Автор: Зарубин В.С.
Теги: тепло термодинамика механика физика математическое моделирование
ISBN: 5-9221-0321-0
Год: 2002
Текст
УДК 536 IT Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.25, 22.317 Реши Российского фонда фундаментальных
3 34 ' ~~ ** ~~ исследований по проекту 02-01-14046д
Зарубин B.C., Кувырки н Г. Н. Математические мо-
модели термомеханики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 168 с. —
ISBN 5-9221-0321-0.
Изложены основные подходы к построению математических моделей
сплошной среды на основе современных представлений термодинамики необ-
необратимых процессов. Главным образом внимание уделено рассмотрению общ-
общности построения моделей термоупругой сплошной среды, линейной жидко-
жидкости, термовязкоупругой и термопластической сред на основе представлений
о сплошных средах скоростного типа, средах с внутренними параметрами
состояния и средах с памятью.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших
курсов технических университетов, специализирующихся в области механи-
механики сплошной среды и математического моделирования.
Ил. 15. Библиогр. 19 назв.
ISBN 5-9221-0321-0 © ФИЗМАТЛИТ, 2002
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ........................... 5
ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
8.1. Газ и жидкость ..................... 7
8.2. Твердое кристаллическое тело .............. 13
8.3. Твердое аморфное тело ................. 23
8.4. Основные гипотезы, предмет и методы термомеханики .... 26
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Ортогональные тензоры ................. 29
1.2. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 35
2. ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ, ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ
И НАПРЯЖЕНИЙ
2.1. Эйлеров и лагранжев способы описания движения сплошной
среды ......................... 39
2.2. Тензоры деформации при эйлеровом и лагранжевом способах
описания движения сплошной среды ............ 41
2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций . 44
2.4. Геометрический смысл компонентов тензоров малой деформации 50
2.5. Кинематические характеристики сплошной среды ...... 53
2.6. Массовые, объемные и поверхностные силы ......... 56
2.7. Тензоры напряжений при различных способах описания движения
сплошной среды .................... 57
2.8. Тензоры напряжений при малых деформациях ........ 60
3. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
3.1. Основные понятия термодинамики необратимых процессов . . 63
3.2. Закон сохранения массы ................. 65
3.3. Закон сохранения количества движения ........... 66
3.4. Закон сохранения момента количества движения ....... 69
3.5. Закон сохранения энергии ................ 71
3.6. Второй закон термодинамики ............... 74
3.7. Основные подходы к построению математических моделей в ме-
механике сплошной среды ................. 78
3.8. Условия на поверхности сильного разрыва ......... 85
Содержание
4. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОУПРУГАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
4.1. Классическая термоупругость ............... 91
4.2. Теория температурных напряжений ............ 97
4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния . . 103
4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа ....... 109
5. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ
5.1. Жидкость как сплошная среда скоростного типа ....... 114
5.2. Идеальная жидкость ................... 117
5.3. Некоторые особенности движения вязкой несжимаемой жидкости 121
5.4. Вязкая жидкость как сплошная среда с памятью ....... 123
6. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
6.1. Термовязкоу пру гая среда скоростного типа ......... 126
6.2. Термовязкоупругая среда, зависящая от скорости изменения тен-
тензора напряжений .................... 130
6.3. Термовязкоупругая среда с внутренним параметром состояния . 133
6.4. Термовязкоупругая среда с памятью ............ 137
6.5. Ограничения на функции релаксации и частные случаи термовяз-
термовязкоу пругой среды с памятью ................ 142
7. ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ СПЛОШНАЯ СРЕДА
7.1. Условия текучести и условия упрочнения .......... 145
7.2. Определяющие уравнения для термоупругопластической среды . 151
7.3. Деформационная теория термопластичности ........ 156
7.4. Термопластическая сплошная среда с памятью ........ 161
Список литературы ....................... 167
ПРЕДИСЛОВИЕ
Большинство технологических процессов и рабочих про-
процессов в технических устройствах можно трактовать с позиций механики
сплошной среды как совокупность процессов переноса массы, количе-
количества движения и энергии, сопровождающихся преобразованием энергии,
а нередко — и фазовыми переходами. Такие процессы принято назы-
называть термомеханическими. Интенсификация рабочих и технологических
процессов приводит к большим плотностям потоков энергии и массы, к
значительной скорости их изменения. Достоверность и полнота анализа
работоспособности и эффективности таких устройств существенным обра-
образом зависят от обоснованного выбора адекватных математических моделей
термомеханических процессов. При разработке этих моделей необходимо
совместно рассматривать теоретические положения механики сплошной
среды и термодинамики необратимых процессов, составляющие основу
научного направления, которое получило название термомеханики.
В данной книге предпринята попытка последовательного изложения
основ термомеханики и путей построения математических моделей про-
процессов в конструкционных материалах и технических, устройствах. При на-
написании книги использован материал курсов, которые читают авторы в Мо-
Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана.
Основной особенностью изложенного в книге подхода является введение
в математические модели рассматриваемых сред внутренних параметров
состояния. Это позволяет связать макроскопическое поведение сплошной
среды с процессами, протекающими на микроуровне, и расширяет возмож-
возможности построения адекватных математических моделей достаточно слож-
сложных и существенно нестационарных термомеханических процессов. При
таком подходе наряду с законами сохранения массы, количества движения
и энергии используются соотношения термодинамики необратимых про-
процессов, которые устанавливают структуру уравнений, включающих вну-
внутренние параметры состояния среды и скорости их изменения во времени.
Книга включает введение и семь глав. Во введении изложены элементы
физической механики применительно к таким состояниям среды, как газ,
жидкость, кристаллическое и аморфное твердые тела, и сформулированы
основные гипотезы и предмет термомеханики, а в первой главе приведены
используемые далее в книге понятия и соотношения тензорного исчис-
исчисления. Вторая глава посвящена описанию движения и деформирования
сплошной среды и изложению теории напряжений. Законы сохранения
физических субстанций и основы термодинамики необратимых процессов
рассмотрены в третьей главе. В остальных четырех главах методы термо-
термомеханики применены к построению линейных математических моделей
жидкости, термоупругой и термовязкоупругой сплошных сред, а также
нелинейных моделей термоупругопластической среды.
Предисловие
Авторы благодарны экспертам Российского фонда фундаментальных
исследований за положительную оценку содержания книги. Они будут
признательны всем, кто выскажет свои замечания по этой книге, которые
можно направить по адресу: 105005, Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5,
МГТУ им. Н.Э. Баумана, кафедра прикладной математики, или e-mail:
fn2@sm.bmstu.ru.
ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ФИЗИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
Рис.В.1.
В.1. Газ и жидкость. Газом называют агрегатное со-
состояние вещества, в котором его частицы не связаны или очень слабо
связаны силами взаимодействия и движутся хаотически, заполняя весь
предоставленный им объем. Любое вещество можно перевести в газооб-
газообразное состояние, подобрав соответствующие величины давления р и тем-
температуры Т. Возможную область существования газообразного состоя-
состояния изображают в переменных р ~~ Т
(рис. В.1). При температуре ниже кри-
критической Тк эта область ограниче-
ограничена кривыми сублимации (возгонки) I
и парообразования II. Последнее озна-
означает, что при любом значении давления
ниже критического рк существует тем-
температура Т, выше которой вещество
становится газообразным. При темпе-
температурах ниже температуры Тр тройной
точки газ может находиться в равно-
равновесии с твердой фазой вещества (на
кривой I), а между тройной и крити-
критической точкой К — с жидкой фазой. Газ в этом состоянии называют паром
вещества. При Т > Тк граница газообразной области условна, так как при
этих температурах превращения не происходят.
В связи с тем, что область газового состояния очень обширна, свойства
газов при изменении температуры и давления могут меняться в широких
пределах. Так, в нормальных условиях (Т = 273 К, р « 0,1 МПа) плотность
газа примерно в тысячу раз меньше плотности того же вещества в твердом
или жидком состоянии.
В молекулярно-кинетической теории газ рассматривают как совокуп-
совокупность слабо взаимодействующих частиц, находящихся в непрерывном ха-
хаотическом (тепловом) движении. У достаточно разреженных газов среднее
расстояние между молекулами значительно больше (на порядок) радиуса
действия сил межмолекулярного взаимодействия. В таких условиях мо-
молекулы взаимодействуют лишь при сближении на расстояние действия
межмолекулярных сил и, следовательно, общий объем, в котором эти
силы могут сказываться, составляет « 0,001 от полного объема газа. Это
позволяет считать объем молекул газа в нормальных условиях пренебре-
пренебрежимо малым и рассматривать молекулы как материальные точки. Если
эти материальные точки рассматривают как невзаимодействующие друг
с другом, то такая модель соответствует модели идеального газа.
При тепловом равновесии идеального газа все направления движения
его молекул равновероятны, а их скорости подчиняются распределению
Введение. Элементы физической механики
Максвелла (рис. В.2). Подавляющее большинство молекул имеют значения
скорости г>, близкие к наиболее вероятной uH, соответствующей максимуму
этого распределения при данной температуре. Однако существует некото-
некоторая часть молекул с меньшими и большими скоростями. Распределение
Максвелла позволяет определить сред-
среднюю квадратичную скорость молекул
v = yv2, связанную с температурой Т
соотношением
= 417м/с
293 К
= 509 м/с
= 840 м/с
773 К
v2 = —, (В.1)
m
где к и 1,38 • 10~23 Дж/К — постоян-
постоянная Больцмана; m — масса молекулы.
Уравнение (В.1) устанавливает связь
между средней кинетической энергией
одной молекулы и температурой газа:
= -кТ.
Рис. В.2.
(В.2)
2 2 V ;
Молекулярно-кинетическая теория
рассматривает давление газа р на стенки
сосуда, в котором он находится, как воздействие ударов молекул, усреднен-
усредненное по поверхности и по времени. Количественно давление газа опреде-
определяется импульсом, передаваемым молекулами в единицу времени единице
площади стенки:
р = -
о
(В.З)
где п — число молекул в единице объема.
Уравнения (В.2) и (В.З) дают возможность записать уравнение состоя-
состояния идеального (совершенного) газа в виде
р = пкТ или рУц = RT,
(В.4)
где R = kN — универсальная газовая постоянная, V^ — объем, приходя-
приходящийся на один моль газа, N — число молекул в одном моле (число Аво-
гадро). Уравнение (В.4) называют уравнением Клапейрона (Клапейрона-
Менделеева).
Кинетические свойства газов — диффузию, вязкость, теплопровод-
теплопроводность — молекулярно-кинетическая теория рассматривает с единой точки
зрения: диффузию как перенос массы молекулами, вязкость как перенос мо-
молекулами количества движения и, наконец, теплопроводность как перенос
ими энергии.
Модель идеального газа для анализа явлений переноса непригодна, так
как в этих процессах определяющую роль играют столкновения молекул
и их линейные размеры, влияющие на частоту столкновений. Однако
В. 1. .Газ и жидкость
первостепенное значение имеет средняя длина свободного пробега моле™
кулы — среднее расстояние, проходимое молекулой газа между двумя ее
столкновениями в условиях термодинамического равновесия.
Рассмотрим свободный пробег как расстояние, проходимое молекулой
между двумя последовательными столкновениями. Эту величину называют
средней длиной свободного пробега Максвелла:
где d — диаметр молекулы. Средняя длина свободного пробега lv молекулы
с величиной скорости v равна
lv = I, (B.5)
где
(m/2kT) v
Ф(ж) = х ехр(-ж2) + Bх + 1) I ехр(-|/2) dy.
о
В этом случае
4 /If"V
1 = /2 «Л - (В-6)
Ф '
Соотношение (В.6) получено из анализа вероятности столкновения
в единицу времени молекулы, имеющей скорость v9 с молекулой, имеющей
скорость v' G [0,сю).
Эффект вязкости проявляется лишь тогда, когда в газе имеются неодина-
неодинаковые макроскопические скорости. В газах расстояние между молекулами
существенно больше радиуса действия межмолекулярных сил, поэтому
вязкость газов — следствие хаотического движения молекул, в резуль-
результате которого происходит обмен молекулами между движущимися друг
относительно друга слоями газа. Это приводит к переносу от слоя к слою
определенного количества движения, в результате чего медленные слои
ускоряются, а более быстрые замедляются. Следовательно, применение
теории равновесных явлений к неравновесному процессу переноса воз-
возможно лишь при условии, что отклонение от равновесного состояния
мало. Если молекулы представляют собой упругие сферы диаметром d,
то коэффициент вязкости газа г) определяют по формуле
оо
1 Г
rj = -nm vf(v)lv dv,
о J
10 Введение. Элементы физической механики
tt \ ( т \3/2 , о ( т о\
где f(v) = 4ttv exp v , и далее, используя соотноше-
ния (В.5) и (В.6), можно показать, что
Соотношение (В.7) имеет сравнительно большую погрешность, так как
оно не учитывает влияние сохраняемости скорости при столкновении мо-
молекул на процесс переноса количества движения. Более точные вычисления
дают
^ = 0,461-?!^-. (В.8)
Формула (В.8) выведена для упругих сферических молекул. Она пока-
показывает, что г) не зависит от плотности газа. Очевидно, что такой результат
имеет место только для разреженных газов.
При изучении теплопроводности в газах полагают, что молекула, имею-
имеющая скорость v и кинетическую энергию Е, проходя без столкновений
расстояние I, переносит энергию Е. Движение молекул происходит таким
образом, что перенос энергии осуществляется из области с большей энер-
энергией в область с меньшей энергией, т. е. из области с высокой температурой
в область с низкой температурой. Тогда теплопроводность
Л^т) = ^nvlcv, (B.9)
где су = dE/dT — молекулярная теплоемкость при постоянном объеме;
Ё — средняя энергия молекул, проходящих через единичную площадку,
перпендикулярную направлению распространения теплоты.
Очевидно, что формула (В.9) является приближенной, так как она учи-
учитывает только энергию, связанную с поступательным движением молекул,
и не учитывает информацию об обмене энергией между поступательными
и вращательными степенями свободы для многоатомных молекул.
Отметим, что для многоатомных молекул равнораспределение энергии
между вращательными и поступательными степенями происходит доволь-
довольно быстро. Передача энергии на колебательные степени свободы, число
которых зависит от структуры молекул, как правило сильно запаздывает.
Такое запаздывание можно приближенно описать с помощью релаксацион-
релаксационного уравнения:
где ей — энергия к-ш степени свободы молекулы, соответствующая к-ш
форме ее собственных колебаний; ёк — равновесное (установившееся)
значение этой энергии; т^ — время релаксации.
В. 1. .Газ и жидкость 11
Для поступательных степеней свободы Дж. Максвеллом была предло-
предложена формула
которая для воздуха при Т = 273 К и rj = 0,172 • 10™2 Н • с/м2 дает значе-
значение тп = 1,7-10™1Ос.
В отличие от идеального для реального газа силы межмолекулярно-
межмолекулярного взаимодействия существенны. Для описания свойств реального газа
применяют различные уравнения состояния, отличающиеся от уравнения
Клапейрона-Менделеева. Одним из таких уравнений является уравнение
Ван-дер-Ваальса:
/ \ ,
-- КГ, (В.11)
где a/VJf —внутреннее давление, обусловленное силами притяжения меж-
между молекулами; Ъ — поправка на собственный объем молекул, учитывающая
2
действие сил отталкивания между молекулами, Ь = - 7rd3N. Величина а
о
определена формулой
оо
а = -2ttN2 f Wn(x)x2 dx,
d
где Wn ^0 — потенциальная энергия притяжения двух молекул.
Среди сил межмолекулярного взаимодействия различают силы притя-
притяжения и отталкивания, имеющие электрическую природу. Силы притя-
притяжения, проявляющиеся на расстоянии г « 1G~9 м, между центрами масс
молекул называют ван-дер-ваальсовыми силами. Они являются причиной
поправки на внутреннее давление в уравнении (В Л1). Различают три вида
ван-дер-ваальсовых сил:
- ориентационные силы между двумя молекулами, обладающими ди-
польным моментом или моментами более высоких порядков; они ~ г~7
и зависят от взаимной угловой ориентации электрических моментов. Для
двух диполей с электрическим моментом Ре усредненная по всем ориента-
циям диполей сила
j* е ,
Jop ~ ^^k?7?J
- индукционные силы, вызванные индуцированной поляризацией мо-
молекулы, находящейся в электрическом поле другой молекулы. Усредненная
по всем ориентациям диполя сила
/инд = -е
Г1
где а — поляризуемость молекулы; Ре = аЕ — дипольный момент
молекулы, индуцированный электрическим полем напряженности Е;
12 Введение. Элементы физической механики
- дисперсионные силы, действующие между неполярными молеку-
молекулами. Поскольку в атомах и молекулах электроны движутся сложным
образом, то в среднем по времени дипольные моменты неполярных молекул
равны нулю, однако их мгновенные значения могут быть отличны от нуля.
Мгновенный диполь создает электрическое поле, поляризующее соседние
молекулы, и вследствие этого возникает взаимодействие соседних молекул.
Энергия взаимодействия неполярных молекул есть средний результат вза-
взаимодействия таких мгновенных диполей. Сила притяжения между двумя
молекулами в этом случае
, _ _9 2rJ_
/дисп — OL 1 ,
2 г1
где / — потенциал ионизации атома или молекулы, который характеризует
прочность связи электрона в атоме или молекуле.
На расстояниях г ^ 10™1Ом между центрами молекул возникает кванто-
квантовое обменное взаимодействие между нейтральными атомами, приводящее
или к сильному притяжению с образованием химической связи, или к
возникновению значительных сил отталкивания.
Силы отталкивания убывают с увеличением расстояния между центра-
центрами молекул по закону
гп
где п ^ 9, т. е. значительно быстрее, чем силы притяжения. Область
пространства, в которой существенно проявляются силы взаимодействия
данной молекулы с другими частицами, называют сферой ее молекулярного
действия.
Очевидно, что явления вязкости и теплопроводности в реальных га-
газах достаточно сложны. Однако можно ожидать, что перераспределение
импульсов и энергии между различными степенями свободы молекул
реального газа будут подчиняться уравнению типа (В. 10).
Жидкостью называют агрегатное состояние вещества, промежуточное
между газообразным и твердым. Жидкость сохраняет свой объем, образует
поверхность раздела фаз и обладает некоторой прочностью при растяжении.
Расстояние между молекулами жидкости существенно меньше, чем у газа,
поэтому небольшое изменение этого расстояния приводит к появлению зна-
значительных сил межмолекулярного отталкивания. Последним и обусловлена
малая сжимаемость жидкости. Обычные жидкости изотропны, за исключе-
исключением жидких кристаллов, анизотропия которых связана с преобладанием у
них в микрообъемах определенной ориентации молекул.
В жидкостях существует ближний порядок — упорядоченное отно-
относительное расположение соседних частиц жидкости внутри малых ее
объемов. Молекулы жидкости совершают тепловые колебания около поло-
положений равновесия со средней частотой 1/то, близкой к частотам колебаний
атомов в кристаллах, и амплитудой, определяемой объемом, предоставля-
предоставляемым молекуле ее соседями. По истечении времени т ^> tq эти положения
равновесия смещаются на расстояния «10™10 м. Среднее (по совокупности
В.2. Твердое кристаллическое тело
13
большого числа молекул) время т называют временем релаксации. Оно
является характерным временем, связанным с перемещением частиц
жидкости на расстояния «10~10 м. Эти хаотические перемещения соверша-
совершаются не непрерывно, а в виде активированных скачков с преодолением по-
потенциального барьера высотой ? (энергии активации). Продолжительность
т пребывания молекулы во временном положении равновесия уменьшается
с ростом температуры по закону
?
т ~ ехр —.
кТ
Действие внешних сил, стремящихся изменить форму жидкости и обу-
обусловливающих ее текучесть, связано с временем релаксации т. Если харак-
характерное время внешнего воздействия или его период малы по сравнению с т5
то частицы жидкости не успевают изменить своего положения и жидкость
не проявляет текучести. Если же это время велико по сравнению с т,
то за это время частицы много раз перемещаются из одного положения
равновесия в другое и эти перемещения, быстро следующие друг за другом,
проявляются в текучести жидкости.
В.2. Твердое кристаллическое тело. Твердым телом называют агре-
агрегатное состояние вещества, определяемое стабильностью формы и харак-
характером теплового движения атомов, которые совершают малые колебания
около положения равновесия. Различают кристаллические и аморфные
s^-.
A
кч #
1 /i
A i
\ %}
/ ^
Рис. В.З.
твердые тела. Для кристаллов характерна пространственная периодичность
в расположении равновесных состояний атомов. На рис. В.З представлены
некоторые типы кристаллических решеток: а) кубическая объемоцентри-
рованная; б) кубическая гранецентрированная; в) гексагональная плотно-
упакованная.
Отдельно взятое кристаллическое зерно в поликристаллическом твер-
твердом теле можно рассматривать как монокристалл с однородной по объему
и определенно ориентированной в пространстве кристаллической решет-
решеткой. Расположение атомов в узлах кристаллической решетки определяется
силами их взаимодействия. Природа этого взаимодействия объясняется
следующим образом. Внешние валентные электроны в атомах металлов
14
Введение. Элементы физической механики
сравнительно слабо связаны с ядром и свободно перемещаются в кристал-
кристаллической решетке, образуя так называемый электронный газ. Атомы ме-
металла при этом превращаются в положительно заряженные ионы, которые
взаимодействуют друг с другом и электронным газом. В ионных кристаллах
(NaCl, KC1 и др.) основные силы притяжения, действующие между иона-
ионами, — электростатические. В кристаллах с ковалентной связью (алмаз,
Ge, Si) валентные электроны соседних атомов обобществлены, кристалл
представляет собой как бы огромную молекулу. Молекулы в молекулярных
кристаллах (кристаллах органических соединений) связаны между собой
слабыми электростатическими силами (ван-дер-ваальсовы силы), обуслов-
обусловленными динамической поляризацией молекул. И, наконец, в кристаллах
с водородными связями каждый атом водорода связан силами притяжения
одновременно с двумя другими атомами. Заметим, что классификация по
типам связи условна, во многих кристаллических веществах наблюдается
комбинация различных типов связи.
С уменьшением расстояния между ионами увеличивается плотность
электронного газа, который "стягивает" ионы между собой. Однако одно-
одновременно возрастают и силы отталкивания, которые более резко изменя-
изменяются в зависимости от расстояния между ионами. Расположение ионов
становится устойчивым, когда силы притяжения уравновешены силами
отталкивания, а суммарная энергия
взаимодействия минимальна.
Тепловое и механическое воздей-
воздействия на тело приводят к изменению
расстояний между ионами и к дефор-
деформации кристаллической решетки. Так
как ионы в решетке взаимодействуют,
главным образом, со своими ближай-
ближайшими соседями, для выяснения вли-
влияния этих воздействий с качествен-
качественной стороны достаточно рассмотреть
поведение лишь одной пары ионов
в линейной цепочке.
Энергия взаимодействия W пары
ионов складывается из потенциаль-
потенциальной энергии М^2 > 0 сил отталкива-
отталкивания и потенциальной энергии W\ < 0 сил притяжения (рис. В.4). Энергия
W\, как и сами силы притяжения, меняется с расстоянием г между ионами
менее резко, чем энергия Wi. Поэтому суммарная энергия взаимодействия
W = W\ + W2 при изменении г достигает минимального значения Wo <
< 0. Оно соответствует расстоянию го, на котором суммарная сила взаимо-
взаимодействия / = dW/dr равна нулю. Величина г0 характеризует расстояние
между ионами в линейной цепочке при отсутствии внешних, воздействий,
a Wo — энергию, необходимую для разрушения этой цепочки.
-Wo--/--]-
В.2. Твердое кристаллическое тело 15
При механическом воздействии (растяжении или сжатии цепочки)
внешняя сила и отклонение Аг = г — го иона от положения равновесия
связаны нелинейной зависимостью. Вследствие асимметрии кривой W(r)
относительно точки г = г о жесткость С = df/dr связи между ионами
уменьшается при растяжении и возрастает при сжатии цепочки. Это соот-
соответствует аналогичному изменению модулей упругости кристаллического
твердого тела.
При повышении температуры Т увеличивается энергия AWt теплового
возбуждения ионов и амплитуда их колебаний относительно положения рав-
равновесия. При гармонических колебаниях среднее положение иона в решетке
не зависело бы от температуры. Однако вследствие асимметрии кривой W(r)
колебания ионов ангармоничны и отклонения от положения равновесия г =
= го неодинаковы (Аг1 > | Аг" |). Поэтому среднее расстояние f между иона-
ионами увеличивается, что приводит к температурному расширению кристалличе-
кристаллического тела. Жесткость рассматриваемой линейной цепочки CV = df/dr\r=fi
соответствующая среднему расстоянию г, уменьшается с повышением тем™
пературы, в связи с чем уменьшаются модули упругости материала.
Для количественной оценки влияния теплового и механического воз-
воздействий на одномерную модель материала в виде линейной цепочки ионов
используют методы классической статистической физики. Они применимы
к большинству металлов при температурах, начиная с нормальной и выше,
а точнее — при Т > #о, где 9® — характеристическая температура
Дебая (#о = Ни^/к, где Л « 1,054 • 10~34 Дж • с — постоянная Планка,
uj) = а(б7т2п)г/3 — предельная частота упругих колебаний кристалличе-
кристаллической решетки, а — усредненная скорость звука в твердом теле, п — число
атомов в единице объема). Эта температура достаточна для возбуждения
почти всех возможных колебаний ионов в кристаллической решетке, если
справедлив закон Дюлонга^Пти для приходящейся на один атом теплоем-
теплоемкости с'у = Зк при постоянном объеме.
Воспользовавшись формулой усреднения, получим
оо
\ Агф(Аг)йАг
ф(Аг)ёАг
где ф(Аг) = A* ехр(—W*(Ar)/(fcT)) — функция распределения Больц-
мана частиц по уровням энергии, зависящим от текущего отклонения Аг =
= г — го, ^4* — коэффициент пропорциональности.
Энергию W*(Ar) целесообразно отсчитывать от значения —Wo при
г = го • В нее войдет работа внешней силы /i Ar, взятая с обратным знаком,
и энергия взаимодействия, которую представим в виде ряда:
AW = W + Wo = — (АгJ - 7о^(АгK + ..., (В.13)
2 тп
16 Введение. Элементы физической механики
где Со =
d2w
дг2
7о-
Со 1 d3W
, ограничившись в нем сла-
г=г0
6 дг3
гаемыми до (АгK включительно. Энергию теплового возбуждения AWt
можно не вводить в выражение для W7*, так как она не зависит от Аг
и не повлияет на результат усреднения по формуле (В. 12).
В итоге получим
W*(Ar) = -f±Ar + ^(АгJ - 7о —(АгK
2 го
и вместо (В. 12) запишем
Af =
?Г
Вероятность достижения уровней энергии, соответствующих большим
значениям Аг, ничтожна, а для малых А г функцию /з(Аг) можно прибли-
приближенно представить первыми двумя слагаемыми разложения в ряд:
гокТ гокТ
Тогда интегралы можно свести к табличным и получить
Af = A + 67o/i/(roCo))/i/Co + C + (ff/(kTCo)JhokT/(roCo)
При отсутствии внешней силы (Д = 0) Ar = 3jokT'/(гоСо), что поз-
позволяет записать выражение для температурного коэффициента линейного
расширения:
(т) 1 дАг
«п = —
П) дТ /i=0 ro2Co v 7
Для большинства металлов он имеет порядок 105 К, а7о = 1,5 -™- 2,5.
При отсутствии теплового воздействия (Т —»¦ 0) предельным переходом
из соотношения (В. 14) для деформации цепочки атомов (ионов) найдем
бо = Af/го = ДДгоСо). В случае изотермического сжатия кристалла
с кубической решеткой гидростатическим давлением р внешняя сила,
действующая на каждую линейную цепочку, Д = —рг^, а относительное
изменение объема кристалла при малых деформациях AV/V = З^о =
= —Зрго/Со. Тогда изотермический модуль всестороннего сжатия Ко =
= —p/(AV/V) = GoCro) и вместо равенства (В. 15) получим
Таким образом, Со и 7о можно выразить через макроскопические характе-
ристики материала Ко и а0 }.
В.2. Твердое кристаллическое тело 17
Представим Д через условное напряжение а = /l/fg в цепочке и при™
ведем зависимость (В. 14) с учетом выражения (В. 16) и выражения для К®
к виду
?= Аг = A + 27оа/Ко)а/(Шо) + а<г)ГA + Gост2/(Жо24ТJУ)J/27)
^о 1 + 7о(ст/^о)A + Ы/9)(а/К0)У(а(Рт))
(В.17)
При сг ^ 0 из соотношения (В.17) следует, что температурный коэффициент
линейного расширения
х , , |
а(т) _ де _ (Т) Ко (аСПТ) (аог)?У
Зависимость а^ от Т довольно слабая, так как величины а/К® и а$ Т
одного порядка AСГ3 -^ 10~2M но с ростом температуры Г коэффициент
а^ несколько возрастает. В линейном приближении с учетом того, что
\а\/К0 « 1, а значит, и (|<т|/^оJ/(«оТ)Г) « 1 и (\а\/К0M/(а(рТJ «
<С 1, из соотношения (В.18) следует «q « «q (I — joa/K®), т.е. при
растяжении сг ' уменьшается, а при сжатии — возрастает. Однако это
влияние при \а\/К® < 10™2 невелико, что позволяет в большинстве случаев
рассматривать температурную деформацию е^ = а^Т независимо от
силовой деформации.
Величина, обратная производной де/да, характеризует относительное
изменение жесткости кристаллического твердого тела. Дифференцируя
соотношение (В.17), получим
К
К0
1+70
откуда в линейном приближении
К 27o<J о {Т)гг
К-о=1-1^-^а° Т-
Таким образом, жесткость материала уменьшается при растяжении и уве-
увеличивается при сжатии, но абсолютное изменение модуля всестороннего
сжатия АК = К — К® = —2j®a довольно мало по сравнению с К®.
Для большинства металлов относительное изменение объема при на-
нагревании от Т = 0 до температуры плавления Тпл составляет Апл =
= Зад ^Т « E + 7) • 1СГ2, т. е. изменение К/К® во всем диапазоне 0 < Г <
< Тпл оценивается в A0 -г- 15) %. Однако модули сдвига /л и растяжения Е
18 Введение. Элементы физической механики
могут изменяться более существенно, так как с повышением температуры
изменяется коэффициент Пуассона i/, роль которого не может быть учтена
при рассмотрении взаимодействия ионов в линейной цепочке.
При растяжении цепочки ионов зависимость силы / от расстояния г
является немонотонной. Без учета теплового воздействия из соотношения
(В. 13) следует
, dW 8AW п А Q п (АгJ п Л Q Ar\ Аг
f = — = -—^ = С0Аг - 37оСо^^ = Сого 1 - З70— —
or or го \ го J го
(В.19)
Аг'
п (л а
= Со 1 - б7о
дАг \ го
т.е. деформации е* = г*/го — 1 = 1/F70) соответствует максимальное
значение /* = СоГо/A27о)- Условное напряжение, разрывающее цепочку
ионов, а* = /*/ro = Kq/Djq), т.е. примерно на порядок ниже значения
модуля всестороннего сжатия. Величина 3joAr/ro = ^7о^ — ^s/{2e^)
характеризует отклонение зависимости (В.19) от линейной. Закон Гука
будет выполняться с точностью до 0,01, если \е\ = | Ar|/r0 ^ 0,01/C7о) ^
«10^3.
Взаимодействие ионов в пространственной кристаллической решетке
более сложно, чем в линейной цепочке. В частности, именно простран-
пространственным взаимодействием ионов объясняется поперечное сужение мате-
материала при растяжении. Например, увеличение расстояния между ионами
в направлении растяжения для кубической решетки (см. рис. В.3,а и б)
приводит к возникновению сил притяжения не только между ионами
в линейных цепочках, но и между диагонально расположенными ионами.
Поэтому из условия равновесия каждого иона в поперечном направлении
должны возникнуть силы отталкивания, что возможно, когда ионы сближа-
сближаются в этом направлении, т. е. происходит поперечное сужение материала.
Строгий расчет пространственного взаимодействия ионов в кристалли-
кристаллической решетке возможен в предположении, что силы их взаимодействия —
центральные, а колебания около положения равновесия — гармонические.
Первое означает, что силы притяжения и отталкивания между ионами
действуют по направлениям, соединяющим точки, которые соответствуют
положениям равновесия. Однако для металлов это предположение является
довольно грубым. Поэтому результаты расчета часто не отвечают экспери-
экспериментальным данным.
Учет ангармонизма колебаний ионов и отклонения от центральности
действия сил приводит к лучшему согласию между теорией и эксперимен-
экспериментом, однако теория существенно усложняется. Практически более целе-
целесообразным для описания упругого поведения кристаллического твердого
тела при механическом воздействии является экспериментальное определе-
определение совокупности необходимых характеристик. Реакцию кристаллического
материала на тепловые воздействия также можно описать с помощью
В.2. Твердое кристаллическое тело 19
экспериментально найденных удельной теплоемкости, температурного ко-
коэффициента линейного расширения и теплопроводности.
Представления о том, что ионы в кристаллической решетке занимают
строго фиксированные положения, являются идеализированными. Такая
идеализация не мешает рассматривать свойства кристаллических тел при
сравнительно низких напряжениях и температурах, когда тела упруги.
Однако с ростом температуры и напряжений необходимо учитывать на-
наличие искажений в решетке реальных кристаллов. Существуют стати-
статические искажения кристаллической решетки в виде точечных дефектов,
дислокаций и искажений в зоне границ между кристаллическими зернами
в поликристаллическом теле. Рассмотрим кратко особенности точечных
дефектов и дислокаций, так как они играют важную роль при объяснении
микромеханизма деформирования кристаллов.
Простейшими типами точечных дефектов являются те дефекты, ко-
которые возникают в кристалле при переходе атома из узла решетки на
внешнюю поверхность при замещении атома основного типа атомом дру-
другого типа либо при внедрении избыточного атома (того же или другого
f 3 \
о о о ob о о о|о oio о
О О О СЮ О О Q1O#O О
1 goooooogoooo
бооооооооооо,
о о о о о о о о о о оо
оооооооооооо
ргсю ооооооооо
elojo ооооооооо
о 6 оЦо)о о о оЦЦо
о о о ото о о о о ою о
Рис. В.5.
типа) в положение, не являющееся обычным узлом решетки. Дефекты,
возникающие при таких операциях, называют соответственно вакансией,
замещенным атомом и межузельным атомом. Их можно рассматривать
как одиночные точечные дефекты в отличие от сложных дефектов или
комплексов дефектов, которые могут образоваться при объединении двух
или более элементарных дефектов. Некоторые из возможных дефектов
схематически представлены на рис. В.5: 1 — одиночная вакансия; 2 и 3 —
два различных типа внедрения собственных атомов; 4 — атом замещения;
5 — примесный атом внедрения; 6 — пара соседних атомов замещения;
7 — пара вакансия-межузельный атом; 8 — пара вакансий (дивакансия).
20 Введение. Элементы физической механики
В кристаллических твердых телах, состоящих из атомов двух или более
сортов, основные типы точечных дефектов определяются такими фактора-
факторами, как существование подрешеток атомов различных сортов и возможные
требования стехиометрии и электрической нейтральности.
Введение точечного дефекта в кристалл создает локальные упругие
искажения. В результате этих искажений дефект будет взаимодействовать
с однородным полем напряжений, приложенных к кристаллу. Такое вза-
взаимодействие аналогично взаимодействию электрического диполя с внеш-
внешним приложенным электрическим полем. В соответствии с этим дефект,
который создает локальные искажения, называют упругим диполем. В то
время как электрический диполь характеризуется векторной величиной —
дипольным моментом Ре, упругий диполь характеризуют тензором второго
ранга, поскольку он взаимодействует с тензорным полем напряжений.
Изменение компонентов тензора деформации кристалла при введении
дефектов определяют уравнением
nd
р=1
где efj, e®j — компоненты тензора деформации кристалла с дефектами
и без них (i, j = 1, 2,3); р — индекс, обозначающий одну из возможных
rid эквивалентных ориентации дефекта; Ср — молярная доля дефектов
с ориентацией р. Соотношения (В.20) задают характеризующий упругий
диполь тензор второго ранга с компонентами
и, следовательно, fif- — компоненты тензора деформации, приходящейся на
единичную молярную долю дефектов, имеющих одну и ту же ориентацию р.
Кинетическое уравнение для определения Ср, описывающее обуслов-
обусловленные точечными дефектами релаксационные эффекты, имеет вид
где Vpq — вероятность перехода упругого диполя из ориентации р в ориента-
ориентацию q за единицу времени (р, q = 1,..., п^), Со — общая молярная концен-
концентрация дефектов, щ — число независимых тензоров с компонентами jjl\j ; щ
зависит только от типа кристаллической решетки и симметрии дефекта (щ =
= 1,2,3,4,6,8,12,24). Отметим, что vvq образуют матрицу, собственные
числа которой отрицательны, а величины, обратно пропорциональные этим
собственным числам и взятые с обратным знаком, называют временами
релаксации т'г. Следовательно, уравнения (В.21) можно записать иначе:
^ = -L(C'r-C'r), (B.22)
t
В.2. Твердое кристаллическое тело
21
причем С'г — "нормальные координаты" концентрации, представляющие
собой линейную комбинацию Ср.
В отличие от точечных дефектов дислокации являются линейными де-
дефектами (искажения кристаллической решетки располагаются вдоль неко-
некоторой пространственной линии). Рассмотрим основные характеристики
дислокаций на примере простой кубической кристаллической решетки.
Возникновение дислокации можно представить как результат частич-
частичного сдвига в кристаллической решетке, причем различают краевую и вин-
винтовую дислокации (рис. В.6, а и б). Смещение слоев атомов вдали от
искажения кристаллической решетки характеризуют вектором Бюргерса Ь.
В случае простой кубической решетки модуль Ъ = |Ь| вектора Бюргерса
Рис. В.6.
краевой дислокации с одним лишним атомным слоем (рис. В.6 а) равен
одному шагу решетки, а для винтовой дислокации |Ь| равен шагу винтовой
ломаной, которая образуется, если проследить за расположением атомов
в зоне искажения (рис. В.6, в). В общем случае дислокации могут иметь
смешанную ориентацию с краевым и винтовым компонентами. Дислокации
возникают при кристаллизации материала и в процессе его неупругого
деформирования.
Лишний слой атомов в зоне краевой дислокации искажает кристалли-
кристаллическую решетку и вызывает поле внутренних напряжений. Вблизи кромки
этого слоя (ядра дислокации) искажения решетки настолько велики, что
расположение атомов можно рассчитать только с учетом их энергии взаи-
взаимодействия. В области за пределами нескольких межатомных расстояний
от ядра дислокации поле напряжений можно определить методами теории
упругости.
Как и точечные дефекты, дислокации могут перемещаться в объеме
кристалла. Вдоль лишнего слоя атомов краевая дислокация перемещается
лишь благодаря диффузии вакансий и внедренных атомов. В зону сжатия
преимущественно попадают вакансии, а в зону растяжения — внедрен-
внедренные атомы, которые "пристраиваются" к кромке лишнего атомного слоя.
Процесс диффузии протекает во времени, и краевая дислокация как бы
переползает из одной плоскости частичного сдвига кристалла в другую.
22 Введение. Элементы физической механики
Винтовая дислокация также способна двигаться, но в направлении,
перпендикулярном к ее оси, при наличии проекции на эту ось внешнего
касательного напряжения т (см. рис. В.6, б). Две параллельные винтовые
дислокации одинаковых знаков (с одинаково направленными векторами
Бюргерса) отталкиваются, а обратных знаков — притягиваются, что напо-
напоминает взаимодействие проводников с электрическим током. При слиянии
двух дислокаций противоположных знаков искажения кристаллической
решетки исчезают и потенциальная энергия кристалла уменьшается, а для
слияния винтовых дислокаций одинаковых знаков необходимо произвести
работу против сил отталкивания, равную разности энергий объединенной
дислокации с модулем вектора Бюргерса 2Ь и двух исходных дислокаций:
/iBbJ — 2fib2 = 2/ib2, где /л — модуль сдвига. Аналогичный вывод
справедлив и для краевых дислокаций, расположенных в одной плоскости
скольжения.
