Интегральные уравнения. Введение в теорию - Краснов М.Л.

Автор: Краснов М.Л.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ высшая математика интегральные уравнения
Год: 1975
Похожие
Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент
Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах
Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа
Текст
                    ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
М.Л.КРАСНОВ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
<0
га
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

517.2
K78
УДК 517.94
Интегральные уравнения. (Введение в теорию),
Краснов М. Л., Главная редакция физико-
математической литературы изд-ва «Наука», 1975.
Книга предназначена для первоначального
ознакомления с основными фактами теории интег-
интегральных уравнений. Автор старался избегать
громоздких доказательств и утомительных выкла-
выкладок. Изложение ряда вопросов строится на основе
общих предложений функционального анализа, что
делает рассуждения более прозрачными. Книга
преследует двоякую цель: познакомить инженеров
и студентов втузов с началами функционального
анализа и на их основе— с некоторыми фактами
из теории интегральных уравнений. Для чтения
книги достаточно знания математики в объеме
первых двух курсов втуза.
Библ.—51 назв. Илл. 17.
20203—081 © Главная редакция
*v 053@2)-75 2'*'4 физико-математической литературы
: издательства «Наука», 1975.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . 5
Предварительные замечания 7
Введение
9
§ 1. Основные классы интегральных уравнений ...... 9
§ 2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям . . ... Л4
Глава I. Теория Фредгольма , 27
§ 3. Формулы Фредгольма 27
§ 4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Тео-
Теоремы Фредгольма 37
Глава II. Принцип сжатых отображений 52
§ 5. Метрические пространства 52
§ 6. Полные пространства 58
§ 7. Принцип сжатых отображений 59
§ 8. Применение принципа сжатых отображений к интеграль-
интегральным уравнениям 63
Глава III. Линейные операторы. Линейные интегральные
уравнения 79
§ 9. Линейные нормированные пространства 79
§ 10. Линейные операторы. Норма оператора 84
§11. Пространство операторов 92
§ 12. Обратные операторы . 95
§ 13. Приложение к линейным интегральным уравнениям 98
§ 14. Теоремы Фредгольма для общего случая уравнения
Фредгольма 119
§ 15. Интегральные уравнения с ядром, имеющим слабую осо-
особенность 127
§ 16. Характер решения интегрального уравнения 133
Глава IV. Интегральные преобразования и интегральные
уравнения 137
§ 17. Преобразование Фурье 137
§ 18. Преобразование Лапласа 146
§ 19. Преобразование Меллина . 160
§ 20. Метод Винера—Хопфа . . . ^ . . 163
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Вполне непрерывные операторы 174
§ 21. Компактность множества. Критерий компактности. . . 174
§ 22. Вполне непрерывные операторы 176
§ 23. Уравнения Рисса—Шаудера ......./ 181
Глава VI. Симметричные интегральные уравнения .... 185
§ 24. Симметричные операторы. Теорема Гильберта—Шмидта 185
§ 25. Решение операторных уравнений \ 196
§ 26. Интегральные уравнения с симметричным ядром ... 198
§ 27. Теорема Гильберта—Шмидта для интегральных опера-
операторов . . 213
§ 28. Экстремальные свойства характеристических чисел
и собственных функций 216
§ 29. Интегральные уравнения, приводящиеся к симметрич-
симметричным . 217
§ 30. Классификация симметричных ядер 219
§31. Функция Грина. Сведение краевой задачи к интеграль-
интегральному уравнению . 221
-t
Г л а в а VII. Интегральные уравнения 1-го рода 225
§32. Уравнение Вольтерра 1-го рода ", . 225
§33. Уравнение Фредгольма 1-го рода. 230
§ 34. Операторные уравнения 1-го рода . . . . . 239
Глава VIII. Нефредгольмовы интегральные уравнения.
Сингулярные интегральные уравнения.... 244
§ 35. Нефредгольмовы интегральные уравнения 244
§ 36. Сингулярные интегральные уравнения. Преобразования
Гильберта- 248
Глава IX. Нелинейные интегральные уравнения ' 263
§ 37. Уравнения Гаммерштейна 263
§ 38. Интегральные уравнения с параметром. Дифференциал
Фреше. Теорема существования абстрактной неявной
функции 272
§ 39. Разветвление решений 281
§ 40. Точки бифуркации 284
§ 41. Метод Ньютона ................... 288
§ 42. Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера. . . , . , 293
Литература 299
Предметный указатель 302

Памяти друзей,
павших на полях сражений
Великой Отечественной войны
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначена для первоначального озна-
ознакомления с основными фактами теории интегральных
уравнений.
Она возникла на основе лекций, которые я читал
в Московском энергетическом институте. Книга рассчи-
рассчитана на инженеров и студентов втузов. Для её чтения
достаточно знания математики в объеме первых двух кур-
курсов втуза. Все необходимые понятия, не встречающиеся
во втузовском курсе математики, сообщаются более или
менее подробно.
Знание интеграла Лебега не предполагается и не ис-
используется по существу. Встречающееся в двух-трех ме-
местах упоминание об интеграле в смысле Лебега вызвано
тем, что без этого соответствующие определения расходи-
расходились бы с общепринятыми. В рамках излагаемой в книге
элементарной теории интегральных уравнений в качестве
суммируемых функций достаточно брать функции непре-
непрерывные или же имеющие конечное число точек разрыва
1-го рода. Термин «почти всюду» достаточно понимать так:
всюду, за исключением, быть может, конечного числа то-
точек. То же относится и к обобщенным функциям. Пред-
Предполагается, что читатель располагает лишь начальными
сведениями о б-функции в объеме материала, сообщаемого
в § 1 гл. VI- книги [16] и в первых четырех параграфах
книги [47].
Ряд вопросов (разветвление решений, сингулярные
уравнения и др.) затронут совсем бегло, поскольку об-
обстоятельная трактовка их потребовала бы отдельной книги.
Иногда, вместо общей постановки задачи, рассматриваются
простые случаи, в которых отчетливо проступают прин-
принципиальные стороны вопроса.
Некоторые результаты излагаются на общей функцио-
функциональной основе, что делает рассуждения^прозрачней и

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
чище. Как правило, изучаются действительные решения
интегральных уравнений с действительными ядрами, од-
однако зачастую условия сформулированы так, что они го-
годятся и для комплекснозначных ядер. В книге имеется
некоторое количество упражнений, которые носят, в ос-
основном, характер утверждений и дополняют основное со-
содержание. В книге нет приложений интегральных уравне-
уравнений к задачам математической физики, нет или почти нет
приближенных методов решения интегральных уравнений.
Это сделано сознательно, поскольку указанные вопросы
предполагается включить в подготавливаемое второе изда-
издание книги «Интегральные уравнения (задачи и упражне-
упражнения)», которая будет служить как бы дополнением и про-
продолжением предлагаемого пособия. При составлении книги
я широко пользовался богатой отечественной и переводной
литературой по функциональному анализу и интеграль-
интегральным уравнениям. Это в первую очередь относится к пре-
превосходным книгам А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина,
С. Г. Михлина, А. Д. Мьгшкиса, Л. А. Люстерника и
В. И. Соболева, Ф. Трикоми, капитальному двухтомнику
Ф. Морса и Г. Фешбаха. Моей единственной заслугой (если
это можно считать заслугой) является то, что из всех
имевшихся в моем распоряжении книг и статей я поста-
постарался выбрать наиболее простые и короткие рассуждения.
Я глубоко признателен профессорам В. П. Громову,
Э. Г. Позняку и С. И. Похожаеву, которые внимательно
прочитали рукопись. Их ценные советы и благожелатель-
благожелательная критика немало способствовали улучшению книги.
Особую признательность я хочу выразить сотрудникам
кафедры математики Московского института электронного
машиностроения. Их большой труд по тщательной про-
проверке рукописи и многочисленные замечания и пожелания
были для меня чрезвычайно полезны. Буду счастлив, если
эта книга окажется хоть сколько-нибудь полезной для
изучения курса интегральных уравнений. Все замечания
и пожелания, связанные с книгой, будут приняты мною
с благодарностью.
М. Краснов

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Следуя Г. Кантору, будем называть множеством любое
собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое
как единое целое.
Если А — произвольное множество элементов, то утверждение
«элемент а принадлежит множеству Л» символически записывается
так: aGi4. Запись а е Л (или а ф- А) означает, что элемент а не
принадлежит множеству А. • ¦
Если Л, В— множества, то утверждение «Л является подмно-
подмножеством множества В» (символически Л с В) означает, что каждый
элемент х множества Л принадлежит и множеству В; последнее равно-
равносильно импликации *)
При этом, если существует хотя бы один элемент х0 е В, х0 е А,
то говорят, что Л есть истинное подмножество множества В.
Если Л сВийс'Л, то говорят, что Л равно В или Л совпадает
с В, и пишут Л = В.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу-
пустым множеством и обозначается символом 0. Любое множество Л
содержит 0 в качестве подмножества. В самом деле, импликация
истинна, как импликация с ложной посылкой (такого х не существует).
*) Отношение а =ф р (читается: «если а, то р») называется импли-
импликацией с посылкой а и заключением Р и обозначает высказывание,
которое ложно в том и только в том случае, когда а истинно, а р ложно.
Отношение «если а, то р» не следует понимать как отношение основа-
основания и следствия. Напротив, высказывание а =ф Р истинно всякий
раз, когда а есть ложное высказывание. Иными словами, из неверного
суждения следует любое суждение: если 2Х 2=5, то существуют ведьмы.

8 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пусть А, В— произвольные множества. Их суммой или объеда*
пением А Ц. В называется множество, состоящее из всех элементов,
принадлежащих хотя бы одному из множеств Л, В.
Пересечением А (] В множеств А, В называют множество, состоя-
состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В.
Точка Мо называется верхней гранью множества X действитель-
действительных чисел, если
1) правее Мо нет ни одной точки множества X;
2) при любом как угодно малом в?>0 найдется хотя бы одна
точка jkg X, которая будет правее точки Мо — е.
Если такого числа Мо не существует, то в качестве верхней грани X
принимается + ею.
В обоих случаях верхняя грань множества X обозначается че-
через sup X. Например, sup @, 1) =? 1 не, принадлежит @, 1); множе-
множество X целых отрицательных чисел имеет верхнюю* грань supX == —1,
ему принадлежащую.
Аналогично определяется нижняя грань множества X, обозна-
обозначаемая inf X. .
Мерой интервала (а, Ь) называется его длина, т. е. число b — а.
Множество Е точек на прямой имеет меру нуль, если для всякого
е*> О можно найти конечную или счетную систему интервалов, покры-
покрывающую Е и такую, что сумма длин этих интервалов меньше е.
Говорят, что некоторое свойство выполняется почти всюду, если
оно выполняется всюду, за исключением множества меры нуль.
В дальнейшем изложении мы будем иногда пользоваться логи-
логическими символами фф, V, 3.
Символ фф обозначает логическую равносильность; он заменяет
слова «тогда и только тогда»;
V (квантор общности) заменяет слова «для каждого», «для Любого»,
«для всякого», «для всех»;
3 (квантор существования) означает «существует», «существуют»,
«найдется».

ВВЕДЕНИЕ
Интегральными уравнениями принято называть урав-
уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак
интеграла.
Это определение не совсем удачно, хотя бы потому,
что оно не указывает, какие еще действия, кроме инте-
интегрирования, можно производить над неизвестной функ-
функцией. Например, «интегральное» уравнение с неизвестной
функцией x(t)
t
есть просто тождество, справедливое для любой непре-
непрерывно дифференцируемой функции, определенной в не-
некотором интервале (—а, а).
Не ставя перед собой задачу дать логически безупреч-
безупречное определение интегрального уравнения, ограничимся
приведенным выще описательрым определением и пере-
перечислим наиболее важные классьГ интегральных уравне-
уравнений, которыми мы будем по преимуществу заниматься.
§ 1. Основные классы интегральных уравнений
I. Линейные интегральные
уравнения
Интегральное уравнение называется линейным, если
в него неизвестная функция входит линейно. Тф<, ура-
уравнение
ь »
= Ь J> (/, s) Ф (s) <fc+ /(/), A)
а
Ж

10 ВВЕДЕНИЕ
где ф (/) — искомая функция, /.(/), К (t, s) — известные
функции, % — параметр, есть линейное интегральное
уравнение. Функция К (t, s), а ^ /, s < 6, называется
ядром интегрального уравнения A), функция /(/),
а ^ t ^ Ьу называется свободным членом.
1. Уравнение Фредгольма. Это один из наиболее важ-
важных классов линейных интегральных уравнений. Разли-
Различают интегральные уравнения Фредгольма 1-го и 2-го
рода. В простейшем случае линейное интегральное урав-
уравнение Фредгольма 2-го рода имеет вид
Ь
<р(/) = xj К (/,s)«p(s)& + /(*). B)
а
Здесь <р @ — неизвестная функция.
Пределы интегрирования а, Ъ могут быть как конеч-
конечными, так и бесконечными.
Считаем, что переменная / меняется в том же про-
промежутке (а, Ь), по которому совершается интегрирова-
интегрирование. В уравнениях Фредгольма ядро К (t9 s) и сво-
свободный член / (/) либо непрерывны (первое — в квадрате
Q \a ^ t, s ^ &}, второй — на отрезке а ^ t ^ 6), либо
удовлетворяют условиям
Ь b
\K(t,s)\4tds< + oo, C)
а а
D)
Ядра, удовлетворяющие условию C), будем называть
фредгольмовыми.
Если / (t) = 0 (точнее, если f (t) обращается в нуль
почти всюду в [а, Ы), то интегральное уравнение назы-
называется однородным, в противном случае оно называется
неоднородным.
Отметим, что B) представляет собой не одно уравне-
уравнение, а семейство уравнений, зависящее от числового пара-
параметра К. *¦
Уравнение Фредгольма 1*го рода характеризуется от-
отсутствием члена, содержащего неизвестную функцию вне

§ 1] ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Ц
интеграла. В простейшем случае оно имеет вид
ь
l E)
где ядро К (U s) и функция / (t) удовлетворяют сформу-
сформулированным выше условиям.
Примеры. 1. Уравнение
о
есть интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Здесь ядро К (t, s) —
= t + s2 и свободный член / (/)¦= sin t непрерывны соответственно
в квадрате Q {0^ t, s^. 1} и на отрезке [0, 1].
2. Уравнение
ф(/)= J e~ts<p (s)
ds
фредгольмово, так как
-f-oo / -f-oo
J /2@rfs== J e~tsdt <+co.
l l
-foo 4-00
J J
1 1
4-oo 40
== J dt J e-2's<fe = -i- J ?—-dt <+oo.
1 1
3. Уравнение
— CO
не фредгольмово. Действительно,
f, s) I2 cf/ ds = rf/ ^ '7.""s Ids. E')
—CO —00 —00 —00

12 ВВЕДЕНИИ
Внутренний интеграл в правой части E'),
j° в'2' '~5' ds = J е-2 <'-s> ds + j е-2 <s"'> ds = 1,
—оэ —as I
откуда следует, что интеграл E') расходится.
2. Уравнение Вольтерра. Линейным интегральным
уравнением Вольтерра 2-го рода называется уравнение
вида
t
Ф@ = к\ К (/, s) q> (s) ds + /@, a^t^b. F)
a
Здесь q>(t) — неизвестная функция, ядро K(t,s) и сво-
свободный член f(t) — известные функции, X — числовой
параметр.
При f(t) =0 уравнение F) принимает вид
Ф (t) = к J К (t, s) ф (s) ds
a
и называется однородным интегральным уравнением Воль-
Вольтерра 2-го рода
Уравнением Вольтерра 1-го рода называется уравнение
вида
t
а
не содержащее искомую функцию вне интеграла.
Уравнение Вольтерра можно при некоторых ограниче-
ограничениях рассматривать как частный случай уравнения Фред-
гольма. Ядро К (t, s) в уравнении F) по смыслу задачи
определено при а ^ s ^ t. Доопределим его при s^> t,
положив
K(t, s) = 0, t<Css^b.
Тогда уравнение F) можно рассматривать как частный
случай уравнения Фредгольма с ядром Ж (t, s), опреде-
определенным следующим образом (рис. 1):
(К (t, s) для s ^ t,
[0 для s>>t.
В заштрихованной половине квадрата ядро Ж (tt s) совпа-

ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
13
|gger с ядром К (t, s), а во второй половине тождественно
давно нулю. При таком определении ядра Ж (t, s) инте-
Щальное уравнение Фредгольма
Тождественно с уравнением Вольтерра F).
^ Это простое замечание позволяет переносить резуль-
ГЫ, полученные для уравнений Фредгбльма, на уравне-
|№я Вольтерра, как на -
Частный случай фредголь-
|ювых уравнений.
Is; Однако уравнения
|рЬльтерра обладают неко-
некоторыми свойствами, харак-
характерными именно для них.
II. Нелинейные
уравнения
Нелинейные интеграль-
интегральные уравнения настолько
разйообразны, что даже их
классификация затрудни-
затруднительна. Укажем некоторые типы таких уравнений, имею-
большое теоретическое и прикладное значение.
Iе. Уравнение Урысона
<p(t)=lK(t,s,<p(s))ds.
(8)
Функция К (t, s, ф) обычно предполагается непрерыв-
непрерывней при а «^ t, s «^ Ь; — М ^ ф ^ М, где М > 0 — до-
фгаточно большая постоянная.
?"•¦ 2°. Важным частным случаем уравнения Урысона яв-
является уравнение Гаммерштейна
(9)
К (/, s) — фредгольмово ядро.

14 ВВЕДЕНИЕ
3°. Уравнение Ляпунова—Лихтенштейна, содержащее
существенно нелинейные операторы, например, уравнение
вида
Ь Ь
Кц, 1] (t, s, г) ф (s) ф (z) ds dz
(могут также входить аналогичные члены с более высокой
нелинейностью; подробнее см. [35]).
4". Нелинейное уравнение Волыперра
A0)
где F (t, s, ф), например, непрерывна по совокупности
аргументов t, s, ф в области а ^ t, s ^ Ъ, —М s^ ф ^ М.
§ 2. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям
Едва ли не первой задачей, которую можно связать
с интегральными уравнениями *), была задача обращения
интеграла
?(*) = —L- J el*yf(y)dy, (I)
т. е. нахождения функции / (у) по данной функции g (x).
Решение ее получил Фурье в 1811 г. в виде
+0=1
j dx. (IF)
Можно считать, что формула (II) дает решение интеграль-
интегрального уравнения (I), в котором f (у) — искомая, a g (x) —
данная функция, и наоборот.
Формулы (I) и (II), как известно, называются форму-
формулами обращения Фурье.
*) Сам термин «интегральное уравнение» ввел в употребление Дюбуа-
Реймон A888 г.).

i S] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 1&
Д. Рассмотрим, например, уравнение
_
<p(s)e-itsds=V2ne- i'lt
где ф (s) — искомая функция. Левую часть этого уравне-
уравнения можно рассматривать как преобразование Фурье
функции ф (s). Тогда по формуле обращения
= J
Функция ф (s) = 2/A + s2) есть решение данного инте-
интегрального уравнения.
К интегральным уравнениям вида A0) приводит задача
для обыкновенных дифференциальных уравнений
L = F(t,x(t)), A1)
- х(а) = х0. A2)
В самом деле, пусть х = х (f) есть решение уравнения A1),
удовлетворяющее начальному условию A2).
Подставляя это решение в A1), получим тождество,
интегрируя которое по t от а до t будем иметь
S, X(S))ds, A3)
т. е. х (f) удовлетворяет интегральному уравнению A3).
Обратно, пусть х (t) есть решение уравнения A3), т.е.
такая функция, что подстановка ее в уравнение A3) обра-
обращает последнее в тождество по t. Дифференцируя это
-тождество, найдем, что
т. е. что х (f) есть решение дифференциального уравне-
'вия A1), причем из A3) видно, что х (а) = х0.
'.' Таким образом, решение интегрального уравнения A3)
Эквивалентно решению задачи Коши A1)—A2)..
Решение начальной задачи для линейных дифферен-
дифференциальных уравнении приводит к линейным интегральным

la введение
уравнениям Вольтерра 2 го рода. Этим еще в 1837 г. вос-
воспользовался Лиувилль в своих исследованиях в области
линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Пусть, например, ищется решение уравнения
**@ + [Ь' —v(*)]x@ = 0 (И)
(К = const, v @ — известная функция)
при начальных условиях
х'(а) = 1, x'(fl) = 0. A5)
Рассмотрим уравнение с постоянными коэффициентами
х" (t) + »x{t) = g(t) A6)
при тех же начальных условиях ^15), где g (f) — какая-то
непрерывная функция.
Решение уравнения A6) при начальных условиях A5)
может быть найдено методом вариации постоянных и пред-
представлено в виде
t
T)dT. A7)
Перепишем уравнение A4) в виде
" v(t)x(t) A8)
и будем рассматривать правую часть как известную функ-
функцию. Тогда, воспользовавшись A7), получим
x(t) = cos %(t — a) -f 4" 1v(T)sin 4' — *)x(t) d%
a
— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.
Рассмотрим общую задачу сведения линейного диффе-
дифференциального уравнения га-го порядка
ч?- + аЛ*)^:+-- +an(t)x(t) = F(t), t>a, A9)
с начальными условиями при t = a
х(а) = С0, x'(fl) = Clf ...,У"-1)(а) = Сл_1 B0)
к линейному интегральному уравнению Вольтерра. Будем
предполагать, что коэффициенты аг (t) (i =1, 2, . . ., п)

i 2] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 17
непрерывны в некоторой окрестности (а — б, а + б)
^очки t =• а. Для простоты ограничимся случаем п = 2
и а = О, т. е. рассмотрим уравнение
х@) = С„, х'@) = С1.
Положим
A9')
B0')
B1)
Принимая во внимание начальные условия, последова-
кельно находим
B2)
При этом мы воспользовались формулой ([48])
Щиггывая B1), B2), уравнение A9') можно записать так:
[МО + МОС — s)] (s)ds =
-^(O-C^^-C^a^O-Coa^/). B3)
Полагая
f(t) = F (/)'—

IS ВВЕДЕНИЕ
приведем B3) к виду
¦•¦¦/.¦¦¦• ¦ •. .
B4)
Это— интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода. Та-
Таким образом, задача A9')—B0') свелась к решению ин-
интегрального уравнения B4). Найдя это решение и под-
подставив полученную функцию ср (/) во второе соотноше-
соотношение в B2), получим решение х (/) исходной задачи
A9')—B0'). Нетрудно видеть, что если коэффициенты
at @ О• — 1|2, .'...,«)" постоянны, то ядро соответствую-
соответствующего интегрального уравнения будет зависеть лишь от
разности аргументов
= K(t—s)
(интегральное уравнение типа свертки).
Пример. .Свести задачу Коши для уравнения
«СО8/.
к интегральному уравнению.
Решение. Положим
d4
Тогда
их
At = J ф (S)
dt J
*(/) = (/ — s)<p(s)ds + 2*.
J
.0
Подставляя выражения для ¦¦ и jc (/) в исходное дифференциаль-
дифференциальное уравнение, получим
i '
cost — 2i

§ 2] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 19
Задача Абеля. В 1823 г. Абель, занимаясь обобщением
задачи о таутохроне *), пришел к уравнению
о
где / (х) — заданная функция, а ф (х) — искомая функ-
функция. Это уравнение есть частный случай линейного ин-
интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода.
Уравнение Абеля интересно в том отношении, что оно
является одним из интегральных уравнений, к которым
непосредственно приводит постановка той или иной кон-
конкретной задачи механики или физики (минуя дифферен-
дифференциальные уравнения).
Исторически задача Абеля представляет первую за-
задачу, которая привела к необходимости рассмотрения
интегральных уравнений.
Задача Абеля состоит в следующем. "Материальная
точка под действием силы тяжести движется в вертикаль-
вертикальной плоскости (?, т)) по некоторой кривой. Требуется опре-
определить эту кривую так, чтобы материальная точка, начав
свое движение без начальной скорости в точке кривой
с ординатой х, достигла оси 0? за время t = fx (x), где
/i (*) — заданная функция.
Абсолютная величина скорости движущейся точки
v = V4 {х- Л).
Обозначим через Р = ($ (ц) угол наклона касательной
к оси 01 (рис. 2). Тогда будем иметь
(составляющая скорости по оси Оц).
Отсюда
V*lg (jc — т]) sin
*) Задача о таутохроне: найти кривую, скользя вдоль которой без
трения тяжелая частица достигает своего самого низкого положения ч
за одно и то же время, независимо от ее начального положения.

20
ВВЕДЕНИЕ
Интегрируя по Ti в пределах от 0 до х и полагая —^-*
= Ф (л)> получим уравнение Абеля
Обозначая
иметь
(х) через / (х), окончательно будем
: — ц
Здесь ф (х) — искомая функция, / (х) — заданная функция.
П
Найдя <р (г\), мы можем составить уравнение искомой
кривой. В самом деле, <р (rj) = 1/sin р, откуда i] = Ф ф).
Далее,
^_ dr\ _Ф'
6~ ~
так что
Таким образом, искомая кривая определится параметри-
параметрическими уравнениями

§ 2] ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 21
В частности, при f (х) = С = const такой кривой является
циклоида.
Рассмотрим еще задачу, приводящую к интегральным
уравнениям.
Пусть имеем упругую нить длины /, которая легко,
без сопротивления, изменяет свою форму, но для увели-
увеличения длины которой на Д/ нужна сила у-Ы, где у —
некоторая постоянная (закон Гука).
Пусть концы нити закреплены в точках А и В (рис. 3).
Когда нить находится в покое под действием только
А, С„ * В
V
Рис. 3.
горизонтальной растягивающей силы То, очень большой
по сравнению с другими рассматриваемыми силами,
положение нити будет совпадать с отрезком А В оси Ох.
Допустим, что в точке Со, для которой х = ?, прило-
приложена к нити вертикальная сила Р. Под ее влиянием нить
примет форму ломаной АСВ. Будем считать СС0 очень
малым по сравнению с АС0 и С0В (результат малости Р
по сравнению с То). Будем также считать, что натяжение
нити осталось равным То и под действием силы Р. Проек-
Проектируя на вертикаль силы натяжения нити в точке С и
силу Р, из условия равновесия получим
То sin а + То sin р = Р. B5)
Вследствие малости величины б имеем
sin a *=» -=-,
так что условие B5) можно записать в виде
Г S -1_Т S _ р

22
ВВЕДЕНИЕ
откуда
Обозначая через у {х) прогиб нити в точке с абсциссой х,
получим
где
x(l-l)
Ta-l
TB-1 '
Действительно, пусть х < ?. Из подобных треугольников
ЛС0С и АА1С1 находим
6A)
Следовательно,
„ли
Р0{хЛ)
Нетрудно видеть, что G (х, |) = G (g, x).
Если на нить действует непрерывно распределенная
сила с линейной плотностью р (?), то на участок нити
между точками ? и ? + Д? действует сила, приблизи-
приблизительно равная р (I) д?, которая вызывает смещение
G (х, I) р (I) Д?. Так как смещения, обусловленные эле-
элементарными силами р (I) Д?, суммируются (принцип су-
суперпозиции), то под действием всех нагрузок,отклонение
у (х) будет приближенно равно
что при Д? —» 0 дает
B7)
Функция G (х, I) носит название функции влияния.

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 23
Рассмотрим следующие задачи.
1°. Будем искать плотность распределения силы р (g),
д влиянием которой нить примет заданную форму у —
у (х). Тогда мы придем к интегральному уравнению
фредгольма 1-го рода '
J dg B8)
о
фйюсительно искомой функции р (?).
L I 2°. Допустим, что на нить действует меняющаяся со
временем t сила с плотностью в точке ?:
Йод ее влиянием нить придет в движение. Будем предпо-
предполагать, что при движении нити абсцисса каждой ее точки
йё меняется и что нить совершает периодические колеба-
колебания, описываемые уравнением
у = у (х) sin at.
Пусть р (|) — линейная плотность массы нити в точке ?.
•Тогда в. момент t на участок нити между точками ? и
I + Д?, кроме силы р(%) sin at- Д?, действует еще сила
инерции
ПЬэтому равенство B7) примет следующий вид:
У (х) sin at = } G(x, Z)[p(Z)sln(ut + (u*p
Сокращая на sin cof и полагая
JG(x,
ролучим
\ B9)

24 ВВЕДЕНИЕ
Считая функцию р (|), а следовательно и / (х), заданной,
приходим к интегральному уравнению Фредгольма 2-го
рода для определения функции у (х).
В заключение приведем так называемое уравнение пе-
переноса, играющее большую роль в современной физике
(например, в процессах замедления нейтронов) и пред-
представляющее собой пример интегро-дифференциального
уравнения.
Будем предполагать, что нейтроны не испытывают не-
неупругих столкновений и что энергия нейтрона достаточно
мала. Пусть ft будет единичным вектором, определяющим
направление потока нейтронов с энергией Е.
Введем безразмерную величину и, определяемую соот-
соотношением
u = ln-§4 ¦ C0)
где Ео — начальная энергия. Обозначим через
N (г, ft, и, t) dr dft du число нейтронов, координаты
которых лежат между г а г + dr, направления скоро-
скоростей — между ft и ft + dQ, а величина энергии заклю-
заключена в пределах, соответствующих значениям параметра и
от и до и + du. Все эти данные относятся к моменту вре-
времени t. Можно показать, что изменение со временем функ-
функции распределения нейтронов при движении потока ней-
нейтронов в направлении ft равно
-jjp--f-(t>, grad N) (v — скорость потока). C1)
Обозначим через ls (и) среднюю длину свободного про-
пробега нейтрона при рассеянии, а через / (и) — полную
среднюю длину свободного пробега.
Число нейтронов, удаленных из потока благодаря про-
процессам рассеяния и захвата, равно
ТЯГ-
Отнесенное к единице времени число столкновений,
которые испытывают нейтроны со скоростями, определяе-
определяемыми параметрами Q', и' в момент времени t в точке г,

§ 21 ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 25
равно
v'Njr, Q'.W, t)
/.(«')
Обозначим через / (ц0, и—и') вероятность того, что ней-
нейтрон, имевший до столкновения скорость, характеризуе-
характеризуемую значениями параметров jQ', u'\, после столкновения
будет иметь скорость, характеризуемую,значениями пара-
параметров {Q, и]. Здесь (i0 = (Q, й') — косинус угла рас-
рассеяния нейтрона. Будем считать, что функция / (ц0, и—и')
нормирована к единице, т. е. что
JdQj/(n0, и — u')du' = l, . C3)
точнее,
2л
J da J /(cos а, и) du — 1 (ц0 = cos a).
Число нейтронов, которые присоединяются к рассматри-
рассматриваемому потоку нейтронов в результате рассеяния, опре-
определяется выражением
C4)
где во внутреннем интеграле интегрирование ведется по
всевозможным направлениям Q'.
Наконец, обозначим через
S(r,u,f) ' C5)
отнесенное к единице времени и единице объема число
нейтронов, порожденных в точке г в момент времени t.
Принимая во внимание уравнение непрерывности и ис-
используя выражения C1)—C5), заключаем, что функция
N (г, Q, ы, 0 удовлетворяет следующему уравнению пере-
переноса:
S{r,u,t)—-igL. C6)

26 ВВЕДЕНИЕ
Вводя вместо функции N функцию
Ч> (г, Й, и, t) = -fa- N (г, Й, «, 0 C7)
и учитывая, что v = vQ, можно записать уравнение C6)
в эквивалентной форме:
<"> D" -^ + <а» gradii,)) Ч- * =
= ]du'\h(u')^{r, Q\ и', 0/(Ц0> u-u')dii' +S(r, и, t),
C8)
где J
А(«) =
Функция sp входит в уравнение C8) как под знаком про-
производной, так и под знаком интеграла; уравнения такого
вида называются интегро-дифференциалъными.
Основная задача теории переноса заключается в реше-
решении интегро-дифференциального уравнения C8), что в об-
общем случае сопряжено с огромными трудностями. Подроб-
Подробнее об уравнении переноса см. 136].
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что ин-
интегральные уравнения встречаются во многих задачах, как
чисто математических, так и прикладных. При этом не-
некоторые из последних, в частности задачи теории переноса,
по существу требуют привлечения аппарата интегральных
уравнений.
Один из создателей квантовой механики, В. Гейзен-
берг, в своей книге «Физика и философия» *) высказал
предположение, что основное уравнение материи, рассмат-
рассматриваемое как математическое представление всей материи,
должно иметь вид сложной системы интегральных урав-
уравнений.
*) Гейзенберг В., Физика и философия, ИЛ., 1963.

ГЛАВА I
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
§ 3. Формулы Фредгольма
Полное исследование вопроса о разрешимости урав-
уравнения
A)
с непрерывным ядром К (t, s) и свободным членом / (t)
при всевозможных значениях параметра Я было проведено
Фредгольмом в 1904 г.
Идея Фредгольма, замечательная по своей простоте
и плодотворности, заключалась в следующем. Задача реше-
решения интегрального уравнения A) рассматривалась как ана-
аналитический аналог алгебраической проблемы решения
системы п линейных алгебраических уравнений с п не-
неизвестными. Именно, интеграл в уравнении A) заменяется
интегральной суммой, отвечающей разбиению отрезка
[а, Ь) изменения переменной s на п равных частей длины
с, Ь — а
Точное уравнение (I) заменяется приближенным
B)
где в качестве s; можно взять, например, абсциссы середин
интервалов разбиения (рис. 4).
Полагая в формуле B) / = su s2 sn, получаем
линейную алгебраическую систему относительно п неиз-
неизвестных ф (sf):
n). C)

28
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Будем считать, что ф (s) и / (s) сохраняют в i-м интервале
постоянные значения, равные соответственно ф (s4) и /(s4),
а ядро К (t, s) сохраняет в каждом частичном квадрате
с индексами i и / постоянное значение, равное К (st, sf).
Определитель системы C)
1—WC(slt
SlN
SlN
SlN
1-W(s2, s2N ...
_ЯКE„,%N . . .
— Ж (sb
1-W(s,
snN
sn)b
D)
есть многочлен относительно X.
Если X отлично от корня многочлена Dn (Я,), то си-
система C) имеет единственное решение при любых правых
частях, и это решение может
быть найдено по известным
формулам Крамера. Решая
ее, мы найдем все ф ($,) и,
0
a
m
SS
Q
Рис. 4.
Рис. 5.
таким образом, получим приближенное выражение иско-
искомой функции ф (t) в виде кусочно-постоянной функции
Фл (О (РИС- 5). Метод замены интегрального уравнения
системой линейных алгебраических уравнений до сих пор
широко используется в практике инженерных расчетов.
Чем больше п, тем точнее функция ф„ (t) аппроксими-
аппроксимирует искомую функцию.
В пределе при п-»оо линейная система C) переходит
в интегральное уравнение A), а ф„ @ переходит в иско-
искомое решение ф (if) интегрального уравнения A).

$ 3] ФОРМУЛЫ ФРЕДГОЛЬМА 29
Ясно, что эти соображения носят наводящий'характер
и нуждаются в обосновании.
Можно поступить несколько иначе. Решив систему C)
и подставив полученные значения ф (s/) в формулу B),
получим приближенное аналитическое представление ре-
решения уравнения A):
Можно показать, что если К (t, s) и / (/) непрерывны, то
числитель и знаменатель второго слагаемого в E) при
б = ¦ ~а — О стремятся соответственно к пределам
ь
\\D(t,s\X)f{s)ds и
а
где D (Я) и D (t, s; Я) — некоторые целые функции *) от X.
Полагая
R (t, s; X)= ¦^ ,5Л ' (резольвента Фредгрльма),
получим изящную формулу 1
ь
ds, F)
определяющую решение уравнения A) для всех значе-
значений X, при которых D (Я.) Ф 0.
Фредгольм построил функции D (Я) и D (t, s; Я) в виде
рядов по степеням X, полученных чисто формальным пре-
предельным переходом, и показал, что при D (Я) Ф 0 фор-
формула F) определяет единственное решение уравнения A).
Доказательство того, что решение системы C) при
п —¦ оо стремится к решению уравнения A), было прове-
проведено позднее Гильбертом ([51]) для случая непрерыв-
непрерывного ядра.
Найдем выражение для D (Я), используя «правдоподоб-
«правдоподобные рассуждения».
*) Функция g (г) комплексного аргумента г называется целой,
если она аналитична во всей плоскости С комплексного переменного,
т. е. не вмеет конечных особы! точек (полином, ег и т. д.).

30
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
Возьмем п = 3. Тогда
1 — we (sb ь) б — we (slf s2) е — we (slF S3) 6
—we (sg. Sl) 6 i - we (sa, s8) 6 - we (%, %) 6
—we (ss, Sl) e - we (s,, sg) e i - we (ss, s,) 6
Полагая для сокращения записи К (sit S/) = Кц (i, /
= 1,2, 3), будем иметь
^21
^31
K22 +
\13
^23
^33
G)
где
Положим
"/= — 1/Яв.
5@ =
К
23
S3 +
(8)
Ясно, что F @ есть многочлен третьей степени относи-
относительно t. Представим F (t) по формуле Тейлора по сте-
степеням t:
— , + ?М0)Л (9)
Из (8) следует, что
11
и
12
м
A0)
По.правилу дифференцирования определителя
О Азе А аз
-f
Ац Н"
/с21
^31
0
1
0
кы
^33
, A1)

ФОРМУЛЫ ФРЕДГОЛЬМА
31
так что
«»S «ss
+
«11 «13
«И «88
+
«n К*
A2)
Таким образом, величина F' @) равна сумме определи-
определителей, получающихся из определителя A0) вычеркиванием
i-ro столбца и 1-й строки. Нетрудно видеть, что
A3)
а,=1 а,=1
В самом деле, при at = a2 определители в правой части
A3) равны нулю, а определители, получающиеся один из
другого перестановкой индексов at и а2, равны между
собой. Отсюда следует справедливость формулы A3).
Аналогично, величина F @) может быть представлена
в виде
о
У
-1 а,=1
• A4)
Дифференцируя (И) по / и полагая затем t = 0, находим
F" @) - Kss + Кгг + К33 + Кц + /С„ + К 1и
т. е. F" @) равно сумме «определителей» первого порядка,
получающихся из A0) вычеркиванием двух строк номе-
номеров i и / и двух столбцов с теми же номерами:
з
Р@) =
A5)
Наконец, F" (t) = 6.
Таким образом,
3 3 3
2 2.
o,=l аг=1 а
3
— V
21 Zj
A6)

32
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ.
Заменяя в A6) t на—1А.8, получим
3 3
<x,=l
a,=l a,=
3 3 3
V VI VI VI
31 ^j ^j ^j
a,=l a,=l as=l
Совершенно аналогично получаем для любого п:
п! Ка3а2
в1-
m=l
a,=l
... /Ca2am
Заметим, что сумма
a,=l
в пределе при б -> 0 переходит в интеграл J К (s, s)d$
а
так называемый след ядра К (t,,s).
Точно так же при б -*¦ 0 сумма
2-2
a,=l am=l
переходит в интеграл
ь ь
е-J...J
^ («1. ax) К (alt otj) ... К К. am)
/((«j, oj /С (ctg. a2) .'.. К (a,. am)
. a2) ... К (am,
A7)

§ 3] ФОРМУЛЫ ФРЕДГОЛЬМА 33
Обозначая через D(X) предел Dn (X) при п -*¦ оо, будем
иметь
. т=0
где Ст определяются по формулам A7), причем Со = 1.
Покажем, что ряд A8) сходится всюду, т. е. D (X) яв-
является целой функцией X. Воспользуемся неравенством
Адамара: если Д — определитель л-го порядка,
ап а12 ... а1Я
а21 а22 ... а2Я
то ¦ •
|Л|<аЛ...а„ A9)
где щ есть сумма квадратов элементов i-й строки опреде-
определителя
о? = а?1 + а?2+ •••+а?„ (« = 1,2, ..., л).
В случае л = 3 это неравенство имеет простой геометри-
геометрический смысл. В самом деле, считая aiX, ai2, al3 коорди-
координатами вектора at (i — 1,2, 3), находим, что Д есть сме-
смешанное произведение векторов ах,аг,аэ, которое по абсо-
абсолютной величине равно объему параллелепипеда, по-
построенного на векторах ах,аъ, а3. Величины ах, а2, о3
определяют длины этих векторов, длины ребер параллеле-
параллелепипеда. Неравенство A9) Адамара выражает в этом слу-
случае очевидный геометрический факт: объем параллелепи-
параллелепипеда не может быть больше произведения длин его ребер.
Неравенство обращается в равенство только в том слу-
случае, когда параллелепипед прямоугольный, т. е. когда
векторы а у, а2, а3 попарно ортогональны.
Доказательство неравенства Адамара можно найти,
например, в [15].
Пусть | К (t, s) | =^ М для всех t, s, a ==S t, s <; b. Тогда
Для Ст получаем следующую оценку:
ь ь
1 cm I «S J... J Мттт'2 йаг.,. dam = Мттт'2 (Ь — а)т.
а а
2 М. Л. Краснов

34 ' ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Следовательно, ряд A8) допускает мажоранту
т—1
Радиус сходимости ряда B0)
г, .. Мт(Ь — а)ттт/2{т-\- 1I
~m™ m I Afm+1 (Ь - а}т+1 (т + 1 )т+1/2 ~
1 ,. . т-М
М(Ь-а)
Значит, ряд A8) также сходится при всех значениях V
и определяет целую функцию D (X), называемую опреде-
определителем Фредгольма.
Аналогично можно установить, что функция D(t, s; %)
определяется рядом Фредгольма
00
D(t,s;X) = Y(-ir^Bm(t,s), B1)
т)
где
*(/.«) K(t, ag .../((/, am)
К. (ab s) /((аг, Oj) .. . К (аь am)
¦f («m. «) ^ («m. %).../((am, am)
B2)
причем 50 (t, s) = /((^, s). Отметим, что
h
t, n>0 (C0=l).
Ряд B1) сходится при всех значениях Я и, следова-|
тельно, D(t, s; Я.) есть целая аналитическая функция от К.
Ее называют минором определителя Фредгольма.
Таким образом, резольвента Фредгольма
не зависит от f (t) и представляет собой частное двух\
целых аналитических функций^ т. е, является мероморф-
ной функцией от К ' '

§ 3] ФОРМУЛЫ ФРЕДГОЛЬМА 35
В любой конечной части ^.-плоскости она может иметь
в качестве особых точек лишь полюсы в конечном числе.
Полюсами резольвенты могут быть только нули D(%).
Верно и обратное предложение: нули D (X) суть полюсы
резольвенты A31]).
Формулы Фредгольма A8) и B1) позволяют построить
разрешающее ядро R (/, s; %) интегрального уравнения A).
Неудобство пользования этими формулами в том, что
ряды A8), B1), как правило, сложны для численных рас-
расчетов из-за кратных интегралов, определяющих коэффи-
коэффициенты рядов.
Значения %, для которых существует резольвента урав-
уравнения Фредгольма, будем называть регулярными, а значе-
значения "к, для которых резольвента не существует, —харак-
—характеристическими. Характеристические числа совпадают
с полюсами резольвенты или, что то же, с нулями D (X).
Фундаментальный результат Фредгольма мы можем
теперь сформулировать так:
Если значение Я регулярное, то интегральное уравнение
ь
A)
с непрерывным ядром К (t, s) и правой частью f(t) имеет
единственное непрерывное решение, которое дается фор-
формулой
Как следствие получаем: если X регулярное, то одно-
однородное уравнение
ь
имеет только тривиальное решение ср (t) = 0.
Поэтому если однородное уравнение имеет нетривиаль-
нетривиальные решения, то это возможно только тогда, когда зна-
значение Я, характеристическое. Нетривиальные решения
однородного интегрального уравнения называются соб-
собственными или фундаментальными функциями ядра K{t, s),
соответствующими данному характеристическому числу.

36
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. Г
Пример, Построить резольвенту ядра
Решение. Имеем Со« 1, Вп = et^s. Далее,
1
J tfo(ai. a1)rfa1= I,
о
В, (t, «) = J
6fa2 = ^ J ea'
о
e~s <Г(
J 5i (alt
о
= 0,
0,
Нетрудно видеть, что все В^ (t, s) и
2) равны нулю, так что
*~э
и резольвента Фредгольма ядра К (tf s) == е*~э будет равна
R (t. e; i) =
Резольвента ^ s/(l —Я) аналитична во всей комплексной Я-пло-
скости, за исключением точки Я= 1, являющейся простым полюсом
резольвенты. Поэтому для всех Я Ф I интегральное уравнение
о
(/ (/) непрерывна на [О, 1 ]) имеет единственное решение
Я г1
V(t) = f(t)+T±Jye<-sf(s)ds.
о
При Я = 1 соответствующее однородное интегральное уравнение
1
ф (/) e jV-y(s) Л
имеет очевидное ненулевое решение ф (/) = е* — собственную функ-
функцию ядра К (/, s) = ei"s. Легко видеть, что функции ф (/) == Се*9
где С — произвольная постоянная, также будут собственными функ-
функциями этого ядра, ^

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 37
Так как D(X) есть целая функция от X, не равная
тождественно нулю (D @) = 1), то, как это следует из
общей теории функций, множество нулей D (X) не может
иметь предельную точку в ограниченной области пло-
плоскости X.
Следовательно, в любом круге | X |<7? таких нулей
может быть лишь конечное число. Проведем окружности
в комплексной Ji-плоскости с центром в начале и радиу-
радиусами 1, 2, 3, . . . Эти окружности разобьют плоскость на
счетное множество областей. В круге любого радиуса п
содержится конечное число нулей D (Я), и, значит,
в каждом кольце п < | X | ^ п + 1 их тоже содержится
лишь конечное число. Поэтому множество всех нулей D (X)
есть объединение счетного множества конечных множеств
и, следовательно, не более чем счетно. Нули функции
D (к) суть характеристические числа ядра К (t, s), так что
уравнение Фредгольма A) с непрерывным ядром К (t,s)
имеет не более счетного множества характеристических
чисел, которые могут сгущаться только на бесконечности.
§ 4. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Теоремы Фредгольма
Рассмотрим один частный вид интегральных уравнений
Фредгольма 2-го рода, на примере которых отчетливо
видны основное результаты фредгольмовой теории таких
уравнений.
Определение. Ддро К (/, s) интегрального урав-
уравнения называется вырожденным, если его можно предста-
представить в виде конечной суммы произведений двух функций,
из которых одна зависит только от t, а другая только от s:
п
1=1
Будем считать, что функции at (/), так же как и функ-
функции Ъ{ (s), между собой линейно независимы (в противном
случае можно было бы уменьшить число слагаемых
в сумме A)).
Предположим, что функции aL (t) и bt (t) непрерывны
на отрезке [а, Ь] изменения их аргументов; тогда

38 ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. 1
ядро К (t, s) будет непрерывным в прямоугольнике
Q\a^ t,' s«S b\.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма
2-го рода с вырожденным ядром K(t, s):
п Ь
4>(t) = xYlai(t)lbi(sL>(s)ds + f(t), BI
где / (t) — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция.
Пусть уравнение B) имеет решение ср = ср (t). Положим
ь
(i = l, 2,.., п). C)
Тогда из B) получим
откуда видно, что решение интегрального уравнения с вы-
вырожденным ядром сводится к определению постоянных
Cj (t = 1,2, . . ., п). Заменим в равенстве D) индекс сум-
суммирования t на /, умножим обе части этого равенства
на br(t) и проинтегрируем по t в пределах от а до Ь\
а
п Ь
%jI(t)bt(i)dt (t=l. 2 n). E)
/=1 a
Вводя обозначения
ь ь
ja,(()bi(t)dt=ktt, \f{t)bi{t)dt = fl
а а
(/,/=1,2,..., я),
получим систему линейных алгебраических уравнений, ко-
которой необходимо должны удовлетворять коэффициенты ct:
/ = // (» = 1, 2,..., п). F)

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ ЗЭ
Если эта система неразрешима, то, очевидно, интеграль-
интегральное уравнение B) также неразрешимо.
Пусть теперь система F) имеет решение си с2, . . ., сп.
Подставив эти значения коэффициентов в формулу D),
получим функцию ф (t), которая является решением ин-
интегрального уравнения B), в чем нетрудно убедиться не-
непосредственной проверкой.
Таким образом, интегральное уравнение B) и система
линейных алгебраических уравнений F) эквивалентны
в том смысле, что разрешимость системы F) влечет за
собой разрешимость уравнения B) и наоборот.
Определитель системы F) D (X) равен
— Xku — Xk
12
— Xk
In
\-Xk,m
G)
D (к) есть многочлен относительно X степени не выше п,
отличный от тождественного нуля, так как
?>@) =
1 О О
О 1 О
О
О
0 0 0
1
(8)
Следовательно, D (X) имеет не более п различных корней.
D (X) называют определителем Фредгольма для интеграль-
интегрального уравнения B), а его нули, т. е. корни уравнения
D (к) = 0, называют характеристическими числами ядра
К (t, s) или уравнения B) (см. стр. 35).
Г. Если X не совпадает ни с одним из нулей D(X),
т. е. D (X) Ф 0, то система линейных уравнений F) одно-
однозначно разрешима при любых правых частях /; (i =
= 1,2,..., л).
Значит, если X не является характеристическим чис-
числом, то интегральное уравнение B) имеет единственное
решение ср (f), определяемое формулой D), при любом сво-
свободном члене f (t).
Это — первая теорема Фредгольма.

