Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве: Учебное пособие - Бирман М.Ш., Соломяк М.З.

Автор: Бирман М.Ш. Соломяк М.З.
Теги: физика математика математическая физика спектроскопия учебное пособие спектральная теория
Год: 1980
Похожие
Лекции по функциональному анализу
Функциональный анализ
Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ
Действительный и функциональный анализ: университетский курс
Текст
                    Печатается цо постановлению
Редакционно-издательского совета
Ленинградского университета
Бирман М. Ш., СоломякМ. 3. Спектральная теория самосопряжен-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Учеб. пособие. Л., Изд-во
Ленннгр. ун-та, 1980. 264 с.
В учебном пособии изложен основной материал по спектральной теории
операторов. Большое место отведено специальным разделан теории операто-
операторов, важным для приложений в математической и теоретической физике
(теория возмущений, спектральная теория дифференциальных операторов,
перестановочные соотношения квантовой механики).
Пособие рассчитано на студентов и аспирантов по специальностям: мате-
математическая физика, теоретическая физика, дифференциальные и интегральные
уравнения.
R02826
БЗ—26 25 80 И] Издательство Ленинградского
Z/ 1980
076@2)— 80 K1/ университета, 1980 г.
ИБ № 693
Михаил Шлемович Бирман, Михаил Захарович Соломяк
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Редактор Г. И. Чередниченко
Обложка художника В. В. Костырева
Художественный редактор В. Н. Васильев
Технический редактор С. Л. Шилова
Корректоры Е. К. Терентьева, Г. Н. Гуляева
Сдано в набор 12 02 78 Подписано в печать 01.10 80 Формат 60Х90">6.
• Бумага тип. № 1. Уч.-изд. л. 15,42. Печ. л. 16,5. Тирая? 2305 экз.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Заказ J* 323. Цена 80 коп.
Издательство ЛГУ им. А. А. Жданова. 199164. Ленинград, Университетская наб., 7/9.
Отпечатано в типографии Издательства ЛГУ. 199164, Ленинград, В-164,
Университетская иаб . 7/9 с матриц.
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского производственно-технического объединения „Печатный двор"
вмени А. М. Горького „Союзполиграфпрома" при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
197136, Ленинград, П-136, Гатчинская, 26.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В течение ряда лет авторы читали на математико-механи-
ческом и физическом факультетах Ленинградского универси-
университета специальные курсы по спектральной теории операторов в
гильбертовом пространстве и по смежным вопросам анализа
и математической физики, в частности по спектральной теории
дифференциальных операторов. В результате возник замысел
этой книги — в сравнительно небольшом учебнике изложить с
необходимой полнотой основы абстрактной теории самосопря-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, с тем, чтобы
курсы по более продвинутым разделам гильбертовой теории и
ее приложений могли на такой учебник опираться.
Книга адресована студентам и аспирантам, специализиру-
специализирующимся по анализу, математической физике и теоретической.
физике. Этим мы руководствовались при отборе материала, и
этим определяется характер изложения.
Несколько слов об особенностях построения книги. Имея в
виду потребности приложений (в частности, запросы кванто-
квантовой теории), мы расширили круг вопросов, которые традици-
традиционно относят к «первому концентру» гильбертовой теории. Ос-
Основное внимание уделяется . неограниченным операторам.
Спектральная теория строится для конечных систем перестано-
перестановочных самосопряженных операторов. Дается описание уни-
унитарных инвариантов таких систем. Изложение основано на по*
нятии пространства со спектральной мерой. В этой связи рас*
сматривается конструкция прямого интеграла гильбертовых
пространств. В книгу включены небольшие главы о качествен-
качественной теории возмущений спектра (гл. 9), о полуограниченных
операторах и формах (гл. 10), о классах Sp компактных опера-
операторов (гл. 11). Помещен раздел (гл. 8), содержащий примеры
спектрального анализа дифференциальных операторов в част-
частных производных. При этом мы, конечно, не имели в виду под-
подменять сочинения по спектральной теории дифференциальных
уравнений.*)
•) Не претендуя на полноту перечня, укажем книги Ю. М. Березанско-
го [2], И. М. Глазмана [4], К. Морена [12].

Особо следует сказать о гл. 12, посвященной перестановоч-
перестановочным соотношениям квантовой механики. Этот материал, по-ви-
по-видимому, не излагался систематически в учебной математиче-
математической литературе. Вместе с тем он не только важен сам по себе,
но хорошо иллюстрирует как трудности работы с неограни-
неограниченными операторами, так и пути преодоления этих трудно-
трудностей. Наше изложение основывается на оригинальных работах
Диксмье и Нельсона, хотя не во всем следует нм.
В книге рассматриваются только сепарабельные гильбер-
гильбертовы пространства. Мы считаем это ограничение подходящим
для «первого концентра». В несепарабельном случае теория
унитарных инвариантов, как известно (см. [14]), существенно
усложняется.
Все сказанное отличает предлагаемую книгу от известной
книги Н. И. Ахиезера и И. М. Глазмана [1]. Другие изложения
спектральной теории, имеющиеся на русском языке,*) ставят
эту теорию в рамки одного из разделов общего курса функцио-
функционального анализа. При этом спектральная теория разрабаты-
разрабатывается по необходимости недостаточно подробно.
Мы предполагаем, что читатель знаком с элементарным
курсом функционального анализа (метрические и банаховы
пространства, непрерывные операторы; подробнее см. § 1 гл. 1).
Это избавляет нас от дублирования в гильбертовых терминах
элементарных понятий. Особую роль в изложении играет тео-
теория меры и интеграла. В гл. 1 мы приводим «конспект» нуж-
нужных сведений на этот счет.
Считаем нужным отметить, что важный и интересный мате-
материал по более специальным вопросам спектральной теории са-
самосопряженных операторов читатель найдет в книгах Т. Като
[9}, П. Лакса и Р. Филлипса [10], М. Рида и Б. Саймона [15].
При ссылках в книге применяется «трехступенчатая» нуме-
нумерация формул и теорем и «двухступенчатая» нумерация пара-
параграфов; в пределах главы опускается первый номер, а в пре-
пределах параграфа — также и второй.
Мы глубоко благодарны Б. М. Макарову за многочисленные
я безотказные консультации по теории меры. Мы искренне
признательны нашим друзьям и ученикам, помогавшим при
оформлении рукописи, в первую очередь В. В. Борзову,
Е. Д. Глускину, Л. С. Коплиенко, П. Е. Хмельницкому, а также
Н. С. Лебедевой.
•) В. И. Смирнов [20], Ф. Рисе, Б. Секефальви-Надь [16], К. Иосида [7],
У. Рудин [17]. ,

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Л*1— равенство по определению
0—пустое множество
R = (—со, оо)—множество всех вещественных чисел
R,= [0, оо)
Z - множество всех целых чисел
Z^—множество всех неотрицательных целых чисел
С— множество всех комплексных чисел
Re г, \тг, г -вещественная, мнимая части, комплексно-сопряжея-
ное число для z? С
Т— единичная окружность I z \ = 1 в С
+— знак прямой суммы линейных подмножеств линей-
линейного пространства
dim —линейная размерность линейного пространства
Н — гильбертово пространство
vAf—замыкание линейной оболочки множества М в Н
v/.Ev(U/a)
Va {«„) -замыкание лвиейной оболочки эленеитов иа
Ф. О — знаки ортогональной суммы и разности
Мх—ортогональное дополнение в Н множества М
Def L = dim L± - дефект подпространства L
D(T), /?G") -область определения н область значение линейного
оператора Т
N(Т)— множество нулей (ядро) оператора Г
В = В (Я)— множество всех линейных непрерывных операторов
в И
S,» = Soo (Я)— множество всех линейных компактных (нполве не-
непрерывных) операторов в Н
К = К (Я) — множество всех линейных операторов конечного ран-
ранга в //
/ = /я- тождественное отображение в Я ¦
Т — замыкание оператора Т '
Т* — оператор, сопряженный к Т
G (Т) - график оператора Г
w — знак перестановочности линейных операторов

r(X) = Def R(T—X/)_ дефектное число оператора Т
/\
р G"), р G*) —резольвентное множество и поле регулярное™ за-
замкнутого оператора Т '
а (Г), оG")—спектр и ядро спектра замкнутого оператора Т
аоG"), осG"), вг G")—точечный, непрерывный и остаточный спектры за-
замкнутого оператора Г
Г\ (Т) = (Т — )/)— резольвента оператора Т
ае (A), ad {A)— существенный и дискретный спектры самосопряжен-
самосопряженного оператора .4
я+(Л\л_(А)—индексы дефекта симметричного оператора А
), tie (V)— индексы дефекта изометрического оператора V
тА, ^А—точные нижняя н верхняя границы симметричного
оператора А
О, #— начало и конец доказательства

ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Эта глава имеет вводный характер. Не желая в гильберто-
гильбертовой теории дублировать сведения из других разделов функ-
функционального анализа, мы даем в § 1 краткий перечень тех во-
вопросов теории метрических и нормированных пространств, ко-
которые нужны для чтения книги. С ними можно ознакомиться,
например, по соответствующим главам книг [7, 8, 17, 20]. -
Параграфы 2—5 представляют собой конспект (без доказа-
доказательств) необходимых сведений по теории меры и интеграла.
Формально говоря, конспект позволяет не обращаться к руко-
руководствам по теории меры и интеграла. Изложенный в нем ма-
материал,покрывается, например, книгами [3, 13, 22].
В § 6 коротко говорится о некоторых функциональных клас-
классах, главным образом — о пространствах Соболева W].
§ 1. Метрические пространства.
Нормированные пространства
1. Ниже кратко перечисляются те разделы Элемен-
Элементарного курса функционального анализа, знакомство с
которыми предполагается при чтении этой книги.
Метрические пространства. Сходимость. Полнота.
Пополнение метрического пространства. Принцип сжа-
сжатых отображений. Сепарабельность. Компактные мет-
метрические пространства (компакты). Теорема Хаусдорфа
об е-сетях.
Линейные пространства. Линейная независимость.
Линейная размерность. Фактор-пространства. Алгебры.
Инволюция.*) Идеалы, фактор-алгебры.
Нормированные пространства. Сходимость рядов.
Эквивалентные нормы. Полнота и теорема о пополне-
пополнении. Банаховы пространства. Понятие банаховой алгеб-
алгебры. Пространство С (К) непрерывных функций на ком-
компакте К.
*) В алгебре А над полем С инволюцией называется отображевне
J>X-*X, такое, что J (ах -+- $y)=~aj(x) + рУ(у). J (ху) — J(y) J (,х),
J(J(x))=x;x,y?X, а, рбС

Линейные непрерывные функционалы и операторы.
Норма оператора. Пространство Ъ(Х, Y) линейных
непрерывных отображений банахова пространства X в
банахово пространство У. Банахова алгебра В(Х) —
= Ъ(Х, X). Компактные (вполне непрерывные) опера-
операторы.
Принцип равномерной ограниченности. Сильная схо-
сходимость операторов.
Сопряженное пространство. Рефлексивность. Теоре-
Теорема Рисса о представлении функционалов над простран-
пространством непрерывных функций (на отрезке, на окруж-
окружности).
Слабая сходимость. Слабая полнота рефлексивного
пространства. Теорема: ограниченная последователь-
последовательность функционалов над сепарабельным банаховым
пространством содержит слабо сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность.
2. Знакомство с теорией линейных неограниченных опера-
операторов в банаховых пространствах, а также с теорией тополо-
топологических пространств не предполагается (хотя самого терми-
термина «топология» мы не избегаем).
3. Остановимся на одном специальном вопросе теории ба-
банаховых пространств. Пусть X — банахово пространство с нор-
нормой || • II и пусть DczX—линейное множество. Предположим,
что на D определена другая норма |-|, которая превращает
D в нормированное пространствб, вообще говоря, не полное.
Предположим также, что
О)
Применяя к D стандартную процедуру пополнения, зададимся
вопросом, когда банахово пространство D — пополнение D —
может быть реализовано как подмножество в X (иначе говоря,
когда D топологически вкладывается в X).
Пусть {*„} — фундаментальная по норме | • | последова-
последовательность из D и deD — соответствующий элемент пополнения.
Из A) вытекает, что Ьсп) фундаментальна также по нор^е К • ||.*
Поскольку X — полное пространство, ixn} имеет предел х&Х.
Легко видеть, что предел x—x(d) зависит лишь от элемента
d, ио не от определяющей его последовательности 0г„}. Ото-
Отображение J:d>-+x(d) линейно и в силу A) непрерывно. Если
при этом элементы x(d) различны для различных d, то можно
отождествить d и x(d), реализуя тем самым D как подмноже-
подмножество в! В этом случае говорят, что нормы*'|| • II. | • | топологи^
чески согласованы. Топологическая согласованность означает,
что оператор / имеет нулевое ядро. Иначе говоря, для тополо-
8

гической согласованности норм 11-11, Ы при условии A) не-
необходимо и достаточно, чтобы при \хп — хт \ т п^а* О,
\\хЛ > О выполнялось \х.\ *-0.
11 "»л->-со ! "' /1-<-со
Если ядро отображения / не нулевое, то нормы II • II. Н
называют топологически не согласованными. В этом случае нет
естественного вложения пространства D в X.
§ 2. Алгебры и 0-алгебры множеств
Пусть У— какое-либо множество. Символом 2У обозна-
обозначается множество всех его подмножеств.
1. Множество 01° С 2Y называется алгеброй, подмножеств Y,
если оно содержит У, пустое множество 0 и если прн 8,,
826ЗД° также 8, U82e<2l°, 8t\82e<2l° (а тогда и OiD82e2l°).
2. Пусть 9Йс2^. Всегда существует наименьшая ал-
алгебра подмножеств У, содержащая 5D?, т. е. -такая алгебра
(ucfft(Z2r, что SlgjjЭ90? и для любой алгебры 2loc2K, ^DSD?,
выполнено 51° Z) ЗДеде. Элементы алгебры 01еда допускают кон-
конструктивное описание в терминах исходного множества 9Я,
именно любое множество Д?31ода имеет представление вида
где для каждого из множеств 8W либо 8W ^ЗI?, либо
Об алгебре 51ш говорят, что она порождена семейством 9Я.
3. Алгебра 51 С 2У называется о-алгеброй подмножеств У
если она замкнута относительно счетных объединений: из
^*€$1. Л=1, 2, ..., следует UAG^l- Всякая о-алгебра замк-
замкнута также относительно счетных пересечений.
4. Для любого <3J?c2K существует наименьшая о-алгебра
2lc0j С 2Г, содержащая 90?. Об этой а-алгебре говорят, что оиа
порождена семейством <ЗЯ.
В отличие от алгебры Qlgjj а-алгебра ЭДода, вообще говоря,
не допускает конструктивного описания, аналогичного A).
5. Пара (У, 21), где 51 — фиксированная а-алгебра подмно-
подмножеств У, называется измеримым пространством. Множества
8 ?01 называются измеримыми' (точнее, ^-измеримыми).
6. Пусть (Уи 01,), (Ка, 312) — измеримые пространства. Под-
Подмножества в VtX У2 вида Д = 8, X §2, где bt?%, /=1, 2, на-
называются измеримыми прямоугольниками. Множество всех
измеримых прямоугольников порождает з-алгебру, которая
называется произведением о-алгебр 21,, 212.
7. Пусть К—полное сепарабельное метрическое простран-
пространство н 9Я — множество всех замкнутых шаров в У. Соответ-
Соответствующую e-алгебру Qlgjj обозначим через Зг (У). Множества

8 6 2lB (У) называются борелевскими. Все открытые (и, следо-
следовательно, все замкнутые) множества в У— борелевские.
8. Пусть Уи Уг— полные сепарабельные метрические про-
пространства и пусть в У = Ух X У г введена какая-либо метрика,
согласованная с топологией прямого произведения; например,
для у, у?У можно положить рк (у, у) = max (pKi (yl5 y^t
?Yt (У2, Уг))- Пространство У полно и сепарабельно. Произве-
Произведение о-алгебр 1s (Kt), 91е (Г2) совпадает с 21е (rtX У2)-
Сказанное в пп. 6, 8 распространяется на случай любого
конечного числа «перемножаемых» пространств.
9. В /и-мерном евклидовом пространстве R* о-алгебра
21s (Rm) порождается множеством всех конечных полуоткры-
полуоткрытых прямоугольников [а,, Ьх) X ... X [ат, Ьт). Достаточно и
таких прямоугольников, у которых а(, bt (i = l, ..., /га) ра-
рациональны.
В /n-мерном1 комплексном евклидовом пространстве Ст
а-алгебра 51й*(Ст) совпадает с '21s (R2m) при естественном
отождествлении Ст с R2m.
§ 3. Счетно-аддитивные функции и меры
1. Пусть 21° — алгебра подмножеств У. Пусть отображе-
отображение ц°: 21°->-[0, оо] удовлетворяет условию аддитивности (ко-
(конечной аддитивности)
t*° (&! U &2) = t*0 E,) + I*0 (82) (»|, \6 '210; h П К = 0).
Тогда говорят, что ц°—(неотрицательная) аддитивная функ-
функция на (Y, 21°).
Если ц°—аддитивная функция, то из б, б'е21°, бсгб', сле-
следует jnoF)'<M°F')- В частности, y°(d)^n°(Y). Если ц° при-
принимает хотя бы одно конечное значение, то ц,°@)=О.
2. Неотрицательная аддитивная функция ц°, определенная
на (У, -21°^), называется счетно-аддитивной, если для любой по-
последовательности попарно не Пересекающихся множеств
ЭД0 /?=1, 2,..., такой, что илблеШ0, выполняется
3. Счетно-аддитивная функция ц° называется конечной, ес-
если ц°(У)<оо, и а-конечной, если У есть объединение счетного
числа подмножеств 6fte 51°, ft = 1, 2 таких, что ц°Fь)<
<оо, Vft. Если функция |д° а-конечна, то заведомо |х°@) = О.
Всюду в дальнейшем рассматриваются только ^-конечные
(в частности, конечные) счетно-аддитивные функции.
4. Последовательность множеств bkCY, ft = 1, 2, .... назы-
называется расширяющейся, если б^бгсг..., и вложенной, если
10

Пусть р.0 — счетно-аддитивная функция на (К, 1°) и пусть
|8Л), Л = 1, 2, ...,—расширяющаяся последовательность мно-
множеств из 21°, такая, что &=^UA€^°- Тогда jj.°(8) = limjj.e(8t).
Если {Ьк}, k = \, , ...,—вложенная последовательность
множеств из 21°, такая, что {1°(8,)<оо, и 8= Г\кЬл?21°, то
Зхо(8) = Нтро(8А).
5. Пусть [а0 — счетно-аддитивная функция на (К, 21°) и пусть
{8ft}, k=\, 2, ..., — вложенная последовательность множеств
из 21°, такая, что ia°(8i)<°° и ПА=0- Тогда ц.°(8Л)-+0.
Этот частный случай предыдущего свойства называется свой-
свойством нормальности счетно-аддитивной функции.
Обратно, если неотрицательная аддитивная функция уР на
(У, 211') нормальна и p°(Y)<oo, то она счетно-аддитивна.
6. Неотрицательная счетно-аддитивная функция, заданная
на ст-алгебре 21 с=2г, называется мерой. Тройка (У, 21, ц), где
(У, 21) —измеримое пространство и ц — мера на (Y, 21), назы-
называется пространством с мерой.
Иногда будем говорить (не вполне точно), что \i — мера на
Y. Множества бе 21 (т. е. 21-измеримые множества) бу-
будем называть также ^-измеримыми.
Если ц — мера, то в определении свойства счетной аддитив-
аддитивности (п. 2) априорное предположение и&бье21 не требу-
требуется: нужное включение выполнено в силу того, что 21 —
а-алгебра. Аналогично, в формулировках свойств п. 4 исчезает
необходимость в предположении <бе 21.
На меры переносится терминология из п. 3: конечные меры,
о-конечные меры. Всюду в дальнейшем рассматриваются
только о-конечные (в частности конечные) меры,
7. Мера ц называется N-полной,*) если любое подмножест-
подмножество множества меры нуль измеримо.
8. Через 61А62 обозначается симметрическая разность мно-
множеств 6i, 62с=У:
Если бь 6ге21 и nFiA62)=0, то говорят, что бь бг совпада-
совпадают с точностью до подмножеств меры нуль. В интересующих
нас вопросах такие множества можно не различать.
9. Пусть 9W С 21 и пусть для любого §621, р(8)<«э, по
всякому s > 0 найдется множество 8е ? 3J?, такое, что ji (8 Л К)< е.
Тогда говорят, что 9W — база для меры ц.
Если для меры ц существует счетная база 95?, то говорят,
что пространство с мерой. (Y, 21, р) сепарабельно. Вместе
с JR алгебра 21дде (см. § 2, п. 2) — также счетная база для jj..
10. В пп. 10—16 обсуждается задача о распространении
счетно-аддитивной функции до меры.
') Обычный термин — полная мера — нам неудобен, так как вызывает
опасность терминологических смешений.
11

Пусть 01° С 01С 2К, причем 21° — алгебра, 01— о-алгебра.
Пусть р° — счетно-аддитивная функция на (К, 31°), р.— мера
на (У, 01), причем ц(8) = р,0(8), V8?0l0. Тогда мера fi назы-
называется продолжением (распространением) счетно-аддитивной
функции р.0.
11. Пусть 01° С 2Г— алгебра и\р.° —счетно-аддитивиая функ-
функция на {У, 51°). Обозначим через 011 множество тех 8сК,
которые допускают счетное разложение*1 на подмножества
s 6 <21° Положим
11. " B)
Сумма в B) не зависит от способа разложения.
Пусть Д—произвольное подмножество в Y. Величина
называется внешней мерой множества А. Рассмотрим те мно-
множества dczY, для которых при любом Ас=У
C)
Совокупность всех таких' множеств д обозначим через 01 (у-0).
Теорема 1. 01 (р.0) есть я-алгебра, содержащая алгебру 51°.
Сужение на 51 (р0) внешней меры fi представляет собой N-
полную меру (i, являющуюся продолжением ц.0.
Описанный процесс распространения (а также сама полу*
ченная мера \х) называется стандартным продолжением (про-
(продолжением по Каратеодори) счетно-аддитйвнсб функции ц° до
меры.
Отметим, что W С Я (ц°) и j»E) = (х' (8), VS^St1.
12. Если p°(Y)<oo, то систему равенств C) можно заме-
заменить одним условием:
13. Стандартное продолжение р. функции р.0 обладает сле-
следующим свойством минимальности. Пусть Af-полная мера р-
является продолжением р.0 на некоторую о-алгебру 01. Тогда
'Л D 01 (р,0) и р совпадает с р. на 01 (р.0).
Обозначим через 01шт «-алгебру, порожденную (см. § 2,-п. 4)
алгеброй 01°. Любое (не обязательно Л/-полное) продолжение
функции v° до меры совпадает на Olmm с ц.
*) Разложением б называется любое представление вида 6»U*d», а ко-
котором множества 6* попарно не пересекакнся.
13

14. Пусть (i — мера на измеримом пространстве (У, 91) и
<21° с 91 — произвольная алгебра, такая, что 91min=9l. Тогда
любая мера, являющаяся продолжением счетно-аддитивной,
функции {ie = fiL.o, совпадает на 91 с fi.
Если ЗЛ С 91 порождает 91, то алгебра 91сде (см. § 2, п. 2)
является для меры (а базой.
15. Пусть ja° — счетно-аддитивная функция на алгебре 9Ц
и мера ц— ее стандартное продолжение. Для любого S ^*21 (р-0)
найдется множество <?G9lm(n, такое, что <?Z>8 и р(д\Ъ) = О.
16. Пусть исходная алгебра 91° сама есть о-алгебра (тем
самым, ц° — уже мера). Тогда, в соответствии с п. 15, для лю-
любого бе 91 (р0) найдется множество де 91°, такое, что
д=эб и ц(д\6)=0. Иными словами, стандартное продолжение
меры сводится к такому увеличению запаса множеств меры
нуль, при котором мера становится vV-полной (т. е. к дополне-
дополнению меры).
17. Пусть (У,, 91г> (i»), i=l, 2, — пространства с мерой.
На измеримых прямоугольниках 6iX62 (см. §2, п. 6) опреде-
определим функцию ц° равенством |ioFiX62)=M.iFi)n2F2)- По адди-
аддитивности |л° распространяется на алгебру, порожденную изме-
измеримыми прямоугольниками. На этой алгебре функция |х° счет-
счетно-аддитивна. Ее стандартное продолжение называется произ-
произведением мер ць иг И обозначается ^Хцг- Иногда под произ-
произведением мер понимается не сама мера ii\X\i2, а ее сужение на
минимальную а-алгебру, порожденную измеримыми прямо-
прямоугольниками. Эта разница всегда ясна из контекста.
, 18. Пусть У—полное сепарабельное метрическое простран-
пространство. Любая а-конечная мера р., заданная на а-алгебре боре-
левских множеств 91 = 91В(У) (см. § 2, п. 7), называется боре-
левской.
В пп. 19—23 (У, 91, р.)—полное сепарабельное метриче-
метрическое пространство с борелевской мерой.
19. Пусть мера ц конечна и пусть 9D1? — множество все-
всевозможных замкнутых шаров в У, центры которых пробегают
счетное плотное в У множество, а радиусы рациональны. Тог-
Тогда 9lcjjj — счетная база для |л. Таким образом, конечная боре-
левская мера имеет счетную базу.
20. Для любой борелевской меры ц существует носитель—
наименьшее замкнутое множество FaY, такое, что n(Y\F)=0.
Точка уеУ принадлежит носителю в том и только том случае,
если мера любой ее окрестности положительна. Носитель меры
(I обозначается символом supp p,.
21. Множество MaY называется а-компактным, если его
можно представить в виде счетного объединения компактов.
Для борелевской меры м- существует такое а-компактное мно-
множество Мег У, что ц(Т\М)=0.
13

22. Для любого 8?<ДВ(Х) справедливо равенство
}i (8) = sup {р(д):д С 8; д — компакте Y].
23. Пусть $1° с 31s (Y) — какая-либо алгебра и ра — неотри-
неотрицательная аддитивная функция на (У, 51°). Пусть для каждо-
каждого 8 6*21°
tiu(8) = sup{ti°(<?):<*c8, д?<Я°, д — компакт в У).
Тогда функция ц° счетно-аддитивна на (Y, $1°).
24. Следующая конструкция позволяет построить борелев-
скую меру на прямой R по заданной неубывающей, непрерыв*
ной слева функции g(s), seR. Для промежутков 6=|а, р) по-
положим
!»'(*) = ? (Р) — 2(«). — оо<а<р<оо. D)
Для б=[а, оо), 6= (—оо, р) функцию ц°(б) определим посред-
посредством предельного перехода в D). По аддитивности функция
ц° распространяется на алгебру 91°, образованную всевозмож-
всевозможными конечными объединениями этих промежутков. Такое
распространение является аддитивной, а потому (см. п. 23) и
счетно-аддитивной функцией на $1". Следовательно, функция
ц° однозначно распространяется до борелевской меры на R.
§ 4. Измеримые функции
1. Пусть (Y, 51) — измеримое пространство. Функция
ф: Y-*-C называется измеримой (^-измеримой), если изме-
измеримы прообразы всех борелевских множеств бс=С, т. е. если
<р-'F)е$1 для любого бе 51s (С). Измеримость множеств
Ф~'(б) достаточно проверять, например, для кругов бег С.
Относительно линейных операций над функциями и умноже-
умножения функций множество всех 51-измеримых функций обра»
зует алгебру. Предел сходящейся поточечно последовательно-
последовательности измеримых функций измерим.
2. Ниже (Y, $1, ц) — пространство с мерой. В этом слу-
случае Ql-измеримые функции называют также ц-измеримыми.
Измеримые функции ф, -ф называются ^-эквивалентными
(ф — т|з), если они совпадают |л-почти везде (|л-п. в.); последнее
означает, что |л{(/еУ: ф("(/)=/=г|з('1/)}=0. В большинстве случаев
ц-эквивалентные функции естественно отождествлять; это со-
соответствует переходу от алгебры измеримых функций к ее фак-
факторе-алгебре по идеалу функций ф~0. При этом можно исхо«
дить из измеримых функций, определенных не везде, а лишь
ц-п. в. на Y.
Множество (алгебра) ц-измеримых функций на У, опреде-
определенных с точностью до u-эквивалентности, обозначается через
S(Y. Ц).
Для вещественных измеримых функций иногда допускают
несобственные значения ±оо. В этой связи говорят о ц-л. в. ко*
14

нечных функциях, если несобственные значения принимаются
лишь на множестве меры нуль.
3. Пусть пространство с мерой (У, 51, р) получено при
стандартном продолжении счетно-аддитивной функции (л°, за-
заданной на какой-либо алгебре $1°с2к, и пусть $1°,1п— о-алгеб-
ра, порожденная алгеброй 21°. Для любой ^-измеримой функ-
функции <р найдется ЗСт-измеримая функция <р0, такая, что
<Р— <Ро (эт0 следует из § 3, п. 15). Поэтому в тех вопросах,
где замена функции на эквивалентную не играет роли, можно
ограничиться распространением \>.° лишь на о-алгебру 21шш.
4. Для вещественных ^-измеримых функций определяются
величины [i-supcp, |i-inf<p. Например,
[i-suptp^lllnf {a^R:<p(y)<a, fi-n. в. y?Y).
Измеримая функция ф называется ^-ограниченной, если
H-sup|cp| <оо. Относительно обычных операций над функ-
функциями и нормы
т | (l)
множество (классов эквивалентных) ц-ограниченных функций
образует банахову алгебру, которая обозначается через
Loo (У, м-,). Алгебра Lm(Y, ц)—коммутативная алгебра с инво-
инволюцией f»->-<p и единицей 1 (I (у) — 1, ц-п. в. уеУ).
5. Ограниченная Qt-измеримая функция называется про-
простой, если она принимает лишь конечное множество значений.
Пусть ф — простая функция; пусть с,—ее значения, принимае-
принимаемые на множествах б,, /==1, .... п, образующих разложение Y.
Для ф справедливо представление
где через хв обозначена характеристическая функция множе-
множества б.
Если (У, 51, р.) — пространство с мерой, то простыми бу-
будем называть также функции, ^-эквивалентные функциям B).
Множество H(Y, \i) всех простых функций является подалгеб-
подалгеброй в Loo (У, ц), плотной в Loo (У, ц) относительно нормы A).
6. Пусть У—полное .сепарабельное метрическое пространст-
пространство. Любая непрерывная функция на У измерима относительно
a-алгебры <21В(У).
§ 5. Интегрирование
Здесь намечена схема построения интеграла, которую мы
перенесем затем в теорию интегрирования по спектральной ме-
мере (гл. 5). Другие факты приведены лишь постольку, посколь-
поскольку это удобно для ссылок.
15

На протяжении этого параграфа (У, 51, р,)—пространст-
р,)—пространство с о-конечной (не обязательно W-полной) мерой. В обозна-
обозначении f<pd\i подразумевается интегрирование по У. Эквива-
Эквивалентные функции отождествляются.
1. Пусть мера ц конечна и феП(У, ц), т. е. <р имеет -вид
D 2). Тогда по определению
Определение корректно. Из него непосредственно вытекает
оценка
||т^|<11т1шМП. A)
2. Пусть мера ц конечна. Оценка A) позволяет по непре-
непрерывности распространить интеграл с класса U(Y, ц) на весь
класс Loo (Y, |i): для фе/,„ (Y, \i) полагают
= hm j <?bdp, B)
где {щ} — произвольная последовательнбсть функций из
П(У, ц), сходящаяся в L<x,(Y, \?) к <р. Предел в B) не зависит от
выбора последовательности {щ}. Оценка A) переносится на
любые <peL«>(Y, \i). i
3. Везде в дальнейшем ц—произвольная ог-конечная мера.
Обозначим через S+=S+(jy, ц) конус неотрицательных функ-
функций <peS(y, |л). Для фе5+ интеграл определяется формулой
C)
rk
где { Yk\ — произвольная расширяющаяся последовательность
измеримых подмножеств У, такая, что }х(КЛ)<со (Vk) и
и*)/»= К; jcpi)—произвольная последовательность функций
из La,(У, (л), сходящаяся ji-п.в. на У к <р и удовлетворяющая
условию 0<?4(>»Х(р(у) (Vk; у-п.в. у^У). Предел в C) не
зависит от выбора последовательностей {КА}, |<р*}.
Бесконечное значение интеграла не исключается
4. Функция (peS(y, ц) принадлежит пространству Lt(Y, ц),
если
Для <?GLt(Y, (i) интеграл определяется формулой C), где
{Yk\ — такая же последовательность, как в п. 3, а (<рЛ)—про-
(<рЛ)—произвольная последовательность функций из La{Y, ^), сходящая-
сходящаяся ji-п.в. на У к <в и удовлетворяющая условию 0^|<рЛ(у)|<[
^l?(j')| (Ук, ц-п'в. у?У). Для любой функции ffZi пре-
предел существует и не зависит от выбора \Ук), {?*}. Справедли-
Справедлива оценка
16

5. Функция q>eS(T, р,) принадлежит пространству LP(Y,
, если
<со. E)
Для р = I это совпадает с определением п. 4. Относительно
линейных операций над функциями и нормы E) классы Lp
представляют собой банаховы пространства. Хотя элементами
пространств Lp фактически являются классы ^-эквивалентных
функций, в соответствии с традицией будем говорить об эле-
элементах Lp как о функциях.
6. МножествЬ П(К, ц) f) Lp(Y, p.) плотно в Lp(Y, (i),
1 <^/> < оо. Иными словами, в Lp плотны линейные комбина-
комбинации характеристических функций измеримых .множеств конеч-
конечной меры.
Если Y— полное сепарабельное метрическое пространство
и мера \i конечная и борелевская, то в LP(Y, ц), 1^р<оо,
плотно множество C(Y) П LP(Y, \i).
7. Теорема Лебега о предельном переходе. Пусть <pfc?
^1а(К, ji), k=\, 2, ... , <рА-> да (ji-ra. в.) и существует функ-
функция Q^LiiY, ji), такая, что |<pfc(y) |<|Ф(у) | (V/&; р-п. в.
у?У). Тогда <p6^i(^» t») я [ft/dp-* \f^V-
В частности, если мера ц конечна, условие теоремы выпол-
выполнено при Ф=const.
8. Теорема Фату. Пусть <р*65+(К, ц), k=\, 2, ..., <р*-»<р
(р-л. в.). Тогда
Г tprf[i ^lim inf f fkd\>..
9. Пусть (К, 31, (i) — пространство с мерой, Z — произволь-
произвольное множество и пусть задано отображение it: У -»Z, такое,
что tc(K)==Z. Отображение ж индуцирует на Z структуру
пространства с мерой. Именно ЗГ= \dCZZ:тс (д)?&} —о-
алгебра подмножеств Z и j^'(^) = [х [и (<?)] — мера на (Z, 51').
Включения <pf S(Z, (*') и*> <р°тс?5(У, |л), а также <p??i(Z, p,')
и <p°«G^i(^ t1) равносильны. Для функций <р из 5+(Z, p.')
и из LX(Z, у-') справедливо равенство
о ic
J Z J
10. Пусть ф?5+(К, ji). Тогда функция множества
F)
является мерой на (У, 42t). Мера х обладает тем свойством,
что из [х(8) = 0 вытекает т(8)==0.
•) Как обычно, (<?о*)(у) Ш* ф(уI
2 Зак. 823 17

11. Пусть (Г, 51)— измеримое пространство, (л, т — о-конеч-
ные меры на 51 и пусть ^F) = 0 для любого множества 8?5t,
такого, что ti(8) = 0. Тогда говорят, что мера т абсолютно
непрерывна относительно меры j* (или что т подчинена t*)
и пишут х-^[х. Таким образом, любая мера тф, ^?S+(K, ^),
подчинена <*.
Верно и обратное утверждение.
12. Теорема Радона — Никодима. Пусть т, р— а-конечные
меры на (К, 51) и -с -§ р. Тогда существует единственная (с точ-
точностью до ^-эквивалентности) функция <|» 6 S+(^ р). такая,
что т представляется формулой F).
Функцию <]>, о которой идет речь в теореме, называют
производной (производной Радона — Никодима) меры * ло
лере р и обозначают <|> = ch/dp. Мера х конечна в том и только
том случае, если dijdp ? LX{Y', р).
13. Множество {yf К: (afx/afj*) (у) =^0} называют носителем
меры t no отношению к мере р. Носитель определен с точ-
точностью до подмножества р-меры нуль. Введенное понятие не
следует смешивать с понятием носителя (supp) борелевской
меры, которое было определено в § 3, п. 20.
14. Если 1-$р и у.-Зт, то меры ц, т называют эквивалент-
эквивалентными и пишут |i — к. Для эквивалентных мер совокупность
множеств меры нуль одна и та же. Если tr>is то t~{* тогда
и только тогда, когда р-п.в. dt/dp =f= 0. При этом (di/dp) X
X (flf|*/flft) = 1 (|*-п.в.).
Отношение — рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Соответствующие классы эквивалентных мер называются ти-
типами. Тип меры обозначается [{*]. На типы переносится отно-
отношение подчиненности -$: [т] —^ [p,J означает, что для каких-
либо (а тогда и для любых) мер р ? [р], х ? [т] выполняется т -$f*.
15. Пусть т-${», или, что то же, для t справедливо пред-
представление F). Пусть <p?S+.(K, x) либо <p?^i(^. T)- Тогда
имеет место равенство
f «pflfe = j «piprfji,, где ф = flft/^!1- G)
Функция у в G) определена т-п.в., но, вообще говоря, не
р-п.в. на Y. В таких случаях вне носителя меры х подынте-
подынтегральную функцию в правой части G) доопределяют нулем;
это согласуется с тем, что d> (у) ¦= 0 р-п.в. вне носителя х
(см. п. 13).
16. Пусть (Y, 51)—измеримое пространство. Комплексной
мерой на (Y, 51) называется отображение т : 51 -*- С, удовлетво-
удовлетворяющее условию счетной аддитивности:
ft==1»2' •••' 8*Пй, = 0, *^=/. (8)
Ряд в (8) по необходимости сходится абсолютно.
18

Если (У, 51, |i) — пространство с мерой, то любая функция
множества т вида F), где ty?/., (К, ji), является комплексной
мерой.
17. На пары (ц, т), где р — вещественная о-конечная мера
и т — комплексная мера на (К, 51), распространяются понятие
подчиненности ме.р и теорема Радона — Никодима.
Пусть т (8) = 0 для любого множества 8 ? 51, такого, что
|j.(8) = 0. Тогда говорят, что т подчинена (j (x-^ji). Любая
комплексная мера ^ вида F) подчинена {«-.
Если х-^ц, то существует единственная (с точностью до
ix-эквивалентности) функция <J» 6 Z. t (К, (*), такая, что т пред-
представляется формулой F). Как и в вещественном случае, пишут
dld
18. Комплексной мере х сопоставляется ее полная вариа-
вариация
hl(S) = suP2*N8*)!. 8№ (9)
где точная граница берется по множеству всех разложений S
на подмножества 8ft?y1. Функция множеств |t] является ко-
конечной мерой на $1.
Ясно, что т-^|т|. Для соответствующей производной С» =
== flf-c/d|т| выполняется |^(j/)| = l (|т|-п. в. на V).
19. Интеграл по комплексной мере т вводится (для <р?
61, (К, h|)) формулой
Для интеграла A0) справедлива оценка
?|dhl- (И)
20. Пуетъ [ij, р.2 — меры, т — комплексная мера на измери-
измеримом пространстве (К, 51), причем м
Пусть ?У€МГ. Ру). /=1, 2. Тогда ^сргб^ЛК, |т|) и
Приведем доказательство неравенства A3). Для любого разложения
Ufikt 5*6 51, с помощью неравенства Коши находим из A2)
2, | «<•'>•< X ^{bj
Поэтому из A2) вытекает аналогичное неравенство для пэлнэй вариации
[ |т | (»)]2 < |*ж (б) № (8), ве<а.
2* 19-

Из оценки A1) теперь следует, что достаточно доказать неравенство
вида A3) для интеграла по мере |т|, а из утверждения п 6 —что это нера-
неравенство достаточно проверить для <pj, <pj6 П;К, 51)
Можно считать, что 9; = 2j/c'/"'U > ' = •. 2 (т е множества 8/ одни и
те же для обеих функций) Тогда
и требуемая оценка сводится к неравенству Коши
§ 6. Пространства функций
1. Через D,, /'=1, ..., т, обозначаются операторы диф-
дифференцирования по координатам точки х = (хи .... xm)?Rm'-
Dj = —id/dXj. Элементы*' а ? Z+ называются мультииндексами.
Если а—мультииндекс, то | »| = а, + ... -Ная». <*'• = <ч!. .. а.т\,
D* = D\l...Dy.
2. Пусть Q CR— открытое множество. Совокупность всех
бесконечно дифференцируемых функций в Q, имеющих ком-
компактный носитель, обозначается С™ B). Класс С™ (У) плотен
в LpB) при любом />?[1, оо).
3. Обобщенные производные. Достаточно полное изложение
можно яайти, например, в [20].' Мы лишь напомним основное
определение.
Пусть 2 С Rm — открытое множество и пусть функции и, v
локально суммируемы **> в Q. Предположим, что для фикси-
фиксированного мультииндекса а
= J vydx, Vy e Co i2).
Тогда говорят, что функция и имеет в Q обобщенную производ-
производную v=Dau.' Это определение согласуется с определением
дифференцирования в смысле теории обобщенных функций.
Обобщенная производная Dau единственна (с точностью до
эквивалентности относительно m-мерной лебеговой меры).
4. У эквивалентных функций обобщенные производные сов-
совпадают. Если говорят о локальных свойствах функции, имею-
имеющей обобщенные производные (непрерывность, классическая
дифференцируемость и т. п.), то под этим понимают, что рас-
рассматриваемым свойством обладает функция, эквивалентная
данной. '
5. Если т = 1 и Q = (а, Ъ) — интервал (возможно, беско-
бесконечный), то равносильное описание обобщенных производных
можно дать в классических терминах. Именно обобщенней
*) Через Z+ обозначено множество всех целых неотрицательных чисел:
Z+-{0, 1,2,...}.
"") Т. с. суммируемы по любому компакту К C.Q.
20

производная v = Dlu существует тогда и только тогда, когда
функция и имеет на (а, Ь) непрерывные производные до по-
порядка /—1 включительно и функция да = и*1-') абсолютно
непрерывна на любом промежутке [с, d\c(a, Ь). При этом
w'=ilv п. в. на (а, Ь). К этому можно добавить, что если
(а, Ь) — конечный интервал и v = D'u?Lx(a, Ъ), то
ueC'-'fa, b] и функция да абсолютно непрерывна на [а, 6].
Если на конечном интервале (а, Ь) функции щ, и% имеют
обобщенные производные Du\, Du?!=.L\(a, b), то сохраняет си-
силу классическая формула интегрирования по частям.
6. Пусть P(D) — дифференциальное выражение с постоян-
постоянными коэффициентами (т. е полином по «переменным» D\ ...
..., Dm) и пусть P+(D) — формально-сопряженное выражение
(комплексно-сопряженный полином). Если функции и, v ло-
локально суммируемы в открытом множестве QsRm и
fв uP*(D)<pdx = js Vfdx, V<p e Co00 B),
то говорят, что в Я v=P(D)u в обобщенном смысле. При
этом функция и не обязательно имеет все обобщенные произ-
производные, формально входящие в выражение P(D)u.
7. Классы Соболева W^. Здесь мы также ограничимся не-
немногими определениями и замечаниями. Подробнее см. [20].
Пусть S CI Rm — открытое множество. Класс Wi(Q) состоит
из всех функций ы?Ь2(Щ, имеющих всевозможные обобщен-
обобщенные производные Da«G^2B) при |а| = /. Для и? W{ B) по-
полагаем
Относительно естественной линейной структуры и нормы
класс Wi B) • представляет собой банахово пространство. Ос-
Основное содержание теории классов Соболева составляют тео-
теоремы вложения и продолжения. Мы отметим лишь следующие
факты.
8. Замыкание в W%(Q) класса Со°B) обозначается через
1^2B). Отметим, что Wl (Rm)= Wl2 (Rm) (иными словами, мно-
множество Co°(Rm) плотно в WliR)). Если^ 2 — ограниченное
множество, функционал A) на классе Xvl B) представляет со-
собой норму, эквивалентную основной норме "B).
9. При 21 > т. для любого компакта1 К С 2 имеет место не-
непрерывное и компактное вложение W?(Q) (ZC(K). Это озна-
означает, что оператор, сопоставляющий функции u?Wl
21

ее сужение на К, непрерывен и компактен как onepafop из
WiB) в С~(К) (здесь следует иметь в виду сказанное в п. 4).
В пп. 10—13 2 — ограниченная область с границей dQ
класса С1.
10. Функции и ? СС0B )_образуют в №/B) плотное мно-
множество (включение и («С™ B) означает, что функция и допу-
допускает бесконечно дифференцируемое продолжение на Rm).
11. При 2/ > т имеет место непрерывное и компактное вло-
вложение Wi(Q)cC[Q).
12. Имеют место непрерывные и компактные вложения
W\(Q)ciL2(Q), Wl(Q)ClL2(dQ). Поясним второе из них. Опе-
Оператор иь*и|да корректно определен на плотном в W\ B) мно-
множестве С00 B). Он по непрерывности продолжается до опера-
оператора из и?гB) в Z-2 (dQ), и продолженный оператор компак-
компактен. Если u^(Wl2(Q), то «|da = 0 п.в.
13. Рассмотрим функционал
l«|2^I/2, u?W\{Q) C)
(это возможно в силу вложения в L,(dQ); см. п. 12). Функ-
Функционал C) определяет в \37'B) норму, эквивалентную основ-
О *
ной норме B) (при /=1). Класс W2 B) совпадает с множе-
множеством всех тех функций «6^B), для которых |и| —Ци^ а
(т. е. и 1^ = 0).
14. Символом 5(Rm) обозначается класс Шварца. Включе-
Включение и? 5(Rm) означает, что функция и бесконечно дифферен-
дифференцируема в R и для любых «6^+, ^6Z+ существует постоян-
постоянная С (а, /), такая, что

ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЯ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
i
Содержание этой главы достаточно полно отражено в ее
названии. Еще раз напомним, что основные понятия метриче-
метрической и банаховой теории предполагаются известными. Поэтому
ниже речь идет только о геометрических вопросах, в которых
проявляется гильбертова специфика. В равной мере это отно-
относится к изложению теории непрерывных операторов.
§ 1. Гильбертово пространство. Пространства L2
1. Рассмотрим комплексное линейное пространство S, в ко-
котором задано скалярное произведение (•,•)» т- е- комплексная
функция на 2?Х2?, обладающая свойствами
(/. g)=(gTT) (f,ge&), 0)
(«i/i+«2/2, g)=«i(л, g) + *2(л, g) («1, «2ec), B)
(/./)>0 (/^0). C)
Свойства A) — C) выражают соответственно эрмитовость, ли-
линейность (по первому аргументу) скалярного произведения и
строгую положительность функции (f, f). Из A), B) вытекает
антилинейность (или полулинейность*)) по второму аргу-'
менту:
(/. PiSi + Ыг) = Pi (/, gi) + Р2 (/, g*) (Pi. h б С). D)
В дололнение к C) отметим, что из B) следует (/, 0^ = 0
V/eS'jH, в частности, @, 0)=0. Вещественность (но не по-
положительность) величины (f, f) вытекает из A).
Линейное пространство 9? с фиксированным скалярным
произведением, удовлетворяющим условиям A) — C), называет-
называется предгильбертовым пространством.
В предгильбертовом пространстве вводится норма
!'/«=(/, Я (V/6^), E)
удовлетворяющая аксиомам нормированного пространства.
*) В связи с этим функции, удовлетворяющие условиям B), D), назы-
называют иногда полуторалинейными формами
23

Действительно, 101 = 0 и в силу C) ||/|>0 при /фО. Да-
Далее, в силу B), D) (к/, Ь/) = 1Ч2 (/./>. т- е. |\fi| = 14 -\\f\\.
Остается проверить неравенство треугольника. Оно является
следствием неравенства
К/. г)К1/1-Ы. F)
которое будет доказано ниже. Из B), D) находим
(/ + ?, / + S) = I/f + 2Re(/, g) + \gf, ( G)
что вместе с F) дает |/+ ?|<11/Ц + \\g\\-
Докажем F). Для любых /, g??f, а, ??С из A)—D) по-
получаем, что
|? = |«l2(/,/)-«?(/, g)-«$U7I) + \?\4g, g).
Полагая здесь <* = (/, g), p = (/, /), находим
(/./)[(/,/)&, gl-\(f, g){2]>0.
При f=^0 это равносильно F); при / = 0 F) также выполне-
выполнено. Нетрудно убедиться, что равенство в F) осуществляется
только при линейно зависимых /, g.
Неравенство F) сохраняет силу, если условие C) заменить
более слабым условием (f, f)^0 (VfeSP). Действительно, ес-
если для данного [ей1 выполняется (/, f)>0, то пригодно преж-
прежнее рассуждение. Если же G, f) = 0, то из (8) прн р = 1
следует
(g, g)-2Rea(/, g)^0 (Va6C).
Очевидно, что это возможно лишь при (f, g) = 0. Тем самым
F) выполнено и в этом случае.
Введение в SS' нормы E) позволяет применять к предгиль-
предгильбертову пространству понятия н факты теории нормированных
пространств. В частности, обычным образом вводится сходи-
сходимость: fn-*~f означает, что ||fn—fll-И). Как и в любом норми-
нормированном пространстве, линейные операции и норма в 2? непре-
непрерывны. Из легко проверяемого тождества
igV-nf-igt (9)
следует также непрерывность скалярного произведения по со-
совокупности аргументов: (/„, gn)-*-(f, g)> коль скоро fn-»-/,
gn-^g.
2. Если предгильбертово пространство является полным от-
относительно нормы E), то его называют гильбертовым прост-
пространством. Для гильбертова пространства ниже, как правило,
используется обозначение Я. В этой книге мы ограничиваемся
изучением сепарабельных гильбертовых пространств, и всюду,
где не оговорено противное, сепарабельность предполагается.
Конечномерный случай не исключается из рассмотрения.
24

Если предгильбертово пространство не полно, то его можно
пополнить относительно нормы E). В результате оно станет
банаховым пространством, в котором, однако, по непрерывно-
непрерывности вводится и гильбертова структура. Именно легко проверя-
проверяется, что формула (9) позволяет распространить скалярное
произведение на пополнение, причем свойства A)—C) сохра-
сохраняются. Таким образом, пополнение предгильбертова простран-
пространства всегда приводит к гильбертову пространству.
Два гильбертовых (предгильбертовых) пространства Ни #2
называются изометрически изоморфными, если существует изо-
метрия, т. е линейное отображение V пространства Их на Н^
такое, что ¦
A0)
Равенство (9) показывает, что A0) следует из формально бо-
более слабого условия Hf|li = ||V/||a.4
Подпространством в Н называется замкнутое линейное под-
подмножество. Любое подпространство само является сепарабель-
ным гильбертовым пространством относительно индуцирован-
индуцированного скалярного'произведения.'
Если М — подмножество в Н, то наименьшее подпростран-
подпространство, содержащее М, обозначается \/М. Ясно, что \/М совпа-
совпадает с замыканием линейной оболочки М. Если \JM = H, то
говорят, что множество М полно в Н.
Лемма 1. Пусть \/М=Н. Тогда множество линейных ком-
комбинаций элементов из М с рациональными комплексными ко-
коэффициентами плотно в Н %
О Достаточно установить возможность приближения лю-
любого элемента h из линейной оболочки М. Пусть h -=
2 я
, а*?*. ?*€-М> **6С; пусть числа <х<*\ s~\, 2, ... , рацио-
нальны и а^) -»ak при s -> со. Тогда _2j ^Sk -*¦ h при s -*¦ <х> ф
Из леммы 1 вытекает, что для сепарабельности- И достаточ-
достаточно (и необходимо) существование в И полного счетного мно-
множества.
Если SE — вещественное линейное пространство с вещественным скаляр-
скалярным произведением, удовлетворяющим A)—C), то говорят о вещественном
предгильбертовом (в случае полноты — гильбертовом) пространстве В этой
книге вещественные пространства не затрагиваются.
3. Элементы /, g?H называют ортогональными и пишут
f -Lg, если (/, g) — 0. Если МсН, то f J_M означает, что
(/» ?) = 0 Для любого g?M.
Лемма 2. Если fJ_M, то f±_\/M. В частности, если
= H и /±М, то /=0.
О Ясно, что fJ_Mu где МЛ — линейная оболочка М. Если
M то найдутся элементы gn?Mu ga-*g. Так как
25

(/. ?л)=0> т0 в пределе (/, g) = 0. Если \/М = Н, то здесь
можно положить g = f, а тогда / = 0 •
Для попарно ортогональных элементов /ь .... fn справед-
справедливо равенство («теорема Пифагора»)
/.r. <»>
которое для /1 = 2 следует из G), а затем распространяется
по индукции. Равенство A1) переносится и на бесконечные по-
последовательности.
Лемма 3. Пусть элементы Д, k = \, 2, ..., попарно
ортогональны в Н. Сходимость ряда 2* Л равносильна схо-
сходимости числового ряда 2*1Л'|2. причем
О Сходимость ряда 2*/а означает существование предела
конечных сумм gn = 2i /*- Из A1) вытекает, что
и последовательность gn фундаментальна в том и только том
случае, когда сходится ряд справа в A2). В силу полноты Я
элементы gn сходятся. Равенство A2) получается нз A1) при
Отметим еще одно полезное соотношение — «тождество па-
параллелограмма», вытекающее из G):
fl/ + IT«2 + I/-Sl2 = 2(t/|P + ||gn, V/, g?H.
4. Примеры гильбертовых пространств будут приведены в
§ 9. Здесь мы ограничимся обсуждением наиболее важного для
нас семейства гильбертовых пространств — пространств типа
L2. По поводу используемых здесь сведений нз теории меры и
теории функций см. § 1.3—1.5.
Пусть (Y, Ql, p.j — пространство с а-конечной мерой. Из-
Измеримая (относительно а-алгебры 01) функция f, определенная
ц~п. в. на Y, принадлежит классу*) L2(Y, ц), если конечен
интеграл
l/M^Jj/l'rfi». A3)
Отождествим ^-эквивалентные функции и введем в L2 естест-
естественную линейную структуру. Скалярное произведение опреде-
определим формулой
(f,g) = lYfgdv. A4)
Тогда L2(Y7 p) превратится в гильбертово пространство. Норма
A3) очевидно согласована со скалярным произведением A4).
*) Было бы точнее писать L2(Y, ЗД, ц.).
26

В некоторых стандартных случаях мера ц в обозначениях
пространства L2 не указывается. Например, будем писать:
L2(Y), если У — измеримое по Лебегу множество в Rm,
ц — m-мерная мера Лебега;
L2(Sm), если S — единичная сфера в Rm, ц— мера Ле-
Лебега на сфере;
Z.2(Tm), если T'" = (S1)n* — /га-мерный тор, ц — мера Лебега.
Отметим, что окружность Т = S1 часто удобно считать реа-
реализованной как подмножество комплексной плоскости: Т =
= teC: \г\ = 1}.
Известно (см. § 1.5, п. 6), что в пространстве L2(Y, \i) плот-
плотное множество образуют линейные комбинации характеристи-
характеристических функций ха множеств бе 1 конечной меры. Иными
словами, множество функций
Р(8)<«>} A5)
полно в L2(Y, ц).
Теорема 4. Пространство L2(Y, p,) сепарабельно тогда и
только тогда, когда мера ц. имеет счетную базу.*)
О Если 8', 8" ?31—множества конечной меры, то
- у.- |р = 1 | х8. - х8» |2 <** =1
где б'Дб" — симметрическая разность множеств 6', 6". Поэто-
Поэтому функции х5 , где {6П}, п = 1, 2, ..., — база для ц, образуют
множество, плотное в множестве A5), а потому полное в
L2(Y, ц). Согласно лемме 1 L2(Y, ц) сепарабельно.
Обратно, если L2 сепарабельно, то сепарабельно и его под-
подмножество A5) (как метрическое пространство с индуциро-
индуцированной метрикой). Любое плотное в нем счетное подмножество
порождает базу для ц, ф
В связи с теоремой 4 в дальнейшем будем рассматривать
пространства L2(Y, ц) в предположении, что мера ц имеет
счетную базу. Это предположение не всегда будет явно огова-
оговариваться.
Если Y—сепарабельное метрическое пространство и ко-
конечная мера у- борелевская, т. е. $1 = i2lB(K), то ц имеет
(см. § 1.3, п. 19) счетную базу. Стало быть, в этом случае про-
пространство L2(Y, ц) сепарабельно. Плотное в нем множество об-
образуют непрерывные квадратично-интегрируемые функции.
В пространстве L2(Rm) плотен класс С" (Rm), и, тем более,
класс 5 Шварца.
*) См § 1.3, п 9. Напомним, что наличие у ц счетной базы равносильно
сепарабельности пространства с мерой (Y, 41, ц).
27

5. Специальную роль в дальнейшем играет пространство la.
Его элементы — комплексные последовательности f = ifk),
k = 1, 2, ..., для которых
В h вводятся естественная линейная структура и скалярное
произведение
Легко понять, что U = Li(N, p.), где N— натуральный ряд, 31 —
алгебра всех подмножеств dczN, а цF) есть мощность 6. По-
Поэтому к /2 относится все, сказанное в п. 4. В частности, 12 пол-
полно и сепарабельно, что, впрочем, совсем просто устанавливает-
устанавливается непосредственно. В 12 плотно множество всех финитных по-
последовательностей, т. е. последовательностей с конечным чис-
числом ненулевых составляющих.
I В определении гильбертова пространства мы не исключаем
конечномерного случая. В комплексном m-мерном евклидовом
пространстве jCm скалярное произведение вводится формулой
A6) (с суммированием от 1 до т).
В дальнейшем мы помимо обозначений /2 и Ст иногда
будем употреблять единое обозначение /?, 1^/га^<х>, пола-
полагая I? = С" при m < оо и IT = /2-
§ 2. Ортонормированные системы
Общеизвестна роль ортогональных разложений в анализе и
математической физике. В теории этих разложений можно вы-
выделять общую часть, которая по сути дела относится к геомет-
геометрии гильбертова пространства. Эту, общую часть — теорию ор-
тонормнрованных систем — мы здесь и излагаем. Вместе с тем
в каждом конкретном случае остаются аналитические трудно-
трудности, связанные в первую очередь с проверкой полноты изучае-
изучаемой системы.
1. Множество МсН называется ортонормированной систе-
системой (о. н.с), если ||к||2 = 1, V«eAf, и любые два различ«
ных элемента из М ортогональны. В сепарабельном простран-
пространстве Н всякая о. н. с. не более чем счетна. В самом деле,
йы—о||2—||ы||2+цу||2_2 (Yu> ve=M, u=?v), а потому любое
плотное в Н множество имеет мощность, не меньшую, чем мощ-
мощность М. В силу сказанного в дальнейшем будем рассматривать
лишь ортонормнрованные, последовательности (возможно, ко-
конечные).
Пусть М = {uk\ — о. [н. с. Выясним, когда сходится ряд
22*- Его члены попарно ортогональны, и из леммы 1.3
28

непосредственно вытекает, что сходимость в Н ряда 2* Hak
равносильна сходимости числового ряда 2*1а*|2- Положим
2 , 0)
Тогда в силу A.12) '
Коэффициенты аи выражаются через h0:
(Ac, uk) = 2уа/ (ил «*) = «*,* = 1. 2, ... C)
Почленное умножение здесь возможно ввиду непрерывности
скалярного произведения. '
2. Изменим теперь постановку вопроса. Будем считать, что
элемент ЛеЯ задан, и выясним, можно ли его разложить по
заданной о. н. с. {«&}. Если такое разложение возможно, то его
коэффициенты в силу C) должны совпадать с коэффициента-
коэффициентами Фурье
«* = «*(*) —(А, и*). D)
а само разложение должно даваться рядоц Фурье
Проведем'исследование ряда E) (независимо от того, дает
ли он на самом деле разложение элемента Л). Прежде всего
установим следующее экстремальное свойство конечных сумм
ряда Фурье.
Теорема 1. При заданном п наилучшее приближение эле-
мента h^H суммами вида ^ рдйй осуществляется частной
суммой ряда E):
"*I>IA~2ia*(A)%|, V& Р„6С. F)
Равенство в F) достигается только при $h=ah(h), k=\, ...
.... п. Справедливо соотношение
О Принимая во внимание D), находим
Отсюда непосредственно вытекают оба соотношения F1 и
G)#
29

Прямым следствием теоремы 1 является теорема о сходи-
сходимости ряда Фурье.*)
Теорема 2. Пусть iuk} — о. н. с. в Н. Для любого
выполнено неравенство
и ряд E) сходится. Его сумма Aq удовлетворяет соотношению
я
О Из G) следует, что 2^ I Ч |г ^ IIA f. В пределе получаем
(8). В силу (8) {ak(h)}^li и, следовательно, ряд E) схо-
сходится. Переходя к пределу в G) и учитывая равенство B), по-
получаем (9) # '
Теорема 3. Пусть iuk) — о. н. с. в Н. Следующие утверж-
утверждения равносильны: а) fteVkW; б) для h имеет место равен-
равенство («уравнение замкнутости»)
в) h разлагается в ряд Фурье по о. н. с.
О а)=>б). По заданному г>0 найдем конечную линейную
комбинацию f = 2d $kufo такую, что \h — /| < е. Тогда в силу
F), G) JAj|2 — ^ 1я*Р<е2> т- е- выполнено A0). б)=>в) прямо
следует из (9). в)=>а) вытекает из определения суммы ряда •
Если для заданной о. н. с. (ыь> уравнение замкнутости A0)
выполнено при всех Ле#, то систему (ыь> называют замкнутой.
Отметим, что тогда наряду с A0) выполняется и соотношение
(А', А2) = 2*а* (А1)^5) =2»(А1. «*)(«*, A2), Vh\ A26Я. A2)
Оно вытекает из A0) в силу A.9).
Замкнутость системы непосредственно проверять неудобно.
В связи с этим вводят понятие ортонормированной полной си-
системы (о. н. п. с). Именно о. н. с. {т} называется полной,
если из условий ah(h) = 0, Vk, вытекает, что Л=0. Следую-
Следующая важная теорема показывает, в частности, что последнее
определение согласуется с общим понятием полного множества
(см.§1, п. 2).
*) Здесь и в дальнейшем мы не оговариваем упрощений в формули-
формулировках и в доказательствах, которые возникают в случае, если о. н. с
{ик) конечна.
30

Теорема 4. Пусть luk} — о. н. с. в Я. Следующие утверж-
утверждения равносильны: a) vW = Я; б) система {uk} замкнута;
в) каждый элемент ЛеЯ разлагается в ряд Фурье A1) по
о. н. с. iuk); г) о. н. с. Ын) — полная.
О Равносильность утверждений а), б), в) следует из теоре-
теоремы 3. а)=>г) вытекает из леммы 1.2.
г)=>в). Пусть ЛеЯ и h0 — сумма ряда C). Тогда в соответ-
соответствии с C) ak(ho)=ak(h) и, следовательно, (h—hu, uu) =
= 0, V/s. Поэтому Л = Ло ф
3. Полную ортонормированную в Я систему {uh} иначе на-
называют ортонормированным базисом пространства Я. Из лем-
леммы 1.1 следует, что существование такого базиса влечет сепа-
сепарабельность Я. Справедливо и обратное утверждение. Для его
доказательства будет применен так называемый процесс орто-
гонализации.
Теорема 5. В сепарабельном ' гильбертовом пространстве
существует ортонормированный базис.
О Пусть ifk) — полная в Я последовательность. Подвергаем
ее «прореживанию», удаляя те элементы, которые выражаются
линейно через предыдущие. Полученную последовательность
(возможно, конечную) обозначим через {g,}. Элементы g} в лю-
любом конечном числе линейно-независимы. Линейная оболочка g}
содержит все fk, а потому V, {g3}—H. Положим «i=gillgil|-'.
Следующие элементы строятся индуктивно. Пусть построе-
построены ортонормированные элементы иь ..., us, такие, что при
k = 1, ..., s выполнено
V?{«,} = Vf{ff,!. ~ A3)
Если последовательность {g}} содержит лишь s элементов, то
процесс обрывается. В противном случае полагаем
Поскольку gi, ..., gs+i линейно-независимы, то us+i^=0. Ясно,
что gg+t выражается линейно через щ, ..., us+i, a ms+i — через
gu ¦ ¦ ¦, gs+\- Следовательно, A3) выполнено и при k=s+l. На-
Наконец, (Us+u Uk) = 0, k = 1, . . ., S.
Остается показать, что построенная (конечная нли беско-
бесконечная) последовательность {и}} полна в Я. Так как A3) вы-
выполнено при всех k, то Vj(«j} = V }{gji =Я ф
Замечание. Процесс ортогонализации можно применять
к любой последовательности {/*}. В результате получится о. н. с.
luj}, полная в подпространстве VktfiJ-
4. Мощность всех о.н.п.с. в заданном гильбертовом прост-
ранстве^Я одна и та же. Она определяется его размерностью
dim Я как линейного пространства. Именно, если m=dimH<
<оо, то любая о.н.п.с. (как и любой другой базис в смысле
теории линейных пространств) содержит m элементов. Если
31

dim Я = oo, то в силу соглашения о сепарабельности любая
о. н. п. с. счетна.
Теорема 6. а) Гильбертовы пространства Яь Я2 изометри-
изометрически изоморфны тогда и только тогда, когда
dim Я, = dim Я2. A4)
б) Пусть выполнено A4) и пусть {и*} —о. к. п. с. в Яв, s=l, 2.
Тогда существует единственная изометрия V пространства #i
на Я2, такая, что
Va^ = ul (Yk). ' A5)
О а) Изометрический изоморфизм пространств Я( и Яг
включает их линейный изоморфизм, а потому влечет A4). Об-
Обратное содержится в утверждении б).
б) Считаем для определенности dirr^»=oo, s=l, 2.
Пусть MscHs — линейная оболочка системы {«?}, s = 1, 2,
Определим отображение V : Mi-^M2 формулой
Оно линейно и в силу A.11) изометрично. Ясно, что
и выполнено A5). По непрерывности V распространяется до
изометрии пространства Hi яа Я2.
Изометрия является линейным отображением. Поэтому из
A5) следует A6). Тем самым V определяется условиями A5)
однозначно ф
Рассмотрим случай, когда Н2=1™. О. н. п. с. {еь), где
ел={0, ..., 0, Ь 0, ...} A на k-vi месте), называется стандарт-
стандартным базисом elf.
Теорема 7. Гильбертовоч пространство Н изометрически
изоморфно пространству If, m — dim Я. Существует биодно-
значное соответствие между изометриями V пространства Я на
If и ортонормированными базисами {«*} в Я. Это соответст-
соответствие дается равенствами Уиь.=еь, Yk, где {е&} — стандартный
базис в if.
О Если V — изометрия Я на If, то равенства Uk=V-lek
определяют ортонормированиый базис в Я. Остальное прямо
вытекает из теоремы 6 (при Я2 = lf)%
Во всем дальнейшем фактически будем считать изучаемое
гильбертово пространство бесконечномерным. Однако, желая
без оговорок пользоваться утверждениями типа «подпростран-
«подпространство гильбертова пространства также есть гильбертово прост-
пространство», мы не будем формально исключать конечномерный
случай. Что касается теоремы 7, то возможностью сведения Н
к «модели», т. е. к If, о.бычно не пользуются. Такое Сведение,
во-первых, неудобно в применениях и, во-вторых, затрудняет
выявление инвариантного характера теории.
32

§ 3. Теорема о проекции.
Ортогональные разложения и ортогональные суммы
В этом параграфе описываются геометрические конструк-
конструкция, играющие важную роль в теории гильбертова простран-
пространства.
1. Прежде всего докажем теорему о проекции.
Теорема 1. Пусть F— подпространство в Н. Для всякого
Я существует, единственное представление в виде
b=f+g (/б/7, g±n A)
Элемент f в A) осуществляет наилучшее приближение h эле-
элементами из F:
\\h-xl>\\h-fl=lg[\,YxeF. B)
Равенство в B) достигается только при х — f.
О Поскольку F само есть гильбертово пространство, в нем
существует ортонормированный базис. Пусть {q>jj — такой ба-
базис. Для ЛеЯ положим
В силу теоремы 2.2 ряд C) сходится. При этом (f, щ) = а*
(см. равенство B.3)). Положим g = h—f. Тогда (g, ф*) =0
(V/г), а потому gl.F в соответствии с леммой 1.2. Разложение
A) построено. Из него следует, что
\\hT=Uf+\\gT- D)
В силу D) А=0 влечет /=g-=0. Этим доказана единственность
представления A).
Если jceF, то в разложении h—х = (f—x)+g слагаемые
ортогональны. Поэтому ||А—je||2=||f—JclP+Hg'll2. Отсюда сле-
следует неравенство B), которое обращается в равенство лишь
при х = f ф
Заметим, что соотношения B), D) обобщают соотношения
B.6), B.7), в которые они переходят при F= V? \иь\-
Рассмотрим множество
G=*{geH:g±JF}2±FJ-. E)
Ясно, что G — подпространство. Из единственности разложе-
разложения A) следует, что F и G равноправны в том смысле, что
G-L=F. Подпространства F и G—F1- называются ортогональ-
ортогональными дополнениями друг для друга в пространстве И. Если F,
G — ортогонально дополняющие друг друга подпространства,
то пишут
/=•00 = Н; F)
3 Зак, 323 33

употребляют также обозначение
G = F±^NQF. G)
Обозначение Мх применяется и тогда, когда М — произ-
произвольное подмножество в Н. Оно вводится формулой E) с за-
заменой F на М. Лемма 1.2 означает, что Afx '=(\/M)±.
Отметим еще следующее соотношение двойственности, ко-
которое читатель легко проверит самостоятельнр.
Лемма 2. Пусть {Fa} — какое-либо семейство подпрост-
подпространств в Н. Тогда
(V«/7.)J- = Л»/7- (8)
Отображение Р — Рр : ht-*-f, порожденное разложением (I),
называется оператором (ортогонального) проектирования, или,
короче, проектором на подпространство F. Из C) следует, что
Р — линейный оператор. В силу D) || Р/i || ^|| ft II. Так как Ph=h
при /ifeF, то ||Р|| = 1. Исключение составляет случай F = @),
когда очевидно Р = 0. Если G = F±, то Р —I — Рр.
2. В п. 1 было рассмотрено «ортогональное разложение»
пространства Н в сумму двух подпространств Fa G = Fx. Та-
Такие разложения обобщаются на случай любого (конечного или
счетного) числа подпространств.
Пусть Н — гильбертово пространство и пусть (/У, k = 1,
2, ..., — попарно ортогональные подпространства в Н, причем
У*Рк = Н. (9)
Обозначим через Pk проектор на Fk.
Лемма 3. Пусть Fn= \J\Fk и Рп— проектор на Fn. Тогда*)
О Для h?H положим fu — Рф., / = 2"/* и S — n—f.
Тогда f?Fn. Для любого x?Ft, / = 1, ..., л, принимая во
внимание попарную ортогональность подпространств Fk, на-
находим
(g, *) = (л-
т. е. g X Ft. В силу (8) g ? Fn. Из единственности проекции
следует, что в разложении h — f-\-g элемент / совпадает
с Рап •
Теорема 4. Пусть ifkh k = I, 2, ..., —попарно ортого--
нальные подпространства в Н и выполнено (9). Тогда каждый
элемент АеЯ разлагается в ортогональный ряд
A0)
*) Систематическое изучение «алгебры проекторов» в Н будет проведе-
проведено в § 8.
34

При этом справедливы соотношения
»лг=2л/х on
(а1. *•) - 2* (/{. Я)=2* w.р^- <12>
О В силу (9) для п?Н по любому е>0 найдется линей-
линейная комбинация 2» ¦**• -^лб^*. такая, что \h—2i-*ftl|<s-
Принимая во внимание лемму 3 и неравенство B), находим
Это означает, что A0) выполнено. Из A0) в силу леммы 1.3
вытекает A1); из A1) и из A.9) следует A2) #
В условиях теоремы 4 говорят, что пространство Н разло-
разложено в ортогональную сумму подпространств Fk. и пишут
Если число подпространств равно двум, то разложение A3)'
переходит в F). Изучавшееся в § 2 разложение в ряд Фурье по
о. и. п. с. («ft} есть частный случай разложения A3), когда все
подпространства Fh одномерны: Fk = {у"Л Vs^. В самом де-
деле, в этом случае РФ = (п, ик)ик. Таким образом, равенства
A0), A1), A2) представляют собой обобщение формул, B.11),
B.10) и B.12) соответственно.
3. В п. 2 гильбертово пространство было разложено в орто-
ортогональную сумму своих подпространств. Здесь мы рассмотрим
«обратную» задачу, в которой первоначально задана некоторая
последовательность гильбертовых пространств и из них опреде*
ленным образом строится новое гильбертово пространство. ,
Пусть*> {Gk}, ?=1, 2, ..., — гильбертовы пространства,
<•> '>*> 1*1* — скалярное произведение и норма в Gk (индекс к
иногда опускаем). Рассмотрим пространство Н, элементы ко-
которого— последовательности h={gk), gk?Gk (vfy, такие, что
Линейные операции в Н определяются «покоординатно». Если
h? = {gfi 6 И, s = 1, 2, то из неравенства | g\ + g\ |2<2 (| g\|2 +
+ |?ft|2)>V*' следует, что и п~1-\-№?Н. Поэтому // — линей-
линейное пространство. Зададим в нем скалярное произведение
формулой
(h\ h2) = ^k<gl, gpk; A5)
•) Рассматривается случай, когда число пространств С* бесконечно. Если
оно конечно, то последующие рассуждения существенно упрощаются.
3» 35.