Теплопроводность твердых тел в зависимости от типа твердого тела
имеет различную природу. В диэлектриках, не имеющих свободных элек-
электрических зарядов, перенос энергии теплового движения осуществляется
фононами. Фононы представляют собой квазичастицы (элементарные воз-
возбуждения конденсированной среды, ведущие себя в некоторых отношениях
как квантовые частицы), сопоставляемые волне смещений атомов (ионов)
и молекул кристалла из положений равновесия. Энергию фонона Е и
квазиимпульс р определяют равенства
где и — частота колебаний атома, к — квазиволновый вектор. Число теп-
тепловых фононов тем больше, чем выше температура Т. Теплоемкость кри-
кристаллической решетки практически совпадает с теплоемкостью фононного
газа, а теплопроводность кристалла можно описать как теплопроводность
фононного газа.
Фононы взаимодействуют друг с другом, с другими квазичастицами
(электронами проводимости, магнонами и др.), а также с дефектами кри-
кристаллической решетки. Скорость изменения числа фононов М(ш(к)) при
столкновениях можно считать функцией отклонения числа фононов от
равновесного, т. е. функцией п(и(к.)):
dN_ _ _^
Ik ~ Тп
где n(w(h)) — неравновесная добавка к функции распределения фононов
N(w(Il)), тп = тп(ш(к)) — время релаксации.
Если в кристалле существует направленный поток фононов, то этому
потоку можно поставить в соответствие волновой вектор (вектор плотности
распределения фононов). Тогда возбуждения, возникающие в фононном
газе вследствие локального изменения энергии или температуры, могут
переноситься в другие места кристалла такими потоками, что приводит
к появлению гармонических, температурных волн, аналогичных упругим
волнам в газе или кристалле.
В.З. Твердое аморфное тело 23
В металлах имеются два независимых способа передачи теплоты:
свободными электронами и тепловыми колебаниями решетки. Механизм
передачи теплоты колебаниями решетки аналогичен фотонному механизму
передачи теплоты в диэлектриках. Отметим, что для металлов количество
теплоты, передаваемое свободными электронами, значительно превосходит
количество теплоты, передаваемое тепловыми колебаниями решетки.
Процесс передачи теплоты в полупроводниках существенно сложнее,
чем в диэлектриках, так как на него существенно влияют примеси, би-
биполярная диффузия (диффузия пары электрон-дырка) и связанная с ней
биполярная теплопроводность, а также дополнительный перенос энергии
электромагнитным излучением (фотонами) и некоторые другие механизмы.
Отметим, что общим для процессов переноса массы, количества дви-
движения и энергии является их немгновенный характер. Переход от одного
равновесного состояния на микроуровне к другому протекает во времени
с характерным для каждого процесса временем релаксации.
В.З. Твердое аморфное тело. Аморфным называют твердое состо-
состояние вещества, характеризуемое изотропией свойств и отсутствием точки
плавления. При повышении температуры аморфное вещество размягчается
и переходит в жидкое состояние постепенно. Эти особенности обусловлены
отсутствием у вещества в аморфном состоянии строгой периодичности,
присущей кристаллам, в расположении атомов, ионов, молекул и их групп
на протяжении сотен и тысяч периодов. В то же время у вещества
в аморфном состоянии существует согласованность в расположении со-
соседних частиц (ближний порядок). С увеличением расстояния эта согла-
согласованность исчезает и на больших расстояниях порядок "размывается",
переходя в "беспорядок". Ближний порядок характерен и для жидкостей,
но в жидкости происходит интенсивный обмен местами соседними ча-
частицами, затрудняющийся по мере возрастания вязкости. Поэтому твердое
тело в аморфном состоянии можно рассматривать как переохлажденную
жидкость с очень большой вязкостью.
Типичными представителями аморфных веществ являются полимеры
(поли — много, мерос — часть). Основными в структуре полимеров ока-
оказываются размеры и периодическое строение молекул. Линейные цепные
макромолекулы наиболее характерны для полимерного состояния. К ним
примыкают умеренно разветвленные и умеренно сшитые (типа резин)
системы, где цепочечная индивидуальность ветвей или участков между
узлами сетки в достаточной мере сохраняется. В линейных полимерах
макромолекулы представляют собой цепочечные последовательности по-
повторяющихся звеньев, число которых настолько велико, что уже саму
молекулу необходимо рассматривать как статистический ансамбль.
Макромолекулы полимеров конкретного химического состава и строе-
строения имеют вполне определенное пространственное расположение — кон-
конфигурацию. Изменение такого пространственного расположения (переход
от одной конфигурации к другой) возможно только при разрыве химических
24 Введение. Элементы физической механики
связей. Число способов упаковки макромолекулы в полимерном теле весьма
велико и физические свойства этого тела зависят от того, каким образом
оно было собрано из макромолекул.
При внешних тепловых и силовых воздействиях структура полимерного
тела меняется путем серии элементарных движений отдельных участков
макромолекул, приводящих к изменению их внешней формы. Растянутая за
концы и затем предоставленная самой себе макромолекула за некотрое вре-
время т, называемое временем структурной релаксации, приобретает наиболее
вероятную форму клубка. Растянуть клубок мгновенно также невозможно,
на это требуется время того же порядка т. В результате взаимодействия
смежных звеньев разных цепей их подвижность уменьшается, т. е. время т
увеличивается. Из-за цепного характера макромолекул и их возможности
конденсироваться в полимерное тело в различных пространственных фор-
формах фактор времени при отклике полимерной системы на любое внешнее
воздействие играет важнейшую роль.
Определив конфигурации и внешние формы макромолекул, необходимо
рассмотреть их взаимосвязи. Наличие множества уровней конфигураций
и внешних форм предполагает некоторую независимость движений отдель-
отдельных радикалов, повторяющихся звеньев, групп звеньев и более крупных
структурных единиц. Когда цепочка под действием тепловых и силовых
внешних факторов начинает изменять свою форму, разным элементарным
движениям соответствуют различные времена Т{. Так, для поворота боковой
группы вокруг связи, посредством которой она присоединена к главной
цепи, требуется некоторое минимальное время т\; для поворота одного
звена относительно другого — другое время, Т2] для согласованного по-
поворота двух звеньев — большее время, тз и т. д. Все эти времена можно
рассматривать как средние времена жизни соответствующих элементов
структуры в определенной форме. Такие элементы структуры называют
релаксаторами, а соответствующие времена жизни т\ — временами ре-
релаксации. Времена жизни индивидуальных релаксаторов определяют по
формуле Больцмана:
Т{ = В{ ехр —,
где 8>i — энергия активации i-то релаксационного процесса, определяющая
порог чувствительности релаксатора по отношению к внешнему механиче-
механическому воздействию; Bi — пре дэкспоненциальный множитель. Естественно,
что с изменением температуры весь релаксационный спектр смещается
и деформируется. Характерные времена релаксации для различных про-
процессов в линейных полимерах могут лежать в диапазоне величин от 10~7
до 109 с, энергия активации — 30 -г-125 кДж/моль, а предэкспоненциальный
множитель Bi — 10™13 -г- 10~5 с.
Полимеры могут находиться в четырех основных состояних — кри-
кристаллическом, стеклообразном, высокоэластичном и вязкотекучем. Однако
необходимо отметить, что кристаллические полимеры в действительности
В.З. Твердое аморфное тело
25
п
никогда полностью не закристаллизованы и содержат часть некристал-
некристаллической фазы. С каждым из состояний связан определенный комплекс
физических свойств. Физические состояния и границы их существования
можно изучать структурными методами, но чаще всего их определяют по
изменениям свойств полимеров, которые очень чувствительны к структур-
структурным изменениям и релаксационным переходам.
На рис. В.7 приведены три типа кривых зависимости деформации е
от абсолютной температуры Т для некристаллического линейного (i), кри-
кристаллического B) и макросетчатого (8) полимеров. Римские цифры I, II и III
соответствуют зонам стеклообразного, высокоэластичного и вязкотекучего
состояний. Данные кривые могут быть получены при нагревании с заданной
скоростью нагруженного образца полимера. Действующая нагрузка должна
быть постоянной и достаточно
малой по абсолютной величине,
чтобы в полимере не возникали I
вызванные этой нагрузкой изме-
изменения структуры.
При низких температурах все
полимеры деформируются так
же, как и обычные твердые упру-
упругие тела. Если линейный поли-
полимер не кристаллизуется, то де-
деформация с ростом температу-
температуры изменяется по кривой типа 1.
Выше температуры стеклования
Тс проявляется высокоэластичная
деформация, а затем, выше температуры текучести Тт, начинается вязкое
течение с накоплением необратимой деформации. Кривая 1 свидетельству-
свидетельствует о том, что полимер может находиться в трех состояниях: стеклообразном,
высокоэластичном и вязкотекучем. Каждому состоянию соответствует свой
тип деформации. В стеклообразном состоянии при малых напряжениях
можно наблюдать только упругую деформацию, при этом модуль упругости
Е = 0,2 + 5,0 ГПа. Такая деформация связана в первую очередь с изме-
изменением средних, межатомных и межмолекулярных расстояний в полимере.
При переходе через температуру стеклования к упругой деформации е^6'
добавляется обратимая высокоэластичная составляющая e^he^ полной де-
деформации, которая превосходит упругую составляющую на три порядка.
Выше температуры текучести наблюдается еще одна составляющая полной
деформации — вязкая е^К В общем случае эти составляющие полной
деформации играют различную роль при высоких и низких температурах.
Если линейный полимер находится в кристаллическом состоянии, то
ниже температуры плавления-кристаллизации Тк он находится в твердом
состоянии, но обладает различными модулями упругости ниже и выше
температуры стеклования Тс (кривая 2). Это связано с тем, что аморфная
часть полимера может находиться в различных состояниях. В тех случаях,
Рис. В.7.
26 Введение. Элементы физической механики
когда полимер закристаллизован слабо, он деформируется практически как
некристаллический полимер.
При температуре Тк кристаллическая часть полимера плавится и кри-
кривая 2 почти скачкообразно достигает кривой 1 на участке высокоэластич-
высокоэластичного состояния некристаллического полимера.
Если некристаллический полимер является макросетчатым, то для него
характерна кривая 8. Узлы сетки препятствуют относительному смещению
полимерных цепей. Поэтому при высоких температурах вязкого течения
не наступает и полимер "не замечает" температуры текучести Тт. Темпера-
Температурная область высокой эластичности расширяется и ее верхней границей
становится граница химического разложения полимера при температуре Тх.
Отметим, что проблемы изучения структуры и свойств полимеров на
микроуровне неразрывно связаны с механическими и теплофизическими
свойствами этих материалов, проявляемыми на макроуровне. Следователь-
Следовательно, процессы, происходящие в полимерах на микроуровне, необходимо
учитывать при построении феноменологических моделей их. поведения под
действием внешних тепловых и силовых факторов.
В.4. Основные гипотезы, предмет и методы термомеханики. Ме-
Механика все процессы в природе сводит к движению в пространстве. При
изучении этих процессов полагают, что поведение рассматриваемой си-
системы во времени может быть полностью определено набором координат
Xi(i) как функций времени и связь между координатами может быть
только функциональной. Если уравнения, фиксирующие эту связь, имеют
решения, т.е. позволяют ввести п независимых координат Xi(i), через
которые выражаются другие координаты, то систему называют голономной,
а число п — числом степеней свободы. Для голономных систем все степени
свободы независимы друг от друга.
Полагают, что для полного определения движения системы матери-
материальных точек кроме п значений координат Xi(t) в некоторый начальный
момент времени to достаточно знать еще только п значений скоростей
изменения координат Xi(to) = —- . В этом случае движение системы
dt t=to
полностью определено функцией координат и скоростей L(xj,Xj,t) —
функцией Лагранжа. Наряду со скоростями х\ для описания механических
систем используют импульсы pi (i), определяемые соотношениями
_
Pi —
Если перейти от переменных х\,Х{ к переменным х\,р\ с помощью
преобразования
В. 4. Основные гипотезы, предмет и методы термомеханики 27
то движение системы материальных точек можно описать с помощью
функции Гамильтона H(xj,pj,t)9 причем
dpi
Для одноатомного газа массой в один моль число степеней свободы при
нормальных давлении р « 0,1 МПа и температуре Т = 273 К составляет
п = SN, где N « 6,02 • 1023/моль — число Авогадро. Для двухатомных
газов п = 57V, так как к трем поступательным степеням свободы добав-
добавляются две вращательные вокруг ортогональных осей, лежащих в плоско-
плоскости, перпендикулярной отрезку, который соединяет центры масс молекул.
Очевидно, что решение системы п дифференциальных уравнений даже
в идеализированной постановке весьма проблематично.
В случае, когда процессы в рассматриваемой системе не сводятся к
движению в пространстве и не характеризуются только изменением зна-
значений координат Xi (t), они являются немеханическими. Если обратиться к
статистической физике, то оказывается, что далеко не все макроскопиче-
макроскопические величины имеют микроскопические аналоги, т. е. могут быть описаны
усреднением по ансамблю функции пространственных координат и им-
импульсов отдельной микросистемы. Не имеют микроскопических аналогов,
например, энтропия и свободная энергия, а также явления диффузии, вяз-
вязкости, теплопроводности и т. д. Теплота, хотя она в равновесном процессе
и равна усредненной по ансамблю кинетической энергии беспорядочного
движения молекул, также не имеет микроскопического аналога, по крайней
мере в тех случаях, когда существенно поведение системы на микроуровне.
Аналогичное утверждение относится и к температуре.
Развиваемый в физике статистический подход к изучению поведения
материальных сред связан с введением средних по большому ансамблю
частиц характеристик. Последнее приводит к необходимости введения
дополнительных гипотез о свойствах частиц, их взаимодействии и с
упрощением этих свойств и взаимодействий. Если же существенны еще
и немеханические процессы, то в настоящее время не существует даже
теоретической базы для построения таких методов.
Более общий подход к исследованию поведения материальных тел
заключается в построении феноменологической макроскопической тео-
теории, основанной на полученных опытным путем общих закономерностях
и гипотезах. Именно такой путь исследования закономерностей поведения
материальных тел мы и будем рассматривать.
Первая гипотеза, которую при этом необходимо ввести, заключается
в следующем. Несмотря на то что все тела состоят из отдельных частиц,
их очень много в любом существенном для нас объеме. Поэтому каждое
тело мы будем рассматривать как среду, заполняющую предоставленную
часть пространства сплошным образом. Такая идеализация позволяет при
изучении поведения материальных тел использовать аппарат дифференци-
дифференциального и интегрального исчисления.
28 Введение. Элементы физической механики
Вторая гипотеза определяет пространство, в котором рассматривается
материальное тело, как совокупность точек, задаваемых числами — ко-
координатами точек. В дальнейшем все интересующие нас явления будем
изучать в евклидовом пространстве — пространстве, в котором можно
ввести единую для всех точек декартову прямоугольную систему координат.
Кроме того, в этом же пространстве расстояние между двумя любыми
точками Аи. В (метрика) определяется по формуле
г = у/(х? ^ xfJ + (х? - х^У + (xf - xf).
Наконец, в соответствии с третьей гипотезой, мы будем использовать
абсолютное время. Это означает, что в дальнейшем мы не будем учитывать
эффекты теории относительности.
Таким образом, мы будем изучать поведение сплошной среды — кон-
континуума в евклидовом пространстве с использованием абсолютного време-
времени. При этом существенным для нас будет рассмотрение взаимодействия
полей деформации и температуры, изучением которого занимается термо-
термомеханика — область механики, базирующаяся на законах термодинамики
необратимых процессов и механики сплошной среды.
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕНЗОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Ортогональные тензоры. Механика сплошной
среды оперирует физическими величинами, которые не зависят от выбора
системы координат, применяемой для их описания. Математически эти
величины представляются тензорами и их удобно изучать в некоторой
выбранной системе координат. В дальнейшем в данном пункте мы
будем использовать декартову прямоугольную систему координат, что,
в принципе, не лишает общности закономерности исследуемых явлений,
однако существенно облегчает их представления.
Простейшим математическим объектом является скаляр, определяю-
определяющий физическую величину, задаваемую только ее численным значением
в любой системе координат (например, плотность, температура, работа,
энергия и т. д.).
Следующим по сложности математическим объектом является вектор,
который не только обладает численным значением, но и имеет направление.
Мы будем обозначать векторы полужирными прямыми латинскими или
греческими буквами: а, х, u, U, ши т. д. В проекциях на оси выбранной
прямоугольной декартовой системы координат вектор записывают в виде
г=1
где е^ (г = 1, 2,3) — орты (единичные направляющие векторы). В дальней-
дальнейшем при записи выражений, содержащих одинаковые индексы, знак суммы
будем опускать, полагая, что если в каком-либо выражении содержатся
одинаковые индексы, то по ним производится суммирование:
X = ХгЩ. A-2)
Рассмотрим две системы координат: "старую" Ох\х2х^ и "новую"
Ox'1xl2x3J получающуюся из первой преобразованием поворота. Если е[
и ej — орты, задающие направления осей Ох\ и Oxj (i,j = 1,2,3),
то косинусы углов между данными осями ац = е^ • е^ представляют
собой скалярные произведения (см. ниже) этих ортов. Вектор а может быть
задан проекциями а\ на оси новой и проекциями a,j на оси старой систем
координат и представлен разложением по ортам е[ и еj:
а = а[е[ + а'2е'2 + а'3е'3 = а^,
а =
Орты новой е^ и старой е^ систем координат связаны соотношениями
е[ = а^е^ ej=ajie'b A.4)
где ац — проекции е^ на ej, a aji — проекции ej на е[.
30 1. Основные понятия тензорного исчисления
Подстановка соотношений A.4) в A.3) дает закон преобразования про™
екций вектора при переходе от одной системы координат к другой:
а =
Отметим, что проекции вектора на оси выбранной системы координат не
являются скалярами, так как их величины зависят от ориентации системы
координат.
Напомним основные операции над векторами. Сложение векторов
подчиняется правилу параллелограмма, согласно которому сумма двух
векторов есть диагональ параллелограмма, смежными сторонами которого
являются слагаемые векторы, отложенные из одной точки,
щ + bi = Ci (г = 1,2,3), или а + b = с.
Разностью b — а двух векторов а и b называют такой вектор х, что
а + х = Ь.
Произведением вектора а на число А называют вектор Аа, коллине-
арный вектору а, с длиной |А||а|, однонаправленный с а при А > О
и противоположно направленный при А < 0. Умножение вектора на число 0
дает нулевой вектор 0.
Скалярным, произведением двух векторов а и b называют скаляр
А = а • b = b • а = |a||b| cos<9 = ab cos 9,
где 9 — наименьший угол между векторами.
Векторным произведением а на b называют вектор с, заданный форму-
формулой
с = а х b = ^b x a = (absinf9)n,
где 9 — угол между векторами аиЬ, меньший чем тг, а п — единичный век-
вектор, перпендикулярный к их плоскости и направленный так, что поворот по
правилу правой руки вокруг п на угол 9 переводит а в Ь. Модуль вектора с
численно равен площади параллелограмма со смежными сторонами а и Ь.
Последнее равенство в проекциях на оси выбранной системы координат
имеет вид
_ L 7 — 1 О Q
где eijk — символ Леви—Чивиты; е^к = 1, если индексы ijk образуют
четную перестановку 123, 312 или 231, ецк = — 1, если индексы образуют
нечетную перестановку 213, 132 или 321 и, наконец, ецк = 0, если среди
индексов есть одинаковые.
Смешанным, произведением называют скалярное произведение двух
векторов, один из которых сам является векторным произведением, т. е.
а • (Ь х с) = (а х Ь) • с = а • b x с = А.
Очевидно, что векторное умножение должно выполняться первым.
В проекциях на оси координат последнее равенство принимает вид
А = eijkaibjCk.
1.1. Ортогональные тензоры 31
Двойное векторное произведение — это векторное произведение двух
векторов, один из которых сам является векторным произведением:
а х (Ь х с) = (а • с)Ь - (а • b)c = w5
и результирующий вектор w лежит в плоскости векторов Ьис.
Для лучшего восприятия последующего материала напомним правило
умножения матрицы-столбца на матрицу-строку, известное из курса анали-
аналитической геометрии:
п! \
«2^2
\ ап
по
(h,b2,.
amb2
Результатом умножения будет прямоугольная матрица, имеющая т
строк и п столбцов. Если положить т = п = 3, то матрица будет квадратной
порядка 3.
Пусть мы имеем два вектора — а = щщ и b = bjej7 i,j = 1,
2, 3. Примем щ и bj за элементы матрицы-столбца и матрицы-строки
соответственно. Тогда произведение этих матриц
/ fli \ / aih агЪ2
а2 (bi,b2,b3)= «2^1 a2b2
\ о3 / \ ash a3b2 a3b2
Заметим, что Сц = aibj определены как произведения всех проекций
векторов а и b на оси выбранной декартовой прямоугольной системы коор-
координат и, следовательно, Сц будут различны при переходе преобразованием
поворота от одной системы координат к другой.
По аналогии с рассмотренной операцией умножения матрицы-столбца
на матрицу-строку введем операцию диадного умножения двух векторов:
а®Ь = С, A.6)
результатом которой будет тензор второго ранга С с компонентами Сц.
Операцию диадного умножения в A.6) записывают еще и иначе:
aibjBi 0 ej = djei 0 ej = С, A.7)
причем наличие в формуле A.7) сомножителя е^ 0 е^ подчеркивает связь
компонентов тензора второго ранга с выбранной системой координат. За-
Заметим, что ранг тензора определяется числом неодинаковых индексов при
записи компонентов этого тензора. Таким образом, скаляр и вектор можно
считать тензорами нулевого и первого ранга соответственно. Формулы A.6)
и A.7) представляют собой одно из определений тензора второго ранга.
Другое определение тензора второго ранга может быть сформулировано
на основе следующих соображений. Пусть щ и h — проекции векторов
а и b на оси выбранной системы координат соответственно, а Сц —
элементы квадратной матрицы порядка 3. Тогда, если для любого вектора а
32 1. Основные понятия тензорного исчисления
соотношения
Ьг = Qjttj
определяют проекции вектора b на оси той же системы координат, то
Cij являются компонентами тензора второго ранга С в принятой системе
координат. Операцию сопоставления вектору а вектора b иногда называют
умножением справа тензора на вектор.
Естественно, что при переходе от одной системы координат к другой
преобразованием поворота Сц должны подчиняться закону преобразова-
преобразования, обеспечивающему преобразование bi как проекций вектора, т. е. по
правилу из A.5) в предположении, что aj преобразуются по этому же
правилу. Очевидно, что
Ц = mjbj = aijCjkak, ак = otkma'm,
откуда следует
Ц = aijCjkakma'm = C'lma!m,
где
C'lm =aijGjkakm. A.8)
На основании сказанного тензор второго ранга можно определить как
математический объект, компоненты которого при преобразовании поворо-
поворота одной системы координат относительно другой будут соответствовать
соотношениям A.8).
Если в качестве сомножителей в диадном произведении A.6) приняты
орты е^ и еj, то в результате получим единичный тензор второго ранга:
I = SijBi 0е^,
компоненты которого Sij называют дельтой Кронекера; % = 1, если г =
= j, и S^ = 0, если г / j. С учетом сказанного, равенства A.4) дают
возможность получить известные соотношения между косинусами углов,
образованных осями новой и старой систем координат:
е- 0 e'j = aikajmek 0 ет = aikajk%
ек 0 em = akiamne[ 0 е'п = aknamnl.
Далее по аналогии можно ввести в рассмотрение и тензоры более
высоких рангов, а именно: величина С = С^2..лпен <8> е^2 ... (g) е^
определяет тензор п-го ранга, если его компоненты при повороте системы
координат подчиняются закону преобразования
JiJ2---jn = ^hi2---inajiiiaJ2i2 • • • ajnin • (-¦-•")
Если при записи компонентов тензора индекс употреблен дважды, то
подразумевают, что данный индекс принимает все значения из своего
интервала изменения и компоненты тензора, соответствующие каждому
значению индекса из такого набора, суммируются. В этом соглашении
о суммировании повторяющиеся индексы называют немыми, так как их
замена на любые другие буквы, не используемые в качестве свободных
1.1. Ортогональные тензоры 33
индексов, не изменяет значения компонента тензора, в который они входят.
В правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более
двух раз.
Тензоры одинакового ранга можно складывать (или вычитать) поком-
покомпонентно согласно правилу
сумма тензоров есть тензор того же ранга, что и слагаемые. Отметим, что
одинаковые индексы расположены в каждом слагаемом в одной и той же
последовательности.
Умножение всех компонентов тензора на скаляр дает новый тензор того
же ранга, т. е.
Вц... = \Ац..., или В = ЛА.
Если тензору А произвольного ранга п можно поставить в соответствие
квадратную матрицу А, то элементы обратной матрицы А~г (если она
существует) будут соответствовать компонентам тензора В. Тогда тензор
В называют обратным по отношению к тензору АиВ = А.
Внешним, произведением двух тензоров произвольных рангов называют
новый тензор, компоненты которого образованы умножением каждого ком-
компонента одного тензора на каждый компонент другого. Ранг полученного
тензора равен сумме рангов сомножителей:
или
^-iii2...ineii ® ei2 ® • • • ® GinBj1j2,,,jmej1 0 Cj2 0 . . . 0 ejm =
Свертыванием тензора по двум свободным индексам называют такую
операцию, когда два эти индекса обозначают одной и той же буквой, вслед-
вследствие чего они становятся индексами суммирования (немыми). В результате
свертывания получают тензор (свертку), ранг которого на две единицы
меньше, чем у исходного. Например, свертки тензора с компонентами
Тц: Тц = Тц + Т22 + Тзз и результаты диадного умножения двух векторов
ttibji aibi = а-[Ъ\ + а2Ь2 + аз^з будут скалярами, свертки тензора с
компонентами Еца^ — векторами: Еца^ = Ъ\, Ецщ = Cj, Ецак = dk
и далее, свертки тензора с компонентами Е^Е^т будут тензорами второго
Внутренним произведением, двух тензоров называют результат опера-
операции свертывания, примененной к их внешнему произведению. При этом
совпадающие индексы должны фигурировать по одному разу в каждом из
сомножителей. Например: а^ = d, или a • b = d; aiEik = fk, или a • E = f;
aiEji = hj, или E • a = h; Ец?^ = Hik, или E • F = H.
34 1. Основные понятия тензорного исчисления
Иногда используют свертки тензоров четвертого и более высокого
рангов по нескольким парам индексов. Так, свертка тензора четвертого
ранга с компонентами Нцкт — ^ijFkm будет скаляром с = EijFij, или
с = Е •• F, а свертка тензора шестого ранга с компонентами Ицытп =
= EijkiFmn будет тензором второго ранга с компонентами Оц = EijkiFku
или G = Е •• F, и т. д.
Если у компонентов некоторого тензора А переставить произвольным
образом один или несколько индексов, то полученные таким образом ком-
компоненты образуют новый тензор В, а эту операцию называют подстановкой
индексов. ^
Изменение порядка следования индексов у тензора второго ранга А
эквивалентно перемене местами строк и столбцов в соответствующей ему
матрице А (если она существует). Поэтому операцию симметрирования
тензора второго ранга А будем записывать следующим образом:
Вц = ±(Ац+Ал), или В = ±
где Ат — тензор, компоненты которого соответствуют элементам матрицы
АТ.
Операцию симметрирования обозначают взятием индексов, по которым
она производится, в круглые скобки, т. е.
Операцию симметрирования по трем индексам определяют следующим
образом:
S(ijk) = - (Sijk + ^kij + Sjki + Sjik + Skji + Sikj).
В общем случае операцию симметрирования по п индексам определяют
как
^hi2...in = ~\^hi2...in + *Ьгтег1...гта_1 +•••)•
Операцию альтернирования (или антисимметрирования, кососиммет-
кососимметрирования) тензора А по двум индексам обозначают взятием этих индексов
в угловые скобки и определяют следующим образом:
A(ij) = - (Aij — Aji) •
Аналогично определяют операцию альтернирования по п индексам
(п > 2):
^(hi2---in) = ~\^iii2---in + ^inii...in-i + • • • j ->
где в правой части в скобках стоит сумма п\/2 слагаемых со знаком плюс
с четными подстановками индексов г1г2...,гпип!/2 слагаемых со знаком
минус с нечетными подстановками этих индексов.
1.2. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 35
Рассмотрим объект третьего ранга Ацк, образованный следующим об-
разом: Aijk = oiipajqakrepqriTjiQepqr —символ Леви-Чивиты. Этот объект
обладает следующими свойствами: если среди индексов ijk хотя бы два
принимают одинаковые числовые значения, то соответствующие элементы
объекта Aijk равны нулю, так как Aikk = aipakqakrepqr = anaj2aj3 +
+ ai3ajiaj2 + «i2«j3«ji — «ii«j3«j2 — «i3«j2«ji — «i2«ji«j3 = 0; если
индексы ijk образуют четную перестановку чисел 1, 2 и 3, то элементы
А^к = det(apq); если ijk образуют нечетную перестановку чисел 1, 2 и 3,
то Ацк = — det(apg). Тогда на основании указанных свойств
где а = det(apq) и, следовательно,
pqr. A.10)
Поскольку формула A.10) установлена в одной системе координат, то
ецк и epqr — один и тот же объект. Следовательно, закон преобразования
A.9) не обеспечивает неизменности компонентов epqr во всех системах
координат. Для ее достижения необходимо принять закон преобразования
в виде
1
Этот закон преобразования отличается от тензорного наличием множи-
множителя I/a, поэтому всякий объект, закон преобразования которого отлича-
отличается от тензорного множителем (l/a)w, называют ортогональным псевдо-
псевдотензором., а целое число т > 0—весом псевдотензора. В тех случаях, когда
необходимо подчеркнуть различие между тензорами и псевдотензорами,
первые называют истинными тензорами. Отметим, что дельта Кронекера
Sij представляет собой компоненты истинного тензора, а символ Леви-
Чивиты, в соответствии с указанным выше, — псевдотензора.
1.2. Тензорные поли. Дифференцирование и интегрирование тен-
тензоров. Тензорное поле ставит в соответствие каждой точке пространства
и каждому моменту времени (х, t) тензор Т(х±, Х2, х%, t), где радиус-вектор
х меняется в заданной области пространства, at — в заданном интервале
времени. Тензорное поле называют непрерывно дифференцируемым, если
компоненты тензора Т(х± ^X21x3it) являются непрерывно дифференциру-
дифференцируемыми функциями х и t. Если компоненты тензора Т зависят только от х,
то тензорное поле называют стационарным..
В ортогональной декартовой системе координат, где радиус-вектор лю-
любой точки имеет вид A.2), поля тензоров различного ранга можно записать
в индексных и безындексных обозначениях. Например, скалярное поле ср =
= (p(xi, х2, х3, t), или (р = <р(х, t); векторное поле vi = v\ [x\, х2, х3, t), или
v = v(x,t); поле тензора второго ранга Тц = Tij{x\1X21x3itI или Т =
= Т(х,*)ит.д.
36 1. Основные понятия тензорного исчисления
Из математического анализа известны основные дифференциальные
операции над скалярными и векторными функциями. Так, градиент ска-
скалярной функции (скалярного поля)
1 / ,ч д(р дер д<р д(р
grad(^(x5t) = —^-ei + -^е2 + ^»е3 = -^е{,
дх\ 0X2 дхз oxi
или
grad^(x,i) = Х?ж(р = ei-—<p. A.11)
С/Ж«
п ,, „ _ д t д t д д
Дифференциальный оператор Vx = ei Ь е2 Ь ез = е^ —
дх\ 3x2 дхз dxi
в A.11) можно рассматривать как вектор с компонентами d/dxi, а про-
процедуру вычисления grad ip(x.,t) — как процедуру умножения вектора на
скаляр.
Следующая операция — вычисление дивергенции векторной функции:
divv(x^) = — + ^ + ^ = ^,
OXi 0X2 OX3 OXi
ИЛИ
divv(x,t) = Vx-v(x,t). A.12)
В выражениях A.12) операцию Vx • v(x,t) можно рассматривать как
операцию скалярного умножения вектора Vx = е^— на вектор и^.
дх{
Отметим, что
((х, t)v(x, t)) = (Vxy) • v + y?(Vx • v).
И, наконец, последняя из дифференциальных операций, известная из
теории поля, — вычисление ротора векторной функции:
w(x,t) = rotv(x,t) =
/ dv3 dv2 \ . (dvi dv3 \ . (dv2 dvi \ „
— el + e2 + ^з = Vx X V,
\дх2 дхз) \дхз дх\ J \dxi 8x2/
или
д
OXj
Рассмотренные простейшие дифференциальные операции можно обоб-
обобщить. Если мы имеем векторное поле v = v(x, ?), то градиент вектора
v(x, i) представляет собой тензор второго ранга — диадное произведение
вектора Vx на вектор v:
W(x, t) = Vx 0 v = ei7— 0 VjGj = -^-e.- 0 щ = Vxv.
dxi dxi
Градиент векторной функции v(x, i) также можно получить, образо-
образовав диадное произведение вектора v на вектор — дифференциальный
1.2. Тензорные поля. Дифференцирование и интегрирование тензоров 31
д
оператор еj :
U(x, ?) = v 0 Vx = ViGi 0 e7^— = -^~щ 0 e7 = vVx.
dxj dxj
Наиболее употребляемыми формами записи тензоров второго ранга —
градиентов векторной функции — являются
W = Vxv и U = vVx.
Их мы и будем использовать. Очевидно, что
U = WT.
Операцию вычисления градиента можно обобщить и на тензорное поле
Т = Т(х, t). В результате получим
R = \7ХТ и Q = TVX
— тензоры, ранг которых на единицу больше ранга тензора Т:
ИЛИ
R=
OXin
дхг1
h,i>2,... ,гп = 1,2,3.
Нахождение дивергенции поля тензора второго ранга W(x,t) =
= Wij ei 0 ej будем рассматривать как операцию вычисления внутреннего
произведения дифференциального оператора (вектора) Vx = е^^ на
тензор W. В результате получим вектор
ll(x,t) = Vx ' W = LGj, ИЛИ Uj(x.,t) = -.
d d
Если необходимо вычислить дивергенцию поля тензора T(x,t) про-
произвольного ранга, то результатом будет новый тензор, ранг которого на
единицу меньше ранга тензора Т:
Q(x,t) = Vx-T = ar^2-"wei20ei30...0eiw, гьг2,... ,гп = 1,2,3.
oxil
Напомним известные из математического анализа теоремы Стокса
и Остроградского-Гаусса. Первая утверждает, что для непрерывно диффе-
дифференцируемых однозначных векторных функций v(x, ?) в некотором объеме
пространства V и на поверхности S, ограничивающей этот объем (V —
38 1. Основные понятия тензорного исчисления
ограничен и пространственно односвязан, S — замкнута и регулярна),
справедливы следующие соотношения:
Г Г
rot v dV = Vx x v dV = n x v dS,
v v s
или
f &vk лт/ Г jo
eijk^—dV = eijkfijVkdt},
J dxj J
V s
Г Г
rot v • n dS = Vx x v • n dS = ш v • dx,
S S L
ИЛИ
^ijk ~Z T^i ™^ —
5 Xj L
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности S, натяну-
натянутой на контур L, а вектор dx, касательный к этому контуру, определяет
положительное направление контура L.
Теорема Остроградского-Гаусса утверждает, что для векторного поля
v(x,t)
d!vvdF= Vx-vdF = n-vdS, или —- dV = riiVidS. A.13)
J J J J дхъ J
v v s v s
Теорему Остроградского-Гаусса в форме A.13) можно обобщить на
поля тензоров любого ранга. Так, для произвольного тензорного поля
Т(х, t) = Tij...pei<8) 0ej 0 ... 0 ер теорема утверждает, что
div T dV= I Vx -T dv = f n-T dS, или [ OTtjfc- Л' = \ Tijk щ dS.
J J J dxi J
У У 5 у 5
Отметим, что теорема Остроградского-Гаусса широко используется
в механике сплошной среды.
2. ДВИЖЕНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ,
ТЕОРИИ ДЕФОРМАЦИИ
И НАПРЯЖЕНИЙ
2.1. Эйлеров и лагранжев способы описании движения
сплошной среды. При изучении движения сплошной среды используют
термин "точка", который может относиться как к точке пространства, так
и к точке сплошной среды. В дальнейшем слово "точка" будет применяться
только для обозначения места в неподвижном пространстве. Для обозначе-
обозначения малого элемента сплошной среды будем использовать слово "частица"
(или слова "материальная точка"). Таким образом, точка — место в про-
пространстве, а частица {материальная точка) — малая часть материального
континуума, т. е. непрерывно заполненного материей пространства.
В любой момент времени t объем V сплошной среды, ограниченный по-
поверхностью S, занимает некоторую область пространства. Если в заданной
системе координат в момент времени t установлено соответствие частиц
некоторого объема сплошной среды и точек пространства, то это означает,
что указана конфигурация сплошной среды. Непрерывный переход от
начальной, в момент времени to, конфигурации сплошной среды к некото-
некоторой последующей (актуальной), сопровождаемый изменением расстояний
между частицами объема сплошной среды, носит название процесса дефор-
деформации. При изучении процесса деформации учитывают только начальную
и конечную конфигурации. Промежуточные состояния, или последователь-
последовательность конфигураций, через которые происходит деформация, при этом
не рассматриваются. Используемый в дальнейшем термин течение служит
для обозначения непрерывного (или мгновенного) состояния движения
континуума. Изучение истории изменения конфигурации сплошной среды
является частью исследования течения, для которого задано переменное во
времени и в пространстве поле скоростей.
Предположим, что в начальный момент времени t = to частица сплош-
сплошной среды находится в точке Ро пространства, определяемой радиусом-
вектором а, который имеет проекции а/ (I = 1, 2,3) на оси прямоугольной
декартовой системы координат (рис. 2.1). Координаты «1,02,^3, опреде-
определяющие положение частицы сплошной среды в начальный момент вре-
времени, называют материальными. В деформированном состоянии частица
сплошной среды, находившаяся в начальный момент времени в точке Р®,
займет положение Р5 определяемое радиусом-вектором х с проекциями Xk
(к = 1, 2,3) на оси другой прямоугольной декартовой системы координат.
Координаты х\, ж 2, жз, задающие положение частицы в актуальной конфи-
конфигурации, называют пространственными (рис. 2.1).
Ориентация системы материальных осей Оа\а2&ъ относительно систе-
системы пространственных осей 0х\Х2Х% задается направляющими косинусами
40 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
as A t=to Жз к t=t
Рис. 2.1.
ajk и aki- Направляющие косинусы определяются как скалярные произве-
произведения единичных векторов принятых систем координат:
olm = otik = efe • jj = jj -ek. B.1)
Условия ортогональности осей пространственной и материальной си-
систем координат имеют вид
OtlkOtkM = OtklQ^Mk = $IMj OtiKOtKm = <^Ki^mK = Simj B.2)
где Sjm ^ Sim — компоненты единичного тензора (дельта Кронекера),
Sim = 1 (Sim = 1), если I = М (i = т), и Sim = 0 (Sim = 0), если
I ф M(i ф m); здесь и далее в формулах подразумевается суммирование
по повторяющимся латинским индексам i,I,j,J,k,K,...
Вектор u(ai, п2 , аз ? ?) ? соединяющий точки Лэ и F на рис. 2.1, называют
вектором перемещения. Компоненты этого вектора в материальной систе-
системе координат Oaitt2«3 — функции материальных координат и времени,
2,«з,*) и
u(ai,a2,a3,?) = ^к(«ъ «2, a3,t)j^, B.3)
базисные орты системы координат Oaia2a^.
Обозначим этот вектор перемещения в пространственной системе коор-
координат ох\Х2хз через U(x±, х2, х%, i). Если 17^(xi, Ж2, жз, i) — компоненты
вектора перемещения в пространственной системе координат, то
U(x1,x2,xs,t) = Uk(x1,X2,xs,t)ek, B.4)
где е^ — базисные орты системы координат 0x1X2X3.
Вектор b (рис. 2.1) определяет положение начала координат о относи-
относительно точки О. Очевидно, что
u = b + х — а.
