (X — a)q . .., поэтому Д (а) = 0, а р < п.
Все детерминантные делители £>р+х(Х), . . ., Dn (X) содержат в
себе множители (X — а)1*, причем в них	в детерминантные
делители порядка р и ниже эти множители не входят. Поэтому
множители вида (X — аУк (Zft>l) входят только в инвариантные
множители Ep+i (X), . . ., Еп (X), а в инвариантные множители
Ер (X), . . ., Ех (X) не входят. Отсюда следует, что ранги п, р
матриц / (X), / (а) и число т элементарных делителей, соответст-
вующих корню а, связаны соотношением
п —Jp = т.
Число т равно дефекту матрицы / (а)е
15
Из формул (4.4)—(4.8) видно, что
т = п — р<еР+1 + . . . + еп = q,	(4.9)
так любое из чисел ep+i, . . ., еп больше или равно единице. Точ-
ное равенство т = п — р = q имеет место лишь при ep+i = . . . =
= еп = 1, когда все элементарные делители, соответствующие
корню а, линейны.
5.
Собственные движения линейной системы
с линейными элементарными делителями
Обратимся теперь к вопросу интегрирования обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами. Введем символический оператор дифференцирования
по времени
О = А	(5.1)
Представим производные dxldt, d2xldt2, . . . как символические
произведения степеней оператора D на х\ Dx, D2x, . . . Линейное
х	d^“1x	dx
дифференциальное выражение	+ &i —£4 + • • • + -зр + Ъ^х
dt	dt
может быть записано в виде
+	+ • • • +	4 + bk)x = b(D)x,
где b (D) = b^* + bj)*-' + . . . + b^D + bk.
Будем рассматривать линейное однородное матричное урав-
нение вида
/ (D)x = 0.	(5.2)
В нем
/ (-0) — (fjk (-0))= ао DL	axD1' г+ .. . + O'L'» х=( • ।,
(nxn)	(nXn)	(nXn)	(nXn) (nxn) I * /
(5-3)
элементы матриц
a0 =(a^),	«4	aL =(a$)
(nxn)	(nxn)	(nxn)
являются постоянными скалярами.
Соответствующая уравнению (5.2) скалярная система имеет
следующую форму:
/и (D) хг + /12 (D) х2 + . . . + /1п (Р) хп = О,
/21 (О)Х1 + /22 (D)x2 + ... + f2n {D)xn = О,
fm (D)x. + /n2 {D)x2 + . . . + /nn (D)xn = 0.
16
(5-4)
Очевидно, что справедливы следующие соотношения:
(cl^D	• • • + O'l)	4 +	1 4~ • • • 4~ аь)
f(D)eu = f(k)eu.	(5.5)
Будем искать частное решение уравнения (5.2) в виде
х = и еи,	(5.6)
(»гХ1)	(ПХ1) (1X1)
где и — матрица-столбец с неизвестными постоянными; X — неиз-
вестная скалярная постоянная. Подставляя х в (5.2) и учитывая
формулы (5.5), после сокращения на еи получаем уравнение
/ (X) и = 0,
которое эквивалентно системе
/11 (М и1 + /±2 (^) и2 + • • • 4“ /щ (М ип — 0,
/21 (^) и1 4’ /22 (М и2 + . . . 4- /гп (М ип = 0,
/и1 (М^1 4- /п2 (X)U2 + . . . + /пп) (Х)ил = 0	(5.7)
линейных алгебраических уравнений относительно постоянных
иъ . . ., ип. Она допускает решения, отличные от тривиального
их = . . . = ип = 0, если det / (X) = A (X) = 0. Уравнение А (X) =
= 0 носит название характеристического уравнения.
Предположим сначала, что А (X) имеет 5 корней Ха (а = 1, . . .
...,$) и все эти корни простые. Для каждого из них неизвест-
ные постоянные и1? . . ., ип определяются из системы
/11 (М^1 4" /12 (^<г) и2 4" • • • 4" /щ (^а)ип — 0,
/21 (^<r)	4" /22 (^о)и2 4- • • • 4- /гп (^о)ип = 0,
/п1	4" /п2 (^а) ^2 4" • • • 4" fnn (ho)Un — 0.	(5*8)
В соответствии с формулой (1.8) определитель A (X) =
п
— 3 fjit (X) Fjit (^)> где Pitj (ty — алгебраическое дополнение эле-
К=1
мента fa (X) в матрице / (X). Поэтому 5 A (X)/d/;ft (X) =	(X).
Учитывая это, находим
йД’(Х) __ дк (X) dfn (X) ,	, д\ (X) df .k (X) ,	,
d\	d\ "Г •••"*"	---T’-’-r
,	^Д(Х)	dfnn(K) V V f ziy dfjit^
nn	j=i fc=i
Так как корень Xa характеристического уравнения А (X) = 0
dA (Ха)
простой, то —0 и, следовательно, среди алгебраических
дополнений Fjx (X) имеются такие, которые не обращаются в
нуль при X = Ха.
17
Составим присоединенную к / (D) матрицу F (D), которая
составляется из алгебраических дополнений элементов, а потом
транспонируется. В соответствии с (1.8) имеем
/(М^(М= Е Д(1а) = 0.
(nxn) (nxn) (nxn) (1X1)
Обозначим один из столбцов матрицы F (Ха), среди элементов
которого есть отличные от нуля, через Va . Очевидно, что
(nxn)
/(Ч 7а=0.	(5.9)
(nXn) (пХ1)
Таким образом, элементы столбца VG удовлетворяют системе (5.8).
Частное решение уравнения (5.2), как видно из (5.6), записы-
вается в форме
х = Са Va	(5.10)
(пХ1)	(1X1) (ПХ1) (1X1)
Здесь Са — произвольная постоянная.
Пусть теперь Ха = Хо+1 = . . . = Xa+g^-i, т. е. корень Ха
является (^-кратным корнем характеристического уравнения
Д (X) = 0. Обозначим через ра ранг матрицы / (Ха) и через та =
= п — ра ее дефект, который равен числу элементарных делите-
лей, соответствующих данному корню (разд. 4). Известно, что в
этом случае система (5.8) имеет та линейно независимых решений,
каждое из которых находится с точностью до произвольного
постоянного множителя. Если все элементарные делители, соот-
ветствующие корню линейны, то та = #а- В этом случае
для и мы получаем qG линейно независимых решений Va, . . .
. . ., Va+gg-i» которым соответствуют частные решения CGVGeKe\ ...
.. .,	системы дифференциальных уравнений (5.4).
При этом число произвольных постоянных в этой группе ре-
шений равно кратности корня. Столбцы мы будем называть
модальными столбцами.
Если все элементарные делители, относящиеся ко всем корням
характеристического уравнения, линейны, то найденные частные
решения будут содержать столько произвольных постоянных,
какова степень s характеристического уравнения. Общее решение
системы дифференциальных уравнений (5.4) имеет вид
х Va Соек°*.	(5.10а)
(ПХ1)	(7=1 (ПХ1) (1X1) (1X1)
В общем случае при наличии кратных корней может иметь
место неравенство та < да» т. е. среди элементарных делителей
будут встречаться нелинейные. В этом случае описанным ранее
методом мы не можем найти требуемого числа частных решений.
Для нахождения общего решения нужно прибегать к методу,
изложенному в следующем разделе.
18
Пример 1. Имеем систему дифференциальных уравнений
04 4- (D2 + D + 1) х2 = О,
(О3 + О) хг + (О2 + D + 2) х2 = 0.
Соответствующая матрица:
/X3
Цз + х 12 + Х+ 2J ’
ее характеристическое уравнение A (X) = — X (X + 1) = 0 имеет
корни Хх = О, Х2 — — 1.
Присоединенная к / (X) матрица:
/ Х24-Х4-2 —X2—X —1\
F(K)= (_Х3_Х	Хз	)•
Соответственно
/2 -1\	/2 -1\
f(°) = (o oh Л-1)=(2_,].
В качестве модальных столбцов возьмем те, которые пропорцио-
нальны столбцам матриц F (0) и F (—1). Находим
г,=(,*)
после чего выписываем общее решение в виде
X = V& + У2С2е-‘,
откуда
37х -	£^х "4“ С2в у #2 ~~ ^2^ *
Пример 2. Для системы дифференциальных уравнений
Dxr + Dx2 — я3=0,
Dxr + (2D + 1) х2 — х3 = О,
2хх + 2х2 + (D + 3) х3 = 0	(5.11)
соответствующая матрица / (X) имеет вид
/X X	-1х
/(Х)=р 2Х+1	-1 .
\2 2 Х + 3/
Ее характеристическое уравнение (X + I)2 (X + 2) = 0 имеет
корни Хх = Х2 = — 1, Х3 = — 2. Вычисляя детерминантные дели-
тели матрицы / (X), находим, что D2 (X) = X + 1, jDx (X) == 1.
Отсюда инвариантные множители и элементарные делители
£3 (X) = (X + 1) (X + 2) -> X + 1, X + 2,
Е2 (X) - X + 1 -> X + 1,
Е. (X) = 1.
1?
Так как в рассматриваемом случае элементарные делители, соот-
ветствующие корню ХЬ2 = — 1, линейны, то система (5.11),
в которой нужно положить D = — 1 и заменить	х2 и2,
из» имеет два линейно независимых решения. Действитель-
но, из трех уравнений
и2 и3 == Оу
—их — и2 — и3 = Оу
2их 4- 2iz2 4- 2iz3 = О
два последних могут быть отброшены, так как они являются
следствием первого уравнения. В качестве линейно независимых
столбцов могут быть взяты столбцы
/—1\ / 1\
Fx=( 1 , F2=	0 .
\ О/	1/
Для третьего корня Х3 == — 2 имеем
/-2 —2 —1\
/ (-2) = 1-2 -з —1 ) .
\ 2	2	1/
В качестве столбца V3 могут быть взяты алгебраические допол-
нения к элементам первой строки этой матрицы, которые следует
расположить в виде столбца:
/—1х
v3= 0 .
\ 2/
Теперь выписываем общее решение в виде
х =	4- V2C2(r* 4- 73С3е-2‘,
откуда
= (—Сх 4- С2)е~* — С3е2*,
х2 = х3 = —С2ег* 4" 2C3e-2f.
6.
Общий случай собственных движений
линейной системы
Обратимся теперь к случаю, когда характеристическое уравне-
ние матрицы / (X) имеет кратные корни, причем соответствующие
им элементарные делители могут быть или линейными, или не-
линейными.
Пусть характеристическое уравнение имеет да-кратный ко-
рень:	= %а+1 = . . . = Xq+^-i. Образуем qG матриц
Го (*Да) = kW=M
(nxn)	(1X1) (ПХП)
20
...
Г	1
=Ь^1е’’?(Ч1и •	(6Л)
м/Л	J л—Лд-
Воздействуя оператором / (D) на Тр (t, X) (р = 0, . . qa — 1),
находим
/ (D) То (t , X) = [/ (D)	F (X)=/ (%) F (X) е» = е»Д (X) Е,
f (D) Т^Л)=/(D)[еЧ? (X)] = ^[f (D)eMF (X)] =
= (Ц F (X)	= Д [ Д (X) е»] Е =
= ^«[A(X)f+ Д'(Х)]5,
i (Р) Тд<г1 (t, X) = /(Р)	(X)] =	[/ (Р) еЧ? (X)] =
OK	дК
д^1	д1^1
= I/ (Ч f (Ч«“! =	1Л (Ч«’'! Е =
</Л	ал
= е« Г Д (X) tq<rl +	Д' (X) г?°-2 +
4- (?<т~1)2^<т~2) Д"(Х) ^<т’3+• • •+Д(<,а-1) А) Е.
(6-2)
Так как Д (Ха) = Д' (Ха) = . . . = Д^1’ (Xff) = 0, то, по-
лагая в соотношениях (6.2) К = Ха, получаем
/ (D) Т. (t, М = 0,	/ (D) Т. (f, Ха) = 0, . .
f(D)Tqa^(t. М = 0.	(6.3)
Очевидно, что соотношения (6.3) сохраняют силу, если вместо
матриц То, Тг, . . ., Tq(J-i взять их какие-либо столбцы. Таким
образом, столбцы этих матриц представляют частные решения
матричного дифференциального уравнения (5.2). Решением этого
уравнения будет также сумма
^(t)Co + 'Q’a+l (0 Са+х -р . . . + 'б’а+дд-Х (0 ^+Q(J-1 »
где б'а (0, . . 'O'a+gg-i (0 — линейно независимые столбцы мат-
риц Tq (t, %а), . . ., Tq^-x (t, %а), а Са, . . ., Со+Я(Гх — произволь-
ные постоянные.
Указанная процедура может быть проведена для любого корня
характеристического уравнения, поэтому рассмотренным спо-
собом находится требуемое число линейно независимых частных
решений, равное степени s характеристического уравнения.
21
Перепишем теперь соотношения (6.1) в виде
То (t, X) = euU0 (/, X),	7\ (t, X) = (t , Л),...,
Л) = е»^<г_1(<Д),	<6-4>
где
Uo (<Д)=Д(А,),	£71(1Д)= F(K)t + F'(K),...,
(t>X<i)	(nXn)	(nxn) (nxn) (1X1) (nxn)
Uq<rl(t,k) = F(K) t^ + ^LF’(k)	+
(n\n)	(nxn) (1X1)	(nxn) (1X1)
(6-5)
Каждому корню соответствует решение
va (t) Coe^ + Га+1(0Сст+1Л' + • • • + Уа+Ча+1(1)Са+(1а+1е^,
где VG (0, . . Va+q0-i (0 — линейно независимые столбцы
матриц UQ (£, Ха), . . ., Uq^ (t, Ха) или их линейные комбина-
ции. Столбцы VG (0, . . F(j+ga_i (0, как и в случае простых
корней, называются модальными столбцами.
В рассматриваемом случае старший детерминантный делитель
Dn (X) = (X — Ха)9<т .... Пусть старший инвариантный множи-
тель Еп (X) = (1 — Ха)е<т . ... Из формулы (4.3) находим, что
Pn-x (М = Dn (^)/^п (К) = (Л — ка)я°~е° . . откуда следует, что
все Fk. (1) = (Л — ка)9а~‘а . . при Л = Ло они обращаются
в нуль с производными до (qG — ео — 1)-го порядка. Поэтому первые
ненулевые матрицы (Ха), Up (t, Ха) появляются при р = ро,
Ро + 1, . . где pG = q0 — eG.
Среди различных комбинаций eG можно выделить три
случая.
1)	Пусть qG = 1, тогда eG = 1, р0 = О, UQ (t, Ха) = F (Ха).
Этот случай был рассмотрен в разд. 5.
2)	Пусть (fa > 2,	= 1, тогда pG = qG — 1. Из формул (6.5) видно,
что для образования модальных столбцов имеется единственная
ненулевая матрица Uq(rl(t, Ха) = (Ха) с постоянными
элементами, вследствие чего и все модальные столбцы будут
также постоянными. Этот случай также был рассмотрен в разд. 5.
3)	Пусть q0 > 2,	> 2, тогда ро = qo — eG<Z qG — 1. В формулах
(6.5) имеются отличные от нуля члены 7г(р°) (Ха)^°“Ра“1, поэтому
часть модальных столбцов будет полиномами времени t.
Пример. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
(2ZP-3) хг-х2 =0, х, + (2Д2-1) х2 = 0.
Соответствующая матрица
/2V — 3	-1 \
/ W = (^	!	2X2 — 1 /
имеет характеристическое уравнение
4 (Л-1)2 (Л + 1)2 = 0
22
с корнями Хх = Х2 = 1, Х3 = Х4 = —1. Так как D2 (X) = (X—I)2-
• (X + I)2,	(X) = 1, то инвариантный множитель Е2 (X) = (X—I)2-
• (X +1)2 имеет нелинейные элементарные делители (X — I)2, (X + I)2.
Вычисляя присоединенную матрицу и ее производную по Хг
находим
/2Х2—1	1	\
^^)=(	2Х2 —3/’
В соответствии с формулами (6.5) получаем
/2Х2—1	1
= ( _J 2V _ з
M-i
i \
-i + V ’
t	\
(2X2 —3)f 4-4Х/ ’
-1J ’
U^t, 1)=P/
t — 4 t
—t —t—4
Для корней	= 1 берем модальные столбцы
для корней Х3 = Х4 = —1 — модальные столбцы
Теперь выписываем общее решение в виде
* = (УгСг + V2C2) г' + (73С3 + Г4С4) е~\
откуда
= [Сх + (t + 4) С2] е< + [С3 + а - 4) С4] еЛ
ж2 = (—Ci — tC2) в1 — (С3 -|- tCJ е~*.
7.
Приведение общего решения линейной системы
к действительной форме
Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений
может быть записано в действительной форме соответствующим
выбором модальных столбцов и произвольных постоянных.
Предположим, что характеристическое уравнение матрицы
/ (X) имеет s корней, из которых часть корней Х^ = (g = 1, ...
. . ., s') является действительными, а другая часть корней Х8/ =
= 8Л + Zcoh, hS'+s"+h = &h — (fe = 1, . . ., s") — комплексными
и сопряженными. Общее число корней s = s' + 2s".
2S
Возьмем модальные столбцы и произвольные постоянные,
соответствующие корням V + л, K'+fT+h, взаимно сопряженными:
Vs'+h = Vs'+h 4” iVs'+s"+h,	Vs'+s"+h = Vs'+h —
1 1
Cs'+h == ~2" (Cs'+h iCs'+sf+h)t Cs'+s"+h == “Tj" (^s'+h “F ^s'+s"+h)«	(7 • 1)
Будем называть PS'+h, i>S'+s"+h собственными модальными столб-
цами; в случае действительных корней будем считать модальные
столбцы также и собственными модальными столбцами, полагая
Vg = Cg = cg (g = 1, . .	s').
Общее решение (5.10) переписывается в виде
х = У VgCgeKgl+ У [У3члСзчле<еЛ)' +
<пхр -Й si
+ ^s'+s"+/tCs'+s'+h ^(8,‘	=
s'	s"
= VgCge^ + “2“	[(^s'+h + iVs'+f+h) (Сз'+h —
g=l	/1=1
— ics'+s"+h)^h+	+	(*V+h — ivs'+s"+h) (Cs'+h +
-f iCa'+3"+h)e(e/l-i“A)‘l = У vg cg ex*‘ +
~j(«Xl) (1X1) (1X1)
s"
+ V Re [(vS'+h 4- ivsf+s"+h) (cS'+h — icS'+S"+h)	*]. (7.2)
(nxi) (nxi) (1X1)	(1X1) (1X1)
Введем модальную матрицу
v = (p1? . .	vs^ p541, . . iv+28"),	(7.3)
(ПХ8)	(ПХ1)	(ПХ1) (ПХ1)	(ПХ1)
составленную из s = s' + 2s" собственных модальных столбцов,
и обозначим через матрицу-столбец
Будем считать, что элементы этой матрицы определяются фор-
мулами
£g = exg‘cg (g= 1, ..
ls'+h = e8ft< (cs4ft cos ayht + cs4s-+h sin
Bs'+s'+h = e8** {—Cs’+h sin aht + c34^+h cos <s>gt) (h = 1,. .., s") (7.5)
24
Решение (7.2) с учетом формул (7.3) — (7.5) переписывается в виде
S'	й"
х = S + 3 (^s'+h^s'+h 4" ys'+s*r+h^8'+8"+/i) =
(nXl) g=l	h=l
= S v„ la = v %.	(7.6)
(T=l (nXl) (1X1) (nxs) (sxi)
Отсюда находим
ч=	(7.7)
o=i	o=i
Решение (7.6) и представляет собой действительную форму общего
решения.
Решение (7.2) можно также представить в другой форме. Для
этого введем матрицу
о	Ъ),	(7.8)
(nxe) (nXl) (nxi)
столбцы которой определяются соотношениями
Og = Vg eKgt (g=i,.. .,«'),
(nxi) (nXl) (1X1)
Os'+Л = eeh‘ (ps4ft cos aht — v^+h sin <aht),
(nXl) (1X1) (nXl) (1X1) (nXl) (1X1)
Os'+s'+A = e8*' (Vs'+h sin ©hZ + vS4s”+A cos cohf) (h = 1, . .., s”). (7.9)
(nxi) • (1X1) (nXl) (1X1) (nXl) (1X1)
Наконец, обозначим через с матрицу-столбец из произвольных
постоянных
с =( П .	(7.10)
(SX1)	\ С I
4 S'
Решение (7.2) с учетом формул (7.8) — (7.10) перепишем в виде
8'	в"
X =	4" 3 (^з'+ЛСзЧЛ 4“ '6’з'+з*+Лс8'+5*+л) ===
(nXl) g=l	h=l
= У ^0= & c . (J=l	(nXS) (8X1)	(7.И)
Отсюда имеем	
8	3 ^1=	=== S ^20^0, • • •, (J=l	0=1	жп= 3 ОпоСа-	(7.12) 0=11
Матрицы | иО могут быть представлены с помощью матрицы Кейли Q (см. разд. 3). Используя формулы .(3.3), (3.12) — (3.14), вместо формул (7.4), (7.5), (7.8) — (7.10) получаем следующие	
25
формулы:
g = с , й = и е&.	(7.13)
(3X1)	(8X8) (8X1)	(ПХ8) (ПХЗ) (8X8)
Общее решение (7.11) может быть представлено в виде
х = v е№ с .	(7.14)
(nxi) (ПХЗ) (8X8) (8X1)
8.
Список правил построения общего решения
однородной системы
линейных дифференциальных уравнений
В этом разделе в требуемой последовательности собраны формулы,
по которым строится общее решение однородной системы линей-
ных дифференциальных уравнений, и указаны операции, ко-
торые требуется выполнить.
Для заданной системы дифференциальных уравнений (5.4)
/11 (Р) X} + /12 (D) х2 4* • • » + /in (О) хп =
/21 (/^) ^i 4" /22 (®)	4“ • • • 4* fnn С®) хп = О,
fm (Р) хх 4" /п2 (^) #2 4“ • • • 4~ inn (Р) хп ~ О (Р = d!dt)
выписывается матрица, элементы которой равны полиномам при
#i> • • •> хп*
/(Х) = /(Р)| .
(nxn) (nxn)
Для матрицы / (X) находятся корни характеристического
уравнения
det / (X) = Д (X) = 0.
В приводимых в этом разделе формулах действительные корни
обозначены через kg = ng (g = 1, . . ., s'), комплексные корни
через
^s'+h ~	4“ ^s'+sP+h ~	=	•••»$)»
общее число корней s = s' + 2s".
Если у характеристического уравнения есть кратные корни,
то для матрицы / (X) вычисляется детерминантный делитель
Dn-i (Р) (общий наибольший делитель миноров (п—1)-го по-
рядка) и по формуле
Еп (X) = Д (%)/Рп-1 (М	(4.3)
соответствующий инвариантный множитель.
Инвариантный множитель Еп (к) разлагается на элементарные
делители типа (X — kg)eg, (к — kS'+h)e8'+h, (к — ks4^+h)e8f+8"+h-
Вычисляется присоединенная к / (к) матрица F (к) по сле-
(пХп)
26
дующему правилу: на место каждого элемента матрицы / (X)
ставится его алгебраическое дополнение. После транспонирования
составленной таким образом матрицы получается присоединен-
ная матрица F (X).
Для корня (or = 1, . . ., s) кратности составляются
матрицы
Uo (М = F (Хр), Ur (*, Ха) = F (М t + F' (ла), .. ., Uq^ (£, Ха) =
(nXn) (nxn) (пХн)	(пхп)
=f (м t^-1 + foe--*. Fr(K) +
+ (?<Т--1уа~2) F" (Ла) t9°~2 + . . . +	(Ла).	(6.5)
При этом принимается во внимание, что матрицы F (Ха) обращают-
ся со своими производными в нуль до производных (qo — ео — 1)-го
порядка, где ео есть степень старшего элементарного делителя,
соответствующего корню Ха: Еп (X) = (К — Ку)е°- • • •
Из матриц Uq (Ко), иг (t, А,а), . . .,	(£, Ха) выбираются
qQ линейно независимых модальных столбцов VG (0. Указанная
процедура повторяется для всех корней (а = 1, . . ., s', s' +
+ 1, . . ., s' + 2s").
Для действительных корней (g = 1, . . ., s') модальные
столбцы принимаются в качестве собственных модальных столбцов:
Vg=”g (£ = !,...,«').
(nXl) (nxi)
Для комплексных корней собственные модальные столбцы
vS'+h, v8^sr+h определяются по формуле (7.1)
Vs'+h :== Ив Vs'+h>	Vtf+P+h = 1ш "Иs'+h)
поэтому для них достаточно вычислить лишь модальные столбцы
Vs'+h, соответствующие корню + i(dh.
Составляются s матриц-столбцов 'ftg (0 по формулам
$g(t)=vg е”** (g = l,..s’),
(nXl) (nXl) (1X1)
Оу+Л (о = eeft( (Vs'+ft COS aht — Vs’+s-’+h sin a>ht),
(nXl) (1X1) (nXl) (1X1) (nXl) (1X1)
^+3«+ft (t) = ee^ (v34h sin G>ht + vS’+!r+h cos (s>ht)	(7.9)
(nxi)	(1X1) (nXl) (1X1) (nXl) (1X1)
(Л = 1, . . ., s")
Выписывается общее решение рассматриваемой системы
s'	s"
3 $8 Cg +	'6'sz+s'/+hCs,+s',+h)>	(7*H)
(nxi) ^=1 (nxi) (1X1)	Л=1 (nXl) (1X1) (nXl) (1X1)
где cg, c8'+h, cS'+S"+h — произвольные постоянные.
Из матричного соотношения (7.11) выписывается общее решение
для переменных хх, . . ., хп.
27
9.
Примеры собственных движений
линейных систем
Пример 1. Линейная система дифференциальных уравнений
имеет вид
(2)2 + 2D + 1) + (D - 1) х2 = О,
[D2 + (l-b)P + fe + 2]^ + (Z) + b)a;2 = 0.
Для нее матрица]
/пх-Г Ь2 + 2* + 1	К —1\
\Х2 + (1~ b}K + b + 2 % + b) ’
ее характеристическое уравнение Д (X) = 2 (%2 + !)(& + 1) имеет
простые чисто мнимые корни Хх = i, Xg = — i.
Присоединенная матрица
/ X b	—X 4" 1 \
F(X)=	+	+ Х2 +2X4-1 ) ’
а
/	&4-i	1 —п
FV=[~(b + i) + (b-l)i 21 ) •
В качестве модального столбца берем второй столбец:
откуда
По формулам (7.9) составляем
/1\	/—1\	(cost — sinM
Oi=l(Jcos*-t 2Jsin*=l —2sint h
/1\	/_f\	/sin J — cosi\
»2=^oJsin*+( 2JC0S*=k —2sint J‘
В соответствии с (7.11) решение
[cost — sini\	/sin! — cost\
x~ \x2/	'&2C2= —2sini	2cost /
откуда
хг = (cos t — sin t) 4- c2 (sin t — cos t),
x2 = — 2cx sin t 4- 2c2cos t.
Пример 2. Для системы
4- (D2X8,	$2 = — ®1X1 +
$2 == —	—— COgjCjj	COgXg
28
матрица
—(01
О
(02
—(02
О
X
—(01
Ее характеристическое уравнение
Д (X) =	+ (О2)2 = 0 (со2 = g>2 4- col)
имеет корни = Х2 = ico, %3 =	= — /<о.
Так как
Лр + (о2)	—(01 (А* + (о2) (о2(Х2 + (о2) О х
F(M = I 0)1(Х2 + 0)2)	М^аН-(о2)	0	(о2(Х2 + (о2)\
{ I — (о2(X2 + (о2)	0	Х(Х2+(о2) — (Oi(X2 + (o2) I»
\ О	-(02 (X2 4> (О2) (01р + (02) Х(Х2 + (Оа) '
то Dn (X) = V + (о2, Еп (X) = Д (%)/Dn-i (К) = %2 + со2, откуда
видно, что элементарные делители линейны.
В рассматриваемом случае для корней Хо кратность qa = 2,
ео = 1, поэтому F (Ха) = F (+ico) = 0 и нам достаточно пост-
роить матрицу
X2 4“ (о2 —2(01Х	—2(о2Х* О
2(оЛ ЗА.2 4“ Ф2 0	2(о2Х
—2(о2А»	О ЗА»2 4“ (о2 —2(01А/
О	—2(о2А/	2(оА ЗА/24“ (о2
tZ1(%) = F'(X) =
Возьмем в качестве модальных столбцов первый и второй столбцы
матрицы F' (ico), поэтому с точностью до постоянных множителей
откуда
Соответственно
'0'1 (t) = cos tot — v3 sin tot,
(0 = vi sin + из cos
^2 (0 = V2 C0S	Sin (0^,
О4 (0 = V2 sin tot 4- ^4 COS tot,
x = '0'1 (0 Cl 4- #2 (0 C2 + 'О'з (0 C3 + ^4 (0 C4,
29
откуда
хх = (— (оег 4- (0^4) cos (of 4~ (— (oe3 — (0^2) sin (of,
x2 — (co c2 + (OjCg) cos (of + (ooc4 — (0^) sin (Of,
x3 = — (O2c3 COS (Of 4“ (02ег sin (Of,
x4 = (o2e4 cos (of 4" (o2e2 sin (of.
Пример 3. Система
D2 0
—8 П2
0 4
i)0-"
имеет характеристическое уравнение
Д (X) = Х« + 64 = (X2 + 4) (V-4V + 16) = О
с корнями Х1>4 = 4-2г, Х2,5 = УЗ + i, Х3(в = —У3 4; i и присо
единенную матрицу
/ X* —8 2Х2\
F (к) = 812 X4 16 | •
32 —4Х» М/
Для корней
(1
1 -f- i Уз
Соответственно
(Z) = I?! cos 2t — sin 2t,	(t) = vt sin 2t 4- v4 cos 2t,
ft2 (t) — (v2 cos t — vb sin t) e^3t,	(t) = (v2 sin t 4- v-a cos t) e^*1,
fi3 (f) = (p3 cos t — ve sin t) e~^*, ft# (t) = (p3 sin 14- ve cos t) e~
= (vici + v4ct)cos + (pic4 — r4ci) sin 2f 4-
4- eY3t [(p2ca 4- t>5c5) cos 14- (i?2c5 — v6c2) sin f] 4-
4- e~ ^3t I(i?3c3 4- vtce) cos 14- {v3c9 — vec3)].
Пример 4. Система
(D2 — aD 4- u^2) 4- aDx2 = 0,	—aDxt 4~ (P* 4- <^D 4- и>2)х2 = 0
30
имеет матрицу
/X2 — аХ + со2
/Р-Н _«Х
аХ
X2 -|- аХ + со2
с характеристическим уравнением
А (X) = (X2 + со2)2 = О,
корни которого Хг = Х2 = /со, Х3 = Х4 = —/со. Инвариантный мно-
житель
Е2 (X) = Д (k)/D1 (X) = (X + f(o)2 (X - ш)2
имеет нелинейные элементарные делители. Присоединенная мат-
рица и ее производная выражаются формулами
/X2 -|~ аХ + со2	—аХ	\	/2Х а —а \
F Х)=	.	( 2 ,	F'(X)=	91
' '	\ аХ X2 — аХ + со2/ ' '	\ a 2Х — а)
ТЮ&ТОМф
(aid) —aids
aids —aids
aids —aids\	(2ids4~a —a
I t -j- (	9.
aico —aids J	’ V a Aids— a
t71(ico) =
В качестве модальных столбцов Vn V2 возьмем линейно незави-
симые столбцы матриц 170 (ioo), Ux (ico), из которых вынесены
постоянные множители
fi \	f aidst + а \
\7 -- I I Т7 ------- I ‘
1 V / ’	2 \aidst — 2ids^a)
Соответственно
/0\	/1\	(а\	(adsi \
*l=toj’	p4=U<o<-2<J’
Ox (0 = vi cos	— из sin	^3 (0 = vi sin	+ из cos
'О'г (0 = u2 cos si*1	'0’4 (0 == u2 sin	+ y4 cos
(хл \	/—sin cof \ (acosdst — adst sin dst \
I * " Cl	) I cl	) I
x2/	1	sin dst) ~ 2 \acoscof — (acof — 2co) sincof/ '
/ cos dst \ fa sin dst + adst cos cof \
I - Q I	J	I - Q I	I
~ 3 \ cos cof J ‘ 4 \a sin (of + (acof — 2(o) cos (of /
10.
Общий случай вынужденных движений
линейных систем
Рассмотрим теперь общий случай вынужденных движений, опи-
сываемых системой линейных дифференциальных уравнений вида
f(D)z = e(D)x(t)	(10.1)
31
В ней
D = —
dt •
/ (D) = a,QDL + arDL 1 + . . . +
(nxn) (nxn)	(nxn)
/ #1 \
х =  , е (D) = e0DN +
I х I (nXn') (пхп') (пхп')
\ п /
/Х1 СО \
Х(0 —I :
\Хп4<)/
(nXnz)
(10.2)
элементы матриц а0, . .	е0, . . ., eN являются постоянными
скалярами, элементы матрицы-столбца % (0 считаются извест-
ными функциями времени. Уравнение (10.1) запишется
/п (Р) *х + . • • + /1п (Р) хп = еи (D) Хх (0 + ... + е1п> (Р) Хп' (0,
/21 (Р) «1 + . • • + /2П (О) хп = е21 (D) Х1 (0 + ... +	(Р) %П' (0.
/п1 (Р) + •.. + fnn (Р) хп — еп1 (Р) Х1 (0 + • • • + еПп' (Р) Хп' (0-
(10.3)
Прежде чем начать изложение теории вынужденных движений,
выведем необходимую для дальнейшего изложения интерполяци-
онную формулу Лагранжа.
Предположим сначала, что на плоскости комплексного пере-
менного 1 заданы s различных точек Xj, . . ., и значения неко-
торой функции ф(Х) в этих точках. Тогда полином (s — 1)-й степени
(X — Х2) (1 — X,)... (X — XJ
Р(^)=Ф(м;х1-х2)(х^:7(^) +
(Х-Хх)(Х-Х8)...(Х-Х,)
(Х2 — ^1) (^2 — Айз). . . (Х2 — Х8)
(X — Xi) (X — Х2) (X Х<)... (1 —
(Х3 — Xi) (Хз— Х2) (Х3— Х4)... (Х3— хр
(ь-Vi) _
(X8-M(X8-X2)...(4-V1) —
ч (X - Хх)., • (X - Х0_х) (X - xg+1)... (X - х8)
°> (Хо- Хх)... (Ха - Хо_х) (Хо - xo+1).. .(Xe- X,) ' • >
+ Ф (Ю
s
0=1
принимает в точках Xx, . . ., Xs заданные наперед значения
<р (Хх), . . ., <р (Х8). Полином L (X) называется интерполяционным
многочленом Лагранжа. Обозначая через Да (X) = (X —	. . .
. . . (X — i) (X —Xq—х) ... (X — Х8),	(^) ==	(^*)/(^сг)» пере-
пишем L (X) в виде
Z/ (X) = Ф (^o) (?v)
o=«l
(10.5)
32
Пусть теперь среди s точек Хх, . . ., Xs имеются кратные точки,
т. е. имеются точки кратности qa :	= Ха+1 = . . . = X0+7(j_x.
Сгруппируем эти кратные точки в виде N групп. Переобозначим
точки X следующим образом: значения точек Хх = . . . = X7t,
соответствующие первой группе, обозначим через Хх; значения
точек Х71+х = . . . = kgi+g2, соответствующие второй группе,
обозначим через Х2; значения точек ^gi+...g^x+i ==...=
= ^ql+...+qN_1+qN обозначим через KN. Таким образом, мы по-
лучаем N кратных точек Хх, . . ., hN, причем кратность точки Хх
есть число #х, . . ., кратность точки есть число qx', суммар-
ная кратность равна s.
Возьмем теперь скалярную аналитическую функцию ф (X), ре-
гулярную в некоторой области, включающей все точки %х, . . к3.
Если обозначить через A (X) = (X — 1Х) . . . (X — Xs), то функция
ф (Х)/А (X) не имеет кроме полюсов в рассматриваемой области дру-
гих особых точек, поэтому она может быть представлена в форме
N
1W = 5(4+£G<,(^-).	(10.6)
СГ=1
Здесь S (X) — функция, регулярная в рассматриваемой области.
Запишем относящиеся к полюсам функции ( х — X
в следующем виде:
с (	1	— Н' Д- Н*	д_	д.
^(x-xj —	(1-М)4 '	(Х-ХО’* ’
С (	1	I	#91+2	I	I	#91+<?«
^КХ-Хг/ Х-Х2 (Х-Хгр	(Х — Х,)’» ’
(Ю.7)

W-X+*
(X — XW)’W
Вводя формальное обозначение q0 = 0, представим соотно-
шения (10.7) в сокращенной форме:
д° н
G„ ( • ) = у	(о=1.....JV). (10.8)
Если подставить это выражение в (10.6) и полученное соотношение
умножить на (X —X(J)?0, то после несложных преобразований
получаем, что
3 ^...+9а_1+Р (X - м9о-₽=ср (M/Да < (X) (X - М’*.
Р=1
Да(Х) = Д(1)/(Л-Ха)Ч	(10.9)
2 И. Ф. Журавлев, Д. М. Климов
33
Здесь S (X) регулярна в окрестности точки Ха, поэтому произве-
дение S (X) (X—обращается в нуль вместе с производными
до (qo — 1)-го порядка.
Полагая в соотношении (10.9) X = Ха, находим
Hqi+...+qo ~ (А,о)/До (Хо).
Дифференцируя соотношение (1.9) по X и полагая в полученном
равенстве X = Ха, определяем
„	__ 1 Г д / 0) (К) \ 1
— ТГ |_^Г	) ]х=Хо’
н _ 1 Г / <р(Х) \ л
я9»+...+90-2	2!	I Д„(Х)) , . '
Продолжая этот процесс, находим общую формулу
_	1 Г р / <р (X)
g.+...+Qa-1+Р— (^-р)! [^9а-р Д(Х)
(10.10)
Подставляя формулы (10.8), (10.10) в соотношение (10.6), получаем
N 9о
0=1 Р=1
1 Г <?9g~p
(?0 —р)!
откуда
<р (X) = L (X) + S (X) Д (X),	(10.12)
где выражение
^о-Р
х Д0(Х)(Х-Ха)^“р
(10.13)
представляет собой полином ($ — 1)-й степени.
Произведение S (X) Д (X), регулярное в рассматриваемой обла-
сти, обращается в нуль при X = Ха вместе с производными до
(qa — 1)-го порядка. Из формулы (10.13) видно, что при X = Хо
должны совпасть как значения функций <р (X), L (X), так и значе-
ния их производных до (да — 1)-го порядка. Таким образом, L (X)
представляет собой обобщенный интерполяционный полином Ла-
гранжа, принимающий вместе с производными до (да —- 1)-го
порядка заданные наперед значения в каждой из точек Ха (о =
= 1, . . ., N). Для случая, когда все qx =. . .= qx = 1 (s = N),
из формулы (10.13) получается формула (10.5).
Вернемся теперь к уравнению (10.1), которое перепишем в виде
х= Гмв}О> ХИ-	(10.14)
34
Предположим, что характеристическое уравнение A (D) = 0 имеет
s корней: кратности дх, Х2 кратности q2, . . ., kN кратности
s = qx + . . . + qN- Выделяя из F (D) e (D) /А (D) целую часть
S (D), разложим оставшуюся правильную дробь по формуле
(10.11). В результате имеем
Л	г дп-р
a; = S(D)F(D) + У У Х4
'	’ V Т Z_J /j (g р)!	9о-р
а=1 р=1	u
НО
( e(D)(D — Xn)q° \'
X Г т\ —1, .2_________ ______________
\ k ' ДР) / Jn=Za (D— ха)р
(10.15)
Для уравнения (10.1) членам с % (t) соответствуют некоторые
частные решения. Интерпретация символического выражения
Фдо+...+^Р (0 = X (0 /(D - Х0)р (д0 = 0)	(10.16)
получается, если заметить, что эта функция при воздействии на
нее оператора (D — Ха)р должна воспроизводить % (0, т. е. она
представляет собой частное решение дифференциального уравне-
ния
(D - Ха)Р<р = х (О-	(Ю.17)
Так как для любой функции ф (t) имеют место соотношения
D [ггф (0] = еи (D + X) ф (0,
£)р [^Мф _ е>л (D х)р ф (0,
то из (10.17) получаем
е	^o)p(pQ0+-.-+7Cy_1+P (0 = DQ [е ° фд0+---+9а-1+Р (01-
Будем искать частное решение (10.17) в виде
t
ЧЧ+...+9о_1+Р (0 = $	а -	(т) dr,	(10.18)
о
откуда
(D ^o)P(Pgd+.-.+ga_1+p(0 = е^°	^o+ ’.+Qa-i+P (0] =
t
=	5' (Р-1)! (Z ~ т)Р’1е’К°ХХ dx-	<10Л9)
О
Легко проверить, что
t
V $ Ti^TjT (' -	"'* (’)Л = [
о
t
х е"МХ(т)]х=( + $ -(р-!.2)Г (Z — T)P'2e’XatX (т) dr =
о
2*
35
= $ (р22)! V -	(т) dx,
О
$ V^jT{t ~	dx=е'"° х (О.
О
поэтому получаем
(Р — Хо)р <Pge+...+ga_x+p (0 = X (О,
т. е. выражение (10.18) действительно является частным решением
уравнения (10.17).
Подставляя решение (10.18) во внутреннюю сумму решения
(10.15), находим
1
(р-1)!	—р)!
Л~р (> р)«р» Р - Ч)9° |
\ Др) )
t	t
(t — т)Р-’е’о('-х) х (т) dx = JT х
О		Р=1 о
(?<Г—• • (?а — Р+ U
\ 1	Р ^aO_t)
о
I F (D) е (D)
\ ДР)
.	д \9<rl (F (D) е (D)(D — ка)9°
1 Т+ &D /	\ Др)

Общее решение матричного уравнения (10.1) записывается в
виде
t
х = а (0 + s (D) X (0 +	(i - т) X (т) dx.	(10.20)
(nxi) (nxi) (nXn'Hn'Xl) J (пхп') (п'Х1)
Здесь а (t) = veQtc (см. (7.14)) есть общее решение однородного
уравнения, a (J (t) определяется формулой
N > t Г
0=1
д
dD
гр).р)Р-ха)9°у
др) Л
D=Xa‘
(10.21)
11.
Метод вариации постоянных Лагранжа
в форме Булгакова
Общее решение матричного уравнения (10.1) может быть как и
в случае однородного уравнения приведено к действительной фор-
ме. Это преобразование приводится здесь для случая, когда матри-
36
да / (%) для всех корней характеристического уравнения имеет
линейные элементарные делители.
Пусть = ка+1 = . . .= Xo+ga_i да-кратный корень характе-
ристического уравнения, поэтому старший же детерминантный
делитель Dn (X) = (X — Х0)9<т .... Принимая во внимание форму-
лу (4.3) и тот факт, что элементарные делители линейны, находим,
что D п_г (1) = Dn (к)/Еп (1) = (1 —	.... Поэтому все эле-
менты присоединенной матрицы представляются в виде Fkj (X) =
= (X — Ха)9<т-1 ... и при X = Ха они обращаются в нуль с произ-
водными до (qo — 2)-го порядка, откуда
F (Ха) = ЛЧ F4'-2^) = 0,	(11.1)
а
F(?0-1) (М = Uq<ri (t, М
должна иметь ранг qa. Как и в разд. 10, переобозначим корни Х^:
корни, соответствующие первой группе Хг =. . .= Xgi, обозна-
чим теперь через Хх; корни, соответствующие второй группе
Хд1+1 = Хд1+2 = . . . = Xgi+g2, обозначим через Х2; . . .; корни
^91+...+д>(у_1+1 = • • • — ^g1+...+gjy_1+gjv обозначим через
Возьмем qG линейно независимых столбцов матрицы F(qorl) (kG)
в качестве модальных столбцов Kgo+...+ga_1+1,Vgo+.,.+ga l+gG.
Сама матрица F{q(rl) (Ха) может быть представлена в виде
У (У
1)(Х(Т) =	^ge+... +g0_1+p^gu+-.+ga_1+P*	/л л п\
(ихп)	Р=1 (ПХ1)	(1ХП) ° 1
Здесь lFgo+...+ga_1+p — qG линейно независимых матриц-строк, эле-
менты которых могут быть найдены из уравнения (11.2) после
того, когда выбраны модальные столбцы Vgo+,,.+ga_1+p.
Принимая во внимание соотношения (11.1) и (11.2), перепишем
формулу (10.21) для р (t) в следующей форме:
e(D)(D-ka)q°'
0=1
A (D)
или
VaWo
e(D)(D-Ka)q°
А (О)
(И-З)
где суммирование опять ведется по всем корням (^-кратный ко-
рень Ха встречается в сумме qa раз).
Общее решение однородного матричного уравнения a (t) было
преобразовано к действительному виду в разд. 7. Обращаясь к
37
формулам (7.6), (7.11), (7.13) и (7.14), имеем
S	S
а(0= S Ba =	= S ^0 Са =	,
(пХ1)	0=1 (n XI) (1X1) (nxs)(sxi) 0=1 (ПХ1) (1X1) (nxs)(sxi)
g — eQt c ,	§ _ veQt ,	a(£) = ueQt c .
(sxi)	(sxs) (8XS) (nxs) (nxs)(sxs)	(ПХ1) (nxs)(sxs) (8X1)
В этих формулах и в формуле (11.3) для р (t) для действительных
корней модальные столбцы берутся в качестве собственных
модальных столбцов: Vg == vg (g = 1, . . ., s'), модальные столбцы
7в'+л» Vsf+^'+h, соответствующие комплексным корням Х8/+Л =
=	+ icoZl, Х8/+8"+л = 8Л — icoZ), выражаются через собственные
модальные столбцы vS'+h, v8'+f+h-
Vs'+h === Vs'+h + ^'s'+s**+h> Vs'+'"+h ^^Vs'+h iVs'+s"+h (Л === 1» • • S ).
Обозначим через Wg = wg (g = 1, . . ., s') матрицы-строки, соот-
ветствующие действительным корням xg (см. формулу (11.2)),
через WS'+h, WS'+s"+h (h — 1, . . ., s") — матрицы-строки, соот-
ветствующие комплексным корням V+л» XS'+s+Zl. Используя их,
введем матрицы-строки
ь0 = w* Г*(Д)(д-*Л|
(ixn') (Qg — 1)! _ Д (D)	Ji)=xg
(ixn)	(nxn')
1	ч Ws'+Il [«P)P-e„-to(l)W
L A(D)
+Udh
1
-у- (bS'+h + ibS'+S"+h)
(ixn') (ixn')
(Л = 1, . . ., s")
W8'+s"+h
(lXn)
(11.5)
^(^(Д-ег. + ч/84'1
Д	JD=e. -i(0/
(nxn')	“ n
и из этих матриц-строк составим матрицу
(11.6)
Подставляя модальные столбцы и матрицы-строки Ьо в фор-
мулу (11.3) для р (t) и принимая во внимание соотношения (7.9)
и (11.4), получаем
s'	s"
р (0 = У Vgb^ + У ГV,+h -±- (be4h - ibs4s..+)l) е(е>‘+^ +
hiL
+ Vs'+s'+ft -у- (bS'+h + г’Ьз'+з'+л) e<8/‘	=
S'	s"
= У, Vgbge^ + Re У [(р8ЧЛ -j- ez^ (cos ©,/ +
5=1	Л=1
38
+ i sin co,/) (bS'+h — ibs^+h)] = 2^ fig (0 bg +
s"
+ Re ^2 [('O's'+h (0 + i^s'+s"+h (0) (bs'+h — ^b9'+s»+h)] =
Л=1
s'	s?
=	bg f^s+/l	^3'+h H~ ^s'+s"+h (0 &s'+s"+7i] =
£=1	h=l
s
= УМ0 bG = й(0 b = ve& b. (11.7)
'—-'(nxi) (1XS') (nxs) (sxn') (nxs)(sxs)(sxnz)
0=1
Решение (10.20) может быть теперь представлено в виде
t
X = S(D)x(t) + ft (?) с + 4 (t — т) Ь% (т) dr = S’ (Р) % (?) +
(11X1)	о
t
4- ve^c + ve® § e~^xb% (т) dr = 5 (Р) x (?) 4-
o
t
+ ve® (с + ( е~^хЪ^ (т) dt) = 5 (P) x (?) + ft (?) В (?), (11.8)
0	7 (HXn'Xn'Xl) (nxs) (8X1)
где
t
B(t)= c + e~^b %(x)dT.	(11.9)
(SXl) (8X1) о (8X8) (sxn') (n'Xl)
Общее решение (11.8) неоднородного уравнения получается из
общего решения однородного уравнения заменой с —> В (t). Из
этого следует, что оно получено методом вариации постоянных.
Обращаясь к формулам (3.13), (3.14) и используя блочную фор-
му записи матриц, перепишем соотношение (11.9) в следующей
форме:
/ е-ит t I (S'XS') B(t)= с +U 0 (ЛХ1) (sxi) J I ( Ь1Х (t) ’ M (0 x 	 6S'+S"X (0 , ^s'+2s"^	.	0	°	\ e-eTcoscox —e-ex sin cox I s (8"XS")	(S"XS")	I Z e-eT sin сот	e-ex cos сот ; (s"Xs")	(s'^Xs")	/ c/t.
39
Используя для этого соотношения формулы (3.15)—(3.16), находим
t
Bs^)= cs + bg	(g = l, . . ., s'),
(1X1)	(1X1) (IXn') J ЦХ1)(и'Х1)
B3'+h (0 = Cs'+h ~r \e (bS'+fl cos (.Dht — bS'+S"+h sin (oZ/t) у (t) dr,
(1X1)	(1X1) J (1X1) (1ХП') (1X1) (ixn') (1X1) (n'XD
t
B^+^+h (t) = c^'+h + \ (b34ft sin co,/ + cos ю,д) % (т) dx
(1X1)	(1X1) Q (1X1) (IXn') (1X1) (ixn') (1X1) (n'Xl)
(Л = 1, . ..,$").	(11.10)
Два’последних соотношения могут быть переписаны в эквивалент-
ной форме:
Btf+h (0 iBs'+tf'+h (0 == Cs'+h iCs'+^'+h -f~
t
+ (b^h - ib^+h) J e-^+i^\(x)dr (h = 1.........s").	(11.11)
0
В дальнейшем нам понадобятся не только решение х, но и его
производные х, х, .... Дифференцируя решение (10.20) v раз,
находим
t
X = 5(v) (D) X (0 + а (0 + J ₽ (t - Т) X (т) dr,	(11.12)
о
где
5<v) (D) = DVS (D) + p (0) D*'1 + p (0) £>v-2 + ... + [W (0),
a (f) = V V^c^,	₽ (0 = У VX X
u„ r.pxfl-V’l
X (9а~1)! L A(^) JD=^ '
(11.13)
При v = 0 мы получаем само решение х.
Введем матрицы-столбцы
l4v) =	= vgxXg (g = 1, . .., s'),
Vs+h (eh -i- icoft)v = v$v+\ +
s'+sf'+h (^h —	== Vs'+s'+h iVs'+s"^h (h~-- 1, . . ., S )	(11.14)
и составим из них матрицу
1Xv)=(pf>	(11.15)
(пхз) (nxi) (нХ1)
Кроме того, введем матрицы-столбцы
^(0==4V? (g=i,.... s'),	(иле)
(t) 4-	(t) = [v^h + c(a' +t<‘,")f (h = l.........s")
40
и составим из них матрицу
tt<v)(0 = (#iV>(0..........Mv)(0)-	(11.17)
(nXs) (нХ1)	(nXl)
Принимая во внимание соотношения (11.13)—(11.17), получаем
а (0 = J V^cge^ + % [Fy+ft (е;, +	+
+ Vs^+h (eft -	=
= S	2 S Ке[Р>+Л(8,.+ ШпУС^е^^] =
g=l	Л=1
= S о!? (0 cg + S Re {[Op>A (t) 4- itfb+h (0] X
g=l	h—1
X (Сз+h — icS'+s"+h)} — 3	) (0 cg +	[^s'+A (0 cs'+h. 4"
g=l	h—l
+ ^чв”+Л (0 cv+s-чл] = S ^aV) (0 C<1 = ft(V) (0 C.
0=1
Используя матрицу Кейли eQt (см. разд. 3), так же как при вы-
воде формулы (7.13), получаем
ft(v)(j)= y(v) е&	(11.18)
(»iXs) (nxs)(sxs)
И
a(t) — №v'(t) с =	c.	(11.19)
(nxi) (nxs) (3X1) (nxs) (sXs) (SX1)
V
Приводя производную p (t) к действительному виду так же, как
в разд. 11 саму функцию 0 (0, находим
Р (0 = 0W (О b =	(11.20)
откуда получаем величины
р (0) = v^b.	(11.21)
входящие в (Z)) (см. (11.13)).
Выражение х может быть теперь представлено в виде
t
х = 5(v) (D) % (t) 4-	4- '0,(v) (t — t) (r) dx =
(nXl)	0
= S(v) (D) x (0 + В (t) = 5(v) (D) (t)	№' ) B (Z).
(nXn') (n'Xl) (nxs) (SXS) (3X1) (nxn') (n'xi) (nxs) (sXl)
(11. 22
41
12.
Список правил построения общего решения
неоднородной системы
линейных дифференциальных уравнений
В этом разделе собраны в требуемой последовательности формулы*
по которым строится общее решение неоднородной системы ли-
нейных дифференциальных уравнений, и указаны операции, ко-
торые при этом требуется выполнить.
Заданная система дифференциальных уравнений (10.3)
/н (D) хг 4---ь /ш хп = еп (D) Xi («)+••• +	(D) X»' («),
/21 (В) .Ti + • • . + /2П (D) хп = е21 (D) Xi (0 + • • • + e2n>(D)	(t),
(О)хг+ ...+ fnn (D) хп = enl (D) Xi (0 + • • • + e,.n' (D) Xn' (0
переписывается в виде матричного уравнения (10.1)
f (D) х = е (t),
//нр).../1пР) \	Ai\
/(£»)= ............... , ж = : ’
<ПХ,!) VnlP)---/nn(P) /	("X1> \XJ
/ eu(D)...eln,(D)\	/ %i (0 \
«(#)= ................I- X(0 =| : I-
\enAD>l---enn'(D)J ("'X1)	\Xn'(0/
Для матрицы f (X) = / (D) находятся корни характеристиче-
ского уравнения det / (X) = A (X) = 0. В приводимых в этом
параграфе формулах действительные корни обозначены через
Xg = (g = 1, ...» s'), комплексные корни — через =
= 87l + ia>/t, К'+s''+h = 6/t — (h = 1, . . ., s"), общее число
корней s = s' + 2s".
Если у характеристического уравнения есть кратные корни, то
для матрицы / (X) вычисляется детерминантный делитель Dn^ (1)
(общий наибольший делитель миноров (п — 1)-го порядка) и по
формуле (4.3) соответствующий инвариантный множитель Еп (X):
Еп (X) = A (1).
Инвариантный множитель Еп (X) разлагается на элементарные
делители типа
(X — Xgfs, (X — 8Zl — i(j)h)es'+h, (X — eh -b i(ob)es4s"+h.
Вычисляется присоединенная к / (X) матрица F (X) по следую-
щему правилу: на место каждого элемента матрицы / (X) ставится
его алгебраическое дополнение, далее транспонированием состав
ленной матрицы получается присоединенная матрица F (X).
42
Рассмотрим сначала случай, когда все элементарные делители
линейны: в! = . . . =	— eS'+i = . . . =	= 1.
Для корня Хо кратности qo вычисляется матрица f(5(J"3) (Ха),
берутся в качестве модальных столбцов Vqo+... +9а_1+р q0 линейно-
независимых столбцов этой матрицы, после чего вычисляются qo
линейно-независимых матриц-строк W7ge+...+ga-1+p из матричного
алгебраического уравнения (11.2):
F^0 1)(Za) = S ^+--+9a-1+p^Z9o+--+ga_1+p- G/o = 0)
(/1X71)	р=1	(/4X1)	(1X71)
Эти вычисления проводятся для всех корней, как действительных1
так и комплексных. Соответствующие действительным корням
матрицы Wg переобозначаются через wg.
Находятся собственные модальные столбцы по формулам vg =
= Усг (g == 1, . . . ., s') для действительных корней, iv+л =
= Re Vs'+/i, vS'+S"+h = Im Уз'+л для комплексных корней. В со-
ответствии с формулами (11.5) вводятся матрицы-строки

bg
(Г Ml')
bs'+h = 2 Re
(IX ll')
wg
^,-1)! L
b (1ХП)
^+Л
е(Р) (Р -\)
Д(Р)
jD=xg
(£=1, •
^s'+h
Д P)	jD=Eh+i(Oft ’
(nxn')	n n
e (D) (D— sh — iti>h)9^+h '
е (D) (D — &h — i<Jh)
L
dx»)
^'^/, = -2 Im——s'+/l
(IX 7/')	\4s'+h
-1)! L
Др)
(nxn')
О=гл+«ол
При этом следует помнить, что для действительного корня ng
кратности qg имеется qg матриц-строк bg, при их вычислении из-
меняются wg. а множитель [е (D) (D — ng)q§lA (j9)]£>=Zg остается
неизменным; аналогично для комплексных корней 8h + Zcohf
8Л — кратности qs>+h имеется 2qS'+h, матриц-строк 6S'+h»
bS'+S”+h'i при их вычислении изменяются	а множитель
[е (D) (D - еЛ -	(D)]D^iah остается неизменным.
Вводятся произвольные постоянные сх, . . ., с6 и находятся
скалярные функции Bg(t) (11.10):
t
cg + bg \e'Kg\(x)dr
(1X1) (IzVl) (IXn') J (1X1) (n'Xl)
t
BS'+h (0 = cS'+h + ( e~^x (bS’+h COS (O,J — bS’+S"+ll sin ю,д) x (t) dx,
(1X1)	(1X1) S <1X1> dxn') (1X1) (IXli') (1X1) (n'Xl)
t
BS'+s-+h (0 = СУ+3-+Л + ( (bs +h sin (0,,T — bs<+s-+h cos (о,д) x (^)dx.
(1X1)	(1X1) о (1X1) (1X77') (IX n') (ixn') (1X1) (n'Xl)
43
Вводятся матрица-столбец B(t) =
(SX1)
Составляются 5 матриц-столбцов 0а (t) по формулам (7.9)
М0 = vg e-i (g = l, . . ., s'),
(nxi) (nxi)dxi)
<Ьчл (0 = (vS'+h cos co,/ — vS'+^h sin co,/),
(nxi) (1X1) (ПХ1) (1X1) (nxi) (1X1)
'^s'+s’+л (0 = еел‘ (iv+h sin co,/ 4- iv+r+л cos co,/) (h = 1, ..., s'),
(nxi)	(1X1) (nxi) (1X1) (nxi) (1X1)
ад \
I и матрица ft (t) =
В (t) I	<nxs>
— 0М0» • • .,<h (0, после чего находится общее решение (11.8)
(nxi)	(ПХ1)
неоднородного матричного уравнения (10.1)
(nxi) (пХн')(н'Х1) (nxs) (sXI)
где S (D) — целая часть F (D)e(D)/& (D).
Выписывается общее решение для неизвестных в скалярной
форме:
п'	3
%1= 2j ^lk (Р) Xk (0 + S ^1) (0 (O’
k=i	C=1
nz	8
^2—3 Ф) (t) -J- 2	(0 (0»
k=l	Z=1
n'	s
Tn — 3	(D) Zfc (0 + S ®nl (0 (0-
k=l	1=1
На этом заканчивается построение общего решения, если элемен-
тарные делители матрицы / (X) линейны.
Если же среди элементарных делителей матрицы / (X) имеются
нелинейные делители, то общее решение матричного уравнения
(10.1) находится по формулам (10.20) и (10.21):
t
х =a(0 4-5(Z))x(0+	— т)х(т)йт,
(nxi) (nxi) (пХп')(п'Х1) о («ХЮ (п'Х1)
₽(Z)~ .L (g*-1)!
0=1
д ( F(D)e(D)(D-la)qa
dD/[	Д (D)

Общее решение однородного уравнения a (t) строится по прави-
лам, изложенным в разд. 8.
Производные х могут быть вычислены или прямым дифференци-
рованием, или по формулам (11.22).
44
в.
Примеры построения общего решения
неоднородных систем линейных уравнений
Пример 1. Система уравнений
-^ = х--у + ф(0,	-^- = 2а--у
имеет матрицы
/(£) = ( _2 Z> + J’ e(D)=(o}’	Х(0 = Ф(0-
Характеристическое уравнение А (1) = X2 + 1 имеет корни Xg =
-- I, Xg -
Присоединенная матрица F (X)4=j имеет вид
откуда
Матричное уравнение (11.2) записывается в следующей форме:
П + 1 -1\	_/(/ + 1)Иц (i + l)lPB\
\ 2	(!хХ!> axl)-V	2»и Л
из которого
IFU = 1, и\2=-ЦД.
После этого находим
»х=2ReW.	= 2Re(Гц	=
= 2Re(i) = 0,
»,= -2Im(4-) = l,
t	t
Bt (<) = Cj — j sin т <p (x) dr,	B2 (t) = c2 + У cos xq> (т) dr,
о	0
/ cos t — sin t \
O1(0 = p1cos« —yasin#=	2cogi j,
( sin t 4- cos t \
&2 (0 = V1 Sin * + U2 COS t =	2 g.n t J .
Так как для заданной системы уравнений целая часть
F (D) е (Z))/A (D) равна нулю, то общее решение записывается
в форме
/ х \ /cosZ—sin£ sin £ 4" cos М
\ у ]	\	2 cos t 2 sin t ) \B2 (t) ) ’
45
откуда
t
х = (сх — sin т ср (т) dx) (cos t — sin t) 4-
о
t
+ (C2 + C°S TCP (8*П C°S
0
/ *
у = 2 (cx — j sin т ср (x) dr) cos т 4- 2 (c2 + cos x ср (t) dx) sin t.
0	0
Пример 2. Система уравнений
f(D)x = e(D)^(t),
/ D2 — a D + (o2	a D
/ (^) =Ц — aD D2 + aD + <o2
/1 0\	/ <pi (t) \
»CD)=(0 J. <₽«)= Um)
имеет характеристическое уравнение (X2 + co2)2 = 0 с корнями
= /со, %3 = — ico, Х2 = io, Х4 = — ico. Так как элементарные
делители матрицы / (X) нелинейны (см. пример 4 разд. 9), то реше-
ние строится по формулам (10.20) и (10.21), причем
/D2 + aD 4- со2
F(D)={ aD
— aD
D2 — aD + (о2
F(D)e(D) = F(D).
Рассматриваемая система имеет две группы двухкратных корней
(N = 2, qa = 2), которые являются комплексно сопряженными.
Поэтому возможно вести вычисления для группы корней ico, а для
построения полного решения добавить комплексно сопряженные
выражения, соответствующие группе корней — ico.
Выполняя вычисления, необходимые для построения функции,
находим
(D2 -|- aD + со2 — aD \
(D 4- i(o)2 (D 4- i(o)2	\
Л> № .mJ"6'*
(D 4* i<o)2 (D -j- i<o)2	/
(z4-4-)g(P) = №(P)-t-
fo) (a 4- 2D) — aD — 2<o2	(/co — D) a
(D 4- i<o)3	(D 4- ico)3
(D — ico) a	aD — 2co2 4"	(%D — a)
(D 4- ico)3	(D 4- ico)3
(*+4r)Gm=i«>
ai f-1 -1ъ	z P 0
4<o \ 1	1/	2(o k 0 1
46
после чего в соответствии с формулой (10.21) получаем
Подставляя теперь Р (t) в формулу (10.20), имеем
о
= ах (t) + 4- $	[<Р1(т) + ф2(т)] + <Г1(т)} sin ю(/ — т) dr,
о
ж2 = а3(0 + 4 J {а<<2~Т)	ф1(т) + ф2<т)1 + ф«(т>1}sin	т)^т•
о
Составляющие ax(f), a2(f), соответствующие решению однородной
системы, были вычислены в примере 4 разд. 9.
Пример 3. Система уравнений
4-4l + 3., = xW, J3r+1/-2X = -2£M-
имеет матрицы
ZD-4 за	/ 1 \
/ (^) = ( _ 2 D + 1J ’ е = ( — 2D / ’
2 D + i)
и характеристическое уравнение к2 — ЗА, + 2 = 0 с корнями
= 1, Х2 = 2.
Корню Хх = 1 соответствуют
/2 _________3\	/ 1 \
*(‘> = (2 —3/ ’ Г‘ = р‘=(г)
и уравнение (11.2)
(2 -3 ) = ( 1 ) (WUW1^
откуда
w± = (2, —3).
47
Аналогично для корня Х2 = 2 имеем
/ 3 — 3 \
^<2) = (2 —2/’
а>г = (1, — 1).
Выполняя дальнейшие вычисления, получаем
t	t
Bl (0 = С1 — 8 У е~х7. (т) Вг (t) = с2 + 5 j е~2тх (т) (?Т,
6	о
/ 1 \ t	f 3 \	/ е Зе21
^1(0 ~( 1	^2 (О ~ ( 2 )	I 9 2<
\ 1 /	\ ^ /	\ е Ze
I (1 4-7Д)/Д (Z>)	\
В (В) е (D) | Д (Z>) =	2Z?2 + 8D + 2)1 Д (Р) ) ’
Д (D) = D2 — 3Z) 4-2,	•?(£)=( _2J,
t	t
х = е' (сх — 8 е~тх (т)	+ Зе2' (с2 + 5 J е-2тх (т) dr),
О	о
t	t
y = —2%(t) + е‘ (ci — 8 jе-тХ(т)^т) + 2е2' (с2 + 5 е-этх(т).
О	о
14.
Метод нормальных координат Булгакова
Преобразование к нормальным координатам возможно для систем
с линейными элементарными делителями. Дадим его вывод, опи-
раясь на результаты разд. И.
Введем матрицу-столбец
I	(14.1)
(3X1)	(3X3) (3X1)
Здесь матрица eQt определяется формулами (3.13), (3.14), матрица
В (t) и ее элементы — формулами (11.9), (11.10). Для случая одно-
родного уравнения матрица % превращается в матрицу, обозначен-
ную той же буквой (см. (7.4), (7.5)), при t = 0 матрица = с.
Используя свойства матрицы Кейли приведенные в разд. 3,
находим элементы матрицы
— Вg (t) в s (g = 1,. .., s )t
Is-+ft = [5зЧЛ (t) cos d)ht 4- BS'+!f+h (t) sin <aht] <?8a',
^s+s”+a = I— Bs +h (?) sin coht +	(0 cos <o71Z] еЕл*,	2
(A = l,	( '
48
Само решение (11.8) с учетом формул (11.4), (14.1), (14.2) может
быть представлено в виде
х = S(D)y(t) + vl .	., „
(МХ1) (ахи') (н'Х1) (nxs)($xi)
Дифференцируя соотношение (14.1) и используя выражение (11.9)
для В (0, находим
= Qe^ В (t) + е«'	= QI + е^е-^Ьу (<),
uv	О'»
(14.4)
откуда
(DE - Q ) В = 6% (f).
(sxs) (sxs) (sxi) (sxn')(n'xi)
Здесь матрица В и ее элементы определяются формулами (11.5),
(11.6).
Переписывая соотношение (14.3) в скалярной форме, получаем
ri =	£1/ (^) X/ (О + S
1=1	0=1
п'	s
1=1	0=1
s
хп
(14.5)
to*
0=1
Аналогично из соотношения (14.4) с учетом свойств матрицы
Кейли Q имеем
d'g
dt
=.Sbgai	=
dt
£	5-
^s'+s'^+h i ф.	<-
------------Г ^hls'+’i —	—
(14.6)
Можно считать, что мы вместо неизвестных переменных .г1? . . .
. . ., хп ввели линейным преобразованием (14.5) новые неизвест-
ные переменные . . ., которые носят название нормальных
координат. Последние удовлетворяют системе (14.6) линейных
дифференциальных уравнений первого порядка, причем каждое
из уравнений, отвечающих действительным корням содержит
’только ответствующую координату а остальные 2s" уравнений
разбиваются на s" пар, содержащих по две переменных +л,
-г +
49
Если мы решим систему (14.6), то переменные . . ., стано-
вятся известными функциями времени. Тогда, подставляя их в
формулы (14.5), находим решение для искомых переменных
Формула (11.22) с учетом соотношения (14.1) записывается
следующим образом:
х =S^(D)x(t) + v<^ % .	(14.7)
(nxi) (nX)i') (n'Xl) (nxs) (SX1)
Отсюда следует, что
= 3	(-°) Хи (0 + 3	(/=1, • • • ,П).	(14.8)
Ц=1	0=1
Обозначим через порядок старшей производной от Xj (J =
= 1, . . ., п) в системе уравнений (10.3). Можно показать, что, если
Ш} 1 (/ = 1, . . ., п) и определитель при старших производных
Dmixj в системе (10.3) не равен нулю, то по формуле (14.8) могут
быть выражены через нормальные координаты Xj для значений
v = 0, 1, . . ., тп,} — 1, а системы (10.3) и (14.6) эквивалентны меж-
ду собой.
Для комплексных корней eZl +	— i®h часто исполь-
зуется другая форма нормальных координат. Чтобы получить ее,
введем s" пар новых скалярных переменных аЛ, uZ/, называемых
амплитудами и угловыми переменными, по формулам
(BS'+h — iBs'+sr+h) е h = ahe	0Zl,	(14.9)
откуда получаем, что
(В8ЧЛ - iBs^+h) e(e^}t = aheiUh (h = l, . . . , s").	(14.10)
Учитывая полученное соотношение, перепишем две последние
группы формул (14.2) в виде
= (B,+h - iBs ^h) е = aheiuh
(4 = 1......Г).
Введем еще следующие обозначения:
Vj,3'+h = Vj,s'+h + iVj,s^’+h = N}he'yJ*.	(14.12)
Здесь Fj.s'+л — /-й элемент модального столбца V*'+h, соответст-
вующего корню sh + i(ah, VjtS'+hi Vj,S' + s"+h — 7*-e элементы собст-
венных модальных столбцов ps +s +/i- Учитывая форму-
(nXl) (ДХ1)
лы (14.9) и (14.10), находим
4" ^j,s'+s'r+/i£s'+s"+Zi == Re [(Pj, s'+h 4“ ^j,s'+s"+Zi) (5s'+Zi
— t^ +s'+л)] = Re (AJhe,yi‘ahewn) = JVJhafl cos (uh + y}h),
50
поэтому формулы (14.5) могут быть представлены в виде
% = S $11 Ф) 7л (О “Г 5 vl£g + S ^lhah C0S (uh + Yin)’
1=1	g=l	Л=1
n'	s'	s"
7;2 =	$21 (-D) 7i (0 + S + S N2hah cos (uh 4- y2n)’
1=1	g=i	h=L
'Tn— 3 ^n(^)z(0+ 3 vnglg + S Nnhah COS (uh + ynh). (14.13)
1=1	g=l	Л=1
Дифференцируя соотношение (14.10) и умножая на
имеем
г dB.,.h dB
ехР l(e7i + t —	-----i---------г
]da. . duh
—	+ ^Zl -~dF 4
откуда, используя (11.11) и (14.10), получаем, что
'~~di-iajl ~~dt~ —	ab +	— ^s'+^+h) X (0 e h-
(14.14)
Отделяя действительную и мнимую части, находим
-jp = gft «л + 2_, (6«'+л,ц COS uh — ^'+О"+Л,ц sin uh) Хц (t),
U=1
^uh.	1
-JP = <*h-------— 2 И sin + ^'+^+Л,Ц cos uh) (t)
h u=l
(/г = 1,. . . ,s").
(14.15)
Таким образом, нормальные координаты — это амплитуды а1ч . . .
. . ., aS" и угловые переменные и19 . . ., и8». Они удовлетворяют
системе дифференциальных уравнений (14.15). Амплитудами так-
же условно называются нормальные координаты ....
удовлетворяющие первой группе системы дифференциальных
уравнений (14.6). После того как найдены нормальные координаты
. . ., £S', ^1, • . •, aS", . ч us", решение для искомых пере-
менных . . ., хп находится по формулам (14.13).
Чтобы выразить через нормальные координаты производные
от неизвестных хг. . . ., хп, введем следующие обозначения:
г11 +	—	jhpdi = ^{jh •	(14.16)
Принимая во внимание соотношения (11.14), (14.11) и (14.12),
51
получаем
,,(v) t । ,,(v) t ___________
s'+h^s'+h. T ^j,s,+s*+h?.s'+-s'F+/i —
= Re [(tfjJ'+л 4- ivj'l'+gr+h) (%3'+h — i^'+s^+h)] —
= Re (Njhetyih.phetv^ahe,uh) ==
= Ntfah cos (uh + у», 4- v?,,).
Учитывая это, переписываем формулу (14.8; в виде
ц=1	5=1
s"
+ 3 M4cos(uft + Y>ft +<.,)	(/ = 1,	(14.17)
Л=1
По этой формуле могут быть выражены hej через нормальные коор-
динаты. Как и в формулах (14.8), порядок производной v может
принимать значения от 0 до — 1, где m7-	1 — порядок стар-
шей производной от Xj в системе уравнений (10.3). Нормальные
координаты будут использоваться нами далее при исследовании
квазилинейных систем приближенными методами.
15.
Список правил перехода
к нормальным координатам Булгакова
В этом разделе собраны в требуемой последовательности формулы,
по которым выполняется переход к нормальным координатам
Булгакова, и указаны операции, которые при этом требуется вы-
полнить.
Заданная система дифференциальных уравнений (10.3)
/и (^) ri + • • • + fm (/}) хп = еп (/}) Xi (0 +
4- ... 4- е1П' (D) Хп' (£),
/21 (О) 4- • • • + /2Л (D) хп = е21 (Z>) Xi (0 + • • • + е2п'
/п1 (£>) *1 4- • • • 4- /пи Ф) хп = ет (Я) Xi W 4- • • • т епп> (D) уп> (I)
переписывается в виде матричного уравнения (10.1)
f(D) x = e(D)y(t).
(nxn) (nXl) (nxnOO/zXl)
Для матрицы / (X) = / (D) находятся корни характеристиче-
ского уравнения det f (X) = A (X) = 0. Используемые в формулах
действительные корни обозначены через Xg = (g = 1, . . ., s'),
комплексные корни — через	= eZl 4“ ш;1, K'+s'+h = —
— itoh (h = 1, . . ., s"), общее число корней s = s' 4- 2s".
Рассматриваются только системы с элементарными линейными
делителями, т. е. Еп (Л) = А (X) | Dn-r (X) = (X — Хх) (X — Х2) . . .
52
. . . (% — Хп), где детерминантный делитель Dn^ (X) — общий наи-
больший делитель миноров (п — 1)-го порядка.
Вычисляется присоединенная к / (X) матрица F (X) по следую-
щему правилу: на место каждого элемента матрицы / (X) ставится
его алгебраическое дополнение, далее транспонированием состав-
ленной матрицы получается присоединенная матрица F (X).
Для корня кратности q0 вычисляется матрица F^0^ (1а),
берутся в качестве модальных столбцов Vq9 + .. .4gff_1+p q$ линей-
но-независимых столбцов этой матрицы, после чего вычисляются
q$ линейно-независимых матриц-строк lFgi + ,,. + ? +р!8 матрич-
ного алгебраического уравнения (11.2)
(М = 3 V?.+...+,ff_1+pir,.+...-Ho_1+p	(?о = 0).
(пХп)	Р=1	(ПХ1)	(1Хп)
Эти вычисления проводятся для всех корней, как действительных,
так и комплексных.