ряд в правой части абсолютно сходится, поскольку
ё > I ^ ^ \gk\ | Sk | ^ 1 Я1
Свойства A.1)—A.3) скалярного произведения очевидно вы-
выполнены; норна A4) согласована с A5). Тем самым в Н вве-
введена структура предгильбертова пространства. Это простран-
пространство называют ортогональной суммой пространств Gu и обоз-
обозначают
-2.
Совпадение обозначений A3) и A6) не приводит к недоразу-
недоразумениям, поскольку, как будет ясно из дальнейшего, различие
между «ортогональными суммами» и «ортогональными разло-
разложениями» не очень существенно.
Для & = 1, 2, ... рассмотрим отображение Vk:Gk-^H
(оператор естественного,вложения), сопоставляющее элементу
g ? Gk элемент h — Vkg = {0, ..., 0, g, 0, ... | ? И (g на k-м
месте). Линейное отображение Vk осуществляет изометриче-
изометрический изоморфизм пространства Gk и (замкнутого) подпростран-
подпространства Fk ЙЙ. Vfik С Н.
Установим полноту пространства И.
Теорема 5/ Ортогональная сумма A6) есть*полное сепара-
беЛЪное пространство.
О Пусть гильбертово пространство Н есть пополнение Н.
Тогда /л, k = 1, 2, ..., — попарно ортогональные подпрост-
подпространства в Н. Очевидно, что их линейная оболочка плотна в Н.
Следовательно, они осуществляют ортогональное разложение
A3) пространства Н.
Для всякого Л?# рассмотрим разложение A0) и поло-
положим gk— VhXfk, A=l, 2, ... В силу A1) последовательность
\ёк\ удовлетворяет условию A4). Поэтому h=-[gk\^M. Таким
образом, h = h и, стало быть, пространство Н — Н полное.
Пусть Мк, k = l, 2, ..., — ортонормироваиный базис в Fk.
Тогда счетное множество М— \JkMk — о. н. с. в Н. Поскольку
\ZMz>Fk (Vk), то \J М — Н и, следовательно, Н — сепара-
бельное пространство •
Исходные пространства Gft и подпространства Fft=FftGftc://
обычно отождествляют. Это отождествление и позволяет не раз-
различать разложение A3) и сумму A6).
Если при всех * = 1, 2, ... пространство Gft совпадает сод-
ним и тем же гильбертовым пространством G, то наряду с A6)
употребляют обозначение Г? (G), где m, l^m^oo, — число
экземпляров пространства С. Очевидно If (С) = /? •
36

4. Рассмотрим «непрерывный аналог» пространств l?(G).
Пусть (К, '21, ft) — сепарабельиое пространство с о-конечной
мерой, G — сепарабельное гильбертово пространство, dim G ^
<J да; <•, •>, |-| — скалярное произведение и норма в G. Век-
Вектор-функцию h: Y -* G, определенную для ji-n. в. y?Y, назы-
называют измеримой, если для любого «постоянного» элемента
g?G скалярная функция <h(y), g> измерима. Если h\ h2 —
измеримые вектор-функции, то <hxiy), Нг(у)>— также измери-
измеримая функция. В самом деле, пусть \uk\ — ортонормированный
базис в С?. В силу B.12)
<&(У), hHy)->^k<h'{y), nk> <uk, 1гЦу)>, A7)
я функция A7) измерима как сумма ц,-п. в. сходящегося ряда
измеримых функций.
Обозначим через Н множество измеримых вектор-функций
h, удовлетворяющих условию
lhf^[y\h(y)\2dv(y)<™. A8)
Эквивалентные вектор-функции отождествляются. Ясно, что
Н — линейное пространство относительно естественной линей-
линейной структуры. Зададим в Н скалярное произведение форму-
формулой
(h\ Aa)= Jy <h> (у), h2(y)>dp(y). A9)
Подынтегральная функция в A9) оценивается произведением
\hl(y)\-\h2(y)\ и потому суммируема в силу A8). Аксиомы
скалярного произведения для интеграла A9) очевидно выпол-
выполнены. Тем самым в Н введена структура предгильбертова про-
пространства, причем норма A8) согласована со скалярным про-
произведением. Пространство Н обозначают через
Я=12(К, к G). B0)
Ясно, что L2(Y, ц, С) - LZ(Y, ц). ,
Теорема 6. Пространство B0) —полное и сепарабельное.
О Обозначим dhn G=m, l^m^oo. Установим изомет-
изометрический изоморфизм пространств Н и H — h (L2 (Y, ;л)). По-
Поскольку Н полно и сепарабельно (см. теорему 5), это же
верно и для Н. Проведем рассуждения, считая т=оо.
Пусть \ик], ?=1, 2, ..., — ортонормированный базис
в G. Для А^Я положим fk(y) — <h(y), uk>. Ясно, что /tG
??2(У, ц), VA. Из равенства
выполненного а-п. в., следует, что
37

Поэтому f<?.[fh)? ?#. Отображение V:H-*H, Vh = f, ли-
линейно и изометрично.
Если /=•{/»)"€ Я, то вектор-функция А = 2й/*(У)й*
определена ц,-п. в. на У и измерима (сходимость ортогонально-
ортогонального ряда ц-п. в. следует из конечности интеграла во втором чле-
члене равенства B1)). Очевидно ЛеЯ и Vh = f. Требуемый изо-
изометрический изоморфизм пространств Н, Н установлен ф
Если У— натуральный ряд н (i(A) = I, Vk^Y, то прост-
пространство B0) сводится к h(G). Если мера \i не дискретна, то
нет естественной интерпретации пространства G как подпрост-
подпространства в L2(Y, ц; G). В § 7.1 будет изложена более общая
конструкция «прямого интеграла гильбертовых пространств»,
охватывающая как пространства B0), так и ортогональные
суммы A6).
б. Полную ортонормированную систему в пространстве B0)
можно построить, «перемножая» элементы ортонормированных
базисов в пространствах L2(Y, ц) и С?.
Теорема 7. Пусть {ш;} — о н.п.с в L2(Y, ц), {«&} — о. н.п. с.
в G. Тогда вектор-функции пы(у) = ац(у)ик образуют о. н. п. с.
eL2(Y, n;G).
О Воспользуемся отождествлением L2 (У, р-; G) с /Г (L2 (У, \^),
установленным при доказательстве теоремы 6. Элементы
en(y)Uk, 1=1, 2, ..., образуют о.н.п.с. в «&-м экземпляре»
пространства L2(Y, ц), а потому объединение всех таких систем
есть о н п с в L2(Y, ц; G) #
6. Рассмотрим случай, когда G само есть некоторое прост-
пространство L2.
Теорема 8. Пусть G = L2(X, т), H=L2(Y, ji; G) и Я, =
= LZ(XX Y. tXj».). Отображение
w{-, у), Vw?Hu B2)
есть изометрия пространства //, на Н.
О Зафиксируем функцию /0 ? L2 (У, {«¦), такую, что /0(у) > О
при р-п.в. v 6 ^- Для любой g" ? G функция g(-x) /p( J/) при-
принадлежит //, и, следовательно, функция и)(л, y)g'(-t) /o(j')
t X ^-суммируема. В соответствии с теоремой Фубини функция
fo'y)<h(y\ g> = Jx щу(х, y)g(x)fo{y)dx(K)
определена ц-п. в на К и измерима. Тем самым измерима и
функция<Л(y),g>. Стало быть, вектор-функция h(y) корректно
определена соотношением B2) и измерима (в смысле п. 4).
При этом, сьова по теореме Фубини,
\wfHi B3)
й потому выполнено A8).

Оператор B2) линеен и в силу B3) нзометричен. Оста-
Осталось показать, что VHt = Н. Пусть функции ш{(у), / = 1, 2,...,
образуют о. н.п. с. в L2(Y, р.), функции uk{x), к=\, 2, ..., —
о. н. п. с. в G=L2(X, -с). Согласно теореме 7 вектор-функции
hki(y) = (x>i(y)uk{-), k, Z = l, 2, ... , образуют о. н. п. с. в Н.
Функции wki(x, y) = uk(x)u)l(y) принадлежат Нг и Vwki = hk[.
Следовательно, W/, Э Vh.: {hM\ = Н ф
Отображение B2) осуществляет «естественное отожде-
отождествление* пространства L2(Y, p.; G), где G = L2(X, т), и про-
пространства Lt{X X У, х х [*). Из теорем 7,8 следует, что если
{«ft(x)J, {«»j(y)} — о. н. п. с. в пространствах L2(X, *), L2(Y, ft),
то \Uk{x)(ol(y)}—о. н. п. с. в L2{XXY, * X р-). Этот факт,
впрочем, нетрудно установить и непосредственно.
§ 4. Линейные и билинейные функционалы.
Слабая сходимость
1. Линейным непрерывным функционалом в Н заведомо
является выражение вида
/(*) = (*, А), ' A)
где йе# — фиксированный элемент. Непрерывность / следует
из неравенства Щх)\ ^||х||-\\h\\, которое переходит в равенст-
равенство при х — h. Поэтому
Ц/| = |1А1. B)
Покажем, что линейных непрерывных функционалов, от-
отличных от A), не существует.
Теорема 1. Всякий линейный непрерывный функционал в
Н представим единственным образом в виде A).
О Если /=0, то A) выполнено при Л = 0. Если 1фО, то
рассмотрим G— \x?H: Z(jc) = O}. Очевидно, что G линейно
и в силу непрерывности / замкнуто. При этом G Ф И. Пусть
/6-^00,1/||= 1; тогда 1(/}фО. Для всякого х ?//можно подо-
подобрать число а, так чтобы x — af^G. В самом деле, 1(х — а/) = 0,
если а = l{x)jl{f). Та'к как (х — а/. /) = 0, то а = (х, /), т. е.
l(x) = l(f)(x, /). Это совпадает с A) при ft = /(/') /. Един-
Единственность представления следует из B): при / = 0 также и
h = 0 •
Наряду с линейными рассматривают антилинейные (или
полулинейные) непрерывные функционалы. В определении ан-
антилинейного функционала 1а, в отличие от линейного, требуется
la(ax)^=alg(x). Ясно, что если 1а — антилинейный, то
1(х) — 1а(х) представляет собой линейный функционал. Отсюда
сразу следует, что всякий антилинейный функционал предста-
представляется (единственным образом) в виде
/«(*) = (А, х) (I/J = |A|!), C)

где h — фиксированный элемент. Соответствие между 1а и
ЛеЯ взаимно-однозначное, линейное *> и изометрическое. Та-
Таким образом, сопряженное к Н пространство Я* (которое в
теории комплексных банаховых пространств определяется как
пространство непрерывных антилинейных функционалов)
при помощи C) каноническим образом отождествляется с Н.
2. Если Fc=.H — подпространство в Я и Я — непрерывный
линейный функционал на F, то по теореме 1 он представим
в виде
X (*) = (*, /), /б/7, 14 = 1/1- D)
Формула D) автоматически распространяет Я на все хеЯ,
причем норма Я, не увеличивается. Легко видеть, что все дру-
другие непрерывные распространения Я, на Я имеют вид (х, f+g),
VgJ-F. Эти распространения %g (при дфО) связаны с увели-
увеличением нормы Я: ИМ2=1Ш12+№.
3. Слабая сходимость в Я вводится в соответствии с общи-
общими понятиями банаховой теории. Таким образом, x—w-\imxn
означает, что
(*„, h) + {x. Л), Vh?H. E)
Из E) непосредственно следует, что слабый предел единствен
и что из хп-*~х следует хп ->х.
Теорема 2. а) Слабо сходящаяся последовательность огра-
ограничена по норме, б) Гильбертово пространство слабо полно.
в) Единичный шар гильбертова пространства слабо компактен.
Утверждения теоремы 2 прямо следуют из общих теорем
банаховой теории, если учесть сепарабельность Я и соотноше-
соотношение Н*=Н. Поэтому доказательство здесь не приводится. По-
Поясним лишь, что утверждение б) означает следующее: если
для последовательности хп при всех h^H существует конеч-
конечный предел lim(xn, h), то найдется элемент *еЯ, такой, что
Отметим следующие элементарные факты, связанные со
слабой сходимостью.
. Лемма 3. Если хп^х, уп^у, то (хп, у„)-±(х, у).
О Требуемое получается из теоремы 2, п. а), и оценки
а, у) — {х, у)\ •
Лемма 4. Для сходимости хп -> х необходимо и. доста-
достаточно, чтобы хп-^*х, |л;п1->1л;||.
О Необходимость очевидна. Установим достаточность.
\\xn-xf = \\xnf-2Re(xn, x
*) Для линейных функционалов соответствие между / и А антилинейное:
40

Всякая ортонормированная последовательность {ип} слабо
сходится к нулю. В самом деле, для любого ЛеЯ числа
an(h) = (h, un) образуют последовательность из /2, а потому
an(h)-*-0. Заметим, что в условиях леммы 3 нельзя заменить
w
Уп-^-у на Уп~*У- Это ясно из рассмотрения примера
хп=уп = ип.
4. Наряду с линейными рассматривают непрерывные били-
билинейные*^ функционалы. Функция <D:#x#-vC называется не-
непрерывным билинейным функционалом (формой), если она
линейна по первому аргументу, антилинейна по второму и
удовлетворяет условию ограниченности
Q<D]2SL sup \Ф(Х,У)\<аэ. F)
11ИЙ|1<1
Из F) очевидно следует неравенство
, G)
причем |Ф| можно также определить как наименьшую по-
постоянную С в неравенстве \Ф{х, у)|<С|х| • iyf.
Непрерывным билинейным функционалом является каждое
из двух выражений
Ф (х, у) = (Тх, у), Ф {х, у) = (х, Sy), (8)
где Т, S — линейные непрерывные операторы в Н.
Функционал Ф{х)^=Ф(х,х) называют квадратичным
функционалом (формой), отвечающим билинейному функцио-
функционалу Ф(х, у). Непосредственно проверяется соотношение,
обобщающее формулу A.9):
4Ф (х, у) = Ф (х + у) — Ф (х — у) + /Ф (х + iy) — 1Ф {х — /у). (9)
Функционал Ф называется эрмитовым, если
Ф(у,х) = Ф(х, у).
Теорема 5. Билинейный непрерывный функционал является
эрмитовым тогда и только \огда, когда соответствующий квад-
квадратичный функционал — вещественный.
О Из A0) следует, что Ф(х) = Ф(х). Обратно, если Ф(х)
вещественно при всех х, то A0) следует из (9) #
Для билинейных функционалов справедлива теорема
о представлении, являющаяся развитием теоремы 1.
Теорема 6. Всякий непрерывный билинейный функционал
ф допускает каждое из двух представлений (8). Эти предста-
представления единственны и
' (И)
*) По другой терминологии — полуторалинейные.
41

О Установим второе из представлений (8) (первое полу-
получается аналогично). Из G) следует, что при фиксированном у
линейный функционал Ф(-, у) непрерывен. В силу теоремы 1
найдется (единственный) элемент h, для которого Ф(х, у) —
~(х, h), YxmH. Рассмотрим отображение S-.yi^-h. Оператор
S линеен, поскольку
, Уг) = «1 (•, Syx) + а2 (•, Sy2) -
Сравнивая B) с G), видим, что ||5y|| = ||/i||^||O|| • ||г/Н, т. е.
||S||||O|| С другой стороны, из (8) и A.6) следует
т. е. ||Ф||^||5||. Таким образом, выполнено A1). Оператор ^
в (8) определяется однозначно, поскольку для любого у пред-
представление Ф(«, у) = (% h) единственно •
Скалярное произведение (х, у) является простейшим при-
примером непрерывной билинейной эрмитовой формы в Н; для
нее в (8) S=T—I, где / — тождественный оператор в Н.
5. Теорема б означает, что любой из трех объектов Ф, Т, S
однозначно' определяет два других. Пусть задан оператор Т.
Тогда Ф определяется первой, а 5 — второй из формул (8).
Функционал Ф(х, у) называют билинейной формой оператора
Т, Ф(х)—его квадратичной формой, S — сопряженным к Т
оператором. Сопряженный оператор обозначают через Г*.
В соответствии с (8) оператор Т* определяется равенством
(Гх, у) = (х, Т*у), Vx,y?H. A2)
Теорема б обеспечивает существование и единственность со-
сопряженного оператора. *Равенство A1) означает, что
|| Г || = || Г* |. A3)
Из A2) непосредственно вытекают соотношения
Т** М(Т*)*=Т, A4)
{НТ1 + ЧТ2Г=ГЧТ\ + 12Т1, A5)
(TJi)*=TlT\. A6)
Существование сопряженного цператора влечет слабую
непрерывность ограниченных операторов. Действительно, если
хп^*х0, то (Тхп, h) = (xn, T*h)^(x, T*h)={Tx, h) при лю-
любом Л? Н. Это означает, что Тх„-%- Тх0.
Отметим еще следующее утверждение.
Теорема^. Непрерывный линейный оператор однозначно
определяется своей квадратичной формой.
42

О Надо показать, что Тх = Тъ если (Ttx, х) = (Т2х, х),
Ух?Н. Но тогда из (9) следует {Тхх, у) = (Т2х, у), Vx, у?Н,
и Тг = Т2 в силу единственности представления (8) #
§ 5. Алгебра непрерывных операторов в Я
I. Обозначим через В(Н) совокупность всех линейных не-
непрерывных операторов в Я. Как известно, .это множество есть
банахово пространство относительно естественной линейной
структуры и операторной нормы. В В (Я) вводятся еще две
операции — умножение (TtT2)(x) = T1(T2x) и инволюция
7^->- Т*. При этом очевидно
17\h|<l7\H|7-2|. A)
Введение этих двух операций со свойствами A) и D.13) —
D.16) превращает В (Я) в банахову алгебру с инволюцией.
Тождественный оператор / является единицей алгебры В(Н).
Из A) следует, что произведение непрерывно по паре сомно-
сомножителей. Инволюция также непрерывна; это вытекает из
D.13), D.15).
Сходимость по норме операторов называется равномерной
сходимостью. Наряду с равномерным предельным переходом
(ы-lim) в В (Я) рассматриваются еще два вида предельного
перехода: сильный (s-lim) и слабый (sy-lim).
Как и в общем случае банаховых пространств, Тп-*Т озна-
означает, что Тпх-*-Тх, Ух^Н. В применении к гильбертову про-
пространству Тп—*Т означает, что G^л:, у) -^(Тх, у), Ух, у?Н.
Равномерный предел сильнее, нежели s-Нт; последний сильнее,
нежели w-\im. Если Тп—*-Т (тем более, если Тп—*Т), то
последовательность норм | Тп \\ ограничена. Относительно s-
и да-сходимости пространство В(Н) является полным.
Линейные операции в В (Я) непрерывны относительно
s-сходимости и ay-сходимости. То же верно для произведения,
если один из сомножителей — постоянный оператор. Сложнее
обстоит дело (при dim Я=оо) для инволюции, а также для
произведения, когда оба сомножителя переменны.
Теорема 1. Инволюция Т\-+ Г' w-непрерывна.
О Если w-hm Тп = 0, то [Т*пх, у) — (х, Т„у)-±0, т. е.
«ay-lim Tn = 0 •
В то же время инволюция не s-непрерывна, что видно из
следующего примера. Пусть
Ю-о.н.с, ;
0 Т
Из ип—*0 сразу следует Тп—*0. В то же время элементы
T*nh = un не имеют предела, так что s-lim T*n не существует
43

Теорема 2. Если r=s-lim Тп, R = s.\imRn, mo TR —
= s-lim TnRn.
О Поскольку sup|| Г„|< то, доказательство сводится
к оценке
lTnRnx- TRjc\<\ ТЛ\ ¦ lRnx-Rxl + l(Tn-T)Rx\ ф
Теорема 3. Если T — w\lm Tn, R = s-\[mRn, mo TR—
= w-hm TnRn.
О В силу теоремы 1 Т*п^*Т\ т. е. Т„у^Т*у, VyQH.
В то же время Rnx -*¦ Rx, Ух ? Н. В соответствии с леммой 4.3
{TnRnx, у) = (/?„*, 7ly)^(Rx, T*y)^{TRx, у) •
Убедимся, что в условии теоремы 3 нельзя менять сомно-
сомножители местами (и, тем более, нельзя ограничиться те»-сходи-
мостью для обоих сомножителей). Пусть операторы Г„, Rn
определены в B). Тогда Т„—*0, /?л—*0, но. как легко ви-
видеть, TnRn = {-, А) А, а потому да-lim TnRn ф 0.
2. Умножение операторов некоммутативно.. Если 7",Гг =
= Гг^ (операторы Г,, Т2 перестановочны), будем писать
Tt<jT2. Если Г — подмножество в В (/У), то Ги Г означает
Т^ S, VS?Г. Ясно, что /иВ(Я). Установим, что с точностью
до скалярного множителя это единственный оператор, пере-
перестановочный со всей алгеброй В (Н).
Теорема 4. Пусть Т?В(Н), TwB(#). Тогда Т — т/, f GС.
О Положим Qf g = (.,g)f (f,g?H;f,g^0).no условию
(., g)Tf=TQ/tg = QJtgT=(-, T*g)f. C)
Если Г/==0 для какого-либо /, то в силу C) r*g —0, Vg-,
т. е. Г* = 0 и Т — 0. Пусть теперь Т/фО <Vf). Вычислим
билинейные формы «крайних членов» равенства "C):
(х, g) G7, у) = (х, Г*#) I/, j», Vx, у 6 Я. D)
Ввиду того, что по теореме 4.6 оператор однозначно опреде-
определяется своей билинейной формой, равенство D) возможно лишь
при условии
У/= 7/. T*g = ig. E)
где y=y(f, g) — некоторое число. Первое из соотношений E)
показывает, что у не зависит от g, второе — что у не зависит
от/, т. е. Г=у/#
Стоит отметить, что теорема 4 содержательна и при
<jim#<oo.
3. Всякий оператор Т^В(Н) допускает матричное пред-
представление. Фиксируем в Н о. н. п.с. {«*}, *=1, 2, .... и сопо-
сопоставим оператору Т (тХт)-матрниу, m=dim//, J^m^oo:
'-{*;*). tjk = (Ttlk, Иу) = (И», T*U,). F)
44

Рассмотрим разложения элементов х^Н и Тх в ряд Фурье
B.11) по системе {}
G)
Тогда последовательность {р,} выражается через {а,} по фор-
формулам
Р, = 2*',***, У/- (8)
В самом деле,
В,= GХ «,)=(?** A, r*W/)=2,aft(Uft, 7^) = 2* *,*«*•
Из проведенной выкладки следует сходимость рядов (8). Мат-
Матрица F) задает матричное представление оператора Т в бази-
базисе {ыа}. При изменении базиса {«а} матрица t, вообще говоря,
меняется. Исключение составляют «скалярные» операторы вида
yl, матрица которых в любом базисе есть diag (у, у, ...).
Непрерывный оператор Т однозначно определяется своими
значениями на какой-либо о. н. п. с. {и*}. В самом деле, по ли-
линейности Т распространяется с базиса {«*} на его линейную
оболочку, а затем по непрерывности — на все пространство И.
Из сказанного следует, что оператор Т^В(Н) определяется
своей матрицей F) однозначно.
Произведению операторов отвечает произведение матриц:
если Т, /?еВ(#), {t3k}, {r3h} —их матрицы, то матрица опера-
оператора Q=TR есть
Я=[Я,ш1 ^ = 2,^* (У/. *)• '(9)
При этом ряды (9) абсолютно сходятся. Действительно, на
основании B.12) имеем
qjk = {TRuk, u}) = (Ruk
= 2* (/?«*. «л) («„ T*Uj) = 2S t)Srsk.
Сопряженному оператору Т* отвечает эрмитово сопряжен-
сопряженная матрица t*={tk3}; это прямо вытекает из F).
Матричное представление наиболее естественно в случае,
когда Я— If и ыь=ей (Vk), где {еъ) — стандартный базис
в /™. В этом случае оператор Т и его матрицу t принято
отождествлять. Следующая теорема показывает, что в общей
ситуации матричное представление оператора соответствует
«переходу» в пространство /f с помощью изометрии, по-
построенной в теореме 2.7.
Теорема 5. Пусть Н — гильбертово пространство, d\mh = m
и {uk} — о.нп.с. в Н. Биоднозначное соответствие 1 **t,
определенное в F), представляет собой изометрический изо-
изоморфизм банаховых алгебр с инволюцией В (Я) и Bf/f).
45

О Пусть V — изометрия, отображающая Н на /f, такая,
что Уиц — вь (см> теорему 2.7). Тогда равенство t—VTV1,
Т(*В(Н), t?B(l™), устанавливает изометрический изоморфизм
между алгебрами В(#) и В (/г1). Остается заметить, что опе-
оператор t в стандартном базисе изображается матрицей опера-
оператора Т в базисе {tik\. В самом деле,
Эффективного критерия непрерывности оператора Т в тер-
терминах его матрицы нет. Приведем простое достаточное усло-
условие непрерывности.
Теорема 6. Пусть матрица t={t]h} такова, что
Тогда в любом ортонормированием базисе {ыь} пространства
Н формулы G), (8) определяют оператор Т&В(Н).хСправед-
лива оценка §Т\2^а\а2.
О В силу теоремы 5 можно считать, что H=lf и базис
{"&} — стандартный. Оценим билинейную форму оператора Т,
используя неравенство Коши для двойных сумм. Тогда полу-
получим требуемое:
4. Пусть Ни Н2 — гильбертовы пространства. Через
В(Н1г Н2) обозначим банахово пространство линейных непре-
непрерывных отображений Нх в Н2. Операторы ГеВ(Яь Я2) можно
умножать справа на Ri^B(Hi) и слева на R2^B(H2). При
этом /?27V?i€= В (Ни Н2) и
Как и в случае одного пространства, вводится понятие би-
билинейного непрерывного функционала Ф: H\XHz-+-C- Его нор-
норма определяется соотношением D.6), в котором теперь
||д:|| = ||x||I, ||«/|| = ||ylt2. Понятие квадратичного функционала
теряет смысл.
Если ГеВСЯь Н2), S^B(H2> Нг), то билинейным непре-
непрерывным функционалом является каждое из выражений
Ф(х, у)=(Тх, у)„ Ф(х, у) = (х, Sy)u *e#i, У6Я2.
Относительно этих представлений сохраняют силу утвержде-
утверждения теоремы 4.6. Отсюда следует, что сопряженный к
ТеЪ(Ни Н2) оператор Т*^В(Н2, Hi), определяемый условием
(Тх, у\ = (х, Т*у)и Vx?Hu Vje/^2,
существует и единствен. Прн этом остаются в силе соотноше-
соотношения D.13) —D.15).
46

§ 6. Компактные операторы
1. В алгебре В (Я) компактные операторы (операторы, пе-
переводящие единичный шар в компактное множество) образуют
подпространство. Иначе говоря, линейные комбинации и ы-пре-
делы компактных операторов также компактны. Подпростран-
Подпространство компактных операторов обозначим через S^H). Так как
непрерывный оператор переводит компактное множество в
компактное, то TiT2^S<x>(H), если хотя бы один из сомножите-
сомножителей компактен, а другой непрерывен. Иначе говоря, So, (Я) —
двусторонний идеал алгебры В(Н).
Определение компактного оператора может быть выражено
в иных терминах, часто более удобных.
Теорема 1. Условие FeS» равносильно тому, что Г4 пере-
переводит всякую слабо сходящуюся последовательность элемен-
элементов в сильно сходящуюся.
"О Необходимость. Пусть T?Sm. Если хп —*х0, то
supЦ-*г„D<; оо и Тхя-^*Тх0. Можно считать хо=^О. Если
Тхп-/~*0, то найдется подпоследовательность х'п, такая, что
inf 1 Тх'п || = а > 0. Множество \Тх'\ компактно, а потому най-
найдется подпоследовательность (х"п), такая, что существует г =
=s-lim Тх"ш. В силу Тхп—»0 должно быть г = 0, что невоз-
невозможно при | Тх"п || > а > 0.
Достаточность. Нужно показать, что во всякой после-
последовательности {л:л}, |а:л1!<;1, существует подпоследователь-
подпоследовательность {ля}, такая, что {Тх'п} сильно сходится. В силу п. в)
теоремы 4.2 можно выбрать да-сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность {jQ Тогда {Тх'п} сходится сильно #
Теорема 2. Условия Т^S^ и T*T^Sm равносильны.
О Если rfcSoo, то Г*еВ(Я), а потому 7*T?Sa. Пусть
7^6So и пусть .*„—*0. Тогда Т*Гхп-^*0 и в соответствии
с леммой 4.3 \\Txnf = {T*Txn, xn)-»0, т. е. Тхп->0 9
Теорема 3. Условия T?Sa и T*?Sm равносильны.
О Из r*eSra следует, что T*T^SCO, а тогда и T?Sa.
Остается поменять Т, Т* ролями •
Последняя теорема означает, что идеал Sro(/f) симметри-
симметричен, т. е. инвариантен относительно инволюции.
Если Ни Н2 — гильбертовы пространства, то через Sa,(//i, H2)
обозначают совокупность компактных операторов Т?В(Ни Н2).
Класс Sa(Hu //2) есть подпространство в В(Ни Н2). Легко про-
проверяется, что следующие условия эквивалентны: T?Sm(Hu H2),
T*r?sta(Hl), гг*е5и(//а), r*esm(//2, я,).
2. Важный подкласс класса Sro(//) образуют конечномер-
конечномерные операторы, или операторы конечного ранга. Будем гово-
47

рить, что Г?В(//) имеет ранг г, и писать Т?КГ(Н), если
образ Т имеет размерность г:
rang 7"—dim ТН = г < оо.
Множество всех конечномерных операторов есть
Ясно, что множество К (Н) линейно, KcSm и К — двусторон-
двусторонний (не замкнутый) идеал в В (Н).
Теорема 4. Включения Т?КГ н Г* ? Kr равносильны.
О Пусть Т?КГ и пусть «ь ..., иг — ортоно,рмированный
базис в подпространстве ТН. Тогда для любого х?Н
Тх = 2G*. «*) «* = 2 <¦*• r*"*} "*¦
Обозначая vk = T*uk, получаем представление
^ 2 <••**)«*• <2>
Из B) следует, что ^
а потому rang Т* •< г = rang Г. Меняя Г и Г ролями, полу-
получаем, что rang Г < rang Г* ф
Из теоремы 4 вытекает, в частности, что идеал К(Н) сим-
симметричен. Отметим еще следующее. Если {ы^}, {о*}, ?=1,...
..., г,—Две произвольные линейно-независимые системы в Н,
то формулой B) задается некоторый оператор ГеКг. Таким об-
образом, класс Кг совпадает с совокупностью операторов вида B).
Принципиальное значение для характеристики компактных
операторов имеет следующий факт.
Теорема 5. Равномерное замыкание класса К(Н) совпа-
совпадает с Sm (Я).
О Поскольку Soo — подпространство в Ъ(Н), замыкание К
лежит в Soo. Пусть TeS,»; Г-образ единичного шара
компактен. По е>0 построим для него конечную
е-сеть: {уи}, k=l, ..., г. Пусть Р — оператор проектирования
на VнУк. Тогда rangP^r, а потому и rang PT^r. Для любых
х, ||х||^1, на основании теоремы 3.1 имеем
I Тх — P7>r|<mln| Tx — yk\<e,
k
т. е. \Т — Q||<e, где Q =
При dim#=oo в теореме 5 нельзя заменить равномерное
замыкание сильным. Справедлива следующая теорема.
Теорема 6. Сильное замыкание класса К (//) совпадает
с В (Я).
18

О П>сть {uk\— ортогональный базис Н, Рп — оператор
проектирования на \/?ик. Сходимость для любого А ?// ряда
B.10) к А означает, что s-Iim Р„ = /. Но тогда для любого
Г6 В (Н) имеем s-lim РпТ = Т. Остается заметить, что rang PnT ^
<я< оо ф
§ 7. Ограниченные самосопряженные операторы
Основное значение для дальнейшего имеет класс самосо-
самосопряженных операторов. Именно для таких операторов (вооб-
(вообще говоря, неограниченных) будет построена (см. гл. 6, 7)
спектральная теория. Здесь пойдет речь об ограниченных са-
самосопряженных операторах.
1. Оператор ЛеВ(Я) называется самосопряженным, если
А=А*. В соответствии с D.12) это означает, что выполнено
равенство
(Ах, у) = (х, Ay) (Ух, у6Я). A)
Соотношение A) дает повод называть самосопряженные опе-
операторы также симметричными. (Следует иметь в виду, что для
неограниченных операторов смысл этих двух терминов уже
различен; см. § 4.1.)
Если оператор Т^Ъ(Н) задан матрицей t в базисе {и*}:
fjk=(ruft, и}), то в силу E.6) самосопряженность Т равносиль-
равносильна эрмцтовости матрицы t: tjk=thJ.
Полезен следующий простой признак самосопряженности.
Теорема 1. Самосопряженность оператора АеВ(Я) равно-
равносильна вещественности его квадратичной формы.
О Равенство A) означает, что билинейная форма опера-
оператора А эрмитова. Остается сослаться на теорему 4.5 #
Норму самосопряженного оператора можно выразить через
его квадратичную форму.
Теорема 2. Пусть А=А*?В(Н). Тогда
О Временно обозначим правую часть в B) через а. Из
соображений однородности имеем
\{Ах, x)|<a||x|2 (УлгбЯ). C)
В соответствии с D.6), D.11) достаточно оценить билинейную
форму оператора А при |x|!< I, |yfl< 1. Воспользуемся равен-
равенством D.9) и вещественностью квадратичной формы. Для
Re(i4x, у) с учетом C) получим
|4 Re (Л*, у)|<|(Л(д! + у), * + у)| + |(Л (х-у), *->•)!<
<a(|x-fyf + i|;c~yP)=2a(||xfl* + |y|j2)<4a.
4 Зав. 833 49

Заменим здесь х на ал:, выбирая число а, |а| = 1, так, чтобы
было | (Ал;, у)| = а(Ал:, у). Тогда
т. е. |!А|<а. Обратное неравенство очевидно •
Величины тА, МА, определяемые равенствами
imml(Ax, х), D)
называются точной нижней и точной верхней границами
самосопряженного оператора А. Равенство B) означает, что
|я|Д |Л!Д|). E)
2. Множество самосопряженных операторов слабо замк-
замкнуто в В (//). Действительно, при А„ —»¦ А вещественность
квадратичной формы сохраняется. Далее, это множество веще-
вещественно-линейно: если Ak=-Ak, aft=afc, k=l, 2, то оператор
axAj + о2Л2 самосопряжен.
Теорема 3. Если Ak = А* ? В (//), k = 1, 2, /по самосопря-
самосопряженность произведения A=s=Aj/42 равносильна перестано-
перестановочности сомножителей.
О Так как А*= АгА^ = А2Аг, то А = А* означает, что
A AA
AlA2 AiAl •
Оператор АеВ(Я) называют положительным и пишут
А>0, если (Ах, х)^0 и А=?^0. Из теоремы 1 следует, что по-
положительный оператор самосопряжен. Помимо положительно-
положительности еще различают строгую положительность и положительную
определенность оператора. Первая означает, что (Ах, х)>0
при хФО, вторая — что тА>0. При dim#<oo эти два поня-
понятия совпадают.
Если А?В(//) строго положителен, то выражение <х, у> —
= (Ах, у) обладает свойствами A.1)—A.3) скалярного произ-
произведения. Соответствующее неравенство A.6) означает, что
\(Ах, у)|2<(Ах, х)(Ау, у). F)
В соответствии со сказанным в § 1, п. 1, неравенство F) оста-
остается в силе, если оператор А>0, но не строго положителен.
Лемма 4. Если А^В(Я), А>0, то
х). G)
О Из'F) следует, что | (Аде, у) |2 < \\А | (Ах, л)||у|-. Пола-
Полагая у = Ал:, приходим к G) #
В множестве непрерывных самосопряженных операторов
вводится частичное упорядочение: говорят, что В больше А,
я пишут В>А, если В—А>0.
На монотонные последовательности операторов переносится
известный в анализе признак существования предела.
50

Теорема 5. Пусть А„ = Л« G В{#)> последовательность {А„\
монотонна и ограничена. Тогда последовательность Ап
сильно сходится.,
О Для определенности считаем, что А„ не возрастают
(иначе заменили бы А,, на — Л„). Для любого х?Н последо-
последовательность {А„х, х) не возрастает и в силу условия sup | Л„ || < оо
ограничена, а потому имеет конечный предел. Тогда из D.9)
следует, что (А„х, у) имеет предел при Vx,y?H. Вследствие
слабой полноты В (//) это означает существование слабого
предела: А„-^А? В (Я). Ясно, что при этом Ап^А. Обозна-
Обозначим c = suprt|An— А|| и применим G) к оператору А„—А.
Тогда
\Anx-Axf^c[(Anx, x) — (Ax, х))-*0
для любого д;еЯ. Таким образом, A=s-limAn #
3. Для всякого оператора Т^Ъ(Н) справедливо (единст-
(единственное) представление в виде
Т = А + IB (A = A*, В = В*). (8)
Из (8) следует, что Т*=А—iB, а потому
2Л=Г* + 7\ 2B = i(T* — T). (9)
Операторы А, В в (9) называют вещественной и мнимой ком-
компонентами оператора Т.
Если Г?В(//), то Г*Г>0, 7Г*>0. В самом деле,
(Т*Тх, x) = \Txf>0, (ТТ*х, л)Н
( ) \f ( )Н| ||>
Самосопряженные операторы Т*Т, ТТ*, вообще говоря, раз-
различны. Оператор Т^В(Н) называется нормальным, если
ТкуТ*, т. е. . х
Т*Т=ТТ*. A0)
Оператор Т* нормален вместе с Т. Подставляя (8) в A0),
убеждаемся, что Т нормален в том и только том случае, когда
операторы (9) перестановочны: А^>В. Таким образом, задание
нормального оператора равносильно заданию пары перестано-
перестановочных самосопряженных операторов. С этим связано то об-
обстоятельство, что на нормальные операторы распространяются
основные результаты спектральной теории самосопряженных
операторов.
§ 8. Операторы ортогонального проектирования
1. Проекционные операторы (проекторы) определены в § 3,
п. 1. Здесь мы более подробно остановимся на свойствах про-
проекторов и обсудим действия над ними.
51

Пусть F — подпространство в Н, P=PF — проектор на F.
Для любого he.H из разложения C.1) получаем, что (f, /0 =
~-(f> f)> т. е. (Ph, h) — \\Ph\\2. Отсюда следуют соотношения
1. Далее,
поскольку Р—Р* вследствие Р^О и Р2=Р вследствие ра-
равенств P*h=Pf=f=zPh, Vfte=#.
Покажем, что равенства A) дают внутреннюю характери-
характеристику операторов проектирования.
Теорема 1'. Пусть РеВ(#). Для того чтобы оператор Р
был проектором, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия A). При этом Р=Рр, где F=(f<=H: Pf=f}.
О Доказательству подлежит лишь достаточность. Ясно
что F — подпространство. Из A) следует, что (/ — Р)РА=<)
для любого п?Н, т. е. Ph?F. Если f^F, то (/,(/ — P)h) =
= ((/— P)f, h) = 0. т.е. h — Pk^F1-. Это и означает,, что
Ph h
Замечание. Можно было бы не предполагать заранее
непрерывность Р, а вывести ее из A). В самом деле, пусть
Р — линейный оператор, определенный всюду в Я, и пусть
Р=Р*, т. е. (Рх, у) = (х, Ру), Vx, y^H. Если при этом
/»/> то (Ph, Ph) = (P*h. h)=(Ph, h)^\\Ph\\-\M, а потому
2. Перейдем к исследованию алгебраических операций над
проекторами. Мы опишем условия, при которых в результате
этих операций вновь получаются проекторы.
Теорема 2. Пусть Fft, Нг — подпространства в Н, Pk =
= Рн , k =¦ 1, 2. Следующие условия равносильны: а) Pt + Рг —
проектор; б) Нх J_ Ff2; в) Р^Р2 — 0. В этих условиях Рх -}- Рг —
проектор на НХ<$)Н2. »
О а) => б): пусть х?Ни у~Р2х. Равенство (Рх + Р,J х =»
= (Px-f Рг)х дает Р^у+у — О. Применяя оператор Рь полу-
получаем 2Pjy = 0 и, следовательно, _v=— Рлу = 0, т. е. х ±_HS.
б) => в) очевидно.
в) => а). Оба соотношения A) для Р1-\-Рг очевидно выпол-
выполнены.
Наконец, то, что Р,-j-P2 — проектор на Н^Н2, факти-
фактически установлено в лемме 3.3 •
Теорема 3. П\сть //,, Я, — подпространства в Ff, Pk**°*
— Рн , Л=1, 2. Следующие условия равносильны: a) Pi~Pi—
¦проектор; б) Р, > Р2; в) ИЛ D М2. В этих условиях Pt — Pt —
проектор на //, © //,.
О а) => б) очевидно.
б) => в). Если х?Н2, то х?Н,, поскольку
(х, х) =
52

в) => а). Пусть H0 = HtQH,, Pft— проектор на Яо. По тео-
теореме 2 Р\~ P-i-\- Рп, откуда Р,— Р2 = Рд ф
Теорема 4. Пусть Я,, Нг — подпространства в Я, Яо =
= Я, Л Нъ Pk = Рн , k — 0, 1, 2. Следующие условия равно-
равносильны: а) Р^Рг — проектор; б) Pt^P2; в) подпространства
//*d--f- HkQHu, & —1, 2, ортогональны. В этих условиях
1 6 а)°=> б): PtP2—(Pip.,)* — p2p}.
б) => в). Пусть х?Н\ у ? Я*. Тогда
(*, jO^fP,*, P2j0 = (x, Р.Р.у).
Так как PtP2y — Р2Р,у^НЛГ\П2 = Н0, то (х, у) = 0.
в) => а). Пусть Р\ Р2— проекторы на И1, И2. Тогда по
теореме 2 Р, =Р.4-Р\ рг — Ра-\-Р9-, причем Р1Р0 = Р0Р2 =
= Р»Р2 = 0. Отсюда P1P2z=zPo ф
Следствие 5. Равенство Р^Р2=^рг (или, что тоже
самое, PiPl — P)) равносильно тому, кто Рх^Р-1 (HtcH2).
О Условие PiP2=Pi в силу теоремы 4 означает, что
#1Л#2=//ь т. е. HiCzH2. Это в свою очередь эквивалентно
условию Р\^Р2 (по теореме 3) •
3. Перейдем к вопросу о сходимости последовательности
проекторов.
Теорема 6. Пусть [Нк\, k = \, 2, ...,—подпространства
в И и Pk = pHk. Предположим, что последовательность {Рй}
монотонна. Тогда существует предел
P = s-llmPk, • B)
который является проектором на подпространство Л*Я4,
если \Pk\ не возрастает, и на подпространство \/»Я*,
если \Pk\ не убывает.
О Пусть сначала \Рк]* не убывает. Тогда по теореме 3
Я, с Нг с .. ¦ Положим F—ykHb. Рассмотрим плотное в Я
множество М = (л —jro-f-y: xnJ_F, y6U*^*l- Если в разло-
разложении х = х0 -j- у элемента х 6 М будет .v G Я„, то Рьх = у =
= PFx при ?>я. Таким образом, Pftx -* PFx для х?М, а по-
потому и для всех х^Я (здесь учтено, что |РЙ||=1).
Если последовательность {Р*| не возрастает, то последова-
последовательность {/—Pk\ проекторов на Я* не убывает. По дока-
доказанному она имеет сильный предел Ро, равный проектору иа
подпространство \/*Я#. Согласно лемме 3.2 это подпростран-
подпространство совпадает с Gx, где G= Л*^*-'Следовательно, s-limPft =
Отметим, что в условиях теоремы 6 сам факт существова-
существования предела есть частный случай теоремы 7.5.
Часто бывает удобно пользоваться равносильной формули-
формулировкой теоремы 6.

Следствие 7. Пусть \Hk), k = \, 2, ..., попарно орто-
ортоальные подпространства в Н и Pk — PH . Тогда ряд
сильно сходится к проектору на. подпространство
О Достаточно применить теорему 6 к последовательности
проекторов А, = 2i Pj •
Рассмотрим теперь любые (не обязательно монотонные)
последовательности проекторов {Pk}. Если s-limPk=P, то
Р — проектор, ^-ак как равенства A) сохраняются при пре-
предельном переходе. Тем более это верно для ы-пределов. Здесь
следует заметить, что монотонная последовательность Pk
может иметь ы-предел, лишь если она стационарна: Pk=P
для больших k. В противном случае Pk—Р (или Р—Pk) — не-
ненулевой проектор и ЦРй—/41 = 1.
Слабый предел проекторов — не всегда проектор. Если же
предположить, что ад-lim Pk является проектором, то сходи-
сходимость на самом деле — сильная.
Теорема 8. Пусть Р, Рк, ?=1,2,..., — проекторы и
P — w-\\xaPk. Тогда Р = s-\\m Pk.
О При каждом jc?// выполнено Pkx—>Рх. Кроме того,
^f = (Pk х, х)^(Рх, jc) = \Pxf. По лемме 4.4 Ркх^Рм%
4. Пусть [Ра\—произвольное семейство (не обязательно
счетное) попарно перестановочных проекторов в Н, ИЛ = РаН.
Положим //0= Па^/а, Ро ~РН- Проектор Ро называют точной
нижней границей семейства [Ра\: Яо —infaPa. В теории спек-
спектральной меры (см. § 5.2) нам потребуется знание условий,
при которых справедливо соотношение
(Рих~ х) = inf. (Рах, х) {Vx 6 И). C)
(Разумеется, C) не всегда выполнено. Пример: ех, е2 — орто-
ортогональные нормированные векторы, Ра — (•, еЛ) е„, а=1, 2.)
Будем говорить, что семейство \Ра\. замкнуто относи-
относительно умножения, если для любых конечных наборов at) ...
..., ал проектор Раг... Ра принадлежит этому семейству.
Теорема 9. Пусть семейство попарно перестановочных
проекторов [PJ замкнуто относительно умножения. Тогда
имеет место C).
О Можно считать, что Р0 = 0 (т. е. Па^а={0|). В самом
деле, в противном случае следует перейти к семейству
{Ра—Ро}- Легко видеть, что это семейство замкнуто относи-
относительно умножения вместе с семейством {Ра}.
Положим Оа = /У^. Тогда
V.Ga = H. D)
Из условия на {Ра} по лемме 3.2 следует, что для любых
а,, ..., ап подпространство VkG<*k совпадает с одним из Оа.
54

Поэтому линейная оболочка всех Ga совпадает с их объеди-
объединением. В силу D) она плотна в Н. Стало быть, для х?Н по
всякому е>0 найдется а, такое, что 1х—Ро х|<е. Так как
/ — PQa = Pa, ТО {РаХ, Х)<е2, Т. е iuU{PaX, Х)=0 •
§ 9. Примеры гильбертовых пространств
и ортогональных систем
1. Начнем с некоторых простых замечаний р пространствах
/г- В теореме 2.7 установлено, что каждая полная ортонорми-
рованная последовательность {ип} в сепарабельном гильберто-
гильбертовом пространстве Я определяет изометрию Я на пространство
'?, /n=?dim#. Однако элементы о. н. п. с. не всегда удобно
нумеровать числами натурального ряда и в этой связи не все-
всегда удобно ограничиваться ^стандартными» пространствами
Пусть К — произвольное не более чем счетное множество*'
и пусть мера ц(б), УбсК, равна мощности б. Определим
гильбертово пространство /2(K)^jL2(K, ц). Обозначим через
ек, хеК, характеристическую функцию одноточечного множе-
множества {%}. О. н. п. с. {ех} называется стандартным базисом про-
пространства 12 (К).
Если в гильбертовом пространстве //выбрана о. н. п. с. и =
= {«*], занумерованная элементами *?К, то отображение ба-
базисов uxi->-ex однозначно продолжается до изометрии 1/„ про-
пространства И на /2(К).
Приведем несколько классических примеров ортонормиро-
ванных систем.
1°. Пусть H = L2A)l uk{t) — {2Tt)-meikt, k?L. Полнота си-
стемы \uk\ хорошо известна. Отображение Vn устанавливает
изометрический изоморфизм пространств 12(Т) и h(Z).
2°. Пусть H = L2(V»), un(t) = BK)-ml2e'nt, n?Zm (здесь fit —
— xji H-jtj)- Полнота о. н. с. [и„\ вытекает из полноты системы
примера 1° на основании сказанного в § 3, п. 6. Отображе-
Отображение Vu устанавливает изометрический изоморфизм пространств
L2(Tm) и /,(Z«).
3°. Пусть H=L2(—1, 1). Множество всех полиномов плотно
в Я, а потому последовательность {/*}, &eZ+, полна. Ортого-
нализуя ее, получаем о. н. п. с. {«ь}, в которой функция Uk,
Vk^Z+, есть полином степени k (нормированный полином
Лежандра). Для иь. известно явное выражение
*) Особенно часто в качестве К встречается множество всех целых неот-
неотрицательных чисел 2^
55

4°. Пусть //=:I2(R). Функции vk, k?Z+> получаемые при
ортогонализации в Н последовательности \tke~m), k?Z+, назы-
называются нормированными функциями Эрмита. Ясно, что функ-
функции vk имеют вид vk (t) = Hk (t) е~', где Hk — полиномы сте-
степени k {полиномы Эрмита). Для функций vk можно указать
удобные аналитические представления:
4r4 *6Z+, A)
vk(t) = (-\)kclle"l2?ke-'\ B)
Система {vh} полна в L2(R) (см. [18, 19]). В § 12.5, п 2, мы
придем к выражению A) для функций Эрмита и получим их
ортогональность и полноту, основываясь на некоторых сообра-
соображениях" спектрального характера.
5°. Пусть Н-=Цф.т), ™Л = Ъп> (Л)... ««.<*«), « = («„ ...
..., пт)(<2+. Здесь vk — функции Эрмита (см. пример 4°).
С помощью мультииндексных обозначений функции wn можно
записать в виде, аналогичном B):
Полнота системы {ад„} вытекает из полноты системы функций
Эрмита (ср. пример 2°).
2. Важные для приложений к теории дифференциальных
уравнений примеры гильбертовых пространств представляют
собой пространства Wl2 Соболева. Они были определены (как
банаховы пространства) в § 1.6. В пространствах Wi и в их
о .
подпространствах W2 были введены различные эквивалентные
нормы Теперь мы увидим, что каждая из этих норм согласо-
согласована с некоторой гильбертовой структурой.
Пусть 2 — область в Rm и (•, • H — скалярное произведе-
произведение в пространстве Ь2(Щ. Положим для и, ©? l
(и, т>), = 2|.,_,/'/«!(Dau, D*vH. C)
Тогда «основная» норма A.6.2) пространства W^(Q) согласо-
согласована со скалярным произведением (и, v)t + (и, vH, а норма A.6.1)
пространства W2{Q)-^.co скалярным произведением (и, v)t.
Иногда бывает полезно ввести в пространстве W[ скаляр-
о .
ное произведение таким способом, при котором Wi оказы-
оказывается подпространством в Wi не только в топологическом
смысле, но и в смысле гильбертовой структуры. Проиллю-
Проиллюстрируем один из возможных способов, ограничиваясь слу-
случаем /= 1.
56

Пусть ficrRm — ограниченная область с границей
класса С1. Положим
<и, v> = (и, v)t + jes u^dS = je (V«. V») <*« + jas и™*& D)
Тогда <•, •> — скалярное произведение в W\(Q), согласован-
согласованное с нормой A.6.3). Если и, v?C*(Q), то в силу D) <и, v>=
= (и, v\. Это равенство по непрерывности распространяется
на любые и, v? Wl(®).
Приведем пример о. н. с. [uk] в пространстве W\(—k, x).
Этот пример интересен тем, что функции ик ортогональны не
только в и^г, но и в L/, при этом система \uk\ полна в L2, но
не полна в W\-
«Основное» скалярное произведение в W\(—ic, к) есть
{и, v) = [_Ju'v'-t-uv)dt. E)
Система функций Qk(t)=exp(ikt), fceZ, ортогональна, но не
нормирована относительно скалярного произведения E). Нор-
Нормируя ее, получаем о. н. с. {Uk}, ?eZ, где Uk=[2n(k2+l)]-4'ani.
Найдем ортогональное дополнение в Wl к подпространству
~W\ = V*{»*1- Пусть h6 Wl, (h, иЛ) = 0 (V*). Тогда
0 = f_^ [h{t) — ikh! (t)\ ехр(-Ш) dt =
= A + kz) j^ h (t) exp {-ikt) dt — ikh (t) exp {-ikt) f
и, следовательно, коэффициенты Фурье (в смысле пространства
12) функции h ра^нь*
V
_ F)
Из F) видно, что dim( W^Q №*) = 1. Функцией, порождаю-
порождающей подпространство W*Q W\, является h{t) = sht. Для нее
соотношения F) выполнены. Впрочем, ортогональность k(t)
W\ ко всем функциям uk прямо следует из того, что h"=h
Л'(-*) = *'(те).
Полезно уяснить причину, по которой с самого начала
нельзя было ожидать совпадения W\ с W\. Функции / из
линейной оболочки о. н. с. {ик\ периодичны, т. е. для них
/(х)=:/(—я). Поскольку вложение пространства И7г(—^, я)
в С [—я, я] непрерывно, это соотношение переносится на лю-
любые /^ ЦТ7!. С другой стороны, если функция Л? Wl перио-
57

дична и ортогональна в W\ всем ак, то в силу F) ск = 0,
Vk(*Z, а потому Л = 0. Таким образом, W\ совпадает с под-
подпространством периодических функций из W?-
3. В этом и следующем пунктах элементы рассматриваемых
гильбертовых пространств суть аналитические функции. Эти
пространства удобно ввести как подпространства в соответ-
соответствующих пространствах L2-
Пусть D — единичный круг комплексной плоскости С, ц —
двумерная мера Лебега, L2(D)=Z,2(D, ц). Обозначим через
A2—A2(D) множество тех функций из L2(D), которые анали-
тичны в D. Очевидно, что А2 — линейное подмножество в
MD).
Рассмотрим систему функций <pft&42:
Ы*) = */2(* + I)**, *6Z+. G)
Функции <рь ортогональны и нормированы в L2(D): полагая
z=r exp(it), находим
(
X J
*exp
Пусть f^A2. Запишем ее разложение в ряд Тейлора в виде
В любом круге |г|^р<1 ряд (8) сходится равномерно, при-
причем функции G) 1.2-ортогональны также и в этом круге. Счи-
Считывая это, из (8) находим
Предельный переход при р-»-1 приводит к равенству
«/«2=2Гк12- (9)
Обратно, если {ал}е/гB+), то ряд (8) равномерно сходится
в любом круге |г|^р<1, а потому его сумма f аналитична
||р
в D и тем самым принадлежит Л2 А
Мы установили, что А2 совпадает с замыканием в L2(D)
линейной оболочки функций G). Таким образом, А2 есть под-
подпространство в Z.2(D) и потому само может рассматриваться
как гильбертово пространство. Функции G) образуют ортого-
ортогональный базис в А2.
Отметим, что пространство A2(Q) естественно вводится для
любой ограниченной области QcC.
4. Рассмотрим теперь пространство /72=/72(С) — множество
58

целых функций, для которых конечен интеграл (по двумерной
мере Лебега)
Определим на С меру [а равенством a?|A(z) = exp(—\z\2)d\i(z)
и рассмотрим соответствующее пространнее L2 (С, j*). Про-
странство F2 естественно вкладывается в L2 (С, ^). Как и при
рассмотрении пространства А2, легко устанавливается, что F2
замкнуто в L2(C, ц.) и что функции
1>*B)=*-1'2(*ir1'V, k?Z+, (Ю)
образуют ортонормированный базис в F2.
Подобным же образом вводится пространство F2(Cm) —
множество целых функций f(z)=f(zu ..., гт), для которых
конечен интеграл
Здесь |z|2=2i 12;Р и V-—Bот)-мерная мера Лебега. Орто-
йормированный базис в F2 (Ст) образуют, например, функции
где iph — функции A0).
Список гильбертовых пространств аналитических функций,
представляющих интерес для анализа, далеко не исчерпывается
приведенными примерами. В частности, мы оставили в сторо-
стороне пространство Харди Я2, по поводу теории которого см., на-
например, [5].
5. Пусть QcrRm — ограниченная область. В L2(Q) естест-
естественно выделяется подпространство G2(Q) гармонических функ-
функций (т. е. решений уравнения Лапласа). Замкнутость G2(Q)
легко получается на основании теоремы о среднем для гармо-
гармонических функций.
Рассмотрим подробнее случай Q=K, где К — единичный
шар в Rm. Пусть GbiCzGziK)—подпространство однородных
гармонических полиномов степени I, teZ+ Известно (см., на-
например, [19, 21]), что подпространства G2w попарно ортогональ-
ортогональны в L2(K) и что
Любую функцию /еСг.г можно записать в виде
«=г'У(й>), где г=|дс|, <й=х/г и Y — сферическая *> функция
порядка /, определенная на сфере Sm~l=dK. Обозначим мно-
*) При т > 3 часто употребляют термин сультрасферическая».
ев

жество сферических функций порядка I через Г;. Множества
П, рассматриваемые как подпространства в Z^CS), ортого-
ортогональны и
Разложение (II) представляет собой следствие разложения
A2). Обратно, A2) вытекает из A1) в силу теоремы сущест-
существования решения задачи. Дирихле. Укажем формулу для раз-
размерности подпространств G2,j, П:
В частности, при m=3 <ШпГ«=2/+1.
Разумеется, Гг и G2,i можно разложить1 на одномерные под-
подпространства. Такие разложения, однако, уже не инвариантны
в том смысле, что зависят от выбора системы координат в Rm.
6. Приведем классический пример несепарабельного гиль-
гильбертова пространства. Пусть 3?— множество всевозможных
конечных сумм вида
где акт k=l, ..., п, — произвольные вещественные числа (во-
(вообще говоря, разные для различных f e 2S). Относительно обыч-
обычных линейных операций над функциями 2? — линейное про-
пространство. Для f, g<=& положим
§1 04)
(/, S) = ^ 5j§ f(t)g{i)dt.
Пусть в A4) g(t)— У rf,exp(f^/). Простая выкладка пока-
показывает, что
где 6(т) = 1 при т=0, б(т)=О при
Из A5) следует, что функционал A4) обладает всеми свой-
свойствами скалярного произведения. Пополняя 3?, получим гиль-
бертрво пространство, которое принято обозначать Б2. Оно не
сепарабельно, поскольку содержит несчетное множество по'пар-
но ортогональных функций ua(t)=exp(iat), aeR (их орто-
ортогональность видна из A5)).
§ 10. Примеры непрерывных операторов и функционален
I. Важный для приложений класс операторов в простран-
пространстве L2(Y, ц) представляют собой интегральные операторы
вида
l A)
60

Уточним определение и укажем достаточное условие непре-
непрерывности таких операторов. Предварительно выпишем выра-
выражение для билинейной формы оператора A):
Gй, v) = $yxyt(x, y)u(y)T(x)dv,{x)dv.{y). B)
Предположим, что ядро t(x, у) удовлетворяет следующему
условию: для любых и, veL2(Y, ц) подынтегральная функция
в B) суммируема (по мере (iXp.) и билинейная форма B)
ограничена, т. е. для нее выполнена оценка вида D.6). В этом
случае будем говорить, что определенный равенством A) опе-
оператор Т является правильным интегральным оператором.
Приведенное определение довольно ограничительно. На-
Например, оператор Фурье (см. § 8.3) не является правильным
интегральным оператором.
В соответствии с D.12) оператор, сопряженный к интеграль-
интегральному оператору A), есть
(T*v)(x) = ^yf(y~xTv(y)dV.(v). C)
В частности, правильный интегральный оператор самосопря-
самосопряжен в том и только том случае, если ядро эрмитово, т. е.
iA-n- в. на УХ У выполнено равенство t ( у, х) = t(x, y\.
Теорема 1. Пусть H^=L2(Y, ц) и пусть для ядра t(x, у)
интегрального оператора A)
a! = supy J \t(x, j>)|c?K*)<oo,
D)
а2 = sup, \r\t (x, у) | dp {у) <оо.
Тогда Т — правильный интегральный оператор и
E)
О Оценим билинейную форму B) с помощью неравенства
Коши для интеграла по Ух Y:
\{Ти, v)\*^<j\t(x, y)\-\u(y)\*dr{x)dv.(y)X
Неравенство E) следует отсюда в силу D.6), D.11) ф
Теорема 1 содержит в себе как частный случай теорему 5.6
(об условиях непрерывности оператора, задаваемого матрицей).
Пусть H=zL2(Y), где Y—ограниченное измеримое множе-
множество в Rm, и t(x, у) — «полярное ядро»:
t (х, у) = t0 (х, v) | х — у \~\ а < т, F)
где to^L^YxY). Очевидно, что ядро F) удовлетворяет усло-
условиям теоремы 1. Можно показать (см. [20J), что оператор A)
61

с ядром F) компактен в L2(Y). При 2а<т это вытекает из-
общих результатов об операторах Гильберта — Шмидта (см.
§ 11.3, п. 3).
Рассмотрим теперь интегральные операторы «типа сверт-
свертки»: пусть #=Z,2(Rm) и
(Га)(*) = ] mr(x-y)U{y)dy. G)
Теорема 2. Пусть reZ,i(Rm). Тогда оператор G) непреры-
непрерывен в пространстве L2(Rm) и
\\Т\\<\\г\\ц.
О Оба условия D) сливаются в условие r^Lt и оценка E)
переходит в оценку (8) #
В дальнейшем (см. § 8.5, п. 3) оператор G) будет изучен
подробнее с помощью преобразования Фурье.
Отметим, что (ненулевой) оператор вида G) в простран-
пространстве /,2(Rm) заведомо не компактен. В самом деле, пусть
tt0€Co°(Rm), ll^of^1 и vo=Tuo, х>0^=0. При достаточно боль-
большом а > 0 функции и„ (х) = ио(х — an), n 6 Zm, имеют непе-
непересекающиеся носители. Поэтому они образуют о. н. с. в L2 (Rm)
и, следовательно, и„~*0. При этом (Тип) (x) = Vg(x — an) и
|7"йп|= JzH|| > 0. В силу теоремы 6.1 оператор * не может
быть компактным.
Приведем аналог теоремы 2 для операторов «свертки» на
полуоси R+=[0, +oo).
Теорема 3. Пусть ^=Z.2(R+), r^L^R,.) и
(9)
Тогда Т?Ъ(Н) и сохраняется оценка (8).
О Как и в случае теоремы 2, условия D) сливаются в одно:
При гФО операторы (9) не компактны в Z.2(R+).
Другой важный класс операторов в Z-2(R+) представляют
собой интегральные операторы с ядром, зависящим ог суммы
аргументов:
Gя)(.г)= f r(x+y)u(y)dy. A0)
к+
Если reLi(R+), то оператор A0) непрерывен в L2(R+) и для
его нормы сохраняется оценка (8). Доказательство аналогично
доказательству теоремы 3. В отличие от операторов вида (9),
оператор A0) может оказаться компактным в L2(R+). Про-
62

стейший, признак компактности следует из теоремы 11.3.5
и имеет вид
J x\r(x)\2dx< со.
+
Приведем пример непрерывного оператора вида A0) с яд-
ядром r?Lj:
(И)
Несколько видоизменяя прием, использованный при доказа-
доказательстве теоремы 1, оценим билинейную форму оператора A1)
(интегралы считаем распространенными по R+XR+):
Gи, v) = ](* + У)~* и (у) nxjdxdy,
Принимая во внимание равенство
находим, что \(Ти, v) | ^я||к|| • ||о||. Интересно, что полученная
оценка — точная: можно показать, что ||Г||=я.
Покажем, что оператор Т не компактен в L2 (R+). Пусть
и0 — характеристическая функция промежутка A, 2) и ип(х) =
= 2п12иоBпх),п= 1, 2, ... Функции ип образуют о. н. с. в Z.2(R+)
н, следовательно, и„—*0. Положим v0 — Ти0. Тогда (Тип)(х) =
= 2nl2v0Bnx), откуда || 7и„ || = |©0 > 0, У п.
Отметим, что не компактен также оператор вида A1) с ин-
интегрированием по @, а) в пространстве L2(Q, a), Va>0.
2. В § 9, п. 4, было определено пространство F2. Оно
является подпространством в H = L2(C, jj.), где dy. (z) =
= ехр( — |z|2)rf[4Z) и jj. — мера Лебега на плоскости. Здесь
мы найдем явное представление для оператора Р, проекти-
проектирующего Н на F2. В соответствии с общей формулой C.3)
. A3)
где функции t|?ft определены в (9.10). Поскольку
2Г ФЛСТФ* <z> = ^ 2Г <* О ?** = ^-! ехр (Сг), A4)
формальное вычисление приводит к равенству
(Ри) (z) = к-' Jc ехр [1г) и (С) rfJ(C). A5)
63

Равенство A5) нуждается в оправдании. Прежде всего
установим, что правая часть A5) определяет в Н правильный
интегральный оператор, для которого мы сохраним обозначе-
обозначение Р.
Положим Ф(г, ?) = expKz —-j(|z|2-{-|C|2)]. Справедливо
равенство
^(C)=JC|O(C, 2r)|d|i(C) = 2«, УгбС A6)
Запишем билинейную форму оператора A5) в виде
(Рй, v) = *-• j ехр (Сг - | г |2 -1С |2) а (С) ^Щ~^ (С) rf|» (z)
|с|Ф(г,
(интегрирование ведется по СхС). Следующая оценка во мно-
многом аналогична оценке A2). Используя A6), находим
Таким образом, оператор A5) ограничен в Я (отметим, что
оценка для его нормы получилась завышенной).
Рассмотрим, далее, ядро интегрального оператора Р—функ-
цию
w(z, Q^'rr^exp^z). A7)
Ядро A7) эрмитово, а потому Р самосопряжен. Функция до
аналогична по z. Следовательно, при кеСо" функция (Pu)(z)
в A5) аналитичиа и, стало быть, Pu^F2. Поскольку множе-
множество С? плотно в Н, оператор A5) отображает Н в F2.
При всяком ?еС имеет место включение w(-, Q^F2. Соот-
Соотношение A5) можно записать в виде
(Ри)(г) = (а, »(., г)). A8)
Равенство A4) истолковывается как разложение функции
w{-, С) в ряд Фурье по полной в F2 о. н. с. {tyfc|. Следова-
Следовательно, <ji4(z) = («|ij, w(-, z)) = (Ptyk){z), т. е. Р^к — ^к.
Итак, оператор Р, определяемый равенством A5), ограни-
ограничен и самосопряжен в Н, сохраняет, элементы полной в под-
подпространстве F2 о. н. с. {ifft} и PUczF2. Это и означает, что
Р — оператор ортогонального проектирования на F2.
Пусть теперь H = L2{Cm, ?j, где c?m = exp(- \zf)d\>.m{z),
\z\ =2dt \Zjf и jj.m — Bщ)-мерна'я мера Лебега. Аналогично
предыдущему можно показать, что оператор Р, ортогонально
64

проектирующий Я на его подпространство F2(Cm), есть пра-
правильный интегральный оператор
{Ра) (г) = *-« Jcm exp (lz) и (;) с$т (С),
где Сг=Г
3. Здесь мы приведем интегральное представление опера-
оператора, проектирующего пространство L2(D) на подпространство
A2(D) (см. § 9, п. 3). В соответствии с C.3)
где функции фа определены в (9.7). Справедливо равенство
*V = n-* {I -zZy2. B0)
Сопоставляя A9) и B0), приходим к формуле
B1)
которая оправдывается вполне аналогично формуле A5). До-
Доказательство предоставляется читателю.
4. Пусть 2 — область в Rm с гладкой границей й и Я =
= U?2(Q), причем скалярное произведение определено фор-
формулой (9.4). Опишем ортогональное дополнение в W\ к его
подпространству W\ (Q).
Соотношение и _]_ Wl, или, что то же, и _1_С(Г B), означает
B2)
Интегрируя по частям, находим
B3)
Это означает, что в смысле теории обобщенных функций
Ак=0. Но тогда, как известно, внутри области Q функция и
бесконечно дифференцируема н гармонична в классическом
смысле.
Обратно, пусть и? W\(Q) — гармоническая в Q функция.
Тогда из B3) следует B2). Обозначим через G\ (Q) множество
гармонических в Q функций класса W\(Q). Мы видим, что
справедливо следующее утверждение.
Теорема 4. Множество О\(Щ есть подпространство
¦в W\ B). Относительно скалярного произведения (9.4)
имеет место ортогональное разложение
Wl{9)=W2{Q)®Gl(Q). B4)
5 Зак. 323 65

Обозначим через PQ проектор в wl{Q) иа подпростран-
подпространство G\(Q). Из теоремы 4 вытекает, что для /? Wl(Q) функ-
функция u = Paf является решением задачи Дирихле:
Ди = 0в 2; «U-/U B5)
граничное условие в B5) должно выполняться в том смысле,
что и — /е W)(Q).
Следствием разложения B4) также является известный ва-
вариационный принцип для решения задачи Дирихле. Именно
в соответствии с теоремой 3.1
\(Q). B6)
Равенство в B6) достигается только при v=f—Pef- Положим а
B6) w=f—v и отбросим интеграл по поверхности, который
не зависит от о. Мы видим, что при заданном /6W2B) ре-
решение u?G\(Q) задачи B5) является единственной функ-
функцией, реализующей минимум интеграла Дирихле
при условии f—w ? W2 B).
5. В заключение приведем несколько примеров линейнцх
непрерывных функционалов в функциональных гильбертовых
пространствах.
1°. Пусть H=F2 и Р — оператор A5). Для любой фикси-
фиксированной точки геС функционал 1г(и)*=и(г) линеен и непре-
непрерывен в F2. Для иеР имеем Ри=и. Вместе с A7), A8) эта
означает, что
lz(u) = (u, w(-t *)) = *-• Jcexp(Cz)e(C)<&(C). B7>
Формула B7) реализует общее представление D.1). Из D.2)
следует также
2°. Пусть H=A2(D), lz(u)=u(z), \z\<\. Аналогично пре-
предыдущему, из B1) получаем
О f
3е. Пусть 2 — ограниченная область в Rm, H= U72B), ска-
скалярное произведение определено в (9.3). Будем считать 2/ >/».
В силу теоремы вложения (см. § 1.6, п. 11) функционал

/(и) = и(х), x?Q, непрерывен в Н. Поэтому существует
О ; ' О f
функция wx? W2B), такая, что и(х) — (и, wx), V«^ У72. Выяс-
Выясним смысл функции wx. Если и? WV(Q)C\ W B), то, интегри-
интегрируя по частям, имеем
и {х)=(и, ™х) = f V 11
Таким образом, функция g(x, y) = wx(y) является ядром ин-
интегрального оператора, который по функции Л= (—1)'Д'« вос-
восстанавливает функцию и, удовлетворяющую на ( дп системе
однородных граничных условий Дирихле. Это означает, что
g(x, у) есть функция Грина задачи Дирихле для полигармо-
полигармонического оператора. *
5*

ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Основная часть книги посвящена изучению линейных не-
неограниченных операторов. Материал этой главы является, по
существу, введением в теорию общих линейных операторов
в гильбертовом пространстве.
§ 1. Общие понятия. График оператора
Помимо общих определений и понятий, связанных с линей-
линейными операторами, в этом параграфе собраны нужные для
дальнейшего сведения о линейных подмножествах в Н. Хотя
эти сведения имеют элементарно-геометрический характер, они.
для удобства чтения помещены не ранее, чем в них возникла
нужда.
I. Пусть D — линейное подмножество гильбертова простран-
пространства Н и Т : D-4-H — линейное (т. е. аддитивное и однородное)
отображение. Такие отображения называют линейными опера-
операторами в Н. Множество D называется областью определения Т
¦и стандартно обозначается через D(T). Множество (очевидно
линейное) R(T) = TD(T) называют областью значений (обра-
(образом) Т. Линейное множество D(T) является предгильбертовым
пространством относительно скалярного произведения
(х, у)г = (*, у) + (Тх, Ту), x,y?D(T). A)
Соответствующую норму || • |1г
txfTdjL\\xY + lTxf' *?D(T), B)
называют Т-нормоп. Иногда Г-нормой называют негильбертову
норму
Щ C)
Нормы B), C) эквивалентны. Из определения B) (или C))
прямо следует, что оператор Т непрерывен (как оператор в И)
в том и только том случае, если Т-норма эквивалентна на
D(T) норме в Я. В соответствии с определением из § 2.5 ЩН
есть алгебра всех непрерывных в Н операторов с D(l)
•68

Случаи, в которых приходится рассматривать D(T) не
просто как подмножество в Н, а как предгильбертово (илн
гильбертово) пространство со скалярным произведением A),
довольно многочисленны. В этих случаях мы будем, как пра-
правило, писать Нт вместо D(T).
Множество нулей («ядро») оператора Г будем обозначать
через N (Т):
Ясно, что N(T) — линейное множество. Условие (D {}
необходимо н достаточно для обратимости Т. Обратный опера-
оператор Т-1 также линеен, причем D(T~X)=R(T), R(T~1)=D(T).
Теорема 1. Пусть Т — линейный оператор в Н. Для того
чтобы Т имел ограниченный обратный, необходимо и доста-
достаточно выполнение неравенства
\\Tx\\>cixl с>0, Vx?D(T). D)
При этом наибольшее возможное значение с в D) есть
с=\/\\Т~Ц\.
О Из D) прямо следует, что N(T) = {0}, так что Т~1 су-
существует. Полагая в D) Тх—у, находим, что
откуда )Г '[^с-1. Обратно, если оператор Т 1 существует и
ограничен, то выполнено E) при с = |Г~1|| . Полагая ;с =
= Т~1у, приходим к D) ф
Равенство Ti = T2 означает по определению, что D(T1) =
=D(T<t) и 7"i*= 7a:, Vx^D(Ti). Если выполнено более слабое
условие:
D(T0<=zD(T2), Т^х=Т2х, YxeED(Ti), F)
то говорят, что Т2 — расширение оператора Т^ (Т\ — сужение
оператора Т2), и пишут 7\<r7Y Таким образом, Tt = T2 озна-
означает, что T\CiT2 и ^гэГг. Если L — подмножество в И,
LczD(T), то через T\L обозначают сужение Т на L.
Уже при определении суммы и произведения операторов
возникает необходимость считаться с тем, это исходные опера-
операторы могут быть заданы не на всем пространстве Н. Пусть
Т\, Г2 — операторы в Н. Тогда полагают
D (Г, Т,) = |х 6 D (Т2): Т2х е D (Г,)).
На этих линейных множествах сами операторы
определяются естественным образом.
Если TiT2=T2T\, то будем говорить, что операторы Т\, Tt
перестановочны в точном смысле. Обозначение Т]\^Т2 для не-
69

ограниченных операторов не. обязательно связывается с этим
равенством, а употребляется в следующем смысле. Пусть- Т2—
линейный оператор в Н, 7*]еВG/). Будем говорить, что опе-
операторы Ту 7*2 перестановочны (T\^jT2 или Т2у->Тх), если
Т1Т2сТцТ[. В соответствии с F) это означает, что при x^D(T2)
будет TixeD(T2) и TiT2x—T2TxX. Таким образом, если ни один
из операторов Т\, Т2 не принадлежит алгебре й(Н), символ
T\\jT2 пока не определен. Впрочем, в связи со спектральной
теоремой (см. § 6.3, 6.6) определение перестановочности будет
распространено на некоторые пары неограниченных опера-
операторов.
2. С каждым (не обязательно линейным) отображением Q
в пространстве Н связывают его график G(Q)—множество
в Я@Я, образованное всевозможными парами {х, Q(x)}, где
х пробегает область определения ?2. Два отображения совпа-
совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их трафики.
Если Т — линейный оператор, то G(T) — линейное множе-
множество. Включения TidT2 и G(Ti)czG(T2) равносильны. Гиль-
Гильбертова структура в #(f)// индуцирует в G(T) структуру пред-
предгильбертова пространства. Заметим, что при х, y^D(T)
({х, Тх\, {у, Ту\) = (х, у) + {Тх, Ту) = (х,у)т.
Таким образом, оператор V: Xf->{x, Tx}, x^D(T), есть изо-
метрия предгильбертовых пространств Нт и G(T). В этой свя-
связи Г-норму B) (или C)) часто называют нормой графика
в D(T).
Охарактеризуем те подмножества MczHQH, которые явля-
являются графиками линейных операторов в Н. Ниже jh, п2 —>
«естественные проекции»:
Теорема 2. График M^=G(T) с HQ^H линейного опе-
оператора Т в Н есть линейное множество, удовлетворяющее
условию
W(«,U) = {0). G)
Обратно, любое линейное множество MczH (?}//, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию G), является графиком линейного отображения
Т, определяемого равенствами
О Доказательство очевидно. Следует лишь заметить, что
\m имеет обратный в силу G) #
Определим , в пространстве Н{^)Н операторы U, №:
Wlf.g) = l-g,f). (9)
70

