Автор: Демидович Б.П.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика сборник задач
ISBN: 5-17-010062-0
Год: 2005
Текст
Б.П. Демидович
СБОРНИК
задач и упражнений
по
математическому анализу
Учебное пособие
для вузов
ACT
ACT • Астрель
Москва • 2005
УДК 517@76.1)
ББК 22.161я73
ДЗО
Оформление обложки
дизайн-группы «Дикобраз»
Демидович Б. П.
ДЗО Сборник задач и упражнений по математическому
анализу: Учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович. — М.: ООО
«Издательство Астрель»: 000 «Издательство ACT», 2005. —
558, [2] с: ил.
ISBN 5-17-010062-0 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 5-271-03601-4 (ООО «Издательство Астрель»)
В сборник включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим
разделам математического анализа: введение в анализ;
дифференциальное исчисление функций одной переменной; неопределенный и
определенный интегралы; ряды; дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных; интегралы, зависящие от параметра; кратные
и криволинейные интегралы. Ко всем задачам даны ответы.
Для студентов физических и механико-математических
специальностей высших учебных заведений.
УДК 517@76.1)
ББК 22.161я73
Подписано в печать с готовых диапозитивов 25.10.04.
Формат 60 х 90'/1в. Гарнитура «Школьная». Усл. печ. л. 35,0.
Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 296.
ISBN 5-17-010062-0 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 5-271-03601-4 (ООО «Издательство Астрель»)
© ООО «Издательство Астрель», 2002
ПРЕДИСЛОВИЕ
Как и многие математики, я дважды пользовался этой очень
популярной книгой: первый раз, когда меня учили анализу, а
затем, когда сам учил ему других. Рад подготовке очередного
издания задачника Б. П. Демидовича и с особым чувством
благодарности откликаюсь на предложение его сына, В. Б.
Демидовича, написать по этому поводу предисловие.
Итак, несколько слов об этом замечательном
университетском задачнике по математическому анализу и о его авторе,
профессоре Московского государственного университета Борисе
Павловиче Демидовиче.
Б. П. Демидович A906—1977) был родом из Белоруссии, где
его отец Павел Петрович Демидович служил учителем и
одновременно с успехом занимался этнографией и местным
фольклором, за что был даже избран членом-сотрудником
Императорского Общества Любителей Естествознания, Антропологии и
Этнографии при Московском университете. Сам Борис Павлович,
закончив Белорусский государственный университет, тоже
несколько лет учительствовал, а затем поступил в аспирантуру
Научно-исследовательского института математики и механики
Московского государственного университета. В аспирантуре он
занимался под общим руководством Вячеслава Васильевича
Степанова, имея своим непосредственным руководителем Виктора
Владимировича Немыцкого. Именно они в значительной степени
и определили основную область научной деятельности Б. П.
Демидовича: классический математический анализ и теория
обыкновенных дифференциальных уравнений.
По окончании аспирантуры Б. П. Демидович был зачислен
ассистентом механико-математического факультета
Московского государственного университета на кафедру математического
анализа. С того времени, на протяжении более сорока лет он
являлся сотрудником этой кафедры, став после защиты
кандидатской диссертации ее доцентом, а после защиты докторской
диссертации — ее профессором. Кроме того, он преподавал и в
других вузах Москвы. Многие из его непосредственных учеников
стали кандидатами и докторами наук.
Профессионализм и богатейший педагогический опыт Б. П.
Демидовича нашли отражение в его научных работах (их около
шестидесяти), в том числе в монографиях и учебных пособиях,
получивших признание как у нас, так и за рубежом.
4
Особое место в этом ряду занимает предлагаемый читателю
сборник задач. Первое его издание, материал которого Б. П. Де-
мидович собирал более пятнадцати лет, вышло в свет в 1952 году.
Книга сразу приобрела известность и стала основным
университетским задачником по математическому анализу. В
дальнейшем в задачник вносились некоторые авторские коррективы, но
лишь в незначительной мере, поскольку первоначальная
структура книги оказалась очень удачной. К настоящему времени
задачник выдержал множество переизданий на русском языке,
переведен на многие иностранные языки и используется во многих
странах мира.
Развитие математики со временем приводит к новым, обычно
объединяющим отдельные факты понятиям, методам,
концепциям, языку. Это часто затрагивает и, казалось бы, законченные
фундаментальные разделы. В полной мере это относится также
к дифференциальному и интегральному исчислению с его
нынешней инвариантной трактовкой дифференциала и законов
дифференцирования, с языком дифференциальных форм и
интегрированием форм, позволившем написать современную
формулу Ньютона—Лейбница. Этот язык и общая формула Стокса
и сейчас не всегда присутствуют не только в задачниках, но и в
обязательных курсах анализа. На стыке нескольких областей
математики находятся также асимптотические методы — важный
и, благодаря своей эффективности, весьма полезный
математический аппарат, элементы которого, подобно теории пределов
и формуле Тейлора, желательно видеть в задачниках по анализу.
Но высшие разделы анализа предполагают у обращающегося к ним
наличия определенных навыков и техники. Ведь исполнение
сколь-нибудь серьезного музыкального произведения
немыслимо, если исполнитель не владеет инструментом.
Опыт показал, что задачник Б. П. Демидовича позволяет
студенту приобрести необходимые навыки в использовании
аппарата классического анализа. Предлагаемый задачник — одно из
основных университетских учебных пособий для упражнений по
математическому анализу.
В. А. Зорич,
профессор кафедры
математического анализа
механико-математического
факультета МГУ
Часть 1
Функции
одной
переменной
РАЗДЕЛ I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Вещественные числа
1. Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторая
теорема верна для всякого натурального числа п, достаточно доказать:
1) что эта теорема справедлива для п = 1 и 2) что если эта теорема
справедлива для какого-нибудь натурального числа п, то она справедлива
также и для следующего натурального числа п + 1.
2. Сечение. Разбиение рациональных чисел на два класса А и В
называется сечением, если выполнены следующие условия: 1) оба класса не
пусты; 2) каждое рациональное число попадает в один и только в один
класс и 3) любое число, принадлежащее классу А {нижний класс),
меньше произвольного числа, принадлежащего классу В (верхний класс).
Сечение А/В определяет: а) рациональное число, если или нижний класс А
имеет наибольшее число или же верхний класс В имеет наименьшее
число, и б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего числа,
а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и иррациональные
носят название вещественных или действительных1^.
3. Абсолютная величина (или модуль). Если х — вещественное
число, то абсолютной величиной (модулем) \х\ называется неотрицательное
число, определяемое следующими условиями:
I i I -х, если х < 0;
1 х, если х > 0.
Для любых вещественных чисел х и у имеют место неравенства
\х\ - \у\ < \х + у\ < \х\ + \у\.
4. Верхняя и нижняя грани. Пусть X = {х} — ограниченное
множество вещественных чисел. Число
т = inf {x}
называется нижней гранью множества X, если:
1) каждое х € Х2) удовлетворяет неравенству
х > т;
2) каково бы ни было е > 0, существует х' в X такое, что
х' < т + е.
11 В дальнейшем под словом число мы будем понимать
вещественное число, если не оговорено противное.
21 Запись х € X означает, что число х принадлежит множеству X.
§ 1. Вещественные числа
7
Аналогично число
М = sup {x}
называется верхней гранью множества X, если:
1) каждое х ? X удовлетворяет неравенству
х< М,
2) для любого е > 0 существует х" 6 X такое, что
х" > М - е.
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить, что
inf {x} = -СО;
если же множество X не ограничено сверху, то полагают
sup {x} = +°°.
5. Абсолютная и относительная погрешности. Если а (а Ф 0) есть
точное значение измеряемой величины, а х — приближенное значение
этой величины, то
Д = \х - а\
называется абсолютной погрешностью, а
— относительной погрешностью измеряемой величины.
Говорят, что число х имеет п верных знаков, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда,
выражаемого п-й значащей цифрой.
Применяя метод математической индукции, доказать, что для
любого натурального числа п справедливы следующие равенства:
l.l + 2 + ... + n= "(rc+1).
2
2. I2 + 22 + + п2 = nin+l){2n+l)
6
3. I3 + 23 + ... + п3 = A + 2 + ... + пJ.
4. 1 + 2 + 22+ ... + 2" = 2п - 1.
5. Пусть
аы = а(а - К) ... [а - (га - 1)А] и а[0) = 1.
Доказать, что
(а + Ь)[п] = ? С* atn ' m]fc[ml,
m - 0
где С^1 — число сочетаний из га элементов по гаг. Вывести отсюда
формулу бинома Ньютона.
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
6. Доказать неравенство Бернулли:
A + XjXl + Х2) ... A + Хп) > 1 + Х1 + Х2 + ... + Хп,
где х1г х2, •¦•, хп — числа одного и того же знака, большие -1.
7. Доказать, что если х > -1, то справедливо неравенство
A + х)п > 1 + пх (п > 1),
причем знак равенства имеет место лишь при х — 0.
8. Доказать неравенство
п\ < (!L7r)'' при п > 1.
Указание. Использовать неравенство
п + 1J V п + 1
9. Доказать неравенство:
а) 2! • 4! ... Bп)! > [(/г + 1)!]" при п > 1.
б) 1 . 3 ... 2?L^I < 1
2 4 2я 721ГТ1
10. Доказать неравенства:
а) 1 + ± + ± + .. + _L > fn (;г > 2);
б)/г'! + 1 > (я + l)"(ra > 3);
в)
< у sin х/г @ < хк < тс; /г = 1, 2, ..., /г);
г) B/г)! < 22"(/г!J.
11. Пусть с — положительное число, не являющееся точным
квадратом целого числа, и А/В — сечение, определяющее
вещественное число л/с, где в класс В входят все положительные
рациональные числа Ь такие, что Ь2 > с, а в класс А — все остальные
рациональные числа. Доказать, что в классе Л нет наибольшего
числа, а в классе В нет наименьшего числа.
12. Сечение А/В, определяющее число \/2 , строится
следующим образом: класс А содержит все рациональные числа а такие,
что а3 < 2; класс В содержит все остальные рациональные числа.
Доказать, что в классе Л нет наибольшего числа, а в классе В —
наименьшего.
13. Построив соответствующие сечения, доказать равенства:
а) л/2 + л/8 = л/18 ; б) л/2л/3 = л/б .
§ 1. Вещественные числа
9
14. Построить сечение, определяющее число 2^ .
15. Доказать, что всякое непустое числовое множество,
ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое
числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань.
16. Показать, что множество всех правильных
рациональных дробей — , где т и п — натуральные числа и 0 < т < п, не
имеет наименьшего и наибольшего элементов. Найти нижнюю
и верхнюю грани этого множества.
17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества
рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству
г2<2.
18. Пусть {-х} — множество чисел, противоположных
числам х е {х}. Доказать, что:
a) inf {-х} = -sup {х}; б) sup {-х} = -inf {x}.
19. Пусть {х + у] есть множество всех сумм х + у, где
хе {х}и у € {у}.
Доказать равенства:
а) inf {х + у} = inf {x} + inf {у};
б) sup {х + у} = sup {x} + sup {у}.
20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху, где
х € {х} и у € {у}, причем х > 0 и у > 0.
Доказать равенства:
a) inf {ху} = inf {x} inf {у}; б) sup {ху} = sup {х} sup {у}.
21. Доказать неравенства:
> \х\ - (\х,\ + ... + \х„
а)
б)
\х
\х
-у\
+ я.
> |
! +
м
-Ы1
+ X,
Решить неравенства:
22. |х + 1| < 0,01. 23. |х - 2| > 10.
24. |х| > |х + 1|. 25. |2х - 1| < \х - lj.
26. |х + 2| + |х - 2| < 12. 27. \х + 2| - |х| > 1.
28. ||х + 1| - |х - 1|| < 1. 29. |хA - х)| < 0,05.
30. Доказать тождество
+
31. При измерении длины в 10 см абсолютная погрешность
составляла 0,5 мм; при измерении расстояния в 500 км
абсолютная погрешность была равна 200 м. Какое измерение точнее?
32. Определить, сколько верных знаков содержит число
х = 2,3752,
если относительная погрешность этого числа составляет 1% .
10
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
33. Число
х= 12,125
содержит 3 верных знака. Определить, какова относительная
погрешность этого числа.
34. Стороны прямоугольника равны:
х = 2,50 см ±0,01 см,
у = 4,00 см ± 0,02 см.
В каких границах заключается площадь S этого
прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность А и относительная
погрешность 5 площади прямоугольника, если за стороны его принять
средние значения?
35. Масса тела т = 12,59 г ± 0,01 г, а его объем V = 3,2 см3 ±
±0,2 см3. Определить плотность тела и оценить абсолютную и
относительную погрешности плотности, если за массу тела и его
объем принять средние значения.
36. Радиус круга
г= 7,2м ±0,1 м.
С какой минимальной относительной погрешностью может быть
определена площадь круга, если принять п = 3,14?
37. Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:
х = 24,7 м ± 0,2 м,
у = 6,5 м ± 0,1 м,
2= 1,2 м±0,1 м.
В каких границах заключается объем V этого
параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями
может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его
измерения принять средние значения?
38. С какой абсолютной погрешностью следует измерить
сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы иметь
возможность определить площадь этого квадрата с точностью до
0,001 м2?
39. С какими абсолютными погрешностями Д достаточно
измерить стороны х тл у прямоугольника, чтобы площадь его
можно было вычислить с точностью до 0,01 м2, если
ориентировочно стороны прямоугольника не превышают 10 м
каждая?
40. Пусть 5 (х) и§({/) — относительные погрешности чисел х
и у, 8 (ху) — относительная погрешность числа ху.
Доказать, что 5 (ху) < 8 {х) + 8 (у) + 8 (хM (у).
§ 2. Теория последовательностей
11
§ 2. Теория последовательностей
1. Понятие предела последовательности. Говорят, что
последовательность хи х2, •••, хп, ... имеет своим пределом число а (короче,
сходится к а), т. е.
lim xn = а,
если для любого е > 0 существует число N = N {г) такое, что
\хп - а\< г при п > N.
В частности, хп называется бесконечно малой, если
lim x„ = 0.
Последовательность, не имеющая предела, называется
расходящейся.
2. Признаки существования предела.
1) Если
Уп < хп < 2„
lim (/„ = lim zn = с,
lim xn = с.
2) Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3) Критерий Коши. Для существования предела
последовательности х„ необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
N = N (с) такое, что
k - xn + p\<t,
если только п > N и р > 0.
3. Основные теоремы о пределах последовательностей.
Предполагая, что существуют
lim xn и lim уп,
имеем:
1)если х„ < j/„, то lim x„ < lim (/„;
„ ¦ ОО /, — ОТ)
2) lim (x„ + (/„) = lim x„ ± lim j/„;
« — со л —" °° /( — со
3) lim (x„ (/„) = lim д;л lim г/„;
Л- СО П —* <-Х> П~СО
lim x„
4) lim — = 2^— , если lim уп * 0.
п-оо Уп птуп л-»
12
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
4. Число е. Последовательность
[\ + i]" (я =1,2, ...)
имеет конечный предел
lim (l + -У = е = 2, 718 281 8284... .
п - со V Л/
5. Бесконечный предел. Символическая запись
lim хп = °°
л -^ со
обозначает, что, каково бы ни было Е > 0, существует число N = N (Е)
такое, что
|#п| > Е при п> N.
6. Предельная точка. Число ^ (или символ оо) называется
частичным пределом (предельной точкой) данной последовательности х„ (п =
= 1, 2, ...), если существует ее подпоследовательность
xPi, XP2, .... хРп, ... A <Pl <р2< ...)
такая, что
lim x = ?.
п — со
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере
один конечный частичный предел (принцип Болъцано—Вейерштрас-
са). Если этот частичный предел единственный, то он же является
конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный)
последовательности хп
lim xn
п — со
называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее
lim xn
П -~ СО
называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
lim хп = lim xn
П — СО П ~ СО
является необходимым и достаточным условием существования
предела (конечного или бесконечного) последовательности хп.
41. Пусть
*»= nil <«= '> 2' ->•
§ 2. Теория последовательностей
13
Доказать, что
lim хп
п — оз
1,
определив для каждого е > 0 число N = N (г) такое, что
\х„ - 1| < е, если п > N.
Заполнить следующую таблицу:
?
N
0,1
0,01
0,001
0,0001
42. Доказать, что х„ (п = 1, 2, ...) есть бесконечно малая (т. е.
имеет предел, равный 0), указав для всякого е > 0 число N = N (е)
такое, что \хп\ < ? при п > N, если:
л п3 + 1
а)хл
в) х„ = -j-;
г) хп = (-!)"• 0,999".
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
?
N
0,1
0,001
0,0001
43. Доказать, что последовательности:
а)*„ = (-1)ял, б) хп = 2^ , в) хп = lg (lg n) (n>2)
имеют бесконечный предел при п —* °° (т. е. являются бесконечно
большими), определив для всякого Е > 0 число N = iV (?) такое,
что |х„| > ? при /г > TV.
Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу:
Е
N
10
100
1000
10 000
44. Показать, что
х„ = п'
-IX"
(п=1, 2, ...)
не ограничена, однако не является бесконечно большой при
п —> оо.
45. Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения:
a) lim хп - оо; б) lim хп = -оо; в) lim xn = +оо.
Л —. оо л — °э л —* °°
14
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел,
определить значения следующих выражений:
ли 1:™ ЮОООл .„ ,. ( г—-Г _ /
48.
50.
51.
52.
53.
„ — оо
lim
п — °°
lim
lim
я — оо
lim
Л — ОС!
lim
II -~ ос
л2 + 1
V^sinn!
л + 1
1 + а + а2 + ..
\ + Ь + Ъ2+ ..
'1. +А +
уЯ2 Я2
I - 2 + 3
л л л
Г1 2 ?2
— + — +
.Я3 Л3
|->Ю
49. lim
-±? (W < 1, |b| < 1).
... + n-1V
л2 J
+ (-1)"'1»
л
я3 J'
(-2)" + 3"
(-2)"+1 + 3"+!
54. lim Г1! + «! +... + <2п-1)П.
Г1! +3!
[л3 л3
55. lim fi + |- + I- + ... + Ц^1
n-,x> U 22 23 2"
56. lim |JL + J_ + ... +
1
n-coLl'2 2-3 Л(Я+1)
57. lim f 72 V2 V2... 2'l/2].
П -* oo V /
Доказать следующие равенства:
58. lim -2- =0.
л-оо 2"
60. lim — = 0 (a > 1).
n — oo a"
59. lim — = 0.
61. lim ^ = 0.
«-•no л!
62. lim n?" = 0, если |<z| < 1. 63. lim nJa = 1 (a > 0).
/2 -' (.XI П -• Ofi
64. lim [-^^ = 0 (a > 1). 65. lim 'i/n =1.
Я —» oo Я /l --* oo
66. lim -1- = 0.
" -1X' "Jn\
67. Какое выражение больше при достаточно больших п:
а) 100/2 + 200 или 0,01л2?; б) 2" или л1000?;
в) 1000" или п\1
68. Доказать, что
'1 3 2л-Г
lim
п — oo V2 4
2л
0.
Указание. См. пример 9 б).
§ 2. Теория последовательностей
15
69. Доказать, что последовательность
Xn = {1 + i)" <ft = 1'2'-)
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность
У„ = A + ?)"'' (п=1,2,...)
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти
последовательности имеют общий предел
lim (l + i)" = lim (l + -У = е.
Указание. Составить отношения "* ' , —— и воспользоваться
*„ Уп - 1
неравенством примера 7.
70. Доказать, что
0 <е- (l + -X < - (п = 1, 2, ...).
V. я/ л
При каких значениях показателя п выражение ( 1 + - I будет
отличаться от числа е меньше чем на 0,001?
71. Пусть р„ (я = 1, 2, ...)— произвольная
последовательность чисел, стремящаяся к +оо, и #„ (л = 1, 2, ...) — произвольная
последовательность чисел, стремящаяся к -со (рп, qn g [-1, 0]).
Доказать, что
lim (l + !Y" = lim (l + IV" = e.
72. Зная, что
lim fl + -V =e,
n — t» V ray
доказать, что
lim fl + l + l+l+... + i
2! 3!
Вывести отсюда формулу
е=2+— +—+... + — +-2л-, (*)
2! 3! и! я!п
где 0 < 0Л < 1, и вычислить число е с точностью до 10 5.
73. Доказать, что число е иррационально.
16
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
74. Доказать неравенства
75. Доказать неравенства:
а) < In A + -) < - , где п — любое натуральное число;
п+ 1 V п) п
б) 1 + а < еа, где а — вещественное число, отличное от нуля.
76. Доказать, что
lim п ( а" - 1) = In о (а > 0),
л — оо
где In а есть логарифм числа а при основании е— 2, 718... .
Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и
ограниченной последовательности, доказать сходимость
следующих последовательностей:
77.x„=A,+ g; +-+Y& («=1.2, ••.), гдеPi{i = 0,1,2, ...)-
целые неотрицательные числа, не превышающие 9, начиная ср{.
78.*„-- т ¦:^ГГ-1-
79.*„ = A-Ш1-Г|...A- Х
27 V 4; V 2"
80.x„Hl + |)(l+|)...(l + i
81
Xj = 72 , х2 = V2 + л/1, ..., х„ = J2 + л/2 + ... + л/2 ,
/г корней
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих последовательностей:
82. хп = aQ + axq + ... + anq'\ где
\ak\ <M (k = 0, 1, 2, ...) и |<7| < 1.
оо „ _ sinl . sin2 , , sinn
' " 2 22 '" 2" '
cosn
84.x„=?2^ + ?222! + +
1-2 2-3 n(n+l)
85. x„= 1 + ^- +—+...+ —.
" 22 32 /i2
Указание. Воспользоваться неравенством
< -~r -^ ("=2,3,...).
пг я- 1 л
§ 2. Теория последовательностей
17
86. Говорят, что последовательность хп (га = 1, 2, ...) имеет
ограниченное изменение, если существует число С такое, что
1*2 ~ xi\ + \хз ~ х-г\ + ••• + \хп ~ хп - il < С (л = 2, 3, ...).
Доказать, что последовательность с ограниченным
изменением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности, не
имеющей ограниченного изменения.
87. Сформулировать, что значит, что для данной
последовательности не выполнен критерий Коши.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
последовательности
х =1 + 1+1+ + I
" 2 3 л
89. Доказать, что если последовательность хп (га = 1, 2, ...)
сходится, то любая ее подпоследовательность хп также сходится
и имеет тот же самый предел:
lim х = lim xn.
90. Доказать, что монотонная последовательность будет
сходящейся, если сходится некоторая ее подпоследовательность.
91. Доказать, что если
lim xn = а,
ТО
lim |x„| = \а\.
П ¦• ОС
92. Если хп —> а, то что можно сказать о пределе lim —^ ?
93. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность
ограничена.
94. Доказать, что сходящаяся числовая последовательность
достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани,
либо той и другой.
Построить примеры последовательностей всех трех типов.
95. Доказать, что числовая последовательность хп (га = 1, 2, ...),
стремящаяся к +оо, обязательно достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности хп (га = 1, 2, ...),
если:
96.*п=*-\ 97.*„=-#-. 98.*„=±°^.
" 2" ' 100 +п " га!
18
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти наименьший член последовательности хп (п = 1, 2, ...),
если:
99. *,, = п2-9п- 100. 100. хп = га + Ш-.
Для последовательности хп (п = 1, 2, ...) найти inf #„, sup xn,
lim x„ и lim хп, если:
101. а) хп = 1 - I; б) х„ = (-1)" -1 [2 + |
юа.^ш + ж-п-.
п 2
103. х = 1 + -5- cos 25.
л + 1 2
п(п- 1)
104. х„= 1 + 2 (-1)л + 1 + 3 • (-1) 2 .'
105. х„ = 5^1 cos ^ . 106. jc. = (-1)"л.
" п +1 3
107. хп = -п[2 + (-1)"]. 108. х„ = п''".
109. х, = 1 + п sin ^. НО. г - !
л- 10, 2
Найти lim xn и lim xn, если:
/J -^ СО Л - • ОО
111.x„=-^— cos^. 112. jc_ = [ 1 + - I -(-l)" + sin- .
" 1 + л2 3 " l n) ' 4
113. xn = -2— sin2 HL . 114. xn = "Vl + 2"(-i)".
" л + 1 4
115. x„ = cos" —.
Найти частичные пределы следующих последовательностей:
lift I I I 3 1 7 J_ 2"-1
2' 2' 4' 4' 8' 8' •"" 2"' 2" ' '" '
117. l,I,l + I,I,l + I,I+I,I,l + i,I+I,I+I,
2 23 32 34 42 43 4
1 I 1 + I I + 1 1 _,. 1 1
5» 7 7 — 'О Т---7 - J -,
л л 2 л л - 1 л л + 1
t1tt 1121231234
2334445555
119. хп = 3 ( 1 - Л +2 (-1)"
120. х„= |[(а + Ь) + (-1)"(о-*)].
§ 2. Теория последовательностей
19
121. Построить пример числовой последовательности, име-
щей в качестве своих частичных пределов данные числа
<2], (Х2> •••> О-р-
122. Построить пример числовой последовательности, для
которой все члены данной числовой последовательности
Gj, Я2, ¦¦•> <2/i> •¦•
являются ее частичными пределами. Какие еще частичные
пределы обязательно имеет построенная последовательность?
123. Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный предел,
но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое
вещественное число.
124. Доказать, что последовательности хп и уп = хп "Jn
(п = 1, 2, ...) имеют одни и те же частичные пределы.
125. Доказать, что из ограниченной последовательности хп
(п= 1, 2, ...) всегда можно выделить сходящуюся
подпоследовательность х (п = 1, 2, ...).
126. Доказать, что если последовательность хп (п — 1, 2, ...)
не ограничена, то существует подпоследовательность хр такая,
что
lim х = оо.
П — СП "
127. Пусть последовательность хп (п = 1, 2, ...) сходится, а
последовательность у„ (п — 1, 2, ...) расходится. Что можно
утверждать о сходимости последовательностей:
а) хп + у„; б) хпуп1
Привести соответствующие примеры.
128. Пусть последовательности хп и уп (п = 1, 2, ...)
расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:
а) хп + уп; б) хпуп
также расходятся?
129. Пусть lim хп = 0, и уп (т = 1, 2, ...) — произвольная
последовательность. Можно ли утверждать, что lim х,,уп = О?
П — СО
Привести соответствующие примеры.
20
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
130. Пусть
lim хпуп = 0.
Следует ли отсюда, что либо lim хп = 0, либо lim yn = 0?
Рассмотреть пример: хп = + '"" ^ , z/,t = ~ ^ ~ ' (/г = 1, 2, ...)¦
131. Доказать, что:
а) lim хп + lim уп < lim (хп + уп) < lim xn + lim у„;
л —> оо л —* со п—оо я ~* оо л —* оо
б) lim xn + lim yn < lim (х„ + у„) < lim х„ + lim yn.
II --> со Л —* со Л —' оо л ~^ о° Л —* °°
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место
строгие неравенства.
132. Пусть хп > 0 и уп > 0 (п = 1, 2, ...). Доказать, что:
а) lim *„ • lim у„ < lim (х„#л) < lim x„ ¦ lim y„;
П -• оо п —» СО П-*оо П-'ОО Л — оо
б) lim х„ • lim ?/„ < lim (х„г/„) < lim xn • lim г/„.
Л --' СО Л —' ОО Л -* СО П -1 СО л -' СО
Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место
строгие неравенства.
133. Доказать, что если lim xn существует, то какова бы ни
Л— ОО
была последовательность уп (я = 1, 2, ...), имеем:
а) lim (хп + уп) = lim xn + lim yn;
п -- со п -* lxi п —• 'XI
б) lim (*„!/„) = lim xn • lim у,, (дг„ > 0).
Л -^ ОО Л ^ СО /[ — ОО
134. Доказать, что если для некоторой последовательности хп
(п= 1, 2, ...), какова бы ни была последовательность уп (п = 1,
2, ...), имеет место по меньшей мере одно из равенств:
а) Пт (хп + г/„) = Пт хп + йт уп
Л -^ СО л -^ СО л - ' °С
или
б) lim (xnyn) = lim хл • lim yn (хп > 0),
П-ОО Л ^ ОО Л"'СО
то последовательность хп — сходящаяся.
135. Доказать, что если хп > 0 (п = 1, 2, ...) и
lim хп ¦ lim — =1,
Л -^ оо я ^ °с .Г
то последовательность хп — сходящаяся.
§ 2. Теория последовательностей
21
136. Доказать, что если последовательность хп (п = 1, 2, ...)
ограничена и
lim (хп 1 j - #„) = О,
л -¦ ос
то частичные пределы этой последовательности расположены
всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
I = lim х„ и L = lim x,,,
•т.е. любое число из отрезка [I, L] является частичным пределом
данной последовательности.
137. Пусть числовая последовательность xlt x2, ..., хп, ...
удовлетворяет условию
0< хт + п< хт + хп (т, п = 1, 2, ...).
х
Доказать, что lim —- существует.
П -. оо II
138. Доказать, что если последовательность хп {п = 1, 2, ...)
сходится, то последовательность средних арифметических
\п = - (Xi+ Х2 + ... + Хп) (П = 1, 2, ...)
также сходится и
lim — —— - — lim x„
Обратное утверждение неверно: построить пример.
139. Доказать, что если
lim xn = +оо,
то
hm — - - = +оо.
140. Доказать, что если последовательность хп (п= 1, 2, ...)
сходится и хп > 0, то
lim ijxxx2...xn = lim х„.
n — оо п — оо
141. Доказать, что если хп > 0 (п — 1, 2, ...), то
lim «У^п = lim -^ >
предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего
равенства, существует.
22
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
142. Доказать, что lim -^- = е.
143. Доказать теорему Штольца, если
а)у„ + 1 > Уп (п= 1, 2, ...); б) lim уп = + оо,
л — °°
в) существует lim " *'
ТО
lim Ь = lim x"
Л —оо (/„ л-оо Уп+1-уп
144. Найти:
a) lim 2? (а > 1); б) lim 1-&± .
л —• + оо ап л -» + оо Я
145. Доказать, что если р — натуральное число, то:
а) lim 1'+2'+... + д'„_^.
„ - ОО д? + ' Р + 1
б) lim fl' + 2' + ... + B'_ Q = l •
П-со ^ „Р р+ 1) 2
в) lim 1^3'+... + Bя-1/,Х..
Я-°° пР*1 р+1
146. Доказать, что последовательность
х, = 1 + - + - + ... + - -\пп (п = 1, 2, ...)
" 2 3 га
сходится.
Таким образом, имеет место формула
1+1 +1 +...+ - =С+In п + е,„
2 3га
где С= 0,577216... — так называемая постоянная. Эйлера и
г„ —>¦ 0 при /г —>¦ оо.
147. Найти lim (—L- + _i_ + . -. 1
л — оо v/i + 1 л+2 2/гу
148. Последовательность чисел хп (п = 1, 2, ...) определяется
следующими формулами:
*! = а, *2 = 6, х„= х"-' + х--2 (П = з,4,...).
Найти lim хя.
Л ^ оо
149. Пусть хп (п = 1, 2, ...) — последовательность чисел,
определяемая следующей формулой:
*о>0, *,M=|x,+ i) (n = 0, 1, 2, ...).
Доказать, что lim xn = 1.
П -' оо
§ 3. Понятие функции
23
150. Доказать, что последовательности хп и уп (п = 1, 2, ...),
определяемые следующими формулами:
, [ X г] + у п
X] —Я, У\ — О, ХпЛ j — л]Хпуп , уп + j — ,
имеют общий предел
ц (а, Ь) — lim x„ = lim yn
п -• со а — ^
(арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь).
§ 3. Понятие функции
1. Понятие функции. Переменная у называется однозначной
функцией /от переменной х в данной области изменениях = {х}, если каждому
значению х € X ставится в соответствие одно определенное действительное
значение у = f(x), принадлежащее некоторому множеству У = {у}.
Множество X носит название области определения или области
существования функции f(x); У называется множеством значений этой
функции. В простейших случаях множество X представляет собой или
открытый промежуток (интервал) ]а, b[ — (a, b): a< x <b, пли
полуоткрытые промежутки ]а, Ь] = (а, Ъ\. а < х < Ъ и [а, Ь[ = [а, Ь): а < х < Ь, или
замкнутый промежуток (сегмент) [а, Ь\. а < х < Ъ, где а и b — некоторые
вещественные числа или символы -оо и +оо (в этом случае равенства
исключаются).
Если каждому значению х из X соответствует одно или несколько
значений у = f(x), то у называется многозначной функцией от х.
2. Обратная функция. Если под х понимать любое значение,
удовлетворяющее уравнению
fix) = у,
где у — фиксированное число, принадлежащее множеству значений У
функции f(x), то это соответствие определяет на множестве У
некоторую, вообще говоря, многозначную функцию
х = Г\у),
называемую обратной по отношению к функции f(x). Если функция
У = {(х) монотонна в строгом смысле, т. е. f(x2) > {(хЛ) (или,
соответственно, f(x2) < f(xx)) при х2> хи то обратная функция х = f\y) является
однозначной и монотонной в том же смысле.
Определить области существования следующих функций:
151. у = ~ . 152. у = J3x - х3.
1 + х
153. у = (х-2) Щ.
24
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
154. а) у = log {х2 - 4); б) у = log (х + 2) + log (х - 2).
155. г/ = Jsin(Jx).
157. у = lg (sin
159. у = arcsin
я
X)
2x
1 + x '
156. г/ = Jcosx2.
158. у = -&- .
sinnx
160. (/ = arccos B sin x).
161. у = lg [cos (lg x)]. 162. i; = (x + |x|) V-*:sin27ix.
163. /y = ctg nx + arccos Br).
164. гу = arcsin A - x) + lg (lg x).
165. а) у = Bx)!; б) у = log2 log3 log4 x; в) гу = Vlgtgx .
г) у = Vsin2x + Vsin3x @ < x < 2n).
Определить области существования и множество значений
следующих функций:
167. у = lg A - 2 cos x).
166. у = л/2 + х - х2.
168. у = arccos x
1 + х2
169. у = arcsin (lg ^
170. у = (-1)г.
171. В треугольник ABC (рис. 1), основание которого АС = Ь
и высота BD = /г, вписан прямоугольник KLMN, высота которого
NM = х. Выразить периметр Р прямоугольника KLMN и его
площадь S как функции от х.
Построить графики функций Р = Р (х) и -S = S (х).
172. В треугольнике ABC сторона АВ = 6 см, сторона АС = 8 см
и угол ВАС = х. Выразить ВС = о и площадь S треугольника ABC
как функции переменной х. Построить графики функций а — а (х)
и S = S (х).
Рис. 1
Рис. 2
§ 3. Понятие функции
25
173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2), основания
которой AD = а и ВС = b (а > Ь), а высота НВ = h, проведена
прямая MN || НВ и отстоящая от вершины А на расстоянии
AM — х. Выразить площадь S фигуры ABNMA как функцию
переменной х. Построить график функции: -S = S (х).
174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох равномерно распределена
масса, равная 2 г, а в точках этой оси х = 2 и х = 3 находятся
сосредоточенные массы по 1 г в каждой. Составить
аналитическое выражение функции т = т (х) (~сю < х + оо), численно
равной массе, находящейся в интервале (-оо, х), и построить график
этой функции.
175. Функция у = sgn х определяется следующим образом:
1-1, если х < 0;
sgn х = <) 0; если х = 0.
1, если х > 0.
Построить график этой функции. Показать, что
\х\ = х sgn х.
176. Функция у = [х] (целая часть числа х) определяется
следующим образом: если х = п + г, где п — целое число и 0 < г < 1,
то [х] = п. Построить график этой функции.
177. Пусть
у = п (х) (х> 0)
обозначает число простых чисел, не превышающих числа х.
Построить график этой функции для значений аргумента 0 < х < 20.
На какое множество Еу отображает множество Ех функция
у = f{x), если:
178. г/ = х2, Ех={-1 < х<2}.
179.i/ = lgx, ?, = {10 < ж < 1000}.
180. г/ = - arcctg х, Ех = {-со < х < оо}.
я
181.y = ctg^, ?, = {0 < |х| < 1}.
182.у = \х\, Ех = {1 < |х| < 2}.
Переменная х пробегает интервал 0 < х < 1. Определить,
какое множество пробегает переменная у, если:
183. у = а + (Ь- а)х. 184. у = —!— .
1 - х
185. у = -^— . 186. у = Vx-x2.
у 2х-1 ^
187. у = ctg 7ix. 188. у = х + [2х].
26
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
189. Найти /@), /A), /B), /C), /D), если
f(x) = х4 - 6х3 + Их2 - 6х.
190. Найти /(-1), Я-0,001), /A00), если
/(X) = lg X2.
191. Найти / @,9), / @,99), / @,999), / A), если
/ (х) = 1 4- [х].
192. Найти /(-2), /(-1), /@), /A), /B), если
,, * }1 + х при -°о < х < 0,
| 2х при 0 <х<+оо.
193. Найти /@), /(-х), /(х 4- 1), /(х) + 1, /(Г), J- , если
\х) f(x)
f(x) = i^?.
1 +х
194. Найти значения х, для которых: 1) /(х) = 0; 2) /(х) > 0;
3) f(x) < 0, если:
а)/(х) = х-х2; 6)/(x) = sin-; в)/(х) = (х + |х|)A - х).
х
195. Найти ф(х) = f(x + h)-f(x), если:
а) /(х) = ах + Ь; б) fix) = х2; в) /(х) = ах.
196. Пусть
/(х) = ах2 + Ьх + с.
Показать, что
fix + 3) - 3/(х + 2) + 3/(х + 1) - fix) = 0.
197. Найти целую линейную функцию
fix) = ах + Ь,
если /@) = -2 и /C) = 5.
Чему равны /A) и /B) Линейная интерполяция)?
198. Найти целую рациональную функцию второй степени:
fix) = ах2 + Ьх + с,
если /(-2) = 0, /@) = 1, /A) = 5.
Чему равны /(-1) и /@,5) квадратичная интерполяция)?
199. Найти целую рациональную функцию третьей степени:
fix) = ах3 + Ьх2 + сх + d,
если /(-1) = 0, /@) = 2, /A) = -3, /B) =5.
§ 3. Понятие функции
27
200. Найти функцию вида
/(х) = а + Ьсх,
если /@) = 15, /B) = 30, /D) = 90.
201. Доказать, что если для линейной функции
/(х) = ах + Ь
значения аргумента х = х„ (п = 1, 2, ...) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции уп = /(х„)
(п — 1, 2, ...) образуют также арифметическую прогрессию.
202. Доказать, что если для показательной функции
f{x) = ах (а > 0)
значения аргумента х = хп (п — 1, 2, ...) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие значения функции уп = f(xn)
(п = 1, 2, ...) образуют геометрическую прогрессию.
203. Пусть функция f(u) определена при 0 < и < 1. Найти
области определения функций:
a) /(sin x); б) /(In x); в) f(№
204. Пусть
/(*)= |(а* + а-*) (а>0).
Показать, что
205. Пусть
Определить г, если:
f(x + y) + fix -y) = 2f(x)f(y).
fix) + fiy) = fiz).
a) /(x) = ax; 6) fix) = I;
x
в) fix) = arctg x (|x|) < 1; r) fix) = log
1 + x
1-х
Найти ф[ф(х)], v|/[\|/(x)], (р[у(х)] и \)/[ф(х)], если:
206. ф(х)«=х2и\|/(х)= 2х.
207. ф(х) = sgn х и \|/(х) = - .
0прих<0, . . @прих<0
„и \(/(х) = i ?
х при х > 0 -х прих>0.
208.ф(х) = Г^ ^Сп и?(х)-,_ „
28
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
209. Найти f[f(x)], f{f[f(x)]}, если f(x)
210. Пусть
fn(x) = /(/(.. .fix))).
Найти fn(x), если fix) =
п раз
X
Jl + x2'
211. Найти f{x), если f{x + 1) = х2 - Зх + 2.
212. Найти f(x), если / (х +-\ = х2 + \ (\х\ > 2
213. 1. Найти f{x), если f(-) = х 4- Jl + x2 (х > 0).
2. Найти /(л:), если / ( —?—) = х2.
\х+ 1J
Доказать, что следующие функции являются монотонно
возрастающими в указанных промежутках:
214. fix) = х2 @ < х < +оо).
215. fix) = sin x f-| < х < |j .
216. fix) = tg x {-\<x<\
217. fix) = 2x + sin x (-00 < x < +oo).
Доказать, что следующие функции являются монотонно
убывающими в указанных промежутках:
218. f(x) = х2 (-00 < х < 0). 219. /(х) = cos х @ < х < л).
220. /(х) = ctg х @ < х < 71).
221. Исследовать на монотонность следующие функции:
a) fix) = ах + Ъ; б) fix) = ах2 + Ьх + с;
в) /(х) = хя; г) /(х) = ™±* ;
сх + а
д) f(x) = ax (а > 0).
222. Можно ли почленно логарифмировать неравенство?
223. Пусть ф(х), V|/(x) и fix) — монотонно возрастающие
функции. Доказать, что если
ф(х) < fix) < у(х),
то
ф[ф(х)] < /[/(X)] < \|/[\|/(*)].
§ 3. Понятие функции
29
Определить обратную функцию х = ф(у) и ее область
существования, если:
224. у = 2х + 3 (-оо < х < +оо).
225. у = х2; а) -оо < х < 0; б) 0 < х < +оо.
226. у =1^ (х*-1).
1 + х
227. у = 71 -л:2; а) -1 < х < 0; б) 0 < х < 1.
228. г/ = sh х, где sh х = i (е* - е~х) (-оо < х < +оо).
229. у = th х, где th х = е"" е" (-оо < х < +оо).
е* + е~х
f х, если -оо < х < 1;
230. г/ = < х2, если 1 < х < 4;
[ 2х, если 4 < х < +оо.
231. Функция f(x), определенная в симметричном интервале
(-1, I), называется четной, если
Я-х) = /(х);
и нечетной, если
Я-х) = -/(*).
Определить, какие из данных функций f(x) являются
четными, а какие нечетными:
a) f(x) = Зх - х3; б) Дх) = УA - хJ + УA + хJ;
в) f(x) = ах + а* {а > 0); r) f(x) = In l=-? ;
1 + х
д) Я*) = In (х + лДТх1).
232. Доказать, что всякую функцию f(x), определенную в
симметричном интервале (-1, I), можно представить в виде
суммы четной и нечетной функций.
233. Функция f(x), определенная на множестве Е,
называется периодической, если существует число Т > 0 (период
функции — в широком смысле слова!) такое, что
f(x ± Т) = f(x) при х ? Е.
Выяснить, какие из данных функций являются
периодическими, и определить наименьший период их, если:
а) f(x) = A cos Ax + В sin Ax;
б) f(x) = sin x + - sin 2x + - sin Зх;
Z о
в) f(x) = 2 tg | - 3 tg |; r) f(x) = sin2 x;
д) Я*) = sin x2; e) Я*) = л/tg* ;
ж) f(x) = tg Jx ; з) Я*) = sin x + sin (x*/2 ).
30
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
234. Доказать, что для функции Дирихле
у (х\_ ]1.если храционально,
|0,если хиррационально,
периодом является любое рациональное число.
235.1. Доказать, что сумма и произведение двух
периодических функций, которые определены на общем множестве и
периоды которых соизмеримы, есть функции также
периодические.
2. Функция f(x) называется антипериодической, если
f{x + Т) = -f(x) (T > 0).
Доказать, что f(x) — периодическая функция с периодом 2Т.
236. Доказать, что если для функции f(x) (-00 < х < +°о) вы_
полнено равенство f(x + Т) = kf(x), где k и Т — положительные
постоянные, то f{x) = ахц>(х), где а — постоянная, а ф(х) —
периодическая функция с периодом Т.
§ 4. Графическое изображение функции
1. Для построения графика функции у = f(x) поступают следующим
образом:
1) определяют область существования функции X = {х};
2) выбирают достаточно густую сеть значений аргумента хх, х2, ¦¦¦, х„
из X и составляют таблицу соответствующих значений функции
0, = /(*,) (/=1,2, .... л);
3) наносят систему точек М^х,, у:) (I = 1, 2, ..., п) на координатную
плоскость Оху и соединяют их линией, характер которой учитывает
положение промежуточных точек.
2. Чтобы построить грамотно график функции, следует изучить
общие свойства этой функции.
В первую очередь нужно: 1) решив уравнение f(x) = 0, определить
точки пересечения графика функции с осью Ох (нули функции);
2) установить области изменения аргумента, где функция
положительна или отрицательна; 3) если возможно, выяснить промежутки
монотонности (возрастания или убывания) функции; 4) изучить поведение
функции при неограниченном приближении аргумента к граничным
точкам области существования функции.
В этом параграфе предполагается, что свойства простейших
элементарных функций — степенной, показательной, тригонометрических и
т. п., известны читателю.
Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая большой
вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков многих
функций. Другие графики иногда удается свести к комбинации (сумме или
произведению и т. п.) этих простейших графиков.
§ 4. Графическое изображение функции
31
237. Построить график линейной однородной функции
у = ах
при а = 0, - , 1, 2, -1.
238. Построить график линейной функции
у = х + Ъ
при 6= 0, 1, 2, -1.
239. Построить графики линейных функций:
а) у =2х + 3; б)у=2-0,1х; в)у = ---1.
240. Температурный коэффициент линейного расширения
железа а — 1,2 • 10~Г) К-1. Построить в подходящем масштабе
график функции
I = КТ) (-40 К < Т < 100 К),
где Т — температура и I — длина железного стержня при
температуре Т, если I = 100 см при Т = 0 К.
241. По числовой оси движутся две материальные точки.
Первая в начальный момент времени t = 0 находилась на 20 м
влево от начала координат и имела скорость vt = 10 м/с; вторая
при t = 0 находилась на 30 м вправо и от точки О и имела
скорость v2 = -20 м/с. Построить графики уравнений движений
этих точек и найти время и место их встречи.
242. Построить графики целых рациональных функций 2-й
степени (параболы):
а) у = ах2 при а = 1, - , 2, -1;
б) г/ = (х - х0J при х0 = 0, 1, 2, -1;
в) у = х2 + с при с = 0, 1, 2, -1.
243. Построить график квадратного трехчлена
у = ах2 + 6с + с,
приведя его к виду
у = у0 + а(х - х0J.
Рассмотреть примеры:
а) у = 8х - 2х2; в) у = -х2 + 2х - 1;
б)г/= х2 - Зх + 2; г) у = )¦ х2 + х + 1.
244. Материальная точка брошена под углом а = 45° к
плоскости горизонта с начальной скоростью v0 = 600 м/с. Построить
график траектории движения и найти наибольшую высоту
подъема и дальность полета (считать g ~ 10 м/с2,
сопротивлением воздуха пренебречь).
32
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Построить графики целых рациональных функций степени
выше второй:
245. у = х3+1. 246. z/ = (l - х2)B + х).
247. у = х2 - х4. 248. у = х(а - хJ (а + хK (а > 0).
Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы):
249. у = - . 250. у = i^ .
X 1 + X
251. Построить график дробно-линейной функции
= Ч1±± (ad - be * 0, с * 0),
сх + а
приведя ее к виду у = уа +
Рассмотреть пример у
Зх+ 2
2х-3
252. Газ при давлении р0 = 1 Па занимает объем V0 = 12м3.
Построить график изменения объема Кгаза в зависимости от
давления р, если температура газа остается постоянной (закон
Бойля—Мариотта).
Построить графики дробных рациональных функций:
253. у = х + - .
у х
254. у = х2 + - (трезубец Ньютона).
255. и = х + — . 256. и = (кривая Аньези).
у х2 у 1 + х2 v ^ '
2х
257. у = (серпантин Ньютона).
258. у = -Ц . 259. у = -?- .
1-х2 1-х2
260. у = —!— - - + —!— . 261. у = -J— - — + *
1 + л: ж 1 - л: 1 + л: х2 1-х
262. v = (*+1)(*~2).
w (*-l)(x+2)
263. Построить эскиз графика функции
ах2+Ъх+с , . л,
у = — (аг * 0),
ахх+Ъ\
приведя ее к виду
у = kx + т. + —-— .
§ 4. Графическое изображение функции
33
Рассмотреть пример
!-4х + 3
У
х+ 1
264. Построить график изменения силы притяжения F
материальной точки, находящейся на расстоянии х от
притягивающего центра, если F = 10 Н при х = 1 м {закон Ньютона).
265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем V реального
газа и его давление р при постоянной температуре связаны
соотношением
(р+±)(Г-Ъ) = с.
Построить график функциир =p(V), если а = 2,6 =0,1 ис = 10.
Построить графики иррациональных функций:
266. у = ± V- * - 2 (парабола).
267. у = ±xjx (парабола Нейля).
268. у = ±^Ю0-л:2 (эллипс).
269. у = ±Jx2- 1 (гипербола).
270. г/ = ± /— . 271. y = ±xjl00-x2
V1 + х
272. у = ±x_|^i— (циссоида).
273. у = +V(*2-l)(9-x*).
274. Построить график степенной функции у = ж" при:
а) п =1,3, 5; б)п=2, 4, 6.
275. Построить график степенной функции у = хп при:
а) и =-1,-3; б)п=-2,-4.
276. Построить график радикала у = "\[х при:
а) /п = 2, 4; б) т = 3, 5.
277. Построить график радикала г/ = mJxk, если:
а) т = 2, /г = 1; б) m = 2, ft = 3; в) /n = 3, ft = 1;
г) /7i = 3, ft = 2; д) то = 3, ft = 4; e) m = 4, ft = 2;
ж) т = 4, ft = 3.
278. Построить график сложной показательной функции у = а
при а = - , 1, 2, е, 10.
34
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
279. Построить график сложной показательной функции
у = е, если:
а) у1 = хг\ б) у1 = -х2; в) у1 = 1;
280. Построить график логарифмической функции у = loga x
при a = - , 2, е, 10.