• ¦ ¦ . \
¦\
40t ш ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. Й
В случае D (А.) Ф- 0 соответствующее однородное ив*
тегральное уравнение
ф (о=*
отвечающее случаю / (t) = 0 на [а, Ы, имеет только три-
тривиальное решение <р (/) = 0. В самом деле, если / (t) = d
на [а, Ыт то все ft (i — 1, 2, .... я) равны нулю и си«
стема F) будет системой однородных линейных уравнений
с определителем, отличным от нуля. Такая система имеет
только нулевое решение с, = с2 = . . .= сп — 0. Поэтому
первую теорему Фредгольма иногда фор-
формулируют так:
Для того чтобы уравнение B) имело единственное ре-
решение при любой функции f (t), необходимо и достаточно,
чтобы соответствующее однородное уравнение имело только
тривиальное решение ф (t) = 0.
Пример. Решить интегральное уравнение
1
<р(/)= 1+*((* —s)«p(s)f<fr.
Решение. Запишем уравнение в виде
1 1
@ - 1 +
+ И \ q> (s) ds + X f (-s) <p (s) ds.
0 0
Здесь й, (s) = 1, b% (s) = —s. Положим
l l
Тогда
-\ci. A0)
Умножим обе части A0) последовательно ка Ьг (t\ и fc. (Г) в нроинте-
грируем по t от 0 до 1. Получим
1 ; 1 1 1
1
J (-0 Ф (t)d( = j (- 0 dt + Хс, J (- P)dt+ Яс2 11- /)*,
0 0 ft 0

$4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 41
ИЛИ
Определитель этой системы
D(X) =
1—г -*
± i + JL
3 + 2
отличен от нуля при любых действительных к.
По формулам Крамера находим
с, =
1
-X
12
?>(Х)
с„ =¦
1—-
А
з
В силу A0) имеем
<р (/) =П
6A,-
\2Xi.
12 + li - \2^T
12
(если Хф ±2iV).
Если решать систему E) по формулам Крамера, а затем
определители, стоящие в числителях, разлагать по эле-
элементам столбца свободных членов, то получатся выраже-
выражения вида
где Dlk (Я,) — некоторые многочлены от к степени не
выше п — 1.

42 ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
Подставляя эти выражения для с{ в формулу D), будем
иметь
п п Ь
2
1=1
ИЛИ
Я (I) = /(/) + Я, 2 щ^ J] Dik (к) at (/) \f(s)bk (s)ds,
1=1 ft=l a
q> (/) = /(/)-j^ J Я (/, s;X)/(s)ds, A1)
/'s; x) = w I, ? Dik {K) °i {t) bk (s)- A2)
гае
Функция R (t, s; X) есть резольвента {разрешающее ядро)
интегрального уравнения B). При фиксированных t, s она
представляет собой дробную рациональную функцию ком-
комплексной переменной Я,, и при любом значении Я,, отлич-
отличном от характеристического, R (t, s; X) есть непрерывная
функция t, s.
2°. Пусть теперь К совпадает с одним из нулей опре-
определителя Фредгольма D (к), т. е. является характеристи-
характеристическим числом ядра К (t, s).
Тогда определитель системы F) будет равен нулю.
Соответствующая однородная система
п
с,—xSVy = °
имеет при этом йекоторое число р (I ^ р < п) линейно
независимых ненулевых вектор-решений
{Г(О rU) с('I //—19 п\
Функции
Ф,(/) = 2с['Ч@ (/=1,2 р) A4)
(=i
будут нетривиальными решениями соответствующего одно-
однородного интегрального уравнения
п Ь
k%al(t)lbt{s)(p(s)ds, A5)
i—l a

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ' УРАВНЕНИЯ С. ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 43
Как и в общем случае уравнения с невырожденным ядром,
нетривиальные решения однородного уравнения назы-
называются собственными или фундаментальными функциями
этого уравнения (или ядра К(t, s)), отвечающими данному
характеристическому числу. Число линейно независимых
функций, соответствующее данному характеристическому
числу, называется его рангом или кратностью.
Нетрудно видеть, что если фд (t) и ф2 (t) — собствен-
собственные функции, отвечающие одному и тому же характери-
характеристическому числу К, то их сумма ф! (t) + ф2 (t) будет так-
также собственной функцией, отвечающей этому же чи-
числу X. Точно так же, если ф (t) — собственная функция,
то осф (f), где а — любая постоянная, будет собственной
функцией ядра К (t, s).
Таким образом, собственные функции ф, (f), отвечаю-
отвечающие данному характеристическому числу X, образуют ли-
линейное пространство, размерность которого равна р.
Общим решением однородного уравнения A5), отве-
отвечающим данному характеристическому числу, будет
функция
ф@=?а/Ф/@, A6)
где а, — произвольные постоянные.
Напомним некоторые сведения из линейной алгебры
(см. [30]).
Пусть имеем .квадратную матрицу порядка п
(а,-/ — действительные числа).
Матрица ЭД,*, получающаяся из ЭД. заменой всех ее
строк соответствующими столбцами и наоборот, назы-
называется сопряженной к матрице 51. Так что если 51 =
= (а„), то 51* = (а„).
Если дана система линейных алгебраических уравнений
ПХ = Р, A8)
где
Х-

44 ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА (ГЛ I
то система
n*Y = G A.9)
называется сопряженной с системой A8).
Минором й-го порядка матрицы % называется опреде-
определитель fe-ro порядка, составленный из элементов аа мат-
матрицы 51, расположенных на пересечении каких-либо ее
k строк и k столбцов (k < п).
Если у матрицы 51 все миноры порядка k > г равны
нулю, а среди ее миноров порядка г имеется хоть один,
отличный от нуля, то число г называется рангом мат-
матрицы и.
Теорема 1.1. Если определитель системы равен
нулю, то однородная система VLX — 0 и сопряженная
ЭД* Y — 0 имеют каждая р = п — г линейно независимых
решений, где г — ранг матрицы 51.
Введем следующие понятия. Пусть имеем интегральное
уравнение Фредгольма
B0)
Определение. Ядро К* (t, ^), получаемое аз
ядра K(t, s) заменой t на s и наоборот, называется сопря-
сопряженным с ядром K(t, s):
K%s) = K(s,t). B1)
(В случае, когда K(t, s) есть комплексиозначная функция
действительных аргументов i, s, полагаем по определению
K*(t,s)=K(s,t),
где К {s, t) означает величину, комплексно сопряженную
с К (s, *).)
Уравнение
ь
y(t) = k$K*(t,s)$(s)ds+ g(t) . B2)
а
называется сопряженным (союзным) с уравнением B0).

$ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 45
Для интегрального уравнения B) с вырожденным яд-
ядром сопряженное с ним уравнение имеет вид
ь п
* (о=^ J Б ai <s) bi (о ч> (s) <*s+в (о- B3)
а <=1
Для него
¦@=г@ + ^^@, ¦ B4)
1=1
где
ъ
ci = l^(s)ai(s)ds (i = l,2 л). B5)
а
Если g (t) = 0, т. е. уравнение B3) однородное, то для
определения с] получаем однородную систему
с\ — b?V*=0> B6)
сопряженную с системой A3).
В силу теоремы 1.1 обе эти системы имеют одинаковое
число р линейно независимых вектор-решений.
Если {с\A) с'пЩ] (I = 1,2,.. ., р) суть ненуле-
ненулевые вектор-решения системы B6), то функции
*(*)*= S**@M') ('=1.2 р)
8=1
будут собственными функциями однородного уравнения
п Ь
*(/)=* ^)bi(t)la((s)^(s)ds, B7)
(=1 а
сопряженного с уравнением (9).
Итак, если X есть характеристическое число ядра
К (t, s), то однородное интегральное уравнение A5) и со-
сопряженное с ним уравнение B7) имеют одно и то же ко-
конечное число линейно независимых собственных функций.
Это — вторая теорема Фредгольма.
3°. Рассмотрим, наконец, неоднородное уравнение B)
в случае, когда X — характеристическое число.

46 ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. 1
Как мы отмечали, его разрешимость эквивалентна раз-
разрешимости неоднородной системы F) линейных алгебраи-
алгебраических уравнений
п
*' = l,2f .... /г). F)
Воспользуемся следующей теоремой ([30]).
Теорема 1.2. Для того чтобы неоднородная си-
система линейных алгебраических уравнений была разрешима,
необходимо и достаточно, чтобы вектор свободных членов
этой системы был ортогонален ко всем вектор-решениям
сопряженной однородной системы.
Согласно этой теореме, неоднородная система F) бу-
будет разрешима тогда и только тогда, когда вектор
/2»- • м fn] будет ортогонален каждому из векторов
{с{1\ с*21\ . . ., Сп1)\ (/=1,2,.. .,'/?), т. е. когда
A'(/) = 0 (/= 1,2, . ...р). B8)
ь
Но fi=\f{t)bi(t)dti и, следовательно, условие B8)
а
можно записать так:
ь п ъ
\ f(t) S Ct^biiDdt^ \fb
i & i B9)
Таким образом, неоднородное интегральное уровне-
ние B) с вырожденным ядром при характеристическом зна-
значении % будет разрешимо тогда и только тогда, когда
свободный член f(t) будет ортогонален ко всем решениям
сопряженного однородного интегрального уравнения B7).
Это — третья теорема Фредгольма.
Подчеркнем, что вопрос о разрешимости уравнения B)
требует проверки конечного числа р условий
ь

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 47
Если эти условия выполнены, то уравнение B) имеет бес-
бесчисленное множество решений. Все они описываются
формулой
где фн (/) — какое-либо решение неоднородного уравне-
уравнения B), а ф0 # (/) —общее решение соответствующего
однородного уравнения.
Пример. Рассмотрим уравнение
ф @ — X J (W» + &) ф (s) ds + f (/), C0)
где / (/) непрерывна на [—1, 1].
Запишем уравнение в виде
1
1
J
sq>(s)ds
и положим
cx = J s2 ф (s) ds, c2 = I s ф (s) ds,
*
Тогда
ф (t) = ClM + с2Я/а + / (*). C1)
Для определения коэффициентов с1э са получаем систему
l g-Xct- J Pf{t)dt,
J
1
- J
J
C2)
Определитель D(A,) системы C2) равен 1 гр^а- Если Я, ^ ± J^ 15/2.
10
то система C2) имеет единственное решение при любых правых частях
и уравнение C) однозначно разрешимо при любой непрерывной на
1—1, 11 функции /(*). _
Пусть теперь К = V15/2. Тогда однородная система
f_ ir о
2
C3)

48
ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА
[ГЛ. I
отвечающая системе C2), будет иметь ненулевое
{5/57С, С}, где С —любое.
Следовательно, однородное интегральное уравнение
решение
л
ф(/)=Я, [
S/2) ф (S) dS,
C4)
отвечающее данному, при к— J/^ 15/2 имеет ненулевое решение
,ф@
-(/¦
C5)
Ядро интегрального уравнения C0) симметрично:
поэтому сопряженное однородное интегральное уравнение совпадает
с уравнением C4), и, значит, решение сопряженного уравнения есть
+ п с.
Неоднородная система алгебраических уравнений C2) при А, =
принимает вид
C6)
I
Ct —
J
- 1
откуда сразу видно, что она будет разрешима, только если
.1 1
~l
-1
или, что то же,
К/?
т. е. когда / (t) будет ортогональна любому решению
ного уравнения (см. C6)).
C7)
(/) сопряжен-

сопряжен§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 49
Так, если / (t) = 1, то условие C7) не выполнено и уравнение C0)
неразрешимо.
3
Если / (t) = Р -г ~н~ U то уравнение C0) имеет бесчисленное мно-
множество решений
(С — любое).
Аналогично исследуется случай А, =—1^15/2.
Условия B9) будут заведомо выполнены, если выпол-
выполняются условия
' ь
lf(t)bi(t)dt = O (/ = 1,2 л).
а
Как следствие из доказанных теорем вытекает важная
Теорема об альтернативе. Если однород-
однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным
ядром имеет только тривиальное решение, то соответ-
соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и
только одно решение. Если же однородное уравнение имеет
нетривиальное решение, то неоднородное интегральное
уравнение в зависимости от свободного члена fit) либо
вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число
решений.
Замечание. Результаты остаются в известном смысле спра-
справедливыми и для случая, когда ai(t), bi(t) и /(/) аналитически зависят
от параметра Я, т. е. для уравнений вида
Ь п
<р(/) = *, J ^ at(t9
l
J
a t=l
В этом случае кц и ft становятся аналитическими функциями от А,,
а определитель D (Я) будет уже не многочленом относительно Я, а ана-
аналитической функцией К более общей природы. Поэтому может оказатьс я,
что характеристических чисел вовсе не существует, поскольку неал-
неалгебраическая аналитическая функция может не и меть нулей.
Пусть теперь имеем интегральное уравнение
ь
j <38>
а

50 ТЕОРИЯ ФРЕДГОЛЬМА [ГЛ. I
с произвольным (невырожденным) непрерывным ядром
К (/, s) и непрерывной / (t). Можно показать (см. ниже,
§ 14), что если построить достаточно близкое к ядру К (t, s)
вырожденное ядро Н (t, s), то, решив уравнение с вырож-
вырожденным ядром Н (t, s), мы получим решение, близкое
к решению уравнения с ядром К (t, s) при той же правой
части. Более того, если мы построим последовательность
\Нп (t, s)} вырожденных ядер, равномерно сходящуюся
к ядру К (t, s), то последовательность \zn (t)} решений
уравнений с ядрами Нп (t, s) будет равномерно сходиться
к решению ф (f) уравнения C8) с ядром К (t, s).
Способы построения вырожденных ядер, близких к дан-
данному ядру К (tt s), могут быть самыми различными.
Например, ядро К (t, s) можно приближать частичными
суммами степенного или двойного тригонометрического
ряда, если ядро К (/, s) разлагается в равномерно сходя-
сходящийся в прямоугольнике Q \а < /, s < b\ степенной или
три!онометрический ряд, или приближать его алгебраи-
алгебраическими или тригонометрическими интерполяционными
многочленами.
Пример. Найти решение интегрального уравнения
1
Ядро уравнения К (t, s) = t (l — ets) аппроксимируем суммой первых
трех членов разложения К (/, s) в ряд Тейлора, т. е. положим
H(t,s) fls—
в вместо исходного уравнения рассмотрим интегральное уравнение
1
J
Это уже уравнение с вырожденным ядром. Решение его ищем в виде
г (t) = е* — / — cxt2 — с/ — c3t\
где
1 1 1
сх == J sz (s) ds, с2 «в [ -у- г [s) rfs, с3 « [ — z (s) ds.
оо о

§ 4] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 51
Для определения постоянных cl9 c2, с3 получаем систему
4
1
1
5
_1_
7"
_i_
6
_i_
7
49
2
9_
T
29
= 0,0422,
Решая ее, получим
с1== 0,5010, c2 = 0v1
так что
г (t) = е* — ^ — 0,5010/2 — 0,1671/3 — 0,0422/4.
Точное решение интегрального уравнения ф (t) = 1. Для найденного
приближенного решения при /*= 0; 0,5; 1,0 имеем z @) = 1,0000,
z @,5) = 1,0000, г A) = 1,0080, т. е. расхождение с точным реше-
решением всего 0,008.

ГЛАВА II
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Вполне^элементарным и в то же время очень плодов
творным приемом для доказательства теорем существовав
нйя и единственности решения алгебраических, дифферент
циальных, интегральных и других функциональных урав-
уравнений является принцип, сфор'мулированный в 1922 г,
С. Банахом.
Этот принцип является функционально-геометрической)
обработкой идеи Пикара — метода последовательных при^
ближении и носит название принципа сжатых отображе*
ний. Большое достоинство этого принципа состоит в том,;
что он не только гарантирует при определенных условиях
однозначную.разрешимость уравнения, но и может слу<"
жить для получения приближенных решений.
§ 5. Метрические пространства
Определение. Множество М называется метрик
ческим пространством, если каждой паре его элементов х, у
поставлено в соответствие неотрицательное действительА
ное число рм (х, у), называемое расстоянием между элемент
тами х и у и удовлетворяющее следующим условиям (акси\
омам метрики): \
1) рм (х, у) = О^Ф* = у (аксиома тождества); '
2) Рм (*. У) — Рм (У. х) {аксиома симметрии); ;
3) Рм(х, y)+pM(y,z)^spM(x,z)(аксиома треугольника),
Элементы метрического пространства мы будем назы1
вать также точками этого пространства.
Примеры. 1. Множество действительных чисел
с расстоянием
р(х,у) = \х — у\
образует метрическое пространство.

§ 5] МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 53
Справедливость аксиом 1) и 2) очевидна. Аксиома тре-
треугольника следует из неравенства
2. Множество упорядоченных совокупностей из п дей-
действительных чисел х = (хл, х2, . . -, хп) с расстоянием
О)
образует метрическое пространство, которое называется
п-мерным евклидовым пространством Rn.
Упражнение. Проверьте выполнимость аксиом метрики
для этого случая.
3. Пусть М — множество всех непрерывных функций,
заданных на отрезке {а, Ь]. Введем метрику, полагая
р(х, у)= max \x(t) — y(f)\.
Проверим выполнение аксиом метрики. Ясно, что
р (х, у) ss 0 и р (х, у) = О #Ф х (t) = у (t). Также оче-
очевидно, что р {х, у) = р (у, х). Проверим выполнение акси-
аксиомы треугольника; Для любого t е [а, Ь ] имеем
< max \x{t) — y{t)\+ max \y{t) — z{t)\ =
= p(x, y) + p(y, z). B)
Поскольку неравенство B) верно для у^е ffl> b], той
p(x, z)= max \x{t) — z(t)\^p(x, y) + p(y, z),
что доказывает справедливость аксиомы треугольника.
Множество всех непрерывных функций, заданных на от-
отрезке [a, ft], в котором метрика введена указанным об-
образом, называется пространством непрерывных функций
и обозначается С [а, Ь\,

54
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ
{гл: и
Найдем, например, расстояние р (х, у) в С [О, 1 ], если х (t) = /,
y(f)= t2 на [0, 1 ] (рис. 6).
По определению
р (х, у)= max | / —
01
max
— П).
Следовательно, надо найти наибольшее значение функции
f(t) = t-fl на [0, 1].
На концах отрезка [0, 1 ] значения / (/) равны нулю. Находя .произ-
.производную /'(/) и приравнивая ее нулю, получим / = 1/2. Это — точки
максимума функции /(/), причем
/ A/2) = 1/4. Значит,
Р (*»{/) = -j- •
4. Рассмотрим опять со-
совокупность всех (действи-
(действительных) функций, непрерыв-
непрерывных на отрезке [а, Ь], но
расстояние определим иначе,
положив
/Ь \1/2;
Рис. 6.
Справедливость аксиом 1) и 2) метрического пространства
очевидна. Аксиома треугольника следует из интегрального1
неравенства Коши—Буняковского
> Ь \2
\x{t)y{t)dt\
)
C)
которое получается так.
Для любого действительного %
или
- i

§ 5] МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 55
Положим
ь
t = a, \x(t)y(t)dt = $,
a a
Тогда неравенство D) примет вид
В левой части стоит квадратный трехчлен относительно X.
Его неотрицательность свидетельствует о том, что он
не имеет различных действительных корней, т. е. что
Рг — ау < 0, или
i ь \2 ь ь
[\x(t)y{t)dt\
Это и есть неравенство Коши—Буняковского для инте-
интегралов.
Мы хотим проверить справедливость аксиомы треуголь-
треугольника, т. е. что
р(х, 2)<р(х, у) + р (у, 2),
или
ft V72 ft V72
lz(t)-x(t)fdt\ <M[y@ — x{t)fdt\ +
V/2
\ . E)
Положим у— x = и (f), z — у = v (t); тогда неравен-
неравенство E) перепишется так:
/ 6 \1/2 / Ъ \ 1/2 / Ъ \1/2
\\{u{t) + v{t)fdt\ ^[\u*{t)dt\ +Мо»(/)Л .F)
\ ) \ ) \ )

56 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. »
Используя неравенство Коши—Буняковского D), находим
ь ь ь ь
\
Извлекая квадратньгй корень из обеих частей последнего
неравенства, получаем требуемое неравенство F). !
Так определенное метрическое пространство будем обо!
значать С2[а, Ь\ и называть пространством непрерывных
функций с квадратичной метрикой. j
5. Пусть М — множество всех функций, интетрируе^
ыых с р-й степенью (р ^ 1) иа [а, Ь], т. е. таких, чтЩ
ь
]\x(t)\pdt< + o6,
о
где интеграл понимается в смысле Лебега ([27]). Будем)
говорить, что такие функции принадлежат Lp\a, b\. \
Если х (/)е Lp\a, bin у (t) e Ln[a, 61, то полагаем
р(х, y) = i\\x(t)-y(t)\pdt\ , G1
Аксиома симметрии очевидна. Что касается аксиомы
тождества, то, как нетрудно видеть, р (х, у)=0 ^=>х (t) d
= у (t) на [а, Ь \. \
Тождественными считаем функции, отличающиеся лиши
¦на множестве меры нуль. j
Таким образом, элементами Lp[a, b] являются, по су*|
ществу, не функции, а классы функций.
Аксиома треугольника следует из неравенства Мин-
ковекого для интегралов (см. [191). ;
Определение. Назовем шаром (соответственна
замкнутым шаром) с центром в точке а и радиусом t

§.5]
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
57
совокупность всех точек х метрического пространства М,
удовлетворяющих неравенству
рм(х, с)<г (соответственно рм(дг, а}^г).
Будем обозначать такой- шар S {а, г) (соответственно
S (а, ф.
Примеры. 1. Пусть М — R3 — трехмерное евкли-
евклидово пространство. Тогда
S(a,r).:
или
(хг — а& + (х, — atf ¦+ {х3— a3f < т\
Это — обычный шар радиуса г с центром в точке {аи а2, а3).
Рис 7.
2. Пусть М = С [а, Ь]. Шар S (х0, г) — совокупность
всех непрерывных на [а, Ь] функций х (t) таких, что
max \x(t) —
и, следовательно, таких, что
*Ь@ — r<x(f)<xo(f) + r yfte=la,bl
Геометрически это совокупность непрерывных на [а, Ь]
функций х (t), графики которых целиком лежат в полосе
шириной 2г, образованной кривыми х = xQ (t) — т и
х = х0 @ -\-г (рис. 7).

68 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
§ 6. Полные пространства
Определение. Последовательность \х„] элемен-
элементов метрического пространства X называется сходящейся
в себе или фундаментальной последовательностью, если для
любого числа е [>0 найдется номер No (e) такой, что
Рх(хп, хт)<г при n,m>N0(E).
Если последовательность \хп\ сходится к пределу
х0 е X, то она фундаментальна.
В самом деле, пусть х0 — lim xn. Тогда для любого
е >0 найдется номер N0(e) такой, что
Рх(хп, *о)<е/2 при n>tfo(e).
Отсюда
Ра- '(*„, хт) < рл- (хп, х0) + рх {хт, х0) < е при п, т > jV0 (e),
а это означает, согласно определению, что последователь-
последовательность \хп\ — фундаментальная.
Однако существуют метрические пространства, в кото-
которых имеются последовательности, сходящиеся в себе, но
не сходящиеся ни к какому пределу (в этом пространстве).
Пусть, например, X — множество рациональных чи-
чисел, причем расстояние определяется по формуле
Тогда X — метрическое пространство.
Рассмотрим последовательность \гп\ , где гп = 1/2".
Эта последовательность сходится и в себе, и к пределу
Возьмем теперь последовательность с общим членом
Эта последовательность сходится в себе, но не имеет пре-
предела в пространстве X, так как
не является рациональным числом.

§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 59
Определение. Если в метрическом простран-
пространстве X каждая фундаментальная последовательность схо-
сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом
того же пространства, то пространство X называется
полным.
Так, пространство С [а, Ь] непрерывных на отрезке
[а, Ь] функций с метрикой
р(х, у)= max \x(f) — y(t)\
b
есть полное пространство.
В самом деле, пусть дана последовательность \хп (t)},
где хп (t) <= С[а, Ь] (п = 1, 2, . . .), и пусть
«. хт) -> 0, т.е. Ve>0 3N0 = N0(e),
tit m->a>
Vn,m>N0 max |xn(t) — xm(t)|<e.
tb
Это означает, что для последовательности \хп (f)\ выпол-
выполняется критерий Коши равномерной сходимости на [а, Ь].
Пусть х0 (ty — предел последовательности \хп (t)\. Как
предел равномерно сходящейся последовательности непре-
непрерывных функций, эта функция х0 (/) также непрерывна
на [а, Ь]. Таким образом, х0 (t) ^С[а, Ь] и р(хп, хо)—+ 0.
л-»оо
Следовательно, пространство С la, b] полно.
Можно показать, что Lp [а, Ь] (в частности, L2 la, b])—
полные пространства.
Пространство Q рациональных чисел, как мы видели,
не является полным пространством.
§ 7. Принцип сжатых отображений
Пусть X и Y — метрические пространства, D — неко-
некоторое множество в пространстве X.
Если каждой точке хеО по некоторому закону по-
поставлена в соответствие определенная точка y^Y,mo
говорят, что на множестве D задан оператор А со зна-
значениями в пространстве Y, и пишут
у — Ах.
Множество D называют областью определения опера-
оператора А; х называют аргументом оператора А. Каждую

60 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
точку уеУ такую, что у = Ах, называют образом соот-
соответствующей точки х е D. Относительно оператора А гово-
говорят, что он устанавливает отображение множества D
в пространство Y:
Если совокупность значений оператора А совпадает со
всем Y, то говорят, что оператор А отображает D на
пространство У.
Примеры. 1. Пусть X — пространство С\а, Ь]
функций х (t), непрерывных на отрезке la, b ]. Каждой
функции х (/)еС[а^()] поставим в соответствие функцию
и
= JK(t,s)x(s)ds,
где К (t, s) — заданная, непрерывная в квадрате
Q \a^t, s^b) функция. Этим мы определим на С[а, Ь]
интегральный оператор
Ax=JK(t,s)x(s)ds,
который, как будет показано ниже, переводит простран-
пространство С [а, Ь] в себя.
2. Обозначим через С00 (а, Ь) совокупность функций
х (t), определенных в (а, Ь) и бесконечно дифференцируе-
дифференцируемых в этом интервале. Каждой функции х (t) е С°° (а, Ь)
поставим в соответствие ее производную х' (t). Этим мы
определим оператор дифференцирования dfdt, действую-
действующий из С00 (а, Ь) в С00 (а, Ь).
Принцип сжатых отображений выражается следующей
теоремой:
Теорема 2.1 (С. Банаха). Пусть в полном метри-
метрическом пространстве X дан оператор А, переводящий эле-
элементы пространства X снова в элементы этого простран-
пространства, т. е.
а ¦ ¦

$ 7] - ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 61
Пусть, кроме того, для всех х, у из X
р(Ах, Ау) ^ар(х, у), A)
где О < а < 1 и не зависит от х, у.
Тогда существует одна и только одна точка х0 такая,
что
Ах0 = х0.
Оператор А, обладающий свойством A)г называют опе-
оператором сжатия, а точку х0 такую, что Ах0 = х0, назы-
называют неподвижной точкой оператора А.
Вообще, оператор А может и не иметь неподвижных
точек. Простейший пример — оператор сдвига в R1 : Ах =
= х -\- х, х ф 0. В условиях теоремы Банаха неподвиж-
неподвижная точка существует, и притом только одна.
Доказательство. Возьмем произвольный фик-
фиксированный элемент х е X и положим
Xi = Ах, х% = Ахх ,.,.,- хп = Лхп_1 ,.«.
Покажем, что последовательность \хп\ фундаментальная.
Для этого заметим, что
2) = р(Ах, AxJ^apix, x1) = ap(x, Ах),
*з) = Р (А**, Ах%) ^ ар (х1у хг) s^a2p (jc, Ax),
пр(х, Ах),
Далее,
Р (х„, хп+р) < р (хп, хп+1) + р (х
i. хп+р) < а"A
B)
Так как по условию 0 <<х <5 1, то
Р (*«. хп+р) < -j^- p (х, Ах),
откуда в свою очередь следует, что р (хп, хп+р) -> 0
лри я ->- оо и любом р ?> 0.

62 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
Значит, последовательность \хп\ сходится в себе (фун-
(фундаментальная). В силу полноты пространства X существует
элемент хоеХ, являющийся пределом этой последова-
последовательности,
. хо= Игл хп.
Докажем, что Ах0 = х0.
В самом деле,
р (х0, Ах0) «S р (х0, хп) + р (хп, Ах0) =
= Р (*0. хп) + р {Ахп_ъ Ах0) «=? р (х0, хп) + ар (*„_!, х0).
Так как х0 = lim ^л, то для любого е >>0 при доста-
Л-»ОО
точно большом п
Р (*о. хп) < е/2, р (х0, xn_i) < е/2.
Следовательно,
Так как е >0 произвольно, то отсюда следует, что
р (х0, Ах0) = 0, т. е. х0 = Ах0, ч. т. д.
Докажем единственность неподвижной точки у опера-
оператора сжатия.
Предположим, что существуют два элемента х0, Уо^Х
такие, что
Ах0 = х0, Ау0 = у0.
Тогда
Р (*о, Уо) = Р {Ахо, АУо) < «Р (х0, Уо)-
Если допустить, что р (х0, у0) >0, то из предыдущего
следует, что а ^1. Но это противоречит условию а < 1.
Значит, наше допущение, что р (а:^ у0) > 0, неверно и
х0 = Уо- ^_^
Переходя в формуле B) к пределу при р -> оо, полу-
получаем оценку ошибки «-го приближения:
Р (хп, х0) < j^- р (х, Ах). C)
Одновременно C) служит и оценкой скорости сходимости»

§ 8] ПРИМЕНЕНИЕ ЦРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 63
Замечание 1. Построение последовательных приближе-
приближений {xn}t сходящихся к неподвижной точке х0, можно производить,
исходя из любого элемента atgX. Выбор элемента х будет сказываться
лишь на быстроте сходимости {хп} к своему пределу.
Замечание 2. Условие . •
р(Ах, Ау)<^ар(х, у) @<сс<1)
нельзя, вообще говоря, заменить на более слабое
р(Ах, Ау)^р(х, у). (Г)
В самом деле, пусть X = R1 — множество действительных чисел
с естественной метрикой р (*, у) = \х — у\ и пусть
Ах «= -^- + х —«• arctg х.
Нетрудно видеть, что неподвижных точек у оператора А нет: уравне-
уравнение *= Ах, определяющее неподвижные точки оператора А, в данном
случае принимает вид
+ — arctg*
и решений не имеет.
Вместе с тем, используя теорему Лагранжа, получаем
р (Ах, Ау) = | Ах — А у | =а
J1 + * — arctg x — 4" —У'+ arct6 У
— I x — у — (arctg x — arctg у) \ =
1
X-r-l/ —
—У <Р(х, у)*
т. е. условие (Г) выполняется.
§ 8. Применение принципа сжатых отображений
к интегральным уравнениям
Г. Применим принцип сжатых отображений для дока-
доказательства существования и единственности решения не-
неоднородного линейного интегрального уравнения Фред-
гольма 2-го рода
Предположим, что ядро К {tf s) непрерывно в замкнутом
щадрате Q {а <; t9 s^ b\ и, следовательно, ограничено

64 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
в нем: | К (t, s) | «S М V (t, s)gQ. Предположим также,
что /(/)gC la, b]. Будем искать решение уравнения A)
в классе С [а, Ь] функций, непрерывных на [а, Ь].
При этом решением интегрального уравнения A) будем
называть всякую функцию q>0 (t)<sC[a, b], которая, бу-
будучи подстазлена в уравнение A), обращает его в тож-
тождество по t на [а, Ь]:
h
\ B)
Очевидно, что при Я = 0 уравнение A) имеет единствен-
единственное непрерывное решение ф0 (t) = f (/).
Покажем, что уравнение A) однозначно разрешимо и
при всех Я, достаточно малых по абсолютной величине.
Будем рассматривать правую часть уравнения A) как опе-
оператор Л<р, определенный в пространстве С [а, Ь],
C);
Всякую функцию ф (/) s С [a, b ] оператор А переводит
в некоторую, вообще другую, функцию ф @. определен-
определенную на том же отрезке [а, Ь]. И вопрос о существовании
решения <р0 (t) интегрального уравнения A) тем самым
сводится к вопросу о наличии неподвижной точки у опе-
оператора А, т. е. такой функции ф0 (t), которая операто-
оператором А переводится в себя: ф0 = Лф0.
Рассмотрим, например, уравнение
ds + I. (Г)
Оператор, отвечающий этому уравнению,
Лф = 2Jt*sip{s)ds+ 1.
Полагая ф (t) = 1, имеем
1

8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 65
т. е.
Положим теперь ф (t) = 2t2 +1. Тогда
f
о
т. е.
Таким образом, «точка» ф (t) = 2t2 + 1 есть неподвижная
точка оператора А — решение интегрального уравне-
уравнения (Г).
Покажем, что оператор А, определенный формулой C),
действует из полного пространства С [а, Ь\ опять
в С [a, b I, т. е. что если g (t) = Лф (t), где q> (/) е С [а, Ь1,
то и g @ е= С [а, Ь1.
Действительно, пусть t — произвольная точка отрезка
[а, Ь] и пусть At—любое, лишь бы t +Д/е [а, Ь].
Имеем
-g(t)\ =
, s)<p(s)ds —
Возьмем любое е ?>0. По условию f
потому 361 i> 0 такое, что
Д0—f(t)\<e[2 при УЛ/
Пусть, далее,
3 М. Л. Краснов
= тах
D)
[а, Я, и
б!, E)

66
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
[ГЛ. Ц:
Ядро К (t, s) непрерывно в замкнутом квадрате Q и, зна-
значит, равномерно непрерывно в Q. Поэтому для выбран-
выбранного е !>0 найдется б2 >>0 такое, что ?
t, s)-K(t,
№
при | At | <$ б2 и любом ss 1а, Ь].
Возьмем б = min^!, б2}. Тогда при V At таких, что
|Д/|<8, будут одновременно выполняться неравенства
E) и F) и в силу неравенства D) получим, что
\g(t + At) —g(f))<e У/Ы: |Д*|<8,
что и доказывает непрерывность функции g (t) в любой;
точке t отрезка [а, Ь].
Итак,
С [а, Ь]-*С[а, Ь].
Выясним теперь, при каких условиях оператор А.
будет сжимающим. Имеем :
р (Аф1, ЛФг) = max | A^ (t)—Аф2 (t) \ =
«6
= max
= max
ds — %\K(t,
a
Ь
%\K(t, s)[yr(s) — (pt(s)]ds
— а)
— q>,(s)|. G)
ц Фа)*
Вспоминая, что max | фх (s) — фа (s) | = р
a«s<6
неравенству G) придадим следующий вид:
Р ИФь Лф2) < | Я | М (ft — a) p (фь ф2),
откуда видно, что при | Я| < 1/М (Ь — а) оператор А буде!
оператором сжатия.
Из принципа сжатых отображений заключаем, что для
всякого Я такого, что
1Я1<

§ 8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 67
уравнение Фредгольма A) с непрерывным ядром К (t, s)
и йёпр^ьАшй'СВободным членом / (t) имеет единственное
непрерывное решение.
Последовательные приближения <р.о (/), . . ., Фл (Q,. • •
к этому решению определяются из соотношений
qVi @ = * ¦ J К (/, s). Ф„ (s) ds + f(t) (« = 0,1,...), (8)
а
где в качестве ф0 (f) можно взять любую непрерывную
на [а, Ь'\ функцию.
Пример. Решить интегральное уравнение
1
'5(Р(*)^ (9)
о
Решение. ' Ядро К (t, s) = ts непрерывно в квадрате
Q {0 ^ tt $ ^ 1}, причем
К (tt s) | = | ts | ^ 1 = М.
Далее, X = 1/2, а = 0, Ь = 1, так что 1/М F — а) = 1, и условие
j М ^ V^ ^ — а)» ^обеспечивающее сжатость отображения, здесь
выполнено. Поэтому'интегральное уравнение (9) может быть решено
мзтодом последовательных приближений. Доложим q>0 (t) = 0. Тогда,
согласно (8),
1
5 t С
=-^^+-2 J
о
1
о
0
Отсюда
@ = Ига <р„ @ = lim / А - Jj.) = /. A0)

68 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. 11
Если взять щ> (*) = /, то будем иметь f*(/J *==-?-i + -у j
) = / я т. д.
Таким образом, мы сразу получаем решение. Это как раз под-
подчеркивает, что удачный выбор начальной функции fcp0 (t) может зна*
чительно сократить процесс нахождения решения интегрального урав-
уравнения.
Вернемся снова к интегральному уравнению A):
A)
Будем по-прежнему предполагать, что ядро К (t, s) и / (t)
непрерывны. Исходя из метрики пространства С [а, Ь),
мы показали, что уравнение^ 1) имеет единственное непре-
непрерывное решение ср (/), если \К\ <3 1/М (b — a)t где
Покажем теперь, пользуясь метрикой . пространст-
пространства L2 [a, b)
t \1/г
что этот результат справедлив в более широком интервале
значений параметра L
Лемма. При любом х (f) &L^ la, b], т. e. таком$
что
ь
функция
a
непрерывна на [а, Ы.
Доказательство. Возьмем любую точку
tQ е [а, Ь ]. По условию ядро К (t, s) непрерывно в замкну*

§ 8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 69
том квадрате Q {a «^ t, s «S b\ и, значит, равномерно
непрерывно в нем. Поэтому для всякого е г> 0 существует
такое б >0, что для всех t таких, что |/—/0|<б,
справедливо неравенство
vs <= [a, b].
Поэтому
\[K(t,s)—K(to,s)]x(s)ds
a
6 /6 \l/2
В силу произвольности е >> 0 отсюда и вытекает непре-
непрерывность функции у (t) в любой точке t e [a, b]. Лемма
доказана.
Из леммы следует, что правая часть A) есть непрерыв-
непрерывная функция при любой ф (/) eL2 [a, b\. Следовательно,
должна быть непрерывной и левая часть.
Таким образом, среди всех функций, входящих в L2 \a,b ],
решениями уравнения A) могут быть только непрерывные
функции.
Будем рассматривать правую часть A) как опера-
оператор Лф, заданный в пространстве L2 [a, b].
В силу леммы
L3[a, b]-+C[a, b]cL2[a, b].
Положим
/66 у
= M \K2(t, s)dtds\
и покажем, что при | А, | <3 1/5 оператор А — сжимающий.
Имеем
б
Лф2 — Лфх = X J К (t, s) [ф2 (s) — фх (s)] ds.

70 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
Используя неравенство Коши—Буняковского, отсюда по-
получаем
(ь у
b$K(t, s)[<P2(s)— 4>i(s)]dsJ <
6 6
^ Я* J /С2 (/, s) ds J [ф2 (s) — Фх (s)]2 ds.
Интегрируя обе части последнего неравенства по t от а
до Ь, найдем
6 6
^ Я,2 J J" /С2 (/, s) ds d/ J [ф2 (s) — Фх (s)]2 ds,
а а а
ИЛИ
откуда
р(Лфь Лф2) < | Я|-Бр(фь ф^.
Следовательно, при | Х\-В < 1, т. е. при |Я| <3 1/5, опе-
оператор Л — сжимающий. И значит, яри |Я| <5 1/В ««тг-
гральное уравнение A) имеет единственное непрерывное
решение ц> (t).
Очевидно, что В ^ М (Ь — а) (равенство возможно
лишь при | К (t, s) | = М) и интервал | Я, | <1 \1В, вообще,
шире, чем интервал |Я,| <• 1/М (b— а).
Так, в рассмотренном выше примере имеем
и для % получаем следующую оценку: |Я,| <* 3.
Однако если 1/М (Ь — а) <; |Я,| <S 1/B, то для после-
последовательных приближений ф„ @ можно гарантировать
лишь сходимость в среднем, а не равномерную сходимость,
имеющую место при |Я,| <* 1/М (Ь — а).

8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 71
Замечание. Можно отказаться от непрерывности Г/С (/, s)
wf (fy «потребовать лишь, чтобы / (/) е L2 [a, b] и К (/, s) s L2 (Q)>
т. е.
ь ft
В этом случае естественно искать решение среди функций из L2 [a, j
Можно показать, что и в этом случае при |А,|<1/? уравнение A)
имеет единственное решение. Но это решение уже не обязано быть
непрерывной функцией, а его единственность означает единственность
с точностью до функций, почти всюду равных нулю.
2°. Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра
второго рода
t
l s)<p(s)ds + f(t). A1)
Выше отмечалось, что это уравнение можно рассматривать
как частный случай уравнения Фредгольма, доопределив
ядро К (t, s) равенством
K(tt s) = 0 при s>t.
Однако, в отличие от уравнений Фредгольма, к уравне-
уравнениям Вольтерра принцип сжатых отображений (точнее,
одно его обобщение) применим при всех значениях X.
Введем предварительно следующее понятие.
Пусть X и Y — метрические пространства. Опера-
Оператор Л, отображающий множествоDczX в пространство Y%
называется непрерывным в точке #oeD, если для любого
е >0 существует такое б >0, что для всех jcgD, удовле-
удовлетворяющих условию
имеет место неравенство
ру {Ах, Ах0) < е.
(Здесь рх, ру — расстояния между элементами про-
пространств X и Y соответственно.)
Оператор А называется просто непрерывным, если он
непрерывен в каждой точке того множества, на котором
он задан.
Пусть оператор А действует из X в X. Возьмем любой
элемент х^Х. [Тогда Лх будет опять принадлежать про-
пространству Хик нему снова можно применить оператор Л:
А (Ах).

72 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. Н<
Оператор, состоящий в последовательном применении;
дважды оператора Л, будем обозначать символом Л8 и
называть квадратом оператора А. ¦•
Аналогично определяются операторы Л3, А4 и вообще
любая целая положительная степень Ап оператора А. -\
Теорема 2.2. Пусть А — такое непрерывное оточ
брожение полного метрического пространства X в себя,
что отображение Аппри некотором п является сжатым.:
Тогда уравнение Ах = х имеет, и притом единственное^
решение. \
Обратимся к интегральному уравнению A1) 1
C(*, s)q>(s)ds + f(t). A1>;
Будем предполагать, что/(?) ^С [а, Ь] и что ядро К {t, sf\
непрерывно в замкнутом треугольнике А: { -- ^- > ?
Введем оператор Лф, определив его формулой
Нетрудно установить, что
С [а, Ь]ЛС[а, Ь].
Покажем, что А — непрерывный оператор.
Пусть фх (t), ф2 (/) — любые две функции из С [a,
Тогда
<|Я,|М(/ — a) max^2(s) — фх(s) 1.
Здесь
М= max \K(t, s)\.
Из оценки A3) получаем, что V/e [a, b\
J Лф2 (t) — Лф1 (t) \ <: j К J М (Ь — а) р (ф1) ф2),

S 81 ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 73
так что
фь Лф2) < | X | М (Ь — а) р (ф!, ф2).
Возьмем любое е ?>0. Тогда при б = s,l\%\M(b — а) из
условия р (фь ф2) <3 б будем иметь
Согласно определению, это и означает, что оператор Л,
определенный формулой A2), есть непрерывный опера-
оператор из С la, b] в С [а, Ь\.
Далее, используя оценку A6), находим
(t, s) [Лф2 (s)—Лф, (s)] ds
и, вообще,
1 А»ъ(Щ^\Ц" МП«-а)П р(ф1,
\\\п Мп (Ь — а)п , ч /1j(,
1—J ^у — Р (Фь Фг). A4)
Неравенство A4) верно для любого /е{а, Ь], и, значит,
р(Л"ф1, 1М"^(Ьа)"
При любом значении Я, число п можно выбрать настолько
большим, что
]К\пМп(Ь-а)п ^,
Я1 <1#
Следовательно, оператор Л" будет сжимающим при доста-
достаточно большом п.
В силу теоремы 2.2 отсюда заключаем, что сам опера-
оператор Л имеет единственную неподвижную точку и, значит,
уравнение Вольтерра A1) при любом К имеет, и притом
единственное, решение.

74 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ . : |ТЛ. II
Эта решение может быть найдено методом последовав
тельных приближений, которые строятся по схеме
t ' ' ¦ •¦¦'
@ = *-JК(t, s)<pn
где в качестве ф0 (/) можно взять любую функцию из
С [а, Ы
Пример. Методом последовательных приближений решить
интегральное уравнение
t
— s) ф (s) ds.
Решение. В данном случае / (/) = / и К (/, s) = / — s (s < О
непрерывны и, значит, уравнение имеет «единственное непрерывное
решение.
Будем его искать методом последовательных приближений. По-
Положим ф0 (/) = 0; Тогда получим
Далее,
l
о
Ясно, что •
Ф« @ ГТ^ sin
П->ОО
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция ер (fj = sin /
есть решение данного интегрального уравнения.
3°. Принцип сжатых отображений применим к реше-
решению некоторых видов нелинейных интегральных урав-
уравнений.
Пусть имеем уравнение
ь
J, s; <p(s))ds + /(/), A6)
а

§ 8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 75
где / @ и К (/> s; z) — непрерывные функции своих аргу-
аргументов для а <: /, s < b, —oo<z<+°°-
•- Пусть, кроме того, К (t, s; z) удовлетворяет условию
Липшица по своему «функциональному» аргументу г, т. е.
\K(t, s; z2) — K(t, s; z1)|<2'|z2-z1|,
где Я? — некоторая постоянная, независящая от выбора
Zj., Z2.
Рассмотрим отображение g = Ац> полного пространства
С [а, Ь] в себя, где
, s; 9(s))rfs+/(O. A7)
-/С(^, s;
Пусть <рх (/), <р2 (t) — любые две функции из С 1а, Ы.
Тогда
|Лф2 —
Оценка A8) справедлива для любого t^[a,b]. Значит, и
max | Лф, (t) — Ащ (/) I =
= р(Лф1( Лф2)^|Я|5'F —а)р(ф!, ф2).
— a) max | ф>(s) — <Pi(s)\, A8)
<<6
Следовательно, при |Я| <5 l/S' F — а) оператор Л будет
сжимающим и, в силу теоремы 2.1, интегральное уравне-
цие A6) будет иметь при таких % единственное непрерыв-
непрерывное решение.
Это решение может быть найдено методом последова-
последовательных приближений по схеме
ь
4W @ = * J К (t, s; ф„ (s)) ds + № (n = 0,1,,.,),
где в качестве ф0 (f) можно взять любую функцию из
С [а, Ы

76
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
[тл:
Замечание. Если функция K(tt s; г) имеет огра-
ограниченную частную производную но г:
Ж
дг
то такая функция удовлетворяет условию Липшица по г
с константой 3? «Л.
В самом деле, воспользовавшись теоремой Лагранжа,
будем иметь
K(t, s; Z2)-K(t, s; гд^
дг
(Щ
где. g заключено между гх и г2.
Из A9) получаем
\K(t, s;
, в; г1I=
—*t!t."
что и доказывает наше утверждение.
Пример. Решить интегральное уравнение
1
1 г ts
Решение. Функция К (/, s; z) == . , есть непрерывная
¦*> к -\- г*
функция своих аргументов; она имеет ограниченную производную по л
дК I I 2to
^ |"~1 A-f
1, <—оо< z <
1
оо,
и, следовательно, удовлетворяет условию Липшица по г, причем в ка-
качестве постоянной Липшица мы можем взять & » 1. Далее, X = 1/3,
а= —1, &= 1, так что условие
1
обеспечивающее сжатость отображения, здесь выполнено. Примениц
метод последовательных приближений, взяв за нулевое прибли-
приближение фоЮ = 1. Тогда
l
J
1

I 8] ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 77
Ясно, что <ря (/) » 1 (д =с 2, 3,...}, откуда
Ф (/) » Пт фл@ = 1. •
Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция <р(/) = 1
есть решение данного интегрального уравнения (кстати, при любом
значении Я).
4°. Системы интегральных уравнений.
Система интегральных уравнений Фредгольма второго
рода с одной независимой переменной имеет вид
п
/-1 а
(f=l, 2,,,,, л). B0)
Пусть ядра Кц (i, s) интегрируемы, с квадратом в
Q \ а < /, s <: Ь\у а свободные члены /, (t) 6 L2 fa» ^ Ь Будем
искать решение ф1 @» Фа @» ¦ • •> Фя'(') системы B0)
также в классе L2 fa, 61. Поступим следующим .образом.
Сведем систему B0) к одному интегральному уравне-
уравнению типа Фредгольма, но только на интервале, в п раз
большем исходного. Делается это так. Определим функ-
функции Ф (/) и F (t) на отрезке a < t < a + п (Ь — а), по-
положив
если
a +(i— \){b — a) <i <й +i(b*—a) (t = 1,2,..., n).
Точно так же зададим ядро K(t> s) в квадрате
а < f, s < а + п (b — a),
положив
K(t, 8) = КиУ-У-1)(Ь-а), s-(j-l)(b-
если
i(b — a),
(i, / = 1, 2, , ,„ n).