Для действительных корней вводятся собственные модальные
столбцы и матрицы-строки по формулам
Vg =vg, Wg =Wg
(nXl) (nxi)	(lXr«) (lXn)
Для комплексных корней &h -}- ico/t модальные столбцы переобоз-
начаются следующим образом (см. (14.12)):
Уs'+h — Vs'+h 4“ i —
(nxi) (nXl) ('>+1)

В соответствии с формулами (11.5) вводятся матрицы-строки
b =______________
(IXn') (IXn)
q
e(D)(D-Kg) S
l's+h = 2 Re
(IX n')
- *)!
(ixn)
Я +П.
Д(Р)
(nxn)'
 e(D)(D — eh — imh)
(nxn')
e(D)(D-e,-toh)?3'+h
2 Ina ,	...
Ws'+h—
(ixn')	(ixn)
(h = 1, .. ., s")
При этом следует помнить, что для действительного корня
кратности qg имеется qg матриц-строк bg; при их вычислении
Д(Р)
g
(д=1,. .

_C==eft4-U>fc
53
изменяется wg, а множитель [е (D)(D — v.g)bsl\ (P)]D=>lg ос-
тается неизменным. Аналогично для комплексных корней +
+	кратности qS'+h имеется 2qs>+h матриц-строк
bS'+h. bS'+ii'4h\ при их вычислении изменяется WS'+h, а множи-
тель le (D) (D — 8Л — itoh)/&(D)]D=eh+iti)h остается неизменным.
Вместо неизвестных переменных х1ч . . ., хп вводятся линейным
преобразованием (14.13) неизвестные нормальные координаты
Eg (g = 1,аЛ, и/( (Л = 1,... ,s"):
11'	s'	S"
= S 8ц (-0) X/ (О “И S uig^g + 2j cos (w/i + Ti/i)»
/=1	g=l	/1=1
n'	s'	s”
•	r2= S ^2|(-°)Х|(0 + S + S ^2ACOS(”ft + T2h),
1=1	g=l	h=i
П'	8'	8"
== 2! ^nl (P) %l (0 4~ 5l ^ng^g 4“ S NnhfthWS	4“ynh)*
1=1	g=l	h=l
Здесь (D) (k = 1, .. ., n) — элементы матрицы S (D), представ-
(nxn')
ляющей собой целую часть F (D)e (D)/& (D); v^g (k = 1,. . ., n) —
элементы собственного модального столбца vg (g = 1, . . ., s');
(nXl)
Nxh (h = 1, . . ., s") — модули элементов модального столбца Vs'+zi-
(ПХ1)
Для нормальных координат выписывается система дифферен-
циальных уравнений (первая группа системы (14.6) и система
(14.15)):
-	jr = 'Xglg+ y.bgiXitt) (g
T^i
d	П'
= ehah + yi[ [bs4h,.uXn (0 cos uu — bS'+.8'4/i,u%u (0 sin uhV
Ц=1
n'
duh	1 v q
-	jp = (Oh — —	(0 sinw/< + W'+Л.цХц (0COS Uh]
.	U=1
(h=i,.. . ,s").
Здесь bgi, bs’+h,i, bs-+^+h,i (I = 1, • • •> n’) — элементы матриц-
строк bg ,bS'+h,bS'+S"+ll соответственно.
(IXn') (lXn') (IXn')
Для вычисления v-й производной от неизвестных производных
.. .,хп в соответствии с (11.13), (11.14), (14.16) вводятся следую-
щие обозначения:
S<v) (D) = DVS (D) + р (0)2)v-i + р (0) Z)v-2 + ... +У(0),
(нхп')
54
Axs\	felg\
(v)	1*1	I I v	it
Vg =1 : 1=1 : Xg, eft 4-uoh = pfte 4
<	ПХ1)	\ y(v) /	\u
\ ng/	\ ng/
/<\ A\
1’1	I • I V
I :	=	• pfc-
\ Nty I \N /
xj'nh/ \ nh/
Производная от неизвестной Xj порядка v выражается формулой
(14.7)
xi — 3 Фи (Р) Хц (/) 4- 2 v^iglg +
u=i	g=i
s"
+ S N$ahcos(uh 4- yJh 4- v£h)	n).
h=l
По этой формуле вычисляются через нормальные координаты про-
v
изводные х^ причем порядок производной v может принимать
значения от 0 до rrij — 1, где mj > 1 — порядок старшей производ-
ной от v в системе уравнений (10.3).
16.
Пример использования
нормальных координат Булгакова
Рассмотрим нелинейную систему уравнений
~^ — 2z = (p1 (x,y,z),
-	JP- -	+ У+ + 2 = Ф2(^!Л2),
х+^-У+-^ + 2 = ^У^ Z),
для которой
/D0	~2 \	/1 0 0\
/ (D) = I О Р2 — D 4- 1 D 4- 1 I, е (Р) = I 0 1 0 I ,
\1 D — 1	Р24-1/	\0 0 1/
/<Рг(х, у, z)\
<	Р (г, у, z) = I фг {х, у, z) I ,
\фз(л:, у, z)'
Д(К) = №- V 4-Xs 4-X2 4-2 = 0,
к1 = —1, Х2 = г,	^4 = — i> Х3 = 14-г, Х8 = 1 — i,
it _ № 4.	4-2 —2(1 — 1) 2(Х2 —14-1)\
F (1) = I 14-1	/.3 +1 - 2 - X2 - X 1 .
\ — X2 4- X — 1	— X2 4- X	X3 — X2 4- X /
55
Несмотря на то, что эта система нелинейная, мы можем перейти
к нормальным координатам Булгакова, так как они определяются
линейной частью рассматриваемой системы. В последующих гла-
вах квазилинейные системы будут приводиться к нормальным ко-
ординатам, так как к уравнениям, записанным в нормальных
координатах, удобно применять приближенные методы нелиней-
ной механики.
Подставляя в матрицу F (X) корни характеристического урав-
нения, находим
/ 2 \	/ 2 \
0 , V2 = p2 +	1+‘ I ,
\— 1/	\ i /
/2\	/°\
у 2 = 11,	= 11 I,
\0/	\1/
/— 1 — i
V3 = V3 +Й>5=1 2 + ‘
\ — I ,
7VU — 2,	711=0,
2V21=/2,	?21=л/4,
7V3i=1,	у31=л/4.
/ у2 е-;зя/- дг12 = у2.
И3 = I Уз г ,	Л’^ = /3 ,
\	е-^ J Л’32=1,
Т12= —Зл/4,
y22 = arctg (х/2),
Тз-2 = — л/2.
Обращаясь к уравнению (11.2), получаем
/ 6	4	6 •.	/ 2 \
F(-l)= о о о	0 (И\1,И'Ш1713),
\ — 3 — 2 — 3/	\—1/
PFi = m’! = (3 2 3),
/ 2	-2/4-2 — 2/\	/ 2 \
/’(i)=p + l 2	1-i =yjp2 = Ь+ 1 (Ж211Г22Ж2з),
\ i i 4» 1	1 /	\ i J
Ж2 = (1 1-i — i),
/_(14-j)	—2i	21	\
F(14-i)=	24-i	14-3/ -(i4-3/)j =
\ — I	1 — i — 1 4- / /
/— 1 — i\
= VJF3= 2 4-i )(Ж31,ТГз2Л’’иг),
\ — i /
W3 = (l 1 + * -1-i).
56
___________i__________I
(Z>*4-1)(D2 —2D4-2) |d=- ,
В соответствии с формулами (11.5) имеем
/1 О О
&1==(3 2 3)р 1 О
\0 О 1
=-4<3/* 1 з/*)’
*2 = 2Re(l t-i	=
= ^-Re(l-3i -2 — 4i -З-О-С/ю -1/, -3/ю).
64 = -^-Im(i — 3i —2 — 4i —3 — i) =
= (-3/ю — 2A> -7io),
ds = 2Re(l 1-M -l-i)(-i/10) =
= __LRe(l i+f _1_0 = (_i/5_i/5i/b),
b5=-4-Re(l 1 + i —1 —i) = (O -W/s)-
Нормальные координаты вводятся по формулам
х — 2^ + 2аг cos иг + У 2 а2 cos (u2 — Зл/4),
У= Yг Я! cos («! ч- я/4) + /3 а2 cos [u2 4- arctg С/з)]»
z = — -|- dj cos (ux 4- л/4) — a2 sin u2.	(16.1)
Уравнения, определяющие нормальные координаты, имеют вид
4г = — В1 + фх (х, у, Z) + Фг <Х, y,z)^-^ ф3 (х, у, Z),
ЧГ = ТГ[ф1 у’ ~ 2<Рг 2> — Зфз у' Z)1cos W1 +
+ -ft 13ф1 (x, у, z) + 4cp2 (x, y, z) 4- ф3 (x, y, z)] sin uu
= a2 4-	1—	(т’ z) — 4>2 (*’ У' z) + <Рз (x’ z)] c°s 4-
4- 4" 1^2 (^’	z) — Фз (г> У' Z)1sin U2>
4r = 1 — T0J7 l4i У> z) — 2(P2 (a’’ У> z)— 3Фз (x, y, z)] sin ur 4-
+ Т0^7l3cpl y' + 4<f2	y' z>) + 4)3 (ф’ y’ cos “15
4r = 1------4~ l— Ф1U’ У’ z) — Ф2 У^ z) 4- Фз (x, y, z)] sin u2 —
al	oti2
-----[— Ф2 (x, y, z) + фз (x, y, z)J cos u2.
57
При решении этой системы в функциях <pf следует произвести
замену переменных х, у, z по формулам (16.1). Эти же формулы,
если найдены нормальные координаты ах, а2, ux, и2, определяют
решение исходной системы уравнений.
17.
Механические колебательные системы.
Спектральные свойства
Уравнения движения консервативных линейных механических
систем представляют собой частный вид уравнений (5.4), обычно
записываемый в форме
Ах + Сх = 0,	(17.1)
еде А и С — симметрические, положительно определенные мат-
рицы.
Разыскиваем решение системы (17.1) в виде
х = h cos (cof + а),
где h — неизвестный постоянный вектор; со и а — неизвестные
скаляры (частота и начальная фаза). Для нахождения h полу-
чается система
(C-L4)fe = 0 X = со2.	(17.2)
Система линейных однородных уравнений (17.2) разрешима с h
=Н= 0, если и только если
det (С — U) = 0.
Это характеристическое уравнение порядка п относительно неиз-
вестной X называется уравнением частот.
Теорема. Уравнение частот имеет только вещественные и по-
ложительные корни.
Доказательство. Пусть X — комплексный корень и
ему соответствует комплексное решение fe. Умножим (17.2) слева
на эрмитово сопряженный вектор fe*, т. е. транспонированный и с
комплексно сопряженными элементами:
h* = (йх, . . Лп).
Получаем
Л*С7г, — \h* Ah = 0,
откуда находим X:
3 АЛЛ
Поскольку система вещественная, то имеется и комплексно сопря-
женный корень X с комплексно сопряженным решением й. Проделы-
58
вая аналогичную выкладку, получаем
ММ '
В силу симметричности матриц А и С
X = X,
т. е. X — вещественное, а в силу положительной определенности
форм X > 0.
Следовательно, уравнение частот имеет п положительных кор-
ней Хр . . ., Хп и им соответствует п вещественных векторов:
h1, . . ., hn.	(17.3)
Теорема. Если среди корней уравнения частот нет кратных, то
собственные векторы являются А-ортогональными, т. е.
(hs, Ah1) = 0, если s I.	(17.4)
Доказательство. Из уравнения (17.2) имеем
Ch1 = ^Ahl и Chs = KsAhs.
Умножая первое скалярно на hs, а второе на hl, получаем
(Л% Ch1) = (hs, Ah1), (hl, Chs) = Xs (hl, Ahs).
Вычитая одно из другого:
(Xz - Xj (hl, Ahs) = 0,
откуда, если Xz =/= Xs ири I у= $:
(hl, Ahs) = 0.
Векторы hk А-ортогональны. Если I = $, то
(hl, Ah1) = mi > 0-
Нормируя вектор hl -> Ут^1, свойство (17.4) можно записать
так: (hl, Ahs) = 6si — символ Кронекера (6^ = 1 при s = I
и 6sZ = 0, если s =# Z).
Следствие. Векторы h1, . . ., hn линейно независимы.
Действительно, если v^h1 + . . . + vnhn = и =/= 0, то
(Afe\ v#+ . . . + vnhn) = 0,
откуда следует, что
(Afe\ hk) = 0
— противоречие.
Следовательно, общее решение системы (17.1) есть
х = C^h1 cos ((о^ + ах) + . . . + Cnhn cos (&nt + an).
59
Векторы li‘ носят название амплитудных векторов. Колебания с
чистым тоном, из которых составляется общее решение
х = cos ((щ-£ + а^),
называются главными колебаниями системы.
Для перехода к нормальным координатам в системе (17.1)
используется матрица перехода, составленная пз амплитудных
векторов, т. е. переход х—>у осуществляется по формуле
х =	+ • • • + №уп = Ну,
где
А} . . . лЛ
/7=1 :
. h-J
Подставляя это преобразование в (17.1) и умножая полученную
систему слева на 77г, получим
H^AHij + Н'СНу = 0.	(17.5)
Однако в силу (17.4) НТАН = Е — единичная матрица, а в силу
того, что
(As, Ch1) = X, (Л3, Ah1) = ХД„
имеем
Л1 0 \
НТСН=[ ’•
\ о X /
\	п /
так что система (17.5) имеет вид
Si + Mi = о
Уп “Ь ^пУп.
Координаты у* и называются нормальными.
Все вышесказанное получено в предположении отсутствия
кратных корней в уравнениях частот. Все остается справедливым
и в случае кратных частот (следует из известной в алгебре теоремы
о приведении пары форм к главным осям). При решении уравне-
ний (17.2) для кратного корня размерность пространства решений
равна кратности корня. Выбор независимых решений из этого
пространства осуществляется с использованием процедуры орто-
гонализации.
Системами вида (17.1) не исчерпывается класс линейных коле-
бательных систем, поскольку добавление гироскопических сил не
меняет положительности корней уравнений частот.
Будем рассматривать линейную гироскопическую систему об-
щего вида
Ах + Гх + Сх = 0,	(17.6)
60
где А — матрица кинетической энергии; С — матрица потенци-
альной энергии; обе симметрические и положительно определен-
ные; Г — кососимметрическая матрица: Гт = — Г.
Будем для системы (17.6) интересоваться поведением собствен-
ных частот при изменении матриц А, С и Г. Свойства собственных
частот этой системы в случае Г = 0 были рассмотрены Рэлеем
[25, 50].
Пусть Г 0. Нетрудно показать, что уравнение частот и в
этом случае имеет положительные корни, следовательно, частное
решение системы (17.6) можно искать в виде
х = he^f.	(17.7)
Подставляя это решение в (17.6), получим
(— Л со2 + 1Гсо + С) h = 0.	(17.8)
Как и ранее, для существования ненулевого решения требуется
det (- Л со2 + 1Гсо + С) = 0.	(17.9)
Если со0 — корень этого уравнения, то и — соо также корень.
Решения уравнения (17.8) относительно h являются теперь уже
комплексными: h = р + Щ- Разделяя в (17.8) вещественную и
мнимую части, получим
(Zco2 + G(d — V)r = 0, г = colon {рр . . .,pn,	. . ., qn},
(А о \	/ о г\	;с о \
Hoj' М-Г о)' 1'=Ь с)-	<17л")
В этой системе уже все три матрицы симметрические. Наряду с ме-
ханической системой (17.6) можно рассматривать механическую
систему вдвое большей размерности, которая уже не является
гироскопической и матрица потенциальной энергии которой отри-
цательно определена:
d d(s,Ts) , d(s,G')	3(s,Ks)	,17
dt	ds	ds ~
Разыскивая ее решение в виде приходим к уравнениям
(17.10).
Некоторые свойства решений (17.10) устанавливает следую-
щая лемма.
Лемма 1. Пусть соо — некоторый корень уравнения (17.9),
а г+ — решение системы (17.10), соответствующее этому корню.
Тогда существует такое решение г_ системы (17.10) для со =
= —со0, что имеют место следующие равенства:
1) (г+, Тг+) = (г_, Тг_),	(г+, Рг+) = (г_, Рг_);
2) (r+, Gr+) + (r_, Gr_) = 0.
Доказательство. Покажем, что всем условиям удов-
летворяет вектор (£ — единичная матрица):
Е °	(Е 0 \
Г~ = 0 — £ Г+’	=	— е) '
61
Подставим это выражение в уравнение (17.10), в котором положим
со == со0, после чего умножим слева на матрицу Е. В результате
получим
- EGE^q - V)r х = 0.
Нетрудно видеть, что
ЕтЕ = Т, EVE = V, EGE = — G	(17.12)
Получаем уравнение для вектора г+, которое им обращается в тож-
дество. Итак, указанное выражение для г_ действительно есть
решение уравнения (17.10) при со = — (о0. Проверим свойство 1.
Имеем (г_, Тг_) = (Ег+, ТЁг+) = (г+, ЕТЁг^) = (г+, Гг+)
в силу (17.12). Свойство 2 проверяется аналогично.
Характеристическая функция. Умножим (17.10) скалярно на г:
(г, Тг) со2 + (г, Gr) со - (г, Vr) = 0.	(17.13)
Перенося член (г, Gr) со в правую часть и возводя обе части уравне-
ния в квадрат, получим
(г, 7г) 2^2 _ [9 (г? Тг) (г, Vr) — (г, Gr)2] X + (г, Vr)2 = 0
Z = со2	(17.14)
Если г = г+ — решение системы (17.10) для со = со0, то, решая
квадратное уравнение (17.14), получим выражение для квадрата
этого корня: X = (Oq. Если же г — произвольный вектор, то оно
определяет неявную функцию X (г). Будем называть эту функцию
характеристической функцией системы (17.6) или (17.11).
Лемма 2. Решения алгебраической системы (17.10) и только
они являются критическими точками функции X (г).
Дока зательство. Продифференцируем соотношение
(17.13) по г, считая <о = со (г):
tfTr 4- uGr - Vr + [(г,7’г)сд + 4'(г’Сг)]’ИГ = °-	(17.15)
Покажем, что выражение в квадратных скобках отлично от нуля
для г 0. Пусть это не так, тогда найдется значение г = г0 =И= 0,
такое, что
W (г0) =---(r0, Gr0)/(r0, Тг0).
Подставляя это значение в соотношение (17.13), получим
(r0, Groy- + 4 (r0, Tr0) (r0, Vr0) = 0,
что невозможно в силу положительной определенности Т и V.
Следовательно, d^ldr обращается в нуль только для тех г, которые
являются решениями системы (17.10). С другой стороны, из
(17.13) видно, что в силу положительной определенности Г, V,
со (г)	0, если г Ф 0. Поэтому dKIdr = 2со d^!dr обращается в
нуль там же, где и d^/dr.
62
Лемма 3. Функция X (г) (каждая из ее ветвей) — монотонно
возрастающая функция потенциальной энергии, т. е. если имеются
две механические системы с одинаковыми Т и G и с V* и V, таки-
ми, что (г, Vr) < (г, Р*г) для любого г =/= 0, то и X (г) < X* (г).
Доказательство. Введем обозначения (г, Tr) = t,
(г, Vr) = V, (г, Gr) = g.
Из (17.14) найдем
.	(17.16)
Дифференцируя, получим d\ldv > 0 для г Ф 0, так как 4Zp > 0.
Характеристическая поверхность. Будем считать, что в /?2П
определена метрика при помощи квадратичной формы (г, Тг):
II г II = f оГт>).
Рассмотрим в этом пространстве гиперповерхность П, определяе-
мую уравнением
Цг||{4Х(г) = 1.	(17.17)
Подставляя отсюда X (г) в (17.14), получим для этой поверхности
следующее уравнение:
(г, Gr)2 - (г, 7г)2(г, Тг)2 + 2 (г, Tr) (г, Vr) = 1.	(17.18)
Уравнение (17.18) определяет замкнутую поверхность восьмого
порядка. Луч, выпущенный из начала координат в любом направ-
лении, пересекает ее в двух точках, соответствующих разным
знакам в (17.16).
Лемма 4. Вектор г0, удовлетворяющий (17.10) и имеющий
длину |(о0|-1/2, где (о0 —соответствующее этому вектору значе-
ние частоты, принадлежит П.
Доказательство. Подставляя ||г0|| в (17.17) и имея в виду,
что для одной из ветвей X (r0) = Wq, получаем тождество. Длину
такого вектора будем называть главной полуосью поверхности.
Будем различать в дальнейшем две ветви поверхности П: ветвь,
соответствующую верхнему знаку в (17.16), обозначим 7/^, ветвь,
соответствующую нижнему знаку, — П_. Аналогичные обозна-
чения введем и для ветвей Х(г):	(г) и (г).
Лемма 5. Поверхности П+ и П_ имеют одну и ту же систему
главных полуосей.
Дока зательство. Рассматривая (17.16) и опираясь на
лемму 1, получим (г+) =	(г_), Х+ (г_) =	(г+). Отсюда сле-
дует,что линейно-независимая система решений (17.10), состоящая
из 2п векторов, может быть разбита на две подсистемы:
Л...г;, г;.....г;;,	(17.19)
такие, что (г0 = ац и (г*) = со?т откуда и вытекает утверж-
даемый факт.
63
Будем считать, что для введенной в лемме 5 системы векторов
(17.19) соответствующие характеристические числа расположены
в порядке возрастания их модулей: |<ох | <^ . . . <^ ||. Введем
обозначения для главных полуосей:
«4 = I! r'i II = II М = I <0;
Очевидно,
«1 > «2	• •> а71-	(17.20)
Поскольку каждая из ветвей П+ и II _ обладает одной и той же
системой полуосей (17.20), в дальнейшем достаточно рассмотреть
одну из них. Рассмотрим для определенности П+, Покажем, что
главные полуоси Л+ обладают экстремальными свойствами.
Пусть Д2(п-т+1) _ подпространство, определяемое векто-
рами г™, rjn, . . ., г„, r"n как базисными. Норма этих векторов
меньше или равна ат.
Лемма 6. ат = max ||г|| для г П+ Q Д2(п-т+иф
Доказательство. Рассмотрим механическую систе-
му (17.11), на которую наложена дополнительно связь sE Я2(п~™+1).
Она эквивалентна механической системе с 2 (п — т + 1) числом
степеней свободы, для которой формы (s, Ts), (s, Gs), (s, Vs) равны
ограничению соответствующих форм системы без связи на
7?2(n-m+i\ Следовательно, и ограничение характеристической
функции X (г) на Д2(п-т+1) будет равно характеристической функ-
ции системы со связью. У такой функции ровно 2 (п — т + 1)
критических точек. С другой стороны, векторы, составившие ли-
нейную оболочку /?2("-п,+1), очевидно, останутся критическими
для ограничения характеристической функции на /^(n-m+i),
а так как их 2 (п — т + 1), то они и только они удовлетворяют
необходимым условиям экстремума функции X (г) для г <== /?2(п-т+1)ф
При ЭТОМ (От — абсолютный минимум функции X (г) на Д2(п-т+1),
откуда в силу (17.17) ат — абсолютный максимум нормы радиус-
вектора поверхности П+ на /?2(п-™+1).
Рассмотрим сечение поверхности П+ некоторым подпростран-
ством R2™. Введем обозначение bm = min || г|| для r^R2m П П+.
Лемма 7. Для любого R2™ Ь1П ат и rnaxbm = am.
Д2т
Доказательство. Пусть Rw-m+i) — подпространство,
фигурирующее в лемме 6. Поскольку суммарная размерность R2m
и /?2(n-m+i) больше 2п, то эти подпространства пересекаются.
Пусть r£^R2m П R^-m+V р| тогда ||г|| ат в силу леммы 6,
с другой стороны, ||г|| Ът так как r^R2m, откуда Ьт ат.
При этом очевидно, что	= ат1 так как верхняя грань
й2гп
достигается на подпространстве, являющемся линейной оболоч-
кой Г1? .Гр . . ., Гт,
Теорема о поведении собственных частот при изменении жест-
кости. Пусть даны две механические системы вида (17.6), имеющие
одинаковые матрицы кинетической энергии и гироскопических
64
сил. Матрицы потенциальной энергии — С и С*. Систему будем
называть более жесткой, если ее потенциальная энергия больше:
(х, С*х) (х, Сх) при любом х =# 0.
Теорема. При увеличении жесткости системы (17.6), где А и С
положительно определены, а Г — произвольная кососимметриче-
ская матрица, все собственные частоты могут только возрасти.
Доказательство. Из неравенства (х, С*х) (х, Сх)
следует неравенство (г, У*г) (г, Vr), откуда в силу леммы 3
(г) <	(г) Для всех г ¥= 0- Это означает в силу (17.17), что Л+*
лежит целиком внутри 7Z+. Рассмотрим сечение поверхностей
П+ и Н* подпространством Н2т. Очевидно, Ът > 6*, следова-
тельно, max bm max b*, но max bm = ат, a max b* = а*, от-
куда ат а*. Используя равенство ат = |(от|-1/’, получим
|(om |	(о* | (т — произвольно).
Следствие 1. При Г = 0 доказанная теорема переходит
в теорему Рэлея.
Следствие 2. Будем называть систему обладающей боль-
шей массой, если для любого х 0 ее кинетическая энергия боль-
ше: (я, А*х) (х, Ах). Имеет место следующая теорема: при
увеличении массы системы все собственные частоты ее могут
только уменьшиться.
Для доказательства достаточно показать аналогично лемме 3
монотонное убывание X (г) при любом фиксированном г с увеличе-
нием кинетической энергии.
Следствие 3. Требование положительной определенно-
сти С может быть заменено требованием неотрицательности:
(г, Сг) 0 при любом г. В самом деле, утверждение теоремы вер-
но, когда некоторые из собственных чисел матрицы С сколь
угодно малы. В силу непрерывной зависимости корней характери-
стического уравнения от его коэффициентов утверждение теоремы
верно и в пределе, т. е. для случая, когда некоторое количество
собственных чисел матрицы С нулевые.
Замечание. Доказанная теорема носит глобальный ха-
рактер. Локальный результат, когда поведение частот изучается
при малой вариации матрицы С, уже мог следовать из лемм 2 и 3.
Поведение собственных частот при изменении гироскопических
сил. Перепишем систему (17.6) в виде
Ах + НГх + Сх = 0,	(17.21)
где выделен скалярный параметр Н, определяющий норму матри-
цы гироскопических сил. Представляет интерес изучение поведе-
ния собственных частот системы при Н—>оо.
Введем следующие определения.
Прецессионной системой, определяемой системой (17.21), на-
зывается следующая система:
НГх + Сх = 0.	(17.22)
Нутационной системой, определяемой (17.21), называется система
Ах + НГх = 0.	(17.23)
3 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов
65
Теорема. Если в системе (17.21) С — положительно определена
и det Г 0, то собственные частоты делятся на две группы:
а) сок ~ Н, б) (oz ~ ПН при Я—> оо. Частоты первой группы
при этом стремятся к частотам нутационной системы, а частоты
второй группы — к частотам прецессионной системы.
Доказательство. Прежде всего заметим, что условие
det Г 0 может быть выполнено только для систем, имеющих
четную размерность, т. е. п — 2т. Действительно,
det Г = det Гт = (~l)n det Г,
и если п — нечетно, то это возможно лишь когда det Г = 0.
Если и = 2m и det Г =/= 0, то ровно т корней образует группу а)
и столько же — группу б).
Покажем это. Сделаем замену времени (£-> т)
и обозначим а = Н 2. Получим уравнение частот в виде
det (->М + шГ + аС) = 0.	(17.24)
Рассматриваем это уравнение как неявную функцию, определяю-
щую (о (а). При а = 0 получается уравнение частот нутационной
системы (в измененном времени), корни которого обозначим так:
g>i, . . ., (о”, 0, . . ., 0.	(17.25)
Нулевых корней не больше чем т, поскольку det Г =# 0. Рассмот-
рим ненулевые корни. По теореме о неявных функциях в случае
отсутствия кратных корней среди (17.25) корни (17.24) можно по-
лучить в виде
o>fc = (о* + ака + . . . .
Точками обозначены члены высшего порядка малости по а, т. е.
частное решение имеет вид
х — ei(W —
откуда и следует первая группа частот
Я(о£+4г + -” •
Если среди ненулевых корней (17.25) имеется кратный кратно-
сти р, то разложение корня уравнения (17.24) в окрестности крат-
p.—
ного корня осуществляется по степеням величины у а. Результат
оказывается тем же, хотя скорость стремления корней полной си-
стемы к корням нутационной будет меньше.
Для рассмотрения второй группы частот выполняется иная
замена времени: t = Ни, после чего уравнение частот получается
в виде
det {— а(Л4 + шГ + С) = 0.
66
При а = 0 получается уравне-
ние частот прецессионной си-
стемы. Аналогично предыдуще-
му в случае отсутствия кратных
частот у прецессионной системы
имеем
со у = (OjP 4" bp	.
Откуда и следует вторая группа
частот (после возвращения к
исходному времени):
4-	4- ... .
Случай кратных корней трак-
туется таким же образом, как и в предыдущем рассуждении.
Теорема доказана.
Если в условии теоремы det Г = 0 (для нечетномерных систем
так будет всегда), то помимо указанных двух групп частот будет
еще третья, частоты которой имеют конечные, отличные от нуля
пределы при Н -> оо.
Суммируя все случаи, приходим к заключению. Если С —
положительно определена, то при оо частоты системы (17.21)
ведут себя следующим образом: часть частот, называемых прецес-
сионными, стремится к нулю: coz ~ 1/Н, часть частот, называемых
нутационными, стремится к бесконечности: ~ Н, часть частот,
называемых маятниковыми, стремится к конечным, не равным
нулю пределам: cos ~ 1. Число маятниковых частот равно разно-
сти между размерностью системы и рангом матрицы Г. Типичное
поведение частот гироскопической системы изображено на рис. 1.
Вынужденные колебания линейных механических систем.
Решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено
с использованием общих результатов, приведенных в разд. 12.
Однако в частных случаях бывает удобно пользоваться более
простыми приемами, приводимыми ниже.
Рассмотрим вначале линейный одномерный осциллятор
тх 4~ hx 4~ кх — р cos kt,
(17.26)
для которого требуется построить частное периодическое решение,
имеющее тот же период, что и период неоднородного члена. В силу
принципа суперпозиции интересующее нас решение будет пред-
ставлять собой вещественную часть соответствующего частного
решения следующего уравнения:
тх 4“ hx + кх — р (cos kt 4“ i sin kt) — peiU.
Разыскивая решение этого уравнения в виде
/у* ——- лл /)i\t
Л/ «x/qc ,
3*
67
находим
р	/	-7_\	к — ТпХ2
Х° — к-тк* + М. — Р(а~ lb)’ а — (k-mk^ + h^ ’
, _ hk
й~ (к — ml2)2 + Л2Х2 ’
откуда
Re х — Re р (а — ib) (cos kt + i sin kt) = p (a cos kt +
+ b sin kt) = A cos fyt — a),
где
л	P	. hk
A = -—===== , a = arctg	.
/(£ — /nA2)2 -f A2X2	к — mk2
(17.27)
Выражения (17.27) определяют амплитудно-частотную и фазо-
частотную характеристики одномерной линейной колебательной
системы. Они изображены на рис. 2 и 3 в виде семейств кривых
А (к) и а (1), в которых параметром семейства является коэффици-
ент демпфирования h > 0.
Амплитуда вынужденных колебаний принимает максимальное
значение в окрестности точки к — ]/к/т, т. е. когда частота внеш-
ней силы близка к частоте собственных колебаний. Это явление
называется резонансом. Оно играет существенную роль в даль-
нейшем, когда понятие резонанса будет расширено и уточнено.
Пусть теперь неоднородный член имеет более общий вид:
тх + hx + кх = / (0.
Частное решение этого уравнения разыскиваем в виде
t
х= J G (t — т)/(т) dx.
о
Подлежащая определению функция G (t—х) носит название
функции Грина рассматриваемой механической системы. Подстав-
68
лян это решение в уравнение, найдем
t
У [mG (t — т) + hG (t — т) + kG (t — т)] du +
о
+ mG (0) / (0 + [mG (0) + hG (0)] / (t) = f (t).
Для того чтобы это соотношение выполнялось тождественно, до-
статочно положить
mG + hG + kG = 0, G (0) = 0, G (0) = i/m.
Таким образом, функция Грина удовлетворяет указанной началь-
ной задаче Коши для соответствующего однородного уравнения
и, следовательно, имеет вид
G(t — т) = —— ^-ла-т)/2т sin н — т\ f со = д/~—--------г—» ) .
v ' тпсо	v	\ V т	4m2 J
Таким образом, частное решение при произвольном свободном
члене имеет вид
t
х= тсо \	sin со (t — n)f (т) dx.
о
Это частное решение, как следует из изложенного, удовлетворяет
нулевым начальным условиям: х (0) = 0, х (0) = 0.
Произвольное число степеней свободы
A 'q + Cq = f (0.
Будем полагать, что гармоническая внешняя сила приложена по
к-я обобщенной координате, т. е. / (0 имеет вид
р cos kt = екр cos kt.
10 J
Переходя к нормальным координатам q —> х. вместо (17.5) получим
Н'АНх + Н'СНх = НЧ*р cos kt.
или в покоординатной форме:
= h\p cos kt
+ ^пхп =h*p cos kt.
Решение этой системы имеет вид
h™p cos Kt
Хт== rfm-K*
(т= 1, . . ., n).
69
Рис. 4
Рис. 5
Или же, возвращаясь к старым координатам, найдем
qs — р[ —z—------F . . . Н-— cos U = рА.к cos Xt.
Коэффициенты Ask, показывающие, как возбуждение по &-й коор-
динате влияет на движение по s-й, называются гармоническими ко-
эффициентами влияния. Они, очевидно, являются симметриче-
скими:	= Aks, что выражает так называемый принцип взаим-
ности. Если s = к, то в выражении для Ask числители всех слагае-
мых положительны и график зависимости А кк (X), сочетающий в себе
понятия амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик
одномерной системы, имеет вид, изображенный на рис. 4. График
показывает, что всегда имеется ровно п резонансов и ровно п—1 то-
чек на оси частот, при которых амплитуда колебаний возбуждае-
мой массы равна нулю. Такое явление называется явлением
динамического поглощения колебаний, или антирезонансом. Если
же к s, то в силу А-ортогональности амплитудных векторов
(17.4) числители слагаемых, входящих в выражение Ask, обяза-
тельно имеют разные знаки. Число антирезонансов может быть
меньше чем п — 1 (их может не быть совсем), и график Ask (X),
например, имеет такой вид, как изображен на рис. 5.
Диссипа тивные системы:
Aq + Dq + Cq = / (t) = ekp cos XL
Поступаем так же, как и в случае одномерной системы, т. е. заме-
ним написанное уравнение следующим:
Aq + Dq-\~ Cq — ekpeiKt.
Частное периодическое решение исходного уравнения получается
как вещественная часть соответствующего решения написанного:
q =
70
Для вектора амплитуд I получается система алгебраических урав-
нений
(—ЛХ2 + iDk + С)1 = е^р.	(17.28)
Решая ее по правилу Крамера, получаем для s-й компоненты век-
тора к
ls =	= [и (к) — iv (X)] р,
где Д — определитель системы (17.28), а Д8|с — алгебраическое
дополнение элемента этого определителя, стоящего в пересечении
А-й строки и s-ro столбца. Искомое решение исходной системы
имеет вид
qs = lu (к) cos kt + v (к) sin Xd р.
Функция
И^(*) = pVu*(M + v*(K)
определяет амплитудно-частотную характеристику колебаний по
s-й координате при возбуждении по А-й.
Глава	НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ,
вторая	МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
Основным методом приближенного аналитического исследования
нелинейных колебательных систем с малым параметром является
метод осреднения. Большинство других методов, которых в настоя-
щее время известно уже достаточно много, представляют собой
либо иную форму изложения метода осреднения (например, метод
многих масштабов), либо специально приспособлено к решению
каких-то более узких постановок задач, чем это делается в ме-
тоде осреднения.
Метод осреднения представляет собой не метод решения нели-
нейных систем дифференциальных уравнений, а метод приведения
их к некоторой более простой форме, для которой мы можем поста-
вить любую из тех задач, которую можно поставить для исходной
системы.
Подход, связанный не с прямым построением приближенных ре-
шений точной системы, а с анализом точных решений приближен-
ной системы, является гораздо более гибким, поскольку содержит
первый в качестве частного случая, оставляя возможности качест-
венного анализа, использования ЭВМ для численных решений
и тому подобное.
Метод осреднения относится к так называемым локальным ме-
тодам анализа решений дифференциальных уравнений. Это озна-
чает, что предметом изучения является система, в каком-то смысле
мало отличающаяся от другой системы, для которой может быть
построено общее точное решение.
Если бы поведение решений мало отличающихся систем также
мало отличалось друг от друга, то такая постановка была бы мало-
содержательной. Однако сколь угодно малые возмущения системы
могут качественно изменить поведение решений. Установление
этих качественных изменений и является наиболее интересной
целью приближенного анализа нелинейных систем.
Рассмотрим основные идеи метода осреднения в общей поста-
новке.
18.
Одночастотные системы.
Первая стандартная форма
Пусть имеется система дифференциальных уравнений
dz.
zx,... ,ze) + sFf ... ,zn,e)(i = l,. .. ,n). (18.1)
Введем следующие матрицы-столбцы:
72
Тогда система уравнений (18.1) переписывается в форме
-^- = /(Z,Z) + eF(/,z,e).
Входящая в функции / и F переменная z указывает на тот факт,
что эти функции зависят от совокупности переменных %, . . ., zn,
скалярный параметр 8 считается малым и неотрицательным.
Предположим, что вырожденная система, в которую превра-
щается исходная система (18.1) при 8 = 0, имеет точное решение
* = £(*, С).	(18.2)
В нем С — совокупность п произвольных постоянных интегриро-
вания. Следовательно, для функции g (£, С) имеет место следую-
щее тождество:
±g(t,C) = -^g(t,C)^f{t,g(t,C)}.	(18.3)
Наша задача заключается в построении такой приближенной си-
стемы, решения которой с гарантированной точностью представ-
ляли бы решения полной, невырожденной, системы (18.1).
Для решения поставленной задачи необходимо предварительно
привести исходную систему к специальному виду, называемому
стандартной формой. Такое приведение осуществляется заменой
переменных z -> х по формуле
z = G (t, х).	(18.4)
Дифференцируя соотношение (18.4), получим
dz   dG . dG .
dt	dt ' 9x
где
Подставляя полученные соотношения в систему (18.1) и разрешая
ее относительно dx/dt, имеем (если dGIdx обратима)
-ST = [ Г [* Iz’G' -
—	+ е7? G х)’ е1} •	(18.5)
Из полученного выражения видно, что если G (£, х) = g (t, х),
то в силу тождества (18.3) уравнение (18.5) упрощается и записы-
вается в виде
73
Кроме этого, как видно из полученной системы ^уравнений, новые
переменные х медленно меняются] с течением времени и данное
уравнение, которое обычно записывается в виде
^ = sX(t,x,e),	(18.7)
носит название стандартной формы одночастотной системы. Смысл
термина «одночастотная» будет объяснен в дальнейшем.
Особенностью системы (18.7) является присутствие множите-
ля 8 перед всей правой частью. Заметим, что к виду (18.7) могут
быть приведены любые системы вида (18.1), если только общее ре-
шение вырожденной системы известно. Метод приведения носит
название метода вариации произвольных постоянных Лагранжа.
Этот метод уже был применен в гл. I для приведения линейной си-
стемы к нормальной форме Булгакова.
Заметим, что к стандартной форме приводит и любая замена
вида
G (£, х) = g (t, х) + 8g (t, х),
где q (t, х) — произвольная дифференцируемая функция, которую
можно выбирать с целью преобразования правой части X (i, х, е),
чтобы получить систему (18.7) в виде, более удобном для исследо-
вания.
Пример. Возьмем осциллятор с кубическим демпфирова-
нием, уравнение которого имеет вид
Z 4- 8Z3 + z = 0.
Это уравнение легко переписывается в форме (18.1)
Zx —— ^2,	Z2 — 8Zg Zx.	(18.8)
Решение вырожденной системы (8 = 0)
zx —- Сг cos t 4“ С2 sm
Zg = —C1 sin t 4- C2 cos t
определяет замену переменных (zx, z2) -> (xx, x2):
zi — xi cos * + x2 sin	(18.9)
Zg = —x1 sin t 4- cos
Подставляя эти формулы в систему уравнений (18.8), получаем
хг cos t + х2 sin t = 0,
—£х sin t + х2 cos t = —8 (— xt sin t + x2 cos t)3,	(18.10)
откуда находим, что
2*1 = 8 (— xx sin t 4- x2 cos t)3 sin t,
x2 = —8 (— xx sin t + x2 cos t)3 cos t.	(18.11)
74
Это и есть уравнения осцилля-
тора в стандартной форме. За-
метим, что исходное уравнение
второго порядка можно не при-
водить к промежуточной систе-
ме уравнений первого порядка
(18.8), используя сразу замену
z = cos t + х2 sin t.
Рис. 6
Однако при этом необходимо
взять в качестве дополнитель-
ного условия первое уравнение
из (18.10).
Приведение к стандартной форме — первый необходимый этап
применения метода осреднения.
Второй этап состоит в замене точной системы (18.7) некоторой
приближенной системой уравнений. Эта здмена должна удовлетво-
рять двум условиям: гарантировать близость соответствующих ре-
шений точной и приближенной систем уравнений; приближенная
система должна легче поддаваться математическому анализу.
То упрощение, которое производится в методе осреднения, ба-
зируется на следующей идее разделения движений.
Пусть правая часть системы (18.7) периодична по t с перио-
дом Т:
X (t + Т, X, е) = X (t, X, е).
Это предположение представляет собой конкретизацию системы;
если периодичность по t не имеется, то будем полагать Т = оо.
Произведем в системе (18.7) замену времени t -> т по формуле т =
= eL Тогда система перепишется в виде
dx \ е
х,
8
Правая часть этой системы также периодична поте периодом 8?\
т. е. в нее входят периодические функции по т, изменяющиеся с
большой частотой. Типичный вид какого-нибудь частного решения
этой системы изображен на рис. 6.
Это решение может быть представлено в виде суммы плавно
меняющейся части и (т), называемой эволюцией системы, и быстро-
осциллирующей части v (т), называемой осцилляцией:
х = и (т) + v (т).
Это не слишком определенное утверждение уточняется, если под
эволюцией понимать результат действия на х (т) оператора сгла-
живания:
ег
О.(т) = -А_ jj
о
75
Для нас наибольший интерес представляет эволюция системы, ко-
торая удовлетворяет уравнению
8Т	еГ
о	о
Мы получили точное соотношение. При интегрировании по пере-
менной £ необходимо учитывать, что X зависит от £ не только в яв-
ной форме, но и благодаря тому, что от £ зависит х. Однако ин-
тервал интегрирования мал и на нем х изменяется мало. Полагая
х (т + £) ~ и (т), имеем
Или, возвращаясь к исходному времени t, получаем
-^- = еХ0(и,г),	(18.12)
т
где Х0 = -у-\ X (t,u,e)dt, если X является периодической функ-
0
цией;
г
1 С
Хо = lim \ X (t, и, е) dt, если X не является периодической
Т->ОО J
функцией.
В этом и заключается основной прием метода осреднения, из-
вестный еще со времен Гаусса,—переход от точйого уравнения
(18.7) к уравнению (18.12) посредством осреднения правой части
по явно входящему времени t.
Пример. Продолжим рассмотрение уравнений осциллятора
с кубическим демпфированием (18.8), которые были приведены к
стандартной форме (18.11). Осреднение по явно входящему време-
ни приводит к следующим уравнениям для эволюции:
йх =----§“^(1/1 Ч-и|), й2 =-----|“£u2(ui + u2).	(18.13)
Уравнения (18.13), приближенно заменяющие уравнения (18.11),
и представляют собой конечную цель первого приближения метода
осреднения.
Как уравнения (18.11), так и уравнения (18.13) являются нели-
нейными. Однако правые части уравнений (18.13) не зависят явно
от времени. Кроме того, они допускают точное интегрирование,
а это обстоятельство не является следствием специального вида
исходной системы, а представляет собой общий факт, справедли-
вый для любых не линейных автономных систем второго порядка.
В нашем случае уравнения (18.13) легко интегрируются после
перехода к полярным координатам:
ur = г cos ф, и2 = г sin <р,	(18Л4)
76
в которых они приобретают вид
_ 2_еГз dv> —о
dt —	8 ъг ’ dt ~
В результате интегрирования получаем, что
г = Го (1 + 3/8er0t)-‘/% <р = <р0.
Последний, третий этап всей процедуры состоит в возвращении
к исходным переменным в силу формул (18.14), (18.9), что дает ре-
шение для z в явном виде:
z = % = r0 (1 + 3/8ег0^)_1/2 cos (t — <р0).	(18.15)
Это и есть приближенное решение задачи об осцилляторе с куби-
ческим демпфированием. Приближение состоит в том, что мы отож-
дествили переменные fo, х2), удовлетворяющие точным уравнени-
ям (18.10) с переменными (ux, и2), удовлетворяющими приближен-
ным уравнениям (18.13).
19.
Математические основы метода осреднения
Приведенные в предыдущем разделе рассуждения, основанные
на введении понятия эволюции при помощи оператора сглажива-
ния, оправдывают рассмотренную приближенную процедуру, но
не обосновывают ее. Между тем потребность в обосновании дик-
туется не только стремлением к формально-математической за-
вершенности решения. При невыполнении строгих условий приме-
нимости метода могут возникнуть погрешности, грубо искажающие
наше представление о существе исследуемого явления. В рассмот-
ренном выше примере осциллятора с кубическим демпфированием
полученное приближенное решение (18.15) правильно описывает
характер затухания колебаний в системе, если 8 > 0. Если же
перед параметром 8 в уравнении осциллятора стоит знак «минус»,
то решение (18.15) в этом случае принимает вид
2 = ro(! — 3/8er5t)-*/2 cos (t — <р0).
Оно уходит за конечное время в бесконечность при любых не рав-
ных нулю начальных условиях. В действительности же для точно-
го уравнения существует множество не нулевых начальных усло-
вий, для которых решение уходит в бесконечность за бесконечное
время. Таким образом, приближенное решение даже качественно
не соответствует точному.
Приводимые ниже теоремы устанавливают четкие границы при-
менимости метода осреднения и позволяют избежать подобных
неприятностей.
Основной результат теории составляет теорема Н. Н. Бого-
любова. Мы приведем полностью доказательство этой теоремы,
поскольку техника доказательства [62] является, во-первых, ти-
пичной для такого рода результатов, во-вторых, конструктивной,
77
т. е. она позволяет строить эффективные оценки точности для
конкретных задач.
Будут сравниваться две начальные задачи Коши:
I	II
X = 8 X (t, X, 8) и == 8Х0 (и, 8)
£(О) = £о и(О) = жо.
На систему I, правая часть которой определена в некоторой об-
ласти D переменных х — (хх, . . ., хп) (область D — открытая,
связная область в n-мерном пространстве) и для 0 t < оо и
О 8	81т накладываются следующие условия:
а)	X (t, х, 8) — измеримая по t функция при любых фиксиро-
ванных хи 8 (в частности, кусочно-непрерывная функция, множе-
ство точек разрыва которой не имеет точек сгущения);
б)	можно найти такие две ни от чего не зависящие константы М
и X, что || X (t, X, 8)11 < М и II X (t, х, 8) — X (t, х , 8)|| <1 X||z — я:'||
для любых значений переменных из области определения (под
нормой понимается евклидова норма || х ||=
т
в)	предел Хо (u, 8)= lim -у- \ X (t, и, z)dt существует равномер-
Т->оо J
но относительно и из D и 8 ИЗ [О, 8Х].
Прежде чем формулировать и доказывать теорему Боголюбо-
ва, прокомментируем условия, накладываемые на правые части
изучаемой системы I.
Самые слабые условия накладываются на аналитические свой-
ства зависимости правых частей от времени. Под условие измери-
мости подходят кусочно-непрерывные функции, что в подавляю-
щем большинстве случаев исчерпывает потребности практики.
Может показаться излишне обременительным первое из усло-
вий б) (ограниченность X в области определения). Например,
функция X = х2 (тг = 1) определена для —оо <; х < оо D =
= (—оо, оо) и неограничена в D. Однако для выяснения близости
найденного решения системы II к соответствующему, но не най-
денному решению системы I свойства правых частей достаточно
рассматривать не во всей области их определения, а лишь в малой
окрестности (трубке) решения приближенной системы, в которой
и следует вычислять константы М и к. Второе из условий, называе-
мое условием Липшица, более жесткое. Оно выполнено заведомо,
если функция X (t, х, 8) дифференцируема по х в области опреде-
ления, и не выполнено, если эта функция разрывна по х. Обоб-
щение доказываемой ниже теоремы на случай разрывных по х
функций (кусочно-непрерывных с изолированными поверхностями
разрыва) не представляет больших затруднений. Требуется только
дополнительно накладывать условие, что траектория не скользит
по поверхности разрыва или вблизи нее, а протыкает ее с ненуле-
вым углом наклона. В конкретных задачах теории колебаний вы-
78
полнение этого условия бывает очевидно по самому смыслу изу-
чаемого процесса.
Если функция X (t, х, в) периодична по t, то в условии в) пре-
дел заведомо существует, однако проверка этого условия всегда
необходима, поскольку может не выполниться требование равно-
мерности этого предела по параметру 8. Например, это имеет место
для скалярного уравнения х = е cos 8f, правая часть которого
периодична. Ее среднее существует и равно нулю, но рассматри-
т
1 р	11
ваемый предел lim ^- \ cos zt dt = — lim -у- sin ьТ неравномерен
Т-*<х> 1 J	е Т—оо 1
о
по 8 из интервала 0	8	8Х. Поэтому для этого примера форми-
руемая ниже теорема неверна.
Теорема 1. Если решение и (t) начальной задачи Коши для
системы II определено для 0 <1 t < оо и принадлежит области D
вместе со своей р-окрестностью, то для любого наперед заданного
числа L можно найти 80, такое, что
||x(t) - и (ОН < 2ЬУ2ХМ^УЬ(г).	(19.1)
При всех 0 t < L/8 И 0	8	80
где
Л/8
6 (е) = sup Г sup 18 f [X (t, х, е) — Хо (ж, 8)] dt III —> 0 при е 0.
о<л^ь LxeD1	11J
Если правая часть системы периодична X (t + Т, х, е) = X (/, х, е),
то оценка (19.1) может быть существенно улучшена:
||Jx (0 - и (ОН < ТМ (£Х + 2)^4.	(19.2)
Доказательство. Лемма (Гронуолла). Пусть скаляр-
ные и непрерывные при 0 t < оо функции a (t) и / (t) неотри-
цательны. Если для них выполнено неравенство
t
О
где С — положительное число, то верным для них будет и следую-
щее неравенство:
t
a(t)^C exp / (0 dt
о
на том же интервале времени.
Доказательство леммы. Из неравенства, входя-
щего в условие леммы, получаем
«(О
С + ^f(x)a(x)dx
с
79
Умножая на неотрицательную функцию / (0, найдем
-----------------< / (0.
С + / (т) а (т) dx
о
Так как
t
-4"[С+ $/(т)а (T)dT] =/(О«(О»
О
то, интегрируя последнее соотношение в пределах от нуля до t,
будем иметь
t	t
In Гс+ ^/(т)а(т)йт1 — 1пС<^/(т)йт
L о	J	о
или
t	t
С + / (т) а (т) dr	С ехр § / (т) dr,
о	о
откуда, вспоминая исходное неравенство, и получаем
t
a (t) С ехр / (т) dx.
о
Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Перейдем от систем I
и II к эквивалентным им интегральным уравнениям, после чего
вычтем из первой вторую:
t
x(t) — u(t)=z^ {X [0 х (0, е] — Хо [и (0, е]} dt.
о
В подынтегральном выражении добавим и вычтем функцию
X [0 и (0, е], после чего оценим это соотношение по норме, поль-
зуясь свойствами нормы и условием б):
t
[| х (0 — и (01| е § || X [0 х (0, е] — X [0 и (t), е]|| dt+
о
t	t
+ |е§ X [0 и (0, е]dt|	|| x(t) — и (t) || dt +
о	о
t
+ sup lle^ X [0 u(0, e]df|,
*G[0, L/e]11 J	11
где X [i, и (0, e] = X [0 и (0, e] — Xo[u(0, в]. Полученное не-
равенство удовлетворяет условиям леммы Гронуолла, поэтому
80
можно написать
t
|| х (t) — и (t) || eeU sup II e X [f, и (t), e] dt || eKL J,
*e[O, L/e] 0	11
где
t
J = sup l| \X[t,u (£), e] dt ||.
<S[0, L/e] q	11
Оценка величины J зависит от того, является ли X периодиче-
ской функцией £или нет. Начнем с непериодического случая.
Предварительно заметим, что в любом случае функции Хо (х, е) и
X (£, х, е) удовлетворяют условию б) с константами
II XQ (х, е) || < М, || X (t, х, е) || < 2М,
||Х0 е) — Хо (х', е) || < L || х — х' Ц,
|| X (t, ж, е) — X (t, х', е) || 2Х || х — х' ||.
Если и (t) = const — стационарное решение начальной задачи
Коши II, то, полагая i = //ей, в силу условия в) теоремы имеем
Z/e
J = sup d|-7“	X (t, и. e)dd| —>0 при e->0.
/е[о, L] 11 1 J	II
Обозначим 6 (e) = sup J; 6 (e) существует и стремится к нулю
вместе сев силу предположения о равномерности предела по и
и по е. Таким образом, для стационарного решения J 6 (е) -> 0
при 8 -> 0. Покажем, что общий случай сводится к стационарному.
Разобьем интервал [0, t] на п равных интервалов (рис. 7) и запишем
|| е § X [£, и (t), е] dt || е 2 | $ {% и (0> е1 ~~
0	г==1 t(i—1)/п
n ti/n
— X [i, щ, е]} dt || + 2 16	-X U, ut, e] dt ||,
i=l t(i—l)/n
где ut = и (t (i — l)/n).
По только что доказанному
ti/n	ti/n
||e У K[t, uf, e]di |<;||e § X[t, ut, e] dt || +
Цг—l)/n	0
t(i-l)/n
+ [|e X[t, e]cfa || <^ 26(e).
о
Остается оценить
ti/n	ti/n
||	§ {X [t, u(t), e] — X \t, uh e]} dt || <^2X	|| u(t) —	|] dx.
t(i—l)/n	t(i-l)/n
8t
Норма разности || и (т)—wf|| оценивается исходя из начальной
задачи Коши:
й = еХ0(и, е), u(t(i — l)lri) = ui,
откуда
|| и (т) — jj еЛГ [т — t (i — 1)/п], т G= [i (i — l)/n, ti/n],
что дает
ti/n
2% j ||U(T)_Ui||dT<^.i2<
Или окончательно имеем
t
18 X [J, u (i), e] dt |	—h 2n6 (e).
о
Очевидно, что n следует выбрать так, чтобы правая часть этого со-
отношения была минимальной:	|/	Откуда и следует
оценка (19.1).
Рассмотрим теперь периодический случай. Пусть Т — период
л (п — 1)Т <1 t пТ- Тогда
t	пТ	t
[£, u(t), 8]df| <^||е § X [<, u(t), е] dt | + |е § X[t, u(t), e]d/||^
О	о	пТ
п iT
<2 |е $ Х “(0,8]Л| + 2ъМТ.
г=1	(i—1)Т
Поскольку
iT
X [i, uit в] dt = 0
(i-l)T
(U, = u((i-1)T)),
82
то
|e)j XU,w(0s]df|<2 e $ ||^(Л u(/),e] — X [f, u„ e] |<fc+
0	i=l (i—l)T
+ 2еЛ/7’<^2еХ $ \\u(t)- Ui\\dt + 2eMT.
?=1 (i-l)T
Как и в предыдущем случае, || и (t) — ut || < гМ (t — (г — 1) Г).
Поэтому
t
|eJX[i,u(0,e]d<||<e2Xn7’W + 2еЛ/Г.
О
Учитывая, что Ыг ~ пТ, получим неравенство (19.2).
Теорема доказана.
Рассмотрим пример применения сформулированной теоремы.
В примере с осциллятором с кубическим демпфированием
X (/, х, е) == {Хг; Х2} — {(—#isin t + o:2cos О3 sin Z;
(xr sin t — x2 cos 03 cos t}.	(19.3}
Решение осредненной системы (18.13) с начальными условиями:
^i(O) = 0,1; и2(0) = 0 имеет вид
и1 = 0,1 ^1 +	/2> и2 = 0.	(19.4)
Область D, в которой определена система (18.11) и которая фигу-
рирует в теореме, совпадает со всей плоскостью {х^ х2}. При по-
строении оценок точности выгодно брать область D как можно
меньшей. Достаточно взять лишь р-окрестность решения (19.4).
Такая область изображена на рис. 8.
Все условия теоремы в этой области выполнены, следует только
подсчитать константы М и X, фигурирующие в оценке (19.2).
Имеем
II X II = Vxl + xl = \(- xtsin t + x,cos/)3 I <
< /[(0,1 + p)2 + p2]3= M,
= 3 (— xr sin t + x2 cos i)2	3 [(0,1 + p)2 + p2] =
Подставляя выражения для M и X в соотношение (19.2), получаем
II x(t) - и (ОН < 2л ]/ [(0,1 + р)2 + р2]3 {3L [(0, 1 + р)2 + р2] +
+ 2}е3’Л(°’1+р)2+Р^£.
Такая оценка будет верна, если неизвестное точное решение х (t)
на рассматриваемом интервале времени [0, L/e] лежит в области D.
83
То максимальное значение 8, при котором это можно гарантиро-
вать, и есть фигурирующее в теореме 80. Очевидно, оно может быть
найдено из условия равенства оценки нормы || х (t) — и (t) || величи-
не р:
2л/[(0,1 + р)2 + P2P{3L [(0,1 + р)2 + р2] +
+ 2} e3L[(o,i+P)»+p»l ео = р>	(19.5)
Пусть нам задан параметр 8 = 0,01 и интервал времени, на кото-
ром рассматривается решение 0 <3	104. Тогда число L = 102.
Из соотношения (19.5) получаем, что р ~ О,628ео + 0 (во) о*
~ 0,006. Это дает нам М ~ 10~3, Х = 3-10"2. Подставляя их в
оценку (19.2), получаем ||я(0 — и (0||<^ 0,006 для 0 t 104.
В случае, когда имеется отрицательное кубическое демпфирова-
ние, решение и (t) не ограничено. Неограниченной оказывается
и область D. В неограниченной области правые части (18.11)
также неограничены, т. е. теорема 1 не дает никаких гарантий
точности, поскольку М = оо и X = оо.
Если рассматриваемое решение осредненной системы асимпто-
тически устойчиво, то оценки типа (19.1), (19.2) оказываются спра-
ведливыми на бесконечном интервале времени. Этот факт был уста-
новлен К. Банфи [61].
Предметом интереса в теории колебаний часто является не на-
чальная задача Коши для систем вида (18.7), а стационарные ре-
жимы, которые для исходных уравнений (18.7) обычно опреде-
ляют периодический процесс. Метод осреднения позволяет не
только доказать существование и найти такой процесс, но и изу-
чить его устойчивость. При обосновании решения задачи в такой
постановке приходится сравнивать не частные решения точной и
осредненной систем с одинаковыми начальными условиями, а ста-
ционарные режимы в этих системах, которые, вообще говоря, удов-
летворяют различным начальным условиям. Соответствие между
такими решениями устанавливает теорема 2.
Теорема 2. Имеются две системы I и II:
I. х = &Х (£, х, 8) II. й = 8Х0 (и, 8).
Пусть Т — период функции X (t, х, 8) по t, не зависящий от 8 и
т
Xq (и, 8) =“J- X (£, U, 8) dt.
о
Пусть uQ = const —стационарное решение системы II, т. е.
Хо (и0, 8) = 0, для которого матрица дХ^/дх невырожденна. Тогда
для всех достаточно малых 8 у системы I существует периодиче-
ское решение с периодом Т, которое при е —> 0 стремится к и0.
Если, кроме того, собственные числа X этой матрицы, определяе-
мые характеристическим уравнением
det	ХЕ | = 0,
«4
имеют отрицательные вещественные части (стационарное решение
системы II асимптотически устойчиво), то это периодическое реше-
ние системы I асимптотически устойчиво.
Для справедливости теоремы требуется существование непре-
рывных частных производных первого порядка по х у функции
X (t, х, в) в окрестности точки х = и0, а также непрерывность этой
функции по 8 и ее непрерывность (достаточно и измеримости)
по L Таким образом, теорема 2 позволяет из существования и ус-
тойчивости стационарного режима в осредненной системе (что,
как правило, представляет собой достаточно простую задачу) вы-
водить существование и устойчивость периодического решения
в точной системе. Полное доказательство теоремы приведено в [11].
20.
Построение высших приближений.
Понятие об асимптотическом ряде
Точность, с которой получается решение при помощи описанного
в предыдущих разделах метода, обычно бывает достаточно высо-
кой, во всяком случае, достаточной для того, чтобы гарантировать
достоверность качественных выводов. И все-таки при переходе к
осредненной системе исходные дифференциальные уравнения те-
ряют часть свойств, которые могут представлять предмет самостоя-
тельного интереса. Тем самым возникает вопрос о том, нельзя ли
как-то уточнить полученную осредненную систему. В идейном
плане такая задача решается весьма просто. Перепишем основную
систему (18.7) в виде
-^- = 8Х0(ж,е) + e.X(t,x,e.),	(20.1)
где XQ(x, 8), как и раньше, — среднее по времени от функции
X (t, х, 8), а X (t, х, 8) — функция, среднее значение которой рав-
но нулю, дающая в сумме с Х0(х, 8) исходную правую часть
X (t, X, 8).
Переход к осредненной системе от системы (20.1) соответствует,
таким образом, отбрасыванию члена ьХ (t, х, 8), что и приводит
в решении к погрешности типа (19.2). Если бы уравнение (20.1)
имело вид
-J-=eX0(x;e) + e2A‘(/,a:,e),	(20.2)
то отбрасывание при осреднении величины 82Х (t, х, 8) привело бы
к тому, что в формуле для оценки (19.2) вместо 8 стояло 82. Оценка
была бы верна на том же интервале времени [0, Л/е].
Таким образом, для того чтобы осреднение давало на порядок
более высокую точность, достаточно исходную систему (20.1) пре-
образовать к виду (20.2). Для целей такого преобразования выпол-
няется близкая к тождественной замена переменных (х-+у)
х = у +	(t. у. 8).	(20.3)
85
Функцию S (t, у, в) следует выбрать так, чтобы удовлетворить
требуемому условию.
Дифференцируя соотношение (20.3) с учетом уравнения (20.1)
получаем
-аг +е + е =еХ° + е5’ у + е5’ е>-
Разрешая эту систему относительно производной dyldt, находим
= 8Х0 (у, 8) + 8 [ X (t, у, 8) -	+ &Q (t, у, 8).	(20.4)
Совокупность получившихся в системе после преобразования сла-
гаемых второго порядка и выше обозначена через (t, у, г).
Для того чтобы обеспечить требуемое условие, как это видно из
(20.4), достаточно S (t, у, г) выбрать так, чтобы
X(t,y,.)-^O,
откуда
t
S (Л у, 8) = 5 X (t, у, e.)dt +С (у, е).
о
Таким образом, исходная точная система (20.1) посредством заме-
ны переменных по формулам (20.3), (20.5) приводится к системе
^ = еХ,(М + *Ш4	(20.6)
Применяя к (20.6) процедуру осреднения, получим осредненнук>
систему в виде
4г = еХ0 (у, е) + е2Хг (у, е),
где
(20.5>
(20.7>
т
Xi (у, е) = lim С Q (t, у, е) dt.
т~°° Т .)
Решение уравнения (20.7) после подстановки в (20.3) дает реше-
ние исходной системы (20.1) в периодическом случае с оценкой
вида
II x(t) - и (t) II < Be2, t (F [0, L/е].
Константа В должна вычисляться по правым частям системы
(20.6). Построенное таким образом решение называется решением
второго приближения. В литературе встречается понятие промежу-
точного между первым и вторым приближениями — «улучшенное»
первое приближение. Оно получается, если в замену (20.3) под-
ставлять не решение осредненной системы второго приближения
(20.7), а решение осредненной системы первого приближения.
То есть приближенное решение имеет вид
и (t = у (t) + eS R, у (0, el,
86
где по сравнению с первым приближением добавлен член
eS It, у (0, е].
Несмотря на то, что близость точного решения и улучшенного
первого приближения оценивается так же, как и в случае простого
первого приближения, улучшенное первое приближение удовле-
творяет системе (20.1) точнее, поскольку нескомпенсированным ос-
тается лишь член 82(), т. е. второго порядка малости. Затраты на
построение улучшенного первого приближения существенно мень-
ше, чем при построении второго приближения.
Для построения произвольного приближения можно восполь-
зоваться методом индукции. Пусть система уже приведена к виду,
в котором отбрасываемые при осреднении члены имеют порядок 8П:
= 8Х0 (х, 8) 4- 8аХх (я, 8) + . • • + (А е) +	(t, X, 8),
(20.8)
через X (t, х, е) обозначена функция, среднее значение которой
равно нулю (отбрасываемая при осреднении).
Требуется заменой переменной (х у)
х = у + enS (t, у, 8)	(20.9)
привести систему (20.8) к виду
4г = еХ0 (у, е) + е2Хх (у, е) + ... + гпХп (у, е) + е"+1(? (*. у, е).
(20.10)
Повторяя все приведенные выкладки, найдем, что искомая
функция S (t, у, 8) выражается той же формулой (20.5), в которой
стоит лишь соответствующее X (t, у, s). Осредненное уравнение
для (20.10) имеет вид
-f" = 8Х0 (у, е) 4- е2Хх (у, е) + .. . + 8™Х„+1 (у, г),	(20.11)
т
X’n+i (у, е) = lim 44 (? (*» У»8)dt-
т~°° J
Решение этого уравнения после подстановки в формулу замены
(20.9) дает приближенное решение уравнения (20.8), удовлетворя-
ющее оценке
||х (0 - и (0|| < В г n+1,	0 < t < LI г.
Система, полученная осреднением (20.8), называется системой
лг-го приближения, система (20.11) — системой п + 1-го прибли-
жения. С каждым приближением точность решения увеличивается
на один порядок.
Рассмотренные процедуры приводят к следующей конструк-
ции. Дана точная система
dxldt = &Х (t, х, е).
87
Строится замена х у:
x = y + ^Sr (t, у, 8) + 8252 (J, I/, 8) + ... ,	(20.12)
приводящая эту систему к автономному виду
dy/dt = вХ0 (у, 8) + 82ХТ (у, 8) + . . .	(20.13)
Получающиеся при этом ряды не являются тейлоровскими разло-
жениями по степеням 8, поскольку стоящие при степенях 8 коэф-
фициенты сами зависят от 8. Цель преобразования (20.12), состоя-
щая в приведении неавтономной системы к автономному виду
(20.13), может быть достигнута и без привлечения использованных
выше идей осреднения функций. Однако лишь благодаря осред-
нению коэффициенты ряда (20.12) оказываются ограниченными
функциями времени. Итак, метод осреднения в произвольном
приближении можно определить как метод, позволяющий приве-
сти неавтономную систему к автономному виду с заданной точ-
ностью при помощи ограниченных при любом t преобразований.
Такая постановка задачи представляет собой обобщение приема
Пуанкаре—Линдстета борьбы с секулярными членами, который
обычно иллюстрируется примером уравнения Дуффинга х + х +
+ 8х3 = 0. Пытаясь построить решение с начальными условиями
х (0) — а, х (0) = 0 в виде ряда Тейлора х = х0 (t) + 8^ (t) +
+ . . . , находим х0 + х0 = 0, хг + хг — — х*, . . ., откуда xQ =
= a cos t, хг = — (3/8) a3t sin t + (a3/32) (cos — cos • • • • ко-
эффициенты такого ряда — неограниченные функции времени.
Хотя этот ряд и сходится, никакое конечное число его членов не
дает правильного представления о поведении решения при любых
t. Прием избавления от секулярных (зависящих от времени сте-
пенным образом) членов и состоит в замене ряда Тейлора рядом по
степеням 8 с зависящими от 8 же коэффициентами: х = xQ (т) +
+ &хг (т) + . . ., где т = t (1 + 8(0! + ...). Величины со^ нахо-
дятся в процессе построения разложения из условия отсутствия
секулярных членов. Подстановка решения в этой форме в уравне-
ние дает
+ 8' dx2" +•••)(!+ е(01 +•••) + ^0 +	+•••
... +8(^ + 8^ + .. .)3 = 0.
Или, разделяя порядки:
I „ _A
ЙХ2 “Г ^0 —	dx2
_ „3
ЙТ2 *0, ‘
Откуда x0 = a cos t,
4- xr = ^2(0!---a2^ a cos т----a3 cos 3т
Условие отсутствия секулярных членов позволяет найти (Oj =
= 3/8а2. И так далее.
88
Ряды типа (20.12) и (20.13)
носят название асимптотических
[59]. Известно, что такие ряды,
как правило, расходятся, так что
если в формулах (20.12) и (20.13)
число членов считать бесконеч-
ным, то следует знак равенства за-
менить на знак соответствия. Для
практики вопрос о сходимости
асимптотического ряда не имеет
никакого значения, поскольку,
за исключением элементарных рИСо 9
случаев, реально можно построить
лишь несколько первых членов.
Поэтому вопрос, который представляет интерес, состоит в
том, насколько хорошо конечный отрезок ряда приближает неиз-
вестное точное решение. Вот точное определение для рассматри-
п
ваемой ситуации: ряд у+ 2 Уч 8) называется асимптотиче-
г=1
ским для решения х (0, если
(t, у, 8)||~0(8").
1=1
Символ о (вп) обозначает любую функцию а (вп), такую, что
lim а (ел) : 8П = 0.
8—*0
Таким образом, свойства близости ряда к точному решению
определяются не возрастанием п, а убыванием 8. При фиксиро-
ванном 8 с ростом п погрешность вначале убывает, затем, начиная
с некоторого номера, возрастает (если ряд расходится). Это опти-
мальное число приближений тем выше, чем меньше 8 (рис. 9).
Доказанная выше теорема позволяет утверждать, что приближен-
ное решение, получаемое изложенным в настоящем разделе прие-
мом, представляет собой асимптотический ряд. Для построения
асимптотического ряда, как это следует из изложенного, функция
X (£, х, 8) должна иметь столько производных по х, сколько при-
ближений предполагается построить. Никаких предположений
относительно свойств этой функции по 8, кроме уже оговоренных
в условиях теоремы 1, не делается. Если же X (£, х, 8) — гладкая
функция 8, то этим можно воспользоваться для упрощения ре-
зультатов, учитывая в разложении X по 8 лишь столько членов,
сколько это соответствует принятой точности.
89
21.
Введение малого параметра.
Осреднение функций
В задачах теории колебаний имеется два основных способа вве-
дения малого параметра.
Рис. 10а
Рис. 106	Рис. 10в
1. Когда одна из одинаковых по физическому смыслу постоян-
ных величин, присутствующих в уравнениях, много меньше дру-
гих. Таким образом могут сравниваться друг с другом массы раз-
личных точек, коэффициенты жесткости упругих элементов, часто-
ты колебаний и т. п. Например, в уравнении Матье х + (а +
+ е cos 20 х — 0 амплитуда колебаний коэффициента жесткости 8
часто может считаться малой в сравнении с коэффициентом жест-
кости а. В этом случае никаких ограничений на класс рассматри-
ваемых решений заранее не вводится.
Этот способ формализуется приведением системы дифференци-
альных уравнений к безразмерному виду, в котором все основные
параметры имеют порядок единицы. Малыми можно считать пара-
метры, принимающие независимые от основных значения, много
меньшие единицы. При этом появляется возможность сравнивать
и разные по физическому содержанию параметры. Например,
в уравнении тх + пх + кх — 0 переход к безразмерному времени
т = У к! mt дает х" +	+ х — 0, где коэффициент £ = п (кт)~Ч*
может принимать значения, много меньшие единицы.
2. Второй способ связан с ограничением класса рассматривае-
мых движений. Чаще всего используется предположение о мало-
сти колебаний. Например, если интересоваться лишь малыми ко-
лебаниями математического маятника х + sin х = 0, то можно
ввести новый масштаб измерения переменной х~Уъу, что при-
водит к изучению квазилинейного уравнения
у + у = С/з!) V — CAi) eV +...
Это означает, что изучается лишь малая (~ ]/"8) окрестность нуля
в фазовой плоскости (рис. 10, а). При этом бывает не обязательно
все зависимые переменные считать малыми. Так, в примере х +
+ е2/ (t, х, х) = 0 интерес может представлять случай малых ско-
ростей при конечных значениях координаты. Тогда замена х = гу
приводит к системе х = еу, у = —в/ (t, х, ву), что соответствует
90
изучению движений в области фазовой плоскости, изображенной на
рис. 10, б. Более общий случай состоит в том, что может быть
выгодным применять разные масштабы измерения фазовых коорди-
нат (рис. 10, в). Выбор масштабов требует некоторого предвари-
тельного представления об изучаемом процессе. Например, в
уравнении х + х + я2 = Л sin t, которое можно переписать
в виде системы так: х = у, у = — х — х2 + z sin t, z = 0,
следует выполнить замену (х, у, z) -> (х', у', z): х = гх', у = гу',
z = 83z'. В получаемой системе х = у', у'= — х' — ех'2 + &2z sin t,
z = 0, влияние на осциллятор внешнего возбуждения и нелиней-
ности проявляются в одном приближении (во втором). При лю-
бом другом введении масштабов один из двух факторов оказы-
вается слабее.
Более общий случай ограничения класса рассматриваемых дви-
жений, связанный с введением малого параметра, состоит в пред-
положении о близости фазовой траектории к некоторой поверх-
ности в фазовом пространстве. Наконец, отметим еще один способ
введения малого параметра. За малый параметр может принимать-
ся какой-либо числовой коэффициент, стоящий в уравнениях. Так,
в уравнении х + х = 1/fix3 малого параметра нет. Однако если под-
становка вместо 8 коэффициента 1/6 в оценку (19.2) убеждает нас
в достаточной точности, то, очевидно, можно воспользоваться ме-
тодом осреднения, принимая 1/6 за малый параметр.
Процедура приведения исходной системы к более простому
виду в методе осреднения требует вычисления средних значений
функций. Дадим несколько приемов вычисления среднего.
1. Использование правила Лопиталя:
1 im ± $ / (() dt = Пт (-i- ^ (,) Г) = lim / (7),
о	о
если последний предел существует.
1 F 1 —	1 — е~т*
Пример: lim	=	^==1.
2. Если / (0 — периодическая функция, то lim / (Т) не сущест-
вует и указанный прием не годится. Чаще всего в теории колеба-
ний приходится находить средние следующего вида:
2П
I = 1 С р (sin cos dm
2л J Q (sin ф, cos ф)
о
где Р и Q представляют собой некоторые полиномы от sin <р и cos ср.
Выполним замену независимой переменной <р z:
ср — — i In z, z = exp f<p, dtp = — iz-1dz,
cos <p = V2 (ei<p + e-i(₽) = (z2 + 1) (2z)-1, sin <p = (z2 — 1) (2fz)-x.