2
281. Построить графики функций:
а) у = In (-х), б) у = -In (х).
282. Построить график сложной логарифмической функции
у = In г/а, если:
а);/! = 1 + х2; б) j/i = (х - 1)(х - 2J (х - ЗK;
1 + х х1-
283. Построить график функции у = \ogx 2.
284. Построить график функции у — A sin х при А = 1, 10, -2.
285. Построить график функции у = sin (х - х0), если х0 = 0,
71 Я ЗЛ „,
4'2'Т'Я-
286. Построить график функции (/ = sin пх, если /г = 1, 2, 3,
1 1
2 ' 3 "
287. Построить график функции у = a cos x + b sin x, приведя
ее к виду у = A sin (х - х0).
Рассмотреть пример: у = 6 cos x + 8 sin x.
Построить графики тригонометрических функций:
288. у = cos х. 289. .г/ = tg x.
290. г/ = ctg х. 291. г/ = sec x.
292. у = esc х. 293. у = sin2 x.
294. у = sin3 х. 295. у = ctg2 x.
296. у = sin х • sin Зх. 297. у = ±Jcosx .
Построить графики функций:
298. у = sin х2. 299. у = sin-.
х
300. а) у = cos- ; б) и = sin x • sin- .
х х
§ 4. Графическое изображение функции
35
301. а) у = tg- ; б) у = seci .
302. у = х B + sin -) . 303. у = ±Jl - х2 sin^,
SIM
304. у = Siiii . 305. у = е* cos х.
306. у = ±2-* VsinTtx . 307. у = ^25i .
308. у = In (cos х). 309. у = cos (In x).
i_
sin л'
310. у = е
Построить графики обратных круговых функций:
311. у = arcsin х. 312. у = arccos x.
313. у = arctg х. 314. у = arcctg х.
315. u = arcsin - . 316. у = arccos - .
х х
317. у = arcctg - . 318. у = arcsin (sin x).
х
319. j/ = arcsin (cos x). 320. у = arccos (cos x).
321. у = arctg (tg x). 322. у = arcsin B sin x).
323. Построить график функции у = arcsin г/j, если:
У1 = 1; В)У1=ТГх;
б) Уг = т-^4 ; г) ^ = е*-
1 + хг
324.1. Построить график функции у = arctg у1; если
а)у, = х2; б) у, = — ;
xJ
2. Построить графики функций:
а)у, = х2; б) у, = — ; в) ух = In х; г) ух = -—
х1 smx
з о , п ^ч хл
~- -v-o .1.-14. j-_ \ . .
а) у = х3 - Зх + 2; б) у =
A-х)A + хJ'
в) у = г—j-; г) у = V*(i-x2);
fl)y = 3sin(|+=]; e)y = ctg^-2;
ж)у= —-— ; з) у = lg (x2 - Зх + 2);
1-21дг
36
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
и) у = arcsin (| - sin х) ; к) у « arctg(-L. + _i- + -i_) ;
л) У = logcos x sin х; м) у = (sin x)ctg *.
325. Зная график функции у = /(х), построить графики
функций:
а) у = -/(х); б) у = /(-х); в) у = -/(-х);
г) У = /(х - х0); д) у = у0 + /(х - х0); е) у = /Bх);
ж) у = /"(/ex + fo) (/z ^ 0).
326. Пусть
J1 - |х| при |х| < 1;
Лх)=|0 при|х|>1.
Построить графики функций:
У= \ Ш* ~ t) + f{x + t)]
при (=0, t= lnt= 2.
327. Построить графики функций:
а) у = 2 + УГ=~х ; б) у = 1 - «г*;
в) у = In A + х); г) у = -arcsin A + х);
д) у = 3 + 2 cos Зх.
328. Зная график функции у = /(х), построить графики
функций:
а) у = |/(*)|; б) у = | (|/(х)| + /(х)); в) у
г) у = /2(х); д) у = 7/(х) ; е) у
ж) у = /(/(х)); з) у = sgn /(x); и) у
329.1. Пусть
/(х) = (х - а)F - х) (а < Ь).
Построить графики функций:
а)у = /(х); б)у=/2(х); в) у
г) у = Jf(x) ; д) у = е'м; е) у
ж) у = arcctg /(x).
2. Построить графики функций:
а) у = arcsin [sin f(x)]; б) у = arcsin [cos /(x)];
в) у = arccos [sin Ах)]; г) у = arccos [cos A*)];
д) у = arctg [tg Ал:)],
если: 1) А*) = х2; 2) f(x) = х3.
= \(\f(x)\-f(x)
1
2
In f(x);
[А*)]-
1
lg fix);
§ 4. Графическое изображение функции
37
330. Зная графики функций у = fix) и у = g(x), построить
графики функций:
а) у = f(x) + g(x); б)у= Rx)g(x); в) у = f(g(x)).
Применяя правило сложения графиков, построить графики
следующих функций:
331. у = 1 + х + ех. 332. у = (х + iy2 + (x~ IJ.
333. у = х + sin х. 334. у = х + arctg x.
335. у = cos х + - cos 2x + - cos Зх.
336. и = sin х - - sin Зх + - sin 5x.
у 3 5
337. у = sin4 х + cos4 х. 338. у = |l - х\ + |l + х|.
339. у = |1 -х| - |1 + *|.
340. Построить графики гиперболических функций:
а) у = ch х, где ch х = - (ех + е~*);
б) у = sh х, где sh л: = - (ех - е^*);
в) у = th х, где th х = —— .
епд:
Применяя правило умножения графиков, построить графики
функций:
341. у = х sin х. 342. у = х cos x.
343. у= х2 sin2 х. 344. у = -^?-.
1 + х2
345. у = е-*2 cos 2х. 346. у = х sgn (sin x).
347. у = [х] jsin тиф 348. у = cos х • sgn (sin x).
349. Пусть
1 - |х|, если |х| < 1;
0, если |х| > 1.
Построить график функции у = f(x)f(a - x), если:
а) а = 0; б)а=1; в) а = 2.
350. Построить график функции у = х + Jx sgn (sin ях).
Построить график функции у = -— , если:
f(x)
351. f(x) = х2A - х2). 352. Кх) = хA - хJ.
353. f(x) = sin2 x. 354. f(x) = In x.
355. f{x) = ex sin x.
38
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
356. Построить график сложной функции
У = /("),
где и = 2 sin x, если
-1 при -оо < и < -1;
/(«) = < цпри-1 < и< 1;
I 1при 1 < и < +оо.
357. Пусть
1 г , л \х, если х < 0;
ф(*) = и * + \х\\ и ш(х) = i 2 -> п ¦
^к ' 2 ^ ' v TV ' [х , если х > 0.
Построить графики функций:
a) У = ф[ф(*)]; б) у = ф[\|/(х)];
в) У = 1|/[ф(лг)]; г) у = V|/[v|/(x)].
358. Пусть
. . Г1, если |х| < 1; f 2 - х2, если |х| < 2;
ф(х) = 1П /и ш(х) = -4 _ о
TV 10, если|х|>1 vv ' 12, если|х|>2.
Построить графики функций:
а) У = ф[ф(*)]; б) г/ = ф[\|/(х)];
в) у = у[ф(х)]; г) г/ = \|/[\|/(х)].
359. Функцию /(х), определенную в положительной области
х > 0, продолжить в отрицательную область х < 0 таким образом,
чтобы полученная функция была: 1) четной; 2) нечетной, если:
a) f(x) = 1 - х; б) /(х) = 2х - х2; в) /(х) = Jx ;
г) f(x) = sin х; д) f(x) = ех; е) Дх) = In x.
Построить соответствующие графики функций.
360. Определить, относительно каких вертикальных осей
симметричны графики функций:
^ , ,.. , .. „,..1,1
а) у = ах + Ьх + с; б) у = — +
A-хJ'
в) у = Ja + х + Jb - х @ < а < b); г) у = а + b cos x.
361. Определить, относительно каких центров симметричны
графики функций:
а) у = ах + Ь; б) у = ^±^ ;
сх + а
в) у = ах3 + Ьх2 + сх + d; г) у = —J— + —— + —^— ;
ОС — JL X — с* ОС — о
д) у = 1 + Vx-2 .
§ 4. Графическое изображение функции
39
362. Построить графики периодических функций:
а) у = |sin х\; б) у = sgn cos х;
в)у= Дх), где/(х)=Л^2-|),
если 0 < х < 21 и f(x + 21) = fix);
т)у=[х]-2 ¦
д) у — (х), где (х) — расстояние от числа х до ближайшего
к нему целого числа.
363. Доказать, что если график функции у = fix) (-°о < х< +оо)
симметричен относительно двух вертикальных осей х = а и х = Ь
(Ъ > а), то функция f(x) — периодическая.
364. Доказать, что если график функции у = f(x) (-°о < х < +оо)
симметричен относительно двух точек А(а, уа) и B(b, yx) (b > а),
то функция f(x) есть сумма линейной функции и периодической
функции. В частности, если уп = ух, то функция f(x) —
периодическая.
365. Доказать, что если график функции у = f(x) (-00 < х< +оо)
симметричен относительно точки А(а, у0) и прямой х = b (b ^ a),
то функция f(x) — периодическая.
366. Построить график функции у = f(x) (-со < х < +°°), если
f{x + 1) = 2f(x) и f(x) = жA - х) при 0 < х < 1.
367. Построить график функции
У = А*) (-°° < х < +оо),
если:
fix + к) = /(х) + sin х и /(х) = 0, при 0 < х < п.
368. Построить график функции у = у(х), если:
а) х = у - if; б) х = f^ ;
1 + у2
в) х = г/ - In у; г) х2 = sin у.
369. Построить график функции у = у(х), заданных
параметрически, если:
а) х = 1 - t, у = 1 - t2;
б)х= t + - , у= t + -;
t y t2
в) х = 10 cos t; у = sin t (эллипс);
г) х = ch t, у = sh t (гипербола);
д) х = 5 cos2 i; у = 3 sin2 i;
е) x = 2it - sin t); у = 2A - cos t) (циклоида);
ж)х= t + 1ft, y= l/t + 1 it > 0).
40
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
370. 1. Построить графики неявных функций:
а) х2 - ху + у2 = 1 (эллипс);
б) х'л + у3 - Зху = 0 (декартов лист);
в) Jx + Jy = 1 (парабола);
2 2
3 3
г) х + у =4 (астроида);
д) sin х = sin у;
е) cos (лх2) = cos (яг/);
ж) ху = у* (х > О, у > 0);
з)х-\х\ = у~ \у\.
2. Построить графики неявных функций:
a) min (х, у) = 1; б) max (x, у) = 1;
в) max (|х|, \у\) = 1; г) min (х2, у) = 1.
371. 1. Построить графики функций г = г(ф) в полярной
системе координат (г, ф), если:
а) г = ф (спираль Архимеда);
б) г = - (гиперболическая спираль);
Ф
В)Г= -2- @ < ф < +00);
ф+ 1
JL
г)г= 22л (логарифмическая спираль);
д) г = 2A + cos ф) (кардиоида);
е) г= 10 sin Зф (трехлепестковая роза);
ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли);
з)Ф= у—^ (г> 1);
и) ф = 2n sin r.
2. Построить в полярных координатах г и ф графики
следующих функций:
а)ф=4г-г2; б) ф = -^- ; в) г2 + ф2 = 100.
1 + гг
3. Построить в полярных координатах гиф графики
функций, заданных параметрически (t > 0 — параметр):
nt
I ф = t COS2 it,
a) v • 9 б) <
1 г = f sm2 i, '
r=l-2-'cos|,
372. Приближенно решить уравнение
х3 - Зх + 1 = 0,
построив график функции у = х3 - Зх + 1.
§ 5. Предел функции
41
Графически решить следующие уравнения:
373. Xя - 4х - 1 = 0. 374. х4 - 4.x + 1 = 0.
375. х=2х. 376. lg х = ОЛх.
377. 10* = л:2. 378. tg х = х @ < х < 2л).
Графически решить системы уравнений:
379. х + у2 = 1, 16х2 + г/ = 4.
380. х2 + г/2 = 100, у = 10(х2 - х - 2).
§ 5. Предел функции
1. Ограниченность функции. Функция f(x) называется
ограниченной на данном промежутке (а, 6), если существуют некоторые числа т
и М такие, что
т < f(x) < М
при х 6 (а, Ь).
Число т0 = inf {/(х)} = max m называется нижней гранью
функции Дх), а число М0 = sup {f(x)} = min M называется верхней гранью
х е (о, Ь)
функции f(x) на данном промежутке (а,Ь). Разность М0 - т0 называется
колебанием функции на промежутке (а, 6).
2. Предел функции в точке. Пусть функция Дх) определена на
множестве X = {х}, имеющем точку сгущения а. Запись
lim f{x) = A A)
.v — и
обозначает, что для каждого числа е > 0 существует число 8 = 5(e) > 0
такое, что для всех х, для которых f(x) имеет смысл и которые
удовлетворяют условию 0 < |х - а\ < 8, справедливо неравенство
\f(x) -А\<г.
Для существования предела функции A) необходимо и достаточно,
чтобы для каждой последовательности хл —> а, хп ^ а (х„ ? X; п = 1, 2,
...), было выполнено равенство
lim f(x„) = A.
Имеют место два замечательных предела:
i
1) lim 2iM = i, 2) lim A + х)* = е.
а- — 0 X х— 0
Критерий Коши. Предел функции f(x) в точке а существует тогда
и только тогда, если для каждого е > 0 найдется 8 = 8(e) > 0 такое, что
\f(x') - /(*")| < ?,
42
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
как только 0 < \х' - а\ < 8 и 0 < \х" - а\ < 5, где х' и х" — любые точки
из области определения функции f{x),
3. Односторонние пределы. Число Л' называется пределом слева
функции f(x) в точке а:
А' = lim f(x) = f(a - 0),
.г — а -О
если
И-' - f(x)\ < е при 0 < а - х < о (е).
Аналогично, число А" называется пределом справа функции f(x) в
точке а:
А" = lim f{x) = f(a + 0),
.v - я I 0
если
\А" - f(x)\ < е при 0 < х - а < fi(g).
Для существования предела функции f(x) в точке а необходимо и
достаточно, чтобы
f(a - 0) = f(a + 0).
4. Бесконечный предел. Условная запись
lim f(x) = оо
х -~ а
обозначает, что для любого Е > 0 справедливо неравенство:
|/(х)| > Е, если только 0 < |х - а\ < 8(E).
5. Частичный предел. Если для некоторой последовательности
х„ —» а (ж,, ^ а) имеет место равенство
lim f(xn) = B,
П — СО
то число (или символ оо) В называется частичным пределом
(соответственно конечным или бесконечным) функции f(x) в точке а.
Наименьший и наибольший из этих частичных пределов
обозначаются через
lirn f(x) и lim f(x)
X - а * - "
и называются соответственно нижним и верхним пределами функции
f(x) в точке а.
Равенство
lim f(x) = lim /(х)
необходимо и достаточно для существования предела (соответственно
конечного или бесконечного) функции f(x) в точке а.
§ 5. Предел функции
43
381. Показать, что функция, определяемая условиями:
fix) = п, если х = — ,
п
где тип — взаимно простые числа и п. > О, и
/*(х) = 0, если х иррационально,
конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не ограничена
в любой окрестности этой точки).
382. Если функции f(x) определена и локально ограничена в
каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта
функция ограниченной на данном интервале или соответственно
сегменте?
Привести соответствующие примеры.
383. Показать, что функция
ограничена в интервале -оо < х < +оо.
384. Показать, что функция
f(x) = - cos i
х х
не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако не
является бесконечно большой при х —* 0.
385. Исследовать на ограниченность функцию
f(x) = \nx- sin2 -
х
в интервале 0 < х < г.
386. Показать, что функция
fix) = ^-
1 + X
в области 0 < х < +°о имеет нижнюю грань т=0и верхнюю
грань М = 1.
387. Функция fix) определена и монотонно возрастает на
сегменте [а, Ь]. Чему равны ее нижняя и верхняя грани на этом
сегменте?
Определить верхнюю и нижнюю грани функций:
388. fix) = х2 на [-2, 5].
389. fix) = —!— на (-оо, +оо).
1 + х2
44
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
390. /(х) =
2х
1 + х2
- на @, +оо).
391. f{x) = х + - на @, +оо).
х
392. fix) = sin л: на @, +оо).
393. fix) = sin x + cos x на [0, 2я].
394./(х) = 2жна(-1, 2).
395. /(х) = [х]: а) на @, 2) и б) на [0, 2].
396. /(х) = х-[х] на[0, 1].
397. Определить колебание функции fix) = х2на интервалах:
а)A;3); б) A,9; 2,1); в) A,99; 2,01); г) A,999; 2,001).
398. Определить колебание функции fix) = arctg - на интер-
х
валах:
а) (-1; 1); б) (-0,1; 0,1); в) (-0,01; 0,01); г) (-0,001; 0,001).
399. Пусть m[f\ и M[f] — соответственно нижняя и верхняя
грани функции fix) на промежутке (а, Ь).
Доказать, что если /j(x) и f2ix) — функции, определенные на
(а, Ь), то
m[/i + /2] > «ЕЛ! + m{f2],
М[Л + /2] < М[Л] + М[/2].
Построить примеры функций f^ix) и /2(х), для которых в
последних соотношениях имеет место:
а) случай равенства и б) случай неравенства.
400. Пусть функция fix) определена в области [а, +°°) и
ограничена на каждом сегменте [а, Ь]. Положим: mix) = inf /(?),
Mix) = sup m.
ai?,<ix
Построить графики функций у = mix) и у = Mix), если:
a) fix) — sin x; б) fix) = cos x.
401. С помощью «е — 5»-рассуждений доказать, что
lim х2 = 4.
Заполнить следующую таблицу:
Е
5
0,1
0,01
0,001
0,0001
§ 5. Предел функции
45
402. На языке «Е — 8» доказать, что
1
lim
*-i A-хJ
Заполнить следующую таблицу:
+оо.
Е
5
10
100
1000
10 000
403. Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения:
a) lim fix) = Ъ\
х -* а
Привести соответствующие примеры
б) lim f(x) = b; в) lim f(x) = b.
x — a -0 x —• a +0
Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения и привести соответствующие примеры:
404. a) lim f(x) = b; б) lim f(x) = b; в) lim f(x) = b.
405. a) lim f{x) = oo;
x —* a
в) lim f(x) = +oo;
x -• a
д) lim f(x) = -oo;
x-a-Q
ж) lim fix) = oo;
x — a + П
и) lim /(x) = +oo.
x — a + 0
406. a) lim /(x) = oo;
x—°°
в) lim /(x) = +oo;
X -' OO
д) lim /•(*)= -oo;
ж) lim /(*) = °°;
6) lim /(*) = -°°;
x — a
r) lim /(x) = oo;
e) lim /(x) = +oo;
з) lim fix) = -oo;
x — u + 0
6) lim /(x) = -oo;
x — oo
r) lim /*(x) = oo;
X — -oo
e) lim Дх) = +оо;
д;^ -О0
з) lim Дх) = -co;
и) lim fix) = +oo.
X — +oa
407. Пусть у = fix). Сформулировать с помощью неравенств,
что значит:
а) у -* Ь - 0 при х —* а; б) у ^ 6 - 0 при х
в) у —>• 6 - 0 при х -* а + 0; г) у —> Ь + 0 при х
д) у —> b + 0 при лс —" а - 0; е) у —> b + 0 при х
ж) г/ —>¦ 6 - 0 при х-*оо; з) у —> 6 - 0 при х
и) у —» 6 - 0 при х —> +оо; к) у —> Ь + 0 при х
Л) у ~» 6 + 0 при X —» -СО; М) (/ —> 6 + 0 при X
Привести соответствующие примеры.
а-0;
а;
а + 0;
-ОО;
OO;
+оо.
46
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
408. Пусть
Р(х) = а0х" + а1х" ~ ' + ... + а„,
где а, (г = 0, 1, ..., п; п > 1, а0 ^ 0) — вещественные числа.
Доказать, что
lim |P(jc)| = +оо.
X — оо
409. Пусть
апхп + алхп~х + ... + а„
R(x) =
_ J
60xm + fcjX"'-1 + ... + &„,'
где а0 ^ О и &0 ^ 0.
Доказать, что
°о, если я > m;
lim |Д(х)| = \ Г > если п = т'
х-со «О
О, если /г < т.
410. Пусть
Щх) = ^ ,
Q(*)
где Р{х) и Q(x) — многочлены от х и
P(a) = Q(a) = 0.
Какие возможные значения имеет выражение
lim %& ?
*-о Q(x)
Найти значения следующих выражений:
411. а) lim —?i^I— ; б) lim n f-1 в) lim x"~1
-о 2х2-х-1 х-1 2хг-х-\ х-°° 2хг-х-\
412. lim (l+^)(l + 2»)(l + 3«)-l _
i-o л:
413. lim (l + *M-(l + 5x) _
л- —0 Хг+Хь
414. lim A +дг*)"-A + "*)т (m и Л _ натуральные числа).
*~о х2
415 lim (*-D(*-2)(*-3)(*-4X*-5)
' Х-ос E*-l)S
416. lim Bx-3)«>Cx+2)»>^
*-оо Bх+1M0
§ 5. Предел функции
47
417. lim (*+1)(*2+l)---(*"+l)
X — CXI " + 1
Ц/гх)»+Ц 2
х2 - 5х + 6
418. lim , o
х- з хг - 8х + 15
420. lim *4~3ж + 2 .
х-1 х5-4х+3
419. lim
Зх+2
х-1 х4-4х+3
421. lim
2х2-4х + 8
1-8х2+16
422. lim
х"
2х- 1
х^-1 х5 - 2х- 1
X + X2 + ...Х"-П
423. lim (*'-»-2)"
424. a) lim
X— 1
1
б) lim
2 (X3- 12Х+16I0
х100-2х+1
• 1 Х°
2л;+1
V"' _ 1
425. lim г (тип — натуральные числа).
426. lim
• 1 х" - 1
(х" - а") - па"- '(х- а)
(х-аJ
427. lim *""-("+1)х+га {п
428. lim
(х- lJ
:-l U -X'
429. lim Щ х+ 2
л — оо л [Л и
1
X"
(я — натуральное число).
- натуральное число).
(т яп — натуральные числа).
2а
+ | х + — 1 + ... + \ X +
п
(п - 1)ач
430. lim ±
Указание. См. пример 2.
п) \ п
+
+ х +
(п - 1)а
431.
432.
lim
lim
Л -> О"
12+32+...
22 + 42 +
fi3 + 23 + .
1 /г3
+ Bп-
.. + Bл
. + п3
Указание. См. пример 3.
433,
lim
13 + 4:! + 73
+ ... + (
D2
J
-э
Зя -
2K
л--» [1 + 4 + 7+.., + (Зя-2)]2
434. Определить площадь
криволинейного треугольника ОАМ (рис. 3),
ограниченного параболой у = Ь - ] , осью
Ох и прямой х = а, рассматривая ее как
предел суммы площадей вписанных
прямоугольников с основаниями -,
п
где п -* со.
Рис. 3
48
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти пределы:
435. lim 4l±d±±Jk. 436. lim V*±V*±Vi
*-+°° Jx+1
437. lim Л + 2х-3 _
*-¦* Vx-2
439. lim V^-V«+V^4a .
*^a л/л:2 - а2
441. lim VEZIi2..
ж--2 x3 + 8
443. lim У9±2?^5
* - 8 l/x-2
438.
440.
442.
*-+0° V2x+1
lim У^^-3.
*--8 2 + l/x
lim Улг+13-2л/х+1
* - з x2 - 9
lim 4^-2.
*-ie Vx-4
444. lim -^ (n — целое число).
* —о
Vl-2x-x2-(l + x) 44fi ,. V8 + 3x-x2-2
445. lim
дс —О X
447. lim 'V27 + X-V27-x
'*-° х + г^х5
449. lim J^-ZJ^™.
448.
450.
x — 0
lim
1 — 0
lim
x + x2
Jl + X- Jl - X
Vl + x - Vl - x
Я-Я
i/x+9-2 *-o x_ L_*
451. lim ±
*~° Vl + 5x-(l + x)
452. lim mVl + a* - VI +JU (/n и „ _ целые числа).
*-*o х
453. lim "VI + ax-Jl + ftx^ (/n и „ _ целые числа)_
х — О X
454. Пусть Р(х) = ахх + а2х2 + ... + апхп и т — целое число.
Доказать, что lim "^ +PW~ l = ii.
х —О X /П
Найти пределы:
Ш Гу _ 1
455. 1. lim — (тип — целые числа).
х - J 'i/x - 1
2. lim ' 3 3
1 ll-л/х 1-а/ж
§ 5. Предел функции
49
456. lim A-л?)A-а^)-A-ял?)
х-\ A-Х)п-1
457. lim [J(x+ a)(x + b) ~ x].
458. lim fjx + Jx +
x — юо V. У
459. lim x[ Jx2 + 2x- 2jx2 + x +x
460. lim
* — u +0
WWHNW;
461. lim [Ух3 + x2+l - Ух3 -x2+l
X — oo V
462. lim (Ух3 + 3х2- Jx2-2x
463. lim x3
X — OO
2 2
(x+ lM-(x- IM
464. lim x3l2[jx + 2 - 2 Jx + 1 + Ух
Д- — +00 V
465. lim Г'i/(jc + Oj )...(* + a„)- x~\.
X — +00 L J
466. lim (*-*/*2-1)" + (* + л/*2-1Г (п _ натуральное число).
X — +oo X"
467. lim {Jl + x2 + x)"-{Jl + x*-x_? (n __ натуральное ЧИСло).
*-0 X
468. Изучить поведение корней хг и х2 квадратного
уравнения ах2 + Ьх + с = 0, у которого коэффициент а стремится к нулю,
а коэффициенты b и с постоянны, причем b ^ 0.
469. Найти постоянные а и b из условия:
lim [*±±
X —* ocj V X + 1
- ax - fr = 0
470. Найти постоянные а, и f», (i = l, 2) из условий:
lim [ Jx2 - х + 1 - «jX - Ьх] =0,
д; ¦¦ . _со V /
lim ( Jx2 - x + 1 - a2x - ft2) = О
50
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти пределы:
471. lim ^-2 . 472. lim 212H .
х — 0 X х — °° X
473. lim smnlx . (тип — целые числа).
х — п sinnx
474. a) lim 1 ~ c°sx ; б) lim ^; в) lim х ctg Зх.
д.- — 0 X2 х - О X х — О
475. lim M?z^!M . 476. lim sm5x-sin3x _
x — o siirx x — о sinx
477. lim cosx-cos3x _ 478_ Um 1 + sinx-cosx
x--o x2 x-o 1 + sinpx - cospx
479. lim tg 2x tgf^ - ^ . 480. lim A - x) tg — .
T^; 147 x-i 2
481. Доказать равенства:
a) lim sin x = sin a; 6) lim cos x = cos a;
в) lim tg x = tg a {a * 2n~~l n; n = 0, ±1, ±2, ...).
x — a V 2 /
Найти пределы:
482. lim sin*-sina . 483. lim cos*-cosa .
x — a X - a x * a X - a
484. lim ^х~^а . 485. lim ctgx-ctga .
x -a X- a x — a X- a
486 lim secx ~ seca 487 lim cosecx ~ coseca
x ¦¦• a x - a x — a x - a
488 lim sin(a + 2x) - 2sin(a + x) + sina
x-o xz
484 lim cos(a + 2x) - 2cos(a + x) + cosa
x-o x2
490. lim tS(a+2x)-2tg(a + x) + tga _
x-0 X2
491. lim ctg(a + 2x) - 2ctg(a + x) + ctga _
x — 0 X2
492 lim sm(a + x)sin(a+ 2x)- sin2a
x-0 X
493. lim 2ain»s+sinx-l _
« 2sin2x - 3 sin x + 1
e
494 lim 1 ~ cosxcos2xcos3x
x — о 1 - cosx
§ 5. Продел функции
51
495. lim
sin x —
r_; 1 - 2cosx
5
496. lim ^x-Stg* _
:) COS X +
497. lim tS(a-t-x)tg(a~x)-tg2a
k-2
498. lim
i —о хл
1 - ctg3x
t_n2- ctgx- ctg3x
500. lim
* л/Г + x sinx - л/cosx
502. lim ^-cosx2.
I —0 1 - COSX
404 lim 1 ~ cosx»/cos2xycos3x
499.
501.
503.
lim
I — 0
lim
x- -0
lim
Vl + tgx - J\ +
л/со
1-
sx -
sill
x;!
Vcosx
2X
«/cos x
sin x
*-o 1-cos («/л-)
505.
lim ( sin Jx~~+l - sin л/л: i.
Г — fon V /
l-Xr
506. a) lim f Ц^ТТГ ; 6) lim
*-° V2 + x
507. lim f-?±iL
x — oo V 2 x - 1
509. lim fsin" -^L.
„ -.» V. 3 n + 1
511. lim f^lzl)^
X - oo V X2 + 1
2 -+ x
l - 7j~
r ; в) lim
¦о К 2 + x
3x2-x + nfh
508. lim ,
je — oo V.2x2 + X+ 1
510 Urn [tg(|+*)f'.
4
512. lim D±iV\
*-<*> lx2-27
513. lim
x2 + 2x- Г
о l2x2-3x-2
514. lim -r7l - 2x ,
лг — 0
515. lim ?±?V
л: -. -x \ X - a
517. lim A + x2)ctg2 *.
x — 0
519. a) lim f l±iS?.^ :
*-o VI + sinx/
516. lim
a,x + b, \ , „ „4
'— i] (a1>0,a2>0).
,r — 4 «Aa2x+b_
518. lim A + sin пх)Лепх.
x-~ 1
6) lim (J_+tg?W*
x — о V 1 + sin x /
520. lim «HL* *-«.
x — a vsina;
521. lim J^L *\
x • о v cos 2 x;
52
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
522. lim (tg х)
tg2x
523. lim (sinx)tg*.
524. lim \tgE - x
x-o L v4
1 1 Лх
525. lim [ sin - + cos '
526. lim V cos Jx .
x — 0
528. lim cos" -fr.
530. lim x[ln (x + 1) - In x].
I — +oo
x — ^ \ X X
' n + x
527. lim
X -¦ oo V Л — 1
529. lim MI±?).
x-o x
531. iim ln*-lna (« > 0).
532. lim [sin In (x + 1) - sin In x]. 533. lim ш(*2~*+1)
x-f^L J *-fco ln(x10+X+l)
534. lim lg
100+ x2
"« V"° 1 + 100x2
535. lim Ml±?^.
x-+co C + e2*)
536. lim b(l + 7x + ^)^
x-+eo 1пA+3/^ + 4Д)
537. lim bg(x + /z) + log(x-/;)-21ogx (д. > Q)
л - о Л2
538. lim
lntg( - + ax
x — o sinbx
In
540. a) lim
x '0
nx + Jl - n2x2
V
Jl-x* j
541. lim ^—1 (a > 0).
*-0 X
539. lim
lncosax
• o lncosbx
6) Um ln(nx+JT^W} _
542. lim
о \n(x + Jl-x2)
ax - xa
x — ci X — d
(a > 0).
543. lim ?-^- (a > 0).
1 + x ¦ 2
545. a) lim
* >°{l + x-3*
в) lim ЕИ ;
x-i sin(nxP)
546. lim tg" f 5 4- i
n — oo V4 n
548. lim *°-a"
(a > 0).
550. lim
h-~0
-a xP-aP
а* + л + ах-л_2а*
544. lim \x + ex\x .
x — 0
6) lim
1 + sinxcosaxVtR'
r
x — o V 1 + sinxcosCxy
r)lim _^1!(я_2^_
*-i ln[cosGi ¦ 2*)]
547. lim
»ax _ pfix
х- о sin ax - sinCx
549. lim
-(; Х- Ь
(a > 0).
ft2
(a > 0).
§ 5. Предел функции
53
551. lim (* + <0"я(*+ <>)"» _
и—оо (х + а + bJx*"f h
552. lim п{ "Jx - 1 (х > 0).
/I —• оо V /
553. lim n2 {'ifx - n + iJx) (x > 0).
554. lim (a-l + nJ~b )" (a>0,b> 0).
n — oo V a /
555. lim |"^ + Vby (a > 0) 6 > 0).
д --. oo V 2 7
556. lim (ах + Ь* + сЛ1 (a>0,b>0,c> 0).
i-o\ 3 J
557. lim fa^1 + ^' + c'^ (a > 0, 6 > 0, с > 0).
558. lim far4bJ'V (a>0,b> 0).
i — о v ax + bx J
559. lim .a^~,fe;. (a>0,b> 0).
i^a (a-1- fcxJ
560. lim a"' ~aX" (a > 0).
x - a CLX - X"
561. a) lim Mi±JD; 6) Um ln(l + 3x)
*--«, ln(l + 2*) x-+oo ln(l+2*)
562. lim In A + 2X) In A + 5
x - +oo V X
563. lim A - x)log, 2.
X- 1
564. Доказать, что lim — = 0 (a > 1, n > 0).
565. Доказать, что lim !^I«? =0 (a > 1, e > 0).
Найти пределы:
566. a) lim M*2+^) б) Ит ln(*» + g«)
jr-o ln(x4 + e2*) I-+CO ln(x4 + e2^)
567. lim "i(l + *c*) .
*-0 ln(X+ ДТх2)
568. lim [(x + 2) In (x + 2) - 2(x + 1) In (x + 1) + x In x].
54
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
569. lim
ж — +0
In (x In a) • In
( W
Inax
v a J
(a > 1).
570. lim Мп?±^[П -ln-^+1
-~+°°V x + Jx2 - 1 *-l
571. lim Vl + *sins-l .
x - о ex - 1
572. lim cos(*e*)-cos(*(r
573. lim \2ex + l - l) " .
x —0
574. lim B-х) 2
Jt— 1
575. lim
1 - sina+P*
¦ 5 7A - sin"x)(l - sinPx)
(a > 0, C > 0).
576. a) lira ^ ; 6) lim chx ~ г ;
x-0 X x-0 X2
thx
в) lim (см. пример 340).
x~0 X
577. a) lim
sh2x
x-o ln(ch3x)
(см. пример 340);
6) lim
X — +o°
shVx2 + x- shVx^- x
chx
578. a) lim
shx - sha
х- а
6) lim
chx - cha
x - * a X — d
в) lim
In chx
x-0 In COS X
7Riii2.v _ psin*
579. a) lim (x - In ch x); 6) lim
X — +oo X — 0 tllX
580. lim
Л — со
Ch
71 \"
Л
cos-
V ray
1-х
581. lim arcsin
X — со 1 + X
582. lim arccos ( Jx2 + x - x
X -* + CO V
583. lim arctg J^±- .
*->2 (x-2J
584. lim arcctg
VTTx2
585. lim arctS(x + h)-arctgx
л — о h
§ 5. Предел функции
55
586. lim
1 + х
i
1-х
"о arctg( 1 + х) - arctg( 1 - х)
587. lim \n arctg \ • tg" (\ + ?.)]
n-oo L я(х2+1) + х 14 2rayJ
i(x2 + 1)-
588. lim x f ? - arctg -?-
x-oo 14 x+1
589. lim x I - - arcsin —2—
*-4-°° ^2 Vx2+ lj
590.
lim \l + (-!)""[f-°^<"^7^) _
/1 —* oo [_ Tl
591. a) lim -^ e *2; 6) lim x In x.
592. a) lim ( Jx2 + x - x); 6) lim (Jx2 + x - x).
593. a) lim (Vl + x + x2 - Vl - x + x2);
6) lim (Jl + x + x2 - л/l - x + x2).
I — +oo
594. Найти
Л = lim /(x) - lim f{x),
X -* + 00 X ~* ~°°
если
/(x) = In
x+ Jx2 + a2
x + Jx2 + b2
595. a) lim arctg -^— ; 6) lim arctg
X-U) 1-Х x- 1+0 1-Х
596. a) lim
x - -0
1
1 '
6) lim
1-40
1
1 + e.x 1 + ex
597. a) lim Ы±±П. б) Um М1+Л1).
X — -те X x -• + °° X
598. Доказать, что:
2x
a)
6)
1 + x
2x
2 + 0 при x -> -oo;
2-0 при x -> +oo.
1 + x
599. Доказать, что:
а) 2х -* 1 - 0 при х —• -0;
б) 2х -* 1 + 0 при х — +0
56
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
600. Найти /A), /A - 0), ftl + 0), если f(x) = х + [х]2.
601. Найти f(n), f(n - 0), /(/г + 0) (п = 0, ±1, ...), если f(x) =
= sgn (sin nx).
Найти пределы:
602. lim х /cosi. 603. lira хГ1
604. lim sin (njn2+ 11. 605. lim sin2 (kJii2 + n).
606. lim sin sin ... sin x.
n раз
607. Если lim ф(х) =Аи lim ф(х) = В, то следует ли отсюда, что
lim у(ф(х)) = В?
Рассмотреть пример: ф(х) = - при х = ? , где jD и </ — взаим-
нопростые целые числа и ф(х) = 0 при х — иррациональном;
\]/(х) = 1 при х ^ 0 и \|/(х) = 0 при х = 0; причем х -» 0.
608. Доказать теоремы Коши: если функция f(x) определена
в интервале (а, +оо) и ограничена в каждом конечном интервале
(а, Ь), то:
а) lim f-i2l = lim [f(x + 1) - /(x)];
б) lim [/(x)] * = lim Щ^Р- (fix) > О 0),
предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют.
609. Доказать, что если: а) функция Дх) определена в области
х > а; б) ограничена в каждой конечной области а < х < Ь;
в) lim [/(х + 1) - f{x)) = оо, т0
lim ^ = оо.
* — +оо X
610. Доказать, что если: 1) функция f(x) определена в
области х > а; 2) ограничена в каждой конечной области а < х < Ь;
3) для некоторого натурального п существует конечный или
бесконечный предел
lim /<*+!)-/(*> = /,
х — +<х> X"
то
lim Щ =
I
X ' Я+ 1
§ 5. Предел функции
57
611. Доказать, что
a) lim fi + ?V=e*; б) lim (l + х + ?! + ... + *Л = ех.
л —оо V и/ л — оо V 2! п!у
612. Доказать, что
lim 7i sin Bnenl) = 2я.
Л — ОО
Указание. Использовать формулу (*) примера 72.
Построить графики функций:
613. а) у = 1 - х100; б) у = lim A - х2'1) (-1 < х < 1).
Л -* оо
614. а) у = -i^L (х > 0); б) у = lim -^- (х > 0).
1 + Х100 л-оо 1 + X"
615. у = lim *"-*"" (х * 0).
п—х Х" + Х"
616. у = lim /x2+—.
617. у = lim "Jl + х" (х > 0).
618.i/= lim „l + x" + f^y (х > 0).
л — оо ^ V 2 у
619. г/ = lim *"+2 (х > 0).
л — оо J2'in+ X2n
620. а) у = sin1000 х; б) у = lim sin2" x.
/1 --> ос
621. г/= lim lnB" + *") (х>0).
Л — ост Я
622. у = lim (х - 1) arctg x".
623. у = lim Vl + e"<* + 1).
/I —* оо
624. а) у = lim *±?^ ; б) у = lim -J- In ^ (х > 0).
<- +оо 1 + е'х 1-х t- х х
xtg2"^ + Jx
625. а) у = lim - (х > 0);
"-°° +р-2" — + 1
s 4
б) у = lim х sgn |sin2 (га!ях)|;
П — ОС:
в) построить кривую
lim nJ\x\n + \у\п = 1.
58
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f(x)
называется прямая у = kx + b, для которой
lim [f(x) - (kx + b)] = 0.
X ¦— со
Используя это уравнение, вывести необходимые и
достаточные условия существования асимптоты.
627. Найти асимптоты и построить следующие кривые:
а) У = х*+'х-2 ' 6)У= ^2 + Х '
в) у = Ух2 - х3; г) у
хех
е'-1
д) у = In A + ех); е) у = х + arccos -
Найти следующие пределы:
628. lim
П -' ОО
+ — + ... +
(л+1)! (и+2)! Bл)!
629. lim [A + х)A + х2)(\ + хА) ... A + х2'1)], если \х\ <1.
Л — GO
630. lim fcos r cos - ... cos —
л-» ч 2 4 2"
631. Пусть
lim <?{?}= i,
*~о i|/(*)
где i|/(x) > 0 и am„ => 0 (/n = 1, 2, ...) при n -> oo, T. e. |am„| < e при
m = 1, 2, ... и n > N(e).
Доказать, что
lim [(p(ai„) + ф(а2л) + ... + ф(а„„)] =
П — ОО
= lim [\|/(aln) + v|/(a2n) + ... + у(алл)], A)
Л — oo
предполагая, что предел в правой части равенства A) существует.
Пользуясь предыдущей теоремой, найти пределы:
632. lim у [Ji + JL-i]. 633. lim V (sin Щ .
k = 1 к = 1
2
634. lim V а - 1 (а > 0)
,, _. oo Z—I V /
41 • 636. lim ГТ — ka
П1) л —оо 11
*= 1 *^ 1
635. lim ГТ Г1 + 4 • 636. lim ГТ cos
л — oo А А V П1) Л —oo J. 1 Л./Л
§ 5. Предел функции
59
637.1. Последовательность хп задана равенствами:
х1 =¦¦ Ja , x2= J a + Ja , х3 = >Ja + Ja + Ja , ... (а > 0).
Найти lim хп.
Л — ОО
2. Последовательность хп задается следующим образом:
Xj = U, Х2 = 1,
*„ = 2^Xnl + х"~2) ("=2,3,...).
Найти lim хп.
п -• оо
3. Последовательность уп определяется с помощью
последовательности х„ соотношениями:
Уп = *о> Уп = хп - ыхп _ j (п=1, 2, ...),
где |а| < 1. Найти lim хп, если lim у,, = Ъ.
П -* ОО л -^ ОО
4. Последовательность х„ определяется следующим образом:
х0=1, хп= -— (п= 1, 2, ...).
1 + ^л- 1
Найти lim xn.
п — со
Указание. Рассмотреть разности между хп и корнями уравне-
1
НИЯ X = .
1 + X
638. Последовательность функций
Уп = УпМ @ < х < 1)
определяется следующим образом:
а) 1/х = |, У»=| -^ (л = 2,3,...);
6)t/i= |, У„= | +4^ (п=2,3, ...).
Найти lim г/д.
/I —• оо
639. 1. Пусть х>0иул=г/„„1B-хг/„_1) (п = 1, 2, ...).
Доказать, что если г/; > 0 (j = 0, 1), то последовательность уп сходится и
lim Уп = I ¦
П —» оо X
Указание. Изучить разность - - (/„.
х
60
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
уп- Jx __ (уп^~ Jx"
2. Для нахождения у = Jx , где х > О, применяется
следующий процесс: у0 > 0 — произвольно,
У„ = Jk - 1 + —) (л=1,2,...).
Доказать, что lira уп = «/л;.
л -' то
Указание. Использовать формулу
(л > 1).
У„+-/х {у„_ , + V5 J
640. Для приближенного решения уравнения Кеплера
х - г sin х = /п @ < е < 1) A)
полагают
х0 = т, хх = т + е sin х0, ..., хп = т + г sin х„_ l5 ...
(метод последовательных приближений).
Доказать, что существует ?, = lim xn и число Ъ, является един-
ственным корнем уравнения A).
641. Если со;,[/] есть колебание функции /(х) на сегменте
\х - t,\ < h (h > 0), то число
Ы0[/] = lim «,,[/]
а-о
называется колебанием функции f(x) в точке ^.
Определить колебание функции f(x) в точке х = 0, если:
a)/(x)=sin±; б)/(х) = 1 cos2 1;
¦у* К* "V
в) f(x) = х{2 + sin -) ; г) /(х) = i arctg - ;
\ xj к х
д) Дх) = Isin^l . e)f(x)=-L-;
1 + е*
ж) /(х) = С1 + |х| ] *.
642. Пусть f(x) = sin -. Доказать, что, каково бы ни было
х
число а, удовлетворяющее условию -1 < а < 1, можно выбрать
последовательность хп ~^ 0 (п = 1, 2, ...) такую, что
lim f(xn) = a.
§ 6. О-символика
61
643. Определить
если:
I = lim f(x) и L = lim /(х),
a) f{x) = sin2 1 + - arctg ± ; 6) fix) = B - x2) cos 1;
в) f(x) = f 1 + cos2 -YmJ; .
644. Определить
J = lim f(x) и L = lim f(x),
x — ос x — °o
если:
a) /(x) = sin x; 6) /(x) = x2 cos2 x;
в) /(x) = 2'in*S; r) /(x) = 1_— (x > 0).
1 + x2sm2x
§ 6. О-символика
1. Запись
ф(х) = 0(v|/(x)) при х е X
обозначает, что существует постоянная А такая, что
|Ф(х)| < А\ц1(х)\ для л; 6 X. A)
Аналогично пишут
ф(х) = 0(i|/(x)) при х —> а, B)
если неравенство A) выполнено в некоторой окрестности Va точки
а (х ^ а). В частности, если i|/(x) ^ 0 при л: е UA (x * о), то соотношение
B) заведомо имеет место, если существует конечный lim ™—- ^ 0.
х-о V|/(X)
В этом случае будем писать ф(х) = 0*(i|((x)).
Если
lim 2i?l = ft * 0 (р >0),
д- - ¦ 0 Х^
то ф(х) называется бесконечно малой порядка р относительно
бесконечно малой х. Аналогично, если
lim ^^ =k*0 (p > 0),
*-°о ХР
то ц/(х) называется бесконечно большой порядка р относительно
бесконечно большой х.
02
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
2. Запись
Ф(х) = o(\\i(x)) при х —» а
обозначает, что
ф(х) = a(x)\\i(x) (х 6 Ua, х ^ а), C)
где а(х) -* 0 при х —* а. Если \|/(х) ^ 0 при х € {/„, х ^ а, то равенство C)
эквивалентно утверждению
Пт
Ф(*)
v|/(x)
0.
3. Функции ф(х) и \|/(х) называются эквивалентными (ф(х) - i|/(x))
при х —>а,если
ф(х) - i|/(x) = o(v|i(x)) при х -* а. D)
Если \|/(х) ^ 0 при х 6 Ua, х -А а, то из D) имеем
При х
Вообще
lim ?(?) = 1.
х-a \\i{x)
0 справедливы следующие соотношения эквивалентности:
sin х ~ х; tg х - х; а" - 1 ~ х In а (а > 0);
In A + х) ~ х; 0/A + *) - 1 ~ - •
л
Ф(х) + о(ф(х)) ~ ф(х).
При нахождении предела отношения двух бесконечно малых (или
бесконечно больших) функций, если х —* а, данные функции можно
заменять эквивалентными.
645. Считая центральный угол АО В = х
(рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка,
определить порядки малости следующих величин:
а) хорды АВ; б) стрелки CD; в) площади
сектора АОВ; г) площади треугольника ABC; д)
площади трапеции АВВ^А^, е) площади сегмента
ABC.
646. Пусть о(/(х)) — произвольная
функция, имеющая при х —* а более низкий
порядок роста, чем функция f(x), и 0(f(x)) — любая
функция, имеющая при х —* а тот же порядок роста, что и
функция f(x), где f{x) > 0.
Показать, что:
a) o(o(f(x))) = о(/(х)); б) 0(о(/(х))) = o(f(x));
в) о@(«*))) = о(/(х)); г) 0@(/(х))) = 0(/(х));
д) 0(f(x)) + o(f(x)) = 0(f(x)).
§ 6. О-символика
63
647. Пусть х —» 0 и п > 0. Показать, что:
а) СО(хп) = 0(х") (С * 0 — постоянная);
б) 0(х") + 0(хт) = 0(х") (п < то);
вH(х"H(хт) = 0(х"+т).
648. Пусть х —* +оо и п > 0. Показать, что:
а) СО(хп) = 0(х");
б) 0(х") + 0(х'") = 0(х") (п > то);
в) 0(x"H(xm) = 0(х" + "').
649. Показать, что символ ~ обладает свойствами:
1) рефлективности: ф(х) ~ ф(х);
2) симметрии: если ф(х) - \j/(x), то \\i(x) ~ ф(х);
3) транзитивности: если ф(х) ~ \|/(х) и \\i(x) ~ %(х), то ф(х) ~ %(х).
650. Пусть х —" 0. Доказать следующие равенства:
а) 2х - х2 = О(х); б) х sin */x = ОI х2 I;
в) х sin i = оПхП ; г) In х = of—I (e > 0);
ji,)>Jx + Jx + Jx ~ sJx ; е) arctg - = O(l);
х
ж)A + х)п = 1 + пх + о(х).
651. Пусть х —> +оо. Доказать следующие равенства:
а) 2х3 - Зх2 + 1 = 0(х3); б) -?±1 = ofi
х2 +1 Vx
в) х + х2 sin x = 0(х2); г) ^Щ = оГД-^ ;
1 + х2 1х27
д) In х = o(xf) (e > 0); е) х"е~х = о' 1
ж)
>Jx+*]x + >fx~Jx; з) х2 + х In100 х ~ х2.
652. 1. Доказать, что при достаточно большом х > 0 имеют
место неравенства:
а) х2 + 10х + 100 < 0,001х3; б) In1000 x < Jx ;
в) х1 V < е2х.
2. Доказать асимптотическую формулу
Vx2 +px + q = х + ? + О -
2 Vx
при х -> +оо.
64
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
653. Пусть х —» 0. Выделить главный член вида Сх" (С —
постоянная) и определить порядки малости относительно
переменной х следующих функций:
а) 2х - Зх3 + х5; б) Jl + х - Jl - х ;
в) Jl - 2х - sJl - Зх ; г) tg х - sin х.
