УДК 517.926
Изобов, Η. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изо-
бов. - Мн. : БГУ,2006. - 319 с. - ISBN 985-485-515-5.
Монография содержит необходимые сведения из современной теории
характеристических показателей Ляпунова обыкновенных линейных
дифференциальных систем и в основном посвящена краткому изложению результатов
автора, связанных с развитием ее следующих разделов: теории нижних
показателей Перрона, метода замораживания, теории экспоненциальных и сигма-
показателей и их связи с характеристическими, центральными и генеральными
показателями, зависимости характеристических показателей линейных систем
от экспоненциально убывающих возмущений и теории их устойчивости
относительно малых возмущений. В качестве приложения этих результатов рассмотрена
задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости обыкновенной нелинейной
дифференциальной системы по линейному приближению. В монографии
систематически используется метод поворотов В. М. Миллионщикова.
Для специалистов по асимптотической теории обыкновенных
дифференциальных систем и теории устойчивости, аспирантов и студентов,
специализирующихся в области дифференциальных уравнении.
Библиогр.: 251 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор С. А. Мазаник\
доктор физико-математических наук,
главный научный сотрудник Института математики
НАН Беларуси Е. К, Макаров
© Изобов Η. Α., 2006
ISBN 985-485-515-5 © БГУ, 2006

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 6
§ 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства 12
1.1. Простейшие свойства показателей 12
1.2. Свойства показателей решений линейных дифференциальных
систем 14
1.3. Коэффициенты неправильности линейных систем 19
1.4. Устойчивость показателей 23
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства 30
2.1. Определение и простейшие свойства нижних показателей 30
2.2. Число различных нижних показателей линейной системы 31
2.3. Распределение решений по нижним показателям 35
2.4. Вычисление максимального нижнего показателя линейной
системы 41
2.5. Описание множества нижних показателей Перрона 44
§ 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
линейных систем 46
3.1. Формула Коши и лемма Гронуолла 46
3.2. Центральные показатели 48
3.3. Экспоненциальные показатели 57
3.4. Генеральные (особые) показатели 66
3.5. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
треугольных систем 70
3.6. Центральные и генеральные показатели линейных систем
со слабой вариацией по Персидскому 75
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова. Достижимость
центральных и экспоненциальных показателей
и их неустойчивость 78
4.1. Достижимость центральных показателей 78
4.2. Неустойчивость генеральных и центральных показателей 87
4.3. Достижимость экспоненциальных показателей 91
4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 93

4 Содержание
§ 5. Взаимное расположение характеристических,
экспоненциальных, центральных и генеральных
показателей линейных систем 107
5.1. Необходимые соотношения между рассматриваемыми показателями
двумерных систем 108
5.2. О реализации точек построенной области совокупностями
рассматриваемых показателей 115
5.3. Описание взаимного расположения характеристических,
генеральных и совпадающих экспоненциальных и центральных показателей 130
5.4. Описание взаимного расположения трех видов показателей
двумерных систем 133
§ 6. Преобразования Ляпунова 138
6.1- Приводимость вещественных систем вещественными
преобразованиями 138
6.2. Приведение линейных систем к системам с кусочно-постоянными
коэффициентами 144
§ 7. К методу замораживания 161
7.1. Линейные системы с постоянными коэффициентами 162
7.2. Оценки крайних показателей линейной системы 164
7.3. Достижимость оценки старшего показателя в методе
замораживания 172
§ 8· Линейные системы с экспоненциально убывающими
возмущениями 179
8.1. Теорема Гробмана о совпадении характеристических показателей 180
8.2. Неустойчивость характеристических показателей линейных систем
относительно гробмановских возмущений 182
8.3. Линейные системы с инвариантными относительно гробмановских
возмущений характеристическими показателями 187
8.3.1. Диагональные системы 187
8.3.2. Линейные системы с угловой неправильностью, меньшей их
коэффициента неправильности Гробмана 202
8.4. Односторонняя устойчивость старшего и младшего показателей 209
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы 214
9.1. Необходимые свойства старшего сигма-показателя 215
9.2. Вычисление точной верхней границы старших показателей
возмущенных систем 219
9.3. Полное описание свойств старшего сигма-показателя 223

Содержание
5
§10. Устойчивость характеристических показателей линейных
систем 230
10.1. Признак Перрона устойчивости характеристических показателей 230
10.2. Критерий устойчивости характеристических показателей
диагональной системы 237
10.3. Коэффициентный признак устойчивости характеристических
показателей двумерной системы 250
§11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению 260
11.1. О числе характеристических показателей решений
экспоненциально устойчивых систем с m-возмущениями 264
11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана об экспоненциальной
устойчивости по линейному приближению 275
11.3. Оценочный признак Винограда экспоненциальной устойчивости 288
11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости по
линейному приближению 294
Литература 305

ПРЕДИСЛОВИЕ
Как известно, существуют два основных метода исследования
устойчивости обыкновенных дифференциальных систем: второй метод —
метод функций Ляпунова, хорошо представленный в монографической
литературе, и первый, основу которого составляет метод
характеристических показателей Ляпунова.
Бурное развитие теории характеристических показателей
Ляпунова и ее приложений к задачам устойчивости и стабилизации,
происшедшее в последние тридцать лет и связанное с методом поворотов
Миллионщикова, не нашло должного отражения в монографической
литературе. Со времени издания на эту тему предыдущей специальной
монографии Б. Ф. Былова, Р. Э. Винограда, Д. М. Гробмана и В. В. Не-
мыцкого "Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам
устойчивости" прошло уже почти сорок лет. Настоящая монография,
в пределах ее небольшого объема, отчасти восполнит этот пробел. Она
содержит необходимые для последующего изложения элементы общей
теории показателей Ляпунова, в том числе ставшие уже
классическими некоторые результаты В. М. Миллионщикова и первых трех
авторов указанной монографии, но в основном написана по результатам
исследований самого автора. Тем самым в ней представлены многие
направления теории показателей Ляпунова.
Приведем краткое описание содержания каждого из одиннадцати
параграфов настоящей монографии.
В первом параграфе приведены необходимые сведения ляпунов-
ской теории характеристических показателей
Х[х] = ПЕ *—х1п||я:(*)||
решений χ : [0, +оо) —> Rn \ {0} вещественных линейных
дифференциальных систем
-^ΈΞ± = Α{ί)χ, x€Rn, ί^Ο, (1Λ)
at
с кусочно-непрерывными и ограниченными η χ η-матрицами
коэффициентов A(t).
К ним относятся: свойства показателей Ляпунова и нормальных по
Ляпунову систем решений; коэффициенты неправильности Ляпунова,

Предисловие
7
Перрона, Гробмана и Миллионщикова линейных систем; определение
устойчивости характеристических показателей
системы (1^) относительно малых возмущений, пример Перрона их
неустойчивости и доказательство устойчивости характеристических
показателей линейных стационарных систем.
Второй параграф содержит результаты автора по теории нижних
показателей Перрона линейной системы, используемых при
исследовании устойчивости по Пуассону и неустойчивости по Ляпунову решений
дифференциальных систем. В частности, приведены доказательство
существования линейной системы со множеством нижних показателей
положительной меры Лебега и доказательство того, что почти все
решения системы (1д) имеют нижние показатели, равные ее
максимальному нижнему показателю. Для этого показателя предложена
формула его вычисления по фундаментальной системе решений линейной
системы {1а)· Кроме того, этот параграф содержит формулировку
теоремы Е. А. Барабанова о полном описании множества нижних
показателей линейной системы, являющегося суслинским множеством,
содержащим свою точную верхнюю грань.
В третьем параграфе приведены определения по матрице Ко-
ши старшего и младшего центральных Винограда, экспоненциальных
автора и генеральных Боля показателей системы (1д) и
доказательство их корректности. Первые два из них являются достижимыми
границами подвижности старшего вверх и младшего вниз
характеристических показателей возмущенных линейных систем (I^+q)
соответственно с достаточно малыми на положительной полуоси и
экспоненциально убывающими при неограниченном возрастании времени
возмущениями Q. Эти показатели применяются в исследовании по
линейному приближению экспоненциальной и равномерной
экспоненциальной устойчивости нулевого решения дифференциальных систем
с возмущениями высшего порядка малости. Этот параграф содержит
также доказательства полунепрерывности рассматриваемых
показателей и утверждения об их вычислении для треугольных систем и систем
с матрицами коэффициентов слабой вариации по Персидскому.
В четвертом параграфе изложены элементы метода поворотов
Миллионщикова, являющегося одним из основных в ляпуновской
теории дифференциальных систем. В частности, приведены
доказательство В. М. Миллионщикова этим методом достижимости старшего и

8
Предисловие
младшего центральных показателей линейной системы и аналогичное
ему доказательство автора достижимости экспоненциальных
показателей. Кроме того, в нем приведено этапное в теории показателей
доказательство В. М. Миллионщикова неустойчивости центральных и
генеральных показателей линейных систем при малых по норме
возмущениях и доказательство автора одновременной неустойчивости
экспоненциальных показателей в классе линейных возмущений,
исчезающих на бесконечности быстрее всякой степенной функции.
Пятый параграф содержит полученные автором результаты по
описанию взаимного расположения характеристических Ляпунова,
экспоненциальных автора, центральных Винограда и генеральных
Боля показателей на всем множестве двумерных линейных систем (1д),
а также описание взаимного расположения трех видов показателей из
этих четырех: характеристических и экспоненциальных в сочетании
как с центральными, так и генеральными показателями. Получены и
некоторые аналогичные результаты для n-мерных систем.
В шестом параграфе доказаны теорема Ляпунова о приведении
вещественным преобразованием Ляпунова вещественной же
приводимой системы (1,4) к линейной системе с постоянными
коэффициентами и теорема Богданова — Мазаника о приведении общей системы
(1д) также преобразованием Ляпунова к треугольной системе с
кусочно-постоянными коэффициентами, принимающими лишь два значения
и имеющими, в частности, целочисленные промежутки постоянства.
Седьмой параграф посвящен методу замораживания,
восходящему к П. Болю. Идея этого метода состоит в том, что о свойствах
решений системы (1д) судят, с определенной поправкой, по легко
исследуемым аналогичным свойствам решений стационарных
"замороженных" систем
dx
— =А{т)х, t€[0,+oo),
с произвольно фиксированным τ }> 0. В этом параграфе сначала
доказана известная оценка нормы экспоненты матрицы, а затем с ее
помощью получены уточненные оценки Алексеева — Винограда
старшего и младшего характеристических показателей системы (1д)
через наибольшую и наименьшую (на всей полуоси) вещественные части
собственных чисел матрицы коэффициентов A(t) и ее производную
δ = sup ||Л'(£)||. Приведено также первоначальное доказательство ав-
тора достижимости по параметру δ > 0 оценки старшего показате-

Предисловие
9
ля двумерной линейной системы. Доказательство достижимости этих
оценок в n-мерном случае позднее было получено Ю. И. Елефтериади.
В восьмом параграфе рассматриваются возмущенные линейные
системы (Ια+q) с экспоненциально убывающими гробмановскими
возмущениями Q, определяемыми условием X[Q] ^ —σρ(-4), в котором
στ (А) — коэффициент неправильности Гробмана неправильной по
Ляпунову системы (1д). Исходной здесь является доказанная в п. 8.1
классическая теорема Гробмана о совпадении характеристических
совокупностей
А(Л) = (А1(Л)>...,А„(Л))еДп
и Х(А + Q) соответственно исходной (1^) и возмущенной (Ia+q)
линейных систем при возмущениях Q, удовлетворяющих условию:
X[Q] < —аг{А). В п. 8.2-8.4 этого параграфа для гробмановских
возмущений Q изложены полученные самим автором и в соавторстве
с О.П.Степанович следующие результаты: установлено
существование систем (1а) с неустойчивыми характеристическими
показателями; выделен в определенном смысле полный класс систем (1л)? Д^я
которых характеристические совокупности исходной (1^) и
возмущенной (1д+д) систем совпадают; в общем случае доказана
устойчивость старшего вверх и младшего вниз характеристических
показателей системы (1^) и их неустойчивость в противоположных
направлениях.
В девятом параграфе рассматриваются возмущенные системы
(Ια+q) с возмущениями Q, имеющими произвольный показатель
Ляпунова X[Q] ^ —σ < 0. Автором введено понятие старшего сигма-
показателя νσ(Α) системы (1^) как точной верхней грани старших
показателей Хп(А + Q) систем (\a+q) со всевозможными
рассматриваемыми возмущениями Q и для него построен алгоритм
вычисления по матрице Коши исходной системы (1д)· Совместно с Е.А.Ба-
рабановым также полностью описаны свойства этого показателя как
функции параметра σ > 0. Аналог алгоритма вычисления
сигма-показателя νσ(Α) используется при решении общей задачи Ляпунова
об экспоненциальной устойчивости по линейному приближению.
Десятый параграф может служить введением в теорию
устойчивости характеристических показателей линейных дифференциальных
систем при малых возмущениях их коэффициентов. Понятие
устойчивости характеристических показателей возникло из одной работы
Перрона, впервые обнаружившего их неустойчивость. Он же дал и
первый нетривиальный признак устойчивости показателей диагональной

10
Предисловие
системы, небольшое обобщение которого и содержится в п. 10.1 этого
параграфа. Наиболее общий достаточный (как потом оказалось,
являющийся и необходимым) признак устойчивости показателей системы
(1д) получен Б. Ф. Быловым и Р. Э. Виноградом в уже
упоминавшейся монографии. Критерий же их устойчивости получен В. М. Милли-
онщиковым и независимо, но с использованием его метода поворотов,
Б. Ф. Быловым и автором. В п. 10.2 как раз и доказан частный
случай этого критерия для диагональных систем. В последнем п. 10.3
изложен полученный автором коэффициентный признак устойчивости
характеристических показателей двумерной системы (1д),
сформулированный в терминах собственных чисел и собственных векторов ее
матрицы коэффициентов.
Основным результатом последнего одиннадцатого параграфа
является решение частной задачи Ляпунова об асимптотической
устойчивости нулевого решения дифференциальной системы
у = A{t)y + /(*, у), у е Дп, О 0, (2)
с любым кусочно-непрерывным по ί ^ 0 и непрерывным по у Ε Rn
возмущением / из класса F1+o = Um>i ^m возмущений высшего
порядка малости, где Fm — множество вектор-функций / : [0, +оо) χ
χί/ρ(/) —У Rn, удовлетворяющих в окрестности Up(f) начала
координат радиуса p(f) > 0 условию
\\f(t,y)\\^Cf\\y\\m, Cf = const, m>l, t £ 0.
Эта задача формулируется следующим образом: по системе
линейного приближения (1д) получить необходимое и достаточное условие
экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (2) с
любым возмущением / Ε Fi+o и отрицательности точной верхней грани
Ωι+ο = sup Пт Х[у(;Уо)]
f У0-+0
характеристических показателей решений y(t, г/о) системы (2). Ее
принадлежащее автору решение состоит в отрицательности старшего
экспоненциального показателя S7(A) системы линейного приближения
(1^) и выполнимости равенства
Ω1+0(4) = ЩА) < 0.

Предисловие
11
Кроме того, в этом параграфе построены системы (2) с возмущениями
/ € Fm, имеющие множества характеристических показателей
положительной меры Лебега, и доказаны: теорема Ляпунова — Массеры —
Гробмана об экспоненциальной устойчивости по линейному
приближению; установленная автором неулучшаемость на всем множестве
систем линейного приближения (1д) ее основного условия; полученное
Р. А. Прохоровой обобщение этой теоремы, выясняющее (в двумерном
случае — Η. Ε. Большаковым), в частности, роль коэффициента
неправильности Перрона в исследовании устойчивости по линейному
приближению; оценочный признак Винограда экспоненциальной
устойчивости нулевого решения систем (2).
Автор выражает глубокую благодарность заведующему кафедрой
высшей математики Белорусского государственного университета
доктору физико-математических наук С. А. Мазанику за содействие в
издании этой монографии, а Г. И. Кузнецовой и кандидату
физико-математических наук С. Г. Красовскому — за набор рукописи и подготовку
ее к печати.

§ 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ
ЛЯПУНОВА И ЕГО СВОЙСТВА
В этом параграфе изложим основные свойства характеристических
показателей вещественных непрерывных вектор-функций и решений
вещественных n-мерных систем
x = A(t)x, xeRn, t^O, (1А)
с кусочно-непрерывными и ограниченными (постоянной а)
матрицами коэффициентов.
На полуоси t ^ 0 рассмотрим действительную непрерывную п-
мерную (п ^ 1) вектор-функцию x(t).
Определение 1.1- Характеристическим показателем Ляпунова
или просто показателем вектор-функции x(t) называется (конечное
или бесконечное) число
A[z]=Hmyln||s(t)||.
t—too t
Это определение для конечного λ [χ] эквивалентно одновременному
выполнению при \/ε > 0 неравенства
\\x{t)\\ ζ D£e{x[x^e)t, De = const, t i> 0, (1.1)
и равенства
HE \\х(г)\\е1-хЫ+*» = +oo. (1.2)
И показатель Х[х] вектор-функции x(t) отличается лишь знаком от
ее характеристичного числа Ляпунова [150, с. 27; 35, с. 17] — \[х],
определенного условиями (1.1) и (1.2).
1-1. Простейшие свойства показателей
Для показателей вектор-функций справедливы следующие
свойства.
a) Свойство монотонности: если ||#(£)|| ^ ||у(0Н пРи всех
Достаточно больших £, то Х[х] ^ Х[у].
b) Х[сх] = Х[х], с = const φ 0.

1-1. Простейшие свойства показателей
13
с±) Χ[χι + Х2] ^ max{A[:ci]}.
г
Сг) Х[х\ + Х2] = max{A[a:i]}, если A[a:i] ^ А[а?2].
г
Доказательство свойств с\) и сг) (см. Былов Б. Ф. и др. [35, с. 20,
26]). В случае конечного max{A[a:i]} = у из (1.1) имеем неравенство
г
\\xi(t) +x2(t)\\ ζ ||χχ(ί)|| + ||χ2(ί)|| < Dee(7+e)t
с универсальной постоянной De, откуда в силу свойств а) и Ь) и
произвольности ε > 0 имеем требуемое неравенство ci). Оно очевидно в
случае 7 = +оо, а при 7 = ~°о для всякого Ь < 0 имеем
неравенство \\xi{i) 4- a;2(i)|| < Dbebt, t ^ 0, которое и эквивалентно равенству
λ[#ι 4- Х2] = —оо.
Пусть теперь для определенности Х[х\] < λ[#2] и предположим
противное: λ[#ι -f X2] = λ < λ[#2]- Тогда по свойству С\) имеем
следующее противоречие:
\[х2] = Х[(хг + χ2) 4- (-si)] ^ max{A, λι} < А[ж2]·
d) Ненулевые вектор-функции xi(t),...,xm(t) с различными
показателями линейно независимы.
Доказательство (см. Демидович Б. П. [65, с. 137]). Предположим
противное — существует комбинация С\х^(Ь) 4- ... 4- ciXkt{t) = 0 с
постоянными ci φ 0 и cs = 1 при вектор-функции Xks{t), имеющей
наибольший показатель среди вектор-функций х^ (£). Тогда по
свойствам Ь) и С\) получаем противоречие
Kxks] = λ
- Σ С*ХЬ
^ max{\[xki]} < Х[хкя].
гфз
e) Х[(х,у)]<Х[х] + \[у].
/) Показатель интеграла Ляпунова [150, с. 30]
/(«) = {
τ
I х(т) dr, если Х[х] ^ 0,
о
сю
/ х(т) dr, если Х[х] < 0,
t
от скалярной функции x(t) не превосходит Х[х].

14 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
Доказательство. Для конечного Х[х] = λ из (1.1) при всяком
малом ε > 0 имеем требуемое неравенство \I{t)\ ^ D£\X 4- ε|""1β(λ+ε^.
В случае Х[х] = +оо свойство /) очевидно, а для Х[х] = — оо оно
легко получается из оценки \x(t)\ ^ А,ем, Vb < 0.
1.2. Свойства показателей решений линейных
дифференциальных систем
Сформулируем и докажем следующие их свойства.
αϊ) Для решения x(t) φ 0 системы (1д) справедливо включение
Х[х] Ε [-α, а].
Доказательство. Вычисляя производную
*Р = *=j|j$P = HA(<M0l|cos«Wt), i(()),
имеем двустороннее неравенство
из которого и следует требуемое включение.
Ой) Для характеристического показателя Х[х] всякого решения
χ : [0,+оо) -» βη \ {0} системы (1д) справедливы равенства [71, 88]
А[*]= Em -ln||a:(m)||, X[x]= lim HE 0-те1п||*(0т)||. (1.4)
Доказательство. Пусть характеристический показатель А[ж]
решения x(t) ψ 0 реализуется по последовательности {tk} f оо : λ [ж] =
= lim ίΓ11η||χ(ί^)||· При произвольно фиксированном θ > 1 эту бес-
fc—юо
конечную последовательность без нарушения общности можно
считать столь редкой, что любым промежуткам [га,га -f 1] и [θτη,θτη+1),
га Ε TV, принадлежит не более одной точки t = tk· Через rai(fc) G TV
и rri2(k) e TV обозначим те номера, для которых выполнены
включения tk e [mi(fc),mi(fc) + 1) и tk е [0т*(к),вт2{к)+1). Из оценок (1.3)
следует неравенство
lnl|x(r2)H^dln||x(t)||
\\х(п)\\ dt
(т-2 -η) ^α(τ2-7ϊ), 0^ri<r2.

1.2- Свойства показателей решений линейных дифференциальных систем 15
Поэтому справедливы оценки
Пт — 1п||а:(т)|| ^ Х[х] ζ Πϊη ίΓχ[α + ln||a:(mi(fc))||]
тп-юо m fc-юо
= lim
fc-юо
mi(fc)
tk
ln\\x(mi{k))\\ _ — ln|lg(mi(fc))|| ^ 1
7П = Jim —г ^ lim -In φ
mi(fc) fc-юо m\{k) т-юош
в случае натуральной последовательности {га} и свойства
l^mi{k)/tk>mi{k)[mi{k) + l]-1 -* 1;
fc—юо
Ае ξξ Пт" 0-mln||a;(0m)|| < АЫ < Пт" tr1pn||x(ema(*))|| +
то—юо fc—юо
+ α(0 - 1)^«] < α(0 - 1) + ПЫ r(fe)i^gpii =
= α(0 - 1) + lim r(fcj) lim 0-™*(*<) In ||x(0m2<*'>)|| =
I—юо I—юо
= a(0 - 1) + r^ ^ α(0 - 1) + r*A*, 0 > 1,
в случае геометрической последовательности {0т}; в этих
неравенствах последовательность {fcf} f °° такова, что по ней реализуется
последний верхний предел и без нарушения общности существуют
пределы 0 φ те € [б"1,1] и \'θ ζ λθ, где r(fc) = t^0m^k), к е N.
Переходя в полученных неравенствах Х$ ^ Х[х] ^ а(0 — 1) 4- г#Хв, θ > 1,
соответственно к верхнему и нижнему пределам при 0—^1, на
основании существования предела lim re = 1 имеем равенства
0-+1+О
АЫ = lim Χθ = lim λ^ = lim λ^,
0-H+O 0-Ц+О β->1+0
устанавливающие справедливость второго равенства (1.4). Первое
равенство (1.4) доказано выше.
О вычислении характеристических показателей решений линейных
систем по временным геометрическим последовательностям см.
работы Е. К. Макарова [164], Е. А. Барабанова [13] и А. В. Липницкого [148].
6) Число нетривиальных решений системы (1д) с различными
показателями не превосходит η [150, с. 34].
Доказательство. Предположив противное, по свойству d) п. 1.1
имели бы у системы (1д) более η линейно независимых решений.
Свойство Ь) доказано.

16 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
Таким образом, система (1д) имеет не более η различных
показателей
Λι < ... < Ад, q ^ п, (1.5)
нетривиальных решений.
с) Нормальные системы решений (см. Ляпунов A.M. [150, с. 34]).
Определение 1.2. Фундаментальную систему X(t) будем
называть нормальной, если сумма показателей составляющих ее решений
минимальна во множестве всех фундаментальных систем решений
системы (1д).
Существование нормальной системы вытекает из того, что сумма
Sx показателей решений, составляющих фундаментальную систему
X(t), принимает, как функция X, лишь конечное число значений.
Определение 1.3. Показатели
Χι{Α)ζ...ζ\η{Α) (1.6)
нормальной упорядоченной (расположенной в порядке возрастания
показателей столбцов-решений) системы X(t) будем называть
совокупностью показателей системы (1л)· Эту совокупность будем также
интерпретировать точкой Х{А) Ε Rn.
Определение 1.4. Показатели λι(^) и Хп{А) называются
соответственно младшим и старшим показателями системы (1л)·
Теорема 1.1 (см. Ляпунов A.M. [150, с. 34]). Фундаментальная
система решений X(t) = [a?i(£),..., #η(0] является нормальной
тогда и только тогда, когда
т
х'
τη -ι
Σахь = max {X[xki]} (1.7)
для любой линейной комбинации решений х^ {t) E X(t) с
коэффициентами Ci φ 0.
Доказательство. Достаточность. Решения x[{t)^ составляющие
некоторую другую фундаментальную систему X'{t), представим в
виде
*'»(*) = Σ 4*4(0 (*), cf^0' тт^п, г = 1,...,п. (1.8)
ί=1 '

1.2. Свойства показателей решений линейных дифференциальных систем 17
Считая X(t) без нарушения общности упорядоченной, среди всех
решений x'i(t) отыщем такое xkn{t), которое в своем разложении (1.8)
содержит вектор xn{t) (в противном случае x\(t),... ,x'n{t) были бы
линейно зависимы). Поэтому в силу равенства (1.7) имеем Afrrj^J =
= λ[#η]. Среди оставшихся решений х[{£) существует такое ^„-.ДО?
которое в разложении (1.8) содержит либо xn-i(t), либо xn{t) (в
противном случае рассматриваемые векторы x[{t) оказались бы линейно
зависимыми). Поэтому по свойству (1.7) имеем неравенство Х[хк _ ] ^
^ A[a:n-i]. За конечное число шагов придем к требуемому неравенству
Sx* ^ Sx.
Необходимость. Предположим противное: у нормальной
упорядоченной системы X(t) существует линейная комбинация с ненулевыми
коэффициентами, для которой выполнено неравенство
l^axk,
г=1
< max {A^fcJ}, ki < ki+i.
1<г<т
Заменив тогда решение хкпг (£) указанной комбинацией, получим
фундаментальную систему X'(t)7 для которой Sx' < Sx, что и дает
нужное противоречие. Теорема 1.1 доказана.
Отметим, что условие теоремы 1.1 было использовано Ляпуновым
[150, с. 34] в качестве определения нормальной системы.
Способ построения нормальной системы решений по известной
фундаментальной указывает следующая
Теорема 1.2 (см. Ляпунов А. М. [150, с. 35]). Для всякой
фундаментальной системы решений X'(t) = [х[(£),..., x'n{t)] существует
такая неособенная нижне-треугольная (верхне-треугольная) матрица
Су что система решений X(t) = X'(t)C является нормальной.
Доказательство. Положим сц = 1. Остальные элементы
матрицы С выберем так, чтобы показатель решения xk(t) € X(t),
Xk{t) = x'k(t) + ck+iykx'k+l(*) + ... + cnkx'n{t), k = 1,..., n, (1.9)
был бы наименьшим среди всевозможных линейных комбинаций,
определяемых формулой (1.9). Это можно сделать в силу свойства Ь) п. 1.2.
Предположим теперь, что среди определенных таким образом
решений xk(t) существует линейная комбинация с ненулевыми
коэффициентами, показатель которой меньше наибольшего у из показателей
комбинируемых решений. Тогда по свойству с) п. 1.1 существует и

18 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
комбинация
X(t) = CiXkl (*) + ■·■+ СтХкт №> *г < ^г+1, Q φ О, (1.10)
решений а^ (t) с равными 7 показателями, для которой справедливо
AM<A[xfcl] = 7. (1-11)
Подставляя в (1.10) значения векторов Xk{(t) из (1.9), для вектора
x(t) получим представление
-*(*) = 4» (*) + <41+l<+l(*) + ■ · ■ + C'n<(th
в силу которого неравенство (1.11) вступает в противоречие с
правилом построения решения Xk(t). Таким образом, на основании
теоремы 1.1 фундаментальная система X(t) является нормальной.
Теорема 1.2 доказана.
Определение 1.5 (см. ВиноградР. Э. [46]). Нормальная
упорядоченная система решений X{t) системы (1д) .называется
бинормальной, если матрица Y(t) = X~l(t) является нормальной для
сопряженной системы
у = -yA(t). (1.120
Заметим, что решениями системы (1.12ι) являются
векторы-строки, в том числе и строки yi(t) матрицы X~l(t) = {yi(£)>..., yn{t)}.
Существование и способ построения бинормальной системы
решений (см. БыловБ. Ф. и др. [35, с. 39]): произведение X(t)C со всякой
верхне-треугольной неособенной матрицей С является, в силу
теоремы 1.1, нормальной упорядоченной системой решений системы (1а)]
указанным в теореме 1.2 способом нижне-треугольную
матрицу (С_1)т выберем так, чтобы фундаментальная система решений
[X~l(i)]T(С_1)т сопряженной системы
у = -A{t)Ty (1.12a)
была бы для нее нормальной.
d) Распределение решений по показателям (см. Ляпунов А. М. [150,
с. 34], БогдановЮ. С. [18]). Пусть совокупность показателей (1.6)
системы (1д) содержит rik показателей, равных Λ&, так что п\ 4- ...
.. . -|- nq = П.

1.3. Коэффициенты неправильности линейных систем
19
Теорема 1.3. Пространство начальных значений разбивается на
q вложенных друг в друга линейных пространств Lk размерности
1к = щ + ... + rife так, что всякое выходящее из пространства
Lk \ Lh-\ решение системы (1д) имеет показатель Л&.
Доказательство. Пусть X(t) — нормальная упорядоченная
система решений системы (1л)· Положим
Lk~{c: b/fc+1=... = bn = 0, Ь=Х-г{0)с?0).
Очевидно, dimLfe = lk- Так как пространство L* \ Lk-i состоит из
всевозможных векторов с φ О, для которых Ь^ = 0, г φ lk-\+1» ■ · -, h,
то всякое решение x(t), выходящее из пространства Lk\Lk-i, может
быть представлено в виде линейной комбинации
x(t) = bkYXkY(*) + -·■ + hpXkp(t), bki φΟ, ρ ^ 1,
решений Xki{i) € X(t) с показателями Afe. По теореме 1.1 имеем
равенство Х[х] = Afe. Теорема 1.3 доказана.
1.3. Коэффициенты неправильности
линейных систем
Вводимые в этом пункте характеристики (см. обзор [83, § 5])
линейной системы в той или иной степени определяют ее реакцию как на
линейные экспоненциально убывающие (см. §8), так и на более
высокого порядка малости нелинейные возмущения (см. § 11)-
a) Коэффициент неправильности Ляпунова [150, с. 51] системы
(1^) есть величина
ση(А) = У>,(Л) - Ща τ [$рА(т)(1т.
т-т t-юо £ J
2=1 о
Число &п(А) неотрицательно, что следует из неравенства Адамара
(см. Мишина А. П. и др. [198, с. 44])
η
|(ΙβίΧ(<)ΚΠ|Μί)||. (1.13)
г=1
b) Коэффициент неправильности Перрона [250]
σπ(Α) = max {λ^Α) + μί(Α)},

20 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
где μι (А) ^ ... ^ μη(Α) есть совокупность показателей сопряженной
системы (1.12ι).
Для σπ(Α) справедливы неравенства
0^ал(А)^паи{А). (1.14)
Последнее из них вытекает из оценки
- Hm j [spA{r)dT ζ У>И),
t-юо t J f-—'
0 2=1
получающейся из неравенства Адамара (1.13), записанного для
матрицы [Χ~"1(ί)]τ, нормальной по отношению к сопряженной системе
(1.122).
с) Коэффициент неправильности Гробмана [63]
σΓ{Α) = max {Xi{A) + й},
где Si — показатель i-й строки матрицы X~l(t) = {yi(t),... ,yn(t)},
обратной к нормальной упорядоченной системе X(t) = [χχ(£),.-.
...,xn(t)]. Неравенство аг(А) есть следствие оценки
1 - (Vi{t),Xi{t)) = 1Ы*)Н \\xi(t)\\, г = Ι,.,.,η. (1.15)
Справедлива следующая [63]
Теорема 1.4. Коэффициент неправильности err является
наименьшим среди чисел max {λ^-l·^}, вычисляемых по фундаменталь-
ным системам X'(t) = [x[{t),... ,^(ί)] с обратными матрицами
Доказательство (более простое, чем в [35, с. 53-55]). Пусть
имеем аг{А) = Хк -ь Sk и без нарушения общности λι ^ ... ^ λ*-ι <
< Xk ^ ... ^ λη. Обозначим j = max{i : λ^ ^ λ*_ι} (при к = 1
полагаем j — 0). В силу теоремы 1.1 решения х[,...,х^ являются
линейными комбинациями лишь векторов χχ,... ,Xk-i- Поэтому
вектор У к) ортогональный векторам я^,... ,χ*_ι, будет ортогонален и
векторам х[,..., х'^-. Так как, кроме того, справедливы очевидные
равенства {y'^Xg) = SiS, то из представления у* = Σβ=ι csVs получаем
d = ... = Cj; = 0. По свойству С\ п. 1.1 имеем неравенство
Sk ζ max {<%} = S'h

1.3. Коэффициенты неправильности линейных систем
21
а тем самым и неравенства
max {К + 6'а} > λί + δ[ > X'j+1 +Sk> σΓ(Α).
Теорема 1.4 доказана.
d) Асимптотическое число Миллионщикова [172; см. также обзор
83] си ^ 0 есть точная нижняя граница постоянных σ > О,
обеспечивающих для некоторой фундаментальной системы решений U\{t),...
...,un(t) системы (1л)5 некоторых С, ίο и всех t^to неравенства
I / „-«„ мJWrl J < гМЖ ,· -1 „
ν
на всех решениях χ(έ) системы (1л)· В этом неравенстве
использованы обозначения: η = £о, если правая часть его стремится к +оо
при t —> оо, и 7/ = +оо — в противном случае; Ui(t) — |cosecaj(i)|,
где OLi(t)\ —угол между Xi(t) и гиперплоскостью остальных векторов
Xk(t), к φι.
e) Соотношения между коэффициентами неправильности:
βι) &п{А) ^ сгг(-А). Действительно, пусть σπ{Α) = λ^ + μ^ и
без нарушения общности справедливы неравенства μι ^ ... ^ μ^ >
> μ&+ι J> ... J> μη. Для упорядоченной бинормальной системы -Х(£) с
показателями δ\,..., 6к, <5&-и,..., δη строк обратной матрицы X"1 (t)
не могут вьшолняться при всех г = fc, ...,n неравенства <5* < μ*,
так как сопряженная система (1.122) имеет ровно п — к показателей,
меньших μ*. Поэтому существует такое f, fe ^ I ^ п, что 5/ ^ μ*.
Таким образом, имеем неравенства сгп(Л) = λ* +μ* ^ Χι Λ-δι ^ сгг(Л).
€2) στ(Ά) ^ сгл(Л). Пусть Х(£) — бинормальная система решений
и аг(-А) = λ^ +<5fc. Интерпретируя абсолютную величину
определителя некоторой матрицы как объем параллелепипеда, построенного на
векторах-столбцах как на ребрах (см. Мишина А. П. и др. [198, с. 44]),
имеем формулу (см., например, Виноград Р. Э. [43])
п п
| det X[t)\ = Ц \\xi(t)\\ χ ΠI sin <{**, U^}|,
2=1 2=2
в которой Li(i) есть пространство векторов xi{t),... ,а;г(£). Из этой

22 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
формулы получаем неравенство*
Г
limi"1 / SpA(r)dr ^n[\\xk\\smak] + J2Xi- (1Л6)
о ***
С другой стороны, из формулы (1.15) имеем неравенство
n[\\xk\\cos<{xk,yk}] ζ -Sk. (1.17)
Однако yk(t) ортогонален пространству векторов
χι (ί),..., xk-i (t), хк+\ (£),..., xn{t)
и поэтому справедливо равенство cos <{xk(t), yk{t)} = sin ад.(f). С
учетом этого и в силу неравенств (1.16) и (1.17) имеем требуемое
неравенство
ал(А) ^\к+6к =σΓ(Α).
Итак, с учетом полученного ранее неравенства (1.14) для введенных
коэффициентов неправильности имеем окончательные оценки
О ^ σπ(Α) ^ σΓ{Α) ^ ση(Α) ^ ηση{Α).
Поэтому возможны два случая: либо все эти коэффициенты равны О
(система (1^) — правильная по Ляпунову [150, с. 38]), либо все они
отличны от нуля (и система (1^) — неправильная).
Замечание 1.1. Доказательства неравенств 0 ^ сщ(А) ^ &г{А)
проще приведенных в монографии Былова и др. [35, с. 47-48],
доказательство неравенства στ {Α) ^ сгл(А) новое и не связано с
приведением системы (1^) к треугольному виду (Былов и др. [35, с. 143-
145]). Неравенство ал(А) ^ пац(А) получено здесь впервые, в
цитируемой монографии установлено (с. 143-145) более слабое неравенство
ση{Α) $: ησΓ(Α).
Относительно асимптотического числа ам(А) только заметим, что
оно может равняться 0 (например, на системах с интегральной разде-
ленностью, см. § 10) и тогда, когда все коэффициенты неправильности
положительны.
*По определению π[χ] — lim t_1 In ||x(t)|| есть нижний показатель Перрона
t—юо
вектор-функции x(t) (см. §2).

1.4. Устойчивость показателей
23
1.4. Устойчивость показателей
Определение 1.6 (см. Персидский К. П. [204]). Показатели (1.6)
системы (1а) называются устойчивыми, если для любого ε > 0
найдется такое δ > 0, что показатели Хк(В) (к = 1,...,п) всякой
системы у = B(t)y, у £ Rn, t ^ 0, с кусочно-непрерывной матрицей B(t)
удовлетворяют неравенству
ιηίη|λ*0Β)-λί(Α)|^ε при \\B{t) - A(t)\\ ζ δ7 t > 0.
г
Это понятие возникло из работы О. Перрона [250], впервые
установившего, что показатели линейной системы могут быть
неустойчивыми.
Пример Перрона. Рассмотрим исходную систему
χ — diag [—α, q'(t) — 2а]х, q(t) = t sinln £,
Κ2α<1 + 4=e~3?r/4> t > !>
л/2
с отрицательными показателями λι = —α, Аг = 1—2α и возмущенную
У=(бё-<* q'(t)°-2a)y> yeR2> '^
имеющую решение y{t) = (e"at, SeQ^"2ai fi e~Q^ dr).
Весьма поучительны рассуждения по вычислению точного
значения показателя этого решения. Поэтому приведем их здесь, хотя нас
вполне устроила бы и довольно грубая полученная О. Перроном оценка
снизу этого показателя, устанавливающая его положительность.
Можно считать очевидным, что для последовательности {£*} f
t оо, по которой реализуется характеристический показатель Х[у] =
= lim tT1 h\\\y(tk)\\ решения ?/(£), справедливо включение tk E
£ [Tk, Т£ехр7г/2], где τ* = ехр2&7г, к ^ 1. Поэтому для
вычисления показателя Х[у] необходимо оценить сверху функцию J(t) =
= eqW J e-9(t) dT дЛЯ f g [r/t, тд.ехр7г/2], к ^ 1. Вводя новые
переменные
* = 7*е*, Че[0,тг/2]; т = ткев7 θ е [-π/2, 0],

24 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
для функции J(t) получим оценку
Гке "/2
J(t)=etsinT)l ί е-«Ю(1т+ ί β-*^<1τ+ ίβ-<*τ)άτ\
Th
С
О
Th
^e*sin4exPTfee-^2 + Tfe f e~r^sln Θ Μ+ -*№-!)[.
-π/2
Так как
-e"sin0 ^ -^е"*/4, θ β [-π/2, 0],
λ/2
то из предыдущей оценки будем иметь окончательное неравенство
J(t) ζ iexp ί π +1 f sin η + -Lc-*-*/4 j | ? t = nev e [Tfcj ηβ*/*\.
Поэтому для показателя Х[у] получаем оценку
λ[ν] ^ α ~ 2α, α Ξ sup
0^7^тг/2
sinTj+^e-^^4
\/2
С другой стороны, для малого ε > 0 и последовательностей {£*},
£* = Тк ехр%5 ^ ^ 1» гДе число % € [0, π/2] реализует sup в
определении величины а, и {$*}, Sk = т*ехр(—π/4), имеем неравенство
SU17Jo
+ e~,?0~7r/4
sin
*fc
(HI-
из которого получаем недостающую оценку Х[у] ^ а — 2а — ε для
показателя λ[ί/].
Таким образом, доказано равенство Х[у] = α — 2α, а с ним, в силу
выбора а, и неравенство Х[у] > 0.
Система Перрона — неправильная (см. свойство ег) п. 1.3).
Примеры правильных систем с неустойчивыми младшим и старшим
показателями, совершающими при малых возмущениях конечные скачки
соответственно вниз и вверх, построены Р. Э. Виноградом [41, 42, 44].
Примеры абсолютно регулярных систем с неустойчивыми крайними

1.4. Устойчивость показателей
25
показателями, у которых всегда полу устойчивы соответственно снизу
и сверху младший и старший показатели, вследствие чего
рассуждения Р. Э. Винограда неприменимы, построены В. М. Миллионщиковым
[174, 176, 180].
Некоторые признаки и критерии устойчивости характеристических
показателей линейной системы приведены в специальном § 10. Здесь
же на простейшем примере системы с постоянными коэффициентами
изложим один из наиболее употребительных методов доказательства
достаточных условий.
Получение необходимых условий основано на методе поворотов
В. М. Миллионщикова (см. §4, 8-11).
Теорема 1-5 (см. Персидский К. П. [204]). Характеристические
показатели Х\(А) ^ ... ^ \п(А) системы (1а) с постоянной мат-
рицей коэффициентов устойчивы.
Доказательство. Возмущенную систему
χ = Ах + B(t)x, xeRn, t ^ 0,
с кусочно-непрерывной и малой по норме матрицей B(t)
вещественным преобразованием Ляпунова (его построение см. в § 6) и
^-преобразованием (см., например, [35, с. 248])
у = diag [1,/?,...,/Г*1]*, /?^0,
сохраняющими неизменными показатели исходной и преобразованной
систем, приведем к виду
y = diag[\u...,\n]y + Q(t)y, \\Q(t)\\^S, ί>0, (1.18)
с достаточно малым δ > 0.
Пусть среди чисел Xi имеется га различных Αχ < ... < Лт,
причем равных Л* чисел λ« ровно п*. Будем искать η
линейно-независимых решений системы (1.18) в интегральном виде
t
yk(t) =ех** + Jех"«-Т\Як(т), Yk(r))dT,
о
t
yi(t) = J>«-т>(<к(т), yfc(r))dr, i#fc = l,...,n, (1.19)
и

26 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
в котором <7i(r) — i-я строка матрицы ζ?(τ), ϊ* = (j/i,.. . ,j/n) -
искомый вектор, а
t _ Г 0, если Xi ^ λ*,
г \ +оо, если Xi > λ*.
Воспользуемся методом последовательных приближений, полагая
t
y(0)=eAfcij у(0)=0) -#fc. „(•+4=|eAi(«-r)(ft(r)iyW)iirf
„(Ч-D = eAtt
+ y,eAfc(t-r)(%(r)rW)dr
0
Пусть к e {/p-i + l,.-.,/p}, где ls = n! + ...+ns, и uk - (j/i,... ,эдр) —
вектор размерности /р, составляющий с вектором ν* = (j/ip+i, - -., yn)
решение 1* = (v,k, Vk)· Зафиксируем θ е (1, \/2]. Считая
выполненным в случае га > 1 неравенство
δθ(ΐ + ^_j__) < min{Ai+1 - Λ*} = α, (1.20)
непосредственными вычислениями получаем оценки
н«?}(*) - 40)он ^ ^г θχρ(^+**)*■
а тем самым на основании неравенства (1.20) и оценку
11П(1>(«) - П(0)(*)Н < «Г1 exp(Afc + θδ)ι, t > о,
где θ\ Ε (1, б) выбрано удовлетворяющим условию
sii+w^)*°- (ι·20ι)
Предположим, что имеет место неравенство
11П(в)(*) - η(ϊ_1)(*)ΙΙ < ^Sexp(Afe + βί)ί, ί > 0. (1.21)

1.4. Устойчивость показателей
27
Тогда будем иметь также и неравенства
t
0
^ 0f s0~1 exp(Afc + θδ)ί, t > 0;
t
HS+14t) -vis){t)\\ isfeto+M-'WHr) -n(i_1)(r)||rfr ^
0
r
< 0fe ^ exp(Afe +eS)t, t^O.
a — ad
Из этих неравенств в силу условия (1.20ι) и получаем неравенство
НП(в+1>(«) - П(в)(*)Н < V-1 βχρ(λ* + Ю)«, * ^ о,
устанавливающее справедливость оценки (1.21) при любом s ^ 1.
Поэтому существует удовлетворяющая системе интегральных уравнений
(1.19) непрерывная предельная вектор-функция Yk(t), норма которой
удовлетворяет оценке
НВД)Н ^ тДт Θχρ(λ*+ θδ^ f > °-
0ι — 1
Очевидно, эта вектор-функция — кусочно-дифференцируемая и
является решением системы (1-18) (в чем можно убедиться
непосредственной проверкой) с начальным вектором
n(0) = («fc(0),«fc(0)) = (0,...,0,l,0,...,0)> (1.22)
к
и показателем \[Yk] ^ λ* 4· θδ. Такому же неравенству удовлетворяет
в силу свойства с\) п. 1.1 и показатель всякого решения
y(t) = Σ *Yi{t\ г Ε {/ρ_ι + 1, /р}, (1.23)
системы (1.18).
Для оценки снизу показателей λ[Υ*] и Χ[Υ] рассмотрим систему
ζ = -diag[Ab... ,\n]z - QT(t)z, (1.18i)

28 § 1. Характеристический показатель Ляпунова и его свойства
сопряженную к системе (1.18). В соответствии с предыдущими
построениями для всякого к Ε {lp-i + 1,...,/р} она имеет решение
Zk(t) = (£(£)» С(0)> составленное из /р_1-мерного £(£) и η — /ρ_ι-
мерного ζ(ί) векторов, с начальным вектором
Ζ№ = (ί(0), С(0)), С(0) = (0,--,0,110^,0), (1-24)
71—fe
и показателем λ[Ζ&] ^ —λ* + 0Й. Этому же неравенству, очевидно,
удовлетворяет и показатель всякого решения
Ζ(') = Σ^^(ί), i е {/ρ_ι + 1,... ,/р}, (1.25)
системы (1.18ι). Для произвольного решения Y(t) φ 0 вида (1.23)
укажем такое решение Z(t) вида (1.25), для которых в силу (1.22)
и (1-24) скалярное произведение (Y(t), Z(t)) — с отлично от нуля.
Отсюда и получаем требуемое неравенство λ[Υ] ^ Хк — θδ.
Итак, для всякого нетривиального решения системы (1.18) вида
(1.23), которое будем обозначать через Yp(t), выполнено неравенство
\Χ[ΫΡ] -Αρ\ζθδ, ρ = 1,... ,га. (1.26)
Возьмем теперь любое решение y(t) — Y^CiYi(t) φ 0 системы (1.18)
и представим его в виде суммы YPl (t) +... +YPk (t) ее решений YPi (t) φ
φ 0 вида (1-23) с некоторыми ρχ < ... < рк. Из неравенства (1.26)
и условия (1.20) вытекают неравенства X[YPi] < λ[ΥΡί+1]· Поэтому на
основании свойства Сг п. 1.1 имеем равенство \[у] — A[}^fc], а с ним
в силу (1.26) — и окончательное неравенство min|A[?/] — Λ»| ^ θδ при
г
выполнении условий (1.20), (1.20ι).
В случае га — 1 неравенство \Х[у] — Λχ | ^ δ справедливо для
всякого решения Y(t) φ 0 системы (1.18) и при любом δ > 0. Теорема 1.5
доказана. Из ее доказательства вытекает
Следствие 1.1. Для г-х максимального и минимального
показателей
\?ΆΧ(Α;δ)= sup Xi(A + Q), \™η(Α-δ)= inf АДЛ + Q),
||Q(i)||^(5 IIQMIK*
i = l,...,n,

1.4. Устойчивость показателей
29
стационарной системы χ = Ах в случае
А = diag [αϊ,..., αη], αχ ^ ... ^ α„,
справедливы асимптотические при малых δ представления
\™Х(А; δ) = щ + δ + о(й), λ™η(Α; δ) = α; - й + о(й).
Замечание 1.2. Взяв в системе интегральных уравнений (1.19) в
качестве начального значения не 0, а произвольное s ^ О,
аналогичным образом построили бы фундаментальную систему
Y(t,s) = [Y1(t,s),...,Yn(t,s)]
решений Yk(t,s) приведенной системы (1.18) с начальными векторами
Yk(t,s) = (о,... ,0, l,?/fe+i(s,s),... ,yn(s,s)),
удовлетворяющих неравенствам
?±Ζ±6*ρθδ{8 -t)^ \\Yk(t,s)\\e-x^-^ ζ -ii_exp^(i - s),
t ^ s, fc = l,...,n,
при выполнении условий (1.20), (1.20ι) с некоторыми θ G (1, \/2] и
01 G (1, θ) в случае га > 1, а при га = 1 — для любых δ > 0.
В случае более общих возмущений
оо
Q(t) = Qi(o + g2(t)f |КШН ^ г, | ||Q2(t)llrf^ iv < +00,
0
с достаточно малым δ > 0 и фиксированным TV справедлива,
например, оценка
С*"1 exp0<5(s - t) ζ ||У*(М)|| ^ Сехр0й(£ - s),
£ ^ s, fc = 1, ...,η,
с некоторыми числами θ G (1, л/2], С = C(7V,0).
Комментарий к § 1. Общая теория показателей Ляпунова
достаточно подробно изложена в монографии Б.Ф. Былова и др. [35]; см.
также монографии Б. П. Демидовича [65, с. 123-233], Л. Я. Адриановой
[3] и И.В.Гайшуна [59, с. 67-92], обзоры В. М. Мштлионщикова [192] и
автора [83, 87,105,112,130], а также работу М. И. Рахимбердиева [222].

§ 2. НИЖНИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ПЕРРОНА
И ЕГО СВОЙСТВА
Нижние показатели Перрона решений дифференциальной системы
используются для исследования устойчивости по Пуассону и
неустойчивости по Ляпунову ее нулевого решения.
В этом параграфе: 1) установлено существование линейных систем
(1^) со множеством нижних показателей Перрона положительной
меры Лебега, что принципиально отличает его строение от множества
характеристических показателей n-мерной системы (1а ), состоящего,
как известно (см. § 1), из не более чем η различных чисел; 2)
доказано, в частности, что почти все решения линейной системы (1^) имеют
максимальный нижний показатель и что он равен нижнему
показателю Перрона фундаментальной системы решений; 3) сформулирована
теорема о полном описании множества нижних показателей Перрона
линейной дифференциальной системы (1а)·
2.1. Определение и простейшие свойства
нижних показателей
Определение 2Л (см. Перрон О. [250]). Нижним показателем
Перрона (или просто нижним показателем) кусочно-непрерывной
вектор-функции χ : [0, +оо) -* R71, η ^ 1, называется (конечное или
бесконечное) число
π[χ] = lim -1η||ζ(ί)||.
t—юо *
Очевидно, свойства а) и Ь) из п. 1.1 характеристического
показателя справедливы и для нижнего показателя. Свойства же, аналогичные
с)-/) п. 1.1, для нижнего показателя уже не имеют места. Например,
свойство е) п. 1.1 трансформируется в следующее:
π[χ] + п[у] + ?r[cos <{х, у}] ζ 7г[(ж, у)] ^
Его справедливость вытекает из известного свойства нижних
пределов: нижний предел суммы двух функций не менее суммы нижних
пределов этих функций и не более суммы нижнего предела одной из
этих функций и верхнего другой.
А[ж] + ir[y],
π[χ] + \[у].

2.2. Число различных нижних показателей линейной системы 31
Этим и объясняется отсутствие определенной аналогии в строении
множеств показателей и нижних показателей решений линейных
систем.
2.2. Число различных нижних показателей
линейной системы
Очевидно, как и в случае характеристического показателя, для
нижнего показателя π [χ] любого нетривиального решения χ :
[0,+оо) -> Rn \ {0} системы (1^) справедливо включение π[χ] G
€ [—α, α]. Вместе с тем еще Перрон [250] обратил внимание на
следующее принципиальное отличие нижнего показателя от
характеристического: двумерная система (1^) может иметь три нетривиальных
решения с различными нижними показателями.
Пример Перрона: система
χ = diag[g'(£),a - q'(t)]x, q(t) = tsinlni, 0 < \a\ < 2,
имеет решения u(t) = (β^,Ο), v(t) = (0,eet""9W) и u(t) + v(t) с
различными нижними показателями — 1, а — 1 и а/2 соответственно,
так как очевидное неравенство \\u(t) + v(t)\\2 > 2eat, t > 0, по
последовательности {£*}, lnffe = 2kn + arcsin(a/2), к ^ 1, обращается в
равенство.
Рассматриваемая система не имеет решений с нижними
показателями, отличными от приведенных, поскольку число различных
нижних показателей нетривиальных решений диагональной системы (1^)
не превосходит 2п — 1 (см. [70]).
В связи с примером Перрона возник вопрос: сколько различных
нижних показателей решений может иметь система (1д)-
Ответ на него дает следующая
Теорема 2.1 [71,74]. Существуют двумерные системы (1д),
множествами Пд нижних показателей всех нетривиальных решений
которых являются отрезки.
Доказательство. Построим сначала на отрезке Δ = [0,1]
совершенное множество Р(ь аналогичное канторову совершенному
множеству (см. Натансон И. П. [199, с. 50]), а также соответствующим
образом модифицированную канторову ступенчатую функцию Θ(α) (см.
Натансон И. П. [199, с. 200]).

32
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Пусть εη = ехр(-ехр£"=12*)- Через Δ^, Δ^2) С Δ
обозначим такие отрезки (1-го ранга) длины ει, что у отрезков Δ^ , Δ
совпадают левые, а у отрезков Δ* , Δ — правые концы. Интервал
δ[ ' = Δ \ (Δ| ' U Δι ) назовем интервалом 1-го ранга. На каждом из
отрезков Δ*' и Δι проведем аналогичные построения с помощью
ЧИСЛа £2-
Продолжая этот процесс неограниченно, всякий раз из одного
отрезка Δη гс-го ранга (число отрезков η-ранга равно 2П)
получаем два таких отрезка Δ^~ ', Δ[^ С Δη™' (η + 1)-го ранга
длины εη+ι, что у отрезков Δη^~ \ Δη и Δ^', Δ„ совпадают
соответственно левые и правые концы, а также один интервал i^j
(η 4- 1)-го ранга (число интервалов (п + 1)-го ранга равно 2п ).
Середину отрезка Δη обозначим через апт - Кроме того, введем числа
(О) (2п~1) ^ -. (О) π
ап — αη_! при η > 1, а\ ' = 0.
Обозначим
оо 2п
п~1 г=1
и зададим на Δ канторову ступенчатую функцию θ (α), участками
постоянства которой служат интервалы δη К Как известно, θ (α)
является непрерывной на Δ функцией, отображающей множество Ро
меры 0 на весь отрезок [0,1].
Полуось t ^ 0 точками Т* = efe, к ^ 0 разобьем на отрезки Sn
следующим образом: m для всякого фиксированного натурального η
пробегает значения 1,..., 271; правый конец сегмента sn совпадает
с левым концом сегмента Sn (при га = 2п правый конец сегмента
(2Л) (1) ч
sn — с левым концом следующего сегмента sn+\ )·
Далее определим две непрерывные кусочно-дифференцируемые
ограниченные функции f(t) и F(i) следующим образом. Функция F(t)
~(m) (m)
на правой половине-сегменте sn сегмента sn ' совпадает с
постоянной о4 , на левой половине того же сегмента Sn график
функции F(t) есть отрезок такой прямой, что определенная таким образом
функция F(t) оказывается непрерывной для всех t ^ 1. Функцию
/(£) на левых половинах сегментов Sn положим равной 0. На сег-
менте sn график функции /(£) есть ломаная, состоящая из двух
таких прямолинейных звеньев (точка излома t = τη есть середи-

2.2. Число различных нижних показателей линейной системы 33
на ёп ), что функция /(£) оказывается непрерывной для t ^ 1, а
f{jn) = —θ(«η )· Эти функции имеют следующий аналитический
вид:
F[t)
<ofr\
а<Г Ч + *
t С Sti ,
(m)
(m-1)
«η
(m)
(m)
{t-uW), i€^m)\Slm),
m = l,...,2n, n^l.
fit) = {
0,
(m)
TYi Vn
t £ Sn \ Sn ,
^71 ) * П
-®(^m)) + (Л^^с - «> *e (^тЫт+1)],
ra = l,...,2n, n^ 1,
где vnm — середина сегмента Sn > a «n — его левый конец (число
Un+ по определению совпадает с ηη\,χ при т = 2п ).
Определим теперь кусочно-непрерывные функции α^ί) и θ2ΐ(£)
системы
*1 = «11 (0^1> ^2 = «21 (0^1 (2.1)
при t > 1 следующим образом:
«и (0 = [«/(«)]', «2ΐ(ί) = F'(i)e-t/(t),
доопределив их на правых концах промежутков непрерывности
предельными значениями. На отрезке [0,1] положим эти функции
равными 0.
Ограниченность функции ац(£) следует из неравенства
l/'W = , _^6(^1)е^т)) < f' *е ^m)'u"m+1))·
Ограниченность функции θ2ΐ(ί) очевидна, так как там, где функция
f(t) отрицательна, F(t) постоянна.
Общее решение системы (2.1) есть вектор
x(t;cuc2) = {cieWKaFit) +c2}.
(2.2)

34
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Вычислим нижний показатель
р(а) = I lim i ln{[F(i) - α]2 + exp2i/(i)} (2.3)
решения ar(t;l, — а) при a G Po> α φ 0. По определению множества
Ро для всякого q и любого фиксированного η найдется такое
натуральное ran(a), не превосходящее 271, для которого справедливо
неравенство
|αίΤ-)-α|<εη/2. (2.4)
Обозначим для простоты т4™ и ah71 через т^ и а^
соответственно; при этом т'п -> с» при η -> оо (г^+2714-х ^ т^+г)· По определению
чисел Τη , ε η и функции ©(7) справедливо неравенство
ехр[-©(7К] > ея, 7 e Δ. (2.5)
Поэтому, используя неравенства (2.4) и (2.5), имеем оценку 2р(а) ^
^ Ит т'~ 1п{2ехр[~20(а^)г^]}. Последний же предел равен —20(a),
71—>00
так как в силу непрерывности функции ©(7) на Δ и неравенства (2.4)
существует предел lim θ(α^) = θ (α).
η—юо
Итак, получили неравенство р(а) ^ —0(a) < 0. Докажем
противоположное неравенство.
Пусть {tk} — стремящаяся к оо последовательность, по которой
реализуется нижний показатель р(а). Тогда на основании уже
доказанной отрицательности числа р(а) для этой последовательности
справедливы неравенства lim ijjT1 ln|F(i*) — а\ < 0, lim /(£*) < 0.
Из первого неравенства имеем равенство lim F(tk) = α, из второго
к—>оо
же вытекает существование такого числа ко, что £* £ (*4™*\щ£к+ ),
fc ^ fco. Поэтому F{tk) = α4Τ ПРИ к ^ ко и тем самым имеем
равенство
lim Q^fc) = a. (2.6)
Воспользовавшись теперь очевидной для показателя р(а) оценкой
снизу, в силу (2.6) получаем неравенства
р(а) > lim f(tk) > Urn [~θ(α^>)] = -θ(α).
fc—юо fe—>οο
Таким образом, множество нижних показателей решений χ(t; 1,—α),
a G Po, ol φ 0, представляет собой промежуток [—1,0). Вместе с тем

2.3. Распределение решений по нижним показателям
35
из представления (2.2) общего решения в силу неравенств —1 ^ f(t) ^
^ 0, 0 ^ F(t) ^ 1 получаем включение 7r[tf(-;cbC2)] € [—1,0], с\ φ О,
и равенство 7г[ж(-;0, сг)] =0. Теорема 2.1 доказана.
Замечание 2.1. Линейные системы (2.1) используются при
доказательстве теоремы 2.4 о полном описании множества нижних
показателей Перрона общей линейной системы (Ια), сформулированной в
последнем п. 2.5 этого параграфа.
2.3. Распределение решений
по нижним показателям
Несмотря на полученное в предыдущем пункте принципиальное
отличие в строении множеств характеристических Ляпунова и нижних
Перрона показателей линейных систем, множества уравнений этих
показателей имеют и общие свойства (см. теоремы 1.3 и 2.2).
Для исследования распределения решений по нижним показателям
нам понадобится обобщающая первое утверждение свойства аг) из
п. 1.2 следующая [71]
Лемма 2.1. Всякое предельное значение
р = lim — ln||£(t*)||, tk -* оо при к ->■ оо,
любого нетривиального решения системы (1^) реализуется по
некоторой подпоследовательности последовательности {тТ} с числом
Г>0.
Доказательство- Для всякого к ^ ко укажем такое число га* ^
^ 1, для которого tk Ε [га*Т,га*Т+Τ), и будем без нарушения
общности считать их все различными. Применяя теперь на отрезке [га*Т, tk]
ненулевой длины теорему о среднем к функции - In ||#(£)|| и
используя свойства п. 1.1, будем иметь оценку
1ы|х(«*)||-^у1п|ИткГ)||
[||g(*)ll]Ufa ЧИ&)11
9ыМЬ)\\ θ\
x(4-mfcr)^2M + 1.n||a:(0)llr) вк <Е (mkT,tk), к>к<>.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при к —> оо, получим
требуемое. Лемма 2.1 доказана.

36
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Следствие 2.1. Для любого решения χ(ί)φΟ системы (1а)
справедливы представления
Х[х)= Ш Л-Ы\\х(тТ)\\, π[χ] = lim J-\n\\x(mT)\\. (2.7)
m->oo ml m-юо ТП1
С помощью полученной формулы вычисления нижнего показателя
по целочисленной последовательности ниже будет доказана
следующая [71, 97]
Теорема 2.2. Почти все решения x(t) системы (1л),
начинающиеся при t = 0 на любой к-мерной (к = 1,...,п) гиперплоскости
Щ пространства начальных данных, имеют нижний показатель,
равный числу pk Ξ sup {тг[#(·)]}.
1(0)6Щ
Доказательство. Пусть сначала Πχ — произвольная (не
проходящая через начало) прямая n-мерного пространства, уравнение
которой возьмем в параметрической форме
хз
*0) = aj + 6jQ, α £ (-οο, +οο), . j - 1,..., η. (2.8)
Через Χα{ϊ) = ((xji(t))) обозначим, как обычно, фундаментальную
систему решений системы (1а)· Положив в формулах (2.7) Г = 1,
для нижнего показателя решения x(t,x0) с начальным вектором (2.8)
будем иметь представление
π[χ] = - lim — In
£ т—too Tfl
[έ(^)+€))21-ρ(«)5
4=1 J
в котором
Ут = Σ blX3l (Ш)' 6i™ ~ Σ ЩХ31 (Ш)·
Для тех га, для которых yln φ 0, образуем величины ε™ =
= —Sin /^т . Введем в рассмотрение множества А? с натуральным
q ^ 1 : α £ А? если существует такая бесконечная последовательность
{mi}, для которой справедливы неравенства
|a + eW|^dexp(-m/i), (2.9)
при всех га = raf, г ^ 1.

2.3. Распределение решений по нижним показателям
37
Докажем измеримость множества А? и равенство mesiA? = 0 при
любых j = 1,..., η и q € N. Для этого введем в рассмотрение отрезки
Ij(m) длины 2de~m/q всех удовлетворяющих неравенству (2.9) чисел
а. Очевидно, справедливо включение
А) С U Щгп)
для любого s Ε N, а тем самым и включение
А]сС\[)Щт)^В].
8=1 ГП^.8
Легко устанавливается и обратное включение, т.е. равенство А? = В?.
Поэтому множество Ая-У являющееся пересечением счетного числа
измеримых множеств, измеримо и для его меры Лебега справедливы
оценки
О ^ mesiA? ^ lim V \1яЛт)\ = 2а lim V e~mlq ζ
·* S—*00 *-^ J S—ЬОО ^—'
мера
J s—>оо ^—4
ζ
множества
2de
e-1
А =
• j -
lim e~
8—>00
η oo
uu
3=1 q=l
s/q _
Ab
s—>oo
:0.
ГП^.8
являющегося объединением счетного числа множеств нулевой меры,
равна 0. Множество А пополним не более чем счетным множеством
{εΐη · Ι™ ф0\ га ^ 1; j = 1,..., η}. И, очевидно, в рассматриваемом
частном случае теорема 2.2 будет доказана, если удастся показать, что
для любых ai,Q2 £ А справедливо равенство ρ(&ι) = р(«2)·
Применим к функции u(t,a) = ||#(£,#ο(α))||2 Φ 0 как функции
параметра α на отрезке [αι,α^] (αϊ < α2) теорему о среднем:
(а2 -αϊ), OLt e (αι,α2).
В результате получим неравенство
= ρ(α2)+β.
Ρ(<*ι) ^ P{gl2) + - lim — In
Δ fc->oo 7П
1 + <(m,a )
u(ra,a2)

38
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Из выражения и'а(тп,ат) = 2Σ"=1 Ί$(otmym + δ$) и
определения числа β следует, что для доказательства неравенства /3^0
достаточно рассматривать лишь те моменты t = га, для которых
существуют j с отличными от 0 числами jm'. Справедливы
соотношения
К(гп,ат)\ < ^ fr&Wff + <^)1 + («2 - αι)(7&})2 =
70)#0 L l«2 + еЖ | (а2 + еЖ )2 J i=sl
в которых функция
если 7т = О,
если 7т} т^ О,
*tf"fe+«8,|-'.
натурального аргумента га имеет, в силу условия с*2 £ А,
неположительный показатель. Поэтому на основании свойств а)- с) п. 1.1
характеристического показателя и получаем требуемое неравенство β ^ 0.
Таким образом, доказано неравенство ρ(αχ) ^ ^(аг), причем для
всех αχ, не превосходящих с*2 ^ А. Аналогичными рассуждениями
устанавливается справедливость и противоположного неравенства.
Теорема 2.2 в рассматриваемом случае доказана.
Пусть теперь плоскость П* имеет размерность k ^ 2 :
/с
г=1
где а^ — определяющие эту плоскость заданные n-мерные векторы,
α = {αι,...,α^} — fc-мерный вектор параметров. Введем в
рассмотрение множество
F = {a: χΌ(α) G G, n[x(t,x0)] < pk}
и непрерывную по времени <^0и векторному параметру α функцию
λ(ί,α) = ί-11η||#[£,#ο(α)]||. Очевидно, множество
Мдт = {а : х0(а) е Пь А(га,а) ^ рк - д-1}

2.3. Распределение решений по нижним показателям
39
при любых натуральных т и q является замкнутым. Поэтому
измеримо* множество (см. Натансон И. П. [199, с. 425, 70]) М^ = \Ji>m «Μ?ι
атем самым и множество (см. Натансон И. П. [199, с. 71]) Mq = {^=1Mqi.
Аналогичным образом получаем, что и множество Μ = (J°!U Мя
также измеримо.
Установим равенство F = М. Пусть α £ F. Тогда найдется такое
натуральное q ^ 1, для которого 7τ[#(·,#ο(α))] < рк —Q"1·
Последнее же означает существование бесконечной последовательности {т$},
для элементов которой выполнены неравенства λ (rat, a) ^ рк — q~x,
г ^ 1. Поэтому α G М£ при всяком га > 1, а тем самым α G Mq.
Итак F С Μ. Если же α £ М, то найдется такое д, для
которого α G Μ9, т.е. α G М^ при всяком га ^ 1. Это означает
существование такой бесконечной последовательности {га$}, для которой
α G М^. при всяком г ^ 1. Последнее же равносильно неравенству
π[#(·,#ο(α:))] ^ pk—q-i < pfc? из которого и вытекает включение α £ F.
Совпадение множеств Μ и F, а тем самым и измеримость последнего
доказаны.
Пусть /(αχ,..., α^) — характеристическая функция множества F :
&
если α ψ F.
Тогда по теореме Фубини (см. Натансон И. П. [199, с. 332]) имеем
равенство
т τη
meskF = Jim\ / άαλ... / /(аь ... ,ак^г,ак)(кхк \ = 0,
— 7П —771
так как при фиксированном αϊ,..., ak~i интеграл Лебега
/(αι,...,αΛ_ΐ5α^)ίία^
/
в соответствии с рассмотренным ранее случаем равен 0. Теорема 2.2
доказана.
Для множества П^ нижних показателей системы (1^) по
аналогии с ее старшим и младшим показателями введем
*Как обычно, неограниченное n-мерное множество А называем измеримым,
если при любом натуральном тп измеримы множества Α Π {χ : \xi\ ^ πι}.

40
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Определение 2.2. Числа
ΤΓπύη (Л) = inf UА, ТГтах (А) = Slip ΠΑ
назовем соответственно минимальным и максимальным нижними
показателями системы (1л)-
Следствие 2-2. Почти все решения линейной системы (1а)
имеют нижние показатели, равные ее максимальным нижнему
показателю 7гтах(А). Тем самым множество Т1а нижних показателей
системы (1а) замкнуто сверху.
Для младшего нижнего показателя пш\п(А) это уже не так (ср.
со вторым абзацем на с. 71 монографии Б. Ф.Былова и др. [35]), что
подтверждает следующий
Пример 2.1. Рассмотрим систему (2.1), коэффициенты которой
определяются функциями f(t) и F(t) (см. доказательство теоремы
2.1). В построение этих функций внесем следующие изменения: для
всякого натурального η число т пробегает значения 1,...,п;
совпадают конец и начало отрезков Sn и ^_^Ί; ctn = (m — 1)/тп и
f(Tn) = (1 - т)/т при т = 1,...,п.
Легко видеть, что (1 — п)/п £ ГЦ при всяком натуральном п.
Покажем, что ГЦ = {(1 — п)/п}.
Пусть {tk} — стремящаяся к оо при к —» оо последовательность,
по которой реализуется нижний показатель р(а) из формулы (2.3)
решения (2.2) при с\ φ 0 и — сг/ci = α φ 1, (η — 1)/п. Возможны два
случая:
1) последовательность {£&} содержит бесконечную
последовательность {£&,}, для которой tkt £ Sn с соответствующими тип.
Тогда неравенство |F(£fc,) — а\ ^ ε > 0 справедливо при всех 1^1 и
некотором ε. Поэтому р(а) = 0;
2) все tk при к ^ ко принадлежат промежуткам Sn \ Sn - Но
тогда f(tk) = 0 и снова р(а) = 0.
Кроме того, имеем неравенство
|F(i)_1|^^a' *ee™· п>2·
Поэтому и р(1) = 0. Равенство Пд = {(1 — п)/п} доказано. Для этого
примера 7гш\п(А) = — 1 £ Пд.

2.4. Вычисление максимального нижнего показателя линейной системы 41
Замечание 2.2. Доказанное в теореме 2.2 и следствии 2.2 свойство
замкнутости сверху множества нижних показателей Перрона
линейной системы (1^) является одним из его определяющих свойств и оно
использовано в теореме 2.4 при полном описании этого множества.
2.4. Вычисление максимального нижнего
показателя линейной системы
Пусть Χα(ϊ) — [#i (t)7 - · ·, xn(t)] — фундаментальная система
решений линейной системы (1а)- Для характеристического показателя λ[·]
Ляпунова справедливо хорошо известное и установленное самим
Ляпуновым равенство
Хп(А) = max X[ciXi + h cnxn] = X[Xa]i
ceRn
означающее следующее: максимальный характеристический
показатель (всех решений) системы (1^) (он существует) равен
характеристическому показателю ее фундаментальной системы решений Ха*
Как установлено в п. 2.3, у линейной системы (1^) существует и
максимальный нижний показатель Перрона
πη(Α) Ξ= тзхп[ХАс] = 7гтах(А)
(всех ее решений). Он важен своими приложениями:
1) если πη(Α) > 0, το система (1^) является неустойчивой по
Ляпунову;
2) если πη(Α) < О, то нулевое решение этой системы устойчиво по
Пуассону.
Поэтому возникает задача о вычислении максимального нижнего
показателя πη(Α) системы (1д), в частности, задача о
справедливости для него равенства πη(Α) = тг[Хд].
Пусть Xk(t) = [xi(t),... ,Xk(t)] ~ некоторая система к ^ η
линейно независимых решений Х{ : [0, +оо) -► Rn \ {0} системы уравнений
(1а)· Справедлива следующая [128]
Теорема 2.3. Максимальный нижний показатель 7tk(A) =
= maxnlXkc] к-мерного подпространства решений X^(t)c, с Ε Rk,
ceRk
системы (1а) равен нижнему показателю 7г[Хь] матрицы Xk(t),
составленной из к £ {1,..., п} линейно независимых решений этой
системы.

42
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Доказательство. Очевидно, для всякого решения x(t,c) = Xk(t)c,
с € Rk, рассматриваемого подпространства решений справедливо
неравенство ||з;(£,с)|| ^ ||^*(*)Н * |Н|, из которого и имеем первое
необходимое неравенство
omaxfc тг[Хк(.)с] ζ тг[Хк] + Х[с] = п[Хк]. (2.10)
Покажем теперь, что существует решение Xk(i)co, со € Rk \ {0},
системы (1а) с нижним показателем π[Χ*].
Пусть η χ fc-матрица Xk(t) имеет элементы x%j{t). Разобьем
множество натуральных чисел на пк множеств Msi следующим образом:
т € Msh если max\xij(m)\ = \χ8ι(τη)\. Заметим, что для любого числа
т € Μsi значение xsi(m) отлично от нуля.
Для всех бесконечных множеств Msi и натуральных чисел ρ € N
построим множества Apsl С Rk, состоящие из тех векторов с€ Rk, для
которых существует бесконечная последовательность оо | {wj} С Msi
и выполнено неравенство
^СгХ3г(т0)/хв1{та)
г=1
^ d(c)e-m*'p, j € Ν.
Вообще говоря, множества AFsl и Msi могут быть и пустыми.
Множество
p^l β=11=1
как установлено в теореме 2.2 п. 2.3, измеримо и имеет нулевую fc-меру
Лебега meskA = 0.
Пусть 0^ со € Rk\A и рассмотрим решение ж(*,со) системы (1^).
Через {θ{} t +oo обозначим целочисленную последовательность, по
которой реализуется нижний показатель
7r[a:(.,co)] = .lim^1ln||a;(0i,co)|i
этого решения.
Тогда из очевидного равенства
Mt,co)\\ = \\Xk(t)\\\\x(t,co)\\/\\Xk(t)\\

2.4. Вычисление максимального нижнего показателя линейной системы 43
имеем для показателя 7г[з:(-,со)] неравенство
Ф(-,со)] > AXk) + ton Яг* 1п(||а:№,сь)||/рг*(04)||] =
ι+οο
= ir[Xk] +β = ж[Хк] + UmiJ1 Щ\х(Ь, Со)||№(*;)||], (2.11)
где последовательность +оо | {tj} С {θ{} реализует нижний предел /?.
Установим неотрицательность β. Без ограничения общности
будем считать, что последовательность {tj} целиком лежит в некотором
множестве Ms\ (иначе всегда можно выделить такую
подпоследовательность). Тогда, учитывая оценку ||X*(tj)ll ^ Vnk\xsi(tj)\, получим
неравенство
к
β = lira ItaiM^jK Щд Ih[£>*.,(*,) /lM*i)|
j-юо tj \\X.k(tj)\\ j-юо tj l\f-f I/
(2.12)
Предположим, что последний нижний предел неравенства (2.12)
принимает отрицательное значение. Тогда существуют
подпоследовательность {tj} | оо последовательности {tj}, по которой
реализуется этот нижний предел и которая также целиком лежит во множестве
Μsi, и натуральное число р\ £ N такие, что выполняется неравенство
lim —In
j-юо Tj
Y^CiXH{Tj)\/ \хаг(тЩ
< -1/Pi-
Следовательно, для любого фиксированного ε > О, начиная с
некоторого фиксированного индекса г Ε N, для всех чисел Tj выполняется
неравенство
iln
к | .
< +ε.
Pi
(2.13)
Без ограничения общности будем считать, что неравенства (2.13)
выполняются для всех членов последовательности {г,-}, так как в
противном случае можем построить такую последовательность, исключив
конечное число не удовлетворяющих неравенству (2.13) членов
последовательности {tj}. Если ε достаточно мало, то найдется константа
Р2 € Ν, для которой справедливы соотношения —pf1 4-ε < —ρJ1 < 0.

44
§ 2. Нижний показатель Перрона и его свойства
Тогда из неравенства (2.13) следуют неравенства
^CiXsiitM/ \χ3ι{^)\
Следовательно, вектор со принадлежит множеству Avs*, а значит, и
множеству А, что противоречит условию выбора вектора Со-
Таким образом, нижний предел
к
lim — In I
j^tootj Lii=1
неотрицателен. Тем самым из (2.12) следует неравенство /? ^ 0, а из
(2.11) — неравенство 7г[ж(-,Со)] ^ тгрС*]. Теперь с учетом неравенства
(2.10) получаем, что нижний показатель решения x(t,co) в точности
равен 7r[Xfc]. Теорема 2.3 доказана.
В случае к = η непосредственно из теоремы 2.3 вытекает
Следствие 2.3. Максимальный нижний показатель Перрона
πη(Α) системы (1а) равен нижнему показателю ее всякой
фундаментальной матрицы Хд.
Следствие 2.4. Нижние показатели Перрона всех
фундаментальных матриц линейной системы (1а) совпадают между собой.
Следствие 2.5. Равенство max7r[cia:i + .. - + CkXk] = к[Хк] спра-
c€Rk
ведливо для любой системы Xk(t) = [xi(t),... ,Xk(t)]
кусочно-непрерывных на полуоси t ^ 0 η-мерных вектор-функций Xi(t),... ,Xk(t)·
2.5. Описание множества нижних
показателей Перрона
В этом пункте приведем без доказательства теорему Е. А. Бараба-
нова, дающую полное описание строения множеств нижних
показателей Перрона систем (1л)- Для этого понадобится определение суслин-
ских множеств вещественной прямой R (см. [4, 149, 247, 251]).
Через К обозначим множество всех конечных последовательностей
натуральных чисел (т.е. К = {к = (кг,..., ki) : ki € Ν, i G {1,..., /},
/ € Ν}), а через J\f — совокупность NN функций Ν -> Ν, т.е. Ν —
совокупность всех бесконечных последовательностей натуральных
чисел. Для ν € N и числа т € N через i/|m обозначим последователь-

2.5. Описание множества нижних показателей Перрона 45
ность из /С, составленную из первых шив том же порядке
следования членов последовательности ν (т.е. v\m — сужение отображения
ν € N на множество {1,... ,т}), а через Τ — класс всех замкнутых
подмножеств прямой R. Множество А называется суслинским, если
существует такое отображение S : К —> J7, что
а = U Π 5и™).
Это определение труднообозримо; дадим другое, интуитивно более
ясное их определение, принадлежащее Н. Н. Лузину. Через X
обозначим пространство иррациональных чисел с топологией,
индуцированной из R. Оказывается, что множество будет суслинским, если и
только если оно либо пусто, либо является множеством значений некоторой
непрерывной функции 1 -> i?n.
Прежде чем сформулировать еще одно определение суслинских
множеств, напомним, что функция / : R —> R называется
полунепрерывной снизу (соответственно, сверху) в точке хо Ε X, если для
любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для любого χ £ R,
удовлетворяющего неравенству \х—х$\ < δ, выполнено также
неравенство f(x)—f(xo) > —ε (соответственно, неравенство /(#)—/(#о) <ε).
Функция / : X -> i?, полунепрерывная снизу (сверху) в каждой
точке множества X, называется полунепрерывной снизу (сверху) на
множестве X. В работе [9] доказано, что множество является суслинским
множеством вещественной прямой тогда и только тогда, когда оно либо
пусто, либо является множеством значений некоторой
полунепрерывной снизу функции i? -> R. Используя это утверждение и небольшое
видоизменение конструкции системы из доказательства теоремы 2.1,
в работе [9] доказана следующая
Теорема 2.4. Множество Π является множеством значений,
принимаемых нижними показателями Перрона системы (1а), если
и только если Π — ограниченное суслинское множество,
содержащее свою точную верхнюю грань.
Комментарий к § 2. Теоремы 2.1 и 2.2 и лемма 2.1 доказаны
автором [71, 74, 97], теорема 2.3 — автором и А. В. Филипцовым в работе
[128] (иное доказательство см. в более поздней работе Е. А. Барабанова
и Е.И.Фоминых [17]), теорема 2.4 — Е. А.Барабановым [9].
Исследованию свойств нижних показателей посвящены также работы автора
[70] и Е. А. Барабанова [8, 10, 11].

§ 3. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ, ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ
И ГЕНЕРАЛЬНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Для вычисления по матрице Коши Ал(*>т)> ' ^ т» исходной
линейной системы
χ = A{t)x, xeRn, * ^ О, (1л)
с кусочно-непрерывной ограниченной (||>1(£)11 ^ α> * ^ 0) матрицей
коэффициентов точных верхней и нижней границ характеристических
показателей λι (А + Q) ^ ... ^ АП(Л + Q) возмущенных линейных
систем (Ια+q) с достаточно малыми по норме на полуоси t ^ to ^ 0
(в частности, стремящимися к нулю при t -> +оо) и экспоненциально
убывающими возмущениями Р. Э. Виноградом и соответственно
автором введены старшие и младшие центральные и экспоненциальные
показатели системы (1л)- Для вычисления же аналогичных границ
равномерных показателей
^L J l-т-Н-оо ί-Г
нетривиальных решений ж : [0, Ч-оо) -> i?n \ {0} линейных систем
(Ια+q) также с достаточно малыми возмущениями П. Болем введены
старший и младший генеральные показатели (позднее под названием
особых показателей они независимо были введены К. П. Персидским и
именно из его работ они стали известными).
Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
используются при исследовании по линейному приближению
асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову и равномерной
устойчивости нулевого решения дифференциальных систем с
возмущениями из различных классов.
3.1. Формула Коши и лемма Гронуолла
Для исследования свойств рассматриваемых в этом параграфе
показателей понадобятся формула Коши представления решений
возмущенных систем с линейным приближением и лемма Гронуолла.