78 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [ГЛ. II
Тогда система B0) запишется в виде одного уравнения
Фредгольма:
а+п ib—a)
Ф@ = я J
K(t, s)O(s)rfs + F@. B1)
а
Нетрудно видеть, что построенное нами ядро К (t, s) ин-
интегрируемо с квадратом
а свободный член F (/)eL2 [а, а -(- п (Ь — а) 1. Действи-
Действительно,
а+п F—о) л а-\-1 F—о)
J \F{t)?dt-Yi J '
fi + а1)
л a-\-i F—о)
S J |/f(^-(i
l=la+(l-l) F-а)
л 6
S J
j=I а
Точно так же
О+Л F—0) 0-(-Л F—0)
У \ \K(t, s)\*dtds =
а а
л 6 6
= S l\\Ki,(t,s)f
I, /=1 a a
Итак, мы свели систему уравнений A) к одному инте-
интегральному уравнению Фредгольма с ядром K(t, s)^Z,2(Q1)
и свободным членом F (t)^L2 [ata + п (b — а) ].
Применяя к нему рассуждения п. 1°, получаем, что
если |Я| <• 1/Ви то уравнение B1) имеет единственное
решение в классе Ьг [а, а -\- п (Ь — а) ]. Это последнее
может быть найдено методом последовательных прибли-
приближений.
Следовательно, и для системы B0) последовательные
приближения сходятся в среднем к решению системы,
коль скоро |Я| < 1/51, где
л 6 6
Bi= S I Jl *</('. s)\*dtdst
(, 1=1 а а

ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
При рассмотрении общих свойств линейных интеграль-
интегральных уравнений полезно использовать некоторые резуль-
результаты теории линейных операторов. Это тем более есте-
естественно, что сами интегральные уравнения послужили
отправной точкой для построения общей теории линейных
операторов.
§ 9. Линейные нормированные пространства
I. Линейное пространство
Определение. Пусть Е — множество элемен-
элементов, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1 °. Е — абелева группа относительно групповой опера-
операции слооюения. Это значит, что определена сумма х + У
любых двух элементов xje?, являющаяся элементом
того же множества, причем операция сложения удовлетво-
удовлетворяет условиям:
\)х-\-у = у-{-х (коммутативность);
2) х 4- (У + z) = (х -f У) + 2 (ассоциативность);
3) существует однозначно определенный элемент 0 та-
такой, что
х + 0 = х Vx<=E;
4) для всякого хе? существует однозначно опреде-
определенный элемент (—х)еЕ такой, что
х + (—х) = 0.
Элемент 0 называется нулевым элементом или нулем
группы. Элемент (—х) называется элементом, противопо-
противоположным х.

80 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Естественно вводится операция, обратная к операции
сложения элементов, которую называют вычитанием: под
разностью х— у понимают х -f (—У)-
2°. Определено умножение элементов х, у, г, ...
множества Е на вещественные (комплексные) числа
X, ц, v, . . ., причем Хх снова является элементом мно-
множества Е и выполняются условия:
1) % (\ix) = (Яц) х (закон ассоциативности умножения);
2) % (х + у) = %х + Ц,
„.,,,. . (законы дистрибутивности).
3) (X -}- \i) х = кх -}- [ix
Множество Е, удовлетворяющее аксиомам I и II, на-
зывается линейным (векторным) пространством.
В зависимости от того, на какие числа, вещественные
или комплексные, допускается умножение элементов мно-
множества Я, различают вещественное или комплексное ли-
. нейное пространство.
Примеры. 1. Совокупность всех векторов плоско-
плоскости с обычными операциями сложения векторов и умно-
умножения их на действительное число образует линейное
пространство.
2. Совокупность элементов пространства С [а, Ь]
с обычными операциями сложения функций и умножения
функции на число образует линейное пространство. Нуль
этого пространства — функция х (t) = 0 на [а, Ь1.
С другой стороны, совокупность векторов на плоско-
плоскости, начала которых находятся в начале координат, а
концы — в пределах 1-й четверти, линейного пространства
не образует, так как в пределах этой совокупности нельзя
умножать на (—1).
Аналогично, класс всех монотонных на [а, Ь\ функций
не образует линейного пространства с обычной операцией
сложения функций.
Так, функции хх (t) = sin t 4- 2t и xt (f) = sin i — 2i
монотонны на [—n, п ], но их сумма х (f) = xt (f) -f x2 (f) =>
= 2 sin t не монотонна на [—п, я].
Класс всех периодических функций также не образует
линейного пространства. Так, каждая из функций sin t
и sin at (а иррационально) периодическая, но их сумма
sin t + s'n at есть функция непериодическая.

§ 9] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
II. Линейное нормированное
пространство
Определение. Множество Е называется линей-
линейным нормированным пространством, если:
Г. Е—линейное пространство.
2°. Каждому элементу *е? поставлено в соответствие
действительное число, которое называется нормой этого
элемента, обозначается символом \\x\\ и удовлетворяет сле-
следующим условиям (аксиомы нормы):
1I*112*0, |*1 = 0 #ф*-в;
2) II* + У\\ < 1*11 +|| #11 (аксиома треугольника);
3) ||Кх| = | Я |||л;|| (однородность нормы).
Эти свойства — естественное перенесение свойств
нормы (длины) вектора в обычном трехмерном простран-
пространстве на элементы любой природы.
. В линейном нормированном пространстве можно ввести
метрику посредством равенства
р(*. у) = \\х—у\\. A)
Легко проверить, что так введенное расстояние удовлетво-
удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Так как х — 0 = *, то из определения A) следует, что
так что норма любого элемента равна его расстоянию от
нуля. Введя метрику, можно определить сходимость по-
последовательности элементов {*„} к х0, а именно:
х0 = lim xn,
Я->со
если
И*„—*оИ—0.
Я-> 00
Определенная таким образом сходимость в линейном
нормированном пространстве называется сходимостью по
цорме.
Если линейное нормированное пространство является
полным в смысле сходимости по норме, то оно называется
пространством Банаха или пространством типа В.

82 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Примеры. 1. «-мерное векторное пространство
с обычными операциями сложения векторов и умножения
их на число и нормой
X = (li, l% In),
есть пространство типа В.
2. С [а, Ь\ есть пространство типа В. Сложение функ-
функций и умножение функций на число определяем обычным
образом. Положим
|| х\\ = max\x(t)\,
тогда ,
У) = II*—УII = max | х (t) — у (t) \,
так что метрика полученного пространства совпадает с мет-
метрикой, ранее введенной в С [a, b).
Как было показано, С [а, Ь] полно в этой метрике и,
следовательно, есть банахово пространство.
3. Lp [a, b] есть пространство типа В. Здесь «
4. Рассмотрим линейное пр остранство функций х (f)j<
непрерывных на отрезке [a, b]. Его можно сделать нор-?
мированным пространством, положив *
ь
а
Будем это пространство обозначать Сх [a, b\. Здес
ь
Я*, У)=
Пространство Сг [а, Ь] не полно. Приведем пример!
(см. [5 ]) фундаментальной последовательности из Сг [a, b w

S 9]
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
83
не имеющей предела в Сг [а, Ь\. Беря для простоты от-
отрезок {0, 1 ], рассмотрим функцию (рис. 8)
I при 0=sS*<l/2,
0 при 1/2 + /
В смысле метрики B), т. е. по норме, последовательность
i H ' ' "
»*•
i '
Рис. 8.
Рис. 9.
\хп (f)} сходится к функции (рис. 9)
а при 0=?^
x{f)~\Q при 1/2<*
Действительно,
1
l/2+l/2n
f
/+/
= f (n+1— 2nt)dt^l/2n,
1/2
1/2
и поэтому хп (t) -> х (f).
Отсюда следует, что последовательность хп (t) фунда-
фундаментальна в Сх [а, Ь), на предела в Cxla, b] она не имеет,
так как сходится к разрывной функции.
Поэтому Сх [а, Ь\ есть линейное нормированное про-
пространство, не являющееся банаховым пространством.

84 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II!
5. Пространство С2 [а, Ь] непрерывных на [а, Ь\
функции x(t) с нормой . - :
не является fi-пространством. Можно показать, что после
довательность непрерывных функций \
хп (t) = arctg tit, *-1 < t < 1,
фундаментальна, но сходится в смысле среднего квадро
тичного уклонения к разрывной функции
— я/2 при t<0,
0 при г = 0,
л/2 при
Для банаховых пространств справедливо все, что имее|
место для полных метрических пространств (в частности, |
fi-пространствах работает принцип сжатых отображений^
§ 10. Линейные операторы. Норма оператора '.
Пусть Е и Ё — линейные пространства. Оператор 4i
действующий из Е в Ё, называется линейным, если
1) аддитивен, т. е.
А (х + У) = Ах'-\-Ау для любых х, у^Е;
2) однороден, т. е.
А (ах) = а Ах для любого х^Е и любого числа а.
Непосредственно из определения линейного оператор!
следует, что всегда Л0 = 0, А (—х) = —Ах.
Из 1) и 2) легко получаем
А (ад + „ • ¦ + аьХк) = axAxi + . .. + ahAxk
для любых Xi,. . ., xk из Е и любых чисел аъ а2, . . ., Щ
Примеры. 1. Оператор О, переводящий каждь|
элемент х пространства Е в нулевой элемент пространств
Ё: Ох = 0 V х^Е, является линейным. Он называете
нулевым оператором.

5 10] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. НОРМА ОПЕРАТОРА 85
2. Оператор /, переводящий каждый элемент про-
пространства Е в себя:
1х — х,
линеен. Он называется единичным или тождественным
оператором.
3. Оператор А, переводящий каждый элемент х&Е
в элемент-Кх (к — фиксированное число), есть линейный
оператор, называемый оператором подобия.
4. Пусть А — линейный оператор, отображающий п-
мерное пространство Rn с базисом elt [е2, . . ., еп в т-
мерное пространство Rm с базисом /1( /2, . . ., fm.
Если *е#", то
и, в силу линейности оператора Л,
Таким образом, оператор А будет задан, если известно,
во что он переводит базисные векторы ех, е2, . . ., еп.
Разложим вектор Ае^Ят по базису /1( /2, . . ., fm.
Будем иметь
Aet= fiaff; (? = 1,2 n).
Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей
коэффициентов {a)l))\Z\\\, \''.', %, столбцами которой
служат координаты векторов Аеъ Ае2, . . ., Аеп относи-
относительно базиса^/х, /2 fm.
Пусть Е и Ё — линейные нормированные пространства.
Определение. Оператор у = Ах с областью
определения DAc=E и со значениями в Ё называется непре-
непрерывным в точке xo^DA, если для всякого е > 0 существует
б >>0 такое, что для всех х е DA таких, что \х — х0 \\Е <; б,
выполняется неравенство

86 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Здесь | Цв» Q fg — нормы в пространствах Е, Ё соот-
соответственно.
Часто бывает удобно следующее (равносильное) опре-
определение непрерывности оператора.
Оператор А непрерывен в точке xo^DA, если для любой
последовательности элементов \хп\, xn^.DA, сходящейся
к х0 по норме пространства Е, соответствующая последо-
последовательность \Ахп\ сходится к элементу Ах0 по норме
пространства Ё, т. е.
lim Ахп = Ах0.
П-> 00
Примеры. 1. Пусть Е = Е = С [а, Ь). Для про-
произвольной функции х (t) ? С [а, Ь ] положим
=lK(t, s)x(s)ds, A)
где К (t, s) — некоторая фиксированная непрерывная функ-
функция двух переменных в квадрате Q{a <: t, s <: b\.
Используя равномерную непрерывность К (t, s) в Q,
получаем, что функция у (t) непрерывна для любой не-
непрерывной функции х (t), так что равенство A) определяет
оператор у = Ах, действующий из пространства С [а, Ь]
в С [а, Ь]. Его называют интегральным оператором Фред-
гольма с (непрерывным) ядром К (t, s). Линейность этого:
оиератора очевидна:
ь
1) A(Xl+x2)= JK(t,s)[x1(s) + xt(s)]ds =
а
Ь Ь
= J /С (f, s) x1 (s) ds + J К (/, s) хг (s) ds = Axx + Ан
а а
Ь
2) А (ах) = J К (/, s) ax (s) ds =
а
Ь
= а J K(t,s)x(s)ds = aAx (a = const).

§ 10] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. НОРМА ОПЕРАТОРА 87
Непрерывность оператора А следует из того, что сходи-
сходимость в пространстве С la, Ь] есть равномерная сходи-
сходимость, при которой возможен предельный переход под
знаком интеграла. Поэтому, если хп (t) -*¦ х0 (t), то
ь
lim Ахп = lim [ К (t, s) xn (s) ds =
Ь • Ь
= \K(t, s) (lim х„ (s)) ds=\ К (t, s) х0 (s) ds = Ах0.
а л->°° а
2. Пусть теперь Е = Ё = L2 la, b). Вновь рассмот-
рассмотрим интегральный оператор Фредгольма
ь
у = Ах= JK(t,s)x(s)ds, A)
но теперь будем предполагать, что ядро К (t, s) интегри-
интегрируемо с квадратом по области Q {а < t, s <: b\:
ь ь
JJ K}{t,s)dtds = &<+oo. B)
Покажем, что формула A) определяет оператор, действую-
действующий из L2 [a, b] в L2 [a, b].
В силу теоремы Фубини (см. [27]) из условия B) сле-
следует, что ядро К (t, s), как функция от s, принадлежит
Ьг [а, Ь]. Значит, интеграл A) существует для любой
функции x(t)^L2 la, b]. По той же теореме Фубини
функция
(Ч \1%
принадлежит L2 la, b], причем
b b
oo.
о о о
\k*(t)dt = \\K*(t,s)dsdt

88 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.
Используя неравенство Коши— Буняковского, находим
Ъ bib \2
a \a )
bib b
sssj J/C4^,s)ds lx*(s)ds\di =
a \o a
b b b
\^{s)ds\\K4t>s)dsdt=\\x\f&, №
T.e.y(t)eL2la,bl .
Неравенство C) можно записать в виде
Извлекая квадратный корень из обеих частей этого нера*
венства, будем иметь jj
Линейность оператора А очевидна, а непрерывность
следует из неравенства D), поскольку если хп '-*¦ xOf_ тЙ
|| Ахп — Ах01| = || А (хп — хо)\\^В\\ хп — х01|—> О,
П-> 00
и, значит,
лхп > axq,
п-> оо
Упражнение. Показать, что в конечномерном пространстви
всякий линейный оператор непрерывен.
Теорема 3.1 Линейный оператор у = Ах, опредщ
ленный на линейном нормированном пространстве Е
и отображающий Е в линейное нормированное прострой,
ство Ё, непрерывный в одной точке х0 е Е, непрерывен «S
всем пространстве Е.
Действительно, пусть х — любая точка из Е и *„*-> Щ
Тогда хп ~— х 4- х0 -> х0. Так как А непрерывен в точке *ol
то
lim А (хп — х + хй) = Ахй.
п->со
Но в силу линейности оператора
А (хп — х + х0) = Ахп — Ах + Ах0,

S 10] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. НОРМА ОПЕРАТОРА 89
Поэтому
lim Ахп — Ах + Ах0 = Ах0,
Л-> 00
откуда
lim Ахп = Ах,
Последнее означает, согласно определению, что опера-
оператор А непрерывен в точке х^Е.
Определение (I). Линейный оператор А, дей-
действующий из Е в Ё, называется ограниченным, если он
определен на всем Е и существует такая постоянная
М >> 0, что
\\Ах\^М\\х\\ Vxe=E. E)
Здесь \\Ax\\ — норма в пространстве Ё, \\x\\ — норма в про-
пространстве Е.
Согласно этому определению, ограниченный оператор
переводит каждое ограниченное множество элементов
{*}(=? в ограниченное же множество элементов {Ах} <п Ё.
Между ограниченностью и .непрерывностью линейных
операторов существует тесная связь, которая выражается
следующей теоремой.
Теорема 3.2. Для того чтобы линейный оператор А
был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был
ограничен.
Иногда бывает удобнее пользоваться иным, равносиль-
равносильным предыдущему, определением ограниченного опера-
оператора.
Определение (II). Оператор А называется огра-
ограниченным, если он ограничен в единичном шаре St : jx\\ ^l
пространства Е, т. е. существует число Ж тате, что
\Ах\\^Ж F)
для всех х таких, что \\x\\ ^ 1.
Покажем эквивалентность определений (I) и (II).
Пусть оператор А ограничен в смысле второго опре-
определения. Положим Мо = sup|| Ллг||, так что ||Л*|| ^ уИ0,
II х || < 1
когда ||*|| ^ 1. Если теперь х ф 0 — любой элемент из Е,
то JL-eSi, и потому A (-j—j-) |<-.M0, откуда \\Ах\^
Ц, так что условие E) выполняется с М — Мо.

90 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Предположим, напротив, что выполняется условие E).
Тогда для ||| 1
т. е. А — ограниченный оператор в смысле второго опре-
определения.
Определение. Число Мо, определяемое равен-
равенством 4
Мо = sup || Ах ||, G)
Н11
называется нормой оператора А и обозначается симво-
символом || А ||.
Таким образом, для любого х&Е
(8)
Очевидно, что Ма = ||Л| есть наименьшая из констант,
участвующих в неравенстве E).
В самом деле, если бы это было не так; то нашлось бы
число Мг < М0 такое, что v^
Тогда для y/x^St мы имели бы
откуда
Мо= sup || Ас |К Мл < Af0,
11*11 <i
что невозможно.
Поэтому норму || Л || оператора А можно определить как
нижнюю грань всех чисел М, при которых имеет место
неравенство E):
Пример. Рассмотрим в пространстве С [а, Ь] оператор
= tx(t)t
называемый оператором умножения на независимую переменную.
Очевидно,
С[а%Ь]-+С[а%Ь\.
Для простоты будем считать, что 0 < а < Ь.

н. ¦ ¦ ¦ . •
| 10] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. НОРМА ОПЕРАТОРА 91
Для любой функции х (/) е С [a, b], ||jc||^1, имеем
|Af||= max \tx(t)\^b max |л:@1 = *1И*3 b. (9)
Отсюда
Если взять функцию xQ (t) ~ 1 на la, b], то для нее
= max \t\=bt
и поэтому
=:^ - A0)
1*11
Из (9) и A0) вытекает, что ||Л||= 6.
Вычисление норм конкретных операторов обычно
весьма затруднительно. Однако часто бывает довольно
легко оценить норму оператора сверху, что порой оказы-
оказывается достаточным.
Рассмотрим, например, в пространстве С [а, Ь] ин-
интегральный оператор Фредгольма
ь
Ах = J К (t, s) x (s) ds, x (t) e С [a, b]9
с непрерывным в Q\a ^ /, s < b\ ядром К (t, s).
Пусть M = max | К (t, s)|. Для x(/)eC [a, 6 ]#
, имеем
ь
К Ах || =з max
max J \K(t,s)\\x(s)\ds
a
Отсюда
||Л||= sup ]\Ах\\^М(Ь — a). A1)
Оценка A1) является весьма грубой, хотя и используется

92 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
во многих рассуждениях. Легко видеть, что справедлива
более точная оценка
Можно показать ([19]), что в данном случае
ь
||Л||= max i\K(t,s)\ds.
а<6<6 2
В заключение приведем пример линейного, но не огра-
ограниченного оператора.
Пусть Е = Ё = С [а, Ь).
Рассмотрим оператор дифференцирования
Этот оператор линеен. Однако он определен не на всем
С [а, Ь], а лишь на подмножестве СA) la, b] czC [a, b]
функций, имеющих непрерывную производную. Оператор
А на С [а, Ь] не является ограниченным. В самом
деле, пусть хп (t) — sin nt на [—л, п 1. Тогда
|| хп || = max | sin nt | = 1,
|Ак„||= max
w sin nt
= n max | cos nt\~n,
и поэтому
sup
§ 11. Пространство операторов
Зафиксируем два линейных нормированных простран-
пространства Е и Ё и будем рассматривать всевозможные линей-
линейные операторы А, В, . . ., действующие из Е в Ё.
Два оператора А и В считаем равными и пишем А = В,
если они совпадают на всем Е, т. е.
Ах = Вх V*e=?.

$ 11] ПРОСТРАНСТВО ОПЕРАТОРОВ S3
Определим сумму операторов и произведение оператора
на число следующим образом:
(А + В)х
(кА) х => ХАх.
Это будут снова операторы, действующие из Е в Ё, и по
отношению к так введенным операциям множество всех
таких линейных операторов в свою очередь образует
линейное пространство. Нулем этого пространства будет
нулевой оператор, определяемый равенством
Более того, эта совокупность операторов будет линейным
нормированным пространством. В самом деле, для каждого
оператора А определена норма этого оператора || А || —
неотрицательное число, равное sup || Ллг||, и остается лишь
11*11 «'i
проверить выполнение аксиом нормы.
Проверим, например, выполнимость аксиомы треуголь-
треугольника. Имеем
\\{А + В)х\\ =
- sup ||Лл: + Ял:||< sup {|| Ах || +1| Вх ||}
1111 <i 1111«i
< sup ||Лаг||+ sup ||
IUII < 1 II * II < 1
так что аксиома треугольника для норм оказывается вы-
выполненной.
Итак, совокупность всех линейных операторов, дей»
ствующих из Е в Ё, есть линейное нормированное про-
пространство. Будем его обозначать символом (Е -*¦ Е).
Можно показать ([38]), что если Ё—полное простран-
пространство, то пространство линейных операторов (Е -*¦ Ё)
также полное.
Именно, пусть имеем последовательность операторов
\Ап) а (?->?) и ||

94 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
т. е. последовательность \Ап) операторов фундаментальна.
Тогда существует оператор А = lim An такой, что
Эту сходимость по норме в пространстве операторов назы-
называют равномерной сходимостью последовательности опера-
операторов.
Пусть Е — линейное пространство. Рассмотрим мно-
множество (Е -*¦ Е) всех линейных операторов, определенных
на Е с областью значений, расположенной в том же про-
пространстве. Как мы показали, эти операторы образуют
линейное пространство.
Определим произведение операторов А, В из (Е -v E)
формулой
(АВ) х = А (Вх).
Легко видеть, что АВ снова линейный оператор. В самом
деле,
(АВ) (х1 + хг) = А (В (х, + хг)) = А (Вх, + Вх2) =
= А (Вхг) + А (Вх2) = (АВ) хл + (АВ) хг,
(АВ) (Кх) = А(В (Хх)) = А (ХВх) = ХА (Вх) = к (АВ) х.
По индукции определяется произведение любого числа
операторов. В частности, АА = Л2, ЛМ = А3 и т. д..
Нетрудно проверить, что
(АВ) С = А (ВС),
(А + В) С = АС + ВС,
С (А + В) = СА + СБ.
Далее, существует единичный оператор /, определяемый
равенством
Ix = x Vxe=?
и такой, что AI = /Л = А для любого оператора А.
Определение. Назовем кольцом R множество
элементов х, у, г, ... с двумя операциями, называемыми
сложением и умножением, которые записываются соответ-
соответственно как сумма и произведение, и удовлетворяющих
следующим условиям:

§ 12) ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 95
1) Относительно сложения R—абелева группа.
2) Умножение ассоциативно; (ху) г = х {уг).
3) для любых xy,z^.R
(х + у) г = хг + уг, '
, , . , (дистрибутивность),
г (х -\-у) = гх -\-гу у И * '
Кольцо R называется коммутативным, если в нем
тождественно
ху = ух.
Таким образом, множество (Е ->¦ Е) линейных опера-
операторов образует кольцо с единицей I. (Множество четных
чисел с обычными операциями сложения и умножения
образует кольцо без единицы.)
Кольцо операторов некоммутативно, так как, вообще
говоря,
АВ + ВА,
что видно хотя бы на примере матричных операторов.
§ 12. Обратные операторы
Важным понятием является понятие обратного опера-
оператора. Согласно общему определению обратного элемента
кольца с единицей, оператор В называется левым обрат-
обратным для линейного оператора А, если
ВА = /.
Точно так же оператор С называется правым обратным
для оператора А, если
АС = /.
Если оператор А имеет левый обратный В и правый об-
обратный С, то они равны:
В = В (АС) = (ВА) С = С.
В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный
оператор А'1. Таким образом, если А'1 существует, то
АА'1 = А-Ы = I.

96 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш
С понятием обратного оператора связаны вопросы о суще-
существовании и единственности решения операторных уравне-
уравнений вида
Ах = /, A)
где / — известный элемент пространства Е, х — искомый
элемент того же пространства.
К уравнениям вида A) относятся линейные алгебраи-
алгебраические системы, линейные дифференциальные, линейные
интегральные и другие линейные уравнения.
Рассмотрим уравнение A) и предположим, что опера-
оператор Л имеет обратный А. Непосредственной подстанов-
подстановкой убеждаемся в том, что
х = Л/ B)
есть решение уравнения A). Нетрудно показать, что это
решение единственно.
Рассмотрим два линейных ограниченных оператора А
и Я, отображающих линейное нормированное простран-
пространство Е в себя. Тогда имеет смысл произведение АВ опе-
операторов. Покажем, что
C)
Действительно, для любого х е Е
||ЛЯл;||<||Л|Н|Ял;||<||Л||||Я||||х||. D)
Следовательно,
|| ЛЯ ||= sup || ЛЯ* IXIIЛ ИИ Я ||,
0П1
что и доказывает утверждение.
Имеет место важная для дальнейшего теорема.
Теорема 3.3. Пусть линейный ограниченный one-
ратор А отображает банахово пространство Е в себя
и ||Л || < q <5 1. Тогда оператор I + Л, где I — единич-
единичный оператор, имеет обратный линейный ограниченный
оператор.
Доказательство. В пространстве операторов
(Е -> Е) рассмотрим ряд
/_А-|-Л2 — Л3+ ... + (— 1)"ЛЛ + ... E)

5 121 ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 97
Так как |Л2| < ЦлЦ2 и, вообще, | Ап\\ «S |л|", то для ча-
частичных сумм Sn ряда E) будем иметь
-4-
По условию О <J q <j 1, и, значит, величина в правой
части F) стремится к нулю при п -*¦ оо для любого р ?> 0.
Поэтому последовательность {Sn[ частичных сумм ряда E)
сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства
операторов, она сходится к некоторому пределу. Таким
образом, ряд E) сходитея.
Пусть оператор 5 — сумма этого ряда. Имеем
= lim [(/ — А + А2 (- (— 1)" А")A + А)]
= Hm[/—Л + Л2 —Л3Н |_(_1)МЛ +
+ Л —Л2 + Л3Н Ь(—1)" Л"+11 =
Аналогично находим, что
Следовательно, S = (/ + Л).
Известно, что если линейный оператор Б имеет обрат-
обратный Б, то оператор В'1 также линеен. Поэтому опера-
оператор 5 = (/ + Л) линейный, как обратный линейному.
Кроме того, он ограничен, так как
n=0
4 ГЛ. Л. Краснов

98 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II!¦
Итак, оператор (/ + Л) — линейный ограниченный
оператор. При этом
= / — А + А2 — А3-{ + (-.tyA* + ... E')
§ 13. Приложение к линейным интегральным
уравнениям
1. Уравнение Фредгольма. Рассмотрим интегральное
уравнение Фредгольма 2-го рода
A)
с непрерывным в прямоугольнике Q \a «^ i, s «^ b\ ядром
K(t,s) и/WeC [а, Ы
Положим
и
= JK(t,s)<p(s)ds.
Тогда уравнение A) можно записать в виде
Ф = ЯЛф -f /
или
(/_Ы)ф«/. B)
Воспользовавшись теоремой 3.3, получаем, что если
А, 11| Л || < 1, то уравнение A) имеет единственное реше-
решение, которое определяется равенством
(f = (I—XA)-1f = f + KAf-\-k2A2f-\- .-. +ГЛ7+ ••• C)
Ряд в правой части равенства C) называют рядом
Неймана.
Изучим подробнее это решение. Пусть М = max \K(t,s)\.
а < t, s<b
Как известно (см. стр. 91), ЦЛЦ^М F — а), так что
условие | А, 11| Л || <Н 1 или, что то же, |Ji| < 1/||Л | будет
заведомо выполнено, если \X\<i\/M(b—а). Будем
считать, что X удовлетворяет этому условию. Выясним,

i 13} ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 99
что представляют в рассматриваемом случае степени опе-
оператора А. Имеем
A^ = A(Af)=\K(t,s)f\K(s,x)f(x)dx\ds =
a la J
= U^K(t,s)K(s,x)ds)f(x)dx.
а \а )
Положим
Функция К% (/, т) называется повторным ядром или вто-
второй итерацией ядра К (t, s) (считаем Кг {t, s) = К (t, s)).
Итак,
или, меняя обозначение переменной интегрирования,
Далее,
Л3/ = А (Л2/) = J K(t, s)(\ K2(s, x)f(x)dx\ds »
a \a J
b
= J Ks(t,s)f(s)ds,
a
где
третья итерация ядра К (t, s).

100 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГД. Ш'
Вообще,
a
где Kn {t, s) •— n-я итерация ядра К (t, s), определяемая
формулой
ь
а
Равенство Ап+Р = АпАр = АрАп, имеющее место для опе-
операторов, дает
ь ¦ t
Кп+р(t, s) = I Kn (t, x)Kp(x, s)dx = I Kp (t, x) Kn (x, s) dx, E)
а в
Отметим, что все итерированные (повторные) ядра непре-
непрерывного ядра К (t, s) непрерывны в Q.
С помощью итерированных ядер решение интегрального
уравнения A) может быть записано так:
ь ь
Ф@ = /@ + ^\Ki(t, s)f(s)ds + v\K2(t, s)f(s)ds +
a a
b
<., F)
где ряд, стоящий в правой части, при \Х\ <3 ММ (Ь^- а)
сходится равномерно.
Преобразуем выражение, для решения интегрального
уравнения. Рассмотрим ряд
Kilt, s) + XK»(t, s)+ ... +%n-*Kn{t, s)+ ... G)
Этот ряд равномерно сходится при а ^ i, s ^ b, если
В самом деле,
ь
a
b

1.13) ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Ю1
и, вообще,
IKn^syi^M^b-a)"-1.
Отсюда
I ^ Kn (t,s)\^\X Г1 Мп (Ь - аГ1 =
где
Таким образом, члены ряда G) по абсолютной вели-
величине не превосходят членов сходящегося числового ряда
2Г
л=1
откуда и следует равномерная сходимость ряда G). Обо-
Обозначим сумму этого ряда R (t, s; i):
R (t, s; k) = K (t, s) + kK2 (t, s) + . •. + Xn-lKn (t,s)+... (8)
Функция R (t, s; k) есть непрерывная функция аргумен-
аргументов /, s и аналитическая функция X при | X \ < ММ (Ь — а).
Умножая обе части (8) на / (s) и интегрируя ряд почленно,
получим
ь ь
Ь Ь
+ X J /C2(/, s)f(s)ds + ... + Г'1 J Kn(t, s)f(s)ds + ...
а а
Сравнивая это выражение с выражением' F) для ре-
решения интегрального уравнения A), можем написать
ь
ds. (9)
Функция R (t, s; k) называется разрешающим ядром
или резольвентой ядра К (t, s).
Формула (9) верна только для значений параметра Я,
достаточно малых по абсолютной величине, так как
ряд (8), вообще говоря, не сходится при любых значе-
значениях А, (последнее имеет место для уравнений Вольтерра,
см. ниже стр. 111).

102 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛП1
Существуют, однако, ядра, отличные от ядра Воль-
терра, для которых формула (9) дает решение "интеграль-
"интегрального уравнения при любом значении К. Таков случай ядра,
ортогонального самому себе, т. е. такого, для которого
К% (/, s) = 0. В этом случае все остальные повторные
ядра также равны яулю и разрешающее ядро обращается
в функцию К (/, s). Пусть, например, К (/, s) = sin t cos s$
0 ^ /, s ^ л. Тогда
/B (/, s) = J sin / cos т sin т cos s dt
о
sin2x
n=0 W.s.
Ясно, что все /^ (/, s) (p > 2) также равны нулю тожде-
тождественно и, в силу (8),
R (/, s;k)=K (/, s).
Вообще, два ядра К (t, s) и & (/, s) называются ортого-
ортогональными, если они удовлетворяют двум условиям:
ь ь
а а
V (*. 5) е Q.
Ядра называются полуортогональными, если выполняется
одно из этих условий.
Упражнения. 1°. Показать, что ядро
00
/((tt s) = ^ й„ sin nt cos ns, 0^:t, s^ 2jt,
Л=1
00
где ряд ^|ал| сходится, ортогонально самому себе.
Л=1
р
2°. Показать, что для ядра К (t, s) = V art sin л^ sin (rt + 1) s
на отрезке [0, я] резольвента /? (/, s; Я) есть многочлен относительно X
степени р — 1.
Примеры. 1. С помощью резольвенты решить интегральное
уравнение
= Я J tsy(s)ds + /(/). О')
J

13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЮЗ
Решение. В данном случае К (t, s) = ts\ a = 0; b = 1;
М= max \K(t, s)\ = 1.
Последовательно находим
, s) = fc,
l
f
/C2 (tt s) — I
Кз {*> s) = jtx .y
3 '
о
l
ts
tsrfT=32
0
Согласно (8)
В силу формулы (9)
l
f Stsf(s)
о
Из формулы (9') видно, что решение уравнения (V) существует и един<
фру () р ур (^ уу
ственно при всех значениях К Ф 3. Условие | А \ << 3 обеспечивает
сходимость ряда (8) для резольвенты и гарантирует существование
решения (Г) при V X, | X \ <J 3. Но решение, как мы видим, существует
в гораздо большей области изменения к.
2. В квантовомеханической теории рассеяния на потенциале V (/*),
где V (г) -> 0 при г -> оо, приходится искать решение уравнения Шре-
дингера
Искомая функция ф (г) представляется в виде суперпозиции падающей
плоской волны г|H (г) с волновым вектором k0 и рассеянной волны.
Здесь k2 == kl = 2тЕ/Н2, Е — кинетическая энергия частиц падаю-
падающего пучка, h — постоянная Планка, И = hl2nt r [xlt x2t jc3} — ра-
радиус-вектор частицы.

104 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛЛИ
С помощью функции Грина (см. ниже § 31) задачу рассеяния можно
преобразовать к интегральному уравнению
где в* f*o* r) —падающая волна; d3r' = dx[ dx'2 dx'z. Решение этого
интегрального уравнения можно записать в виде ряда Неймана. При
этом уже первая итерация дает очень важный результат, известный
как борновское приближение:
Резольвента R (t, s; К) удовлетворяет функциональным
уравнениям
ъ
R (t, s; X) = К (t, s) + } | К (t, т) R (т, s; Я) dx, A0)
а ч
, t; X)dx. A1)
Чтобы доказать, например, первое, заменим в формуле (8),
определяющей резольвенту, t на т:
R (т, s;
- /С. (т, s) + Я/Са (т, 5) + •.. + V^lKn (т, s) + ... A2)
Умножим обе части A2) на К (/, т) и проинтегрируем по %
от а до Ь:
ь ь
a
... A3)
Интегралы в правой части A3) равны соответственно
# ('• s), Kz (/, 5), . . ., Кп+г (/, s), . . ., И, зна^ A3)

$ 13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Ю5
можно переписать так:
ь
Умножая обе части последнего равенства на к и добавляя
к обеим частям К (t9 s), придем к равенству
ь
K(t, J
= Kit, s) + %Kt (/,«) + ... + Г/(л+1 (t, s) +,..,
или
a
Справедливость функционального уравнения A1) уста-
устанавливается аналогично *).
Упражнение. Переставляя переменные / и s в ядре К (t, s),
получим вообще другое ядро К (s, /), сопряженное (союзное) с ядром
/С (/, s). Показать, что резольвента союзного ядра есть R (s, t\ X),
если резольвента исходного ядра К (t, s) была R (/, sj Я).
Приведем еще одно важное свойство резольвенты
R (/, s; К). Будем рассматривать R (/, s; Я) как ядро и при-
применим к ней процесс построения итерированных ядер.
Получим последовательность функций
s; X) = /?(*, s; Я),' #2(*, s-Д),,,., Rn(t, s; X),.,,
*) Функциональное уравнение для резольвенты выводится бук-
буквально в две строчки, если воспользоваться представлением резольвент-
резольвентного оператора в виде ряда по степеням оператора Л. Именно, вводя,
оператор
ь
будем иметь
= А 2
Отсюда

106 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.Ш
Эти функции определяются одна за другой из рекуррент-
рекуррентных соотношений
ь
Rn(t, s; X)=\r(t, v, X)/?„_!(т, s; X)dx. A4)
a
Используя представление резольвенты
R{t,sr, X) = K(t,s) + XK2(t,s) +
+ X% (t, s) + ... + V-lKn (t,s) + ... (8)
и учитывая, что ряд в правой части (8) сходится абсолютно
и 'равномерно в области Q {a ^ t, s«g b) для |Я| <J
< \IM(b — а), получим, используя формулу E) на стр. 100,
ь ь
R2 (t, s; X) = J R (t, t; %) R (т, s; X)dx = J К (t, x) К (т, s)dx +
a
b
+ X J [K, (t, x) К (т, s) + К (t, т) К, (т, $)] dx +
a
b
^2 JIK3 (t, x) К (т, s) + Кг (t, x) Кг (т, s) +
a
+ K(t,x)K,{x,s)]dx+...=
= K2 (t, s) + 2XK3 V, s) + ЗХ*К* (t, s) Ц- ,..
Сравнивая правую часть (8) с правой частью последнего
равенства, имеем
d // . i\ <№(*>s; *¦)
/\n it) S] Л) JCZ •
Аналогично получаем, что
d (t s. X) — — &R
и, вообще,

$ 13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Ю7
Следовательно, разложение функции R (t, s; X + ц) в ряд
Тейлора по степеням X имеет вид
R(t, s;X + \i) =
= R (t, s; ц) + XR2 (t, s; (*) + ,,. + Хп~% (t, s; ц) + ,,. A5)
При ц = 0, учитывая, что R (t, s, 0) = К (i, s), получаем
как раз разложение (8) резольвенты- R (t, s; X).
Таким образом, если рассматривать R (t, s; \i) при.
определенном значении ц как ядро уравнения Фредгольма,
то соответствующим разрешающим ядром будет R (t, s;
X+li).
Нетрудно видеть, что соотношения {10), A1) являются
частными случаями общего функционального соотношения
R(t, s;\ + \i) =
ь
= R(t, s; ц) + Х \R(t, v, ц)#(т, s;X + n)dx, A6)
которое выводится из A5) аналогично A0).
Полагая ц = 0, получим формулу A0); заменив ц на X
и к на —Я, получим формулу A1).
Формулу A6) можно записать в несколько более сим-
симметричной форме, если заменить ц на к и! на Х{.— X:
ь
= (%1 — X)\r(t, т; X)R(т, s, ^)dr. A7)
a
Полагая Л,? = Л, -f- AX, формуле A7) придадим вид
'¦*» = j R (t, x;k) R (т, s; X + АХ) dx.
а
Переходя к пределу при АХ -> 0, получим интегро-диф-
ференциальное уравнение
ь
dM^L = \R{t,x-,X)R{x,s-,X)dx, A8)
а
которое вместе с условием R (t, s; 0)= Kit, s) определяет
резольвенту.

108ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.Ш
Формулы A) и (9) можно рассматривать как обратные
одна относительно другой. В самом деле, будем в соот-
соотношении (9) рассматривать функцию ф (/) как данную,
а / (/) — как неизвестную и запишем его в несколько
более общем виде:
ь
A9)
Это есть уравнение Фредгольма с ядром R ({, s; К). Его
резольвентой, как показано выше, является R (t, s;k-\~ \i),
и для значения параметра ц = —А, она принимает значение
R (t, s; 0) = К (t, s). Таким образом, формула, дающая
решение уравнения (9), совпадает с уравнением A).
Резольвента R (t, s; к), определенная как сумма ря-
ряда (8), является аналитической функцией к в круге | Я|<;
< ММ. (Ь — а) комплексной Я-плоскости. С другой сто-
стороны, резольвента Фредгольма, построенная в § 3, яв-
является мероморфной функцией к во всей плоскости к.
Можно показать, что обе эти резольвенты тождественно
совпадают для значений параметра Я,, достаточно малых
по модулю.
Таким образом, резольвента Фредгольма является мера-
морфным продолясением резольвенты (8) на всю комплекс-
комплексную k-плоскость. При этом для резольвенты Фредгольма
остаются в силе функциональные уравнения A0), A1).
Имея в виду это продолжение резольвенты (8), заметим
следующее.
Как уже отмечалось (см. § 3), если к — регулярное,
то однородное интегральное уравнение Фредгольма
B0)
.имеет только тривиальное решение ф (f) = 0. Поэтому,
чтобы уравнение B0) имело нетривиальное решение (фун-
(фундаментальную функцию), надо, чтобы при некотором зна-
значении к = к0 не существовало ограниченного [обратного
оператора (/ — кА)'1, и, значит, к = к0 должно быть
полюсом резольвенты R (t, s; к).
Покажем, обратно, что всякому полюсу резольвенты от-
отвечает по крайней мере одна фундаментальная функция.

5 13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Ю9
Действительно, пусть X = Хо есть полюс л-го порядка
резольвенты R (t, s; к). Запишем лорановское разложение
R (t, s; к) в окрестности к = К„:
резольвенты R (t, s; к). За
R (t, s; к) в окрестности к
Cln (t, S) , C_n+1
+
+ d(/, s)(^ —Ло)+... (C_n(^,s)^0) B1)
Положим A, — k0 = h и в обе части функционального урав-
уравнения A0) вместо резольвенты R (t, s; X) подставим ее раз-
разложение B1). Будем иметь
Сп (/, S) < C_n+lV, S) , , C.i(t, S) ,
—^Г—+ hn-x +•••+ S +
Приравнивая коэффициент при А~" в обеихчастях послед-
последнего равенства, получим соотношение
Сп (/, s) = Я,, J /С (/, х)С.п (т, s) dx, B2)
a
которое означает, что С_п (t, s2) есть ненулевое решение
однородного уравнения B0), отвечающее характеристиче-
характеристическому числу к0 при любом допустимом значении sf пере-
переменной s, a «S s «S Ь. Так, в приведенном выше примере
(см. стр. 103) мы имели R (t, s; К) = 3/s/C — к). Здесь
i = 3 — простой полюс резольвенты (л = 1). Согласно
доказанному предложению, функция ф (/) = —3/sj, s^ =•
= const, будет решением уравнения
в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

ПО ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.III
Упр ажнение. Пользуясь функциональным уравнением A1),
показать, [что если А. = Хо есть полюс п-го порядка резольвенты
R (t, s; X), то функция С_п (tlf s), tt = const, является решением
союзного однородного уравнения
ъ
z(s)=X9 J/C(t, s)
а
2. Уравнение Вольтерра. Рассмотрим интегральное
уравнение Вольтерра 2-го рода
, s)cp(s)ds + f(t). B3)r
Его можно рассматривать как частный случай уравнения
Фредгольма с «треугольным» ядром Ж (/, s), определяе-
определяемым следующим образом:
K(t, s) при
0 при s>/,
Поэтому к уравнению B3) приложима вся развитая выше
теория. Однако, учитывая специфику ядра, мы получаем
для итерированных ядер следующие выражения (/Ci (/, s) =
= К (t, s)):
J{t,x)K{x,s)dr B4)
s
и, вообще,
Ka (t, s) = J К (t, т) Kn.i (t, s) dr. B5)
s
Будем предполагать, что ядро К (t, s) непрерывно в замк-
замкнутом треугольнике Д, ограниченном прямыми s = a,
s = /, / = Ъ, Ъ > а, и что / (/) <= С [a, b ].
Рассмотрим формальный ряд
K(t,
+ *»-»*„(*, s)+... B6)
Пусть М = max | К (t, s) \ в указанном треугольнике Д.

$ 13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Тогда будем иметь
>/, s)\\K(r, s)\dx±
s
t
и, вообще,
Отсюда видно, что ряд B6) сходится равномерно при лю-
любом значении параметра К и сумма его есть непрерывная
функция t, s.
Обозначим сумму ряда B6) через R (t, s; К):
•• B8)
Функция R (/, s; X) есть целая функция параметра X.
Ее также называют разрешающим ядром или резольвен-
резольвентой для ядра К (/, s).
Как и в случае уравнения Фредгольма, получаем
формулу
Ф V) = f(t) + * J Rit, s; Я)/(s)ds, B9)
дающую решение уравнения B3) для любой непрерывной
функции / (/) и при любом значении параметра X. Это
решение ф (f) есть непрерывная функция аргумента /.
Резольвента уравнения Вольтерра B3), как и само
ядро К (t, s), определена для а < / < Ъ и для s < /.
Для общности формулы полагают обычно, что R (t, s; Я)^0
при s > /.
Заметим, что повторные ядра, а также резольвента
не зависят от нижнего предела а.
Упражнение. Покажите, что резольвента R (t, s; X) урав-
уравнения Вольтерра B3) удовлетворяет функциональному уравнению
s; K)=K(t, s) + kJK{t, т)/?(т, s; X)di.

Ц2ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.I
Уравнение B3) с непрерывным ядром К (t, s) и правой
частью f (t) имеет единственное непрерывное решение <р (/).
В самом деле, если бы существовало два таких реше-
решения (pi (t) и ф2 @, то их разность if0 (t) = ф2 @ — <Pi (О
удовлетворяла бы однородному интегральному уравнению
J C0)
a
или, короче,
Но уравнение C0) имеет единственное решение tf (/) = 0,
Действительно, пусть N = max |ipo(QI- Легко видеть,
что если \|H @ — решение уравнения C0), т. е. % (t) =t
ЯЛ (/), то функции
тождественны с функцией if0 (/). Проводя оценку, анало
гичную B7), находим
- а)п
откуда следует, что tyn (/) -> 0 при /t->oo для V/e [a, 6 ].
Так как % (t) = ip0 @ Для любого л, то, следовательно,
о @ = 0 на [а, &].
Пример. С помощью резольвенты решить интегральное урав-
уравнение
t
ф (t) = ^ + J б^-5 ф
о
(s) cfs.
Решение. В данном случае К (t, s) = e*~st к = 1. Пользуясь
формулой B5), последовательно находим
s
. 1

ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ИЗ
- Резольвента R (t, s; 1) определится как сумма ряда
R (t, s; 1) = e'-s + е*-* ~^р
nl
Используя формулу B9), получаем
t
о
Замечание. Интегральные уравнения Вольтерра
возникают в тех задачах физики, в которых существует
предпочтительное направление изменения независимой
переменной (например, времени, энергии и т. д.).
Оператор Вольтерра
(/)•«= J #(*, s)<p'($)ds
а
характерен тем, что значение функции Лср (/) в любой
момент / определяется значениями функции ср (/) только
при значениях s ^ /, т. е. этот оператор учитывает
«предысторию» процесса.
Естественно, что и решение
t
' ф@ =•/(*) + * J
а
уравнения Вольтерра B3) в каждый момент времени t
определяется величиной внешнего воздействия / (/) только
в предшествующие моменты s ^ /.
Для уравнения Вольтерра 2-го рода характерна воз-
возможность продолжения решения: можно построить реше-
решение сначала на некотором отрезке а < t < alt для t > a$
записать уравнение B3) в виде
t Г о.
. ф(/) == Я J К (/, s) cp(s)ds + X J К (t, s) Ф (s) ds + f(i)
а
где в квадратных скобках стоит уже известная функция,
и затем решать его дальше.

114 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.ПГ
Для уравнения Фредгольма
ь
а
такое построение решения на части отрезка [а, Ъ\ невоз-
невозможно.
Мы установили однозначйую разрешимость уравнения
Вольтерра B3) в предположении, что ядро К (/, s) и сво-
свободный член / (t) непрерывны. Эти условия можно зна-
значительно ослабить. Именно, будем предполагать, что ядро
К (/, s) интегрируется с квадратом по прямоугольнику
Q {а < /, s < Ъ), т. е.
ь ь
l\\K(t, s)\4tds = В*<+ 00 C1)
а а
(такое ядро будем называть Ь2-ядром). Предположим
также, что /(/)eL2 la, b].
Рассуждениями, аналогичными приведенным выше, по-
получаем следующую теорему.
Теорема 3.4. Интегральное уравнение Вольтерра
2-го рода
t
<p(O = xftf(/, s)q>(s)ds + /(O, a^/<b, C2)
a
у которого ядро К (t, s)eZ,2 (Q), а функция f (/)eL2 [a, b],
имеет единственное *) решение q> (/)eZ,2 [a, b].
Это решение определяется формулой
t
<p(t)=f(t)+lJR(t,s;l)f(s)ds,
a
где резольвента R (/, s; X) есть целая функция параметра К
и определяется, как сумма ряда, составленного из итери-
итерированных ядер:
R(t.s,X)=*f>M,»i(t,s), C3)
п=0
*) Единственность понимается в смысле метрики Lt [a, b]: две
функции считаются тождественными, если они отличаются друг от
друга лишь на множества меры нуль.