654. Пусть х —» 0. Показать, что бесконечно малые
_j_
а) /(*) = ^- ; б) /(х) = е-2
тх
не сравнимы с бесконечно малой х" (п > 0), каково бы ни было
п, т. е. ни при каком п не может иметь место равенство
lim 'J&- = k, где k — конечная величина, отличная от нуля.
х-0 X"
655. Пусть х —* 1. Выделить главный член вида С (х - 1)" и
определить порядки малости относительно бесконечно малой
х - 1 следующих функций:
а) х3 - Зх + 2; б) /1 - Jx ; в) In x;
г) е* - е; д) хх - 1.
656. Пусть х —> +оо. Выделить главный член вида Сх" и
определить порядки роста относительно бесконечно большой х
следующих функций:
а) х2 + ЮОх + 10 000; б)--— •
х3-3х+ 1 '
в) У*2 - х + Тх ; г) Jl + Jl + Jx .
657. Пусть х —* +оо. Выделить главный член вида С - ] и
определить порядки малости относительно бесконечно малой -
X
следующих функций:
а) ^Ц-; б) VxTT - 7^ ;
х4 + 1
) Jx + 2 - 2 Jx+1 + Jx ; г) i sin i
x x
в
x x
658. Пусть x —> 1. Выделить главный член вида С( J и
определить порядки роста относительно бесконечно большой
следующих функций:
а>-гЧ; 6)Р; в)—:
r)-J-; Д);^-
sinnx A-хJ
§ 7. Непрерывность функции
65
659. Пусть х -> +оо и fn(x) = х" (га = 1, 2, ...). Доказать, что:
1) каждая из функций fn{x) растет быстрее, чем
предшествующая функция fn_ x(x);
2) функция ех растет быстрее, чем каждая из функций fn(x)
(п=1,2,...).
660. Пусть х -* +оо и fn(x) = l/x (га = 1, 2, ...). Доказать, что:
1) каждая из функций fn(x) растет медленнее, чем
предшествующая функция fn-i(x);
2) функция f(x) = In x растет медленнее, чем каждая из
функций /„(*) (га = 1, 2, ...).
661. Доказать, что, какова бы ни была последовательность
функций
/it*). /2(*)> •••> fn(x), ... (х0 < х < +оо),
можно построить функцию f(x), которая при х —* +оо растет
быстрее, чем каждая из функций fn(x) (га = 1, 2, ...).
§ 7. Непрерывность функции
1. Непрерывность функции. Функция f(x) называется непрерывной
при х = х0 (или в точке х0), если
lim f(x) = Длг0),
т. е. если функция f(x) определена при х = х0 и для каждого е > 0
существует S = 5(е, л:0) > 0 такое, что при \х - л:0| < 8 для всех значений
f(x), имеющих смысл, выполнено неравенство
\f(X) - f(Xo)\ < E.
Функция f(x) называется непрерывной на данном множестве
X = {х} (интервале, сегменте и т. п.), если эта функция непрерывна в
каждой точке множества X.
Если при некотором значении х = х0, принадлежащем области
определения X = {х} функции f{x) или являющемся предельной точкой
этого множества, равенство A) не выполнено (т. е. или (а) не существует
число f(x0), иными словами, функция не определена в точке х = х0, или
(б) не существует lim f(x), или (в) обе части формулы A) имеют смысл,
но равенство между ними не имеет места), то х0 называется точкой
разрыва функции f(x).
66
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Различают: 1) точки х0 разрыва первого рода, для которых
существуют конечные односторонние пределы:
«*0-0)= lim f(x) и f(x0 + 0) = lim f(x)
х-~ Xq-0 x— *0 + О
и 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность
f(x0 + 0) - f(x0 - 0)
называется скачком функции в точке х0.
Если выполнено равенство
/(*„ - 0) = /(*„ + 0),
то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей мере
один из пределов f(x0 - 0) или f{x0 + 0) равен символу °о, то х0
называется точкой бесконечного разрыва.
Если выполнено равенство
/(*„ - 0) = f(x0) (или f(x0 + 0) - /(*„))>
то говорят, что функция f(x0) непрерывна слева (справа) в точке х0.
Для непрерывности функции f(x) в точке д:0 необходимо и
достаточно равенство трех чисел:
f(x0 - 0) = f(x0 + 0) = /(*„).
2. Непрерывность элементарных функций. Если функции f(x) и
g(x) непрерывны при значении х = х0, то функции
а) f(x) ± g(x); б) f(x)g(x); в) Щ (g(x0) * 0)
g(x)
также непрерывны при х = х0.
В частности: а) целая рациональная функция
Р(х) = а0 + а] д: + ... + а,,*"
непрерывна при любом значении х\ б) дробная рациональная функция
= д0 + Д1х+- + ая«»
Ь0 + Ь}Х+ ... + Ътхт
непрерывна при всех значениях х, не обращающих знаменателя в нуль.
Вообще основные элементарные функции: хп, sin x, cos x, tg x, ах,
loga х, arcsin x, arccos x, arctg x, ... непрерывны во всех точках, где они
определены.
Более общий результат следующий: если функция f(x) непрерывна
при х = х0 и функция g(y) непрерывна при у = f(x0)y то функция g(f(x))
непрерывна при х = х0.
3. Основные теоремы о непрерывных функциях. Если функция f(x)
непрерывна на конечном сегменте [а, Ь], то: 1) f(x) ограничена на этом
сегменте; 2) достигает на нем своей нижней грани т и верхней грани М
(теорема Вейерштрасса); 3) принимает на каждом интервале (а, 3) С [а, Ь] все
промежуточные значения между /(а) и /(В) (теорема Коши). В частности,
если Я«)/(В) < 0, то найдется значение у (а < у < В) такое, что f(y) = 0.
§ 7. Непрерывность функции
67
662. Дан график непрерывной функции у = f(x). Для данной
точки а и числа е > 0 указать геометрически число 5 > 0 такое,
что \f(x) - f(a)\ < г при \х - а\ < 5.
663. Требуется изготовить металлическую квадратную
пластинку, сторона которой х0 = 10 см. В каких пределах допустимо
изменять сторону х этой пластинки, если площадь ее у = х2
может отличаться от проектной у0 = 100 см2 не больше чем:
а) на ±1 см2; б) на ±0,1 см2; в) на ±0,01 см2; г)на±е(см2)?
664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С какой
абсолютной погрешностью А допустимо измерить ребро х этого куба,
чтобы объем его у можно было вычислить с абсолютной
погрешностью, не превышающей е м3, если:
а)Е = 0,1ма; б) е= 0,01м3; в) е = 0,001 м3?
665. В какой максимальной окрестности точки х0 = 100
ордината графика функции у = Jx отличается от ординаты у0 = 10
меньше чем на е = 10"" (п > 0)? Определить размеры этой
окрестности при п = 0, 1, 2, 3.
666. С помощью «е - 8»-рассуждений доказать, что функция
f(x) = х2 непрерывна при х = 5.
Заполнить следующую таблицу:
Е
5
1
0,1
0,01
0,001
667. Пусть f(x) = - и е = 0,001. Для значений ха = 0,1; 0,01;
х
0,001; ... найти максимально большие положительные числа
5 = 8(е, х0) такие, чтобы из неравенства \х - х0\ < S вытекало бы
неравенство |/(х) - f(xQ)\ < г.
Можно ли для данного е = 0,001 выбрать такое 8 > 0, которое
годилось бы для всех значений х0 из интервала @, 1), т. е. такое,
что если \х - х0\ < 8, то |/(х) - /(х0)| < е, каково бы ни было значение
х0 € @, 1)?
668. Сформулировать на языке «е - 8» в положительном
смысле следующее утверждение: функция f(x), определенная в
точке х0, не является непрерывной в этой точке.
669. Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти
соответствующие числа 8 = 8(е, xQ) > 0 такие, что |/(х) - f(x0)\ < e, если
только \х - х0\ < 8.
68
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Можно ли утверждать, что функция f(x) непрерывна в точке
х0, если:
а) числа е образуют конечное множество;
б) числа е образуют бесконечное множество двоичных
дробей г = — (п = 1, 2, ...)•
670. Пусть дана функция
Дх) = х + 0,001[х].
Показать, что для каждого е > 0,001 можно подобрать
8 = 8(е, х) > 0 такое, что |Дх') - f(x)\ < г, если только \х' - х\ < 8,
а при 0 < е < 0,001 для всех значений х этого сделать нельзя.
В каких точках нарушается непрерывность этой функции?
671. Пусть для каждого достаточно малого числа 8 > 0
существует е = е(8, х0) > 0 такое, что если |х - х0| < 8, то выполнено
неравенство |/*(х) - Дх0)| < е. Следует ли отсюда, что функция Дх)
непрерывна при х = х0? Какое свойство функции /(х)
описывается данными неравенствами?
672. Пусть для каждого числа е. > 0 существует число
б = 8(е, х0) > 0 такое, что если |Дх) - Дх0)| < е, то |х - х0| < 8. Следует
ли отсюда, что функция /(х) непрерывна при значении х = х0?
Какое свойство функции описывается этими неравенствами?
673. Пусть для каждого числа 8 > 0 существует число
е = е(8, х0) > 0 такое, что если |Дх) - Дх0)| < е, то |х - х0| < 8.
Следует ли отсюда, что функция Дх) непрерывна при х = х0?
Какое свойство функции Дх) описывается данными неравенствами?
Рассмотреть пример:
,, ч J arctg х, если х рационально,
1л - arctg х, если х иррационально.
674. С помощью «е - 8»-рассуждений доказать
непрерывность следующих функций:
а) ах + Ь; б) х2; в) х3;
г) Jx ; д) \[х ; е) sin x;
ж) cos x; з) arctg x.
Исследовать на непрерывность и изобразить графически
следующие функции:
675. /(х) = |х|.
б7б.ях)=: ^'ecji"'2;
если х = 2.
§ 7. Непрерывность функции
69
677. /(х) = — , если х/-1и /(-1) — произвольно.
A + x)z
678. a) fr(x) =
, если х ^ 0 и /j@) = 1;
б) f2(x) = ^р , если х ^ 0 и /2@) = 1.
|Х|
679. f(x) = sin - , если х ^ 0 и /@) — произвольно.
680. Дх) = х sin i , если х * 0 и /@) = 0.
л:
681. f(x) = е *2, если х * 0 к /@) = 0.
682. f{x) = j- , если я ^ 1 и /A) — произвольно.
1 + еГГ1
683. f{x) = х In х2, если х^Ои /@) = а.
684. /(х) = sgn х.
685. /(х) = [х].
686. f(x)= Jx ~[Jx].
Определить точки разрыва функций и исследовать характер
этих точек, если:
аьп ,. _ х 688 = _1_+?.
1 + х3
1 1
"»'• У
689. у =
691. у =
693. г/ =
695. у =
A+ХJ
х2-1
х3-Зх + 2
X
sinx
2 1
cos^ - .
X
л
COS-
X
COS-
X
690. у = х х+1
v 1 1
х-1 х
692. у = /Ш°5М,
У V 4-х2
694. j/ = sgn ( sin -
696. у = arctg -
697. у = Jx arctg i . 698. y=e* + *
699. у = J- . 700. г/ = —5_
lnx
l-e1J
70
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы
графиков следующих функций:
701. у = sgn (sin x). 702. у = х - [х].
703. у = х[х]. 704. у = [х] sin nx.
705. у = х2 - [х2]. 706. у = ПИ .
707. у =* ГЛ. 708. у = sgn (cos i] .
709
у - [1] sgn (sin I) . 710.,y = ctg=.
= оол2 .4 719 i,= ^_П|12|
711. y^sec* -. 712. у = (-1)
л;
713.i/= arctg fl + 1
x x-I x-2
x2sin2x
716. у = In -fl-
(x + l)(x-
718. i/ = 1 - e~*2.
-3)"
sin(x2)
_i
717. у = e x .
719. у = th -^Ц
Исследовать на непрерывность и построить графики
следующих функций:
720. у = lim —^— (х>0). 721. г/ = lim "¦" ~ п"
II - оо 1 + X" I) — оо П* + П~х
722. у = lim '\Jl + х2" . 723. у = lim cos2" х.
П —' оо Л — со
724. у = lim *—— . 725. у= lim [xarctg(nctgx)].
И —оо 1 + (^SinX)^" rt--oo
726.у= lim *_t*f?^. 727.y= lim Mi+^!i.
л-оо 1 + е"* 3 (-+со 1пA + <?<)
728. у = lim A + х) th tx.
t — +оо
729. Определить, является ли непрерывной функция:
\2х, если 0 < х < 1,
[2 - х, если 1 < х < 2.
730. Пусть
Je*, если л: < 0,
'(*) = [а + х, если х > 0.
При каком выборе числа а функция f(x) будет непрерывной?
§ 7. Непрерывность функции
71
731. Исследовать следующие функции на непрерывность и
выяснить характер точек разрыва, если:
\хг при 0 < х< 1,
\2 - л: при 1 < х < 2;
[ х при \х\< 1,
11 при \х\ > 1;
а) fix) =
б) f(x) =
в) fix)
cos— при \х\ < 1,
г) fix) =
д) /(*) =
[ \х - 1| при |а;| > 1;
/ctg2 их для нецелого х,
[О для целого х;
fsin ля для рационального х,
10 для иррационального х.
732. Функция d = d(x) представляет собой кратчайшее
расстояние точки х числовой оси Ох от множества точек ее,
состоящего из отрезков 0<д:<1и2<х<3. Найти аналитическое
выражение функции d, построить ее график и исследовать на
непрерывность.
733. Фигура Е состоит из
равнобедренного треугольника с основанием / и
высотой 1 и двух прямоугольников с
основаниями 1 каждый и высотами, равными 2
и 3 (рис. 5). Функция S = Siy) @ < у < +оо)
представляет собой площадь части
фигуры Е, заключенной между
параллелями Y = 0 и Y = у, а функция b = biy)
(О < у < +оо) есть длина сечения фигуры Е
параллелью Y = у.
Найти аналитические выражения функций Sub,
построить их графики и исследовать на непрерывность.
734. Доказать, что функция Дирихле
%ix) = lim lim cos" inmlx)
У
3
2
1
О
,
.
1
¦ I
*, Ч ' i
* ^ ч.
*
bin)
I
У
1,
! *
Рис. 5
разрывна при каждом значении х.
735. Исследовать на непрерывность функцию
f(x) = xxix),
где %ix) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу).
Построить эскиз графика этой функции.
72
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
736. Доказать, что функция Римана
., , - , если х = — , где тип взаимно простые числа;
f(x) = < п п
[ 0, если х иррационально,
разрывна при каждом рациональном значении х и непрерывна
при каждом иррациональном значении х. Построить эскиз
графика этой функции.
737. Исследовать на непрерывность функцию f(x), заданную
следующим образом:
/(х) = пх
/2+1
если х есть несократимая рациональная дробь — (п > 1), и
п
f(x) = 1*1,
если х — иррациональное число. Построить эскиз графика этой
функции.
738. Функция f{x) = ~ cosx определена для всех значений
х2
аргумента х, кроме х = 0. Какое значение следует приписать
функции /(х) в точке х = 0, чтобы эта функция была
непрерывной при х = 0?
739. Показать, что при любом выборе числа f(l) функция
f(x) = -, будет разрывна при х = 1.
1 - х
740. Функция f(x) теряет смысл при х = 0. Определить число
/@) так, чтобы f(x) была непрерывна при х = 0, если:
а) f{x) = JTTx-1 . б) f(x) = t?2x .
2/Г+*-1 х
1 I
в) /(я) = sin д: sin - ; г) f(x) = A + х) х;
_j_
Д) /(л) = ^ е~х*; е) /(х) = Xх (х > 0);
х2
ж) f(x) = х In2 х.
741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке х0 сумма
двух функций /(х) + |f(x), если:
а) функция f(x) непрерывна, а функция g(x) разрывна
при х = х0;
б) обе функции /(х) и g(x) разрывны при х = х0?
Построить соответствующие примеры.
§ 7. Непрерывность функции
73
742. Обязательно ли произведение двух функций
f(x)g(x)
терпит разрыв непрерывности в данной точке х0, если:
а) функция f(x) непрерывна, а функция g(x) разрывна в
этой точке;
б) обе функции f(x) и g(x) разрывны при х = х0?
Построить соответствующие примеры.
743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции
есть также разрывная функция?
Построить пример всюду разрывной функции, квадрат
которой есть функция непрерывная.
744. Исследовать на непрерывность функции f[g(x)] и g[f(x)],
если:
а) f(x) = sgn х и g(x) = 1 + х2;
б) f(x) = sgn х и g(x) = хA - х2);
в) f(x) = sgn х и g(x) = 1 + х - [х].
745. Исследовать на непрерывность сложную функцию
у = /(и), где и = ф(лг), если:
\и при 0 < и < 1;
/(")= "|2-ипри 1 <и<2,
. _ \х при х рациональном;
^ ' [2-х при х иррациональном
(О < х < 1).
746. Доказать, что если f(x) — непрерывная функция, то
F(x) = \f(x)\
есть также непрерывная функция.
747. Доказать, что если функция f(x) непрерывна, то функция
f -с, если f(x) < -с;
fe(x) = \ /(*)> если |/(х)| < с;
I с, если f(x) > с,
где с — любое положительное число, также непрерывна.
748. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на сегменте
[а, Ь], то функции
т(х) = inf {№)} и М(х) = sup {/(?)}
также непрерывны на [а, Ь].
74
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
749. Доказать, что если функция f(x) и g(x) непрерывны, то
функции
ф(*) = min [f(x), g(x)] и \\i(x) = max [f(x), g(x)]
также непрерывны.
750. Пусть функция f(x) определена и ограничена на сегменте
[а, Ь]. Доказать, что функции
т(х)= inf {/(?)} и М(х) = sup {/(!;)}
а<?,<х а « !; < *
непрерывны слева на сегменте [а, Ь].
751. Доказать, что если функция f(x) непрерывна в
промежутке о < х < +оо и существует конечный lim f(x), то эта функ-
ция ограничена в данном промежутке.
752. Пусть функция f(x) непрерывна и ограничена в
интервале (х0, +оо). Доказать, что, каково бы ни было число Т,
найдется последовательность хп —> +оо такая, что
lim [/(*„ + Т) - /(*„)] = 0.
Л — оо
753. Пусть <р(х) и \\f(x) — непрерывные периодические
функции, определенные при -оо < х < +оо и
lim [(p(x) - \|/(*)] = 0.
Доказать, что
ф(*) = Ц1(Х).
754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода.
755. Доказать, что если функция f(x) обладает следующими
свойствами:
1) определена и монотонна на сегменте [а; Ь];
2) в качестве своих значений принимает все числа между
№ и /(b),
то эта функция непрерывна на [а, Ь].
756. Показать, что функция f(x) = sin , если х ^ а и f(a) = 0,
х-а
принимает на любом сегменте [а, Ь] все промежуточные значения
между f(a) и /F), однако не является непрерывной на [а, Ь].
757. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на
интервале (а, 6) и *!, х2, ..., хп — любые значения из этого интервала,
то между ними найдется число ?, такое, что
/(?)= -[f(x1) + f(x2) + ... + f(xa)].
п
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически
75
758. Пусть f(x) непрерывна в интервале (а, Ь) и
I = lim f{x) и L = lim /(х).
г — а х -' а
Доказать, что, каково бы ни было число А, где I < А < L,
существует последовательность хп —» а (га = 1, 2, ...) такая, что
lim /(х„) = X.
§ 8. Обратная функция.
Функции, заданные параметрически
1. Существование и непрерывность обратной функции. Если
функция у = f(x) обладает следующими свойствами: 1) определена и
непрерывна на интервале (а, Ь); 2) монотонна в строгом смысле на этом
интервале, то существует однозначная обратная функция х = /~Чу)>
определенная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом смысле
на интервале (А, В), где А = lim f(x) и В = lim f(x).
X — а +0 х^ Ь- О
Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной
функции данной непрерывной функции у = f(x) понимается любая
однозначная непрерывная функция х = g(y), определенная в
максимальной области ее существования и удовлетворяющая в этой области
уравнению f[g(y)] = у.
2. Непрерывность функции, заданной параметрически. Если
функции ф@ и \\i(t) определены и непрерывны в интервале (а, В) и функция
<р@ строго монотонна на этом интервале, то система уравнений
х = ф@, у = W)
определяет у как однозначную непрерывную функцию от х:
у = \|/(ф"'(ж)),
на интервале (а, Ъ), где а = lim cp(t) и Ъ = lim ф(г).
t - а+О 1 — Р-0
759. Найти обратную функцию дробно-линейной функции
у = ах±Ь (ad _bc7t 0).
ex + d
В каком случае обратная функция совпадает с данной?
760. Найти обратную функцию х = х(у), если
г/ = х + [х].
761. Показать, что существует единственная непрерывная
функция у = ,у(х) (-°о < х < +°о), удовлетворяющая уравнению
Кеплера
у - t sin г/ = х @ < г < 1).
76
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
762. Показать, что уравнение
ctg х = kx
для каждого вещественного k (-00 < k < +°°) имеет в интервале
О < х < к единственный непрерывный корень х = x(k).
763. Может ли немонотонная функция у = f(x) (-°° < х < +оо)
иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:
\х, если х рационально;
1-х,если х иррационально.
764. В каком случае функция у = f{x) и обратная функция
х = f 1{у) представляют одну и ту же функцию?
765. Показать, что обратная функция разрывной функции
у = A + х2) sgn х
есть функция непрерывная.
766. Доказать, что если функция f(x) определена и строго
монотонна на сегменте [а, Ь] и
lim f(xn) = f(a) (a < ха < Ъ),
П -^ ОО
ТО
lim xn = а.
П — ОО
Определить однозначные непрерывные ветви обратных
функций для следующих функций:
767. у = х2. 768. у=2х- х2.
769. у = -^Ц . 770. у = sin x.
771. у = cos х. 772. y = tgx.
773. Показать, что множество значений непрерывной функции
у = 1 + sin х, соответствующих интервалу @ < х < 2я), есть сегмент.
774. Доказать равенство
arcsm х + arccos x = - .
2
775. Доказать равенство
1 л
arctg х + arctg - = - sgn x (x ^ 0).
776. Доказать теорему сложения арктангенсов:
arctg х + arctg у = arctg У- + етс,
1-ху
где е = е(х, у) — функция, принимающая одно из трех значений:
0, 1,-1.
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически
77
Для каких значений у при данном значении х возможен
разрыв функции е? Построить на плоскости Оху соответствующие
области непрерывности функции е и определить значение этой
функции в полученных областях.
777. Доказать теорему сложения арксинусов:
arcsin х + arcsin у = (-l)f arcsin (xjl - у2 + yjl - x2 ) + гп
(|*| < 1,Ы< 1),где
е = 0, если ху < 0 или х2 + у2 < 1,
и
? = sgn х, если ху > О и х2 + у2 > 1.
778. Доказать теорему сложения арккосинусов:
arccos х + arccos у = (-1)Е arccos (ху - Jl - x2Jl - у2 j + 2яе
(\x\< 1,|у|<1), где
Е = 0, если х + у > О,
и
Е = 1, если д: + у < 0.
779. Построить графики функций:
а) у = arcsin д: + arcsin Jl - л:2;
б) г/ = arcsinBxVl - я2) _ 2 arcsin x.
780. Найти функцию у = г/(х), заданную уравнениями:
х = arctg г, у = arctg ? (-со < t < +оо).
В какой области определена эта функция?
781. Пусть
x=cht, у = sh t (-00 < f < +оо).
В каких областях изменения параметра ? переменную (/
можно рассматривать как однозначную функцию от переменной х?
Найти выражения у для различных областей.
782. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы
система уравнений
х = ф(?), у = \|/@ (а < t < C)
определяла бы г/ как однозначную функцию от х?
Рассмотреть пример: х = sin2 t, у = cos2 ?.
783. При каких условиях две системы уравнений
х = ф(?), г/ = \|/(?) (a <t <Ь)
и
х = ф(х(х)). У = VMO) (а < к Р)
определяют одну и ту же функцию у = г/(х)?
78
РАЗДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
784. Пусть функции ф(х) и \\i(x) определены и непрерывны на
интервале(а, Ь) и
А = inf ф(х), В = sup ф(лг).
а < х < b a < х <Ь
В каком случае существует однозначная функция f(x),
определенная в интервале (А, В) и такая, что
\\i(x) = /(ф(х)) при а < х <Ы
§ 9. Равномерная непрерывность функции
1. Определение равномерной непрерывности. Функция f(x)
называется равномерно непрерывной на данном множестве (интервале, сегменте
и т. п.) X = {х}, если f(x) определена на X и для каждого е. > 0 существует
5 = 5(e) > 0 такое, что для любых значений х', х" ? X из неравенства
\х' - х"\ < 5
следует неравенство
\f(X') - f(x"i < Е.
2. Теорема Кантора. Функция f(x), определенная и непрерывная на
ограниченном сегменте [а, Ь], равномерно непрерывна на этом сегменте.
785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны
которых х могут принимать значения в пределах от 1 до 10 см.
С каким допуском 5 можно обрабатывать стороны этих
пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах)
площадь их у отличалась от проектной меньше, чем на е? Выполнить
численный расчет, если:
а) е = 1 см2; б) е= 0,01 см2; в) е = 0,0001 см2.
786. Цилиндрическая муфта, ширина которой е и длина 8,
надета на кривую у = я*/х и скользит по ней так, что ось муфты
остается параллельной оси Ох. Чему должна быть равна длина 8,
чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой,
определяемый неравенством -10 < х < 10, если:
а)е = 1; б)е = 0,1; в) е. = 0,001; г) г произвольно мало?
787. В положительном смысле сформулировать на языке
«е - 8» утверждение: функция f(x) непрерывна на некотором
множестве (интервале, сегменте и т. п.), но не является
равномерно непрерывной на этом множестве.
788. Показать, что функция
/(*) = -
х
непрерывна в интервале @, 1), но не является равномерно
непрерывной в этом интервале.
§ 9. Равномерная непрерывность функции
79
789. Показать, что функция
fix) = sin -
х
непрерывна и ограничена в интервале @, 1), но не является
равномерно непрерывной в этом интервале.
790. Показать, что функция
fix) = sin x2
непрерывна и ограничена в бесконечном интервале -оо <х < +оо,
но не является равномерно непрерывной в этом интервале.
791. Доказать, что если функция f(x) определена и
непрерывна в области а < х < +оо и существует конечный
lim /(*),
д.— +оо
то fix) равномерно непрерывна в этой области.
792. Показать, что неограниченная функция
fix) = х + sin x
равномерно непрерывна на всей оси -оо < х < +оо.
793. Является ли равномерно непрерывной функция fix) = х2
на интервале
а) (-/; 0, где I — любое, сколько угодно большое
положительное число;
б) на интервале (-°о, +оо)?
Исследовать на равномерную непрерывность в заданных
областях следующие функции:
794. /(*) = -2L- (-1 < х < 1).
4-х2
795. f(x) = In x @ < х < 1).
796. f{x) = ^ @ < х < л).
х
797. fix) = ех cos ± @ < х < 1).
х
798. fix) = arctg х (-оо < х < +оо).
799. fix) = Jx A < х < +оо).
800. fix) = х sin x @ < x < +oo).
801.1. Показать, что функция fix) = \smx\ равномерно
непрерывна на каждом интервале
Jx = (-1 < х < 0) и J2 = @ < х < 1)
80
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
по отдельности, но не является равномерно непрерывной на их
сумме
J\ + J2 = {0 < |*| < 1}.
2. Доказать, что если функция fix) равномерно непрерывна
на каждом из сегментов [а, с] и [с, ft], то эта функция является
равномерно непрерывной на суммарном сегменте [a, ft].
802. Для е > 0 найти 5 = 8(e) (какое-нибудь!),
удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для функции fix) на
данном промежутке, если:
а) fix) = 5х - 3 (-со < х < +оо);
б) f(x) = х2 - 2х - 1 (-2 < х < 5);
n)/(*)=i @,1<х<1);
л:
г) /(х) = Jx @ < х +оо);
Д) fix) = 2 sin х - cos x (-co < х < +°°);
е) f{x) = х sin i (x * 0) и ДО) = 0 @ < х < п).
803. На сколько равных между собой отрезков достаточно
разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание функции /(х) = х2 на
каждом из этих отрезков было меньше 0,0001?
804. Доказать, что сумма и произведение ограниченного
числа равномерно непрерывных на интервале (a, ft) функций
равномерно непрерывны на этом интервале.
805. Доказать, что если ограниченная монотонная функция
fix) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (a, ft),
то эта функция равномерно непрерывна на интервале (a, ft).
806.1. Доказать, что если функция /(х) равномерно
непрерывна на конечном интервале (a, ft), то существуют пределы
А = lim fix) и В = lim fix).
Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (a, ft)?
2. Доказать, что для того, чтобы функцию fix), определенную
и непрерывную на конечном интервале (a, ft), можно было
продолжить непрерывным образом на сегмент [a, ft], необходимо и
достаточно, чтобы функция fix) была равномерно непрерывна на
интервале (a, ft).
807. Модулем непрерывности функции fix) на промежутке
(a, ft) называется функция
соДб) = sup \fixj) - /(х2)|,
где х1 и х2 — любые точки из (о, ft), связанные условием \хг - х2| < 8.
§ 10. Функциональные уравнения
81
Доказать, что для равномерной непрерывности функции f(x)
на промежутке (а, Ь) необходимо и достаточно, чтобы
lim соДо) = 0.
808. Получить оценку модуля непрерывности юД5) (см.
предыдущую задачу) вида
(of (8) < С5а,
где С и а — константы, если:
а) f(x) = х3 @ < х < 1);
б) f{x) = Jx @ < х< а) и (а < х < +оо);
в) /(*) = sin х + cos л: @ < х < 2л).
§ 10. Функциональные уравнения
809. Доказать, что единственная непрерывная функция fix)
(—оо < х < +°°), удовлетворяющая для всех вещественных
значений х и у уравнению
fix + у) = fix) + fiy), A)
есть линейная однородная функция
fix) = ах,
где а = /A) — произвольная константа.
810. Доказать, что монотонная функция fix),
удовлетворяющая уравнению A), есть линейная однородная.
811. Доказать, что функция fix), удовлетворяющая
уравнению A) и ограниченная в сколь угодно малом интервале (-е, г),
есть линейная однородная.
812. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция fix) (-оо < х < +°°), удовлетворяющая
для всех значений х и у уравнению
fix + У) = mm, B)
есть показательная функция
fix) = ах,
где а = /A) — положительная постоянная.
813. Доказать, что не равная нулю тождественно функция
fix), ограниченная в интервале @, е) и удовлетворяющая
уравнению B), есть показательная.
814. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция fix) @ < х < +°°), удовлетворяющая
для всех положительных значений х и у уравнению
fixy) = fix) + fiy),
82
РАЗДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
есть логарифмическая функция
/(*) = \oga х,
где а — положительная константа.
815. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f(x) @ < х < +°°), удовлетворяющая
для всех положительных значений х и у уравнению
f(xy) = f(x)f(y), C)
есть степенная функция
/(*) = ха,
где а — постоянная.
816. Найти все непрерывные функции f(x) (-00 < х < +°о)>
удовлетворяющие для всех вещественных значений х и у
уравнению C).
817. Показать, что разрывная функция
f(x) = sgn х
удовлетворяет уравнению C).
818. Найти все непрерывные функции f(x) (-°° < х < +°°),
удовлетворяющие для всех вещественных значений х и у уравнению
/(* + У) + К* ~У) = 2f(x)f(y).
819. Найти все непрерывные ограниченные функции f(x) и
g(x) (-00 < х < +о°), удовлетворяющие для всех вещественных
значений х и у системе уравнений:
f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y),
g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x),
и, сверх того, условиям нормировки:
/@) = 1 и g@) = 0.
Указание. Рассмотреть функцию
F(x) = f(x) + g\x).
820. Пусть
Af(x) = f{x + Ax) - f(x)
и
A2f(x) = A{Af(x)}
суть конечные разности функции f(x) соответственно первого и
второго порядков.
Доказать, что если функция f(x) (-°° < х < +оо) непрерывная
и A2f(x) = 0, то эта функция линейная, т. е. f(x) = ах + b, где а и
b — постоянные.
РАЗДЕЛ II
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная явной функции
1. Определение производной. Если х и х1 = х + Ах — значения
независимой переменной, то разность
Ay = f(x + Ах) - f(x)
называется приращением функции у.= f(x) на сегменте [х, .г,].
Выражение
y' = f'(x)= lim ?й,
Ах - О АХ
A)
если оно имеет смысл, носит название производной, а сама функция
Дх) в этом случае называется дифференцируемой.
Геометрически число i\x) представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции у = f(x) в точке его х (tg a = f'{x)) (рис. 6).
У
о
/
м^^
1 •>
f(x)
X
Рис. 6
2. Основные правила нахождения производной. Если с — постоянная
величина и функции и = и(х), v = и(х), ш = w(x) имеют производные, то
1)с' = 0;
2) (си)' - си'\
3) (и + v - w)' *= и' + v' - w';
4) (uv)' = u'v + uv';
5>;
и v - uv
(u * 0);
6) O")' = nu" xu' (n — постоянное число);
7) если функции у = f(u) и и = ф(х) имеют производные, то
У,
У и ",
84 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
3. Основные формулы. Если х — независимая переменная, то
I. (х"У = пх"~' (я —постоянное число). IX. (arcctgx)' = -- .
1 + х2
II. (sin x)' = cos x. X. (ах)' = ах In a (a > 0); (ех)' = е*.
III. (cosx)' = -sinx. XL (Logax)'=-r— (a>0);(lnx)' = i.
xlna x
IV. (tg x)' = -Л- ¦ XII. (sh xY = ch x.
cos2x
V.(ctgx)' = hr- ¦ XIII. (chxY = shx.
sm2x
VI. (arcsin x)' = 1 . XIV. (th x)' = -rV •
JfZT^i ch2x
VII. (arccos x)' = ——^— . XV. (cth x)' = - *
Jl-x2 sh2*
1
VIIl.(arctgx)' = .
1 + x2
4. Односторонние производные. Выражениями
r{x)= Um Дх + Ах)-/^^
д* - -о Дх
/;(ж)- Hm f(* + bx)-f(x)
д* — +о Дх
определяются соответственно левая и правая производные функции /(я:)
в точке х.
Для существования производной /'(х) необходимо и достаточно, чтобы
f_(x)=f+(x).
5. Бесконечная производная. Если функция f(x) непрерывна в точке х и
цт f(x + Ax)-f(x) =
Ах - о Дх
то говорят, что в точке х функция f(x) имеет бесконечную производную.
В этом случае касательная к графику функции у = Дх) в точке х
перпендикулярна к оси Ох.
821. Определить приращение Дх аргумента х и соответствующее
приращение Ау функции у = lg х, если х изменяется от 1 до 1000.
822. Определить приращение Дх аргумента х и соответствующее
приращение Ау функции у = — , если х изменяется от 0,01 до 0,001.
хг
823. Переменная х получает приращение Дх. Определить
приращение Ау, если:
а) у = ах + Ь; б) у = ах2 + 6х + с; в) у = а*.
§ 1. Производная явной функции
85
824. Доказать, что
а) Д[/(х) + Й(х)] = Д/(х) + Ag(x);
б) A[f(x)g(x)] = g(x + Ax)Af(x) + f(x)Ag(x).
825. Через точки ЛB, 4) и А'B + Ах, 4 + Ау) кривой у = х2
проведена секущая АА'. Найти угловой коэффициент этой
секущей, если:
а)Дх=1; б)Дх=0,1; в)Дх=0,01;
г) Ах произвольно мало.
Чему равен угловой коэффициент касательной к данной
кривой в точке А?
826. Отрезок 1 < х < 1 + h оси Ох с помощью функции у = х3
отображается на ось Оу. Определить средний коэффициент
растяжения и произвести численный расчет, если:
а) /1=0,1; б) Л =0,01; в) Л =0,001.
Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении
в точке х = 1?
827. Закон движения точки по оси Ох дается формулой
х= 10? + 5г2,
где t — время в секундах их — расстояние в метрах. Найти
среднюю скорость движения за промежуток времени 20 < t < 20 + Д?
и выполнить численный расчет, если:
a) At; б) А* =0,1; в)Д? = 0,01.
Чему равна скорость движения в момент времени t = 20?
828. Исходя из определения производной, непосредственно
найти производные следующих функций:
а) х2; б) х3; в) - ; г) Jx ;
х
д) ;i/x ; е) tg x; ж) ctg x; з) arcsin x;
и) arccos x; к) arctg x.
829. Найти /'A), f B) и /'C), если
/(х)= (х- 1)(х- 2J(х- ЗK.
830. Найти /'B), если
Дх) = х2 sin(x - 2).
831. Найти /'A)> если
/(х) = х + (х - 1) arcsin
х+ 1
86 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
832. Найти lim '-^-—-^-, если функция f(x) дифференциру-
х -* а X — U
ема в точке а.
833. Доказать, что если функция /(х) дифференцируема и
п — натуральное число, то
lim)n[-/[jc+ 1) -/(х)] = /'(*).
A)
Обратно, если для функции f(x) существует предел A), то
можно ли утверждать, что эта функция имеет производную?
Рассмотреть пример функции Дирихле (см. задачу 734).
Пользуясь таблицей производных, найти производные
следующих функций:
834. у = 2 + х - х2. Чему равно у'{0); у'(-) ; у'A); у'(-Ю)?
835. у = — + — - 2х. При каких значениях х:
о А
а)у'(х)=0; б)у'(х) = -2; в) у'(х) = 10?
ах + Ь
836. у = а5 + 5а3х2 - х5.
838. у = (х- а)(х - 6). у
/1
837. у
а + Ь
839. у = (х + 1)(х + 2J(х + ЗK.
840. у = (х sin a + cos a)(x cos a - sin a).
841. у = A + пхт)A + тх").
842. а) у = A - х)A - х2JA - х3K; б) у = E + 2хI0C - 4хJ0.
843. у = 1 + 1 + 1.
X Хг X3
844. Доказать формулу
Га Ъ
с d
\cx + d) (
Найти производные функций:
845. у- 2х .
у 1-х2
ft47 и — х
" A-хJA + х)я"
* A + Х)"
сх + dJ '
846. у =
848. у =
850. у =
1 + х- х2
1 - X + X2 '
B-х2)C-х3)
A-хJ
ХРA - ХI
1+Х
851. у = х + Jx + 3Jx ,
852. у=1 + -L + -L
х Jx \fc
§ 1. Производная явной функции
87
853. у = VI2 --р . 854. у = xjl + x2.
Jx
855. у = A + x)j2 + х2 V3 + х3. 856. у = m+l/(l-*)m(l+x)''.
856. у = л + тл/A - *)m(l + *)" . 857. у = -—-? .
л/а2 - х2
858. у = JS . 859. у = 1 г__=-.
860. у = 4х + JxVJx . 861. у =Ц1 + 3«/l + V* •
862. у = cos 2л: - 2 sin я. 863. y=B-x2)cosx+2^sinJC.
864. у = sin(cos2 л:) • cos(sin2 х). 865. у = sin" x cos их.
866. у = sin[sin(sin ж)]. 867. у = ^^ .
sin*2
868. у = -^ . 869. у = -1- .
2 sin2 л: cos"*
870. у = sin*-*cos*. 871. у ¦= tg? - ctg? .
cosat+ xsinx 2 2
872. у = tg x - I tg3 x + i tg5 *.
d 0
873. у = 4Vctg2x + Vctg8x . 874. у = sec2 - + cosec2 - .
a a
875. у = sin[cos2(tg3 x)]. 876. у = e~*2.
877. у = 2 * . 878. у = ex (x2 - 2x + 2).
879. у = fi^ sin x - <1+2*J cos л] e-x.
880.y=^l+ctg|). 881. у = >n3-sin^+coB»
882. у = е» аашЬле-ЬсовЬх 883 * + e«, + ^ _
Va2 + 62
884-^=йГШ°йГ (a>0'fe>0)-
885. у = x«a + a1" + aa* (a > 0). 886. у = lg3 x2.
887. у = ln(ln(ln x)). 888. у = ln(ln2(ln3 x)).
88 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
889.y=|ln(l + x)-iln(l + x2)-^.
890-^iln§rf
891. у = ^—- + - In -?— .
у 4A +л:4) 4 1 + х4
892. у = — In X-J3-J2 _
2V6 xj3 + J%
893. w = — In I±? + .Л. in 1±Ь^ @ < k < 1).
1-/г 1-х 1-fe 1-х7й
894. у = Jx + 1 - 1пA + 7^+1 )•
895. у = ln(x + V*2 + l )•
896. г/ = х ln(x + Vl + х2) - Jl + х2.
897. у = х ln2fx + Jl + x2 \ - 2 Jl + x2 lnfx + Jl + x2 \ + 2х.
898. у = | л/*2 + а2 + j ln(x+ Jx2 + а2 ].
899. у = —^— In J~a + Xft> (a> 0, b> 0).
2«/аЪ Ja-xjb
900. у = i±4^ VT^2 + 3 In 1 + ^^~2.
X4 X
901. у = In tg |. 902. у = In tg (| + 5 j .
903. у = i ctg2 x + In sin x. 904. у = In Z1 ~ sinx
2 VI + sinx
905. у = —°°2?- + In /Ш°*?.
2sin2x V sinx
906.y=ln6 + acosx + ^2-a2siiH @<|a|<|ft|).
a + bcosx
907. y= - Aпях + 3 In2 x + 6 In x + 6).
908. у = -i- In I - -i- .
w 4x4 x 16x4
909. у = | (l - Vl + x212 + 3 lnf 1 + 3JT+x~2 ].
910.y = ln[I+ln(I+lnI)].
§ 1. Производная явной функции
89
911. у = x[sin(ln х) - cos(ln x)].
912. у = In tg - - cos x • In tg x. 913. у = arcisn - ,
914.
916.
918.
919.
920.
У =
y =
y =
y =
У =
1-х
arccos .
72
— arcctg ^ .
Л х
x + Jl - x2 -a
/ X
x arcsin /
A/1 + X
1
arccos - .
X
rccos
+
X.
arctg
915.
917,
Jx -
921.
¦У =
¦ y =
Jx.
• y =
arctg
Jx -
X2
a
arctg
arcsin(sin x
Jx.
)¦
922. у = arccos(cos x). 923. у = arcsin(sin x - cos x).
924. у = arccos Jl - x2. 925. у = arctg X + x
926. j/ = arcctg
1-х
SIM + COSX~l
smx - cosx
927. у = -J= arctg /-i? tg f (a>b>0).
Ja2 - b2 V Na + b 2 J
928. у = arcsin \^\ . 929. у = Ц—
\ + xl &rccos2(xy
930. у = arctg * + - arctg (x3).
О
931. у = ln(l + sin2 x) - 2 sin x • arctg (sin x).
932. у = ln( arccos -jA .
^ fj X
933. у = In x + a + ^ arctg ? .
Jx^+b* b b
934. и = - 7a2 - x2 + — arcsin - (a > 0).
tf 2 2 a
935.y=i in ^^+^ arctg Щ1.
6 x2-x+i уз тз
936. у = _L_ In *2 + *72+l _ 1 arctg j:7JL
4^2 x2-x72 + l 2^2 ^2-!
937. у = x(arcsin xJ + 2 7l - *2 arcsin x - 2x.
arccosx j. li 1 - Jl-.
938. у = ^HH^d + i In
* 2 1 + 71-x
2
90 РАЗДЕШ П. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
939. у = arctg Jx2 -1 - lnx .
940 arcsin* + 1 lnLl?.
JT^xl 2 l + x
941. у = —- In — - arctg — .
942. z/ = ^75 - arcctg x\
943. у = In i-'J* + Л arctg 1 + 2*J* .
Jl + ifx + l/x2 «/3
944. г/ = arctg * .
i + 7i-*2
945. i/ = arcctg a~2x (a > 0).
2jax- xz
946. i/ = Ц^ 7i-2*-x2 + 2 arcsin i±? .
947. у = i ln^L±Z±* - I arctg ^±^ .
948. у = arctg(tg2 x).
949. у = 71 - x2 -In /S + jhn1~'/lzjr + 7TT*2 + arcsin*.
Vl + * 2 i + уГЗр
950. y = x arctg ж - 1 ln(l + xf - 1 (arctg xJ.
951. у = ln(e* + 71 + e2x). 952. г/ = arctg(x + 7l + x2).
953. у = arcsin f ""«""* 1.
VI - cosacos*/
954.*,= -i- In ^^-^ + 1 arctg ?EU.
473 Jx2 + 2 + *73 2 *
955. у = -Ц: arctg ^L - ± ln JuT*-xj2 _
272 7Г+Р 472 7l + *4 + *72
956. у = b/Цр _ A arcctg *^ .
1 + *2 72 7T^~2
957. у = arccos(sin x2 - cos л:2).
958. у = arcsin(sin x2) + arccos(cos л:2).
959. у = em arcsin *[cos(m arcsin x) + sin(m arcsin x)].
§ 1. Производная явной функции
91
960. а) у = arctg ех - In /-^- ; б) у = Jl + 3лД + 1/1 + х4;
е2* + 1
в) у = arcctg ; г) у = ln2(sec 2 'V*).
961. у=х + хх + Xх* (х > 0).
962. у = х*" + хаХ + а*г (а > 0, х > 0).
963. у = xJx (х > 0).
964. у = (sin x)cos x + (cos x)si" *.
965. 1. у = (In x)- : ж1»*. 2. у = [«"мт^т^-р'* _
Larccos(cos2x)J
966. у = log^ е.
967. г/ = ln(ch х) + -JL- •
2ch2x
968. у = -^- - lnfcth -
у sh2x l 2
969. у = arctg (th x).
970. у = arccos [
^chx
972. Найти производную функции
у = ln(cos2 х + л/1 + cos х |,
вводя промежуточное переменное и = cos2 х.
Приемом, указанным в примере 972, найти производные
функций:
973. у = (arccos хJ ln2(arccos x) - ln(arccos x) + -
974. у=\ arctg(i/lTx4) + i ln^1 + *4+1 .
2 4 VTT? - 1
975. у = earcsin(e-*2) + ilnA _ e-2*2).
Jl-e-**2 2
976. у = -^ - f^ arcctg a"".
1 + a2x 1 + aix
92 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
977. Найти производные и построить графики функций и их
производных, если:
а) у = |х|; б) у = х\х\; в) у = 1п|х|.
978. Найти производные следующих функций:
а) у = |(х - 1J(х + 1K|; б) у = |sin3 x\;
в) у = arccos — ; г) у = [х] sin2 nx.
Найти производные и построить графики функций и их
производных:
[1-х при -оо < % < 1;
979. у = < A - х)B - х) при 1 < х < 2;
[-B-х) при2<х<+оо.
поп _ J(x-aJ(x-bJ приа<х</3;
[О вне отрезка [а, о].
Q81 и=\Х прих<0;
yoL-y ЦпA + х) прих>0.
( arctg х при |х| < 1;
982.y=j 5sgnx+?^l при|х|>1.
х2е~*2 при |х| < 1;
983. у = \ j
при х| > 1.
I e
984. Производная от логарифма данной функции у = /(х)
называется логарифмической производной этой функции:
^ = -Г h |/(*I = ^ (/(х) > 0).
(/ <ix f(x)
Найти логарифмическую производную от функции у, если:
а>» = * гЧ; 6)y=^i.J3--
'1 + х' у l-x'VC + xJ'
в)//=(х-а1)аЧ^-а2)С<2-(^-йп)а";г)(/ = (х+71+х2Г.
985. Пусть ф(х) и ц/(х) — дифференцируемые функции от х.
Найти производную от функции у, если:
а) у = 7ф2(х) + \)/2(х); б) у = arctg 2^1;
в) j/ = rt'J/vOO (Ф(ж) * 0; у(х) > 0);
г) У = log^x) V|/(x) (ф(х) > 0; i|i(x) > 0).
§ 1. Производная явной функции
93
986. 1. Найти у', если:
а) у = /(х2); б) у = /(sin2 х) + /(cos2 x);
в) I/ = /(е*) • е«*>; г) у = /{/[/(х)]},
где /(и) — дифференцируемая функция.
2. Найти /'@), если
/(*) = х(х - 1)(х - 2) ... (х - 1000).
987. Доказать следующее правило дифференцирования
определителя п-го порядка:
/п(*) Лг(*)
fikix) fkz(x)
Unix)
fknW
fni(x) fn2(x) ... fnn{x)
988. Найти F'(x), если
fn(x) flz(x)
f'u(x) f'ki(x)
fnl(x) f„2(x)
Л„(*)
/¦*„(*)
fnnM
F(x) =
989. Найти F'(x), если
F(x) =
x-1 1 2
-3 л: 3
-2 -3 x + 1
x x^ x'
1 2x 3x2
0 2 6x
990. Дан график функции. Приближенно построить график
ее производной.
991. Показать, что функция
1
/(*) =
х" sin ¦
0
при х ^ 0;
при х = 0
имеет разрывную производную.
992. При каком условии функция
I х" sin -
""Но *
при х ^ 0;
при х = 0
а) непрерывна при х = 0;
б) дифференцируема при х = 0;
в) имеет непрерывную производную при х = 0?
993. При каком условии функция
Ы" sin т-7- при х *¦ 0,
/(х)Н W"
0 при х = 0
94 РАЗДКЛ П. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(т > 0) имеет:
а) ограниченную производную в окрестности начала
координат;
б) неограниченную производную в этой окрестности?
994. Найти f'(a), если
fix) = (х - а)ф(х),
где функция ф(х) непрерывна при х = а.
995. Показать, что функция
fix) = |х - а|ф(х),
где ф(х) — непрерывная функция и ф(а) ^ 0, не имеет
производной в точке а.
Чему равны односторонние производные f'..{a) и /+(а)?
996. Построить пример непрерывной функции, не имеющей
производной в данных точках: аи а2, ..., ап.
997. Показать, что функция
fix) = х2
я
COS-
X
(х * 0) и ДО) = 0
имеет точки недифференцируемости в любой окрестности точки
х = 0, но дифференцируема в этой точке.