3.1. Формула Коши и лемма Гронуолла
47
Формула Коши. Решение у : [О, +оо) -> Rn, у(0) = усь
возмущенной системы
у = A(t)y + f(t,y), y£Rn, t^O, (3.1)
с кусочно-непрерывной по t ^ 0 и непрерывной по у £ Rn вектор-
функцией /(£, у) представимо в форме Коти
t
y(t) = X{t, 0)y0 + f X& r)f[T, y(r)]dr, t > 0, (3.2)
о
где X(t,r) — Χ{ί)Χ"λ{τ) — матрица Коши, X(t)
—фундаментальная система решений системы уравнений (1а)·
Доказательство. Вычислим производную вектор-функции (3.2):
dy(t)
г
A(t)X(t, 0)у0 + A(t) f X{t, r)f[T, y{r)]dr + f[t, y(t)] =
dt
о
= A{t)y{t) + f[t,y{*)], ^0,
т.е. y(i) уравнение (3.1) обращает в тождество. Выполнимость
равенства у (О) = уо очевидна.
Лемма Гронуолла. Пусть кусочно-непрерывная функция u(i)^0
удовлетворяет интегральному неравенству
t
u(t) ^ с + / f(r)u(T)dr, с = const > 0, t ^ 0,
о
с кусочно-непрерывной функцией f(t) ^ 0 при всех t ^ 0. Тогда она
удовлетворяет и неравенству
г
u(t) ^ сехр ί f{r)dr, t > 0.
Доказательство. Введем функцию v(t) = с + /0 f{r)u{r)dT ^
^ с > 0, t ^ 0, непрерывную и кусочно-дифференцируемую. Для
ее производной справедливы неравенства
dv(t)/dt = f{t)u(t) <ζ f(t)v{t), dv{t)/v{t) <ζ /(t) dt

48 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
во всех точках t > О за исключением не более чем счетного множества
точек разрыва функций u(t) и /(f). Интегрируя последнее
неравенство, получим оценку
о о
т.е. необходимое неравенство
t
u(t) ^ v(t) <ζ сехр / f(r)dr, t ^ 0.
о
Оценка матрицы Коши. Для нормы матрицы Коши Ха{Ь^т)
системы (1а) справедлива оценка
||-адт)|| ^ е"^, t,r € [0,+оо). (3.3)
3*2. Центральные показатели
Для вычисления точных верхней Ω'(Α) = lim sup Xn(A + Q)
'->+°ιιοιι<*
и нижней ω'(Α) = lim inf \i(A + Q) предельных границ измене-
ния соответственно старшего Хп(А + Q) и младшего λι(^4 + Q)
характеристических показателей возмущенной системы (Ια+q) с
достаточно малыми возмущениями Q, имеющими норму sup ||Q(t)|| ^
^ δ — мало (или эквивалентную предельную норму lim ||(Э(*)11 ^ <5)>
t—>·+οο
Р. Э. Виноград [45, 48] ввел понятия старшего Я(А) и младшего ω(Α)
центральных показателей системы (1л)· Эти показатели по ее
матрице Коши Хд(£, т) определяются равенствами
.j m
fiM = r5S„ J5L ^ Σ ь \\хл(кт, кт - D||,
Т-*+оо m-юо τηΤ
fe=l
Т-*+оо m-юо mT
fe=l

3.2. Центральные показатели
49
Введем в рассмотрение непрерывные верхнюю
т
RT(t) = ΣΙη ΙΙ*λ(*Γ, кТ - Т)\\ + In \\XA (ί, шГ)||,
Г>1, *£ [тГ,тГ + Г), т € ЛГ0,
и нижнюю
т
гТ(*) = £ In ||ΧΛ(*Γ - Г, fcrjir1 + In \\XA{mTt t)\\~\
Г^1, ί£ [тГ,тГ + Г), m £ JV0,
центральные функции [45, 48; 35, с. 114, 163] системы (1а)·
Определения центральных показателей ω(Α) и (1(A) системы (1^)
корректны: предел по Τ —> -hoo в них существует, что устанавливает
следующая
Лемма 3.1. Для функций
Ωτ{Α) = Шп —-Лт(тГ), ωτ(Α) = Пт —-гт(тпТ)
m—¥oo Till m—¥oo тТ
аргумента Τ Ε [1,4-οο) существуют соответственно пределы
ίϊ(-Α) G [—α, а] и ω(Α) € [—α, а] при Τ -> -hoo.
Доказательство этого утверждения проведем для функции Ωτ(Α).
Предположим противное: Ωι = lim Ωτ(Α) < um Ωτ(Α) = Ω2. За-
фиксируем произвольное ε Ε (0, (Ω2 — Ωχ)/4) и укажем такое Τι > 1,
что будет выполнено неравенство Ωτχ(Α) < Ωχ 4-ε. По числам ε и ΤΊ
выберем столь большое Т2 ^> ?ι, что для него: 1) выполнено
аналогичное неравенство Ωχ2(>1) > Ω2 — ε; 2) отношение 2αΤΊ/Τ2 меньше ε.
По числам Τ! и Г2 построим последовательность {/*} t +°о
натуральных чисел, определяемых неравенствами /*7i ^ fcT2 <hT\ + ΤΊ.
Оценим сверху значение Ят2(тТ2) функции Аг2(') с
произвольным т £ N. Для этого используем оценку
In ||ХА(ИГ2, А:Г2 - Г2)|| ^ а(кТ2 - 1кТг + Тг)+
lk-l
+ £ ΙηΙΙ^ίΐΤ,ζΓ-^ΙΙ+α^.ι^-^+Γζ), fc £ 1.

50 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Прибавляя и вычитая при таком оценивании сумму
т
^bWXAihTuijTi-TuW,
на основании неравенства (3.3) получим оценку
Лт2(шГ2) ^ ]Tln ЦХл^ТигТг - Ti)\\ + 2amT1 = RTl{lmTi) + 2amT1.
Из нее в силу существования предела lim (lmT'i/mT2) = 1 следуют
m—¥oo
неравенства
i2 m-юо mi 2 im^l
<-ε + ШН Дг* (™Γι) = ε + ΩΤι(Л) < Πι + 2ε,
m-юо mTi
вступающие в противоречие с выбором числа ε.
Доказательство существования предела и(А) аналогично и мы его
опускаем (вместо этого доказательство существования предела по θ —>
4 1 + 0 у экспоненциальных показателей проведем для младшего
экспоненциального показателя в следующем пункте 3.2). Включения
ω(Α),Ω(Α) G [—α, β] очевидны, они следуют из оценки (3.3).
Основное уже анонсированное выше свойство центральных
показателей устанавливает доказанная Р. Э. Виноградом [45; 35, с. 164, 167]
Теорема 3.1. Справедливы неравенства
(1'{А) < П(Л), (3.4)
ω\Α) > ω(Α). (3.5)
Доказательство неравенства (3.4). Установим справедливость
оценки
\\Ха{Ь т)\\ ζ ехр[2аГ + Дт(0 - Rt{t)], 0 ^ τ $ t < +оо, (3.6)
для нормы матрицы Коши Χα{ϊ,τ) системы (1л)-
Рассмотрим сначала случай принадлежности моментов времени
г и t одному из отрезков [τηΤ,τηΤ + Τ]. В этом случае левая часть

3.2. Центральные показатели
51
неравенства (3.6) удовлетворяет согласно оценке (3.3) неравенству
||^л(*, т)\\ ^ ea(*~r) ^ еаТ. Покажем, что правая часть этого
неравенства не меньше экспоненты еаТ. Действительно, справедливы
неравенства
2аТ + RT(t) - Rt(t) = 2аТ + In \\XA(t,mT)\\ - In \\ХА(т,тпТ)\\ =
- 2aT + ln\\XA(t,mT)\\ - ln\\XA(r,t)XA(t,mT)\\ >
^ 2аТ - In \\ХА(т, t)\\ ^ 2аТ -а\т-Ц^аТ, тпТ ^ г ^ t ^ гпТ + Т.
В общем случае г € [mTT,mTT + Г), t G [mtT,mtT + Τ) и
mr < т* имеем неравенство
||ΧΑ(ί,τ)|| = ||J»Ut)X/(r)|| ^ ||ΧΛ(ί,η4Γ)|| · \\Ха(тщТ,тщТ-Т)\\...
...\\XA{mrT + T,mTT)\\-\\XA{mTT,T)\\,
на основании которого получаем необходимую оценку
In\\XA(t,т)\\ ζ In\\XA(t,mtT)\\ + In \\XA(mtT,mtT - T)\\ + ...
... + In \\XA(mTT + T,mTT)\\ + In \\XA(mTT, τ)\\ = In \\XA(t,mtT)\\+
Tilt ТПт
+ ^1п\\ХА{кТ1кТ-Т)\\~^1п\\ХА{кТ,кТ-Т)\\-Ы\\ХА(т,тгТ)\\+
k=l fe=l
+ In \\XA(ry mTT)\\ + In \\ΧΑ{πΐτΤ,t)\\ ^ RT{t) - RT{r) + a(r - mrT)+
+ a\mTT - τ\ ζ 2aT + RT[t) - Дт(г), τ G [mrT, mTT + Γ),
ie[mtT,mtr + r). (3.6i)
Произвольное нетривиальное решение y(t) системы (l^+g)
представим в форме Коши
t
y{t) = XA{t,0)у(0) + J XA{tt T)Q{r)y{f)dT, t > 0,
о
из которой имеем неравенства
lll/WII < \\XA{tM\MO)\\ + J\\XA(t,r)\\\\Q{T)\\\\y{T)\\a
(3.6)
It £

52 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
(3.6)
t
\\y(0)\\e2aT+RTM + ίSe2aT+RTV-R^T%(T)\\dT.
Разделив обе части предыдущего неравенства на функцию expi?r(*)>
приходим к исходному неравенству леммы Гронуолла:
t
u{t) = ||y(t)||e-«*<«> ^ ||y(0)||e2ttT + J Se2aTu(r)dr.
0
Из него по этой лемме получаем оценку
\\y(t)\\^cexp[6e2aTt + RT(t)], с = ||у(0)||е2оТ > 0, t > 0. (3.7)
Отсюда по свойству Ь) п. 1.1 для характеристического показателя λ [у]
рассматриваемого решения имеем оценку
\[у]^6е2аТ + НЕ ГxRT{t) ^ δβ2αΤ + Π5Γ t-1[RT{mT) + ar\ =
= δε*»τ+ Ш ^2.mT=,e2aT+ ш ^Γ)Ξ
t-Я-оо mi t m-too mi
= 6e2aT + Ωτ{Α), t e [mT.mT + T).
Поскольку полученное неравенство справедливо для
характеристического показателя любого нетривиального решения у (i) системы (1^+q),
то оно будет справедливо и для старшего показателя этой системы:
\n{A + Q)<^Se2aT + nT(A), VT£1, ||Q(t)||< β, t £ 0.
Поэтому для границы Ω'(Α) имеем оценку
Ω'{Α) ^ lim {δβ2αΤ + Ωτ(Α)) = (lT(A), MT > 1,
δ—>-ьо
а тем самым в силу произвольности Т, и необходимую оценку (3.4)
il'(A) ^ lim Ωτ(Α) — Ω(Α). Неравенство (3.4) доказано.
Т—>+оо
Доказательство неравенства (3.5). Вместе с системой (1^)
рассмотрим и сопряженную к ней систему
z = -AT(t)z, zeRn, t^O. (1-λτ)

3.2. Центральные показатели
53
Ее матрицей Коши является матрица Z(t,r) = [^д1(^,т)]т, t ^ т.
Действительно, при фиксированном г справедливы равенства
|Т
dZ{t,r)
di
dX^W
dt
= -[X?{t,r)A{t)]T = -AT[t)[X^{t,r))T = -Ат(*)У(*,г),
являющиеся следствием тождеств
^(ί,τ^ί,τ)] = 0, ^(t'r) = -X^\t,r)A{t).
Отметим следующее свойство любых нетривиальных решений x{t)
системы (1л) и z(i) сопряженной системы (1__^т):
(ж(0, *(*)) = (*(0), г(0)) = с, t ^ 0. (3.8)
Оно вытекает из равенств
|(*(t),*(i)) = (A(t)x(t),z(t)) + (x(t),-Ar(t)z(t)) =
= (Λ(ί)*(ί), г(*)) - (Л(0*(«), *(*))= 0, t £ 0.
Для нормы матрицы Коши Z(t,r) сопряженной системы (1_^т)
с помощью функции
т
-гг(«) = Σ In ||Χχ\kT, kT - D|| + In WX^it, mT)\l
ί G [тГ,тГ + Г), го 6 JV0,
аналогичной функции ί?τ(*) для исходной системы (1л)» запишем
оценку
||Z(t,r)|| ^ ехр[2аГ - rT{t) + rT(r% 0^r^t< +оо, (3.62)
аналогичную оценке (3.6).
Возьмем произвольное нетривиальное решение y(t) возмущенной
системы (Ια+q)· Для него в силу свойства (3.8) найдется такое
решение z(t) системы (1_^t_qt), что будет выполнено тождество
{y{t),z(t)) = с φ 0 при всех t ^ 0. Из него имеем неравенство
11у(*)Н > W/INWII, tzo. (3.9)

54 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Для решения z(t) справедлива оценка
11*(*)Н ^ Н*(0)|| ехр[2аГ + Se2aTt - rT{t)], t > 0, (3.70
аналогичная оценке (3.7). Поэтому из оценок (3.7ι) и (3.9) имеем
неравенства
А[у] £ Em -J= In \\у(тТ)\\ £ -Se2aT + Ш Г-1^-, VT £ 1,
т—too Till т—too Tfll
а тем самым и неравенство
inf Ax(,4 + Q)^-(5e2flr+ Ы ГТ^\ \/δ > о, VT ^ 1.
Переходя в последнем неравенстве к пределам при δ -> +0 и затем
при Τ -> +оо, получим необходимое неравенство (3.5).
Теорема 3.1. полностью доказана.
Следствие 3.1. Если Ω(Α) < 0 (ω(Α) > 0), mo существует
такое δ > 0, что пулевое решение системы (Ια+q) со всяким кусочно-
непрерывным удовлетворяющим условию ||Q(t)|| ^ δ, t ^ 0,
возмущением Q асимптотически устойчиво (неустойчиво) по Ляпунову.
Возникает важный вопрос об изменении центральных показателей
ω(Α) и Ω(Α) системы (1д) при достаточно малом на всей полуоси
изменении ее матрицы коэффициентов. Оказывается, при таком
изменении коэффициентов системы (1^) старший центральный показа-
тель Ω(Α) устойчив вверх, а младший центральный ω{Α) — вниз. Это
устанавливает следующая
Теорема 3.2. Центральные старший Я(А) и младший ω(Α)
показатели являются полунепрерывными соответственно
сверху и снизу функциями матрицы А коэффициентов линейной
системы (1л).
Доказательство. Для доказательства полунепрерывности
показателя Ω (Л) сверху необходимо для произвольного ε > 0 указать
такое δ = δ (ε) > 0, что для любой кусочно-непрерывной матрицы Q(t)
с нормой ||Q(£)|| ^ δ при всех t ^ 0 будет выполнено неравенство
Я(А + Q) ^ Я(А) + ε. По определению старшего центрального
показателя существует такое число Τ = Τ (ε) ^ 1, что для него выполнены
неравенства
ПТ(А) ζ Ω(ε) + ε/3, ПТ(А + Q) > П(А + Q) - ε/3. (3.10ι)

3.2. Центральные показатели
55
При таком Τ оценим сверху норму \\XA+Q(kT + T,kT)\\ матрицы Ко-
ши XA+Q(t,T) системы (Ια+q) с возмущением Q, имеющим норму
||Q(t)|| ^ <5, t ^ 0, с пока произвольным числом δ > О, через норму
jJA^ifcT + Г, кТ)\\. Из формулы Коши
t/(t, кТ) = Хд1 (t, kT)XA+Q(t, кТ) =
t
^ЕЛ- jXt(^kT)Q{^)XA^kT)U^ykT)d^ t € [КГ,кТ + Т\
кТ
представления матрицы Коши XA+Q{t,kT) системы (1д+д) на
основании оценки (3.3) имеем неравенство
t
u(t) = \\U(t, кТ)\\ ^ 1 + δε2αΤ ί η(ξ)άξ, t € [ИГ, кТ + Τ].
кТ
С помощью леммы Гронуолла из этого неравенства получаем оценки
\\XA+Q(kT+T,kT)\\ <J \\ХА{кТ+Т,кТ)\\и{кТ+Т) < \\ХА{кТ+Т,кТ)\\х
х ехр(ЯГе2аТ) ^ βε'*\\ΧΑ(кТ + Г, кТ)\\, к G JV0,
с постоянной й, удовлетворяющей условию 0 < 3STe2aT ^ ε, а тем
самым на основании (3.101) и неравенства
- 771
Q(A + Q)-e/3^ Ш —-ТыЦХА^кТ^Т-ТЦ^
m-¥oo ml £-^i
k=l
- 771
<?+ ίδϋ — νΐη||ΧΛ(*Τ,ΑύΓ-Τ)||=Ωτ(Λ) + ε/3,
О m—too Ш-/ *~^
т.е. окончательное неравенство Ω(Α + Q) ^ Ω(>1) + ε.
Полунепрерывность Ω (Л) сверху доказана.
Для доказательства полунепрерывности показателя ω(Α) снизу
необходимо для произвольного ε > 0 указать такое δ = δ(ε) > 0,
что будет выполнено неравенство ω(Α + Q) ^ ω(Α) — ε при любой
кусочно-непрерывной матрице Q[t) с нормой ||Q(t)ll ^ ^ t ^ 0.
Снова по определению младшего центрального показателя можно указать
такое число Τ — Τ (ε) ^ 1, что будут выполнены неравенства
ωτ{Α + Q) < и;(Л + Q) + ε/3, ωτ(Α) ^ ω{Α) - ε/3. (3.102)

56 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Как и выше, для нормы \\V(t, кТ)\\, t Ε [кТ, кТ + Т], матрицы Коши
V(t, kT) = [^4+q(*>^)]T сопряженной системы
* = — [Л(*) + Q(*)]T^ v G Яп, t > О,
получим оценку
||ν(*Γ+Γ, ИГ)Н = ||Ха+о(*Г, *Г+Г)|| <е^3\\ХА(кТ, кТ+Т)\\, к е No,
с постоянной й, удовлетворяющей прежнему условию. Из этой оценки
на основании (ЗЛОг) имеем неравенства
ό Ο m-»oo ml ~—^
= -ε/3 + иг(Л) ^ ω(4) - 2ε/3,
т.е. необходимое неравенство lj(A+Q) ^ω(Α)—ε. Полунепрерывность
показателя ω(Α) снизу установлена. Теорема 3.2 доказана.
Если рассматривать исчезающие на бесконечности возмущения
Q(t) -> 0 при t -> +оо, то для всякого δ > О, очевидно,
существует момент t$ ^ 0, что для всех t ^ ts будет выполнено
неравенство ||ζ?(ί)ΙΙ ^ ^- Заметив еще, что центральные, характеристические
и другие показатели линейных систем (1л), заданных на всей полуоси
[О, +оо), определяются этими системами лишь на любой бесконечной
ее части [йь+оо] и значения матриц коэффициентов A(t) на любом
конечном промежутке [0, to] никак не влияют на эти показатели, из
теоремы 3.2 сразу получаем инвариантность центральных
показателей и(А) и Ω(Α) линейных систем (1л) относительно исчезающих
на бесконечности возмущений:
Следствие 3.2. Одноименные центральные показатели систем
исходной (1а) и возмущенной (Ια+q) с любым кусочно-непрерывным
возмущением Q(t) -> О при t —> +оо совпадают:
ω(Α + Q)= ω(Α\ ΐΙ{Α + Q) = (1(A).
Его доказательство в силу произвола ε > 0 следует из
справедливых на основании утверждения теоремы 3.2 неравенств
ЩЛ + Q) ζ ft(A) = Q[(A + Q) - Q] <ζ ft(A + Q),
u(A + Q) >oj(A)=lu[(A + Q)-Q]^uj(A + Q), Q(t)->0 при *->+οο.

3.3. Экспоненциальные показатели
57
Замечание 3.1. Неустойчивость центральных показателей
старшего вниз и младшего вверх при достаточно малых на полуоси
возмущениях установлена В. М. Миллионщиковым, о чем подробнее см. § 4.
Об использовании центральных показателей линейных систем в
исследовании по линейному приближению устойчивости
дифференциальных систем с возмущениями высшего порядка малости см. § 11.
Замечание 3.2. Достижимость центральных показателей, т.е.
справедливость противоположных неравенств Ω'(Α)^Ω(Α) и и/(Л)^
^ ω(Α), а тем самым и справедливость равенств Ω'(Α) = Ω(Α) и
ω9 (А) — ω(Α) для всякой системы (1л) с ограниченными кусочно-
непрерывными коэффициентами, доказал В. М. Миллионщиков своим
методом поворотов, о чем см. §4.
Комментарий к п. 3.2. Понятие центральных показателей
линейной системы введено Р. Э. Виноградом [45, 48; 35, с. 114, 163-167]. Им
же получены и утверждения леммы 3.1, теорем 3.1 и 3.2 и следствия
3.2. Приведенные здесь их прямые доказательства представляют
интерес. Об исследовании других свойств центральных показателей см. § 4,
5, обзор автора [83] и работы В. М. Миллионщикова [184,186,190,192],
М. И. Рахимбердиева [223], А. А. Левакова [144] и др. Минимальный
показатель Х™1П(А)= lim inf АЛЛ + Q) системы (1а) вычислен [84,
п ' л-н-о ΙΙΟΙΙ^ί
85, 92] в двумерном и оценен [86] в n-мерном случаях автором;
вычислению его в трехмерном случае посвящена докторская диссертация
[238] и работы И. Н. Сергеева [233-237] (им же введены и обозначения
\™"(А) и АГХИ))·
См. также работы И. В. Гайшуна [56-60], Л. Е. Забелло [69], Е. Л.
Пешкова, Е. К. Макарова и С. Н. Поповой [165-169, 209-214, 239-242] по
управлению характеристических показателей линейных систем.
3.3. Экспоненциальные показатели
В этом пункте сначала установим корректность определения
старшего и младшего экспоненциальных показателей
771
νμ)Ξ lim Ш в-тУ1п\\ХА(вк,вк-г)\1
к=1
т
Δ(Λ)ξξ lim Ш θ-ηγίηΙΙΧΑ^,θ*)]]-1
k=l

58 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
системы (1а) по ее матрице Коши A^(f, t), t ^ т, т.е. существование
содержащихся в них пределов по θ —> 1 + 0. Затем с помощью этих
показателей получим оценки сверху и снизу точных соответственно
верхней и нижней границ
V'{A)= sup \n{A + Q\ А'(Л)= inf \i{A + Q)
\{Q)<0 A[Q]<0
изменения старшего Хп(А + Q) и младшего Ai(A + Q)
характеристических показателей возмущенных систем (Ια+q) при
экспоненциально убывающих возмущениях Q : X[Q] = lim t~l In||Q(i)|| < 0.
Здесь докажем также инвариантность экспоненциальных показателей
линейной системы относительно экспоненциально убывающих
возмущений.
Экспоненциальные показатели используются при исследовании
асимптотической устойчивости и неустойчивости дифференциальных
систем по линейному приближению.
Для параметра θ > 1 введем в рассмотрение непрерывные на
полуоси [0, +оо) так называемые верхнюю и нижнюю экспоненциальные
функции
^(t) = X;in||X>1(^)0fc-1)|| + In||XA(i,^)ll,
k=l
TTlt
we(t) = ^ЩХа^-1^-1 + \n\\XA{0m',t)\r\ t € [0m',0™<+1),
k=l
системы (1д), равные 0 на промежутке [0,1).
Существование пределов по θ -> 1 + 0 в определении
экспоненциальных показателей устанавливает
Лемма 3.2. Для функций
т
νθ(Α)= mj^j^iniixAie^e^i
m
Ав(А)= Ш e-^Vlnpkffl*"1,^)!!-1
771—ЮО * ^
аргумента θ € (1,-boo) существуют соответственно пределы
^(А) ^ [-α, α] и Д(Л) G [-α, а] при θ -+ 1 + 0.

3.3. Экспоненциальные показатели
59
Доказательство. Как уже отмечалось в п. 3.2, это свойство мы
докажем для функции Ае(А). Предположим противное: δ\ =.
= lim ΔΘ(Α) < ϊϊϊη ΑΘ(Α) = δ2. Возьмем ε G (0, {δ2 - <5ι)/4(α + 1))
0-*1+Ο 0-*1+Ο
и по нему укажем такое θ\ G (1,1 + ε/2), чтобы выполнялось
неравенство Αθχ(Α) < δχ -\-ε. По ε и θχ выберем также и такое 02 € (1,1 +
+ ε/2), чтобы для него были выполнены неравенства Aq2(A) > #2 — ε
и 4(α + 1)θι (02 - 1)/(0ι - 1) < ε. Очевидно, для этих чисел θχ и 02
справедлива оценка (0ι02)_1 > 1 — ε.
Введем числа Z* G N :
в12к~1 ζθ$<θι2\ ktN. (3.11)
С помощью этих чисел получим оценки
+ 53 ΐηΐι^^-',^ιι^+ΐηΐι^^-1,^)!!-1^
>-a(0^1-0f"1)+ ]Г 1п||Хл(0Г1,0^|Г1-а(01Л-0^-1), fc G N.
i=lk-x+l
Используя эти оценки и прибавляя к значению ^1(0Jn) функции
wex(t) и вычитая из него слагаемые ln||A'^(02fc~1,02fc)||~1 для к =
= 1,... ,т, на основании (3.11) будем иметь неравенства
m
^ ^2(Ф) " 2а(02 - 1) Σ θ[ > we2 {Op) - 2αθλ(02 - 1)(0X - Ι^θψ >
i=l
> ™02 (Φ) - ε0Γ, m G JV. (3.12)
Пусть теперь верхний предел Αβ^(Α) реализуется по некоторой
последовательности {т(р)} t оо. Для каждого т(р) укажем такое /*(р),
чтобы были выполнены неравенства 1цр) ^ т(р) < ί*(ρ)+ι, причем
1к(р) в свою очередь определяется неравенствами 02fc(p) ^ 0Х *р' < 02fc(p).

60 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Без нарушения общности последовательности {т(р)} t оо и {к(р)} ΐ
t оо натуральных чисел можно считать такими, что существует
предел
7 = Ит в1^-ш(р) е [(0102Г1,1] С [1 - ε, 1],
ρ—-юо
так как на основании (3.11) справедливы неравенства
дк(р) < вЫР) ^ вт(р) < βΙΜρ)+1 ^ fefl*(p)+l ? p g ^
и числа 0ι > 1 и 02 > 1 выбраны удовлетворяющими условию
{θ1θ2)-1>1^ε.
С учетом введенных обозначений и полученных неравенств будем
иметь оценки
δ2-ε< ЬеЛА) = Urn 62"m(plWCW) ^
ρ—>οο
(воспользуемся очевидным неравенством | In НХд^т)!!""1! ^ a\t — т|)
^ BE ^to(pW#(p)) + а(02т(р) - #(р))] <
ρ—юо
<£ о(1 - 7) + 7 ЕЕ 02"'"(ρ)™θ2(02"*(ρ)) ^ οε + 7 US ^,mtufa(^m) ^
ρ—>00 771—ЮО
(применим неравенство (3.12))
^αε + 7 km l ' ±- · -/- ^
(пусть последний верхний предел реализуется по последовательности
{*(р)} Τ со» по которой без нарушения общности существует предел
β= lim^V'^e^1,!])
ρ—юо
^ αε + Ύε + -γβΑθχ{Α) ζ {α + Ί + βΊ)ε + [1 + (7 - 1)][1 + (/?- 1)]й ^
^ 5ι + (а + 2)ε + (1 - β<γ)\δλ\ ζ δλ + (α + 2)ε + 2ε|ίι| < ίι + (3α + 2)ε
(здесь воспользовались очевидным неравенством |#ι| ^ α). Из этих
оценок получаем итоговое неравенство δ2 — δι < 3(α + 1)ε, которое
противоречит выбору ε. Включения же A(A),V(A) € [—α, α]
очевидны.

3.3. Экспоненциальные показатели
61
Доказательство существования предела при θ -> 1 + 0 у функции
Vfl(i4) осуществляется при помощи верхней экспоненциальной
функции We(t). Это предлагаем сделать читателю. Лемма 3.2 доказана.
Основное свойство по оценке точных границ V(A) и А'(Л)
изменения соответственно старших Хп(А + Q) и младших Αι (Л + Q)
показателей линейных систем {1a+q) с экспоненциально
убывающими возмущениями Q определяет следующая
Теорема 3.3. Для верхней V{A) и нижней А! {А) точных
границ соответственно старших Хп(А + Q) и младших Х\(А + Q)
характеристических показателей систем {1a+q) с экспоненциально
убывающими возмущениями Q справедливы неравенства
V{A) ^ ЩА), (3.130
А'{А) > А(А). (3.132)
Доказательство неравенства (3.ΐ3χ). Для произвольного
экспоненциально убывающего возмущения Q укажем такое σ > 0, для
которого выполнено неравенство A[Q] < —ст. Будем также
рассматривать числа θ > 1, удовлетворяющие условию 4α(θ — 1) < σ.
Аналогично неравенствам (3.6ι) получим оценки
1п||ад,т)|| <£ We{t)-We{r) + 2a{T-emT) <J \νθ(ί)-\νθ(τ)+2α{θ-1)τ,
т€ [0т-,01+тт), Ι^τ^ί, θ>1. (З.бз)
Как и при доказательстве теоремы 3.1, для t ^ 1 представим по
формуле Коши нетривиальное решение y(i) системы (Ια+q),
аналогичным образом оценим его норму и затем воспользуемся оценкой (З.бз)
и леммой Гронуолла. В итоге получим оценку
Mt)\\^C\\y(0)\\expWe(t), ί > 0, (3.14)
с некоторой постоянной С > 0, не зависящей от Θ. Считая решение
y(t) реализующим старший показатель \n(A+Q) системы (Ι,α+q), из
оценки (3.14) на основании формулы (1.4) вычисления
характеристического показателя решения по геометрической прогрессии и леммы
3.2 получим неравенство
Xn(A+Q)= lim lim 0-mIn|h/(0m)|| ^ lim lim в-т\Ув{вт) =

62 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
= lim Ъ$(А) = ЩА),
справедливое для всякого экспоненциально убывающего
возмущения Q. Таким образом, неравенство (3.13ι) доказано.
Доказательство неравенства (3.132). На основании оценки
(З.бз) нормы матрицы Коши Хд(1,т) системы (1д) запишем с
помощью функции we {t) оценку
||Ζ(ί,τ)|| ^ exp[-w${t) + w0(t) + 2α(θ - 1)т], t> τ > 1, θ > 1,
для нормы матрицы Коши Z(t,r) = Xj(r,t) сопряженной системы
(1_дт), аналогичную оценке (З.бг).
Как и при доказательстве неравенства (3.13ι), для
произвольного фиксированного экспоненциально убывающего возмущения Q
укажем прежнее σ > О и рассмотрим числа θ > 1, удовлетворяющие
неравенству 4а (0 - 1) < σ.
Для решения y(t) ^0 системы (1д+д), реализующего ее младший
показатель Ai(A + Q), выберем решение v(t) сопряженной системы
(1_дт_дт), удовлетворяющее условию (у(0),г;(0)) ес^О. Теми же
рассуждениями, использованными при доказательстве оценки (3.14),
получим оценку
1М*)Н < C1|i;(0)|| exp[-u/*(t)], t ^ 0, (3.15)
для решения v(t) с постоянной С, не зявисящей от Θ. Тогда из
оценок (3.9), (3.15) и формулы (1.1) вычисления показателя Х[у] (см. § 1)
имеем неравенства
Xl(A + Q) = \[y]= lim Em в~тЩ\у{вт)\\^
0—fl+0 m—f+oo
^ lim Hm f-0~mln|K0m)||];> lim Ш e~mwe{em) = Δ(Α),
а тем самым и необходимое неравенство (3.13г)- Теорема 3.3 доказана.
Замечание 3.3. Доказательство неравенств Δ!(Α) ^ Δ(Α) и
V'(A) > V(A), противоположных неравенствам (3.13ι) и (3.132), т.е.
доказательство достижимости экспоненциальных показателей
произвольной системы (1а) младшими и старшими показателями
возмущенной системы (Ια+q) с экспоненциально убывающими
возмущениями, дано ниже в § 4 и проведено методом поворотов Миллионщи-
кова. При этом отсутствие доказанных равенств Δ'(Α) = Δ(Α) и

3.3. Экспоненциальные показатели
63
V'(-A) = V(A) не позволяет теперь провести доказательство
формулируемой ниже теоремы 3.4 очевидным простым и основанным на этих
равенствах способом. Поэтому приведенное ее доказательство исходит
лишь из самих определений экспоненциальных показателей.
Как и в случае центральных, в отношении экспоненциальных
показателей возникает аналогичный вопрос о зависимости самих этих
показателей линейных систем от тех или иных вариаций их
коэффициентов. В случае экспоненциально убывающих возмущений
справедлива следующая
Теорема 3.4- Одноименные экспоненциальные показатели
исходной (1а) и возмущенной (Ια+q) линейных систем с
кусочно-непрерывными ограниченными на полуоси коэффициентами совпадают при
экспоненциально убывающих возмущениях Q:
А(А) = А(А + Q), ЩА) = V(A + Q), X[Q] = -2ε < 0. (3.16)
Доказательство. Оценим норму Н-Хд+д^,^)!!, £2 ^ *ъ
матрицы Коши -X^+q(£2,*i) возмущенной системы (1д+д) через норму
||Хд(^2,*1)|| матрицы Коши исходной системы (1а)· Для этого
представим на отрезке t £ [*1,*г] матрицу Коши XA+Q(t2,h) по формуле
Коши
t
XA+Q(tM) = Ха(ЬМ) + I% XA(t,T)Q{T)XA+Q(T9ti)dr. (3.17)
ti
Умножим это равенство слева на матрицу ХдХ(1,£ι), преобразуем в
нем подынтегральное выражение необходимым способом и после этого
очевидным образом получим следующие неравенства:
t
ti(t) = ||Xj4Mi)*^
t
< 1 + Ι №(τ)\\β2α(τ-*Μτ) dr, t в [tub],
и
где α ^ ||Ά(£)||, * ^ 0. С помощью леммы Гронуолла будем иметь
теперь из предыдущего неравенства оценки
|Ι*α-ηϊ(Μι)ΙΚ ||*λ(Μι)ΙΚ*Κ

64 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
t
< \\xA{tM)\\^v f \\Q{r)\\e2a^-^dr, t e [hM
и
Из этих оценок при t = f2 = 0t\ — вк с некоторыми θ > 1 и к Ε N
получаем окончательную оценку сверху:
ΙΙ^+οί^,^-^ΙΚ^^ΙΙχ^,^-1)!!, θ>ι, keN, (зле)
с величинами
θ"
О < Св(к) = expie2^-1)^1 I ||Q(r)||dr] ^exp{CQ£-lx
Qk-1
хехр[2а(в-1)-е]вк-1} -+1 при и -► сх) и 0 е (1,1+ε/(2α)). (3.19)
Из определения старшего экспоненциального показателя V(A) и
оценок (3.18) и (3.19) сразу получаем первое необходимое неравенство
V(A + QKV(A).
Пусть YA+Q{t2,h) = [^4-J-q(*2,£i)]T — матрица Коши
сопряженной системы
y = -AT(t)y-QT(t)y, yeRn, OO. (3.20)
Представляя ее по формуле Коши (3.17) и повторяя последующие
рассуждения, для нормы значения матрицы Коши Ya+q^^i) в точках
t2 = θίχ = вк сопряженной возмущенной системы (3.20) получаем
аналогичную (3.18) оценку
\\хА+о{вк-\вк)\\^се{к)\\хА{вк-\ек)\\, θ>ι, keN, (злао
с прежней постоянной С$(к), определенной формулой (3.19). Из
определения младшего экспоненциального показателя с помощью
оценки (3.18ι) и свойства (3.19) постоянной С${к) получаем оценку
Δ(Α + £)>Δ(Α).
Получим теперь для нормы матрицы Коши Xa+q{^2^\) системы
(Ια+q) оценку снизу через норму матрицы Коши Χα{Ϊ2,1>\) исходной
системы (1а)· Это можно сделать двумя способами.
В первом способе систему (1д) рассматриваем как возмущенную
(1(л+д)_д) по отношению к системе (Ια+q) с линейным
возмущением —Q(t)x. Тогда формула Коши (3.17) представления матрицы
Коши Ха{Ъ ti) системы (1д) через матрицу Коши Χλ+φ(Μι) системы

3.3. Экспоненциальные показатели
65
(Ια+q) приобретает вид
t
XA(t,ti) = XA+Q{tM) - J XA+Q{Ur)Q{r)XA{TM)dr, t e [tut2].
ti
Прежними рассуждениями из этого представления аналогичным
образом получаем оценку
IIXAi^.^-^IKCeifcJil^+oie*,^"1)!!, *>i, keN,
которая и позволяет доказать неравенство V(A) ^ V(A + Q). С
помощью рассуждений, использующих сопряженную систему (1_дт) как
возмущенную (1_(Л+д)т+дт) по отношению к исходной сопряженной
системе (1_дт_дт), устанавливаем, как и выше, оценку
\\хА{вк-\вк)\\^се(к)\\ХА+о(вк-1,вк)\\, θ>ι, heN,
из которой и следует недостающее неравенство Δ (Л) ^ А(А + Q).
Во втором способе из формулы Коши (3.17) имеем неравенства
ι
||ΧΛ+0(Μι)ΙΙ ^ PUMOII -"
ι
jXA{t,T)Q{T)XA+Q{rM)di
t
> \\xA{tM)\\ - il*WMi)ll/llQ(r)|| · \\XA{t,r)\\. \\хл+д{т,Oildr,
ie[ti,t2].
При t = t2 = θίι = вк, к e TV, учитывая оценку ||А(£) + Q(i)|| ^
^ α + Cq =6, t ^ О, имеем неравенство
IIXW**,**-1)!! ^ ΙΙ^ί^,β*-1)!! - deWIIXA+g^,^-1)!!, (З.21)
с постоянной
θ"
de{k) = eio+bW-D*-1 f\\Q(T)\\ dr^ te^expRa + Ь)(в - 1) - ε]**"1 ->0
0fc-l

66 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
при к -> оо и θ Ε (1,1 +ε/(α + Ь)). Из неравенства (3.21) при
указанных θ и достаточно больших к получаем оценку
ll^+gi^.^-^ll/II^A^.^-^H^l+dflifc)^! при *->оо,
устанавливающую неравенство V(A) ^ V(A + Q). Используя
сопряженные системы, аналогичным образом получаем и неравенство
Δ(Α) ^ Δ(Α + Q). Теорема 3.4 доказана.
Комментарий к п. 3.3. Понятие экспоненциальных показателей
введено автором [88] и им же доказаны лемма 3.2, теоремы 3.3 и 3.4
(иное и первое доказательство теоремы 3.4 дано в диссертации
А.М.Нурматова [202]). Другие свойства экспоненциальных
показателей см. в § 4,5,11 и работах В. М. Миллионщикова [193-197], В. Г.
Агафонова [1, 2], А.Н.Ветохина [39, 40], О.Г.Илларионовой [133].
3.4. Генеральные (особые) показатели
Введенные П. Болем [248] (и позднее независимо К. П. Персидским
[203] под названием особых) в долго остававшейся неизвестной работе
старший Ωο(^) и младший ωο(Α) генеральные показатели линейной
системы (1^) определим равенствами
П0(А) = lim Ш ± In \\XA(kT, кТ - Т)\\,
T-H-ooib-*oo 1
ω0{Α) = lim lim 1 In \\XA(kT - T, kT)\\~\
T-H-oo^ooT
В настоящем пункте сначала докажем корректность определения
этих показателей, т.е. установим существование содержащихся в них
пределов по Τ —> оо. Затем получим равномерные по времени и
начальным значениям двусторонние оценки норм решений, а тем самым
и их равномерных показателей, линейных систем (1д+<э) с достаточно
малыми на полуоси [0, +оо) возмущениями. В заключение исследуем
зависимость самих генеральных показателей Ωο(Α + Q) и ωο(Α + Q)
от тех или иных возмущений Q.
Приложения генеральных показателей — в исследовании
равномерной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости
дифференциальных систем по линейному приближению.
Существование пределов в определении генеральных показателей
системы (1А) устанавливает следующая

3.4. Генеральные (особые) показатели
67
Лемма 3.3. Для функций
«J = i ΕΪ In \\XA(kT, kT - Т)\\,
1 к-*оо
о;0т = 1 lim ln\\XAikT-T^nr1
аргумента Τ £ [1, Η-со) существуют соответственно пределы
Uo(A) e [—α,α] и ωο(Α) е [—а,а] при Т-* +оо.
Доказательство. Докажем существование предела при Τ -> 4-оо
у функции Qq(A). Введем обозначение 0о(Л) = lim Ω^(Α). Оче-
Т-++оо
видно, справедливо включение Од (А) ^ [—α,α]-
Возьмем произвольное ε Ε (0, а) и укажем такие числа ΤΊ = Τι (ε) > 1
и fceG Λ7, что для них выполнены неравенства
Tfх 1η ||ΑΆ(*Γι,*Γι -ТОН ^ & (А) +е, fc > kE. (3.22)
По числу Т] возьмем удовлетворяющее условию
4αΤι/Τ2<ε (3.23)
число Т2 = Τ2(ε) ]» Τι. Для любых чисел T>T2Hm>l+fce введем
номера к(т) > т равенствами
fc(m)Ti ζτηΤ < fc(m)Ti + Tj. (3.24)
Эти предварительные построения и неравенства (3.22)-(3.24)
позволяют получить оценки
In \\ХА(тТ,тТ - Т)\\ ^ In \\XA(mT,Jb(m)TO|| +
к(тп)
+ Σ \n\\XA(kTukTi -ГОН +ln||XA(fe(m- 1)ТьтГ-Г)|| ^
fc=l+Jfe(m-l)
< 2αΓι + [Цтп) - fc(m - 1)]Шо(Л) + ε)^ ^
^ 4αΓι + (Ωο(Α) + ε)Γ, Γ > Γ2, т > 1 + ке.
Из них в свою очередь следуют неравенства
ЩА) = Пт Ω^(Α) ^ По(Л) + ε + 4αΓι/Γ < Οο(Λ) + 2ε, Υε € (0,а),
Τ—>-}-00
устанавливающие необходимое равенство Ωο(Α) =Οο(^)·
Доказательство существования предела у функции ω^(Α) при Τ —> +оо
проводится аналогично. Лемма 3.3 доказана.

68 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Замечание 3.4. Леммы 3.1 и 3.2 доказаны методом от противного.
Их можно доказать и прямым методом, использованным при
доказательстве последней леммы 3.3.
С помощью старшего и младшего генеральных показателей
системы (1д) получим двусторонние оценки норм решений y(t) φ О и их
равномерных показателей
ад. Ш ь.М«>1-ьЫтЦ
Kli/J fc-r-*+oo t - τ
возмущенных линейных систем (1д+д) с достаточно малыми на
полуоси возмущениями Q. Эти оценки устанавливает
Теорема 3.5. Для всякого ε > 0 существуют такие момент
te > 0 и числа δ > О и Се, что всякое нетривиальное решение y(t)
системы {Ια+q) с возмущением Q, имеющим норму \\Q{i)\\ ^ δ при
всех t ^ te, удовлетворяет оценкам
С:1 exp(u*(A) - e)(t - тК \Ш\\1Ыт)\\ ^
^ Се ехр(П0(Л) + e)(t - τ), t > г > *е, (3.25)
г* гшеет равномерный показатель Р[у] G [ωο(Α) — ε, Ωο(Α) + ε]·
Доказательство. По определению старшего генерального
показателя Ωο(Α) = Ω0 для произвольного ε > 0 можно указать такие
числа Τ — Τ(ε) > 1 и τη = τη(ε) G TV, что будут выполнены
неравенства In \\XA(kT, kT - Τ)|| ^ (Ωο + ε/2)Γ, fc ^ m. Они для нормы
матрицы Коши позволяют получить оценки
ы\\хЛ(ь,т)\\^1п\\хЛ{г,ьт)\\ +
kt
+ Σ \п\\ХА{КГ,кТ-Т)\\+Ы\\ХА(кгТ + Т,т)\\^
^ (Ω0 + e/2)(t - г) + (4α + ε)Γ, t > г > mT ^ *е, (3.26)
в которых kt определяется включением t G [ktT, к±Т + Т).
Решение y(i) φ О системы (1a+q) с начальным значением у(т)
представим на промежутке [т, +оо) формулой Коши, перейдем от
нее традиционным способом к очевидному неравенству,
воспользуемся оценкой (3.26) нормы матрицы Коши исходной системы и затем
леммой Гронуолла. В итоге получим оценку
ЫШ < ΙΙνΜΙ|βχρ[(4α + ε)Γ + (Ωο + ε)(ί·τ)], t > τ % ™(ε)Τ, (3.27)

3.4. Генеральные (особые) показатели
69
т.е. правостороннюю оценку (3.25) с постоянной Се = ехр(4а + ε)Τ,
при условии, что число δ удовлетворяет условию 0 < 2£ехр(4а +
+ ε)Τ < ε. Неравенство Р[у] ^ Ωο+ε является очевидным следствием
оценки (3.27).
Докажем теперь левостороннюю оценку (3.25). Для этого
рассмотрим сопряженные исходную (1_дт) и возмущенную (1_дт_дт)
системы. По определению младшего генерального показателя ωο(Α) =ωο
для произвольного ε > 0 снова укажем такие числа Τ = Τ(ε) ^ 1
и m = πι(ε) е Ν, что значения матрицы Коши Z(t,r) = Хд(т,£)
системы (1_дт) при t = кТ и г = кТ — Т будут удовлетворять
неравенствам In \\Z(kT, кТ-Т)\\ ^ (-ω0+ε/2)Τ, к^тп. С их же помощью
получим оценку
ln||Z(*,r)|| ^ (4α + ε)Τ+(-ω0 + ε/2)(*-τ), t > τ > тТ > Ге, (3.28)
аналогичную оценке (3.26). Рассматриваемому решению y(t) φ О
системы (1д+д) сопоставим решение v(t) с начальным вектором υ(τ) —
= у(т) системы (1_^т_дт), для которого выполнено тождество
(ΐ/(0ιν(*)) = 11у(г)1125 t ^ т. Это решение v(t) представим в
форме Коши и с помощью оценки (3.28) и леммы Гронуолла получим
оценку
\Ш\\ ^ \\ν(τ)\\ βχρ[(4α+ε)Γ+(-ω0+ε)(*-τ)], t> r > т(е)Г, (3.280
аналогичную оценке (3.27). При этом число δ > 0 удовлетворяет
прежнему условию. Из неравенства ||у(£)|| > ||у(г)Ц2/1к(*)11 с Уче~
том оценки (3.28ι) получаем окончательную левостороннюю
оценку (3.25). Неравенство Р[у] ^ ωο — ε есть следствие этой оценки.
Теорема 3.5 доказана.
Старший Qo(A) и младший ωο(Α) генеральные показатели
линейной системы (1д), как и ее центральные показатели Ω(Α) и ω(Α),
полуустойчивы соответственно сверху и снизу при достаточно малом
изменении коэффициентов этой системы. Это устанавливает
Теорема 3.6. Генеральные старший flo(A) и младший ωο(Α)
показатели являются полунепрерывными соответственно сверху и
снизу функциями матрицы А коэффициентов линейной системы (1а)·
Доказательство этой теоремы фактически совпадает с
доказательством аналогичной теоремы 3.2 для центральных показателей.
Из теоремы 3.6 следует инвариантность генеральных показателей
системы (1а) относительно возмущений Q(t) -> 0 при t -> +оо, т.е.

70 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
справедливость равенств и>о{А + Q) = ωο(Α) и Qo{A + Q) — Ωο(Α)
для любого возмущения Q(i) —> 0 при t -> +оо.
Неустойчивость при малых возмущениях в противоположных
направлениях генеральных показателей линейных систем (1д), т.е.
неустойчивость старшего показателя вниз, а младшего — вверх,
установлена В. М. Миллионщиковым (см. § 4).
Одно из приложений генеральных показателей:
Утверждение 3 Л. Нулевое решение системы (1^) и всякой
близкой к ней системы {\a+q) равномерно экспоненциально устойчиво
{неустойчиво), если ее старший генеральный показатель Ωο{Α)
отрицателен {младший ωο{Α) положителен).
Комментарий к п. 3.4. Доказательства известных утверждений
(лемма 3.3, теоремы 3.5 и 3.6) лишь осовременены автором. Другие
свойства генеральных показателей см. в § 4, 5 и работах М. И. Рахим-
бердиева [220, 221]. Свойства равномерных показателей исследованы
в работах Е. А. Барабанова и А. В. Конюха [16, 15, 134-136].
3.5. Центральные, экспоненциальные
и генеральные показатели треугольных систем
В настоящем пункте будет доказано, что указанные показатели
треугольных (для определенности нижне-треугольных) систем (1д)
совпадают с одноименными показателями ее диагонального приближения
Ο-Ad)· Это устанавливает следующая
Лемма 3.4. Старшие и младшие генеральные, центральные и
экспоненциальные показатели треугольной системы (1д) с
кусочно-непрерывной ограниченной матрицей коэффициентов совпадают с
соответствующими показателями ее диагонального
приближения (l^d).
Доказательство. Из определения этих показателей и оценок
\\XA(t,T)\\Z\\XAd(t,T)\\, \\XA(T,t)\\-1 <\\ХаЛтМ~\ t>T>0,
имеем очевидные неравенства
П0(А) > n0(Ad), П(А)>П(Аа), ЩА) > V(Ad),
ω0{Α) <С ω0(Αά), ω(Α) < ω{Αά), Δ(Λ) ^ A(Ad).

3.5. Показатели треугольных систем
71
Докажем противоположные неравенства. Исходную треугольную
систему (1а) подвергнем ^-преобразованию [35, с. 248]
y = Bz, B = diag[l,p,...,pn-1],
с некоторым параметром β G (0,1/2), оставляющему неизменной
диагональ ее матрицы коэффициентов:
у = BA(t)B~ly = Ad(t)y + Qp(t)y, у G Лп, t > 0. (3.29)
При этом норма матрицы Qp(t) при рассматриваемом β
удовлетворяет оценке
\\Q0(t)\\^2afi, t>0, (3.30)
а все рассматриваемые одноименные показатели исходной (1д) и
преобразованной (3.29) систем совпадают при всяком фиксированном
β G (0,1]. Последнее утверждение следует из неравенств
/Γ-4|№τ)||/||Χ(ί,τ)|Κ/?1-'\ fie (0,1/2), t>r>0,
для матриц Коши этих систем.
Доказательство неравенства Ω0(Α) ^ Clo(Ad). По
определению показателя QG(Ad) для всякого ε > 0 найдутся такие Τι —
— Τι (ε) ^ 1 и к(е) G N, что будут выполнены неравенства
XnWXA^kTum-TuW = max ί αα(ξ)άξ < [Ω0(Λ*)+ε]Γ1? к > fc(e),
ΛΓι-ΤΙ
а тем самым и неравенства
t
/*Μ0^^ + [«ο(Αι) + ε](ί-τ), г = 1,...,п, t> τ > 0, (3.31)
г
с некоторой постоянной С = С(Т\) > 0.
По формуле Коши для матрицы Коши Y(t,r) системы (3.29)
имеем представление
t
Y(t,r) = XAAt,r)+jxAAt,OQ0(OY^r)d^, (3.32)

72 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
из которого с учетом неравенств (3.30) и (3.31) имеем оценку
t
u(t) = \\Y{t,T)\\exp[-n0(Ad) - e](t - τ) ^ ес + 2a/?ec [ν(ξ)άξ.
τ
Применяя к ней лемму Гронуолла, получим неравенство
\\Y(t,r)\\ <: ехр[С + [Ωο(Λι) + ε + 2αββ°]{ί - τ)], t> τ > 0.
В силу произвола β Ε (0,1/2) и фиксированности С(Тг) > 0 (при
фиксированном 7\ ^ 1) из этого неравенства получаем оценку
«оСА) - ΩοίβΑΒ-1) ^ По(Ла) + ε,
устанавливающую в силу произвола ε > 0 необходимое неравенство
П0(А) <ζ Q0(Ad).
Доказательство неравенства Ω (Α) ^ Ω(Αα)· Для
произвольного е > 0 укажем такое Τ = Τ (ε) ^ 1, что верхняя центральная
функция -Rr(£)5 осуществляющая оценку
In \\Xjbit, г)|| <£ 2аТ + Дг(*) - Дг(г), t> τ ί> 0, (3.33)
с точностью до ε реализует старший центральный показатель Q(Ad)
системы (1да), т.е. удовлетворяет неравенству
Шп RT{kT)/(kT) ^ ft{Ad) + ε. (3.34)
к—>оо
Из формулы Коши (3.32) с помощью оценки (3.33) получаем
неравенство
t
u(t) ξ \\Y{t,T)\\e-RTW ζ e2aT"^W + 2αβε2αΤ ίη{ξ)άξ
τ
для нормы матрицы Коши F(£, r) системы (3.29). Снова по лемме
Гронуолла из этого неравенства получаем оценку
||У(*,т)|| ^ ехр[Яг(*) - Rt{t) + 2аТ + 2αββ2αΤ{1 - τ)],
/5 €(0,1/2), *>т>0.

3.5. Показатели треугольных систем
73
Выберем теперь число β > О удовлетворяющим условию 4αββ2αΤ < ε,
а натуральное то — условию 4а/то < ε. Тогда для числа Тт = тТ с
любым натуральным m ^ то из предыдущей оценки при t = т+Тт =
= кТт, к € N, имеем неравенство
In \\Y(kTm, кТт - Тт)\\ ^ RT{kTm) - RrikTm - Тт) + еГт,
т ^ то, fc ^ 1.
На его основании, неравенства (3.34) и леммы 3.1 имеем необходимые
оценки
Ω(Α) = Ω{ΒΑΒ-ι)ζε+ lim Шх КТ(кТт)/(кТт)^П{Аа)+2еу Ve>0,
m—юо fc—юо
т.е. оценку Ω (Л) ^ Ω(Α^).
Доказательство неравенства V(A) ^ V(Ad). По
произвольному ε > 0 укажем такое θε > 1, для которого выполнено
неравенство Vfle(A) > V(A) — ε, а по нему — и число β е (0,εη_1(1 - θ~1)).
Подвергнем треугольную систему (1ла) преобразованию
у = diag [е~&,..., ε-ηβ*]χ = B{t)z,
являющемуся аналогом обычного уже применявшегося выше
стационарного ляпуновского ^-преобразования. В итоге получим систему
ν = {Αά(ί)-β&ζΕ[1,...,η]}ν + <2β(ί)ν =
= D0(t)y + Qfi{t)y, yERn, *>0, (3.35)
в которой норма матрицы Qp{t) = B(t)[A(t) — Ad(£)]f?_1(£)
удовлетворяет оценке \\<2р{Т)\\^апе-Р\ *>0.
Выберем теперь число θ = θε'ρ > 1, ρ Ε TV, удовлетворяющим
условиям
V$(Ad) = Ш e~kWe{ek) ^ V(Ad) + ε, 4α(0 - 1) < /?,
к—>оо
где Wfl(£) — верхняя экспоненциальная функция, осуществляющая
оценку (см. формулу (З.бз))
In \\XAd{t> r)\\ ζ We(t) - We(r) + 2α(θ - l)r, 0 < г < i,

74 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
нормы матрицы Коши Хда(£,т) диагональной системы χ = Ad(t)x.
С помощью этой оценки из формулы Коши
t
Y(t, τ) = XDe (t, т) + 1 XD0 (t, №β(ΟΥ(ξ, τ) άξ
τ
представления матрицы Коши У(£, τ) системы (3.35) имеем
неравенство
u(t) = \\Y{t,T)\\e-W*W+i5t <£ e-^(r)+/?r+2a(^l)r +
t
τ
Из него по выбору θ и лемме Гронуолла получаем окончательную
оценку
In ||У(«,т)|| ^ W0(t) - We{r) - p(t - τ) + 2α(θ - 1)τ + 2/β, O^r^t,
для нормы матрицы Коши системы (3.35), а тем самым и неравенства
In \\XA(t,т)\\ ζ ηβί -βτ + ln \\Y{t,τ)\\ < W0(t) - We(r) + ηβί + 2/Г1,
О ^ τ <£ t.
Полагая t = θετ = 0*, г G TV, из предыдущей оценки суммированием
имеем неравенство
к
^ИХл^Г1)!! < 2β-^ + ηβθΙ^{θε -1)-1 + иъда*), jb e N.
г-Х
На его основании и выбора чисел θε, β и θ получаем неравенства
ЩА) - ε ^ V*e (Л) ^ ε + V*(A0 ^ V(Ad) + 2ε, ε > О,
а тем самым в силу произвола ε > 0 и необходимое неравенство
ЩА) < ЩАа).
Доказательство противоположных неравенств u>o(A) ^
^ o?o(Ad), ω(Λ) ^ u>(Ad) и А(А) ^ Д(Ас£) относительно
младших генеральных, центральных и экспоненциальных показателей
треугольной системы (1а) и ее диагонального приближения (1да)
проводится аналогичными рассуждениями для сопряженных систем
(1-Л,)и
ζ = -Λτ(ί)ζ, z€-R", t>0, (1-лт)

3.6. Центральные и генеральные показатели систем Персидского 75
у которой матрица Коши Ζ(£,τ) связана с матрицей Коши Хд(£,т)
исходной системы (1д) равенствами
Z(t,r) = [X^Ht,r)]T = Xj(r,t), t^r^O.
Лемма 3.4 доказана.
Комментарий к п. 3.5. В этом пункте приведены более простые
доказательства известного утверждения Р. Э. Винограда [45] и
аналогичных ему.
3.6. Центральные и генеральные
показатели линейных систем
со слабой вариацией по Персидскому
В настоящем пункте для центральных и генеральных показателей
таких систем будут получены простые коэффициентные
представления, из которых следует устойчивость этих показателей относительно
малых на полуоси возмущений.
Определение 3.1. Систему (1д) (матрицу A(t)) будем называть
системой (матрицей) со слабой вариацией по Персидскому [204], если
для любых чисел ε > 0 и Τ > 0 найдется такой момент to, что для
всех t2^ti^to, t2—ti^T, выполнено неравенство ||Л(*2)—Α(£χ)||^ε.
Очевидно, система (1д) с матрицей коэффициентов, у которой
||Α'(£)|| —> 0 при t -> +CO, является системой со слабой вариацией
по Персидскому.
Через \(t) и μ(ί) обозначим соответственно наибольшую и
наименьшую вещественные части собственных значений матрицы
коэффициентов A(t). Справедлива следующая
Теорема 3.7. Генеральные и центральные показатели системы
(1а) со слабой вариацией по Персидскому вычисляются по формулам
П0(Л) = Km λ(ί), ω0(Α) = Κϊη μ(ί), (3.36)
t t
П(А) = Ш - [ A(r)dr, ω(Α) = Ш \ [μ(τ)άτ, (3.37)
£-*oo t J t-+oo t J
0 0
и являются устойчивыми относительно ее малых возмущений.

76 § 3. Центральные, экспоненциальные и генеральные показатели
Доказательство. Пусть \д и μ а — соответственно наибольшая
и наименьшая вещественные части собственных чисел постоянной
вещественной квадратной матрицы А порядка п. Тогда для матричной
экспоненты выполнены:
1) доказанные в п. 7.1 неравенства
\\ем\\ ^ De(a)e^^\
\\e-At\\ ζ Όε{α)β^-^+ε^, ε >0, t> О, (3.38)
с одной и той же постоянной De(a) > О для всех матриц А, ||Л|| ^ а;
2) очевидные неравенства
е\лг ^ ιι^ιι^ е-ил1 ^ \\е-л% t ί> 0, (3.39)
являющиеся следствием очевидного неравенства \ν\ ^ ||Л|| для
собственных чисел ν всякой матрицы А.
По определению 3.1 для произвольных чисел δ > О и Τ > 1
найдется такое fc(£,T), что будет выполнено неравенство
\\A(t) - А{кТ)\\ О, t е [кТ, кТ + Г], к > Щ,Г).
Поэтому система (1д) с матрицей коэффициентов A(t),
удовлетворяющей условию ||Л(£)|| < α < +оо при всех t > О, может быть
представлена в виде возмущенной
χ = А{кТ)х + [A(t) - А{кТ)]х = А(кТ)х + Qk{t)x, x G Rn,
\\Qk(t)\\ ^ *, t e [кт,кт + г], к > k{S,T).
Для ее матрицы Коши Хд(£,$) в силу первого из неравенств (3.38)
справедлива оценка
P0i(M)|| < De(a)exp[X{kT) + ε + SDe{a)](t - s),
t,se [kT,kT + T],
получаемая с помощью леммы Гронуолла (см. п. 3.1). Из нее в силу
произвола ε>0, <5 > 0 и Τ > 1 следуют неравенства
t
П0{А) ζ ПЕ \{t), ЩА) ζ Ш - ίA(r)dr, (3.40)
fc—юо fc—юо t J
0

3.6. Центральные и генеральные показатели систем Персидского 77
причем последнее из них еще и в силу того, что A(t) — матрица со
слабой вариацией по Персидскому.
Представив стационарную на отрезке [fcT, кТ + Т] систему у =
= А(кТ)у снова в виде возмущенной
y = A(t)y-Qk(t)y9 yeRn, te[kT,KT + T\,
для экспоненты ехр[А(кТ)Т] по формуле Коши будем иметь
равенство
кТ+Т
еА{кТ)т = хА(кТ + Т9кТ)\Е+ f XA{kT + T,r)Qk{r)eA^^r-k^ dX
kT
из которого получим неравенство
цел(*г)Гц ^ ||хл(А.г + Г} kT)\\(i + STeaT).
Выбрав по фиксированному Τ > 1 число δ > 0 достаточно малым,
например, удовлетворяющим условию 6ТеаТ ^ 1, получим в силу
первого из неравенств (3.39) оценку
\\Хл{кТ + Г, кТ)\\ ^ ехр[Х{кТ)Т - 1]
для всех к ^ к(6,Т). Поэтому по определению показателей Ωο(Α)
и Ω (А) справедливы неравенства, противоположные неравенствам
(3.40), т.е. первые равенства в формулах (3.36) и (3.37).
Доказательство вторых равенств в формулах (3.36) и (3.37) для
младших генерального и центрального показателей системы (1д) со
слабой вариацией по Персидскому проводится аналогичным образом
с использованием сопряженной системы у = —AT(t)y и вторых
неравенств из оценок (3.38) и (3.39).
Устойчивость генеральных и центральных показателей такой
линейной системы относительно малых возмущений доказывается также
аналогично. Сделать это предоставляем читателю. Теорема 3.7
доказана.
Замечание 3.5. Для старшего V(A) и младшего Δ(Α)
экспоненциальных показателей линейной системы (1а) со слабой вариацией по
Персидскому представления, аналогичные формулам (3.36) и (3.37),
уже не имеют места.
Комментарий к п. 3.6- Равенства (3.36) и устойчивость
генеральных показателей установлены В. М. Миллионщиковым [182] и Ю. Л. Да-
лецким и М. Г. Крейном [64, с. 200].

§ 4. МЕТОД ПОВОРОТОВ МИЛЛИОНЩИКОВ А.
ДОСТИЖИМОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНЫХ
И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
И ИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
В настоящем параграфе излагается метод поворотов В.М.Милли-
онщикова [174, 179, 184; см. также обзор 83] в приложении к
доказательствам достижимости центральных и экспоненциальных
показателей и их (а также особых — генеральных) неустойчивости. Этот
метод систематически используется в современной теории
характеристических показателей Ляпунова. В монографии на нем, помимо
рассматриваемого параграфа, основано также: построение в § 8 линейных
систем с неустойчивыми характеристическими показателями
относительно экспоненциально убывающих гробмановских возмущений и их
как угодно малых расширений; доказательство достижимости
старшего сигма-показателя линейной системы (1д) старшими показателями
возмущенных линейных систем (1д+д) с возмущениями Q,
имеющими показатель Ляпунова X[Q] ^ — σ < 0 (см. §9); построение в
§ 10 критерия устойчивости относительных малых возмущений
характеристических показателей линейных диагональных систем; решение
по линейному приближению частной задачи Ляпунова об
экспоненциальной устойчивости нулевого решения дифференциальных систем с
возмущениями высшего порядка малости (см. § 11).
Следует отметить, что название "метод поворотов" несколько
условно: оно исходит из типа возмущений, в то время как истинная его
сущность состоит в схеме блуждания решений возмущенной системы
по соответствующим образом подобранным решениям исходной. Это
неоднократно подчеркивалось самим автором метода.
4.1. Достижимость центральных показателей
Предположение о достижимости этих показателей высказал
Р. Э. Виноград (см. БыловБ. Ф. и др. [35, с. 164]), одновременно
доказав его для частного случая диагональных систем. В общем случае это
осуществил В. М. Миллионщиков [184]. Изложим его доказательство
достижимости центральных показателей, основанное, как уже
отмечалось, на методе поворотов и состоящее из двух лемм и одной теоремы.

4.1. Достижимость центральных показателей
79
Лемма 4.1. Для любых решения x(t) φ О системы (1д),
вектора уТ и положительного числа ε < π/2, связанных равенствами
<0/г,#0")} = ε5 \\Уг\\ = 1к(г)Н? существует ортогональное
преобразование
y = Ue(t)x, *е[т-1,т], (4.1)
являющееся преобразованием поворота в плоскости LT = {х(т),уТ}
и тождественным на ортогональном дополнении, такое что
||&(0|| < е, ||tfe(t) - Еп\\ < ε, te[r-l,r], (4.2)
и вектор
y(t) = U£(t)x(t), */(т-1) = а;(т-1), у(т) = уТ,
является решением системы у = A(£)t/ + Qe{t)y с удовлетворяющей
неравенству
||Qe(t)||<(2o+l)e, te[r-l,r], (4.3)
матрицей Qe(t).
Доказательство. Пусть U = [ei,...,en] — не зависящая от t
ортогональная матрица с векторами-столбцами е\ = #(τ)/||#(τ)|| и
таким ег G Lr, что j/r = (ex cose + e2sin6)||t/r||. Положим
e(t) = e{f-T+\), (е[т-1,г], (4.4)
и покажем, что эта ортогональная матрица является искомой.
Действительно, справедливы неравенства (4.2):
||W)IK||i72(i)||=e, \\U£(t)-En\\ =
= ||i/diag[l/2(i)-£;2)0]l/T||<||l/2(i)-£;2||=2sin^<e, te[r-l,r],
а поэтому выполнена и оценка (4.3):
||0е(*)|| = \\Ue(t)A(t)Uj(t)-A{t) + Ue(t)Uj{t)\\ <
< \\Ue(t)A(t)Uj(t) - A{t)Ue(t)U£T(t)\\ + \\U£(t)Uj(t)\\ ζ
ζ \\Ue(t)A(t) - A{t)Ue(t)\\ + ε ζ (2α + 1)ε, ί € [τ - Ι,τ].
Равенства t/(r — 1) = ж(т — 1), у(т) = ут очевидны. Лемма 4.1
доказана.
Зафиксируем какие-то малое е>0иГ>1и введем следующее

80
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Определение 4.1. Решение x(t) системы (1д) назовем
медленным на отрезке [т, г + Т], если для его нормы выполнено неравенство
\\Φ + Τ)\\ ζ |||Л-(т + Г,г)|||Ит)||япе, (4.5)
и быстрым — в противном случае. При выполнении равенства
\\х(т + Т)\\ = ||ЛЧт + Г,г)|| ||Ж(т)|| (4.6)
решение x(t) будем называть максимальным на этом отрезке.
Справедлива следующая
Лемма 4.2. В конической ε-окрестности
K[z(r),tge] = {х : <{х,х{т)} ζ ε]
начала медленного на отрезке [г, τ + Τ] решения x(t) начинается
быстрое решение.
Доказательство. Пусть v(t) — максимальное на отрезке [г,г+Г]
решение, причем ||г;(г)|| = ||я(т)||. Так как в случае υ(τ) Ε Κ[χ(τ),1ζέ\
утверждение леммы очевидно, то без нарушения общности можно
считать, что ε < 7 = <{и(т),ж(т)} ^ тг/2.
Через хе(т) обозначим вектор с нормой ||#е(т)|| = ||я(т)||,
принадлежащий плоскости векторов ν(τ) и а:(г), расположенный между
ними и составляющий с вектором х(т) угол ε. Его можно представить
в виде суммы
Χε {г) = ах{т) + βυ{τ) (4.7)
с постоянными α, β > 0. По теореме синусов имеем равенства
β _ 1 α β
sin ε 8ΐη(π - 7)' sin(7 — ε) sin ε'
из которых получаем неравенства
β > 8ίηε, ^ < ^-· (4-8)
ρ βιηε
Из равенства (4.7) имеем также неравенство
||*е(т + Г)||>/?|Кт + Г)||
а\\х(т + ТЩ
βΜτ + Τ)\\Γ

4.1. Достижимость центральных показателей
81
превращающееся в силу (4.5), (4.6) и (4.8) в нужное неравенство
\Ыт + Т)\\ Ϊ i||X(T + r,T)|||MT)||sine.
Лемма 4.2 доказана.
С помощью этих лемм и доказывается
Теорема 4.1 (см. Миллионщиков В. М. [184]). Центральные
показатели линейной системы (1л) достижимы: для всякого ε > О
существуют кусочно-непрерывные матрицы Be{t) и Ce(t),
РШ1Ю, ||Се(*)|Ю, *>о, (4.9)
такие что
\п{А + Ве)> П(А) - ε, λι (Α + Се) ζ ω(Α) + ε. (4.10)
Доказательство-Для произвольного ε>0 выберем такое Г>1,
чтобы одновременно выполнялись неравенства (обозначения см. в § 3)
Ог(А) Ζ ЩА) - |, 8ш*£2вф(-™ег), δ = ^γ-
На отрезке [0, Τ] положим Be(t) = 0 (на отрезке [Т — 1,Т] матрица
Дг(£) будет, возможно, изменена). И на нем в качестве решения y(t)
системы
y = A(t)y + Be(t)y, (4.11)
показатель которого хотим сделать не меньшим числа Q(A) — ε,
возьмем какое-нибудь быстрое (относительно числа δ) на [0, Т] решение
x(t,xo) системы (1д).
Предположим, что на отрезке [0, кТ] построены допустимая
система (4.11) с матрицей Be{t)=0, te [кТ-Т,кТ] (наотрезке [кТ-1,кТ]
она, возможно, будет изменена), и ее решение y(t), для нормы
которого выполнены неравенства
\\y(iT)\\^(S^-XMO)\\l[\\X(sT + T,sT)l i = l,...,k. (4.12)
^ ' 8—0
Продолжим построение матрицы Be(t) и решения y(t) системы (4.11)
на отрезок [кТ — 1,кТ -\-Т] с сохранением неравенств (4.9) и

82
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
(4.12). Если решение x[t,y(kT)] является быстрым (относительно δ)
на [кТ, кТ + Г], то положим
B£(t) = О, y(t) = ж[*,!/(*Г)] при t е {кТ, кТ + Г],
чем и завершаются необходимые построения. Если же оно медленное,
то на основании леммы 4.2 в угловой ^-окрестности вектора у(кТ)
имеется быстрое (снова относительно δ) на [кТ, кТ + Т] решение
з;д(£), Δ ^ £, системы (1л). Подвергая на отрезке [кТ — 1,кТ)
систему (1а) преобразованию поворота (4.1) у — Е/д(£)# из леммы 4.1,
соответствующему вектору у^т — яд(А;Т), получим непрерывную на
отрезке [0,кТ + Т] вектор-функцию у(£), являющуюся на нем
решением системы (4.11) с матрицей Be(t),
\\Be(t)\\ ζ ε, t е [0,kT + T\; Be{t) = О, * G [*Г,*Г + Г],
и норма этого решения удовлетворяет неравенству (4.12) с числом г =
= * + 1.
Таким образом, для построенного решения имеем требуемое
неравенство Х[у] ^ Ωτ(Λ) + Г-1 In sin δ ^ Ω(Α) — ε. Первое из неравенств
(4.10) доказано.
Докажем теперь достижимость младшего центрального
показателя. Пусть число Τ удовлетворяет еще и неравенству ωτ(Α) ^ ω (А) +
+ ε/2. Зафиксируем какое-то m^l и, начиная с момента t = гпГ +1
в сторону уменьшения времени, повторим предыдущие рассуждения.
В результате для t ^ mT + 1 построим матрицу Ce,m(f), ||Ce,m(t)|| ^
^ ε, и решение ym(t) (I ^ ||z/m(0)|| ^ 2) системы
у = A(t)y + C£,m(t)y, t^mT + 1,
такое, что
\\уш(гТ -Т)\\ sini J .
у y<iT)\\ ^ ~~2~" (»Г,*Г-Г)||, г = m,m-!,...,!. (4.13)
По построению всякая матрица Ceim(t) на интервале (£Г + 1,£Г + Т),
на котором она определена, тождественно равна О. Поэтому
рассмотрим семейство матриц {CeiTn(i)} на отрезке [£Г,£Г + 1], г ^ 1.
Очевидно, точками разрыва всякой матрицы C£jm(t) на отрезке [гТ,гТ-Ы]
могут быть лишь точки разрыва (а их — конечное число и все они —
первого рода) матрицы A(t), которую без нарушения общности на

4.1. Достижимость центральных показателей
83
концах этого отрезка считаем доопределенной по непрерывности
изнутри его. Поэтому рассматриваемый отрезок разбивается на конечное
число промежутков 6ki, на каждом из которых все матрицы C£im(t)
непрерывны, а вся полуось — на не более чем счетное число
промежутков непрерывности вк. Покажем, что равномерно ограниченное
на полуоси семейство матриц {C£ifn(t)} равностепенно непрерывно на
каждом из них.
Матрица Се?т(£) имеет вид
C£irn(t)^Ua(t)A(t)Uj(t)-A(t)^Ua(t)Uj(t), a=amti, *е[»Т,£Г+1],
где, в отличие от леммы 4.1, угол поворота a(t) есть функция a(t) =
= α(ί — %Т — 1), а а = аш^ Ε [—5,5]. Из (4.4) имеем неравенства
||Wa(«2,*i)l| = \\UQ(t2) - Е7в(*х)|| ^ ||E/2(f2) - 172(*χ)|| =
= 2
. 1 ,
sin-a(<2 -ti)
ζ |α(«2 - ti)|, Vtbfe € \iT,iT + 1]. (4.14)
Возьмем произвольное 7 > 0. Матрица A(i) ограничена и кусочно-
непрерывна на полуоси. Поэтому для ее промежутка непрерывности
Ύ
вкг существует такое /?, 0 < β ^ ——, что
боа
Р(Ы - Α(ίι)|| < j7, Vtbfe e «к, (4.15)
если только |£2 — *ι| ^ β· В силу неравенств (4.14) и (4.15) получаем
оценку
наг,те(*2)-св,те(*1)ц =
= \\[U*{tx)+Wa]A{^
^ 2||Α(ί2) - A(ti)|| +3o|a(t2 - *i)| ^ 7, 1*2 - ti| < ft *i,fe € 0W,
которая и устанавливает равностепенную непрерывность семейства
{Ce,m(t)} на промежутке 0fci-
На основании теоремы Асколи можно выбрать такую бесконеч-,
ную последовательность индексов {ту}, что равномерно на всяком
отрезке сходятся: последовательность матриц {Ce,m(t)} к некоторой
кусочно-непрерывной матрице C£(t), а последовательность решений
{ymj[t)} — к непрерывной вектор-функции y(i) (очевидно, на любом
фиксированном отрезке семейство {ym(t)} равномерно ограничено и

84
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
равностепенно непрерывно). По теореме о непрерывной зависимости
решений от первой части и от начальных условий эта вектор-функция
y{t) является решением системы
у = A(t)y + Се(%, ПСИ*)!! ^ ε, Ο Ο.
Переходя в неравенствах (4.13) с т — rrij к пределу при j —>■ оо,
получаем неравенства
\\y(iT-T)\\ sinS^^^,.^
Ι|ν(ιΓ)|| ~~2~" ("ι "--ПН* *>1· (4Л6)
Однако имеет место равенство inf ||X(£,s)a|| = ЦХ-1^,^)!!"1, по-
||a||=l
этому из неравенства (4.16) имеем окончательную оценку
l|y(fcr)lu (ώ) Mmfl^wxii^iT-T)^,
из которой (см., например, следствие 2.1 из леммы 2.1) и получаем
неравенство Х[у] ^ ω(Α) +ε. Теорема 4.1 полностью доказана.
Эта теорема, важная своими формулируемыми ниже следствиями
4.1 и 4.2, имеет и другие существенные приложения, например, при
построении критерия устойчивости показателей линейной системы и
достижимого центрального показателя m-порядка, используемого для
решения задачи об устойчивости по линейному приближению в случае
возмущений порядка малости m > 1.
Следствие 4.1. Максимальный и младший минимальный
показатели системы (1а) могут быть вычислены по формулам
А™ах(А) = lim sup Xn(A + Q) = Ω(Α),
?^+0ΙΙΟΙΙ^
\ψ™(Α)= lim inf \χ(Α + (2)=ω(Α).
Следствие 4.2. Если ft(A) ^ 0, то среди систем, как угодно
близких к (1а), всегда есть неустойчивые. Если же ω(Α) ^ 0, то
среди них всегда есть условно устойчивые системы.
Обозначения А™ах(Л) и Xfin(А) ввел И. Н. Сергеев. Он же
доказал [232] достижимость центральных показателей линейных систем во
множестве возмущений, стремящихся на бесконечности к 0. Именно,
справедливо

4.1. Достижимость центральных показателей
85
Следствие 4.3. Существуют такие матрицы Β(ί)—ϊΟ, C(t)—>0
при t -* оо, для которых Хп(А + В) = Ω(Λ), Х\(А + С) = ω(Α).
Доказательство. Укажем необходимые изменения в
доказательстве теоремы 4.1. Зададим монотонно убывающую последовательность
{вг} -> 0 при г -*> оо, ει > 0.
Построение матрицы B(i). На отрезке [Ο,ίι] положим B(t) =
= Bei(t) (на [ίχ - Ι,ίχ] эта матрица, возможно, будет изменена), где
момент t\ = k\T\ выбран удовлетворяющим неравенству
y\n\\y(ti)\\^^(A)-2ei (4.17)
при г = 1. Рассуждениями из доказательства теоремы 4.1 для
начального момента t\ и числа £2 построим матрицу B(t) = B£2(t) на
отрезке [ίι,^]» где момент £2 = *ι+&2Ϊ2, Γ2 = T^fo), выбран
удовлетворяющим неравенству (4.17) при г = 2. Выполнив эти построения
для всякого Ей получим матрицу B(t), \\B(t)\\ ^ £г-, < £ (ii_i,ij], и
соответствующую вектор-фикцию y(t), норма которой
удовлетворяет неравенству (4.17) при Vi ^ 1.
Построение матрицы C(t). Введем сначала некоторые
вспомогательные обозначения. По определению oj(A) для всякого г ^ 1
существует такое Т{ (Т*/Т$_1 — целое ^ 2 при i > 1), что
ωΤί {Α) ζ ω{Α) + j, fc = 2 fan ^ϊ) ^ exp \SiTi' <4
18)
Для £ = τ + кТ обозначим
fc-1
Ρτ(τ, t) = Π infi ||X(r + Γ + гГ, г + »Т)о||.
г=0
В силу (4.18) найдутся такие моменты времени
*i = ti-i 4-fciTi, fe = 0, fei^l, «h-i^—(fc + ari+2), *ϊ>1, (4.19)
ε*
что неравенства
1 ' 1
и+КТ 1η Π Рт< i**-b«*)" Яг, (*ь *ι + A2i+1) < ω(Α) + -ε,, (4.20)

86
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
выполнены при всех / ^ 1 и fc ^ 0. И при построении матриц Cejym(t)
для t ^ t j + mTj+ι ( m < kj+\ ) изложенными в доказательстве
теоремы 4.1 рассуждениями на отрезках [£/ +1, U+\ 4-1], / ^ 0, используем
числа ε = ε/, Τ = 7), считая при этом ео = ει, То = Τχ. В
результате получим матрицу C(t) —>■ 0 и решение ?/(£) системы у = Α(£)ζ/ +
4- C(t)y, для нормы которого при к < fcj+i выполнена оценка
||v(tt + *Г/+1)|| < bfl6*7i+l/7i Π ЬЙ^'-1 χ
г=2
/
Xft\ (0, ti) J] Рт,.г (U-l, ίί) · PTl {thtt + КГ,+1).
г=2
На основании неравенств (4.18)-(4.20) и очевидного
РгЛи,и + кТш) <ζ Pri+l(U,U + fcTi+i), 1 ^ к ζ ki+u
имеем оценку
\\y{ti + kTl+l)\\ <С βχρ[ω(Α) + 3ει_ι/2](ί, + fc7}+1),
/^1, 0O<fci+i. (4.21)
Если же
U + fcTi+i ^ ί < U + {к + 1)Г|+Ь 0 ^ fc < fci+b
то в силу выбора fy (см. неравенство (4.19)) оценка (4.21) преобретает
окончательный вид
112/(011 < ехр[и(А) + 2ei-i]{U + fcT,+1), J ^ 1, 0 ^ к < fc,+1.
Следствие 4.3 доказано.
Р. Э. Виноград (см. Былов и др. [35, с. 180]) для диагональных
четного порядка, Т. Е. Нуждова [201] для двумерных и диагональных, а
К.А.Диб [66] для общих линейных систем доказали одновременную
достижимость центральных показателей, т.е. существование для
всякого ε > 0 одной такой матрицы Qe(i), для которой
λι (А + Q£) <С ω{Α) + е, Хп(А + Qe) ^ Q(A) - ε.

4.2. Неустойчивость генеральных и центральных показателей 87
4.2. Неустойчивость генеральных
и центральных показателей
Как уже было доказано в § 3, старшие и младшие генеральный и
центральный показатели полуустойчивы соответственно сверху и
снизу. Но будут ли они устойчивы? Отрицательный ответ на этот вопрос
дает
Теорема 4.2 (см. Миллионщиков В. Μ. [186]). Существует
система (1д) (любого порядка η ^ 2) с ненулевыми особыми,
центральными и крайними характеристическими показателями и
такая, что для всякого натурального т существует система
y = A(t)y + Qm(t)y, (4.22)
у которой особые показатели равны 0, a sup||Qm(t)|| —>■ 0.
t>0 m->oo
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать эту теорему для
двумерных систем. Положим
A(t)=diag[o(t),-o(t)l, (4.23)
а функцию a(t) определим следующим образом:
"<"={"
0 при t e [kTs, kTs + Τ^χ), Vfc ^ 1, Vs 2> 2,
при остальных t,
где Ts = 0s!, 1 < β — нечетное фиксированное число.
Вычислим показатели системы (1д) с матрицей коэффициентов
(4.23). По определению функции a(t) имеем представление
2Т
Σ.»/·μ*-(^γ->)Σ^-»Π(^-0=1··''-
#7*> I— ■«■
р. = Π(ΐ-*-а*).
на основании которого получаем равенство
Т.+1
/ a(r)dr=(^-lj£s = r8+1Ps.