Оба оператора изометрически изоморфно отображают про-
пространство Яф Я на себя. Они удовлетворяют соотношениям
lfl = -W2 = I, UW= — WU. A0)
Если Т — оператор в Я и существует обратный оператор
Г, то очевидно
A1)
В § 3 будет использовано следующее утверждение.
Лемма 3. Пусть Т — линейный оператор в Я. Множество
[WGiT,]^ сЯ@Я есть график линейного оператора в том
и только том случае, если Q(T)=H.
О В соответствии с (9) элемент {0, Л} ортогонален WG(T)
в пространстве /Уф Н тогда и только тогда, когда hl_D(T)
в пространстве Я. Поэтому условие G) для множества
M=[W0(T)]± равносильно требованию D(T)=H ф
3. Здесь мы приведем элементарные сведения о линейных
пространствах и отображениях, которые понадобятся в даль-
дальнейшем.
Пусть L — линейное пространство, Z,,... , Ln — линейные
подмножества в нем. Линейную оболочку \/\Lk называют
также линейной суммой /,„ ...,/.„ и пользуются для нее
обозначением Z, -f-... + /,„. Если подпространства Lu ..., Ln
линейно-независимы, то линейная сумма называется прямой,
суммой и обозначается через /., + /.2+ .. .-\-Ln. Из этого
определения непосредственно следует, что
dim (L х + ... + Lп) = dim L i + • • • -f dim Ln.
Отметим, что сумма Lx-{-L2 прямая в том и только том слу-
случае, если Z.ln^2 = @}-
' Пусть Z-o — подпространство в L. Через L/Lo обозначается
соответствующее фактор-пространство, т. е. множество классов
x+L0, x^L, в котором естественно вводится линейная струк-
структура.
Если L=L0-]-L1, to имеется естественный изоморфизм меж-
между пространствами L/Lo и L\. В самом деле, в каждом классе
имеется в точности один элемент из L\. Соответствием между
классами и элементами из L\ и определяется нужный изомор-
изоморфизм. Из сказанного следует, что
dim (?/Ао) = dim A! (L = /.0 + А)-
Пусть Z.o — линейное подмножество в L и Т — линейный
оператор в L, D(T)ZiL0. ТогдЬ dim 7Z0^dim/.0. Еслк при
этом Ы[Т\Ц)~ {Oj,1 то dim7~Z.o —dimio-
4. Если исходное пространство — гильбертово, то возникают
содержательные взаимоотношения между линейной и гильбер-
гильбертовой структурами.
71

Линейная сумма двух подпространств в Я не обязательно
замкнута. Приведем критерий замкнутости такой суммы. На-
Начнем со следующей леммы.
Лемма 4. Пусть F, К — подпространства в гильбертовом
пространстве Н. Тогда *~>
K (G=Fa). A2)
О Слагаемые в правой части A2) ортогональны. Далее,
poK=[I-pp)Kck+pfkc:k+f,
откуда следует A2) #
Теорема 5. В условиях леммы 4 сумма F+K есть подпро-
подпространство в том и только том случае, когда PGK — подпро-
подпространство.
О Требуемое прямо следует из представления A2) #
Следствие 6. Если в условиях леммы 4 А\тпК<<х>, то
F+K— подпространство.
О Так как (Шп/)о/С<оо> то PgK — подпространство ф
Если L — линейное множество в Я, то условимся называть
его дефектом размерность ортогонального дополнения:
Следствие 7. Пусть F — подпространство в Н, Deff<oo,
К — линейное множество, FcKcH. Тогда К — подпространст-
подпространство в И.
О Представляя К в виде K=F-{-К, получаем из A2),
что K — F(^iPoK. Поскольку dimPG/<'<dimG = Def F< со,
то остается сослаться на теорему 5 ф
Приведем два полезных утверждения о сравнении размер-
размерностей подпространств в Н.
Лемма 8. Пусть F, К — подпространства в Н и &\mF>&imK.
Тогда найдется элемент f^F, f=#=0, такой, что f±.K.
О Пусть п — сужение на F проектора Рк. Любой элемент
/еЛГ(я) удовлетворяет условиям леммы. Остается показать,
что ЛГ (я) =#={()}. Действительно, в противном случае
dimF=dinm/:'^dim.K, что противоречит условию ф
Лемма 9. Пусть Р, — проектор в Н на подпростран-
подпространство Hs, 5=1,2. Если JP, — /V!<1. то dim Я, =* dim Я2.
О Предположим, например, что dim Hx > dim Ht. В силу
леммы 8 найдется элемент f?Hu /т^О, такой, что Pt/ = 0.
Но тогда \\f\\ = \\PJ\ = \PJ-Pzfl<\\fl что невозможно •
*) Ортогональная сумма незамкнутых ортогональных друг другу линей-
линейных множеств по определению совпадает с нх линейной суммой.
72

§ 2. Замкнутые операторы.
Операторы, допускающие замыкание
При изучении неограниченных операторов выделяют так
называемые замкнутые операторы. Свойство замкнутости (точ-
(точнее, замыкаемостн) заменяет для неограниченных операторов
свойство непрерывности. Сначала мы обсудим понятие замкну-
замкнутого оператора, а затем рассмотрим возможность замыкания
оператора, если он не замкнут.
1. Линейный оператор Г в Я называется замкнутым, если
соответствующее пространство Нт является полным. Иначе го-
говоря, замкнутость оператора Т означает, что D(T)—гильбер-
D(T)—гильбертово пространство относительно скалярного произведения A.1).
Теорема 1. Замкнутость оператора Т равносильна любому
из следующих двух условий, а) График G(T) есть замкнутое
множество в HQ)H. б) Для любой последовательности
Xn^D(T), такой, что существуют пределы Jt=linun, y—limTxn,
оказывается x^D(T) и у=Тх
О Отображение х !-»¦{*, Тх}есть изометрия пространства Яг
на G(T) как на подмножество в HQ}H. Поэтом} полнота Нт
равносильна замкнутости G(T). Условие (б) явно описывает
свойство полноты Нт «на языке последовательностей» •
Теорема 2. Для непрерывного оператора Т замкнутость рав-
равносильна замкнутости D(T) как подмножества Н.
О Если Т непрерывен, то на D(T) норма || • 11т эквивалент-
эквивалентна норме || • ||, а потому полнота D(T) по Г-норме равносильна
замкнутости D(T) вЯф
Из теоремы 2 следует, в частности, что любой оператор
Т<=Ъ(Н) замкнут.
Теорема 3. Пусть оператор Т замкнут и S^B(H). Тогда
оператор T+S также замкнут.
О В условиях теоремы Г-норма и (T+S)-Hopua эквива-
эквивалентны на D(T) #
В § 4 результат теоремы 3 будет распространен на некото-
некоторый класс неограниченных операторов 5 (см. теорему 4.2).
В общем случае из замкнутости операторов Т, S замкнутость
оператора T+S не вытекает. Отметим еще, что при Х,еС,
Я=#=0 операторы Т, \Т замкнуты одновременно.»
Теорема 4. Если оператор Т имеет обратный, то Т и Т~1
замкнуты одновременно.
О Графики G(T) и G(T~l) = UG(T) (см. A.11)) замкнуты
одновременно #
Теорема 5. Если оператор Т замкнут, то N(T) — подпрост-
подпространство в Н.
О Пусть Xn^D(T), Тхп=0 и хп-+х. В силу теоремы 1, п. б),
x<=D(T) и ^=0 •
В ряде случаев замкнутость оператора удается устанавли-
устанавливать с помощью следующей теоремы.
73

Теорема 6. Пусть То, Ти Т — линейные операторы в Н,
TodTidT, причем То, Т замкнуты и
dlm[D(T)lD(T0)]<oi. A)
Тогда оператор 7\ замкнут.
О Замкнутость 7 и включение T0(zT означают, что Нт —
подпространство гильбертова пространства Нт, причем в силу A)
дефект ЯГо конечен. Согласно следствию 1.7 Нт —также
подпространство в Нт, а потому Mrt — полное #
Принципиальное значение имеет следующий результат, до-
доказательство которого нам удобно отложить до § 3, п. 3.
Теорема 7. Если линейный оператор Т замкнут и D(T) —
подпространство в Н, то Т непрерывен.
Это утверждение объясняет, в частности, почему при изуче-
изучении неограниченных операторов рассматриваются операторы
с незамкнутой областью определения.
Теорема 8. Пусть замкнутый оператор Т имеет обратный и
область значений R(T) замкнута. Тогда оператор Т~1 непре-
непрерывен.
О Оператор Т'1 определен на подпространстве D(T~1) =
—R(T) и замкнут по теореме 4. В силу теоремы 7 он непре-
непрерывен #
Следующее простое утверждение примыкает к теореме 8.
Теорема 9. Пусть оператор Т замкнут и выполнено условие
\xl с>0,
Тогда R(T) — подпространство.
О В силу теоремы 1.1 оператор Т имеет ограниченный об-
обратный. Оператор 7" замкнут по теореме 4 и, следовательно,
R(T)—D(T~l) — подпространство (по теореме 2) #
Замкнутость Т влечет за собой формально более сильное
свойство слабой замкнутости Т, а именно: оператор Т называют
слабо замкнутым, если длях„?D(T) из хп^*х, Тхп-^*у выте-
вытекает, что x^D(T) и у=Тх. Слабая замкнутость Т очевидно
совпадает со слабой замкнутостью его графика G(T) как мно-
множества в HfQH. Поскольку всякое подпространство гильбер-
гильбертова пространства слабо замкнуто, слабая замкнутость Т рав-
равносильна его замкнутости.
2. Пусть оператор Т не замкнут. Это означает, что график
G(T) — незамкнутое множество в ЯфЯ. Естественно перейти
к рассмотрению множества G(T). Однако при этом возникают
две существенно различные возможности.
Предположим сначала, что множество G(T) удовлетворяет
условию A.7), т. е. является графиком некоторого оператора.
Этот оператор называют замыканием оператора Т и обозна-
обозначают через Т. Об операторе Т в этом случае говорят, что он
74

допускает замыкание (или замыкаем). Ясно, что любой непре-
непрерывный оператор замыкаем.
Если Т\^Т и Т\ — замкнутый оператор, то очевидно Т^Т.
Таким образом, Т есть минимальное замкнутое расширение
оператора Т. Прямое определение Т сводится к соотношению
О(Т)=ЩТ). • B)
Полезна следующая переформулировка того, что G(T) —
график, т. е. что оператор Т — замыкаемый.
Оператор Т допускает замыкание в том и только том слу-
случае, если для любой последовательности {хп} элементов из
D(T), для которой существуют пределы lirrun=0 и lim Txn=y,
оказывается у=0. При этом пополнение пространства Нт при-
приводит к пространству Hf.
Отметим еш?, что для любого x?D(T) найдется последо-
последовательность xa?D{T), такая, что ха-^х, Тха-+Тх.
Пусть теперь G(T) не является графиком. Иначе говоря,
существуют последовательности xn^D(T), такие, что *п-»-0,
Тхп-+-уФ=0. Это означает, что топологии в Нт и в Н не согла-
согласованы (см. § 1.1, п. 3). При пополнении D(T) по Г-норме мы
не можем произвести это пополнение за счет элементов про-
пространства Я (поскольку различным элементам пополнения
пришлось бы сопоставить один и тот же элемент пространства
Н). В рассматриваемой ситуации говорят, что оператор Т не
допускает замыкания.
Пример. Пусть #=L2[0, 1], D(T) — совокупность непре-
непрерывных на [0, 1] функций, (Tx)(t) — x@)\(t), где 1— функ-
функция, тождественно равная единице. Оператор Т не допускает
замыкания. Действительно, положим xn(t) = (l—t)n. Тогда
Xn^D(T), JCn-»-O, но Txn=i. Отметим, что в 'рассматриваемом
примере скалярное произведение в D(T) есть
C)
3. Понятия замкнутого и замыкаемого операторов распро-
распространяются на операторы, действующие из Hi в Я2, где Htf
#2 — гильбертовы пространства. Определения остаются преж-
прежними. Так, оператор Т замкнут, коль скоро D(T)— полное про-
пространство относительно Г-нормы A.2). Следует лишь иметь
в виду, что теперь второй член правой части A.2) подразуме-
подразумевает норму в #2.
Понятие замкнутости содержательно лишь при dim#i = oe.
В самом деле, любое линейное отображение конечномерного
пространства в нормированное пространство непрерывно. При
dim//i=oo, dim#2<oo понятия замкнутости и замыкаемости
сохраняют содержательность.
i
75

Пусть dim#i = oo и пусть V — изометрия пространства Яг
на Hi (либо на подпространство в Яь если dim#2<oo). Если
Т — оператор из Hi в #2, то VT — оператор в пространстве Hi.
При этом Г-норма и VT-норма совпадают и, следовательно,
операторы Т и VT замкнуты (нли замыкаемы, или непрерыв-
непрерывны) одновременно. Тем самым вопросы, связанные с замкну-
замкнутостью операторов, сводятся к случаю Hi=H2. Поэтому все
утверждения пп. 1, 2 естественно переносятся на случай опе-
операторов, действующих из Hi в Н2. Выделим соответствующий
вариант теоремы 7.
Теорема 10. Если линейный оператор Т, действующий из
Н\ в Я2, замкнут и D(T) замкнуто в Яь то Т непрерывен.
§ 3. Сопряженный оператор
Понятие сопряженного оператора удобно наследовать, ис-
используя два подхода: «аналитический», основанный на прямом
определении, и «геометрический», связанный с рассмотрением
графиков операторов.
1. Пусть Т — линейный оператор в Я. Для i/e// рассмот-
рассмотрим линейный на D(T) функционал 1у(х) = (Тх, у). При неко-
некоторых у этот функционал может оказаться непрерывным в Я;
тогда он по теореме 2.4.1 допускает представление 1у(х) —
= (х, h), h^H. Это представление единственно, коль скоро
ЩТ)=Н.
Мы приходим к следующему определению. Пусть Т — ли-
линейный оператор в Н, D(T) = H. Элемент у^Н принадлежит
области определения D(T*) сопряженного с Т оператора Т*,
если существует элемент h^H, такой, что
(Тх,у) = (х, ft), Vx?D(T). A)
При этом T*x^h.
Таким образом, должно выполняться соотношение
Gjc, y) = (x, Т*у). VxeD(T),VyeD(T*). B)
Напомним, что в случае 7еВ("Я) это равенство (см. B.4.12))
выполнено для всех х, Н
Если О(Т)фН, то элемент ЛеЯ не определяется равенст-
равенством A) однозначно. Поэтому для операторов с неплотной об-
областью определения сопряженный оператор не вводится.
Множество D(T*) всегда не пусто, поскольку заведомо
Ое/)(Т*). Можно привести примеры операторов, для которых
0G"*) = {0}. Ниже мы установим (см. теорему 7), что для
замкнутых операторов Т всегда D(T*)=H.
Геометрический подход к изучению сопряженного операто-
ря основан на следующем соображении. Пусть ik' — оператор
A.9). Рассмотрим в HQH подпространство [WG(T)\1. Если
76

7' плотно определен, то согласно лемме 1.3 это подпространство
является графиком некоторого линейного оператора.
Теорема 1. Пусть Т — линейный, плотно определенный опе-
оператор в И. Тогда
= G(T*)., C)
О В силу A.9) условие {у, h)±WG(T) равносильно соот-
соотношению A) #
2. Ниже Т — плотно определенный оператор в Н. Приводи-
Приводимые свойства сопряженного оператора прямо следуют либо из
определения, либо из теоремы 1.
Теорема 2. Оператор Т* линеен и замкнут.
О В силу C) график G(T*)—замкнутое линейное мно-
множество. Остается принять во внимание теорему 1.2 и теорему
2.1, п. а) • I
Теорема 3. Если оператор Т допускает замыкание, тс
(Т)*=Т*.
О Сопоставляя C) и B.2), находим, что графики операто-
операторов (Т)* и Т* совпадают #
Теорема 4. Если S^B(H), mo (Г-f S)*= /* + ?*.
О Пусть y?D(T*). Тогда при x^D(T)
(Tx + Sx,y) = (x, Г*у) + (х, S*y) = (x, (T* + S*)y),
откуда T*+S*<=(T+S)*. Меняя ролями операторы Т, T+S,
получаем обратное включение ф
Аналогичный результат для более широкого класса «возму-
«возмущений» будет получен в теореме 4.3. Отметим частный случай
теоремы 4 — равенство
(Г->,/)*= Г*— X/, Х6С D)
Отметим также очевидное равенство
Теорема 5. Подпространства R(T) и N(T*) ортогональны
вН и
Л((Г). E)
О Включение y^N(T*) означает, что (Тх, у)=0 для лю-
любого x^D(T). Это равносильно ортогональности y±R(T) ф
Соотношение E) часто используется в применении к опера-
оператору Т—XI. В соответствии с D)
t*-Ii). F)
Теорема 6. Пусть D(T)=R(T)=H и пусть оператор Т
имеет обратный. Тогда сопряженный оператор Т* также имеет
обратный и
(T*)-i = {T-1)*. G)
77

О В силу E) N(T*) = {0}, а потому оператор Т* имеет
обратный. Существование оператора (Т~1)* следует из того,
что D(T~1)=R(T)=H. Рассмотрим графики операторов (Т*)-\
(Т~1)*. Пусть U — изометрия A.8) в пространстве Н
В соответствии с C) и A.11)
Операция ортогонального дополнения перестановочна с изомет-
рией. Принимая во внимание A.10), получаем
G ((Г*)) = [UWG (Г)]х = [- WUG{Т)\х =
Обсудим теперь вопрос о существовании второго сопряжен-
сопряженного оператора T**^l (T*)*.
Теорема 7. Пусть Т — линейный, плотно определенный опе-
оператор в Н. Для того чтобы сопряженный оператор Т* также
был плотно определен, необходимо и достаточно, чтобы Т до-
допускал замыкание. При этом условии оператор Т** сущест-
существует и
Т** = Т. (8)
О Рассмотрим график оператора Т*. Так как — W2 совпа-
совпадает с тождественным оператором в Н®Н (см. A.10)), то
WG{T*)=
Стало быть, [WG(T*)]x = G{r). Множество G(T) является
графиком в том и только том случае, если Т допускает замы-
замыкание. При этом выполнено B.2), а потому
[WG(r*)]x = G(T1). (9)
С другой сторона, согласно лемме 1.3 левая часть (9) являет-
является графиком тогда и только тогда, когда D(/*^=rt. Таким
образом," последнее равенство эквивалентно существованию за-
мыкания у Т.
Если D(T*)-=H, то существует оператор Т**. Равенство
(8) получается из (9) применением к оператору Т* теоре-
теоремы 1 #
Если Т замкнут, то G(T) — подпространство. Поэтому для
замкнутого плотно определенного оператора Т соотношение C)
можно записать в виде
*) = Я0Я. A0)
Впоследствии нам будет полезна расшифровка этого емкого
равенства.
78

Теорема 8. Пусть Tj~ замкнутый оператор в Н, D(T) —
= Н. Для любых /, g ?# существует единственная пара'
элементов x?D(T), yfc^^*)» т&кая, что
f=^Tx-*.y> g = x + T*y. (И)
Имеет место равенство
Wfr+lgr~lx? + ITxr + iyf+iT*№. A2)
О Соотношение A0) означает, что любой элемент {/, g} ?
?//0// допускает однозначное представление в виде
'¦ I/, g)=W\x, Tx\±[y, Т*у} = {-Тх, х) + {у, Т*у), A3)
причем слагаемые в A3) ортогональны в #0#. Соотношение
A3) равносильно паре равенств (И), причем A2) следует из
ортогональности слагаемых в A3) ф
3. Доказательство теоремы 2.7. Предположим
сначала, что D(T)=H. Тогда существует сопряженный опера-
оператор Т*, причем в силу теоремы 7 D(T*)=H. Покажем, что Т*
непрерывен. Рассмотрим семейство линейных функционалов
1у(х) = (Тх, у) = (х, Т*у), y?D(T*), 8У!<1-
На каждом элементе х?Н семейство функционалов 1у огра-
ограничено: \ly (x)\^\Tx\-\yl<,\ Тх\. В силу принципа равно-
равномерной ограниченности найдется постоянная С, такая, что
!/yli<C Vy?D(T*), |y|< 1.Поскольку{/,|=|Г*уКем.B.4.2)),
это означает, что оператор 7* непрерывен и 1;Г*|<С Так
как Т* — Замкнутый оператор (теорема 2), то в силу теоремы 2.2
D(T*)=fi, т. е. Г*6В(//), а поэтому и Г**?В(#). Вместе
с (8) это показывает, что 7'(*В(//).
Пусть теперь D (?) Ф Н. Обозначим через Р проектор на
D(T) и рассмотрим определенный всюду в Н оператор ТР.
Пусть хя?Н, х„-*х и ТРхЛ + у. Тогда Рх„->Рх и у=ТРх
в силу замкнутости оператора Т. Тем самым оператор ТР
также замкнут и по доказанному непрерывен. Следовательно,
непрерывен и оператор Т, совпадающий с ТР на D(T) ф
§ 4. Подчиненность операторов
1. Пусть Т, S — линейные операторы в Я, причем
D{T)CD(S) A)
и при некоторых а, Ь^О справедливо неравенство
B)
В этом случае говорят, что 5 подчинен Т (или Т-ограничен),
При фиксированном Т множество всех /"-ограниченных опера-
операторов обозначим через В*. Ясно, что Вг — линейное множество
79

и Ъ(Н)сЪт. Если ТеЪ(Н), то и ВГ=ВG/), так что понятие
Г-ограниченности в этом случае несодержательно.
Если SeBT, to при любом q>0 оператор qS подчинен опе-
оператору qT, причем в соответствующем неравенстве B) постоян-
постоянная а сохраняется, а Ь заменяется на qb. Поскольку в большин-
большинстве вопросов допустима одновременная замена Т на qT и S на
qS, значение 6>0 в B) несущественно (случай 6=0 составляет
исключение).
Обозначим через aT(S) точную нижнюю границу значений а
для пар а, Ь, допускаемых неравенством B). При SeB(#) за-
заведомо aT(S)=0. Не следует, однако, думать, что из aT(S)=0
вытекает ограниченность S.
Наряду с B) употребляют и другую форму условия подчи-
подчиненности: при некоторых аи Ь^О должно быть
ISxKa^Txl + btWxl, VxeD(T). C)
Обе формы условия подчиненности равносильны: из B) выте-
вытекает C) при Oi=a, bi=b. Обратно, пусть выполнено C). Тогда
для x<=D(T)
7^ НИ + ^ WI2 <
Таким образом,- из C) следует B) при любом а>ах и подходя-
подходящем b—b(a). Отсюда видно, что точная нижняя граница допу-
допустимых значений at в C) совпадает с aT(S).
Пусть выполнено (Л)- Обозначим через ST сужение опера-
оператора S на множество D(T). Мы будем рассматривать ST как
оператор из Нт в Я. Ясно, что SeBT означает непрерывность
оператора St- Если Нт — полное пространство (т. е. если Т —
замкнутый оператор), то в соответствии с теоремой 2.7 опера-
оператор ST непрерывен, коль скоро он замкнут. Покажем, что St
замкнут, если S допускает замыкание как оператор в Н. Пусть
х, xn<=D(T), n=l, 2, .... у&И, \\хп—*||г-И), ||Sxn—у||-*0.
Первое из этих условий включает сходимость хп-*-х в Я. По-
Поскольку S допускает замыкание в Н, отсюда следует y=Sx.
Ввиду того, что x^D(T)cD(S), находим y=Sx. Это и означает
замкнутость St- Нами доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть оператор Т замкнут в Н, S допускает за-
замыкание в Я и выполнено A). Тогда S^BT.
В связи с теоремой 1 стоит отметить, что замыкаемость
оператора не является необходимым условием его Г-ограни-
ченности. Пример: Н = 1,[0, 1], DlTQ)=W\@, 1), (T0x)(t) =
z=dx/dt, T—оператор из примера § 2, п. 2. Оператор Т не
допускает замыкания, хотя он Г0-ограничен.
2. Говорят, что оператор SeBr сильно подчинен оператору Tt
если ar(S)<\. При сильной подчиненности многие важные свой-
свойства операторов Т и T+S оказываются одинаковыми.
80

Теорема 2. Пусть оператор Т замкнут и S сильно подчинен Т.
Тогда оператор T+S, определенный на D(T), замкнут.
О Воспользуемся условием подчиненности в форме C). Так
как атC)<\, в C) можно считать 0<ai<l. Если при этом
b то ||Sx||^ai(||x|| + ||rx||), что приводит к неравенствам
Таким образом, Г-норма и (T+S)-HOpMa эквивалентны naD(T).
Поскольку D(T) полно по Г-норме, оно полно и по (T+S)-
норме. Случай Ьг>а\ сводится к рассмотренному с помощью
замены Ti->qT, S*-±qS при q=axbTx #
Отметим, что уже при ar(S) = l оператор T+S может не
быть замкнутым. Так, если Т — неограниченный замкнутый опе-
оператор и S=—Т, то Г+ S = 0\D,T)—непрерывный незамкнутый
оператор.
Если оператор Т не замкнут, но допускает замыкание и
5^ Вг, то оператор Sr по Г-непрерывности распространяется
до оператора 5f 6 В (^7« Н)- Для ^7 сохраняется оценка
вида B) с теми же а, Ь. Отсюда следует, в частности, что
в случае агE)<1 оператор T-\-S допускает замыкание и
7+5 = 7+ST.
3.Теорема 3. Пусть оператор- Т замкнут и плотно определен
в Н, S сильно подчинен Т и S* сильно подчинен Т*. Тогда
D((T+Sy*)=D(T*) и
=r* + S*. D)
О Операторы ? + 5, T* + S* определены на D(T), D{T*)
и замкнуты в силу теоремы 2. Если y?D(T*), то y?D(S*) и
(Tx + Sx,y)=(x, T*y) + (x,S*y) = (x, T*y + S*y), Vx?D(T).
Это означает, что Г*+ 5* C(T-{-S)*. Следовательно, под-
подпространства WG(T + S), G(T* + S*), где ^—оператор A.9),
ортогональны в ЯфЯ. В соответствии с (ЗЛО) равенство D)
будет доказано, коль скоро мы установим, что
М7(Г+5HО(Г* + 5*) = Я0Я. E)
Очевидно можно считать, что в B) и в аналогичном нера-
неравенстве для операторов S*, Т* постоянные а, 0<а<1, совпа-
совпадают. Кроме того, заменяя в случае необходимости Т на T
S на gS при подходящем ?>0, можно считать, что в B) Ь
т. е.
F)
.^ G)
8t

Определим в НфН линейный оператор Q следующим
образом. Пусть {/, g}(*H@ H. Опираясь на теорему 3.8, най-
найдем элементы x(*D(T),y?D(T*), такие, что выполнено C.11),
и положим
Q{f, g) = [Sx, S*y).
Из F), G) и C.12) находим, что
т. е. ||Q||^a<l. Поэтому
Я (/+<?) = Я0Я. (8)
Поскольку в силу C.11)
(/ + QM/, g) = l-Tx+y, x+T*y) + [-Sx, S*y} =
(8) совпадает с требуемым равенством E) ф
§ 5. Инвариантные подпространства
ограниченных операторов
1. Пусть пространство Н разложено в ортогональную сумму
двух подпространств:
H=HtQH2. A)
В соответствии с этим разложением будем записывать эле-
элементы х(*Н в виде столбцов х = (хЛ, отождествляя хг?Нх
\хг1
с гЪЛ и х2?Н2 с (J.C разложением A) связано представ-
представление любого оператора Т? В (И) в виде «операторной ма-
матрицы»
Т=(ТТ11 I12), B)
Т
21
где Tt^B(Hj; Я,), i,y=l, 2. Именно положим Ти — Р^\
где Pt — проектор на #,.. Тогда PtTx = Р( (Тх% + Тхг) — Ttlxt
+ Tl2x2, т. е.
\ ^
что соответствует обычному правилу умножения матрицы на
столбец.
82

Легко видеть, что сопряженный оператор Т* задается «эрми-
тово-сопряженной» матрицей
Матричное представление можно ввести и для ограниченных
операторов Т, определенных на подпространстве D(T)czH. По-
Положим, снова имея в виду разложение A),
Tii = PiT\n_ {i, /=1, 2).
Представление оператора Т матрицей B) теперь имеет место
лишь при дополнительном условии
D)
или, что то же самое, при условиях
О,. E)
Отметим, что каждое из равенств E) влечет другое. Условия
D), E) автоматически выполнены, если D(T)=H. Они удо-
удовлетворяются также, если HiczD(T) (либо HD(T))
Аналогичное матричное представление для неограниченных операторов
малосодержательно, так как свойства оператора Т, вообще говоря, плохо
описываются в терминах его .матричных элементов" Ту.
Пример. Пусть//=/.2 [0, 1]©/.2[0, 1],
Д(Г) = {в6//:ву6СЧ0, 1].7=1. 2),
J\J { о о j[j v о ;•
где а — положительная непрерывная функция на [0, 1 ], не дифференцируе-
дифференцируемая ни в одной точке. Тогда хаждый из операторов Тц, i,j'=l, 2, допу-
допускает замыкание в 12[0, 1]. В то же время оператор Т не допускает замы-
замыкания. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что область опреде-
определения сопряженного оператора есть {0} ф ?2 [0,1] и, стало быть, не плотна в Н.
Один из методов изучения линейных операторов заключается
в отыскании таких разложений A) пространства Н, при кото-
которых матричное представление заданного оператора принимает
по возможности простой (треугольный или диагональный) вид.
Это связано соответственно с понятиями инвариантных и при-
приводящих подпространств. Здесь мы рассмотрим первое из них.
2. Пусть Т — ограниченный линейный оператор в Я с замк-
замкнутой областью определения D(T). Подпространство HiCiH на-
называется инвариантным относительно Т (Т-инвариантным),
если
1) подпространства D1 = HlC\D(T), D2=Hxf)D(T) удовле-
удовлетворяют условию D);
6* 83.

2) ЩсЯ,. F)
Для операторов Т с Dx=zHx (в частности, с D(T)=H) усло-
условие 1) выполняется автоматически, а условие 2) принимает вид
х С //,. . G)
Можно дать равносильное определение Г-инвариантных под-
подпространств в терминах проекторов. Ниже через Рт обозначен
проектор на D(T) Подпространство HxczH называется Г-инва-
риантным, если
У) Р^РТ]
2') РХТРХ=ТРХ. (8)
Проверим равносильность обоих определений.
О Обозначим через Pi проектор на Dx. В соответствии с тео-
теоремой 2.8.4 условие 1') эквивалентно равенству РХРТ=РХ, ко-'
торое, в свою очередь, равносильно первому из равенств E).
Таким образом, условия 1) и 1') равносильны.
Из (8) очевидно вытекает F) Обратно, пусть x?D(TPt) =
= D10//S. Тогда Plx^D1 и в силу F) TPtx?Hv Следова-
Следовательно, Р, ТРлх = ТР,х ф
В представлении B) Г-инвариантность подпространства Н,
означает, что T2i=0, т. е. матрица оператора Т — верхняя тре-
треугольная. Оператор Тп называется при этом частью операто-
оператора Т в инвариантном подпространстве Нх. Аналогично, Г-инва-
риантность подпространства Я2 равносильна тому, что матрица
B)—нижняя треугольная G*i2=0). Вследствие формулы C)
из сказанного вытекает теорема.
Теорема 1. Для оператора Т^В(Н) подпространство НхаН
инвариантно в том и только том случае, если подпространство
Н\х является Т*-инвариантным.
Простейший пример инвариантных подпространств дают соб-
собственные подпространства оператора Т:
Так как Hy(T)aD(T), то проверять надо лишь условие G),
которое очевидно выполнено. Более общий пример связан с
«корневыми подпространствами» оператора. Именно положим
Г и
€Я(П:7*->*бМ*~"G-)}, k = U 2, ...
Подпространства Ях* (Т) образуют неубывающую цепочку 7"-ин-
вариантных подпространств.
Если <НтЯ<оо, то всякий оператор Т^Ъ(Н) имеет собст-
собственные подпространства. Если diraW—оо, то оператор Т может
«4

вообще не иметь собственных подпространств, но тем не менее
иметь нетривиальные инвариантные подпространства. В этом
случае они заведомо должны быть бесконечномерными.
Пример. Пусть Н=12 и V—изометрический «оператор
сдвига», который иа стандартном базисе {е^} задается форму-
формулами Veh=ek+u k=\, 2, ... Нетрудно видеть, что V не имеет
собственных чисел. Одно из его инвариантных подпространств
есть {x^l2 :xLex}.
Задача описания всех инвариантных подпространств оператора очень
трудна и решена полностью лишь для отдельных классов операторов
(в частности, для самосопряженных). До сих пор не выяснено, всякий ли
оператор Т^Ъ(Н) имеет хотя бы одно инвариантное подпространство.
Однако у всякого компактного Т существуют нетривиальные инвариант-
ные подпространства (теорема Дж Неймана).
§ 6. Приводящие подпространства
Если в разложении E.1) пространства Н оба подпростран-
подпространства #ь #2 Г-инвариантны, то матрица E.2) — диагональная.
Матричное представление в этом случае остается содержатель-
содержательным и для неограниченных Т.
1. Ниже сохранены основные обозначения предыдущего па-
параграфа, лишь вместо Гц, 7^2 теперь будем писать Т\, Т2. Одна-
Однако теперь Di=Hif\D(T), t=l, 2,— вообще говоря, незамкну-
незамкнутые линейные подмножества в Hi.
Пусть Т — линейный оператор в Н, ,Hi — подпространство в
Н и H2=Hi. ¦ Говорят, что Н\ приводит Т, если
PtD(T) = Dlt P9D(T) = Dt; A)
ГДс//,, TDtdH,. . B)
Из определения следует, что подпространство Hi и его орто-
ортогональное дополнение Н^ приводят оператор Т одновременно.
Отметим, что каждое из равенств A) влечет за собой другое,
в то время как включения B) независимы.
Весьма просто выглядит условие приводимости в терминах
проекторов.
Теорема 1. Для того чтобы подпространство Нх приводило
оператор Т, необходимо и достаточно, чтобы было
T^Pt. C)
О Если //, приводит Т, то при x?D(T) в силу A) также
и Ргх. P2x(:D(T). Стало быть, Тх — ТР^х-f- TP2x, причем
TP,x?Ht, i=\, 2. Отсюда PJx = ТР,х. "¦х
|Г* Обратно, пусть выполнено C). Тогда по определению пере-
В становочности P{D{T)cz D(T). Так как одновременно PXD(T)C
С Ни то PXD{T) = DX, т. е. A) выполнено. Далее, при x?Dt,
=l, 2,
85

Если подпространство #i приводит оператор Т, то область
определения Т есть
D(T) = Dl&D2 = D(Tl)®D(T2); D)
Т действует на элемент x?D(T) по правилу
Тх = ТхРхх -f Т2Р2х
и, следовательно, область значений Т есть
R{T) = R{Tt)@R(T2). E)
В этой ситуации оператор Т называют ортогональной суммой
операторов Ти Т2 (относительно пары приводящих подпро-
подпространств HuHi = Ht) и пишут
Г=Г10Г2. F)
Смысл формулы F) состоит в том, что изучение оператора Т
сводится к изучению его частей Т\, Т2.
2. Теорема 2. Пусть подпространства Ни Н2 = Н\ приво-
приводят оператор Т. Замкнутость Т равносильна замкнутости
его частей Tt, T2 в разложении F).
О В силу B) множества D\, D2 ^-ортогональны (т. е. орто-
ортогональны в смысле скалярного произведения A.1)). Поэтому
наряду с D) имеем Г-ортогональное разложение
Полнота D(T) по Г-норме очевидно равносильна Г-полноте
обоих слагаемых D(Ti), D(T2) #
Из D) вытекает, что оператор Т плотно определен в 11
в том и только том случае, если его части Т\, Т2 плотно опреде-
определены в соответствующих подпространствах. Поэтому оператор
Т* и операторы Т*, Т2 существуют одновременно.
Теорема 3. Пусть DG") = //, подпространство Нг при-
приводит Т и пусть Г, — часть Т в Н^. Тогда fix привоОитп
также сопряженный, оператор Т*. Часть I* в пх совпа-
совпадает с Т* и, следовательно,
GIer,r = 7-;er;. G)
О Для ограниченных операторов утверждение теоремы пря-
прямо следует из E.3). Рассмотрим общий случай.
Пусть Pi —проектор на Их. Для x^D(l), y<=D(T*)
(Тх, Pxy)^(PJx, у) = GЯ1х, у) = (х, Р,Т*у). (8)
Следовательно, Pty?D(T*) и T*Pty = PiT*y, т. е. Т*^РЛ.
Обозначим через (Г*), часть Т* в /У,. Применяя (8) кл?
D(r)/A DGi) ^ОТ*ГН О(Т), видим, чю
(9)

Пусть теперь y,(j?>(ri). Для любого x?D(T) положим jc, =
= Plx; имеем
(Тх, у1) = (Р1Тх, yi) = (TP1x, yl) =
= (-«1, Т\ух)=.\х% Т\У1),
откуда y1e=D(T*)r\H1=D((T*I). Таким образом, в (9) фак-
фактически равенство, а не включение #
Теорема 3 в известной мере допускает обращение. Особенно
Просто обстоит дело для операторов Т^В(Н). Действительно,
из теоремы 5.1 прямо вытекает следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть Т^В(Н) и подпространство Hi Т-инва-
риантно и Т*-инвариантно. Тогда Hi приводит Т и Т*.
Пусть Г=Г1@7, S = S1OS2 относительно одного и
того же разложения пространства Н. Легко видеть, что тогда
+ S2), A0)
A1)
Так как оператор / приводится любым подпространством, то из
A0) следует, что при всяком С
-U2) A2)
(здесь 4 = /|я , k=l, 2]. Отметим еще равенство
Т-1=Тг-1@Т2-\ A3)
причем обратимость Т эквивалентна одновременной обратимо-
обратимости обеих его частей 7\, Т2.
3. Понятие ортогональной суммы операторов очевидным об-
образом распространяется на случай любого конечного числа опе-
операторов. Рассмотрим несколько более сложную ситуацию, когда
число слагаемых бесконечно. В этом случае оператор Т одно-
однозначно восстанавливается по своим частям в приводящих под-.
пространствах лишь при дополнительном условии его замкну-
замкнутости.
Теорема 5. Пусть Т — замкнутый оператор в Н и пусть в раз-
разложении Н = 2Г Ф Hk каждое подпространство приводит Т.
Пусть Tk — часть оператора Т в подпространстве Ни, Pk — про-
проектор на Hk (k=\,2,...). Тогда
), Yk; %J TkPkx 2 < *>} A4)
а для x?D(T)
Tx=^kTkPkx. A5)
О Если x?D(T), то P^DiTk), Yk, и
87
= 2* P*Tx -

причем полученный ряд — ортогональный, так что
Обратно, пусть х принадлежит множеству, описываемому пра-
правой частью A4). Положим ха= 2Х P/ix> тогда хп->- х и Тхп—
Я 0Q
= 2Х ТьРъХ -> 2 ТкРкх. Поскольку Т замкнут, то^й силу тео-
теоремы 2.1, п. б), x?D(T) и выполнено A5) •
В условиях теоремы 5 пишут T=2il ®Tk.
§ 7. Дефектное число, спектр и резольвента
замкнутого оператора
1. Пусть Т — замкнутый оператор в Н. Размерность орто-
ортогонального дополнения к его области значений называется
дефектом и обозначается
dT = Def R(T) = dim [HQWaj). A)
Если D(T) плотно в Н, то dr можно охарактеризовать в тер-
терминах сопряженного оператора Т*, а именно в соответствии с
C.5)
dT = dim Л/(У*). B)
Предположим теперь, что Т имеет ограниченный обратный.
Иначе говоря, предположим, что выполнено неравенство
1Тх\>с\х\, Vx?D(T) (O0). C)
По теореме 2 9 R(T)—подпространство, и критерием разре-
разрешимости уравнения Tx=h является ортогональность h к
HQR(T). Число dr тогда указывает количество «условий орто-
ортогональности», гарантирующих разрешимость уравнения Tx=zh.
Дефект dT обнаруживает устойчивость относительно не
слишком больших возмущений оператора Т.
Теорема 1. Пусть Т — замкнутый оператор, выполнено C),
D(W)=>D(T) и
D)
Тогда оператор T+W замкнут на D(T), для него выполнено
неравенство C) с заменой с Kaci=(l—а)с и
d7. E)
О Замкнутость T+W установлена в теореме 4.2. Из C), D)
находим, что
a)c\xl F)
88

Следовательно, R(T + W) — подпространство. Предположим,
что dT+w < dT. Тогда в соответствии с леммой 1.8 найдется
элемент f?HQR{T), /=^0, такой, что f±MQR(T+W).
Последнее условие означает, что f^R(T~\-W), т. е. / =
= (Т+ W)y. y$D(T). Так как /±R(T), то (/, 7»=0,
а потому
(Ту, Ty)=-(Wy, Ту). G)
Если предположить, что dT+w~> dT, то аналогично найдет-
найдется элемент f—Ty, /=?0, такой, что /_]_/? (Г + W). Таким
образом, и в этом случае мы приходим к G). Из G) следует,
что | Ту 2<| Wy\-\ 7>|<a| Tyf. Но это невозможно при
а< 1, и тем самым E) выполнено •
Условие D) означает, что оператор W сильно подчинен Т
(см. § 4, п. 2), причем в оценке вида D.2) й = 0. Равенство E)
может нарушиться, если D) заменить условием D.2) при про-
произвольном Ь>0.
Приведем следствие теоремы 1, относящееся к ограничен-
ограниченным возмущениям.
Следствие 2. Пусть W^B(H) и \\W\\<c, где с —по-
—постоянная из C). Тогда для T+W выполнены утверждения тео-
теоремы 1.
О Так как lWx\^\WHx\?\W\cr*\Txl то D) выполнено
при a = \W\c-* < 1. При этом сг = с — | W\\ 9
2. Для исследования свойств оператора Т (например, пои
изучении уравнения Tx=h) удобно включить Т в семейство
операторов Т—XI, зависящее от комплексного спектрального
параметра К. Дефект оператора Т—XI будем обозначать через
dr{X) и называть дефектным числом оператора Т в точке X.
Таким образом, по определению
Если оператор Т—XI имеет на множестве #(Т—XI) непре-
непрерывный обратный, то точку X называют точкой регулярного
типа для оператора Т. Множество всех точек* регулярного типа
оператора Т называют его полем регулярности. Мы будем обо-
обозначать это множество через р(Т).
На множестве р(Т) определена целочисленная функция
dr(X); изучим ее поведение. Предварительно заметим, что
включение Хо^р(Т) равносильно существованию постоянной
сь>0, такой, что выполнено неравенство вида C):
UT-h)xl>co\xl Yx?D(T). (8)
Лемма 3. Пусть оператор Т замкнут и выполнено (8). Тогда
круг \Х—Хо\<со принадлежит множеству р(Т) и в этом круге
функция dr (ХУ постоянна.
О Запишем Т—Я/ в виде G*—Ао/) + (Ао—Я)/ и будем .счи-
88

тать (Ло—ХI возмущением оператора Т—XqI. Норма возмуще-
возмущения есть \Х—Л-о | - Поэтому из следствия 2 получаем, что при
|Я—Ао|<с будет Х(~р(Т) и йт(Х)=йт(М) ф
Теорема 4. Множество р(Т) открыто и в каждой его связ-
связной компоненте дефектное число dr(X) постоянно.
О Поле регулярности р(Т) открыто в силу леммы 3. Всякое
открытое множество на плоскости распадается на не более чем
счетное множество непересекающихся связных открытых мно-
множеств (компонент). Если две точки принадлежат одной компо-
компоненте, то их можно соединить ломаной. Каждую точку этой
ломаной можно принять за центр открытого круга, в котором
di(X) постоянно (по лемме 3). Из этого покрытия ломаной
кругами можно выбрать конечное подпокрытие. Отсюда видно,
что Aт (X) не меняется вдоль ломаной #
Если для Х^р(Т) окажется dT(X)=0, то точку X называют
регулярной точкой оператора Т. Для такой точки (Т—%Ij~'e
еВG/). Совокупность регулярных точек оператора образует
его резольвентное множество, обозначаемое через р(Т). Множе-
Множество р(Т) открыто. Действительно, оно состоит из тех компо-
компонент поля регулярности*) р(Т), ^в которых dT(X)—0.
Дополнение к резольвентному множеству р(Т) называется
спектром оператора Т и обозначается через а(Т); дополнение
к полю регулярности р(Т) называется ядром спектра и обозна-
обозначается через а(Т):
Множества а(Т), а(Т) замкнуты (поскольку р(Т), р(Т) от-
открыты). Ясно, что a(T)cza(T). Можно указать примеры опера-
операторов, реализующих следующие «крайние» возможности:
а) а(Т) = С; б) о(Т) = С; в(Т)=0; в) а(Т)=0.
Соответствующие примеры будут приведены в § 4.7, 4.8. В п. 6
настоящего параграфа мы покажем, что для операторов
ТеЪ(Н) ни одна из этих возможностей не осуществляется.
3. В спектре оператора Т принято выделять следующие под-
подмножества:
(9)
Множество оР(Т) называется точечным спектром оператора Т.
Точки Х^Ор(Т) —это собственные значения оператора Т, мно-
*) Здесь видна некоторая непоследовательность терминологии (к сожа-
сожалению, традиционная). Поле регулярности состоит из всех точек регулярного
типа — не обязательно регулярных
90

жества N(T—XI)— соответствующие собственные подпростран-
подпространства. Множество Ос(Т) называется непрерывным спектром опе-
оператора Т. Отметим, что пересечение аР(Т) Г\Ос(Т) может быть
не пусто. Ясно, что oP(T)cza(T), ос(Т)аа(Т). Множество
аг(Т)=в(Т)\в(Т) иногда называют остаточным спектром опе-
оператора Т. При А,есгг(Т) оператор (Т—Я/) существует и не-
непрерывен, но определен не на всем Н.
Теорема 5. Для любого замкнутого оператора Т имеет место
соотношение
°Р(Т)\)*С{Т)=Л{Т). (И)
О Достаточно установить включение гэ. Пусть K
Тогда R(T—XI) — подпространство и на нем существует обрат-
обратный оператор (Т—Х1)~К Он замкнут вместе с Т—XI и в силу
теоремы 2.2 ограничен. Тем самым Х^р(Т), что и доказывает
включение =э в A1) ф
4. Обсудим, что может произойти со спектром при расшире-
расширении оператора. Пусть Т, Т — замкнутые операторы и ТаТ.
Тогда а(Т)са(Т), т. е. ядро спектра не уменьшается при рас-
расширении оператора. В самом деле, если Х^а(Т), то оператор
(Т—Х1)~1 либо не существует, либо существует, но не ограни-
ограничен. В обоих случаях расширение не может «исправить» точ-
точку X. Ясно, что aP(T)czaP(T). Что касается непрерывного
спектра, то он при расширениях оператора может как расши-
расширяться, так и сужаться. Можно показать, однако, что включе-
включение Х^Ос(Т)\ос(Т) возможно лишь при условии, что для Т
число X является собственным значением бесконечной крат-
кратности.
Можно показать, что если \?аГ(Т), то всегда найдется
расширение Т~эТ, для которого ^?р(Т). Если же X А.р G") и
Т—нетривиальное расширение Т (т. е. 7 ~Э Т, Т^= Т), то за-
заведомо ^6°Р(Л- Действительно, так как R(T — \I)^=.fi, то
для любого л: ? D G )\Щ Т) найдется элемент л: ? D (Т), такой, что
(Т—к)х — (Т— Х)лг. При этом очевидно х — x?N(T — >¦/).
5. Операторнозначная функция Гл = 1\ G) = G — Х/)~1 пере-
переменной К определенная на множестве рG"), называется резоль-
резольвентой оператора 7. Значения резольвенты суть элементы
алгебры В(Й). Соотношение (8) означает, что Ц 1\ G"),| <<?-'.
Пусть X, Хо— регулярные точки оператора Т. Тогда очевидно
1\(Г-Х/)ГХо = 1\, Г\(Г->о/I\о = Гх.
91

Вычитая из второго равенства первое, получаем важное соот-
соотношение, называемое тождеством Гильберта для резольвенты:'
1\-1\, = (*.-Хо)Гх]\. A2)
Тождество A2) играет основную роль при изучении свойств
резольвенты. Из него следует, в частности, что Гх.1\ = Г^Гх,
т. е. значения резольвенты при различных X перестановочны.
Равенство A2) можно рассматривать как уравнение для Гх при
заданном Г^. Если |^ — \>|<с0, то Э1Ю уравнение заведомо
разрешимо. Действительно, тогда || 'X — Хо) I\J <. j X — Хо | с^1 < 1.
Следовательно, оператор / — (X — Хо) 1\о обратим, причем
(/-(X - Хо
и ряд справа сходится при |Х — Хо|<со по норме операторов.
Записывая A2) в виде 1\ (/ — (к — Х0)ГХо) = Г^, получаем, что
Гх = Гх„ (/ — (X — Хо) ГхоO' и, следовательно,
(|Х-Хо|<Со). A3)
Оператор-функция, определенная на открытом множестве
QcrC, называется аналитической в Q, если в окрестности любой
точки XeQ она представима ы-сходящимся степенным рядом
вида 2о°(^—ko)hTh, Ть^Ъ(Н). Таким образом, нами доказано
следующее утверждение.
Теорема 6. Резольвента Гх(Т) = (Т—М)-* аналитически за-
зависит от К на множестве р(Т). В окрестности каждой точки
Ъо^р(Т) резольвента представима степенным рядом A3), схо-
сходящимся по норме в круге \К—Ло|<^о, где с0 — постоянная
«з(8).
Отметим, что для любых х, у<=Н скалярная функция
(Г**, у) аналитична на р(Т).
6. Здесь мы приведем некоторые простейшие результаты,
касающиеся расположения спектра операторов 7eB(//j. Нам
потребуется следующая элементарная лемма.
Лемма 7. Пусть {с*}, k=l, 2, .... —последовательность
неотрицательных чисел, удовлетворяющая условию
<?*¦/<<to. А, /- 1, 2. ... A4)
Тогда существует предел
limy^^inf VTk. A5)
О Обозначим через а правую часть A5). Зафиксируем
е >0 и найдем число s, такое, что ся<. (a-f ъу. Пусть ft > s,
k—ns + l, 0<J<s. Из A4) получаем, что cft< c"ct<(a + 6)Л*?>-
Отсюда следует оценка limsup ^я<а-(- s, ir, стало &ыть,
«2

lim sup j/cA-< а. Учитывая, что заведомо llminf j/c*>», полу-
получаем A5) •
Следствие 8. Для любого оператора Т^Ъ(Н) сущест-
существует предел
О В силу B.5.1) последовательность ch=\\Th\\, k—l, 2,
удовлетворяет условию A4) •
Теорема 9. Пусть Те=Ъ(Н), ?,еС и \Х\>г(Т). ТогОа
Я — регулярная точка оператора Т.
О При |Х|>г(Г) ряд Т^-^Х-^^Т" «-сходится.
Почленно умножая сумму ряда на Т — X/, находим, что
fl(T-lI) = (T-X/)l\ = /. Следорательно, ГХ = Г\(Г) и тем
самым Х?р(Г) •
Отметим еще оценку, вытекающую из найденного разложе-
разложения резольвенты:
из нее следует, что |ГХ (Г)|| = О(Х~1) при |Х|^оо.
Теорема 10. Спектр любого оператора Т?В(Н) не пуст.
О Предположим, что Г?!$(//) и рG") = С. Тогла для лю-
любых х, у?Н функция (Гх(Т)х, у) аналитична во всей плоско-
плоскости и стремится к нулю при |Х|-><?о. По теореме Лиувилля
(Тх(Г)х, у) — 0. Следовательно, и 1\(Т) — 0, VI & С. Однако
это противоречит тому, что 1\G") — обратимый оператор #
Можно показать, что любой оператор Т?Ъ{Н) имеет хотя
бы одну точку спектра на окружности |Х| = г(Г).

ГЛАВА 4
СИММЕТРИЧНЫЕ И ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ
ОПЕРАТОРЫ
Перейдем теперь к исследованию специальных классов ли-
линейных операторов, имеющих основное значение для дальней-
дальнейшего. Будем рассматривать симметричные (в частности, само-
самосопряженные) и изометрические (в частности, унитарные)
операторы. Имея в виду цели спектральной теории, мы рас-
рассмотрим также класс нормальных операторов, включающий
в себя как самосопряженные, так и унитарные операторы.
§ 1. Симметричные и самосопряженные операторы.
Индексы дефекта
1. Для ограниченных операторов понятия симметричного и
самосопряженного операторов совпадают (см. § 2.7). При пе-
перенесении на неограниченные операторы эти понятия «расщеп-
«расщепляются». Естественное обобщение соотношения симметричности
B.7.1) приводит к следующему определению. Оператор А на-
называется симметричным, если D(A)—H и выполнено соотно-
соотношение
(Ах, у) = (*, Ду), V*, y?D(A). A)
Как и для ЛеВ(#), соотношение A) влечет за собой ве-
вещественность квадратичной формы (Ах, х). Обратно, если для
плотно определенного А форма (Ах, х) вещественна при всех
x^D(A), то A) выполнено. Это вытекает по-прежнему из ра-
равенства B.4.9), связывающего значения билинейной формы
Ф(х> у)~(Ах, у), х, y^D(A), и квадратичной формы
Ф(х)*=(Ах,х).
Определение A) равносильно включению А С А* (но не
обязательно А—А*}. Поскольку А* замкнут, симметричный
оператор А заведомо допускает замыкание А; при этом А*—А*.
Если А — симметричное расширение А, то Л* С Л*, и мы по-
получаем цепочку расширений
А С А а А* а А*. B)
94

Из B) следует, что симметричное расширение А^эА обязатель-
обязательно является сужением сопряженного оператора А*. Если сим-
симметричный оператор не имеет симметричных расширений, он
называется максимальным.
Оператор называется самосопряженным, если он совпадает
со своим сопряженным: А=А*. Ясно, что самосопряженный
оператор симметричен. Обратное, вообще говоря, неверно. Та-
Таким образом, понятие симметричного оператора оказывается
более широким по сравнению с понятием самосопряженного
оператора. При А—А* все члены цепочки B) совпадают. Это
означает, что самосопряженный оператор максимален. Суще-
Существуют, однако, максимальные операторы, не являющиеся са-
самосопряженными.
Важный для применений вопрос об описании и изучении
всех возможных симметричных (в особенности — самосопря-
самосопряженных) расширений составляет предмет теории расширений.
Об этих вопросах подробнее пойдет речь в § 4.
Если оператор А самосопряжен, но АФА, то говорят, что А
в существенном самосопряжен. Этот несколько громоздкий тер-
термин выражает то обстоятельство, что расширение оператора до
самосопряженного достигается простейшей процедурой расши-
расширения — замыканием.
Оператор А* симметричен • только в случае, когда А — в
существенном самосопряженный. Действительно, если Л* сим-
симметричен, то А*сА**=АсА*=А*, что дает А*=А.
2. Перейдем к исследованию поля регулярности р(А) сим-
симметричного оператора. При этом будем считать А замкнутым,
что фактически не уменьшает общности.
Теорема 1. Верхняя полуплоскость ImX>0 и нижняя
полуплоскость Im X < 0 принадлежат полю регулярности
р(А) замкнутого симметричного оператора А.
О Положим Х = а-}-ф и заметим, что в тождестве
последний член правой части исчезает в силу вещественности
квадратичной формы симметричного оператора А—ее/. Таким
образом,
x)xf + F\\xF (X^a-J-ф). C)
Из C) следует, что \\{А — X);c||>|ImX|-||jt| •
Из теоремы 1 вытекают простые, но важные выводы.
Следствие 2. В каждой из полуплоскостей 1тД,>0,
1тЛ<0 дефектное число dA(%) постоянно.
Достаточно сопоставить теорему 1 и теорему 3.7.4. Значения
с1а(Х) при 1тД,<0 и 1тД,>0 обозначаются соответственно через
п.=п-(А) и п+=п+(А). Числа л± называются индексами
дефекта оператора Л. В соответствии с формулой C.7.2) ин-
95

дексы дефекта можно выразить в терминах сопряженного опе-
оператора:
/"-^ImX>0< D)
п+(А), ImX<0. '
Если А не замкнут, то по определению полагают п± (А) = \
¦=п±{А).
Следствие 3. Ядро спектра о (А) замкнутого симмет-
симметричного оператора А вещественно.
Следует иметь в виду, что любое замкнутое множество
вещественной оси (в том числе само R и пустое множество 0)
может представлять собой ядро спектра некоторого симметрич-
симметричного оператора.
Следствие 4. Если у симметричного оператора А име-
имеется хотя бы одна вещественная точка Хо регулярного типа, то
n+(A)=n-(A)=dA(bo).
О Достаточно принять во внимание, что в некотором круге
с центром Хо число йл (Я.) постоянно #
Разумеется, равенство п+(А)=п_(А) может осуществлять-
осуществляться и тогда, когда o(A) = R.
Отметим еще следующий элементарный факт. Пустьчопера-
тор А симметричен, Хь Х2^оР(А), ХхФ^г- Тогда соответствую-
соответствующие собственные подпространства ортогональны. Действитель-
Действительно, в силу следствия 3 числа Xi, Хч .вещественны. Если
АХц=ХеХг, S=l, 2, ТО
Xj (xlf дг2) ^ (Ахг, х2) = (хи Ах2) = Х2 (хг, Ху),
откуда (хи х2) — 0.
3. В приложениях часто встречаются так называемые полу-
полуограниченные операторы. Для определенности будем говорить
об операторах, полуограниченных снизу. Эти операторы выде-
выделяются условием
(Ах, х)^т(х, х), x?D(A), E)
где т — вещественное число. Наибольшую возможную по-
постоянную т = тА в E) называют точной нижней границей
оператора А. Величина тА определяется из соотношения тА =
=• inf (Ах, х)/(х, х). Если т. =0 и АфО, оператор А
0+jr6I> (A) r
называется положительным; если тА > 0, — положительно
определенным. Условие E) предполагает, что квадратичная
форма А вещественна. Поэтому плотно определенный полуог-
полуограниченный оператор симметричен.
Следствие 5. Если А полуограничен снизу, то полуось
(—с», /яд) входит в р(Л) и, следовательно, п+(А) — п_(А).
96

О При Я,</пд имеем
\(A-X)x\.\\xl^({A-%)x, х)-((А-тА)х, *)-
— (X -тА) (х, х) Ss (тА-Щх f,
откуда \(А — Х)х\^с\х\\ при с — тА — X. Остается использовать
следствие 4 #
4. Остановимся теперь на случае, когда оператор А само-
самосопряжен.
Теорема 6. Если А = А*, то р(Л) = р(Л) и, следователь-
следовательно, о (А) = a (A) с: R.
О Если А = А*, то для ImX^O N (A*-%I) = N(A -Х7) = {°}
и в силу D) п±(А) = 0. Таким образом, все невещественные
точки регулярны. Если ImA = 0 и 1ер(Л), то опять-таки
dA(X) = dimN(A*-M) = dimN(A-Xf) = O и ^ер(Л) •
Резольвента самосопряженного оператора аналитически за-
зависит от X в полуплоскостях 1тЯ>0 и 1тЯ<:0. Легко про-
проверить, что при этом (Т} (Л))* = Г^ (А). Если cr(i4)^=R, то ре-
резольвента аналитически продолжается из одной полуплоскости
в другую через составляющие интервалы множества R\a(;4).
В терминах индексов дефекта легко указать критерий само-
самосопряженности симметричного оператора А.
Теорема 7. Для того чтобы замкнутый симметричный опе-
оператор А был самосопряженным, необходимо и достаточно, что-
чтобы п+{А) =п-(Л)=0.
О Необходимость установлена при доказательстве теоре-
теоремы 6. Пусть пх(А) = 0; тогда R(A-iI)=K(A+iI) = H.
В силу B) достаточно проверить, что D (A*) czD(A). Пусть
г/е!)(Л*) и h= (A*~\-i)y. Найдется элемент yo^D (А), такой,
что (А + i)у0 = h. Для любого «eD(А) имеем ((А — i)x, у) —
= (а:, (А* + 0 у) = (х, (А + 0 г/0) = ((Л - i) x, у0). Поскольку
(A — i)x при x^D(A) пробегает все //, из последнего соот-
соотношения получаем, что y = yo^D(A) •
Следствие 8. Симметричный оператор, имеющий веще-
вещественную регулярную точку, самосопряжен.
Действительно, из следствия 4 получаем, что пь(А)=0.
5. Вернемся теперь к случаю симметричных операторов и
покажем, что индексы дефекта обладают устойчивостью отно-
относительно сильно подчиненных (см. § 3.4, п. 2) возмущений
Теорема 9. Пусть A, W — симметричные операторы, причем
А замкнут и W сильно подчинен А. Тогда симметричный опе-
оператор B = A-\-W замкнут на D (А) и п+(В) =п+(А). В част-
частности, В самосопряжен вместе с А,
7 Заказ 649 97

О Замкнутость В следует из теоремы 3.4.2. Далее, заме-
заметим, что условие сильной подчиненности C.4.2) в силу C)
можно записать (при у = Ь/а) в виде
Применяя теорему 3.7.1 к операторам A±iyl, W, получаем
равенства dA(±iy) = dB(±iy), которые и означают, что
п±(А)-п±(В) •
Условиям теоремы 9 заведомо удовлетворяют симметричные
возмущения И^еВ(Я), поскольку для них aA(W) = 0.
Результат теоремы 9 о самосопряженности следует также
из теоремы 3.4.3.
§ 2. Изометрические и унитарные операторы
1, Наряду с симметричными операторами другой важный
класс, заслуживающий специального изучения, образуют изо-
изометрические1 операторы. Свойства изометрических операторов
во многом параллельны свойствам симметричных операторов,
хотя есть и существенные отличия. Изометрические операторы
тесно связаны с понятием изометрического изоморфизма гиль-
гильбертовых пространств (см. § 2.1, п. 2).
Пусть D, R— подпространства в гильбертовом простран-
пространстве Н. Пусть У —линейный оператор, D(V)=D, R(V)=R
и для любого хеО(У) выполнено равенство || Ух| = ||дс||. Тогда
оператор V называют изометрическим. Отображение V :D-»-/?
устанавливает изометрический изоморфизм гильбертовых
пространств D и R, а потому обязательно dimD(V) = dim/?(V).
Отметим, что |V|=1. Далее, V обратим и V'1 — также изо-
изометрический оператор, для которого D(V-1) = Rt R(V~l)=D.
Из B.1.9) следует, что
(Vxlt Ухг)={хи хг) (*!, x2^D).
Проверим, что все точки zeC, \г\ф1, принадлежат полю
регулярности изометрического оператора.^ Действительно, для
\г | Ф 1 имеем
Мы видим, что при | г | Ф1 точка г является точкой регуляр-
регулярного типа для V. Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема I. Ядро спектра изометрического оператора лежит
на единичной окружности Т плоскости С.
Поле регулярности изометрического оператора имеет две
связные компоненты: внутренность | z | < 1 и внешность J г | > 1
окружности Т. Если на Т есть точка регулярного типа, то обе

компоненты сливаются в одну связную компоненту. Обозначим
через /д сужение тождественного оператора / на подпростран-
подпространство D. Дефектное число
dv (г) = Def R(V~ zl) = Def R(V~ zID)
постоянно при |г|<1 и |г|>1. Соответствующие значения
dv(z) обозначим через ni = nt(V) и ne = ne(V) и будем назы-
называть индексами дефекта изометрического оператора.
Теорема 2. Для изометрического оператора V справедливы
соотношения
A)
О Первое соотношение A) очевидно: Def R (V) = dv @) = nt.
Докажем второе из равенств A). Отметим прежде всего, что
DefD = DelR(ID) — diD@). Далее, при | z | > Г оператор V мож-
можно рассматривать как возмущение оператора zID. Применяя к
оператору zID — V теорему 3.7.1, получаем
Def D = d,D @) - d2lD~V@) = Dei R(V- zl) = ne (V) %
Из A) непосредственно следуют соотношения
niiV-^^nAV), n.(V^) = n,(V).
Если 2Х Ф г2 — собственные значения изометрического опе-
оператора, то соответствующие собственные подпространства
ортогональны. Это следует из равенств
z1Z8(x1, a:2)=2]22-1(-«i, *a)-
Мы видим, что для спектра изометрических операторов еди-
единичная окружность играет примерно такую же роль, какую для
симметричных операторов играет вещественная ось. В классе
изометрических операторов выделим теперь унитарные опера-
операторы, которые по своим спектральным свойствам близки к са
мосопряженным.
2. Изометрический оператор V называется унитарным, если
D(V) = R{V) = H. Ясно, что V и V'1 унитарны одновременно.
Из A) следует, что унитарность V равносильна соотношениям
л* 00 = л, 00=0. B)
Если Vi, Vi унитарны, то оператор V = VtV2 также унитарен.
Таким образом, унитарные операторы образуют группу отно-
относительно умножения. Отметим еще соотношение V~1 = V*; дей-
действительно, для х, у е Н
(Vx, y) = (Vx, VV-1y) = (x, V-iy).
Линейный оператор V унитарен тогда и только тогда, когда
выполнены соотношения
=I. C)
7* 99

Необходимость C) уже отмечалась. С другой стороны, из C)
сразу следует, что D (V) =R(V) = H и V изометричен:
\\Vx\\*=(V*Vx, x) = \\xf.
Для унитарного оператора все точки регулярного типа ре-
регулярны. Действительно, для \г\ф! это следует из B). Если
20(i= 1 и гоер(У), то для достаточно близких к г0 точек г,
г ф\, имеем dv(z) = dv(z0), и снова из B) следует dv(z0) = 0.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Для унитарного оператора V ядро спектра
совпадает со спектром: o(V) = o(V). Спектр a{V) представ-
представляет собой замкнутое множество на единичной окружности
И = 1.
Заметим, что спектр o(V) может заполнять всю окружность
= 1. Он не может быть пустым в силу теоремы 3.7.10.
Важным примером унитарного оператора является преобра-
преобразование Фурье в L2(Rm). Теории этого преобразования и его
применениям посвящены § 8.3, 8.5, 8.6.
3. Вернемся к обсуждению изометрических операторов и
выясним, что для них является аналогом соотношений C). При
этом удобно распространить V на все Н, полагая его нулем на
Н QD. Расширенный оператор уже не изометричен. Его назы-
называют частично-изометрическим и говорят, что D — его область
изометричности.
Теорема 4. Пусть V — частично-изометрический оператор
с областью изометричности D и областью значений R. Тогда
V* — также частично-изометрический оператор с областью изо-
изометричности R и областью значений D. При этом
V*V = PD, VV*=PR, D)
где Pd, Pr — проекторы на D и R соответственно.
О Прежде всего отметим, что N (V*) = Н Q R(V) = H Q R.
Пусть теперь i/e/?; тогда y=Vx, где xeD и ||х[| = |у|. Для
любого /ей имеем: (/, V*y) = (Vf, у) = {VPDf, Vx) =
= (PDf, x) = (f, x). Таким образом, V*y — x и V* изометричен
на R. Далее, (V*Vf, f) =|| VPDff = \\PDf\?= {PDf, /), что приво-
приводит к первому равенству D). Второе соотношение D) получается
переменой ролей операторов V и V* ф
Легко видеть, что линейный оператор V, для которого вы-
выполнены соотношения D), является частично-изометрическим
с областью изометричности D и областью значений R.
Если D = H, но R=^H, то изометрический оператор V назы-
называют полуунитарным. В этом случае У* —частично-изометри-
—частично-изометрический. Для полуунитарнога оператора ne(V) = 0, л,(У)==^0;
ядро спекра а (V) совпадает с окружностью |z|=l (иначе
было бы ne — ni). Пример полуунитарного оператора дает опе-
оператор сдвига в /2, введенный в § 3.5, п. 2.
100

4. Пусть теперь HL, H2 — два гильбертовых пространства и V —
линейный оператор, VH1 = H<i и || Vx [^ = | х \\х для всех хей,,
Хотя теперь Hlt Нг не являются подпространствами одного про-
пространства, по-прежнему говорят, что V — изометрический оператор
(отображение). В этом случае говорят также (терминологически
несколько непоследовательно), что V унитарно отображает Их
на Нг. Поскольку оператор V устанавливает изометрический
изоморфизм между Нг и Н2, то он должен устанавливать содер-
содержательные связи между операторами, действующими в//,ив Я2.
Именно пусть 7\, Т2 — операторы в Нх и Я2 соответственно. Пусть
VDG\) = D(r2) и VT^^TzVx для x<=D(T). Тогда говорят,
что 7\ и Tt унитарно эквивалентны и пишут Tl = V~1TiV, Тг =
— VTiV'1. В этом случае говорят также, что отображение V
переводит оператор 7\ в оператор Т2. Свойства и характеристики
оператора, не меняющиеся при замене оператора на унитарно
эквивалентный, называются его унитарными инвариантами. Пос-
Поскольку преобразование y = Vx есть, по сути дела, «преобразование
координат», то переход от 7\ к Тг = VTxV'1 можно трактовать
как запись Тх «в новых координатах». Этим объясняется то
обстоятельство, что в приложениях чаще всего интересуются
унитарными инвариантами. Например, в квантовой механике
любой физически осмысленный вопрос допускает формулировку
в унитарно инвариантных терминах.
Если Нг = Н% = Н, то оператор V унитарен. В этом случае
унитарная эквивалентность 7\ и Т2 очевидно означает, что
TX = V*T2V.
§ 3. Преобразование Кэли
1. Мы уже отмечали аналогии в свойствах симметричных и
изометрических операторов. В основе этих аналогий лежит опера-
операторное дробно-линейное преобразование, переводящее симметрич-
симметричные операторы в изометрические. Для спектрального анализа
симметричных операторов определяющую роль играет разбиение
комплексной плоскости на три подмножества: вещественную ось,
нижнюю и верхнюю полуплоскости. Для изометрических опера-
операторов подобную роль играют единичная окружность, ее внеш-
внешность и внутренность. Фиксируем какое-либо К, 1тЯ,>>0, и рас-
рассмотрим преобразование ? = (г — X) (г — А,)-1. Функция ? конформно
отображает полуплоскость 1тг>0 на единичный круг |?|<1;
при этом вещественная ось переходит в единичную окружность.
Можно ожидать, что соответствующее операторное дробно-линейное
отображение
у = (Л-Х/)(Л-1/)-1 A)
переведет замкнутый симметричный оператор А в изометрический
оператор V. Это преобразование мы рассмотрим подробнее. Прежде
101

всего придадим A) «параметрическую» форму. Именно, каждому
t _ г» / лч сопоставим два элемента
h={A-l)f, Vh = (A-K)f. B)
Поскольку оператор А — %1 обратим при 1т"кфО, каждому h =
= (А — %)f отвечает единственный элемент Vh. Таким образом,
формулы B) корректно определяют линейный оператор V, для
которого
{H) kI). C)
Множества D(V), R(V) замкнуты вследствие замкнутости опера-
оператора А. Проверим, что V изометричен. Полагая X, = a + ip\ в со-
соответствии с A.3) получаем
откуда ||Vh|| = ||h|| для любого h^D{V). Оператор V называют
преобразованием Кэли оператора А. По оператору V симметрич-
симметричный оператор А восстанавливается единственным образом. Дей-
Действительно, разрешая формулы B) относительно / и Af, имеем
D)
или в явной форме
(
2. Не всякий изометрический оператор является преобразова-
преобразованием Кэли какого-либо симметричного оператора. В самом деле,
первая из формул D) показывает, что D(A) = R(V — /), а потому
необходимо должно быть
R(V-I) = H. F)
Покажем, что при выполнении условия F) изометрический опе-
оператор является преобразованием Кэли некоторого замкнутого
симметричного оператора. Отметим прежде всего, что
lea,(V), G)
т. е. что из (V — 1)х = 0 следует * = 0. Действительно, для любого
h<=D(V) выполняется ((V-I)h, x) = (Vh, x)-(h, x) = (Vh, Vx) —
— (/i, *) = 0, а потому в силу F) * = 0. Таким образом, формулы
D) позволяют однозначно определить элемент Af no /gDD) =
= R(V — /), причем оператор А плотно определен. Из D) сле-
следует, что квадратичная форма вещественна:
h, h)-X(h, Vh) =
|||pz, АЛ),
102

а потому А симметричен. Формулы D) влекут за собой форму-
формулы B). Замкнутость А вытекает из замкнутости множества
R(A-\I) = D(V).
Итогом проведенных рассмотрений является следующая тео-
теорема.
Теорема 1. Преобразование Кэли A) биоднозначно отображает
множество замкнутых симметричных операторов на множество
изометрических операторов, удовлетворяющих условию F).
Между индексами дефекта операторов Л и V существует прос-
простая связь. Именно из C) и B.1) сразу получаем
n.(A) = ne(V), n+(A) = ni(V). (8)
Отсюда и из теоремы 1.7 вытекает следующее утверждение.
Теорема 2. Симметричный оператор А самосопряжен тогда
и только тогда, когда его преобразование Кэли есть унитарный
оператор.
Преобразование Кэли позволяет в ряде вопросов сводить изу-
изучение симметричных операторов к изучению операторов изомет-
изометрических. Это оказывается полезным в спектральной теории (см.
§ 6.3) и особенно в теории расширений симметричных операторов
(этой теории посвящен § 4). Заметим, что преобразование A) фак-
фактически представляет собой семейство преобразований, зависящее
от параметра X, 1тЯ,>0. Для большинства применений достаточно
как-либо фиксировать X,; чаще всего полагают X, = i.
3. Если Н разложено в ортогональную сумму подпространств,
приводящих изометрический или симметричный оператор, то
соответственно разлагаются и их индексы дефекта. Рассмотрим
этот вопрос подробнее.
Пусть Н = #i ф #2 и пусть Vs — изометрический оператор в
Hs, s = 1,2. Тогда V = Vi ф V» — изометрический оператор в Н,
причем D(V) = D(V!)®D(K2); /?(V) = /?(V!)®/?<V,). Отсюда
видно, что
MV) = MVt) + rt,(V2), ne(V) = ne(Vl) + ne(V2). (9)
Далее, пусть As — замкнутый симметричный оператор в Hs,
Vs — его преобразование Кэли, s == 1,2. Тогда А = Л1фЛ2 — зам-
замкнутый симметричный оператор в Н. Из результатов § 3.6 (см.
формулы C.6.12), C.6.13)) вытекает, что оператор V = Vj®V2
является преобразованием Кэли для А. Сопоставляя (8) и (9),
находим
А. A0)
§ 4. Расширения симметричных операторов.
Формулы Неймана
1. Преобразование Кэли позволяет свести задачу описания
симметричных расширений замкнутого симметричного оператора
к аналогичной задаче для изометрического оператора. В самом
103