Построить эскиз графика этой функции.
998. Показать, что функция
Jx2, если х рационально;
IVх)— |о( если х иррационально,
имеет производную лишь при х = 0.
999. Исследовать на дифференцируемогть следующие
функции:
а) у = |(х - 1)(х - 2J(х - 3K|; б) у = |cos x|;
в) у = |л2 - х2\ sin2 х; г) у = arcsin(cos x);
х_1(х+1J при|х|<1;
Д) У = 1 4
[\х\ - 1 при|х|> 1.
Для функции fix) определить левую производную /'_(х) и
правую производную /+ (х), если:
1000. f(x) = |х|. 1001. /(х) = [х] sin юс.
1002. /(х) = х
л
COS-
X
(**0), /@)=0.
§ 1. Производная явной функции
95
1004. /(х) = -?-_ (х * 0), /@) = 0.
1 + е*
1005. /(*) = л/1 - е-*2. 1006. /(х) = |1п |х|| (х * 0).
1007. ftx) = arcsin -^Ц .
1 + х2
1008. /(х) = (х -2) arctg -1- (х * 2), /B) = 0.
1009. 1. Показать, что функция /(х) = х sin - при х ^ 0 и /@) =
О непрерывна при х = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой
производной.
2. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода функции f(x).
Выражения
/' (у \ - lim f(xo + h)-f(xo-0)
и
,/,„ ч = lim f(x0 + h)-f(x0 + 0)
I + Уло) ,, - +0 ^
называются обобщенными односторонними (соответственно
левой и правой) производными функции f(x) в точке х0.
Найти /'_ (х0) и /+(х0) в точках разрыва х0 функции /(х), если:
a) fa) = M±Z ¦ б) /(х) = arctg 1±|;
B)f(x)=- 1
1
1 + е*
1010. Пусть
[я2, если х < х0;
fix) '
[ах + Ь, если х > х0.
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы функция
/(х) была непрерывной и дифференцируемой в точке х = х0?
1011. Пусть
\f(x), если х < х0;
\ах + о, если х > х0,
где функция /(х) дифференцируема слева при х = х0.
При каком выборе коэффициентов а и b функция F(x) будет
непрерывной и дифференцируемой в точке х0?
96 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1012. На сегменте а < х < Ъ построить сопряжение двух
полупрямых
у = kx(x - а) (-оо < х < а) и у = k2(x - b) (b < х < +оо)
с помощью кубической параболы
у = А(х - а)(х - Ь)(х - с),
где параметры А и с подлежат определению.
1013. Часть кривой у = г^г \ \х\ > с J дополнить параболой
\Х[
у = а + Ьх2 (\х\ < с
(где а и Ь — неизвестные параметры) так, чтобы получилась
гладкая кривая.
1014. Можно ли утверждать, что сумма
F(x) = f(x) + g(x)
не имеет производной в точке х = х0, если:
а) функция f(x) имеет производную в точке х0, а
функция g(x) не имеет производной в этой точке;
б) обе функции f(x) и g(x) не имеют производной в точке х0?
1015. Можно ли утверждать, что произведение
F(x) = f{x)g(x)
не имеет производной в точке х = х0, если:
а) функция f(x) имеет производную в точке х0, а
функция g(x) не имеет производной в этой точке;
б) обе функции f(x) и g(x) не имеют производной в точке х0?
Рассмотреть примеры:
a) f(x) = х, g(x) = \х\; б) f(x) = \x\, g(x) = \х\, где х0 = 0.
1016. Что можно сказать о дифференцируемости функции
F(x) = f(g(x))
в данной точке х = х0, если:
а) функция f(x) имеет производную в точке х = #(х0), а
функция g(x) не имеет производной в точке х = х0;
б) функция f(x) не имеет производной в точке х = g(x0),
а функция g{x) имеет производную в точке х = х0;
в) функция f(x) не имеет производной в точке х = g(x0)
и функция g(x) не имеет производной в точке х = х0?
Рассмотреть примеры:
a) f{x) = х2, g(x) = \х\; б) f(x) = \х\, g(x) = х2;
в) f{x) = 2х + |лг|, gix) = | х - | \х\, где х0 = 0.
§ 1. Производная явной функции
97
1017. В каких точках график функции
у = х + Vsinx
имеет вертикальные касательные?
Построить этот график.
1018. Может ли функция Дх) в точке ее разрыва иметь:
а) конечную производную; б) бесконечную производную?
Рассмотреть пример: Дх) = sgn x.
1019. Если функция /(х) дифференцируема в ограниченном
интервале(а, Ь) и
lim Дх) = оо,
х -* а
то обязательно ли
1) lim f\x) = с»; 2) lim \f\x)\ = +оо?
х -* а х -* а
Рассмотреть пример: Дх) = - + cos - при х -> 0.
х х
1020. Если функция Дх) дифференцируема в ограниченном
интервале(а, Ь) и
lim f(x) = оо,
х -^ а
то обязательно ли
lim Дх) = оо?
х -^ а
Рассмотреть пример: Дх) = l/x при х —> 0.
1021. Пусть функция Дх) дифференцируема в интервале
(х0, +оо) и существует lim f\x). Следует ли отсюда, что сущест-
х — -loo
вует lim /'(x) ?
X -> +оо
Рассмотреть пример: Дх) = sin^ '.
1022. Пусть ограниченная функция Дх) дифференцируема в
интервале (х0, +оо) и существует lim f'(x). Следует ли отсюда,
X -~ оо
что существует lim Дх) конечный или бесконечный?
Х^ оо
Рассмотреть пример: Дх) = cos (In x).
1023. Можно ли почленно дифференцировать неравенство
между функциями?
1024. Вывести формулы для сумм:
а)Р„ = 1 + 2х + Зх2 + ... + пхп1,
Q„= I2 + 22х + 32х2 + ... + nV;
Указание. Рассмотреть (х + х2 + ... + хп).
б) Sn = sin x + sin 2x + ... + sin nx,
Тп = cos x + 2 cos 2x + ... + п cos nx.
98 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1025. Вывести формулу для суммы:
Sn = ch х + 2 ch 2х + ... + п ch nx.
Указание. S„ = (sh x + sh 2x + ... + sh nx)'.
1026. Пользуясь тождеством
cos§ cos- ... cos —
2 4 2"
формулу для суммы:
Sn = 1 tg - + i tg - +
" 2 s 2 4 s 4
sinx
2"sin^
2"
... + J- tg A
2" 2"
1027. Доказать, что производная четной дифференцируемой
функции есть функция нечетная, а производная нечетной
дифференцируемой функции есть функция четная.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1028. Доказать, что производная дифференцируемой
периодической функции есть функция снова периодическая с тем же
периодом.
1029. С какой скоростью возрастает площадь круга в тот
момент, когда радиус этого круга R = 10 см, если радиус круга
растет равномерно со скоростью 2 см/с?
1030. С какой скоростью изменяются площадь и диагональ
прямоугольника в тот момент, когда одна сторона его х = 20 м, а другая
сторона у = 15 м, если одна сторона прямоугольника уменьшается
со скоростью 1 м/с, а другая возрастает со скоростью 2 м/с?
1031. Из одного и того же порта одновременно вышли
пароход А в направлении на север и пароход В в направлении на
восток. С какой скоростью возрастает расстояние между ними, если
скорость парохода А равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч?
1032. Пусть
\х, если 0 < х < 2;
^ ]2х-2, если2<х<+оо,
и S(x) — площадь, ограниченная кривой у = /(х), осью Ох и
перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точке х (х > 0).
Составить аналитическое выражение функции S(x), найти
производную S'(x) и построить график функции у = S'(x).
1033. Функция S(x) есть площадь, ограниченная дугой
окружности у = Ja2 - х2, осью Ох и двумя перпендикулярами к
оси Ох, проведенными в точках 0 и х (|х| < а
Составить аналитическое выражение функции S(x), найти
производную S'(x) и построить график этой производной.
§ 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически 99
§ 2. Производные обратной функции,
функции, заданной параметрически,
и функции, заданной в неявном виде
1. Производная обратной функции. Дифференцируемая функция
ц = f(x) (а < х < Ъ) с производной f'(x) ^ О имеет однозначную
непрерывную обратную функцию х = ГЧу)> причем обратная функция также
дифференцируема и справедлива формула
" ух •
2. Производная функции, заданной параметрически. Система
уравнений
\х = (p(f),
\ , ' (а < ( < Ь),
где ф(г) и \|/(f) — дифференцируемые функции и ф'@ ^ 0, определяет (/
в некоторой области, как однозначную дифференцируемую функцию от х:
у = п/(ф_1(х)),
причем производная этой функции может быть найдена по формуле
3. Производная функции, заданной в неявном виде. Если
дифференцируемая функция у = у(х) удовлетворяет уравнению
*"(*, у) = О,
то производная у' = у'(х) этой неявной функции может быть найдена из
уравнения
-f [F(x, у)] = О,
ах
где F(x, у) рассматривается как сложная функция переменной х.
(Более подробно о дифференцировании неявных функций см. разд. VI, § 3.)
1034. Показать, что существует однозначная функция у = у(х),
определяемая уравнением
у3 + Зу - х,
и найти ее производную у'х.
1035. Показать, что существует однозначная функция
у = у(х), определяемая уравнением
у - esin у = х @ < е < 1),
и найти производную у'х.
100 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1036. Определить области существования обратных функций
х = х(у) и найти их производные, если:
а) у = х + In х (х > 0); б) у = х + ех;
в) у = sh х; г) у = th x.
1037. Выделить однозначные непрерывные ветви обратных
функций х = х(у), найти их производные и построить графики,
если:
а) у = 2х2 - х4; б) у = ^ ; в) у = 2е* - е~2х.
1038. Построить эскиз графика функции у = г/(х) и найти
производную у'х(х), если: х = -1 + 2t - t2, у = 2 - 3i + ?3. Чему равна
г/'^х) при х = 0 и при х = -1? В какой точке М (х, г/) производная
у'М) = о?
Найти производные у'х (параметры положительны), если:
1039. х = Vl-V*, у = Vl-V* •
1040. х = sin2 <, г/ = cos2 t.
1041. х = a cos f, t/ = b sin t.
1042. x = a ch *, у = b sh t.
1043. x = a cos3 t, г/ = о sin3 t.
1044. x = a (t - sin i). У = a A - cos ?)¦
1045. x = e2i cos2 t, у = e2t sin2 i.
1046. x = arcsin -—== , г/ = arccos
Ji + t2 JT+T2
1047. Показать, что функция у — у(х), определяемая
системой уравнений
х = 2t + \t\, у = Ы2 + 4t\t\,
дифференцируема при t = 0, но ее производная в этой точке не
может быть найдена по обычной формуле.
Найти производные у'х от следующих функций, заданных в
неявном виде:
1048. х2 4- 2ху - у2 = 2х. Чему равно у' при х=2иг/=4и
при х = 2 и г/ = О?
1049. у2 = 2рх (парабола). 1050. — + ^ = 1 (эллипс).
а2 о2
г г г III
1051. д/х + Jy = л/а (парабола). 1052. х3 + г/3 = а3 (астроида).
1053. arctg ^ = In 7x2 + у2 (логарифмическая спираль).
§ 3. Геометрический смысл производной
101
1054. Найти у'х, если:
а) г = аф (спираль Архимеда);
б) г = а A + cos ф) (кардиоида);
в) г = ае
где г
I
тф (логарифмическая спираль),
xz + у'' и ф = arctg У- — полярные координаты.
§ 3. Геометрический смысл производной
1. Уравнения касательной и нормали. Уравнения касательной МТ
и нормали MN к графику дифференцируемой функции у = f(x) в точке
его М (х, у) (рис. 7) соответственно имеют вид:
Y - у = у' (X - х),
1
Y-y
У
¦ {X - х),
где X,Y — текущие координаты касательной или нормали, а у' = f'(x) —
значение производной в точке касания.
2. Отрезки касательной и нормали. Для отрезков касательной и
нормали: РТ — подкасательная, PN — поднормаль, МТ —
касательная, MN — нормаль (рис. 7); учитывая, что tg a = у', получаем
следующие значения:
PN = \уу'\,
МТ-
РТ =
Л+У'2, MN = \y\Jl+y'2.
3. Угол между касательной и радиусом-вектором точки касания.
Если г = /(ф) — уравнение кривой в полярной системе координат и C —
угол, образованный касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки
касания М (рис. 8), то
tg P
г_
г'
У
о
,
Ту<а/
X (
М
1
гЛ
J
\N
X
Рис. 7
Рис.8
102 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1055. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у = (х + 1)УЗ-х
в точках: а) А (-1; 0); б) В B, 3); в) С C, 0).
1056. В каких точках кривой
у = 2 + х - х2
касательная к ней:
а) параллельна оси Ох;
б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?
1057. Доказать, что парабола
у = а(х - хг)(х - х2) (а * 0, хх < х2)
пересекает ось Ох под углами аиC @<а<-,0<C<-),
равными между собой.
1058. На кривой
у = 2 sin х (-я < х < я)
определить те участки ее, где «крутизна кривой» (т. е. \у'\)
превышает 1.
1059. Функции
у = х и у3 = х + 0,01 sin 1000тгх@
отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что можно
сказать о максимальном значении разности производных этих
функций?
Построить соответствующие графики.
1060. Под каким углом кривая
у = In х
пересекает ось Oxl
1061. Под какими углами пересекаются кривые
у = х2 и х = у2?
1062. Под какими углами пересекаются кривые
у = sin х и у = cos х?
1063. 1. При каком выборе параметра п кривая
у = arctg nx (п > 0)
пересекает ось Ох под углом, большим 89°?
§ 3. Геометрический смысл производной
103
2. Показать, что кривая у = \х\а касается,
а) оси Оу при 0 < а < 1;
б) оси Ох при 1 < а < +оо.
3. Показать, что для графика функции
\\х\а, если а ^ 0, х ^ 0;
у [1, если х = 0,
предельное положение секущей, проходящей через точку А @, 1),
есть ось Оу.
1064. Определить угол между левой и правой касательными
2х
к кривой: а) у = VI - е-*2 в точке х = 0; б) у = arcsin
1 + х2
в точке х = 1.
1065. Показать, что касательная к логарифмической спирали
г = ает,р
(аит — постоянные) образует постоянный угол с
радиусом-вектором точки касания.
1066. Определив длину подкасательной к кривой
у = ахп,
дать способ построения касательной к этой кривой.
1067. Доказать, что у параболы
у2 = 2рх:
а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки
касания;
б) поднормаль постоянна.
Дать способ построения касательной к параболе.
1068. Доказать, что показательная кривая
у = ах (а > 0)
имеет постоянную подкасательную. Дать способ построения
касательной к показательной кривой.
1069. Определить длину нормали к цепной линии
и = a ch-
у а
в любой ее точке М (х0, у0).
1070. Доказать, что у астроиды
2 2 2
х 5 + у з = а з (а > 0)
длина отрезка касательной, заключенного между осями
координат, есть величина постоянная.
104 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1071. При каком соотношении между коэффициентами а, Ъ
и с парабола
у = ах2 + Ьх + с
касается оси Ох?
1072. При каком условии кубическая парабола
у = х3 + рх + q
касается оси Ох?
1073. При каком значении параметра а парабола
у = ах2
касается кривой у = In x?
1074. Доказать, что кривые, у = f(x) (/(х) > 0), у = f(x) sin ax,
где f(x) — дифференцируемая функция, касаются друг друга в
общих точках.
1075. Показать, что семейства гипербол
х2 - у2 = а, ху = Ъ
образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств
пересекаются под прямыми углами.
1076. Доказать, что семейства парабол
у2 = 4а (а - х) (а > 0)
и
у2 = АЬ (Ь + х) (Ъ > 0)
образуют ортогональную сетку.
1077. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
х = It - t2, y=Zt- t3
в точках: a) t = 0; б) t = 1.
1078. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
х= 2t + t" u= 2t~tZ
1 + t3 ' у \ + t3
в точках: a) t = 0; б) t = 1; в) t = оо.
1079. Написать уравнение касательной к циклоиде
х = a {t - sin t), у = а A - cos t)
в произвольной точке t = t0. Дать способ построения касательной
к циклоиде.
1080. Доказать, что трактриса
х = а (In tg - + cos t J, у = a sin t (a > 0, 0 < t < n)
имеет отрезок касательной постоянной длины.
§ 4. Дифференциал функции
105
Написать уравнения касательной и нормали в заданных
точках к следующим кривым:
1081-iri + ё =1' мF;6'4)-
100 64
1082. ху + In у = 1, МA; 1).
§ 4. Дифференциал функции
1. Дифференциал функции. Если приращение функции у = f(x) от
независимой переменной х может быть представлено в виде
Ay = A (x)dx + o(dx),
где dx = Ах, то линейная часть этого приращения называется
дифференциалом функции у:
dy = A (x)dx.
Для существования дифференциала функции у = f(x) необходимо и
достаточно, чтобы существовала конечная производная у' = f'(x), причем имеем:
dy = y'dx. A)
Формула A) сохраняет свою силу и в том случае, если переменная
х является функцией от новой независимой переменной (свойство
инвариантности первого дифференциала).
2. Оценка малых приращений функции. Для подсчета малых
приращений дифференцируемой функции f(x) можно пользоваться формулой
f(x + Ах) - f(x) ~ f'(x)Ax,
относительная погрешность которой сколь угодно мала при достаточно
малом \Ах\, если f'(x) & 0.
В частности, если независимая переменная х определяется с
предельной абсолютной погрешностью, равной Д_,., то Д и 5V — предельные
абсолютная и относительная погрешности функции у = f(x) —
приближенно выражаются следующими формулами:
1083. Для функции
f(x) = х3 - 2х + 1
определить: 1) А/A); 2) df(l) и сравнить их, если:
а)Дх=1; б) Ах = 0,1; в)Дх = 0,01.
1084. Уравнение движения дается формулой
х= Ы2,
где t выражается в секундах их — в метрах.
Для момента времени t = 2 с определить Дх — приращение
пути и dx — дифференциал пути и сравнить их, если:
а)Д*=1с; б) At =0,1 с; в) At = 0,001 с.
106 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Найти дифференциал функции у, если:
1085. у = i .
1087. г/ = -L In
а 2а
х- а
х + а
1089. у = arcsin - (а ^ 0).
а
1090. Найти:
а) с? (хех);
в)<*(-У;
д)йGа2 + *2);
ж) d ln(l - х2);
и) d r_MHiL + I in
L2cos2x 2
1086. г/ = i arctg - (a * 0).
1088. г/ = In }x + Jx2 + a |.
6) d (sin x - л: cos x);
r)d
e)d
lnx
JxJ'
JT^.
з) d arccos :—;
V x
«И
Пусть и, v, w — дифференцируемые функции от х. Найти
дифференциал функции у, если:
1091. у = uvw.
1
1093. у =
Тй1
+ v*
1092. у = "
1094. г/ = arctg - ,
1095. у = In Juz + v2.
1096. Найти
а)
d(x3)
(хл - 2х" - xJ);
б)
d ( sin x
d(x*)\ x
в) Eleinx}.
d(cosx)
r) d(tgx) .
d(ctgx) '
ч d(arcsinx)
d(arccosx)
1097. В круговом секторе радиус R = 100 см и центральный
угол а = 60°. Насколько изменится площадь этого сектора, если:
а) радиус его R увеличить на 1 см;
б) угол а уменьшить на 30'?
Дать точное и приближенное решения.
1098. Период колебания маятника определяется по формуле
Т=2к
§ 4. Дифференциал функции
107
где I — длина маятника и g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения.
Насколько нужно изменить длину маятника I = 0,2 м, чтобы
период Т увеличился на 0,05 с?
Заменяя приращение функции дифференциалом, найти
приближенно следующие значения:
1099. 3Jh02 . 1100. sin 29°.
1101. cos 151°. 1102. arctg 1,05.
1103. lg 11.
1104. 1. Доказать приближенную формулу
Ja2 + х ~ а + ¦?- (а > 0),
2а
где |х| <SC а (соотношение А <&. В между положительными А и В
означает, что А весьма мало по сравнению с В).
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) л/5 ; б) л/34 ; в) J\2Q
и сравнить с табличными данными.
2. Доказать формулу
Уа2 + х = а + ~ ~ г (а > 0, х > 0),
2а
2
где 0 < г < -?- .
8а
1105. Доказать приближенную формулу
nJa" + х ~ а + -~-х (а > 0),
па"
где |х| <sC a.
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
a) 3j9 ; б) 1/80 ; в) 1/Т00 ; г) 107Ю00 .
1106. Сторона квадрата х = 2,4 м ± 0,05 м. С какими
предельной абсолютной и относительной погрешностями можно
вычислить площадь этого квадрата?
1107. С какой относительной погрешностью допустимо
измерить радиус R шара, чтобы объем его можно было определить с
точностью до 1%?
1108. Для определения ускорения свободного падения с
помощью колебания маятника пользуются формулой
108 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
где I — длина маятника, Т — период его колебаний. Как
отразится на значении g относительная погрешность 5 при
измерении: а) длины I; б) периода Т1
1109. Определить абсолютную погрешность десятичного
логарифма числа х (х > 0), если относительная погрешность этого
числа равна 5.
1110. Доказать, что углы по логарифмической таблице
тангенсов определяются точнее, чем по логарифмической таблице
синусов с тем же самым числом десятичных знаков.
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
1. Основные определения. Производные высших порядков от
функции у = f(x) определяются последовательно соотношениями
(предполагая, что соответствующие операции имею^г смысл!):
Рп)(х) = {f"'l)(x)}' (n= 2, 3, ...).
Если функция f(x) имеет непрерывную производную f"\x) на
интервале (а, Ь), то кратко пишут: f(x) e С(,,) (а, 6). В частности, если f{x)
имеет непрерывные производные всех порядков на (а, Ь), то
употребляется запись: f(x) ? С@0) (а, Ь).
Дифференциалы высших порядков от функции у = f(x)
последовательно определяются формулами
d"y=d{d"-ly) (n = 2,3, ...),
где принято d'y = dy = y'dx.
Если х — независимая переменная, то полагают:
d2x = d*x = ... - 0.
В этом случае справедливы формулы
d"y = у(пЧхп и г/"> = ^ .
dxn
2. Основные формулы:
I. (а*)<"> = ах In" а (а > 0); (ехIп) = ех.
П. (sin x)w = sin (x + ?j\.
III. (cos x)w = cosfx + y) ¦
IV. (xm)(n) = m(m - 1) ... (m - n + l)xm"n.
V. (in^J-D-'^-D!,
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
109
3. Формула Лейбница. Если функции и = ф(х) и v = \|/(х) имеют
производные п-го порядка (/г-кратно дифференцируемы), то
(иу)(л,=^ С'„ Л'" " ".
где ит = и, vm = v и С'„ — число сочетаний из п элементов по i.
Аналогично для дифференциала d"(uv) получаем
п
dn(uv) = V C'ndn'iudiv,
i = 0
где положено d°u = и и d°v = v.
Найти у", если:
llll.(y = x7l + x2.
1113.//= е-'2.
1115. у = A + х2) arctg х.
1112. у = —-—
-71-х2
1114. у = tg х.
1116.у=«™1М
1118. у = In /(х).
1117. у = х In x.
1119. у = х [sin (In х) + cos (In x)].
1120. Найти (ДО), у'@) и у"@), если
у = eSI"* cos (sin х).
Пусть и = ф(х) и и — i|/(x) — дважды дифференцируемые
функции. Найти у", если:
1121. у = ц2. 1122. г/= In H .
* • у
1123. у = Ju2 + u2. 1124. у = и» (и > 0).
Пусть f(x) — трижды дифференцируемая функция. Найти у"
и у'", если:
1125. у = f{x2).
1126. у = /|
1127. у = f{ex). 1128. у = /(In х).
1129. у = /(ф(х)), где ф(х) — достаточное число раз
дифференцируемая функция.
ИЗО. Найти d2y для функции
у = ех
в двух случаях:
а) х — независимая переменная;
б) х — промежуточный аргумент.
110 РАЗДЕЛ П. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Считая х независимой переменной, найти d2y, если:
1131. у = Л + х2. 1132. у =^. 1133. у = хх.
Пусть и и и — дважды дифференцируемые функции от
переменной х. Найти d2y, если:
1134. у = uv. 1135. у =-.
1136. г/ = umvn (тип — постоянные).
1137. у = аи (а > 0). 1138. у = In Ju2+v2.
u
1139. v = arctg - .
v
Найти производные у'х, у"г, у"л' от функции у = у(х), заданной
параметрически,если:
1140.x=2t-t2, y=3t-t3.
1141. х = a cos t, у = a sin t.
1142. х = a (t - sin 2).У = a A - cos ?)•
1143. x = e' cos ?, у = e' sin ?.
1144. x = f (t), У = tf'(t) ~ №¦
1145. Пусть функция у = /(ж) дифференцируема достаточное
число раз. Найти производные х', х", х'", xlv обратной функции
х = /~!(*/)> предполагая, что эти производные существуют.
Найти у'х, у, у", от функции у = у(х), заданной неявно:
1146. х2 + у2 = 25. Чему равны у', у" и у'" в точке МC, 4)?
1Ы7.у2 =2рх. 1148. х2 - ху + у2 = 1.
Найти у^ и у'j, если:
1149. у2 + 2 In у = х4. 1150. 7х2 + у2 = aearctg * (a > 0).
1151. Пусть функция Дх) определена и дважды
дифференцируема при х < х0. Как следует подобрать коэффициенты а, Ь и с,
чтобы функция
Г/(х), если х < х0,
^ ~~ [а(х - х0J + Ь(х - х0) + с, если х > х0,
была дважды дифференцируема.
1152. Точка движется прямолинейно по закону
s= 10 + 2(К- 5t2.
Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и
ускорение в момент времени t = 2?
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
111
1153. Точка М(х, у) равномерно движется по окружности
х2 + у2 = а2, делая один оборот за время Т. Найти скорость v и
ускорение w проекции точки М на ось Ох, если при t = 0 точка
занимала положение М0 (а, 0).
1154. Тяжелая материальная точка М (х, у) брошена с
начальной скоростью и0 в вертикальной плоскости Оху под углом
а к плоскости горизонта. Составить (пренебрегая
сопротивлением воздуха) уравнение движения и определить скорость v и
ускорение w, а также траекторию движения. Чему равны
наибольшая высота поднятия точки и дальность полета?
1155. Уравнения движения точки
х = 4 sin wt - 3 cos wt, у = 3 sin ц>? + 4 cos wt
(w — постоянно).
Определить траекторию движения, скорость и ускорение.
В следующих примерах найти производные указанного
порядка:
1156. у = х{2х - 1)г(х + ЗK; найти уF) и г/7).
1157. ц=—; найти у'".
1158. у= Jx; найти уA0).
1159. у = ~- ; найти у(8).
1160. у = -^г ; найти у<100).
л/1 - X
1161. у = х2е2*; найти уB0>.
1162. у = - ; найти уA0).
1163. у = х In x; найти уE).
1164. у = — ; найти уE).
1165. у = х2 sin 2х; найти уE0>.
1166. у = cos3* ; найти у'".
VI -3*
1167. у = sin х sin 2x sin Зх; найти уA0).
1168. у = х sh х; найти уA00).
1169. у = е* cos x; найти yIv.
1170. у = sin2 х In x; найти уF).
112 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В следующих примерах, считая х независимой переменной,
найти дифференциалы указанного порядка.
1171. у = хь; найти dby.
1П2. у = -р ; найти d3y.
Jx
1173. у = х cos 2x; найти dwy.
1174. у = ех In x; найти d4y.
1175. у = cos х ¦ ch x; найти d°y.
В следующих примерах найти дифференциалы указанного
порядка, если и — функция от х, дифференцируемая
достаточное число раз.
1176. у = и2; найти dwy.
1177. у = е"; найти d4y.
1178. у = In и; найти d3y.
1179. Найти d2y, d3y и d4y от функции у = f(x), считая х
функцией от некоторой независимой переменной.
1180. Выразить производные у" и у'" от функции у = f{x)
через последовательные дифференциалы переменных х, у, не
предполагая х независимой переменной.
1181. Показать, что функция
у = Cj cos x + С2 sin x,
где С1иС2 — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению
у" + у = 0.
1182. Показать, что функция
у = Сх ch х + С2 sh х,
где С1иС2 — произвольные постоянные, удовлетворяет уравнению
у"-у = о.
1183. Показать, что функция
у = С^х +С2ех*х,
где Cj и С2 — произвольные постоянные и А.1; Х2 — постоянные,
удовлетворяет уравнению
у" - (Xj + Х2)у' + Х^у = 0.
1184. Показать, что функция
у = x"[Cl cos (In x) + С2 sin (In x)],
где С1 и С2 — произвольные постоянные ил — постоянная,
удовлетворяет уравнению
х2у" + A - 2п)ху' + A + п2)у = 0.
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков 113
1185. Показать, что функция
и = еМс, cos — + С2 sin —)+ е Цс, cos — + С4 sin -?-l,
где Clt C2, С3 и С4 — произвольные постоянные, удовлетворяет
уравнению
yIV + у = о.
1186. Доказать, что если функция /(х) имеет производную га-го
порядка, то
[f(ax + b)]M = anfin)(ax + Ъ).
1187. Найти Р(">(х). если
Р(х) = а0х" + а^" + ... + а„.
Найти у(п>, если:
1188. у = 2?±ij • 1189- У = *
1190.у
сх + d хA - х)
1
х2-Зх+2
Указание. Разложить функцию на простейшие дроби.
1191. у = * . 1192. г/ = —2—.
Jl-2x -1/1 + х
1193. у = sin2 х. 1194. у = cos2 x.
1195. у = sin3 х. 1196. у = cos3 x.
1197. у = sin ax sin 4>х. 1198. у = cos ax cos bx.
1198. у = cos ах cos bx. 1199. у = sin ax cos bx.
1200. у = sin2 ax cos bx. 1201. у = sin4 x + cos4 x.
1202. у = x cos ax. 1203. у = x2 sin ax.
1204. у = (x2 + 2x + 2)e'x. 1205. у = - .
1206. у = e* cos x. 1207. у = ex sin x.
1208. у = In ^^ .
a - ox
1209. у = eax P(x), где P(x) — многочлен.
1210. у = x sh x.
Найти dny, если:
1211. у = xne*. 1212. у = IH? .
114 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
где
1213. Доказать равенства:
1) [еах sin фх + с)](п) = еах(а2 + Ъг)^ sin {Ьх + с + /гф),
2) [еах cos (bx + с)](п) = еах (а2 + Ъ2У cos фх + с + жр),
sin ф = -—== , cos ф =
Ja2 + Ъ2 Ja2+b2
1214. Найти у(п), если:
а) у = ch ax cos bx; б) у = ch ax sin Ьх.
1215. Преобразовав функцию f(x) = sin2p х, гдер — натураль-
р
ное число, в тригонометрический многочлен Дх) =V At cos 2fex,
* = 0
найти /(/!)(x).
Указание. Положить sin x = — (i - i ), где i = cos x + ? sin x и
t = cos x — i sin x, и воспользоваться формулой Муавра.
1216. Найти /(п)(х), если:
a) Дх) = sin2''+ 1 х; б) /(х) = cos2'' х; в) Дх) = cos2p + * х,
где р — целое положительное число (см. предыдущую задачу).
Если
/(х) = Д(х) + if2(x),
где i — мнимая единица и /^(х), f2(x) — действительные функции
от действительной переменной х, то по определению принимаем:
/'(х) = /',(*) + if'2(x).
1217. Используя тождество
х2+ 1 2/1.Х- i x + i)
доказать, что
(l + x2) 2
Указание. Применить формулу Муавра.
1218. Найти п-ю производную от функции
/(х) = arctg х.
Найти fin)@), если:
1219. a) f(x) = * ; б) Дх) = -4= •
A-2*)(A + х)) УГ^
1220. а) Дх) = xV*; б) Дх) = arctg х; в) Дх) = arcsin x.
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
115
1221. а) fix) = cos (m arcsin х); б) f(x) = sin (in arcsin x).
1222. a) f(x) = (arctg хJ; б) fix) = (arcsin xf.
1223. Найти fn\a), если
fix) = (x - а)"ф(х),
где функция ф(х) имеет непрерывную производную (п - 1)-го
порядка в окрестности точки а.
1224. Доказать, что функция
¦V ч х2п sin -, если х ^ О,
[О, если х = О
(п — натуральное число) в точке х = О имеет производные до п-го
порядка включительно и не имеет производной (п + 1)-го порядка.
1225. Доказать, что функция
., . \е , если х ^ О,
fix) = <
[О, если х = О
бесконечно дифференцируема при х = 0.
Построить график этой функции.
1226. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(х) = ——- cos im arccos x) (/n = 1, 2, ...)
удовлетворяют уравнению
A - х2)т;,;(х) - хг;,(х) + т2г„,(х) = о.
1227. Доказать, что многочлены Лежандра
Pmix)=^-i\ix2-irr,) im = 0,1,2, ...)
удовлетворяют уравнению
A - х2)Р^х) - 2хР;(х) + mini + l)Pmix) = 0.
Указание. ПродшМгеренцировать т +1 раз равенство (х2 -1 )м'=2 mxu,
гдеи = (х2-1)"'.
1228. Многочлены Чебышева—Лагерра определяются
формулой
LJx) = exixme-x)im) im = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение для многочлена Lmix).
Доказать, что Lmix) удовлетворяет уравнению
xL'^ix) + A - x)L'mix) + тЦх) = 0.
Указание. Использовать равенство хи' + (х - т)и = 0, где и = хте~х.
116 РАЗДЕЛ 11. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1229. Пусть у = f(u) и и ~ ф(х), где f(u) и ф(х) — /г-кратно
дифференцируемые функции.
Доказать, что
*= 1
где коэффициентыАк(х) (k = 0, 1, ..., п) не зависят от функции /(и).
1230. Доказать, что для n-й производной сложной функции
у = /(.г2) справедлива формула
^ = BхO(л,(х2) + ^^ Bх)"-2/('!,(х2) +
ах" 1!
+ п(га - 1)(п - 2)(п - 3) ^2а.уг - 4у(П - 2>(х2) + _
1231. Многочлены Чебьииева—Эрмита определяются
формулой
HJx) = (-l)m<?*2 (e-*2)im) (/?г = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение для многочленов Нт(х).
Доказать, что Нт(х) удовлетворяет уравнению
Н-(х) - 2хН'т(х) + 2тНт{х) = 0.
Указание. Использовать равенство и' + 2хи = 0, где и = е*2.
1232. Доказать равенство
Указание. Применить метод математической индукции.
1232. Доказать формулу:
а) 4— (хп\п х) = п\ (\пх + У II (х > 0);
ах" V *—> к)
k = i
б) ?^(^) = ?S[С«<*> sin * - s*w cos ^
где
C„(*)=l-g +... + (-!)"
2! '" ' Bл)!'
S„(*) = *- |5 Ч-...+C-l)"-1 -х2
3! Bд-1)!
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
117
1233. Пусть — = D обозначает операцию дифференцирования и
ах
/(?>) = ? pk(x)Dk
* = о
— символический дифференциальный многочлен, тр,е pk(x) (k =
= О, 1, ..., п) — некоторые непрерывные функции от х.
Доказать, что
f(D){eXxu(x)} = e)xf(D + Х)и(х),
где X — постоянно.
1234. Доказать, что если в уравнении
? акх"уТ = О
li--- О
положить
х = е',
где t — независимая переменная, то это уравнение примет вид:
? akD(D - 1) ... (D - k + 1) у = О,
/,- = о
где D = -? .
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
1. Теорема Ролля. Если: 1) функция f(x) определена и непрерывна
на сегменте [a, Ь]; 2) f(x) имеет конечную производную f'(x) внутри этого
сегмента; 3) /(а) = /(b), то существует по меньшей мере одно число с из
интервала (а, Ь) такое, что
/'(с) = 0.
2. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция f(x) определена и
непрерывна на сегменте [а, Ь]; 2) f(x) имеет конечную производную f'(x) на
интервале (а, Ь), то
f(b) - /(а) = (b - a)f'(c), гдеа<с<Ь
{формула конечных приращений).
3. Теорема Коши. Если: 1) функции f(x) и g{x) определены и
непрерывны на сегменте [а, Ь]; 2) /(х) и g(x) имеют конечные производные
f'(x) и g'(x) на интервале (а, Ь); 3) //2(х) + g'2(x) ^ 0 при а < х < Ь;
4) g(a) * g(b), то
/(b)-Да) =fl?lt где а<с<ь_
g(b)-g(a) g'{c)
118 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции
f(x) = (х - 1)(х - 2)(х - 3).
1236. Функция
/(х) =1- 1/х1
обращается в нуль при хх = -1 и х2 = 1, но тем не менее f'{x) ^ О
при -1 < х < 1. Объяснить кажущееся противоречие с теоремой
Ролля.
1237. Пусть функция /(х) имеет конечную производную /'(х)
в каждой точке конечного или бесконечного интервала (а, Ь) и
lim /(х) = lim f(x).
ж — а + 0 * — b - О
Доказать, что
/'(с) = О,
где с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1238. Пусть: 1) функция f{x) определена и имеет
непрерывную производную (п - 1)-го порядка /("_ ''(х) на сегменте [х0, х,,];
2) /(х) имеет производную /г-го порядка /'"'(х) в интервале (х0, х„)
и 3) выполнены равенства
/(Х0) = /(Xj) = ... = f(Xn) (X0 < Xj < ... < Х„).
Доказать, что в интервале (х0, х„) существует по меньшей
мере одна точка ?, такая, что
f(n)& = 0.
1239. Пусть: 1) функция f(x) определена и имеет
непрерывную производную (р + q)-ro порядка /^ + q\x) на сегменте [а, Ь];
2) /(х) имеет производную (р + q + 1)-го порядка f^ + 'i+ x'(x) в
интервале (а, Ь); 3) выполнены равенства
/(а) = Г(а)=... = /Па) = 0,
Доказать, что в таком случае
где с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1240. Доказать, что если все корни многочлена
Р„(х) = а0хп + аххп"' + ...+ а„ (а0 ^ 0)
с действительными коэффициентами ak (k = 0, 1, ..., л)
вещественны, то его последовательные производные Р,',(х), Р'п'(х), ...,
Р'„" (х) также имеют лишь вещественные корни.
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
119
1241. Доказать, что у многочлена Лежандра
Рп(х) = —-— {(х2 - 1)"}
все корни вещественные и заключены в интервале (-1, 1).
1242. Доказать, что у многочлена Чебышева—Лагерра
Ьп(х) = е'?-я(хпе-х)
все корни положительные.
1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита
Нп(х) = (-1Ге*г?-я(е-'г)
все корни вещественные.
1244. Найти на кривой у = х3 точку, касательная в которой
параллельна хорде, соединяющей точки А (-1, -1) и В B, 8).
1245. Верна ли формула конечных приращений для функции
на сегменте [а, Ь], если ab < О?
1246. Найти функцию Э = 0(х, Дх) такую, что
f{x + Ах) - f{x) = Дх/'(х + 9Дх) @ < 6 < 1),
если:
a) f(x) = ax2 + bx + с (а * 0); б) fix) = х3;
в) /(х) = 1; г) fix) = ех.
х
1246. 1. Пусть fix) g СA) (-оо, +°°) и для любых х и h
справедливо тождество:
fix + h) - fix) = hf'ix).
Доказать, что
fix) = ах + b,
где а я b — постоянные.
2. Пусть fix) € СB) (-оо, + оо) и для любых х и h справедливо
тождество:
fix + h)- fix) = hf'(x + |
Доказать, что
fix) = ax2 + bx + c,
где a, b и с — постоянные.
120 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1247. Доказать, что если х > 0, то
V Jx+ 1 - «/х =
2jx+6(x) '
где - < 8(х) < - , причем
lim 9(х) = \ , lira 6(х) = ±
х — о 4 х — +со 2
1248. Пусть
/(*) = <
3~ х2 при 0 < х < 1,
2
1
х
при 1 < я < +оо.
Определить промежуточное значение с формулы конечных
приращений для функции /(х) на сегменте [0, 2].
1249. Пусть f(x) - /@) = xf'(&x)), где 0 < ?(х) < х. Доказать,
что если
/(х) = х sin (In х) при х > 0 и /@) = 0,
то функция ?, = ?,(х) разрывна в любом сколь угодно малом
интервале @, е), где ? > 0.
1250. Пусть функция /(х) имеет непрерывную производную
f\x) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой точки Е, из (а, Ъ)
указать две другие точки хх и х2 из этого интервала такие, что
/(*2)~/(Х,) = f%) {х,<^< х2)?
Х2 ~ Х1
Рассмотреть пример: /(х) =х3 (-1 < х < 1), где ? = 0.
1251. Доказать неравенства:
а) |sin х - sin yj < |х - t/|;
б) рур ~1(x-y)!ixp-yPti рхр ~1 (х - у), если 0<у<хшр>1;
в) |arctg а - arctg b\ < |а - b\;
Г) ?^ < in 2 < ?-± если Q < ь к а
а Ъ Ъ
1252. Объяснить, почему не верна формула Коши для функций
f(x) = х2 и g{x) = х3
на сегменте [—1, 1].
1253. Пусть функция /(х) дифференцируема на сегменте
[Xj, х2], причем XjX2 > 0. Доказать, что
1
/(*») Нхг)
№ - 4/U).
где хх < ^ < х2.
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
121
1254. Доказать, что если функция /(х) дифференцируема, но
не ограничена на конечном интервале (а, Ъ), то ее производная
f'(x) также не ограничена на интервале (а, Ь). Обратная теорема
не верна (построить пример).
1255. Доказать, что если функция f(x) имеет в конечном или
бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную производную f'(x),
то f{x) равномерно непрерывна на (а, Ъ).
1256. Доказать, что если функция f(x) дифференцируема в
бесконечном интервале(х0, +°о)и
lim f'(x) = 0,
X " +0О
ТО
lim ?(*) = О,
х -* +°° X
т. е. f(x) = о(х) при х -» +°о.
1257. Доказать, что если функция f(x) дифференцируема в
бесконечном интервале(х0, +оо)и
f(x) = о(х) при х —> +оо,
то
lim |f(x)| = 0.
х -~ +|»
В частности, если существует lim f'(x) = /г, то й = 0.
*-> +oo
1258. 1. Доказать, что если: 1) функция /(х) определена и
непрерывна на сегменте [х0, X]; 2) f(x) имеет конечную
производную /'(х) в интервале (х0, X); 3) существует конечный или
бесконечный предел
lim f\x) = /'(*„ + 0),
то существует соответственно конечная или бесконечная
односторонняя производная /|(х0) и
/;(*«>) = /'(«о + о).
2. Показать, что для функции
/(х) = arctg i±? (x * 1) и Д1) = 0
1-х
существует конечный предел lim f'(x), однако функция f(x) не
* — 1
имеет односторонних производных fl A) и /|A). Дать
геометрическую иллюстрацию этого факта. Однако в этой точке
существуют обобщенные односторонние производные (см. 1009.2).
122 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1259. Доказать, что если f'(x) = 0 при а < х < Ь, то
/(х) = const при а < х < Ъ.
1260. Доказать, что единственная функция /(х) (-оо < х < +°°),
имеющая постоянную производную
/'(*) = А,
есть линейная функция
/(х) = kx + Ъ.
1261.1. Что можно сказать о функции /(х), если fn\x) = О?
2. Пусть f(x) € С@0) (-°°, + °°) и для каждого х
существует натуральное число пх (пх < п) такое, что
/('1^(х) = 0.
Доказать, что функция /(х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция
у = у(х) (-оо < х < +оо),
удовлетворяющая уравнению
у' =~ку (А = const),
есть показательная функция
у = СеХх,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе~Хх)'.
1263. Проверить, что функции
/(х) = arctg f±* ,
1-х
g{x) = arctg x
имеют одинаковые производные в областях: 1) х < 1; 2) х > 1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
а) 2 arctg х + arcsin -—— = я sgn х при х > 1;
1 + хг
б) 3 arccos х - arccos (Зх - 4х3) = л при |х| < - .
1265. Доказать, что если: 1) функция /(х) непрерывна на
сегменте [а, &]; 2) имеет конечную производную /'(х) внутри него;
3) не является линейной, то в интервале (а, Ь) найдется по
меньшей мере одна точка с такая, что
\f'(c)\> m-f{a)
Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства
123
1266. Доказать, что если: 1) функция /(х) имеет вторую
производную f"(x) на сегменте [а, Ь] и 2) /'(а) = f'(b) = 0, то в
интервале (а, Ь) существует по меньшей мере одна точка с такая, что
1/"(с)| > —Ц \f(b) - f(a)\.
(о - ay
1267. Автомобиль, начав двигаться из некоторого пункта А,
закончил свой путь через время t, пройдя при этом расстояние
s. Доказать, что в некоторый момент времени ускорение
движения автомобиля было не меньше — .
t2
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства
1. Возрастание и убывание функции. Функция f(x) называется
возрастающей (убывающей) на сегменте [а, Ь], если
f(x2) > f(xx) при о < *! < х2 < b
(или соответственно f(x2) < f(x{) при а < хх < х2 < Ь).
Если дифференцируемая функция f(x) возрастает (убывает) на
сегменте [а, Ь], то
f'(x) > 0 при а < х < Ъ (или f'{x) < 0 при а < х < Ь).
2. Достаточный признак возрастания (убывания) функции. Если
функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] и внутри него имеет
положительную (отрицательную) производную f'(x), то функция f(x)
возрастает (убывает) на [а, Ь].
Определить промежутки монотонности в строгом смысле
(возрастания или убывания) следующих функций:
1268. у = 2 + х - х2. 1269. у = Зх - х3.
1270. у = ——,. 1271. у = -^— (х > 0).
у 1 + х2 у х+100
1272. у = х + sin х. 1273. у = х + |sin 2x\.
2
1274.у = cos 5 . 1275.у= —
1276. г/ = х"е х (п >0, х> 0). 1277. у = х2 - In х2.
1278. f(x) = xf /| + sin In xl, если x > 0 и /@) = 0.
1279. Доказать, что при увеличении числа сторон п периметр
рп правильного гс-угольника, вписанного в окружность,
возрастает, а периметр Р„ правильного n-угольника, описанного около
этой окружности, убывает. Пользуясь этим, доказать, что рп и
Рп имеют общий предел при п —¦ оо.
124 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1280. Доказать, что функция
1 + 1
возрастает на интервалах (-°о, -1) и @, +оо).
1281. Доказать, что целая рациональная функция
Р(х) = а0 + агх + ... + апхп (п > 1, ап * 0)
является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах (-оо, -х0)
и (хп, +оо), где х0 — достаточно большое положительное число.
1282. Доказать, что рациональная функция
„, . а0 + ахх+ ... + апхп , ,
ДСх)дь0 + ь1»+... + ь> <««*»* 0).
отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом
смысле!) в интервалах (-со, -х0) и (х0, +°°), где х0 — достаточно
большое положительное число.
1283. Обязательно ли производная монотонной функции
является монотонной? Рассмотреть пример: f(x) = х + sin x.
1284. Доказать, что если ф(х) — монотонно возрастающая
дифференцируемая функция и
\Г(х)\ < ф'(*)| при х > х0,
то
\f(x) - /(х0)| < ф(х) - ф(х0) при х > х0.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1285. Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке а < х < +оо
и сверх того f'(x) > k > 0 при х > а, где k — постоянная.
Доказать, что если /(а) < 0, то уравнение f(x) = 0 имеет один
и только один действительный корень в интервале
а,а-й21
к
1286. Функция f(x) называется возрастающей в точке х0,
если в некоторой окрестности \х - х0\ < 5 знак приращения
функции Af(x0) = f(x) - /(*(,) совпадает со знаком приращения
аргумента Ах0 = х - х0.
Доказать, что если функция f(x) (a < x <b) возрастает в
каждой точке некоторого конечного или бесконечного интервала
(а, Ь), то она является возрастающей на этом интервале.
1287. Показать, что функция
f(x) = х + х2 sin - , если х ^ 0 и /@) = 0,
х
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства
125
возрастает в точке х = О, но не является возрастающей ни в каком
интервале (-е, е), окружающем эту точку, где е > 0 произвольно мало.
Построить эскиз графика функции.
1288. Доказать теорему, если: 1) функции ф(х) и \\f(x)
«-кратно дифференцируемы; 2) ф(/г)(х0) = \\i(k)(xQ) (k = 0, 1, ..., п - 1);
3) ф("'(х) > \|/п)(х) при х > х0, то имеет место.неравенство
ф(х) > \|/(х) при х > х0.
1289. Доказать следующие неравенства:
а) ех > 1 + х при х ^ х0;
б) х - ^- < 1пA + х) < х при х > 0;
л:3
в) х - — < sin х < х при х > 0;
б
г) tg X > X 4- — При 0 < X < 5 ;
о с,
1 1
д) (ха +(/«)« > (хр + г/р) Р при х>0, у>0и0<а<р\
Дать геометрическую интерпретацию неравенств а) — г).
1290. Доказать неравенство
2 я
- х < sin х < х при 0 < х < - .
к * 2
1291. Доказать, что при х > 0 имеет место неравенство
1292. У арифметической и геометрической прогрессий число
членов и крайние члены соответственно одинаковы и все члены
прогрессий положительны. Доказать, что у арифметической
прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.
1293. Исходя из неравенства
? (akx + bkf>Q,
где х, ak, bk (k = 1, ..., n) вещественны, доказать неравенство Коши
" \2 " 2 " 2
А= 1 ' *= 1 А= 1
1294. Доказать, что среднее арифметическое положительных
чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т. е.
126 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1295. Доказать, что среднее геометрическое положительных
чисел не больше среднего арифметического этих же чисел, т. е.
nJx1X2...Xn < - (Xj + Х2 + ... + Хп).
Указание. Применить метод математической индукции.