В дальнейшем, без потери общности изложения материала, будем пола-
полагать b = 0 и оси координат а/ и xi — совмещенными, Jk = &k, T-e-
Uk=Xk-dk = Uk, или и = х - а = U. B.5)
2.2. Тензоры деформации 41
Движение частиц сплошной среды в пространстве можно описать с
помощью уравнений вида
х\ = Xi(ai, «2, o>3,t) (i = 1,2,3), или х = х(а, i), B.6)
которые задают в пространстве положение частицы, занимавшей в исход-
исходной конфигурации положение с координатами а\, п2 , «з • Такой способ опи-
описания движения или деформации называют лагранжевым, а материальные
координаты щ —лагранжевыми координатами.
Если при изучении движения материальных точек воспользоваться
уравнениями вида
щ = Oi(xi5x2,X3,t) (г = 1,2,3), или а = а(х,?), B.7)
в которых независимыми являются координаты точек пространства х\ и вре-
время t9 то способ описания движения сплошной среды называют эйлеровым,
а координаты xi,#2j#3 — эйлеровыми координатами. Смысл данного
способа описания движения сплошной среды заключается в том, что он
дает возможность установить начальное положение частицы, находящейся
в момент времени t в заданной точке пространства.
Таким образом, при лагранжевом способе описания движения сплош-
сплошной среды изучается поведение материальной точки этой среды, а при
эйлеровом — поведение сплошной среды в точке пространства.
В дальнейшем полагаем, что функции xi (а\, «2, о>з ? t) шщ (х\, Х2, х%, t)
всегда непрерывно дифференцируемы. Эти функции взаимно обратны.
Необходимым и достаточным условием существования обратной функции
является отличие от нуля якобиана
j = det—. B.8)
дак
Если якобиан J ф 0, a |da| — расстояние между двумя бесконечно
близкими материальными точками в исходной конфигурации, то эти ма-
материальные точки будут оставаться бесконечно близкими и в актуальной
конфигурации с расстоянием |dx| между ними, т. е.
dxi ^
дак
Отсюда следует, что конечные объемы в результате деформации не мо-
могут преобразовываться в материальные точки и наоборот.
2.2. Тензоры деформации при эйлеровом и лагранжевом способах
описания движения сплошной среды. Продифференцировав первую
группу уравнений из B.6) по материальным координатам а&, получим
тензор второго ранга с компонентами F^ = dxi/dat^ который называется
материальным градиентом деформации, или
F = xVa = !^®e1 + !^®e2 + !^®e3 = !^ei®ei, i,j = 1,2,3.
ucl\ о а 2 иа>з oaj
B.9)
42
2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Если продифференцировать первую группу уравнений из B.7) по
пространственным координатам Xk, то получим тензор второго ранга с
компонентами И^ = дщ/dxk^ который называют пространственным,
градиентом деформации, или
Н = aVx =
дх\
0X2
е2
е3 =
е,-,
B.10)
где Vx = — е*.
Материальный и пространственный градиенты деформации связаны
между собой соотношениями
dxi dak _ dai дхк _ с
да к dxj дхк daj
B.11)
При изучении деформации сплошной среды рассмотрим изменение по-
положения двух бесконечно близких в исходной конфигурации материальных
точек Ро и Qq (рис. 2.2). Эти материальные точки в некоторой актуальной
«з
Х2
Рис. 2.2.
(конечной) конфигурации занимают пространственное положение Р и Q
соответственно.
Расстояние |da| между точками Р® и Qq может быть найдено из равен-
равенства
(da) = dai dai = Sij ddi daj. B.12)
Определим компоненты dai вектора da путем дифференцирования урав-
уравнений B.7) по пространственным координатам, т.е. dai = {dai/dxk)dxk-
Тогда квадрат расстояния между точками Ро и Qo будет равен
(daJ = Skm—^
2.2. Тензоры деформации 43
или
(daJ = dxT -C-dx, B.13)
где тензор второго ранга с компонентами
г _ дак дак р, ?гТ rj
Ujj — , ИЛИ \_у — ±1 • ±1,
3 дхг dxj
называют тензором деформации Коти. Здесь и далее одна точка между
тензорами означает операцию свертки по одному индексу.
Расстояние |dx| между двумя бесконечно близкими точками Р и Q
в актуальной конфигурации найдем из равенства
{ёжJ = dxidxi = Sijdxidxj. B-14)
Тогда аналогично выражению A.13)
(л \2 е дхк j дхш , дхк дхк , , ^ , ,
(dx) = okm^—dai-—daj = ^—^—ddidaj = Gijdaidaj,
oai daj Dai daj
или
(dxJ =daT-G-da, B.15)
где тензор второго ранга с компонентами
г _ дхк дхк
Ottj
или
называют тензором деформации Грина.
Верхний индекс "Т" означает операцию транспонирования, т. е. ком-
компоненты тензора FT (или Нт) образуют матрицу, элементы которой
соответствуют элементам транспонированной матрицы, образованной из
компонентов тензора F (или Н). Отметим, что тензоры второго ранга F
и Н связаны соотношением F^1 = Н.
Разность квадратов расстояний между двумя бесконечно близкими ма-
материальными точками определяет меру деформации окрестности этих точек
при переходе от начальной конфигурации к последующей. Если сплошная
среда совершает перемещение как абсолютно твердое тело, то (dxJ —
- (daJ = 0.
С помощью равенств B.12)-—B.15) разность (dxJ — (daJ можно пред-
представить в различных формах. Если воспользоваться соотношениями B.12)
и B.15), то
или
(dxJ — (daJ = I —-—- — Sij I daidaj = 2Lijdaidaj^
(dxJ - (daJ = daT - (FT - F - l) - da = daT • 2L - da, B.16)
где I — тензор второго ранга с компонентами ёц.
Тензор второго ранга с компонентами
1 fdxkdxk e\ L = i(fT-F^l), B.17)
44 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
называют тензором конечной деформации Грина (лагранжевым тензором
конечной деформации).
При использовании соотношений B.13) и B.14) ту же разность можно
представить иначе:
(dxf - (daJ = (etj " |^|^j) dxidxj = 2EijdxidXj,
ИЛИ
(ёж.J - (daJ = dxT • (i - HT • fi) • dx. B.18)
Тензор второго ранга с компонентами
2 \ oxi axj J 2
называют тензором конечной деформации Альманзи (эйлеровым тензором
конечной деформации).
Компоненты тензоров конечной деформации Ьц и Ец с помощью
соотношений B.3) или B.4) могут быть выражены через функции
Uk(«1,«2,«з>t) или Uk(х\,х2,х3,t), т.е.
или L = i^JT+J+JT-j), B.20)
да
, _ ^ EEl _ dUk dUk
2 ' ^
B.21)
При записи соотношений B.20) и B.21) учтено, что дак/дщ = 1
и dxk/dxi = 1 при г = к. В противном случае дак/дщ = 0 и dxk/dxi =
= 0. Тензоры J с компонентами dui/daj и К с компонентами dlli/dxj
называют материальным градиентом перемещения и пространственным,
градиентом, перемещения, соответственно.
2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций.
Предположим, что в процессе перехода некоторого объема сплошной среды
от начальной конфигурации в момент времени to к актуальной в момент
времени t градиенты перемещения малы по сравнению с единицей, т. е.
\\dui/daj\\<tilR \\dUi/dxj\\<?l (г, j = 1,2,3), где ||-|| —евклидова норма
матрицы (||/?ij|| = y/PijPij), элементами которой являются соответствую-
соответствующие компоненты рассматриваемого тензора. Тогда описание деформиро-
деформирования сплошной среды может быть проведено с использованием теории
малой деформации. В этом случае вместо тензора конечной деформации
Грина используют лагранжев тензор малой деформации с компонентами
, I / ОЩ OUj \ Т 1 /тТ , 'т I /о ^\
hi = - \ , или 1=- J +J , B.22)
13 2 {да, даг Г 2\ Г К J
2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций 45
а вместо тензора конечной деформации Альманзи — эйлеров тензор малой
деформации с компонентами
. . я ¦ я ., ----- - ,.- . -.- B-23)
2 \ dxj dxi J 2 V /
Для широкого класса задач механики сплошной среды — задач ме-
механики деформируемого твердого тела — характерна малость не только
градиентов перемещения, но и модуля |и| (или |U|) по сравнению с
характерным размером тела /г, т.е. \u\/h <C 1 (или |U|/ft <C 1). В этом
случае различие между пространственными и материальными координата-
координатами мало, а лагранжев и эйлеров тензоры малой деформации можно полагать
равными, т. е.
lij =?ijj или Т=е. B.24)
Формулы B.22) и B.23) для тензоров малой деформации носят название
соотношений Кошм.
Тензор второго ранга — материальный градиент перемещения с компо-
компонентами дщ/daj — можно представить в виде суммы двух тензоров:
дщ _\ (дщ дщ \ 1 (дщ дщ
daj 2 \ daj dai J 2
или
B.25)
2
Очевидно, что первое слагаемое в скобках в формулах B.25) опреде-
определяет лагранжев тензор малой деформации. Второе слагаемое в скобках
в формулах B.25) называют лагран-
жевым тензором линейного поворо-
поворотам обозначают
_ 1 / дщ дщ \ u^°L
W%3 ~ 2 \daj di
или
w = ^J1-JJ. B.26)
Если тензор деформации 1
в окрестности точки Pq тождествен-
тождественно равен нулю, то относительное
перемещение окрестности этой точки
du = dbc — da = "Uyq0^ ~~ u(fo)
(рис. 2.3) будет малым поворотом Рис- 2.3.
абсолютно твердого тела. Этот малый
поворот можно представить лагранжевым вектором линейного поворота
и% = -eijkwkjj или ш = -Va х и, B.27)
46 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
где eijk — символы Леви-Чивиты\ еци = 1, если индексы i,j, к образуют
четную перестановку A23,312, 231), ецк = — 1, если этот порядок нару-
нарушен, и eijk = 0, если среди индексов есть одинаковые. Тогда компоненты
соответствующего вектора относительного перемещения будут иметь сле-
следующий вид:
dui = eijkUJjddk, или du = со х da. B.28)
Очевидно, что рассуждения, проведенные при лагранжевом описании
вектора относительного перемещения, тензора линейного поворота и век-
вектора линейного поворота, можно полностью повторить для эйлеровых ана-
аналогов тех же величин. При этом для вектора относительного перемещения
имеем
dUi = —dxj1 или dU = K-dx; B.29)
dxj
для эйлерова тензора линейного поворота
-^V или Ф = 1(КТ^К), B.30)
\xj дхг ) 2 V /' V ;
и для эйлерова вектора линейного поворота
Щ = -eijk^kj, или ф = ^Vx х U. B.31)
Относительное перемещение при этом способе описания движения для
6ij = 0 определяется следующим образом:
dlli = eijktpjdxk, или dU = f x dx. B.32)
В общем случае малой деформации соотношения Коши связывают три
компонента вектора перемещения и к с шестью (вследствие симметрии)
компонентами тензора деформации ец. Следовательно, для определения
компонентов вектора перемещения необходимо проинтегрировать шесть
уравнений вида
^ + Р- = *ц, B-33)
OXj OXi
заданные правые части которых непрерывны вместе с их частными про-
производными первого и второго порядка по координатам. Поскольку число
уравнений больше числа неизвестных Ui, то эта задача может иметь ре-
решение только при наложении некоторых условий на компоненты тензора
деформации вц. Существование зависимостей между компонентами ец
следует и из физических соображений: если тело разделить на отдель-
отдельные элементы и каждый элемент деформировать произвольно, то из этих
деформированных элементов не удастся вновь составить сплошное тело.
Рассмотрим одно связную область V, в которой деформации являются
дважды непрерывно дифференцируемыми функциями координат. Обозна-
Обозначим через Uj ' (х(°)) компоненты вектора перемещения, а через w\-' (х^)?
i,j = 1, 2,3, — компоненты тензора линейного поворота в точке Ро(х^)
2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций 47
рассматриваемой области V. Предположим, что Uj и w\j известны.
Определим компоненты вектора перемещения Uj(x.^) в точке Pi(x^),
также принадлежащей области V.
Выразим Uj(x.^) с помощью следующего интеграла:
Pi pf
Aq. . _ q. .(ж(®)\ i ®иэ йгГ1 h ~~ 1 9 Ч
11/ И/ q tl-i I Л I "T~ I UjJL k , Ib X , ZJ, «J.
Воспользовавшись соотношением A.25), перепишем этот интеграл в виде
Pi Pi
11 • i "Y"^ ^ i ZZI II .fY^^s -4— P • i fi^T i -4™ 7/? * i /7'7* i
Lc/ i I Л. I — Uj q I „Л. I | I О 'J ^ fJDely ^ j 1 IX/ <j ^ XJjsAj ffi •
Po Po
Интегрирование по частям последнего слагаемого дает
Pi
Ро
1 = 1,2,3.
тх dwjk дби деы
Используя тождество —— = — , получим
dxi дхк dxj
^¦(xW) = %-(x(°)) + D1} ^ 40Vg} + } Ujrdxr,
Ро
где C/jr = 8jr + (ж^ - x^ejkieism-^1^, j,k,l,m,r,s = 1,2,3.
Компоненты вектора перемещения tij(x^) будут определены одно-
однозначно, если интеграл в последнем уравнении не будет зависеть от пути
интегрирования. Выберем в качестве пути интегрирования замкнутую
кривую С, идущую из точки Pq к точке Pi и возвращающуюся из Pi в Ро.
Если рассматриваемое тело односвязно, то кривую С можно рассматривать
как границу поверхности S, расположенной внутри тела. Тогда, воспользо-
воспользовавшись теоремой Стокса, получим
Т Т A I OLJj'p
U jfCLX в
с I дХп
Г
Поскольку ср Ujrdxr = 0 в соответствии с постулированной однознач-
с
ностыо Uj(x), то из последней формулы следуют необходимые условия:
dUjr _п
48 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
откуда с учетом введенного обозначения для Ujr получим
[dejr ders / (i) ч d2e
д д
Z ^jnl^lsmZ ' ^jkl^lsm\p^h ^k)Z Z
дхп дхт дхтдхп
Если учесть равенство ejnieism = Sjs5mn - 5jmSns, то
dern\] . / (l) ч d2s
eJ I ?_ I _J_ p • l l [ т Ti \P Pi nz 1 I
ППТ I r\ 1 r\ r\ I "^ ^]kI \ h К} ^pflT^lSfTl ^ ^ '-'•
|_ OXfi у OXfi ®^j / J OXfnOXn
Первое слагаемое в последнем равенстве тождественно равно нулю.
Достаточным условием равенства нулю второго слагаемого для любого
значения (хк ' — Хк) является
d2ers _ п
Полученные равенства запишем в ином виде:
d2?lJ + ^^ - д2?гк - ^^ = 0. B.34)
/^?/уа , finr1 /Hi'T9 • /f OP • /»'Г3 - iw^Y* /f OP • /"f OP ?
Эти условия обеспечиваются при существовании непрерывного вектора
перемещения и вместе с его частными производными по координатам
по крайней мере до третьего порядка включительно, так что компоненты
заданного тензора деформации обязательно должны быть связаны с компо-
компонентами вектора перемещения соотношениями A.33).
В выражении B.34) содержится восемьдесят одно уравнение, но только
шесть из них различны. Это три уравнения вида
?ll , О ?22 n О ?12
дх\ дх\
и три — вида
д2еъъ
Остальные уравнения получаем циклической перестановкой индексов.
Условия совместности деформаций B.34)... B.36) часто называют
условиями Сен-Венана.
Из выражений B.22) и B.23) для компонентов тензоров малой деформа-
деформации в лагранжевом и эйлеровом представлениях очевидна симметрия этих
тензоров (впрочем, это же утверждение относится к выражениям B.20),
B.21) и др.). Тогда для каждого симметричного тензора второго ранга
с компонентами ец (или 1ц\ заданного в некоторой точке пространства,
и для каждого направления в этой точке, заданного единичным вектором п
с компонентами п^ существует вектор с с компонентами с^, определяемый
равенством
с\ = SijTijj или с = е"- п. B.37)
Будем рассматривать тензор с компонентами ец как линейный вектор-
векторный оператор, который ставит в соответствие направлению п вектор с. Если
2.3. Тензор малой деформации. Условия совместности деформаций 49
векторы п и с коллинеарны, то ci = Xrii и
Sijfij = Xriij или ?• n = An. B.38)
В этом случае направление, задаваемое вектором п, называется глав-
главным направлением (или главной осью) тензора с компонентами вц. Если
воспользоваться тождеством щ = &цп3, то
г,- = 0 и т^-га, = 1. B.39)
Соотношения B.39) образуют систему четырех алгебраических уравне-
уравнений с четырьмя неизвестными: А и п3 (j = 1,2,3). Так как п3 произвольны,
то необходимым и достаточным условием существования решения системы
уравнений B.39) относительно А является равенство нулю определителя
= 0. B.40)
В развернутом виде условие B.40) представляет собой кубическое
уравнение
X3 ^Il?X2+I2?X^I3? = 0 B.41)
относительно А, которое называют характеристическим уравнением тен-
тензора с компонентами вц. Его коэффициенты
he = en, he = I (suBjj - BijBij), I3e = detfaj) B.42)
— первый, второй и третий инварианты тензора деформации с компо-
компонентами Bij соответственно.
Корни Ai, A2 и Аз кубического уравнения называют главными значе-
значениями (главными деформациями) тензора деформации^. В общем случае
Ai, A2 и A3 различны и для симметричного тензора с действительными ком-
компонентами являются действительными числами, что можно легко показать.
Для этого умножим левую часть системы линейных алгебраических уравне-
уравнений из B.39) на щ и с учетом riifii = 1 получим равенство ще^п3 = А. Так
как левая часть этого равенства — действительное число, то действительно
и А. Каждому значению А соответствует свой направляющий вектор п,
тройка этих направляющих векторов образует ортонормированный базис,
щщ = 1.
Тензор малой деформации с компонентами вц можно разложить на
сумму двух тензоров: шарового тензора деформации и девиатора дефор-
деформации. Шаровой тензор деформации имеет компоненты ?kkdij/3, a девиа-
тор деформации — ец = вц — ?kkuijl%- Очевидно, что первый инвариант
девиатора деформации равен нулю.
Главные значения девиатора деформации легко определить из решения
характеристического уравнения, аналогичного уравнению B.41):
е3 + /2ее - he = 0,
где he = he — lie l^i he = det(e^). Неотрицательную величину Г =
= 2^/\he\ называют интенсивностью деформации сдвига.
50 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
2.4. Геометрический смысл компонентов тензоров малой дефор-
деформации. При изучении малой деформации с использованием лагранжева
способа описания движения сплошной среды лагранжев тензор конечной
деформации L в соотношениях A.16) можно заменить тензором малой
деформации 1. Тогда
(dxJ - (daJ = (dx - da)(dx + da) = 2lijdaidaj, B.43)
где dx ж da — модули соответствующих векторов.
Для малой деформации dx « da, поэтому равенство B.43) можно
представить следующим образом:
dx — da , dai daj , dx — da т "? /г» л л\
е = = lij J- = liji/ii/j, или е = = v -1-v, B.44)
da da da da
где щ — компоненты единичного вектора v = da/|da .
Левая часть равенства B.44) характеризует относительное изменение
длины бесконечно малого элемента и называется коэффициентом от-
относительного удлинения линейного элемента, первоначально имевшего
направляющие косинусы щ = dai/da.
Применим формулу B.44) к бесконечно малому линейному элементу
PoQo (рис. 2.4). Так как элемент расположен вдоль оси Оа2, то da\ /da = 0,
da^/da = 0 и da2/da = 1.
Поэтому
dx -da j ди2 (о лк\
^ da да2
да Х2 Итак, оказывается, что коэффициент относи-
относительного удлинения бесконечно малого линей-
линейного элемента, первоначально расположенного
рис 2 4 вдоль оси Оп2 , равен компоненту I22 тензора
малой деформации. Очевидно, что для элемен-
элементов, первоначально расположенных вдоль осей Оа\ и Оа%, коэффициенты
относительных удлинений равны 1ц и Z33 соответственно. Таким образом,
диагональные элементы тензора малой деформации представляют собой
коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат.
Если вычислить относительное изменение A(dVo) бесконечно малого
объема dVo, то
A(dVo) A + lii)dai(l + /22)^2A + ^зз)^о,з — daida2da3
dVo daida2das
»/11+/22+ /33, B.46)
т. е. в линейном приближении cq = 1\?. Величину е® называют коэффици-
коэффициентом кубического расширения.
Для выяснения физического смысла не диагональных компонентов тен-
тензора Uj рассмотрим два линейных бесконечно малых элемента PoQo
и PqMq, расположенных первоначально вдоль осей Оп2 и Оа% выбранной
2.4. Геометрический смысл компонентов тензоров малой деформации 51
системы координат (рис. 2.5). После деформации эти элементы превраща-
превращаются соответственно в элементы PQ и РМ в системе координат с осями,
параллельными исходным, и началом координат в точке Р. Первоначально
%2
Рис. 2.5.
прямой угол между линейными элементами превращается в угол в. Так
как dui = (dui/daj)daj, то при условии малости деформации единичный
вектор, направленный из точки Р в точку Q, равен
п2 =
диг
—
0U2
ди\
e2
диг
а единичный вектор, направленный из точки Р в точку М, равен
диг
¦з ^ ^^ei + ^^е2 + ез-
ааз оаз \ оаз J даз даз
Поэтому
cos 0 = п2 • г
откуда, пренебрегая слагаемым более высокого порядка малости, получим
Если обозначить 72з=тг/2^|9, то в силу малости 72з
723 ^ siii723 = sin I 0) = cos6^ = 2123.
V 2 /
Таким образом, не диагональные компоненты тензора малой деформа-
деформации представляют собой половины изменений углов между двумя пер-
первоначально ортогональными бесконечно малыми линейными элементами.
Недиагональные компоненты тензора деформации называют деформация-
деформациями сдвига (сдвиговыми деформациями).
52 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Естественно, что аналогичные рассуждения могут быть проведены для
эйлерова тензора малой деформации?.
Перепишем соотношение B.44) в виде
e^kjViVj. B.47)
Шесть величин компонентов тензора деформации 1ц в окрестности
рассматриваемой точки Pq являются функциями координат щ. Пользуясь
соотношением B.47), рассмотрим его геометрическую интерпретацию.
Будем откладывать из точки Р® (начала координат) по направлению каждого
линейного элемента PqQq отрезок г5 квадрат длины которого обратно
пропорционален величине е, т. е.
r2e = h2,
где h — константа. Координатами конца этого отрезка будут
щ = щг.
Тогда соотношение B.47) с учетом двух последних равенств примет
следующий вид:
hjCLiCLj = h2 sign(e), B.48)
sign(e) = 1,еслие > 0; sign(e) = — 1эеслие < 0, Hslgn(e) = 0,еслие = 0.
Выражение B.48) является уравнением центральной поверхности вто-
второго порядка, которую называют поверхностью деформации. Если D =
= I^eh2 sign(e) / 0, то при D > 0, Iuhs > 0 и he > 0 эта поверхность
представляет собой эллипсоид. В этом случае любой произвольный эле-
элементарный отрезок PqQo испытывает растяжение. При D > 0, Iuhe ^
^ Ои (или) 12? ^ 0 рассматриваемая поверхность представляет собой
двуполостный гиперболоид. В этом случае одни элементы P®Q® растянуты,
а другие, соответствующие сопряженному гиперболоиду, будут сжатыми.
Если D = 0, lie he ^ 0 и (или) I^e ^ 0, то мы имеем дело с конусом. При
этом конус соответствует тем элементарным линейным элементам PqQq^
для которых относительное удлинение равно нулю, т. е. они сохраняют свою
первоначальную длину.
Поскольку невырожденную Aз? ф 0, he ф 0) центральную поверх-
поверхность второго порядка всегда можно привести к главным осям, направления
которых определяются из условий
(lij — XSij)rij =0 и rijTij = 1,
то очевидно совпадение задач поиска главных значений и главных осей
тензора малой деформации и главных осей поверхности, задаваемой урав™
нением B.48). При этом главные значения тензора малой деформации
являются коэффициентами относительного удлинения элементарных от-
отрезков, расположенных на главных осях поверхности B.48). Проведенные
рассуждения правомерны и для эйлерова тензора малой деформации.
2.5. Кинематические характеристики сплошной среды 53
2.5. Кинематические характеристики сплошной среды. Скорость
изменения во времени любого свойства сплошной среды в материаль-
материальных точках этой среды называют полной {субстанциональной, материаль-
материальной) производной величины, характеризующей рассматриваемое свойство.
Мгновенное положение частицы, определяемое координатами Х{, само
является свойством этой частицы. Полная производная по времени от
положения частицы называется .мгновенной скоростью частицы, т. е.
(JjsJj 1 ¦ CIA, • f CX A f\ \
Vi = = #i, или v = — = x. B.49)
dt dt
Если любое скалярное, векторное или тензорное свойство сплошной
среды описывается функцией координат и времени, и если в лагранжевом
представлении R = R(a, t), то полная производная по времени от этой
величины имеет вид
dR
= 2 5()
dt dt
Если же это свойство сплошной среды есть функция эйлеровых коор-
координат, R = R(x,t), то вычисление полной производной проводится по
формуле
afe(x,t) dR = 3R(M)
k d ' dt dt
dt at k dxk ' dt dt
B.51)
где RVX = —^^e^ 0 e7- 0 ... 0 e^ — внешнее произведение тензора
dxk
R = Rij ei 0 0ej 0 ... и дифференциального оператора (вектора) VX =
= ^—ekj представляющее собой тензор, ранг которого на единицу выше
охи _
ранга тензора R. Второе слагаемое в правой части равенства B.51) является
следствием того, что частицы изменяют свое положение в пространстве.
Первое слагаемое характеризует скорость изменения рассматриваемого
свойства в фиксированной точке пространства и называется локальной
скоростью изменения R, а второе — конвективной. Другое определение
вектора скорости можно получить, используя соотношение B.3):
dxi d(ui + a,i) dui dx d(u + a) du /o глЧ
Vi = — = v ; = ^, или v = — = v ; = —, B.52)
dt dt dt dt dt dt
так как а не зависит от времени. Если вектор перемещения u = u(a51), то
dm дщ . du ди , ,
щ = щ = ^7 = ^7' ИЛИ v = u=37 = ^7- B-53)
dt dt dt dt
Если же вектор перемещения есть функция эйлеровых координат, т. е.
U = U(x,t),TO
dt
54 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
или
х, t) = U(x, ?) = ^ ? = к ' + v . (UVX), B.54)
dt dt
- дПгс-^с
В формулах B.54) скорость задана в неявном виде, так как она входит
множителем во второе слагаемое в правой части. Функция
Vi = Vi(xi,X21xs11), или v = v(x,t), B.55)
задает поле скоростей. Полную производную по времени от вектора скоро-
скорости называют ускорением.
В процессе движения или течения частица следует по линии, которую
называют траекторией. Линией тока для поля скоростей в некоторый
момент времени называют кривую, касательная к которой в любой точке
совпадает по направлению с вектором скорости в этой точке. Из этого
определения следует, что
v х ах = 0, или = = , B.5о)
Vi V2 V3
где dx — бесконечно малый вектор касательной к линии тока. Движение
сплошной среды называют установившимся {стационарным), если поле
скоростей не зависит от времени, так что dvi/dt = 0. Для установившегося
движения линии тока и траектории совпадают.
Вычислив пространственный градиент мгновенного поля скоростей,
получим тензор градиента скорости с компонентами Yij = dvi/dxj. Этот
тензор можно представить в виде суммы двух тензоров — симметричного
и антисимметричного:
или
%3 дх3 2 \dxj дхг) 2 \дх3 дхг) %3 %3'
YT = - (YT + YJ + - [YT - Y) . B.57)
Симметричный тензор с компонентами
B.58)
называют тензором скоростей. Антисимметричный тензор с компонента-
компонентами
(S?)w=H*T-*)- <2-59»
называют тензором завихренности или вихря.
Если тензор скоростей в окрестности произвольной точки Р тожде-
тождественно равен нулю, то
dvi = -^dxj = Wijdxjj или dv = W • dx, B.60)
dx
2.5. Кинематические характеристики сплошной среды 55
и движение в окрестности этой точки будет вращением абсолютно твер-
твердого тела. Поэтому поле скоростей называют безвихревым, если тензор
завихренности равен нулю во всех его точках.
Поскольку тензор скоростей симметричен, то для него существуют
такие понятия, как главные оси, главные значения, инварианты и т.д.
Кроме того, для компонентов тензора скоростей можно записать условия
совместности, аналогичные условиям совместности деформаций.
Введенный в рассмотрение тензор скоростей дает возможность полу-
получить еще одну характеристику сплошной среды — тензор бесконечно малой
деформации. Так как вектор скорости v в эйлеровых координатах имеет
компоненты Vk = dxk/dt^ к = 1, 2,3, то компоненты вектора перемещения
за время At при переходе от одной актуальной (в момент времени t)
конфигурации сплошной среды к последующей (в момент времени t + At)
будут Uк ^vkAt.
Подставив выражение для Uk в B.21), получим следующее выражение
для компонентов тензора конечной деформации Альманзи:
Eij = l(E* +*!-**** At) At, i,j,k = 1,2,3,
2 \dxj dxi dxi dxj J
или
E = - (fT + Y - YT • Y At) At. B.61)
Устремив далее At —»- 0, вместо соотношений A.61) получим следую-
следующие:
E* = - (fT + y) dt = Vdt, B.62)
где E*j — компоненты тензора бесконечно малой деформации Е*. Квад-
Квадратичные слагаемые в B.61) отброшены в силу их малости при At —»¦ 0.
Вычислим полные производные по времени от лагранжева A.17) и эй-
эйлерова A.19) тензоров конечной деформации:
_ 1. d_ f dxk dxk _ s\ _ 1 (^_ ('dxk\ dxk
~ %3) ~ )
dt 2dt \даг да3 JJ 2 \dt \da,i
дхк d ('дхк\Х _ \ f^xk dvk дхш дхк dvk dxm\ _
dai dt \ daj J J 2 \ daj dxm dai дсц дхт daj J
_ dxk dvk дхт _ р у p_ . . , _, 2 «
daj dxm dai
или
^=FT-Y-F. B.63)
at
56 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Для вычисления
а ^ ажг #
откуда
Далее
dEij _ 1
dt 2
или
аЛ _ дх
х3 J dx
d (
dt \6гз
dE
н d
ij/dt
воспользуемся соотношением 1
xm dak , dxi d (dau\ dvi t dxi
m dak d
dak
dxi
d
dt
dak
da3j
At
Xj dak dt \dxj J dxj dak
f dak\ _ dvi dak
\dx3j ~ dx3 dxt°
\ _ 1 ( d (dak\ dak , dak
) 2 \dt \dxi J dxj dxi
^ak dvm dak , dak dvm dak \
/tlyj U ,b % UJjfyi U tb % U Jj 3 Utbfji J
^=HT.Y.fi.
dt
d
dt
d
dt
11):
\dxj y
f dak
\dx3
~~ HkjYm.
X\
J J
i-H-km i
B.64)
Вычисленные полные производные по времени B.63) и B.64) от тензо-
тензоров конечной деформации называют лагранжевым и эйлеровым тензорами
скоростей деформации соответственно. Путем непосредственного вычис-
вычисления компонентов тензоров dE/dt и dh/dt нетрудно убедиться в том, что
эти тензоры симметричны. Если положить деформации малыми, т. е. Шц =
= Sij, то
dt dt 2 \дх3 d
и компоненты эйлерова тензора скоростей деформации совпадут с компо-
компонентами тензора скоростей.
Из соотношений B.63) и B.64) можно получить выражение тензора
градиента скорости через тензоры скоростей деформации:
ИЛИ
ikm tljk tUm-) ИЛИ I ±1 11,
dxm dxk dt dxm dt dt
B.66)
dxj dEl3 dxm dE%3 -T ^T dE - ( ,
*mi = T^^^^^ — ^jk^Z^^mk, ИЛИ Y =ti • —- • t . B.0/j
oak at oak at dt
Отметим, что вычисление компонентов тензора Y по формулам B.66)
и B.67) достаточно сложно, так как при изучении движения сплошной
среды определяются компоненты вектора скорости, но не компоненты
тензоров скоростей деформации.
2.6. Массовые, объемные и поверхностные силы. Рассмотрим два
различных типа сил, действующих на тело, занимающее произвольный
объем V сплошной среды и ограниченное поверхностью S в актуальной
конфигурации.
2.7. Различные способы описания движения сплошной среды 57
Пусть dV — элемент объема тела, a dm — его масса. Если на частицы
массой dm действует элементарная сила dF, то
Ь* = —, г = 1,2,3, или Ь=—, B.68)
dm dm
есть интенсивность массовых сил. Если же положить, что та же элементар-
элементарная сила dF действует на объем dF, то
г = —, или f=— B.69)
dV dV
есть интенсивность объемных сил.
Интенсивности массовых и объемных сил связаны между собой сле-
следующим образом. Пусть р = dm/dV — плотность массы {плотность).
Тогда из соотношений B.68) и B.69) следует, что
pbi = fu i = 1, 2,3, или ph = f. B.70)
Сосредоточенные внешние силы, приложенные в отдельных точках
тела, можно рассматривать как предельный случай массовых сил, дей-
действующих в окрестности рассматриваемой точки.
Если на элемент dS поверхности, ограничивающей рассматриваемое
тело, действует сила dP, то
(n) dPi (n\ d~P ,о ^1 ч
о) = , или 01 } = —, B.71)
dSJ dS' К J
называют вектором напряжения. Верхний индекс п у вектора напряжения
означает, что положение в пространстве элемента dS граничной поверх-
поверхности задано единичным вектором внешней нормали п в окрестности
произвольной точки, принадлежащей dS.
Пусть рассматриваемое нами тело находится в равновесии под дей-
действием заданной системы сил Ri, R2,..., R/. Рассечем его произвольной
поверхностью, проходящей через заданную точку О, на две части А и В.
Далее отбросим часть тела В. При этом к каждому элементу dS поверхности
раздела мы должны приложить силу 0^dS, причем величина и направле-
направление 0^ должны быть такими, чтобы оставшаяся часть тела А находилась
в состоянии равновесия. Очевидно, что вектор напряжения существенным
образом зависит от того, каким образом через заданную точку О проведена
секущая поверхность, т. е. от направления п единичного вектора внешней
нормали к секущей поверхности в заданной точке О. Совокупность пар
векторов 0^ и п, или а^ и щ, определяет напряженное состояние
в окрестности заданной точки О.
2.7. Тензоры напряжений при различных способах описания дви-
движении сплошной среды. Для того, чтобы полностью описать напряжен-
напряженное состояние в окрестности рассматриваемой точки, нет необходимости
рассматривать все возможные пары 0^ и п. Можно доказать, что для этого
достаточно задать векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных
площадках, содержащих рассматриваемую точку.
58 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Пусть 0^П1^ — вектор напряжения, действующий на площадке с еди-
единичной нормалью ni. Тогда
где сп11 , j = 1,2,3 — проекции вектора о^П1^ на направления трех взаим-
взаимно перпендикулярных нормалей п^, задающих элементарные площадки,
содержащие рассматриваемую точку О. Очевидно, что векторы 0^П2^ и
0(Пз) могут быть представлены аналогично. Тогда окончательно получим
a^^a^nj, i,j = 1,2,3. B.72)
Девять компонентов o~j образуют в системе прямоугольных декар-
декартовых координат при эйлеровом способе описания движения сплошной
среды симметричный (как будет показано ниже) тензор напряжений с
компонентами
который называют тензором напряжений Коми д. Этот тензор зада-
задает пространственную меру напряженного состояния в точке и зависит
от пространственных переменных xi,#2j#3 и вРемени ^- Компоненты
о-ц5ст22,^зз, соответствующие перпендикулярным к указанным площад-
площадкам силам, называют нормальными напряжениями. Компоненты ац (% ф j),
соответствующие силам, действующим в плоскостях рассматриваемых
элементарных площадок, называют касательными напряжениями. Нор-
Нормальные напряжения положительны, если на площадке, внешняя нормаль
которой совпадает с направлением одной из осей координат, сила действует
вдоль положительного направления этой оси.
Окончательно связь между вектором напряжения <j(n) на произвольно
ориентированной площадке, содержащей рассматриваемую точку, и тензо-
тензором напряжений Коши о в этой же точке имеет следующий вид:
а^ = (TjiUj, или 0(п) = о • п. B.73)
Если рассмотреть элемент поверхности dSo с единичной нормалью N
в исходной конфигурации, на который действует сила dP, то
или T(N) = ^, B.74)
dS0 dS
ия относит
B.72) можем записать
, или T = ,
dS0 dS0
есть вектор напряжения относительно этой конфигурации. Аналогично
=T№)N^ ij = ii2,3, B.75)
где Nj — единичные векторы внешних нормалей к трем взаимно перпен-
перпендикулярным площадкам, содержащим рассматриваемую точку.
Девять компонентов трех векторов T^N^ образуют первый тензор
напряжений Пиолы—Кирхгофа Т с компонентами Tji = Т• , являющийся
2.7. Различные способы описания движения сплошной среды 59
материальной мерой напряженного состояния в точке и зависящий от
материальных координат а\, п2 , «з и времени t.
Связь между вектором напряжения Т^ на произвольно ориенти-
ориентированной площадке относительно начальной конфигурации, содержащей
рассматриваемую точку, и первым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа
Т в этой же точке имеет вид
или
T(N) = Т • N. B.76)
Установить соотношения, связывающие между собой тензоры д и Т,
можно следующим образом. Из равенств B.72), B.74), B.73) и B.76) имеем
dP = a(n)dS = T^dS0 = o-ndS = T -NdSo =o-dS = T -dS0. B.77)
Для вычисления dSo в исходной конфигурации рассмотрим два неколли-
неарных вектора dhg и dh'o таких, что в рассматриваемой точке их векторное
произведение
dSo = dh0 x dh'o или dSoi = eijkdbojdbfok,
где вектор dSo с единичным вектором N направлен по нормали к плоскости
векторов cfbo и dh'o. Его величина равна элементарной площади dSo
параллелограмма со сторонами |dbo| и |сЛЬо|, т. е. dSo = NdSo, или dSoi =
= NidSo. Векторам dbg и dh'o соответствуют векторы dh и dhf в актуальной
конфигурации, a dS = dh x dh', или dSp = epqrdbqdb'r. Тогда dS = ndS,
или dSp = ripdS. Поскольку
dbq = ^~dboj dbfr = —db'ok, или db = F • db0, db; = F • dh'o,
daj да к
то
7 ry UJuq (JXf ij J7_/ /o |7O\
dbp = eMr dbQjdOQk. (z.7oj
Непосредственным вычислением несложно установить, что е^кЗ =
с/ж дх дх
epqr—*-—!- ^—. Умножив левую и правую части равенства B.78) на
р/дщ^ получим
^—abp = eFgrT— ^—^—dDQjabok = eijkJdbojabok.
oai oai oaj oak
Окончательно,
я^ B-79)
don -— J 'doQi, или di!) :=:: e/Jnl • don.
60 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Подставляя соотношения B.79) в последнее равенство из B.77), полу™
чаем
(Tji = J-1Tpj^-, или 9=J^1T-FT,
?"' B.80)
Тц = J<rjp — , или Т = Jd ¦ Нт.
дхр
Отметим, что тензор Т с компонентами Тц не является истинным тензо-
тензором, так как его индексы принадлежат разным системам координат: индекс
г принадлежит системе эйлеровых координат, а индекс j — лагранжевых.
Если тензор напряжений Коши д симметричен, то в силу соотношений
B.80) очевидна несимметричность тензора Т, поскольку несимметричен
тензор F.
В качестве материальной меры напряженного состояния используют
тензор с компонентами
•~ Fin ¦ ^ /v -^v
TV = 7T-Tik, и™ Т = Н-Т,
дхк
p^, или Т = JH д Нт, B.81)
ОХт ОХк
<Уц^<Гх^^-Ткт, или o=7-1F-T-FT.
ааш дай
Непосредственной проверкой можно установить, что второй тензор
напряжений Пиолы—Кирхгофа Т симметричен и представляет собой ис-
истинный тензор, так как оба его индекса принадлежат лагранжевой системе
координат.