деле, если А, А симметричны, A zd А, то преобразование Кэли
V оператора А является изометрическим расширением пре-
преобразования Кэли V оператора А. Обратно, если оператор
V zd V изометричен, то для него автоматически выполнено усло-
условие C.6), а потому он является преобразованием Кэли симметрич-
симметричного оператора Azd А. Таким образом, любое симметричное рас-
расширение A zd А можно получить за счет подходящего изометри-
изометрического расширения V zdV и применения обратного преобразо-
преобразования Кэли.
Для изометрических операторов вопрос о расширениях решается
элементарно. Пусть Do, Ro — какие-либо подпространства, Do с
сЯ0О(П RocHQR(V),
dimA, = dim/?0 = n0> . 0)
и пусть 1/0 —какой-нибудь изометрический оператор, D(V0)=D0,
R(Vo) = Ro- На множестве D(V) — D(V)@D0 рассмотрим оператор
у= V © Vo. Ясно, что V => V, V изометричен и R (V) = R (К) © Ro.
Ясно также, что описанная конструкция исчерпывает все изомет-
изометрические расширения оператора V. Содержательным ограничением
в этой схеме является условие A). Из него, в частности, следует,
что у V отсутствуют изометрические расширения в том и только
том случае, когда хотя бы одно из чисел
пе (V) = dim (Я 0 D (V)), щ (V) = dim (H Q R(V))
равно нулю. Из A) следует также, что
В терминах симметричных операторов эти соотношения в силу
C.8) могут быть записаны следующим образом:
П-(А) = п-(А) + щ, п+(А) = п+(А) + п0. B)
Среди симметричных расширений^ A zd А оператора А есть опера-
операторы с любыми индексами я_(Л), п+(А), для которых выпол-
выполнено необходимое соотношение*'
п+(А)-п*(А). C)
Из C) сразу же вытекают следующие важные утверждения.
1) Замкнутый симметричный оператор максимален тогда и
только тогда, когда гшп(/г_(Л), п+(А)) = 0.
2) Всякий симметричный (не максимальный) оператор имеет
максимальные симметричные расширения.
3) Наличие у симметричного (не максимального) оператора
самосопряженных расширений равносильно соотношению п.-(А) =
(А)
*• Символу оо—оо при этом следует придавать «неопределенное» значе-
значение Условие C) тогда перестает быть ограничением.
104

4) Все симметричные расширения симметричного оператора А
с индексами п-(А) = Пи (А) = 1 являются самосопряженными.
5) Симметричный оператор А с индексами п-(А) = п+(А) = оо
имеет симметричные^ расширения с любой наперед заданной парой
индексов П-(А), п^(А)
2. Пользуясь преобразованием Кэли, нетрудно дать полное
(параметрическое) описание всех симметричных расширений задан-
заданного симметричного оператора А. Эту задачу решают формулы
Неймана. Поскольку любое симметричное расширение А опера-
оператора А содержится в А*, важно описать сопряженный оператор.
Теорема 1. Пусть А — замкнутый симметричный оператор.
Область определения сопряженного оператора представима в виде
прямой суммы
D(A*) = D(A) + N(A*-Xl) + N{A*-ll), InU#0. D)
О Каждое слагаемое в правой части D) содержится в D(A*).
Пусть yeD(A*). В соответствии с разложением
E)
представим элемент (А* — X)у в виде
D(A), u^N(A*-ll). F)
Равенство F) можно записать в виде (А* — Ц(у — х — б) = 0,
откуда у — х-— й = «е N (А* — kl). Остается проверить, что сумма
D) —прямая. Пусть оказалось (обозначения прежние), что х -\-
-f- и + п = 0. Применяя оператор А * — XI, получаем, что (Л — X) х +
-}- (Я — X) п = 0, и в силу E) s = 0, (А — X) х = 0. Но тогда х = 0,
а потому и u-0 |
Коль скоро разложение D) построено, оператор А* описан
полностью. Действительно, на слагаемых суммы D) А* совпадает
соответственно с А, XI, XI.
Из D) следует, что d\m(D(A*)/D(A))*=di(n[N (A-XI)+
+ N(A*-Xl)) = dimN(A-XI) + d\mN(A*-Xl). Вместе с A.4)
это приводит к соотношению
G)
которое согласуется с независимостью индексов дефекта от X.
Более того, в случае равных индексов из G) снова получается
независимость п± (А) от к.
Перейдем к описанию симметричных расширений. Примем для
определенности, что ImX,>0. Пусть Do, Ro, VO — те же, что и
в п. 1. В соответствии с C.3)
DoczH QD(V) = H eR{A-Xl) = N(A*-XI)
и аналогично RocN{A* — XI). Кроме того, выполнено A). В осталь-
остальном Do, Ro произвольны. Будем исходить из соотношения D(A) =
105

= R(V — I), которое применим к операторам А, V. Тогда получим
Этим доказана следующая теорема
Теорема 2. Пусть DoczN (А*—XI), Ro <= N (A* -ll) - какие-
либо подпространства, и пусть выполнено A) Пусть Vo —произ-
—произвольное изометрическое отображение Do на Ro. Тогда формулой
D{A) = D{A) + (V0-I)D0 (8)
задается область определения некоторого замкнутого симметрич-
симметричного расширения А оператора А, и для любого такого расшире-
расширения имеет место разложение (8).
Поясним, что сумма (8) —прямая, поскольку является частью
суммы D). Действие оператора А на D (А) определяется вклю-
включением А а А*. Таким образом, формула (8) описывает все сим-
симметричные расширения, причем Do, Ro, Vo являются «параметрами»
этого описания. Формулы D), (8) называются формулами Неймана.
Из (8) вытекает, что для числа п0, определенного в A) (см.
также B)), справедлива формула
dim (D(A)/D (А)) ^п0. (9)
В случае конечных индексов дефекта бывает полезна сле-
следующая теорема.
Теорема 3. Пусть А — замкнутый симметричный оператор и
п-(А)-{-п+(А)<Соо, Тогда любое его симметричное расширение А
замкнуто.
О В соответствии с A.2) А а Аа А*. Остается сослаться
на G) и на теорему 3.2.6 •
§ 5. Оператор Т*Т. Нормальные операторы
1. Теорема 1. Пусть Т— замкнутый, плотно определенный
оператор в Н. Тогда Т*Т — неотрицательный самосопряженный
оператор в Н. Его область определения D(T*T) плотна в гиль-
гильбертовом пространстве *7 Н Т-
О Воспользуемся теоремой 3.3.8 при / = 0. Мы находим, что
для любого g е Н имеется единственная пара элементов х DG
D(T*), такая, что
у = Тх, g = x + T*y. A)
Первое из этих равенств означает, что Тх eD {Т*), т. е. ^е
е D (Т*Т), второе показывает, что
) х. B)
*' Напомним (см. § 3 1), что через Нт обозначается множество D (Т),
рассматриваемое как гильбертово пространство относительно скалярного произ-
произведения C.1.1).
106

Из C.3.12) (при / = 0) следует, что |)дрЦ<||?|; в частности, х = 0,
если g = 0. Таким образом, равенство B) определяет оператор
S = (I + T*T)-\ причем SeB(ff), |]S||^1. Квадратичная форма
(Sg, g) = (x, x + T*Tx) = ]xf + \Tx^
вещественна и в соответствии с теоремой 2.7.1 оператор S само-
самосопряжен. Вместе с ним самосопряжен оператор / + T'*T' = S~I,
а тогда и Т*Т. Его неотрицательность следует из равенства
(Т*Тх, x)=*\Txf, 4x€±D(T*T).
Остается установить плотность в Нг множества D (Т*Т).
Пусть h^HT,(x, h)T = 0 для любого х<=D(T*T) Это означает,
что
(х, h) + (Tx, Th) = (x + T*Tx, Л) = 0, Vx<=D(T*T).
Таким образом, элемент Л ортогонален множеству /?(/ -\-Т*Т) — Н,
т. е. Л = 0 •
Меняя ролями операторы Т и Т*, получаем, что оператор ТТ*
также неотрицательный и самосопряженный, и множество D (ТТ*)
плотно в пространстве Нт»-
2. Важное место в спектральной теории занимают нормальные
операторы. Замкнутый плотно определенный оператор Т называ-
ется^нормальным, если операторы Т*Т, ТТ* совпадают:
Т*Т = ТТ*. C)
Иначе говоря, операторы Т и Т* перестановочны в точном смысле
слова (см. § 3.1) Приведенное определение содержит в себе дан-
данное в § 2.7 определение ограниченных нормальных операторов.
Очевидно, что самосопряженные и унитарные операторы нор-
нормальны.
Теорема 2. Пусть Т —нормальный оператор в Н. Тогда
D(T*) = D(T); D)
tT*x\ = \\Tx\\, yx^D{T). E)
О Положим L = D(T*T) = D(TT*). Jim x<=Z, равенство E)
выполнено, поскольку в силу C)
(Тх, Тх) = (Т*Тх, х) = (ТТ*х, х) = {Т*х, Т*х).
В соответствии со сказанным в § 3.2, п.2, из теоремы 1 следует,
что D (Т) можно получить, замыкая L по 7-норме. То же верно
для D(T*) и 71*-нормы. Отсюда следует D), так как ||*|г = ||л:|г»
для ух е L. При этом E) распространяется с L на D (Т) по
непрерывности •
Теорема 3. Пусть Т —нормальный оператор в Н. При любом
К е= С
N(T-XI) = N{T*-XI), F)
107

О Если оператор Т нормален, то нормален и Т — XI, уХ, е С.
Применяя к этому оператору равенство E), получаем
Отсюда F) вытекает непосредственно ф
Теорема 3 означает, что число X является собственным для
нормального оператора Т в том и только том случае, если
число X — собственное для оператора Т*, причем соответствующие
собственные подпространства совпадают. Покажем, что собствен-
собственные подпространства нормального оператора Т, соответствующие
различным собственным числам, ортогональны. В самом деле, пусть
Txs = Xsxs, s = 1, 2; тогда в силу F) T*xs = lsxs и, следовательно,
M*i, x,) = (Txlt *,) = (*!, 7*jk2) = X2(*i> xt).
Так как ХгфХ^, то (xlt лг2) = 0.
Из F) следует, что для нормального оператора Т — XI общее
соотношение C.3.5) принимает вид
H = R{T-XI)@N{T-XI). G)
Теорема 4. Если Т — нормальный оператор, то его ядро спектра
совпадает со спектром: а (Т) — а(Т).
О Пусть А,ер(Г). Тогда R (Т — XI) — подпространство и li
ЦсГр(Т), т. е. N (Т — Х1) = {0}. Отсюда в силу G) вытекает, что
R(T — XI) = H, и, стало быть, Я,ер(Т). Таким образом, рG') =
=р(Т), а тогда и а(Т) = а(Т) 9
Пусть 7 —нормальный оператор. На области определения D)
рассмотрим операторы Т + Т*, i(T* — T). Эти операторы сим-
симметричны, но, вообще говоря, не самосопряжены. Впоследствии
(см. § 6.6) будет установлено, что эти операторы в существенном
самосопряжены и их замыкания перестановочны (в смысле опре-
определения § 6 3, п. 3).
Для произвольных плотно определенных замкнутых операторов
рассмотрение операторов Т-\- Т*, i(T* — T), вообще говоря, мало-
малосодержательно, поскольку множество D(T)f\D(T*) может ока-
оказаться чересчур «бедным».
В заключение отметим, что всякое непустое замкнутое мно-
множество в С является спектром некоторого нормального опера-
оператора. По этому поводу см. § 7, п. 4.
§ 6. Классификация точек спектра
В предыдущих параграфах этой главы рассматривались сим-
симметричные (в том числе самосопряженные), изометрические (в том
числе унитарные) и нормальные операторы. Здесь мы, примени-
применительно к этим классам, дополним сведения об инвариантных и
приводящих подпространствах (см. § 3.5, 3.6), а также уточним
классификацию точек спектра.
108

1. Если А — ограниченный самосопряженный оператор в Н,
то любое его инвариантное подпространство является приводящим.
Это прямо вытекает из теоремы 3.6.4. Следующая теорема рас-
распространяет этот факт на неограниченные симметричные операторы.
Теорема 1. Пусть А — замкнутый симметричный оператор
в Н, Н1 — подпространство в Н, Рг — проектор на Ни и пусть
выполнены условия
def
PD(A DA
Тогда подпространство Нх приводит А.
О Соотношения C.6.1) и первое из включений C.6.2) имеют
место по условию. Остается показать, что при x^D(A), xJ_Hlt
выполнено Л* _]_#!. Если уе?>1( то Ау^Н1 и, следовательно,
(Ах, у) = (х, Ау) — 0. Таким образом, AxJ^D^ и так как D1 = H1,
то АхА_Нг 9
Аналогичное утверждение для изометрических операторов
нуждается в дополнительном предположении.
Теорема 2. Пусть V — изометрический оператор в Н, #х d Н —
инвариантное подпространство для V и Vx — часть V в Hv Если
обласпгьзначений Vi совпадает с Нъ то подпространство Hv
приводит V'.
О Пусть D = D{V) — область изометричности оператора V,
Рг — проектор на Нъ Р2 — проектор на H2 = Ht. Если ieD,
xs = Psx, s=l, 2, то в соответствии с C.5.5) хъ x,eD, При
этом по условию Vx1 e #j и требуется установить, что Vx2 e Н2.
Поскольку R(V1) = Hl, любой элемент у^Н^ допускает представ-
представление y=Vz, z^D[\Hx. Поэтому (Vx2, y)=(Vx2, Vz)=(x2, г)=0,
уг/еЯ1? и Кл:2еЯ2 •
Мы видели, что в теореме 1 отсутствует аналог условия
R(Vl) = Hl. В теореме 2 освободиться от этого условия нельзя,
что подтверждается следующим примером. Пусть # = /2(Z) (см.
§ 2.9, п. 1), {ek}, k e Z, — стандартный базис в Н, V — унитар-
унитарный «оператор сдвига», который на базисе {ек} задается соотно-
соотношениями Vek=ekJrl, yAeZ. Тогда подпространства HS=\Jk-^s{ek},
VseZ, V-инвариантны. Они, однако, не приводят V, поскольку
не инвариантны относительно V* = V'1. Условия теоремы 2 в этом
случае не выполнены, так как подпространство VHS = Hs+1 имеет
в Hs одномерное ортогональное дополнение.
Условия теорем 1, 2 выполнены, в частности, если подпро-
подпространство #х — собственное. Таким образом, справедливо следующее
утверждение.
Следствие 3. Для симметричных и изометрических опера-
операторов каждое собственное подпространство является приводящим.
На произвольные операторы последнее утверждение не распро-
распространяется Однако оно сохраняет силу для нормальных опера-
fOpOB.
109

Теорема 4. Пусть Т —нормальный оператор в Н, Нх — его
собственное подпространство. Тогда Нг приводит Т.
О Пусть Тх = кх, vxe#x. Тогда для геЯ, также Т*х=
=Jjc по теореме 5.3. Поэтому при х^Нг и y^D(T), уЛ_Нг
имеем (Ту, х) = (у, Т*х)~{у, 1х) = 0. Стало быть, Ту _1_Я1( и
подпространство #j — приводящее ф
2. В § 3.7, п. 3, введены понятия точечного ар и непрерыв-
непрерывного ос спектров замкнутого оператора Т и показано, что о G*)=
= Op (T) U ас (Т). Более подробное исследование ядра спектра а (Т)
можно провести при дополнительном предположении, что каждое
собственное подпространство N (Т — kl) приводит Т. Выше мы
видели, что это предположение заведомо выполнено для симмет-
симметричных, изометрических, а также для нормальных операторов.
Итак, пусть собственное подпространство N (Т — kl) приводит Т.
Обозначим через 7\ часть оператора Т в (приводящем) подпро-
подпространстве HQN{T — kI). Очевидно lj=op(Tk) и RJT — kI)=
—{0}®/?G\ —Л,/). Отсюда вытекает, что если к^ас(Т), то
^ерG\); если же Я,е ос(Г), то 1еосG\)\(ТрG\). В каждом
из случаев существует (соответственно ограниченный или неогра-
неограниченный) обратный оператор G\ — М)-1. Оператор 0©G\ — Kiy1
называют при этом обобщенным обратным для T — KI.
Процедуру перехода от оператора Т к оператору Тк иногда
называют отщеплением собственного подпространства.
3. Особенно простой вид принимает классификация точек
спектра для нормальных (в том числе для самосопряженных и
унитарных) операторов. Именно точки а(Т)=д(Т) можно оха-
охарактеризовать в терминах линейного множества R(T — XI).
Теорема 5. Пусть Т — нормальный оператор в Н, Тогда
= {Ье= С: Я(Г-*/) = #}, A>
B)
C)
О Воспользуемся равенством E.7). Из него непосредственно
вытекает B), а также A), если дополнительно принять во вни-
внимание, что замкнутый оператор (Т — Ыу1, определенный на всем Н,
ограничен. Наконец, C) совпадает с определением C.7.10) непре-
непрерывного спектра •
Следствием E.7) является так называемая «спектральная аль-
альтернатива»: пусть Т — нормальный оператор в Н и 1,еС. Тогда
либо к — собственное число для Т, либо область значений R (Т — к!)
плотна в Н.
В спектральной теории нормальных операторов используется
также следующая терминология. Спектр о(Т) называют чисто
непрерывным, если ар(Т) = ф. Спектр о(Т) называют чисто
точечным, если ортогональная сумма всех собственных подпро-
подпространств совпадает с Я. В этом случае отнюдь не обязательно
НО

сс(Т) = ф. Именно тогда ос(Т) совпадает с совокупностью пре-
предельных точек множества ор(Т).
Некоторые дальнейшие понятия, связанные с классификацией
точек спектра самосопряженных операторов, обсуждаются в § 9.1.
§ 7. Оператор умножения на независимую переменную
1. Оператор умножения на независимую переменную позво-
позволяет проиллюстрировать понятия точечного ар и непрерывного <хе
спектров самосопряженного оператора. Заметим, что рассматри-
рассматриваемый здесь пример является в конечном счете универсальным:
в § 7.5 будет показано, что любой самосопряженный оператор
с точностью до унитарной эквивалентности сводится к не более
чем счетной ортогональной сумме операторов умножения.
Пусть #=L2(R, fi), т. е. Н есть пространство функций на пря-
прямой, квадратично-интегрируемых по cr-конечной борелевской мере-fi.
Рассмотрим в Н оператор Лц,: (А^и) (t) = tu (t). Область определе-
определения О(Лц) состоит из всех тех ц-измеримых функций, для кото-
которых
$ A)
Легко видеть, что Лц самосопряжен в Н. Действительно, он
плотно определен и симметричен. Далее, из соотношения
(А„.и, v) = (u, v*), уие=О(А„),
следует, что tv(t) = v* (t)^L2(R, ц), а потому оеО(Л„). Таким
образом, А* = Ар.
Спектр оператора Лр, определяется мерой ц. Напомним (см.
§ 1.3, п. 20), что борелевской мере ц сопоставляется ее носитель
supp fi, т. е. наименьшее замкнутое множество в R, дополнение
которого имеет ц-меру нуль. Включение к е supp ц равносильно
тому, что fj. (Л, — 6, X,-j-6)#0 при всяком 8>0.
1°. Спектр о(А^) совпадает с носителем suppfi меры \i. Дру-
Другими словами, р (Лц) = R\supp fi.
О Для leR обозначим Де = (Я — е, Я, + в) и предположим,
что X ё= supp ц, т. е. при некотором е > 0 ц (Ае) = 0. Тогда для
?>(Л)
а потому К е р (Л^). Обратно, пусть К е supp \i, т. е. для любого
е>0 fi(AE)>0. Выберем последовательность ея->0 и положим
Д„ = Деп, ып = Хд„ (здесь ой. как обычно, обозначает характери-
характеристическую функцию множества со). Все элементы ип очевидно
111

ненулевые. Так как при этом
| А»ип -Xunf = $дл (/ - Я)« dji (t) < е* fx (Дя) = ej J ы„ f,
то Я. е а (Лц) •
2°. Точечный спектр ор(А^) совпадает с множеством точек
leR, таких, что (х{%}Ф0. Каждая такая точка К есть простое
собственное значение.
О Если Аи = Ы, то (/ —Х)ы(*) = 0. Последнее означает, что
u(t) = O (х-п.в. на множестве R\{Aj. Таким образом, носителем
собственной функции должно являться одноточечное множество {%}.
Если (х {%} > 0 (и только в этом случае), единственную (с точно-
точностью до множителя) ненулевую собственную функцию, отвечаю-
отвечающую собственному числу л, дает функция ux = %{%): и*. (А.) = 1,
(/) = 0 при ^Я, •
3°. Непрерывный спектр ос(А^) совпадает с совокупностью
неизолированных точек множества supp |x.
О Мы должны считаться с возможностью того, что рассма-
рассматриваемая точка IeR есть собственное значение. Поэтому прежде
всего охарактеризуем ортогональное дополнение F^ к соответст-
соответствующему собственному подпространству. Условие (у, ы^) = 0 озна-
означает, что
т. е. у(А.) = О:_ПустьтеперьА,я->А,, Лл = (^„ — г„, 1п + гп), ц,(Дя)>0,
ея-^0 и JieA». Положим уя = Хая и отметим, что ия(Х) = 0, а
потому ti,efj, (если Яе^р(-Дц), то отождествляем /^ с /У). Так
как
< (, Я - Яя | + 8ЯJ (X (Д„) = (| I - К ! + 8ЯJ ||0„ |,*,
то Я не является регулярной точкой для части Ап в FK. Поэтому
Х<=0с(Лц).
Предположим теперь, что при некотором е>0 интервал Д6=
=(к — е, Я + е) не пересекается с множеством supp(x\{^}. Иначе
говоря, (х(Дв) = (х{Я}. Тогда для оеО(Л^)П^ имеем (учитывая
условие v (к) = 0)
Полученное неравенство означает, что Хёстс(Лц) •
Из Г —3° видно, что одна и та же точка ^eR может вхо-
входить одновременно в ар(Ац) и в ас{А^). Точки к ее supp ц, для
которых A^}>0, называются «атомами» меры (х. Мы видели, что
совокупность атомов совпадает с ap(Atl). Меру (х называют «ато-
«атомарной», если |x(R\0p)=O. Мера (х атомарна тогда и только
112

тогда, когда спектр оператора /4ц — чисто точечный. В этом слу-
случае непрерывный спектр ос(А^) состоит из предельных точек
множества атомов. Из сказанного ясно, что за счет выбора под-
подходящей атомарной меры \i можно построить оператор /4ц, спектр
которого сг(Лц) совпадает с наперед заданным непустым замкну-
замкнутым множеством a cr R.
Спектр оператора Лц — чисто непрерывный, если мера ц не имеет
атомов. Такова, например, мера Лебега, для которой а(Ац)=*
= ac(^)=R, ар(А„) = ф.
В случае, если мера ц, конечна, ее носитель (а вместе с ним
и спектр оператора А^) удобно характеризовать в терминах функ-
функции распределения \l(t) = [i(—оо, t), yt^R. Спектр а(А^) есть
множество точек роста функции Д, точечный спектр ар (/4ц) есть
множество ее точек разрыва, а непрерывный спектр ос (/4ц) —
множество ее неизолированных точек роста. Все сказанное сохра-
сохраняет силу и тогда, когда мера ц лишь локально-конечна, т. е.
ц(—а, а)<оо, уа>0. Следует лишь изменить определение
функции ji, полагая р.(?) = ц[О, t) при t>0, р.@) = 0 и ?Ц<)=
=—ц[/, 0) при *<0.
2. Пусть теперь # = L2(R, щ G), где G — вспомогательное
гильбертово пространство, m = dimG^oo (см. § 2.3, п. 4).
В Н рассмотрим оператор А — А^а умножения на независимую
переменную, A:u\t)>-^-tu(t). Как и в п. 1, область определе-
определения D(А) выделяется условием A), где теперь \u(t)\ означает
норму в G элемента u(t)^G. Представим # = L2(R, ц.; G) в виде
^(L2(R, (а)) (иначе говоря —в виде ортогональной суммы т
экземпляров пространства La(R, (x)), как это было сделано при
доказательстве теоремы 2.3.6. Каждое из ортогональных слагаемых
очевидно приводит оператор А^а к оператору А^. Таким образом,
оператор /4Ц,О унитарно эквивалентен ортогональной сумме т
экземпляров оператора А^. (При т = 1 получаем просто опера-
оператор /V) Из сказанного ясно, что к описанию спектра опера-
оператора /4ц, q применимы утверждения 1° — 3°. Отличие лишь в том,
что собственные значения оператора A^q имеют кратность т.
Рассмотрим теперь в пространстве L2(Rm), m^l, оператор В
умножения на функцию | х |2: (Ви) (х) = | х \2 и (х). Область опреде-
определения D (В) описывается условием
\(l+\x\*)\u(x)\*dx<oo.
Легко видеть, что оператор В самосопряжен в L2(Rm). Изучение
свойств спектра оператора В просто сводится к рассмотрению
подходящего оператора вида /4ц, о- Действительно, положим
r = |je|, e == r~xx e S"»-1. Выражение для нормы в L^ (Rm) преобра-
преобразуем к виду
8 Заказ 649 113

Отсюда "следует, что функции ие^С*) можно рассматривать
как элементы пространства L2(R, ц; G), где G = L2(Sm~1), а мера \i
определяется формулой 2d\i(t) = yjio,a>)(t)tmli~ldt. При таком
преобразовании пространства оператор В очевидно переходит
в соответствующий оператор А^о. Таким образом, спектр В чисто
непрерывен и заполняет полуось R+.
3. В пространстве L2(T, (x; G), где Т —единичная окружность,
ц — ст-конечная борелевская мера на подмножествах Т, рассмот-
рассмотрим оператор умножения V = V^,o на независимую переменную,
V : и (?) и-*- ?« ($), ? е Т. Легко видеть, что V — унитарный опера-
оператор. Спектр V описывается в терминах меры \i вполне анало-
аналогично тому, как это было для оператора /4ц, о- Именно спектр V
совпадает с supp-ц. Точечный спектр op(V) состоит из атомов
меры (х; кратность собственных значений равна m = dimG. Нако-
Наконец, непрерывный спектр ae(V) совпадает с множеством предель-
предельных (неизолированных) точек носителя меры ц.
4. Обобщая рассмотрения пп. 1 — 3, выясним структуру спектра
оператора умножения на независимую переменную в пространстве
Н = 1^(С, щ G), где ц — ст-конечная борелевская мера на подмно-
подмножествах комплексной плоскости С. Именно пусть T^T^q:
и (г) *—*¦ ги (г), геС, причем область определения D (Т) состоит
из всех ц-измеримых функций, для которых
B)
Оператор Т плотно определен и замкнут. Легко видеть, что сопря-
сопряженный оператор Т* имеет ту же область определения и дейст-
действует по формуле Т* : и (г) •—> 2и (г). Отсюда следует, что опера-
операторы Т*Т и ТТ* совпадают:
D(T*T)=*D(TT*)=*
(Т*Ти) (г) = (ТТ*и) (г) = | г р и (г).
Таким образом, оператор Т^ а нормален. Как и в пп. 1—3,
стG) = 8иррц. Точечный спектр ар(Т) состоит из атомов меры \i.
Кратность каждого собственного числа равна m = dim G. Непре-
Непрерывный спектр совпадает с множеством неизолированных точек
в suppfx. /
Каково бы ни было непустое замкнутое множество аеС;
всегда существует борелевская мера ц, такая, что suppfi = a.
Поэтому любое замкнутое множество в С является спектром неко-
некоторого нормального оператора.
В более общей обстановке операторы умножения будут изучены
в § 7.2.
114

§ 8. Оператор дифференцирования
Основные понятия теории неограниченных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве удобно пояснить на примере простейшего
дифференциального оператора — одномерного оператора дифферен-
дифференцирования. Поведение этого оператора оказывается существенно
различным на конечном интервале, на полуоси и на всей оси.
Мы последовательно рассмотрим все три случая.
1. Пусть H = Ls(— 1, 1). На множестве D (/4о)=Со°(—1, 1)
всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным в (—1, 1)
носителем рассмотрим оператор А9, задаваемый формулой
^ A)
Оператор Ао плотно определен. Интегрируя по частям, получаем
(Аои, 10 = -|1,»иЧО*ЧО <** = -$!_ ,«/?<# = («, Aov).
Таким образом, оператор Ао симметричен. Он, однако, не замкнут;
его замыкание обозначим через А = Ао. Описание оператора А
можно получить прямым путем. Вместо этого мы воспользуемся
тем, что А = Ао = AV. Опишем прежде всего сопряженный опе-
оператор At, который совпадает (теорема 3.3.3) с А*.
Оператор А$ = А* задается формулой A) на области опреде-
определения D (А*), состоящей из всех абсолютно непрерывных на отрезке
[— 1, 1] функций, производная которых принадлежит Ь^(— 1, 1).
О Включение »еО(Л*) означает, что ке/, и существует
функция t»*eLj, такая, что для всех «еСо° выполнено соотно-
соотношение
^; B)
при этом v* = A*v. Соотношение B) означает, что в смысле тео-
теории обобщенных производных (или, более общо, в смысле теории
распределений) v имеет производную dv/dt — iv*. Известно, однако
(см. § 1.6, п. 5), что сказанное равносильно абсолютной непре-
непрерывности v, причем v* совпадает с — iv' почти везде •
При переходе к сопряженному оператору мы, как и должно
быть, получили расширение исходного оператора: А* = At zd Av
Это расширение достигнуто за счет отказа от излишних требова-
требований дифференцируемое™ и от краевых условий. Опишем теперь
оператор A = At*. Так как А с: А*, то достаточно описать мно-
множество D(A) = D(AF).
Множество D(A) состоит из всех тех функций u^D(A*),
которые удовлетворяют краевым условиям
Ы(-1) = «A)=0. C)
8* 115

О Интегрируя по частям, получаем, что для любых и, v
?>(/4*)
(A*v, и) =— 5— 1 iv'adt - — 'у
[ А*и). D)
Если для и выполнено C), то внеинтегральный член в D) выпа-
выпадает и (A*v, u) — (v, A*u). Это означает, что и <^D(A**) = D(A).
Обратно, если ыеО(Л**), то в D) внеинтегральный член должен
выпадать: v(l)u(l) — v(—1)и(—1) = 0. Полагая в последнем
равенстве у = й>+-, 2ю+(/) = 1 d: *, видим, что C) должно быть
выполнено #
Мы видим, что замыкание оператора А9 свелось как к ослаб-
ослаблению требований гладкости, так и к ослаблению краевых усло-
условий. Определим теперь дефектные числа оператора А. В соответ-
соответствии с формулами A.4)
п±(А) = dim N (A* ±U).
Решая уравнения —tVzptt» = O, v^D(A*), находим, что
ЛГ04*-//)На^}, N(A* + U)-i<h*\, E)
где av a2 — произвольные постоянные. Таким образом,
я_(Л)=я+(Л) = 1. F)
2. Из F) следует (см. § 4), что А имеет симметричные рас-
расширения А гэ Л, причем все они являются самосопряженными.
Далее, из F) и D.7) вытекает, что
&\mD(A*)lD(A) = 2. G)
Впрочем, G) следует и из того элементарного обстоятельства,
что для любой функции v^D(A*) функция u(t)=v{t) — y(l)<a+(<) —
— v {— 1) ю_ (t) удовлетворяет условиям C). Поскольку
D(A)cD(A)cD(A*), (8)
из G) непосредственно получается, что
dimD(A)/D(A) = l, dlmD(A*)/D(A)=*l. (9)
Все самосопряженные расширения оператора А нетрудно описать
на основе второй формулы Неймана D.8). Мы займемся, однако,
более общей задачей описания всех (необязательно симметричных)
расширений А :э А, являющихся сужением А*:
AczAczA*. A0)
Очевидно, что каждое такое расширение А определяется зада-
заданием некоторого линейного множества D=D(A), подчиненного
условиям (8). При этом для D (А) заведомо выполнены и соотно-
соотношения (9). Оператор А определяется сужением А* на Ь, При
116

этом автоматически А оказывается замкнутым, что следует из G)
по теореме 3.2.6.
Пусть g^D(A*), gl=.D(A). Тогда в силу (9) линейное мно-
множество
D(A)=D(A) + {agj, «eC, A1)
удовлетворяет условиям (8). Обратно, всякое линейное множе-
множество D(A), подчиненное (8), может быть представлено в виде
прямой суммы A1), где g — любая (фиксированная) функция,
geD (Л), g <= D (А). Множества D (А) удобно различать с помощью
краевых условий. Пусть g —функция, участвующая в представле-
представлении A1). Она заведомо не удовлетворяет обоим граничным усло-
условиям C) одновременно. Определим комплексное число 6 из соот-
соотношения g(l) = bg(—1) (если g(—1) = 0, то считаем G = co, или,
что то же, е-х = 0). Из A1) и C) следует, что тогда любая функ-
функция »eD(А) удовлетворяет краевому условию
i>(i) = eo(-i). A2)
С другой сторон^, непосредственно ясно, что при каждом 9 крае-
краевое условие A2) выделяет в D(A*) линейное множество ?(Л)гэ
ziD(A), причем различным б отвечают различные множе-
множества D (А). Соответствующий оператор А обозначим через А$.
Таким образом, все линейные операторы А, удовлетворяющие усло-
условиям A0), получаются сужением, оператора А* на одно из мно-
множеств D(Aq), выделяемых в D (А*) краевым условием A2). Соот-
Соответствующие операторы А& замкнуты.
Отметим, что значения 6 = 0 и 8 = оо порождают «условия Коши»
оA) = 0 и v(—1) = 0 соответственно на правом и левом концах
отрезка [— 1, 1].
Переходя в A0) к сопряженным операторам, получаем
А с А* с А*. A3)
Из A3) видно, что оператор Л§ является одним из операторов Ав.
Легко понять, что Л§ = Ле„ где 61ё=1. Действительно, для
v e Ав и «еЛе, внеинтегральный член в D) исчезает в силу
краевых условий вида A2) н соотношения б1ё = 1. Но это и озна-
означает, что A% — Aet. Отметим, что At — A^, Л?> = А0-
Самосопряженные расширения оператора А исчерпываются
операторами А§ при F| = 1. В самом деле^ любое такое расши-
расширение очевидно должно иметь вид Ав- Для Ав условие самосопря-
самосопряженности д = Ь1 сводится к вв = 1.
Граничные условия A2) при |6| = 1 обычно называют квази-
квазипериодическими; значение 0 = 1 соответствует периодическому
случаю, 6 = — 1 — антипериодическому.
3. Построим резольвенту 1\(.Де) оператора Aq. Одновременно
найдем резольвентное множество и спектр Aq. Пусть К е р (Де) и
117

/tsLj. Элемент о = ГЛ(Ле)Л удовлетворяет уравнению
\%-%v = h A4)
и граничному условию A2). Записывая A4) в виде
a*U_lr*» . A5)
и интегрируя, получаем
ег'Щ @ = Л/ (- 1) + i Л, h (х) e~lkt dx. A6)
Сначала будем считать, что б^оо. Полагая в A6) * = 1 и исполь-
используя A2), находим у(—1), после чего при
б ехр(— 2Щф\ A7)
формула A6) приводит к равенству
^_idx, A8)
или в более симметричной форме
v\4
Формула A8) показывает, что при условии A7) оператор Ав — У.1
имеет непрерывный (и даже компактный *') обратный оператор,
заданный на всем пространстве H = L2(—1, 1). Этот обратный
оператор и есть резольвента I\ (Ag): h *—*¦ v.
Пусть теперь 6 = оо, т. е. у(— 1) = 0. Из A6) получаем
(б = оо). B0)
При 9 = 0 из A9) следует, что при любом ^еС
(в = 0). B1)
Формулы B0), B1) означают, что при в=»0, оо резольвента 1\
определена на всей плоскости. Это согласуется с тем, что задача
Коши всегда разрешима. Операторы Ао, Ат дают пример опера-
операторов без спектра (напомним, что согласно теореме 3.7.10 для
оператора ГеВ(Я) спектр не может быть пустым).
Рассмотрим подробнее условие A7) при бфб. Представим
число в в виде 8 —е~г F-'v), ImS =0, —я =<у < "• Тогда уравнение
б ехр (— 2А) = 1 B2)
имеет решения
М й B3)
•' Оператор A8) принадлежит классу Гильберта —Шмидта (см. §41.3, п. 3.),
118

Мы видим, что при ВфО, со спектр оператора Aq состоит из
последовательности точек B3). В действительности эти точки суть
собственные значения, причем простые. Именно, при А, = А,„(в),
6=^=0, оо, однородное уравнение (Де — XI) v = 0 имеет нетривиаль-
нетривиальное решение vnfi (t) = a exp (ihnt).
При |9|==1 всегда 6 = 0, а потому спектр B3) — вещественный,
как оно и должно быть для самосопряженного случая. Собствен-
Собственные функции у„,е образуют полную ортогональную систему.
При |6|=5^1 очевидно ^я(91) = Ял(е), где 6j = 6. Таким обра-
образом, спектры Ад и Д| комплексно-сопряжены Собственные функ-
функции ип, в образуют полную систему, которая уже не ортогональна
в La(—1, 1). Система {vn, в,} при 9Х = бН биортогональна по отно-
отношению к системе {ря.еК т. е. (vn,e, vm> в,) = 0 при тфп.
Покажем, что при Я, = ^п1^_множество R(Aq — "KI) замкнуто *'.
Поскольку
то достаточно проверить, что при (h, t»nei) = 0 уравнение
(Дв — ^пF))у = Л имеет решение. Полагая в A6) А, = Я„(б), < = 1,
видим, что интеграл, содержащий h, обращается в нуль в силу
(h, vn, e,)^. Граничное условие A2) выполнено в силу B2)
автоматически, а значение v(—1) оказывается произвольным.
В соответствии с A6) решение дается формулой
v (t) = cee'V + /?_,* (т) А ('~ т) A, Va e= С.
Из сказащюго следует,_что__ас (Де) = Ф- Поэтому при 6 Ф 0, оо
будетf"g (je) = gp (Де) =1^д1!?)}»^ n s Z, где последовательность
{^я (9)/ определена вB3)". (Лметим еще, что ядро спектра а (А)
оператора А пусто, но также пусто и его резольвентное мно-
множество р(А) (иными словами, а(А) — аг(А) — С). Первое утверж-
утверждение следует из существования у А расширений без спектра.
Второе вытекает из того, что п_(А) = п+ (А) = 1, а потому dA (к) = 1
и при 1тЯ = 0.
4. Перейдем к рассмотрению оператора дифференцирования
на положительной полуоси R+. Теперь // = L2(R+). Нам удобно
начать со следующей леммы.
Лемма 1. Пусть greL2(R+), g —абсолютно непрерывная функ-
функция и ее производная g' ^L2(K+). Тогда g(t)-+O при *->-оо.
О Интегрируя производную d(\g(t)\2)/dt, имеем
•' Нужное утверждение следует уже из того, что резольвента 1\ (Де) есть
компактный оператор при \ Ф Хп (в). Мы, однако, не будем здесь пользоваться
спектральной теорией компактных операторов,
119

В силу условий g, g' e L2 интеграл справа сходится при t -*- оо.
Поэтому |g(t)\2 имеет конечный предел при_t~*оо. Этот предел
может быть только нулем, так как иначе g^=L2 •
Определим симметричный оператор Ао формулой A) на D(A0) =
= CS°(R+) и обозначим А = А0. Как и в п. 1, убеждаемся, что
D(A*) состоит из всех тех абсолютно непрерывных функций we
eL2, для которых i)'eL2. При этом (A*v)(t) = — iv' (t). Для
любых функций и, vD(A*)
(A*v, u) = — i $~v'a dt = iv@) u @)- J~ viu' dt =
u® (v, A*u). B4)
Здесь при интегрировании по частям учтено, что (см. лемму 1)
г(оо) = и(оо) = 0. Опишем теперь D(A) = D(A**). Из B4) сле-
дует, что иеО(Л**) тогда и только тогда, когда у@)«@) = 0
для любой функции oeD(/4*). Это означает, что
ы@) = 0. B5)
Таким образом, оператор А = Ао есть сужение А* на множество,
выделяемое в D(A*) условием B5).
Индексы дефекта оператора А суть
0. B6)
Действительно, в отличие от случая конечного промежутка мы
должны в E) положить а2 = 0, поскольку exp t e=L2(R+). Из B6)
следует, что оператор А — максимальный симметричный, но не
самосопряженный. Максимальность А можно пояснить, не обра-
обращаясь к индексам дефекта. С использованием B5) сразу полу-
получается, что
dimD(A*)/D(A)=l,
а потому нет линейных множеств D(A), удовлетворяющих вклю-
включениям (8).
Так как п~(А)Фп^(А), то ядро спектра 6 (А) заполняет всю
ось: d(/4) = R. Непосредственно проверяется, что ар{А) = ф.
Поэтому в силу C.7.11) ос(А) = а (А) = R. В соответствии с B6)
резольвентное множество р(А) совпадает с полуплоскостью Ii
>0, а остаточный спектр аг(А) — с полуплоскостью 1т
Построим резольвенту 1\(Л). Если Ае[2, то Г\ (A) h = v, где
у —решение уравнения A4) при условиях oeL2, у@) = 0. Интег-
Интегрируя A5), находим, что
0(О = *$?ехр(»7.(*-т))Л(т)Л AшЯ>0). B7)
Ядро интегрального оператора B7) зависит от разности. В соот-
соответствии с теоремой 2.10.3 оператор B7) непрерывен (но не ком-
компактен) в L2(R+). Таким образом, резольвента 1\(/4) определяется
формулой B7).
120

В случае полуоси множество р(Л*) также не пусто: р(Л*) =
t=)^eC: ImX<0}. Действительно, равенство п+(А)=О озна-
означает, 4ToN(A* — M) = {0} при 1тЯ<0. Кроме того, R(A*-%I) =
= HQN(A-1I) = H. Наконец, R(A* - Я7) => Я (Л - Я7), причем
последнее множество замкнуто и имеет дефект 1. Отсюда следует
замкнутость R(A* — XI), а значит, R(A* — Kf) — H. Все вместе
это и означает, что Я. ер (/4*) при 1тЯ,<0.
Построим резольвенту Г^(А*). Интегрируя A5) и учитывая
условие v(оо) = 0, получаем
v(t) = — i^exp(iK(t-T))h(x)dx AтЯ<0). B8>
Формула B8) и определяет собой резольвенту 1\(/4*). Что
касается оператора (А — Я,/), то он при 1тЯ,<0 определен лишь
на множестве Н Q N (А* — Х/) = {аехрШ}х. Соответствующее
условие ортогональности имеет вид
$"й(т)ёхр(—Лт)Л = 0 AтЯ<0). B9>
Уравнение {A — "KI)v — h имеет решение B8), причем условие B9>
означает, что выполнено краевое условие с@) = 0.
5. Рассмотрим теперь оператор дифференцирования на оси.
Пусть Н — ^Щ, D{A0) = Ct(R), оператор Ао определен форму-
формулой A), А — Ао. Оператор Ао симметричен. Сопряженный оператор
А* определен формулой A) на тех (и только тех) абсолютно
непрерывных функциях v, для которых v, v' e L2. В силу леммы 1
для »еО(Л*) имеем v(t)-+O при f->-zhoo. С учетом этого
обстоятельства интегрирование по частям дает:
(А*и, v) = —lRiu'Vdt=* — \)Ruivrdt = (u, A*v), V«, ve=D(A*).
Таким образом, А* симметричен. В соответствии со сказанным
в § 1, п. 1, это означает, что А —А*, т. е. оператор А—само-
А—самосопряженный (Ао — в существенном самосопряженный). Этот же
факт можно вывести из равенств п_ (А) = п+ (А) — 0. (Действительно,
теперь exp(±0eL2, а потому в E) а^а^О.)
Покажем, что спектр А заполняет всю ось: o(A) = R. С этой
целью сузим А на множество всех тех функций не?)(Л), для
которых и (t) = 0 при t < 0. Для таких функций выполнено усло-
условие B5), а рассматриваемое сужение приводит к оператору диф-
дифференцирования на полуоси (к оператору А из п. 4). Для послед-
последнего оператора ядро спектра есть R. Так как ядро спектра не
может сузиться при расширении оператора и 0Р(Л) = 0, то и
в нашем случае а (А) = а(А) = 0(.(/4) = R.
Выпишем резольвенту 1\(/4), которая определена для 1тЯ.=/=0.
Пусть hei2 и v = r*.(A)h- Легко видеть, что
v(t) = — i J™ exp (lK(t-x))h(x) d% (Im К < 0).
Как и в п. 4, резольвента непрерывна, но не компактна.
121

ГЛАВА 5
СПЕКТРАЛЬНАЯ МЕРА. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Основные результаты теории самосопряженных операторов
(а также более общего класса — нормальных операторов) изла-
излагаются в гл. 6. Эти результаты состоят в так называемом спект-
спектральном разложении оператора — представлении его в виде интег-
интеграла по «спектральной мере», значения которой — перестановочные
друг с другом проекторы. Такое разложение, коль скоро оно
найдено, полностью характеризует спектральные свойства опера-
оператора, позволяет описать его унитарные инварианты и построить
его простую модель (см. гл. 7). Спектральное разложение дает
также возможность построить нечисление функций от оператора.
Все эти вопросы очень важны как в плане общей теории, так и
для приложений.
Настоящая глава имеет подготовительный характер. В ней
изучаются проекторнозначные (спектральные) меры (§ 1, 2) и ин-
интегралы по таким мерам (§ 3, 4). Предварительное изучение этого
материала значительно облегчит читателю знакомство с основными
фактами спектральной теории.
§ 1. Основные понятия
Теория спектральной меры базируется, с одной стороны, на
общей теории скалярной меры (см. § 1.3) и, с другой стороны,
на свойствах операторов ортогонального проектирования {см. § 2.8).
I. Пусть (У, 81) — измеримое пространство, Я — гильбертово
пространство и @* = ?Р (H) — множество всех ортогональных про-
проекторов в Я. Пусть задано отображение Е: 81-v^1, удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям.
1°. Счетная аддитивность: если {б„} — конечный или счетный
набор попарно не пересекающихся подмножеств бя е Ш и б =»
= U/A, то
2°. Полнота: ()
Отображение Е называют спектральной мерой в пространстве Я,
а четверку (Y, 91, Н, Е) — пространством со спектральной мерой.
Выведем некоторые простейшие свойства спектральной меры. Они
122

вытекают из условия 1° в его «конечном» варианте. Ниже все
встречающиеся подмножества б с: К предполагаются измеримыми
(т.е. 6е= Я).
Теорема 1. Пусть Е — спектральная мера в Н. Тогда
_ бг). A)
В частности,
если бх П 62 = 0, то ?1(б1)?'(б2)=0; B)
если бх с ба, то Е (8J < Е (ба). C)
О Свойство B) вытекает из условия 1Q на основании теоремы
2.8.2. Если 80 = 81[]8%Фф, то положим 6< = 6,\6О, i = l, 2.
•Перемножая равенства ЕЩ) = Е (80)-\-Е (8') (порядок безразличен)
и принимая во внимание B), получаем A). Свойство C) вытекает
из A) на основании следствия 2.8.5 •
Свойства A)—C) означают, что спектральная мера коммута-
коммутативна, ортогональна и монотонна.
Наряду с проекторами Е(8) удобно рассматривать соответ-
соответствующие им подпространства Н(8) = Е (б) Я. Свойства B), C)
означают, что
если бх П 6* = 0, то Я (бх) JL Я (б2); D)
если бх с 8г, то Я (8j) cz Я (ба). E)
Условие 2° в определении спектральной меры малосущественно:
если оно не выполнено, то согласно E) H(8)czH(Y) (V6eSl)
и поэтому Е можно рассматривать как спектральную меру
в пространстве Я (У).
2. Перейдем к -обсуждению свойства счетной аддитивности
спектральной меры. Пусть {бя}, л = 1, 2, ..., —последователь-
—последовательность попарно не пересекающихся измеримых множеств. Из свой-
свойства конечной аддитивности вытекает (см. D)), что подпростран-
подпространства Я (б„) попарно ортогональны. По следствию 2.8.7 ряд 2i> E (б„)
s-сходится к проектору на 2яфЯ(б„). Условие счетной аддитив-
аддитивности требует, чтобы этот проектор совпадал с E(\Jn8n). Отметим
простые следствия условия счетной аддитивности.
Теорема 2. Пусть {8„}, п=1, 2, ...,— измеримые подмно-
подмножества в Y, Е — спектральная мера.
1) Если последовательность {бя} — расширяющаяся, то
). F)
2) Если последовательность {8п} — вложенная, то
В частности, имеет место свойство нормальности:
если 61=d6s=d... и П»6« = Ф» "w s-litaЕ(б„) = 0. G)
123

О 1) Положим 6= UА, ©1 = ва. 6^ = 6rt\6n.! (л>1). Тогда
множества 8^ попарно не пересекаются, \Jnb'n = 8 и по свойству 1°
?F) ?(S;) li?F)
) S() ()
2) Доказательство сводится к 1) с помощью перехода к рас-
расширяющейся последовательности {У\8„} •
3. Каждая спектральная мера порождает семейство конечных
скалярных мер, определенных на ст-алгебре 2(. Именно для лю-
любого /ей положим
^F) = (?(8)Д /) = ||?F)ff. (8)
Свойство счетной аддитивности меры \if есть следствие Г. Из 2°
вытекает, что
Я). (9)
Наряду с мерами \if рассматривают также комплексные меры
f, g) (Vf,geH). A0)
Операции над ними сводятся к операциям над мерами Ц/ = Ц/,/
на основании тождества B.4.9), которое в этом случае принимает
вид
%.* (в) = *to F) + Ф/+* F> - \Ч-ш (S> - Ф/- «г F>-
Отметим также равенство
и оценку I И-у. *- С«> I" *S |*у (в) н» (в>. A3)
Последняя следует из неравенства
/, g)\-\(EF)f,
Если множества 8neSI, n=l, 2, ..., попарно не пересекаются
и б=ия6п, то согласно A3)
S. IН
Для положительной меры | И/, * I—вариации комплексной меры ^ г -—
это означает, что
1^!F)<КМ8)УЮТ (V/, ge//, УвеЯ). A4)
В частности, при 6 = У в силу (9) находим
Как и в скалярном случае, множества бей, для которых
(8) = 0, называются множествами Е-меры нуль. Обычным обра-
образом вводятся понятия «Я-почти везде» (?-п.в.), «Я-ограничен-
124

ность», «Я-sup». Так, если ф — вещественная измеримая*' функ-
функция на Y, то
?-sup ф = inf {a e R: ф(«/)^а Е~п.в.\.
Ясно, что ?F) = 0 тогда и только тогда, когда fx^ (б) = 0 (V/еЯ).
Существуют элементы §еЯ (элементы максимального типа; см.
ниже теорему 7.3.4), такие, что равенство ?(8) = 0 равносильно
единственному условию F) 0
§ 2. Продолжение спектральной меры. Произведение мер
При построении спектральной меры обычно приходится сна-
сначала рассматривать счетно-аддитивную проектор-функцию, задан-
заданную на некоторой алгебре 31° (но не на а-алгебре) подмножеств
в У. Естественно возникает задача о продолжении такой функ-
функции до меры, которая была бы определена во всяком случае на
минимальной ст-алгебре, содержащей %И°. Кроме того, свойство
счетной аддитивности не всегда поддается простой прямой про-
проверке. Связанные с этим вопросы рассматриваются в настоящем
параграфе.
1. Пусть 81° — некоторая алгебра подмножеств б с: К и Е°:
Ш° —*- <^ (Н) — аддитивная **) функция: для любых 8ft е 91°, k = 1, ...
,..,«, таких, что 6ft П fy = Ф при k ФI, имеет место соотношение
?ОF) = 2*?ОF*), 6 = UA- (l)
Пусть, кроме того, ?°(К) = /. Для Е° полностью сохраняется
результат теоремы 1.1 (при ее доказательстве использовалась
лишь аддитивность). Далее, для любого f e H вводится аддитив-
аддитивная на 31° скалярная функция ц°F) = (?°F)/, /), б е 31°. Адди-
Аддитивная функция Е° может оказаться счетно-аддитивной: для
любого счетного набора попарно не пересекающихся множеств
6fte31° выполнено A), коль скоро 6=UAe2t°.
Приведем некоторые утверждения, облегчающие проверку
счетной аддитивности.
Лемма 1. Пусть Е° — аддитивная проекторнозначная функция
на алгебре 91° подмножеств в Y. Если для каждого feff функция
\if счетно-аддитивна на W, то Е° — счетно-аддитивная функция.
О Пусть 6ft е 31°, k = 1, 2, ..., попарно не пересекаются и
#^^0' По условию для любого fe#
(E°(8)f, /) =
С помощью B.4.9) перейдем к билинейным формам. Тогда
(Б° F) /, g) = ?ft (Е° (в*) f, g) (if, g s Я),
т. е. ?° F) = w-Zb E° FA). По теореме 2.8.8 ряд сходится сильно
*) Измеримость, или Е-измеримость, понимается как измеримость по отно-
отношению к а-алгебре Я (см. § 1.4, пп. 1, 2).
•*) Точнее говоря, конечно-аддитивная,
125

Лемма 2. Пусть Е° — аддитивная проекторнозначная функция
на алгебре 91°, удовлетворяющая условию нормальности: если д„ е
e=Sl0, n=l, 2, .... и d1z=>di=>..., (]пдп = ф, то s-lim ?° (дя) = О,
Тогда Е° — счетно-аддитивная функция на Ш°.
О Пусть 8Ъ б —такие же, как и в доказательстве леммы 1,
Положим dn={jk>nbk = 8\ U*«?nSfc. Тогда дпе91°и [)„д„ = ф.
Следовательно,
= Р(б)-Б*<»?°F*)~0,
что равносильно A) •
2. Пусть ?°—счетно-аддитивная проектор-функция на алгебре %°
подмножеств в У и E°(Y) — I. Покажем, что функцию ?° можно
продолжить на некоторую а-алгебру (продолжить до спектраль-
спектральной меры), причем используем для этой цели процесс, опираю-
опирающийся на стандартный процесс продолжения *) скалярной меры.
Для любого / е Н обозначим через \if меру, полученную
стандартным продолжением счетно-аддитивной функции fi?, через
A/ — соответствующую внешнюю меру, определенную на всех под-
подмножествах У.
Функцию Е° прежде всего распространим на совокупность Ш1
всех счетных объединений множеств из Я0. Именно для ©ей1
положим
?*(G)) = s-b?°F*), B)
где o)=:Uft6fc> SA е Я0, — какое-либо разложение ш. Тогда
= M®). V/e=/7,
и, следовательно, определение B) не зависит от способа разложе-
разложения со (поскольку это верно для скалярных мер). Если со', ш*е
ef и со' = UftSfc, со" = Uft6* — их разложения, то со' П <в* =
= U*,f(8*n6/') — также разложение. Тогда
в (©' п *>")=«-я*, i ?° F* n «D=s-s*. i ?° (в*) ?° (в?)=^ («') ?1:(«я).
Это равенство распространяется на любое конечное число мно-
множеств из Ш.
Для произвольного множества 6 с У определим его внешнюю
меру ?(б). Именно положим **)
\п1{Е1((л): со id б, веЯ1). C)
Семейство проекторов {/^(со)} в правой части C) замкнуто отно-
относительно умножения. Поэтому согласно теореме 2.8.9
(Ё F) /, /) = »(F) (VS с У, V/ <= Я). D)
*) Читателю рекомендуется систематически обращаться к материалу § 1.3,
пп, 10-16.
**) Точная нижняя граница семейства проекторов определена в § 2.8, а. 4,
126

Рассмотрим те множества 8 с: У, для которых
?(8) + ?(У\6) = /. E)
Совокупность всех таких множеств б обозначим через 31 (Е°). Для
а-алгебры 31 (ц^) (см. § 1.3, п. 11) используем обозначение 9t (f).
Теорема 3. Мноокество 31 (Е°) есть а-алгебра, содержащая алгебру
W. Справедливо равенство
F)
Сужение на 31 (Е°) внешней меры й представляет собой спектраль-
спектральную меру Е, являющуюся продолжением Е°.
О Из D), E) следует, что для любых 6е31(?°), f^H
М6) + М^\б) = МГ)=Ят G)
а потому (см. § 1.3, п. 12) 8<=31(/) и, стало быть, 31 (Е°) <=. Ш (f).
Обратно, если 6е31(/) при всех /еЯ, то из D), G) вытекает
E). Этим установлено F). Из F) следует, что 31 (Е°) — а-алгебра.
Применяя лемму 1 к функции Е, видим, что Е счетно-аддитивна.
Таким образом, Е — спектральная мера #
3. Построенную в теореме 3 спектральную меру Е будем назы-
называть стандартным продолжением функции Е° до меры. Наряду с Е
рассмотрим ее сужение на 31mm — наименьшую а-алгебру, содержа-
содержащую 31°. Это сужение оказывается несущественным в том смысле,
что сводится лишь к уменьшению запаса множеств ?-меры нуль.
Мера Е на Slmin определяется по Е° однозначно. Точный смысл
сказанного выясняет следующая теорема.
Теорема 4. 1) Для любого 6е31(?0) найдется такое множе-
множество de3lmin, что dzzd и Е(д\8) = 0.
2) Если Ё — спектральная мера, определенная на а-алгебре %
причем Ягэ310 и Ё = ?° на W, то Ё = Е на «?,,„.
О 1) Пусть {е„} — счетное плотное множество в Я. В силу
утверждения § 1.3, п. 15, для любого п найдется дяе31тт,
такое, что д„гэ8, Цея(^п\б) = 0. Положим д=(]„дп. Тогда
deSlLn, dr>8 и цея(д\8) = 0, т. е. (Е(д\8)еп, ея) = 0, Vn.
Это означает, что Е (д\Ь) — О. 2) Требуемое прямо следует из
аналогичного свойства для скалярных мер \if ф
Можно показать, что стандартное продолжение Е обладает следующим
свойством N-полноты (ср. § 1.3, п. 7): если 6еЯ(?°), ?F)=0 и дсб, то
б е Я (?°). При сужении Е на ЯшЬ ЛГ-полнота может теряться. Среди всех
^-полных продолжений функции Е° стандартное продолжение минимально:
если в условиях теоремы 4 мера Ё W-полиая, тоЯэЯ (Е°) и Ё= Е аа И (?•).
В дальнейшем нас, как правило, будут интересовать вопросы,
в которых множествами ?-меры нуль можно пренебрегать. Пер-
Первая часть теоремы 4 означает, что тогда достаточно рассматри-
рассматривать меру Е на а-алгебре &min.
127

4. Если на У введена метрика (или топология), согласован-
согласованная со структурой измеримого пространства, то свойства спект-
спектральной меры можно исследовать более детально.
Пусть У — полное сепарабельное метрическое пространство,
31 = 31В (У) — а-алгебра всех борелевских подмножеств в У. Если
(У, 31, Н, Е) есть пространство со спектральной мерой, то меру
Е в этом случае будем называть борелевской. Для любого
feff скалярная мера \if оказывается при этом конечной боре-
борелевской мерой на У. Для таких мер (см. § 1.3, п. 22) имеет место
соотношение
= sup{fi/F'):6'c:6; б'-компакт в У}, У8е91в(У). '(8)
Любая аддитивная функция на 91й (У), удовлетворяющая условию
вида (8), оказывается (см. § 1.3, п. 23) счетно-аддитивной. Уста-
Установим, что подобное свойство справедливо и для борелевских
спектральных мер; это облегчает проверку для них счетной адди-
аддитивности.
Теорема 5. Пусть У — полное сепарабельное метрическое прост-
пространство, 21° c=3ts(У) — алгебра подмножеств в У, ?°: 21°-»-#*(//) —
аддитивная функция. Пусть для любых Aef, f e H
fi^(A) = sup{^(w):©c= А, со е й°, s — компакт в У}. (9)
Тогда функция Е° счетно-аддитивна.
О Счетную аддитивность Е°, в соответствии с леммой 1, доста-
достаточно проверить на квадратичных формах ц}. Для последних
счетная аддитивность следует из (9) на основании § 1.3, п. 23 ф
Для борелевской спектральной меры Е определяется (ср. § 1.3,
п. 20) ее носитель supp E — наименьшее замкнутое множество в У,
дополнение которого имеет нулевую ?-меру. Точно так же, как для
скалярных мер, показывается, что носитель всегда существует и что
точка i/eF принадлежит supp E тогда и только тогда, когда любая
ее окрестность имеет ненулевую ?-меру. Впрочем, эти факты прямо
следуют из своих скалярных аналогов в силу существования мер
максимального типа (см. § 7.3, п. 3).
5. Рассмотрим теперь произведение перестановочных спектраль-
спектральных мер, ограничиваясь случаем, когда перемножаемые меры —
борелевские*'.
Пусть Уъ У2 —полные сепарабельные метрические пространства;
Е1г ?2—борелевские спектральные меры на Ух, У2 в одном и том
же гильбертовом пространстве Н. Пусть меры Elt E2 перестановочны:
^F)^,@), VSe»B(y1), Уде«в(У2). A0)
Пусть У = Угх У2, причем в У введена какая-либо метрика,
согласованная с топологией прямого произведения (см. § 1.2,
п. 8).
•• Если (Y{, Я;, Н, Е{), i == 1,2, — произвольные пространства со спектраль»
иой мерой и Ех w Ег, то определяемая в A4) аддитивная функция Е° может
не быть счетно-аддитнвной,
128

Теорема 6. При сделанных предположениях в Y существует
единственная борелевская спектральная мера Е, такая, что
?Fx7,) = ^ (б), Убе^(Ух), (И)
Е (У х д) = ?г (д), Va e= %B (Г2). A2)
(Мера Е называется произведением спектральных мер Е1г Е2.)
О Пусть Щ — совокупность всех множеств А с Y вида
Л = бхд, 6еЭ1в(К1), дв«в(Уа). A3)
Для А е SIS положим
а). A4)
В силу теоремы 2.8.4 из A0) следует, что Е° (А) — проектор.
Ясно также, что E°(Y) = E1(Y1)E2(Yi) = I. Нетрудно показать*»,
что функция Е° аддитивна на 9ljj. Обозначим через ^совокупность
всевозможных конечных объединений множеств из 31J. Ясно, что
Я0 —алгебра (Щ алгеброй не является). Заметим, что минималь-
минимальная ст-алгебра, содержащая 81°, есть борелевская алгебра в Y: Stmin =
= 3lB (Y). Наша цель — распространить функцию Е° на 81s (Y).
Распространение Е° на 3i° производится по аддитивности, причем
это распространение корректно, поскольку Е° аддитивна на Щ.
Проверим теперь, что для Е° на 31° выполнены условия теоремы 5.
Пусть f e Я. Соотношение (9) достаточно установить для мно-
множеств вида A3). Пусть \4'} (•) = (?/( -)f> f), i = 1,2. В соответ-
соответствии с (8) по любому е > 0 найдутся компакты б' с: S, д' а д,
такие, что
fi/1)F\6')<e, ^(д\д')<г. A5)
Множество А' = б' X д' есть компакт в Y, А' ж W, А' с; А.
Отсюда и из A5) находим:
А\А' =[б х (d\d')]U[(8\6') X д'],
В (А\А') = Е, (б) Е, (д\д') + Е1 (Ь\Ь') Ег (д1),
$ (А\Д') ^ ц}« (д\д') + fif (б\б') < 2е.
Этим установлено (9), а потому функция Е° счетно-аддитивна на
81°. В соответствии с теоремой 3 существует продолжение Е° до
спектральной меры Е, определенной на а-алгебре 31 (Е°) гэ 31s (Y) =
= 3lmin. Условия A1), A2) непосредственно содержатся в A4).
Перейдем к вопросу о единственности спектральной меры Е.
Так как (б X У2)П(^1 X д) = б х д, то равенства A1), A2) в силу
A.1) однозначно определяют Е на Щ, а потому и на 21°. В соот-
соответствии с теоремой 4 Е однозначно определяется также на Йтш =
Я*(Г) •
*' Элементарную проверку мы предоставляем читателю. Она вполне ана-
аналогична проверке аддитивности для произведения скалярных мер.
9 Заказ 649 • 129

Результат теоремы 6 очевидным образом распространяется на
случай любого конечного числа перемножаемых спектральных
мер,
§ 3. Интеграл по спектральной мере.
Случай ограниченных функций
I. Мы переходим к теории интеграла от скалярной функции
по спектральной мере. Начнем со случая простых (конечнознач-
ных) функций, затем перейдем к произвольным ограниченным
измеримым функциям и, наконец, в § 4 —к неограниченным
функциям.
Пусть (У, 21, Н, Е) — пространство со спектральной мерой.
Через Lao(Y, E) обозначим множество всех ^-измеримых, ?-огра-
ниченных комплексных функций на У; функции, совпадающие
?-п.в., как обычно, отождествляются. Относительно стандарт-
стандартных операций над функциями (сложение, умножение, комплексное
сопряжение) и нормы
¦ \ ?|()| A)
множество Loo (К, Е) представляет собой коммутативную бана-
банахову алгебру с инволюцией и с единицей 1 A (у) = I Е-п.в. на Y).
Через П = П (У, Е) обозначим множество всех Я-измеримых
простых функции на У. Напомним, что функция <р называется
простой, если существует такое разложение пространства У на
измеримые непересекающиеся подмножества 6^ .... б„, что q>
постоянна на каждом 8k, k=l, ..., п. Условимся в дальнейшем
обозначать через Хб характеристическую функцию подмножества
S с У, тогда
(P=Hfc<nc*Xefc, B)
где cfc — значение функции <р на множестве 8k. Множество П (У, Е)
является подалгеброй алгебры La>(Y, E), плотной в ней по
норме A).
Интегралом от функции <р е П (У, Е) по спектральной мере Е
назовем оператор*)
Jv = !<t>dE^Zk<nckE(8k), C)
где 6ft, ck — те же, что в представлении B). Определение C) кор-
корректно, т. е. не зависит от способа записи функции «р в форме
B). Этот факт легко следует из свойства конечной аддитивности
спектральной меры.
*' В этой главе интегрирование без указания области всюду подразуме*
вает интегрирование по Y,
130

Основные свойства интеграла на классе П непосредственно
вытекают из определения C):
D)
E)
F)
Jt=l; G)
(«У. я)-$фФ/*; (8)
(Л/./НфФ/; (9)
ф|. (И)
Установим справедливость свойств E), A0), A1) (остальные
можно считать очевидными).
Свойство E) вследствие D) достаточно проверить для функций
Ф = Хб„ tf = xe1. Тогда q>t = X«,ne, и
60 Е (в,) = V*
Равенство A0) выводится из F), E) и (9):*
Наконец, в A1) оценка «^ вытекает из A0). Далее, пусть
для определенности ?-sup] <p| = |Ci|. Тогда ^(бОт^О и на
любом элементе f е Н (бх) выполнено |/ф/1| == |сх \ • lEfiJf 1 = \с±\-Щ.
Отсюда следует A1).
2. Определение интеграла распространяется с простых функций
на весь класс Loo (У, Е) с помощью предельного перехода. Посред-
Посредством формулы C) мы задали отображение
Равенство A1) означает, что J — изометрическое (следовательно
непрерывное) отображение нормированной алгебры П (Y, Ef
(с нормой A)) в банахову алгебру В (Я). Отображение J можно
продолжить по непрерывности до изометрического отображения
всей банаховой алгебры Loo (У, Е) в В (Я). Продолженное отобра-
отображение условимся также обозначать через J, а значение Уф отобра-
отображения J на функции ф е Loo (У, Е) будем называть интегралом
от ф по спектральной мере Е. Иначе говоря, для ф е Loo (Y, Е)
Уф = J <fdE = ы-lim J^n,
где {фя} — произвольная последовательность простых функций,
равномерно сходящаяся к ф Е-п.в. на Y.
Так как линейные операции и норма в В (Я), а также умно-
умножение операторов и инволюция Т*—*Т* непрерывны относи-
относительно ы-сходимостн, то свойства D) —F) и A1) переносятся
с множества П на все пространство Loo(F, E). Присоединяя к
9* 131

этим свойствам равенство G), приходим к следующей теореме,
представляющей собой центральный результат теории интеграла
по спектральной мере.
Теорема 1. Отображение J : <р и—*- Уф есть изометрический изо-
изоморфизм банаховой алгебры L<n(Y, Е) с единицей 1 и инволюцией
Ф н—*- ф на некоторую коммутативную подалгебру алгебры В (Я)
с единицей I и с инволюцией Т*—**Т*.
Приведем некоторые полезные следствия теоремы 1. 1) Любой
оператор Jq нормален. 2) Оператор /ф самосопряжен в том и только
том случае, если ?-п.в. функция <р вещественна. 3) Оператор
Jq, унитарен в том и только том случае, если Е-п.ъ. |<р(«/)| = 1.
4) Любое подпространство Я F), 6е*Л, приводит все операторы
/ф (это следует из E) при tp ==Хб на основании теоремы 3.6.1).
Теорема 1 не охватывает свойств (8) —A0), которые, тем не
менее, тоже распространяются на любые фе1а,(У, Е). В самом
деле, если ф„еП и ф„->ф в L<x(Y, E), то
В частности, прн g = f получаем (9). Равенство A0), как н для
феП, выводится из F), E) и (9). Отметим еще следующее
утверждение.
Теорема 2. Если функции <pn^.Lw(Y, Е) ограничены в сово-
совокупности ц ф,->ф Е-п. в., то s-lim УФп = Уф.
О Для любого /еЯ нз D) и A0) получаем
Правая часть стремится к нулю при я-»-оо в силу теоремы
Лебега 0
3. В заключение приведем одно полезное предложение техни-
технического характера.
Лемма 3. Пусть fp^Lx(Y, E), /еЯ и h = /,,/. Тогда
$ Sl) A2)
и для любой Е-измеримой функции Ф^=0
$Ф41Л = $Ф|ф№/. A3)
О Равенство A3) прямо следует из A2) (см. § 1.5, п. 15).
Установим A2):
Н F) = || Е (б) JJ f = | J^J f = $e | Ф |
§ 4. Интеграл по спектральной мере.
Случай неограниченных функций
1. При переходе к интегралам от неограниченных функций
будем исходить из формулы C.10).
Обозначим через S (У, Е) пространство всех /^-измеримых,
?-п.в. конечных функций на Y; S(Y, Е)~алгебра с единицей
132

I и инволюцией ф>-»ф", однако не нормированная. Каждой
функции ipeS(F, E) сопоставим множество Офс: Я:
/ оо}. A)
Лемма 1. Множество D^ линейно и плотно в Я.
О Из A.8) находим, что
Отсюда следует линейность />ф. Положим
п}. B)
Множество U „б„ имеет полную ?-меру, а потому (п)
по теореме 1.2. Для любого /е Я fn = E(8n)f->-f. Чтобы уста-
установить плотность D4, достаточно проверить, что /„ е ?)ф. Но по
лемме 3.3
• Последовательность функций |ф„} назовем М-сходящейся к ф
5(У, ?), если выполнены условия:
Фл е Leo (К, ?) (Vn); ф„ («/) -»- ф (г/) (?-п. в.);
3 С>0:|фп(г/)|2<С(|Ф(«/)Р + 1) (Vn, ?-п. в.).
В частности, М-сходится к ф последовательность срезок ф[„],
определяемых равенством ф[П] =Хв„ф. ГДе ^п — множества B).
Пусть {фл} М-сходится к 9eS(F, E). Для любого f^D4
в силу C.4), C.10) оказывается
\UJ-KJf = \\^-^m\4^->Q (m, n->oo),
а потому существует предел h — lim J4nf. Ои не зависит от {ф„}:
если {фп} также Af-сходится к ф, то
Положим def
Отображение' /t—*- J^f очевидно линейно. Оператор /ф с областью
определения A), задаваемый равенством C), где {ф„} — произвольная
М-сходящаяся к ф последовательность, называется интегралом от
фе5(У, Е) по спектральной мере Е. Для /ф используются
также обозначения
Из C) предельным переходом получаем, что
»= lim 11 J^f f = lim ^ 1 ф. Is ^м-/ = S1Ф I2
133

Таким образом, формула C.10) переносится на неограниченные <р:
ШММ2^/ (V/eA,). D)
Сохраняются также формулы C.8), C.9):
8) = $ Ф^/.г (V/ е D,, Vg s Я), E)
(V/eD,). - F)
Достаточно доказать E). Пусть {<pn} М-сходится к <р. Тогда
в соответствии с A.14) и неравенством A.5.13)
| $ <Pnd\if.g - $ Ф^Ц/, е |я < $ | фп - ф I2 d\if \d\ig -> 0.
Теперь предельный переход в C.8) приводит к равенству E).
Пусть <peS(F, E), tpeLoo^, Е). Если {ф„} М-сходится к ф,
т0 {фп + ^} очевидно М-сходится к ф + ф. Переход к пределу
в равенстве JftJ+J^=Jftn+^ показывает, что при сделанных
предположениях
Df). G)
Ниже этот результат будет существенно расширен (см. теорему 3).
В следующей лемме указаны условия на последовательность
{ф„}, обеспечивающие сходимость УФп/ к Уф/. Эти условия зна-
значительно шире, нежели УИ-сходимость. В частности, они зависят
от элемента / е Др. Кроме того, на случай неограниченных функ-
функций распространяются равенства C.12), C.13).
Лемма 2. Пусть фе5(У, Е), /еЬф и h — J^f. Тогда
а) если <pn^S(Y, E), f^DVn (Vn) и ф„->-ф в метрике про-
пространства Lt(Y, [if), то Jq,J-+-h;
б) для ф и f сохраняются утверждения леммы 3.3.
О а) Пусть {ф„} М-сходнтся к ф. Тогда в соответствии с G)
и D)
Так как J-J-fJJ, то и J<fnf-+J<tf.
б) Достаточно установить равенство C.12). Оно выполнено,
как
так как
2. Займемся теперь перенесением на функции 9eS(y, ?)
свойств интеграла C.4) — C.6). Прежде всего отметим, что D9 с: D$,
коль скоро *' ф, tj; e S (Y, Е) и
(Е-пл.). (8)
*' Этот факт допускает обращение: если D^cD^, то (8) выполнено
с некоторой постоянной С,
134

Теорема 3. Пусть ^jlf e S (Y, ?); а, р е С. Тогда
, (9)
A0)
О Равенство (9) имеет место по определению. Если f e Dv fl Aw
то в силу A) aqp-f-PtjjeLjy, \if) вместе с ф, а|>. Пусть {<pj,
{а|>„} М-сходятся соответственно к ф, ф. Тогда аф„ + р-ф„ -»> аф + |3af>
в метрике L2(F, цД Из леммы 2, п.а), и из C.4) получаем A0):
^^ HJ/li(// ^f) J/ pJ^ *
Теорема 4. Яусть q>, tj><=S(F, E). Тогда
*)=^n^*, (И)
^V A2)
О Пусть f e D (/ф/^). Это означает, что f e D^, и Л = ^ ф
Последнее включение означает, что/еДрф. Действительно, в силу
леммы 2, п.б), $|ф^|2с*Ц/ = $|ф|2с((ха. Этим доказано A1). Дока-
Докажем A2). Пусть • сначала ф ограничена и {г|з„} М-сходится к \р.
Тогда {<рф„\ М-сходится к ф1|з, а потому при f&D^
Ит Jv (J^J) = lim
Пусть теперь ф e S (У, Е) и {ф„} М-сходится к ф. Заметим, что
из /eD^fl ?q«t> следует сходимость ф„ф к фф в Z^ (Y, \if). Но
тогда в силу леммы 2, п.а),
Замечание. Если в условиях теоремы 4
|<р| + |1>|*?СA+|ф1|>|), A3)
то из (8) и A1) получаем, что D(J9J^) = Di
Аналогичным образом, если в условиях теоремы 3 | <р | +1 тр I
«?СA+|аф+Р^|), то включение A0) заменяется равенством.
Свойство C.6) для неограниченных ф сохраняется:
Теорема 5. Пусть Фе5(К, Е). Тогда D(J^,) = Dlf и
О Пусть f, g<=Dq)(=D-). Из E) и A.12) находим
(A J^)^iJ^7T)^dng,f^l<pdHg = (Jvf, g),
т. е. J-aJff. Обратно, пусть g^D(J^) и h~J^g. Тогда
. A6)
135