1296. Средней порядка s для двух положительных чисел а и
Ъ называется функция, определяемая равенством
As(a, Ь) = р±^}% если s* О,
и
Д„(а, b) = lim А (а, Ь).
В частности, получаем: при s = -1 среднее гармоническое;
при s — 0 среднее геометрическое (доказать!); при s = 1 среднее
арифметическое; при s = 2 среднее квадратичное.
Доказать, что:
1) min (а, Ъ) < А, (а, 6) < max (а, 6);
2) функция А, (а, Ь) при а ^ 6 есть возрастающая функция
переменной s;
3) lim As (a, b) = min (a, fo); lim A, (a, 6) = max (a, b).
Указание. Рассмотреть — [In Д, (a, 6I.
as
1297. Доказать неравенства:
а) ха - 1 > a(x - 1) при a > 2, x > 1;
б) 'i/x - O^a < nJx~^~a, если /г> 1, л: > a > 0;
в) 1 + 2 In x < x2 при х > 0.
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба
1. Достаточные условия вогнутости. График дифференцируемой
функции у = f(x~) называется вогнутым вверх или выпуклым вниз
(вогнутым вниз или выпуклым вверх) на сегменте [а, Ь], если отрезок кривой
у = f(x) (a<x<b)
расположен выше (соответственно ниже) касательной, проведенной в
любой точке этого отрезка. Достаточным условием вогнутости графика
вверх (вниз), в предположении существования второй производной
f"(x), является выполнение неравенства
f"(x) > 0 (f"(x) < 0) при а < х < Ь.
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба
127
2. Достаточное условие точки перегиба. Точки, в которых меняется
направление вогнутости графика функции, называются точками
перегиба. Точка х0, для которой либо f"(x0) = 0, либо f"{x0) не существует,
причем f'(x0) имеет смысл, есть точка перегиба, если f"(x) меняет свой
знак при переходе через значение х0.
1298. Исследовать направление вогнутости кривой
y=l + 3Jx
в точках А(-1, 0), ?A, 2) и С@, 0).
Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки
перегиба графиков следующих функций:
1299. у=3х2- х3. 1300. у = —Hi- (а > 0).
а2 + х2
1301. у = х + х'3. 1302. у = J1 + х2.
1303. у = х + sin х. 1304. у = е~*2.
1305. у = In A + х2).
1306. у = х sin (In х) (х > 0). 1307. у = х* (х > 0).
1308. Показать, что кривая
Х + 1
У =
х2+1
имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
Построить график этой функции.
1309. При каком выборе параметра h «кривая вероятности»
у = Ае-*'х» (h > 0)
л/ТС
имеет точки перегиба х = ±сг?
1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды
х = a(t - sin t), у = аA - cos t) (a > 0).
1311. Пусть функция /(х) дважды дифференцируема в
промежутке а < х < +°о, причем: 1) /(а) = А > 0; 2) /'(а) < 0;
3) /"(х) < 0 при х > а.
Доказать, что уравнение /(х) = 0 имеет один и только один
действительный корень в интервале (а, +°°).
1312. Функция /(х) называется выпуклой снизу (сверху) на
интервале (а,Ь), если для любых точек хх и х2 из этого интервала
и произвольных чисел Ах и А2 (Aj > 0, А2 > 0, At + А2 = 1) имеет
место неравенство
/(Aj*! + Я2х2) < Ajftxj) + А2Дх2)
128 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(или соответственно противоположное неравенство)
f(klxl + Х2х2) > XJixJ + X2f(x2).
Доказать, что: 1) функция f(x) выпукла снизу на (а, Ь), если
f"(x) > О, при а < х < Ь; 2) f(x) выпукла сверху на (а, Ь), если
f (х) < О, при а < х < Ъ.
1313. Показать, что функции
х11 (п > 1), ех, х In х
выпуклы снизу на интервале @, +°о), а функции
х" (О < п < 1), In х
выпуклы сверху на интервале @, +оо).
1314.1. Доказать неравенства и выяснить их геометрический
смысл:
а) |(х" + у") > (Z±Xj (х>0,у>0,х*у,п>1);
в) х In х + у In у > (х + у) In 2L±J?, если х > 0 и у > 0.
2. Пусть /"(я) > 0 при а < х < Ъ. Доказать, что
/(^) <|[/(*l)+/(*2)l
при любых х1( дг2 € [а, Ь].
1315. Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду
непрерывна и имеет односторонние левую и правую
производные.
1316. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в
интервале (а, Ъ) и /"(^) * 0, где а < ?, < Ь.
Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два значения
JCj и х2 такие, что
/(*z)-/(*i) = деч
1317. Доказать, что если функция f{x) дважды
дифференцируема в бесконечном интервале (х0, +оо) и
lim f(x) = О, lim f{x) = 0,
я — *0+ 0 д: -— +°о
то в интервале (х0, +оо) имеется по меньшей мере одна точка Е,
такая, что /"(?) = 0.
§ 9. Раскрытие неопределенностей
129
§ 9. Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя. Случай 1-й: раскрытие неопределенности
вида - . Если: 1) функции f(x) и g(x) определены и непрерывны в
некоторой окрестности Ueu точки а, где а — число или символ оо, и при х —<¦
а обе стремятся к нулю:
lim f(x) = lim g(x) = 0;
x -~ a x -* a
2) производные f'(x) и g'(x) существуют в окрестности С/Е точки а, за
исключением, быть может, самой точки а, причем одновременно не
обращаются в нуль при х '+ а; 3) существует конечный или бесконечный
предел
lim ?1*1,
х-a g'(x)
то имеем
lim ML = lim ?±*1.
х-а g(x) x-a g'(x)
оо
Случай 2-й: раскрытие неопределенности вида —. Если:
оо
1) функции f(x) и g(x) при х —>• а стремятся к бесконечности:
lim f(x) = lim g(x) = оо,
x -^ a x -^ a
где a — число или символ °о; 2) производные f'(x) и g\x) существуют
для всех х, принадлежащих некоторой окрестности Uс точки а и
отличных от а, причем
f'2(x) + g'2(x) * 0 при х е Uc и х * а;
3) существует конечный или бесконечный предел
lim ?Ш,
х--а g'(x)
ТО
Нш й*1 = lim ?i?l.
Аналогичные правила справедливы для односторонних пределов.
Раскрытие неопределенностей видов 0 • оо, оо - оо; 1°°, 0° и т. п.
путем алгебраических преобразований и логарифмирования
приводится к раскрытию неопределенностей двух основных типов:
0 оо
- и — .
0 оо
' Под окрестностью Uf точки а понимается совокупность чисел х,
удовлетворяющих неравенству: 1) 0 < \х - а\ < е, если а — число; 2) \х\ > - , если
а — символ оо.
130 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определить значения следующих выражений:
1318. lim 2i??? . 13i9. lim ch*-cos*
x — о sinox x^o x2
1320. lim ^x~a . 1321. lim 3tg4x-12tgx
x-ox-smx x-,0 3sin4x-12sinx'
1322. lim ^?x _ 1323_ Ит xctgx-1
2
1324. lim 'Vtgl-1 . 1325. lim x(e*+1)-2(e*-I)
x-- 2sin2x- 1 *^° x3
4
1326. lim 1 ~ cosx2. 1327 Hm arcsin2x- 2arcsinx
x — о x2sinx2 j._. 0 л-з
1328. lim -i- Г ^ arctg ? - У& arctg /* 1.
*-° xVxl Va V6 J
1329. lim *^f!L* (a > 0). 1330. lim
x1- x
1 UllX- X + l)
1331. lim M^M?]. 1332. lim ln(cosa*).
x^o m(sinox) x-o ln(cosfrx)
1333. lim coS(sinx)-cosx _ 13M hm 1M _ П _
* — о x4 x-~o xVthx tgxy
1335. lim Arsh(shx)-Arsh(sinx) где Arsh х = Ы{х+ Jy^ }
x — о shx- smx
1336. lim — (e > 0). 1337. lim — (a > 0, n > 0).
j_
1338. lim -?-?-. 1339. lim arV0-01x.
лг-0 X1000 1-+00
1340. lim In x ¦ In A - x). 1341. lim xE In x (e > 0).
Ж — 1 - 0
ж -> +0
1342. lim xx. 1343. цт ««'-i.
ж— +0
* —о
1344. lim {xx' - 1). 1345. цт хТ7иГх
х— + 0
ж — О
1
1346. lim *'-*. 1347. lim B - *) "Т
1348. lim (tg x)tg2\ 1349. цт (ctg x)sm*.
x-~ 0
1350. lim [In IV. 1351 lim (<-.„_?* V"
1351. lim tg
*-+0 V ХУ ^..оо ^ б 2л.+ Ь
§ 9. Раскрытие неопределенностей
131
1352. lim ГЩ
x-a VtgaJ
1353. lim
ax - x\r\a\x2
1354. lim -
1 1
i-oU e* - 1
1356. lim fctg x - -
x — o \b* - xlnb
1
1355. lim -!-
x- 1
lnx x - 1
x - 0
1357. lim
1
1
x — a X - a
.1п(х+УГТх2) ЬA + х)
(a > 0).
1358. lim ^-^ (a > 0). 1359. lim A + x)x-e
x-0
1360. lim (a + x)x-aX (a > o). 1361. lim Г? arctg x
x-0
I— +oo Vft
1362. lim (thx)*.
1363. a) lim farcsinxp ;
*-oV x J
в) lim fii?V ;
x~0 \ X J
( ArshxYr
6) lim [*-Щ*2;
r) lim farctgxp
x - о l x ;
д) lim f ^IeMU2 , Где Arsh x = In (x + Vl + x2).
i-ol x У
1364. lim
ж —о
A + х)д
j-CVI
1366. lim f^V.
j-ov chx У
/о Л1'*
1365. lim - arccos x
lnchx
1367. lim
1368. a) lim
1 + e*Yth
-o I 2
* - ° "i/chx - l/chx
6) lim -^
+cx> (lnx)x
1369. lim r-Vx;j + x2 + x+l - Vx2 + x + 1 • ln(e*+*I,
I-tooL X J
1370. lim Г(х + a)' + J - х1 + гтг1.
1371. Найти lim ^ , если кривая у = /(x) входит при х -» 0 в
*-0 X
начало координат @, 0) (lim /(х) = 0) под углом а.
х-0
132 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1372. Доказать, что lim x!(x) = 1, если непрерывная кривая
х^ +0
у = /(х) входит при х —> +0 в начало координат ( lim /(.r) = 0) и
х— +0
при 0 < х < г целиком остается внутри острого угла,
образованного прямыми: у = -kx и у = fix (k *¦ оо).
1373. 1. Доказать, что если для функции f(x) существует
вторая производная f"(x), то
f"{x) = lim Kx + h) + f(x-h)-2f(x) _
л-о h2
2. Исследовать на дифференцируемость в точке х = 0
функцию:
1 1
/(*) = <
х ех - 1
1
2'
, если х 5й 0;
если х = 0.
3. Найти асимптоту кривой
г/= — (х> 0).
1374. Исследовать возможность применения правила Лопи-
таля к следующим примерам:
x2sin-
а) lim ——- ; б) lim x ~ smx ¦
• о sinx х — оо x+smx
> 1- e~2jr(cosx + 2sinx) + е-*2 sin2 а: .
*-»+оо e~Ar(cosx+sinx)
ч i- 1 + x + sinxcosx
• оо (х+ sinxcosx)esinj;
1375. Найти предел отношения площади кругового сегмента,
имеющего хорду Ъ и стрелку h, к площади равнобедренного
треугольника, вписанного в этот сегмент, если дуга сегмента при неизменном
радиусе R стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом,
9
вывести приближенную формулу для площади сегмента: S~-bh.
О
§ 10. Формула Тейлора
1. Локальная формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена
в некоторой окрестности \х - х0\ < е точки х0; 2) f(x) имеет в этой
окрестности производные f'(x),..., Рп~1\х)др(п - 1)-го порядка включительно;
3) в точке х0 существует производная л-го порядка f"\x0), то
л
f(x) = ? ak(x - ха)к + о(х - х0Г, A)
§10. Формула Тейлора
133
где
а*"^~*Г^ С*-0.1-•••'«>•
В частности, при х0 = 0 имеем
№= ? ШИ хк + о(хп). B)
t = о
При указанных условиях представление A) единственно.
Если в точке х0 существует производная fl" + 1)(х0), то остаточный
член в формуле A) может быть взят в виде 0*((х - х0)" +').
Из локальной формулы Тейлора B) получаем следующие пять
важных разложений:
I. е--1 + х+$ +... + % +«*-).
И. sin х = х -—+... + (-1)" " l xZ"~l ¦ + о(х2п).
3! v ; Bп-1)! v
III. cos jc= 1 - — + ... +(-1)" -^- + o(*2n + 1).
2! ; Bл)!
IV. A + x)m = l+mx+ m{m-1) x* + ...
2!
+ /и(«-1)-(Д>-я + 1) хП + Q(xn)
V. In A + x) = * - ^ + ... + (-1)" " ' ^ + o(*").
2 л
2. Формула Тейлора. Если: 1) функция f(x) определена на сегменте
[а, Ь]; 2) f(x) имеет на этом сегменте непрерывные производные f'(x), ...,
/(" ~ 1)(х); 3) при а < х < Ь существует конечная производная р"\х), то
п- 1
/(*) = ? t^f1 (* - а)* + Rn(x) (а < х < 6),
* = о
где
} = f^(a + Q(x-a)){x _ а)л @ < 9 < 1}
л!
(остаточный член в форме Лагранжа), или
_ ЛЧ(а + 91(»-а)) _ , _ < в < 1}
(л- 1)!
(остаточный член в форме Коши).
1376. Многочлен
Р(х) = 1 + Зх + 5х2 - 2х3
расположить по целым неотрицательным степеням двучлена х + 1.
134 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Написать разложения по целым неотрицательным степеням
переменной х до членов указанного порядка включительно
следующих функций:
1377. Дх) = 1 + х+х2 до члена с х". Чему равно /D)@)?
1 - х + х*
1378. A + *)!0° до члена с х2.
A-2х)'HA + 2хN0
1379. "\]ат + х {а > 0) до члена с х'л.
1380. Jl - 2х + хя - "Vl - Зх + х2 до члена с х2.
1381. е2х~*2 до члена с х5.
1382. до члена с х . 1383. Vsiruc3 до члена с х .
ех - 1
1384. In cos х до члена с Xй 1385. sin (sin х) до члена с х3.
1386. tg х до члена с х5. 1387. In 2IM д0 члена с хе.
х
1388. Найти три члена разложения функции /(х) = Jx по
целым неотрицательным степеням разности х - 1.
1389. Функцию f(x) = Xх - 1 разложить по целым
неотрицательным степеням бинома х - 1 до члена с (х - IK.
1390. Функцию у = a ch -(а > 0) в окрестности точки х = 0
а
приближенно заменить параболой 2-го порядка.
1391. Функцию /(х) = Jl + х2 - х (х > 0) разложить по целым
неотрицательным степеням дроби - до члена с — .
х х3
1392. Найти разложение функции /(/г) = In (х + /г) (х > 0) по
целым неотрицательным степеням приращения h до члена с /i"
(п — натуральное число).
1393.1. Пусть
f(x + h) = f{x) + hf'(x) + ... + — f'l\x + 6Л)
nl
@ < 6 < 1), причем /(" + x,(x) * 0.
Доказать, что
lim 8= 1
h — О П + 1
2. Пусть при х —» 0 имеем
Доказать, что
/(х) = 1 + kx + о(х).
lim [/(x)] * = е*.
* — о
§ 10. Формула Тейлора
135
3. Пусть f{x) 6 С<2)[0, 1], /@) = f(l) = 0, причем \f"(x)\ < А при
х в @, 1). Доказать, что
\Г(х)\ < | при 0 < х < 1.
4. Пусть /(х) (-оо < х < +оо) — дважды дифференцируемая
функция и
Mft = sup \f{k\x)\ < +оо (/j = 0, 1, 2).
-со < х < i-^J
Доказать неравенство
М\ < 2М0М2.
1394. Оценить абсолютную погрешность приближенных формул:
а) ех ~ 1 + х + — +... + — при 0 < х < 1;
2! я!
vl 111
б) sm л: ~ х - — при \х < - ;
6 ^ ' ' 2
в) tg х ~ х + — при |х| < 0, 1;
О
г-2
г) Jl + x ~ 1 + ? - ?- при 0 < х < 1.
2 8
1395.1. Для каких х справедлива с точностью до 0,0001
приближенная формула:
cos х = 1 - — ?
2
2. Доказать формулу
"/л" • - — - > х
а'1 + х = а + , - /•
па" '
(л > 2, а > 0, х > 0), где 0 < г < п~1 х*
2п2 а2"-1
1396. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить:
a) V30 ; б) ?/250 ; в) * 5/4000 ;
г) Je; fl)sin 18°; е) In 1, 2;
ж) arctg 0,8; з) arcsin 0,45; и)A,1I,2
и оценить погрешность.
1397. Вычислить:
а) е с точностью до 10~9;
б) sin 1° с точностью до 10 8;
в) cos 9° с точностью до 10~5;
г) Jb с точностью до 10 4;
д) lg 11 с точностью до 10~Л
136 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Используя разложения I—V, найти следующие пределы:
.г"
1398. lim cosx~e 2 .
ж —О X4
1399. lim exsinx-s(l + *) _
ж —О X3
1400. lim х2 (Jx+ 1 + Jx-1 -2jx).
X —* -f-On
1401. lim (Vxn + x5 - Vxr,-x5).
X -' + 00
1
1402. lim
Д,- — I tx,
x:i - x2 + 7 1 p •'¦ - Jxr> + 1
1403. lim aT+«-*-2 (a > o).
*-0 X2
¦x - x2 lnf 1 + -
1404. lim
1405. lim fi - -L_
x — o \x sinx
1406. a) lim Ц1 - ctg xl; 6) lim sin(sinx)-х-УГ^ .
*-0 XVX У *-*0 Xs
в) lim l-(cos^)"'" . r) Um sh(tgx)-x _
ж —О Х-' ж-О Хл
Для бесконечно малой при х —> О величины у определить
главный член вида Сх" (С — постоянная), если
1407. у = tg(sin х) - sin(tg x).
I
1408. у = {1 + х)х - 1. 1409. /у = 1 - LLL?l! .
е
1410.1. При каком подборе коэффициентов а и Ь величина
х - {а + b cos x) sin x
будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х?
2. Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы при х -* 0 имело
место асимптотическое равенство
ctg х = i±4^ + 0(х5).
х + Вх-!
3. При каких коэффициентах А, В, С и D справедлива при
х —* 0 асимптотическая формула
_* 1 +Ах + Вх2
1 + Cx + Dx2
0(xs).
§ 11. Экстремум функции. Наибольшое и наименьшее значения функции 137
1411. Считая \х\ малой величиной, вывести простые
приближенные формулы для следующих выражений:
1
¦»?
(Я+хJ
xl { 100
(R > 0);
б)з
г)
1 + X
1-х
1п2
1-х
1 + X
lnfl + ^-1
юо;
1412. Считая х малым по модулю, вывести приближенную
формулу вида
х = a sin х + Р tg х
с точностью до члена с хъ.
Применить эту формулу для приближенного спрямления дуг
малой угловой величины.
1413. Оценить относительную погрешность следующего
правила Чебышева: круговая дуга приближенно равна сумме
боковых сторон равнобедренного треугольника, построенного на хор-
„ й
де этой дуги и имеющего высотой /- ее стрелки.
Ы о
§ 11. Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции
1. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция f(x) имеет
в точке х0 экстремум (максимум или минимум), если функция определена
в двухсторонней окрестности точки ха и для всех точек х некоторой
области: 0 < \х - хп\ < б, выполнено соответственно неравенство
f(x) < f(x0) или f(x) > f(xn).
В точке экстремума производная f'(x0) =¦ 0, если она существует.
2. Достаточные условия экстремума. Первое правило. Если: 1)
функция f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности \х —х0\ < 8
точки х0 такой, что производная f'(x0) равна нулю или не существует
(критическая точка); 2) f(x) имеет конечную производную f'(x) в области
0 < \х - х0| < б; 3) производная f'(x) сохраняет определенный знак слева
от х0 и справа от хп, то поведение функции /(х) характеризуется
следующей таблицей:
I
II
III
IV
Знак производной
х < хп
+
+
-
-
х> х0
+
-
+
-
Вывод
Экстремума нет
Максимум
Минимум
Экстремума нет
138 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Второе правило. Если функция f(x) имеет вторую производную
f"(x), причем в некоторой точке х0 выполнены условия
f'(x0) = 0 и Г(*о) * О,
то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно:
максимум, когда f"(x0) < О, и минимум, когда f"(x0) > 0.
Третье правило. Пусть функция f(x) имеет в некотором интервале
\х - х0| < 5производные f'(x), ...,/"" 1(х) ив точке х0 производную f("\x0),
причем
/<*>(x0) = 0(fc=l, .... л-1), fi»Xx0)*0.
В таком случае: 1) если п — число четное, то в точке х0 функция f(x)
имеет экстремум, а именно: максимум при /,(")(х0)< 0 и
минимум при f<n\x0) > 0; 2) если п — число нечетное, то в точке х0
функция f(x) экстремума не имеет.
3. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наименьшее) значение на
сегменте [а, Ь] непрерывной функции f(x) достигается или в
критической точке этой функции (т. е. там, где производная f'(x) или равна
нулю, или не существует), или в граничных точках а и Ъ данного сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
1414. у = 2 + х - х2.
1415. у = (х- IK.
1416. у = (х- IL.
1417. у = хт A - х)" (тип — целые положительные числа).
1418. у = cos х + ch х.
1419. у = (х+ 1I0е-*.
1+х+ — ...+ — е х (п — натуральное число).
1421. у = |х|.
1422. у = х~> A-хM.
1423. Исследовать на экстремум в точке х = х0 функцию
f(x) = (х - х0)"ф(х)
(п — натуральное число), где функция ф(х) непрерывна при х = х0
и ф(х) * 0.
Р(х) Р\(х)
1424. Пусть /(х) = -f—L, f'(x) = ——- и х0 — стационарная
Q(x) Q2(x)
точка функции /(х), т. е. Р)(х0) = 0, Q(x0) ^ 0.
Доказать, что
sgn f"(x0) = sgn Р[ (х0).
1425. Можно ли утверждать, что если функция f(x) в точке
х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой
окрестности этой точки слева от точки х0 функция f(x) возрастает, а справа
от нее убывает?
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 139
Рассмотреть пример:
f(x) = 2 - х2 ( 2 + sin -) , если х * 0 и /@) = 2.
1426. Доказать, что функция
f{x) = е *2, если х ^ 0 и /@) = О,
имеет в точке х = 0 минимум, а функция
g(x) = хе *г, если х * 0 и g@) = О,
не имеет в точке х = О экстремума, хотя
/<">@) = 0, g<">@) = 0 (/г=1,2, ...).
Построить графики этих функций.
1427. Исследовать на экстремум функции:
а) f{x) = e w Г 72 + sin i") при х * 0 и /@) = 0;
б) fix) = e'w f 72 + cos il при х * 0 и /@) = 0.
Построить графики этих функций.
1428. Исследовать на экстремум в точке х = 0 функцию
fix) = |х| h + cos -) , если x^Oi /@) = 0.
Построить график этой функции.
Найти экстремумы следующих функций:
1429. у = хя - 6х2 + 9х - 4. 1430. у = 2хг - х\
1431. у = х(х - 1J(х - 2)я. 1432. у = х + - .
1433. у = -%?- . 1434. у = Х\~*Х + 2Л .
у 1 + х2 * х2+2х+1
1435. у = 72х-х2. 1436. у = х%/х - 1 .
1437. у = хе х. 1438. у = Jx In x.
1439. u = — . 1440. у = cos x + i cos 2x.
y x y 2
1441. у = ——— . 1442. у = arctg x - I In A + x2).
1 + sin2x 2
1443. у = ex sin x. 1444. у = |x|e"'x ~ 4
,. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Найти наименьшие и наибольшие значения следующих
функций:
1445. /(*) = 2* на сегменте [-1; 5].
1446. f(x) = х2 - 4х + 6 на сегменте [-3; 10].
1447. f(x) = \х2 - Зх + 2| на сегменте [-10; 10].
1448. f(x) = х + - на сегменте [0,01; 100].
1449. f(x) = л/5 - 4х на сегменте [-1; 1].
Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующих
функций:
1450. f(x) = хе~°'01х на интервале @, +оо).
1451. f(x) = (l + х + —^ + ... + —\ е~х на интервале @, +оо).
1452. f(x) = —^— на интервале @, +оо).
1453. f(x) = e~xi cos хг на интервале (-со, +оо).
1454. 1. Определить нижнюю и верхнюю грани функции
/(?) = +Д на интервале лс < 2, < +°о. Построить графики функций
М(х) = sup /(?) и /ra(z) = inf /(?).
2. Пусть
Mfc= supl/^x)!, /e = 0, 1, 2, ... .
Найти М0, М, и М2, если f(x) = е'*2.
1455. Определить наибольший член последовательности:
a) 111 (n=l,2,...); б)—^— (п= 1, 2, ...);
2 л+1000°
в) Vn (n= 1, 2, ...).
1456. 1. Доказать неравенства:
а) |3* - х3| < 2 при \х\ < 2;
б) —^ < х" + A - xf < 1, если 0<х<1ир>1;
в)хт(а-л:)п<—т""" ат + п при /га >0, я >0и0<х< а;
(/n+/i)m+"
Г) ?±? < nJxn + а" < * + а (х > 0, а > 0, /г > 1);
2 "
д) |а sin х + Ъ cos х\ < 7а2 + б2.
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 141
2. Доказать неравенства
3 х2 + х+ 1
при -°° < х < +оо.
1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена
Р(х) = х(х - 1J(х + 2)
на сегменте [-2, 1], т. е. найти
ЕР = sup \P(x)\.
-1 < х < 1
1458. При каком выборе коэффициента q многочлен
Р(х) = х2 + q
наименее отклоняется от нуля на сегменте [—1, 1], т. е.
ЕР = sup [Р(х)| = min.
-К t < 1
1459. Абсолютным отклонением двух функций f(x) и ?(х)
на сегменте [а, Ь] называется число
А = sup \f(x) - g(x)\.
с < х < b
Определить абсолютное отклонение функций:
f(x) = х2 и g(x) = х3
на сегменте [0, 1].
1460. Функцию
/(х) = х2
на сегменте [xlt x2] приближенно заменить линейной функцией
g(x) = (х1 + х2)х + Ъ
так, чтобы абсолютное отклонение функций f(x) и g(x) (см.
предыдущую задачу) было наименьшим, и определить это
наименьшее абсолютное отклонение.
1461. Определить минимум функции
f(x) = max {2\х\, |1 + х|}.
Определить число вещественных корней уравнения и
отделить эти корни, если:
1462. х3 - 6х2 + 9х - 10 = 0.
1463. х3 - Вх2 - 9х + h = 0.
1464. Зх4 - 4х3 - 6х2 + \2х - 20 = 0.
1465. хъ -Ъх = а.
1466. In х = kx.
1467. ех = ах2.
1468. sin3 х ¦ cos x = а при 0 < х < л.
1469. ch х = их.
142 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1470. При каком условии уравнение
х3 + рх + q = 0
имеет:
а) один вещественный корень;
б) три вещественных корня?
Изобразить соответствующие области на плоскости (р, q).
§ 12. Построение графиков функций
по характерным точкам
Для построения графика функции у — f(x) нужно: 1) определить
область существования этой функции и исследовать поведение функции
в граничных точках последней; 2) выяснить симметрию графика и
периодичность; 3) найти точки разрыва функции и промежутки
непрерывности; 4) определить нули функции и области постоянства знака;
5) найти точки экстремума и выяснить промежутки возрастания и
убывания функции; 6) определить точки перегиба и установить
промежутки вогнутости определенного знака графика функций; 7) найти
асимптоты в случае существования их; 8) указать те или иные особенности
графика. В частных случаях общая схема упрощается.
В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба определяются
приближенно.
Построить графики следующих функций:
1471. у = Зх - х2. 1472. у = 1
1473. у = (х + 1)(х- 2J.
1472. у =* 1 + х2 - ?1.
у 2
1474*. у = ?л?_2.
1 + х4
1475*. у = Z2" . 1476*. у =
w х2-5х+6 A + х)A-хJ
1477. у = -?— .
A + х)л
""¦»-!Й}5-
1483. у =
1 + х
10
Зх2
i_-_L^ +
1-х
1478. ^(i±|).
1480. у = —^— .
у A-х2J
1482*. у = ?1+8 .
х3+ 1
1484. у = (х- 3O5.
:-2
1485. а)у = ±78х2-х4; б) у = х~2 .
-Ух2 + 1
1486. у = ±7(х-1)(х-2)(х-3). 1487*. у = V*3 - х2 - х + 1 .
1488. у =V** - V*2 + 1 • 1489. у = (х + 2) з -(х-2)з.
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам 143
1490. у = (х + 1M -(*- 1)з. 1491. и = —-— ¦
37^
3
1492. у = x^f ~ 1 . 1493. у = \1±А1.
2* -1 7х
1494. у = 1 - х + 3Е . 1495. у = аЕ!.
«J3 + х Vx+ 1
1496*. у = Рр^. 1497. i/ = sin x + cos2 x.
y Vx2+1 а
1498. г/ = G + 2 cos x) sin x. 1499. у = sin x + - sin 3x.
о
1500. у = cos x - - cos 2x. 1501. у = sin4 x + cos4 x.
1502. у = sin x ¦ sin 3x. 1503. у = —2i^— .
sin{x + l)
sinx
1504. a)«/ = -^f ; 6) у = -*
coszx 2+ cosx
1505. у = 2x - tg x. 1506. у = e2*-*2.
1507. y = (l+ x2)e~*2. 1508. у = x + e x.
2
1509. а) у = x3 e~x; б) у = e~2* sin2 x.
1510. у = -?- . 1511. у = л/l - е-*2.
w 1 + x y
1512.y=^#. 1513. у = In (x + Jx2 + 1).
Jx
1514. у = 7x2+l • In (x + 7л:2+1 )•
1515. у = arcsinx _ m6 y=x + arctg x.
7l"X2
1517. у = | + arcctg x. 1518. у = x arctg x.
1519. у = arcsin -^- . 1520. у = arccos ^—^ .
y 1 + x2 y 1 + x2
1521.y = (x + 2)e-. 1522. у = 2-/^^--/^T.
1523*. у = In x2x+2 .
y x2 +1
1524. у = a arcsin - - 7a2 - x2 (a > 0).
a
1525. у = arccos -!—*- . 1526. у = x*.
y l-2x
144 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1527*. у=х*. 1528. у = A+ х)*.
1529*. у = х( 1 + IV (х> 0).
1530*. у = - (без исследования вогнутости).
Построить кривые, заданные в параметрической форме:
4 4
1532. х = 2t - t2, y=3t-t*.
1бзз*. x-ji^, y=7^-1.
1634. x-^, j,-^.
1535. x = t + <T', y=2t + e~2t.
1536. x = a cos 2t, у = a cos 3t (a > 0).
1537. x = cos4 t, z/ = sin4 t.
1538. x = «In t, у = — .
1539. x=—^-, u= a tg3 ? (a > 0).
cos^i
1540. x = a (sh t - t), у = a (ch t - 1) (a > 0).
Представив уравнения кривых в параметрической форме,
построить эти кривые, если:
1541. хя + уя - Заху = 0 (а > 0).
Указание. Положить у = tx.
1542. х2 + у2 = х4 + у\ 1543. х2у2 = х3 - у3.
1544. х-" = ух (х > 0, (/ > 0).
1545. Построить график кривой:
ch2 х - ch2 у = 1.
Построить графики функций, заданных в полярной системе
координат (ф, г) (г > 0):
1546. г = a + 6 cos ф @ < а < Ъ).
1547. г = a sin Зф (а > 0). 1548. г = а (а > 0).
«УсоэЗф
1549*. г = а-^ , где ф > 1 (а > 0).
Ф- 1
1550*. ф = arccos^—^ .
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций 145
Построить графики семейств кривых (а — переменный
параметр):
1551. у = х2 - 2х + а.
1553. у = х ± Ja(l~x2)
X
1555. у = хе " .
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
1556. Доказать, что если функция f(x) неотрицательна, то
функция
F(x) = Cf\x) (С > 0)
имеет в точности те же точки экстремума, что и функция f(x).
1557. Доказать, что если функция ф(х) — монотонно
возрастающая в строгом смысле при -оо < х < +оо, то функции
f(x) и Ф(/(*))
имеют одни и те же точки экстремума.
1558. Определить наибольшее значение произведения т-тл. и
/1-й степеней (т > 0, п > 0) двух положительных чисел, сумма
которых постоянна и равна а.
1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и /г-й степеней
(т > 0, п > 0) двух положительных чисел, произведение которых
постоянно и равно а.
1560. В каких системах логарифмов существуют числа,
равные своему логарифму?
1561. Из всех прямоугольников данной площади S
определить тот, периметр которого наименьший.
1562. Найти прямоугольный треугольник наибольшей
площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.
1563. При каких линейных размерах закрытая
цилиндрическая банка данной вместимости Сбудет иметь наименьшую
полную поверхность?
1564. В данный круговой сегмент, не превышающий
полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью.
1565. В эллипс
*! + а! = 1
а2 Ьг
вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям
эллипса, площадь которого наибольшая.
1552. у = х+ — .
J х
1554. у = | + е"х
146 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1566. В треугольник с основанием b и высотой h вписать
прямоугольник с наибольшим периметром.
Исследовать возможность решения этой задачи.
1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается балка
с прямоугольным поперечным сечением, основание которого
равно Ь и высота h. При каких размерах балка будет иметь
наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна bh2l
1568. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема.
1569. В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.
1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с наибольшей полной
поверхностью.
1571. Около данного шара описать конус наименьшего
объема.
1572. Найти наибольший объем конуса с данной образующей I.
1573. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом сечении
и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной
поверхностью.
1574. Найти кратчайшее расстояние точки М(р, р) от
параболы у2 = 2рх.
1575. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния точки
АB, 0) от окружности х2 + у2 = 1.
1576. Найти наибольшую хорду эллипса — + У— = 1 @ < Ь < а),
а2 Ъг
проходящую через вершину В @, -Ь).
1577. Через точку М(х, у) эллипса — + ^- = 1 провести
каст Ь2
сательную, образующую с осями координат треугольник,
площадь которого наименьшая.
1578. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр,
завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах
это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если
объем его равен V.
1579. Поперечное сечение открытого канала имеет форму
равнобедренной трапеции. При каком наклоне (р боков «мокрый
периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого
сечения» воды в канале равна S, а уровень воды равен ft?
1580. Извилистостью замкнутого контура,
ограничивающего площадь S, называется отношение периметра этого контура
к длине окружности, ограничивающей круг той же площади S.
Какова форма равнобедренной трапеции ABCD (AD \\ ВС),
обладающей наименьшей извилистостью, если основание AD = 2а
и острый угол BAD = a?
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
147
1581. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R,
чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку
наибольшей вместимости.
1582. Завод А отстоит от железной дороги, идущей с юга на
север и проходящий через город В, считая по кратчайшему
расстоянию, на расстояние а. Под каким углом ф к железной дороге
следует построить подъездной путь от завода, чтобы
транспортировка грузов изАвВ была наиболее экономичной, если
стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по
подъездному пути р р. по железной дороге q p. (р > д) и город В
расположен на расстоянии b севернее завода А?
1583. Два корабля плывут с постоянными скоростями и и и
по прямым линиям, составляющим угол 0 между собой.
Определить наименьшее расстояние между кораблями, если расстояния
их от точки пересечения путей в некоторый момент были
соответственно равны а и Ъ.
1584. В точках А к В находятся источники света
соответственно силой Si и S2 кандел. На отрезке АВ = а найти наименее
освещенную точку М.
1585. Светящаяся точка находится на линии центров двух
непересекающихся шаров радиусов R и г (R > г) и расположена
вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещенных
частей поверхности шаров будет наибольшая?
1586. На какой высоте над центром круглого стола радиуса
а следует поместить электрическую лампочку, чтобы
освещенность края стола была наибольшей?
Указание. Освещенность выражается формулой
sime
где ф — угол наклона лучей к плоскости стола, г — расстояние
источника света от освещаемой площадки, /0 — сила источника света.
1587. К реке шириной а построен под прямым углом канал
шириной Ь. Какой максимальной длины суда могут входить в
этот канал?
1588. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух
частей: постоянной, равной ар., и переменной, возрастающей
пропорционально кубу скорости. При какой скорости v плавание
судна будет наиболее экономичным?
1589. Груз, лежащий на горизонтальной шероховатой
плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При
каком наклоне этой силы к горизонту ее значение будет
наименьшим, если коэффициент трения груза равен /г?
1590. В чашку, имеющую форму полушара радиуса а, опущен
стержень длины I > 2а. Найти положение равновесия стержня.
148 РАЗДЕЛ 11. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
1. Касание п-го порядка. Говорят, что кривые
у = ф(х) и у = Щх)
имеют в точке х0 касание п-го порядка (в строгом смысле!), если
(pw(x0) = V{k)(x0) (k = 0, 1, ..., п) и ф<" + 1)(х0) * У" + "(ж0). В этом случае
при х —* х0 имеем:
ф(х) - у(х) = 0*[х - х0]" + \
2. Круг кривизны. Окружность
(х - ^J + (у - чJ = Д2,
имеющая с данной кривой у = /(х) касание не ниже 2-го порядка,
называется кругом кривизны в соответствующей точке. Радиус этого круга
называется радиусом кривизны, а величина k = — —¦ кривизной.
Л
3. Эволюта. Геометрическое место центров (?, Г|) кругов кривизны
(центры кривизны)
е-«-УA+р">, п = </ + ^-2
у" «/"
называется эволютой данной кривой г/ = /(х).
1591. Подобрать параметры /г и Ь прямой
г/ = kx + Ъ
так, чтобы она имела с кривой
у = Xя - Зх2 + 2
касание порядка выше первого.
1592. При каком выборе коэффициентов a, b и с парабола
у = ах2 + Ьх + с
имеет в точке х = х0 касание 2-го порядка с кривой у = ех1
1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в точке х = О
кривые:
а) у = 1 - cos х; б) у = tg х - sin x;
_2_
1594. Доказать, что кривая у = е *2 при х ^ 0 и у = 0 при х = О
имеет в точке х = 0 с осью Ох касание бесконечно большого порядка.
1595. Найти радиус и центр кривизны гиперболы
ху= 1
в точках: а) М A, 1); б) А/A00; 0,01).
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
149
Определить радиусы кривизны следующих кривых:
1596. у2 = 2рх (парабола).
1597. — + ^ =1 (а > b > 0) (эллипс).
а2 о2
1598. — - ^ = 1 (гипербола).
а2 О
2 2 2
1599.x5 + у 3 =а3 (астроида).
1600. х = a cos t, у = b sin ? (эллипс).
1601. х = a (t - sin i), у = а A - cos t) (циклоида).
1602. x = a (cos ? +1 sin t),y = a (sin f — ? cos ?) (эвольвента круга).
1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка
у2 = 2рх - qx2
пропорционален кубу отрезка нормали.
1604. Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной
в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных в
полярных координатах (параметры положительны):
1605. г = аф (спираль Архимеда).
1606. г = аетф (логарифмическая спираль).
1607. г = а A + cos ф) (кардиоида).
1608. г2 = a2 cos 2ф (лемниската).
1609. На кривой у = In x найти точку, кривизна в которой
наибольшая.
kx3
1610. Максимальная кривизна кубической параболы у = ——¦
6
@ < х +оо, k > 0) равна . Найти точку х, в которой
достигается эта максимальная кривизна.
Составить уравнения эволюты кривых:
1611. у2 = 2рх (парабола).
1612. — + ^ = 1 (эллипс).
а2 Ь2
2 2 2
1613. х3 + у3 = а 3 (астроида).
1614. х = a In a + ^a'Z У1 - Ja2 - у2 (трактриса).
1615. г = аетф (логарифмическая спираль).
1616. Доказать, что эволюта циклоиды
х = a (t - sin ?), у = а A - cos ?)
есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.
150 РАЗДЕЛ II. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 15. Приближенное решение уравнений
1. Правило пропорциональных частей (метод хорд). Если функция
f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] и
f(a)f(b) < 0,
причем /' (х) ^ 0 при а < х < Ъ, то уравнение
f(x) = 0 A)
имеет один и только один действительный корень Е, в промежутке (а, Ъ).
За первое приближение этого корня можно принять значение
х1 = а + 8,,
где
Применяя далее этот способ к тому из промежутков (а, хх) или (лг1( Ь),
на концах которого функция f(x) разнозначна, получим второе
приближение х2 корня L, и т. д. Для оценки л-го приближения хп справедлива
формула
f(x„)
к - 41
B)
где т = inf |/'(*)l> причем
а < х <Ь
lim xn = \.
2. Правило Ньютона (метод касательных). Если f"(x) / 0 на
сегменте [а, Ь] и f(a)f"(a) > 0, то за первое приближение <;, корня Е,
уравнения A) можно принять значение
f (а)
Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню ^
последовательные приближения 4„ (л = 1, 2, ...), точность которых
оценивается, например, по формуле B).
Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок графика
функции у = f(x).
Пользуясь методом пропорциональных частей, определить
с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1617. х3 - 6х + 2 = 0. 1618. х4 - х - 1 = 0.
1619. х- 0,1 sin х = 2. 1620. cos x = х2.
Пользуясь методом Ньютона, определить с указанной
точностью корни следующих уравнений:
1621. х2 + — = 10х (с точностью до 10~3).
X2
1622. х lg х = 1 (с точностью до 10 4).
§ 15. Приближенное решение уравнений
151
1623. cos х • ch x = 1 (с точностью до 10~3) (два положительных
корня).
1624. х + ех = 0 (с точностью до 10 5).
1625. х th х — 1 (с точностью до 10 °).
1626. С точностью до 0, 001 найти три первых
положительных корня уравнения
tg х = х.
1627. С точностью до 10 найти два положительных корня
уравнения
ctg х = ± - |.
х 2
РАЗДЕЛ III
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
1. Понятие неопределенного интеграла. Если функция f(x)
определена и непрерывна на промежутке (а, Ь) и F(x) — се первообразная, т. е.
F'(x) = f(x) при а < х < Ъ, то
Г f(x) dx = F{x) + С, а < x<b,
где С — произвольная постоянная.
2. Основные свойства неопределенного интеграла:
a) d Г U{x) dx\ = f(x) dx; 6) f dct>(x) = Ф(х) + С;
в) [а{(х) dx = A U(x) dx (A = const; A * 0).
г) !"[/(*) +?(*)]<** = |7(*)djc+ fg(*)d*.
3. Таблица npocTeiiuinx интегралов:
I. [xn dx = ^-^ I- С (я * -1).
J n+ 1
II. Г — = In |x| + С (ж * 0).
Г dx
L J 1 + *2
V. Г -^- = I In
J 1-х- 2
III.
IV
j arctg x + С,
-arcctgx + С.
1 + x
1-х
+ C.
arcsin x + C,
-arccos x + C.
Г dx _ | ai
'' J 7l - x* ~ i-ai
VI. Г dx = In |x + Jx2±l | + C.
J Jx2±l
rII. f яг dx = ¦?— + С {a > 0, a * 1); f ел dx = ex + C.
J 1" я J
sin x dx = -cos x + С IX. с
V
VIII.
IX. cos x dx = sin x + C.
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы 153
X. f 4Щ- = -ctg х + С.
J sin2*
XII. sh x dx = ch x + С.
XI
J:
dx
= tg x + С.
cos2 л:
XIII. fchx dx = shx + C.
XIV.
J sh2x
-cth x + С
i
С dx
J ch2x
th x + С
4. Основные методы интегрирования.
а) Метод введения нового аргумента. Если
I
f(x) dx = F(x) + С,
f(u)du^ F(u) + С,
где и = (р(х) — непрерывно дифференцируемая функция,
б) Метод разложения. Если
Дх) = /,(х) + /2(*).
то
Дх) dx = I /,(х) dx + I /2(х) dx.
[f(x)dx= Г/,(х) dx+ f
в) Метод подстановки. Если /(х) непрерывна, то, полагая
х = ф@,
где (р@ непрерывная вместе со своей производной <p'(f), получим
Г/(х) dac = f/((p@)<P'@d/.
г) Метод интегрирования по частям. Если и и о — некоторые
дифференцируемые функции от х, то
I и du = uv - (;
du.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти
следующие интегралы:
1628.
1630.
1632.
1634.
1636.
C - x2f dx. 1629. f х\Ъ - xf dx.
A - x)(l - 2*)A - 3x)dx. 1631. |Y—^ dx.
(- + ~г + S) <**¦
VX X' X'
Vx - 2 Vx~2 + 1
i/x
d"x.
1 - — I Jxjx dx.
X2
1633
1635.
1637.
' x+ 1
3. f: ....
J J~x
[i^^ldx.
J x 'Ifx
yJ^JWxf dx.
154
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1638.
1640.
1642.
1643.
1645.
1647.
1648.
1649.
1651.
1653.
Jx4 + x~4 + 2
dx.
x2dx
1-х2
1639.
1641.
Г x2dx
J 1 + x2
f x2 + 3
J x2-l
dx.
л/l + X2 + Jl - X2
УГ
dx.
Vx2 + 1-Vx2- 1
Vx4-1
2*+i_5,-i
dx.
10J
dx.
1644. fB* + 3XJ dx.
1646. [?l±l dx.
A + sin x + cos x) dx.
то
Vl - sin2x dx @ < x < я).
ctg2 x dx. 1650. Г tg2 x dx.
(a sh x + Ь ch x) dx. 1652. fth2 x dx.
cth2 x dx.
1654. Доказать, что если
f/(x) dx = ^(x) + С,
|7(ax + ft) dx = i^(ax + 6) + С (а* 0).
Найти интегралы:
1655. f-^L.
J x + a
1657. fyi-3x dx.
1659.
J Eл:-2M
1661. f d* .
J 2 + 3x2
1663. f , dx .
J j2-3xz
1665. f (e~* + e~2*) dx.
1656
1658
1660
1662
1664
fBx-3)
dx.
л/2-бх
5Vl-2x+x2
j* dx
J 2-3x
Г dx
J V3x2-
dx.
J'
J
1666. (sin5x - sin5a) dx.
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
155
1667. f — . 1668. fr-^L
w sin2 2x + -
1669. Г dx . 1670. Г d* .
J 1 - cosx J 1 + sinx
1671. [ [shBx + 1) + chBx - 1)] dx.
f_E?-. 1673. f-^-.
J ch2- J sh2-
2 2
1672
Путем надлежащего преобразования подынтегрального
выражения найти следующие интегралы:
1674. f xdx . 1675. Г х2 VI + х3 dx.
J JT^2 J
1676. Г ^^ . 1677. Г ——
J 3-2х2 J A + х
1678
*. f J^-L. 1679. Г
J 4 + x2 J
1685,
I
2\2 '
x3dx
х8-2
^ d_x
х х2
1680. Г —4*— . 1681. Г sin
J (l + x)Jx J
Указание. — = 2d(Jx). 1682. f fx
Jx J xjxz + 1
1683. f ———. 1684. f dx
J xJx^l J
3
(x2+lJ
2dx
С _xdx_ 1686 f —x
* {x*-lf (8x3 + 27M
1687. f dx . 1688. f dx .
J Jx{l+~x) J Jx(l-x)
1689. Г xe~*2 dx. 1690. Г |^ .
1691
1693
. f -**_ . 1692. Г -^
f 12^ dx. 1694. f —
J x J xln
xln(lnx)
1695. f sin5 x cos x dx. 1696. f sm* dx.
J J 7cos3x
1697. Г tg x dx. 1698. f ctg x dx.
1699. f sinx+cosx dx.
Vsinx- cos ж
156
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
\
1700. а)
¦»/
1701. \
sin х cos х
*/a2sin2x + b2cos2x
cosx dx;
dx
dx;
л/cos 2 x
;б) Г _^ia^=
J Vcos2x
r) f _5h?E_ dx.
J Vch2x
sin2xVctgx
1703. Г — .
J sin л:
1705. Г 4^- ¦
J shx
1707. f i shxchx dx.
J Vsh4x + ch4x
1709. f ^^# dx.
J 1
1702.
1704.
1706.
1708.
1710.
sin2* + 2 cos2 л:
+ x
J
Г dx
J cosx
f .Ё*.
J chx '
f dx
J ch2x'Vth
I
dx
(arcsinxJVl - x2
1711.
1712.
1713.
f 1п(х+ЛТГг) dx_
J */ 1 + x2
Г *2+1
j^ + 1
J x4 + l
n
Г x2dx
j л/l + X" +
dx.
dx.
Указание.
1 + ^1 dx = d ( x - -)
1715
1717. f -^
J 72T
.719. J
1714 f x"rfx
"J (X''+lL-
1716. f -J—\nl±±dx.
J 1-х2 1-х
cosxdx
л/2+ cos2x
2х У
9*-4J
dx.
1718.
1720.
sinxcosx
sin4x+ cos4x
xdx
dx.
Х2+л/A + Х2K
Применяя метод разложения, вычислить следующие
интегралы:
1721. а) f х2B - Зх2J dx;
1722. Г ii? dx.
J 1-х
1724. Г -ii-
J 3 + x
1726. f
1728. f -^- dx.
J * + 1
б) Г x(l - xI0 dx.
f-^dx.
J 1 + x
dx.
11^ dx.
1723
1725
1727
J4t
^dx.
Ы
x)i
dx.
1729. Г ^
J Jx+ 1 + Jx-1
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
157
1730
х 72 - 5х
dx.
_ 1 2
Указание, дс = —— B — 5х) + - .
5 5
1731.
1733.