Искомый интеграл приобретает вид
1 А Р[^+1)(22)-1, (и2- l)(2iz)-4 d i г Р*(0 ,
1------2Г [(^а+ 1)(22)-i, (za — 1) (2/z)-i] aZ — 2л (z)
91
где Р*, Q* — полиномы от z. Интегрирование ведется по окруж-
ности единичного радиуса. По теореме о вычетах [38] имеем
т	i г Р* (z) dz	V о (2)
—;|ТЙГ = 2_.1!И^
Пример. Вычислить среднее функции (а + cos ф) 1 (а
1). Последовательно получаем
2Л
j  1 С dtp _________ i р dz
2л J а + cos ф	л У z2 4* 2az 4-1
о
Особые точки подынтегральной функции определяются из усло-
вия z2 + 2az 4~1 = 0, откуда zr = — а — У а2 — 1, z2 = —а +
+ ]/а2 — 1. Внутрь круга единичного радиуса попадает лишь z2,
поэтому
£	О • тэ	i	2л/
У (2_Z1) (Z_Z2) = Kes (Z_Z1)(Z_Z2) =	.
Следовательно,
I = (a2 - 1)-V2.
В заключение приведем табличку часто встречающихся средних:
cos2m (р sin2” ф dq =	(— 1)к
0	К=0
1 ^пг+к
4m+k" U2(rn+k)i
2Л	2Л
С052’пф£?ф = 4^ sin2mqdq = -^C™m,
о	о
2Л	2Л
1 Р	1 Р	1
С082фйф=-2Г^ 81п2фйф=-2-,
о	о
2Л	2Л
jj со84фйф=-^-jj sin4<pd<p=-|-,
о	о
2Л
1 Р	1
-2^- \ cos2 ф sin2 ф dtp = -g- ,
о
2Л	2Л
1 С ,	1 с .	,	5
-2^-J cos6(fd(f = -^- J 81п6фйф=чг,
о	о
2Л	2Л
1 Р	1 С	1
-gf \ cos4 ф sin2 ф с?ф = —2^-\ cos2 ф sin4 ф йф =-jg-
о	о
Любые комбинации синуса и косинуса, содержащие хотя бы одну
нечетную степень, имеют среднее, равное нулю.
92
22.
Многочастотные системы. Резонанс
Стандартная форма многочастотной системы получается формаль-
ным обобщением стандартной формы одночастотной системы (18.7)
в случае периодической правой части. Это обобщение производит-
ся следующим образом. Система (18.7) может быть переписана
после введения дополнительной переменной ф = cat в автономной
форме (2л со1 — период функции X):
dq>
~dT = (i)
(22.1)
-g-=eX(<p,x,e).
Здесь ф — скалярная переменная, изменяющаяся со скоростью со.
Такая форма записи и определяет смысл введенного ранее понятия
одночастотной системы.
Стандартная форма многочастотной системы отличается от
системы (22.1) тем, что ф, как и х, уже представляет собой вектор-
ную переменную ф = (ф1? . . ., фт). Размерности вектора ф и век-
тора х никак не связаны. Кроме того, допускается малая неравно-
мерность в изменении векторной переменной ф. В результате
общий вид стандартной формы многочастотной системы оказывает-
ся следующим:
= со (х) + еФ (ф, х, е),
(22.2)
-^=еХ(Ф,х,е).
По всем фк функции Ф (ф, х, е) и X (ф, х, е) периодичны с пери-
одом 2л.
К виду (22.2) могут быть приведены уравнения многих типов
колебательных систем. Рассмотрим пример квазилинейной коле-
бательной системы
Ay + By = е/ (<, у, у),	(22.3)
у = (^1? . .	уп)-, А и В — симметрические положительно опре-
деленные матрицы; функция / периодична по t. Линейной заменой
переменных в системе (22.3) можно привести матрицу А к единич-
ной, а матрицу В — к диагональной форме (приведение к нормаль-
ным координатам). Будем считать, что такое приведение уже вы-
полнено: А — Е, В = diag {со?, . . ., (On).
Систему (22.3) можно переписать в виде
{/ft ==
+ е/к (i, г/р . . ., уп, z, . . zn) (к = 1,. . ., п).
(22.4)
93
Выполним в (22.4) замену переменных (ук, zk) -> (фь хк) по фор-
мулам
Ук = хк sin фк, zk = хка>к cos фк.	(22.5)
В новых переменных система (22.4) примет форму
Ф» =	xisin Ф1....rn *
X sin фп, cos ф1?. . .) sin фк,
=	. .)созфк.	(22.6)
Обозначим период правых частей по t через 2л/соп+1 и введем вме-
сто t переменную фп+1 == соп+1£, по которой функции fk 2л-пе-
риодичны. Введем также обозначения
1
----/к (^i sin фр . . .,жп81пфп,а;1(о1со8ф1,. . .)со8фЛ =
sXfcOpp ...,qm,xv ...,хп),
—-7-77-/к(- • .)81Пфй = ФИ<Р1» • • мфт,^, . . .,Хп) (т = п+ 1).
В этих обозначениях уравнения (22.6) принимают вид стандартной
формы (22.2). Если в (22.3) функция / зависит от t условно периоди-
чески (имеется несколько периодов 2no>nii, . . ., 2лсоп+«), то
следует ввести несколько дополнительных переменных фп+1 =
2л(0?2+1^, • • •» фд+S 2л(0П+3^
Замечание 1. Для квазилинейной системы вектор частот
<о оказался постоянным, не зависящим от медленных переменных.
Независимость (о от х является признаком квазилинейности исход-
ной системы (22.3). Случай, в котором со зависит от х, называется
существенно нелинейным.
Замечание 2. В системе (22.4) заменой переменных
Zfc) -> (Л, 7») по формулам
ук = Рк cos + Чк sin’(ofc^, zk = — рк(дк sin (dkt + qktok COS tokt
можно было перейти к стандартной форме одночастотной системы,
поскольку использованный в разд. 18 метод вариации произволь-
ных постоянных применим и здесь. Это говорит о том, что понятия
«о дно частотна я» и «многочастотная» носят в известной мере услов-
ный характер. Любую систему с очевидной «физической» много-
частотностью можно записать в математически одночастотной
форме. Однако форма записи (22.2) обладает целым рядом преиму-
ществ, в особенности при изучении резонансных явлений, как это
будет показано далее.
94
Процедура осреднения для многочастотных систем состоит в
переходе от системы (22.2) к приближенной системе
-^ = ®+еФ0(х,е),	-^-=еХ0(х,е),	(22.7)
где	1
Ф0Сг,е) = —Т5Г \ . . . \ Ф(<pv .. .,фт,ж,е)й1- • -Й>т;
(2л) J	J
'	О	о
2Л 2Л
Х0(х,е) = —I-™ \ • • • \ Х(фр .. .,фпг,х,е)йфг. . ,d<pm. (22.8)
(2Л) J	J
О	О
Функции Фо (х, е) и Хо (х, е) представляют собой средние значения
по всем быстрым переменным <рь . . <рт от правых частей систе-
мы (22.2) и носят название пространственных средних.
Уравнения (22.7) значительно проще уравнений (22.2), по-
скольку уравнения для переменных х отделяются от уравнений
для переменных ф. После интегрирования уравнений для х на-
хождение переменных ф сводится к квадратурам.
Обоснование точности решений, получаемых из системы (22.7),
сводится к сформулированной выше для одночастотных систем
теореме Н. Н. Боголюбова, если в системе (22.2) отсутствует ре-
зонанс. Если же резонанс имеет место, то переходить к уравнени-
ям (22.7) при помощи формул (22.8) нельзя без потери гарантий
точности, даваемых теоремой Н. Н. Боголюбова. Процедура ос-
реднения в резонансном случае рассматривается ниже.
Прежде всего необходимо дать определение резонанса и ука-
зать, по каким признакам можно устанавливать его наличие в сис-
теме (22.2) еще до того, как приступили к ее решению. Дадим для
этой цели определение временного среднего функций Ф (ф, х, е)
и X (ф, х, е):
т
Фо (х, 8, со) = lim -«г- \ Ф (сог£ + 01?. . ., (dmt 4- 0m, х, 8) dt,
т^°° i
т
X*(х, е, со) = lim -i- X((о^ + 0i,. . (dmt 4- 0m, х, z)dt. (22.9)
0
Эти выражения представляют собой средние значения правых час-
тей системы (22.2) по времени, вычисленные вдоль траектории вы-
рожденной (в = 0) системы:
X — const, ф — (dt 4- 0.
Функции (22.9), рассматриваемые как функции со, могут иметь
точки разрыва. Те значения частот со = (сог, . . ., сот), при кото-
рых функции (22.9) терпят разрыв, и называются резонансными *.
♦ Определение резонанса, очевидно, должно увязываться с рассматриваемым
порядком приближения. Например, если рассматривается первое прибли-
жение, то разрывы порядка 82 приниматься во внимание не должны.
95
Резонансные частоты удовлетворяют соотношениям вида
coi^i + . . . + comXm = 0,	+ . . . +	=# 0»	(22.10)
где . .,	— целые числа. Соотношение (22.10) носит назва-
ние резонансного соотношения в системе (22.2).
Подчеркнем, что резонансным соотношением называется не
любое соотношение вида (22.10) с какими угодно целыми
а лишь то, которое определяет разрыв функций (22.9).
Пример. Найти резонанс в системе, описываемой уравне-
нием Матье у + v2 (1 — е cos 2t) у — 0.
Введя обозначения у = z1? у = z2, перепишем это уравнение
в нормальной форме Коши:
Z1 = Z2>
= — v2zT + ev2z1 cos 2t.
Заменой переменных zx — x sin <pn z2 — xv cos <pn 2t = <p2 эта
система приводится к стандартной форме:
= v — ev sin2 cos ф2,
Ф2 = 2,	(22.11)
х = evx sin фт cos фт cos ф2.
Здесь (от = v, со2 — 2. Временное среднее
1
Хо (х, (dp со2) = lim -jT
Т —»оо
Т
х(дг sin (со^ + 9) cos ((о^ + 9) cos (o2f dt.
о
Вычисляя его, получим
X* (х, (ор со2) =
О, 2(0! =0= со2;
sin 29, 2(о1 = (о2.
Таким образом, в рассматриваемой системе имеется единствен-
ный резонанс, определяемый резонансным соотношением вида
(22.10): 2сох — со2 = 0. Он носит название главного параметри-
ческого резонанса для уравнения Матье.
Разрыв временного среднего может происходить, когда вектэр
частот со удовлетворяет нескольким линейным соотношениям с це-
лочисленными коэффициентами
+ . . . +	= О
................................................ (22.12)
+ . . . +	= 0.
Число таких линейно независимых соотношений называется крат-
ностью резонанса, а сумма модулей коэффициентов линейно неза-
висимых соотношений называется порядком резонанса. Главный
резонанс в уравнении Матье есть резонанс третьего порядка.
96
На рис. 11, а и б в пространстве частот изображены соответст-
венно резонансные поверхности в случаях однократного и дву-
кратного резонансов.
Если мы имеем дело с квазилинейной системой и вектор частот
от медленных переменных не зависит, то не зависит от движения
системы и наличие или отсутствие в ней резонансов. Если же сис-
тема существенно нелинейная, то резонансное соотношение
%iO)i(^) ~|“ • . • “Ь Xm(Dm(x) О
определяет в пространстве медленных переменных я:поверхность,
(рис. 12), называемую резонансной поверхностью. В этом случае
в системе в процессе движения может возникать резонанс при
пересечении траекторий резонансной поверхности, после чего
вновь исчезать.
Рассмотрим эти два случая отдельно. Начнем с квазилинейного
случая.
23.
Квазилинейные системы
Будем понимать под окрестностью резонанса случай, когда соот-
ношения (22.10) или (22.12) имеют порядок е:
Лео = А ~ е,	(23.1)
где Л — прямоугольная матрица коэффициентов (22.12).
Малая векторная величина А называется расстройкой. В про-
изведении (23.1) со понимается как матрица-столбец. Без ограни-
чения общности можно считать ранг матрицы Л равным s и пред-
4 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов
97
ставить ее в блочной форме:
Л = (Л0, AJ,
Аг — квадратная невырожденная матрица, содержащая по-
следние s столбцов матрицы Л, а Ло дополняет матрицу Аг до Л.
Переменные ф = (фп . . фт) разобьем на две группы ф =
= (ф, у), где ф = (<р1э . . ., у = (фт_5+1> . . фт). В COOT-
ветствии с этим Т = (Фп . . Фт_в), Q = ((ог, . . com_f).
Перед тем, как произвести осреднение в системе (22.2), необходимо
выполнить преобразование быстрых переменных (уп . . ., ys)
(или, что то же самое, (фт_$+1, . . ., фт)) — (уп . . ., ys) (0П . . .
. . ., 0s):j
0 = Лф.	(23.2)
В соответствии с введенными обозначениями (23.2) можно перепи-
сать в виде 0 = Лоф + Afy, откуда в силу невырожденности Ах,
у = Ai1 (0 — Лоф). В новых переменных (22.2) принимает вид
-^ = я + 8т[фл;1(е-л04),х])
~ = + еЛФ [ф, ЛГ1 (0 - Лоф), я],	(23.3)
-^ = еХ[ф, Л?1 (О- Лоф), х].
В системе (23.3) переменные 0 оказываются медленными, так
как Д — малая величина порядка 8. Тем самым число медленных
пере менных увеличивается на кратность резонанса s, число быст-
рых переменных уменьшается на $. В форме (23.3) имеющийся ре-
зонанс исключен, и можно произвести осреднение по оставшимся
быстрым переменным по формулам (22.8) с обычными гарантиями
точности. Исследование резонансного случая приводит всегда к
осредненным системам более высокой размерности.
Итак, для квазилинейных многочастотных систем построена
процедура осреднения в резонансном и нерезонансном случаях.
Построение высших приближений в обоих случаях производится
аналогично одночастотному случаю. Следует заметить, что с уве-
личением порядка приближения обычно увеличивается и число
различных резонансов. Так, в рассмотренном примере уравнения
Матье в первом приближении обнаружился один резонанс v = 1.
Матрица Л в этом примере имеет вид Л = (2, — 1). Резонансный
случай определяется условием
A® = (2,-1)Q) = 2v-2 = A~8.
Замена переменных (23.2) запишется в форме
0 = Лф = 2ф1 — ф2.
98
После чего уравнения (23.3) для системы (22.11) приобретают вид
= v — ev sin2 (pi cos (2срг — 0),
= Д — 2ev sin2 (Pi cos (2cpx — 0),	(23.4)
= evx sin срх cos cpx cos (2cpx — 0).
Осреднение этих уравнений по быстрой переменной <рг позволяет
получить уравнения для медленных переменных в виде
dQ А , ev n dx 8V . А
—=д + _С08е, _ = _-^smo.
На границе области устойчивости уравнение Матье имеет перио-
дическое решение, что соответствует стационарному режиму
написанных уравнений:
Д + (sv/2) cos 0=0,	(ev/4) х sin 0=0.
Откуда следует, что это возможно, если Д = ± (e/2)v. Или, ис-
пользуя обозначение Д = 2 (v — 1), с точностью до 82 получаем,
что v = 1 ± е/4. Это и есть первое приближение для границ
первой зоны неустойчивости уравнения Матье. Рассмотрим теперь,
как строится второе приближение для уравнений (22.11). Для
этого в соответствии с общей процедурой следует в уравнениях
(22.11) выполнить замену переменных (<рх, <р2, х) (ап а2, У),
уничтожающую в этих уравнениях переменных члены первого
порядка малости
91 = «1 + вЛ (а1? а2, у),	<р2 = а2,
х = у + гВ (аь а2, у).
Функции А (ап а2, у) и В (а19 а2, у) подлежат определению. Под-
ставляя эту замену в (22.11), находим
. дА .	, дА . . дА .	. 2t л\	~
<*i + 8~taTai + 8ta7a2 + 8^ry=v”8vsin (ai + eA)cosa2>
d2 = 2,
дВ . , дВ . , дВ .
у + 8 -о— <*! + е -X— <*2 + 8 "3“ У =
' tai 11 ta2 2
1
—ev (у + еВ) sin 2 (04 + еЛ)соза2.
Поскольку ~ v, «2 = 2, у ~ 8, то условие уничтожения пере-
менных членов первого порядка малости (т. е. зависящих от быст-
рых фаз 04 и а2) сводится к следующим уравнениям для А и В;
дА . п дА	.2
v -т-к 2 -т— == — v sin2 cos a«,
tai 1 ta2	1	2
dB , дВ 1	. o
v + ^7==—vJ/sin2aicos^-

99
Отличие от одночастотного случая состоит лишь в том, что вместо
одного уравнения в частных производных первого порядка для
нахождения преобразующей функции (20.5) получается система
уравнений в частных производных первого порядка с числом не-
зависимых переменных, соответствующих числу быстрых фаз.
Общий метод решения таких уравнений изложен в разд. 36. На-
пример, для нахождения А следует найти интеграл обыкновенных
дифференциальных уравнений вида
doti _ da2 __	dA
v 2	— v sin2 ai cos a2 *
Имеем
v 1
ai = -y a2 + C.
Из уравнения, связывающего da2 и dA, находим
A =-----g- sin2 (-y a2 + cos a2 da2,
откуда
л_ v	i v rsin(a2 + 2ai) sin(2ai-a2)-|
4	2 1 8 [ v +1	1 v—1 J
Указанное преобразование возможно, если v =^= 1. Поскольку сей-
час мы рассматриваем вторую зону неустойчивости (первая изуче-
на в первом приближении), to v 2. и это условие выполнено.
Если бы мы хотели строить второе приближение для первой зоны,
то следовало преобразовывать не уравнения (22.11), а уравнения
(23.4).
В результате указанной замены система уравнений (22.11)
приводится к виду
= v — &2vA sin 2ax cos a2,
a2 = 2,
у = &2vy A cos 2ax cos a2 + sin 2ax cos a2^ ,
где переменная часть уже имеет порядок 82. Временное среднее
(22.9), вычисленное для этой системы, обнаруживает разрыв в точ-
ке v = 2. Это и есть резонансное условие, определяющее вторую
зону неустойчивости. Для нахождения ее границ необходимо рас-
смотреть окрестность этого резонанса v — 2 = Д. Матрица Л
в этом случае имеет вид Л = (1, — 1). Замена переменных (23.2)
такова: 9 = Лф = cq — а2. После этой замены подготовленные
к осреднению уравнения имеют следующий вид:
a1 = v — 82 . . .,
б = Д —	[cos 2 (2a, - б) - cos 20 + —2v(-^\~9) 4-
+ ^Sinv(2! Г1-" + cos 2 (a, — 0) + v-r^T cos 4a, ]
100'
у= е^6У [— sin 2 (2ах — 0) 4- sin 20 -J-
sin 2 (За, - 0) sin 2 (gt + 0)	у . ,
+	4(v + l) “*	4(v —1)	"* 2(v2 — 1) S n ai
2 (v2 — 1) S*n 2 (ai 9)] *
После осреднения по ax получаем уравнения для медленных пере-
менных
б = Д-	- COS20) ,	у=^- Sin20.
Как и раньшех на границе области устойчивости эта система долж-
на иметь нетривиальное стационарное решение
Д----( 2- , —00820^ = 0,	sin 20 = О,
16 \ V2 — 1	/	’	’
откуда
Заменяя Д = v — 2 с точностью до величин порядка 83, находимт
что
-2+Я4±')-
Это известное выражение для границ второй зоны неустойчивости
уравнения Матье.
24.
Существенно нелинейные системы
Рассмотрим теперь вопрос об осреднении в резонансном случае
системы (22.2) тогда, когда вектор частот со зависит от медленных
переменных со = со (х). В этом случае устранить резонанс при
помощи замены вида (23.2), вводящей дополнительные медленные
переменные, сразу для любых начальных условий, так как это
удалось в квазилинейном случае, нельзя. Некоторые решения
(кривая I на рис. 12) будут проходить резонансную поверхность,
не задерживаясь вблизи нее, и для их нахождения можно пользо-
ваться осредненными уравнениями, не обращая внимания на ре-
зонанс. Для других же (кривая II на рис. 12) возможно длитель-
ное «застревание» вблизи резонансной поверхности. Для построе-
ния таких решений пользоваться осредненными уравнениями
(22.7) уже нельзя. Известны результаты (см., например, [4]),
в которых установлено, при каких ограничениях на правые части
системы (22.2) решений, «застревающих» на резонансах, будет в
некотором смысле мало. Ясно, однако, что подобные теоремы не
могут служить обоснованием решения начальной задачи Коши
для уравнений (22.2) методом осреднения, поскольку сказать за-
ранее, с каким решением мы имеем дело, невозможно. Эти теоремы
101
представляют собой анализ некоторых общих свойств фазового
потока рассматриваемой системы.
Другой подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы
разыскивать именно такие решения, которые «застревают» на
резонансе. Чаще всего они и представляют наибольший интерес
с точки зрения физики.
Делается это так. Пусть при помощи предварительного по-
строения временного среднего (22.9) в системе (22.2) установлено
наличие резонансной поверхности
(х) 4- , . . +	(х) = Oj
и пусть нас интересует класс решений х (0, лежащий в малой ок-
рестности этой поверхности.
Вначале, так же как и в квазилинейном случае, введем в соот-
ветствии с формулой (23.2) новую фазу:
9 = 1хфх4- . . . + 1тфт-
Уравнения (23.3) примут вид
-^- = й(х) + 8/’(ф,0,х),
(х) + ... +	(х) + 80 (ф, е, х),	(24.1)
-ду- = еХ Г гр,	(9 — ХхФх — ... — Хт-хф^-О, х) .
L т
"Если х лежит в окрестности резонансной поверхности, то сумма
1х(ох (х) + . . . + lm(om (х) мала. Однако переменная 9 в системе
(24.1) считаться медленной на этом основании не может. В отличие
•от квазилинейного случая указанная сумма не есть постоянное
число, которым можно распоряжаться; это есть функция, и малый
.параметр должен стоять перед ней множителем, чтобы 9 можно
было считать медленной переменной. Введение такого множителя
можно осуществить при помощи изменения масштабов, как это
ютмечалось в разд. 21. Для этого сначала преобразуем медленные
переменные; (xv . . ., хп) -> (уг, . . ., уп_х, р): хг = ух, . . ., хп_г =
= уп_х, 1х(ох + . . . + Irn^m = Р, т. е. в качестве одной из новых
переменных выбрано уравнение резонансной поверхности. Урав-
нения (24.1) примут вид
й (у, р) + eF (ф, 9, у, р),
-5Г = Р + 80 (4- 9, У, Р\
= еУ (ф, 9, у, р),
-^- = гР (ф, 9, у, р),
т п
-
j=l	7
102
(|Л = /ё).
(24.2)
Теперь введем изменение масштаба переменной р: р —
Окончательно получим
4г = Q де) + цгГ 01?, е, у, де),
4г=Р9 + И2© (Ф. 0, У> м),
4г = ^У (гр, 0, у, де),
4г=р7> (^, 0, у, де)
В системе (24.2) рассматриваемый резонанс устранен, и к ней
можно применять процедуру осреднения (22.7)—(22.8).
В первом приближении метода из (24.2) получим
4г=м> 4F=^p»(0)’
где PQ (9) = <Р 9, у0, 0)> — среднее по ф. Эта система интегри-
руется в квадратурах. Таким образом, в первом приближении
удается получить лишь информацию об изменении медленной фазы
9 с погрешностью порядка 8 на интервалах времени порядка
1/]/ 8. Для получения содержательной информации об изменении
других переменных необходимо строить второе приближение.
Построение второго приближения для системы (24.2) не представ-
ляет никаких затруднений. Действительно, в соответствии с из-
ложенным в разд. 20 для этого необходимо выполнить близкую
к тождественной замену переменных, с тем чтобы обратить в нуль
дополнение к среднему по ф первого порядка малости. Однака
такое дополнение есть только в последнем уравнении, поэтому
замена, приводящая к уравнениям второго приближения, есть
q = г + р./ (4, 0, у, г).	(24.3)
Подстановка в последнее уравнение системы (24.2) дает
н4г?=^<р> + +
+ н24г? + ---’
Р (ф, 9, у. 0) — дополнение к среднему.
Условие для нахождения / (ф, 9, у, г) есть
^.Q(y,O) = P^,Q,y,O).
Поскольку / оказывается не зависящей от г, то dfldr = 0 и урав-
нение для г примет вид
103
Поскольку	= т0 0СРеДненная система второго
приближения просто совпадает с прямым осреднением уравнений
(24.2) и имеет вид
4г = й |лг) + р8 <f (г|), 0, у, 0)>,
= Иг + р,2 <0 (i|), 0, у, 0)>,
^- = р8<У(гр,0,у,О)>,
=Ф <Р (г|э, 0, г/, рг)>.
Однако при этом следует иметь в виду, что переменная г связана
с q заменой (24.3).
Построение третьего приближения требует уже значительных
выкладок.
В теории колебаний наибольший интерес представляет изуче-
ние стационарных режимов и их устойчивости. В этом случае
описанную последовательность преобразований можно упростить.
Пусть рассматриваемый режим х (t) мало отличается от некоторой
неподвижной точки х0, лежащей на резонансной поверхности
Х1<01 (х0) + . . . + Xm(om (х0) = 0. Введем переменную q, характе-
ризующую малые отклонения от этого режима:
х =	+ У zq-
Уравнения (24.1) преобразуются к виду
4г = Q (жо) +	+ 4"H2QV +	(ф, 0. + FW) + • • м
m	m
4г =	? + 4- И2	91 х» + М) + • • ..
г=1	г=1
= Н-У |Ч> т- (9 “	— • • • — Го + jxg-]. (24.4)
Точками обозначены члены более высокого порядка малости чем
d2co.
р,2, а обозначение d%2 q2 представляет собой квадратичную фор-
му относительно вектора q с матрицей d2tojdx2.
В этой системе устранен рассматриваемый резонанс и, кроме
того, она уже квазилинейная. Для нее применимы все изложенные
выше процедуры для квазилинейных систем. В первом приближе-
нии получаем
4г,Ё-£ к 4г=(0 Х1ф2
104
Эти уравнения интегрируются в квадратурах* Вначале решается
скалярное уравнение для 0:
2	W d(D
“dX =	~dx~	~к (6	^1(Р1	* ’ * Tm-iTrn-i),
После чего интегрируются уравнения для
Условия для стационарного режима
т
г=1
f — ^l^Pl — * • •	^*пг-1фт-1)> .]> ===в^’
^*1^1 (^о) + • • • "Ь (*0) = 0
представляют собой систему из п + 2 уравнений для нахождения
2п + 1 переменной, х$, q и 0. Складывая первое уравнение с по-
следним, найдем, что с точностью до членов порядка р2
Х1<01 (х0 + pg) + . . . + Xm(om (х0 + pg) = 0.
То есть стационарная точка в первом приближении принадлежит
резонансной поверхности. Поэтому в рамках принятой точности
достаточно положить q — 0. Рассматривая оставшиеся п + 1
уравнений относительно п + 1 неизвестной х0 и 0, находим поло-
жение стационарной точки на резонансной поверхности и стацио-
нарное значение фазы.
Построение второго приближения, как и в предыдущем случае,
достигается прямым усреднением системы (24.4) с удержанием
всех членов порядка р2.
Пример. Изучить стационарные режимы в уравнении
‘2^	, , .	.
z Н------—.....——Н 8Й2 = е sin (of,
z2 + /z4 + 4z2
е — малый параметр.
Перепишем уравнение в нормальной форме Коши:
Л — Z2>
2zi
J+V^+Ц
— zhz2 + е sin cof.
При 8 = 0 система имеет решение!
zx = A sin Г	,	z2= A cos Г + &
с произвольными постоянными А и В.
Следовательно, ко второй стандартной форме возмущенную
систему приведет следующее преобразование
(zp z2) -> (х, ф): z1 = х sin ф, z2 = Ух cos ф (я > 0).
105
В новых переменных система принимает вид
ф =	- е 2_sin(psin1? + eh 2*in(p.cos(p
4-sin2cp)	1 + bin2ср ’
ф = (О,
* о 2 х cos ф sin ф	оL 2х cos2 ср
Х	8	1 + sin2 ф	еЛ 1 4- бт2ф ‘
Вычисляя временное среднее правых частей вдоль решений вы-
рожденной (в =_0) системы, найдем выражение для резонансной
поверхности — со-1 = 0 (в одномерном пространстве х резо-
нансная поверхность есть точка), которое диктует преобразование
к медленной фазе 0: 0 — <р — ф, но, для того чтобы она действи-
тельно была медленной, необходимо рассмотреть окрестность ре-
зонансной точки = со-2: х = xQ 4- В итоге уравнения
осциллятора примут вид (J^e = ц):
4>e(/a?o) х + р2 %	2 g —ц2...,
А — и	Л — —Е— «2 _ 112 2 Sin ср sin (ф — А)	2, 2 sin ф cos ф
9	41/>9	(1 + sin2ф)	l + sin2V ’
.__	2]/’х0 + н?созф81п(ф—0)	, 2 (х0 + ц<7) COS2 Ф
9 ~ **	1 + sin2 ф	1 + sin2 ф
(24.5)
ВУуравнении для быстрой фазы опущены члены порядка р2,
в уравнениях для медленных переменных — порядка р3.
Первое приближение метода осреднения:
б= 2/709,	9 = —2р.(/2 —l)/^(sin0 4-h/^).
Уравнение для фазы
б + р2(/2 — 1) (sin 0 + h,yxQ) = О
представляет собой уравнение математического маятника с прило-
женным постоянным моментом.
Уравнения стационарного режима дают
q = 0, sin 0 = — foco”1 — — hyXq-
Фазовый портрет системы первого приближения изображен на
рис. 13. Система имеет два стационарных режима (—arcsin hy xQ,
О) и (л + arcsin 0). Область существования стационарных
режимов: со > h. В первом приближении оба стационарных ре-
жима имеют одинаковую амплитуду (кривая I на рис. 14). Для
^уточнения величины амплитуды стационарных режимов, а также
1их устойчивости следует построить второе приближение. Как это
вытекает из приведенных выше общих результатов, для построе-
ния второго приближения достаточно вычислить среднее по <р
106
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
правых частей системы (22.5) с учетом всех членов порядка
2Л
1 f sin2(pd(p _ 1/2	n 1 f cos2<pd(p _____<
"2л" J |l + sin3<p — 2 И	2л J l + sin2<p — V r
о	0
0 ——-tor — ~-co3r2 — p2(o ]/2 (j/2 — l)cos9),
г=-2и(|<2- 1)/^ 4- p,r (sin 0 4- h УxQ 4- pr).
Откуда для стационарных режимов найдем
sin 0 = — fcf г = ±2fi /2 (f 2 - 1) f 1 - fc2/co2.
Переменная г связана с переменной q заменой (24.3), поэтому ис-
ходная переменная z в решаемой задаче изменяется следующим
образом:
z = х sin ф = [х0 4“	+ в/ (ф, 0, г)] sin (хр 4“ 0)» ф = of-
То есть для амплитуды первой гармоники имеем выражение
x0+/er = ^-±2ef2(/2-l)|/l--J.
Эта функция изображена на рис. 14 кривой II.
Исследование устойчивости показывает асимптотическую ус-
тойчивость режима с большей амплитудой и неустойчивость режи-
ма с меньшей.
В заключение этого параграфа рассмотрим одномерную ест-
ественно нелинейную колебательную систему
Z + 8/ (z, Z)+ F (z) = 0.	(24.6))
10Т
При 8 = 0 написанное дифференциальное уравнение интегриру-
ется в квадратурах, однако выписать решение в явном виде часто
бывает трудно, поэтому непрост и переход к медленным перемен-
ным. Ниже приводится прием, позволяющий достаточно просто
построить первое приближение метода осреднения независимо от
вида функции F (z):
(j[F(z)dz>0, z=/=o).
о
Перепишем уравнение (24.6) в виде системы уравнений первого
порядка:
z2 = —F (zi) — е/ (zx, z2).	(24.7)
Ее общее решение при 8 = 0 может быть представлено в виде
sx = (t + С, 2?), z2 — z2 (t + С, Е),
где Е постоянная интеграла энергии
E=^z22+ \ F(z)dz.	(24.8)
о
Для перехода к уравнениям вида (22.2) в системе (24.7) необходи-
мо выполнить замену (zx, z2) -> (ф, х):
Zi = zx (<р, х) z2 = z2 (ф, х).	(24.9)
Уравнение для А можно получить непосредственно из (24.8), рас-
сматривая (24.6) как результат обращения замены (24.9):
21
z=4-z2 + F (z)dz.
о
Тогда в новых переменных
Ф = 1 + е . . ., х = z2z2 4- F (zx) zx = —s/[zx (ф, x), z2 (ф, я:)] z2.
По быстрой переменной ф можно осреднить систему:
т
& = — -J- / [Zi (ф, х), z2 (ф, x)]z2d(p =-/ (zv 2г) dzv
о
где Т — период функций (24.9). Интегрирование ведется по замк-
нутому контуру, определяемому в плоскости (zx, z2) интегралом
(24.8) (рис. 15).
Воспользовавшись теоремой Грина (в предположении, что со-
ответствующие условия на функцию / (zx, z2) выполнены), получим
(24Л0)
Где S — площадь, охватываемая контуром.
108
Правая часть уравнения (24.10) зависит только от медленной
переменной х и не требует знания функций (24.9).
Пример. Найти закон убывания энергии осциллятора:
Z + 8Z + 22п-1 = 0,
п —положительное целое число, 8 —малый параметр.
В соотношении (24.10) для рассматриваемого случая-^- = 1.
0^22
Поэтому
£ = _ sST-i.
Необходимо вычислить площадь, охватываемую фазовой кривой,
1 1
S, и период Т, исходя из интеграла x=-x-z* 4~ -о—zin- Обозначив
J, О) = |	Л (») = $ у=й- •
найдем
S = 2 (2nz)Wx (п), т = 2 (2пх)Ч'п (2x)~4*J2 (п),
откуда
X = —28(7! (n)/ J2 (п)] X.
Закон убывания энергии:
х = х0 ехр 28^! (n)/J2 (n)] t9
25.
Лагранжев формализм
В задачах механики исходное описание системы часто делается
не в терминах системы дифференциальных уравнений, а в терми-
нах скалярных дескриптивных функций, таких, как функция Ла-
гранжа, Гамильтона, Рауса и др. В этих случаях приведение си-
стемы к более простому виду при помощи идей метода осреднения
можно попытаться сделать не посредством упрощения дифферен-
циальных уравнений, а посредством упрощения дескриптивных
функций. Полезность такого подхода очевидна: вместо преобразо-
вания системы некоторого числа дифференциальных уравнений
придется преобразовывать одну-единственную скалярную функ-
цию. Упрощенные же уравнения получатся из нее простым прие-
мом. В общем виде такой подход для построения осредненных
гамильтонианов будет изложен в разд. 47, где он будет соединен
с весьма эффективной теоретико-групповой техникой. Здесь же
мы рассмотрим связь преобразования Лежандра, переводящего
лагранжиан системы в ее гамильтониан, с однократным осредне-
нием возмущенной части лагранжиана. Будем рассматривать ква-
зилинейную систему и для большей наглядности будем считать
ее с одной степенью свободы. Обобщение результата на случай
109
произвольного числа степеней свободы будет совершенно очевид-
ным.
Пусть функция Лагранжа квазилинейного осциллятора имеет
вид
L (t, z, z) = -4- (z2 — z2) —	(t, z, z).	(25.1)
£
Уравнения движения, соответствующие этой функции (после при-
ведения к нормальной форме Коши), таковы:
% = 22,
z2 = z±
d dLi	dLi \
dt dz2	dzi / *
Общее решение вырожденной системы имеет вид
zx = q cos t + p sin z2 = — q sin t + p cos t.
Рассматривая эти функции как уравнения замены (zx, z2) -> (g, р)
в невырожденной системе, получим
/ d dL dL \ . 4
q = — 8 -77- -т-------7— Sin t,
\ dt dz2 dzi /
/ d dL	OL \	.
P = ^\	-------л— COS/.
\ dt dz2	dz\ )
Осредним уравнения (25.2) по явно входящему времени:
d dL	dL \ . 4\
-тг-z-----я— sin /> ,
dt dz2	dzi I / 1
(25.2)

(25.3)
Рассмотрим среднее, стоящее в первом уравнении:
__ /(	д	dL	_	dL
\\	dt	dzt	dzi )
dL	.	dL
-----a	COS t	%—
OZ2--------------UZ\
dL
dzi
Среднее
равно нулю, в частности,
если
L (t, zx, z2) — периодическая или условно-периодическая функция
времени.
Рассмотрим функцию Н (q, р) =	(/, q cos t + p sin t,
— q sin t + p cos /)>. Вычислим производные
дН / dL * , dL . 4x
-r— = < — cos t + —— sin t > ,
up X OZ2	uZi f
dH	/	dL . . , dL
-г— = \----3—sini 4- -3—cos t > .
dq	X	0Z2	uzi	/
Следовательно, осредненные уравнения (25.3) могут быть записа-
ны в следующей форме:
дН . дН
6=8-—	п=_8__
’ др ’ r	di
(25.4)
110
т. е. усредненные уравнения имеют гамильтонову форму, причем
роль гамильтониана играет среднее вдоль решения вырожденной
системы значение возмущенной части лагранжиана.
Пример. Lx = z sin t
Соответствующее уравнение имеет вид z + z = — 8 sin t, сле-
довательно, случай резонансный.
Находим Н (q, р) = <(# cos t + р sin t) sin ty = p/2.
Уравнения (25.4)
e . n
9 = 2-. P = 0
имеют решение q = -^-t Cv p = C2. Решение исходной задачи
есть
z =	1 4- cos t + C2 sin t.
Пример. Осциллятор Дуффинга L = 1/2 (z2 — z[) — e.z*»
Гамильтониан осредненной системы
H (q, р) = <(? cos t + p sin f)4> = -f- 9* + -f"	+ “S"P*'
Следовательно, осредненные уравнения выглядят так:
ч = &-^-р(<? + р2) р=-^-^-я(я2 + р2У
Нетрудно видеть, что д2 +	= А2 = const, поэтому получаем
очевидное решение!
„ ЗЛ2 , л . 342
q = cos -у-	4- С2 sin —?—
„ . ЗА2 . । „ ЗА2
р = — Сх sin —н— st + С2 cos -к— eL
Или в исходной переменной
/ ЗА2 \
z = q cos t + р sin t = Ci cos (1 4—y-&)t 4-
+ C2sin(l(A^ = Cl + Cl).
26.
Метод осреднения
в гироскопических системах
Рассмотрим гироскопическую систему следующего вида:
АА 4- НГА = F (t, х. 8f),	(26.1)
где х — n-мерный вектор; А — симметрическая положительно оп-
ределенная матрица п X п; Г — кососимметрическая, невырож-
денная матрица гироскопических сил; Н —безразмерный пара-
метр Я"1	8; 8 — малый параметр. Матрицы А и Г — постоян-
ны. Метод вариации произвольных постоянных для приведения
111
системы (26.1) к стандартной форме базируется на понятии вы-
рожденной системы, отличном от ранее использовавшегося. Рас-
смотрим свободную гироскопическую систему
Ах + НГх — 0.
Решение этой системы имеет специфический вид:
х = х0 + ф (t, г), х — Яф (£, г) (Яф = dy/dt). (26.2)
Здесь половина постоянных интегрирования, т. е. хъ, входят в ре-
шение аддитивным образом, что соответствует наличию в системе
безразличного положения равновесия, с чем связано, в частности,
и то, что ровно половина частот свободных колебаний — нулевые.
Другая половина постоянных интегрирования (г) определяет ам-
плитуды и фазы свободных колебаний. Особенностью является
также и то, что скорость свободных колебаний имеет порядок боль-
шого параметра Н.
Свободная гироскопическая система имеет п скалярных пер-
вых интегралов
Ах + НГх = к,
откуда следует тождество для^функций ф и ф:£
АЯф + НГх» + ЯГф = к.
Поскольку ф и ф есть функции^с равным нулю средним значением
по t, то
Аф + Гф = 0.
Или, дифференцируя это тождество по £, получим еще одно тож-
дество:
^+4М+г(4+-?М=« <гв-з>
Рассмотрим теперь функции (26.2) в качестве замены переменных
(х, х) -> (xQ, г) в системе (26.1). Тогда
АН(-1Ц--+	+	=	+	(26.4)
Подставляя Hty из первого уравнения во второе и учитывая тож-
жество (26.3), получаем
xQ =	Г"1^ |7, xQ + ф (t, г), еЯф (t, г)].	(26.5)
Подставляя это выражение для х$ в первое уравнение системы
(26.4) и учитывая, что ~-^~= Яф, получим уравнение для г:
f = - 4- (jTГ [*’ хо + <* ’ ГУ	Г)Ь <26-6)
112
Уравнения (26.5) и (26.6) в совокупности и определяют замкнутую
систему уравнений в стандартной форме одночастотной системы.
Применение к ней метода осреднения не отличается от вышеизло-
женного.
Система (26.1) аналогичным образом может быть приведена и
ко второй стандартной форме. Для этого следует конкретизиро-
вать форму решений (26.2) в зависимости от амплитуд и фаз коле-
баний. Однако в этом большой необходимости нет, поскольку для
изучения резонансных режимов соответствующие расстройки час-
тот можно вводить и в первую стандартную форму. Пример такой
техники будет приведен в разд. 30.
27.
Осреднение в системах
с ударными взаимодействиями
Наиболее типичной и наиболее распространенной причиной появ-
ления ударов в механических колебательных системах является
внезапное наложение связей, проявляющееся в наличии различ-
ного рода ограничителей движе-
ния. Характерные примеры изоб-
ражены на рис. 16 и 17. В первом
случае одномерное движение мас-
сы под действием произвольной
силы ограничено стенкой, с кото-
рой движущийся элемент массы
испытывает соударения. Во вто-
ром случае (рис. 17) изображено
технике ограничение типа «зазор». Рассмотрение задач такого ро-
да составляет направление в теории колебаний, называемое теори-
ей виброударных систем.
Вид уравнений движения, обычно составляемых для систем с
ограничителями движения, приведем на примере рис. 16:
s == F (£, s, s) (s 0),
s+ =	(s = 0),	(27.1);
s_, s+ — значения доударной и послеударной скоростей соответст-
венно. Коэффициент к, определяющий изменение модуля скорости
при отражении от стенки, называется коэффициентом восстанов-
ления (0 /с 1).
Система (27.1) не может рассматриваться как дифференциаль-
ное уравнение с краевым условием. Краевые условия, понимаемые
в обычном смысле, не меняя структуры системы, ограничивают
класс решений (как и начальные условия). В системе же (27.1)’
условие на скорости в момент удара, не меняя размерности мно-
жества решений, меняет саму систему, сообщая ей новые свойства.
Динамика осциллятора определяется совокупностью двух соот-
ношений (27.1) еще до постановки какой-либо начальной или гра-
Рис. 16
весьма распространенное в
11Э
яичной задачи. Например, если в системе (27.1) положить F== —s,
то мы не получим линейную колебательную систему, поскольку
для нее не будет выполнен принцип суперпозиции. Поэтому тот
математический объект, который описывает движение колебатель-
ной системы с ограничителями и который выражается соотноше-
ниями типа (27.1), не представляет собой систему обыкновенных
дифференциальных уравнений вида (18.1) и без каких-то дополни-
тельных предварительных преобразований к нему развиваемые в
настоящей книге методы неприменимы.
Между тем существует простой прием, позволяющий записать
уравнения движения колебательной системы с ограничителями
(с односторонними связями) в виде дифференциальных уравнений.
Рис< 17
Рис. 18
Этот прием состоит в использовании негладких замен переменных,
он применим для систем с односторонними связями в самом общем
случае [29]. Здесь мы его рассмотрим на примере систем, изобра-
женных на рис. 16, 17. В главе V будут рассмотрены более слож-
ные примеры. Начнем со случая к — 1.
Рассмотрим негладкую функцию s (z) (рис. 18):
s = |z|.	(27.2)
Если z — дифференцируемая функция некоторого параметра t, то
s = z sgn z.
Производная по параметру от s терпит разрыв, причем = — z
<s+ = z и отношение в точности удовлетворяет условию на
скорости из (27.1) в случае к = 1. Это означает, что если в системе
(27.1) выполнить замену переменной $->z по формуле (27.2), то
следующее дифференциальное уравнение будет эквивалентно си-
стеме двух соотношений (27.1):
z = F [t, | z |, z sgn z] sgn z.	(27.3)
Это уравнение описывает движение на бесконечном интервале вре-
мени, автоматически учитывая удары об ограничитель. В общем
случае уравнение (27.3) содержит разрывы первого рода, хотя в
частных случаях их может и не быть, как показывает следующий
пример.
Пример. Пусть в уравнении (27.1) F = — s — 2hs (осцилля-
тор с ограничителем и с диссипацией).
414
Уравнение (27.3)
запишется следую-
щим образом:
z = -(И +
4- 2hz sgn z) sgn z —
= — z — 2fez.
Его общее решение
есть
z =
= C1e"/l/cos(|^ 1—hH+
+ C2).
Подставляя это реше-
ние в формулу заме-
ны (27.2), получим
решение в исходной
переменной (рис. 19)
Рис. 20
s = ehl |G cos (/1 — №t + С,)|.
В этом примере уравнение (27.3) получилось гладким потому, что
положение равновесия было выбрано на границе s = 0. Если стен-
ка отстоит от положения равновесия, на некоторое расстояние А
(может иметь произвольный знак), то уравнение (27.3) уже не
будет гладким. Рассмотрим этот пример подробнее.
Пример. Изучить колебания осциллятора на рис. 20 под
действием периодической и вязкой сил:
S + hs + Q2s — в sin (dt (s Д),
< = — s+	(s = Д).
Замена, аналогичная (27.2), имеет вид
s = Д — | z |.	(27.4)
Дифференциальное уравнение для переменной z, эквивалентное
выписанной системе соотношений, запишется так:
z + hz + Q2z = AQ2 sgn z — e sgn z sin cot
Или в нормальной форме Коши:
z = у, у — —hy — Q2z + AQ2 sgn z — e sgn z sin cot (27.5)
Полагая величины h, 8, Д малыми, осуществим замену перемен-
ных в (27.5), выбирая в качестве замены решение вырожденной
(при h — 8 = Д = 0) системы (z, у) -> (ф,
z = х cos ф, у = — х Q sin ф (х 0).	(27.6)
115
Пановых переменных система (27.5) примет вид
Ф = й — fe sin ф cos <р — йя“хАМ (ф) cos ф + 8 (яй)~хх
ХМ (ф) cos ф зтф,
ф = (О,
х = — hx sin2 ф — ЙАМ (ф) sin ф + eQ-x sin ф sin фМ (ф).
(27.7)
.Здесь М (ф) = sgn cos ф.
Система (27.7) имеет стандартную форму с одной медленной пе-
ременной х и с двумя быстрыми фазами ф иф. Эта система квази-
линейная, корректность применения метода осреднения к ней
гарантируется теоремой Боголюбова. Все условия теоремы выпол-
нены (разрывы правой части по быстрой переменной допустимы).
Временное среднее правых частей системы терпит разрыв на
следующих резонансных прямых:
со — 2ий = 0 п = 1, 2, 3, . ♦ . .
Изучим резонанс при некотором фиксированном п, введя рас-
стройку частот со — 2ий = % ~ 8. В соответствии с процедурой
изучения резонанса вводим медленную фазу 0 = ф — 2иф, откуда
ф = (2иф + 0).	(27.8)
Подставляя (27.8) в (27.7), получим
Ф = й + . . а
6 = % + sin ф cos ф + 2шГ1АЙМ (ф) cos ф —
— 2п8 (яй)-1М (ф) cos ф sin (2иф + 0),
х = —hx sin2 ф — АЙМ (ф) sin ф + 8Й-1М (ф) sin ф X
X sin (2иф + 0).	(27.9)
Юсредняя правые части системы (27.9) по фазе ф, найдем
0 = % + 4ийД (ля)-1 + (-— 1)п 4е п[лйя (4и2 — I)]-1 sin 0,
х = —hx/2 - 4и8 (—1)п[лЙ (4и2 — I)]'1 cos 0.	(27.10)
Введем обозначения
а = — 4 П8 (— 1)п[лй (4и2 — I)]-1, Ь — h/2, с = 4ийД/л.
(27.11)
Уравнения стационарного режима примут вид
% + сх'1 —- ах'1 sin 0=0,
— Ъх + a cos 0 = 0.	(27.12)
Нетрудно написать решение этой системы:
я0 = {—	+ [a2 (b2 + X2) — Ь2с2№} (Ъ2 + X2)’1,
cos 0О = x^ba'1, sin 0О = (я0% + с) а"1.	(27.13)
При выводе уравнений (27.7) было использовано предположение,
-что х 0, поскольку х было вынесено. Поэтому, накладывая ус-
ловие я0 0 на (27.13), получим условие существования стацио-
<116
парного режима. Положительность подкоренного выражения в
(27.13) влечет за собой еще одно условие существования а2 (Ь2 +
+ X2) — Ъ2с2 0, которое в исходных параметрах (27.11) запи-
шется
(h2 + 4%2) е2 > л2Й4А%2 (4n2 — I)2.	(27.14)
Из этого условия видно, что при h — 0 или А = 0 все резонансы
рассматриваемого вида существуют. Для feA 0, начиная с не-
которого номера и, стационарный резонансный режим невозможен.
Изучим устойчивость найденных решений (27.13). Уравнения
б вариациях для системы (27.10) имеют вид
66 = — (с — a sin 0о)^о26л: — cos 6360^
6ж = — Ъ8х — a sin 0О60.
Учитывая уравнения стационарного режима (27.12), характерис-
тическое уравнение системы в вариациях получим в виде
X2 + 2ЬХ + Ь2 + X (х*о + С) Ха1 = 0.
Откуда получаем необходимые и достаточные условия асимптоти-
ческой устойчивости
Ь>0, Ь2 + X (Х*о + фо"1 > 0.
Из второго неравенства вытекает, что
х. > - ех (Ь2 + X2)-1.	(27.15)
Сравнивая (27.13) и (27.15), заключаем, что устойчивыми являются
ветви амплитудно-частотной характеристики, соответствующие
верхнему знаку в (27.13).
Имея в виду (27.4), (27.6), (27.8), запишем найденные решения
в исходных переменных:
s = А — #0| cos (со£ — 0o)/2n |j
где хъ и 0О — (27.13).
Рассмотрим теперь задачу, изображенную на рис. 17. Пусть
вначале коэффициент восстановления равен единице: к = 1. Урав-
нения движения материальной точки (т = 1) могут быть записаны
в виде
:<+ = F(t, s, s) (| s | < л/2),
s+ = — <	(| s | = л/2).	(27.16)
Произвол в выборе масштаба длины позволяет считать зазор рав-
ным л. Наряду с введенной ранее функцией М (ф) = sgn cos ф
введем в рассмотрение функцию
г	*
П (ф) = J sgn cos ф йф, (П (ф 4- 2л) = П (ф)).	(27.17)
о
117
Рис. 21
По аналогии с уже рассмот-
ренной заменой (27.2) выпол-
ним в (27.16) замену переменной
$ —> z по формуле (рис. 21)
$ = П (z).	(27.18)
Непосредственной проверкой
легко убедиться, что нижесле-
дующее дифференциальное урав-
нение эквивалентно системе со-
отношений (27.16) в силу заме-
ны (27.18):
z = F.[t, П (z), zM(z)]M(z).
(27.19)
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения (27.19):
a)	F = 0, т. е. имеем свободную точку в зазоре. Из (27.19)
получаем z = 0, откуда общее решение z = Crt + С2. Возвраща-
ясь к исходной переменной s по формуле (27.18), получим
s — П {Crt + С2).
Движение осуществляется по «пиле» с произвольной частотой и
произвольной начальной фазой.
б)	F = —hsn, т — нечетно и положительно. Точка движется
в среде с нелинейным симметричным трением. Учитывая, что
(ф) = М (<р), если т нечетно, найдем Fit, П (z), zM (z)] =
=—hM (z)zm, откуда для уравнения (27.19) получается z =
= —hzm. Решая это уравнение и подставляя в замену (27.18),
находим
*(0 =
П(С^ + С2) (тп=1),
П h J '2i	- 1) (М + C1)-’”-2)/(n-1) + (rn > 1),
I lb Kill & J	J
Ci, C2 — произвольные постоянные.
в)	F — —hs + e cos t — точка совершает вынужденные коле-
бания в среде с вязким сопротивлением. Уравнение (27.19) примет
вид
z = —hz + ьМ (z) cos t.
Или в нормальной форме Коши
£ = 1,
z = У,
у = —hy + гМ (z) cos t.
Если считать h и е малыми параметрами, написанная система уже
имеет вид систем в стандартной форме с двумя быстрыми фазами
t и z и одной медленной переменной у. Причем частота изменения
быстрой переменной z зависит от медленной неременной со = у.
118
Случай существенно нелинейный. Вычисляя временное среднее
(см. разд. 22) от правых частей, находим резонансное соотношение
пу — 1=0, где п — произвольное целое число. Это резонансное
соотношение диктует формулу перехода к медленной фазе 9 =
= nz — t. Уравнения в новых переменных получаются такими:
i = lj Й = пу — 1, У — &М ((9 + tyri) cos t —hy9
Как показано в разд. 24, уравнения второго приближения по пара-
метру совпадают с прямым осреднением системы по быстрым
фазам. Поэтому, не делая промежуточной замены у = у0 + VОД
(/zz/0 — 1=0) для строгого приведения системы к стандартной
форме, в которой 9 — медленная фаза, и осредняя по t, получим
•	^8 . / л I Jb \	j
и =-----sin 9 Н----— пу,
J	ли \ п /
6 = пу — 1,
Условия стационарности режима (у = Й = 0) дают]
__________1	. /л । лл \
у = п\	+	=
что позволяет получить условия существования стационарного
режима | fen/2e| 1. То есть при достаточно большой вязкости
или достаточно малом возбуждении резонансный режим невоз-
можен.
Рассмотрев уравнения в вариациях осредненной системы, по-
лучаем условие устойчивости
е cos (9 + пп/2) < 0.
Рассмотренные выше негладкие замены типа (27.2) и (27.18) обес-
печивали точное выполнение условий на скорость в момент удара
для случая к = 1 (так называемый абсолютно упругий, или иде-
альный, удар).
В колебательных системах с ограничителями типа «зазор»
(рис. 17) обобщение на случай произвольного в интервале (0, 1]
коэффициента восстановления несложно. Условия на околоудар-
ные скорости будут выполнены точно, если вместо замены (27.18)
воспользоваться заменой
1 ___ L.
s = n(z)— 1 + *-|cosz
(27.20)
и если в силу преобразованных уравнений скорость z не обраща-
ется в нуль: z 0. Этому условию будут удовлетворять все такие
движения, когда материальная точка испытывает поочередные
столкновения с разными стенками. Для колебательных систем это
условие часто оказывается выполненным. Сами уравнения (27.16)
в силу замены (27.20) эквивалентны дифференциальному уравнению
*•=	(*=4^4).	(27-21>
М (z) + е sin z \	1 к /	'
119
Пример. F = 0 — свободная материальная точка в зазоре
с коэффициентом восстановления к < 1.
Уравнение (27.21) в нормальной форме Коши есть
еу2cos z
Z=U, Ц =----------т-2-г-	.
Считая е — малым параметром и осредняя по быстрой переменной
z, получим
Z = у, У — — 2еу2л~1.
Решение этой системы
z = (л/2е) In | 2et + Сг | + С2, у = n/(2et + CJ.
Или в исходной переменной
y = n(-^-ln|2et + C1| + C2)-ecos (4гln 1I + С>) -
28.
Об использовании обобщенных функций в задачах
с ударными взаимодействиями
Если коэффициент восстановления к < 1, то воспользоваться за-
менами типа (27.20) для точного исключения удара можно не для
любых задач. Условие z 0 (или z 0) во все время движения
бывает не всегда выполненным. В этом случае замены, осущест-
вляемые по формулам (27.2) или (27.18), хотя и не устраняют удар
полностью, приводят систему к виду, в котором величина ударно-
го импульса пропорциональна разности 1 — к и может считать-
ся малой.
Рассмотрим этот случай подробнее.
Вернемся к рассмотрению уравнений
s = F(t, s, s) (s > 0)	(28.1)
s+ = — ks_ (s = 0),
в которых к уже не предполагается равным единице. Выполним
в этих уравнениях замену s-+z:
s = I 3 |.	(28.2)
В новой переменной эти уравнения запишутся так:
z = F (t, | z |, z sgn z) sgn z z 0	(28.3)
z+ = kz„	z = О/
Уравнения (28.3) и (28.1) эквивалентны^ том смысле, что любые
решения (28 3) в силу замены (28.2) будут^решениями уравнений
(28.1).
120
Обозначая Az = z_ — z+, 8 = 1— к, систему (28.3) можно пе-
реписать в виде
z = Z (t, z, z) (z 0),	(28.4)
Az = ez_ (z = 0).
Если s считать малым параметром, то при прохождении через ли-
нию z = 0 в фазовой плоскости значение скорости претерпевает
скачок, пропорциональный 8. Иногда условие разрыва скорости
на линии z = 0 пытаются заменить введением в правую часть диф-
ференциального уравнения (28.4) дельта-функции Дирака 6(z)
с множителем, выражающим величину импульса, передаваемого
системе. Такой дополнительный член содержит множителем малый
параметр 8, что позволяет после приведения к стандартной форме
формально применить процедуру осреднения. Вопрос о том,
в какой мере подобный прием является правомерным, нуждается
в специальном рассмотрении.
Если обоснование метода осреднения в обычных системах за-
ключается в установлении соответствия между решениями двух
систем (точной и осредненной), то в случае дифференциальных урав-
нений, содержащих 6-функции и применяемых для описания си-
стем с ударами, требуется решение трех вопросов:
1.	Установление точного смысла записи, в которой правые ча-
сти дифференциальных уравнений содержат 6-функции.
2.	Установление соответствия между подобным объектом и ис-
ходной механической системой с ударными взаимодействиями.
3.	Установление соответствия между решениями уравнений с
6-функциями и решениями уравнений, получаемых их осредне-
нием.
Мы не будем здесь останавливаться на точном определении
6-функции, отсылая интересующихся к специальной литературе
[16, 67]. Заметим только, что дифференциальные уравнения, со-
держащие такие функции, должны рассматриваться в пространст-
ве обобщенных функций, а поскольку произведение обобщенных
функций в общем случае не определено, то без осложнений в этом
пространстве могут быть рассмотрены лишь линейные уравнения,
не содержащие произведений обобщенных функций.
Рассмотрим следующий пример:
& = x6(t),	z(—1) = xQ.	(28.5)
Смысл этой записи неясен, поскольку из определения 6-функции
следует
оо
\ х (t) 6 (t) dt=x(O),
— оо
если x(t), по крайней мере, непрерывная функция в окрестности
нуля. Однако x(t) как раз в нуле и терпит разрыв. Какое же зна-
чение приписать х (0)? Если написанное уравнение имеет отноше-
ние к какой-либо физической задаче, то следует предположить,
121
что б (f) в нем есть попытка заменить бц (t) (рис. 22) при достаточно
малых p. (lim 6g (t) = 6(t) в смысле слабой сходимости).
Поэтому заменим уравнение (28.5) уравнением
х = хЬ^ (0,	*(—1) = xQ	(28.6)
и рассмотрим поведение решения при р —0.
Имеем	xQ	при — 1 t < 0,
X (£, |1) = ’	xQ exp	при 0 t < p, xQe	при	t p.
При р -> 0 х (£, р) стремится к х (0:
при — 1 t < 0,
при	t 0.
(28.7)
Если же от уравнения (28.5) перейти к интегральному уравнению
t
х = xQ 4- У х (t) 6 (t) dt
-1
и считать, как это часто делают, что
t
J x(t)6(t)dt=x(0_)	(28.8)
—1
в случае разрывной функции x(t), то решение примет вид
( х0 при — 1 t < 0;
^(0 12.г0 при £>0,
что противоречит (28.7). Если записи типа (28.5) понимать при
помощи условий вида (28.8), то написанный объект приобретает
ясный смысл, однако 6 (t) при этом уже не есть общепринятая функ-
ция Дирака, а представляет собой лишь логический символ, сиг-
нализирующий о том, что в момент времени t — 0 необходимо про-
извести пересчет значения решения. Разница между функцией и
символом состоит в том, что для 6-функции справедливы многие
свойства, например правила дифференцирования, замены пере-
менной, представление рядами и т. п., в то время как для символа
ничего, кроме (28.8), нет и перечисленные возможности 6-функции
для него использовать нельзя. Таким образом, решается первый
из поставленных трех вопросов обоснования. Рассмотрим теперь
второй вопрос. Выясним, может ли система типа (28.4) быть записа-
на при помощи функций, определяемых условием (28.8). Очевид-
но, что это можно сделать так:
z = Z (t, z, z) — ez6 (t — t*)>
122
где t * — момент времени пересечения линии z = 0. Однако это
соотношение не является замкнутым, поскольку момент £* заранее
не известен. Попытки выйти из затруднения при помощи извест-
ного для дельта-функции правила замены независимой переменной
6(i~ j*) = |2|6](z)’	(28.9)
приводят к замкнутому уравнению!
Z = Z (t, Z, z) —8Z I z I 6|(z),*
которое нельзя считать правильным, поскольку правило (28.9),
верное для 6-функции, необоснованно применено к символу (28.8).
Но даже если бы это и была 6-функция, соотношение (28.9) верно
лишь для непрерывных функций z, чего как раз и нет.
Для того чтобы понять, как можно преодолеть возникшее за-
труднение, рассмотрим частный вид уравнений (28.4), в котором
явно выделена колебательная природа системы:
* = Ут
У = — z + е/ (f, z, у) (z 0),	[(28.10)
Ду = ey-i (z = 0).
На рис. 23 изображен отрезок фазовой траектории системы (28.10)
для случая / = 0.
Замена переменных (z, у) -> (г, <р) по формулам
z = г sin ср, у — г cos ср	(28.11)
приводит эту систему к следующей эквивалентной форме:
f = sf (t, т sin ср, г cos ф) cos ф,
Ф = 1---~ / (Л г sin ф, г cos ф) sin ф при ф =/= Ля;
(Л = 0, ± 1, ±2 .. .),
Дг = ег_ при ф==/сл.	(28.12)
Выбирая в качестве независимой переменной фазу ф, получим
dr ______ е/ (t, г sin ф, г cos ф) cos ф
^Ф	е	.	.	9
1 — — / (t,r Sin ф, Г COS ф) Sin ф
-~-=£1-------э!пф, г cos ф) sin ф^ 1 при фт^йл;
&г = 8г_ при ф = Лл.	(28.13)
Вот в этой форме система и может быть записана с использованием
символа 6.
Введем обозначение
6(<р) = 3 6(<р —Лгл),	(28.14)
fr=— 00
где 6 — символ, определяемый соотношением (28.8).
123
Рис. 22
Рис. 24
(28.15)
Записи рассматриваемой системы в виде (28.13) эквивалентна
следующая форма записи:
dr __ Erf (t, г sin ф, г cos ф) cos ф	z , .
йф г — с/(£, г sin ф, г cos ф) sin ф
£1---rsin<p,rcos<p)sin<pj
Для этой системы остается решить третий из сформулированных
вопросов обоснования.
Рассмотрим конкретный пример системы с ударными взаимо-
действиями.
Пример. В поле сил тяжести на горизонтальную поверх-
ность падает материальная точка (рис. 24). Удар не абсолютно
упругий (к < 1). Кроме силы тяжести, на точку действуют силы
вязкого сопротивления.
Уравнения движения точки
ms = — mg —hs (s 0),
s+ = — ks_ (s = 0).
При помощи замены s = |z| приводим эти уравнения к виду (28.4)
mz = — mg sgn z — hz (z 0),
Az = 8Z_ (z = 0).
(28.16)
124
Будем считать малыми параметрами коэффициент демпфирования1
/?, и 8 = 1 — к. Приведем эту систему к стандартной форме, для
чего рассмотрим вырожденную систему (в = h = 0):
mz + mg sgn z — 0.
Общее решение этой системы есть
z = aS (|/-^-t 4- <р0) »
а — амплитуда; ср0 — начальная фаза; S — функция (рис. 25)г
определяемая при помощи введенной ранее функции П (ср) (27.17):-
ф
___	<гг2
П(ср)Жр	g- .
о
Проверка того, что это действительно решение основано на сле-
дующих свойствах введенных функций:
4“П(<р);	-^- = М(ф); М (ф) = - sgn 5 (<р).
По аналогии с (28.11) выполним в исходной возмущенной системег
замену (z, z) -> (г, ср):
z = rS (<р), Z = rgn (ф).
В выкладках учитывается тождество
П2 (ср) - 2S (ср) М (ф) = л2/4.
Условие на разрыв скорости z в новых переменных пересчитывает-
ся следующим образом:
z_ = ]/r_g п(-у- + кл^ , i+ = Yr+g П (-7г +
r- -r+ = -h- (z- - z+) = -7^2- (! - *2)z- =
gjl	gjl
= (1 — k2) r_ — 8 (2 — e) r_.
Уравнения, эквивалентные исходным уравнениям (28.16), в силу
выполненных замен получаются в виде
г = --^гП2(ф);
тл2
Ф = lZ-7- +	п (ф) (ф) при ф + kn;
у I	6л
Дг = 8 (2 — 8) г_ при ф =	+ кл.
Выбирая в качестве независимой переменной ф, получим
dr	8h /г3 П2 (ф)	л . 7
--------- ---------------- при ф -о" + /СЛ,
^ф ттгл2 g + 2h \f т П (ф) S (ф)	2
Дг = 8 (2 — 8) г_ при Ф = -^- + кл.
12$
По аналогии с (28.15) условие на скачол дг можно заменить вве-
дением символа 6(ср) в уравнение
-±- =---------8Д/гГ1Р(ф)---------е(2_е)гб(ф_
^Ф	/пл2 + 8h г П (<р) S (ср)	\	2 /
(28.17)
Уравнение (28.17) эквивалентно исходной системе (28.16). Предпо-
лагая построить первое приближение метода осреднения для этого
уравнения, можно пренебречь в знаменателе членом 8h]/~ гП(ф)5(ф),
а также и членом826.
Учитывая, что среднее от П2 (ф) и 6 (ф — л/2) имеет вид
2Л	2Л
na(<P)d<P = -g-, -2^$ 3(<Р--у)й = 4’
О	о
получим уравнения первого приближения метода осреднения
dr _ 2h г— 2е
"dy— 3m /g 'Г3 ~~~Г*
Поскольку в первом приближении метода ф = У g/r, то это уравне-
ние можно переписать в виде
<28-18>
Решение этого уравнения:
1) /г#=0
[(а	+ b) e~at — Ь]2, (а /г0 + Ь) e~at — & > О
Г =	_
О,	(а У г + b) e~at — & < О
(a = h]sm, Ъ = ъУg/п);
2) h = 0
(Уг9-Ы)\ Уго-Ы^О,
о, у г0 —	0.
Время существования колебательного процесса:
Т = — In а1/Гг<,	/г#=0;
‘ а	Ь
Г =	.	л = о.
в Уе
При ЭТОМ
126
Рассмотрим решение задачи в исходной переменной s и при на-
чальных условиях s (0) = s0, s (0) = 0 (падение с высоты без началь-
ной скорости) в частном случае h = 0:
.-)
V0 Л J x \ b ^rt-bi J
При £ = 0 |S(0)| = л2/8, поэтому s0 = гола/8, откуда
s =
t ГI s (— in —....
Л ) I \e	2so g t
Вид решения представлен на рис.
конечное время Т = (2/е) pr2s0/g\
п при этом совершается бесконеч-
но много соударений.
Резюмируя изложенное выше,
констатируем:
1.	Описание систем с односто-
ронними связями (с ударными
взаимодействиями тел, входящих
в систему) в терминах классиче-
ской обобщенной 6-функции Дира-
ка некорректно. Исключение со-
ставляют системы, в которых
удары возникают в результате
воздействия на систему внешних
по отношению к ней тел в заране
26. Процесс заканчивается за
заданные моменты времени.
причем так, что ни величина импульса, ни моменты удара не за-
висят от состояния самой системы.
2.	Взамен обобщенной дельта-функции Дирака иногда возмож-
но описание систем с односторонними связями при помощи логи-
ческого символа 6 (<р), определяемого так:
$/(ф)б(Ф)</ф=/(О_)	(0е/),
(28.19)
/ (0J — значение разрывной в нуле функции / (ф) при стремле-
нии ф к нулю слева.
Однако при этом вместо независимой переменной t необходима
использование быстрой фазы. Как показывает решенный пример,
переход к переменной t возможен лишь приближенно, в первом
приближении по 8 метода осреднения.
При использовании символа (28.19) никакими свойствами обоб-
щенных функции для него пользоваться нельзя (дифференцирова-
ние обобщенной функции, замена переменных, ряды Фурье и т. п.).
3.	При выполнении всех этих условий единственное, что требу-
ет обоснования,— переход от уравнений типа (28.15) к осреднен-
иям уравнениям, в которых при вычислении среднего от 6 (ф) ис-
пользуется условие (28.19).
127
Решение этой задачи не представляет затруднений и осущест-
вляется с использованием приемов, примененных при доказатель-
стве теоремы Боголюбова (см. разд. 19):
Теорема. Пусть рассматривается система:
-^- = еХ(<р,х)	(ф=/=£л),
ф	(28.20)
Дя = 8/(я_)	(ср = А:л),
где^я ЕЕ D CZ Rn\ ф-независимая переменная; функция X (ср, х)
удовлетворяет условиям теоремы Боголюбова и является периоди-
ческой noj/p. = х_ —	— скачок фазовой переменной при
переходе ф через значение Ал. Функция f(x) в D ограничена по
модулю и удовлетворяет условию Липшица.
Системе (28.20) ставится в соответствие осредненная система
L^_ = eX0(u) —(28.21)
При выполнении указанных условий решения задач Коши с оди-
наковыми начальными условиями для (28.20) и (28.21) удовлетво-
ряют неравенству
|| х (<р) — и (<р)|| < Се для ф е [0, L/&].
Константа С определяется системой (28.20), константа L произ
вольная.
29.
Метод двух масштабов
Этот метод, нашедший широкое применение для уравнений в част-
ных производных, идейно близок к методу осреднения, однако от-
личается от него по форме. Мы рассмотрим его на простых приме-
рах. Разнообразные частные детали, неизбежно возникающие в
общем случае, могут быть опущены. Важно уяснить центральную
идею, после чего приспособление ее к той или иной конкретной
задаче, как правило, не представляет труда.
В качестве первого примера рассмотрим уравнение линейного
осциллятора с малым демпфированием:
<29Л>
будем искать его решение в виде следующего ряда:
У = Уо (0, т) + 81/1 (0, т) + 82г/2 (0, т) + . . .	(29.2)
Здесь переменные 0 и г представляют собой «быстрое» и «медлен-
ное» время:
6 = (1 + 82(о2 + 83(о3 + ...)*, г = st	(29.3)
Неизвестные функции ук (0, т) и константы будем искать из
условия отсутствия в ух секулярных членов по переменным 0 и т.
128
Последовательно дифференцируя у по t, находим
rf2!/ _____ <)2Уо ,	/9 с*2г/о <У2У1 \ ,
d.«	0В2	'	~г <Я)2
дВ2
d2yi
дВ2
д2Уг
•.•г/?,. j <,2у°	9 &iyi  di,J‘2 \  с2
Г* ^'-2 ftp -I <>т2 'Г 2 <96<9г '* дВ2 /Гб ’ ’
Подставляя эти выражения в уравнения (29.1) и приравнивая ко-
эффициенты при одинаковых степенях е, получаем систему урав-
нений для нахождения у0, уг, . . .:
-Г Уо = О,
	_ 9 д2Уо dyQ
У1 " дОдт	’
।	____ 9	<^2Уо _ d2t/0 _	<?2У1 __ дуъ _ дун
‘ ^2	2 д92 дт2 дОдт дт дО *
Из первого уравнения находим, что
у0 = Л0(т) cos 9 + 50(т) sin 0.
Так как рассматриваемое уравнение является уравнением в част-
ных производных, в которые входят производные только по пере-
менной 9, то произвольные постоянные Ло и BQ могут считаться
зависящими от т, и они будут определены в дальнейшем.
Подставляя во второе уравнение это решение, получаем
4^-+л=(2 sin ° Ч2 +Чcos е- <294>
Общее решение этого уравнения имеет вид
у1 = А1(х) cosG + Вг (x)sin9 — 9	+ “Т")	+
+(^+4>s0l •	<29-5>
\ CJ I	&	/	J
Это решение является неограниченным по переменной 0.
Весь смысл введения двух масштабов времени заключается в
том, чтобы, распоряжаясь имеющимся произволом, обеспечить от-
сутствие секулярных членов в у^ (9, т) как по быстрой, так и по
медленной переменным.
Из уравнения для ух видно, что для ограниченности ух (0, т) по
9 необходимо и достаточно, что в правой части уравнения (29.4)
отсутствовали члены, пропорциональные cos 0 и sin 0. Это приво-
дит к соотношениям
dA0 ___	1 л dBo ______	1 р
W “ "Г л°'	— — “2"^0’
из которых находятся Л0(т) и Я0(т):
Ао (т) = Л00е^/2, в0 (т) = Вме-^,
где Z?oo, Аоо — произвольные постоянные.
5 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов	129
В ряде (29.2) функция yQ(ft, т) оказывается полностью опреде-
ленной:
У о (О» т) = е~х/2 (А 00 cos 0 + Воо sin 0).	(29.6)
Или, возвращаясь к исходному времени t по формулам (29.3),
получаем решение рассматриваемого уравнения (29.1) в первом
приближении излагаемого метода:
у = ^-(е/2)г (Лоо Cos t + Z?oo sin t).
В первом приближении не возникает необходимости устранять
секулярные члены по медленному временит, однако уже во втором
приближении это требуется сделать. Для выяснения, как это про-
исходит, обратимся к построению второго приближения. Подстав-
ляя функции (29.5) и (29.6) в уравнение для y2(Q, т), получаем
+ У2 = [ (2®2 + 4) Лоо^т/2 - 2	- B1] cos 0 +
+ ^2ю2 +	В00е~х!2 4- 2	sin 0.
Условие ограниченности y2(Q, т) по 0, как и раньше, приводит
к соотношениям вида
4^=- +-И2 °*+4-) А^е~х/'2'
-jp =	2~ А1 2~ (2°>2 + “4”) Во1>е Х/2>
откуда находим
Bt = В10е-^ + _2_ (2<о2 +	А^,
А, = А10е-^ - -j- (2<о2 +	В00е-^.
Для того чтобы в этом решении исчезли секулярные члены по т,
необходимо и достаточно со2 выбрать так: со2 = —1/8. Итак, пол-
ностью построено второе приближение и решение исходной задачи
приобретает вид
у = е-(е/2Д £ д cos (1-2? sin (1----------t J .
Замечание. Требование отсутствия секулярных членов
по 0 является естественным, в противном случае мы получили бы
ряд (29.2) с неограниченными коэффициентами и качество пред-
ставления решения конечным отрезком такого ряда было бы не-
удовлетворительным. Гораздо менее естественным в рассмотрен-
ном примере может показаться требование отсутствия секуляр-
ных членов по т, поскольку функция хе~х ограниченная и, казалось
бы, нет большой нужды в ее устранении. Однако это не так. На
интервале времени тЕ [0, 1] эта функция возрастает. Но этому ин-
тервалу времени по т соответствует асимптотически большой ин-
130
тервал времени по t: t [0,1/е]. А так как точность метода осред-
нения (а также и метода двух масштабов) гарантируется именно
на таких интервалах времени, то функции вида/(т) = хе~х должны
рассматриваться в рамках описываемого метода, как качественно
эквивалентные функции / (т) = т.