88
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Кроме того, для любых / ^ 1 и к ^ 0 удовлетворяющих условиям
ί/>Η_Μ ξε /Г5+1 + (fc + 1)Г5 <ζ (/ + 1)Г5+1 <ζ Г5+2, (4.24)
справедливо равенство
/ .μ*-ί0, *=°·
tut, v
Поэтому для £ из произвольного промежутка £/*s ^ t < £/tfc+i,s с
удовлетворяющими условиям (4.24) числами / ^ 1 и fc ^ 0 имеем
двусторонее неравенство
t
lPsTs+i + (к- 1)Ρ8_αΓβ < J а(т)dr<Ta+ IPSTS+1 + kPs^Ts,
0
а тем самым и неравенства
t
0<-2Fs_iTs + Psiz,fe+i,s < / a{T)dT<Ts + P8-ltlks.
о
Таким образом, получим окончательную оценку
t
-2—?- + FS < у /" a(r)dr < Fs_x + ^-, ί G [Г5+ьТ5+2).
0
Но положительная переменная Ps является убывающей по s, и
поэтому
t
Х2 = lim - / α(τ) dr = lim Ps = a,
t-Юо f J s-юо
0
причем о > 0, так как In α есть сумма абсолютно сходящегося ряда:
оо
lna=:5Iln(l-0-s!*)>--oo.
Итак, показатели системы (1,4) с матрицей (4.23) есть отличные от
О числа λι = —α < 0 < а = Аг, а для ее генеральных и центральных
показателей справедливы оценки ω0 ^ ω ^ — α<0<α^Ω^Ωο·

4.2. Неустойчивость генеральных и центральных показателей 89
Возмущения Qm(t) возьмем в виде
Qm(t) = *»(*)( J ~J)> (4-25)
где
при ie[fcrm,£r + :rm_i], Vk^tl, то ^2,
{о
Qm(t) =
при остальных £.
Сумма (4.22) с матрицами (4.23) и (4.25) ортогональным
преобразованием
t
( cosam(i) sinam(t) λ u\ - ί ( \α
t
( cosam(t) sinamit) \
ζ
\-8шатщ cosam[t) j — " ^ '
0
приводится к диагональному виду
ζ = (~l)^/T-)diag[a(t), -a{t)]z, (4.26)
где Ε (τ) — целая часть числа т.
Вычислим особые показатели ω0 и Ωο системы (4.26). С этой
целью для интеграла
12
*1
докажем справедливость неравенства
|J(t2lti)|^2Tm+i (4.27)
При ЛЮбыХ t\ ^ *2-
Пусть ίι и ί2 - кратные Тт моменты времени, принадлежащие
отрезку Ts ^ ίχ < £2 ^ ^s+i. Их можно представить в виде
*? = Σ*!9)Γί' VfcSe)^0, 9 = 1,2,
2=T7l
где каждое из kg , - · ·, &™+ι принимает, в указанной
последовательности, наибольшее из возможных значение и
*i(1) = *i2), »=Р+1,...,*; *?><*<2>, P = m,...,e. (4.28)

90
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Рассмотрим интервалы
S
Д<*) = (*(0>4(0+Г<), ί« = 5><9)7), i = m+l,...lS.
В силу (4.28) имеем Δ^ = Д^г) для г = ρ + 1,..., s.
Пусть существует такое / > га, что: a(t) ξ0 на интервале Δ^ ,
a(t) j£ 0 на каждом из интервалов А\ +1' С ... С Δ^ . Если I > р, то
неравенство (4.27), очевидно, выполнено. Поэтому считаем / ^ р. Но
J(r1(t'fc+1),r1(ifc)) = 0, i%l, ν*:τί*)=ί(1*+1)+Μι€Δ(1*+1),
так как число интервалов
(т™ +зТг-ит™ + {J + lJTV-O С (г^,гР+1))
длины Ti_i, на каждом из которых a(t) ^ 0, четно и на двух
соседних функция (—l)E^Tm^a(t) отличается лишь знаком. По этой же
причине
J(rs+1, Ts) =0, Vs > m. (4.29)
Итак, в рассматриваемом случае имеем равенство .7(4 +Tp,t{) =
— 0. Рассуждения при отсутствии указанного I повторяются
дословно, лишь на первом шаге используется очевидная оценка | J(tj ' +
+ 7m+i, t\) I ^ Tm+i — Тш. Аналогичным образом доказывается и
неравенство |J(t2,4P))l < rm+i -Гт.
Неравенство (4.27) доказано, причем, в силу равенства (4.29), при
любых ίι ^ *2- Это означает, что матрица Коши
Х(£, s) = diag [exp J(£, s), exp(- J(£, s))]
системы (4.26), а тем самым и системы (4.22), ограничена вместе со
своей обратной. Таким образом, равенства
ωο{Α + Qm) = Ωο(Α + Qm) = 0, m ^ 2
становятся очевидными.
Переход от построенной двумерной системы (1д) к n-мерной
осуществляется добавлением к ней (п—2)-мерной системы с нулевой
матрицей коэффициентов. Теорема 4.2 доказана.

4.3. Достижимость экспоненциальных показателей
91
Система (1д) с диагональной матрицей (4.23) является
правильной по Ляпунову (см. п. 1.3), так как у нее λι = #2 = —α, Аг = 5ι = о·
Поэтому теорема 4.2 устанавливает не только, вообще говоря,
неустойчивость генеральных, центральных и характеристических показателей
линейных систем, но и обнаруживает этот факт в классе правильных
систем. Следует при этом подчеркнуть, что характеристические
показатели исходной системы (1д) при указанных малых возмущениях
совершают конечные скачки внутрь отрезка [АьАг], принимая
значения, равные полусумме ее старшего и младшего показателей.
Теорема В. М. Миллионщикова 4.2 была использована им при
доказательстве несимметричности отношения почти приводимости
линейных систем.
4.3. Достижимость экспоненциальных показателей
В этом пункте для старшего V(A) и младшего Δ(Α)
экспоненциальных показателей линейной системы (1д) докажем неравенства
sup \n(A + Q) = V'(A)>V(A), inf λι(Λ + Q) = Α9(Α) ζ Δ(Λ),
A[Q]<o A[Q]<o
противоположные полученным в п. 3.2 и устанавливающие
достижимость экспоненциальных показателей V(A) и Δ(Α) системы (1д)
соответственно старшими и младшими показателями возмущенных
систем (Ια+q) с экспоненциально убывающими возмущениями. Тем
самым будут установлены равенства V'(A) = V(A) и Δ' (Α) = Δ (А),
т.е. формулы вычисления по матрице Коши Ха(Ъ т) исходной
системы (1д) точных верхней границы V(A) старших показателей
Xn(A + Q) и нижней границы А'(А) младших показателей \i(A + Q)
возмущенных также линейных систем (1д + Q) с любыми
экспоненциально убывающими при t —> +оо возмущениями Q. При этом
доказательство достижимости экспоненциальных показателей системы (1д)
во многом аналогично доказательству В. М. Миллионщикова
достижимости ее центральных показателей (см. п. 4.1).
Теорема 4.3 [88]. Старший V(A) и младший А(А)
экспоненциальные показатели линейной системы (1д) осуществляют
равенства
sup An(A + Q) = V(A), inf λι(Α + φ)=Δ(Α). (4.30)
λ[θ]<ο A[Q]<o

92
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Доказательство первого равенства (4.30). Для этого, как уже
отмечалось выше, достаточно доказать неравенство V(A) ^ V(A).
Возьмем произвольное θ Ε (1,2) и зафиксируем такое / = 1(θ) Ε
Ε Nj для которого выполнено неравенство (Θ — 1)θι > 2. Обозначим
£0 = to (β) = θ1 и, начиная с момента t = ί0 — 1, для некоторого
числа σ > 0 будем одновременно строить методом поворотов как саму
возмущенную систему (Ια+q) с кусочно-непрерывным возмущением
Q = Q0j(T, удовлетворяющим условию ||Q(i)|| ^ ^е~аг, t ^ О, так и
ее решение у(ί) со свойством
lli/(0fc+1)ll/l|y(0fc)ll > ||XA(0fc+1,0fc)||exp(-^fc), ζ ^ к е N. (4.31)
Введем функцию
ak(t) = (t - β* + 1) ехр(1 - σ0*), te[0k- 1,0*], к>1,
и считаем / еще и таким, чтобы было выполнено неравенство
2-1 sina/(^) > βχρ(-σθι). (4.32)
Положим Q(t) = 0 на промежутке [0, ίο)- В качестве
начального вектора строящегося решения y(t) возьмем произвольный вектор
y(to) φ 0. Если решение x(t,y(to)) системы (1д) оказывается
быстрым на отрезке [ίο,0ίο], т.е. удовлетворяющим условию
1И**ь *(*о))|| > 2-1 sinai(io) - ΙΙ-ΪΑίβΙο,ίο)!! ||у(*))||, (4-33)
то на промежутке [ίο>#Μ полагаем θ(ί) = 0 и ?/(ί) = a:(i,2/(*о)) (на
промежутке [0ίο — 1,#ίο) матрица Q(i) и вектор-функция y(t),
возможно, будут переопределены). Если же оно оказывается медленным
на отрезке [ίο,0ίο]5 т.е. для решения x(t, y(to)) выполнено
противоположное (4.33) неравенство, то преобразованием поворота с углом
поворота α/(ί), действующем на промежутке [£о — 1, ίο) ι построим на
этом промежутке такое допустимое (||Q(i)|| ^ Cge_<Ti,i Ε [to — 1,*о))
возмущение Q, что решение y(t) построенной возмущенной
системы (Ια+q) (равное на отрезке [0, ίο — 1] тому решению x(t)
системы (1а), которое при t — ίο совпадает с первоначальным
значением у (to)) в момент ί = ίο принимает новое значение у (to), уже
являющееся, согласно методу поворотов, началом быстрого на отрезке
[ίο,0ίο] решения x(t,y(to)). И в этом случае снова полагаем Q(t) = 0

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 93
и y(t) = x(t,y{to)) при t e [to,et0). В итоге на промежутке [О,0£о)
построим допустимую возмущенную систему (1д+д) и ее непрерывное
решение y(t), для которого в силу условия (4.32) выполнено
неравенство (4.31) при к — L Распространяя эти традиционные для метода
поворотов построения (см. п. 4.1) на всю полуось, в результате
построим на ней допустимую возмущенную систему (1д+д) и ее решение
y(t) со свойством (4.31), из которого следует неравенство
iiy(0fc+1)ii ζ iiy^iinii^^^ii^p^iy) >
Ζ Ыв1)\\ехр[\¥в(вк+1) - W$(0) - σ(θ - l)"1^1].
Поэтому для старшего показателя построенной системы (1д+дв σ)
выполнено неравенство \n{A + Qe,a) ^ V$(A) — σ(θ — Ι)"1, θ > 1, σ > 0,
с определенной в формулировке леммы 3.2 величиной Ve(A). Таким
образом, выполнено неравенство
V'(A)= sup Xn(A + Q) Z supXn(A + Q09tr)>Ve(A),
X[Q]<0 σ>0
справедливое при всяком θ > 1. Из него в силу той же леммы 3.2
следует и неравенство V(A) ^ lim Ve(A), а тем самым и необходимое
первое равенство V(A) = V(A) в (4.30).
Доказательство второго равенства (4.30) см. в работе [88]. Теорема
4.3 доказана.
4.4. Одновременная неустойчивость
экспоненциальных показателей
В теореме 3.5 (см. п. 3.3) установлена инвариантность
экспоненциальных показателей линейной системы (1^) относительно
экспоненциально же убывающих при t —>■ +оо линейных возмущений.
Естественно ожидать, что это свойство уже не сохранится при
расширении класса возмущений. Неинвариантность экспоненциальных
показателей в классе исчезающих на бесконечности возмущений
обнаружена А. М. Нурматовым [202]. Одновременная неустойчивость старшего
У(Л) и младшего Δ (А) экспоненциальных показателей линейной
системы (1^) в существенно более узких классах линейных возмущений,

94
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
в частности, возмущений: 1) с равными —оо характеристическими
степенями Демидовича; 2) суммируемых на положительной полуоси с
любым степенным весом, — устанавливает следующая
Теорема 4.4 [114]. Для любого числа а > 0 существуют
система (1а) с кусочно-постоянной ограниченной (постоянной а^ \\A(t)\\,
t^O) матрицей коэффициентов и нулевыми экспоненциальными
показателями Δ(Α) = V(A) = 0 ΰ удовлетворяющее условию
||Q(*)||<C0exp(-Vi)f t£0, (4.34)
кусочно-непрерывное возмущение Q такие, что возмущенная
линейная система (Ια+q) имеет экспоненциальные показатели
Δ(Α + Q) = -α, V(A + Q) = a.
Доказательство. Используя монотонные последовательности
{вт} J, 1 действительных чисел вт > l + (l4-m)_1, θ0 ^ 3, и
{k(m)} t +о° кратных четырем чисел fc(ra) ^ (га + I)2, члены
которых удовлетворяют условию
4<0о(О), 2m+1 < θ%™) -► +оо при m->+oo, га <Ξ Ν, (4.35)
введем в рассмотрение на полуоси t ^ 1 моменты времени
£()0 = lj tmk = imO^mi *mfc(m) = *m+l,(h
A: = 0,1,..., fc(m), m Ε N0 = {0} U iV.
При этом в силу выбора чисел 0т и к(т) и условия (4.35) длина
всякого отрезка [imfcj*m,fc+i] при ra^l больше числа 2:
*m,fc+l — tmk = (0m — l)*mfe ^ (#m ~ l)<mO =
m—1
= (*m " 1) Π 0*O) > 2m+1(m + I)"1 ^ 2,
j=° (4.36ro)
fc = 0,l,...,fc(m)-l, rnGAf, tm0>2m+1,
а при m = 0 эти отрезки имеют длины
ίο,ι - too > 1, io.fc+1 - io,fc > 2, *=!,..., fc(0) - 1. (4.360)

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 95
На полуоси £^ 1 определим функции a\(t) и а2(£) равенствами
а П\ _ / ~β> * € ['т,2*-2,*т,2*-1), а = COnst > О, Ш G iV0,
lU \ α, ί Ε [<m,2fe-i,tmt2fe), fc = l,...,fc(ra)/2,
α2(ί) = -ai(t), t Ε [l,+oo).
Ha промежутке [0,1) положим их равными нулю. Для этих функций
интеграл
t
Jp(t,tmk) = I С1р(т)<1т, t e [tmk,tmik+2),
t-тпк
с нулевым или четным к ^ А;(га) — 2 по определению функции ap(t) :
1) на промежутках [£mfc,£m,fc+i) и [*т,н-ь*т,*+2) соответственно
убывает от 0 до —а{вш — l)tmk и возрастает от —а(вт — 1)£т* до
а(0^ - l)tmk при ρ = 1;
2) на этих промежутках соответственно возрастает от 0 до а(0т —
-1)£т* и убывает от а(вт - l)tmk до —а(вт — 1)2£ш*· Поэтому для
интегралов Jp(t,tmk) справедливы неравенства
\JP(t,tmk)\ ^ а(0т - l)tmfe, t e [tmk,tmik+2), Р= 1,2, (4.37)
и равенства
| Jp(t, W+2,*mOI = а(»т - l)2imfe, P = 1,2, (4.38)
для всех А: = 0,2,4,..., к(т) — 2 и га Ε iV0.
Докажем теперь, что система (1а) с матрицей коэффициентов
A(i) = diag[ai(t),a2(<)] имеет нулевые экспоненциальные показатели
V(A) и А(А). Для этого сначала оценим снизу и сверху логарифм
ΙηΙΙ-Χ"^^"1"1,^)!! нормы матрицы Коши Хд(£, т), t ^ т,
рассматриваемой системы (1д) при некотором фиксированном θ Ε (1,2) и
достаточно большом I > 1(θ) > 1.
По определению матрицы коэффициентов A(t) системы (1д) для
ее матрицы Коши Ха{1>т) имеем представление
Ха{Ъ т) = diag [exp Ji (t, r), exp Ji (r, £)] =
= diag [exp J2 (r, t), exp J2 (£, τ)], £ ^ τ.
Поэтому является очевидной оценка снизу
]п\\ХА(&+\&)\\2 0, /еЛГ0. (4.39)

96
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Для оценки сверху определим натуральное m* = mj(0,/) £ N и
равное нулю или четное кг = кг(в,1) 6 7V0 числа включением
&+* e [tm|fcii *тйА+2), i = 0,1. (4.40)
Это позволяет для величины 1п||Ха(0/+1,^/)|| получить
представление
ln||Xj4(0l+1,0')|| = max{Jp{0+1,0)} =
Ρ
= max{ Jp(tmifc,, tmofc0) — Jp(u , imofc0) + Jp[p jim^i)/
и затем с помощью неравенств (4.37) и равенств (4.38) оценку
\п\\ХА{&+\&)\\ ^ а[0то - 1+в{вт1 - 1)]θι + |Jp(Wi.Wo)l (4.41)
при ρ = 1,2. Из включений (4.40) и θ 6 (1,2), неравенства (4.35) и
вытекающего из него неравенства
*m+l,0/*mo = 0Ш(Ш) > 4, Ш G 7V0, (4.41i)
следует включение т\ Ε {то, то + 1}. В первом случае то = т\ в
силу свойства {0Ш} 4 1 и выбора / достаточно большим для четных
чисел ко (оно может оказаться и 0) и кл будет выполнено и
неравенство ко < fci, причем их разность достаточно велика. В этом случае
на основании равенств (4.38) и равенств
sgn Jp(fm,M-2,*mfc) = (-Ι)1*1, Ρ = 1,2, (4.42)
справедливых для любых τη Ε No и любых четных и нулевых
значений к = 0,2,..., к(т) — 2, имеем оценку
fei-2 fci-2
|Лр(*т0*ц*то*о)1 — ^ |«^p(*m0,fe+2, *m0fc)| = а(0то ~ 1) /^ *т0* <
fc=fco fe=feo
00 0-1
< а(0то - l)2imo,fel-2 Σ U' = ^Т^ГЧ^кг, Ρ - 1,2, (4.43)
в которой суммирование проводится по четным значениям к. С
учетом этой оценки из (4.41) в случае т0 = т\ получаем окончательное
неравенство
Ы\\ХА(0+1,0)\\ < О(0то - 1)(0* + 30*+1/2), / £ 1(0). (4.44)

4.4- Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 97
Оценим теперь сверху величину 1п||Хл(в/+1,&/)|| в случае т\ —
= то + 1- На основании равенств (4.38) и (4.42) и аналогично оценке
(4.43) имеем неравенства
fc(m0)-2 fcx-2
|Лр(£т0+1,*15*то*о)1= /^, 1 Jp(*m0,fc+2, *m0fc)l + / ^ |^p(*mi,fe+2, £гтц*)1 <
fc=*o fc=0
< "tt^zi1^0 + α7Γ-τ\*™^ < <θ™° ~ W+1> ρ=1-2'
в которых суммирование ведется по соответствующим четным
значениям к. Используя эти неравенства, из (4.41) в случае га ι = ran + 1
получаем оценку
1п\\ХА{0+\0)\\ ^ ЩОпьМ ~ Ц**1' ' ^ '(*)■ (4-45)
являющуюся окончательной и в случае гп\ = то (см. (4.44)). При этом
для последовательности {гап(0,1)} выполнены свойства
rao(0,Z-lKrao(0,/), ^^;
гао(0,/) -* +оо, 0mo(0,i) -> 1 при ί -> +оо. (4.46)
Оценка снизу V(j4) ^ 0 для старшего экспоненциального
показателя системы (1д) сразу следует из неравенств (4.39). Для его оценки
сверху введем в рассмотрение число р(к) = [fc/2]. Тогда в силу
неравенств (4.45) и свойств (4.46) последовательности {то(0,/)} получаем
необходимые оценки
О ^ V(A) ^ Km lim erk
0-tl+O fc-юо
оВр{к^За(вто{еМк))-1) £ &
l=p(*)+l
^ lim lim
0-И+О fc-юо
θ — 1
= lim 0 = 0. (4.47)
Вычислим теперь и младший экспоненциальный показатель Δ(Α)
диагональной системы (1а)· Так как для ее коэффициентов a\(t) и аг(£)
выполнены равенства —Jp(t,r) = Jz-p{t^r), t ^ τ, ρ = 1,2, то,
очевидно, справедливо также и тождество ||Хд(£,т)|| = ||-X'J1(i,T)||,
t > г ^ 1. Поэтому по определению показателя Δ (Л) на основании
оценок (4.39) и (4.45) и соотношений (4.46) имеем аналогичные (4.47)

98
§ 4- Метод поворотов Миллионщикова
неравенства 0 ^ — Δ(Α) ^ 0, т.е. равенство Δ(Α) = 0. Тем самым
необходимая система (1д) с нулевыми экспоненциальными
показателями построена.
Построим теперь на полуоси t ^ 0 методом поворотов В. М.
Миллионщикова (см. п. 4.1) такое кусочно-непрерывное возмущение Q(t) с
нормой (4.34), исчезающее на бесконечности и суммируемое на этой
полуоси с любым степенным весом, чтобы возмущенная система (1a+q)
имела характеристические показатели \i(A + Q) = — а и \2(A + Q) =
= о, а тем самым и экспоненциальные показатели А(А + Q) ^ — а и
V(A + Q)>a.
Зафиксируем число η Ε (0,1/2) и образуем отрезки Vmk — it'mk^mk]
с левым концом t'mk = £ш* — η, к = 0,l,...,fc(m), πι Ε N. В силу
неравенств (4.36т) справедливы включения
VmO С [£т-1,*(т-1)-Ь*то]> ^П Ε Ν;
Vmk С [tm,fc-l, *m*], fe = 1, - - -, fc(m), Ш G Ν,
т.е. эти отрезки не пересекаются.
Будем одновременно строить как саму возмущенную систему (1д+д)
с допустимым возмущением ζ), так и ее решение !!(£), реализующее
младший показатель Xx(A+Q). Положим Q(t) = 0 при t Ε [tooita—η)
с некоторым достаточно большим числом Ι Ε Ν, выбор которого будет
уточнен ниже. Начальное значение решения Y\(t) в момент t = t/o
возьмем равным вектору Υί(£/ο) = (cosai(i/o)5sinai(^o))||il(^o)|| с
некоторым фиксированным значением ||11(£/о)|| и таким углом
oti(tio) Ε (Ο,π/2), что решение x\(t) системы (1а) с начальным
вектором xi(t(o) = Y\(tio) в конечный момент t = 1ц составляет с
положительной полуосью Ох2 угол Pi(tn) с тангенсом
*gA(tn) = e-^. (4.48)
Из последнего равенства можно получить значение угла а\(1ю):
tg αϊ (ί/ο) = ехр[\Да - 2α(ίη - ί/0)] < exp[-a(ia - ί/ο)] (4.49ι)
при выполнении условия
ΘΌ(2 + I)2 · 21"' < min{l,a2}. (4.50i)
Из равенств (4.48), (4.49ι) и условия (4.50ι) получаем для tE[£/o,tfi]
оценки
||*i(t)|| = ||Ха(М/о)И(*/о)|| < жц(*) + «i2(t) < е-°('-"°>х

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 99
Х{1 + eVtTx _ 2a(tn - ί)]}||ΪΊ(ί10)ΙΙ < to^-^'-'^WYiMW. (4.51)
Рассмотрим теперь второе решение X2(t) системы (1а) с
начальным вектором x2(tio) = y2(i/o) = (cosa2(i/o),sina2(iio))ll^2(i/o)ll и
некоторой фиксированной начальной нормой ||12(£/о)|| (например,
равной ||>!(£/о)||)5 где угол a2(tio) e (Ο,π/2) имеет тангенс
e^Uga2(<i0) <E (r~\r) (4.492)
с некоторой постоянной г 6 (1,2).
Это решение в момент t = tn при
/ > 4, л/4г-2 - 1 > ехр(1 - I) (4.502)
имеет норму
1М«и)Н > еа«"-1^\\¥22(и0)\\ > 2-1в-^^+«(*'«-*«»)|Щ(*Ю)||, (4.52)
так как cosa2(£/o) > г/2 при таком /, и составляет с положительной
полуосью Ох2 угол /32(<а)> значение которого определяется
тангенсом
tg /?2 (*п) = exp[-2o(tn -*/o)] ctg α2 (ίί0) < г ехр[у^ю-2α(^ι -ίί0)]. (4.53)
Поэтому и в силу (4.36/) и (4.48) угол βι(ίη) — /32(ία) между
векторами #ι(£/ι) и ж2(£а) имеет тангенс
.-* > «*<« - «*.)] > ^;-^:;:а >
> e-v^riz2i > г-1е-чД7Г (4.54)
при натуральном /, выбранном удовлетворяющим условию
7ϊ ξ г expi-o/-1 ■ 2*"1) < (г - 1)/(г + 1), ί ^ 2. (4.503)
Оценим теперь тангенс угла
α2(ίιι) ξξ ft (ta) - A(tn) + αϊ (tn), (4.55)
в котором углы P\(ttll) и /Зг(<и) определены соответственно
равенствами (4.48) и (4.53), а угол αχ (ία) — аналогичным (4.49ι)
равенством (справедливым для него также аналогичным неравенством)
tgai (ία) = ехр[л/5г - Щ^2 - ία)] < exp[-a(ii2 - tn)] (4.56i)

100
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
с удовлетворяющим условиям (4.50ι) и (4.50г) числом / £ N. Из
неравенств (4.54) и (4.56ι) для числа /, удовлетворяющего условиям
(4.501)-(4.50з), получаем необходимые для угла α2(1ιι) оценки
. ρ — y/ίϊΐ ι ρ — β(*Ι2~ U\)
r-*e-^ < Wl№l) - Afoi)] < tga2(tn) < χ _ 6_^„fl(„2_tfl) <
< е~"/^}зу < re~^> 6< = ехр[^ - a(tl2 - ίη)]. (4.562)
Продолжим построение необходимой возмущенной системы (1 л+q).
На промежутке [ίπ- ^,ί/ι) исходную систему (1д) подвергнем
преобразованию поворота
у=unit*=(cosa,\(iJ ~shian(fl V,
α,ι(ί) = (ί - in +ϊ?)7?"1["ι(*η) +0ι(«и)]· (4.57)
В силу равенства (4.48), неравенства (4.49) и условия (4.50ι) для угла
otn(t) справедливы оценки
«п (<), ϊ?«ίι («) ^ 2е~у/^ < 2е"^, ί е [<ц -»?, ία).
Поэтому, согласно методу поворотов, для возмущения
Q^UnAUrS+UnU^-A
системы (1a+q), полученной преобразованием (4.57) из системы (1д)
на промежутке [tn — η, tn), имеет место допустимая оценка
\\Q(t)\\ ^ const χ е~Л t Ε [tn - η,Ιη).
При этом решения Yi(t) = Un(t)xi(t), i = 1,2, системы (1a+q) на
промежутке [tn—η,1ц) имеют нормы ||Ή(£)|| = ||£i(£)|| и в конечный
момент t = ί/ι принадлежат второй четверти {χ Ε R2 : Χι ζΟ,χ2^ 0}
и составляют с положительной полуосью Ох2 определенные
равенствами (4.56ι) и (4.55) соответственно углы cti(tn) и а2(1ц).
Равенство (4.56ι) и итоговое неравенство (4.56г) для этих >тлов и
промежуток [in 3*12) совершенно аналогичны (относительно замены моментов
Ui и ti2 соответственно моментами £/0 и Ui, для которых к тому же

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 101
выполнено равенство tn/tio = </2/£/ι = #/) равенству (4.49ι) и
неравенству (4.492) для углов αι(ί/ο) и а2(£/о) и промежутку [t(o,tn).
Учитывая также то, что значения функций а2(£) = — а и αι(ί) =
= а на промежутке [£ц, £/2) совпадают соответственно со значениями
функций ai(t) = — α и α2(£) =α на промежутке [£/ο,£/ι), поведение
решений Fi(£) и К2(£) системы (1a+q) с возмущением
от _ ί 0, iG [</ι,ίί2-τ?),
VW \ t/eWAW^iO + ^(Ol^'W - A(t), t e [tl2 - ι,,t0)
и рост их норм на промежутке [*д, £/2] совершенно аналогичны
поведению и росту этих решений на промежутке [i|o,ui]. Поэтому для этих
решений с учетом неравенств (4.51) и (4.52) и аналогичных им,
полученных на промежутке [£/ι,£/2], и равенств ||Ή(£)|| = ΙΙΛί(*)ΙΙι
справедливых теперь уже на всем промежутке [£/о, £/2), вьшолнены при к = 2
оценки
к
к
||yi(t)K 2*||^(^)|| еч>
1|У2(*|011>2-*||У2(*|0)||ехр
^2VU~i^Vi-a(t-tio)
Li=l
г к-1
-к\
t e [titt-iiUk)i
fc = l,*(i). (4.58,*)
—2^л/57+o(t/jb-^/o)
Осуществляя эти построения на всяком последующем
промежутке [£/,*-1,£/*) с номерами к = 3,...,fc(f), определим на промежутке
[t/o, £/+ι ,ο) удовлетворяющее условию
\\Q(t)\\ ζ CQe~^\ Cq = const > 0, ί Ε [tio,ti+i,o), (4.59/)
допустимое возмущенное Q и линейно независимые решения Y\(t)
и У2(£) возмущенной системы (Ι^+q) с нормами (4.58/*) для всех
fc = 1,.. .,fc(f). При этом можно считать выполненными неравенство
^ι(*ι+ι,ο) > 0 и, без нарушения общности, равенство
tg<{Yi(ti+ii0),Oxi} = exp^ft+i,! - 2o(ti+ifi - ti+ι,ο)] (4.60г)
для угла между вектором Yi(£/+i,o) и положительным направлением
оси Ох\.
Оценим нормы ||*ι(ί)|| для t Ε [ί/ο>*Μ-ι,ο] и ΙΙ*2(*ι+ι,ο)ΙΙ этих
решений с помощью оценок (4.58/*). Из условия In0/ > 1п[1 + (1 + Z)"1],

102
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
равенства (4.41χ) и очевидного неравенства 1п(1 + / г) ^ I х1п2 для
числа А:, определяемого включением t E [fy,*-i,fy*], получим оценку
к ζ 1 + Ιη(ί/ίιο)/Ιηθι < 1 + (1 +/)(ln2)~1ln(i/*ro) <
<(1 + /)(1η2)-4ηί. (4.61,)
По определению моментов tu = 0|i|,i-i, г = 1, —, Ατ(Ζ), имеем
неравенство
к оо
Σν^<Λ/^ΣθΓ*/2<2(1 + /)6οΛ/^, *=1,... ,*(!). (4-62,)
г=0 k=0
С помощью условия (4.35) оценим также число 1 + / через величину
In tio:
tio = efff Vi* = too Π«ί(0 > Π2l+i = 2ί(Ζ+1)/2 (4ί2) ^ (4-63)
i=0 i=0
из этих неравенств следует оценка
1 + /<1ηίζο. (4.63,)
Применим неравенства (4.61f)-(4.63j) к оценкам (4.58^). В итоге
получим оценки
Pi(t)ll ^ ΡΊ(*ιο)ΙΙ exp[ln21 + Моу/Щ\ГгШ +Vt-a{t- tl0)] ζl
(4·500 о г-
<С ||Υι(^ο)||βχρ[4β2Λ/ί1η<-α(ί-ίίο)], t E [ίιο,ίι+ι,ο]. (4.64f)
Для второго решения Ϊ2(ί) в момент £ = £j+i,o на основании тех же
неравенств (4.61j)-(4.63j) справедлива оценка
\\Y2{tl+1#)\\>\\Y2{tio)\\e^^^ (4.65i+i)
Замечание 4.1. Из приведенных рассуждений следует, что
оценки (4.64;) и (4.65ι_|_ι) справедливы при всяком достаточно большом
fy+ι,ο = ίιοθι , т.е. при всяком достаточно большом к(1) Ε Ν,
кратном четырем.

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 103
На основании замечания 4.1 для элемента ει+\ > 0 некоторой
заданной числовой последовательности {ε*} ^ 0 при фиксированном £/о
найдется столь большое к(1), а тем самым и столь большое it+ι,ο, что
в силу (4.65ζ) будет выполнена оценка
||Ϊ2(*ί+ι,ο)|| > ехр[(а - e,+1)ti+lf0]. (4.66f+1)
Зафиксируем это найденное число к(1) и тем самым момент £ι+ι,ο·
Построенное на промежутке [ϋο,ίι+ι,ο] решение 1г(*) для
последующего единообразного изложения обозначим через У2(0(0.
На промежутках [ίζ*,£|,*+ι) и [ίι+ι,*,ί|+ι,*+ι), концы которых
определяются равенствами £i,*+i = 0ί£ΐ*, * = 1,1 + 1, значения
матрицы A(t) совпадают и равны одной из четырех возможных матриц
diag[±a, ±a]. Поэтому построение на промежутке [ίζ+ι,ο, £м_2,о]
решения Yi(t) с начальным вектором 1Ί(ί|+ι,ο)ι удовлетворяющим
аналогичному (4.49ι) условию (4.60f), и системы (Ια+q) с допустимым
возмущением Q совершенно аналогично его построению на
промежутке [ti<b*i+i,o]· При этом норма этого решения удовлетворяет
первой оценке (4.58/+ι^) при к = 1,... ,к(1 + 1). По этой же причине
для решения Y^ (t) уже построенной на промежутке [ίι+ι,θι*ι+2,ο)
системы (Ια+q) с начальным вектором Υ^ (fy+ι,ο) > 0,
удовлетворяющим аналогичному (4.492) условию
eV^tg<{Y«+1)(tl+lfi),Oxi} e (r~\r),
||K,(,+1)(W)II = ||1Ί(*ι+ι,ο)||, (4.67,+1)
справедливы неравенства
НП(1+1)(*и-м)Н > 2-*||y2(,+1)(it+1>0)||x
г *_1 τ
χ ехр -5Z лА+М + a(*H-i,fc -*i+i,o)L k= l,--.,fc(i + l),
аналогичные второй оценке (4.58j*). При этом номер к(1 + 1)
выбираем достаточно большим, о чем см. ниже.
Методом математической индукции распространим эти
построения допустимой возмущенной системы (Ια+q) и ее решения Y\{t)
на всю полуось t ^ *ю- В итоге на всяком промежутке [tmOi*m+i,o)i
т ^ Z, будут построены система (I^+q) с удовлетворяющим условию

104
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
(4.49т) возмущением Q и ее решения Yi(t) (непрерывного при всех
t ^ 1) и Y^m\t) (с начальным значением Y£m (imo),
удовлетворяющим условиям (4.67т)), для которых выполнены оценки
г m-l г k(j) -| к ч
\\Yi(t)U\\Yi(tio)\\exp\2j2 *0") + Σν^" +2^^-α(ί-ίίο) ,
ί Ε [im.fc-i^mfc], fc= l,...,fc(m), m^J, (4.68i)
r(m).
«T(W(J>
ll^(m)(imo)|| "
exp
*(m)
-fc(m) - 2J \/*m7 + Фт,*(т) - *то)
i=0
(4.68a)
С помощью неравенств (4.68i) получим более простую оценку
нормы решения Yi(t). Для этого оценим сверху каждую из сумм,
содержащихся в правой части этих неравенств. Для числа k(j) справедлива
аналогичная (4.61/) оценка
*U) = In(t*.iVtjo)/^^ j>/, (4.690
а тем самым и оценка
т—1
j=l
ΣΜΐΧ^ΐη^. те>, + 1.
(4.692)
для первой из указанных сумм. Для второй суммы с учетом
определения моментов tji, г = 0,l,...,k(j), и в силу условия во ^ 0, >
> 1 + (1 4- j)~l, j G iVo, справедливы при j ^ l неравенства
Σ Vbi = ν^Σ € < ^жЩ < эд»о-+d v/w (4.
«=o i=o v^j ~x
693)
Воспользовавшись же неравенством (4.411), из неравенств (4.69з)
получаем оценку
m-l k(j) m_l
Σ Σ >/** < 2m^o 5Ζ \Λί+ι,ο < 4m0ov& m > / + 1. (4.694)
j=J г=0 j=Z
И наконец, для последней суммы справедливо неравенство (4.62ш).

4.4. Одновременная неустойчивость экспоненциальных показателей 105
Так как т + 1 ^ ln£mo при всех т ^ I согласно неравенству
(4.63т), то на основании неравенств (4.68ι), (4.692)-(4.694) и (4.63т)
имеем оценку
11* (ОН ^ ΙΙ^ι(*ϊο)Ι|βχρ[-α(ί- ito) + 40Vtlnt]>
t e [tm,k-i, tmk]f к = 1,..., fc(m), Vm ^ /. (4.70)
При доказательстве этой оценки использованы также неравенства
(4.63) и неравенства 0О ^ 3 и £_1/21п£ < 4~2 для t ^ $ю. Заметим
также, что оценка (4.70) справедлива при всех достаточно больших
числах fc(m), кратных четырем.
Для второго решения Yjm\t) системы (1л+<э) в пока
нефиксированный момент t = im+i,o на основании оценок (4.69ι) и (4.69з) при
j = τη справедливо неравенство
ll*2m)(W,o)ll £ 1|У2{тЧ^1|ехр[-30о^*^
+ a(*m+i,o - *то)], т ^ /. (4.71)
Пусть достаточно большие кратные четырем числа fc(/),...
..., к{т — 1) определены и зафиксированы так, что для нормы
решения У2(£) построенной на промежутке [0, £то] допустимой системы
(Ια+q) с указанным начальным значением Y^ifio) выполнены
неравенства (4.66t) с номерами i = / + 1,...,т. Для определения
числа к{т) и тем самым момента £m+i,o = £mO0m с фиксированным
£то представим вектор У2(£шо) через векторы Yi(tmo) и У2* (*то):
У2(*то) = CiYi(tmQ) + С2У2( (*то) с постоянной С2 / 0 в силу
линейной независимости решений 1ϊ(ί) и 1г(*)5 * € [0, £то]. Тогда и
решение 1г(£) линейной системы (Ι^+q) имеет аналогичное
представление
ВД) - СхВД) + С2У2(ш)(0, ί 6 [*mo, Wi,o]-
Из него на основании оценок (4.70) и (4.71) в момент t = £m+i,o имеем
неравенства
||F2(im+i,o)ll Ζ ll^(m)(Wi,o)ll[|C2| - |C1|||y1(tm+i,o)||/ll^m(Wi,o)||] Ζ
^ ||y2(m)(Wi,o)||{|C2| - |С1|(||К1(*ш)||/||^2("1)(^о)||)х
χ exp[-2aim+l!o + a(t[0 + tm0) + 5θ2Λ/ίτη+ι,0Ιηίτη+1,ο]}. (4-72)

106
§ 4. Метод поворотов Миллионщикова
Очевидно, выражение в фигурной скобке при £m+i,o -> +00 и
фиксированных fyo и tmQ имеет своим пределом число |С2| > 0. Из
неравенства (4.71) имеем
Ша *m+i,oinll*2ro)(Wi,o)H ^ « > 0.
Тем самым в силу неравенств (4.72) для числа em+i > 0 найдется
столь большое £m+i,o, что будет выполнена оценка (4.66m+i).
Полученное и к тому же кратное четырем число к(т) = log0m(tm+ijo/imo)
зафиксируем.
Таким образом, построенная допустимая система (Ia+q) имеет
два решения Yi{t) и !г(*) с характеристическими показателями
λ[Υι] ^ — а < 0 в силу оценки (4.70) и λ[Υ2] ^ а > 0 в силу
неравенств (4.66т) при любом т^ 1 + 1. Отсюда следуют и неравенства
А(Л + Q) ^ —a, V(A 4- ζ?) ^ а для младшего Д(Л + Q) и старшего
V(A + Q) экспоненциальных показателей системы (Ια+q)-
Необходимые же равенства A(A+Q) = —α, V(A+Q) = а являются следствием
оценки \\A(t) + (5(011 ^ а + CQe"^ -> α при ί)0 и Μ +οο нормы
матрицы коэффициентов системы (I^+q).
Для завершения доказательства теоремы в случае η > 2, очевидно,
достаточно дополнить построенные двумерные системы (1л) и (\a+q)
линейной диагональной системой ±з = 0, ..., хп = 0. Теорема 4.4
полностью доказана.
Следствие 4.4. Экспоиеиг^иальиаде показатели системы (1а) β
общем случае неустойчивы в классах возмущений Q,
удовлетворяющих одному из условий:
1) IIQC0II ^ С<ЭехР(~<5ία), £ ^ 0, с любыми постоянными σ > 0
и aG(0,l|
2) /о+0° 11<2(г)Нг9^г < +°° с любой степенью q > 0.
Комментарий к §4. Леммы 4.1 и 4.2, теоремы 4.1 [184] и 4.2
[186] доказаны В. М. Миллионщиковым, следствие 4.3 — И. Н.
Сергеевым [232], теоремы 4.3 и 4.4 — автором в работах [88] и [114]. Метод
поворотов Миллионщикова существенно используется в последующих
§ 8-11. Библиография по применению этого метода столь обширна, что
нет возможности привести ее полностью. Начальный (и
исключительно плодотворный благодаря результатам В. М.
Миллионщикова) период освоения этого метода отражен в обзоре автора [83]. Здесь
ограничимся лишь следующими основополагающими работами [174-
177, 179, 181, 185-192] В. М. Миллионщикова.

§ 5. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ,
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ, ЦЕНТРАЛЬНЫХ
И ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Введенные в третьем параграфе младшие и старшие
экспоненциальные А(Л) ^ V(-A) автора, центральные ω(Α) ^ Q(A) Винограда
и генеральные ωο(Α) ^ fto(A) Боля показатели линейной системы
x = A(t)x, xeRn, ί^Ο, (1А)
с ограниченными (||Л(£)|| ^ а < +оо) кусочно-непрерывными на
полуоси [0, +оо) коэффициентами играют определяющую роль в оценке
(см. § 3) характеристических показателей Ляпунова
\i(A + Q)^...*:\n(A + Q)
(и равномерных Боля) возмущенных систем (I^+q) с линейными
возмущениями из различных классов и тем самым в исследовании по
линейному приближению экспоненциальной и равномерной
экспоненциальной устойчивости, а также неустойчивости нулевого решения
дифференциальной системы с возмущениями высшего порядка малости.
Поэтому возникают задачи полного описания на множестве систем
(1а) взаимного расположения показателей этих четырех видов, а
также любых трех из них.
В этом параграфе в основном для двумерных систем:
1) получим необходимые соотношения взаимного расположения
младших и старших характеристических, экспоненциальных,
центральных и генеральных показателей линейных систем (1л),
определяющие некоторую ограниченную область D в пространстве β8 восьми
параметров;
2) установим точность этой области D С i?8, т.е. докажем
утверждения о реализации в большинстве случаев точек области D
совокупностями указанных показателей систем (1л), в частности,
полностью опишем взаимное расположение младших и старших
характеристических, экспоненциальных, центральных и генеральных
показателей двумерных систем (1а) с совпадающими старшими
экспоненциальными и центральными показателями;

108 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
3) также полностью опишем взаимное расположение трех видов
показателей двумерных систем (1д): характеристических,
экспоненциальных и центральных и характеристических, экспоненциальных и
генеральных;
4) опишем и совместное расположение любых двух видов
показателей из четырех рассматриваемых, именно характеристических
показателей в сочетании с каждым из трех оставшихся видов;
5) докажем некоторые утверждения о расположении
рассматриваемых показателей n-мерных линейных систем.
5.1. Необходимые соотношения
между рассматриваемыми показателями
двумерных систем
Из определения и свойств (см. § 1, 3) характеристических Αι (Α) ^
^ А2(Л), экспоненциальных А(Л) ^ V(yl), центральных ω(Α) ^
^ Ω (Л) и генеральных ωο(Α) ^ fio(A) показателей линейных
двумерных систем (1д) следуют известные неравенства
-а ^ ω0{Α) <С ω(Α) <С Δ(Α) <С Хг (Α) <С
ζ λ2(Α) ^ V(A) ^ П(А) ^ ίϊο(Α) ζ α. (5.1)
Первым шагом в решении поставленной в настоящем параграфе
задачи является построение других отличных от (5.1) независимых
связей между этими показателями. Такие связи устанавливает следующая
(см. [101-103, 106, 111])
Теорема 5Л. Для характеристических Αι (А) и А2(А),
экспоненциальных Δ(Α) и V(A), центральных ω(Α) и Ω(Α) и
генеральных ωο(Α) и Qo(A) показателей двумерных систем (1а) выполнены
неравенства
ω0{Α) 4- Ω(Α) <; тт{А!(А) + λ2(Α), Δ(Α) + V(A)}, (5.2)
2Δ(Λ) <С ω(Α) + ЩА) (5.3)
и справедливо утверждение
А2(Л) + А2(А) =ω0{Α) + Γί(Α) =ωΌ{Α) + ΩΌ(Α) ^ Δ(Α) = \г(А). (5.4)

5.1. Необходимые соотношения между показателями двумерных систем 109
Доказательство теоремы 5-1. 1°. Доказательство
неравенства
ωο{Α) + П(А) ζ А2(Л) + λ2(Α). (5.22)
Пусть X(t) = [Xi(t),X2(t)] — нормальная по Ляпунову
упорядоченная по неубыванию характеристических показателей столбцов
Xi(t) система решений системы уравнений (1^)· Эту систему
ортогональным преобразованием Перрона у = U(t)x приведем (см.[35, с. 261,
263]) к нижне-треугольному виду
У\ = аг{г)уи у2 = a(*)yi + a2{t)y2, t ^ 0, (1T)
в котором диагональные коэффициенты имеют представление
<ц(«) = d[ln| \\X1(t)\\sm<{X1(t),X2{t)}\]/dt,
a2{t) = d[ln\\X2(t)\\]/dt. (5.5)
Как установлено в п. 3.5, экспоненциальные, центральные и
генеральные показатели системы (1т) полностью определяются ее
диагональными коэффициентами, т.е. они совпадают с одноименными
показателями системы диагонального приближения
ζ = diag[ai(*),a2(t)]z = Ad(t)z, z G Я2, t> 0, (lAd)
для треугольной системы (1т)· Из представлений (5.5) имеем
очевидное неравенство
*
Xi(A) + \2{A)> Ш \fsvAd(r)dr. (5.6)
t—H-oo t J
О
Введем теперь обозначения
r(0*) = ^min J ад(т)ат, Я(А;Г) = ^тах / aq(r)dr, keN,
г=1 μ-χ i=l iT_T
для некоторых чисел ί>1 иГ>1, а также аналогичные им г(кТ)
и R(6k). Для введенных функций г и R натурального аргумента fc,
очевидно, справедливы при к Ε Ν равенства
г(вк) + R{ek)=ispAd(r)dr, r(kT) + R{kT)=ispAd{r)dr. (5.7)

110 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
Из неравенства (5.6) и второго из равенств (5.7), а также определения
младшего особого ωο(Α) и старшего центрального П(А) показателей
имеем теперь необходимое неравенство (5.2ι):
К1
\i(A) + \2(A)> Km Шп" ±- fspAd(T)d
Т-юо t-юо kl J
> ton Um Г-^-+ ton lira ^Φ- > ω0(Λ) + (1(A).
(5.8)
2°- Доказательство неравенства ω0(Α) + Ω(Α) ^ Δ(Α) +
+V(A) основывается на использовании определения
экспоненциальных показателей, первого из равенств (5.7), свойства а2) п. 1.1 и
содержащегося в (5.8) промежуточного неравенства для следа Sp Ad
матрицы Ad\
Δ(Α) + ЩА) = lim lim 0~*r(0*) + lim Ш 0"*Я(0*) ^
0->1+О fc->oo 0->14-О*-кх>
0k t
^ lim Um <T* /Sp Ad(r)dr = Ит ί_1 / Sp A*(r)dr =
0-> 1+0 *-κχ> J t-юо J
1 0
= lim Hm — / Sp^d(r)dr ^ ы0(Л)+ Ω(Λ). (5.8Χ)
Τ—юо fc-юо Kl J
0
Заметим, что свойством α2) π. 1.1 воспользовались при вычислении
характеристического показателя решения x(t) = ехр /0 Ь(т) dr
скалярного уравнения χ = b(t)x, χ Ε Λ1, £ ^ 0, с ограниченным на полуоси
коэффициентом Ь(£) = Spy!(£).
3°. Доказательство неравенства (5.3). Оно следует из
неравенств
2Д(Л) = 2 lim Ш 0"*г(0*) ζ lim Йт 0~fc[r(0*) + Д(0*)1 =
= lim - / Sp A*(r)dr = lim Um -— / Sp АЛтЫт <ζ
о о
^ lim ES 1^2+ Вш Ш5 ^1=Ы(Л) + П(Л),

5.1. Необходимые соотношения между показателями двумерных систем 111
справедливых в силу оценки г(вк) ^ #(#*), к Ε Ν, и рассуждений,
использованных при получении неравенств (5.8) и (5.8χ).
4°. Доказательство утверждения (5.4), Одним из этапов этого
доказательства является справедливая и в n-мерном случае
следующая
Лемма 5.1. Если для любых ε > О, η > 1 и т Ε Ν
существует такая последовательность {т*} t +oo, что для матрицы Коши
Χα^,τ) п-мерной системы (1д) и некоторого числа а Ε R
выполнены неравенства
In WXaIw-*-1, τ^-ΌΙΓ1 >{μ- e)(TkV~p ~ ηη~"-1) (5.9)
при всех p = 0,l,...,m — 1 и fc Ε Ν, то младший экспоненциальный
показатель А(Л) этой системы не менее числа а.
Доказательство. Зафиксируем произвольные числа: взятое из
формулировки этой леммы ε > О и новое 7 £
(1,л/2). По ним
уточним выбор содержащихся в ее формулировке и не зависящих от ε и
не связанных друг с другом чисел η > 1 и πι Ε N. Именно, число
η > 1 выберем удовлетворяющим условиям £αη(η — 1)(η — 1)~х < ε и
η21 < 7) где I € N — произвольное фиксированное число, а
натуральное т — удовлетворяющим неравенству Ααη~πι < ε; здесь 1 < а —
постоянная, оценивающая при всех t ^ О норму матрицы системы
(1л)· При этом элементы т* = то* последовательности {т*},
существование которой для выбранных ε > О, η > 1 и πι € N
утверждает лемма, без нарушения общности можно считать настолько далеко
отстоящими от начала и друг от друга, что выполнены неравенства
тшк = 7?~тто* > το,*~ι для всех к Ε N и Too > 1. Ближайшую
не превосходящую то* точку "ут(к) обозначим tm^ky Тогда отрезку
[ti-i,fct] с концами ti = 7*ΐ-ι — 7% лежащему правее точки тшк (с
фиксированным Α: Ε ΛΓ), принадлежит не менее 2/ — 1 промежутков
[тр4-1,*,тр*] и два промежутка [ίΐ-ι,τΡ2*] и [TPlfc,*i], Pi <P2, с
длинами di и с?2, меньшими соответственно чисел (77—1)^«—ι и (1— т?-1)^.
Для отрезка [tt-i,*i] оценим снизу с помощью неравенств (5.9) и
очевидных ΙηΚΧ^ίτ,ί)!!""1 ^ -α(£ — τ), ί > τ, отдельное слагаемое
In ||Хд(£г-.1, ttJII"1» входящее в сумму для определения младшего
экспоненциального показателя Δ (Л). В результате, используя очевидное
неравенство а^ а, будем иметь оценки
1η\\ΧΑ&-ιΛ)\Γι ^ InpOite-i.r,,*)!!"1 +1п||Хл(тРь*,*01Г1 +

112 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
Р2-1
+ ]Г InWXA^p+i^Tpk)]]'1 ^ -a(di + d2) + (а - е){тР1к - т^*) ^
ρ=ρι
^(α-ε)(ίί-^-ι)-4α(7?-ΐΚ = [α-ε-4α7(7?-1)(7-1)"1](^-^ι) >
> (a - 2e)(ti - ^_0, m0(fc) + 1 ^ i ζ m(k), (5.10)
в которых mo(k) Ε N определяется неравенствами тш* < £mo(*) ^
^ 7гт*· При этом для момента imo(*) в силу выбора πι Ε Ν
выполнены неравенства
tm0(k)/tm(k) ^ 12ттк/ш = 7Vm < 2*TW < e/(2a). (5.11)
Теперь с помощью полученных неравенств (5.10) и (5.11) оценим снизу
и всю интересующую нас сумму:
^ΙηΙΙΧ^^,Τ*)!!"1 £ (a-2e)(7m(fc)-7mo(fc)) +
то(к)
+ Σ ΙηΡ^τ*-1,·/)!!-1 >[a-2e-2oiroo(fc)/<m(fc)]7m(fc)>(a-3e)7m(fc),
i=l
7€(1,л/2), fee N.
Отсюда и следует необходимое неравенство А(Л) ^ а. Лемма 5.1
доказана.
Вернемся к доказательству утверждения (5.4).
В тривиальном случае Аг(Л) — Ω (Л) это утверждение сразу
следует из равенства Χι (Α) = ωο(Α)7 полученного из условия утверждения
(5.4), и без дополнительного предположения Ω (Л) = Ωο(Α).
Поэтому рассматриваем нетривиальный случай ωο(Α) < Χι (А) ^ Аг(А) <
< П(А).
Как уже отмечалось в п. 1° доказательства этой теоремы,
экспоненциальные, центральные и особые показатели исходной системы (1д)
совпадают с одноименными показателями системы (1да),
являющейся диагональным приближением треугольной системы (1т), к которой
перроновским преобразованием приводится система (1а)- Учитывая
представления (5.5) коэффициентов системы (1л,,), можно также
заключить, что у нее и у самой системы (1д) совпадают и старшие
характеристические показатели Х2{Аа) и А2(Л), а младшие связаны
неравенством Xi{Ad) ^ Χι [А).

5.1. Необходимые соотношения между показателями двумерных систем 113
Зафиксируем произвольные числа ε > О, η Ε (1,2) и т £ N.
По определению старшего центрального показателя П(Л), равного по
условию доказываемого утверждения Ωο(Α), по этим числам можно
указать такое большое Τ Ε (2, +оо), для которого, в частности,
выполнены неравенства
ωο(Α) - ε(η - l)??"™ ^ iq{mT,mT - Τ)/Τ <C
^ Ω0(Α) + ε(η - 1)ιΓ"\ ^eJV, (5.12)
(i5(i,r) означает интеграл от функции aq(t) по отрезку [т,ф и
такую строго возрастающую последовательность {то*} натуральных
чисел, что по последовательности {трк} с элементами трк = [то*т?~р]
при всяком ρ £ {0,1,..., т} существуют пределы
L{p) = lim -J—R(mpkT)
к-too ТПрк1
и первый из них L(0) удовлетворяет неравенству
L(0) > П0{А) - ε{η - Ι)??"7". (5.130)
Докажем неравенства
L{p) > Ωο(Α) - 2ε(τ? - l)if-"\ p=l,...,m. (5.13p)
Действительно, в силу оценок (5.12) и (5.13о) имеем при достаточно
больших к неравенства
[По(А) - ε(η - 1)^ш]ггюкТ <С R(m0kT) ζ
<: R(mpkT) + [Ω0(Α) + ε{η - 1)тГт](т0* - ™ρ*)?\
из которых и следует оценка L(p) ^ fto(A) + ε(η — l)q~m(l — 27?р), а
тем самым и неравенство (5.13р).
Без нарушения общности по последовательности {тпркТ} (р
фиксировано) можно считать существующими и пределы
\рд = lim iq{mpkT70)/(mpkT), ре {0,l,...,m}, д = 1,2.
fc—>оо
Для них справедливы очевидные неравенства \pq ^ Ад(Л); докажем
следующие оценки:
\pq>\q(A)-3e{v-l)vP~~mi pe{0,l,...,m}, g = l,2. (5.14)

114 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
Действительно, если предположить, что хотя бы одно из неравенств
(5.14) при каких-то рассматриваемых значениях ρ и q не выполнено,
то при этих значениях были бы справедливы оценки
\i(A) + \2(A)-3efr-l)Tf-m^ lim -i- [ SpAd(τ)άτ =
k-юо тпрк1 J
о
1 (5-12)
= lim r[r{mpkT) + R(mpkT)] >
Л-юо ГПрк1
(5>2)и>о(Л) - ε{η - l)tf'm + Цр) 1*'>ρ)ωο(Α) + Q(A) - 3ε(η - W™,
противоречащие условию утверждения (5.4). Неравенства (5.14)
одновременно устанавливают и равенства Xq(Ad) = Ад(Л). Из этих и
очевидных \p+ijQ ^ Ад(Л) неравенств вытекает также справедливость
при достаточно больших к оценки
iq{mpkT,mp+1,kT) + [Xq(A) + ε{η - l)V"mlmjH.if*r ^
^ ig(mp*r,0) ^ [AJA) - 3ε(τ7 - l)if-m]mjAr.
Из этих неравенств, переходя от целых частей чисел к самим этим
числам, получаем неравенства
ί,ίτηο^η-Ρ,τηο^η-ν-1) ^ [ε(η - 1)2т0*тГт - 6а] +
+ [Хд(А) - 4ε](τηο*ΓιΓ* - то^тГ*"1),
справедливые, как и предыдущие, для всех достаточно больших к.
Чтобы теперь воспользоваться утверждением леммы 5.1, достаточно
в качестве последовательности {тк} взять последовательность с
элементами тк = moj+kT, где / Ε N выбрано удовлетворяющим условию
ε(η—l)2moi7?~m > 6α и таким, что все предыдущие неравенства
выполняются для к^ L Учитывая сделанное выше замечание о совпадении
экспоненциальных показателей у систем (1^) и (1ла), по лемме 5.1
имеем неравенство Δ(Α) ^ Αι (Л), которое вместе с очевидным
противоположным и устанавливает необходимое равенство Δ(Α) = Αι (А).
Утверждение (5.4), а тем самым и теорема 5.1, полностью доказаны.

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
115
Следствие 5.1. Показатели двумерной системы (1а) связаны
равенствами
Χι{Α) + А2(Л) = ω0(Α) + ЩА) = А(А) + П0(А) (5.15)
в том и только в том случае, когда совпадают младшие и
соответственно старшие характеристические и генеральные показатели.
Доказательство. Если λι(^4) = ωο(Α) и Аг(А) = Ω0(Α), то
выполнение равенств (5.15) является очевидным. Пусть теперь эти
равенства выполнены. Тогда из второго равенства (5.15) имеем в свою
очередь равенства ωο(Α) = Δ(Α) и Ω(Α) = Ωο(Α) (в силу (5.1) всегда
справедливы неравенства ωο(Α) ^ А(Л) и Ω(Α) ^ Γίο(Α); наличие в
них хотя бы одного строгого неравенства сразу привело бы к
неравенству ωο(Α) + Ω (Л) < Δ (Л) + Γίο(Α)). Применяя теперь утверждение
(5.4), получаем равенства λι(Α) = А(Л) = ωο(Α), а затем из первого
равенства (5.15) — и равенства АгСА) = Ω(Α) = Ωο(Α). Следствие 5.1
доказано.
5.2. О реализации точек построенной области
совокупностями рассматриваемых показателей
Теорема 5.1 вместе с условием (5.1) в пространстве восьми
параметров ωο, ω, Δ, λι, Аг, V, Ω и Ωο определяет некоторую
ограниченную область Ζλ Для полного описания взаимного расположения
характеристических, экспоненциальных, центральных и генеральных
показателей двумерных систем (1л) было бы достаточно для любой
точки d Ε D построить свою систему (1л) с указанными старшими
и младшими показателями, совпадающими с соответствующими
координатами этой точки d. В настоящем пункте такое описание
получено на множестве двумерных систем (1а) с совпадающими
старшими экспоненциальными V(A) и центральными Ω(Α) показателями, а
также доказаны основные утверждения по реализации показателями
двумерных систем (1а) точек d области D и без этого
предположения de = V = Ω = df. При этом некоторые из этих утверждений
сформулированы и доказаны для η-мерных систем (1л).
Справедлива следующая реализуемая на общей двумерной
системе (1л)
Лемма 5.2. Для любых удовлетворяющих условиям
Αι + λ2 > ω0 + Ω = Δ + V (5.16)

116 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
параметров ωο ^ Δ ^ λι ^ А2 < V ^ Ω существует двумерная
система (1а) с характеристическими \ι{Α) = λι и А2(Л) = А2,
экспоненциальными А(Л) = Δ и V(A) = V, центральными ω(Α) —
— ωο и Ω (Л) = Ω и особыми uq(A) = ωο и Qq(A) = Ω показателями.
Доказательство. Рассмотрим сначала исключительные случаи,
не укладывающиеся в общую схему построения системы (1л) с
необходимыми показателями. В первом случае А2 = V = Ω и, как следствие,
Δ = ωο по некоторой фиксированной последовательности {τ*} С
С (0, +оо), удовлетворяющей условию {τ^/τ^ι} |0, элементы aq(t)
строящейся в диагональном виде матрицы A(t) определим
следующими равенствами:
<h(t) = f(Q,l)wo + [l- /(9>')]Ag, gr,/ = 1,2, te[r2k+i^ur2k+l), fc^O,
в которых функция f(q,l) имеет представление f{gj) = 2ql —
— 3(g +/) +5; Qi(t) = a2(t) = ωο для t G [Ο,το). Для показателей
системы (1а) с такой матрицей коэффициентов справедливы
представления ω0(Α) = ω(Α) = Δ(Λ) = ω0, λι(Α) = λι и А2(Л) = V(A) =
= Ω(^4) = Ωο(Λ) = V. Во втором исключительном случае А2 = V < Ω
для построения необходимой системы (1л) используем две так
называемые опорные системы (об этом приеме подробнее см. [103]): только
что построенную для предыдущего случая, матрицу коэффициентов
которой будем обозначать через Ai(t), и следующую диагональную с
матрицей коэффициентов A2(t). По новой последовательности {т*},
7* = k(k — 1)/2, k G N, ее элементы ai(t) и a2(t) определим
равенствами
αι(*) + α2(ί)=ω0 + Ω, О 0; ai(t) = |"°' ' G [^'^Ч * € JV,
[Ω, fG ft,7*4.1),
в которых т*к = Tfc + λ;(Ω — Δ)/(Ω —ωο). Эта система является
правильной по Ляпунову и ее показатели есть числа ωο(Α2) = ω(Α2) = ωο,
А(А2) = Хг{А2) = Δ, А2(Л2) = ЩА2) = V, ЩА2) = Ω0(Λ2) = Ω.
Для построения по этим двум опорным системам окончательной
системы (1^) введем в рассмотрение опорную последовательность
{**} t +°° с первым основным свойством tk+i ^ £*expfc2, к £ Ν,
ее элементов. Для формулировки второго свойства введем в
рассмотрение опорные функции: ipq{t)i q G {1,2}, равную единице на
промежутках [£4*+2</-i,i4*+2g) и нулю для остальных t ^ 0; <Po(t) =

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
117
= 1—φ\ {ί)—φ2 (ί), t ^ 0. Заметим, что эти функции не являются
окончательно определенными, они зависят от последовательности {£*},
выбор которой будет уточнен ниже. Теперь последовательным
построением подчиним опорную последовательность {£*.} второму
основному свойству: ее одноименные показатели систем
χ = Aq{t)x, xeR2, t ^ 0, (5.17д)
χ = {<pq{t)Aq(t) + [1 - <pq{t)] ω0Ε}χ, xeR2, t ^ 0, (5.18ff)
совпадают между собой при q = 1,2. Это можно сделать
последовательным построением элементов {tk} в силу первого основного
свойства последовательности {£*} и ограниченности коэффициентов
систем (5.17д). Окончательной же системой, устанавливающей
справедливость утверждения леммы 5.2 в рассматриваемом случае, является
система
х = {φοψ)ω0Ε + φ^ήΑιψ) + <p2{t)A2(t)}x = A(t)x,
xeR2, t^O. (5.19)
По построению ее показатели, за исключением младшего особого,
равного ωο, равны наибольшим значениям одноименных показателей
систем (5.17д) или (5.18д), 9 = 1,2. Таким образом, система (5.19)
имеет необходимые показатели ωο(Α) = ω (Α) = ω0, Δ (Л) = Δ, \\(А) =
= λι, \2{Α) = ЩА) = V, fl(A) = Ω0(Α) = Ω.
Рассмотрим, наконец, общий случай \2 < V. Так как тогда по
условию леммы 5.2 выполнено и неравенство λι > Δ, то числа
θ4 = (λ, - Δ)/(ν - λ3-,), 0 = 0ι02, 9=1,2, (5.20)
являются конечными и все они больше 1 в силу условия (5.16).
Вводя обозначения т*. = 0* и т'к = 0ιτ*, fc ^ 0, все отрезки [г*,т£] и
[т£, Tfc+i] разобьем на максимальное число равных между собой
отрезков с наименьшими длинами 6(к) ^ к и δ'(к) ^ к соответственно.
Для определения коэффициентов aq (t) необходимой снова
диагональной системы (1д) на промежутках [г* 4- г<5,г* 4 ιδ 4- δ) введем в
рассмотрение число <5о = 5(Vfi — Δωο)/(Ω2 — Wq). Положим
, . (ω0 при t E [rfc + й, r* 4- г<5 4- <5o],
aAt) = <
[Ω при t G [rfc + г<5 + <50,7* + г<$4-<5)

118 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
для всех к, удовлетворяющих условию т'к — тк ^ fc, и всех таких г,
для которых тк + ίδ < тк. Коэффициент же аг(£) на этом промежутке
определим из равенства а\ (t) + ОгМ = ωο + Ω. На промежутках [т£ +
+г<5, т£ -h г<5'+<5') эти коэффициенты обмениваются своими значениями:
п и\ - / "о, ί е [т'к + г<5',г£ + г<5' + δ'0),
2{) ~ 1 02(«) = Ω, ί е ft + W + <%, г* + %δ' + ί'),
где 5q = 5'(\7Ω — Δα;ο)/(Ω2 — Uq), причем по-прежнему ai(t) + a,2{t) =
= uq + Ω на этих промежутках. Наконец, на начальных промежутках,
где, возможно, функции aq(t) не определены, положим их равными
ωο· Так как длины S(k) и 6'(к) промежутков постоянства функций
a\(t) и a,2(t) неограниченно возрастают при удалении их в
бесконечность, то отсюда сразу же следует, что система (1д) с так
определенной матрицей коэффициентов A(t) имеет следующие центральные и
особые показатели ωο(Α) = ω(Α) = uq и Ω(Α) = Qq(A) = Ω. При
таком определении функций aq(t) интегралы ig(£,r) от них по отрезку
[г, t] имеют представления
iq{rk + ιδ + <5, rk + ίδ) = δ[{2 - ρ)Δ' + (g - 1)V],
ίςW + ii* + «*, *ί + «') = *'[(ϊ - 1)Δ + (2 - ρ)V], ρ = 1,2, (5.21)
для всех отрезков
[г* + г<5,г* + ti + ό] С [τ*,т£ J, [τί + ίδ',т'к + г<5' + 5'] С [т£,τΛ+ι].
Тем самым для достаточно больших к Ε Ν справедливы и равенства
Ч(т'к,тк) = fefa+b^) = д t2(TJ;>Th) = ч{тк+1Ук) = у 22
т£ ~ Ъ тк+г ~т'к ' т'к - rk rk+l -т'к
С помощью этих равенств и равенств (5.20) и в силу периодичности
функций aq(t) на логарифмической оси времени для
характеристических показателей построенной системы (1д) получаем представления
л ,,ч _ ДК-т*) + У(т*+1--^) _ Δ(0ι - 1) + Vfli(fe - 1) _ .
ΜΚ-Ά) — 7Гд ϊ Аь
Tfc+l — Tfc 0102 — 1
А2(Л) = = — = λ2
Ч - Г*-1 &l&2 - 1
при тех же к.

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
119
Вычислим теперь экспоненциальные показатели системы (1д).
Зафиксируем произвольное η € N и по нему выберем η > 1
удовлетворяющим условию η4η < min{0i,02}· Осуществим разбиение
полуоси t ^ 1 точками т?ш : η™^1 < тк ζ ??mW < -·· < η™·^9*)"1 <
< тк ^ 7?m(fc). По выбору η справедливы неравенства πι'(к) - Зп ^
^ тп(к) ^ 8п/ь и поэтому наименьшее по m £ {m(fc),. . .,m'(fc) — 2}
число р(А;,?7) отрезков [τ* + ίδ,τ* + г<5 4- <5], целиком принадлежащих
одному промежутку [7?m,7?m+1] С [т*,т£], как и наименьшее по πι Ε
е{т'(/ь),...,т(/ь + 1)-2} число ρ' (Α:, η) отрезков [г'к+г6',т'к+г6' + 5'],
целиком принадлежащих одному промежутку [7?m,77m+1] С [rj[.,rfc+i],
неограниченно возрастают при fc -> оо, при этом для таких А: будет
выполнено и условие //(А:, 7?) > р(Аг,т?)- Тем самым в силу
представлений (5.21) и неравенств ωο ^ o,q(t) ^ Ω, £ > О, вьшолнены оценки
|Д-ттгв(7Г+1,7Г)/(7Г+1 -*Г)| < 2(Ω -ι*)/ρ(Μ),
|V - maxig(i7,n+1li7m)/(i7m+1 - ιΓ)| < 2(Ω - ω0)/ρ{Κη) (5.23)
для любых га Ε {ra(fc),... ,ra(fc + 1) — 2} \ {т'(&) — 1}, η > 1 и
достаточно больших fc.
Воспользовавшись теперь для оценки интегралов ^(f?™,??7™**1), в
которых m = га(А;),га'(А;), справедливыми для любых отрезка [г, £] и
числа се [ωο,Ώ] неравенствами |с — zq(t,T)/(t — т)\ ^Ω — ωο, а также
неравенствами (5.22) и (5.23), для абсолютных величин
m-l
ywK i,A,7?) = |Δ - (η™ - ι?*)"1 Σ njn»g("/+1. V)l
'=i
и ^max(m, j, V, 77) разностей между экспоненциальными показателями
и средними сумм, входящих в их определение, получим оценки:
¥>min(m,m(fc),A,!j), vWx(™,m(Ar), V,?/) < 2(Ω -ω0)/ρ(Α;,7?),
если m = m(fc) + 1,..., m'(fc) — 1;
< 2(Ω - ИзН^ЧМ) + (ι? - 1)[1 " ι?^4-111]-1} <
<$ 2(Ω - u^b^iM) + (ι? " 1)(1 " ЧГкКГ1] <

120 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
< 2(Ω - ω0)\ρ-1 (Μ) + (V- 1)(1 - I/V&2)-1].
если m = ш'(/ь),... ,m(fc 4-1) — 1; при m = m(fc + 1) — оценки
^min(m(fc + 1), m(fc), Δ, ??), ipm&x(m(k + 1), m(fc), V, η) <
< 2(Ω - wbJbT^M) + (Ч " 1)(1 " 1/VS)-1].
Взяв теперь произвольное ε > 0, по нему укажем такое А:(е) € TV,
чтобы при всех к ^ к(е) были выполнены по-предыдущему неравенства
//(/ь,?7) > p(fc,f?) > 1/е- Так как полученные выше оценки для y?min и
<^тах справедливы для всех таких А:, то из них имеем окончательные
оценки
(m,m(A;(e)),V,J7) <
< 2(Ω - ω0)[ε + (η - 1)(1 - 1/у/ЬГ1],
справедливые при всех т > т(к(е)). Поэтому и в силу произвола
е>0 для внутренних верхних пределов Δη(Α) и V,,(j4) в
определении соответственно младшего и старшего экспоненциальных
показателей справедливы неравенства
|Δ-Δ„(Λ)|, |ν-ν7?(Λ)|<2(Ω-ω0)(»?-1)(1-1/\/^Γ1, η > 1,
из которых переходом к пределу при 77 —>- 1 + 0 получаем требуемые
равенства Δ(Α) = Δ и У(Л) = V. Лемма 5.2 доказана.
Из этой леммы вытекает
Следствие 5-2. Для любых удовлетворяющих условию Αχ + Аг >
> cjq + V чисел uq ^ λι ^ Аг ^ V существует система (1а) с
характеристическими \i(A) = Ai, i = 1,2, и зкспопепг(гхальпыл*гл г/
геиеральиылси младшими и старшими Δ(Α) = и>о(А) =ц υ
старшими V(A) = Ωο(>4) = V показателями.
Оно и следующая лемма 5.3 будут использованы при описании
взаимного расположения характеристических, генеральных,
экспоненциальных и центральных показателей двумерных систем (1^) с
совпадающими двумя последними показателями.
Лемма 5-3. Для любых чисел ωο ^ Αι ^ Аг ^ V ^ Ω0, первые
четыре из которых удовлетворяют условию
Αι + Аг = с^о 4- V,
(5.24)

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
121
существует двумерная система (1д) с характеристическими
\ι(Α) = λι и \2(А) = Аг, экспоненциальными
Д(Л) = Αι + (ω0 - Αχ) sign (Ω0 - V) (5.25)
и У(Л) = V, центральными ω (А) = uq и Ω (Л) = V и особыми
и>о(А) = ωο и Qq(A) = Ωο показателями.
Доказательство. В тривиальном случае Αι = ωο (и
соответственно Аг = V) необходимой является система
χ = diag [ω0ϊ V + a(t)]x, t ^ 0,
с функцией α(£), равной Ωο на промежутках [—k + expfc2,expA:2),
k £ Ν, и равной 0 для всех остальных t ^ 0. Поэтому далее
рассматриваем нетривиальный случай ωο < Αι ^ \2 < V и два необходимых
подслучая Ωο = V и Ωο > V.
1°. Пусть Ω0 = V- По параметру во = 1+0 Ε (1,2), числу 7 =
= (V - ω0)/(ν - Αι) G (1,2] и моменту τ* = ехрА;2, к £ Ν,
рекуррентным образом определим равенствами
to = Тк, t2i-l = *2i-2 + βίο, Ϊ2ΐ — *2i-l + θ(ΐ — 1)*0
конечную последовательность (ίο, *ъ · - · 5 *2*) моментов tj = tj(k).
Непосредственными подсчетами получаем равенства
*2£+1 = (6*0 + ^7*)*0, ^2г+/ = t2i+l+l /t2i+l = 1 + Θ{Ί - 1)1/{θ10 + 07»),
/ = 0,1, г^О. (5.26)
Из этих представлений и в силу выбора числа θ для моментов т'к =
= *2fc(fc) следуют соотношения
ffcAfc+i < (1 + Щгк/тк+1 -> 0 при А: -> ос. (5.27)
Отметим также, что числа 02г+ь определяемые равенствами (5.26),
не зависят от величины начального момента ίο и для них выполнено
стремление #2ΐ+ζ -> 1 + 0 при г —> оо.
Определим теперь на полуоси t ^ 0 матрицу коэффициентов
A(t) = diag[ai(i),a2(i)] строящейся системы (1д) следующим
образом:
{ωο,
αίίΛ = ^»' *е[«м(*)>*2й-1(*)). г = 0,1,...,A:-1,
lU S" ie[i2i+1(fc),i2i+2(fc)), fceJV; ;

122 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
a2(i) = ωο + V — ai(t) на всех приведенных в (5.28) промежутках при
определении функции αι(ί); a,\(t) = a2(t) = ωο для всех остальных
Вычислим теперь все рассматриваемые показатели построенной
системы (Ια), заметив при этом, что для особых показателей
необходимые равенства ωο(Α) =ыо и Ω0(Α) = V очевидны.
Вычисление характеристических показателей. По
определению чисел ti и 7 и функции αχ(ί) имеем равенство
г
ii{t2i,0) = ή(τ£_ΐ30) + ω0(τ* - r^J + ]Γii(feb*2i-2) =
= λι*2ί + (ω0 - Ai)rfe + [ίι(τ*-ι,0) - ^т'к_х],
следствием которого в рассматриваемом случае λι > ц и в силу
неотрицательности выражения в предыдущей квадратной скобке [...]
является и неравенство
*i(«2t) ^ ii(t2U0)/t2i ^ Mhk) + I · J/fei ^
^ Mhk{k)) + 2fc(V - ω0)η-λ/η (54?) λχ при к -> ос. (5.29)
4 ν '
С(*)
Учитывая вид функции αι(£) и то, что она является
кусочно-постоянной, из (5.29) получаем первое необходимое равенство λι (А) = λ ι,
реализуемое по последовательности [т'к].
Для вычисления второго показателя Х2(А) получим соотношения,
аналогичные (5.29): во-первых, необходимую для этого оценку >c2(t\) ^
^ е(к) + (ωο + V)/2 ^ λ2 4- е(к) функции хг2(£) в
"исключительной" точке ti = ίι(Λ); во-вторых, в силу равенства £2(£2Ζ+ι,£2ί-ι) =
= λ2 (£2/4-1 ~" *2ΐ-ι)? справедливого по условию (5.24) и определению
числа 7? и кусочного постоянства функции a2(t) — оценки
*fc(t2t-i) ^ λ2 + (ω0 + V- 2A2)W*2t-i +e(*0 ^ λ2 + e(fc), г = 2,...,fc,
функции >c2(t) лишь в точках £2*-ι = ^2*-i(fc); наконец, в-третьих,
противоположную оценку *c2{t2k-\(k)) ^ λ2 4- (ω0 — Х2)/в(к — 1) -> λ2
при к —> оо. Таким образом, λ2(Α) = λ2 и этот показатель
вычисляется по последовательности [t2k-i(k)].
Вычисление экспоненциальных показателей. Покажем, что
старший экспоненциальный показатель V(A) построенной системы

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
123
(1д) не менее числа V. Зафиксируем произвольное 2/Θ < к 6 N
и по нему укажем столь большое га = тп(к) 6 N, чтобы для числа
η τ= η{1ς) = ехрга-1 были бы выполнены условия
п(1 + 1)-п(1) ^ 1 + Л, / = 0Д,...,2А;-1, (5.30)
где п(1) € N определяется включением ti(j)/to(j) 6 [ηη(ι\ηη№+1) и
не зависит от рассматриваемых j ^ Л, так как этим свойством
обладает (по построению) и отношение ti(j)/to(j). Существование такого
числа тп(к) вытекает из представления (5.26) для 02г+/ > 1*
Оценим снизу содержащиеся в определении V(A) суммы
слагаемых ^ЦХ^о^*,^*"1)!! с числами t0 = t0(j) (j ^ к) и
i = 1,..., п(2к). Пусть для некоторого / 6 {1,..., 2к — 1} момент
t\ принадлежит интервалу {τ]η(ΐ)*Όη(ΐ)+ι)ι гДе обозначено щ = Ь^щ.
Тогда для матрицы Коши системы (1д) по определению ее
коэффициентов справедлива оценка
ωο + V
Ь \\Ха{Чп(1)+1,Цп(1))\\ ^ —2—^Λ(0+ι ~ ^η(ί))· (5-31)
Множество таких индексов / обозначим через L. Очевидно, оно
принадлежит множеству {1,..., 2fc — 1} и не зависит от j ^ 5. Для всей
же интересующей нас суммы выполнены в силу условий (5.30), оценки
(5.31) и выбора числа к неравенства
п{2к)-1
£ 1прГл(*+1,!*)|| £ V£>+1 -ifc) + ^±Σγ^(ηί+1 -η{) >
t=0 igL i&L
^ V(7?n(2fe) - 4o) - (V - ω0) ]Γ(ί7ι+ι - 4ϊ) ^ Vfa^*) - m)-
OO
-(ι? - 1)(V - ω0)ηη(21ζ) £iT(1+*)s ^ V(7;n(2fc) - qo)-
-(V - ш0^п(2к)/к Ζ V(7?n(2/fc) - чо)[1 - 2(V - ωο)/*]· (5.32)
Учитывая еще и то, что α/(ί) ^ ωο для всех t ^ 0, из неравенств
(5.32) для полной суммы S(j,k) из определения показателя V(A)
имеем окончательную оценку
2=1

124 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
п(2к)
+ JT In \\ХаЫ,г^'1)\\ > -drj + V[l - 2(V - u0)lk]r^2k\
t=l
q(j, k) = mj2 + n(2fc), j ^ к,
с некоторой постоянной с\ > 0. Поэтому справедливо и неравенство
ito S(j, к)1тМЩп(2к) > V - 8{к) (5.33)
j-¥00
с величиной <5(fc) > 0, имеющей в силу равенства (5.29)
представление 6(к) = co/fc, где константа со не зависит от к. По построению
имеем также η(&) -> 1 + 0 при к -> оо. Итак, из (5.33) по
определению V(A) имеем необходимое неравенство V(A) ^ V. Оно вместе
с очевидным противоположным неравенством V(A) ^ V и
устанавливает справедливость равенства V(A) = V, одного из утверждений
леммы 5.3. Второе же утверждение Δ (Α) = λι(Α) этой леммы
относительно экспоненциальных показателей сразу вытекает из следствия
5.2; равенство (5.25) в рассматриваемом случае доказано.
Вычисление центральных показателей. Равенство Ω (А) = V
очевидно в силу доказанных выше равенств V(A) = flo(A) = V.
Представление же ω(Α) = ωο для младшего центрального показателя
следует из того, что по построению полуось t ^ 0 допускает разбиение
на неограниченно возрастающие по своим длинам при удалении в
бесконечность промежутки одновременного постоянства функций ai(t)
и а2(£) и на каждом из них по крайней мере одна из этих функций
принимает значение, равное ωο. Лемма 5.3 в случае Ωο = V доказана.
2°. Пусть теперь Ωο > V. Как и в случае равенства, в качестве
последовательностей {т*} и {*о(&)} возьмем прежние
последовательности. Для определения моментов ti(k), i = l,...,2fc, введем в
рассмотрение: функцию /(λ) = (λ—ωο)/(Ω0—λ) аргумента λ G (ωο,Ω0) и
величины θ = 1 -Ь /(V) ( > 1, так как /(V) > 0 в силу справедливого
по условию леммы включения V € (ω0,Ωο)) и Αι = (θλχ — cuo)//(V),
параметр θο € (1,6), выбор которого будет определен ниже, и
величину Л2 = [0λ2 - (0о - 1)^о - ωο]/(θ — θο). Для чисел Λα и Л2
выполнены неравенства: Λι > ωο и Λι < Ωο в силу
соответственно условий λι > ωο и λι < V; неравенство Л2 > ωο обеспечиваем
выбором θο < 1 + (λ2 — ωο)/(Ωο — V), а неравенство Л2 < Ωο
справедливо в силу условия λ2 < V. Поэтому эти числа принадлежат области
определения функции /(λ) и ее значения в точках λ = Λι,Λ2
положительны. Непосредственными подсчетами можно для суммы Λι + Л2

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
125
получить представление
Λι+Λ2 = ωϋ+Ωο-ί^-Ι^λι-^Κβ-ΐχβ-βο)]"1, θ0 G (1,0). (5.34)
Следствием этого представления является, в частности, неравенство
О < /(Л!)/(Л2) < 1 (5.35)
при всяком рассматриваемом во. Из представления (5.34) следует
также равенство
[/(Αι) + /(Л!)/(Л2)]/[1 - /(Л0/(Л2)] =
= (Αι - ω0)/(ω0 + fio - Λι - λ2) = (θ - θ0)/(θ0 - 1). (5.36)
Рекуррентным образом по начальному значению θ0 > 1 определим
числа
02k+i = 1+/(Α2-ι)№+ι-ι-1)/β2*+ι-ι, / = 0,lf...,2fc+i €JV, (5.37)
с помощью которых и получим моменты U = U(k) = 0ϊ_ι£ϊ_ι,
г = 1,. - -, 2fc. Очевидно, все эти числа больше 1. Как и в п. 1°
будем использовать обозначение r[ = £2*(fc).
к
Докажем для их произведения Щ = J~[ равенство
г'=0
оо
lim Пк = ГГ Θϊ = Поо = б. (5.38)
k-юо АХ
»=0
Из представления (5.37) молено получить равенство
П2* - П2к-2 = /(Λι)[1 + /(ЛгШДЛхШЛг)]*-1^ - 1),
последовательным применением которого в силу условия (5.35) для
бесконечного произведения Поо получаем (5.38):
Поо = 0о + (0о - 1)[/(Л!) + ДЛ2)/(Л2)]/[1 - /(Λι)/(Λ2)] (5=6) Θ.
Поэтому, в частности, выполнено и неравенство т'к < 0г*.
В приведенное в п. 1° определение функций αι(£) и а2(£)
внесем единственное изменение: число V в этом определении заменим
числом Ωο·

126 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
При вычислении старшего характеристического показателя X2(A)
необходимо прежде всего обеспечить неравенство >*2[*i(fc)] < ^2 при
достаточно больших fc. Для этого достаточно выбрать 0О € (1,6)
удовлетворяющим условию во — 1 < /(Аг), что будет обеспечивать
выполнимость и прежнего условия на выбор во* При таком во показатель
Х2(А) может быть вычислен по формуле
Х2(А) lim *2[t2k~i(k)] = [ωΌ + (ΘΌ - 1)Ω0 + (θ - 0ο)Λ2]/0 = λ2.
Аналогичным образом для младшего показателя Х\(А) построенной
системы (1л) имеем равенство
λχ(Л) = lim щ[Ы(к)] = [ωΌ + (0 - 1)Λι]/0 = Αχ.
κ—Юо
Вычисление старших экспоненциального V(A) и центрального
Ω(>1) показателей системы (1д) аналогично их вычислению в п. 1° и
для них справедливы равенства V(A) = Ω(Α) = [ω04- (б — 1)Ωο]/0 = V.
Это же справедливо и по отношению к младшему центральному
показателю ω (А), равному числу ωο.
Осуществим, наконец, вычисление младшего экспоненциального
показателя Δ (А), не имеющего аналога в вычислениях в п. 1°. Для этого
достаточно установить, что он не превосходит ωο· Возьмем
произвольное ε > 0 и по нему укажем такое к = к(е) € ЛГ, для которого
выполнено неравенство (Ω0 - ωο)(0 — Пг*) < ε. Затем для этого к укажем
такое η = η$) = ехрга"1 (с некоторым πι), что для него выполнено
условие
2*
2θ(η - 1)(Ω0 - ωο) ^ *t/*o < ε, (5.39)
ί=1
где £i = k(j), j ^ fc, здесь и ниже. Из подпункта 2 п. 1°
заимствуем построенную там конечную последовательность n(2fc),..., гг(1)
(> тг(0) = 0) натуральных чисел.
Исходя из момента to(j), j ^ fc, для чисел / € {0,1,..., 2к — 1} и
ρ € {1 4- тг(/),..., η(ί 4-1)} получим следующие оценки сверху:
Σ mmiq(tov\ torf-1) ζ u0to(ff - 1) + (η - 1)(Ω0 - ω0)*ο Σ ηη(ϊ) ζ
^ ω0*ο(ηρ - 1) + (η - 1)(Ω0 - ω0)ί0 Σ*ί/*0 ^ ε*ο + "b*ofap - 1),
ί=1

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
127
где сумма Σ п0 пустому множеству индексов считается равной 0.
Эти оценки и тот факт, что функции ai(t) и аг(0 равны ωο
при t € [0Tj — l,Tj) и не превосходят Ωο при всех t ^ 0, позволяют
получить окончательные неравенства:
т
VimniffaSf/-1) ^ 0(ί)ο - ω&)τ,-_ι + (cj0 + e)?7m,
если τη € N таково, что ητη~ρ = f0(j), ар и Ζ принимают прежние
значения;
ТП
^mini^W"1) ^ (Ω0 -ωο)^--! + (θ - П2*)т,- +
t=i 9
+ 20(77 - 1)^-] + erj + ω^η™ ^ 0(ΩΟ - ω0)τ^χ + (ω0 + Зб)т?ш,
если m таково, что 77m/rj € (Пг*,^]-
Так как ai(t) = аг(£) = ω& для £ Ε [07j,Tj+i), to последнее
неравенство, очевидно, справедливо и в случае η™ Ε [ηθη^τ^ι]. Из
этих окончательных неравенств и следует оценка Δ (Л) ^ ω0.
Противоположное же неравенство очевидно. Итак, требуемое равенство
А(А) = ω0 в случае Ω0 > V получено. Лемма 5.3 доказана.
Следующее утверждение справедливо не только для общих
двумерных, но и для общих n-мерных систем (1д).
Лемма 5.4. Для любых чисел ω ^ Δ существует n-мерная
система (1д) с псжазателллсгл характеристическими и
экспоненциальными λι(Α) = ... = λη(Λ) = Δ(Λ) = V(A) = Δ, центральными и
особыми младшими ω(Α) = ωο(Α) = ω и старшими Ω (Λ) = Ω0(Α) =
= (ηΔ-ω)/(η-1).
Доказательство. Тривиальный случай ω = Δ полностью
реализуется стационарной системой χ = diag[A,..., А]х, χ е Rn, t ^ 0,
что в дальнейшем позволяет рассматривать лишь нетривиальный
случай ω < Δ. Определим последовательности {тк} и {%} с членами
т* = expfc2, k е Ν, и η* = тт{тк +lk :lk^ тк expfc}; номер I Ε JV,
на котором реализуется этот минимум, будем обозначать через 1(к).
Для этих последовательностей выполнены свойства
к2/тк -> 0, тк/щ -> 0, Пк/тк+1 -> 0 при fc -► оо. (5.40)
Введем в рассмотрение моменты времени U = fy(fc) = г* + ifc, ί =
= 0,1,...,ί(*).