Указ
1734.
1736.
1738.
1740.
1741.
1743.
1745.
1746.
1747.
1749.
1751.
1753.
1754.
Указ
1755.
1757.
xdx
VI -Зх'
dx
1732
Г х3 VT
+ х2 dx.
(х- 1)(х + 3)
ни е. 1 = i[(x + 3)-(х- 1)].
4
dx
х2 + х- 2
dx
(х2-2)(х2 + 3)
xdx
х4 + Зх2 + 2 '
dx
1735.
1737.
1739.
(х2 + а2)(х2+Ь2)
sin2 х dx.
sin x sin(x + a) dx.
cos ^ • cos r dx.
тт (a2*62).
1742
1744
dx
(x2+ l)(x2+2)
xdx
(x+2)(x + 3) '
dx
(x+aJ(x + 6J
(a * b).
cos2 x dx.
sin 3x • sin 5x dx.
sin 2x
cos 3x + - dx
sin3 x dx.
sin4 x dx.
ctg2 x dx.
sin2 3x sin3 2x dx.
dx
sin2 x cos2 x
н и e. 1 = sin2 x + cos2 x.
dx
sin2 x cos x
1748.
1750.
1752.
cos3 x dx.
cos4 x dx.
tg3 x dx.
cos-' x
dx.
1756.
1758.
dx
J
sm x cos'1 x
dx
cos4x
158
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1759. Г -**- . 1760. Г H^l dx.
J 1 + ех J 1 + е2х
1761. Г sh2 x dx. 1762. Г ch2 л; dx.
1763. f sh x sh 2x dx. 1764. Г ch x ¦ ch 3x dx.
1765. f , 9d* „ ¦
J sh2xch2x
Применяя подходящие подстановки, найти следующие
интегралы:
1766. f xl 3Jl-x dx. 1767. f x3(l - 5x2I0 dx.
72-x
1768. Г -^— dx. 1769. f *5 dx.
J 72-x J Jl-x2
1770. f x5B - 5x3) з dx.
1771. f cos5 x • Vsinx dx. 1772. f -s|
+ cos^x
dx..
1773. f ^in!? dx. 1774. Г lnxdx ,
J cos6x J x./1 + lnx
f -^i- . 1776. f dx .
J 1 , J 7l + e*
1775
J777 Г arctgTx dx
'J 7* 1+x'
Применяя тригонометрические подстановки х= asin (,
x = a tg t, x = a sin2 t и т. п., найти следующие интегралы
(параметры положительны):
1778. Г —^-j • 1779. Г x2d* .
A - х2J 4х -2
\
1780. Г 71 -х2 dx. 1781.
dx
з
(x2 + a2J
f ^ dx. 1783. f x /IX
J A/a-x J V2o-.
и е. Применить по;
x - a = F - a)sin2 t.
С dx
1784. I -—=== . Указание. Применить подстановку
J V(x - a)(b- x) v _ n _ th _ „4„;„2
1785. f J(x-a)(b-a) dx.
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
159
Применяя гиперболические подстановки х = a sh t, x = a ch t,
и т. п., найти следующие интегралы (параметры
положительны):
1786. f Ja2 + х2 dx.
1788. f
х- а
х + а
dx.
1789. f dx
J J(x + a)(x + Ъ)
Указание. Положить
х + а = (Ь ~ a) sh2 t.
1787.
1790.
С х dx
J Ja2 + x
dx.
J(x + a)(x ¦
b) dx.
Применяя метод интегрирования по частям, найти
следующие интегралы:
1791
1793
•!1п*
I
dx.
2
dx.
1795. хе~х dx.
1797. Г xV*2 dx.
1799. f x2 sin 2x dx.
1801. f x3 ch 3x dx.
1803. arcsin x dx.
1794.
1796.
1798
1800
-¦2e~2x dx.
dx.
dx.
1805
P
arccos x dx.
1807. f In (x + Jl + x2) dx.
1809. Г arctg Jx dx.
Найти следующие интегралы:
1811. f x5e*3 dx.
1813. x(arctg xJ dx.
1815. f x[n(x+ ¦JYT^) dx.
J л/1 + Х2
1792. Г xn In x dx (n * 1).
Vx In2 x dx.
\x'
lxms'
\x sh x
1802. arctg x dx.
1804. x arctg x dx.
1806. f 2I?«M dx.
J x2
1808. f x In ii? dx.
J 1-х
1810. sin x • In (tg x) dx.
1812. Г (arcsin xJ dx.
1814. f x2 In i—? dx.
J 1 + x
1816. Г ——— dx.
J A + x2J
160
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1817 Г
"J (а2 + х2J'
1819. Г Jx2 + a dx.
1821.
1823.
1825
sin x dx.
J'
x sin Jx
dx.
— ^ dx.
A + X2J
1827. f cos (In x) dx.
1829. f eax' sin bx dx.
1831. Г (e* - cos xJ dx.
1833. f M!iHJ dx.
smzx
1818.
1820.
1822.
1824.
1826.
1828.
1830.
1832.
1834.
Ja2 - x2
dx.
x2 Ja2 + x2 dx.
е& dx.
xe^xgx
dx.
A + x2J
sin (In x) dx.
eax cos bx dx.
e2x sin2 x dx.
arcct??f dx
ex
xdx
cos^x
dx.
1835
(* xe*
J (*+l
dx.
Нахождение следующих интегралов основано на приведении
квадратного трехчлена к каноническому виду и применении формул:
I. f -г*- = ! arctg ? + С (а * 0).
J а2 + х2 а а
+ С (а * 0).
IV.
V
VI
VII
J а2-х2 2а
Ш. Г -*4*- = ±1 in \a2 ± х2\ + С.
J а2±х2 2 ' '
С dx х
. = arcsin - + С (а > 0).
J л/а2 - х2 а
. Г , d* = In \x + Л2±а2 | + С (а > 0).
J Л2+а2
Г *d* = ±Va2±x2 + С (а > 0).
J л/а2±х2
. Г Ja*-x* ах = ->2~x2 + —
VIII. Г Jx2±a2 dx = -Jx2±a2 ± — ln|x + Vx2+a21 + С (а > 0).
arcsin - + С (а > 0).
2 а
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
161
1839.
Г dx
J х2-х+2 '
С xdx
J x4-2x2- 1 "
1841. f ^
J x2 - 2xcosa+ 1
Г x5da
J XG-X3
1843
tx_
c3-2
Найти следующие интегралы:
1836. f dx „ (ab * 0). 1837
J a + bxl
1838-1з^%-Т-
184°- J x^Vl d^
1842. Г *3<** 0 .
J x4-x2+2
1844. f
1845. f .
J smx + 2cosx+3
1846. f dx (b * 0). 1847. Г
J Ja + bx2 J Jl - 2x- x2
1848. f dx . 1849. f ^
J Л+х2 J j2x2-x + 2
1850. Доказать, что если
у = ах2 + bx + с (a ^ 0),
dx
3 sin2 x - 8 sin x cos x + 5 cos2 x
dx
dx
то
1851.
[ dx = \_
J Vj/ V^
Г xdx
J л/5 + x - x2
In
^- + «/ay
2
arcsm
./ft2 - 4ac
+ С при a > 0
+ С при a < 0.
xdx
75
1853. a) f ,
J Vl-3x2-2x4
1854. Г 2^ .
J Jx*-2x2-l
1856. f d*
J xjx2 + x+ 1
1858. f dx .
J (x+ 1)V*2+ 1
1860. f dx
J (x+2J7«2 + 2x-l
1852.
Г *+1
J Vx2 + x+ l
dx.
6)
cosxdx
л/l + sinx+ cos2x
1855. f —^^— dx.
J ./l + x2-x4
1857. f ^ .
J x2Jx* + x+l
1859. f ^ .
J (x-l)Jx2-2
1861. f л/2 + л; - x2 dx.
162
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1862. Г л/2 + х + х2 dx. 1863. f Jx4+2x2~ 1 xdx.
1864. Г 1~х+ж2 dx. 1865. Г x2+1 dx.
J xVl + x-x2 J xjx4 + 1
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти
следующие интегралы:
1866. Г ^^ dx.
1868.
г 2х + ;
J (x-2)(x
1
+ 5)
x'°dx
х2 + х- 2
1870. Г f dx.
J x4 + 5х2 + 4
1872. Г ^^ dx.
J (х+1J(х-1)
1874. Г —
J (х+1)(х+2J(х+3K
.Г
J x5 + x4-:
1867.
1869.
1871
1873
¦J
¦J
{
/
xdx
(х+ 1)(х+2)(
X3-
X3-
(
1х2
х3+ 1
-5х2+ 6х
xdx
-Зх+ 2
х V
-3x+2J
х + 3)
dx.
dx
1875 ' dx
2х3-2х2 + х+ 1
1876. Г х2 + 5х+4 dx. 1877. Г ^ .
J x4+5x2 + 4 J (x+l)(x2+l)
1878. Г — . 1879. Г — ,
J (х2-4х+4)(х2-4х+5) J (х-1J(х2+2х+2)
1880. Г — -. 1881. [ -Al~.
J хA + Х)A + Х+Х2) J X3+l
1882
1884
1886
Г J^L. 1883. f _?(*_.
J х3-1 J x4-l
. Г -^-. 1885. f *? .
J X4+l J X4 + X2+l
Г dx
J Х6+Г
1887 Г 2^
'J (l + x)(l + x2)(l+x3)
I
1888 ' dx
1889
X5 - X4 + X3 - Х2+ Х- 1
dx
Г xfc
J x4 + 3x3 + 5
х2+ Зх+ 1
2
§ 2. Интегрирование рациональных функций
163
1890. При каком условии интеграл
ах2 + Ъх + с
I
dx
х3(х-1J
представляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интегралы:
1891. Г ^ . 1892. Г fx\ ч
J (Х-1J(Х+1K J (X»+1)
1893. Г ——
J (х2+1
1895. Г
dx
1897
¦J
(х4 + IJ
dx
(х4- lK '
О2
1894. f , x'dx
J (x2+2*4
1896. f
+ 2J
x2 + 3x-2
(X- 1)(X2 + X + lJ
dx.
LK
Выделить алгебраическую часть следующих интегралов:
1898. Г /2 +о \ , dx. 1899. Г , dx ,
J (X4 + X2+lJ J (X3+X+l)
1900. Г 4хГ'-1 , dx.
J (х° + х+ IJ
1901. Найти интеграл
Г dx
J х4 + 2х3 + 3х2 + 2х+1
1902. При каком условии интеграл
/
ах2 + 2рх + у dx
(ах2+ 2bx + сJ
представляет собой рациональную функцию?
Применяя различные приемы, найти следующие интегралы:
1903.
1905.
1907.
1909.
1911.
*3 dx
(х- I)'00
x3dx
х8 + 3 '
х4~3
х(х8 + Зх4 + 2)
xndx
х8 + Зх4 + 2 '
X2" .
dx.
1904. Г -Z~
J Xя- 1
1906. f *-±?
J х*+ 1
dx.
1908.
J {х
dx.
x4dx
С10- 10J
tqin f x9dx
J (x10+2x5+2J
xn + 1
1912.
J (x2n + i;
dx.
164
РАЗДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1913.
Г 2* . 1914. Г **—
J x{xw + 2) J x(x10+i;
1915. Г 1~x7 dx. 1916. Г ^-=-± dx.
J x(l + x7) J x(x4-5)(x5-5x+l)
1917. f /V 1 d*. 1918. f f^i dx.
J x4 + x2+l J x4 +x3 +x2 +x+1
1919.
f *lzS dx. 1920. f *i±l dx.
J x8 + 1 J x6 + 1
1921. Вывести рекуррентную формулу для вычисления
интеграла
т = Г Ё* (а * 0).
" J (ах2 + Ьх+с)"
Пользуясь этой формулой, вычислить
Г rfx
J (X2+X+l)
3 I ,„, . „ . Ху
Указание. Использовать тождество
4а (ах2 + Ьх + с) = Bах + bf + Dас - Ь2).
1922. Применить подстановку t = х + а для вычисления ин-
х + Ь
теграла
Г dx
J (x+ a)m(x
+ Ь)"
(тип — натуральные числа). Пользуясь этой подстановкой,
найти
dx
h
(х-2J(х + 3K
1923. Вычислить
PJ.x)
h
¦dx,
(x-a)n+l
если Рп(х) есть многочлен степени п относительно х.
Указание. Применить формулу Тейлора.
1924. Пусть Щх) - В*(х2), где R* — рациональная функция.
Какими особенностями обладает разложение функции Щх) на
рациональные дроби?
1925. Вычислить
dx
A + хJ" '
где п — целое положительное число.
h
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
165
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
С помощью приведения подынтегральных функций к
рациональным функциям найти следующие интегралы:
1926,
Г _dx_ lg27 Г dx
J l + Jx J xll + 2jx + 'i/x
(l + 2jx + 'i/x)
1928. f x"'^~x dx. 1929. Г 1~-f^+^ dx.
J x + 3j2 + x J 1 + 3Jx + 1
1930. f ^ . 1931. f -fxTl-Jx^l dx
J {l+4Jx) Jx J Jx+1 + Jx-l
1932. f — . 1933. f xdx (a > 0).
J V(x+lJ(x-lL J V*3(a~*)
1934. — (n — натуральное число).
Г dx_
J V(*-a)" + 1(*- b)n
1935. f d* .
J 1 + Jx + Jl + x
Указание. Положить х = ,
2u
1936. Доказать, что интеграл
с 1 'I
\R [x, (х- а)'п{х- b)"] dx,
где R — рациональная функция и p, q, n — целые числа,
является элементарной функцией, если
р + q = kn,
где k — целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных иррацио-
нальностей:
1937.
dx. 1938. Г dx
J (х+ \)Jx2 + х+ 1
Jl + Х+ X2 J (x+l)J.
Jx2+2x + 2
1939. f — . 1940. f VJ'f"" dx.
J (l-x2)Jl~x2 J x
1941. f xdx . 1942. f 1~x + x2 dx.
J A + x)Jl - x- x2 J Jl + x- x2
Применяя формулу
166
РАЗДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
где у = Jax2 + Ьх + с , Рп(х) — многочлен степени п, Qn .. j(x) —
многочлен степени п — 1 и X — число, найти следующие
интегралы:
1943. Г - dx. 1944. Г -^
J Jl + 2x-x2 J Jl +
1945. Г х^4а2-хг dx. 1946. f x"~" ox"+XiX-^ dx.
. Г и*. . 1948. Г -
J x3Jx2 + 1 J x
x3 - 6x2+ \\x- 6
Vx2 + 4x + 3
3лУ^Т1 J x47*r:ri
1947
1949 . , , (
{х- 1KЛ2 + Зх+1 J (x + lM„/x2 + 2x
1951. При каком условии интеграл
а,х2 + blx+ с.
f dx ¦ 1950. Г
J (x-lK./x2 + 3x+l J
I
da:
Jax2 + bx + с
представляет собой алгебраическую функцию?
Найти —^- dx, где w = Jax^ + bx + c , разлагая рациональ-
J Q(x)y
ную функцию }-х< на простейшие дроби.
Q(x)
1952. Г — . 1953. Г —
J (х- lJVl + 2x-x2 J (xz- l)V*2-x-l
1954. f ^ + X+„L dx. 1955. I ** dx.
(x- lJVl + 2x-x2 J (x2-l)VP
f VEHH djc. 1955. f _
J (*+lJ J A
1956. f — . 1957. f —
J (x2-3x+2W*2-4x + 3 J A + х2)Л
1958. Г d* . 1959. f
J (x2+l)Vx2-l J A-х
J *2+l
dx
(x2+l)Vx2-l J (l-x4Ol + x2
I960. I ШИ dx.
Приводя квадратичные трехчлены к каноническому виду,
вычислить следующие интегралы:
dx
1961.
I
(х2 + х+ l)Jx2 + х- 1
1962. Г хЧх
D-2х + х2)л/2 + 2х-х2
1963. г —<*+!?<** .
J (х2 + х+ \)*]х2 + х+ 1
§ 3. Интегрирование иррациональных функций
167
a+fit
вычислить интеграл
1964. С помощью дробно-линейной подстановки х ¦
1 +1
S
dx
(х2 - х + \)Jx2 + х+ 1
1965. Найти
(* dx
J (x2 + 2)V2x2-2x+5
Применяя подстановки Эйлера:
1) Jax2 + bx + с = ±Jax + z, если а > 0;
2) Vax2 + 6x + с = хг ± Ус, если с > 0;
3) д/я(л: - *i)(* - х2) = г(х ~ х^,
найти следующие интегралы:
1966. .
4хг + х + 1 J 1 + Jl
1968.
Г dx . 1967. f dx .
J x + л/*2 + x + 1 J 1 + Jl - 2x- x2
f xJx2-2x+~2 dx. 1969. Г x-/x2+3x+_2 dx_
J J x + V*2 + 3x+ 2
1970. f — ;.
J [1 + Jx(l + x)}
Применяя различные методы, найти следующие интегралы:
1971. f — . 1972. f — .
J Jx2 + 1 - Jx2 - 1 J (l-x3Ol-x2
1973. f — - ¦ 1974. f X+J1 + X+IL_ dx.
J J2 + Jl- x+ Jl + x J l + x+Jl + x + x2
1975. f ^xix+1) dx. 1976. f <x2~1)dx .
J Jx+ Jx +1 J (x2+1O«4+ 1
1977. f (*2+^* . 1978. f ^ .
J (^-ljj^iTT J xV^4 + 2x2- 1
1979. Г (х2+ l)dx .
J x«/x4 + x2 + 1
1980. Доказать, что нахождение интеграла
R (x, Jax + b , Jcx + d) dx,
где R — рациональная функция, сводится к интегрированию
рациональной функции.
168
РАЗДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Интеграл от дифференциального бинома
[ хт(а + bx")"dx,
где т, п и р — рациональные числа, может быть приведен к
интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях
(теорема Чебышева):
Случай 1. Пусть р — целое. Тогда полагаем х = zN, где N —
общий знаменатель дробей тип.
Случай 2. Пусть — целое. Тогда полагаем а + bx" = zN,
т
где N — общий знаменатель дроби р.
Случай 3. Пусть + р — целое. Тогда применяем подста-
т
новку ах~п + Ъ = zH', где N — знаменатель дроби р.
Если и = 1, то эти случаи эквивалентны следующим:
1)р — целое; 2) т — целое; 3) т + р — целое.
Найти следующие интегралы:
1981. Г V*3 + х4 dx. 1982. Г —S.— dx.
J J (l + 3Jxf
1983. f xdx . 1984. f f'dx .
1985. Г dx . 1986. f dx .
J l/T+~x~3 J i/YTx1
1987. f dx . 1988. f —^—.
X
1989. Г 1/Зх-хя dx.
1990. В каких случаях интеграл
I
Vl + xm dx,
где т — рациональное число, представляет собой элементарную
функцию?
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида
Jain-xcos-xdx,
где тип — целые числа, вычисляются с помощью искусственных
преобразований или применением формул понижения.
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
169
Найти
1991.
1993.
1995.
1997.
1999.
2001.
2003.
2005.
2007.
2009.
интегралы:
cosn х dx.
cose x dx.
sin4 x cos5 x dx.
f sin]x dx.
cos4*
dx
sin3 x
dx
sin4 x cos4 x
dx
sin x cos4 x
ctg° x dx.
dx
Vsin3xcos5x
dx
/tgx
1992.
1994.
1996.
1998.
2000.
2002.
2004.
2006.
2008.
2010.
sin8 x dx.
sin2 x cos4 x dx.
sin5 x cos5 x dx.
cos4x
sin3 x
dx
cos3x
dx
dx.
sin-' x cos1' x
tg5 x dx.
sin4
cosf
cosx
dx
x dx.
X
dx
Vsin2
X
tgx
2011. Вывести формулы понижения для интегралов:
а) /„ = sin" х dx; б) Кп = cos" x dx (/г > 2)
и с их помощью вычислить
sin6 х dx и cos8 x dx.
2012. Вывести формулы понижения для интегралов:
dx . сч v _ Г dx
а) 7
¦-J
sin"x
и с их помощью вычислить
б) Ка = Г -^- (/г > 2)
" J cos"x
[ _dx_ Г dx
J sinr,x J cos7x
Следующие интегралы вычисляются с помощью применения формул:
I. sin a sin Р = - [cos(a - Р) - cos (а + Р)].
II. cos a cos Р = - [cos (а - Р) + cos (a + р)].
III. sin a cos р = - [sin (« - Р) + sin (а + Р)].
170
РАЗДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти интегралы:
2013. sin 5x cos x dx.
2014. cos x cos 2x cos Зх dx.
2015. sin x sin - sin - dx.
J 2 3
2016. sin x sin(.r + a) sin (x + b) dx.
2017. cos2 ax cos2 bx dx.
2018. f sin3 2x ¦ cos2 3x dx.
J si:
Следующие интегралы вычисляются путем применения тождеств:
sin (а - Р) = sin [(х + а) - (х + Р)],
cos (а - Р) = cos [(х + а) - (х + {})].
Найти интегралы:
2019. Г ^ .
J sin(x + a)sin(x + Ъ)
2020. Г ^ .
J sin(x+ a)cos(x + b)
2021. Г ^ .
J cos(x + a)cos(x + b)
2022. f dx
2023.
J
suu - sin a
dx
cosx + cos a
2024. { tg xtg(x + a) cte.
Вычисление интегралов вида
R (sin x, cos x) dx,
I
где R — рациональная функция, в общем случае приводится к интегри-
х
рованию рациональных функции с помощью подстановки tg - = t.
а) Если выполнено равенство
Л (-sin х, cos x) = -R (sin x, cos x)
или
R (sin х, -cos x) = ~R (sin x, cos x),
то выгодно применять подстановку cos x = t или соответственно sin x =t.
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
171
б) Если выполнено равенство
R (-sin х, -cos x) = R (sin x, cos x),
то полезно применять подстановку tg x = t.
2 sin х- cosx+ 5
sm'x
sinx + 2cosx
dx
Найти интегралы:
2025 ' dx
2027
2028
2029
2031
2033
2035
2037
J
¦I
•I
¦f
]
¦J
2026.
Г dx
J B + cosx
x)sinx
dx.
dx.
1 + ecosx
sin2x
1 + sin2x
cos2xdx
(a2sin2x + b2cos2xJ
dx
(asinx+ bcosxJ
dx
при: аH<е<1;б)е>1.
sm'x+ cos'x
2039.
Г sin2x-
J sin4x +
f
cos^x
cos4x
dx.
sin"x+ cos°x
2030.
2032.
2034.
2036.
2038.
2040.
dx
dx.
a2sin2x + b2cos2x
sinx cosx
sinx + cosx
sinxdx
sin3x+ cos3x
sin2xcos2x
sin8x + cos8x
sinx cosx
1 + sin4x
dx
dx.
dx.
(sin2x+ 2cos2xJ
2041. Найти интеграл
dx
J asinx + bcosx
приведя знаменатель к логарифмическому виду.
2042. Доказать, что
Г a, sinx + b, cosx , . , „ , i , , \ , /-,
_j ! dx = Ax + В \n\a sin x + b cos x\ + C,
J osinx +bcosx
где А, В, С — постоянные.
Указание. Положить
a, sin x + &! cos x = A (a sin x + b cos x) + В (a cos x - b sin x),
где А я В — постоянные.
Найти интегралы
>J
2044. J -;
2043. а) | °in*-ncos*. dx; б) Г -
sinx
sinx + 2 cosx
dx
5tgx '
sinx - 3cosx
2045.
dx.
Г a,sinx + 6]C0sx ,
J (asinx + bcosxJ
172
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2046. Доказать, что
dx = Ах + В In \а sin х + b cos х + с\ +
\
a sinx + bcosx + с
+ с Г ^ ,
J asinx + bcosx + с
где Л, В, С — некоторые постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2047. Г sinx + 2cos*-3 dx.
J sinx - 2 cosx + 3
2048. f — ^ dx.
-У2 + SIM + COSX
2049. | 2sinx+cosx dx.
3sinx + 4 cosx - 2
2050. Доказать, что
a!sin2x+ 26j sinxcosx + c, cos2x
1
dx
asinx+ bcosx
= A sin x + В cos x + С
f ——и •
J asmx+ocosx
где А, В, С — постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
20^1 Г sin2 * - 4 sin x cos х + 3 cos2 x .
' J sinx + cosx
апко Г sin2х- sinxcosx+ 2cos2x ,
' J sinx + 2cosx
2053. Доказать, что если (а - сJ + b2 ^ 0, то
Г a,sinx + 6[Cosx , _ f dux Г du2
J asin2x+2bsinxcosx + ccos2x J kiU\ + \x J /г2и2 + Л2'
где А, Б — неопределенные коэффициенты, Xx, X2 — корни
уравнения
a - X b
b c-X
= 0 (X, * X2),
ut = (a - X;) sin x + b cos x и k,,= —i— (i = 1, 2).
a - A,
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
173
Найти интегралы:
2054. f ^smx-cosx dx_
3sin2x + 4 cos2 .г
плсг Г (sinx + cosx)dx
'J 2 sin2 л: - 4 sin x cos x + 5cos2x
2056. f sinx~2cosx dx.
J 1 + 4 sin x cos x
2057. Доказать, что
dx _ Asinx + Bcosx
I
+
[asinx + bcosx)" (asinx + bcosx)"- '
f ,
+ С ' dx
isinx + bcosx)"-
где А, В, С — неопределенные коэффициенты.
dx
I
2058. Найти , „
(sinx+ 2cosxK
2059. Доказать, что
Г dx _ Asinx , n Г d_x ,
J (a + bcosx)" (a + bcosx)"^1 J (a + bcosx)"
+ С f *? (|a| * \b\),
J (a + bcosx)" ' ' ' "
и определить коэффициенты А, В и С, если п — натуральное
число, большее единицы.
Найти интегралы:
2060. | smxax 2(ш sin x dx
cosx«A + sin2x J cos2xVtgx
). Г sinxrfx . 2061. f
J cosx«A + sin2x J
Г sinxdx
J J2 + sin2x
2062. . _
Л
2063. f -———- @ < e < 1).
J A + r
¦ ecosxJ
, x+ a
cos
2064. f — dx.
Указание. Положить t
x + a
cos—-—
. х- а
sin
174
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2065. Вывести формулу понижения для интеграла
dx
(п — натуральное число).
§ 5. Интегрирование
различных трансцендентных функций
2066. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п, то
f P(*)e" dx = е" № - ^ + ... + (-1)" ^^1 + С.
J L a a2 a"+1 J
2067. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п, то
\
Р(х) cos ax dx = §!М?Г Р(х) - Щ^-
а I а2
, cos
+
P'v(x)
¦}
125МГ Р'(Х) - р'"(х) + ill*} - ... 1 + с
a2 I a2 a* J
Г Р{х) sin ax dx = - ?osoxr p(x) - ?4*2 +
J a L а2
P/v/(x)
Найти интегралы:
2068. J x3e3x dx.
2070. f х5 sin 5х dx.
2072. Г xV*2 dx.
2074. f евдс cos2 bx dx.
2076. Г xe* sin x dx.
2078. Г хех sin2 x dx.
2080. f cos2 V* dx.
2069. f (x2 - 2x + 2)e-* dx.
2071. f A + x2J cos x dx.
2073. f x2e-^ dx.
2075. f еи sin3 bx dx.
2077. }*V cos xdx.
2079. Г (x - sin xf dx.
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций
175
2081. Доказать, что если R — рациональная функция и числа
flp а2, ..., ап соизмеримы, то интеграл
R (е ' , е г ,...,еп ) dx
выражается в виде элементарной функции.
Найти интегралы:
dx
A + е*J
dx
е2х + ех~ 2
X
1 + е2
2083.
Г е2х
J 1 + е*
dx.
2085.
Г dx
J -
1 + е2 + е3 + е6
<ix.
2087.
1 + е4
Г d*
J Te7^
1
2082.
2084.
2086.
2088.
2090. , ^_
Vl + е.х + JT- ех
2091. Доказать, что интеграл
Г R(x)eax dx,
где R — рациональная функция, знаменатель которой имеет
лишь действительные корни, выражается через элементарные
функции и трансцендентную функцию
ех+ 1
dx.
I
2089. Je2x + 4e*-l dx.
dx
I
с— dx = И (е") + С,
х
где
h х = \ -— .
J In*
2092. В каком случае интеграл
/
Р\ -\ ех dx,
где Р (J
х
X"
и а0, Qj,
ап постоянны,
представляет собой элементарную функцию?
176
РАЗДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
интегралы:
1 _ IJ ех dx.
dx.
х2- Зх + 2
2094
209fi
К-
¦Э
Г хех
J (X4
D2
е * dx.
dx.
г-4л2лг
dx.
(х- 2J
интегралы, содержащие функции In f(x), arctg /(x),
arccos /(х), где /(х) — алгебраическая функция:
In" x dx (n — натуральное число).
J (?)" *¦
dx
х3 In3 x dx. 2100
In [(x + a)x + a{x + b)x + *]
(x+ a)(x+ b)
In2 (x + Jl + x2) dx.
In Gl - x + Jl + x) dx.
lnx
dx.
A+X2J
Jx arctg Jx dx.
arcsin Jx dx.
2jx
2105. x arctg (x + 1) dx.
2107. x arcsin A - x) dx.
2109. x arccos - dx.
J x
arcsin
1 + x
dx.
2111
\
arccosx
A-х2J
dx.
x arccos x
dx.
A-х2J
x arctg x In A + xz) dx.
x in 1±? Jx.
1-х
I
q-i-jc f ln(x+ Vl + x2)rfx
A + x2J
интегралы, содержащие гиперболические функции:
sh2 x ch2 x dx. 2117. Г ch4 x dx.
sh3 x dx. 2119. Г shxsh 2x sh 3x dx.
§ 6. Примеры на интегрирование функций
177
2120.
2122.
2123. а
Е
2124. j
th x dx.
л/Шх dx.
) f ^x
J shx + 2chx '
) Г dx .
' J 0,1 + chx'
sh ax sin bx dx
2121.
Г cth2 x
dx.
6) f ^x .
J sh2x-4shxchx+9ch2x
ч Г chxdx
J 3shx- 4chx '
2125. sh ax cos 6x dx.
§ 6. Примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
dx
2126.
2128.
2130.
2132.
2134.
2136.
2138.
2140.
2141.
2143.
2144.
2145.
2147.
хвA + х2)
dx
1 + хх + Xs
Л I х
1-х
dx.
dx.
1 - xjx
dx
УхЦ1-х)
dx
xjx4-2x2- 1
A + x)dx
x + Jx + x2
Bx + 3) arccos Bx - 3) dx
x In D + xA) dx.
xln(l + Jl + x2) dx
Jl + x2
2127.
2129.
2131.
2133.
2135.
x
2\3 '
f X*d:
J A-х
Г dx
J «/x + l/x
Г *+2
J x2Vl-x2
Г x5d
J л/ГТ
x+2
dx_
Vl+x2 '
dx
x^/l + x3 + xfl
Г 1 + лД-х2
2139. f ln(l + x + x2)^
J A + xJ
2137. | 1-г^х"Л" dx
Vl-x2
2142.
J
arcsinx 1 + x2
УГ-Г
dx.
x Jx2 + 1 In «У*2 - 1 dx.
= In —?— dx. 2146. f —-
J (^ +
dx. 2148.
dx
«/l - x2 Jl - x
sin4x
sin"x + cos°x
sinxJ
Г dx
J sinxVT+cc
178
РАЗДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2149. Г У?±± arctg х dx. 2150. f ^^ 1
J х2+1 J х2-1
С х arctgx
J Л + х2
x-l
2151
2153
dx.
dx.
Г x lnx
"J A + *2)
j* sin2x
J Vl + cos4x
2155. f *l«Ictg?E dx.
J 1 + *2
2157. f ^b(x+VlT^) dx_
J A-X2J
2159. Г x(l + x2) arcctg xdx.
2160. Г x*(l + lnx) dx.
2162. f jpMfl dx.
e^l + e*)
•J (e*+i+lJ_(e*-i+1J-
2165. f ±±Ш*е* dx.
J 1 + cosx
2167. Г x |x| dx.
2152
2154
arccosx
Г x3arcco;
' J л/1-х
x+ 1
dx.
dx.
dx.
2156. f x arcct?* dx.
J A-х2J
2158
2161
Г arcs
J <
x2 arcsin x dx.
dx.
2169.
J
|l + xl - ll - xl I dx.
2164. f 7th2x+ 1 dx.
2166. f |x| dx.
2168. f fx + jxlVdx.
2170. Г e~w dx.
2171. f max A, x2) dx.
2172. cp(x)dx, гдеф(х)— расстояние числа х до ближайшего
юго числа.
2173. f [х] |sin nx\ dx (x > 0).
2174. Г /(х) dx, где /(х) = \) ~ f. ^.^ J»
J [ 1 - |х| при |х| > 1.
- [ 1, если-оо < х < 0;
2175. I /(x)dx, где /(х) = \х + 1,если 0 < х < 1;
I 2х, если 1 < х < +со.
2176. Найти
[ xf"(x)
dx.
§ 6. Примеры на интегрирование функций
179
2177. Найти Г f\2x) dx.
2178. Найти f(x), если f\x2) = - (х > 0).
х
2179. Найти f(x), если: a) /'(sin2 х) = cos2 x;
6)/'(ln*)=ilnpil0<*<1; и /@)=0.
[х при 1 < х < +оо
2180. Пусть f(x) — монотонная непрерывная функция и
f~l(x) — ее обратная функция. Доказать, что если
f f(x) dx = F{x) + С,
Г Г\х) dx = xf\x) - F(f\x)) + С.
Рассмотреть примеры: a) f(x) = хп (п > 0); б) f(x) = е";
в) f(x) — arcsin х; г) f(x) = Arth x.
РАЗДЕЛ IV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1. Интеграл (в смысле Римана). Если функция Дх) определена на
[а, Ь] и а = хи < хх < х2 < ... < хп = Ь, то интегралом функции f(x) на
сегменте [а, Ь] называется число
h
Г «x)d* = lim У ЯУДх,., A)
J ш»х|Л*,|~0 ^
где х, < ?,- < х, + j и Дх, = х, + ! - х,-.
Для существования предела A) необходимо и достаточно, чтобы
нижняя интегральная сумма
л-1
S = У ГП;ДХ,
i = О
и верхняя интегральная сумма
S ¦=
? М,Дх„
I = О
где
m,- = inf /"(х) и М( = sup f(x),
X, ^ X < Xf ( i д-^ < Д- < .Г. , ,
имели общий предел при max |Дх,-| —» 0.
Функции f(x), для которых предел в правой части равенства A)
существует, называются интегрируемыми (собственно) на
соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная функция; б)
ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва; в) ограниченная
монотонная функция, — интегрируема на любом конечном сегменте.
Если функция Дх) не ограничена на сегменте [а, Ь], то она собственно
неинтегрируема на [а, Ь].
2. Условие интегрируемости. Необходимым и достаточным
условием интегрируемости на данном сегменте [а, Ь] функции f(x) является
выполнение равенства
п- 1
lim У Ш/Дх, = 0,
где w, — колебания функции f(x) на сегменте [х,, х,+ J.
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
181
2181. Найти интегральную сумму S„ для функции
/(*) = 1 + х
на сегменте [-1, 4], разбивая его на п равных промежутков и
выбирая значения аргумента ^ (i = О, 1, ..., п - 1) в серединах
этих промежутков.
2182. Для данных функций fix) найти нижнюю S„ и верхнюю
Sn интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля
их на п равных частей, если:
а) f(x) = Xя [-2 < х ^ 3];
б) f{x) = Jx [0 < х < 1];
в) f(x) = 2х [0 < х < 10].
2183. Найти нижнюю интегральную сумму для функции
fix) = х4 на сегменте [1, 2], разбивая этот сегмент на п частей,
длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему
равен предел этой суммы при п —* оо?
2184. Исходя из определения интеграла, найти
т
(у0 + gt) dt,
о
{
где Т, и0, g постоянны.
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как
пределы соответствующих интегральных сумм и производя
разбиение промежутка интеграции надлежащим образом:
2 1
2185. f х2 dx. 2186. f ax dx (a > 0).
f x2 dx. 2186. Г а
я
2
2187. f sin х dx. 2188. I cos t dt.
{
о о
b
2189. Г — @ < а < b).
a
Указание. Положить \t = Jxtxu , (i = 0, 1 n).
ь
2190. f xm dx @ < a < b; m * -1).
Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их абциссы xt
образовывали геометрическую прогрессию.
182
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ь
2191. Г ^ @ < а < Ъ).
а
2192. Вычислить интеграл Пуассона
J
In A - 2а cos x + а ) dx
о
при: а) |а| < 1; б) |а| > 1.
Указание. Воспользоваться разложением многочлена а2" - 1 на
квадратные множители.
2193. 1. Пусть функции fix) и ф(х) непрерывны на [а, Ь].
Доказать, что
ь
Л - 1 л
lim V /(^)ф(9,)Дх( = /(х)ф(х) dx,
тах|Ллг(| - 0 i—i J
а
где х{ < ?; < Xj .,. i, xf < 6; < Xj +! ii = 0, 1, ..., n - 1) и Ax, = x,.,_ j -
- x-t (x0 = a, x„ = b).
2. Пусть функция fix) ограничена и монотонна на [0, 1].
Доказать, что
о *=1
3. Пусть функция fix) ограничена и выпукла сверху (см.
задачу 1312) на сегменте [a, b]. Доказать, что
ь
(b-a)fl"W<b) <|/(а;)^<(Ь-а)/(°±Ь-
а
4. Пусть Дх) € СB) [1, +оо] и Дх) > 0, /"(*) > 0, f'\x) < 0 при
д: € [1, +оо). Доказать, что
п
X Л/г) = | № + Г /(х) dx + 0A)
*=i -{
при п —* оо.
5. Пусть /(х) € СA) [a, Ь] и
b
Д„ = Г /(х) dx - Ь? у f(a + k b-^
Найти lim nA„.
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
183
2194. Показать, что разрывная функция
f(x) = sgn ( sin -
интегрируема на промежутке [0, 1].
2195. Показать, что функция Римана
О, если хиррационально;
ф(х) = { 1 т
^у ' 1 - , если х = — ,
п п
где тип (п > 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема
на любом конечном промежутке.
2196. Показать, что функция
f(x) = - -\-~], если х * О
х Ixj
и /"@) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1].
2197. Доказать, что функция Дирихле
j 0,если хиррационально;
^ ' | 1,если храционально,
не интегрируема на любом промежутке.
2198. Пусть функция fix) интегрируема на [а, Ь] и
/,,(х) = Slip fix) При Xj < X < Xi + l,
где
х, = а + - ф - а) (г = 0, 1, ..., га; и = 1, 2, ...).
Доказать, что
ft ft
lim /,,(x) dx = fix) dx.
a a
2199. Доказать, что если функция fix) интегрируема на [а, Ь],
то существует последовательность непрерывных функций ф„(х)
(л = 1, 2, ...) такая, что
С С
fix) dx = lim Ф„(*) dx при а < с < Ъ.
184 РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2200. Доказать, что если ограниченная функция f(x)
интегрируема на сегменте [а, Ь], то абсолютная величина ее |/(х)| также
интегрируема на [а, Ь], причем
ft 1 ft
Г f{x) dx\ < f |/(х)| dx.
2201. Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема насегмен-
ft
те [а, Ь], т. е. интеграл \f(x)\ dx существует. Является ли эта
функция интегрируемой на fa, 5]?
Рассмотреть пример:
J 1, еслихрационально;
/W — | _i) если х иррационально.
2202. Пусть функция f(x) интегрируема на [а, Ь] и А < f(x) < В
при а < х < Ь, а функция ф(х) определена и непрерывна на
сегменте [А, В]. Доказать, что функция ф(/(х)) интегрируема на [а, Ь].
2203. Если функции /*(х) и ф(х) интегрируемы, то обязательно
ли функция Аф(х)) также интегрируема?
Рассмотреть пример:
I 0, если х = 0;
'^= ] 1, если х^ 0,
и ф(х) — функция Римана (см. задачу 2195).
2204. Пусть функция /(х) интегрируема на сегменте [А, В].
Доказать, что функция /(х) обладает свойством интегральной
непрерывности, т. е.
lim f |/(x + h) - f(x)\ dx=0,
h • 0 J
где [a, b] с [А, В].
2205. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a, b].
Доказать, что равенство
f /"(x) dx = 0
имеет место тогда и только тогда, если /(х) = 0 во всех точках
непрерывности функции f{x), принадлежащих сегменту [a, b].
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 185
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1. Формула Ньютона—Лейбница. Если функция f(x) определена и
непрерывна на сегменте [a, b] n F{x) — ее первообразная, т. е. F'(x) = f(x), то
f(x) dx = F(b) - F(a) = F(x)
-J
Определенный интеграл f(x) dx при f(x) > 0 геометрически
представляет собой площадь S, ограниченную кривой у = f(x), осью Ох и
двумя перпендикулярами к оси Ох: х ^ а и х = b (рис. 9).
Рис. 9
2. Формула интегрирования но частям. Если [(х), g(x) 6 C(l)[a, b], то
f /(x)g-'i
(х) dx = f(x)g(x) - g(x)f'(x) dx
I
3. Замена переменной. Если: 1) функция f(x) непрерывна на
сегменте [а, Ь]; 2) функция <р@ непрерывна вместе со своей производной ф'@
на сегменте [а, Р], где а = ф(а), b = ф(Р); 3) сложная функция /(ф@)
определена и непрерывна на [а, Р], то
ь 3
f(x)dx = I /(ф(О)ф'(ОЛ-
Г f(x) dx = f
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти следующие
определенные интегралы и нарисовать соответствующие
криволинейные площади:
2206.
Г V*
dx.
2207.
sin x
dx.
186
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1
V3 2
2208. ' ил """" ' dx
Г _Ё?_. 2209. Г ,
J 1 + x2 J 7l-x2
_1_ _1
¦Я 2
sli2 2
2210. [ ^ . 2211. Г |1 - х\ dx.
2212. f d* @ < a < 7i).
J x2 - 2xcosa + 1
-l
2л
2213. f ——— @ < e < 1).
J 1 + ECOSX
0
1
2214. f ^ (|a| < 1, \b\ <l,ab> 0).
J ./(l-2ax + a2)(l-2bx+b2)
71
2
2215. f . d* (aft * 0).
J d'sin'x + b2cos2x
о
2216. Объяснить, почему формальное применение формулы
Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если:
1 2л 1
&)tdx. 6)ffS^; B)ff(arctgiW
J x J 2 + tg2x J dx\ x)
-l о
l
2217. Найти Г Af_J_
-i ^ 1 + 2*
dx.
100л
J vr^
2218. Найти Jl-cos2xdx.
о
С помощью определенных интегралов найти пределы
следующих сумм:
2219. lira (-, + 2l + ... + ?—±
л —°" Vrt2 n2 n2
2220. lim f-J— + г '
П — OO
n+1 л+ 2
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 187
2221. lim | —2— + -А— + ... + —И
,,-.оо U2+l2 rt2+22
2222. lim if sin 5 + sin — + ... + sin iS—Ш
n\ n
2223. lim 12+2P+" + "P (p > 0).
2224. lim Ц /1 + 1+ 1 + 2 +...+ Д + «
„ — со n\ >i П ^ П ЦП
Найти:
2225. lim ??П. 2226. lim [I Y/(a + A—ll-
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших
порядков, найти пределы следующих сумм:
2227. lim | ( 1 + Г) sin Л + f 1 + -1 sin ^ + ...
n
я2 J
2228. lim sin 2 . V 1 .
к = l 2 + cos —
У" 7(лл; + k)(nx + k+ 1)
2229. lira ^ (x > 0).
2230. lim
П — OO
л N
?л ?л Он
П+ 1 1 1
n + - л + -
2231. Найти:
— Г sin x2 dx, — \ sin x2 dx, — Г sin x2 dx.
ax J da j do J
2232. Найти:
T2
a) — {jl + t2dt; 6) 4-{-~— : в) -1 f cos (я*2) di.
dxj d*J /j + tt dx J
188
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2233. Найти:
a) lim
hx2dx
(arctgxJdx
¦ о х
б) lim
в) lim -^
I""
dx
*-+°° Jx2+l
г) lim f(nx)dx,
{e^\lx
1
если f(x) € С [О, +оо] и f(x) -* А при х -> +оо.
2234. Доказать, что
J
e*2dx dx ~ —ех
2х
при х ~* °°.
2235. Найти
I
/tg xdx
lim -2-
I
'sinxdx
2236. Пусть f{x) — непрерывная положительная функция.
Доказать, что функция
X
\tf(t)dx
ф(х) = ^
|7@<**
о
возрастает при х > 0.
2237. Найти:
a) Дх) dx, если /"(х)
х2 при 0 < х < 1,
2-х при 1 < х < 2;
к при 0 < х < t,
б) J /(x) dx, если /(х) = W ¦ 1-Z2E при i < х < 1.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 189
2238. Вычислить и построить графики интегралов / = 1(a),
рассматривая их как функции параметра а, если:
2 а cos х + а2
1 я
a) I = Г х\х - а\ dx; б) / = Г „sin_2* _., dx;
о о
л
_\ г _ f sinxdx
л/1 - 2 a cos х + а2
и
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
следующие определенные интегралы:
In 2 л
2240. I х sin х dx.
2239.
2241.
2243.
jxe-dx.
0
2л
JVcosxd*.
0
1
arccos x dx.
I
0
Jim
2242. |ln x\ dx.
i
S
2244. x arctg x dx.
0 о
Применяя подходящую замену переменной, найти
следующие определенные интегралы:
1 а
2245. Г xdx . 2246 f x2Jaz-x2 dx.
J 75-4x J
-1 0
0,75 ln2
2247. f dx . 2248. f Je'-l dx.
J (* + l)Jx2+ 1 J
. (x+ l)Jx . _
0 V '^ 0
л/х
1
2249. f *™™J*dx
J V*(l - x)
0
1
2250. Вычислить интеграл + x dx, полагая x — - = t.
J 1 + x4 x
2251. Объяснить, почему формальная замена х = ф(?)
приводит к неверным результатам, если:
1 1
а) Г dx, где ? = х3; б) Г т-~ . где х = 7 ;
л
В) I" 1 ^ 2 ' ГД(Э *g * = '•
J 1 + sinzx
о
С*' " *
190
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2252. Можно ли в интеграле
з
I х%/1 - х2 dx
положить х = sin t?
i
2253. Можно ли в интеграле Jl - х2 dx при замене пере-
о
менной х = sin t в качестве новых пределов взять числа я и ^ ?
2254. Доказать, что если Дх) непрерывна на fa, b], то
ь i
f(x) dx = (b - a) f(a + (b - a)x) dx.
a 0
2255. Доказать равенство
a a2
f r7(*2) dx=-[ xf(x) dx (a > 0).
о о
2256. Пусть f(x) — непрерывная функция на сегменте
ь
[А, В] э [а, Ь]. Найти — Г f(x + у) dy при [а - х, Ь - х] С [А, В].
ах J
а
2257. Доказать, что если f(x) непрерывна на [0, 1], то
п л
2 2
а) Asin x) dx = /(cos x) dx;
о о
л к
б) x/(sin x) dx = 5 /(sin x) dx.
о о
2258. Доказать, что для непрерывной на [-1, I] функции f(x)
имеем:
-( 0
если функция f(x) четная, и
2) Г /(х) dx = 0,
-I
если функция /(х) нечетная. Дать геометрическую
интерпретацию этих фактов.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 191
2259. Доказать, что одна из первообразных четной функции
есть функция нечетная, а всякая первообразная нечетной
функции есть функция четная.
2260. Вычислить интеграл
Г Г1 +х- ±V+* dx,
i
2
введя новую переменную t = х +
х
2261. В интеграле
2я
f(x) cos x dx
о
выполнить замену переменного sin x — t.
2262. Вычислить интеграл
1
I (л 1
COSX Ш-
| V X
„-2пп
{
dx,
где п — натуральное число.
2263. Найти интеграл
о
2264. Найти интеграл
smx~dx.
coszx
1-cix,
x)
если
/(x) - <X+W*-» •
x3(x- 2)
2265. Доказать, что если f(x) — непрерывная
периодическая функция, определенная при -оо < х < +оо и имеющая
период Т, то
а*Т Г
Г /(х) dx = Г /(х) <ix,
а 0
где а — любое число.
192
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2266. Доказать, что при п нечетном функции
X X
ад-J Bin»,** и ад = J cos» * ,**
о о
периодические с периодом 2л; а при п четном каждая из этих
функций есть сумма линейной и периодической функций.
2267. Доказать, что функция
X
Fix) - [ fix) их.
- \ fix)
где /(х) — непрерывная периодическая функция с периодом Т",
в общем случае есть сумма линейной функции и периодической
функции периода Т.
Вычислить интегралы:
1 1
2268.
Г хB - х2I2 dx. 2269. Г xdx
J J х2 + х+ 1
О -1
е в
Г (х In xJ dx. 2271. Г х Vl - х <
2270. (х In xY dx. 2271. x Vl - x<ix.
i i
-i i
2272. Г dx . 2273. f х15Л
J xV*2 - 1 J
-2 0
3 2Л
2274. farcsin j^-dx. 2275. Г
B + cosx)C + cosx)
о о
я
2я 2
2276. Г ——^—— . 2277. Г sinxsin 2xsin 3xdx.
J sm4x+cos4x J
о о
я я
2278. Г (x sin xJ dx. 2279. Г e* cos2 x dx.
о о
In 2
2280.
0
j sh* x ,x.
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 193
С помощью формул понижения вычислить интегралы,
зависящие от параметра п, принимающего целые положительные
значения:
п п
2 2
2281. /„ = Г sin" х dx. 2282. In = f cos" x dx
„ = f sin" x dx. 2282. In = f cos" x
о о
л
4 1
2283. J„ = f tg2n x dx. 2284. In = f A - x2)" dx.
0 о
1 1
2285. /„ = f -ggjL 2286. In = f xm (In ж)" dx.