Положим, в частности, fn — J~Jg- Тогда fn^Dv. Учитывая, что
ФФ[п] = | ф[«] |2, находим из A2) и A6):
Следовательно, |/п|^8Л|. или, что то же самое,
Но тогда и $|ф|2ф'?«?|!Л12> т.е.
Теорема 6. Для любой функции <р е S (Y, Е) оператор /ф замк-
замкнут и нормален.
О Замкнутость вытекает из теоремы 3.3.2 (поскольку /ф =*
= (./-)*), а нормальность — из A3), A4) (в силу неравенства
2||1Р 1) •
|ф|1фР + ) •
Как и для ограниченных ф, оператор Уф самосопряжен, если
?-п.в. ф(«/)=ф(«/).
Операторные включения A0), A2) можно уточнить.
Теорема 7. Пусть <р, i|><=S(F, ?). Гд
A7)
•^ф'^'Ф == «^ф«^ф = •^ф'ф- A8)
О Для определенности докажем второе из соотношений A8).
Равенство A7) получается вполне аналогично. Теорема б вместе
с A2) означает, что /ф^, — замкнутое расширение J^J4. Мы должны
показать, чтоО(У^,Уф) плотно в смысле метрики графика в?)(/фф)=:
= D^. Пусть /е^фф и fn = E{bn)f, где 6„ определены в B). При
доказательстве леммы 1 мы видели, что /„е?>ф и /„-»-/. Далее,
Jvfn = -Vxe/ = ^<р[л]/- Заметим, что i|><p[n] -vt|xp в L2 (Y, ц;). Поэтому
в силу леммы 2, п. а),
Мы убедились, что /„eDf^J,), /n-*-/ и J$Jqfn-+ Уфф/ #
3. Рассмотрим вопрос о перестановочности с операторами /ф.
Теорема 8. а) Если оператор ГеВ ("/-О перестановочен со
спектральной мерой Е, то он перестановочен с любым операто-
оператором J<f, <peES(r, Е). б) Подпространства Н F) = ?F)Я, 8<=Я,
приводят все операторы Д,.
О а) Для любых /, g^.H, 6 е 31 имеем:
A9)
цг/ (б) = | Е (б) 77Р = | Г? (S)/ Г < 171 ||а |*, (б). B0)
Пусть теперь (peS(F, ?) и /sD,,. Из A) и B0) следует, что
тогда и T/eD,,. Согласно A9) и E)
(VY, §) = ^фф7-/,г = $ФФ/,г| = (АД ТН) = (Т^, g),
т.е. Tvj /ф.
136

б) Требуемое вытекает из п.а) при Т = Е(8) в силу теоремы
3.6.1 ф
Унитарная эквивалентность мер влечет унитарную эквивалент-
эквивалентность соответствующих операторов J?:
Теорема 9. Пусть Е, Е' — спектральные меры на (Y, Ш) в гиль-
гильбертовых пространствах Н, И'. Пусть V — унитарное отображе-
отображение Н на И', такое, что VE (S) = Е' (Ь) V, VS <= Я. Тогда VJ0 =
= J'VV при V<peS(F, E) = S(Y, E').
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 8,
п.а).
4. Обсудим «замену переменной» в интегралах J,,. Точнее
говоря, речь пойдет о преобразовании спектральной меры.
Пусть (Y, SI, H, Е) — пространство со спектральной мерой,
Z — некоторое множество, и пусть задано отображение я: Y ^*-Ъ,
причем n(F) = Z. Обозначим через 8Г ст-алгебру подмножеств
dczZ, таких, что n-^dJeSl. Приде=?1' положим F (д)= ? (л-1 (<?)).
Тогда F — спектральная мера. Ниже используются обозначения
вида nf, /?, смысл .которых ясен. Из определения меры F выте-
вытекает, что
V-I. г (д) = Vi. г ^ (д)) (д е Я', f,gt= H). B1)
Теорема 10. Включения y&S(Z, F) и cp«neS(F, E) равно-
равносильны^. При этом
\l B2)
О Для любого множества А е 51В (С) имеем
Стало быть, функция <р F-измерима в том и только том случае,
если ф'Я ^-измерима. Точно так же обстоит дело с п.в.-конеч-
¦ ностью. Равенство
вытекает из B1) (при g — f) на основании формулы из § 1.5, п.9.
Оно показывает, что D(j%) = D(jy.n). Равенство
также следующее из B1), означает, что (jfy, g) = (Jy.nf,g)- Этим
установлено B2) 0
5. В заключение отметим, что если (Y, 3(. Hk, Ek), k — l, 2,—
пространства со спектральной мерой и Н = НХ®Нг, то
Е F) М Ех (б) © Ег F), веЯ, B3)
есть спектральная мера в Н. Интегралы J% по спектральной мере
B3) очевидно допускают разложение
JbQjB., B4)
*> Как обычно, (ф
137

ГЛАВА 6
СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Для самосопряженных и унитарных операторов существуют
представления в виде специальных интегралов по подходящей
спектральной мере. Такие представления называют спектраль-
спектральными разложениями. Доказательство соответствующих спектраль-
спектральных теорем является основной целью этой главы.
§ 1. Формулировки спектральных теорем.
Функции операторов
1. Пусть Y = R, Е — спектральная мера в Н, определенная на
борелевских подмножествах в R. В соответствии со сказанным
в § 5.4 интеграл
A=*\ksdE(s) A)
представляет собой самосопряженный оператор в Я с областью
определения
{$4 B)
Основным результатом спектральной теории является обращение
этого факта: всякий самосопряженный оператор А в Н допускает
спектральное разложение вида A). Точнее, справедлива следую-
следующая спектральная теорема.
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор в Н. Суще-
Существует единственная спектральная мера Е = ЕА в И, определен-
определенная на борелевских подмножествах в R, такая, что выполнено A).
Подобное утверждение справедливо и для унитарных опера-
операторов, но теперь роль Y играет единичная окружность Т.
Теорема 2. Пусть V —унитарный оператор в Н. Существует
единственная спектральная мера F = FV, определенная на борелев-
борелевских подмножествах в Т, такая, что
V = \rzdF(z). C)
Доказательству теорем 1, 2 посвящены § 2, 3. Здесь мы рас-
рассмотрим предварительные вопросы, связанные с интегралами A),
C). Для определенности будем говорить в основном об интег-
интегралах A).
438

2. Разложение единицы. Спектральная мера на прямой тесно
связана с проектор-функцией Es = Ef, seR:
EfMEA(-oo, s), ssR. D)
Функция Es (разложение единицы) удовлетворяет условиям:
ES^E( при s</ (монотонность), E)
?_« — s-UmEt-= 0, ?+«,— s-lim?, = / (полнота)^ F)
s-lim Et — Es (непрерывность слева). G)
/ О
s —О
Справедливость E) —G) прямо следует из E.1.3) и теоремы 6.1.2.
Каждому f e H можно сопоставить неубывающую функцию
Она непрерывна слева, Д/ (— оо) = 0, ^ (+ оо) = || f \\г. Функция fy
связана с мерой E.1.8) ц{ равенством
<оо. (9)
Спектральная мера восстанавливается, если задана проектор-
функция Es, удовлетворяющая E) —G). Именно пусть 31° —
алгебра всевозможных конечных объединений промежутков б =
•= [а, Р), —оо^а<р^оо. Функции \if вида (9) распростра-
распространяются на Я0 по аддитивности; это распространение (см. § 1.3,
п. 24) счетно-аддитивно. Функция ?°F) = ?р — Еа поэтому также
распространяется на 31°; в силу леммы 5.2.1 это распространение
счетно-аддитивно. По теореме 5.2.3 Е° продолжается до меры Е
на а-алгебре W(E) подмножеств в R, заведомо содержащей все
боролевские подмножества.
Отметим, что требования E), F) на Es содержательны, в то
время как G) есть, по сути дела, условие нормировки *'.
Точку ^eR называют точкой постоянства функции Es, если
Е(Х — е, Х+е) = 0 при некотором е>0. В противном случае "К —
точка роста для Es. Точки постоянства образуют открытое мно-
множество, точки роста — замкнутое. Множество точек роста функ-
функции Е, очевидно совпадает с носителем supp? соответствующей
меры Е (см. § 5.2, п. 4).
3. Спектр а (А) оператора А, определенного равенством A),
можно описать в терминах меры Еа (или, что то же, функции Е?).
При этом обнаруживается довольно последовательная аналогия
со случаем оператора умножения на независимую переменную,
рассмотренным в § 4.7. (Причины такой аналогии вскрываются
результатами § 7.5.)
Теорема 3. Пусть A)—спектральное разложение самосопряжен-
самосопряженного оператора А. Справедливы следующие утверждения. 1. а (А) —
•' Если вместо D) принять ES=>E(—оо, s], то функция Es окажется
непрерывной справа.
139

*= suppi^. 2. <тр(Л) = {Хе R: ЕА{к}ФО}; собственное подпро-
подпространство для числа к есть Н \к\ = ЕА{к}Н. 3. ас(А) есть мно-
множество неизолированных точек в а (А).
О 1. Из A) и E.4.4) следует, что
|(A-Wp = S(s-b)«dJv(s). VfeD(A). A0)
Если Л, <= supp Еа, то при некотором е0 > 0 будет y,f (к — е0Д + е0) =s
= 0. Тогда из A0) следует ||(Л — ^)Л1^э=еоШ> а потому Х<=р(Л).
Обратно, если к е supp ?д, то для любого е > 0 найдется fR e
е?д(А, —е, Х + е)Я, }еф0. В A0) интегрирование сведется
к интервалу (X —е, Я + е), а потому ||(А-Д)/е||<е||/8|| и1е
ест (Л).
2. Из A0) следует, что Af = kf возможно при 1Ф0 в том и
только том случае, когда ц/{к}ф0, u.y(R\{X}) = 0. Последнее
означает, что f — EA{K}f^H{K}. __
3. Положим Gx = H Q НЩ, А% — часть Л в G^; если к<=ар (А),
то Gx=H, Ax = A. Пусть 1 не изолирована в а (А). Тогда най-
найдутся интервалы б„ = (Х„ — е„, А,„+е„), такие, что Я<=6П> Ля-*-Х,
е„-^0 и ?н(б„)^О. Пусть fn = ?д (в») /„ Ф 0. Из A0) получаем,
что |(Л-Л)А,|*?(| Л-Я. ! + ея)|/п|. Так как /„ s Съ то А, е <т(Лх).
Это по определению означает, что К^.ас(А). Обратно, пусть К —
изолированная точка о (А). Для некоторого е„>0 имеем ЕА(Х — е0,
K-\-eo)f = EA{K}f. Если f^.G%, то ?A{^,}f = 0, а потому в силу 1
^Шо(Ах). Последнее означает, что k~s=ac(A) ф
Замечания. 1) Из п. 1 теоремы 3 прямо следует, что ин-
интегрирование в A), B) можно вести лишь по спектру а (А).
2. Пусть А = А* полуограничен снизу, тА — его точная нижняя
граница. Положим ко = Ш{К:К^а(А)}. Следствие 4.1.5 озна-
означает, что тА^к0. С другой стороны, из A) в соответствии
с E.4.6) получаем
т. е. ша^К- Таким образом,
mA = mik {к(=в(А)). A1)
Аналогично верхняя грань полуограниченного сверху оператора
Мл = sup {X:Xe о (А)}. 3) Если оператор А=*А* ограничен, то
[тА, Ма} есть наименьший промежуток, содержащий а (А). При
этом
| = max{|mA|, \MA\}
4. Функции самосопряженного оператора. Рассмотрим введен-
введенные в § 5.3, 5.4 операторы вида /ф, полагая F = R, E — EA, фе
eS(R, E). В связи с разложением A) операторы J9 в этом слу-
случае естественно интерпретируются как функции от оператора А.
Именно
& dEA(s) (<peS(R, E)). A2)
140

В соответствии со сказанным в § 5.3, 5.4 для функций опера-
оператора А справедливы следующие факты.
1°. Область определения ф(Л) плотна в Я и задается фор-
формулой
2°. Ограниченность <р(Л) равносильна соотношению
A4)
3°. Оператор ф(Л) нормален н [ф(Л)]* =ф(Л). Самосопря-
Самосопряженность ф(Л) равносильна вещественности функции <р на ст(Л).
Унитарность ф(Л) равносильна тому, что j<p(A,)|=l, Хе<т(Л).
4°. Еслиф1; фге5(Я,?)и ф = сс1ф1 + а2ф2, то ф(Л)=>а1ф1(Л) +
Ц-а2ф2(Л) и замыкание а1ф1(ЛL-а2фа(Л) есть ф(Л).
5е. Если фх, фа е S (R, Е) и Ф = Ф1ф2, то
A5)
A6)
и замыкание фх(Л)ф2(Л) есть ф(Л).
Существенно, что в тех случаях, когда функции от А могут
быть определены непосредственно, такое определение согласовано
с A2). Пусть, например, <Pi(s) — s, <p2(s) = sn-1, л=1, 2, ..., и
пусть Ф = ФхФ2- Поскольку Isl"^ I +|s|", из A3) следует, что
1)(ф2(Л)) гзЬ(ф(Л)). Поэтому A6) переходит в рассматриваемом
случае в равенство D (q>1(A)q>i(A))==D((p(A)). Вместе с A5) это
означает, что
Лп/ = А (Л"/), feB (An) = {g(=D (A"'1): An~lg e= D (Л)}.
Мы пришли к прямому (индуктивному) определению натуральных
степеней Л. Основываясь на утверждениях 4°, 5°, легко убе-
убедиться, что прямое определение полиномов от Л также согласо-
согласовано с A2). Другой случай, когда прямое определение возможно,
связан с обратным оператором. Пусть геС, гШор(А) и пусть
<Pi(s) = (s — г)-1, 4i{s) = s — z, Ф(s) = Фх(s)ф2(s) = 1. Из A6) в этом
случае получаем, что О(ф1(Л)ф2(Л)) = О(ф2(Л)) = ?)(Л), а потому
в силу A5)
A7)
Аналогично устанавливается, что (Л — zI)q>1(A)g = g для всех
g е?)(фх(Л)). Вместе с A7) это показывает, что Ф1(Л) имеет
смысл обратного к Л — г/ оператора, который существует в силу
условия г е ор (Л). Если прн этом гест (Л), то (Л — г/)-1 — неог-
неограниченный оператор. Если же гер(Л), то (Л —г/)-1 совпадает
с резольвентой Гг(Л).
Легко понять, что прямое определение любой дробно-рацио-
дробно-рациональной функции от Л, которое возможно, если полюса дроби
лежат вне ор(А), согласовано с A2).
141

Заметим еще, что из A2) следует равенство
A8)
где х« — характеристическая функция борелевского множества б с:
с: R. Равенство A8) не может служить для построения меры Ел
по оператору А, поскольку оно само основано на разложениях
A) и A2). Однако любое доказательство теоремы 1 в конечном
счете сводится к какому-либо способу «прямого» построения *>
функции %ь(А).
5. Сказанное в пп. 2 — 4 может быть с незначительными изме-
изменениями перенесено на унитарные операторы. Мы ограничимся
лишь несколькими замечаниями.
С мерой Fv из C) можно связать разложение единицы Ft = Ff,
/е[0, 2я), полагая Ft = FvFt), где 8<={z = exp(nr); O=sgT<f}.
Представление C) принимает вид
У = к2я/'^- A9)
Неубывающую функцию Ft можно доопределить для всех /eR,
полагая Ft~0 при t<.0, Ft*=I при t^2n. При этом Ft оказы-
оказывается непрерывной слева всюду, в том числе при ? = 0 и t = 2n.
Характеристика точек спектра V в терминах Ft вполне ана-
аналогична случаю самосопряженного оператора. Следует лишь учесть
преобразование ?н-»-z = exp(#). Функции <peS(T, Fv) порождают
функции оператора V:
Ф (V) = $т Ф (г) dFv (г) = $[0 ад Ф (е") dFt. B0)
Определение B0) согласовано с «прямым» определением <p(V)
в тех случаях, когда последнее возможно. В частности, это заве-
заведомо верно для «квазиполиномов»
P(V) = ZL-nc"V>> B1)
и для дробно-линейных функций от V, если соответствующий
полюс не принадлежит op(V).
§ 2. Спектральная теорема для унитарных операторов
Теоремы 1.1, 1.2 сравнительно просто сводятся одна к дру-
другой. Мы начнем с доказательства теоремы 1.2, поскольку работа
с ограниченными операторами несколько удобнее.
1. Доказательство теоремы 1.2 основано на анализе свойств
операторов вида A.21). Пусть р — соответствующий квазиполином:
*' Для ограниченных операторов наиболее последовательный путь состоит
в приближении хб полиномами. По этому поводу см. [16].
142

Для определенности считаем, что если в A) п>0, то !! !|
>0. Через р+ будем обозначать функцию вида A) с коэффициен-
коэффициентами С-ь. Ясно, что р+(г) = рB~1) и потому
геТ.
Множество всех функций вида A), л = 0, 1, 2 обозначим
через Q. Мы будем опираться на следующую лемму.
Лемма 1. Пусть рей и p(z)^0 при геТ. Тогда найдется
функция ?eQ, такая, что p — q+q.
О Из вещественности р(г) при геТ следует, что C-k = ck и
р+ = р, т. е.
ге=С. B)
Пусть Wj, /=1, ..., 2п, — корни полинома г"р(г). В силу B)
©7' является корнем вместе с Wj, причем кратности их совпа-
совпадают. Корни, лежащие на Т, имеют четную кратность. При над-
надлежащей нумерации корней оказывается, что
г»р (г) = сп П;=1 (г -
Полагая q(z) = Y\"(z — wf), получаем, что p = Cq+q, где С =
= (—l^CnJJ"^1. Из неотрицательности р на Т следует, что
С>0. Остается включить множитель С'/г ъ q %
Для peQ положим М (р) = max {| р (г) |: г е Т}. Множество Q,
снабженное нормой М (•), естественно вкладывается в банахово
пространство С (Т). Это вложение плотно.
2." При фиксированном унитарном операторе V рассмотрим
отображение j: fi->B(#), полагая }p = p(V). Отображение j
линейно и мультипликативно. Оно также инволютивно, т. е.
Лемма 2. В условиях леммы 1 р(У)>0.
О Воспользуемся представлением p — q+q. Тогда
р (V) = \р = j (q+q) = lq+}q - Qq)* Qq) > 0 •
Лемма З. Для любого рей
flp(y)|<M(p). C)
О Функция рх B) = М* (р) — р+ (г) р (г) принадлежит Q и при
геТ неотрицательна. Стало быть,
что равносильно C)#
3. Доказательство теоремы 1.2. Пусть V — унитарный
оператор в Н. Фиксируем элементы /, g e H и рассмотрим функ-
функционал
f, g), рей. D)
143

Фуйкционал D) —линейный функционал над Й. Из C) получаем
оценку для его нормы: l^/,* |<l/|H|g|]- По непрерывности функ-
функционал D) распространяется на все пространство С(Т). Согласно
теореме Рисса о представлении линейного функционала в С одно-
однозначно определяется комплексная борелевская мера nfrg на окруж-
окружности Т, такая, что *>
Q). E)
При этом для любого подмножества 8 а Т
I^S)I<I^I(T)=I?/J|<|/Nsl|. F)
Из E) при f — ocJ-L + aJz получаем равенство
В силу биоднозначности соответствия между функционалами в С (Т)
и мерами отсюда следует, что функционал \*.f<g(b) линеен по /.
Точно так же устанавливается, что он антилинеен по g. Вслед-
Вследствие F) он ограничен. По теореме 2.4.6 функционал Щ,е(&)
однозначно определяет оператор f(8)GB(//), такой, что
1*л*(в) = СЧв)Л ё), G)
причем ||FF)||^1. Обсудим свойства операторов F(8). При f = g
условимся писать [if вместо \ifig. Из равенств
следует, что квадратичная форма (FF)f, /) = ^(б) вещественна,
а потому F F) самосопряжен.
Далее, пусть р, q ей; /, ge H, Тогда
$ Р<7 Ф/. g = (p(V)q(V)f,g) = \p dnq(V]fi g.
Следовательно, для любого 8 с Т
$ 9Хв ^Лг = Se «7 ^/. г = И? (v)/,^ (в).
Используя для правой части представление E), найдем
Поэтому для любого йсТ имеем №f,FF)g(д) = Иу* (б П д)> т. е.
(FF)F(d)f, g) = (F(d[\8)f, g). Принимая здесь 5 = 8, получаем
/* F) = F (б). По теореме 2.8.1 отсюда следует, что F (8) — орто-
ортогональный проектор. Полагая в E) р = 1, находим, что
т. е. ^(Т) = /. Проекторы ^(8) определяют собой борелевскую
спектральную меру. Действительно, осталось отметить счетную
*' Интеграл без указания области предполагазт интегрирование по Т.
Через б, д обозначаются борелевские подмножества Т.
144

аддитивность, которая в силу G) следует из счетной аддитивно-
аддитивности мер iif.
Покажем, что построенная спектральная мера F связана с опе-
оператором V равенством A.3). В самом деле, если р (г) = г, то \р = V,
и равенство E) в сочетании с E.3.8) дает
W, g) = \z diif,e(z) = (\zdF(г) f, g).
Это и означает, что A.3) выполнено. Осталось доказать единст-
единственность представления A.3) для V. Здесь достаточно заметить,
что из A.3) следует (см. § 1," п. 5) представление E), G) для
(p(V)f, g). Поэтому билинейная форма оператора F (8) определя-
определяется оператором V однозначно. Теорема 1.2 полностью доказана.
4. Отметим, что наряду с A.3) имеют место равенства
Vn = \zndFv (г), Vn<=Z, (8)
т. е. мера Fv осуществляет спектральное представление группы
степеней унитарного оператора V. В терминах разложения еди-
единицы Fj можно записать (8) в виде
5. В заключение отметим следующий простой факт.
Теорема 4. Для того чтобы оператор М е Ъ(Н) был переста-
перестановочен с унитарным оператором V, необходимо и достаточно,
чтобы он был перестановочен со спектральной мерой Fv.
О Достаточность прямо следует из теоремы 5.4.8. Докажем
необходимость. Если М ^ V, то М ^ V'1, а потому M(V)
рей. Отсюда и из E) имеем
а потому для любого б с: Т
(F (8) Mf, g) = ил*f. e (8) = щ, м-г (8) = (F (8) f, M*g) - (MF (8) f, g)
Из теорем 4 и 5.4.8 очевидно следует, что при М ^> V для
любого оператора <p(V) вида A.20) М (V)
§ 3. Спектральная теорема
для самосопряженных операторов
В этом параграфе доказывается теорема 1.1. С помощью пре-
преобразования Кэли она сводится к теореме 1.2.
1. Пусть А — самосопряженный оператор в Н, V — его преоб-
преобразование Кэли D.3.1), соответствующее значению параметра K — i:
V = (A-iIKA+iiyh A)
Оператор V унитарен. Оператор А восстанавливается по V с по-
помощью равенства (см. D.3.5))
I). B)
10 Заказ 649 145

Пусть Fv — спектральная мера для V. Как отмечалось в § 4.3,
п. 2, 1 f?Og(V); это условие означает, что Fv{l} = 0. Полюс дроб-
дробно-линейной функции, соответствующей B), ие принадлежит op(V),
а потому
] -l)-K C)
Последнее равенство включает совпадение областей определения:
D( А ) = Д|,. Если FГ — разложение единицы, отвечающее V, то C)
можно переписать в виде
Л = 5[О,2ге) ctg (^/2) ^Г- D)
Пусть Es — разложение единицы, определяемое формулой
Et = Ff, s- ctg t/2. E)
Условия A.5) —A.7) для Es очевидно выполнены. Поясним лишь,
что lim ?у= lim FY =F^ = 0 в силу того, что 1ео.(К). Если
s__oo <_*+о
в D) формально сделать замену s = — ctg(f/2), то с учетом E)
получим требуемое интегральное представление для А. Эту вы-
выкладку нетрудно обосновать, переходя к билинейным формам.
Такое обоснование, однако, уже проводилось в более общей об-
обстановке в § 5.4, п. 4, и мы можем прямо сослаться на формулу
E.4.22). В самом деле, функция ty из C) биоднозначно отображает
Т \ {1} на R. Каждому борелевскому множеству 8 с: R сопоста-
сопоставим проектор
?6) FA6) F)
Спектральная мера Е соответствует разложению единицы E). При-
Применяя к C) формулу E.4.22), получаем
A=lRsdE(s). G)
Тем самым получено спектральное представление для А. Спект-
Спектральная мера Е = Еа, определенная в F) по F = FV, единственна.
Действительно, из G) и A) следует, что
l . (8)
Функция ф обращает отображение >)). Поэтому от (8) можно пе-
перейти к A.3), определяя Fy по Ел в соответствии с F). Поскольку
мера Fv единственна, то в силу F) единственна и мера Е = ЕА.
Теорема 1.1 доказана.
2. Обсудим подробнее интегральное представление резольвенты
Гг(Л) самосопряженного оператора А. Это представление, уже
упоминавшееся в § 1, имеет вид
Г, (А) = (А - z/)-1 = I (А) (s - г)-1 dEA (s), 2 Ш ор (А). (9)
Для регулярных точек г формула A.14) приводит к полезному
равенству
|Г,(Л)Ц=[гат{|г —s|:seo(/l)}}¦», гер(Л).
146

Напомним, что при гер(Л) резольвента является аналити-
аналитической функцией (см. теорему 3.7.6). Изолированные точки спек-
спектра оператора А суть изолированные особые точки резольвенты.
Пусть к — такая точка. Вытекающее из (9) равенство
Гг (А) = (к- г)-» ЕА
дает разложение резольвенты в окрестности точки Я. на главную
и регулярную части. Из A0) видно, что для самосопряженного
оператора каждая изолированная точка спектра есть простой по-
полюс резольвенты. Аналогичный факт справедлив для унитарных
и вообще для любых нормальных операторов.
В соответствии с E.4.5)
(Г,И)Л ?) = $
Таким образом, вне спектра функция (Гг(Л)Д g) представлена ин-
интегралом Коши-Стилтьеса. Формула обращения Стилтьеса (см. [20])
позволяет теперь выразить разложение единицы оператора А через
резольвенту. В результате получается следующее важное соотно-
соотношение:
R)
В частности, при КШар(А) A1) дает представление для (E%f, g).
3. Теорема 2. Для того чтобы оператор МеВ(Я) был пере-
перестановочен с самосопряженным оператором А, необходимо и доста-
достаточно, 'чтобы М был перестановочен со спектральной мерой ?д.
О Достаточность следует из теоремы 5.4.8. С другой сторо-
стороны, из М^А элементарно получается М^Гг(А). В силу A)
V = / — 2tT_f(i4), а потому M^V. По теореме 2.4 M^->FV. Соот-
Соотношение F) показывает, что тогда и М^ЕА ф
Из доказанного следует, что М<->А влечет за собой М^ф(Л;
для любых операторов вида A.12).
Теорема 2 дает основание распространить определение пере-
перестановочности М^/1 с самосопряженным оператором А на слу-
случай, когда А — неограниченный: будем говорить, что МиЛ, если
М^ЕА. Теорема 2 означает, что для Me В (Я) это определение
согласуется с основным.
Для случая, когда М также самосопряжен, из принятого оп-
определения вытекает, что перестановочность самосопряженных one-
роторов равносильна перестановочности их спектральных мер.
§ 4. Спектральное разложение
однопараметрической унитарной группы С)
1. В § 2, п. 4, отмечено, что из A.3) вытекает спектральное
представление B.9) для группы целых степеней унитарного опе-
оператора. Это утверждение имеет континуальный аналог. Пусть для
10* 147

Vx e R определен унитарный оператор U (x), причем
tf(*i + *«) = tf(*i)tf(*«), Vxb x2eER, A)
s-lim U(x)=U(x0), VxoeR. B)
Из A) следует, что операторы U (х) попарно перестановочны,
?/@) = / и 0(—x) = U{x). Таким образом, U{x) — однопарамет-
рическая непрерывная коммутативная унитарная группа. Отметим,
что в силу A) условие B) достаточно проверять в одной точке,
например при л:0 = 0. Наконец, в B) можно заменить s-lim на
ш-lim.
Если Е — спектральная мера на борелевских множествах в R, то
U(x) = \Reix*dE(s), xeR, C)
очевидно представляет собой унитарную группу. Из теоремы 5.3.2
следует, что группа C) сильно непрерывна. Докажем, что пред-
представление C) справедливо для всякой непрерывной унитарной
группы.
Теорема 1. Пусть U (х) — однопараметрическая непрерывная
унитарная группа. В Н существует единственная спектральная
мера Е, определенная на борелевских множествах в R, такая, что
имеет место представление C).
Заметим, что C) можно записать в виде U (х) = exp (iAx),
где А — самосопряженный оператор, построенный по мере Е
в соответствии с A.1). Оператор А называется производящим для
группы U(x). Он может быть построен прямо*' по группе U(х)
без обращения к мере Е. Это дает путь к выводу представления
C) из теоремы 1.1. Мы, однако, докажем теорему 1 иначе, сводя
ее с помощью предельного перехода к теореме 1.2.
2. Воспользуемся представлением A.3) для унитарного опе-
оператора U (х) (при фиксированном х > 0). Пусть /7(JC) — соответствую-
соответствующая мера в A.3). «Пересадим» ее на промежуток А(х) = [—пх~1,
пх~1) с помощью замены переменной z>—*-s, z = exp(i;ts), $eAD
Полученную меру ?(Jf) доопределим нулем на R\A(a:). Тогда
?/(*) = S в"* dE^ (s) = $д w е1** dB'> (s), D)
причем мера Е(х) с носителем на А (я) в представлении D) един-
единственна. При целом k из D) следует
U (kx) = Uk (x) = $д w e** dEW (s), k = ± 1, ± 2, ... E)
Сравнивая E) при ft = 2c D) при х*-^*2х, находим, что
8сАBл:)( F)
где б' с: А(д:)\АBл:) состоит из точек, сравнимых с точками se
е8 по модулю пхг1.
•' Некоторые указания на этот счет см. в § 8.2, п. 2t в связи с абстракт-
абстрактным уравнением Шредингера.
148

Пусть теперь р — натуральное число, х = 2гр; обозначим Д (х) =
«= Др, ?(*> = Ер. Из F) следует, что
?»«(«)<?* (8), 8сДр. G)
Поэтому для всякого ограниченного 8 ?: R проекторы Ер (8) не
возрастают при р^р — р(Ь). В соответствии с теоремой 2.8.6
существует предельный проектор
?(8) = s-lim ?*(8). (8)
Убедимся, что такой предел существует для любых (не только
ограниченных) борелевских множеств. Будем исходить из следу-
следующей леммы, доказательство которой отложим до п. 4.
Лемма 2. Для{ е.Н по всякому в > 0 найдутся числа р0 = р0 (/, «),
L — L(f, e), такие, что
[-L, LJ)/I<e
Положим 6i = бПГ— L, L]. Тогда для заданного /ей
В силу (9) последние два слагаемых можно сделать малыми за
счет выбора L, а затем при фиксированном L воспользоваться
сильной сходимостью Ep(bL). Таким образом, предел (8) сущест-
существует для любых борелевских 8 с: R.
Установим теперь, что равенство (8) определяет спектральную
меру. Конечная аддитивность Е очевидна. Нормальность •> функ-
функции Е нз последовательностях ограниченных множеств 6„ прямо
следует из неравенства Е F„) <; Ер (8„), вытекающего из G). На
последовательности неограниченных множеств нормальность легко
переносится с помощью (9). Свойство полноты Е (R) = / следует
из (8), поскольку Ер(К) — 1.
3. Пусть теперь элемент / е Н удовлетворяет условию
?(А)/=/, A = (-tf, N) A1)
при некотором N > 0. Если р таково, что Д с Ар, то Е (8) «S Е" (8)
для 8 с: Д, а следовательно,
6сДсДр. A2)
Используя A2) для множеств б и Д\8, из A1) получаем
= Е (8)/ + Ер (8) Ер (Д\8) Е (Д\8) / = Е (8)/. A3)
*> В соответствии с леммой 5,2.2 нормальность влечет за собой счетную
аддитивность функции Е.
149

Соотношение A3) вместе с A1) позволяет применить представле-
представление E) при х = 2-р, 2t>n>N:
UB-'k)f = \exv(i2-Pks)dE(s)f, kz=Z. A4)
Мы видим, что U (х) определяется формулой C) для всех двоично-
рациональных ^eR на рассматриваемом элементе /. Сильная
непрерывность группы U (х) позволяет распространить это пред-
представление на все х е R. Поскольку элементы вида A1) плотны
в Я, мы получаем для U(x) представление C) с мерой Е, опре-
определенной в (8). Убедимся в единственности представления C).
С этой целью заметим, что сравнение C) с D) приводит к соот-
соотношению
?U)(8) = 2ftgZ?{s:s-2fouri(=8}, всД(*). A5)
Из A5) легко следует (8), во всяком случае для ограниченных
б с: R. Этим установлена единственность меры Е в C).
4. Доказательство леммы 2. Для / е Н в силу B) по
е>0 найдется номер г>0, такой, что
II ?/(*)/-Л!2 ^ в* @<х<2-). A6)
Положим р0 = г + 2, L = 2гя. Пусть р^р0, k—l, ..., 2Р'Г. Нера-
Неравенство A6) при x = 2~pk означает, что
$д ()^() A7)
Просуммируем неравенства A7) по k от 1 до 1 = 2Р~Г. Пользуясь
известным выражением для суммы 2|cos ^a> получаем
Оценка A8) только усилится, если интегрировать по области
< | s | ^ 2рп. При таких значениях s
121 sin 2-^«s 13s An~42-(P+1)L = 2.
Поэтому дальнейшее огрубление оценки A8) дает
что равносильно (9). Лемма 2 (а с ней и теорема 1) доказана.
5. Введенная в п. 1 унитарная группа U (х) является представлением
аддитивной группы R. Формула C) осуществляет разложение этого представле-
представления на неприводимые. Аналогичное разложение имеет место для унитарного
представления любой локально-компактной абелевой группы. Соответствующая
спектральная мера определена на борелевских подмножествах двойственного
объекта — группы характеров. Полное изложение этих вопросов читатель найдет,
например, в [11].
150

§ 5. Совместное спектральное разложение нескольких
перестановочных самосопряженных операторов
1. Пусть Alt ..., Ап — попарно коммутирующие самосопря-
самосопряженные операторы, Еъ ..., Еп — соответствующие им (в смысле
теоремы 1.1) спектральные меры. В согласии со сказанным в п. 3.3,
перестановочность операторов Аи означает попарную перестано-
перестановочность мер Ек, k=\, ..., п. Теорема 5.2.6 дает возможность
определить в R" борелевскую спектральную меру Е — произведение
мер Elf ..., Еп- В результате мы приходим к представлению всех
операторов Ак в виде интегралов по одной и той же спектральной
мере. Точнее, справедлива следующая теорема о спектральном
разложении.
Теорема 1. Пусть Ах А„ —попарно перестановочные само-
самосопряженные операторы в Я. Существует единственная спектраль-
спектральная мера Е в Н, определенная на борелевских подмножествах в R",
такая, что
\ й=1 п. A)
2. Доказательству теоремы 1 предпошлем лемму.
Лемма 2. Пусть Yu Y% —полные сепарабельные метрические
пространства, Y = Yг х Y2; Elt Ег — перестановочные борелевские
спектральные меры на Yv Y2 в одном и том же гильбертовом
пространстве Я; Е —произведение мер Elt E2. Пусть ipe5 (Y1,E1).
Тогда функция ф (ylt у2) = ф (yt) принадлежит классу S (Y, Е) и
\yfpdE~lyydE!. B)
О Воспользуемся теоремой 5.4.10. Пусть л^. Y -»- Yt — естест-
естественная проекция: пг (уг, у2) = ух. Тогда щ1 (б) = б х У2 для любого
5 a Yv В соответствии с E.2.11) Ег (б) = Е (щ1 (б)). Следовательно,
f-измеримость ф равносильна ^-измеримости ф, и равенство
E.4.22) приводит к B) •
Доказательство теоремы 1. Для упрощения записи
ограничимся случаем п = 2. Пусть Еи ?2 — спектральные меры
операторов Alt А2> Е — произведение мер Elt Ег. Тогда Е — боре-
левская мера на Ra. В силу леммы 2
Ai = $R st dEt (sx) = $R, st dE (s).
Аналогичное равенство справедливо для А2. Остается установить
единственность меры Е. Пусть Е — мера в представлении A) (при
п = 2). Для 8cR определим борелевскую меру Е' равенством
R). C)
Тогда по теореме 5.4.10 ^^r sdE'(s); следовательно, Е'=Ег
и C) совпадает с E.2.11). Точно так же из A) вытекает равен-
151

ство E.2.12), и дело сводится к единственности меры Е в тео«'
реме 5.2.6 •
3. Рассмотрим носитель supp E спектральной меры Е, фигури-
фигурирующей в теореме 2. Напомним (см. § 5.2, п. 4), что точка Я,е
е R" принадлежит носителю, если любой шар | s — К | < е, е > О,
имеет ненулевую ?-меру. Теорема 1.3 дает повод к тому, чтобы
называть supp? совместным спектром системы операторов Av ...
..., А„. Совместный спектр обозначается через a(Av ..., А„).
Естественность понятия совместного спектра подтверждает сле-
следующий результат.
Теорема 3. Точка Х^С^, ..., Кп) е R" принадлежит a(Alt ...
..., Ап) в том и только том случае, если по любому е>0 най-
найдется элемент f &f["D(Ak), f «=/eФ0, такой, что
\\Akf-Xkf\\<*\fl k=l п. D)
О Пусть Хеа(Л1, ..., Ап). Выберем е>0 и положим де =
= {se=R": \8-Ц<г}. Тогда Е{дг)ф0 и для f<=E(dt)H, 1Ф
ФО, мера |if сосредоточена на дг. Следовательно, /е?)(Лй) и
Обратно, пусть %Шо{А1, ..., А„). Выберем е>0 так, чтобы
а)=0. Тогда для любого / е П ?D (^*)
W I
S V Л
что исключает D) •
Отметим, что a(Alt..., А„) содержится в прямом произведении
спектров а (А)) X ... X о(Ап), но не обязательно с ним совпадает.
Например, если л = 2 и Аг = Аг = А, то совместный спектр есть
«диагональ»: а(А1, Лг) = {^,е R2:X1 = ^ eoD)}.
Теорему 3 можно дополнить следующим утверждением, проверку
которого мы предоставляем читателю.
Теорема 4. Соотношение ?{1,}^0Де R", равносильно наличию
общего собственного элемента: Akf = %kf, /?=0, k—l,..., п. При
этом ЕЩН совпадает с пересечением собственных подпространств
Ek |ЯА}# операторов Ak.
Операторы вида J4, = j(fdE естественно интерпретируются как
функции ф(Лх, ..., Ап) коммутирующих самосопряженных операто-
операторов А1г..., А„. По поводу этого определения можно повторить
ббльшую часть сказанного в § 1, п. 4, о функциях одного оператора.
Следующее утверждение, обобщающее теорему 3.2, легко из
нее выводится.
Теорема 5. Для того чтобы оператор МеВ (Я) был перестано-
перестановочен с попарно коммутирующими самосопряженными операторами
152

A\, • • • > An, необходимо и достаточно, чтобы М был перестаново-
перестановочен со спектральной мерой Е, определенной в теореме 1.
О По теореме 3.2 M^-jEai, •.., Е^п, а потому М перестановочен
и с их произведением — мерой Е •
3. Отметим, что справедлив аналог теоремы 1 для попарна
перестановочных унитарных операторов Vlt..., Vn. Спектральная
мера в этом случае задается на бор'елевских подмножествах
п-мерного тора. Не представляет затруднений и система попарно
перестановочных самосопряженных и унитарных операторов Alt...
..., А„, V\,..., Vm (случай п — т — \ встретится в § 6). С другой
стороны, теорема 1 допускает распространение на бесконечные
последовательности попарно перестановочных самосопряженных
операторов. Однако обсуждение этого вопроса выходит за рамки
настоящей книги.
§ 6. Спектральное разложение нормального оператора
Спектральное разложение, аналогичное формулам A.1), A.3),
имеет место для произвольного нормального оператора. Оно содер-
содержит в себе A.1), A.3) как частные случаи, из которых, впрочем,
выводится. При выводе мы будем опираться на теорему 5.2.6
о произведении мер, а также на теорему 8.1.4 о полярном
представлении нормального оператора. В этой связи при чтении
настоящего параграфа следует ознакомиться с § 8. 1.
1. Теорема 1. Пусть Т — нормальный оператор в Н. Существует
единственная спектральная мера Е = Ет, определенная на борелев-
ских подмножествах в С, такая, что
T = \czdET{z). A)
О Предположим сначала, что N(T) = {0}. В полярном пред-
представлении (8.1.4) оператора T = V\T\ операторы К — \Т\ и V
перестановочны. Кроме того, Л^G'*) = Л^(Г) = {0}, оператор V
унитарен, /С = /С*>0 и Оеи,(К). Спектральная мера Ек опера-
оператора К сосредоточена на R+, причем ?>{0} = 0. Спектральная
мера Fv унитарного оператора V определена на борелевских
подмножествах единичной окружности Т. Меры Ек, Fv перестано-
перестановочны, что следует из K^V. Их произведение Ё представляет
собой борелевскую меру на R + xT.
Обозначим через я: R+xT-vC отображение, определяемое-
полярными координатами z = r% (reR+, Z, е Т). Отображение п
переводит (в смысле § 5.4, п. 4) меру Ё в некоторую борелев-
борелевскую спектральную меру Ет на С. Заметим, что Ет {0} = Ек {0} = 0.
В соответствии с E.4.22) и леммой 5.2 находим
$с | г j-i г dET (г) = $R+xT Ш (г, О = V. C)
15а

Из этих представлений и из теоремы 5.4.4 получаем представле-
представление A) для оператора Т— VK- Одновременно устанавливается, что
оо}, D)
E)
Если N(T)=?{0}, то следует, как пояснено в § 8.1, п. 2,
перейти к части То оператора Т в #0 N (T) = R (T). Тогда для
Тв справедливо представление вида A) с мерой Ет„ в простран-
пространстве R(T). В пространстве N (Т) рассмотрим меру Е°, опреде-
определенную равенствами ?°(С\{0}) = 0, Е° {0} N (T) = N (T). Положим
Ет = Ет.(&Е0. Из E.4.23), E.4.24) следует, что Ет — спектраль-
спектральная мера в Я и для Т справедливо представление A). Остаются
в силе также соотношения B), D), E).
Установим единственность меры Ет в представлении A). Рас-
Рассмотрим самосопряженные операторы
= \ydET{z) (z = x + iy). F)
В соответствии с E.4.17) 2А = Т + Т*, 2iB = T~T*. В силу тео-
теоремы 5.4.8 самосопряженные операторы А, В перестановочны.
Тогда из теоремы 5.1 следует, что мера в представлениях F)
единственна •
2. Как и для самосопряженных и унитарных операторов,
спектр а(Т) полностью характеризуется в терминах спектральной
меры Ет-
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения: 1) а(Т) =
= suppЕт\ 2) включение J,eap(Т) равносильно тому, что ЕТ{%} Ф
=^=0; при этом Ет{Ц Н— соответствующее собственное подпрост-
подпространство; 3) включение Х^ас (Т) равносильно тому, что точка
% — неизолированная точка в supp Ет-
Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 3.1
и может быть опущено.
Отметим еще, что спектр а(Т) совпадает с совместным спек-
спектром а (А, В) операторов F).
Теорема 3. Пусть Т — нормальный оператор и MsB(H).
Тогда пара соотношений *' М ^ Т, М ^ Т* равносильна усло-
условию М ^ Ет-
О Если М^>ЕТ, то перестановочность М с операторами A),
E) прямо следует из теоремы 5.4.8. Пусть Muf, M^> T*.
Тогда для xgeD(T)=D(T*) будет MxzbD(A) и
МАх = АМх, G)
где 2А = Т + Т*. Для любого x^D(A) найдутся л(),
такие, что хп-+х, Ахп~*-Ах. Так как А замкнут, то предельный
переход в равенстве МАхп = АМхп показывает, что MD(A
*' Можно показать (см. [17]), что для нормального оператора Т из М '-/ Т
вытекает Muf*. Поэтому одно из условий теоремы лишнее.
154

и выполнено G), т. е. М ^ А. Аналогично М^б, где 2iB =
— 71— Т*. Теперь перестановочность М ^ Ет прямо следует из
теоремы 5.5, примененной к операторам F) %
Интегралы вида ^{ж)ЛЕ{ж) . (8)
естественно интерпретируются как функции ф (Г). Разумеется, они
же могут рассматриваться и как функции операторов F).
Наконец, отметим, что для системы попарно перестановочных
нормальных операторов Ти ..., Т„ справедлив аналог теоремы
5.1. При этом Tk^Ti, как и в случае самосопряженных опера-
операторов, по определению означает перестановочность соответствую-
соответствующих спектральных мер.
3. Нормальными являются операторы вида T = Jft, о которых
шла речь в § 5.3, 5.4 (см. теорему 5.4.6). Найдем выражение
для соответств) ющей спектральной меры Ет. Пусть (Y, 2J, Н, Е) —
пространство со спектральной мерой, ipeS(Y, Е).
Теорема 4. Для оператора T — J4 спектральная мера Ет опре-
определяется соотношением
(беЯ* (Q). (9)
О Воспользуемся теоремой 5.4.10. Именно пусть Z = q>(Y)aC.
На борелевских множествах б a Z (9) определяет спектральную
меру, причем в соответствии с E.4.22)
]z z dEr (z) = lY<p (у) dE (у) = /ф = Т.
Остается доопределить меру Ет нулем на C\Z #
Заметим, что Im<p = 0 влечет suppЕтcz R; если же [<р| = 1,
то supp?VczT. Это согласуется с теоремами 1.1, 1.2.
Сопоставление теорем 2 и 4 приводит к формулам
Х\<е)фО, Ve>0}, A0)
У :q>@) = A),fcO}, A1)
причем Е {у ^ Y: <р (у) — Ц Н — собственное подпространство;
ас(/ф) = {АеС:?(#еГ:0<|ф(//)-М<е)^=0, Ve>0}. A2)
Формула A0) в некоторых случаях упрощается. В частности,
если Y — полное сепарабельное метрическое пространство, мера
Е — борелевская и функция ф непрерывна на suppf, то A0)
переходов а^)=
A3)
Если при этом }' = С и Е = Ем — спектральная мера нормаль-
нормального оператора М, то /ф = ф(Л4) и
A4)
Формула A4) выражает собой правило отображения спектров.
Отметим, что, поскольку непрерывный сбраз компакта есть ком-
компакт, знак замыкания в A4) заведомо не нужен для ограни-
ограниченных М.
155

ГЛАВА 7
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
И УНИТАРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В этой главе строится функциональная модель произвольной
спектральной меры в гильбертовом пространстве. С ее помощью
удается описать полную систему унитарных инвариантов спек-
спектральной меры. Роль универсальной модели играют операторы
умножения в прямом интеграле гильбертовых пространств. Кон-
Конструкции прямого интеграла и изучению операторов умножения
в нем посвящены § 1,2. В § 3,4 любая спектральная мера сво-
сводится к модели. Наконец, в § 5 строятся функциональная модель
и унитарные инварианты конечной системы перестановочных
самосопряженных операторов (в частности — одного оператора).
Требуемые результаты, благодаря спектральным представлениям
гл. 6, непосредственно вытекают из соответствующих результатов
для спектральной меры. Изложение ведется таким образом, что обоб-
обобщение на случай нормальных операторов проходит автоматически.
§ 1. Прямой интеграл гильбертовых пространств
1. Пусть (У, SI, |х) —сепарабельное пространство с а-конечной
мерой и пусть ц-почти каждому уе7 сопоставлено сепарабель-
сепарабельное гильбертово пространство G(y). Скалярное произведение и
норму в G(y) будем обозначать через <•, -)щУ), Мао/)', символ у,
как правило, будем опускать. Функцию
NG/) = dimG(//) A)
назовем функцией размерности. Она предполагается ц-измеримой,
т. е. измеримы все подмножества *'
Yk = {ye-Y:K(y)-k], *e[l, oo]. B)
Рассмотрим всевозможные вектор-функции со значениями в G(y),
определенные ц-п. в. на У. Первоочередная задача состоит в выде-
выделении класса измеримых вектор-функций. Если пространство
с мерой (У, Ш, (i) и система пространств G(y) не наделены ника-
•' Ниже систематически используются следующие обозначения. Пусть
m — натуральное число или символ со. Тогда при т<оо [1, т)=[1, т] = {1,
..., т); при /л = оэ [1, т) — натуральный ряд; [1, оо] = [1, с») U {с»},
156
А.

кой дополнительной структурой, то предпочтительного способа
определения измеримости нет. Наиболее последовательный путь
состоит в аксиоматическом введении измеримой структуры.
Пусть задано некоторое конечное или счетное множество Qo
вектор-функций (база измеримости), удовлетворяющее следующим
условиям:
для |wi. в. y^Y V {g (У)' g е- Qo\ = G (у); C)
- (ЯЛУ), g2(y))o(y)-^-измеримая функция (V^, g2EQ(). D)
Коль скоро база измеримости О0 задана, назовем вектор-функцию
h измеримой (относительно Qo), если для любой ge?20 скалярная
функция (h(y), g(y))a ^-измерима. Множество всех таких вектор-
функций h обозначим через Йо. Очевидно, что Q = Qo — линейное
пространство, Q гэ Qo. Важное свойство Q — инвариантность отно-
относительно умножения на скалярные yi-измеримые функции.
Особенно удобно задавать измеримость с помощью ортогональ-
ортогональной базы измеримости (о. б. и): пусть
H-sup{N(#): j/e/) = m, l<m<oo, E)
и пусть Q0 = {ej}, /e[l, m), где для ц-п. в. j/еУ" элементы
\е1 (У)}< /е[1. N(*/)>, образуют ортонормированный базис*) в G(у)
и ej (У) — 0 при / > N (у). Условия C), D) при этом очевидно
выполнены. Покажем, что любую базу измеримости можно, не из-
изменяя запаса Q измеримых функций, заменить на о. б. и.
Лемма 1. Пусть по — база измеримости и Q = Q0. Тогда суще-
существует такая о. б. и. Qx a Q, что Q1 = Q.
О Пусть О0 = {Ы. ?<=[!> «>• Из C) следует, что п^т.
При ц-п. в. yeF подвергнем в пространстве G(y) элементы gk(y)
обычному процессу ортогонализации (см. § 2.2, п. 3). В силу C)
в С (у) получится ортонормированный базис {?/(«/)}, /^[1. NQ/));
при j>N(y) положим еу(//) = О. Элементы ef(y) выражаются
через gk(y) по формулам
ej (у) = ?*е [1, п>Ф;* (у) gk (У), F)
где для ц-п. в. i/eF сумма конечна. Скалярные функции ф;*
^-измеримы. Это следует из D) и из формул § 2.2. Пусть Q2 =
= {ej\, /е[1, т). Условия C), D) для Qt выполнены по по-
построению. Из F) очевидным образом вытекает, что Qj с Q и Q с
с: Qv Обратно, если АеОц то fte Q. Действительно, для любой
^eQ0 функция
<М (У), h (y))Q = ?у (g (у), е, (у))о (е, (у), h {y))o G)
измерима, поскольку справа стоит сходящийся ряд измеримых
функций •
Отметим, что по построению \ei(y)\a^=l ц-п. в, на К»
157

Следствие 2. Для любых g, ftefi функция (g(y), h(y))a
^-измерима.
О Согласно лемме 1 можно считать, что Q = Qo, где й0 —
о. б. и. Но тогда требуемое вытекает из разложения G) %
Семейство гильбертовых пространств G(y) вместе с измеримой
структурой Q условимся называть измеримым гильбертовым се-
мейством (и. г. с.) на пространстве с мерой (У, 91, ц) и обозна-
обозначать через (G(«), Q).
2. Если (G(-), Q), (G'(-), п')~и. г. с, то для оператор-
функций t со значениями t(y)^.B(G(y), G'(у)) (fx-n. в.) также
определяется измеримость: функция / измерима, если [i-измеримы
скалярные функции
</ (у) h (у), Ы (y))G', VA е Q, Vft' е Q'.
Легко понять, что достаточно проверять это условие на базах
измеримости, т. е. для h e Qo, h' e QJ. Ясно также, что вместе
с ? (у) измерима сопряженная оператор-функция t* (у) е В (G' (у),
0
у))
3. Пусть (G(-), О) — и. г. с. на пространстве с мерой (Y, % ц)
и пусть С (</), уеК,-гильбертовы пространства, причем
N'(y)^?dimG'(y) = dimG@) = N@) (jx-n. в.). (8)
Пусть да (у), ^ е F, — оператор-функция, значения которой для
[х-п. в. у е У суть унитарные отображения G (^) на G' (у). Любая
такая оператор-функция позволяет «пересаживать» измеримую
структуру из семейства G (у) в семейство G' (у). Для этого надо
принять за базу измеримости множество Q'e = {w (у) g (у): geQ0).
При этом для О' = Qo очевидно
u' = {w(y)h(y): йей}. (9)
Лемма 3. Пусть (G(-), Q), (G'(-), Q') —«. г. с. на простран-
пространстве с мерой (Y, Ш, \л) и выполнено (8). Тогда \к-п. в. на Y суще-
существует измеримая оператор-функция. w (у), унитарно отобра-
отображающая G (у) на G' (у) и такая, что выполнено (9).
О В силу леммы 1 можно считать, что Q, Q' заданы с по-
помощью о. б. и. {ej}, {e'j}, /е[1, т). Обозначим через w{y): G{y)-*-
-*- G' (у) изометрический оператор, переводящий элемент et (у)
в е}(у), /е=[1, N(j/)>. Если /ieQ, то функции (w(y)h(y),
e't(y))G' = {h{y), ej{y))Q измеримы. Следовательно, rtefi'; одно-
одновременно установлена измеримость w{y). Так же проверяется,
что при fi'eQ' функция h{y) = w~l{y)h' {у) принадлежит Q #
4. Перейдем к определению прямого интеграла гильбертовых
пространств. Пусть (G (¦), Q) — и. г. с. на сепарабельном простран-
пространстве с а-конечной мерой (Y, Ш, ц). В множестве вектор-функций *>
*> Вектор-Пункции, совпадающие ц-п. в., отождествляются,
153

fteQ, для которых
введем скалярное произведение равенством
(Л1( Л2)=$<М</). K(y))ad^{y). A0)
Получающееся при этом пространство называется прямым интег-
интегралом (интегралом Неймана) гильбертовых пространств и обоз-
обозначается
< A1)
Легко видеть, что в Н выполнены аксиомы предгильбертова про-
пространства. Полнота Н будет установлена позднее. Если мера ц дис-
дискретна, то пространство A1) сводится к ортогональной сумме
гильбертовых пространств.
Пространства A1), отличающиеся лишь и. г. с. и имеющие одну
и ту же функцию размерности, легко преобразуются друг в друга.
Именно справедлива теорема, доказательство которой очевидно.
Теорема 4. Пусть (G (¦), Q), (G' (¦), Q') - и. г. с. на (К, 31, ц)
и выполнено (8). Пусть w (у) — определенное для \i-n.e. y^.Y
измеримое унитарное отображение G (у) на G' (у). Тогда оператор
A2)
унитарно отображает пространство A1) на пространство
Отметим, что существование функции w (у), удовлетворяющей
условиям теоремы, обеспечивается леммой 3.
Рассмотрим важный пример и. г. с. Используем обозначения A),
B), E). Пусть G(у) для п. в. je Yk совпадают с одним и тем
же гильбертовым пространством Gk, т. е. G(y) = GN(y). Пусть {е*},
/е[1, k), — ортонормированный базис в Gk. Положим е} (у) = е)
при / е= [1, N (у)), е, (у) = 0 при /> N (у). Примем функции \ej (у)},
/ е[1, т), в качестве о. б. и. Тогда включение liefi равносильно
тому, что для любого &е[1, т] сужение h на Yk является из-
измеримой вектор-функцией в смысле § 2.3, п.4. Иначе говоря,
функции (п(у), ек/)ок, /е[1, k), ц-измеримы на Yk. В рассмат-
рассматриваемом случае пространство A1) естественно отождествляется
с ортогональной суммой
|x; Gk). A3)
Достаточно отождествить L2 (YkLji; Gk) с подпространством Hk =
sjAeff: h(y) = 0 при п. в. y~&Yk}. Пространство A3) —полное
и сепарабельное. В самом деле, таковы пространства L2(K*, ц; Gft)
(см. § 2.3, п.4) и пространства вида Hk@Hk (см. § 2.3, п.З). За-
Заметим, что при N (у) = 1 (ц-п. в.) пространство A3) сводится к обыч-
обычному пространству L%{Y, \x).
159

В силу леммы 3 и теоремы 4 существует унитарное отображение
вида A2) прямого интеграла A1) на пространство A3) с той же фун-
функцией размерности. Отсюда следуют полнота и сепарабельность
пространства A1).
5. Рассмотрим еще один типичный пример и. г. с. на пространстве с мерой
{У, Я, fi). Пусть G—сепарабельяое гильбертово пространство, G(y), ye К,—
подпространства в G и Р (у)—проектор на G(y). Предположим, что оператор-
функция Р {у) слабо измерима в G. Пусть {ш*} — ортонормированный базис
в G. Семейство G (у) и функции gk (у) = Р {у) <ofc удовлетворяют условиям C),
D). Примем их в качестве базы измеримости. Тогда Q естественно отождест-
отождествляется с множеством измеримых вектор-функций h: Y ->- G, таких, что h(y)e
sC(j) (|i-n. в.). Пространство A1) реализуется как подпространство в Lg(Y,
ц; G), выделяемое этим включением.
Такая реализация интеграла A1) удобна, например, в следующем случае.
Пусть А — измеримое множество в Rm+", (У, Я, ц) есть Rm с мерой Лебега,
O = Lj(R»), G(y) = Li(\{y)), где Д (у) = {г е= R»: (у, z)sA}. Изложенная
конструкция приводит к естественной формуле
Следующий результат будет использован в § 2.
Лемма 5. Пусть (G (•), Q) — и. г. с. на пространстве с мерой
(Y, §1, ц), {е}}, /е[1, т), — о.б.и. для Q, /,eLj(V, ^ — фикси-
фиксированная функция, такая, что /0 Ф 0 ц-n. в. Тогда множество
вектор-функций вида h,, в (#)=/<> («/) Хв (#) */ («/) (V6 е й, V/ е [ 1, т»
полно в пространстве A1).
О Пусть вектор-функция Ле Я ортогональна всем Лу, в. В соот-
соответствии с A1) это означает, что
У о (У) < h (У), *, (У) > ad\i (у) = 0 (V6 г Ш, V/).
Из условия на /0 следует, что ц-п. в. (Л(#), е/(//))о = 0 (V/ е
е[1. N(^)>). a ТОГДа и Л(У) = О •
6. Основной объект, который обычно связывают с прямым ин-
интегралом A1),—семейство операторов умножения на скалярные
функции. Каждой функции <p^S(K, ц) сопоставим оператор Q9
в пространстве (И) (оператор умножения на <р), полагая
A4)
A5)
Если (G(), Q), (G'(-), Q') — и. г. с, выполнено (8) и Q<p,
<?ф — операторы умножения на ф в соответствующих пространст-
пространствах Я, Н' вида A1), то для любой изометрии вида A2) Q^W =
— WQ<p- С этой точки зрения выбор и. г. с. не имеет значения,
и можно было бы ограничиться пространствами A3). Это, однако,
не вполне удобно для применений. Впрочем, выбор измеримой
структуры принято не оговаривать, а зависимость от Q — не
отражать в обозначениях. Поэтому вместо A1) будем писать
H^HlllN = \y®G(y)dii(y). A6)
360

§ 2. Операторы умножения и разложимые операторы
Изучим теперь операторы Qv, а также более общие операторы
в прямом интеграле Яц, N — операторы умножения на оператор-
функции со значениями в B(G(//)). Такое изучение связано с пост-
построением некоторой спектральной меры в Я^, n-
1. -Пусть Я = Яи, N — прямой интеграл A.16). Сопоставим
каждому множеству бей оператор
tf), A)
где хв — характеристическая функция множества б. Очевидно, что
X F) — ортогональный проектор на подпространство, образован-
образованное вектор-функциями #еЯ, равными нулю (л-п. в. на У\б.
Отметим равенство
|хг,АF)М(ХF)?, h) = b(g(y), h(y))odp(y) (V8eSl). B)
Из счетной аддитивности интеграла B) по лемме 5.2.1 вытекает
счетная аддитивность Х(б). Ясно, что Х(У) = /. Таким образом,
проекторы X(б), бей, определяют собой спектральную меру
в Яц.Ц.
Равенства X (б) = 0 и ц (б) = 0 равносильны. Поэтому класс
функций S(Y, X) совпадает с S(Y, jx). Выясним, что представ-
представляют собой операторы вида Уф = ^ <р dX.
Теорема 1. Операторы A.15) совпадают с интегралами Уф по
мере X: Q<p = ^ ф dX.
О Из B) следует, что A.14) совпадает с E.4.1), а потому
D(Q<s,) = D(J(f). Для любых g<=D(Q<i), h<==H, в силу E.4.5)
(Q<?g,h) = $ ф (у) (g (у), h(y))odn(y) = ^dHgih-=(J(Slg, h) %
Теорема 1 хорошо иллюстрирует общие свойства операторов Jv,
Например, из определения Qv легко выводится, что непрерыв-
непрерывность (Эф равносильна условию (p&Lm(Y, ц); при этом |СФ||=»
= |i-sup|cp|. Ясно также, что Q%, = Q- и т. п.
2. Сравним в двух прямых интегралах
H = \Y@G(y)dli(y), H' = \Y@G'(y)dv(y), C)
построенных на одном и том же измеримом пространстве (Y, Щ,
соответствующие меры X, X' и операторы Q4, Qy. Заметим, что
если меры ц, v эквивалентны**, то классы S(Y, fx), S(Y, v)
совпадают.
Теорема 2. Пусть \i, v — o-конечные меры со счетной базой на
измеримом пространстве (У, 31) и пусть Н, Н' — прямые инте-
гралы C).
•' Об эквивалентности (ji~v) и подчиненности (]i-$v) мер см, § 1.5,
пп. Н—14.
11 Заказ 649 161

а) Предположим, что
fi~v, dim G' (у) = dim G (у) (ц-п.в.) D)
и v (у) — измеримая оператор-функция, определенная ц-я. в. на Y
и унитарно отображающая G(y) на G' (у). Тогда оператор
V:(Vh)(y) = p(y)v(y)h(y), p = Vd^Ja\, . E)
унитарно отображает Н на Н' и переводит любой оператор Q4
в Н в оператор Q'<p умножения на <р в Н'. В частности,
УХ (б) = X' (б) V (V6 е= 31). F)
б) Если V — изометрия Н на Н', удовлетворяющая условию F),
то выполнено D) и V имеет вид E).
О а) Изометричность оператора E), а также равенство F)
очевидны. Обратное к E) отображение h' (у) н-» р-1 (у) tr1 (у) К (у)
определено для всех п'^Н', и, следовательно, VH = H'. Равен-
Равенство VQ<p = Q'<pV, qpeS(F, ц.), вытекает из F) на основании тео-
теоремы 5.4.9.
б) Фиксируем скалярную функцию fo^L2(Y, ц), fo(y)>O
ц-п.в. Пусть \е,(у)} — какая-либо о. б. и. в Н, <Oj(y) = f()(y
тогда coy е Н. Положим zt = У<в7 е Н'. В силу F)
что можно записать в виде
$в {2, (У), zk {y)H. dv (у)» Je <©у (у), щ (у)) ф (у). G)
При / = k = 1 из G) находим
Так как [i-п.в. fo(y)>O, то vF) = 0 влечет (х(б) = О, т. е. ц-^v.
Поскольку меры ц, v равноправны, то n~v. Полагая в G)
d *d получаем, что при ц-п.в. уеУ
(8)
(9)
Так как число индексов /", k в соотношениях G) не более чем
счетно, то на некотором множестве Yo a Y полной ц-меры все
равенства (8), (9) выполняются одновременно. Из (8), (9) следует,
что dim С (у) Ss dim G (у); с учетом равноправия Н, Н' это дает D).
На элементах ортогонального в G {у) базиса {cfy (у)} определим
при у е/о оператор v {у) равенствами
v (У) со, (У) =р-г (у) г, (у), j s [1. N {у))- (Ю)
Из (8), (9) прямо следует, что v (у) распространяется до изомет-
изометрического отображения G{y) в G'(y). Равенства A0) показывают
(см. § 1, п. 2), что оператор-функция v(y) измерима. Введем
162

изометрический оператор V1:H-*-H', полагая
(VJi) (у) = p(y)v (у) h(y) (h<=H, y<= Yo).
Из A0) и F) находим, что при j?K0
(VtX (б) со,) (у) = p(y)v (у) Хв (у) со, (у) = хе (У) г, {у) =
Поскольку множество элементов вида Х(8)му полно в Н (по
лемме 1.5), получаем У^ = У, т. е. справедливо E). Остается
заметить, что при п. в. у еУ должно быть v (у) G (у) = С (у).
В противном случае представление E) несовместимо с условием
Теорема 2 показывает, что спектральная мера X в существен-
существенном характеризуется типом меры \i и функцией размерности A.1).
При }i = v, G(y) = G' (у) (ц-п.в.) результат теоремы (п. а)) озна-
означает, что выбор измеримой структуры не влияет на свойства
операторов Qv. Этим оправдано обозначение A.16).
3. Рассмотрим теперь операторы, перестановочные со спект-
спектральной мерой A).
Теорема 3. Пусть Н — прямой интеграл A.16).
а) Пусть /(j)eB (G (у)) — измеримая оператор-функция, опре-
определенная для ц-п.в. y^Y и такая, что *> ц-sup | / {у) \вм <. оо.
Тогда
T:h(y)>-~t(y)h(y) A1)
— ограниченный оператор в Н, перестановочный с любым опера-
оператором Q,,, <peS(F, \i). В частности, Г^Х(б) (V6e9l). Имеет
место равенство
irH^. A2)
б) Если ГеВ(Я) и Г^Х(б) (V6e=9l), то Т имеет вид, ука-
указанный в п. а).
О а) Ограниченность оператора A1) следует из неравенстч
\ТЦ* ^ J | / (у) \h\h (у) \Ь dix (у) <ц-8ир 11 (у) \ЦЦ\
Six-sup| t(y)}a. A3)
Неравенство, обратное к A3), будет получено при доказательстве
п. б). Перестановочность T^Qy очевидна,
б) Для любых бе31, Лё// имеем
Отсюда следует, что ц-п.в. на Y
\(Th)(y)\a^lTi.\h(y)\a. A4)
*' \t{y) \Oiy)—норма оператора ! {у) в пространстве
11* 163

Кроме того, при hlt й2 е Н для ц-п.в. jeK
(Т (h, + А,)) (у) = G7^) (у) + (Г/ц) (у). A5)
Пусть теперь /0, еу-, <ау — те же, что в доказательстве теоремы 2,
и К= V/e[i, m>coy. Элементы Ле/С суть вектор-функции h{y)=*
— Hjjajaj(y)> причем слагаемые попарно ортогональны в G(y)
(fi-п.в.). Поэтому
и, следовательно, в У найдется множество полной ц-меры, такое,
что
A6)
Обозначим через Ко плотное в К множество конечных сумм
^.а;сй; с рациональными комплексными коэффициентами. По-
Поскольку Ко счетно, существует подмножество Yo a Y полной fi-меры,
на котором соотношения A4), A5) выполняются для всех /isi(.
Пусть fte/C, hnzBK0, |ftB-ft||->0. Из A4)-A6) следует
существование предела (Thn) (у) в пространстве G (у), у е Yo,
Который не зависит от выбора последовательности hn-*-h. Предель-
Предельная функция есть один из эквивалентных представителей (Th){y)
элемента Th^H. Соотношения A4), A5) при у е Yo распростра-
распространяются по непрерывности на любые h e К.
Из определения о. б. и. \е, (у)} следует, что {h(y): h sK\=G(y).
При jeF, определим на G(у) оператор t(у):
A7)
Он линеен в силу A5) и непрерывен в силу A4):
!'(</) Ig^IH </e=F0. A8)
Измеримость t(y) прямо следует из A7). Пусть 7\ е В (Я) — опе-
оператор, порожденный функцией / (у) в смысле п. а). Равенство Т = Т1
получается так же, как равенство V = Vt при доказательстве
теоремы 2. Сопоставляя A3), A8), приходим к A2) #
Теорема 3 показывает, что операторов ГеВ(//), перестано-
перестановочных со спектральной мерой X, существенно «больше», чем
операторов Q,,. Исключением является лишь случай N (у) = 1,
так как тогда оператор A1) совпадает с Qt. Тем самым установ-
установлен следующий результат.
Теорема 4. Пусть Н —прямой интеграл A.16) и N(y) = l
(fi-rt.e.). Тогда оператор ГеВ(Я), перестановочный со спект-
спектральной мерой X, совпадает с некоторым оператором умноже-
умножения Q<p, <peLOT(F, ц).
4. Непрерывные операторы вида A1) в прямом интеграле Н
называют разложимыми. Они образуют подалгебру алгебры В (Я)
164

(некоммутативную, если N(*/)^fel). Отметим очевидные свойства
отображения Т*-^-Цу), построенного в теореме 3, п. б): если
Tt-+t,(y), /=1, 2, mT1 + T2^t1(y) + t2(y), T1T2^t1(y)t2(y);
если Tt-^-t(y), то Т* t-^t* (у). Отсюда вытекает следующая
теорема.
Теорема 5. Разложимый оператор Т самосопряжен (унитарен,
нормален) в Н тогда и только тогда, когда для \х,-п.в. (/еУ
соответствующий оператор t(y) самосопряжен (унитарен, норма-
нормален) в G(y); Т —проектор в Н тогда и только тогда, когда
fi-rt.e. t (у) — проектор в G (у).
Вместе с теоремой 3.6.1 это позволяет дать исчерпывающее
описание подпространств в Н, приводящих одновременно все опе-
операторы Q<p, фе5(У, ц): любое такое подпространство имеет вид
РН, где Р : h (у) i—»• л (у) h (у) и jt (у) — измеримая проекторнознач-
ная функция.
Алгебра разложимых операторов выдерживает слабый пре-
предельный переход.
Теорема 6. Пусть Н — прямой интеграл A.16). Алгебра не-
непрерывных разложимых (относительно Н) операторов замкнута
относительно слабой сходимости.
О Пусть ГяеВ(й), 7\^ХF) и Т = w-\imTn. , Переходя
к пределу в равенстве
(ТпХ (б) g, h) = (Tng, X F) h) (б е Я; g, h e= H),
получаем, что Г^ХF), и, следовательно, Т разложим •
Операторы Qv, фее Leo (Y, \i), сами разложимы, причем соот-
соответствующие оператор-функции ср (у) 1о{У)~ скалярные. Очевидно,
что Q<p перестановочны со всеми разложимыми операторами. Пока-
Покажем, что это свойство их вполне характеризует.
Теорема 7. Пусть Н —интеграл A.16) и пусть Л1ееВ(Я)
перестановочен с любым разложимым оператором. Тогда найдется
такая функция фееЬю(К, \i), что M = QV.
О Так как, в частности, М^Х, то оператор М разложим
и, следовательно, имеет видA1): (Mh)(у) = т(у)h(у) fi-п.в. Пере-
Перестановочность с любым разложимым оператором Т означает, что
[i-п.в. m(y)^t(у). Поскольку здесь при фиксированном je7
t (у) — произвольный оператор из В (G (у)), то в соответствии с
теоремой 2.5.4 m (у) = ф (у) 1а(У), где ф —скалярная функция •
Дадим (без доказательства) описание спектральной меры Ет нормального
разложимого оператора Т. Из теоремы 6.6.3 следует, что ?,иХ, т. е. мера Ет
также разложима. Пусть t (у), г (у, д) — оператор-функции, соответствующие
операторам Т и Е'т (д) (д—борелевское множество в С). По теореме 5 для [г-п. в.
yeF( (у) — нормальный, е (у, д) — проекционный операторы в пространстве G (у).
Теорема 8. Пусть е' (у, •) — спектральная мера оператора t (у) в гильбер-
гильбертовом пространстве G (у). Тогда для любого борелевского множества д с С
^ (У]
оператор-функция е' (у, д) измерима и г (у, д) = е'(у, д)
165

§ 3. Порождающие системы и спектральные типы
В этом параграфе подготавливается сведение произвольной
спектральной меры Е в гильбертовом пространстве Н к мере X
в подходящем прямом интеграле #h,n-
1. Пусть (Y, % Н, Е) — пространство со спектральной мерой.
Фиксируем элемент g?ff и рассмотрим в Н подмножество
Hg = Ng(E) = {J^g:^eS(Y, E), g€=D^}. A]
Линейность Hg очевидна. В силу E.4.4) включение geZ)^ озна-
означает, что t|)eL2(K, \y,g), причем
Л ». ' B)
Рассмотрим отображение Vg: т|> ¦—•> J-^g. Из B) следует, что ^-экви-
^-эквивалентным функциям \\> отвечает один и тот же элемент J^g.
С другой стороны, каждый элемент пространства L2(Y, \ig) имеет
Е-п. в. конечного «представителя». Поэтому Vg можно рассматри-
рассматривать как отображение L<i(Y, [xg) на Hg. В силу B) Vg — изометрия.
Отсюда, в частности, следует, что Hg~ подпространство в Н.
Ниже Pg — проектор на Hg.
Теорема !. a) \/6e%E(8)g = Hg. б) Если{<=Не, то Hf <=. Hg.
в) Соотношения fJ_Hg и цуг(б) = О (V6e2I) равносильны. При
атом Н, _L Hg. г) Подпространство Hg приводит все операторы Jw,
<peS(^, E).
О а) Совокупность характеристических функций %6, б е 81,
полна в L2(Y, \t,g). Поэтому совокупность элементов Е(8)g = VgX6
полна в Hg. б) Если f = J,^g, то EF)f=JyX(ig^Hg. Но тогда
Hf = \/i,E(8)f cz Hg. в) Условие fJ_Hg равносильно тому, что
f±E{8)g, V8e=«. Последнее означает, что ц, .F) = (EF)f,g) = O.
В этом случае для любых б, de=2l (EF)f, E(d)g) = \iftg(8(]d) = 0,
а потому Hf _L Hg. г) В силу п. б) ?(б) Hg cz Hg, а потому по
теореме 3.6.4 Hg приводит Е (б), V6 е Я. Но тогда Pg^-> E F)
в силу теоремы 3.6.1 и Pg^> Jv по теореме 5.4.8, п. а), а потому Hg
приводит /ф •
Подпространства Ни H2czH будем называть спектрально-
ортогональными (относительно Е), если для любых и е Нъ »е//8
и для любого бей fxB» г» (б) = 0. Из спектральной ортогональности,
разумеется, вытекает (при б = Y), что Нх J_ H2. Для двух под-
подпространств Hf, Hg, напротив, из обычной ортогональности следует
спектральная, поскольку они приводят Е (б). Если Hf J_ Hg, то
элементы /, g также будем называть спектрально-ортогональными.
П {fA / [1 ) 1
/ g у р
Пусть элементы {fA, / е[1, п), 1 ^«^оо, попарно спектрально-
ортогональны и S/||//f <oo. Легко видеть, что тогда для любого
бе=Я
И/(«)*-!*!*/,(*) (/=2//Д C)
2> Сопоставим меры цг, отвечающие различным g e//. Будем
исходить из понятия типа (класса эквивалентных мер). Напомним
166