2.8. Тензоры напряжений при малых деформациях. Если при изу-
изучении напряженного состояния в окрестности произвольной точки сплош-
сплошной среды пространственный и материальный градиенты деформации
удовлетворяют соотношениям
dxi x дай _ с
Ottj ОХт
то в этом случае из выражений B.80) и B.81) следует, что
(Tij = Тц, ИЛИ О = Т,
- B.82)
&ц = Тц, ИЛИ О = Т.
В любой произвольной точке рассматриваемого объема сплошной среды
выражения B.73) и B.76) совпадают, и в дальнейшем мы воспользуемся
первым из них.
Тензор напряжений с компонентами ац ставит в соответствие каждому
направлению rij вектор напряжения с компонентами af1^. Направления, для
2.8. Тензоры напряжений при малых деформациях 61
которых а^ и rij коллинеарны, называют главными направлениями (глав-
(главными осями) тензора напряжений. Для главного направления выполняется
равенство
aln) = am, или о(п) = ащ B.83)
где а — величина вектора напряжения, которую называют главным на-
напряжением. Используя очевидные равенства т — ^цпз-> из B.73) и B.83)
получим
(ay - aSirfrij = 0. B.84)
Уравнения B.84) содержат три неизвестных компонента единичного
вектора п, удовлетворяющих условию riifii = 1, и величину главного
напряжения а. Очевидно, что тривиальное решение системы уравнений
B.84) относительно rij есть rij = 0. Для существования нетривиального
решения системы линейных уравнений B.84) необходимо и достаточно,
чтобы определитель этой системы был равен нулю, т. е.
det(<7^ -crSij) = 0. B.85)
После его раскрытия получаем кубическое уравнение относительно «г,
которое называют характеристическим уравнением:
а3 - 11аа2 + 12аа - 13а = 0. B.86)
Коэффициенты в уравнении B.86) называют, соответственно, первым,
вторым и третьим инвариантами тензора напряжений,
ha = (Гц, ha = - {^ii^jj ^ VijVij), ha = det((j^)- B-87)
Три корня o"i, o, о"з уравнения B.86) являются значениями трех глав-
главных напряжений, они всегда действительны для симметричного тензора
о с действительными компонентами ац (это можно показать аналогично
проделанному в п. 2.3). Каждому из них соответствует своя главная ось с
направляющими косинусами, которые определяются из решения системы
уравнений B.84) для а = а\ (а = о, а = as) при условии fiifii = 1.
Главные напряжения полагают упорядоченными, т. е. сгз ^ а2 ^ а\.
Тензор напряжений, компонентами которого являются иц, можно, как
и любой симметричный тензор второго ранга, разложить на шаровой тензор
напряжений и девиатор напряжений. Первый из них имеет вид
a0Sij = (JkkSij/З, или 8о = 1сг*;А;/3, B.88)
а второй —
Sij = aij - aoSij, или s = о - So. B.89)
Из последних двух равенств B.88) и B.89) очевидно, что первый инва-
инвариант девиатора напряжений равен нулю, т. е. Skk = 0. Главные значения
девиатора напряжений могут быть определены из решения характеристи-
характеристического уравнения, аналогичного уравнению B.86):
s3 + I2ss - I3s = 0,
mehs = ha^Iial^i hs = det(sij) —инварианты девиатора напряжений.
62 2. Движение сплошной среды, теории деформации и напряжений
Второй инвариант девиатора напряжений играет важную роль при
построении различных вариантов теорий, описывающих нелинейное де-
деформирование твердых тел. Наглядное истолкование этой величины можно
получить следующим образом. Вычислим вектор напряжения на элемен-
элементарной площадке, равнонаклоненной ко всем трем главным осям тензора
напряжений. Эту площадку называют октаэдрической {п\ = П2 = ns =
= 1/л/З), а действующие на ней две составляющие вектора напряже-
напряжения — в плоскости площадки и по нормали к ней — октаэдрическимм
напряжениями. Очевидно, что квадрат модуля вектора напряжения на
рассматриваемой площадке будет равен
а\ ai = aini + а1п\ + а1п1 = (°~1 + а2 + аз)М
а проекция вектора напряжения на нормаль — ап = аг щ = (cti + и^ +
+ 0"з) /3. Тогда легко определить касательное октаэдрическое напряжение:
ПЧ(П) - < = \/(<П - ^J + (<Т2 ~ OZ? + (<Тз " <ПJ/3.
Непосредственным вычислением через главные значения тензора на-
напряжений можно показать, что
т = y/2\I2a\/3.
Отметим также, что слагаемые под корнем в выражении для т с точ-
точностью до множителя 0,25 являются квадратами экстремальных ненуле-
ненулевых значений касательных напряжений на площадках, равнонаклоненных
попарно относительно двух любых главных осей тензора напряжений
и проходящих через третью ось.
Проекция вектора напряжения 0^ на произвольной элементарной
площадке с единичной нормалью п на эту нормаль будет равна
ап = GijUjHi. B.90)
Очевидно, что формула B.90) с точностью до обозначений совпадает
с B.48), и геометрическая интерпретация выражения B.90) может быть
проведена аналогично проделанной относительно тензора малой деформа-
деформации. В данном случае уравнение центральной поверхности второго порядка
называется поверхностью напряжений Коти и имеет вид
где h — константа.
Если эта поверхность невырождена Aза Ф 0, ha Ф 0), то ее всегда мож-
можно привести к главным осям. Нормальные напряжения, соответствующие
элементарным площадкам, перпендикулярным главным осям, являются
главными напряжениями. Естественно, они совпадают с вычисленными
ранее по формуле B.86).
3. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ
3.1. Основные понятия термодинамики необратимых
процессов. Термодинамика в современном представлении — феноме-
феноменологическая теория общих закономерностей процессов, протекающих
в макроскопических телах и связанных с взаимным превращением меха-
механической энергии, теплоты и других форм движения.
При исследовании поведения сплошной среды любое тело, занимаю-
занимающее в актуальной конфигурации объем V и ограниченное поверхностью
S, а также любую его часть (конечную или бесконечно малую), будем
рассматривать как термодинамическую систему. Систему, которая обме-
обменивается массой и энергией с окружающей средой, называют открытой
термодинамической системой. Если существует только обмен энергией с
окружающей средой, то систему называют закрытой. В том случае, когда
одновременно отсутствуют и обмен массой, и обмен энергией, систему
называют изолированной.
Состояние термодинамической системы в окрестности произвольной
точки в любой момент времени характеризуют параметрами термоди-
термодинамического состояния, которые могут изменяться при взаимодействии
системы с окружающей средой. Если при постоянных внешних воздей-
воздействиях параметры термодинамического состояния не изменяются в течение
рассматриваемого промежутка времени, то система находится в состоянии
термодинамического равновесия. Состояние равновесия называют устой-
чивым, если при прекращении любых малых внешних воздействий система
возвращается к исходному состоянию. В противном случае состояние
равновесия называют неустойчивым.
При взаимодействии с окружающей средой термодинамическая си-
система проходит ряд последовательных состояний, совокупность которых
называют термодинамическим процессом. Будем называть термодинами-
термодинамический процесс равновесным, если в любом промежуточном состоянии при
фиксированных внешних воздействиях для конечного интервала времени
параметры термодинамического состояния системы не изменяются. В про-
противном случае термодинамический процесс называют неравновесным. При
заданных внешних воздействиях реальные процессы в термодинамической
системе всегда происходят с некоторой конечной скоростью изменения
параметров термодинамического состояния, поэтому они всегда будут
неравновесными. Однако в ряде случаев, когда состояние термодинамиче-
термодинамической системы меняется достаточно медленно, процесс приближенно можно
считать равновесным.
Равновесный процесс, который и в прямом, и в обратном направлениях
проходит через одну и ту же последовательность состояний, носит название
обратимого. В противном случае термодинамический процесс называют
64 3. Основы термодинамики необратимых процессов
необратимым. Необратимые термодинамические процессы характеризу-
характеризуются/?яссея/шел* {диссипацией) энергии.
К числу параметров термодинамического состояния в зависимости от
необходимости учета различных процессов, протекающих в термодина-
термодинамической системе, относят, например, плотность, абсолютную температу-
температуру, тензор деформации, а также параметры, учитывающие внутреннюю
структуру рассматриваемого тела, которые носят название внутренних
параметров состояния системы.
Поскольку параметры термодинамического состояния системы отра-
отражают физическую структуру материала, вид связей в этих уравнениях
может быть достаточно разнообразен. Однако несмотря на это они не
могут быть произвольными: вид каждого уравнения должен подчиняться
основным принципам — взаимной связи, причинности, равноприсутствия,
объективности, локальности, затухающей памяти, допустимости, а также
нулевому закону термодинамики. Наряду с этим должны выполняться
законы сохранения и второй закон термодинамики.
Суть указанных выше принципов заключается в следующем. В со-
соответствии с принципом взаимной связи сплошная среда имеет разные
состояния, которые могут быть описаны с помощью известного числа
величин (базисных), причем все остальные величины получаются из них
при помощи некоторых определяющих зависимостей. Выбор базисных ве-
величин, определяющих состояние термодинамической системы, не является
однозначным.
Если ввести понятия реактивных и активных переменных, причем
первые характеризуют реакцию материала на внешние термодинамические
воздействия, а вторые — внутренние силы, порожденные этими воздей-
воздействиями, то каждое активное переменное связано с реактивными перемен-
переменными с помощью определяющего уравнения. При этом также существует
и обратная связь, т. е. каждое реактивное переменное зависит от активных
переменных. В соответствии с принципом причинности любое активное
переменное может зависеть от настоящих и прошлых значений реактивных
переменных, но не от их значений в будущем.
Принцип равноприсутствия гласит, что если какая-либо величина
присутствует в определяющем уравнении в качестве независимого пе™
ременного, то она может присутствовать и в остальных определяющих
зависимостях.
Принцип объективности гласит, что определяющие уравнения сохра-
сохраняют свой вид при произвольных вращении и трансляции в пространстве
и времени исследуемого тела как абсолютно твердого. Смысл принци-
принципа локальности заключается в том, что значения активных переменных
и эволюционные уравнения для внутренних параметров состояния системы
в окрестности рассматриваемой точки определяются только значениями
реактивных переменных в окрестности этой точки. Если отказаться от прин-
принципа локальности, то возможно построение более сложных, нелокальных
моделей сплошной среды.
3.2. Закон сохранения массы 65
Согласно принципу затухающей памяти более отдаленные в прошлом
состояния термодинамической системы слабее влияют на значения актив-
активных и реактивных переменных в данный момент времени.
Согласно принципу допустимости все предложения, связанные с опре-
определяющими уравнениями и уравнениями эволюции внутренних парамет-
параметров состояния, должны находиться в соответствии с законами сохранения
и ограничениями, следующими из второго закона термодинамики.
Нулевой закон термодинамики гласит, что любая изолированная термо-
термодинамическая система имеет по крайней мере одно естественное состоя-
состояние, в котором может находиться неограниченно долго.
3.2. Закон сохранения массы. Положим, что в начальной конфигура-
конфигурации рассматриваемое тело занимает объем Vq и ограничено поверхностью
So- Тогда при переходе к последующей (актуальной) конфигурации это
тело будет занимать объем V и будет ограничено поверхностью S. Пусть
в начальной конфигурации объем dVo есть прямоугольный параллелепипед
с ребрами dai, da2, das, т. е. dVo = da\da2da%.
При переходе к последующей конфигурации элементарный объем
не разрушается. Он приобретает вид косоугольного параллелепипеда,
проекциями ребер которого на оси пространственной системы координат
ох\Х2хз будут dx\ , dx\ ' и dx\ . Ребро da\ элементарного параллеле-
параллелепипеда в начальной конфигурации преобразовалось в ребро с проекциями
dx\ ' в последующей, da^ — в ребро с проекциями dx\ ' и das — в ребро
с проекциями dx\ . Величина элементарного объема dV параллелепипеда
в последующей конфигурации
dV =
dx<2>) . dx<3> = e^dx^dxfdxfl C.1)
Воспользовавшись уравнениями B.6), задающими положение в про-
пространстве в момент времени t материальной точки с начальными коорди-
координатами а\, п2 , «з j выражение C.1) можно переписать в виде
dV = eijk ^i^L^l da1da2da3 = JdVOj C.2)
да\ дп2 даз
откуда следует, что якобиан характеризует относительное изменение эле-
элементарного объема сплошной среды при переходе от начальной конфигу-
конфигурации к последующей.
При переходе от начальной конфигурации к последующей тело
непрерывно изменяет плотность массы от ро(«ъ^2,аз) = dm/dVo до
р{х\, Х2, жз, i) = dm/dV, где
m
- масса тела.
= ро dV0 = \ pdV
5
66 3. Основы термодинамики необратимых процессов
Если положить, что в процессе рассматриваемого перехода обмен мае™
сой между двумя бесконечно близкими точками не происходит, то
dm = ро dVo = pdV. C.3)
Подставив выражение C.2) в равенство C.3) и сократив левую и правую
части равенства на dVo, получим уравнение
Ро = pJ, C.4)
выражающее закон сохранения массы, шли уравнение неразрывности в ма-
материальных координатах. Очевидно, что в силу независимости ро от вре-
времени d(p,J)/dt = 0.
Если рассматриваемое тело в процессе деформации не обменивается
массой с окружающей средой (закрытая термодинамическая система), то
Vo V
причем левая часть последнего равенства равна нулю. Если вычислить
полную производную по времени в правой части равенства с учетом
выражения C.3) и соотношения dJ/di = Jdvk/dxk , то
d Г Jjr d f TJjr Г d / T\jjr f (dp T . dvk Л jjr
— pdV = — pJdVo = T(pJ)dV0 = -^ J + p—J dV0 =
dt J dt J J dt J \dt oxk J
V Vo Vq vQ
dp dvk\ TJir f (dp dvk
dt dxkj J \dt dxk
Vo V
Отсюда в силу принципа локальности следует
%p |+pVx-v = 0, C.5)
dt
—закон сохранения массы (уравнение неразрывности) в пространственных
координатах. Уравнение C.5) можно записать иначе:
^ + J-{pvk) = 0, или g + Vx-(pv)=0, C.6)
ot ох к dt
где др/dt — локальное изменение плотности во времени, d(pVk)/dxk —
ее конвективное изменение.
3.3. Закон сохранения количества движения. Количеством двиэюе-
ним P(t) произвольного тела объемом V и ограниченного поверхностью S
в актуальной конфигурации называется величина, определяемая в проек-
проекциях на оси пространственной системы координат формулой
Pi(t) = I pVidV, или P(t) = f pvdV.
V V
В процессе деформации на рассматриваемое тело действуют массовые
силы интенсивностью Ь. Кроме того, на каждый элемент dS поверхности
3.3. Закон сохранения количества движения 67
действуют поверхностные силы <j(n). При этом каждая частица тела имеет
скорость v(xi,#2,X3,?). Тогда для любого объема V сплошной среды
можно записать уравнение закона сохранения количества движения, в со-
соответствии с которым скорость изменения количества движения тела равна
сумме всех действующих на это тело внешних поверхностных и массовых
сил, т. е.
i Г f Г
й \ |Т7- т и/- i (n) /п
— \ pvi dv = рщ dV + a\ } dS,
dt J J J
или
A Lv dV = I ph dV + [ 0(n) dS. C.7)
dt J J J
У У 5
Необходимо отметить, что равенство C.7) является основным посту-
постулируемым динамическим соотношением механики сплошной среды. Как
второй закон Ньютона является исходным в механике материальной точки,
так и уравнение C.7) лежит в основе механики сплошной среды и является
исходным для исследования любых движений сплошной среды.
После дифференцирования в левой части равенства C.7) получим
d ( „r d г tit/ Ы^/п! jdvil „r
— \ pvidV = — pviJdVo = \viT(pJ) +pJ-7 dVo =
dt J dt J J I dt dt J
V Vo Vo
f dvi T Jir \ dvi ЖТ f- o4
= p—JdVo = p—dV. C.8)
J dt J dt
Vo V
Подставив во второе слагаемое правой части равенства C.7) соотноше-
соотношения B.73) и перейдя от интеграла по поверхности к интегралу по объему
при помощи теоремы Остроградского^'Гаусса, получим
о\ JdS = GjifijdS = -^-dV. C.9)
J J dxj
s s v
С учетом соотношений C.8) и C.9) уравнение C.7) принимает вид
v
откуда следует локальная формулировка закона сохранения количества
движения:
dvi ddji , A
Р— ^ "^ Р^ = О,
dt dxj
или
э^-Vx -8-pb = 0. C.11)
dt
68 3. Основы термодинамики необратимых процессов
Естественно, что уравнения (ЗЛО) и C.11) при помощи соотноше-
соотношений B.54) могут быть записаны с использованием вектора перемещения
()
Локальная формулировка закона сохранения количества движения
C.11) может быть представлена в иной форме:
или
— (pv) + Vx • (pv 0 v - d) - pb = O, C.12)
dt \ '
называемой дивергентной. Уравнения C.11) легко получить из уравнений
C.12) путем вычисления соответствующих частных производных и исполь-
использования уравнения неразрывности C.6).
Для получения уравнений закона сохранения количества движения
относительно осей материальной системы координат воспользуемся со-
соотношениями B.80) и B.79). Тогда
afdS+ f pkdV = f a3ln3dS+ \ pkdV = ^
J J J J oap oxj
V S V
\ / (pj^^) dV0
J oam \ J
o = ( ^^
J \ Oam
dVo = ( ^^ + pobi) dV0.
J \ J
[Опт J
Vb Vb
Из соотношений C.3) и C.4) с учетом B.5) следует, что
Г dvi Jjr Г dvi Jir Г й2щ Jjr
] dt ] dt J dt2
V Vo Vo
Тогда уравнения закона сохранения количества движения в системе
материальных координат примут вид
d2ui dTmi ,
РрФ = 0
at2 oa
или
C.13)
Для записи уравнений C.13) можно также использовать второй тензор
напряжений Пиолы—Кирхгофа из соотношений B.81). Тогда уравнения
C.13) следует записать в виде
d2ui д
3.4. Закон сохранения момента количества движения 69
или
^(T) 0. C.14)
Уравнения закона сохранения количества движения C.11), C.13) и C.14)
иногда называют законом движения Коти.
3.4. Закон сохранения момента количества движения. Моментом
количества движения N(t) произвольного тела объемом V и ограничен-
ограниченного поверхностью S в актуальной конфигурации относительно точки о
называется величина, определяемая в проекциях на оси пространственной
системы координат формулой
Ni(t) = f eijkXjVkpdV, или N(t) = f x x YpdV.
V V
В соответствии с законом сохранения момента количества движения
полная производная по времени от момента количества движения относи-
относительно точки о равна сумме моментов действующих на рассматриваемое
тело массовых сил интенсивностью b и поверхностных сил интенсивно-
интенсивностью 0^, вызванных внешними по отношению к телу материальными
объектами, т. е.
eijkXjVkpdY = etjkXjbkpdV + е^з^ст^ dS,
dt
V V S
или
dt
fxx vpdV = fxxbpdF+ fxxo(n)d5. C.15)
V V S
При записи уравнений C.15) мы не учитывали действие на тело рас-
распределенных массовых и поверхностных пар сил (моментов). Это делается
при построении математических моделей сплошной среды, называемых
микрополярными.
Вычисляя полную производную по времени в левой части первых
уравнений из C.15), получим
—
dt J
—
dt
Vo
dxj T . dvk T . d
-^-VkpJ + Xj—pJ + XjVk —
dt dt dt
dvk T . d , Txl „
Xj—pJ + XjVk — (pJ)\ d
dt dt J
dvk
)pdV« C.16)
dt /
V
Переходя во втором слагаемом в правой части тех же уравнений из C.15)
с помощью теоремы Остроградекого-Гауеса от интеграла по поверхности
70 3. Основы термодинамики необратимых процессов
к интегралу по объему, получим
(п)ш Г ,о Г д
ijkXjdl JdS = eijkXjamknmdS = eijk-—
J J OX
V S V
¦nl-r» • Л/-г i \
V. C.17)
\ J
V
Подставив результаты вычислений из C.16) и C.17) в первую группу
уравнений из C.15), с учетом уравнений C.11) получим
( j k i датк
eijk Pv + PX XPb X
Г
eijk P^7vk + PXJ^T XjPbk XJ^TT
J \ at at дхт дх
v
Г \ ( dvk i ddmk \ , f dxj dxj M it г
= eijk \xj p— - pbk - — + p—fvk - -^-(Tmk )\d\ =
J [ \ dt dxm J \ dt dx J J
V
= j
v
Поскольку 6ijkVjVk =0F123^2^3+6132^3^2=0, так как ei23 = ^ei32 = 1
и т. д.), то интегральная формулировка закона сохранения момента количе-
количества движения сплошной среды в пространственной системе координат
принимает вид
\eijkajkdV = 05
v
откуда, в силу принципа локальности, следует локальная формулировка
этого закона:
ajk^akj =0. C.18)
Соотношения C.18) устанавливают симметрию тензора напряжений
Коши при эйлеровом способе описания движения и отсутствии распре-
распределенных объемных и поверхностных пар сил.
Для получения локальной формулировки закона сохранения момента
количества движения в системе лагранжевых координат воспользуемся
соотношениями B.80), откуда следует равенство
Т дхк _ т dxj
1mj ~ — J- mk л
oam оат
Если в качестве материальной меры напряженного состояния использо-
использовать второй тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа, то, с учетом соотноше-
соотношений B.81), получим
dxj дхк^ _ дхк dxj ~
даш oai oai oam
Симметрия тензора Т из последнего равенства очевидна.
3.5. Закон сохранения энергии 71
3.5. Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии {первый
закон термодинамики) гласит, что скорость изменения во времени полной
энергии Е произвольного объема сплошной среды равна сумме мощности
W действующих на термодинамическую систему механических сил и из-
изменений всех других энергий Qa термодинамической системы в единицу
времени:
^=W + Y,—- C-19)
а
В общем случае dQa/dt представляют собой мощности тепловой,
электромагнитной, химической и др. видов энергии, поступающей в рас-
рассматриваемую термодинамическую систему в единицу времени.
При исследовании термомеханических явлений мы, в основном, имеем
дело с механической энергией и ее превращением в теплоту и наоборот.
Поэтому из всех Qa будем рассматривать только один вид немеханической
энергии — тепловую Q, так что C.19) принимает вид
^Е = \у + ^. C.20)
dt dt y J
Полная энергия представляет собой сумму кинетической
- [ pv^ dV, или К = - [ pv • v dV, C.21)
и внутренней
2
V V
U = \pudV C.22)
v
энергий, где и — массовая плотность внутренней энергии.
При записи соотношения C.21) не учитывались слагаемые, определяю-
определяющие вклад в кинетическую энергию, связанный с вращением, так как мы
не рассматриваем распределенные поверхностные и массовые пары сил.
Сумма скоростей работы (мощность), совершаемой над системой, со-
стоит из двух слагаемых. Первое представляет собой мощность сил, дей-
действующих на поверхность S, ограничивающую рассматриваемое тело:
7t(n4dS, или W{1) = J0(n) • YdS, C.23)
s s
а второе — мощность объемных сил:
W{2) = f phvi dV, или W{2) = [ph-vdV. C.24)
V V
Количество теплоты dQ/dt, которое приобретает тело в единицу вре-
времени, образуется также из двух частей:
^ = \ prdV C.25)
J
dt
72 3. Основы термодинамики необратимых процессов
— теплоты, полученной за счет взаимодействия объема рассматриваемого
тела с окружающей средой, где г — массовая плотность мощности тепло-
тепловых источников (стоков), и
B) dOB) г
или = — q • ndS, C.26)
dt J dt
s s
— теплоты, приобретенной телом за счет взаимодействия с окружающей
средой через граничную поверхность 5, где q — вектор плотности тепло-
теплового потока с компонентами qi.
Уравнение C.20) с учетом соотношений C.21 )-C.26) принимает вид
— - pViVi dV+— pudV = &iVidS+ pbiVidS— qiUidS-\- pr dV.
dt 2 J dt J J J J J
V V S V S V
C.27)
Уравнение C.27) представляет собой интегральную формулировку за-
закона сохранения энергии для любых термомеханических процессов, проте-
протекающих в теле объемом V и ограниченном поверхностью S.
Преобразуем первое слагаемое в левой части уравнения C.27):
— - \pViVidV = \Vi—pJdVo + - \viVi — (pJ)dV= [pvi—dV.
dt2 J F ] dtH 2 J dtw J J dt
v Vo V V
C.28)
Далее,
C.29)
v Vo VQ V
Первое слагаемое в правой части уравнения C.27) преобразуем следую-
следующим образом:
daji~ ¦ - ""' ldV =
V V
dV = I (^-Vi + аяуЛ dV, C.30)
V V
где dvi/dxj = Уц + Wij. При записи соотношения C.30) учтено очевидное
равенство
v
Наконец, третье слагаемое в правой части уравнения C.27) преобразуем
так:
\qinidS= ^-dV. C.31)
J J дхъ
3.5. Закон сохранения энергии 73
Подставляя результаты преобразований C.28)-C.31) в уравнение C.27),
получим
pVi^—d\ + p— dv = -^-Vi + (Tuva dv +
J dt J dt J V&z,- V
V V V
Г f t^i Г
J J ^ж^ J
V у У
откуда после приведения подобных членов и с учетом равенства (ЗЛО)
следует
К, гч \
du лг oqi \ ,т/ п
/5 (JjiVij H рг ] dv = и.
dt ажг /
В силу принципа локальности из последнего соотношения следует
локальная формулировка закона сохранения энергии:
р— = dji l/jj h рг, или р— = 0 •• V — Vx • q + pr. {6.61)
dt dxi dt
Если воспользоваться соотношением B.67), связывающим тензор гра-
градиента скорости с эйлеровым тензором скоростей деформации, то уравне-
уравнения C.32) примут вид
du _ j^ dEjm j^ dqi
P CjimkT
dt dt
или
^5 r. C.33)
at dt
Закон сохранения энергии в системе лагранжевых координат имеет вид
' dt J dt J da
или ^
du = ^ dJL g _ ^ / _ gTN + ^r
dt dt \ /
При записи уравнений C.34) использованы соотношения B.66), B.79)
и B.80). Если в качестве реактивной переменной использовать второй
тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, то в силу соотношений B.83) закон
сохранения энергии в локальной формулировке будет иметь вид
du _ m dLmk д
dt m dt даГ1
или
Po^=T-^-\7a-q.Q+Por, C.35)
at at
где q0 (a, t) = Jq(x, t) • Нт.
74 3. Основы термодинамики необратимых процессов
Наконец, последняя форма представления закона сохранения энергии -
дивергентная — имеет вид
д
или
,г„, [pevj - (TjiVi + &) - pkvi - pr = О,
— (ре) + Vx • (pev ^S-v + q) ^ pb • v ^ pr = 0, C.36)
где e = ViVi/2 + и — массовая плотность полной энергии.
Уравнение C.32) может быть получено из C.36) путем очевидных
преобразований с учетом выражений C.6) и C.12).
3.6. Второй закон термодинамики. Одной из основных и фундамен-
фундаментальных характеристик любой термодинамической системы является то,
насколько она холодна или горяча в данный момент времени. Степень
охлаждения или нагрева описывают с помощью понятия температуры.
В классической термодинамике понятие температуры вводят для равно-
равновесного состояния термодинамической системы. При этом постулируют,
что две системы, каждая из которых находится в равновесии с третьей
системой, находятся в равновесии и между собой. Можно показать, что
равновесие трех систем означает существование у них для задания со-
состояния термодинамической системы общего переменного, называемого
температурой. Любая из этих трех систем может играть роль термометра,
который показывает температуру на некоторой удобной, но произвольной
шкале. Таким образом, температура Т — вещественное число, показыва-
показываемое термометром.
Все имеющиеся экспериментальные данные свидетельствуют о том,
что каков бы ни был масштаб используемого термометра, существует
температура, ниже которой никакая термодинамическая система не может
быть охлаждена, т. е. температура ограничена снизу. Если точная нижняя
грань принята за нуль, то температуру называют абсолютной и при любом
масштабе
Г>0.
Наряду с абсолютной температурой Т будем считать фундаментальным
свойством всех термодинамических систем энтропию Н. Энтропией будем
называть термодинамическую функцию состояния системы, определяю-
определяющую меру необратимого рассеяния энергии.
В классической термостатике понятие энтропии вводят следующим
образом. Пусть SQ — бесконечно малое количество теплоты, получаемое
термодинамической системой при соответствующих значениях абсолютной
температуры Т. Тогда для системы, совершающей бесконечно медленно
циклический процесс, выполняется равенство
3.6. Второй закон термодинамики 75
Смысл данного равенства заключается в том, что выражение
Т
представляет собой полный дифференциал. В дальнейшем понятие энтро-
энтропии было обобщено на необратимые процессы, для которых
т
и 6Q/T по-прежнему остается полным дифференциалом.
Из этого неравенства следует, что
в
Sf C-37)
и интегрирование ведется вдоль пути любого необратимого термодинами-
термодинамического процесса, связывающего состояния А и В. Очевидно, что разность
В. в ~~ На не зависит от пути интегрирования.
Введенное таким образом понятие энтропии применимо к исследо-
исследованию ограниченного класса термодинамических явлений. Неравенство
C.37) применимо только для квазистатических процессов, т. е. процессов,
протекающих бесконечно медленно. Оно дает возможность оценить меру
необратимости этих процессов, но не позволяет получить ограничения на
определяющие уравнения, описывающие изменения термодинамических
параметров и переменных системы.
В дальнейшем будем полагать энтропию Л, наряду с абсолютной
температурой Т, фундаментальным свойством любых термодинамических
систем. Энтропия — аддитивная функция, присущая любому количеству
материи, т. е. энтропия любого тела объемом V и ограниченного поверхно-
поверхностью S равна сумме энтропии его частей. Для сплошной среды полагают,
что Н — непрерывная функция и
Н=
= \phdV
где h — массовая плотность энтропии.
Изменение энтропии термодинамической системы происходит как
вследствие изменений, происходящих внутри системы, так и в результате
взаимодействия с окружающей средой. Тогда полное производство энтро-
энтропии в теле в единицу времени определяется формулой
Г= — ^ Г psdV + \i\-ndS, C.38)
dt J J
V S
где s — поступление энтропии за единицу времени на единицу массы от
внутренних источников; ц — вектор потока энтропии, п — единичный
вектор внешней нормали к поверхности S.
76 3. Основы термодинамики необратимых процессов
Соотношение C.38) дает возможность постулировать второй закон тер-
термодинамики в форме неравенства Клаузкуса—Дюгема: общее производство
энтропии в термодинамической системе всегда неотрицательно, т. е. Г ^ 0.
Это означает, что
— ^ \psdV -\x\4idS, C.39)
dt j J
V S
т. е. скорость изменения энтропии Н термодинамической системы всегда
не меньше суммы производства энтропии внутренними источниками и при-
притока энтропии через граничную поверхность.
Переходя в неравенстве C.39) от интеграла по поверхности к интегралу
по объему и используя уравнение C.6), в силу принципа локальности
получаем
Величины ц и s можно представить в виде
Ч=^+% s=^ + s, C.41)
где q/T — приток энтропии, обусловленный притоком теплоты, г/Т —
производство энтропии внутренними источниками теплоты, ц и s —
соответственно приток и производство энтропии, обусловленные всеми
прочими эффектами.
Простым термомеханическим процессом называют такой процесс, в ко-
котором fj = 0 и s = 0, так что неравенство Клаузиуса-Дюгема принимает
вид
^dh . % , 1 ОТ ,
F dt ' дхг ТЧ dxi F
или
pT^^-Vx-q+iq-VxT + pr. C.42)
at 1
Отметим, что в дальнейшем мы будем рассматривать в основном про-
простые термомеханические процессы.
Если воспользоваться системой лагранжевых координат, то неравенство
Клаузиуса—Дюгема C.42) примет вид
^dh . dqoj ,1 ОТ
РоТ— ^ -—^ + -goj— + Рог,
dt daj T daj
или
РоТ— ^ ^Va • qo + ^qo * VaT + por. C.43)
Второй закон термодинамики (неравенство Клаузиуса-Дюгема) можно
записать и в дивергентной форме:
3.6. Второй закон термодинамики 77
или
jt(ph) + Vx • (ph-v + Я) _ EL z 0. C.44)
В дальнейшем мы будем часто использовать еще одну термодинами-
термодинамическую функцию — свободную энергию. При этом массовая плотность
свободной энергии А связана с массовой плотностью и внутренней энергии
преобразованием Лежандра:
A = u-Th. C.45)
Смысл введения в рассмотрение нового активного переменного А за-
заключается в следующем. Аргументом активного переменного А является,
наряду с другими аргументами, абсолютная температура Т — эксперимен-
экспериментально определяемая величина. Аргументом же активного переменного и
является, наряду с другими аргументами, массовая плотность энтропии h —
величина в принципе экспериментально не определяемая. Поэтому есте-
естественно стремление иметь в числе аргументов рассматриваемых активных
переменных те реактивные переменные, которые могут быть определены
экспериментально.
Если продифференцировать левую и правую части равенства C.45) по
времени и полученный результат объединить с уравнением C.32), то закон
сохранения энергии примет вид
TdhdqL+ + 5 j Vx-q + /or + 5, C.46)
pT+pr + 5^ ШИ ^j Vxq + /or + 5
dt dxi dt
x лт (dA . udT\ x - л> (dA . i,dT\
где S = al3Vl3 - p(- + h-) , или S = о - V - p[- + h-)9 -
диссипативная функция, определяющая необратимое рассеяние энергии
в термодинамической системе при необратимых процессах.
Вычитая далее из неравенства C.42) равенство C.46), получим общее
диссипативное неравенство:
1 ВТ 1
gi—+cf^O, или q-VxT + cf^0. C.47)
1 UX i 1
При применении лагранжевых координат диссипативная функция имеет
вид
х (ф тлЛ dL (dA ,dT\
v ; dt \dt dt J
если используется первый тензор напряжений Пиолы—Кирхгофа. Если же
использовать тензор Т, то
6 ip( + h
dt F\dt dt
Общее диссипативное неравенство C.47) легко может быть записано и
в системе лагранжевых координат.
78 3. Основы термодинамики необратимых процессов
3.7. Основные подходы к построению математических моделей
в межанике сплошной среды. В зависимости от структуры материала
рассматриваемого тела (например, кристаллической, аморфной, высоко-
высокомолекулярной и т. д.) приложенные внешние механические и тепловые
нагрузки вызывают определенные структурные изменения.
Для поликристаллических материалов внешние термомеханические
воздействия вызывают появление в кристаллографических плоскостях ка-
касательных напряжений, которые являются причиной движения линейных
дефектов (дислокаций). На макроуровне движение дислокаций приводит к
возникновению неупругих деформаций. У материалов с высокомолекуляр-
высокомолекулярной структурой приложение внешней нагрузки вызывает раскручивание
и переориентацию молекулярных цепей, происходит перераспределение
молекулярных сегментов между упорядоченной и неупорядоченной частя-
частями полимера.
В том случае, когда характерное время изменения внешней нагрузки
играет существенную роль, при разработке математических моделей в ме-
механике сплошной среды необходимо учитывать скоростные эффекты как
при описании деформации, так и при описании процесса распространения
теплоты. Поскольку при любом внешнем воздействии изменяется вну-
внутренняя энергия тела, для реальных материалов этот процесс обусловлен
изменением структуры — происходит переход от одного термодинамиче-
термодинамического состояния к другому. Если характерное время изменения внешней
нагрузки близко ко времени перехода термодинамической системы в новое
состояние, то учет изменений структуры на микроуровне необходим.
Процессы, происходящие в сплошной среде на микроуровне, проявля-
проявляются на макроуровне. Однако зачастую нас интересуют только некоторые
аспекты этих процессов. В таких случаях целесообразно использовать
упрощенные модели, отражающие лишь те свойства тел, которые представ-
представляют особый интерес. При других условиях нас могут интересовать иные
аспекты взаимодействия тел, и мы можем использовать другие модели.
Таким образом, каждому реальному телу можно сопоставить совокупность
моделей, которые описывают отдельные стороны его сложного поведения.
Для получения определяющих уравнений математических моделей
в механике сплошной среды в настоящее время используются три основные
подхода, базирующиеся на рассмотрении сред с внутренними параметрами
состояния, сред с памятью и сред скоростного типа.
Рассмотрим первый подход. Предположим, что состояние рассматрива-
рассматриваемой сплошной среды в окрестности любой материальной точки определя-
определяется четырьмя термодинамическими функциями — активными переменны-
переменными: массовыми плотностями свободной энергии А и энтропии /г, вторым
тензором напряжений Пиолы—Кирхгофа с компонентами Tji и вектором
плотности теплового потока с компонентами goi? hj = 1,2,3. Аргумен-
Аргументами этих функций будем считать следующие реактивные переменные:
тензор конечной деформации Грина с компонентами L^u абсолютную
температуру Т, материальный градиент температуры, компоненты которого
3.7. Основные подходы к построению математических моделей 79
fc = дТ/dak, и внутренние параметры состояния х^а\ х[\ Хм (а =
19 1'9 1")*/ 123
Физический смысл этих параметров устанавливается в каждом конкрет-
конкретном случае. Тогда
A = A(Lkl,T,0k,X(a),X<i?) ,xiT),
Для определения внутренних параметров состояния термодинамиче-
термодинамической системы постулируем, что скорости их изменения определяются
только состоянием системы:
dt
dt
и Т ?9, v(a) v(/3)
*>?l-Jf»(T.,, та. л» jn vbh
i T
Объединяя соотношения C.45) и уравнение C.35), получаем
ЗА dLij , dAdT ЗА dx{a) , дА dxf] ,
^~T+Pofl[^Po +p0 +
dt +p0%f) dt +
- dLij . dqOt
dt dt ' " dt J" dt dai
Вычитая далее последнее выражение из неравенства C.43), находим
дА ~ \ dLij (дА Л dT дА dx{a)
F ^т 3) dt F \дТ J dt И дХ^ dt
дА dxf] дА dx^ дА d'&l дТ qOl . Л /о САЧ
~ ^°ТГ7Ж^^ ^0^7^Т^7 Р°^^7 ~ ^^Г ^ °- С3-50)
OX' dt @X Ovi at UGLi 1
Это неравенство линейно по отношению к скоростям изменения ре-
реактивных переменных, которые или не являются определяющими пере-
переменными ( dLij/dt, dT/dt и dfii/dt), или заданы уравнениями C.49). Так
как второй закон термодинамики справедлив для произвольных скоростей
процессов, достаточным условием справедливости неравенства C.50) яв-
являются равенства
Тн = ро^—, h = —^, — = 0 C.51)
80 3. Основы термодинамики необратимых процессов
и неравенство
дА dxM , п дА d^P дА dx\f дТ qoi
C'52)
Из неравенства C.52) следует, что уравнения C.49) не могут быть произ-
произвольными, конкретная их форма должна выбираться с учетом неравенства
C.52). Отметим, что диссштативная функция в неравенстве C.52)
х дА dx(a) дА dxf] дА dx\]}
Записав уравнение закона сохранения энергии C.46) в системе лагран-
жевых координат и воспользовавшись равенствами C.51), получим
dh dLl3 dh dX(a) dh dXf]
дТ2 dt r \dLij dt дхм dt dXf] dt
dh dXi] \ dqoi i л И S4\
dx*lp dt I dai
Слагаемые, заключенные в скобки в правой части C.53), характеризуют
термомеханическую связанность процессов теплопроводности и деформа-
деформации и изменения внутренних параметров состояния.
При использовании второго подхода для построения математических
моделей в механике сплошной среды определяющие уравнения, связываю-
связывающие активные и реактивные переменные, имеют интегральный вид:
s=t
h= Ж
s= — оо 1
C.54)
ГТ1 ЛГ"
Iji — J ji
s=—-oo L
8 = t
где каждое из активных переменных
"л [¦]= [[-]d8, -К [•]= [[•]<**,
s= — оо J s= — оо
— оо —оо
—tt —t
[
Ъг [•]= [ Hds, Qi [•]= [ l-]
= [ l-]ds
есть функционал — отображение множества функций L^i(x,s), T(x, s)
и 1?^(х9 s) в множество действительных чисел. Подынтегральные функции
3.7. Основные подходы к построению математических моделей
81
, s), T(x, s) и ^(х, s) непрерывны при t G (^оо, оо) и, кроме того,
{^t) -> 0,T(x,t) ^ Гои0*(х,*) -> 0.
t—>¦ — (X) t—> —СЮ t—> —СЮ
Рассмотрим пространство IX упорядоченных троек:
> е/, Г, ^efe) G И,
где A(t) —локальное состояние рассматриваемой среды. В пространстве IX
введем норму:
Под локальной историей окрестности произвольной материальной точ-
точки сплошной среды будем понимать совокупность всех прошлых локальных
состояний:
A*(s)=A(*-s), s >0.