J VT^2 J
0 0
я
4
2287./„= ffain*-C0"V" + 1d«.
J Vsinx + cosx;
Если Длс) = /)(х) + i/2(x) есть комплексная функция от
действительной переменной х, где /,(х) = Re f(x), f2(x) = Im f(x) и j2 = -1, то по
определению полагают:
Очевидно, что
I f(x) dx = I ft(x) dx + i\ f2{x) dx.
Re [f(x) dx = Г Re Дх) dx,
Im Дх) d* = I Im f(x) dx.
2288. Пользуясь формулой Эйлера
e'x = cos x + t sin x,
показать, что
2л
О, если т^ п,
о
(/гит — целые).
2289. Показать, что
ь
С inx.-imx J _
J ] 2я, если т = п
Г е(« + ,-р) *dj(. = с'"'^Р)-е°'д^Р)
cn-ip"
(аир — постоянные).
194
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пользуясь формулами Эйлера:
cos х = I (eix + eix), sin x = ^ (eix - e4x),
A Lit
вычислить интегралы (тип — целые положительные числа):
л
2 я
2290. Г sin2m х cos2" x dx. 2291. f ^^ dx.
J J sin*
о о
я л
22g2> f cosB/i+l)*dx_ 2293. Г cos" ж cos nx dx.
J cos* J
о о
П
J sin» x si,
2294. sin" x sin л* dx.
0
Найти интегралы (n — натуральное число):
я
2295. f sin" - x л cos (n + l)x dx.
0
n
2296. f cos"^ ! x sin (n. + 1)* dx.
0
2rc
2297. f e~ax cos2" x dx.
2
2298. f In cos x • cos 2nx dx.
0
2299. Применяя многократное интегрирование по частям,
1
вычислить интеграл Эйлера: В(т, п) = I хт~ !A - х)" _1 dx, где
о
тип — целые положительные числа.
2300. Многочлен Лежандра Рп(х) определяется следующей
формулой: Рп(х) = J-?L[(x2 - 1)«] (п = 0, 1, 2, ...).
Доказать, что
1 [ 0, если т * п,
РпАх)Рп(х) dx = \ _ если т = п.
J 2л+1
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 195
2301. Пусть функция fix) собственно интегрируема на [а, Ь]
и F(x) — функция такая, что F'(x) = f(x) всюду в [а, Ь], за
исключением, быть может, конечного числа внутренних точек
с. (i = 1, ... , р) и точек а и Ъ, где функция F(x) терпит разрыв
1-го рода («обобщенная первообразная»). Доказать, что
ь
Г f(x) dx = F(b - 0) - F(a + 0) - ? [Дс, + 0) - Дс, - 0)].
2302. Пусть функция /(х) собственно интегрируема на
сегменте [а, Ь] и
Дх) = С +
J /® d^
— ее неопределенный интеграл.
Доказать, что функция Дх) непрерывна и во всех точках
непрерывности функции fix) имеет место равенство
F\x) = Л*)-
Что можно сказать о производной функции F(x) в точках
разрыва функции fix)?
Рассмотреть примеры:
а) f(-) =1 (п = ± 1, ±2, ...) и f{x) = 0 при х * i ;
б) fix) = sgn х.
Найти неопределенные интегралы от ограниченных
разрывных функций:
sgn (sin x) dx.
2303. Г sgn x dx. 2304.
2305. [[х] dx ix > 0). 2306.
2307. U-l)[x]dx.
x[x] dx ix > 0).
4fi
2308. f fix) dx, где fix) =
1, если pel < I,
О, если |д:| > I .
о
Вычислить определенные интегралы от ограниченных
разрывных функций:
3 2
2309. Г sgn ix - х3) dx. 2310. Г [е*] dx.
о о
6 п
2311. Г [х] sin ^fdx. 2312. f x sgn (cos x) dx.
о о
196
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
п+ 1
2313. Г In [х] dx, где п — натуральное число.
1
1
2314. | sgn [sin (In x)] dx.
о
2315. Найти I |cos x\ */sin х dx, где Е — множество тех значе-
Е
ний сегмента [0, 4п], для которых подынтегральное выражение
имеет смысл.
§ 3. Теоремы о среднем
1. Среднее значение функции. Число
/>
M[f]= ~( fix) dx
о- a J
а
называется средним значением функции f(x) на промежутке [а, ft].
Если функция f(x) непрерывна на [а, ft], то найдется точка с € (а, ft)
такая, что
М[/] = f(c).
2. Первая теорема о среднем. Если: 1) функции f(x) и ц>(х)
ограничены и соответственно интегрируемы на сегменте [а, ft]; 2) функция ф(х)
не меняет знака при а < х < ft, то
6 Ь
I f(x)(p(x) dx = ц I ф(л;) dx,
где т < и < М и т = inf /(л:), М = sup /(лс);
3) если, сверх того, функция f(x) непрерывна на сегменте [a, ft], то
И = f(c)< где а < с < 6.
3. Вторая теорема о среднем. Если: 1) функция f(x) и ф(л:)
ограничены и собственно интегрируемы на сегменте [a, ft]; 2) функция ц>(х)
монотонна при а < х < ft, то
ь lb
| /(*)ф(*) dx = ф (а + 0) Г /(*) dx + ф(& - 0) Г f(x) dx,
а а ^
где а < Е, < ft;
§ 3. Теоремы о среднем
197
3) если, сверх того, функция <р(л:) монотонно убывающая (в широком
смысле!) и неотрицательная, то
ь k
Г f(x)(p(x) dx = ф(а + 0) Г f{x) dx(a<^-
b),
а если функция tp(x) монотонно возрастающая (в широком смысле!) и
неотрицательная, то
ь ь
f /(x)<p(x) dx = ф(Ь - 0) Г fix) dx(a*iZ,< Ь).
2316. Определить знаки следующих определенных
интегралов:
2it 2я
а)
в)
Г х sin х dx; б) Г ^^ dx;
о о
2 1
Г xs2x dx; г) Г х2 In x dx.
~2 1
2
2317. Определить, какой интеграл больше:
Я 71
2 2
а) sin10 x dx или Г sin2 x dx;
0 о
1 1
б) е~х dx или е-*2 dx;
о о
к 2л
в) I e~*2cos2x dx или e~*2cos2x dx.
о л
2318. Определить средние значения данных функций в
указанных промежутках:
a)f(x) = x2 на[0, 1];
б) f(x) = Jx на [0, 100];
в) fix) = 10 + 2 sin * + 3 cos х на [0, 2л];
г) fix) = sin x sin ix + ф) на [0, 2я].
2319. 1. Найти среднее значение длины фокального
радиуса-вектора эллипса
Г= ? @<Е<1).
1 - есовф
198
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Найти среднее значение скорости свободно падающего
тела, начальная скорость которого равна v0.
2320. Сила переменного тока изменяется по закону
i = i0 sin^ + ф) ,
где i0 — амплитуда, t — время, Т — период и ф — начальная
фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.
2321. Пусть /(х) € С [0, +оо) и lim fix) = А. Найти
х -* +оо
X
lim ^ Г f(x) dx.
X — +оо X J
о
Рассмотреть пример fix) — arctg x.
X
2322. Пусть Г f{t) dt = xf(Qx). Найти в, если:
о
a) f(t) = f" (n > -1); б) f(t) = In t;
в) /@ = e'.
Чему равны lim 0 и lim 9?
x — +0 ж — +оо
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интегралы:
2л 1
2323. Г ——Ц- . 2324. f -?— dx.
J l + 0,5cos* J JYTx
о о
100
2325. Г e~* dx.
J л;+100
о
2326.1. Доказать равенства:
a) lim f -^- dx = 0; 6) lim f sin" x dx = 0.
n — ooJl + X n^ooj
0 0
2. Найти:
1 bt
a) lim f -i*-; 6) lim f/(*)?*,
E-o J ex3+1 e-+o J x
0 (IE
где a > 0, b > 0 и fix) € С [0, 1].
§ 4. Несобственные интегралы
199
2327. Пусть f(x) непрерывна на [а, 6], а ф(х) непрерывна на
[а, Ь] и дифференцируема на (а, Ь), причем
ip'(x) > О при а < х < Ь.
Доказать вторую теорему о среднем, применяя
интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интегралы:
200л
2328.
2329.
2330.
Г ^Hdx
100я
b
Г е-ах ,
-— sin х
J *
а
Ь
sin
х2 dx
dx (a
@ <а
> 0; 0
<Ь).
<
а
<Ь).
2331. Пусть функции ф(х) и \|/(x) интегрируемы на
промежутке [а, Ь] вместе со своими квадратами. Доказать неравенство
Коши—Буняковского
Ь 2 Ь Ь
а а а
2332. Пусть функция /(дс) непрерывно дифференцируема на
сегменте [а,Ь] и /(а) = 0.
Доказать неравенство
М2 < (Ь - a) f f'\x) dx,
где М = sup \f(x)\.
aixib
2333. Доказать неравенство
Пш Г ЁМ dx = о (р > 0).
п — оо J л:
§ 4. Несобственные интегралы
1. Несобственная интегрируемость функций. Если функция f(x)
собственно интегрируема на каждом конечном сегменте [а, Ь], то, по
определению, полагают
+ оо Ь
[ f(x)dx = lim [f(x)dx. A)
200
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Если функция f(x) не ограничена в окрестности точки Ъ и
собственно интегрируема на каждом сегменте fa, Ъ - е] (е > 0), то
принимают
Ь Ь-г
Г 1(х) dx = lim f f(x) dx. B)
a a
Если пределы A) или B) существуют, то соответствующий интеграл
называется сходящимся, в противном случае — расходящимся (в
элементарном смысле).
2. Критерий Коши. Для сходимости интеграла A) необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число Ъ — Ь(е) такое, что
при любых Ъ' > Ь и Ъ" > b было бы выполнено неравенство
б"
I f(x) dx
b'
< е.
Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла типа B).
3. Признаки абсолютной сходимости. Если \f(x)\ несобственно
интегрируема, то соответствующий элементарный интеграл A) или B) от
функции f(x) называется абсолютно сходящимся и является
интегралом заведомо сходящимся.
Признак сравнения I. Пусть |/(*)[ < F(x) при х> а.
+ 0О +00
Если I F(x) dx сходится, то интеграл I f(x) dx сходится абсо-
а а
лютно.
Признак сравнения II. Если ц(х) > 0 и (р(х) = 0*(\у(х)) при х —> +°о,
+ оо +оо
то
интегралы I ф(х) dx и j \\i(x) dx сходятся или расходятся
одновременно. В частности, это имеет место, если ф(ж) ~ \|/(л:) при х ~* +°°.
Признак сравнения III. а) Пусть
f(x) = О* (—) при х —• +оо.
В таком случае интеграл A) сходится, если р > 1, и расходится, если
р<1.
б) Пусть
Я*> = °* (TiT^) ПРИ х^°-
\(b-x)Pj
В таком случае интеграл B) сходится, если р < 1, и расходится, если
р>\.
§ 4. Несобственные интегралы
201
4. Специальный признак сходимости. Если: 1) функция (р(х)
монотонно стремится к нулю при х —> +°о и 2) функция f(x) имеет
ограниченную первообразную
!
f{x) = m) <%,
то интеграл
+ 0О
/(х)<р(х) dx
сходится, вообще говоря, не абсолютно.
В частности, интегралы
[°S**dx и Г $2?dx (a>0)
J XP J *'
сходятся, если р > 0.
5. Главное значение (в смысле Коши). Если функция f(x) такова,
что при любом е > О существуют собственные интегралы
С-Е d
Г Дх) dx и Г f(x) dx (a< с < Ъ),
а с + Е
то под главным значением в смысле Коши (v. p.) понимается число
b r-c-t b
v. p. I f(x) dx = lim
J E-+0
f f(x) dx + J f(x) dx
Аналогично
v. p. I f(x) dx = lim I f(x) dx.
J 0-+00 J
Вычислить интегралы:
2334
2336
2338
¦J
-fCO
•J
_oo
-f-oo
•J
-r (a
X2
1 + x2
dx
x2 + x-
>0)
-2'
2335
2337.
.jinx
0
1
I
dx.
JT^x*
2339. f , , dx .
J (x2 + * + 1
-l
+oo
202 РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
+оо
J 1 +
2340. Г -^Ц. 2341.
о
1
2342. Г dx, . 2343.
3 B-x)Jl-x
о
+ 0О
J
0
+ оо
i
+ CO
Хг +
X* +
xjl
1 dx.
1
dx
+ хъ + xi0
2344. f -^i^d*. 2345. f ^^dx.
J A + *2J J „ I
о о A + x2J
+oo
2346. f e"a* cos bx dx (a > 0).
о
J
2347. e"x sin b* dx (a > 0).
о
С помощью формул понижения вычислить следующие
несобственные интегралы (п — натуральное число):
+оо
2348. In = f xne~x dx.
2349
О
+ оо
. i = f ^* (ас - Ь2 > 0).
" J (ax2 + 2bx+c)" У
—со
+ 00
2350. J„= \ x(x+ld)X(x+ny
1
1
2351./„= f-_?^=.
J V(l-*)(l + x)
2352./„ = Г —^-.
" J chn+1x
о
2 2
2353. a) I In sin x dx; 6) In cos x dx.
о о
2354. Найти
Г e-i lsin*-cos*l dx,
I sin* - cosxl
Vsinx
где ? — множество тех значений х интервала @, -К»), для
которых подынтегральное выражение имеет смысл.
§ 4. Несобственные интегралы
203
2355. Доказать равенство
Г f(ax+ -)dx = - Г f(Jx2 + 4ab)dx,
о о
где а > 0 и Ъ > 0, предполагая, что интеграл в левой части
равенства имеет смысл.
2356. Средним значением функции f(x) на интервале @, +оо)
называется число
X
M\f\ = lim i f № d%-
0
Найти средние значения следующих функций:
a) f(x) = sin2 x + cos2 (xj2); 6) f(x) = arctg x;
в) /(х) = Jxsin x.
2357. Найти:
X
a) lim x Г ^ dt; 6) lim Д
Л — oo *¦»
<d< j
f (-•e-'c
в) lim -л ; г) lim xa f ЯП di,
*-o [ 1 *-o Jfa+1
X *
где a > 0 и /(f) — непрерывная функция на сегменте [0, 1].
Исследовать сходимость интегралов:
+ оо t-ao
2358. f хЧх ¦ 2359. Г ———.
J х* - х2 + 1 J х s/F+T
0 1
2 +оо
2360. Г ^. 2361. Г xf-le-xdx.
0 о
1 +оо
. f х" In" i dx. 2363. f -^-dx (n>0)
J x J 1 + x"
2362
о о
+ O0 +0O
2364. f *™±M*dx (a*0). 2365. Г MI±i>dx.
J x" J x"
о о
204
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2366. f *marctgJdjc (n>0)_ 2367. Г S°^*d* (и > 0).
о о
л
+ оо 2
2368. Г ^^dx. 2369. f ^ .
J x J sm',xcos''x
о о
1 +оо
2370. а) Г -?&?- ; б) Г -**- .
J л/1 - х4 J Jx3 + х
о о
+ оо 1
2371. f -42— . 2372. Г -iSi- их.
J ХР+Х" ) 1-Х2
о о
п
2 +оо
f '"(**"*) dx. 2374. Г
р
1
2373.
2375.
/^ J ХР\П1Х
О 1
-|оо
а! л:
хРAпх)ч(\п\пх)г
t-o°
2376. а) Г — (а, < а, < ... < а.);
_J_ |х-а1|'Чж-а2|'»...|а:-а/"
б) Г ха\х - 1|р d*.
о
-*-оо
Г .Р (х)
2377. eta:, где -Рт(х) и Р„(х) — взаимно простые мно-
J "Лх>
о
гочлены соответственно степеней тип.
Исследовать на абсолютную и условную сходимости
следующие интегралы:
-f-oo
2378.
Г ^dx.
0
Указание.
2379.
+оо
|sin
Jxcosx
х+100
*|>
dx.
sin2
X.
§ 4. Несобственные интегралы
205
2380. a) f xp sin (x") dx (q * 0); б) Г sin (sec x) dx;
о о
4-ею
B)Jx"c08(e*)dx.
О
+со _ +°° sin(x + i]
2381. f ^^dx (9>0). 2382. f — —dx.
J 1 + X'l ) X"
о о
4 со
! многочлены
2383. Г —j~ sin х dx, где Рт(х) и Р„(х) — целые i
«
и P„(x) > 0, если х > а > 0.
4-О0
2384. 1. Если j f(x) dx сходится, то обязательно ли f(x) —*• О
при х —» +оо? Рассмотреть примеры:
-(-со +оо
а)
1) Г sin(xJdx; б) Г (-l)l*2ldx.
о о
2. Пусть f(x) € СA) [х0, +оо), \f'(x)\ < С при х0 < х < +оо и
t-OO
|/(jc)| dx сходится. Доказать, что f{x) -* О при х —> +оо.
+ оо
Указание. Рассмотреть интеграл I f(x)f'(x) dx
f /(*)/'(
2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл
*
J fix) dx
а
от неограниченной функции fix), определенной на [a, ft],
рассматривать как предел соответствующей интегральной суммы
i = 0
где X, < ^ < Xi + ! И ДХ; = X, + ! - X;?
206
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2386. Пусть
-f СО
J f(x)dx (l)
сходится и функция ф(д:) ограничена. Обязательно ли сходится
интеграл
Г f(x)<p(x) dx? B)
а
Привести соответствующий пример.
Что можно сказать о сходимости интеграла B), если интеграл
A) сходится абсолютно?
2387. Доказать, что если fix) dx сходится и fix) — моно-
а
тонная функция, то f(x) = О (-].
2388. Пусть функция f(x) монотонна в промежутке 0 < х < 1
и не ограничена в окрестности точки х = 0.
Доказать, что если существует
1
Г f(x) dx,
о
то
1
lim i f f(i) = f f(x) dx.
It = 1
2389. Доказать, что если функция f(x) монотонна и
ограничена в интервале 0 < х < а и существует несобственный интеграл
Г хр f{x) dx,
то
lim xp + l fix) = 0.
x— +0
2390. Показать, что:
a)v.p. jf =0; 6)v.p. | ^.=0;
-l
+oo
в) v. p. I sin x dx = 0.
-l о
+oo
§ 5. Вычисление площадей
207
2391. Доказать, что при х > О существует
И х = v. р. Г —2..
Найти следующие интегралы:
2392. v. р.
Г dx
J x2-3x + :
2393. v. p.
Г dx
J хЫх
2394
• v.p. f -И
J 1 + *2
dx.
2395. v. р. Г arctg д; dx.
§ 5. Вычисление площадей
1. Площадь в прямоугольных координатах. Площадь S плоской
фигуры А1А2В2В1 (рис. 10), ограниченной двумя непрерывными кривыми
У = i/i(*) и у = у2(х) (у2(х) > j/i(*)) и двумя прямыми л: = а и *¦ = 6 (а < Ь),
равна
Г [У2(х) - Ух(х
)}dx.
2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в
параметрическом виде. Если х = x(t), у = y(t) [0 < t < T] — параметрические
уравнения кусочно-гладкой простой замкнутой кривой С, пробегаемой
против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру
с площадью S (рис. 11), то
S = - y(t)x\t) dt = x(t)y'(t) dt,
• = - f y(t)x'(t) dt = f
•82^ # = y2 U)
S,^ У = .Vi (л:)
Рис. 10
Рис. 11
208
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
S - | f [X(t)y'(t) - X\t)y(t)] dt.
о
3. Площадь в полярных координатах. Площадь S сектора ОАВ
(рис.12), ограниченного непрерывной кривой г = г(<р) и двумя
полупрямыми (р = а и ф = 3 (а < C), равна
S =
I J **>
Йф.
2396. Доказать, что площадь прямого параболического
сегмента равна
s = | ьл,
где Ь — основание и Л — высота сегмента (рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными
в прямоугольных координатах.1'
2397. ах = у2, ау = х2.
2398. у = х2, х + г/ = 2.
2399. у = 2х - х2, х + у = 0.
2400. а) у = |lg *|, г/ = 0, х = 0,1, х = 10;
6I/=2*, у =2, х = 0;
в) у = {х 4- IJ, х = sin щ, у = 0 @ < у < 1).
2401. у = х; у = х + sin2 д: @ < х < л).
2402. у
>У = 0.
11 Все параметры в этом и следующих параграфах раздела IV
считаются положительными.
§ 5. Вычисление площадей
209
2403. *f + g = 1.
а2 Ьг
2404. у2 = х\а2 - х2).
2405. у2 = 2рх, 27ру2 = 8(х -рK.
2406. Ах2 + 2Вху + Су2 = 1 (А > О, АС - В2 > 0).
2407. у2 = ** (циссоида), х=2а.
2408. х = a In а + Va2 - у2 _ ,уа2 _ уг ,у = 0 (трактриса).
У
2409. у2 = — (х > 0; д > -2).
» (l + x" + 2J ;
2410. у = e~*|sin х\, у = 0 (х > 0).
2411. В каком отношении парабола у2 = 2* делит площадь
круга х2 + у2 = 8?
2412. Выразить координаты точки М(х, у) гиперболы х2 - у2 = 1
как функции площади гиперболического сектора S = ОМ'М,
ограниченного дугой гиперболы М'М и двумя лучами ОМ и ОМ', где
М'(х, -у) — точка, симметричная М относительно оси Ох.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными
параметрически:
2413. х = a(t - sin t), у = a(l - cos t) @ < t < 2тг) (циклоида)
и у = 0.
2414. * = 2t - t2, у = 2t2 - t3.
2415. x = a (cos t + t sin t), у = a (sin ? - t cos f) @ < t < 2л)
(развертка круга) и х = а, у < 0.
2416. л: = а B cos t - cos 2t), у = a Bsin t - sin 2t)-
2417. a) x = — cos3 t,y = — sin3 ? (с2 = а2 - Ь2) (эволюта эллипса);
a o
6) x = a cost, y- asin2<
2 + sinf
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, заданными
в полярных координатах:
2418. г2 = a2 cos 2ф (лемниската).
2419. г = a A + cos ф) (кардиоида).
2420. г = a sin Зф (трилистник).
2421. г = —-2— (парабола), <р = ? . Ф = ? •
1 - совф 4 2
210
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2422. а) г = ? @ < е < 1) (эллипс);
1 + ЕСОБф
б)г= 3 + 2 coscp; в)г=!,г=—!— f 0 <ф< ^]
2423. г = a cos ф, г = a (cos ф + sin ф) (м (~,0^\ 6 S
2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой
Ф = г arctg r
и двумя лучами ф = 0 и ф = -^ .
2425. Найти площадь фигуры, ограниченной:
а) кривой г2 + ф2 = 1;
б) лепестком кривой ф = sin (яг) @ < г < 1);
в) линиями ф = 4г - г3, ф = 0;
г) линиями ф = г - sin г, ф = л;
д) замкнутой кривой г = —^— , ф = -2— .
1 + ?2 1 + t
Перейдя к полярным координатам, найти площади фигур,
ограниченных кривыми:
2426. х3 + у3 = Заху (лист Декарта).
2427. х4 + у4 = а\х2 + у2).
2428. (х2 + у2J = 2а2ху (лемниската).
Приведя уравнения к параметрическому виду, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
2 2 2
2429. хя + у 3 = а 3 (астроида).
2430. х4 + у4 = ах2у.
Указание. Положить г/ = ?х.
§ 6. Вычисление длин дуг
1. Длина дуги в прямоугольных координатах. Длина дуги отрезка
гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой
у = у(х) (а < хИЪ)
равна
§ 6. Вычисление длин дуг
211
2. Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая С
задана уравнениями
х = x(t), у = y(t) (t0<t< Г),
где x(t), y(t) € С'1' [t0, T], то длина дуги кривой С равна
т
s= Гл/*'2@ + г/'2@^.
'о
3. Длина дуги в полярных координатах. Если
г-г(ф) (а<ф< В),
где г(ф) € СA) [а, В], то длина дуги соответствующего отрезка кривой
равна
Р
s = л/''2(ф) + г'2(ф) dtp.
а
Длины дуг пространственных кривых см. в разд. VIII.
Найти длины дуг следующих кривых:
2431. у = х5 @ < х < 4).
2432. у2 = 2рх@<х< х0).
2433. у = a ch- от точки А @, а) до точки В (Ь, Л).
а
2434. у = е* @ < х < je0).
2435.x=iy2-|lnj/(l<t/<e).
2436. u = а In—?—- @ < х < 6 < а).
д2-*2
2437. I/ = In cos x (О < х < а < 5).
2438. х = a ina + Va2-,v2 _ ^^Г^ @ < Ь < у < а).
г/
2439. г/3 = —-ЗЕ^— {О < * < | а
2 2 2
2440. л;3 + I/3 = а з (астроида).
2441. х = — cos3t, и = — sin3 t, с2 = а2 - b2 (эволюта эллипса).
a b
2442. л: = cos4 t, у = sin4 t.
2443. x = a {t - sin г), j/ = a(l - cos t) @ < t < 2л).
2444. * = a(cos t + tsint), у = a (sin t- t cos t) при 0 < t < 2я
(развертка окружности).
212
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2445. а) х = a (sh t - t), у = a (ch t - 1) @ < t < Г);
б) х = ch3 *, у = sh31 @ < t < Т).
2446. г = аф (спираль Архимеда) при О < ф < 2п.
2447. г = ае41 (m > 0) при 0 < г < а.
2448. r= a A + cos ф).
2449. г = —Л Ф|< ^
1 + совф V 2
2450. r=-a sin3 |.
2451. r=a tg2 @ < ф < 2л).
2452. а) ф = if г + ij A < г < 3);
б) ф = Jr (О < /• < 5);
г
в) ф = Г She ф @ < г < Л);
о
г) г = 1 + cos t, ф = ? - tg| @ < i < T < я).
2453. Доказать, что длина дуги эллипса
х = a cos t, у — b sin t
равна длине одной волны синусоиды у = с sin- , где с = Ja2 - b2.
о
2454. Парабола Аау = х2 катится по оси Ох. Доказать, что
фокус параболы описывает цепную линию.
2455. Найти отношение площади, ограниченной петлей кривой
к площади круга, длина окружности которого равна длине
контура этой кривой.
§ 7. Вычисление объемов
1. Объем тела по известным поперечным сечениям. Если объем V
тела существует и S = S(x) [а < х < Ь] есть площадь сечения тела
плоскостью, перпендикулярной к оси Ох в точке х, то
V = Г S(x) dx.
JV
§ 7. Вычисление объемов
213
2. Объем тела вращения. Объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох криволинейной трапеции
а< х<Ь, 0 < у < у(х),
где у(х) — непрерывная однозначная функция, равен
ь
Vx = я I у2(х) dx.
а
В более общем случае объем кольца, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры а < х < Ъ, у^х) < у < (/2(*). гДе J/i(*) и УгМ —
непрерывные неотрицательные функции, равен
ь
V=k \[yl(x)- y\{x)]dx.
а
2456. Найти объем чердака, основание которого есть
прямоугольник со сторонами а и Ь, верхнее ребро равно с, а высота
равна h.
2457. Найти объем обелиска, параллельные основания
которого суть прямоугольники со сторонами А, В и а, Ъ, а высота
равна 1г.
2458. Найти объем усеченного конуса, основания которого
суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а высота равна h.
2459. Найти объем параболоида вращения, основание
которого S, а высота равна Н.
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S = S(x) его
поперечного сечения, перпендикулярного к оси Ох, изменяется по
квадратичному закону:
S(x) =Ax2 + Bx + C[a<x< Ъ],
где А, В и С — постоянные.
Доказать, что объем этого тела равен
F=|[,S(a) + 4S(^) +S(ft)],
где Н = Ь ~ а (формула Симпсона).
2461. Тело представляет собой множество точек М(х, у, z),
где 0 < z < 1, причем 0<х<1,0<у<1, если z рационально, и
-1 < х < 0, -1 < у <0, если 2 иррационально. Доказать, что объем
этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл
1
Г S(z)dx= 1.
о
214
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
2462. — + ^ =l,z= -х, z= 0.
а2 Ъг а
2463. — + ^ + - = 1 (эллипсоид).
а2 Ьг с2
2464.^ + g - z\ =1,х = ±с.
а2 Ьг с'
2465. х2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2.
2466. х2 + у2 + г2 = а2, х2 + у2 = ах.
2467. г2 = Ь(а- х), х2 + у2 = ах.
2468. ^ + ^ = 1 @ < z < а).
а2 г2
2469. х + у + г2 = 1, х=0, у = 0, z = 0.
2470. ж2 + у2 + г2 + ху + уг + zx = а2.
2471. Доказать, что объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оу плоской фигуры
а < х < Ъ, 0 < у < у(х),
где у(х) — однозначная непрерывная функция, равен
ь
V=2n\
i xy(x) dx.
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями,
полученными при вращении отрезками следующих линий:
2472. у = Ь[ -г @ < х < а) вокруг оси Ох (нейлоид).
а)
2
2473. у = 2х - х , у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2474. у = sin х, у = 0 @ < х < и): а) вокруг оси Ох; б) вокруг
оси Оу.
ч2
2475. у = &[? ,у = Ь
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2476. у = е~х, у = 0 @ < х +оо): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2477. х2 + (у - ЬJ = а2 @ < а < Ь) вокруг оси Ох.
2478. х2 - ху + у2 = а2 вокруг оси Ох.
2479. у = е *,/sinx @ < х < +оо) вокруг оси Ох.
2480. х = а (? - sin t), у = а A - cos 0 @ < t < 2л), у = 0:
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = 2а.
2481. х = а sin3 t, у = b cos3 < @ < г < 2я): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
215
2482.1. Найти объем тела, образованного вращением
площади петли кривой
x=2t-t2, y=4t-t3
вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу.
2. Доказать, что объем тела, образованного вращением
вокруг полярной оси плоской фигуры
0<а<<р<Р<я, 0 < г < г((р)
(ф и г — полярные координаты), равен
Р
F= ? fr3(<P)sin<Pd(P-
Найти объемы тел, образованных вращением плоских фигур,
заданных в полярных координатах:
2483. 1. г = а A + cos ф) @ < ф < 2л): а) вокруг полярной оси;
б) вокруг прямой г cos ф = -2 .
4
2. (х2 + у2J = а2(х2 - у2): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу;
в) вокруг прямой у = х.
Указание. Перейти к полярным координатам.
2484. 1. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда
г = аф (а > 0; 0 < ф < я),
вокруг полярной оси.
2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
ограниченной линиями:
ф = пг3, ф = л,
вокруг полярной оси.
2485. Найти объем тела, образованного вращением фигуры:
а < г < a J2sin2ф
вокруг полярной оси.
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой
АВ вокруг оси Ох, равна
в
Р = 2л f \y\ ds,
л
где ds — дифференциал дуги.
216 РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти площади поверхностей, образованных вращением
следующих кривых:
2486. у = х I- (О < х < а) вокруг оси Ох.
2487. у = a cos— (|х| < Ъ) вокруг оси Ох.
2488. у = tg х (-О < х < j] вокруг оси Ох.
2489. у = 2рх @ < х < х0): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2490. — + 2L = 1 @ < b < а): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оо.
а2 Ъ2
2491. х2 + (у - ЪJ = а2 (Ь > а) вокруг оси Ох.
2 2 2
2492. х3 + у3 = а3 вокруг оси Ох.
2493. у = a ch- (\х\ < Ь 1: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2494. ±х = а гпа + */а2 #2 - Ja2 - у2 вокруг оси Ох.
г/
2495. х = а (? - sin ?)> у = а A - cos () @ < г < 2я): а) вокруг
оси Ох; б) вокруг оси Ог/; в) вокруг прямой у — 2а.
2496. х = a cos3 ?, у = a sin3 t вокруг прямой у = х.
2497. г = а A + cos cp) вокруг полярной оси.
2498. г2 = a2 cos 2ф: а) вокруг полярной оси; б) вокруг оси (р = 2 ;
в) вокруг оси ф = - .
4
2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фигуры,
ограниченной параболой ау = а2 - х2 и осью Ох. Найти
отношение поверхности тела вращения к поверхности равновеликого
шара.
2500. Фигура, ограниченная параболой у2 = 2рх и прямой
х = ? , вращается вокруг прямой у = р. Найти объем и
поверхность тела вращения.
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра масс
1. Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотности р = р(у)
заполняет некоторый ограниченный континуум Q (линию, плоскую
область) и о) = (х>(у) — соответствующая мера (длина дуги, площадь) той
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра масс
217
части континуума Q., ординаты которой не превышают у, то k-м
моментом массы М относительно оси Ох называется число
М*= lim УрМ1/?ДшМ= Г ру* Ло(у) (ft = 0, 1,2,...),
max Ay. — 0 *—* J
¦i=l а
где Ai// = Vs ~ У1-1 и Aw(t/,) = ш(г/,) - w(i/j _ j).
Как частные случаи, получаем при k = 0 массу М, при ft = 1 —
статический момент, при ft = 2 — момент инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно
координатных плоскостей.
Если р = 1, то соответствующий момент называется геометрическим
(момент линии, плоской фигуры, тела и т. д.).
2. Центр масс. Координаты центра масс (л:0, уа) однородной плоской
фигуры площади S определяются по формулам
_ М'," _ М'*'
хо —, г/о-—,
где М\" , М* — геометрические статические моменты фигуры
относительно осей Оу и Ох.
2501. 1. Найти статический момент и момент инерции дуги
полуокружности радиуса а относительно диаметра,
проходящего через концы этой дуги.
2. Найти статический момент дуги параболы
у2 = 2рх ( 0 < х < |]
относительно прямой х = ? .
2502. 1. Найти статический момент и момент инерции
однородной треугольной пластинки с основанием Ь и высотой h
относительно основания (р = 1).
2. Найти моменты инерции 1Х = Мг и I = М^
относительно осей Ох и Оу параболического сегмента, ограниченного
кривыми
ау = Чах - х2 (а > 0) и у = 0.
Чему равны радиусы инерции гх и гу, т. е. величины,
определяемые соотношениями
где S — площадь сегмента?
218
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2503. Найти моменты инерции однородной эллиптической
пластинки с полуосями а и Ъ относительно ее главных осей (р = 1).
2504. 1. Найти статический момент и момент инерции
однородного кругового конуса с радиусом основания г и высотой ft
относительно плоскости основания этого конуса (р = 1).
2. Найти момент инерции однородного шара радиуса R и
массы М относительно его диаметра.
2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь
поверхности, образованной вращением плоской дуги С вокруг не
пересекающей ее оси, лежащей в плоскости дуги, равна длине этой
дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром
масс дуги С.
2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем тела,
образованного вращением плоской фигуры S вокруг не
пересекающей ее оси, расположенной в плоскости фигуры, равен
произведению площади jS на длину окружности, описываемой центром
масс этой фигуры.
2507. Определить координаты центра масс круговой дуги:
х = a cos ф, у = a sin ф (|ф| < а < л).
2508. Определить координаты центра масс области,
ограниченной параболами ах = у2, ау = хг (а > 0).
2509. Определить координаты центра масс области
Zl + Ml <1 (о < х < а, 0 < у < Ь).
2510. Определить центр масс однородного полушара радиуса а.
2511. Определить координаты центра масс С (ф0, г0) дуги ОР
логарифмической спирали г = аетф (т > 0) от точки 0 (—°°, 0) до
точки Р (ф, г). Какую кривую описывает точка С при движении
точки Р?
2512. Определить координаты центра масс области,
ограниченной кривой г = а A + cos ф).
2513. Определить координаты центра масс области,
ограниченной первой аркой циклоиды х = a (t - sin t), у = а A - cos ()
@ < t < 2л) и осью Ох.
2514. Определить координаты центра масс тела,
образованного вращением площади 0 < х < а; у2 < 2рх вокруг оси Ох.
2515. Определить координаты центра масс полусферы
х2 + у2 + z2 = a2 (z > 0).
§ 10. Задачи из механики и физики
219
§ 10. Задачи из механики и физики
Составляя соответствующие интегральные суммы и находя
их пределы, решить следующие задачи:
2516. Определить массу стержня длины I = 10 м, если
линейная плотность стержня меняется по закону 5 = 6 + 0,3* (кг/м),
где х — расстояние от одного из концов стержня.
2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т
поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту Л? Чему
равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность?
2518. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть
упругую пружину на 10 см, если сила в 1 Н растягивает эту пружину
на 1 см?
Указание. Использовать закон Гука.
2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен паром
под давлением 10 Па. Чему равна работа пара при уменьшении
его объема в два раза, если температура пара остается
постоянной?
2520. Определить силу давления воды на вертикальную
стенку, имеющую форму полукруга радиуса а, диаметр которого
находится на поверхности воды.
2521. Определить силу давления воды на вертикальную
стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой
а = 10 м, верхнее Ъ = 6 м и высота h = 5 м, если уровень
погружения нижнего основания с = 20 м.
Составляя дифференциальные уравнения, решить
следующие задачи.
2522. Скорость точки меняется по закону
v = v0 + at.
Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0, Т]?
2523. Однородный шар радиуса R и плотности 5 вращается
вокруг своего диаметра с угловой скоростью (О. Определить
кинетическую энергию шара.
2524. С какой силой материальная бесконечная прямая
постоянной линейной плотности ц0 притягивает материальную
точку массы т, находящуюся на расстоянии а от этой прямой?
2525. Определить, с какой силой круглая пластинка
радиуса а и постоянной поверхностной плотности 80 притягивает
материальную точку Р массы т, находящуюся на
перпендикуляре к плоскости пластинки, проходящем через ее центр Q, на
кратчайшем расстоянии PQ, равном Ь.
220 РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2526. Согласно закону Торричелли скорость истечения
жидкости из сосуда равна
v=cj2gh,
где g — ускорение свободного падения, h — высота уровня
жидкости над отверстием и с = 0,6 —• опытный коэффициент.
За какое время опорожнится наполненная доверху
вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D = 1 м и высотой
Н = 2 м через круглое отверстие в дне бочки, если диаметр
отверстия d = 1 см?
2527. Какую форму должен иметь сосуд, представляющий
собой тело вращения, чтобы понижение уровня жидкости при
истечении было равномерным?
2528. Скорость распада радия в каждый момент времени
пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада
радия, если в начальный момент t = 0 имелось количество радия
Q0, а через время Т = 1600 лет его количество уменьшится в два
раза.
2529. Для процесса второго порядка скорость химической
реакции, переводящей вещество А в вещество В,
пропорциональна произведению концентрации этих веществ. Какой процент
вещества В будет содержаться в сосуде через t = 1 ч, если при t = 0
имелось 20% вещества В, а при t = 15 мин его стало 80% ?
2530. Согласно закону Гука относительное удлинение е
стержня пропорционально напряжению силы о в
соответствующем поперечном сечении, т. е. е = Ц-, где Е — модуль Юнга.
Е
Определить удлинение тяжелого стержня конической
формы, укрепленного основанием и обращенного вершиной вниз,
если радиус основания равен R, высота конуса Н и плотность р.
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов
1. Формула прямоугольников. Если функция у = у(х) непрерывна
и дифференцируема достаточное число раз на конечном сегменте [а, Ь]
и h = '—-—', х-, = а + ih (i = 0, 1, ..., п), yl = y(xt), то
п
ь
J y(x) dx = h(yQ + yx + ... +yn-i) + Rn,
а
где
§11. Приближенное вычисление определенных интегралов
221
2. Формула трапеций. При тех же обозначениях имеем
ь
| у(х) dx = h (>-ii^ +yl + y2 + ...+y„-i) +К>
где
Rn = -^$?f'\V) (a <?'<*).
3. Параболическая формула (формула Симпсона). Полагая п — 2k,
получим
ь
Г у(х) dx = J Г (i/0 + (/2t) + 4(г/, + г/з + ••• + Уы - \) +
+ 2(yg + y4 + ...+уи_2] + Rn,
где
Д„=-^^-4/'У(Г) (а<Г<6).
2531. Применяя формулу прямоугольников (п = 12),
приближенно вычислить
2л
х sin х dx
о
и результат сравнить с точным ответом.
I
С помощью формулы трапеций вычислить интегралы и оце-
гь их погрешности, если:
1 1
2532. f-^- (п = 8). 2533. Г -^Ц (я = 12).
J 1 + х J 1 + r
о о
я
2
2534. f /l-isin2xdx (n= 6).
о
С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:
9 л
2535. f Vx dx (n = 4).
1
л
2
2537. Г ^М dx (П = Ю).
0
2536. Г j3+cosxd(n=6)
0
i
J 1пA + х)
0
222
РАЗДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2539. Принимая п = 10, вычислить константу Каталана
1
G
о
2540. Пользуясь формулой
1
С arctg* dXi
1 = f dx
4 J 1 + *2
о
-5
вычислить число я с точностью до 10
1
2541. Вычислить Г е*2 dx с точностью до 0,001.
о
1
1-4
2542. Вычислить \ (ех - 1) In- dx с точностью до 10
J *
о
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятностей
+ 00
J
е~х dx.
о
2544. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого
а= 10 и 6= 6.
2545. Построить по точкам график функции
х
у~ ( ERldt @ < х < 2л),
приняв Ах = л/3.
РАЗДЕЛ V
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1. Общие понятия. Числовой ряд
со
ai + a2 + ... +ап + ... = ? ап A)
п= 1
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim S„ = S (сумма ряда),
л— оо
где S„ = а, + а2 + ... + а„. В противном случае ряд A) называется
расходящимся.
2. Критерий Коши. Для сходимости ряда A) необходимо и
достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число N — N(e) такое, что при
n>Nnp>0(nnp — натуральные числа) было выполнено неравенство
Ря + р &п\
Iе'
< е.
В частности, если ряд сходится, то
lim an = 0.
п -~ со
3. Признаки сходимости
Признак сравнения I. Пусть кроме ряда A), имеем ряд
Ь1 + Ь2 + ...+Ъп+.... B)
Если при п > п0 выполнено неравенство
0 < ап < Ъп,
то: 1) из сходимости ряда B) следует сходимость ряда A); 2) из
расходимости ряда A) следует расходимость ряда B).
В частности, если ап ~ Ъп при п —* оо, то ряды с
знакоположительными членами A) и B) сходятся или расходятся одновременно.
Признак сравнения П. Если
о. = О*
kHPJ
то а) при р > 1 ряд A) сходится и б) при р < 1 расходится.
'' Значение символа О* см: раздел I, § 6, п.1.
224
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Признак Даламбера. Если ап > О (п = 1, 2, ...) и
lim 5uii = g,
n-°° a„
то а) при q < 1 ряд A) сходится и б) при g > 1 расходится.
Признак Коши. Если а„ > 0 (л — 1, 2, ...) и
lim а/а^ = д,
П— СО
то а) при g < 1 ряд A) сходится и б) при q > 1 расходится.
Признак Раабе. Если а„ > 0 (п = 1, 2, ...) и
lim rcf— - ll=P.
то а) при р > 1 ряд A) сходится и б) при р < 1 расходится.
Признак Гаусса. Если ап > О (п = 1, 2, ...) и
где |6„| < С и ? > 0, то: а) при X > 1 ряд A) сходится; б) при X < 1 ряд
расходится; в) при X = 1 ряд A) сходится, если ц > 1, и расходится, если ц < 1.
Интегральный признак Коши. Если f(x) (х > 0) — неотрицательная
невозрастающая функция, то ряд
ЕЛв)
л= 1
сходится или расходится одновременно с интегралом
I
Дя) dx.
Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и
найти их суммы:
2546. 1 - I + I - I + ... + tDLl + ... .
2 4 8 2"-1
2547.fi +11+Г1 + ±W...+(JL +1U....
12 3j l22 3V 12" 3"J
2548. i + -i + A + ... + 2^2 + ... .
2 22 23 2"
2549. -i- + _L_ + J_ + ... + i + ... .
1-2 2-3 3-4 n(n+l)
_L+ J-+... + 1
1-4 4-7 Cn-2)Cre+l)
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 225
2551. a) q sin а + q2 sin 2a + ... + q" sin na + ...;
6) q cos a + q2 cos 2a + ... + qn cos na + ... (\q\ < 1).
со
2552. Y, (Jn + 2-2jn + l + Jn).
n = 1
OO
2553. Исследовать сходимость ряда V sin nx.
n= 1
Указание. Показать, что при х * kn (k — целое) невозможно,
чтобы sin nx —> 0 при л —» ooj
оо
2554. Доказать, что если ряд V ап сходится, то ряд
п= 1
сю Рп t , - 1
? А„, где А„= ^ a; (pj= l,Pi<p2< ...),
п=\ i=pn
полученный в результате группировки членов данного ряда без
нарушения порядка их следования, также сходится и имеет ту
же сумму. Обратное неверно; привести пример.
оо
2555. Доказать, что если члены ряда V ап положительны и
п= 1
оо
ряд V Ап, полученный в результате группировки членов этого
п = 1
ряда, сходится, то данный ряд также сходится.
Исследовать сходимость рядов:
2556. 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... .
2557. 0,001 + „/0,001 + 1/0, 001 + ... .
2558. - + - + 1 + ... + 1 + ... .
1! 2! 3! л!
2559. 1 + 1+I+1+... + —А— + ... .
3 5 7 2л-1
ОГч^А _l_ -L _1_ -Л- _J_
' 1001 2001 3001 '" 1000л + 1
2561. 1 + I + | + ... + —2— + ... .
3 5 2л-1
2562. 1 + —+—+... + J-— + ... .
З2 52 B«-1J
1 1
72 273 Зл/4 njn+l
1 + 1 + .. + 1
Т~3 ТЗ^В '" 7Bл-1)Bл+ 1)
2563. — + — + — + ... + ,Х +
2564. —— + —— + ... + 1 + ..
226
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам
арифметической прогрессии, расходится.
оо оо
2566. Доказать, что если ряды V ап (А) и V Ьп (В) сходятся
л = 1 п = 1
оо
и ап < сп < Ъп (п = 1, 2, ...), то ряд V с„ (С) также сходится. Что
п= 1
можно сказать о сходимости ряда (С), если ряды (А) и (В)
расходятся?
2567. Пусть даны два расходящихся ряда
оо оо
л = 1 п = 1
с неотрицательными членами.
Что можно сказать о сходимости рядов:
а) ]Г min(a„, &„) и б) ? тах(а„, ЬпI
л = 1 л= 1
оо
2568. Доказать, что если ряд V ап(а> 0) сходится, то ряд
л= 1
оо
V" а„ также сходится. Обратное утверждение неверно; привес-
л = 1
ти примеры.
2569. Доказать, что если ряды V ап и V Ьп сходятся, то
л = 1 п=1
сходятся, также ряды
ОО СО ОЭ 1 I
? |aAl, ? (a"+ 6«)Z' ? „ •
л=1 я = 1 л = 1
2570. Доказать, что если
lim пап = а ^ 0,
то ряд V а„ расходится.
л = 1
оо
2571. Доказать, что если ряд V ап с положительными и мо-
л = 1
нотонно убывающими членами сходится, то
lim nan = 0.
| л -» оо
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 227
2572. Является ли сходящимся ряд V а„, если
л= 1
lim (ап + 1 + а„ + 2 + ... + а„ + ) = О
п — оо
прир = 1, 2, 3, ...?
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих рядов:
2573.a0+|i +... + ^l+... (|а„| < 10).
2^74 s^nx + sin 2 a: , , sinnx ,
' 2 22 '" 2"
257^ I cosx - cos2a: , cos2ag- cos3* ,
* ' 1 2
, cosnx- cos(n+ l)x ,
л
О COS* , COS*2 , , COS*" ,
6. + т ... -r + ... .
I2 22 n2
Указание. Использовать неравенство
Л < = (л= 2, 3, ...).
л2 л(л~ 1) п-1 л
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
следующих рядов:
2576. 1 + i + i + ... + i + ... .
2 3 л
2577. а) 1 + i - i + 1 + | - i + ... ;
2 3 4 5 6
б) —^— + -J— + ... +
[Y~2 J2H л/и(л+1)
Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши,
исследовать сходимость рядов:
2578 i^ + 100°2 + 100°3 + + Ш°Л +
1! 2! 3! '" л!
2579. Qli! + 12U! + ... + l«lii + ....
2! 4! Bл)!
2680. 11 + |i + fi + ... + g + ... .
2581.a)^H+^I+2LJL+...+ ^l+...;
б, 3_J! + 3f_2! + 31_3! + + 3"л! +
' 1 22 З3 "' л"
228
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2582. iiilf + ^ + i^iif + ... + Щ + ... .
2 24 2» 2
OKQo 1000 , 1000¦1001 , 1000 1001¦1002 ,
2583. — + —ГГ- + ГТт^ + - •
2584. 1 + i_Z + 4-7-10 + _ _
2 2 6 2 6 10
ОО
2585. а) ? (,/2 - V2)G2 - 5«/2) ... (л/2 - 2" + i/2).
б) ^Г а„, где а„ = <
( 1 2
- , если п = m ,
л
1 9
—, если п^т
л2
¦> I «П тт^т
2
(т — натуральное число);
sin2 fea
cos2fta
оо- оз" + ~ оо
2586. У —5 . 2587. У п . 2588. У —±— .
2589. а
'2-i i±i' ' 2-, 2" + з"
"=' Bл2 + п + 1) 2 " = 1
n-iv""-"
л = 2
г) л/2 + 72-л/2 + V2 - ^2 + л/2 + 72 - л/2 + 72 + л/2 4-... .
Указание. л/2 = 2 cos - .
4
2590. Доказать, что если
lim = ?tti = g (an > 0),
n-oo a„
тоа„= o(^i), где ^ > g.
CO
2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда У ап
л = 1
(ап > 0) выполнено неравенство
-^ < р < 1 при /г > п0.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 229
Доказать, что для остатка ряда
#л = ап + 1 + ап + 2 + ...