§ 13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 115
причем ряд в правой части C3) сходится почти всюду в Q.
Таким образом, интегральное уравнение Вольтерра
с ядром К (t, s)eL2 (Q) однозначно разрешимо при любом
свободном члене / (/)eL2 [a, b] для любых значений
параметра Я.
Соответствующее однородное интегральное уравнение
s)q>(s)ds
имеет при любом X только тривиальное решение, так что
интегральное уравнение Вольтерра с ?2-ядром не имеет
характеристических чисел.
Существуют и другие ядра, вовсе не имеющие характе-
характеристических чисел. Это вытекает из теоремы Лалеско
([49]).
Теорема 3.5. Пусть К (t, s) — фредгольмово ядро
и /С„ (/, s) — его итерированные ядра. Для того, чтобы
ядро К (/, s) не имело характеристических чисел, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы
Совсем иначе обстоит дело, если допускать или неин^
тегрируемые решения, или ядра с неинтегрируемой осо-
особенностью. Например, однородное уравнение
имеет непрерывное решение <р (/) = /" (а > 0), отвечаю-
отвечающее значению параметра Я = а.
Условимся и в этом случае отличные от нуля реше-
решения ф (/) однородного уравнения называть собственными
функциями, а соответствующие значения параметра X —
характеристическими значениями.
Конечно, в случае существования при каком-нибудь
К нетривиальных решений <pv (/) однородного уравнения

116 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.НГ
типа Волыерра с неинтегрируемым ядром соответствующее
неоднородное уравнение уже не. может иметь только одно
решение: если вообще такое решение ф (/) существует, то,
прибавляя к нему любые cv<pv (/) (cv = const), опять по-
получим решение неоднородного уравнения.
В вопросах единственности решения интегрального
уравнения существенную роль играет класс функций,
в котором ищется решение (класс суммируемых функций,
квадратично суммируемых, непрерывных и т. д.).
Так, если ядро К (t, s) уравнения Вольтерра ограни-
ограничено, когда / меняется в некотором конечном интервале
(а, Ь):
\К(t,s)\^M = const V*e(a, b),
и свободный член / (/) суммируем *) в интервале (а, Ь), то
уравнение Вольтерра при любом значении % имеет в ин-
интервале (а, Ъ) единственное суммируемое решение ф (/),
Однако если отказаться от требования суммируемости
решения, то теорема единственности перестает быть верной
в том смысле, что уравнение может иметь, наряду с сум-
суммируемым решением, еще и несуммируемые решения.
П. С. Урысон A423) построил изящные примеры ин-
интегральных уравнений (см. ниже примеры 1 и 2), которые,
наряду с суммируемым, имеют и несуммируемые решения;
даже в том случае, когда ядро К (/, s) и функция / (*),;
непрерывны. у
Будем считать для простоты / (/) = 0 и рассмотрим!
интегральное уравнение %
t • А
f s)<p{s)ds, C4>|
где К (t, s) — непрерывная функция.
*) Функция х^.неотрицательная на интервале (а, Ь), называется ^
ъ
суммируемой на этом интервале, если \ х (/) dt конечен; функция х (f)
а
произвольного знака будет суммируемой на (а, Ь) тогда и только тогда, \
Ь .;]
когда суммируема функция | х @ |> т. е. когда интеграл Г | х (О I dt i
а '}
имеет конечное значение. Интегралы понимаются в смысле Лебега, '

$13] ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Ц7
Как было показано выше, в классе непрерывных
(и, следовательно, суммируемых) функций это уравнение
имеет единственное решение ф (/) = 0.
Примеры. 1. Пусть 0 <: s < / < 1,
C5)
О, s>t.
В квадрате Q\0 <: i, s <: 1} ядро K(t, s) ограничено,
так как
0=sS К (t, s) =ss /< 1.
Более того, оно непрерывно при 0 <: s <: t. Уравнение C4)
в этом случае имеет очевидное суммируемое решение
Ф (t) = 0 и, в силу сказанного выше, других суммируе-
суммируемых решений это уравнение не имеет.
С другой стороны, непосредственной проверкой убеж-
убеждаемся, что уравнение C4) имеет бесконечное множество
несуммируемых в @, 1) решений вида
С — произвольная постоянная, /^=0).
В самом деле, учитывая выражение C5) для ядра
К (t, s), находим
t и1-1"" t
J К (t, s) Ф (s) ds = f se^'-1 -f ds -f- J t C_ d$ =
= Ct-Ct In el'l/t' = -?-.
Таким образом, получаем CIt ~ CIt (t Ф 0), т. е. ф (/) =
= CIt есть решение, несуммируемое в @, 1), уравнения C4).
2. Пусть 0<s</<a(a>0 — любое, в частности,
а = -f оо),
Функция К (t, s) даже аналитична всюду, за исключением

Ц8ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.1Ц'
(О, 0). Однако уравнение C4) с ядром C6) допускает не-
суммируемые решения. В самом деле, уравнение
_2_ arctg
"я W
C7)
имеет суммируемое решение, так как функция
я fi
ограничена и непрерывна всюду, кроме точки 1 = 0.
Функция
( 0. / = 0,
1 ,^п C8)
где ip (f) — решение уравнения C7), будет уже несумми-
руемым в @, а) решением уравнения C4) с ядром C6).
Действительно, для / ;> 0 имеем
В силу уравнения C7) первое слагаемое в правой части
C9) есть
Второе слагаемое дает
2 f tds _ 2 / 1 s \
я J /• + s» - я \ /» g <? У

§14] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ 119
Таким образом,
t
U s)<p(s)ds =
\
¦ @ + -jr -|- (arctg t* + arctg .
а это и означает, что функция q> (/), определяемая равен-
равенством C8), есть несуммируемое решение уравнения C4)
с ядром C6).
Интегральное уравнение
J
(О
где ^i @» ^2@—непрерывные функции на [—b, b], каждая из
которых по абсолютной величине меньше Ь, может быть рассматри-
рассматриваемо как особый случай уравнения Фредгольма, в котором ядро
/С (/, s) для всех значений s вне интервала (грх, г|?2) равно нулю. Когда
абсолютные значения | ярх ? и jifgl не превосходят \t\, резольвента
такого уравнения представляет целую функцию от X, как и в случае
уравнения Вольтерра. Достаточно сравнить это уравнение с вспомо-
вспомогательным мажорирующим уравнением вида
ф (/) = n -1- % Миф (s) ds.
-к i
которое имеет своим решением функцию Ne^M ' ^;
§ 14. Теоремы Фредгольма для общего случая
уравнения Фредгольма
Мы установили, что интегральное уравнение
ь
|, s)<р(s)ds + /(Q A)
или, короче,
= XAq> + f

120 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.1П
с произвольным, непрерывным в Q{a <з /, 5 < Ъ) ядром
К (t, s) и / (t)^C la, b ] имеет единственное непрерывное
решение ф (/), определяемое формулой
s>
для всех к таких, [что \к\ < 1/ЦЛЦ. Здесь R (I, s; К) —
резольвента ядра К (t, s).
Для уравнений Фредгольма с вырожденным ядром
были доказаны (см. § 4) три фундаментальные теоремы
Фредгольма, касающиеся разрешимости таких уравнений.
Попытаемся распространить эти теоремы на случай про-
произвольного непрерывного ядра.
В силу теоремы Вейерштрасса всякое непрерывное
в Q ядро К (t, s) можно представить в виде
K(t,s) = KB(t,s) + Kt(t, s),
где
*»(/.*)=? ak(t)bk(s)
— вырожденное ядро, а ядро /С8 (/, s) по норме С может
быть сколь угодно малым. Поэтому уравнение A) можно
записать так; :
ь ь ':
где 7>={/еБ(/, s)<p(s)ds, Sf={/Ce(/, s)<p{s)ds. \
а а
Пусть р — произвольное положительное число. Выбе- *
рем оператор S так, чтобы ||S||<3 1/р. Тогда для всех К
таких, что | к | << р, будем иметь | к \ || S || <3 1 и уравнение
t @ = * S* + g (О
будет однозначно разрешимо в С [а, Ь] при любой функ-
функции g (/)eC [а, Ь\, причем
ь
Ф @ = 8 @ + * 1 /?i С. s; *.)«(«) ds, D)
где /?х (/, s; X,) — резольвента ядра Ке (t, s).

$ 14] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ 121
Перепишем уравнение C) в виде
Ф = *Sq> + Ft
где
ъ
F@ = /(/)Ч-^JЛГвС" s)<p(s)ds.
а
Считая F (f) известной, с помощью формулы D) приходим
к уравнению, эквивалентному исходному:
ь
ф@ = ^) + ь|ЗД s; b)F(s)ds,
а
ИЛИ
Г
L
1
s)+ *,(/?!(/, т; Я,)/Св(т, s)dtL(s)rfs. E)
J
Первые два слагаемых правой части E) — известные функ*
ции. Далее, <
ъ ь п
\ Rx (t, т; к) Къ (т, s) их = J /?! (/, т; k) J аА (т) ftft (s) </т =
a
b
/, т;
ft=l
так что ядро уравнения E) -— вырожденное.
Таким образом, любое интегральное уравнение Фред-
го льма 2-го рода с непрерывным яд ром-может быть сведено
к уравнению с вырожденным ядром. Пользуясь этим, можно
показать ([20]), что теоремы Фредгольна, установленные
в свое время (см. § 4) для уравнений с вырожденным
ядром, имеют место для интегральных уравнений Фред-
гольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром,
а также ?2-ядром.

122ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. III
Учитывая еще результаты § 3, сформулируем оконча-
окончательно четыре теоремыФредгольма.
Теорема 3.6. Если значение к не является харак-
характеристическим, то как данное интегральное уравнение,
так и сопряженное с ним однозначно разрешимы при любом
свободном члене f (/). Соответствующие однородные урав-
уравнения имеют при этом только тривиальные решения.
Теорема 3.7. Если значение к характеристическое,
то однородное интегральное уравнение, так же как и
сопряженное с ним однородное уравнение, имеет нетри-
нетривиальные решения. Число линейно независимых решений
однородного интегрального уравнения конечно и равно
числу линейно независимых решений однородного сопряжен-
сопряженного уравнения.
Теорема 3.8. Для того чтобы неоднородное ин-
интегральное уравнение было разрешимо, необходимо и до-
достаточно, чтобы его свободный член f (f) был ортогонален
ко всем решениям соответствующего однородного сопря-
сопряженного уравнения.
Теорема 3.9. Уравнение Фредгольма имеет не
более счетного множества характеристических чисел, кото-
которые могут сгущаться только на бесконечности.
Из теорем Фредгольма вытекает так называемая аль-
альтернатива Фредгольма:
Либо неоднородное уравнение разрешимо при любой
правой части, либо соответствующее однородное уравнение
имеет нетривиальные решения.
Первый случай альтернативы имеет место при неха-
нехарактеристическом значении к, второй — если к является
характеристическим числом.
Приведем теорему, дающую оценку погрешности реше-
решения, которая получается при замене данного ядра на близ-
близкое к нему другое ядро, в частности на вырожденное.
Теорема 3.10. Пусть даны два интегральных
уравнения
{t, s)<p(s)ds, F)
Ф @ = к V) + A, J Ко (t, s) ф (s) ds, G)

S 14] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ 123
и пусть /?0 (t, s; к) — резольвента уравнения G) с ядром
/Со (t, s). Пусть, далее, имеют место неравенства
ь -
\\K(t, s) — K0(t, s)\ds<e Vte=[a,b], (8)
1/@-Ш<ть (9)
b
l\R0(t, s;K)\ds<M. A0)
a
Тогда, если выполнено условие
е|Ь|A+|МЛ*)<1. . (И)
то уравнение F) имеет единственное решение ф (t) и раз-
разность между этим решением и решением ц> (t) уравне-
уравнения G) удовлетворяет оценке
еде N= sup 1/@ |.
Доказательство. Предполагая существование
ограниченного, решения уравнения F), обозначим
со= sup \<p(t)\
и рассмотрим интегральное уравнение
Ф(^) = Л, J Ко (^> s) ф (s) ^s ~Ь F @>
а
Ь
где F(t) = f(t)-\-kj [K(t, s) — K0(t,'s)](p(s)ds. Тогда в
а
силу формулы B)
Ь
R0(t, s; K)F(s)ds.

124ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВН ЕНИЯ [ГЛ.Ш
Далее,
и, следовательно,
ь
|До(*. s;
(N + fklcoe) A3)
для всех te[a, b]. Поэтому и с0 = supjcp @1 не превос-
ходит величины, стоящей справа в A3), т. е.
откуда
причем последний переход законен, если выполнено усло-
условие A1):
Итак, при выполнении условия A1) все решения <р (t)
уравнения F) ограничены для любой ограниченной / (t).
Это показывает, что % не является характеристическим
числом ядра К (t, s) и уравнение F) имеет единственное
решение.
В самом деле, если бы к было характеристическим
числом, то, прибавляя к решению неоднородного уравне-
уравнения F) собственную функцию ядра К (t, s), мы снова бы
получили решение уравнения F). Поскольку собственная'
функция определяется с точностью до постоянного мно-
множителя, ее можно взять такой, чтобы максимум ее модуля
был больше любого наперед заданного числа и, значит,
для уравнения F). можно было бы найти решение, сколь
угодно большое по абсолютной величине. Это противоре-
противоречит доказанной выше ограниченности всех решений урав-
уравнения F).

§ 14] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА ДЛЯ ОБЩЕГО СЛУЧАЯ {25
Докажем теперь оценку A2). Вычитая почленно урав-
уравнение G) из F), получим
Ф @ — ф@ = A- J IK (*, s)—K0 (t, s) + Ко (t, s)] ф (s) ds -
b
—^ J Ко (*, 5) ф (s) ds + / (о -Л @,
a
ИЛИ
6
Ф @ — ф@ = Я. | /Co (/, s) [ф (s) — ф (s)]ds + f @ —A @*
Положим
Тогда последнее соотношение примет вид
ь
^@ = X J /Co (^, s)$(s)ds + H(t),
а
откуда
й
Q(t) = H{t) + k\ Ro(t, s; Я,) ЯE)ds,
так что
М0|<|Я(*)| + |Ч j\Ro(i. s; Я)Ця(s)|ds. A5)
а
Но
b
', s)-K0(t,
. A6)

126 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.Ш
Из A5), используя оценки A6), A0) и A4), получаем
|==|ф@ —Ф@1<
Теорема доказана.
На этой теореме основан метод приближенного решения
интегральных уравнений Фредгольма с помощью замены
ядра К (t, s) близким к нему вырожденным ядром.
Опираясь на теорему 3.3, нетрудно показать, что если
оператор Л имеет обратный, то близкий к нему оператор
также обратим.
Теорема 3.11. Пусть оператор Ае(Е -*• Е), где
Е — банахово пространство, имеет обратный А'1, и пусть
«возмущающий» оператор АЛе(? -*¦ Е) таков, что
Тогда оператор В = А + АЛ имеет обратный В,
причем
причем
В самом деле,
А + АЛ = А (I + Л^АЛ).
Так как по условию! Л~ХДЛ ||< 1, то оператор / -(- Л-1АЛ
имеет обратный
. (/ + Л'1 АЛ) = § (- 1)" (Л АЛ)«.
п=0
Легко проверить, что оператор (/ -f- Л~1АЛ)~1Л есть
оператор, обратный оператору Л (/ -(- Л^АЛ) = A -f-
-}-. АЛ = В, т. е. оператор В имеет обратный

§ 15] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ 127
Далее,
|| В-1 — А'11| = || (/ + Л АЛ) А-1 — Л1| <
Л ДЛ)-' - /1| < || Л"* || ? II Л АЛ If =
л=1
что завершает доказательство теоремы.
С помощью этой теоремы при решении линейных урав-
уравнений
Вф=/ A8)
иногда удается избежать утомительных выкладок, связан-
связанных с нахождением оператора В, если известен обрат-
обратный оператор А'1 для «близкого» линейного оператора Л.
Оператор А должен быть таким, чтобы разность АЛ =
= В — Л удовлетворяла соотношению
Наличие обратного оператора А'1 обеспечивает разреши-
разрешимость уравнения
Лф = f A9)
(а вместе с тем и разрешимость исходного уравнения A8)).
Пусть ф = Л/—решение уравнения A9). Тогда для
отклонения
с учетом A7) получаем
iL^liy^n и/и- B0)
§ 15. Интегральные уравнения с ядром, имеющим
слабую особенность
1°. Весьма часто встречаются интегральные уравнения
Вольтерра с ядром вида

128 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.ПГ
где Н (t, s) — некоторая непрерывная функция. К числу
таких уравнений относится, например, уравнение Абеля
(см. введение)
о
(ф (/) — искомая функция).
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра . 2-го
рода с ядром вида A):
s<t), B)
При а > 1/2 квадрат такого ядра не является интегри-
интегрируемым, но тем не менее уравнение B) может быть решено.
В самом деле, последовательные итерированные ядра
Кп (t, s), начиная с некоторого номера п, не только яв-
являются ?2-ядрами, но даже ограничены. Покажем это.
Согласно формуле B4) § 13
Сделаем подстановку
т = s + (t — s) г.
Тогда
J
0
(t-s)z]H[s+(t-s)z, s] .
гаA-2)а
или, короче, К2 (t, s) = (t — sI-*»^, (t, s), где F2 {t, s) —
ограниченная функция, так как интеграл в правой ча-
части C) сходится при a < 1.
Последовательно находим
D)
t, s),
Kt(t, s) = ^-sK-^F4^, s),
t, s),]

S 15] . ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ 129
где Fs, ^4. • • м Fa-— некоторые ограниченные функции.
Шформул D) видно, что все ядра Кп (t, s), Kn+i{t, s), ...
ограничены, если л A — а) — 1 t> 0.
С другой стороны, уравнение
B)
всегда может быть приведено к аналогичному уравнению
с ядром Кг (t, s) или К3 (t, s), Kt (t, s), . . . путем компо-
композиции (свертывания) обеих частей уравнения с функцией
%К (/, s):
t I s \ t
= W\K(t,s)\\k(s, x)<p(x)dx\ds + bJK(t,s)f(s)ds,
a (a ) a
или
t t
= К\К2(t, s) ф(s)ds + К I K(t, s)Ks)ds. E)
'a a
В силу уравнения B)
t
j
так что E) принимает вид
t
ф (t) = К\КЪ (t, s) Ф (s) ds + /, @, F)
о
где
б М. Л. Краевое

130ЛИНЁЯНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛЛП
Последовательно получаем
Ф @ = ^3 J /С3 (?, s) Ф (s) ds + /3 (О,
а
где
t
а
И Т. Д.
В результате конечного числа шагов мы придем к урав-
уравнению Вольтерра с ограниченным ядром К„ (t, s) и правой
частью /„ @, решив которое, получим решение исходного
уравнения B). Аналогичное преобразование применимо
также к интегральным уравнениям первого рода, в част-
частности к интегральному уравнению Абеля
Из формулы C), применительно к уравнению G), сразу
получаем (Н = 1, а = 1/2)
t
. Kt(i, s) = j[z(l—z)r1/2dz= я.
Поэтому композиция уравнения G) с его ядром дает
откуда получаем изумительно простое решение уравне-
уравнения G):
t
'" ds. (8)
Если предположить, что функция / (/) дифференцируема,
то, проведя интегрирование по частям в (8), а затем

§ 1SJ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОСОБЕННОСТЬЮ 131
продифференцировав полученное выражение, найдем
ФЮ-JW +J-f-Z&rde. (9)
. YW nVt п J Vt—s v '
о
В частности, при / @) = О
Соотношения G) и A0) можно рассматривать как формулы
обращения, аналогичные формулам обращения Фурье.
И те и другие послужили источником многочисленных
формул обращения для определенных интегралов. Основой
всех таких формул служит то, что для интегральных
уравнений 1-го рода формула решений сама имеет вид
интегрального уравнения 1-го рода.
Обобщенное уравнение Абеля
<1) (И)
также легко решается при помощи композиции с ядром
(t — s)*-1.
Упражнение. Показать, что решением уравнения (И)
является функция
Я dt J (/_s)l-a
0
2°. Как и в случае интегрального уравнения Воль-
терра B), вместо интегрального уравнения Фредгольма
ь
ф if)==i ^ I ^C (^, s) ф (s) ds -f- / (^) A2)
_ а
можно рассматривать аналогичное уравнение с итериро-
итерированным ядром
ь
¦ ф (t) = К I K.n (t, s) ф (s) ds -f- fn (t), A3)
5*

132 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.Ш
где
(« = 2,3,.,,; h(t) =
Этот прием позволяет устранять некоторые особенности
ядра, так как итерированные ядра, как правило, более
гладкие, чем исходное ядро. Так, если ядро К (t, s) урав-
уравнения A2) имеет вид
(О < а <• 1, Н — ограниченная функция),"'
то итерированное ядро Кп (t, s) имеет такую же струк-
структуру, но число а заменяется при этом числом 1 — л A — а),
которое отрицательно при достаточно большом п, так что
для таких п ядро Кп (t, s) ограничено.
Действительно, пусть
Kit с)- "l(t's) Lit с)- HAt's)
Тогда в результате свертывания (композиции) К с L по-
получаем
откуда
Ь
K(t,s)L(x,s)dx
—sir* dr.
Подстановках—s = (t—s) z преобразует интеграл в пра-
правой части A5) к виду
ъ— s
t—t
а—s

S 16] ХАРАКТЕР РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 133
что приводит к оценке
ь
„' ., если ax + a2— 1 > 0,
l'-slai+a' . A6)
C2, если ax + a2 —1 < 0,
где Сi, C2 — постоянные. (Для л-мерных интегралов
справедлив аналогичный результат, только в оценках A6)
вместо ах -j-a2— 1 надо поставить а± +а2 — л.)
Отсюда следует, что ядро К2 (t, s) (ax = a2 = а) имеет
особенность порядка 2а — 1 = 1 — 2A — а), если это
число положительно; ) Кз (^. s) — особенность порядка
i — 3 A — а) и т. д. и при ft достаточно большом число
1 — п A — а) будет отрицательным, так что ядро Кп (t, s)
будет уже ограниченной функцией.
Упражнение. Показать, что если А,о есть характеристиче-
характеристическое число ядра К (t, s), то Xg будет характеристическим числом ядра
Кп (*, s).
Для интегральных уравнений Фредгольма с ядрами,
имеющими слабую особенность, справедливы теоремы
Фредгольма, приведенные в § 14.
§ 16. Характер решения интегрального уравнения
Как отмечалось выше (см. § 8), если искать решение
уравнения
ь
A)
с непрерывным ядром К (t, s) и свободным членом / (t)
в пространстве L% [a, b], то это решение <р (t) будет не-
необходимо непрерывным. ~
Пусть теперь ядро К (t, s) может иметь линии разрыва,
а функция / (t) непрерывна. Тогда у решения ф (t) могут
оказаться разрывы, если линия I разрыва ядра К (t, s)
содержит отрезки, параллельные оси Os.
Пусть, например, линия разрыва / содержит отрезок
прямой t — t0 (рис. 10). В уравнении A) интегрирование.

134ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.Ш
ведется по s, т. е. по вертикальным отрезкам, и при пере-
переходе от / = ti < t0 к близкому значению t = t2 > t0
интеграл может получить конечное приращение, что
означает разрыв решения.
s
b
0
0
a
L/
-
> *
Рис. 10.
Пусть ядро К (t, s) уравнения A) не только интегри-
интегрируемо с квадратом, но и удовлетворяет условию (А)
(см. [20}):
о
| К2 (t, s)ds^A (A > 0 — const).
(А)
Тогда справедлива
Теорема 3.12. Если свободный член /(/) уравне-
уравнения A) ограничен, а само уравнение разрешимо, то любое
его решение ограничено.
В самом деле, если f (t) — ограниченная на la, b ]
функция, то f (t) заведомо принадлежит L2 [a, b]. Но
тогда и решение <р (t) уравнения A) принадлежит
L2 [а, Ы. Для этого решения в силу A) имеем
J K(t,s)<p(s)ds
B)
Первое слагаемое правой части B) ограничено по уело-

§ 16] ХАРАКТЕР РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 135
вию; ограниченность второго слагаемого следует из нера-
неравенства Буняковского:
ь - '
K(t,s)<p(s)ds ^
1/2/6 у/2
I ф2E)Ж> <у14||ф||.
\а J
Таким образом, ф (t) — ограниченная функция.
Будем говорить, что ядро К (t, s) непрерывно в целом,
если для всякого е > 0 существует б > 0 такое, что для
любых ti, t2 таких, что \ t2 — tx\ < б, имеем
, s) — K(tlt s)|ds<e.
Укажем простые, но важные случаи, когда ядро
К (t, s) непрерывно в целом:
1) ядро К (t, s) непрерывно по совокупности пере-
переменных t, s в замкнутом квадрате Q {a< t, s <: b \ (и,
значит, равномерно непрерывно);
2) ядро К (t, s), удовлетворяющее условию (А), раз-
разрывно в квадрате Q вдоль конечного числа линий s =
= % (t), не содержащих кусков прямых, параллельных
оси Os (% (f) — непрерывные функции).
Допускается также наличие конечного числа изоли-
изолированных точек разрыва у ядра К (t, _s).
Теорема 3.13. Если свободный член f (t) уравне-
уравнения A) непрерывен на отрезке [а, Ь], а ядро К (t, s) не-
непрерывно в целом, то любое решение ф (t) уравнения A)
непрерывно на отрезке la, b].
В самом деле, функция / (t), непрерывная на отрезке
[а, Ь], ограничена на нем. В силу теоремы 3.12 решение
Ф (t) уравнения (Г) также ограничено:
/Ze=[a, b].
Возьмем любое е > 0. Так как / (t) непрерывна на [a, b 1,
найдется бх > 0 такое, что при \ t2 — ^ | < 6Х будем
иметь

136 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.III
В силу непрерывности в целом ядре К (t, s) для выбран-
выбранного е > 0 найдется такое б2 > 0, что при \tz — fj <б2
Тогда при | t2 — tx\ < б = min {б1( б2}
что и означает непрерывность решения <р (t) уравнения A),
Рассмотрим уравнение со слабой особенностью
C>
a
где
). D)
Можно показать, что
1) если свободный член f (t) уравнения C) ограничен,
то любое решение q> (f) этого уравнения ограничено;
2) если свободный член уравнения C) и функция
Н (t, s) непрерывны на [а, Ь] и в Q {а < t, s <: b} соот-
соответственно, то любое решение ф (t) этого уравнения не-
непрерывно на [а, Ь].

ГЛАВА IV
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Пусть функция / (t) задана в интервале (а, Ь), конечном
или бесконечном. Интегральным преобразованием функ-
функции f (t) называется функция
где К (t, со) — фиксированная для данного преобразова-
преобразования функция, называемая ядром преобразования.
Метод интегральных преобразований состоит в пере-
переформулировании задачи через преобразованную функ-
функцию. При этом мы стремимся к тому, чтобы в этой новой
форме задачу решить было легче. Применительно к интег-
интегральному уравнению мы получаем, вообще, интегральное
уравнение для преобразованной функции. Если это урав-
уравнение оказывается более простым, чем первоначальное,
то мы можем получить интегральное представление для
исходной неизвестной функции. Этот метод особенно
хорош, когда интегральное уравнение после интеграль-
интегрального преобразования сводится к алгебраическому урав-
уравнению.
§ 17. Преобразование Фурье
Известно, что если функция / (t) удовлетворяет усло-
условию Дирихле на любом конечном отрезке оси t и абсо-
абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т. е.

138 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ [ГЛ. IV
то для нее справедливо равенство
4-оо -J-co
T I dti> I /Wcosa(/—T)dT. A)
При этом во всякой точке t0, являющейся точкой разрыва
1-го рода функции / (f), значение интеграла в правой
части A) будет равно -L If (t0 — 0) + / (t0 + 0)].
Формулу A) называют интегральной формулой Фурье,
а стоящий в ее правой части интеграл — интегралом
Фурье. От формулы A) нетрудно перейти к комплексной
форме интеграла Фурье
-{-СО -J-CO
^ B)
Пусть функция / (f) удовлетворяет сформулированным
выше условиям. Функция
J C)
(+00 N
или /» = _J=- J f(t)e'"dt\
называется преобразованием Фурье функции / (t) или
спектральной функцией.
В силу формулы B) имеем
D)
соответственно / (t) = ¦ I F (со) е~ш da>\.
\ V2n L ) ~.
Это так называемое обратное преобразование Фурье.
Важную роль в применении преобразования Фурье
к решению интегральных уравнений играет теорема
о свертке.

§ 17] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 139
Пусть Fx (со) и F2 (со) — преобразования Фурье функ-
функций /х @ и /, @. Тогда
+00 +00
1 JL J
+
—00 —00
+00 +00
—<O —00
причем двойной интеграл в правой части сходится абсо-
абсолютно. Сделаем замену переменной t + ? = т, так что
§ = т — t. Тогда будем иметь
+оо I +оо 1
Л (со)/^ (со) = -±
(В силу теоремы Фубини перемена порядка интегрирова-
интегрирования законна.)
Функция
называется сверткой функций fi (t) и /2 @ и обозна-
обозначается /х * /2.
Формула E) может быть записана теперь так:
+0° —
==• { ч(>(т)е— ш dx = V2n Fx (со) F% (со),
откуда видно, что преобразование Фурье свертки функ-
функций fx (t) и /2 (t) равно умноженному на У~2п произведе-
произведению преобразований Фурье свертываемых функций:

НО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
где символом &~g обозначается преобразование Фурье
функции g (t).
Операция свертки коммутативна: f\ * /2 = /2 * /х.
В самом деле, производя замену переменной т — i = z,
получаем
+со —со
/i*/2 = J/i(O/t(t—Od/ = - \ h{z)h{x
—СО -|-00
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма на
оси (—оо < t < +оо) с ядром, зависящим от разности .
аргументов:
+?
F)
{уравнение типа свертки). Здесь обычно применяется
преобразование Фурье (в предположении; что все уча-
участвующие функции абсолютно интегрируемы на всей оси).
Формальное решение может быть получено следующим
образом. Применяя к обеим частям F) преобразование
Фурье и используя теорему о свертке функций, получим
Ф^^ХУШЖ^Ф^ + Р^), ¦ G)
где Ф (со), Ж {(a), F (со) — преобразования Фурье функ-
функций ф (t), К (t) и / (t) соответственно.
Из G) находим
A-Я У~2я Х„(<о) Ф 0 на оси (о),
и решение ф (t) уравнения F) лолучается в виде
5сли 1 — Я ]/2п Ж (и) имеет нули при вещественном ©,
то уравнение F), вообще говоря, не имеет абсолютно
интегрируемого на всей оси t решения.

f 17] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ _ HI
Из (8) получаем
Л F («)*
J 1—Х^2я
Пусть R (t, Я) — обратное преобразование Фурье функции
Ж (со)
Тогда интеграл в правой части (9)
-tL- fv^/» ^ e'-'dca
К2я J ^ V ; 1Х^2ЛГ()
есть свертка функций / (/) и R (t, к) и формула (9) может
быть переписана в виде
Jds. A0)
Это—другое формальное решение уравнения F).
Простейшие условия, при которых приведенные вы-
выкладки законны, даются следующей теоремой (см. [40]).
Т е о р е м а 4.1. Пусть f(t)eL2(—оо, +оо), а
К (t) абсолютно-интегрируема на всей оси t, и пусть
1 — Я |^2л Ж (ш) ф 0 для всех (о. Тогда формула (8) дает
решение ф (t) e L2 (—оо, +оо) уравнения F), ы притом
единственное (в смысле L2, так что всякое другое решение
из L2 совпадает с ф (t) почти для всех t).
Если К (t)^L2 (—оо, +оо), то это же верно и для
Ж (со) иЯ(§)и формула A0) эквивалентна (8).
Пример. Пусть
МО-'1. Kit)=\'tt<0>
{ о, />о.

142
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IV
Тогда
+00
J'
—00
г о
—оо
1^2я L 1—ш
t=0
я .1 + ш«
о
Далее, Ж (©) = -~ Г е*~ш dt = —— -j
i©
—00
Согласно. формуле (8) решением ф (/) s L2 (—оо, +оо) будет
X
-j-00 2
/А
я
-4-00
W2
1
1
—оо
Пусть, например, O<JA,<1. Для вычисления последнего интеграла
при /^0 рассмотрим замкнутый контур Г (рис. 11), составленный
Рис. 11.
из отрезка [—/?, /?] действительной оси © и полуокружности С#,
опирающейся на этот отрезок и лежащей в верхней полуплоскости
комплексной г-плоскости (г = © + «т).

§ 17] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 143
При достаточно большом R внутри контура Г лежит особая точка
г = i подынтегральной функции
eit2
Используя теорему Коши о вычетах, имеем
еш if
dco + I (z)dz = 2ires g(z)
1 f
тт. J
-я
В силу леммы Жордана J g (z) dz -*¦ 0 при /? -> оо. Переходя в послед-
последнем равенстве к пределу при /? -+ со, найдем .
+00
еш .. 2 _,
М
Я J
A+ш)A-Х —ш) 2-Х
—00
Таким образом,
ф(/)яв_?-гвг-'(/^О).
Рассматривая контур Г*, сбставленный из отрезка [—-Л, R]
оси со и нижней полуокружности С^, аналогично находим
Таким образом, единственное Л2-решение ф (/) интегрального урав-
уравнения F) при данном свободном члене / (/) и ядре К (/) определяется
формулами
2
^9 5Г • ^
Мы привели простейшие условия, при которых
интегральное уравнение F) имеет единственное ре-
решение в классе функций ф (/)eL2 (—сю, +со). Однако не
исключено, что уравнение F) может иметь и другие реше-
решения, не принадлежащие/,2(—оо; -foo). Если существуют

144 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
два решения уравнения F), то их разность должна удов-
удовлетворять однородному уравнению
+?
= Ь J K(t—s)<p(s)ds, —oo<f<+oo. A1)
Это уравнение формально удовлетворяется функцией
Ч> @ = е?*, где а таково, что
(t)e-"tdt = l A2)
(если этот интеграл сходится).. Можно показать, что при
определенных условиях функции этого вида являются
единственными решениями однородного уравнения A1).
Именно, пусть 0 < с < с{ и eVI К (t) абсолютно
интегрируемо на всей оси t, а функция
«-«I'lqKQeljf—оо, +оо).
Тогда, если ф (t) удовлетворяет уравнению A1), то
она имеет вид
SSv,/4 A3)
V р=1
где (ov пробегает все нули функции 1 — X У 2л Ж (со),
для которых | Im cov J < с, CV)P — постоянные коэф-
коэффициенты и <7 — кратность нуля (ov.
Рассмотрим опять интегральное уравнение
+ 03
J A4)
Оно легко приводится к дифференциальному уравнению.
Пусть
= J e-s
так что \J)' (f) = —е-'ф (/). Тогда для I > 0 — ty' @ =
= е~2' -J- Щ @. так что , , .
e-2t

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЖ
Для i < 0 ф' (/) = 1 4- Щ Щ> мк
i
Так как -ф (t) в 'точке t = 0 непрерывна, то
5--.
п
Поэтому окончательно
у ?> ¦ Л»
2
1 ' ¦
Таким образом, решение уравнения A4) содержит член
с произвольной постоянной. Функция
фо (*) =
является решением одаородного уравнения
A5)
отвечающим нулю со = •— t A —Я) функции
*
Уп ражнение. Показать, что для любой функция
Ls (—©о, +©о) уравнение
A.< 1/2,
—00
имеет решение
-2Я,
ds.
—оо
Показать, что при
имеет решение
0 соответсшзшщее однородное уравнение

146 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Преобразование Фурье может быть применено и к ре-
решению интегральных уравнений 1-го рода
+00
\ K(t-s)q>(s)ds = f(t).> A6)
Здесь / (/) — известная, ф (/) — искомая функция.
Действуя формально, применим к обеим частям A6)
преобразование Фурье и, используя теорему о свертке
функций, получим
/2л Ж (со) Ф (со) = F (о), A7)
откуда
= Т5Г 7
7
Чтобы функция ф (/), определяемая равенством A8),
действительно была решением уравнения A6), Ж (со)
должно удовлетворять определенным условиям.
Именно, пусть f (t) e L2 (—сх>, +оо), а К (t) абсо-
абсолютно интегрируема на всей оси t. Чтобы существовало
решение ц> (t) уравнения A6), принадлежащее Lt (—сх>,
+оо),необходимо и достаточно, чтобы v ,\ принадлежа-
JC (СО)
АО Lt (—оо, +сх>).
§ 18. Преобразование Лапласа
Функцией-оригиналом называется любая комплексно-
значная функция / (/) действительного аргумента /,
удовлетворяющая условиям:
1) / (/) интегрируема на любом конечном интервале
оси / (локально интегрируема).
2) Для всех отрицательных / / (t) = 0.
3) / @ с ростом •/ возрастает (по модулю) не быстрее
показательной функции, т. е. существуют такие постоян-
постоянные М > 0 и s, что для всех /
|/(Q|<Afe". A)
Если существует число s = S?, для которого выпол-
выполняется неравенство A), то оно будет выполняться и для

§ 18] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 147
всех больших чисел s^si. Нижняя грань ^ всех чи-
чисел s, для которых выполняется неравенство A),
называется показателем роста функции / (/)•
В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать
непрерывные функции-оригиналы.
Изображением функции f (t) по Лапласу называется
функция F (р) комплексной переменной р = s + ш, опре-
определяемая равенством
P'dt. - B)
То, что F (р) есть изображение функции / @. будем
обозначать так:
Функция F (р) определена в полуплоскости Re р = s >s0
комплексной переменной р = s + io и является в этой
полуплоскости аналитической функцией от р.
В приложениях преобразования Лапласа к интеграль-
интегральным уравнениям большую роль играет теорема о свертке
(теорема умножения).
Аналогично § 17, если функции /(/) и if @ опреде-
определены для всех /, —оо < / < +°°, то сверткой этих
функций называется новая функция от /, обозначаемая
символом /*ф и определяемая равенством
/*Ф= J/(T)q>(* —т)Л, C)
—оо
если интеграл C) существует.
Основные свойства свертки
1. Операция свертки коммутативна:
2. Для функций-оригиналов / (/) и ф {{) операция
свертки всегда выполнима и
+оэ /
/*Ф= J/(x)q>(* —T)rfr = J/(T)q>(* —т)Л. D)

148 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Действительно, произведение функций-оригиналов
/ (т) Ч> (t — т), как функция от т, является финитной
функцией, т. е. обращается в нуль вне некоторого конеч-
конечного интервала (в данном случае вне интервала О <• т <: /).
Для финитных функций операция свертки выполнима,
и мы получаем формулу D).
3. Свертка функций-оригиналов есть снова функция-
оригинал.
Теорема о свертке (теорема умножения).
Если f (t) -?~ F (p) и ф (/) = Ф (р), то свертка / * ф имеет
изображение F (р)Ф (р):
E)
т. е. перемножение изображений равносильно свертыва-
свертыванию оригиналов.
В самом деле, свертка двух функций-оригиналов есть
снова функция-оригинал.
t
Рассмотрим изображение интеграла I / (т) ф (/ — т) dxi
— x)di\dt. F)
Справа стоит двукратный интеграл, распространенный
на сектор S плоскости (/, т) (рис. 12). Меняя порядок
интегрирования и полагая / — т = г, получим
t СО+ +00
i si
«= J/(x)dx je-pxe-p2<p(z)dz~
= J e~pxf (t) di | е-ргФ (г) dz = F (p) ¦ Ф (p),
о а
что и требовалось доказать.

S 18J
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
149
Рассмотрим интегральное уравнение Вольтерра '2-го
рода типа свертки:
. t
G)
Предположим, что функции К @ и / (f) непрерывны
при / ^ 0 и являются функциями-оригиналами. Пусть
Как было ¦ доказано ранее,
интегральное уравнение G)
имеет единственно непрерыв-
непрерывное решение при любом зна-
значении X.
Для решения ц> (/) урав- _
нения G) при />0 нетрудно О
получить оценку: Рис 12. '
| ф (/) | ^ M^s*f, где Sg^maxjs!, s^},
Таким образом, решение ф (/) уравнения G) есть также
функция-оригинал.
Пусть ф(/)=^Ф(р), К$)==Ж(р), f(t)=±F(p).
Применяя к обеим частям G) преобразование Лапласа
и пользуясь теоремой умножения, будем иметь
откуда
(9)
Функция Ф (р) будет аналитической в полуплоскости
Re p = s > s3, так что знаменатель в (9) не может иметь
корней в указанной полуплоскости. Используя формулу
обращения преобразования Лапласа ([16]), находим ре-
решение ф (/) интегрального уравнения G):
s+ico

150 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
(интеграл берется вдоль любой прямой Re р = s > s3
и понимается в смысле главного значения).
На практике для отыскания оригинала <р (t) по его
изображению Ф (р) не всегда целесообразно использовать
формулу обращения A0). Часто бывает легче найти ори-
оригинал, используя другие теоремы операционного исчис-
исчисления.
П р и м е р. Решить интегральное уравнение
¦q>(f) = f+ f s:m(t-s)y(s)ds. ~ A1)
Решение. Пусть ф (t) #=# Ф (р). Как известно,
Применяя к обеим частям A1) преобразование Лапласа, перейдем от
уравнения A1) к уравнению в пространстве изображений
Решая это последнее, найдем *
-J-4-J-
Оригинал ф (t) для Ф (р) будет решением уравнения (И):
Замечание. Выражению (9) для функции Ф (р)
можно придать вид
. tJ^) F(p), A2)
или
где
Решение A2) легко перевести назад в пространство ориги-
оригиналов, после чего будем иметь
@=/ (9 + w? (*. Х)-*/(9, A3)

§ 18] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 151
ИЛИ
t
t—s; X)f(s)ds,
где R (t, К) — резольвента уравнения G).
Указанный метод решения уравнения G) приложим
к системам интегральных уравнений Вольтерра вида
п t
Ф/ @ = ft (9 + А- ? J Кц V — s) Ф (s) <& A4)
0 = 1, 2 я),
где Кц @. // @ ~ известные непрерывные функции-ори-
функции-оригиналы.
Применяя к обеим частям A4) преобразование Лап-
Лапласа, получим систему
Ф, (Р) = Fi{p) + ^t Xti (P) Ф, (р) A5)
/='
(« = 1, 2 я).
Это система линейных алгебраических уравнений относи-
относительно Ф, (р).
Пусть |ФХ (р) Фп (р)\ есть решение системы A5),
Тогда система функций |фх @ q>n (t)\, где ф,- @ =
= Ф/ (р), будет решением системы интегральных урав-
уравнений A4).
Преобразование Лапласа может быть применено к ре-
решению нелинейных интегральных уравнений вида
A6)
Пусть ф(/)=^=Ф(р), f (t) = F (р). Применяя к обеим
частям A6) преобразование Лапласа и используя теорему
умножения, получим
откуда
г операторные решения уравнения A6).

1Ш ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Пример. Решить уравнение
1
J
о . '
Переходя в пространство изображений, придем к уравнению
Отсюда
Из условия Ф {р) -» 0 при Re /? -> -f оо<выбираем
Решением интегрального уравнения будет <р (t) =? /4 (/) — бесселева
функция 1-го порядка.
При решении некоторых видов интегральных уравне-
уравнений оказывается полезной обобщенная теорема умноже-
умножения (теорема'Эфроса)..
Теорема 4.2 *). Пусть дано изображение F (р) ^
Ф f (/) и аналитические'функции G (р) и q (р) такие, что
T^w^4(/f т); A7)
тогда
-GW** }№)tr(t9 т}^ A8)
Действительно, изображение правой части A8)
-J-00 -f0
+oo
, x)e-ptdt'-A9)
*) Точные условия теоремы приведены в книге А. М. Эфроса и
А. М. Данилевского Юперационное исчисление а контурные инте-
интегралы», ДНТВУ, Харькову 1937.

§18] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 153
(предполагаем, что можно изменить порядок интегрирова-
интегрирования). Внутренний интеграл в правой части A9) есть изоб-
изображение g (t, т). Следовательно, используя соотношение
A7), можно написать
-}-СО
\
что и требовалось показать.
Если, в частности, принять q (р) = р, то будем иметь
g(t; T) = e-
и по теореме запаздывания g (t, т) = g (t — т). Формула
A8) принимает вид
+со t
-T)dT B0)
(так как при т>/ g (t—т)= 0 в силу свойства функ-
функций-оригиналов), т. е. совпадает с обычной теоремой
умножения.
Если G (р) = \IV~P~, Ц (р) = V~P, то, как можно
показать ([16]),
Поэтому, если известно, что q> @ = Ф (р), то по теореме
Эфроса находим оригинал для —^~- :
V р
(т)ГТл. B2)
i
Если G {р) = Up, q (p) = Up, то
g(t;r) = J0BVh), B3)
где /o.(z) — бесселева функция нулевого порядка.
Поэтому, если ф (/) == Ф (р), то по теореме Эфроса

154 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1ГЛ. IV
Примеры. 1.- Решить интегральное уравнение
h B5)
Решение. Пусть ф @ .—' Ф (/>)• Применяя преобразование
Лапласа к обеим частям B5), получим, используя формулу B2):
так что
ФАР)
откуда
Функция ф (/) = cos / есть решение уравнения B5).
2. Решить интегральное уравнение ,
Ф (/) = te-t +2 1 Jo B /7т) ф (т) di. B6)
Решение. Пусть ф (t) = Ф (р). Применяя к обеим частям B6)
преобразование Лапласа и учитывая теорему Эфроса, найдем
1 *
-ТТТ--Т- —
Заменяя р на 1/р, получим ;
B8)
Из B7) и B8) находим
1 1 2
3 (р + 1)а 3
Отсюда
Ф (/) = — е-' (/ _:
Замечание. Пользуясь тем, что
п
tJn B УГ) = -pir е"'/р (« = 0, 1, 2, ...),

§ Щ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 155
и применяя теорему Эфроса, можно решать интегральные
уравнения, ядро которых содержит бесселевы функции
Jn(z) 1-го рода порядка выше нулевого.
Решение и н т е т р о - д и ф ф е р е н ц и а л ь-
ныхуравнений
Линейным интегро-дифференциальным уравнением на-
называется уравнение вида
(к (О ф(л) @ + <h @ ф' @ + • • • + ап @ ф @ +
I t
+ 2jtfm(/, sWm\s)ds = f{t). B9)
m=0 0
Здесь а0 @ ал@, / @, Кт (t, s) (m = 1, 2 /) -
известные функции, <р (/) — искомая функция.
При решении интегро-дифференциальных уравнений
B9) для искомой функции <р (/) ставятся начальные ус-
условия:
<р @) = фо, ф' @) = у'о q/"-1' @) = Ф^"-1'. C0)
Пусть в B9) коэффициенты ak (t) — постоянные (k =
= 1,2 л), и пусть Кт (t, s) = Km (t — s) (m =
= 1, 2, ...,/), т. е. все Кт зависят лишь от разности
аргументов t—s.
Не нарушая общности, можно считать а0 = 1. Тогда
уравнение B9) будет иметь вид
Ф<"> @ + ад'"-1 > @ + ... + а„ф @ +
mit— s)(ps)ds = f(t). C1)
2
m=0
Пусть, далее, функции / (/) и Кт @ суть непрерывные
функции-оригиналы, и пусть
f(t) = F(p), кт(() = Жт{р) (т=1, 2,.-..,0.
Тогда, как можно показать, функция ф (/) будет также
функцией-оригиналом. Пусть

156 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Применим к обеим частям C1) преобразование Лапласа.
Как известно A161),
ф« (t) =i
... .
По теореме умножения
f Km(t —s) q>(m) (s) ds =±Жт (р) {ртФ (р) —
—рт~~ фо— • • • — Фот~~ ) (/я = 1,2,..., f)*
Поэтому уравнение C1) перейдет в следующее:
рп + а^-i + ... + Щп + S йГт (р) р-» J = Л (р),
&0
где А (р) — некоторая известная функция от р.
Решая C2), няходим Ф (р) — операторное решение
задачи C0)—C1). Находя оригинал для Ф (/?), получим
решение ф (f) интегро-дифференциального уравнения C1),
удовлетворяющее начальным условиям C0).
Пример. Решить интегро-дифференсСиальное уравнение
, t ,
Ф'-СО-КФ^) +2 {<?{t-s)V(s)ds =e2t, C3)
Ф @) = ф'@) = 0.
• *
Решение. Пусть ф (/) ==' Ф (р). Тогда, учитывая начальные
условия C4), будем иметь
Применяя к обеим частям C3) преобразование Лапласа, получим
откуда
1
Оригиналом для этой функции будет функция
Эта последняя является решением интегро-дифференцяального урав-
уравнения C3), удовлетворяющим начальным условиям C4). . 4i

$ 18] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 157
Замечание. Если функции Кт V — s) достаточно гладкие,
то можно понизить порядок производных искомой функции, входящих
под знаком интеграла, путем интегрирования по частям.
Интегральные уравнения вида
+ 00
<р(/) = /(/)+ J K(t — s)<p(s)ds, B>0), C5)
t
возникающие в ряде задач физики, также можно решать
с помощью преобразования Лапласа. Установим предва-
предварительно теорему о свертке для выражений
+ С0
J K(t — s)q>(s)'ds, C6)
t
Для преобразования Фурье
[+? )
&"{ \'g(t — s)\b (s) ds =y2jtG((D)?(G>), C7)
[Л j
где G (со), У (со) — преобразования Фурье функций g (t)
и \j) (/) соответственно.
Положим g (t) = К. (t), т. е.
^>0,
/<0,
{ о,
Тогда C7) перепишется так:
(+00
f
f K(t — s)<p(s)ds\~V^X-WsP+Wg- C8)
Чтобы перейти от преобразования Фурье к преобразова-
преобразованию Лапласа, заметим, что
Здесь и в дальнейшем индексы ^* и SE означают, что бе-
берется изображение функции соответственно по Фурье
или по Лапласу.