В соответствии с принципом затухающей памяти состояние, более
отдаленное в прошлое, слабее влияет на локальное состояние среды в
данный момент. Это можно учесть с помощью функции памяти 72(s)?
которая является монотонно убывающей, ограниченной, положительной
и интегрируемой с квадратом:
ds < +оо,
+00-
Обозначим через Ж пространство локальных историй, для которых
норма
Л(-)
-О
1/2
является конечной величиной. Если ввести скалярное произведение:
то пространство Ж превратится в гильбертово пространство. Норма разно-
разности двух историй тогда имеет вид
(A\{s)-K\{s))ds
-О
1/2
C.55)
Так как J2(s) — убывающая функция, то из соотношения C.55) следует,
что более отдаленные во времени различия локальных историй меньше
влияют на норму.
В более общем виде определяющие уравнения сред с памятью могут
быть представлены с помощью функционалов вида
Г = Гр1(*),А^I = *у* |л(*),А*(вI, C.56)
82 3. Основы термодинамики необратимых процессов
где локальное состояние A(t) и локальная история A}{s) принадлежат
соответственно нормированным пространствам 11иИ.
В дальнейшем нам потребуется некоторое обобщение операции диффе-
дифференцирования функций.
Говорят, что функция /: Ж ->> Ж дифференцируема в Ж, если существует
функция /;: Ж ^> Ж такая, что
lim f/(* + *>-/<*) - f'{x)) _> 0.
\ h )
- f'{x))
)
Пусть g: Ж3 —» R. Обозначим через у произвольный вектор из Ж3.
Производной по направлению у называют функцию —g: Ж3 х Ж3 -> Ж,
которая определяется равенством
-g(x)_%(xA
Обобщением производной по направлению в функциональном про-
пространстве является производная Гато. Пусть ? и S — два банаховых про-
пространства и пусть задана функциональная зависимо стьГ: IK —>¦ 8,где!К —
открытое подмножество ? Производной Гато называют функциональную
зависимость dF(x)(y): Ж х ? —>• S5 где !Кх ? — прямое произведение
множеств, которая определяется равенством
lim (F(x + ay)-F(x) _ ^(х)(уЛ _, 0> х G И; у G ?. C.57)
Величину dF(x)(y) принято называть слабой производной.
Если предельный переход в C.57) совершается по норме, то производная
называется сильной, или производной Фреше: dF(x | у). Если производная
Фреше существует, то она является и производной Гато. В свою очередь,
если производная Гато существует и непрерывна в точке х, то она является
и производной Фреше, т. е.
dF(x|y)=<*F(x)(y).
В дальнейшем ограничимся только этим случаем. Рассмотрим полную
производную по времени от функционала C.56):
т lim A(,)]
dt а^о а К J
С помощью выражений для скорости изменения состояния: A(t) =
= dA(t)/dt, и скорости изменения истории:
?,ч г А(з)^А\з)
A(s) = lim ^ ^^ = lim
a
уравнение C.58) можно представить в виде
-F(t) = lim
dt a™
3.7. Основные подходы к построению математических моделей
83
являющемся определением производной Гато. Следовательно, полную про-
производную по времени от определяющего функционала можно представить
как
C.59)
где
дА
С помощью первого соотношения из C.54) и C.59) диссипативное
неравенство типа C.47) можно представить следующим образом:
дА
~~ Р-
дА
dt
C.60)
Достаточные условия справедливости неравенства C.60) для произ-
вольного термодинамически допустимого процесса имеют вид
C.61)
C.62)
Неравенство C.62) является формулировкой второго закона термодина»
мики для сплошной среды с памятью.
Для получения определяющих, уравнений, базирующихся на рассмот-
рассмотрении сред скоростного типа, к числу реактивных переменных добавляют,
например, скорость изменения тензора деформации 'Грина, скорость изме-
нения абсолютной температуры и т. д. Тогда
iLhj rr, dT n
= а(ьы,**?
V dt
¦ = h(Lu,*%L
\ at
dt
dT
Tji =
dLk
dT
C.63)
7
at
' cft'^'-'-')-
84 3. Основы термодинамики необратимых процессов
В предельном случае, когда скорости dLki/dt, dT/dtj... стремятся к
нулю, определяющие уравнения принимают вид
А = A°(Lkl, T, #Л,...), h = h°(Lkh T, t?fc,...),
Тц = Т^Ьы, T, tffc,...), qoi = qm(Lki, T, dk,...).
Для отличных от нуля скоростей изменения переменных можно записать
где верхний индекс "?)" соответствует диссипативным величинам.
Для сред скоростного типа последовательность получения диссипатив-
ной функции, диссипативного неравенства и соотношений, связывающих
активные и реактивные переменные, аналогична рассмотренной ранее.
Особенности получения соответствующих соотношений при изучении
конкретных моделей сплошной среды скоростного типа будут достаточно
подробно рассмотрены ниже.
Три основных рассмотренных подхода к построению математических
моделей в механике сплошной среды представляют большое разнообра-
разнообразие вариантов для моделирования при исследовании реальных процессов,
протекающих в сплошной среде. Наиболее общий подход — модель среды
с памятью — обеспечивает и наиболее широкие возможности. Основной
недостаток этого подхода состоит в том, что за математическим формализ-
формализмом не всегда ясно видна физическая суть изучаемых явлений.
Преимущество модели среды с внутренними параметрами состояния
заключается прежде всего в том, что она дает возможность связать ма-
макроскопическое поведение сплошной среды с процессами, протекающими
на микроуровне. Среды с внутренними параметрами состояния можно
рассматривать как частный случай сред с памятью, поскольку они приводят
к сходным интегральным зависимостям.
Можно показать, что среды скоростного типа также являются частным
случаем сред с памятью. Для этого рассмотрим функциональное соотно-
соотношение
со
Y(t) = f K(» ¦ Х(* - s) ds. C.64)
о
Если допустить, что функция памяти К убывает очень быстро, то ее
можно представить рядом
К(в) = K05(s) + кЛб(8) + K2^S(a) + ...,
где S(s) — дельта-функция Дирака, а коэффициенты Ка (а Е N) не
зависят от s. Случай нулевой памяти следует отсюда, если учесть только
первый член в разложении — Ко, а случай бесконечно короткой памяти —
при учете Ко и Ki. Соответствующая аппроксимация функциональной
3.8. Условия на поверхности сильного разрыва 85
зависимости C.64) имеет вид
at
Последнее соотношение показывает, что среды скоростного типа можно
рассматривать как среды с бесконечно короткой памятью. Главный недо-
недостаток моделей сред скоростного типа состоит в том, что они не позволяют
учесть релаксационные процессы.
3.8. Условии на поверхности сильного разрыва. Одной из особен-
особенностей, представляющих интерес при решении задач механики сплошной
среды, является возникновение в исследуемом теле поверхностей, на ко-
которых могут быть разрывны искомые функции или их производные. Если
при переходе через такую поверхность разрывны только производные или
по координатам, или по времени, то разрыв называют слабым.. Если же
разрывны искомые функции, то разрыв называют сильным или ударной
волной — если сильный разрыв подвижен.
В общем случае условия на поверхности разрыва можно получить, исхо-
исходя из законов сохранения, записанных в интегральной форме. Из замкнутой
системы дифференциальных уравнений, описывающих некоторые явления
в рамках используемой модели поведения сплошной среды, условия на
поверхности разрыва не могут быть получены предельным переходом от
непрерывных движений к разрывным. При рассмотрении конкретных задач
с возникающими в процессе решения разрывами используют две формы
записи законов сохранения и второго закона термодинамики: интегральную
и дивергентную, которой соответствуют уравнения C.6), C.12), C.36)
и неравенство C.44).
Законы сохранения, записанные в дивергентной форме, в общем случае
имеют вид
Ци) = ^ + Vx-Q + R = 0. C.65)
dt
Здесь P(x,i,u), Q(x,i,u) — дважды непрерывно дифференцируемые
тензорные функции аргументов х, t в области определения G С Ж3 х в, где
Ж3 — евклидово пространство, а 9 — множество всегда положительных
значений времени, t Е [0, сю), и искомой тензорной функции u(x,t) —
в некоторой заданной области. Заметим, что ранг тензорных функций Р
и R на единицу меньше ранга Q.
Введем в области G, в которой рассматривается u(x, t), произвольные
гладкие тензорные "пробные функции" w(x, t), с рангом, равным рангу Р
и R, тождественно равные нулю вне и на границе некоторой подобласти
Но области G, Щ с Ж3 х ЛО, где А в — множество значений времени
t G [t\, ?2], а ?1, ?2 — некоторые фиксированные моменты времени. Тогда
Но
86 3. Основы термодинамики необратимых процессов
Для гладких тензорных функций и теорема Остроградского-Гаусса дает
Г w(x,i) .....L(U)dFdt= [ f—(w....-Р) - — .....P+
J J \dt dt
+Vx - (w - ... • Q) - (Vx • w) - ... • Q + w • ... - R,) dV dt =
f (w • ... • Pnt + w • ... • Q • n\ dSdt-
- f f— ..... P + (Vx • w) ..... Q - w ..... R.) dFdt, C.66)
J ^ dt /
где 9i?o — граница области Hq^h — единичный вектор внешней нормали
к граничной поверхности S рассматриваемого тела, щ — проекция вектора
нормали пя0 {п\ 7П27пз7щ) к дН® на ось времени. В силу равенства w(x, t)
нулю на ОН® получим
— •...• Р + (Vx • w) •...• Q - w •...• r) dVdt = 0. C.67)
dt /
Обратно, если зависимость C.67) справедлива для некоторой непрерыв-
непрерывно дифференцируемой функции и и для всех допустимых пробных функций
w, то, применяя к C.67) еще раз теорему Остроградского-Гаусса, получаем
w(x, t) • ... • L(u) dV dt = 05
Ho
откуда следует, что L(u) = 0. Функцию u(x, t) называют слабым реше-
решением, если она кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые
производные, и если соотношение C.67) выполняется для всех допустимых
пробных функций w и для всех подобластей Н® С G.
Пусть <р(х, t) = 0 — уравнение поверхности разрыва Ф функции u(x, t)
и ее производных, разделяющей область Яо на две части — Hq и Hq .
Тогда, с учетом соотношения C.66), имеем
w(x, i) • ... • L(u) dV dt = w(x, t) • ... • L(u)
Ho H(D
f w(x,t) .....L(u)d5dT= f
(^-...•P + (Vx-w)-...-Q-w-...
3.8. Условия на поверхности сильного разрыва
87
™
¦Q-
дН
+ w-...-(Pnt + Q-n)dSdT =
фB)
w ¦
фB)
где 8Hq =
U 8H
ничивающие области
q ,
и
и
х, t) =
)l } — поверхности разрыва, огра™
соответственно, а уравнения этих
и (f^ (x, t) = у?(х, t). Поскольку п^ ^ =
поверхностей
= —п\ ' и п^ = —п^2), где индексы 1 и 2 связаны с соответствующими
поверхностями разрыва, то
w(x, t) • ... • ([P]^t + [Q] • n) dSdt = 0
ф
и, следовательно, соотношение на поверхности разрыва будет иметь вид
w(x5 *)..... ([Р]га* + [Q] • n) dS dt = 0, C.68)
где [Р] и [Q] — скачки функций Р и Q при переходе через поверхность
разрыва.
В дальнейшем всегда будем обозначать параметры движения сплошной
среды на одной стороне поверхности Ф индексом 1, а на другой — индек-
индексом 2. Выберем нумерацию сторон
Ф таким образом, чтобы направле-
направление нормали соответствовало пере-
переходу со стороны 2 на сторону 1, т. е.
[Р]=рA)_рB))
Проиллюстрируем приведен™
ные рассуждения. Вследствие дви-
движения поверхность разрыва Ф,
заданная уравнением у?(х, t) =
= 0, в различные моменты вре-
времени t и t + At занимает различ-
ные положения Ф и Ф; (рис. 3.1).
Выберем на Ф в момент времени t некоторую точку М и предположим,
что в этой точке однозначно определена нормаль к Ф. Единичный вектор
^ис-
3. Основы термодинамики необратимых процессов
нормали п в пространстве Ж3 в точке М к поверхности Ф направим по
вектору MN, где точка N является точкой пересечения поверхности Ф;
с нормалью к Ф в точке М. Знак функции <р(х) определим из условия
(/?(хм, i) = 0, (p(xN,i) > 0, где хм, хдг — радиусы-векторы точек М и N
в момент времени t. Поэтому
п =
Скоростью перемещения в пространстве поверхности Ф в точке М
называют вектор D, нормальный к Ф и определяемый как предел:
D = n lim —. C.69)
At^O At
Если уравнение поверхности разрыва задано, то вектор D легко вычис-
вычислить: обозначая через щ = —^- компоненты единичного вектора п,
dxi | grad 9^|
можно записать
<р(х + ММщ t + At) = О,
откуда с точностью до малых высшего порядка получим
MN^m + ^-At = 0, или MN\ grad^l + ^-At = 0.
dxi dt dt
Пользуясь последним равенством и следуя определению C.69), находим
. C.70)
Определим проекцию единичного вектора нормали к поверхности Ф
на ось времени:
д<р 1
dt |
dt | grad у? |
Тогда, сравнивая последнее равенство и C.70), получим
щ = -D,
где D — модуль вектора D, и условие C.68) на поверхности разрыва примет
вид
-Z)[P] + [Q] -n = 0. C.71)
Если ввести вектор относительной скорости С = v — D5 где v — вектор
скорости движения частиц сплошной среды относительно выбранной непо-
неподвижной системы координат 0x1^2^3, то условие на поверхности разрыва
примет вид
[P](C-v) + [Q]-n = 0, C.72)
где С = |С|, v = |v| = УгЩ.
3.8. Условия на поверхности сильного разрыва 89
Применим последнее равенство к законам сохранения и второму закону
термодинамики. Если записать условие C.71) для уравнения неразрывности
C.6), то с учетом C.72) получим
[Р](С - vim) + mlpvi]
-pWv^m + p^v^ni + p^v^ni-p^v^m = pVcW-pWcW = 0,
то есть
[pC] = 0. C.73)
Проделав аналогичные преобразования для условий на поверхности
разрыва применительно к уравнениям законов сохранения количества дви-
движения C.12) и энергии C.36), получим, соответственно,
[/WiC] + ri^-i] = 0, C.74)
[реС] + rijl-ajiVi + qj] = 0. C.75)
Условие на поверхности разрыва применительно к неравенству
Клаузиуса—Дюгема C.44) имеет вид
[РкС] + пг[т1Т]^о. C.76)
Если рассматривать условия на поверхности разрыва в "собственной"
системе координат, связанной с исследуемой точкой поверхности разры-
разрыва Ф, в которой D = 05 то выражения C.73L3.76) примут вид
И = о,
Hjlpevj - (TjiVi + qj\ = U,
Умножив второе равенство из C.77) на щ, с учетом первого равенства
из C.77) получим выражения для модулей векторов скоростей частиц до
и после поверхности разрыва:
где а = ajifiifij. Отметим, что v^ = D.
Из третьего равенства C.77) следует, что изменение внутренней энергии
единицы массы сплошной среды при переходе через поверхность разрыва
выражается условием
2 i а + а ) 1 — - — ) + > C-79)
которое получено с учетом соотношений C.78) и m =
В том случае, когда передачей теплоты при рассмотрении условий
на поверхности разрыва можно пренебречь, qi = 0, соотношения C.77)
90 3. Основы термодинамики необратимых процессов
переходят в соотношения Гюгонио. Соотношение C.79) при q^ = qB) =
= 0 носит название адиабаты Гюгонио.
Изложенный общий подход может быть применен к исследованию
поверхностей разрыва, возникающих в случае использования тех или иных
определяющих уравнений сплошной среды. В том случае, когда поведение
исследуемой среды описывается линейными уравнениями, поверхности
разрыва возникают только при разрывных краевых условиях.
4. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОУПРУГАЯ
СПЛОШНАЯ СРЕДА
4.1. Классическая термоупругость. Рассмотрим де-
деформируемое твердое тело — сплошную среду, имеющую хотя бы
одно естественное состояние, занимающее объем V и ограниченное
поверхностью S. Под действием тепловых и механических нагрузок
в теле возникают деформации и напряжения, изменяется температура.
При отклонении температуры Т(х, ?) от температуры То = const
естественного состояния в теле возникают температурные деформации,
определяемые тензором, температурной деформации ег ' с компонентами
e\j . Будем полагать, что связь между компонентами тензора напряжений
оц, компонентами тензоров деформации ец и температурной деформацией
e\j линейна. Положим также, что \\dui/dxj11 <С 1, |\e\j || <С 1 и лагранжев
и эйлеров способы описания движения сплошной среды эквивалентны,
поэтому (*) = d(-)/dt = d(-)/dt. В этом случае вектор перемещения
можно рассматривать как векторное поле, тензор деформации — как
тензорное поле, определенные в действительном векторном пространстве.
Компоненты тензора деформации связаны при этом с компонентами
вектора перемещения соотношениями Коши B.22), а плотность среды
неизменна, т.е. р = ро- Такую сплошную среду называют линейной
термоупругой сплошной средой.
Для получения линеаризованных уравнений классической термоупру-
термоупругости представим объемную плотность свободной энергии в виде суммы
pA(ekl,T) = pA*(ekl - е{Р) + рВ(Т) - рА*(-е{^), D.1)
учитывающей третье равенство из C.51). Здесь рА*(-) — часть сво-
свободной энергии, зависящая только от ец — е- или е- . Если ец =
= 0, то pA(eki,T) = рВ(Т), а при ец = е- объемная плотность
свободной энергии зависит только от температуры: рА(Еы,Т) = рВ(Т) —
— рА*(—Еы ). В исходной конфигурации А@, То) = 0. Такое выражение
объемной плотности свободной энергии дает возможность рассматривать
не только малые отклонения абсолютной температуры от начальной, но
и достаточно большие, однако при сохранении малости температурной
деформации. Функция температуры В(Т) равна нулю при температуре То
естественного состояния. Она определяет изменение свободной энергии
только вследствие изменения абсолютной температуры.
Предположение о малости полной и температурной деформаций позво-
позволяет представить первое и третье слагаемые в выражении D.1) в виде ряда
Тейлора по соответствующим аргументам и ограничиться при разложении
92 4. Линейная термоупругая сплошная среда
квадратичными слагаемыми:
рА(еы,Т) = рА*[еш - 4Р) + рВ(Т) - М*(~4Р) =
l-Cijkl (-e<f) (P).
где CV/fcz — компоненты тензора С коэффициентов упругости.
Поскольку компоненты тензора напряжений ац связаны с компонен-
компонентами тензора деформации вц равенством оц = pdAjdeij (см. B.51)),
очевидно, что Вц = 0, и при квадратичном приближении рА*(-) имеем
<Tij=Cijkl{ekl-eijp), или о= С » (е-е^). D.2)
Соотношения D.2) называют законом Дюамеля—Неймана для анизо-
анизотропного упругого твердого тела. Компоненты Cijki тензора С зависят
от ориентации осей выбранной системы координат.
Тензор С содержит 81 компонент. Однако поскольку тензоры 8ие
симметричны, оц = Oji и ец = Bji, то число независимых компонен-
компонентов тензора коэффициентов упругости сокращается до 36. Если далее
учесть очевидные равенства д2А/(де^двы) = д2А/(двыдвц), то Сци =
= Cjiki = Cijik = Скщ и число независимых компонентов тензора С
составит 21.
Тензор коэффициентов упругости обладает центральной симметрией:
при смене направления осей координат (инверсии) компоненты тензора С
не изменяются:
ПОСКОЛЬКУ d{m = (Xjn = dkp — OLiq — ~ 1-
Если из 21 компонента тензора коэффициентов упругости отличны от
нуля только 9, а именно: Сцц, С2222, ^зззз, Сц225 С'изз? С22зз, С32з,
Сз1315 Ci2i25 то такую сплошную среду называют ортотропной.
Упругое ортотропное тело, компоненты тензора коэффициентов упруго-
упругости которого удовлетворяют равенствам Сцц = С2222 = Сзззз? C^ii22 —
= ^2233 И (^2323 = Сз131 = С\212 = -(Cull ~ Сц22), НаЗЫ-
вают изотропным и используют следующие обозначения: Л = Сц22? А* —
= - (Сип — ^1122) — коэффициенты Ламе. Очевидно, что для изотропного
тела
C SS iSS +
4.1. Классическая термоупругостъ 93
Выражение для h — массовой плотности энтропии — получим из
второго равенства C.51) с учетом представления объемной плотности
свободной энергии D.1):
h дА 1п де\р дВ 1 - ^ д?Т) дВ ,, q.
h = —^ = -Cijkitki ^^i или h= - €>•?-• —^. D.3)
При температуре То естественного состояния и ец = 0 массовая
плотность энтропии h@, Го) = 0 и, следовательно, дВ/дТ = 0.
С учетом D.1) и D.3) диссипативная функция из C.46) для рассматри-
рассматриваемой среды примет вид
ё = ajiij - р (j^-iij + ^Т + Лг) = 0, D.4)
поскольку должны выполняться первые два равенства из C.51).
Подставив D.3) и D.4) в закон сохранения энергии C.46), получим
уравнение теплопроводности:
д2В • п (т) . dqi
или
-pr?|t + rC-a(r)-?=-Vx-q + pr, D.5)
в котором принята линейная зависимость тензора температурной дефор-
мации ii ' от температуры, а аы = деы /дТ — компоненты тензора
температурных коэффициентов линейного расширения от ^ .
В дальнейшем необходимо конкретизировать выражения для компо-
компонентов вектора плотности теплового потока — четвертое соотношение из
C.48), — приняв его, в соответствии с принципом равноприсутствия, в виде
линейной функции реактивных переменных е,Ги#:
Чг = PijkSjk + Ъ(Т - Го) ^ Xlptij + gi,
где Pijk, А^- , 7г ш gi — компоненты тензоров соответственно третьего,
второго и первого рангов. В силу неравенства C.47) при 6 = 0 эти тензоры
должны быть выбраны таким образом, чтобы условие
- Ъ(Т - T0)#i + xW'&j'&i - gtfi > 0
выполнялось для произвольных значений реактивных переменных.
Достаточное условие справедливости последнего неравенства состоит
в том, что тензоры с компонентами /З^-д., 7« и ?« должны быть тождественно
равны нулю, а тензор с компонентами А^ • должен быть неотрицательно
определен.
94 4. Линейная термоупругая сплошная среда
Соотношение, связывающее компоненты вектора плотности теплового
потока с компонентами градиента температуры называют законом тепло-
теплопроводности Фурье:
<fc = -Ag4-, или q=^?(T).VxT; D.6)
\(Т) А ^Т)
где Л^ — компоненты тензора теплопроводности X ; для изотропной
сплошной среды Х\-' = А^с%, Х^ — теплопроводность.
Для рассматриваемой термоупругой среды диссипативное неравенство
C.47) с учетом закона теплопроводности Фурье D.6) приобретает вид
AJJ4-i?i^O, или (VXT)T a(T) • VXT ;> 0, D.7)
откуда следует, что компоненты тензора теплопроводности являются эле-
элементами симметрической и неотрицательно определенной матрицы.
Подставив D.6) в уравнение D.5), получим иную форму записи уравне-
уравнения теплопроводности:
дТ mx~Y (т) дбц д
рс?— = —1 CijkiO'hi — Н 1 ЛЬ ' J + or. или
и dt 3 ы dt дхъ х г1 * f F
рсе— = -ГС ¦• а(т) - — + Vx ¦ f?(T) • Vxr) + pr, D.8)
dt dt V /
гдесе = —Тд2В/дТ2—удельная массовая теплоемкость при постоянной
деформации.
Это уравнение описывает нестационарное распределение температуры
в термоупругой среде с учетом связанности полей температуры и де-
деформации, выражающейся в наличии первого слагаемого в правой части
уравнения D.8).
Из закона Дюамеля-Неймана D.2) выразим деформацию через напря-
напряжения:
?ij = Взметы + ?ц , или i=B--S + r \ D.9)
где В^ы — компоненты тензора четвертого ранга — тензора коэффициен-
коэффициентов податливости В, В = С. Подставив затем D.9) в уравнение D.8),
получим иную форму записи уравнения теплопроводности:
с — = -Та^Т)^- + — (х(Т) дТ
df dt дх ~ \ дх'
или
рса— = -Га(т) .. — + Vx • f^(T) • Vxr) + pr, D.10)
dt dt \ /
где ca = c? + TCijkicrki cx.\j /p —удельная массовая теплоемкость при
постоянных напряжениях, которую, как правило, и определяют в теплофи-
(Т)
зических экспериментах. Для изотропной среды а\-) =
4.1. Классическая термоупругостъ 95
температурный коэффициент линейного расширения) и
са = с? + ЗГ(ЗЛ (TJ
Если подставить соотношения D.2) с учетом B.22) или B.23) в уравне-
уравнение закона сохранения количества движения C.11), то получим систему из
трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно
компонентов вектора перемещения щ и абсолютной температуры Т:
_Ё_ (d-ki (— -?(ТI1 + рк = р^1, D.11)
OXj \ \ Oxi j j ot
которые называют уравнениями Ламе.
Для изотропной и однородной упругой среды уравнения D.11) прини-
принимают вид
д2щ
OXj OXj \ / OXj OXi OXi Ot2
или
/iVx-(u^x) + (A + /i)Vx(Vx-u)+/}b-CA + 2/i)a^T^Vxr = p—-. D.12)
Для получения единственного решения системы дифференциальных
уравнений D.8) (или D.10)) и D.12) необходимо задать граничные и
начальные условия.
Уравнения теплопроводности D.8) (или D.10)) и закон сохранения коли-
количества движения D.11) (или D.12)) образуют замкнутую систему уравнений
классической термоупругости, которые вместе с граничными и начальными
условиями для заданной области составляют формулировку краевой задачи.
Граничные условия на поверхности 5 обычно принимают следующими:
(TijUj =pi(M,t), или d-n = p(M,t), MeSacS;
щ = щ(М,г), или u = u(M,?), M e Su = S\Sa;
dT
или
(JXj
- nT . ?(T) . VXT = g(M51), M eSqcS;
(T) o± / \ v )
^nT^(T).VxT = a(M,t)(T*(M5t)^T(M,t)),
м е Sa = s\Sq,
где pi (M, t), щ (М, t) — компоненты заданных поверхностных сил р(М51)
и перемещения u(M, t); q(M, t) — заданная величина плотности теплового
потока на поверхности; a(M,t), T*(M,t) — коэффициент теплоотдачи
и температура окружающей среды] п — вектор единичной внешней
щ(м,
щ(М,
Т(М,
0)
0)
0)
= и\
(М),
м
м
м
е
е
е
V;
V;
96 4. Линейная термоупругая сплошная среда
нормали к поверхности S. Отметим, что последнее граничное условие
называют условием теплообмена по закону Ньютона. Граничные условия
D.14) в теории теплопроводности называют граничными условиями второ-
второго и третьего рода соответственно.
Еще один возможный вариант граничных условий для уравнения теп-
теплопроводности следует из второго соотношения D.14) при a(M,t) —>•
-> оо (А^-' /а -> 0) — задание температуры T*(M,t) на всей граничной
поверхности или ее части:
T(M,i) = T*(M,t), M eST = S\(SqUSa). D.15)
Условие D.15) называют граничным- условием первого рода.
Начальные условия, которые обычно используют в классической тер-
термоупругости, имеют следующий вид:
D.16)
где и\ ,й\ , Т^ — известные в начальный момент времени t = 0 значения
компонентов вектора перемещения, скорости изменения компонентов этого
вектора и известное распределение температуры.
Далее рассмотрим применение изложенного в п. 3.8 общего подхода
к исследованию условий на поверхности разрыва в однородной среде
к уравнениям связанной теории термоупругости. Предполагая, что возму-
возмущения в рассматриваемой среде распространяются со скоростью D, из за™
кона сохранения количества движения C.11) в случае малых деформаций
используя соотношение C.71), получаем
-p[ui]D-nj[aij\=Q, D.17)
а соотношения Коши позволяют записать связь между величинами скачков
компонентов тензора деформации и вектора перемещения:
D.18)
которая соответствует условию Адамара. Поскольку правая часть D.18)
отлична от нуля только при г = j, то при переходе через поверхность
разрыва непрерывны сдвиговые деформации.
Для закона сохранения энергии в форме уравнения теплопроводности
D.8) условие на поверхности разрыва будет иметь вид
pc?[T]D = -Todjkia^^D + [g>i5 D.19)
где коэффициенты приняты постоянными в предположении, что отклоне-
отклонение температуры от начальной То невелико.
4.2. Теория температурных напряжений 97
Наконец, для компонентов вектора плотности теплового потока из
закона Фурье и закона Дюамеля-Ыеймана можно записать
A|f [Т]Щ = 0, [aijjD = Cijkl{[ekl] - а^[T])D. D.20)
Как следует из первого соотношения D.20), температура непрерывна, [Т] =
= 0, т. е. скорость распространения теплоты в данном случае бесконечна.
Комбинируя далее выражения D.17), D.20) и D.18), получим
р[щ}В2 - Cijki[u
а поскольку в общем случае [иг] / 0, скорость распространения упругих
возмущений определим из условия
det(pD2^ - Cijtmuij) = 0. D.21)
В частном случае изотропной среды из соотношения D.21) следуют
выражения для скоростей распространения продольных и поперечных волн
в термоупругой среде:
п—т~т;— /—
D.22)
Если из решения краевой задачи теории термоупругости с заданны-
заданными начальными и граничными условиями определены Ui(xi,X2^xs,i),
T(xi, х2, ж3, t), Sij (xi, х2, хз, t) и оц (х\, х2, ж3, t) и, следовательно, опре™
делена величина скачка какой-либо из этих, функций, то значения скачков
других функций на фронте термоупругой волны находятся с помощью
соотношений D.17)—D.20).
Если в уравнениях D.12) можно пренебречь инерционными слагаемыми
\pd2Ui/dt2\ « 0, то уравнения закона сохранения количества движения
(уравнения движения) переходят в уравнения равновесия б перемещениях:
OXjOXj OXjOXi OXi
или
MVX • (uVx) + (A + /x)Vx(Vx • u) - (ЗА + 2/x)c*(T> VXT + ph = 0. D.23)
Уравнения D.23) и D.8) (или D.18)) вместе с граничными условиями
D.13), D.14) и D.15) и первым и третьим равенствами из D.16) образуют
квазистатическую задачу связанной термоупругости.
4.2. Теория температурных напряжений. Рассмотрим произволь-
произвольный элементарный объем dV линейно упругой среды, ограниченный по-
поверхностью dS5 в котором протекает адиабатический процесс — такой
процесс, при котором рассматриваемая термодинамическая система (объем
dV) не обменивается теплотой с окружающей средой, т. е. qi = 0 на
поверхности dS. В этом случае из уравнения D.8) при г = 0 следует связь
98 4. Линейная термоупругая сплошная среда
между деформацией и температурой:
In— = -CijkiotiP^J — '* М>М = 1,2,3,
которая для изотропной среды принимает вид
In^ = -CA + 2/i)a(r)|HiJ_.
То OX i рС?
Если принять, что | Г - Го | /Го С1, то из последнего равенства получим
Г - Го = -(ЗА + 2/i)a^r0 — —, D.24)
OXi pC?
т. е. в адиабатическом процессе, протекающем в элементарном объеме dV,
отклонение температуры от начальной пропорционально относительному
изменению dui/dxi этого объема. Отметим, что рассмотренный процесс
является еще и изоэнтропическим (изоэнтропийным), так как в нем энтро-
энтропия не меняется.
Оценим влияние эффекта связанности полей температуры и деформа-
деформации в уравнении D.8) на процесс теплопроводности. Положим в уравнени-
уравнениях D.23) bi = 0 и вычислим дивергенцию левой части этих уравнений:
д2 (дщ\ , (х , , д2 (диЛ ,9Л , о , (т) д2Т
я я т +(A + /i) (8A + 2/i)a
OXjOXj \OXi J OXiOXi \OXj J OXiOXi
+ 2//) p- - (ЗА + 2M)a(T) (Г - To)) = 0,
или
Vx • Vx ((A + 2/x)Vx • u ^ (ЗА + 2/i)a^ (Г - To)) = 0,
а затем, после двукратного интегрирования, получим
^(ЗА + 2.)^>
где </?(х) — гармоническая функция.
После подстановки соотношения D.25) в уравнение теплопроводности
D.8) для изотропного и однородного тела оно принимает вид
дТ д2Т г
Ч dxidxi с?
где а = Х/(рс?) — температуропроводность (коэффициент температу-
температуропроводности), 8т = ((ЗА + 2/i)crT^) /((A + 2fj)pc?) — параметр
термоупругой связанности, учитывающий влияние изменения деформации
на изменение температуры в окрестности рассматриваемой точки. Для
большинства материалов 8т «С 1 (для алюминия 8т = 0,0378, железа —
4.2. Теория температурных напряжений 99
0,0098, свинца — 0,0639, но для полимерных материалов этот параметр су-
существенно больше, например, для поливинилбутираля 8т = 0,431) и в прак-
практически важных случаях связанность полей температуры и деформации
не учитывают, т. е. решают задачи теории температурных напряжений.
Этой теории соответствуют в общем случае уравнения движения D.11),
D.12) или равновесия D.23), уравнение теплопроводности D.8) (или D.10))
без первых слагаемых в правой части и краевые условия D.13)-—D.16).
Отметим, что в теории упругих температурных напряжений полагают с? =
= са.
Поскольку шесть компонентов ец тензора деформации удовлетворяют
условиям совместности B.34), то очевидно, что эти условия можно выра-
выразить через шесть компонентов иц тензора напряжений. Для этого рассмот-
рассмотрим изотропную однородную упругую среду, для которой равенства (ЗЛО)
принимают вид
ИЛИ
(
е = — (а
2 V
Д Л] + е(Т)Х D.26)
2/i \ ЗА+ 2/i
где 1\о- — первый инвариант тензора напряжений, I — единичный тензор
с компонентами Sij.
Соотношения D.26) обычно применяют с использованием обозначений
Е = /iCA + 2/i)/(А + /л) и v = 0, 5А/(А + /i), где Е —модуль упругости,
а I/ — коэффициент Пуассона, т. е.
D.27)
J E J
Подставив соотношения D.27) в условия совместности деформаций
B.34) и положив к = т, получим
/-, , \ д2(Т^з d<2(Jkk х „ д2е(т) d2amm
A + v) ^^^^ - v Ьц + ?/ Oij + +
+ ? + /o(l + i/) ( — + — J =0, D.28)
где учтены равенства
dxjdxm dxj \ дхт
и
d2ajm д
следующие из уравнений равновесия.
7
= ^Р:
100 4. Линейная термоупругая сплошная среда
При ] = i из равенства D.28) находим
откуда
д2акк l + i/% 2E д2е{т)
dxidxi 1 — и dxi 1 — и dxidxi
Подставляя далее последнее равенство в уравнения D.28), получаем
1 — v
или
+ Е f^IVx • (Vxe(T)) + VX(VX?^) ^ = 0, D.29)
— уравнения Белыпрами—Мичелла.
В такой постановке задача теории температурных напряжений сведена
к нахождению шести компонентов тензора напряжений ац, удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям D.13). Зная компоненты тензора напряжений, из
соотношений D.26) или D.27) определяем компоненты тензора деформа-
деформации, а затем и компоненты вектора перемещения.
Далее рассмотрим плоскую задачу теории упругих, температурных на-
напряжений, которой соответствуют или задание в виде линейной функции
одного из компонентов вектора перемещения, например, ()
= г^з +?зз #з? ^з = const, ?33 = const mui{x\1X2) ф 0, ^2(^15X2) ф 0,
или трех компонентов тензора напряжений, например, стзз = оз = сггз =
= 0 и о-ц(ж1,ж2) ф 0, 0-22(^1,^2) Ф 0, сг12(ж1,Ж2) ф 0. В первом случае
из соотношений Коши следует, что ?зз = ^зз и ?i3 = ?2з = 0. Тогда из
равенств D.27) получим
Ец = -—
i
-Щ, D-30)
где Ег = Е/{\ - г/2), vx = v/{\ - v),
4.2. Теория температурных напряжений 101
Отметим, что равенства D.30) соответствуют плоскому деформирован-
деформированному состоянию, которое реализуется в длинном цилиндрическом теле.
Если же высота цилиндра стремится к нулю, в рассматриваемом теле
реализуется второй случай, соответствующий плоскому напряженному со-
состоянию, при котором
?11 = — (О1 ~ *^22) +?(Т), ^22 = Т;(^22 ~ W\\) + ?(Т),
hi hj
D.31)
1 + v v ( x (T)
?12 = _, Q2? ^33 = — — (СГЦ + ^22J +^V •
is is
Два эти случая объединяют общим названием задачи о плоском напря-
напряженно-деформированном состоянии, в ходе решения которой определяют
восемь функций: ац, о2, С12, ?n5 ^22, ?12, Щ и t/2- При отсутствии массо-
массовых сил эти функции должны удовлетворять двум уравнениям равновесия:
^=0, r,s = l,2, D.32)
трем соотношениям между компонентами тензоров деформации и напря-
напряжений D.30) или D.31) и трем соотношениям между компонентами тензора
деформации и вектора перемещения:
fur_ ,д
2 \dxs d
Граничные условия на границе области задают в виде
arsns =pr(M), M e Sa, SaC S;
ur = ur(M), M eSu = S\Sa. { }
Для плоской задачи рассматриваемое тело представляет собой двумер-
двумерную область, а граница для одно связной области — замкнутую кривую.
Из шести уравнений совместности деформаций отлично от тождествен-
тождественного нуля только одно:
д2ец д2е22 _ ^ ^gi2 _ q
дх\ дх\ дх\дх2
Подставив в это уравнение соотношения D.30) (или D.31)), с учетом
уравнений D.32) получим
^^ ((Т11+<Т22)+Е1?1—=0. D.34)
OXrOXr OXrOXr
Введем функцию F = F{x\, x^) такую, что
d2F 82F d2F ( .
дх2 дх{ дх\дх2
Очевидно, что уравнения равновесия D.32) при этом удовлетворяются
тождественно. Подставив выражение D.35) в уравнение D.34), получим
102 4. Линейная термоупругая сплошная среда
бигармоническое уравнение относительно функции F, которую называют
функцией напряжений {функцией Эри):
92 d'F +E
dxsdxs дхгдхг дхгдхг
Отметим, что прие^т^ = й(т)(Т—Т0),гдеа(т) = (l+v)a(T\ последнее
уравнение принимает вид
— ^— +Ei5(T) дТ =0. D.36)
dxsdxs дхгдхг дхгдхг
Если распределение температуры в рассматриваемой области описы-
описывается двумерным уравнением нестационарной теплопроводности, Т =
= T(xi,X2,t), ТО
a2 d2F 1 дТ _ qv
dxsdxs dxrdxr a dt
где qv = pr — объемная плотность мощности тепловых источников
(стоков).
При стационарном распределении температуры в рассматриваемой об-
области функцию напряжений определяют из уравнения
д2 &2F gy
и, наконец, при qv — 0
д2 d2F
=о.
dxsdxs дхгдхг
Граничные условия для функции F формулируют следующим образом.