В качестве следующего примера рассмотрим уравнение Ван-
дер-Поля
S- + «='<s2-‘)4t-	<29-7)
Разыскивая решение этого уравнения в виде ряда (28.2) для на-
хождения членов этого ряда, получаем
d2!/i , .. _ _ 2 д2Уо I /..2 _	_£Уо_
dQ2 + У1 — z 505т + (Уо Ч >
„ ___	о.. дгУо д2Уо <) <?2У1
-502--t-f/2—	502	5Т2	505т
Форму представления общего решения первого уравнения в этом
примере мы выберем иной, чем в предыдущем:
У о = гв(т) sin [е + ф0(т)].
Подставляя это решение в правую часть второго уравнения, на-
ходим
+ У1 = — 2 COS (0 + Фо) + 2r0 sin (0 + ф0) +
+ [г2 sin2 (0 + ф0) — 1] r0 cos (0 + ф0).
Или, используя тождество
sin2 (0 + ф0) cos (0 + ф0) = г/4 cos (0 ф ф0) — х/4 cos 3 (0 -4- ф0),
приводим это уравнение к следующему виду:
(3 \
ro + -^-Jcos(0 + ф0) +
,	Г3
+ 2r0 sin (0 + Фо)------j-cos 3 (0 + ф0).
Условия ограниченности решений по 0 приводят к соотношениям
dr о   1 [ го „ | . с?срр  м
dx	2 \	°/ dx
Эти уравнения интегрируются точно, что и позволяет записать в
явном виде решения первого приближения. В частности, стацио-
нарный режим, который представляет собой предельный цикл,
5*
131
или режим автоколебаний, определяется условием
Го/4 — г0 = О,
откуда нетривиальное решение г0 = 2.
30.
Примеры типичных постановок задач,
решаемых методом осреднения
Свободнее незатуха ощие колебания
z + z + ez2"+i = 0 (и = 0, 1, 2, . . .).	(30.1)
Перепишем задачу в нормальной форме Коши
у = —z —
и перейдем к стандартной форме метода осреднения при помощи
вамены
z = х sin ср, у = х cos ф.	(30.2)
Стандартная форма имеет вид
ф = 1 + §ш2гн2ф,
X = — 8.Г2п+1 8Ш2г1+1ф COS ф.
После осреднения по <р
2П
Ф=1+^Г^ г = 0-
Таким образом, частота колебаний зависит от амплитуды колеба-
ний в первом приближении в виде степенной функции с показате-
лем, на единицу меньшим показателя степени имеющейся нели-
нейности. Коэффициент 4_(п+1)С2п+2 ^1/2 монотонно убывает
и при больших п ведет себя как 1/|Лтг.
Свободные затухающие колебания
Z + 8Z2”+1 + 2 = 0 (п = 1, 2, . . .).	(30.3)
После перехода к нормальной форме Коши и использования за-
мены (30.3) получим стандартную форму
ф = 1 + 8ж2а соз2п+1ф sin ф,
X = —&X2n+1 СО82гг+2ф.
После осреднения имеем
Ф = 1, х = — 8z2n+1 4-<u+i) C^n+l)’
132
Решение:
Ф = t + ф0, х= [2п (zb~(n+VC2n+2)t + С]~1/2п,
ф0, с — произвольные постоянные интегрирования.
Таким образом, чем больше показатель степени нелинейного
члена, тем более «вялым» является затухание колебаний.
Автоколебания. Изучим условия возникновения автоколеба-
ний в системе, изображенной на рис. 27. Взаимодействие между
элементом массы и бесконечной, движущейся с постоянной ско-
ростью лентой осуществляется при помощи сухого трения в соот-
ветствии с законом, изображенным на рис. 28. Выбирая нужным
образом масштабы измерения переменных, уравнение движения
элемента массы запишется в виде
z + z = 2hz — 8 sgn (z — 1) — 2h.	(30.4)
Скорость ленты v равна 1. Относительная скорость массы и ленты
есть z — 1. Рассчитывая изучить колебания, периодически прохо-
дящие через точку разрыва, мы силу трения представили в виде
2h(z — 1) — 8 sgn (z — 1),
в котором учтена величина разрыва и первая производная характе*
ристики в точке разрыва справа и слева.
После приведения уравнения (30.4) к нормальной форме Коши
с последующей заменой переменных по формулам (30.2) и осред-
нением получается уравнение для медленной переменной х в виде
х = hx — 8F(x),
где функция F (х) имеет вид
2Л
1	С
F (х) =	\ [sgn (х cos ср — 1)] cos ф cfcp.
о
Вычислим производную этой функции:
2	Л
dF 1 С С /	Л\ Ъ J	2
-у— = — \ о (X COS ф — 1) COS2 ф Яф =--- ... - 
ах Л J	TiX2 У X2 — 1
о	*
(использовано правило замены переменной в б-функции Дирака).
Рассматривая полученное соотношение как дифференциальное
уравнение, найдем из него функцию F(x)\
Вид этой функции изображен на рис. 29.
Таким образом, осредненная система имеет вид
х = hx - 2e-/j2- .1 .	(30.5)
133
Рис. 31
Это уравнение интегрируется в
квадратурах, однако нас инте-
ресуют сейчас лишь положения
равновесия уравнения (30.5),
определяющие в исходной си-
стеме режимы автоколебаний.
Приравнивая правую часть ну-
лю, найдем
(30.6)
Нижнему знаку соответствует режим, изображенный на рис. 29
буквой а, верхнему — буквой Ъ. Исследование устойчивости пока-
зывает, что устойчив режим с меньшей амплитудой и неустойчив
режим с большей амплитудой.
Из (30.6) видно, что автоколебания возможны, если
82 _ Я2^2 >0	(30.7)
На рис. 30—32 изображены результаты интегрирования на вычис-
лительной машине исходного точного уравнения (30.4). На рис. 30
показан выход на устойчивый предельный цикл с начальными ус-
ловиями во внутренней области, а на рис. 31 — во внешней.
Представляет интерес поведение системы, когда условие су-
ществования автоколебаний (30.7) не выполняется.
134
Фазовая траектория для этого случая изображена на рис. 32.
Начальные условия выбраны в окрестности нуля. Точка довольно
быстро стремится к той замкнутой кривой, которая соответствует
предельному циклу на границе области существования, т. е. для
е2 = л%2, когда по осредненным уравнениям это соответствует
амплитуде х —	2. Затем она достаточно долго пребывает в ок-
рестности этого предельного цикла, после чего с увеличивающейся
скоростью удаляется от него, уходя в бесконечность. Если время
работы системы невелико, то, даже когда теоретически автоколе-
бания отсутствуют, движения указанного типа можно трактовать
как практически автоколебательные. Во всех рассмотренных слу-
чаях сравнение точных и приближенных результатов показывает
весьма высокую точность последних. Применение метода осредне-
ния в этой задаче, несмотря на наличие разрывов в правых частях
уравнения, удовлетворяет обычным оценкам точности.
Вынужденные колебания
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 33.
Бесконечная лента движется с постоянной скоростью перпен-
дикулярно направлению колебаний линейного одномерного ос-
циллятора. Взаимодействие между лентой и элементом массы осу-
ществляется по закону сухого трения:	= — (Д sgn РСтн)^к»
где Ротн — модуль относительной скорости элемента массы и
135
ленты; ev — единичный вектор направления относительной ско-
рости. В направлении оси z к массе приложена гармоническая во
времени возмущающая сила.
Выбирая нужным образом масштабы измерения переменных,
уравнение движения осциллятора может быть записано в виде
z Ч..........Н z = esincof.
/1 + *2
Скорость ленты принята равной единице. Полагая коэффициент
трения h и амплитуду силы 8 малыми, как и в предыдущих задачах,
заменой (30.2) приводим уравнение к стандартной форме:
4 .	h cos ф sin ф
ф = 1 Ч-----. —7------- —
[/1 Ч- cos2 ф
Ф = (О,
hx CGS2 ф
X — — —  "	——
]/ 1 Ч" Я2 COS2 ср
— JL sin хр sin ср,
X
Ч- 8sinx|)cosq).
Целью дальнейшего является построение амплитудно-частотной
характеристики стационарных колебаний в окрестности резонан-
са (см. разд. 22). Полагая, поэтому разность 1 — со = Д малой и
вводя медленную фазу 0 = <р — ф, приведем систему к одночастот-
ной форме:
Ф=1 +...,
ф___д । h cos ф sin ф
1 Ч- я2 cos2 ф
JLsin(q) — 9) sin ср,
h cos2 ф
1 + х2 cos2 ф
Ч- 8 sin (ср — 9) cos ср.
х
Осредненные по быстрой переменной <р уравнения таковы:
б = Д----cos 9,
Zx
% — — hF(x)-----8 sin 9,
где функция F(x) имеет вид
2Л
F (х\ = — ( cos2 ф dq? = 2х X
' ' 2л J
Ч- X2 COS2 Ф л /1 + X2
Л/2
Г	COS2 ф с?ф
* J	4~ A:2 sin2 ф
и выражается через полный эллиптический интеграл В (к) [60]
(рис. 34):
x2
Условия стационарности режима приводят к уравнениям
2Дя — 8 cos 9 = 0, 2hF (х) + 8 sin 9 = 0.
136
Откуда, исключая 0, получим
уравнение для амплитудно-ча-
стотной характеристики:
Д = + ~ V —
Поскольку F (х) монотонно воз-
растающая функция и
2/л, то существует критичес-
кое значание амплитуды возбу-
ждения екр = 4А/л такое, что
если е < 8кр амплитудно-частот-
ная характеристика замкнутая,
система ведет себя как система с
линейным вязким трением, если е>екр ветви амплитудно-частотной
характеристики уходят в бесконечность, система ведет себя как
система с сухим трением (рис. 35).
Параметрические колебания
Рассмотрим уравнение Хилла
z + v2 (1 + 8 У ап cos 2nt) z + hi = 0.	8, h 1
n=l
Для этого уравнения ставится задача построить в первом прибли-
жении границу области устойчивости.
Нормальная форма Коши:
сю
z = y, у = — v2z — 8v2z У ап cos 2nt — hy.
n=l
Замена переменных, приводящая систему к стандартной форме
z = х sin q), у = xv cos ср, позволяет получить:
оо
ф = v -j- h cos ср sin <р + ev sin2 q) У an cos фп,
n=l
— 2n (n — 1, 2,.. .),
oo
x = — hvx cos2 q? — 8v2z sin q) cos q) J art cos
137
Система имеет счетное число резонансов в первом приближении:
2v = 2n (п = 1, 2, . . .).
Рассмотрим произвольный резонанс: v — к = Д — малая рас-
стройка. Вводим медленную фазу 0/f = 2ф Уравнения за-
пишутся
Ф = v 4- . . .,
фп = 2п (п =£ к),
— 2Д — 2h cos ф sin ф + 2ev sin2 фа^ cos (2ф — 0fc) 4-
4-2еГ8Н12Ф у 6ZnCOSlpn,
х=— Av# cos2 ф— &v2x зшф cos q [ак cos (2ф — 0^) 4- ап cos фп] •
1l=&f
Осредненная по всем быстрым переменным система:
= 2Д-----1- vak cos 0k,	х —---^xv-----|~ v2xak sin 0^..
На границе области устойчивости уравнение Хилла имеет периоди-
ческое решение, что соответствует положению равновесия написан-
ных уравнений:
4Д — &vak cos 0R — О, 2h 4- sin Qk = 0.
Положение равновесия возможно, если 16Д2 4- 4/4 = г2к2а1
(без снижения точности здесь принято v2 = к2). Это и есть выраже-
ние для границы А:-й зоны неустойчивости уравнения Хилла
(рис. 36). Зоны неустойчивости на рисунке заштрихованы.
Они будут зависеть от номера к именно так, как изображено
(т. е. ширина зоны уменьшается с ростом к и зона поднимается над
осью частот), если ак убывает при к -> оо. Это значит, что такое
оо
поведение характерно в том случае, когда ряд У ancosipn схо-
дится к кусочно-дифференцируемой функции или к более гладкой.
Для кусочно-непрерывной функции ширина зоны неустойчивости
от номера не зависит.
Г лава
третья
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП ЛИ
31.
Понятие группы
Пусть G обозначает множество элементов произвольной природы
(множество чисел, или функций, или каких-нибудь объектов гео-
метрической природы и т. д.). Множество G называется группой,
если:
1)	На множестве G определена операция, которая любым двум
элементам из G: 4 G и В : G, взятым в определенном порядке,
ставит в соответствие единственный элемент С <= G. Будем назы-
вать условно эту операцию умножением и записывать ее так:
А о В = С.
Операция, вообще говоря, некоммутативна, т. е.
что и определяет понятие порядка выбора элементов в произве-
дении.
2)	Существует элемент е, что для любого А ЕЕ G имеет место
А ° е = е ° А = А. Этот элемент называется единицей группы.
3)	Для любого А ЕЕ G существует элемент А' такой, что:
А о А' = А' © А = е.
Этот элемент называется обратным.
4)	Имеет место ассоциативность операции
А о (В о С) = (Л о В) о С для любых Л, В, С из G.
Замечание. Из приведенных условий следует, что еди-
ница единственна и обратный элемент для каждого выбранного
тоже единственный.
Примеры групп.
1.	Множество всех рациональных чисел без нуля.
Операция — умножение.
2.	Множество всех векторов на плоскости. Операция — сложение.
3.	Любое конечное число элементов с операцией, задаваемой
таблицей Кэли (в примере 5 элементов):
о	А	В	С	D	Е
А	В	С	D	Е	А
В	С	D	Е	А	В
С	D	Е	А	В	С
D	Е	А	В	С	D
Е	А	В	С	D	Е
4,	Множество всех точек, лежащих на окружности.
Операция: точке Л, положение которой на окружности опреде-
139
Рис. 37
ляется углом <р4 и точке В с углом
срв ставится в соответствие точка С,
положение которой определяется
суммой углов
5. Множество матриц п х п с нерав-
ным нулю определителем. Опера-
ция — матричное умножение.
6. Множество матриц Кейли, опреде-
ляемое формулой (3.2). Операция—
матричное произведение.
В примерах 1—4. 6 операции ком-
мутативны, в примере 5 — нет.
Примеры не групп, когда
определенная на множестве операция не удовлетворяет каким-то
из свойств 2—4.
1. Множество целых чисел. Операция — умножение.
2. Множество векторов в трехмерном пространстве. Операция —
векторное произведение.
32.
Группа Ли. Примеры
Нетрудно заметить, что в примерах 4—6 па множестве элементов,
составляющих группу, можно совершенно независимо от аксиом
группы ввести понятие близости между любыми двумя элемента-
ми, в силу которого групповые операции оказываются непрерыв-
ными функциями, что позволяет на такие группы (они называются
топологическими) смотреть одновременно с двух точек зрения:
с точки зрения алгебры и с точки зрения анализа. Такое объеди-
нение оказывается весьма плодотворным. Это и используется са-
мым существенным образом в теории групп Ли. В настоящее время
под термином группа Ли понимают более широкий объект, чем
тот, который ввел сам Ли и который и будет рассматриваться
дальше нами.
Под множеством G, на котором вводится операция, удовлетво-
ряющая аксиомам группы, будет пониматься множество преобра-
зований n-мерного вещественного арифметического пространства
в себя:
х = Ф (х, у, а), у' = Ч^.?, у, а).
(32.1)
Для упрощения записи мы будем часто пользоваться случаем 7?2,
т. е. плоскости. Поскольку никакие специфические свойства, свя-
занные с размерностью 2, далее не используются, то все дальней-
шее переносится без изменений на общий случай.
Переход от одного преобразования к другому осуществляется
изменением параметра а. Если этот параметр скалярный, то мно-
жество преобразований называется однопараметрическим. Пара-
метр может быть векторным: а = (а19 . . ., aR). Размерность этого
140
вектора и определяет размерность множества преобразований.
При этом все а1У . . ., ak должны быть существенными, т. е. несво-
димыми при помощи преобразований к меньшему числу.
Операция, вводимая на множестве преобразований (32.1),
есть композиция двух преобразований. Пусть, например, после
преобразования (х, у) -> (xf, у') по формулам (32.1) с некоторым
фиксированным а выполняется преобразование (х', у')	(я", у"):
х = Ф(я', /, 6), у" = Y(Z, у\ Ь).	(32 2)
Если композиция преобразований, определяющая преобразование
(х, у) (х", у”):
х" ~ ф [ф (х, у, a),	у/, а), 6],
у" = Т [Ф (х, у, а), ¥(#, у, а), 6],
есть преобразование из того же самого множества (отвечающее
какому-то другому значению параметра с), т. е.
х* = Ф(я:, у. с), у" = ЧДя:, у. е),	(32.3)
то это и означает, что на рассматриваемом множестве преобразо-
ваний определена операция (композиция двух преобразований
множества не выводит за пределы этого множества).
Для того чтобы не интересоваться областью определения пра-
вых частей (32.1) как по переменным, определяющим точку преоб-
разовываемого пространства 7?п, так и по параметру «, предпола-
гают, что преобразования определены на некотором открытом мно-
жестве и в достаточно малой окрестности некоторой точки «.Тем
самым формулы типа (32.1) определяют локальное семейство ло-
кальных преобразований.
Определение. Множество преобразований (типа (32.1))
называется локальной группой преобразований Ли (в дальнейшем
коротко: группой Ли), если:
1)	Композиция любых двух преобразований определяет опера-
цию на этом множестве, т. е. есть преобразование из этого же мно-
жества.
2)	Рассматриваемому множеству преобразований принадлежит
тождественное (единица группы).
3)	Для любого преобразования из множества существует обрат-
ное, принадлежащее этому же множеству, т. е. их композиция
представляет собой тождественное преобразование.
4)	Функции (32.1) являются аналитическими по переменным
(х, у, а) в некотором открытом множестве изменения переменных
х. у и в некоторой окрестности параметра а, соответствующего
тождественному преобразованию.
Заметим, что требование ассоциативности операции, необходи-
мое при общем определении группы, здесь излишне, поскольку
композиция преобразований этому свойству, очевидно, удовлет-
воряет.
Важнейшие примеры групп Ли.
141
А.	Группа трансляций:
х' = х + а, у' = у.
В.	Группа растяжений (если а± = а2 = а — группа подобия):
х’ = агх, у' = а2у.
С.	Группа вращений:
х' = х cos а + у sin а, у' = —х sin а + у cos а.
Принято обозначение этой группы — SO (2), что означает, специ-
альная, ортогональная, действующая в 7?2.
D.	Группа линейных преобразований:
Х ~	4“ ^12^/»	,	(аП «12 \
,	, при det I ¥=0.
у = а21х + а22у r \«2i «22/
Обозначение — GL(2): общая, линейная. Если дополнительно по-
требовать det = 1, то получаем группу SL(2) —специальная ли-
нейная.
Е.	Группа движений:
х’ = + х cos а3 + у sin а3,
у' = а2 — х sin а3 + у cos а3.
F.	Аффинная группа:
х =	4“ ЯцХ 4“	,	/«и «12 \ п
,	,	, при det I I =# 0.
У = CL2 4- а2Гг 4- а22у	\«2i «22/
G.	Проективная группа:
г= a*+fe/+Y
^4- £ У +0
у’ — ~фффФ при
* е^ + ^ + 0 F I t п/
\8 5	0/
Н. Группа отображений, сохраняющих площадь.
I. Группа Лоренца:
f__ х — ay	r__ — ах у
Х ~~ У ~ *
Групповая операция. Композиция двух преобразо-
ваний (32.1) и (32.2) с параметрами а и Ъ определяет преобразова-
ние (32.3) с параметром е, зависящим от а и Ь:
с = <р (а, Ь).	(32.4)
Эта функция, аналитическая в окрестности ф (0, 0), и представля-
ет собой выражение групповой операции. В примере группы вра-
щений
хп — х’ cos Ъ 4- у’ sin Ъ = (х cos а 4- у sin a) cos b 4- (—х sin а +
4- у cos a) sin Ь — х cos (а 4- Ь) + у sin (а 4- &),
142
у" = —х' Sin Ъ + у ' cos b = — (x cos a + у sin a) sin b +
+ (—x sin a + у cos a) cos b = —x sin (a + b) + у cos (a 4- b)
Следовательно, групповая операция есть
с = а + Ь9
В примере группы Лоренца
a -J- Ь
„ х'— by'  х 1 -j- ab V
a 4- Ъ
»__ У — Ъх*_ у ~ \A-ab х
-	- /qqq
групповая операция имеет вид
__ a 4- Ь
С~ i+ab ‘
Пусть тождественному преобразованию соответствует значение
параметра а = е, т. е.| Ф (х, у, е) = xf Т (х, у, е) = у.
Тогда для нахождения обратного преобразования из (32.4) полу-
чаем ср (а, а"1) = ср (йГ1, а) = е,
В примере группы вращений тождественному преобразованию со-
ответствует значение параметра а = 0, поэтому для обратного
преобразования имеем а-1 = —а. Так же вычисляется обратный
элемент и в группе Лоренца.
33.
Инфинитезимальный оператор группы.
Алгебра Ли
Предположим вначале, что а — скалярный параметр. Заменой
параметра а -> р: а = е + р, добиваемся того, что тождественно-
му преобразованию всегда соответствует р = 0. Пусть в (32.1)
имеется именно такой скалярный параметр. Разложим эти функ-
ции в ряды по степеням р в окрестности нуля:
х' = Ф (х, у, р) = х + р£ (я, у) + • • •
/ = Т (х, у, р) = у +	(х, у) + . . ..
Выписанная линейная часть по р группы называется ядром труп-
пы.
Пусть в плоскости х, у задана некоторая функция F(x, у).
Выясним, как изменяется эта функция при преобразованиях груп-
143
пы:
у') = F [г + рЕ (х, у) + . . ., у + |ЛТ] (х, у) + .. .] =
[dF	dF 1
+ Т|(X, у) — I + . . . .
Линейная часть по р приращения функции имеет вид
/’ [х', у') - F (х, у) = р Р (я, у) + т] (,г, у) 1 -1-
-Г • • • =. р(7F	,
где U — есть линейный дифференциальный оператор первого
порядка:
U = % (х, у) д/дх + ц (х, у) д/ду,
который и называется инфинитезимальным оператором группы.
Если группа многопараметрическая, то у нее столько операторов,
сколько независимых параметров. Пусть, например, в группе с
двумя параметрами ц и v тождественному преобразованию соот-
ветствует р, = v = 0. Тогда, как и в (33.1),
х’ = Ф (я, у, ц, v) = х + цВ (х, у) + vet (х, у) + . . .,
/ = Т (х, у. Ц, V) = у + ЦЦ (х, у) + v|3 (х, у) + . . .
и два инфинитезимальных оператора имеют вид
U1 = l(x,y)-^r + ^X,y)-L-, Ut^a(Xty)jL р (.Г,;/)	.
Выражения для инфинитезимальных операторов приведенных вы-
ше примеров групп Ли.
А.	Группа трансляций:
U = д/дх,
В.	Группа растяжений: Ur = хд/дх, U2 = уд/ду.
Группа подобия: V = хд!дх уд/ду.
С.	Группа вращений: U = уд/дх — хд/ду.
D.	Группа линейных преобразований:
иг = хд/дх, U2 = уд!ду,	U3 = уд/дх, = хд/ду.
Группа линейных преобразований с равным единице детерминан-
том получится из выражения для общей линейно й группы
х’ = х + цх + vy / = у + тх + 01/
введением условия на детерминант
-= 1 Д- 0 + ц Ц- . . . = 1.
Точками обозначены члены более высокого порядка малости. От-
куда 0 = —[1, т. е. имеется три независимых параметра, которым
11 -Hi v
I т 1	0
144
соответствуют операторы
Ur = уд/дх, U2 = хд/ду, U3 = хд/дх — уд/ду.
Е.	Группа движений:
Ur — д/дх,	U2 = д/ ду,	С73 = уд/дх — хд/ду.
F.	Аффинная группа:
Ur = д/дх, U2 = д/ду, U3 = хд/дх, = уд/ду, Ub =
= уд/дх, Uq = хд/ду.
G.	Проективная группа:
иг = д/дх, U2 = д/ду, U3 = хд/дх, С/4 — уд/ду, U3 =
= хд/ду, U3 — уд/дх, Щ — х2д/дх + худ/ду, U3 = худ/дх +
+ у^д/ду.
Н.
Группа, сохраняющая площадь. Условие сохранения пло-
щади имеет вид
дх'

дх
дх'
!ду'
ду
dx dy,
т. е.
дх*
дх
ду'
дх
дх'
~ду
ду'
ду
л	д\
1	-4- IX	-4- ... IX	~
• г дх 1	r	dy
dn	dn
ц —+ . . . 1 -U IX -“~
г дх 1	• r dy
Откуда
di I
дх ' ду
I.	Группа Лоренца:
Пусть п — параметрическая группа имеет п операторов:
иг, . . ., Un.	(33.2)
Если все п параметров существенны (т. е. не могут быть заменами
сведены к меньшему числу), то операторы линейно независимы
(первая основная теорема Ли [56]). Это означает, что не существу-
ет таких, не всех равных нулю чисел . . ., Хл, что
ад + ... + \пип = 0.
В противном случае операторы называются линейно зависимыми.
Числа Xj, . . ., Хл при этом предполагаются независящими от х и у.
145
Линейная независимость операторов (33.2) позволяет взять их
в качестве базиса линейного пространства операторов, связанного
с рассматриваемой группой. Любой элемент этого пространства
есть оператор вида
U =	+ . . . + knUn,	(33.3)
где Хх, . . .,	—координаты оператора U в этОхМ пространстве.
В этом пространстве можно ввести операцию произведения опе-
раторов. Пусть U и V — два оператора из рассматриваемого прост-
ранства. Введем произведение операторов так:
[U, 7] = UV - VU.	(33.4)
Это означает, что действие оператора [(/, V] на некоторую функ-
цию F(x, у) заключается в том, что нужно вначале подействовать на
нее оператором V, после чего на полученную функцию подейство-
вать оператором U и из результата вычесть то, что получается при
действии на F (х, у) этих же операторов в обратном порядке:
[U, V]F = U(VF) - V(UF).
Такое определение требует проверки нескольких фактов. Во-пер-
вых, будет ли оператор [U, 7] оператором первого порядка? Пря-
мое вычисление показывает, что возникающие вторые производ-
ные при вычислении U (VF) сокращаются после вычитания 7 (UF).
Если оператор U имеет вид
U = £ (х, у)д!дх + Ц (^, у) д/ду,
а оператор 7вид
7 = а (х, у) д/дх + |3 (х, у) д/ду,
то оператор [U, 7] получается таким:
[U, 7] = у(х, у)д/дх + 8 (я, у) д/ду,
где коэффициенты у (х, у) и 6 (х, у) имеют вид
у (х, у) = Ua - 7£,	6 (х, у)= и$— 7ц.	(33.5)
Во-вторых, будет ли оператор [U, 7] принадлежать рассмат-
риваемому пространству, т. е. иметь вид (33.3)?
Если заданы п произвольных линейно независимых операто-
ров, то произведение любых двух из них вовсе не обязано выра-
жаться линейной комбинацией этих п операторов. Оказывается
(вторая основная теорема Ли), что если операторы (33.2) есть опе-
раторы n-параметрической группы, то произведение любых двух
операторов из соответствующего этой группе пространства ему
же и принадлежит:
[С7, 7] = кгиг + . .. + knUn.
В силу того что введенное произведение очевидно обладает свой-
ством дистрибутивности по сложению, т. е.
[U, 7+ W] = [U, 7] 4- [U, Wl£
146
то дли нахождения констант Аг1? . . ., кп в случае произвольных
U и V достаточно знать эти константы для базисных операторов
(33.2):
[<7i,^] = 3CiA.	(33.6)
8
Константы Cij называются структурными константами группы и
определяют группу полностью.
В-третьих, важно знать, является ли введенное произведение
корректным в следующем смысле. Говоря о преобразовании плос-
кости (или какой-то ее области), мы выражаем это преобразование
с помощью координат х, у. Если плоскость отнести к другим ко-
ординатам — и, V. то те же преобразования будут иметь иной вид.
Иной вид будут иметь и операторы (правило преобразования опе-
ратора при замене переменных будет приведено в разд. 37). Зави-
сит ли операция произведения операторов (33.5) от того, в каких
переменных она вычисляется? Другими словами, будет ли все рав-
но, если вначале заменить в операторах переменные, а потом взять
их произведение, или поступить наоборот. Несложная выкладка
показывает, что будет все равно. Введенное произведение не зави-
сит от выбора системы переменных.
Получившийся объект: линейное пространство операторов груп-
пы (33.3) с введенной в этом пространстве операцией умножения
называется алгеброй Ли.
Алгебра Ли порождается группой Ли. Верно и обратное: если
даны какие-то п линейно независимых операторов, удовлетворяю-
щие условию (33.6), то они порождают некоторую и-параметриче-
скую группу Ли (вторая обратная теорема Ли).
Операция взятия произведения (33.4), играющая исключитель-
но важную роль в дальнейшем, называется скобкой Пуассона,
пли коммутатором, или производным оператором. Она удовлетво-
ряет так называемому тождеству Якоби
[[U, 7], W] + [[Ж, U], 7] + [[7, W], U] = О
и обладает свойством косой симметрии
[U, 7] = -[^ U],
что очевидно из определения (33.4).
Абстрактное определение алгебры Ли не связано ни с группа-
ми, ни с операторами и определяется посредством введения в ли-
нейном пространстве операции умножения, кососимметрической
и удовлетворяющей тождеству Якоби. Пример: трехмерное вектор-
ное пространство с операцией векторного произведения есть ал-
гебра Ли.
Пример. Линейная группа с равным единице определите-
лем. Операторы
t/i = уд/дх, U2 = хд/ду, U3 = хд/дх — уд/ду
147
образуют базис трехмерной алгебры Ли со следующим правилом
перемножения операторов базиса:
и2] = — С73, [С7П U.3] = 2UV [U21 U3] = — 2U2.
34.
Однопараметрические группы.
Теорема единственности
В дальнейшем речь будет идти в основном об однопараметрических
(или одночленных) группах (33.1). В предыдущем параграфе уже
упоминалась вторая теорема Ли: всякая n-параметрическая труп
па порождает n-мерную алгебру, и обратно: всякая n-мерная ал-
гебра операторов порождает группу той же размерности.
Теорема верна и для случая п = 1, однако в этом случае она
уже имеет нелокальный характер.
Теорема. По заданному инфинитезимальному оператору U =
= £ (х, у) д/дх + г) (х, у)д!ду группа (33.1) восстанавливается един-
ственным образом (с точностью до замены параметра р).
Доказательство. Введем для краткости обозначения:
г = (х, у), R = (Ф, У), I (г) = (|, Т]).
Тогда формулы (33.1) перепишутся в виде
rf = R (г, р) = г + Ш Н + • • • •	(34.1)
Запишем также групповую операцию. Если г" = R(r', v), то
г" = R(r, ф(ц, V)).
Надлежит доказать, что если известна первая производная
группы по р в нуле: £(г), то мы знаем не только ее линейную часть
(т. е. ядро), но и весь ряд полностью. (В случае функций, не имею-
щих отношения к группам, для построения всего ряда необходимо
знать все производные в нуле.) Рассмотрим при выбранном фикси-
рованном значении р малую вариацию г': г' + 8г'. Причем пере-
ход в точку г' + 8г' осуществим так. Вначале вернемся в точку г,
выполнив преобразование г' -> г:
г — R (г', р-1).
После чего осуществим переход г -> г' + 8г'\
г' + 8г' = R (г, р + бр),
где бр — сколь угодно малая вариация параметра. Композиция
этих преобразований дает
г' + 8г' = R [7? (г', р"1), р + бр] — R [г', ср (р-1, р 4- бр)] =
= Я ф (ц-\ и) +	L„-. + • • • ] =
= r’ + £(г')Г(р,)6ц + • • • •
148
Здесь использовано, что 7
w (и \ ц)= О И -2— = ц(г'),
1 V‘ Г/	др |ц=о V '
а также обозначено
(Н-1-v) |у=ц.
Переходя к пределу, получим
4^ = «г')Г(н).
(34.2)
Так как р, в этом соотношении Рис. 38
произвольно и оно должно обра-
щаться в тождество по р при подстановке в него (34.1), то это озна-
чает, что группа (34.1) может быть получена из (34.2), рассматрива-
емого как дифференциальное уравнение с начальным условием
г' |ц=о = г.
При этом единственность группы следует из теоремы о существова-
нии и единственности решения начальной задачи Коши, что в дан-
ном случае имеет место в силу аналитичности правых частей.
Если заменить параметр р —> т:
и
г — Г (р) а7р,	(34.3)
о
то уравнение (34.2) приобретает вид
dr !dx = £/r')> г' (0) == г.	(34.4)
Правая часть его определяется лишь оператором группы.
Решая его, мы и восстанавливаем группу полностью с точно-
стью до замены параметра (34.3). Теорема доказана.
Замечание 1. Доказанная теорема означает, что между
всеми одночленными группами на плоскости (вообще в Rn) и всеми
автономными обыкновенными дифференциальными уравнениями
с аналитическими правыми частями существует взаимнооднознач-
ное соответствие (с точностью до несущественной замены пара-
метра).
Замечание 2. Параметр т, определяемый выражением
(34.3), носит название канонического. Построение группы при по-
мощи решения автономного уравнения определяет эту группу ав-
томатически через канонический параметр. Каноничность парамет-
ра т состоит в том, что групповая операция для него имеет простей-
ший вид: т3 = тх + т2, а обратный элемент выражается так: тг1 =
= — т.
Пример. Найти групповую операцию и канонический пара-
метр в группе подобия
х = ах = (1 + р)х, у' = ay = (1 + р)у.
149
Пусть следующее преобразование выполняется с параметром v:
хп = (1 + v)x' = (1 + v) (1 + р)я = (1 + р, + v + pv)x,
у" = (1 + v) yf = (1 + v) (1 + р) у = (1 + р + v + pv) у.
Значит, групповая операция имеет вид
ср (р, v) = р + v + pv.
Обратный элемент
ср (р, р'1) = 0 => р + р-1 + рр-1 = 0 => р-1 = —р/(1 + р).
Вычисляем производную
Находим функцию
г(н) = 4г прп и
откуда
1
Г(И) = -ГнГ-
Канонический параметр
[и
т = ( ,	— In (1 4- р).
J 1 + р v 1
к0
Выражение группы через канонический параметр:
х' = ехх, у' — еху.
П ример. Выберем один из операторов проективной группы
и восстановим по нему ее однопараметрическую подгруппу
U = х2д/дх + xydldy.
Дифференциальные уравнения, определяющие эту подгруппу,
имеют вид
^Г = х'г’	ЧГ = Х>У’'	•г'(°) = а’>	/(0) = У-
Решение этой начальной задачи Коши есть
,	X	,	и
X — -1----- , у — —7—------ .
1 — тх ’	1 — тх
Выбирая любой оператор из алгебры Ли операторов группы, мож-
но построить таким образом все однопараметрические ее под-
группы.
150
35.
Уравнение Лиувилля. Инварианты.
Собственные функции
Пусть группа задана через канонический параметр т:
X = X + £ (х, у)х + . . ., у' = у 4- 1] (х, у)х 4- . . .
и ей эквивалентна по доказанному система
=	=	(35.1)
Вернемся к вопросу о преобразовании с помощью этой группы
некоторой функции F(x. у):
F {х , у') =	+ 1(х, у)х + . . ., у 4- 1] (х, т/)т 4- . . J =
= F(x, у, т).
Определим производную этой функции по х:
dF   dF dx' ( dF ду'
dr	dx9 dx ' ду' dx
Или в силу (35.1)
dF dF	dF	/ f тт и
-т- = ~^-г В (^ 1 У ) + тт Л (z ,y) = Ul,
dx dx' ъ у ' 1 dy 1 v у '
где U = £ (х', у’)	-L- п <Х, у') -±- — оператор группы.
Уравнение
-^=UF	(35.2)
называется уравнением Лиувилля.
Найдем связь преобразованной функции F (х, у, т) с исходной
функцией F (х, у) и оператором преобразования U.
Ряд Тейлора для F (х, у, т):
F(x,y,x) = F(x,y,0) + 4г|т=0Т 4-4r4^L + • * • *
Здесь
F (х, у,0) = F (х, у).
а из (35.2) имеем
dF dF ттп/ f r\ dF I	гтг/	\
—— = UF(x,y),	-т—	=[7F(.r,.
dx dx	\ и г	|т==0	\ V
Обозначив UF (х\ у') = G(x', у'), получим
^=UG{x',y’) = U*F(x’,y'),
т. е.
d^F d2F	d^F I
«г = ЛГ = U'F (У, у').	1^ = U‘F
151
11 гак далее. В результате получаем искомую связь в виде
y,T) = F(.r,y) + xUF(x,y) + -^-U2F(x, у) + . . . . (3b.3)
Этот ряд называется рядом Ли. Он может быть записан еще в такой
форме:
F (х, у, т) = e^F (я, у).	(35.4)
Выражение (35.3) служит определением операторной экспоненты
(35.4). Дифференцируя (35.3) по т, имеем
^.^UF + rU2F + -^-U3F+ ... = U(F + xUF-r . . .) =
= UF (x, у, t).
Иными словами, имеет место правило
(exUF) = UexUF.
С другой стороны, полученное представление позволяет переписать
уравнение Лпувилля в эквивалентной форме:
= UF.	(35.5)
дх	'	'
Здесь уже оператор U зависит от старых переменных:
Дополнив начальным условием F (х, у, 0) = F (х, у), получаем
начальную задачу Коши для уравнения в частных производных
(35.5) относительно искомой функции F (х, у, т), эквивалентную
системе нелинейных дифференциальных уравнений (35.1). Экви-
валентность понимается в следующем смысле. Если известно об-
щее решение системы (35.1): х = Ф (х, у, т), у' = Т (х, у, т), то ре-
шение (35.5) есть
F (х, у, т) = F [Ф (х, у, т), V (х, у, т)].
Обратно, если известно решение указанной начальной задачи для
(35.5): F (х, у, т), то, выбрав в качестве F (х, у) вначале F (х, у) — х,
а затем F (х, у) = у, получим общее решение (35.1).
Указанная эквивалентность позволяет заменить изучение не-
линейной системы (35.1) часто более удобным изучением линейного
уравнения (35.5).
Из (35.3) для частного вида функции F (х, у) следуют формулы,
восстанавливающие группу по ее оператору:
F (х, у) = х :
т2
х' = х -j- tUx + -gf" U2x + . . . ,
т2
у) = у : у' = у + xUy -Ь —	4- •  ,
(35.6)
152
которые представляют собой также запись решения системы диф-
ференциальных уравнений (35.1) с начальными условиями х и у
в форме рядов по т.
Пример. Восстановить группу вращений по ее оператору
U —	---• Это можно сделать, решив начальную задачу
С/ Jb	(J и
Коши:
=	=	а'(0) = А	У'(О) = у.
Пользуемся рядами Ли (35.6). Последовательно находим
их = (у^Г~х-^')х==У'	U*x = Uy=-x,
U3x — — Ux=- — у,. . . ,
Uy = — х, U2y — — Ux — — у, U3y = — Uy = х, . . .,
откуда имеем
,	,	т2 т3	.
X =х + ту----Х-----g- У + • • • = # cos Т 4- у sin т,
т2 т3
у =у — XX-----y^—X-f . .. = — X sin Т + у cos т.
Определение. Функция G(x, у) называется инвариантом
группы, если она не изменяется группой:
G (./, у') ~ G (х, у, т) = G (х, у).
Ряд Ли (35.3) показывает, что, для того чтобы аналитическая
функция своих переменных была инвариантом группы, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была корнем оператора группы:
UG (х, у) = 0 для любых х и у.	(35.7)
Свойство инварианта. Пусть G (х, у) — инвариант, a F (х, у) —
произвольная функция. Тогда
UIG (х, y)-F(x, у)] = F (х, у) UG (z, у) + G (х, у) UF (х, у) =
- G (х, у) UF (х, у),
т. е. инвариант группы играет роль константы для ее оператора.
Определение. Функция Р (х, у) называется собственной
функцией оператора, если
UP (х, у) = X (х, у) Р (х, у),	(35.8)
где X (х, у) — инвариант, называемый в данном случае собствен-
ным значением.
Если Р (х, у) — собственная функция оператора, то она пре-
образуется соответствующей этому оператору группой так:
Р (х, у,х) = G (х, у, т) Р (х, у).
153
где G(x, у. т)—инвариант группы при любом фиксированном т:
G(x, у, т) = 1 + тХ (jc, у) — т2/2!Х2 (л\ у) + . . . . Это следует
из (35.3) и (35.8).
Очевидно следующее свойство собственных функций операто-
ра. Если Р± (х, у) — собственная функция, соответствующая собст-
венному значению ^(х, у), аналогично этому Р2 (х, у)— к2 (х. У), то
U(P1-P2) = (X1 + 'k2)P1-P2,
т. е. Рг (х, у) • Р2 (х. у) — также собственная функция, соответет-
вующая собственному значению (х. у) + Х2 (х, у).
Пример. Группа винтов в Л3:
х' = х + т,
у' — у cos т + z sin т,
z' = —у sin т + z cos т.
Ее оператор U = д/дх + zd/dy — yd/dz. Инвариантом группы*яв-
ляется функция
G(x, у, z) ~ у sin х + z cos х.	(35.9)
В этом можно убедиться двумя способами. Во-первых,
G(x , у', z) — у' sin х' + z cos х — (у cos т + z sin т) sin (х +
4- т) + ( — z/sinr + z cos т) cos (х + т) = у sin х + z cos х
и, во-вторых, из условия UG = 0 имеем
/ д	. д д \/	.	. х н
-----k	z---у-^~] z/sinx	4- zcos.r) = 0.
\ дх	1 ду dz )\у	1	7
Инвариантное семейство кривых. Если функция G(x, у) есть
инвариант группы, то, приравнивая ее произвольной постоянной
G (я» У) “ С, получим семейство кривых в плоскости х, у, каждая
из которых группой не изменяется, т. е. каждая кривая преобра-
зуется сама в себя. Иными словами, любая кривая такого семей-
ства является инвариантной кривой.
Представляет интерес несколько иная ситуация. Пусть задано
некоторое семейство кривых (о(я:, у) = С. Причем функция о)(я:, у)
инвариантом группы не является. Таким образом, преобразова-
ния группы изменяют кривые семейства. Нас будет интересовать
случай, когда при таком изменении они будут переходить в другие
кривые того же семейства. Такое семейство и будет называться ин
вариантным.
Пример. Семейство прямых, исходящих из начала коорди-
нат, у!х — С является инвариантным семейством группы враще-
ния.
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция
со (гс, ?/), чтобы она определяла инвариантное семейство.
Пусть со (х, у) = С и о (л:, у) = к — два представления одного
и того же семейства. Каждая кривая одного представления кон-
груэнтна некоторой кривой другого. Это значит, что для каждого
154
значения С первого представления найдется такое значение к
второго, что оба представления определяют одну и ту же кривую.
То есть к есть функция С: k=j (С). Но тогда о (л:, у) = f Ico (х, у)].
Таким образом, условие инвариантности семейства со (л;, у) = С
состоит в следующем:
^0*5 У, т) = /[о> (х, у), т].	(35.10)
Раскладывая (35.10) в ряд по т, найдем
z/, т) = <о(ж, у) + т/1[о)(ж,г/)]+ -^/2[w(.r, j/)] + . .. .
Сравнивая этот ряд с рядом Ли (35.3), находим необходимое усло-
вие инвариантности семейства в виде
Ua(x, у) = /1[<о(^, г/)].
Это условие является и достаточным, поскольку, если оно выпол-
нено, то
(х, у) = Uh [со (х, у)] = -g- Д [О] = /2 (со)
и так далее. Это условие можно представить в более удобной фор-
ме, если избавиться от произвола в выборе функции /г. Будем
искать из него не со(гг, у), а некоторую функцию от этой функции:
Q[(o(:r, у)]. Поскольку Q[(o(rr, у)] определяет то же семейство, то
UQ [со (х, г/)] — h [со (х, у)].
Откуда следует
и а (х, y) = h[(o (х, г/)].
Пользуясь произволом в выборе Q, положим dQJd® = h (со). Это
приводит к условию
Ua(x, у) = 1,	(35.11)
которое и будем считать основным для нахождения инвариантного
семейства кривых.
Инвариантная кривая. Рассмотрим условия инвариантности
одной отдельно взятой кривой в плоскости х, у:
(О (х, у) = 0.
Эта кривая называется инвариантной кривой группы, если она
не изменяется при действии любого преобразования из группы.
При этом кривая может оставаться неизменной в двух случаях.
Во-первых, если остается неподвижной каждая точка кривой и,
во-вторых, если каждая точка кривой преобразуется в точку,
принадлежащую этой же кривой. Первый случай реализуется,
если равен нулю сам оператор группы на этой кривой, т. е.
I (х, у) = 0, П (х, у) = 0.
155
Во втором случае должно быть выполнено условие (35.7), однако
уже не для любых х и у, а в точках самой кривой:
£7<о (я, у) = 0 при со (х, у) = 0.
Пример. Инвариантной кривой, целиком составленной из
инвариантных точек, для группы, порождаемой оператором
будет прямая у = —х.
Пример. Инвариантной кривой второго типа для оператора
Т7 I 1 \	, /	1 \ д
U = \X~ 27)17+\У~2^
является окружность х2 + у2 = 1.
Действительно,
U(x2 + у2 - 1) = 2х2 =-1 + 2у2 - 1 = 2(х2 + у2 - 1)
обращается в нуль на этой окружности.
Аналогичные понятия (инвариантные кривые, инвариантные
поверхности) имеют место в пространстве п измерений.
36.
Линейные уравнения с частными производными
Как видно из предыдущего, задача нахождения инвариантов (35.7)
и инвариантных семейств приводит к необходимости решать ли-
нейные уравнения с частными производными
(.Гр . .. , хп)	. + Хп (а-р . . ., хп) =0	(36.1)
—однородное уравнение в случае поиска инварианта G(xr, . . .,
А\(жх,.. .,хп)-^-+... + Хп (xv ...,хп)-^- =
= Хп+1 (xv . . ., хп, со)	(36.2)
(36.3)
— неоднородное уравнение в случае поиска инвариантного се-
мейства.
Рассмотрим вначале однородное уравнение. Поставим ему в
соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dxx dx2	dxn
—•••	*7
Теорема. Функция G(xx, . . ., хп) тогда и только тогда является
решением уравнения (36.1), когда она есть первый интеграл систе-
мы (36.3).
Доказательство. Следует из уравнения Лиувилля
(35.2). Рецепт построения общего решения уравнения (36.1), сле-
156
дивательно, таков. Небходим п — 1 первых интегралов системы
(36.3):	(х1? . . ., хп), . . ., ап_2 (х19 . . ., хп). Тогда общим решени-
ем (36.3) будет произвольная функция этих первых интегралов
G (л*1, . . ., Xn) F	^п), • •	^п-1
Решение неоднородного уравнения (36.2) сводится к решению
однородного уравнения, если искать это решение в неявной форме:
w [со, хи . . ., хп] = 0.
Тогда
дсо   dw . div
дх*	dxR * da
и после подстановки в (36.2) получаем
(ffp ..., хп) + ... + Xn+i (xv • • • ’ хпч <°) “^7 = 0.
Общее решение этого уравнения есть произвольная функция п
первых интегралов:
w =	. . ., хп, со), . . ., an fo, . . ., хп, со)].
Приравнивая ее нулю и разрешая относительно со, и получаем
решение уравнения (36.2).
Пример. Найти инвариантные семейства группы вращения.
[7 = ydldx —хд!ду.
Т7	dw	div	л
U^—y -т-------= 1.
* dx	dy
Этому уравнению соответствует следующее однородное:
dw , dw л	/Ол /ч
У-75----Х-*---р-—= 0.	(36.4)
dx ду * 1 day	4	7
Эквивалентная система обыкновенных уравнений
dx   dy	dto
У	—х	1
имеет следующие первые интегралы. Из уравнения dx/y — dy/— х
находим = ]/#2 * + у2. Из уравнения
d(£>_____dx
1 — / «1 -
находим
а —со — arcsin — = со — arcsin—f= а» — arctg— ,
2	ai	у
Общее решение (36.4) есть
w — F (av а2) — х2 + у2 ,<а— arctg .
157
Приравнивая нулю и разрешая относительно со, получим
со = arctg -у + Р (а;2 + у2),
Р — произвольная функция.
Если Р == 0, то arc tg х/у = С определяет пучок прямых,
проходящих через начало координат. Если Р = ]/ х2 + у2, то
arc tg х/у + У х2 + у2 = С определяет семейство спиралей Ар-
химеда.
37.
Замена переменных.
Канонические координаты
Вид оператора однопараметрической группы
U =	+	(37.1)
действующей в плоскости, зависит от выбора координат. Выясним,
как изменится вид оператора (37.1), если от координат х, у перейти
к координатам u, v по формулам
и = и (х, у), v = v (х, у).	(37.2)
Пусть в новых переменных оператор (37.1) имеет вид
£7 = £(u,p)^ + f)(u, v)-^.
Ему соответствуют дифференциальные уравнения группы
Уравнение Лиувилля (35.2) в данном случае имеет вид
Таким образом,
Г (u, v) = Uu (х, у).	х\(и, v) = Uv (х, у),
где в правых частях х и у необходимо (после применения операто-
ра) выразить через и и и из (37.2). Таким образом, в новых пере-
менных оператор (37.1) имеет вид
£7=<'7“)т+^4-	<37-3»
Пример. Выразить оператор
U = х2д/дх + худ/ду
в полярных координатах
т = )Лх2 + у2, ф = arc tg у!х, х — г cos ф, у = г sin q.
158
Последовательно находим
№ =	Т'Т"
= Х3 т! j,S + ХУ г2 у! " О'
т. е. <р = arc tg у/х оказывается инвариантом этой группы. Вид
оператора в полярных координатах таков:
U = г2 cos <р .
т дт
Канонические координаты группы. Естественно поставить во-
прос о нахождении таких координат, в которых группа имела бы
простейший вид. Для этого в (37.3) достаточно положить
Uu = 1, Uv = 0.	(37.4)
Найдя из этих уравнений и (ж, у) и v (х, у) и рассматривая их в ка-
честве новых координат (37.2), получаем в них следующий вид
оператора (37.3):
£7 = д!ди.
Координаты группы, в которой она является группой трансляций
(или группой параллельных переносов), и называются канониче-
скими.
В n-мерном случае
+	(37.5)
1	п
условия перехода к каноническим координатам
У1 =	• • •» *п). • • •, Уп = Уп (*1, • . хп)
выглядят так:
Uyr = 1, Uy2 = 0, . . Uyn = 0,
функции	• • •» хп)ч • • -ч Уп(хп • • •> хп) представляют собой
п—1 функционально независимых инвариантов рассматриваемой
группы, которые всегда существуют. Это следует из известной тео-
ремы из теории ^обыкновенных дифференциальных уравнений о
том, что система уравнений n-го порядка в окрестности любой не-
особой точки имеет ровно п— 1 локальных первых интегралов.
Сам результат о подобии любой одночленной группы группе
параллельных переносов вдоль одной из осей эквивалентен теоре-
ме о выпрямлении векторного поля.
Таким образом, роль канонических координат группы играет
и—1 ее функционально независимых инвариантов и одна функция,
определяющая инвариантное семейство.
Существует еще один простейший вид, к которому можно при-
водить оператор (37.5). Предположим, что группа имеет к собст-
159
веяных функций (см. разд. 35):
Upi = ^tPi (i = 1, . .	к).
где — инварианты (любая функция от инвариантов — инва-
риант).
Дополнив систему собственных функций инвариантами, полу-
чим уравнения
Pi = Pi fa, • • •, ^п) (г = 1, • .	к),
gi = gi (*v •••,*„) (I = к + 1, . . ., п),
определяющие совокупность переменных, при переходе к которым
оператор (35.5) имеет вид
С = +•••+ ’
называемый диагональным.
38.
Формула Хаусдорфа. Группы симметрий
В разд. 35 было выяснено, как преобразуется функция, заданная
в плоскости (или в некоторой ее области) однопараметрической
группой преобразований. Результат был представлен в двух фор-
мах: уравнение Лиувилля (35.2) или (35.5) и ряд Ли (35.3). В обе-
их формах приведенные соотношения связывали выражение рас-
сматриваемой функции в старых координатах, ее выражение в но-
вых координатах и оператор группы преобразований старых коор-
динат в новые.
В настоящем разделе рассматривается аналогичная задача,
однако объектом преобразования является уже не функция,
а система дифференциальных уравнений
dx/dt = X (х, у), dyldt — Y (х, у).	(38.1)
Пусть задана группа преобразований (х, у) -> (u, v):
и = и(х, у, т), v — и(х, у, т).	(38.2)
Требуется выяснить, как изменятся уравнения (38.1) при этих
преобразованиях. В терминах операторов групп задача формули-
руется так. Уравнения (38.1) порождают однопараметрическую
группу с оператором
A = X(x,y)^+Y(x,y)-^.	(38.3)
Группа преобразований (38.2) определяется оператором
и = 1(х, у)-^ + Г](х,у)~.	(38.4)
В новых переменных уравнения (38.1) принимают вид
=	^- = Y(u,v,x)	(38.5)
160
и им соответствует оператор
A =	+ Y(u,v,x)-^.	(38.6)
Необходимо установить связь между операторами А, А и U.
Решение этой задачи и дается формулой Хаусдорфа, к выводу
которой мы приступаем. Запишем преобразование группы (38.2)t
а также и им обратные в виде рядов Ли (35.6):
u=exVx, v = exUy,
х — e~xUu, у — е~хГи.
Напомним, что в этих выражениях в случае прямого преобразова-
ния U имеет вид (38.4), а в случае обратного в этом операторе вме-
сто старых переменных следует писать новые:
Используя формулы (37.2), (37.3), перейдем в операторе (38.6)
обратно от новых переменных и, и к старым переменным х, у,
в результате чего получим
А “ i	i tv 
Компоненты оператора Лв-тС7и и	являются функциями
и и v. Заменяя в них (и, и) -> (х, у) по формулам (38.7), приходим
к компонентам исходного оператора
Ае~хии = X (х, у), Ae~xUv = Y (х, у).
Эти выражения не зависят от т, поэтому;
A(je-tru) = o,
откуда
e~xUu — SUe~'uu + USe~^vu = 0.
дх	1
Первый и второй члены этого соотношения получены дифференци-
рованием по явно входящему т. Третий член представляет собой
дифференцирование по т функции, зависящей от и и р, которые в
свою очередь зависят от т по формуле (38.7). Такая производная
определяется формулой Лиувилля (35.2).
В результате получаем
-g- = AU - US = [Л", U].	(38.8)
К этому уравнению следует добавить начальное условие
А (и, V, т)|т=о — А (и, и),
чтобы получить искомую связь между Л, А и U.
6 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов	161
Уравнение (38.8), определяющее преобразованный оператор
Л, является аналогом уравнения Лиувилля, определяющего пре-
образованную функцию. Соотношение (38.8) раскрывает смысл
второго названия для коммутатора — производный оператор:
коммутатор есть в буквальном смысле слова производная опера-
тора А по параметру группы, определяемой оператором U. При-
веденная начальная задача Коши для операторного уравнения
(38.8) решается при помощи разложения А (и, р, т) в ряд Тейлора
по т:
т/ ч л / ч , I । т’2 I
Л- (U, Р, Т) - Л (U, V) 4- т —	+ — _ _	+ ... .
Из (38.8)
#1 =М,С7].
дх |т=о
Для нахождения второй производной дифференцируем (38.8):
ДД = -Д [A, U]. Если бы оператор В = [Л, U] получался из
какого-то оператора В в результате преобразования группы с
оператором U, то мы имели бы право, как и в (38.8), написать
-g- = [5,£7] = [[J,t7],t7].	(38.9)
Покажем, что это действительно так. В качестве оператора В
можно взять В = [A, U]. В силу инвариантности коммутатора по
отношению к заменам переменных (см. разд. 33) имеем В = [Л, £7].
Однако очевидно * U = U, что и доказывает справедливость
(38.9). Остальные производные определяются аналогично.
В результате приходим к формуле Хаусдорфа
Л = Л + т[Л,С7] +-J [[Л, t/],t7] + ... .	(38.10)
* Действительно, замена переменных, определяемая оператором £7, есть
*' = / (*, У, т), У' = ф (*, У, ^)-
Выписанные функции есть решения следующих дифференциальных урав*
нений:
dx'	dy'
Преобразование оператора им же определяемой группой выглядит так:
~ д	д
и = Uf -~~Г +	.
7 дх 1 f ду
Однако по формуле Лиувилля
ТТ4	dx’	тг	dy’
Uf “ dx ’	U4~ dx '
t. e.
Uf = g (x'i y’), CZcp = T) (x', yf).
162
Из этой формулы следует, что если
М, U] = 0,	(38.11)
то /Г — Л, т. е. преобразования (38.2) не изменяют оператора (или
уравнений (38.1).
Группа (38.2) называется в этом случае группой симметрий
уравнений (38.1). Или говорят, что уравнения (38.1) допускают
группу (38.2).
Для того чтобы такой факт имел место, условие (38.11) явля-
ется, как это следует из (38.10), необходимым и достаточным.
Так как уравнения (38.1) преобразованиями группы симметрий
не изменяются, то это означает, что любые решения этих уравне-
ний группой симметрий переводятся в решения этих же уравне-
ний. Этот факт может служить определением группы симметрий.
Если же обратиться к эквивалентному системе (38.1) уравнению
Лиувилля — AF, то любое решение этого уравнения F (х, у, т)
будет переводиться оператором группы симметрий U в реше-
ние этого же уравнения UF (х, у, т). Все введенные понятия и по-
лученные формулы никак с размерностью пространства не связаны
и справедливы для произвольной размерности. Полезность уста-
новления симметрий дифференциальной системы демонстрирует
следующая теорема.
Теорема. Пусть задана система
= Хг (ж1? . . хп)	(38.12)
хп — Хп (#1, . . ., хп).
Если известна группа симметрий этой системы, оператор которой
и =	, *п)-Д- -Г ••• ч-,	(38.13)
т. е. [A, U] = 0, где А —оператор системы (38.12), то система
(38.12) может быть понижена в порядке.
Дока зательство. Укажем алгоритм понижения по-
рядка. Группа, порождаемая оператором (38.13), предполагается
известной, это означает, в частности, что известна полная система
инвариантов этой группы, так что известны ее канонические
координаты
У1 = У1 (*i, • • •, *п)
Уп = Уп (*1, • • •, *п),
в которых оператор (38.13) имеет простейший вид:
но тогда условие [А, С7] переходит в условие
6*	163
Последний коммутатор сводится в силу (33.5) к дифференциро-
ванию компонент оператора А по уг. Равенство нулю означает
при этом, что в новых переменных оператор А (а следовательно,
и преобразованная система (38.12)) не зависит от переменной уг.
Теорема доказана.
Пример. Понизить порядок уравнения:
-g- + -*W-^ + ^Ws = <>-
Вначале приведем это уравнение к виду (38.12):
Т = 1' 4г = г-
Группа симметрий этого уравнения очевидна. Она связана с из-
менением масштаба измерения переменной у. Это группа рас-
тяжений
х = х, у' = ку = (1 А т) у, z — kz = (1 + т) z.
Следовательно, операторы А и U имеют вид
А=i +2 i ~ [я	z + я ’
U — у + z .
* ду 1 dz
Легко убедиться, что в этом случае [A, 17] = 0. Разыскиваем
канонические координаты группы
Р (х, у, z), q(x, у, z), г (х, у, z),
dx   dy   dz   dp
0	у	z	1 ’
откуда p = In y, q = z/y, г = x. Находим выражение оператора A
в новых переменных:
=i - fv	w 2+(1”1+-Я 
Или, выражая x, у, z через p, q, r:
^ = q^-[Jt(r)q + ^(r) + q^]-^ + ±.
Иными словами, в новых переменных исходная дифференциальная
система имеет вид
р = q, q = Л* (г) + Я (г) q + q2, г = 1,
т. е. задача сводится к интегрированию уравнения Риккати.
Заметим, что приведенный способ понижения порядка требует
знания канонических координат группы симметрий. Однако есть
случаи, когда для этого достаточно лишь знания оператора группы.
Например, это возможно, когда размерность системы равна двум.
164
Рассмотрим этот случай. Пусть имеем систему
=	(3S.14)
с оператором
А = Х(х,у)-^ + Y (х,у)-^.
И пусть известен оператор ее группы симметрий
про который будем дополнительно предполагать, что он является
линейно несвязанным (условие линейной несвязанности является
более жестким, чем условие линейной независимости, и опреде-
ляется так: операторы Uly . . .,Uk называются линейно несвязан-
ными, если не существует таких (хг,. . .,я:п),. . .	(хг,. . .,хп),
не всех тождественно равных нулю, что
l1U1 + . . . +	= 0.
В отличие от определения линейной независимости здесь коэф-
фициенты X могут зависеть от переменных х) с оператором А,
Пусть далее
со (х, у) = const	(38.15)
— первый интеграл рассматриваемой системы. Это значит, что
имеет место|
Л со (х, у) = 0.
Поскольку группа симметрий сохраняет систему, то она должна
переводить интегральные кривые в интегральные кривые, т. е.
семейство (38.15) должно быть инвариантным семейством группы.
В соответствии с (35.11) это дает Uсо (х, у) = 1.
Или
X(x,y}^ + Y(x, У)-^- = 0,
UX,y)^ + M.r,y)^. = l.
Разрешая эту линейную систему, найдем
-J- = — Y(x, у): [X (х, у) т] (х, у) — У (х, у) £ (х, г/)],
4г = X (х, у): [X (х, у) т] (х, y) — Y (х, у) В (х, г/)].
Откуда первый интеграл исходной системы находится квадратурой
со (т jA = f Х v')dv — Y(x' У)dx
'''У' J X (х, у) (х, у) — У (х, у) J (х, у)
165
Аналогичный результат имеет место и в случае произвольной раз-
мерности. В [56] он сформулирован так:
Теорема. Если система (38.12) допускает (^—^-параметриче-
скую разрешимую группу G, операторы которой
вместе с оператором А составляют линейно несвязанную систему,
то уравнения (38.12) интегрируются в квадратурах.
Термин «разрешимая группа» как раз и происходит от возмож-
ности использования таких групп для интегрирования в квадра-
турах систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Не
приводя точного определения понятия «разрешимая группа»,
приведем критерий, позволяющий устанавливать наличие этого
свойства: n-параметрическая группа разрешима тогда и только
тогда, когда ее структурные константы (33.6) связаны условием
= 1,2.....п)
{по ц, v, X — суммирование (Картан)).
Напомним, как вычисляются криволинейные интегралы,
к которым сводятся получаемые указанным способом квадратуры.
Рассматривая изменение переменных интегрирования вдоль пря-
мой:
х -> tx, у -> ty, t ЕЕ [0, 1],
напишем
/	\	(* X(x,u)du— Y(x,u)dx
W '* ’ J -X (х, у) Г) (х, y) — Y (х, у) £ (х, у) ~
1
___С_______х (tx, ty) y — Y (tx, ty) x_ 1
д X (tx, ty) ц (tx, ty) — Y (tx, ty)^(tx, tx)
0
Интегрирование вдоль прямой выбирается исключительно ради
простоты. Поскольку подынтегральная функция в криволиней-
ном интеграле есть полный дифференциал, то сам интеграл от
пути интегрирования не зависит, а зависит только от начальной
и конечной точки.
Пример. Найти потенциал для векторного поля {Р, ()} =
г о I	о 1 тт	дР dQ
~ \У~ । cos хч ^ХУ}- Поскольку -jp- =	, то такой потенциал
существует и равен U = \ [(г/2 + cos x)dx + 2xydy\.
Пользуясь указанным приемом, находим
1
U (х, у) = [(y2t2 + cos :ct) х 4- 2xy2t2] dt = xy2 4- sin .r.
о
Расширение понятия группы симметрий. Вернемся к системе
(38.1):
-%- = Х(х,у),	-%-=Y(x,y).	(38.16)
166
Пусть известна группа преобразований (38.2) с оператором (38.4),
таким, что имеет место
[А, £7] =	(х, у)А.	(38.17)
Используя формулу Хаусдорфа (38.10), выясним, как в этом
случае изменяются уравнения (38.16).
Последовательно находим
[[А, £71, U] =	(я, у) A, U] = ^AU-U (ХхА) = KAU -
- Х/7А - (tAJ А - [А, V] - (C/XJ А = №- (t/XJ) А =
= Х2 (лг, у) А,
У) = М -
и так далее. Следовательно, формула Хаусдорфа дает
А = % (х, у)А.
Таким образом, уравнения (38.16) преобразуются к виду
-^- = X(u,p)X(u,p),	= K(u,v)Y (м).
Хотя уравнения и изменились, но фазовые траектории остались
теми же:
=	.	(38.18)
dv Y (и, и)	v '
Группа, удовлетворяющая условию (38.17), также называется
группой симметрий. Такая группа переводит интегральные кри-
вые системы (38.16) в ее же интегральные кривые.
Теорема. Если система (38.16) допускает группу симметрий в
расширенном смысле, то эта система может быть понижена в
порядке.
Доказательство проводится, как и ранее, посред-
ством перехода к каноническим координатам группы, в которых
система (38.16) после приведения ее к форме (38.18) оказывается
не зависящей от одной переменной.
Замечание. Этот результат не зависит от размерности
пространства и, как и ранее, в случае плоскости для интегриро-
вания в квадратурах достаточно знания лишь оператора группы.
Пример. Уравнение Блазиуса:
„ а2У । I dy \2 । f dy _ п
У dt* "*" \ dt )	2 dt —
Требуется понизить порядок.
Приводим предварительно это уравнение к нормальной форме
Коши автономной системы:
dx/dt = 1, dy/dt — z, dz /dt = —z2/y — xz/2y.
Оператор этой системы таков:
дх
dz
167
Ищем группу симметрий при помощи изменения масштаба х = кх',
у — ту', z = nz':
dx' __ 1	dy' _ п	,	dz' __ п z,z	к	x'z'
dt	к	’ dt	т	’	dt	ту'	m	2y'
Откуда видно, что правая часть приобретает общий скалярный
множитель, если п — к и 1к — п/т.
Следовательно, однопараметрическая группа симметрий (в рас-
ширенном смысле) имеет вид
х = кх', у = к2у', z = kz ,’
или
X =	(1 + х)х,	у' — (1 + 2т + . . .)у, z = (1 -ь t)z.
Оператор этой группы
гг	d . О	d	I	д
U — х-^.—--------И z~tt •
дх '	&	ду	1	dz
Коммутатор операторов А и U в этом примере равен
[A, U] = А.
Для понижения порядка системы достаточно перейти от перемен-
ных, в которых она записана, к переменным, являющимся кано-
ническими координатами ее группы симметрий (х, у, z) (р, q, г):
*4 + 2»-§- +
dr o dr ,
x ~z— 4~ “h— "F
dx 1	* dy 1
ZJP— 1
z dz
dz ’
dr n
z -7— — 0.
dz
Эта система представляет собой полную запись условий, которым
должны удовлетворять канонические координаты, однако при
практических вычислениях выписывать два нижних уравнения
не требуется, поскольку все необходимые интегралы получаются
уже из первого уравнения:
,	X2	X
р—1п.т q —-------- г — —.
Обратная замена:
е2Р	ёР
х — ер, ----------, z =------.
v	q ,	r
Осталось найти вид оператора А в новых переменных:
168
Следовательно, исходные уравнения в новых переменных полу-
чают вид
В этом примере видно, в чем состоит отличие случая, когда
[Л, U] — 0, от случая, когда [Л, [7] — ХЛ. В первом случае при
переходе к каноническим координатам система теряет зависимость
от одной из переменных, во втором — зависимость от одной из
переменных присутствует лишь в виде общего скалярного множи-
теля при всей правой части (в этом примере е“р), что не мешает
понижению порядка:
_£_ = 2д--£, 4- = г + (7 +4.
dp	г ’ dp	1 1 1	2
Уравнение (38.17) позволяет поставить следующую задачу.
Система (38.16) задана, требуется найти ее группу симметрий.
В этом случае (38.17) представляет собой систему уравнений для
нахождения коэффициентов £ (я:, у) и ц (гс, у) неизвестного опе-
ратора U. Эта система имеет следующий вид:
х9- + Y^r	=
дх 1 ду дх 1 ду
дх 1 ду дх 1 ду
Эта линейная система относительно неизвестных функций £ и ц
называется определяющей системой. Она относится к следующему
типу систем:
VI	du
у , а. (*i- ..., тп,	, ит) =
= (я-i,. . ., хп, иг,..., ит)	(ц = 1,. . ., т).
Легко показать, что такие системы эквивалентны одному урав-
m
нению
?=1 1
смотренные в разд. 36.
Если фц, (хх, . . ., хп, ;
уравнения, для которых
О такого же вида, как и рас-
и±, • • •> ит) =	—1п решений этого
ц у ¥=0, , тогда найденные
из них их, . . ., ит есть решения исходной системы.
Отметим важное свойство определяющей системы.
Множество операторов, удовлетворяющих этой системе, об-
разует алгебру. Это означает, что если некоторый оператор U
есть оператор группы симметрий уравнений (38.16) и некоторый
другой оператор V — также оператор группы симметрий, т. е.
[Л, £7] = X (я:, у) А, [Л, 7] = v (х, у)А. То оператор [U, V] также
есть оператор группы симметрий.
169
В самом деле:
[[Л, CZ], V] = [ХЛ, V] = Х[Л, У] -(УХ)Л = (Xv — (УХ))Л,
[[Л, У], U] - [vA, tZ] = v [Л, U] - (CZv) Л - (Xv - (tZv)) Л,
т. е.
[[Л, U], У] —[[Л, У], CZ] = ((tZv) -УХ)Л - pi (я, у)А.
Однако в силу тождества Якоби имеем
ИЛ, U], У] -ИЛ, У], U] = [[U, У], Л].
Поэтому
HCZ, У], Л] = р, (х, у)А.
Но это и означает, что [У, U] есть оператор симметрий.
Примеры решения определяющих уравнений с целью нахож-
дения алгебры симметрий будут рассмотрены в разд. 42 и 43.
39.
Принцип суперпозиции решений
и разделение движений в нелинейных системах
Рассмотрим две системы обыкновенных дифференциальных урав-
нений:
-§ =/1(х1, . . . , Хп)	• • • ^п)
..................и......................
=	• • • ,^n) -jr = Fn(Xl, • . • ,Хп).
Или в краткой записи:
и £=.?(*)•	(39.1)
Этим системам соответствуют группы
х' = и (х, t), х’ = v (х, т),	(39.2)
представляющие собой решения систем (39.1) с начальными ус-
ловиями х (0) = х.
Операторы этих групп:
Л =/1(^1,...,	4-... + /и(^1» • • •»хп)~^г- = /(^) 77»
....+••+ '•(*•  •  
(39.3)
Рассмотрим композицию преобразований из разных групп,
т. е. пусть х = и (х, t) х" = v (х , х) = v (и (х, £), т). Выполним
эти же преобразования (при тех же фиксированных t и т), но в
170
обратном порядке: х = v (х, т) х" = и(х, t) = и (у (х, т), t).
Зададимся вопросом, когда композиция не зависит от порядка
выполнения преобразований? Если такое случается, говорят,
что указанные две группы коммутируют:
v (и (х, £), т) — и (у (х, т), t) = 0.
Утверждение 1. Группы коммутируют тогда и только
тогда, когда коммутируют их операторы.
Доказательство. Воспользуемся рядами Ли (36.6):
и (у (х, т), t) = eAtv (х, т) = eAteBxx,
v (и (х, t), т) = еВхи (х, t) = eBxeAtx.
Следовательно, группы коммутируют, если
gAt^Bx — gBXgAt
Для этого необходимо и достаточно, чтобы
АВ = ВА.
Это проверяется исходя из определения операторной экспоненты
прямым вычислением.
Утверждение 2. Если группы коммутируют, то их
композиция есть также группа при условии отождествления
параметров t = т, т. е. и [р (х, t), d-группа.
Справедливость утверждения следует из того, что при условии
коммутирования имеем
и [р (х, t), t] — eAteBtx — eBteAtx = е^А+в^х.
Написапный[в правой части ряд Ли порождает|Группу с оператором
А + В
Теорема. Принцип суперпозиции в нелинейных системах.
Если система дифференциальных уравнений
^ = /(z) + F(.r)	(39.4)
такова, что операторы систем (39.1) коммутируют: [Л, В] = 0,
то решение системы (39.4) является суперпозицией решений си-
стем (39.1):
х = и (у (xQ, t), t)~v (и (xQ, t), t),
xQ — начальное условие.
Доказательство. Вытекает из доказанных выше ут-
верждений.
Пример.
£ =	+ >» Т ”	- к'-
Операторы систем
Ж = ь-.
171
и
dx	л	dy	л
= Z-V’
dt	dt
имеющие вид
А = к(х-^- + у , В = к(у -----------х ,
\ дх ду / ’	дх ду Г
коммутируют: [А, В] = О.
Решение первой системы:
X = xoekt, у = yoekt.
Решение второй системы:
х = х$ cos kt + у0 sin kt, у = — xQ sin kt + Уо cos kt.
Решение полной системы есть суперпозиция этих решений в
любом порядке (вместо начальных условий решения одной си-
стемы ставятся решения другой):
х = еы (xQ cos kt + yQ sin kt) у = ekt (— xQ sin kt + yQ cos kt).
Доказанное свойство суперпозиции, иными словами, означает
разделение движений, когда движение полной системы пред-
ставляет собой суперпозицию движений ее частей. Это обстоя-
тельство прямо связано с методами разделения движений (обычно
называемых быстрыми и медленными) в нелинейной механике,
в которой постановка задачи, как это следует из гл. II, такова:
d г
-^ = f(t,r) + eF(t,r).	(39.5)
Известно решение вырожденной системы
d т
х)^х = и(С, t).
С — произвольные постоянные интегрирования.
Сохраняя этот вид решения и для полной системы, нужно
найти уравнение, которому должно удовлетворять при этом С (t).
Если бы операторы уравнений
= и ^=*F(t,x)
коммутировали, то результат пря^ио следовал бы из доказанного
принципа суперпозиций. Вся задача теории возмущений, следо-
вательно, состоит в том, чтобы заменами х -> у привести систему
(39.5) к виду, в котором указанные составляющие коммутируют.
Эта точка зрения будет продемонстрирована в следующей главе.
172
40.
Продолжение оператора.
Дифференциальные и интегральные инварианты
На задачу преобразования дифференциальных уравнений при
помощи некоторой одночленной группы преобразований можно
посмотреть несколько иначе, чем это было сделано в разд. 38.
Пусть, к примеру, требуется выяснить, как изменяется группой
дифференциальное уравнение, заданное в плоскости в следующем
виде:
(40.1)
Группа преобразований плоскости:
х = х + g (х, у) т + . . .,	(40.2)
У' = У + П (*, у)х + ... .
Уравнение (40.1) можно рассматривать как уравнение поверх-
ности в трехмерном пространстве х, у, р = dyldx. Поскольку
переменные х, у и р по смыслу связаны, то и преобразование,
которое индуцирует рассматриваемая группа в таком трехмерном
пространстве, будет целиком определяться коэффициентами пре-
образования (40.2):
х = х + g (х, у) х 4- . . .,
У' = У + П Z/) т + . . .,	(40.3)
р' = Р + С (*, У. р)х + ... .
Найдем £ (х, у, р). По определению:
, dy' dy + ^xdx + y\ydy)x-}-... _p + (nx + nyP)T + -•
Р —~dZ— dx^(lxdx^lydy)r + ... — 1 + (|х +5yp)T-h ... ~
= р + hx + р Ч — L) — т 4-... .
Откуда находим
С (х,	7>) = Лх + 7> (% — L) —Р2^’	(40-4)
где нижние индексы означают частные производные по соответст-
вующей переменной.
Группа (40.3) при условии (40.4) называется группой первого
продолжения, а ее оператор
U' = ^(x,y)-^- +	+	(40.5)
называется оператором первого продолжения.