128 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
Для определения коэффициентов a,i{t) строящейся n-мерной
диагональной системы каждый промежуток [fy(fc), £m_i (fc)] разобьем на η
следующих друг за другом промежутков т\(i, fc),..., тп(1, к) одной и
той же длины 6(к,п) = к/п. На промежутке [τ*, η*] функции а*(£),
г — 1,..., тг, определим равенствами
«t(*)=S
ω, *егг(/,£), ί = ОД,... ,/(*),
ηΔ-"-ΞΩ, te [«,(*),«+.(*)) WU), fceJV' (5·41)
η
Вне этих промежутков положим a\{t) = ... = an(t) = ω. Для
интеграла iq(t,r) от функции ας(ξ) по промежутку [т,£] имеем равенства
iq(ti+1(k),ti(k)) = Δ*, / = О,/,...,/(*) - 1, к (Ξ TV, (5.42)
из которых и свойства (5.40) получаем значения показателей
Хг(А) = ... = Хп(А) = А.
Вычислим экспоненциальные показатели построенной
системы (1а)· Зафиксируем достаточно близкое к 1 число θ > 1, например,
θ Ε (1,2), и возьмем отрезок [0m,0m+1], целиком принадлежащий
отрезку [г/ь,%] при каком-то к Ε N. Такой отрезок существует в силу
справедливого при всяком к Ε N неравенства %/г* ^ expfc.
Очевидно, числа тик связаны неравенством т > к. Пусть £*(гт) и
tk(jm) ~ соответственно наименьший и наибольший моменты
времени, принадлежащие сегменту [0m,0m+1]. Тогда для функций (5.41) в
силу равенств (5.42) имеем неравенства
\iQ(tk(jm),tk(im)) ~ A(tftO'm) - tk(im))\ ^ (Δ - Cj)fc,
|i9(0m+\0m) - iq(tkUm)Mim)) - Ad(*,m)| <£ (Δ - ш)к,
где d(fc,m) — сумма длин отрезков [0"\£*(гш)] и [t*(jm)i0ra+1]f
следствием которых является оценка
КЙ^-ПЛГ'П-ДК^^, 9 = М, (5.430
для всех таких отрезков [0Ш,0Ш+1]. Аналогичные оценки
справедливы и для отрезков [%0-р~1,77*0~р] со степенями ρ = 0,l,...,p(fc),
причем p(fc) -> -hoo при к -> оо. Это позволяет воспользоваться
леммой 5.1 и получить в силу (5.43ι) первое необходимое неравенство
А(А) > Δ.

5.2. О реализации рассматриваемых показателей
129
Для интервала (0Р,0Р+1) Э % выполнены оценки
0Р+1
ί aq(r)dr ζ А(щ - θρ) + (Ω - Δ)* + ω^1 - щ) <
θρ
< Δ(0ρ+1 - θρ) + (Δ - cj)fc, (5.432)
такая же оценка выполнена и для интервала (θρ,θρ^1) Э г*. Из нераг
венств (5.43χ) и (5.43г), свойств (5.40) и представлений (5.41) следует
теперь и второе необходимое неравенство V(A) ^ Δ.
Вычислим, наконец, центральные показатели системы (1д).
Неравенства ω(Α) ^ ω и Ω(Α) ^ (ηΔ—ω)/(η—1) = Ω следуют из
представлений (5.41). Получим и противоположные им. Возьмем произвольные
числа ε > 0 и Τ > 1. Через p(k,i)T с натуральным p(fc,i)
обозначим момент времени, удовлетворяющий условию 0 ^ p(k,i)T — tk{i) <
< Г, г = 0,1, ...,/(&). В силу (5.40) для первого p(fc,0) и
последнего p(kj(k)) этих чисел выполнено свойство p(k,0)/p(kj(k)) -> 0 при
к -* со. По числам ε и Τ укажем натуральные m > 2(Δ — ω)/ε и
fc > (m + 2)T. Тогда p(fc, г) — р(к, г — 1) ^ т + 1 для всех г = 1,..., /(fc)
и для частей сумм, входящих в определение старшего и младшего
центральных показателей, выполнены по определению функций aq(t) и
выбору числа т неравенства
Σ ь \\Χλ(ιτ, it - т)ц ^ nWfc,ί +1) - P(fc, OF ~
ί>ρ(*,ι)
-2(Δ-ω)Γ> (n-e)[p(fc,i + l)-p(fc,i)]r, (5.44х)
ρ(*.*+ι)
Υ" inf In ||ХЛ(ίΤ, IT - Τ)χ\\ ζ u\p(k, i + 1) - p(fc, i)]T +
1>р(к,г)
+ 2(Δ ~ ω)Τ ^ (ω + e)[p(fc, i + 1) - p(fc, i)]T. (5.442)
Из неравенств (5.44i) в свою очередь получаем оценку
р{кЛ{к))
Σ In \\Ха№ IT - Т)\\ > wp(fc, 0)Г + (Ω - е)\р(ку /(*)) - p(fc, 0)]Γ,

130 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
которая дает первое необходимое неравенство Ω(Α) ^ Ω. Из
неравенств же (5.442) имеем оценку
ρ
Τ „ψ Ιη\\ΧΑ{ΙΤ,ΙΤ-Τ)χ\[^(ω+ε)\ρ-φ,0))Τ
для всех натуральных ρ = p(fc,0) + l,...,p(fc,i(A;)), которая
позволяет очевидным образом получить второе необходимое неравенство
ω(Α) ^ ω.
Для генеральных показателей построенной системы необходимые
равенства очевидны. Лемма 5.4 доказана.
Доказанные в этом пункте леммы вместе с теоремой 5.1
позволяют исследовать взаимное расположение рассматриваемых показателей
двумерных линейных дифференциальных систем (1д).
5.3. Описание взаимного расположения
характеристических, генеральных
и совпадающих экспоненциальных
и центральных показателей
Справедлива следующая
Теорема 5.2. Произвольные вещественные числа λ ι и λ2, Δ и
V, ω и Ω = V, ωο и Ω0 тогда и только тогда являются
соответственно младшими и старшими характеристическими,
экспоненциальными, центральными и особыми показателями некоторой
двумерной системы (1д), когда они удовлетворяют условиям
ω0 ^ ω <£ Δ ^ λι ^ λ2 ^ V = Ω ζ Ω0, (5.45ι)
ωο + V^ \λ + λ2, (5.452)
2Δ ^ ω + V, (5.453)
Δ = λι, если λι+λ2=ωο + ν и Ωο = V. (5.454)
Доказательство. Необходимость сформулированных условий
следует из теоремы 5.1 и условий (5.1).
Достаточность. Введем сначала по последовательности {tk} t
t +oo с первым основным свойством tk+i ^ expfc2, к ^ 0 (второе

5.3. Описание взаимного расположения показателей
131
будет сформулировано ниже), вспомогательные функции: y?i(£),
равную 1 на промежутках [^fe+i> £4*4-2), fc ^ 0, и равную нулю при всех
остальных t ^ 0; φ2{ί) равную 1 на промежутках [t4k-i,Uk)> к Ε N,
и равную нулю при всех остальных t ^ 0; <Po(t) = 1 — <Pi(t) — <P2{t),
t^O. Далее, матрицы A(t)> построенные в леммах 5.2 (точнее,
следствии 5.2), 5.3 и 5.4 (последняя при η = 2) по параметрам из области
(5.45ι)-(5.454), обозначим соответственно через A2(t), A3(t) и Α4(ί)·
Возьмем теперь произвольный набор параметров из области
(5.45ι)-(5.454). Пусть для них выполнен сначала
Первый случай: Αχ + Ая > и>о + V. Тогда последовательность
{tk} последовательным построением ее элементов подчиним
следующему второму основному условию: ее элементы отстоят друг от друга
настолько далеко, что системы
χ = {φι(ί)Α2(ί) + [1 - φι{ί)]ωΌΕ}χ, xeR2, t^O, (5.46i)
x = {<p2(t)A4(t) + [1 - φ2(ί)]ω0Ε}χ, xeR2, t^O, (5.462)
имеют все рассматриваемые показатели, совпадающие с
одноименными показателями соответственно систем
x = A2(t)x, xeR2, 0 0, (5.47х)
x = A4(t)x, xeR2, t^O, (5.472)
построенных, как уже отмечалось, в леммах 5.2 и 5.4. Это,
очевидно, можно сделать в силу того, что рассматриваемые матрицы A2(t),
A4(t) и ωοΕ являются диагональными и коэффициенты первых двух
матриц при всех t ^ 0 не менее числа ωο, и поэтому все показатели
систем (5.47ι) и (5.47г) не менее этого числа (см. леммы 5.2 и 5.4).
При этом в силу первого свойства последовательности {tk} все
показатели системы (5.469) определяются матрицами A2q{t), g=l,2,
заданными лишь на промежутках [£4*4-29-1 j*4H-2g)> к ^ 0.
Необходимой лее системой является система
χ = [<po{t)u0E + tpx(t)A4(t) + <p2(t)A4(t)]x =
= A(t)x, x e β2, t^ 0, (5.48)
матрица коэффициентов которой на промежутках \t4k+1, £4*4-2)1
fc^O, совпадает с матрицами коэффициентов систем (5.46χ) и (5.47ι),
равными на них матрице A2(t), а на промежутках [£4*4-3 5 £4*4-4)» к ^

132 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
^ 0, — с матрицами коэффициентов систем (5.46г) и (5.472),
равными на них матрице Aj(£). И поэтому в силу первого и второго свойств
последовательности [tk] каждый из показателей системы (5.48), за
исключением младшего особого, равного, очевидно, ωο, есть максимум
из одноименных показателей систем (5.47ι) и (5.47г). Сравнивая
показатели этих систем, доставляемые леммами 5.2 и 5.4, имеем
окончательные необходимые представления для следующих, за исключением
старшего особого, показателей построенной системы (5.48):
ω0(Α) = ω0, Δ(Α) = Δ, ω(Α) = ω, \ι(Α) = Аь
λ2(Α) = λ2> V(ii) = V, Ω(Λ) = ν. (5.49)
Остался нереализованным лишь старший особый показатель, равный
Ω0 ^ V. Чтобы реализовать и его, определение матрицы
коэффициентов A(t) системы (5.48) на промежутках [£ifc,*4fc4-fc)> к (Ξ Ν, изменим,
положив на них A(t) = Ω0£λ Такое изменение матрицы
коэффициентов никак не скажется на остальных показателях (5.49) системы (5.48)
в силу свойств к/t^k -> 0 (к + t^/tik+i ""> О при к -> оо
последовательности {£&}. Таким образом, в этом первом случае достаточность
теоремы доказана.
Второй случай: λχ + Аг = и?о + V и Ω0 = V. Для него
используем построения предыдущего первого случая, в которые
необходимо внести следующие изменения. Во-первых, при формулировании
второго основного свойства последовательности {tk} матрицу Лг(*)
в системах (5.46ι) и (5.47ι) необходимо заменить матрицей As(t),
построенной в п. 1° доказательства леммы 5.3. Затем это лее
необходимо сделать и в определении матрицы коэффициентов A(t) системы
(5.48). Во-вторых, в этом случае отпадает необходимость в
переопределении матрицы A(t) на промежутках [t^k^4k + k), к Ε N. Сравнивая
показатели систем (5.47ι) и (5.47г), доставляемые леммами 5.3 и 5.4,
и выбирая, по предыдущему, максимальный из рассматриваемых
одноименных (минимальный для младшего особого), для показателей
системы (5.48) получим окончательные необходимые представления
(5.49), дополненные равенством Ωο(Α) = V.
Третий случай: Αχ + Аг = и?о + V и Ω0 > V. Для этого
случая построения матрицы коэффициентов A(t) системы (5.48)
полностью совпадают с ее построением во втором случае, понимая при этом
подматрицей As(t) уже матрицу, построенную в п. 2° доказательства
леммы 5.3. И в этом случае показатели системы (5.48) с построенной

5.4. Описание взаимного расположения трех видов показателей 133
матрицей коэффициентов A(t) имеют представления (5.49),
дополненные равенством Ω0(Α) = Ω0 для старшего особого показателя.
Достаточность теоремы 5.2 и сама она полностью доказаны.
5.4. Описание взаимного расположения
трех видов показателей двумерных систем
С помощью доказанных теорем 5.1 и 5.2 и лемм 5.2-5.4 полностью
опишем совместное распределение трех видов показателей, указанных
выше. Такое описание для характеристических, экспоненциальных и
центральных показателей дает следующая
Теорема 5.3. Неравенства
ω(Α) ζ Δ(Λ) ^ λχ(Л) ^ λ2(Α) ^ ЩА) ζ Ω(Α), (5.50)
2Δ(Λ) ^ ω(Α) + Ω(Λ) (5.51)
и только они описывают совместное расположение
характеристических, экспоненциальных и центральных показателей двумерных
систем (1л)·
Доказательство. Необходимость. Условие (5.50) есть часть
неравенства (5.1), а условие (5.51) доказано в теореме 5.1.
Достаточность. Для произвольного набора параметров ω ^ Δ ^
^ λι ^ Аг ^ V ^ Ω (см. условие (5.50)), удовлетворяющих лишь
неравенству 2Δ ^ ω + Ω (см. условие (5.51)), построим систему (1д) с
характеристическими, экспоненциальными и центральными
показателями, реализующими известным образом эти параметры.
Пусть система
χ = At{t)x, x^R2, О 0, (5.52*)
при I = 1 есть построенная в лемме 5.4 при η = 2 и имеющая
указанные в ней показатели. Укажем такое число ω'Ό ^ ω, для которого
было бы выполнено неравенство λι + λ2 > ωό + ^* Исходя из этого
неравенства, по лемме 5.2 построим систему (5.522) с показателями
ω(Α2) = А(А2) = ωο, Xq(A2) = A„ V(A2) - Ω(Α2) = V.
Наконец, построим систему (5.523) со старшим центральным
показателем Ω(^3) = Ω и остальными указанными в теореме 5.3
показателями, меньшими, например, числа ω. Для этого возьмем произвольные

134 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
числа λ[ ^ Х2 < Ω и по ним укажем число α ^ λ^, удовлетворяющее
равенству а + Ω = λ[ + λ^. Затем введем последовательности {т*} и
{т'к} с элементами
тк = к(к - 1)/2, т'к=тк+ к(ПУ2 - αλ'Ο/ίΩ2 - α2), fc G JV.
Коэффициенты a{(t) диагональной матрицы As(t) определим
равенствами
a2{t) = а + Ω - ai(t), t > 0,
°'("=ίο \1ЬЛ)\ k*N-
[Ω, ί6[τ£,τ*+ι),
Система (5.52з) является правильной по Ляпунову и имеет
показатели: младшие
ω(Α3) = α, Δ(Α3) = λ1(Λ3) = λ'1
и старшие
λ2(4$) = ЩА3) = λ^, Q(AS) = Ω.
И чтобы она отвечала необходимым требованиям, достаточно теперь
число Х2 подчинить условию Х2 < ω.
Как и при доказательстве достаточности теоремы 5.2, введем в
рассмотрение последовательность {£*} f +oo с прежним первым
основным свойством tk+ι ^ tk expfc2, к ^ 0. По ней на полуоси t ^ 0
определим четыре вспомогательные функции <po(t),... ,ν^ί*) · функция
<Λ?(0> 9=1*2,3, равна 1 на промежутках [£б*+29-ь£б*+29)> fc ^ 0,
и равна 0 для всех остальных t ^ 0;
<А)(0 = 1 -Vi(t) - Vb(t) - V*(*), * ^ 0.
Далее последовательность {£*}, как и при доказательстве
достаточности теоремы 5.2, последовательным построением ее элементов
подчиним второму основному условию: эти элементы отстоят друг от друга
настолько далеко, что системы (5.52д) и
х = {<pq(t)Aq(t) + [1 - φς(ί)]ω0Ε}χ, xeR2, t ^ 0,
где α;ο = πιίη{α,ωό}, имеют совпадающие одноименные
рассматриваемые в теореме 5.3 показатели при всех q — 1,2,3. Необходимой же

5.4. Описание взаимного расположения трех видов показателей 135
системой, устанавливающей теперь достаточность теоремы 5.3
является система
χ =
з
φοφωοΕ + ΣννΦΜ*)
9=ι
χ = A(t)x, xeR2, t ^ 0, (5.53)
характеристические, экспоненциальные и центральные показатели
которой равны (см. доказательство достаточности теоремы 5.2)
наибольшим значениям из одноименных показателей систем (5.52ι), (5.52г) и
(5.52з). В итоге для показателей системы (5.53) имеем представления
ω(Α) = ω, Д(Л) = Δ, А, (Л) = Ag, V(i) = V, Ω(Α) = Ω,
при этом при получении последнего равенства использовано
неравенство 2Δ ^ ω + Ω. Теорема 5.3 доказана.
Полное описание характеристических, экспоненциальных и
генеральных показателей на множестве двумерных систем (1д)
устанавливает
Теорема 5.4. Условия
ωΌ(Α) <С Α(Α) ζ λι(Α) <£ λ2(Α) ζ ЩА) ζ Ω0(Α), (5.54)
ωο(Α) + V(A) ^ λι(Λ) + λ2(Α) (5.55)
и утверждение
Χι(Α) + λ2(Α) = ω0(Α) + ν(Α) = ω0(Α)+Ω0(Α) => Δ(Λ) = λ^Α) (5.56)
и только они описывают совместное расположение
характеристических, экспоненциальных и генеральных показателей систем {1а)·
Доказательство. Необходимость условий (5.54) и (5.55) и
утверждения (5.56) установлены в неравенствах (5.1) и теореме 5.1.
Достаточность. Системы, например, (5.52д), использованные при
доказательстве предыдущей теоремы 5.3 для конструирования
окончательной системы (5.53), будем называть опорными. Ограничимся
здесь лишь построением опорных систем, конструирование же по ним
окончательной необходимой системы
χ = A{t)x, χ ^ β2, t ^ 0,
аналогично предыдущему.

136 § 5. Взаимное расположение показателей линейных систем
Первый случай: λι + Аг > &о + V. В этом случае по
лемме 5.2 построим первую опорную систему, по которой в
окончательной системе будут реализованы показатели Хд(А) = \я, ш0(А) = ωο,
V(A) = V- В первом подслучае 2Δ ^ ω0+Ω0 вторую опорную систему
построим по лемме 5.4, полагая при этом ω = uq. Эта система в
окончательном наборе показателей реализует младший экспоненциальный
показатель Δ(Α) = Δ. Старший генеральный показатель Ω0(Α) = Ω0
реализуется точно так лее, как и в первом случае доказательства
теоремы 5.2. Во втором подслучае 2Δ > ωο+Ωο второй опорной системой
является система (5.523), в которой a £ (ωο,Δ] превращает
предыдущее неравенство в равенство 2Δ = α + Ωο, а числа Х[ и Х'2 равны
Δ. Эта система в итоговом наборе реализует показатели
Δ(Α) = Δ, Ω0(Α) = Ω0.
Второй случай: λι + Аг = ωο + V. В первом подслучае Ω0 — V
опорной является система, построенная в п. 1° доказательства
леммы 5.3; старший генеральный показатель Ωο(Α) = Ωο реализуется
уже использовавшимся здесь способом первого случая доказательства
теоремы 5.3. Во втором подслучае Ωο > V первой опорной
системой является система, построенная в п. 2° доказательства леммы 5.3.
Для реализации оставшегося младшего экспоненциального
показателя Δ вторую опорную систему строим по лемме 5.4, полагая при этом
ω = ω©. Эта система не изменит уже реализованного первой опорной
системой старшего экспоненциального показателя V(A) = V, так как
в рассматриваемом случае выполнено неравенство 2Δ — ωο ^ V ^ Ωο-
Теорема 5.4 доказана.
В заключение п. 5.4 в качестве следствия опишем совместное
распределение двух видов показателей из четырех рассматриваемых, а
именно характеристических показателей в сочетании с каждым из трех
оставшихся видов.
Следствие 5.3. На множестве двумерных систем (1д) неравен-
ства
1) Δ(Α) < Х1(А) < \2(А) < V(A);
2) ш(А)^Хг(А)^Х2(А)^П(А);
3) ωο(Α) < λ!(А) < Х2(А) ζ Q0(A)
и только они описывают совместное распределение соответственно
показателей: 1) характеристических и экспоненциальных; 2)
характеристических и центральных; 3) характеристических и
генеральных.

5.4. Описание взаимного расположения трех видов показателей 137
Доказательство. Необходимость следует из неравенств (5.1).
Достаточность. Не проводя самих построений системы (1д),
реализующей своими показателями произвольный набор допустимых
параметров, укажем лишь основные этапы таких построений в каждом
из трех рассматриваемых случаев. Построение лее встречающихся в
этом доказательстве конкретных опорных систем можно осуществить
изложенными выше способами.
1. Если для параметров Δ ^ λι ^ Аг ^ V выполнено
неравенство λι+λ2 ^ Δ 4- V, то первую опорную систему, реализующую
старший характеристический и экспоненциальные показатели,
строим соответствующей равенству λ^ + Аг = Δ + V с числом Х[ ^ λι,
а вторую, реализующую младший характеристический, — равенству
\г -f- \'2 — Δ + V с числом λί> ^ λ2· Если же выполнено
противоположное неравенство λι + Аг < Δ + V, то первую опорную систему,
реализующую характеристические и старший экспоненциальный
показатели, строим соответствующей равенству λι Ч-Аг = Δ' + V с числом
Δ' < Δ, а вторую, реализующую младший экспоненциальный
показатель, — в виде системы χ = diag[A, Δ]χ, χ Ε i?2.
2. Если для параметров ω ^ λι ^ λ2 ^ Ω выполнено
неравенство λι + λ2 ^ ω + Ω, то, как и в п. 1, первая опорная система будет
соответствовать равенству λ^ + λ2 = ω 4- Ω, а вторая — равенству
λι + λί> = ω + Ω0. Если же λι + λ2 < ω + Ω, то первая опорная
система соответствует равенству λι + λ2 = ωο + Ω с числом ωο < ω
и реализует характеристические и старший центральный показатели,
младший лее центральный показатель реализует вторая опорная
система χ = diag [ω, ω]χ.
3. Если для параметров ω0 ^ λχ ^ λ2 ^ Ωο выполнено
неравенство λχ + λ2 ^ ω0 + Ωο, то поступаем аналогично предыдущему. Если
же λχ + λ2 < ωο + Ω0, то опорной системой реализуем сначала
равенство λι + λ2 ■= ωο + Ωό с числом Ω'0 < Ω0, а затем реализацию
старшего генерального показателя осуществляем так же, как и в первом
случае доказательства достаточности теоремы 5.2. Следствие 5.3
доказано.
Комментарий к § 5· Относительно доказанных в этом
параграфе лемм и теорем см. также работы автора [101-103, 111]. Вопрос о
полном описании взаимного расположения характеристических,
экспоненциальных, центральных и генеральных показателей тг-мерных
линейных дифференциальных систем остается открытым. Гипотеза о
соотношениях такого описания содержится в работе автора [106].

§ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛЯПУНОВА
Этот параграф* содержит доказательство Ляпунова его лее
теоремы (известной в литературе под иным именем) о существовании
вещественного преобразования Ляпунова, переводящего вещественную
приводимую линейную дифференциальную систему в вещественную
стационарную. В нем также доказана теорема Богданова — Мазаника
о приведении линейной дифференциальной системы преобразованием
Ляпунова к треугольной системе с кусочно-постоянными
коэффициентами, принимающими лишь два значения и имеющими, в частности,
целочисленные промежутки постоянства.
Преобразованием Ляпунова [150, с. 42], как обычно, называют
линейное преобразование у = L(t)x, t ^ 0, с непрерывной кусочно-
дифференцируемой (в общем случае абсолютно непрерывной)
матрицей L, удовлетворяющей условиям
||L(t)|| + IIL"1 (t)\\ + \\L'(t)\\ ζ const < +οο, t> 0. (6.1)
Систему (1д) будем называть приводимой к системе (1в) [35,
с. 251], если существует преобразование Ляпунова у = L(t)x,
переводящее одну из них в другую. Эти системы называют также
асимптотически эквивалентными (см. Богданов Ю.С. [21, 22]). Если система
(1β) является системой с постоянными коэффициентами, то систему
(1д), следуя Ляпунову, называют приводимой [150, с. 43].
6.1. Приводимость вещественных систем
вещественными преобразованиями
Как известно [61, с. 153], постоянная матрица В с элементарными
делителями
(λ-λχ)Λι,(λ-λ2Γ2,...,(λ-λΛ)^, пг+... + пк=п,
подобна своей жордановой нормальной форме
J = diag[A!J5i + Ни..., ХкЕк + Нк] = S^BS
*По просьбе автора параграф написан профессором С. А. Мазаником.

6.1. Приводимость вещественных систем
139
с невырожденной постоянной (вообще говоря, комплексной) матрицей
S, квадратными rij x rij -матрицами
Hj =
О ... О
о ... о
О ... 1
и единичной Ej размерности rij. Поэтому система (1β) с
постоянной матрицей В стационарным ляпуновским преобразованием y = Sx
приводится к стационарной системе (lj), матрица J коэффициентов
которой не является, вообще говоря, вещественной в связи с тем, что
не все собственные числа Xj = ctj + i/3j, j = l,...,fc, матрицы В
являются вещественными. Очевидно, система (lj) преобразованием
χ = T(t)z с матрицей T(t) = diag[Ειехрτβχί,..., J5*ехрг/?*£],
являющейся ляпуновской, приводится к стационарной вещественной системе
(1/с)? где К — вещественная часть матрицы J.
Таким образом, вещественная линейная приводимая система (1д)
ляпуновским, вообще говоря, невещественным преобразованием
приводится к стационарной вещественной системе (1к)- Более того,
справедлива
Теорема 6.1 (см. Ляпунов А. М. [150, с. 71]). Для любой приводи-
мой системы (1л), в которой все коэффициенты суть вещественные
функции, преобразование в систему с постоянными вещественными
коэффициентами может быть выполнено посредством подстановки
χ = L(t)y, t ^ 0, удовлетворяющей условиям (6.1), в которой все
коэффициенты были бы также вещественными функциями.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 6.1,
сформулируем и докажем несколько вспомогательных утверждений.
Определение 6.1. Функцию f(t,x) : [0,+оо) х Rn -> R будем
называть интегралом линейной системы (1д), если она отлична от
постоянной на любой непустой подобласти из [0, +оо) χ Rn и сохраняет
постоянное значение вдоль любого решения x(t) системы (1д).
Справедлива следующая легко доказываемая
Лемма 6.1. Линейная форма
wA{t)x, wA : [0, +оо) -+ Rn, xe Rn,
является интегралом системы (1д) тогда и только тогда, когда

140
§ 6. Преобразования Ляпунова
вектор-фупкция-строка wA(t) φ 0 является решением системы
w = -wA(t), weR71, t > 0, (6.2)
называемой Ляпуновым [150, с. 43] присоединенной к системе (1д).
Лемма 6.2. Совокупность линейных форм
wf(t)x, j = l,...,n, (6.3)
представляет собой совокупность независимых интегралов системы
(1а) тогда и только тогда, когда функции wf образуют систему
линейно независимых решений присоединенной системы (6.2).
Доказательство. Независимость интегралов (6.3) равносильна
тому, что определитель, строками которого являются вектор-функции
wf(t), отличен от тождественного нуля. А это, в свою очередь,
равносильно линейной независимости функций wf(t)> поскольку, как было
показано выше, эти функции — решения присоединенной линейной
системы (6.2). Лемма 6.2 доказана.
Лемма 6.3. Система (1д) приводима к системе (1в) тогда и
только тогда, когда существует такая матрица Ляпунова L(t), что
совокупность независимых интегралов w!j*(t)y, j = 1,...,гг,
системы (1в) образует также совокупность независимых интегралов
wf(t)L~~l(t)x, j = 1,... ,гг, системы (1д).
Доказательство. Обозначим через Wb матрицу со строками wf,
j = 1,..., гг, составляющими согласно лемме 6.2 линейно независимую
систему решений системы w = — wB(t), w £ Rn, t^O.
Необходимость. Так как система (1д) приводима к системе (1в),
то существует такое удовлетворяющее условиям (6.1) преобразование
Ляпунова χ = L(t)y, что матрица B(t) имеет представление
B(t) = Ir\t)A{t)L{t) - L-\t)L{t), t > 0. (6.4)
Поэтому справедливы равенства
jt(WB{t)L-\t)) = WB{t)L'\t) - WB{t)L-l{t)L(t)L-\t) =
= -WB{t)B{t)L-x{t) - WB{t)L-\t)Ut)L-\t) (=4) -WB(t)x
х(Ь~\г)АЦ)Щ) - L-x{t)L{t))lTx(t) - WB{t)L-x{t)L{t)L-x{t) =

6.1. Приводимость вещественных систем
141
= -(WB(t)L-l(t))A(t),Vt е [0,+оо).
Это означает, что wf(t)L~1(t)x1 j = l,...,n, — совокупность
интегралов системы (1л) 5 независимость которой следует из
невырожденности матриц WB(t) и L_1(£).
Достаточность. Пусть существует такая матрица Ляпунова L(t),
что указанные в формулировке леммы 6.3 линейные формы являются
совокупностями независимых интегралов систем (1В) и (1д). Тогда
по лемме 6.2 выполнены тождества
-WB[t)L-l(t)A(t) = jt{WB{t)L-\t)) = WB[t)L-\t) - WB(t)L-\t)x
хЩ)Ь-\ь) = -^(^(ί)!"1^) - WB(t)L'1(t)L{t)L'1(t)9 Vt ^ 0,
из которых следует равенство
WB{t)(B(t)L-\t)-L-\t)A(t)^L-\t)L(t)L-1(t))=0, Vte [0,+оо),
а тем самым, в силу невырожденности матриц WB{t) и !/(£), и
равенство (6.4), означающее приводимость системы (1д) к системе (1в).
Лемма 6.3 доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Ляпунова (см. с. 139).
Доказательство теоремы 6.1. Пусть система (1д) с
вещественными коэффициентами приводима. Тогда, как это следует из
вышеизложенного, можно считать, что она приводима с помощью некоторого
преобразования Ляпунова ζ = L(t)x к системе (1χ) с вещественной
матрицей коэффициентов К = diag{lfi,..., Kk}. Диагональные
блоки Kj матрицы К имеют размерность η j и могут быть представлены
в виде
faj 0 ... 0 0
Kj=\ г Qj "■ ° ° I, о,ея.
I
0 0 ... 1 а,/
Разобьем координаты вектора ζ на группы z[J', ζ^ , ..., z\ij в
соответствие с разбиением матрицы К на блоки. Аналогичным
образом перенумеруем строки l[3\l%, ...,ίη/ матрицы L. Совокупность
линейных форм
V т! Ч + (т-1)! 2 + + Ζ™+1)* '

142
§ 6. Преобразования Ляпунова
m = 0,...,nj-1, j = l, ...,fc, (6.5)
как легко видеть, образует совокупность независимых интегралов
системы (1к)· Но тогда совокупность линейных форм
(Цг-^)(*)а: + ^(Γ-ΐ)?1'^* + *·■+ *^1 (*)я)е_в" <6·6>
будет образовывать в силу леммы 6.3 совокупность независимых
интегралов системы (1л)·
Пусть матрица преобразования имеет вид L(t) = U(t) + iV(t), где
U(t) и V(f) — вещественные матричные функции. Положим lr(t) =
= «г (*) + ivr (*)» гДе ur (*) и vr (t) — вещественные функции,
г = 1,..., nj, j = 1,..., к. Поскольку система (1к) является блоч-
но-диагональной и имеет вещественные коэффициенты, то легко
видеть, что если заменить в каждой группе интегралов (б.б) функции
Ιχ , · · ·, 1щ их вещественной или мнимой частью, то полученная
совокупность линейных форм
(Ц£г",*')(')* + {~Ζ-ιν~1%υ'){ί)χ + *" + w™^t)x)e~ait>
τη = 0,..., rij - 1, j = 1,..., fc, (6.7)
где
^)(ί)=ε^)(ί) + (1-ε>ω(ί), е,е{0,1}, г = 1,...,п,, (6.8)
будет также являться совокупностью интегралов системы (1л)·
Покажем теперь, что функции υψ (t) можно выбрать таким
образом, чтобы составленная из них матрица была невырожденной.
Рассмотрим к пар векторных функций
(1) (1) (2) (2) (*) (к)
и1 iul ι "1 j vl j · · - » "1 j v\ ·
Элементы этих функций как элементы матрицы Ляпунова L(i),
являются ограниченными на [0, +оо) функциями. С другой стороны,
составляя из них всевозможные комбинации из fc функций, включая
в каждую комбинацию ровно по одной функции из пары и± , ν[*',
найдем такую комбинацию, которая будет линейно независимой, причем
все элементы этих функций не могут одновременно быть функциями,

6.1. Приводимость вещественных систем
143
стремящимися к нулю при t -τ +оо. Действительно, определитель
матрицы L можно представить в виде суммы 2п определителей,
каждый из которых содержит ровно по одной функции из η пар функций
Разлагая каждый из этих определителей по минорам fc-ro
порядка, содержащим строки, соответствующие индексам г = 1 (при
каждом j ), получим в случае, если указанного набора из к функций
не существует, что либо det L(t) = 0, либо detL(i) —г 0 при t -τ +οο,
а это противоречит определению матрицы Ляпунова (6.1). Если в
указанный нами набор из пары UijVi вошла функция щ*', то положим
εj = 1, в противном случае, т.е. если в набор вошла функция v±\
положим Ej — 0. Тем самым определим некоторый набор функций (6.8),
причем такой, что все его функции w^ будут линейно
независимыми, и все элементы этих векторных функций не могут одновременно
стремиться к нулю при t -τ +оо.
При указанном построении функций wr (t) интегралы (6.7) будут
независимыми. Действительно, в противном случае существует такая
линейная комбинация с постоянными коэффициентами (не равными
нулю одновременно) векторных функций
(*=^«**3££>»+-··*-*.«)
е"а'
которая будет тождественно равна нулю. Эта комбинация имеет вид
суммы произведений величин tme~ait на некоторые линейные
комбинации функций Wr (t). Обозначим через α наименьшее из чисел о,,
которые соответствуют входящим в комбинацию с ненулевыми
коэффициентами рассматриваемым функциям, а через β — наибольший
показатель степеней f, соответствующих тем из этих функций, для
которых Qj = α. Для того, чтобы рассматриваемая линейная
комбинация была тождественно равна нулю, необходимо, чтобы
линейная комбинация с отличными от нуля постоянными коэффициентами
функций, умноженных на f^e~ajt, либо была бы тождественно равна
нулю, либо все элементы входящих в нее векторных функций
стремились бы к нулю при t -τ +οο. Однако ни то, ни другое невозможно,
поскольку рассматриваемые линейные комбинации, как это следует из
(6.7), необходимо являются линейными комбинациями с постоянными
коэффициентами функций w[3'(t).
Таким образом, построенная совокупность интегралов (6.7)
является независимой. Кроме того, матрица W(t), составленная из ука-

144
§ 6. Преобразования Ляпунова
занных векторных функций Wr (*), будет матрицей Ляпунова.
Действительно, по построению все элементы этой матрицы — функции,
ограниченные на [0, +оо). Кроме того, в силу леммы 6.2 и
формулы Остроградского — Лиувилля, определители матриц
коэффициентов линейных форм (б.б) и (6.7) удовлетворяют соответственно
равенствам
t
(|sp(-A(r))dr),
det Ζ*(t)L{t) = detZ*(s)L(s)exp / Sp(-A(r)) dr
t
detZ*(t)W(t) = detZ*(s)W(s)exp ( /sP(-A(r)) dr\ s,f€[0,+oo),
S
где Z*(t) — фундаментальная матрица решений системы,
присоединенной к системе (1к)\ Поэтому невырожденный определитель
матрицы W(i) отличается от определителя матрицы Ляпунова только
отличным от нуля постоянным множителем и, следовательно,
удовлетворяет условию (6.1). Ограниченность матрицы W(t) следует из
ограниченности элементов матриц W(t), А, К и соотношения вида (6.4).
Таким образом, построенная матрица W действительно является
матрицей Ляпунова, причем все ее элементы являются вещественными
функциями, что в силу леммы 6.3 и доказывает требуемое
утверждение.
6.2. Приведение линейных систем к системам
с кусочно-постоянными коэффициентами
Покажем, что любая система
χ = A(t)x, xeRn, tel = [ίο, +οο), (6.9)
с помощью преобразования Ляпунова
χ = L(t)y, t в J, (6.10)
sup||L(t)|| < +оо, suplllr^tJH < +oo, sup||L(t)|| < +oo. (6.11)
tei tei tei
может быть приведена к кусочно-постоянной системе
y = B(t)y, yeRn, tei, (6.12)

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 145
со специальной последовательностью точек разрыва ее
коэффициентов.
Обозначим через За множество кусочно-непрерывных
ограниченных на J функций / таких, что sup|/(f)| ^ α, а через €αι — МН(>
tei
жество кусочно-постоянных функций, принимающих только два
значения α и —а и терпящих разрывы разве лишь в точках
последовательности (*о + Ы), к G N0 = N U {0}; Cai{T) — сужение функций
из €а1 на промежуток Τ С I. Предварительно докажем несколько
вспомогательных утверждений.
Лемма 6-4. Для любых действительных чисел а > 0, I G
G [0, (4а)_1 In 2] имеют место неравенства
al <ζ 0,5(е2Ы - 1) <£ 1 - e~2al - 0,25α/ ^ 2al. (6.13)
Доказательство. Обозначим
ί0 = (4α)"1 In 2.
Последовательно докажем каждое из неравенств (6.13).
а) Пусть /ι(/) = 0,5(β2βί - 1) - α/. Поскольку f[(l) = ae2al - α ^ 0
при всех I G [0,/о] и /ι(0) = 0, то fi(l) ^ 0 при всех I G [0,ίο]» что и
требовалось доказать.
б) Пусть /2(/) = l-e-2a/-0,25af-0,5(e2a/-l). Поскольку /£(/) =
= — 4a2e~2a/ — 2a2e2a* < 0 при всех Ζ G [0,ίο]> то функция /г выпукла
на [Ο,ϊοΐ, итак как /2(0) = 0, /2(/0) = 1,5-л/5-(16)"1 In 2 > 0,04 > 0,
то /2(/) ^ 0 при всех I G [0,1о]·
в) Пусть /3(0 = 2αί - (1 - е~2Ы - 0,25αί). Поскольку /^(/) = 2а -
-2ае"2а/ + 0,25а > 0 при всех I G [0,/0] и /3(0) = 0, то /ι(ϊ) ^ 0 при
всех I G [Ο,Ζο]·
Неравенства (6.13) доказаны.
Лемма 6.5. Для любых чисел а > 0, I > 0, /3 G [0,2a], tk =
= to + kl, к G iV0, w любой функции f G За существует такая
функция g G £aj([*b+oo))j 'что неравенства
t
{β - 2a)l ^ f{f{u) - e(ti)) du ^ j8i (6.14)
tk
выполняются для любого t^tk·

146
§ 6. Преобразования Ляпунова
Доказательство. Требуемую функцию д построим
последовательно на промежутках длины I. Для t G [ί*,ί*+ι) положим
9(t) = <
ffc+1
α, если (β — α)/ ^ / f(u) du ^ α/,
tfc+i
—α, если —al^ J f(u) du < (β — α)/.
tjt
Очевидно, что для tu+ι неравенства (6.14) будут выполнены.
Индукцией по η покажем, что (6.14) выполнены для любого ί*+η, η G
G N0. Действительно, если на [**,£*+т) уже построена такая
функция д, что (6.14) выполнены для всех t = ί*+η> η = 0,... ,m, то на
[*M-m,**+nH-l) ПОЛОЖИМ
</(*)=<
tfc+n
tfc+m + 1
α, если (/3 — а)1 ^ / (/(w) — </(«)) d« + / /(w) du ^
tfc tfc+m
< (β + a)l,
tfc+m tfc+m + 1
—а, если (/3 - 3α)ί ^ / (/(«) — #(«)) du + / /(u) du <
< (/? - a)i.
Легко видеть, что неравенства (6.14) будут выполнены для t =
= tk+m+ii а, следовательно, и для всех t = f*+n, n € No.
Выполнение неравенств (6.14) для любого t G [tfc+nj*fc+n+i)> n €
G 7V0, следует из монотонности по t на этом промежутке интеграла
Itk(f(u) ~~ 9{и))ащ поскольку подынтегральная функция на каждом
таком промежутке является знакопостоянной. Лемма 6.4 доказана.
Лемма 6.6. Для любых чисел а > 0, ί G (0, (4a)"1 In 2], tn =
= t0 + η/, η e Ν0, r G 7V0, 7, |7| ^ 0,5(e2a/ — 1), любой функции
f € 3a существует такая функция g G £aj([*o,*n)), что неравенство
7 + e
2aW
j{f(u)-g(u))du
^e2ar'(l-0,25ai-e-zo')
(6.15)
выполняется для любого t € [ίο>*η]·

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 147
Доказательство. При t = tn требуемое неравенство следует из
(6.13), поскольку |7| ^ 0,5(е2Ы — 1). Построение требуемой функции
на всем промежутке [ίο>*η) проводится так же как при доказательстве
предыдущей леммы 6.5, но строится она последовательно, начиная с
крайнего правого промежутка [ίη-ι>*η), полагая (при каждом т =
= П — 1, . . . , 0 ) ДЛЯ t G [tm, *m+1)
git) = {
α, если
Γη fm-fl
0 ^ je~2arl + f (/(«) - g(u)) du+ ί /(«) At <C
^l-e-2a' + 0,75a/,
-a, если -1 + e~2al - 0,75aZ < je~2arl +
tn *m+l
+ f (/(«) - g(it)) du + Ζ" /(«) u < 0.
fm + 1
Справедливость неравенства (6.15) при t = tmy m = η — 1,..., 0,
вытекает из неравенств (6.13), а его выполнение при всех t G [ίο,*η]
следует из монотонности по t на промежутках [fm,im+i) интеграла
/;m+1 (/(«) - д(и)) du. Лемма 6.6 доказана.
Лемма 6.7. Для любых чисел а > 0, ί G (0, (4a)_1 In2]. любых
функций pi,02 £ Саь / £ За5 а = 0,5а2ί, существует такая
функция j E CQ/, что функция
t t
F(t) = exp (J(gi(v)-g2(v))dv} J(f(u) -д(и))х
и
χ exp ί / (ρ2Μ - ffi (ϋ)) йг; J dw (6.16)
to
удовлетворяет неравенству
\F(t)\ ζ Gal
(6.17)
гс/ш всеж t G I.
Доказательство. Рассмотрим две произвольные функции pi, #2 €
£ £а/(Л- Заметим, что на интервалах (ί*,ί*;+ι)> f* = *о + fci, fc G

148
§ 6. Преобразования Ляпунова
£ No, разность 9i{t) — рг(*) имеет фиксированный знак. Промежутки,
содержащие только интервалы, на которых gi(t) — Q2{t) = —2а или
Si(^) ~~ 92&) = 0, назовем промежутками первого типа, а содержащие
только интервалы, на которых gi(t) —52(О = 2а — второго типа. Эти
промежутки, вообще говоря, чередуются.
Обозначим E(p;s,t) = exp(fsp(u)du), где ρ — любая
интегрируемая функция. Рассмотрим интервал (£, η), где ξ £ /, а η £ I или
η — символ +оо, η — £ ^ ί.
Будем говорить, что в точке £ выполнено
Условие А, если
/ №) - 9(и>))Е(92 - 5i;*o, «)dw = 7^(52 - 0Г,*о,£)>
to
где |7| ^ 0,5(e2ai - 1);
Условие Б, если
hf(u)-9(u>))E(g2-giit0,u)du+ / f{u)E{g2-gi]t0,u)du
to ξ
<£2α
Существование требуемой функции д докажем ее
последовательным построением на промежутках первого и второго типов по
следующей схеме:
I. В случае, если (£, η)— промежуток первого типа, а следующий
за ним промежуток (η, ζ) — второго типа, то, предполагая, что в точке
ξ выполнено условие А, строим требуемую функцию д на (£, η) так,
чтобы в точке η было выполнено условие Б.
П. В случае, если (£, η) — промежуток второго типа, а следующий
за ним промежуток (ηΧ) ~ первого типа, то, предполагая, что в точке
ξ выполнено условие Б, строим требуемую функцию д на (ξ, η) так,
чтобы в точке η было выполнено условие А.
Ш. Установим, что если точка ίο является началом промежутка
первого типа, то в ней выполнено условие А, а если точка to является
началом промежутка второго типа, то в ней выполнено условие Б.
2а I Е(д2 -gi;t0,u)du.

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 149
Таким образом, последовательно построим требуемую функцию д
на всей полуоси J так, что на левых концах всех промежутков первого
типа будет выполнено условие А, а на левых концах всех промежутков
второго типа — условие Б.
I. Обозначим £(£,η) = {О,1,..., (т?-£)/'-1}> если ξ и η (η> ξ) —
члены последовательности (f*), tk = 10 + kl, к G JV0, и δ(ξ,η) — JV0,
если η — символ +оо.
Пусть (θο,δι) является промежутком первого типа, где $о = *о +
+ noi, no G iVo, a 5i - число, и тогда s\ = ίο + τίχΐ, п\ G TV, щ > по,
либо $ι —символ +оо. Так как (θο,θι) — промежуток первого типа,
то на нем функции gi{t) и g2(t) определены таким образом, что на
каждом из интервалов (so + H,So + И + /), г ^ S(so,Si), выполнено
неравенство д2 (ί) — pi(i) ^ 0.
Предположим, что на промежутке [to,so) уже построена
требуемая функция g(t) G Са/([*о,^о)), Щ>ичем так> что в точке sq
выполняется условие А, т.е.
«о
/ (/(«) - 9Ы)Е(д2 - ^i;*o,«)du = jE(g2 - pi; *ο, *σ)- (6.18)
Тогда для t^s0 имеем
t
F(f) = уЕ(дг-g2;s0,t)+E(gx-g2;s0,t) nf(u)-g{u))E{g2-g1;s0,u)du.
so
В силу неотрицательности разности g2{t) — gi(t) на (so,si)
положительная функция Е(д2 — gi]So,t) возрастает на этом интервале.
Поэтому, применяя к интегралу во втором слагаемом теорему о среднем
[245, с. 119], получим
t
F{t) = 7#(5i " 92] *>, t) + f{f(u) - g(u)) du, (6.19)
s
где so ^ s ^ t.
Рассмотрим два возможных случая: 1) $ι = +оо; 2) S\ = ίο + nil-
1) Если si = +оо, то строим функцию д на [so,+oo) в
соответствии с леммой 6.5. Поскольку α = 0,5α2/ ^ α, то да С да и тогда

150
§ 6. Преобразования Ляпунова
при всех t ^ So, s ^ so, справедлива оценка:
t
\F{t)\ = '
t 5
С 5
7#(5ι - 52", «о, ί) + / (/(«) - 5(«)) Αι - / (/(«) - д(и)) du\
lE(9i -92;s0,t) +
/(/(«) " *(«)) А + У(/(ti) - «(«)) Αι
«0
«0
< |7| + 2al + 2al ζ 0,5(e2a/ - 1) + 4a/.
Таким образом, учитывая неравенства (6.13), получаем \F(t)\ ^ 6al
для всех t^ so. Следовательно, в этом случае требуемая функция д
будет построена на всем /.
2) Пусть s\ = ίο + τΐχΐ и (si,s2) является промежутком второго
типа, где s2 — число, и тогда $2 = *о + п21, Пг > ηι, либо $2 —
символ +оо. Так как (зь^г) — промежуток второго типа, то на нем
92(t) -9i(t) =-2а.
Обозначим
I°{si,s2) = I {f (и) - д(и))Е(д2 - gi]t0,u)du +
to
«2
+ / f(u)E(g2 - gi;t0,u) du.
(6.20)
Sl
Пусть г — число промежутков длины ί из [θο,θι), на которых
52(0 — 9\{t) = 2а. Тогда справедливы равенства
si+m/+Z
Im{si) = I Е{д2 - gi;t0,u) du = Е(д2 -gi;to,Si)x
si+ml
si+ml+l
si+m/+i
χ J E(g2-g1;s1,u)du = E(g2-9i;to,s1) ί e~2<u-s^du =
(6-21)
s\+rnl
s\+ml
= ^E(g2-g1;t0,s1)e-2aml(l - e~2al).

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 151
Построим требуемую функцию д на (soi^i) так> чтобы в точке si
было выполнено условие Б, т.е.
ΐΛ*ι,*2)|^2α/0(βι). (6.22)
По предположению ддя уже построенной на [ίο, so) Функции g
выполнено условие (6.18), поэтому (как бы ни была определена функция
g € Cai на [δ0,θι)) имеем
so
p(si) = / №) - 9(и))Е(92 - Pi; *о, и) du +
to
«1
+ / (f(u) - g(u))E(g2 - pi; f0, и) du =
so
«1
= E(g2 - 5i; ίο, s0) ( 7 + / (/(«) - g(u))E(g2 - pi; «o,«) **J -
«0
Применяя теорему о среднем [245, с. 119] (функция E(g2 — gim,so9u)
возрастает на (θο,^ι)), получим
«1
p(si) ^ Е(д2 - gi]to,s0)ly -\~ Е(д2 - guSoySx) (f(u) - g(u))duV
где s0 ^ t $: θι.
Поскольку Е(д2 — Ρι,'θο,^ι) = е2аг/, г Ε iVo, то из леммы 6.6
следует, что существует такая функция д Ε C0/([so,si)), что
)J(Hu)-g(u))du
i
В силу равенств (6.21) имеем
^E{g2-9i;so,sl)(l-e-2al-0,25al).
|p(«i)| < ^(52 - 9i;to,so)E(92 - pi;s0,si)(l - e~2al - 0,25οΖ) =
= 2a/0(si) - 0,25alE(g2 - pi; ίο, «ι)· (6.23)

152
§ 6. Преобразования Ляпунова
С другой стороны,
«2
q(si,s2) = / f(u)E(g2 - gi;t0,u)du =
«1
= Е(д2 -Ούίο,βχ) f(u)E(g2 -gi;suu)du,
и так как / Ε За, ос — 0,5α2ί, то
\q(s1,s2)\^aE(g2-g1;t0,s1)fe-2aiu-s*)du^
si
^a£;(02-5i;*o,si)-
2a
^0,25αίΕ(52-5ι;*ο,θι). (6.24)
Поскольку /°(so,Si) = p(si) + ^(^Oj^i), то из (6.23) и (6.24)
следует неравенство (6.22). Таким образом, на промежутке [θο,^ι) можно
построить такую функцию д £ Са/, что в точке S\ будет выполнено
условие Б. Кроме того, для любого t G [θο,θι] Β силу равенства (6.18)
и способа построения функции д имеем
\F(t)\
t
= Е(дг -g2]t0,t)\ {f(u)-g{u))E(g2-gi]to,u)du
'/о
= E(gi -g2\t0,t)
/ (/(«) - 9(u>))E(g2 - 5i; f0, u) du +
ίο
+ (f(u) - 9{v))E{g2 - pi; to, v) du
= E(g1-g2;t0,t)
-YE(92-9i;to,s0)+
so
+E(g2 - 9\\ to, sq) / (f(u) - g(u))E{g2 - дг; s0,u) du
so

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 153
= E(g2-gi;80,t)
Ύ + Ε{9ι — 92] so,
£
t
t£(si - 52;«о,*) + / (/(«) - g{u))du\ =
«1
7#(<7i - 92;«0,0 + (7e~2arl + /"(/(«) -g{u))du\ -
(τε-2αΓ' + ϊ(/(«) -g(u)) du)
Поэтому из неравенств (6.15) и (6.13) следует, что неравенство
l*WI ^ Ы + 2(1 - 0,25αί - e'2al) ^ 6α/
выполняется при всех t Ε [θο,^ι]·
II. Рассмотрим теперь построение требуемой функции д £ Caj на
промежутке [$ι,$2), который является промежутком второго типа.
При этом предполагаем, что в точке S\ выполнено условие Б, т.е.
имеет место неравенство (6.22). Как и ранее, считаем, что s2 — число, и
тогда $2 = *о + ^2' > *о + п\1 — si, ηχ е N0, n2 Ε N, либо s2 = +00.
Обозначим для τη Ε S(s\,s2)
Im+1(s1,s2) = r(«i,s2) - j g{u)E{g2 - 9l;t0,«)d«,
si+ml
где /°(θι,52) определено по формуле (6.20).
Если
\Im{sus2)\ ζ 2a/m(5l) Vme S(sus2),
(6.25)
то функцию д будем строить последовательно на промежутках
[si + ml,si + ml 4- ϊ)> ш € ^(^ι,^), по формулам
5(*) =
Г а,
I -о,
а, если 0 ^ /то(в1,«г) ^ 2a/m(si),
—а, если — 2a/m(si) ^ /m(si,«2) < 0.
(6.26)

154
§ 6. Преобразования Ляпунова
Так как неравенство (6.25) по предположению выполнено при т —
= О (условие Б в точке $ι), то функция д будет корректно
определена на [θι,θι + ί). Для последующего корректного построения
функции д индукцией по т докажем, что (6.25) выполнено для всех т G
G S(si,S2). Действительно, из (6.26) следует, что
81+7Ш [ а/тЫ, 0 ^ Im(s1,s2) <$ 2alrn(s1),
/ gE(g2-gi;t0,u)du= { (6.27)
s ^ l-a/m(si), -2a/m(5i)</m(si,52)<0.
Поэтому, если неравенство (6.25) выполнено для т = mo, то
[Im°+\S1,*2)\ =
si+mol+l
/mo _ f g(u)E(g2 -9l;t0,u)du
si+m0l
$<(«i). (6.28)
В силу (6.21), так как I ^ (4α) Чп2, для всех то + 1 G S(si,s2) \
\{0} имеем Jmo+i(si) = e~2a/imo(si) ^ 0,5/mo(s), откуда и следует
выполнение (6.25) при т = то + 1- Следовательно, (6.25) выполнено
для всех т G S(si7s2).
Итак, функция д корректно определяется формулами (6.26)
последовательно на всех промежутках [s\ + ml, S\ + ml + ί), τη G S(s\, s2).
При этом для любого т G S(si,s2) и всех t G [si + rai,$i + mi + I]
имеем
t
¥>(*) = / (/(«) - <K«))^(<fc - Pi; *o,«) dw =
to
= / (f(u)-g(u))E(g2-gi;t0,u)du+ {f(u)-g(u))E(g2-gi;t0,u)du =
«2 t
= Γη(βι,β2)- / /(«)£?(<&-pi; *ο,«) Αι- / g(u)E(g2 - gi;t0,u)du.
t si+ml
Оценим два последних слагаемых:
«2 «2
/ /(«)Я(02 -pr,to,w)d« ^ a / Е{д2 -gi;to,u)du $

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 155
*ζα / Е(д2- gi;t0,u)du =
si+ml
«2
= аЕ(д2 - 5ι ί *о, $ι + ml) / £*(ρ2 - pi; $ι + mi, u)du =
si+rnZ
= a^(»-$i;lb,*i+mO^(l-^
/ g(u)E(g2 - gi; f0, u) du ^ a / £*(p2 - л; to, w) du <
si+ml-H
Поэтому и в силу (6.25),(6.21) и (6.13) получим оценку
\φ(ΐ)\ ^ 3a/m(si) + ^Е(д2 - Si," *о, $ι + mi) ^
< ί |(1 - eT2fl/) + jjs(p2 - 5ι;*ο,θι + m/) <ζ
Тем самым неравенство
|F(0| = |£(pi-<fe;*o,*M*)| ^^alE{gl-g2;t0yt)E{g2-9i'M,s1^ml) =
= 4alE(gi - 9ъ\ *\ + ml, t) < 4a/e2aZ ^ 6ai
выполняется для всех ί G [si+mi,$i+mi+i), при любом m G <ί>(θι,θ2),
и, значит, при всех t G [$i,s2].
Следовательно, если s2 = +оо, то требуемая функция д будет
построена на всем /. Если же s2 = η2ί, то, в силу (6.28) и (6.21) при
т = то = max<S(si,52) имеем
«2
/ {f (у) ~ 9(μ))Ε(92 - Pi; «о,«) Αι
«2
' = |/mo+1(si,*2)K«/mo(*l) =
to

156
§ 6. Преобразования Ляпунова
= 0,5Е(д2 - ft; «6, *2 - /)(1 - е"2Ы) = 0,5Е(д2 - 9l;t0, s2)e2al(l - e~2al).
Таким образом,
/ (/(«) - 9Ы)Е(92 - 5ь*о, у) du = -уЕ(д2 - 5ь *о, s2),
to
где |7| ^ 0,5(е2а/ — 1), т.е. требуемая функция д построена на [si,s2)
так, что в точке S2 выполнено условие А.
III. Осталось проверить выполнение условий А и Б в точке ίο*
Если (ίο- ν) ~ промежуток первого типа, то очевидно выполнение
условия А в точке ίο- Если же (to, η) — промежуток второго типа,
то, так как / G 5Q, из (6.13) следуют неравенства
Ι f(u)E(g2 -9i]t0,u)du\^a Е(д2 - Д; to,«) Αι =
to to
= α(1 - β-2α^-ίο))/(2α) ^ a/(2a) = 0,25a/ ^ 1 - e~2al =
to+/
= 2a I E(g2 - pi; *o>«) du = 2a/0(fo),
*0
т.е. выполнение условия Б в точке to-
Таким образом, можем последовательно строить на / требуемую
функцию д G Cai поочередно на промежутках первого и второго
типов. Лемма 6.7 доказана.
Систему (6.9) будем называть треугольной, если элементы ее
матрицы коэффициентов А = (ay) удовлетворяют равенствам Oij(t) = 0
при всех t G / для всех г > у. Справедлива следующая
Лемма 6.8. Если Χ, Υ — нормированные в точке *о
фундаментальные матрицы треугольных систем (6.9), (6.12)
соответственно, С = diag{ci,... ,сп} — постоянная диагональная невырожден-
шя матрица, то элементы hj(t), i,j = 1,. ..,η, г"^ j, матрицы
L(t) = X(i)CY_1(i) удовлетворяют соотношениям
Ιί3(t) = аЕ(ац - Ьц; ί0, t)Fij(t), (6.29)
где
Fu{t) = l, Vtel, (6.30)

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 157
Fa+\(t) — Е{Ьц — bi+ii+i;io>*)x
t
х / ί ——a>u+\E{ai+ii+i - bi+ii+i — ац + bu]to,u) — bu+i 1 x
to
xE{bi+li+1 - Ьц\ t0, и) du, (6.31)
Fij(t) = Е(Ьц - bjjitoitfx
x/( Σ —aikE(akk - bkk - ац + Ьы; fr>, u)Fkj {u) - ^ bkjFik(u) - bjAx
xE(baj - Ьц; ίο, и) ащ j^i + 2. (6.32)
Доказательство- Легко видеть, что
L(t) = A(t)L(t) - L{t)B(t), L(t0) = С. (6.33)
Поэтому
hi(t) = (au(t) - bii(t))lii(t), lu(t0) = a,
откуда lu(t) = CiE(au(t) — bu(t);to,t). Следовательно, равенства (6.30)
выполнены. Далее имеем
з
W) = Σ(α*(*)Μ*) - ЫФкзШ ly(to) = 0, V j > г.
к—г
Полагая hj(t) = CiE(au — ba;to,t)Fij(t), получим
hj{t) = Ci(au(t) - bii{t))E(au - Ьй;*0,*)^(*) + СгЕ(ац - 6ϋ;*ο>*)Ή?(*)>
а тем самым и равенства
<Л с*
i5ij(*) = (M*)-bii(*))^ii(*)+ Σ —ал(*)^(а**-Ь«-о« + ^;*о,*)х
xi?*i(*)- Σ М*)**(')-М'). ^(«ο) = ο, vj>t.
*=i+l
Интегрируя полученную систему, последовательно находим функции
Fii_|_i,Fii+2,- ■ -,Fin, которые и удовлетворяют требуемым
соотношениям (6.31) и (6.32). Лемма 6.8 доказана.

158
§ 6. Преобразования Ляпунова
Теорема 6.2 (см. Мазаник С. А. [154]). Любая линейная система
(6.9) с кусочно-непрерывными ограниченными коэффициентами
асимптотически эквивалентна треугольной системе, ненулевые
коэффициенты которой принимают только два значения, причем
коэффициенты могут иметь разрывы разве лишь в точках
последовательности (i*), tk = to + k£, к Ε iV, где ί — некоторое положительное
действительное число.
Доказательство. В силу теоремы Перрона о триангуляции (см.,
например, [35, с. 263]) любая линейная система асимптотически
эквивалентна треугольной системе. Поэтому будем считать, что система
(6.9) треугольная, а ее коэффициенты принадлежат множеству Ja.
Рассмотрим треугольную систему (6.12), и пусть L — матрица
перехода от (6.9) к (6.12), которую можно представить в виде L(t) =
= X(i)CF_1(i), где X и Υ — нормированные в точке ίο
фундаментальные матрицы решений систем (6.9) и (6.12) соответственно, а
С = diag{ci,C2,..-,сп} — диагональная постоянная невырожденная
матрица. Тогда элементы матрицы L имеют вид (6.29), указанный
в лемме 6.8. Зафиксируем некоторое число ί, 0 < ί ^ (4α)"1 In 2, и
положим lj = μη~Π, μ = г""1, г е Ν, г ^ 50. Заметим, что при этом
CoiCCai^ C--Ciall. (6.34)
Обозначим λ = 0,5a/ie~4a' и положим с* = Аг_1с. Легко видеть, что
λ < 1 и при любом с φ 0 матрица С будет невырожденной.
В силу леммы 6.5 для любых функции ац Ε За, г = 1,... ,п,
существуют такие функции Ъц Ε Caj, что
t
(ац(и) - Ьц(и)) du
to
^2al ViG/, Vi = l,...,n, (6.35)
откуда
\lu(t)\ = \аЕ{аи - bu\ ί0, ί)| ^ ce2al V t Ε /, V г = 1,..., η. (6.36)
Поскольку функции Fii+i в (6.31) имеют вид функций F леммы
6.7 и в силу (6.36) для V г = 1,..., η — 1 справедливы неравенства
——а«г+1 E(ai+u+i — Ьг+ii+i — ац + δα]ίο,ύ)
^λαε4ο' = 0,5α2ίι,

6.2. Приведение линейных систем к кусочно-постоянным 159
то из леммы 6.7 следует существование таких функций Ьц+\ Ε С^,
что
ΙΉί+ι (*)| ^ 6αίι ViG/, V i = 1,..., η - 1. (6.37)
Индукцией по τη покажем, что при всех г = 1,..., η — 1, и всех т =
= 1,..., η — г существуют такие функции bii+m e Cajm, что
\Fii+m(t)\^6alm VteL (6.38)
Неравенство (6.38) выполнено для т = 1. Предположим, что уже
существуют такие функции Ъц+Ш Ε Caim, что неравенства (6.38)
выполнены для всех г = 1,..., η — 1, πι = 1,...,mo, г + m ^ п. Рассмотрим
функции ^гг+то+1: в силу (6.32) и (6.30) имеем равенства
|/ii+m0+l(w)l =
i+mp+l
/J —ЩкЕ(в>кк - bkk - a« + bn;io5w)^fe«-i-mo-i-i(w)-
" Σ ^*+mo+l^*(w)
Oii4-m0+l^(at+m0-f li+mo-f 1 ~~ Ui+mo+li+mo+1 — a^ + Ьц] ίο» w)+
+ 2j —ajkEjakk— bkk—aii+bii]to,u)Fki+m0+i(u) — /] bki+mo+iFik(u)
Поэтому
|/K+mo+l(tt)l ^ ^ΐΖΤαβ4α'+ Σ T7rr°e4a'6a/i+mo+l-/fe+ Σ б0*1*-*·
Поскольку λ < 1, то
г+mo i+mo
откуда
|/<i+mo+l(«)| < 2Ω2ίΐ + Σ 6aVmo+l-A+$Z 6a2ifc_i = -fl2ii + 12fl2]Tife.
k=i-t-l fc=i+l fc=l

160
§ 6. Преобразования Ляпунова
Так как h < 0,5/mo+1 и £Γ=ι h = UEbo'V" ^ UE^o^ =
= /i(l — /i)-1fm0+b то для любого г ^ 50 и всех и е I справедливо
неравенство
l/a^no+iMI ^ (4-1 + 12(г - 1)" V/mo-и ^ аПШо+1/2.
Тогда из леммы 6.8 следует существование таких функций Ьц+то+1 G
€ £oimo+i, что l^«+mo+i(*)l < ба/шо+i V t € /. Следовательно,
неравенство (6.38) выполнено при всех г = 1,...,п — 1 и всех таких ш,
что г Л-т ^ п.
Таким образом, из неравенств (6.36)-(6.38) и соотношения (6.29)
следует ограниченность на промежутке J всех элементов lij(i)
рассматриваемой матрицы L преобразования χ = L(t)y. Кроме того,
поскольку detX(t) = Ε(Σ£=1α**;*ο,0> detl4*) = ^(ΣΧ=ι bkk',t0,t),
то из неравенства (6.35) и невырожденности постоянной матрицы С
следует, что
inf |detL(f)| = inf \εΙ ^(α** " 6**);*o,*j detC
>0.
Поэтому из ограниченности матрицы L следует ограниченность ее
обратной матрицы L""1. Ограниченность производной матрицы L
следует из ограниченности матриц коэффициентов систем (6.9) и (6.12),
ограниченности матрицы L и соотношения (6.33).
Таким образом, матрица L удовлетворяет условиям (6.11) и,
следовательно, является матрицей Ляпунова; значит, системы (6.9) и (6.12)
асимптотически эквивалентны. В силу включений (6.34) можно
считать, что все построенные функции Ьу, г, j = 1,..., η, г ^ j,
принадлежат классу Сд/j. Теорема 6.2 доказана.
Комментарий к § 6. Вспомогательные леммы 6.1-6.3 и теорема
6.1 доказаны Ляпуновым [150, с. 71]. Теорема о приведении
линейной системы (1л) к системе с кусочно-постоянными коэффициентами,
принимающими лишь два значения, доказана Ю. С. Богдановым [22] и
С. А. Мазаником [153], которым доказаны также [154] леммы 6.4-6.8 и
теорема 6.2.
Исследованию приводимых по Ляпунову линейных систем
посвящена монография Н.П.Еругина [68]. О приведении линейных систем
к системам специального вида см. также работы С. А. Мазаника [137,
152, 155-163], Р.А.Прохоровой [218, 219], автора [75, 80, 82, 109] и
С. Г. Красовского [141].

§ 7. К МЕТОДУ ЗАМОРАЖИВАНИЯ
В этом параграфе будем рассматривать вещественные линейные
дифференциальные системы
χ = A(t)x, xeRn, t^O (1л)
с ограниченными (||Α(ί)|| ^ α, t ^ 0) и непрерывными
кусочно-дифференцируемыми матрицами коэффициентов A(t), имеющими
конечную производную δ ξ sup||i4'(£)||, используя свойства стационарной
Замороженной" системы
dx/dt = А(т)х, τ = fix ^ 0, χ Ε Дп, t ^ 0. (7.1)
Идея метода замораживания, которым в этом параграфе будут
получены точные оценки старшего сверху и младшего снизу
характеристических показателей системы (1а), восходит к работе П. Боля
[248] и состоит в том, что о свойствах решений этой системы
пытаются судить, с некоторой поправкой, по легко исследуемым аналогичным
свойствам решений замороженных систем (7.1). В частности,
возникает важный вопрос: в каком виде хорошо известный и устанавливаемый
в п. 7.1 этого параграфа факт совпадения старшего и младшего
показателей стационарной системы χ = Ах соответственно с наибольшей
и наименьшей вещественными частями собственных чисел ее
матрицы коэффициентов переносится на линейную систему (1л) с кусочно-
дифференцируемой матрицей коэффициентов A(t), имеющей малую
производную δ и наибольшую Ад(*) и наименьшую /хл(*)
вещественные части своих собственных чисел ι^(ί).
В п. 7.1 рассмотрены линейные стационарные системы и, в
частности, получена используемая в следующем п. 7.2 оценка нормы
матричной экспоненты ем. В п. 7.2 будут получены оценки старшего и
младшего показателей системы (1л) через наибольшую sup Ад(ί) и
наименьшую inf /хл(0 вещественные части собственных чисел Vi(t)
матрицы коэффициентов A{t) и ее малую производную δ. В
последнем п. 7.3 в случае η = 2 будет доказана достижимость этих оценок по
параметру δ > 0, впервые установленная автором (в n-мерном случае
она позже была доказана Ю. И. Елефтериади [67]).

162
§ 7. К методу замораживания
7.1. Линейные системы с постоянными
коэффициентами
Рассматриваем линейную систему
χ = Ах, x€Rn, t^O
(7.2)
с вещественной постоянной матрицей А. Эта система, в соответствии
с теоремой 6.1 вещественным преобразованием Ляпунова у = L(t)x
приводится к блочно-диагональному виду
у = oiag[J{Xi)f...,J{Xm)]y, yeRn, t ^ 0,
с вещественными клетками Жордана
(\j 0\
(7.20
Л\й) =
\0
AjJ
размерности щ ^ 1, п\ + .. .+гат = п, соответствующими
элементарному делителю [λ — (\j + ibj)]ni матрицы А, λ ι ^ ... ^ Хт. Система
(7.2ι) имеет следующую фундаментальную систему решений:
Υ(t) = diag [eJ(Al>',..., eJ<A™>'], * ^ 0,
с блоками
/
eJ(*i)t - eAji
1
t
га,—1
o\
ίηί
ί
\(η,·-1)!
Система решений Y{t) на основании теоремы 1.1 является
нормальной, так как всякая линейная комбинация
y{t) = ciyk(1){t) + ... + Qi/fc(i)(*), *(1) < < *(0ι c* # 0,
векторов-столбцов yi{t),... ,уп(£) матрицы F(i) содержит
компоненту cseAji ^ 0 с числом Aj, равным наибольшему из показателей

7.1. Линейные системы с постоянными коэффициентами 163
векторов, входящих в эту комбинацию, и поэтому по свойствам
характеристического показателя (см. § 1) справедливо равенство Х[у] —
— max А[?/(^г)]. Отсюда и из определения преобразования Ляпунова
следует, что фундаментальная матрица X(t) — eAt — L(t)Y(t)
является нормальной упорядоченной системой решений системы (7.2) и
последняя имеет совокупность показателей
Αχ = ... = λι ^ ... ^ Am = ... = Am,
Ν ν ' V ν /
Πι nm
составленную из вещественных частей собственных чисел матрицы
коэффициентов А.
Для нормы матрицы Коши
У(М) = diag[eJ(Al>(*-s),...,cJ^«*-'l], t > β,
системы (7.2ι) справедлива оценка
no-l ^
\\Y(t,s)\\ <$ eA"«-*) Σ ]у(*- *)*' По = mfx{M, * ^ *·
Общую оценку нормы матрицы eAt устанавливает следующая
Лемма 7.1. Пусть щ — собственные числа матрицы А
порядка η и Ха = max Re j/*. Тогда при всех t ^ 0 справедлива оценка
г
Ι|βΛ||<β^'5;1(2ί||Α||)*. (7.3)
Доказательство (см. ГельфандИ.М., Шилов Г. Е. [62, с. 78] и
БыловБ.Ф. и др. [35, с. 131]). Для матрицы eAt справедливо
представление
eAt = h{t)E + b2{t){A - νλΕ) + b3{t){A - νχΕ){Α - v2E) + ...
... + bn(t){A - vxE) - · · {A - ι/„-ιΕ), (7.4)
в котором
to **-i k
bk+i{t) = tk / etti... / rfifeexpi^^i-fi+i)^, k = 0,...,n-l,
о о *=o
(7.5)

164
§ 7. К методу замораживания
а переменные интегрирования изменяются в пределах
О = tk+1 ζ tk ^ ... ^ h <i tQ = 1. (7.6)
Из (7.5) имеем оценку
to **-ι к
\Ък+1 (*)1 ^ ** I dti... / dtk exp t ^{U - ii+i)Re vu
о о *=°
превращающуюся в силу неравенств (7.6) в оценку
ίο **-ι
о о
|Ь*+1 (*)| < tkeXot J dh ... J dtk = *-
k
Поэтому из представления (7.4), используя очевидные неравенства
\щ\ ^ ||Л||, и получаем оценку (7.3). Лемма 7.1 доказана.
Следствие 7.1. Для любых чисел а > О и ε > 0 существует
такая постоянная De(a) > 0, что оценка
\\eAt\\ ζ Лв(а)е<*"+е>*, ί £ О,
выполнена для всех удовлетворяющих условию \\А\\ ^ α матриц А
п-го порядка, имеющих наибольшую вещественную часть λ а своих
собственных чисел.
Отметим, что оценка (7.3) будет использована в п. 7.2 при
получении оценок старшего Хп(А) и младшего Х\(А) показателей системы
(1а) с матрицей коэффициентов, имеющей производную δ > 0.
7.2. Оценки крайних показателей
линейной системы
В этом пункте будут получены оценки: 1) сверху старшего
показателя Хп(А) системы (1а) через наибольшую вещественную часть
Хо(А) = δΐιρλ^ψ) собственных чисел и производную δ = sup||.4'(i)||
ее матрицы коэффициентов; 2) снизу младшего показателя λι (А) той
же системы (1а) через наименьшую вещественную часть δ0(Α) =
= inf μΑ(ι) собственных чисел и производную δ ее матрицы
коэффициентов A(t).

7.2. Оценки крайних показателей линейной системы
165
Следует при этом иметь в виду, что в общем случае даже по знакам
Хо(А) и μο{Α) нельзя судить о знаках как старшего, так и
младшего показателей системы (1л). Разумеется, из последнего утверждения
следует исключить оценку Хп{А) ^ μο{Α) > 0, вытекающую из
неравенства Ляпунова
TXi(A)^ lim± [ SpA(r)dr
и соотношений
η η
SpA{t) =ΣΜί) = Y^Revi{t) > ημν{Α).
г=1 г=1
Это подтверждают следующие примеры.
Пример 7.1. Построим двумерную систему (1д) с непрерывной
при t ^ 0 матрицей коэффициентов A(t), для которой Хо{А) < О,
λι{Α)>0.
Зададим последовательность {Г*}, к ^ 1, натуральных чисел со
свойством
1 к
-—S*-► 0 при fc-> ос, sk = 2J2TS7 Го = 0, (7.7)
и положим
(-1)*^!, t€[Sk,Sk+2),
В{*) = \А2, t€[Sk + 2l,Sk + 2l + l), 1 < Ι ζ 2{Tk+1 - 1),
Aj, t€[Sk + 2l-l,Sk + 2l), 2^l^2Tk+1,
где постоянные матрицы Aj и Л2 имеют вид
Тогда система ar = J5(i)ar имеет два (непрерывных) решения щ({) и
«2(ί) со значениями
«ιΟ&Μ-ί + 21) = (-l)'|K(S2fc+J)||exP2(-l)M/ ~ 1) * *>Н-ъ
«2(52fc+i + 20 = ||u2(S2fc+J)|| exp2(-iy+V(i - 1) х fe-j,

166
§ 7. К методу замораживания
fc^O, j = 0,1, 1^/^Гм-ь (7.8)
где Ь\ и Ь% — ортогональные векторы
и г ■ ι * 2 а + Уо2+4
hi = {cos<^i,sm<^i}, <£i = arctg , <^2 = -arctg ,
о + να +4 ^
а число
ρ = -ln[(o3 +2o)(ocos2<^i 4-sin2<^i) + а2 + 1] > -Ιηα
больше 1, например, при о = е2. Из представлений (7.8) в силу
условия (7.7) получаем равенства \\и\] = λ[ιΐ2] = ρ > 1, причем решения
U\(t) и W2(0 составляют нормальную систему решений в силу их
ортогональности в моменты t = 2fc.
Таким образом, система
У =
B(t) - \Е
у, t > 0, (7.9)
имеет совпадающие характеристические показатели, равные р —1/2 >
> 1/2, а вещественные части собственных чисел матрицы
коэффициентов равны —1/2. Чтобы эту матрицу сделать непрерывной,
достаточно на отрезках [fc — 6k, к-\-Ek], содержащих точку разрыва матрицы
J5(f), положить
A(t) = i^J3(fc Τ еЛ) - 5^, 2ε* < 1,
£к 2
(минус соответствует промежутку [к — ε*, fc), плюс — отрезку [fc, fc +
+ ε*]), во всех же остальных точках положить A(t) = B(t) — E/2.
Очевидно, вещественные части собственных чисел матрицы Л(£) также
равны —1/2. При этом существует такая быстро убывающая
последовательность {е*}, что совокупности характеристических показателей
систем ζ = A(t)z и (7.9) совпадают.
Замечание 7.1. Неравенства \о(А) < 0, \\{А) > 0 можно
реализовать линейной системой с непрерывной кусочно-дифференцируемой
ограниченной матрицей коэффициентов, имеющей конечную
производную и как комплексные, так и вещественные собственные числа.