Введем на границе области локальную систему ортогональных координат,
направления осей которой совпадают с направлениями единичных векторов
внешней нормали п и касательной s к граничному контуру. Тогда
dn ds dn ds
и из первого граничного условия C.34) получим
_ d2Fdx2 02F dxi _ д (OF \
дх2, ds дх\дх2 ds ds \дх2 J
дх\дх2 ds dx\ ds ds \dx\)
откуда
dF Г j , n OF
-—= - p2ds + Cu ^—
OXi J 0X2
dx2 _ ^^i _ ^A ( dF\
dx\ ds )
OF }
0X2 J
4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния 103
где Ci, С?2 — постоянные интегрирования (начало отсчета координаты s
примем в некоторой фиксированной точке). Функцию F и ее производную
по нормали дР/дп найдем следующим образом:
о о
Для одно связного тела можно принять С\ = С2 = Сз =0, так как эти
постоянные не влияют на распределение компонентов тензора напряжений
в рассматриваемой области. Если pi = р2 = 0, то на границе области
дР/дп = 0.
После того, как функция напряжений найдена, компоненты тензора
напряжений определяются по соотношениям D.35). Постоянную е%3 для
плоского деформированного состояния находят из условия
= Р,
где 5з — площадь торцевого сечения при жз = I, P — равнодействующая
сил, приложенных на этом торце в направлении оси ох%; на втором торце
цилиндрического тела (жз = 0) полагаем щ = 0 и, следовательно, щ =0.
4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния.
Для описания поведения рассматриваемой сплошной среды введем один
скалярный параметр Ф и один векторный \ с компонентами хи i — 1, 2,3.
Их физический смысл состоит в следующем.
Для термодинамических систем, находящихся в состоянии равновесия,
абсолютная температура T(xi, x2j жз, t) — одно из основных реактивных
переменных, определяющих свободную энергию системы. Если же про-
протекающий в термодинамической системе процесс неравновесен (или ло-
локально неравновесен, т. е. неравновесен в окрестности произвольной точки
среды), то в рассмотрение вводят еще и термодинамическую температуру
Ф(х\, Х2ч жз, t), которая совпадает с абсолютной, если скорость изменения
Ф равна нулю. Если абсолютная температура Г служит мерой средней
кинетической энергии в равновесном процессе, то термодинамическая —
в неравновесном.
Распространение теплоты будем характеризовать векторным внутренним
параметром состояния %, который, например, для кристаллических матери-
материалов можно ассоциировать с вектором плотности распределения фононов.
Кинетические уравнения, описывающие изменение во времени Фих,
в линейном приближении примем в виде
тт$ = Ф - Ф, TqXi = Xi ~ Xu D.37)
104 4. Линейная термоупругая сплошная среда
где тт, rq — времена релаксации внутренних параметров состояния, обрат™
но пропорциональные частотам соответственно собственных колебаний
молекул в неравновесном процессе и взаимодействия фононов; Ф, Xi —
установившиеся значения этих параметров.
Поскольку уравнения D.37) линейны, их. решения имеют вид
t t
- Г ( t-t'\d& , _ г
Ф = Ф - ехр —jdt , Xi = Xi - ехр
J V тт J at J
о о
D.38)
Зададим выражение для свободной энергии аналогично D.1), но с учетом
малости векторного внутреннего параметра состояния, т. е. |х| <С 1:
f)A(pjj Т Ф -Yi) — —C,--ii(fii — Р^)(р- ¦ — Р^) 4-
\? ^ -e\P)> D-39)
Q (Ф) (T) (Ф) xv/ф)
где pij = e\j — e\j , е- — компоненты тензора еЛ J, определяемого
термодинамической температурой, \\е- \\ <С 1. Очевидно, что если Ф —>-
—>¦ Т, то Pij —>- 0. При температуре То естественного состояния термоди-
термодинамической системы i?i(To,Tb) = 0, т.е. свободная энергия — функция
только деформации, а при ец = 0 свободная энергия зависит только от
абсолютной и термодинамической температур и векторного внутреннего
параметра состояния.
Выражения для компонентов тензора напряжений и массовой плотности
энтропии следуют из соотношения D.39) и первых двух равенств C.51):
<Tij = Ст(еы - 4Р) - Dljklpkl - KijkXk, D.40)
h гп де*Р дв dBl (аал\
h = fw?*-9F-0T-W D41)
Полагая, что при температуре То естественного состояния и ец = 0
массовая плотность энтропии h = 0, получим, в общем случае, дВ/дТ = 0
шдВг/дТ = 0.
Соотношение D.41) дает возможность получить уравнение закона со-
сохранения энергии в виде уравнения теплопроводности, аналогичного C.53):
[ Л дТ rp&Bidb.^ деы (т) d
D.42)
где, как и выше, а\-} = де- /дТ. В дальнейшем положим также
4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния 105
Диссипативная функция для рассматриваемой сплошной среды
дАд^_ &А_дх±_ (D.. а(т)?..^н.. а(т)д.._ двЛ
дФ dt dn dt \ %3 ы %3 %3 ' ы %3 dФ )
)w D.43)
Очевидно, что при Ф —>- 0 и Xi ~^ 0 диссипативная функция 6 —»¦ 0.
Дальнейшая конкретизация уравнений D.40) и D.41) связана с выбором
вида функций установившихся значений внутренних параметров состоя-
состояния и вектора плотности теплового потока. В данном случае примем их
в простейшем виде:
Ф = Т, Xi = -Zij^-, qi = 4>i)Xh D.44)
OX j
не противоречащем принципам рациональной термодинамики. Кроме того,
положим, чтосе = -Т(д2В/дТ2-^д2В1/дТ2) = -Тд2В1/(дТдФ).Тогщ
уравнение теплопроводности D.42) с учетом соотношений D.38) и D.44)
примет вид
дт , Pc-l ( t-t'\dT^i rj,n (Т)дегз
о
(А U - Jехр ( - )
О
ИЛИ
ОТ рс?[ ( t-t'\dT , - НТ) дв^
рсе— + — ехр - — —dt = -ГС » а1 } - ^ +
dt тт J V тг / ^ dt
о
+ Vx • (х(Т) ¦ (vxT - jexp ( - 1^) |.(VxT)d^ + pr + 6,
D.45)
где А^- = ifik Zkj — компоненты тензора теплопроводности Я,.
Задав выражение для \г в виде второго равенства из D.44) и учитывая
третье равенство из C.51), получим F^j = 0 и Кцк = 0. Следовательно,
ИЛИ
о=С-(е-^М-Б-"р, D.46)
106 4. Линейная термоупругая сплошная среда
где р — тензор второго ранга с компонентами fe,D — тензор четвертого
ранга с компонентами Dijki.
Соотношения D.46) можно записать иначе, используя первые равенства
из D38) и D.44):
t
®ц = Cijki (ек1 - 4i7 J + Щы<хй' j exp [ J — с
о
или
^) dt'
D.47)
Если подставить соотношения D.47) в уравнения закона сохранения
количества движения (уравнения движения) C.11), то мы получим систему
трех интегродифференциальных уравнений с частными производными:
д (п (дик (т)
которая для изотропного и однородного тела примет следующий вид:
с? дТ j i д щ
тт J dt' dxi dt2
о
или
/iVx • (uVx) + (A + /i)Vx(Vx • u) + /ob - (ЗА + 2/i)a(T) VXT+
t
+ CDi + 2D2)«(T) exp | ^^^ j ^y^Tdt' = p—", D.48)
о
где -Df/ы = ^>i % ^fei +^2 (<^ife ^j/+^г/ Sjk)',Di,D2 — аналоги коэффициентов
Ламе, учитывающие влияние скорости изменения градиента абсолютной
температуры на вектор перемещения u(x, i).
Для однозначного определения решения уравнений теплопроводности
D.45) и движения D.48) используют следующие начальные условия:
Г(М,0) = Г(°)(М), Г(М50) = ();
щ (М, 0) = ^0) (М), ui (М, 0) = йг@) (М), MGF,
4.3. Термоупругая среда с внутренними параметрами состояния 107
где Т^ — известное в начальный момент времени t = 0 значение ско-
скорости изменения абсолютной температуры, остальные функции совпадают
с введенными ранее в D.16).
Граничные условия на поверхности S для уравнения теплопроводности
D.45) будут иметь вид
-t'\ д (
t
пт -Х(Т) ¦ (VXT - Jexp ( - *^) ^V^j = q(M,t),
о
MeS,, SqcS;
= a(M, i)(Г*(М, t) - T(M, t)), или
t
-п -X .^VxT-jexp^-—J-VX
О
MeSacS, Sa П Sq = 0;
T(M,t) =T*(M,t), Me ST = S\(SqUSa).
Граничные условия для уравнений D.48) сохраняют вид D.13).
Условия на поверхности разрыва для рассматриваемой термоупругой
среды с внутренними параметрами состояния могут быть получены ана-
аналогично тому, как это было сделано ранее в п. 4.1. Тогда из уравнений
движения
-p[iii]D - [(Tijjrij = 0;
из соотношений Коши
из соотношений D.46)
[ay]?> = Cijkl {[?ы] - а{р [Т]) D - Dijklo$ ([Ф] - [T])D; D.51)
из уравнения D.42)
pc?[T}D + рс?[Ф}В = -Todjkia^^D + feH;
из уравнений D.37) с учетом соотношений D.44)
= 0, г, \xt\D = Ztj [T]nj, \qi}D = <ptj [Xj]D.
108 4. Линейная термоупругая сплошная среда
Последовательно исключая из системы уравнений D.51) неизвестные
[aij]j [?ij]j [Xi] ? и [ш] ? а также учитывая непрерывность термодинамической
температуры ([Ф] = 0 при тт ф 0 и D ф 0), получаем систему линейных
однородных алгебраических уравнений:
В11Х1+В12Х2=0,
±>2lAi + 1J2^2 = У,
где Вц — матрица порядка Cx3), элементы которой Вщк = —pD2Sik +
+ CijkiTijni] Вi2 — матрица порядка C х 1) с элементами B\2i = [Сц\а —
— Dijki)akl rijD; В21 — матрица порядка A х 3), элементы которой
Дш = ToCijkiakl 'rij и, наконец, В22 — матрица порядка A х 1), В22 =
= —pc?D2 + A^- rijTii/Tq; Xi, X2 — векторы неизвестных значений
скачков [щ] и [Т] соответственно.
Поскольку в общем случае Х\ ф 0 и Х2 /0 одновременно, то скорости
распространения скачков [щ] и [Т] определяют из условия равенства нулю
определителя системы уравнений D.52):
В а В12
hi B22
det ( - - ) = 0. D.53)
По аналогии с терминологией, принятой в классической теории тер-
термоупругости, четыре в общем случае различных значения D, полученные
из уравнения D.53), можно назвать скоростями распространения квазиу-
квазиупругой термоупругой волны и квазитемпературной волны. Скорости рас-
распространения упругих возмущений и теплоты также можно получить из
уравнения D.53) при ВГ2 = 0 и В2\ = 0, т. е.
det(pD2Sik - Cijkirijni) = 0,
Для изотропной среды квадрат скорости распространения теплоты
а скорости распространения продольных и поперечных упругих возмуще-
возмущений определяют равенства D.22).
Главное отличие уравнения теплопроводности D.48) от уравнения D.8)
состоит в том, что оно описывает процесс теплопроводности с конеч-
конечной скоростью распространения теплоты. Кроме того, уравнение D.48)
учитывает неравновесность процесса аккумуляции теплоты и эффекты
связанности полей температуры и деформации. Очевидно, что при rq —>-
^> 0 скорость распространения теплоты Dq —»¦ 00.
4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа 109
4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа. Одним из
возможных вариантов линейной термоупругой сплошной среды является
такая среда, для которой, наряду с другими реактивными переменными
(sfpT, #i,...) — аргументами активных переменных, используют ско-
скорость изменения абсолютной температуры Т. При построении математи-
математической модели такой среды введем в рассмотрение термодинамическую
температуру Ф. Термодинамическая температура совпадает с абсолютной,
если Ф —»¦ 0. Положим, что в неравенстве Клаузиуса—Дюгема можно
заменить абсолютную температуру на термодинамическую. В этом случае
рФ§ + фА(|)_/9Г^0. D.55)
at oxi \Ф/
С помощью видоизмененного определения массовой плотности свобод-
свободной энергии:
А = и — Фк
представим неравенство D.55) в виде
ди дА ,5Ф , % 1 дФ . п
р р ра 1 qi pr ^ и.
dt dt dt dxi Ф dxi
С учетом закона сохранения энергии, задаваемого выражением C.32),
последнее неравенство приобретает следующий вид:
-р— + (JijSij - рФН - -Qi— ^ 0, или - —^г- Ь д ^ 0, D.56)
dt Ф dxi Ф dxi
где S = (JijSij — р(А + кФ) — диссипативная функция.
Положим, что активные переменные связаны с реактивными перемен-
переменными ем ? Т, Т и $и соотношениями
A = A(ekhT,f,0k);
h = h(ekl,T,f,tik);
(Уц = (Уц {Skh ^5 ^5 ^к)] D-57)
Ф = Ф(ек1,Т,Т,0к).
После подстановки первого и последнего соотношений из D.57) в нера-
неравенство D.56) получим
f дА 1 , дФ \ . (дА 7 ^Ф
\dsij р dsij J \дТ дТ
('ЗА г)Ф\ " (ЗА ЗФ \ ' 1 ЗФ
™ + k^Z 1 Г - р — + /г^^ ^ - -qi— ^ 0. D.58)
-о>Т дТ/ \д&{ д-di) Ф dxi
Если учесть равенство
дФ_ о а# л
ОТ * df г
df г д^к дхг '
110 4. Линейная термоупругая сплошная среда
то D.58) можно записать иначе:
f дА 1 ,i0$V (дА1ЬдФ\ф
— Р аа + h ?а — Р Ь п— 1 —
\дегз р гз deijj 3 Н\дТ дТ)
(дА , ,дФ\# /М , ,9Ф , 1 дф\ л
- р —г + h—r )Т - р[ Ь h 1 qi^ tii-
\дТ дТ' \d§i дд-i рФ дТ J
1 / дФ деы , дФ п . ^Ф д'дк
Поскольку в рассматриваемом процессе неравенство D.59) справедливо
для произвольных скоростей ёц, Т и ^, то
^^4. <9Ф <9^4. <9Ф
— + ^^ —=¦ ? A)
/<M ^Ф\ • \ ( дФ деы , ^Ф с?Ф ^fe \ n
Vo>T ОТ/ Ф \ деы дхг дТ дёк дхг J
Слагаемые в неравенстве D.59), содержащие в качестве сомножителей
qi{d^/деы){деы/dxi) и д^(9Ф/'drdk){d'§kl'dxi), запишем следующим об-
образом:
^Ф деы _ 1 ( дФ деы дФ деы \ _ 1 ( дФ дФ \ деы
2 \ гдеы дх{ деы dxi J 2 \ гдеы деы) dxi '
_lf д^М^ d^Mk\_lf дФ_,
" 2 \qidx дх Чкдё дхJ ~ 2 V%a^
дхг 2 \qidxk дхг Чкдёг дхJ 2
откуда, в силу произвольности deti/dxi и d^t/dxi, получим
Поскольку в общем случае g^i ф 0, то из последних равенств следуют
ограничения на вид функции Ф :
|^ |f0, D.61)
т. е. термодинамическая температура не зависит от градиента абсолютной
температуры и тензора деформации. С учетом соотношений D.61) первое
и третье равенства и неравенство из D.60) примут более простой вид:
дА ж (дА\ /дФ\^г (дА , ,дФ\^^п
aij = р^^; qi = -рФ — ( —=-) j -Р\^ + h— )Т ^ 0.
3 Идегз" Ч И \д-дг)\дт) \дТ dTJ
D.62)
4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа 111
С учетом второго равенства из D.60), равенств D.61) и первого равенства
из D.62) запишем закон сохранения энергии в следующем виде:
(дА +hd*\j + д±# + фк +%._ 0
н\дт дт) Идёг F дхг F
или, по аналогии с C.46),
P*h = -^-+pr + p^i + 8, D.63)
dxi dei
где диссипативная функция S = —р ( Ь h— I Т.
Неравенство D.59) с учетом тех же соотношений также примет более
простой вид:
1 дФ , (дА , идФ\+.п 1 дФ х . п {лал,
^g^^+p —+ /i— T^G, или —qi^-5^.0. D.64)
Ф дхг И\дТ дТ/ Ф дхг К J
Дальнейшая конкретизация уравнений рассматриваемого варианта тер-
термоупругой среды связана с выбором вида функций
и Ф (Т, Т). Зададим их как
рА(еы,Т,Т,#к) = 1-Cm{ekl-efl)-1%)){eij-e{^
¦ 5-1 j Т J-^v-1 j -1 ) ^г i -Tijk y^ij ^ij Jij ) к
1/7 / (т)\/ (т")\ 1 /^t / (^1)\/ (-^)\ /^ / (Т\ ( (т)\
- Fijk (^J] - -уФ)йк, D-65)
(Т) ХЧ
где 7^- — компоненты тензора у, определяемого скоростью изменения
абсолютной температуры Т, и
Ф = Т + Ф(Г,Г), Ф(Т,Г) = 0 при Т = Т0 и Г = 0. D.66)
Очевидно, что из D.65) при Ец = 0 следует
,,к) ч№
Из первого равенства D.62) и выражения D.65) получаем
*ij = Ст {еы - effi - 7iP) + Fijk0k, D.67)
а из второго равенства D.62) и выражения D.66) находим
ЩТ, Т))Т+д^р. D.68)
Далее, так как оц = 0 при ем = 0, е]р = 0 и 7^ = 0, то Fijk =
= 0. Для линеаризации соотношения D.62) положим, что |Ф(Т, Т)|/Т <С
<С 1,5Ф/5Т = фо = const и, кроме того, Т « Tq. Последнее допущение
112 4. Линейная термоупругая сплошная среда
дает возможность в дальнейшем принять Ei(T,T) = Ei(T) = Е\ Т.
С учетом сказанного, окончательно соотношения D.67) и D.68) примут
вид
_ п ( (т) (т)\
<?ij - ^ijkiiSki - ekl -jkl ),
D69)
где A^- = DijTo/фо — компоненты тензора теплопроводности к , Е\ =
Для нахождения из закона сохранения энергии D.63) уравнения тепло-
теплопроводности воспользуемся вторым равенством из D.60) и принятыми при
получении соотношений D.69) допущениями. Тогда
Пд^Вф Т0д2Вф То й(о) а , То d-fiP
ф0 этот ' ф0 от* ф0 ' ф0 J от
л ^ (т) дв р дв Ef I
\ J дТ фо дТ ф0 фо ОТ
D.70)
„ ( д2в \ ,_! /a2i?\ / а2в V1
и, если обозначить — Го . ^п = с?, —^ . = та, то
\дТдт) ° V^2/ \dTdTj q
окончательно уравнение теплопроводности примет вид
pcerqT + рсеТ = — ^ J +
дВ р дВ Ег „
Для рассматриваемой модели термоупругой однородной и изотропной
среды уравнения движения имеют вид
2щ
/Л . \ ^2it?- , /ол . о \ (Т) 9Т
(Л + м)т—^- + ^ - (ЗА + 2^)а о
OXjOXj OXjOXi OXi
- (ЗА + 2ii)-3—. i = p—y", D.72)
причем 7^. ^ = j^Sij.
Для однозначного решения уравнений теплопроводности D.71) и дви-
движения D.72) необходимо задать краевые условия. Начальные условия для
4.4. Термоупругая сплошная среда скоростного типа 113
этих уравнений совпадают с условиями D.49), граничные условия для
уравнения D.72) сохраняют вид D.13), а граничные условия для уравнения
D.71) должны быть записаны следующим образом:
или
- n1 . [Г ; . VXT + ETJ = q(M,t), M eSqcS;
')—+ЯДЧ щ = a(M,t)(T*(M,t)), или D.73)
- nT - (k(T) - VXT + Ет) = a(M, t) (Г*(М, t) - Г(Л/, t)),
T(M,t) = т*(м7г), Me sT = s\(SquSa).
Отметим, что уравнения D.71) и D.72) можно привести к виду, соответ-
соответствующему уравнениям D.10) и D.12) классической термоупругости. Для
этого устремим ф0 -> 0. Тогда в первом равенстве из D.70) следует, что
1 д(-) _ ао (d-*L\ ( &2в V1 - ?L - п
"ф^1)Т^1)Т" \jyFj \dTdt) ~ ~дТ ~ '
и, если положить ' ' "J lnl% * — ~^~' ™ /-....^.. -^ _/^. ...^..^л ^
+) ^о <Aj , то
Поскольку для классической линейной термоупругой среды dA/d'di =
= 0, из второго и третьего равенств из D.70) следует, что
т.е. в рассмотренном предельном случае уравнение D.71) совпадает с
уравнением D.10), а уравнение D.72) — с уравнением D.13), так как при
этом dj^/f = фод'у^/дТ ->• 0. Естественно, что совпадут и краевые
условия для указанных уравнений.
Отметим, что уравнение D.71) описывает процесс теплопроводности
с конечной скоростью распространения теплоты Dq = у A- rijщ/(pc?rq).
5. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ
5.1. Жидкость как сплошная среда скоростного типа.
Термин течение (или движение) используют для обозначения мгновенного
или непрерывного изменения конфигурации сплошной среды. В соответ-
соответствии с нулевым законом термодинамики каждое сплошное тело имеет
хотя бы одно естественное состояние. Характерным свойством текучих
сред, которое можно считать определяющим для жидкости, является то,
что они имеют несчетное множество естественных состояний. В качестве
постулата принимают, что все состояния, для которых плотность массы
совпадает с исходной, являются естественными состояниями. Поэтому од™
ним из аргументов определяющих термодинамических функций — активных
переменных — принимают якобиан J = dV/dVo = ро/р, характеризую™
щий относительное изменение объема (или плотности массы) при течении
жидкости в окрестности рассматриваемой точки. Отметим, что здесь и далее
понятие "жидкость" включают в себя как истинные жидкости, так и газы.
Отличие газа от истинной жидкости состоит в том, что его частицы (атомы
или молекулы) весьма слабо связаны между собой силами взаимодействия
и движутся хаотически, заполняя весь предоставленный им объем. Истинная
жидкость сохраняет свой объем при отсутствии внешних воздействий и может
иметь свободную поверхность (границу между истинной жидкостью и газом).
Положим, что аргументами активных переменных — массовых плот-
плотностей свободной энергии А и энтропии h, тензора напряжений о и век-
вектора плотности теплового потока q — являются реактивные переменные:
якобиан J, тензор скоростей V, абсолютная температура Т и градиент #
абсолютной температуры, т. е.
= h(J,VkhT,tik);
=a{JVT^); { ' }
Выражения E.1) разложим в ряд Тейлора по степеням Fjy. Первые
слагаемые в этих, разложениях представляют собой равновесные значения
активных переменных, а остальные слагаемые сгруппированы так, чтобы
они обращались в нуль при Vki = 0. Таким образом, при Vti —>• 0 получим
А° = A°(J,T,0k), h° = h°(J,T,0k),
а в общем случае
где слагаемые AD, hD, of- и qf обращаются в нуль при Vki = 0.
5.1. Жидкость как сплошная среда скоростного типа 115
Если подставить соотношения E.1) в уравнение закона сохранения
энергии C.32), то с учетом соотношения C.45) получим
( dAdJ т г X , дА dVtJ , ЗА йёг
V a/ dt 3 J/ aF?J dt дёг dt
Далее, так как
dJ dJ
dt д(дх{/дак) dt \дак J dxi dt \dak
то первое слагаемое в скобках из E.2) принимает вид
dAdJ _ дА - _ дА -
Вычтем из неравенства C.42) равенство E.2), учитывая последнее
полученное выражение. Тогда
(ро—%
дА dVtJ дА d^t 1 дТ
FdvtJ dt ^дёг dt тч дхг ^ ' l ;
откуда в силу произвольности ?ц и скоростей изменения реактивных пере-
переменных dT/dt^ dVij /dt и ddi/dt следуют достаточные условия выполнения
неравенства E.3):
д±_0. ad_q. h^_dA.
dVi, дТ
E.4)
J dJ d'&i
Второй закон термодинамики в этом случае принимает вид
_1 .EL+s^O, E.5)
J. (УХ %
где диссипативная функция 5 = (rfjVij. Если не учитывать взаимного
влияния процесса переноса теплоты и диссипации энергии в неравенстве
E.5), то получим два неравенства:
-ftf^O, 5 = и?Уц>0. E.6)
их%
Жидкость (текучая среда), как правило, изотропна. Поэтому в линейном
приближении, при малых значениях тензора скоростей, тензор вязких
напряжений имеет компоненты
+ 2fjLDVij, E.7)
116 5. Линейные модели жидкости
где Ав и //в — коэффициенты вязкости, аналогичные коэффициентам
Ламе.
Далее, еслир = —p^dA/dJ — давление в жидкости, то
Соотношения E.8) определяют линейную (ньютоновскую) жидкость.
Закон сохранения энергии в форме уравнения теплопроводности можно
получить, если положить А = АAУТ) и определить зависимость вектора
плотности теплового потока от реактивных переменных, например, в виде
закона Фурье D.7). После некоторых преобразований, учитывающих ра-
равенства E.4) и E.7), получим
dT \ т/2 , о т/ т/ . д fx(T)dT\ , rrdpw ,_пч
РСе— = *DVkk + WDVijVij + — [\j — + РГ - i Х^^Л, E.9)
at oxi \ J oxj J dT
где c? = —Td2A(J,T)/dT2 — удельная массовая теплоемкость при по-
постоянной деформации, или, как чаще называют эту величину в механике
жидкости и газа, удельная массовая теплоемкость при постоянном, объеме,
обозначаемая су.
Если подставить выражение E.8) в уравнения закона сохранения коли-
количества движения C.11), то получим уравнения Навье—Стокса—Дюгема:
или
Р— — ^Vxp + (Ad + /iD)Vx(Vx • v) + /xdVx • (vVx) + ph. E.10)
Полная система уравнений, описывающих течение жидкости, в рас-
рассматриваемом варианте содержит шесть неизвестных: р, Т, vi ж р. Для
их определения совместно решают систему уравнений теплопроводности
E.9), Навье—Стокса—Дюгема E.10), неразрывности C.5), используя уравне-
уравнение состояния
р = р(р,Т). E.11)
Эта система уравнений является замкнутой.
Если рассматриваемая жидкость несжимаема (dvj/dxj = 0), то урав-
уравнения E.10) переходят в уравнения Навъе-Стокса:
dvi dp д Vi ,
di дх" дх' дх ¦
или
•(vVx)+pb. E.12)
Определим из соотношений E.8) среднее нормальное напряжение:
-®kk = -p + 3KDVkk,
о
5.2. Идеальная жидкость 117
где К® — коэффициент объемной вязкости. Условие
KD = AD + -№ = 0 E.13)
о
называют условием Стокса. В соответствии с ним величина среднего
нормального напряжения в движущейся жидкости определяется только
уравнением состояния E.11) и совпадает с этой величиной в покоящейся
жидкости.
При выполнении условия Стокса E.13) уравнения E.10) принимают вид
или
р— = ^Vxp + -/iDVx(Vx • v) + /iDVx • (vVx) + ph. E.14)
dt 3
Уравнения Навье—Стокса можно записать в безразмерном виде, исполь-
используя характерные размер области L, величины скорости у и плотности р.
Тогда некоторые появляющиеся в безразмерной форме записи коэффи-
коэффициенты позволяют судить о характере течения жидкости. Так, например,
коэффициент Re = руЬ//л^>, называемый числом Рейнолъдса, выражает
соотношение между силами инерции и силами вязкого трения. При очень
больших величинах Re влиянием вязкости в уравнениях движения можно
пренебречь и рассматривать жидкость как невязкую, или идеальную.
5.2. Идеальная жидкость. Для получения уравнений движения иде-
идеальной жидкости положим в уравнениях движения E.14) коэффициент
вязкости /io = 0. Тогда
dvi dp , , dv /r i r\
р^— = — —*— + pbi, или p^ = ^vxp + pb E.15)
dt dxi dt
— уравнения Эйлера.
Уравнения E.15) можно записать иначе, воспользовавшись соотноше-
соотношением
dvi dvi dvi dvk dvk dvi d /1
dt dt dxk dxi dxi dt dxi \2
dvi , d /1
или
dt ~ dt
где Wti — компоненты тензора завихренности (вихря) W = Vx x v
из B.59), a Wj = -ejikWki в данном случае — компоненты вектора
завихренности.
Во многих приложениях массовые силы Ь{ не зависят от времени и
обладают потенциалом О, т.е. b = ^VXO. Если, кроме того, жидкость
118 5. Линейные модели жидкости
является баротропной, т. е. если плотность жидкости есть функция только
давления, р = р(р), то удобно ввести функцию
Ро
которую называют функцией давления. При указанных допущениях урав-
уравнения Эйлера E.15) примут вид
длг ( v2 \
2w х v + — = -Vx ( Р + О + — 1 . E.16)
В уравнении E.16) величину Р можно рассматривать как энергию
давления, О — как потенциальную энергию и v2 /2 — как кинетическую
энергию, отнесенные к единице массы. Величина Р(р) представляет собой
работу, совершаемую при движении единицы массы баротропной жидкости
под действием изменения давления от ро (начального) до р.
Если из массовых сил действует только сила тяжести, то О = gh, где
g — постоянное ускорение силы тяжести, h — высота, отсчитываемая от
некоторого уровня. Величина hp = P/g характеризует напор давления,
a hv = v2 /Bg) — скоростной напор. Иногда hp и hv называют высотой
давления и скоростной высотой соответственно. Сумму Н = h + hp + hv
называют полной высотой. С учетом введенных обозначений уравнения
E.16) примут вид
dv
2w x v + — = —gVxH. E.17)
dt
Известно, что Vx * (Vx x v) =0. Тогда, по теореме Остроградского—
Гаусса для части V пространства, ограниченной регулярной поверхностью
S и лежащей в области определения поля скоростей, выполняется соотно-
соотношение
= 0, E.18)
в котором подынтегральное выражение называют потоком вихря через
элемент dS поверхности. Векторные линии поля w называют вихревыми
линиями, а поверхность, проведенную через точки бесконечно малой за-
замкнутой кривой, образованной вихревыми линиями, — вихревой трубкой.
Пусть dS\ и dS2 — площадки соседних нормальных сечений элемен-
элементарной вихревой трубки, а вектор вихря направлен от dS\ к dS2- Так
как поток вихря через боковую поверхность вихревой трубки равен нулю,
то, применяя уравнение E.18) к участку вихревой трубки, ограниченному
рассматриваемыми нормальными сечениями, получим
где w\, W2 — модули вектора вихря в сечениях dS\ и dS2 соответственно.
Следовательно, модуль вектора вихря изменяется вдоль вихревой трубки
5.2. Идеальная жидкость 119
обратно пропорционально площади ее поперечного сечения. Очевидно, что
вихревая трубка не может оканчиваться внутри жидкости, она или замкнута
или оканчивается на поверхности, ограничивающей жидкость.
Для установившегося движения dv/dt = 0. Обозначив выражение,
стоящее в скобках в уравнении E.16), через G, получим
2v х w = VXG.
Из этого уравнения следует, что в окрестности любой точки М поверх-
поверхности уровня G = const вектор скорости и вектор вихря касательны к этой
поверхности.
Далее, если уравнение E.16) записать в виде
J = ^VX(F + O), E.19)
at
то скаляр — {Р + О) можно рассматривать как потенциал ускорения. По
определению, циркуляцией вектора скорости по замкнутой "жидкой"
линии называют интеграл
Г = cpvidxf, или Т = флг • dx.
Скорость изменения Г, как можно показать, равна
dT L(dvtJ , \ dV f/dv \ , ,
— = ф ( —dxi + Vidvi , или _ = ф ( _ . dx + v • dv) . E.20)
at J \ at / at J \ at /
Объединяя уравнения E.19) и E.20), получим
^ = i(- (VX(P + П)) • dx + v ¦ dv)
и далее, учитывая очевидные равенства
dx = 0 и c?vdv =
заключаем, что в баротропной идеальной жидкости, находящейся под
действием консервативных (неизменных во времени) массовых сил, цир-
циркуляция вектора скорости по замкнутой "жидкой" кривой постоянна. Это
утверждение известно как теорема Томсона {Кельвина).
Рассмотрим безвихревое движение жидкости, w = 0. Поле скоростей
безвихревого потока обладает потенциалом скорости (р(х±, Х2, х^, t) и v =
= Vx<?. Тогда из уравнения E.16) следует соотношение
|? + Р + П +? = /(<). E.21)
Если движение жидкости установившееся, то dip/dt = 0, f(t) = const
и E.20) принимает вид
Р + О + — = const. E.22)
120 5. Линейные модели жидкости
Уравнение E.22) называют уравнением Бернулли.
Если при изучении безвихревого движения жидкости ограничиться
малыми отклонениями давления и плотности от их средних значений ро
и ро, не зависящих от времени и координат, то можно использовать прибли-
приближенную форму представления уравнения состояния E.11) и функции Р(р)
в виде
^^ E.23)
ро
где с =
J{dp/dp)\ _ — скорость звука в жидкости. Отметим, что
идеальную жидкость, уравнением состояния которой является уравнение
Клапейрона р = pRT, где R — универсальная газовая постоянная, на-
называют совершенным газом. Полагая, что слагаемое v2 /2 в левой части
уравнения E.21) имеет более высокий порядок малости по сравнению
с первым и вторым слагаемыми, и пренебрегая массовыми силами (О =
= 0), при f(t) = 0 получаем
^ + Р = 0. E.24)
at
С помощью равенств E.23) уравнения неразрывности C.6) можно записать
в виде
++{<? + Р)о,
at охи охи
а затем, полагая VkdP/dxt и Pdvt/dxk величинами, имеющими более
высокий порядок малости по сравнению с другими слагаемыми, получим
g^2 д2(р =0. E.25)
dt
Исключая из уравнений E.24) и E.25) потенциал скорости, имеем
д2Р = с2 д2Р
dt2 ~ C дхкдхк '
Аналогично, исключив из уравнений E.24) и E.25) величину Р, полу-
получим
—- = с L—. E.26)
dt2 ° °
Уравнение E.26) называют волновым уравнением,, оно находит приме-
применение в акустике при изучении распространения малых (звуковых) возму-
возмущений в покоящейся жидкости.
В случае установившегося (dvi/dt = 0) безвихревого движения баро-
тропной жидкости из уравнений Эйлера E.15) и уравнения неразрывности
при bi = 0 следуют уравнения газовой динамики:
с2ё^-у{уЛ^ = 0, или c2Vx-v-v(vVxv)=0, E.27)
5.3. Некоторые особенности движения вязкой несжимаемой жидкости 121
где с = \/др/др — скорость звука, которая в отличие от использованной
в уравнении E.26) величины не является постоянной, а зависит от местного
значения плотности р{х\, х^, #з).
Наконец, если скорость движения жидкости v = 0, то уравнения Эйлера
E.15) принимают вид
дт)
— = ph, или Vxp = ph, E.28)
OXi
и описывают состояние гидростатического равновесия.
5.3. Некоторые особенности движения вязкой несжимаемой жид-
жидкости. Движение вязкой несжимаемой жидкости, как отмечено ранее,
описывают уравнения Навье—Стокса E.12) и условие несжимаемости
Если скорость течения жидкости невелика и \vjdvi/dxj\ <C \dvi/dt\, то
уравнения E.12) принимают вид
dvi dp , 32vi , ,
или
^ = -Vxp + /iDVx • (vVx) + pb. E.29)
Уравнения E.29) описывают ползущее движение жидкости. При отсут-
отсутствии массовых сил (bi = 0) и установившемся движении
др д2уг
= №
Вычисляя дивергенцию от обеих частей этого равенства, получим
д2р = _ д2 dvj =0
т. е. для такого движения давление есть гармоническая функция,
Vx • (Vxp) = 0, или Vlp = 0.
Уравнение E.12) запишем в виде
2w х v + ^ = ^х f? + ?) + ^Vx • (Wx). E.30)
dt \p 2 ) p
Применяя к уравнению E.30) операцию ротора, используя соотношения
Vxx(fxg) = (g. Vx)f - (f • Vx)g + f (Vx • g) - g(Vx • f)
и w = (Vx x v)/2, получаем
(v ¦ Vx)w + ^ - (w • Vx)v = ^Vx ¦ (wVx),
dt p
122 5. Линейные модели жидкости
а учитывая тождество
окончательно имеем следующую форму записи уравнения Навье-Стокса:
dt p
При плоском течении v\ = vi{x\1X21tI V2 = V2(xi,X2,t) и v% =
= 0. В таком случае первое слагаемое в правой части уравнения E.31)
(w • Vx)v = 0, поскольку ненулевым остается только один компонент
вектора w, W3 ф 0, а вектор скорости v не зависит от координаты х%.
Следовательно, для плоского движения справедливо уравнение
-ТГ^-> г = 1'2' E-32)
at р дхгдх
которое называют уравнением переноса вихря. Уравнение E.32) имеет
такой же вид, что и уравнение теплопроводности E.9) при отсутствии
диссипативных слагаемых и тепловых источников (стоков), несжимаемости
жидкости, а также ее однородности и изотропности. Так как процесс
переноса теплоты представить легче, чем перенос вихря, определяемый
уравнением E.32), то аналогия между уравнением теплопроводности E.9)
при указанных упрощениях и уравнением переноса вихря может оказаться
полезной. Однако необходимо отметить, что для полной аналогии между
этими двумя процессами необходимо совпадение не только уравнений, но
и краевых условий.
При одномерном прямолинейном течении вязкой несжимаемой жидко-
жидкости
vi = v2 = 0, v3 = v(xi,x2,t).
Уравнение неразрывности при этом удовлетворяется тождественно, а из
первых двух уравнений E.12) при Ь{ = 0, записанных в координатной
форме, следует, что давление р не зависит от координат х\ и ж2- Тогда
dt p дхз р дхгдхг
и так как v не зависит от х%, то др/дх% не зависит от жз, т. е.
ОХ3
где f{x\, Ж2, t) — градиент давления прямолинейного потока.
В частности, если f(xi,X2,t) = const, то уравнение E.33) принимает
вид уравнения теплопроводности, решениям которого можно дать гидро-
гидродинамическую интерпретацию.
5.4. Вязкая жидкость как сплошная среда с памятью 123
5.4. Вязкая жидкость как сплошная среда с памятью. При постро-
построении определяющих соотношений мы, как и ранее, будем полагать, что
все состояния сплошной среды, для которых плотность массы совпадает
с исходной, являются естественными состояниями. Допустим, что в момент
времени t между актуальной конфигурацией сплошной среды и начальной,
соответствующей естественному состоянию, существует зависимость вида
pi = J(tNij, i,j = 1,2,3, E.34)
oaj
где J(i) — якобиан. Эта зависимость выражает то обстоятельство, что
рассматриваемое состояние сплошной среды можно получить из естествен-
естественного с помощью только объемной деформации и только пространственного
поворота.
Зададим массовую плотность свободной энергии А в виде функционала
А= 8А [Lijit-s),^)], E.35)
где Lij(t — s) — компоненты тензора конечной деформации Грина B.17).
Из соотношения E.35) следует, что единственная явная зависимость
массовой плотности свободной энергии от компонентов тензора конечной
деформации Грина — это зависимость через якобиан J(t); очевидно, что
такая зависимость эквивалентна зависимости от плотности массы p(t).
Если допустить для соотношения E.35) зависимость от деформации более
общую, чем через одну скалярную величину J(t), то будет нарушено
предположение об отсутствии предпочтительной конфигурации. Отсюда
также следует, что рассматриваемая сплошная среда изотропна, поскольку
функционал E.35) удовлетворяет принципу объективности.
Для выполнения условия C.47) в изотермическом процессе
(T(xi,X2,xs,i) = const) необходимо вычислить производную dA/dt.
Используем для этого принцип затухающей памяти по отношению к
историям деформации Lij(t — s) так, чтобы существовал дифференциал
s=t s=t
Фреше S Л Н от функционала Л И • Тогда
s=oo s=oo
'л [Lij(t -s) + SLijit - s), J(t)] =
= 'л [Lyit-s), J(t)]+S 'л [Lijit-s), jMSLijit-s)], E.36)
s=-oo s=-oo
s=t
где дифференциал Фреше 5 Л [•] непрерывен по всем переменным
и линеен по SLij(t — s). В соотношении E.36) не учтены слагаемые более
высокого порядка малости по 8Ьц (t — s).