Аналогично можно рассматривать уравнения, содержащие
производные любых порядков. Например: F [х, у,	= 0.
Это уравнение поверхности в четырехмерном пространстве пере-
менных х, у, р = dy/dx, q = dp/dx.
173
Группа, индуцируемая группой (40.2), имеет вид
х' = х + I (х, у) т + . .
/ = У + П у) т + . . .,	(40.6)
р' =	р + t(x, у, р) т + . . .,
q' =	q + 6 (х, у, р, q)x + . . . .
Здесь осталось найти 6 (х, у, р, q). По аналогии с предыдущим
, _	dp' __ dP + dx + dV + dP) t •	• • _
?	dx' dx 4- (£x dx + dy) т + . ..
=q + [£x + ptv + q (iP — U — pqly]	* + •••-
следовательно,
6 = t* + Pty + q (CP - W - pqly-	(40.7)
Оператор второго продолжения
U" = t(x, y)-^ + т|(а:, y) + 'Q (x, y, p) +
+ &(x,y,p,q)-^,	(40.8)
где коэффициенты £ и 6 определяются формулами (40.4) и (40.7).
Пользуясь понятием продолженного оператора, можно пре-
образования дифференциальных систем осуществлять не с по-
мощью формулы Хаусдорфа, а при помощи ряда Ли. При этом на
переменную t можно смотреть, как на переменную расширенного
фазового пространства (как это делалось в примерах разд. 38),
или исключить посредством деления всех уравнений системы
на одно из них.
В разных задачах оказываются удобными разные точки зрения.
Инварианты продолженной группы называются дифференци-
альными инвариантами группы.
Пример. Найти дифференциальные инварианты до второго
порядка включительно группы вращений: U = уд/дх—хд/ду.
Вычислим второе продолжение оператора. По формуле (40.4)
находим
С = — (1 + Р2),	6 = —Зрд,
т* е.
гтг/ д	д	2Ч д о д
U — У------х ------1 +	-----z- .
J дх	ду ' 1 г ' др г 1 dq
Нахождение инвариантов сводится к нахождению первые инте-
гралов следующей системы:
dx dy dp	dq
— у x 1 + p2 3pg
Из первого уравнения Cf — х9 г у*.
174
Из уравнения
dy _____ dp
/ - !/2 1 + р2
получаем
/ dy _ у \
С2 = arctg - arctg р,	tg С2 =	.
\	1 х dx /
Наконец, из уравнения
dp	dq
1 +р2	Зр?
находим
М‘+ШЛ5-
Этот инвариант имеет смысл кривизны кривой.
Интегральные инварианты. Пусть в плоскости х, у задана
некоторая кривая у = / (х) (рис. 39) и требуется вычислить не-
который функционал вдоль этой кривой на промежутке от a Ъ:
ь
Ф [/ (*)] = $ F [т, f (х),	, -g- , ... ] dx.	(40.9)
а
Пусть, далее, в плоскости действует группа преобразований
х' = х + | (х, у)х + . . .,
./Xi	(40.10)
У = У + П У)т + • • • •
Рассматриваемая кривая будет описываться новой функцией
у' = <р (х , т) и в новых пределах а , Ъ’ (рис. 40). В новых пере-
менных функционал (40.9) приобретет вид
Ь'
Ф [<р (И] = J ¥ [х\ <р (X'),	, -g-,... ] dx'.	(40.11)
а'
Под инвариантностью функционала (40.9) по отношению к группе
(40.10) понимается независимость от преобразований группы
вида подынтегрального выражения, т. е.
Выражение для кривой меняется, пределы интегрирования тоже
меняются, однако правило построения функционала в новых
переменных остается тем же, что и в старых. Такие функционалы
называются интегральными инвариантами группы. Найдем ус-
ловия, накладываемые на функцию F, при которых соответст-
вующий функционал будет интегральным инвариантом. Подстав-
175
Рис. 39
ляя в (40.11) преобразования (40.10) и пользуясь полученными
ранее формулами для преобразования функций, найдем
ъ
Ф [/ (*)] = $	(ж> />•••) +	(х, /,...)+•••] X
а
X (dx + rtxdx + xly dx + ...) =
ь	ь
= J V (х, f,. ..) dx + т J [ U (П)Т 4- ¥ (|х +	] dx + ... ,
а	а
где —оператор n-го продолжения (п —число производных
в подынтегральной функции).
Таким образом, для инвариантности функционала в указанном
смысле необходимо
U^F + (lx + ^)F = 0.	(40.12)
Пример. Найти интегральные инварианты группы враще-
ния. Продолженный оператор имеет вид
[7(п) = у Л---х ----(1 + р2) -----^- + ... .
дх ду v 1 г ' dp	dq
Условие (40.12) выглядит следующим образом:
dF dF \ dF о dF । г п
У “п----х 1-----(1 + Р2) "3---ЭРУ “д---h . • • + PF = 0.
v дх ду х 1 г ' др	dq '	г
(40.13)
Соответствующая система обыкновенных уравнений
dx dy dp dq	dF
— у x 1 + p2 3pr “ ‘ pF '
Уравнения, не содержащие F, дают дифференциальные инвари-
анты до га-го порядка включительно:
176
Из уравнения t = -^г находим F = СУ 1 + р2, или
С = Fly/Л + р2. Общее решение уравнения (40.13) есть функция
F, которая находится из условия G (С1? С2, . . ., С) = 0, G — про-
извольная функция найденных первых интегралов. Или, раз-
решая это соотношение относительно F:
F = V'i + (i)2Q^+
Q —произвольная функция дифференциальных инвариантов.
Таким образом, общее выражение для интегрального инва-
рианта рассматриваемого вида группы вращений есть
ь ___________
а
В частности, при Q = 1 этот функционал выражает длину кривой*
41.
Уравнения, допускающие заданную группу
Теория продолжения оператора позволяет иначе сформулиро-
вать условие инвариантности дифференциальных уравнений от-
носительно однопараметрической группы преобразований.
Пусть имеем дифференциальное уравнение, заданное в пло-
скости х, у и записанное в неявной форме:
<41Л>
Из результатов предыдущего раздела ясно, что, для того чтобы
это уравнение было инвариантным относительно группы с опе-
ратором
и=Цх,У)-^ +	у^'
необходимо и достаточно, чтобы
U'F (х, у, р) = 0 для F (х, у, р) = 0,
т. е. уравнение (41.1) должно определять инвариантную поверх-
ность один раз продолженной группы.
Покажем эквивалентность этого критерия критерию (38.17).
Запишем (38.16) в виде (41.1):
X (х, у)р —Y (х, у) = 0.	(41.2)
Оператор первого продолжения в соответствии с (40.5) есть
и' = Цх,у)-^ + ч(х,у)^- + Цх, у,р)-^.
177
Применим этот оператор к (41.2):
+ К + (% - У Р - М * = °-	(41.3)
Это соотношение должно быть выполнено при условии (41.2),
выражая из (41.2) р и подставляя в (41.3), получаем
ИЛИ
+ Х^х + (Пх - и XY - Y % = О,
Напомним, что
тт_____t । п д л__________v $___у
* дх ' Ч\ ду '	дх ду *
Поэтому последнее соотношение имеет вид
YUX - XUY + XAv\ — YA% = 0,5
откуда
UX — A^ _ UY — Ач\
X ~ Y
Но это и означает, что координаты коммутатора [A, U] пропор-
циональны координатам оператора Л, т. е.
[Л, С7] = Х>, у) А.
Для уравнений более высокого порядка доказанная эквива-
лентность места не имеет. Рассмотрим уравнение n-го порядка в
разрешенной относительно старшей производной форме:
„ йУ dn *У\
dxn \'У'	’ " ’ dxn~l ) ’
(41.4)
Условие инвариантности этого уравнения относительно некоторой
группы может быть сформулировано в двух различных формах.
Во-первых, при помощи введенного понятия продолженного
оператора
(п)	(п)
и(п) (у —f) = О при у = /.	(41.5)
Это уравнение в частных производных относительно двух искомых
функций £ (л:, у) и ц (х, у) распадается на, как правило, переоп-
ределенную систему: так как искомые функции не зависят от
производных, то необходимо приравнять нулю коэффициенты
178
(Ю
при всех степенях и произведениях всех производных у. Реше-
ние такой системы может зависеть от произвольных функций,
и тогда алгебра симметрий уравнения (41.4) бесконечномерна.
Если решение зависит от конечного числа констант, то эта алгебра
конечномерна, решение может и не существовать вовсе, это зна-
чит, что симметрий рассматриваемого типа у уравнения (41.4) нет.
Во-вторых, уравнение (41.4) можно переписать в виде системы
уравнений первого порядка
dxi л dx2	dx
—» J‘rt+1)
и воспользоваться для отыскания симметрий критерием (38.17).
В этом случае компоненты разыскиваемого оператора уже не
связаны условиями продолжения и содержат п + 1 неизвестную
функцию. Как показано в разд. 38, алгебра симметрий этого
типа всегда бесконечномерна.
Симметрии, получаемые из условия (41.5), представляют
особый интерес в физике и механике, поэтому и небезынтересна
следующая задача.
Задача. Задана группа с оператором
= Ш у)-^- -г n(:c,y)-L.	(41.7)
Найти общий вид дифференциальных уравнений, инвариантных
относительно этой группы.
Решение начнем с уравнений первого порядка. Поскольку
каждое дифференциальное уравнение, инвариантное относительно
группы
должно быть инвариантной поверхностью один раз продолженной
группы в пространстве х, у, р — dy/dx, то запись общего вида
такой поверхности и будет решением задачи. Если и (х, у, р)
и и (х, у, р) — два независимых инварианта продолженной груп-
пы, то общий вид инвариантной поверхности есть
Л (u, и) = О,
где — приозвольная функция.
В качестве и можно взять инвариант оператора (41.7), и,
следовательно, он не зависит от р, а в качестве v — дифференци-
альный инвариант. Тогда общий вид дифференциальных урав-
нений первого порядка инвариантных относительно группы с
оператором (41.7) может быть записан так:
-F — произвольная функция.
179
Пример. Общий вид уравнений, инвариантных относи-
тельно группы вращений, таков:
Замечание. Нахождение дифференциального инварианта
первого порядка оператора (41.7) приводит к необходимости
решать следующую систему:
dx	dy	dp
I (x, у) n (x, у) ~	+ (i)y — £x) P — lyP2 '
Если предположить, что простой инвариант известен:
и (х, у) - С,
то для нахождения дифференциального инварианта приходится
решать уравнение Риккати
dx = | (х, у)	~*х)Р~ ЪуР*] =
= L (х, С) + Zx (х, С) р 4- L2 (х, С) р2.
Это уравнение разрешается в квадратурах, поскольку можно
указать его частное решение
1][д, у(ж)]
р И*. УО)] •
Для уравнений второго порядка
\	’ dx ’ dx2/
аналогичные рассуждения приводят к следующему выражению
для общего вида таких уравнений, инвариантных относительно
заданной группы с оператором (41.7):
w (ж> У' ЧГ ’ -&) = я (м v Ь У’ -Й-)) ’	<41-9)
w, v, w —инварианты нулевого, первого и второго порядка;
Л — произвольная функция и и v. Причем дифференциальный
инвариант каждого следующего порядка может быть получен
дифференцированием инварианта предыдущего порядка по ин-
варианту нулевого порядка. Так, w = dv/dfr.
Приме р.Д)бщий вид уравнений второго порядка инвари-
антных относительно группы вращений таков:
(dy  У \
+ х dx /
Построение уравнений третьего и высших порядков, инвариант-
ных относительно заданной группы, осуществляется аналогично.
180
42.
Симметрии уравнений в частных производных
Пусть уравнение в частных производных с двумя независимыми
переменными записано в виде
dz dz d2z	\	(\	//о
F х, у, z, , -z— , -х-s-, ... = 0.	(42.1)
\ ’ ’ dx ’ dy ’ dx2	)	'	'
И пусть в пространстве х, у, z действует группа с оператором
U(x,y,z)=£(x,y, z)-^ + r\(x,y,z)-^- + £(r,z/,z)-^-.	(42.2)
Введя обозначения
dz ___	dz __	d2z _	d2z ___	d2z _ ,
dx P' dy	dx2	dxdy S' dy2 ’
(42.3)
получаем уравнение (42.1) как уравнение поверхности в про-
странстве соответствующего числа измерений:
F (х, у, z, р, q, г, s, I) = 0.	(42.4)
Группа с оператором (42.2) индуцирует в этом пространстве группу
{продолженная группа), определяемую продолженным опера-
тором. Способ построения продолженного оператора состоит в
следующем. Пусть продолженная группа записана в виде
X = X + g (х, у, z)r + . . .,
У" = У + П	У, z)t + . . .,
z' = z + £ (х, у, z)t + . . .,	(42.5)
р' = р + л (х, у, z, р, q)x +. . .,
q = У + Р (*, У, Р> д)т + . . .,
Требуется вычислить коэффициенты л (х, у, z, р, q), р (х, у, z, р, q)
и т. д. Переменные х, у, z, р, q не являются независимыми и свя-
заны условием полного дифференциала
dz = pdx + qdy.	(42.6)
Точно так же определены переменные р' и q в преобразованных
переменных:
dz' ~ p'dx' + q'dy'.
Подставляем в это соотношение (42.5):
dz+ %(&xdx + Zydy+ ^zdz)+ .. . =
= (р + лг + . . .) [dx + т (gx dx + lydy + dz) + ...] +
+ (q + рт + . . -)[dy + x(j]xdx + v\ydy + x]zdz) + . . J.
181
Заменяя dz на (42.6) и приравнивая коэффициенты при dx и dy,
находим
Л = ?х — plx — ?Пх — Р (— fez + Plz +
у «.	(42.7)
р ~ ??/	р±у	q (— fez + p&i + ?цг).
Эти соотношения достаточны для построения оператора первого
продолжения. Для построения оператора второго продолжения
следует снова воспользоваться условием полного дифференциала:
j _______ d2z , d’h. ,	, dz d2z , , d2z ,
d dx	dx2 dx + dxdy dy’	d dy ~ Urfhj’ dx “> ~dyZ dV,
пли
dp = rdx + sdy dq = sdx + Idy.
Приращения r, s, l определяются коэффициентами a, 0, у:
г’ = г + ax + . . ., s' = s + 0x + . . ., V = I + yx . ...
Поступая как и при нахождении лир, получим
a = лх н- рлг Н- глр + snq — г +- plz) — s (цх + рцг),
Р = Лу + qnz + хлр +• /л, — г (£у + q1-t) — s (т]у + qr\,),
Y = Ри + qpz + «Рр + lpq — s (|„ + qlt) — I (r]y 4- qr\z).
Оператор второго продолжения имеет вид
л г„ о д . д , у- д	д . д	д .
С7 — ь “5— 4“ Л —т- “F ~s— + Р — “Ь ос ~a~~ 4~
fa ‘ ду 1 ъ dz 1 др 1 r dq 1 дг
. р д	д
Условие инвариантности поверхности (42.4), или, что то же самое,
условие инвариантности уравнения в частных производных вто-
рого порядка (42.1), получается следующим:
U"F -0 при F = 0.	(42.8)
На уравнения (42.8) можно смотреть двояко: задан оператор
U" — найти инвариантную поверхность или задана поверхность —
найти сохраняющую ее группу. В обыкновенных дифференци-
альных уравнениях обе задачи эквивалентны по сложности, по-
скольку обыкновенное дифференциальное уравнение и группа,
преобразующая его,— объект одной и той же природы. В случае
уравнений в частных производных это уже не так. Дифференци-
альные уравнения, определяющие группу,— обыкновенные,
а преобразуемое уравнение — в частных производных. Первый
объект проще. Поэтому алгоритмы поиска групп симметрий урав-
нений в частных производных оказываются эффективными. Со-
отношения (42.8) позволяют получить определяющие уравнения
относительно коэффициентов искомого оператора. Эти уравнения
всегда линейны, и множество их решений образует алгебру сим-
метрий рассматриваемого уравнения (42.1). Подробности и при-
меры можно найти в [46].
182
Если уравнения (42.1) линейны, то, как и в случае обыкно-
венных дифференциальных уравнений, условия инвариантности
уравнения можно формулировать без использования продолже-
ния оператора, в терминах коммутаторов.
Пусть уравнение (42.1) линейно и может быть записано так:
Az = 0,	(42.9)
где А — линейный дифференциальный оператор второго порядка:
Л2	Л2	Л2
А=Хп(х, у)-^ + X12(z, у)-^- + У)~цГ + ... •
В силу линейности уравнения (42.9) и группу преобразований
(42.5) следует искать такой, чтобы она не нарушала этой линей-
ности. Из (42.7) следует, что для этого необходимо, чтобы
& = П; = 0, С- = Cl (*, у)-
Вид оператора такой группы следующий:
и=У)	z i •
Или в эквивалентной записи:
U = l(x,y)-^- + ц(х,у)-^- 4-	(42.10)
Коммутатор двух операторов А и U есть оператор второго
порядка:
[A, U] = AU-UA.
Определение. Оператор U называется оператором сим-
метрий для уравнения (42.9), если
[A,U] = К(х,у)А.	(42.11)
Это определение аналогично условию (38.17) в случае обыкно-
венных дифференциальных уравнений.
Теорема. Оператор симметрий отображает решения урав-
нения (42.9) в решения этого же уравнения.
Доказательство. Пусть z — ф (х, у) — решение, тог-
да С7ф тоже решение, поскольку
А (СЛр) = U (4<р) + Мф = 0.
Верно и обратное: если некоторый оператор вида (42.10) отобра-
жает решения в решения, то имеет место (42.11).
Пример. Уравнение Гельмгольца:
дх2 ду2 ' ® Z U’ Л дх2 ду2 ' ® *
Требуется найти алгебру симметрий этого уравнения. Исходим
из условия (42.11), в котором помимо неизвестного оператора U
нахождению подлежит скалярный коэффициент X (х, у).
183
Вычисление коммутатора дает
A U - U А = 2L + 2 („, + у + 2„,	+
4~ (-хх 4"	4~	4~ (Лхх 4~ ^\уу 4~
4"	F Схх 4- ^уу
Вычитая из
щая в нуль
находим
/ д2 д* \
коммутатора оператор X	4- ^2у' и обра-
коэффициенты полученного разностного оператора,
2ЕХ = К 2цх = К 2 (Пх + 1У) = О, U +	+ 2сх = О,
rixx 4- Л?/?/ 4“ 2£?/ = О, £хх + ^уу — Ахо2.
Это и есть определяющие уравнения. Из первых трех получаем
1х Л1/ — 0» ьу 4*'Пх — 0 ^хх 4- у у — 0, г«хх 4~ *\уу —
что в свою очередь влечет из четвертого и пятого уравнений =
= О, = 0. Тогда из последнего уравнения находим А (х, у)=0.
Оставшаяся система легко решается: % = а by, ц = с — Ьх,
£ = d, где а, b, с, d — произвольные постоянные.
Следовательно, общий вид искомого оператора U такой:
и =^(а + Ьу)-^- + (с - bx) dz-^.
Он представляет собой произвольный элемент четырехмерной
алгебры операторов
U = аиг + bU2 4- cU3 + dUi
с базисом операторов
Г7 д Т1 д	д Т7 д
иг —	bJo — y—.----х -г— ,	с73 = ——
1 дх 1 л и дх	ду ' а ду *
Т1	д
U 4   Z а
4	dz
Операторы и £73 — операторы параллельных переносов (транс-
ляций) вдоль осей х и у, оператор U2 — оператор группы враще-
ний, оператор U4 — оператор растяжений по зависимой перемен-
ной (изменение масштаба).
43.
Примеры
Пример 1. Группы симметрий уравнений классической ме-
ханики:
тх = F.	(43.1)
Прежде всего заметим следующее. В механике сила F обычно
рассматривается зависящей от времени, координаты х и скорости
184
х. Однако всякие такие зависимости отражают некоторые под-
робности конкретно выбранной задачи. При построении групп
симметрий уравнений механики, отражающих наиболее общие
свойства этих уравнений, никакими конкретными зависимостями
силы от аргументов интересоваться не нужно. Поэтому мы и
будем полагать силу постоянной.
Искомая группа симметрий действует в пространстве перемен-
ных (t, х):
+	+	(43.2)
х = х 4- Л (t, х) х + ... .
Уравнение (43.1) должно быть инвариантным относительно дважды
продолженной группы с оператором:
о-==(«,«; 4- + ч+ с (<. ч, 0 4- +
+ 6 (t, х, V, w) ,	(43.3)
где v = х (скорость), w — х (ускорение).
Уравнение (43.1) в пространстве переменных (£, х, v, w) опре-
деляет гиперплоскость
со == mw — F = 0.
Условие ее инвариантности есть
ипса = 0 при со — 0,
что в данном случае дает
6 (t, х, и, = 0.
\ т /
В соответствии с (40.7) и (40.4) в используемых в этом примере
обозначениях
8 = Ct + vt,x + w(t>v — Ct) — vivlx,
(43.4)
£ = llt +	— ^) — v*£x.
Следовательно, условие инвариантности есть
Ct + 4- 4 -Л) - ” 4 ?* = °-
Так как функция £ не зависит от iv, то полученное уравнение
распадается на два:
Ct + vZx = о и It— v$x = 0.
Подставим в- эти уравнения £ из (43.4):
+ v (i)xt — Itt) — v^xt 4- yi)tx + (пхж — ltx) — v3lxx = 0,
Пх — It — 2у|ж — It — v%x -= 0.
185
Поскольку функции £ и т) не зависят от и, то эти уравнения,
в свою очередь, распадаются:
' О,	4“ 'fyx == ЛхХ '	-XX ' О»
>1х — 2Е( = 0,	Вж = о.
Из этих уравнений видно, что ц есть линейная функция t и х*.
ц = at + Ъх + с,
но тогда = 0 и, следовательно, = 0, т. е. | также есть
линейная функция t и х\
I = dt + ex + /,
причем е — 0 в силу = 0. И, наконец, из условия — 2^ = О
находим Ъ = 2d.
Общее выражение для оператора U получается таким:
u=^(dt+/)4+и+2dx+c)i=
= fUi + cU2 + dUз 4- aU4,
где
Т7	д .	ТТ	д .	T7 4 д I 9 d	T7 4 d
Ui === —дг	U2==: “д— 5	Uз — t -3-—p 2tX 3— ]	Uд — 13— j
1 dt z dx '	6 dt 1 dx 4 dx ’
f, c, d, a — произвольные постоянные.
Первые два оператора определяют трансляции, третий — группу
неоднородных растяжений (изменение масштабов) и четвертый —
группу Галилея.
Рассмотрен одномерный случай. Пространственный случай
рассматривается аналогично. Необходимо только предварительно
получить аналоги формул (40.7) и (40.4), определяющих продол-
жение оператора для пространственного случая.
Базис операторов в пространственном случае следующий:
d d d d
~дГ ’	^-трансляции;
*	d 9 d 9 d cy d
*	~dt + 2x ~dx + 2У ъ + 2z 77 - растяжения;
. d d d
^'dx 1 ^[dy' ^~d~z операторы галилеевой группы.
Алгебра симметрий уравнений классической механики вось-
мимерна. Заметим, что операторы группы вращений не входят в
эту алгебру. Уравнения Ньютона не инвариантны по отношению
к поворотам. Преобразования группы вращений изменяют урав-
нения Ньютона, однако обе части этих уравнений (ускорения и
силы) изменяются по одному и тому же закону, и это отражается
в несколько ином понятии — ковариантности [19].
Пример 2. Релятивистская механика. Построение урав-
нений релятивистской механики основывается на трех аксиомах:
186
А. Аксиома инерциальной координатной системы: существует
система координат {t, х, у, z}, в которой любая свободная мате-
риальная точка описывает прямую.
Б. Аксиома относительности: в любых инерциальных системах
уравнения Максвелла в пустоте имеют одинаковый вид:
divE = 0, rot Е 4- -^у- = О,
' dt
div/? = 0, rotB------—0.
c2 dt
В. Аксиома динамики: в любых инерциальных системах за-
кон движения материальной точки выражается дифференциальным
уравнением второго порядка, имеющим пределом уравнение Нью-
тона при с оо:	|
lim Ф (t, г, г, г, т, F, с) = тг — F, /	/
С—>сю
где т и F — параметры предельного уравнения, т. е. масса и
сила.
Для нахождения релятивистских уравнений динамики не-
обходимо выяснить, как связаны друг с другом инерциальные
системы в силу условия инвариантности уравнений Максвелла,
т. е. необходимо найти группу симметрий этих уравнений. Из
уравнения Максвелла последовательно получаем
rot В = Ё => rot rot Е = — Ё =$ Ё — V2E = 0
(без ограничения общности с = 1).
Рассмотрим для простоты одномерный случай (там, где неод-
номерность будет существенной, это будет указано):
По-прежнему исходим из условия (42.11), в котором операторы А
и U имеют теперь вид
л	д2	ТТ е. ( ч d ,z ч d
dt2 dx2 ’	*v 7 dt ' 1Л ' dx
(Поскольку нас интересуют лишь преобразования независимых
переменных, то £ = 0.)
В результате чего определяющие уравнения для нахождения
коэффициентов искомого оператора U получаются в виде
2^ = X, 2т)х = %,	г]( = gx, ltt —	= 0,	т|« — n.vx = °-
Из = i]x и г], = следует
Bxx Л/х*
Следовательно, независимы только три соотношения:
2^ - X (t, х), 2т]х = X (t, х), nt = L,	(43.6)
где X (t, х) — произвольная функция.
187
Имеем систему трех уравнений для нахождения двух функций*
Произвольную функцию X (t, х) надо выбирать так, чтобы эта
система была совместной. Имеет место следующий (легко про-
веряемый) факт. Если X (t, х) = Хо (t, х) — некоторая функция,
при которой существует решение (43.6)
ёо (*, *)> По (*> *)»
то заведомо будет существовать решение этой системы, если в.
качестве X взять любую из этих функций, т. е. X (t, х) =	(t, х)
или X (t, х) = ц0 (t, х). Этот факт определяет рекуррентный ал-
горитм построения бесконечномерной алгебры симметрий урав-
нения (43.5).
Начнем со случая Хо = 0. Из уравнений (43.6) имеем
I (t, х) = ах + Ъ ц (t, х) = at + е,
где а, Ь, с — произвольные константы. Таким образом, находим
следующие три оператора симметрий:
=	+		(43.7)
1 dt 1	2 дх ’	4 dt 1 дх	'	'
Для продолжения процесса X может быть выбрано в одном из
следующих видов:
X = 2, X = 2t, X = 2х.
Для X = 2 из (43.6) легко следует
5 (t, х) = t + л* + Ь, ц (t, х) = х + at + с,
а, Ь, с — новые произвольные постоянные. То есть отличным от
найденных будет только оператор
Положим теперь X = 2t. Из = t следует £ = 1/2Z2 + С (х)г
из тц. = t следует ц == tx + В (t). Уравнение = тц влечет
dC _• , dB
dx % dt *
В силу независимости С от t и В от х это уравнение распадается
на два:
где а — произвольная константа. Откуда
С — х212 + ах + 6, В = at + с.
Следовательно,
£ = 1/2 (t2 + я2) + ах + Ь, ц = tx + at + с,
188
т. е. к найденным операторам добавляется новый:
U^V^:<^ + 2lx±.
Совершенно аналогично находим: для X = х
U^2tx^^ + x^-,
для X = t2 + «г2
t77 = t(<2 + 3^)-A + z(^ + .^)-^ ИТ. д.
Начиная с операторов С75, UQ и £7?, новые операторы симмет-
рий можно получать, вычисляя коммутаторы. Из бесконечномер-
ной алгебры симметрий необходимо оставить лишь те операторы,
которые не нарушают аксиомы А, т. е. прямые преобразованиями
группы должны переходить в прямые. Последним свойством
обладает лишь проективная группа. Поэтому решением задачи
нахождения всех преобразований, переводящих инерциальные
системы в инерциальные и не изменяющих уравнения (43.5),
будет пересечение алгебры проективной группы (см. разд. 33,
п. G) с алгеброй симметрий волнового уравнения. Это пересече-
ние есть четырехмерная алгебра с базисом
Г7 д тт д Т7 д \ д
U1~~di'	+ Х~дх '
Ui=xJL J_
4 dt 1 dx
Таким образом, единственной группой, отличной от трансляций
и однородных растяжений, удовлетворяющей поставленным ус-
ловиям, является группа, определяемая оператором:
тт	д I 4. д
U л = ОС “Т7—р t -х— •
4	dt ‘ dx
Это и есть группа Лоренца.
Преобразование координат t и х индуцирует преобразование*
скоростей и ускорений (продолжение группы). Продолженный
оператор по формулам (40.8), (40.7), (40.4) имеет вид
Для построения самой группы решаем уравнения
dt' . dx' .. dx* л .,2 dx*
———X,	=	=1 — x ,	—7— = — OXX,
dx	dx	dx	’ dx
где правые части составлены из компонент оператора (43.8). Пер-
вые два уравнения дают
t' = t ch т + ос sh т, х = t sh т + х ch т.	(43.9}
189^
Из третьего находим

(43.10)
Последним соотношением удобно воспользоваться, чтобы при-
дать каноническому параметру т механический смысл. Пусть
относительно неподвижной системы отсчета (£, х) система (Г, х')
движется по пространственной координате со скоростью v. Тогда
для начала координат системы (Г, х) х' = 0, х = и, что дает
т = In /1 (1 — v)/ (1 + р)|.
Подставляя это выражение для т в (43.9) и (43.10), получим
(43.11)
1 — XV ’
Это и есть полные выражения для дважды продолженной группы
Лоренца. Первые два соотношения — обычные преобразования
Лоренца, третье — закон преобразования скоростей, четвертое —
закон преобразования ускорений.
Закон преобразования скоростей часто неточно называется за-
коном сложения скоростей. Он может рассматриваться лишь как
частный случай последнего, когда одна из складываемых скоро-
стей — переменная (.г), а другая — постоянная (у).
Построим инварианты группы (43.11). Исходим из уравнения
_	| л 3G i /4	-2\	Q • ••	А
л	---И (1 ~ я2)	----Зхх -т-г- = 0.
dt 1 дх 1 v ' di	dte
Откуда следуют три инварианта:
G,=yi^,	+	с,=	.
(43.12)
Инвариант в теории относительности носит название интервала.
Интегральные инварианты. Исходим из уравнения
U\?f + хУ = 0,
откуда следует ’
J =	G2, G3),
т. e. интегральный инвариант группы Лоренца имеет вид
ь
J	(G1( G2, G3) dt,
и
где Jil — произвольная функция инвариантов (43.12).
190
В частности, инвариант
t
j У 1 — х2 dt
о
в теории относительности получил название собственного времени
частицы, движущейся со скоростью х.
После того как найдены инварианты, можно приступить к
нахождению обобщения для уравнений Ньютона. По постулату В
это уравнение должно иметь одинаковый вид в любой инерциаль-
ной системе координат. Иными словами, оно должно быть инва-
риантным относительно построенной группы Лоренца. Общий
вид уравнений второго порядка, инвариантных относительно
заданной группы, в соответствии с (41.9) есть
G3 = Ф (G19 G2, F, т).
В силу однородности пространства (допустимость группы транс-
ляций) зависимости от Gr и G2 быть не может, так как Gr и G2
не являются инвариантами трансляций, потому уравнение дина-
мики приобретает вид G3 = Ф (F, тп). Используя найденное выше
выражение для G3, получим (возвращаясь к измерению с в при-
нятых масштабах):
(43.13),
Из условия
-Ф(Л т)
находим Ф (F, т) = Flm.
Для получения трехмерного случая перепишем (43.13) в виде
Если система допускает лагранжево описание, то лагранжиан
должен удовлетворять уравнению
dL  тг
откуда находим
L — — /?г 1^1 — х2 •
Трехмерное обобщение, учитывающее инвариантность лагранжиа-
на относительно поворотов, есть
L — — тУ 1 — х2 — у2 — i2-
19t
Заметим, что действие по Гамильтону
S = — т j ]Л1 — х2 — у2 — z2 dt — —	1 — и2 dt
есть интегральный инвариант, поэтому пространственные урав-
нения релятивистской механики должны иметь вид
d I	mt \ _ р	d	/ ту
dt	р7’ 1 __ а2 )	dt	у\ __	у У'
d /	mz \ _ г
dt у-[ __ и2 J 2‘
Поскольку при записи уравнений Лагранжа в новых переменных
(t, х, у, z)^-(t', х , у', z) происходит также и перепроектиро-
вание их на новые оси, то закон преобразования левых частей
написанных уравнений навязывает тот же закон и для преобра-
зования правых частей. В трехмерном случае при переходе от
одной инерциальной системы к другой, стоящие в правых частях
силы изменяются. Для одномерного случая это не так, сила F
одна и та же во всех системах координат и представляет собой
обычную ньютонову силу. В одномерном случае уравнение меха-
ники инвариантно по отношению к лоренцевой группе, в трех-
мерном оно лишь ковариантно.
Пример 3. Уравнения механики Пуанкаре.
Пусть имеется механическая система, Т — ее кинетическая
.энергия, U — потенциальная энергия.
Пусть х^ . . ., хп — локальные лагранжевы координаты этой
системы; . . ., хп — скорости.
Пусть, наконец, в области определения системы действует
локальная группа Ли, обладающая свойством транзитивности
(группа транзитивна, если для любых двух точек пространства
положений существует преобразование из группы, переводящее
одну точку в другую).
Группа транзитивна тогда и только тогда, когда она содержит
п линейно несвязанных операторов:
векторы
Г = (Й1,...Лп)
образуют в пространстве х базис, по которому можно разложить
скорость:
± =	+ • • • + ПпГ.	(43.14)
Выберем в качестве фазовых переменных системы переменные
(хъ . . хп, Th, . .	Т]п).
Подставляя (43.14) в Т (х, х), получим Т (х, ц) (для простоты
новую функцию обозначили той же буквой). Исходим из прин-
192
ципа Гамильтона
65 = 6 J(T-Z7)df = 0,
Вариацию bx спроектируем на базис 51, . . ., £п:
6ж = бсо^1 4- . . . + 6(0ngn, 6zfc = 6(0!^ + . . . + б(0п£".
(43.15)
Вариацию 6ц также надо выразить через бсо, для чего продиффе-
ренцируем (43.15):
бх = б^1 + • • • + 6%г + 6®! f-gj-ii + • • • + 5^п) + • • •
\	1	п /
• • • + 6®п ("^7^1 + • • • + 77“ in ] •
х	и 7
Подставляя сюда (43.14), получим
6х = 6^1 + . . . + 6йп5" + 6(0! V
V *
к х i
С другой стороны, вычисляя вариацию от (43.14), находим
6х = бт!^1 + • • • + 6r]ngn + П1 + • • • +	+ • • •
(д<.п	~tn \
^гбг1 + --- + т1;6^)-
Подставляя в это выражение соотношения (43.15), получим
бх=бЛ1^ +... + бПпг + m У, У, + • • •
к	г
к	г
Сравнивая два выражения, выводим
(бЛ1 - 64) ё1 +. • • + (бть - б\) Г +	£ б(0^_
s к	i
ski
7 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов
Меняя обозначения индексов
(6т]1 - 6BJ + (6П„ - 6 ьп) +
г к К s	s	К	i
Или иначе:
(бщ - 6i>i) В1 +... + (бпп - б^п) Г +
+1>>-Шй-<йИ
г, з	к
Заметим, что
V (*{ "I
Л \ дхк ** дхк
есть вектор компонент коммутатора [С75, С71]. Поскольку опера-
торы группы образуют алгебру, то (33.6)
Р\^] = 5С';С7',
I
где CSi — структурные константы группы.
Следовательно,
(6П1 - б^) В1 4- . • • + (6т]п - S*n) Г +
+ 3 ч^Лв1 + • • • + S =0.
г, 8	i, s
Откуда находим
бт]к = бйк — 2j T|i6®sGV
г, з
Вариация действия примет вид
к	к t2» s
С я • ^4. дТ я	С	я
\	= -г— Oo)k £ — \ ”тг	d,t •
J 51|t	J dt 5lllc
В силу независимости а>к отсюда получаем уравнения Пуанкаре
d дТ VI дт пГк_о
^^+2j*hV7s’	2к’
г, 8
— обобщенная сила.
194
Частным случаем уравнений являются, очевидно, уравнения
Лагранжа.
В динамике твердого тела роль переменных ц, могут играть
компоненты вектора угловой скорости в проекции на оси тела.
В этом случае уравнения Пуанкаре переходят в уравнения Эйлера.
Пример 4. Теорема Нетер. Если функция Лагранжа
механической системы L (t, qu . . ., qn, с\, . . ., сп) инвариантна
относительно группы
t' = t,
g'i = Qi + Bi G,	дп)т + ...,
qn =	+ Bn (t, qlt ...» qn) т + . .
где — локальные координаты, то механическая система имеет
первый интеграл
dL о .	dL *
— В1+ • • • + -^-Вп —const.
х	' п
Доказательство. Для того чтобы записать условие
инвариантности лагранжиана, необходимо построить продолжение
оператора группы на скорости. С этой целью будем полагать, что
группа действует в расширенном координатном пространстве
(£, q^ . . ., qn), добавив преобразование времени t’ = t. Тогда опе-
ратор первого продолжения получается по формулам разд. 31
таким:
л, ъ д л- -и ? д J- (	+ V	jl
I Cfk-L V 1 д
 ' ‘	\ dt + 2-1 dqk '*) dqn ‘
Условие инвариантности лагранжиана есть
t dL	f dL / ГЛ XdL
. (_|_ V din ( dL —о
К
Из уравнений Лагранжа имеем
dL _ d dL
dq. dt dj.
Подставляя в условие инвариантности, получим
t d dL ,	, t d dL , ( d^ , V / \ dL i
Si dt d/i +	+ dt d)n I dt + dqk	‘
n \	к K
, (, VI 6 \ dL 0
7*
195
или
что и требовалось.
Замечание 1. Эта теорема легко обобщается на неголо-
номные системы. В самом деле, пусть неголономная связь имеет вид
1 4~ • • • 4" акп( п = 0 (fc = 1, . . ., Z < ft),
где atj — зависят от координат и времени.
К условиям теоремы Нётер в этом случае следует добавить
естественное требование + • • • + актЛп = О, т. е- беско-
нечно малые преобразования группы должны принадлежать
виртуальным перемещениям системы. В данном случае из урав-
нений Лагранжа следует
dL d dL
~dt	Plali •
После подстановки этого выражения в условие инвариантности
приходим к тому же результату благодаря введенному дополни-
тельному требованию.
Замечание 2. Обобщение теоремы Нётер. Если сущест-
вует группа (в отличие от предыдущего, время преобразуется
тоже):
t’ = t + g0 (t, qr, . . qn) r + . . .
= Qi + Bi (t, qu • • •, 9n) т + . . .
Qn = 9n + Bn (t, q1, . . т + . .
для которой действие по Гамильтону
^2
L(t, q, ()dt
h
есть интегральный инвариант, то у системы есть интеграл
4- . . . + 1прп— %0Н (£, q, р) = const,
где Н — функция Гамильтона, а р — обобщенные импульсы:
р = dLldq.
Доказательство. Условие интегрального инварианта
(40.12) запишется
196
Учитывая (40.4), перепишем это равенство:
- w < - 4т+L4r=(
Так как имеет место
dL _ d dL dL _____ дН ___ dH	dL
dq	dt dj	1 dt	dt	dt	’ P dq	’
то это дает
~^^ + ~dt^—)- ('P-dr + L~dr — °-
Или иначе:
- 4 <?•">+4(^0=°-
Откуда и следует приведенное утверждение.
Глава АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ,
четвертая ОСНОВАННЫЕ НА ПОНЯТИИ ГРУППЫ ЛИ
44.
Метод Пуанкаре—Цейпеля
Излагаемый ниже метод предложен Пуанкаре, который уделил
ему довольно много внимания [48]. Сам Пуанкаре этот метод
называет методом Линдстета. Цейпель эффективно применял
его в задачах небесной механики. В настоящее время этот метод
вытеснен более совершенными и имеет лишь историческое зна-
чение. Мы приводим его здесь как вводную часть к последующим
разделам. Сравнение его с приводимыми ниже методами демон-
стрирует те преимущества, которыми сопровождается в асимпто-
тических методах применение теоретико-групповых понятий,
таких, как производная Ли, ряд Ли. ряд Хаусдорфа, коммутатор,
симметрии и т. п.
В силу сказанного мы изложим лишь основную идею метода,
не вдаваясь в разнообразные осложняющие дело детали, связан-
ные в основном с понятием резонанса.
Суть метода состоит в следующем. Пусть рассматриваемая
механическая система гамильтонова, т. е. ее уравнения движения
имеют вид
дН di дН
— = -^Г’	=	<44Л>
где Н (<р, /, в) — функция Гамильтона, аналитическая по всем
аргументам в некоторой области изменения локальных перемен-
ных ф и I (ф — n-мерный вектор обобщенных координат; I — п-
мерный вектор обобщенных импульсов; 8 — малый параметр).
Пуанкаре принадлежит плодотворная идея преобразовывать для
целей асимптотического приведения системы (44.1) к более про-
стому виду не сами уравнения (44.1), а их функцию Гамильтона.
Это дает возможность при выполнении преобразований работать
не с 2п уравнениями, а с одной скалярной функцией. Для гамиль-
тоновых систем такой подход является самым эффективным.
Более того, иногда бывает выгодно и негамильтоновы системы
вначале приводить искусственно к гамильтоновой форме посред-
ством расширения размерности фазового пространства в два раза,
с тем чтобы в последующем иметь дело лишь со скалярной функ-
цией.
Если система (44.1) близка (в смысле малого параметра 8)
к точно интегрируемой, то ее гамильтониан может быть приведен
к виду
Н (ф, /, 8) = Яо (/) + 8ЯХ (ф, /) + . . .,	(44.2)
т. е. вырожденная часть Яо от обобщенных координат не зависит,
198
гак что интегрируемая система рассматривается приведенной
к виду
dtp дН0(1)	di п
— = д!  =	-dT = °-
Возмущенная часть гамильтониана (44.2) предполагается зави-
сящей от всех срк с периодом 2л. Вырожденная система имеет
очевидное решение I == /0 = const, ф = (о (/0) t + ф0.
Ставится задача найти каноническую замену переменных
(ф, I) -> (i|?, .7), такую, чтобы в новых переменных уже весь га-
мильтониан не зависел от обобщенных координат Н (ф, I, в) ->
->*(У, в):
к = К. (.У) + гКх (У) + 82Я2 (.У) + . . .	(44.3)
Необходимая каноническая замена переменных порождается про-
изводящей функцией S (ф, .У, 8), зависящей от старых координат
и новых импульсов [19], так, что сами уравнения замены полу-
чаются при помощи функции S следующим образом:
(44-4)
Производящая функция ищется в виде ряда
S - (ф, J) +	(ф, .У) + 8252 (ф, .7) + . .	(44.5)
где (ф, //) — скалярное произведение
(ф, .'/) = Ф1-7Х + • • • + <Р,.7п-
Поскольку при 8 = 0 гамильтониан уже имеет необходимый вид,
то S (ф, .7, 0) должна порождать тождественную замену
^=-^(ф,7)=<р.
Производящая функция, приводящая гамильтониан к указанному
виду, носит название характеристической функции Гамильтона,
и она удовлетворяет уравнению
#(ф,-^» e) = const = ^(.7).	(44.6)
Имея в виду (44.2), (44.3) и (44.5), запишем
Н ( dSv I с dS1 I	as° \ г dS1 I 4-
0 \ d<pi okpi	5<рп дфп + • ' J +
. и /	dSQ . dSi ,	' ।	__
4-8^1(фг •• -’Фп’ 5^- +е^7 + •••’••	•• • =
= /f0(J) + eff1(J)+ ....
Раскладывая в ряды и разделяя порядки, получаем
^0(7v...,Jn) = ^(-7i,...,.7n),
dH0 os г ,	, дН0 dSx „ г	9St ds9 \
'diT + • • • + 177 *₽?+ V1’ ‘ ‘	‘ ” ^7 / =
= ^1(.71,...,7П),
199
^Яо	dS2	1 УЧ d*HQ dSr dSt
dZi дфг “••**“• dln dqn	2 2 i dl^i d<Pfe defy *
yi dHx dSx
*Pk
<Pv
dSo
^П’ dtp! ’
dSQ \ =
^'nJ
+ ^2
--^2 (^1» * * *’ ^n)»
Учитывая, что	a ^^==cok. (Jp . . ., ,УП), получаем
следующую цепочку линейных дифференциальных уравнений
в частных производных первого порядка, позволяющих найти
все компоненты производной функции:
“iCT-557 + •'  + СТ 4^ + н^- :ii = к‘
“	+ ••+»„ (5)	+ F. (Ф,	(44.7)
“> СТ ^7 +   • + »» СТ + F, [ч- У. . 4^) = к. <Л
Выбирая Кг (.7) в виде среднего значения по всем (р^ гамильто-
ниана Нг (<рп . . фп, .7Х, . .	;7П), т. е.
к. (Уг, ..Jn) = <ях (Ф1, ..фл) .л/пу>,
для нахождения получаем
«1	+ •  • + “п (.7)	(Фг....фп, .7j....7П).
(44.8)
Это уравнение легко решается (см. разд. 36). Подставляя найден-
ное решение во второе уравнение (44.7) для К2 (J), получим
к2 (.7р ..Jn) = </2 (ф, J, 4§-)>,
что позволяет найти 52 из уравнения
W) ^7 + • • • + “»ст4^=<- (<f. 4^)>  <44-9>
Это уравнение точно того же вида, как и предыдущее. И так далее.
Обозначения <•> и ~ есть среднее по всем (pR и дополнение к этому
среднему.
Описанная процедура носит название нерезонансной, по-
скольку требует предположения, что частоты (J) не связаны
соотношениями типа
^icoi + • . • +	— 0	(44.10)
с некоторыми целыми, не всеми равными нулю При этом, как
и в разд. 22, под резонансом нужно понимать не любые соотно-
200
шения вида (44.10), а лишь те из них, которые приводят к раз-
рывности решений уравнений типа (44.8) и (44.9) по со, что влечет
за^собой нарушение гладкости S по J и невозможность определе-
ния замены (44.4). Методы исследования резонансов в этой задаче
аналогичны рассмотренным ранее в гл. II, и мы на них останав-
ливаться сейчас не будем. Основное неудобство описанного под-
хода состоит в том, что после построения производящей функции
требуется еще разрешать замену (44.4) относительно старых
переменных. Эта трудность была преодолена Хори, который
отказался от производящих функций при преобразованиях га-
мильтониана и воспользовался для этой цели генераторами Ли.
45.
Метод Хори
Мы изложим этот метод в форме, наиболее близкой к тем идеям,
которые будут излагаться в последующих разделах.
Пусть механическая система описывается гамильтонианом
Я (ф, I, 8) - Яо (ф, I) + 8ЯХ (ф, Z, 8).	(45.1)
Смысл переменных и условия на гамильтониан те же, что и в
разд. 44. Гамильтониан Яо (ф, I) определяет интегрируемую
систему
dtp   дНц di   dHQ
dt	01л ' dt	dtp ’
Пусть решение ее известно:
ф = ф (i, х, у),	1 = 1 (t, X, у),	(45.2)
где х, у — произвольные постоянные интегрирования:
х = Ф (0, х, у), у = I (0, х, у).
Рассматривая (45.2) как каноническую замену переменных,
гамильтониан (45.1) можно преобразовать к виду
Я = гН (t, х, у)
(используется та же буква для обозначения преобразованного
гамильтониана).
Время удобно считать фазовой переменной (обобщенной коор-
динатой), для чего к гамильтониану необходимо добавить сопря-
женную переменную (обобщенный импульс)
Я* (t, х, Т, у, 8) - Т + 8Я (t, х, у).	(45.3)
Так что уравнения движения системы в стандартной форме при-
обретают вид
dt _ дН* dx _ дН*
dt дТ ' dt ду ’
dT _	дН* dy _	дН*
dt	dt 1 dt	дх '
201
или
oil
= Е —
д'/
dy  	дН
dt	дх
dt _ - dx
dt ’ dt
dH
de	dt
Цель дальнейших преобразований состоит в том, чтобы привести
систему (45.4) к виду, в котором правые части от времени не за-
висят. Это эквивалентно тому, чтобы гамильтониан привести к
независящему от t виду. Канонические замены переменных, осу-
ществляющих такое приведение: (t, х, Т, у) -> (t, и, Т, i?), будем
строить не с помощью производящей функции, как это делается
в методе Пуанкаре—Цейпеля, а с помощью генератора Ли. Ге-
нератор Ли представляет собой функцию тех же переменных,
что и гамильтониан (45.3):
5 (£, х, Т, у, е) = х + eS2 + . . . ,	(45.5)
и может рассматриваться как функция Гамильтона некоторой
вспомогательной системы:
dt _q dx ______ dS
dx ’ dx du ’
(45.6)
dT _ dS dy _ dS
dx	dt ’ dx	dx
Время t преобразованию не подвергается.
Фазовый поток* этой системы представляет собой однопара-
метрическую подгруппу (т — параметр) бесконечномерной группы
Ли канонических преобразований фазового пространства в себя.
Эта подгруппа и используется в методе Хори. Ее инфинитезималь-
ный оператор (см. разд. 33) имеет вид
jj__ OS д	dS	d	dS	д	„
dy dx	dt	dT	dx	dy	*
Решения системы (45.6) с начальными условиями по х и у, при
т = 0 равными соответственно и и v, и определяют искомую ка-
ноническую замену.
Новый гамильтониан связан со старым следующим образом:
К (t u, Г, v) = Н* (*, х, Т, у) = Н* It, х (t, и, Т, р), Г,
у (t, и, T,v)],	(45.8)
т. е. дело сводится к преобразованию скалярной функции посред-
ством однопараметрической группы преобразований с оператором
* Фазовым потоком механической системы называют множество преобразо-
ваний ее фазового пространства в себя, осуществляемое вдоль траекто-
рий. Время — параметр этого множества преобразований.
202
(45.7). Связь между исходной и преобразованной функцией зада-
ется рядом Ли (см. разд. 35)
К (Z, и, Т, v, е) - ewH* (£, и. Т, v, s).	(45.9)
В отличие от разд. 35 здесь удобно уравнениями (45.6) определять
старые переменные через новые, а не наоборот. В формуле (45.9)
поэтому
jj  dS д	dS д	dS д
ди ои	dt дТ	ои ди
Внесем в (45.9) представления всех входящих сюда функций в
виде рядов по 8, а также положим т = 8:
К. + 8^1+82Х2+...=
= (1 + tU 4-	+ • • •) (Т + еЯх + е2Я2 + ...),
где
Т7  dS\ д	dS± д	dS± д
ди ди	dt дТ	ди ди
/ dS2 д	dS2 д	dS2 д \
8 \ ди ди	dt дТ	ди ди J ' ' " '
Разделяя порядки, получаем цепочку соотношений
К0 = Т,
я2 = -	+ Я2 С, u, Р) т	- 4- pl, ,	(45.10)
Здесь использовано известное в механике обозначение для скобки
Пуассона

dSi dHi
ди ди
dSr dHj
ди ди
Соотношения (45.10) задают в явной форме компоненты нового
гамильтониана через компоненты старого, если генератор Ли,
определяющий каноническую замену переменных, задан. Этот
генератор можно выбирать, накладывая на новый гамильтониан К
желаемые условия. В частности, требование, чтобы он не зависел
от времени, можно удовлетворить, поступая следующим образом.
Выберем Кг из второго уравнения (45.10) так:
t
К± (u, v) = lim-J- \ H1(t, и, v)dt == <Ях(р и, i?)>.
t^oo 1 J
О
Это приводит к следующему уравнению для нахождения Sx:
dS^dt = Ях (Z, u, и) — <ЯХ (/, и, 1?)>=Я1 (/, и, v)
203
с очевидным решением
t
л?! = j Н1 (t, u, v) dt +	(u, i?),
0
где CY (u, v) — произвольная постоянная интегрирования.
Подставив это выражение для в правую часть третьего
уравнения (45.10), найдем К2 в виде
К2 (и, V) = <Н2 + {Sp HJ - ±	,
что позволяет найти S2:
t	,___
s2 = J [я2 + (S^HJ - 4-К -S4]dt + (U, v),
о
И т. д.
Таким образом, процедура позволяет найти все компоненты
оператора. Новый гамильтониан имеет вид
К = Т + eKr (u, v) + &К2 (и, и) + . . . .	(45.11)
И соответствующие ему уравнения автономны:
_d£_=1 du = дКг 2 дК2
dt ' dt dv	dv * * *’
du	dKx о dK%
—— = — 8	— 82	....
dt	du	du
Связь новых переменных co старыми определяется формулами
х = и + е {5, и} 4- -|р {{S, и}, и} + . . .,
У = и + 8 {5, V} +	{{5,1?}, V} + . . . .
Процедура приведения исходного гамильтониана (45.1) к
виду (45.11), как следует из изложенного, состоит из последова-
тельного выполнения двух канонических преобразований: пер-
вое — переход к константам интегрирования вырожденной ин-
тегрируемой задачи, второе — приведение к автономной форме
при помощи рядов Ли. В оригинальном изложении Хори эти два
преобразования переставлены местами и целью всей процедуры
является получение нового автономного гамильтониана. В из-
ложенном виде метод Хори представляет собой метод асимпто-
тического интегрирования гамильтониановых одночастотных си-
стем в стандартной форме (см. разд. 18). Как и изложенный выше
метод Пуанкаре—Цейпеля, метод Хори неприменим в резонанс-
ном случае. Формализация понятия «резонанс» в рамках пред-
ставления исходной системы в одночастотной форме менее удобна,
чем в рамках многочастотной формы. Последнее будет выполнено
в разд. 47.
204
46.
Одночастотный метод осреднения
на основе формулы Хаусдорфа
В основе излагаемого ниже алгоритма асимптотического интегри-
рования уравнений механики [26] лежит представление об ис-
ходной системе как об одночленной группе Ли преобразований
фазового пространства в себя (см. разд. 34). Преобразования
системы, приводящие ее к более простому виду, ищутся в классе
преобразований, обладающих групповыми свойствами. Такое
согласование инструмента анализа с объектом анализа позволяет
ограничить используемые в алгоритме операции лишь операциями
из соответствующей алгебры операторов. После работы Хори
[65], в которой для построения дополнительного первого инте-
грала в автономной гамильтоновой системе были применены ряды
Ли, последовала серия работ, распространяющих этот подход на
автономные системы общего вида (Хори, Кемел и др., обзор таких
результатов можно найти в [23, 37]). Заметим, что все такие ра-
боты представляют собой, по существу, лишь различные формы
вывода известной из теории групп Ли формулы Хаусдорфа (см.
разд. 38), слегка осложненные идеей отождествления параметров
и разделения порядков. Существенно новые результаты здесь
могут быть получены при отказе от рассмотрения систем общего
вида и при переходе к анализу каких-то более специальных
типов систем, характерных для тех или иных областей асимпто-
тической теории, с целью усовершенствования уже имеющихся
там процедур. При этом сразу следует исходить из формулы Хаус-
дорфа, не повторяя в очередной раз ее вывод. Именно такой путь
и предпринят в настоящем разделе, где рассматриваются системы
в одночастотной стандартной форме (см. разд. 18). Этот вид систем
является базовым для асимптотического метода Крылова—Бого-
любова (см. разд. 20), который и удается существенно упростить,
используя теоретико-групповые принципы. Объективными при-
знаками такого упрощения являются: 1) отсутствие необходи-
мости разрешать относительно старших производных преобразо-
ванные на каждом шаге системы, как это делалось в разд. 20,
или обращать уравнения замены; 2) в излагаемом ниже алго-
ритме не используются ряды по степеням малого параметра, из-
ложение процедуры удается провести сразу в терминах искомых
асимптотик; 3) выражение для произвольного приближения
удается получить в виде явной рекуррентной формулы, удобной
при использовании ЭВМ, выполняющих символьные выкладки.
Обобщение излагаемого алгоритма на многочастотные системы,
существенно нелинейные, и трактовка резонансных случаев
даются в следующем разделе.
Рассматривается система, описываемая дифференциальными
уравнениями следующего вида:
205
(46.1)
*± = У(х,у,г) (x&R\ye=.Rn,t<^),
где x — скалярная переменная; у — вектор размерности п; 8 —
малый параметр; правые части аналитичны в некоторой обла-
сти.
Присутствие в системе малого параметра позволяет эффективно
использовать его для формирования процедур асимптотического
построения приближенных решений. При этом наиболее плодо-
творный подход состоит не в прямом построении решений, а в
приведении системы (46.1) к виду, более удобному для анализа,
а также и для решения (см. гл. II).
Методы такого приведения, будучи достаточно простыми и
удобными при построении одного-двух приближений, становятся
крайне громоздкими с увеличением числа приближений. Возни-
кает естественная потребность в рационализации соответствую-
щих процедур. Принцип такой рационализации может основы-
ваться на идее максимального согласования по групповым при-
знакам инструмента исследования с объектом исследования.
Примеры такого согласования в механике имеются: линейные
системы естественно преобразовывать линейными заменами; ки-
нематические уравнения Эйлера нелинейны и имеют особенности,
однако, если заметить, что повороты твердого тела образуют
группу SO (3), то в групповых переменных уравнения получа-
ются линейными, без особенностей. При этом минимальная по
размерности линейная система получается при записи уравнений
в кватернионах, а если и при решении уравнений пользоваться
лишь кватернионами, то выполняемые операции не выходят за
пределы операций алгебры кватернионов и приводят к макси-
мально простым и экономным алгоритмам.
Система (46.1) с произвольными нелинейными правыми ча-
стями тем не менее порождает весьма узкий класс отображений
фазового пространства в себя — однопараметрическую группу Ли
(см. разд. 34) с оператором:
yl = X(.r,i/,e)-^ + Y(x,y, е)^-.	(46.2)
Поэтому и преобразование системы (46.1) следует искать не в
классе произвольных нелинейных замен, как это обычно делается,
а в виде однопараметрической группы Ли, порождаемой неко-
торой дифференциальной системой, определенной в том же фазо-
вом пространстве, что и система (46.1):
^ = 1(х,у,г),	= Т| (.г, у, е),	(46.3)
где т — параметр группы, а ее оператор имеет вид
и =Л (.г, г/, е) -^ + п (х, У,ч)-^.	(46.4)
206
В этом случае выполняемые при преобразованиях операции
не выйдут за пределы операций алгебры Ли операторов вида (46.2),
(46.4), что и сулит существенные преимущества, ибо в отличие от
нелинейного объекта (46.1) объекты (46.2), (46.4) — линейные.
Под преобразованием системы (46.1) при помощи группы,
задаваемой системой (46.3) с оператором (46.4), понимается такая
замена переменных (х, у) -> (р, q):
Р = fi (х, у, т, е), q = /2 (ж, у, т, е),
в которой функции Д и /2 тождественно удовлетворяют уравнениям
(46.3), причем (х, у, 0, е) = х, f2 (х, у, 0, в) = у (см. гл. III).
Такие замены переменных, а также и обратные им, могут быть
записаны в виде рядов Ли при помощи оператора (46.4):
р == х + тСЛг + t2LZ2z + . . . = exUx,
q = y + rUy + 4г + • • • = eWy,
(46.5)
x — p — xUp . . . = e'xUp,
y = q — tUq + • • • = e-wq.
При этом в случае обратной замены в выражении для оператора U
(формула (46.4)) вместо переменных х, у следует формально пи-
сать переменные р, q:
U = t,(p,q.b)-^-Y r\(p,q,
Формулировка задачи теории возмущений, т. е. цели выполня-
емых над системой (46.1) преобразований, также может быть
сделана в терминах групп. В основу такой формулировки может
быть положен один из центральных факторов группового анализа
дифференциальных уравнений, который состоит в следующем
(см. разд. 38). Если известна какая-нибудь однопараметрическая
группа симметрий системы (46.1), оператор которой коммутирует
с оператором этой системы А, то последняя может быть понижена
в порядке. При постановке задач теории возмущений предполо-
жения о наличии известных решений делаются по отношению к
невозмущенной части системы (8 = 0). По аналогии и будем пред-
полагать, что группа симметрий известна для вырожденной
(8 = 0) системы (46.1). Постановка задачи теории возмущений
приобретает следующий вид.
Дано: G группа симметрий (46.1) при 8 = 0 (G — оператор
группы): [Л, <?]е==0 = 0.
Найти: группу U преобразований системы (46.1), переводящую
оператор А в оператор В, так, чтобы данная группа G была груп-
пой симметрий системы (46.1) при т = s:
[В, (?]т=г = 0.
Если это удается, то система (46.1) может быть понижена в по-
рядке.
207
Скобками обозначена операция вычисления коммутатора,
представляющего собой линейный оператор, вычисляемый по
правилу (см. разд. 33):
[Л, G] - AG — GA.
Заметим, что традиционная постановка задачи в методе ос-
реднения вполне соответствует только что сформулированной.
Действительно, в методе осреднения вырожденная система авто-
номна, требуется сделать автономной всю систему. Но это и зна-
чит, что вырожденная система допускает группу трансляций по t
и требуется так преобразовать возмущенную систему, чтобы она
допускала эту же группу.
Поставленная выше задача может быть решена, в частности,
тогда, когда известная группа симметрий порождается фазовым
потоком вырожденной системы: G = Л|е=0, т. е. когда известно
общее решение системы при е = 0. Построим алгоритм асимпто-
тического решения задачи возмущений в этом случае. Тогда без
ограничения общности можно считать, что система (46.1) запи-
сана в канонических координатах (см. разд. 37) группы G и,
сдедовательно, имеет вид известной стандартной формы:
-	^ = 1 + 8Х(х,У,г),
(46.6)
-	%- = 8Y(x,y,8).
Ей соответствует и стандартная форма оператора А:
A = -^ + e[X(x,y,8)-^+Y(x,y,8)^-] .
Если А — оператор исходной системы, V — оператор замены
переменных и -В — оператор преобразованной системы, то из-
вестно, что эти три оператора связаны начальной задачей Коши
для уравнения Хаусдорфа (см. разд. 38):
-	^- = IB,U], В\Х=О = А.
Решение этой задачи, дающее явную связь между этими опе-
раторами, может быть представлено следующим рядом по сте-
пеням параметра группы т:
5 = Л4-т[4,С7] + 4’т2^Л’6/1’^1+ ••• •	(46.7)
Если подчинить оператор В условию коммутирования при т = е
с G (напомним, что С = Л|е^0 = —— и условие коммутирования
сводится к независимости В от р), то получим уравнение для
нахождения оператора U. Решать такое уравнение будем асим-
птотически, для чего введем обозначения
Ак = А + о (8к), Вк = В + о (8к), Uk = U + о (8к),
208
где Ак, Вк, Uk — операторы, отличающиеся от точных опера-
торов величинами более высокого порядка малости, чем 8fr.
Из формулы (46.7) для введенных операторов следует цепочка
соотношений (т = 8):
= Ло,
Z?i = 41 + 8 [Ло, U0],
................................................... (46.8)
* j
В* = А. + У -L- [... ад,.. .], ад,
•*J J •	>*—.. -V- 1 " Z
j=l j
Рассмотрим первый коммутатор (/ = 1) в Вк:
14-р tw =	- Ао, Uk^] + [Ло, Uk_t].	(46.9)
Поскольку 4^-! — Ао ~ 8, то, не выходя за рамки рассматривае-
мой асимптотики, вместо (46.9) можно написать
[Лад, С7\_1J — [Лк-!—Ло, Uk_2] + Uо,
и оператор Вк запишется так:
Вк = е[Л0, t^K-il + Дм
где Lk — оператор, зависящий только от младших по отношению»
к С7к-1 асимптотик оператора U:
Lk = Ак + & [Лк-i — Ло, Uk.2] +
* j
+ £-jr [--лад ад, • • •], ад.	(46.10).
5=2 j
Соотношения (46.8) с учетом того, что [Л0[7к1 — dUk!dp, могут
быть переписаны в виде
50 = Ло,
= е	+ 6 [+ 4 °21^0’ ^о], tfo],
=	+	(46.11)
Соотношения (46.11) позволяют последовательно определить все
приближения для оператора В и все приближения для оператора
замены U. Действительно, для построения первого приближения
достаточно Вг выбрать так:
h
= lim -i- ( Л dp = <^i>.
oJ
209
Тогда Uo найдется квадратурой:
(Л — <4j>) dp = — — dp.
Здесь через и	обозначены соответственно среднее по р
значение оператора (при условии, что оно существует) и до-
полнение к среднему.
Выбор Вг в виде среднего от А± диктуется, с одной стороны,
требованием независимости В от р, с другой стороны, требова-
нием ограниченности по р уравнений замены. После того как
найдено С70, можно приступить к построению второго приближе-
ния:
В2 =	+ е [Лг - Ао, ий] + 4-е2 114» tfoL tfo]> ,
что, в свою очередь, позволяет найти иг:
== - -4 J (л2 + 8 [Л - Аа, и9] + 4" е2 ИU^~ dP'
И т. д.
Таким образом, общее выражение для /с-го приближения
получается в виде
вк = ^, и^ =----------1г\В^р,	(46.12)
тде Lk выражено через предыдущие приближения явной, конечной
формулой (46.10). Если нормальная форма сходится, то точное
выражение для оператора преобразованной системы есть В =
= lim Так как Вк, по построению, не зависит от р и так как
R—-оо
£ --- Д -- д
то он получается в следующем виде:
В> =-& + ' [Р‘ е> +•?>(?') 
Следовательно, уравнения (46.6) приобретают в переменных
..(р, q) вид
4г = 1 + ePfc е)’	-$" = е(2к (?’е)’	(46.13)
что и представляет собой конечную цель fc-го приближения ме-
тода осреднения.
Решения системы (46.13) необходимо подставить в уравнения
замены
х = e~zU]'-2p, у — e~zb}i-2q,	(46.14)
чтобы получить решение в исходных переменных соответствующей
точности. Знание оператора необходимо для построения
к + 1-го приближения, т. е. ВК+1.
210
Таким образом, вся процедура сводится к вычислению по»
формулам (46.10), (46.12) Вк и U^. Выражение для Вк опреде-
ляет правые части системы (46.13), a C7fc_2 — ту замену исходных
переменных (х, у) в (р, q), в которых заданная система (46.6).
принимает вид, не зависящий от р, (46.13).
Поскольку в изложенном алгоритме присутствует процедура
осреднения, то асимптотические оценки точности этого алгоритма
эквивалентны обычным оценкам точности метода осреднения (см.
разд. 19). Однако, в конкретных примерах реальная точность
алгоритма может быть выше точности, даваемой методом осред-
нения. Это происходит потому, что в методе осреднения строятся
сами преобразования, аналогичные (46.14), в то время как в из-
ложенном алгоритме строятся операторы. Поэтому, если точное
выражение оператора удается получить за конечное число шагов,
то формулы (46.14) определят и точное выражение для преобра-
зований, представленных, однако, бесконечными рядами. А их
конечным числом шагов метода осреднения получить нельзя.
Проиллюстрируем сказанное примером.
Пример. Пусть заменой переменных (х, у) -> (р, q) тре-
буется привести к виду, в котором была бы исключена зависимость
правых частей от р, следующую систему:
d^L	л	Q О
—— =1,	—77- = — EZ73 C0S2 X.
dt	dt v
Оператор этой системы, записанный при помощи новых перемен-
ных, имеет вид
л д	о 2	0
А = —-----£03 COS2 р -3— .
др	* rdq
Применение изложенной процедуры дает
*х=<^>=4—4^3-4’
и»= (4 S cos 2Р dp)	= 4 53 sin 2Р	-
Второе приближение:
в2 =<Л2 + е 1Л - Ао, t/0] 4- 4 е2 [Мо’ ^о]> •
Вычислим коммутаторы:
[А - А. ^о] = [ - «З3 c°s2 Р 4 ’ 4?3 sin 2Р 4] = °т
[M0)t70],t70J= Ah
= Г4 З3 cos 4,4 З3 sin 2о 41 —
[2* r dq ' 4 * r dq j
Следовательно,
В2 = <А> =	—	^1 = ^о = — g3sin2/> — -
211
Таким образом, второе приближение совпало с первым. Из формулы
(46.10) видно, что то же самое получится и для любого приближе-
ния. Тем самым задача решена точно.
Преобразованные уравнения имеют вид
dP—1	_____Lp/у3
dt ~ ъ dt ~	2 bq *
Связь новых переменных co старыми получается, согласно (46.14),
такой:
+ 4-e2(^93sin2^)^+ •
j/ = 9_e^g3Sin2pA)9 + _Le2(_Lg3Sin2/>^-)294-.. .=
оо
= q + У (- 1)" 8"(2" ~,?)!-!- sin" 2р.
J	n\ 4
n=i
Ни в каком конечном числе приближений методом усреднения
этот результат получить нельзя.
Рассмотрим еще один пример.
Пример [36]:
ф + ф — лф2 = Ц cos t.
В этом уравнении имеет место главный резонанс, периодическое
решение раскладывается в ряд по дробным степеням малого пара-
метра р, в связи с чем в [36] утверждается, что такие решения
не могут быть получены при помощи теории квазилинейных систем.
Покажем, что это не так. Появление дробных степеней связано
лишь с выбором масштаба измерения переменных и никак суще-
ством асимптотической процедуры построения решений не опре-
деляется.
Для того чтобы применить квазилинейный подход, введем в
написанном уравнении малый масштаб при помощи формулы
Ф = &z (& — малый параметр). Уравнение перепишется в виде
квазилинейного уравнения
Z + 2 = 8Л22 + — COS t.
1	8
Для того чтобы нелинейный и неоднородный члены имели одина-
ковый порядок влияния на осциллятор, нужно ПОЛОЖИТЬ Ц8 = 82.
ПерейдвхМ в этом уравнении к переменным Ван-дер-Поля (ка-
нонические координаты в фазовом пространстве (t, z, z) группы
винтов, порождаемой фазовьш потоком вырожденной системы):
t = х,
Z = sin X + у2 COS X,
Z = уг COS X — у2 sin X.
212
Исходное уравнение при дополнительном условии sin х +
4- у2 cos х = 0 перепишется в виде системы в стандартной форме:
х = 1,
уг = {ед sin х + у2 cos ж)2 + 82 cos х} cos х,
у2 = —{еа (ух sin х + у2 cos х)2 + 82 cos х} sin х.
Оператор этой системы в новых переменных:
А = Аг = -^-+ {га (9iSinp + g2cosp)2 +
.	2	1 !	9		9 \
4- е2 cos р} (cos р -т-sin р ,
r г 9Я1	г 9Чг / ’
Ai =	+ еа (?! sin р + g2 cos р)2 (cos р	— sin р .
Первое приближение:
В1 = ^А1') = А^-^,
=------- $ A dP = а {-у ^2 — sinS Р +
.2	о	2-1^1
+ -у 9i92 cos3 р — q2 sin pj — +
+ а {-у (91 — 9г) cos3 р + QiQi sin3 р — q} cos />}	.
Второе приближение. Поскольку А± — Ао = — 8 [40, Uo], то для
В2 получим:
В2 = <Л> + 4- <мх - 40, Л70]> =
= '^- + 4'е2{1+ 4-^ (91 + ?г)}-^- —
__^-e2a2gi(g2+9|)A. .
Система второго приближения с разделенными переменными
получается в виде
9Р 4
dt ’
(4бЛ5>
U>L	U	J
4г=-4-82а2^^+^-
Связь исходных переменных с новыми:
х = р,
91 = 91 — e£709i = 9i — еа {у (9г — 9i) sin3 р +
+ у 919г cos3 р — 92 sin pj ,
213
У2 = Qz~ eUо?2 - Qi — ea {~y (Qi — ql) cos3 p +
2	Q	2	1
+ — Q1Q2 sin P — Q1 cos PI •	(46.16)
Решив систему (46.15) и подставив решение в (46.16), получим
решение задачи в исходных переменных. В частности, если нас
интересует, как в [36], только периодическое решение, то, опре-
делив из (46.15) стационарную точку:
п	3 ~
^1 — 0’	<h — у 5а2 ’
для переменной ср получим:
<₽=-Vх cos z+(/-£)2 -г (1 - 4cos 2t) ’
что в точности совпадает с результатом, приведенным в [36].
47.
Многочастотные системы
Уравнения движения существенно нелинейной многочастотной
системы запишем в следующей стандартной форме (см. разд. 22):
-^- = й>(7) + е/,(<рЛ,е),
(47.1)
-g- = eG(<p,/,e),	4ER'‘ If=Rm,
де е — малый параметр; правые части 2л-периодичны по всем cpf
и аналитичны в некоторой области.
Проблема разделения движений состоит в нахождении такой
замены (ср, /) -> (ф, J/), после выполнения которой уравнения
(47.1) приводятся к виду
=	8),
В этой системе уравнения для медленных переменных отде-
лились и могут исследоваться независимо.
Для приведения системы (47.1) к виду (47.2) будем пользо-
ваться изложенными выше идеями: вырожденная (е = 0) система
(47.1) допускает n-параметрическую группу Ли трансляций по
переменным фр Система, которую надлежит получить (47.2),
обладает тем же свойством.
Дальнейшие упрощения алгоритма могут быть достигнуты
посредством гамильтонизации системы (47.2), поскольку при
этом преобразовывать придется не п + т уравнений, а одну ска-
лярную функцию. Необходимую гамильтонизацию осуществим
214
введением сопряженных к ф, I переменных и, v так, что функция
Гамильтона запишется в виде
Н (ф, 7, и, г?, 8) = со (7) и + 8 [F (ф, I, 8) и + G (ф, 7, 8) и]. (47.3)
Замену переменных, решающую задачу разделения движений,
будем искать в классе канонических замен, приводящих гамиль-
тониан (47.3) к виду, соответствующему уравнениям (47.2). В от-
личие от метода Пуанкаре—Цейпеля канонические замены будем
строить не с помощью производящей функции, а с помощью гене-
ратора Ли (см. разд. 46). Преимущество такого подхода уже
проявляется, например, в том, что он позволяет получить урав-
нения замены сразу в явном виде, не требуя их разрешения, не-
избежного при использовании производящей функции.
Генератор Ли представляет собой функцию Гамильтона S (ф, 7,
и, v, 8) некоторой вспомогательной гамильтоновой системы
dtp __ dS di	_ dS du ________ OS du ___________ dS
dx	du	3 dx du	’ dx	o*(p	’ dx	di
(r — некоторая новая независимая переменная, не имеющая
смысла времени).
Пусть общее решение этой системы известно:
ф, I, и, v — функция от ф, J, р, д, т, 8,	(47.4)
где (ф, .7, р, q) — начальные значения (ф, 7, u, и) при т = 0.
Функции (47.4) представляют однопараметрическую группу Ли
канонических замен фазовых переменных (ф, 7, u, и) -> (ф, ^7, р, q).
Эти замены и будем использовать для преобразования гамиль-
тониана (47.3).
Оператор группы (47.4) имеет вид
тт__ dS d____dS d ___ dS d __ dS d
dp ‘ dq dCf дф dp d:J dq ’	(^7 5)
5 (ф, J, p, q) = 5 (<p, I, u, v) |T=0.
Функции (47.4), определяющие группу, в соответствии с разд. 35
могут быть записаны с помощью рядов Ли:
ф = ф + т£7ф +	#2Ф + • • • Ф + т {ф, Я +
+ 4rW’ 5}, 514-...,
(47-6)
I = J + tU.J + U2:j + . . . = 3 + т {.7, S} +
т2
+ 1{{’>’ Sb S} + ...,
где {•} — скобки Пуассона.
В отличие от одночастотного случая негамильтоновой системы,
рассмотренного выше, в данном случае нет необходимости пользо-
ваться формулой Хаусдорфа, поскольку преобразовывать нужно
не сами уравнения (точнее, их оператор), а функцию Гамильтона.