7.2. Оценки крайних показателей линейной системы 167
Пример 7.2. Неравенства μο{Α) > О, Х\(А) < 0 (здесь, как уже
отмечалось, λ2(-4) > 0) реализуются системой (1а) с матрицей
/ l + 2cos4f -2-2sin4i \
W" V 2-2sin4f l-2cos4* /'
имеющей собственные числа ι/χ(ί) = ι^ί*) = 1, и решением x(t) =
= e"*{sin2f, cos2£} с показателем —1 (общий прием построения
примеров второго типа изложен в монографии Б. Ф.Былова и др. [35,
с. 124]).
Первые оценки сверху старшего показателя Хп(А) системы (1д)
через величину Хо(А) и параметр δ > 0 были получены П. Болем [248]
и Н. Я. Лященко [151]. Они были уточнены сначала В. М. Алексеевым
[5] и затем позднее в его совместной с Р. Э. Виноградом работе [6; см.
также 35, с. 130-138]. Последняя оценка, как потом оказалось, является
точной по δ (случай η = 2 см. в работе автора [79], а η ^ 3 —
в более поздних работах Ю. И. Елефтериади [67] и Р. Э. Винограда и
Ю. И. Елефтериади [50]).
Для старшего показателя Хп(А) получим оценку Алексеева —
Винограда и ее уточнение для систем большой размерности, а также
аналогичные оценки младшего показателя Χι (А) системы (1д) снизу
(см. работу автора [91]).
Теорема 7.1. Для старшего Хп(А) и младшего Χι (А)
показателей системы (1д) справедливы оценки
Хп(А) <С Х0(А) + αδι^η+1\ \г(А) > μ0(Α) - cS1'^^ (7.10)
с величиной с = min{co, Σ£=ι Ο^*-1^71"1"1)}, определяемой
постоянными
l/(n+l)
, сг = 2a(n 4- l)[4a2en(n - Ι)!]"1/*714"1),
mm+l /4a2n,4m/n
Доказательство. Зафиксируем произвольное t = τ ^ 0 и
запишем систему (Iа) в виде
χ = Α(τ)χ + [A(t) - А(т)]х, xeRn, t У> 0. (7.11)
Со = 2а
п(п+1)
8а2

168
§ 7. К методу замораживания
Представляя решение x(t) φ 0 системы (7.11) в форме Коши
t
x(t) = eA^r)tx0 + f еА№-в)[А(8) - A(r)]x(s) ds
о
и полагая в ней t = τ, а затем обозначая τ снова через t, будем
иметь окончательное представление решения x(t) φ 0 системы (1а)
в интегральной форме
t
x(t) = еА^гх0 + [βΑ(ί>ί*-β>[Α(β) - Α(ί)]χ(β) cfe. (7.12)
Так как
\\A(t)-A(8)\\ =
t t
j A'(t) drll < У ||A'(r)|| rfr < S(t - 8),
то из представления (7.12), используя установленную в п. 7.1 оценку
(7.3) для ||ел'||, получаем неравенство
" (2at)k
\\x(t)\\ ζ \\х0\\е^ £ i^ji.4
fc=0
t —1
+ 5 /(*-«)e*<*-> £ Щ^\\ф)\\а8. (7.13)
£ *=o
Дальнейшие рассуждения проведем двумя способами: первым,
основанным на лемме Гронуолла, и прямым вторым способом — без
традиционного использования леммы В. М. Алексеева. Оба эти способа
имеют и свои самостоятельные поучительные особенности. В результате
для оценки (7.10) получим два разных значения с, каждое из которых
при малых δ оказывается меньше другого для соответствующих п,
что дает некоторое уточнение (как будет показано ниже, для больших
п) оценки (7.10) с с = со, содержащейся в монографии Б. Ф.Былова
и др. [35, с. 137].
η
1. Доказательство оценки (7.10) при с = ]Г с^6^к"г^^п+г\
Для функции
ξ ^ ик+1
k=0

7.2. Оценки крайних показателей линейной системы 169
построим оценку
<р(и) ζ (V/(«+D + J2 ck6k«n+1A exp £l_^5V(«+Du (7.14)
с некоторыми постоянными с* > 0, 7 > 0. Выберем сначала 7 и
наименьшее ci такими, чтобы они осуществляли оценку
£- т-^ < 7 exp ^f^v, ν = δ^+^η Ζ 0.
2α (η -1)! ' ν 2α
Для этого в качестве ci достаточно взять величину
. , Г 2а, ип 1
ci = inf ^ 7 + sup — In -—- — ) -
т>о ^ „>о ν 2ау{п - 1)! J
7>о (/ [ 7епп! J J v 7Len(n-l)!j v '
При этом
(2а)п~г Ί
7 =
еп(тг - 1)!
1/(η+1)
(2а)
тг-1
|_еп(п-1)!
l/(n+l)
(7.16)
Числа с*, fc ^ 2, определим равенствами
C"-+1 = 2a(m - 1)! ^^ ~^~V= 2a^! (^ J " (7Л7)
Используя оценку (7.14) с числами q и 7, определяемыми
равенствами (7.15)-(7.17), из неравенства (7.13) получаем оценку
||г(*)|| < Ds\\x0\\e^+^-^m"+l)H
+ (7iV(»H-l) + £ Ск6к^п+1Л /е1Ао+(е»-Тг)**'<-+»>](*—>Няг^Н tfa.
fc=2 0
С помощью леммы Гронуолла из этого неравенства получаем
окончательную оценку
||ж(*)||^^Ы|ехр
(Ао + ^с*г*/(П+1))4, t>0' (7Л8)
^ k=i '

170
§ 7. К методу замораживания
2. Доказательство оценки (7.10) при с = Со проведем без
традиционного использования леммы В. М. Алексеева (см. БыловБ. Ф.
и др. [35, с. 130—138]). Пусть λι выбрано удовлетворяющим равенству
оо оо
θΧι= Ι φ{2ατ)β^-χ^τ dr = -^ ί φ{ν) exp Λ° " Λΐ и du =
J 2a J 2a
о о
= έί>?+'=1, где α,Ξ-^->0. (7.19)
fc=l
Поэтому для любого λ > λι выполнено неравенство θ\ < 1.
Из неравенства (7.13) имеем оценку
t
\\x{t)\\ ζ Dx\\x0\\eM + jψ[2α(ί - 8)]е^-^\\х(8)\\а8. (7.130
О
Эту оценку, использовав обозначение w{t) = ||а;(£)||е~~А* и разделив
левую и правую ее части на экспоненту eAi, запишем в виде
t
w{t) <С Dx\\xo\\ + Ι φ[2α{ί - s)]e(<Xo~x)it-s)w{s)ds, t > 0. (7.132)
о
Рассмотрим теперь два возможных случая: 1) непрерывная
функция w{t) ограничена на полуоси [0, -hoc); 2) эта функция на [0,4-оо)
не ограничена. В первом случае сразу имеем необходимое неравенство
Х[х] ^ λ. Во втором — существует последовательность {tk} ΐ +οο со
свойством
w[t) ^ w[tk) -> Н-оо, 0 ^ t ^ tk, fc € TV.
На основании этого свойства из оценки (7.132) имеем очевидные
неравенства
tk
w{tk) <ξ Dx\\xo\\ + w(tk) J <p[2a{tk - s^-W*-) da =
о
(в предыдущем интеграле совершим замену tk — s = τ)

7.2. Оценки крайних показателей линейной системы 171
= £>А|Ы1 + «>(**) Ι φ(2ατ)β^-^τ dr < Dx\\x0\\ + Qxw{tk), k€N.
о
Из этих неравенств имеем окончательную оценку
w(tk) ζ Dx\\x0\\/(l - θχ) = const < +oc, he N,
исключающую второй случай.
Доказанное неравенство \[х] ^ λ, VA > λχ, устанавливает
необходимое неравенство Х[х] ^ λχ, где λχ — корень уравнения Q\ = 1.
Оценки (7.10) в случае
β
п(гг + 1)Л11/(п+1)
8о2
^1
очевидны, так как для всяких собственного числа v(t) матри1ц>1 A(t)
и решения x(t) ф 0 системы (1^) справедливы неравенства
И*)| < ||А(*Ж о, i^O; |λ[*]|<α.
В случае же β < 1 левая часть уравнения (7.19) при αχ = 1 строго
меньше 1. Поэтому единственный положительный корень Qi этого
уравнения больше 1 и для него справедливы оценки
к=1
Таким образом,
АОД ^ λχ = λο + αϊ12а < λ0 + c0(51/(n+1),
что и устанавливает справедливость первой из оценок (7.10) с числом
с = с0.
Для доказательства второй из оценок (7.10) к системе
y=-AT(t)y, t> 0, (7.20)
сопряженной к системе (1л), применим уже доказанную первую
оценку с полученными двумя значениями с. Так как собственные числа
v[{t) матрицы —AT(t) связаны с собственными числами vi{t)
матрицы A(t) равенствами ν[{ί) = —Vi{t), то
Α'(ί) = λ_Ατ(ί) = max Re !/{-(£) = — minRei/i(£) = —/м(0

172
§ 7. К методу замораживания
и поэтому имеем неравенство
К(-Ат) ζ \о{-Ат) + c^/in+i) = -/|о( 4) + ^ι/(η+ΐ)
Но для всякого решения ж(£) φ 0 системы (1д) найдется решение y(t)
системы (7.20) (именно решение y(t) с начальным вектором ?/(0), не
ортогональным вектору аг(0)), для которых (x(t),y(t)) — const φ 0.
Поэтому для всякого решения x(t) φ 0 системы (1^) имеем Х[х] ^
> —\п(—Ат) ^ А*о(^4) — с^1^"4"1^. Теорема 7.1 полностью доказана.
Замечание 7.2. Для полученных в п. 1 и 2 доказательства теоремы
7.1 величин со и с\ справедливо представление
/^V+L (η + l)\en+1 v/27r(n + 1) = y/27r(n-hl) _^
\ci/ (n+l)"+V27r(^ + l) 2e " "+1 2e n^c00'
так как в силу формулы Стирлинга Sn+\ —> 1 при η —> оо. Поэтому
со > с\ для достаточно больших η (но Co/ci —> 1 при η —>- оо) и
для таких η и малых δ оценка, полученная в п. 1, несколько точнее
оценки, полученной в п. 2.
Возникает естественный вопрос: являются ли точными по
параметру δ оценки (7.10) во всем классе линейных систем (1л).
Утвердительный ответ на него и содержится в следующем пункте настоящего
параграфа.
7-3. Достижимость оценки старшего показателя
в методе замораживания
В двумерном случае достижимость (неулучшаемость) по δ > 0
этой оценки доказана автором в работе [79] и именно это
доказательство и приведем в настоящем пункте. Позднее ее достижимость в п-
мерном случае была установлена Ю. И. Елефтериади [67], а наиболее
простое изложение этого результата содержится в его работе с Р. Э.
Виноградом [50].
Задача о достижимости оценок (7.10) формулируется следующим
образом: существуют ли непрерывные кусочно-дифференцируемые по
ί^Ο и зависящие от параметра δ > 0 равномерно ограниченные на
полуоси t ^ 0 матрицы Α(ί,δ) и Β(ί,δ) η-го порядка с производными
\\dA(t,5)\
II 9t I
К<5,
1 dB(t, δ) II
at

7.3. Достижимость оценки старшего показателя в методе замораживания 173
такие, что старший Хп{А) и младший λι{Β) показатели
соответственно систем (1а) и (1в) при всех достаточно малых δ > О
удовлетворяли бы неравенствам
К(А) > \о(А) + cS^n+1\ λι (В) ζ μ0(Β) - сб1'^^
с некоторой не зависящей от δ > 0 постоянной с > 0. Если же
существуют совпадающие матрицы A(t,S) = J3(£,<S), δ > 0, £ ^ 0, то
оценки (7.10) называют одновременно достижимыми.
Итак, справедлива следующая
Теорема 7.2. Существует такая непрерывная кусочно-дифферен-
цируемая положительная периодическая по времени t зависящая от
параметра δ > 0 функция q(t^) с производной \dq(t^)/dt\ ^ <5,
t ^ 0, «что старший показатель двумерной системы
χι = #2, #2 = —?(*,£)a;ii * ^ 0, (7.21)
при всяком δ > 0 не менее величины Сой1^3 с не зависящей от δ
постоянной cq > 0.
Доказательство. Функцию q(t), зависимость которой от δ не
будем далее указывать, построим следующим образом.
Возьмем какое-нибудь 0 < а < 1 и по нему выберем
достаточно малое число ε = ε (α) > 0. Окончательных условий для выбора
числа ε из чисто методических соображений (не совсем, возможно,
и оправданных) здесь не приводим. Малость числа ε определяется в
процессе проводимых ниже рассуждений, причем в большинстве
случаев (непринципиальных и очевидных) это даже и не оговаривается.
На отрезке [0,Г], Г = εδ"1/3, функция q(t) есть такая
непрерывно-дифференцируемая линейная функция времени t, которая при t =
— 0 принимает значение q(0) = а<52/3, а при t = Т — значение q{T) =
= δ2/3. Очевидно, <f(t) = (1 - α)δ/ε при t Ε (0,Г). На отрезке [0,Т]
тем самым задана система (7.21), первая компонента x\(t) всякого
решения x(t) — {xi(i),X2{t)} которой есть решение уравнения второго
порядка
хх 4- q(t)x! = 0, χι(0) = ar?f χι(0) = ж°. (7.22)
Оценим компоненты решения x(t),x(Q) = {1,0} системы (7.21). По
теореме о численном сравнении [243, с. 136] имеем оценку |χι(£)| ^
^ |τι(ί)|, где u(t) — решение уравнения (7.22) с функцией q(t) = δ2/3,

174
§ 7. К методу замораживания
удовлетворяющее начальным условиям и(0) = 1, й(0) = 0.
Интегрируя уравнение (7.22) с указанной функцией q(t), получаем u(t) =
= cosSl/3t, причем u(t) ^ cose > 0 при t Ε [Ο,Τ].
С другой стороны, по той же самой теореме имеем неравенство
1^1 №1 ^ lv(*)l· гДе VW ~~ решение уравнения (7.22) с функцией q(t) —
= α<52/3, удовлетворяющее начальному условию ν(0) = 1, v(G) = 0.
Очевидно, v(t) — cosy/ati^^t.
Итак, имеем оценки
cose ^ xi(t) ^1, t е [Ο,Τ]; хг(Т) ζ cosv^ae. (7.23)
Оценим теперь |^2(*)| на рассматриваемом промежутке. На
основании оценки (7.23) из второго уравнения системы (7.21) имеем
неравенства
t
0 > x2{t) > - f δ2'3 dr ^ -е<51/3, t е (0,Г]. (7.24)
о
На промежутке (Γ,ίι], h = Τ + (π/2)ό-1/3, положим q(t) = δ2'3.
Тогда рассматриваемое решение построенной на [Ο,ίι] системы (7.21)
в конечный момент t = tχ принимает значение
*ι(*ι) = Χ2(Τ)δ~ι<3, x2(h) = -Χι(Τ)δ1'3.
При этом в силу оценок (7.23) и (7.24) имеем неравенства
0 > xx{h) > -е, -t^cosv/ae ^ x2{ti) ^ -<51/3cose. (7.25)
На отрезке [ίχ,ίι+Τ] снова функция q(t) есть
непрерывно-дифференцируемая линейная функция времени, принимающая на концах этого
сегмента соответственно значения о2/3 и αδ2'3. Очевидно, </(t) =
= —е_1(1 — α)δ при t 6 {tut\ +Г). Оценим, как и выше, компоненты
рассматриваемого решения на отрезке [ίχ, ίχ + Г]. Пусть снова u(t)
и v(t) — решения уравнения (7.22) с функцией q(t) принимающей
соответственно значения δ2/3 и atf2/3, и с теми же начальными
условиями в момент t — tij что и рассматриваемое решение. Запишем
явные выражения для u(t) и v(t):
u(t) = хг(Ь) coso1/3(i - h) + χ2{ίι)δ~1/3smS1/3{t - h),
v{t) =xi{ti)cos^Sl/3(t-tl)^^S-l^x2(t1)sin^Sl^{t'-ti). (7.26)
να

7.3. Достижимость оценки старшего показателя в методе замораживания 175
На основании неравенств (7.25) и выбора числа ε удовлетворяющим
неравенству
sin 2>/5ε ^ 2ε,
2у/а
имеем оценки
—3ε ^ u(t) ^ х\ (ti) cos ε < 0, —3ε ^ v(t) ^ xi(ti)cos^/ae < О
при t 6 [ti,t\ + Г], первая из которых показывает, что функция u(t)
на этом отрезке нулей не имеет (ε, конечно, выбрано меньшим π/2).
Поэтому по уже упоминавшейся теореме о численном сравнении [243,
с. 136] на нем не имеет нулей и решение x\(t).
Итак, по этой теореме имеем неравенства
-3ε ^ xx(t) ζ a* fa) cose < 0, t e [tuti+T\. (7.27)
Для оценки #2 fa +T) воспользуемся вторым уравнением системы
(7.21), только что установленным неравенством (7.27) и вторым из
неравенств (7,25):
ti+T tx+T
X2{ti+T) = x2(tx)+ Ag(r)[-ж1(τ)]dτ^-(51/3cosε4-3 ί δ2'3εάτζ
и tx
^ -(51/3(cos ε - 3ε2) ^ -<51/3(1 - 6ε2) (sin2 ε ^ 3ε2). (7.28)
Введем обозначения:
ly/a
На отрезке [ί'χ,^] функцию q(t) положим равной αδ2/3. Тогда
интегрируя на этом промежутке систему (7.21) (или эквивалентное ей
уравнение (7.22) с постоянными коэффициентами), находим значение
рассматриваемого решения в момент t = t2:
xifo) = -^<Γ1/3:τ2(*ί), x2{t2) = -Vai1/S«i(ii)-
у/а
Используя неравенства (7.27) и (7.28), получаем оценки
*i fa) ^ —^= + 6ε < О, 0< x2(t2) < Зу/^εδ1^. (7.29)
yjOL

176
§ 7. К методу замораживания
Далее на отрезке [t2, t2 + *ί] функцию q(t) определим с помощью
равенства
q(t) = q(t - fe), t e [*2, t's], *з Ξ *2 + t[-
Соответствующие промежутку [*2>*2+71 функции u(t) и v(f)
вычисляются по прежним формулам (7.26), в которых только t\
следует всюду заменить на £2· Для этих функций, используя неравенства
(7.29), легко получаем оценки
cos β Ι
u(t) ζ = + 9ε < 0, —= ^ v(t) < 0, < € [ί2, *2 + Γ],
из которых имеем неравенство
1 COS £
—— ^ Xl(t) ζ -=r + 9ε < 0, t e [t2,t2 + Г].
Используя это неравенство и второе уравнение системы (7.21),
получаем оценку
0 < х2(Ь + Т) = x2{t2) + / 9(r)[-a?i(r)]cfr < fa/a + -LW'3.
В момент t — t$ = t2 + Τ + (π/2)ό-1/3 функции #ι(£) и Х2(*)
вычисляются по формулам
*i(ts) = ό~1/3*2(*2 + Γ), ar2(ts) = -(51/3xi(f2 + Γ)
и удовлетворяют оценкам
0 < xi(ts) < (Зл/α + -т= )ε,
о < (Ξμ _ 9sV1/s < *2(*з) ^ 4=*1/3·
На промежутке [£з,£з + Г] компоненты #ι(£) и a?2(t) оценим, как
обычно, с помощью функций u(t) и v(t):
0<χλ (t) < 3(1 + α_1)ε, * G [t3, «У, *з Ξ 'з + Τ,
0 < (α"1/2 - 3ε)ό1/3 ^ χ2(^) ^ α^δ1'*. (7.30)

7.3. Достижимость оценки старшего показателя в методе замораживания 177
Для t ^ t3 положим q(t) — аб2/3, оставляя пока
неопределенным правый конец θ промежутка с таким заданием q(t). Очевидно,
рассматриваемое решение {xi(t),X2(t)} для t ^ t3 вычисляется по
формулам
xi(*) = xi№)cosy/aS1/3(t - t'3) + -^=S-1^x2(t'3)sm^S1^(t - t'3),
yJOL
X2(t) = -^61/гхг (t'3) sin yfc6l'*{t - t'3) 4- x2{t'3) cos Vai1/3(* - t'3).
В качестве θ возьмем первый корень уравнения X2(t) = 0. Очевидно,
*3<0<'3 + -W<5"1/3·
3 3 2у/а
Для взятого момента θ в силу оценок (7.30) будем иметь
Ь(а)>0.
Поэтому справедливо неравенство
На)
sin^61/3(e-t'3) Ζ —
а тем самым имеем окончательную оценку
1 - Зе Ь(а)
χχ{θ) Ζ
<* у/Ъ2{а)+е*'
Ее получение было основной целью при построении требуемой
системы (7.21). Так как α < 1, то при достаточно малом ε > 0 правая
часть предыдущего неравенства оказывается большей некоторого
числа а(а) > 1. Возьмем одно из таких ε, удовлетворяющее, конечно,
и всем предыдущим условиям малости, и зафиксируем его. Еще раз
при этом подчеркнем, что ε не зависит от δ, оно зависит лишь от а,
которое в нашем случае не варьируется.
Итак, на отрезке [0, Θ] длины
θ ζ 2π(1 + а~1/2)(Г1/3 (7.31)

178
§ 7. К методу замораживания
построена такая система (7.21) с кусочно-дифференцируемой
функцией #(£), производная которой q'(t) удовлетворяет оценке
|9'(ί)Κ^<5 = Δ, (7.32)
что решение x(t),x(0) = {1,0}, в конечный момент t = Θ принимает
значение χ(θ) = {χ\(θ),0}, причем
\\х(6)\\ = χι{0) > а{а) > 1. (7.33)
На всю полуось уже имеющуюся на [0,0] функцию q(t) продолжим
периодически с периодом Θ. Построенная таким образом система (7.21)
имеет решение x(t),x(0) = {1»0}, норма которого в силу известного
свойства решений линейных систем удовлетворяет оценке (см. (7.33))
\\х(кв)\\ ^ ак. (7.34)
Теперь уже на основании оценок (7.31), (7.32) и (7.34) (и леммы о
вычислении показателя по ''целочисленной" последовательности, см. § 1)
имеем следующую оценку для показателя рассматриваемого решения:
λΝ - J= и"» «·«»г ί1"» SRTfV -
_ Valna(a) ,/e(a) д1/3 _ Λι/3
-2π(1 + ν^)νΤ^Δ =СоА ·
Теорема 7.2 доказана.
Несмотря на доказанную достижимость по параметру δ > 0 первой
оценки (7.10) старшего показателя λ2(-4) в двумерном случае, можно
выделить такие классы рассматриваемых систем, для которых
указанные оценки уже допускают уточнение относительно параметра δ.
Комментарий к § 7. Теорема 7.1 доказана в работах В.М.
Алексеева [5], В. М. Алексеева и Р. Э. Винограда [6; см. также 35, с. 130-138]
и автора [91], а теорема 7.2 о достижимости в двумерном случае —
в работе автора [79]. Позднее достижимость оценки старшего
показателя для любого η ^ 3 доказана Ю. И. Елефтериади [67]. Наиболее
простое ее доказательство содержится в его совместной с Р. Э.
Виноградом работе [50].
См. также работы автора [78, 80, 82, 91] и Р. Э. Винограда [53].

§ 8. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИМИ
ВОЗМУЩЕНИЯМИ
В этом параграфе, предполагая исходную систему (1а)
неправильной по Ляпунову, исследованы зависимости характеристических
показателей Xi(A + Q) ^ ... ^ АП(Л + Q) возмущенной линейной
системы (Ιλ+q), составляющих ее характеристическую совокупность
Х(А 4- Q) € Д71, от экспоненциально убывающих при t —> +00
классических гробмановских возмущений ζ), определяемых условием
X[Q] = Ш I In ||Q(i)|| ^ -στ(Α) < 0, (8.1)
в котором σρ {А) — коэффициент неправильности Гробмана системы
(1а)· Исходным здесь является следующий классический результат
Гробмана [63]: характеристические совокупности Х(А) исходной
системы (1а) и X(A + Q) возмущенной системы (1a+q) со всяким
возмущением ζ), удовлетворяющим условию X[Q) < —аг(-4), совпадают
(аналогичный результат для коэффициента неправильности Ляпунова
установлен Ю.С.Богдановым [20]). В связи с этим для неправильных
систем (1а) и гробмановских возмущений (8.1) возникают следующие
вопросы:
1) о существовании систем (1л), для которых Х(А 4- Q) φ X(A)'f
2) о выделении полного класса систем (1л), для которых их
характеристические совокупности Х(А) совпадают с совокупностями Х(А +
+ Q) возмущенных систем (Ιλ+q) при любых гробмановских
возмущениях (8.1);
3) о возможной устойчивости младшего Х\(А) вниз и старшего
Хп(А) вверх характеристических показателей системы (1л) при
гробмановских возмущениях Q;
4) о строении гробмановских спектральных множеств
Gn(A) Ξ {Χ(Α + Q) € Rn : X[Q] ζ -σΓ(Α) < 0}
систем (1λ)> в частности, о существовании линейных систем (1л)
произвольного порядка п^2 с измеримыми множествами Gn(A)
положительной η-меры Лебега.
Ответы на эти нетривиальные вопросы и содержатся в настоящем
параграфе.

180 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
8.1. Теорема Гробмана о совпадении
характеристических показателей
Для произвольной, в том числе и правильной, системы (1а)
справедлива (см. [63, 20])
Теорема 8.1. Характеристические совокупности Х(А) и Х(А +
4-Q) исходной {1а) и возмущенной (Ια+q) линейных систем
совпадают при выполнении условия X[Q] < — <тг(-4), в котором σγ(Α) —
коэффициент неправильности Гробмана.
Доказательство. Покажем, что для всякого решения y(t) φ Ο
системы (Ia+q) найдется такое решение x(t) исходной системы (1л)>
что показатели Ляпунова этих решений совпадают, т.е. Х[у] = Х[х].
Представим решение y(t) в форме Коши
y(t)=X(t)
г г
X_1(0)s/(0) +fx-l{T)Q{r)y{r) dr] =X(t) Lo) +Jz(t) dr
где X{t) — нормальная упорядоченная система решений системы (1д).
По вектору ζ(τ) = X~l(r)Q(T)y(r) € Rn, τ ^ 0, определим
постоянный вектор zq € Rn с компонентами
z*=<
г °>
+οο
/ Zi(r)dr,
если X[zi] ^ 0,
если X[zi] < 0.
В соответствии с этим решение y(t) получает представление
y(t) = X(t)[X-l(0)y(0) + ζ0] + X(t) j ζ(τ) dr Ξ
= X(t)[X-* (0)2/(0) + zq] + wit), (8.2)
в котором интеграл понимается в смысле Ляпунова (см. § 1), т.е.
интеграл fzi(r)dT равен интегралу JQZi(r)dr, если Χ[ζι] ^ 0, и
интегралу — Jt Ζΐ(τ)άτ, если X[zi] < 0. При таком определении интеграла
для него справедливы неравенства
.[/.
{r)dr
^ X[Zi) ^ A[xJ] + X[Qy] <δί- σΓ(Α) + X[y],

8.1.Теорема Гробмана о совпадении характеристических показателей 181
в которых х\ — г-я строка матрицы X~~l, a Si — ее показатель
Ляпунова. Из них получаем оценку
АН < К(А) +Ь- στ(Α) + Х[у] ζ Х[у]. (8.3)
Установим теперь неравенство и0 = Х~1(0)у(0) + 2ο Φ 0.
Действительно, если предположить противное: и$ = 0, то из представления
(8.2) и неравенства (8.3) сразу получаем противоречие.
Таким образом, решение x(t) = X(t)[X~l(0)y(0)+zo] системы (1а)
является нетривиальным и для него из представления y(t) = x(t) +
+ w(t) в силу неравенства (8.3) и свойства С2) п. 1.1 имеем
необходимые равенства \[х] = \[у — w]= X[y].
Пусть Y(t) — [yi(t),...,yn(t)] — нормальная упорядоченная по
возрастанию показателей система решений дифференциальной
системы (1л)- Для каждого ее решения yi(t), согласно предыдущему,
построим решение Xi(t) ψ 0 системы (1д) и вектор Wi(t) такие, что
справедливы соотношения
Vi(t) = Xi(t) + Wi(t), X[Wi] < \[Xi\ = \[Уг]. (8.4)
Докажем нормальность по Ляпунову системы решений X(t) =
= [χι (t),..., xn{t)] дифференциальной системы (1л)- Для этого
предположим противное — система решений X{t) не является нормальной.
Тогда по теореме 1.1 Ляпунова она необходимо допускает
понижающую комбинацию:
к
X(t) = Σ Сг{1)Хцф)> СЦ1) Φ °> λΝ < ^^k{X[xm]} = ЧХг(к)]·
Образовав такую же линейную комбинацию из решений yi(t), будем
иметь равенство
к к
У(*) = 5^(0 »*(')(*) = *(*) + Y^ci(l)wi(l)(t) = x(t) + w(t)
1=1 ί=1
и в силу предположения (8.4) — неравенство
Х[у] ^ max{A[ar]fA[u;]} < max{A[xi(/)]} = Х[хцк)] = Х[уцк)]·
Последнее неравенство означает существование понижающей
комбинации для нормальной системы Y(t). Полученное противоречие и

182 § 8- Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
устанавливает нормальность и в силу (8.4) упорядоченность (также по
возрастанию) системы решений X(t) системы уравнений (1л)·
Отсюда и следует необходимое равенство Х(А + Q) — Х{А). Теорема 8.1
доказана.
Замечание 8.1. Эта теорема устанавливает первое замечательное
свойство коэффициента неправильности Гробмана — свойство
инвариантности характеристических показателей линейной системы (1л)
относительно экспоненциально убывающих возмущений Q с
показателем Ляпунова X[Q] < — στ (А). Второе его замечательное свойство
будет установлено в теореме Ляпунова — Массеры — Гробмана при
исследовании по линейному приближению (1л) экспоненциальной
устойчивости нулевого решения нелинейной системы
it = A(t)y + f(tyy), yeRn, ί^ο,
с возмущениями / фиксированного порядка малости т > 1.
Отметим, что сразу же возникает задача о точности условия X[Q] <
< — σγ(Α) для совпадения совокупностей Х(А) и X(A + Q)
соответственно систем (1л) и (Ιλ+q) и вообще задача об исследовании
зависимости совокупности показателей Х(А + Q) системы (1л+д) от
гробмановских возмущений (8.1).
8.2. Неустойчивость характеристических
показателей линейных систем относительно
гробмановских возмущений
Неустойчивость показателей и неулучшаемость условия X[Q] <
< — σγ{Α) в теореме 8.1 устанавливает следующая
Теорема 8.2. Для любых чисел 2 ^ η £ Ν, λι ^ ... ^ λη,
α £ [λι,λη] и σ > 0 существуют n-мерная система (1л) с
характеристическими показателями Хг(А) = Aj, г = 1,...,п, и
коэффициентом неправильности Гробмана σγ(Α) = σ и удовлетворяющая
условию
\\Q(t)\\ <£ const χ ещ>[-аГ(А){\, t ^ 0,
матрица Q(t) п-го порядка такие, что возмущенная система (1 л+о)
с этой матрицей имеет одним из своих характеристических
показателей число а.

8.2.Неустойчивость показателей относительно гробмановских возмущений 183
Доказательство· Без нарушения общности считаем λι < α < λη
(если λι совпадет с λη, то в качестве матрицы Q(t) можно взять
нулевую при всех t ^ О матрицу). Тогда существует такой номер
к Ε {1,...,п — 1}, что α оказывается принадлежащим интервалу
(λ*,λ*+ι). Поэтому снова без нарушения общности можно считать
к = 1, что позволяет, как это будет видно из дальнейшего изложения,
свести доказательство теоремы 8.2 в общем случае к ее доказательству
в случае η = 2.
Необходимую систему (1^) будем строить верхнетреугольной,
полагая а,\2 = 1,
°» W ~ { ai = X, - σθ(θ - l)-1, t G A2fe+1, k * °'
-o22(<) - | θ2 = σ _ θ{χ2 _ λι) _ λ2> f e Azfe+i5 fc > О,
где θ = const 6 (1,1 + σ/(λ2 — λι)). Вычислим характеристические
показатели решений u\(t) = (xn(t),0) и иг(*) = (#12(*),£22(0) этой
системы, составляющих фундаментальную систему Ха№) = (0*4/(*))),
£ ^ 1, у которой Х(1) = Ε и a?2i(i) = 0. Легко подсчитать, что
функции xu(t) имеют показатели А[жц] = λ[^ι] = λι, λ[^22] = λ2 +
+(0—1)(λ2 — λι)— σ < λ2· Для функции же x\2(t) справедливы оценки
Xl2(t2k+l) ^ βΧρ[λι(ί2Λ+ι - 1)] Χ / Χ22(τ)Χχι(τ) άτ ^
^ COIlSt Χ βΧρ(λ2ί2Α;+ΐ) > 0, £fc = 0*, к ^ 1,
устанавливающие неравенство λ[α:ΐ2] ^ λ2· Оценим теперь сверху
показатель функции Xi2(t). Для этого сначала заметим, что функция
f(t) = X22(t)x\i(t) в соответствии с ее определением на промежутках
&2k и Δ2*;+ι соответственно убывает и возрастает так, что
max f{t) = f(t2k) = βχρ[(λ2 - λι)0(ί2* - 1)],
fihk) > /(fefc+i) = βχρ[(λ2 - λχ - σ)(ί2*+ι - 1)], к Ζ 0, (8.5)
при £ € [l,<2fc+i]· Поэтому при t Ε Δ2* будем иметь оценки
xMt) ^(t- l)f(t2k)xii(t) ^ */(Ыжп(Ыехр[&1(* " Ы] ^

184 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
^ const х exp{lni + Μ + [λ2 - λι — σ(θ - 1) l]t2k+i}, fc ^ 0,
а тем самым в силу отрицательности квадратной скобки в предыдущем
выражении и оценку
t~l \nxl2(t) ^ λ2 + t~l ln(ci), с = const > 0, t G Δ2*.
В свою очередь при t G Δ2*_ι на основании (8.5) имеем оценку x\2{t) ^
^taii(i)max{/(£2fe_2),/(*)}, из которой в случае f(t)^f(t2k-2) сразу
получаем необходимое неравенство x\2(t) ^ tx22{t) ^ ίβχρ[λ2(ί — 1)].
Если же f(t) < f(t2k-2), t G A2fe_i, то на основании предыдущего
имеем
zi2(i) ^ tf(t2k-2)xn(t) - tf(t2k-2)xii(t2k-i)expai(t - t2k-\) ζ
^ const χ iexp[(A2 — a,i)t2k-it~l + a{\t ^ const χ ίβχρλ2£,
причем последнее неравенство справедливо в силу того, что λ2 — а\ >
> 0. Полученные оценки функции x\2(t) на промежутках Δ2*_ι и
Δ2ί; и устанавливают недостающее неравенство А[ж12] ^ λ2. Итак,
равенства А[ж12] = λ2 = Х[и2] доказаны.
Для вычисления коэффициента неправильности аг(А)
построенной треугольной системы вычислим характеристические показатели
первой v\(t) и второй v2(t) строк матрицы V(t) = X^l{t) = ((%(*)))·
Непосредственными подсчетами легко устанавливается равенство
λ[νΧι] = σ - λι- Как и в случае функции Xi2(t), функцию |ϋι2(ί)|
оценим на промежутках Δ2*_ι и Δ2*. На первом из них, как и
выше, имеем оценку |vi2(t)| ^ tx22(t)max{f(t2k-2),f(t)}, t G Δ2λ-ι,
из которой в случае f(t) ^ f(t2k-2) получаем неравенства |ϋι2(£)| ^
^ ^йЧ*) ^ texp[(a — λχ)(ί — 1)]; в противном случае — неравенства
\vx2(t)\ <£ tx22(t2k-i)f(t2k-2) exp[a2(i - i2fe-i)] ^
^ const χ texp[(a — λι — a2)t2k-\ + a2t] ^ const χ exp(a — \\)t.
На промежутках же Δ2* справедливы неравенства
|^ι2(ί)| ^ tx22{t2k)f{t2k) ехрЬг(^ - t2k) ^
^ const χ texp[(a - X\)t2k + ^(t - t2k)\ = const χ texp(a - X\)t.

8.2.Неустойчивость показателей относительно гробмановских возмущений 185
Итак, справедливо неравенство X[v\2] ^ о — Αι, а тем самым и
равенство λ[ι>ι] = σ —Αχ. Равенства же X[v2] — Afa;^1] = σ — Х2 не
требуют дополнительных пояснений. Поэтому для коэффициента
неправильности Гробмана построенной системы имеем следующее значение
στ (А) = max{A[wi] + 4ν*]} = σ·
г
Оценим теперь снизу котангенс угла между решением u2(t) и осью
Ох\ в момент t = <2*+ι:
*2fc+l
/ (8-5)
ctg<{w2(i2fe+i),Oa:1} = /-1(*2fe+i) / /(r)dr ^
1
(8.5)
^ const x f(t2k)f (*2fe+i) ^ const χ expat2fe+i > 0;
из последних неравенств следует оценка
tg7fe = tg<{u2{t2k+i),Oxi} ^ cexp(-ai2fe+i), fc ^ 0, (8.6)
с некоторой постоянной с > 1.
Для t ^ to рассмотрим два решения и(МьА>) и и(МьА) по~
строенной треугольной системы (1л) с начальными векторами
и(«1,«1,/3) = |И«1,«1,/3)||(со8/3,8ш/3), |Κ*ι,ίι,/3)||^βχρλι«ι, где /3 =
= Аь/Si и 0 < /3ι < /ЗЬ < 7ο· Рассмотрим также решения м(Мь^),
ω€[0,/?ι], t^tij с начальными векторами u(<i,ti,ci;) = ||it(ti,ti,/3i)|| x
χ (cos α;, sin α;). Каждое из этих решений с числом ω > 0 имеет
характеристический показатель А2, а для решения u(t,ti70), совпадающего
с решением ui(t)l|u(ti>tb/?i)||/||ui(£i)|| на промежутке [*ι,+οο),
выполнена при к = fc(l) = 0 оценка
1НМ2*+ь0)|| ^ |Ηί2Λ+ι,ί2*+ι,0)||βχρλι(ί-ί2Λ+ι), t ^ i2fc+i- (8-7)
Согласно предыдущему, существует такой номер к = fc(2) > fe(l), что
при г — 1 выполнена оценка
тах«"11п||и(*,*2Л(,-)+1,/8*)|| > α, ί G [*2fc(i)+i>*2fc(i+i)+i]· (8·8)
Но тогда в силу непрерывной зависимости решений линейной системы
(1а) от начальных данных и оценки (8.7) при к = 0 найдется и такое
число ω\ £ (0,/3ι), что неравенство (8.8) обратится в равенство при
t = l и βχ=ωχ. На отрезке [ίχ — 1, ίχ] систему (1л) подвергнем
преобразованию поворота по часовой стрелке на угол (βι — ω\)(ί —1\ +1).

186 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
Так как 0 < βι - ω\ < β\ < 7сь то полученная в результате
этого поворота матрица возмущения Q(t) системы (1л) удовлетворяет
на этом отрезке оценке [183] ||(?(ί)|| ^ const x exp(—at). При этом за
новым меньшим значением угла /?о сохраним прежнее обозначение.
Обозначим далее угол, составляемый вектором Μ(*2*(2)+ι>*2*(ΐ)+ι>ωι)
с осью Oa?i, через δ\. Этот угол по построению удовлетворяет
условию 0 <<5i <7fe(2)· На отрезке [i2fc(2)+i-M2fc(2)+i] систему (1А)
подвергнем преобразованию поворота по часовой стрелке на угол S\(t —
— *2fc(2)+i + 1)> пе превосходящий в силу неравенств (8.6) величины
сехр(—at). В результате этого поворота решение u(t,t2k(i)+i,ui) к
моменту t = *2*:(2)+1 укладывается в ось Ох\, и его мы обозначим
через w(i,i2fe(2)+i»0) Для t > t2k(2)+i- При этом второе решение
преобразуется в решение u(t,t2k(2)+ii8o) с некоторым углом δο € (0,7*(2))-
Полученная при этом повороте матрица возмущения Q(t) (второго
порядка) исходной системы (1^) на рассматриваемом единичном
отрезке удовлетворяет оценке [183] ||(?(i)|| ^ const χ ехр(—σί). Показатель
решения w(M2fc(2)+i>^o)> * ^ *2fe(2)+i5 системы (1л) равен \2, и
поэтому существует такой номер к — fc(3) > fc(2), что неравенство
max t~l ln||w(i,f2fe(i-i)+b^o)|| ^ λ2 - 1/г, t G [*2*(ΐ-ΐ)+ι,*2*(ι)+ι]ι
выполнено при г = 3. Наконец, на отрезке [i2fe(3)+i ~~1>*2*(3)+ι]
систему (1а) подвергнем преобразованию поворота против часовой стрелки
на такой малый угол /Зз(£ — t2k(3)+i + 1)> что решение w(M2fc(2)+i><5o)
после этого поворота в момент t = *2*:(3)+1 составляет с осью Ох\
некоторый угол β2 € (/?з>7*(з))* Как и выше, полученная в
результате этого поворота матрица возмущения Q(t) удовлетворяет
необходимой оценке. Момент же t = £г*(3)+1 является началом второго
этапа построений, полностью идентичных построениям первого этапа
на промежутке [i2fc(i)+i — 1? *2fc(3)+i)* Эти построения методом
математической индукции распространим на всю полуось. В результате таких
построений получим необходимую допустимую матрицу Q(t)
второго порядка и решения т/1 (t) и ?/2 (t) возмущенной двумерной системы
(1>4_q), для норм которых выполнены: на отрезке [t2k(i)+iit2k(i+i)+i]
равенство max£~x ln|J2/i(t)|| = α при нечетном г и
неравенство ln||t/i(i)|| ^ at при четном; неравенство max t~l ln\\y2(t)\\ ^
^ λ2 — l/i при t 6 [i2fe(i~i)+i>^2fe(i)+i] и нечетном г. Таким образом,
имеем Х[у\] = а, Х[у2] = Аг- Последнее равенство основано также
на свойстве непрерывной зависимости старшего сигма-показателя [77]
(см. § 9) от параметра а > 0.

8.3. Линейные системы с инвариантными показателями 187
Для завершения доказательства теоремы 8.2 в случае η > 2
достаточно дополнить построенную двумерную треугольную систему (1а)
уравнениями жг = \%хи t = 3,-,.,η, а матрицу Q(t) — нулями до
квадратной матрицы η-го порядка. На промежутке [0,1) положим
A(t) = Q(t) = 0. Теорема 8.2 доказана.
Следствие 8-1. Для любых чисел натуральных 1 ^ fc^n-1 G
£ N и вещественных λι ^ ... ^ λη, ol £ [λ*,λ*+1] и σ > 0
существуют n-мерная система (1а) с характеристическими
показателями Xi(A) = Аг, г = 1,..., га, u коэффициентом неправильности
аг(А) = σ и удовлетворяющая условию ||Q(t)|| ^ constxexp[—ar(A)t],
t ^ 0, лтгарш^а (?(£) ?г-го порядка такие, что возмущенная
система (Ια+q) с этой матрицей имеет характеристические показатели
Xi(A + Q) = Xi9 i^k; \k(A + Q) = a.
8.3. Линейные системы с инвариантными
относительно гробмановских возмущений
характеристическими показателями
В подпункте 8.3.1 этого пункта сначала рассмотрим достаточно
простой нетривиальный класс линейных дифференциальных систем
со свойством инвариантности своих характеристических показателей
относительно гробмановских возмущений — класс линейных
диагональных систем (1л), а затем установим, вообще говоря,
неинвариантность характеристических показателей систем этого класса в как
угодно малом расширении множества гробмановских возмущений.
Во втором подпункте 8.3.2 из всего множества неправильных по
Ляпунову линейных систем (1^) выделим в определенном смысле
полный подкласс систем (1а) с инвариантными относительно
гробмановских возмущений характеристическими показателями, в
частности, содержащий все диагональные системы. Этот подкласс состоит из
всех тех линейных систем, у которых коэффициент неправильности
Гробмана отличен от так называемой угловой неправильности,
определяемой в этом подпункте.
8.3.1. Диагональные системы
Для неправильной диагональной системы
χ = diag [ац(0, · · > (*nn(t)]x = A(t)x, xeRn, t ^ 0, (1д)
с коэффициентом неправильности Гробмана στ (А) будет установлено:

188 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
1) равенство Х(А) = Х(А + Q) для характеристических
совокупностей систем (1а) и (Ια+q) с любыми гробмановскими
возмущениями (8.1);
2) несовпадение этих совокупностей во множестве возмущений Q,
определяемых условием X[Q] ^ — στ (Α) +ε с как угодно малым
фиксированным ε > 0.
Второе утверждение будет доказано методом поворотов Миллион-
щикова.
Теорема 8.3. Характеристические совокупности Х(А) и Х(А +
+ Q) исходной неправильной диагональной системы (1а) и
возмущенной (Ια+q) £ гробмановским возмущением Q совпадают.
Доказательство. Пусть без нарушения общности нормальная (см.
§ 1) система решений X(t) = diag [хц(ί),..., xnn(t)] с элементами
xu(t) = ехр/0 аи{Т) dr, t ^ 0, является упорядоченной с
показателями Х[хц] = λ,, составляющими матрицу Λ = diag[Ai,..., Αη]. Как и
в [63], систему (Ια+q) преобразованием у = X(t)exp(—At)z = L(t)z
приведем к виду
z=Az + Q(t)z, zeRn, ί^Ο, (8.9)
в котором элементы qij(t) матрицы Q(t) имеют представления
Qij(t) = М*)¥У(*)МЮ>
t
φι(ΐ) = exp / [ац(т) - Af] dr, г, j = 1,..., га. (8.10)
о
Для функций ipi(t) справедливы неравенства
4Vj/v>i] ^ <*r(A), zj = 1,...,га, (8.11)
и поэтому для внедиагональных элементов q%j(t) матрицы Q(t)
выполнены оценки λ[^·(ί)]^0, а для диагональных — X[qu(t)]^—ar(A).
Возьмем произвольное 7 € (О,0т(^4)/4) и зафиксируем его. По
этому числу в силу (8.11) определим такой момент времени T(j), для
которого были бы выполнены неравенства
|to[Vi(i)MW]|<Mil)+7]i, i,j = l,...,ra, ί^Γ(7), (8.12)
из которых, в частности, следует, что при а = στ (А) - 7 ни в какой
момент t0 ^ Τ (7) и ни при каких г и j не могут одновременно
выполняться неравенства ψϊ(ίο) ^ expai0, <Pj(to) ^ exp(-ai0)- Более

8.3.Линейные системы с инвариантными показателями 189
того, для отношения Ф#(£) = Vj(')/v<(') справедливо в силу (8.12)
следующее ^-свойство: если при каких-то г, j и ίο ^ Τ (у)
выполнено неравенство Фу(<о) ^ expaio, то выполнены также и неравенства
Ф/м(*о) ^ ехр(—27^о) как при к = г и всех / = 1,...,?г, так и при
l~j и всех fc = 1,...,7г.
Для всех г = 1,..., η — 1 введем в рассмотрение функции rrii(t) —
= min Ф^ (ί), Mj(i) = max Φ^ (t) при j = г,..., η. Исходя без
нарушения общности из точки t = £q ^ Г(7), в которой Шг(*о) > ехр(—αίο) и
Мг(^) = export^, последовательно построим отрезки [i|,*j+1], I ^ О,
г G {1,...,п-1}, с концами, определяемыми для всех к ^ О
равенствами
ма**\к+э) = ехР tti4/fc+i ПРИ J = °> !ι
mt(*Wi) = exP(~a*4fe+i) ПРИ Э = 2>3>
такой максимальной длины, что mj(i) > ехр(—αί) на интервалах
(t\^t\) и (^-15*4^+2)' к € N, a, Mi(t) < export на интервалах
(*4*+i''4fc+4)» ^ ^ {0}UN. При этом моменты времени t\k и t\k+l,
а также *4Л+2 и ^4*+з МОГУт пРи некоторых fc и совпадать друг с
другом. Для длин же отрезков [*2/-1>*2/]' ' ^ ^> справедливы
неравенства
a — 27 -
*2/ ~*21-1 ^ 4а + 2'у^~1' (8-13)
в которых a ^ ||<A(t)||, t ^ 0.
Действительно, в случае / = 2fc + 1 имеем Μ^ί^+ι) = expai^+u
и поэтому по «/^-свойству справедливы неравенства
φ«(*4*+ι) > exP(~27*4fc+i)
для всех j = г,..., п, в том числе и для j(k) £ {г,..., ?г},
определяемого равенством mi(t\k+2) — Ф*я*)(*4*+2) = exP(~ai4fc+2)- Поэтому
для функции
\n$ij(k)(t) = / [λ* - агг(г) + ttj(fe)fi7(fe)(T) - Ajw] dr
0
выполнены неравенства

190 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
а тем самым и требуемое неравенство (8.13). В случае / = 2fc + 2 по
«^-свойству имеем неравенства $ij{t\k+A) ^ ехр(—2jt\k+/^) ^^я всех
j = г,... ,?г, из которых с учетом равенства тПг{Ь\к+3) = ехр(—оЛ\к+г)
получаем, как и выше, оценки -27^+4 + at\k+s ^ 4о(*4*+4 ~ *4*+з)>
а тем самым и неравенство (8.13).
Возьмем произвольное ε 6 (0, η/21+η) и построим для каждого
г € {1, - -., η — 1} непрерывную на [*q, +00) функцию
h ,(f\ — J еХР(~"1) ε**' * € (*2Z'*2Z+l)' «т. = «τΟ™-* / ^ Π
с линейной на каждом из своих промежутков определения функцией
jPi(i), принимающей значения
рА) = Pi(t\k+i) = -1» JPi(*4*+2) = Pi(*4*+s) = !·
Для производной функции bi_|_i(i) справедливы очевидные оценки
\bi+i(t)\/bi+i(t) ^ бг при ί G (*||,*2/-ι-ι) и в СИЛУ (8-13) оценки
\bi+1(t)\/bi+1{t) <ζ εέ[1 + |ft(t)|t] ^ ε«[1 +24,7(4, - 4I_1)] ^
^£i
1+2(α + 4α)"
q-27 J
<<ч
8(σΓ(Α)+4α)1
σΓ(Α) J' ге^2/-1»%^
так что \bi+i(t)\/bi+i(t) ^ с(А)б при всех г = 1,... ,?г — 1 и £ > £0 =
= maxig, к = 1, ...,?г— 1.
Введем, наконец, в рассмотрение функции
г
Α(ί)Ξΐ, &(ί) = J] 6,-(ί), г = 2,...,η, ί^ί0.
Для их производных справедливы оценки
l#(*)i/&(<) ^ пс{А)е, г = 1,... ,п, t ^ ίο. (8.14)
Подвергнем систему (8.9) ^-преобразованию
ζ = diag [/Ш,..., /?„(ί)]ω = /?(«V, ί G [ίο, +οο).
В итоге получим систему
ώ=[Α-β{ί)β-1(ί)]ω + 0(ί)ω, ω€Β.η, ί ^ ίο, (8.15)

8.3. Линейные системы с инвариантными показателями 191
с кусочно-непрерывными коэффициентами и элементами
ca(t) = %(ί)Φύ(ί)/?,(ί)/Α(ί), %J = 1, · - - ,η,
матрицы C(t). Считая без нарушения общности момент to настолько
большим, что
\\Q(t)\\expar{A)t + \\Q(t)\\ <: βχρεί, t > to,
для функций Cij(t) получим оценки:
η-1 τ
[η—ι
-σΓ(Α)+ε+£ε*
< exp ( - 7 + ε£ 2kJt < exp ( - ^J
в случае i < j, to ^ t £ [*4Л+1, t^+J и соответствующих к ^ 0;
(η—1 χ χ η—i—1 ч
-ε·+ε + Σ 6fe }ί ^ βχρεί -2η"*+ £ 2* }ί = exp(-et)
также в случае г < j, ίο ^ * € [*4*>*4*+ι] и соответствующих к ^ 0.
В случае г = j имеем равенства Cij(t) = %(ί), а в случае i > j —
представления
су(«) = дф)Ф^(t)bj^(t) χ ... χ ьтх(*)-
Из этих представлений по определению функций raj(i) и bj+i(i)
получаем аналогично предыдущему следующие оценки:
'Cu(t)' ^ ^м*уехр (■"σΓ(^+ε + Σ £кУ < ехр (" у)
для j < г, ί0 ^ * € [*4fe_ii*4fe-|-2] и соответствующих к € N (без
нарушения общности считаем ίο > *2 *П^1Я всех i)>
|cy(t)|<expi -е,-+е+ £ ε* Jί ^ βχρ(-εί)

192 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
также для j < г, t0 ^ t € [^к-2^Ак-\\ и соответствующих к € N.
Таким образом,
1|С(*)Н ^ doexp(—et) для всех t ^ to.
Пусть характеристические показатели системы (1л) таковы, что
матрица Λ допускает блочное разбиение Λ = diag[Aii?i,-..,Agi£g] с
различными числами Λι < ... < Ад и единичными матрицами Ей
размерности пк такими, что ηι+.. .Л-пч =п. Вводя верхнюю Rk(t) =
= Afe + пс(А)е и нижнюю rk(t) = Ак — пс(Л)е, t ^ to, центральные
функции [35, с. 114, 163] fc-ro блока
vk = {Λ*£* -diag[/?Pfc_1+^
где pk = τΐι + ..- + rik, системы ν = [Λ — /^(ί)/?""1^)]^,
являющейся системой первого приближения для (8.15), и выбирая ε > 0
достаточно малым, будем иметь систему первого приближения блочно-
разделенной. Поэтому в силу теоремы 15.2.1 (см. [35, с. 208])
система (8.15) имеет п* линейно независимых решений cjW(t), I £ пк =
= {pk-ι + 1,... ,Pfc}, занумерованных в порядке возрастания их
показателей, удовлетворяющих вместе с нижними показателями
неравенствам
Ак - (1 + п)се ^ π[ω(ί)] ^ X[cjw] <: Ак + (1 + п)се, I G nfc,
и образующих к-й блок нормальной упорядоченной системы
решений W(t) = [u/1)(£),...,ω(η>(ί)] системы уравнений (8.15). Согласно
предыдущему, показатель и нижний показатель решения а/^(<) при
всяком I = 1,..., η отличаются от числа Χι не более чем на (1 + п)се.
Так как ||0(ΐ)||, ||/?_1(ί)ΙΙ ^ βχρ2ηεί, t ^ t0l то соответствующее
решение z^(t) = β(ί)ω^(ί) системы (8.9) имеет характеристический
и нижний показатели, удовлетворяющие при всех достаточно малых
ε > 0 неравенствам Χι — de ^ π[ζ^] ^ λ[ζ№] ^ Χι + de с некоторой
постоянной d = d(A) > 0, т.е. точный показатель
ф«] = λ[*«] = λι, Ι = 1,... ,η. (8.16)
Покажем теперь, что фундаментальная система Z(t) — /3(i)W(£)
системы (8.9) является нормальной. Действительно, для линейной
комбинации
z(t) = J2csz«*»(t) = /3(t)^c«u,(,W)(t) = fi(tM*)
5=1 5=1

8.3. Линейные системы с инвариантными показателями 193
с постоянными с5/0и индексами l(s) > l(s — 1) имеем неравенства
λΐ(ρ) > AM > λ^/Ц/З-11|] > АН - А[||/Гх ||] £ λί(ρ) - [(1 + п)с + 2"]е,
из которых в силу независимости от ε вектор-функции z(t) имеем
необходимое равенство
λ[ζ] = λί(ρ) = тахА[*|(в)], s = 1,... ,ρ.
Решение y^(t) = L(t)z^(t) системы (1л+<з) имеет показатель
-Ms/'*] ^ λί, ибо матрица L(t) имеет равный 0 характеристический
показатель. Если бы матрица L~l(t) имела нижний
неположительный показатель, то из (8.16) сразу бы получили требуемое равенство
А[у(|)] = λ,. (8.17)
Но это, вообще говоря, не так (например, для системы (1а) с xn(t) =
= я^ЧО ~ expisinlni имеем ttJX"1] = 1), известны лишь
равенство А[1/^х] = στ(Α) и для диагональных элементов lu(t) матрицы
L(t) равенства Х[1ц] = О, г = 1,...,п. В силу последних равенств
имели бы также равенства (8.17), если бы для одной из компонент
Zi(t) рассматриваемого решения z^(t) были бы выполнены
равенства, аналогичные (8.16). Это, действительно, имеет место в силу уже
упоминавшейся теоремы 15.2.1 в случае rik = 1. В случае же га*. > 1
необходимы специальные рассуждения.
Одновременно установим, что фундаментальная система решений
Y(t) = L(t)Z(t) системы (Ια+q) является нормальной, и докажем
равенства (8.17). Предположим, что для некоторой линейной
комбинации
y{t) = 5>y(,(s))(<) = L(<)i>2{,(i))(i) = L(t)z(t)
с прежними cs и l(s) выполнено равенство \{у] = А^р) — δ, δ > 0.
Из системы (8.9) для г-й компоненты Zi(t) ее решения z(t)
получаем уравнение
it = XiZi + lul(i)(Qi(t),y(t)) = \iZi + fi{t),
в котором qi(t) — г-я строка матрицы Q(t). Согласно предыдущему
и условию теоремы 8.3 имеем оценку λ[/^] ^ Хцр) — δ. Поэтому из

194 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
представления
t
Zi(t) = expXi(t - t0) \zi(t0) + / fi{r) exp Xi(t0 -r)dr\
to
в случае λ* < λ/(ρ) с использованием леммы Ляпунова (см. § 1) о
характеристическом показателе интеграла сразу получаем неравенство
X[zi] ^ max{Aj, λ/(ρ) — δ}. Если же Χι ^ λ/(ρ), то сходится интеграл
+оо
Мго) = / fi(r) exp Xi(t0 - г) dr,
to
и в случае λ* > Хцр) необходимо zi(to) = — Ji(to) (в противном случае
имели бы неравенство X[zi\ = Аг > Хцр)-, противоречащее равенству
Χ[ζ] = λ;(ρ)), что приводит к неравенствам Χ[ζι] ^ Хцр) —δ. По этой же
причине в силу равенства (8.16) в случае Аг = Хцр) существует
удовлетворяющий этому последнему равенству номер г = т, для которого
Zm{to) + Jm(*o) Φ 0 (если бы такого т не существовало, то с учетом
предыдущего снова имели бы противоречие λ[;ζ] < Х(цр))У, поэтому
n[zm] = X[zm] = λ/(ρ). Это же означает выполнимость неравенства
Цу] ^ ^Цр) (напомним, что А[/шш] = 0), вступающего в
противоречие с предположением. Настоящее неравенство Х[у] ^ λ/(ρ) следует из
оценок Х[у^] ^ Χι, I = 1,. - -, п. Теорема 8.3 доказана.
Неулучшаемость полученного в теореме 8.3 условия X[Q] ^ — σγ(Α)
для совпадения совокупностей характеристических показателей
исходной диагональной системы (1л) и возмущенной системы (Ια+q)
устанавливает следующая*
Теорема 8.4. Для любых чисел σ > 0, Λχ < ... < Aqy q ^ 1, и
больших 1 натуральных τΐχ,... ^ nq существует диагональная
система (1д) размерности η = pq = пг + ... + nq с характеристическими
показателями Xi(A) = Л*, г = pk-i + 1,... ,р*, к — 1,..., q, p0 — 0,
и коэффициентом неправильности σγ(Α) — σ, такая, что для
любого ε > 0 найдется матрица Qe £ С?0 ^л порядка п, для которой
MQe] ^ — о Л-ε и характеристические показатели Xi(A + Qe)
системы (1a+q£) с этой QE{t) все различны и Аг(Л + Qe) φ Xj(A) при
всех i,j = 1,. ..,η.
* ^То оо) ~~ множество кусочно-непрерывных и ограниченных на полуоси
[0,+оо) матриц.

8.3.Линейные системы с инвариантными показателями 195
Доказательство этой теоремы основывается на следующих двух
леммах.
Лемма 8.1. Для любых чисел λ £ R и σ > О существует
двумерная диагональная система χ = A2(t)x, А2 6 С?0 тол, с
характеристическими показателями Χι(Α2) = Аг^Аг) = X и коэффициентом
неправильности аг(А2) = о такаяу что для любого δ £ (0, σ)
найдется матрица Βσ £ С?оу00\ второго порядка, для которой \[Βξ\ ^
^ δ — σ и двумерная система
У = A2(t)y + Ba(t)y, t^l, (8.18)
имеет характеристические показатели
λ.· (Л + Βδ) = λ + δ(θ - 1)~ι(-θ)2~\ θ = const £2, i = 1,2. (8.19)
Замечание 8.2. В случае σγ(Α) = 2\χ(Α) = 2λ2(Α) > 0
неустойчивость лишь старшего показателя двумерной диагональной системы
при линейных возмущениях с матрицей JB(i), удовлетворяющей
условию λ[Β] ^ δ - аг(А), δ > 0, обнаружена в [35, с. 415-417].
Доказательство леммы 8.1. Пусть Л2 (0 = 0 при t £ [0,1).
Зафиксируем 0^2. Элементы Oj(i) матрицы Аг(£) определим
следующим образом:
αί(ί)-Ω(ί,λ) = |λ + σ/(^_1)> i€(02fc+1^2fc+2)) 00,
α2(0 = 2λ - σ - α(ί, λ), ί ^ 1.
Непосредственными вычислениями легко установить равенства
t t
δ» = lim - / θ{(τ) dr = λ, α^ = Um - / щ(т) dr = λ — σ.
f-юо t J t-voo ί J
о о
Для построения матрицы Βσ(ΐ) введем в рассмотрение матрицу
поворота U(a) на угол а > 0 против часовой стрелки, углы
ак =■ arctgexp(-a - <50)0fe, /3* = arctgexp(<5 - o)Qk\
Tfc(*) = (A-aik)(-l)*"1(i-6fc + l)

196 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
и воспользуемся методом поворотов В. М. Миллионщикова, полагая
BAt)=l
xA2(t)U-lfrk(t)) - A2(t), t€[0*-M*], keN, (8.20)
0 для остальных значений t ^ 1.
Согласно методу поворотов для матрицы Bs(t) имеем оценку
||£β(£)ΙΙ < const х ехр(<5 - σ)ί, t ^ 1.
Рассмотрим решение u(t) системы (8.18) (с матрицей (8.20)) с
начальным вектором и(1) = (cosao,sinao). Покажем, что если это
решение в какой-то момент тк = вк удовлетворяет условию
tg<Mrk),Oxlik)} = tgafe, l(k) = к- 2[k/2] + 1, (8.21)
то этому же условию оно удовлетворяет и в следующий момент т*+1.
Действительно, в случае четного А: из (8.21) и по определению
функций a,i(t) имеем требуемые равенства
w(Tfe+i) = ||w(rfe+1)||i7(/3fe+i -afe+Oism/Jfe+bCos/ifc+i) =
= ||w(rfe+1)||(sinafe+1,cosafe+1),
а в случае нечетного — аналогичные. Отсюда по методу
математической индукции заключаем, что решение u(t) удовлетворяет условию
(8.21) при всех к ^ 1.
Вычислим характеристический показатель решения u(t). Из (8.20),
(8.21) и представления функций щ{1) следуют неравенства
1 ^ 2[ ||ii(Tfc+i)||/||tt(n)|| ] exp[«7b+i - \{rk+1 - rk)) ^ 4 (8.22)
для всех достаточно больших к. С учетом этого для t £ {тк,тк+\) и
в случае σ(ί - rk){0 — I)-1 ^ (σ + 6в)тк{1 + Θ)"1 имеем оценку
1η[||«(ί)||/||«(1)||] < 1 + к - Щъ -1) + a{t - η)]θ(θ - i)-4
+ λ(ί - 1) < 1 + к + [λ - δθ(θ - 1УгЩ - 1),
а в противном случае — оценку
ln[||u(i)||/||ii(l)||] ^ 1 + к + λ(ί - 1) + [σ(ί - rfe) - δθ(η - 1)](θ - Ι)"1 -

8.3, Линейные системы с инвариантными показателями 197
-(σ + 6в)тк ζ к + 0(1 + σ + |λ|) + [λ + σ(θ - I)"1-
-θ(σ + δθ)τΗ/{θ - l)rk+1]t ζ к + θά + [λ - δθ/(θ - 1)]ί.
Из этих оценок следует неравенство Х[и] ^ λ — δθ/(θ — 1), а из (8.22) —
противоположное неравенство, т.е. в итоге одно из требуемых равенств
(8.19).
Выберем фиксированный четный номер т удовлетворяющим
условию 2ехр(5 — min{a, 50})тт ^ 1 и рассмотрим для t ^ rm
второе решение v(t) системы (8.18) с "начальным" вектором i;(rm) =
= с(— cos/3m, sin/3m), с > 1. Покажем, что для этого решения
выполнены условия
(-1)4(0 > 0, t > rm; 1 ^ tg<{v(Tk),Oxl{k)}/tgPk ^ 2,
1(h) = к - 2[fc/2] + 1, fc > m, (8.23)
аналогичные условию (8.21) для решения w(i). Для этого
достаточно показать, что если условия (8.23) выполняются в какой-то
произвольный момент Tfc, то они будут выполняться и в следующий
момент Tfc+1·
Действительно, при четном к^т имеем представление
v(rk+1) = \\v(rk)\\exp\(rk+1 - Tk)U{pk+i - afc+i)x
^ апЬ*-ехра(0-1) 1(rk+l-rk) J' у J
в котором Ьк — угол между вектором v(rk) и осью Огг^). Из
представления (8.24) для угла bk+i имеем равенство
bfc+i = /8*+ι - α/fc+i + arctg[ctgb* · exp(-a - σθ)η] = β^ι - afc+i + ί£+1,
причем в силу второго из условий (8.23) и выбора номера m для угла
Ь'к+1 выполнены при к > m оценки
0,5tg/3fc+1 ^ ехр[-(й + σ0)τ*] > tgb£+1 ^ О,5ехр[-(<*+а0)г*] ^ tgafe+1.
С учетом выбора числа m отсюда сразу получаем выполнимость
второго из условий (8.23) с номером к + 1- Первое из условий (8.23)
очевидно, выполнено для t £ [Tfc,Tfc+i). Совершенно аналогичными
рассуждениями устанавливается справедливость второго из условий (8.23)
в момент Tfc+i и в случае нечетного к > т.

198 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
Вычислим теперь характеристический показатель решения v(t).
Из представлений (8.24) и аналогичных им в случае нечетного А;, а
также условий (8.23) имеем оценки
1<2[||φΐΗ4)№^ к^т, (8.25)
устанавливающие, в частности, справедливость неравенства λ [ν] ^
^ λ + δ(θ — I)-1. Для доказательства противоположного неравенства
оценим ||ι;(ί)|| для t £ (τ^,τ^+ι). В первом возможном случае
σ(ί - τ»)/(β - Ι)"1 ^ (σ - ί)τ*(1 + 0)"1
имеем очевидную оценку
\\v{t)\\ <Ξ л/5||«(тц)|| ехр[А + 5(0 - 1)-χ](ί - гк),
а во втором противоположном — оценки
И<)|| <J VE\\v(rk)\\ехр{(<5 - а)тк + [λ + σ(θ - l)"1]^ - тк)} ζ
< VE\\v(rk)\\ exp[A + σ(θ - Ι)"1 - (σ - S)rk(rk+1 - и)'1]^ - rk) =
= V5|Kt*)|| exp[A + δ(θ - l)-1]^ - τ*).
Итак, в обоих случаях с учетом неравенств (8.25) имеем оценку
114011 ^ Hrm)||(5/2)fe-"l+1exp[A-b«5(6-l)-1](i-rm), t € [τ*,τ*+ι),
из которой и получаем требуемое неравенство Χ[ν] ^ λ + δ (θ — Ι)"1.
Лемма 8.1 доказана.
Лемма 8.2. Для любых чисел X и σ > 0 существует
трехмерная диагональная система χ = As(t)x, As £ CjoooV с
характеристическими показателями Xi(As) = λ, г = 1,2,3, и
коэффициентом неправильности στ {Аз) = о такая, что для любого δ Ε (Ο,σ)
существует матрица Cg £ С?0 * третьего порядка, для которой
^[С$] ^ δ — σ и система
У = Mt)v + C6(t)y, y€R3, t Ζ Ι, (8.26)
имеет характеристические показатели
λι(Λ3 + Cs) = λ - δθ(2θ - 2Γ\ Xi(As+Cs) = λ + <52*-3(0 - Ι)"1,
θ = const ^2, г = 2,3. (8.27)

8.3· Линейные системы с инвариантными показателями 199
Доказательство леммы 8.2. Возьмем последовательность {U}
с членами: to — вт = тт, где четное число т удовлетворяет как
содержащемуся в доказательстве леммы 8-1 условию, так и его
модификации при замене δ на 5/2, а также условию 5тт > 2σ; U =
= exp{2fc(i) + г - 2[г/2]}1п0, г G N, и удовлетворяющую условиям
h > to04, {и/и+х} \. О. С ее помощью по числам λ и о и функции
α(£, λ) из доказательства леммы 8.1 построим элементы α$(ί)
матрицы Az(t) :
^Ai, it |t2f+b*2f+2j>
где через λ ι и λ* обозначаем правые части одноименых равенств в
(8.27),
«2(0 = 2λ-σ-α(ί,λ), a3{t) = a(t,\), t^ 1.
Матрицу C${t) и нормальную систему решений [u(t),v(t),w(t)]
системы (8.26), реализующую показатели (8.27), будем строить по
индукции. На промежутке [Ι,ίο) полагаем C$(t) = 0. Осуществим
построение первого этапа на отрезке [ίο, *г]· На промежутке [ίο, h —1/2]
полагаем элементы 3-й строки и 3-го столбца матрицы Cs(t)
равными 0. На отрезке [ίο,^ι^-1) оставшийся неопределенным 2-мерный
блок матрицы Cs(t) полагаем равным Д$/2(0- В его построение по
лемме 8.1 необходимо ввести помимо указанной замены числа δ на
5/2 следующее изменение: в определении углов 7m+i(i) и 72fc(i)(0
множители /3m+i — c*m+i и /32*(i) — <^2k(i) необходимо заменить
соответственно множителями /3m+i и /32*(ι)· Таким образом, на отрезке
[to-,ti0~l — 1/2] возмущенная система (8.26) имеет вид
(2/1,2/2)' - [М*) + ^/2(0](2/ь2/2), Уз = оз(«)»з· (8.26')
На отрезке [l,t\ — 1/2] в качестве решения w(t) возьмем в
соответствии с предыдущим вектор (0,0,а?з(£, 1))- Вместо прежнего угла ат
введем новый меньший с помощью условия
a?i(rm+1,rm)ctgam = a?2(rm+i,rm) tg(om+i + /3m+i) (8.28)
и в качестве "начальных" значений решений u(t) и v(t) возьмем
векторы
u(t0) — (cosamj sin am,0)exp λχίο,
v(to) = (-sinam,cosam,0)exp(—σ-l· Агб" )ίο·

200 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
Начиная с момента 0to и до момента ί\θ~ι, полностью находимся в
условиях леммы 8.1 и для углов этих решений выполнены соотношения
(8.21) и (8.23) при к = т + 1,..., 2fc(l) — 1, а для их норм —
неравенства (8.22) и (8.25) при тех же fc, причем в этих неравенствах число
δ необходимо заменить на 5/2. В соответствии с изменениями,
внесенными в определение матрицы Bfi/2(t) на отрезке [t\6~l — Ι,ίιθ*"1],
для решения u(t) имеем равенство u(t\0~l) = (||^(£ι0_1)||,Ο,Ο), а угол
<(ν(ί\θ~ι),Οχι) увеличится по сравнению со своим прежним
значением на a2fe(i). Это в силу неравенств а* < /?*/2, к > т, и (8.23)
приводит к оценке tg<{v(ti6~l),Ox\} ^ 3tg/?2fc(i), a тем самым и к
оценке (8.25) при к = 2fc(l) (в которой число 5 необходимо удвоить;
эту новую оценку будем обозначать номером (8.25') для нормы
решения v(t) системы (8.26), считая Cs{t) = 0, t £ [ti0~l,t\] (на отрезке
[t\ — ljt\] определение матрицы Cs(t) будет изменено)). Также в силу
(8.23) и указанного выше увеличения угла имеем неравенство
tg^vfae-^Oxi} >tgβ2k(1),
из которого получаем оценку
tg<{v(t),Ox2} < exp[-a*i + 2σθ - δίλ{2θ)~ι\ <ζ exp(-ati),
te [ίι-1,ίι-1/2]. (8.29)
На указанном в (8.29) отрезке матрицу <B$/2(t) возьмем треугольной с
единственным отличным от 0 элементом bi2(t) — Ьх2 = const, т.е. на
этом отрезке рассматриваем следующую систему (8.26')
У\ = αι(%ι + 6ΐ22/2, У i = <4(t)yi, г = 2,3. (8.30)
Легко видеть, что при некоторой положительной постоянной Ь\2 <
< 2 tg <{v(t\ — 1), Ох2} (нетрудно записать и ее явное представление)
в момент t = t\ — 1/2 будем иметь vi(t\ — 1/2) = 0. На основании
(8.29) это треугольное возмущение является допустимым. При этом
на рассматриваемом отрезке норма решения v(t) системы (8.30)
становится даже несколько меньше нормы этого же решения в случае
bi2 = 0 (ведущая компонента v2(t) не претерпевает изменений).
Решения же u(t) и w(t) на отрезке [t\ — 1,£ι — 1/2] не подвергаются
никаким изменениям, они, что существенно, являются решениями
системы χ = As{t)x и расположены на положительных направлениях
осей Οχχ и Охз соответственно.

8.3. Линейные системы с инвариантными показателями 201
На промежутке (t\ — 1/2, ti) и в плоскости х\ = 0 совершим
поворот от оси 0x2 к оси Ох$ против часовой стрелки на угол
<*2Α;(ΐ)+ι(£ — h + 1/2), определяемый условием
a?2(6tiiti) ctga2fe(i)-i-i = ^s(0tuti)tg(a2k(i)+2 + /?2fc(i)+2),
аналогичным условию (8.28). Далее на отрезке [<ь<2 ~ 1/2]
осуществляем приведенные выше построения на отрезке [to>ti] с
обратной заменой 5/2 на 5, но уже в плоскости жгОжз, а на
промежутке (^2 — 1/2,fe] — в плоскости Χχ0χ2, совершая в ней поворот на
непрерывный угол, принимающий к моменту t = t2 значение α2*(2)>
определяемое условием, аналогичным (8.28). На этом первый этап
построения допустимой матрицы Cs{t) закончен. По индукции
распространим эти построения на всю полуось t > 1. Полученные при этом
решения на основании леммы 8.1 (см. неравенства (8.25) и (8.25')
и аналогичные им (8.22) и (8.22')) указанных специальных
изменений и выбора последовательности {U} имеют показатели Х[и] = Х\,
X[v] = Аг, А[ги] = λ3. Лемма 8.2 доказана.
Доказательство теоремы 8.4. Выберем число δ 6 (0,min{e, σ})
удовлетворяющим также и условию 28Θ < min(A$ — Λ$_ι), г = 2,..., q,
в случае q ^ 2. Зафиксируем произвольное к £ {1,...,д} и с
помощью лемм 8.1 и 8.2 построим к-е блоки:
x = Dk(t)x, x£Rn\ t^ 0, (lfc)
исходной диагональной системы (1л) с равными Λ*
характеристическими показателями и
y = Dk{t)y + Qk{t)y, yeRn\ t£0, (2fc)
возмущенной системы (1^+q) с удовлетворяющей условию X[Qk] ^
^ δ — σ матрицей Qk € C?Q ^ и определяемыми далее
характеристическими показателями. Введем в рассмотрение числа <5(г) = Й/г,
ί = 1,...,/*ι где lk = [njb/2].
Если пк = 3, то построение систем-блоков (1*) и (2*)
осуществляем по лемме 8.2, взяв в качестве δ исходное число δ. В двух
оставшихся случаях поступаем так:
1) если пк четное, то матрицы Dk и Qk порядка пк строим по
лемме 8.1 блочно-диагональными:
Dk(t) = diag[j42(t), ■ ■ ·, A2(t)], Qk{t) = diag[B6(1)(t), -. -, BS(lk){t)),

202 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
и в этом случае совокупность показателей системы (2*) составляют
все различные и не равные Λ* числа
ХХ(А2 + Вт) = А* - δ(ί)θ(θ - Ι)"1,
X2(A2+B4i))=Ak+S(i)(e-l)-1, г = 1,...Л, (8.31)
записанные в порядке возрастания;
2) если пи нечетное, то матрицы Dk и Qk того же порядка пк
строим по леммам 8.1 и 8.2 снова блочно-диагональными, но уже
следующего вида:
Dk(t) = diag [A2{t),..., A2{t)1 As(t)l
Qk(t) = diag[B*(1)(t),.. .^^-ijW.C^)^)],
и совокупность показателей системы (2*) в этом случае составляют
записанные в порядке возрастания 21 к числа (8.31) и полученные по
лемме 8.2 три числа (8.27), соответствующие δ = S(lk) и λ = Λ*,
причем все эти числа различны между собой и отличны от Л*.
Теорема 8.4 доказана.
8.3.2. Линейные системы с угловой неправильностью,
меньшей их коэффициента неправильности Гробмана
Введем класс неправильных линейных систем (1л) с
инвариантными относительно гробмановских возмущений характеристическими
показателями, содержащий подкласс диагональных систем.
Пусть Ха{$) = [#ι(*)ι· ·· >жп(*)] "~ нормальная по Ляпунову (см.
§ 1) упорядоченная (по возрастанию показателей) система решений
линейной системы (1л) с показателями Ляпунова λ* = \к{А) — Х[хк],
к = 1,... ,п, ее столбцов — решений xk(t). Через ak(t) е (0, π/2]
обозначим угол между вектором xk(t) и линейным пространством
остальных п—1 векторов Xi{t) Ε Χα&). Угловой неправильностью системы
(1л) будем называть величину
aw(A) = max{A[l/afc]} > 0.
к
Для нее справедливо неравенство aw(A) ^ аг{А)> которое
устанавливает следующая
Лемма 8.3. Угловая неправильность aw{A) всякой линейной
системы (1л) не превосходит ее коэффициента неправильности
Гробмана аг{А).

8.3» Линейные системы с инвариантными показателями 203
Доказательство. По определению обратной матрицы ХА х (t) для
ее fc-й строки x'k{t) справедливо представление
x'k(t) = (Xlk(t),..., Xnk(t))/ detXA{t),
в котором Xikif) — алгебраическое дополнение элемента Xik(t)
исходной нормальной по Ляпунову системы решений Хд(£) = НздЮН"
(первый индекс — номер строки, второй — номер столбца)
дифференциальной системы (1а)· Представим алгебраическое дополнение
Xik(t) в виде определителя матрицы X'ik(t) η-го порядка, полученной
из матрицы Ха{$) заменой ее fc-ro столбца единичным координатным
вектором в{ Ε Rn, В случае к > 1 поменяем в матрице X'ik(t)
местами первый столбец с fc-м и обозначим новую матрицу через Xik(t);
такую же перестановку совершим и в матрице Χα(ϊ), получив при этом
новую матрицу Ха(Ъ)- Используя обозначение detB = \B\ для
произвольной квадратной матрицы В η-го порядка со столбцами Ь\,..., Ьп
и формулу [43]
η π—1
I det B\ = Ц INI IJ sin <{h, Пп_{}
вычисления модуля определителя, в которой <{&ϊ,Π71_ί} —угол
между вектором bi Ε Rn и линейным подпространством Πη_ϊ векторов
bi+i,..., Ьп, для fc-й строки x'k(t) матрицы Хд1 (£) имеем новое
представление
**(*) = (\Xik(t)l...AXnk(t)\)/\XA(t)\ = hk(t)/[\\xk{t)\\sinak(t)],
\hk(t)\ = (sinalfe(t),... ,smank(t)) (Ξ i^.
В этом представлении вектор hk(t) имеет компоненты, по абсолютной
величине совпадающие с соответствующими компонентами вектора
|/ifc(£)|, а через amk(t) обозначен угол между вектором ет и
линейным пространством Ek~l(t) векторов xi(t),...,xk-i(t),xk+\(t),...
...,xn(t). Очевидно, нормы векторов hk(t) и |/ι*(£)| совпадают.
Установим теперь существование такой постоянной ск > 0, для
которой было бы выполнено неравенство || |hfc(f)| || ^ ск при всех t ^ 0.
Предположим противное: |^*(£р)| -> 0 при ρ -> оо по некоторой
последовательности {tp} t +°°. Тогда по этой последовательности
стремятся к 0 и все синусы sinamfc(f), т = Ι,.-.,η. Это
означает существование такого достаточно большого to, что в достаточно

204 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
малой окрестности всякого вектора ет (вектора е\,..., ет
составляют ортогональную систему координат) можно указать такой вектор
em(to) 6 E%-l(to), τη = Ι,.,.,η, что sin<{em,em(i0)} будет
достаточно мал. В результате будем иметь η линейно независимых
векторов ei(£o),---,en(£o)> принадлежащих пространству E%~l(to)
векторов xi(to),--.,Xk-i{t),Xk+i(to),.*.,Xn(to) размерности η - 1.
Полученное противоречие и доказывает существование необходимой
постоянной ск > 0, что позволяет получить следующие неравенства
σΓ(Α) = тах{Х[хк] + [Х[х'к]} = тзх{Х[хк] + [λ[1/||ζ*|| sin α*]} ^
к к
^ maxiAjsin"1 ак]} = (TW(A) ^ 0.
к
Лемма 8.3 доказана.
Между угловой неправильностью aw(A) системы (1д) и ее
коэффициентом неправильности σρ {А) возможны любые соотношения. В
частности, для неправильных диагональных систем выполнено
неравенство 0 = <tw(A) < аг(А), а для двумерной системы (1д),
построенной при доказательстве теоремы 8.2 и имеющей неустойчивые
относительно гробмановских возмущений характеристические показатели,
справедливо равенство σγ{Α) = aw(A) > 0. Последнее не является
случайным, что устанавливает следующая
Теорема 8.5. Если для системы (1д) выполнено условие σο =
= aw(A) < σγ(Α) = σ, то характеристические совокупности Х(А)
этой системы и Х(А + Q) возмущенной системы (1л+д) с гробма-
новским возмущением Q 6 CS, ^ч совпадают.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 8.3, систему
(Ια+q) преобразованием у = XA(t)e~xtz = L(t)z, в котором Хд(*) —
нормальная по Ляпунову упорядоченная по возрастанию система
решений дифференциальной системы {1а), а Λ = diag [λι,..., λη], λ* =
= λί(>1), приведем к виду
z = Az + Q(t)z, zeRn, t^O, (8.32)
в котором элементы q%j(t) матрицы Q(t) имеют представления
η η
qij(t) = [дх&ХлУ)]-1 Σχν(ί) Y,Qki{t)Xbi(t) x exp(Af - Xj)t7 (8.33)
/=1 fc=l
где Xij{t) и qki(t) соответственно элементы матриц Хл(*) и Q(t), a
Xki(t) —алгебраические дополнения элементов xki(t) матрицы Хд(*)·

8.3.Линейные системы с инвариантными показателями 205
Представляя минор М^(£) элемента Xk%{t) в виде определителя
матрицы X^(t) η-го порядка, полученной из матрицы Χα(ϊ) заменой
элементов xu(t) г-го столбца нулями при Ι φ к и единицей при I = к,
а затем переставляя в матрице χ№(ί) этот полученный г-й столбец
и 1-й и осуществляя такую же перестановку г-ro и 1-го столбцов в
матрице Ха{Ъ)<> из представлений (8.33) с помощью известной формулы
вычисления определителя (см. доказательство леммы 8.3) получаем
неравенства
1М*)1 < "IIQWII IMOII IdetJOiWr1 max|XH(t)| x exp(Ai - λ,·)* ^
к
^ n\\Q(t)\\ [\\xj(t)\\/\\xi(t)\\ вша£(*)]ехр(А, - Xs)t =
= n\\Q(t)\\9v(t), i,j = l,...,n. (8.34)
Получим теперь асимптотическое представление для нормы г-й
строки χ[(ί) = (Xii(i),...,Xrii(t))/detX(t) матрицы XJx(t).
Представляя, как и выше, алгебраические дополнения Xu(t)
соответствующими определителями n-го порядка и осуществляя указанные
перестановки столбцов, с помощью применявшейся формулы вычисления
определителя для вектора x'^t) будем иметь представление
х№) = К(1)/\\х&)\\зтщЮ,
hi(t) = ((-l)t+1 sinaii(i),..., (-1Υ+71 sinani(f)), (8.35)
где через ctki(t) обозначен угол между единичным координатным
вектором вк и подпространством Е™"1 (£) векторов χχ (t),..., χ^ι (t),
a?t+i(t),.. .,xn(t). При доказательстве леммы 8.3 было установлено
неравенство 0 < с» ^ ||/ii(t)|| ^ n, t ^ 0, а тем самым в силу (8.35) и
требуемая асимптотическая оценка
О < const = а ^ ||ж-(*)Н 1М*)Н sinа{(*) ^ η, г = 1~й, t ^ 0. (8.36)
Из оценки (8.36) для коэффициента неправильности σγ(Α) линейной
системы (1а) получим новое представление
аг(А) = max{A[a:i] - λ [ж» sin α*]}, (8.37)
в котором Xi = Xi(t) — i-й столбец-решение нормальной системы
решений Ха&), а щ = ai(i) — угол между вектором Xi(t) и
подпространством остальных векторов, составляющих матрицу Χ^(*)· Из

206 § 8: Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
равенства (8.37) и оценок (8.34) имеем неравенства λ[%] ^ 0 при
г Φ j, а по условию доказываемой теоремы и неравенства X[qu] < 0.
Так как в силу (8.34) справедливы оценки Л[Ф^·] ^ &г(А) = 0",
то для произвольного числа 87 € (0, σ — σο) найдется такой момент
T(j) ^ 1, для которого выполнены неравенства
1пФ^(*) < (σ + 7)*, ij = Ι,.-.,η, t > Γ(7). (8.38)
Зафиксируем далее произвольное число ε е (0,7/21+гг). По
определению числа σο существует момент τ (ε) ^ 1, для которого
Si(t) Ξ sin"1 cti(t) ^ βχρ(σ0 + e)t, i = 1,..., n, t ^ τ(ε). (8.39)
Без нарушения общности считаем T(j) ^ г (ε). Из неравенств (8.38)
вытекает, в частности, следующее Ф-свойство: если в некоторый
момент to ^ Т(*у) и для некоторых i < к выполнено неравенство
&ik(to) ^ \/si(to)expto(a + 7)/2 = <£i(*o),
то выполнено также и неравенство Ф^(£о) ^ ν^(*) ПРИ всех I =
= % + Ι,.,.,η. Действительно, в случае I — к в силу (8.39) имеем
неравенство
Ф*»(*о) ^ *л(*о)лЛ*(*о) βχρ[(-σ - 7)W2] ^ Y>i(*o)·
Для Ζ φ к, предполагая невыполненным необходимое неравенство
Φϋ(*ο) ^ <Pi(to), приходим к следующему противоречию
Фль(М = $ik(t0)$u(to)/si(to) > βχρ(σ + *y)t0
с неравенством (8.38).
Для каждого i = Ι,.,.,η — 1 введем в рассмотрение функции
Ml(t) = тахФ{,-(£), M»(t) = тахФ^Дг), j = г + Ι,.,.,η. Исходя из
некоторой точки t^ ^ T(j), в которой Мг(*о) = βχρ(σ — 7)*о,
последовательно построим отрезки [tf,ti+1], i 6 {Ι,...,η-l}, I ^ 0, с
концами, определяемыми для fc ^ 0 равенствами (ниже, где это не
диктуется необходимостью, будем опускать индекс i у чисел t\)
М%(t4k+j) = βχρ(σ - 7)i4*+j, i = 0,1;
M^Uk+j) = ViiUk+j), j = 2,3, (8.40)

8.3. Линейные системы с инвариантными показателями 207
так что при всех к ^ 0:
1) M\(t)><pi{t) на интервалах (*4*,*4*+г) и (*4fc+3,*4fc+4);
2) Мг(Ь) <ехр(а— j)t на интервалах (hk+iiUk+i)',
3) отрезки [i4fc>*4fc+i] и [*4Л+2|*4А:-ьз] имеют максимально
возможную длину.
Заметим, что эти отрезки при некоторых г и к могут вырождаться
и в точки на полуоси. Для длин же интервалов (*2fc-b*2i)> на которых
по построению <Pi(t) < Μτ{ί) < βχρ(σ — j)t, справедливы неравенства
fai - «21-1 £ ^σ+^α)^"1 ~~ °° (8,41)
с некоторой постоянной cq = со(А) > 0. Действительно, в случае I —
= 2fc + 1 в силу (8.39), (8.40) и выбора чисел 7 и £ Для функции
М*(£) имеем неравенства
(а-ао)4_1*2^1 -σ(ί2ι - t2i-i) ^ (σ-7)*2*-ι -2'г(а + а0 + у + е)г21 ζ
^ 1ηΜ*(ί2ΐ-ι) " 1пМ\г21) = 1ηΦ<ρ(ί2ΐ-ι) - InAf*(«2i) ^
(8.36)
^ In[«<P(t2i-i)/«ip(fei)] ^ b(n/ci) +ln[|M*2i-i)||/IMfei)||]+
+ ln[ ||x-(*2i-i)||/||a?S(*2i)|| ] + (λΡ - λ<)(*2ΐ - *2ΐ-ι) ^ с + 4a(t2i - *2i-i),
из которых и получаем оценку (8.41). Аналогичными
рассуждениями устанавливается справедливость неравенства (8.41) и в случае I =
= 2к. При этом предполагаем, что при каждом г реализуется худший
случай — последовательность [Ц] является бесконечной. Она является
и неограниченной, так как в противном случае [Ц] f θ < +оо
функция М*(£) была бы разрывной в точке t = 0. Поэтому без нарушения
общности точку £q считаем настолько большой, что неравенство
4 - 4-1 > Ъ (Л)4-1, ci (А) = (σ - σ0)/5(σ + 4α),
выполнено при всех г = 1,..., η — 1 и I ^ 1.
Как и при доказательстве теоремы 8.3, введем в рассмотрение
функции bi+i(£), г = 1,...,гс - 1, по ним — матрицу β(ί) =
= diag[/3i(i),...,/3η(ί)] с выполненными для ее элементов оценками
(8.14) с новой постоянной с(А), а затем подвергнем систему (8.32) /3-
преобразованию ζ = β(ί)ιν. В результате получим систему (8.15) с
кусочно-непрерывными коэффициентами
Cij{t)=qij{t)fij{t)№i{t\ г J = 1,...,п.