158 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ.. IV
Следовательно, соотношение C8) дает
= УЫ [Уъ1Ж_ (— ip)gr Ф+ (- i
= 1/2йХГ_(-ф)*Гф «?(/>)• C9)
Выразим теперь У 2лЖ. (—ip)&- через преобразование
Лапласа:
i
О +оо
^Ж_(— ip)g-= J K'(t) e-pt dt= \ Ki—
—oo 0
D0)
Итак,
где
+f-
-?)= J K(-t)e»*dt. D1)
Применяя теперь преобразование Лапласа к обеим ча-
частям C5), получим
— р)Ф(р) D2)
(индекс & опущен) или
Ф(р)=1_У()_ (Ж(—р)ф\), D3)
Функция
y+ico
<р (/) = '. f ^^ ept dp D4)?
2it( J I — Ж (— р)
V—too
будет частным решением уравнения C5),

$ 18] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 159
»
Чтобы решение D2) или D4) имело смысл, необходимо,
чтобы области аналитичности Ж (—р) и F (/?) перекры-
перекрывались.
Пример. Решить уравнение
-f-00 •
= ?-' + J etSyWds. C5')
А
Здесь / @ = e~t9 /((/) = <*¦ Поэтому
+00
(-P)= J
, Rep<l.
Операторное уравнение D2) принимает в этом случае вид
откуда
Следовательно,
V—/со
Применяя теорему Коши о вычетах, находим
ф@ =
Нетрудно проверить, что решением уравнения C5') является
функция у
где фо @ s С — решение соответствующего однородного уравнения
+ 00
+
f
Заметим, что уравнение C5') сводится к дифференциальному урав-
уравнению
Ф'(/)=>-
откуда сразу получаем

160 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
§ 19. Преобразование Меллина
Пусть функция / @ определена при положительных I
и удовлетворяет условию
¦+-
при надлежащем выборе числа а.
Преобразованием Меллина функции / (/) называется
функция
+»
A)
Формула обращения преобразования Меллина имеет вид
С+Гоо
№=-Ш- I F(s)^ds- (*>°)> - B)
"С—(оо
где интеграл берется вдоль прямой Res = а, параллель-
параллельной мнимой оси плоскости s, и понимается в смысле глав-
главного значения.
Идея двойственности, выражаемая формулами A),
B), встречается уже в знаменитом мемуаре Римана о про-
простых числах. Строго проведена она была Меллином, и
формулы A), B) называют формулами обращения
Меллина.
Частный случай их хорошо известен:
+ 00
J
+
= J e-<t-ldtt
c+iao
1
где Г (s) — гамма-функция Эйлера.
Преобразование Меллина тесно связано с преобразо-
преобразованиями Фурье и Лапласа, и многие теоремы, относящиеся
к преобразованию Меллияа, могут быть получены из
соответствующих теорем для преобразований Фурье и
Лапласа путем замены переменных.

I 19j ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА 161
Пусть функция <р (t) определена на всей оси I и ин-
интеграл
Ф(р) =
сходится хотя бы на одной прямой Rep = а. Функцию
Ф (р) называют двусторонним преобразованием Лапласа
функции <р (/).
Если обозначить через Ф (р) двустороннее преобразо-
преобразование Лапласа функции ч> (t) =г(е~1), то будем иметь
+00 +00
О +оо
= -J f(u)uP -?- = J f(u)uP-ldu = F[p)
+оо О
— преобразование Меллина функции / {{).
Это соотношение позволяет выводить формулы пре-
преобразования Меллина из формул преобразования Лапласа.
Формула свертки для преобразования Меллина имеет
следующий вид A401):
+оо
м
Отсюда видно, что преобразование Меллина удобно при-
применять при решении интегральных уравнений вида
+00
о
В самом деле, пусть функции <р (х), f (x) и К (х) допускают
преобразование Меллина и пусть
>ФE), f(x)-+F(s), К{х)
причем области аналитичности F(s) и Ж(s) имеют общую
полосу oi < Re s = а < ог.
Применяя к обеим частям уравнения D) преобразова-
преобразование Меллина и используя формулу свертки C), получим
М. Л. Краевое

162 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
откуда
Это — операторное решение уравнения D). По формуле
обращения B) получаем решение <р (х) этого уравнения:
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение
+оо
If dt
2 J *
О
Имеем
М {е-** } — [ е-^х*-1 dx —
о
+00
= a-s f e-'a*-1 dz = -4^- = F(s), Re s > 0,
о а
Res>0,
так что области аналитичности F (s) и Ж (s) совпадают.
Операторное уравнение, отвечающее уравнению E), будет
иметь вид
откуда
«МО-
По формуле обращения B) находим
Для вычисления интеграла F) применим теорему Коши
о вычетах. При ах > 1 в контур интегрирования включаем

J20] МЕТОД ВИНЕРА— ХОПФА 163
полуокружность, лежащую в правой полуплоскости.
В этом случае единственная особенность подынтеграль-
подынтегральной функции находится в точке s = 3, в которой
Тогда
ах>1'
где ty C) — логарифмическая производная Г-функции
в точке s = 3:
Г' C) 3
г|з C) = -р-тог = -о V (V — постоянная Эйлера).
1 (о) I
При ах < 1 особенности подынтегральной функции суть
отрицательные корни функции 1 o~r(s), так что
; ^ *(<*)
где ty (sk) — значения логарифмической производной Г (s)
' в точках s = sk (k — 1, 2, . . .).
Итак,
>1
C-2Y)(cuK •
—2
§ 20. Метод Винера—Хопфа
Этот метод был разработан приблизительно в 1931 г.
для решения интегральных уравнений специального вида
+»
Ф(*)=/(*) +Л-I K(x—y)y(y)dy, -oo<x< + oo,
A)
называемых уравнениями типа Винера — Хопфа.
6*

164 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Отличительная особенность этих уравнений — ядро
зависит от разности аргументов, а интервал интегрирова-
интегрирования полубесконечный. Такие уравнения возникают всякий
раз, когда мы имеем дело с граничными задачами, где
границы являются полубесконечными (например, задача
о дифракции волн на полуплоскости).
В методе Винера—Хопфа производится аналитическое
продолжение преобразований Фурье по переменной пре-
преобразования с вещественной оси в комплексную плоскость.
Рассмотрим преобразование Фурье функции / (jc)
(x)etk'dx _ B)
для комплексных к = a + it.
Тогда
C)
Важным является следующее свойство преобразования
Фурье.
Пусть абсолютно интегрируемо произведение /(*)еь1*1,
где Ъ > О — фиксированная постоянная. В этом случае
преобразование Фурье F (k) функции / (jc) является ана-
аналитической функцией в полосе (т(<Ь комплексной
А-плоскости. Действительно,
f(x)e-v'etaxdx C)
и интеграл C), определяющий F (&), сходится при | т | < Ъ
равномерно относительно k. Следовательно, F (k) анали-
тична во всякой внутренней точке k полосы — Ъ < т < Ъ.
Можно утверждать, что функция F (к) при а ->. =t oo
стремится к нулю равномерно цо.т, |т| <: &.
Аналогично показывается, что ёслн | / (jc) j < Аехх~
при х *-*¦ +оо, то функция

^ Щ МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА 165
аналитична в полуплоскости т > т_; если |/ (jc) | < ?е*т+
при х -v —оо, то функция
аналитична в полуплоскости т < т+. (Здесь А, В, т_,
т+ — действительные постоянные.)
Характерной особенностью любого решения по методу
Винера — Хопфа является разложение функции комплекс-
комплексной переменной на сумму двух функций. Справедлива
Теорема 4.3. Пусть F (k) —' аналитическая функ-
функция k = а + it в полосе т_ < т < т+ и такая, что
| F (о + ix) | < С 1 о\~р, р > 0, при \ о \ ->- оо, причем
это неравенство выполняется равномерно для всех т в
полосе т_ + е < т < т+ — е, е > 0. • Тогда при
T_<c<T<d<x+
F(k) = F+(k) + F_(k), D)
где функция F+ (k) аналитична в полуплоскости т > т_,
а функция F_(k) аналитична в полуплоскости т < т+.
При этом
E)
m-*.
В основе этого представления лежит теорема об инте-
интегральном представлении функции, аналитической в не-
некотором кольце. Функция F (k), аналитическая в кольце
0 <r<|& — ko\ < R < +оо, представляется с по-
помощью интегральной формулы Коши в виде суммы двух
интегралов, причем контуром интегрирования служит
граница кольца аналитичности F (&). Один из интегралов
берется по внешней окружности, другой — по внутренней
(для полосы им отвечают интегралы по прямым (/) и
(//)) (рис. 13, а, б).
Функция, представленная интегралом вдоль внешней
окружности, аналитична внутри этой окружности, афунк-

166
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
[ГЛ. IV
ция, представленная интегралом по внутренней окруж>
ности, аналитична вне этой окружности. Переходя к слу-
случаю полосы и помещая центр «кольца» в точку k = +t'oo,
получаем требуемое представление.
Рассмотрим теперь факторизацию произвольной функ-
функции Ф (k), т. е. представление этой функции в виде про-
произведения
где Ф+ и Ф_ аналитичны и не имеют нулей в верхней и
нижней' полуплоскостях т > т_, т < т+ соответственно.
-A1)
-(!)
а)
б)
Рис. 13.
Ясно, что такое представление эквивалентно разло-
разложению функции
1п Ф (k) = In Ф+ (k) + In Ф. (k)
на сумму двух функций, каждая из которых аналитична
в соответствующей области.
Иногда такое представление удается угадать; напри-
например, если
Ф (*) = (# —а2I/2, о = о, + /о2, а!>0, а2>0,
и на плоскости k сделаны соответствующие разрезы, то
можно взять
(аналитична и не имеет нулей при т > —а2),
(аналитична и не имеет нулей при т < а^).

g 20] МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА 167
Такое представление, очевидно, не единственно, так
как можно одновременно умножить Ф+ и разделить Ф_
на любую целую функцию, не имеющую нулей.
Приведем теорему, устанавливающую возможность
факторизации для весьма широкого класса функций.
Теорема 4.4. Если функция In Ф (k) удовлетворяет
условиям теоремы 4.3 (это означает, в частности, что
функция Ф(k) аналитична и не имеет нулей в полосе
т_<т<т+, — оо <а<+оо) и Ф(&)—>0 при о—* ±оо
в полосе т_ < т < т+, то существует представление
Ф (k) = Ф+ (k) Ф_ (k), где Ф+ (k) и Ф_ (k) аналитшные,
ограниченные и не имеющие нулей функции при т > т_,
т < т+ соответственно.
Для доказательства теоремы 4.4 применим теорему 4.3
к функции F (k) = In Ф (k). Имеем
—co-J-td
Здесь с, d — любые числа, удовлетворяющие условиям
т_ < с < т < d < т+. Интеграл для F+ (k) сходится для
всех k в полуплоскости т > с. Так как с можно выбрать
сколь угодно близким к т_, то F+ (k) ограничена и ана-
аналитична при т > т_. Аналогично, функция F_ (k) ана-
аналитична и ограничена при т < т+. Полагая
будем иметь
In Ф+ (k) + In Ф_ (*)'= In Ф (k),
или
Из свойств F+ (k) следует, что функция Ф+ (k) ана-
•литична, ограничена и не имеет нулей при т > т_. Ана-
Аналогично, функция Ф_ (k) аналитична, ограничена и не
имеет нулей при т < т+.
Таким образом, построив функции Ф+ (k) и Ф_ (k),
обладающие требуемыми свойствами, мы доказали тео-
теорему 4.4.

168 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Отметим, что требования, накладываемые на функ-
функцию Ф (k), можно существенно ослабить.
Рассмотрим сначала однородное интегральное уравне-
уравнение типа Винера — Хопфа
Ф(х)= J K(x — y)y{y)dy, — oo<x< + oo. F)
(Полагаем для простоты X = 1, поскольку это здесь не-
несущественно: параметр X можно считать входящим как
множитель в ядро К (х).)
Введем функции ф+ (jc) и ф_ (jc), положив
(<р(х) при jc>0,
\ О ' при jc <; 0;
0 при jc>0,
>(jc) при jc<0.
Тогда уравнение F) запишется так:
+ СО
Ф+ (jc) + ф_ (х) = J K(x—y)(p+(y)dy =
- J K{x-y)^{y)dy, G)
Теперь можно ф+ и <р_ выразить через ф+ (jc):
+ С
J
+
= J K(x — y)(p+(y)dy при х<0,
+СО
= J K(x —
при
(8)
Пусть функция Ж (k), являющаяся преобразованием
Фурье ядра К (х), аналитична в полосе
т_ < Im k < т+.
Это соответствует асимптотическому поведению К (х):
К(х)^ехх- при х—>¦ + оо;
К(х)^ехх+ при х—>-^сх).

МЕТОД ВИНЕРА - ХОПФА
' Мы рассматриваем решения уравнения F), которые
тведут себя, как е»х при х -*• -f-co (где ц < т_). Условие
Это необходимо для сходимости интеграла, входящего
в интегральное уравнение. Асимптотическое поведение
:'.?-_(*) при х ->¦—ею можно установить непосредственно
*;йз уравнения (8);
-7
+CD
+ (у) dy =
+ (у) dy.
Отсюда видно, что необходимо у> < т+ и ф_(х) должна
; вести себя при х-у—со, как е1™*. Обозначая через
Ф+(&) и Ф_(&) преобразования Фурье функций Ф+(х)
и ф_ (jc) соответственно,
заключаем, что Ф+ анали-
аналитична в полуплоскости
Im k = х > ц, а Ф_ будет
аналитична в полуплоско-
полуплоскости X < Т+.
Значит, существует по-
полоса ц < х < т+ (рис. 14),
в которой аналитичны все
преобразования J?{k), Ф+,
Ф_. Этот результат яв-
явРис 14.
ляется основным в методе " в
Винера — Хопфа.
Применяя преобразо-
преобразование Фурье к обеим
частям уравнения G) и используя теорему о свертке,
получим
или
Ф+ A — У2п X (k)) + Ф. = О,
(9)
Функция 1 —У 2п Ж (k) аналитична в полосе
т_ <i 1ш k <г т+.

170 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Попытаемся разложить ее на множители Г+ и 1/Г_
так, чтобы
^. A0)
Эти множители должны быть аналитичны и отличны от
нуля в полуплоскостях т > ц и т < т+ соответственно.
Обычно дополнительно требуют, чтобы Г+ и Г_ имели
алгебраический рост, а не экспоненциальный. Возмож-
Возможность такого разложения была показана Винером и
Хопфом.
В каждой данной задаче это разложение на множители
должно быть фактически осуществлено.
Пусть такое разложение выполнено. Тогда уравне-
уравнение (9) можно переписать так:
Ф+Г+ = -Ф_Г_. A1)
Левая часть этого соотношения анадитична в полупло-
полуплоскости Im k — т > fi, в то время как правая часть ана-
литична в полуплоскости т < т+. Поскольку они имеют
общую область аналитичности \к < т < т+, в которой
они равны, то можно утверждать, что (—Ф_Г_) является
аналитическим продолжением Ф+Г+ в нижнюю полу-
полуплоскость. Следовательно, функция Ф+Г+ аналитична
во всей плоскости комплексной переменной k и потому
является целой функцией Р (k):
Ф+Г+ = Р(?),
откуда
ф - pW
+ Г+ (к)'
Чтобы найти вид Ф+Г+, надо еще учесть поведение этой
функции при больших | k |. Условие интегрируемости
Ф+ (х) в начале координат приводит к асимптотике
Ф+(&)=*0 при \k\ -»oo.
Пусть Г+ (k) уже выбрана так, что имеет алгебраический
рост, т. е. при больших k ведет себя, как полином. Тогда
Р (k) будет представлять собой полином степени меньшей,
Р (k)
чем порядок роста Г+ (k) (так как г ... должно стре-
миться к нулю при | k | -> +оо). Этим определяется вид
P(k).

§20] МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА 171
Таким образом, учитывая A1), находим
откуда по формулам обращения получаем
I
Этим завершается решение интегрального уравнения
Винера — Хопфа F). Заметим, что Ф+ (k) и Ф„ (k) опре-
определяются с точностью до некоторых постоянных. Послед-
Последние можно определить из физического смысла задачи
или подстановкой решения в исходное интегральное
уравнение F).
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
f**У* A2)
f.
Здесь ядро К (х) = е~~\хК Его преобразование Фурье
2
так что Ж (k) аналитично в полосе
Выражение 1 — У2пЖ(k) ъ данном случае равно
1 _/25 яг (*) ч.
k2 1
Представим функцию ,2 . в виде
k+i k—
Следовательно,

172 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ [ГЛ. IV
Функция Г.. аналнтична при Im &> —I. Функция Г. (Л) аналитична
и не обращается в нуль при Im k <^ 1. Существует полоса 0 <3 Im к <J 1,
в которой обе функции, Г. и Г+, аналитичны и отличны от нуля. Имеем
P(k)(k
Функция Р (Л) должна быть аналитичной во всей конечной плоскости
комплексной переменной к, а Ф+ (*) -> 0 ври | к\ -> +oo. Из этого
' условия следует, что в данном примере Р (к) должна равняться по-
постоянной С. Она не может расти так быстро, как &, иботогда Ф+ (к) -> I
при \k\ -> cx>. Она не может и убывать, так как отсюда вытекало бы
существование особенности у функции Р (k) (полюса или точки развет*
вления) в конечной частя комплексной плоскости. Итак, Р (к) =.С =
= const и
<м*) «= тггг
Отсюда
Так как в этом выражении *Е> 0, то, замыкая контур интегрирования
полуокружностью, лежащей в нижней полуплоскости, и используя
теорему Коши о вычетах, находим ^
= A (cos*+ sin x), x>0. A3)
Таким же способом находим
<р_ (jc) =s Аех, х < 0.
Исходя непосредственно из интегрального уравнения, легко устано-
установить, что при *?> 0 функция ф = ф+ удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению ".,.•'
Ф"+Ф-0, х>0,
для которого A3) является решением.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение Винера —
Хопфа
+00
| K(x-y)y(y)dy. A)
Применяя преобразование Фурье, приходим к соотно-
соотношению
-f F_ (ft) -f К2я K% (k) Ф+ (ft). A4)

I 20] МЕТОД ВИНЕРА-ХОПФА 173
Представляя 1 — У~2л I Ж (k) в виде р^-щ-» перепишем
равенство A4) так:
Ф+Г+ + Г_(Ф-—F_) — Г>+ = 0. A5)
Первые два слагаемых имеют нужный вид. Третье слагае-
слагаемое такого вида не имеет. Пусть существует полоса, в ко-
которой аналитичны и Г_ и F+. Тогда мы можем применить
разложение D):
T_F+^G+(k)+G_(k). A6)
Соотношение A5) перепишется после этого так:
Ф+Г+ — 0+=х-Г_(Ф- — F_)+G_ = P{k). A7)
Левая часть аналитична в некоторой полуплоскости
Im k > т0, правая — в полуплоскости Im k < т{. Су-
Существует полоса аналитичности, общая для них, так
что правая часть A7) является аналитическим продол-
продолжением левой части в нижнюю полуплоскость. Функ-
Функция Р (k) выбирается как целая функция; характер ее
определяется асимптотическим поведением при |А|»>оо
одного из определяющих ее выражений. Определив Р (k),
находим
и по формуле обращения получаем ф+

ГЛАВА V
ВПОЛНЕ
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Понятие вполне непрерывного оператора возникло при
изучении интегральных операторов, которые и в настоя-
настоящее время являются наиболее важными примерами вполне
непрерывных операторов. Это понятие было введено
Д. Гильбертом и затем разрабатывалось его школой
(Э. Шмидтом, Ф. Риссом, Г. Вейлем и др.).
Фундаментальные исследования этих математиков по-
показали, что основные классические свойства интегральных
операторов (например, теоремы Фредгольма) связаны не
с интегральной природой этих операторов, а с их полной
непрерывностью.
§ 21. Компактность множества. Критерий
компактности
Определение. Множество D, расположенное
в метрическом пространстве X, называется компактным,
если всякая последовательность элементов множества D
содержит сходящуюся подпоследовательность.
Если пределы указанных последовательностей при-
принадлежат D, то множество D называется компактным
в себе; если же эти пределы принадлежат пространству X,
не принадлежа, быть может, множеству D, то D назы-
называется компактным в пространстве X.
Если каждое бесконечное подмножество метрического
пространства X содержит сходящуюся к некоторому
элементу из X последовательность, то пространство X
называется компактным или просто компактом. Ясно,
что компакт есть полное метрическое пространство.
Примеры. 1. Пусть D .= [О, 1 ] с: R1. В силу
теоремы Больцано — Вейерштрасса ([27]) множество D —
компактное в себе множество. Интервал @, 1) компак-
компактен в R1, но не компактен в себе.

§21] КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВА. КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ 175
2. Пусть X = R1 (числовая прямая). Пространство X
некомпактно: последовательность натуральных чисел 1,
2, . . ., п, . . . не имеет предела. Однако в силу теоремы
Больцано — Вейерштрасса всякое ограниченное множе-
множество в пространстве R1 компактно.
Вообще, в л-мерном евклидовом пространстве всякое
ограниченное бесконечное множество компактно.
Компактность ограниченных множеств есть характе-
характеристическое свойство конечномерных линейных норми-
нормированных пространств. Именно, для того чтобы подпро-
подпространство L линейного нормированного пространства Е
было конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы
каждое ограниченное множество элементов из L было
компактно.
Приведем критерии компактности множеств в некото-
некоторых функциональных пространствах.
Критерий компактности в С la, Ь]
Определение. Множество D функций х (t) e
е С [а, Ь] называется равномерно ограниченным, если
существует постоянная М > 0 такая, что \x(t)\^М
для всех х (t) e D при любом t e la, b ].
Множество D функций х (/) е С la, b ] называется
равностепенно непрерывным, если для любого е > 0 суще-
существует б > 0, зависящее только от е, такое, что для
любых ti и t% из la, b], удовлетворяющих неравенству
\ t2 — tl | < б, и для любой функции из рассматриваемого
множества имеет место соотношение
И',)—*&I<в.
Теорема (Арцела). Для того чтобы множество D
функций х (t) е С [a, b ] было компактным, необходимо
и достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным
и равностепенно непрерывным.
Можно сформулировать простое достаточное условие
компактности множества D функций х (/) е С [а, Ь].
Если для множества D функций х (t), дифференци-
дифференцируемых на отрезке [а, Ь], существуют такие постоянные
Мо и Mlt' что для всех х (t) e D выполнены неравенства
\x(t)\^M0, \x'(t)\^Mt Vtzs[a, b],
то множество D компактно в С la, b].

176 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ |ГЛ. V
В самом деле, семейство D равномерно ограничено по
условию. Применяя формулу Лагранжа, имеем
откуда следует, что семействоD равностепенно непрерывно.
Из теоремы Арцела следует, что D компактно в С [a, b ].
Упражнение. Будет ли компактным в С [О, 1 ] семейство
функций {/"} (л= 1,2, ... .)?
Критерий компактности в Lp la, b]
Пусть х (t) e Lp [a, b ]. Продолжим функцию х (f\
нулем за пределы отрезка la, b). Тогда для любого от-
отрезка [Л, В\ числовой оси интеграл
в
j\x(t)\"dt
А
имеет смысл.
Теорема 5.1 (М. Рисса). Для того чтобы семей-
семейство D функций х (t) e Lp la, b ] было компактно, необ-
необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равно-
равномерно ограниченным по норме и равномерно непрерывным
в среднем, т. е. чтобы
ь
а
Ь
2)
при 0 < h < 6 (е) сразу для всех функций семейства.
§ 22. Вполне непрерывные операторы
Определение. Линейный оператор А, опре-
определенный на линейном нормированном пространстве Ех,
со значениями в линейном нормированном пространстве Еу,
называется вполне непрерывным, если он отображает
всякое ограниченное множество пространства Ех в ком-
компактное множество пространства Еи.

ЩЩ ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 177
Пусть, например, Ех = Ед =* С la, b\ и
ь
Ах = J К (t, s)x (s) ds,
a
Где К (I, s) — непрерывное в квадрате Q {a *c i, s < b\
вдро. Покажем, что оператор А вполне непрерывен.
Пусть \х (t)\ — ограниченное множество функций из
ЕЫ, Ь):
, s)x(s)ds
" Тогда:
1) Функции
равномерно ограничены. Действительно, у^ s I°. ^I
[у (t)\ < Mm (b—a), где М = max | К (t, s) \.
2) Функции у (/) равностепенно непрерывны. В самом
деле, возьмем любое е > 0. В силу равномерной непре-
непрерывности ядра К (t, s) найдется такое Ь = Ь (е) > 0, что
при | t% — ?! | < б и любых s e [a, b). Но тогда
s) — K(t1,s)\\x(s)\ds<e,
как только | /2 — h | < б сразу для всех функций у (f).
Последнее означает равностепенную непрерывность се-
семейства функций {у @ = Ах @Ь
В силу теоремы Арцела множество функций {у (t)\
компактно в пространстве С la, b]. Значит, согласно
определению, интегральный оператор
ь
t, s)x(s)ds
с непрерывным ядром К (t, s) вполне непрерывен.

178 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. V
Можно показать, что оператор
ь
Ax = \Kit, s)x{s)ds,
а
те
ь ь
к*Ц )dtd B*< + оо,
вполне непрерывен как оператор, действующий из
L2 [a, b] в L2 [а, Ь],
Можно показать также, что вполне непрерывным яв-
является оператор Фредгольма с ядром, имеющим слабую
особенность.
Упражнение. Показать, что всякий линейный ограничен-
ограниченный оператор в конечномерном пространстве вполне непрерывен.
Отметим некоторые свойства вполне непрерывных
операторов.
1) Всякий вполне непрерывный оператор является
ограниченным. Однако не всякий ограниченный оператор
является вполне непрерывным. Простейший пример: еди-
единичный оператор / в бесконечномерном пространстве не
является вполне непрерывным. Покажем это. Пусть
X — множество последовательностей вещественных чисел
х = {Ei, i2, . . ., 1„, . . .} таких, что
Если х = \llt
то определим
по формуле
• • •. Ъп> • •
расстояние
•I и«/ =
между
этими
¦> Лл. • • -К
элементами
, _ ,1/р
р(*. «/) ='
Можно показать, что так введенное расстояние удовлетво-
удовлетворяет аксиомам метрики.
Полученное метрическое пространство называется про-
пространством 1Г Рассмотрим, в частности, пространство /2,
являющееся линейным нормированным пространством.

ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 179
?)то пространство некомпактно. Более того, в нем имеются
Ограниченные некомпактные множества, например замк-
замкнутый единичный шар S = S (9, 1). Действительно, рас-
рассмотрим последовательность точек из 5:
• в1 = |1, 0, 0, ...}, е2 = |0, 1, 0, ...}, ...
Очевидно, || е, — е,|| = V% при i Ф j, так что последо-
последовательность \ei\ и любая ее подпоследовательность не
сходятся, что и доказывает некомпактность S. Так как
единичный оператор / отображает единичный шар на
себя, а последний некомпактен, то, следовательно, /
не является вполне непрерывным в бесконечномерном
пространстве.
2) Если А и В — вполне непрерывные операторы, то
аЛ + Р5. где а, р — числа, также вполне непрерывный
оператор.
3) Пусть А — вполне непрерывный оператор, отобра-
отображающий бесконечномерное банахово пространство Е в себя,
и В — произвольный линейный ограниченный оператор,
действующий в том же пространстве. Тогда АВ и ВА —
вполне непрерывные операторы.
В самом деле, оператор В преобразует произвольное
Ограниченное множество DaE в ограниченное множество
В (D)czE, а это множество оператор А преобразует
в компактное множество А (В (D)). Следовательно, опе-
оператор АВ переводит любое ограниченное множество в ком-
компактное и потому вполне непрерывен.
Упражнение. Показать, что оператор ВА вполне непре-
непрерывен.
Из того, что единичный оператор / не вполне непре-
непрерывен, получаем важное следствие.
, Вполне непрерывный оператор А в бесконечномерном
пространстве не может иметь ограниченного обратного
оператора А'1.
4) Если последовательность вполне непрерывных опе-
операторов {Ап}, отображающих пространство Ех в полное
пространство Еу равномерно сходится к оператору А,
т. е. || А — Л„|| —» 0, то А также вполне непрерывный
оператор (см. [19.]). ,
Пусть Е — бесконечномерное (вещественное) банахозо
'пространство. Последовательность элементов ех, •••> еп, ...

180 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. V
из Е называется базисом этого пространства, если любой
элемент хеЕ однозначно представим в виде
где It — вещественные числа.
Пространство Е называют в этом случае банаховым
пространством с базисом.
Рассмотрим вполне непрерывный оператор А, отобра-
отображающий банахово пространство Е с базисом само в себя.
Оказывается, что оператор А можно разложить на сумму
двух линейных операторов:
где оператор Аг — конечномерный в том смысле, что для
любого х&Е элемент Агх принадлежит конечномерному
подпространству, определяемому базисными элемен-
элементами ех, е2, . . ., еп, а норма второго не превосходит
наперед заданного числа е > 0, которое можно выбрать
сколь угодно малым:
Поэтому говорят, что вполне непрерывные операторы
в пространстве с базисом почти конечномерны. Это свойство
часто принимают в качестве определения вполне непре-
непрерывного оператора:
Линейный оператор А называется вполне непрерыв-
непрерывным, ecjiu он может быть с любой точностью аппрокси-
аппроксимирован конечномерным, т. е. может быть представлен
в виде суммы конечномерного оператора и оператора
с как угодно малой нормой.
Интегральный оператор с вырожденным непрерывным
ядром
ь
\
a fc~l
является конечномерным (и, значит, вполне непрерыв-
непрерывным): он отображает все пространство С [а, Ь] на под-
подпространство линейных комбинаций функций а\ (О»
а2 @. • • -, аа @.

Ш4Я УРАВНЕНИЯ РИССА-ШАУДЕРА . 181
Рассмотренное в § 14 представление произвольного
непрерывного ядра К (t, s) в виде суммы вырожденного
|дра и ядра с малой нормой эквивалентна, таким образом,
представлению вполне непрерывного интегрального опе-
Ьатора Фредгольма в виде суммы конечномерного опера-
рора и оператора с малой нормой,
§ 23. Уравнения Рисса—Шаудера
: Уравнениями Рисса—Шаудера называют уравнения
I A)
j-де А — вполне непрерывный оператор. Такие уравне-
уравнения удобно изучать в гильбертовом пространстве Я.
Пусть Я — линейное пространство с умножением на
комплексные числа, каждой паре элементов которого
поставлено в соответствие комплексное число (х, у),
называемое скалярным произведением элементов х и у
и обладающее свойствами:
1) (•*> У) — (У> #1. B частности, (х, х) вещественна;
2) (*! + *2. У) = (*i, У) + (*«, У);
3) (Хх, у) = К (х, у) для любого комплексного числа Я,;
4) (х, х) ^ 0, причем (х, х) = О 4Ф х = Э.
Если Я — линейное пространство с умножением на
действительные числа, то скалярное произведение пред-
предполагается действительным.
По скалярному произведению в Я можно ввести норму
после чего Я становится линейным нормированным про-
пространством.
Если Я бесконечномерно «, полно по введенной норме,
то оно называется гильбертовым пространством (ком-
(комплексным или действительным).
Таким образом, всякое гильбертово пространство яв-
является банаховым. Для любых элементов х, у гильбертова
пространства справедливо неравенство Буняковского—
Шварца:

182 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. V
Примеры. 1. Пространство /2 становится гиль-
гильбертовым, если положить
00
(х, У) = S 1*Л*-
2. Пространство L2 [а, Ы комплекснозначных функ-
функций становится гильбертовым, если положить
ь
(х, y)=\x(t)W)dt.
а
Определение. Два элемента х и у гильбертова
пространства Н называются ортогональными, если
(х, у)= 0.
Сопряженный оператор
Пусть Н — гильбертово пространство и Л — ограни-
ограниченный линейный оператор, определенный на Н, с об-
областью значений в том же пространстве.
Определение. Оператор А* такой, что
(Ах,у) = (х,А*у) Vx,ye=H, B)
называется оператором, сопряженным с оператором А.
Для оператора Фредгольма в L2 [а, Ь\ с ядром К (t, s)
сопряженным оператором будет оператор Фредгольма
с ядром К (s, t).
Оператор А не может иметь более одного сопряжен-
сопряженного, причем сопряженность ограниченных операторов
есть свойство взаимное, так что А** = А.
Сопряженный оператор линеен:
А*(ах + ру) = аА*х + $А*у
(покажите это!).
Исходя из определения сопряженного оператора, не-
нетрудно доказать, что
(Л! + Л2)* = А? + At, (AiA2)* = A?At, (M)* = ХЛ*.
где К — постоянная.
Можно показать, что всякий ограниченный оператор А
имеет сопряженный А*, который также ограничен и имеет
ту же норму, что и данный оператор.

УРАВНЕНИЯ РИССА-ШАУДЕРА 183
Докажем, например, равенство норм Ли Л*. В тож-
тождестве B) положим х = А*у. Будем иметь
(A*y,A*y) = \\A*ytf = {AA*y,y). C)
рценивая правую часть C) по неравенству Буняковского—
Шварца, получим
¦ \\A*yt^\\AA*y\\\\y\\^\\A\\\\A*y\
откуда
\\А*у\\^\\А\
Щго неравенство показывает, что оператор А* ограничен"
| что \\А* || <|| А ||.
» Полагая теперь в B) у = Ах, точно так же найдем,
уто || А || < || А* ||. Следовательно, || А || = || А* \\.
Пусть в уравнении Рисса—Шаудера A) / @ eL2
¦ la, b] и ф (/)eL2 [a, b]. Это уравнение может быть ре-
Гшено тем же приемом, который в § 14 был применен
як уравнению Фредгольма с невырожденным ядром. Именно,
^представляем оператор А в виде суммы операторов:
где
Al<p=?(<p, bk)ak(t)
<— вырожденный (конечномерный) оператор, А 2ф — опе-
оператор с достаточно малой нормой. Дальнейшие рассужде-
рассуждения по существу не отличаются от проведенных в § 14.
Будем называть значение К характеристическим, если
однородное уравнение
Ф = А,Лф
имеет нетривиальные решения, которые называют соб-
собственными функциями оператора Л, отвечающими дан-
данному характеристическому значению К. Для уравнений
Рисса—Шаудера справедливы теоремы Фредгольма.
Теорема 5.2. Если значение X не является харак-
характеристическим, то как уравнение A), так и сопряженное
с ним уравнение
$ = lA*q + g, D)

184 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. V
где А* — оператор, сопряженный с А, разрешимо при
любом свободном члене и решение каждого из этих уравне-
уравнений единственно.
Теорема 5.3. Если % характеристическое, то
однородное уравнение и сопряженное однородное
¦ф = L4*i|j E)
имеют одно и то же число линейно независимых собствен-
собственных функций.
Теорема 5.4. Для того чтобы уравнение A) было
разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы его свободный
член f был ортогонален к любому решению однородного
сопряженного уравнения E).
Теорема 5.5. Вполне непрерывный оператор 'имеет
не более счетного множества характеристических чисел,
которые могут сгущаться только на бесконечности.
Для уравнений Рисса—Шаудера остается в силе альтер-
альтернатива Фредгольма.

ГЛАВА VI
СИММЕТРИЧНЫЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теория симметричных интегральных уравнений, для
которых К (t, s) = К (s, f), может быть построена неза-
независимо от теории Фредгольма.
р Мы начнем изложение с общих теорем, касающихся
Симметричных линейных операторов.
§ 24. Симметричные операторы.
Теорема Гильберта—Шмидта
Определение. Линейный оператор А, действу-
действующий из гильбертова пространства Н в Н, называется
'симметричным, если для любых х, уеЯ
I (Ах,у) = (х,Ау). A)
р Равенство A) показывает, что для симметричного опе-
• ратора
А* А
т. е. симметричный оператор совпадает со своим сопря-
сопряженным. Поэтому симметричный оператор называют также
самосопряженным оператором.
В пространстве L2[a, b] рассмотрим интегральный
оператор Фредгольма
ь
Ax'=JK(t, s)x(s)ds
а
с действительным ?2-ядром К (t, s). Используя теорему
Фубини, имеем
(Ах, y)=
t, s)x(s)djy(f)dt
bib

186 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
где
b
:(t, s)y(t)dt.
Таким образом, переход к сопряженному оператору
заключается в том, что интегрирование ведется по первой
переменной, тогда как в исходном операторе оно ведется
по второй.
Если ядро К (t, s) симметричное:
/((^ s) = К (s, t) У/t, s,
то
b
t, s)y(t)dt=\K(s, f)y(t)dt =
и оператор Фредгольма в этом случае симметричный.
Комплекснозначное ядро К (t, s) называется симмет-
симметричным, если
Интегральное уравнение, ядро которого симметрично,
будем называть симметричным интегральным уравнением.
Напомним следующие понятия, относящиеся к ли-
линейным операторам (не обязательно симметричным).
Пусть имеем уравнение
Ах — hc=f или (Л — ll)x = f, (I)
где А — линейный оператор, действующий в банаховом
пространстве X, и X — некоторый параметр.
Наряду с уравнением A) рассмотрим уравнение
Ах — Хх = в,. или (Л — U)x = Q, (II)
которое называется однородным уравнением, соответ-
соответствующим уравнению (I). Это уравнение всегда имеет
решение х = 0, которое называется тривиальным реше-
решением.
Допустим, что для некоторого А, оператор А—XI
имеет обратный (Л — KI)'1 = RXy называемый резоль-
резольвентным оператором для уравнения (I). Для этого Я,
уравнение (I) имеет при любом /еХ единственное решение

J4] СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 187
Однородное уравнение (II) имеет в этом случае только
тривиальное решение х = 0.
Определение. Значения К, при которых урав-
уравнение (I) имеет единственное решение при любом /еХ,
а оператор R^ определен на всем X и ограничен, назы-
фотся регулярными значениями для оператора А.
Совокупность регулярных значений называется ре-
резольвентным множеством р (А) оператора А.
' Если уравнение (II) при данном X имеет, кроме, три-
риального, некоторое другое решение, то такое значение X
(Называется собственным значением оператора А, а не-
|ривиальное решение уравнения (II) называется собствен-
собственным элементом оператора А, соответствующим данному
Собственному значению %.
В пространстве R" собственный вектор линейного
(Оператора А есть такой вектор х, который переводится
Оператором А в ему коллинеарный:
Ах = 1х.
Цля единичного оператора / любой вектор х является
Собственным с собственным значением 1, так как
ix=х
оператора подобия с коэффициентом подобия а любой
вектор х является собственным с собственным значе-
значением а, так как по определению оператора подобия
I Ах = ах.
Оператор поворота на угол ф, 0 < ф < я, действу-
действующий в R2, не имеет собственных векторов, так как,
каким 45ы ни был вектор х ф 0, после поворота на угол ф
(О < ф < я) мы никогда не получим вектор, коллинеарный
исходному вектору.
Если X — собственное значение оператора А и уравне-
уравнение (I) имеет решение при некотором [, то это решение
ае будет единственным. В самом деле, если х0 — решение
уравнения (I)
Ах0 — Kxo = f
и е — собственный элемент оператора А, отвечающий
данному собственному значению X, то, согласно опреде-
определению собственного элемента,
Ае — le = Q,

188 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
и, значит,
А (*„ + е)—Х(хв + е) = Ах0 — 1х0 + Ае — ке = f,
т. е. х0 + е есть также решение уравнения (I).
Определение. Совокупность всех значений X,
не являющихся регулярными, называется спектром а (А)
оператора А. В частности, все собственные значения
принадлежат спектру.
Примеры 1. Пусть А —линейный оператор, дей-
действующий в Rn, и пусть % = (at/)i,/=i>2 ,n есть
матрица этого оператора.
Уравнение
Ах—lx=f, ¦ (III)
где х — (xt, . . ., хп), f = (fv . . ., /„), представляет
собой систему п линейных неоднородных алгебраических
уравнений с п неизвестными. Если определитель Д (К)
системы отличен от нуля, т. е. если X не есть корень
уравнения Д (X) = 0, то система (III) имеет при любых
правых частях единственное решение и, следовательно,
все такие значения параметра X регулярны. Корни урав-
уравнения Д (К) = 0 образуют спектр, так как при таких Я,
система (III) в общем случае неразрешима. При этих
значениях Я, однородная система
Ах— Хх = 0
имеет ненулевое решение и, значит, любая точка спектра
есть собственное значение.
2. Рассмотрим в пространстве С [0, 1] оператор умно-
умножения на независимую переменную:
Ax=tx(t).
Уравнение (I) принимает в этом случае вид
или
¦ (t-K)x(t) = f(t) @<*<1). (IV)
Если % Щ [0, 1], то уравнение (IV) имеет при' любой
/ (t)C 0 1] единственное непрерывное решение

j|34J СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 189
так что все значения i,e[0, 1] являются регулярными.
С другой стороны, как нетрудно показать ([38]), все
Значения 1е [0, 11 являются/очками спектра. При этом
%я. одна точка спектра не является собственным значением,
ft-ак как решением однородного уравнения
(/—Я,)* @ = 0, Хе[0, 1],
в пространстве С [0, 11 является только функция х (f) =
= 0. В самом деле, при любом фиксированном Хо е [0, 1 ]
множитель t—Хо обращается в нуль лишь при t = Хо;
¦чтобы функция (t—Хо) х (t) тождественно равнялась нулю
на [0, 1 ], надо, чтобы х (t) = 0.
Рассмотрим интегральное уравнение
Обозначая
и полагая 1/А, = ц, запишем уравнение в виде
откуда видно, что собственные значения оператора А,
если они существуют, суть обратные величины характе-
характеристических чисел ядра К (t, s).
Установим некоторые свойства собственных элементов
и собственных значений симметричных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве Я, аналогичные соответствующим
свойствам конечномерных симметричных операторов.
1. Все собственные значения симметричного опера-
тора А в Н действительны.
В самом деле, пусть Ах = Хх, \\x\\ Ф 0. Тогда
Л (х, х) = (Ах, х) = (х, Ах) = (х, 1х) ~1(х, х),
откуда к = А,, что может быть лишь при действительном X,
2. Собственные элементы симметричного оператора,
отвечающие различным собственным значениям, ортого-
налъны.

190 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Действительно, если Ах = %х, Ау = цу, причем К Ф ц,
то
I(х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (х, iiy) = \i (x, у),
откуда (х, у) = 0, что, согласно определению, означает
ортогональность элементов х, #еЯ.
Отметим еще, что для симметричного оператора А
величина (Ах, х) всегда действительная. В самом деле,
(Ах, х) = (х, Ах) = (Ах, х),
что и доказывает наше утверждение.
Введем следующее понятие. Последовательность \хп\,
хп <= Я, называется слабо сходящейся к элементу х0 <= Я,
Хп~* хо> если для любого
(*п> У) — (*0. У)-
В отличие от слабой сходимости сходимость по норме
в гильбертовом пространстве Я называют сильной схо-
сходимостью. Из сильной сходимости следует слабая; обрат-
обратное, как показывают примеры, неверно.
Как известно, сфера конечномерного пространства
компактна, т. е. каждая бесконечная последовательность
ее элементов содержит сходящуюся подпоследовательность
(принцип Больцано—Вейерштрасса). В бесконечномерных
пространствах это, как мы видели, неверно. Но в конеч-
конечномерных пространствах сильная сходимость совпадает
со слабой, и оказывается, что свойство слабой компакт-
компактности сохраняется и при переходе к бесконечномерному
случаю.
Именно, всякое ограниченное множество гильбертова
пространства слабо компактно, т. е. из любой последо-
последовательности элементов, принадлежащей такому множе-
множеству, можно выделить слабо сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность.
Докажем теорему, играющую основную роль во всех
дальнейших построениях.
Теорема 6.1. Всякий отличный от нулевого вполне
непрерывный симметричный оператор А, действующий
в гильбертовом пространстве Н, имеет по крайней мере
одно ненулевое собственное значение К.

§24] СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 191
До казательство. Пусть А Ф О — симметрич-
симметричный вполне непрерывный, оператор, действующий в гиль-
гильбертовом пространстве Я. Рассмотрим функционал (ква-
{дратичную форму) (Ах, х) на единичной сфере Sx : || х\\ = 1.
I Из курса анализа известно, что функция т переменных
Щ{хл, х2, . . .,_хт), непрерывная в замкнутой ограничен-
ограниченной области G точек m-мерного пространства (т. е. на
"компактном множестве), достигает в G своего наибольшего
и наименьшего значений.
Аналогично, поскольку сфера S^H слабо компактна
в себе, а квадратичная форма (Ах, х) слабо непрерывна,
то она достигает на St своего наибольшего и наименьшего
значений.
Пусть
М = sup \(Ах, х)\
(можно показать, что М — || А ||).
\ По определению верхней грани найдется последова-
последовательность нормированных элементов \еп\, для которой
существует
Мт(Аеп,еп),
л-»га
равный +М или — М. Этот отличный от нуля предел
обозначим Kt. Из ограниченной последовательности \еп\
выделим подпоследовательность [eni] f=l, для которой
существует
WmAen =h, B)
t"-»co
что возможно, так как оператор А вполне непрерывен.
Поскольку
|| Aeni — ta>n. f = (АеП{ — heni, АеП{ — hen.) =
= 11^ |р—2h (АеП{> еп) + Ц
то
\\т\\Аеп— hen J2= ||Л||2 — 2Я,!-f %\ = 1|Л|12 — Я C)
Но
так что Ц h || < \%1\.

192 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Поскольку левая часть C) неотрицательна, то
= I А-х I и, следовательно,
Ит||Ле„ — %геп || = 0, • D)
1-»га ' *
откуда следует, что lim eni существует и, с учетом B),
i -»га-
равен h/кх. Введя элемент xl = h/Xlt норма которого
равна единице, из D) получаем
Ахх—Х1х1 = 0,
или
что и означает существование ненулевого собственного
элемента xlt [[xjl = 1, отвечающего ненулевому соб-
собственному значению Kt. При этом
Из приведенных рассуждений ясно, что вполне непрерыв-
непрерывный симметричный оператор А, не имеющий ненулевых
собственных значений, есть нулевой оператор: А = О.
Для несимметричных операторов в п-мерном простран-
пространстве верна следующая теорема: всякое линейное преоб-
преобразование в п-мерном пространстве имеет хотя бы один соб-
собственный вектор.
Это утверждение не переносится на общие вполне
непрерывные операторы в Н. Действительно, пусть опе-
оператор А задан в /2 формулой
Ах = A (xi, xv ,,., хп, ,..) = @, хи -~, .,,, ~^jy • • - j •
Этот оператор вполне непрерывен, но не имеет ни одного
собственного элемента.
Другой пример: интегральный оператор Вольтерра
bLj[0,1]
i
Ах= I K(t, s)x(s)ds
с непрерывным ядром не имеет ни одного ненулевого
собственного элемента.

Щ СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 193
Введем следующее
Определение. Подпространство L&H назы-
называется инвариантным подпространством оператора А,
если, для любого x*=L имеем Ax*=L.
Для симметричного оператора А вместе о L инвариант-
инвариантным подпространством является также HQL — ортого-
ортогональное дополнение L. в Н, т. е. совокупность всех эле-
элементов 1^И, ортогональных L. В самом деле, пусть
Ш^НЭЬ и г/ — любой элемент L. Имеем
(Ах, у) = (х,Ау) = 0,
щяк как Ay^L в силу инвариантности L. Таким образом,
Шх ортогонален любому элементу из L, т. е. Ах^Н 9 L,
что и доказывает инвариантность последнего подпро-
подпространства.
Вернемся к построению спектра симметричного вполне
непрерывного оператора. Пусть Lx — подпространство,
|юрожденное элементом хъ т. е. совокупность элементов
|ида \txx\, где t — числовой параметр. Тогда
Atxt = tAxt =з tkjXx s Llf
n, следовательно, Lt — инвариантное подпространство
оператора А. Тогда Нх = Н е Ll также инвариантное
подпространство. Рассмотрим его как самостоятельное
гильбертово пространство. Применяя к оператору Л,
действующему в Нх, рассуждения, аналогичные приве-
приведенным в теореме 6.1, заключаем, что существует эле-
элемент хг*=Нъ ||х21| = 1, такой, что
При этом элемент хг ортогонален хх и
1121 = sup | (Ах, х) | ^sup | (Ах, х) | = | А* |.
Затем рассматриваем подпространство L2, порожденное
элементами хх и хг, и т. д.
Логически возможны два случая.
1. После л-го шага имеем
а„ = inf (Ах, х) — Р„ = sup (Ax, х) = 0.
^" S0H
7 М. Л. Краснов

194 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Тогда (Ах, х) = 0 на Нп, что возможно, лишь если Ах = 6
на Нп. В этом случае мы получаем, что
образуют систему всех собственных элементов и всех
ненулевых собственных значений оператора А.
Тогда
Здесь Ь„ — подпространство, порожденное элементами xlt
х2, . . ., хп\ N — подпространство нулей оператора А
(т. е. совокупность элементов, отвечающих собственному
значению X = 0). Его обозначают Кег А. Символ ф
означает сумму ортогональных подпространств.
Таким образом, любой элемент х^Н может быть пред-
представлен в виде
п
x = Yi c^i + х0, Хо^ Кег А,
откуда
п
Ах = 2j cfaXj.
t=l
Оператор А в этом случае конечномерный в том смысле,
что он отображает гильбертово пространство Н в его
конечномерное подпространство.
Пример — интегральный оператор Фредгольма с вы-
вырожденным ядром.
2. Процесс построения собственных элементов' опера-
оператора может быть продолжен неограниченно. В этом слу-
случае мы получаем ортонормированную систему собственных
элементов
Такая система не более чем счетна, что вытекает из сле-
следующей теоремы.
Теорема 6.2. Пусть А — вполне непрерывный
симметричный оператор, действующий в гильбертовом
пространстве Н. Тогда этот оператор может иметь
лишь конечное число собственных значений, превосходящих

I 24] СИММЕТРИЧНЫЕ ОПЕРАТОРЫ J93
по модулю заданное число р > 0, и каждому ненулевому
собственному значению может соответствовать лишь
конечное число линейно независимых собственных элементов.
Доказательство. Предположим, напротив,
тгго оператор А имеет бесконечное множество собственных
^рачений A,lf К2, . . ., причем | Я,, | ^ р > 0 для всех L
каждому собственному значению Я,, соответствует по
крайней мере один собственный элемент х{, причем без
©граничения общности можно считать, что ||х,||=1.
Совокупность таких элементов {xt\, i = 1, 2, . . ., есть
'ограниченное множество, и так как А вполне непрерывен,
%о множество {Лх,}, i = 1, 2, . . ., компактно. Учитывая
-ортогональность xt и х, при i Ф /, имеем
t— Ах, f = ||ХЛ —V/ If = (Хм — Хм, Х,х, — Х,х{) =
= Я| \\хс |р + Я] ||лс7f = X} + Я,1 ^2р2.
'Из этого следует, что ни последовательность {Ахс\, ни
любая ее подпоследовательность не могут сходиться,
< вопреки компактности множества {Лх,-}. Полученное
f противоречие доказывает первое утверждение. Аналогично
| доказывается и второе утверждение теоремы.
f Следствие. Если вполне непрерывный симметрич-
1'ный оператор А имеет счетное множество собственных
значений Х1г Х2, . . ., то
Теперь можно занумеровать все собственные значения
и собственные элементы оператора А. Именно, будем
Нумеровать собственные значения последовательно в по-
порядке убывания модулей, повторяя каждое собственное
значение столько раз, какова его кратность (т. е. число
линейно независимых собственных элементов, отвечающих
этому собственному значению). Приходим к конечным
или счетным системам
л2, , . ., л
„,
представляющим собой полные системы собственных зна-
значений и собственных элементов оператора А.
7*

196 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть L — подпространство, порожденное ортонорми-
рованной системой \xt\. Если x^L, т. е. х = ]? Ьхи
то Ах = 2j ЬКх> е ^. так что ^ — инвариантное под-
i
пространство оператора А. Но тогда N = Н Q L будет
также инвариантным подпространством А. Ясно, что
Ах = Q на N, так как в противном случае bN существо-
существовал бы нормированный (ненулевой) собственный элемент
оператора А, что невозможно, так как все такие элементы
принадлежат L. Полученные нами результаты состав-
составляют содержание фундаментальной теоремы Гильберта—
Шмидта.
Теорема 6.3. Для любого вполне непрерывного
симметричного линейного оператора А в гильбертовом
пространстве Н существует ортогональная нормирован-
нормированная система {*,-} собственных элементов, отвечающих
собственным значениям \кп\ оператора А, такая, что
для любого х^Н имеет место представление
E)
k
При этом „
<4*=2>to, F)
где 2j означает конечную сумму или бесконечный ряд в за-
k
висимости от числа собственных элементов оператора А.
Если система \х(] бесконечна, то lim %n = 0.
Л-» CD
Эта теорема распространяет на вполне непрерывные
симметричные операторы в гильбертовом пространстве Н
известный факт о приведении матрицы самосопряженного
линейного оператора в конечномерном евклидовом про-
пространстве к диагональной форме в некотором ортонорми-
ортонормированием базисе.
§ 25. Решение операторных уравнений
Рассмотрим операторное уравнение
Ах— hc = f, A)
где А — вполне непрерывный симметричный оператор,
/ — известный элемент, / <= Н.

РЕШЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ 197
Подставляя в A) вместо х и Ах их выражения E)
Ц Щ из § 24 и заменяя / через ]? %xt + f0, получим
2 (К - Я) Ъх{- кх0 = S ЛЛ + /о- B)
Рассмотрим два случая:
1. Я ф kt при любом I.
Умножая обе части равенства B) скалярно на хк и
5>*гитывая ортогональность xk элементам xt при i Ф k
Ш элементам хй и [й, получим
Подставляя в B) вместо |, их выражение из D), найдем
Некуда
Таким образом, в силу E) из § 24
го есть решение уравнения A) при Я, ф "к, (i =1,2,.. .).
однозначно определяется при любой правой части /,
:<эткуда следует, что при Я, Ф ht (i =1,2,...) существует
"резольвента R^ = (А —Я/).
?¦' Таким образом, любое значение параметра Я, не яв-
являющееся собственным значением, есть регулярное зна-
значение оператора А, и, значит, спектр вполне непрерыв-
непрерывного симметричного оператора, действующего в гильбер-
гильбертовом пространстве, состоит лишь из собственных
:<значений.
?, Л = Кт = лт+1 =...== Ят+р-1,
где р — кратность собственного значения Я.

198 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
При к Ф т, т + 1, • . ., пг + р — 1 коэффициенты ?*,
как и раньше, определяются по формуле D). Для значе-
значений к, совпадающих с одним из чисел т, т + 1, ...
..., т-\-р—1, равенство C) в общем случае не удовлет-
удовлетворяется, так как левая часть его обращается в нуль,
а правая вообще не равна нулю. Чтобы уравнение C)
было разрешимо и для этих значений к, необходимо, чтобы
Чк = 0 (к = т, т + 1, . . ., т + р — 1), т. е. чтобы
свободный член уравнения A) был ортогонален всем
собственным элементам хт, хт+1, . . ., хт+р_и соответ-
соответствующим собственному значению К. Уравнение C) сво-
сводится тогда к тождеству 0 = 0 и удовлетворяется при
любых значениях коэффициентов ^ (k = т, т + I, . . .
..., т + р— 1). Решение уравнения A) имеет в этом случае
вид
т+р-1
2
2 А
1 m-\-p—\
где Ст, Ст+1, . . ., Ст+Р_! произвольны.
Итак, во втором случае уравнение разрешимо не
всегда, и если разрешимо, то решение его определяется
неоднозначно. Преобразуем несколько формулу E):
(*,;-*,-Я,) „ 1 . _
Это так называемая формула Шмидта.
§ 26. Интегральные уравнения
с симметричным ядром
В пространстве L2 [a, b ] рассмотрим интегральное урав-
уравнение
ь
, s)<p(s)ds + f(t) A)
а
с симметричным La-ядром К (t, s), не равным тождественно
нулю.

§ 26] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ 1§9
Оператор
ь
, s)q>(s)ds
а
есть, как мы знаем, вполне непрерывный симметричный
оператор в гильбертовом пространстве L2 [a, bh
Опираясь на результаты § 24, получаем:
1) ядро K(t, s) имеет по крайней мере одно характе-
характеристическое число, причем все характеристические числа
действительные;
2) собственные функции, отвечающие различным ха-
характеристическим числам, ортогональны между собой;
3) каждому характеристическому числу может отве-
отвечать лишь конечное число линейно независимых собствен-
собственных функций.
Упражнение. Пусть Яо — характеристическое число сим-
симметричного ядра /С (/, s), a p—количество отвечающих этому числу
линейно независимых собственных функций. Показать, что
ь ь
2В2 |?2J J|*(' s)f
р<К20В2 |?2=J J.|*('. s)fdtds
а а
Применяя процесс ортогонализации, линейно незави-
независимые собственные функции, отвечающие данному харак-
характеристическому числу, можно сделать попарно ортого-
ортогональными.
Процесс ортогонализации. Пусть имеем конеч-
конечную или счетную систему линейно независимых функций из L2 [а, Ь\:
ФЛО. Фа @, •••¦ ФЛО. ...
(Бесконечная система элементов линейного пространства называется
линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы
линейно независима.)
Процесс ортогонализации (Оонина—Шмидта) состоит в построе-
построении ортонормированной системы функций % (/), со2 (/), • • •, ©л (t), ....
по следующему правилу:
п-1
(о - s (<р«. «*)и* (о.
k=l
, д = 2, 3, ...

СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Здесь
ь U/2 ъ
J *п @ di , (<Р„, •*) = j Фп (О ©* (О **-
/ а
Деля обе части уравнения A) на X ^ 0 и обозначая -у-
через fi, а — -^ / (/) через g (t), придем к уравнению
вида
ь
J, s)<f>(s)ds-\i<p(t) = g(t) * B)
или, в операторной форме,
Лф—^ф = ?, C)
где А — вполне непрерывный симметричный оператор.
К уравнению <3) мы можем применить вес выводы,
полученные в § 25. Именно, спектр оператора А состоит
из конечного или счетного множества значений
и если \i не совпадает ни с одним нз них, то уравнение C)
имеет единственное решение ф Ц) для любой функции
g (t)?z L%[a, b]. Это решение дается формулой
D)
¦г / Г/ — I* * f*
где ф/ @ — нормированные собственные функции ядра
К (*, s) и
При этом однородное" уравнение (g (/) = 0) будет иметь
лишь тривиальное решение ф (/) = 0.
Если fx совпадает с собственным значением оператора А
кратности р, т. е. р = цт = цт+1 = . . ~|1Л+Д.ь
и свободный член g (t) ортогонален собственным функциям
ядра'/С (tt s), отвечающим этому собственному значению:
ь ' , •. ' . . • '
Jg(t)<Pk(t)dt^O (k = m, m+l, .... т + р— 1), E)
а

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ Э01
то уравнение C) разрешимо, но неоднозначно. Это пол-
полностью согласуется с теоремой 3.8 Фредгольма, так как
в данном случае однородные сопряженные интегральные
уравнения совпадают.
i Решение ф (f) в этом случае дается формулой
2 iS
, ... , т-\-р—\
+ Стсрт @ + • • • + G^qw.! (О, * F)
р Ст, Ст+1, . . ., Ст+Р_1 — произвольные постоянные.
:-. Возвращаясь к исходным значениям параметра, имеем
;$,к = \/цк и ).4 -> оо, если собственных значений беско-
бесконечное множество, так что интегральное уравнение Фред-
тольма 2-го рода с симметричным 12-ядром всегда имеет
Характеристические числа, которых не более чем счетное
множество.
Из формулы D) получаем, что решение уравнения A)
для значений .Я,» не являющихся характеристическими,
: имеет вид
¦ (P^ = >-2l7^rcPi@ + /@(t> = 1'2' "-]' G)
где fi = \ f(t)q>i(t)dt, Формула F) соответственно дает
2 7
, m-fl, ... , т+р—1
т+р-1
где Ck (k — т, т -\- \, . . ., т -\- р — 1) — произвольные
постоянные.
; Формулы G) и (S) называют формулами Шмидта для
решения интегрального уравнения с симметричным ядром.
Если в правых частях формул G), (8) стоят бесконеч-
бесконечные ряды, то они, как можно показать, сходятся в среднем.

202 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Если дополнительно предположить, что ядро К (t, s) удов-
удовлетворяет условию (А):
ь
= const V<e=[a, b].
то ряд G) будет сходиться абсолютно и равномерно.
Покажем это. Будем писать всюду бесконечные ряды, по-
поскольку в случае конечного числа собственных функций
мы получаем конечные суммы, сходимость которых дока-
доказывать не надо.
Итак, пусть f (t)^L2 [a, b ] и пусть f, (i = 1, 2, . . .) —
коэффициенты Фурье этой функции в ее разложении в ряд
по ортонормированным собственным функциям ф; (t)
ядра К (t, s):
(i = h 2,,,.),
Рассмотрим ряд
и покажем, что он сходится абсолютно и равномерно.
Составим отрезок ряда
п+р п+р
(р > 0 — любое).
Применяя неравенство Коши, получим
п+р
2
2
i=n
и
Величины J К (t, s) ф; (s) ds можно рассматривать как
а
коэффициенты Фурье разложения ядра К (t, s), рассмат-
рассматриваемого как функция только от s, в ряд по функ-

§26] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯАСИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ 203
циям (pt (s). Применяя к этим коэффициентам неравенство
. Бесселя *), будем иметь
со / 6 \ 2 6
i=i \a
Таким образом,
п+р
!
V/s[fl, b].
CO
Поскольку f (t)<^L2 [a, b], числовой ряд 2j /? сходится.
Поэтому мы можем, выбирая достаточно большое п, сде-
сделать правую часть последнего неравенства, независимо
от р, меньше любого наперед заданного 8 >> 0. Таким
образом, для любого 8 •> 0 существует такой номер
N = N (е), что для всех п > N (г) и любого р g> 0
п+Р
i=n
со
В силу признака Коши это означает, что ряд У, X" Ф< @
1=7 '
сходится абсолютно и равномерно.
Но стоящая в формуле G) сумма
получается из этого рйда путем умножения каждого его
члена на т~г- Так как эти множители, начиная с неко-
некоторого /, становятся положительными и стремятся к 1 при
*> Если f (t) e La [a, b] и ft — коэффициенты Фурье в разложе-
разложении f (t) по некоторой ортонормированной системе функций {<р,- (/)},
то имеет место неравенство Бесселя

ИМ СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {ГЛ. VI
возрастании t* I. J_. = j— и ^->ooL то и ряд, стоя-
щий в формуле G), сходится абсолютно и равномерно.
Формулу G) можно переписать в виде
2
или
ft
t,X k)f(s)ds,
где
lf by Nj '
является разрешающим ядром
Разложение
__"V Ф1 (о Ф1- (*)
показывает, что резольвента симметричного L^-ядра имеет
лишь простые полюсы, отвечающие характеристическим
числам этого ядра.
Билинейное разложение
симметричных ядер
Пусть имеем симметричное адро К (t, s), и пусть оно
имеет лить одно характеристическое число Хъ которому
отвечает лишь одна линейно независимая собственная
*) Если, например, ядро K(t,s) есть 1а-ядро, удовлетворяющее
условию (А), то можно переставлять знаки суммы и интеграла.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ 205
|ункция фх (О, которую мы будем считать нормирован-
йой. Тогда
-JC(*. s) = ^-ф, @ «л (s). " (9)
В самом деле, рассмотрим симметричное ядро
Ж (t, s) = K (t, s) - -1 ф1 </) ф1 (s) A0)
g покажем, что у ядра ^f (?, s) нет ни одного ненулевого
Характеристического числа, так что Ж (t, s) = 0.
1! Будем рассуждать методом от противного. Пусть
ф (t) ф 0 есть собственная функция ядра К (t, s)f так что
ь
.- (П)
Умножая обе части A1) на фх (t) и интегрируя по t в пре-
пределах от а до Ь, получим
] ф @ ф1 @ Л = | М К (/, 5) ф (S) Л ф! @ Л -
в в I в }
/ ь \ ь
|. A2)
a
ft
Л' Vi ja
Ho
ь i ft 1 ft С ft
(*, 5)фE)Л ф1@Л= f U('- 5)ф1(/)Л}фE)Л =
а (а ) а \а
bib 1 ft
а t
, ' а [а ) l a
j (Здесь мы воспользовались симметричностью ядра К
1' я тем, что f К (s, 0 фх (О dt = 4~ «Pi (s>- I
a f

206 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Таким образом, из A2) имеем
ь
i(9<tt = 0. A4)
Но тогда в силу A1)
6
=ll K(t, sL>(s)ds,
так что ф @ должна быть собственной функцией ядра
К (t, s), и, следовательно, ф (/) пропорциональна <pt (/),
что противоречит A4). Значит, наше допущение неверно
и Ж (t, s) s 0.
Пусть теперь для симметричного ядра K(t, s) известна
система его характеристических чисел
и собственных функций
Будем считать, что собственные функции ортонормиро-
ваны, а характеристические числа расположены в порядке
возрастания абсолютных величин, так что
Составим новое ядро
Xm(t, s) = K(t, s)—
Ясно, что Жт{г, s)—симметричное ядро. Можно пока-
показать, что Последовательности
лт+1> л/л+2> • • • i
фт+1 @. Фт+2 (t),
образуют систему характеристических чисел и соответ-
соответствующих им собственных функций ядра Жт (t, s).
Значит, наименьшее по модулю характеристическое
число ядра Жт (t, s) есть Хт+1, если только ядро К (t, s)
имеет более т характеристических чисел.

$.26] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ 207
Рассмотрим частный случай, когда ядро К (t, s) имеет
конечное число характеристических чисел Xlt Х2 Хт.
Тогда ядро Жт{Ь, s) не имеет ни одного характеристиче-
характеристического числа и, значит, Жт{г, s) = 0, так что
vS ф,(Оф,00
K(t, s)= У ' . ¦ A5)
1=1
Мы рассматриваем для простоты случай действительного
симметричного ядра; в общем случае вырожденного ком-
Плекснозначного ядра
Фу (Пф/
Формула A5) показывает, что ядро К (t, s) вырожденное.
Вспоминая, что всякое вырожденное ядро имеет только
конечное число характеристических чисел, приходим к за-
заключению:
Для того чтобы система характеристических чисел и
собственных функций симметричного Ь2-ядра К. (t, s) была
конечной, необходимо и достаточно, чтобы это ядро было
вырожденным.
В этом случае ядро может быть представлено в виде A5).
Рассмотрим La-ядро /С (t, s) как функцию переменной s,
s < b, и параметра t. Тогда из условия
ь ь
К2(t, s)dtds< + оо
и теоремы Фубини следует, что К (t, s), как функция s,
при почти всех значениях параметра t принадлежит
L2 la, b]. Поэтому для К (t, s) можно построить ряд
Фурье по ортонормированной системе {<pt (s)\ собствен-
собственных функций ядра К {t, s), который будет сходиться в сред-
среднем к функции К. (t, s). Коэффициенты Фурье определятся
формулами
ь
ck (t) = \K (t, s) щ (s) ds = ±yk (t), A6)

208 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
так что ряд Фурье для К (t% s) будет иметь вид
Это равенство называется билинейным разложением
ядра К (t, s) по его собственным функциям.
Пределы суммирования могут быть либо конечными
(в случае вырожденного ядра), либо бесконечными (в слу-
случае невырожденного). Теорема о билинейном разложении
ядра для произвольных непрерывных ядер в простран-
пространстве С [а, Ь], когда сходимость рядов должна быть равно-
равномерной, не имеет места. Однако если ядро, непрерывно
в Q\a < /, s < b\, а его характеристические числа поло-
жшпельнЫу то билинейный ряд этого ядра сходится равно-
равномерно (теорема Мерсера, [31]).
Пример. Рассмотрим интегральное уравнение
I
о
где
' t(l-s) ,
К (f, s) =
Нетрудно показать, что К (tt $) = К (s, /)• Запишем уравнение A')
в виде
t i
Отсюда видно, что • ф @) = ф (/) = 0. Дифференцируя обе части
A"), найдем
t i
J
1
о
Повторное дифференцирование дает ф" (/) = —Хер (t), Итак, интеграль
ное уравнение (г) сводится к краевой задаче
" = 0, Ф@)=0, ф(/)=0.

§26] интегральные жршпштв с сттшштршчт&м жмром
Нетривиальные решения этой задачи:
Функции фя (/) являются собственными функциями интегрального
уравнения (Г), Фтвечашацшк харак^ериетйчесюш числам %п «¦ —j—•
втого уравнения. Как известно, система функций /sin—7—1 ортого-
I * J
нальна на [0,1], Далее,
Таким образом, система ортЪнормированных собственных функций
ядра К (t, $) и соответствующих им характеристических чисел в на-
нашем случае такова:
nt
1 /Т . 2я/
= у -у- sifl -у-
• • •
/т
, Фа @ = J/ — Sin
Билинейный ряд A7) в данном случае имеет вид
00 пЫ tins
я2
и сходится равномерно. ч
Разложим в ряд Фурье по синусам @ ^ / ^ f) функцию
00
?
/1=1
Используя известные формулы Эйлера — Фурье
i
*¦ - т j *^&> sin пг * (п в '•2> "^

210 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
находим
2/ . nns
sin—,
так что действительно
. tint . nns
sin —у- sin ——
n=l
С помощью разложения A7) можно получить много-
многочисленные полезные формулы.
Так, возводя обе части равенства A7) в квадрат, ин-
интегрируя результат по t и s в пределах от а до & и имея
в виду ортонормированность собственных функций, по-
получим
ъ ь ' ,
Ь* A8)
a a j
Замечание. Если ядро несимметрично, то имеет место фун.
даментальное неравенство И. Шура:
Полагая в A7) t *= s и интегрируя обе части по /, получим
для следа непрерывного ядра К (t, s) формулу
Рассмотрим итерированные ядра для ядра К (t} s).
Используя разложение A7), в силу ортонормированности
собственных функций имеем
а
Ь
a i
2 i ф/ (т) ф/ (»)dx=
. B0)

f6] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМ ЯДРОМ 211
Аналогично
'""* — Ф/@ ф/(s). B1)
формулы B0) и B1) дают билинейные разложения итери-
итерированных ядер.
v Таким образом, если ядро К (t, s) симметрично, а {Хп\
*'{фп @1 — системы его характеристических чисел и соб-
'^ггвенных функций, то при т > 2 числа {X™} и функции
^<Рч @1 образуют систему характеристических чисел и
^соответствующих этим числам собственных функций
¦m-го итерированного ядра Кт (t, s).
Так как для невырожденного ядра %t ->• оо, то с уве-
/->со
кадчением т улучшается сходимость рядов в правой
части B1). Из B1) получаем
I' ь ь
^ ?k B2)
¦ ь
\^к" B3)
/Формулы B2), B3) можно использовать для приближен-
приближенных вычислений первых характеристических чисел
ядра К (t, s). Пусть | Х1\ <|Я,2| < . . . Тогда с ростом т
в правых частях B2) и B3) становится преобладающим
первое слагаемое. Отбрасывая остальные слагаемые, по-
получаем приближенные формулы
\Kl(t, s)dtdsr/2m ,
j
НЬ —l/m
\Km(t, t)dt

212 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ {ГЛ. VI
В теории интегральных уравнений и ее приложениях
большую роль играет вопрос о быстроте роста характе-
характеристических чисел интегрального уравнения
/, s)cp(s)ds. B4)
Эти числа, как известно, являются нулями функции
D (к) — определителя Фредгольма. Функция D (к) опре-
определяется как сумма ряда по степеням А,:
п=0 1
и является целой функцией от X.
В предположении ограниченности ядра К (t, s):
. \K(t, s)\^M V(t, s)(=Q{a^t, s^b},
используя неравенство Адамара, мы получили оценку
(см. § 3)
\Cn\<[M(b-a)]nnnj2. B6)
Из теории целых аналитических функций, в силу нера-
неравенства B6) для | С„ |, следует, что все корни уравне-
уравнения/) (Я,) = 0, расположенные в порядке возрастания их
модулей, обладают тем свойством, что ряд
е>0, B7)
СХОДИТСЯ ДЛЯ ВСЯКОГО 8 Г> 0.
Этот результат может быть уточнен. Именно, если
К (t, s) — симметричное ядро, то все характеристические
числа кп действительны и имеет место неравенство
ь ь п
J^-±r> B8)

;j|STJ ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА 213
Откуда следует сходимость ряда >!гт, если
ь ь
^Следует отметить, что это условие ограниченности левой
1части неравенства B8) неулучшаемо.
% Непосредственная оценка коэффициентов Сп с помощью
i-церавенства Адамара позволяет и в самом общем случае
Несимметричного ядра получить оценку быстроты роста
ЩХп | в зависимости от гладкости функции К (t, s) по пере-
ренным t, s. Для случая т раз непрерывно дифференци-
дифференцируемого ядра K(t, s) Г. Вейль получил следующую асимп-
асимптотику характеристических чисел ядра при возрастании п:
пт+1/2
lim —т— = 0.
п->оо ля
|Шодробнее об этом см. [18].
§ 27. Теорема Гильберта — Шмидта
для интегральных операторов
В силу общей теоремы Гильберта — Шмидта для вполне
[¦непрерывных симметричных операторов в гильбертовом
\пространстве Н для всякого дгеЯ имеет место формула
"* Ах =
где ct — (х, xt) — коэффициенты Фурье элемента х по ор-
*онормированной системе \xt\ собственных элементов опе-
оператора А.
*-. Эта формула показывает, что любой элемент из области
:Яйачений вполне непрерывного симметричного оператора
разлагается в ряд Фурье по собственным элементам этого
Оператора.
f Рассмотрим интегральный оператор с симметричным
;)Х,-ядром в пространстве L2 [a, b):
s)x(s)ds<

214 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Применительно к таким операторам получаем классиче-
классическую теорему Гильберта — Шмидта.
Теорема 6.4. Пусть K(t, s) — симметричное
L^-ядро, и пусть h (t) — произвольная функция из
L2 [a, b]. Тогда всякая функция f (/), представимая через
ядро (истокообразно представимая функция):
= Ah=JK(t, s)h(s)ds,
а
разлагается в сходящийся в среднем ряд Фурье по ортонор-
жированным собственным функциям {ф,- (/)} ядра K(t, s):
У
Здесь %j — характеристические числа ядра /С(/, s),
ь
— коэффициенты Фурье функции h (t) по системе {ср, @1.
При дополнительном условии
ь
= const
J К2 (t,
ряд A) сходится абсолютно и равномерно ([30]).
Если ядро К (t, s) непрерывно в Q {а <: t, s < b], то
оператор Фредгольма переводит всякую функцию h (/)e
sL2 [a, b] в непрерывную функцию (см. лемму на стр. 68).
В этом случае все собственные функции с ненулевыми
собственными значениями также непрерывны.
Теорема Гильберта — Шмидта имеет место и в про-
пространстве С [а, Ь], т. е. для непрерывных ядер К (t, s)
и непрерывных функций h (t), причем сходимость ряда A)
будет равномерной.
Заметим, что в теореме Гильберта — Шмидта полнота *)
системы собственных функций {ср, (t)} не предполагается
*) Ортогональная система {<р,- (t)} функций называется неполной,
если существует отличная от тождественного нуля квадратично сум-
суммируемая функция, ортогональная ко всем функциям системы; в про-
противном случае система {<pj @} называется полной.

I 27] ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА—ШМИДТА < 215
(например, для вырожденного ядра она заведомо неполна,
но может быть неполной и для невырожденных ядер).
На теореме Гильберта—Шмидта основан метод Келлога
для приближенного-вычисления Xv Пусть К (t, s) — сим-
симметричное ядро и со (t) — произвольная функция из
Lt [a, b].
Положим
ь ь
щ @ = | К (t, S) СО (S) dS, С02 @ = | К (t, S) Wl (S) US
a a
H, вообще,
b
J S)(»n_1(S)ds.
Используя теорему Гильберта — Шмидта, получаем
где
ъ
со/ = J со (t) ф7- @ d/.
Если Юх # 0, то при больших п в разложении со„ (/)
преобладает первое слагаемое. Поэтому можно воспользо-
воспользоваться приближенными формулами

216 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
Формула B) дает значение | Яг | с избытком. При достаточно
больших п можно также пользоваться формулой
Имеет место следующий важный факт.
Пусть функция со (/) ортогональна к ортонормирован-
ным собственным функциям фх (t), ф2 (t), . . ., ф4_! (О,
но не ортогональна к собственной функции yk (t). Тогда
последовательность м" .^| имеет пределом \Xk\, где
Хк — k-e характеристическое число ядра К (t, s).
§ 28. Экстремальные свойства
характеристических чисел
и собственных функций
Пусть функция h (t)^L2 la, b). По теореме Гиль-
Гильберта — Шмидта
Ь .со
Ah=JK(t, s)A(s)ds = 2 ^»1фя@. A)
2
л=1
(Рассматриваем общий случай невырожденного 12-ядра.)
Умножая обе части A) скалярно на h (t), получаем
S
п=1
Пусть, как обычно, числа Кп расположены в порядке воз-
возрастания их абсолютных величин, так что наименьшим
по модулю является число А,1% Тогда из B) следует
Числа (h, ф„) суть коэффициенты Фурье функции h (t)
но системе {ф„ (t)\. Используя неравенство Бесселя ([5]),
из C) находим
\(Ah, Л)|< ' |ftp

291 УРАВНЕНИЯ. ПРИВОДЯЩИЕСЯ К СИММЕТРИЧНЫМ >2П
, если || А || = 1,
\(Ah, h)\^j?j. D)
равенства в D) достигается при h (t) = фх (t), где
<jpt (t) — нормированная собственная функция ядра К (t, s),
отвечающая характеристическому числу Х1ш В самом деле*
Умножая обе части последнего равенства скалярно на
<р! (t), получим
; Таким образом, справедлива следующая теорема (см.
Iтакже стр. 192).
Теорема 6.5. На множестве нормированных функ-
\ций ||h|| = 1 величина \{Ah, h) \ имеет максимум, равный
\ 1/JA,! |. Этот максимум достигается при h (/) = фх (t).
I • Рассмотрим множество нормированных функций h (t),
'^ортогональных первым т — 1 собственным функциям.
Тогда
k=m
f Рассуждениями, аналогичными вышеприведенным, по-
; лучаем следующий-результат:
I: На множестве функций, нормированных и ортогональ-
ортогональных первым т —-1 собственным функциям ядра К (t, s),
величина | (Ah, h) | имеет максимум, равный 1/|Хт|, кото-
который достигается при h (t) — <pm (t).
§ 29. Интегральные уравнения, приводящиеся
к симметричным
В приложениях часто встречаются уравнения вида
. ь
A)
где K(t, s) — действительное симметричное ядро и р (t) > О
на [а, Ь]. Умножая обе части A) на У р (t) и вводя новую

218 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
искомую функцию -ф (f) = Yp (О Ф @. приходим к ин-
интегральному уравнению
B)
с симметричным ядром
Пусть %k и % (t) — характеристические числа и собствен-
собственные функции однородного уравнения, соответствующего
уравнению B). Будем считать функции 1рА (t) ортонорми-
рованными:
0 при * ^/.
Учитывая соотношение г|эА (t) = щ (t) У р (t), получим,
что собственные функции однородного уравнения
ортонормированы с весом р (t):
.7!
0 при i Ф /.
Упражнение. Показать, что уравнение (I) можно привести
к уравнению
со (*) = Я, f Ki (х, у) а (у) dy +
= Я, f Ki (х, у)
с симметричным ядром К\ (х, у) путем перехода к новым перемен-
переменным х в у: •
' s [ Ь \

§ 30] КЛАССИФИКАЦИЯ СИММЕТРИЧНЫХ ЯДЕР 219
§ 30. Классификация симметричных ядер
Пусть К (t, s) — симметричное ядро и р (t), q (f) —
функции из L2 [а, Ъ ]. Рассмотрим билинейный функционал
ь ь
jJK(t,s)p(t)q(s)dtds, A)
а а
аналогичный билинейной форме
я
Ъ alkxtyk (aik = akl, aik — вещественные).
Применяя теорему Гильберта—Шмидта, получим
Ъ со
где
— коэффициенты Фурье функции р (t) по ортонормиро-
ванной системе |ф; (t)} собственных функций ядра К (t, s).
Умножая обе части последнего равенства на q (s), ин-
интегрируя по s и обозначая через qk коэффициенты Фурье
функции q (s), получим
Ъ Ь
а а А=1
При q (t) = p (t) получаем аналог квадратичной формы
ЬЬ со 2
J\p\ =
Эта формула лежит в основе классификации симметрич-
симметричных ядер. В силу B) необходимым и достаточным усло-
условием положительности всех характеристических чисел
является неравенство
/ \р\ > 0 для всех р {t)^L%[a,b\,

220 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
В самом деле, если все Xk ?> 0, то из равенства B)
видно, что J \р) > 0 Vp (t) е L% la, b]. Положим теперь,
что имеется хоть одно отрицательное характеристическое
число, например Хх << 0.
Возьмем р (t) = ф! (t). В силу ортонормированности
собственных функций получим, что рх = 1, а все осталь-
остальные pk = 0 (к > 1).
Правая часть B) обратится тогда в 1/Хх и будет отри-
отрицательной, т. е. будет / \ц>j} < 0.
Функционал / \р\ и ядро К (t, s), обладающие свой-
свойством
J\p\ >0 Vp(t)e=Lz la, b],
называются неотрицательно определенными.
Если это неравенство является строгим для всех
р (t) ф 0, функционал J\p\ и ядро К (t, s) называются
положительно определенными.
Можно показать, что для положительной определен-
определенности ядра К (t, s) необходимо и достаточно, чтобы все Xk
были положительны и система функций |фА @1 была
полной.
Упражнение. Показать, что вторая итерация K%(t, s) яд-
ядра K(t, s) всегда неотрицательно определенная.
Аналогичным образом, функционал / \р\ и ядро К (t, s)
называются неположительными, если
J{p\^O Vp@sL2[a, b].
Совершенно так же, как и выше, можно показать, что
условие J \р\ < 0 равносильно тому, что все %k < 0.
При этом
где Хх — наименьшее по абсолютному значению харак-
характеристическое число.

ФУНКЦИЯ ГРИНА
221
¦ § 31. Функция Грина. Сведение краевой задачи
- к интегральному уравнению
';' 1. Функция Грина краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения. Рассмотрим дифференци-
дифференциальное уравнение
Lx = ¦%?¦
;где q (t) и h (t) — непрерывные на [а, b] функции.
¦ Пусть ищется решение
:*(/) уравнения A), удов-
удовлетворяющее (для просто-
просторы) краевым условиям
A)
9(t-s)
Определение.
Функцией Грина G (t, s) 0 t=$
i краевой задачи A)—B) на- р„с 15<
• зывается функция двух пе-
\ ременных, определенная в квадрате a <.t,s <: b и такая,
\что
1) Lfi (t, s) = 0 при /<s и ti>s, т. е. G (t, s), как
^функция t, удовлетворяет при указанных значениях t и
I s уравнению A).
2) Функция G (t, s) удовлетворяет поставленным гранич-
1ным условиям
V G(a,s) = 0, G(b,s) = O для a<s<b.
[- 3) G (i, s) непрерывна при i = s:
;) = G(S — 0, S). •
претерпевает
4) Производная -щ- в точке t = s
скачок:
dG(s+ Q, s)
dt
dG(s — O, s)
dt
= 1.
Учитывая этот единичный скачок в точке t = s и
имея в виду правило дифференцирования единичной функ-
функции в (/ — s) (рис. 15), заключаем, что

222 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
где б (/ — s) — 6-функция (см. [47]), —^ классиче-
классическая (обычная) вторая производная функции Грина.
Поэтому условия 1) и 4) можно заменить условием
LtG(t,s) = 8(t — s). C)
Таким образом, функция Грина имеет простой физический
смысл. 3>го решение задачи для единичного точечного
источника:
Теперь можно сразу написать решение краевой задачи
A)—B) с помощью функции Грина. Именно, решение
краевой задачи A)—B) дается формулой
ь
x(t) = \G(t,s)h{s)ds. D)
а
В самом деле, в силу условия 2) на функцию Грина, функ-
функция х (t), определяемая формулой D), удовлетворяет гра-
граничным условиям B).
Далее,
(Ь \ Ь
= Lt\\G{t, s)h{s)ds\ = \LtG{t, s)h{s)ds =
U J a
b
b
~\8(t-s)h(s)ds=h(t),
так что функция х (t) удовлетворяет дифференциальному-
уравнению A).
(Становясь на точку зрения «физической строгости»,
можно всегда дифференцировать под знаком интеграла,
если рассматривать результат как обобщенную функцию.)
Пример.
Lx=|f—х@ = Л@, E)
х@) = 0, хA)=0. F)
Построим функцию Грина задачи E)—F). Общее решение
однородного уравнения
соответствующего уравнению E), имеет вид

§ 31] ФУНКЦИЯ ГРИНА 223
Поскольку функция G (t, s) должна быть решением этого
однородного уравнения при (<sh при / > s, представим
ее в виде
G(/, s) = ax (s) ef + a2 (s)e-' при
G (t, s) = bx (s) e* -j- b2 (s) е-* при
В силу условия 2) должно быть
G@, s) = 0, G(l,s)=0,
что дает
ai + аг= 0.
Условие 3) непрерывности функции Грина при t = s при-
приводит к соотношениям
Vs + Ьф~% = а^е* + аф~\ (9)
Наконец, условие 4) принимает вид
V — V~s — [aies — а#-*] = \. A0)
Из соотношений (8), (9), A0) находим величины аи аг,
Ьъ Ьг, что дает
( ; )
G(t,s) = \ shl A1)
shl '
Нетрудно видеть, что G (t, s) = G (s, t), т. е. функция
Грина симметрична. Это вытекает из общего предложения,
утверждающего, что если краевая задача A)—B) самосо-
самосопряженная, то функция Грина этой задачи является симг
метричной.
Физический смысл этого результата есть соотношение
взаимности, т. е. отклик в точке / на единичное точечное
возмущение в s равен отклику в s на единичное точечное
возмущение в t.
Подробнее с условиями самосопряженности краевой
задачи, а также существования единственной функции
Грина можно познакомиться, например, в [39].

224 СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VI
2. Сведение краевой задачи к интегральному урав-
уравнению. Ограничимся простейшим случаем. Пусть требуется
найти решение х (t) уравнения
<12)
(к — числовой параметр),
удовлетворяющее краевым условиям
х@)=хA)=0. A3)
Перепишем уравнение A2) в виде
~ш~ — *@=М0 — ^<7@*@ A4)
и будем рассматривать правую часть A4) как известную
функцию.
Тогда эквивалентным этому уравнению и краевым ус-
условиям A3) будет, интегральное уравнение
1
х (/) = _ % [ G (/, s) q (s) x (s) ds + hx (t), A5)
где
i
A1@=|G(<,s)A(s)ds,
a G (t, s) —функция. Грина, отвечающая уравнению
и краевым условиям A3).

Г Л А В А VII
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА
§ 32. Уравнение Вольтерра 1-го рода
Пусть имеем уравнение Вольтерра 1-го рода
A)
где К (t, s), f (t) — известные функции, ф (/) — искомая
функция.
Для однозначной разрешимости интегральных урав-
уравнений 2-го рода достаточно было потребовать, например,
непрерывности ядра К {t, s) и свободного члена / (/). При
этом решение ф (/) необходимо оказывается непрерывным.
При изучении уравнении A) приходится вводить новые
требования. Чтобы уяснить их необходимость, рассмотрим
Простейшее уравнение этого типа, получающееся при
¦K(t,s) = 1:
t
\<p(s)ds = f(t). B)
а
Если предположить, что неизвестная функция ф (/) только
ограничена и интегрируема, то задача оказывается не-
неопределенной, так как в этом случае можно, не изменяя
значения интеграла, произвольно менять значение функ-
функции ф (/) в конечном и даже бесконечном числе точек
отрезка интегрирования (точнее, на множестве меры нуль,
если понимать интеграл в смысле Лебега).
С другой стороны, оказывается, что функция / (/) не
может быть произвольной непрерывной функцией: она
должна удовлетворять некоторым условиям, налагаемым
на / (/) и ее производные. Для определенности будем счи-
считать, что решение ищется в классе С [а, Ь] функций,
8 М. Л. Краснов

226 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. VH
непрерывных на [а, Ь]. В таком случае, чтобы уравнение B)
имело решение <р (/)гС [а,. 6], необходимо, чтобы
функция / (t) обращалась в нуль при 1 = о допускала
непрерывную производную в (а, Ь). Тогда искомым ре-
решением будет
Рассмотрим более общее уравнение
t
1—1
а
Чтобы это уравнение имело своим решением непрерывную
функцию. ф (/), необходимо, чтобы функция / (/) имела
непрерывные производные /' (t)f . . ., /w (t) и чтобы сама
эта функция и ее п — 1 первых производных обращались
в нуль при t = a.
Если эти условия выполняются, to уравнение C) имеет
своим решением непрерывную функцию <р (/) = /(л) (<)•
Пр и м ер ы. 1. Рассмотрим интегральное уравнение вида C):
t .
Ut-
Здесь / (/) = /2, п = 2. Функция / (/) имеет непрерывные производные
всех порядков, причем / @) = /' @) == 0. Применяя преобразование
Лапласа и используя теорему о свертке, перейдем от данного инте-
интегрального уравнения к операторному:
откуда Ф (р) = 2/р, так что ф (/) = 2 есть непрерывное решение дан-
данного уравнения.
2. Рассмотрим уравнение
t
(t — s) ф (s) ds = sin t> D)
I
Здесь опять n = 2, a / (/) = sin /. Функция / (f) имеет непрерывные
производные всех порядков, / @) = 0, но /' @) =» 1 Ф 0. Применяя
преобразование Лапласа, найдем

$32] УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА 1-го РОДА 22Т
откуда
— s\ttt,
где б (t) — дельта-функция.
:..i- Таким образом, уравнение D) имеет решение, но в классе обоб-
обобщенных функций.
Рассмотрим теперь уравнение
A)
а
и будем предполагать, что ядро К (t, s) и все его частные
производные нужного порядка суть непрерывные функции.
Для того чтобы уравнение A) имело непрерывное ре-
решение Ф @, необходимо выполнение условия / (а) = 0.
Далее, если ядро К (/, s) имеет непрерывную производ-
производную -37-> то левая часть A) также имеет непрерывную
производную по /, откуда следует, что и / (/) должна иметь
непрерывную производную /' (/)•
Дифференцируя обе части A) по t, придем к урав-
уравнению
t
\ E)
а
которому удовлетворяет решение ср (/) уравнения A), и на-
наоборот.
Пусть К (/, /) не обращается в нуль ни в одной точке
отрезка [а, Ь]. Деля обе части E) на К (t, /), получим
Это — интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, и
к нему может быть применена развитая выше теория
таких "уравнений.
Итак, если функции f (/) и К (/, s) имеют непрерывные
производные f'(t) и —, / (а) = 0, а К (tt t) не обращается
в нуль на [а, 61, то уравнение A) имеет в интервале (а, Ь)
единственное непрерывное решение.

228 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. VU
Если К (t, t) обращается в нуль в некоторой точке
отрезка [а, Ь], например в точке / — а, то уравнение E)
обладает особыми свойствами, совершенно отличными от
свойств уравнений 2-го рода. Такие уравнения, следуя
Пикару, называют уравнениями 3-го рода.
Если К (t, t) тождественно равно нулю, то уравне-
уравнение E) есть опять уравнение 1-го рода, с которым можно
поступать так же, как с первоначальным, если только
К (/, s) имеет непрерывную производную " д ' s' . При
этом, чтобы уравнение E) имело непрерывное решение,
необходимо, чтобы /' (а) = 0 и /" (/) была непрерывна.
Дифференцируя обе части E) по t (К (/, /) = 0), придем
к уравнению
которое является интегральным уравнением 2-го рода,
если K't (t, t) отлична от нуля на [а, Ь].
Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не придем
„ dn~lK(t, s) 4 л
к производной ^-f-j—-, которая при t = s не обра-
обращается тождественно в нуль. При этом, чтобы уравнение A)
имело решение ф (t)^ С [а, Ь], необходимо,- чтобы
/ (ОеС*"-1) [а, Ь], т. е. имела бы непрерывные произ-
производные до порядка п — Г, причем все они должны обра-
обращаться в нуль при t = а.
¦г ' дпК <(, s)
Если производная -^—- непрерывна, то непре-
непрерывной должна быть /'"> (t), и мы приходим к уравнению
которое является интегральным уравнением 2-го рода,
если п\' ' не обращается в нуль на [а, Ы.
В этом случае уравнение (8) имеет единственное не-
непрерывное решение, которое удовлетворяет исходному
уравнению A),

§ 32] УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА 1-го РОДА 229
Замечание. Уравнение
Jff(/,s)q>(s)ds = /(/), A)
K(t, 0=^0,
может быть сведено к уравнению 2-го рода с помощью
интегрирования по частям.
Положим
t
(9)
a
так что Ф (а) = 0. Тогда
t
\K{t, s)q>(s)ds = [K(t, s)<$(s)]
s—a a
и интегральное уравнение A) примет вид
или
К уравнениям A) приводят многие важные прикладные
задачи. Пусть ф (/) — излученный радиоимпульс, / (/) —
сигнал, записанный на некотором расстоянии от точки
излучения. Тогда '
t
J dx, A1)
где К (t — т) — импульсная функция трассы распростра-
распространения радиоимпульса, зависящая от свойств среды (грунта,
влажности воздуха и т. д.).
С уравнением A1) можно связать целый цикл задач,
например:
1) Известны К (t — т) и / (t). Восстановить излучен-
излученный сигнал ф (t).

230 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА
Вообще, уравнения 1-го рода часто встречаются в за-
задачах, где по результатам как^х-то измерений требуется
восстановить исходное явление.
2) По известным входу q> (t) и выходу / (/) определить
К (t — т). Тогда мы будем знать, как влияет преобразова-
преобразователь радиосигнала на входной сигнал.
У'пражне ни е. Во многих областях естествознания встре-
встречается задача отыскания закона распределения размеров шаровых
частиц, погруженных в непрозрачную среду, по измерениям сегментов,
которые получаются при пересечении частиц случайными плоскостями.
Обозначая через / (г) (г — диаметр частицы) плотность вероятности
распределения диаметров частиц, получаем, что функция f (г) должна
определяться из интегрального уравнения типа уравнения Абеля
- -f-oo
=-f Г rr==dr9 A2)
Г0 J y22
где ф (х) может быть найдена из наблюдений, r0 = const.
Показать, что решением уравнения A2) является
со
х*
Указание. Положить / (г) = rfl (г2).
Уравнение A2) появляется также в теории сзадачи глобулярного
скопления» в астрономии (глобулярное скопление представляет собой
собрание звезд, расположенных вокруг общего центра сферическими
слоями постоянной плотности).
§ 33. Уравнение Фредгольма 1-го рода
Интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
J К it, s) Ф (s) ds = / @, A)
где К (/, s), 7 @ —известные функции, ф @ ~ искомая
функция, также представляет трудности для изучения,
существенно отличные от тех, с которыми мы встречались
в теории интегральных уравнений 2-го. рода.
Пусть, например, ядро К (t, s) есть многочлен отно-
относительно/и s:
K(t, s) = ao(s)^ + a1(s)/^1+...+am(s),
где at (s) — многочлены относительно s (i = 1,2,.. •, m).

§!'33] УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 1-го РОДА 231
•¦•¦ Тогда левая часть A) будет иметь вид botm -f Ьх1т-1 -f-
. '+ ' • ' + bm для любой ф (t)^C [a, b], а следовательно,
такой же вид должна иметь и правая часть A), т. е. функ-
функция / (/).
Таким образом, для любой непрерывной функции / (О
решение уравнения A), вообще говоря, не существует
при сколь угодно «хорошем» ядре К (/, s).
Рассмотрим, например, простейшее интегральное урав-
уравнение 1-го рода
1
Ф (s) ds = t
гс ядром К (t, s) = 1 и / (/) = /.
:;•.'• Очевидно, что в классе интегрируемых (в частности,
непрерывных) функций это уравнение не имеет решений.
Пусть ядро К (t, s) уравнения A) симметричное.
В силу теоремы Гильберта — Шмидта для существо-
звания решения уравнения A) необходимо, чтобы функ-
функция / (/) разлагалась по собственным функциям {ф, (/)}
"ядра К (/, s):
При выполнении этого условия решение ф (/) уравне-
уравнения A) можно искать в виде
»¦
:.Подставляя C) в A) и сравнивая с B), получим -?*¦ =
— (/. ф|). откуда, d = Я,, (/, ф(). Если мы хотим, чтобы
решение ф (/) принадлежало L2 [a, b], надо наложить на
/ (/) дополнительное требование.
.ч Теорема 7.1 (Пикара). Интегральное уравнение
1.1-го рода с замкнутым симметричным ядром К (/, s)
l A)
а
еде
f(t)t=Lt\a,b],

232 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. VI1>
имеет, и притом единственное, решение в классе L2[a, b]
тогда и только тогда, когда ряд
2 Ш D)
сходится.
Здесь %k — характеристические числа ядра К (t, s),
fk = (/. Фа) — коэффициенты Фурье функции / (/) отно-
относительно собственных функций ф„ (t) этого ядра:
Ь
K(t, s)<pn(s)ds. E)
Симметричное ядро К (t, s) называется замкнутым
bL2 [a, b], если каждая функция со (/)eL2 [a, b], удовле-
удовлетворяющая тождеству
ь
\ K(t,s)a(s)ds = 0,
а
равна нулю почти всюду на [а, Ь]. Замкнутое ядро харак-
характеризуется тем, что собственные функции ядра образуют
полную в L2 [a, b] ортогональную систему функций.
Доказательство теоремы 7.1. Предполо-
Предположим, что существует решение ф (/)eL2 [a, b] уравне-
уравнения A). Тогда будем иметь
a
bib
\K(t, s)<p(s)dsUa(t)dt =
a '
1 b
= WK(t, s)<f>n(t)dtU(s)ds = ±$<Pn(s)<p(s)ds. F)
a *-a I a
Здесь мы воспользовались тем, что в силу A)
ь-
а также тем, что в силу симметричности ядра
ь
\K(t, !)9.

J 33] УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 1-го РОДА 233
равенство F) может быть записано в виде
ь
Jq>(s)q>n(s)ds=U,, G)
а
откуда видно, что числа Xnfn являются коэффициентами
Фурье функции ф (t)<=L2 [a, b]. Как известно, ряд D)
из квадратов этих коэффициентов необходимо должен быть
сходящимся.
Предположим, обратно, что ряд D) сходится. Тогда
в силу теоремы Фишера — Рисса ([19]) существует функ-
функция ф (/)eL2 [a, b], и притом единственная, для которой
числа KJn являются коэффициентами Фурье по системе
функций |ф„ (/)}, т. е. выполняются равенства G) для
всех п (п = 1,2,...). Эта функция ф (t) удовлетворяет
данному интегральному уравнению. Действительно, в силу
ь
самого построения ф'(/) функции / (/) и J К (/, s) ф (s) ds
а
имеют одни и те же коэффициенты Фурье относительно
полной системы {ф„ (t)\ собственных функций ядра К (t, s).
. b
Следовательно, функции / (t) и J К (t, s) ф (s) ds тожде-
a
ственны (в метрике L2 [a, b\).
Если ядро К (/, s) не является замкнутым, то решение
уравнения A) не единственно. Пусть (ох (/), . . ., a>k (t) —
не равные нулю почти всюду функции такие, что
ь
JK(t,s)<x>j(s)ds = O (/=1,2 k).
а
Тогда, если ф0 (/) — решение уравнения A), то функция
k
Фо @ +??,«,.(/),
где С/ (/ = 1, 2, . . ., k) — произвольные постоянные,
также будет решением этого уравнения. В случае выро-
вырожденного ядра решение уравнения A) может содержать
бесконечное число произвольных постоянных.
Требование замкнутости ядра К (/, s) является су-
существенным не только для единственности решения

234 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. -VH
уравнения A), но и вообще для разрешимости этого урав-
уравнения. Если отказаться от требования замкнутости, то
среди уравнений вида
где / @ — заданная непрерывная функция, не ортого-
ортогональная ко всем ф„ (/), a g (/) — любая непрерывная
функция, ортогональная ко всем ф„ (/), можно найти не-
неразрешимые уравнения.
Рассмотрим, например, уравнение
(V)
Оно имеет очевидное решение ф (f) — 1. Непосредствен-
Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что решениями урав-
уравнения A') будут также функции
Ф@ = 1+«(/),
где ю (/) = a/ -f- р и величины а, Р — любые действи-
действительные числа, удовлетворяющие условию а -f- 2р = 0.
С другой стороны, уравнение
очевидно, неразрешимо.
Для решения некоторых интегральных уравнений
Фредгольма 1-го рода можно применять метод последова-
последовательных приближений ([431).
Теорема 7.2. Пусть К (t, s) — симметричное по-
положительно определенное Ьг-ядро, и пусть уравнение
ь
\K(t,s)<f>(s)ds = /(/), f(t)t=Ltla,bl, A)
а
однозначно разрешимо.

УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 1-го РОДА $35
Тогда последовательность {ф„ (t)}, определяемая ре-
рекуррентным соотношением
Ф„ @ = Ф„-1 @ + Ш (/) - j> (f, s) ф^ (s) dsl (8)
(9)
:ы Я,а — наименьшее характеристическое число ядра К (t, s),
сходится в среднем к решению уравнения A).
В самом деле, полагая в равенстве (8)
приведем его к виду *
ь
t, s)un_1{s)ds. (8')
-^Умножим обе части (8') на собственную функцию и, (t)
ядра и проинтегрируем по / от а до Ъ. Получим
ь ь
а1=а1-Х — bjvi(t) dt\ К (t, s)un-i(s)ds, A0)
a a
где
Используя симметричность ядра К (t, s) и то, что
ь
j(', s)vt(s)ds,
а
находим
\Vl{t)dt\K{t, s)un.1
п-1

236 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. VU
Таким образом, из A0)
Рассмотрим интеграл
ь ь
В силу полноты системы функций \vt (t)\ имеем
2
(=1
На основании неравенства (9)
и потому для любого е?> 0 можно указать такой номер
N = N (г), что при п ?> N (г)
Таким образом, мы приходим к неравенству
которое означает, что последовательность {ф„ (/)} схо-
сходится в среднем к решению ф (/) уравнения A).
Рассмотрим опять уравнение
ь
J К (t,s)<p(s)ds = /(/), A)
а
не предполагая теперь ядро симметричным. Применим
к его решению общий метод неопределенных коэффициен-
коэффициентов. Суть этого метода — разложение искомой функции
по некоторой полной системе функций. Он оказывается,
вообще, хорошо приспособленным к решению интеграль-
интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода.

S 33] УРАВНЕНИЕ ФРЕДГОЛЬМА 1-го РОДА 237
Будем искать решение ф (t) уравнения A) в виде
Ф(О = 2ЯЫОИО, (И)
п
где функции gn (t) (я = 1, 2, . . .) образуют некоторую
полную систему на интервале (a, b); w (/) — некоторая
весовая функция, которую следует выбирать близкой
к ф (/) и тем самым улучшить сходимость ряда A1). Если
о решении ф (t) мало что известно, то можно положить
w(t) = 1.
Подставляя ф (t) в форме A1) в уравнение A), будем
иметь
ь
/@ = S anJK(t,s)gn(s)w(s)ds,
п а
ИЛИ
/(/) = ?а„М0. A2)
п
где hn (t) — известные функции:
ь
K{t, s)gn(s)w(s)ds. A3)
Таким образом, решение интегрального уравнения
сводится к нахождению коэффициентов ап по известным
функциям / @ и hn (t).
Это особенно просто делается в двух случаях:
1) Если функции hn @ = cjn (я = 0, 1, . . .), то пра-
правая часть A2) оказывается степенным рядом, так что не-
неизвестные коэффициенты ап можно определить путем
сравнения коэффициентов этого ряда с соответствующими
коэффициентами в разложении / (t) по степеням t.
2) Если функции hn (t) образуют ортогональное с ве-
весом р (t) семейство на интервале (а, Ь):
*) Здесь 6Ш„ — символ Кронекера,
0 при т фа,
1 при т — п.

g38 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [РЛ. VIJ
то коэффициенты ап легко определяются из A2) по фор-
формулам
где
ь
Nn=\9{t)h\{t)dt.
К сожалению, чаще функции hn (/) не являются ни сте-
степенями /, ни элементами ортогональной системы и опре-
определение коэффициентов ап бывает сопряжено порой с боль-
большими техническими трудностями. С некоторыми мето-
методами отыскания ап можно познакомиться в [23].
В качестве примера, иллюстрирующего изложенный
метод, рассмотрим случай hn(t) = /".
Это имеет место, когда ядро интегрального уравнения
является производящей функцией для семейства ортого-
ортогональных полиномов. Напомним, что функция G(t, z) назы-
называется производящей для системы функций
go (г), gi (z) gn (z)
если
со
G(/, z)= ^cngn(z)t" (спф0),
т. е. если функции gn (z) (n = 0, 1, 2, . . .) получаются
в результате разложения G (/, z) в ряд по степеням t.
Как известно" ([23]), производящую функцию для поли-
полиномов Эрмита Нп (z) можно записать в виде
. (И)
п=0
Это разложение можно применить для решения инте-
интегрального уравнения
+«
/(/) = J e-»-«)>(s)ds. A5)
—со
Задачи такого типа возникают в вопросах о распростра-
распространении тепла, когда искомым является первоначальное рас-

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА 239
-яределение источников, порождающее некоторое задан-
заданное распределение температуры. Положим
¦Используя разложение A4) ядра уравнения A5) и тот
;факт, что
+
? +
J H2n(s)e~s'ds = 2"niyH,
Приводим уравнение A5) к виду
Отсюда
fin) @)
a" 2"nl Vn
и, следовательно, решение ф (/) уравнения A5) имеет вид
: § 34. Операторные уравнения 1-го рода
? Под операторным уравнением 1-го рода понимают урав-
Гаение
¦ ^Ф = /, (О
|!где ф, / — элементы гильбертова пространства Н, А —
"Вполне непрерывный оператор.
;, Так, интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
Г J К (/,s)q>(s)ds = /(/), (Г)
;' а -
?где К (t, s) — интегрируемое с квадратом в прямоуголь-
прямоугольнике Q {а <¦ /, s < Ь\ ядро, а ф (/) и / (/) — функции из
fL% [a, b], является примером операторного уравнения
|1-го рода.
I Одним из существенных моментов в теории таких урав-
уравнений является то, что оператор, обратный вполне

240 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. VII
непрерывному, не ограничен. Поэтому, если
два близких между собой элемента из Я и оба
4<p / Лф /
/г и/2—
уравнения
разрешимы, то соответствующие решения фх = A~1f1 и
Ф2 = Л/2 могут сильно отличаться друг от друга.
Таким образом, сколь угодно малая погрешность в сво-
свободном члене уравнения A) может привести к сколь угодно
большой ошибке в решении.
Задачи, в которых малое изменение исходных данных
приводит к малому изменению решения, называются кор-
корректными. Решение интегрального уравнения 1-го рода
(в отличие от уравнения 2-го рода) в общем случае яв-
является некорректной задачей.
В настоящее время некорректные задачи и методы их
регуляризации (т. е. сведения их к задачам, в том или
ином смысле корректным) стали предметом пристального
внимания большого числа математиков как в нашей стране
(школа акад. А. Н. Тихонова), так и за рубежом.
Задача решения уравнения A) называется поставлен-
поставленной корректно по Тихонову, если выполнены следующие
условия:
1) априори известно, что решение ф существует для
некоторого класса исходных данных и принадлежит не-
некоторому заданному множеству М:
«реМ;
2) решение единственно в классе функций феМ;
3) решение ф уравнения A) непрерывно зависит от
правой части / на множестве Ма, где Ма есть образ мно-
множества М при отображении Лф.
Рассмотрим уравнение
ЛФ = Д A)
где Л — линейный вполне непрерывный оператор и
II Л || «1.
Пусть задача решения уравнения A) поставлена кор-
корректно по Тихонову, и пусть множество корректности М
есть множество функций и, определяемых соотношением
u = Bv, ||и||<1,. B)
где В — линейный вполне непрерывный оператор,
IIВ 11^ 1.

} 34] ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА 241
Пусть задана функция а (т), удовлетворяющая сле-
следующим условиям:
а) а (т) — непрерывная неубывающая функция, и
а @) = 0;
б) для любого иеМ, удовлетворяющего неравенству
|| Аи ||
имеет место неравенство
||и||<@(т). . C)
Укажем один метод решения уравнения A), ограничив-
ограничившись наиболее простым случаем ([17]).
Пусть А — положительно определенный симметрич-
симметричный оператор и операторы А а В перестановочны. Обо-
Обозначим через фт функцию
и оценим разность q>T — ф. В силу A), B) имеем
Ф, —Ф.= {(Л + т/)-М —/}Гф = -тВ(Д+т/)-1ф, D)
где ф = Вгр, ||г|5|| < 1.
Функция wx = т (А -f- т/) х -ф удовлетворяет неравен-
неравенствам
IKIK1, ЦЛ^Ц^т, \\ABwx\\^-c. E)
Действительно, в силу положительной определенности опе-
оператора А, для любой функции w
\\(A+-cI)w\\^t\\w\\,
откуда, взяв в качестве w функцию (A -f x/) w, находим
II (Л+ Т/) а) ||^4-Иа'
Из неравенств G) уже следуют неравенства E). Из нера-
неравенств F) и из неравенства C) получаем
||?Ч|| = 1|фт — ФИ»(т). (8)
Таким образом, если функция / такова, что уравнение A)
разрешимо, то фг -»- ф по норме при т -> 0.

242 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА [ГЛ. УП
Пусть теперь правая часть / известна с точностью до е,
т. е. известна функция /е такая, что
II/—/ell<e.
Обозначим через фхе функцию
и оценим разность ф— фте. В силу G), (8) имеем
|| Ф — Фхе|| < (D (т) + ||<Л + г/) (/—/е) |К (D (т) + г/т.
..'¦¦ (9)
Если т есть корень уравнения та (т) = е, то из неравен-
неравенства (9) следует
IIФ— Фхе||<2@(т).
Очевидно, что т, и, значит, а (т), стремится к нулю при
е -> 0. Следовательно, функцию <рте можно считать при-
приближенным решением уравнения A). Заметим, что опре-
определение функции фге = (А + т/) /е эквивалентно реше-
решению операторного уравнения 2-го рода
Применительно к уравнению Фредгольма (Г) это озна-
означает, что мы рассматриваем вместо (Г) уравнение 2-го рода
Приведем один относящийся сюда результат В. К. Ива-
Иванова. Пусть имеем интегральное уравнение
K(t,
с симметричным, замкнутым, положительно определенным
ядром. Пусть решение ф0 (/) этого уравнения существует
и принадлежит L2 [а, Ь] или С [а, Ь]. Пусть, далее,
Ф (/; т, е) — решение уравнения
s = fe(t), т>0/

i 34] ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-го РОДА 243.
где
11/@—
Исследуется асимптотика функций е = е (г), для которых
Ф(*;т,е(т)) —%(/) при т—0. A0)
Оказывается, что для сильной /.2-сходимости в A0) не-
необходимо и достаточно, чтобы е = о (]^т). Для равно-
равномерной сходимости в A0) в некоторых случаях доста-
достаточно, чтобы е=о (т). Выбор величины т очень суще-
существен, но сопряжен с большими трудностями. Зачастую
величину т подбирают эмпирически, с помощью анализа
модельных задач с известными решениями.

ГЛАВА VIII
НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ. СИНГУЛЯРНЫЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 35. Нефредгольмовы интегральные уравнения
Пусть имеем интегральное уравнение
ь
ds- со
Если ядро K(t, s) уравнения A) интегрируемо с квадра-
квадратом по основному прямоугольнику Q \а < t, s <-b\ (a, b
могут быть и бесконечными):
ь ь
\\\K(t, s)\* dtds < + oo, B)
а а
то для уравнения A) справедливы теоремы Фредгольма.
В частности, спектр уравнения A), т. е. множество ха-
характеристических чисел, дискретен и каждому характери-
характеристическому числу отвечает на более чем конечное число
линейно независимых собственных функции (характеристи-
(характеристические числа имеют конечную кратность).
Если условие B) не выполнено, то у интегрального
уравнения A) спектр может быть непрерывным, т. е.
характеристические числа могут заполнять целые интер-
интервалы, и могут быть характеристические числа бесконечной
кратности.
Покажем это на примерах.
Рассмотрим уравнение Лалеско — Пикара
q>(f) = X J e-l '~s 1ф (s) ds C)
—со
(к — действительный параметр).

35] НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245
Ядро этого уравнения 7( (t, s) = e~li-sl не удовлетворяет
условию B). В самом деле,
-{-со -{-со -fco -{-со
J } \K(t, s)\2dtds= j dt j e-2\'~^ds D)
— OO —CO —CO —CO
и, как было показано во введении (см. стр. 11), этот инте-
интеграл расходится.
Если ф (t) дважды дифференцируема, то интегральное
уравнение C), которое можно записать в виде
It +СО "I
е~1 J е5ф (s) ds -f e( J e~s ф (s) ds , E)
-co t J
эквивалентно дифференциальному уравнению
= 0, F)
общее решение которого имеет вид
Ф@ = С1в« + С1е-'-', G)
где Сх, С2 — произвольные постоянные, а
г =У 1 — 2Я,.
Для существования интеграла C) необходимо, чтобы
действительная часть г была по модулю меньше единицы,
т. е. чтобы К было больше нуля. Следовательно, спектр
уравнения C) есть бесконечный интервал О <Х << +оо.
Каждая точка этого интервала является характеристиче-
характеристическим числом уравнения C) кратности два: каждому
&е @, -f-°°) отвечают две линейно независимые гладкие
собственные функции еп и e~rt. Однако, как нетрудно
видеть, эти функции не принадлежат классу L2(—©о, +оо).
При К *> 1/2 собственными функциями, согласно G),
являются sin |/Я, — 1 t, cos|/^2X— 1 t\ при к = 1/2 имеем
Ф @ = Сх + C2t.
Таким образом, при К >1/2 существуют ограниченные
в (—оо, -f-°°) собственные функции, но не принадлежащие
L2 (—оо, +оо). Из"этого примера видна существенная
роль класса функций, в котором ищется решение инте-
интегрального уравнения.

>.Vf6 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIH
Так, если искать решение в классе дважды дифферен-
дифференцируемых функций, то все значения А,е @, +°°) являются
характеристическими.
Если искать решение уравнения C) в классе ограни-
ограниченных в (т-оо, +оо) функций, то характеристическими
являются все значения к >> 1/2.
Если же решение уравнения C) ищется в классе
La (—оо, +оо), то при любом значении к > 0 уравнение
имеет лишь тривиальное решение ф (/) = 0, т. е. для
решений из L2 (—оо, +°°) ни одно из значений к не яв-
является характеристическим.
Рассмотрим еще пример. Пусть ф (х) — непрерывная
абсолютно интегрируемая на [0, +°°) функция, имеющая
на любом конечном интервале оси Ох конечное число
максимумов и минимумов.
Построим косинус-преобразование Фурье этой функции
1ГТ+Г
Ф! (ш) = у — \ ф (х) cos сох dx.
Тогда
/—п~ +°°
Ф (¦*) = У ~П J Ф1 (<°) C0S аХ ^Ш-
Складывая эти две формулы, получим
Ф (х) + Ф1W = К 1Г J [Ф @ + Ф1 @1 cos xt dt,
т. е. при любом выборе функции ф (х), удовлетворяющей
указанным выше условиям, функция -ф (х) = ф (х) +
4-ф!(х) является собственной функцией интегрального
уравнения
1|,(лг) = А j у (t) cos xtdt, (8)
соответствующего характеристическому значению Я, =
= У~21п. Так как ф (х) — произвольная функция, то, сле-
следовательно, при указанном значении X уравнение (8)
имеет бесконечно много линейно независимых собствен-
собственных функций.

.Jr35] НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 247
Возьмем, например, q> (х) — е-ах (а > 0). Тогда
Ф1 (х) = У IT j. e~at c°s xt dt = Y -jj- гг^г •
о
Поэтому
у2-^Г0. (9)
Подставляя гр {х) в уравнение (8), будем иметь
а
I
О
Ш^Щ- (Ю)
Но
| е-*'cos xtdt^-^-,
а второй интеграл в правой части A0) найдем, используя
теорему Коши о вычетах, что дает
Г COS Xt ,, П „,
0
Таким образом, из A0) получаем
откуда видно, что если X = У 2/л, то функция
будет решением интегрального уравнения (8). Следова-
Следовательно, Я, = У 2/я есть характеристическое число урав-
уравнения (8), а функция tf> (jc) — соответствующая собствен-
собственная функция, причем, поскольку а > 0 — любое действи-
действительное число, характеристическому числу Я, = У21 л
отвечает бесконечное множество линейно независимых соб-
собственных функций (9).

248 НЕФРЕДГОЛЬМОБЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIII:
§ 36. Сингулярные интегральные уравнения.
Преобразования Гильберта
Мы показали (см. § 15), что интегральное уравнение
Фредгольма с ядром К (/, 5), имеющим слабую особен-
особенность
. s)= n(t't- @<«<1; H(t, s) ограничена),
может быть преобразовано в уравнение Фредгольма с огра-
ограниченным ядром. При этом весьма существенно предпо-
предположение, что a <J 1.
Если ядро имеет неинтегрируемые особенности, то
соответствующий интегральный оператор теряет свойство
полной непрерывности и само определение интегрального
оператора нуждается в уточнении.
Во многих прикладных задачах, в частности в аэроди-
аэродинамике, приходится иметь дело с ядрами, у которых а = 1.
В^ этом случае интеграл в уравнении следует понимать
в смысле главного значения по Коши.
Главным значением по Коши несобственного интеграла
по отрезку [а, Ь] от функции f (х), не ограниченной
в окрестности точки х0, а <<х0 <±Ь, называется предел
(если он существует)
[*0-8 Ъ Л
[
} f(x)dx+ } f(x)dx
хо — а, Ь — хо\).
Для его обозначения применяют символы
V.p. j/(je)de или | f(x)dx.
а а
Интегралы в смысле главного значения иногда назы-
называют особыми или сингулярными интегралами.
Рассмотрим пример. Пусть / (х) = _ ¦, где се (а, Ь).
Тогда
--» ь
\ —— = In ~~с + In — . (I)
j х — с с — а1 е3
x — с
a

? 36J СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 245
Ясно, что предел этой суммы при независимом стремлении
к нулю г1 и е2 не существует, т. е. не существует несоб-
ь
ственный интеграл [ ——. Положим ех = е2 = е. Тогда
J X ~~ С
а
предел выражения (I) при е ->¦ 0 существует и есть по
определению главное значение несобственного ннте-
ь
V.p, f-^ = ln-^V • (II)
/ J j — с с — a v '
а
Будем говорить, что функция / (х) удовлетворяет на
отрезке [а, Ь] условию Гёльдера, если при любых
jfj, x2s [а, Ь] имеет место неравенство
где С и а — некоторые положительные постоянные. При
а = 1 это условие совпадает с условием Липшица. Мы
будем предполагать, что 0 <а «S 1. Ясно, что функция,
удовлетворяющая условию Гёльдера на [а, Ь], непре-
непрерывна на этом отрезке. Справедливо следующее утвер-
утверждение.
Если функция f (х) удовлетворяет на отрезке [a, b ]
условию Гёльдера, то для любого ?е (а, Ь) интеграл
ь
-—-г dx (сингулярный интеграл Коши) существует
J х — g
а
в смысле главного значения.
Действительно,
В силу условия Гёльдера
\*-ъ
\1—а
поэтому первый интеграл в правой части (III) существует
как несобственный. Второй интеграл существует в силу

250 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Vlti
Ь
формулы (II). Отсюда следует, что интеграл f ¦*' dx
a
существует в смысле главного значения, причем
Сингулярным интегральный уравнением будем назы-
называть уравнение, в котором неизвестная функция входит
под знак сингулярного интеграла.
Преобразования Гиль бе рта
Одни из первых результатов, связанных с сингуляр-
сингулярными интегральными операторами, представляют собой
две формулы взаимности, выведенные Д. Гильбертом.
Интегральная формула Фурье может быть записана
в виде
/(*) =¦ f [a (t)cosxt + b(t) sinxt] dt, A)
а(/) = -!- j f(u)cosutdu,
—со
+CO
b (/) = JL j / (и) sin ut du.
где
B)
Интеграл в A) формально есть предел при у -*¦ 0 инте-
интеграла
U(x,y) = \ [а(/)cosxt + b(t)sinxt\er«dt, C)
а последний представляет собой вещественную часть
функции
= J [a(t) — ib(t)]e"<dt, D)
где г = х + iy.

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ g5J
Мнимая часть функции Ф(г) есть
+? ^
V (х, у) = — I [b (/)cos xt — a (t) sin xt) е~У<dt. E)
Полагая —V (x, 0) = g (x), получаем -
+co
l — a(Osinxi]dif F)
или, подставляя вместо 6 (i) и о (/) их выражения из B),
+со Ч-со
Г g(x)=±\dt jf(u)sln(u-x)tdu. G)
0
"Интеграл G) называется сопряженным интегралом к инте-
интегралу Фурье. Он получается формально из A) заменой а (/)
на Ь (/) и Ь (/) на —а (/). .
Повторяя этот процесс, мы возвращаемся к исходному
интегралу со знаком минус, т. е.
+СО +СО
f(x) = -±-\ dt I g(u)sln(u —
Таким образом, соотношение между / (х) и g (x) «косо-
взаимное», т. е. взаимное с точностью до знака.
Далее, имеем формально
Я +СО
g(x) = lim— [ dt f sin (и — x)tf(u)du=i
0 -co
1 • 1 f 1 — COS X (U — X) г / . ,
—CO
+CO
/)-/(Х-/)]Л.
Я->со
Если f (x) — достаточно гладкая функция, то часть по-
последнего интеграла, содержащая cos Я,/, будет при Я, -*¦ оо
стремиться к нулю и мы будем иметь

252 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ?ГЛ. УЩ
Аналогично
о
Двойственность, выражаемая формулами (8), (9), была
впервые замечена Гильбертом, и две функции, связанные
этими формулами, называют парой преобразований Гиль-
Гильберта. Формулы (8), (9) эквивалентны формулам
A0)
где V.p. означают главное значение интеграла при t — х.
Можно показать, что если f (x) удовлетворяет на
(—ею, +оо) условию Гёльдера и f (x)gL2 (—ею, +сю),
то двойственные соотношения A0) имеют место. При
этом g (x) удовлетворяет тем же условиям, что и / (х).
Каждая из этих формул может рассматриваться как
интегральное уравнение 1-го рода; тогда вторая формула
дает решение этого уравнения.
Пусть
+ 00
L ^dy, A1)
где Ж[ 1 — преобразование Гильберта, определяемое
интегралом в A1).
Справедлива следующая теорема ([40]).
Теорема 8.1 (обращения). Если функция
Ф (х) ^Lp (—сю, +оо), где р > 1, то формула A1) опре-
определяет почти всюду некоторую функцию f (х), также
принадлежащую Lp (—сю, -j-oo), ¦ преобразование Гиль-
берта Ж [f] которой почти всюду совпадает с —ф (х), т. е.
— <р. A2)

§ 36] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253
С помощью преобразования Гильберта A1) легко ре-
решаются в Lp (—00, +00) интегральные уравнения
=7*y = Hx) ' A3)
или, символически,
р] =/(*), /WsLp(— 00, + 00). A4)
Применяя преобразование Гильберта к обеим частям A4)
и используя соотношение A2), получаем
Из A4) и A5) находим
A + XV) ф (л) = / (х) + Ь^ [/]
или
1 -f- Я2л2 =И= 0, ф(х) е Lp(— 00, + 00).
Можно рассматривать и более сложные уравнения вида
с ядром
К С*. У) — 7 + %о (х, У),
где Ко {х, у), например, ограниченная функция.
Преобразования Гильберта часто рассматриваются
в иной форме:
*л 1
A7)

254 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIII
где ф(х) и $> (х) удовлетворяют условию Гёльдера на
[—л, л ], причем
л
\ 0. A8)
(Вместо отрезка [—л, л ] можно брать любой фиксирован-
фиксированный отрезок длины 2л.)
Отметим следующий важный факт. Оператор Гиль-
Гильберта Ж обладает тем свойством, что Ж2 = —7, где
/ — единичный оператор. В бесконечномерном простран-
пространстве оператор / (а значит, и —/) не является вполне не-
непрерывным. Произведение двух вполне непрерывных опе-
операторов есть вполне непрерывный оператор. Поэтому из
того, что Жг = —/, следует, что оператор 3$ ограничен'
ный, но не вполне непрерывный оператор.
В этом состоит глубокая причина отличия сингуляр-
сингулярных операторов от фредгольмовых, которая влечет за со-
собой существенно новые моменты в вопросах о разреши-
разрешимости сингулярных интегральных уравнений.
Остановимся на этом несколько подробнее.
При рассмотрении уравнений Фредгольма с вырожден-
вырожденным ядром мы установили, что вопрос о разрешимости
таких уравнений эквивалентен вопросу о разрешимости
соответствующей системы п линейных алгебраических
уравнений с п неизвестными. Каждую такую систему
можно записать в виде одного уравнения:
21ф = /. A9)
где / — заданный вектор, <р — искомый вектор-решение,
ЗА — линейный оператор в n-мерном евклидовом простран-
пространстве R", определяемый матрицей системы.
Напомним основные факты из линейной алгебры, от-
относящиеся к системе A9).
1. Уравнение A9) разрешимо при любой правой части
тогда и только тогда, когда соответствующее однородное
уравнение ЭД,<р = 6 имеет только тривиальное решение
Ф = 6.
2. Уравнение A9) разрешимо при любой правой части
тогда и только тогда, когда сопряженное уравнение
5l*ip = Л . B0)
разрешимо при любой правой части.

$ 36] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ 255
3. Уравнения ЭД,ср = 0 и ЭД,*Ч> = 9 имеют одинаковое
число линейно независимых решений.
4. Если однородное уравнение ЭД,ср = 6 имеет нетри-
йиальные решения, то неоднородное уравнение A9) раз-
решимо тогда и только тогда, когда правая часть / орто-
ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного
уравнения $1*<|> = 0.
.Утверждения 1, 3, 4 составляют как раз содержание
теорем Фредгольма, справедливых и для общих интеграла
ных уравнений Фредгольма с 12-ядром (благодаря воз-
возможности аппроксимации последних конечномерными опе-
операторами). Таким образом, основные свойства фредголь-
мовых операторов аналогичны свойствам линейных опера-
операторов %, действующих в конечномерном пространстве R'u.
Рассмотрим теперь систему т линейных уравнений
с п неизвестными при т фп. Здесь возникает несколько
иная ситуация.
Записав такую систему опять в виде
21Ф = /, A9)
замечаем, что теперь оператор % следует рассматривать
как оператор из /г-мёрного пространства Rn в т-мерное
пространство Rm:
В сопряженном уравнении B0):
Если, например, п > т, т. е. число неизвестных больше
• числа уравнений, то однородное уравнение ЭД,ср == 6 всегда
¦ имеет нетривиальное решение независимо от того, разре-
разрешима система A9) или нет. Таким образом, свойство 1
нарушается; нарушается также свойство 2. Вместо этих
•свойств имеют место следующие:
Г. Уравнение A9) разрешимо при любой правой части
тогда и только тогда, когда однородное уравнение ^1*г|з =
= 0 имеет лишь тривиальное решение.

256 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VTH
2'. Уравнение ЭД,*ф = h разрешимо при любой пра-
правой части тогда и только тогда, когда однородное урав-
уравнение $1ф = 9 имеет лишь тривиальное решение.
Изменяется и свойство 3. Если ранг матрицы ЭД, равен г,
то однородная система ЭД,ср = 0 имеет п — г линейно не-
независимых решений, а сопряженная однородная система
эд,*г|) = 0 имеет т — г таких решений. Эти числа в общем
случае не равны, но их разность не зависит от г (т. е.
от оператора 51) и равна п — т.
Таким образом, вместо свойства 3 мы имеем теперь
свойство 3'.
3'. Для любого уравнения A9) разность между мак-
максимальным числом линейно независимых решений одно-
однородного уравнения ЭД,ср = 0 и максимальным числом ли-
линейно независимых решений сопряженного ему уравнения
$1*г|> = 6 одна и та же и равна п — т.
Число
н = п — т
называется индексом системы. Он может быть как поло-
положительным, так и отрицательным.
Свойство 4 остается в силе.
Эта ситуация, возникающая при п Фт, имеет место
и в вопросах разрешимости сингулярных интегральных
уравнений.
Рассмотрим этот вопрос,
предварительно распростра-
распространив понятие главного значе-
значения на контурные интегралы.
Сингулярные интегралы иг-
играют большую роль в теории
функций комплексной пере-
переменной и ее приложениях (в
Рис. 16. теории упругости, гидромеха-
гидромеханике и т. д.). Поэтому сформу-
сформулируем это понятие для интегралов от функции комплексной
переменной. Пусть 9?— гладкая кривая (замкнутая или
незамкнутая) и с—комплексная координата некоторой
точки М паЗ?. Вырежем точку М окружностью радиуса е
с центром в точке М (рис. 16), Оставшуюся часть контура
обозначимi?e. Допустим, что функция f (z) интегрируема
i?ei каково бы ни было в > 0, и неограничена по модулю

$36) СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 257
при z -*• с. Сингулярным интегралом (главным значением
интеграла) функции f (z) по ^называют предел (если он
существует)
im f f(z)dz
-»0 J
lim
е-»0
и обозначают его символом I / (z) dz.
$
Будем говорить, что функция / (z) удовлетворяет на
кривой 2! условию Гёльдера с показателем а @ < а <; 1),
если для любых точек ги г2 кривой ^выполняется нера-
неравенство
i—z1\a (С>0 — постоянная).
Можно показать, что если / (z) удовлетворяет условию
Гёльдера на SS, то сингулярный интеграл | ' di су-
2
ществует для всех точек г кривой 92, кроме, может быть,
ее концов.
Рассмотрим простейшее сингулярное интегральное
уравнение с ядром Коши: •
{ *еГ, B1)
так называемое характеристическое сингулярное урав-
уравнение *). Здесь Г — гладкая замкнутая кривая без само-
самопересечений на комплексной плоскости; коэффициенты
a (t), Ь (t) удовлетворяют условию Гёльдера на Г, при-
причем a2 (t) — ba (t) Ф 0 (невырожденный случай).
Введем понятие индекса функции. Пусть Г — гладкий
замкнутый контур и G (t) — заданная на нем непрерывная
функция, не обращающаяся в нуль.
i Определе ни е. Индексом у. функции G (t) no
контуру Г называется разделенное на 2л приращение ев
*) Теория сингулярных интегральных уравнений типа B1) начала
разрабатываться почти непосредственно вслед за возникновением те-
;срии уравнений Фредгольма. Начало было положено А. Пуанкаре,
разрабатывавшим общую теорию приливов, и Д. Гильбертом — в связи
* граничными задачами теории аналитических функций
9 м. л. красво?

258 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIII
аргумента при обходе кривой Г в положительном направ-
направлении:
* = ila4G(t)h, B2)
где символ [со ]г обозначает приращение некоторой ве-
величины со при обходе контура Г.
Как известно,
После обхода замкнутого контура Г величина | G @1 воз-
возвращается к своему начальному значению. Поэтому
так что
Пусть G (f) — непрерывно дифференцируемая функция.
Тогда индекс функции G (t) можно представить в виде
интеграла:
^J^J B3)
В силу непрерывности G (t) приращение аргумента G (t)
при обходе контура Г должно быть кратным 2л.
Следовательно, индекс функции, непрерывной на замк-
замкнутом контуре Г и нигде не обращающейся в нуль, есть
целое число или нуль.
Из определения индекса непосредственно следует, что
индекс произведения функций равен сумме индексов сомно-
сомножителей; индекс частного равен разности индексов дели-
делимого и делителя.
Если функция G @ дифференцируема и представляет
собой граничное значение аналитической внутри или вне
контура Г функции G (z), то
l?f B4)
т. е. индекс функции G (i) равен логарифмическому вы-
вычету функции G (г).

§36] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 259
Из принципа аргумента ([16]) вытекает следующее
предложение.
Если функция G (z) аполитична всюду внутри кон-
контура Г, за исключением конечного числа полюсов, непре-
непрерывна на Г и не обращается на Г в нуль, то индекс G (t)
равен разности числа нулей и числа полюсов функции G (г)
внутри контура Г.
При этом нули и полюсы считаются столько раз, ка-
какова их кратность.
Пример. Вычислить индекс функции G (t) = t" по любому
замкнутому контуру Г, однократно обходящему начало координат.
Решение. Функция G (г) = & аналитична всюду внутри Г и
имеет один нуль порядка я внутри контура. Поэтому у. = п.
Назовем индексом и (А) интегрального уравнения B1)
индекс функции
a(t)-b(t)
a(t) + b (t) •
Пользуясь формулой B4), получаем явную формулу
для индекса этого уравнения:
a(t)+b(t) •
г
Уравнение
i±l^P B6)
получаемое перестановкой t и т в ядре уравнения B1),
называется союзным или сопряженным уравнению B1).
Оператор А* называется союзным (сопряженным) опера-
оператору А. Для него индекс х* = —х.
Для сингулярных интегральных уравнений теоремы
Фредгольма замещают теоремы Ф. Нётера ([7]).
Теорема 8.2. Разность числа п линейно независи-
независимых, решений однородного уравнения Лф = 0 и числа п'
линейно независимых решений союзного уравнения Л*г|з = О
равна индексу у. оператора А:
п — /г' = х(Л).
Эта теорема выражает характернейшее свойство син-
сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши.

260 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. VIII
Теорема 8.3. Необходимым и достаточным усло-
условием разрешимости уравнения
является выполнение равенств
еде ipi (f), • • •>%' @ — полная система линейно незави-
независимых решений союзного однородного уравнения Л*г|з = 0.
Если индекс оператора х = 0, то теорема 8.2 Нётера
совпадает со второй теоремой Фредгольма. В этом случае
для сингулярного уравнения оказываются справедливыми
все теоремы Фредгольма. Поэтому сингулярные интеграль-
интегральные уравнения с нулевым индексом называют квазифред-
гольмовыми.
Мы предполагали, что а2@ — Ь2(()Ф 0 на контуре Г.
В исключительных случаях, когда аг@ — b2(t) = 0, для
сингулярных интегральных уравнений и теоремы Нётера
оказываются, вообще говоря, несправедливыми.
Приведем некоторые примеры ([20]).
Пусть Г — гладкий замкнутый контур, лежащий
в комплексной плоскости, и пусть D — область, огра-
ограниченная этим контуром. Сингулярный интеграл
<27>
с ядром Коши ^——( существует почти всюду, если ср (/) —
суммируемая функция (это вытекает из исследований
И. И. Привалова о предельных значениях интеграла
типа Коши).
Пусть z — произвольная точка комплексной пло-
плоскости, не лежащая на Г. Положим
Пусть z-»-/eI\ Предельные значения функции Ф (z),
когда z -*¦ t соответственно изнутри или извне Г, обо*

§ 36] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЁН-ЙЯ 261
значим Ф( (if) и Фе (t). По теореме Сохоцкого — Пле-
меля ([16])
Пусть функция ф (z) аналитична в D и непрерывна
в D. = D U Г. Тогда Ф (z) = О вне Г и Фе (t) = 0, так что
Это означает, что К = 1 есть характеристическое число
сингулярного интегрального уравнения
и этому характеристическому числу соответствует беско-
бесконечное множество линейно независимых собственных функ-
функций — предельных значений на Г функций ср (z), анали-
аналитических в D и непрерывных в D.
Если ф (z) аналитична вне Г и ф (оо) = 0, то Ф (z) = О
внутри Г и Ф( (t) = 0, так что
. C0)
Это тождество означает, что уравнение B9) имеет еще
одно характеристическое число Я, = —1, которому также
соответствует бесконечное множество линейно независи-
независимых собственных функций. Ими являются предельные
значения на Г функций, аналитичных вне Г, обращаю-
обращающихся в нуль на бесконечности и непрерывных вплоть
до Г. Таким образом, для уравнения B9) неверны тео-
теоремы Фредгольма и Нётера, по которым каждому харак-
характеристическому числу отвечает лишь конечное число ли-
линейно независимых собственных функций. Здесь налицо
исключительный случай а2 — Ьг = 0.

262 НЕФРЕДГОЛЬМОВЫ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ VIII
Приведем еще пример. Пусть Г — окружность радиуса
единица с центром в начале координат, и пусть | X | > 1.
Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
Используя соотношения B8) и C0), убеждаемся, что
уравнению C1) удовлетворяет функция
Это означает, что однородное уравнение C1) имеет нетри-
нетривиальное решение при любом К таком, что | К\ > 1, т. е.
всякое такое Я, является характеристическим числом урав-
уравнения C1).
Таким образом, совокупность характеристических чи-
чисел уравнения C1) заполняет всю внешность единичного
круга | Я | = 1, т. е. является заведомо несчетным множе-
множеством.
Отметим в заключение, что сингулярное уравнение
с ядром Гильберта
2rt
Приводится к уравнению с ядром Коши с помощью под-
подстановки z = еи, 1 = е1х, причем контуром Г будет
окружность ||| = 1.
Детально с вопросами, относящимися к сингулярным
интегральным уравнениям, можно познакомиться, на-
например, в книге [7] или [24].

ГЛАВА IX
НЕЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Основы теории нелинейных интегральных уравнений
были заложены в работах А. М. Ляпунова, Л. Лихтен-
Лихтенштейна, Э. Шмидта, П. С. Урысона, А. Гаммерштейна,
Разработана она значительно меньше, чем теория ли-
линейных интегральных уравнений.
§ 37. Уравнения Гаммерштейна
В свое время (стр. 74) мы рассмотрели нелинейное
интегральное уравнение
ь
* / A)
и установили, что если функция К (t, s; z) удовлетворяет
условию Липшица по своему функциональному аргу-
аргументу г:
\K(t,s; z2) — K(t,s; Zl)| <^|г2 — Zl|
и
то в силу принципа сжатых отображений уравнение A)
имеет при указанных значениях к единственное непре-
непрерывное решение.
Рассмотрим уравнение Гаммерштейна
, <p(s))ds
B)
Здесь К (t, s), Y (s, z), f (f) — известные функции, <р (f) —
искомая функция. Функцию К (t, s) называют ядром урав-
уравнения B).

§64 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Пусть К (t, s) — симметричное ?2-ядро и функция
f (f)^L2 la, b]. Нетрудно показать (см. [25]), что для лю-
любой функции g (f)<=L2 [a, b] справедлива оценка (нормы
берутся в L2 la, b])
dA<ij]^tel C)
где ta — наименьшее по абсолютной величине характери-
характеристическое число ядра К (t, s).
Покажем,~что если в уравнении B) функция ? (s, г)
такова, что
то это уравнение имеет единственное решение, которое
может быть найдено методом последовательных прибли-
приближений.
Действительно, правая часть B) определяет отобра-
отображение Лф пространства L2 [a, b] в себя. Имеем
= J Kit, s) [Г (s, ф2 (s)) - Y (s, ф1 (s))] ds \
II a " II
так что отображение Лф — сжимающее, и наше утвер-
утверждение вытекает из принципа сжатых отображений.
Рассмотрим важный частный случай уравнения B).
Предположим, что ядро К (t, s) уравнения Гаммерштей-
на B) вырожденное, т. е.
. D)
Уравнение B) принимает в этом случае вид
m Ь
Ф @ = 2 at (О J Ь, (s) ? (s, Ф (s)) ds + f (t) E)
A

$ 37] ' УРАВНЕНИЯ ГАММЁРШТЕЙНА 265
и называется вырожденным уравнением Гаммерштейна.
Положим
ь
ct = \bt(s)V(s,<p(s))ds (/ = 1,2, ,,.,/л), F)
а
где ct — пока неизвестные постоянные. Тогда в силу E)
будем иметь
Ь Г
J bt (s) W is,
\
= JUa, (9+ /(')• G)
Подставляя G) в F), приходим к системе нелинейных
уравнений (вообще, трансцендентных)
Ь Г т \
i g ctat (s) + f(s))ds = ct (8)
\ i=l J
(t = l, 2, ,,.,/n),
равносильной уравнению E).
Если существует решение системы (8), т. е. существует
т чисел с\, с8, . . ., d*m таких, что подстановка их в си-
систему (8) обращает ее уравнения в тождества, то суще-
сщует решение интегрального уравнения E), определяе-
определяемое равенством
т
ф (9 = 2 с»М9+ /(')•
Таким образом, число решений (вообще, комплексных)
интегрального уравнения E) равно числу решений си-
системы (8).
Уже на простейших примерах уравнений Гаммер-
Гаммерштейна можно увидеть ряд новых явлений, специфиче-
специфических для нелинейных уравнений и не имеющих места в ли-
линейных задачах.
Рассмотрим интегральное уравнение
= Я f t2sw2(s)ds. (9)
о
Положим
A0)

266 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Тогда
Подставляя это выражение для <р (t) в A0), будем иметь
'-%¦¦ С»
Уравнение A1) имеет два решения: cl = 0, с2 = 6/АЛ
Следовательно, исходное интегральное уравнение также
имеет два решения при любом Я Ф 0:
Заметим, что линейное однородное интегральное урав-
уравнение (
1
Ф(О = Л, \t2s<p(s)ds
с тем же ядром К (t, s) = t2s имеет ненулевое решение
лишь при одном значении Я, именно X = 4, являющемся
характеристическим числом ядра К (t, s). Поэтому, если
по аналогии с линейным случаем считать характеристиче-
характеристическим значение К, при котором уравнение (9) имеет по
крайней мере одно ненулевое решение, то здесь полу-
получаются бесконечные интервалы характеристических чи-
чисел (—оо, 0) и @, +оо).
При решении интегрального уравнения
A2)
для всех *е=[0, 1])
для определения постоянной с приходим к уравнению
i
¦ 1= ffl»(s)dsslnc. A3)
i
Если I a2(s) ds < 1, то уравнение A3), а следова-
следовательно, и A2) не имеют действительных решений.

? 37] УРАВНЕНИЯ ГАММЕРШТЕЙНА 267
1
Если J a2(s) ds > 1, то уравнение A3) и, следова-
следовательно, исходное уравнение A2) имеют бесконечное мно-
множество действительных решений.
Рассмотрим, наконец, уравнение
<p(t)=l+kj<p*(s)ds. A4)
1
= \q>2{s)ds, A5)
Положим
i
с
Тогда
Ф(О = 1 +1с. A6)
Подставляя ф (f) из A6) в A5), получим
№<? + Bк—1)с + 1 =0,
откуда
•Р^^ 21 • A?)
Таким образом, уравнение A4) допускает действитель-
действительные решения только при К < 1/4. Оно имеет два решения
при К < 1/4 и одно решение ф (f) = 2 при % = 1/4 (при
% = 0 имеется одно ограниченное решение фЧО = 1).
Соответствующее уравнение без свободного члена
всегда допускает нетривиальные решения Ф @ — 1А
(Я =^ 0). Но это, как мы видим, не означает, что уравне-
уравнение A4) со свободным членом имеет бесконечное множе-
множество решений. Точно так же наличие при некотором к
у нелинейного уравнения без свободного члена / (t) только
нулевого решения вовсе не означает, что соответствую-

268 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ |ТЛ. I*
щее уравнение со свободным членом / (() имеет ровно одно
решение.
Теоремы Фредгольма, касающиеся линейных инте-
интегральных уравнений, здесь не имеют места.
Для уравнения Гаммерштейна B) с невырожденным
ядром К (t, s) можно построить уравнение с близким
к К (t, s) вырожденным ядром и решение этого последнего
рассматривать как приближенное решение исходного
уравнения B).
В работе Гаммерштейна изучались нелинейные инте-
интегральные уравнения вида
<p(s))ds A8)
при следующих предположениях:
1) для линейного интегрального уравнения с ядром
К (t, s) справедливы теоремы Фредгольма, и итерирован-
итерированное ядро Кг (t, s) непрерывно;
2) ядро К (t, s) симметрично, т. е. К (t, s) = К (s, f);
3) ядро К (t, s) положительно определенное, т. е. все
его характеристические числа положительны;
4) F (s, z) — непрерывная функция своих аргумен-
аргументов, а < s <: Ь, | z | < М, где М > 0 — достаточно" боль-
большая постоянная.
Метод Гаммерштейна опирается на теорему Гильберта —
Шмидта и заключается в приведении интегрального урав-
уравнения A8) к системе алгебраических или трансцендентных
уравнений с помощью системы ортонормированных соб-
собственных функций симметричного ядра К (t, s). Именно,
если решение <р (t) вообще существует, то в силу A8)
где g(s) = F (s, ф (s)).
Так как g (s)eL2 la, b], то ф (t) оказывается истоко-
истокообразно представимой функцией и, в силу теоремы Гиль-
Гильберта — Шмидта, может быть представлена сходящимся
рядом
. Ф(О= 21 М>т@, С19)
т=1

$ 37] УРАВНЕНИЯ ГАММЕРШТЕЙНА 269
где \|3X (О, У>1 (О ^т @. ¦ • • — ортонормированные
собственные функции ядра К (t, s), отвечающие характе-
характеристическим числам Klt Х2, . . ., %т, . . . соответственно,
а си с% сту . . . — некоторые неизвестные посто-
постоянные.
Так как
а а
Ь Ь
то задача решения данного интегрального уравнения ока-
оказывается эквивалентной задаче решения бесконечной си-
системы уравнений с бесконечным числом неизвестных:
B0)
Ь р со -1
= XTiF\s> 2c*(s) ^
a L *=1 J
Рассмотрим приближенное решение
|где п постоянных сл>1, сл>2 ,...., с„, „ должны удовлетво-
шять следующей системе п уравнений с п неизвестными:
ь Г " 1
«. - = i JF s> 2 Cn-fe ^fe (s) *
B2)
J
= l,2 n).

270 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Гаммерштейн показал, что система B2) имеет по крайней
мере одно решение, если функция F (s, z) непрерывна и
удовлетворяет условию
^(s.zJl^dlzl + C B3)
где С1( С2 — положительные постоянные, причем Сг <
< ^i — наименьшего характеристического числа ядра
К (/, s).
Оценку С?! < Хи вообще говоря, улучшить нельзя,
хотя само условие B3) можно несколько ослабить.
При этих предположениях мы строим последователь-
последовательность функций
Ф1 @, Ф2 @ Фл @ , • • •
Можно показать, что из последовательности {<р„ (f)}
всегда можно выбрать подпоследовательность {<pnfe (Щ9
сходящуюся к решению <р (t) интегрального уравне-
уравнения A8),.
Таким образом, справедлива
Теорема 9.1 (существования). Если ядро К (t, s)
уравнения A8) удовлетворяет условиям 1), 2), 3) и непре-
непрерывная функция F (s, z) удовлетворяет условию B3), то
нелинейное интегральное уравнение A8) имеет по крайней
мере одно решение.
Имеют место теоремы единственности решения уравне-
уравнения A8).
Теорема 9.2. Если для любого фиксированного
se[u, Ь) функция F (s, z) является неубывающей функ-
функцией z, то нелинейное интегральное уравнение A8) имеет
самое большее одно решение.
Теорема 9.3. Нелинейное интегральное уравне-
уравнение A8) имеет самое большее одно решение, если функция
F (s, z) равномерно удовлетворяет условию Липшица
zi) — F{s,zl)\<a\z2~zll B4)
где 0 < а < lt.
Приведем один весьма прозрачный критерий отсутствия
решений уравнения Гаммерштейна" с симметричным ядром
К (/, s) *).
*> Этот критерий мне любезно сообщил С. И. Похожаев.

§ 37] УРАВНЕНИЯ ГАММЕРШТЕЙНА 271
Пусть ф (t) — решение уравнения
ь
Ф @ = J Л"(/, s) F (s, Ф (s)) ds, B5)
а
и пусть ф0 (t) — собственная функция ядра К (t, s), от-
отвечающая наименьшему характеристическому числу \г:
ь
Фо @ = ^ J /С (f, s) фо (s) ds. B6)
а
Умножая обе части B5) на ф0 (О И интегрируя по t от а
до Ь, получим
ь ь ь
J Ф @ ф0 @ dt = J J К (/, s) F (s, Ф (s)) Фо @ ds d/. B7)
а а а
Аналогично из B6) находим
ь ъ ь
jq>o(t)<p(t)dt=k1lJK(t,s)<po(s)<p(t)dsdt. B8)
а а а
Из B7) и B8) вытекает
ь ь
llK(t,s)F(s,<p(s))<po(t)dsdt =
а а
Ь Ь Ь Ь
= IJ J К(t, s) фо (s) ф (t) dsdt = \f J /С С, s) Фо (О Ф (s) ds dt.
a a aa
Следовательно, необходимое условие существования ре-
решения уравнения B5) есть
ь ь
\\K{t, s)[F(s, Ф(s)) — Л1ф(в)]фо(/)dsd* = 0.
а а
Отсюда непосредственно вытекает, что если ядро
К (/, s) > О (К (t, s)# 0), Фо @ > 0 (фо (О Ф 0), то при
условии, что
Vss[a, ft],
существует ни одного решения уравнения B5).