124 5. Линейные модели жидкости
Используя выражение E.36), получим производную по времени от
массовой плотности свободной энергии в виде
dJ(t)
s=t
+ S A \Li:j(t-s),J(t)
dLij(t-s)
dt
, E-37)
так как явно от времени t в выражении E.36) зависят только J(t)
и SLij(t — s).
Используя выражения B.17) для компонентов тензора конечной дефор-
деформации Грина, с помощью соотношений B.15) и B.63) можно показать, что
dLjj(t-s) _ dLjj(t-s) (п (+_я\дУт г , я\дут\
at as \ oxj oxi J
E.38)
где Gmi — компоненты тензора деформации Грина, vm = vm(i) —
компоненты вектора скорости. Поскольку
E-39)
то, подставляя выражения E.38) и E.39) в E.37), получим
dA д SZT^ Г 1 dJ ~ п S = t
л Н *+ 2
- + Wmi)> E'40)
где диссипативная функция представлена функционалом
6 = 6 'а \ьф-з), J(i) dL>i(t-s)] E41)
s= —оо [ at J
a (fmj [•] — тензорный функционал, определяемый соотношением
s= —со
t ^ * U mi(t - вM^1 , E-42)
^ J
которое справедливо, поскольку дифференциал Фреше 8 А 1-1 линеен
относительно переменного Gmi(t — s), a dvm/dxj не зависит от s.
Для того, чтобы функция dA/dt была инвариантна по отношению к
вращению среды как абсолютно твердого тела, необходимо, чтобы значение
(fmj [•] Wmj = 0, откуда следует, что функционал (pmj [•] симметричен,
s= — оо s= — оо
т. е.
^mj [•] = ^7m [']. E.43)
5.4. Вязкая жидкость как сплошная среда с памятью 125
Подставив dA/dt из выражения E.40) в неравенство C.47) при dT/di =
= 0, с учетом равенств E.43) и dJ/dt = Jdvi/dxjSij найдем
(JijVij — pJ I — Л [•] j VijSij + pS — 2p (fij I'JVij ^ 0. E.44)
Так как Уц произвольны, то
/ _ . \
где (fij [•] выражается с помощью соотношения E.42). С учетом равен-
равенства E.45) неравенство E.44) принимает более простой вид:
рб ^ 0, E.46)
и выражает требование неотрицательности диссипативной функции.
Отметим, что первое слагаемое в правой части соотношения E.45)
может быть обозначено аналогично тому, как это сделано в пятом равенстве
из E.4), т. е.
д s=t
тцер=—ро— Л [-J и учтено равенство C.4).
Далее, если рассматриваемая вязкая жидкость линейна, то
t t
s=t Г Г
2р (fij • = Ad Sis^dsVkkSij + 2/iD S(s)dsVij,
s=-oo J J
— oo —-oo
где S(s) — дельта-функция Дирака, Ad = const и /io — const, а связь
между компонентами тензоров напряжений и скоростей эквивалентна ра-
равенству E.8).
6. ЛИНЕЙНАЯ ТЕРМОВЯЗКОУПРУГАЯ
СПЛОШНАЯ СРЕДА
6.1. Термовязкоу пру гая среда скоростного типа. В ка-
качестве примера сплошной среды скоростного типа рассмотрим модель
Кельвина—Фойгта, в которой к числу реактивных переменных — аргу-
аргументов определяющих термодинамических функций — наряду с тензором
малой деформации?, абсолютной температурой Т и ее градиентом # будем
относить и тензор скоростей малой деформации V = дг/dt:
A = A(ekhVkhT,0k), h = h(ekhVkhT,#k),
cr--(s , V Т tf ) q-= q-(e . V T tf ) ^ ^
В пределе, когда Уц —>¦ 0, соотношения F.1) должны совпадать
с выражениями для определяющих термодинамических функций линейной
термоупругой среды. Следовательно, можно записать
где первые слагаемые соответствуют определяющим функциям для термо-
термоупругой среды и не зависят от Уц, а вторые — зависят от Уц и обращаются
в нуль при Vij = 0.
Если подставить соотношения F.2) в уравнение закона сохранения
энергии C.32) или C.35) с учетом равенства C.45), а затем получивше-
получившееся выражение вычесть из неравенства C.42) или C.43), то мы получим
выражение для второго закона термодинамики, справедливое для модели
скоростной среды Кельвина—Фойгта:
дА , о , j
дАв дУгз дА дёг 1 дТ . п (а оч
— о L — о qi > 0. F.3)
dVij dt И дд-ъ di T дхг
Это неравенство линейно относительно скоростей dVij/dt, dT/dt
и dfli/dt, которые в соответствии с соотношениями F.1) и F.2) не являются
реактивными переменными. Следовательно, достаточные условия выпол-
выполнения неравенства F.3) при произвольных Уц и произвольных скоростях
изменения реактивных переменных имеют вид
dAD п дА п , дА о дА (а Л,
= 0, —= 0, h = , Gja = p , F.4)
дУгз дёг дт1 гз Идегз' К J
а второй закон термодинамики будет иметь вид
?-^|^0, F.5)
где диссипативная функция 6 = afjVij.
6.1. Термовязкоупругая среда скоростного типа 127
Если допустить, что процессы вязкого деформирования и распростра-
распространения теплоты независимы, то будут выполняться отдельные неравенства:
afjVij ^ О, -qi— > 0, F.6)
характеризующие диссипацию энергии в этих двух процессах.
Поскольку для термоупругой сплошной среды а®- = рдА°)двц, то AD
не зависит от вц и из равенств F.4) получаем
AD^0, hD^0, aij^p^+a?. F.7)
Закон сохранения энергии с учетом соотношений F.2), F.4) и F.7) будет
иметь следующий вид:
dt dxi %3
где последнее слагаемое в правой части определяет необратимое теп-
тепловыделение, обусловленное вязким трением. Наличие этого слагаемого
свидетельствует о том, что среда, описываемая моделью Кельвина—Фойгта,
является локально неравновесной.
Дальнейшая конкретизация уравнения F.Щ связана с заданием вида
определяющих термодинамических функций A0, qi и а^. Для рассматри-
рассматриваемой линейной среды вид функций А0 и qi положим таким же, как это
принято в выражениях D.1), следующем после него и D.7), а
а§ =RmVkh F.9)
где Rijki — компоненты тензора коэффициентов вязкости R, для которого
выполняются условия симметрии
Rijkl = Rklij 5 Rijkl = Rjikl 5 Rijkl = Rijlk ]
кроме того, компоненты тензора R являются элементами неотрицательной
определенной матрицы, так как RijkiVkiVij ^ 0.
Подставив далее указанные соотношения в уравнение F.8), получим
окончательную форму записи закона сохранения энергии в виде уравнения
теплопроводности
ос—= TC--bid?klde<i^ + —
F ? dt ч dt дт дх{ \"lJ dXl
или
^ ' /тЧ -. F.10)
Если рассматриваемая среда изотропна, то
128 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
—D X У S ¦ ¦ -4- 2,n У- ¦ F111
Кроме того, если вязкие свойства среды не проявляются при относитель-
относительном изменении бесконечно малого объема в окрестности рассматриваемой
точки, т.е. выполняется условие Стокса E.13), то связь между компо-
компонентами тензора вязких напряжений и компонентами тензора скоростей
деформации принимает вид
1т, с
Отметим, что третье слагаемое в правой части уравнения F.10) имеет
более высокий порядок малости по сравнению с другими и им при Уц —>- 0
можно пренебречь.
Поскольку в общем случае
(Ti- = d-kiiski — ?^) + Щ-ы—^-, F.12)
то уравнения движения рассматриваемой термовязкоупругой сплошной
среды имеют вид
д Iр I дик {т)\ i о ^ дик\ 1 _ д2щ ,„ ^ч
Уравнения F.13) несколько упрощаются, если среда изотропна и одно™
родна. Тогда вместо F.13) можно записать
.. d>2ui ,. ц., .л 92щ , __ д2щ ,
^я я + (А + //) + /1Д +
OX j OXj OXj OX i OXj OXj
+ (\D+liD)-f%-+pbi - CA
ИЛИ
+ (A + /i)Vx(Vx . u) + №VX . (uVx) +
{\d + №)VX(VX . u) + ph - (ЗА + 2p)a^VXT = p^H, F.14)
9t2
Для получения единственного решения системы дифференциальных
уравнений F.10), F.13) или F.14) используют краевые условия D.14)-
D.17).
Рассмотрим более подробно вопрос о различии между вязкоупругим
твердым телом и жидкостью. Интуитивно ясно, что упругая среда является
твердым телом, а вязкая среда — жидкостью. Для вязкоупругой среды си-
ситуация существенно сложнее, так как она проявляет признаки как упругого,
так и вязкого поведения.
6.1. Термовязкоупругая среда скоростного типа 129
Будем различать жидкость и твердое тело с помощью следующего про-
стого и нестрогого рассуждения. Пусть рассматриваемое термовязкоупру-
гое тело изотропно и однородно. Тогда компоненты девиатора напряжений
Sij связаны с компонентами девиатора деформации ец и ёц = deij/dt:
откуда
t
1 ( f ( l ~ l'\ dsij л+Л (a i c\
ец = — [ sa - exp —J-dt . F.15)
о
Для однородной вязкой жидкости при условии малой деформации
компоненты девиатора скоростей совпадают с компонентами девиатора
(\
~ i 1 (dvi , ^г;7 \ 1 dvk r ^
скоростей деформации, е™ = 1 0^,-. Тогда
2 \cfo ^Ж/ 3 ^X
Если eij = 0, то для вязкоупругой среды s^- = 2це^ / 0, а для вязкой
жидкости s^ = 0. Для полимерных материалов, если их рассматривать
на микроуровне, различие между твердым телом и жидкостью достаточно
простое. В жидкости отдельные цепи молекул не связаны между собой и
за длительные промежутки времени обладают неограниченной подвижно-
подвижностью по отношению друг к другу. В твердом теле между цепями молекул
имеются дискретные химические связи, которые называют поперечными,
они-то и препятствуют неограниченному течению.
Положим, что в соотношениях F.15) компоненты девиатора напряже-
напряжений изменяются по закону
зц = s%H(t),
где s®j = const, H(t) — функция Хевисайда, H(t) = 1 при t ^ 0 и H(t) =
= 0 при t < 0. Тогда, поскольку dH(i)/dt = S(i), S(t) — дельта-функция
Дирака, по определению этой функции
ь
а
где f(x) — произвольная функция, непрерывная в точке х = ^о и, следова-
следовательно,
t
exp ( — ь ) S(t')dtr = exp ( —
о
Тогда
130 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
где т = iad/i^ — время запаздывания, а </?(?) = 1 — ехр(—?/т) — функция
ползучести. Эксперимент, в котором изучают изменение деформации во
времени под действием постоянных напряжений, называют экспериментом
на ползучесть, а само явление — ползучестью.
6.2. Термовязкоупругая среда, зависящая от скорости изменения
тензора напряжений. Для получения уравнений, описывающих пове-
поведение термовязкоупругой среды с учетом скорости изменения тензора
напряжений, введем в рассмотрение с помощью преобразования Лежандра
термодинамический потенциал Гиббса:
pF(<rkhT,0k) = -ацец+рА^ениТ^и), F.16)
аргументами которого являются тензор напряжений, абсолютная темпе-
температура и градиент абсолютной температуры. Используя первый и второй
законы термодинамики, можно показать, что
dF , dF dF n
Sa = —о , a = , = и.
4 Hdai5' ОТ1 дёг
Далее, включим в число аргументов основных определяющих функ-
функций —реактивных переменных — скорость изменения тензора напряжений
дд/dt = о, т. е.
F = F(*kh&khT,0k), h = h(akh&khT,0k),
6ij = 6ij(аы, аы,T^k), qi = qi(<rki,akhT^k).
Неравенство C.42), выражающее второй закон термодинамики, можно
представить в виде
dF . дТ 1 5Т.П
dt dt T dxi
или
ovi T dxi
F.18)
Аналогично уравнениям F.2) представим активные переменные в нера-
неравенстве F.18) в виде суммы равновесной части, не зависящей от скорости
изменения тензора напряжений, и диссипативной части, представляющей
собой функцию скорости изменения тензора напряжений. Тогда, аналогич-
аналогично неравенству F.3), получим
+ p—tii - -qi— ^ 0. F.19)
Hd&i T4 dXi
Это неравенство линейно по обобщенным скоростям '6ц, Ги4 ко-
которые, в соответствии с соотношениями F.17), не являются реактивными
6.2. Зависимость от скорости изменения тензора напряжений 131
переменными. Следовательно, достаточными условиями выполнения нера-
неравенства F.19) при произвольном допустимом термодинамическом процессе
будут следующие:
dFD dF OF о dF 1 ОТ
= 0, =0, П = , Елл = —О , 0 Qi > 0,
F.20)
где диссипативная функция S = sfj&ij.
Из ограничений F.20) следует, что
Sij = -р|^- + е%, FD = 0, hD = 0. F.21)
Используя первое равенство из F.17) и определение термодинамиче-
термодинамического потенциала Гиббса F.16), получаем закон сохранения энергии в виде
rpdh dqi . d ia oox
pT— = ^^ + рг + (УцеХр 6.22
dt dxi J
где, как и раньше, последнее слагаемое в правой части определяет необра-
необратимое тепловыделение, обусловленное вязким трением.
При малых скоростях изменения тензора напряжений в® можно аппрок-
аппроксимировать линейной функцией:
O>r~ji
?ij = Щм&Ы + Sijk- ,
где Dijki и Sijk должны выбираться так, чтобы выполнялось неравенство из
F.20). Если по аналогии с неравенствами F.6) положить, что механическая
и тепловая диссипации энергии независимы и по отдельности неотрица-
неотрицательны, т. е.
efj&ij = DijM&M&ij + Sijk—cTij ^ 0, -ft— ^ 0, F.23)
UXk ОХ%
то из первого неравенства F.23) следует, что в силу произвольности
dT/dxk и &ij достаточное условие его выполнения — Sij к = 0. Матрица,
элементами которой являются компоненты Dijki тензора D коэффициен-
коэффициентов текучести, является неотрицательно определенной, и Dijki = DkUj ?
Dijki = Djiki 5 D^ki = Dijik •
Тогда из первого равенства F.21) получим
dF
?ij = ^Рт, Ь DijM&M. F.24)
O
Дальнейшая конкретизация соотношения F.24) связана с выбором
функции F(aij, Т). Однако представление этой функции в виде разложения
в ряд Тейлора по степеням иц некорректно, так как компоненты тензо-
тензора напряжений совсем не обязательно удовлетворяют условию Цсг^-Ц <С
<С 1, позволяющему в этом разложении ограничиться линейными по иц
слагаемыми. Поскольку представление объемной плотности свободной
132 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
энергии в виде D.1) и следующего равенства имеет место для линейной
термоупругой среды, то, учитывая F.16), получаем
PF{crkl,T,dk) = -ciijSij + ±Cijk, (еы ~ 4?) (dj ~ 4T)) +
+ рВ(Т) - \cijkl (-е'Г) (-elf) = -aij?ij + ±СцЫеыец-
- СцыеыеФ + pB(T). F.25)
Подставив соотношения D.10) в F.25) с учетом равенства
ѻ = 1,
где I — единичный тензор четвертого ранга с компонентами 1цтп =
= ^[SimSjn + SinSjm), получаем выражение для объемной плотности
термодинамического потенциала Гиббса:
1-а^р-^ые^е^ +рВ(Т). F.26)
?
Массовая плотность энтропии h в соответствии с третьим равенством
из F.20) и соотношением F.26) будет иметь вид
и ( (т) . п (т) (т)\ 1 дВ (п ^^х
h = \aija\j } + Стекы }а^ })^^^, F.27)
где, как и ранее, а\-} = де- /дТ = const.
Подставляя затем равенство F.27) в выражение закона сохранения
энергии F.22), находим
/ гр\ (ПГ'\
Если обозначить, как и в уравнении D.11), са = с?+ТС^ма оф
с? = —Тд2В/дТ2, и принять связь между компонентами вектора плотно-
плотности теплового потока и градиента температуры в форме закона Фурье D.7),
то закон сохранения энергии принимает вид уравнения теплопроводности,
в котором учтена связь между полями температуры и напряжений:
cfГ^ЧТ) + О
at at J axi \ J oxj J at at
Так как рассматриваемая модель термовязкоупругой среды линейна, то
последним слагаемым в правой части уравнения F.28) можно пренебречь.
Граничные и начальные условия различных задач, которые могут быть
смоделированы при помощи полученных соотношений, задают зависимо-
зависимости D.14Н4.17)."
6.3. Термовязкоупругая среда с внутренним параметром состояния 133
Отметим, что связь между компонентами тензоров деформации и на-
напряжений вида
е^\ или е = В »о + D -8 + е(т), F.29)
определяет модель Максвелла.
Рассмотрим модель Максвелла применительно к изотропной среде.
В этом случае
F.30)
где учтено, что для изотропной среды Dijki = Вг с% ёы + D2 (Sik Sji + 5ц Sjk).
Связь между девиаторами деформации и напряжений, как следует из
равенства (б.30), имеет вид
- — 4- — '
tj 2/х %j 2D2 tj"
откуда
t
о
Если положить, что в соотношениях F.31) компоненты девиатора де-
деформации изменяются по закону
где e®j = const, то в таком случае
S{j =
и т = /i/1^2 — время запаздывания, а ф(г) = 1 — ехр(—?/т) — функция
релаксации. Эксперимент, в котором изучают изменение напряжений во
времени под действием постоянной деформации, называют экспериментом
на релаксацию, а само явление —релаксацией напряжений.
6.3. Термовязкоупругая среда с внутренним параметром состояния.
Один из возможных вариантов получения соотношений теории термовяз-
коу пру гости базируется на использовании модели среды с внутренним
параметром состояния. Положим, что при описании такой среды мож-
можно использовать тензорный внутренний параметр ? с компонентами Xij->
i,j = 1,2,3. Кинетические уравнения, описывающие изменение во времени
Xij, в линейном приближении примем в виде
^Xij =Xij -Xij, F.32)
где та — время релаксации внутреннего параметра состояния; \ц — его
установившееся значение.
134 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
Так как уравнения F.32) линейны, то
t
Xij = Xij — exp f -^— J -^-dt'. F.33)
о
Выражение для объемной плотности свободной энергии зададим ана-
аналогично D.40), но с учетом малости внутреннего параметра, т. е. \\xij\\ ^ 1:
рА{еы,Т, хм) = -Cijki (ем - еы ) (?ij - ец ) - Вцыхы \ец - ец ) +
7iKiJklXklXij + Р&Ц ) - -LijM \SM ) \-?ц j, @.34)
2 2 J
А@,Го,0)=0, В(Го) = 0.
Соотношения для компонентов тензора напряжений и массовой плот-
плотности энтропии следуют из равенства F.34) с учетом первых двух равенств
C.51):
o~ij = Cijki{?ki — ?ы ) ~~ HijkiXkh F.35)
^ = ^{^ijkl^kl — HijklXkl)^L -т=- F.36)
Соотношение F.36) дает возможность получить уравнение закона со-
сохранения энергии в виде уравнения теплопроводности, аналогичного урав-
уравнению C.53):
^ВдТ ^(^ деы тт дг
где диссипативная функция
л ~ дА dxiJ (и л/ и (с- Лт)\\дХы
6 = 'рдх~^Г = {KijklXkl ~ Hijkl{?ij ~?^ })^Г-
Дальнейшая конкретизация уравнений F.35) и F.37) связана с выбором
функции Xij = Xij^khT^k)- Поскольку мы рассматриваем линейную
термовязкоупругую среду, то положим, что Xij — линейная функция своих
аргументов:
Xij = Xijklekl + jij(T - Го) + FijW&k. F.38)
Уравнение C.32) с учетом выражения F.38) принимает вид
Xij = —{Xijkieki+7ij(T-To)+Fijk0k-Xij). F.39)
Та
Подставляя уравнение F.39) в неравенство C.57), получим
Hijkl(?kl ? )) {^ij?^Jij(TTo)^FijldXij) +
6.3. Термовязкоупругая среда с внутренним параметром состояния 135
Полагая далее, что процессы деформирования и изменения внутреннего
структурного параметра связаны между собой и не зависят от изменения
температуры и распространения теплоты, получим достаточные условия
выполнения неравенства F.40):
KijkiXijmnemnXki ^ 0, —KijkiXkiXij ^ 0? HijkiXij?ki ^ 0, /g ^n
—HijkiXijmnemnEki ^ 0, -г—<7г ^ 0-
С7Жг
С учетом первых двух равенств из F.41) установившиеся значения
внутреннего параметра состояния имеют вид
Xij = Xijkiekh F.42)
Если положить, что при распространении теплоты имеют место закон
теплопроводности Фурье D.7) и равенство a\j = de\j /дТ, то уравнение
F.37) окончательно принимает вид
дТ т(г деы я dXkl\JT)+ д
^ )
F.43)
Равенство F.33) дает возможность записать связь между компонентами
тензоров напряжений и деформации в виде
t
/-if (т)\ о ( \ ( t — t'\ деы 1.Л fa лл\
(Jij = Cijki(eki - €{kl 0 - Rijki I бы - exp ( 1 —dt I, F.44)
V J \ та J at J
0
где Rijki = HijmnXmnki — компоненты симметричного тензора коэффи-
коэффициентов вязкости R, Щи = Rkuj, Rijki = Rjiki, Щы = Rijik; отметим,
что если продифференцировать F.44) по времени, полученный результат
умножить на та и сложить с F.44), то получим выражение
F.45)
Соотношения F.43) и F.45) определяют стандартную линейную среду.
Подставив соотношения F.44) в уравнения закона сохранения коли-
количества движения C.11), получим уравнения движения термовязкоупругой
среды в перемещениях. Для изотропной и однородной среды эти уравнения
имеют вид
136 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
t
д2щ , /л , ч д2щ Г ( i-t'\ д д2щ ,.
о
f f t^tf\ д д2щ
exp J
J \
о
или
x • (uVx) + (A + /i)Vx(Vx • u) + /9b - (ЗА +
- f/ii)Vx • (uVx) + (Ad + /xd)Vx(Vx • u)-
exp ("^) |;(Vx • (uVx))dt(
(-^) |;(Vx(Vx-u))dt'j =^. F.46)
0
Для получения единственного решения системы уравнений F.43)
и F.46) используют краевые условия D.14)—D.17).
Условия на поверхности разрыва в рассматриваемой термовязкоупру-
гой сплошной среде можно получить, если положить, что отклонение
абсолютной температуры от температуры естественного состояния неве™
лико: \Т — То|/Го <С 1. Предполагая также, что возмущения в однородной
среде распространяются со скоростью D из закона сохранения количества
движения C.11) получаем
-p[ui]D-nj[aij\=Q, F.47)
а из соотношений Коши —
-[eij]D=1-{[ul]nj + [uJ}nt). F.48)
Из закона сохранения энергии в виде F.37) при Т « То и S = 0 следует
условие
pce[T]D = -T0{Cijkl[ekl]D - Hl]kl[Xki]D)a{p + [qfrn. F.49)
Для компонентов вектора плотности теплового потока и соотношений
F.35) условия на поверхности разрыва имеют вид
Alf [Т\Щ = 0, [(Tij]D = Cijkl ([еы] - 4Р [T])D- Hm [Xki]D, F.50)
причем из первого равенства системы F.50) вытекает, что поскольку в об-
щем случае А^-}п^ ф 0, то абсолютная температура непрерывна, [Т] = 0
и скорость распространения теплоты бесконечна.
6.4. Термовязкоу пру гая среда с памятью 137
Из уравнений F.32) и F.42) следует, что
+ [ui\nk)/2.
Наконец, объединяя последнее равенство, соотношения F.47), F.48) и вто-
второе равенство из F.50), получим
-р[щ]В2 + Cijki[uk]njni - Rijki[uk]njni/Ta = 0,
или
(-pD2Sik + Cijkinjni)[Uk] ~ RijkllUkjnjHi/Ta = 0. F.51)
Соотношения F.51) представляют собой систему трех однородных ли-
линейных алгебраических.уравнений с шестью неизвестными [пк] и [ик]. Так
как в общем случае ранг матрицы этой системы не больше числа уравнений,
неизвестные величины скачков могут быть определены с точностью до
некоторых постоянных множителей. Если из решения краевой задачи тер-
термовязкоу пру гости с соответствующими граничными и начальными услови-
условиями определены скачки [йк], то скачки компонентов вектора перемещения
могут быть найдены из равенств F.51). Скорости распространения скачков
[ик] определяют из равенства
det(^pD2^ + CijkifijTii) = 0, F.52)
которое совпадает с полученным ранее равенством D.22).
Отметим, что компоненты вектора плотности теплового потока разрыв-
разрывны при переходе через поверхность разрыва. Величина [qi] может быть
определена из соотношения, являющегося комбинацией равенств F.47)-
F.50):
Очевидно, что правая часть последнего равенства отлична от нуля
только в том случае, когда г = j.
6.4. Термовязкоупругая среда с памятью. При построении опре-
определяющих соотношений линейной термовязкоупругой среды с памятью
будем полагать, что функции ец {х\, ж 2, х%, t) и Т(х\, x<i, жз, t) непрерыв™
ны на интервале — оо < t < оо и, кроме того, ?ij(i) —>• 0 и T(t) —>¦
—>• То при t -^ ^оо. При таких предположениях о непрерывности
действительный непрерывный скалярный или тензорный функционал от
Sij (tf) mT(tf) при tf G (—oo, t] можно равномерно приблизить полиномом
на множестве действительных непрерывных функционалов от ?ij(tf)
wT(tf). Эти функционалы можно выразить через интегралы Стильтьеса,
в которых подынтегральные функции имеют ограниченную вариацию.
Обозначим0(t) = T(i) —Tqm.положим, что \6(t)\/To <C 1. Полиномиальное
разложение объемной плотности свободной энергии относительно этих
138 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
линейных функционалов дает форму
t t
dt'+
— ею
t t
+ I | | Rijkl(t -t',t- Qd?^f)d?k^pdt'dt"-
t
t t
V dtn
— oo — oo
t t
2 J J v ' 7 dt' dt'1
— oo — oo
F-53)
где подынтегральные функции, характеризующие механические свойства,
полагаются непрерывными по аргументам t — if ^ 0, t — t" ^ On тож-
тождественно равными нулю при t — t' < 0, t — tff < 05 т. е. Dij(t — t1) = 0,
<ф(г - tf) = 0, Rijki(t -tf,t- t") = 0, fait -t',t- t") = 0, m(t - t\
t — t") = 0 при t — i1 < O,i — t" < 0. Заметим, что подынтегральные функции
в соотношении F.53) не должны зависеть от деформации и температуры.
Если подставить в уравнение закона сохранения энергии D.32) соотно-
соотношение C.45) и полученный результат вычтесть из неравенства C.42), то
неравенство Клаузиуеа-Дюгема примет вид
at dt dt T oxi
Подставляя затем соотношения F.53) в неравенство F.54), получим
— CO
t
— oo
t
— oo —oo
t t
- —Dijit-i)—^^dt + —^(t—f)—^-af+o gi— > 0,
1 at n ; a^ J dt^y } dv t4 дх{]
F.55)
6.4. Термовязкоу пру гая среда с памятью 139
где диссипативная функция
t t
х _ ! ^ р (+ +t + +n\Q?ij{t)deki{t ) J+,j+,, ,
2 J J o>t J l ' ; ^' 0t"
— oo —oo
t t
t'dt" (б.5б)
dt JX f dt' dt"
— oo —oo
t t
2 J J 9i ' ' dt' dt"
— oo —oo
и использованы свойства симметрии
Rm(t -t',t- t") = Rm(t - t",t^ t%
m(t -tf,t- t") = m(t - t'\t-t').
Поскольку неравенство F.55) должно выполняться при любых зна-
значениях iij(t) и 0(t)y достаточно, чтобы коэффициенты при ?ij(t) и 6(t)
обращались в нуль. Тогда
t t
al3=Dl3{0)+ | Rljkl(t-t\O)^±dt>- | pi3{0,t-t')^ldt\
^OO ^OO
F.57)
F.58)
Равенства F.57) и F.58) являются определяющими соотношениями для
тензора напряжений и объемной плотности энтропии. Из них видно, что
Dij@) и 1^@) представляют собой начальные значения компонентов тен-
тензора напряжений и объемной плотности энтропии. Однако поскольку
мы полагаем, что естественное состояние рассматриваемой сплошной
среды и является начальным, то Dij@) = 0 и ^@) = 0. Функции
Rijki(t - t;,0), fiij(O,t - t'), /3ij(t - t',0) и m(t - i',0) — функции ре™
лаксации, определяющие термомеханические свойства рассматриваемой
сплошной среды.
Неравенство F.55) с учетом равенств F.57) и F.58) принимает более
простой вид:
t t
f ^n u +r\deij(tf).., , [ d lU +f\d0(tf) , X 1 dO .n
— ^Dijii — t) J dt: + --щ!-! —^+0--^— H.
J dt JK J dt' J dt v J dt' T dxi
— oo —oo
F.59)
140 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
Если рассматривать процесс, для которого дв/dxi = 0, то из неравен™
ства F.57) получим
и далее, так как первые два слагаемых в левой части неравенства F.60) име-
имеют первый порядок малости по реактивным переменным, а последнее —
второй, то это неравенство можно заменить на два:
dt1 J dtT v ; dt1
— oo oo
Следовательно, для выполнения первого из этих неравенств для всех
возможных процессов необходимо следующее:
= 0,
0
dt dt
а с учетом нулевого закона термодинамики:
Dij(t) = O и ^(t)=0. F.61)
Окончательно общее диссипативное неравенство для рассматриваемой
среды имеет вид
s-Lq.EL ^o, F.62)
ТЧ dxi K J
где диссипативная функция определена соотношением F.56).
Равенства F.57), F.58) и F.61) дают возможность записать закон
сохранения энергии следующим образом:
t
-Г— I mlt-t'A
Ё?Ю.м+тд_ Г
дг m \
dt J v 7 dt1
= -—+рг + й. F.63)
Для приведения закона сохранения энергии F.63) к иной форме — урав-
уравнению теплопроводности — необходимо конкретизировать выражение для
компонентов вектора плотности теплового потока, приняв их, например,
в виде
-J
dtf
6.4. Термовязкоу пру гая среда с памятью 141
где qi линейно зависят от истории градиента температуры дв/dxj. Подстав-
ляя соотношения F.64) в F.62) и учитывая неравенство S ^ 0, получаем
- f
dXi J
При фиксированном значении времени t мгновенное значение градиен-
градиента температуры и значение функционала могут иметь в общем случае про-
противоположные знаки, так как функционал зависит от всей прошлой истории
градиента температуры. Для заданного момента времени функция 89/dxi
и функционал будут иметь один знак лишь в том случае, когда матрица с
(Т)
элементами А^- является неотрицательно определенной и не изменяется во
времени. При этих условиях соотношение F.64) сводится к закону Фурье:
q ^
а уравнение теплопроводности принимает, как следует из F.63), вид
t t
Т \ {tHQ)^ld? + T
\ m{tH,Q)d? + T &,(*f,O)
причем второе слагаемое в его левой части характеризует термомеханиче-
термомеханическую связанность полей температуры и деформации.
Для изотропной термовязкоупругой среды с памятью
t
= \
— oo
t
'% F.67)
t t
2 J J dt iV ' ' dt' dt"
— oo —oo
t t
1r2 U _t'jt_ f»)
dt v '
dt v ' dt' dt"
— oo — oo
142 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
dt x ; dt1 dt"
— oo —oo
-I iffl(t-^-(»)*)^«'. F.68)
2 J J dt v ; a*' at" v '
— oo — oo
Очевидно, что уравнение теплопроводности для изотропной среды
с памятью легко можно получить, если положить /%(i — t;,0) = /?(? —
Уравнения движения в перемещениях для рассматриваемой сплошной
среды можно получить, подставив соотношения F.57) в уравнения закона
сохранения количества движения C.11). Для нахождения единственного ре-
решения системы уравнений термовязкоупругой среды с памятью используют
краевые условия D.14)-D.17).
6.5. Ограничения на функции релаксации и частные случаи тер-
термовязкоупругой среды с памятью. Рассмотрим некоторые следствия из
общего диссипативного неравенства F.62) для изотропной среды, полагая
истории деформации и температуры функциями времени вида
еф)=е%Е{1), e(t) = e°H(t), F.69)
где e®j = const, 9° = const, H(t), как и ранее, — функция Хевисайда.
Подставляя соотношения F.69) в выражение F.68) при условии е^- =
= s®j — ?tk^j/^i где e®j = const — компоненты девиатора деформации,
получаем
- ~
i|°2^0, F.70)
где До(М) =Ri(t,t) + 2R2(t,t)/3.
При e®j = 0 и неравных одновременно нулю е^к и 9° из неравенства
F.70) следуют ограничения
F.71)
Далее преобразуем левую часть неравенства F.70) и приведем его к виду
4
D =
д
6.5. Ограничения на функции релаксации 143
откуда следует, что
F.72)
Другой частный случай соответствует <9° = Ои^ = 0. Для этого
случая неравенство F.70) дает
^Д2(МК0. F.73)
dt
Еще один частный случай касается связи температурного коэффици-
коэффициента линейного расширения сгт) с механическими свойствами материала.
Пусть свободный от напряжений образец находится в однородном поле
температуры
0(t) =0°H(t), 0° = const.
При таком законе изменения температуры из равенства F.67) следует
t
^d?kk{tf) )e°. F.74)
(m0(tt,o)) dt
— со
Далее, если /3@, t) можно представить в виде
)), F.75)
где а^ = const, то решение уравнения F.74) будет иметь вид
ekk = Za{T4QH(t). F.76)
В общем случае соотношение F.75) не имеет места. Тогда зависимость
F.76) относительного изменения объема от температуры нельзя выразить
через независящий от времени температурный коэффициент линейного
расширения.
Рассмотрим далее требование неотрицательности работы, широко ис-
используемое в механике сплошной среды, и его связь с соотношения-
соотношениями F.71)^F.73), следующими из законов термодинамики необратимых
процессов. Требование неотрицательности работы для изотермического
деформирования вязкоупругой среды формулируют в виде
F.77)
где нулевому моменту времени соответствует естественное состояние.
При изотермических условиях (дО/dt = 0 и дв/dxi = 0) неравенство
F.54) принимает вид
ot ot
144 6. Линейная термовязкоупругая сплошная среда
или, после интегрирования по времени,
t
-рА + {(Tijit'^^pdt1 ^ 0- F.79)
J ot
о
Так как левая часть неравенства F.78) в рассматриваемых условиях есть
диссипативная функция 5 ^ 0, то
t
\5{t')dt'
F.80)
т. е. общая рассеянная энергия в окрестности рассматриваемой точки долж-
должна быть неотрицательна.
Если потребовать, чтобы объемная плотность свободной энергии была
неотрицательна, т. е. рА ^ 0, то неравенство F.79) дает необходимое, но
не достаточное условие неотрицательности работы. Достаточное условие
заключается в том, чтобы выполнялось также неравенство F.80). Однако
при этом, если одновременно потребовать неотрицательности затраченной
работы и диссипации энергии, то о знаке рА ничего сказать нельзя. При-
Принимая требование # ^ 0, откуда следует неравенство F.80), мы видим,
что условие рА ^ 0 приводит к неотрицательности работы, однако из
неотрицательности работы не следует рА ^ 0. В силу этого можно
предположить, что требование рА ^ 0 является более жестким и более
физически содержательным, чем требование неотрицательности работы.
Из требования неотрицательности объемной плотности свободной энер-
энергии следуют некоторые выводы. Для их получения используем функцию
Хевисайда в выражении объемной плотности свободной энергии изотроп-
изотропной термовязкоупругой среды для изотермического процесса в виде
рА=1-
2
2 J J у > д? dt"
— со — ос j. j.
+ - \ R2(t -t',t-1") uv ' l3y 'dt'dt". F.81)
2 J I v ' dt' dt"
— со —со
Если положить, что Roii^t") = R0{tf + i") и R2{i\ t") = R2(t' + i"),
eu(t) = ?%H(t) и eij(t) = e®jH(t), то требование рА ^ 0 принимает вид
До(*)^0, R2(t)Z0. F.82)
Полученные требования, наложенные на функции релаксации Ro(t)
и R2(i), показывают, что при условиях F.71) и F.73) функции релакса-
релаксации должны быть неотрицательными непрерывно убывающими функци-
функциями времени. Принцип затухающей памяти накладывает дополнительные
требования на производные функции релаксации по времени, а именно,
d2R0(t)/dt2 ^0M.d2R2(t)/dt2 ^ 0.
7. ТЕРМОУПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ
СПЛОШНАЯ СРЕДА
7.1. Условия текучести и условия упрочнения. Ха-
Характерной особенностью упругой среды является полное восстановление
формы и объема деформируемого тела после снятия приложенной к нему
нагрузки. Если же приложенная внешняя нагрузка такова, что в дефор-
деформируемом твердом теле на микроуровне возникают необратимые смеще-
смещения вследствие взаимодействия дислокаций, относительного скольжения
кристаллографических плоскостей и других явлений и после снятия этой
нагрузки не происходит возврат к исходной конфигурации, то в этом случае
деформации называют пластическими.
Различные материалы ведут себя за пределами упругости по-разному.
Их поведение зависит от структуры материала, условий его работы в кон™
струкции и приложенной нагрузки. Изучение пластических свойств среды
начинают с проведения одноосных испытаний образцов, как правило, на
растяжение. Получаемые в результате испытаний диаграммы деформиро-
деформирования затем аппроксимируют различными зависимостями между напряже-
напряжением а и деформацией е9 которые и представляют собой модели поведения
пластической среды при одноосном деформировании. Графическое пред-
представление некоторых из этих моделей приведено на рис. 7.1.
Модель идеальной упругопластической среды (рис. 7.1, а) характери-
характеризуют величиной напряжения от, называемого пределом текучести при
растяжении (или сжатии, если проводят испытание на сжатие). До до-
достижения этого предела материал является линейно упругим, а после его
достижения деформируется при постоянном напряжении. При разгрузке
(уменьшении нагрузки) материал ведет себя как линейно упругий с модулем
упругости Е. При повторном нагружении материал деформируется упруго
до достижения предела текучести, а далее — пластически.
Упругопластическая среда с линейным упрочнением (рис. 7.1,6) облада-
обладает свойством деформироваться упруго до достижения предела текучести.
При увеличении нагрузки и превышении этого предела зависимость между
напряжением и деформацией также будет линейной, но с другим значением
да/де. При разгрузке материал ведет себя как линейно упругий с обра-
образованием остаточной деформации. При повторном нагружении материал
деформируется упруго до достижения напряжения, с которого началась
разгрузка. Это напряжение можно рассматривать как новый предел теку-
текучести, превышающий первоначальный, поэтому считается, что материал
получил пластическое упрочнение. При дальнейшем увеличении нагрузки
зависимость напряжения от деформации будет оставаться линейной, поэто-
поэтому упрочнение называют линейным-.
Модель упру гопластической среды с нелинейным упрочнением
(рис. 7.1, в) отличается от предыдущей тем, что при превышении
146
7. Термоупругопластическая сплошная среда
7.1. Условия текучести и условия упрочнения 147
предела текучести зависимость напряжения от деформации нелинейна,
т. е. материал обладает нелинейным упрочнением.
Упрочнение имеет обычно направленный характер. Поэтому в результа-
результате пластической деформации материал приобретает деформационную ани-
анизотропию. Одним из проявлений деформационной анизотропии является
эффект Баушингера. Он заключается в том, что предварительная пласти-
пластическая деформация одного знака ухудшает сопротивляемость материала
в отношении последующей деформации обратного знака. Так, пластическое
растяжение стержня приводит к заметному снижению предела текучести
при последующем сжатии того же стержня.
Для модели нелинейной упругопластической среды (рис. 7.1,г) характер-
характерно отсутствие предела текучести — пластическая деформация возникает
при любом отличном от нуля напряжении. При нагружении зависимость
между напряжением и деформацией нелинейна, упрочнение материала
нелинейное. Разгрузка для такой среды происходит по закону линейной
упругости с модулем упругости Е. При повторном нагружении пластиче-
пластическое деформирование происходит только после достижения напряжения, с
которого началась разгрузка. В принципе, нелинейная упругопластическая
среда при разгрузке может вести себя и как нелинейная пластическая.