208 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
Считая без нарушения общности момент to настолько большим, что
n||<2(t)||expa(,4)t + \\Q(t)\\ ζ βχρεί, t ^ t0,
для функций Cij(t) получим следующие оценки.
Пусть г < j. С учетом неравенств (8.34) и представлений для
функций /3fc(i) имеем неравенства
|cy(t)| ^n||Q(t)|^«(t)bi+ibH.i(t)...bi(t) ^
^ АГ(*)ехр
п-1
-σ(Α) + ε + ]Г ε* ί < ехр ( -7 + ε ^ 24 * < exp(~7/2)*,
to ^t € [t4k+lit4k+4b л ^ 0.
Оценка элементов Cij(t) на оставшихся отрезках [^4fc»^4JH-iJ осущ£~
ствляется точно также, как и в работе [122]. Для оценки (с^)!
отметим сначала, что в силу Ф-свойства на отрезках [t\k ,t\k+2] и
[*4fc+3>*4fc+4L на которых Ml(t) ^ <Pi(t), необходимо выполнено
неравенство Mi(t) ^ (^i(i), а тем самым и неравенство М$(£) < ехр[а(Л) —
—j]t. Поэтому на этих отрезках имеем неравенства
\cij(t)\ ζ η\^(ί)\\Φάί(φί+1(ί)... bj(t)rl ζ Mi(t) ехр[-а(Л) + e2n]t.
На отрезке же [*4*+2>*4*+з] Функция bi+i(i) совпадает с βχρε4·£ и
поэтому |cij(t)| на нем оценивается так же, как и при доказательстве
теоремы 8.3. Для диагональных же элементов в силу (8.34), (8.39) и
условия теоремы имеем неравенства
\сц\ = qu{t) ^n||<2(*)|| sin"1 α^ί) ^ ехр(а0 - σ + 2ε)ί < ехр(-7*)> *> *ο·
Итак, доказана оценка ||C(i)|| ^ dexp(—εί), t ^ to. Тогда система
(8.32) имеет (см. доказательство теоремы 8.3) нормальную систему
решений Z(t) = [zM(t),... ,2(п)(01 с показателями ф<0] = λ[ζ&] = Xh
I = Ι,.,.,η. Покажем теперь, что фундаментальная система
решений Y(t) =L(t)Z(t) = [y{1)(t),...,yW(t)] системы (U+q) также
является нормальной, и докажем равенства А[«/г)] = λι, Ι = Ι,.,.,η.
Неравенства А[г/^] ^ А/ очевидны, так как X[L] — О. Как и при
доказательстве теоремы 8.3, предположим, что для некоторой линейной
комбинации
»(«) ξ £>/«»(*) = L(f) $>2(/(s))(') = L(t)z{t)
s=l s=l

8.4. Односторонняя устойчивость старшего и младшего показателей 209
с постоянными cs φ 0 и индексами l(s) > l(s—l) выполнено равенство
λ[ϊ/] = λ/(ρ) — <5, δ > 0. Из системы (8.32) для г-й компоненты Zi(t) ее
решения z(t) получаем уравнение
ii = λ^έ + еА* V*(*). Q(t)y(t)) = A*** + /«(*),
в котором A[/J ^ λί(ρ) — δ. Из этого уравнения на основании
предыдущего имеем: \[zi] < Хцр) для всех таких г, для которых А^ φ \{ν)\
для тех же г € N(p), для которых А^ = Хцр^ справедливы
представления
Zi{t) = М*о) + Wi(t,ίο)] expλ|(ρ)ί, λ[«ί] < 0, г G JV(p),
с некоторыми новыми значениями г»(ίο), причем
Σ W*o)l>0. (8.42)
ί<ΞΝ{ρ)
Поэтому, обозначая через li(t) г-й столбец матрицы преобразования
L(t), для решения y(t) системы (Ιλ+q) имеем представление
y(t) = Σι^ίήΖίί*) + E2Wi(t, io)a?i(*) + 5W«o)a?t(*),
где суммирование проводится: в Σχ по всем индексам г Ε {1,...,η}\
\Ν(ρ), в Σ2 и Σ3 по всем г е Ν(ρ). Так как λ[Ζ$] = 0, то λ[Σ*] <
< λ/(ρ), к = 1,2. В силу же (8.42) и свойства нормальности системы
решений Χα{ϊ) системы (1^) получаем А[Ез] = ^Цр)· Таким образом,
Х[у] — А/(р) и как следствие А[у^] = А/. Теорема 8.5 доказана.
8.4. Односторонняя устойчивость
старшего и младшего показателей
Теорема 8.2 (см. п. 8.2) утверждает существование, а ее
доказательство содержит и конструктивное построение таких линейных систем
(1а), что один из характеристических показателей возмущенной
системы (Ια+q) с соответствующим гробмановским возмущением Q
совершает скачок внутри отрезка [Αι{Α),λ2{Л)], принимая любое наперед
заданное значение из интервала (λι(Α),λη(Α)). В этом пункте как
раз и будет установлено, что ни один из характеристических
показателей возмущенной системы (Ια+q) с такими возмущениями не может
выйти за границы отрезка [λι(-Α),λη(-Α)]- Справедлива следующая

210 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
Теорема 8.6. Все характеристические показатели \i(A + Q)
линейной неправильной системы (Ια+q) с гробмановским
возмущением (8.1) расположены между младшим λι(Α) и старшим Хп(А)
показателями исходной системы (1л):
Xi(A)^Xi{A + Q)^\l{A)i г = 1,...,п.
Доказательство. 1°. Неравенство \n{A + Q) ^ Хп(А) является
непосредственным следствием свойства непрерывности старшего
сигма-показателя \7σ(>1) системы (1А) (см. §9) и теоремы 8.1. Приведем
также и его прямое представляющее самостоятельный интерес
доказательство. Для этого оценим сначала норму матрицы Коши ΛΆ(£, г),
t ^ г, системы (1а) двояким образом. Первая оценка
\\ХА&т)\\^еа«~Т\ f^r^O, (8.43)
является очевидной. Для получения второй оценки всякий элемент
%(t,r) матрицы Коши ΛΆ(ί,τ) = ХлфХ^^т) представим в виде
η
*ki{t,r) = ^XkjWflir), (8.44)
3=1
в котором ΑΆ(ί) = ΙΙ^ίΟΙΙ? ~~ нормальная упорядоченная система
решений системы уравнений (1^) со столбцами-решениями #»(£), а
Хд1(т) = ||^(τ)||" — обратная к Ха{т) матрица со строками х\{т),
имеющими показатели δ^.
Из представления (8.44) имеем неравенства
η
kw(*,r)| ^^ ||^(0|| II^WH, fc,Z = l,-..,n,
i=i
а тем самым и неравенства*
\\χΑ(ί,τ)\\<ζη2Σ°ΛΦ(Χί+ε)'Ηδί+ε)τ <
3=1
^<7(ε)θχρ[(λη+ε)(ί-τ) + (σΓ+2ε)Γ], νε > 0, t > τ ^ 0. (8.45)
'Здесь и ниже С(е) — положительная универсальная постоянная.

8.4.Односторонняя устойчивость старшего и младшего показателей 211
Предположим теперь противное:
Хп(А + Q) = Х[у] = Хп(А) + а, а > 0.
Представим решение y(t) системы (1д+д), реализующее ее старший
показатель Хп{А + Q), в форме Коши
т* t
у(г) = ХА&0)у(0)+[хА&т)<2(т)у(т)(1т+[...у(т)<1т, ί ^ 0, (8.46)
О 7*
с числом 7? определяемым неравенствами
2а
2а + сгг
< 7 < 1·
Оценивая в (8.46) норму первого слагаемого и первого интеграла с
помощью оценки (8.45), а второго — оценки (8.43) и затем, введя
обозначение u(t) = \\y{t)\\e~(Α"+ε)*5 получим из равенства (8.46) следующее
неравенство:
yt t
n(t) ζ С(е)||у(0)|| +С{е)е3е* iu{r) dr + C{e)e2a^1'^t^e'ar^t iu{r) dr.
О 7*
Показатель Ляпунова функции u(t) при достаточно малом ε > 0
положителен и равен а — ε. Поэтому из предыдущего неравенства по
свойству показателя суммы функций (см. § 1) имеем оценки
Х[и] = α - ε ^ max{0,3e7 + (α - 5)7,2α(1 — 7) + (ε — аг)7 + α — ε} =
= max{0, (α + 2ε)7, α — ε + 2α — (2α + аг - ε)7} < α - ε.
По выбору 7 они являются противоречивыми при ε — 0. В силу
непрерывности по ε > 0 всех частей этой оценки найдется и столь
малое ε > 0, при котором они по-прежнему будут противоречивыми.
Поэтому наше предположение о положительности числа α является
неверным. Неравенство Xn(A + Q) ^ Хп(А) доказано.
2°. Для доказательства второго необходимого неравенства
Xi(A + Q) ^ λι(Α) предположим противное: существует
удовлетворяющая условию (8.1) матрица Q Ε С&>00) такая, что Ai(>l + Q) <

212 § 8. Линейные системы с экспоненциально убывающими возмущениями
< Χι(Α). Пусть y(i) — решение системы (Ια+q) с показателем \у =
= Xi{A + Q)<\l{A) = X1, στ(Α)=σ.
Покажем, что сходится несобственный интеграл от вектор-функции
u(t) = X~l(t)Q(t)y(t) по промежутку [0,+оо). Действительно, для
ε β (0,σ(λι - Ху)/8а) П (0,σ/8), где а ^ 1 + \\A(t)\\ при всех t ^ О,
справедливы оценки
\щ(г)\ ^ С{е) ехр(й - σ н- λ^ + 3e)f < С {ε) ехр(Ху - λ* + 3ε)ί ^
^ С(£г) exp(-6t), t ^ 0, (8.47)
из которых и следует сходимость интеграла ^ = /0 °° и(т) dr.
Поэтому, применяя использованный в [73, 216] прием оценки интеграла,
решение y(t) системы (1а+<э) можно представить в виде
y(t) = ХаШХ^ОМО) + Zoo] - ΧΑ(ί) j u{r) dr - XA(t) j u{t) dr =
t r(t)
= XA(t)[X-l(0)y(0) + zoo] + /i(t) + /2(t), (8.48)
где r(t) = 4at/(4a — аг), причем 2α — σρ ^ 0 по определению
коэффициента неправильности.
Оценим слагаемые Ij(i) в представлении (8.48). Для первого из
них справедливы неравенства
T(t)
НА (ОН ^ ОД / ехр[а(т - t) + {Ху - σ + 2ε)τ] rfr ^
r(t)
SC<e)/exp(A„-,/2MT.
И если Xy - σ/2 > 0, το
ΙΙΜΟΙΙ ^ 0(ε) ехр(Ху ~ σ/2)τ{ί) ζ С {ε) ехр[Ху - σα/(4α - σ)]ί,
т.е. в этом случае λ[Λ] < λ^. Если же 2ХУ — σ, то оценка ||Λ(£)ΙΙ ^
^ <7(ε)£ является очевидной и снова справедливо предыдущее
неравенство. Наконец, если 2Ху < σ, то имеет место оценка ||Ιι(ί)|| ^

8.4.Односторонняя устойчивость старшего и младшего показателей 213
^ С (ε) ехр(Ху — сг/2)£, t ^ 0. Итак, во всех случаях справедливо
неравенство λ[Ιι] < Ху.
Оценим теперь норму второго слагаемого. С учетом оценок (8.47)
имеем неравенства
НЫ«)Кп£|М«)|| [ \щ(т)\ат ζ
^ С{е) expmax[(Ai + ε)ί + (3ε + \у - λ,-)τ(ί)] ^
г
^ С (ε) ехртах{4£т(*) + [Ху + σ(Χν — λ*)/(4α — a)]t} ^
г
ζ С (ε) ехр{Ху + [Αοε + σ(λ„ - λι)]/(4α - σ)}ί ^ (7(ε) exp(Aj, - ε%
т.е. снова λ[/2] < \·
Таким образом, из представления (8.48) имеем равенство
AM = )\XA{t){X-?iP)y$) +Zoo)\ > -00,
т.е. Х[у] £ Х{А) и тем самым Х[у] ^ λι(-Α). Полученное противоречие
с ранее сделанным предположением и доказывает неравенство λι (А +
+ Q) ^ λι(-Α). Теорема 8.6 полностью доказана.
Замечание 8.3. Теорема 8.6 устанавливает одностороннюю
устойчивость старшего вверх и младшего вниз показателей произвольной
системы (1^) относительно ее гробмановских возмущений.
Одновременная их неустойчивость в противоположных направлениях
установлена в работе автора [98]. Более того, в работах автора [98, 99]
доказано существование линейных n-мерных систем (1а) с гробмановскими
спектральными множествами
Гп(А) Ξ {Х{А + Q)eRn: X[Q] < -στ(Л) < 0}
положительной η-меры Лебега. Из-за недостатка места изложить эти
результаты в настоящей книге не представляется возможным.
Комментарий к § 8. Теорема 8.1 доказана Д. М. Гробманом [63]
теоремы 8.2-8.5 и леммы 8.1-8.3 в работах [121-123] автора и О. П.
Степанович, теорема 8.6 — в работе автора [98].
См. также работы М.И.Рахимбердиева и Н.Х.Розова [228, 229],
Р.А.Прохоровой [215, 216], автора [100, 104, 105,110, 113, 129], автора
с А. В. Филипцовым [124-127], С. Г. Краковским [118, 132], и С. Н.
Батаном [116, 131, 117], С.Г.Красовского [138-140, 142, 143] и А.В.Фи-
липцова [244].

§ 9. СТАРШИЙ СИГМА-ПОКАЗАТЕЛЬ
ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
В предыдущих параграфах исследована зависимость старшего и
младшего характеристических показателей возмущенной линейной
системы (1a+q) от достаточно малых по норме, стремящихся к 0 при
t -> +00 и любых экспоненциально убывающих возмущений. При этом
установлено, что точными верхней и нижней границами изменения
этих показателей являются соответственно центральные,
экспоненциальные и генеральные показатели исходной системы (1л).
Еще одним важным классом возмущений n-мерных линейных
систем (1а) является класс
Εσ = {Q : \\Q{t)\\ <С Ος>β~σί, CQ = const > 0, t ^ 0}
кусочно-непрерывных экспоненциально убывающих при t -> +00
квадратных η χ n-матриц-возмущений фиксированного порядка убывания
—σ < 0. В этом параграфе мы установим совпадение точной верхней
границы
VM)= sup An(A + Q)
Ω£Εσ
старших показателей систем (Ια+q) с указанными возмущениями с
вычисляемым по матрице Коши Хд(£, г), t ^ г ^ 0, системы (1^) ее
так называемым старшим сигма-показателем
νσ(Α) = Ш φ{σ), &(σ) = ma*{ln||XA(fc,z)ll +&(σ) -σι},
fc—юо К i<k
k€N, &(σ) = 0, (9.1)
а также полностью опишем определяющие свойства последнего как
функции параметра σ > 0. Алгоритм (9.1) определения и вычисления
старшего сигма-показателя Χ7σ(Α) системы (1д) с небольшой
модификацией используется для определения и вычисления ее
центрального показателя Ω^Α) порядка т > 1, играющего определяющую
роль в исследовании устойчивости по линейному приближению.
Вопрос о построении алгоритма вычисления по матрице Коши
Χα(ϊ,τ) системы (1д) или по ее решениям точной нижней
границы Δσ(Α) = inf \\(A + Q) младших показателей системы (Ια+q) с
QZlEv
возмущениями Q G Εσ остается открытым.

9.1. Необходимые свойства старшего сигма-показателя 215
9.1. Необходимые свойства
старшего сигма-показателя
В этом пункте будут доказаны невозрастание, ограниченность и
вогнутость старшего сигма-показателя νσ(Α) системы (1д) как
функции параметра σ > 0.
По определению (9.1) элемента £* = &(σ) последовательности
{&(σ)}> σ > 0, с произвольным номером к Ε Ν существует такой
(для определенности, наибольший) номер / = l(k) £ No, I < fc, что
выполняется равенство & = 1п||Хл(&,/)|| + ξι — σΐ- Для
исследования свойства непрерывности сигма-показателя Χ?σ(Α) по параметру
σ > 0 и доказательства его достижимости старшими показателями
Xn(A + Q) линейных систем (1л+с?) с возмущениями Q Ε Εσ, т.е.
доказательства неравенства V^(A) ^ νσ(Α) при всяком σ > 0, полезно
(но не необходимо) выяснить, насколько далеко отстоят друг от друга
эти номера к и I. Справедлива следующая
Лемма 9.1. Для номеров к Ε Ν и I — l(k) Ε iVo, реализующих
равенство ξ* = In ||Хд(А;,0|| + 6 ~~ σ^ выполнено неравенство
^-агЬ)*550*· σ>0' (9·2)
где а > ||Л(*)|| при t > 0.
Доказательство. Если / = 0, то утверждение леммы очевидно.
Если же I ^ 1, то для этого I найдется в силу (9.1) такой номер
т e No, что будет выполнено равенство & = In ||Хд(2,т)|| -hfm - στη.
Воспользуемся теперь очевидным неравенством & ^ 1п||Хл(^,^)|| +
+ fm — от. Подставляя в него значение £* и затем значение &, в
результате получим неравенство
σΐ ζ \п\\ХА(к,1)\\ + ]п\\ХА(1,т)\\ -1п\\ХА(к,т)\\, т<Кк. (9.3)
Воспользуемся теперь для матрицы Коши Хд(£,г), t ^ г,
представлением Хд(^т) = ХА(1,к)ХА(к,т) и вытекающим из него
неравенством ||Хл(*,т)|| ^ ||ХЛ(/,А;)|| · ||J0i(fc,m)||. С его помощью из
неравенства (9.2) в свою очередь получаем необходимое неравенство
al < In ΙΙ-Μ*, ОН +lnpk(J,*)|| ^ 2а(к -I), 1< к.
Лемма 9.1 доказана.

216
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
Лемма 9.2. Старший сигма-показатель системы (1д) является
невозрастающей непрерывной ограниченной функцией
νσ(Α) :(0,+оо)->[А„(Л),а].
Доказательство. Для фиксированных σ>0 и k = io € N через
h(σ) = (im(fc) = 0, im{k)-i, · - -, 4, *ο = fe) C No
обозначим конечную последовательность возрастающих чисел,
реализующую по алгоритму (9.1) число
т(к)-1 т(к)-1
ЬИ= Σ 1п||Хл(г/,гт)||-а ]Г iw=6HkW- (9-4)
г=о /=о
При этом для элементов этой последовательности согласно (9.2)
выполнены неравенства
%ι ^ αί/_!, I = 1,..., m(A). (9.5)
На основании представления (9.4) и неравенств (9.5) имеем теперь
для достаточно малого ε > 0 оценки:
т(к)-1
ξ*(σ - ε) ^ &(σ ~ ε)|/Μσ) = &(a)/b(ir) + ε Σ *'+* ^ &(σ)>
ζ=ο
σ - ε > 0,
устанавливающие невозрастание функции νσ(Α) по σ £ (0, -foo);
m(fc)-l
£*(*) ^ £*(σ)Ι/*(σ-ο = &(σ ~ ε)|/α<τ_ε) - ε Σ *'+ι = &(σ " ε)"
г=о
m(fc)-l . οο
-ε»ο Σ ~^" ^6(σ-ε) -εί0αΥν = &(σ - ε) - 2αεΑ;/σ,
ζ=ο г° ζ=ο
где ε < σ, устанавливающие непрерывность сигма-показателя νσ(Α)
на промежутке (0, -foo) и даже его липшицевость на всяком
промежутке [εοο,+οο), ε0 > 0.

9.1. Необходимые свойства старшего сигма-показателя 217
По определению (9.1) числа &(σ) и его представления (9.4)
справедливы неравенства
1п||Хл(М)|1^&И^, keN, σ > 0, (9Лг)
из которых сразу получаем необходимые оценки λη(Α) ^ νσ{Α) ^ а,
σ > 0. Лемма 9.2 доказана.
Еще одно определяющее свойство сигма-показателя νσ (А)
системы (1л) как функции параметра σ > 0 устанавливает
Лемма 9.3. Старший сигма-показатель Χ7σ(Α) системы (1А)
является вогнутой вниз функцией аргумента σ G (0, -foo).
Доказательство. Возьмем два произвольных значения σ2>σι>0.
Для них построим последовательности {£*(<Χι)} и {£*(σ2)},
осуществляющие оценки
In ||Хд(М)|| ^ &(σ,) - 6(σς) + σ9ί, 0 ^ г ^ fc, q = 1,2. (9.6ς)
Умножая обе части неравенства (9.6ι) на λ G [0,1], а (9.62) — на
1 — λ G [0,1] и складывая, получаем оценку
Vk(p) ^ In ||Хл(М)Н + %(σ) - σί, σ Ξ Ασ! + (1 - λ)σ2,
4*(σ) = λ&(σι) + (1-λ)&(σ2)> 0 ^ i ^ k G ΛΓ. (9.63)
Докажем неравенство f * (σ) ^ щ {?) Для всех fc G N. В начальный
момент к — 0 имеем равенство £ο(σ) = ηο{σ) = 0. Предположим
противное: существует число Ι Ε Ν, для которого выполнены неравенства
&(σ) ^ %(σ), i = 0,1,...,/, и 6+ι(σ) > ??ί+ι(σ). Тогда по
определению числа ξι+ι (σ) и неравенству (9.6з) приходим к противоречию
следующим образом:
6+1 (σ) = ln\\XA(l + l,m)|| + fm(a) -στη ζ
<ln||XA(Z + l,m)|| + ?jm(a)--am ^τ?/+ι(σ), тЕ {0,1,...,/}.
Из установленного неравенства получаем необходимую оценку
νσ(Α) = Вт г&И ^ От тщ{а) ^ λ Пт τ&(*ι) +
fc—*оо fe fc—*oo /С к—юо /С
+ (1 - A) US £&(σ2) = λνσι (Л) + (1 - λ)νσ2 (Α), λ € [0,1].
к—уоо К
Лемма 9.3 доказана.
Последнее определяющее свойство сигма-показателя системы (1А)
устанавливает

218 § 9. Старший сигма-показатель линейной системы
Лемма 9-4. Существует такое наименьшее число σο = σο (Л) €
Е[0,аг(Л)], что равенство νσ(Α) = λη(Α) выполнено для всех σ>σο·
Доказательство. Существование такого числа σο
устанавливается с помощью неравенств (9.4ι) и оценок
\n\\XA(k,0)\\ ^ ί*(σ) = Ь\\ХА{к,1)\\+й{а)-а1 ζ
ζ \n\\XA(k,0)\\ + b\\XA{0J)\\ + (α- σ)ί ^ 1π||-Μ*,0)||+
+(2α - σ)1 ^ ln||XA(fc,0)||, σ ^ 2α, к е Ν,
из которых следует равенство νσ(Α) = Хп(А) при всех σ ^ 2α.
Поэтому справедливо включение σο € [0,2α]. Для доказательства
неравенства σο (Α) ^ στ {А) необходимо провести более точные оценки,
воспользовавшись, в частности, неравенством (8.45):
In \\XA{t,r)\\ ζ c(e) + (λη + e)(t - τ) + (σΓ + 2е)т,
* ^ г ^ 0, Ve > 0. (9.42)
Предположим противное: \7σΓ = λη+7>λη- Пусть νσΓ
реализуется по последовательности {fc(i)} f +оо: \7σΓ = lim fc_1 (*)&(») (σρ).
Для всякого г Ε TV определим равенством
tkwM = In ||XA(fe(t),i(t))|| + &(i)Ы -στί(0 (9.4s)
наибольшее из возможных число i(i) € Λ/ο, удовлетворяющее согласно
лемме 9.1 неравенству l(i) ^ afc(i). Без нарушения общности можно
считать, что существует предел lim[l(i)/k(i)] = β ^ α. Разделим обе
части равенства (9.4з) на число fc(i), воспользуемся неравенством
(9.4г) при ί = к(г) и г = 1(г) и перейдем к пределу при г —> оо.
В результате получим неравенства
νσΓ = λ„ +7 ^ (An +е)(1 -β) + (σΓ +2ε)/?+ (λη +7)/?-<хг/? =
= λη + (1+ /?)ε + /37 < λ„ + (1 + α)ε + α7,
из которых следует противоречивое неравенство (1 — α)7 < (1 4- α)ε,
Ve > 0, так как левая его часть — фиксированное положительное
число.
Таким образом, справедливо равенство νσΓ(Α) = Хп(А) и в силу
леммы 9.2 — равенство νσ(Α) = Хп(А) для всех σ ^ σγ(Α). Лемма
9.4 доказана.

9.2. Вычисление точной верхней границы старших показателей 219
В пункте 9.3 будет доказано, что установленные в леммах 9.2-9.4
необходимые свойства ограниченности, вогнутости вниз и совпадения
с постоянной при σ > σο старшего сигма-показателя νσ(-Α)
системы (1а) являются и достаточными в следующем смысле: для всякой
функции /(σ) аргумента σ Ε (0, +оо) с тремя указанными
свойствами существует такая система (1л), что ее старший сигма-показатель
νσ(Α) совпадает с функцией /(σ) на интервале (0,-Ьоо).
9.2. Вычисление точной верхней границы
старших показателей возмущенных систем
Алгоритм вычисления точной верхней границы V^(A) старших
показателей Xn{A+Q) линейных систем (Ia+q) с возмущениями Qe
е Εσ при всяком σ > 0 дает
Теорема 9.1. Для всех σ > 0 справедливо равенство Х7„(А) =
= VM)-
1°. Доказательство неравенства V^(A) ^ *νσ(Α). По
последовательности {£*} чисел & = £*(σ) построим кусочно-постоянную
функцию £\(t) = £*, t G [fc,fc + l), fc G JVo, а по ней непрерывную
функцию &(*) ^ £\(t) при всех t ^ 0, совпадающую с функцией £\(t)
вне достаточно малых по длине (в том числе и меньших 1/2)
интервалов δ*., к £ N, и равную линейной функции на самих этих
интервалах и*. Для произвольных моментов t > г ^ 0 укажем такие числа
к, I e No, к ^ I, что для них выполнены неравенства I ^ г < I + 1,
к ^ t < fc+1. Тогда для матрицы Коши системы (1д) по определению
последовательности {&} и функции ξ\(ί) справедливы неравенства
\\XA(t,T)\\ < \\XA(t,k)\\ \\Хл(к,1)\\ \\ΧΑ(1,τ)\\ ζ е2а\\ХА(к,1)\\ ζ
^ ехр(2а + & - 6 + σΐ) ζ ехр[2а + ξι(ί) - &(г) + στ], t^r^ 0.
Используя также очевидную оценку 1п||Хд(*,г)|| ^ a(t—r), t ^ г ^ 0,
для матрицы Коши имеем оценку
In ||Хл(*,г)|| < la + pi(t) - Ρι(τ) + (1 - β)στ,Ρί(ί) = afit + (1 - /8)6(t),
г = 1,2, /8 €[0,1], 0 < г < ί. (9.7)
Длины всех интервалов 5* из последовательности {<$*} подчиним

220
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
условию
^Г / [e"^(r> - c-^(r)]e(fl+c«)rdr < 1/CQ. (9.8)
I -I J
k=*sh
Решение y{t) φ 0 представим в форме Коши, затем оценим его
норму и воспользуемся неравенствами ||<3(£)|| < CQe~at, pi(t) ^ Р2&),
t^O и (9.7). В результате получим неравенство
t
Mt)\\ ζ е2а+о*М\\у(0)\\ + cQe2a+o*V jе-^-^тЦу{т)\\ат. (9.9)
о
В правой части этого неравенства прибавим и вычтем интеграл
t
CQe2a+p*(t) f β-βστ-ρ*Μ\\υ(τ)\\άτ. (9.10)
о
Учитывая тождество рг(т) = pi(r) для всех г Ε [0, +оо) \ Ufc>i ^ь
вследствие чего подынтегральные функции в (9.9) и (9.10) совпадают
для таких т, будем иметь в силу условия (9.8) неравенства
t
Mm ζ е2а+<^>{||у(0)|| + CQJe-^-»*W\\y(T)\\dT +
о
оо г
+ CQ Σ / *-βστ[ε-ρΛτ) ~ e-p2(r)]||y(r)||dr} ^ e2fl+^W[2||»(0)|| +
k=^
τ
+ CQJe-^-^%(r)\\dr].
Из итогового предыдущего неравенства с помощью леммы Гронуолла
(доказанной в п.ЗЛ лишь для непрерывных подынтегральных
функций) имеем при всяком β е (0,1) оценку \\y(t)\\ ^ C(/?)expp2(i),
t ^ 0, с некоторой постоянной С(/?) > 0. Из нее получим неравенство
λ[ί/] ^ αβ + (1 - β)νσ(Α), V/3 G (0,1). В силу произвола малых β >
> 0 отсюда имеем оценку Х[у] ^ νσ(>1), т.е. необходимое неравенство
νσ(Α) ζ νσ(Λ).

9.2. Вычисление точной верхней границы старших показателей 221
2°. Доказательство неравенства W(.A) ^ Vcr(A)
осуществим методом поворотов Миллионщикова.
Зададим монотонно убывающую к 0 последовательность {ε к}
положительных чисел. Без нарушения общности возрастающую
последовательность {Тк} С N, реализующую предел lim ТГг^тк = νσ(Α),
fc-юо
считаем такой, что выполнены неравенства
(а + σ + 1)β2σ~ι < Г0> е(о + σ + l)Tk-i ^ екТк, к £ N. (9.11)
Для каждого числа Тк = io(fc) = io в отрицательном направлении
построим конечную последовательность 1тк(сг), определяемую
равенствами (9.4) с заменой к на Т*. Из этой последовательности
выбросим все члены, не превосходящие числа Tk-i +1, и заменим их одним
числом Tfc_i- Члены этой новой конечной последовательности
перенумеруем в порядке возрастания и обозначим ее через J к = (*о(&) =
= Тк-ι, - - ·, tp(fe) (к) — Тк). По построению этой последовательности и
в силу утверждения леммы 9.1 справедливы неравенства
ti+1(fc) - U(k) ^2, г = 0,1,. ..,p(fc) - 1.
Поэтому точка Ti(k) = ti(k) — 1 принадлежит интервалу (U-i(k),ti(k)),
i = l,...,p(fc).
Предположим теперь, что нам удалось построить на промежутке
[0,Tfe_x] искомую вектор-функцию y(t), удовлетворяющую
неравенствам ||s/(7i)|| ^ ехр(£г£ — £гД*), г = 1,..., к — 1, и являющуюся
решением возмущенной системы (1л+(э), для допустимого возмущения Q
которой выполнено неравенство
\\Q(t)\\ ζ 2(α + 1)ехр(1 -<rt), t G [0,Tk-i].
При этом на интервале [Τ^_ι — l,Tifc_i) вектор-функция y(t)
совпадает с одним из решений системы (1д), т.е. на нем Q(t) тождественно
равна 0. На отрезок [Τ*_ι,7\.] эта вектор-функция продолжается
следующим непрерывным образом.
Если для решения x(t,y(t0(k))) системы (1А) с начальным
значением x(to(k),y(to(k))) = y(to(k)) выполнено неравенство
2||a:(i1(A:),2/(io(fc)))ll^ll2/(*o(A:))|| ||J^>i(ti(fc),*o(A:))|| sixior0 = ггх(А:), (9.12)
где Qo = exp[l — σ£ο(&)], то полагаем y(t) = #(*,2/(*о(&))) для t G
е [to(k),ti{k)]. Если же выполнено неравенство, противоположное

222
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
(9.12), то решение x(t,y(to(k))) системы (1а) является медленным
на отрезке [to(fc),ti(fc)], а в угловой ао-окрестности вектора y(to(k))
расположен вектор уао — начало быстрого на этом отрезке решения,
причем <{уао,у(Ык))} = α0 и ||уао|| = ||у(*о(й))|| (подробнее о
методе поворотов см. §4). Преобразованием поворота ζ = U(t)x с углом
поворота oco(t) = a>o(t — ro(fc)), действующем на отрезке [ro(fc),fo(&)]
единичной длины, к моменту t = to(k) непрерывным образом
перейдем на вектор уао. Как уже отмечалось выше, решение x(t,yQo)
системы (1а) — быстрое на отрезке [to(k),ti(k)], т.е. для него выполнено
неравенство ||tf(£i(fc),yao)|| ^ ui(fc). Положим
\x(t,yaoh *eM*),ti(fc)].
Считая То достаточно большим (sine1-*770 ^2е~аТ°), в обоих
случаях имеем неравенство
llv(*i(*))ll > Mto(k))\\ ||XA(<i(fc),io(fc))||exp[-aio(fe)], (9.13)
причем вектор-функция y(t) на [ть(&),<о(&)] является решением
системы (Ια+q) с возмущением Q, удовлетворяющим оценке ||Q(i)|| ^
^ 2(a+ 1)е1_<т*, t Ε [ro(fc),to(fc)]. Так как, по построению,
натуральный момент t = *ό(&)> определяемый равенством
6l(W = In \\ХаЫЪ)АШ\+Ьью ~ <(к),
удовлетворяет оценке t'0(k) ^ 1 + Γ*_ι, то из неравенства (9.13) имеем
в свою очередь неравенство
||y(ti(*))|| £ exp{&l(fc) + [Ы\\ХА{ЫкШк))\\-
- In \\Хл(Ь{к),Ык))\\ - &.(fc) + <rt'0(k) - at0(k) + in ||y(io(*0)ll ]}-
Воспользуемся теперь неравенством
\\XA(ti(k),t'0(k))\\ < ||X*(ii(*Mo(*))|| · \\ХлЫк),Ц>Ш
и леммой 9.2. В результате в силу (9.11) получим неравенства
№(М*))|| > exp{itl(fc) - a\to(k) - t'0(k)\ - at'0(k) - a\t0(k) - t'0(k)\-
-(a + 1)β2/σ} Ζ exp(6l(fc) - ekTk).

9.3. Полное описание свойств старшего сигма-показателя 223
Совершая, если это нужно, соответствующий поворот на угол a\(t) =
= a\(t — Ti(fc)), αϊ = exp(l — ot\{k))^ построенного вектора y(t) на
промежутке [τϊ(λ:),£ι(Α;)] (на нем y(t) совпадает с одним из решений
системы (1д)), снова непрерывным образом продолжим вектор y(t)
на промежуток [£ι(&),*2(&)] так> что будет выполнено неравенство
llv(fc(*))ll ^ llv(*i(*))ll · \\ХлЫк)Мк))\\-еМ-*1(к)),
а тем самым, в силу предыдущей оценки для \\y(ti (fc))|| и определения
числа ft2(fc), необходимое неравенство
Цу(*2(*))Н > exp{ta\\XA(t2(k)Mb))\\ + &l(k) -crt^fc) -ekTk} =
= ехр[6а(*) -екТк].
При этом построенная функция y(t) является на промежутке [τϊ(Α:),
*2(Л)] решением системы (Ια+q) с матрицей Q со свойствами:
||Q(i)|| ^ 2(а + 1)ехр(1 - at) при t G [ri(fc),*i(fc)l и Q(t) = 0 при
t € (ii(fc),*2(^))- Продолжая этот процесс и далее, за конечное число
шагов построим на отрезке [Τ*_ι — 1, Тк] кусочно-дифференцируемую
непрерывную вектор-функцию y(t), являющуюся решением
допустимой системы (Ια+q) (с матрицей Q : \\Q(t)\\ ^ 2(а + 1)ехр(1 — σ£),
t G [7fc_i — l,Tfe]) и удовлетворяющую оценке
1|у(3*)|| £ ехр[6г* - екТк]. (9.14)
Положив далее Q(t) =0 на [0,Т0), построение допустимой системы
(Ια+q) и ее необходимого решения y(t) можно считать законченным,
так как согласно (9.14) имеем неравенство Х[у] ^ νσ(Α). Теорема 9.1
доказана.
9.3. Полное описание свойств
старшего сигма-показателя
Как уже отмечалось в п. 9.1, установленные в нем необходимые
свойства ограниченности, вогнутости вниз и совпадения с постоянной
при σ > σο старшего сигма-показателя линейной системы полностью
описывают его определяющие свойства. Это устанавливает следующая
Теорема 9.2. Функция f : (0, -foo) —>· R является старшим
сигма-показателем некоторой линейной системы (1л) с
кусочно-непрерывными ограниченными на полуоси t^O коэффициентами тогда и

224
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
только тогда, когда она: 1) ограничена; 2) вогнута вниз; 3)
совпадает с постоянной для всех значений аргумента σ, больших
некоторого наименьшего числа σο ^ 0.
Доказательство. Необходимость указанных трех свойств
старшего сигма-показателя νσ(Α) системы (1а) как функции аргумента
σ > 0 установлена в леммах 9.2-9.4.
Достаточность. Построим для произвольной указанной в
теореме 9.2 непрерывной, ограниченной и невозрастающей (что следует из
свойств 1)-3)) функции /, тождественно равной β = const при σ >
> σο и имеющей конечный предел lim /(σ) == α, такую линейную
систему (1а) с кусочно-непрерывными ограниченными
коэффициентами, что ее старший сигма-показатель Va(A) совпадает с функцией
/(σ) на всем интервале (0,4-оо). Для этого нам понадобится
Лемма 9.5. Для старшего сигма-показателя Va(D) системы
χ = diag[ai(i), a2(t)]x = D(t)x, D(t) = Д»,а,м>(*)>
xeB2, t^to^l, (Id)
с коэффициентами
ία, t
-α, t
a^) = \ x\* 7 \ a2(t) = a-a-a1(t),
t β2*+1>*2ΐΗ-2/>
где a ^ 0, a ^ 0, f* = *o0*> fc € No, справедливо представление
VC(D) = max{a - σ(0 - l)"1, И - <*){θ + Ι)"1} ξ ά(σ), σ > 0.
Доказательство леммы 9.5. 1°. Докажем неравенство νσ(Γ>) ^
> d(a), σ > 0. Для этого оценим снизу старший показатель \<2(D+Q)
возмущенной системы
Уг = о*(t)yi + Ne-Gtyz-i, Ν = const > 0, г = 1,2. (9.15ι)
Укажем такое N > 0, чтобы из выполнимости неравенств
е-'* ^ 2v(t) = 2arctg[|te(i)/yi(t)] < π - c~rt (9.16)
для решения χ/(ί) = (j/i(i),j/2(0) системы (9.15г) в начальный момент
t = t0 вытекала их справедливость для всех t ^ t0*

9.3. Полное описание свойств старшего сигма-показателя 225
Вычислим производную функции φ(ί) в силу системы (9.15ι):
φ{ί) = 2~1[α2(ί) - a1(i)]sin2v?(i) + Ne~at cos2ip{t).
Очевидно, существует столь большое число N > 0, что одновременно
будут выполнены неравенства
2"1[α2(ί) -ai{t)]wne-at + JVe^'cos β"σί > ^"Ve"^, (9.17i)
2'1[a2{t)-a1{t)]sm{TT-e-at)+Ne-Gtcos{'K-e-Gt) <2-1σβ~σί. (9.172)
Рассмотрим решение y(t) системы (9.15i) с начальным
значением y(t0) = (1,1) Ε i?2. Это решение, принадлежащее полосе (9.16) в
момент t = ίο? будет ей принадлежать и в любой последующий
момент t. Действительно, если предположить, что в некоторый
конечный момент t = t\ > to окажется выполненным, для определенности,
равенство 2φ(ίχ) = e~atl, то в силу неравенства (9.17χ) будем иметь
оценку
d[<p(t) - 2-le~at]/dt > 0
в некоторой двусторонней окрестности (£ι — ε,^ι+ε) точки t = t\-
Отсюда сразу получаем противоречие с равенством 2</>(£ι) = ехр(—at\).
В силу неравенств (9.16) выполнена оценка y(t) > 0 при всех t ^
^ ίο- Поэтому для всякого отрезка [£*,£*+ι] найдется такой номер
г(к) G {1,2}, что Уцк)(1к+у) ^ yi(k){h)exp[a{tk+1 - tfc)]. Так как в
начальный момент t = tk выполнено неравенство уцк){1к) ^ 4"1 χ
x||y(ifc)||e~°'i*!, то в итоге приходим к оценке
\\y(tM)\\ ^ 4-1||г/(^)||ехр[а(^ - 1)ί* - atk] >
> 4Г1\М*к)\\ ехр[^ " σ(θ - l)"1]^! - tfc),
а тем самым и к неравенству Va{D) ^ α — σ(θ — I)"1. С другой
стороны, очевидно также неравенство νσ(£)) ^ λ2(£)) = (α# — α)(1 4- 0)""1-
Эти два неравенства и устанавливают необходимую оценку Va(D) >
^ d(a), <т > 0.
2°. Для доказательства противоположного неравенства νσ(Γ>) ^
^ ά(σ) достаточно, как будет показано ниже, для нормы матрицы
Коши Xo{t^r) системы (1#) доказать оценку
РЪ(*,т)|| ^ exp[d(a)(t - τ) + στ], t ^ τ > t0. (9.18i)

226
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
Эта оценка равносильна неравенствам
t
^,σ(^τ)Ξ/α{(δ)^-ίί(σ)(ί-τ)-στ^Ο, t^r^t0l г = 1,2. (9.182)
г
Так как ά(σ) = λ2(£>) при σ ^ σι = (α + α)(0 — 1)(0 + Ι)"1, то при
таких σ выполнены неравенства φί,σψ,τ) ^ V?i,<n(^r)· Тем самым
неравенства (9.Ι82) достаточно доказать лишь для σ Ε (0, σι].
Функции v?i,<r(i,r) — непрерывные кусочно-линейные по переменным t и т.
Поэтому для доказательства оценок (9.I82) достаточно установить их
справедливость в точках t — tm и г = tk с номерами к < т.
Непосредственными подсчетами получаем равенство
*т
max / a,i(s)ds = [a0(*m - tk) + em-fca(*JH-i - tk)-
tk
-a0(im_i - tk) - 6m_fc-ia(ife+i - Ьк)](в + l)"1, (9Л9)
где ερ = 0 при четном ρ и ερ — 1 при нечетном р. Функция
max</?j,a(^mj^fc) ПРИ фиксированных к < τη как функция параметра
σ е (0,cri] имеет равную числу (tm - tk)(0 - Ι)-1 - tk ^ {tk+1 - tk) x
x(0 — 1)_1— tk = 0 производную по σ. Поэтому достаточно
доказать неравенство max^^ (£m, tk) ^ 0. В силу равенства (9.19) имеем
очевидное неравенство
тах^Д*™,**) = а(в + 1)_1(0 - l)tk(em-k - 1)-
г
- еш-к-га{в + l)"1^ - l)tk ζ 0.
Таким образом, оценка (9.18ι) доказана. Из нее имеем неравенство
&(σ) = In ||Хя(М)|| + 6(σ) - σΐ ^ d(a)(k - I) + ξρ{σ). Применяя
полученное неравенство к оценке ξι{σ) и т.д., за конечное число шагов
приходим к неравенству £к(а) ^ d(a)k + Со(^) = d(a)k. Лемма 9.5
доказана.
Продолжим доказательство теоремы 9.2. Если /(сг) = β при всех
σ > 0, то требуемой системой является, например, система χ —
= diag[/3,/3]a:. Поэтому в дальнейшем считаем /(cr) ^ const, /(σ) =
= β при σ ^ σο > 0 и /(σ) > β при cr E (0, σ0). Заметим
также, что если мы сможем построить систему (1а) со старшим
сигма-показателем νσ(Α) = f(a) — β, σ > 0, то система χ — [A(t) +

9.3. Полное описание свойств старшего сигма-показателя 227
+βΕ]χ, Ε — единичная матрица, уже имеет старший
сигма-показатель νσ(Α + β Ε) = /(σ), σ > 0. Поэтому без нарушения общности
считаем в дальнейшем /(σ) = 0 при σ ^ σο > 0 и /(σ) > 0 при
σ Ε (0, σο). Возьмем некоторое счетное плотное в интервале (0, σο)
множество {σ™}. Пусть Rm(a) — прямая, проходящая через точку
KJW) и такая, что график функции /(σ) расположен не
ниже этой прямой. Отметим, что в силу вогнутости вниз функции /(σ)
такая прямая существует. Пусть Rm{a) = Кша + аш. Определим
следующие величины: вш = 1 — К^1 и а = sup атвш. Так как график
т
невозр&стающей функции /(σ) расположен не ниже прямой </?τπ(σ),
то справедливы неравенства 0 < ат ^ а и, кроме того, Кт < 0, а
тем самым вт > 1. Установим конечность а. Так как — Кт > am/σο,
то вт < 1 + σο/am и, следовательно, am0m < am + σο ^ α + σ0.
Зададим последовательность {Tm} С [1,-Ьоо) со свойствами
Т0 = 1, lim (T2m+2/T2m+i) = +оо, T2m+i/T2m = 2.
m-юо
Искомую функцию
± = diag[bi(*), b2(t)]x = B(t)x, χ Ε Я2, * ^ 1, (1Β)
определим следующим образом. Для этого матрицу коэффициентов
D(t) системы (Id) из леммы 9.5, зависящую от параметров α,α,θ
и ίο, будем обозначать через Da,a,0,to(t). На полуинтервалах
[T2m,T2m+i) система (1в) совпадает с системой ir = diag[—2σο,— 2σο]ζ,
а на каждом из полуинтервалов [T2m+i, T2m+2) — с какой-то из систем
(1β(αί,α,^,τ2ττι+ι))5 г = 0,1,..., причем для всякого г множество таких
полуинтервалов бесконечно (здесь Da0yOCie0iT2m+i(t) = 0).
Докажем равенство νσ(Ι?) — /(σ), σ > 0.
1. Установим сначала неравенство Va(i?) ^ /(σ) при всех σ > 0.
Как и в лемме 9.5, возмущенную систему возьмем в виде
Уг = bi(t)yi + ЛГе-^г/з-ь ЛГ > 0, г = 1,2. (9Л52)
Рассуждая так же, как и в п. 1° доказательства леммы 9.5,
можно указать такое N > 0, что из выполнения для решения y(t) =
— (?/i(0>2/2(£)) системы (9.152) неравенств (9.16) в некоторый момент
£ = £о вытекает их справедливость для всех t ^ to- Поэтому в силу
условия T2m+i/T2m+2 —> 0 при га -> Ч-оо и на основании леммы 9.5
получаем неравенство Va(i?) ^ sup{a2 — σ(θι — I)"1} = φ(σ). Так

228
§ 9. Старший сигма-показатель линейной системы
как на бесконечном числе промежутков ргш+ъ^т+г) система (1#)
имеет нулевую матрицу коэффициентов, то \7σ(Β) ^ 0 и поэтому
Va(£) ^ тах{0,^(а)} = ψ+(σ), σ > 0.
Осталось доказать тождество φ+(σ) ~ /(σ), σ > 0.
Действительно, при σ ^ σ0 имеем ψ+(σ) — φ(σ) и эта функция φ+(σ) равна
/(σ), так как ψ(σ) есть непрерывная функция, совпадающая с
непрерывной (что следует из ее свойств) функцией f(a) на плотном в
интервале (Ο,σο) множестве {<тт}. При σ ^ σο очевидны тождества
^+(σ) = 0 = /(σ).
2. Установим теперь обратное неравенство Va(i?) ^ /(σ). Для
этого достаточно доказать для нормы матрицы Коши Хд(£, т) системы
(\в) для всех t ^ г ^ 1 оценку ||Хв(*,г)|| ^ βχρ[/(σ)(£ - τ) Λ-στ],
равносильную оценкам
t
&(*,т) ξξ ibi(s)ds <ζ f{a)(t -τ) Λ-στ, г = 1,2, t > τ ^ 1. (9.20)
τ
Так как /(σ) ξ 0 при σ ^ σο, то оценку (9.20) достаточно доказать
для всех σ Ε (Ο,σο]. Систему (Id) с матрицей коэффициентов D{t) =
= DaijCtfiiT2rn+\{t), совпадающей на полуинтервале [T2m+1,T2m+2) с
системой (1в), будем обозначать через (^i(m),a,0i(m),T2m+i).
а) Пусть t,r € [T2m+i,T2m+2]. Тогда, как показано в лемме 9.5,
справедливы неравенства
/?*(*,т) ^max{ai(m)--tf(0i(m)--l)~i (ai^^^-aj^^+l)"1}^- τ) + στ.
Ho a — supa^, поэтому для максимума из последней оценки спра-
г
ведливы неравенства
тах{...} <£ max{ai(m) - σ(θί(τη) - 1)~\0} ^
^ max{sup[a, - σ{βι - l)"1]^} = /(σ).
Так как /(σ) ^ 0, το при t,r Ε [T2m,T2m+i] выполнено неравенство
fr(t,r) - -2σ0(ί - τ) ^ /(σ)(ί - τ).
б) Докажем неравенство
Α(*,Ϊ2Ρ) ^ /(σ)(ί - Τ2ρ), ί Ε [Τ2ρ,Τ2ρ+2]. (9-21)

9.3. Полное описание свойств старшего сигма-показателя 229
Случай t Ε [Τ2Ρ,Τ2ρ+ι] уже рассмотрен в п. а). В следующем случае
t Ε [Τ2ρ+ι,Τ2Ρ+2] имеем неравенства
ft(t,T^)=ft(Tw^
<£ -σ0Τ2ρ+1 + /(<r)(t - Τ2ρ+ι) + σΤ2ρ+1 ^ /(σ)(* - Τ2ρ4-ι),
устанавливающие справедливость неравенства (9.21).
1) Пусть г G p2jb+i,T2fc+2], * Ε [32ρ,Τ2ρ+2]· Тогда имеют место
соотношения
t T2k + 2 Тък+4 t
Jbi(8)d8=lj + J+...+ [\bi(8)d8, &(Т2*+2,т) <ζ
T T ?2fe+2 ^2p
^ /(σ)(Τ2*+2 - τ) + στ. (9.22)
На основании (9.20) справедливы неравенства
ft№tf4i ?2fc+2) < /(σ)(Τ2*+4 - T2fc+2), · - -, /?ί(ί, Γ2ρ) ^
< /(σ)(ί - Γ2ρ). (9.23)
Складывая неравенства (9.22) и (9.23), получим необходимую
оценку /τ4(«)Λ</(σ)(ί-τ)+στ.
2) Пусть г G [T2fc,T2Jb+i]. Тогда справедливы неравенства
Jbi{s)ds = i ί + Ζ" |6ί(β)Λ</(σ)(*-Τ2*+ι)+
т T2fc+1 r
+<xT2fc+i - 2<70(Τ2*+ι - r) ^ /(σ)(* - τ) + στ.
Неравенства (9.20), а вместе с ними и теорема 9.2 доказаны.
Комментарий к § 9. Алгоритм вычисления старшего
сигма-показателя приведен в работе автора [77], в которой доказаны также
леммы 9.1 и 9.2 и теорема 9.1. Лемма 9.3 доказана Е. А. Барабановым
[7] (анонсирована Я. Фодором [246]), им же совместно с автором в
работе [115] доказана и теорема 9.2 о полном описании свойств старшего
сигма-показателя. Лемма 9.4 следует из работы Д.М.Гробмана [63].
Классификация Бэра старших сигма-показателей построена в
докладах участников семинара по качественной теории дифференциальных
уравнений в Московском государственном университете В. В. Быкова
[25-28], А.Н. Ветохина [38] и Е.Е. Салова [230, 231].

§ 10. УСТОЙЧИВОСТЬ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Наиболее общее достаточное условие (оказавшееся, как выяснилось
впоследствии, и необходимым) устойчивости характеристических
показателей
Х1(А)^...^Хп(А)
общей линейной системы (1а) получено Б. Ф.Быловым и Р. Э.
Виноградом и содержится в теореме 15.2.1 монографии [35, с. 207]. В этом
параграфе с использованием метода поворотов Миллионщикова будет
получен критерий устойчивости характеристических показателей
линейной гс-мерной диагональной системы (1д) относительно малых по
норме возмущений. Тем самым будут представлены многие
принципиальные трудности решения общей восходящей к Перрону задачи об
устойчивости характеристических показателей произвольной
линейной системы (окончательное ее решение получено В.М. Миллионщи-
ковым, а также Б.Ф.Быловым и автором). Кроме того, будет также
изложен признак Перрона устойчивости характеристических
показателей диагональной системы относительно исчезающих на
бесконечности возмущений в несколько более общей формулировке и для более
общих возмущений. В этом параграфе приведен также
коэффициентный признак устойчивости характеристических показателей
двумерной недиагональной системы (1д), полученный автором и
сформулированный в терминах собственных чисел и собственных векторов ее
матрицы коэффициентов.
10.1. Признак Перрона устойчивости
характеристических показателей
Как уже отмечалось в п. 1.4, свойство неустойчивости
характеристических показателей линейной системы было обнаружено О.
Перроном. Им же был дан и первый нетривиальный признак их
устойчивости для диагональной системы
χ = A(t)x = diag [αϊ(*),--., an(t)]x, t ^ 0, (10.1)

10.1. Признак Перрона устойчивости характеристических показателей 231
точнее, признак выполнения равенств
t
К(Л -f- Q) = \{А) = lim - / а,г(т)ат = аи г — 1, -. · ,п,
t—юо с j
О
при Q(t) —> 0. Чтобы представить еще один отличный от изложенно-
t—юо
го в п. 1.4 и также достаточно общий способ получения условий
устойчивости характеристических показателей, приведем этот признак в
несколько более общей формулировке и для не исчезающих в общем
случае на бесконечности достаточно малых по норме возмущений Q.
Это потребует при его доказательстве некоторого видоизменения
рассуждений О. Перрона [249] и содержащихся в монографии В.В.Не-
мыцкого и В. В. Степанова [200, с. 193 —198].
Для n-мерной диагональной системы
χ = diag [αι(ί), ■ ·, αι(*)> · - > am(t), - - , ara(*)]«, О 0, (10.2)
4 ν ' s ν '
ГЦ Пт
с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами,
совпадающей с рассмотренной Перроном системой при га = га, справедлива
следующая
Теорема 10.1 (см. Перрон О. [249]). Характеристические
показатели системы (10.2) с коэффициентами
Oi+i (*) ~ ai(t) ^ α = const > 0, г = 1,..., га — 1, t ^ 0, (йт)
устойчивы.
Доказательство. Установим сначала, что для всякого решения
y(t) = (u(t),v(t)) системы
у = diag [αι(ί),...,αι(ί), - ■ ·,Om(i)» ■ - ^am(t)]y + Q(*)y,
IIQWK*. О о,
составленного из векторов u(t) и г;(£) соответственно размерностей
га — гат и пт, с начальными условиями
выполнены неравенства
КО
= 0, υ(0)?έ0
1 ll«C*>ll* „ ,rt
>
< 25, ί ^ 0.
(10.4)
(10.5)

232 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
Очевидно, составляющие u(t) и v{t) решения y(t) системы (10.3)
удовлетворяют системе уравнений
й = diag[ai(i),... ,ax(t),... ,am_i(i),... ,am_i(£)]w + Qn(t)u + Qi2(t)v,
ν = am(t)v + Q21 (t)u + Q22(*)v, (10-3i)
для матриц Qij(t) размерностей
ГЦ = {Π - Пт) X (η - Пт), Γΐ2 = (П - Пт) Χ Пт,
7*21 = Пш Χ (η - Пт), Γ22 =nmXflm
которой выполнены неравенства ||Qij(t)|| $6, £ ^ 0. Из (10.3ι) имеем
неравенства
dt
\Ht)\\^[am^(t)^S]\\u(t)\\^S\\v(t)\l
dt
IKt)H-om(*)IK*)ll
^»(*)Н + 1И*)||].
(10.6)
(10.7)
Предположим, что существует конечная верхняя граница t\ тех t,
для которых выполнено неравенство
\Ht)\\^46a'1\\v(t)\\;
(10.8)
при t = 0 оно выполнено в силу начальных условий (10.4). Тогда
необходимо выполнено и неравенство
46а
-ι <ЧИ*)Н
dt
£
d||u(f)||
t-tX
dt
(10.9)
t=ti
Из равенства (10.8) следует, что \\v(t)\\ > 0 при t G [Ο,ίι].
Поэтому последовательным применением неравенств (10.7)-(10.9), (10.6) и
равенства α||ιι(ίι)|| = 45||ι;(ίι)|| получаем окончательное неравенство
am(ii)-5(l + 4(5a-1)^|Kii
.1<Ч1«(*)Н
,-ι*ΙΚ«)ΙΙ
dt
£
t=ti
^ ||«(*1
dt
t=tx
^am-i(ti) + -a-h<5,

10.1. Признак Перрона устойчивости характеристических показателей 233
которое противоречит выбору δ < α/4. Таким образом, v(t) φ 0 при
всех <^0 и справедливо первое из неравенств (10.5). Второе же
вытекает из него и неравенства (10.7).
Возьмем теперь пт решений «/*(£) = («*(£), г;*(£)),
удовлетворяющих начальным условиям
«*(0) = 0, |;*(0) = с* = {0,..-,0,1,0,-.-,0}, fc = l,...,nm. (10.40
к
Для этих решений выполнены неравенства (10.5). Составим
квадратную пт-мерную матрицу V(t) = [νι(£),.. - ,^nm(£)]· Ее определитель
Δ(ί) отличен от 0, так как в противном случае существовала бы
линейная комбинация v(t) = c\Vx(t) -l· ... + Cnm^nm(*)> отличная от 0 в
начальный момент и равная 0 в некоторый последующий to. По
доказанному ранее этого не может быть, так как соответствующее этой
комбинации решение y{t) системы (10.3) удовлетворяет начальному
условию (10.4).
Введем в рассмотрение определители
Δή-..ϊ.^ι..^.(')ι *ι < ■■■ <г*> 3ι < ·■ <3s, (s = 1,...,пт),
получающиеся из определителя Δ(ί) заменой его ii-й,..., is-ft строк
соответственно строками с номерами ji,..., js прямоугольной
матрицы U(t) = [t«i(i),... ,ΐίητη(ί)] размерности / χ пту где I — η — пт·
Докажем неравенство
cA(t) > max |Δέι...ίβ л—i.OI» c = Зт^сГ1* < 1. (10.10)
Ji i·
Как и выше, предположим, что существует конечная верхняя граница
ίι тех £, для которых выполнено неравенство (10.10). Тогда в момент
t\ необходимо выполнены условия
cA'fa) ζ \А^Лр^ар(1)\[=11 (10.11)
для некоторого фиксированного набора индексов г ι... гр, ji... jp и
всех произвольных наборов i\.. As,ji.. .js-
Вычислим производную
А Пт_ _ * _
-Δ(ί) = [nmam(t) + Sp Q22]A(t) + Σ Σ 4?Δθ(*)· (Ю.12)

234 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
Непосредственными подсчетами получаем
^Ailmm.ipjlm..jp{t) —
+Σ(*·+β&.)
i=l
A*i—Wi
..*(*) + *(*).
(10.13)
где bs = aSi если js Ε {ηχ + .. .4-ris-i + 1,... ,rai + .. - + ne}, a ε(*ι) на
основании первого из условий (10.11) удовлетворяет оценке \s(ti)\ ^
^ [c(/nm — ρ2) + p*]SA(ti). Поэтому на основании второго из условий
(10.11) и с учетом (10.12) и (10.13) имеем неравенство
c(nmam(*i) - пш6 - lnmS)A(ti) <ξ οΔ'(ίι) ^ |А^...£РΛ...ίρ|ί=£ι ^
^ c[(nm -p)am(*i) + nm£ + pam(*i)]A(*i) +5[с(1пш - ρ2) + ρ2]Δ(*ι),
а тем самым и неравенство a ^ п2(2 4- с_1)£, которое для
рассматриваемых δ < ап~2/3 не может выполняться. Полученное противоречие
и доказывает справедливость неравенства (10.10) для всех t ^ 0.
Из равенства (10.12) и неравенства (10.11) вытекает также оценка
Δ'(ί)
Δ(«)
™™α™(ί)
^ n2£, f ^ 0.
(10.14)
Построение следующего семейства решений системы (10.3) с
"ведущими" (h + 1)-й, ..., 1-й координатами (h = I — rcm_i) сведем
к рассмотренному случаю. Для этого в системе (10.3ι) осуществим
неособенную замену
и = ζ + U{t)w, v = V(t)w,
(10.15)
в которой U(t) и V(t) — построенные выше матрицы, а векторы и
и ζ, ν и w имеют соответственно размерности I = η — пт и пт.
Получим систему уравнений
ζ = diag [αι(£),..., αλ(ί),..., am_i(*),...,am_i(J)]2: + Qi(t)z, (10.16)
ώ = ^"1(*)«2ΐ(*Κ (Ю-17)
в которой матрица Qi(t) имеет вид

10.1. Признак Перрона устойчивости характеристических показателей 235
Qdt) = Qn(t) - U(t)V~1(t)Q21(t).
Легко видеть, что для матрицы U(t)V~1(t) справедливо
представление
Ι /Δι,ι ·-- Δη™,^
uv-1 =
Д"Ьдм ... Δ^..,,
и поэтому в силу доказанного ранее неравенства (10.10) справедлива
оценка
lll/^V-1^)!! ^ ν^Δ-^πιιιχΙΔίίΙ ^ 3η3α~ιδ/2. (10.18)
Таким образом, норма матрицы Qi(i) удовлетворяет оценке
[|Qi(f)|| ^ δι = 2δ < 2cm~3/3, t ^ 0, и поэтому (п-rcm)-мерная
система (10.16) принадлежит к уже рассмотренному типу (10.3). Тем самым,
по предыдущему, эта система имеет пт~\ решений Zi = (ft(')iCi(*))
(составленных из /ι-мерного xii(t) и nm_ι -мерного ζι{ί) векторов),
удовлетворяющих начальным условиям &(0) = 0, 0(0) = е*, г =
= 1,... ,nm_i, и оценкам
H6WH ^., .-ι
IICWII
< 45ια_1 < 1,
"6(,)"'-«.„_,(,)
НШ1
<2(5Ь ί^0, (10.19)
а определитель det[^i(i),...,^nrn_1(i)] обладает свойствами,
аналогичными установленным ранее для определителя Δ(£).
Оценим теперь нормы соответствующих решениям Zi(t) системы
(10.16) решений Wi(t) системы (10.17), а затем с помощью замены
(10.15) — и нормы решений исходной системы. Из неравенств (10.5),
(10.14) и (10.19) имеем оценку
t
\\V-1(t)Q2i{t)zi(t)\\ ζ 2ηδβχρ Aam_i(r) - am(r) + 3η2δ]άτ.
о
Поэтому вектор wi(t) можно взять в виде
оо
wi{t) — - I V~1(T)Q2i(r)zi(r)dr, г = l,...,nm_b

236 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
и, в силу предыдущего неравенства, для него справедлива оценка
t
\\wi(t)\\ ζ AnSexp / [am_i(r) - am(r) 4- 3η2δ\άτ.
о
Из замены (10.15), неравенств (10.5) и (10.18) имеем также оценки
t
\\vi{t)\\ <С 4η2(5α"1 exp Aam_i(r) 4- 3η2δ 4- 2δ]άτ,
о
t
IMOII ^ \\Ф)\\ + WW^WW \Ы1)\\ < 3expj[am^(r) + 2,n3S\dr.
О
С другой стороны, справедливо и неравенство
t
exp Aom-i(r) - 45]dr ^ ||*(t)|| ^
о
^ IM«)II + \\vi(t)\\ ζ 211(^)^(0)11, (10.20)
получающееся с помощью равенства Zi(t) = m(t) — U(t)V~l(i)vi(t).
Итак, за т шагов построим упорядоченную фундаментальную
систему решений Y(t) = [yi(t),...,yn(t)] системы (10.3) с нижне-тре-
угольной начальной матрицей У(0), диагональные коэффициенты
которой равны 1, и показателями
|A[2/i]-afc| ^Со<5, г Ε {qk-i + 1,-.-,»}, fc = l,-.-,m,
где о = lim ί"1 Γ0 α(τ) dr, q^ = п\ 4- ... + п&, Со — некоторая не
зависящая от £ постоянная, а величина δ достаточно мала, δ ^ йо-
Показатель А[у] всякого другого решения
у(0 = ciykl (ί) 4-... 4- cP2/fcp(f), fci < fci+1, q φ 0,
не может оказаться меньше числа ар — сой, если &р £ {<?ρ-ι 4-1,..., qp},
так как в противном случае по свойству с) п. 1.2 имели бы
неравенство Х[у] < ар — cq6 для линейной комбинации у = csyks 4- ...
... 4- срукр, s < р, решений Ук3т->->Укр, принадлежащих блоку

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 237
Μϊ/fc.] ~~ αρΙ ^ °οδι г = «,...,р. Последовательным же применением
неравенств (10.20) получим противоречащую оценку
t
dx expj[ap(r) - coS\dr < \\z(t)\\ ^ d2\\y{t)\l
о
где z(t) -— решение системы типа (10.16) наименьшего порядка, по
которому последовательными заменами (10.15) и определяется
решение y(t).
Таким образом, для всякого решения y(t) φ 0 системы (10.3)
доказано неравенство min |А[у] — а*| ^ cq8 при δ ^ δο- Теорема ЮЛ
доказана.
Б. Ф. Былов [29] условие разделенности Перрона (Rn) ослабил до
требования интегральной разделенности
t
Ι [αί+ι (ξ) - Oi(€)]d£ ^ c(t - τ) - d, i = 1,... ,n - 1,
r
с = const > 0, d = const ^ 0, t^ τ ^ 0, (10.21)
и доказал устойчивость показателей системы (ЮЛ) в предположении
ее правильности. От последнего требования освободился Р. Э.
Виноград [47].
Условия (10.21) являются и необходимыми условиями
устойчивости для системы (ЮЛ) с различными показателями, что будет
вытекать из устанавливаемого в следующем пункте критерия. Критерий
выполнимости условия Перрона получен М. И. Рахимбердиевым [224,
225, 227].
10.2. Критерий устойчивости характеристических
показателей диагональной системы
Пусть среди показателей Хх ^ ... ^ λη системы (ЮЛ) имеется
т различных Λι < ... < Лт. В соответствии с этим матрицу A(t)
представим в блочно-диагональном виде
A{t) = diag[A1(t),...,Am{t)]

238 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
таких диагональных матриц-блоков Ak(t) размерности пк (щ + ...
... -l·пт = га), для которых Aj = αϊ = Л* при о^ £ Ак. Пусть символ
пк означает также и совокупность индексов г таких, что из г Ε пк
следует αι £ Ак. Через ЩАк) и и(Ак) обозначим соответственно
старший и младший центральные показатели (см. п. 3.1) п*-мерной
системы fc-ro блока
dz/dt = Ak(t)z, *^0,
вычисляемые по формулам
- jT+T
I m~l J J
Q(Ak) = lim Um — Vmax / αΛτ)άτ, (10.22)
_ χ m-1 ST+T
u(Ak) = lim lim —=- У^ min / αΛτ)άτ (10.23)
i=o jT
и, очевидно, удовлетворяющие неравенству u(Ak) ζ Ak ζ Q(Ak).
Определение 10.1 (см. БыловБ. Φ. [29]). Диагональные
матрицы Ak(t) и Ak+\(t) будем называть интегрально разделенными, если
существуют такие постоянные с > 0 и d ^ 0, что при любых а* € Ак
и uj G Afc+i для всех t ^ г ^ 0 выполнено неравенство
/fa(ί) - α*(ί)] d££ c(i - τ) - d. (10.24)
Теорема 10.2. Для устойчивости характеристических
показателей диагональной системы (10.1) необходимо и достаточно
выполнение двух условий:
1) матрицы Ak(t) и Ak+i{t), fc = l,...,m —1, интегрально
разделены;
2) имеют место равенства и(Ак) = П(Л&), к = 1,... ,т.
Доказательство. Достаточность (следствие теоремы 15.2.1, см.
БыловБ.Ф. и др. [35, с.207]). Для фиксированного числа Г ^ 1
введем в рассмотрение кусочно-непрерывные функции
г*,т(«) = <4(l)(t), RkiT(t) = as(0(f), i e [IT - Τ,/Τ) = Δι,

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 239
где г(1) и s(l) — номера, реализующие соответственно наименьшее и
наибольшее значения интеграла J[T_To,i(r)dr при iG/ift. Эти
функции называются (см. БыловБ. Ф. и др. [35, с. 103,108]) соответственно
нижней и верхней центральными функциями совокупности Ak(t).
Для функций а*(£), г Ε ns, и Rk,T в силу их ограниченности
(постоянной а) и определения последней, а также условия 1) теоремы,
предполагающего выполнение неравенств (10.24), справедлива оценка
τ t t
ίRh,T<%+ fai(%*: f RkjTd£-c(k-s)(t-T) + \k-s\d+2aT (10.25)
0 τ Ό
с неотрицательными t и τ, удовлетворяющими условию
(t-r)
-+sign(fe-s)
SO.
(10.26)
Представив матрицу JF(i) = diag[/i(i),...,/n(f)] с элементами
fi(ί) = — α»(ί) в блочно-диагональном виде JF(i) = diag [Ft (ί),..., Fm(ί)]
с интегрально разделенными блоками JF]t и JFfc+χ:
/
[fi(0-MO]dtZc(t-T)-d, /iGFfc, /jGFfc+ь ί^0,
для функций ui(t), г Ε ns, и г^г(£) аналогичным образом получим
неравенство
τ t t
ίν^τάξ+ faid£Z frkiTd£ + c(s-k)(t-T)-\s-k\d-2aT (10.25ι)
О г О
с неотрицательными ί и г, удовлетворяющими условию
(ί-τ)
-+sign(s-fc)
SO.
(10.26ι)
Как и в п. 1.4, для отыскания η линейно независимых решений
возмущенной системы
y = dxag[ai(t),...,an(t)]y + Q(t)y, \\Q{t)\\ ζ δ, t>0, (10.27)

240 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
воспользуемся способом К. П. Персидского (см. п. 1.4), записывая
каждое из них в интегральной форме
η *
У к = Pk{t,0) + Σ / pk(t,T)qkj{T)yj dr,
- ι J
Π
t
= Σ / #(*>т)Ъз(т)Уз dT> i^ke ng, (10.28)
где обозначено
t ,
Pi(t, τ) = exp / α^ξ) df, U = <
J I +oo,
τ- ^
если г Ε ns, s ^ q,
если г G ns, s > q.
В методе последовательных приближений
ϊίο)=/>*(ί,0), »{0)=0, t#fc,
η '
ykl+1)=Pk(t,0) + Y^J Pk(t,r)qkj{T)yf dr,
3=1
t
yf+1) = Σ / *(*·T)*i Mt/J0 ^> гфкепд, (10.29)
непосредственными подсчетами получим неравенства
t
Ινί1}(*)-»!0)(*)1 ^ Sas{e)e2aT exp [(RQ+e)dr, i ens, t> 0, (10.30)
о
где ε Ε (0,с/4) — произвольное фиксированное число, а αβ(ε) есть
величина
/ ч exp|s-g|d
α«(ε) = ι i :—7 7-7^7 > s = l,-..,m.
c|s-?|+esign(?-s + l/2)'
Из оценок (10.30) вытекает также неравенство
Σ 1»?}(*) - »*0)(*)1 < 5o,e2ttTexp / (Д, + β) dr, t ^ 0,

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 241
i=o
Предположив теперь выполненными неравенства
t
\y?4t) - yt1]W < 5α8(ε)^-162οΤβχρ|(β9 + ε) dr,
о
Вч = eq{e) = δας(ε)β2αΤ, iEnS] t^ 0,
из равенств (10.29) с помощью оценок (10.25) и (10.26) получаем
неравенства
t
ll/?+1)(*) -ΐΛ*)Ι ^ fos(s)^e2flTexp|(^ +s)dr,
i G n„ £ ^ 0. (10.31)
Согласно принципу математической индукции, это означает
справедливость неравенств (10.31) при любом I ^ 0.
Для взятого ε > 0 укажем на основании равенств (10.22) и (10.23)
такое Τ > 0, для которого одновременно выполнены неравенства
Rd,T ζ ЩАд) + ε, rd|T ^ u(Aq) - ε. (10.32)
По уже выбранным ε и Τ найдем такое δ > 0, для которого в
свою очередь вя < 1. Тогда последовательность векторов VJ. (ί) =
= (ϊ/ι (ί)ι ■ ■ · >?А О) является равномерно сходящейся на всяком
конечном отрезке времени, а ее предельная вектор-функция Yk(t) =
= (у\(£),...,ί/η(*))5 к€пд, есть решение возмущенной системы (10.27)
с начальным вектором ϊ*(0), имеющим компоненты
Уг(0) = 0 при г G ns, s <ζ <?; ?/fc(0) = 1, к G ng. (10.33)
При этом для нормы построенного решения Yk{t) справедлива оценка
11П(<)||
ι
^ (е°т+r=v)ехр l^Rq+ε) dT' ken9, * ^ °" (10'34)

242 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
Для системы
z = -A(t)z-QT(t)z, ί^Ο,
сопряженной к системе (10.27), построим теперь методом
последовательных приближений (10.29), в которых у и qij следует заменить на
ζ и —Qji и считать
* (
/I +оо, если г € ns, s <
(-αι) d£, U = <
I 0, если г € nSj s ^
решение Z*(£) = (z\ (t),..., zn(*)) c начальными компонентами
^(0) = 0 при г € ns, s ^ g; z*(0) = 1, к € ηρ. (10.33ι)
Используя неравенства (10.25ι)-(10.26ι), для этого решения, как и
выше, получим оценку, аналогичную оценке (10.34):
t
\\Zk{t)\\ <С (eaT + γ?ηΑ exp f(-rq + ε) rfr, fc e щ, t ϊ> 0, (10.
35)
где теперь уже входящие в определение постоянной 0д величины αβ(ε)
имеют представление
Л /„ч exp\s-q\d
Φ - ?| + ^sign(s - q + 1/2)'
Применяя равенство (y(t), z(£)) = const, связывающее решения
исходной и возмущенной систем, к векторам Yk(t) и Zk(t) с начальными
значениями соответственно (10.33) и (10.33ι), получим в силу
неравенства (10.35) оценку
ιιηωιι
-ι *
> (ββΤ+ γ^γ) exp /(rre) dr, fc € nffl ί ^ 0. (10.340
Таким образом, для показателя \[Yk] fc-го решения Yk(t) системы
(10.27) на основании неравенств (10.32), (10.34), (10.34ι) и условия 2)
теоремы справедлива оценка
\Х\Ук] - ЩА„)\ ^ 2ε, к € пд.

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 243
Эта же оценка будет выполняться и для всякого решения
Y(t) = aYi(t) + - ■ · + ckYk{t), cs φ 0, г,..., fc € ng, г < fc,
системы (10.27), начальный вектор Y(0) которого имеет в силу (10.33)
компоненты ys(0) = 0 при s < г, Уг{0) = С{ φ 0. Действительно,
вычислив скалярное произведение векторов Y(t) и Zi(t) (вектор Ζ»(0)
имеет компоненты zs(0) = 0 при s > г, z*(0) = 1), из неравенств
(10.35) и (10.32) получим требуемую оценку X[Y] Г£ Q(Aq)— 2ε.
Поэтому для всякого решения y(t) системы (10.27) выполняется требуемое
неравенство
mm \X[y(t)]-n(Aq)\^2e
для любых ε < с/4 и δ < <5е, где <5е определяется равенством
max {0g} = 1. Достаточность условий теоремы 10.2 доказана.
Необходимость (следует из общих необходимых условий В. М. Мил-
лионщикова [188]; методом поворотов доказана также Б. Ф. Быловым
и автором в работе [36], изложения которой и будем здесь
придерживаться).
Доказательство необходимости условий теоремы 10.2 основывается
на следующем утверждении.
Лемма 10.1- Если показатели Χχ = αχ < Щ = Х2 двумерной
системы
Xi = a,i{t)x, г = 1,2, t ^ 0, (10.36)
устойчивы, то функции а\ (t) и а2 (t) интегрально разделены.
Доказательство леммы 10.1. Предположим противное:
функции а\ (t) и а2 (t) не разделены интегрально. Тогда для любого δ > 0
существует бесконечная последовательность отрезков [т*,0*], для
которой dk = Ok — тк —> со, Tk —> со монотонно при к —> со и в то же
время выполнены неравенства
ί[α2(τ) - αϊ (г)] dr < i<5d*, fc ^ 1. (10.37)
Тк
Зафиксируем произвольное β € (αχ,α2). Очевидно, лемма будет
доказана, если для всякого δ > 0 построим такую кусочно-непрерывную
матрицу Q(t) с нормой ||Q(i)ll ^ δ при £ ^ 0, что возмущенная
система
у = diag[ai(t),a2(t)]l/ + Q{t)y, t > 0, (10.38)

244 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
имеет решение с показателем, равным β. С этой целью, считая δ > 0
выбранным из условий λι + 5<5/2 < β + δ < \2, проведем следующие
построения.
Рассмотрим частично возмущенную систему
*ι = [«ι (*) + S/2]xu х2 = a2{t)x2, t $> 0, (10.39)
с матрицей коэффициентов A'(t), у которой первый диагональный
коэффициент a\{t) +5/2 будем по-прежнему обозначать через a\{t).
Тогда аг = λι + <5/2, |ai(t)| ^ а + <ty2, а неравенство (10.37) примет
вид
ί[α2(τ) - <ц (r)] dr < -<5d*/4. (10.40)
Построение возмущенной системы
» = i4'(t)» + g(«)», Н0Ю1Ю/2, t>0, (10.41)
и ее решения ?/(t) с показателем А[у] = /3 будем вести методом
поворотов, непрерывно "склеивая" y(t) на единичных отрезках [t0,to + 1]
из некоторой последовательности решений частично возмущенной
системы (10.39). На указанных единичных отрезках положим y(t) =
= U(t,u)x(t), где
/cosw(t — to) — sincj(t — to)\
^*,«)= . , Д ;. ° Ь о<и<*а
γ sinu;(t — to) cosw(t — to) J
a x(i) — то решение системы (10.39), для которого y(to) = x{to)- При
этом ||ζ/(0ΙΙ = 11Ж(0Н для всех t Ε [to,t0 + 1] и от момента to + 1 ДО
начала следующего поворота решение y(t) продолжается тем
решением системы (10.39), которое в момент to + 1 определяется начальным
вектором y(to + 1), т.е. вне отрезков [to, to + 1] полагаем Q(t) = 0.
Согласно утверждению леммы 4.1, норма матрицы Q(t) в системе
(10.41), которой удовлетворяет построенное таким образом решение
y(t), подчинена оценке ||{?(t)|| ^ (2а + 1 + 5)М, t ^ 0. Число ω > 0
выберем таким, чтобы ||{?(t)|| ^ <5/2. При этом, очевидно, последняя
оценка будет выполняться и для всякого ωΑ, для которого |ωι| < ω.
Необходимые построения будем вести по этапам на соответствующих
отрезках временной оси.