215
Новая функция Гамильтона К (ф, I, р, q, 8) выражается через
старую, записанную в новых переменных, тем же рядом Ли:
Я(ф, р, е) = Я [ср(ф, J, р, q, 8, т), /(. . .), и(. . .), v(. . .), 8] —
= Н + tUH + ^-и2Н + . . ., Н = Н(^, 3,p,q, е). (47.7)
Как и раньше требуем, чтобы гамильтониан К не зависел от ф
для т = 8:
К (ф, J, р, q,z) = H (ф, <7, р, д, 8) + 8 {Я, £} +
+ -g-{{tf,S),S) + ... .	(47.8)
Введем обозначения для асимптотик:
я, = Н + о (ек), К* = К + о (8,). Sk = S + о (в*).
Из формулы (47.8) для введенных асимптотик следует цепочка
соотношений
М = Я1 4~ 8 {Я0, 50},
Я2 = Я2 + 8 {Я1? 6\} + "2Г82 {{М» Mb Mb
k i
&k = + ^2““JF	Sk-i}' • • -b M-ib
1=1	г
......................• • • ...............
Как и в случае изложенного в разд. 46 алгоритма, рассмотрим
первую скобку Пуассона в гамильтониане К*.
{Н^, S^} = (Н^ - Н9, $„} + {Яо, 5k_J.
Так как — Яо ~ 8, то, не выходя за рамки асимптотики
можно написать	| |
{Н^, S^} = {н^~н9, ад + {Н9, S^}
и выражение для Кк приобретает вид
Кк = 8 {Но, М-i} 4“ Lk,
где Lk зависит лишь от младших по отношению к асимпто-
тик генератора Ли;
М = я^ + 8 {Н^ — HQ, М-2} +
г
+	ад.
i=2 i
Учитывая, что в соответствии с (47.3) Яо = со (7)^, цепочку со-
отношений для М (к = 0, 1, . . .) можно переписать в виде
M = o)(J)p,
216
v	Г dco OSq	1 . г r» / । л/ \ I
w+st7^’ J'^p+
+ GOK J, e)g] + ®(.7)p,
A'2 = e{p‘S’'V_ww} + ^ + e{^_770’ 5°} +
4 2~ №- 50}, >!>0},
Д' ___ J	55fc-l	dSk-l 1	. r
Afr — b-\p dy dq co ]-+A,
• ................................................... (47.10)
Соотношения (47.10) задают связь между гамильтонианом исход-
ной задачи (47.3) и гамильтонианом преобразованной при помощи
замены (47.4) задачи, где S — пока что неизвестный генератор.
Будем искать генератор Ли S из условия исключения из преоб-
разованного гамильтониана переменной гр:
Н (<р, /, u, v, 8) -> К (У, р, q, 8).
Для этого выберем Кг в виде
h
Ar = е lim -М И («А •?, 8) р + G (сов, J, е) g] dQ + со (J) р.
h^°° k oJ
(47.11)
Выделяя эту среднюю часть, гамильтониан Н можно записать
в форме
Н($, J, р, q,e) = К1(.У, р, q, 8) -h 8[/х (ф, J, 8)р -hg1 (ф, J, 8)д].
(47.12)
Подставляя (47.12) в (47.10), получим уравнение для нахождения
50, которое запишем в покоординатной форме:
п т	п	т
’	(47.13)
Частное решение этого уравнения дается следующей квадратурой:
т
+ rn-v 1рл, J, е) pt di|?n + 4“ У, $ (•  •)9idVn +
n
пт
+ (47Л4>
U-J/n	J
П г==1 J=1	J
217
После выполнения интегрирования в (47.14) вместо гк (к = 1, . . .
. . ., п — 1) следует подставить гк =	— (сок/(оп)фп. Предпола-
гается, что <оп=И=О. Если соп в нуль обращается, то следует пере-
обозначить частоты.
Самым существенным для всего дальнейшего свойством вы-
бранного частного решения (47.14) является его линейность по
переменным р и q. Это влечет за собой линейность по тем же
1
переменным выражения 8 {Ях — ff0, 50} + ^е2{{Н0, 5о}, So} + #2>
которое, выделяя временное среднее, аналогично (47.11) можно
представить в виде
&2 + 8 {#1 —	^о) Ч-2“ 82 {{#(), 50}, ‘U — ^2	8) +
+ 8 [/2 (Ф, У, z)p + g2 (ф, е) ?].
Подставляя это соотношение в выражение для К2 из (47.10),
получим
dco dSi dSi ।	। о n
Оно отличается от уравнения (47.13) только неоднородными чле-
нами, следовательно, его частное решение дается квадратурой,
аналогичной (47.14). По индукции получаем, что в любом при-
ближении генератор Ли определяется формулой
5'-‘=^Л/(“-гг + г’ +
. / ф	\ ”1
+ g I ®	4- г, .7, 8 I g с/фп 4-
* п	' J
+чг+г’ е)
г = ф —(47.15)
В результате гамильтониан приводится к виду
К (У, р, q. 8) - <Лк> + О (8*) = (0 (J)> + 8 [Pk (J, 8)Р +
+ Qu (У*8)#] + • • •>
в котором отсутствует зависимость от ф, и он линеен по р и q.
Уравнения движения с новым гамильтонианом получаются такими:
= 8) + ...,
d,7 _ ОК _
dt dq
8) + • • • •
(47.16)
Задача разделения движений решена. Для нахождения реше-
ния системы (47.1) следует решение системы (47.16) подставить
218
в уравнения замены (47.6), которые можно записать в виде
<Р = Ф 4- 8 {ф, 6\_2} +“2Ге2 {{ф,	+ • • ••>
/ = «74-8{J, S^} + 4 е2 {{J, Sa-2}, 5а-2} + . .. .	(47.17)
Если генератор Sk_2 не совпадает с точным (неподвижная точка
описанной рекурентной схемы), то в выражениях (47.17) члены,
содержащие е\ и более высокого порядка можно опустить.
Так как замена (47.17) и уравнения (47.16) не содержат пере-
менных р и д, то повышение размерности задачи за счет введения
сопряженных переменных оказывается фиктивным и не приводит
к осложнениям ни на одном из этапов решения.
Построенный выше метод разделения движений относится к
так называемому нерезонансному случаю, который характеризу-
ется тем, что введенное в (47.11) временное среднее совпадает с
пространственным средним:
2Л
v о
2Л
о
+ ®(.7)р.
‘d^n +
(47.18)
В этом случае асимптотики генератора Ли (47.15) оказыва-
ются ограниченными функциями ф, a Kf (J, р, д, е) —непрерыв-
ными функциями 3. При этом вычисление средних типа (47.11)
можно заменить вычислением по формуле (47.18).
Назовем резонансом в первом приближении (см. разд. 22)
такое линейное условие на частоты
До(о (J) = 0,	(47.19)
для которого временное среднее не совпадает с пространственным:
Ку^,р, q, е)^|(.7, р, д, е), т. е. условие (47.19) определяет
поверхность разрыва в пространстве медленных переменных J
временного среднего Кг (С/, р, д, е) как функции J. При этом
^1 С?» Р, (Л 8) полагается непрерывной, если члены, содержащие
разрывы, имеют порядок 82 и выше. В (47.19) Ло — матрица vxn
с целочисленными коэффициентами (X = rank Ло < п, X — крат-
ность резонанса).
Резонансом в f-м приближении называется соответствующее
условие для функции Система называется нерезонансной до
г-го приближения включительно, если Kt непрерывна. Подчерк-
нем, что резонансом называется не произвольное соотношение
(47.19), а лишь то, которое связано со свойствами разрывности
функции Kt (У, р, q, е).
Если имеет место резонансный или близкий к нему случай,
то качество асимптотических решений ухудшается за счет появ-
ления в (47.15) либо секулярных членов, либо малых знаменате-
лей. В этом случае необходимо перед выполнением очередного
219
шага (если резонанс в г-м приближении, то этот шаг связан с
вычислением Kt (J, р, q, е)) осуществить регуляризацию задачи
посредством сведения ее к нерезонансному случаю.
Регуляризация задачи осуществляется следующим образом.
Пусть имеем дело с резонансом i-ro порядка и до (Z—1)-го порядка
включительно рассмотренная процедура разделения движений
уже выполнена. Проведение такой процедуры в первом прибли-
жении описано в разд. 24. Преобразованный гамильтониан имеет
вид
К = со (3) р + 8 [Г (ф, J, е)р + G* (ф, J, E)q],	(47.20)
Временное среднее!
h
Kt = E Hm-i- ( [Лг (со0, .7, s) p + G2(co9, .7, e)q]dti + co (J) p
h-юо J
0
является разрывной на поверхности (47.19) функцией J, что и
свидетельствует о резонансе в Z-м приближении. (Если со не за-
висит от «7, то наличие резонанса связано с разрывностью Кг
по со.)
Если указанная поверхность не проходит через область ин-
тересующих нас изменений У, то случай может трактоваться как
нерезонансный, и для продолжения процедуры никакой регуля-
ризации не требуется. Если же нас интересует поведение системы
в малой окрестности поверхности
Ло(о (J) = 8Д Р),	(47.21)
то следует выполнить каноническую замену (ф, .7, р, q) ->
(у, Л, г s) по формулам
/£0\
у = Лф, p = ATr, .7 = А, q = s, Л= л , (47.22)
\ ^0 /
где Л — блочная матрица п X n; Е — единичная матрица (п — X) X
X (п — X) (без ограничения общности полагаем % = v).
Замена (47.22) является канонической, поскольку она порож-
дается производящей функцией Я (ф, .7, г, s) = гтЛоф + 8*3.
Скалярные произведения в (47.20) типа сор можно понимать
как матричные, условившись считать первый вектор в произве-
дении строкой, а второй — столбцом.
В результате замены (47.22) гамильтониан (47.20) приобретает
вид
К = со (L)ATr + 8[F* (Л-1у, L) ATr +	(A^y, L) $]. (47.23)
Первое слагаемое этого выражения распишем в покоординатной
форме:
со (L) Лтг =	+ • • • + п-к 4" в п-х+1 + • • • 4"	х)*
Видно, что последние X слагаемых имеют порядок малости 8
и должны быть отнесены к возмущенной части гамильтониана.
220
Это означает, что число быстрых переменных уменьшилось и
стало равным п—%. Указанный резонанс устранен, и к гамиль-
тониану (47.23) может быть применена изложенная выше нерезо-
нансная процедура. Осреднение следует производить по остав-
шимся быстрым переменным.
Поясним смысл «околорезонансного» условия (47.21). Если со
не зависит от J (система квазилинейна), то еД — не зависящая от
движения системы постоянная — называется расстройкой и может
выбираться как угодно малой. Если со зависит от J (система су-
щественно нелинейна), то на временах порядка 8-1 переменные J
могут измениться на конечную величину, что приводит к изме-
нению на конечную величину и вектора Аосо (J/) (см. разд. 24).
Формальное введение малого параметра в (47.21) осуществляется
в зависимости от поставленной конкретной задачи и, в частности,
может быть выполнено так. Пусть изучаются движения, близкие
к некоторому стационарному: J =	= const и Аосо (Jo) = 0 —
условие резонанса. Произведем каноническую замену: J = ,70 +
+ еа, q = 8-1р. Поскольку в силу условия стационарности
g) = 0, то наличие 8 1 Ll в замене не нарушает стандартной формы
системы, а околорезонансное условие принимает нужный фор-
мальный вид, в котором 8 стоит явным множителем перед функ-
цией, выражающей собой переменную расстройку. Этот прием
приводит к цели, если i > 1, т. е. резонанс, по крайней мере, во
втором приближении. Если же I = 1 (резонанс в первом прибли-
жении), то для сохранения стандартной формы следует делать
замену: J =	+ ]/еа, q =
Отметим два случая упрощения изложенного алгоритма.
Первый случай. Система (47.1) уже гамильтована. Ее гамиль-
тониан Н = HQ (7) + еН (ф, 7, е). Очевидно, вводить сопряжен-
ные импульсы уже не требуется, указанная выше процедура
преобразования гамильтониана сохраняется. Формулы (47.10),
приобретают более простой вид:
К0 = Н.(П
У, 8),
К2 = - е® + Я2 + е {Ях - Яо, 50} + ‘ е2 {{Яо, 50}, 50},
<95.
&1 = ~ Е(й	Н ^ '1'
i к
Ll = Hi +г {Я;_х - Яо, 50} + £	{^{Яг_к,	S^}..
k=2 iT'
При этом Kt приобретает тот же формальный вид, что и раньше?
Kt = <£г (ф, .7, е)>, а уравнение для генератора 5г_х упрощается:
221
Его решение дается более простой, чем (47.14), квадратурой:
^1	+ Г1....‘V±	+ Г"-!’ ^л’ -7’ E)d11n-
После выполнения интегрирования вместо следует подставить
— — Уп-
п
Преобразованный гамильтониан оказывается не зависим от ф,
и метод эквивалентен методу Пуанкаре—Цейпеля с той лишь раз-
ницей, что, в отличие от аппарата производящих функций, здесь
использован аппарат генераторов Ли.
Второй случай. Система (47.1) гамильтована, однако ее га-
мильтониан неавтономен и зависит от времени периодически. Вве-
дением новой переменной фп+1 = соп+1^ и сопряженного ей им-
пульса (к гамильтониану следует добавить член соп+17п+1) этот
случай сводится к предыдущему.
Пример. Уравнение Дуффинга
х + х + 8в а? = ер sin (3 + еД) t
после замены х = I sin ф1? х = I cos фх приводится к системе,
гамильтониан которой
Я (ср, I, u, I?, е) = ur + 3u2 + e(872sin4(p1 — р/-1 sin ф2 sin Ф1) ui +
+ еДи2 + 8 (— 8Z3 sin3 фх cos <Pi + p cos фх sin ф2) v.
Формально заменяя в этом выражении (ф, 7, u, v) на (ф, «'У, р, q),
по формуле (47.11) найдем Кг (У, ръ р2, q) = (3pv)2 + Др2) е +
+ Pi + 3Рг-
Уравнение (47.13) примет вид
—	— 3	+ [-^(cos 4фх — 4 cos 2фх)— цХ1 sin фх si n 4 2]рх +
+ (— 8 J3 sin3 фх cos ф\ + p cos фх sin ф2) q = 0.
Его решение в соответствии с формулой (47.14) получается сле-
дующим:
$0 = {з2 (4* sin	— 2 sin 2^)----Г 12 sin (% — Чч) —
— sin (ф2 + ФЛ) рх — (cos — 4 cos 2^i) +
+ -§- Н [2 c°s (ф2 — 4’j) + cos (ф2 + фх)]} q.
При подстановке Нх и £0 в (47.10) идно, что Я2 (J, р, g, s) =/=
Я* (.5, р, q, е) — временное среднее не совпадает с про-
странственным (оба средних вычисляются от выражения Н2 +
+ 8 {Ях — Яо, 50} +-y-е2 {{//о1	^о}- Это означает, что имеем
дело с резонансом во втором приближении и для продолжения
222
процедуры следует произвести регуляризацию задачи. Для ре-
гуляризации выполняется каноническая замена (47.22):
Т1 = Ф1,	?2 = 34’1 — 1|?2, Р1 = Ti + Зг2, р2 = — Г-2-
После чего осреднение осуществляется по переменной
^2 (?2, -7,	г2, q, е) =-^- (я2 + е {Н1 — Но, 50} +
О
+ 4- е2 {{Но, •Sol)	= Гт. + е [3 (i\ + 3r2) .72 — г2Д] +
+ е2 [(гх 4 Зг2) ( —	.7* +	Р-7 cos у2) +	W-72 sin у2] .
Это и есть второе приближение для гамильтониана, которым и
ограничимся. В соответствии с этим гамильтонианом получаем
систему, в которой медленные движения отделены от быстрых
до второго порядка включительно с учетом имеющегося резо-
нанса:
ТГ =	= 1 + Зг' + '(“ Т•7‘ + ТMsТа).
4г = 4Й- = '<М’ - Д> + М - Т-’* + 4-И.Т^Та) .
дК% 3 л 1/2 •
"77" = "л? = ЗГ 8 Н sin ?2-
at oq о ‘	* *
По формулам (47.17) найдем связь старых переменных с новыми:
<Pi = + е = Тх + е [4пsin 4Vi ~ 2^2 sin 2Ti -
— sin (2ух - Т2) + -£- -7"1 sin (4ух — у2)] ;
1 = :У + е-^- = .7 + е {— COS4?! + -73 cos 2^ —
— 4г I2 cos (2Vi - Тг) + cos (4ух - у2)]} .
Или в исходной переменной хх
j; = Zsin(p1 = ^Zy-|-8j3^sin Ух —
—	t2J3 sin 3 Vi + И sin (3Y1 — y2)].
В рассмотренной задаче можно было обойтись и без введения
сопряженных переменных, поскольку исходная система может
быть записана в гамильтоновой форме сразу.
223.
48. Метод нормальной формы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с аналитиче-
скими в окрестности нуля правыми частями:
У1 = /1 (г/1, • • Уп)
.................................................. (48.1)
Уп = fn (Уп • • •, Уп),
где ук — комплексные переменные.
Будем полагать, что правые части в нуле обращаются в нуль,
т. е. (0, . . ., 0) = 0 (к — 1, . . ., п). Записанная в виде рядов
по степеням переменных, эта система имеет вид
«пг/1 + • • • + а1пуп + SА,. -п^уТ'-  • • -у'пп
Уп — ^п1У1 + • • • + аПпУп +	• • - ’Уп"•	(48.2)
Суммирование ведется по всем положительным целочисленным
п	п
тк, удовлетворяющим условию У тк >2. Число о = У на”
fc=l	К=1
зывается порядком нелинейного члена z/f1-. . .*Упп.
Ставится задача найти такую аналитическую замену перемен-
ных (у1? . . ., уп) -> (z1? . . ., zn), чтобы обратить в нуль макси-
мально возможное число коэффициентов	вплоть до
любого заданного порядка а включительно.
Тот вид системы, который при этом получается, и называется
нормальной формой системы до порядка о включительно.
Приведение к нормальной форме можно осуществить после-
довательно, начиная с линейной части. После упрощения линей-
ной части приступают к упрощению членов второго порядка,
затем упрощают члены третьего порядка и так далее вплоть до
заданного.
Задача упрощения линейной части хорошо известна: линей-
ным преобразованием она приводится к жордановой форме,
в которой матрица линейной части имеет отличными от нуля лишь
две диагонали — главную, на которой стоят элементы, называ-
емые собственными числами, и ближайшую к ней, на которой
стоят либо нули, либо единицы. Будем считать, что система (48.2)
уже упрощена по линейным членам (решение этой задачи для
более общего вида систем приведено в гл. I). Кроме того, примем
вначале, что жорданова форма чисто диагональная:
Ук = КУк + 3/т1...т„У1Н- • • • • Уип (к = 1, .. п).	(48.3)
Суть применяемой процедуры нормализации полностью и во всех
деталях выясняется при рассмотрении одного-единственного не-
224
линейного члена в одном уравнении из п уравнений системы
У s = Ms,	«¥=&,	(48.4)
У* = Mr + fyi'- • • • -У>,
т1У . . тп — фиксированы.
Так получается потому, что преобразование, изменяющее этот
член, можно выбрать так, чтобы оно не меняло никаких членов
низшего порядка, а также никаких других членов этого же поряд-
ка. Данное преобразование имеет вид: (у^ . . ., уп) —> (z1? . . ., zn)
Ук = Ч + h^Zi'- ... -Znn,
т. е. нелинейный член в преобразовании берется того же вида.
Коэффициент h* подлежит определению.
У преобразования (48.5)лесть обратное:
21с = У1С — ЬкУ1'-,..-упп + ....	(48.6)
Точками обозначены члены более высокого порядка. Если нас
интересует выполнение лишь одного шага, т. е. устранение рас-
сматриваемого члена, и появление при этом членов более высо-
кого порядка нас уже не интересует, то в (48.6) достаточно ограни-
читься выписанными членами. Если же мы предполагаем продол-
жать процедуру дальше, то преобразование (48.5) следует обращать
с более высокой точностью.
Дифференцируя (48.6), найдем
h = Ук — hk	.... y^ih + . .. +
+ тпу?- ... •yn-T1</nn’1yn) + •.. .
Подставляя сюда yt из (48.4), находим
Zr = К.Ук + ?У1'- •••’»?- (^1 н- • • • +
+ тп?-п) ^У1' ’ • • • • Уп Ъ = ^кУк + [У* —
• •• -J/nn-
Подставляя теперь вместо yt (48.5), окончательно получаем
h =	+ [f* — (—	+ • • • +
+ тпКп) 1 • . . . • Zn П + • • • •
Для того чтобы устранить рассматриваемый нелинейный член,
следует h* выбрать из условия
Это возможно, если	+ . . . + пгпХп
1/28 В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов
225
Нелинейный член в Л*-м уравнении, у которого показатели
тх, . . ., тп таковы, что
X/f =	+ . . . + 771	(48.8)
называется резонансным. Резонансные члены не могут быть уни-
чтожены заменами (48.5), они вообще не изменяются при таких
заменах.
Устранение нелинейных членов одного порядка в общем
случае (48.3) осуществляется для каждого члена независимо
от других:
Ук = 2к +3/гт1...тпгГ1* • • .«zTn (к = 1,...,п),	(48.9)
суммирование распространено на все	тп рассматрива-
емого порядка тпх + . . . + тпл = а. Все нелинейные члены этого
порядка в (48.9) те же, что и в (48.3). Остается в силе и формула
(48.7)
/к
=	(48.10)
После устранения нерезонансных членов в рассматриваемом по-
рядке можно перейти к устранению нерезонансных членов сле-
дующего порядка.
Таким образом, нормальная форма — это форма, в которой в
разложении правых частей по степеням переменных присутст-
вуют лишь резонансные члены. Если резонансных соотношений
типа (48.8) для всех членов о нет, то с точностью до членов
более высокого порядка малости аналитическим преобразова-
нием (48.9) система (48.3) приводится к линейной.
Рассмотрим теперь случай недиагональной жордановой формы.
И пусть для простоты имеется только одна жорданова клетка,
соответствующая двукратному корню Хх = Х2:
Уг = Мг,	(48.11)
Уз = Ms, (п > 8 > 2).
Рассматривается присутствие одного нелинейного члена в первом
уравнении. Из последующего будет ясно, как поступать в общем
случае.
Рассматривается замена, аналогичная (48.5):
yi = z1 + h1Zi1- ... -z„n,	z1 = y1 —.. • •у».п 4- .... •
Поступая аналогично случаю простых корней, находим
21 = 1^! + z2 + [У1 — (— Хх + . . . +	й1]	• • • •
. . .-Zn П -	. . . -Znn + • • • •
226
По-прежнему в нерезонансном случае, т. е. когда
—	+ . . . + тп'кп 0,	(48.12)
можно устранить членя™1 • . . . • я™71, однако появляется новый
член того же порядка:
тх-1 т2+1 ms
Z1 *2 z3 • • • zn •
Если условие (48.12) выполнено, то этот член тоже нерезонансный,
так как = Х2 и он может быть устранен еще одним аналогичным
преобразованием. При этом появится новый член (тоже нерезо-
нансный) того же порядка:
тх-2 1П2+2 7П,	_тП
^1	z»2	Z.3 • • • • • Zn •
Повторив процесс нужное число раз, получаем член вида
zm2+WiZrns. .... Z™"
2	3	п ’
который устраняется без появления новых членов того же порядка.
Рассмотрение случая произвольного набора жордановых бло-
ков уже не представляет труда. При применении этой процедуры
на практике все указанные элементарные преобразования выпол-
няются одновременно.
Нами доказана (с указанием конструктивной процедуры при-
ведения к нормальной форме)
теорема Пуанкаре—Дюлака. При помощи аналитической за-
мены переменных (уп . . ., уп) -> (я1? . . ., zn) система (48.2)
приводима в любом конечном порядке к виду, в котором все не-
линейные члены резонансны.
Пример. Уравнения второго порядка с нелинейностью
пятой степени:
Х-у —	—	^1	32«Tj.
Приводим линейную часть к нормальной форме. Для чего заме-
чаем, что оператор системы имеет вид
А — х2 (^1 + 32^1)	= Ло 4-
где Ао — линейная часть оператора. Функции
У1 = *2 + ixi, У2 = х2 ~	(У1 = У, У2 = !/),
являются собственными функциями оператора Ло:
А 0У1 = — хг + ix2 = iy^ AQy2 = — хг — ix2 = — iy2,
где = f, Х2 = — i — собственные числа.
Выберем эти функции в качестве новых переменных. Тогда (см.
8*
227
разд. 37)
А = АУ1 ~дуГ + Ау'г ~дуГ ~ ^У1 ~ 32а^	+
+ (- iyt - 32т8) -l~=[iy — i(y — p)5] -°- 4.
+ [- iy - ЧУ - Ю8]	•
Таким образом, уравнения в форме (48.3) получаются такими:
У = * (У — Уь + 5у4у — 10у3у2 + 10у2у3 — 5уу4 + у5).
Уравнение для сопряженной переменной является сопряженным
к написанному, поэтому его можно не приводить.
Определим в этом уравнении резонансные члены:
у5: S= 5Хг = Ы
у4у: 1£тк = 4Хх + Х2 = 3/
у3у2:	= 3^ + 2Х2 = i =	(48.13)
у2у3: 27Пк — 2Хх + ЗХ2 = i	.
уу4- 2	— Zj 4~ 4%2 = — 3i =/=
у5:	= 5Х2 = — 5/
Таким образом, в уравнении единственный резонансный член
у3^2. Следовательно, подходящей заменой у -> z написанное
уравнение приводится к виду
z = iz —- flOz3^2 + . . . .
Это и есть нормальная форма исходной системы с точностью до
членов шестого порядка. Выделенную нелинейную часть можно
еще записать и так:
z = iz — /10 (zz)2 z = i [1 — 10 (zz)2] z.
Так как zz — инвариант оператора, соответствующего этой си-
стеме, равный квадрату амплитуды z : zz = г2, то решение этого
уравнения имеет вид
Z =	I zo I = г.
Следовательно, частота колебаний рассматриваемого осциллятора
зависит от амплитуды колебаний так:
(0 = 1— Юг4 + . . . .
Если нас интересует замена, связывающая у с z, то ее в соответ-
ствии с (48.5) надо для устранения нерезонансных членов брать
в виде
у = z 4- fesoZ8 + h^z1 4- fe23z2z3 4- /hi2*4 + fe05Z8, у = ... .
В формуле (48.10) коэффициенты в рассматриваемой задаче
равны /60 = — 1, Дх = 5, /2з =	/14 =	3, /о5 =
Поэтому вычисление по этой формуле с учетом (48.13) дает
,	1	, _ 5	, _	5	,____5_
й50 —	47 ’	Л« — 2i	’	n23	i	’	7114	4i	’
^оз =	57 •
228
49.
Применение одночленных групп
к построению нормальной формы
При построении нормальной формы возникает необходимость
в обращении нормализующей замены переменных. В разд. 46 и
47 было показано, как применение группового подхода позволяет
избавиться от этой процедуры в методе осреднения и этим су-
щественно упростить алгоритм построения высших приближений.
Такой же прием может быть применен и при построении нормаль-
ной формы. Начнем рассмотрение с квазилинейных систем:
Ук = >^кУк + 8	• • • 'УпП (к— 1, . . п),	(49.1)
где 8 — малый параметр.
Общий случай рассматривается в конце раздела.
Сразу же подчеркнем, что ограничение класса систем при-
водит к расширению возможностей. Например, построение нор-
мальной формы с устраненными нерезонансными членами во всех
порядках требует бесконечного числа приближений. В случае
же, когда в системе присутствует малый параметр, как в (49.1),
построение нормальной формы сразу во всех порядках дости-
гается одним приближением, если эта нормальная форма инте-
ресна с точностью до 82, двумя приближениями, если до 83, и т. д.
Иными словами, если в системе без малого параметра любое
конечное число приближений метода нормальной формы связано
с изучением движений в малой окрестности нуля, то в системе с
малым параметром уже можно изучать конечные изменения пере-
менных.
Система (49.1) порождает одночленную группу Ли преобразо-
ваний фазового пространства в себя с оператором
А =	+ • • • + ^пУп-д^ + е [( V, Д,...тл X
+	(49.2)
Рассмотрим группу преобразований (ух, . . ., уп) -> (zx, . . ., zn)
с оператором
и = (Z1( ..zn, е) -Д- + ... + (zx, . • zn, 8)	(49.3)
и с каноническим параметром т.
В соответствии с формулой Хаусдорфа (см. разд. 38) оператор
преобразованной системы имеет в новых переменных вид
В =	(z1? ..., zn, е) 4“ • • • + Zn (z1? . . ., zn, e) ,
т2	П (49.4)
В = A + т [4, U] +	[[A, C/], t7] + . .. .
8* В. Ф. Журавлев, Д. M. Климов
229
Здесь в операторе А (49.2) вместо переменных у формально пи-
шутся переменные z:
А = Ml -Д' + • • • + Мп + 6 • • • ’
*	п
Условимся следующих обозначениях:
Ак = А + о (сА), Вк = В + о (8*), Uk = U + о (8*),
т. е. Лк, Вк, Uk — есть операторы, отличающиеся от соответ-
ствующих им точных операторов Л, /?, U величинами более вы-
сокого порядка малости, чем 8к. Операторы Ак, Вк, U}. называ-
ются асимптотиками операторов Л, В, U. Таким образом
=	+	+	=	(49.5)
В представленном виде системы (49.2) все асимптотики, начиная с
Л1? совпадают с А. Этот частный случай совсем не является обя-
зательным, допускается и более сложная зависимость Л от 8.
Заметим еще, что асимптотики Ль Вк, Uk могут содержать так
называемые недостоверные члены более высокого порядка малости,
чем 8к. Формула Хаусдорфа, так же как и в разд. 46, может быть
переписана для асимптотик операторов (после обычного отож-
дествления т = 8):
= Ло,
В± = At + 8 [Ло, U0],
₽2
в2 = л2 + 8 [Л1? tzj -I-	[[Л0, С70], С70],
* j
= + £-^1 —Mw,	..],
3=1 j
Воспользовавшись уже примененным в разд. 46 приемом (46.9),
эти соотношения можно переписать в более удобной форме:
Bq = Ло,
и0]+А^
В2 = е[Л0, С7Х] +
Bk = E[AQ, U^l + L,,	(49.6)
где оператор Lk зависит лишь от младших по сравнению с
асимптотик искомого оператора U:
* j
В* = Ак + 8 [Лк — Ло, CZfc_2] +	*
X [. .. [АкЧ, U^],	/72] (к = 2, 3,..).	(49.7)
230
Введем обозначения: (Л^д — совокупность резонансных членов
в выражени и для Лх во всех порядках, т. е. всех таких членов,
для которых	. — mn^n = 0. Соответственно^!^ —
совокупность нерезонансных членов.
Решение системы (49.6) осуществляем следующим образом.
Выберем Вг так:
Bi =
тогда оператор UQ найдется из условия
8[Л0С70] =	(Л^.
Подставляем найденный оператор Uo в формулу для оператора
L2, после чего выбираем В2:
^2 ~ (^2)#»
что позволяет получить уравнение для нахождения U^.
8 [Ло, Uj] =	(Z/2)ni
и т. д. Общий результат записывается следующим образом:
Вк = (Lk)R, е[Л0,	(49.8)
Первое из этих соотношений определяет нормальную форму
рассматриваемой системы во всех порядках по переменным z
с точностью до членов порядка 8*+1. Второе соотношение опре-
деляет ту асимптотику оператора, которая нужна для построения
следующего приближения нормальной формы.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как решается относительно
искомого оператора уравнение
8 [Лв, U] = -(Lkb.	(49.9)
Уравнение такого типа в методе нормальной формы называется
гомологическим.
Пусть оператор получен в виде
£к = A,1Z1	+ • • • + Мп^- +
+ <49Л°)
Здесь суммирование осуществляется по всем положительным
целым т8, таким, что	Ищем U^.
8
У,	+•• +
+(У	<49Л1>
8»*
231
В (49.11) в суммах присутствуют такие же нелинейные члены, как
и в (49.10), за исключением резонансных. Вычислим коммутатор:
[Ло, = AJJ?7^_1Л0 =
= [ У, Ъ^...тп (— Xj + А,1лтг1 + . . . + Xn77in) Zil- . . . -г?] X
X + • • • +	^'т,...тп (— К) + XjMj + ••• +
+ lnznn)<‘.	(49.12)
Таким образом, вычисление коммутатора состоит в умножении
каждого нелинейного члена в р-й компоненте оператора (49.10)
на коэффициент (— %р + Х1т1 + . . . + Xnmn). Следовательно,
коэффициенты	> определяющие оператор (49.11), полу-
чаются в виде
^...т = ;---г----,УПп......	(49.13)
Нормализующее преобразование, приводящее оператор А к виду
имеет вид
zp — Ур + &U + “2" &2и1-2Ур + • • • +
К
+	(р = 1,...,п).	(49.14)
Таким образом, построение нормальной формы и нормализующего
преобразования в произвольном приближении по е сводится к
повторению одной и той же процедуры по трем формулам (49.7)
и (49.8).
Рассмотрим теперь некоторые общие свойства нормальной
формы.
Вычисление коммутатора оператора линейной системы Ао
с каким угодно произвольным оператором Л: [Ло, Л\ произво-
дится по формуле (49.12). Если при этом окажется, что все мно-
жители
—+ . . . +	= 0,
т. е. оператор Л содержит лишь резонансные относительно опе-
ратора Ао члены, то этот коммутатор оказывается равным нулю.
По построению нормальная форма только резонансные члены
и содержит. Это означает, что
[Ло, = 0.
Таким образом, постановка задачи о приведении к нормальной
форме также соответствует задаче теории возмущений, сформу-
лированной в разд. 46: требуется так преобразовать нелинейную
систему, чтобы в преобразованном виде она была инвариантной
232
относительно группы, порождаемой линейной частью этой системы.
Для систем такого вида имеет место принцип суперпозиции ре-
шений, доказанный в разд. 39, в силу которого для построения
решения нормальной формы достаточно построить отдельно ре-
шение ее линейной части, после чего вместо постоянных интегри-
рования подставить решение системы, полученное отбрасыванием
линейной части. Свойство коммутирования оператора нормаль-
ной формы с оператором ее линейной части можно использовать
для понижения порядка системы в нормальной форме, для чего
в нормальной форме достаточно перейти к каноническим коор-
динатам группы, порождаемой линейной частью (см. разд. 38).
Таким образом, доказано свойство: нормальная форма всегда
может быть понижена в порядке.
Если рассматривается механическая система, линейная часть
которой соответствует системе, изученной в разд. 17, то все корни
являются чисто мнимыми и попарно сопряженными:	=
= %п+1,. .., Хп = Х2П (порядок системы четный 2п). Величина =
= I ^n+s | —ws называется собственной частотой (s— 1,.. ., п). Си-
стему (48.3) в этом случае перепишем в виде
?/R —• • • • ‘упПУ11- • • • ‘Уп^
•	5^^ 7 Jr	ТМ __ лп	Р71
ук = —1ык 4.	• • • -Уп У1- • •. -Уп
(к = 1, .. п)
Условие (48.8), выделяющее резонансные члены для системы
(49.15), запишется в виде
Юк = mjco, + . . . + шп(оп — р1(м1 — . . . — рпып
или
(wij — Pj) (Oj 4- ... + (тк — Рк — 1) (Ок + ... + (Шк — л)«к = 0.
(49.16)
Если собственные частоты рационально несоизмеримы, т. е. если
+ . . . +
ни для каких целых, не всех равных нулю ц, то из (49.16) следует
m1 = pv . .	=	+	=
Pk+li • • Мп== Рпл
Это означает, что резонансными в этом случае в системе (49.15
могут быть только члены вида
(У1У1Г" • • • • (УпУпГп>Уь-
Таким образом, нормальная форма системы (49.15) получается
такой:
Zy = l(Oic 4- С	(ZtZi)1771 * • • • '(%п%п)
х* = —	+ • • • •
233
Такая система допускает понижение размерности в два раза пере
ходом к переменным
гк = У= arg zfc,
в которых уравнения, очевидно, не будут зависеть от ф^. Если
в системе имеется s независимых резонансных соотношений между
частотами:
Hllwl + . . . +	= О,
|Л51(О1 + . . . + psncon — О,
то порядок системы в нормальной форме может быть понижен до
числа п + $.
Сравнение метода нормальной формы с методом осреднения.
Прежде всего заметим, что сравнение двух методов имеет
смысл для того класса систем, к которому применимы оба метода.
Таким классом являются квазилинейные, полиномиальные си-
стемы. Цель применения обоих методов к этим системам одина-
ковая: привести их к виду, в котором линейная часть системы
коммутирует с нелинейной (нормализующее преобразование),
что в канонических координатах группы, порождаемой линейной
частью, приводит к понижению порядка. Как следует из вышеиз-
ложенного (в этом разделе и в разд. 47, 48), в методе осреднения
вначале переходят к каноническим координатам, а потом разы-
скивают нормализующее преобразование. В методе нормальной
формы наоборот: вначале делается нормализующее преобразо-
вание, а затем переходят к каноническим координатам. В обоих
случаях окончательный результат одинаков. Процедуры тем
не менее разные. Одна может быть удобнее другой в конкретных
задачах.
Поскольку процедуры разные, то это, в частности, прояв-
ляется в том, что классы систем, на которых применимы эти про-
цедуры, не совпадают. Например, для метода нормальной формы
не обязательно присутствие малого параметра, с другой стороны,
метод осреднения применим к системам с неполиномиальными
правыми частями. Правые части могут быть даже разрывными
или обладать какой-то более сложной природой: с запаздываю-
щим аргументом, интегродифференциальной и т. д.
Пример. Найти вторую зону неустойчивости уравнения
Матье:
х + (1 + А + е cos t) х = О,
здесь А — малая величина порядка 8, характеризующая отстройку
от резонанса, определяющего вторую зону неустойчивости. Этот
пример интересен по двум причинам. Во-первых, в разд. 22 эта
задача уже решена методом осреднения. Это позволит сравнить
обе процедуры. Во-вторых, до сих пор метод нормальной формы
применялся к автономным системам. Этот пример продемонстри-
234
рует один из подходов к применению метода нормальной формы
к системам с периодическими коэффициентами. Перепишем урав-
нение Матье в виде следующей системы:
~ Х2ч
х2 — —	— 8^1X3,
Х3 =	?
^4 = — Х3-
Приведение к полиномиальной форме здесь достигнуто ценой
увеличения размерности системы вдвое. Как и в разд. 47, такое
увеличение размерности является фиктивным: два последних
уравнения преобразованиям не подвергаются, они оказываются
всегда независимыми от первых двух уравнений и из окончатель-
ного результата переменные х3 и выпадают.
Как и в примере, приведенном в разд. 48, используем следу-
ющие комплексные переменные:
1/1	У1 Х2 ^1» У2 ХЬ Ч~ ^3» У2 == *^4
В этих переменных система переписывается в виде
У1 = 4/1+-^- (У1 — У1) + -|- (У1Уг — У1У 2 — У1У2 + У 1Уг)-
Сопряженным переменным соответствуют сопряженные уравнения.
Операторы:
а . д . . 1д .
Ло=^-^+г^+---’
[tyi + -£ (У1 — £i)+ ^-(У1У2 — У1У2 — У1У2 + У1У2)]	+
I . д'
+ 1У2 -з—
Qy2 »
Здесь и везде ниже точками обозначены вторые половины опера-
торов, соответствующие сопряженным переменным уг и у2-
Рассмотрим первое приближение метода. Замена переменных
(i/i^ Уъ) (2v 2г) переводит оператор Лх в Вх:
Вх = А + г [Ло, UQ].
Резонансная часть оператора Лх:
, . .	/. , г А \ д | . д	D
(Лх)й — ^izx + -у Zx j + iz2 dz2 +-----Bv
Нерезонансная часть оператора Лх:
[. А _ , 8 ,	, vl д ,
— 1 “2" Z1 Ч 4" (Zl22	Zi:2 Z1Z2 + Z1Z2) J + • • • •
По формулам (49.13) находим
UQ = (---z 1 + 4" Z1Z2 + 7Г 2 +
+ — Z1Z2 — 12 2122/ dzy + • • • •
235
Второе приближение:
в2 = А + е [Ло, C7J + 8 [А - 40, С70] + 4 [Мо>	А
Поскольку
Ао — i -у z± + (Л1)дг,	8 [Ло> С70] =	(4 Ду,
+ ~TZ2
то последнее соотношение можно переписать в виде
^2 = Ai + е Мо> ^1] + ~2“ [(^i)a> Uо] +
+ еР“Гг1^г+-"’С/<’] •
Так как нас интересует лишь второе приближение нормальной
формы, то мы не будем разыскивать U\'.
52 = Mi)h + -|-([(A)n, ^о])н.
Последний коммутатор в предыдущем выражении для В2 резо-
нансных членов не содержит, поскольку их не содержит опера-
тор и0.
Приведем коммутатор [(Ax)jv, UQ] полностью:
= {[Zl“r(Z2 — f2) + ?1(~ "FZ« +
4 (z2 + z2) + [ Ч 4 (?2 — Z2) + Zx (i 4 “ "Г Z2 +
4^ I 4” z2 12-z2/	4 (z2 “Ь 2г) “b
+	(	4e“ + V Z2 ~ 12 z‘2)] ~4~(z2 — z2)
£	“4“ (z2 4~ "2) + zi 4^	4“ *2 H {J" ^2) J X
. . /	. Д 8	.	8 _ \] d --------г d
X 1 2	4 Z2 4 *2Д dzi +{•••} dll •
Резонансными членами здесь являются только z^, z^z^.
Поэтому
/г/ л \ тт 1\	(	•	• 8 _ 2	^8	__ \ д .
(l(^i)n^ ^о])н = i 21	~4” zlZ2 0“ ^1^2Z2j + • • • •
Следовательно, В2 имеет окончательно вид
D /.	. . A iA2	i82 _ 2
^2 —	1 1 zi 8“ zi	g"~ ziz2
ie2 _ \ д . d ,
i2"ZlZ2Z2) dzt + fZ2"^T + • * * *
Таким образом, нормальная форма уравнения Матье с точностью
до членов третьего порядка малости равна
( Д . Д2 . 8а _ 2	. 82
йх — izx 4~ ~2~	”8"	“8~ zi^2 42* ^i^2^2’
^2 == ^2*
236
Воспользуемся теперь принципом суперпозиции и выпишем эк-
вивалентную с точки зрения устойчивости систему (отбрасыва-
ются члены, соответствующие оператору Ло, порождающему
группу симметрий нормальной формы):
. Д . Да . Е2 _ 2	• Е2	_	. А
Zj  I -g— Zj I -g— Zj I —g- ZjZ2	I "12” z1? z2, z2 V.
Поскольку нас интересует решение *по переменной z2, имеющее
модуль, равный единице, то положим z2 = 1. Это дает
. / Д	Д2	8а \	. 8а
21=Ц-2	§
1	. / Д	Да	82 \ -	. 82
Z1 — — г	у	jy ) zi + i -g- zr
Граница области устойчивости определяется из уравнения
Д Да 82	8а
~2 ~~1Г~~~
е2	/ Д	Д2 е2 \
"8”	\ 2	12 )
откуда
8	12 )	64 ~“U
или, разрешая относительно Л:
Д = -^-82, Д = —— 82,
что совпадает с результатом, найденным ранее методом осреднения.
Обобщения. Изложенный алгоритм легко распространяется
на общую процедуру метода нормальной формы, т. е. без предпо-
ложения о присутствии в ней малого параметра. Перепишем
систему (48.3) в виде
У* — КУк + fm^.m У™'9 • • • *Уп П+ 3	УГ4** • •*^пП+ •••
0=2	п	о=3
(к = 1, . . ., п)
через а здесь обозначен порядок нелинейных членов
а = т1 + . . . + тп.
Таким образом, в первой сумме собраны лишь члены второй сте-
пени, т. е. однородная квадратичная форма, во второй сумме —
только члены третьей степени и т. д. Перепишем эту систему
еще раз, введя параметр 8:
Ук = ^Ук + 8 S пУ1'* • • • 'УпП +
о=2
+ е2 S А...ГИХ1’	<8=1)-
0=3
237
В этом виде можно пользоваться формулой Хаусдорфа для асимп-
тотик, записанной в форме (49.6). Справедливыми остаются п все
последующие соотношения (49.7), (49.8) и (49.14). В окончатель-
ных результатах берется 8 = 1, что приводит к обычной нормаль-
ной форме и обычному нормализующему преобразованию. Все
вопросы сходимости также трактуются обычным образом. На-
пример, при построении нормальной формы до какого-то конеч-
ного порядка никакой проблемы сходимости нет.
Обобщение изложенного алгоритма на случай недиагональной
жордановой формы линейной части системы для механики инте-
реса не представляет, поскольку линейные консервативные си-
стемы всегда имеют диагональную жорданову форму (см. разд. 17).
Тем не менее алгоритм применим и в этом случае. Все остается
без изменения, за исключением формулы (49.11), представляющей
вид разыскиваемого оператора в гомологическом уравнении
(49.9) и решение этого уравнения в виде формулы (49.13). В слу-
чае недиагональной жордановой формы к выписанным членам
в операторе (49.11) следует добавить члены, получаемые сдвигом
показателей степеней вправо так, как это было продемонстриро-
вано в разд. 48 при доказательстве теоремы Пуанкаре—Дюлака.
50.
Метод касательных (оскулирующих) приближений
Излагаемый ниже метод удобно применять для построения перио-
дических решений нелинейных систем, хотя возможно примене-
ние и для других целей.
Рассмотрим скалярное уравнение n-го порядка следующего
вида:
=f(t, х, х', . . ., я(п"й).	(50.1)
Функция f (t, х, х', . . .) — аналитическая в некоторой области
функция своих аргументов и периодическая функция времени.
Случай автономных систем будет рассмотрен отдельно.
Метод касательных приближений сочетает идеи метода Ритца
и метода Тейлора.
Периодическое решение уравнения (50.1) ищется в виде суммы
х (0 = аофо (0 +	(04-...+ ак<рк (0 + . . .,	(50.2)
где <рк (0 — базисные, или координатные, функции, выбираемые
в соответствии с решаемой задачей. Для построения периодиче-
ских решений эти функции удобно брать также периодическими,
хотя это не обязательно. Требуется построить такой конечный
отрезок ряда (50.2), чтобы полученная функция имела заданное
число производных при t = 0, совпадающих с теми же производ-
ными у точного периодического решения. То есть строится при-
ближенная периодическая функция, имеющая тот же период,
что и точное решение, и касающаяся при t = 0 точного решения
238
с произвольным, заданным порядком касания. Именно такой
характер приближения имеет тейлоровский полином для прибли-
жаемой функции.
Поскольку базисные функции <pR (t) считаются известными,
будем считать известными их тейлоровские разложения
<Pk = 3^s	(50.3)
8
(функции предполагаются аналитическими в окрестности нуля).
Таким образом, предполагается известной система коэффициентов
|4 (к, s = 0, 1, . . .).
Подставляя (50.3) в (50.2), находим
#(/) = У	(50.4)
k, s
С другой стороны, введя обозначения для производных
х' = р, х" = q, . . .,
перепишем (50.1) в виде (ограничимся для наглядности системой
второго порядка):
I = 1, х = р, р = / (t, х, р).
Инфинитезимальный оператор группы, порождаемой этой системой:
А =='&Ц' +	Х*’ Pty)~di*'
Эта группа переводит начальные значения (tQ, х0, р0) в текущие
(/, х, р). Воспользуемся ее представлением в виде ряда Ли (ом.
разд. 35):
ж (/) = х0 + t Ах0 4- -i- t2A2x0 + .. . .
Выражение Агх0 и представляет собой значение r-й производной
в нуле точного решения. Выражение для той же производной в
нуле у функции (50.4) есть
ТГ
к
Приравнивая первые г производных в нуле точного решения и
его представления, найдем
~	+ Л2Н2 + . . •»
Ах0 = ao|ij + a1(i} +	(50.6)
-jy — aoHo +	+ агН2 + • • • •
Получена линейная система уравнений для нахождения неиз-
вестных коэффициентов а0, а1? . . . . Возникает вопрос, сколько
этих коэффициентов можно определить из системы (50.6). Заме-
239
тим, что кроме коэффициентов ак неизвестными являются началь-
ные условия, определяющие периодическое решение. Для системы
второго порядка их два: гг0, Ах0 = р0. Если в системе (50.6) ос-
тавить искомые коэффициенты в количестве г—2, то получим
систему
^0 = аоНо + • • • + Лг_2|Лг_2,	/ел 7\
—	= аоЦо + • • • + аг-2Цг-2-
Это переопределенная относительно ак система. По известной
теореме алгебры для совместности уравнений необходимо и до-
статочно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расши-
ренной матрицы. При этом если этот ранг равен числу неизвест-
ных, то решение единственно. Ранг матрицы системы без ограни-
чения общности можно считать равным г—2 (поскольку коэф-
фициенты мы выбираем с достаточным произволом). Расши-
ренная матрица системы имеет вид
/
\Ро • • • НгГ-2
1 Ar
— A xQ
Это прямоугольная матрица размером г X (г—1).
Для составления условий о соответствии рангов воспользу-
емся теоремой о ранге матрицы: если матрица имеет минор порядка
г —2, отличный от нуля, для которого все содержащие его миноры
равны 0, то ранг матрицы равен г — 2. Отличный от 0 минор
Но • • • •
ИГ2 •••• Нг-22 •
Следовательно, для совместности системы необходимо и доста-
точно, чтобы два содержащих его минора были равны нулю:
Но • • • • Нг-г
цг-2 ur-2	=0,
Го • • • • Гг-2
..г-1 иг-1 _____________лг“1Гл
Н0 * * * * Нг-2 (г — 1)!	0
••• н2_2
иг-2 цг-2 =0.	(50.8)
Го ••• Гг-2 .
г	Г	ЛГ
••• М?-2 7ГЛ XQ
240
Уравнения (50.8) служат для определения двух неизвестных
начальных условий xQ и р0. После подстановки найденных отсюда
значений xQ и pQ в первые г —2 уравнений системы (50.7) получаем
разрешимую неоднородную систему, определяющую единственное
решение для а0, . . ., аг_2.
Если исходное уравнение имеет порядок п, то из условия
касания r-го порядка (г > п) можно найти r—п неизвестных
коэффициентов ак. Неизвестные начальные условия находятся
из условия равенства нулю п окаймляющих миноров.
Случай автономной системы:
* = p = f(x,p); А = р0 +
Вся изложенная выше процедура применима полностью и в
этом случае. Отличия такие. Коэффициенты базисных функций
будут зависеть от величины неизвестного заранее периода Т\
(Г). В силу автономности одно из начальных условий (напри-
мер, Xq) принимается произвольным. Из уравнений (50.8) нахо-
дятся период Т и второе начальное условие в зависимости от х$.
Все остальное так же, как и в неавтономном случае.
Замечание. При решении конкретных задач может ока-
заться так, что удобная система базисных функций такова, что
не выполняется условие, чтобы все главные миноры матрицы
системы (50.6) были отличны от нуля. В таких случаях число
приравниваемых производных в нуле (порядок касания) будет
выше, чем число определяемых коэффициентов плюс порядок
системы.
Пример. Уравнение Дуффинга:
х = —х —&Х3.
Поскольку колебания, описываемые этим уравнением, симмет-
ричны, то в качестве базисных функций (t) можно взять
<р0 = cos со£, срх = cos Зсо£, <р2 ~ cos ....
Коэффициенты рц- в этом случае равны:
Ио = 1,	Цо = —	Но = °, Но = -^-®4,. .
|Л?=1,	р.} = 0, |ii= — 4'с°2’ Н1 = 0’	=	♦ • •
Ограничиваясь определением двух первых коэффициентов, урав-
нения (50.7) берем в виде
= ^1»
Ах0 = 0,
А2ж0 = —аосо2 — Эсо2^,
А3ж0 = 0,
А % — -И 81 (0%!.
241
В силу указанной симметрии решения AxQ = 0, Л3.г0 = 0. По-
етому второе и четвертое уравнения этой системы удовлетворя-
ются тождественно. Основная система, разрешающая поставлен-
ную задачу, такова:
«о == *0,
<о2а0 +9со2а1 = —Л2£0,
со4ао + 81 о)4^ = Л4я0.
В рассматриваемом случае оператор А имеет вид
Подсчитываем правые части системы:
Ахо = Ро'у а% = — (хо + е4),
А3х0 = — (1 + Зе4)р0,
Л % = —6еяо/?о + (1 + Зехо) (х0 + ex#).
В силу симметрии решения pQ — 0, поэтому уравнение для на-
хождения частоты со приобретает вид
1 1
со2 9со2
со4 81(о4
1
1 + &Г0
(1 + Зеаф (1 + arj)
Если считать 8 малым параметром и представить со = 1 + есо1,
3	2
то из этого уравнения находим co1 = -g-zo.
Для нахождения aQ и а± теперь достаточно решить систему
ло + ai —
«о + 9«1 = *о (1 + е*о)-
Вопросы обоснования метода. Если точное ре-
шение представимо конечным числом базисных функций ф0 (t),. . .,
фг (J), то процедура с порядком касания, равным г Ч- тг, где
п —порядок уравнения, позволяет построить периодическое
решение точно. Отсюда следует, что в случае квазилинейных
систем рассмотренный метод позволяет строить точные разложения
периодических решений по степеням 8. Это следует из того, что
для квазилинейных систем чем выше номер гармоники (в случае
sin и cos в качестве базисных функций), тем выше и порядок
малости по 8 ее амплитуды. Для систем без малого параметра
задача обоснования существенно сложнее.
Была рассмотрена задача построения периодического решения
скалярного уравнения дг-го порядка. Распространение алгоритма
на системы дифференциальных уравнений не вызывает принци-
пиальных затруднений.
242
Глава
пятая
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
В ЗАДАЧАХ ТЕХНИКИ
51.
Существенно нелинейные вынужденные колебания
гироскопа в кардановом подвесе
Рассматривается движение уравновешенного гироскопа в карда-
новом подвесе, установленного на неподвижном основании
(рис. 41). Предполагается, что по оси внутреннего кольца дей-
ствует малый периодический момент и малый момент сил вязкого
трения.
Свяжем с внешним кольцом трехгранник Ox2y2z2 с внутрен-
ним — Ох^^. Направим ось по оси вращения внешнего коль-
ца, ось у2 — по оси ух вращения внутреннего кольца, ось zr — по
оси собственного вращения ротора. Положение этих систем коор-
динат и ротора относительно неподвижного трехгранника
определяется углами а, р, у (рис. 42), где у — угол поворота
ротора относительно внутреннего кольца.
Обозначим моменты инерции внешнего кольца относительно
оси х2 через А2, моменты инерции внутреннего кольца относитель-
но осей Хц у!, z± — через Лп В1? экваториальный и полярный
моменты инерции ротора — через А и С. Удвоенная кинетическая
энергия системы гироскоп и кардановы кольца записывается в
форме
2Т = (Ло - Со sin2 Р) я2 + 5ор2 + С (у + я sin р)2,	(51.1)
Ло =	+ ^2»	= ^ + ^1» Со = А 4~ Аг — Сг.
Уравнения движения с учетом возмущающего момента с амп-
литудой &F и частотой действующего на внутреннее кольцо,
и малого момента вязкого трения с коэффициентом трения 8^1 име-
ют вид
[(Ло - Со sin2Р)a + Н sinр] = 0,
В0Р + Coi2sinP cosP —- Н я cos р = e(Fsin	— |^),	(51.2)
С (у + я sin Р) = Н — const.
Здесь положительный параметр 8 считается малым, точка над
буквой означает дифференцирование по времени.
Из первого уравнения (51.2) следует
(Ло — Со sin2 Р) а + Н sin Р = L = const.	(51.3)
Для дальнейшего исследования удобно ввести безразмерное
время
т = Ht/VА 0В0 = hi.	(51.4)
243
Рис. 41
Здесь п — круговая частота малых нутационных колебаний.
Тогда уравнение (51(3) и второе уравнение (51.2) примут вид
(1 — с sin2 Р)	+ sin Р = I,
Р" 4- с j sin р cos Р — cos р = е (/ sin Qr — £Р')»	(51.5)
с = -^,	тп=1/42-» z=4’ ^ = —’
Ло	V Ло	н	п
j__ AqF я_____ 51
7 Я2 ’	mH •
Штрих при аир здесь и далее означает производную по без-
размерному времени т. Исключая а' из уравнения (51.5), придем
к уравнению для угла Р:
₽"+4 4г-=е (/sin Qt - £₽')’
V(P)= (/~sin^ft2 .	(51.6)
Таким образом, задача сводится к исследованию вынужденных
колебаний системы с одной степенью свободы, близкой к консер-
вативной.
Используя метод осреднения (разд. 24), найдем порождающее
решение, т. е. решение уравнения (51.6) при 8 = 0. Интеграл
энергии соответствующей консервативной системы имеет вид
(Р')2+ V(p) = a2,	(51.7)
где а — постоянная интегрирования, которую будем считать поло-
жительной.
Решение уравнения (51.7) выражается в общем случае через
гиперэллиптический интеграл. Наглядное представление о харак-
тере всех возможных порождающих решений можно получить при
244
помощи графика функции V (0), содержащей два параметра си/.
Вид графика V (0), зависящий от значений этих параметров, мож-
но найти после несложного, но довольно громоздкого анализа,
который здесь опущен, а результаты приведены на рис. 43, 44.
На рис. 43 в плоскости параметров с, I указаны пять областей,
которым соответствуют существенно различные графики функ-
ций V (0). Эти области симметричны относительно прямой 1 = 0
(поэтому на рис. 43 области 1—5 построены только для I 0)
расположены слева от прямой с = 1, так как значения параметра
с должны удовлетворять условию с < 1, и отделены друг от друга
прямыми I = +1 и гиперболами cl = ±1.
245
Графики функции V (Р), соответствующие областям/—5и слу-
чаю I 0, показаны на рис. 44. В силу периодичности У(р) и
симметрии графиков V (|3) относительно прямых р = +л/2 на
рис. 44 графики У(Р) построены при —л/2 Р л/2.
Графики V (Р) при Z<0 получаются из построенных зеркаль-
ным отражением относительно оси ординат, так как при замене I
на —Z и р на —Р функция V (р) не меняется. При Z = 0 график
функции F(P), соответствующий области 7, симметричен относи-
тельно оси ординат.
Из приведенных графиков следует, что в областях 1 и 2 имеется
два устойчивых положения равновесия в точках р* и л — р* (р* =
= arc sin Z). При р = Р* или Р = л— Р* для угловой скорости
внешнего кольца имеем а' = 0, т. е. ось гироскопа неподвижна.
В области 3 имеется два устойчивых положения равновесия в
точках Р** ил — р#8|! (Р** = arc sin 1/cZ), однако при р = Р** или
р = л — Р#* угловая скорость внешнего кольца сохраняет по-
стоянное ненулевое значение: а' == т (с sin Р*#)"1. Таким образом,
гироскоп совершает устойчивую относительно угла Р регулярную
прецессию. В областях 2 и 5 неустойчивым положениям равнове-
сия р** ил — P#J|t соответствует неустойчивая регулярная пре-
цессия.
Углы р = +л/2 тоже являются положениями равновесия, при-
чем в области 5 они оба устойчивы, а в областях 2 и 4 устойчиво
одно из них. При р = +л/2 внешнее кольцо может вращаться с
любой постоянной угловой скоростью.
В каждой из областей гироскоп может совершать колебания
по углу Р около устойчивых положений равновесия. Кроме того,
при достаточно больших значениях постоянной энергии а и при
Z =/= 0 гироскоп может совершать колебания по Р в пределах, сим-
метричных относительно (n/2)sgnZ.
В области 1 колебания первого типа имеют место при выпол-
нении неравенств
0<а<Л1=±=Ж,	(51.8)
у 1 — с
а колебания второго типа — при выполнении неравенств
ai<a<a2 = J_=El_.	(51.9)
/1-С
Амплитуда колебаний второго типа в областях 1,3 и 4 может быть
сколь угодно близка к 2л.
В качестве порождающего решения будут рассматриваться ко-
лебания первого типа около положения равновесия р#, колебания
второго типа и вращательное движение по углу Р (последнее име-
ет место при а^>а2). Период Т (а) и амплитуда Др колебаний опре-
деляются формулами
Т(а)= J [a*-V (Р)]-‘Мр, ДР = Р2(а)-р1(а).	(51.10)
Р1(а)
246
Здесь величины 0lt2(a) яв-
ляются корнями уравнения
V(Р) = а2 и для колебаний пер-
вого типа
[Pi, 2 (а) —
= arcsin ———L5— -------------------
1 а2с
(51.11)
В случае колебаний второго
типа при I 0 выражение
(51.11) для (а) остается спра-
ведливым, а 02 (а) = л — Рх (а).
Рис. 45
Амплитуда колебаний Др (а)
при возрастании а тоже возрастает, причем Др (0) = 0.
Поэтому в дальнейшем будем называть величину а приведен-
ной амплитудой или просто амплитудой, а Др (а) — реаль-
ной амплитудой по углу р. Зависимость реальной амплитуды
от приведенной при I = 0,5, с = 0,4 изображена на рис. 45.
Когда приведенная амплитуда а приближается к значению
которому соответствует положение равновесия, период колеба-
ний Т(а) бесконечно возрастает. Чтобы выяснить характер изме-
нения Т (а) в области малых амплитуд, выразим с помощью замены
• a	ui + Л2 sin2 9
81"Р=	,
^1,2----sin Pit 2»
U2 — Uj J
1 + M2
(51.12)
период T (а) через собственный интеграл:
Т (а) = 4 [(1 + а2с) (1 - U1) (1 + ы2)] X
Л/2
С г (1 - h* sin2 О)2 — с (щ + №’sin2 0)2 "1 « dO
Х J L	1 — Л:2 sin2 0	J 1 —42sin20 ’
^ = 2^/(1-^).
Считая величину а достаточно малой, найдем отсюда два пер-
вых члена разложения Т (а) в ряд по степеням а2:
Т (а) = л [(1 - cl2)/(l - Z2)]’/t[l + к±а2 + О (а4)],	(51.13)
Ъ=к.(с л_И^2с + /2(2^с)	с(1 + 12) . ЗсЧ2
1	)	2(1 — /2)2	2(1 —Z2) + 2(1 —с/2) •
Оказывается, что кл 0 в области 2, в области 1 коэффициент
к± может быть как положительным, так и отрицательным. Часть
кривой к± (с, I) — 0, лежащая в области 1, указана на рис. 43 пунк-
тиром. Справа от кривой выполняется неравенство кг < 0; этой
части области 1 (на рис. 43 отмечена двойной штриховкой) соот-
247
ветствуют такие значения параметров си/, при которых период
Т (а) на интервале (0, аг) будет вначале убывать, затем возрастать.
Соответственно частота колебаний с ростом амплитуды вначале
возрастает и, достигнув наибольшего значения, убывает.
При колебаниях гироскопа по углу 0 угловая скорость а'
внешнего кольца будет тоже периодической функцией времени.
Ее среднее за период значение <а'> определяется из (51.5) и (51.7):
Т(а)
(а'\— m С ^-sinP(r) ,
Т(а) J 1 - с sin2 0 (т) аТ —
О
=	,-±.Рр	(51.14)
Используя замену (51.11) и разложение (51.13), найдем два
первых члена разложения <а'> в ряд по степеням а2:
<<*'>= 2(?-p)(7-cz2) i1 + ** <с’ оа2 + 0	<51Л5>
ъ (г 1\— 7 —3c4-2Z2(l — 4с —Зе2) + Z*(19c2 —7с) — ic2/’	,
^2 \С,Ч —	8(1-cZ2)(1 — Z2)2	* '01 *
Второе слагаемое в квадратных скобках дает поправку к извест-
ной формуле Магнуса для средней скорости ухода уравновешен-
ного гироскопа в кардановом подвесе. Можно показать, что в об-
ласти 1 выполняется неравенство к2 (с, I) 0, поэтому формула
Магнуса определяет с недостатком приближенное значение сред-
ней скорости ухода гироскопа. Часть области 2, где к2 (с, I) < О,
отмечена двойной штриховкой на рис. 46.
Для применения метода осреднения удобно ввести в рассмот-
рение угловую переменную <р, которая является бесконечнознач-
ной функцией угла:
Pi
<р = Ф(0,а)=<о(а)( —-,+ 2лп (п = 0,± 1,±2,. ..).
в2 — V (х)
(51.17)
Здесь со (а) =	(а) — круговая частота колебаний. Об-
ратная зависимость Р = р (ф, а) является четной по ф и периоди-
ческой с периодом 2л, причем
0 (0, а) = ₽! (а),	0 (л, а) = 02 (а).
В случае а а2, когда порождающее решение соответствует
вращательному движению внутреннего карданова кольца, вместо
угла Р введем угол нутации 9 = л/2 — р. Тогда уравнение (51.6)
и интеграл энергии (51.7) примут вид
9" + 4-	= 8 (/ sin Qr - &0'),
(ет+гло)^, F1(e)=^^L.	(5i.i8)
248
Время одного оборота,
частота вращения и средняя
скорость ухода определяют-
ся соответственно формула-
ми
Т (а) = 2 £ м : =
7 J /а2-У1(0)
, ч 2л ,
ю(а)— г (а)
Зависимость средней ско- р
рости ухода от а для колеба-
ний первого, второго типа и
вращений представлена при с = 0,4, I = 0,5, m = 1 на
рис. 47. При колебаниях второго типа существует такое
значение а, для которого средняя скорость ухода гироскопа рав-
на нулю. Если а ею, то, как следует из (51.19), средняя ско-
рость ухода стремится к конечному значению
<а'>оо = ml/yi — с.	(51.20)
Пунктирная кривая на рис. 47 соответствует приближенному
значению средней скорости ухода, вычисляемому по (51.15) без
учета второго слагаемого в квадратных скобках (формула
Магнуса).
При вращательном движении угловую переменную ф опреде-
лим равенством
е
Здесь функция Т (0, а) по аргументу 0 будет монотонно возрас-
тающей и нечетной, причем Т(0 + 2л, а) — 2л -f- Т (0, а). Поэто-
му функцию Т(0, а) можно представить в виде
4^(0, а) = 0 4-	(0, а),	(0 + 2л, а) = 4^(0, а),
Ч\(-0, а) = —ТД0, а).	(51.22)
249
Кроме того, существует обратная функция
9 = 0 (ф, а) = ф +	(Ф, ®i (Ф + 2л, а) = 0Х (ф, а),
®i(—Ф» а) == —- ©1(Ф» а)-	(51.23)
Переходим к решению уравнения (51.6) при 8 ф 0. Заменим
это уравнение системой двух уравнений первого порядка относи-
тельно новых неизвестных а и <р, причем переход к новым пере-
менным производится по формулам
«2 = (РТ + Пр), <р = Ф(Р, а).	(51.24)
Дифференцируя выражения (51.24) по т и используя (51.6)
и (51.17), получим эквивалентную исходным уравнениям (51.6)
систему уравнений
а' =	(/ sin Йт — ср' = со (а) +	(/ sin йт — |р')	.
(51.25)
Преобразуем второе уравнение полученной системы. Из тож-
дества Ф [р (ф, а), а] = (р и (51.16), (51.26) следует, что
<?Ф дВ [_ <?ф _п <?Ф _	<?Ф	_ со (а)
<?Р да 1 да ’ да	д$ да	Р' да ’ '	*
поэтому уравнения (51.25) примут вид
а'=-^|-(/sin йт — |Р'),
<Р' = ® (а) -	(/ sin Йт - |р')	.	(51.27)
Правая часть первого из уравнений (51.27) мала, поэтому пере-
менная а изменяется медленно. Как и при 8 = 0, будем называть
эту переменную амплитудой. Уравнения (51.27) справедливы,
если порождающее решение — колебания I или II типа, т. е.
амплитуда а удовлетворяет условию (51.8) или (51.9). Если по-
рождающее решение — вращательное, то переменные а и ф вво-
дятся соотношениями
a2 = (0')2 + V, (9), ф = Y (9, а)	(51.28)
и удовлетворяют уравнениям
a' = -^-(/sin Йт —|р'),
ф' = со (a) - (f sin йт —10') dQ1^ — ,	(51.29)
получаемым аналогично (51.27) с использованием (51.18), (51.21)
и (51.23).
В дальнейшем будем рассматривать вынужденные колебания
или вращение, частота которых близка к £l/s (s= 1, 2, . . .). Введем
вместо угловых переменных (риф сдвиги фаз 9Х и 92 по формулам
$<р = йт + 91? $ф = — Йт + 92.	(51.30)
250
Тогда уравнения (51.27) и (51.29) запишутся соответственно
в виде
а' =	[/ sin (stf — 02) — gp'],
a i \ n емо(а) r, . , Q	<?B (p, a) (51.31)
0, = s® (a) - Q-------[/ sin (s<p — 0,) - gp'] >.,
p (V
a' = — [/ sin (02 — si|’) — £0'],
02= sw (a) - Й -	[/ sin (02 - sip) - £0'] fl) . (51.32)
Будем предполагать разность sco (a) — Q малой величиной по-
рядка e; тогда не только амплитуда а, но и сдвиги фаз 9Х и 02 мед-
ленно меняются и уравнения (51.31), (51.32), правые части кото-
рых имеют период по ср или ф, равный 2л, можно заменить
приближенными уравнениями. Учитывая четность 0 (ср, я) по ф, не-
четность р' (<р, а) по ф, нечетность Y (0, а) по 0 и 0Х (ф, а) по ф, осред-
ненные уравнения можно привести к одинаковой форме и для
случая колебаний и для случая вращения. Если 0 = 0Х при коле-
баниях и 0 = 02 + л/2 при вращении, то осредненные уравнения
имеют вид
а' = есо (a) a"1 [fAs (a) cos 0 —	(а)],
0 = sco (а) — Q — е/со (a) a~lA3 (a) sin0.	(51.33)
Здесь в случае колебаний
я	Pt
As (a) =	<ф’ sin S(P - “Г $ sin a)l
0	₽,
Л	f. t
•7 <a>=$/a2-y(p) d₽-	<51-34)
0	₽i
в случае вращения
A3 (a) = -A- J cos [sT (0, a)] dO,	J (a) = A- J /a2 - ^(9) d9.
0	0
(51.35)
Можно показать, что в случае колебаний II типа и при s = 2,4,
6, . . . для резонансных функций As (а) справедливо тождество
А& (а) = 0, т. е. в этом случае кроме главного резонанса (s = 1)
могут быть высшие резонансы лишь нечетных порядков.
Система осредненных уравнений (51.33) автономна, ее поло-
жению равновесия а = а#, 0 = 0#, определяемому из уравнений
Ms (а^) cos 0* — gj (a*) = О,
sco (a*) — Q — e/co (a*)a£A3 (a*) sin 0* = 0,	i • /
251
соответствуют стационарные колебания или вращение гироскопа по
углу р с частотой по т, равной Q/s. Исключив из (51.36) 0*, при-
дем к зависимости между частотой Q внешней возмущающей силы
и стационарной амплитудой (энергией) а*:
Й = 5(0 (а*) {1 + е/Лз (а*) («а*)’1 [1 — (g .7 (а*)/'М4 (а*))2]‘Л-
(51.37)
Отметим, что возможны лишь такие значения а*, для которых
ВЖ=)<ЛЛ(«*)1-	(51.38)
При значениях я*, для которых множитель при е в (51.37)
остается ограниченным, резонансные кривые, определяемые соотно-
шением (51.37), близки к графику функции Q = $со (а*), который
называют скелетной кривой. На рис. 48—50, где изображены ре-
зонансные кривые для случая главного резонанса, когда 5 = 1,
скелетная кривая проведена пунктирной линией. Вид скелетной
кривой на интервале (0, aj на рис. 48 и 49 различен в связи с тем,
что рис. 48 соответствуют значения параметров I = 0,5, с = 0,4,
при которых коэффициент кх в (51.13) положителен, а рис. 49 со-
ответствуют значения I = 0,5, с = 0,8, при которых кг < 0 (соот-
ветствующая точка на рис. 43 находится в области с двойной штри-
ховкой).
Внешние резонансные кривые на рис. 48—50 соответствуют
5 = 0, когда трение отсутствует, и условие (51.38) выполняется
для любых значений а* у= аЬ2. Вид резонансных кривых опреде-
ляется свойствами функций Лх(а) и J(a). Используя (51.34), можно
показать, что
^(a) = ^--j/4^- + O(a2), J(a) = 4]/4i^+O(a<)
(51.39)
и что co (а)	(а) —> оо при а —> аЬ2. Следовательно, как в области
малых амплитуд, так и вблизи критических значений ali2 резо-
нансные кривые удаляются от скелетной кривой.
Пересечение резонансных кривых со скелетной кривой проис-
ходит при значениях а*, когда в (51.38) имеет место знак равенства
или когда A's (а*) = 0.
Из (15.37) следует, что при построении резонансных кривых
вместо трех параметров е, f и | можно рассматривать произведение
е/ и отношение £//. Резонансные кривые на рис. 48 и 49 были по-
строены при е/ = 0,1 (для колебаний первого типа) и е/ = 0,2 (для
колебаний второго типа). На рис. 50 резонансные кривые построе-
ны для вращательных движений при с = 0,4, I = 0,5, е/ = 0,5.
Значение £// для внутренних резонансных кривых выбиралось
в соответствии со значениями отношения J (а^/А^а). На интерва-
ле (OaJ это отношение возрастает от 0 до оо, поэтому вынужденные
стационарные колебания первого типа существуют при любых
значениях |//. На рис. 48 и 49 принято £// = 2,5 и £// = 1,72.
252
На интервалах (а17 а2) и (а2, оо) отношение J (а^/А^а) дости-
гает наименьших значений. Поэтому в силу (51.38) вынужденные
стационарные колебания второго типа и вращательные движения
могут существовать, если £// не превосходит некоторых макси-
мальных значений. Так, при с = 0,4, I = 0,5 должно быть £//
1,25 для колебаний второго типа и £//	0,25 для вращатель-
ных движений.
На рис. 48 на интервале (ах, а2) резонансные кривые построены
при = 0,2 и £// = 0,5. На рис. 50 резонансные кривые построе-
ны при в/ = 0,5 и £// = 0,067.
Из найденных выше стационарных вынужденных колебаний и
вращательных движений следует выделить устойчивые стацио-
нарные режимы.
Полагая в уравнениях (51.33)
а ~ а* +	9 = 9* + Уч,	(51.40)
составим линейные относительно х и у уравнения первого при-
ближения
х' = есо (а*) a* {{fAs (а*) cos 0* — Id'(а*)] х — Ms(a*) sin 0*1/},
у' = {«и' (а*) — е/ [<о (а*) а^А‘3 (а*)]а. sin 0#} х —	(51.41)
— е/ю (а*) а*А', (а*) cos 0*г/.
253
Дифференцированием (51.34) и (51.35) по а, (51.36) по а* полу-
чаются следующие вспомогательные равенства:
(а) = а/® (а), fA's (a*) cos 9* — р' (а*) = fAs (a*) sin 9*	,
sco' (а#) — 8/ [со (а#) а^А* (a*)U =
— dQ/da^ + 8/<о (а*) а*А s (а*) cos 0* dQ*i.da*,
в силу которых характеристическое уравнение системы (51.41) за-
пишется в виде
X2 Ц-	As(a*) sin O^dQ/da* = 0,	(51.42)
где вследствие (51.36)
sin 0* = +{1 - [1У	(51.43)
(порядок знаков здесь соответствует порядку знаков в (51.37)).