(см. § 1.5, п. 14), что отношение подчиненности мер индуцирует
отношение подчиненности для типов. Для элемента g e H тип
[[ig] меры [ig называют типом элемента g (относительно спектраль-
спектральной меры Е) и обозначают [g] или [g]E. Таким образом, [g] (Wb
Теорема 2. а) Если f <= Hg, то [f] -§ [g]. б) Пусть ц — конечная
мера на (Y, 21) и [ц] -$[g]. Тогда найдется элемент /е Hg, такой,
что Ц/ = (А. в) Если f^Hg и [/] = [#], mo Hf — Hg.
О а) Требуемое прямо вытекает из A) и E.3.12). б) Пусть
г|> = (df-i/di^I/*. Тогда т|> еL2(цг), поскольку ^ I^ I2dhr = f1 (У)< °°-
Элемент /== /^g — искомый. &) Пусть f—J$g; E.3.12) означает,
что d^/4v = [ Ч112- Так как [/] == [g], то т|> ^= 0 iig-n. в. и ср = ty-1 e
eL2(|Xf). Тогда J4,f = JifJ^g=g, т. е. g^Hf. Остается сослаться
на теорему 1, п. б) ф
3.Предположим, что система попарно спектрально-ортогональ-
спектрально-ортогональных элементов {gt\, /e[l, n), \ ^п^оо, такова, что
И = %®Нв1(Е). D)
Тогда эта система называется порождающей относительно спект-
спектральной меры Е.
Теорема 3. Для всякого пространства со спектральной мерой
(Y, % Н, Е) существуют порождающие системы.
О Пусть {hk\ — плотная в Н последовательность. Положим
gi=hv Пусть спектрально-ортогональные элементы glt ..., gs уже
построены; положим
H © Hgj. E)
gj.
Если HS = H, то построение закончено. В противном случае пусть
gs+1 — проекция на Н 0 Hs первого из элементов hk Ш Hs- В силу
теоремы 1, п. в), gs+1 спектрально-ортогонален к glt.. .,gs. Построен-
Построенная последовательность {gy} может оказаться конечной или беско-
бесконечной. В любом случае сумма в D) содержит каждый из эле-
элементов hh, а потому равенство D) выполнено •
Убедимся, что среди типов [g]^ есть максимальный, т. е. такой,
что [/]я Н [ёЪ> V/ е Н. Этот тип назьгоают спектральным типом
{или просто типом) меры Е и обозначают через [Е]. Элементы g^H,
для которых [g]E = [Е], называют элементами максимального типа.
Для них условия (д,г(б) = О и ?"(б) = 0 равносильны.
Теорема 4. Для любой, спектральной меры Е в Н существуют
элементы максимального типа *К
О Элементы gj в D) можно нормировать так, что ряд S/g>=g
будет сходиться. Из C) следует, что [gj] -$[g], V/. Покажем, что
П /й /
у () ду, [gj] $[g] / ,
g — элемент максимального типа. Пусть /ей, /у — его проекция
на figf. В силу теоремы 1, п. б), элементы /у попарно спектрально-
*' Теорема 4 теряет силу для несепарабельного случая.
167

ортогональны. Из п. а) теоремы 2 видно, что [/у] -i[gj], V/. Если
теперь fi,?(8) = 0, то fx/y (б) == 0, и в силу C) fx/ (б) = 0, т. е. [/] -$
[]
[?]
Пусть Я' с Н — подпространство, приводящее меру Е, и пусть
?' —часть Е в Н'. Ясно, что тогда [?']—;[?]•
4. Пусть fi — какая-либо мера на (Y, Щ, причем [ц] = [?]. Для
каждого ?ей введем Г(g)~множество, где dug/dp>0. Это
множество определяется с точностью до ?-меры нуль. Поэтому
ниже все соотношения, содержащие множество T(g), пони-
понимаются с точностью до подмножеств Е-меры нуль. Множество
Т (g) зависит лишь от типа [ц] = [?], но не от самой меры ц:
если v~|.i, то d[ig/dv = pdiig/dii, где p = d,u/dv>-0 ?-п.в. Это
позволяет называть Y(g) носителем \ig по отношению к типу [Е].
Из определения сразу вытекает, что следующие пары соотношений
эквивалентны: \f\S\g] и Г(/)сГ(г); [/] = [g] и Y(f) = X(g);
Шв = [Щ и T(g) = Y. Далее,
<T(g))g g. g^ F)
В самом деле,
Лемма 5. а) Если f, g^H спектрально-ортогональны, то
Г if+g) = Г (/) i)Y(g). б) Если Г (/)ЛГ(?) = ф, то f,g спектрально-
ортогональны, в) Если [g]E = [Е], бе91, и / = E(8)g, тоГ(/) = б.
О а) Требуемое непосредственно следует из C). б) В силу F)
(в)Е(бА?(бЕГ(/)Л ?r))o v««
|д.,(в)(()Аг)(()((/))Л ((g))g)
в) В соответствии с E.3.12) d\kf/d\ig = yjb, откуда Г(/) = б
Лемма 6. Пусть fi — конечная мера на (Y, Щ, [v>] = [E] и пусть
g^H. Найдется элемент /еЯг(?), такой, что Hf = Hg и ц}
есть сужение \i на T(g).
О Носитель меры Щ)(б) = ц(б fl ^(g)) очевидно есть T(g), а потому
= [^]. В силу теоремы 2 найдется f^Hg, такой, что ц./ = Цо-
огда [/] = [g], а потому Hj = Hg •
5. Разложение D), полученное при доказательстве теоремы 3,
имеет случайный характер: не только элементы {gy}, но и их число
и типы не определяются однозначно спектральной мерой Е. Опи-
Опираясь на теорему 3, проведем теперь «перестройку» разложения D)
так, чтобы типы элементов gy убывали. Тогда эта последователь-
последовательность типов окажется (см. § 4) унитарным инвариантом спектраль-
спектральной меры.
Теорема 7. Пусть (Y, Ш, Н, Е) — пространство со спектраль-
спектральной мерой. Cyuificmeyem {порождающая) система {gj}, /e[l, т),
l^m^oo, такая, что выполнено D) и
[?]=ЫЬЫЬ... G)
О Пусть {hk} — плотная в Н последовательность. Если [пх]е =
= [?], то полагаем gi = h1. В противном случае выбираем какой-
168

либо элемент fsfl максимального типа и полагаем g1=1+u
где w1^=E(81)f1, б^УДГ (/ix). Используя лемму 5, находим, что-
Г (wx) = б1; а потому Лх, о)х спектрально-ортогональны и Г (gj) =
= Y(h1)[)Y(w1) = Y. Следовательно, \Si]e = [E]. Кроме того,
Дальнейшая индукция использует следующие обозначения.
Пусть gu ..., gf — попарно спектрально-ортогональные элементы
в Н, Hs — подпространство E), H's = Hj-. В силу теоремы 1, п. в),
H's приводит спектральную меру Е. Пусть E's — часть ? в H's.
Так как Н',^Н^Ц[=> ... =>#;, то
[Я] ^ [?]$-№]$- ...$-[#]• (8)
Предположим дополнительно, что построенные элементы gx, ... , gs
удовлетворяют условиям
jj /=!,..., s. (9>
Если Н3ФН, то пусть /ts+1 — проекция на H's первого из эле-
элементов hk&Hs. Элемент gs+1 в И[ строится по h's+1 так же, как
это было сделано при s=0. При этом выполнены (8), (9) (при
s>—*-s + l). Как и в теореме 3, убеждаемся в том, что описанная
процедура приводит к D). Соотношения G) вытекают из (8),
поскольку
V/ < m •
Если т>1, то разложение D) не единственно и при усло-
условии G).
,Из G) следуют включения
Введем множества Yk, Ae[l, и]:
Множества Fft образуют дизъюнктное разложение К. Определим
?-п. в. на Y измеримую функцию (функцию кратности меры Е}
равенствами
NE(«/) = ^ (уеП; Ае[1, /в]).
Ее задание позволяет восстановить (с точностью до ?-меры нуль)
все множества A1), а потому и множества A0). Тем самым тип [Е]
и функция N? однозначно определяют последовательность типов G).
В § 4 мы убедимся, что функция A2) зависит только от меры Е,
но не от разложения D), подчиненного G).
6. Проиллюстрируем введенные понятия на примере спектраль-
спектральной меры B.1) в прямом интеграле Я^.м- Пусть мера р конечна
169

и \ej(y)}, /е[1, т), — о. б. и. в //ц,к. Тогда элементы *' {в]} обра-
образуют порождающую систему, удовлетворяющую G). В самом деле,
из равенств
<Х (б) ej, е„) = \6 (е, (у), ek (y))Q ^ (у), V/, k <= [ 1, m>, V6 e Я,
A3)
следует, что e, попарно спектрально-ортогональны. Лемма 1.5 (при
/0=1) означает, что система \ej\- порождающая. Далее, из опре-
определения о. б. и. и из A3) при j — k находим, что Т (ек) = [)i>kYj,
т. е. выполнено G) (при этом ^ — сужение меры (д. на Г(е*)).
Поскольку ^(eJ — Y, то [Х] = [|л]. Множества A1) совпадают
с множествами A.2), а потому Nx(*/) = N(t/) (ц-п- в.).
§ 4. Унитарные инварианты спектральной меры
Основная цель этого параграфа — построение функциональной
модели и исследование унитарных инвариантов произвольной спек-
спектральной меры.
1. В формулировках следующих трех теорем (они доказываются
в п. 2) использованы обозначения: (F, 91, Н, Е) — пространство
со спектральной мерой, 7Ф = \ ср dE; |л — а-конечная мера со счет-
счетной базой на (К, 91); Н^ц — прямой интеграл A.16) на (Y, 91), N —
его функция размерности A.1); X —спектральная мера B.1), отве-
отвечающая интегралу //^n, С?Ф = $ф^Х.
Теорема 1. Пусть типы мер Е up совпадают и пусть функция
размерности N совпадает с функцией кратности Ng, порожденной
разложением C.4), удовлетворяющим условию C.7):
[|л] = [?], NO0 = NB(y) (fx-n. в.). A)
Тогда существует унитарное отображение V пространства Н на
Нр,n, которое любой оператор /ф, фе5(К, ?), переводит в опе-
оператор Qy. В частности,
. B)
Теорема 2. а) Функция кратности N? we зависит от разложе-
разложения C.4), подчиненного C.7), а определяется только мерой Е.
6) Спектральный тип [Е] и функция кратности NE —унитарные
инварианты меры Е.
Теорема 3. Спектральный тип [Е] и функция кратности NE
определяют спектральную меру Е на пространстве (Y, 91) с точ-
точностью до унитарной эквивалентности.
*> Если мера ц лишь а-конечна, то порождающей является система
использованная при доказательстве теорем 2.1, 2.2.
170

Исхддной является теорема 1, из которой остальное следует
без труда. Теорема 1 доставляет универсальную функциональную
модель для любой спектральной меры на измеримом пространстве.
Теоремы 2,3 вместе означают, что тип [Е] и функция кратности NB
образуют полную систему унитарных инвариантов меры Е. В этой
связи отметим, что тип любой сг-конечной меры ц со счетной базой
на (Y, 21) и любая fi-измеримая функция N со значениями из
[1, оо] являются спектральным типом и функцией кратности неко-
некоторой спектральной меры на (Y, Щ. Действительно, для меры X
в Н = #ц, убудет (см. § 3, п. 6) [Х] = [>] и Nx =N.
В соответствии с теоремой 1 все операторы Уф одновременно
преобразуются в операторы Q,, в прямом интеграле Я^.м- Послед-
Последние изображаются умножением на скалярный оператор ц>(уIо[у)-
В любом ортогональном базисе пространства G (у) такой оператор
изображается диагональной матрицей. Поэтому результат теоремы 1
часто выражают следующим образом: спектральная мера Е порож-
порождает такое разложение Н в прямой интеграл, в котором все опе-
операторы /Ф диагональны.
2. Дока зательство теоремы 1. Прежде всего заметим,
что теорема 2.2, п. а), позволяет заменить меру ц любой эквива-
эквивалентной мерой. Поэтому можно считать, что ц(У)<^со. Далее,
в соответствии с леммой 3.6 считаем, что для порождающих эле-
элементов gj разложения C.4) меры \igj суть сужения меры ц на
соответствующие множества Y(g/).
Пусть \е} (у)}, / = [1, т), — о. б. и. в прямом интеграле A/u,n-
Так как мера ц, конечна, то е^еЯ^м. Из определения о. б. и.
и функции кратности N = NE следует, что ц-п. в. \ej(y)\a = l на
T(gj) и ej(y) = O вне T(g,). Для tpeff^N положим i3p/(y) =
= Ъ(У)> ej\y))o(y)- Ясно, что %e=S(F, ц) = 5G, Е). Элементу ф
сопоставим элемент Угр е Н:
iN2
Это определение корректно, поскольку gyeD(J-$) и ортогональ-
ортогональный ряд сходится, что следует из соотношений
/ D)
Оператор V очевидно линеен, и в силу D) —изометричен.
Заметим теперь, что при умножении вектор-функции ф на функ-
функцию Хб то же происходит с функциями tyy. В частности, если
Ф = Х«е*, то t|>/D0 = 0 при ]фк и ¦$„(у) = xeft (у), где 6fc = бП Г(gk).
Отсюда с учетом C 6) находим
= E F*) gk = EF)E(T (gk)) gk = E F) gk.
171

Из C.4) в силу теоремы 3.1, п. а), следует, что совокупность
{?(e)ft:6e?l, fee[l, m)} полна в Я. Тем самым образ V пло-
плотен в Я, а потому УНц,п = Н.
Пусть теперь т|) e Яц, n- Тогда
ух (б)^=к (х^) = 2, -/^ = л6 2/ V'=? F) ^. E)
Положим V = У~г. Равенство E) очевидно равносильно B). Оста-
Остается заметить, что VJ(f = Q<fV вследствие теоремы 5.4.9 •
Доказательство теоремы 2. а)Пусть N' = N?, N"=N^ —
функции кратностей, соответствующие двум разложениям вида
C.4). В силу теоремы 1 мера Е унитарно эквивалентна мерам
X', X" в Яц,№, Яц, N". а потому сами меры X', X" унитарно
эквивалентны. Но тогда из теоремы 2.2, п. б), следует, что N? = N?.
б) Пусть мера ? в Я и мера Е1 в Н1 унитарно эквивалентны
и пусть мера X в Hili n—«модель» для меры Е, даваемая теоремой 1.
Тогда и мера Ег приводится к той же модели, а потому [?!] =
= [|i] = [?] и N?l = N = N? •
Доказательство теоремы 3. Пусть Е, Ег — спектраль-
спектральные меры в Я, Hi соответственно. Тогда для их моделей, давае-
даваемых теоремой 1, [ц] = [щ], N = NX. В силу теоремы 2.2, п. а),
эти модели унитарно эквивалентны, а тогда то же верно для
мер Е, Ег •
3. Пусть (Y, Ш, Я, Е) — пространство со спектральной мерой.
Обозначим через ЪЕ(Я) алгебру всех операторов ГеВ(Я), пере-
перестановочных с Е. Эта алгебра характеризуется следующей теоре-
теоремой.
Теорема 4. Пусть V, Н^^ — те же, что в теореме 1. Изо-
метрия V устанавливает унитарную эквивалентность алгебры
ЪЕ (Я) и алгебры непрерывных разложимых операторов в простран-
пространстве Яц, N-
О В силу теоремы 1 условие Т^>Е равносильно условию
f=VTV~1^X, где X —мера B.1) в Яц,n- Остается применить
к Т теорему 2.3 •
Операторы, перестановочные с ВЯ(Я), суть операторы Уф.
Ограничимся случаем непрерывных операторов.
Теорема 5. Пусть Е — спектральная мера в Н и пусть S е
е=В(Я), S^T, уТе=ВЕ(Н). Тогда S = J9J где фе/,ю(Г, Е).
О Подвергнем операторы Т, Е, S унитарному преобразованию
посредством (одного и того же) унитарного оператора V, описан-
описанного в теореме 1. В силу теоремы 2.7 S = VSV~1 = Q<S,, где фб
eLoo(F, Е). Но тогда из теоремы 1 следует, что 5 = УФ #
4. Спектральная мера Е на (Y, 31) называется простой, если
ее функция кратности N? = 1 Е-п.в. В этом случае разложение
C.4) при условии C.7) сводится к одному члену. Более детально,
спектральная мера Е на измеримом пространстве (Y, Щ оказыва-
оказывается простой тогда и только тогда, когда существует (порождаю-
172

ищи) элемент g е Н, такой, что Н = Hg. Заметим, что тогда
lg]E = [Е], т. е. g есть элемент максимального (относительно Е)
типа. Обратно, всякий элемент максимального типа — порождаю-
порождающий. Для этих и только этих элементов \/^^^ЕF)g = H.
При N?=l модельное (в смысле теоремы 1) пространство
Яц, n может быть сведено к обычному пространству L2(Y, \i)
(сумма A.13) сводится к одному слагаемому с dimG1==l).
Все сказанное непосредственно вытекает из предыдущих по-
построений и не требует дополнительного обоснования. Следующее
утверждение также получается простым сопоставлением теоремы 1
с теоремой 2.4.
Теорема 6. Пусть Е — простая спектральная мера в Н и
ГеВ(Н) — оператор, перестановочный с Е. Тогда Т = Уф, где
ф — некоторая функция из La>{Y, E).
5. Вернемся к общему случаю. Унитарный инвариант спект-
спектральной меры Е
т = ?-sup N? (у)
называют общей кратностью (или просто кратностью) меры Е.
Подпространства Hs в разложении C.4), C.7) приводят меру Е,
причем часть Е в каждом Hg есть простая спектральная мера.
Смысл числа т состоит в том, что оно дает минимальное число
слагаемых в ортогональных разложениях меры Е на простые
спектральные меры.
В заключение отметим, что при N?smB качестве модельного
пространства в теореме 1 можно взять пространство L2(Y, \i, G),
где dim G = m (G не зависит от у).
§ 5. Унитарные инварианты самосопряженных операторов
Сопоставление результатов § 4 об унитарных инвариантах
спектральной меры и основных результатов гл. 6 прямо приводит
к построению функциональной модели и к описанию полной
системы унитарных инвариантов нормального (в частности, само-
самосопряженного или унитарного) оператора. Аналогичные вопросы
решаются и для конечных систем перестановочных операторов.
Здесь излагаются эти результаты. При этом мы ограничиваемся
самосопряженным случаем.
1. Пусть {Ak}, k=l, ..., п,— система попарно перестановоч-
перестановочных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
Н, {A'k}, k=\, ..., п, — аналогичная система в пространстве Н',
и пусть Е, Е'— соответствующие им по теореме 6.5.1 совместные
спектральные меры, заданные на борелевских подмножествах в R".
Если оператор V унитарно отображает Н на Н' н
= 2lB (R-)), A)
173

то вследствие теоремы 5.4.9 справедливы равенства
fe=l п. B)
Обратно, пусть выполнено B). Очевидно, что F = VEV~l — также
спектральная мера в пространстве Н'. Положим
> k — * "•
Из VE=FV по теореме 5.4.9 следует, что VAk—BhV, k=l, .,., п.
Отсюда и из B) получаем Bk — A'k, k=\, ..., п, и в силу един-
единственности спектральной меры F = E'. Таким образом, выпол-
выполнено A).
Мы установили, что унитарная эквивалентность двух конечных
систем попарно перестановочных самосопряженных операторов
равносильна унитарной эквивалентности соответствующих совме-
совместных спектральных мер. Сказанное, разумеется, распространя-
распространяется на системы нормальных (в том числе унитарных) операторов.
Утверждения этого типа в дальнейшем используются без специ-
специальных ссылок.
2. Начнем со случая одного самосопряженного оператора.
Опишем его функциональную модель.
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный оператор в Н, Е = Еа —
его спектральная мера, ц — борелевская мера на К, такая, что
[ц] = [?^]. Тогда существует унитарное отображение простран-
пространства Н на прямой интеграл
Я^ЧкФ^ОО^Ч8)' N = NB, C)
переводящее А в оператор умножения на s.
О Спектральная мера ?д построена в теореме 6.1.1. Функ-
Функциональная модель этой меры дается теоремой 4.1. В силу этой же
теоремы оператор А = $ sdE (s) переходит в прямом интеграле C)
в оператор умножения на s #
Из теорем 4.2, 4.3 прямо вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Пусть А — самосопряженный оператор в Н, Е = Еа —
его спектральная мера. Спектральный тип [Еа\ « функция крат-
кратности N? являются унитарными инвариантами оператора А и
определяют его с точностью до унитарной эквивалентности.
Иными словами, тип и функция кратности спектральной
меры самосопряженного оператора образуют полную систему его
унитарных инвариантов. Тип [Е&] по определению называют
del
спектральным типом оператора А: [Л} = [?д]; функцию кратно-
кратности Nb называют функцией кратности спектра оператора А.
Величина т (A) = ?-supN?(s) — общая кратность (или просто
кратность) спектра А. Тип элемента h^H относительно меры Еа
называют его спектральным типом относительно оператора А.
174

Отметим еще утверждение, являющееся частным случаем дока-
доказываемой ниже теоремы 8.
Теорема 3. Пусть А — самосопряженный оператор в И и
ГеВ (Н) — оператор, перестановочный со всеми операторами
SeBGf), такими, что S^A. Тогда Т = у(А), где <ре
<=LcofR, EA).
3. Пусть А = А*, Е — Ед, N = N?. Если мера Е — простая,
то оператор А называют оператором с простым спектром. Иными
словами, оператор А = А * имеет простой спектр, если N (s) = 1
Е-п.в. на R, т. е. т(А)—1. Прямой интеграл C) в этом слу-
случае может быть сведен к La(R, ц), где [ц] = [Л]. Таким образом,
самосопряженный оператор А с простым спектром унитарно экви-
эквивалентен оператору А^ (см. § 4.7) умножения на независимую
переменную в L2(R, ц)> г^е [j*] = [^]- Спектральный тип [А] опре-
определяет самосопряженный оператор А с простым спектром с точ-
точностью до унитарной эквивалентности. В частности, два оператора
умножения /4ц, Av унитарно эквивалентны тогда и только тогда,
когда n<~v.
В соответствии со сказанным в § 4, п. 4, т (А) = 1 означает
существование (порождающего) элемента g еЯ, такого, что
tig (Еа) = Н. Порождающие элементы (и только они) имеют макси-
максимальный тип относительно A: [g] = [А]. Порождающие элементы
характеризуются условием \/&EA(&)g = H (достаточно считать,
что б пробегает множество ограниченных интервалов прямой R).
Можно указать признак простоты спектра, в котором не требуется знание
спектральной меры.
Теорема 4*'. Для того чтобы оператор А = А* имел простой спектр,
необходимо и достаточно, чтобы существовал элемент g e f) fD (An), такой.
что
Теорема 5. Пусть А ~ А* — оператор с простым спектром и
ГеВ(й), Т^А. Тогда Г = ф(Л), (pe=Loo(R, EA).
О Достаточно сопоставить теорему 6.3.2 с теоремой 4.6 #
4. Вернемся к случаю произвольного самосопряженного опера-
оператора А. Пусть разложение C.4) построено по мере ЕА и подчи-
подчинено условию C.7). Каждое подпространство HgJ приводит А (см.
теорему 3.1, п. в)). Часть А в Hg. очевидно есть самосопряженный
оператор с простым спектром (gj — порождающий элемент). Отсюда
следует, что каждый самосопряженный оператор А унитарно
эквивалентен ортогональной сумме операторов умножения на неза-
независимую переменную Ati/ в L2 (R, ty), / = 1 т; здесь т — т(А) —
общая кратность спектра А. Отметим, что число слагаемых
в такой ортогональной сумме может превышать т(А), если отка-
*' Доказательство этой теоремы является хорошим упражнением. Впрочем,
его можно найти, например, в [1],
175

заться от условия C.7); оно, однако, не может быть сделано
меньше, чем т(А).
5. В тексте настоящего пункта а = {Лк}, k — l,...,n,— система
попарно перестановочных самосопряженных операторов в Н, Е =
= ЕЛ — совместная спектральная мера системы а.
Следующие две теоремы вполне аналогичны теоремам 1, 2, и
мы ограничимся только формулировками.
Теорема 6. Пусть ц — борелевская мера на R", [ц] = [Еа]. Тогда
существует унитарное отображение пространства Н на прямой
интеграл Н^ N no R", N = Npt, переводящее каждый оператор At,
в оператор умножения на координату sk, k=\, ..., п
Теорема 7. Спектральный тип [Яа] и функция кратности N
меры ЕЛ являются унитарными инвариантами системы а и опре-
определяют ее с точностью до унитарной эквивалентности.
Функцию кратности N меры ЕЛ называют также функцией
кратности совместного спектра системы а.
Установим еще следующую теорему.
Теорема 8. Ест ГёВ(Я), T^S для любого S^Ak, k—1, ...
..., п, то
..., Ап), q>e=U(Rn, Ea). D)
О В силу теоремы 6.5.5 S^?a Поэтому из теоремы 4 5 сле-
следует, что Т — Уф, фе!ю. Это равносильно D) по определе-
определению •
Если мера Ел — простая (т. е. N?a=l ?а-п в.), то система
а = {Ак} называется полной. В этом случае модельное простран-
пространство //h,n (см. теорему 6) может быть реализовано как L2(R", ц).
Полнота системы а равносильна существованию такого (порожда-
(порождающего) элемента ^еЯ, что Нг(Ей) = Н. Следующая теорема обоб-
обобщает теорему 5.
Теорема 9. Пусть система а = {Ак) — полная и пусть Т е В(Я),
Т^Аи, k=l, ..., п. Тогда имеет место D).
О Достаточно сопоставить теоремы 6.5.5 и 4.6 #
Теорема 9 может быть обобщена на случай неограниченных Т.
Мы обсудим лишь самосопряженный случай.
Теорема 10. Пусть а = {Л*} — полная система и А —А*, А*~>
4A, k=l, ..., п. Тогда
А=-Ъ(Аг Ая), 4)eS(R», EA). (б)
О В условиях теоремы очевидно Т^Ак, k = l п, где Г =
(A — iI)'1. Тогда для Т выполнено D), и остается положить
l
Понятие полной системы коммутирующих самосопряженных операторов
в квантовой механике соответствует понятию полной системы одновременно
измеримых физических величин (наблюдаемых), Теорема 10 означает, что физи-
176

ческая величина» измеримая одновременно с полной системой наблюдаемых,
является вполне определенной функцией последних. Понятие полной системы
может быть перенесено и на бесконечные семейства коммутирующих операто-
операторов, но мы не будем здесь касаться этого вопроса.
6. Сказанное в пп. 2 — 5 допускает естественное распростра-
распространение на случай нормальных (в том числе унитарных) операто-
операторов. Такое распространение не требует каких-либо новых сообра-
соображений. Читатель без труда восстановит соответствующий материал
самостоятельно.
12 Заказ '

ГЛАВА 8
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Применениям спектральной теории, по сути дела, посвящена
вся рставшаяся часть книги. В этой главе собраны, в основном,
приложения к дифференциальным уравнениям. Исключение состав-
составляет § 1 о полярном разложении оператора.
§ 1. Полярное представление замкнутого оператора
Здесь мы получим так называемое полярное представление про-
произвольного замкнутого плотно определенного оператора. Это
представление можно рассматривать как аналог представления
комплексного числа в показательной (полярной) форме. При выводе
будем опираться на понятие функций самосопряженного опера-
оператора. Для нормального оператора будет показано, что сомножи-
сомножители в полярном представлении перестановочны. Это обстоятель-
обстоятельство было использовано в § 6.6 при выводе спектрального разло-
разложения F.6.1).
1. Пусть Т — замкнутый оператор в Н, D(T) = H. Оператор
G = T*T самосопряжен и положителен (см. теорему 4.5.1). Пусть
Eq — его спектральная мера. Оператор
* = к со, V~* dEa {s)=V~G = (Т*ТУ>>
также самосопряжен и положителен и К2 = Т*Т. Его называют
модулем оператора Т и пишут К == | Т |.
Лемма 1. Справедливы равенства D (| Т |) = D (T), R(\T\) =*ЩТ*) и
1|Г|/1=1Г/||, f<=D(T) = D(\T\). A)
О Согласно теореме 4.5.1 множество L — D(T*T) плотно
в D(T) относительно Г-нормы C.1.2). Так как Ь=*О(К*) =
— D(T*T), то это же верно для /(-нормы. Для /eL Г-норма и
/(-норма совпадают, поскольку
Отсюда следует, что D(K)=D(T) и выполнено A), Кроме того,
из A) вытекает равенство
N(T), B)
178

а потому
7^ T = WW\) • C)
Теорема 2. Пусть оператор Т замкнут, D(T) = H. Сущест-
Существует частично-изометрический оператор V с областью изомет-
ричности R (Г*) и областью значений R (Т), такой, что
T=*V\T\. D)
О Для x — Kf, /eD(/(), положим Vx=Tf. Этот оператор
корректно определен в силу B). Из A) следует его изометрич-
ность. При этом Tf=VKf, что и дает D). Остается изометриче-
изометрически продолжить V на R (| Т |) и доопределить нулем на N (К) —
= N(T) •
Представление D) называется полярным.
2. Предположим теперь, что оператор Т — нормальный. Из
равенства т*Т = ТТ* следуют соотношения
D{T*). E)
Из B) и E) вытекает также, что
N(T*) = N(T) = N{\T\). F)
Наконец, в силу C) и E)
Щ* ЩТ G)
а потому V унитарен в R(T). Подпространство N (Т) приводит
операторы Т, Т* (см. теорему 4.6.4), а потому сужения Го, Т%
операторов Т, Т* на [N (Г)]1 *= R (Т) суть взаимно сопряженные
нормальные операторы в R(T). Часть Ко оператора К в R(T)=
= [N(K)]X очевидно совпадает с \Т0\ = (Т$Т0I/'. Поэтому при
рассмотрении полярного представления D) для нормального опе-
оператора будем, не уменьшая общности, считать R(T) — H. Тогда
оператор V унитарен.
Лемма 3. При сделанных предположениях
VD (T) =V*D{T) = D (T). (8)
О Пусть /, g^D(T). Из D) имеем:
(Kf, Vg) = (VKf, g) = (Tf, g) = (f, T*g), (9)
(Г/, Vg) = (VKf, Vg) = (Kf, g) = (f, Kg). A0)
Из (9)
— D (T).
() следует, что V*geeD(K)=D(T), из A0) Vge=D(T*)
D (T). С учетом унитарности V это дает (8) ф
12* J79

Заметим теперь, что из (8) и (9) следует равенство T* = KV*.
Отсюда и из D) получаем: VK* = (VK)(KV*) V=TT*V = KaV,
т. е. V^->K9 — G. Но тогда в соответствии с теоремой 6.3.2 V ^
^K — G4'. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 4. Пусть в условиях теоремы 2 оператор Т — нор*
мольный. Тогда в представлении D) операторы V и Т переста-
перестановочны. Сужение V на его область изометричности G) есть уни-
унитарный в R(T) оператор.
§ 2. Эволюционные дифференциальные уравнения
в гильбертовом пространстве
В этом параграфе аппарат спектральной теории применяется
для исследования абстрактных (т. е. содержащих вектор-функции
со значениями в Н) дифференциальных уравнений. Мы рассмат-
рассматриваем простейшие примеры такого рода — линейные уравнения
первого и второго порядков, содержащие в качестве «постоянного
коэффициента» самосопряженный оператор А. Эти примеры моде-
моделируют свойства некоторых важных уравнений математической
физики. Формальное решение можно получить, обращаясь с А
как с числом. Спектральная теория позволяет придать этой про-
процедуре точный смысл.
1. Пусть Д = R — промежуток, Н — гильбертово пространство
и u(t), /eA,- функция со значениями в Н. Для таких функций
естественно вводится понятие (сильной) производной как предела
du/dt = и' (t) ?& s-llro,—от-1 [и (*+ т) - и (/)]. A)
Операция дифференцирования линейна. Если вектор-функции и,
v дифференцируемы в точке t, то скалярная функция (и, v) также
дифференцируема и
(u(t), v(t)y = (u'(t), v(t)) + (u(t), v'(t)). B)
Предположим, что производная «' (t) существует при всех t e
еД и непрерывна (в сильном смысле) на А. Тогда функцию и
называют сильно непрерывно дифференцируемой на Д. Класс
всех таких функций обозначим через С1 (А, Н).
Вполне аналогично определяются производные высших поряд-
порядков и классы С* (Д, Н) при k > 1.
2. Начнем с уравнения Шредингера
0. C)
Здесь А — самосопряженный оператор в Н. Функция ueC^R, H)
называется {сильным) решением уравнения C), если при всех
<eR u(t) ^D(A) и удовлетворяет уравнению.
Теорема 1. Для любого решения уравнения C) справедлив чзакон
сохранения»
|«@| = 1«@I, V*e=R. D)
180

О Воспользуемся равенством B). принимая во внимание C),
находим
(i(t)fY (iA и)
Отсюда следует D) •
Для уравнения C) поставим задачу Коши: будем искать реше-
решение, удовлетворяющее начальному условию
»@)-Л E)
Из теоремы 1 непосредственно вытекает единственность решения
задачи Коши. Необходимым условием существования решения
является включение /eD(А). Мы увидим, что это условие и доста-
достаточно.
Пусть Е = ЕА — спектральная мера оператора А. Положим
U(t) = ехр (— Ш) = \ еш dE (s). F)
Формула F) определяет однопараметрическую непрерывную унитар-
унитарную группу с производящим оператором — А (см. § 6.4, п. 1).
Теорема 2. При f^D(A) функция
u(t) = U(t)f G)
является решением задачи Коши C), E).
О Для 1/<=Я в соответствии с E.1.8) положим ц,(-) =
*=(?(•) v, v). Так как if (t) kj Еа, то для любого борелевского под-
подмножества б a R
Поэтому f^D(A)влечет u(t)^D(A), V< e R. При этом функция
Л (t) AU(t)f = U (t) Af непрерывна. Положим
(t) = h-l[U (t + h)-U (t)]f +
iA U(t)f = U (t) [/г* (U (A) -
На основании E.4.4) находим
|| w(t, h)V = l\ h~l (e-"A - 1) + is | Чщ (s).
При h-+~Q подынтегральная функция стремится к нулю; при
всех А она не превосходит 4ss, поскольку | hr1 (erish — 1) | =
>= 2|A||sin(s/i/2)|<|s|. Так как f^D(A) означает, что
Js*d[if (s)<oo, To\\w(t,h)\\-*~Q (Л->-0). Тем самым установлено,
что производная u'(t) существует и удовлетворяет C), а потому
непрерывна. Условие E) очевидно выполнено #
Отметим, что из C) и G) следует равенство
(8)
181

При этом одно лишь существование предела в левой части уже
обеспечивает включение f^D(A) и, тем самым, выполнение
равенства (8). В самом деле, если предел в (8) существует, то при
малых h интегралы § h~2, ехр (— ish) — 1 12dn/ (s) равномерно огра-
ограничены. При Л-»-0 подынтегральная функция стремится к sa.
Поэтому $s2dpf (s)<оо, т. е. f^D(A).
Таким образом, формула (8) позволяет восстановить оператор А
по порождаемой им унитарной группе. Более того, эта формула
может быть положена в основу вывода спектральной теоремы 6.4.1
для унитарной группы из теоремы 6.1.1. Именно можно доказать,
что предел в (8) существует на плотном в Н множестве элемен-
элементов f и определяет самосопряженный оператор А. Далее, каждая
из функций U(t)f, ехр(— iAt)f дает при f^D(A) решение задачи C),
E), которое единственно. Отсюда и из плотности D(A) в Н сле-
следует F).
Формула G) имеет смысл для любого /еЯ. Функция и (t),
определяемая этой формулой, называется слабым, или обобщенным,
решением задачи Коши C), E). Если же / е D (Ап), п = 2, 3,...,
то из G) прямо следует, что при любом k<.n Aku еС"-*(R, Н),
u{k) (t) е?)(Л"-*) и функция vk = uik) (t) является решением задачи
Коши при начальном условии vk@) = (—iA)kf.
3. Рассмотрим теперь «параболическое уравнение»
du/dt + Au = 0. (9)
Здесь Л— самосопряженный положительный оператор. В соответ-
соответствии со знаком оператора А уравнение (9) будем рассматривать
лишь на полуоси R+. Функция и s C(R+, H) называется решением
уравнения (9), если при t > 0 она непрерывно дифференцируема,
u(t) sD(i4) и удовлетворяет этому уравнению. При / = 0 никаких
дополнительных условий на и (кроме непрерывности справа)
не налагается.
Теорема 3. Пусть и —решение уравнения (9). Тогда
WeR+. A0)
О Достаточно заметить, что из B) и (9) следует
(II и @II2)' = - (Аи, и) - (и, Аи)^ 0 «
Будем искать решение уравнения (9), удовлетворяющее началь-
начальному условию E) (задача Коши). Из теоремы 3 вытекает, что
решение задачи Коши единственно.
Рассмотрим семейство операторов (полугруппу)
Т (t)=e-At = le-*f dE (s), t^O. A1)
Очевидно 7"@) = /. Так как А^О, то в силу F.1.11) интегриро-
интегрирование в A1) ведется по R+. Поэтому (см. F.1.14)) ||Т@1|<1.
182

Из теоремы 5.3.2 вытекает, что оператор-функция Т (t) сильно
непрерывна. Равенство exp (s (tt -j-12)) — exp (s/x) exp (s^2) влечет
полугрупповое свойство
Т(К + ^) = Т (tj T (*,), tutt^O. A2)
Далее, из неравенства sn e st ^ Cn t~n (sS^O, t>0; Сп — ппе'п)
следует, что при любом л^Ои при t>0 оператор АпТ(t) —
— ^sne~sidE(s) ограничен и \\AnT(t)\\^Cnt-n. Оператор-функция
AnT(t) сильно непрерывна.
Теорема 4. При любом /ей функция
u(O = T(t)f A3)
является решением задачи Коши (9), E).
О Из свойств Т(t) вытекает непрерывность u(t) при t^O,
выполнение равенства E), включение u(t)^D(A) при />0,
а также непрерывность Аи (t), t > 0. Положим
Тогда на основании E.4.4)
\\w(t. К) || 2 = $R+ | ft-i («-•* f
Подынтегральная функция стремится к нулю при h-*-0 и в окрест-
окрестности точки п = 0 оценивается через Cs2exp(—2st). Поэтому
|| w (t, h) || -*¦ 0 (h -*• 0), т. е. производная и' (t) существует и удовлет-
удовлетворяет (9) ф
Из ограниченности при t>0 операторов АпТ(t) вытекает
включение u(t)^D (Ап), п = 1, 2,...
Если в E) f^D(An), то из (9) следует, что ^
[А*+и (t) ](i)=-^-T (t) A"-»f = (- 1)* T (t) A"f.
Отсюда и из A0) получается равномерная по ?>0 оценка
|| [ Л-*и (t) ] <*> || = || i4-*«i*> (t) ||
Пусть снова f — любой элемент из Н. Так как u(t) = T(t — f0) Г (t0) f,
O<to<t, и T(to)f = u(to)<=D(A'), V/e=Z+, то все функции
Л"«(^) бесконечно дифференцируемы и
и (t) ] W || = || i4-*«w @1| <; || Л- 7 (g
Полагая fo->-/ —0, получаем оценку
183

Все эти свойства «гладкости» при (>0 соответствуют бесконечной
дифференцируемое™ (по совокупности х, t) решений классического
уравнения теплопроводности.
Пусть теперь в (9) оператор А полуограничен снизу (A^yl).
В случае у < 0 подстановка и (t) = v (t) exp (— yt\ приводит к урав-
уравнению того же вида с оператором A — yl^O вместо А. Если
оператор А не полуограничен, то операторы A1) ие ограничены
и решение A3) существует лишь при весьма жестких условиях
на f (т. е. задача некорректна). Некорректна также задача Коши
для уравнения (9) при А ^ 0, t < 0.
4. Остановимся кратко на абстрактном «гиперболическом» урав-
уравнении
и" {t) + Аи @ = 0. A4)
Здесь предполагается, что А = А* строго положителен:
и#(/4) = {0}. Решением (сильным) уравнения A4) называется
функция tteC'(R, Я) со значениями u(t)^D(A), VfeR.
Теорема 5. Для всякого решения уравнения A4) справедлив
чзакон сохранения энергии*
II и' @1| * +1| А*>т @1| * = || и' @) ||»+1| А'/'и @) ||». A6)
О Из A4) следует включение АиеС(К, Н). Тождество
(Au(t+x), u(t + x))-(Au(t), u{t))~
приводит к равенству (Аи, и)' = (и', Аи) + (Аи, и'). Отсюда
в силу A4) получаем, что d/dt[\\u'\\г + (Аи, «)] = 0 ф
Для уравнения A4) поставим задачу Коши:
«(()) = /, «'@)=g. A6)
Формальное решение задачи A4), A6) приводит к равенству
и @ = (cos Л •/.*)/ + ( Л-1/» sin A'/>t)g. A7)
Анализ формулы A7) может быть проведен по образцу рассужде-
рассуждений пп. 2, 3. Мы приведем только результат.
Теорема 6. а) Для любых f^D(Al/>), g^H функция A7) при-
принадлежит классу С1 (R, Н) и удовлетворяет соотношениям A5), A6).
б) Для любых f^D(A), geDf/l''1) функция A7) является
сильным решением задачи Коши A4), A6).
В условиях п. а) функция A7) называется слабым решением
(или решением с конечной энергией) задачи Коши. Полученное
в условиях п. б) сильное решение единственно; это следует из
теоремы 5.
Уравнение A4) во многом подобно уравнению Шредингера C).
В частности, если f^D(Ar), g<=D(Ar-4>), 2/-= 1,2 то при
184

всех t в A7) и(<)еО(Л'-*/2); улучшение свойств решения
при t ФО не происходит; этим уравнение A4) отличается от урав-
уравнения (9).
Уравнения C), A4) тесно связаны между собой. Именно, если в A4) про-
произведем формальную замену щ—v, Д1//|ы = г, то относительно пары w = (v, г)
в гильбертовом пространстве Н фЯ получим уравнение iw'—aw, где а—само-
а—самосопряженный оператор в НфН, который в «блочной» записи имеет вид
Если оператор А положительно определен, то указанная замена позволяет
свести исследование задачи Коши A4), A6) к задаче Коши для уравнения
Шредингера.
§ 3. Преобразование Фурье
Преобразование Фурье играет важную роль в спектральном
анализе дифференциальных операторов (см. § 5, 6). Вместе с тем
преобразование Фурье дает содержательный пример унитарного
оператора в пространстве L2 (Rm), иллюстрирующий теорему 6.1.2.
1. На функциях класса S (см. § 1.6,п.14) определим оператор Ф
формулой
v A) = (Фы) A) = Bя) -т'2 \ е-ь* и (х) dx. A>
Здесь*, \ е Rm, х\ = x1l1 + .. .+х„1т; интеграл распространен по Rm.
Дифференцируя под знаком интеграла и интегрируя по частям,
легко убедиться, что ueS. Таким образом, CDS cz S, и можно
рассматривать Ф как оператор в La(Rm) с плотной, областыа
определения D (Ф) = S. Покажем теперь, что Ф изометричен. Начнем,
с одномерного случая т — \. Очевидно
Для функций класса S заведомо допустима перестановка поряд-
порядков интегрирования и предельного перехода. Тогда
В курсах анализа показывается, что «ядро Дирихле» [я (х — у)]~ *¦ х
X sin N(x — y) аппроксимирует при N-+co дельта-функцию.
Иначе говоря, стоящий в квадратных скобках предел существует
и равен и(х). Таким образом,
что и означает изометричность Ф.
185.

В L2(Rm) равенство B) устанавливается последовательным
применением «одномерного» соотношения B) по каждой коорди-
координате. Подробности читатель легко восстановит сам.
Оператор Ф по непрерывности можно распространить на все
L2(Rm). При этом соотношение изометричности B) сохранится. Сле-
Следует, однако, иметь в виду, что определить функцию v = Фи форму-
формулой A) для любой функции и gL2(R") уже нельзя. Позднее мы
обсудим этот вопрос подробнее. Наряду с Ф рассмотрим «двой-
«двойственное» преобразование Ф+, которое на классе S определим фор-
формулой
(Ф+ю) {у) = Bл)- ™п $ ^w (g) dg. C)
Как и выше, Ф+SczS, || Ф+о; | = | о; | и Ф+ допускает изометри-
изометрическое распространение на все L2 (Rm). Для любых и, w eS имеем
{Фи, w) = \[Bл)-т&\е-"Ли(х)dx]ШоЩd\ =
= \и(х)[{2n)-m'2\e^w{l)dl]dx = (и, Ф+w),
я, следовательно, Ф* = Ф+. Поскольку Н QR(Q>) = N(Ф+) = {0}, то
Ф унитарен и
ф*=ф-1 = ф+. D)
Мы доказали следующую теорему.
Теорема 1. Каждый из двух операторов Ф, Ф+, определенных
первоначально формулами A), C) на классе S, допускает распро-
распространение по непрерывности до унитарного в L2 (Rm) оператора.
При этом выполнены соотношения D).
Равенство Ф*ф = / представляет собой операторную запись
известной интегральной формулы Фурье
и (у) = Bл)- $ dg $ е-1 <*-*>* и (х) dx.
Лругое следствие унитарности Ф мы сформулируем в виде тео-
теоремы.
Теорема 2. Оператор Фурье Ф взаимно-однозначно отображает
класс S на себя.
О Мы уже видели, что ФЭсS. Пусть »eS; тогда и =
= Ф+w s S и ш = Фй, а потому OS = S ф
Аналитические представления A), C) для операторов Ф, Ф+
легко распространить с класса S на более широкий класс L2(Rm)n
flL^R1"). Для произвольной функции aelj(RB) формулу A)
¦следует понимать лишь в некотором обобщенном смысле. Пусть
Хлг — характеристическая функция шара {*eRm; |*|==s#} и
пусть йд/ = ихлг. Ясно, что при N-*-oo функции им сходятся
к и в L2<Rm). Но тогда Ф«^ — Фи. Для uN представление A)
справедливо и имеет вид
(Фи*) (|) = Bл)~ -/»J,,, < N е~'*Ч (х) dx. E)
W

Поэтому равенство Фи = \\тФи^ позволяет трактовать выраже-
выражение A) для Фи как несобственный интеграл (предел «собственных»
интегралов E)), если предельный переход в определении несоб-
несобственного интеграла понимать не поточечно (для почти всех %),
а в смысле сходимости функций в L2 (Rm). Только при таком
расширенном понимании интеграла можно распространить интег-
интегральное представление A) для Фи на весь класс L2(Rm).
2, Перейдем к спектральному анализу оператора Ф. Отметим
прежде всего, что Ф2=/, где (Ju)(x) = u(—д;) —оператор отра-
отражения. Далее, Ф4=У2 = /; отсюда и из общего правила F.6.14)
отображения спектров следует, что спектр сг(Ф) состоит не более
чем из четырех точек 1, i, — 1, — i, которые могут быть его
собственными значениями. В действительности каждая из этих
точек является собственным значением бесконечной кратности.
При т = 1 полную ортонормирсванную систему собственных
функций оператора Ф образуют функции Эрмита B.9.1). Именно
Фур = (-0%. peZ+. F)
Доказательство этого равенства нам удобно отложить до § 6 (п. 7).
Здесь мы отметим лишь, что при р = 0 F) сводится к известной
формуле Пуассона
vо (I) = у= \ v0 (х) e** dx, v0 (х) = *-*•/*. G)
Таким образом, разложение по функциям Эрмита порождает спект-
спектральное разложение оператора Ф.
Легко видеть, что в многомерном случае полную систему соб-
собственных функций оператора Фурье Ф образуют функции
Wk (X) = Vkl (Xj) V4 {Xt) ... Vkm (Xm), k = (klt .... km) 6= Z».
Соответствующие собственные значения суть (—f)*i+fc»+—+*m.
§ 4. Об операторах умножения в пространстве L2(Rm, С*)
В этом вспомогательном параграфе собраны сведения о спект-
спектральных свойствах операторов умножения в пространстве Н =
= Ц(Ят, С*) — пространстве квадратично-суммируемых по Rm k-
мерных вектор-функций. Большую часть этих сведений составляют
прямые следствия общей теории операторов умножения в прямом
интеграле (см. гл. 7). Здесь нужный материал (с некоторыми до-
дополнениями) представлен в виде, наиболее удобном для примене-
применения к исследованию дифференциальных операторов в § 5, 6.
1. Пусть W = L2 = L2(Rm, С*). Напомним (см. § 7.1), что L,
можно трактовать как прямой интеграл
S C*. VleR"*) A)
187

с функцией размерности N (|) = dim G (|) ss k. Рассмотрим в Я
операторы Qt умножения на координату: (Q/f)(i) = iyt;(i), / =
= 1, ..., т. Каждый оператор Qt самосопряжен на естественной
области определения
D(Qj) = {v e U- №\ v(I)I2а%<сх>).
Операторы Qj попарно перестановочны в смысле определения из
§ 6.3, п. 3, т. е. перестановочны их спектральные меры. Совме-
Совместная спектральная мера Eq (А) семейства операторов Q = (Q1(...
• • •. Qm) сводится к умножению на хд — характеристическую функ-
функцию борелевского множества Л с= Rm:
(Eq(Л)v)(\) = хд (I)v(I), Ae*> (R">). B)
Иначе говоря, Eq совпадает с мерой G.2.1) в прямом интеграле
A). Это позволяет (см. § 7.4, п. 1) определить все спектральные
характеристики меры Eq: ее носитель (или, что то же, совмест-
совместный спектр a(Q) системы Q) совпадает с Rm, спектральный тип
[Eq] совпадает с типом лебеговой меры в R*™, а функция спект-
спектральной кратности Nq тождественно равна k:
NQF) = NF) = fe, VgeR- C)
Если k—l (скалярный случай), то мера Eq — простая, и опера-
операторы Q образуют полную систему.
2. Пусть аA): С*-*-С* — измеримая, п. в. конечная матрица-
функция в Rm. Операторы *>
Qa: v ft) — a (|)t;(l), D)
='{v^L2:av^L2}, E)
будем называть операторами умножения. Они очевидно переста-
перестановочны с операторами Q. Самосопряженность оператора Qa рав-
равносильна тому, что при п. в. | е Rm матрица а(|) эрмитова.
В дальнейшем эрмитовость всегда предполагается.
Если k=l, то Qa есть функция операторов Qlt .... Qm: ¦
Qa = fl(Q) = a(Ql Qm). F)
При k>l мы также будем использовать запись Qa = a(Q), пони-
понимая под этим, что Qa есть матричная функция аргументов Q.
В точности при этом имеется в виду, что оператор умножения
на каждый элемент ад(|) матрицы а(%) есть функция ajt(Q)
в обычном понимании.
Рассмотрим связь между спектральными характеристиками
матрицы а (?) (как оператора в С*) и оператора Qa. Пусть Д|)
¦> Напомним, что в соответствии с терминологией § 7,2, п, 4, ограничен-
ограниченный оператор вида D) называется разложимым.
188

Ю/A)| /=1. •••• Л, — собственные числа и ортонормированные
собственные векторы матрицы а (%). Для измеримой а (|) функции
О] (\), «у (|) можно выбрать измеримыми. Тогда измеримы и опе-
оператор-функции
р, (I) = < •, о, (D) со, (I), a, (I) = a, (I) р, (I), у = 1 т.
Ясно, что pj A) — проектор в С* на одномерное подпространство,
порожденное вектором со/(|), Oj (l) — часть оператора а(|) в этом
подпространстве. Согласно теореме 7.2.5 операторы QPf, / =
= 1, .... k, являются проекторами в Н. Так как pt {%) pt (\) = О
и 2]*Р/(?) = /с*. то проекторы Qp попарно ортогональны и
= I- Поэтому подпространства Hj = Qp,H образуют ортого-
ортогональное разложение
Н = Х®Н,.' G)
Пусть v&D(Qa). Тогда
a (I) (QP, v) (I) = а (I) р, {%) v (I) = а, {\)р, {%) v Ц) =
= Pl(t)a(t)v(t) = (QP/Qav)a).
Отсюда следует, что Qp,^->Qa, т. е. подпространства Hf приводят
Qa. При »е//у имеем a (I) v (?) = af {%) v (I), т. е. Qa|//y=Qe,.
Тем самым установлено ортогональное разложение Qa = ^ 0 Qa.
(относительно разложения G) пространства Н).
Рассмотрим, далее, взаимно обратные изометрии
V,: И, -> U (Rm). (V,v) (I) = <v (I), coy (|)>;
Изометрия V/ переводит оператор Qa в оператор умножения Qa
в пространстве Lj(Rm). Таким образом, справедливо разложение
Qa = 2>"® Qa, = ЦГ 0 VTQaVj, (8)
сводящее оператор Qa к ортогональной сумме «скалярных» опера-
операторов умножения в L2(Rm).
Обозначим через 8в(|, 6), 6cR, спектральную меру мат-
матрицы а(Ъ):
(Ь б ?A). /:«/(|)еб. (9)
Теорема 1. Спектральная мера Еа оператора Qa определяется
формулой
Е гаA, b)v(l), п.в. ieER» A0)
которая при k=l переходит в формулу
)f(i). п.в. gsR". (И)

Здесь сг1 (б) — полный прообраз множества б при отображении а:
Rm-vR.
О Равенство A1) содержится в теореме 6.6.4. При k>l из
разложения (8) в соответствии с E.4.23), E.4.24) получаем
Еа (б) = ?Г © Еа/ (б) = 2Г © У7'?", (в) V,.
Для ЕаF) воспользуемся представлением A1). Тогда для любого
v = 2i*Qpv<=H имеем
(?а F) о) (g) = 2Г (Vr Я«, V/Q,,f) F) -
что с учетом равенства (9) совпадает с A0) •
Представление A0) формально содержится в теореме 7.2.8.
Последняя, однако, применима лишь в случае ограниченных а (I).
3. Сделаем некоторые замечания о спектре операторов Qa.
Прежде всего отметим, что если % — собственное значение Qa, то
кратность его бесконечна. Действительно, тогда а (?) v^ (\) = Xv), (|),
причем V), (|) Ф 0 для Ъ, е б, mes б > 0. Но тогда при любом б0 с б,
mes60>0, элемент /«„t^ также является собственным.
Пусть теперь матрица а (|) непрерывна. При k = 1 из формулы
F.6.13) имеем
<r(Qa) = a(Rm) (A=l). A2)
При k> 1 из (8) и A2) следует, что
4W)- A3)
Если fe=l и а(|) — ненулевой полином, то ap(Qo)= ф. Дейст-
Действительно, равенство a (g) y>, (g) = Я,у^ (I) означает, что п. в. vk (I) = 0,
поскольку а(|) = Я возможно лишь на алгебраической поверхно-
поверхности; для последней /n-мерная лебегова мера равна нулю. Можно
показать (см. [2]), что в этом случае спектральный тип [Qa] сов-
совпадает с типом лебеговой меры на спектре A2).
При fe>l оператор Qa = a (Q), где а (|) — полиномиальная мат-
матрица, может иметь собственные (бесконечнократные) значения.
Проиллюстрируем сказанное на примере. Пусть т = к = 3.
Рассмотрим оператор Qr, где
A4)
CoficTBeHHHe числа матрицы A4) равны po(g) = 0, p±(?) = ±|g|.
Пусть (оо (|) = ? I g | ', о) ±(%) — соответствующие нормированные соб-
собственные векторы. Явные выражения для со+ нам не понадобятся.
190

Разложение G) принимает вид /7 = #0 ® #+ 0Н-. Элемент oeff
принадлежит Нг (е —один из символов 0, + , —) в том и только
том случае, если 1>(?) = ф(?)о)е(|), где <peL3(R3). В подпростран-
подпространстве Нг действие оператора Qr сводится к умножению вектор-
функции у(|) на Ре(|). В частности, H0 = N(Qr), и разложение (8)
принимает вид
Q O0Q®Q- A5)
(Q± — часть оператора Qr в Н+).
4. Если матрица а локально-ограничена, то CS°(Rm)czD(Qa).
Сужение Qa оператора Qa на С^ есть в существенном самосопря-
самосопряженный оператор. Действительно, при геС, Imz=/=0, матрица
a{Q — zIck обратима. Поэтому если < /ieL2(Rm, С*) и
\((a —z)u, ft)d| = 0 при всех «eCjf, то Л(|) = 0 п. в. Это озна-
означает, что индексы дефекта Qa равны нулю.
Если а имеет при |||-»-оо рост не выше степенного, то
S (Rm) czD (Qo). Сужение Qa оператора Qa на класс S(Rm) есть
также в существенном самосопряженный оператор. Это следует из
включений Ql a Qa с Qa.
§ 5. Дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами
Преобразование Фурье позволяет провести спектральный ана-
анализ формально самосопряженных дифференциальных операторов
с постоянными коэффициентами в La(Rm). Здесь рассматриваются
такие операторы, а также тесно связанные с ними интегральные
операторы типа свертки. Следующий ^ 6 посвящен рассмотрению
примеров.
1. Ниже Н — L.J = L2 (Rm, С*), 1==?&<оо. Напомним, что для
оператора дифференцирования по xj используется обозначение
Df = — id/dx/. Если а — мультииндекс, a = (a1 ат), то Da =»
Пусть а(I) — полиномиальная по %, ^е Rm, эрмитова (kxk)-
матрица. Через a(D) обозначается дифференциальное выражение,
получающееся при формальной подстановке в а аргументов D =
= (Dlt ..., Dm) вместо ? = (gx, ..., \т). С a(D) свяжем в L2 опе-
оператор A: u>—*a{D)u с областью определения
Л(Л) = |«е!8: o(D)He4 A)
(Здесь a(D)u понимается в смысле теории обобщенных функций.)
Сужения А на множества CS°(Rm), S(Rm) обозначим соответст-
соответственно через Ао, As. Ясно, что Ао a As cz А и оператор Ао сим-
симметричен. Из определения оператора А прямо следует равенство
А! = А.
191

Рассмотрим подробнее оператор As; интегрированием по частям
устанавливается, что он симметричен. Пусть «eS и а=»Фи.
Тогда dsS и (см. § 3)
и (х) - Bя)—/» $ exp №) v (g) d&. B)
Формула B) допускает дифференцирование:
Dau (х) = Bл)-т/2 $ ехр A4) 5°у E) dg. C)
Отсюда следует, что операция a(D) при преобразовании Фурье
переходит в умножение на а (|). Поскольку при этом Ф2> (As) =
~=OS=S, то
Л5 = Ф*<??ф, D)
где Qa — сужение оператора умножения Qa (см. D.4), D.5)) на S.
В § 4, п. 4, отмечалось, что оператор Qf — в существенном само-
самосопряженный. Отсюда и из D) следует, что оператор As — e су-
существенном самосопряженный.
Покажем теперь, что оператор Ао также в существенном само-
самосопряженный. Для этого достаточно убедиться, что замыкание Ао
оператора Ао содержит в себе оператор As- Иными словами,
нужно показать, что класс Cf(Rm) плотен в S(Rm) по норме
графика
Пусть ?еС ?(*)=! ПРИ |*|<1» ?(*)=*0 при |дс|3в2 и
пусть ?л (х) = 5 (n-1jc). Для любой вектор-функции и е L2 очевидно
«л =-?»«-> и в La. Далее,
где ?л,р(*) = 0 при \х\^-2п и |дс1^п и справедливы равномер-
равномерные оценки |?л.р(*)|^ся1&1-|а1. Из E) для «eS сразу следует,
что Daun-*-Dau, а потому и a(D)«„-»>• a(D) и. Поскольку и„е
е 3) (Ло), включение Ло 1Э As получено. Теперь нетрудно устано-
установить следующую теорему.
Теорема 1. Оператор А самосопряжен. Операторы Ао, As в су-
существенном самосопряжены и AQ= As= А. Имеет место представ-
представление
. F)
О Замыкания Ао и As совпадают, поскольку Ао с As cz Ao.
Так как Ао в существенном самосопряжен, то (см. § 4.1, п. 1)
Ав самосопряжен и Ао= А*= А. Из D) следует, что Л5с:Ф*фаФ,
а значит, и А = As cz Ф*О_аФ. Поскольку А и Ф*(?вФ самосопря-
самосопряжены, отсюда следует F) #
192

2. Самосопряженный в L2 оператор, порожденный матри-
матрицей a(D), реализован как оператор1 Л с областью определения A).
Одновременно получено равенство F). Это равенство открывает
путь к определению оператора a(D) и тогда, когда матрица a(g)
не полиномиальная. Именно с o(D) в этом случае по определе-
определению связывается самосопряженный в L2 оператор А, задаваемый
правой частью F). Матрицу а(|) называют символом оператора
A = a(D).
Формула F) сводит спектральный анализ дифференциального
оператора А к анализу оператора умножения Qa. В частности,
спектральная мера оператора А дается равенством
?ДF) = Ф*?ОF)Ф, * G)
где Еа — спектральная мера оператора умножения Qa. В сочета-
сочетании с формулами D.10), D.11) равенство G) достаточно удобно
для вычислений (см. § 6). Поскольку спектральные свойства опе-
операторов A = a(D) и Qa совпадают, на оператор a(D) переносится
все сказанное о спектре Qa в § 4, п. 3. В частности,
o(A) = o(Qa), ' (8)
и мы можем использовать формулы D.12), D.13) для вычисления
спектра оператора a(D) по его символу.
В матричном случае полезна формула D.8), позволяющая
свести оператор a (D) к ортогональной сумме «скалярных» опера-
операторов <Xj (D). Отметим, что даже в случае полиномиальной мат-
матрицы а (?) символы О/ (|), вообще говоря, не полиномы (т. е. опе-
операторы ay (D) не дифференциальные).
Оператору Dj, /=1, ..., т, в соотношении F) соответствует
оператор Qj умножения на координату \]. Поэтому операторы Df
образуют систему попарно перестановочных самосопряженных опе-
операторов. Их совместная спектральная мера иа Rm есть
?о(А) = Ф*?0(Д)Ф, АсЯв(Г), (9)
где Eq — совместная спектральная мера операторов Qv ..., Qm,
определенная формулой D.2). При k=l мера ?D простая, т. е.
система D полная. Поэтому равенство A = a(D) при k=l спра-
справедливо в смысле теории функций от операторов: оно получается
из аналогичного равенства D.6) при преобразовании Фурье. '
При k>\ функция кратности ND меры ?d тождественно
равна k: ND (•*)=&. Спектральный тип меры Ed совпадает с ти-
типом лебеговой меры на Rm.
Отображение ut—^Фм можно истолковать и с точки зрения
общей «спектральной модели», изложенной в гл. 7. Именно при
этом отображении L2(R"\ С*) отображается на прямой интеграл
D.1), в котором спектральная мера ?Ъ(А) переходит, как это и
должно быть, в оператор ?q(A) умножения на характеристиче-
13 Заказ 64» 191

скую функцию множества А. Любой оператор A=*a(D) в соот-
соответствии с F) переходит в оператор умножения на символ а E).
3. Если матрица а (|) не полиномиальная, то реализация опе-
оператора A—a(D) без перехода к преобразованию Фурье (т. е. не-
непосредственно в ос-представлении») приводит к интегральному
оператору с разностным ядром (оператору свертки). Эти опера-
операторы уже не обладают типичным для дифференциальных опера-
операторов свойством локальности. Другое осложнение состоит в том,
что ядро оказывается, вообще говоря, обобщенной функцией.
Впрочем, можно выделить случаи, когда оператор a(D) хорошо
описывается в х-представлении.
Пусть в L2(Rm, С*) действует интегральный оператор
(Ти) (х)- Bя)-/2 ^ (х-у) и (у)dy, A0)
где эрмитова матрица-функция t^L1(Rm). В соответствии с тео-
теоремой 2.10.2 оператор A0) непрерывен. Пусть а — преобразование
Фурье функции t, понимаемое поточечно. Функция а непрерывна,
ограничена и a(g)-»-0 при |||-»-оо. Для и sS положим и = Ф*и.
Тогда, поскольку v — Фы е S, оказывается законным следующее
преобразование:
(Ти) (х) - Bя)-« \t(x-y)dy\ exp (iyQ v (g) d\ =
= Bя)-™ \v(l)d%\t (z) exp (i (x - z) I) dz =
Мы видим, что Ти = Ф*(Роч)=Ф*РоФи. Так как оба оператора Г
и Ф*фаФ непрерывны и совпадают на S, то Т = Ф*фаФ, т. е.
4. Пусть AeR™, Gh —оператор сдвига в
/ieR» A1)
Операторы G/, очевидно унитарны и образуют сильно непрерыв-
непрерывную группу (эта группа дает представление аддитивной группы Rm).
Операторы GA перестановочны с операторами Dj, а потому должны
быть функциями от D. Покажем, что
GA = exp(taD). A2)
Оба оператора в A2) непрерывны, поэтому достаточно установить
их совпадение на функциях «eS. Пусть ч = Фи, тогдаи = Ф*у и
(exp (tfiD) и)(х) = Bл)- т'2 \ e^V*^ (?) d| = и {х+К).
194

Из A2) получается спектральное разложение группы
где ED —мера (9). Эта формула есть частный случай упоминавшейся в § 6.4,
п. 5, теоремы о разложении унитарных представлений на неприводимые.
§ 6. Примеры дифференциальных операторов
Здесь рассматриваются примеры, иллюстрирующие материал § 5.
Спектральные характеристики операторов вида A=a(D) нахо-
находятся по его символу а(|) иа основе-сказанного в § 5, п. 2, и
в § 4, п. 3. В конкретных случаях спектр о (А), спектральный
тип [А] и спектральная кратность NA определяются для a (D)
довольно просто, и мы не всегда входим в детали по этому по-
поводу. В п. 7 обсуждается оператор энергии линейного осцилля-
осциллятора. Хотя этот оператор не является оператором с постоянными
коэффициентами, он тоже тесно связан с преобразованием Фурье.
1. Пусть т — \, k=l, A =D — оператор дифференцирования,
с которым мы уже встречались в § 4.8, п. 5. Этот оператор уни-
унитарно эквивалентен оператору умножения на независимую пере-
переменную в La(R). Поэтому для A—D a(A) = R, тип [Л] —лебегов,
1Чд(А.)==1, т. е. спектр простой. Пусть 6 = (а, р), — оо<а-<
<:р<схэ. Из E.7) получаем для ?дF) представление в виде
интегрального оператора
(ЕА F) и) (х) - f e*P» (*-я?-!У {Х~У) * Су) dy И=я>- О)
Наряду с А рассмотрим оператор ? = Ла = 1>а. Вычисление
разложения единицы Е% для В сводится к равенству Е% =*
*=?д(— УТ,, УХ), Я 3*0; при этом
(#«)(*)-f^V»» to) «fr (B-D4 B)
— интегральный оператор с ядром Дирихле. Общее соотношение
Е\-^1 при А,-»-оо здесь соответствует перенесению известной
теоремы Дирихле на произвольные функции и eL8 за счет пере-
перехода от поточечной сходимости к сходимости в смысле Z.a. Для
оператора В имеем: а (В) = R+, тип [В] — лебегов, NB (Я,) = 2
на а (В).
2. Пусть k=l, mSsl, B = D2 = Df+... +% = — Д (оператор
Лапласа). Формула E.6) сводит В к умножению на | ? |г в R;
последний оператор рассматривался в § 4.7, п. 2, и был сведен
к оператору умножения на независимую переменную в простран-
пространстве L2(R, ц; G), где G = L2(S-1), а мера ц эквивалентна мере
Лебега на полуоси R+. Поэтому or(B) = R+, тип [В] —лебегов
Так как при m >1 dim G = сю, то и NB (Я,) = оо. При m — 1
13* 195

dimG = 2, что приводит к указанному в п. 1 значению
NB(b) = 2.
Вычисляя обратное преобразование Фурье от характеристи-
характеристической функции шара |?|2<А., получаем
где Jm/i — функция Бесселя. При'т=1 формула C) переходит
в B).
Спектральный анализ оператора —А (при т>\) можно осно-
основывать и на разделении переменных в сферических координатах
г = |jc|, 9 = jc/-1. Обозначим через Я;, IeZ+> множество функций
в R вида и (х) — ф (г) У (б), где КеГ, (т. е. Y — сферическая
функция порядка /, см. § 2.9, п. 5) и \ | <р (г) IV™-1 dr < oo. Легко
видеть, что /// — подпространство в L'2(Rm), причем Н{ попарно
ортогональны и справедливо разложение
Каждое подпространство Я; приводит оператор В — — Л. Спектр
оператора В{ — части В в Я/ — заполняет полуось R+. Тип [Bt] —
лебегов, а кратность совпадает с размерностью пространства Г/
(см. B.9.13)). При ш = 3 эта кратность равна 2/+1.
3. При k=\, m = 3 оператор D2/2 соответствует (при надле-
надлежащем выборе системы единиц) оператору энергии свободной
нерелятивистской квантовой частицы. В релятивистском случае
оператор энергии свободной бесспиновой частицы имеет вид
A — (D2-\-IL*, причем само определение оператора А опирается
на формулу E.6). Оператор А, не будучи дифференциальным,
утрачивает свойство локальности. Оператор А есть функция от
B = D8. Поэтому разложение единицы Е\ получается из C)
посредством равенства Ех—ЕЦ, ц = (Я.8 — 1 I/4. Спектральные ха-
характеристики оператора А: а(А) — [1, со), тип [Л] —лебегов,
1Чд(Х) = оо на о (А).
4. При т = k = 3 рассмотрим дифференциальную операцию R =
= r(D) = rot. Символ г E) дается выражением D.14). В соответ-
соответствии с D.15) оператор R разлагается в ортогональную сумму
где /?± = Ф*ф+Ф. Отсюда следует, что, как и Q±, оператор /?±
унитарно эквивалентен оператору умножения на ± ||| в прост-
пространстве Lb(R3). Ядро R бесконечномерно и совпадаете Ф*Л^(^Г).
Оператор R1- =/?+ф/?_ — часть R в ортогональном дополнении
к ядру— имеет следующие спектральные характеристики: o(Rl) =»
= R, тип [Z?1] — лебегов, N^i^^oo.
196

• Нетрудно описать область определения оператора R1. В тер-
терминах функции и = Фм включение «e^fi?1) означает
v(l)±l, п. в. |eR3; J(l +|g|«) | o(g)|«dg <oo.
Второе из этих условий показывает, что «efl?a(R3), а первое
переходит в уравнение div« = 0. Таким образом, сужая R до R±,
мы накладываем на вектор-функции и(х) условие соленоидаль-
ности (поперечности).
5. Пусть т = 3, k = 6. Рассмотрим оператор Максвелла Л1 =
= m(D), который в блочной записи имеет вид
М=( ° .'"*) D)
\ —trot 0 /• w
Оператор D) возникает при отделении времени в системе Макс-
Максвелла. Векторы «еС будем записывать в виде пары (uv иг),
где «J, и2 е С3. Символ m (|) оператора D) имеет те же собствен-
собственные значения, что и символ D.14): Цо(?)=0, ц±(?) = ± |||. Эти
собственные значения теперь двукратны. Объединяя в разложении
D.8) для оператора Qm подпространства, соответствующие равным
собственным значениям, и переходя затем к преобразованию
Фурье, получаем разложение М = О ф М+ © М- Отделение ядра,
как и в п. 4, приводит к условиям поперечности divu1 = div«2 =
= 0.
Физический смысл имеет лишь слагаемое Л1+ (поскольку спектр
символа истолковывается как частота колебаний, которая поло-
положительна). Оператор М+ унитарно эквивалентен оператору умно-
умножения на | ? | в пространстве L2 (R3, С2) и имеет следующие спек-
спектральные характеристики: o(M+) = fl+, тип [М+] — лебегов,
Nm+(^) = oo на R+.
При переходе к оператору М+ «векторная размерность задачи» понизилась
с k = 6 до ife = 2. Это соответствует тому, что задание одного из солеиоидаль-
ных векторов ult и2 (они имеют смысл электрической и магнитной напряжен-
напряженности поля) вполне определяет другой. Пусть <й_,_ (*) — собственные векторы
символа г E), о которых шла речь в § 4, п. 3. Тогда (ш+(|), — «ш+(?)),
(ш_ g), iw_ E))—ортогональные собственные векторы символа /и(|) при соб-
собственном значении Ц+(?) = 1?1- Одномерные подпространства, определяемые
этими векторами при каждом |, порождают, в соответствии с D.8), разложение
М+ в ортогональную сумму вида М+ = М+ф М'. Операторам М% ,М* отве-
отвечают волны с круговой поляризацией противоположных направлений.
6. Следующий пример связан с системой Дирака, описывающей
свободный релятивистский электрон (позитрон). После отделения
времени в этой системе приходим к оператору Дирака
. E)
Здесь т — 3, k = 4, щ — постоянные Dх4)-матрицы, ajat-{-aflLj =
= 6J, у, 1 = 1, 2, 3, 4. Конкретный выбор матриц щ не играет
197

роли: при их замене оператор А перейдет в унитарно эквива-
эквивалентный оператор того же вида. У символа а(%) два двукратных
собственных значения а+ (|) = ± (| ? |2 + 1 I/9. Спектр а(А) =
A][1 ) [Л] б N(A) (А)
(|) (| ? | + ) р ()
(—со, — 1]U[1> °°). тип [Л] —лебегов, Na(A,) = oo на а (А).
Разложение А = А- ф А+, связанное с собственными значениями
а±(?), соответствует разделению на электронные и позитронные
состояния. В отличие от предыдущего примера, здесь отрицатель-
отрицательное собственное значение не отбрасывается; оно трактуется как
значение энергии позитрона. Поучительно сравнение оператора
E) с примером п. 3. В обоих случаях операторы удовлетворяют
соотношению Аг = D2 + /. В п. 3 А есть «положительный корень»
из D2 + / в смысле функций от операторов; этот оператор нело-
нелокален. Оператор E) не является функцией оператора D2. Он незна-
коопределен, но локален; сохранение локальности потребовало
повышения размерности (k = 4 вместо k = \).
Собственные подпространства в С4, отвечающие а_ (?) и а+ (?), допускают
разложения на одномерные подпространства. В результате возникнут разло-
разложения Д+ = Л+@Л+. Эти разложения можно выбрать таким образом, чтобы
фиксировать какую-либо спиновую характеристику частицы (поляризацию,
спнральность).
7. В качестве последнего примера рассмотрим в L2(R) оператор
С :«(*)•—@« + х»)и(х), F)
который первоначально определим на классе S. Введем дифферен-
дифференциальные выражения c = x-{-iD, c+ — x — iD и заметим, что
I)u, usS, G)
с+ — с+с) и — 2и, и е S. (8)
Из G) следует, что (Си, u) = }cuf + \u^, а потому оператор С
положительно определен.
Теорема 1. Оператор Cs, определенный выражением F) на
классе S, в существенном самосопряжен.
О Достаточно показать, что множество R (С$) плотно в L2.
Пусть fteLj, hJ_R(Cs)- Тогда заведомо
т. е. h имеет вторую обобщенную производную и
h"^x*h (9)
(в смысле обобщенных функций). Отсюда следует (см. § 1.6,
п. 5), что функции h, h' абсолютно непрерывны. В силу (9) h"
эквивалентна абсолютно непрерывной функции, а потому урав-
уравнение выполняется в классическом смысле. Можно считать, что h
в (9) вещественно.
198

Комбинируя замены h*—*- — h, x*—*- — x, можно добиться, что-
чтобы было h @) Зг 0, К @) :=s 0. Тогда из (9) легко выводится, что (при
функция h возрастает на R+. Это невозможно при Ае
Оператор С в F) реализуем теперь как оператор C = Cs-
Теорема 2. Спектр оператора С состоит из простых собствен-
собственных значений "Кр — 1р + 1, реZ+. Соответствующие собственные
функции суть функции Эрмита B.9.1).
О Представление B.9.1) для функций Эрмита показывает, что
с точностью до множителя они совпадают с функциями ир, где
ио(х) = ехр(-х*/2), up = (c+?u0, peZ+. A0)
Очевидно сио = О. Тогда из G) следует, что Сио = ио. Далее вос-
воспользуемся индукцией. Из G) следует
= с+ (С + /) с> и0
Bр + 2) с+
Остается сослаться на полноту системы функций Эрмита ф
В § 12.5, п.2, мы увидим, что спектральный анализ оператора
С естественно вкладывается в общую теорию перестановочных
соотношений вида (8). В рамках этой теории ортогональность и
полнота системы функций Эрмита оказываются следствием спект-
спектральной теоремы.
Рассмотрим задачу Коши B.3), B.5) для уравнения Шредингера
с оператором С. Из описания спектрального разложения опера-
оператора С следует, что решение u(t)=exp( — itC)u(O) периодично:
u(t-\-2n) = u(t). Эта периодичность согласуется со смыслом опе-
оператора С/2 как оператора энергии линейного квантового осцил-
осциллятора.
Оператор F) переводится оператором Ф в себя. Таким образом,
С = Ф*СФ, т. е. С^ф. Так как спектр С простой, то на осно-
основании теоремы 7.5.5 Ф есть функция от С. Из C.6) прямо сле-
следует, что
Нам остается привести доказательство формул C.6). Будем
исходить из перестановочного соотношения Фс+u = — ic+Фи, «eS,
которое проверяется непосредственно, а также из равенства Фи0 =
= и0 (см. C.7)). Тогда для функций A0) по индукции имеем
Фиръ = Фс+ир = — 1С+Фир = (- 0р+1с+«р «= (-
что и требовалось.
199

ГЛАВА9
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 1. Существенный спектр. Компактные возмущения
1. В спектре а самосопряженного оператора мы выделили
точечный спектр ар и непрерывный спектр ас. В некоторых воп-
вопросах теории возмущений удобнее несколько иное разделение
спектра на подмножества.
Пусть а"(Л) —множество бееконечнократных собственных зна-
значений оператора А. Существенный спектра ое(А) самосопря-
самосопряженного оператора А определяется как множество
Напомним (см. теорему 6.1.3), что всякая неизолированная точ-
точка спектра А входит в ос(А). Отсюда сразу следует, что мно-
множество ае(А) замкнуто. В каждом из составляющих интервалов
открытого множества К\оге(Л) спектр А может состоять лишь
из изолированных собственных значений конечной кратности. Эти
собственные значения могут накапливаться разве лишь к концам
составляющих интервалов. Спектр в И\ве(А) называют дискрет-
дискретным спектром od(A) оператора А:
о„(А) = о(А) П [К\<МЛ)] = а(Л)\ае(Л).
Разложение от (Л) на ое(А) и аа(А) дизъюнктно (в отличие от
разложения на ас и ар). Ясно, что ad с ар, но не всегда ad — ар.
Если (те(Л) = ф, то говорят, что спектр А дискретен. Если Ас
с R — интервал и ог(,(Л)ПА = Ф. то говорят, что спектр А в А
дискретен. Характеристику существенного спектра дает следую-
следующая лемма.
Лемма 1. Точка IeR входит в ае{А) в том и только том
случае, когда для любого е>0
). (I)
О Пусть A) не выполнено: при некотором ео;>0
dim ЕА(До)Я<оо (А0 = (К-е0, К + е0)). B)
ния.
•' Употребительны и другие термины, предельный спектр, спектр сгуще-

Это равносильно тому (см. теорему 6.1.3), что Я, — изолированное
конечнократное собственное значение или регулярная точка опе-
оператора А ф
2. Приведем теперь критерий принадлежности к ае(А), выра-
выраженный прямо в терминах оператора А (а не в терминах спект-
спектральной меры ЕА).
Последовательность илеЯ, п = 1, 2, ..., называется сингу-
сингулярной для самосопряженного оператора А в точке К, если вы-
выполнены следующие условия: а) Ы|ы„(>0; б) и„^0; в) и„
г) (Л-Х)ы„->0.
Теорема 2. Условие %^ае(А) равносильно существованию син-
сингулярной последовательности для оператора А в точке К.
О Пусть К^ае(А) и пусть е„>0, е„-»-0; положим Д„ =
= (% — е„, >. + е„). Для Д = Д„ выполнено A). Выберем ортонор-
мированную последовательность и„ е ЕА (А„) Н. Эта последова-
последовательность сингулярна: условия а) — в) очевидно выполнены, а г}>
следует из оценки
Обратно, пусть последовательность \ип\ сингулярна для А а
точке 'к. Если ^ia,(А), то при некотором е0>0 выполнено B).
Положим
Тогда (A — \)vn — (A — tyun-+0 и vn±EA\X}H. Поскольку
(точка К регулярна для части А, действующей в Н © ЕА \к\ Н+
'то |(Л—Я)ч„|^со1у„|, со>О, а следовательно, vn-+0. Далее,
конечномерный проектор ЕА{Ц компактен, а потому из «„-^ft
вытекает ЕА {Я,}и„-»-0. Теперь из C) получаем и„->-0, что про-
противоречит условию inf|uR|>0 •
Теорема 2 позволяет установить, что существенный спектр
устойчив по отношению к компактным возмущениям.
Теорема 3. Пусть F = K*eSco и А = А*. Тогда оператор
B—A + V, D(B) = D(A), самосопряжен и ае(В) = ае(А).
О Самосопряженность В сразу следует из теоремы 3.3.4. Пусть
"к<^ае(А) и последовательность {ип\ сингулярна для А в точке К.
Из и„-^0 и FeSoo следует Уи„-»-0, а потому
Таким образом, \ип) сингулярна для В в точке Хн ое(А)аае(В)^
Из равенства А = В-\-(— V) теперь получаем, что ae(B)czae(A) •
3. Теоремы 2 и 3 носят названия критерия Вейля и теоремы
Вейля. Теорема Вейля и ее обобщения имеют многочисленные
применения к исследованию спектра дифференциальных операто-
операторов. Из возможных обобщений теоремы 3 мы приведем здесь одно,
наиболее простое и полезное.