Если при исследовании поведения твердого тела, обладающего свой-
свойством деформироваться пластически, можно пренебречь упругими дефор-
деформациями, то в таком случае целесообразно использовать модель или иде-
идеальной эюесткопластической среды (рис. 6.1, д), или эюесткопластической
среды с нелинейным (или линейным при да/де = const) упрочнением
(рис. 7.1, в).
Простейшие эксперименты, рассмотренные выше, позволяют подойти
к решению основных вопросов теории пластичности или термопластич-
термопластичности, если упругопластическое деформирование обусловлено в том числе
и изменением температуры, а именно, к формулировке соотношений между
компонентами тензоров напряжений и деформации и температурой, уста-
установлению количественных критериев начала возникновения пластической
деформации (или пластического течения).
Широко используемый в теории пластичности термин пластическое
течение означает непрерывное изменение значений компонентов тензора
деформации, а скорость пластического течения представляет собой ско-
скорость изменения этих компонентов в отличие от течения жидкости, при
котором происходит перемещение частиц сплошной среды в пространстве.
Условия, при которых в окрестности данной точки тела происходит
переход из упругого состояния в пластическое, называют условиями теку-
текучести или условиями пластичности.
Так как в упругой области деформированное состояние однозначно
определено тензором напряжений и абсолютной температурой и не зависит
от пути нагружения, то условие текучести можно выразить в виде
ю
148
7. Термоупругопластическая сплошная среда
Для изотропного материала условие текучести будет симметричной
функцией главных напряжений или инвариантов тензора напряжений и аб-
абсолютной температуры:
2'
Рис. 7.2.
До определенного уровня всестороннего сжатия или растяжения пла-
пластические деформации не возникают. В этом случае условие текучести
можно представить в виде функции толь-
только двух инвариантов девиатора напряжений
и абсолютной температуры:
/(/2в,/зв,Т) = 0. G.1)
Условие G.1) текучести материала
в окрестности данной точки при фиксиро-
фиксированной температуре можно представить по-
поверхностью текучести, построенной в трех-
трехмерном пространстве главных напряжений
и образующей цилиндр, ось которого пер-
перпендикулярна к октаэдрической площадке.
След пересечения поверхности текучести с
октаэдрической площадкой образует кривую
текучести (рис. 7.2), которая обладает следующими свойствами:
- луч, проведенный из начала системы координат О', пересекает кри-
кривую текучести только один раз;
- кривая симметрична относительно проекций главных осей тензора
напряжений на октаэдрическую площадку 1;, 2\ 3';
- если механические свойства материала при растяжении и сжатии оди-
одинаковы и эффектом Баушингера можно пренебречь, то кривая симметрична
также относительно прямых, ортогональных к осям 1\ 2' и 3f;
- кривая выпукла (на основе рассмотренного ниже постулата Драккера
о неотрицательности приращения работы пластической деформации);
- если материал обладает свойством упругости до некоторого уровня
напряженного состояния, то кривая не проходит через начало системы
координат (если у материала пластическая деформация возникает с самого
начала нагружения, то кривая текучести стягивается в точку, совпадающую
с началом системы координат).
Для большой группы материалов (металлов, некоторых видов пластмасс
и др.) можно принять, что условие текучести не зависит от 1%8 и имеет вид
или 1
G.2)
где tj(T) — зависящий от температуры предел текучести при чистом
сдвиге. Условие текучести G.2) называют условием текучести Ммзеса
(условием текучести Мизеса—Губера—Генки). Оно было предложено Мизе-
сом из-за его простой формы, однако имеет и физический смысл. Это усло-
условие означает, что пластическая деформация в окрестности данной точки
7.1. Условия текучести и условия упрочнения 149
возникает лишь тогда, когда касательное напряжение т на октаэдрической
площадке достигает предельного значения, т2 = 2/Зг|(Т), так как т =
Известна и энергетическая интерпретация условия G.2). Энергию упругой
деформации единицы объема А*' = оцЕц /2 можно представить в виде
суммы энергии изменения объема Ау и энергии изменения формы А^ :
где Ау = 1/6/io-iie, Ay = 1/2^-е^. В соответствии с условием Мизеса
пластическая деформация начинается в бесконечно близкой окрестности
данной точки тогда, когда энергия изменения формы достигнет наперед
заданного предельного значения А^ = т^ ' /B/jl). Энергетическая ин-
интерпретация условия G.2) хорошо согласуется с представлениями о ми-
микромеханизме пластической деформации, который связан со скольжением
по определенным плоскостям в кристаллических телах, приводящим к
изменению формы в окрестности рассматриваемой точки.
Из кусочно-линейных условий текучести наиболее широко исполь-
используют условие текучести Треска-Сен—Венана, в соответствии с которым
пластическая деформация начинается в окрестности той точки, в которой
максимальное касательное напряжение достигнет предельного значения rj,
т.е.
Ттах = ТТ. G.3)
Это условие имеет физическую интерпретацию, связанную с представ-
представлениями о микромеханизме скольжения по определенным плоскостям. Так
как главные нормальные напряжения удовлетворяют неравенствам а\ ^
^ (у2 ^ 0"з? то условие G.3) принимает вид (а± - сг3)/2 = тт. В общем
случае условие текучести Треска-Сен-Венана в пространстве главных
напряжений задают следующей системой плоскостей:
(dl - <72)/2 = ТТ, (<7i - СГ2)/2 = -ТТ, ((J2 - <73)/2 = ТТ,
(а2 - <73)/2 = -тт, (G3 - <7i)/2 = тт, (а3 - аг)/2 = -гт.
Геометрически условие Треска-Сен-Венана изображают правильной
шестигранной призмой, ось которой проходит через начало координат и
имеет одинаковый наклон к осям главных напряжений. Линия ее пересече-
пересечения с октаэдрической площадкой представляет собой правильный шести-
шестиугольник. Если принять, что предел текучести при одноосном растяжении
один и тот же как по условию G.2), так и по условию G.3), и равен <тт,
то призма (соответственно, шестиугольник) вписана в цилиндр Мизеса
(соответственно, окружность) (см. рис. 7.2).
К настоящему времени для изотропных материалов предложено до-
достаточно большое число условий текучести, которые представляют собой
некоторые обобщения условий G.1)—G.3) или их комбинации.
150 7. Термоупругопластическая сплошная среда
При продолжении процесса нагружения за пределом текучести у кон-
струкционных материалов, как правило, увеличивается сопротивляемость
пластическому деформированию. Для материалов с выраженным пределом
текучести упрочнение характеризуется изменением как размеров, так и по-
положения начальной поверхности текучести в пространстве напряжений.
Последующие поверхности текучести, которые образуются в процессе
нагружения и отделяют области упругого и пластического деформирования
друг от друга, называют поверхностями нагружения. Условия, определяю-
определяющие характер изменения начальной поверхности текучести в зависимости
от данного напряженного состояния и предыстории деформирования, на-
зывают условиями упрочнения (иногда — функциями нагружения).
Если в процессе деформирования поверхность нагружения однородно
расширяется и сохраняет свою форму, то такое упрочнение называют
изотропным. В простейшем виде условие изотропного упрочнения пред-
представляют зависимостью
f(*ij)-Mx,T) = 0, G.4)
где х — скалярный внутренний параметр состояния, называемый парамет-
параметром упрочнения. В процессе пластического деформирования он монотонно
возрастает.
Параметр упрочнения может быть определен различными способами.
В одном из них. за меру упрочнения принимают величину достигнутой
интенсивности деформации сдвига Г = 2у/|/2е|: х = Г. В другом случае
за меру упрочнения принимают величину диссипации энергии при пласти-
пластическом деформировании: х = °%з^Щ^и гДе ец — компоненты тензора
пластической деформации. В третьем подходе за меру упрочнения прини-
принимают величину, определяющую накопленную пластическую деформацию:
X = у 2de\jde\^ , называемую параметром Одквиста (Удквиста).
Если начальным считать состояние, при котором пластические дефор-
деформации отсутствуют, и за начальное условие принять условие текучести
Мизеса, то равенство G.4) можно записать в виде
-SijSij -г|(х,Г) = 0,
где тт(х, Т) определяет изменение предела текучести при чистом сдвиге,
обусловленное упрочнением.
Поскольку условия изотропного упрочнения не способны учитывать
эффект Баушингера, наличие которого подтверждено экспериментально,
то они пригодны только для приближенного описания пластического де-
деформирования изотропных материалов.
Для описания анизотропного упрочнения посредством перемещения
начальной поверхности текучести в пространстве напряжений можно
воспользоваться следующим соображением: предел текучести в одном
направлении уменьшается настолько, насколько увеличивается предел те-
7.2. Определяющие уравнения для термоупруготастической среды 151
кучести в противоположном направлении (идеальный эффект Баушингера).
Поскольку в этом случае поверхность текучести при заданной температуре
не изменяется по форме и величине и перемещается в процессе пластиче-
пластического деформирования параллельно самой себе, то уравнение поверхности
нагружения имеет вид
fan - ха) - ЫТ) = о, G.5)
где Xij — компоненты тензора трансляции (внутреннего параметра состо-
состояния), определяющего положение центра поверхности нагружения. Упроч-
Упрочнение такого вида называют кинематическим-.
Если пренебречь изменением объема при пластическом деформирова-
деформировании, то уравнение G.5) принимает вид
где x'ij = Xij ~~ XkkSij/^ — компоненты девиатора трансляции центра
поверхности нагружения.
Зависимость между компонентами девиатора трансляции и тензора
пластической деформации е\? может быть принята линейной:
y • • - се{р)
Aij ij i
где с = с(Т) — характеристика свойств данного материала.
Отметим, что при кинематическом упрочнении первоначально изотроп-
изотропный материал становится анизотропным в результате упрочнения, пла-
пластические деформации не зависят от среднего напряжения и направления
главных осей тензора напряжений не меняются.
Поскольку условия кинематического упрочнения описывают идеальный
эффект Баушингера, то они применимы для сравнительно небольшого чис-
числа упрочняющихся материалов. В общем случае поверхность нагружения
нельзя считать геометрически подобной поверхности текучести, а изме-
изменение поверхности нагружения нельзя представить простым переносом
ее центра. Поэтому более общими условиями упрочнения должны быть
такие, которые способны описать изменение как размеров, так и положения
поверхности нагружения в пространстве напряжений в процессе деформи-
деформирования. Эти условия упрочнения называют комбинированными.
7.2. Определяющие уравнения для термоупругопластичеекой сре-
среды. Определяющие уравнения для термоупругопластичеекой среды при
малых деформациях можно получить, например, при помощи введения сле-
следующих внутренних параметров состояния: усредненного симметричного
тензора плотности дислокаций и связанного с ним тензора микронапряже-
микронапряжений ? с компонентами хц-> параметра изотропного упрочнения %, усред-
ненно учитывающего плотность микродефектов в поликристаллическом
материале. Эти параметры зависят от величины пластической деформации
е\р и, кроме того, Xij = 0 и х = 0 при i\j = 0. Здесь (*) = д(- )/dt, t —
монотонный неубывающий параметр, в частности, время.
152 7. Термоупругопластическая сплошная среда
Любая теория пластичности должна в частном случае описывать од-
одномерные эксперименты, в которых проявляются упругие и пластические
свойства сплошной среды, и подтверждаться результатами двумерных или
трехмерных экспериментов. На основании имеющихся экспериментальных
данных можно сделать следующие заключения об общих, свойствах упру-
гопластических тел:
— скорость изменения полной деформации ёц в бесконечно близкой
окрестности любой точки рассматриваемого тела состоит из скоростей из-
менения упругой е- , пластической Ец и температурной е- деформации,
- в исходном состоянии материал изотропен, изменение его объема
происходит линейно-упруго:
где К = А + 2///3 — модуль всестороннего сжатия;
- упругая часть девиатора деформации связана с напряжениями зако-
законом .Гука:
.(е) 1 . 1 dfJL t rf?Q,
^!=2i8ti~2aTf8ii> G-8)
(е) ¦,
где e\j , Sij — девиаторы упругой деформации и напряжении;
- существует условие упрочнения (текучести), определяющее напря-
напряженное состояние, при котором бесконечно близкая окрестность рассмат-
рассматриваемой точки тела деформируется пластически:
/(<7у,Г,ху,х) = 0. G.9)
Если условие упрочнения G.9) не зависит от Xij и X? то оно определяет
идеальную пластическую среду, для которой при постоянной температуре
возрастание пластической деформации не приводит к возрастанию напря-
напряжений. При фиксированных значениях Т, \ц и X в шестимерном простран-
пространстве напряжений условие G.9) представляет собой гиперповерхность. По-
Поскольку бесконечно малая окрестность рассматриваемой точки тела имеет
напряженное состояние, задаваемое тензором напряжений с компонентами
оц, то этому напряженному состоянию соответствует определенная точка
пространства напряжений с радиусом-вектором а. Поверхность, задаваемая
уравнением / = 0, делит пространство напряжений на две части: в одной
/((Jij.T.XijjX) < 0, в другой f((Tij,T,Xij,X) > 0- Бесконечно близкая
окрестность точек тела, напряженное состояние которых отображается на
зону / < 0 пространства напряжений, деформируется упруго. Поэтому об-
область/ < 0 называют областью у пру гости, в ней отсутствуют пластические
деформации: e\j = 0.
7.2. Определяющие уравнения для термоупруготастической среды 153
Для идеальной пластической среды полагают, что бесконечно близкая
окрестность точки деформируется пластически в интервале времени {г^1 +
+ dt) и de\j = Sjjdt / 0, если соответствующее напряжение получит
приращение da^ = Ьц dt и
/(<тц,Т) = 0, f=lLaii + y-t = Q. G.10)
d T
Такой процесс изменения напряженного состояния в окрестности рас-
рассматриваемой точки называют погружением. Если изменение напряженно-
напряженного состояния таково, что
/К,Т) = 0, f=M-aij + Elt<0, G.11)
то процесс называют разгрузкой, пластическая деформация не возникает,
T.e.de[f=i[fdt = O.
Если в момент времени t напряженному состоянию соответствует точка
на поверхности упрочнения, т. е. это напряженное состояние удовлетворяет
условию f(&ij,T,XijiX) = 0 ПРИ заданных значениях Xij и Х-> то Для
упрочняющихся пластических тел возможны следующие процессы:
- активное нагружение, когда
оц + 1 + Xij + zX
" X" X
при этом de\j Ф 0;
- нейтральное погружение, когда
/ = 0, /* = 0,
в этом случае e\f = 0;
— разгрузка, когда
/ = 0, /* < 0,
при этом e\j = 0.
Отметим, что область упругости определена условием f{dij, Т, %^-, %) <
< 0, в ней всегда ё^ = 0.
Положим, что скорость изменения пластической деформации задана
соотношениями
в которых уравнения эволюции параметров хы и х можно представить
в параметрическом виде при помощи параметра А так, что всегда А ^ 0,
154
7. Термоупругопластическая сплошная среда
причем А = 0 при ё^ = О, т. е.
Xij = Щ (аы, Г, хы, х) A,
X = И^(о"ы,Т,хы,
G.14)
Подставляя соотношения G.14) в G.13), получим выражения для ско-
скорости изменения компонентов тензора пластической деформации:
ё(р) =
G.15)
где Mij = Yijk,Wk, + NijW, Мц = MjU Mkk = 0.
Соотношения G.15) называют законом пластического течения.
Определим скорость изменения параметра Л из условия е? ф 0 при
активном нагружении, когда / = 0 и /* > 0, т.е. из условия G.12).
Подставив второе равенство из G.12) в G.15), получим
А =
-Г
w
и закон пластического течения примет вид
-г
df
d-lw
tj-
G.16)
При построении некоторых вариантов теории пластического течения
используют постулат Драккера (Друккера), суть которого заключается
в следующем. Пусть к деформируемому телу, бесконечно близкая окрест-
окрестность точки которого имеет в момент времени t* напряженное состояние, за-
заданное компонентами тензора напряжений а*-, статически прикладывается
дополнительная система сил, а затем также медленно снимается. При этом
дополнительном воздействии напряженное и деформированное состояния
в окрестности точки изменяются, и при деформации тела дополнительные
напряжения совершают работу. Постулат Драккера утверждает, что работа,
совершаемая дополнительным воздействием, неотрицательна.
Рассмотрим замкнутый цикл изменения дополнительной нагрузки, при
котором в момент времени t* напряженное состояние соответствует обла-
области упругости. Приложим дополнительную нагрузку в интервале времени
(t*, t\) и доведем напряженное состояние до значений а\-' в момент време-
времени t\, которое изображается точкой на поверхности текучести. В интервале
времени (ti, 1^2) происходит пластическое деформирование до достижения
напряженного состояния с crj. в момент ?2, а затем следует возвращение к
начальному напряженному состоянию в момент t* при помощи разгрузки на
интервале (^2, t*). При этом цикле дополнительные напряжения совершают
7.2. Определяющие уравнения для термоупруготастической среды 155
работу, которую можно выразить в виде разности между полной работой
деформации, совершаемой в течение цикла, и работой деформации, совер-
совершаемой начальными напряжениями, т. е.
к-4Lр)^°- GЛ7)
Если за начальное напряженное состояние с а*- принять а\у и прило-
жить дополнительную нагрузку только в интервале (ti,^) при dt = ?2 —
— ?1, то из неравенства G.17) для идеальной пластической среды следует
равенство
*«$> = о,
а для сплошной среды с упрочнением — неравенство
М? > о.
Предположим, что условие текучести идеальной пластической среды
представляет собой уравнение гладкой поверхности в пространстве на-
напряжений с однозначно определенной внешней нормалью в любой точке.
Тогда из постулата Драккера следует, что вектор dz(p> ортогонален вектору
da, лежащему в плоскости, касательной к поверхности /(сг^-,Т) = 0.
Следовательно, вектор dz^ коллинеарен вектору grad/ и
Ар) _ i df
e Лт:—
где А > 0, так как вектор dz^ направлен по внешней нормали к поверхно-
поверхности текучести.
Допуская применимость неравенства G.17) к термоупругопластическим
средам с упрочнением, можно утверждать, что тензор М с компонентами
Мц в соотношении G.15) пропорционален df /дац. Поскольку функция
f{®ij, T, Xij 7 Х) = 0 определена с точностью до произвольного множителя,
можно записать равенство
Мц = df/дац.
Для выполнения этого условия необходимо существование дифферен-
дифференциальной зависимости между термодинамическим потенциалом Гиббса F:
pF(ai:j, Г, Xij, X) = pA(eij, Г, Xij, Х) - ^ij^ij,
и условием упрочнения f(aij,T, XijiX) = 0^ следующей из соотношений
G.13Н7.15):
pdatj
Последнее соотношение станет очевидным, если учесть, что ец =
ij, положить Уцк\ = deij/дхы и i% = дв^/дх, а также
воспользоваться выражением для Мц из G.15).
156
7. Термоупругопластическая сплошная среда
Закон пластического течения G.16) в таком случае принимает вид
df ^ ¦ dfn
даы
df
Wki + ^fw
G.18)
Если влияние внутренних структурных параметров Xij и % на процесс
пластического деформирования можно разделить, т.е. записать условие
упрочнения, например, как
f(<rij,T,Xij,x) = fr(<Tij,Xij,T) - фт(х,Т) = О,
то закон пластического течения принимает вид
даы Ы \дТ дТ
*hw
G-19)
Законы пластического течения типа G.18) или G.19) называют ассоци-
ассоциированными с условиями упрочнения (текучести).
Процесс распространения теплоты в теле при использовании рассмот-
рассмотренной модели сплошной среды можно описать при помощи уравнения
C.53), закона Фурье D.7) и соотношения, связывающего объемную плот-
плотность свободной энергии pA(eij,T, Xij^x) с объемной плотностью термо-
термодинамического потенциала Гиббса pF(aij, Т, хц ? х) '•
д F ' д
Р дТ2 ~ дхг
где р^ = —pdF/dxijj P = —pdF/dx, а диссипативная функция 6 =
= Pij Xij + РХ- Естественно, что полученное уравнение теплопроводности
должно рассматриваться с соответствующими краевыми условиями.
7.3. Деформационная теория термопластичности. Среди разнооб-
разнообразных задач механики деформируемого твердого тела, связанных с опре-
определением напряженно-деформированного состояния элементов конструк-
конструкций из упругопластических материалов, встречаются такие задачи, общим
условием в которых является изменение в процессе нагружения всех компо-
компонентов девиатора напряжений в окрестности каждой точки среды в одном
и том же отношении. В этом случае нагружение называют пропорциональ-
пропорциональным и при анализе упругопластических напряжений и деформации можно
уже исследовать не процессы, а конечные состояния, когда между собой
связаны компоненты тензоров напряжений и деформации и температура,
т.е воспользоваться соотношениями деформационной теории термопла-
термопластичности. Для однородной изотропной среды уравнения этой теории,
в принципе, можно получить как частный случай теории пластического
течения для изотропно упрочняющихся материалов с условием текучести
Мизеса.
7.3. Деформационная теория термопластичности 157
Для случая активного нагружения при постоянной температуре од-
одноосные диаграммы деформирования (см. рис. 7.1) дают однозначную
зависимость между напряжением и деформацией. По аналогии с законом
Гука можно записать
где Ес — секущий модуль. В отличие от модуля упругости Е, зависящего
для данного материала только от температуры, Ес = Ec(s,T).
Пластическая деформация
1 1 1 7.20)
Для сложного напряженного состояния соотношения деформационной
теории термопластичности, основанные на большом числе эксперимен-
экспериментальных данных, формулируют следующим образом:
- тензор полной деформации представляет собой сумму упругой, пла™
стической и температурной составляющих, т. е.
е„=е\?+е$+е™, G-21)
причем обратимы только упругая и температурная части деформации;
- изменение объема происходит только вследствие изменения упругой
и температурной деформаций:
следовательно, е?} = 0, а компоненты тензора пластической деформации
совпадают с компонентами девиатора пластической деформации: e\j =
— компоненты девиатора деформации пропорциональны компонентам
девиатора напряжений:
еу = ^Sij, G.22)
где ф — параметр пластичности.
Если воспользоваться выражениями для интенсивностей девиаторов
деформации еИ = д/2е^-е^-/3 и напряжений <ти = ^SsijSij/2 и провести
свертку по индексам в соотношении G.22), то получим
Поскольку компоненты девиатора температурной деформации
р(т) -р(т) VT)rS-- -О
e ? ? ° U
158 7. Термоупругопластическая сплошная среда
то
так что
где еи = (^/3/х)сти.
Для одноосного растяжения аш = сг, ви — ^^ и, следовательно,
(^2A^).
3 Я'
или, с учетом равенства G.20),
1 - 2i/ о-
- при данной температуре интенсивность напряжений аш есть функция
интенсивности деформации еш и эта функция одинакова для любого вида
напряженного состояния.
Зависимость аи = аи(еи) называют обобщенной диаграммой деформи-
деформирования. Для различных значений температуры можно построить обобщен-
обобщенные диаграммы деформирования ам = aM(eMJT) по диаграммам изотерми-
изотермического растяжения а = а(е, Т).
Из соотношения G.22) следует, что секущий модуль обобщенной диа-
диаграммы деформирования
F _ аИ _ З/i _ 3 Е 1
Ш ~ ёГ ~ ~ф ~ 21 + 1/^'
поэтому
L 1\ _ / 1 2A + ,
а так как
Лр) ^ (^ f г
ь„ — «
то параметр пластичности
2A + 1/) \ЕС
При сложном напряженном состоянии компоненты девиатора деформа-
деформации с помощью соотношения G.23) можно выразить через секущий модуль
одноосной диаграммы растяжения, т. е.
3 Л 1-2иЕс
2ЕС 3 Е
G-24)
7.3. Деформационная теория термопластичности 159
Окончательная зависимость между компонентами тензоров деформа-
деформации и напряжений для рассмотренной модели термопластической среды
принимает следующий вид:
1 CTfcfc е . (Т)\
В общем случае при использовании деформационной теории пластич-
пластичности не очевидно, что пропорциональное нагружение будет выполняться
всегда, так как пропорциональное изменение внешних сил не обязательно
приводит к пропорциональному нагружению. Для осуществления пропор-
пропорционального нагружения необходимо выполнение следующих достаточных
условий {теорема А.А.Ильюшина):
- зависимость между интенсивностями девиаторов деформации и на-
напряжений — степенная;
- материал несжимаем.
Как правило, при решении конкретных задач деформационной теории
термопластичности эти условия не выполняются, однако накопленный к
настоящему времени опыт исследования различных конструкций, особенно
одноразового нагружения, позволяет сделать заключение о достаточной
точности получаемых результатов.
Необходимо также отметить, что не все из приведенных на рис. 7.1
диаграмм деформирования можно использовать для решения задач де-
деформационной теории термопластичности, поскольку зависимость а =
= а(е,Т) от е должна быть взаимно однозначной, а модуль упругости
Е — конечной величиной. Следовательно, использование диаграмм дефор-
деформирования, представленных на рис. 7.1, а, д, е9 в деформационной теории
термопластичности невозможно.
Анизотропные материалы, к которым в первую очередь относятся
композитные материалы, нашли широкое применение в различных тер-
термонапряженных конструкциях. Особенности технологии изготовления ма-
материалов обусловливают высокую степень анизотропии их механических
свойств, причем в большинстве случаев можно говорить об ортотропии.
Нелинейная зависимость между напряжениями и деформациями у этих
материалов наиболее ярко проявляется при повышенных температурах.
Для сложного напряженного состояния соотношения деформационной
теории термопластичности анизотропных (ортотропных) материалов мож-
можно сформулировать в виде следующих, положений, аналогичных тем, что
были приняты для изотропных материалов:
- тензор полной деформации представляет собой сумму упругой, пла-
пластической и температурной составляющих, т. е. выполняется соотношение
G.21); как и ранее, обратимы только упругая и температурная деформации;
- в любой момент процесса деформирования выполняется соотноше-
соотношение
а = 3(рКе, G.25)
160 7. Термоупругопластическая сплошная среда
где а = а цац — аналог объемного напряжения; е = /Зц \ец — ?ц ) — ана-
аналог объемной деформации; К = Сцыа^ац /3 — аналог модуля всесторон-
всестороннего сжатия; ац — симметричный тензор, нормированный соотношением
ацац = 1; /Зц = Сцыам/(ЗК). Предполагается, что компоненты тензора
ац могут изменяться в процессе деформирования материала, переменный
коэффициент ср учитывает "псевдообъемную" сжимаемость материала —
следствие имеющихся технологических дефектов: пор и пустот, неидеаль-
неидеальности контакта волокон и связующего и др.;
- предполагается, что между аналогами девиаторов напряжений и де-
деформации существует зависимость
G.26)
где ец = е^ - 4 - e[j\ 8ц = ац - <т?; е^ = аце и а% = fa a —
аналоги компонентов шаровых тензоров деформации и напряжений соот-
соответственно^ = ^/^KBijkiSkiSij и7 = \/Сцыejfeiец/(ЗК) — обобщенные
интенсивности девиаторов напряжений и деформации; Вцы = С^-\г —
компоненты тензора коэффициентов упругой податливости; связь между
компонентами аналогов шаровых тензоров напряжений и деформации
определена соотношением
а% = <рСте*ы; G.27)
- при данной температуре зависимость обобщенной интенсивности
девиатора напряжений от обобщенной интенсивности девиатора дефор-
деформации инвариантна к виду напряженно-деформированного состояния: т =
= тG,Г).
В том случае, когда параметр "псевдообъемной" сжимаемости ip / 1,
соотношение G.26) должно быть дополнено выражением
ij ~ Же jM кЬ
полученным из G.25) и G.27).
Окончательно выражение, связывающее компоненты тензоров дефор-
деформации и напряжений, можно записать в виде
ф
где ф = т/(ЗКгу) — параметр пластичности.
Легко проверить, что для изотропного материала соотношения G.25)-
G.28) переходят в соотношения G.22)^G.24). Действительно, в этом случае
-1 ^ с I /*~). / /о". ТУ"
= \Х8ц8м + fi(8ik8ji + SiiSjk)\akiaij/3 = (ЗА + 2/х)/3;
7.4. Термопластическая сплошная среда с памятью 161
и, наконец,
m,n,p,g = 1,2,3.
Oil 'у
Основной трудностью, с которой приходится сталкиваться при исполь-
использовании соотношений G.21), G.25)^G.28), является построение обобщен-
обобщенной диаграммы деформирования т = t(j,T). Для ее построения необхо-
необходимо записать приведенные выше соотношения для каждого направления
ортотропии и иметь соответствующие одноосные диаграммы деформиро-
деформирования. В результате решения получаемой при этом системы нелинейных
алгебраических уравнений будем иметь обобщенную диаграмму деформи-
деформирования для каждого заданного значения температуры.
7.4. Термопластический сплошная среда с памятью. Существует
широкий класс материалов, которые при деформации проявляют одно-
одновременно упругие, пластические и вязкие свойства, не имея при этом
четко выраженного предела упругого деформирования. Вязкопластические
свойства у таких материалов могут проявляться при малых напряжениях
и сравнительно невысоких по сравнению с То уровнях температуры. Для
описания их поведения к настоящему времени предложены различные
математические модели с едиными определяющими уравнениями для про-
процессов как нагружения, так и разгрузки. Подобный подход позволяет не рас-
рассматривать образование в деформируемом теле зон упругой и неупругой
деформации. Модель сплошной среды с памятью и внутренними пара-
параметрами состояния относится именно к этой группе моделей. Основная
идея, применяемая в данном случае, состоит во введении в рассмотрение
приведенного времени, базируясь на различных исходных предпосылках.
Рассмотрим тело, занимающее объем V и ограниченное поверхностью
S, на которое действуют тепловые и механические нагрузки, изменяющиеся
в соответствии с заданной программой на отрезке времени [to, ti]. Поло-
Положим, что материал рассматриваемого тела имеет вязкопластические свой-
свойства, а деформации малы. Вследствие внешних воздействий в окрестности
любой точки внутри тела возникает необратимый термодинамический про-
процесс, который сопровождается диссипацией энергии, вызванной вязкопла-
стической деформацией, связанными с ней структурными изменениями
и теплопроводностью. На макроуровне эти структурные изменения можно,
как и ранее, описать с помощью набора внутренних параметров состояния,
отражающих усредненные плотности микродефектов в материале.
Для вязкопластических тел, как правило, вводят в рассмотрение скаляр-
скалярный х и тензорный с компонентами Xij параметры состояния. В течение
всего процесса деформирования в вязкопластическом теле рассматривае-
рассматриваемого типа возникают остаточная деформация и структурные изменения,
поэтому все необратимые изменения удобно описывать при помощи усред-
усредненного скалярного параметра ? того же типа, что и %, но имеющего более
11
162 7. Термоупругопластическая сплошная среда
широкий смысл. Параметр ? должен отражать не только эффект пласти-
пластического упрочнения, но и общее вязкопластическое деформирование. Для
материалов с выраженной анизотропией деформации необходимо, кроме ?,
вводить также тензорные переменные типа хц • Параметр ? можно рассмат-
рассматривать и как приведенное время, поскольку он описывает последователь-
последовательность изменения внутреннего локального состояния термодинамической
системы. Он должен представлять собой однозначную неотрицательную
и неубывающую функцию времени t, т. е. ?(?) ^ Ои d?/dt ^ 0 при t Е
е [t0,hi
В отличие от реального времени t приведенное время ? является вре-
временем, определяемым свойствами конкретного материала. С его помощью
можно получить зависимость актуального состояния термодинамической
системы от истории и скорости его достижения, а также оценить степень
внутренних структурных изменений, произошедших до момента време-
времени t. При таком подходе состояние рассматриваемой термодинамической
системы в окрестности точки с координатами Х{ будет также функцией
приведенного времени ? и определяющие термодинамические функции
примут вид, аналогичный C.48):
ЯД
А(х,О=А(еы,Т,Х,Хы), <тгз(х,0 = р-^~,
дА Э?г3 G-29)
/i(x,?) = - —, qi(x.,0 = qi(eki,T,tfk,x,Xki),
а кинетические уравнения для определения х и Xij — аналогичный C.49):
Фы,,дк,
, р „ G.30)
Если ввести параметр ?(х, t) с помощью неравенства типа C.52) таким
образом, что
—1 = ^^Qi^ — Р^— — р^—^^- ^ 0, G.31)
d^ ТЧгдхг PdXd^ ИдХгз rfC l }
то очевидно, что этот параметр представляет собой неубывающую функцию
времени t или приведенного времени ?. Это дает нам возможность ис-
использовать ( как масштаб приведенного времени, изменяющийся в течение
процесса в зависимости от степени диссипации энергии. Функция ( может
терять гладкость в точках, соответствующих обратимой стадии течения
процесса, для которой dx/d^ = 0 и dxij/d^ = 0. Если в процессе
деформирования температура тела постоянна, то можно записать
d( 1 / дА dX дА dxij (f7 ««ч
~~ = W ^p^— — ~~ p , (/.ozj
^C я(С) V ^x <^C ^x«i ^C
где g(() — неотрицательная функция масштаба приведенного времени С,
т. е. g(() ^0 при ( > 0. Частные случаи соотношений можно получить, если
7.4. Термопластическая сплошная среда с памятью 163
положить g(Q = 1 или отождествить хц с компонентами тензора неупругой
деформации.
К задаче построения определяющих уравнений для вязкопластических
тел с введением приведенного времени можно подойти иначе.
В процессе деформирования параметры х и Xij далеко не всегда можно
определить экспериментально, но зато можно измерить компоненты тензо-
тензора деформации ец и абсолютную температуру Т в любой момент времени
t E [to, ti] в окрестности некоторых точек рассматриваемого тела. В связи с
этим введем скалярную величину ?, характеризующую последовательные
состояния Sij(xjt) и Т(х,?) и играющую роль приведенного времени.
Любому приращению dt соответствуют приращения deij и dT. Этим трем
приращениям соответствует приращение приведенного времени d?. Чтобы
приращение тензорной величины dsij можно было оценить с помощью
скалярной величины, положим, что скалярное приращение деформации
оценивается с помощью элементарной работы (daeJ = daijdeij/2. Эта
работа соответствует упругой деформации, так как при dt —>¦ 0 и dT —>• О
мгновенная реакция рассматриваемого материала на внешнее воздействие
является упругой и для нее можно записать следующие соотношения:
д2 А 1
ddij = Gijkidsij, Cijki = р-—-—, (daeJ = -Cijkideijdeki-
OEijOEkl 2
В общем случае компоненты тензора коэффициентов упругости Сцш —
= Cijki(emn,T,x,Xmn)- Тогда приведенное время f можно задать при
помощи уравнения
daey + DT{dTf + Dt{di)\
в котором DujDt и Dt — неотрицательные постоянные, определяемые
экспериментально. Параметр ? является однозначной неотрицательной
и неубывающей функцией t, т. е. ?(t) ^ 0 и d?/dt ^ 0 для любого t E
Е [to,ti] и фиксированного х. Для описания в процессе деформирования
еще и эффектов диссипации вводят масштаб приведенного времени ( —
неотрицательную, неубывающую и однозначную функцию от ?, а следова-
следовательно, и времени t, т. е. ?(?) ^ 0 и d(/d^ ^ 0. Определяющие и кинетиче-
кинетические уравнения при таком способе введения внутреннего времени имеют
тот же вид, что и уравнения G.29), G.30).
Оба рассмотренных способа введения приведенного времени позволяют
получить одинаковые результаты, если за масштаб приведенного времени
? принять параметр (, совпадающий с С из первого способа.
При построении соотношений термопластической среды с памятью
будем, как и ранее, полагать, что состояние рассматриваемой сплошной
среды в окрестности любой материальной точки определяется четырьмя
термодинамическими функциями — активными переменными из G.29),
а компоненты тензора неупругой деформации Xij подчиняются второму
11
164 7. Термоупругопластическая сплошная среда
уравнению из G.30). Тогда, аналогично выражению F.53),
— оо —оо
— оо —оо
2
— оо —оо
— оо —оо
— оо — оо
'^", G-33)
— оо —оо
где Л(?) = {ekiek 0 щ.хы^к 0 еьГ,^efe) иб(^) = Т(?) - Го. В соответ-
соответствии с равенствами C.61) из соотношения G.29) получим
-—сю
', G.34)
?'. G.35)
7.4. Термопластическая сплошная среда с памятью 165
Компоненты тензора скоростей изменения неупругой деформации зада-
зададим в виде
— сю —сю
Выражение для диссипативной функции в рассматриваемой модели
сплошной среды запишем, как следует из C.46), в виде
S = dij -
а затем, учитывая соотношения G.34) и G.35), получим
<* = -Xij (
— сю
— сю
i i
2 J J a
— OG —СЮ
— ОО —OG
2
— ОО —OG
д а (с d t d'\deii(€
—Pi? (С "" s j s "" s ) — —
ac ac;
— OG —OG
— OG —OG
J
2
— oo —00
<«». GЛ7)
166 7. Термоупругопластическая сплошная среда
Если выражение G.36) подставить в соотношение G.34), то оконча-
окончательно связь между компонентами тензоров напряжений и деформации
и температурой примет вид
С
}
^ijmn^-t, ,0I ЬтпЫКС, ^C j
— oo — oo
I } ^<. G.38)
Уравнение теплопроводности для рассматриваемой модели сплошной
среды запишем аналогично F.66):
^ [
^ J
f Д (
J
где диссипативная функция S задана соотношением G.37).
Отметим, что в рассмотренной модели термопластической сплошной
среды явно присутствует время. Это дает возможность описывать эффекты
вязкого деформирования и называть такую среду термовязкопластической.
Если положить, что в рассмотренной модели сплошной среды явная зависи-
зависимость от времени отсутствует, то приведенное время будет связано только
с компонентами тензора деформации и температурой.
Накопленные к настоящему времени экспериментальные данные по
одноосному знакопеременному деформированию некоторых конструкци-
конструкционных материалов подтверждают возможность использования рассмотрен-
рассмотренной модели сплошной среды для описания их поведения при сложном
термосиловом нагружении.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бабкин А.В., Селиванов В. В. Прикладная механика сплошных сред: В 3 т. Т.1.
Основы механики сплошных сред. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
1998. ^368 с.
2. Бартенев Г.М., Френкель С.Я. Физика полимеров. — Л.: Химия, 1990. — 432 с.
3. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. —
310 с.
4. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. — Киев: Наукова думка,
1982. ^260 с.
5. Кнетс И.В. Основные современные направления в математической теории
пластичности. — Рига: Зинатне, 1971. — 147 с.
6. Кторов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред: Пер. с болг. —
М.:Мир, 1979. —302 с.
7. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости: Пер. с англ. — М.: Мир,
1974. — 338 с.
8. Кувыркин Г. И. Термомеханика деформируемого твердого тела при высокоинтен-
высокоинтенсивном нагружении. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. — 142 с.
9. Лурье А.И. Теория упругости. — М.: Наука, 1970. — 939 с.
10. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ. — М.: Мир,
1974. — 318 с.
11. Можен М. Механика электромагнитных сплошных сред: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1991. —560 с.
12. Новик А., Берри Б. Релаксационные явления в кристаллах: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1975. ^472 с.
13. Петров Н., Бранков К Современные проблемы термодинамики: Пер. с болг. —
М.: Мир, 1986.—288 с.
14. Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. —
262 с.
15. Подстригай Я. С, Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика. — Киев: Наукова
думка, 1976. — 310 с.
16. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1994. — Т. 1. — 528 с.
17. Селиванов В.В., Зарубин B.C., Ионов В.И. Аналитические методы механики
сплошной среды. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1994. — 384 с.
18. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред:
Пер. с англ. — М.: Мир, 1975. — 592 с.
19. Цянъ Сюэ-сенъ. Физическая механика: Пер. с китайского. — М.: Мир, 1965. —
544 с.
Научное издание
ЗАРУБИН Владимир Степанович
КУВЫРКИН Георгий Николаевич
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОМЕХАНИКИ
Редактор О. А. Ленина
Оригинал-макет: Е.Ю. Морозов
Оформление переплета: А.А. Логунов
ЛР№ 071930 от 06.07.99
Подписано в печать 07.10.02. Формат 60x90/16
Бумага офсетная. Печать офсетная
Усл. печ. л. 10,5. Уч.-изд. л. 11. Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099 Москва, Шубинский пер., 6