272 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Так, например, при
F(s,
где Л и В таковы, что
уравнение B5) не имеет решений.
§ 38. Интегральные уравнения с параметром.
Дифференциал Фреше. Теорема существования
абстрактной неявной функции
Интегральное уравнение часто содержит один или не-
несколько параметров. Характер вхождения параметра
в уравнение оказывается существенным. В теории ли-
линейных интегральных уравнений Фредгольма мы рассма-
рассматривали параметр К, входящий лишь в качестве множи-
множителя при ядре К (t, s).
При рассмотрении интегральных уравнений с ядрами,
которые являются аналитическими функциями параметра,
возможны существенные отклонения от тех закономер-
закономерностей, которые имели место в фредгольмовой теории.
В качестве примера рассмотрим однородное интеграль-
интегральное уравнение, в котором ядро (вырожденное) есть поли-
полином первой степени относительно к:
ь
Ф (О = J [р (О Р (s) + ко (t) р (s)} ф (s) ds,
а
где р @, о @ — некоторые непрерывные функции,
причем
Применяя обычный прием решения уравнения с выро-
вырожденным ядром, находим, что данное однородное уравне-
уравнение при всяком к имеет ненулевое решение
Ряд результатов в этом направлении содержится
в статье [6J.

S 38] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ , 273
Обратимся к нелинейным интегральным уравнениям
с параметром и постараемся выяснить зависимость реше-
решения этих уравнений от параметра.
Основные утверждения будем иллюстрировать на при-
примере уравнения Урысона
ь
l]ds ' A)
с одним параметром к.'
Уравнение A) можно записать в виде
^(ФД) = е, B)
где ф — элемент банахова пространства Elt к — число-
числовой параметр (для простоты)., a F (<р, К)—оператор со
значениями в банаховом пространстве Ег. Предположим,
что . •
h) = U, C)
т. е. Фо является решением уравнения B) при к = к0.
Нас будут интересовать близкие к <р0 решения <р (К) урав-
уравнения B) при близких к к0 значениях параметра к. Если
такие решения существуют, то их называют неявными
функциями (абстрактными неявными функциями), опре-
определяемыми уравнением B).
Прежде чем формулировать условие существования не-
неявной функции, введем следующие понятия.
Пусть Ех и Еу — линейные нормированные простран-
пространства и у = / (х) — абстрактная функция (оператор), опре-
определенная на Ех с областью значений в Ед.
По аналогии с определением дифференциала функции
в классическом анализе, введем определение дифферен-
дифференциала абстрактной функции.
Определение. Пусть h — произвольный эле-
элемент пространства Ех, и пусть существует линейный
по кооператор 1^(ЕХ^>-Еу) (вообще, зависящий от х) та-
такой, что
f(x + h)-f(x) = th + <»(x,h), D)
где
при |А|-0. E)
10 М. Л. Краснов

274 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Тогда In называют сильным дифференциалом или дифферен-
дифференциалом Фреше функции f (х) в данной точке х^Ех, отве-
отвечающим приращению п аргумента, и обозначают символом
df(x,h).
Линейный оператор /, вообще зависящий от х, обозна-
обозначают /' (х). Тогда
df(x, К) =/' (х) Л, /' (х) е(?,- Еи). F)
Оператор /' (х) называют первой сильной производной или
производной Фреше функции / (х) в точке х.
Равенство D) теперь можно записать в виде
G)
где первое слагаемое правой части есть линейная функция
от h (линейный оператор), а второе — более высокого по-
порядка малости, чем || Л || при ||ft||->-0.
Многие из свойс1в обычных производных переносятся
на производные операторов. Например,
где с — числовой множитель;
Если / (х) действует из Ех в Еи, а ф (у) действует из Еу
в Ег, то при наличии производных /' (х) и <рС {у) имеет
место формула
[ф (/(*))]'= Ф'(/(*))/'(*),
где произведение справа понимается как произведение
линейных операторов, действующих соответственно из Еу
в Ег и из Ек в Ей.
При мёр A191). Пусть
Ех = Еу = С[а, Ь\
и
ь
f(x) = \K(t,s)g(s,x(s))ds, (8)
а
где ядро К (t, s) непрерывно в квадрате Q {а < t, s'< b]
и ё (s> x) ^- функция двух переменных,; определенная и
непрерывная в полосе а <: s < b, —сх> < х < +о«. Тогда

$ 38] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 275
/ (х) есть абстрактная функция (оператор Гаммерштейна),
определенная в С [а, Ь] со значениями в том же прост-
пространстве.
Допустим, что функция g (s, x) не только непрерывна,
но и имеет частную производную^ (s, x), равномерно
непрерывную в полосе а ^ s «^ Ь, —оо < х < +оо.
Тогда I (х) будет сильно дифференцируемой функцией.
Действительно, для любой функции h (s)^C la, b] имеем
ft
/ (X + Л>— / (X) = j К {t, S) [g (S, X(s) + h (S)) — g (S, X (S))] dS,
a
По теореме Лагранжа
g (s, x(s) + h (s)) ~g(s,x (s)) = g'x (s, x (s) + 6 (s) h (s)) h (s),
где 0 <6(s) < 1.
В силу непрерывности g'x имеем
g'x (s, x (s) + 6 (s) h (s)) = gx (s, x (s)) + a(s,x (s), Q (s) h {s%
где при || h ||->- 0, т. е. при h (s) -*¦ 0 равномерно на
[a, b], a (s, x (s), 6 (s) h (s)) -*¦ 0 также равномерно на
[a, b] (поскольку функция, непрерывная в замкнутой
ограниченной области a «S s «S b, | x | ^ Mlt | h \ «^ Мг,
равномерно непрерывна в этой области).
Поэтому
б
/ (х + h) — / (х) = } К (t, s) g'x (s, x (s)) h (s) ds +
a
ft
+ } К (t, s) a (s, x (s), 6 (s}h (s)) h (s)ds = lh + (o (x, h),
a
где
6
lh = lK(t,s)g'Js,x(s))h(s)ds,,
a
6
со (x, h) = JK (t, s) a (s, x (s), 6 (s) h (s)) h (s) ds.
• a
10* ,

276 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
1
Далее,
, Л) || = max
о
} К (t, s) a (s, х (s), 6 (s) h (s)) h (s) ds
< max \K(t,s)\la(s,x(s), Q(s)h(s))\\ \h\(b — a)~
Поэтому
при
Следовательно, согласно определению, функция / (х) диф-
дифференцируема по Фреше в каждой точке х (t)&C[a, b\ и
df (x, h) = J К (t, s) g'x (s, x (s)) h (s) ds. (9)
a
В данном случае линейный оператор / в точке х0 есть ли-
линейный интегральный оператор с ядром K(t, s)g'x(s,x0(s)).
Аналогично, нелинейный оператор Урьюона
где К (t, s, х) непрерывна в области a «S /, s ^ Ь,
—оо < х < +°о и имеет в этой области непрерывную
производную Кх, дифференцируем по Фреше в каждой
точке х0 (t) eC[fl, b\, причем -
б
/' (х0) h = J К'х (t, s, x0 (s)) h (s) ds. ' A0)
a
В отличие от случая пространства С[а, Ы, дифферен-
цируемость оператора Урысона в пространстве Lp[a, b]
не вытекает из непрерывной дифференцируемостн по пере-
переменной х функции К (t, s, x). Например, оператор
б
/(*) = jsine*<s> ds
а
определен и вполне непрерывен в любом Lp, однако опе-
оператор A0) может даже не быть определен на Lo, так нак

{ 38] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 277
в данном случае
и эта функция может оказаться несуммируемой.
Приведем одно из условий дифференцируемое™ по
Фреше оператора Урысона.
Пусть оператор Урыеона действует в пространстве
L2[a, b\. Достаточным условием его сильной дифферен-
цируемости по Фреше в любой точке xo(t)^L2 [а, Ь\
является непрерывность по х производной Кх (t, s, x) и вы-
выполнение неравенства
(as^t, ss^b, —оо<х<4-°°, а> Р = const).
При этом производная f (x0) определится равенством A0).
После этих предварительных рассмотрений возвра-
возвратимся к уравнению
F (ф, Я,) = 6. B)
Справедлива следующая теорема существования аб-
абстрактной неявной функции, аналогичная известной тео-
теореме классического анализа.
Теорема 9.4. Пусть выполнены условия:
1) Оператор F (ф, К) определен в некоторой окрестно-
¦сти точки |ф0, ^0}:
!ф — Фо1к <alt |я."—'я.0| <за„ (И)
и непрерывен по совокупности аргументов вместе со своей
производной Фреше F'y (ф, К) в указанной окрестности.
2) F (фо, К) = в.
3) Существует определенный на всем Е% непрерывный
оператор R = [F'y (фо.^о)]-
Тогда уравнение F (ф, К) = 6 определяет в некоторой
окрестности \Х — А,0|<^0 точки Хо единственную не-
непрерывную неявную функцию ф (К).
Доказательство. Рассмотрим оператор
А (<рд) = ф - [f; (ф0, х0) i-ij? (Ф, к),
непрерывный по совокупности аргументов, и покажем,
что при некоторых б0 и р он является равномерно (по X)
сжимающим оператором для || q> — <ро| <Р, | X — Хо | < б0.
Тогда он будет иметь единственную неподвижную точку ф:

278 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Ф = Лф, что, как нетрудно видеть, равносильно суще-
существованию единственной непрерывной неявной функции
<р (k), определяемой уравнением B).
По условию оператор F (ф, %) имеет непрерывную про-
производную. Поэтому оператор А (ф, К) дифференцируем по
Фреше, и его производная
непрерывна по совокупности аргументов.
Так как Лф (ф0, Я,о) = 8, то найдется р г> 0 такое, что
при ||ф — фо11 < Р, 1Я — A.o1<jP будет выполнено не-
неравенство
||Лф(фД)||<а < 1. (*)
Далее, так как А (ф0, Хо) = ф0, то найдется такое б0 <3
< р, что ||Л (ф0, X) — фо|| < A -а) р при | А, - ко\ <3
<б0, откуда следует, что оператор А (ф, X) преобразует
шар || ф — ф 01| < р в себя.
Наконец, пользуясь неравенством (*) и аналогом тео-
теоремы Лагранжа, находим, что для рассматриваемых зна-
значений К и для любых фь фа из шара |ф — фо| < § спра-
справедливо неравенство
||Л (ф,Д) — А (Фь Х)Ц<а||ф, — ф11@ <3а < 1).
Последнее означает, что А —сжимающий оператор.
В качестве примера применения этой теоремы рас-
рассмотрим интегральное уравнение Урысона
>, ф (s); X] ds (Г)
в пространстве С[а, Ь].
Будем считать, что функция К It, s, ф (s); Я.] непре-
непрерывна по совокупности аргументов вместе со своей произ-
производной /СФ [/, s, ф; К]. .
Пусть непрерывная функция ф0 (() является реше-
решением .уравнения A) при X. = Хр, т. е.
г ¦""•¦ Фо(О'= J K[t,s, фоE); ЯоJcfs. A2)

$ 38] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРОМ 279
Уравнение A) можно переписать в виде
F (ф, к) = Ф (t) — } К {t, s, Ф (s); к] ds = О, A3)
а
причем здесь Ег = Ег = С la, b].
Используя формулу A0), получаем
б
= h(s)~\K'<p[t, s, ?0(s); ^]/t(s)ds A4)
ИЛИ
^ф(Фо. \)h = {l — Ж)К A5)
где
ft
Щ = \Ку (t, s, ф0 (s); к,,) ф (s) ds
а
— линейный интегральный оператор с непрерывным
ядром К'<р (/, s, ф0 E); Ко).
Из A5)-видно, что оператор Flp (фо, А,0) будет иметь
обратный, если существует (/ — Ж)'1, т. е. единица не
есть характеристическое число ядра K'q, (/, s, ф0 (s); A,o).
В этом случае R= [F'y (ф0, Xq)]'1 является резольвен-в
той ядра K'q,. Тогда все условия теоремы 9.4 будут
выполнены и, следовательно, уравнение A) будет иметь
единственное непрерывное решение ф (/, А,), близкое к ф0 (/)
при близких к Хо значениях к. Неявная функция может
быть получена как предел последовательных прибли-
приближений
фл+1 М = фл (Я.) — RF (Ф„ (к), к)
(л = 0, 1,...; Фо(Х) = фо@),
причем последовательные приближения в окрестности
точки к0 сходятся равномерно со скоростью геометриче-
геометрической прогрессии.
Можно показать, что если выполнены условия тео-
теоремы 9.4 и оператор F (<р, к) в некоторой окрестности
точки {ф0, ко\ имеет все частные производные до по-
порядка k, то неявная функция ф (к) также имеет произ-
производные до порядка k.

280 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Обратимся снова к уравнению Урысона A). Будем
считать, что
ь
¦ ф0 (t) = | К (t, s, ф0 (s); %0) ds
и что единица не является характеристическим числом
ядра К'9 (t, s,-90 (s); k0). Предположим еще, что функция
К (t, s, ф; к) непрерывно дифференцируема k раз по пере-
переменным ф, к. '
Будем искать, решение ф (t, К) уравнения A) для близ-
близких к Хо значений X по методу малого параметра.
Запишем разложение
Ф (/, ц = «„ @ + (к—К) «1 @ + (Ь-КТ «а @ + •. •
и подставим его в уравнение A). Получим
ь
= \K(t, s, uo + ml + e*ut + .,i;
а
где е = к — А,9.
Разложим правую часть A6) по степеням е:
J К (t, s, и0 + e«i -f- e2«a + • • *; К + е) ds =
* * '
= J /С (t, s, ив; к„) ds + г J К* (t, s, щ (s); a«) ых (s)ds +
а а
b Ь
i (t, s, и0 (s); К) ds + е2J K'v (t, s, щ (s), к,) и2 (s) ds +
а
*
+ ea J Ф2 (i, s, ы0 (s), ых (s);
Здесь Ф2 — известная функция своих аргументов. При-
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в,

39] РАЗВЕТВЛЕНИр РЕШЕНИЙ - 281
получим уравнения
ь
«о @ = J Я С. s, «о (s); К)
= |/Сф (*, s, ио (s); Яо) «1 (s) ds + J Я*. (/, s, «о (s); fo) rfs,
а а
Ь
 @ = J Яф С, s, «о (s); V>) «2 (s) ds +
b
uk @ = J #ф (', s; «о (s); h) uk (s) ds +
а
ft
+ J ф* (^. s, «o (s), «i (s),,,,, Uk-i (s); Яо) ds.
Из этих уравнений видно, что
«о (О = Фо @.
а для определения каждого из коэффициентов ий @ (& !> 1)
получается линейное интегральное уравнение Фредгольма
2-го рода с ядром К'<р (t, s, ф0 (s); Xo) и со свободным чле-
членом, который выражается через уже определенные коэф-
коэффициенты и0 (t), их @, . . ., uk_i (f). Поскольку единица
не является характеристическим числом ядра Кф, эти
коэффициенты однозначно определяются последовательно
один за другим, и мы можем построить приближенное ре-
решение ф (t, X) уравнения A) для значений X, близких к Хо.
Правда, практически эти вычисления довольно громоздки.
§ 39. Разветвление решении
Пусть имеем уравнение
^(<p,A.) = e, A)
определяющее абстрактную неявную функцию ф (А,), и
пусть по-прежнему
^(А) = в. B)"

282 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Остановимся теперь на вырожденном случае, когда
оператор F'y (ср0, Хо) не имеет ограниченного обратного.
Ограничимся уравнениями A) частного вида
Ф = Л (Ф; X), C)
где оператор А вполне непрерывен в том смысле, что он
непрерывен по совокупности аргументов в некоторой
окрестности точки {ф0, Хо\ и что компактно множество
его значений на этой окрестности. Предполагается, что
оператор А действует из ? в Е, фе?.
Определение. Пара (ф0, Хо) называется точкой
ветвления для уравнения C), если для каждого е > О можно
указать такое X, что \Х — Хо | < е, и уравнение C) имеет
по крайней мере два решения, лежащие в ъ-окрестности
точки ф0.
Из рассуждений §38 следует, что пара (ф0, Хо) не яв-
является точкой ветвления, если в окрестности точки {ф0, Хо\
существует оператор Лф (ф, X), непрерывный по (ф, X), и
единица не является точкой спектра оператора Лф (ф0, Хо).
Из общей теории нелинейных операторов известно, что
производная Лф (ф0, Хо) нелинейного вполне непрерыв-
непрерывного оператора является линейным вполне непрерывным
оператором. Вырожденный случай для уравнения C)
означает, что единица является собственным значением
оператора Лф (ф0, Хо).
Рассмотрим уравнение Урысона
)ds, D)
имеющее как раз вид C), и пусть
ь ¦
% @ = J К (t, s, ф0 (s); Ко) ds.
Пусть единица является характеристическим числом
ядра Kv (t, s, ф0 (s); Хв) и пусть этому числу отвечает лишь
одна собственная функция q>t (() (с точностью до постоян-
постоянного множителя), а следовательно, сопряженному урав-
уравнению — одна собственная функция их (f). Рассмотрим

S 39] РАЗВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ 283
вспомогательное уравнение
ь
Ф @ = J [К (t, s, ф (s); к) + ф1 (s) vx (О Ф (s)] ds—№ @, E)
а
где ц — дополнительный параметр.,
Если принять
ь
<fet F)
то уравнение E) будет равносильно уравнению D).
Смысл этого преобразования в том, что для уравнения
ь
E) при X = Хо, ц = ц0 = J ф1 (s) ф0 (s) ds, ф = Фо (О
а
единица не является характеристическим числом ядра Ж'9,
где Ж = К (t, s, ф (s); Я,) + фх (s) ux @ ф (s), и, следо-
следовательно, возможно продолжение по параметрам Я,, ^ при
малых | Я, — Я,01, | [I — ^01 решения
¦ф = ?(/;Л>ц) G)
уравнения E), где ? (*; Я,о, ц0) = ф0 (f).
Подставив G) в правук> часть F), получим так назы-
называемое уравнение разветвления
ь
V-—j 9i (s) У (s; К V) ds = 0,
а
или, короче,
Р(Кр)=0, (8)
связывающее X и ц. Находя отсюда ^ = ^ (Я,) и подставляя
результат в G), получим решение ф = ? (<; Я,, ц (Я,))
уравнения D) такое, что Фи=ь0 = ф0 @-
Нетрудно показать, что ё~'^^ Н-о) = 0. так что урав-
уравнение (8) разрешить однозначно относительно ц, вообще
говоря, невозможно. ¦•*'¦
Вопросам ветвления решений нелинейных уравнений
посвящена обширная литература -'(ём7., например, [4 ]),
к которой мы и отсылаем читателя, желающего детально
ознакомиться с этим кругом идей. .

284 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. IX
§ 40. Точки бифуркации
Близким к понятию точки ветвления является понятие
точки бифуркации.
Пусть, для определенности, А (9, Я) = 9. Тогда урав-
уравнение
ф = Л(ф, Я) A)
имеет нулевое решение ф = 8 при всех значениях пара-
параметра %.
Определение. Число,Х0 называется.точкой би-
бифуркации для уравнения A) (или для оператора А (ф, Я)),
если любому е > 0 соответствует такое значение пара-
параметра % из интервала (Яо — е, Яо + е), при котором
уравнение имеет по крайней мере одно ненулевое решение
Ф (Я), удовлетворяющее условию || ф (Я) |j < б.
В отличие от определения точки ветвления, в опреде-
определении точки бифуркации заранее предполагается извест-
известным решение (семейство решений), определенное при всех
значениях параметра; речь идет об «ответвлении» решений
от заданного.
Пусть, например, Яо есть характеристическое число
непрерывного ядра К (t,s). Однородное интегральное
уравнение
*
J)<p(s)ds B)
при любом Я~имеет тривиальное решение ф (/) = 0.
При Я = Яо это уравнение имеет еще нетривиальное
решение ф == фх, (t), которое определяется с точностью
до постоянного множителя и потому может быть сделано
по норме С [а, Ь] меньше любого е > 0:'
max j фх, (б) | < б.
Итак, для всякого б > 0 существует Яе (Яо— е, Яо + е)
(например, Я = Яо), при котором уравнение B) имеет
ненулевое решение ф*Л0> удовлетворяющее условию
max I фи@ I <е- Согласно определению, это и означает,
что характеристическое число Яо ядра К (t, s) есть точка
бифуркации уравнения B).

$ 40]
ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ
265
Таким образом, если интервал (Хо — е, Ло + е) не
содержит других характеристических чисел ядра К (t, s)f
то при измейении А, в этом интервале мы имеем сначала
одно решение у (t) = 0, а при к = Хо решений будет уже
два: от нулевого решения ответвляется еще ненулевое.
Если-оператор А (<рД) непрерывно дифференцируем
по Фреше, то, в силу теоремы 9.4 о неявной функции, его
точками бифуркации могут быть лишь те значения А,, при
которых единица является точкой спектра оператора
Л(вД) '
Пусть Лф F, X) = ХВ, где В — вполне непрерывный
линейный оператор, не зависящий от X. В этом случае
точки бифуркации являются характеристическими зна-
значениями оператора В (т. е. значениями, обратными соб-
собственным).
П р и м е р (уравнение Гаммерштейна с вырожденным ядром).
1
ts [ф (s) + ф2 (s)J ds.
г=Я i
Очевидно, что при всяком значении параметра Я уравнение C) имеет
решение ф (/) = 0. -
Положим
stp(s)ds,
о
= f sq>2(s)ds.
f
D)
Тогда
E)
Подставл»я E) в D), будем иметь
Решая систему F),-находим одно решение сг = с2 =0, что дает ф it)
s 0, и другое, которое дает
9@
C^-Х)/.

286 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Значение X = 3 будет бифуркационным для уравнения C). В са-
самом деле, для любого е>> 0 существует значение а е C —? е, 3 -f- e),
например любое к Ф 3, при котором уравнение C) имеет ненулевое
решение ф (/), удовлетворяющее условию
4
IIФ (О (И max
0
ЗА,
C — А,) /
Согласно определению, это и означает, что % = 3 — точка бифур-
бифуркации.
Оператор Гаммерштейна, как известно, дифференцируем по Фреше
в любой точке ф0 (/) еС[0, 1] и его дифференциал ив точке ф = О
равен
1 1
Лф (О, К) h = к \ ts [Ф + ф2]' | ф=0Л ds= Я [ ts h(s) ds.
6 о
Легко проверить, что для линейного интегрального уравнения
1 > ¦ ¦¦
h{t) = K \tsh(s)ds G)
значение А, = 3 есть характеристическое число.
Таким образом, точка бифуркации К = 3 уравнения C) является
характеристическим Числом уравнения G).
Возникает вопрос: каждое ли характеристическое зна-
значение оператора В является точкой бифуркации?
В общем случае, как показывают примеры A12 ]), ответ
отрицателен.
Рассмотрим, например, в плоскости XOY оператор Л,
определенный равенством
Оператор В для этого случая есть.оператор / тождествен-
тождественного преобразование имеющий характеристическим чис-
числом единицу: 1х = х*
В то же время оператор А совсем не имеет собственных
векторов. Действительно,; пусть при некотором h
Умножая первое из этих равенств на х, второе на у и скла-
складывая, получим х2. + у2 = X (х2 + у2), откуда X =? if так

§ 40] ТОЧКИ БИФУРКАЦИИ 287
как х2 + уг =7^=0 (собственный вектор — ненулевой). Под-
Подставляя в (8) к = 1, получим х = у = 0, т. е. I — 1 не
есть собственное значение оператора А.
В задачах, связанных с условиями устойчивости, точки
бифуркации определяют критические силы. Так, задача
об изгибе прямолинейного стержня единичной длины и
переменной жесткости р (х) под воздействием силы Р при-
приводит к решению нелинейного интегрального уравнения
Ф (х) = Рр (х) j К (х, t) Ф(/) у 1 - Г] К'Лх,
где ф (х) — искомая функция.
Это уравнение имеет нулевое решение ф (х) = 0 при
всех значениях параметра Р. При малых Р уравнение (9),
в силу принципа сжатых отображений, имеет единствен-
единственное нулевое решение в пространстве СЮ, 1]. Это озна-
означает, что при малых Р стержень»не изгибается. Однако
при силах, больших так называемой критической силы
Эйлера, возникает прогиб.
Критическая сила Эйлера Ро и является бифуркацион-
бифуркационным значением. В механике при отыскании точек бифур-
бифуркации нелинейного оператора А задачу обычно линеари-
линеаризуют: вместо оператора А рассматривают линейный опе-
оператор В (производную Фреше оператора А в точке 9),
находят характеристические числа оператора В, которые
-и считают точками бифуркации оператора А. Но, как мы
видели, такая линеаризация законна не всегда.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 9.5 (М. А. Красносельского). Если вполне
непрерывный оператор А (<р,' Я) (Л (9, К) = 9) имеет
в точке 9 производную Фреше А'^ (9, К) =.ХВ, то каждое
нечетно-кратное (в частноспщ1 простое} характеристи-
характеристическое значение оператора В является точкой бифуркации
оператора Л(ф, К).
. Если характеристическое значение оператора В
имеет четную кратность, то: требуется дополнительный
анализ.
Как известно, интегральные Операторы Урысона и
Гаммерштейна при достаточно широких предположениях

288 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
имеют в нуле G (пространств С или Lp) дифференциал
Фреше В — линейный интегральный оператор:
'С (t, s) ф (s) ds.
Из теоремы 9.5 следует, что каждое характеристическое
число нечетной кратности ядра Ж(t, s) является точкой
бифуркации соответствующего нелинейного интеграль'
ного оператора Урысона или Гаммерштейна.
§ 41. Метод Ньютона
Пусть / (х) — действительная функция действитель-
действительного аргумента. Тогда, как известно, для отыскания дей-
действительного корня уравнения
можно применить метод Ньютона (метод касательных).
Он состоит в нахождении последовательности прибли-
приближенных решений этого уравнения по формуле
В работах Л. В. Канторовича было показано, что метод
Ньютона может быть* перенесен на операторные уравне-
уравнения вида
/(*) = е, A)
где / (а;) — абстрактная функция, определенная в неко-
некотором банаховом пространстве X со значениями, вообще
говоря, в другом банаховом пространстве У.
Пусть элемент х*еХ есть нуль абстрактной функции f,
т. е.
/(**) = 9.
Предположим, что в некоторой окрестности Q точки х*
функция f (х) имеет производную Фреше f (x), непрерыв-
непрерывную в этой окрестности. Предположим еще, что суще-
существует [/' (я)] в Q.
Возьмем произвольный элемент лоей. В силу пред-
предположений можно заменить элемент / (х0) = / (х0)—/ (**)

§ 41] . МЕТОД НЬЮТОНА 289
близким ему выражением /' (х0) (х0 — х*) и считать,
что решение уравнения
П*о)(*-*о) = -/(*«)'
близко к х*. Последнее уравнение — линейное, и его ре-
решением будет
Продолжая этот процесс, получим последовательность
приближенных решений по формуле
xn+i = *„ — [/' ЫГЧ (хп) («=0,1,,, .)• B)
При определенных условиях последовательность {х„\
сходится к корню к* уравнения / (х) = 9. Неудобство этих
формул в том, что всякий раз приходится находить обрат-
обратный оператор If (^)l'1.
Если последовательность {хп\ сходится к корню х*
и х0 выбрано достаточно близко к х*, то в предположении
непрерывности f'(x) операторы f'(xn) и /'(*0) будут мало
отличаться. Поэтому вместо формул B) вводят упро-
упрощенные:
хм = *„ — [/ (хо)ГЧ (хп) (я = 0, 1,.. •). C)
где для любого п фигурирует один и тот же обратный
оператор [/' (xe) 1.
Формулы C) дают, вообще говоря, худшие приближе-
приближения, но значительно проще формул B).
Этот метод построения приближенных решений назы-
называют модифицированным методом Ньютона.
И основной, и модифицированный методы Ньютона
являются одними из наиболее употребительных на прак-
практике приемов решения нелинейных функцион-альных урав-
уравнений.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 9.6. Пусть функция f (x) имеет произ-
производную Фреше в некотором шаре Q (x0, г) с центром х9
и радиусом г и эта производная f (x) удовлетворяет
в шаре Q условию Липшица
Пусть if'iXf,)]'1 существует и
м^Ш'МГЧ *=in*rY(*e)ll.

290 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ IX
Тогда, если h<l/4, то в шаре S (х0, kt0): Jx—xo\\*s kt0,
где t0 — меньший корень уравнения hP — /+1=0,
уравнение f {x) =* 9 имеет единственное решение х*
и последовательность \хп\, определяемая формулой C),
сходится к этому решению.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве X
отображение
Ax = x~[f'(xo)]-If(x).
Это отображение переводит шар || х — х0 \\ ^ kt0 в себя.
Действительно,
Ах — х0 = х—х0 — [/' (^о)]'1/ (х) =
= [/' (^о)]'1 {/' (^о) (х-х0)-f(x) + f(xo)\ - If (xo)rlf (Xoh
Поэтому
I Ax- x01| < I [f (*0)]-i 11 f (x0) (x—x0) — f(x) + f (x0) || +
k, D)
Рассмотрим функцию
ф D =/(*) — /(*o) — f (*0) (* —*<>)•
Имеем
Если || jc — xo\\.< kt0, то
Заметив, что <р (а;0) = 6, по теореме о,среднем (аналог
теоремы Лагранжа классического анализа, [ 11 ]) получаем
l E)
Таким образом, если xeS (a;0, kt0), то из D) и E) имеем
Ах—хо\\
Последнее означает, что отображение А переводит шар
\\х — х$ < kt0 в себя.

$ 41] МЕТОД НЬЮТОНА 291
Покажем теперь, что А —сжимающее отображение
в этом шаре. Для xeS (*0. kt^j имеем
А' (*)=/ — {/' (Яо)]-1 /' (X) = [/' (^о)] (/' (*о) - /' (X)),
откуда
\А' (x)\^M\\f (хо)—Г (х)\ < М2?\\х—хо\\
Так как /0— меньший корень уравнения ht2— t + 1 = 0,
то to=l~V2[~^. Поэтому
' (х) | < М2Мй= ht0 = l~^~ih =q<±. F)
откуда
так что А — сжимающее отображение. -
Из теоремы Банаха (§ 7) следует, что отображение А
имеет в шаре \\х — л:0|| < kt0 единственную неподвиж-
неподвижную точку х*. Для этой точки
откуда / (а;*) = б, т. е. х* есть решение уравнения
f(x) = Q,
В силу C)
Ахп = хп — [/' (хо)Г1/ (хп) = хп+1,
и на основании теоремы Банаха последовательность
*
сходится к а;*.
Из неравенства F) нетрудно получить оценку скорости
сходимости модифицированного метода Ньютона
ЦХп-^Л^-^—ППхоТ'ЦхоП- G)
Обычный (немодифицированный) метод Ньютона сходится
быстрее: для него
^T

292 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ • [ГЛ. IX
Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение
ь
x(t) = JK(t,s,x(s))ds, (8)
а
где К (t, s, и) — непрерывная функция всех своих аргу-
аргументов, имеющая непрерывные производные нужного по-
порядка. Введем абстрактную функцию
Тогда уравнение (8) запишется в виде функционального
уравнения
f(x) = O.
Процесс Ньютона для этого уравнения строится следую-
следующим образом. Пусть, например, X = С [а, Ы и пусть
х0 (t)— начальное приближение. Абстрактная функция
f (x) преобразует пространство С [а, Ъ] в себя, сильно
дифференцируема, причем
ъ
f'(xo)h = h @ — J К'и(t, s, хо(s))h(s) ds, (9)
а
Поправка Д* = хх — х0 определяется из уравнения
которое в силу (9) будет иметь вид
ь
Ах @ — J Ku (t, s, xo-(s)) Ax (s) ds = е0 (t),
в
где
ь
eo(t)=lK(t,s,xo(s))ds—xo(n,
а
Таким образом, нахождение каждого следующего прибли-
приближения сводится к решению линейного интегрального урав-
уравнения. Если применять модифицированный процесс C),
то ядро такого уравнения на каждом шаге будет одним
и тем же.
Детально с методом Ньютона можно познакомиться
в книге [10],

§42]. ПРИНЦИП НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Ю. ШАУДЕРА 2ЭЗ
• § 42. Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера
При изложении принципа сжатых отображений мы от-
отмечали, что существование решения многих уравнений
. эквивалентно существованию неподвижной точки у соот-
соответственно подобранного отображения некоторого мно-
множества точек в себя.
Теорема С. Банаха о неподвижной точке у сжимаю-*
щего отображения позволила нам получить ряд резуль-
результатов, касающихся однозначной разрешимости различ-
различных типов интегральных уравнений.
Следует отметить, что применение принципа сжатых
отображений к нелинейным интегральным уравнениям
практически ограничивается случаями,- когда функ-
функция К, (t, s, z) удовлетворяет условию Липшица по функ-
функциональному аргументу г.
Приведем еще одну теорему A19J), позволяющую
гарантировать существование по крайней мере одного ре-
решения для весьма широкого класса уравнений.
Теорема 9.7 (Ю. Шаудера). Если вполне непрерыв~
ный оператор А отображает ограниченное замкнутое вы-
выпуклое множество S банахова пространства Е на свою
часть, то существует неподвижная точка этого отобра-
отображения, т. е. такая точка xeS, что
Ах = х.
Напомним понятие выпуклости. Пусть Ё — линейное
действительное пространство и х, у —две его точки. На-
Назовем отрезком в Е, соединяющим точки х и у, совокуп-
совокупность всех элементов вида
ах -j- $у, где а, р ^ 0, a -f- р = 1.
Определение. Множество МаЁ называется вы-
выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х и у
содержит и соединяющий их отрезок.
Так, круг (рис. 17, а) есть выпуклое множество, а фи-
фигура на рис. 17, б — невыпуклое.
Еще пример.Рассмотрим в пространстве С[а, Ь] функ-
функций х @» непрерывных на [а, Ь], множество М функций,
удовлетворяющих условию

294 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
Это множество выпукло. Действительно, если
[*(9|<1 и |0(О|<1,
то при а + р = 1, а, р > О, имеем
т. е. функция ах (t) + р# (/)еМ, что и означает, согласно
определению, выпуклость указанного множества М не-
непрерывных функций.
t) 6)
Рис.17.
Упражнение. Показать, что в линейном нормированном
пространстве всякий шар ||* — д|| ^ г есть выпуклое множество.
В качестве примера применения принципа Шаудера
рассмотрим классическую теорему Пеано о существовании
решения обыкновенного дифференциального уравнения
-§=-/(', *@)- A)
Теорема 9.8. Пусть функция f (t, x) непрерывна
по совокупности переменных в области \ t — /01-< а,
| х — х01 ^ b и р — максимум \ f (t, х)\ в этой области.
Если h = rain la, т^-\, то на отрезке lt0 — h, t^-\r h]
существует по крайней мере одцо решение уравнения
удовлетворяюще условию --. , ..,
*('о)=*о. B)

$ 42] ПРИНЦИП НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Ю. ШАУДЕРА 295
Доказательство. Уравнение A) с начальным
условием B) эквивалентно интегральному уравнению
(T,Jt(T))dT. C)
Рассмотрим оператор А, определенный равенством
в пространстве С [/„ — h, /0 + h] на шаре Sb: \\x —
— х01| <J Ь, который будет замкнутым выпуклым множе-
множеством в этом пространстве.
Оператор А вполне непрерывен на этом шаре. В самом
деле, если последовательность \хп (t)}, принадлежащая
шару || х — *оИ < Ь, равномерно сходится к функции
х (t) eSft, то в силу непрерывности функции / (t, x)
f(t,xa(t))-f(t,x(t))
равномерно на [/0 — h, t0 + h]. При равномерной схо-
сходимости законен предельный переход под знаком инте-
интеграла, так что
Аха-*Ах,
т. е. оператор А непрерывен на шаре
Далее, для любого элемента х (f)
D)
т. е. множество значений оператора А равномерно огра-
ограничено.
Если *i и t%—любые точки отрезка [/„—h, to-\-h],
то для любой функции х (t) sSft будем иметь
| Ах (tt) — Ах (/х) | ^ 1- j / (т, х (т)) dx | ^ р | /, — tx |, E)
и
т. е. множество Ах {(), х (t)^Sb, равностепенно непре-
непрерывно.

296 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
В силу теоремы Арцела отсюда заключаем, что опера-
оператор А преобразует шар Sb:\\x — xol < b в компактное
множество.
Это доказывает полную непрерывность оператора А.
(Напомним, что мы называем нелинейный оператор А
вполне непрерывным на некотором множестве, если он
1) непрерывен, 2) переводит это множество в компактное.
В теории линейных операторов принято несколько отлич-
отличное определение: линейный оператор называют вполне не-
непрерывным, если он переводит любое ограниченное множе-
множество в компактное (непрерывен он по самому своему опре-
определению).
Покажем, наконец, что оператор А преобразует шар S&:
IIх — х0||< b в себя. -
Действительно,
\Ax(t)-xo\*=\ | |
Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям
теоремы Шаудера, и, значит, существует неподвижная
точка этого оператора, т. е. такая функция х (f), что
Эта функция х (f) будет решением уравнения A), удовле-
удовлетворяющим начальному условию B).
Теорема доказана.
Подчеркнем, что принцип Шаудера не гарантирует
единственности решения (известны простые примеры диф-
дифференциальных уравнений вида D) с непрерывной правой
частью, имеющих бесконечное множество решений, удо-
удовлетворяющих заданному начальному условию). Кроме
того, этот принцип не дает указаний, как построить это
решение. Тем не менее он оказывается подчас единствен-
единственным критерием, позволяющим судить о существовании
решения уравнения.
Теорема Пеано тем же методом может быть обобщена
в различных направлениях: например, можно ослабить
условия на / (t, x), отказавшись от ее непрерывности;

$ 42J ПРИНЦИП НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ Ю. ШАУДЕРА 297
вместо одного уравнения можно рассматривать систему
конечного и даже счетного числа уравнений.
Например, справедлива
Теорема 9.9 (А. Н. Тихонова). Пусть дана счет-
счетная система дифференциальных уравнений
~fif — fi\xly х*>' ' •> .-*«>• • •)> F)
причем функции ft непрерывны по всем переменным в не-
некоторой области | дсе- | < a(i — 1, 2, . . .) изменения пере-
переменных и равномерно ограничены для этих значений пере'
менных. Тогда система F) имеет по крайней мере одно
решение, удовлетворяюще условиям xt @) = 0.
В качестве еще одного примера использования теоремы
Шаудера рассмотрим задачу о разрешимости уравнения
Таммерштейна
ь
J G)
с непрерывным симметричным ядром. Пусть W (s, z) не-
непрерывна и ограничена при а < s « b, —оо < г < +оо,
и пусть | ? (s, г) | <г М0. Обозначая правую часть G)
через Лф, замечаем, что оператор А вполне непрерывен.
Используя оценку (см. выше, стр. 264)
lAyW^rj-jMoVb-a + lfl (8)
находим
(Нормы берутся в L2 [a, .61; %t — наименьшее по модулю
характеристическое число ядра К (t, s).)
Поэтому, если в качестве ограниченного замкнутого
выпуклого множества S взять шар в L2 la, b\ с центром
в нуле и радиусом, равным правой части (8), то будут вы-
выполнены все условия теоремы Шаудера.
Следовательно, уравнение ij) при сделанных предпо-
предположениях имеет по крайней мере одно решение <р (<)•
При применении принципа Шаудера к изучению кон-
конкретных уравнений прежде всего нужно выбрать простран-
пространство Е, в котором оператор А вполне непрерывен.

298 НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. IX
За выпуклое множество S обычно принимают неко-
некоторый шар пространства Е. При этом радиус и центр
этого шара нужно подобрать так, чтобы оператор А отобра-
отображал этот шар в себя.
Пусть, например, вполне непрерывный оператор А
обладает свойством
(а, Ь,а — постоянные).
Если существует число г > 0, удовлетворяющее усло-
условию
то к оператору А в шаре S (9, г) с центром в нуле 0 и ради-
радиусом г применим принцип Шаудера.
Такое число г всегда существует при а < 1 и при
а = 1 и Ь < 1.

ЛИТЕРАТУРА
}. А х и е з е р Н. И., Г л аз м а н И. М., Теория линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1966.
2. Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений,
т. II, Физматгиз, 1959.
3. Б и р м а я М. Ш. и др., Функциональный анализ, СМБ, «Наука»,
1972.
4» В аи н б е р г М. М., Т ре но г и н В. А., Теория ветвления
решений нелинейных уравнений, «Наука», 1969.
5. By лих Б. 3., Введение в функциональный анализ, «Наука»,
1967.
6. Гагаев Б. М., О существовании собственных значений инте-
интегральных уравнений, ядра которых являются целой рациональной
функцией параметра, Украинский математический журнал IV,
№ 2, 1952.
7. Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, Физматгиз, 1963.
8: Гурса Э., Курс математического анализа, т. III, ч. 2, ГТТИ,
1934. .
9. Забрейко П. П. и др., Интегральные уравнения, СМБ,
«Наука», 1968.
10. Канторович Л. В., А к и л о в Г. П. Функциональный
анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
11. К о л м о г о р о в А. Н., Фомин СВ., Элементы теории
функций и функционального анализа, изд. 3-е, «Наука», 1972.
12. К р а с н о с е л ь с к и й М. А., Топологические методы в тео-
теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, 1956.
13. К р е й н М. Г., Интегральные уравнения на полупрямой с яд-
ядром, зависящим от разности аргументов, УМН XIII, вып. 5, 1958.
Л4. Крейн С. Г., Линейные уравнения в банаховом пространстве,
«Наука», 1971.
15. Курант Р., Г и л ь б е р т Д., Методы математической физики,
т. I, Гостехиздат, 1951.
16. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функ-
- ций комплексного переменного, «Наука», 1965.

300 ЛИТЕРАТУРА
17. Л а в р е н т ь е в М. М,, О некоторых некорректных задачах
математической физики, Изд-во СО АН СССР, 1962.
18. Лав и тт У. В., Линейные интегральные уравнения,,
Гостехиздат, 1957.
19. Л ю с т е р н и к Л. А., Со болев В. И., Элементы функцио-
функционального анализа, «Наука», 1965.
20. Михлин С. Г., Лекции по линейным интегральным уравне-
уравнениям, Физматгиз, 1959.
21. МихлинС. Г., Сингулярные интегральные уравнения, УЛВД Шг
выш t, I948.
22. Морен К., Методы гильбертова пространства, «Мир*, 1965.
23. Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики,,
тт. I, И, ИЛ, 1958.
24. Мус х-ели ш вили Н. И., Сингулярные интегральные урав-
уравнения, Физматгиз, 1962. ;
25. Мышкис А. Д., Математика для втузов. Специальные курсы,
«Наука», 1971,
26. Мэтью з Дж., Уокер Р., Математические методы физики,
Атомдздат, 1972.
27. Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной,
«Наука», 1974.
28. Н е м ы ц к и й В. В., Метод неподвижных точек в анализе,
УМН, вып. I, 1936.
29. Но'б л Б., Метод Винера — Хопфа, ИЛ, 1962.-
30. П е т р о в с к и й И. Г., Лекции по теории интегральных урав-
уравнений, «Наука», 1965.
31. Привалов И. И., Интегральные уравнения, Гскггехнздат*
1937.
32. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функцио-
функциональному анализу, ИЛ, 1964.
33. Смирн о в В. И., Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз,
1958.
34. Смирнов В. И., Курс высшей математшт, т. III, ч. U
Физматгиз; 1958.
35. Смирнов Н. С, Введение в теорию нелинейных интегральных
уравнений, ОНТИ, Ш36.-
36. С н е д д о н И., Преобразования Фурье, ИЛ, 1955.
37. Соболев С. Л., Уравнения математически физики, «Наука»,
1966.
38. Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математи-
математического анализа, «Наука», 1968.

ЛИТЕРАТУРА 301
39. С а неоне Д., Обыкновенные дифференциальные уравнения,
тт. I, II, ИЛ, 1954.
40. Тйтчмарш Е. К., Введение в теорию интегралов Фурье,
Гостехиздат, 1948.
41. Три коми Ф., Интегральные уравнения, ЙЛ, 1960.
42. Урысон П. С, Труды по топологии и другим областям мате-
математики, т. I, Гостехиздат, 1951. .
43. Ф р и д м а н В. М., Метод последовательны* приближений для
интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, УМН XI, вып. I,
Ш6.
44. Ц л а ф Л» Я- Вариационное исчисление и интегральные урав-
уравнения, «Науш», 1966.
45. Шварц Л.у ^Математические методы для физических наук,
«Мир», 1965. , у х :
46. Ш и л о в Г.--Е., Матештический анализ. Специальный курс,
Физматгиз, 1961.
47. Ш и л о в Г. В.* Математический анализ. Второй специальный
курс» «Наука», 1965. ~
•48. Шилов Г. Е., Математический анализ. Функции нескольких
веществеийых вер^меняых, «Наука»^ 1972. ¦¦:'.-.
49. La lesco Т., Introduction a la theorie des equations integrales^
Pads, 19Ш . , '
50. H e 11 in g € г E.f Toeplitz O., IntegFalglefchwngen und
Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, Yeijag von Teubner,
Leipzig uud Berlin, 1928. :
51. H i 1 b e r t D., Grtindzuge einer allgemeinen Theorie der linearen
Inte^-aigMchtingen, Verlag von Teubner, Leipzig und Berlin, 1924,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля задача 19
Альтернатива Фредгольма 49
Арцела теорема 175
Банаха теорема 60 ,
Винера—Хопфа метод 163
Гильберта преобразования 252
Гильберта—Шмидта теорема 196
Грань верхняя множества 8
Грина функция 221
Дифференциал Фреше 273, 274
Задача Абеля 19
Индекс интегрального уравнения
259 ,
— системы линейных алгебраи-
алгебраических уравнений 256 : ;
— функции 257
Интеграл сингулярный 248
Келлога метод 215
Кольцо операторов 95
Компактность множества 174
— слабая 190
Кратность характеристического
числа 43
Критерии компактности 175, 176
Мерсера теорема 20$; /
Метод Винера—Хопфа 163
— Келлога 215
— Ньютона 288
модифицированный 289
— производящих функций 238
Минор определителя Фредгольма
34
Множество выпуклое 293
— резольвентное 187
Неравенство Кошй—Буняковско-
го 54
Норма 81
—. оператора 90
Объединение множеств 8
Оператор вполне непрерывный
176
— единичный 85
— интегральный Фредгольма 86
— линейный 84
— непрерывный 85 '
— обратный 95
—ограниченный 89
— резольвентный 186
— симметричный 185
— сопряженный 182
Определител ь Фредгол ьма 34
Пеано теорема 294
Пересечение множеств 8
Пикара теорема 231
Подпространства инвариантное
193
Преобразование Лапласа 147
— Меллина 160
— Фурье 1?8 7
Преобразования Гильберта 25$
Принцип сжатых отображений 59
Производная Фреще 274 j ,.-
Пространство Банаха 81 *
— Гильберта 181 : ^
— линейное 79
— метрическое 52
— нормированное 81
— операторов 92
— полное 58
-С [а, Ь] 53
— С, [а, Ь] 83
— С2 [а, Ь] 56
— Lp [а, Ь\ 56
Процесс ортогонализации 199

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Разложение ядра билинейное 208
Резольвента (разрешающее яд^о)
29, 34, 42, 101
Рисса—Шаудера уравнение 181
#яд Неймана 98
•
Собственная (фундаментальная)
функция 35, 43
Собственное значение оператора
187
Собственный элемент оператора
Спектр оператора 188
Сходимости пб норме 81
— .слабая 196
Теорема Арцела 175
— Банаха 60
— Гил ьберта—Шмидта 196
-*.-. Гильберта—Шмидта для ин-
интегрального оператора 213
— Лалёскб 115
—^ Мерсера 208
— Пеано 294
— Пикара 231
— Рисса М. 176
— существования абстрактной
неявной функции 277 "
— Шаудера 293
— Эфроса 152
Теоремы Нётера Ф. 259, 260
-— о свертке 139, 148, 161
.*— Фредгольма 39—-46, 122 ,
Точка бифуркации 284 •
— ветвления 282 , :
Урдвнение Абеля 20
— Йинёра^Хопфа 163
— Вольт§р^ Г-города 12, 225
— Вольтёрра 2-го ройа 12, 71
ПО ¦- JZb-U? -¦: ч:-7
— вырожденное
265
Уравнение вырожденное Фред-
гольма 37
— Гаммерштейна 13, 263
— интегро-дифференциальное 155
— квазифредгольмово 260
— Лалеско—Пикара 244
— Ляпунова—Лихтенштейна 14
— нефредгольмово 244
— операторное 1-го рода 239
<— приводящееся к симметрич-
симметричному 217
— Рисса—Шаудера 181
— симметричное 186
— сингулярное 250
—г со слабой особенностью 127
— типа свертки 140, 149
— Урысона 13, 273, 276
— Фредгольма 1-го рода 10, 23&
— Фредгольма 2-го рода 10, 37,
63, 98, П9
Факторизация 166
Функция Грина 221
— истокообразно представимая
214
Число характеристическое 35
ШауДера теорема 293
Шмидта формулы 198, 201
Эфроса теорема {Щ
Ядра ортогональные 102
— пол у ортогональные 102
Ядро Гильберта 262
— замкнутое 232
— Коши 257 v
-Р-. повторное (итерированное) 99
— положительно определенное
22
сопряженное 44
со слабой особенностью 127