Теорема 4. Пусть Л, В — самосопряженные операторы. Пред*
положим, что для некоторой точки *> ?ер(Л)ПрE) разность
резольвент компактна:
тЩВ-иу1-(А-иу*&$«,. D)
Тогда ае(В) = ае(А).
О Достаточно показать, что ае(А) сг ае(В). Пусть Хеае(А)
и [ип\ —сингулярная последовательность для А в точке К. Положим
ш„ = (Я-?/)-1(Л-?К E)
и покажем, что {о)„} сингулярна для В в точке К. Очевидно
<о„еО(В). Из E) следует, что
С учетом соотношений (А — к)ип-*-0, Тип->0 отсюда получаем
?)Тип-+0. F)
Из F) непосредственно вытекает, что а)„-^0, inf||o)n|>0. Остается
проверить для {«„} условие г). Из E), F) имеем
Поясним, почему утверждение теоремы 4 - содержит в себе
утверждение теоремы 3. Будем исходить из следующей леммы,
полезной в целом ряде вопросов.
Лемма 5. Пусть операторы М1г М2 имеют общую регулярную
точку: Z, е р (М2) П р (Мг). " пусть D(M1) = D(M2). Положим V =»
«=» Мг — Mv Тогда резольвенты удовлетворяют равенствам
Гг (М2) - Г; (Мг) = - Г; (Мг) VT^ (Af,), G)
Г; (А1.) - Tt (Мг) = - ГЕ (М2) УГЕ (Мг). (8)
О В применении к любому АеЯ правая часть G) есть
х) Л +
Соотношение (8) получается из G) переменой ролей Мх и Мг ф
Если оператор V имеет компактное расширение, то из пред-
представления G) (и из (8)) вытекает, что разность резольвент ком-
компактна. Это и показывает, что теорема 4 общее теоремы 3. Суще-
Существенно, что в условиях теоремы 4 отнюдь не обязательно сов-
*• Нетрудно проверить, что тогда условие D) выполнено для любой точки
;ер(В)Лр(Л)
202

падение D (В) с D (А). Вместе с тем из леммы 5 легко получается,
что при условии непрерывности А и В теоремы 3 и 4 равносильны.
Точность теоремы 3 в этом случае иллюстрируется также следую-
следующей теоремой Неймана, которую мы лишь сформулируем *>.
Теорема 6. Пусть Л = Л*еВ(Я), B = B*eB(ff) u ае(В) =
= ае (А). Тогда существует такой унитарный оператор U, что
B-U*AU<=SX.
4. В заключение остановимся на вопросе несколько иного
характера.
Теорема 7. Пусть Л = Л*€еВ(#), В = В*еВ(Я) и V = B —
— Левое. Пусть промежуток Д = [а, р*] содержит а(А)[}а(В)
и пусть функция ф непрерывна на А. Тогда
)<=8ос. (9)
О Отметим прежде всего, что
l A0)
(Тождество в A0) легко проверяется по индукции.) Из A0) сразу
следует справедливость (9) для полиномов. В общем случае по
е > Q найдем такой полином ф8, что шах I ф (t) — ф8 (t) | ^ е. Тогда
в силу F.1.14)
| [Ф (В) - Ф (А)] - [Ф, (В) - Фе (А)] 1 <
Таким образом, к ф (В) — ф (Л) по норме сходятся компактные
операторы. Остается сослаться на § 2.6, п. 1 #
§ 2. Самосопряженные и нормальные компактные операторы
1. Охарактеризуем спектр операторов V^V^eSoo и выяс-
выясним, какой вид принимает для них спектральная теорема.
Записывая оператор V — V* eS» в виде У = 0 + К, применим
теорему 1.3 при Л = 0, B = V. Так как сте@) = {0} (точка А, = 0
есть собственное значение бесконечной кратности), то и ae(V) =
= {0}. Далее, поскольку V непрерывен, его спектр a(V) есть
ограниченное подмножество вещественной прямой. Мы убедимся,
что эти свойства спектра выделяют компактные операторы в мно-
множестве всех самосопряженных операторов.
Коль скоро ae(V) = {0}, спектр V в R\{0} состоит из изоли-
изолированных собственных значений конечной кратности, сходящихся
разве лишь к точке К = 0. Обозначим положительные (отрицатель-
(отрицательные) собственные значения V через Я? (через — А*) и зануме-
занумеруем A,jf в порядке убывания. Если последовательность %t бес-
*' Доказательство теоремы 6 можно найти, например, в книге [1].
203

конечна, то А*-»- + 0 и то же верно для kk. Соответствующие
проекторы Ev{±Kr} =Pf конечномерны. Проектор P0 = ?V{0}
может быть нулевым или конечномерным, или бесконечномерным.
Однако если обе последовательности А.? конечны, то dim Р0Н = со
(иначе было бы ae(V) = 0); это случай, когда V конечномерный.
Соотношение ?V(R) = / записывается в виде
а спектральное разложение F.1.1) оператора V принимает вид
У = -ЛлЪРп+1?лЧЯ. A)
Введем в рассмотрение конечномерные операторы
+ 1ц >n-№t B)
и заметим, что для любого Лей
Отсюда следует, что
lV-Vn\\-+0, C)
а потому из У„ е К с Soo вытекает V е S».
Подведем итог сказанному в виде теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы самосопряженный оператор V был
компактным, необходимо и достаточно, чтобы спектр o(V) был
ограниченным множеством и ae(V) = {0}. Спектральное разложе-
разложение оператора V сводится к разложению в ряд A).
2. Отметим одно полезное следствие из теоремы 1.7.
Теорема 2. Пусть V — V* i= S,», функция ф непрерывна на про-
промежутке [mv, Mv] и ф@) = 0. Тогда 9(F)eSoo.
О Достаточно применить теорему 1.7 при А=0, B — V. Тогда
Л) = О и q>0O = <p(B)eS» •
Теорема 2 столь же просто может быть выведена и из тео-
теоремы 1.
3. Из спектрального разложения A) нетрудно вывести спек-
спектральное разложение для нормального оператора Т <= S<», не
обращаясь к общей теории нормальных операторов. Пусть V =
= Т*Т и V =*]ZkSkPi, — спектральное разложение положительного
компактного оператора V (теперь в A) А* =0; %? мы обозначили
через si; Pt = Р*). Из Т ^ Т* следует, что каждое из подпро-
подпространств Gk = PkH приводит Т. Действительно, если х е G*, то
VT T*TT TV Tl и Tx<=Gk; аналогично и T*x^Gk.
204

Пусть теперь Tk — часть Т в Gk: T = 2^®Tb. Если х, y<=Gk>
то (Ткх, Tky) = (T*Tx, у) = 4(х, у), т. е. оператор s^T*-уни-
s^T*-унитарный в Gk- Поскольку dimGft<oo, то Тк имеет разложение
Tk = s* 2/ OkiPki, где | ctw | = 1, проекторы Ры попарно ортогональны
и конечномерны, сумма по ' конечна. Нумеруя числа skOki
в пррядке невозрастания модуля и обозначая их через щ, а соот-
соответствующие им проекторы Pki — через Qn, получим спектраль-
спектральное разложение для Т (и одновременно для Т*) в виде
Г = 2» №.<?», 71* = S» P»Q- D)
Мы доказали следующий результат.
Теорема 3. Пусть Т е= Soo, Г ^ Т*. Тогда для Т и Т* спра-
справедливы представления D), где проекторы Qn попарно ортогональны
и rangQn<Ссю. Последовательность чисел цлеС ограничена и,
если она бесконечна, |х„-»-0. *
Теорема 3 обратима. Именно, если Т аадать формулой D)
с описанными в теореме свойствами ц„, Qn, то Т е Soo и Г нор-
нормален. Действительно, тогда Т = Vx + гТ2, где Vi = V* =
= Sn(Renn)Qn, У2 = ^4 = 1;яAт(хп)р„, и в силу теоремы ,1
Кх, V2 e Soo, а потому Г е Soo. Свойство Т ^ Т* следует из D) непо-
непосредственно.
4. Вернемся к самосопряженным компактным операторам.
Запишем A) в несколько ином виде. Пусть ±кг (V) — собствен-
собственные значения оператора V = V* е S», которые теперь занумеро-
занумерованы так: числа Хр (V) не возрастают и повторяются столько
раз, какова кратность собственного значения. В каждом из под-
подпространств Сг = Pk~H выберем какой-либо ортонормированный
базис (базис из собственных элементов). Элементы этих базисов
занумеруем так, чтобы было ]/(o^" = ±^(F)w±. Тогда A) пере-
перепишется в виде суммы одномерных операторов:
Для величин ^(V) справедлив следующий минимаксимальный
принцип, который полезен во многих отношениях.
Теорема 4. Пусть V = V* gS» и пусть ±%^ (V) — собствен-
собственные значения V, занумерованные с учетом их кратностей. Если
L—какое-либо подпространство в Н, то
max ±/гУх'<) (DefL<n-l). F)
*ez.\{0} v*» х)
О Достаточно рассмотреть числа h?(V), ибо IK7(V) = %^(—V).
Обозначим Fn— У"{и?}- Пусть для некоторого L найдется ео>О,
такое, что (Vx, х)^(%% — е0)(х, х), д;е1. Если при этом DefL =
=5 Aim(H QL)<,n— 1. то существует «с^О, AreLfl^n- Но тогда
205

и
(Vx, х) = 21п1К\аг\г2*КЕя1\аг\*=>К(х, х),
что противоречит предположению. Таким образом,
max (Vx, x)/(x, x) (DefL<п- 1). G)
?\{0>
Остается заметить, что неравенство G) переходит в равенство
при L-HQF^ •
§ 3. Конечномерные возмущения и расширения
1. В этом параграфе рассмотрим случай, когда А = А*, В = В*
и разность резольвент в некоторой точке ? е р (А) П р (В) конеч-
конечномерна:
Г = ГЕ(В)-ГЕ(Л)«=К, rang7-=dim/?(T) = r<oo. A)
Нетрудно показать, что A) выполняется одновременно для всех
?ер(Л)ПрE)- Напомним еще (см. теорему 2.6.4), что при усло-
условии A)
dim [HQN (Т)] = dim R (Т*) = dim R (Т) = г. B)
Отметим два типичных случая, когда выполнено A).
Лемма 1. Если А = А*, V = V*, rangF = r<oo и В = A + V,
то A) выполнено.
О Из A.7) сразу следует, что rang T ^ rang V = г. Однако
фактически rangT = r, так как «крайние» множители в правой
части A.7) обратимы и не могут понизить ранг произведения #
Лемма 2. Пусть Ао —замкнутый симметричный оператор
с конечными равными индексами дефекта: л_ (Ло) = п+ (Ао) = л< со.
Пусть Л = Л*:эЛ0, B = B*zzA0. Тогда для оператора Т, опре-
определенного в A), rang Г ^ п.
О В условиях леммы dim [Н © R (Ао — II)] = п. Если h e
<=R(A0-U)ux = Tz(A)h, то й = (Л-?)* = (Л0-?)* = (В-С)*,
* = Г;(В)Л и 77t = 0. Поэтому rangT^n •
Лемма 1 соответствует случаю конечномерных возмущений,
лемма 2 —случаю конечномерных расширений. Разумеется, A)
может выполняться и без того, чтобы удовлетворялись условия
одной из этих лемм.
2. Начнем с исследования дискретного спектра. Пусть Д =
= (а, Р) — ограниченный интервал, 2у = <х + Р, 2р = р —а. Обо-
Обозначим nA(b) = dimEA(&)H.
Теорема 3. Пусть для А = А*, В = В* выполнено A). Если
спектр А в Д дискретен, то таков же спектр В в Д, причем
C)
208

О Достаточно доказать правое неравенство C). Пусть пв (А) >
¦>пА(\) + г. Тогда найдется дг^О, x<=EB(A)HuN(T), x±EA(A)H.
Положим y = Ti(B)x и заметим, что y = Ti(A)x + Tx = Yz(A)x,
а потому Ву = Ау. Далее, y = rt(B)EB(A)x = EB(A)rt(B)xe~
Е(А)Н и аналогично у^ЕА(к\А)Н. Отсюда следует, что
||/Р, D)
\уГ. E)
Неравенства D), E) противоречат тому, что Ву = Ау 9
Сделаем одно замечание о случае г = 1. Предположим, что
спектр Л в А состоит из простых собственных значений. Тогда
спектры А и В в А обладают следующим свойством. Пусть X',
X" — какие-либо лва соседние собственные значения оператора А.
Тогда в интервале 8 = (%', X") не более одного (простого), а в про-
промежутке [X', Xя] — не менее одного собственного значения опера-
оператора В. Действительно, если яв(8Kг2, то ллFKэ1, что про-
противоречит условию Яд(б) = 0. Если же в [%', X"] нет спектра В,
то и для некоторого интервала бгэ[Я', Xя] также пвф) = 0, что
невозможно при пА (б) 5= 2. Отметим, однако, что в описанной
ситуации одно из чисел А/, К" может оказаться двукратным соб-
собственным значением В.
3. Перейдем к исследованию индивидуальных собственных зна-
значений, не исключая возможности их одновременной принадлеж-
принадлежности непрерывному спектру. Для точки IgR будем пользо-
пользоваться обозначениями пА (Я) = dim N (А — XI) (и аналогично для
(Ц) и Fx = N(A-XI)f\N(B-KI).
Теорема 4. Пусть для А = А*, В = В* выполнено A). Тогда
dim[#(В-XI) 0Fx]<r, F)
G)
О Пусть, например, dim[N(A — KI) QF^]>r. В соответ-
соответствии с B) найдется элемент х ^ 0, х е N (А — XI) f| W (Г), х J_ FK.
Тогда из Ах = Хх следует, что (X — ?>)-1x = rz(A)x = Tz(B)x и
Вх — Хх. Таким образом, х е /v Полученное противоречие дока-
доказывает F). Далее, из F) следует, что пв (X) = dim [W (В — XI) Q
© Fx] + dim Fx «S г + dim F^ ^ r + nA (X). Левое неравенство G)
получается из правого заменой ролей А и В ф
Соотношения F) означают, что собственные подпространства
для А и В могут отличаться на подпространство размерности не
выше г. Левое неравенство G) содержательно лишь при лА (X) > г.
4. Из G) следует, что а^{В) = &?(А). Покажем, что сохра-
сохраняется и непрерывный спектр.
Теорема 5. В условиях теоремы 4 ас(В) = ас(А).
О Будем исходить из того, что непрерывный спектр состоит
из неизолированных точек спектра (см. теорему 6.1.3). Пусть
807

ХШос(А). Тогда найдется е>0, таксе, что для &± = (к + ),
Д_ fat (Я — е, %) выполнено лА (Д±) = 0. Из C) находим, что пв (Д±) «S
<;><оо, а потому Яё§стЛ-В) •
Отметим, что в условиях теоремы 1.4 сохраняется лишь ое =
= 0<oU<Tc- В то же время в условиях теорем 4, 5 сохраняются
о^3 и ас порознь. Аналогичное усиление теоремы 1.4 невозможно,
что следует, например, из теоремы 2.1.
5. Обратимся к конечномерным расширениям. Применение
теорем 3 — 5 приводит к очевидным следствиям, которые мы не
станем явно формулировать. Укажем, однако, полезные дополне-
дополнения к этим следствиям.
Начнем с одного общего понятия. Интервал Д = (у— р, Y + p)
называется люком симметричного оператора Ло, если выполнено
неравенство
JD)||| D(A) (8)
Люк состоит из точек регулярного типа. Действительно, если
ЯеА, то \К — y|<P и
\(А0-Х)х^\{А0-у)х\-\Х-у\-\х\^{9-\%-у\)\х\.
Ясно также, что всякая вещественная точка регулярного типа
симметричного оператора содержится в некотором его люке. Если
симметричный оператор имеет люк, то его индексы дефекта равны:
(Л) (Л)
@) +@)
Теорема 6. Пусть Ао удовлетворяет условиям леммы 2 и А —
люк для Ао. Если А=А*^>А0, то лд(Д)^я. В частности, для
ЯеА яд (X) «? п.
О В соответствии с D.4.9)
dim[D(A)/D(A0)] = n. (9)
Поэтому если пА (Л) > п, то найдется у Ф 0, у е D (Ло) П ЕА (Д) Н.
Для у^ЕА(А)Н выполнено (ср. с D)) l(A — y)yl<.plyl, что
при y^D(A0) противоречит (8) •
Аналогичный результат справедлив для полуограниченных
операторов
(Л х)^тА.(х, х), x^D(A0).
Теорема 7. Пусть Ао, А удовлетворяют условиям леммы 2 и
пусть Ао полуограничен снизу, тА, — его точная нижняя граница.
Тогда А полуограничен снизу и на полуоси (— сю, тА>) спектр А
¦состоит не более чем из п (с учетом кратностей) собственных
значений.
О Мы должны показать, что dim?'^(—со, тА,)Н^п. В про-
противном случае в силу (9) нашелся бы элемент уф 0, уе ЕА(—оо,
тА,) Н П D (Ло). Для него выполнялось бы
y, y)<mA,(y, у),
что противоречит определению нижней границы тА, ф
20»

Теорема 8. Пусть Ао, А удовлетворяют условиям леммы 2 и
пусть интервал Дер(Ло). Тогда спектр А в А дискретен и его
кратность не выше п.
О Любой промежуток [a', Р'] с: А можно покрыть конечным
числом люков оператора Ао. Затем к каждому люку следует при-
применить теорему 6 ф
Остановимся подробнее на случае п—\. Зафиксируем веще-
вещественное >,Ер (Ао) и заметим, что
dimN(Ai-M) = dAt(X)='n='l. A0)
Если А = А*^)А0 и %^ad(A), то из AczA* и из A0) следует,
что N (Ао— XI)czD(A). Вместе с (9) это означает, что
D(A) = D(A0) + N(At-XI). A1)
Поскольку расширение А однозначно определяется множеством
D(A), из A1) следует, что расширение А = А*^>А0 со свойством
lea,,(А) может быть только одно. Последнее замечание позво-
позволяет уточнить сказанное в Конце п. 2 применительно к случаю
п = 1. Вместе с теоремой 8 это непосредственно приводит к сле-
следующему результату.
Теорема 9. Пусть Ао, А, В удовлетворяют условиям леммы 2
при п = \ и пусть интервал Дер (Ао). Тогда спектры опера-
операторов А и В в А —дискретные, простые и перемежающиеся*^.
§ 4. Непрерывные возмущения
На протяжении этого параграфа предполагается, что
, D(B) = D(A).
1. Количественной характеристикой непрерывного возмущения
V обычно служит его норма. Более точную информацию можно
получить, если известен промежуток^, v2]^>o(V). Наименьший
такой промежуток есть [mv, My], но если точные границы
не известны, можно использовать для них оценки i^s^/Hy,
Vi ^ My.
Если А = (a, P) — конечный интервал, то будем обозначать
Исходным является следующее утверждение.
Лемма 1. Если [vv v2]z^a(V), то для любого конечного
интервала (а, Р)
*лд(а, Р). A)
"• Перемежаемость означает, что спектры не пересекаются и между двумя
соседними точками одного спектра лежит ровно одна точка другого.
14 Заказ 649 209

О Рассмотрим прежде всего ведущий частный случай, когда
— vi =¦ у2 — v- Из а(V) cz [— v, v] следует, что || V1=^v. Пусть
A) не выполнено. Тогда найдется хфО, х&Ёа(сс, р*)#,
х _]_ Ев (а — v, $ + v)H. Оценки, аналогичные C.4), C.5), дают
(при 2у = а + р, 2р = р—а): \(А — у)х\<р\х\, ЦВ — у)х\^
^(p + o)l4 Тогда (p + v)\x\<\(B-<t)x\<?\(A-t)x\+\Vx\<
<(р + и)|д;|, и полученное противоречие доказывает требуемое.
В общем случае следует представить V в виде V — V -f- vol,
где 2у0 = v1 + vi, V = V — у0/. Тогда а (V) cz [— v, v], где 2v =
= u2 — Uj. На основании уже разобранного случая получаем для
B=A + V, что пё(а — v, $ + v)^nA(a, P). Затем остается
произвести «сдвиг» в спектре на величину v0, что соответствует
добавлению оператора vol ф
Наглядная интерпретация A) при —i*, = уг = || V | состоит
в том, что спектр, находившийся в А, не может «исчезнуть» при
возмущении, но может лишь «сдвинуться» не более чем на fVJ
влево и вправо. Неравенство в A) следует при этом понимать
так, что в (а — | V ||, Р + || V |) может попасть спектр, «сдвинутый»
возмущением не только из А. Другой важный частный случай
неравенства A) относится к знакоопределенным возмущениям.
Например, при V < 0 «сдвиг спектра» возможен лишь влево:
(а, р) (V<0). B)
2. Мы применим теперь лемму 1 к возмущениям существенного
и дискретного спектров.
Теорема 2. Пусть в условиях леммы 1 Я,, е ае (А). Тогда
О В силу леммы 1.1 яд(Яо —е, Хо-|-е) = оо при любом е>0.
Тогда из A) следует, что nB(\> + vi — е. ^о + у2 + е) = °°- Послед-
Последнее невозможно, если спектр В в [Х„ -|- vlt ^ + v2] состоит из конеч-
конечного числа конечнократных изолированных собственных значений.
Поэтому либо внутри, либо на концах промежутка [Xq + vlt Xo -f- v2]
найдется хотя бы одна точка из oe(V) ф
При —u1 = y2 = ||V|| C) означает, что точка Хо(=стеA/) «не
исчезает, но сдвигается» не более чем на || V J. При ух = 0, vt =
== fl V И этот сдвиг возможен лишь вправо.
Перейдем к рассмотрению дискретного спектра. В A) неравен-
неравенство можно заменить равенством, если интервал Д отделен от
остального спектра А достаточно большим расстоянием. Более
точно, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть в условиях леммы 1
яд(а. р) = ял(а-2у, р + 2и) = г<оо, D)
где 26 = v2 — vv Тогда
210

О Из A) видно, что нужно лишь исключить возможность
( + ! Р + «а)>л Пусть последнее неравенство выполнено.
Заметим, что а(— К)<=[—v2, —vt] и применим A) к А = В +
¦+¦(—V). Тогда nA(a-{-v1 — v2, Р + «а — t>i)>/\ что противоречит
D) •
Отметим частные случаи >в E). Если — г^ = ц2 = Ц у J, то D)
означает, что А отстоит от остального спектра А ие менее
чем на 2 Ц V Ц. Если же ^ = 0, уа = ||1/||, то достаточно расстоя-
расстояния JVJ.
Выделим очевидное следствие из теоремы 3.
Следствие 4. Пусть % — изолированное собственное значение
для А кратности г<об и пусть d — расстояние от % до осталь-
остального спектра А. Если d>v2 — v1, то спектр В в промежутке
6 = [?v + Pi, A. + wa] состоит из изолированных собственных значений,
сумма кратностей которых равна г. В частности, если —vl —
«ю d>2\V\ и ff=[b-|H \+\V\\, если о1 = 0,
|Щ то d>\\V\ ul = [K % + \V\].
3. Следствие 4 касается поведения изолированного собствен-
собственного значения при возмущении. В этой связи удобно включить
в возмущение параметр. Пусть Вв = Л + еУ, Ime = 0, и пусть
К — простое (г = 1) изолированное собственное значение А. Если
2|K|«f, то для любого ее[-1, + 1] в [Л. — |VК, Я.-+-|V|l
имеется ровно одно простое собственное значение %(г) оператора
fi8, причем Л.(е) —»-Я. при 8-*-0. Если V>0, то К(г)^К при
е>0 и Я.(е)^Х, при е<0. Из представления Be, = Bei + (e2 —
— ех) V и следствия 4 вытекает, что | % (е2) — % (гг) | < | е2 —
— eilll^S ПРИ ек еае[—1> + !]• Фактически, однако, о глад-
гладкости функции к (г) можно сказать существенно больше. Именно,
Я.(е) при |в|<1 зависит от е аналитически. Аналитически зави-
зависит от е и проектор ?вЕЩе)} на собственное подпространство.
Изучение соответствующих разложений в ряды по е (а такие
разложения возможны н при 1 < г < оо), составляет предмет
аналитической теории возмущений. Ее изложение не входит в план
настоящей книги*'.
4. Иногда полезно комбинировать соображения о непрерывных
и компактных возмущениях. В качестве примера докажем сле-
следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть А = А*, V = V*<=S<Xn V>0 и B = A + V.
Пусть спектр А в А = (а, ' р) дискретен и не накапливается
(изнутри) к точке Я.==р. Тогда таков же спектр В в А.
О Дискретность спектра В в А обеспечивается теоремой 1.3.
При некотором Oj, a==?a1<p, интервал (ax, Р)ср(Л). Пусть
]/ = !/„ + Vn, где Vn определен в B.2), Vn = V-Vn. Оператор
*' С основами аналитической теории возмущений можно познакомиться,
например, по книгам [9, 16].
14* 2Ц

Vn конечномерный; в силу B.3) |^„|-»-0. Из B.2) видно также,
что Vn>0, Vn>0 при V>0. Выберем п так, чтобы было| V„J^
sga<;P — av и положим ё = А +V„. Тогда (aj+a, p")c=p(B).
Действительно, если Лв(а.г + а, р)>0, то, применяя B) к пред-
представлению А = В+(—Р'п), получаем пА{аг-\-а — \УпЬ Р)>0,
что невозможно. Для оператора В = В -\-Vn из теоремы 3.3теперь
следует, что пв (с^ + а, §) ^ rang Vn < оо, а следовательно, при
некотором а2, аг < с^ < р, будет (а2, р) с р (В) ф

ГЛАВА 10
ПОЛУОГРАНИЧЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФОРМЫ
§ 1. Замкнутые положительно определенные формы
Мы уже видели (см. теорему 2.4 6), что задание непрерывного
оператора равносильно заданию соответствующего билинейного
функционала (формы). Более того, достаточно задать квадратич-
квадратичную форму оператора (теорема 2.4.7). Для самосопряженных
операторов особенно удобно характеризовать их свойства в тер-
терминах соответствующих квадратичных форм. Напомним в этой
связи, например, теорему 2.7.2. Для неограниченных операторов
такой подход применим в полуограниченном случае. Соответ-
Соответствующая форма подчас описывается проще, нежели связанный
с ней оператор. Более того, в приложениях часто именно форма
оказывается первичным объектом, а соответствующий оператор
уже вводится и изучается с ее помощью. Так бывает, например,
в случаях, когда дифференциальное уравнение задачи получается
из подходящего вариационного принципа. В абстрактной теории
также удобна точка зрения, при которой первичным понятием
является билинейная полуограниченная форма (функционал).
В этой главе мы будем изучать полуограниченные операторы
именно таким методом. Основным здесь является положительно
определенный случай, с которого мы и начинаем изложение.
1. Пусть D [а] — плотное в Н линейное множество и пусть
а[х, у] — билинейная форма, определенная для х, y^D[a], причем
а[х, х]^т(х, х). A)
Условие A) выражает полуограниченность снизу формы а. Наи-
Наибольшая возможная в A) постоянная т — та называется точной
нижней границей формы а:
та = ЫЦа[х, х]/(х, х)} (xezD[a], хфЩ. B)
В настоящем параграфе будем считать, что т„>0, т. е. форма
а — положительно определенная. В этом случае форма а порождает
на D[a] «новое» скалярное произведение. Таким образом, D[a]
превращается в предгильбертово пространство со скалярным
произведением а[х, у] и а-нормой |лс|а = (а[*, х]I12, для которой
выполнено неравенство
\а. C)
213

Если D [а] полно относительно а-нормы (т. е. D [а] — гильбертово),
то форма а называется замкнутой.
Пусть Л—самосопряженный оператор в Н. Будем говорить,
что форма а и оператор А отвечают друг другу, если выполнены
условия
D(A)<=D[a], D)
(Ах, у)=а[х, у], xe=D(A), y<=D[a]. E)
Из E) вытекает положительная определенность А:
(Ах, х)^та(х, х), x<=D(A). F)
Неравенство F) означает, что для точной нижней границы тА
оператора А выполнено тА^та. Далее, D(A) а-плотно в D[a].
Действительно, если а[х, уо] = О для всех x^D(A), то из E)
следует, что y0J_R(A). Так как А=А* и тА>0, то R(A) = H
и */0 = 0.
Предельным переходом в F) с а-плотного в D[a] множества
D(A) получаем, что в A) допустимо т = тА. Таким образом,
тА=та, а потому спектр А лежит на полуоси [та, оо), причем
та<=о(А) (см. F.1.11)).
2. Замкнутые положительно определенные формы и самосопря-
самосопряженные положительно определенные операторы находятся во вза-
взаимно-однозначном соответствии.
Теорема 1. Каждому самосопряженному положительно опреде-
определенному оператору А отвечает замкнутая форма а и притом
только одна. Эта форма определяется соотношениями
а[х, у\ = (А^х, А^у), х, y<=D[a]=D(AW). G)
О Пусть А=А* и тд>0. Рассмотрим оператор /41/2 =
= ^ Х1/2с1Еа (^) и соответствующую форму G). Легко понять, что
замкнутость формы а есть прямое следствие замкнутости само-
самосопряженного оператора А1/2. Ясно также, что выполнены усло-
условия D), E).
Пусть теперь аг — замкнутая форма, для которой также выпол-
выполнены D), E). Из E) и G) следует, что для л:, y^D(A) а[х, у] =*
= at [х, у]. Поскольку D (А) а-плотно в D [а] и агплотно в D [aj,
гильбертовы пространства D [а] и D [aj совпадают •
Теорема 2. Каждой замкнутой положительно определенной
форме отвечает самосопряженный положительно определенный опе-
оператор и притом только один.
О Для /ig// рассмотрим в D[a] функционал lh(y) — (h, у).
В силу C) \1н{у)\^Щ-1у1<^т^1/2Щ- \у\а, т. е. lh непрерывен
в D[a] и \1н\а*?.т71/2\п1 В силу теоремы Рисса (теорема 2.4.1)
найдется единственный элемент х е D [а], такой, что 1н(у) = а [х, у];
при этом |*|а = |/А|а. Элемент х,линейно зависит от h. Полагая
21*

x = Bh, получаем, что
a[Bh, y]=>(h, у), ye-D[a], (8)
причем В непрерывно отображает Я в D[a\:
ll2thl (9)
Из C) и (9) сразу же следует, что В еВ(Я), Полагая в (8) у =
= Bh, видим, что (h, Bh)=a[Bh, 5/i]S=0, т. е. В>0, а следо-
следовательно, В=В*. Если в (8) B/i = 0, то (h, у) —0 и, поскольку
D[a] плотно в Я, ft = 0. Таким образом, В имеет обратный.
Оператор .4= В самосопряжен вместе с S. При этом D(A) —
— R(B)czD[a], т. е. D) выполнено. Полагая в (8) п= Ах, х^.
eD(^), преобразуем (8) в E). Таким образом, А отвечает форме а.
Пусть At также отвечает форме а и пусть y^D(At). Тогда
(х, А&) = Ф. у] = (А^х, АЧ*у), xs=D{AW)=D[a].
Написанное равенство означает, что А1/2у ^D((A]f2)*)=D(Ay2)
и (Л1/2)* Al/2y = Aty, т. е. Ау = Агу и Axcz А. Точно так "же
Ас А1г а потому Ах — А ф
Замечание 3. Пусть оператор At удовлетворяет условиям
D), E), но не предполагается, что Л1 = Л*. Тогда предыдущее
рассуждение приводит к включению А1с А, но равенство Аг — А
имеет место лишь при ^ = /1*.
3.' Равенство G) восстанавливает форму по оператору. При
этом следует иметь в виду, что построение оператора АХ!г требует,
вообще говоря, знания спектральной меры Еа- С другой стороны,
пусть x&D[a] удовлетворяет соотношению
Ф, y] = (h, У), y^D[a]. A0)
В силу (8) это равносильно тому, что х есть решение уравнения
Ax — h. Замена уравнения соотношением A0) удобна, поскольку
А не входит в A0) явно. При этом достаточно проверять A0)
для какого-либо a-плотного в D[a] множества (например, для
y^D(A)). В приложениях к краевым задачам соотношения вида
A0) обычно называют «интегральными тождествами» или «урав-
«уравнениями в вариациях».
Равенство A0) тесно связано с вариационным принципом для
решения уравнения Ax = h.
Теорема 4. Пусть А = А* — попожительно определенный опе-
оператор, а —отвечающая ему замкнутая форма и
ФА(х) = а[х, x]-2Re(*, h), xe=D[a]. A1)
Тогда функционал A1) полуограничен снизу и его минимум pea-
лизуется на единственном элементе х = х0 = A~lh. При этом
Фа.mm- а[х0, xo] = -(A-4i,h). A2)
215

О Положим h = Ax0 и запишем A1) в виде
ФА(х) = а[х, х]-2Яеа[х, х0] = | ж - х012 -1 лс0 |J.
Из этого представления утверждения теоремы следуют непосред-
непосредственно •
Вариационный принцип может быть положен в основу при-
приближенного решения уравнения Ax — h. Пусть DrczD[a], r —
= dim Dr < оо, г = 1, 2, ..., и пусть Dr cr Dr+1 и множество U rDr
плотно BD[a] по а-норме. Если искать минимум функционала A1)
при дополнительном условии x^Dr, то оказывается, что мини-
минимизирующие элементы хг сходятся к хо = A~lh в D[a]. При выб-
выбранном в Dr базисе (не обязательно ортогональном) отыскание
хг сводится к решению линейной алгебраической системы порядка
г. Описанный приближенный метод называется методом Ритца
для функционала A1).
По поведению квадратичной формы можно судить о спектре
А. Мы приведем здесь условие дискретности спектра А. Для
этого введем «оператор вложения» 1а, сопоставляющий любому
элементу хеОЫ его самого, но уже как элемент пространства
И. Неравенство C) означает, что оператор /„ непрерывен. Пред-
Предположим теперь, что 1а компактен, т. е. единичный шар |лг|а=^1
пространства D[a] компактен в Н. Полагая A4ix = h, x = A~1/*h,
видим, что сказанное равносильно компактности оператора А-'?1
в Н. Операторы Л~'/г н А'1 компактны одновременно. Наконец,
компактность Л равносильна (см. теорему 9.2.1) дискретности
спектра А. Тем самым установлена следующая теорема.
Теорема 5. Дискретность спектра положительно определенного
самосопряженного оператора А равносильна компактности соот-
соответствующего оператора вложения 1а пространства D[a] в Н.
4. Пусть теперь форма а не замкнута, т. е. D[a] не полно
относительно а-нормы. Пополняя пространство D [а] и распрост-
распространяя форму а на пополнение D гэ D [а] по непрерывности, можно
попытаться «замкнуть» форму а. Препятствие к этому может
состоять в топологической несогласованности (см. § 1.1, п. 3)
норм в Н и в D [а]. Несогласованность означает наличие после-
последовательностей xaeD[a], таких, что | хп — хт \а -»- 0 при п, т-*-
->оо, f *„[->-0, но Пт|^„|о^=0. Тем самым некоторые отличные
от нуля элементы пополнения D пространства D [а] пришлось бы
отождествить с нулем пространства Я. Это интерпретируется как
«выход из Н-» при пополнении; замыкание формы а в этом слу-
случае невозможно. Напротив, если нормы в Н и в D [а] согласо-
согласованы, то замыкание формы а возможно. В соответствии с рас-'
смотренным в § 3.2, п. 2, примером, в Н = L2 @, 1) форма а0 \х, у] =
*=\lx(i)V?)dt + x{<d)ylp), D[ao] = C[0, 1], не допускает замы-
замыкания. Напротив, форма а^х, у] = \[ х' (t) у' (/) dt+x @) у @),
^[а^ — С1^, 1], допускает замыкание.
216

В заключение установим следующую лемму.
Лемма, 6. Пусть а — положительно определенная форма и G —
какое-либо а-плотное в D [а] множество. Пусть из условий \ хп —
— хт\а->-0, |*я|->-0 следует, что а[ха, «/]->-0 для любого y^G*
Тогда форма а допускает замыкание.
О Последовательность хп сходится в Ь к некоторому элементу
jceD. Условие а[хп, у]-*-О означает, что % ортогонален в D
плотному множеству G. Поэтому х — 0 и | лг» |д ->¦ 0 •
§ 2. Полуограниченные формы
1. Рассмотрим теперь полуограниченную форму а, не предпо-
предполагая, что та>0. Положим
аа[х, у] = а[х, у] + а(х, у) (а> — т0). A)
Положительно определенная форма а^ определяет на D [aa] —D [а]
скалярное произведение и соответствующую норму. При изменении
а такая норма переходит в эквивалентную, что вытекает из нера-
неравенств
Оа[х, х]^ар[х, х]^ф+та)(а + тау1аа[х, х] (р>а).
Отсюда следует, что при а + та>0 все формы а„ одновременно-
замкнуты или не замкнуты. В зависимости от этого считают
замкнутой (или незамкнутой) исходную форму а. Если форма а^
допускает замыкание аа, то замыкание d формы а вводится формулой
а = аа — ае, где « = (•,-) — единичная форма в Н. Легко видеть, что й
не зависит от а. В полуограниченном случае условимся понимать
под а-нормой норму, порожденную какой-либо из форм аа, а +
+ та>0.
Пусть форма а замкнута. По-прежнему будем говорить, что
форма а и оператор А — А* отвечают друг другу, если выполнены
условия A.4), A.5). Если Аа — самосопряженный оператор, отве-
отвечающий форме Оц, то оператор А, отвечающий форме а, можно
задать формулой А=Аа — а/. Легко видеть, что А не зависит
от а~> — та и что соответствие между а и А = А* взаимно-одно-
взаимно-однозначное. Как и прежде, та = тл. Формула A.7) теряет смысл
(при та < 0), но имеет место выражение для а через спектральную
меру ЕА\
а [х, у] = $[я,в| т) td (EA (t) х, у), х, y<=D [a]. B)
Действительно, при №„>0 формула B) прямо следует из A.7),
а в общем случае получается пересчетом по формуле A). Из B)
видно, что соотношения A.7) сохраняют силу и при та — 0.
2. Предположим теперь, что полуограниченная форма а замк-
замкнута и что спектр соответствующего оператора А— А* дискретен
в некотором полуинтервале [та, у), y*S°°- Пусть kn = kn(A) —
217

собственные значения А, %„ е [та, у), занумерованные в порядке
неубывания с учетом их кратностей. Если собственных значений
бесконечно много, т. е. если dimEA[ma, у) = оо, то Хп-^-у — О.
Случай у = со означает, что весь спектр А дискретен.
Очевидно Х1 = та. Поэтому соотношение A.2) дает вариацион-
вариационное определение числа А^. Равенство
а[х, х] — та(х, x) = \[ma<m)(t — ma)d(EA(t)x, x)
показывает, что infitnum в A.2) реализуется на элементах, для
которых ?д{та}* = *> и только на них. Эти элементы в соот-
соответствии с теоремой 6.1.3 образуют собственное подпространство
G1 оператора А, отвечающее собственному числу Х1 = ... = ХГ1,
r1 = dimG1. Рассмотрим далее часть At оператора А, действую-
действующую в Hl = HQGv Оператор At = А* полуограничен и тл1 —
= кГ1+1(А). Поэтому отношение а[х, х]/(х, х), x^D[a], хфО,
при условии х J_ Gx достигает минимума (равного %г +1) на собст-
собственном подпространстве G2, отвечающем собственному числу
%г +1 = ... = Я,-2. Этот процесс может быть продолжен. В резуль-
результате мы приходим к вариационному принципу, позволяющему
последовательно определять собственные числа %п(А) и собствен-
собственные подпространства оператора А.
Теорема 1. Пусть оператор А — А* полуограничен снизу и
спектр А в [та, у) дискретен, а %„ (А) — собственные числа А в
[т-а, У)- Пусть числа цп (а) последовательно определяются условиями
ц„ (а) = inf a [x, x) (x^D [а], х±\/»-1 xk), C)
llcfl=l
а элемент хп реализует infimum в C). Тогда ц„(а)=к„(А) и
хг, ..., хп, ... есть полная в Ед [та, у) Н ортонормированная
система собственных элементов оператора А.
Стоит отметить, что условия ортогональности в C) одновре-
одновременно являются условиями а-ортогональности: а[х, хк] — (х, /4лгй) =
Минимальный принцип, выражаемый теоремой 1, часто исполь-
используют для приближенного нахождения спектра. С общей точки
зрения он имеет, однако, тот недостаток, что для характеристики
Х„ пха требует знания предыдущих собственных значений и элемен-
элементов. Этого недостатка лишен следующий максиминимальный прин-
принцип (который, впрочем, неудобен для построения приближенных1
способов вычисления спектра).
Теорема*' 2. Пусть оператор А удовлетворяет условиям тео-
теоремы 1 и пусть Ф — какое-либо линейное множество в D [а]. Тогда
Х„(А)= max inf a[x, x] (dimD[a]/<D=??«-1). D)
Фс=О [а] леФ, gef =1
t> Родственное утверждение составляет теорема 9,2.4.
218

О Пусть для некоторого Ф с D [а] окажется, что для всех
Ф |*|=1, выполнено а[х, x]^skn + e., e>0. Если при этом
]/O^rt —1, то очевидно найдется элемент яеФП V"**.
И = 1. Для него а[х, x]^\pvKn]M(EA(K)x, x)^kn(x, х) = %п.
Получившееся противоречие показывает, что правая часть в D)
не превосходит ЬЛ(А). Но значение К„(А) в силу теоремы I дос-
достигается в D), если положить Ф = D (a) f) (Я Э V ""' **) •
Следующее полезное утверждение также имеет вариационный
характер. В его формулировке отсутствует априорное предполо-
предположение о наличии у А дискретного спектра.
Теорема 3. Пусть А = А* полуограничен снизу. Пусть Fc
dD[a\ — какое-либо линейное множество, такое, что для \i> та
а[х, х]<у,(х, x) (xzbF, x^O). E)
Тогда
dim ЕА[та, ц) Я = sup dim/7. F)
F
def
О Отметим, что на подпространстве Я1Л=?л[та, р) Н соот-
соотношение E) выполнено: если х е Яц, то
а[х, *] = S[ma. ^td(EA{f)x, х)<ц(х, х).
Таким образом, Яд является одним из возможных множеств F и,
следовательно, dimЯ^^sup dim/7. Случай diir^n = oo этим исчер-
исчерпан. Пусть din^n<;oo и пусть F c= D [а] — линейное множество,
такое, что для всех лге/7 выполнено E). Если dim/7>dim#n,
то в F найдется элемент х0ф0, хо±_Н^. Для него
что противоречит E). Поэтому dim F^ dim Я^ ф
3. Квадратичные формы позволили ввести частичное упорядо-
упорядочение для ограниченных самосопряженных операторов (см.§ 2.7,
п. 2). Соответствующее понятие можно распространить и на
полуограниченный случай.
Пусть А, В — самосопряженные полуограниченные снизу опе-
операторы. Говорят, что А больше В (пишут А > В), если соответ-
соответствующие квадратичные формы а и Ь удовлетворяют условиям
D[a]<=D[b], G)
а[х, x]Szb[x, x], xe=D[a]. (8)
Отметим, что в приведенном определении возможно, в частности,
D[a] = D[b]. Другой крайний случай состоит в том, что в (8)
при всех xeD[fl] осуществляется равенство; при этом, конечно,
D[a]*?D[b], если только АфВ. Естественность условий G), (8)
подтверждается доказываемыми ниже утверждениями.
219

Теорема 4. Пусть А, В — самосопряженные полуограниченные
снизу операторы и А> В. Если спектр В левее точки у, у ^оо,
дискретен, то спектр А левее у также дискретен, причем kn(A)^s
^К(В), п = 1, 2, ...
О Воспользуемся теоремой 3. Пусть на множестве FcD[d\
выполнено E). Тогда в силу G), (8) FcD[b] и для хе/7
Ъ[х, x]<.il(x, x). Из F) теперь следует, что
dimEA(—oo, ц) Я< dim Ев (— оо, ц) Н (\и<у).
Последнее неравенство очевидно равносильно утверждению тео-
теоремы #
Заметим, что неравенства %п(А)^%п(В) непосредственно выво-
выводятся и из теоремы 2. Однако при этом надо заранее знать, что
спектр А левее у дискретен.
Следующая теорема позволяет сравнивать А'1 и В*1.
Теорема 5. Пусть операторы А, В — самосопряженные и поло-
положительно определенные и А>В. Тогда А'1 <В.
О Будем исходить из теоремы 1.4. Пусть ЛеЯ, Ахй = п, Ву0 = Л.
Элементы х0, у0 реализуют минимум соответственно для функцио-
функционала ФА (х), x&D[а], и Фв (у), y^D [b]. Из G), (8) непосред-
непосредственно следует, что Фв, min =s? Фл, mm- В соответствии с A.12)
это означает, что — (В-1 h,h) =s? — (/Н Л, п), т. е. А'1 < В'1 #
§ 3. Метод Фридрихса
расширения полуограниченного оператора
до самосопряженного
Пусть Ао — полуограниченный снизу симметричный оператор,
гпа„ — его точная нижняя граница. Как было отмечено в следствии
4.1.5, индексы дефекта оператора Аа одинаковы, и потому Ао
имеет самосопряженные расширения. Мы увидим, что среди этих
расширений есть полуограниченные операторы. Более того, суще-
существует по крайней мере одно полуограниченное самосопряженное
расширение, нижняя граница которого совпадает с тле- Для
построения такого расширения Фридрихсом предложен метод,
основанный на связи между операторами и формами. Важность
метода Фридрихса (как в общей теории, так и для приложьний)
определяется тем, что возникающее при этом расширение оказы-
оказывается наибольшим в множестве всех полуограниченных самосоп-
самосопряженных расширений.
1. Начнем с положительно определенного случая. Рассмотрим
билинейную форму ай оператора Ай:
ао[х, у] = (Ло*. у), х, yeDK]=D(/l0). A)
Отметим, что та, = тл,>0. Если xn&D[a^\ и |[x,J]-*-O, то для любого
y^D[a0] будет а„[хп, у\ — {хп, Аоу)-+О. В силу леммы 1.6 отсюда
следует, что форма uq допускает замыкание. Обозначим через а
220

замыкание формы а0, через D [а] — область ее определения, через
А —самосопряженный оператор, отвечающий форме а в смысле § 1.
Так как множество D(A0) а-плотно в D[a], то тпо = та, а потому
и гпа, = гпа. Далее, предельный переход в A) по а-норме приво-
приводит к соотношению
(Аох, у) = а[х, у], x<=D(A0), ye=D[a]. B)
Мы видим, что для оператора Ао и формы а выполнены условия
A.4), A.5). В силу замечания 1.3 отсюда следует, что АосА.
Построенное описанным методом самосопряженное расширение
А гэ Ао называется расширением по Фридрихсу (или жестким
расширением) оператора Ао.
Пусть теперь Ао полуограничен снизу, но не обязательно тл,>0.
Расширение по Фридрихсу для Ао строится так. Пусть Аа — жест-
жесткое расширение оператора А0 + а1, а + тло>О. Тогда АШ
= Аа-—а1. Легко видеть, что А не зависит от выбора а> —ша,
и что /4* = ЛгэЛ0. Как и в положительно определенном случае,
тАо = тА и
D[a]. C)
2. Жесткое расширение полуограниченного оператора обладает
важными экстремальными свойствами. Прежде всего покажем, что
C) является характеристическим свойством жесткого расширения.
Теорема 1. Пусть Ай — полуограниченный симметричный опера-
оператор, D[a] — область определения замыкания его формы. Если А = А*,
Л гэ Ао и D (A)cD [а], то А совпадает с жестким расширением
А оператора Ао.
О Для хеО(Й), y<=D(A0) имеем (Ах, у) = (х, А$) =
= а[х, у]. Предельным переходом по а-норме распространяем
равенство (Ах, у)=*а[х, у) на любые y^D[a]. Для А, таким
образом, выполнены условия A.4), A.5), а потому А —А #
Теорема 2. Пусть А — полуограниченное самосопряженное рас-
расширение Ао, й — соответствующая форма. Тогда О[й]эО[а] и
а[х, у] = а[х, у], х, y<=D[a]. D)
О Для х, y^D(A0) имеем
а[х, у] = (АоХ, у) = (Ах, у) = й[х, у],
т. е. на D(AQ) формы а и а совпадают. Следовательно, замыка-
замыкания множества D(A0) по а-норме и по а-норме совпадают, и на
этом замыкании выполнено равенство D). Поскольку D (Ло) плотно
в D [а], это замыкание совпадает с D [а] ф
Следствие 3. Среди всех самосопряженных полуограничен-
полуограниченных расширений А симметричного оператора Ао жесткое расши-
расширение А является наибольшим: А>А.
Действительно, из теоремы 2 прямо вытекает, что выполнены
условия B.7), B.8), а потому Л > А. Интересно отметить, что
221

неравенство А > А не исключает возможности т% = тАа при
Следствие 4. Пусть в условиях теоремы 2 спектр А в интер-
интервале [т%, y) дискретен. Тогда спектр А левее у также дискретен
и %п(А)^%п(А), п = 1, 2, ...
Требуемое сразу вытекает из А>А и из теоремы 2.4.
Определенную информацию о множестве D [а] дает следующая
теорема.
Теорема 5. Пусть выполнены предположения теоремы 2. Для эле-
элемента «eD[3] условие
й[х, м] = 0, Vx<=D[a], E)
равносильно условию u€ N (А«).
О Поскольку D(A0) а-плотно в D [а], достаточно проверять E)
для x^D(A0). Но тогда E) принимает вид (AqX, w) = 0, что рав-
равносильно u<=.N (AS) •
Из доказанной теоремы прямо вытекает следствие.
Следствие 6. Если т^>0, то D [й] f\ N (AS) есть й-орто-
гональное дополнение к подпространству D[a] в гильбертовом
пространстве D[a].
Теорема 7. Пусть в условиях теоремы 2 индексы дефекта опе-
оператора Ао конечны *': л_(Л0) = л+(Ло) = п<оо. Тогда п^г, где
г — dim D[u]/D [а]. F)
О Добавляя, если нужно, к оператору AQ оператор а/, можно
ограничиться случаем т~А > 0. Тогда в силу следствия 6 г =
= dim(D[a](}N(At))^dimN(At). Так как 0е=р(Ло), то
diN(AS) •
Теорема 7 представляет интерес в связи со следующим утверж-
утверждением.
Теорема 8. Пусть в условиях следствия 4 величина F) конечна.
Тогда К(А)^К+Г(А), п=1, 2, ...
О Воспользуемся теоремой 2.2. Если ФсгО [а] и dimD{a]/<I>=sS
<п—1, то очевидно dimD[3]/<D<;n-{-r — 1. Согласно D)
формы й и а на Ф совпадают. Поэтому из B.4) прямо следует,
что К(А)К(А)
§ 4. Дробные степени операторов. Неравенство Гайнца
Частным случаем общего определения F.1.12) является фор-
формула для дробных степеней положительного самосопряженного
оператора А:
]), E = EA. A)
*' Напомним (см. теорему 9.3 7), что в этом случае все расширения
А = Л* => А» полуограничены вместе с Aq.
222

Эта формула справедлива при 65s0, а если N(A) = {0}, то при
всех 6 е R. Здесь мы, ограничиваясь случаем 8е@, 1), получаем
другое интегральное представление для Ав. Оно выражает А9
через обратный оператор (A + tl)-1, />0. Это представление
часто оказывается удобнее, чем формула A), поскольку резоль-
резольвента—более простои объект, чем спектральная мера оператора.
1. Ниже используется элементарная формула
Из нее следует равенство
*-*, s>0, 0<е<1. B)
Пусть А > 0 — самосопряженный оператор в Н, Е = ЕА —
спектральная мера. Рассмотрим интеграл
tb$fi-4A(A+U)-*xt x)di. C)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех
t>>0 для любого ^еЯ, Для нее справедливо представление
(Л(Л+*/)Пх, x) = \n+s(s + ty*d(E(s)x, х).
Подставляя его в C), меняя порядок интегрирования и затем
используя B), приходим к формуле
ceffte-HAiA + tl)-^, x)dt^R+sed(E(s)x, х) = \А»»х\\ D)
Включение x<=D(Ae/2) необходимо и достаточно для конечности
обоих интегралов в D). В соответствии с A.7) *) формула D)
дает выражение для квадратичной формы оператора Л9. Нами
доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть А = А* >0 — оператор в Н. При 0<6<1
справедливо интегральное представление D) квадратичной формы
оператора Ав.
Равенство D) можно записать символически в виде
А* = се $Г Р*А (А + tl)-1 dt. E)
Формула E) допускает более прямое истолкование. Пусть хеО
Можно показать, что тогда элементы
х<и' 0<а<Ь<со,
сильно сходятся к элементу Л6*: hm ya, »= Авх.
а-»0, Ь-*оо
*> В § 2, п. 1. отмечалось, что формула A,7) справедлива для любых
операторов /4 = /4*>О.
22 i

2. Интегральное представление D) находит применение при
выводе полезных неравенств для дробных степеней.
Теорема 2. Пусть А = А*, В = В* и 0<5<Л. Тогда при
0<6<1 будет Я9<Л9.
О Применим теорему 2.5 к положительно определенным опе-
операторам A+tl, B + tl, t>0. Мы получим, что (Л + Z/) < (В +
+ //)-*, откуда
Следовательно, для любого хеЯ
(В(В+ */)-**. x)^(A(A+tiyix, х), V<i>0.
В силу D) это приводит к включению D(BB/i) ZDD(Ae/i) и к нера-
неравенству |ВвЛ*|«<МвАхР, V*€ED(/le/*) •
Из теоремы 2 непосредственно вытекает так называемое «нера-
«неравенство Гайнца».
Теорема 3. Пусть Л = Л*>0, В = В*>0, D(A)aD(B) и
jAxJ, VxeD(/4). Тогда при любом Be@, 1) будет
)D(Be) и 8Ве*!<||Ле4 УдгеО(Ле).
О Достаточно применить теорему 2 к операторам Л8, Ва •
Следует иметь в виду, что утверждения теорем 2, 3 перестают
быть верными, если 6>1. Из теоремы 2.5 вытекает, что при
# (Л) = N (В) = {0} неравенства теорем 2, 3 «с переменой знака»
выполняются для fle(—1, 0).

ГЛАВА И
КЛАССЫ КОМПАКТНЫХ ОПЕРАТОРОВ
§ 1. Каноническое представление
и сингулярные числа компактных операторов
При изучении самосопряженных компактных операторов основ-
основное значение имеет их разложение в ортогональный ряд конеч-
конечномерных слагаемых (9.2.1). Это разложение выражает спектраль-
спектральную теорему для таких операторов Для произвольных операто-
операторов класса SOT спектральный анализ заведомо не может быть
исчерпывающим Например, простейший интегральный оператор
типа Вольтерра (Tu)(t) — \'ou(x)dx в Z-2@, 1) вообще не имеет
собственных значений (для него а (Т) = ос (Т) = {0}). Однако для
операторов класса Sm возможно другое (не спектральное) разло-
разложение в ряд одномерных операторов, которое во многих вопросах
заменяет спектральную теорему. Такое разложение называют
каноническим представлением, или рядом Шмидта компактного
оператора.
1. Будем исходить из полярного представления (8.1.4), спра-
справедливого для любого замкнутого плотно определенного оператора.
Для непрерывных операторов вывод этого представления упроща-
упрощается, и мы воспроизведем его здесь.
Пусть ГеВ(й), M = (T*Tyv?\T\. Тогда \Тх\ = \Мх1 и
N(T) = N (М). Отсюда следует, что R (М)=//QM(M)=HQN (T)=
= R(T*). Пусть g = Mx, h = Tx; рассмотрим линейный оператор W:
g>-^-h. Это определение корректно, поскольку из g — О следует
x^N(T) и А=0. Из |Тх 1 = ,1 Мх| следует, что W по непрерыв-
непрерывности распространяется до изометрического отображения R(M) =
= R (Т*) на R (Т). Полагая W равным нулю на N(T), превратим W
в частично-изометрический оператор с областью изометричности
R(T*) и областью значений R(T). При этом Tx = h=Wg=>WMx,
а потому справедливо полярное представление
М=(Т*Т)Ч2. A)
2. Пусть теперь Ге8щ(а тогда и М еSoo). Занумеруем поло-
положительные собственные числа A* = >.ft(M) оператора М в порядке
невозрастания с учетом кратностей. Спектральное разложение
(9.2.1) для М запишем в виде Л1 = 2]ЙА,Л(-, ф*)ф*, где {срй} —
Ю Заказ 649 225

ортонормированная последовательность собственных элементов
оператора М, полная в R (Г*). Числа
sk(T)^[Xk(T*T)yz = h(\T\) B)
называются сингулярными числами *) (s-числами) оператора Т.
Система урк = ^ц>к очевидно ортонормирована и полна в R (Т).
Подставляя разложение для М в A), получаем представление Т
в виде суммы (конечной или бесконечной) операторов ранга 1:
1> C)
Из C) непосредственно следует, что
7'* = Е^*(Л(-.^)Ф*. ' D)
В свою очередь, из C) и D) с необходимостью следует, что
Т*Т == ?ft4 (Т) (•, щ) ф», ТТ* =. 2»4 (Т) (•, %) **, E)
F)
G)
Разложение C) называется каноническим представлением (рядом
Шмидта) для Т. Из E) — G) видно, что это представление в суще-
существенном единственно. Произвол лишь в выборе ортонормирован-
ных собственных элементов в G), но при этом должны выполняться
«условия согласования» F). Мы доказали следующую теорему.
Теорема 1. Для всякого оператора TeS,» справедливо канони-
каноническое представление C), где {фЛ}, {ф&} — две равномощные орто-
нормированные системы, числа sfc>-0 не возрастают и sk-*-0,
если k -*¦ оо. Представление D) единственно в том смысле, что {s/,},
{фй}> \tyb} необходимо удовлетворяют соотношениям F), G). Числа sk
определяются из B). Системы |фй} и {t|>ft} полные R(T*) и в R(T).
Каноническое представление для Т* дается рядом D).
Замечание. Попутно мы обнаружили, что для Т*Т и для
ТТ* отличные от нуля собственные значения совпадают (вместе
с кратностями): ОфКк(Т*Т) = 'Кк(ТТ*). Собственные элементы
связаны соотношениями F). Эти факты легко усмотреть непосред-
непосредственно. Заметим, что размерности N (Т*Т) и N (ТТ*) могут не
совпадать.
Теорему 1 естественно дополняет следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть {ф*}, {^*}— две равномощные ортонормиро-
ванные системы в Н; {sk} — какая-либо невозрастающая последова-
*' Принятое определение означает, что s/, (Т) > 0. Если rang T=r <оо, то
иногда удобно «дописывать» сингулярную последовательность нулями: s/,(T)=Q
прн k > г. Мы не будем в подобных случаях делать специальных оговорок.
226

тельность, sk>0 и sk-+Q, если ft->-oo. Тогда ряд C) определяет
собой некоторый оператор Т е So» для которого является канони-
каноническим представлением.
О Обозначим через Тп отрезок длиной п ряда C). Тогда
| (Ги+? - Тп) х Р = 2"+! s* I (*. Ф») I* < s»+1 2* I (*• Ф») I2^s»+' Ix P-
(8)
Последовательность ГпеК сходится в себе по норме, а потому
ряд C) сходится по норме к некоторому оператору Т е S^,.
Поскольку из C) вытекают D)—G), то ряд для Т — канонический •
Замечание. При <7-*-°° неравенство (8) приводит к оценке
для нормы Т — Тп. Поскольку в (8) при л: = ф„+1 достигается
равенство, получаем, что
l\T-Tai = san(T). (9)
3. Отметим некоторые элементарные свойства s-чисел. Ясно,
что sk(T) — Si,(\T\). Из сопоставления C) и D) следует
sk(T) = sk(T*). (Ю)
Соотношение (9) при л=0 означает, что s1G')=!|77|. Из опреде-
определения B) и из минимаксимального принципа (теорема 9.2.4) для
спектра оператора Т*Т имеем
in max (]ТхЩхЬ (DefL<n). (И)
L XSL\[O)
Если йеВ(Я), то ЦЯГж^ЦЯНГ*!!. Отсюда и из A1) полу-
получаем
sk(RT)^\\R\\sk(n sk(TR)^R\\sk(T), A2)
причем второе соотношение получается из первого с помощью A0).
Из A2) легко следует, что для унитарных Uv U%
Укажем еще одну экстремальную характеристику s-чисел:
-KI (rang/C<n). A3)
К
Действительно, в этом случае Def W (К) = rang К* = rang К =sS n,
а потому из A1) получаем
max (||Гх|/||х||)= max
Равенство в A3) достигается при К~Тп (см. (9)).
Пусть теперь Г„ T^^S^. Тогда в силу A3)
SnHA-i (П + Tt) ^ sm (Tt) + sa (Га). A4)
IB* 227

В самом деле, если 7 = 7, + 72 и rang Kt ^ tn — 1, rang АГ2^л — 1, то
-i (Л «? 17 - (К, + /Са) II <«Тг - Кг \\ + \\Тг~ Кг I
причем К\ и К% можно выбрать так, что правая часть превратится
в SmG1)+Sn(T2)- Полагая в A4) п = 1, находим, что smG)<;
<li7a|H-sm(ri) = ||r-771|| + sn,G71). Меняя Г и Г, ролями, при-
приходим к неравенству
|s«G)-swG1)|<||7-71|| G, 7-jeS,,,). A5)
Таким образом, s-числа непрерывно зависят от 7.
Из спектрального разложения (9.2.4) для нормальных опера-
операторов легко получается, что в этом случае s-числа представляют
собой упорядоченную по невозрастанию последовательность модулей
собственных чисел (с учетом кратностей). Элементы q>k, т|^ совпа-
совпадают с точностью до множителя, равного по модулю единице.
§ 2. Ядерные операторы. След оператора
1. Во многих отношениях важным подклассом класса SOT
является класс Si ядерных операторов. Оператор 7 е S<x> назы-
называется ядерным оператором, если
Ясно, что |7J = S!G)^171!, причем равенство достигается на
операторах ранга 1 (и только на них). Далее, |7J1 = J|7|A; опе-
операторы 7, 7* ядерны одновременно и в силу A.10) рГ|'1=р7*11.
Если Rlt /?2еВ(Я)иГе Sb то в соответствии с A.12) RjTR^ е^и
iRlTRA^\\RiltRih\Ttl. B)
Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы указать критерий
принадлежности классу Slt не требующий знания s-чисел. Прежде
всего докажем лемму.
Лемма 1. Пусть ГеВ (Н) и пусть для какого-либо ортонорми-
рованного базиса {gt} выполнено условие
<oo. C)
Тогда Т <= SOT.
О Достаточно убедиться, что из хп-^0 следует Т*хп->-0.
(Тогда в силу теоремы 2.6.1 7*eSOT, а потому и 7eS<».)
Отметим, что 1хп\^с. Разлагая Т*хЛ по системе {gt}, получаем
17**я|а = 2<|G*хя, ft)!1-Si К*.. 7&)|*.
Члены последнего ряда при п -*¦ со стремятся к нулю и мажори-
мажорируются членами сходящегося ряда c2j7g,f •
228

Теорема 2. Пусть ГеВ (Я), Т > 0. ?слы для какого-либо оргпо-
нормированного базиса {gi} сходится ряд ?i(Tgi, gt), то TeS^
В этом случае для любого ортонормированного базиса {1ц}
2,(Thlt /1() = 2л(Л=Щ1- D)
О По условию 2(I Т1/г gi ta < оо, а потому в силу леммы 1
T'^eSoo и TeSoo. Воспользуемся теперь представлением A.3) и
учтем, что при Г>0 щ — tyk- Тогда
Сложнее обстоит дело для произвольных операторов класса Slt
Вопрос решается следующими двумя теоремами.
Теорема 3. Пусть TeSj и пусть {gi}, {hi} — произвольные
ортонормированные системы в Н. Тогда
МК1П, E)
причем равенство в E) достигается в соответствии с A.3) при
О Из представления A.3) получаем
х [2, | (**, ft,) I2]'/» =
Равенство в E) при gi = ф/, hi = ify осуществляется в силу A.6) ф
Теорема 4. Если ГеВ(Н) и для любых ортонормированных
систем {gi}, {hi} ряд ?i(Tgh ht) сходится, то TeSj.
О Воспользуемся полярным представлением A.1). Пусть {gt} —
какой-либо ортонормированный базис в R(M) и hi = Wgt. По-
Поскольку W изометричен на R(M), система {/ij ортонормирована.
Далее, ряд
gi) = 2» (WMgi, Wg,) - 2» (Tgi, ft,) < oo F)
сходится по условию. Систему {gt} можно как-либо дополнить до
базиса в Н. Это не изменит суммы F), поскольку Н Q R (М) —
»= N(М). Из теоремы 2 получаем MeSj, а потому и feSj •
Практически удобно следующее достаточное условие ядерности.
Теорема 5. Если ГеВ (Н) и для какого-либо ортонормирован-
ортонормированного базиса {gt} сходится ряд 2J77gj||, то Т eSj.
О Равенство | Гх j = [ VWл: f показывает, что можно ограничиться
случаем Г>0. Но тогда
и остается сослаться на теорему 2 •
2. Следующая теорема должна «оправдать» обозначение A).
229

Теорема в. Функционал A) на классе Sx обладает свойствами
нормы, относительно которой S, является банаховым простран-
пространством.
О Пусть Tv TijeSj и 7 = 711 + 7Y Для любых ортонорми-
рованных систем {ft}, {hi} имеем в силу E)
Si I Gft, fti)
Из теоремы 4 теперь следует, что TeS^ а из теоремы 3 — нера-
неравенство треугольника
G)
Таким образом, Sj —линейное многообразие в В (Я) и функцио-
функционал A) обладает свойствами нормы. Остается проверить полноту
пространства Sv Пусть последовательность {Tt} сходится в себе
в S1. Тогда она сходится по норме операторов и ее предел Т <= S^.
При заданном е>0
(/, m^ne). (8)
В силу A.15) предельный переход в (8) при /->-оо дает
SAG-7m)<e (тЭйЛв). (9)
Тем самым TgSj вместе с Тт и |7 —7mf1-»-0 при /п-»-оо ф
Отметим, что совокупность К операторов конечного ранга плотна
в Sx. Действительно, если Та — отрезок длиной п ряда A.3), то
sk(Tn) = sk(T)upnk^nnsk(Ta) = Onp»k>n. Поэтому |7-7яЬ =
= H*>nSftG)-» ПРИ л-»-оо.
Из плотности К в Sx стандартным образом выводится, что про-
пространство S1 сепарабельно.
3. В классе St можно ввести понятие, естественно обобщающее
понятие матричного следа оператора в конечномерном простран-
пространстве. В основе лежит следующая теорема.
Теорема 7. Если TeS^ то ряд ?t(Tgt, gi) абсолютно схо-
сходится для любого ортонормированного базиса {gt}, а его сумма не
зависит от выбора базиса {gi}.
О Используем разложение A.3). Тогда
SiGft, ft) = SiS***(ft, Ф*)A>*. ft)-
eS*s*SiA>*. ft) (ft. <P*)-2AA>*. Ф») =-S* Gq>*. Ф*).
Перестановка суммирования оправдывается абсолютной сходи-
сходимостью двойного ряда, которая фактически была установлена при
доказательстве теоремы 3. Остается заметить, что в полученное
представление базис {ft} не входит ф
Теперь для оператора Т ^ Sx можно ввести величину
ft). (Ю)
230