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 245
Чтобы представить все элементы построений последующих этапов
на первом, введем обозначение во — 0 и будем считать То > 1
выбранным столь большим, что
t
ехр / [αχ (г) + S] dr < - sin \ω\ χ exp βϊ при t ^ Т0. (10.42)
о
Пусть на отрезке [Θ0,Τ0 - 1] вектор y(t) задается формулой y(t) —
= ехр /0 а\ (г) rfr (1,0), а на отрезке [Т0 — 1, Т0] — преобразованием
t
у{г)^и{г,иг)ехр [сц(т)с1т (1,0),
о
в котором малость угла ωχ £ [Ο,ω] будет оговорена ниже. Вектор
у {То) определяется тогда равенством
То
у{То) =ехр / ai(r)rfr (coscJi,sina;i).
Без нарушения общности рассуждений отрезок [τχ,θι] считаем
расположенным вправо от точки t = Го так далеко (т\ > То + 1), что
выполнено неравенство
Т0 t
sup - Ι ί θ! (r) dr + [α2 (τ) rfr] > β + δ. (10.43)
Το^<η t [J J J
6>o Го
На отрезке [Τ0,τι] система (10.39) первоначально не подвергается
никаким возмущениям (потом ее возмутим преобразованием поворота на
отрезке [τι — Ι,τι]), и поэтому на нем вектор y(t) определяется
равенством
t t То
y(t) = ί coscji χ / αχ (τ) rfr, sincji χ / α2(τ) rfr J exp / αχ(τ) dr. (10.44)
r0 To 0o
Возможны два случая: угол, образуемый вектором у(т\) с осью
Ох\, не превосходит и>\ указанный угол больше ω. В первом случае

246 § Ю. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
с помощью допустимого преобразования поворота, действующего на
отрезке [т\ — Ι,τχ], вектор y(t) в момент t = τ\ укладывается в
координатную плоскость #2 = 0 и для всех t £ [τι,0ι] задается формулой
t
V(t) = ||j/(ri)||exPy αι(τ)άτ (1,0). (10.45)
Во втором случае поступаем следующим образом: с помощью
преобразования поворота, действующего на отрезке [т\ — Ι,τι], повернем
вектор y(t) к моменту t = т\ на угол —ω < 0. При этом y(t) =
= (?/ι(0??/2(ί)) останется в первом квадранте и в момент t — τχ будет
образовывать с осью Ох2 угол, больший ω:
»(п)/Ып) < ctgw, уг{тг) > 0. (10.46)
На отрезке [τχ,βι] система (10.39) также первоначально не
подвергается возмущениям (потом ее возмутим поворотом на отрезке [θ\ — 1, θι]),
и поэтому y(t) на [τι,0ι] задается равенством
»w
= i?/i(n)exp / ai(r)rfr, j/2(ri)exp / a2(r)rfTj.
τι
Оценим с помощью неравенств (10.40) и (10.46) тангенс угла а,
составленного вектором y(t) в момент t = θ\ с осью 0#ι:
tga = 2, \ ехр / [а2(т) - а2(г)] rfr < ctgu; χ exp ( - -Sdk J.
Vivn) J \ 4 у
Так как d* —> +oo при fc —> oo, то без нарушения общности
неравенство
( Sdk\
ctgw x exp I — I ^ tga;
будем считать выполненным начиная с к = 1.
Итак, tga < tgw, поэтому 0 < α < ω < π/2. Аналогично
предыдущему допустимым преобразованием поворота на отрезке [θχ — 1,0ι]
вектор y(f) в момент t = θι укладывается в ось Ох\ : у(в\) =

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 247
— Il?/(^i)ll (It0). Строящаяся нами вектор-функция y(t), как это
следует из предыдущих построений, непрерывно зависит от параметра
ω\ и поэтому, в частности, верхняя грань sup ln||?/(0i)|| конечна.
Возьмем Τι, исходя из условия
Iffa+VU-f sup InHi/POH
< δ, (10.47)
и на отрезке [0ι,7Ί] систему (10.39) не будем возмущать. Тогда y(t)
на этом отрезке определится равенством y(t) = ||ϊ/(0ι)|| exp fe a\(r)drx
х(1,0). Уточним теперь выбор числа ω\. Очевидно, при ω\ = 0
вектор y(t) определится на [во, Τι] равенством y(t) = exp JQ ai(r)rfr(l,0).
Поэтому в силу (10.42) для всех t Ε [Τ0,Τι] при ω\ = 0 будет
выполнено неравенство
\\y{t)\\ < sina; χ exp/ft. (10.48)
При ωι = ω для t Ε [Τ0,τι] имеем (см. (10.44)) оценку
То t
11у(011 > V2(t) = sina; x exp / αλ[τ)άτ + / a2(r)dr
θο To
из которой в силу (10.43) следует существование такого f Ε [Τ0,τι] С
С [То,Τι], что
||г/(*')Н > sin ω χ exp/ft'. (10.49)
Так как y[t) непрерывно зависит от ωι, то из неравенств (10.48) и
(10.49) следует существование такого cji, что для y(i), построенного
с этим и>\, будут справедливы неравенство
||»(t)|| ^ sina; χ ехр/3*, t Ε Ρο,Γι], (10.50)
и равенство
||l/(ti)|| = sina; χ е>ф/5*1, *ι = fix Ε [Τ0,Τι]. (10.51)
На этом первый этап построения вектор-функции y(t) и матрицы Q(t)
считаем законченным.
Приступаем к построениям второго этапа. Отметим прежде всего,
что без нарушения общности можно считать отрезок [гг, 0г]
расположенным вправо от точки t = Τι так далеко, как это нам окажется

248 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
нужным. Поэтому предположим выполненным условие, аналогичное
неравенству (10.43):
sup -
*п\\у{в1)\\+[аг(т)ат+[съ(т)ат]
>β + δ (10.52)
(в неравенстве (10.43) 1п||?/(0о)|| = 0). Далее построениями,
аналогичными проведенным на первом этапе (роль и>\ выполняет теперь
число ω2 ), получим вектор y(t), который при t € [02, ?г]
определяется равенством y{t) — у(в2) ехр/я2 о>\{т) dr (1,0), а число Т2 обладает
свойством
^\(α+Ιδ)θ* + sup lnll^)
<S.
Тогда при ω2 = 0 (поворот на угол ω2 действует на отрезке [Τι
— Ι,Γι]) имеем равенство
\\уШ = \ЫЬ)\\
θι t
exp f - / ai(r)rfrj exp Aai(r)rfr, t € [Тг,Т2],
из которого в силу выбора Т0 и Тг (см. неравенства (10.42) и (10.47))
получаем оценку
t
\\y{t)\\ < exp /[αϊ (τ) + 8\dr < sin ω exp /ft, t <Ξ [TUT2].
С другой стороны, при ω% = ω для t € [7ι,Τ2] имеем неравенство
Г *
lll/WII ^ 1/2(*) = exp / ai(r)rfr + / а2(т) dr
Hl/ieOllsincj,
из которого, согласно (10.52), имеем ||y(i")ll > sin ω exp/?£" для
некоторого t" Ε [Γι,Γ2]. Поэтому, как и на первом этапе, на основании
непрерывной зависимости y(t) от параметра ω2 найдутся такие ω2
и ί2, что для них будут выполнены неравенство \\y(i)\\ ^ sinu;exp/?i,
t € [ϊι,Γ2], и равенство ||y(J2)|| = sin ω exp /?ί2, ί2 Ε [Τι,Γ2].

10.2. Критерий устойчивости показателей диагональной системы 249
С помощью метода математической индукции распространим
приведенные выше построения вектор-функции y(t) на всю полуось t ^
^ 0. Построенное таким образом решение y(t) возмущенной
системы (10.41) с допустимой матрицей возмущения Q{t) обладает
следующими двумя свойствами: для всякого t ^ То справедлива оценка
\\y(t)\\ ^ smuexppt] существует последовательность {tk} t °°5 Для
которой ||y(tfe)|| = sinujexpPtki к ^ 1. Лемма ЮЛ доказана.
Замечание 10.1. Если коэффициенты системы (10.36)
удовлетворяют условию (10.37) для некоторого фиксированного S = So > 0, то,
как следует из приведенного доказательства, существует такая
кусочно-непрерывная при t ^ 0 матрица Q{t) с нормой ||Q(i)ll ^ S0, что
система (10.38) с этой матрицей будет иметь решение с показателем
/?e(Ai + 3<V2,A2-<*o).
Доказательство теоремы 10.2. Необходимость. Пусть условие
1) не выполнено. Тогда найдутся индекс к и функции щ{1) € Аь,
От(^) € Afc+i, для которых не выполнено условие интегральной раз-
деленности (10.24). Рассмотрим двумерную систему
χ = Aim{t)x, Aim{t) ξξ diag[ai(t),am{t)]. (10.53)
В силу леммы 10.1 для сколь угодно малого S > 0 существует такая
двумерная кусочно-непрерывная матрица Qim(t) с нормой ||(?jm(i)ll^
^ 5, что возмущенная система
y = [Aim{t) + Qim(t)]y (10.54)
имеет решение y(t) с показателем \[у] — (Λ* + Λ*+ι)/2. Дополняя
систему (10.54) не зависящими от нее η — 2 уравнениями щ = ai{t)yi,
г φΐ,πι^ и рассматривая полученную таким образом систему как
результат возмущения системы (10.1), получаем противоречие с
заданным свойством устойчивости характеристических показателей
системы (10.1).
Пусть теперь выполнено условие 1), но не выполнено 2) при
некотором к Ε {l,...,m}. Из этого последнего предположения следует,
что по крайней мере одно из неравенств ω* ^ Λ* ^ Ω* обращается в
строгое неравенство. По теореме 4.1 В. М. Миллионщикова для
всякого S > 0 можно указать такую п*-мерную матрицу Qk(t) с нормой
НФ*МН ^ ^ что возмущенная п*. -мерная система
» = [i4*(i) + Q* («)]«. *£0,

250 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
имеет решение y(t) с показателем
Ш - Л*| + δ Ζ 7 = тах{Л* - ω*, Ω* - Л*} > 0. (10.55)
В силу же условия 1) имеем также неравенство
тт|АМ-Л;|>1с. (10.56)
гфк Ζ
Неравенства (10.55) и (10.56) означают неустойчивость показателей
системы (10.1), что противоречит условию теоремы.
Теорема 10.2 доказана.
Замечание 10.2. Критерий устойчивости характеристических
показателей произвольной линейной системы (1л) получен методом
поворотов в работе В.М. Миллионщикова [188], а также в работе
Б. Ф. Вылова и автора [37]. Достаточность этого критерия установлена
ранее теоремой 15.2.1 монографии Б. Ф. Былова и др. [35, с. 208].
10.3. Коэффициентный признак устойчивости
характеристических показателей
двумерной системы
В этом пункте в соответствии с работой автора [81] докажем
устойчивость характеристических показателей двумерной линейной
системы (1л) с отделенными в обычном смысле собственными числами и
так называемыми полностью отделенными собственными векторами ее
матрицы коэффициентов A(t).
Пусть наибольшее λ2(ί) = p(t) + q[t) и наименьшее \\{t) = p{t) —
— q(t) вещественные собственные числа кусочно-непрерывной (с
замкнутыми слева, без нарушения общности, промежутками
непрерывности) ограниченной при t ^ 0 матрицы коэффициентов A(t)
системы (1л) отделены друг от друга: существует такая постоянная с > 0,
что выполнено неравенство
λ2(ί) - Aj(ί) = 2q(t) $> 2c> 0, t $> 0. (10.57)
Обозначим через H(t) и h(t) собственные векторы (единичной
длины) матрицы A(t), соответствующие ее наибольшему λ2(ί) и
наименьшему λι (£) собственным числам и построенные так, что на про-

10.3. Коэффициентный признак устойчивости показателей 251
межутке непрерывности [τχ,Τ2) матрицы A{t) эти векторы
непрерывны и составляют в момент t = т\ наименьшие углы со своими левыми
предельными значениями в этой точке.
Определение 10.2. Условимся называть векторы H(t) и h(t)
полностью отделенными, если одновременно существуют отрезок [а, Ь],
целиком содержащий множество угловых коэффициентов* одного из
этих векторов, и отрезок [а—а, ft 4-а], а > 0, не содержащий ни одной
точки множества угловых коэффициентов второго.
В случае полной отделенное™ собственных векторов имеет смысл
понятие обычного замкнутого сектора S изменения вектора H(t)
(точнее, его проекции) с граничными векторами Н* и i/*, содержащего
все лучи-векторы с угловыми коэффициентами k[H(t)], t ^ 0,
вектора H{t) и все расположенные между этими лучами векторы а так,
что ему (5) не принадлежит ни один луч с угловым коэффициентом
k[h(t)]. Считаем в дальнейшем, не нарушая общности, все векторы
H(t) принадлежащими S.
Теорема 10.3. Показатели системы (1л) с полностью
отделенными собственными векторами и отделенными {в обычном смысле
(10.57)) собственными числами ее матрицы коэффициентов устой-
чивы.
Доказательство. В соответствии с теоремой Гробмана —
Богданова [63, 19] исходную систему можно считать кусочно-постоянной с
замкнутыми слева промежутками постоянства. Сузим все множество
точек разрыва коэффициентов системы до множества R таких то-
чек, в которых терпят разрывы лишь определенные выше собственные
векторы (возможность такого допущения с очевидностью вытекает из
последующих рассуждений).
Пусть г ι < г < г 2 — соседние точки разрыва вектора H(t).
Первый этап доказательства сформулированной теоремы выделим в
самостоятельную лемму, считая при этом, без нарушения общности,
векторы Ηι = Η (η) и i?2 = Н(г2) принадлежащими правой
полуплоскости и, для определенности, их угловые коэффициенты
удовлетворяющими неравенству к[Н\] > к[Н2\-
Лемма 10.2. Пусть x(t) = x(t,a) — решение системы (1д),
проходящее в момент t = г через произвольно фиксированный
единичный вектор а, расположенный вместе с некоторым другим произ-
*Под угловым коэффициентом к некоторого вектора с началом в начале
координат понимаем угловой коэффициент прямой а?2 — кх\» содержащей этот вектор.

252 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
вольно фиксированным вектором Ь следующим образом:
к[Нх] > к[а] > к[Ь] > max{k[x(rx)],k[x{r2)]} > к[Н2],
а моменты t = таь и t = tab, г χ ^ таь < г ^ tab ^ г2, определены
равенствами к[х(таь)] — k[x(tab)] — k[b]. Тогда существует
обслуживающая все точки t — г и не зависящая от указанного выбора
векторов а и Ъ постоянная d > 0, которая для всех этих векторов
осуществляет оценку
Доказательство леммы 10.2. Рассмотрим сначала случай, когда
точки t = г\ и t = τ2 — соседние с t = г точки из множества R.
Обозначим А{г\) = Аи А(г) = А2, а соответственно через H\,h\ и
H2,h2 — их характеристические векторы. Очевидно, если А2 = —Αχ,
то ||#(£аб)|| = ||я(таь)||, Таь + *аб = 2г. Поэтому для доказательства
леммы достаточно доказать следующее
Утверждение 10.1. Пусть для t ^ г = 0 заданы системы χ =
= А2х и у = —Aiy и соответственно их решения x{t) и т/(£),
х(0) = у(0) = а. Тогда существует не зависящая от выбора
единичных векторов а и Ь такая постоянная d > 0, что при всех а и
Ь, k[Hi] > k[a] > k[b] > k[H2], имеет место неравенство
jj||^jj > exp|piii + P2t2 + d(tx + fe)], Pi = \ Sp Au (10.58)
с удовлетворяющими условию коллинеарности х{^2)\\у{Ь\)\\Ь
моментами t = 1χ и t = t2.
Доказательство утверждения 10.1. Записав вектор а двояким
образом а = axhx + βχΗχ — a2h2 + β2Η2, для векторов x(t) и y[t)
имеем следующие представления:
y(t) = [aihi expqit + βλΗ\ exp(-gii)] exp(-pii),
x(t) = [a2h2 exp(-q2t) + β2Η2 expq2t] expp2*,
в которых, по обозначению, величина р$ + qi является наибольшим
характеристическим числом матрицы Αι. Понимая под углами
<{/*!,a}, <{hub} {<{h2la}, <{h2,b})

10.3. Коэффициентный признак устойчивости показателей 253
углы, составляемые указанными векторами а и Ъ с вектором h\ (h2),
если он и вектор а лежит по одну сторону от прямой, содержащей
Н\ (#2), или с вектором —h\ (—h2) в противном случае (напомним,
что ни один из векторов hi и —hi не может располагаться между
векторами Н\ и Яг), обозначая sin<{z,a}/sin<{z,b} = s(z,a,b) =
= s(z), по теореме синусов имеем
exp2q1t1 = s(/ii)/s(#i), exp2g2*2 = s{H2)/s(h2),
||y(ti)||2 =β(Λι)β(^)βχρ(-2Λίι),
l№)||2 = s(h2)s(H2) exp2p2f2. (10.59)
Установим теперь существование такого натурального т, не
зависящего от расположения векторов а и Ъ между векторами Н\ и Н2,
для которого выполняются неравенства
^ expfimfatx + р2*2) + 2Qiti], г = 1,2, (10.60)
т.е. неравенства (10.58) с постоянной d = (2m)~* πύη^ι,φ}. Так как
s(z,a,fc) = s(—ζ, α, Ь) для любого вектора г, то при установлении
неравенств (10.60) считаем обозначенными через hi, Hi те векторы,
которые могут отличаться от своих действительных значений лишь
противоположным направлением и расположены от прямой, содержащей
вектор Ь, по одну сторону вместе с вектором а. Тогда, учитывая
полную отделенность характеристических векторов матрицы A(t), имеет
место одно из следующих двух возможных расположений векторов:
-b7H2,huh2,Hu a, fc; -6, #2, Λ2, Λι, #11 a, b, (10.61)
включая во второе расположение также и случай hi = h2.
Рассматривая величину
, IX sin(7z - δ) с f Λ1
φ, α, Ь) = —Vi -, * = <{α, Ь} < 7г < π,
sin 7*
как функцию угла 7г между векторами Ь и текущим ζ
(расположенным между векторами —6 и а), простым дифференцированием
убеждаемся, что s(z,a,b) монотонно возрастает с увеличением 7г-
Выражая по формулам (10.59) отношения (||ж(*2)||/||2/(*1)11)2техР(-2^*г)
через введенные функции s(z,a,b), приходим к следующему выводу:
\Шь)\\)

254 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
для выполнения неравенств (10.60) число т достаточно выбрать
удовлетворяющим неравенству
L I I71 — 1
οι л«, rt r\\
(10.62)
\s(H2,a,b)
s(/ii,a, b)
s{h2,a,b)
s(/ii,a,b)
В случае второго из расположений (10.61) неравенства (10.62)
автоматически выполняются с числом га = 1. Поэтому рассматриваем
первый случай расположения векторов.
По теореме о среднем имеем представления
s(H2) = s(h1) +
sihi) = s(h2) +
sini
sin2 0ι
sini
sin2 02
<{#2,/ii} = s(/ii) + σ2, 7Λ; < 0i < 7я2,
<{hi,h2} = s(/i2) + σ2, 7/i2 < θ2 < 7/ц·
Тем самым из неравенств (10.62) получаем неравенство
га — 1 > In
1 +
02
s(/l2,fl, Ь)
/In
1 +
σι
s(/ii,a, b)
= L.
Матрицы Αι и Л2 — значения матрицы А(£), поэтому из условия
полной отделенности собственных векторов матрицы A(t) следует
существование такой постоянной β = β (α) > 1, одной для всех точек
разрыва t = г вектора #(£)> которая при всех допустимых α и Ъ
осуществляет оценки
)0-1^sin202, /J"1 0(Ъ,а,ЬК/3, /Г^^Лг.М-
На основании первых двух из них числитель величины L всегда
ограничен (cr2/s(h2) ^ 7r/?2sin<$). Тем самым неограниченность L может
наступить лишь при стремлении к нулю ее знаменателя. Пусть число
во > 0 выбрано из условия 1/2 < ε^11η(1 +εο) < 3/2. И если теперь
оказывается, что ω\ = o\/s[hi) < εο/πβ4, то ω2 = (T2/s(h2) < εο. Α
тогда, очевидно, имеем
L = щ 1η(1 + ω2) sjhi)sin20i<{hbh2} 4
ω2ΐη(1 +ωι) s(h2)sin202<{tf2,/ii}
Итак, требуемое утверждение, а с ним и лемма 10.2 в
рассматриваемом случае доказаны (независимость числа d от г следует из
независимости β от г и отделенности собственных чисел). Справедливость

10.3. Коэффициентный признак устойчивости показателей 255
же леммы 10.2 в ее сформулированном виде легко устанавливается
соответствующим η-кратным (п — число точек разрыва вектора h(t),
принадлежащих интервалу {г\, гг) ) применением только что
доказанного ее частного случая.
Следующим этапом доказательства теоремы 10.3 является
Лемма 10.3- Длина Τ промежутка времени [τ,τ + Τ], на
котором решение x(t) рассматриваемой системы расположено между
векторами H(t) и h(t) так, что оно поворачивается лишь в одном
направлении и
<{x(t),H(t)}>^ <{x(t),h(t)}>^, θ>0,
не превосходит произведения Ν<{χ(τ+Τ),χ(τ)} с зависящей только
от θ постоянной Ν(θ).
Доказательство леммы 10-3. Пусть для t ^ 0 задана
двумерная система χ = Ах, матрица А которой, являясь частным
значением матрицы A(t), имеет характеристические векторы Huh с углом
к < π между ними, и x(t, ао) — ее решение с единичным начальным
вектором #(0,ао), расположенным между векторами Η и h и
составляющим с последним угол αο· Тогда функция Τ (а) аргумента а,
ао < а < *с, определяемая угловым равенством <{x[T(a),xo]7h} = α,
вычисляется по следующей формуле:
Λ _, Λ sinasinf^ — а0)
exP2<zT (α) = A-f Ц,
sin ао sm{*c — а)
где, по обозначению, ρ ± q — собственные числа матрицы А. Тем
самым функция Τ (а) дифференцируема и при всяком фиксированном
а0 справедливо равенство
dT{a) __ sinx-
da 2q sin a sin(>r — a)
Поэтому считая вис константами отделенности, обеспечивающими
по условию теоремы 10.3 неравенства
0 < θ ζ χ(ί) ^ π - 0, q{t) ^ О 0, ί ^ 0,
в качестве постоянной N можно взять точную верхнюю грань
производной dT(a)/da по всем к < π, а ид, удовлетворяющим
неравенствам 0/4 ^ α ^ к — 0/4, q ^ с. Лемма 10.3 доказана.

256 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
Последним самостоятельным этапом доказательства теоремы 10.3
является очевидная
Лемма 10.4. Для системы (1д) существует такая постоянная
d > 0, которая на всяком промежутке [τ, Τ] с выполненным на нем
неравенством <{x(t),H(t)} ^ 0/4 осуществляет оценку
t
И*)Н > Ит)||ехр^| Sp4(0de + d(t-r)]
t€[r,T\. (10.63)
Доказательство леммы 10.4. Действительно, устанавливая этот
факт для всякого частного вида системы (1д) — уже изучавшейся в
лемме 10.3 системы χ = Ах с постоянными коэффициентами, имеем
представление
x(t) = ||х(г)||ер(4-г)[/?е^-г>Я + ае-^-г>/1],
где постоянные а и β определяются равенством х(т) — \\х(т)\\(аИ +
+ βΗ). Поэтому в качестве искомого числа d можно взять число
J=\mi inf — ln[l + /?2(e2<?(t-r)-l) + a2(e^2^-r)-l)l,
2 *c,q t~r>o t - τ ι J
которое положительно в силу неравенств отделенности 0 ^ χ ^ π — 0,
д^си условия леммы. Лемма 10.4 доказана.
Возвращаемся к непосредственному доказательству теоремы 10.3.
Для этого установим существование такого решения u(t)
рассматриваемой системы (1л), для которого при любых 0 ^ s ^ t выполняется
оценка
t
1
1И*)Н > «o||t*(e)||expiy ρ(τ)άτ + β0(ί-8)
, p{t) =-Sp A{t), (10.64)
с некоторыми (независящими от s и t) постоянными αο, βο > 0.
Положим и(0) = До- Тогда это решение (точнее, его проекция) в любой
последующий момент времени будет принадлежать сектору S.
Покажем, что в качестве числа β0 можно взять наименьшее из чисел d
лемм 10.2 и 10.4, а в качестве а0 — число a0 = expj—N(M + βο)π],
где отрицательное число — Μ есть величина J из леммы 10.4,
вычисленная теперь уже без предположения <{х(т),Н(т)} < 0/4 и
удовлетворяющая поэтому лишь неравенству J > — оо.

10.3. Коэффициентный признак устойчивости показателей 257
Введем обозначение φ(τ) = <{«(t),u(s)}i s ^ τ ζ t. Очевидно,
эта функция φ{ί) является непрерывной кусочно-монотонной
неотрицательной функцией, не превосходящей величины π — 20. Пусть τ =
= ξο Ε [s, t) — последний (функция кусочно-монотонная) корень
уравнения φ{τ) = 0. Многократным, но конечным, применением леммы
10.2 убеждаемся в справедливости неравенства
ίο
Н6>)|| > HtiWII exp\jp(r)dr + β0(ξ0 - s)]. (10.65)
Пусть далее ξι,..., ξη — относительные минимумы функции φ{τ)
на интервале (£o,t), ξη+ι = t (если функция φ{τ) не имеет
указанных минимумов, то ξι = t) и min {φ(ξί)} = ψ{ξίί), причем
l^i^n-f 1
точка ξΐζ — наибольшая из всех возможных. Через щ обозначим
наименьшую принадлежащую промежутку (ξο,&] точку, в которой
tpiflk) — φ(ξ^ (в частном случае ξι = t точка % может просто
совпадать с точкой fi). Тогда, как и неравенство (10.65), многократным
применением леммы 10.2 получаем неравенство
NfiOII ^ l|w(n*)|| exp \fp{r)dr + A,(6 - щ) Ι. (10.66)
На отрезке же [fo3%:]j на котором функция строго возрастает,
поступаем следующим образом.
Для кусочно-постоянной функции гр{т) = <{H(r),u(s)} с
замкнутыми слева промежутками постоянства в любой момент τ £ [ξο>%)
имеет место неравенство ψ{τ) > φ{τ). Тогда на тех промежутках
(τί,Τί+ι), на которых ψ(τ) > φ(τ) +Θ/4, к решению и(т) применима
лемма 10.3, а на оставшихся промежутках — лемма 10.4. Если через
Τι обозначить сумму длин промежутков [τ^,τ^ι), то по лемме 10.3
имеем Τι ^ Ν^ι, где 71 = <{w(£*)»w(s)}- Воспользовавшись теперь
очевидными неравенствами
||η(τϊ+ι)|| > |Кп)||ехр| / ρ{τ)άτ - M(ri+1 - η)
и неравенствами (10.63) на тех промежутках, на которых -ф(т) ^

258 § 10. Устойчивость характеристических показателей линейных систем
^ ¥>(т) + *V4> имеем оценку
Пк
\Hvk)\\ > ||u(io)|| exp 17 p(r)dr + /?0(& - &) - Ν(Μ + /?0)7ι],
Co
а тем самым на основании неравенств (10.65) и (10.66) и оценку
1№)Н £ IM0IIexplУp(r)dr + /?„(& ~s)~ ЩМ + β0)Ίλ· (10.67)
Если А: = гс+1, то нужная оценка (10.64) установлена. В противном
случае снова образовываем соответствующие точки ξι и 7#, ί > А;, и
получаем оценку, аналогичную (10.67):
1К&)11 Ζ ||t*(e)|| exply p(^)dr + А,(6 - в) - JV(Af + A))(7i + та)
где 7i+72 = ^{^(δ)»^5)}· За конечное число шагов доберемся до
точки ξη+ι = t, получив при этом неравенство (10.64) с нужной
постоянной Qo-
Очевидно, для доказательства теоремы 10.3 осталось доказать
существование такого решения v(t) системы (1л), для которого
sin <{v(t),u(t)} ^ 7 > 0, t ^ 0.
Поступим следующим образом. Так как угол, 'Заметаемый" сектором
5, не превосходит π — 20, а решение u(i) в любой момент времени
принадлежит этому сектору, то преобразованием поворота у = Swx с
постоянным углом поворота ω, сохраняющим нормы решений, сектор
S расположим так, чтобы вектор {1,0} делил бы его на два равных
сектора. Тогда векторы Н* и Н* составляют с вертикальной осью
угол, не меньший 0, и первая компонента решения u'(t) = 5ωη(ί)
преобразованной системы
у = Q{t)y = SuAWS^y, SpQ-SpA, (1'л)
удовлетворяет оценке u[(t) ^ ||u(£)||sm0. Строя теперь решение г/(£)
системы (1л) по формулам (4) и (5) из работы автора [81],
приходим к выводу, что показатель вектора v'(t) строго меньше показателя
вектора u'(t).

10.3. Коэффициентный признак устойчивости показателей 259
Итак, система (1д) имеет решение v(t) с показателем λ[ν] < Х[и].
При этом ни в какой момент времени, в том числе и начальный, оно
не может принадлежать не только сектору 5, но и не может подойти
к его граничным векторам Н* и Н+ на угол, меньший 0/4, ибо в
противном случае с помощью лемм 10.2-10.4 получили бы λ[ν] = \[и].
Теорема 10.3 доказана.
Следствие ЮЛ. Двумерная система (1а) с полностью
отделенными собственными векторами и отделенными (в обычном смысле)
собственными числами преобразованием Ляпунова приводится к
диагональному виду
у = diag[|Kf)||'/iKf)||, и*)||71К*)Шу-
Замечание 10.3. Теорема 10.3 и следствие 10.1 справедливы и в
том случае, когда вместо требования обычной отделенности
собственных чисел имеет место их интегральная отделенность.
Следует также отметить, что лишь одно требование отделенности
собственных векторов (как и требование отделенности чисел) уже не
обеспечивает устойчивости показателей — это можно подтвердить
соответствующими примерами.
Замечание 10.4. Распространение этого коэффициентного
признака устойчивости характеристических показателей двумерной
системы (1а) на п-мерные линейные системы осуществлялось М. И. Рахим-
бердиевым [226].
Комментарий к § 10. История вопроса изложена в тексте самого
параграфа и более подробно в § 7 обзора автора [83].
Теорема 10.1, как уже отмечалось, есть небольшое обобщение
признака Перрона [249]. Достаточность критерия устойчивости
показателей диагональных систем, устанавливаемого теоремой 10.2, вытекает
из теоремы 15.2.1 Б. Ф. Былова и Р. Э. Винограда (см. [35, с. 207]). Его
необходимость есть следствие общих необходимых условий В. М. Мил-
лионщикова [188] и, как и лемма 10.1, доказаны методом поворотов
также Б. Ф.Быловым и автором [36]. Леммы 10.2-10.4 и теорема 10.3
доказаны автором [81].
Достаточность общего критерия устойчивости показателей
установлена теоремой 15.2.1, а его необходимость доказаны В.М.Милли-
онщиковым [188] и Б.Ф.Быловым и автором [37].
См. также основополагающие в этой теории работы Б. Ф. Былова
[30-35], Р. Э. Винограда [41, 42, 44, 47], В. М. Миллионщикова [173,174,
176, 178-180, 184, 187, 190] и В. А.Плисса [205-208].

§ 11. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Наряду с га-мерной вещественной линейной системой
χ = A(t)x, xeRn, ί ^ 0, (1а)
с кусочно-непрерывными и ограниченными на полуоси [0, +оо)
коэффициентами (||Л(£)|| ^ о < +оо при t ^ 0) будем рассматривать и
возмущенные нелинейные системы
V = i4(t)y+ /(*,»), J/€iT\ t£0, (ИЛ)
также с вещественными кусочно-непрерывными по t ^ 0 и
непрерывными по т/ € Up = {и € i?n : ||г«|| < ρ = р(/)} вектор-функциями
/ : [0, +оо) χ Up -> Rn, составляющими наиболее часто
встречающийся в приложениях класс
Fm = {/ : \\f(t,y)\\ ^ Cf\\y\\m, C/ = const>0, (t, I/) €[0,+00) χ &,(/,}
возмущений фиксированного порядка т > 1, кратко называемых га-
возмущениями. Этот класс, очевидно, содержит ляпуновский класс
возмущений второго порядка малости, состоящий из га-мерных
голоморфных вектор-функций
/(*,»)= Σ Λι-Λ-Μι/ί1--^. fceiVb, (11-2)
компонент г/i вектора t/ £ i?n с непрерывными и ограниченными
коэффициентами fki...kn : [0,+оо) -» i?n. Вместе с классом Fm будем
также рассматривать и класс
m>l
возмущений высшего порядка малости.
Следует иметь в виду, что система (11-1) с га-возмущением / в
общем случае не обладает свойством единственности своих решений в
любой как угодно малой окрестности начала координат, хотя нулевое
решение этой системы всегда единственно. Это подтверждает пример
скалярного уравнения
У = ау + /(*,у), а = const < 0, (tyy) Ε [0, -boo) x Rl,

§11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению 261
с непрерывным по ί ^ 0 и j/G (—Ρο,Ρο) га-возмущением f(t,y) =
= emG7o(*,2/), где
/o(*,I/)=<
О при у ^ ро exp at и у ^ О,
pJTa(P*-i - г/*"0')* при τ/€-Λί G [(Рк-г + ρ*)/2,Λ-ι),
рТ-а(уе-<* - рк)« при ί/€-βί € Ьь (рн + pft)/2),
m>l, ae(0,l), {p*HO, Α: G iV, ί J> 0,
и счетным множеством решений у = Pkeat-, к G iV, в каждой точке
которых нарушается свойство единственности решения задачи Коши.
Вместе с тем следует также иметь в виду и то, что на основании
свойства единственности нулевого решения системы (11 Л) с вектор-
функцией / G Fm все последующие рассуждения сохраняют силу при
отсутствии дополнительного требования единственности решения
задачи Коши во всей р(/)-окрестности начала координат.
Пусть 2/(£,t/o) — решение системы (11 Л) с начальным вектором
Ϊ/0 = 2/(0, г/о)·
Определение 11 Л. Нулевое решение системы (11 Л) называют
устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 существует такое
δ = δ(ε) > 0, что неравенство ||г/(£,г/о)|| ^ £, * ^ 0, выполнено для
всякого решения y(t,yo) с начальным вектором г/о, удовлетворяющим
условию Hi/oil ^ δ.
Через λ[ί/(·,ϊ/ο)] обозначим характеристический показатель
решения г/(*>г/о)3 равный +оо (по предложению Ю. С.Богданова) в случае
его выхода за конечное время на границу рассматриваемой
окрестности UP(f)·
Определение 11.2. Величину А(Д/) = lim \[у(-,Уо)] будем на-
зывать старшим показателем нелинейной системы (11 Л).
Этот показатель А(Л, /) в случае его отрицательности определяет
точную асимптотику убывания норм решений возмущенной системы
(11Л) при неограниченном возрастании времени.
Для некоторого общего класса F возмущений / : [0, +со)х17р(/) —>
-> Rn, кусочно-непрерывных по ί ^ 0 и непрерывных по у G Rn в
соответствующих р(/)-окрестностях начала координат,
удовлетворяющих условию f(t,0) = 0 при всех t ^ 0 и обеспечивающих свойство
единственности нулевого решения системы (ИЛ), введем также в
рассмотрение показатель Ар (А) = supA(A,/).

262 § 11· Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
В задачах устойчивости дифференциальных систем по линейному
приближению, как правило, исследуется экспоненциальная
устойчивость их нулевого решения. Общепринятым является
Определение 11.3. Нулевое решение системы (11.1) называется
экспоненциально устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и ее
старший показатель \(А, /) отрицателен.
Следуя Ляпунову [150, с. 52-55], различают [35, с. 232-238; 90; 105]
частную и общую задачи Ляпунова об экспоненциальной устойчивости
нелинейной системы (11.1) по линейному приближению (1а), понимая
под этим экспоненциальную устойчивость ее нулевого решения.
Частная задача Ляпунова: по системе линейного приближения
(1л) получить необходимое и достаточное условие экспоненциальной
устойчивости нулевого решения системы (11.1) с любым
возмущением f € Um>i F™ = Ή+ο высшего порядка малости и вычислить
точную в классе Fi+o асимптотику Ωχ+0(Α) = sup λ(Α, /), на-
зываемую [89] центральным показателем высшего порядка системы
(1д), ее решений y(t, t/o), выходящих в начальный момент t — 0 из
достаточно малой окрестности начала координат.
Общая задача Ляпунова: по системе (1а) получить
необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости нулевого
решения системы (11.1) с любым т-возмущением f € Fm
фиксированного порядка т > 1 и вычислить точную в классе Fm
асимптотику
Пт(А)= SUp λ(Α,/),
feFm
называемую априорным т-показателем системы (1л), ее решений
у(£> Уо)» выходящих в начальный момент t = 0 из достаточно малой
окрестности начала координат.
Другая упрощенная редакция общей задачи: в случае
отрицательного старшего показателя Хп(А) системы линейного
приближения (1д) найти то наименьшее значение то = то(А) ^ 1 порядка m
возмущений / £ Fm, начиная с которого наблюдается
экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы (11.1) с любыми / £ Fm
И ТП > TTIq.
История вопроса (см. [112, 130]). Решение частной задачи
Ляпунова об экспоненциальной устойчивости системы (11.1) по
правильному по Ляпунову [150, с. 38] линейному приближению (1л), состоящее
в отрицательности его старшего показателя Хп(А) и выполнении
равенства А(Л, /) = Хп(А) < 0, получено: самим Ляпуновым [150, с. 52] в

§11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению 263
классе F2 голоморфных возмущений; значительно позднее X. Л. Мас-
серой [171] в классе Fi+0 возмущений высшего порядка малости.
В решении общей задачи Ляпунова по произвольному линейному
приближению (1д) основным классическим достижением являются
признаки экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы
(11.1) с возмущением / € Fm, m > 1, и выполнения прежнего
равенства X(A,f) = Хп(А) < 0 (или соответствующей оценки), состоящие в
отрицательности величины L(m,a) = (τη — 1)λη(Α) + σ (или ее
прямого аналога) при т> 1 и различных σ ^ 0. Ими являются следующие
признаки:
1) Ляпунова [150, с. 54-55] L(2,aj\(A)) < 0 в классе F2
голоморфных возмущений (11.3);
2) X. Л.Массеры [171] Цт,ал(А)) < 0;
3) Д.М.Гробмана [63] L{m,oT(A)) < 0;
4) Н.Е.Большакова [24] и Р.А.Прохоровой [217] L(m,an(A)) < 0
в случае η = 2 (для η ^ 3 он, вообще говоря, не имеет места, что
установлено Р.А.Прохоровой);
5) И. Г. Малкина [170, с. 379] (т - 1)R + г < 0;
6) Р. Э. Винограда [35, с. 233]
t
lim -
о
В последних двух признаках кусочно-непрерывные функции r(s) и
R(s), s ^ 0, и их постоянные значения г > 0 и R < 0 осуществляют
общую оценку
τ t
In \\Ха(Ъ s)\\ ^ d + / r(s) ds+ R(s) ds, d - const, t ^ r ^ 0,
0 r
матрицы Коши Ад(£,т) системы (1д) (в этих признаках Х(А, /) ^
^ lim Г"1 LR(s)ds). При этом для значения ш0(А) ^ 1 справедли-
ва оценка тпо(А) ^ 1 + σΓ(^)/|λη(Α)| (или оценка тп0(А) $ 1 -f r/|i?|
в признаке Малкина).
Последующие существенные сдвиги в решении как частной, так и
общей задач Ляпунова связаны с использованием метода поворотов
В. М. Миллионщикова (см. §4), причем первым в теории нелинейных
дифференциальных систем (11.1) с m-возмущениями / порядка т>1
это сделал Р. Э. Виноград.
ί[(τη - l)R(s) + r(s)\ ds < 0.

264 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
В настоящем параграфе по этим задачам Ляпунова ограничимся:
1) построением экспоненциально устойчивых систем (11.1) (в
смысле определения 11.3 экспоненциальной устойчивости их нулевых
решений) с m-возмущениями / £ Fm, m > 1, имеющих, в отличие от
линейных систем, предельные множества характеристических
показателей своих решений положительной меры Лебега;
2) доказательством теоремы Ляпунова — Массеры — Гробмана об
устойчивости нулевого решения системы (11.1) по линейному
приближению (1а) и некоторых ее обобщений, а также установлением
неулучшаемости условий этой теоремы во всем множестве систем
линейного приближения (1а)]
3) решением частной задачи Ляпунова об устойчивости по
линейному приближению.
11.1. О числе характеристических показателей
решений экспоненциально устойчивых систем
с т-возмущениями
Как установлено в § 1, линейная система (1^) с ограниченными
кусочно-непрерывными коэффициентами имеет конечное (не более п)
число различных характеристических показателей. Возникает вопрос:
сколько таких показателей может иметь экспоненциально устойчивая
нелинейная система (11.1) с кусочно-непрерывным по времени и
непрерывным по у возмущением f(t, у), имеющим в окрестности начала
координат порядок малости т > 1 по второму аргументу и
обеспечивающим свойство единственности решений системы (111).
Для точной формулировки этого вопроса введем в рассмотрение
множества ЛР(А,/) характеристических показателей выходящих из
/о-окрестности начала координат решений экспоненциально
устойчивой системы (11.1) с удовлетворяющим условию
\\nt,y)\\^Cf\\y\r, \\y\\^p, ш>1, ί^Ο, (11.3)
m-возмущением / и их пересечение
А0(А,/) = П Ap(A,f) = Lim ΛΡ(Α,/), (11.4)
которое естественно называть множеством характеристических
показателей этой нелинейной системы. И сформулированный ранее вопрос

11.1. О числе характеристических показателей решений 265
может быть сведен к вопросу о мере множества (11.4). При этом
предшествующие результаты по совпадению множеств Ло(А, /) с
совокупностью характеристических показателей системы линейного
приближения (1л) содержатся в работе [200, с. 267].
Построению систем (11.1) с возмущениями порядка малости т > 1,
имеющих множества-отрезки характеристических показателей, и
посвящен настоящий п. 11.1. При этом используется еще одна
модификация метода поворотов В. М. Миллионщикова (см. § 4) для
рассматриваемых нелинейных возмущений.
Теорема 11.1 [96]. Для любых отрезка [а,Ь] С (—оо,0), чисел
т > 1 и натурального η ^ 2 существуют кусочно-непрерывные по
t ^ 0 ограниченная η χ η-матрица A(i) и n-мерное т-возмущение
/(^у)? имеющее непрерывные по у и ограниченные в области (0, +оо)х
χ {у £ Rn : ||у|| < 1} частные производные dfi(t,y)/dyj такие, что
система (11.1) является экспоненциально устойчивой и ее
множество Ло(Д /) характеристических показателей совпадает с этим
отрезком.
Доказательство. Проведем сначала необходимые построения в
случае η — 2. Матрицу A(t) исходной экспоненциально устойчивой
двумерной системы (1^) возьмем диагональной и ее элементы αχ(ί) и
a2(t) построим следующим образом. Пусть неограниченно
возрастающая последовательность {t^} с начальным ачементом to = 1 такова,
что {tk/tk+i} I 0. Положим: ai(t) = a2(t) = 0 при t G [t2i — l,*2i);
г ^ 0; oi(t) = а для остальных значений t ^ 1;
ί6·
I 4ma,
*.№ = Г tG^'i2£+l)' ч (11.5)
Введем также обозначения
t
Xi(t,r) = exp / αΐ(ξ)άξ, t ^ τ ^ 0, г = 1,2;
r
5fc(i) = {y £ R2 : k-1 <C \\y\\/xi(t, 0) ^ (fc - I)"1}, fc £ 2,
причем в силу определения функции αχ(ί) равенство Sk(t) = Skfoi)
СПравеДЛИВО ДЛЯ ВСеХ ί € [^2г — l,*2i]-
Построение необходимого т-возмущения (11-3) f{t7y) в каждом
слое Sfc(t) будем вести по индукции. Для фиксированного fc ^ 2
выберем номер ρ = p(k) ^ 1 настолько большим, чтобы одновременно

266 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
для j ^ ρ были выполнены условия
4tj < tj+u тг(1 + \a\)k4xi(tj,0) < 1, (11.60
sin<5 ^ expat2j, δ > 0 => δ ^ 2sin<5. (11.62)
Здесь для удобства изложения и без нарушения общности для этого
фиксированного к ^ 2 будем в дальнейшем считать, что ρ = 1.
Положим f(t,y) = 0 для у Ε Sk(t) и £ £ [0,^2 — 1) и введем в рассмотрение
следующие множества*: Ls(0) векторов у £ Sk{to) с
неотрицательными компонентами, составляющих с осью Ох\ угол <$о(1М1) = 0;
L7(l) = {у = X(t2,t0)v : ν е Ls(0)} векторов у e Sk(t2) также
с неотрицательными компонентами, составляющих с осью Ох\ угол
7i(||y||) ξ 0; отрезок Jj Ξ [k^xifajjO^ik - 1)~гхг^,0)] для всех
j > 1. Определим также функцию v?i(c), с £ J, как длину вектора
ν € Д*(0) такого, что вектор и = Х(*2,*о)^ £ 1^(1) имеет длину с;
очевидно, v?i(c) = c/xi(t2,0) и она непрерывно дифференцируема на
отрезке** Ji, причем значения производной в концевых его точках не
зависят от к.
С помощью функции </>i(c) определим новую, также непрерывно
дифференцируемую на Λ, функцию
рл-(с) = -1 + sin2 тг(А; - l)[fcy>i(c) - 1], с € J,-, (11.7)
при j = 1, равную —1 и имеющую равные 0 (не зависящие от к)
производные на концах отрезка J±. Наконец, для с £ J± зададим
функцию <5i(c) £ [0,7г/6) равенством
sino^c) = fc--f27+1e2-^[cf (с) - cj1],
Cj = X2(t2j+i,t2j)/xi(t2j+i,t2j) > 1, ceJj, (11.8)
в котором j = 1. Очевидно, Si(c) = 0 в случае с £ dJ\. Функция
δι(ό) при с £ Ji является непрерывно дифференцируемой и для ее
производной (равной 0 на концах 3\ ) справедлива в силу (11.5),
условия (11.6ι) и представлений (11.7) и (11.8) оценка
[dgi(c)
dc
^-^{b-a)k-me2mat*
Φι (с)
dc
*Там, где это не вызовет недоразумений, будем опускать зависимость вводимых
множеств и функций от номера к слоя S*, в котором осуществляются
необходимые построения.
** Здесь и далее под значениями производной какой-либо функции в концевых
точках отрезка будем понимать ее односторонние производные.

11.1. О числе характеристических показателей решений 267
< 4тг(1 + |a|)fcema'2 < 1/2, с G Ju (11.9)
а также с учетом условия (11-бг) неравенство
Si(c)<*-m < 2^rrJ-m(t2,0)exp2ma*2 < 1/2, с G Jb (11.10)
Очевидно, этими же свойствами обладает и функция 7i(c)> с € Ji-
Множество векторов у G Sfcfo) c неотрицательными компонентами,
составляющих с осью Ох\ углы <5i(||y||), обозначим через Ltf(l).
Определим компоненты вектора-возмущения /(£, у) равенствами
Л(*,у) = (-i)Wifo(IMI) -7j(IMI)b
у е Sk(t), t е [t2j - ι,%), г = 1,2, (ii.ii)
где снова J = 1- Очевидно, этот вектор непрерывно зависит от у и на
границе dSk{t) при t Ε [t2 — 1,£г) обращается в нуль. Более того, для
него непрерывны и частные производные при у € Sk(t)> t G [£2 —1> ^)>
равные нулю при у G dSk(t), и они ограничены по модулю единицей
в силу неравенств (11.9) и (11.10):
\дМШ Г||уШ1|у||)К1/2, « = «,
I % Г\*(1М1)+1Миаду||)|<1, «*«-
Для вектора /(/,у), определенного равенствами (11.11), на основании
(11.10) выполнено также условие
11Жу)1К1М1М1М1)<1МГ, yesk(t)t te[t2-i,t2),
т.е. вектор f{t,y) для рассматриваемых £ и у является т-возмуще-
нием (11.3).
Положим далее /(t,y) = 0 как для всех t G [i2j,*2i+2 — 1)> J ^ 0?
||у|| ^ 1, так и для всех *^0и ||у|| > ζι(ί,Ο).
Пусть теперь для всех j = 1,...,/ — 1 последовательно и с
сохранением перечисленных на первом шаге свойств построены:
1) по формулам (11-8) функции <5j(c), с G Jj, и соответствующие
им множества
Ls(j) = {c(cos(5j(c),sin<5j(c)) : с G J,-};
2) множества
L7(j) Ξ {ti = Х(«ад, «ад-2)« : ν G L6(j - 1)} (11.12)

268 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
векторов и, образующих с осью Ох\ углы 7j(IMD» Для которых
{|М| : и в LyU)} = Jf,
3) используемая в формулах (11-7) и (11.8) строго возрастающая
функция ipj(c), с Ε Jj, со множеством значений [fc-1,(fc — I)"1] по
предшествующей (pj-i(c), c€ J/-i, — с помощью равенства*
φά{ο) = ¥>i-i№*(c)l· с G J,, (11.13)
где 9?о(/?) = /? > О, a ^(с) — длина такого вектора ν 6 Ls(j — 1), что
вектор и = Xfaji fej-2)^ € £7(j) имеет длину с; для производной
этой функции справедливы неравенства
О < ар0{с)/ас < y^x^fojtO), с € J, (H-14)
и равенства
<hpj(c)/dc = Xil(t2j,0) при с € dJj] (11.14i)
4) по формулам (11.11) m-возмущение f(t,y) для t € [t2j — l,*2j)
и yeSk(t).
Продолжим теперь построение необходимого 7П-возмущения f(t,y)
в слое Sk(t) на промежуток [^гг — 15*2ί) (как уже было указано,
f{t,y) = О при t € [t2i-2,t2i - 1) и всех ||у|| ^ 1).
По формуле (11.12) при j = I построим множество L^(l) С i?2,
совпадающее, очевидно, с множеством векторов
U(c) = c(zi(£2i,*2i-2)C0SU_i(c),
^2(i2b*2i-2)sill(J/_i(c)), C€ Jf-i. (11.15)
Обозначив ||u(c)||/c = r(c), для производной от функции ||w(c)||
получим на основании равенства (11.5), соотношений (11.6ι), (11.7), (11.8)
и (11.14) следующую оценку:
d||ti(c)||/cfc ^ г(с) - сг-1 (c)xf (£г1,*2£-г) sinft.i(c)|[sinft-X(c)3'| >
^ Г(с){1 -СЯп5;_1(с)С08~2^_1(с)|[8ш5;_1(с)]'|} ^ г(с)х
4
1 - -тг(1 + |a|)fc~m · δ1""' exp4mat2i-2
ό
2 / Λ
> зг(с) >
*Функция <Pj(\\y(t,yo)\\) по норме заданного в момент t € [t2j-i,t2j) значения
решения у(1,уо) G Sk(t) построенной системы (11.1) восстанавливает норму его
начального значения уо.

11.1. О числе характеристических показателей решений 269
>xi{t2iMi-2)/2 > 0, с е J/-1- (11.16)
При этом, в силу того что по предположению индукции функция φι-1 (с)
на концах отрезка J^_i принимает соответственно значения fc""1 и
[к — I)"1 (и поэтому //{^(с) = 0 на этих концах), имеем равенство
d\\u(c)\\/dc = Xi(t2i,t2i-i) при cedJj-i, не зависящее от к. По этой
же причине непрерывная функция /if_i(c) на концах отрезка J/_i
равна — 1 и поэтому на них также непрерывная функция δι-ι(ό)
принимает нулевые значения. Тем самым и в силу (11.15) и (11.16):
1) длины векторов и € L^(l) составляют (и сплошь заполняют)
отрезок J/, что устанавливает справедливость включения Ly(l) С
cSfc(t2f);
2) для каждого α € J\ существует лишь один вектор itQ Ε L^(l)
с нормой ||iiQ|| = α, т.е. вектор и € Ly(l) полностью определяется
своей нормой;
3) для всякого вектора и € L^(l) существует также единственный
вектор ν € Ls{l — 1), такой что η = X(t2i<>t2i-2)v.
Обозначим угол, составляемый вектором и € Ly(l) с осью Orci,
через л (и). В силу предыдущего он полностью определяется
нормой этого вектора, и поэтому в дальнейшем будет обозначаться как
7ί(ΙΜΙ)> причем эта последняя функция уже определена для всех и €
€ Skfei), т.е. функция 7ί(α) определена на отрезке Jf, положительна
внутри и равна нулю на концах этого отрезка. Установим
непрерывную дифференцируемость функции 7ί(α) и оценим сверху модуль ее
производной при α € J\.
На отрезке Ji определим строго возрастающую непрерывную и
непрерывно дифференцируемую функцию ψι(α), о. € Jf, как
неявную из равенства ||w(^)|| = α, где вектор w(V0> ψ € Jf-i, определен
равенством (11.15). Это всегда можно сделать в силу оценки (11.16). Ее
множество значений совпадает с отрезком Ji-i, так что при а € дЗ\
выполнено включение ψι(α) € dJi-i, а производная имеет
представление
dMa) =1/d\\u(c)\\\
da j dc
причем в силу предыдущего
άψι(α)/άα = ^4*21, «21-2), ol G dJt. (11.170
Поэтому и по предположению индукции функция φι(ά) = φΐ-ι[ψ[(α)],
α 6 J и определенная равенством (11.13) при j = /, является строго
0<
< 2x-l(t2ht2i-2), a € J/, (11.17)
?=t/>i(a)

270 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
возрастающей непрерывно дифференцируемой, принимающей на
концах отрезка значения к~1 и (к — I)"1, и ее производная на основании
неравенств (11.14) и (11.17) удовлетворяет оценкам
0<
άψι{α) dipt-xty)
da
дф
άφι{α)
ψ=ψι(α)
da
<2^ν (febO), a£jh (11.18)
анаосновании (11.14i) и (11.17i) —равенству d(pi(a)/da = x^1(t2i,0)
при а € dJu не зависящему от fc, устанавливающим справедливость
неравенств (11.14) и равенств (11.14ι) при всех j ^ 1.
Для угла 7ί(α) πο его определению выполнено равенство
tg-yi(Q) = X2f2ht2l-2\ tg^i[^(a)]f aeJt. (11.19)
Xl(t2h 121-2}
Из приведенного выше следует, что функция 7/(Q) является
непрерывно дифференцируемой и для ее производной имеют место
равенство dyi(a)/da = 0 при а € dJi и оценка
dyi(a)
da
Z2(*2l,*2/-2) COS27i(«)
dsinSi-i[ipi(a)]
da
£
Xl (*2b *2/-2) COS3 δΐ-i [ifo (a)] I
^ 4π(1 + \a\)k2l~l expa(2mt2i - 4mt2i-i + 2t2i-2) ζ 2/_1x
xexpa(mi2/+i2/-2)<2/"1exp(at242i~2)<2~1, a€Ji, 1^2 (11.20)
(при получении этой оценки использованы условие (11.6χ), равенства
(11.7), (11.8), (11.13) и неравенство (11.18)). Так как δι-![ψι(α)] е
6 [0,7г/6), то из (11.19) в силу условий (11.6ι) и (П-62) имеем для
угла 7/ (а) справедливое при a Ε «7/ неравенство
yi{a)al~m ^ 2a1-mtg7/(a) ^ fcmrc2(t2bi2/_2)rcrm(i2/,0) <ζ
^кт expa(3mt2i-4mt2i-i -4m)<ζктexpamt2i < к"2т < 2"1. (11.21)
С помощью уже построенной функции ψι(α), a € J/, по формулам
(11.7) и (11.8) при 3—1 определим функцию-угол δι (a) Ε [0, π/6) для
всех a G «7/, являющуюся непрерывно-дифференцируемой на этом
отрезке и равную нулю вместе со своей производной на его концах.
Для производной этой функции справедливо неравенство
\dSi(a)/da\ *" (1 + \a\)k~me2arnt" cos"1 δι{α)\άμι{α)/ώχ\ ^

11.1. О числе характеристических показателей решений 271
(11.7) (11.18) , , Λ (11.6ι)
<ί 4тг(1 + |a|)fce2amt2Vi(«) ^ π(1 + \а\)к- 21+leamt* ^
k1 7r(l + |a|)fc.21+/exp(at242/"2)(U<6l) 1/2, aeJJ7 /^2, (11.22)
совпадающее с неравенством (11.9) на первом шаге. Для самой
функции δι(ά) с помощью условий (11.6ι) и (П.бг), равенств (11-7) и
(11.8) при j — I получаем оценку
Si(a)al-m ζ 2t~1+lx];7n(t2h0)exp2a7nt2l < 1/2, а G Ji, (11.23)
также совпадающую с оценкой (11.10) на первом шаге.
Определим теперь по формулам (11.11) при j = I вектор f(t,y)
на промежутке [Ь21 — 1,^2ί) и для у G Sk(t) — Skfoi)- Так как по
построению δι(\\ρ\\) = 7ι(ΙΜΙ) = 0 при у G dSkfoi), то и /(£,?/) = 0
при у G dSk(t)7 t Ε [£г/ — 1,^2ί)* ^ силу непрерывной
дифференцируемое™ функций δι (α) и 7ϊ(α) ПРИ α € Л таким же является и
вектор f(t,y) и для частных производных его компонент в силу (11.6ι),
(11.20)-(11.23) справедливы неравенства
\dfi(t,y)\ ί||у||[|*;(а)| + W(a)|]«=||y|| = д(Ы\) ^ 1/2, Q = i,
I ftfr rll^dMD-T/dMDI + fldMD^i, e?n,
уеЩ iG[t2i-i,<2i),
и равенства dfi(t,y)/dyq = 0 при y G dSk(t), t G [*2/ — M2i)>
являющиеся следствием равенств δι (α) = δ'^α) = 7ζ(α) = 7ι'(α) = 0 ПРИ
α G dJf. Для этого возмущения f(t,y) на основании (11.21) и (11.23)
выполнено также и условие
Н/(*,у)11 ^ 11у11№(1М1) - τι(ΙΜΙ)Ι ^ ΙΙνΙΓ/2 £ ЫГ.
yeSk(t)7 t G [tai —l,*2f),
устанавливающее, что f{t7y) является m-возмущением (11.3).
Приведенные построения осуществим для всех к ^ 2 (заметим, что
р(к) —> 4-оо при к —> оо). В итоге получим кусочно-непрерывное по
t ^ 0 и непрерывное по y G i?2, |Ы| < 1, двумерное т-возмущение
/(*,»), имеющее в области (0,4-оо) χ {у G i?2 : ||у|| < 1}
непрерывные и ограниченные по модулю единицей частные производные
dfi(t,y)/dyQi i7q = 1,2. Отметим еще справедливое для этого
возмущения тождество /[*,k~i(xi(t,0),0)] =0, t ^ 0, fc ^ 2,
обеспечивающее существование у построенной системы (11.1) решений Uk{t) =

272 § П. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
= к-г(х1&0),0), к > 2, t J* 0 (dfi(t,y)/dyq = 0 при у = uk(t),
t ^ О, что и устанавливает непрерывность этих частных
производных).
Покажем теперь, что построенная система (11.1) является
экспоненциально устойчивой. Действительно, для произвольного решения
у(*>Уо) с начальным вектором ||у0|| < 1 имеем неравенство
11Л№)|Г'*^«я<*>Н
fo, *е[«ад-мад),
Ь, t €[t2j,t2j+i), i^O,
[α, t £ [*2j-fi,^2j+2 — 1),
с неположительной функцией i?(f), из которого интегрированием
получаем оценку
t
l|y(t,lto)ll ^ llltollexp j R[r)dr ^ ||y0||, t > 0, (11.24)
о
устанавливающую также неограниченную продолжимость вправо всех
решений системы (11.1) с начальными векторами ||?/0|| 0 в области
[0, +оо) χ {у € R2 : \\у\\ < 1}. В силу свойства {tj/tj+i} 4- 0
последовательности {ij} выполнено равенство lim t~l fQ R(r)dr = b и поэтому
характеристический показатель \[у(-,уо)] решения ?/(£,г/о) также не
превосходит Ь < 0. Этот факт и неравенство (11.24) и устанавливают
требуемое свойство системы (11.1).
Аналогичным образом для решения y(t,yo) системы (11.1) имеем
также неравенство
\Щу<Ж> .
I|y(t,tt>)ll ^К) <
fo, *e[t^-i,*2i),
α, *е[«2,-,<ад+1), j^O, (11.240
[4ma, t £ [*2;H-b*2j+2 ~ 1),
из которого в силу приведенного выше свойства последовательности
{tj} получаем оценку А[у(*,?/о)] ^ о· Таким образом,
характеристические показатели всех решений y(t, yo) системы (11.1) удовлетворяют
неравенствам
а^А[у(-,у0)Ю, 1МЮ- (11.25)
Возьмем теперь произвольное с Ε (fc_1,(fc — I)-1) = Δ*, и
вычислим характеристический показатель решения y(t,yc) с начальным

11.1. О числе характеристических показателей решений 273
вектором ус = (с, 0) построенной двумерной системы (11.1). Для этого
сначала докажем включения 2/(*2j,2/c) £ L^(j) и затем равенства
Y>j-(l|y(*2i,Ifc)||) = с Для всех 3 ^ 1- (11.26)
Первое легко доказывается по индукции в связи с тем, что если
решение y(t,yc) в момент t = t2j — 1 принадлежит Ly(j), то оно на
отрезке [fej — l>fej] задается равенствами
y(*iVc) = ll2/(*2i,2/c)||(cos^(t,c),sin^(i,c)), j8,-(t,c) =
^7,(№(*2^с)||) + (*^ (П-27)
не меняет своей длины и в момент t = t^j составляет с осью Ох\ угол
Sj(\\y(t2j,yc)\\), т.е. принадлежит множеству L5(j).
Равенства (11.26) доказываются следующим образом. Для j ^ 1
имеем
Vi+i(llv(*fc+2,Ifc)l|) == Vi[^(lly(*?i+2,»c)||)] =
(в силу (11.27) и равенств αι(£) = θ2(ί) = 0 при t 6 [£г;+2 — M2J+2))
= ^[^(11^(^+2, ^Ж^,2/с)||)] = vj(llv(iiy,i/c)||), (П.28)
причем последнее равенство — по определению функции ψ, так как
^ = yfejiVc) £ Д*С?) по доказанному ранее, а и = Х(^ч-2?^)^ G
G L7(j 4-1) в силу (11.12). По построению же <£i(||2/(£2,2/c)||) = с, и
поэтому из (11.28) сразу получаем равенства (11.26) при всех j ^ 1.
Таким образом, на рассматриваемом решении y(t,yc) функция pj(||y||)
принимает значения
^j4ll»(*2i.Vc)ll) = -l+sin27r(fc-l)(*c-l) = i/ft(c)>-l, сеД*. (11.29)
Прежде чем перейти к вычислению характеристического
показателя Х[у(-,ус)] рассматриваемого решения y{t,yc), заметим, что для
решения x(t) системы χ = diag [α, >9]д: с произвольными постоянными
а и β выполнено неравенство {t2[t-1 In Цгс^)!!]'}' ^ 0, t > 0 (в его
справедливости можно убедиться непосредственными вычислениями).
Поэтому функция ^"ЧпНаг^)!!]' если и меняет знак внутри
некоторого отрезка [г, 0], г > 0, то только с минуса на плюс. Это же
означает, что наибольшее на этом отрезке значение функции £-11п||э;(£)||
реализуется на одном из его концов. Применяя это замечание к
нашей функции t~x ln||t/(f,2/c)|| и учитывая, что в силу (11.24) и (11.27)

274 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
ln||i/(£,t/c)l| = const < 0 при t £ [t%j — M2j]9 получаем следующий
вывод:
ХЫ'Лс)] = .ПпТ tjl\n\\y(tj9ye)\\. (11.30)
Для членов последовательности {tj} с четными номерами на
основании неравенства (11.24) имеем оценку
ll»(*2i»»c)|| ^ cexpa(t2j - t2j-i - 1), j ^ 1,
из которой сразу получаем неравенство А[?/(^,2/с)] ^ о.
Для нечетных номеров в силу равенств (11.7) и (11.8), тождества
/(*,?/) = 0 при \\у\\ <£ 1 и t G [t2j,t2j+i), неравенств (11.24ι), (11.29)
и включения y(t2j,yc) £ Ls(j) для нормы решения y(t,yc) имеем
оценки
Ы*2э+иУс)\\ ^ ^hj+l,t2j)\\y{t2j,yc)\\^n5i[\\y(t2j,yc)\\] ^
^k-3mt^+1 ехр{6то^ + [Ь+(Ь-а)^(с)](^+1-^)}, сеД*, (11.31)
для всех номеров j, больших некоторого jc, определяемого в силу
(11.29) неравенствами
8шйл(||»(^,»е)||) ^ Аг-^^е^0^^-0)^^^^-^)] (11.32)
при j^jc- Из оценки (11.31) получим первое необходимое неравенство
%(*2j+i,2/c)] ^ b + (Ь - аК(с) > о, с G Δ*, к ^ 2. (11.33)
На основании неравенств (11.32) и (11.29) существует и такой номер
h ^ Jcj Для которого будут выполнены неравенства
Sl('2j+1, fej) ^ Я2(«2*+Ь*2,0 Sin6^(||y(t2i,»c)||), j ^ 'c-
Поэтому будут справедливы и оценки
||у(*ад+1,»с)|| ^ 2||?/(ί2^^)||α:2(ί2ί+ι,^)δΐη^ ^
5$ ехр[Ь + (Ь - o)i/fe (c)]f2j+i, 3 >1с, с G Ак,
устанавливающие второе необходимое неравенство
%(%+!, 2/с)] ^ Ь + (Ь - o)i/fe (с), се Ак, к > 2.

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
275
Из него, представления (11.30) и доказанных ранее неравенств
^lyfajiVc)] ^ о и (11.33) получаем окончательное равенство
%(·>Ус)] = а + (Ь-а) sin2 п(к - 1)(кс - 1), с е Δ*, Vfc ^ 2,
которое вместе с неравенством (11.25) и тем фактом, что
вектор-функции Uk(t) = k~1(xi(t,0),0), t ^ 0, являются решениями системы
(11.1) при любом к^ 2, устанавливает требуемое равенство Ло(Л, /) =
= [а,Ь] для множества (11-4).
Для завершения доказательства теоремы 11.1 достаточно теперь
в случае η > 2 дополнить построенную систему (11.1) уравнениями
Уг ~ аУ%-> г = 3,... ,п. Теорема 11.1 доказана.
11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
об экспоненциальной устойчивости
по линейному приближению
В этом пункте будет доказана общая теорема Ляпунова —
Массеры — Гробмана об экспоненциальной устойчивости нулевого решения
системы (11.1) с m-возмущением / € Fm, т = fix > 1, и
линейным приближением (1л), содержащая: признак Ляпунова в случае
голоморфных возмущенний / € /*г; полученное Х.Л.Массерой его
обобщение для произвольных возмущений / Ε Fm фиксированного
порядка малости m > 1 и данное Д. М. Гробманом уточнение условий
Ляпунова и Массеры. Будет получено и некоторое уточнение условия
этой теоремы, связанное с коэффициентом неправильности Перрона
системы линейного приближения, а также на множестве всех систем
линейного приближения установлена неулучшаемость условия
теоремы Ляпунова — Массеры — Гробмана.
Для доказательства этой общей теоремы понадобится следующая
(более общая по сравнению с приведенной в [65, с. 110])
Лемма Бихари. Пусть неотрицательные кусочно-непрерывные
функции u(t) и f(t) удовлетворяют интегральному неравенству
t
u(t) ζ с+ ! f{r)um{r)dr, t G [0,tB), (П.34)
о
с некоторыми постоянными с > 0 и т > 1. Тогда для функции u(t)

276 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
справедлива оценка
t
u(t) ζ с[1 - (m - 1)сш-1 j /(rjdr]1^1-™*, t G [0, ί„), (11.35)
о
на промежутке [О, tu) С [0, £в), wa котором выполнено неравенство
t
(m - l)^"1 i f(r)dr < 1, [te 0,tu). (11.36)
о
Доказательство. Объединенное множество точек разрыва
кусочно-непрерывных функций u{t) и f{t) представим в виде конечной
или бесконечной возрастающей последовательности {^} с [Ο,ίβ) с
начальным членом ίο = О- По определению кусочно-непрерывных
функций на всяком отрезке [0, s] С [0,£^) таких точек разрыва не
более конечного числа. Возьмем произвольный момент t — s G [0, tu)
и отыщем тот номер k(s) G iV0, для которого выполнено включение
s6[^w,^(fi)+i) = Tfe(fi), где tk(s)+i=tu в случае {tk} Π (ί*(β),ί„) = 0.
Обозначим правую часть исходного неравенства (11.34) через v(t).
Функция v(t) ^ с > 0 является непрерывной во всей области
определения и непрерывно дифференцируемой на всяком принадлежащем
этой области интервале (tk, tk+i) одновременной непрерывности
функций u(i) и /(£)·
Докажем оценку (11.35) в случае k(s) = 0. Производная
функции v(t) на интервале (0,s) удовлетворяет неравенству dv(t)/dt =
= f(t)um(t) ^ f(t)vm(t), t G (0, s), а тем самым и
дифференциальному неравенству t7~m(£)d?;(£) ^ f(t)dt. Интегрируя его от 0 до s,
получим неравенство
8 V(S)
[v-m(r)dr = ί v'mdv = —!—[vl-m(t) - с1"™] ζ
J J l-m
О с
8
^JnT)dT = i{0,s) (11.37)
0
и эквивалентное ему в силу условия (11.36) неравенство v(s) <^ с[1 -
— (т — 1)ст_1г(0, s)]1^1-™) = b(s,c), т.е. на основании неравенства

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана 277
u(s) ^ v(s) оценку (11.35) при t — s. Тем самым в случае k(s) ^ 1
доказано неравенство v(t) ^ b(t,c), t Ε [£ο?*ι]· Предположим, что
оно справедливо на отрезке [£o,£fc] С [0,fu), к < &(s), и докажем его
справедливость на следующем отрезке [tk,tk+i] С [0,s]. Из
неравенства νλ~™(ί) -u1_m(£fe) ^ (1 -m)i{tk,t), t G (tfe,ife+i], аналогичного
неравенству (11.37), имеем теперь с использованием условия (11.36)
оценки
v(t) <J b(t,v(th)) ^ b{t,b(tk,c)) = b(t,c), t e [«*,«*+!).
Оценка (11.35) и лемма Бихари доказаны.
Пусть Ха(£) = [xi(t)i... ,xn(t)] — упорядоченная по возрастанию
показателей столбцов бинормальная (см. § 1) система решений системы
уравнений (1л), реализующая ее совокупность показателей λι(-Α) ^
^ ... ^ Хп(А), имеющая обратную матрицу Χ~λ(ί) = Y(t) с
показателями X[yi] — δι своих строк yi(t). Напомним определение
коэффициентов неправильности системы (1д) (см. § 1): Ляпунова
η - *
ση(Α) = У2\г(А) - lim - / SpA{r)dr-
ΊΞΐ *-*~ tJ0
Перрона ση(Α) = max{Ai 4- μι}, где μι ^ ... ^ μη — занумерованная
г
в порядке невозрастания совокупность чисел {δι,..., δη}; Д. Μ.
Гробмана ar(A) = max{Aj-f бг}- Они, как установлено в § 1, связаны
неравенствами
О ^ σπ(Α) ^ στ(Α) ζ ал(А) $ паи{А). (11.38)
Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана. Если старший
показатель Хп(А) и коэффициент неправильности σγ(Α) системы
линейного приближения (1д) и порядок го > 1 возмущений f € Fm
удовлетворяет условию
(го - 1)Хп(А) + στ (А) < О, (11.39)
то система (11.1) с любым т-возмущением f экспоненциально
устойчива и Г1т(А) = Г1рт(А) = Xn(A).
Замечание 11.1- В случае принадлежащих F2 возмущений-рядов
/ по целым неотрицательным степеням компонент вектора у = (у±,...
• · ■ > Уп) с ограниченными на полуоси t ^ 0 коэффициентами и при
выполнении условия Хп(А) + oj\{A) < 0 утверждение этой теоремы
доказано Ляпуновым [150, с. 54-55]. В общем же классе го-возмущений

278 § 11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
Fm оно было доказано Массерой [171] при выполнении неравенства
(ш — 1)Хп(А) 4- ал(А) < 0. В сформулированном виде теорема
Ляпунова — Массеры — Гробмана была доказана в монографии [35, с. 237],
где приведены и другие ее уточнения. Последующие наиболее точные
признаки экспоненциальной устойчивости в классе m-возмущений
получены в работе Винограда (см. [35, с. 233]). Вместе с тем во всем
множестве линейных систем (1а) уже само условие Ляпунова —
Массеры (m — l)Xn(A)+aji(A) <0 экспоненциальной устойчивости
системы (11.1) с любым возмущением / € Fm, в силу неравенства (11.38)
более сильное по сравнению с условием (11.39) теоремы Ляпунова —
Массеры — Гробмана, является неулучшаемым. Тем самым во всем
множестве линейных систем (1д) является неулучшаемым и условие
(11.39) этой теоремы (см. теорему 11.2).
Доказательство. Зафиксируем вектор-функцию / € Fm,
определенную при всех ί^Ο и \\у\\ = р. Пусть у(£,уо) ~ решение системы
(11.1) с этой / и начальным вектором уо φ 0, при t € [0,^),
принадлежащее ρ — окрестности начала. На этом промежутке представим
его в форме Коши
t
y(t, у0) = X(t, 0)yo + / X(t, s)f[s, y(s, yo)] ds.
о
Отсюда с помощью установленной в § 8 оценки (8.45)
1прГ(М)|| < lnde + (λη +e)(t - s) + (σΓ +e)s, ε > 0, t ^ s,
получаем неравенство
0 < u(t) ξ \\y(t, y0)|| exp(-An - e)t ^
t
^ de||y0|| + d£Cf / exp[(m - 1)λη + σ + me]s - [u(s)]m ds, t € [0,^).
о
Выбирая ε > 0 в силу (11.39) удовлетворяющим условиям
λ„ + ε < 0, а = (т — 1)Хп + σ + те < 0,
с помощью леммы Бихари для нормы решения у(£,уо) получаем
окончательную оценку
||у(*,у0)|| ^ 2de\\y0\\exp(Xn +e)t, t € [О,*,),

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана 279
при выполнении условий
ΙΜΓ"1 < |а| [(т - 1)С/<Г]_1(1 - 21""1), 24|Ы| < р. (11.40)
Отсюда следует, что: ty — +00 для всех решений y(t,yo) системы
(11.1) с начальными векторами у0» удовлетворяющими
условию (11.40), решение у = 0 этой системы экспоненциально устойчиво;
справедливо неравенство А(Л,/) ^ λη(Α). Теорема доказана.
Имеет место
Следствие 11.1 (см. Ляпунов A.M. [150, с. 52]). Система (11.1) с
правильным линейным приближением (1л) экспоненциально
устойчива в классе Fi+o = Um>i ^m возмущений высшего порядка тогда
и только тогда, когда λη(Α) < 0. При этом для любого т > 1
справедливо равенство Qm(A) = Хп(А) < 0.
Условие (т — 1)Хп(А) +<г < 0, α = ал (А) и σ = σγ(Α),
экспоненциальной устойчивости системы (11-1) с m-возмущением / является
точным. Это устанавливает следующая
Теорема 11.2 [95]. Для любых параметров λ < 0 и σ > 0
существует система (1а) со старшим показателем Хп(А) = λ и
коэффициентами неправильности ол(А) = σγ(Α) = σ и такая, что
система (11-1) является неустойчивой в классе т-возмущений Fm
с числом т = 1 — σ/λ > 1, обращающим условие (11.39) и
неравенство (т — 1)Хп(А) 4- σл(A) < 0 в равенства.
Доказательство- Покажем, что такой системой является
двумерная диагональная система
ά» = Μ*) + e(t)]xi, oi(t) + G2(t) = 2λ - α, t ^ 1; a^t) = 0,
e(t) = (2fc-i + l)"1, tep2*-*,*2*-*"1). fc^l, г = 1,2, (11.41)
имеющая, в чем нетрудно убедиться, характеристики λ2(Α) = λ,
σγ(Α) = α при 0 = 1 — α/λ.
Возмущенную систему (11.1) возьмем в виде*
W = [oi(t)+e(t)lw+^|»i-ir, iV=2|A| + cr, m = 0, i = l,2, (11.42)
* Соответствующее т-возмущение f(t,y) можно было бы построить и методом
поворотов, что и будем делать в последующих пунктах. В этом же, используя
явно выписываемые возмущения, мы хотим продемонстрировать и представляющий
самостоятельный интерес способ получения оценок снизу норм решений
возмущенных нелинейных систем специального вида.

280 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
и предположим, что ее нулевое решение устойчиво по Ляпунову.
Тогда решение y(t) = (yi(t)iIfe(O) системы (11.42) с достаточно малыми
Уг(1) > 0 при всех t ^ 1 удовлетворяет условию ||у(011 < min-fl, />} и
имеет, очевидно, компоненты yi(t) > 0. Для этого решения докажем
неравенство
7/+1 = mm{yi(ml+l)} ^ pnrf, ψι = ехр / e(r)dr, ί ^ 1. (11.43)
По числу Ζ укажем такие к ^ 1 и i G {1,2}, что I — 1 = 2fc — г.
Тогда из (11.41) и (11.42) имеем оценку
t
Vi(t) > Уг(т1-г)ехр ί ε(τ)άτ, t G [ml-\ml]. (11.44a)
В свою очередь из равенства
й-<(0 = eWifa-iW + W4*) - ife-iML * е [го1-1,»?!1],
получаем: lii) если y™(t) - Уз-iit) > 0 для всех t G [т'_1,т'], то
выполнено неравенство (11.443—i,/); 2iZ) если у?1(т) - уз-г(г) ^ 0 при
некотором г G [ro'^ro'], то
2/з
-iim'i^yriro'-^exp У" ε{τ)άι
На следующем отрезке [m',™'*1] выполнены все предыдущие
неравенства и свойства с заменой г, 3 — г и ί соответственно на 3 - г, г
и J + 1.
С использованием неравенства (11.44з-г,1+1) и свойств 1^/) и 2^)
получаем оценку
ys-i(ml+1) }> wminiys-iim1-1),^^1-1)}.
Если имеет место свойство I3—i,i+i) то с помощью оценки (11.44^)
получаем неравенство
l/i(m,+1)^v>iyi(mI_1).

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
281
Если же выполнены свойства 23-t\/+i) и 1#), то справедлива
оценка уг(т1+1) ^ Viy^-iim1"1). Наконец, при наличии свойств 23_ι,/+ι)
и 2ц) выполнено неравенство
Уг{гп1+1)>ч>1У?\т1-1).
Из всех этих неравенств и вытекает оценка (11.43).
Так как
In И >(ш - \)т1-1 (j + j^j, 1>1,
то из оценки (11.43) при любом 7о > 0 получаем неравенство
Ну] ^ Дт I ь 7о + Σ, т~2г ln v^·-1) ^
^ lim In 7o + (τη — 1)т~2 V^ г-1 = +оо,
вступающее в противоречие с исходным предположением. Теорема 11.2
доказана.
Следствие 11.2. Условие Ляпунова λη(Α) + сд(А) <0
экспоненциальной устойчивости системы (11.1) с возмущениями — рядами
(11.2) по целым степеням компонент вектора у — (j/i,... ,2/n)> we со-
держащими членов ниже второго порядка, является точным во всем
множестве систем (1а) - для любого параметра λ ^ О найдутся
такие система (1а) с λη(Α) = λ и &л(А) — —λ (обращающими
неравенство Ляпунова в равенство) и возмущение — ряд указанного
вида, что решение у = 0 системы (11.1) оказывается
неустойчивым.
Для построенной системы (11.41) справедливо представление
ίλ<0,
1+оо,
m G (1,1 - σ/λ],
ее так называемого m-показателя иш(А). Не следует считать, что
нижняя граница
то (Α) Ξ inf{m > 1 : Пт(А) < 0}
области отрицательности т-показателя Qm(A) всегда ей не
принадлежит. Это устанавливает следующий

282 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
Пример 11.1 системы (11.41) с функцией e(i) = — fQ, a € (—1,0),
t ^ 1, m-показатель которой имеет представление
Пт(А) = 1Х<°> ™>шо = 1-а/А1
mV } [О, те(1,ггю).
Действительно, с одной стороны, для матрицы Коши X(t, s)
измененной таким образом системы (11.41) для любых t ^ s ^ 1 имеют
место оценки
t m*
In ||Х(*, *)|| ^ 2c + / e{r)dr + (* - 1) max —i I — с + / α*
У fc^l; г mg — 1 L J J
+ (s-l)max- Έ c+ / ai(r)dr ^2c + / e(r)dr + A(i - 1) 4-
1 s
s
+ mo\X\(s - 1) = 2c + β(ί) - moR(s) + (m0 - 1) /e(r) dr,
ι
t
Д(*) ξξ A(* - 1) + /е(г) dr, с = (mg - 1)|A|;
ι
t s s
lnpf(t,*)|| ^ / e{r)dr-m I e{r)dr + (m-l) / e(r)dr, m e (l,mo),
11 1
вытекающие из представлений кусочно-постоянных функций ai(t) ^ 0.
Так как
t +оо s
lim - / e(r)dr = 0, / exp(m — 1) / e{r)drds < +oo, m > 1,
то с помощью леммы Бихари аналогично тому, как это было сделано
при доказательстве теоремы Ляпунова — Массеры — Гробмана,
получаем: 1) неравенства ПШо (А) ^ А (а тем самым и очевидное равенство

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
283
Qmo(A) = А) и Пт(Л) ^ 0 при га > 1; 2) асимптотическую
устойчивость решения у = 0 системы (11-1) с любой f e Fm.
С другой стороны, для решения y(t) (г/г(0) > 0) системы (11.42) с
числом т £ (1,г?го) справедливо неравенство (11.43):
,!+*
7m = miniyiim1^1)} ^ ^I7i5> W = ехР / e(r)dr. (11.43i)
Так как ln</>/ > — (α + 1)_1Шо '* + ', то из (11.43ι) при любом
7о > 0 получаем требуемое неравенство
А[у]^ Шп ί^-J Πη7ο + 53^ι"24ην72ί-ι) =0, mG(l,m0).
Сделаем еще одно замечание. Для всех известных примеров
линейных систем (в частности, стационарных, приводимых и правильных),
а также построенных выше двух систем вида (11.45) т-показатель
ftm (А) в той области, где он отрицателен, является стационарной
функцией параметра т > гпо(А) и совпадает со старшим показателем
Хп(А) < 0. В общем случае это, как правило, не так.
У системы (11.41), устанавливающей неулучшаемость условия
(11.39) теоремы Ляпунова — Массеры — Гробмана, совпадают все три
коэффициента неправильности. Из совпадения коэффициентов ад(А)
и σγ(Α) следует, что условие (τη — Ι)ση(Α) + λη(Α) < 0
экспоненциальной устойчивости в теореме Ляпунова — Массеры также
является точным во всем классе линейных систем (1л)- Совпадение же
коэффициентов ση(Α) и σγ(Α) совсем не случайно. Это вытекает из
неравенства (11.38) и доказываемой ниже теоремы 11.3, точнее, ее
следствия 11.3.
Введем в рассмотрение еще одну характеристику системы (Ια) ~
величину Р. А. Прохоровой [216]
σχ{Α) = mm{sx(A),ar(A)},
где S\(A) ξ max{Ai + £j}. Эта величина является неотрицательной,
так как в противном случае имели бы неравенство s\(A) < 0 и его
следствие
η η
£(λέ + δ,) = (η - 1) ^(λί 4- St) < 0,
*Фз <=ι

284 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
вступающее в противоречие с неравенствами Aj 4- δι ^ 0, г = 1,..., п.
В двумерном случае справедливо равенство σ\(Α) = ση(Α).
Действительно, в случае δι ^ <5г имеем соотношения ση(Α) = στ (Α) ζ.
^ s\(A), а в случае δι < <5г — соотношения ац{А) = s\(A) ^ στ {А).
С помощью величины σχ(Α) удается получить некоторое
уточнение теоремы Ляпунова, наиболее интересное своим следствием (см.
Η. Ε. Большаков [24]), позволяющим выяснить в двумерном случае роль
коэффициента неправильности Перрона ση(Α) в исследовании
экспоненциальной устойчивости системы (11.1) по первому приближению
(1а) в классе m-возмущений Fm. Именно, справедлива следующая
Теорема 11.3 (см. Прохорова Р. А. [217]). Если для системы
первого приближения (1д) выполнено условие
(т-1)\п(А)+ах(А)<0
с некоторым т > 1, то система (11.1) сильно экспоненциально
устойчива в классе Fm и (1т(А) = \п{А).
Доказательство (на основании теоремы Ляпунова — Массеры —
Гробмана его достаточно провести лишь для случая σ\{Α) < στ (А)).
Пусть y(t) — произвольное нетривиальное решение системы (11.1),
заданное и принадлежащее (открытой) р-окрестности начала при t £
Ε [0, ty) (в силу единственности нулевого решения этой системы y(t)^0
при t Ε [0,*^)). Установим существование такого ро > 0, что ty =
= +оо для всякого решения y(t) системы (11.1) с начальным
вектором 2/(0), удовлетворяющим условию ||2/(0)|| ^ ро, и для норм всех
таких решений получим необходимую оценку сверху.
Выберем ε > 0 столь малым, чтобы одновременно в соответствии
с условием теоремы выполнялись неравенства
Хп(А) + ε < 0, α = (т - 1)λη(Α) + σχ(Α) + τηε < 0.
Согласно принципу линейного включения [35, с. 157] решение
y(t) φ 0 системы (11.1) на промежутке [0,ty) является решением
некоторой линейной системы
у = A(t)y + Qy(t)y (11.45)
с кусочно-непрерывной по t ^ 0 матрицей Qy(t), норма которой
удовлетворяет оценке
1КШ1 <Щ\уШт~\ tе [o,ty). (11.46)

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
285
Совершив в системе (11.45) замену
У = X(t)z, (11.47)
получим систему
z = By(t)z, (11.48)
в которой By(t) = X~l(t)Qy(t)X(t). Непосредственными подсчетами
для элементов bij(t) этой матрицы получаем в силу (11.46) и (11.47)
оценки
IM0I < <МИ*)И ехр[(ш - 1)λη + \j + δι 4- me]t, t G [0,ttf),
где z(t) = X~l(t)y(t) — определяемое равенством (11.47) решение
системы (11.48). Для диагональных элементов bkk{t) справедливы также
оценки
1ы*)| < у/^\ыт \ы*)\\ н<шк у^шт m^ \Xik(t)\ χ
г
χ max \yki(t)\ = y/rf\\Qy(t)\\ \\xih(t)k(t)\\ \\укМь)(Ш (П-49)
Но в силу тождества X(t)Y(t) = Ε при всех t ^ О, умножив г'д.-й
строки матрицы X(t) на /*-й столбец матрицы Y(t), будем иметь
равенство
η
ХгькЮуыЛ*) = Sihih -^2^ikP(t)yPik(t)^
рфк
из которого получаем неравенство
4xikk(t)ykik (*)] ^ та£ σΡ» σΡ = К + V
р=фк
Таким образом, для bkk(t) справедлива оценка
1М*)1 < deWzWW™-1 exp[(m - 1)λη+
+ max{Ap + δρ} + me]t, t G [0, ty). (11.50)
рфк
Пусть к,I G {1,... ,η} — такие номера, для которых σγ(Α) = σ*. ^
^ σχ — таха„. Тогда в силу (11.49) и (11.50) справедливы оценки
рфк
IbtiWI ^ilkWir^expKm-lJAn+ai+me]*, г = 1,...,п, *G [0,^),

286 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
а тем самым и оценка
||Яу(*)Н ^ dtlHOir^expKm - 1)Хп + sx + me]*, t e [07ty), (11.51)
с универсальной постоянной de, так как в случае I < η имеем
неравенство σι ^ А^_|_1 + й, а в случае I = η номер к меньше η и поэтому
из условия σ^ ^ σι получаем неравенство 5* ^ <5П, т.е. неравенство
σ« ^ h + йь·
Для решения z(t) системы (11.48) на рассматриваемом
промежутке времени справедливо в силу (11.51) неравенство
t
ЬШ ^ ЫЧ\ + d£j \\z(r)\\m exp[(m - 1)λη + sx + πιε\τάτ,
о
из которого с помощью леммы Бихари на основании выбора числа ε
получаем оценку
||z(t)|| ^ 2||ζ(0)||, ί€[0Λ),
нормы этого решения с начальным вектором ζ(0), ||2(0)|| < рь где
число р\ > О выбрано удовлетворяющим условию
оо
(т - 1)4рГ_1 / ехр[(т - 1)λη + σλ 4- ms]rdr ^ 1 - 2г~т.
о
Уменьшим, если это окажется необходимым, р\ до числа,
удовлетворяющего неравенству 2d£p\ < p. И тогда в качестве искомого числа
ро можно взять ро = Pill^^1^)!!"1·
Таким образом, для всякого решения y(t) системы (11.45)-(11.46)
с начальным вектором у(0), ||2/(0)|| ^ ро, имеем: равенство ty = -Ьоо
и неравенство
||V(t)ll ^^\\X'40)\\\\vm\exp{Xn + e)t, t > 0.
Теорема 11.3 доказана.
В двумерном случае, как уже было показано, ση{Α) = σχ(Α).
Поэтому справедливо уже упоминавшееся
Следствие 11.3 (см. Большаков Η. Ε. [24]). В двумерном случае
утверждение теоремы 11.3 сохраняет силу и при выполнении
условия
{τη-1)\2(Α)+ση(Α)<0.