Из уравнения (51.42) следует, что при | ^> О устойчивыми будут
те стационарные режимы, для которых
А6 (a*) sin Q*dWda* > 0*	(51.44)
Если s = 1, то, как следует из (51.34) и (51.35), функция As (а)
принимает только положительные значения, поэтому в случае
главного резонанса условие устойчивости имеет вид
sin 0*d Q/da* 0.	(51.45)
В критическом случае, когда | = 0, для выделения устойчи-
вых стационарных режимов следует использовать исходные осред-
ненные уравнения (51.33), которые при £ = 0 имеют первый ин-
теграл
8/As (a) sin 0 +	(а) — sa2/2 = С.	(51.46)
В данном случае положение равновесия (а*, 0*) определяется
соотношениями
0* == ±л/2, Q = sco (а*) + 8/ю (а*) a~jAs (а*).	(51.47)
Производя в (51.46) замену (51.40) и оставив лишь члены второ-
го порядка малости относительно х и у, получим
Яц*2 + «22у2 = С',
ап = 8/Л, (a*) sin 0* + Й [а*/со (a*)U —
а22 = —8/Л, (а#) sin 0*. J
Положение равновесия (а*, 0*) будет устойчиво, если апя22
0. Из равенства (51.47) нетрудно найти, что
й [а#/со (а#)]^ = $ — 8/Х (a*) sin 0* — асо"1 (а*) dty'da*,
поэтому выражение для коэффициента ап упрощается:
ап = —асо-1 (a*) dQ/da*,
254
а условие устойчивости ana22 0 при £ — О оказывается совпа-
дающим с условием (51.44) устойчивости при £	0.
В случае главного резонанса остается справедливым условие
устойчивости (51.45). Участки резонансных кривых, для которых
это условие выполняется, выделены на рис. 48—50 жирными ли-
ниями. В частности, из двух стационарных вращательных движе-
ний гироскопа (при фиксированном значении всех параметров)
одно будет устойчивым (см. рис. 50).
52.
Вынужденные колебания гироскопа
в окрестности
неизолированного положения равновесия
Рассмотрим движение гироскопа в кардановом подвесе, внешняя
ось которого лежит в горизонтальной плоскости, а ось кожуха
(внутреннего кольца) направлена по вертикали. Обычно конструк-
ция гироскопа такова, что в нижней опоре имеется подпятник.
Поэтому можно считать, что между внешним кольцом и кожухом
в нижней точке опоры имеется сферический шарнир; в верхнем
же подшипнике имеется люфт, поэтому кожух относительно внеш-
него кольца имеет три степени углового движения (рис. 51). Бу-
дем предполагать, что объект, на котором установлен гироскоп,
может двигаться поступательно в горизонтальной плоскости.
Свяжем с объектом поступательно перемещающуюся систему коор-
динат £т] £ таким образом, чтобы оси £ и £ лежали в горизонталь-
ной плоскости и ось £ была направлена по оси внешнего кольца.
С внешним кольцом свяжем систему осей x2y2z2 и обозначим
угол поворота внешнего кольца буквой а (рис. 51, 52). Положе-
ние осей связанных с кожухом, определяется в системе ко-
ординат x2y2z2 тремя углами ф, (J, ф (рис. 53); при этом углы ф и
ф характеризуют движение оси кожуха (оси ух), а угол Р — пово-
рот кожуха вокруг оси у±. Наконец, введем угол у, задающий по-
ворот ротора относительно кожуха.
Проекции р2, д2, г2 угловой скорости внешнего кольца на оси
х2, у2, z2 и проекции qr, i\ угловой скорости кожуха на оси
#i, ух zr имеют вид (здесь п далее точка над буквой означает диф-
ференцирование по времени)
Pi = Ъ = 0, г2 = 0, гг = (а 4- Ф) sin Р + ф, (52.1)
рг = (а + ф) cos Р cosф + Р зшф,
= — (а + ф) cos р sin ф + р cos ф.
Таблица направляющих косинусов между осями a?2z/2z2 и ося“
ми х±у& записывается в следующей форме:
Уг	zi
х2	cos р cos ф	— cos Р sin ф	— sin р
у2 cos (р sin ф + sin ср sin Р cos ф cos ф cos ф — sin ф sin Р зшф — sin ф cos Р
z2 sin ф sin ф — cos ф sin Р cos ф sin ф cos ф + cos ф sin Р sin ф cos ф cos Р
(52.2)
255
Рис. 54
Рис. 56
Рис. 55
Для вычисления кинетической энергии гироскопа потребуется
определить скорость V центра тяжести кожуха G. В соответствии
с рис. 54, на котором 0±G = 0х0 = Z, она выражается формулой
V = dX00x + (ф + ф) X 0xG, или в проекциях на оси хху^
vXi = I [a (cos ф sin 0 cos ф — sin ф sin ф) — (d + ф) sin 0 — ф],
(52.3)
vyi = — la (cos ср sin 0 sin ф + sin ф созф),
JZi = I [— d cos cp cos 0 + (d + ф) cos 0 cos ф + 0 sin ф].
Используя хорошо известные теоремы механики, находим ки-
нетическую энергию движения гироскопа относительно поступа-
тельно движущейся системы координат £:
2Т = Л2а2 + ml2 {[d (cos <р sin Р созф — sin <р втф) —
— (d + ф) sin Р — ф]2 + d2 (cos <р sin Р sin ф + sin <р созф)2 +
+ (— а cos <р cos 0 + (d + ф) cos 0 созф + 0 sinф]2}+ (52.4)
+ (Лх + Л) [(d + ф ( cos 0 cos ф + 0 sin ф]2 + (В1 + Л) х
X [— (d + ф) cos 0 зшф + 0 созф]2 + Сг [(d + ф) sin 0 4-
+ ф]2 + С [(d + ф) sin 0 4- ф + ф]2.
Здесь Л2 — момент инерции внешнего кольца; Лх, Вх, С± —
моменты инерции кожуха относительно главных осей инерции
Ун Л и С — полярный и экваториальный моменты инерции
ротора; тп — масса системы кожух + ротор; 2Z — расстояние
между опорами кожуха.
Если при движении оси кожуха выбирается люфт, то возника-
ет сила реакции Ж (рис. 55, 56), которая в соответствии с законом
Герца, связана с радиальным перемещением следующей зависи-
мостью:
</Г(г) =
Р (г —Д)3/2
Го
при г Д,
при г Д.
(52.5)
Здесь Д — люфт верхнего подшипника; к — константа Герца,
зависящая от материала, числа шариков в геометрических пара-
метрах шарикоподшипника.
Потенциальная энергия деформации имеет вид
П(г) = j Ж (г) dr.
о
Движение оси кожуха в верхнем подшипнике можно задавать
через удвоенные координаты х2, z2 центра тяжести G в системе ко-
ординат x2y2z2:
х2 = — 21 cos 0 зшф, z2 = 21 (sin <р созф +
+ cos ф sin 0 зшф).
257
Для малых углов перемещения х2 и z2 пропорциональны углам
ф и ф соответственно:
х2 = — 2/ф, z2 = 2/ф.	(52.6)
Очевидно, что радиальное перемещение равно г = (х% +
+ *22)ш.
Кинетическая энергия гироскопа (52.4) вычислялась в подвиж-
ной системе координат поэтому при вычислении обобщенных
сил следует принимать во внимание силу инерции переносного
движения —mw, где w — ускорение системы координат пере-
мещающейся поступательно в горизонтальной плоскости.
Разумеется, сила инерции —mw должна быть приложена в
центре тяжести кожуха G.
Будем считать проекции со?, со; ускорения w известными
функциями времени и выразим через них проекции ускорения w
на оси	используя таблицу (52.2), и заменяя угол ф на
а + ф:
iPxi = [w% cos Р — cos (а + ф) sin р] созф + sinj(a ф-
+ ф) зшф,
wlfl =J — cos p]—cos (а]+ ф) sin p] зшф sin(a +
4-ф)созф,|	(52.7)
wZt — sin^P'+'i^ cos (а + ф) cos 'p.
Обобщенные силы Qa (a = а, ф, P, ф, у), зависящие от силы
инерции, определяются из соотношения
— т (Vw) = Qai + (?фф 4-	4-	4-
в котором V — скорость точки G. Используя формулы (52.3) и
(52.7), находим	(52.8)
— QJrnl = {[zP| cos Р — cos (a -J- ф) sin pl созф 4-
+ iv^ sin(a + ф) sin гр} X (cos ф sin p cosip — sin ф sin ф —
— sin p) + {[w£ cos P — cos (a + ф) sin p] sin ф +
+ sin(a + ф) cos ф} (созф sin P sin ф + sin ф cos ф) -f-
+ [w$ sin P + w- cos (a + ф) cos p] (cos ф — cos ф) cos P,
— Qqhnl = cos (a + ф) sin p — cos p] cos ф —
— ir£sin(a + ф) sin ф} sinP + [tP| sin P -f- ip* cos (a +
+ ф) COS p] x cos p cos ф,
— Qfjml = IzPssin p + cos (a -f- ф) cos pi sin ф, =0,
— Qqfml = [zz>£ cos (a + ф) sin P — cos pi созф —
— iPgsinJ(a 4- ф) sin ф.
Из формул (52.4), (52.5), (52.8) видно, что движение гироскопа
с люфтом на оси кожуха описывается сложными нелинейными
уравнениями с переменными коэффициентами. Для их решения
258
применяется метод последовательных приближений, в основу ко-
торого кладутся соображения физического характера. Первона-
чально исследуется движение некоторой порождающей системы,
которая получается при следующих предположениях: собствен-
ный кинетический момент гироскопа имеет большую величину;
углы поворота внешнего кольца и гироскопа малы; нелинейность,
определяемая зависимостью (52.5), имеет место на этом этапе ис-
следования.
Очевидно, что собственный кинетический момент гироскопа
Н — С [(а + ф) sin Р + Ф + является величиной постоянной.
В первом приближении при достаточно большом кинетическом
моменте можно считать, что ось ротора движется поступательно.
В связи с этим я -{- $ = О, Р = 0 или при соответствующем вы-
боре начальных условий а = — ф, р — 0.
Кинетическая энергия Т* для оставшихся обобщенных коорди-
нат а и ф имеет вид
2Г* = (А2 + ml2)*2 + (Сх + ml2)^2 + ....	(52.9)
Здесь точки означают члены высшего порядка малости. Ра-
диальное перемещение г на данном этапе может быть записано в
форме
г = 21 (а2 + ф2)1/’.
Из соотношений (52.9), (52.5), (52.8) получаются нелинейные
уравнения порождающей системы
(Л2 4- ml2) а +	(2l]f ос2 4- ф2) а (а2 4- ф2)"1^ = mlw^,
_______	(52.10)
(f\ 4- ^/2)ф 4- Ь2ф 4- 2/Ж(2/]Ла2 4- ф2) ф (а2 4- ф2)_,/2 =
= mlw^.
Предположим, что движение объекта происходит по закону
mlw^ = pQ sin (QZ 4“ 6X), mlw% = qQ sin (QZ 4“ 62).	(52.11)
Будем искать в системе (52.10) нормальные колебания, для
которых выполняется соотношение а = пф, где п — некоторая
постоянная, определяемая дальше.
Подставляя (52.11), а = пф в систему уравнений (52.10), по-
лучаем
(А2 4- ml2) п ф 4- &1^ф + (%lV1 + я2ф) п (1 + п2)'1!* =
= />0 sin (Qi 4- 6i)»
(Ci 4- ml2)'i + M + 2/Ж (2Z/1 4-Т2ф)(1 4- n2)-1^ =
— qQ sin (Ш + S2).	(52.12)
Перейдем в уравнениях (52.12) к безразмерным переменным х
и т по формулам
х = 21 j/’l 4- я2ф/А» т/ = G = 1» 2),	(52.13)
259
в которых для первого уравнения системы (52.12)
= 2nZ2A’/2(^2 + ml2)'1,	(52.14)
а для второго уравнения
col = Ы2^(Сг + тп/2)’1.	(52.15)
В результате уравнения (52.12) записываются в виде
+ h‘ + / (*) = Qi sin (viT(. + 6г) (i = 1,2),	(52.16)
dx%	ai:i
v —	ъ — bl	Ь —
1	(о. ’	1	(42 + тп?2)(01 ’	2	(Сх + ml1) (о2 *
,	„ = а<‘ +	.	(52.17)
(42 + ml2) офгД	2 (Ci + mZ2)w2A
f(x) — (х — 1)’/* при 1 < X, f (х) = 0 при — 1 <1 Х 1»
f(x) = — (— X — 1)’/г при X < — 1.
Опустим в уравнении (52.16) индекс г и произведем замену
переменных
dx
# = asinX, — = avcosX.	(52.18)
Принимая во внимание уравнения (52.16), получаем для новых
переменных а, X следующую систему уравнений:
~^-sinX 4-	----v^&cosX —О,
dx 1 \ dx /	’
X cos X — av ----sin % = q sin (vr + 6) —
— hav cos % — / (a sin X) + av2 sin %,
(59.19)
откуда
— —• [?	— 9) — av^ cos^—f(a sin M + av2 sin M cos
(52.20)
=-----[q sin (X — 0) — avh cos X — / (a sin X) -p
+ av2 sin X] sin X, 0 = Л — vt — 6.
Производя осреднение по быстрой переменной X и приравнивая
нулю правые части осредненных уравнений, получаем соотноше-
ния для нахождения стационарных режимов
q sin 0 + hav = 0,	(52.21)
2Л
q cos 0 + av2-/ (a sin X) sin X dk = 0.
о
260
а	G(a)	а	GC )	а	О(а)
1,2	0,3160	4,2	8,4636	7,2	13,475
1,4	0,9395		8,8609	7,4	13,756
1,6	1,6173	4,6	9,2464	7,6	14,032
1,8	2,2897	4,8	9,6208	7,8	14,303
2,0	2,9387	5,0	9,9851	8,0	14,570
2,2	3,5593	5,2	10,340	8,2	14,833
2,4	4,1501	5,4	10,686	8,4	15,092
2,6	4,7150	5,6	11,023	8,6	15,347
2,8	5,2532	5,8	11,353	8,8	15,598
3,0	5,7680	6,0	11,675	9,0	15,846
3,2	6,2612	6,2	11,990	9,2	16,090
3,4	6,7347	6,4	12,299	9,4	16,331
3,6	7,1903	6,6	12,602	9,6	- 16,569
3,8	7,6294	6,8	12,898	9,8	16,804
4,0	8,0534	7,0	13,189	10	17,036
Введем функцию
2Л
G (а) =	\ f (a sin X) sin X dX,
о
(52.22)
которая зависит только от безразмерной переменной а и поэтому
легко табулируется (см. таблицу).
Исключая из формул (52.21) переменную 0 с учетом (52.22)
и разрешая полученное уравнение относительно частоты v, полу-
чаем
v = {G(a)-4-^2±[(7/«)2 + 4-/?4-/i2<52(a)],/!},/2 • (52.23)
Это уравнение представляет собой амплитудно-частотную ха-
рактеристику нелинейной системы. Такие характеристики при
h = 0,2 и различных значениях q представлены на рис. 57. Пунк-
тирной линией показана скелетная кривая, на которой q = h = 0.
Из рис. 57 видно, что при одной и той же частоте внешней
силы v возможно существование трех установившихся режимов.
В работе [15] было показано, что установившиеся колебания ус-
тойчивы на тех участках кривой, где (daldq) 0, и неустойчи-
вые, если (daldq) < 0. Следовательно, колебания с максимальной
и минимальной амплитудами будут устойчивы, а средний режим —
неустойчив.
Полученные результаты справедливы, если Л #= 0, так как
только в этом случае имеет смысл замена переменных (52.13)
261
Если же А = 0, то следует произ-
вести замену переменных по фор-
муле
X = 2lf 1 4- п2ф, (52.24)
после чего уравнения (52.12) при-
водятся к виду (52.16), где х
уже является размерной перемен-
ной, а функция j{x) имеет форму
f (х) = хУ\ х\. Формулы (52.18) —
(52.23) по-прежнему имеют силу;
функция С(а)(см. (52.22)) записы-
вается в виде (где Г (Z/j) — гамма-
функция Эйлера):
G(a) = ±Va $	=	.	(52.25)
Подставляя в (52.25) соответствующие числовые значения
гамма-функции, получаем G(a) = У а- 0,9153... .
Итак, решение уравнений (52.16) найдено. Оно выражается
посредством формул (52.18), причем амплитуда а вынужденных
колебаний находится с помощью амплитудно-частотной характе-
ристики (52.23), а величина X находится из соотношений (52.20)
и (52.21). Соответственно известно решение системы уравнений
(52.12). Переменная ф должна удовлетворять обоим уравнениям
системы (52.12), поэтому, приравнивая амплитуды решений этих
уравнений, можно найти постоянную п, введенную в соотношение
а = пф. Если же приравнять фазы, то получим соотношение меж-
ду сдвигами фаз и б2? ПРИ выполнении которого возможен ре-
жим прямолинейных нормальных колебаний.
В исследуемой гироскопической системе возможны следующие
режимы колебаний: нерезонансные колебания по углу а и углу ф;
нерезонансные колебания по углу а, резонансные —по углу ф;
резонансные колебания по углу а и по углуф; резонансные коле-
бания по углу а, нерезонансные — по углуф.
Из физических соображений ясно, что уход гироскопа будет
наибольшим во втором режиме. Нетрудно показать, что для этого
режима при достаточно большом кинетическом моменте гироскопа
постоянная п в соотношениях а = дгф близка к нулю
Вычислим скорость ухода гироскопа для случая, когда по ко-
ординате ф происходят резонансные колебания, а по координате а
резонанс отсутствует. Применение метода последовательных при-
ближений к системе дифференциальных уравнений движения
гироскопа приводит к следующему выражению для момента, вы-
зывающего уход гироскопа вокруг внешней оси:
Р \vp dt 5р 1 50	’
262
Косые скобки означают, что от заключенного в них выражения
вычисляется средняя по времени величина на порождающем: ре-
шении:
а = ф = р = 0, ф = Да sin (£lt + б2 + 9)/2Z.
Для упрощения выкладок перед вычислением производных в
выражении для кинетической и потенциальной энергии следует
подставить а = ф = 0, после чего находим
/ d дТ дТ дП \	qfjv
\—+ (52-27)
Учитывая формулы (52.8) и (52.27), получаем
Отсюда, обращаясь к соотношениям (52.11), (52.18) и (52.13) и при-
нимая во внимание равенство фаз, получаем
= — Ag0a/4Z, Д =# 0.
Если Д = 0, то Мр =
53.
Явление самосинхронизации
в скоростных гироскопических опорах
В представленном исследовании специфические гироскопические
свойства ротора в подшипниках нигде не фигурируют.
Однако это исследование ставит себе целью описать и объяс-
нить ряд явлений, наблюдаемых на практике именно в гироскопи-
ческих приборах и определяемых, по-видимому, тем соотношени-
ем параметров, которое характерно для гироскопических опор.
Особенности скоростных узлов гироскопов таковы: высокая
угловая скорость вращения ротора, наличие осевого натяга ра-
диально-упорных подшипников, высокая точность изготовления
элементов опоры и др.
Изучая движение ротора, будем прежде всего иметь в виду
ротор гироскопа, хотя, возможно, сфера проявления изучаемых
эффектов шире.
Объект исследования изображен на рис. 58. Будем полагать
эту систему состоящей из трех тел: ротора, имеющего две степени
свободы линейных перемещений в радиальной плоскости, и двух
комплектов шариков вместе с сепараторами для каждого из под-
шипников. Комплект шариков с сепаратором имеет одну степень
свободы относительно неподвижного кольца.
Обычно принимается, что сепаратор с шариками не имеет соб-
ственной степени свободы и вращается с фиксированной ско-
ростью, определяемой скоростью вращения ротора и размерами
элементов подшипника.
Учет в данной задаче собственной свободы сепаратора означа-
ет, что в режиме гидродинамического контакта шарики могут
263
проскальзывать и скорость сепаратора может не совпадать с ука-
занным выше кинематическим значением, а будет определяться
балансом действующих на тела качения сил.
Считая, что сепаратор имеет одну степень свободы, полагаем,
что скорости шариков кинематически связаны со скоростью сепа-
ратора так, что сепаратор с шариками представляет собой одно
тело с приведенным моментом инер-
ции вокруг оси вращения.
Движение ротора будем описы-
вать в переменных х, у, определяю-
щих положение центра масс ротора
в связанной с основанием системе
координат. Положение сепаратора
одного из подшипников относительно
неподвижного кольца зададим углом
Ч\, положение сепаратора другого
Рис. 58
подшипника — углом ф2.
В задаче не учитываются прочие возможные степени свободы.
Они мало влияют на существо описываемого ниже явления, кото-
рое наиболее ясно может быть изучено в приведенной выше схеме.
В радиальной плоскости на ротор действуют упругие и дисси-
пативные силы, его уравнения движения по этим координатам
имеют вид
тх 4- dx = дЫдх, ту + dy = dUldy.
Здесь т — масса ротора; d — коэффициент демпфирования; U —
потенциал упругих сил.
Уравнение движения сепаратора первого подшипника запишем
в виде
Mi = К (Qx — <рх) + sgn (йх — <рх) 4- dUld^>i,
где Д — момент инерции вокруг оси вращения сепаратора вместе
с шариками; — кинематическое значение скорости вращения
сепаратора.
Если скорость вращения сепаратора фх не совпадает с кине-
матической, то со стороны колец к нему приложены моменты
(&! — фх) — вязкого трения и b± sgn (Qx — фх) — сухого трения.
Коэффициенты h± и Ьг зависят от свойств трения и от осевого на-
тяга в подшипнике. Силовая функция сил упругости U зависит не
только от радиальных смещений, но и от положения комплекта
шаров в подшипнике, поэтому, помимо сил трения, на сепаратор
действуют еще и консервативные моменты dUld^)1.
В данной задаче используется структура силовой функции уп-
ругих сил неидеального подшипника в ее простейшем представ-
лении, содержащим лишь квадратичную часть и одну из гармоник
линейной части:
V =-----г к (х2 + у2) + у (р cos (pi + q cos ф2) +
+ х(р sin ф1 + q sin ф2),
264
где К — радиальная жесткость подшипника; р и q характеризуют
дефекты первого и второго подшипников и зависят от жесткостей
этих подшипников. При отсутствии дефектов р = q = 0.
В данном случае рассматриваются дефекты, проявляющиеся на
частоте вращения сепаратора (например, разномерность шариков),
что не принципиально; можно было бы рассматривать произволь-
ную частоту введением коэффициента к: к(р±, kq>2.
Учитывая все сказанное выше, получим следующие уравнения
движения системы:
тх + dx + Кх = р sin фх + q sin ф2,
™У + ty + Ку — р cos <pi + q cos ф2,
ЛФ1 = К (Qi — <рх) + b± sgn (Йх — ф1) + р (х cos —
— у sin ф,),
(53 1)
ЛФ2 = h2 (й2 — ф2) + b2 sgn (Й2 — ф2) + q (xr cos Ф2 —
— у sin ф2).
Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение безразмерное
время т = t У К!т. Уравнения (53.1) при этом примут вид
х” + hx' + х = a sin фх + b sin ф2, у” + hy' + у =
= a cos ф1 + b cos ф2,
Афт = Hi (<°i — Фх) + /1 sSn (<°i — Ф1) + « (* cos Ф1 —
— у sin фх),
Аф2 = Иг (<°2 — Фг) + /2 sgn (<°2 — Ф1) + Ь (х cos ф2 —
— у sin ф2).
Постоянные коэффициенты этой системы связаны с исходными
физическими параметрами задачи следующим образом:
h = dl}f Кт. а = pK'v, b = qK~\ = hjy Кт.
fa =	~ Цт'1, (of = Qj У ml К	(i = 1, 2).
Штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному
времени. Приведем эти уравнения к форме, более удобной для
аналитического исследования, введя переменные
х = i\ sin грх, у = г2 З1пф2, х' = cos^i, у' =
= Г2СО8ф2.
В результате в новых переменных получим следующую систему:
4 = — hr± cos2 фх + а sin Ф1 cos ф>1 + b sin ф2 cosxpi,
г2 = — hr2 cos2 ф2 + a cos фх cos ф2 + Ь cos ф2 cos ф2,
= 1 + h cos фх sin фх — (a/rx) sin фх sin фх —
— (Ыг^ sin ф2 эшфх, Ф1 = Ф1,
9 В. Ф. Журавлев, Д. M. Климов	265
ф2 = 1 + h cos'll sin'vpg — (л/г2) cos Ф1 sin^2 —
— (b/r2)cos(p2 SM2, ф2 = Ф2,
Л1Ф; = Hi («1 — Ф1) + /i sgn (<х>! — Фх) +
+ а (т\ sin^! cos фх — r2 sin'vpa sin фх),	(53.2)
= Иг («г — ф2) + /2 sgn (со2 — Ф2) +
+ b (т\ sin грх cos ф2 — r2 sin ф2 sin ф2).
Система (53.1) обладает специфической нелинейностью: неко-
торые из искомых переменных фх и ф2 входят под знаки тригономет-
рических функций, обладая неограниченным ростом во времени.
Такие системы называются системами с вращательными звеньями,
и уравнения (53.2) приспособлены для анализа системы такого ха-
рактера методом осреднения.
Будем рассматривать случай резонанса, считая малыми сле-
дующие разности: Д = Фх — 1 и Фх — Ф2.
В соответствии с общей процедурой исследования резонанса
(см. разд. 23) выполним замену
Ф1 — Ф1 = У1, Ф1 — Ф2 = 02, Ф1 — Ф2 = 6,
откуда выразим
Ф1 = Фх +	— ’фа + 02, фг = Ф1 +	6 — ‘Фг 4" 02	0’
Подставляя эти соотношения в (53.2), получим
q = — hrt cos2i|)x + a sin (фх + 0X) созфх + b sin (фх + 0X —
— 0) cos фх,
r2 = — hr2 cos2 ф2 + a cos (ф2 + 02) cos ф2 4- b cos (ф2 + 02 —
— 9) cos ф2,
+ А = |ЛХ ((0x — Фх) + /х sgn (сох — Фх) +
+ a [rx sin фх cos (фх + 0Х) — r2 sin ф2 sin (ф2 + 9г)1,
Л2ФХ = ц2 (®2 — Ф2) + /2 sgn (<о2 — Ф2) +	(53.3)
+ b [гх sin фх cos (фх + 0Х — 0) — r2 sin ф2 sin (ф2 + 02 — 0)1,
е' = фх _ ф2)
0( = А — h cosipx sini|)x + (a/rx) sinipx sin(ipx + 0X) +
+ (b/iy) sin фх sin (фх + 0X — 6),
02 = Д — h cos ф2 sin ф2 + (a/r2) sin ф2 cos (ф2 + 02) +
+ (b/r2) sin ф2 cos (ф2 + 02 — 0),
Ф1 = 1 + • • •, фг = ! + ••••
266
В системе (53.3) первые семь переменных можно рассматри-
вать как медленные, если считать коэффициенты трения, а также
дефекты подшипников малыми. Фазыф1иф2 — быстрые.
Произведем по этим фазам осреднение системы (53.3):
'	1
Г1 =----2“ [ri — л sin 0Х — Ь sin (0Х — 0)],
,	1
г2 —----2" [Г2 а C0S 02 “ & COS (02 — 0)],
Дхф' = И1 (Ю1 — Фх) + Д Sgn (<ах — фг) — 4 (гг sin 0!+ r2 cos 02) а,
Л2Ф2 = ц2 (<а2 — Ф2) + /2 sgn (со2 — Ф2)-(risin (0i— 0) +
+ r2 cos (02 — 0)) Ь,	(ЬЪА)
0' = фх _ ф2,
0i = Д + а (2Т1)"1 cos 0Х + b ^rj"1 cos (0Х — 0),
02 = Д — (Зт^Г1 la sin 02 + Ь sin (02 — 0)].
Возможны два типа стационарных режимов в системе (53.4),
при которых движение одного сепаратора захватывает движение
другого так, что они движутся с одинаковой скоростью Фх = Ф2:
в одном из подшипников проскальзывание отсутствует (пусть для
определенности это первый подшипник, тогда Фх — Ф2 = сох);
проскальзывают оба подшипника.
Рассмотрим режим первого типа. Для него уравнения стацио-
нарного движения примут вид
—	+ а sin 0j + b sin (0Х — 0) = 0, — hr2 a cos 02 +
+ Ъ cos (02 — 0) = О,
р2 (со2 — (gJ + /2 + 1/Z2b f— ri sin (01 — 0) ~
— r2 cos (02 — 0)] = О,
2ДГ1 + a cos 0i + b cos (0Х — 0) = О, 2Дг2 — a sin 02 —
— Ъ sin (02 — 0) = 0.
Решение этих нелинейных уравнений относительно перемен-
ных Г1, г2, 0, 01, 02 выражается следующими формулами:
г2 = г[ = г22 = (4Д2 + h2)~2 [(2hM + а2 — b2) (4Д2 + h2) +
+ 8Д2Й2 + 4Д1/а2й2 (4Д2 + h2) — [(4Д2 + h2) М - b2h]2,
(53.5)
cos0 = [г2 (4Д2 + h2) — а2 — Ь2] (2аЬ)“1,	02 — 01 — я/2,
(arcsin(J//&r) (для знака «минус» в формуле для г2),
1	( л — arcsin (Л//6г) (для знака «плюс»),
или в исходных переменных
Ф1 = (01Т, ф2 = со2т — 0, х = г sin((0iT— 0i),
у — г COS((OiT — 0х).
9*
267
Здесь через М обозначено: М = р,2 (со2 — 04) + /2-
Физически различных режимов в системе два. Верхнему знаку
в (53.5) соответствует cos (9Х — 0) < 0, нижнему — cos (0Х —
- 0)>О.
Для того чтобы решения (53.5) существовали, необходима и
достаточна положительность подкоренного выражения в формуле
для г2:
Я2Ь2 (4Д2 + /г2) _ Ц4Д2 fe2) М _ ft2fe]2 > Q	(53.6)
Знак равенства в (53.6) определяет границу области существо-
вания режимов самосинхронизации.
Рассмотрим уравнение границы в плоскости (а2, й2); а, Ъ —
величины, характеризующие дефекты подшипников.
Разрешая (53.6) относительно а2, получим
= fe2b2 (fe2 + 4Д2)-1 _ 2hM + М2 (h2 + 4Д2) Ь~2.
Кривая является гиперболой, ее графическое представление
дано на рис. 59. Если проскальзывающий подшипник идеален
(Ь = 0), то рассматриваемый режим невозможен. Если идеален не-
проскальзывающий подшипник, то режим возможен только при
значении Ъ2 = М(4Д2 -\-h2)/h. Области существования всюду за-
штрихованы.
Изучим теперь поведение границы области существования в
плоскости (Д, h). Для этого введем полярные координаты в этой
плоскости
2Д = р cos a, h = р sin а. _	(53.7)
Подставляя (53.7) в (53.6), получим
р = b (b sin а + а) М"1.	(53.8)
Эта кривая представляет собой улитку Паскаля (рис. 60).
Из (53.8) можно получить простые необходимые условия сущест-
вования режима hM Ь (Ъ + а), 2ДМ < Ъ (Ъ + а).
Отсюда видно, что при достаточно большом демпфировании h
или трении проскальзывания М, а также при достаточно малых
дефектах режим самосинхронизации невозможен. Кроме того,
видно, что при достаточно большой расстройке Д исследуемый
режим исчезает; это означает, что он имеет сугубо резонансный
характер.
Если демпфирование таково, что прямая h = const пересекает
границу области существования (рис. 60, а) в четырех точках,
то режим исчезает и в малой окрестности нуля.
Соответствующий вид амплитудно-частотных характеристик,
построенных по формуле (53.5), представлен на рис. 61.
Часть области существования (рис. 60), лежащая ниже оси
h = 0, имеет смысл для случая М < 0, т. е. когда устанавливаю-
щаяся скорость проскальзывающего сепаратора выше его кинема-
тической скорости (отрицательное проскальзывание). В частности,
268
Рис. 59
видно, что возможности осуществления
такого режима меньше, чем для
М > 0.	*
Следовательно, более вероятно про-
скальзывание того сепаратора, у кото- /я
рого кинематическая скорость выше.
Для исследования устойчивости до- 3
статочно записать уравнения в вариа-
циях системы (53.4):
26г; = — /гбг, - 2Дг69 -	*
—	bcos (0г — 0) 60,
26г; = —hfjr2 — 2Аг602 —
—	b cos (0Х — 0) 60,	/
2гЛ26Ф2 = —2гр26Ф2— br2 cos (0Х —
— 02) 60J — br2 cos (0Х —
—	0) 602 + 26г2 cos (Oj - 0)
69 -	- М8г2,	1
60' = —6Ф2,	2r260i = 2Ar6rj — hr2^ + М60,
2r2602 = 2Аг6г2 — Лг260 + М60.
Характеристический определитель этой системы имеет вид
- fl - 2k	0	0	—Ъ cos (01—0)	-2Дг	0	
0	-Д-2%	2гр 2 + 2/'А2Х	—b cos (01—0)	0	— 2Дг	
М	М	-1	—2b г2 cos (0i— 0)	br2cos (01—0)	br* cos (01—0)	= О'
0	0	0	-k	0	0	
2Дг	0	0	М	— А/-2 — 2r2k	0	
0	2Дг	0	м	0	— Лг2—2r*k	
269
Раскрывая этот определитель, получим: характеристическое
уравнение системы в вариациях, которое может быть приведено к
виду
[(4 +4 4 Д2] {[(4+4+Д2] км21+*)*+
+ rbA? cos (ех -0)1 + 4- ^ДЛ^} = °,
J
откуда сразу получаем два корня: 2 = ^-4= iA. Устойчивость,
следовательно, будет определяться знаком вещественных корней
оставшегося сомножителя четвертой степени и может быть иссле-
дована с помощью критерия Рауса — Гурвица.
При малых b приближенные значения корней полинома четвер-
той степени могут быть получены в виде
^3, 4 ~-2~ k zb	^5, 6 —--2А2 ' —
+ у +	•	<5М
Из (53.9) непосредственно видно, что необходимым и достаточ-
ным условием асимптотической устойчивости режима является
условие cos (0Х — 0) > 0, т. е. решение (53.5), соответствующее
верхнему знаку, неустойчиво, нижнему — устойчиво. На рис. 61
неустойчивые ветви изображены пунктиром.
В случае проскальзывания в обоих подшипниках установив-
шаяся скорость обоих сепараторов Ф = Фх = Ф2 не совпадает
ни с одним из значений (0i или со2. Величина Ф при этом является
дополнительной неизвестной.
Уравнения для нахождения стационарного режима в соответ-
ствии с (53.4) примут вид
— hr\ + а sin 01 + b sin (0Х — 0) = 0,	— hr2 4- a cos 0Х +
+ b cos (02 — 0) = 0,
Pl (to! — Ф) -ь /х sgn (сох — Ф) —	(r1 sin 0Х + r2 cos 02) =
= 0,
р2 (ю2 — Ф) 4- /2 sgn (со2 — Ф) — х/2Ь (rx sin (0i — 0) 4-
4- r2 cos (02 — 0)) = 0,
2Агх 4- a cos Q± 4- b cos (0X — 0) = 0, 2Ar2 — a sin 02 —
— b sin (02 — 0) = 0.
Решения этих уравнений для неизвестных г1? г2, ф выглядят
так:
Ф = (coifei 4- (o2fe2 — hr2) (fei 4- h2)~\
270
X
Рис. 62
r2__ r2__r2__
' -- ----r2--
— h2 x + v) “ H — v) + {K [4vx — 2Я (1 — V2) — (1 + 772) (1 — V)2}1/e
— °	2h2 (1 + x) (772 + x)	’
(5 3.10)
v = a2b~2, x = 4Д%"2, H =	— h2) (h1 + Z^)"1.
Условие существования этого режима определяется неравен-
ством
х [4vx - 2Н (1 - v2) — (1 + Я2) (1 - v)2l > 0.
Граница области существования в переменных х, v — гипер-
бола (рис. 62).
Этот режим, в отличие от предыдущего, не имеет ограничений
сверху по величине расстройки Д. Устойчивость исследуется ана-
логично предыдущему случаю. Вид амплитудно-частотной харак-
теристики, построенной по формуле (53.10), представлен на рис. 63.
Изученное явление может быть причиной самых различных яв-
лений, наблюдаемых на практике. Приведем некоторые из них.
Навязанное сепаратору динамикой системы проскальзывание
со скоростью (ох — со2 вызывает интенсивный износ соответствую-
щего подшипника. Это может объяснять наблюдаемые случаи
преимущественного, преждевременного износа одного из подшип-
ников при, казалось бы, отсутствии существенных отличий от дру-
гого.
Известно, что при наличии проскальзывания уменьшается тре-
ние верчения. При интенсивном проскальзывании трение верчения
невелико и так называемый спин шарика становится неустойчи-
вым — на поверхности шарика появляется несколько беговых
дорожек.
Спектр вибрации гироскопа имеет обычно расщепленный ха-
рактер, т. е. состоит из пар близко расположенных одна к другой
спектральных линий, что объясняется незначительным отличием
скоростей вращения сепараторов (Ох и со2.
271
Если же имеет место самосинхронизация опор, то оба подшип-
ника генерируют возмущения на одних и тех же частотах. Рас-
щепленность спектра исчезает.
При одних и тех же параметрах системы могут существовать как
режимы с самосинхронизацией, так и без нее. Выбор системой ре-
жима движения зависит от начальных данных, а наличие случай-
ных возмущений может переводить ее из одного режима в другой
в случайные моменты времени. Это обстоятельство делает вибра-
цию нестационарной. Нестационарным будет и зависящий от нее
уход гироскопа.
С явлением самосинхронизации опор связано наличие в систе-
ме низкочастотных процессов с частотами, получаемыми из (53.9).
Несколько замечаний по постановке задачи.
Была рассмотрена система, в которой возмущение, действую-
щее на ротор, имеет частоту, равную частоте вращения сепарато-
ра, — (i = 1, 2). Если же частота возмущения другая, т. е.
fccof, то, рассматривая малую расстройку (Д = 1 — кФ±), задачу
можно свести к изученной, причем выражения для амплитудно-
частотных характеристик (53.5) и (53.10) остаются в силе. Коэф-
фициент в них входит только неявным образом, через Д. Зона же
устойчивости с ростом к убывает.
54.
Об устойчивости
стационарных движений плоского тела
в поле центральной силы
Тело, центр масс которого расположен в точке G (рис. 64), совер-
шает плоское движение под действием силы, приложенной к точке
О тела и притягивающей ее к неподвижной точке плоскости О'.
Расстояние равно е и называется в дальнейшем эксцентриси-
тетом. Притягивающая сила направлена по вектору ОО', а модуль
ее зависит только от модуля этого вектора / =/(г), где г = \ ОО' |.
Для функции / (г) будем считать выполненными следующие ус-
ловия: / (0) = 0, / (г)	0 при г =4 0, / (г) FE С1. Предположения
о существовании у / (г) высших производных вводятся в дальней-
шем по мере необходимости. Чаще будет использоваться не сама
функция / (г), а связанная с ней безразмерная функция а (г)—
г = ~^7 In/(г). Отметим ее некоторые свойства: если /(г) — выпук-
лая снизу функция, то а (г)	1; если / (г) — выпуклая сверху,
то а (г) < 1, если / (г) = кг — линейная функция, то а (г) = 1;
если / (г) = кгп — степенная функция, то а (г) = п.
Рассматриваемая сила / (г) потенциальна, через F (г) будем обо-
значать ее потенциал: / (г) = F'(r). Принимая обозначенные на
рис. 64 переменные г, ф, у в качестве обобщенных координат, вы-
пишем функцию Лагранжа:
L = -^-{(г — вф sin y)2 4- [г(ф — у) + еф cos у]2 +ф2}.	(54.1)
272
Единицей измерения линейных размеров е, г выбран радиус
инерции тела относительно центра масс. Масса тела принята рав-
ной единице. Для описанной системы требуется найти стационар-
ные режимы и изучить их на устойчивость.
Уравнения движения в соответствии с функцией Лагранжа
(54.1) приводятся к следующему виду:
г —- еф sin у — г (ф — у)2 — еф2 cos у + / (г) = О,
ф + ef (г) sin у = 0,	(54.2)
г (ф — f) + 2г (ф —- у) + еф cos у — ф2е sin у = 0.
Система нелинейных дифференциальных уравнений (54.2) име-
ет много общего с системой уравнений, описывающих движение
твердого тела [20] вокруг неподвижной точки в углах Эйлера.
Обе системы шестого порядка имеют одинаковые первые интегралы
полной энергии и момента количеств движения, одинаковой яв-
ляется и постановка задачи об интегрируемости в квадратурах:
достаточно знать один дополнительный первый интеграл, незави-
симый от указанных. Различной, однако, является топология
конфигурационного многообразия.
Для уравнения (54.2) интегрируемым будет случай е = 0. При
этом уравнения движения вокруг центра масс и движения центра
масс разделяются. Для движения вокруг центра масс ф = const.
Задача же о движении центра масс представляет собой хорошо
известную задачу о движении материальной точки в поле притяги-
вающего центра. Интегрируемые случаи при е =/= 0 в настоящее
время неизвестны, однако при этом очевидно существование част-
ных решений вида
г = г0, г = 0, ф = со, у = 0, sin у = 0,	(54.3)
представляющих собой равномерное вращение тела вокруг центра
масс с угловой скоростью со и равномерное обращение центра масс
вокруг точки О' с той же угловой скоростью.
273
Подставляя соотношения (54.3) в (54.2), найдем два семейства
решений:
(r0 + е) (О2 = / (г0),	7 = 0,	(г0 — е) (О2 = / (г0), у = л.
(54.4)
Параметром семейства при заданном е является постоянная
интегрирования со.
Для частного случая, когда / (г) — выпуклая снизу функция,
т. е. а (г)	1, уравнение (54.4) при у — 0 имеет единственное от-
носительно г0 решение, при у = л — два решения или ни одного.
Зависимость корней г0 от угловой скорости со для этого частного
случая изображена на рис. 65.
В дальнейшем уравнения (54.4), определяющие величину ста-
ционарного радиуса г0, удобно объединить:
(г0 + е) со2 = / (г0),	(54.5)
считая, что е может быть как положительным, так и отрицатель-
ным. При этом стационарный режим, обозначенный на рис. 65
точкой А, получается для е 0, режимы В и С — для е < 0.
Если/' (0) = 0(этоэквивалентно условию а (0) > 1), то скелетная
кривая выходит из начала координат.
^Установим некоторые свойства амплитудно-частотной харак-
теристики (54.5). Дифференцируя по г0, найдем
du _ 1/7 (г0) (г0 4-g) а (г0) — г0 .	,5,
drQ 2rQ (г0 + е)8/е	’	V • 7
Если обозначить а (0) = п, то поведение / (г0) в окрестности
нуля определяется соотношением /(г0) ~ г”, что при малых
п
дает da!drQ ~ r0 з-1 . Следовательно, если 0 < п < 2, то ампли-
тудно-частотная характеристика входит в нуль, касаясь оси час-
тот, если п = 2, то вход осуществляется с конечным углом, если
п 2, то характеристика касается в нуле оси амплитуд.
Из (54.5) следует, что для точек амплитудно-частотной харак)
теристики, имеющих вертикальную касательную (точки бифурка-
ции), выполнено соотношение
(г0 + е) а (г0) — г0 = 0.	(54.7)
Или, используя (54.5), а также определение а (г0), получим
= /' (го)-
I »'!Это уравнение определяет геометрическое место точек, в кото-
ром амплитудно-частотные характеристики, рассматриваемые как
семейство относительно параметра в, имеют вертикальные каса-
тельные.
Исследование устойчивости стационарных режимов удобно
проводить, пользуясь методами гамильтоновой механики [41].
При этом вместо исходных обобщенных координат г, ф, у будем
пользоваться координатами х, у,ф, связанными с ними следующим
274
образом:
х = г cos у + е, у = г sin у, гр = ф.	(54.8)
Функция Гамильтона исходной системы в соответствии с лаг-
ранжианом (54.1) и заменой (54.8) запишется в виде
1
Н = >2" [и2 + v2 4- (xv — уи)2\ 4- G (xv — уи) 4-
+ F (К (х - е)2 + г/2),	(54.9)
где u, v — обобщенные импульсы; G — константа циклического
интеграла: и = dL/дх, v = dL/ду, G = dL/дф.
Гамильтониан (54.9) имеет стационарные точки, соответствую-
щие стационарным решениям (54.3):	и
х = а, у = О, и = О, v = — (оа,	(54.10)
где а удовлетворяет уравнению асо2 = / (а — е) и связано с г0 сле-
дующим образом: a = rQ + е.	: .
Общий подход к исследованию устойчивости стационарных; ре-
жимов состоит в следующем.
В окрестности выбранного стационарного режима гамильто-
ниан (54.9) раскладывается по степеням вариаций переменных
х, у, и, и:
Н (х, у, и, v) = Н2 4- Н3 + ...,	.	(54.Д1)
где Нк — форма к-й степени относительно переменных. Для ва-
риаций переменных в окрестности стационарного режима сохра-
няются обозначения самих переменных.
Пусть А — матрица квадратичной формы Н2. Составляем ха-
рактеристическое уравнение	и >
If 0 Е\
|4 + U| = 0	/=[(_£ 0)’	(5-12)
где Е — единичная 2x2 матрица.	.. г.
Пусть — корни уравнения (54.12). Если ReX; 0, то, по
крайней мере один из корней характеристического уравнения имеет
положительную вещественную часть, следовательно, на основа-
нии теоремы Ляпунова исследуемый режим неустойчив.
Случай, когда ReXj = 0, распадается на два подслучая: квад-
ратичная форма Н2 знакоопределенная; эта форма индефиййтна.
В первом подслучае знакоопределенным в некоторой окрестно-
сти нуля является и весь гамильтониан, а так как он является* ин-
тегралом движения, то в силу первой теоремы Ляпунова рассмат-
риваемый стационарный режим устойчив.	v а
Второй подслучай наиболее сложный, поскольку для: строгого
рассмотрения проблемы устойчивости необходимо в разложении
(54.11) учитывать наряду с Н2 и члены более высокого порядка.
Предполагая далее применить теоремы Арнольда —Мозера
[411, ограничим разложение (54.11) членами до четвертого порядка
27?
включительно, приведя его к нормальной форме Биркгофа степени
четыре:
Н = WiTj + ш2т2 4- апТ1 + 2а12тхт2 + а22т2,	(54.13)
где для сокращения записи тх = (х2 + и2)/2, т2 = (у2 4- р2)/2.
Условие индефинитности Н2 означает, что (OjH (о2в (54.13) име-
ют разные знаки: (l>i(o2 < 0.
Если в системе нет резонанса до четвертого порядка включи-
тельно:
| (911 =0= | со2 ],	] (di | у= 2[(о2],	| (011 У= 31 (о21,	(54.14)
и если D = ап(о| — 2ai2(0i(02 + a22(0i у= 0, то стационарное ре-
шение, в окрестности которого получено разложение гамильтониа-
на (54.11), устойчиво.
Изложенная программа применяется к конкретному гамильто-
ниану (54.9), для разных стационарных точек которого имеют мес-
то все три случая исследования устойчивости.
Квадратичная часть функции Гамильтона (54.9) имеет вид
Н2 = -i- {и2 + и2 (1 + а2) — 2иуа> — 2ихы (а2 — 1)} 4-
-г -4- со2а (а Н---— W + 4-----—— У2,	(54.15)
2	\ 1 а — е /	1 2 а — е v	'
здесь использовано выражение для постоянной циклического ин-
теграла G = о) (1 + а2), а а зависит от а — е.
Применение критерия Сильвестра к форме (54.15) приводит
к следующим достаточным условиям устойчивости стационарного
режима:
а (а — ё) + а > 0,	е > 0, а (а2 4- 1) а 4- (За2 — 1)(а — е) > 0е
(54.16
Характеристическое уравнение (54.12) для формы (54.15) полу-
чается в виде
X4 4- а212 4- а4 = 0,	(54Л7)
а2 = (о2 (а — 1)‘Чеа4 4- (а 4- 3) а — 2е],
а4 = ею4 (а — е)~2 [(а 4- 3) а3 — Зеа2 4- (а — 1) а 4- е].
Достаточные условия неустойчивости представляют собой вы-
полнение хотя бы одного из неравенств а2 < 0, а4 < 0, а| — 4а4 <
< 0, или в явном виде
еа2 4- (а 4~ 3) а — 2е < 0,
е[(а 4- З)а3 — Зеа2 4- (а — 1) а 4- е\ < 0,	(54.18)
аМ 4- (а + 3)2а2 — 2 (а + 3) еа3 4- 8е2а2 - 8 (а + 1) еа < 0.
Дадим пример анализа соотношений (54.16) и (54.18) для слу-
чая выпуклых снизу функций / (г). В этом случае а (г0) = а (а —
—	1 и из условий (54.16) остается единственное неравенство
276
е 0, так как два других из него
следуют (было принято во внима-
ние, что а —е 0). Это единст-
венное неравенство означает, что
при любых выпуклых функциях
/ (г) все дорезонансные режимы
устойчивы для любых параметров
исходной системы. Устойчивость,
таким образом, следует, по теоре-
ме Ляпунова, из положительной
определенности гамильтониана.
Для частного случая линейной
упругости (а = 1) этот результат
был установлен Четаевым.
Достаточные условия неустой-
чивости в случае ct 1 приводятся
Рис. 66
к виду
е< 0,	(а< 3)а3 - Зеа2 + (а - 1) а + в > 0,	(54.19)
здесь должны быть выполнены одновременно оба неравенства.
Это соотношение удобно проанализировать, если единицей
измерения линейных размеров взять не радиус инерции тела р,
а эксцентриситет е. Условия неустойчивости (54.19) при этом при-
мут вид
р2[1 _ (а - 1)а] - а2[(а + 3)а + 3] < 0.	(54.20)
Область неустойчивости в плоскости параметров (а, р2), по-
строенная в соответствии с (54.20) (рис. 66), заштрихована. Точка
а* является решением уравнения 1 — а (а — 1) = 0, которое сов-
падает с уравнением (54.7), т. е. точке бифуркации D (рис. 65)
и соответствует точка а*.
График (рис. 66) показывает, что при любых р все режимы с
амплитудой а* неустойчивы, т. е. всегда неустойчивым будет
участок амплитудно-частотной характеристики выше точки D.
При фиксированном р неустойчивый участок расширяется до точ-
ки, соответствующей точке Е (рис. 65).
Если момент инерции равен нулю, то вся зарезонансная ветвь
амплитудно-частотной характеристики оказывается неустойчи-
вой. Если момент инерции равен бесконечности, то неустойчивый
участок заканчивается в точке D, что соответствует обычным «би-
фуркационным соображениям». Данный пример показывает, с ка-
кой осторожностью надо подходить к таким «соображениям», вся-
кий раз тщательно проверяя выполнение условий, при которых
они законны.
Режимы, соответствующие точкам амплитудно-частотной ха-
рактеристики, расположенным правее точки Е, не удовле-
творяют ни достаточным условиям устойчивости, ни достаточным
условиям неустойчивости. Именно для этих режимов форма Н2 ин-
277
дефинитна и для установления устойчивости надо проверить усло-
вия (54.14).
Поскольку нарушение этих условий не может быть тождествен-
ным, незаштрихованная область (рис. 66) представляет собой
область устойчивости, за исключением множества нулевой меры,
а участок кривой (рис. 65), лежащий правее точки Е — участок
устойчивых режимов, за исключением, возможно, конечного чис-
ла точек на любом конечном отрезке.
Важно отметить, что при е —> О точка Е, в которой неустойчи-
вые режимы переходят в устойчивые, стремится к точке D и обе
вместе стремятся к точке выхода скелетной кривой с оси со.
Это означает, что все стационарные режимы, достаточно близ-
кие (при малых е) к режиму г0 = О для е = 0, устойчивы.
Устойчивость режима г0 = О при е = 0 следует из теоремы Лаг-
ранжа. Устойчивость этого же режима при любом гамильтоновом
возмущении (значит, и при возмущении посредством малого е) сле-
дует из теоремы Колмогорова о сохранении инвариантных торов,
поскольку рассматриваемая после исключения циклического ин-
теграла система — система четвертого порядка, а ее гамильто-
ниан удовлетворяет условию невырожденности при е = 0.
55.
Эффект инертности упругих волн
в симметричных упругих телах
В этом разделе и в>двух последующих изучается эффект, положен-
ный недавно в основу создания нового датчика инерциальной ин-
формации. Этот датчик основан на физическом принципе, ранее не
использовавшемся для получения инерциальной информации.
Этот новый физический принцип — инертные свойства упругих
волн. Для его пояснения обратимся к примеру бесконечно натя-
нутой струны (рис. 67), которая деформирована изображенным на
рисунке образом, и сообщим этой форме деформации скорость,
равную скорости распространения волны в струне. Эта деформа-
ция будет перемещаться по струне с постоянной скоростью как
жесткое тело, нисколько не изменяя со временем своей конфигура-
ции. Такое явление в сплошных средах получило название солито-
на, или уединенной волны. Оно наблюдается в средах без диспер-
сии, в которых скорость распространения синусоидальной волны
не зависит от ее длины, а также и в средах с дисперсией при нали-
чии определенного вида нелинейности. В физике солитоны рас-
сматриваются как модельное воплощение корпускулярно-вол-
нового дуализма: с одной стороны, это, безусловно, волна, с дру-
гой стороны, неизменность конфигурации приводит к ассоциации
с частицей.
Если бы на движение среды с ускорением относительно инер-
циального пространства (в случае струны это движение струны
вдоль нее самой) солитон реагировал ускоренным движением отно-
сительно среды, но в обратную сторону (как это имеет место в
278
случае свободной материальной точки, если ее движение наблюдать
в инерциальной системе координат), то сходство солитона с час-
тицей было бы уже не чисто внешним, а имело гораздо более глу-
бокие основания.
Подобные явления имеют место в реальности и позволяют гово-
рить об инертных свойствах волн. Мы будем рассматривать их на
примере стоячих волн в упругой среде.
Объектом анализа является тонкое упругое кольцо, имеющее
возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости.
Оказывается, волны в этом кольце обладают инертными свойства-
ми. Представим себе, что в нем возбуждены стоячие волны, со-
ответствующие колебаниям по первой основной форме (рис. 68).
Рис. 67
И пусть после этого тело кольца приведено во вращение относи-
тельно инерциального пространства с некоторой зависящей от вре-
мени угловой скоростью со(0. Возникает вопрос: как на это движе-
ние кольца будет реагировать стоячая волна? Если бы имели дело
с твердым телом, закрепленным на основании без трения вдоль не-
которой оси, проходящей через центр масс этого тела, то на подоб-
ное вращение основания рассматриваемое тело, оставаясь непо-
движным относительно инерциального пространства, реагирова-
ло бы поворотом относительно основания на угол
ф(0 = — f со(0 dt.
(55.1)
Такое поведение тела прямо связано с его инертными свойства-
ми, между tqm как с поворотом стоячей волны перенос материи
никак не связан, поэтому и ответ на поставленный выше вопрос
далеко не очевиден. Для ответа на него требуется обратиться к
уравнениям динамики кольца. Эти уравнения в предположении
нерастяжимости срединной линии кольца выведены в [32] в виде
w" — w + 4(о (t) w' + 2(Ь (t) и/ + wVI + 2wlv +
+ №*-<^(^ + ЗИ = 0	= u/ = -g-), (55.2)
где w — смещение точек кольца вдоль радиуса.
Если обозначить через ф (0 угол, который определяет положе-
ние осей стоячей волны относительно основания, то уравнение
(55.2) определяет оператор
Ф (0 = Р [со (0],
(55.3)
который и требуется получить в явной форме. По внешнему виду
уравнения (55.2) про этот оператор трудно что-либо сказать, на-
чиная с того, существует ли он вообще: ведь стоячая волна в коль-
це, возбужденная в нем, пока вращения не было, при появлении
вращения может просто разрушиться. Если же волна не разру-
шается и оператор (55.2) существует, то остается неясным, яв-
ляется ли он линейным: в уравнении (55.2) имеются члены с про-
изведением со(0 на w.
Чтобы найти оператор, следует вначале решить для уравнения
(55.2) начальную задачу Коши: граничные условия — это условия
условия соответствуют стоячей волне,
эволюцию которой мы и хотим про-
следить.
Осуществим в уравнении (55.2)
замену независимой переменной
Ф —> ф по формуле
периодичности, начальные
(55.4)
где у (0 — функция времени, подле-
жащая в дальнейшем определению.
Функцию ф), выраженную
через новую переменную ф, обозна-
чим ф). Имеют место следую-
щие соотношения:
w(t,<p) = w# [f,q> — v(t)],
w(t,q) = w* — uyf,
w (t, <p) = w* —	4- w*4\— w*4.
(55.5)
Подставляя их в уравнение (55.2), получаем (опустим при этом
всюду при w звездочку)
w"— w + [(4со 4- 2^) w'— |2w'"Y] + I— + 2W4- w'y] 4- wVI+
4.	(2 -p Y2 — co2) wIV 4- (1 — у2 — 3»2 — 4cof) uf = 0*	(55.6)
Заметим, что существованию у уравнения (55.6) частного решения
вида
w = f(t) cos кц>	(55.7)
препятствует наличие в уравнении заключенных в квадратные
скобки членов. Эти члены характеризуют несамосопряженную
часть дифференциального оператора (55.6).
Если удастся подобрать функцию у (t) так, чтобы эти члены об-
ратились в нуль, то это и будет означать, что во вращающейся
системе координат, характеризуемой преобразованием (55.4),
имеет место стоячая волна вида (55.7). При переходе к системе
координат, связанной с кольцом, решение (55.6) будет определять
прецессирующую волну
w = cos к [ф — у (01 /J(0.J	(55.8)
Для обращения в нуль несамосопряженной части оператора (55.6)
достаточно выполнения равенств
__ (у 4- 2co)w' = 0,
— (V + 2co)w' = 0.	(55.9)
280
Переопределенная система (55.9) определяет единственную неиз-
вестную функцию у (0. Условия 2л периодичности w (t, ф) по ф при-
водят к соотношениям:
—к2у - (у + 2со) = О,
—/с2? - (у + 2а>) = 0	(к = 2, 3,...),
Эта система совместна и удовлетворяется решением
t
2. Р
= —(55.10)
О
которое зависит от номера волны к, так что несамосопряженная
часть оператора (55.6) может быть уничтожена преобразованием
(55.4) только вдоль гармонической по ф волны.
Оставшаяся самосопряженная часть
w" — w + wVI -f- (2 + у2 — со2) wIV + (1 — Y2 — Зсо2 — 4соу) wn = 0
(55.11)
определяет закон колебаний стоячей волны по времени —/(0.
В случае постоянной угловой скорости со = со0 закон колебаний
оказывается гармоническим: /(0 = cos pY,
А:2(А:2—1)2	2
И = (^+1/ (^ + 1 + ®о)’
Выражение (55.10) и есть искомый оператор (55.3). Он представля-
ет собой линейный интегральный оператор, отличающийся от опе-
ратора (55.1) для инертного тела лишь коэффициентом 2/(Ат2 + 1)
перед интегралом.
Таким образом, стоячие волны в упругом кольце могут служить
датчиком инерциальной информации, как и инертное твердое тело:
со (t) dt = — —ф (t).
Этот результат является точным и получен для уравнения с пере-
менными коэффициентами, так как со (t) считается произвольной
функцией. Этот факт и характеризует то яркое физическое свойст-
во, которое можно называть свойством инертности упругих волн
в кольце. Совместность уравнений переопределенной системы
(55.9), приведшая к существованию оператора (55.10), является
следствием сразу двух обстоятельств: линейные относительно со
и со члены в уравнении (55.2) определяют силы, имеющие обобщен-
ный потенциал, и все уравнение допускает группу сдвига по неза-
висимой переменной ф. Невыполнение одного из условий приво-
дит к отсутствию эффекта.
Рассмотрим теперь вопрос о построении общего решения урав-
нения (55.2) в случае произвольно меняющейся скорости со (£)»
с тем чтобы иметь информацию не только о законе прецессии стоя-
чей волны, но и об эволюции ее амплитуды.
281
Рассмотрим вначале случай со = const. Разыскивая частное
решение уравнения (55.2) в виде
wk = Ак cos (vt + /ар + ак) cos где v и ц — неизвестные кон-
станты, получаем для их определения соотношения
_ к2 (к2 - 1)2+ (v2 + ц2) (*2 + 1) — 4covfc - со2/с2 (к2 — 3) = Oj
v (к2 + 1) — 2(ofc = О,
откуда находим
2(о к
*2 (*»—!)»
И ---	+ 1 + <0 ).
(55.12)
Следовательно, общее решение уравнения (55.2) записывается
так:
оо
w = 3 {[	cos (vt Лф) + Вк sin (vt + /сф)] cos pU 4~
k=2
+ 6\cos(v£ -J- fap) + Dksin(vt 4- fap)] sinpU}»
(55.13)
где Ак, Вк, Ск Dk — произвольные постоянные, определяемые
начальными условиями.
Таким образом, мы приходим к тем же выводам, которые были
сделаны выше: во вращающемся кольце возбужденная форма ко-
лебаний wk поворачивается относительно кольца на угол ф =
= —2(dt/(k2+ 1), относительно инерциального пространства эта
форма поворачивается "на угол ф* = (к2 — 1) (dt/(k2 + 1). Рас-
смотрим теперь общий случай переменной угловой скорости ®(t).
Для этого будем решать уравнение (55.2) методом осреднения,
полагая со<^ 1. Кроме этого, будем считать со (t) медленно меняю-
щейся функцией времени. Это означает следующее: тах|со (£)| = е
t
является малой величиной, max \d(a/dt | имеет порядок 82.
t
Приведем уравнение (55.2) к стандартной форме заменой пере-
менных {w (t, ф), w (t, ф)} -> {a (t, к), т (t, к), b (t, к), п (t, к)} по
следующим формулам:
оо
w = 2 [(я cos &ф -f- b sin fap) cos ykt 4-
К=2
4- (тп cos fap 4- nsin Л?ф) sin	(55.14)
w=^ [— (a cos fap 4- &sinfap)sin 4-
Jf=2
4- (m cos fap 4- n sin fap) cos
что приводит к дополнительному условию
(a cos к<р 4- sin к(р) cos ykt + (Л cos к(р + п sin Ахр) sin ykt = 0.
(55.15)
282
Дифференцируя w по t, получаем
оо	оо
w = — 3	+ 3 Tfr [— (« cos к(р Ц- 6 sin кер) sin yRZ +
к=2	к=2
4-	(rncosAxp + п sin Ахр) cos yfc£].	(55.16)
Подставляя теперь соотношения (55.14), (55.16) в уравнение
(55.2), имеем
оо	оо
У (к2 -|- 1) wK + 2 Tie (&2 + 1) l(« cos k<f> + 6 sin kq>) sin ykt —
к =2	к—2
oo
—	(m cos fap + n sin Axp) cos 4~ 4co 2j kyk [(a sin fap —
k=>2
—	b cos fap) sin ykt + (— m sin fap 4~ n cos fap) cos ykt] 4~
OO
+ 2'jJ У к [(— a sin fap 4- b cos fap) cos ykt 4-
k=2
+ (— m sin fap 4- n cos Axp) sin ykt] 4-
+ 5 [—k2(k2 — I)2 — co2fe2 (Л2 — 3)] u?R. "	(55.17)
k«=2
Полагая yk = к (к2-— i)/Y к2 4“ 1 и приравнивая нулю в уравне-
ниях (55.15), (55.17) коэффициенты при sin fap и cos Ахр, получаем
следующую бесконечную систему дифференциальных уравнений,
эквивалентную исходному уравнению (55.2) в частных производных:
а = 2р (b sin ykt — п cos ykt) sin ykt + 2q (a cos ykt 4- m sin ykt) x
X sin ykt — 2rco (6 cos ykt 4- n sin ykt) sin ykt,
m= — 2p(bsinykt — ncosykt) cos ykt —
— 2q (a cos ykt 4- m sin ykt) cos ykt 4-
4- 2rw (b cos ykt 4- nsinyfc£)cos ykt,	(55.18)
6 = — 2p (a sinykt — mcosykt}(sin ykt 4-
-4 2q (b cos ykt 4- n sin ykt) sin ykt +
4- 2r(b (a cos ykt 4~ m sin ykt) sin ykt,
n = 2p(a sin ykt — m cos ykt) cos ykt) —
—	2q (b cos ykt 4- n sin ykt) cos ykt —
—	2r&(acosykt -f- m sin ykt) cos ykt (fc = 2, 3, . . .),
где
2to	a)2k2(k — 3)	к	zee
P ~ k^ + i ’ q ~ 2yk (fc2 + 1)2 ’ r— YR(*2+ 1) '	(55-19)
В соответствии co сделанными предположениями p(t) имеет
порядок 8, а q(t) и rw(t) — порядок 82. Выполним в уравнениях
283
(55.18) замену, устраняющую быстро меняющиеся члены первого
порядка малости:
а ~	— р (2ук)-1 (^sin 2y^t — t^cos 2ykt),
т = т1 + р(2ук)-1 (z^sin 2ykt + ^cos 2ykt),	(55.20)
b = b± + P (Зук)*1 (axsin 2ykt — m1 cos 2yKt),
n =	— p (2yfc) 1 (m1 sin 2y^t + d^cos 2yiJ).
Введем матрицу-столбец z = (a, zn, b, rip. Тогда система уравне-
пий (55.18) переписывается в виде матричного уравнения
/00
10	0
A = I —1 0
\ 0 -1
/ 0
I 0
& (0 = I cos 2yR£
\ sin 2v,t
z = р [А + В (t)] z -|- 82С(0 z,	(55.21)
1 0\
0 1 |
0 0’
о о/
0	— cos 2ykt — sin 2у kt
0	— sin 2ykt cos 2ykt
sin 2ykt	0	0
— cos2yR7	0	0
Слагаемое s2C (t) представляет собой малые члены порядка е2.
Это уравнение в результате замены (55.20), записываемой в ма-
тричной форме:
/1 0 0 0\
10 10 0 1
z = [E + pD(t)]zr Я = 1оо1о|’	(55-22)
\0 0 0 1 '
4г
/ 0		0	— sin 2ykt	cos 2ykt
1 1	0	0	cos 2yRJ	sin 2ykt
Z)(z)='2t7I	sin 2ykt	— cos 2ykt	0	0
	cos 2ykt	— sin 2-^t	0	0
с точностью до членов порядка 82 приводится к виду
[Е + pD (t)l + рВ (0 Zl = plA + В (01 [Е + pD (0] Z1 +
+ e2C(0z1,
откуда в рамках принятой точности имеем
Z1 = р[Е — pD (0] X.
X {- В (0 + [А + В (01 [Е + pD (0]} zx + е2С (0 zv
284
или
= рАZl + р* [AD (0 - D (t)A + В (t)D (0]	+ e2C (0 zv
Компоненты полученного уравнения являются медленно ме-
няющимися функциями времени, поэтому здесь применим метод
осреднения. Осредним правые части уравнения по времени t,
считая z1? ю(0, й>(0 постоянными и принимая во внимание
(55.18)—(55.22). В результате получаем следующую систему
дифференциальных уравнений:
«1 = Р (0 + 31 (0 ^i ~ гм (0
^i = Р (0	— q± (0 аг + rb (0
= — р (0 аг + qr (0 n± +	(0	(55.23)
n± = —p (0 m1 — q± (0 b± —	(0 a1?
?i(0 = cd2 (0 (Л2 - I)2 [2Vr (А:2 + I)2]’1.
Эти уравнения близки по структуре к уравнениям гирокомпаса
Геккелера [34], отличаясь от них лишь зависящими от ускорения
(0 членами. Точно так же, как и уравнения гирокомпаса Гекке-
лера, уравнения (55.23) допускают точное интегрирование при
произвольном изменении угловой скорости (Ь (0. Для этой цели
сделаем еще одну замену переменных
= &z2	(55.24)
с постоянной матрицей
(1	0	0	1\
0-1-1	0 1
0-1	1	0 ’
1	0	0—1/
которая обладает свойствами	& = F1- В результате
такой замены система (55.23) распадается на две независимые под-
системы:
d2 = —Л») (0 а2 + [р (0 — qt (01 &2, Ь2 = —гео (0 Ь2 — [р (0 —
— 31(0Ь2,	(55.25)
т2 = го) (0 т2 + [р (0 + qt (0] п2, п2 = гю (0 п2 — [р (0 +
+ 3i(01m2.
Полученные подсистемы путем введения комплексных переменных
а — а2 + ib2 и fh = т2 + in2 сводятся к линейным дифференци-
альным уравнениям первого порядка, которые легко интегрируют-
ся. Отделяя действительную и мнимую части полученных решений
и возвращаясь к исходным переменным, получаем следующее об-
285
щее решение системы (55.25):
а2 =	| A cos j [р (t) — qr (/)] dt 4- В sin j [p (t) — qr (£)] dt} ,
о	о
t
b2 —	{— A sin § [p (t) — qr (/)] dt 4-
о
+ В cos j [p (t) — Qi (£)] dt} ,
о
t
m2 = er(a^ cos [p (t) 4- q± (£)] dt + «/Г
о
(55.26)
t
sin (i) + ?i (01 dt],
0
t
n2 — er<^ M sin [p (t) + <h (01	+
о
t
4- cos [p (0 4- (01dt}.
Здесь 4, В, M, Л* — произвольные постоянные.
Решение системы (55.23) получается из найденного решения
(55.26) по формуле (55.24), после чего посредством формул (55.20)
находится решение системы (55.18) с погрешностью порядка 8а
на интервале времени порядка 8-1. И, наконец, подстановка этого
решения в формулы основной замены (55.14) дает общее решение
исходного дифференциального уравнения (55.2) с теми же оцен-
ками точности.
Проделаем все эти выкладки для частного решения этого урав-
нения, соответствующего стоячей волне w = С cos Ахр cos
в невращающемся кольце. Полагая А = Ж = С72, В = М = 0
в формулах (55.26) и используя формулы (55.24), находим
t
= -— L-ra»W cos ( [р (t) — qt (f)] dt 4-
" L	t/
0
t
+ cos [p (0 + (*)] <4»
0
t
Ш1= 4 sin [p (t) — (£)] dt —
о
t
— sin [p (i) + (<)] dij ,
° t	(55.27)
bt = 4 (— sin £ [p (0 — (£)] dt —
«J
0
286
—	er“<t) sin [p (0 + ?i (0]	,
0
t
nt =	cos [p (£) — qt (£)] dt —
о
t
—	cos [p (t) 4- qr (£)] dt} .
о
Далее, не снижая принятой точности вычислений, можно по-
ложить ехр гсо (t) ~ 1 + гы (t). Учитывая это и подставляя реше-
ние (55.27) в формулы (55.20), имеем
а
т
п
— ГСО
— гы
— гы
— гы
о
о
(55.28)
287
Функции (55.28) являются решением осредненной системы урав-
нений (55.18) во втором приближении. Подставляя их в формулы
(55.14), получаем, что
w
— Г (л)
о
о
В силу обозначений (55.19) р — 2г® (()	= 0, поэтому рассмат-
риваемое частное решение записывается в следующем виде:
u, = C'[cos(*<p+I^7J®(0^)]{cos^=^ X
О	Г “Г
t
X	J (О8 (0 ей]} + о (8’).
О
56.
Прецессия стоячих волн
во вращающемся упругом растяжимом кольце
В предыдущем разделе эффект инертности упругих волн оказался
никак не зависящим от упругих характеристик материала кольца.
Это связано с предположением о нерастяжимости срединной ли-
нии кольца при изгибаниях. Представляет интерес выяснить, как
растяжимость кольца сказывается на обнаруженном эффекте.
Уравнения колебаний вращающегося растяжимого кольца имеют
вид [321
v — 2со (t)w — б2 (у” — w') — x2(u/" + v") = О,
(56.1)
w + 2(o (t) v — б2 (и' — u>) + x2 (wIV + v"') = 0.
Здесь v — перемещение точек срединной линии кольца в процессе
деформации вдоль касательной к недеформированной линии; w —
вдоль радиуса; б и х — параметры, зависящие от размеров коль-
ца и от упругих свойств материала.
Предполагая в дальнейшем рассматривать лишь малые угловые
скорости (о, в этих уравнениях пренебрежено членами о>2 и со.
288

Общее решение порождающей системы (при о = 0) имеет вид
оо
v =	[(р cos + Ч sin А*ф)cos рх£ -|- (г cos Ахр +
R=0
+ s sin Лтср) sin |л-|/] + (a cos kq + Ь sin /ар) cos p2Z -J-
+ (mcos ку + п sin ку) sin p2d ,
J	(56.2)
cos Mp — p sin Axp) cos px^ + (s cos ky —
K=0
— r sin ky) sin px^ + G2 [(6 cos /ар — a sin /сф) cos p2Z +
+ (n cos kq — m sin kq) sin p2Z]} ,
где частоты px и p2 определяются соотношением
p2 = l-(x2F + 62)(l +*2) +
+ ]Л-1- (1 + *2)2 (x2*2 + 62)2 - k2 (k2 - I)2 x262	(56.3)
а коэффициенты Gj и G2, соответствующие корням px и p2, имеют
вид
G (и) = ^1’Х’+»-76-) ’ Gа +1=°-	<56Л>
Для избежания излишне громоздких выкладок мы будем пользо-
ваться иногда не самими выражениями для рх, р2, Gx, G2, а их
асимптотиками при больших б:
62,	^g^'-x*, Gi^-4-’ G^k-
(56.5)
Для того чтобы решить полную систему (56.1), будем рассматри-
вать уравнения (56.2) в качестве замены переменных (р, v, w,zv)-+
-> (р, q, г, $, а, Ь, т, п), наложив на новые переменные дополни-
тельные условия:
оо
у1[(pcosfcq) + { sin Zap) cos px£ +
R=0
+ (г cos kq -j- 5 sin kq) sin pxZ] -J- (a cos Axp + b sin Axp) cos p2Z +
+ (m cos A?(p + n sin fc(p) sin p2£} = 0,
(56.6)
oo
2 {(<] cos k(p — p sin Arcp) cos px£ +
k=0
+ (scos fctp — /* sin &(p) sinpxZ} +
+ G2 [(6 cos Axp — a sin kq) cos p2Z +
+ (n cos kq — m sin k<p) sin p2Z]} = 0.
28?
Подставляя функции (56.2) в уравнения (56.1) и учитывая соот-
ношения (56.6), получаем
оо
(Р C°S кУ ® S*n S*n
k=0
+ (г cos fccp + s sin &ф) cos px£] + p2 [“ (^ cos +
4- b sin А?ф) sin p2Z + (m cos Axp 4~ w sin Axp) cos p2^]|=
oo
= 2(0 {px [(— q cos Axp 4~ p sin Axp) sin px^ 4~
k=o
+ (s cos kcp — r sin kq) cos px£] 4~ G2p2 [(— b cos Axp 4~
4- a sin Axp) sin p2£ 4~ (n cos kq — m sin fcq?) cos р2ф,
(56.7)
CO
{Hl [(— < cos kq + p sin kq) sin p^ 4-
k=0
+ (s cos kq — r sin &ф) cos px£] + G2p2 [(— b cos Ar<p +
4- a sin Аф) sin p2Z + (n cos Axp — m sin Лир) cos р2ф =
oo
= — 2(0 J"1, {-^r- [— (p cos Аф + q sin kq) sin px£ 4~
k=o
+ (r cos Axp + s sin &ф) cos px£] 4~ p2 [— (a cos kq> 4~
+ b sin /сф) sin p,2Z 4- (m cos ky 4- n sin Аф) cos p,2Z]} .