называемую следом оператора Т. Если сопоставить оператору Т
его матрицу относительно базиса \gt), то A0) есть сумма диаго-
диагональных элементов этой матрицы. Теорема 7 означает, что эта
сумма не зависит от выбора матричного представления.
Функционал A0) очевидно линеен. Из E) следует, что |ТгГ|*5
< К Г Цх. Ясно также, что для Г>0 ТгГ=|Г||1. Таким образом,
ТгТ есть непрерывный функционал в банаховом пространстве Su
и его норма равна единице. Далее,
След произведения не зависит от порядка сомножителей.
Теорема 8. Пусть Т е= Sm, R е= В (Н), 77? <= Slf RT е= Sj. Тогда
Тг77? = Тг#7\ A1)
О В качестве базиса возьмем систему {ify} из A.3), дополнен-
дополненную каким-либо ортонормированным базисом в N (Т*). Тогда
Тг 77? = ?, G7?%. *)«2i(/M>i. Т-**,)-Si 8,G-) (/?*,, ф,). A2)
Здесь мы использовали A.6). Аналогично по системе {q>j}
ТгОТ-ЕЛЯГф,, Ф1) =-Sisf(Г)(*,. R*%)-bsi(T)(R^lt Ф|) •
Следствие 9. Функционал A0) есть унитарный инвариант:
Тг U*TU = Tr UU*T = Тг7\ коль скоро UU* = I.
Глубоким я в какой-то мере неожиданным фактом является следующее
равенство (теорема Лндского):
(Те SJ. • A3)
Здесь к/, (Г) —собственные значения Т, и ряд справа абсолютно сходится.
Равенство A3) означает, что матричный след оператора совпадает со спект-
спектральным следом. В конечномерном случае этот факт хорошо известен. Если
dim Я = оо, то сложность вопроса проявляется уже в том, что возможны
ядерные операторы, вообще не имеющие собственных значений (вольтерровы
операторы). Для таких операторов A3) понимается в том смысле, что ТгТ = О.
Доказательство теоремы Лидского читатель найдет в книге [6].
4. Найдем общий вид линейного непрерывного функционала
в банаховых пространствах Sx и S«>. Начнем со следующей леммы.
Лемма 10. Пусть ГеВ(Я) и пусть
Тогда Ге^ « {Т^а.
О Воспользуемся представлением A.1). Пусть {^{ — какой-
либо ортонормированный базис в R (М) и пусть Q=2,i^r( •, Wgi)gi-
Тогда QW = S/^,(-, gt)gi — проектор на подпространство \Ji^rgi.
В соответствии с A2) получаем, что
TrQWM = 2кг(Mgh g,Xa\Ql=-a.
231

Теперь из теоремы 2 следует, что М е Sx и || М ^ «S а. Остается
заметить, что | Т ^ = | М \\t и а =^ || 74 |d в силу оценки
ITrQTKIQTl^llQHn • A5)
Теорема 11. а) Всякий линейный непрерывный функционал в Sx
представим единственным образом в виде
1(T) = TtQT, A6)
где Q<=B(#). При этом |U! = |Q||.
б) Всякий линейный непрерывный функционал в Sw представим
единственным образом в виде A6), где QeSx. При этом \Ц —
IIQI
О а) Для любых f, g<=H положим Tftg — (-, g)f и Q(/, g) =
— l{Tfg). Билинейная форма Q непрерывна: |Q(f, g)!^
^\ШТ,.А = \Щ-\\ПШ Следовательно, Q(f, g) = (Qf, g), где
Q(=B(H) и ||Q||^||/||. Поскольку TrQT/>g = (Q/, g), этим уста-
установлено представление A6) для T = Tftg. По линейности A6)
распространяется на плотное в St множество операторов ГеК,
а затем по непрерывности на любые Т eSj. Оценка A5) показы-
показывает, что |/(| = |Q||. Представление единственно, поскольку опера-
оператор Q определяется своей билинейной формой однозначно.
б) Оператор Q вводится так же, как в п. а). При этом надо
учесть, что ||7Yg.||1 = ||r/ig.|| = |,7||-||g'||. После того как представ-
представление A6) получено для ГеК, следует воспользоваться леммой 10
(поменяв ролями Q и Г). Тогда QeSx и || Q ||i *ё | /1|- Окончание
доказательства такое же, как в п. а) #
Разумеется, справедлив аналог теоремы 11 и для антилиней-
антилинейных функционалов над St и над Soo. Единственное отличие в том,
что A6) заменится представлением
l(T) = 7rQT*. A7)
Из A7) следует, что сопряженным к пространству Soo является Sx,
а сопряженным к Sx является В (Я). При этом пространства S1;
Sco. В (Я) нерефлексивны.
§ 3. Операторы Гильберта — Шмидта
1. Другой важный класс вполне непрерывных операторов
в гильбертовом пространстве образуют так называемые операторы
Гильберта—Шмидта. Этот класс (его обозначают через S2)
можно выделить в В (Я) условием сходимости ряда B.3) для
какого-либо ортонормированного базиса. Положение проясняет
следующая теорема.
Теорема 1. Если ряд B.3) сходится для какого-либо ортонор-
ортонормированного базиса, то он сходится для любого другого такого
базиса и его сумма
\T6=2tlTglr A)
232

от выбора базиса не зависит. Имеет место вложение S2 с: So,.
Оператор Т е Soo входит в S2 тогда и только тогда, когда по-
последовательность его s-чисел квадратично-суммируема. При этом
2]А51(Г). B)
О Для ортонормированных базисов {gi}, {hm} имеем
ul (Si, T*hm) |2 = Zm8T*hmP- C)
Равенство (З) показывает, что сумма A) не зависит от выбора
базиса {gi} (как, впрочем, и от базиса {hm}). Вложение S2 с: S»
обеспечивается леммой 2.1. Для TeS^ рассмотрим ряд A.3).
Положим в A) gi = q>i, дополнив эту последовательность каким-
либо ортонормированным базисом в N (Т). Тогда из A.6) получим
2, \ Tg, р=Zts? en i * i2=Цг s? (?•) •
Из B) следуют вложения Sx с: S2 c= S», сопровождаемые нера-
неравенствами JT|<||7'|)s<jr|I. Ясно также, что |Г|2 = |Г*|2 и для
TS /? ЯВЯ)
D)
Пусть теперь Г^^ + Г, и Г^ r2sS2. Покажем, что TeSj.-
LIг^ I2)Vi+(Hz I гл ||2)v']2=(S т, l+1 т2 iy.
Таким образом, Т e S2 и
i. E)
Теорема 2. Класс S2 представляет собой банахово простран-
пространство относительно нормы |-|2.
О Коль скоро E) доказано, ясно, что S2 —линейное мно-
множество в В (Я) и функционал Ij-Цг обладает свойствами нормы.
Полнота пространства S2 доказывается по образцу доказательства
полноты пространства Sx (ср. с выводом B.9) из B.8)) •
Легко видеть, что К плотно в S2 и что S2 сепарабельно.
Соответствующие рассуждения — те же, что и для класса Sx.
2. Остановимся подробнее на взаимоотношении классов St и S2.
Теорема 3. Если Тъ Т2 <= S2, mo T = ТхТг eSx u
^lTiUTA- F)
2за

О Для любых ортонормированных базисов {gt}, {ht} имеем
Теперь ^eSj в силу теоремы 2.4, а оценка F) следует из
теоремы 2.3 #
Замечание. Если ТeSlt то всегда найдутся Tlt r2eS2,
такие, что Т = ТгТ2. Например, можно, основываясь на A.1),
положить T1 = WM1'; T2 = Mlf: При этом надо учесть, что
М = | Т | е Sx при Ге^, а тогда М*>> е S2.
Класс Sa можно естественным образом превратить в гильбер-
гильбертово пространство. Для пары операторов Т1г r2eS, положим
(Tlt 7,> = Tr7'17'} = Tr7'J7V G)
Из свойств следа непосредственно вытекает, что G) — билинейный
функционал. При этом
(Т, 7> = Т
т. е. G) есть скалярное произведение в &;, согласованное с нор-
нормой | • Цц. Отсюда и из теоремы 2 следует, что класс S2 есть (сепа-
рабельноё) гильбертово пространство относительно скалярного
произведения G).
Отметим следующий простой, но полезный факт.
Теорема 4. Пусть {gk\, {A/} — какие-либо ортонормированные
базисы в Н. Тогда система одномерных операторов Tkl = (-, gk)hi
образует ортонормированный базис в гильбертовом пространстве
S S(H)
2)
О Очевидно |7'ы|а=1. Для любого Т е S2
(Т, Tkl) = {Tgk, h,). (8)
При Г = 7ття из (8) следует ортогональность системы {Ты} в S2.
Соотношение C) содержит в себе уравнение замкнутости для этой
системы •
Соотношение C) можно интерпретировать также следующим
образом. Пусть оператор ГеВ(Я) представлен матрицей в неко-
некотором базисе {gk\. Тогда TeS2 в том и только том случае, если
элементы этой матрицы образуют квадратично-суммируемую после-
последовательность чисел Действительно, элементы этой матрицы суть
(Tgk, gt), и требуемое прямо следует из C). В п. 3 мы получим
«непрерывный» аналог этого факта, относящийся к интегральным
операторам.
3. Охарактеризуем класс S3 для гильбертова пространства Яц =
= L2(Y, (i). Положим Z = YxY, v = (iX(i и Hv = Lt(Z, v). Функ-
234

ция С(х, у) (к, y^Y) называется ядром Гильберта — Шмидта
в Нц, если она определена v-n. в. на Z, v-измерима и ^z\C(x, у)\*Х
Xdfi(x)d\i(y)<Zoo. Иначе говоря, ядра Гильберта —Шмидта —
это функции из Hv. Каждому такому ядру сопоставим интеграль-
интегральный оператор С в пространстве Н^:
(Си) (х) =1YC (х, у) и (у) d|i (у). (9)
Интеграл (9) конечен для ц-п. в. х & Y в силу неравенства
| Fм) (х) |2 < lY | С (х, у) |» dp (у) || и f. A0)
Интегрируя оценку A0), находим, что оператор С ограничен
в Нц. Приведем еще выражение для его билинейной формы:
(Си, v) = \zC(x, y)u{y)iT(x)dli(x)dii(y). A1)
Покажем, что отображение У, сопоставляющее ядру Сей,
оператор С, есть изометрия пространства Нч на S2 (Яц). Пусть
{uk) — какой-либо ортонормированный базис в Н^. Функции {хыы},
wki(x, y) = uk{y)ul(x), образуют ортонормированный базис в про-
пространстве Hv (см. § 2.3, п. 6), а операторы да*/ = (-, ик)щ —
в пространстве S^ (Яц) (см. теорему 4). Ясно, что Jwkt — wkt.
Из этого прямо вытекает, что У унитарно отображает Hv на
82(йц). Мы доказали следующую теорему *'.
Теорема 5. Пусть С е Hv. Тогда соответствующий интеграль-
интегральный оператор (9) принадлежит классу S2 и
Обратно, если CgSj(Я^), то найдется единственное ядро Гиль-
Гильберта — Шмидта С е Hv, такое, что С — оператор (9)
Теорема 5 допускает различные обобщения. Например, можно
дать подобную характеристику класса S2 для пространства Я,
разложенного в прямой интеграл. Мы ограничимся случаем про-
пространств HVliF = Lz{Y, ц; F).
Обозначим G = S2 (F) и HVi q = L2 (Z, v; G). Оператор-функции
С e Hv, а назовем операторнозначными ядрами Гильберта —
Шмидта в Н^г Оператор С = УС формально по-прежнему опре-
*• Ниже | • v — норма в Н^.
235

деляется равенством (9). Теперь, однако, С (х, у) и {у) означает
применение оператора С (х, у) eS2(f) к элементу и (у) е F.
Равенство A1) заменяется равенством
фи, v) = \z(C(x, у) и (у), v(x))Fdv(x, у).
Теорема,6. Пусть C&HVeq. Тогда интегральный оператор
С = JC вида (9) принадлежит классу S2 и
Обратно, если Се^ (Яц,р), то найдется единственное абстракт-
абстрактное ядро Гильберта — Шмидта С е #v, о> такое, что С = JC.
О Пусть функции \uk) и {и>ы}~те же, что при доказатель-
доказательстве теоремы 5. Пусть {ft} — ортонормированный базис в F и
\gy}r gi/ = ('< ft)fh~соответствующий базис в G. Рассмотрим
операторы ВцЫ в пространстве Н^р, действующие по формуле
(Вти) (х) = \у (и (у), fi)Fuk (у) dii (у) щ (x)ft,
и операторнозначные функции В^ы{х, y) = W/,i(x, y)gij. Тогда
в силу теоремы 2.3.7 {Ву«} — базис в HvQ, {Bljkt\ — базис в
82(Я(,1/г) и Вцк1 = JBijki- Остальное не отличается от доказатель-
доказательства теоремы 5 0
§ 4. Классы Sp
1. Пространства Sx, S2 естественно включаются в непрерывную
«шкалу» пространств Sp, 1 <;/><;оо. Класс Sp выделяется в S^,
условием
J?[S?]l" A)
Пространство S^ является для этой шкалы «крайним» (но не част-
частным) случаем. Сразу же отметим вложения Sx c= SPl с: SPl a S»,
1 <; рх < р2 < со, сопровождаемые оценками
m<i7iu<i7'ip,<mi- B)
Для одномерных операторов все величины B) совпадают.
Если TeSp, то 7*eSp и |Г|р=|Г*|р. Обобщаются и оценки
B.2), C.4): если Т е= Sp, Ru R2 <= В (Я), то /г^/?, е= Sp и
J^r^sjlipOl^xl-I^iil-irL- Все это непосредственно вытекает из
A.10), A.12).
Классы Sp линейны: если Tv T2&SP, то T = T1 + Tt<=Sp,
Действительно, TeSco и в силу A.14)
sin (Т) < s» - j (Г) <
236

откуда TeSp. Сложнее доказывается для функционала A) нера-
неравенство треугольника. Мы получим его в п. 2. При этом будем
опираться на следующее свойство s-чисел, имеющее и самосто-
самостоятельный интерес.
Теорема 1. Пусть Т, QeSOT. Справедливы, неравенства
r=l, 2, ... C)
Доказательству теоремы 1 посвящен п. 4.
2; Аналогия между классами Sp и пространствами числовых
последовательностей 1р проявляется, в частности, в следующем
«неравенстве Гельдера».
Теорема 2. Пусть TeS,,, р > 1, «QeS,,, где /г1 + q~1=l.
Тогда TQgSj u имеет место оценка
(p>l, p-i + r^l). D)
О Достаточно применить неравенство Гельдера для сумм в
правой части C) и затем перейти к пределу при г-у со ф
Из D) и оценки | ТгГ | «S | Т d следует, что
(p>l, p-i + q-^l). E)
При заданном TeSp в E) достигается равенство при надлежа-
надлежащем выборе Q. Именно запишем Т в виде A.1) и положим Q* =
= WMp 1. Легко видеть, что тогда QgS? и в E) осуществляется
равенство. Таким образом,
р= sup |TrQT| (р>1). F)
Теперь мы в состоянии доказать неравенство треугольника.
Если 7\eSp, r2eSp, то (мы уже знаем, что T1 + T2^SP)
ITi + TAp^lTdp + tTilp. G)
Неравенство G) немедленно следует из F) и очевидного неравен-
неравенства
По существу, мы установили, что функционал A) на Sp обладает
всеми свойствами нормы. Доказательство полноты пространства
Sp повторяет рассуждение при р=1 (см. теорему 2.6). Таким
образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Класс Sp, l^p<oo, представляет собой банахово
пространство относительно нормы A).
Как и при р=1, 2, устанавливается, что класс К плотен
в Sp и что пространство Sp сепарабельно.
3. Установим общую форму линейного непрерывного функци-
функционала в Sp при р>1. Основу составляет аналог леммы 2.10,
237

в котором соотношение вида F) будет получено без априорного
предположения Т е Sp.
Лемма 4, Пусть Т@В(Н) и
Тогда Т (sSp, p-i + 9=l и \Т\р = а.
О Представим Т в виде A.1). Пусть {gk} — ортонормирован-
rok(-, Wgk)gk, aA>0. Тогда
Ы и в силу (8)
ный базис в R(M) и
. (9)
Покажем сначала, что f eSa. В противном случае для опера-
оператора М найдется промежуток [а, Р], а>0, такой, что dim/:M [а,
Р]Я = оо. Если gb<sEM[a, Р]Я, то 2jk<r(Mgb, gk)^ar, что
противоречит (9): при аА = 1 было бы аг^аг1/я для сколь угодно
больших г. Итак, TeS^. Положим в (9)^* = фА, где q>ft— собст-
собственные элементы для М. Тогда (9) дает
При ok = s% и г -*- оо это означает, что '.
Неравенство а <; J Т \\р следует из E) %
Теорема 5. Всякий линейный непрерывный функционал в Sp,
1 <ср<;оо, представим единственным образом в виде B.16), где
Q^Sg, p-1-\-q~1 = l. При этом (/| = iQf«-
О Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы
2.11, п. б). Роль леммы 2.10 при этом переходит клемме 4 0
Антилинейные функционалы над Sp подобным же образом пред-
предоставляются в виде B.17). Тем самым при р>1, p~1-\-q~l = \
пространства Sp, Sq являются взаимно сопряженными. При этом
из B.17) следует, что при р>1 пространства Sp рефлексивны.
4. Доказательству теоремы 1 предпошлем следующую лемму.
Лемма 6. Пусть матрица V = {vkl\, l^k, t=^r, такова, что
Пусть
{xk], У = {Ук}, 1
0. Тогда
\(Vx,
(V/); 2]/<г|ег„|<1
причем
, у).
(Vft). A0)
A1)
О Положим /* = A, ..., 1, 0 0) (k единиц). Из A0) полу-
получаем
vt/
-V*. /i)
238

Условие на векторы *, у означает, что х = ^<г а*/*, у = ^ <г р*/>,
где все аА, р* неотрицательны. Учитывая A2), находим
к,
v
= (^« У)
к,
Доказательство теоремы 1. Пусть WM — полярное
разложение для оператора TQ и Р —проектор на линейную обо-
оболочку первых г собственных элементов оператора М. Тогда
М = W*TQ и
(TQ) = 2 s* <M) = ТтМР = ТгР Г * TQP = TrfQ, A3)
где 7 = ^^*7", Q=QPh rangf^r, rangQsgr. Пусть
— их канонические разложения. Из A3) в соответствии с B.12)
получаем
2, Ф*)= I] 5Л(Ч>*. о),)^,, ф*)^(К*. у).
где F = {y«}; о*, = (^й, ю/)(в,, ф*); л; = {1й{, </ = {aft}; 1
Матрица V удовлетворяет условиям A0): для любых
r I o« к BL к**, ы2)/f (E» i <е" ч>») i1)l/l
и аналогично для сумм по /. Теперь из A1) находим
и остается заметить, что в силу A.12) sk^sk(T),
lk

ГЛАВА 12
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Постановка задачи. Вспомогательные сведения
1. В квантовой теории важное значение имеют так называемые
представления перестановочных соотношений. Речь идет о нахож-
нахождении (с точностью до унитарной эквивалентности) всех решений
операторных уравнений специального вида, содержащих комму-
коммутаторы *\ Коммутатором двух операторов Т1г Т2 в Я называют
выражение
7\ ТТТТТ
Мы ограничиваемся случаем конечного числа m степеней свободы.
Перестановочными соотношениями называют уравнения
[Tr, T'S]~6U, г, s=1, ...,/п, A)
[Тг, Г,] = 0, [П, 7?]=0, г, s=I, .... m, B)
а также уравнения с самосопряженными операторами
[Аг, ВЛ= —16'1, А' = Ап B* = Br, r, s=l m, C)
[Лг, 4J = O, [Вг, Bs]=0, r, s = l /л. D)
Уравнения A), B) называют бозевскими перестановочными соотно-
соотношениями. Операторы Т*, Тг имеют смысл операторов рождения
и уничтожения. Уравнения C), D) — канонические перестановочные
соотношения квантовой механики. Операторы Лг, Вг отвечают
квантовым каноническим переменным.
Как мы увидим в дальнейшем, нетривиальные решения урав-
уравнений A), B) или C), D) нельзя построить с помощью непре-
непрерывных операторов. В случае неограниченных операторов тре-
требуются дополнительные указания об их областях определения и
о точном смысле самих уравнений. Эти вопросы не столь просты
и требуют довольно кропотливого предварительного исследова-
исследования.
*» Или антикоммутаторы {7\, Г8} = 7'17'8+7'а7'1. Случай антикоммутато-
антикоммутаторов мы обсуждать не будем.
240

На формальном уровне задачи A), B) и C), D) легко сво-
сводятся друг к другу. Достаточно положить
V 27V = Br + iAr, V2T* = Br- iAr, г = 1 т. E)
Нетрудно также указать операторы, являющиеся формальными
решениями задач A), B) или C), D). Например, для системы
C), D) такое решение дают в # = L2(Rm) операторы дифференци-
дифференцирования и умножения на координаты:
(Аги) {х) = — iduldxr, (Bru) (х) = хги (х), г = 1 т. F)
Точная постановка задачи о перестановочных соотношениях
допускает различные варианты, причем не все они эквивалентны *К
Однако при достаточно естественном (и удовлетворительном с точки
зрения квантовой механики) понимании уравнений C), D) ока-
оказывается, что операторы F) являются их решениями. Основной
математический вопрос состоит в доказательстве (при дополни-
дополнительном условии неприводимости) единственности этого решения
с точностью до унитарной эквивалентности. Определенных забот
требует также точная реализация формул E), связывающих реше-
решения задач A), B) и C), D). Заметим, что решения уравнений
A), B) или C), D) принято называть представлениями переста-
перестановочных соотношений.
2. При анализе канонических соотношений C), D) будем исхо-
исходить из понятия (С0)-системы.
Условимся говорить, что симметричные операторы ar, br,
г — 1, ..., т, образуют (С0)-систему, если:
1) все операторы аг, Ьг имеют одну и ту же область опреде-
определения D, причем к элементам x^D применим каждый из опе-
операторов a,as, arbs, Ь^г, brbs, r, s, = 1, ..., т;
2) имеют место соотношения (yxeD; r, s=l, ..., т)
(a,as - а^г) х = (Ь А - bsbr) х = 0;
3) симметричный оператор
tD, (8)
в существенном самосопряжен **>.
В основу анализа бозевских перестановочных соотношений
положим понятие E0)-системы.
Операторы tr, tr, r = l, ...,/n, с общей областью определе-
определения D будем называть (В0)-системой, если они определяются
*' Указания на этот счет см. в [15, гл. Vfff].
•*' Смысл условия 3) обсуждается в § 2, п. 6.
16 Заказ 649 241

равенствами
УЪ, - br+ iar, УЫ = br-iar, г - 1, .... т. (9)
лричем операторы ап Ьг образуют (С0)-систему.
Таким образом, (Во)- и (С0)-системы находятся во взаимно-
взаимнооднозначном соответствии по определению.
Отметим формулы, обратные к (9):
r=l т, A0)
а также соотношения, вытекающие из G):
(tf) ' r, s-1 т, A1)
г, s = 1 т. A2)
Из (9) и симметричности ar, br следует, что
(trX, y) = (x, tjy), \/x, y(=D; г = 1, ..., т, A3)
а потому
t}czt*r, /,c(f?)*. r-l,...,m. A4)
Непосредственно проверяются следующие равенства (jceD;
г=1 /и):
A5)
A6)
A7)
A8)
Лемма 1. Яр« jc, y^D, r = \, .... т справедливы равенства
(ary, Qx)-(Qy, arx)=2i(bry, x), A9)
(bry, Qx)-(Qy, brx) = — 2i(ary, x), B0)
{tty, Qx) - (Qy, t^) = 2 (y, t^). B1)
О Докажем A9). Подставим в левую часть сумму (8) и вос-
воспользуемся равенствами G). При этом исчезают все члены, кроме
содержащего Ъ\. Для него имеем
(ary, b'rx) — (blry
b , х),
что и дает A9). Равенство B0) доказывается так же. Соотношение
B1) прямо следует из A9) и B0) •
3. Пусть операторы а„ br, г = 1, .... т, образуют (С0)-систему.
Положим Ar — ar, Br = br, т. е. перейдем к замыканиям операторов
242

(С0)-системы. Операторы Ar, Вг, л = 1 т, будем называть
(С)-системой (канонической системой). Мы увидим (см. теорему 2.1),
что операторы (С)-системы самосопряжены. По определению (С)-
система является решением уравнений C), D), т. е. дает пред-
представление канонических перестановочных соотношений.
Подобным же образом будем интерпретировать бозевские пере-
перестановочные соотношения. Из A4) следует, что операторы (Во)-
системы допускают замыкание. Положим Tr=tr, Tvr = tU r=\,...,m\
ниже мы покажем (теорема 2.2), что Тр = Т*- Систему операторов
7V, Тг, г = 1, ..., т, будем называть (В)-системой (бозевской
системой). По определению примем, что решениями уравнений
A), B) являются (В)-системы (и только они). Будем называть
(В)-систему и (С)-систему соответствующими друг другу, если
породившие их (Во)- и (С0)-системы связаны соотношениями (9).
В § 3—5 приводится полное описание всех (В)- и (С)-систем.
В § 2 исследуются свойства этих систем. При этом мы будем
опираться на два утверждения технического характера, которые
сейчас докажем.
4. Лемма 2. Пусть оператор М в существенном самосопряжен
и положительно определен. Пусть оператор S симметричен,
D(S D(M и
Mxl a>0, x€eD(M), B2)
\(Sx, Мх)-(Мх, Sx)\^c(Mx, x), cSzO, x€eD(M). B3)
Тогда S в существенном самосопряжен.
О Достаточно показать, что оба множества (S±iyI)D(M)
плотны в Я приj<aKOM-либо у > 0. Пусть h J_ E — iy) х, ух е D (М).
Поскольку R(M) — H, найдутся элементы j/,eD(M), такие, что
у„-*-у eD (M), Му„->1г. Из B2) при этом получается, что
Syn->Sy. Так как (Syn-iyyn, /0 = 0, то bn={Syn~iyyn, Myn)-+0
при /г->-оо. Следовательно,
lm(Syn, Муп) = у(уп, Myп) + Im гп-+ у {у, My). B4)
С другой стороны, в силу B3)
| Im (Syn, Муп) | < 2с (МуП, уп) -+ 2с (My, у). B5)
При 7>2с соотношения B4) и B5) совместимы лишь при у — О.
Но тогда h = 0. Аналогично показывается, что E + iyl) D (М)
плотно в Л |
Заметим, что если в условиях леммы 2 М = М*, то условие
B2) можно не ставить. Оно выполнено автоматически в силу тео-
теоремы 3.4.1.
Пусть теперь ст, <т+ — плотно определенные линейные операторы
в Я, такие, что
(ах, у) = (х, а+у), xeD(a), t/ eD(<т+). B6)
16* 243

Из B6) следует, что а+ ао*, а а о+. Выясним, когда после
замыкания эти включения переходят в равенства:
<т+ = <т*, о = в%. B7)
С этой целью в пространстве Н@Н рассмотрим «блочный» опе-
оператор
(° °Л D B) = D (а) 0 D (<т+).
Л
а о ;
Соотношение B6) очевидно равносильно тому, что оператор 2
симметричен. Непосредственно проверяется, что сопряженный опе-
оператор 2* имеет вид
Отсюда сразу следует, что соотношения B7) равносильны соотно-
ишнию 2 = 2*, /п. е. существенной самосопряженности оператора 2.
Это замечание позволяет установить следующую лемму.
Лемма 3. Пусть оператор М в существенном самосопряжен и
положительно определен. Пусть а, оv — линейные операторы,
D{a) = D(o±) = D(M) и выполнено B6). Тогда соотношения B7)
следуют из оценок
Мх |р, ах > 0, x(=D(Af), B8)
\{а+у, Мх)-(Му, ах)|<
t, Jc) + (Mt/, у)], Cl>0, х, y^D(M). B9)
О Применим лемму 2 к действующим в Я 0 Я операторам
МфМ и 2, определенным на D(M)®D(M). Оценка B8) соот-
соответствует условию B2) для этих операторов, неравенство B9)
обеспечивает оценку B3). Поэтому оператор 2 в существенном
самосопряжен •
§ 2. Свойства (В)-систем и (С)-систем
1. Начнем со следующих двух теорем.
Теорема 1. Операторы (С)-системы — самосопряженные.
О Надлежит проверить, что операторы соответствующей (Со)-
системы — в существенном самосопряженные. Проверим условия
леммы 1.2, полагая M = Q и S = ar (или S — br). Из A.18) сле-
следует, что (Qx, x)~Szm(x, x)^(x, x), x^D. Далее, для xeD
имеем
244

что отвечает оценке A.22). В соответствии с A.19)
х, Qx) - (Qx, arx) i2 = 41 (brx, x) |2 <
т. е. выполнено A.23). Таким образом, оператор аг — в суще-
существенном самосопряженный. Аналогично рассматривается опера-
оператор Ьг. При этом вместо A.19) используется A.20) •
Теорема 2. Пусть операторы Тг, Тг, г = 1, ..., гп, образуют
(В)-систему. Тогда
=1
т.
О Применим лемму 1.3 к операторам соответствующей (Ва)-
системы, полагая M—Q; a = tr, a^ — tr. Неравенство A.28) сразу
следует из A.15), A.16), если воспользоваться оценкой A) к
подобной оценкой для br. Чтобы проверить A.29), используем
A.21). Тогда для х, y^D A.29) получается из оценки
\{у, trX)\*^ltrxf\yP = (№jc, x)\yf^j(Qx, x)(Qy, у).
В силу леммы 1.3 справедливы соотношения A.27), которые
в рассматриваемом случае совпадают с B) •
2. Теперь можно придать точный смысл соотношениям A.5).
Теорема 3. Для операторов (В)-системы и (С)-системы, соот-
соответствующих друг другу, имеют место соотношения (г = 1, ..., т)
D {Тг) = D G?;) = D (Аг) П D (Вг), C>
* = Br-iAr, D)
О Используем временные обозначения Br-\-iAr — \r2br, Br —
— iAr — \r2ty. Согласно общему определению суммы операторов
(см. § 3.1, п. 1) D(Qr)=D(Bt)=*D(Ar)nD(Br). Из симметрично-
симметричности Ап Вг следует, что (вгх, у) = (х, Ъ+у), Vjc, y<=D(Ar)[\D(Br).
Поэтому е;сб*, ег(=(е?)*.
Пусть теперь x^D(Tr), xn<=D, xn->x, г,х„-уТгх. Из A.16)
следует, что последовательности агхп, Ьгхп сходятся, а потому
x<^D(Ar){\D(Br) и Trx = Brx + iArx = brx. Мы видим, что ТгаЬг,
а потому 8* с Т*. Точно так же показывается, что 77 с: 9^.
Таким образом, 77 с: 8ГГ а Ь* с Т* и, следовательно, Т* = Ъ?. Ана-
Аналогично устанавливается, что Тт = ЬГ. Тем самым доказаны равен-
равенства C), D). Соотношения E) прямо вытекают из того, что опе-
операторы Аг, Вг определены как замыкания операторов A.10) •
Теорема 3 показывает, что формулы C), D) определяют (В)-
систему, если задана (С)-система. Напротив, если задана (В)-
система, то формулы E) определяют (С)-систему.
24:

3. Для операторов B), образующих (В)-систему, рассмотрим
операторы
Kr-ТПг, Lr = TrT*r, r=l, ...,m. F)
Эти операторы самосопряжены в силу теоремы 4.5.1.
Теорема 4. В условиях теоремы 2
r=l, ..., т. G)
О Прежде всего покажем, что
(Tfx, Т*у) = (Тгх, Тгу) + (х, у), х, y^D(Tr) = D(T*). (8)
Для х, y^D равенство (8) прямо вытекает из A.11) (при s = r).
Пусть теперь хеС(Ц xn^D, х„-*~х, tj,n-+-T,x. Из A.17)
следует, что тогда ttxn-*T*xn. Это замечание позволяет распро-
распространить (8) предельным переходом на любые х, y^D(Tr).
Пусть теперь yeD (Kr)- Равенство (8) запишем в виде
' G7*. Tty)=(x, Кгу + у), V*e=DG7).
Это означает, что T*ry e D GT) = D (Гг), T.e.i/eD (Lr) и TrT*ry =«
= (Kr + Пу- Таким образом, LrZD Kr-\-1. Обратное включение
получается так же •
Равенства G) означают, что для (Я)-систем перестановочные
соотношения A.1) при s = r выполняются в точном смысле, вклю-
включающем в себя соотношения D(TfTr) = D(TrT*).
4. Докажем теперь следующую теорему.
Теорема 5. Операторы (С)-системы удовлетворяют следующим
соотношениям коммутации *и.
Аг^> As, Br^Bs, г, s=l, .... m, (9)
Ar^Bs, r, s=l, ..., m; гфэ. A0)
Все соотношения (9), A0) доказываются одинаково. Поэтому
•мы ограничимся первым из соотношений (9). Доказательство
разобьем на ряд лемм, справедливость которых установим в усло-
условиях теоремы 5
Лемма 6. Пусть a = ar-\-ias, a+ — Or—ias, D (a)=D (a±) — D.
Тогда для операторов а, а+ выполнено A.27).
О Из симметричности операторов ar, as следует A.26). При-
Применим лемму 1.3 при M—Q. Оценка A.28) вытекает из равенств
x^D, A1)
•' Напомним (см § 6.3, п 3), что для А = А* и неограниченного опера-
оператора R соотношение R^jA по определению означает, что R перестановочен
•со спектральной мерой^?л Если при этом R = R*, то R^jA равносильно
i ерестановочности спектральных мер. ?
246

и из A). Оценка A 29) следует из A 19) и неравенства
|(Ьгу, х) |«^|Ьгу f [xf<*(Qy, у) (fix, х).
Лемма 1.3 приводит к соотношениям A.27) •
Лемма 7. Пусть выполнены условия леммы 6 и пусть
С+ = ?г+. Тогда С+=*С* и
, A2)
С*-А,-1АЖ. A3)
О Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 3.
Следует лишь вместо A.15), A.16) использовать A1) •
Лемма 8. В условиях леммы 6 оператор С = а нормален:
СС*=С*С. A4)
О Доказательство повторяет доказательство теоремы 4. Именно
из равенства оо+х = а+ах, x^D, предельным переходом получаем,
что
(С*х, С*у) = (Сх, Су), х, yc=D(C)-D(p*). A5)
(При выводе равенства A5) следует воспользоваться первым из
равенств A1).) Из A5) равенство A4) получается непосред-
непосредственно •
Лемма 8 позволяет воспользоваться спектральной теорией
(см. § 6.6, п. 1, в частности формулы F.6.6)). Соотношения A2),
A3) означают, что Ar — ReC, As — lmC; поэтому Ar^ As. Дока-
Доказательство теоремы 5 закончено.
5. Из теоремы 5 вытекают другие важные соотношения спект-
спектральной коммутации. Докажем сначала лемму.
Лемма 9. Пусть Аг, Вг — пара операторов (С)-системы, Тг,
Т* — соответствующие операторы D), КГ = Т?ТГ. Если Z^U(H),
Z \s Ar, Z w Br, mo
Z^Tr, Z^T*r, Z^Kr. A6)
О Пусть x(=D(Tr). В силу C) Х€еЩАг)()О(Вг), а потому
Zx^D(Ar)i]D(Br). Из D) имеем V* TrZx = (Br + iAr) Zx =
= Z(Br-{- iAr) x = ]/2 ZTfX. Аналогично устанавливается, что
Z^->T*. Третье соотношение A6) получается последовательным
применением двух первых •
Всюду ниже Ег обозначает спектральную меру оператора
Kr=>TfTr.
Теорема 10. Для операторов (В)-системы имеют место сле-
следующие соотношения:
г, s= 1
г, в—1,
, ..., т, гф&,
, ..., т.
A7)
A8)
247

О Пусть гфБ. В соответствии с теоремой 5 EAf^>As, EAr^~>Bs,
а потому (см. лемму 9) EAr^>Ks- Аналогично Eb^Ks, т. е. Es^Ar,
Es^Br. Но тогда в силу леммы 9
E.^Tr, ES^T% Ея^Кп A9)
что совпадает с A7), A8) ф
Совокупность теорем 4 и 10 допускает обращение.
Теорема 11. Пусть Тг, г = 1,..., пг, — замкнутые плотно опре-
определенные операторы, Тг ф Ts при г # s Пусть соответствующие
операторы F) удовлетворяют соотношениям G), A7). Тогда опе-
операторы Тг, Т*г, г=1, ..., т, образуют (В)-систему с т сте-
степенями свободы.
Доказательство теоремы 11 будет приведено в § 4. Эта тео-
теорема позволяет дать другое определение (В)-системы (а значит,
и (С)-системы), эквивалентное исходному. В таксе определение не
входит множество D, лежащее в основе понятия (Во)- и (С0)-системы.
Отсюда следует, что выбор множества D не играет роли; важен
лишь факт его существования. Этим, в конечном счете, устранен
элемент произвола, содержавшийся в понятиях (Во)- и (С0)-систе-
мы. Можно было бы сразу исходить из определения (В)-системы,
содержащегося в формулировке теоремы 11. Однако прежнее опре-
определение значительно удобнее при проверке в конкретных слу-
случаях.
6. Пусть Е — совместная спектральная мера системы переста-
перестановочных операторов Кг- Иначе говоря, Е — произведение спект-
спектральных мер Еъ .... Ет. Рассмотрим оператор
/C-Jr» (K+...+K)dE(X). B0)
Это самосопряженный оператор с областью определения, выде-
выделяемой условием
$*(* )( () х,*)<оо. B1)
Из B0), B1) находим
К = 2я? Кг, D(K)=() ?D (Кг). B2)
В частности, D(K)^>D. Далее, из A.18) следует, что 2/0с=>
= (Q — tn)x, x^D. Так как оператор Q в существенном самосо-
самосопряжен на D, то приходим к равенству
Q = 2K + m/. B3)
Оно позволяет построить оператор К прямо по оператору Q, минуя
операторы Кг- В квантовой теории оператор К имеет смысл опе-
оператора числа частиц. Необходимость корректного введения этого
оператора привела к появлению }словия 3) в определении (Со)-
248

системы. Следуе иметь в виду, что исключение этого условия
влечет за собой оявление «лишних» представлений перестановоч-
перестановочна v - - "не имеющих физического смысла.
§ 3. Представления бозевских соотношений. Случай т = \
(В)-систему !фи т — \ условимся называть (В)-парой.
1. Пусть 7 - плотно определенный замкнутый оператор. Обо-
Обозначим К— Т, L = TT* и предположим, что
L = /( + /. A)
Равенство A) содержит в себе условие D (K) — D (L). Согласно
лемме 8.1.1 из A) следует
. B)
Далее, из (8.1.2) и равенства N(K)—N(Kl/i) имеем
C)
Оператор L положительно определен в силу A). Поэтому N (Т*) =
— N (L) = {0}. Отметим еще равенства, очевидным образом сле-
следующие из A), B):
= LTu, T*Lu^KT*u, u^D(K3/i). D)
2. Укажем пример операторов Т, Т*, удовлетворяющих урав-
уравнению A). Пусть G — вспомогательное гильбертово пространство,
ft = dimG^oo; пусть |-|, (-, •) —норма и скалярное произведе-
произведение в G. Положим Н = l!a(Z+; G). Элементы пространства Н суть
последовательности (ср. с § 2.3, п. 3)
h=*{gph 8p^G> VpeZ+, E)
такие, что |й|2 = 2р1ё'р|2<00- Рассмотрим в Н операторы т, т+
с общей областью определения
D(т) =D (т+) = {h = {gp} <= H: Spp |gp|2 <oo}, F)
действующие по правилам
} G)
(8)
(здесь формально принято g-i = 0). В более «наглядной» записи
**=¦{&. V^A. V3g3, ...}, т+Л = {0, go, V2gl, ...}.
Непосредственно проверяется, что т*=т+, (т+)*=т. Из F) —
(8) находим также, что операторы тт*, т*т определены на общей
17 Заказ 649 249

области
D (xx*) = D (т*т) = {ft = {gp} e H: 2>a \ gp |« < 00} (9)
и выполнено A) (при Т = х). Таким образом, т дает пример опе-
оператора Т, удовлетворяющего условиям п. 1.
Основной целью настоящего параграфа является доказатель-
доказательство следующей теоремы
Теорема 1. Пусть оператор Т плотно определен, замкнут и
пусть выполнено A). Тогда существуют гильбертово простран-
пространство G, dimG = dimAf (Т), и оператор V, унитарно отобража-
отображающий Н на 12 (Z-ь G), такие, что V переводит пару операторов
Т, Т* в пару %, т+, определенную формулами F) — (8)
3. Доказательство теоремы 1 связано со спектральным ана-
анализом оператора К = Т*Т Мы увидим, что спектр К исчерпы-
исчерпывается собственными значениями (одной и той же кратности)
в точках % = 0, 1, ... Рассмотрим подпространства
p Zt, G^HO} A0)
Лемма 2. В условиях теоремы 1
Gp+^ТЮр, Gp-^TGp, peZ+. A1)
Операторы
'>\o0 A2)
определяют взаимно обратные унитарные отображения Gp на Go
и Go на Gp.
О Если u^Gp, то Ки — ри, и из A), D) следует, что
КТ*и=;(р+1)Т*и, КТи = {р-\)Ти.
Этим установлены включения :э в A1). Далее, равенства Т*Ти =
= ри, ue.Gp, и TT*v — pv, v^Gpl, означают, что отображения
p-WT-.Gp-yGp-! и p-1/2r*:Gp-1-^Gp-взаимно обратны и уни-
унитарны. Отсюда вытекают равенства A1), а также нужные свой-
свойства операторов A2) ф
Из леммы 2 получаем
dim Gp = dim Go, p e Z+. A3)
Лемма 3. В условиях теоремы I спектр оператора К — Т*Т
совпадает с Z+ и состоит из собственных значений одной и той
же кратности /i = dimG0.
О Пусть Е — спектральная мера оператора К и Ар — (р, р +
+ 1). Предположим, что уже доказаны равенства
?(Д;) = 0,/=1 р-1. A4)
Пусть х^Е(Ьр)Н, хфО. Тогда х±_Gq, V<7eZ+, и для любого
v^Gg (Tx, v) = (x, T*v)=*Q, поскольку (см. (И)) T*v^Gq+v
250

Вместе с A4) это показывает, что Е[0, р]Тх — 0. Кроме того,
Тх Ф 0, так как иначе было бы (см. C)) х е Go Теперь сопостав-
сопоставление оценок
(ТКх, Тх) = (Кгх, x) = \t*d(E(t)x, x)<
l)\td(E(t)x, x) = (p+l)(Kx, x) = (p+l)\\Txf,
x) = (LTx, Tx) = \t>p(t+\)d(E{t)Tx, Tx)>
>(p + l)\\Txf
приводит к противоречию. Следовательно, из A4) вытекает Е (Др) =
= 0. При р = 0 условия A4) вырождаются, и этот случай дает
базу для индукции.
Мы убедились, что a(/()(=Z+. Остальное следует из леммы 2.
При этом заведомо пфО, иначе в силу A3) было бы в(К) = ф,
что невозможно •
4. Доказательство теоремы 1. Из леммы 3 и общей
спектральной теоремы 6 1.1 вытекает, что собственные подпрост-
подпространства Gp оператора /С образуют ортогональное разложение
A5)
Элементы f e H разлагаются в ортогональные ряды
f = 2pE{p}f, E{p}f<=Gp, peZ+. A6)
Множество D(T)~D(K1J2) выделяется условием
D(T) = {f<=H:2pplE{p}ff <oo}. A7)
Если f&D(T), то из A1) следует, что
/>eZ+. A8)
Положим теперь G = G0=~N(T) и определим отображение
V:#-*-/2(Z+; G) следующим образом:
VBpE{p}f) = {WpE{p}f}psZ+. A9)
Из свойств операторов Wр (см. лемму 2) вытекает, что справа в A9)
стоит последовательность элементов из G = Go. Эта последователь-
последовательность есть элемент пространства i2(Z+; G). Ясно, что отображе-
отображение V пространства Н на /2(Z+; G) унитарно. Из F) и A7) следует,
что VD(T) = D(x). Далее, для f<BD(T) из A2), A8) имеем
VTf = V(LpE {p} Tf)~{W,,E {p} Tf}p =
- {WPTE{р +1}f}p-{VJ+l BVi? \P +1}f}p- B0)
Вместе с G) это означает, что VT=xV. Соотношение VT* =*
*V V отсюда следует автоматически •
17* 251

5. Операторы т, т+ образуют В-пару. Действительно, если
сузить эти операторы, например, на область D = D (т*т) (см. (9)),
то мы очевидно получим E0)-пару. Роль области D могла бы
также играть совокупность финитных последовательностей E).
Замыкание таких сужений восстанавливает операторы т, т+. Таким
образом, операторы G), (8) действительно дают E)-пару.
В условиях теоремы 1 операторы Т, Т* унитарно эквива-
эквивалентны операторам т, т+, а потому также образуют (б)-пару.
Напротив, из теорем 2.2, 2.4 следует, что всякая (В)-пара под-
подчинена условиям теоремы 1. Таким образом, результату теоремы 1
можно придать следующую окончательную форму.
Теорема 4. Пусть операторы Т, Т+ в Н образуют (В)-пару.
Тогда существует унитарное отображение Н на l2 (Z+; G), кото-
которое переводит Т, 7+ в пару т, т+, определенную формулами
F)—(8). При этом
n^dimG = d\mN(T). B1)
Из теоремы 4, в частности, вытекает, что ограниченные опе-
операторы не могут образовывать (fl)-napy.
6. При n—l (fl)-napa является неприводимой. Иначе говоря,
в Я не существует нетривиального подпространства Н0ФН, та-
такого, что #0 приводит Т и Т*, и их части То, Т* в Но образуют
(б)-пару. (Отметим, что в соответствии с теоремами 3.6.2, 3.6.3
операторы То, Т* замкнуты и Т* = G'0)*.) Действительно, при
п = \ возможно либо N (To) — N (T), либо W(To) = {0}. В первом
случае в силу A1), A5) окажется Я0 = Я, во втором Я0 = {0}.
Операторы т, т1" при п — I суть операторы в пространстве
/2(Z+), т. е. в E)—(8) элементы gp — комплексные числа. Пусть
СцёС,, | v01 = I. Положим
Vp = WlVo = (p\)-iit(T*yVo> p(=Z+. B2)
Из леммы 2 вытекает, что элемент vp нормирован и порождает
подпространство Gp. Из A5) следует, что система B2) образует
ортоиормированный базис в Н. Оператор V, определенный в A9),
в данном случае сводится к оператору, сопоставляющему эле-
элементу /еЯ последовательность {gp} его коэффициентов Фурье
по системе B2).
Пусть теперь в B1) 1<п^оо. Тогда (б)-пара приводима.
В этом проще всего убедиться, рассматривая «модель», т. е. опе-
операторы т, т+. Разлагая G в ортогональную сумму одномерных
подпространств G = ?k®G^, ke[l, n), мы придем к разло-
разложению
2 B3)
Каждое слагаемое суммы B3) очевидно приводит операторы т, т+.
Действие их частей в 1г (Z+; G(k)) по-прежнему определяется фор-
252

мулами вида G), (8). Таким образом, E)-пара разлагается в орто-
ортогональную сумму неприводимых (fl)-nap. Теорема 4 позволяет
перенести этот результат с модели на произвольную (fl)-napy.
В итоге мы приходим к следующим утверждениям.
Теорема 5. Для того чтобы (В)-пара была неприводима, необ-
необходимо и достаточно, чтобы в B1) было п = \. Неприводимая
(В)-пара единственна с точностью до унитарной эквивалентности
Она может быть реализована в пространстве Н = /2 (Z+) операто-
операторами т, т+, определенными в G), (8).
Теорема 6. Всякая (В)-пара унитарно эквивалентна ортогональ-
ортогональной сумме п экземпляров неприводимой (В)-пары. Значение п =
= dimN (Т), пе[1, со], определяет (В)-пару с точностью до уни-
унитарной эквивалентности
§ 4. Представления бозевских соотношений. Общий случай
Основная цель настоящего параграфа — обобщение теоремы 3.1
на случай т операторов, удовлетворяющих условиям теоремы 2.11.
Как и при т = 1, мы начнем с описания модели, к которой
такие операторы приводятся.
1. Ниже /> = (д, .... fc)sZ+, \p\ = Pi + ... + Pm, p\ =
= рх\.. .рт\. Через <x)s, s=l m, обозначим специальные
мультииндексы с составляющими (ю^)г = 6', г — 1,..., т. Пусть G—
вспомогательное гильбертово пространство, Н = 1Л(Щ.\ G). Эле-
Элементы fte// запишем в виде последовательностей C.5), но теперь
уже pEZ+. Рассмотрим операторы хг, т*. г == 1, ..., т, с обла-
областями определения
( } (I)
действующие по правилу
lX r = l m> B)
4th = {VFrgp-*,}p> r=l, ..., m C)
(в C) формально считаем gp-a>r = 0 при рг — 0). Без труда прове-
проверяется, что т* = Тг, (тг)*«=тг и для операторов
Гг = тг, Т*=т* = т?, г=1, ..., т, D)
выполнены соотношения B.7), B.17). Таким образом, операторы
D) удовлетворяют условиям теоремы 2.11.
Рассмотрим оператор к = ?г т+т,. Он действует по формуле
на области определения
} E)
253

Оператор х очевидно самосопряжен. (Это следует также из того,
что х —оператор вида B.22).) Легко видеть, что сужение опера-
операторов D) на область определения E) приводит к (В0)-системе при
D = D(x). Замыкание суженных операторов возвращает к опера-
операторам D). Таким образом, операторы D) образуют (В)-систему.
К такому же выводу мы пришли бы, сужая операторы D) на мно-
множество всех финитных последовательностей из /2(Z+; G).
2. Следующая теорема является обобщением теоремы 3.1.
Теорема 1. Пусть операторы Тг, г = 1, ..., m, e H удовле-
удовлетворяют условиям теоремы 2.11. Тогда существуют гильбертово
пространство G и унитарное отображение V пространства Н на
/2 (Z+; G), такие, что операторы Tr, T* переводятся в операторы
т„ xt, r = l, ..., т, определенные формулами A)—C).
О Начнем с описания свойств совместной спектральной меры Е
операторов Кг, г=>1 т. Мера Е есть произведение спектраль-
спектральных мер Ег = Екг, г = \, ..., т. Спектральные свойства каждой
из мер Ег даются леммой 3.3. Поэтому supp E с Z+, т. е. совмест-
совместный спектр операторов Кг —чисто точечный. Соответствующие
совместные собственные подпространства (см. теорему 6.5.4)
Е{р] Н = (]rEr{pr}H можно записать в виде
ОрШЕ{р}Н-Е1{р1}...Ет{рт}Н. F)
Отметим, в частности, что
G)
где /( — оператор B.22). Лемма 3.2 в применении к оператору Тг
дает равенство
(p7V2Tr)Er{pr}H = Er{Pr-l\H, pr^Z+, (8)
причем отображение подпространства Ег {рг\ Н на Er{pr—l}H
оператором р~1/2Тг унитарно. Умножая (8) слева на Tls^rEs{ps}
и используя B.19), получаем
(p7l/2Tr)E{p}H=E{p-<or}H, /»eZ+m. (9)
При этом отображение оператором />~1/2Т'г по-прежнему унитарно.
Отсюда следует, что оператор
унитарно отображает Gp на Go (порядок сомножителей в правой
части A0) безразличен). Мы видим, что
A1)
а потому ? Zl
254

Окончание доказательства вполне аналогично доказательству
теоремы 3.1. Имеют место разложения C.15), C.16) (с тем отли-
отличием, что теперь р е Z+). При помощи операторов A0) по фор-
формуле C.19) (при /?eZ") определяется унитарное отображение V
пространства Н на /2(Z+; Go). Формулы C.17), C.18) заменяются
соотношениями
<оо}, A2)
E{p}Trf = TrE{p + «>r}f, r-I т. A3)
Из A) и A2) следует, что VD{Tr)^D(xr). Наконец, с помощью
A3) по образцу C.20) находим, что для f&D(Tr)
VTrf = \
Вместе с B) это означает, что VTr — xrV, а тогда и
= т^К, г=1, .... т ф
Отметим, что унитарное отображение подпространства Go на Gp,
обратное к отображению A0), дается оператором
3. Обсудим следствия, вытекающие из теоремы 1. Поскольку
«модельные» операторы B), C) образуют (в)-систему, операторы Тг,
Т*, г = \, .... пг, в условиях теоремы 2.11 также образуют
(б)-систему. Тем самым утверждение теоремы 2.11 доказано.
С другой стороны, в силу теорем 2.2, 2.4, 2.10 операторы (/^-си-
(/^-системы находятся в условиях теоремы 2 11. Поэтому теорема 1
дает полное описание (В)-систем с т степенями свободы.
Понятие неприводимой (В)-системы вводится так же, как и
в случае т = 1. Следующие утверждения получаются вполне ана-
аналогично тому, как в § 3 были получены теоремы 3.5, 3.6.
Теорема 2. Для того чтобы (В)-система с т степенями свободы
была неприводима, необходимо и достаточно, чтобы размерность
n = 6imN(K) (И)
подпространства G) равнялась единице. Неприводимая (В)-система
единственна с точностью до унитарной эквивалентности. Она
реализуется в пространстве Н = /2 (Z^1) операторами, определяемыми
формулами A) —C).
Теорема 3. Всякая (В)-система с т степенями свободы с точ-
ностью до унитарной эквивалентности определяется значением
п е [1, оо] величины A4). (В)-система унитарно эквивалентна орто-
ортогональной сумме п экземпляров неприводимой (В)-системы.
4. В заключение укажем еще одну удобную реализацию непри-
неприводимой (б)-системы. При п = 1 операторы B), C) действуют
в /аB"); элементы gp в A) —C) — комплексные числа. Обозначим
255

через h9, q e Zf, «орты» в lz (Zf), т е. элементы, определяемые
равенствами hq — {б?}р. Элементы \hp) образуют ортонормированный
базис в 12B^). Отобразим 12B^) на пространство целых функ-
функций F2(Cm), введенное в § 2.9, п. 4. Это отображение Vo зададим
соответствием V<jip = ир, реZ™ где ир(г) = (п)~т/2 (р!) т/2
z" — ортонормированный базис в ir2 (Cm) (см. § 2 9, п 4). Элементу
h = {gp} <= /2 (Zf) при отображении Уо соответствует целая функ-
функция фЛ = VJi:
Фл (г) - (л)-^ Spez? (р\Г'>8ргг. A6)
Сопоставляя A5) с формулами B), C), видим, что
Ф^(*) = г,Фл(г), г-1, ...,/п. A6)
Обозначим через хг, т? операторы в Fs(Cm), заданные на области
определения
} A7)
(т. е. на У0-образе множества A)) формулами
г=1 ш. A8)
Сравнение A8) с A6) показывает, что отображение Vo переводит
операторы %г, х} в операторы тГ, т?, а потому справедлива сле-
следующая теорема.
Теорема 4. Операторы xr, t*, г = 1, ..., т, определенные фор-
формулами A7), A8), реализуют в F2 (Ст) неприводимое представление
бозевских перестановочных соотношений с т степенями свободы.
§ 5. О представлениях канонических соотношений
1. Теорема 2.3 сводит описание (С)-снстем к описанию (б)-систем.
Для (В)-систем в § 4 построена модель и установлены утвержде-
утверждения о единственности и неприводимости. Эти результаты автома-
автоматически переносятся иа (С)-системы.
(С)-система называется неприводимой, если пространство пред-
представления И не содержит нетривиального подпространства НофН,
которое приводило бы все операторы (С)-системы и в котором их
части снова индуцировали бы (С)-систему. Ясно, что неприводи-
неприводимость (С)-системы равносильна неприводимости соответствующей
(В)-системы. Следующее утверждение прямо вытекает из теорем 4.2,
4.3. В его формулировке учтено соотношение B 23)
Теорема 1. (С)-система с точностью до унитарной эквивалент-
эквивалентности однозначно определяется величиной
п = dim N(Q- ml), A)
256

где Q —замыкание оператора A.8). Неприводимость 4Р)-системы
равносильна тому, что в A) и = 1. Если в A) l<nsgoo, то
(С)-система унитарно эквивалентна ортогональной сумме п экзем-
экземпляров неприводимой (С)-системы.
Остается указать модель неприводимой (С)-системы. Ее можно
построить с помощью операторов D.2), D 3) в /2 (Z™) по формулам
B.5). Однако более удобна модель, даваемая в L2 (Rm) операторами
A 6). Связь между этими моделями осуществляется при помощи
функций Эрмита.
2. Исследование модели начнем со случая (С)-пары (т. е. со
случая т=1). Пусть // = L2(R). На классе 5 (R) рассмотрим
симметричные операторы а, Ь:
(au)(x) = -idu(x)/dx, (bu) (х) = хи (х), B)
а также операторы ]// = b + ia, ]/2^" = Ь — la. На множестве
D = 5(R) операторы B) образуют (С0)-пару. Действительно, усло-
условия определения § I, п. 2, выполнены. В частности, условие 3)
выполнено, так как оператор Q = а2 + b2 = 2tt+ + / — оператор энер-
энергии линейного осциллятора — в существенном самосопряжен на
классе S(R) (по теореме 8.6.1). Операторы А = а, 5 = 5 образуют
(С)-пару. Покажем, что она непршодима В силу C.3) п =
= dim N (Q — 1) = dim N (К) = dim N (Т), где Т = f. Подпростран-
Подпространство N (Т) определяется дифференциальным уравнением v' {x) +
-f xv (х) = 0. Его нормированное решение есть функция
у0М = я-1/<ехр(— х2/2).
Таким образом, и = 1, т. е. рассматриваемая (С)-пара неприводима.
Применим к рассматриваемому случаю формулы C.22). Так
как »oeS(R), то (T*)pve = (t+)pv0 и, в соответствии со сказанным
в § 3, п. 6, функции вида C.22)
^V C)
образуют ортонормированный базис в пространстве L2 (R). Функ-
Функции C) очевидно представляют собой полиномы степени р, умно-
умноженные на ехр (— х2/2). Это означает, что формула C) дает оправ-
оправдание представлению B.9.1) для нормированных функций Эрмита.
Одновременно доказаны ортогональность и полнота в L2 (R) функ-
функций Эрмита Отметим, что результат теоремы 8.6.2 о спектре
линейного осциллятора вкладывается в утверждение леммы 3 3
о спектре оператора К.
3. Покажем теперь, что самосопряженные операторы A.6) дают
неприводимую (С)-сиспгему при любом m^l. Пусть Н = L2(Rm),
D = S(Rm) и на D заданы операторы аг, ЬГ, г = \, .... т, фор-
формулами
)() i^ (b)() {) = l т. D>
257

Покажем, что операторы D) образуют (С0)-систему. В проверке
нуждается лишь существенная самосопряженность оператора
GSrW J) на множестве S(Rm). Пусть
vPl(xj) ...vPm(хт),
l?,
— «многомерные» функции Эрмита; они образуют (см. § 2.9, п. 1)
ортонормированный базис в L2(Rm). Так как i>peS(Rm), то
оператор Q применим к функциям vp. Легко видеть, что
Qvp = B\p\+m)vp. E)
Из существования у симметричного оператора Q полной системы
собственных элементов легко следует, что этот оператор в суще-
существенном самосопряжен. Таким сбразом, операторы A.6), пред-
представляющие собой замыкания операторов D) с области D = S (Rm),
образуют (С)-систему. Эта (С)-система неприводима, так как из E)
вытекает N (Q — ml) = N (Q — ml) = {av0}, и следовательно, п = 1.
4. Канонические перестановочные соотношения A.3), A.4)
допускают трактовку, не связанную с понятием (С0)-системы.
Пусть Ar, Br, r=I, ..., т, —самосопряженные операторы в Я и
пусть Ur (х) = exp (ixAr), Vr (x) = exp (ixBr), x e R, — соответствую-
соответствующие унитарные группы (см. § 6.4). Говорят, что операторы Аг, Вг,
г = 1,..., т, дают представление перестановочных соотношений A.3),
0-4) в смысле Вейля, если для любых х, */е R
Ur(x)^Us(y), Vr(x)^V,(y), r, s=l т, F)
r,s = l, ..., т, G)
(x), r=I,...,m. (8)
Уравнения F) — (8) удобны тем, что содержат лишь ограниченные
операторы. Формально соотношение [Аг, Вг] = —И можно полу-
получить из (8), применяя операцию д2/дхду и полагая х — у = 0. Пер-
Первые математически точные результаты о представлениях переста-
перестановочных соотношений были получены именно для уравнений F) —
(8): Дж. Нейман показал, что представления канонических соот-
соотношений в форме Вейля сводятся к модельным операторам A.6).
Отсюда, разумеется, следует, что вейлевские представления кано-
канонических соотношений совпадают с (С)-системами.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ
Ахиезер Н. И, Глазман И. М. Теория линейных операторов
в гильбертовом пространстве. М., «Наука», 1966. 544 с.
Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосо-
самосопряженных операторов. Киев, «Наукова думка», 1965. 798 с.
В у л и х Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной.
М., «Наука», 1973. 352 с
Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа
сингулярных дифференциальных операторов. М., Физматгиз, 1963. 340 с.
Гофман К- Банаховы пространства аналитических функций. М., ИЛ,
1963. 312 с.
Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамо-
несамосопряженных операторов. М., «Наука», 1965. 448 с.
Иосида К- Функциональный анализ. М., «Мир», 1967. 624 с.
Канторович Л. В., АкиловГ. П. Функциональный анализ в нор-
нормированных пространствах. М., «Наука», 1977. 742 с.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., «Мир», 1972. 740 с.
Лаке П., Филлипс Р. Теория рассеяния. М., «Мир», 1971. 312 с.
Л ю м и с Л. Введение в абстрактный , гармонический анализ. М., ИЛ,
1956. 252 с.
Морен К. Методы гильбертова пространства. М., «Мир», 1965. 570 с.
Неве Ж- Математические основы теории вероятностей. М., «Мир»,
1969. 310 с.
Плесиер А. И. Спектральная теория линейных операторов. М., «Наука»,
1965. 624 с.
Рид Мм Саймон Б. Методы современной математической физики. I.
Функциональный анализ. М., «Мир», 1977. 358 с; II. Гармонический
анализ. Самосопряженность. М., «Мир», 1978. 395 с.
Рисе Ф., Секефа л ьв и-Н адь Б. Лекции по функциональному анализу.
М., ИЛ, 1954. 500 с.
Рудин У. Функциональный анализ. М., «Мнр», 1975. 444 с.
Сегё Г. Ортогональные многочлены. М., Физматгнз, 1962. 500 с.
Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. III, ч. 2. М., «Наука»,
1974. 672 с.
Смирнов В. И. Курс чысшей математики. Т. V. М., Физматгиз,
1959. 656 с.
Стейи И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функ-
функций. М., «Мир», 1973. 342 с.
Халмош П. Теория меры. М., ИЛ, 1958. 392 с,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная непрерывность меры г по
отношению к мере ц 1&
Алгебра подмножеств 9
0-алгебра подмножеств 9
— борелевскнх множеств метрического
пространства 10
База измеримости 157
ортогональная 157о
Базис ортонормнрованный 31
— стандартный в пространстве г™ 32
Вейля критерий см. КритеРий вейдя
Гайица неравенство см- Неравенство
Гайнца
Гильберта тождество см- Тождество
Гильберта
Гильберта — Шмидта оператор еж. Опе-
Оператор Гильберта — Шмидта
ядро см. Ядро Гильберта —
Шмидта
Гильбертово семейство измеримое 158
Граница точная нижняя квадратичной
формы 213
ограниченного самосопряженно-
самосопряженного оператора 50
График оператора 70
Группа унитарная однопараметриче-
ская 148
Дефект замкнутого операт°Ра 88
— линейного множества 72
Дефектное число замкнутого оператора
89
Дополнение ортогональное 33
Замыкание линейного оператора 74
Изоморфизм изометрический гильбер-
гильбертовых пространств 25
Инвариант унитарный '01
Инволюция 7
Индексы дефекта изометРическог° опе-
оператора 99
симметричного оператора 95
Интеграл по спектральной мере 13О
— прямой гильбертовь» пространств
159
22
Класс
- S =
- s,
s
-С
-Tj
К 48
= S(R^
228
232
236
47
21
21
Коэффициенты Фурье 29
Кратности функция см. Функция крат-
кратности
Кратность спектра общая 174
— спектральной меры общая 173
Критерий Вейля 201
Кэли преобразование см. Преобразо-
Преобразование Кэли
Люк симметричного оператора 208
Мер произведение ел. Произведение мер
— спектральных произведение см.
Произведение мер спектральных
— эквивалентность см. Эквивалент-
Эквивалентность мер
Мера — 11
— борелевская 13
— комплексная 18
— N-полная 11
— со счетной базой 11
— спектральная 122
борелевская 128
простая 172
Множество измеримое 9
— полное в гильбертовом пространстве
25
— резольвентное оператора 90
Модуль замкнутого оператора 178
Неймана формулы см. Формулы Ней-
Неймана
Неравенство Гайица 224
Норм топологическая согласованность
см. Согласованность норм тополо-
топологическая
Норма в предгильбертовом простран-
пространстве 23
а-норма 213
Носитель меры борелевской 13
спектральной 128
т по отношению к мере ц 18
Область значений линейного оператора
68
— определения линейного оператора 68
Оператор в существенном самосопря-
самосопряженный 95
— Гильберта—Шмидта 232
— дифференциальный с постоянными
коэффициентами 191
— допускающий замыкание 75
— замкнутый 73
— изометрический 98
— интегральный 60
правильный 61 '
— компактный (вполне непрерывный)
47
260

— конечного ранга 47
.-- нормальный 107
— ограниченный нормальный 51
¦ положи гельно определенный 50
положительный 50
самосопряженный (симметрич-
(симметричный) 49
— — строго положительный 50
— положительно определенный 96
— положительный %
— полуограниченьый снизу 96
— полуунитарный 100
— проектирования 34
— производящий унитарной группы
148
— разложимый 164
— самосопряженный 95
— — с простым спектром 175
— симметричный 94
максимальный 95
— сопряженный 76
к ограниченному 42
— умножения 160
на независимую переменную 111
— унитарный 99
— частично изометрический 100
— ядерный 228
Ортогонализации процесс см. Процесс
ортогонализации
Ортогональное дополнение см. Допол-
Дополнение ортогональное
Ортоиормированная система (о. н. с.)
см. Система ортонормирования
замкнутая 30
полная (о. н. п. с.) 30
Ортоиормированный базис см. Базис
ортонормнроваиный
В-пара 249
— неприводимая 252
Перестановочность операторов 70
в точном смысле 69
ограниченных 44
— с самосопряженным оператором 147
Подпространства спектрально-ортого-
иальные 166
Подпространство гильбертова простран-
пространства 25
— инвариантное 83
— приводящее 85
— собственное 84
Подчиненность операторов 79
сильная 80
Поле регулярности 89
Полиномы Эрмита 56
Полярное представление замкнутого
оператора см. Представление поляр-
полярное замкнутого оператора
Последовательность сингулярная 201
Правило отображения спектров 155
Представление полярное замкнутого
оператора 179
Преобразование Кэли 102
— Фурье 185
Принцип максиминимальныи 218
— минимаксимальный 205
— минимлльный 218
Проектор 31
Проекторов семейство, замкнутое от-
относительно умножения 54
Произведение мер 13
спектральных 129
— скалярное в предгильбертовом про-
пространстве 23
Производная меры т по мере ц 18
— обобщенная 20
Пространство В (Я) 43
— В (Я,, Яг) 46
-/? 28
— If (О) 36
— Lp(Y, ц) 17
— Lm (К. ,*) 15
— Ц (У, ц; G) 37
— LOT (К, Е) 130
— S (Y, Е) 132
— гильбертово 24
— измеримое 9
— предгильбертово 23
— с мерой 11
сепарабельное 11
— со спектральной мерой 122
Процесс ортогонализации 31
Прямой интеграл гильбертовых про-
пространств см. Интеграл прямой гиль-
гильбертовых пространств
Разложение единицы 139
Размерности функция см. Функция
размерности
Расширение оператора 69
— по Фридрихсу 221
Регулярная точка см. Точка регуляр-
регулярная
Регулярности поле см. Поле регуляр-
регулярности
Резольвента 91
Ряд Фурье 29
Система ортоиормированная (о. н. с.)
28
— элементов порождающая 167
(В)-система 243
— неприводимая 255
(В0)-система 241
(С)-система 243
— неприводимая 256
(Со)- система 241
След оператора 231
261

Согласованность норм топологическая 8
Соотношения перестановочные кванто-
квантовой механики 240
бозевские 240
канонические 240
Спектр 90
— дискретный 200
— непрерывный 91
— остаточный 91
— совместный системы операторов 152
— существенный 200
— точечный 90
— чисто непрерывный ПО
точечный 110
Спектрально-ортогональные подпро-
подпространства см. Подпространства спек-
спектрально-ортогональные
элементы см. Элементы спект-
р ал ьно-ортогона л ьные
Сумма гильбертовых пространств орто-
ортогональная 36
— линейных подмножеств линейная 71
прямая 71
— подпространств ортогональная 35
Сходимость элементов гильбертова про-
пространства слабая 40
— операторов равномерная 43
сильная 43
слабая 43
Тип меры 18
— максимальный 167
— спектральный 167
— элемента относительно спектраль-
спектральной меры 167
Тождество Гильберта 92
Точка регулярная 90
— регулярного типа 89
Унитарная эквивалентность операто-
операторов 101
Унитарный инвариант см. Инвариант
унитарный
Форма билинейная 41
оператора 42
— замкнутая 214
— квадратичная 41
— положительно определенная 213
— полуограниченная снизу 213
Формулы Неймана 106
Функции самосопряженного оператора
Функционал антилинейный 39
— билинейный 41
— квадратичный 41
— линейный непрерывный 39
— эрмитов 41
Функция измеримая 14
— кратности 169
— множеств аддитивная 10
конечная 10
а-конечная 10
счетно-аддитнвная 10
— простая 15
— размерности 156
Фурье коэффициенты см. Коэффициен-
Коэффициенты Фурье
— преобразование см. Преобразование
Фурье
— ряд см. Ряд Фурье
Числа сингулярные компактного опе-
оператора 226
Эквивалентность мер 18
Элемент максимального типа 167
— порождающий 173
Элементы спектрально-ортогональные
166
Эрмита полиномы еж. Полиномы Эрмита
Ядро Гильберта—Шмидта 235
операторнозначное 236
— интегрального оператора 61
эрмитово 61
— линейного оператора 69
— спектра 90

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Основные условные обозначения
Глава 1. Предварительвые сведения
§ 1. Метрические пространства. Нормированные пространства , . .
§ 2. Алгебры и а-алгебры множеств
§ 3. Счетно-аддитивные функции и меры
§4. Измеримые функции
§5. Интегрирование
§6. Пространства функций
Глава 2. Геометрия гильбертова пространства. Линейные непрерывные
операторы
§ 1. Гильбертово пространство. Пространства/^
§ 2. Ортонормированные системы
§ 3. Теорема о проекции. Ортогональные разложения и ортогональ-
ортогональные суммы
§ 4. Линейные и билинейные функционалы. Слабая сходимость . .
§ 5. Алгебра непрерывных операторов в Я
§ 6. Компактные операторы
§ 7. Ограниченные самосопряженные операторы
§ 8. Операторы ортогонального проектирования
§ 9. Примеры гильбертовых пространств и ортогональных систем
§ 10. Примеры непрерывных операторов и функционалов
Глава 3. Линейные неограниченные операторы
§ 1. Общие понятия График оператора
§ 2. Замкнутые операторы. Операторы, допускающие замыкание .
§ 3. Сопряженный оператор
§ 4. Подчиненность операторов
§ 5 Инвариантные подпространства ограниченных операторов . .
V § 6. Приводящие подпространства
§ 7. Дефектное число, спектр и резольвента замкнутого оператора
Глава 4. Симметричные и изометрические операторы
§ 1. Симметричные и самосопряженные операторы. Индексы дефекта
§ 2. Изометрические и унитарные операторы
V § 3. Преобразование Кэли
§ 4. Расширения симметричных операторов. Формулы Неймана . .
§ 5. Оператор Т*Т. Нормальные операторы
§ 6 Классификация точек спектра
§ 7. Оператор умножения на независимую переменную
§ 8. Оператор дифференцирования
Глава 5. Спектральная мера. Интегрирование
' , Основные понятия
Шродолжение спектральной меры. Произведение мер
Интеграл по спектральной мере. Случай ограниченных функ-
функций
'§ 4. Интеграл по спектральной мере. Случай неограниченных функ-
функций
Глава 6. Спектральные разложения
SI*' Формулировки спектральных теорем Функции операторов . .
§(. Спектральная теорема для унитарных операторов

^V ^З.уСпектральная теорема для самосопряженных операторов . . .
§4. Спектральное разложение одиопараметрической унитарной
группы
§ 5. Совместное спектральное разложение нескольких перестано-
перестановочных самосопряженных операторов
§ 6. Спектральное разложение нормального оператора
Глава 7 Функциональная модель и унитарные инварианты самосо-
самосопряженных операторов
$Ц^Прямой интеграл гильбертовых пространств
 Операторы умножения и разложимые операторы
Порождающие системы и спектральные типы
^Унитарные инварианты спектральной меры
Унитарные инварианты самосопряженных операторов ....
Глава 8. Некоторые приложения спектральной теории
§^Ц)р представление замкнутого оператора
§i 2Т)Эволюционные дифференциальные уравнения в гильбертовом
4 пространстве
§ 3. Преобразование Фурье
§ 4. Об операторах умножения в пространстве Lt{Rmy С*) ....
§ 5. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами
§ 6. Примеры дифференциальных операторов
Глава 9. Теория возмущений
§% Существенный спектр. Компактные возмущения
| 2. Самосопряженные и нормальные компактные операторы . . .
3; Конечномерные возмущения и расширения
§4. Непрерывные возмущения
Глава 10. Полуограиичеииые операторы и формы
§ 1. Замкнутые положительно определенные формы
§ 2. Полуограниченные формы ,
§?в>,Метод Фрядрихса расширения полуограннченного оператора
. до самосопряженного
§?47 Дробные степени операторов^_Нерааенство Гайица
Глава П. Классы компактных операторов
§ 1. Каноническое представление и сингулярные числа компакт-
компактных операторов
§ 2. Ядерные операторы. След оператора
§ 3. Операторы Гильберта — Шмидта
§ 4. Классы Sp
Глава 12. Перестановочные соотношения квантовой механики
§ 1. Постановка задачи Вспомогательные сведения
§ 2. Свойства (В)-систем и (С)-систем
§ 3. Представления бозевских соотношений. Случаи т=\ ....
§ 4. Представления бозевских соотношений Общий случай ....
§ 5. О представлениях канонических соотношений
Указатель литературы
Предметный указатель ,
264

СПИСОК ОПЕЧАТОК
( граница
7
41
53
75
89
90
95
99
136
199
241
Стрека
15-я сверху
1-я снизу
13-я сверху
1^-я сверху
11-я сверху
1-я сверху
13-я снизу
1б-я сверху
6-я, 2-я снизу
14-я сверху
fl-я снизу
Напечатано
И*
тирминологии
Р1==р+Р1
Ит
\Ту*
Г-Хо/
\'А a)xf
dzlD - ПО)
arbs—b,as
Должно быть
терминологии
tf_
Г
ITyf
T-1OI
\{A-a)xf»
- T*g
p+i
C+ CC+ Mo
(ftbs-b,aT
323