11.2. Теорема Ляпунова — Массеры — Гробмана
287
Для п ^ 3 коэффициент неправильности Перрона этим свойством
уже не обладает (см. Прохорова Р. А. [217]), что подтверждает
следующий (отличный от построенного в предыдущей работе)
Пример 11.2. Рассмотрим диагональную систему
х = [Qi(t) + e(t)]xu г = 1,2,3, t ^ 1,
с коэффициентами
[θλ θ2 — θ 4- 2 \
а2(«) = Ц^А, «е[02*,02*+1), ft^o,
Ο8(ί) = λ<0, te[02fc+1,02fc+2), fc^O,
Oi(*)=0. te[e2k~i+l,e2k-i+2), к>\, г = 2,3,
и функцией e(t) из теоремы 11.2. Для этой системы показатели Aj и
Si принимают значения
χ χ λ г λ
λι=α, λ2 = -, λ3 = ^τ,
*--α, δ--^-, δ3-^ΤΤ
и удовлетворяют неравенствам λχ < \^ < Аз, #2 > <5з > <5ι· Поэтому
для коэффициента неправильности Перрона справедливо
представление
,л\ ί θΙλΙ λ θ\χ\ λ 1
an(A) = max|a+ — ,- + _,_-α|
и выполнено неравенство σπ(Ά) < (т — 1)|Аз(-А)| при т = θ и
указанных выше параметрах λ, θ и а. Вместе с тем для решения
(Ы*)>2/з(*))> Ifti1) > °> двумерного блока
Vi = [*(t)+e(t)]yi + Q\\\\us-i\$, i = 2,3, (11.52)
возмущенной системы вьшолнен аналог неравенства (11.52) и
поэтому нулевое решение возмущенной системы (11-1), состоящей из блока
(11.43) и уравнения у\ = [αι(ί) + ε(*)]ΐ/ΐι неустойчиво.

288 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
11.3- Оценочный признак Винограда
экспоненциальной устойчивости
Доказанная в пункте 11.2 теорема Ляпунова — Массеры — Гробма-
на дает достаточный признак экспоненциальной устойчивости системы
(11.1) с m-возмущением / £ Fm, устанавливает существование
такого числа то ^ 1, что при m > mo нулевое решение системы (11.1)
с любым m-возмущением / экспоненциально устойчиво и ее
старший показатель А(Л,/) не превосходит старшего показателя Хп(А)
системы линейного приближения (1л), и его оценку сверху тщ ^
<1 + σΓ(Α)/\λη(Α)\.
Более точный признак экспоненциальной устойчивости по
линейному приближению был получен Р. Э. Виноградом с использованием
его оценочного т~показателя Q'm(A), определяемого по матрице Ко-
ши Χα^,τ) системы (1л)· Введем функцию φΑ(ί,τ) = \п\\Ха(Ь,т)\\
и следующее
Определение 11.4 (см. Виноград Р. Э. [49, 52]). Пусть число W
и кусочно-непрерывная функция R(t) осуществляют оценку
Ψλ («, τ) ζ W(t - τ) + R(t) - mR(r), 0^r^t< +oo. (11.53)
Всякую такую пару (W, R) отнесем к классу Gm(Л), а число Wm(A) =
Ξ inf W назовем индексом устойчивости системы (1л). Оценоч-
Gm(A)
ным т-показателем системы (1л) назовем величину
{+оо, если Wm(A) > О,
inf R, R= Ш1 t^Rit), если Wm(A) < 0.
Очевидные свойства оценочного m-показателя устанавливает
Лемма 11Л [52]. Оценочный т-показатель Q'm(A) системы (1л)·
1) не менее ее старшего показателя Хп(А) и его конечные значения
отрицательны] 2) является невозрастающей функцией порядка
возмущений т > 1.
Доказательство. В случае РУШ(Л) > 0 первая часть
утверждения 1) очевидна. В случае же РУт(Л) < 0 для всякой функции й(£),
осуществляющей оценку (11.53) с числом W < 0, справедливо
неравенство <ра(Ь,0) + тЯ(0) < Я(£), t ^ 0, из которого и следует
необходимое неравенство Хп(А) ^Пт(А).

11.3. Оценочный признак Винограда экспоненциальной устойчивости 289
Конечные значения оценочный m-показатель Ω^(Α) может
принимать лишь в случае ТУт(А) < 0. Из оценки (11.53) при τ = t имеем
неравенство 0 ^ (1—m)R(t), t > 0, из которого следует оценка R(t) ^
^ 0 при всяком t ^ 0. С другой стороны, класс Gm(A) вместе с парой
(W, Д), для которой W < 0, R ^ 0, содержит и пару (W+a, R(t)—at)
со всяким таким а > 0, что выполнено условие W 4- о. < 0. Поэтому
справедливы и неравенства Ω^(Α) ^ R(t) — at ^ —α < 0.
Справедливость утверждения 2) следует из имеющегося при
любых rri2 > mi > 1 включения Gmi(A) С Gm2(-A), вытекающего из
неравенств
ψΑ&τ) ^ Wx(t - τ) + fli(*) - miRi(r) ^
^ Wi(* - τ) + Rx(t) - m2Ri(r), O^r^L
Последнее же неравенство в силу того, что для пары (Wi,R\) E
£ GTni(A)J как уже установлено выше, при всяком t ^ 0 выполнена
оценка R\(t) ^ 0. Лемма 11.1 доказана.
Прежде чем сформулировать и доказать признак Р. Э. Винограда
экспоненциальной устойчивости системы (11.1) по линейному
приближению (1д), установим два свойства оценочного m-показателя Ω^(Α)
как функции порядка возмущений m > 1.
Теорема 11.4 [52]. Оценочный m-показателъ Ω'^Α) системы
(1а) есть непрерывная функция порядка возмущений т > 1 β
области своей отрицательности.
Доказательство. Непрерывность слева. Пусть Ω[η0(Α) < 0,
mo > 1- По определению оценочного m-показателя для произвольного
ε > 0 отыщутся такие постоянная Wo < 0 и кусочно-непрерывная
функция Ro(t), для которой Rq < Q'mQ(A) + ε, что при всех г ζ t
справедлива оценка
<pA(t,T) ^ W0(t - τ) + Ro(t) - тоДо(г). (П.530)
Совершив в правой части предыдущего неравенства тождественные
преобразования (прибавление и вычитание), запишем его в виде
φΑ(ί, τ) ζ (W0 + a){t - τ) + [J2o(£) - at] - (m0 - ό)[Λο(τ) - ατ] + г6(т),
νδ(τ) = (1- m0 + δ)ατ - 6Rq(t).
Выберем теперь такое а = а(е) > 0, чтобы Wo + a<07 и
зафиксируем его. Для взятого а отыщется на основании неравенств то > 1 и

290 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
—JF?o(r) ^ ar-\-Do (последнее неравенство получаем из оценки (11.53о),
полагая в ней τ = 0 и учитывая очевидное неравенство φ а (£, 0) ^ at)
такое δ > 0, что г$(т) ^ δΌο· Включив очевидным образом
постоянную SDo в функцию Ri(t) = Ro(t) — at + D\ в виде постоянной
D\, будем иметь включение (Wo + α, R\) £ Gmo_^(i4) с выполнением
неравенств
Wb+a<0, Ri<fl'mo(A) + £·
Тем самым имеем неравенство fl'mQ_6(A) < flrmo(A) + ε, которое и
устанавливает (с учетом невозрастания функции П'т(А))
непрерывность слева функции Ω^(-Α) в точке т — то-
Непрерывность справа. Функция П^(Л) — невозрастающая.
Поэтому при любом δ > 0 справедливы неравенства ^|По+<5(Л) ^
^ П^о(Л) < 0. Тем самым для всякого δ > 0 существует пара
(Ws,R6) € Gmo+s(A), для которой W6 < 0, Д5 < ii'mo+<5(4) + ε с
прежним числом ε > 0. Возьмем какое-нибудь a > 0, для которого
Wo + а < 0, и запишем следующие очевидные неравенства
<Ра(Ъ г) ^ (Wo + a)(t - τ) + [Ro(t) - at] - m0[i2o(r) - ar] - (m0 - l)ar,
V>a& r) ^W6(t-r) + R0(t) - moRs(r) - Mfc(r).
Складьюая их, получаем следующую оценку:
Ψα&τ) <С Wx(t - г) + Ri(t) - moRi(r) + η{τ),
Wx = 2-1(Ws+W0 + a)9 Ri(t) = г"1^*) +i?o(t) - at],
Г1(т) = -г-^то - l)ar + «fc(r)].
Выбором достаточно малого δ > 0 осуществляем, как и при
доказательстве непрерывности слева, оценку г ι (г) ^ &D$· Включая
постоянную (5D<5 в функцию ϋι (£) и сохраняя за ней прежнее обозначение,
будем иметь при выбранном δ включение (W\,Ri) Ε Gmo с
выполнением неравенств
Wi < 0, Й! ^ г-1^ + До - α) < 2-1(Ω^ο+5(Α) 4- П'то(А)) +е.
А тем самым по определению величины Ω^ο(Α) имеем и требуемое
неравенство Ω^ο+<5(Α) > fl'mo(A) - 2ε. Теорема 11.4 доказана.
Как уже установлено в лемме 11.1, функция Ct'm(A) является невоз-
растающей функцией параметра ш, оставаясь при всяком
рассматриваемом т не менее старшего показателя Хп(А) системы (1л).
Оказывается, можно выделить участок строгого убывания функции Q'm(A):
имеет место следующая

11.3. Оценочный признак Винограда экспоненциальной устойчивости 291
Теорема 11.5. Оценочный тп-показатель Ω^(Α) есть строго
убывающая функция порядка возмущений т в той области, в
которой Хп(А) < П'т(А) < 0.
Доказательство. Возьмем произвольные числа: т — из
указанной области и mi — большее т. Выберем ε > 0 столь малым, чтобы
одновременно выполнялись неравенства
П'т(А)+е<2-1П'т(А), К = К(А)+е<П'т(А), (11.54)
а также такую пару (W,R) Ε Gm(A), для которой W < 0, 7? <
< П^(Л) + ε. Запишем теперь для функции φ а (£, г) очевидные
оценки
ΨΑ(*, г) ^ W(t - г) + Я(*) - тй(г),
<£л (*, г) ^ y?(i, 0) + φ(0, г) <ζ λ£ί + ατ + Се.
Умножая первую оценку на число λι ^ 0, а вторую — на число λ2 ^ 0
и складывая их, получим неравенство
φ Α (ί, г) ^ λι^(ί - г) + λιΛ(ί) + λ2λ£ί - mAi Д(г) + λ2ατ + А2Се =
= λιW(t - τ) + Ri(t) - miiii(r) + щ(т),
в которой Аг, λι + λ2 = 1, — произвольные неотрицательные числа,
a Rx(t) = \iR(t) + λ2λεί, гг(т) = \ι(τηι - m)R{r) + A2(miAe + a)r +
+ A2Ce.
Оценим величину г χ с учетом уже сделанного выбора е:
П ^ Ai(mi - т)(П^(Л) + ε) 4- X2(m1X£ + α) <
< 2"1λι(τηι - τη)Ω^(Α) + λ2α.
Пусть λξ и λ2, λξ + λ«2 = 1, выбраны так, что правая часть
последнего неравенства при этом выборе равна 0. Очевидно, оба λ$
положительны и годятся для всех ε > 0, удовлетворяющих неравенствам
(11.54). Тем самым при всех достаточно малых ε функция г\(т) не
превосходит постоянной D£. Относя эту постоянную известным
приемом к функции R\ с полученными X® и сохраняя за ней прежнее
обозначение, будем иметь включение (XiW,Ri) Ε Gm(A), причем при
всех достаточно малых ε (удовлетворяющих неравенствам (11.54))
справедлива оценка
Й! < λ?β + λ^λ, < λ?Ω^(Λ) + λ°2Χη(Α) + ε.

292 § 11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
Тем самым в силу произвола ε имеем требуемое неравенство
«т, (Л) < Α5(Α)ί4(Λ) + λ°λη(Λ) < Ω^(Α).
Теорема 11.5 доказана.
С помощью оценочного показателя Ω^(Α) системы линейного
приближения (1д) Р. 9. Виноградом доказан следующий признак
экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (11.1):
Теорема 11.6 (см. Виноград Р. 9. [49]). Если оценочный тп-пока-
затпель Ω^(Α) системы линейного приближения (1д) отрицателен,
то нулевое решение системы (11.1) с любым т-возмущением f G
G Fm экспоненциально устойчиво и Ω^(Α) является общим
показателем ее решений: для любого ε > 0 существуют такие постоянные
δ = δ(ε) > 0 и с = с(е) > О, что все решения y(i) системы (11.1),
начинающиеся в начальный момент t — 0 в δ-окрестности начала
координат, допускают общую оценку
ЫШ *ъ С\Ш\\exp[iUA) + e]t, t > 0. (11.55)
Доказательство. Выберем ε > 0 удовлетворяющим условию
Ω^(Α) + 2е < 0. По определению оценочного т-показателя найдется
пара (W, Я), для которой выполнены неравенства
W < 0, R < П'т(А) + ε, (11.56)
и оценка (11.53).
Пусть m-возмущение / определено в окрестности Up радиуса
ρ G (0,1). Произвольное решение y(t) системы (11.1),
начинающееся в ό-окрестности начала координат с пока еще не определенным
радиусом δ G (0,р), не покидает эту окрестность на некотором
максимальной длины промежутке [0, ty). На этом промежутке решение
y(t) представим в форме Коши и при оценке его нормы воспользуемся
неравенством (11.53). В итоге получим неравенство
t
"(*) = Mt)\\e-Wt-Rto ζ ||»(0)||е-тД<0> +Cf ίе(т-1^Тит(т)ат,
θ
где t G [0, ty), из которого по лемме Бихари и в силу неравенств (11.56)
имеем необходимые оценки
№(011 £ d\\y(0)\\eWT+RW[l - DIMOir-1]1*1-^ ^ 2d\\y(0)\\en^ ^

11.3. Оценочный признак Винограда экспоненциальной устойчивости 293
<С 2d\\y(0)\\e^A)+£)\ d = e-mR^°\ D = CjdT-1 l\W\, t <E [0,ty)s
для нормы решения y(t) системы (11.1) с начальным значением 2/(0),
удовлетворяющим условию ||у(0)|| ^ [(1 - г1-™)/!)]1^™-1) = δ0.
Положив δ = 4~1pmin{6o,d~1}, получим равенство ty — -Ьоо и
оценку (11.55):
\\y(t)\\ < 2<%(0)|| βχρ[Ω^(Α) + ε]ί, ||ν(0)|| ζ δ, ί > 0.
Теорема 11.6 доказана.
Этот достаточный признак экспоненциальной устойчивости не
является необходимым, что установлено в работе автора [95].
Р. Э. Виноград методом поворотов В. М. Миллионщикова,
адаптированным к нелинейным возмущениям порядка малости т > 1,
доказал также неулучшаемость оценочного показателя в следующем
смысле: для всякого Ω < Ω^(Α) найдется такое m-возмущение / Ε Fm,
τη > 1, при котором общая оценка
HvWII ^ С\\у(0)\\ ехр(П + ε)ί, t > 0,
с малым ε > 0 для всех решений y(t) системы (11.1) с начальными
значениями у(0) Ε Us невозможна ни при каких δ > 0 и С > 0.
Этот последний результат существенно уточнен автором с
помощью введенных им в работе [76] априорного Пт(А) и
конструктивного Ω^(-Α) m-показателей системы (1д) (подробнее см. работу [52]).
При этом конструктивный m-показатель Ω^(Α) по матрице Коши
^л(^зт) системы (1д) определяется следующим алгоритмом:
iC(4)= lim Пт lu(k,a),
ξΑ^,α) = тах{1п||Хд(М)|| + т£д(А;,а)},
£л(0,а) = aeR-, keN.
Подробное изложение решения общей задачи Ляпунова об
экспоненциальной устойчивости системы (11.1) по линейному приближению
(1а) в некритическом случае с помощью априорного, оценочного и
конструктивного показателей выходит за рамки этой книги. В ней в
заключительном пункте рассмотрим лишь частную задачу Ляпунова.

294 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
11.4. Частная задача Ляпунова
об экспоненциальной устойчивости
по линейному приближению
Сформулированнная во введении к настоящему параграфу
частная задача Ляпунова предполагает построение по системе
линейного приближения (1а) критерия экспоненциальной устойчивости
нулевого решения нелинейных систем (11.1) с любыми возмущениями
/ £ .Fi+o = Um>i Fm высшего порядка малости и вычисление общей
асимптотики
Ωι+ο(Α)= sup X(AJ)
/€F1+0
(называемой центральным показателем высшего порядка) решений
этих систем, выходящих в начальный момент t = 0 из достаточно
малых окрестностей начала координат. При дополнительном
предположении правильности по Ляпунову системы (1д) частная задача
полностью решена самим Ляпуновым в классе возмущений — рядов
(11.2), а в общем классе возмущений Fi+o — Массерой. И ее решение
при этом предположении состоит в следующем: критерием
экспоненциальной устойчивости и отрицательности центрального показателя
высшего порядка Ωι+ο(Ά) является отрицательность старшего
показателя Хп{А) системы (1д) (в этом случае справедливо равенство
П1+0(А) = \п(А)).
В случае неправильной системы (1а) роль ее старшего показателя
АП(Л) в решении частной задачи Ляпунова играет старший
экспоненциальный показатель
к
V(A) = lim ΠΕ в~к1у\п\\ХА(в\в*-1)\\
V ' 0-И+О fc-юо ^ " V "'
1=1
системы линейного приближения (1д), вычисляемый по матрице Ко-
ши Ха(Ь,т) и введенный автором в работе [88]. В настоящем пункте
решение этой задачи для общей системы (1а) дано в виде
формулируемой и доказываемой ниже теоремы 11.7: необходимым и достаточным
условием экспоненциальной устойчивости нулевого решения систем
(11.1) с возмущениями / G Fi+o и отрицательности общей
асимптотики Ωι+ο(^4) их решений является отрицательность старшего
экспоненциального показателя V(A) системы линейного приближения (1а)
и, как следствие, равенство Ωχ+ο(Α) = V(A) < 0. Кроме того, в нем

11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости 295
установлена взаимная связь между экспоненциальной устойчивостью
нулевого решения нелинейной системы (11.1) с любым возмущением
/ Ε F\+o и линейной системы (Ι^+q) с любым экспоненциально
убывающим при t -> +оо возмущением Q € Ео = {Q : X[Q] < 0}. Для
этого предварительно с помощью старшего экспоненциального
показателя V(A) исходной системы (1д) получен критерий
экспоненциальной устойчивости возмущенных линейных систем (1д+д) с любыми
возмущениями Q (Ξ £Ό·
1°. Итак, справедлива следующая
Теорема 11.7 [89, 90, 112]. Для экспоненциальной устойчивости
нулевого 'решения системы (11.1) с любым возмущением / G F^o
высшего порядка малости и отрицательности точной в классе Fi+o
асимптотики Ωι+ο(Ά) ^ решений из достаточно малой
окрестности начала координат необходима и достаточна отрицательность
старшего экспоненциального показателя V(A) системы линейного
приближения (1л). Для него справедливо равенство Ωι+ο(Α) =
= ЩА) < 0.
Доказательство. Достаточность. Пусть V(A) < 0. Установим
экспоненциальную устойчивость по Ляпунову решения у = 0 системы
(11.1) с любым m-возмущением / £ F\+o и докажем неравенство
Ωι+0(Α) ^ ЩА).
Непрерывная на полуоси t ^ 0 функция (см. п. 3.2)
kt
n^(t) = ^in||xA(^le|-1)ll + in||Xii(t,e*f)||,
1=1
где θ > 1, t e [0fct,0fc'+1), kt ^ 0, равная 0 на промежутке [0,1),
осуществляет оценку (более точную по сравнению с оценкой (З.бз))
]n\\XA(t,8)\\^W„(t)-W$(8)+ min ЩХА018)\\\\Хл{в,&)\\}^
l=k3<,ka+l
ζ W9(t) - We{8) + 2amin{« - ΘΗ·, ΘΗ·+1 - s] ^ We(t) - W0(s) +
+a{ek'+1-ek-)^We(t)-We(s) + a(e-l)s, 0>1, t^s^l, (11.572)
и вытекающую из нее справедливую на всей полуоси [0, +оо) оценку
ln\\XA(t,s)\\^We{t)-W9{s) + a(e-l)s + a, θ>\, t^s^O, (11.57x)

296 § 11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
нормы матрицы Коши -Хд(£, s) системы (1д) и реализует
экспоненциальный показатель:
О > V(A) = lim WB, We ξξ ЕЕ rkW0(t). (11.58)
0-*l-fO t-кэо
Пусть фиксированное возмущение / Ε Fi+o со своими
постоянными С > 0 и т > 1 определено в р-окрестности Up начала
координат. Зафиксируем произвольное ε > О, удовлетворяющее условию
V(-A) + ε < 0, и по нему на основании (11.58) укажем такое θ > 1,
для которого выполнено неравенство W$ < V(A) + ε и функция
go(s) Ξ Cexp[(m—l)Wjp(«)+a(0—1)*+α], s ^ 0, имеет сходящийся
интеграл G = Jx °° £0(0) ds < +oo. Выберем теперь po € (0,1) настолько
малым, чтобы одновременно выполнялись неравенства
(m-l)G(p0ea)m~l ^ 1-21""1, 2p0exp[a+W(t)] < р, t > 0. (11.59)
Решение 2/(*>2/о) системы (11.1) с начальным вектором у(0,уо) =
= 2/о, 0 < \\уо\\ ^ ро, принадлежащее окрестности Up при t £ [0, to),
представим в форме Коши
t
y(t,vo) = -Χ"α(*,0)ι/ο + J XA(t,s)f[siy(s,y0)]ds, t е [0,t0).
0
Из нее на основании оценок (11.57ι) и (11.572) получаем неравенство
t
u(t) = ||»(t,lto)||exp[-We(t)l ^ ||lfo||ee + j99(s)Ms)]mdsy t G [0,t0).
о
С помощью леммы Бихари и в силу условий (11.59) получаем оценки
Mt,yo)\\ ζ 2||ito||exp[a +W^(t)l < ρ, te [0,t0), (11.60)
и как следствие равенство to — +оо.
Таким образом, всякое решение y(t,yo) системы (11.1) с
начальным вектором 2/о € UPo не выходит из окрестности Up при всех t > 0
и для его нормы выполнена оценка (11.60), в которой to = +оо. В силу
условий (11.58) и (11.60) нулевое решение системы (11-1)
экспоненциально устойчиво и справедливо неравенство λ(Α,/) ^ V(A) 4- ε < 0,

11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости 297
а тем самым и неравенство Ωι+ο{Α) ^ V(A) < 0. Недостающее
равенство Ωι_|_ο(>1) = V(i4) является следствием общего неравенства
Ωι+ο(Α) ^ V(j4), установленного далее при доказательстве
необходимости теоремы 11.7. Достаточность теоремы 11.7 доказана.
Необходимость. Докажем неравенство fti+o(A) ^ V(j4) в общем
случае для произвольного экспоненциального показателя V(A). Для
этого в случае V(A) ^ 0 достаточно для произвольного ε > 0 найти
такие т = т£ > 1 и соответствующее m-возмущение / £ Fm, что
будет выполнено неравенство X(A,f) ^ V(A) — ε. Построение
необходимой вектор-функции f(t,y) будем вести изложенным в §4
способом с помощью метода поворотов В. М. Миллионщикова, используя
при этом следующий нелинейный аналог Р. 9. Винограда [49] лемм 4.1
и 4.2:
"Утверждение 11.1. Со всякого решения u(t) системы (1л), мед-
лепного па отрезке \Т\,Т2] в следующем смысле:
\\и(Т2)\\ < 2-1\\u(T1)\\\\XA(T2,Tl)\\siTi[4\\u(T1)\r-1}, m > 1,
преобразованием-поворотом y(t) = U(S(t))u(t) на угол S(i) = 4(ί —
— Γι + l)||ii(i)||m_1, действующим на отрезке [Т\ — Ι,ΤΊ], на котором
вектор-функция y(t) является решением системы (11 Л) с
возмущением / £ Fm, можно непрерывным образом перейти на быстрое
решение v(t), определяемое неравенством
ИГ2)|| > г-^игоннХлт.гонБт^го > игорра (7^)11,
ΙΚΖ\)|| = ικτοιι,
системы (1а) при условии 4||ii(Ti)||m_1 < 1/4.
Выберем числа 9 > 1 и т 6 (1,9) такими, чтобы одновременно
выполнялись неравенства
Ш e-kWe{ek) > V{A) - ε/4, (m - 1)(1 4- α)/(θ -m)< ε/4. (11.61)
fc—ИХ)
Пусть {хр} — последовательность n-мерных векторов с нормами,
удовлетворяющими условиям 1 > \\хр\\ -> 0 при ρ -> оо. Построение
необходимой вектор-функции f(t,y) будем вести по этапам.
Положим t\ = 0. Момент £2 = 0*2 с натуральным къ возьмем
столь большим, чтобы (1 — 6~l)t2 > 1-
На первом, тривиальном, этапе на промежутке [ίι, ί2 — 1)
положим f(t, у) = 0.

298 §11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
Второй этап построения вектор-функции /(*,?/), действующий на
некотором промежутке [*2 — 1, *з — 1), Η = 6**, с определяемым ниже
натуральным к$ > &2, разобьем на два шага, осуществляя построения
соответственно на промежутках [*2 — 1,4 1) и [4 1>4 1)*
Введем функцию </э(*) = min {42/(i-m)3exp[V(A) _ е|^ и будем
сравнивать с ней нормы строящихся решений также строящейся
системы (11.1) в различные моменты времени.
Первый шаг второго этапа. На этом шаге построим допустимое
возмущение / € Fm и такое решение yi(t) системы (11.1) с
начальным вектором у\(tι) = х\, которое в момент t = 4 удовлетворяло
бы неравенству ||у(4 )Н > Ψ(η )· Если окажется ||ϊ/(*2)|| ^ ^(*2), то
можно положить 4 — *2 и построения первого шага второго этапа
закончены. Поэтому без нарушения общности считаем выполненным
неравенство ||у(4 )Н < </>(4 )· Если решение #(*,2/ι(*2)) системы
(1а) является быстрым на отрезке [*2,6*2]3 то полагаем f(t,y) = О
при t Ε [£2 — 1,6*2)- Если же оно медленное на этом отрезке, то
преобразованием поворота из утверждения 11.1 с углом поворота 5(t) —
= 4(ί — ί2 + l)lk(*, 2/i(*2 — l))||m_15 действующем на отрезке [ί2 - 1, £2],
построим на промежутке [*2 — l»fe) возмущенную систему (11.1) с
допустимым возмущением / £ Fm и ее решение y(t) с начальным
вектором 2/(^2 — 1) = 2/ι(*2 — 1), причем такое, что решение x(t, yfo))
системы (1д) будет быстрым на отрезке fe,^]· Положим далее
f(t,y) =0 при £ Ε (£2,6^2) и построенную вектор-функцию у(£) снова
обозначим через yi(t). В обоих случаях построим такое возмущение
/ на промежутке [t2 — 1,6*2) (на промежутке [6*2 — 1,6*2)
определение /, возможно, будет изменено), что система (11-1) с этим / имеет
решение yi(t), для нормы которого выполнена оценка ||2/ι(6*2)|| ^
>\\yi{t2)\r\\xA{et2,t2)\\.
Повторив эти построения на промежутках [6* х*2 — 1,6г*г) для г =
= 2,...,/, в итоге на отрезке [*2 —1,6'fe] с некоторым I построим такое
m-возмущение /, что система (11.1) с этим / будет иметь решение
2/1 (0, для которого выполнены оценки
\МР-%)\\ < 42/(ΐ-«), 1пЫ0**4)|| > т*1п||У1(«й)|| +
г
+ ^2т'-кЫ\\ХА(в%,вк-Н2)\\=фт{г), i = l,...,1, (11.62)
fc=l

11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости 299
а для всякого решения y(t) этой системы на всем отрезке [έι,ί^]
выполнено неравенство
IЧ1»Ы11/Н»ЫН]| ^«И -п\, Vtut2 e [tue%].
Если при некотором I ^ 1 окажется, что exp^m(Z) ^ 42^1~т\
то, очевидно, будет выполнено необходимое неравенство ||2/ι(θ'ί2)|| ^
^ φ(θιί2). Если же при всех I ^ 1 выполнена оценка exp^m(Z) <
< 42/(1-m) < 1, то из (11.62) получаем оценки
1-1
+ Σ(™'~* - 1)1п||Хл(0^2,^-^2)|| + miln||2/l(i2)|| ^
ι ι-ι
> Σ In ΙΙ-Υ^ί^,β*"1^!! - (6 - 1)α*2 £(™'~* - IJfl*"1 - at2ml =
*=1 *=1
ί+1
= W$(#t2)-We(t2)-at2#
Ζ \¥в{&12) - W9(t2) - a&t2
m —
θ
.-1 fl-l/m\l+1 2_Л
Поэтому в силу условий (11.61) найдется такое столь большое I=1\, что
для решения y\(t) будет выполнено неравенство ||{/ι(4 )ΙΙ ^ ¥>(4 )» в
котором 4 = б'1^. На этом построения первого шага второго этапа в
случае V(A) ^ О закончены. При этом второе решение у2(t), y2(t\) =
= rr2) построенной системы (11.1) существует на всем отрезке [£ι,4 ]
(это следует из определения возмущения f(t, у) на этом отрезке) и для
него в момент t = 4 выполнено неравенство |1п[||да(4 )||/||£2||]| ^
На втором шаге второго этапа проведенными на первом шаге
рассуждениями и построениями решения у ι (t) продолжим построение
допустимого m-возмущения f(t,y) и второго решения y2(t) системы
(11.1) на отрезке [4 >4 1» 4 = ^'24 > с выполнением неравенства
1Ы42))И^*>(42))-

300 § 11. Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
Третий этап построения m-возмущения / и решений системы
(11.1), действующем на некотором отрезке [£з>^4] с началом t$ = 4 ,
состоит уже из трех шагов, причем на г-ом шаге, действующем на
отрезке [4* >'з 1» 4 = *з» 4 — ^4> осуществляется
построение решения yi(t), i = 1,2,3, с выполнением для него неравенства
1М4°)И > «к40)·
Распространяя этот процесс построения допустимой
вектор-функции f(t,y) и решений 2/i(£), i € ЛГ, системы (11.1) на всю полуось
[0, +оо), в итоге для всякого решения yi(t) обеспечим неравенства
1Ы4°)Н > v>(**})> * е N, * = i,i +1,..., ι ^2,
причем fc = 2,3,... в случае i = 1. Эти неравенства реализуют
необходимые оценки X[yi] ^ V(i4) — ε, а тем самым оценку Х(А, /) ^ V(A)
и неравенство Ωι+0(-4) ^ V(-A) в случае V(A) ^ 0.
Рассмотрим теперь случай V(A) > 0. В этом случае выполнено
равенство Ωι+ο(^) = +о° (а тем самым и необходимое неравенство
Γίι+ο(Α) ^ V(-A)), которое сейчас и докажем.
Зафиксируем удовлетворяющие условия (11.61) числа θ > 1 и т >
> 1 и установим существование такой системы (11.1) с т-возмущени-
ем /, которая имела бы непродолжимые бесконечно вправо решения,
выходящие из любой окрестности начала.
Проведенными выше рассуждениями для некоторого решения
2/*ι(*)> (2/гДО) = χι) в достаточно большой момент времени ίι = 9kl
реализуем неравенство ||!fti(£i)|| ^ 42^1~т\ На отрезке [ti9t\ + 1]
положим
f(t,y) = ^ΙΜΓ"1», Ν = (1 + m)"1 exp(3 + a).
Тогда вектор-функция y(t) = u(t)x(t), где x(t) — решение системы
(1д) с начальным вектором x(ti) = yix(ti), u(t) — решение
скалярного уравнения й = ТУЦа:^)!!™-1^7" с начальным значением u(ti) = 1,
для t > t\ является решением системы (11.1) и непродолжимо за
точку t = tχ + 1 (этим свойством обладает функция u(t)). Положим
далее f{t,y) = 0 для t Ε [1 + *i,0ti] φ 0. Снова предыдущими
рассуждениями для решения yi2(t), i<i > ib для которого ||2/i2(^i)ll <
< 4?/(1~т\ также реализуем неравенство ||2/г2(*2)|| ^ 42/(1_т) в
момент ί2 = 0*2, &2 > fcii а затем заданными на отрезке [^2,*2 + 1]
возмущениями (11.55) сделаем это решение системы (11.1) непродол-
жимым за точку t = ti +1. Продолжая эти построения неограниченно

11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости 301
(в силу условия Хр —> 0 при ρ —ϊ оо), в итоге получим
бесконечную последовательность непродолжимых бесконечно вправо решений
2/ifc(*)j & ^ 1> заданной на полуоси [0,+оо) системы (11.1) с
некоторым фиксированным m-возмущением /, и эти решения
удовлетворяют условию Угк(0) -> 0 при к -> оо. Таким образом, доказаны
равенство Ω\+ο(Α) — +сю в случае V(A) > 0 и общее неравенство
Ωι+ο(Α) ^ V(A).
Возвратимся теперь к непосредственному доказательству
необходимости теоремы 11.7. Предположим противное — старший
экспоненциальный показатель V(A) системы линейного приближения
неотрицателен. Тогда в соответствии с доказанным неравенством Ωχ+ο(Α) ^
^ V(-A) получим оценку Ωι+ο(^4) ^ 0> что противоречит условию
теоремы. Теорема 11.7 доказана.
Установленную связь между центральным показателем Ωι+0(Ά)
высшего порядка системы (1л), являющимся точной верхней
границей старших показателей λ (A,f) возмущенных систем (11-1) с
возмущениями / £ Fi+o высшего порядка малости, и ее старшим
экспоненциальным показателем V(A), эффективно вычисляемым по матрице
Коши Хл(£,т), сформулируем в виде следующего самостоятельного
утверждения:
Следствие 11.4 [89]. Для центрального показателя Ωι+ο(Ά)
высшего порядка системы (1а) и ее старшего экспоненциального
показателя У(Л) справедливы соотношения
Ωι+οΟΑ)= <
= V(A)<0,
^ ЩА) = 0,
= +оо, если У(Л) > 0.
2°. Критерий экспоненциальной устойчивости возмущенных
линейных систем (Ia+q) в классе Eq экспоненциально убывающих при
t -> оо возмущений Q устанавливает
Теорема 11.8 [90]. Для экспоненциальной устойчивости
нулевого решения системы (Ia+q) с любым возмущением Q £ Е®
необходимо и достаточно выполнение условий
λη(Α) < 0, ЩА) ζ 0. (11.63)
Доказательство. Достаточность. Возьмем произвольную
кусочно-непрерывную матрицу Qg£1o и для нее укажем такое σ > 0, что
X[Q] ^ —σ. По определению старшего показателя Хп(А) для нормы

302 § 11- Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
матрицы Коши Jd(£,s) системы (1а) справедлива оценка
ln||J0i(t,s)|| ^ d£ + [Хп(А) +ε](ί- s) + 2(α + ε)*, t ^ s ^ 0, (11.64)
с постоянными d£ > 0 и сколь угодно малым ε > 0. Умножая обе
части неравенств (11.57ι) и (11.64) соответственно на μι > 0 и μ2 >
> 0, μι + μ2 = 1, и складывая их, для нормы матрицы Коши получим
оценку
In \\XA(t, »)|| ^ r(i) - г(в) + α(β), 0 ^ а < ί, (11.65)
с функциями
r(t) = μιΥΤο + /χ2(λη(Α) + e)t,
a(s) = [αμι(θ - 1) + 2μ2(α + ε)]δ + de, <4 ^ α.
Возьмем, например, число ε = |λη(Α)|/2, а число /х2 > 0
выберем удовлетворяющим неравенству 8/х2(а + ε) ^ σ. По этим числам
укажем теперь θ > 1 настолько близким к 1, чтобы одновременно
выполнялись неравенства
4а(0 - 1)/х! <£ σ, 2/хг И^ + μ2Χη(Α) < 0.
Этого можно добиться на основании условий (11.63). Тогда будут
справедливы неравенства г < 0, α ^ σ/2. С помощью этих неравенств,
неравенства X[Q] ^ — σ и леммы Гронуолла из оценки (11.65)
получаем необходимое неравенство Хп(А + Q) < 0.
Необходимость. Условие Α„(Α) < 0 следует из
экспоненциальной устойчивости системы (Ιλ+q) при Q = 0. Необходимость
второго условия (11.63) установим следующим образом. Предположим
противное: V(A) > 0. Тогда в соответствии с доказанным в
теореме 4.3 равенством sup Хп{А + Q) = V(А) найдется такая кусочно-
X[Q]<0
непрерьюная матрица Q Ε Ео, для которой будет выполнено
неравенство Xn(A+Q) > 0. Полученное противоречие с условием
экспоненциальной устойчивости систем (Ι^+q) с любыми возмущениями Q Ε Ео
и устанавливает справедливость необходимого условия теоремы 11.8.
Теорема 11.8 доказана.
3°. Связь между экспоненциальной устойчивостью решения у = 0
нелинейной системы (11.1) с любыми возмущениями / высшего
порядка малости из класса Fi+o и экспоненциальной устойчивостью
линейной системы (1д+q) с любой матрицей Q Ε Ео устанавливает

11.4. Частная задача Ляпунова об экспоненциальной устойчивости 303
Теорема 11.9 [90]. Если пулевое решение системы (11.1)
экспоненциально устойчиво при любом возмущении / G i*i+o высшего
порядка малости, то нулевое решение линейной системы (Ια+q) с
любой экспоненциально убывающей при t —> оо матрицей Q € ΕΌ
также экспоненциально устойчиво.
Доказательство. Из экспоненциальной устойчивости решения
у = 0 системы (11.1) с любым возмущением / € Fi+o следует
отрицательность старшего показателя λ(Α, /) при любом / € Fi+0·
Поэтому справедливы два утверждения: 1) Хп(А) = λ(Α,Ο) < 0, так как
/ = 0 G Fi+o; 2) Ω1+0(Α) = sup \{A,f) ^ 0. Если теперь пред-
положить выполненным неравенство V(A) > 0, то в соответствии со
следствием 11.4 будем иметь равенство Ωι+ο(Α) = +оо,
противоречащее установленному выше неравенству Ω\+ο(Α) ^ 0.
Из доказанных условий Хп(А) < 0 и V(A) ^ 0 и следует
теперь на основании теоремы 11.8 экспоненциальная устойчивость
систем (Ia+q) с любыми возмущениями Q G Ео. Теорема 11.9
доказана.
Замечание 11.2. Обратное утверждение не имеет места: из
экспоненциальной устойчивости систем (Ιλ+q) в классе Ео
экспоненциально убывающих возмущений Q не следует экспоненциальная
устойчивость решения у = 0 системы (11.1) с любыми возмущениями / G
G Fi+o· Это подтверждает следующий
Пример 11.3 [90]. Двумерная система
Хг — ai(t)xi, ai{t) + a2(t) = —1, t ^ 1,
adt) = 0, 1е[в2к-\в2к^-% 0>1, keN i = 1,2,
имеет показатели Аг(А) = — (1 + 0)"1, V(A) =0 и поэтому,
согласно теореме 11.8, экспоненциально устойчивой является всякая система
(Ιλ+q) с Q G Ео. Для решений же yi(t) с начальными векторами
{||i/i(l)||} I 0 возмущенной системы (11.1) с / G Fm, m G (1,6),
построенной методом поворотов при доказательстве необходимости
теоремы 11.7, в силу неравенств (11.62) при *2 = 1 имеем оценки
ι
ln|M0')ll ^m'bllifcClJII + ^m^tall^ie*,»*-1)!! ^
*=1
£m'ln llwil)!!, leNy

304 § 11· Асимптотическая устойчивость по линейному приближению
из которых следует свойство
Θ-1 1η\Μθι)\\ > (j\ In||у,(1)|| -> 0 при I -► оо, г G N,
этих решений, исключающее экспоненциальную устойчивость
нулевого решения такой системы (11.1) с / Ε Fm, m Ε (1,6).
Замечание 11.3. Решение общей задачи Ляпунова в
некритическом случае содержится в работах Р. Э. Винограда [49], автора [76],
Р. Э. Винограда и автора [51, 52], а ее полное решение по линейному
диагональному приближению — в работе автора [95].
Комментарий к § 11. Полное решение частной задачи
Ляпунова по правильному по Ляпунову линейному приближению дано
самим Ляпуновым [150, с. 52] в классе F<i голоморфных возмущений
и Х.Л.Массерой [171] в классе Fi+o возмущений высшего порядка
малости. Ее решение по неправильному линейному приближению
содержит теорема 11.7 автора (см. [89, 90, 112]).
Признаки экспоненциальной устойчивости в решении общей
задачи Ляпунова получены А. М. Ляпуновым [150, с. 54-55], X. Л. Массерой
[171], И. Г. Малкиным [170, с. 379], Д. М. Гробманом [63], Η. Ε.
Большаковым [23, 24] и Р. А. Прохоровой [216, 217], а наиболее близкие к
необходимым в монографии [35, с. 232-241]. Решение этой задачи в
некритическом случае дано Виноградом, автором этой книги и ими
совместно в работах [49, 52, 76, 89, 90, 95] с помощью оценочного Р. Э.
Винограда и конструктивного автора показателей. Полное ее решение по
линейному диагональному приближению содержится в работе
автора [95].
Теоремы 11.1,11.2 и 11.7-11.9 доказаны автором [90,95,96], теорема
11.3 — Р. А. Прохоровой [216, 217), следствие 11.3 — Η. Ε. Большаковым
[24], теоремы 11.4, 11.5 — Р. Э. Виноградом и автором [52], теорема
11.6 — Р. Э. Виноградом [49].
Полное описание центральных показателей высшего порядка
линейных систем (1а) как функций порядка возмущений дано автором
[93, 94, 105, 107].
См. также работы автора [51, 72, 73, 76, 95, 96, 108, 112, 130] и его
совместные работы с Р. А. Прохоровой [119, 120], статьи И. А. Волкова
с автором [54, 55] и Е. А. Барабановым [14], работы Г. А. Леонова [146,
147] и Е. А. Барабанова [12], статью А. А. Левакова и Э. С. Шпигельма-
на [145].

ЛИТЕРАТУРА
1. Агафонов В. Г. О классе Бэра показателя Изобова // Дифференц.
уравнения. 1993. Т. 29, №6. С. 1092-1093.
2. Агафонов В. Г. О классе Бэра верхнего показателя Изобова // Дифференц.
уравнения. 1994. Т. 30, Л>6. СЛ089.
3. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных
уравнений. СПб.: С.-Петерб. ун-т, 1992. 240 с.
4. Александров П. С. Теория функций действительного переменного и теория
топологических пространств. М.: Наука» 1978. 416 с.
5. Алексеев В. М. Об асимптотическом поведении решений слабо нелинейных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР.
1960. Т. 134, №2. С. 247-250.
6. Алексеев В. М., Виноград Р. Э. К методу замораживания. // Вести. Моск.
ун-та. Математика, механика. 1966. №5. С. 30-35.
7. Барабанов Е. А. О свойствах старшего σ-показателя // Дифференц.
уравнения. 1982. Т. 18, JV>5. С. 739-744.
8. Барабанов Е. А. Достижимость оценки числа нижних показателей линейной
дифференциальной диагональной системы // Докл. АН БССР. 1982. Т. 26,
Л* 12. С. 1069-1072.
9. Барабанов Е. А. Структура множества нижних показателей Перрона
линейной дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 11.
С.1843-1853.
10. Барабанов Е. А. О распределении нижних показателей Перрона линейных
дифференциальных систем на прямых фазового пространства //
Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2042-2046.
11. Барабанов Е. А. Точность некоторых утверждений о нижних показателях
Перрона // Докл. АН БССР. 1990. Т. 34, №3. С. 200-203.
12. Барабанов Е. А. Строение множеств нижних показателей Перрона
экспоненциально устойчивых линейных систем с возмущениями высшего порядка //
Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №3. С. 393-406.
13. Барабанов Е. А. О вычислении показателей решений линейных
дифференциальных систем по временным геометрическим прогрессиям // Дифференц.
уравнения. 1997. Т. 33, Л> 12. С. 1592-1600.
14. Барабанов Ε. Α., Волков И. А. Строение множества характеристических
показателей Ляпунова экспоненциально устойчивых квазилинейных систем //
Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №1. С. 3-19.
15. Барабанов Е.А., Конюх А. В. Генеральные показатели решений линейных
дифференциальных систем как функции начального вектора // Успехи мат.
наук. 1994. Т. 49, вып. 4. С. 94-95.
16. Барабанов Е. A.f Конюх А. В. Равномерные показатели линейных систем
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 10.
С.1665-1676.

306
Литература
17. Барабанов Ε. Α., Фоминых Ε. И. Сингулярные показатели линейной
дифференциальной системы и показатели ее решений // Весщ НАН Беларусь Сер.
ф13.-мат. навук. 2005. Л* 1. С. 16-22.
18. Богданов Ю. С. О нормальных системах Ляпунова // Докл. АН СССР. 1947.
Т. 57, .№3. С. 215-217.
19. Богданов Ю. С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений
// Докл. АН СССР. 1955. Т. 104, Х*6. С. 813-814.
20. Богданов Ю. С Характеристические числа систем линейных
дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1957. Т. 41, ДО 4. С. 481-498.
21. Богданов Ю. С. Асимптотические характеристики решений линейных
дифференциальных систем // Тр. 4-го Всес. мат. съезда. 1961: В 2 т. Л.: Наука,
1964. Т. 2. С. 424-432.
22. Богданов Ю. С. Об асимптотически эквивалентных линейных
дифференциальных системах // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1, №6. С. 707-716.
23. Большаков Η. Ε. Об устойчивости по первому приближению при р-возму-
щениях // Дифференц. уравнения. 1972. Т.8, №7. С. 1143-1152.
24. Большаков Η. Ε. О роли коэффициента неправильности Перрона и
выявлении устойчивости двумерных систем по линейному приближению //
Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 363-365.
25. Быков В. В. Классификация Бэра σ-показателей Изобова // Дифференц.
уравнения. 1997- Т. 33, №11. С. 1574.
26. Быков В. В. Классификация Бэра старшего нижнего σ-показателя Изобова
// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, ДО 11. С. 1573.
27. Быков В. В. Классификация Бэра старшего нижнего показателя Изобова //
Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6. С. 854.
28. Быков В. В. О дескриптивном типе множества систем, стабилизируемых
экспоненциально убывающими возмущениями // Дифференц. уравнения. 2000.
Т. 36, №6. С. 857.
29. Былое Б. Ф. Об устойчивости характеристичных показателей систем
линейных дифференциальных уравнений. Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук.
М., 1954.
30. Былое Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному
виду // Мат. сб. 1965. Т. 67, ДО 3. С. 338-344.
31. Былое Б. Ф. О геометрическом расположении и оценке роста решений
возмущенных систем // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, №7. С. 882-897.
32. Былое Б. Ф. О геометрическом расположении и оценке роста решений
возмущенных систем // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, ДО 8. С. 1003-1017.
33. Былое Б. Ф. Почти приводимые системы. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат.
наук. Мн., 1966.
34. Былое Б. Ф. Об одновременной устойчивости характеристических
показателей взаимно сопряженных систем линейных дифференциальных уравнений
// Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, №6. С. 943-947.

Литература
307
35. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория
показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука,
1966. 576 с.
36. Былое Б, Ф., Изобое Н.А. Необходимые и достаточные условия
устойчивости характеристических показателей диагональной системы // Дифференц.
уравнения. 1969. Т. 5, № 10. С. 1785-1793.
37. Былое Б. Ф., Изобое Н.А. Необходимые и достаточные условия
устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференц.
уравнения. 1969. Т. 5, К» 10. С. 1794-1803.
38. Ветохин А.Н.К классификации Бэра σ-показателей Изобова //
Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №11. С. 1574.
39. Ветохин А.Н. О классе Бэра миноранты экспоненциального показателя
Изобова // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 6. С. 853.
40. Ветохин А. Н. Точный класс Бэра экспоненциального показателя
Изобова в равномерной топологии // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №11.
С. 1578-1579.
41. Виноград Р. Э. Неустойчивость характеристических показателей
правильных систем // Докл. АН СССР. 1953. Т. 91, №5. С. 999-1002.
42. Виноград Р. Э. Отрицательное решение вопроса об устойчивости
характеристических показателей правильных систем // Прикл. математика и
механика. 1953. Т. 17, №6. С. 645-650.
43. Виноград Р. Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства
правильных систем // Успехи мат. наук. 1954. Т. 9, № 2. С. 129-136.
44. Виноград Р. Э. Неустойчивость младшего характеристического показателя
правильной системы // Докл. АН СССР. 1955. Т. 103, №4. С. 541-544.
45. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы
дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1957. Т. 42, №2. С. 207-222.
46. Виноград Р. Э. Сопряженные нормы Ляпунова // Докл. АН СССР. 1958.
Т. 119, №3. С. 415-417.
47. Виноград Р. Э. Обший случай устойчивости характеристических показателей
и существования ведущих координат // Докл. АН СССР, 1958. Т. 119, №4.
С. 633-635.
48. Виноград Р. Э. Оценка скачка характеристического показателя при малых
возмущениях // Докл. АН СССР, 1967. Т. 114, №3. С. 459-461.
49. Виноград Р. Э. Необходимый и достаточный критерий и точная
асимптотика устойчивости по первому приближению // Дифференц. уравнения. 1969.
Т. 5, №5. С. 800-813.
50. Виноград Р. Э., Елефтериади Ю. И. О достижимости оценки в методе
замораживания // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №11. С. 2089-2092.
51. Виноград Р. Э., Изобое Н. А. Решение проблемы Ляпунова об устойчивости
по первому приближению // Тр. V Между нар. конф. по нелин. колебаниям.
1969: В 3 т. Киев, 1970. Т. 2. С. 121- 126.

308
Литература
52. Виноград Р. Э.9 Изобое Н. А. Решение задачи Ляпунова об устойчивости по
первому приближению // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 2. С. 230-242.
53. Vinograd Robert Ε. An impoved estimate in the method of freesing // Proc.
Amer. Math. Soc. 1983. Vol.89, No.l. P. 125-129.
54. Волков Η Α., Изобое Н. А. О компонентах связности множества
характеристических показателей дифференциальной системы с возмущениями
высшего порядка // Докл. АН БССР. 1989. Т. 33, №3. С. 197-200.
55. Волков И. Α., Изобое Н.А.О множестве нижних показателей Перрона
дифференциальной системы с возмущениями высшего порядка // Докл. АН
БССР. 1989. Т. 33, Х*6. С. 485^87.
56. Гайшун И. В. Существование канонических форм линейных нестационарных
систем управления относительно экспоненциальной группы // Дифференц.
уравнения. 1998. Т. 34, №6. С. 727-734.
57. Гайшун И. В. Канонические формы, управление показателями Ляпунова и
стабилизируемость линейных нестационарных систем // Изв. РАН. Теория
и системы управления. 1998. Λ» 6. С. 24-32.
58. Гайшун И. В. Управляемость характеристическими векторами линейных
нестационарных систем // Дифференц уравнения. 1999. Т. 35. JST* 1- С. 24-29.
59. Гайшун И. В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. Мн.:
Ин-т математики Η АН Беларуси, 1999. 409 с.
60. Гайшун И. В., Изобое Н. А. Исследования в Институте математики Η АН
Беларуси по дифференциальным и многопараметрическим системам // Весщ
НАН Беларусь Сер. ф13.-мат. навук. 1998. №4. С. 5-19.
61. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.
62. Гельфанд И. М., Шилов Г Е. Некоторые вопросы теории
дифференциальных уравнений. М-: Физматгиз, 1958. 274 с.
63. Гробман Д. М. Характеристические показатели систем, близких к линейным
// Мат. сб. 1952. Т. 30, №1. С. 121-166.
64. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных
уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.
65. Демидовин Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967. 472с.
66. Диб К. А. Одновременная достижимость центральных показателей //
Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №12. С. 2125-2136.
67. Елефтериади Ю. И. Достижимость оценки старшего показателя в методе
замораживания в случае η > 2 // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 8.
С. 1379-1386.
68. Еругин Н. П. Приводимые системы // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова
АН СССР. 1946. Т. 13. С. 1-93.
69. Забелло Л. Е. Об управлении показателями Ляпунова в линейных
непрерывных системах // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1985. №2. С. 55-58.
70. Изобое Н. А. О числе нижних показателей решений линейной
дифференциальной системы // Докл. АН БССР. 1964. Т. 8, № 12. С. 761-762.

Литература
309
71. Изобое Η. А. О множестве нижних показателей линейной
дифференциальной системы // Дифференц- уравнения. 1965. Т. 1, №4. С. 469-477.
72. Изобое Н. А. Об устойчивости по первому приближению // Дифференц.
уравнения. 1966. Т. 2, № 7. С. 898-907.
73. Изобое Н. А. О слабо неправильных системах // Дифференц. уравнения.
1967. Т.З, №5. С. 787-795.
74. Изобое Н.А. О множестве нижних показателей положительной меры //
Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, №6. С. 1147-1149.
75. Изобое Н. А. О линейных системах с коэффициентами слабой вариации //
Тр. II Респ. конф. математиков Белоруссии. Мн.: БГУ, 1969. С. 182-185.
76. Изобое И. А. О старшем показателе системы с возмущениями порядка выше
первого // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1969. №3. С. 6-9.
77. Изобое Н.А.О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными
возмущениями // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №7. С. 1186-1192.
78. Изобое Н. А. Уточнение оценки в методе замораживания для двумерной
системы с совпадающими характеристическими числами // Дифференц.
уравнения. 1971. Т. 7, Х*6. С. 990-996.
79. Изобое Н. А. Случаи уточнения и достижимость оценки старшего
показателя в методе замораживания // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, №7.
С.1179-1191.
80. Изобое Н.А.О канонической форме линейной двумерной системы с
переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 12. С. 2136-
2142.
81. Изобое Н. А. Коэффициентный признак устойчивости показателей
Ляпунова двумерной линейной системы // Укр. мат. журн. 1972. Т. 24, №3. С.306-
315.
82. Изобое Н. А. Обобщенный метод Эйлера интегрирования линейной системы
с переменными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 6.
С.1001-1018.
83. Изобое Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений // Итоги науки и техники. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1974. Т. 12.
С. 71-146.
84. Изобое Н. А. Минимальный показатель двумерной диагональной системы //
Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №11. С. 1954-1966.
85. Изобое Н.А. Минимальный показатель двумерной линейной
дифференциальной системы // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, № 5. С. 848-858.
86. Изобое Н. А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы
// Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 9. С. 1576-1588.
87. Изобое Я. Л. К теории характеристических показателей Ляпунова линейных
и квазилинейных дифференциальных систем // Мат. заметки. 1980. Т. 28,
№3. С. 459-476.
88.- Изобое Н.А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их
вычисление // Докл. АН БССР. 1982. Т. 26, № 1. С. 5-8.

310
Литература
89. Изобое Η, А, Верхняя граница показателей Ляпунова дифференциальных
систем с возмущениями высшего порядка // Докл. АН БССР. 1982. Т. 26,
№5. С. 389-392.
90. Изобое Н. А. Экспоненциальные показатели и устойчивость по первому
приближению // Becni АН БССР. Сер. ф1з.-мат. навук. 1982. №6. С. 9-16.
91. Изобое Н. А. Об уточнении оценок крайних показателей в методе
замораживания // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №8. С. 1454-1456.
92. Изобое Н. А. Минимальный показатель линейной дифференциальной
системы // Тр. IX Междунар. конф. по нелин. колебаниям. 1981: В 3 т. Киев:
Наук, думка, 1984. Т. 2. С. 147-149.
93. Изобое Н. А. О функциях, определяемых центральными показателями
высшего порядка // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, №4. С. 167-168.
94. Изобое Н. А. О свойствах центральных показателей высшего порядка //
Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, №11. СЛ867-1884.
95. Изобое Н.А. Устойчивость по линейному приближению. Частные случаи //
Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 10. С. 1671-1688.
96. Изобое Н.А. О числе характеристических и нижних показателей
экспоненциально устойчивой системы с возмущениями высшего порядка //
Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №5. С. 784-795.
97. Изобое Н. А. О мере множества решений линейной системы с наибольшим
нижним показателем // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2168-
2170.
98. Изобое Н. А. О характеристических показателях линейных систем с гробма-
новскими возмущениями // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, JNT* 3- С. 428-
437.
99. Изобое Н.А. О существовании гробмановских спектральных множеств
линейных систем положительной меры // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27,
№ 6. С. 953-957.
100. Изобое Н. А. О гробмановских спектральных множествах
характеристических показателей линейных систем // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27,
№ 8. С. 1463-1464.
101. Изобое Н.А. О некоторых свойствах характеристических и иных
показателей двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27,
№11. С. 2013-2014.
102. Изобое Н.А. Взаимное расположение характеристических,
экспоненциальных, центральных и особых показателей двумерных линейных систем //
Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №6. С. 1085.
103. Изобое Н. А. О распределении характеристических и иных показателей
двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №10.
С.1683-1698.
104. Изобое Н. А. Оценки характеристических показателей Ляпунова линейных
систем с экспоненциально убывающими возмущениями // Дифференц.
уравнения. 1992. Т. 28, №12. С. 2036-2048.

Литература
311
105. Изобое Н.А. Исследования в Беларуси по теории характеристических
показателей Ляпунова и ее приложениям // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29,
№ 12. С. 2034-2055.
106. Изобое Н.А. Совместное распределение характеристических,
экспоненциальных, центральных и особых показателей линейных систем // Успехи мат.
наук. 1994. Т. 49, ΛΜ. С. 96.
107. Изобое Н.А. Полиномиальные представления центральных показателей
высшего порядка // Диффереиц. уравнения. 1994. Т. 30, №9. С. 1508-1515.
108. Изобое Н.А. Об асимптотической устойчивости и абсолютной
интегрируемости на полуоси решений дифференциальной системы с возмущениями
высшего порядка // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №3. С. 417-421.
109. Изобое Н.А. Исследования в Беларуси по асимптотической теории
дифференциальных систем // Весн. Вщебск. дзярж. ун-та. 1997. №1. С. 48-56.
110. Изобое Н. А. О младшем показателе двумерной линейной системы с перро-
новскими возмущениями // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, № 5. С.623-
631.
111. Изобое Н. А. Описание взаимного расположения показателей двумерных
линейных дифференциальных систем. I // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34,
№2. С. 166-174.
112. Изобое Н.А. Экспоненциальная устойчивость по линейному приближению
// Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №8. С. 1011-1027.
113. Изобое Н. А. Оценки снизу характеристических показателей линейной
дифференциальной системы с перроновскими возмущениями // Дифференц.
уравнения. 2002. Т. 38, №5. С. 596-602.
114. Изобое Н.А. Об одновременной неустойчивости экспоненциальных
показателей линейных дифференциальных систем // Диференц. уравнения. 2004.
Т. 40, №8. С. 1023-1032.
115. Изобое Н.А., Барабанов Е.А.О виде старшего σ-показателя линейной
системы // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, №2. С. 359-362.
116. Изобое Η. Α., Батан С. Н. О неустойчивости характеристических
показателей линейных дифференциальных систем при перроновских возмущениях
// Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 10. С. 1341-1347.
117. Изобое Η. Α., Батан С. Н. Об оценках снизу характеристических
показателей линейной системы с обобщенными перроновскими возмущениями //
Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, X'12. С. 1593-1598.
118. Изобое Н.А., Красоеский С. Г. О существовании линейной сингулярной
системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим
множеством // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 8. С. 1049-1055.
119. Изобое Η. Α., Прохорова Р. А. Асимптотическая устойчивость
дифференциальной системы с линейным приближением Коппеля — Конти //
Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, №12. С. 1608-1614.
120. Изобое Н. А.у Прохорова Р. А. О решениях дифференциальной системы с
неустойчивым линейным приближением Коппеля — Конти // Дифференц.
уравнения. 2005. Т. 41, №1. С. 61-72.

312
Литература
121. Изобое Η. Α., Степанович О. П. Об инвариантности характеристических
показателей при экспоненциально убывающих возмущениях // Archivum ma-
thematicum. 1990. Vol.26, No.2-3. P. 107-114.
122. Изобое Η. Α., Степанович О. П. Об экспоненциально убывающих
возмущениях, сохраняющих характеристические показатели линейной диагональной
системы // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, №6. С. 934-943.
123. Изобое Н. A.j Степанович О. /7. О свойствах коэффициента неправильности
линейных систем // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 11. С. 1899-1906.
124. Изобое Η. Α., Филипцое А. В. О нижних показателях Перрона линейных
систем с диагональным приближением и экспоненциально убывающими
возмущениями // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №2. С. 197-205.
125. Изобое Η. Α., Филипцое А. В. О малости возмущений, сохраняющих
показатели Перрона линейных диагональных систем // Дифференц. уравнения.
1995. Т. 31, №5. С. 908-909.
126. Изобое Н.А., Филипцое А. В. О неулучшаемости условий совпадения
нижних показателей Перрона линейных дифференциальных систем //
Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №8. С. 1300-1309.
127. Изобое Η. Α., Филипцое А. В. Об инвариантности нижних показателей
Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих
возмущений // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №2. С. 177-184.
128. Изобое Н.А., Филипцое А. В. О вычислении максимального нижнего
показателя Перрона линейной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36,
КП1. С. 1566-1567.
129. Izobov N. Estimates of the lower exponent of the two-dimensional linear system
under Perron perturbations // Mem. Differential Equations Math. Phys. 1997.
Vol.11. P. 170-173.
130. Izobov N. A. Lyapunov problems on stability by linear approximation //
Advances in Stability Theory and Control: Theory, Methods and Applications. London,
Taylor and Francis, 2003. Vol.11. P. 25-48.
131. izobov N. A. and Batan S. N. On exactness of upper estimates of the
characteristic exponent of a linear system with exponentially decreasing perturbations
// Mem. Differential Equations Math. Phys. 1997. Vol.11. P. 174-177.
132. Izobov N. and Krasovski S. On existence of a measure unbounded exponential
spectral quantization on symplectic manifolds // Mem. Differential Equations
Math. Phys. 1998. Vol. 13. P. 140-144.
133. Илларионоеа О. Г. О точных гранях подвижности экспоненциального
показателя линейной системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №6. С. 1093.
134. Конюх А. В. Равномерные нижние показатели решений линейных
диагональных дифференциальных систем // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1992.
№1. С. 44-48.
135. Конюх А. В. Функциональное описание равномерных показателей линейных
диагональных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 1993.
Т. 29, №8. С. 1465-1467.

Литература
313
136. Конюх А. В. Равномерные показатели решений линейных систем //
Дифферент уравнения. 1994. Т. 30, №6. С. 1091-1092.
137. Красоеская Т. Г., Мазаник С. А. Асимптотическая эквивалентность
линейных дифференциальных систем системам с бесконечно
дифференцируемыми коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, №2. С. 193-201.
138. Красоеский С. Г. Об устойчивости линейных дифференциальных систем с
малым параметром при производной // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32,
№2. С. 277-299.
139. Красоеский С. Г. О спектральном множестве линейной сингулярной системы
с совпадающими показателями // Весщ НАН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук.
1999. №3. С. 10-15.
140. Красоеский С. Г. Об инвариантности характеристических показателей
линейных сингулярных систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №6.
С. 858-859.
141. Красоеский С. Г. Об асимптотической эквивалентности линейных
сингулярных дифференциальных систем // Докл. НАН Беларуси. 2002. Т. 46, №3.
С. 35-37.
142. Красоеский С. Г. Критерий инвариантности характеристических
показателей линейных систем с малым параметром при производной // Дифференц.
уравнения. 2003. Т. 39, №10. С. 1315-1324.
143. Красоеский С. Г. О несохранении асимптотических свойств решений
сингулярных линейных систем относительно малых возмущений // Дифференц.
уравнения. 2005. Т. 41, №2. С. 202-207.
144. Лееакое А. А. Среднеквадратические характеристические показатели
стохастических систем // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 2004. №1. С. 113-115.
145. Лееакое Α. Α., Шпигельман Э. С. Об ограниченности бесконечно продолжи-
мых решений системы двух уравнений с квадратичными правыми частями
и множестве характеристических показателей Ляпунова решений этой
системы // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №11. С. 1969-1976.
146. Леоное Г. А. О неустойчивости по первому приближению для
нестационарных линеаризации // Прикл. математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 2.
С.330-333.
147. Леоное Г. А. Об одной модификации контрпримера Перрона // Дифференц.
уравнения. 2003. Т. 39, №11. С. 1566-1567.
148. Липницкий А. В. К вопросу о вычислении показателей Ляпунова линейных
систем по временным геометрическим прогрессиям // Дифференц.
уравнения. 2003. Т. 39, № 11. С. 1577.
149. Лузин Н.Н. Собрание сочинений: В 3 т. Т. 2. Дескриптивная теория
множеств. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 744с.
150. Ляпуное А. М. Собрание сочинений: В 6 т. Т. 2. Общая задача об
устойчивости движения. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. 473 с.
151. Лященко Н. Я. Об асимптотической устойчивости решений системы
дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1954. Т. 96, №2. С. 237-239.

314
Литература
152. Мазаник Л. Л., Мазаник С. А. О неприводимости линейных
дифференциальных систем к системам с функционально коммутативными матрицами
коэффициентов // Вести. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1997. №3. С. 42-46.
153. Мазаник С. А. О достаточных условиях асимптотической эквивалентности
линейных дифференциальных систем // Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. Мн.,
1980. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.81, X» 152-81.
154. Мазаник С. А. Об асимптотически эквивалентных линейных
дифференциальных системах // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №5. С. 923-926.
155. Мазаник С. А. Об аппроксимирующей последовательности // Дифференц.
уравнения. 1985. Т. 21, №6. С. 1089-1091.
156. Мазаник С. А. О структуре аппроксимирующей функции линейного
дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 3. С. 542-
545.
157. Мазаник С. А. О линейных дифференциальных системах, эквивалентных
относительно обобщенного преобразования Ляпунова // Дифференц.
уравнения. 1986. Т. 22, №9. С. 1619-1622.
158. Мазаник С. А. Построение асимптотически эквивалентных линейных
дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами
// Докл. АН Беларуси. 1994. Т. 38, №5. С. 28-32.
159. Мазаник С. А. О неприводимости линейных дифференциальных систем к
системам Лаппо-Данилевского // Докл. АН Беларуси. 1997. Т. 41, № 6. С. 30-33.
160. Мазаник С. А. О неприводимости линейных систем обобщенным
преобразованием Ляпунова к системам с функционально коммутативными матрицами
коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 758-764.
161. Мазаник С. А. О неприводимости линейных систем обобщенным
преобразованием Ляпунова к системам Л аппо-Данилевского // Дифференц.
уравнения. 1998. Т. 34, №8. С. 1078-1081.
162. Mazanik S. A. On Liapunov transformations of linear systems of implicit
differential equations // Archivum mathematicum. 1991. Vol. 27b. P. 167-173.
163. Mazanik S. A. Lappo — Danilevski systems under Lyapunov transformations //
Mem. Differential Equations Math. Phys. 1998. Vol. 15. P. 150-152.
164. Макаров Ε. К. О реализации частичных показателей решений линейных
дифференциальных систем на геометрических прогрессиях // Дифференц.
уравнения. 1996. Т. 32, KU2. С. 1710-1711.
165. Макаров Е. К., Попова С. Н. О локальной управляемости
характеристических показателей Ляпунова систем с некратными показателями //
Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №4. С. 495-499.
166. Макаров Е. К., Попова С. Н. К методу поворотов для линейных
управляемых систем // Докл. НАН Беларуси. 1998. Т. 42, №6. С. 13-16.
167. Макаров Е. К., Попова С. Н. О глобальной управляемости полной
совокупности ляпуновских инвариантов двумерных линейных систем // Дифференц.
уравнения. 1999. Т. 35, №1. С. 97-106.

Литература
315
168. Макаров Ε. К., Попова С. Н. О глобальной управляемости центральных
показателей линейных систем // Изв. ВУЗов. Математика. 1999. №2. С. 60-67.
169. Макаров Е. К., Попова С. Н. О достаточных условиях локальной
пропорциональной управляемости показателей Ляпунова линейных систем // Диф-
ференц. уравнения. 2003. Т. 39, №2. С. 217-226.
170. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд. М.: Наука, 1966. 532 с.
171. Массера X. Л. К теории устойчивости // Математика: Период, сб. пер. иностр.
ст. 1957. Т.1, №4. С. 81-101.
172. Миллионщиков В. М. Асимптотика решений линейных систем с малыми
возмущениями // Докл. АН СССР. 1965. Т. 162, №2. С. 266-268.
173. Миллионщиков В. М. Об устойчивости характеристических показателей
предельных решений линейных систем // Докл. АН СССР. 1966. Т. 166, № 1.
С. 34-37.
174- Миллионщиков В. М. О неустойчивости характеристических показателей
статистически правильных систем // Мат. заметки. 1967. Т. 2, вып. 3. С. 315-
318.
175. Миллионщиков В. М. О связи между устойчивостью характеристических
показателей и почти приводимостью систем с почти-периодическими
коэффициентами // Днфференц. уравнения. 1967. Т. 3, JV* 12. С. 2127-2134.
176. Миллионщиков В. М. Статистически правильные системы // Мат. сб. 1968.
Т. 75. №1. С. 140-151.
177. Миллионщиков В. М. Метрическая теория линейных систем
дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179, №1. С. 20-23.
178. Миллионщиков В. М. О системах с интегральной разделенностью и о
приводимых системах с почти-периодическими коэффициентами // Успехи мат.
наук. 1968. Т. 23, №2. С. 207.
179. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений
линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях
коэффициентов системы // Мат. заметки. 1968. Т. 4, вып. 2. С. 173-180.
180. Миллионщиков В. М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных
систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и
критерий почти приводимости систем с почти-периодическими
коэффициентами // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179, №3. С. 538-541.
181. Миллионщиков В. М. Доказательство существования неправильных систем
линейых дифференциальных уравнений с почти-периодическими
коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, JV*3. С. 391-396.
182. Миллионщиков В. М. К спектральной теории неавтономных линейных
систем дифференциальных уравнений // Тр. Моск. мат. общ-ва. 1968. № 18.
С. 147-186.
183. Миллионщиков В. М. К теории линейных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений // Мат. заметки. 1968. Т. 4, вып. 4. С. 483-490.
184. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных
показателей линейных систем // Сиб. мат. ж. 1969. Т. 10, JV* 1. С. 99-104.

316
Литература
185. Миллионщиков В. М. Критерий устойчивости вероятного спектра линейных
систем дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и
критерий почти приводимости систем с почти периодическими
коэффициентами // Мат. сб. 1969. Т. 78, №2. С. 179-201.
186. Миллионщиков В. М. О неустойчивости особых показателей и о
несимметричности отношения почти приводимости линейных систем
дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 4. С. 749-750.
187. Миллионщиков В. М. Системы с интегральной разделенностью всюду
плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений //
Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, №7. С. 1167-1170.
188. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных
уравнений // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, ΧΊΟ. С. 1775-1784.
189. Миллионщиков В. М. Доказательство существования неправильных систем
линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими
коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, № 11. С. 1979-1983.
190. Миллионщиков В. М. К теории характеристических показателей Ляпунова
// Мат. заметки. 1970. Т. 7, вып. 4. С. 503-513.
191. Миллионщиков В. М. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, №3- С. 387-390.
192. Миллионщиков В. М. Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений // Международный конгресс математиков в Ницце. 1970. М.:
Наука, 1972. С. 207-211.
193. Миллионщиков В. М. Класс Бэра показателя Изобова // Дифференц.
уравнения. 1992. Т. 28, №11. С. 2009.
194. Миллионщиков В. М. Об орбитальном показателе Изобова // Дифференц.
уравнения. 1992. Т. 28, №11. С. 2015.
195. Миллионщиков В. М. Орбитальный показатель Изобова как функция
комплексных параметров // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №11. С. 1578.
196. Миллионщиков В. М. О верхнем экспоненциальном показателе Изобова //
Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №11. С. 1579.
197. Миллионщиков В. М. Показатель Изобова как функция комплексных
параметров // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, №11. С. 1580.
198. Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. Линейная алгебра,
многочлены, общая алгебра. М.: Наука, 1965.
199. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
480 с.
200. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных
уравнений. 2-е изд. М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. 551 с.
201. Нуждова Т. Е. Одновременная достижимость центральных показателей
двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, №8.. С. 1416-
1422.

Литература
317
202. Нурматое A.M. О свойствах характеристических показателей линейных
дифференциальных систем при экспоненциально убывающих возмущениях.
Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Мн.: Ин-т математики АН БССР,
1987.
203. Персидский К. /7. Об устойчивости движения по первому приближению //
Мат. сб. 1933. Т. 40, №3. С. 284-292.
204. Персидский К. П. О характеристичных числах дифференциальных
уравнений // Изв. АН КазССР. Сер. мат. и мех. 1947. X» 1. С. 5^47.
205. Плисе В. А. О грубости последовательности линейных систем
дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами //
Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, ^2. С. 261-270.
206. Плисе В. А. О поведении решений последовательности периодических
систем второго порядка с малой нелинейностью // Дифференц. уравнения.
1971. Т. 7, №4. С. 651-660.
207. Плисе В. А. Грубые последовательности линейных периодических систем —-
дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204, №2. С.295-
297.
208. Плисе В. А. Об одной гипотезе Смейла // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8,
№2. С. 268-282.
209. Попова С. И. Глобальная управляемость полной совокупности ляпуновских
инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39,
Jfc 12. С. 1627-1636.
210. Попова С. Н. Одновременная локальная управляемость спектра и
коэффициента неправильности Ляпунова правильных систем // Дифференц.
уравнения. 2004. Т. 40, №3. С. 425-428.
211. Попова С Н., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова
согласованных систем. I // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, X» 10. С. 1687-1696.
212. Попова С. Н., Тонкое E.JI. Управление показателями Ляпунова
согласованных систем. II //Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, №11. С. 1949-1957.
213. Попова С. #., Тонкое Е. Л. Управление показателями Ляпунова
согласованных систем. III // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, №2. С. 228-238.
214. Попова С. Я., Тонкое Е. Л. Согласованные системы и управление
показателями Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33, №2. С. 226-235.
215. Прохорова Р. А. О некоторых свойствах младшего показателя при перронов-
ских возмущениях // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, №6. С. 997-1007.
216. Прохорова Р. А. Оценка скачка старшего показателя линейной системы при
экспоненциальных возмущениях // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, J*T«3.
С. 475-483.
217. Прохорова Р. А. К вопросу об устойчивости по первому приближению //
Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, №4. С. 766-769.
218. Прохорова Р. А. Линейные системы с сосредоточенными возмущениями //
Вестн. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1979. № 1. С. 37-42.

318
Литература
219. Прохорова Р. А. О сведении линейных конечно-разностных уравнений к
дифференциальным // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, ДО 5. С. 780-785.
220. Рахимбердиее М. И. Об устойчивости особых показателей линейной системы
и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией.
I // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, №4. С. 659-670.
221. Рахимбердиее М. И. Об устойчивости особых показателей линейной системы
и замыкании множества линейных систем с экспоненциальной дихотомией.
II // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, ДО 10. С. 1797-1807.
222. Рахимбердиее М. И. О бэровском классе показателей Ляпунова // Мат.
заметки. 1982. Т. 31, №6. С. 925-931.
223. Рахимбердиее М. И. О центральных показателях линейных систем //
Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, ДО 2. С. 253-259.
224. Рахимбердиее М. И. Об экспоненциальной разделенности с максимальным
индексом и равномерной сильной положительности семейства
автоморфизмов векторного расслоения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, №2.
С. 234-240.
225. Рахимбердиее М. И. Об условиях непрерывности старшего показателя
линейного расширения динамической системы // Дифференц. уравнения. 1988.
Т. 24, ДО 4. С. 591-600.
226. Рахимбердиее М.И. Критерий экспоненциальной разделенности линейной
системы // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, ДО 7. С. 70-72.
227. Рахимбердиее М. И. Положительность и экспоненциальная разделенность
семейства автоморфизмов векторного расслоения // Дифференц. уравнения.
1999. Т. 35, ДО 1. С. 121-124.
228. Рахимбердиее М. И.9 Розое Н. X. Распределение показателей Ляпунова
линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к
постоянным // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, ДО 9. С. 1710-1714.
229. Рахимбердиее М. И., Розое Н. X. О локализации спектра линейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. АН КазССР. Сер.
физ.-мат. наук. 1980. ДО1. С. 72-76.
230. Салое Ε. Е. О наименьшем классе Бэра нижних σ-показателей Изобова //
Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, ДО 6. С. 851.
231. Салое Ε. Ε. О свойстве верхне-предельности показателей Изобова //
Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, ДО 6. С. 852.
232. Сергеее И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова
системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при
возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференц. уравнения.
1980. Т. 16, ДОЗ. С.438^48.
233. Сергеее И. Н. Оценка снизу для минимального показателя трехмерной
системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т.35, ДОЮ. С. 1387-1397.
234. Сергеее И. Н. Метод поворотов и сингулярные числа трехмерных систем //
Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, ДО 12. С. 1630-1639.

Литература
319
235. Сергеев И. Н. Оценка сверху для минимального показателя трехмерной
системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №1. С. 114-123.
236. Сергеев И. Н. Минимальный показатель диагональной трехмерной системы
// Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2000. Т. 4. С. 140-145.
237. Сергеев И. Н. Формула для вычисления минимального показателя
трехмерной системы // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, Λ» 3. С. 345-354.
238. Сергеев И. #. Об устойчивости показателей Ляпунова трехмерного
дифференциального уравнения. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М.: МГУ,
2000.
239. Тонкое Е. Л. Критерий равномерной управляемости и стабилизация
линейной рекуррентной системы // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 10.
С.1804-1813.
240. Тонкое Е. Л. Задачи управления показателями Ляпунова // Дифференц.
уравнения. 1995. Т. 31, № 10. С. 1682-1686.
241. Тонкое Е. Л. Ляпуновская приводимость линейной системы, стабилизация и
управление показателями Изобова // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси.
2000. Т. 4. С. 146-155.
242. Tonkov Ε. L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control
system // Proc. of the Steklov Institute of Mathematics. 2000. Suppl. 1. P.228-
253.
243. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. 351 с.
244. Филипцое А. В. О достаточных условиях устойчивости нижних показателей
линейных систем // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 9. С. 1493-1497.
245. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления:
В 3 т. Т. 2. СПб.: Лань, 1997. 800 с.
246. Фодор Я. О задаче Ляпунова о промежуточной устойчивости по первому
приближению // Szemelvenyek az elte TTK Analizis II. Tanszek tudomanyos
munkaibol. Budapest, 1979. 54 c.
247. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.; Л.: ОНТИ, 1937. 304 с.
248. Bohl P. Uber Differentialgleichungen // J. reine und angew. Math. 1913. Bd. 144.
S.284-318.
249. Perron O. Uber lineare Differentialgleichugen, bei denen die unabhangige
Variable reel ist. // J. reine und angew. Math. 1913. Bd.142. S. 254-270.
250. Perron O. Die Ordnungszahlen Hnearer Differentialgleichungssysteme // Math.
Z. 1930. Bd.31. S.748-766.
251. Sovslin M. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres trans-
finits // Сотр. Rend. Acad. sci. 1917. Vol. 164, No. 2. P. 88-91.