Приравнивая в соотношениях (56.6) и (56.7) члены при одина-
ковых гармониках cos Axp и sin Ахр, получим бесконечную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную ис-
ходной системе в частных производных (56.1):
1
-£-(/5cospx£ 4- г sin рх£) 4- «cos p2Z 4~ wsin р2£ = 0,
(— р sin рх£ 4- г cos px£) 4- р2 (— « sin p2Z 4~ cos p2Z) =
= 2(o [px (— q sin px£ 4~ s cos px£) 4~
4- G2p2 (— b sin p2Z 4- cos p2£)L
p cos px£ 4~ rsinpx£ 4~ G2(d cos p2Z 4~ wsinp2Z) = 0,
Pi (— p sin px£ 4~ r cos px£) 4- G2p2 (— a sin p2Z 4- cos p2Z) =
= 2(o -£г- (— q sin px£ 4- $ cos px£) 4~ P2 (— b sin p2Z 4- n cos p2£)L
( cos pxt 4- * sin px£ 4- G2 (b cos p2Z + n sin p2Z) = 0,	(56.8)
Pi (— c‘ sin px£ 4- s cos px£) 4- G2p2 (— b sin p2Z 4~ cos p2Z) =
= — 2co (— p sin px£ 4- cos px£) 4~
4- p2 (— « sin p2Z 4~ cos p2Z) ,
290
(/ cos + s sin p^) + 6 cos p2Z + n sin p2? = 0,
(— ( sin px£ + s cos p^) + p2 (— b sin p2£ + n cos p2£) =
= 2co [px (p sin p^ — r cos p^) +
+ G2p2 (a sin p2Z — m cos p2Z)] (Л = 0,1, 2,.. .)
Параметры p1? p2, G1? G2 зависят от к. В системе (56.8) искомыми
являются p(t, к), q(t, к), r(t, к), s(t, к), a(t, к), b(t, к), m(t, к),
п (t, к).
После разрешения системы (56.8) относительно производных
и осреднения полученной системы в стандартной форме по време-
ни находим
•	/±\ i — ^1^2
P = Gi_Gl <h
.	/,ч 1 — 6чбг2
•	/4\	1 — ^1^2
'* (О (<) g2_Gi р,
5 —“(0 g2 —Gi ’
•	/.\ 1 — ^1^2 7
g2-Gi Ъ'
m = (o(0 g.Z.-g/-”
L	i — ^1^2
6^-coG) G^Gi a,
G2_G1 m.
(56.9)
Точные решения (56.2) системы (56.1) для случая со = 0 показы-
вают, что каждая форма колебаний представлена двумя частота-
ми рх и р2. Таким образом, например, основная возмущенная фор-
ма в виде овала (к = 2) может совершать колебания как с часто-
той р2, примерно равной частоте колебаний по основной форме
для случая нерастяжимого кольца, так и с весьма высокой часто-
той рР Колебания с частотой р2 мы будем называть основными, ко-
лебания с частотой рх — побочными. Основные колебания опи-
сываются, как и раньше, переменными а, тп, Ь, п, побочные —
переменными р, q, г, s.
В осредненных уравнениях первого приближения (56.9) про-
исходит полное разделение основных и побочных колебаний. От-
личие уравнений, описывающих основные колебания в рассмат-
риваемом случае, от случая нерастяжимого кольца заключается
лишь в изменении коэффициента при со(0- Вместо 2к(№ + I)"1
(случай нерастяжимого кольца) имеем (1 — Gfi^ (G2 — Gj)~L (слу-
чай растяжимого). Результат является корректным в том смысле
«	1-GiGa 2к	1
что при о —> оо -я---------> "тггт в соответствии с формула-
Сг2 — СгХ	/С4	1
ми (56.5). Таким образом, прецессия основного волнового поля
относительно тела кольца определяется формулой
t
1 -- G1G2 С / .\ 7.
ф ~ ~ 2 (G2 — G’i) J ® dt’
о
Для растяжимого кольца рассматриваемый коэффициент про-
порциональности оказывается уже зависящим не только от номе-
291
ра формы, но и от размеров кольца и характеристик его материала»
Правда, зависимость эта очень слабая.
Побочная форма колебаний, как следует из (56.9), будет пре-
цессировать относительно кольца с той же скоростью, что и ос-
новная, однако в противоположную сторону. Она будет переме-
щаться вперед по кольцу в сторону его вращения. Этот интересный
факт не имеет, по-видимому, практического значения.
Заметим, что разделение колебаний по частотам на основные и
побочные никак не связано с разделением деформаций кольца на
изгибные и деформации растяжения. Так, при p = r = q = s = O
кольцо совершает основные колебания с частотой р,2, при этом в
соответствии с формулой (56.2) имеют место как изгибные деформа-
ции, которые характеризуются перемещением it, так и деформа-
ции растяжения, которые характеризуются комбинацией vf —
Для коэффициента 1 — 6x63/(62 — 6J можно установить сле-
дующую асимптотическую формулу:
1-^2 _ 2k fi , 9/7л *2-1 \2 х2 ,	1
G2 - Gr ~ № 4-1 L \ к2 + 1 / б2 ф ‘ ‘ ‘ J ’
где точками обозначены члены порядка х46'4 и выше. Эта формула
показывает, что учет растяжимости кольца приводит к увеличе-
нию рассматриваемого коэффициента.
57.
Пространственная прецессия стоячих волн
во вращающемся
сферически симметричном упругом теле
Явление прецессии стоячих волн в тонком упругом кольце, вра-
щающемся с постоянной угловой скоростью со, впервые обсужда-
лось Брайаном в [64]. Им было показано, что система координат
в которой может наблюдаться стоячая волна упругих колебаний^
вращается с постоянной угловой скоростью Q относительно абсо-
лютного пространства:
й =	(57.1)
где к — номер формы колебаний.
В [68] были опубликованы результаты эксперимента с тонкой
полусферической оболочкой. В первоначально неподвижной обо-
лочке возбуждалась стоячая волна упругих колебаний, соответ-
ствующая основной форме с четырьмя узлами на окружности. За-
тем оболочка вокруг оси симметрии поворачивалась на угол 90°
и останавливалась. Было отмечено, что стоячая волна также пово-
рачивалась, не изменяя своей формы (как твердое тело), и останав-
ливалась. При этом угол поворота волны относительно неподвиж-
ного основания составлял ~63°. В качестве теоретического объяс-
нения наблюдаемого эффекта автор ссылается на результат (57.1)
Брайана. Однако описанные два факта никакого отношения друг
292
к другу не имеют. В теоретической модели Бр айана кольцо вращает-
ся с постоянной угловой скоростью и прецессия волны (57.1) опи-
сывается в рамках спектральной теории линейных систем с по-
стоянными коэффициентами. В [681 скорость вращения оболочки
существенно переменна и наблюдаемый эффект представляет собой
качественно новый факт в свойствах упругих колебаний симмет-
ричных тел.
В предыдущих разделах было дано теоретическое объяснение
и описание этого эксперимента. В частности, было показано, что»
результат Брайана допускает широкое обобщение: формула (57.1}
является точной в рамках рассматриваемой модели не только для
постоянной угловой скорости со, но и для угловой скорости, за-
висящей произвольным образом от времени:
=	(57.2}
Если обе части этого соотношения проинтегрировать, то получа-
ется аналогичное соотношение для углов поворота тела и волны,,
что и дает объяснение эксперимента [68].
Если соотношение (57.2) продифференцировать, то получим*
что угловое ускорение волны пропорционально угловому ускоре-
нию кольца. Момент внешних сил, ускоряющих кольцо, вызы-
вает и ускорение волны, что и позволяет говорить об инертных
свойствах волн в симметричных упругих системах.
И в случае кольца, и в случае оболочки эффект инертности уп-
ругих волн имеет одномерный характер: угловая скоость со (О
есть скаляр, характеризующий вращение упругого твердого тела
вокруг неподвижной в пространстве оси. Ниже рассматривается
обобщение этого эффекта на произвольный пространственный
случай.
Рассмотрим упругое сферически симметричное твердое тело со
свободной границей, на которое действуют массовые силы плот-
ности /.
Главный вектор, сил, действующих на тело, f dm без ограни-
v
чения общности будем полагать равным нулю. Под действием
главного момента f г X / dm тело меняет свою ориентацию в про-
у
странстве (г — радиус-вектор произвольной точки тела; dm —
элемент массы; V — область, занятая телом).
Для описания упругих деформаций тела введем систему коор-
динат ХрГзХз, связанную с телом так, чтобы выполнялись условия
^xdm = 0,	f rxxdm = 0,	(57.3}
V	. V
где х = (х1? х2, х3) — упругое смещение точки, в недеформирован-
ном состоянии занимавшей положение г.
Условия (57.3) характеризуют координатный трехгранник.
29*
относительно которого тело в среднем (по всем частицам) не пере-
мещается и не поворачивается.
Ставится следующая задача: зная абсолютную угловую ско-
рость трехгранника в проекциях на его же оси со(£) опреде-
лить, как ведут себя волны упругих деформаций.
Запишем принцип Даламбера — Лагранжа для рассматривае-
мого тела:
р + со X (со X (г + х)) + (Ь X (г 4- х) +
v L
+ 2сох ж +	Vn—Ьхdm = 0,	(57.4)
здесь р — плотность, зависящая лишь от \г |; \7П — градиент
квадратичного функционала линейной теории упругости. Коор-
динаты, определяющие угловое положение тела как целого, не
варьируются, предполагается, что угловая скорость со (t) — из-
вестная функция времени.
Для выбора обобщенных координат рассмотрим случай со = 0.
В [69] было показано, что спектр собственных колебаний свободно-
го твердого тела при условиях (57.3) дискретен. Дискретность
спектра означает следующее. Возрастающая последовательность
частот собственных колебаний vx v2 . . . неограничена,
а собственные элементы fex(r), h2(r), соответствующие этим часто-
там, образуют ортонормированную систему функций, полную
в конфигурационном пространстве задачи:
( hn (г) ht (г) dm =	(57.5)
v
Это позволяет ввести независимые лагранжевы координаты, опи-
сывающие все степени свободы при деформировании тела, в общем
случае со(0 ф 0 следующим образом:
х= S Чп (0 hn (г).	(57.6)
П=1
Задача о собственных колебаниях сферически симметричного сво-
бодного тела допускает группу SO(3), поэтому спектр собственных
частот вырожден и состоит из последовательности, по крайней
мере, трехкратных частот: vx = v2 = v3 v4 = v5 — v6 . . .
Конфигурационное пространство при этом представляет собой
прямое произведение трехмерных собственных подпространств:
{/ii, fe2, fe3} X {h4, fe6} X . . . .
Фиксируем номер m произвольного собственного подпростран-
ства и введем обозначения для соответствующих обобщенных коор-
динат: q3m-2 = и, q-3m-i ~ и, Язт = w- Подставляя (57.6), а также
оо
6х= 2 &?пЛп(г) в (57.3) и приравнивая нулю коэффициенты при
л=1
294
независимых вариациях 6gn, получаем бесконечную систему обык-
новенных дифференциальных уравнений второго порядка отно-
сительно qn вида
й + ли + bv + cw — v (со, х3) +и?((Ь, х2) — 2и(со, х3) +
2w (со, х2) +	+ Iq = О,
v + bu + dv + ew + и (со, х3) — w (d>, xj 4- 2й (со, х3) —
2w (со, xj + F2 + L2 = 0,	(57.7>
w + си + еи + /и? — и (со, х2) + v (со, хх) — 2й (со, х2) +
+ 2v (со, xj + F3 Ц- L3 = О,
в которой скалярные коэффициенты имеют вид
Л = ) (Л3т-2, О))2 dm — (О2, Ъ= \ (Л3гп_2, ^) (Л3тп-1, «) ^Ш,
V	v
с = У (Лзт-2, W) (Лзт, (0) dm,
V
d= \ со)2 dm — (0s, е = \ (Л3т-п (о) (Лзт, со) dm,
V	V
/=У(йЗт» Ю)2 dw—(О2,
V
Ft = J (ГП, Лзт_2) dV, F2 = J (ГП, /zjm-x) dV,
V	V
F3=J(Vn,ASrn)dV.
V
Lv L2, L3 представляют собой линейные функции обобщенных ко-
ординат, соответствующих другим собственным подпространствам.
Присутствие этих членов характеризует тот факт, что системы типа
(57.7) для различных подпространств не являются независимыми
друг от друга.
При получении уравнений (57.7) было предположено ради про-
стоты, что массовые силы / ортогональны всем собственным функ-
циям: fhn(r)dm = O. Это означает, что в / присутствует лишь
v
постоянная составляющая rxfdm^O^ , обеспечивающая вра-
v
щение тела со скоростью со (t).
Векторные коэффициенты х1? х2, х3 имеют вид
Xj — h3m-i X h3m dm,	х2 —; ^зт X dm.
V
Х3= j Л3т_2 X Лзт-! dm.
V
29S
В силу сферической симметрии выбор собственных векторов (fe3m_2
Лзт-i» ^зт) можно осуществить так, чтобы
хх = х(1, 0, 0), х2 = х(0, 1, 0), х3 = х(0, 0£ 1),
где]
x = ±|x1| = + |x2| = + |x3| = + |'j h3m-i X hsm dm I.	(57.8)
V
Очевидно, 0	|x|	1.
Если ввести обозначения
то уравнения (57.7) можно переписать в векторной форме:
z + Az + kGz + 2xGz + L = 0,	(57.9)
где A — матрица позиционных сил, состоящая из коэффициентов
упругих сил F19 F2, F3 и коэффициентов а, Ь, с, d, е, f.
Уравнение (57.9) определяет эволюцию тп-й формы колебаний
свободного твердого тела, вызванную наличием вращения. Эта
эволюция определяется двумя обстоятельствами. Во-первых, сама
4$орма колебаний непосредственно реагирует на вращение тела,
что определяется наличием в уравнении (57.9) членов с G и (?.
Во-вторых, рассматриваемая форма подвергается воздействию со
стороны других форм. Сразу заметим, что это воздействие является
незначительным, поскольку, к примеру, при решении уравнений
{57.9) методом осреднения все члены, определяемые L, в первом
приближении исчезают.
Имеет место следующий факт. Существует такая система коор-
динат z —> у: z = JJy, где .// — зависящая от времени ортогональ-
ная матрица преобразования координат, в которой уравнение
{57.9) при L = 0 имеет самосопряженную форму. В этой системе
координат уравнение (57.9) допускает рашения типа стоячей
волны.
Покажем это. Подставляя z = Му в (57.9), найдем
у + 2Л\Л + kGM,) у + Л1 (Л + 2*GM + nGM + АЛ) у = 0.
(57.10)
Потребуем
J „ _xGUL	(57.11)
Получим Л = — nGM + пЧРЛ и, подставляя в (57.10), найдем
у + Лт (Л — x2G2) Лу = 0.
296
Таким образом, если в неподвижном теле возбудить стоячую вол-,
ну колебаний с каким-нибудь чистым током и после этого приве-
сти тело во вращение с произвольной угловой скоростью, то стоя-
чая волна будет поворачиваться относительно тела по закону
(57.11). Уравнение (57.11) есть уравнение Пуассона. Сравним его
с уравнением Пуассона для самого твердого тела ЛГ ~ —G Ж,
в котором ортогональная матрица определяет положение твердо-
го тела в инерциальном пространстве. Откуда и видно, что угловая
скорость стоячей волны относительно тела пропорциональна уг-
ловой скорости тела относительно пространства: Qo (t) = —хсо (t),
или же для скорости волны относительно пространства имеем
Q (t) = (1 - х)(о (0-	(57.12)
58.
Вынужденные колебания системы
с двумя ударными парами
Рассмотрим механическую систему, изображенную на рис. 69.
Абсолютно жесткая вилка совершает вертикальные гармониче-
ские колебания. Два шарика одинаковой массы падают на вилку
в поле тяжести. Шарики соединены пружиной так, что расстояние
между шариками при недеформированной пружине равно ширине
вилки.
Система обладает очевидным периодическим решением: шари-
ки подпрыгивают синфазно, пружина не деформируется. Это дви-
жение эквивалентно движению одного шарика на вибрирующей
плоскости. В связи с системой на рис. 69 возникает вопрос: как
на устойчивость движения влияет пружина?
Попытка ответить на этот вопрос при помощи метода припа-
совывания приводит к столь необозримым результатам, что воз-
можность их качественного анализа сводится на нет.
Будем полагать, что выбором масштабов массу шариков и ус-
корение свободного падения можно сделать равными единице.
Тогда лагранжиан системы имеет вид
L = ($1 + 4)/2 — v2(sx — s2)2/2 — Si — s2,
где v2 — жесткость пружины.
Обобщенные силы:
д?! = 8 sin Kt — /$19 S2 = 8 sin Kt — fs2.
Обобщенные силы характеризуют силы инерции переносного
движения и силы демпфирования.
Односторонняя связь:	0, s2 > 0.
В соответствии с общим подходом к исследованию систем с од-
носторонними связями, изложенным в разд. 27, осуществим за-
мену переменных ($1? s2) -> (xv х2) по формулам
= IzJ, s2 = I^2|.
Ю В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов	297
Рис. 69
В новых переменных лагранжиан
имеет вид
L = (±1 + ^)/2-v2(kil-k2l)2-
— к11 — как
Обобщенные силы:
X1=S1 sgn ху=г sin kt sgn x±— fxu
X2=S2 sgn x2=z sin kt sgn x2—fx2.
Связь в новых переменных исключе-
на.
Поскольку квадратичная фор-
ма обобщенных скоростей в лаг-
ранжиане сохранила каноническую структуру, уравнения движе-
ния можно получить при помощи уравнений Лагранжа:
(58.1)
+ у2 (I ^il — I *2|) sgn+fx± + sgn^ = 8 sinM sgn
#2 + V2 (k2 I — I xt I) sgn x2 4- fx2 4- sgn ;Г2 = 8 sin Kt sgn x2.
Будем считать малыми параметрами в полученной системе коэффи-
циенты v2, / и 8. Решение ее будем строить методом осреднения.
Порождающая система (при v2 = / = 8 = 0) состоит из двух урав-
нений вида
it 4- sgn х = 0.	(58.2)
Нетрудно видеть, что общим решением уравнения (58.2) яв-
ляется
x = aS f-4=r+ 0о) ’
\ У а. )
где а и 0О — произвольные постоянные. S (ф) — см. разд. 27,
рис. 25.
В системе (58.1) осуществим переход к новым переменным (хи
х2, Ян ^2)	(а, Ф, Ф) по формулам
= aS (<р),	= У аП (ф),
г-	(эо.о)
х2 = bS(ty), х2 = ]/ 6П (ф).
Уравнения (58.1) в новых переменных в разрешенном относи-
тельно старших производных виде перепишутся так:
d = 8/fljf4I(<p)[v2(а 15(<р)| — 6|5(ф)|)Л/(ф) —
— / У а П (ф) — М (ф) е sin Xi],
6 = 8 Уь л-2П (ф) [v2(fe1S (ф) | — а |5 (ф) | )М (ф) -
— / УЬ П (ф) — М (ф) 8 sin Kt],
298
<|) = -2=__L=5(<p)[v2(a|S(<p)|-b|5WI)Af(<p)-	<58Л)
]/ а	a
—	f Yа П (<f) — M (<p) e sin %£],
Ф=у= --^SWM(NSOI’)I - « |S(<p)|)MW-
—	/ УЪ П (гр) —JAP(ip) 8 sin A/].
При получении этих уравнений были использованы соотноше-
ния между функциями М (ф), П (ср) и S (ф) из разд. 27*
Система (58.4) представляет собой систему стандартного вида
с двумя медленными (а и Ь) и тремя быстрыми (ф, гр, Af) переменны-
ми. Рассмотрим резонансный случай:
IX	11
Va ~8’ уъ ~8‘
Введем в соответствии с обычной процедурой метода осредне-
ния в этом случае две медленные фазы:
1 ,	Q	.	1 .
а = ф--t,	Р = ^Р--2"^.
Эти соотношения позволяют исключить из рассмотрения фазы
ф, гр, после чего в системе остается лишь одна быстрая фаза AL
Осредняя полученные уравнения по Kt, найдем
а = SjAan"2 [Ф (а, а + Р) — л2/|/^а/12 — (е/2) cos 2а],
b = 8 f Ъ л’2 [Ф (6, а, а — Р) — л2/ /&/12 — (е/2) cos 2(3],	(58.5)
где
2Л
.,2	/»
Ф(а,М) = -^ [а|5(Ф)| -д|5(Ф + Т)|]2И(ф)П(ф)<2ф =
О
2Л
=	|^(ф + т)|М(ф)П(ф)йф.
о
Система (58.5) допускает стационарный режим:]
а = Ъ = 4А“2, а = р = ± (1/2) arccos (—л2//ЗАе).	(58.6)
Это и есть искомый стационарный режим с синфазным движением
шариков при недеформированной пружине. Если бы пружина от-
сутствовала, то устойчивому режиму соответствовал бы в (58.6)
знак «плюс».
Изучим устойчивость решения (58.6). При составлении уравне-
ний в вариациях для системы (58.5) будем иметь в виду соотноше-
ния
дФ ___q дФ I _______q дФ I ________ л2Ьх2
да ’ дЬ |а=3	’ ду |у=о 12	’
10#
299
Уравнения в вариациях относительно изучаемого стационар-
ного режима имеют вид
6а =------ 6а + ^8е Yа л-2 sin 2а---6а +	60,
з \ г	За,2 /	1 За2 г
66 = — 4* 66 + ба + (8е УЬ л’2 sin 2₽ —	) 60,
6а =-----7—6а,	63 =-----Л-66.
4а ’	r	4b
Характеристическое уравнение этой системы относительно р
может быть получено в виде
[р(р +	+ eX2n'2sin2a] [р2 + 4"Р +
+ еХ2л'2 sin 2a--—1 = О-
24 J
Откуда следуют условия устойчивости:
sin 2a > 0, еХ2л-2 sin 2a — n2v2X/24 > 0.	(58.7)
Первое условие, как и в задаче без пружины, говорит о том,
что устойчивым может быть лишь режим, соответствующий верх-
нему знаку в (58.6).
Учитывая, что из (58.6) для этого режима следует
sin 2a =	1 — (л4/2)/(9Х282),
второе из условий устойчивости в (58.7) можно переписать следую-
щим образом:
8|Л 9Х282 — л4/2 > лЧ2.
Из этого условия видно, что при достаточно малой жесткости
пружины v2 устойчивость имеет место; начиная с некоторого зна-
чения этой жесткости, при дальнейшем ее увеличении оба режима
(58.6) становятся неустойчивыми. Причем с увеличением ампли-
туды и частоты возбуждения (8 и X) область устойчивости расши-
ряется, с увеличением демпфирования (/) сужается. Демпфиро-
вание здесь играет дестабилизирующую роль.
59.
Ударный проглотитель колебаний
Рассмотрим задачу о виброударном поглотителе колебаний
(рис. 70). Пусть т1 — масса основного тела, т2 — масса погло-
тителя. Без ограничения общности примем т1 + тп2 = 1иА:==1 —
жесткость пружины.
Тогда уравнения движения этой системы могут быть записаны
в следующем виде:
Ш1У + z = О,	I у I < d/2,
y(t*) = -ky(t*),	]y\ = d/2,	(59.1)
z + z = p sin vt + m2y.
300
Здесь у — относительная координата тела
и поглотителя; z — координата центра масс
системы; d — величина зазора; к — коэффи-
циент восстановления при ударе, который в
этой задаче принимается не равным едини-
це.
Замена переменных у —> х по формуле
у = П (х) — (1 — к) (1+ Ar)-1 cos я]
(59.2)
приводит задачу к системе, рассматриваемой
на бесконечном интервале времени и не содер-
жащей разрывов типа 6-функций. Вид преоб-
разования (59.2) обеспечивает точное выпол-
нение условий удара для любых движений,
для которых х > 0. При к — 1 эта замена
переходит в предложенную в разд. 27.
Преобразованная система имеет вид
Рис. 70
х = — [ л (dmj) 1 (— z + р sin vt + т2у) + ex2 cos х] [к sin х +
+ М (х)Г1,
z + z — р sin vt + гПзб/лГЧП’ (х) — е cos х].
(59.3)
Здесь использовано обозначение е = (1 — Zc)(l + &)"1.
Учет не равного единице коэффициента восстановления при-
водит к тому, что система (59.3) эквивалентна системе (59.1) не
для всех движений, а только для таких, для которых х > 0. Одна-
ко во всех практически наиболее важных случаях это условие вы-
полняется. Если же к = 1, то соответствующие уравнения экви-
валентны для любых движений.
Будем исследовать систему (59.3) методом осреднения, считая
р,е, тп2 и й"1 малыми, причем й-1,е ~ р, пг2 ~ р2. Напишем систе-
му (59.3) в нормальной форме Коши, ограничиваясь малыми пер-
вого порядка:
<*1 = Рр Pi = л (dm^~la2M (aj — e0icos агМ (aj,
(59.4)
d2 = 02> Зг — —	+ Н sin V + т2йл-1[П (04) — е cos aj,
у = v.
Используем решения порождающей системы для преобразова-
ния переменных (04, 0Р а2, 02, у) -> (хр х2, у13 у2, у3):
а2 = х± sin уп 02 = х± cos уп = у2, 0j = х2, у =
= Уз-	(59.5)
В новых переменных уравнения (59.4) имеют стандартную фор-
му:
Xt = р sin уз cos у2 + т2йл-1 П (у2) cos у1?
301
х2 =	(dm,]) lM (g2) sinz/i — e^cos y2M (y2).	(59.6)
У1 = 1 — sin У]Ып y3 — m2d (л^рП (y2) sin y^
У2 = Уз = v.
Переменные xu x2 — медленные; переменные y1? y2l y3 — быст-
рые. Изучим в системе (59.6) сложный резонанс вида
v — 1 = А ~ ц, х2 — 1 ~ ц.
Механический смысл этого резонанса состоит в том, что внеш-
няя сила имеет частоту, близкую к собственной частоте порождаю-
щей системы, и поглотитель движется с частотой, близкой к соб-
ственной.
В соответствии с общей процедурой исследования резонанса
введем две медленные фазы:
~ Уз Ум = У2 У1*	(59.7)
Выражая из (59.7) у2 = ух + 02 и Уз — У1 + 91 подставляя в
{59.6), найдем
Хг = ц sin (уг + 0J cos yt + тп^л^П (уг + 62) cos yv
(dm^M (yt + 02) sin г/х — ex?cos (ух + 02) М (уг + 02),
$2 = А + nar^sin (уг + 0Х) sin yt + m2d (nzj)-1!! (г/х +
+ 02)sin yv	(59.8)
$2 = ж2 — 1 + fw^’sin fa 4- 0X) sin yt + m2d	(i/x +
+ 02) sin ylf
У1 = 1 + • • • •
В системе (59.8) осталась одна быстрая фаза — уг. Осуществим
по ней осреднение:
= (ц/2) sin 0Х + 2m2djT2sin 02,
±2 = —- 2xr (dm,])"1 sin 02 —- 2ел“1я|,	(59.9)
61 = А + ц (2x1)"1cos 01 4- 2m2d (л2^)"1 cos 02,
б2 = х2 — 1 + р (2x])~r cos 0i + 2m2d (л2^)'1 cos 02.
Введем для упрощения выкладок следующие обозначения:
а = 2m,2dn~2, Ъ = ц/2, с = 2l(m,]d),	& = 2ел-1. (59.10)
Уравнения стационарного режима имеют вид
b sin 0i + a sin 02 = 0, cxr sin 02 + ех% = 0,	(59.11)
Ъ cos 0i + а cos 02 + Axi = 0, Ъ cos 0Х + а cos 02 + (х2 —
— 1) хг =0.
302
Они могут быть разрешены относительно неизвестных х2, 0lt
02:
х{ = (а2 + Ъ2) Д'2 ± 2а6Д~2 (1 - ^vW2)7*, х2 = v.
(59.12)
Выражения для 0Х и 02 зависят от знака в (59.12) и от знака Д.
Например, если Д < 0 (дорезонансный случай), то для верхней
ветви (59.12) получим
0Х = arc sin (ev2a6"1c‘1a:71)»
02 = — arc sin (evV1#!1),
для нижней
0Х = arc sin (ev2^"1^'1^1),
0Х = л — arc sin (ev2^"1^1^1),
0Х = arc sin (ev2^"1^"1^!1),
02 — л + arc sin (ev2c-1Xi ),
02 = — arc sin (ev2^1^1),
02 = — arc sin (ev2c-1.T"J),
если b —
если b — a 0;
если b — a = 0.
Условие существования рассмотренного типа резонанса сле-
дует из (59.12) в виде с2Ь2 — e2v2A2 + 0.
Решение задачи в исходных переменных получается с учетом
(59.5), (59.7), (59.2):
z = х± sin (vt — 0J, у = drT1 [П (fit + 02 — 0!) — е cos (vt +
+ 02 -0J.	(59.13)
Если нас интересует координата основного тела z1? то она полу-
чается очевидным образом из (59.13) в виде z± = z — т2у, при
этом движение основной массы не получается гармоническим;
выделяя первую гармонику, найдем выражение для ее амплитуды:
ai ~ [(^i cos 0! — im2d~2)2 + Xi sin 0211/г.	(59.14^
Выражение (59.14) определяет амплитудно-частотную характе-
ристику движения главной массы (рис. 71).
60.
Виброударная система
с ограниченным возбуждением
Рассмотрим вынужденное движение линейной колебательной сис-
темы, возбуждаемой от источника периодического возбуждения
ограниченной мощности, находящейся между жесткими ограничи-
телями, расположенными симметрично относительно положения
равновесия системы. Уравнения движения системы записываются
303
в виде
ту + су + mF (у) = cxr sin ф,
/ф + Нг (ф) = L (ф) + сгг (у — г sin ф) cos ф.	(60.1)
Здесь т и с — масса и жесткость колебательной системы; I и г —
момент инерции ротора и радиус кривошипа соответственно;
L (ф), Н (ф) — момент двигателя и момент сил сопротивления. Функ-
ция F(y) представляет собой условную запись, отражающую удар-
ное взаимодействие, которое будем характеризовать коэффициен-
том восстановления скорости при ударе R. Изменим линейный
масштаб так, чтобы зазор был равен л. Введем обозначения:
со2 = с/т, eq = Cyr/т, eqx =	еК (ф) = [L (ф) —
-ЯЛФ)]/-1,
где е — безразмерный малый параметр. В новых обозначениях
уравнения (60.1) запишутся в виде
У + (02у + F(y) = tq sin <р,
ф = е [К (ф) + qx (у — г sin ф) cos <р].	' ' '
Сделаем замену переменных у -> х согласно формуле
у = Л.5 (ж) 4-П (ж), х = 2.4^4,	(60.3;
где П (х) — 2л-периодическая функция, определенная в разд. 27
как
при
П (х) = х
при
(60.4)
при
— х — л
— X 4- л
a S (х) — периодическая несмещенная функция, такая, что S' (х) =
= П (ж).
В новых переменных уравнения (60.2) примут форму
х — [eg sin ф — КМ (х)х2 — Хсо25 (х) — со2П (z)] [ХП (х) +
+ М (x)]-i,
ф + е [ТГ (ф) + gi (Х5(х) + П (х) — г sin ф) cos ф],	(60.5)
М (х) = П'(х).
В уравнениях (60.5) сингулярная функция F(x), характери-
зующая ударное взаимодействие с ограничителями, исчезла.
В этом и состоял смысл замены (60.3), которая обеспечивает точ-
ное выполнение всех условий удара для любых движений, для ко-
торых х > 0.
304
В отличие от системы (60.2) система (60.5) допускает коррект-
ное применение метода осреднения.
Полагая X ~ е и оставляя члены одного порядка малости, по-
лучим
х + со2П (х) М (х) = zq sin фЛ/ (я) — X/2 — Хсо25 (х) М (х) +
+ W2n2Cr),	(60.6)
ср = е 1 АГ (ср) Ч- q± (П (х) — г sin ф) cos ф].
1	л2
или, имея в виду тождество S (х) М (х) = — П2 (а)-----g— , пере-
пишем (60.6) в нормальной форме Коши(х = х1, х = х2, <р = Фх,
ф = Ф2):
— хг, х2 = — со2П (xj) М (хх) + eqM (Xj) sin Фх +
+ % (1/8со2л2 - xl) + 1/2Хсо2П2 (xj, Фх = Ф2,	(60.7)
Ф2 = е [/С (Ф2) + qr (П (xj) — г sin Фх) cos Фх].
Порождающая система
£х = х2, Фх = Ф2, Ф2 = 0, х2 = — со2П (xj) М(xj)
(60.8)
допускает следующие интегралы:
С--------dx±---	Ф2 = С2,
J [2Н — о2П2 (лп)]’/’	1	2	2
L	л	(60.9)
т2 = [2Я-(о2П2(^)Г/2,	ф1 = С^ + С3,
где Н — полная энергия системы; Ct (i = 1, 2, 3) — произволь-
ные постоянные. В зависимости от значения Н система совершает
либо колебательное, либо вращательное движение. В первом слу-
чае колебательная система не достигает упоров и движение имеет
вид гармонических колебаний как по переменной х, так и по пе-
ременной у.
Рассмотрим ситуацию, когда уравнение 2Н — (о2!!2^) = О
не имеет действительных корней. Заметим, что при этом х2 =
= х > 0.
Из (60.9) находим
nSin(o[t-nv-»£(v^ + V2)] пЕ 7 _lf 1 \	(60 10
1	2 sin (<oji/2v)	\	I /	'	'
__ 1 ________(1)Л______
2 arc sin [л(о/2 У2Н ] ’
где E(t) — функция антье; v — частота колебаний, зависящая от
энергии Н.
Если обозначить vt = ф, то х± можно записать в виде хг = ф 4-
+ х* (ф, Н), т%ех* (ф, Н) — периодическая по ф функция с перио-
ЗОЛ
дом л:
1,«’.д>=Ц(-1)м		(60.11;
R'=l
Ряд (60.11) весьма быстро сходится; так, в резонансном слу-
чае, когда со — v, амплитуды гармоник имеют значения а} = 1/3,
а2 = 1/30, а3 = 1/140, ....
В системе (60.7) сделаем замену переменных (х1? х2)	(ф, Н)
по формулам
= ф + я*(ф, Я), х2 - у 2Я — со2П2[ф + х*(ф, Я)].
(60.12)
JB результате получим
Л = У 2Н — со2П2 (ф + х*) {едЛ/ (ф + х*) si п Фх +
ч- %	_ 2Н + 4“>2П2 (Ф + ж*)]} ,
J. ../гм	дх* &
ф_у(Я)	дН ! дх*1д^ ,
<Ь1 = Ф„
(60.13)
Ф2 = е{Я(Ф2) + <h[II (ф + х*) — г sin OjJ cosOj}.
Преобразование (60.11) сводит систему (60.7) к схеме с двумя
быстрыми фазами ф, Фх Рассмотрим случай главного резонанса
v(H) — Ф2 ~ е и, вводя медленную переменную 0 = ф — Фх,
получим систему уравнений с одной быстрой фазой ф:
Й = У 2Н — со2П2 (ф + х*) [eqAf (ф + х*) sin (ф — 0) +
+ х(-|-(о2л2 - 2Н + -|-®2П2(ф + х*))] ,
0=¥(Я)-Ф,-^- 1 +	,	(60.14)
ф2 — 8 [# (ф2) 4- qx (П (ф + х*) — г sin Фх) cos Фх],
,	/ Tjx dz* Й
— дИ 1 + •
Первые три уравнения (60.14) приведены к стандартной форме;
полагая в (60.12)	= ф и проводя осреднение в (60.14) по ф, по-
лучим осредненные уравнения первого приближения для Я, 0, Ф2:
Й = -ъ2а У2Н —L, sinO —
4 г л 1\У2Н )
-К (2Я- 4-®2ji2) (-Г У2Н—г®2"2 +
+ arcsin —_|_ 3 Хл»2Г — (2Н—-i102112^3 +
' лш	2/2Я /	8 L f \	j 1
Ч-гяГХтЛ2Я^1(о2л2 + —arcsin ^1], (60.15)
\ 2 г 4	1 <ол 2 К2Я J J '
6 = v(Я)-Ф2,	Фя = 8|'к(Ф2) + -^-8Ш0] ,
306
где L±(a) — неэлементарная монотонно убывающая функция, опре-
деляемая выражением
Л/2
Z1 (а) = У У1 — a2q>2Lcos ф йф.
6
Рассмотрим стационарные режимы исследуемой системы. Пола-
гая в (60.15) б = 0, Й = 0, Ф2 = 0, из второго уравнения полу-
чим амплитудно-частотную характеристику Н (Ф2):
Н = -|-co2n2/sin2^-^- лсо/Ф2).	(60.16)
Подставляя (60.16) в первое уравнение (60.15), находим фазо-
частотную характеристику. При больших значениях Н первое*
уравнение в (60.15) можно упростить:
Й = — 2eq f2H -L sin 0 -I- X (2Я)’А,
тогда выражение для фазы приобретает вид
sin 0 = — -g—.У <9<п . .	(60.17>
sm2 (шо/2Ф2)	v 7
Условие существования стационарного режима определяется
неравенством лсо2/8 < Н < &q (Хл)-1.
Амплитудно-частотная характеристика и фазочастотная харак-
теристика системы представлены на рис. 72, 73. Плоскость (Я, Ф2)
разбивается на две части значениями Я, при которых колебатель-
ная система совершает движение с ударами или без ударов. При
Я < (х/8)л2(о2 система не достигает упоров. При Я Хх/8)л2(о2 дви-
жение колебательной системы происходит с поочередными ударами
об упоры. Затягивание виброударного режима происходит до зна-
чений Н = &q (Хл)”1, превышение которого приводит к срыву ви-
броударного движения, и система выходит на амплитудно-частот-
ную характеристику безударного режима.
3077
Частота со срыва виброударного движения определяется выра-
жением
^ = ^2 arc sin
con у[ Хл 1 1
2/^ J
Взяв в только один член, из (60.15) получим скелетную кри-
вую амплитудно-частотной характеристики. Удерживая в пер-
вый член ряда (60.11), получим усредненные уравнения уточнен-
ного первого приближения для 0, Ф2:
г /ггч ль /2Я1	п , 3/2Я1(о^л
61 = V	69 C0S 61 +	~32я|	' ’
Ф21 = е [tf (Ф21) 4-	(2 + А ®	shl 0i] •
(60.18)
Уравнения (60.18) дают две ветви амплитудно-частотной ха-
рактеристики, расположенные симметрично относительно (60.16)
в зависимости от знака cos 0. Стыковка амплитудно-частотных ха-
рактеристик систем без упоров и с упорами происходит на линии
я, =
Устойчивость стационарных режимов — приближенных реше-
ний системы уравнений1 (60.15) — может быть выяснена посредст-
вом составления уравнений в вариациях системы (60.15) с после-
дующим применением критерия Рауса — Гурвица. Обозначая
правые части (60.15) через а частные производные от Bt по
Н, Ф2 и 0 в стационарных точках соответственно, получим
следующие необходимые и достаточные условия устойчивости
найденных стационарных решений (60.16), (60.17):
~ —(Ьц + Ь22 + &33) > 0,
^3 = ^11^23^32 4“ ^12^21^33 4" ^13^22^31— ^11^21^33 — ^12^23^31 —
^13^21^32 > 0,
^1^2	^3	^2 = ^11^33 4" ^11^22 4“ ^22^33	^32^23
^12^21	^13^31’	(60.19)
Условие > 0 дает неравенство
-ьК' (Ф21) + 2Х/2Я > 0,
которое выполняется всегда, так как по смыслу рассматриваемой
задачи /£'(Ф2)<0. Неравенство Л3>0 выполняется при cos 0>О.
Таким образом, из двух значений 0
02 = агсз1Ц—, ез = —л + агсзпЦ---------—]
в стационарном режиме 03 не реализуется в системе, и соответ-
ствующая ему правая ветвь амплитудно-частотной характеристи-
ки характеризует неустойчивые режимы. Эти режимы близки к
противофазным. Решение вопроса об устойчивости значений дает
308
третье неравенство (60.19), откуда получаем, что из области зна-
чений 01? удовлетворяющих второму неравенству (60.19), —л/2 <
< 0Х < 0, устойчивыми являются значения из интервала
--г<е1<т-У^чП’,	т=—/2^. (60.20)
Таким образом, при т — У т2 + 1 < 0Х < 0 в системе оба удар-
ных режима неустойчивы. Заметим, что если в системе (60.1) уст-
ремить Л(ф) -> оо, то в пределе уравнения по у и по ф распадаются;
осциллятор не оказывает воздействия на двигатель. При этом в
условии устойчивости (60.20) т — ]Лг2 + 1 -> 0, и область устой-
чивых значений на амплитудно-частотной характеристике распро-
страняется на всю ее верхнюю ветвь. В результате имеем, что
ограниченность мощности двигателя приводит к уменьшению об-
ласти существования устойчивых режимов. На рис. 72, 73 неус-
тойчивые решения показаны пунктирной линией.
61.
Волчок Лагранжа на подвижном основании.
Ядерный магнитный резонанс
Рассматривается задача о поведении волчка Лагранжа в случае,
когда точка подвеса совершает гармонические колебания в гори-
зонтальной плоскости. Особенность задачи состоит в том, что
траектория единичного вектора оси симметрии тела в указанных
условиях может быть всюду плотной на единичной сфере. Это де-
лает невозможным использование для описания движения локаль-
ных координат типа углов Эйлера.
Применение уравнений в невырождающихся переменных по-
зволяет осуществить полное исследование системы. Полученные
результаты имеют отношение к модели ядерного магнитного резо-
нанса, для которого в данной работе выводятся уравнения типа
уравнений Блоха [1], минуя феноменологические подходы.
Рассмотренная модель может служить также и для описания
ряда явлений в гироскопах с неконтактным подвесом.
Рассмотрим динамически симметричное твердое тело (рис. 74),
закрепленное в точке О, момент инерции котого вокруг оси, пер-
пендикулярной оси симметрии и проходящей через точку О, обоз-
начим Л, а момент инерции тела вокруг оси симметрии — С.
К телу приложен произвольный внешний момент: М = Мх + М2,
где Мх момент внешних сил, перпендикулярный оси симметрии,
а М2 — параллельный ей. (На рис. 74 показан лишь частный слу-
чай нагружения тела силой тяжести.) Трехгранник xyz инерциаль-
ный.
Переменные, описывающие положение тела, таковы: xyz —
компоненты единичного вектора е = {х, у, z}, направленного по
оси симметрии, у — угол, определяющий положение тела вокруг
этой оси.
309
Для отсчета угла у введем вспо-
могательный трехгранник хгу^, ось zt
которого направлена по оси тела, а по-
ложение двух других осей определяется
условием (О, е) = 0, где Я — абсолют-
ная угловая скорость трехгранника
Введенный таким образом трехгран-
ник является неголономным: его ки-
у нематика связана с эффектом парал-
лельного переноса вектора на римано-
вой сфере.
Утверждение. Уравнения
движения описанного твердого тела в
указанных переменных имеют вид
Ле X ё + C'fe = Мп Су = М2
(61.1)
где М2 — модуль вектора М2.
Доказательство. Угловая скорость тела равна Я +
+ уе, поэтому кинетический момент имеет вид К = .7 (Я + ?е),
где .7 — тензор инерции тела. Рассматривая кинетический мо-
мент в проекциях на оси хх, yr, zr и учитывая, что Я не имеет про-
екции на ось а е — на оси хг и получим К = ЛЯ + Суе.
Вычислим абсолютную производную вектора е: ё = Я X е. Ум-
ножая векторно это равенство слева на вектор е, найдем
е х ё = е X (Я X е) = Я.
В результате выражение для кинетического момента приобре-
тает вид К = Ле X ё + Суе. Запишем уравнение движения
= Ле х ё + Суе + Суё = М.
Учитывая, что е X ё J_ е и ® _1_е> получаем (61.1).
Если момент М выражен явно через введенные фазовые пере-
менные М = М(е, ё, у, у), то уравнения (61.1) замкнуты и позво-
ляют найти e(t) и y(t). Обычно положение динамически симммет-
ричного тела вокруг оси симметрии (т. е. угол у) интереса не пред-
ставляет, в этом случае нахождение e(t) завершает решение зада-
чи. Если же необходимо найти положение тела полностью, то тре-
буется еще проинтегрировать уравнения Пуассона с известной уг-
ловой скоростью Я = е X ё для нахождения положения трехгран-
ника x-iy1z1.
Случаи понижения порядка системы
(61.1).
Случай I. Момент М не зависит от у. Обозначив Н = Су, по-
лучим
Ле х ё + Не = Мх (е, ё, Я), Й = М2 (е, ё, Н).
310
Случай II. Составляющая М2 = О (например, когда все силы,
действующие на тело, проходят через ось симметрии):
Ле X ё + Не = Мх(е, e)t Н = const =# 0.	(61.2)
Рассмотрим характерный пример, имеющий конкретные фи-
зические приложения, в котором использование уравнений (61.1)
позволяет обойти трудности, связанные с вырождением локальных
координат в окрестности особых точек, и более компактно и на-
глядно представить решение.
Волчок Лагранжа на подвижном основании. Полагаем без ог-
раничения общности, что центр масс тела С находится от точки 0
на расстоянии, равном единице. Система координат xyz не вра-
щается относительно инерциального пространства и вместе с точ-
кой подвеса тела О совершает колебания в горизонтальной плос-
кости ху. В этой системе координат на тело действуют следующие
силы: Fx = Ре3 — сила веса (ускорение земного тяготения пред-
полагается направленным вверх); F2 = аеа сила инерции пере-
носного движения; F3 = — £ё — диссипативная сила. Единичные
векторы е3, еа и е определяют соответственно направление верти-
кали, направление ускорения точки подвеса и положение центра
масс С:
е3 = {0, 0, 1}, еа = {cos co£, —sin со£, 0}, е = {х, у, z},
где со — частота вибрации, а £ - коэффициент диссипации. По-
скольку все силы проходят через ось симметрии, то момент сил во-
круг этой оси равен нулю и описанная система имеет интеграл дви-
жения, равный проекции момента количества движения тела на
эту ось. Обозначим величину этого интеграла буквой Н. Уравне-
ния движения тела могут быть представлены в виде (61.2)
Ае х ё + Не = е х F,	F = Fi + F2 + Fs.	(61.3)
В дальнейшем будем считать величину кинетического момента
Н достаточно большой. В этом случае в системе (62.3) существует
представительное интегральное многообразие, к которому стре-
мятся не лежащие на нем интегральные кривые при Н -> оо.
Будем искать это многообразие в виде
ё = G(J, е)/Я.	(61.4)
Подлежащая определению функция G (t, е) должна удовлетво-
рять уравнению, полученному после подстановки (61.4) в (61.3):
4ex-4+4-»x4-G + G=exF- <61-5>
Это уравнение будем решать относительно G асимптотически.
Безразмерный малый параметр 8, по предположению, связывает
заданные параметры задачи так:
I Р________ а Р2
Н Н мН	(ОЯ •
(61.6)
8,
311
Соотношения эквивалентности определяют большую величину
кинетического момента Н и малую величину силы инерции пере-
носного движения а в сравнении с силой тяжести Р. Дальше ни-
какие изменения в обозначениях в уравнениях (61.3)—(61.5) с
целью явного выделения малого параметра 8 не производятся, со-
отношения (61.6) учитываются лишь при сравнении порядков раз-
личных членов в процессе преобразований.
Введем функцию Gk = G + 0(ek), отличающуюся от точной,
удовлетворяющей уравнению (61.5) функции G (£, е) членами бо-
лее высокого порядка, малости, чем (или, что эквивалент-
но, Я"к). Для различных G*. в силу (61.5) получаем следующую
цепочку соотношений:
Gq = Ре х е3,
Gx = Рё х е3 4- ае х ёо-е х Go,
G2 = Pexe34- аехео—^-exGj —
_ —ex _____________^ех -^-G
Н е х dt	де v<”
(61.7)
5G)T-2 г
-is-Gr-2-
G)t = Ре x e3 4- ae x eo e x Gr-x —
A	, л
--7Г^-дГ---^еХ
Соотношения (61.7) представляют собой явную рекуррент-
ную схему, позволяющую последовательно найти все G^. Исполь-
зуя теорему о сжимающем операторе в полном метрическом про-
странстве, стандартным образом доказывается существование и
единственность неподвижной точки оператора a(t, е) —> 0 (£, е):
0 = Ре х е3 + ае х еа —е х а -
А , да	A , да
Н * Х dt	Н» е Х де “•
Очевидно, свойство сжимаемости у данного оператора имеется
заведомо при достаточно больших Н. Подставляя Go в G1? полу-
чаем первое приближение для интегрального многообразия (на-
зываемого также уточненными прецессионными уравнениями)
в виде
1	1	tp
ё = -д- Рехе8 + -^-аехеа — -^-ех[ехе3].	(61.8)
Подставляя найденное на предыдущем шаге Gx в G2, находим
второе приближение для искомого интегрального многообразия
и этими приближениями ограничимся:
1 1
ё=-д-ех(Ре34- аеа)---е х [е х [£Ре3 + £аеа + Лаёа]] —
---iHg2P + A£2(e,es)}(exe3).	(61.9)
312
/ COS (dt
Г = I — sin (dt
е = Гг.
Перейдем к вращающейся вместе с вектором перегрузки си-
стеме координат е = {х, у, z} -+ г = {и, v, w}:
у — — и sin (dt + V COS (dt, z = wr
sin (dt 0
COS (dt 0 j.	(61.10)
0	1 /
Поскольку уравнения (61.8) и (61.9) записаны в инвариантной
векторной форме, то замена переменных (61.10) в них сводится в
правых частях лишь к замене е на г. Левая часть ё преобразуется
известным образом:
Г-1ё = Г-1 (Гг + Г г) = г + Г'Ч'г = г — (ог3 х г.
В итоге уравнение (61.8) запишется:
Г =	г X г3 Н- г X гв — г X [г X г3],	(61.11)
где векторы г3 и га, а также необходимый для преобразования
(61.9) вектор Г‘хёа имеют вид
г3 = Г-1е3 = {0, 0, 1}, га = Г-1еа = {1, 0, 0}, Г^ёа =
- — со {0, 1, 0}.	(61.12)
Введем в уравнении (61.11) замену времени t -> т и обозначения
<	«	аН А I Р \ Я*	ЛОч
’	& \Н	•	(61.13)
Тогда в покоординатной форме это уравнение примет вид
й = Др — uiv, v = — Ди + pip — vw, w = — рр + v2 4-
+ и2.	(61.14)
Уравнение второго приближения (61.9) после перехода к вра-
щающейся системе координат и замены времени (61.13) в покоор-
динатной форме запишется так:
й = (Д — а/p — yw) v — uw + a (р2 + w2) + fiuv,
v = —(Д — а/р — yw) и + ри? — vw — auv — 0 (w2 + и2),
w = — рр + и2 + p2 — auw + 0pip,	(61.15)
где дополнительно использованы обозначения
а = а/Р, 0 = (dAa/^P, у = АР/^Н.
Все входящие в задачу физические параметры в уравнениях
первого приближения (61.14) связаны двумя безразмерными па-
раметрами (61.13): р характеризует интенсивность вибрации,
а Д — расстройку частот. Равенство Д = 0 определяет резонанс:
частота вибрации совпадает с частотой прецессии PIH. Именно с
этого случая начнем изучение уравнений (61.14). Эти уравнения,
так же как и уравнения (61.15), представляют собой уравнения на
313
сфере, соотношение и2 + и2 + н;2 = 1 является их интегралом.
Для полной интегрируемости достаточно знать еще один первый
интеграл. Можно проверить, что при Д = О уравнения (61.14)
на единичной сфере имеют интеграл
w2	1 — р2 , Ц	.	ла\
ггг-. — -4  — = con st.	(bl. lb)
[2 (v — p)2 2 (v — p)2 1 v — p	4	'
Решение задачи в этом случае получается в квадратурах. Ин-
теграл (61.16) представляет собой уравнение траектории на сфере
в проекции на плоскость (и, w). Если р 1 (вибрация малой ин-
тенсивности), то интеграл (61.16) имеет особенность в точке v = р
и траектории на единичной сфере имеют вид, изображенный на
рис. 75. Имеются две неподвижные точки с координатами и = О,
f = р, w = УЛ — р2 и и = О, и = р, w = — У1 — р2. Первая
из них представляет собой устойчивый узел, вторая — неустой-
чивый.
Если р >> 1 (вибрация большой интенсивности), то интеграл
(71.16) является аналитическим на единичной сфере и все траекто-
рии оказываются замкнутыми (рис. 76). Две неподвижные точки
в этом случае имеют координаты и = ±]/Л — рГ2, v = рГ1, w = О
и являются особыми точками типа «центр поля» на сфере. При
этом одну из интегральных кривых представляет собой дуга боль-
шого круга в плоскости (и, w). Уравнения (61.14) для этой траек-
тории примут вид
й = О, v = (р — p)ip, w = — (р — v)v
и для определения периода движения по этой траектории имеем
2Я
d<p _________ 2л
Р — COS ф	_ 1 ’
или в размерном времени
Т = г_ 2пНг - .	(61.17)
/ а2Н2 _ gapa	v '
Рассмотрим теперь общий случай Д =/= 0. Приравнивая правые
части уравнений (61.14) нулю, найдем стационарные точки систе-
мы в этом случае:
uQ = Д (1 —	vQ = (1 — w2Q)/p,
-± |/ - A'+f-‘ +
При положительных р, обе стационарные точки лежат на по-
лусфере 0. Их положение как функции р ее [0, оо) при различ-
ных Д изображено на рис. 77. Стрелками обозначено направление
изменения положения этих точек при возрастании р. Если Д = 0
(рассмотренный случай), то положения равновесия перемещаются
М-;,М
о
314
Рис. 77
Рис. 78
31*
при возрастании р по дугам большого круга (и = 0 для р < 1
и w = 0 для р > 1). Значение р = 1 в резонансном сдучае яв-
ляется бифуркационным.
Для выяснения характера особых точек в общем случае (Д =# 0)
запишем уравнения в вариациях для системы (61.14):
й — —WqU + Др — UqW, v = —Ди — wov + (р — vQ)w,
w = 2иои + (2и0 — р)и.
Здесь за вариациями переменных в окрестности (u0, i?0, wQ)
сохранены обозначения самих переменных.
Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
Х(Г + 2ip0X + Нд2 + И2 - I)2 + 4Д2) = 0.
Один нулевой корень является следствием того, что уравнения
(61.14) есть уравнения на сфере. Устойчивость определяется кор-
нями стоящего в скобках квадратного трехчлена: если wQ 0
(стационарная точка в верхней полусфере), то режим устойчив,
если wQ < 0 (стационарная точка в нижней полусфере), то режим
неустойчив. Поскольку и% < У(Д2 + р2 — I)2 +-4Д2, как это
следует из (61.18), то эти особые точки являются фокусами и траек-
тории на сфере имеют вид, изображенный на рис. 78.
Дополнительного исследования требует только в случае резо-
нанса Д.= 0 подслучай р^> 1, изображенный на рис. 76, по-
скольку устойчивость особых точек оказалась здесь нейтральной.
Дополнительное исследование проводится по уравнениям второго
приближения (61.15), для которых уточняются условие резонан-
са Л = а р — yip0 = 0 и стационарные точки
«о =	1 — р.2 + О(а, 0), v0 = р,"1 + О(а, 0), w0 =
= О(а, 0).
Составляются уравнения в вариациях около этих стационар-
ных точек и проводится анализ характеристического уравнения.
При этом оказывается, что изображенные на рис. 76 центры на
самом деле представляют собой фокусы и фазовый портрет этого
случая эквивалентен изображенному на рис. 78. Разница заключа-
ется лишь в том, что декремент затухания в случае резонанса оп-
ределяется членами более высокого порядка малости, чем в нере-
зонансном случае.
Изученная механическая модель может иметь следующие при-
ложения.
Гироскоп с неконтактным подвесом. В случаях, когда такой
гироскоп выполнен по схеме, близкой к описанной выше (наличие
динамической симметрии, смещение центра масс и большой кине-
тический момент), низкочастотные колебания основания с часто-
тами прецессии могут вызвать очень большие эволюции прибора,
вплоть до полного опрокидывания.
Гироскоп в кардановом подвесе со смещенным центром масс.
316
Уравнения (61.14) не содержат момента инерции А, поэтому могут
использоваться и для описания поведения гироскопа в кардано-
вом подвесе для случаев, исключающих складывание рамок.
Ядерный магнитный резонанс. Уравнения (61.8) и (61.9) или
эквивалентные им (61.14) и (61.15) можно рассматривать как уточ-
нение классических уравнений ядерного магнитного резонанса,
известных как феноменологические уравнения Блоха [1].
Различия предложенных уравнений (61.8) (61.9) от известных
состоят в следующем. В уравнениях Блоха диссипативные члены
вводятся искусственно и пропорциональны компонентам векто-
ра е, что нехарактерно для диссипативных сил. В уравнениях
(61.8), (61.9) соответствующие члены получаются в результате
преобразования сил вязкого трения, пропорциональных е. Урав-
нения Блоха линейны и имеют только одну особую точку. Уравне-
ния (61.8), (61.9) нелинейны и особых точек две. Уравнения Бло-
ха не сохраняют нормы вектора е, что определяет их внутреннюю
противоречивость. Уравнения (61.8), (61.9), а также и уравнения
любого приближения, полученные на основе рекуррентной про-
цедуры (61.7), являются уравнениями на сфере, т. е. норма сох-
раняется автоматически. Именно из условия сохранения этой
нормы и вытекает, что уравнения ядерного магнитного резонанса
в принципе не могут быть линейными (уравнения Блоха несостоя-
тельны), если только эти уравнения претендуют на глобальное
описание явления, а не на изучение окрестности особой точки.
Таким образом, если описание ядерного магнитного резонанса
классическими уравнениями возможно, то из них вытекает сле-
дующее.
При облучении переменным поперечным полем вектор намаг-
ниченности (в нашем случае е) начинает из вертикального положе-
ния равновесия прецессировать вокруг вертикальной оси по рас-
кручивающейся спирали к предельному углу прецессии (если
р < 1), определяемому во вращающейся системе координат точ-
кой uQ = 0, vQ = р, Wq = У1 — р2. После снятия поперечного
поля вектор намагниченности по спирали возвращается в исход-
ное положение равновесия; частота прецессии при этом есть PIH.
Если р < 1 (большая интенсивность поперечного поля или
меньшая диссипация), то, прецессируя по раскручивающейся спи-
рали, вектор е доходит практически до состояния полного перемаг-
ничивания (е-е3 ~ —1), после чего по спирали возвращается поч-
ти в исходное состояние и процесс вновь повторяется с периодом,
близким к (61.17), при этом последовательные размахи указанно-
го движения медленно уменьшаются и предельное движение есть
прецессия вокруг вертикали в почти горизонтальной плоскости
(z = 0). Точка р = 1 является бифуркационной, при этом вектор е
по спирали приходит к состоянию предельной прецессии в гори-
зонтальной плоскости (z = 0) сразу, не совершая колебаний от-
носительно этой плоскости.
317
В заключение дадим связь используемых в статье параметров
с принятыми в теории ящерного магнитного резонанса [1]:
где у — константа, связывающая магнитный момент с моментом
количества движения; Hz — статическое магнитное поле; Нх —
амплитуда переменного поля; Т2 — время релаксации поперечных
компонент. В этих параметрах характеристическая константа ц,
определяемая формулой (61.13), имеет вид ц = НХТ2у, и если
|х > 1, то период (61.17) есть
/р о_2
ЛИТЕРАТУРА
4.	Александров И. В. Теория ядерного магнитного резонанса. М.: Наука,
1964. 208 с.
2.	Алифов А. А., Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных
систем с источниками энергии. М.: Наука, 1985. 327 с.
3.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:
Физматгиз, 1959. 915 с.
4.	Аносов Д. В. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений с быстроколеблющимися решениями // Изв. АН СССР. Сер.
мат. 1960. Т. 24, № 5. С. 722-742.
5.	Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
6.	Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.
7.	Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 559 с.
8.	Бабицкий В, И., Крупенин В. Л. Колебания в сильно нелинейных систе-
мах. М.: Наука, 1985. 320 с.
9.	БлехманИ.И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.
894 с.
10.	Богаевский В. Н., Повзнер А. Я, Алгебраические методы в нелинейной
теории возмущений. М.: Наука, 1987. 255 с.
И. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
рии нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.
12.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю.А., Самойленко А.М. Метод
ускоренной сходимости в нелинейной механике. Киев: Наук, думка, 1969.
248 с.
13.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос-
техтеориздат, 1956. 600 с.
14.	Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1979. 253 с.
15.	Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нели-
нейных колебаний. М.: Наука, 1987. 382 с.
16.	Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.:
Наука, 1976. 280 с.
17.	Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных
колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.
18.	Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М.: Наука, 1976.
431 с.
19.	Голдстейн Г. Классическая механика. М.: Наука, 1975. 415 с.
20.	Голубев В. В, Лекции по интегрированию уравнений движения твердого
тела около неподвижной точки. М.: Гостехтеориздат, 1953. 288 с.
21.	Гребеников Е, А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелиней-
ных систем. М.: Наука, 1979. 432 с.
22.	Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967. 472 с.
23.	Джакалъя Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем.
М.: Наука, 1979. 319 с.
24.	Жаутыков О. А. Принцип усреднения в нелинейной механике примени-
тельно к счетным системам уравнений И Укр. мат. журн. 1965. Т. 17,
№ 1. С. 39-46.
25.	Журавлев В. Ф. Обобщение теоремы Рэлея на гироскопические системы И
ПММ. 1976. Т. 40., вып. 4. С. 606-610.
319
26.	Журавлев В. Ф, О применении одночленных групп Ли к проблеме асим-
птотического интегрирования уравнений механики И Там же. 1986. Т. 50,
вып. 3. С. 346—352.
27.	Журавлев В. Ф. Метод рядов Ли в проблеме разделения движений в не-
линейной механике // Там же. 1983. Т. 47, вып. 4. С. 559—565.
28.	Журавлев В. Ф, Об одной форме уравнений движения симметричного
твердого тела // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 3. С. 5—И.
29.	Журавлев В. Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными
односторонними связями // ПММ. 1978. Т. 42, вып. 5. С. 781—788.
30.	Журавлев В.Ф., Лапин А. А. Явление самосинхронизации в скорост-
ных гироскопических опорах // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С. 3—10.
31.	Журавлев В.Ф., Меняйлов А. И, Исследование виброударной системы
с ограниченным возбуждением // Там же. 1978. № 2. С. 45—50.
32.	Журавлев В, Ф., Климов Д. М. Волновой твердотельный гироскоп. М.:
Наука, 1985. 125 с.
33.	Зайцев Г, А. Алгебраические проблемы математической и теоретической
физики. М.: Наука, 1974. 192 с.
34.	Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы, инерциальная навигация.
М.: Наука, 1976. 670 с.
35.	Климов Д. М., Рогачева Л. Н., Филиппов В. А. Резонансные режимы
гироскопа в кардановом подвесе // Изв. АН СССР. МТТ. 1972. № 4.
С. 3-14.
36.	Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.:
Гостехтеориздат, 1956. 491 с.
37.	Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.
М.: Наука, 1978. 312 с.
38.	Маркушевич А. И, Краткий курс теории аналитических функций. М.:
Физматгиз, 1961. 335 с.
39.	Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981. 342 с.
40.	Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическая декомпозиция
систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром:
Препр. Ин-та математики АН УССР № 86-71. Киев, 1986.
41.	Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 168 с.
42.	Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Нау-
ка, 1969. 379 с.
43.	Нагаев Р. Ф., Ходжаев К. Ill. Колебания механических систем с перио-
дической структурой. Ташкент: Фан, 1973. 272 с.
44.	Найфэ А. X. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.
45.	Неймарк Ю. И., Баталова 3. С., Гуртовник А. С., Хентов А. А. Синх-
ронизация динамических систем. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1986. 85 с.
46.	Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978. 400 с.
47.	Постников М. М. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982. 447 с.
48.	Пуанкаре А. Избранные труды: В 3 т. М.: Наука, 1971. Т. 1. 771 с.
49.	Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний. М.:
Наука, 1977. 255 с.
50.	Стрэтт Д. В. {Лорд Рэлеи). Теория звука. М.: Изд-во иностр, лит.,
1955. Т. 1. 503 с.
51.	Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.
52.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой час-
тью. М.: Наука, 1985. 223 с.
53.	Хазин Л. Г., Шнолъ Э. Э. Устойчивость критических положений равно-
весия. Пущино: Науч, центр биологических исследований АН СССР, 1985.
215 с.
54.	Хапаев М. М. Усреднение в теории устойчивости. М.: Наука, 1986. 191 с.
55.	Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.
432 с.
56.	Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли. М.: ГИТТЛ, 1940. 396 с.
57.	Чернина В. С. Свободные колебания тонкой замкнутой сферической
оболочки // Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. С. 575—579.
320
58.	Черноусъко Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебания-
ми. М.: Наука, 1980. 383 с.
59.	Эрдейи А. Асимптотические разложения. М.: Физматгиз, 1962. 127 с.
60.	Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.342 с^
61.	Banji С. Sull’ approssimazione di processi non stazionari in meccanica non
lineare // Boll. Unione mat. ital. 1967. Vol. 22, N 4. P. 442—450.
62.	Besjes I. G. On the asymptotic methods for non-linear differential equati-
ons//J. Meeh. 1969. Vol. 8, N 3. P. 357—372.
63.	Bluman G. W. Cole J. D. Similarity methods for differential equations.
New York, Heidelberg, Berlin: Springer, 1974. 332 c.
64.	Bryan G. H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell //
Proc. Cambridge Philos. Soc. Math. Phys. Sci. 1890. Vol. 7. P. 101—111.
65.	Hori G.-I. Theory of general perturbation with unspecified canonical vari-
ables// Publ. Astron. Soc. Jap. 1966. Vol. 18, N 4. P. 287—296.
66.	Peter J. O. Applications of Lie groups to differential equations. New York,
Heidelberg, Berlin; Tokio: Springer, 1986. 497 c.
67.	Schwartz L. Theorie des distributions. P., 1950—1951. Vol. 1—2.
68.	Scott W. B. Delco makes low-cost gyro prototype H Aviat. Week. 1982.
Vol. 117, N 17. P. 64-72.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 133
Алгебра Ли 143
Антирезонанс 70
Асимптотика оператора 208, 230
Асимптотический ряд 89
Базис операторов 146
Билинейная форма 7
Вектор амплитудный 60
— частот 94
—	эрмитово сопряженный 58
Гармонические коэффициенты влия-
ния 70
Гомологическое уравнение 231
Гронуолла лемма 79
Группа 139
—	аффинная 142
—	винтов 154
—	вращений 142
—	движений 142
— Ли 141
— линейных преобразований 142
— Лоренца 142, 189
— однопараметрическая 148
— первого продолжения 173
—	подобия 142
—	проективная 142
—	разрешимая 166
— растяжений 142
— симметрий 163, 167
—	сохраняющая площадь 142
—	транзитивная 192
— трансляций 142
Групповая операция 142
Дельта функция 121
Дефект матрицы 5
Единица группы 139
Задача теории возмущений 208, 232
Инвариант 151, 153
— дифференциальный 174
— интегральный 175
Инвариантная кривая 155
Инвариантное семейство 154
Инвариантные множители 14
Интерполяционный многочлен Лаг-
ранда 32, 34
Канонические координаты группы
158, 159
Квадратичная форма 7
Кованиантность 186
Колебания вынужденные 67, 135
—	главные 60
—	свободные затухания 132
—	свободные незатухающие 132
—	параметрические 137
Коммутатор 147
Кратность резонанса 96
Критерий Картана разрешимости
группы 166
Матрица 5
—	билинейной формы 7
—	блочная 8
—	диагональная 7
—	квазидиагональная 10
—	квадратичной формы Я
— Кейли 9
—	кососимметрическая 61
—	модальная 24
—	обратная 3, 7, 10
—	особая 6
—	отрицательно определенная [8
—	положительно определенная 8
—	полиномиальная 10, 13
—	присоединенная 6
—	симметрическая 7
—	симплектическая 9
—	транспонированная 6
Матрицы конформные 6
Матричные ряды 10
Метод двух масштабов 128
—	касательных приближений] 238
— Линдстета 198
—	локальный 72
—	нормальной формы 224
—	осреднения 72
— Пуанкаре-Цейпеля 198
— Хори 201
Минор 5
Модальный столбец 18
322
Нормальные координаты 48, 52,
Нутационная система 65
Обратный элемент группы 139, 141
Оператор группы 143
—	второго продолжения 174
—	первого продолжения 173
—	сглаживания 75
—	симметрий 169
Операторы линейно независимые 145
—	линейно несвязанные 165
Определитель матрицы 6
Определяющая система 169
Ортогональные векторы 7, 59
Осцилляция 75
Параметр группы 140
—	малый 89
— канонический 149
Порядок резонанса 96
Прецессионная система 65
Приближение второе 86
Приближение улучшенное 87
Приближения высшие 85
Продолжение оператора 173
Производная матрица 14
Производный оператор 147
Производящая функция 199
Разделение движений 75, 170, 172
Ранг матрицы 5
—	полиномиальной матрицы 14
Расстройка частот 97
Резонанс 68, 93, 95, 219
Резонанс параметрический 96
Резонансная поверхность 97
Ряд Ли [152
Секулярные члены 88
Система виброударная 113
—	вырожденная 73
—	гироскопическая 60, 111
—	диссипативная 70
—	квазилинейная 93, 97
—	многочастотная 93, 214
—	одночастотная 72
—	осредненная 76
— с односторонними связями 114
— с ударными взаимодействиями
113
— существенно нелинейная 101
Силы гироскопические 60, 65
Скалярное произведение векторов 7
Скоба Пуассона 147, 215
Собственная функция оператора 153
Собственное значение оператора 153
Собственный модальный столбец 24
Среднее временное 95, 219
— пространственное 95, 219
Стандартная форма 74
Структурные константы группы 147
Субматрица 5
Суперпозиции принцип 170
Теорема Боголюбова 77
— единственности группы 148
— Нётер 195
— о поведении собственных ча-
стот 65
— Пуанкаре—Дюлака 227
Тождество Якоби 147
Уравнение Блазиуса 167
— Гельмгольца 183
—	гомологическое 231
— Дуффинга 111, 222, 241
—	классической механики 184
— Лиувилля 151, 152
— Максвелла 187
— Матье 96, 98, 234
— Пуанкаре 192
—	релятивистской механики 192
— Риккати 164, 180
— Хилла 137
—	частот 58
Формула Хаусдорфа 160, 162
Функция Грина 68
Характеристика амплитудно-частот-
ная 68
Характеристическая поверхность 63
Характеристическое уравнение 17,
58
Частота маятниковая 67
—	нутационная 67
—	прецессионная 67
—	собственная 61
Эволюция 75
Элементарный делитель 15
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................ 3
Г лава первая
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ.......................................... 5
1.	Основные понятия теории матриц.................. 5
2.	Блочные матрицы................................. 8
3.	Матрицы Кейли................................... 9
4.	Полиномиальные матрицы......................... 13
5.	Собственные движения линейной системы с линейными
элементарными делителями.......................... 16
6.	Общий случай собственных движений линейной системы	20
7.	Приведение общего решения линейной системы к действи-
тельной форме..................................... 23
8.	Список правил построения общего решения однородной
системы линейных дифференциальных уравнений....... 26
9.	Примеры собственных движений линейных систем	...	28
10.	Общий случай вынужденных движений линейных	систем	31
И. Метод вариации постоянных Лагранжа в форме Булгакова	36
12.	Список правил построения общего решения неоднородной
системы линейных дифференциальных уравнений ....	42
13.	Примеры построения общего решения неоднородных систем
линейных уравнений..................................... 45
14.	Метод нормальных	координат	Булгакова............... 48
15.	Список правил перехода к нормальным координатам Бул-
гакова	....................................... 52
16.	Пример	использования	нормальных	координат Булгакова 55
17.	Механические колебательные системы. Спектральные свой-
ства .................................................. 58
Глава вторая
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД
ОСРЕДНЕНИЯ............................................. 72
18.	Одночастотные системы. Первая стандартная форма ...	72
19.	Математические основы метода осреднения............ 77
20.	Построение высших приближений. Понятие об асимпто-
тическом ряде.......................................... 85
21.	Введение малого параметра. Осреднение функций ....	90
22.	Многочастотные системы. Резонанс................... 93
23.	Квазилинейные системы.............................. 97
24.	Существенно нелинейные системы.................... 101
25.	Лагранжев формализм............................... 109
324
26.	Метод осреднения в гироскопических системах........... 111
27.	Осреднение в системах с ударными взаимодействиями . .	113
28.	Об использовании обобщенных функций в задачах с удар-
ными взаимодействиями................................... 120
29.	Метод двух масштабов.................................. 128
30.	Примеры типичных постановок задач, решаемых методом
осреднения.............................................  132
Глава третья
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП	ЛИ.......................... 139
31.	Понятие группы........................................ 139
32.	Группа Ли. Примеры.................................... 140
33.	Инфинитезимальный оператор группы. Алгебра Ли . . .	143
34.	Однопараметрические	группы.	Теорема единственности . .	148
35.	Уравнение Лиувилля. Инварианты. Собственные функции 151
36.	Линейные уравнения с частными производными............ 156
37.	Замена переменных. Канонические координаты............ 158
38.	Формула Хаусдорфа. Группы симметрий................... 160
39.	Принцип суперпозиции решений и разделение движений
в нелинейных системах................................... 170
40.	Продолжение оператора. Дифференциальные и интеграль-
ные инварианты.......................................... 173
41.	Уравнения, допускающие	заданную	группу................ 177
42.	Симметрии уравнений в	частных	производных............. 181
43.	Примеры............................................... 184
Глава четвертая
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА
ПОНЯТИИ ГРУППЫ ЛИ ................................... 198
44.	Метод Пуанкаре—Цейпеля..........................
45.	Метод Хори....................................... 201
46.	Одночастотный метод осреднения на основе формулы Хаус-
дорфа ............................................... 2С5
47.	Многочастотные системы........................... 214
48.	Метод нормальной формы........................... 224
49.	Применение одночленных групп к построению нормальной
формы................................................ 229
50.	Метод касательных (оскулирующих) приближений ....	238
Глава пятая
ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ В ЗАДАЧАХ ТЕХНИКИ................... 243
51.	Существенно нелинейные вынужденные колебания гироско-
па в кардановом подвесе.................................. 243
52.	Вынужденные колебания гироскопа в окрестности неизо-
лированного положения равновесия......................... 255
53.	Явление самосинхронизации в скоростных гироскопических
опорах................................................... 263
54.	Об устойчивости стационарных движений плоского тела
в поле центральной силы.................................. 272
55.	Эффект инертности упругих волн в симметричных упругих
телах.................................................... 278
325
56. Прецессия стоячих волн во вращающемся упругом растяжи-
мом кольце......................................  288
57.	Пространственная прецессия стоячих волн во вращающемся
сферически симметричном упругом теле...............  292
58.	Вынужденные колебания системы с двумя ударными парами 297
59.	Ударный поглотитель колебаний	• 300
60.	Виброударная система	с	ограниченным возбуждением . . 303
61.	Волчок Лагранжа на подвижном основании. Ядерный
магнитный резонанс.................................. 309
ЛИТЕРАТУРА.......................................... 319
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ................................ 322
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Журавлев Виктор Филиппович
Климов Дмитрий Михайлович
ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ
Утверждено к печати
Институтом проблем механики
Редактор издательства Т. И. Охотникова
Художник В. В. Шишов
Художественный редактор Н. Н. Власик
Технический редактор Т. С. Жарикова
Корректор Н. Г. Васильева
ИБ № 35379
Сдано в набор 11.05.88
Подписано к печати 10.11.88
Т-16017. Формат 60X90716
Бумага типографская № 1
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 20,5. Усл. кр. отт. 20,5. Уч.-изд. л
Тираж 5700 экз. Тип. зак. 1859
Цена 2 р. 90 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
117864, ГСП-7, Москва, В-485,
Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 6