имеет место оценка
R,. < а,, • 2 .— если п > пп.
" "о 1-Р
2. Найти, сколько членов ряда
Y \{2n)\\Y
2-j Dп)!! '
где Bп)!! = 2 • 4...2п, достаточно взять, чтобы соответствующая
частичная сумма Sn отличалась от суммы ряда S меньше, чем на е = 1(Г6.
2592. Доказать, что если
ПБг ^±J = q < 1 (дп > 0),
п -^ оо а"
то ряд V а„ сходится.
л = 1
Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример
1+1 + 1+1+1+1+....
2 3 22 З2 23 З3
оо
2593. Доказать, что если для ряда V ап (а„ > 0) существует
п = 1
lim ^±i = q, (A)
то существует также
lim ф~а = д. (Б)
/г — оо
Обратное утверждение неверно: если существует предел (Б),
то предел (А) может и не существовать. Рассмотреть пример
f « + (-1Г
A 2"+1
n= 1
2594. Доказать, что если
lim "Ja~n = q (o„ > 0),
П — оо
то: а) при q < 1 ряд V а„ сходится; б) при q > 1 этот ряд расхо-
л = 1
дится (обобщенный признак Коши).
230
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Исследовать сходимость рядов:
оо оо acos' —
2595. У 2 + (-1)" 2596. V ——^-.
/1=1 Л= 1
2597. a) f »'[^ + (-1)Т. б) у О + совду--'",
^ 3" Z_i V2+ cos «у
Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать
сходимость следующих рядов:
2598
2599. 2 + Si?±i) + a(a + rf)(g + 2d) + (а > о, 6 > 0, d > 0).
Ь ЦЪ + d) b(b + d)(b+2d) к ' ' '
оо , ОО 1—-
2600. V ^- . 2601. У Щ .
t'x пП+Р n=i B+Л)B+72)...B+^)
2602. У 1^~ (о > 0).
Ь q(q+l)...(q+n) W '
2603 У fCP+1)-(P + "-1) ¦ i.
Z-- л! я''
л= 1
2604. У ГA3-5...Bп-1))Г . J,
rt = 1
2605. У \Р{Г\\-{ГП-]К (Р>0,д>0).
2606. Доказать, что если для знакоположительного ряда
У ап (ап > 0) при п —*¦ оо выполнено условие
то
1
где е > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то ап | 0 при
л -* оо, т. е. ап при п > п0, монотонно убывая, стремится к
нулю, когда п —> оо.
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 231
Определив порядок убывания общего члена ап, исследовать
оо
сходимость заданного ряда V ап, если:
л= 1
2607. с„ = пР + у-1+- + аР где п« + Ъпч " 1 + ... + Ь. > 0.
пч + Ь1пч-1 + ... + bq '
n-1
2608. а= —sin5,
2609.a„ = (V(i + l) - Jn у In2—i (n > 1).
n +1
2610. a„ = lnp f sec -"
2611. a„ =logt.f 1 + ^] (a > 0, b > 0).
2612. a.-[e-(l + 1O-
2613. a) a„ =—Ц-; б) ая =-Ц .
2614. Доказать признак Жамэ: знакоположительный ряд
со
V ап (ап > 0)сходится, если
A - "Ja~n) ~ > р > 1 при п > п0,
и расходится, если
(l-nftTjiL. < 1 прип> п0.
Inn
оо
2615. Доказать, что ряд V о„ (а„ > 0) сходится, если сущест-
п = 1
вует а > 0 такое, что > 1 + а при п > п0, и расходится, если
1птг
- < 1 при /г > п0 (логарифмический признак).
Inn
Исследовать сходимость рядов с общим членом:
2616. ап = п1пх(х>0).
2617. ап = „ * ч| (п > 1).
(lnlnnI""
2618. ап = м * , (л > 1).
232
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Пользуясь интегральным признаком Коши, исследовать
сходимость рядов с общим членом:
2619. а) ап = —— (га > 1); б) ап = ——-L——- (га > 2).
2620. Исследовать сходимость ряда:
а) V 1п2-1п3...1п(п+1) ^ > 0)
' L, lnB+p)-lnC+p)...ln(ra+l+p) ^
л = 1
00 I \
б) у ^i^i , где v(ra) — число цифр числа га;
Z-i га2
л = 1
00 1
в) У —*—.
Z, 1п(я!)
л = <:
2621. Пусть а„ (га = 1, 2, ...)— последовательные
положительные корни уравнения
tg х = х.
Исследовать сходимость ряда
z^.2
-2
А
л^1
2622. Доказать, что ряд V ап с положительными монотонно
« = 1
убывающими членами сходится или расходится одновременно
оо
с рядом У 2"а2„.
л = 0
2623. Пусть f(x) — положительная монотонно невозрастаю-
оо
щая функция. Доказать, что если ряд V /(га) сходится, то для
л = 1
остатка его
оо
справедлива оценка
+ оо
Г f{x) dx < Rn< fin + 1) + f f{x) dx.
л + 1 л+1
оо
Пользуясь этим, найти сумму ряда У — с точностью до 0,01.
i—t п3
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 233
2624. Доказать признак Ермакова: если f(x) —
положительная монотонно убывающая функция и
lim ^ - К
ЛГ-.00 f(X)
оо
то ряд V /(п) сходится при X < 1 и расходится при X > 1.
л = 1
оо
2625. Доказать признак Лобачевского: ряд V а,с положи-
л= 1
тельными монотонно стремящимися к нулю членами сходится
или расходится одновременно с рядом
оо
т = О
где рт — наибольший номер членов ап, удовлетворяющих
неравенству
ап>2~т (и =1,2, ...,рт).
Исследовать сходимость следующих рядов:
2626. ?
л = 2
Jn + 2- Jn- 2
п"
26Z7. ^Г (Jn+a -\Jn2+n+b).
п = \
п+ 1
2628. У fctg-^Ц - sin -«ZU . 2629. V f-1 - In
^-j V 4ra-2 2n+\) *-• V /n V "
л = 1 л = 1 *< "•
2630. V ^
ln(n!)
л = 1
оо
2632. ? n
n= 1
2634. V «.cinn + d
2631. Y, e
¦3Л
2e-JTi
\ ' gclnn + c
2633. ? (n+1 - 1).
n= 1
oo
2635. Y,
"= 1 ln2( sin-
n.
2636.
I
cos «
2637. ?
In
'eh*'
cos 5
л;
2638.
oo
Zn!
2639. У -^-.
2640. ?
bn + Cn
(a > 0, 6 > 0, c> 0).
234
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2641. ? (пп" - 1).
л = 1
2642. V Г In -L - In ( sin -Ml .
n = l
OO
2643. ]? a-(ftinn + cin2„) (a>0).
2644. у —^—-— (a > 0, ft > 0).
tl = 1
OO
2645. У Ц"+1)Ц" .
Z- 2!-4!...Bn)!
л = 1
OO
Исследовать сходимость рядов V u„ со следующими
общими членами:
1
Г Jxdx
п ) 1 + х*
2646. и„ = f ^Ц . 2647. и„
cte
о
(л + 1)л п + 1
1*1/177
о
я +
2648. u„= f 2in!?dx. 2649. ип= Г e-^d-r
»*»¦«.-/!?*<*¦ M»i....-"^!,;iV"'.
У ln2fe
2652. и. = ^ .
" па
Заменив последовательности хп {п = 1, 2, ...)
соответствующими рядами, исследовать сходимость их в ряде:
2653. *„ = 1 + — +... + — - 2 7л .
2654. х = У ^ - 0™lf .
" ^ ft 2
А= 1
2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы найти
его сумму с точностью до 10~5, если:
л = 1 л = 1 я = 1
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
235
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
1. Абсолютная сходимость ряда. Ряд
оо
п = 1
называется абсолютно сходящимися, если сходится ряд
оо
X W- B)
Л = 1
В этом случае ряд A) также сходится. Сумма абсолютно сходящегося
ряда не зависит от порядка слагаемых.
Для определения абсолютной сходимости ряда A) достаточно
применить к ряду B) известные признаки сходимости для знакопостоянных
рядов.
Если ряд A) сходится, а ряд B) расходится, то ряд A) называется
условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда
путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу
(теорема Римана).
2. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
ь1-ь2 + ь3-ь, + ... + (-iy-1&„ + ...
(Ьп > 0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если: а) Ьп > Ь„ + i
(п = 1, 2, ...)и б) lim b„ = 0. В этом случае для остатка ряда
П ~ ОО
дл = (-1)"ь„ + 1+(-1Г + 1ь„ + 2 + -
имеем оценку
яп = (-1),А + 1(о<е<1).
3. Признак Абеля. Ряд
X аА C)
л = 1
оо
сходится, если: 1) ряд V* а„ сходится; 2) числаЬ„(я = 1, 2, ...)образуют
п= 1
монотонную и ограниченную последовательность.
оо
4. Признак Дирихле. Ряз C) сходится, если: 1) суммы Ап — V1 at
i= 1
ограничены в совокупности; 2) Ьп монотонно стремится к нулю при п —> оо.
2656. Доказать, что члены не абсолютно сходящегося ряда
можно без перестановки сгруппировать так, что полученный
новый ряд будет абсолютно сходящимся.
236
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2657. Доказать, что ряд V а„ является сходящимся, если вы-
полнены условия: а) общий член этого ряда ап стремится к нулю
оо
при п —* °°; б) ряд V Ап, полученный в результате группировки
п = 1
членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число
Рп+1-!
слагаемых at, входящих в член Ап = V а; A = р1 < р2 < ...).
ограничено.
2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не изменится,
если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не
удаляется от своего прежнего положения больше чем на т мест,
где т — некоторое заранее заданное число.
Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:
2659. 1-- + ---+... .
2 4 8
2660.1 + |-1 + |+^-^+--
2вв1.1-1+!-1+1-1+....
Указание. Применить формулу 1 + - + ... 4- — = С 4- In п + еп,
где С — постоянная Эйлера и lim en = 0.
л — оо
со
2662. Зная, что V ^~ '— = In 2, найти суммы рядов, полу-
п= 1
ченных из данного в результате перестановки его членов:
о\ 1 J. 1 1.1.1 1 ,
аI + 3_5+Н+7+-;
6I-1 -I + 1 -1-1 +....
; 2 4 3 6 8
2663. Члены сходящегося ряда
со
переставить так, чтобы он стал расходящимся.
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
237
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2664. V Ь1)
I
2"
л = 1
„ Bп + Ю0\п
2665. а) V (-1)
^—' V Зя+ 1
л = 1
6I + 1 + 1-1-1-1 + 1 + 1 + 1-....
' 23456789
2666. Пусть
оо
X (-D4. d)
л = 1
где Ъп > О и Ъп —> 0 при /г —>¦ оо. Следует ли отсюда, что ряд A)
сходится? Рассмотреть пример
У (-1)"- 2 +(-!)"_
л = 1
Исследовать сходимость рядов:
2667.
у iB^sin^. 2668. У (-I)i2i5,
л = 1 л = 1
2669. У (-1)" V" . 2670. У —ЬУ—.
,?, П+100 ??2 ^ + (-D"
2671. ? sin (я Jn2 + k2). 2672. ]Г LiJ—.
л = 1 л= 1
2673. а) У ЦТ; б) У ^cos^l.
л=1 V« л = 2
2674. Доказать, что знакочередующийся ряд
Ьх - Ь2 + Ь3 - &4 + ••• + ("I)"" 4 + - 4 > 0)
сходится, если
гдер> О (см. 2606).
А. = 1 + ? + о (Т|,
Ь„+1 ft vn/
238
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную
сходимости следующие ряды:
2675. ?
л = 1
оо
2677. ?
л = 2
оо
2679. ]Г
л = 1
со
2681. ?
л = 1
со
2683. ?
л = 1
оо
2685. ]Г
л = 1
оо
2687. ?
л= 1
оо
2689. ^
л= 1
оо
2690. ^
л = 1
л'
4I + t^]-
(-1)"
х+ п
(_1)"-1
и/й + НО"-1]''
C_i \" л - 1 1
л + 1 юо/^ •
(-1)"
V ; L 2-4-6
sin л ¦ sin л2
л
2676.
2678.
2680.
2682.
2684.
2686.
2688.
.Bп-1)У
...Bл) J '
I
Л = 1
оо
I
rt= l
оо
I
п = 2
оо
Z
п = 1
оо
I
л = 1
оо
I
л = 2
оо
л = 1
(-I)'
Р + 1 '
Л "
/ччл- 1 2"sin2n*
л
(-1)"
[л+(-1)Т"
. лл
sin—-
4
о . ЛЯ
лр+ sin —
4
л?п^ ,oo
(-1) 2 «_.
v ' 2"
sin™
12
1пл
/_i \llnn|
Л
2691. ? sinn2.
л= 1
Указание. Доказать, что lim sin л2 ^ 0.
2692. Пусть
щх) = Др^+а!^'1-*-- .+S
бо*'+&!*'''' + ... +ЬЧ
— рациональная функция, где а0 * 0, Ь0 ?* 0 и j^ojc*7 + bjjr17-1 + ...
... + 6,1 > 0 при х > п0.
Исследовать на абсолютную и условную сходимости ряд
со
? (-1)пД(п).
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
239
Исследовать сходимость рядов:
2693. 1-1 + 1-1+1-1+... .
\р 2'i 3" 4'' 5р 6?
2694. 1 + 1-1 + 1 + 1-1+....
Зр 2р 5р Т> 4р
2695. a)l + l-i+!+!-i+!+J--!+...;
3/" U 5" 7р Зр 9р 1U Ър
б) 1-1+1+1-1+1+1-1+1+....
2? Зр 4р 5? &р 1р 8? 9^
2696. Доказать, что ряды
a) sin х + 2i^ + sin^ + ... ;
2 3
йч „ , cos 2x , cos3x ,
o) cos x + + + ...
2 3
не абсолютно сходятся в интервале @, я).
2697. Для рядов
со со
V cosnx, V 5IM* @<х<л)
L^ пр ^ пр
л=1 п= 1
определить для совокупности параметров (р, х): а) область
абсолютной сходимости; б) область неабсолютной сходимости.
2698. Исследовать сходимость рядов:
1>
a)Tf^i 6) ?-!_?;
*-/ Inn ^-i ln(lnn)
"=2 „=2 V '
(X)
в) ^ Sln"
» у —s
lOsinn
л =10
2699. Для ряда
л = 1
определить: а) область абсолютной сходимости; б) область
условной сходимости.
2700. Исследовать сходимость ряда
(т
где
1=1
(тЛ _ т(т- 1)...(т- п+ 1)
240
Р А 3 Д К Л V. РЯДЫ
2701. Если ряд V ап сходится и
lim 5л = 1,
я — оо а„
то можно ли утверждать, что ряд V Ьп также сходится?
п= 1
Рассмотреть примеры: V *¦ ' и V ^ ' + - .
оо
2702. 1. Пусть V а„ — не абсолютно сходящийся ряд и
« = 1
'а\ + а, ЛТ А |а,[ - а,-
< = 1 1=1
Доказать, что
lim ^ = 1.
л-°° Р„
2. Доказать, что сумма ряда
I
LI)
л + 1
/! = 1
для каждого р > 0 лежит между - и 1.
2703. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его
сумму с точностью до е = 10 ' в ряде:
оо со
а) V tlXZi; б)у SJM7
2704. Доказать, что если члены ряда
1_1 +1 -1 +1 ....
2 3 4 5
переставить так, чтобы группу р последовательных
положительных членов сменяла группа q последовательных отрицательных
членов, то сумма нового ряда будет
In 2+ Мп?.
2 q
§ 3. Действия над рядами
241
2705. Доказать, что гармонический ряд
i + 1+i+!+...
останется расходящимся, если, не переставляя его членов,
изменить их знаки так, чтобы за р положительными членами
следовало бы q отрицательных (р ^ q). Сходимость будет иметь место
лишь при р = q.
§ 3. Действия над рядами
Сумма и произведение рядов. По определению полагают:
со оо оо оо оо
1} X а"± X к" X (а"± ь"у' б) X а" Xb"= Xс»«
где
а)
Л = 1 /1=1 Л = 1 Л = 1 Л = 1 Л = 1
с„ = «ib„ + a2bn_] + ... + anb{.
со
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда V а„ и
л = 1
оа
V1 &„ сходятся, а равенство б) — если, сверх того, по меньшей мере
л = 1
один из этих рядов сходится абсолютно.
2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из которых:
а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба ряда
расходятся?
2707. Найти сумму двух рядов:
у Г! +tir\ + f rj_+Linil.
jL, |_3" n3 J ^ l_3"+1 n3 J
A=1 Л = 1
Найти суммы следующих рядов:
2/171
C0S —
_ _ 2"
Я = 1 /1=1
СО СО
2708- X [I + 44 • 2709- X
л = 1 л = ]
2710. ? хЩу[ 2 J (|ху|< l].
л = 0
оо оо
2711. Показать, что V — • V til! = 1.
я = 0 л = 0
242
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2712. Показать, что I ^ И = ]? (п + 1O" (Ы < 1
л = 0 л = О
2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда
оо
Z
(-1)"+'
л = 1 */"
есть ряд расходящийся.
2714. Доказать, что произведение двух сходящихся рядов
Z 4^-(а>0)и1 4Ь(Р>0)
п=1 л= 1
есть ряд сходящийся, если а + В > 1, и расходящийся, если
а+ В < 1.
2715. Проверить, что произведение двух расходящихся
рядов
^Т и 1 + y r3Y"lr°n"- 1
п -
есть абсолютно сходящийся ряд
l-Z f и1 + И!) t2" + 2.-
Л = 1 Л = 1
§ 4. Функциональные ряды
1. Область сходимости. Совокупность Х0 тех значений х, для
которых сходится функциональный ряд
и1(х) + и2(х) +...+иа(х) +..., A)
называется областью сходимости этого ряда, а функция
S(x)= lim V щ(х) (хбХ0)
П — СЮ Z-J
— его суммой.
2. Равномерная сходимость. Последовательность функций
Л(х), /2(лс), ..., /„(*),... (*)
называется равномерно сходящейся на множестве X, если:
1) существует предельная функция
f{x)" lim /„(*) (хеХ);
п — оо
2) для любого числа е > 0 можно указать число N = N(z) такое, что
1«*) - fn(x)\ < e
при п > N и л: е X.
§ 4. Функциональные ряды
243
В случае равномерной сходимости последовательности (*) к f(x)
используют обозначение:
/„(*)=*/(*).
Функциональный ряд A) называется равномерно сходящимся на
множестве X, если равномерно сходится на этом множестве
последовательность его частичных сумм:
S„(*)- ^и,(х) (/1=1,2,...).
3. Критерий Коши. Для равномерной сходимости ряда A) на
множестве X необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0
существовало число N = N(s) такое, что при п > N и р > О было выполнено
неравенство
\Sn + Jx)-Sn(x)\ =
11+ р
]Г Щ(х)
i = л + 1
< 8 для всех х ? X.
4. Признак Вейерштрасса. Ряд A) сходится абсолютно и
равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд
Cl + c2 + ... +c„ + ... B)
такой, что
\ип(х)\ < с„ при х € X (л=1, 2, ...).
5. Признак Абеля. Ряд
? <!„(*)&„(*) C)
сходится равномерно на множестве X, если: 1) ряд \* ал(х) сходится
п= 1
равномерно на множестве X; 2) функции 6„(*) (га = 1, 2, ...) ограничены
в совокупности и при каждом х образуют монотонную
последовательность.
6. Признак Дирихле. Ряд C) сходится равномерно на множестве X,
N
если: 1) частичные суммы V" ап(х) в совокупности ограничены;
л = 1
2) последовательность Ьп(х) (п = 1, 2, ...) монотонна для каждого х и
равномерно на X стремится к нулю при п —» °о.
7. Свойства функциональных рядов, а) Сумма равномерно
сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.
б) Если функциональный ряд A) сходится равномерно на каждом
[а, Р] С (а, Ь) и существуют конечные пределы
lim u„(x) = А„ (п= 1, 2, ...),
244
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
то: 1) ряд У Ап сходится; 2) имеет место равенство
/i = 1
Г ОО *) СО l
в) Если члены сходящегося ряда A) непрерывно дифференцируемы
ОО
при а < х < b и ряд производных у и^(х) сходится равномерно на
л = 1
интервале (а, 6), то
А
]Г ип(х) = ? ип(х~> ПРИ х € (а' &)•
г) Если члены ряда A) непрерывны и этот ряд сходится равномерно
на конечном сегменте [а, Ь], то
^ u„(*) dx = ? и„
(x) dx.
D)
Вообще формула D) верна, если Rn(x) dx —> <x> при n —>• 0, где
J*-<
Rn{x) = у u,(*). Это последнее условие годится также и для случая
i-n+l
бесконечных пределов интеграции.
Определить области сходимости (абсолютной и условной)
следующих функциональных рядов:
2716. У -2-.
t-t хп
2717.
(zHVlz^y
^ 2n-lU +
n= 1
2718. У -5_r^?_V 2719 V 1 • 3-Bn-l)f_g*_y
^ л+lUx+lJ ^ 2-4...Bn) U + *2
л = 1 n = 1
«2, л Ч2" — o»„;„»
2720. ? ~-xn( l-x)n. 2721
n= 1
oo
2722. У ±Щ
*-> (x+n)
n= 1
(x+ п)р
Et sir
n2
n = 1
<*> p .
2723. У " sln"*,(g>0;0<д:<я)¦
2724. ? -Z—- (ряд Ламберта).
§ 4. Функциональные ряды
245
<Х> оо
2725. ? Р^^] • 2726. ? ^
х"
п = 1
2727. V .
Z- (l + x)(l + x2)...(l + x")
л = 1
оо оо
2728. У пв-. 2729. V — • Ц—-.
л=1 n = l ^/"-!
оо 111
2730. ^ B - *)B - х 2 )B - х»)B - х ») (ж > 0).
я= 1
оо оо
2731. у («±?1: . 2732. У -^- (х > 0; у > 0).
п = 1 п= 1 а
2733. У -^L- (у > 0). 2734. У "VlxK + |//К.
п= 1 * я = 1
оо оо
2735. ? 1пAд+ж") (х > 0). 2736. ? tg" (х + Ц .
п^\ п= 1
+ оо
2737. Доказать, что если ряд Лорана У а„х" сходится при
х= X] и при х = х2 |Xj| < |х2| , то этот ряд сходится также при
\xi\ < М < 1хг1-
2738. Определить область сходимости ряда Лорана
П = -ОО
и найти его сумму.
2739. Определить области сходимости (абсолютной и
условной) рядов Ньютона:
f Ё!1; б) У !^; в) у (е*)"У"".
П.- 1 п=1 1 = 1
где xw = х(х - 1)...[х - (/г - 1)].
оо
2740. Доказать, что если ряд Дирихле V -^ сходится при
« = 1
х = х0, то этот ряд сходится также при х > х0.
246
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2741. Доказать, что для равномерной сходимости на
множестве X последовательности fn{x) (п = 1, 2, ...) к предельной
функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы
lim {supr„(jc)} = О,
где rn(x) = \f(x) - fn(x)\.
2742. Что значит, что последовательность fn(x) (n— 1, 2, ...):
а) сходится на интервале (х0, +°°); б) сходится равномерно на
каждом конечном интервале (а, Ь) с (х0, +°о); в) сходится
равномерно на интервале (х0, +оо)?
2743. Для последовательности
fn(x) = xn (га=1,2, ...) (О < х < 1)
определить наименьший номер члена N = N(e, x), начиная с
которого отклонение членов последовательности в данной точке х
от предельной функции не превышает 0,001, если х = — , , ...
1° -До
Сходится ли эта последовательность равномерно на
интервале @, 1)?
2744. Сколько членов ряда
сю
Zsmnx
п(п+ 1)
следует взять, чтобы частичная сумма Sn(x) отличалась при
-°°<д;<+оо от суммы ряда меньше чем на е? Произвести
численный расчет при:
а)е = 0,1; б)е = 0,01; в) е = 0,001.
2745. При каких п будет обеспечено выполнение неравенства
п
< 0,001 @ < х< 10)?
Исследовать последовательности на равномерную
сходимость в указанных промежутках:
2746. fn(x) = хп; а) 0 < х < |; б) 0 < * < 1.
2747. fn(x) = хп - хп + и, 0 < х < 1.
2748. fn(x) = хп - х2п; 0 < х < 1.
§ 4. Функциональные ряды
247
2749. /„(х) = -i- ; 0 < х < +оо.
х + п
2750. /„(х) = , пх ; 0 < х < 1.
1 + п + х
2751. fn(x) = -^—п ; а) 0 < х < 1 - е; бI-е^х<1 + е;
в) 1 + е < х < +оо, где е > 0.
2752. fn(x) = , 2п* .; а) 0 < х < 1; б) К х < +оо.
1 + пгх2
2753. /n(x)= /x2 + i-; -оо < х <+оо.
2754. /,,(х) = nf/x + i-7xl; 1 < х < +
2755. а) /п(х) = 5i?M ; -оо < х < +оо;
б) /„(х) = sin- ; -оо < х < +оо.
п
2756. а) ДДх) = arctg пх; 0 < х < +оо;
б) fn(x) = х arctg rax; 0 < х < +оо.
2757. /п(х) = <?"<*- D; 0 < х < 1.
2758. /л(х) = е -(*-"J; а) -I < х < I, где I — любое
положительное число; б) -оо < х < +оо.
2759./„(х)= *?ln?; 0<*< 1.
п п
2760. /л(х) = | 1 + -) ; а) на конечном интервале (а, 6);
б) на интервале (-°о; +°°).
2761. fn(x) = п(х" - 1); 1 < х < а.
2762. /,,(х) = 1 + хп ; 0 < х < 2.
п2х, если 0 < х < - ;
п
2763. /п(х) = I п2(?-х), если ± < х < 2 ;
о
О, если х > - ,
л
на сегменте 0 < х < 1.
248 РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2764. Пусть f(x) — произвольная функция, определенная на
сегменте [а, ft], и
/„(*)=№!] (»=1,2,...).
п
Доказать, что
/„(*)=*/(*) (а<х<Ь)
при п -* оо.
2765. Пусть функция f(x) имеет непрерывную производную
f'(x) в интервале (a, ft) и
A,(*)=/i[/(*+i) -/(*)].
Доказать, что /n(x)=t /'(л;) на сегменте а < х < 3, где а < а < Р < ft.
""х 1 ( -\
2766. Пусть fn(x) = V - /he + - J, где f(x) — непрерывная
i = О
на (-°о, +°°) функция. Доказать, что последовательность fn(x)
сходится равномерно на любом конечном сегменте [a, ft].
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
оо
2767. V хп на интервале: а) \х\ < q, где q < 1;б)\х\< 1.
2768. а) V i- на сегменте -1 < х < 1;
п = 1
оо
б) У ^т на интервале @, +оо).
л = 0
со
2769. ^ A - х)хп на сегменте 0 < х < 1.
п = О
2770. V (*-"-?^Г); -1<ж<1.
л = 1
со
2771. У ^ ; 0 < х < +оо.
ОО
2772. у -1 ; 0 < х < +оо.
л = 1
оо
2773. У лм "* „ -; а) 0 < л: < е, где е> 0;
?-* A + х)A + 2х)...A + пх)
б) Е < X < +°о.
§ 4. Функциональные ряды
249
2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
равномерную сходимость в указанных промежутках следующих
функциональных рядов:
со со
а> У ~Г—2. -°° < ^ < +°°; б) V tlL , -2 < х < +оо;
i-J Хг+П2 L-I Х+2
11 = 1 П = \
оо со
в> У TJL7~2. О < а: < +оо; Г) V _??_ , \х\ < +С»;
Л = 1 л = 1
Д) У ¦?=(*» + *-"), I <\х\<2;
оо
е) У -2— , Ы < а, где а — произвольное положитель-
•¦¦ й
ное число;
ОО , 00
ж) у J1M1 , |*| < +00; з) У ™*™ , \Х\ < +00;
и) V 2iMi,H<+oo; к) у ]n(l + -ZL-),\x\<a;
оо оо
л) У XV, 0 < х < +оо; М) У arctg —s*_ , Ы < +оо.
П = 1 /1=1
Исследовать на равномерную сходимость в указанных
промежутках следующие функциональные ряды:
2775. У smnx на сегменте: а) е < х < 2л - е, где е > 0;
п = 1
б) 0 < х < 2тс.
со со
2776. У 2" sin 4-; 0<*<+оо. 2777. У bii! ; 0<х<+сю.
Л = 1 Л = 1
Указание. Оценить остаток ряда.
250
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2781. V sin*sinra* ; о < х < +оо.
2782. У ) 1> ; 0 < х < +оо.
„^ Jn(n + x)
2783. Может ли последовательность разрывных функций
сходиться равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
/„(*)= !V(x) (/г =1,2, ...),
п
где
J 0, если хиррационально;
Щх) = 1 1, если х рационально.
2784. Доказать, что если ряд V |/л(*)| сходится равномерно
л = 1
оо
на [а, Ь], то ряд V fn(x) также сходится равномерно на [а, Ь].
л = 1
ОО
2785. Если ряд V /„(х) сходится абсолютно и равномерно на
л = 1
оо
[а, Ь], то обязательно ли ряд V |/„(#)| сходится равномерно на
п= 1
[а, Ь}7
оо
Рассмотреть пример V (-1)"A - х)хп, где 0 < х < 1.
л = 0
2786. Доказать, что абсолютно и равномерно сходящийся ряд
оо
? /„(*) @ < х < 1),
л = 1
где
0, если 0 < х < 2-(л +*>;
- sin2B" + Чех), если 2_(n + J) < х < 2~л;
/„(*) = <
П
0, если 2" < х< 1,
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с
неотрицательными членами.
§ 4. Функциональные ряды
251
2787. Доказать, что если ряд
оо
? ф„(*).
11 = 1
члены которого суть монотонные функции на сегменте [а,Ь],
сходится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный
ряд сходится абсолютно и равномерно на сегменте [а, Ь].
2788. Доказать, что степенной ряд
оо
л = 0
сходится абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком
лежащем внутри его интервала сходимости.
2789. Пусть а„ —> °о так, что ряд V
сходится. Доказать,
°° 1
что ряд V сходится абсолютно и равномерно на любом
ограниченном замкнутом множестве, не содержащем точек ап
(/г=1,2,...).
ОО
2790. Доказать, что если ряд V ап сходится, то ряд Дирихле
л = 1
СО
Z— сходится равномерно при х > 0.
пх
п = 1
оо оо
2791. Пусть ряд V ап сходится. Доказать, что ряд V апе~пх
л = 1 п= 1
сходится равномерно в области х > 0.
2792. Показать, что функция
Л*)« У ^
81ПДДС
3
л= 1
непрерывна и имеет непрерывную производную в области
-оо < х < +°°.
2793. Показать, что функция
+оо
*-i (п-хJ
П = -ОО
а) определена и непрерывна во всех точках, за исключением
целочисленных: х - 0, ±1, ±2,...; б) периодическая с периодом,
равным 1.
252
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2794. Показать, что ряд
со
]Г [пхе~'1Х -{п- 1)хе-(" ~ 1)х]
сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако его сумма
есть функция, непрерывная на этом сегменте.
2795. Определить области существования функций /(х) и
исследовать ее на непрерывность, если
п = 1 п = 1
оо
п = 1
2796. Пусть rk (k = 1, 2, ...) — рациональные числа сегмента
[О, 1]. Показать, что функция
ОО j |
/(*) = ? ?^sl @ < * < 1)
* = 1
обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2)
дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в
рациональных.
2797. Доказать, что дзета-функция Римана
оо
Л = 1
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области непрерывные
производные всех порядков.
2798. Доказать, что тэта-функция
+ со
6(х)= ]Г е-**
Л = -00
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
2799. Определить области существования функции f(x) и
исследовать ее на дифференцируемость, если:
оо оо
а)/(*)= У ^^; б)/(х)= у _1*1_.
¦^-i л + х ^-i /г2 + л:2
Л = 1 Л = 1
2800. Показать, что последовательность
/„(*) = i arctg хя (п = 1, 2, ...)
л
сходится равномерно на интервале (-°°, +°°), но
[lim /„(*)];_,* lim /„A).
П —• оо д — оо
§ 4. Функциональные ряды
253
2801. Показать, что последовательность
fn(x) = х2 + - sin п\ х +
2)
сходится равномерно на интервале (—°о, +оо), но
[ lim /„(*)]' * lim f'n(x).
п ~* со п -+ оо
2802. Определить, при каких значениях параметра а:
а) последовательность
fn(x) = пахе-пх A)
(п = 1, 2, ...) сходится на сегменте [0, 1]; б) последовательность
A) сходится равномерно на [0, 1]; в) возможен предельный
переход под знаком интеграла
lim Г fn(x) dx.
,1 — оо J
О
2803. Показать, что последовательность
fn(x) = nxe-"*2 (n=l, 2, ...)
сходится на сегменте [0, 1], но
1 1
Г [ lim fn(x)] dx * lim | fn(x) dx.
0 0
2804. Показать, что последовательность
/„(*) = nx(l - x)n (я=1, 2, ...)
сходится неравномерно на сегменте [0, 1], однако
1 1
lim Г fn(x) dx = Г lim fn(x) dx.
Л — оо J Jn_oo
2805. Законен ли переход к пределу под знаком интеграла
в выражении
1
|* пх
J 1 + /12*4
о
lim "*, dx?
„-со I 1-1- ni-r*
254
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Найти пределы:
2806. lim f tliHl •-?!-.
х^ i_o ?-i п Хп+ 1
п = 1
со
2807. lim V (ж" - хп + J).
Л = 1
оо оо 2
2808. a) lim V -Ц ; б) lim V —^___ .
л = 1 л = 1
2809. Законно ли почленное дифференцирование ряда
оо
^arctg^?
л - 1
2810. Законно ли почленное интегрирование ряда
оо , 1 1
У \x2n + l - х2п~1
на сегменте [0, 1]?
2811. 1. Пусть f(x) (-оо < х < +оо) — бесконечно
дифференцируемая функция и последовательность ее производных fn)(x)
(п = 1, 2, ...) сходится равномерно на каждом конечном
интервале (а, ft) к функции (р(х). Доказать, что ф(х) = Се*, где С —
постоянная величина. Рассмотреть пример fn(x)— e~<*~n> , п= 1,
2
2. Пусть функции /„(д:) (п— 1, 2, ...) определены и
ограничены на (-оо, +°°) и fn(x) =tq>(x) на любом сегменте [a, ft]. Следует
ли отсюда, что
lim sup/(я) = sup(p(.r)?
§ 5. Степенные ряды
1. Интервал сходимости. Для каждого степенного ряда
а0 + а^х - а) + ... + ап(х - а)" + ...
существует замкнутый интервал сходимости: \х - а\ < R, внутри
которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус сходимости R
определяется по формуле Коши—Адамара
i - Ш "J\aZ\.
R л-оо
§ 5. Степенные ряды
255
Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле
Д = lim
an+i
если этот предел существует.
оо
2. Теорема Абеля. Если степенной ряд S(x) = У апхп I \х\ < R ] схо-
л = 0
дится в концевой точке л: = R интервала сходимости, то
S(R) = lim S(x).
I-Я-О
3. Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция f(x) в некоторой
окрестности этой точки разлагается в степенной ряд
m-t ^(*-«)*
k\
Остаточный член этого ряда
Rn(x)=f{x)-fj M(x-a)*
* = о
может быть представлен в виде
ад== ^У(а + Цх-а))(х _ fl)- + i @ < в < 1)
(п+ 1)!
{форма Лагранжа) или в виде
f+1>(а + 0!(л:-о))
Д„(*) =
п\
A - Bj)"^ - а)" + ' @ <0j < 1)
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложений:
I. е* = 1 + х +—+... + —+ ... (-оо < х < +оо).
2! л!
И. sin^-f^...^-!)--^
+ ... (-оо < х < +оо).
HI. cosx = 1 -—+... +(-1)"——
2! v ' Bл)!
IV. A + x)m - 1 + mx + m^~1)*2 + ...
+ ... (-0° < x < +oo).
+ mCm-iy-tm-n+l)^ + _ (-1 < x < 1}
V. ln(l + *) = ж - *L + ?. - ... + (_i)»-i?! + ... (-1 < x < 1).
256
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
4. Действия со степенными рядами. Внутри общего интервала
сходимости \х - а\ < R имеем:
оо оо со
а) ? ап(х - о)" ± ? М* - а)" = ? (а„ ± Ь„)(х - а)";
л = О /1 = 0 л = О
оо оо оо
б) ? а„(* - а)" ]^ Ьп(х - а)" = ? сп(* - а)",
/1 = 0 ;i = 0 /1 = 0
гдес„= a0b„ + a1bn.1 + ... + anb0;
— оо _ оо
в) Tx L ? а"(ж ~~ a) "J= z(n+i)a"+1(*"а)л;
ЯОО _ OO
? о„(д:-а)» dx = C+ ? -^- (x - a)"+
мплексной o6j.
OO
X cn(x-a)\
pill X Л IV - Л1" Г1 V = t ' -\- V U ГУ - ЛГ ' '
¦ n~=~0 J л = 0
5. Степенные ряды в комплексной области. Рассмотрим ряд
/1=0
где
сп = ап + ibn, a = a + ip\ z = x + iy, t2 = -l.
Для каждого такого ряда имеется замкнутый /срг/г сходимости \х - а\ < Д,
внутри которого данный ряд сходится (и притом абсолютно), а вне
расходится. Радиус сходимости R равен радиусу сходимости степенного ряда
оо
/1 = 0
в действительной области.
Определить радиус и интервал сходимости и исследовать
поведение в граничных точках интервала сходимости следующих
степенных рядов:
оо оо
2812. У ?. 2813. У 3" + (-2)"(х + 1)".
/1=1 /1 = 1
2814. у f^H-x". 2815. У ах" @ < a < 1).
л=1
28161 A + У"*"- 2817-I ^*"(а>1>-
1-3-5...Bп-1)ТГх-1У
2818. У , „
jU L 2-4-6...Bл)
2819. У (-1ГГ2"(Я!JТ^-
A LB« + i)u
§ 5. Степенные ряды
257
со
2820 V m(ffl~ l)...(m-ra+ 1) r^
л = 1
оо
2821. ? [ТГ + S) Х" (а > °' & > 0)'
/1 = 1
оо оо
2822. V -??— (а>0,Ь> 0). 2823. V Щ= (а > 0).
п = 1 п = 1
ОО г- CO
2824. У i^l. 2825. У <2я>!! х".
2826-z 4^C v- 2827-i A+1+-4к-
ОО CO
2828. JT [3 + ^^"]"x". 2829. ?
l + 2cos?n'
2830. ]Г
Inn
я = 1 A = 2
?_
2" '
« = l
4;.х«
(-1)'^'»
2831. а) У »—^—х" (ряд Принсгейма);
t—i п
10v<"
б) У A - х)", где v(n) — число цифр числа п;
п= 1
3>1
,sinn
11 = 1
2832. Определить область сходимости гипергеометрического
ряда
1 + «_0 Л + «(а+1K(Р+1) х2 +
1-у 1 ¦ 2 • y(Y+ 1)
... + а(а+!)¦••(«+Д-1)Р(Р+1).-.(Р + Д-1)д.п + _ _
1 ¦ 2 ... n-y(Y+1)...(У+л-1)
Найти область сходимости обобщенных степенных рядов:
оо °°1
2833. У -±-(\^\ . 2834. У -i-sin?.
?-• 2п+ 1\1 + xj Z-i х" 2"
п = 0 л = 1
'ТО °° , * ч 2
2835 ^ х ооос ^ '1 ' '
• I Ь- 2836-Ц1 + У е"и
л = 1
з3"(я!)у,,
п = 1
2837. V 2-^LL tg" x.
i-i. (on)!
258
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2838. Функцию
fix) = х3
разложить по целым неотрицательным степеням бинома х + 1.
2839. Функцию
fix) = — (а * 0)
а- х
разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по степеням
бинома х — Ъ, где Ь 5* а; в) по степеням - . Указать соответствующие
х
области сходимости.
2840. Функцию f(x) — In x разложить по целым
неотрицательным степеням разности х - 1 и выяснить интервал
сходимости разложения. Найти сумму ряда
л = 1
Написать разложения следующих функций по целым
неотрицательным степеням переменной х и найти соответствующие
интервалы сходимости:
2841. f(x) = sh x.
2842. fix) = ch x.
2843. fix) = sin2 x.
2844. fix) = ax (x > 0).
2845. /(x) = sin(u arcsin x).
2846. fix) = cos(|u arcsin x).
2847. Написать три члена разложения функции fix) = xx по
целым неотрицательным степеням разности х - 1.
2848. Написать три члена разложения функции
/(х) = A + х) *
(х ^ 0) и /@) = е по целым неотрицательным степеням
переменной х.
2849. Функции sin (x + h) и cos (x + h) разложить по целым
неотрицательным степеням переменной h.
2850. 1. Определить интервал сходимости разложения в
степенной ряд функции
fix) = -;-?
х2- 5х+ 6
а) по степеням х; б) по степеням бинома х - 5, не производя
самого разложения.
§ 5. Степенные ряды
259
2. Можно ли утверждать, что
Ё<-»""'(^1)! =*¦'"*
it = 1 v '
на (-°°, +°°) при N ->¦ оо?
Пользуясь основными разложениями I—V, написать
разложения в степенной ряд относительно х следующих функций:
2851. е* . 2852. cos2*.
10
2853. sin3*. 2854. Л
1-х
2855. —-— . 2856. х
A-х) Jl-2x
2857.1п Д-i*.
Vl-z
2858. 2 .
l + x-2*2
Указание. Разложить данную дробь на простейшие.
2859. 12~5* . 2860. х
2861.
б-бх-х2 A-х)A-х2)
1
1-х-х2'
1 . кч */„ч _ 1
2862. а) —i—-; б) /(*) = L- ;. Чему равно/A000>@)?
1 + х+х2 1 + х + х2 + х3
2863. *с°з«-*2 . 2864. *sina
1 - 2.rcosa + х2 1 - 2xcosa +x2
2865. *^ . 2866 1
l-2xcha + *2 (l-x2)JT^x~2
2867. In A + х + хг + х3).
2868. ех cos a cos (x sin а).
Указание. Применить формулы Эйлера.
Разложив предварительно производные, путем почленного
интегрирования получить разложения в степенной ряд
следующих функций:
(-1)"
п= 1
2870. f(x) = arcsin x.
2869. f(x) = arctg х. Найти сумму ряда V \ '*
?-1 2п- 1
2871. f(x) = In (x + л/1 + х2).
2872. /(*) = In A - 2х cos а + х2).
260
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2873. Применяя различные методы, найти разложения в
степенной ряд следующих функций:
а) fix) = A + x)ln(l + х);
б) /(*) = I In i±? + I arctg x;
4 1-х 2
в) f(x) = arctg \zM ¦
1 + 4x
г) fix) = arctg -2*-j;
Д) /(*) = x arctg x - In Vl + x2;
е) /(*) = arccos A - 2л:2);
ж) f(x) = x arcsin x + Jl - x2;
з) f{x) = x In ix + л/1 + x ) - л/l + x2 ¦
2874. Используя единственность разложения
/(* + Л) - /(х) = А/'(*) + |^ /"(*) + ....
найти производные n-го порядка от следующих функций:
а
a) fix) = е *2; б) /(х) = е *; в) fix) = arctg ж.
2875. Функцию
fix) = In —-1 s
разложить по целым положительным степеням бинома х + 1.
2876. Функцию
1
/(*)
1-х
разложить в степенной ряд по целым отрицательным степеням
переменной х.
2877. Функцию
fix) — In х
шть в степенной ря,
« -I
дроби
разложить в степенной ряд по целым положительным степеням
х-1
х+ 1
2878. Функцию
/(*) =-4
Jl + х
разложить в степенной ряд по целым положительным степеням
дроби -2— .
1 + х
§ 5. Степенные ряды
261
2879. Пусть
оо
fix) = У -" •
„4-0nl
Доказать непосредственно, что
№№ = fix + у).
2880. Пусть по определению
sin х ¦¦
Z (-D'
cos* = I (-^"тЬ
Bn+l)!
v2n
n = 0
Доказать, что:
a) sin x cos x = - sin 2x; 6) sin2 x + cos2 x = 1.
2881. Написать несколько членов разложения в степенной
ряд функции:
/(*)
_х"
, г,
л = 0
У —
Производя соответствующие действия со степенными
рядами, получить разложения в степенные ряды следующих
функций:
2882. fix) = A + х)е'х. 2883. fix) = A - хJ chjx .
2884. fix) = In2 A - х). 2885. fix) = A + х2) arctg x.
2886. /(х) = ех cos х. 2887. /(х) = ех sin x.
2888. fix) = lnA + *). 2889. fix) = (arctg xJ.
2890. /(x) = ''
Написать три члена разложения (отличные от нуля) в
степенной ряд по положительным степеням переменной х следующих
функций:
2891. fix) = tg x. 2892. fix) = th x.
2893. f(x) = ctg x - i .
x
262
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2894. Пусть разложение sec x записано в виде
sec х =
х= У -^х2п
А Bп)\
л = 0
Вывести рекуррентное соотношение для коэффициентов Е
{числа Эйлера).
2895. Разложить в степенной ряд функцию
1
№¦¦
\х\< 1
Jl-2tx + x2
оо
2896. Пусть f(x) = V апхп. Написать разложение функции
л = 0
F(x) = && .
1-х
2897. Если ряд V апх" имеет радиус сходимости Rlt а ряд
V Ьпхп — радиус сходимости R2, то какой радиус сходимости
я = 0
R имеют ряды
оо оо
а) ? (о» ± Ьп)хп; б) ? апЬпх"?
л = 0 я = О
2898. Пусть
I = lim
Л — оо
и L = lim
л — оо
Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда V апхп
л = 0
удовлетворяет неравенству
I < R < L.
2899. 1. Доказать, что если f(x) = V anx", причем
л = 0
\п\ап\<М (п=1, 2, ...),
где М — постоянная, то: 1) /(я) бесконечно дифференцируема в
любой точке а; 2) справедливо разложение
ОО
f(x)= У M(,-fl)» (|х|<+оо).
§ 5. Степенные ряды
263
2. Пусть /(х) € С{со)(а, Ь) и \fw(x)\ < сп (п = О, 1, 2, ...) при
х € (я. Ь). Доказать, что функция f(x) разлагается в степенной ряд
оо
fix) = ? ап(х ~ хо)" (хо 6 (а, Ь)),
л = 0
сходящийся в интервале (а, Ь).
3. Пусть /(х) € С@0) [-1, 1] и /<">(*) > 0 (п = 0, 1, 2...) при
х 6 [-1, 1]. Доказать, что в интервале (-1, 1) функция f(x)
разлагается в степенной ряд
оо
/(х) = ? апх\
л = 0
Указание. Используя монотонность производных /(п)(х) для
остаточного члена Rn(x) ряда Тейлора функции f(x), получить оценку
|Д„(х)|<И" + 1Я1).
2900. Доказать, что если: 1) ап > 0; 2) существует
lim У апх" = S,
* —д-о ^-<
/1 = 0
оо
то ? а„Д" = S.
л = 0
Разложить в степенной ряд функции:
X X
2901. Г e-'2dt. 2902. Г —^—
J J л/1-«4
f^d*. 2904. f &rcixex ,
2905. I (написать четыре члена).
J ln(l + t)
о
Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы
следующих рядов:
2906. х + ?! + ^ + ... .
3 5
2907.x- — + ^ - ... .
264
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2908. 1 + |? + ^ + ... .
2909. — + — + — + ... .
1-2 2-3 3-4
2910.1 + -х+ ±-5х2+ * 3 " 5 х3 + ... .
2 2-4 2-4-6
Указание. Производную ряда умножить на 1 - х.
Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы
рядов:
2911. х+ 2х2 + Зх3 + ... .
2912. х - 4х2 + 9х3 - 16х4 + ... .
2913. 1 • 2х + 2 ¦ Зх2 + 3 • 4х3 + ... .
2914. Показать, что ряд
у = У -^
удовлетворяет уравнению
Dп)!
л = о v '
ylv = y.
2915. Показать, что ряд
оо
хп
у = У —
(п!J
удовлетворяет уравнению
ху" + у'-у=0.
Определить радиус и круг сходимости степенных рядов в
комплексной области (г = х + Ly):
ОО ОО
2916. V (*-1-0*. 2917. У A + ')"г" .
-^ я-2" i-i (n+l)(n+2)
2918. У ^ . 2919. У -^Ц
2920. У (г-е'а)"
п= 1
2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, приближенно
вычислить v9 и оценить ошибку, которая получится, если взять
три члена разложения.
§ 5. Степенные ряды
265
2922. Приближенно вычислить:
a)arctgl,2; б) 107Ю00 ; в) -1 ;
г) In 1,25 и оценить соответствующие погрешности.
Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить
с указанной степенью точности следующие значения функций:
2923. sin 18° с точностью до 10.
2924. cos 1° с точностью до 10~6.
2925. tg 9° с точностью до 10~3.
2926. е с точностью до 10 6.
2927. In 1,2 с точностью до 10 4.
2928. Исходя из равенства
- = arcsin - ,
6 2
найти число тс с точностью до 10~4.
2929. Пользуясь тождеством
5 = arctg| +arctg|,
вычислить число тс с точностью до 0,001.
2930. Пользуясь тождеством
I = 4 arctg| - arctg^ ,
определить число тс с точностью до 10~9.
2931. Пользуясь формулой
In (п + 1) = In п + 2 Г-—i—- + „ „ 1 ^ „ +...],
L2n+1 3Bn+lK J
найти In 2 и In 3 с точностью до 10~5.
2932. С помощью разложений подынтегральных функций
в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы:
1 4
а)
0 2
2 1
в) Г SiMdx; г) Г cos*2 dx;
о о
266
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Д)
1 +со
dx
[s-±*dx; е) Г -**
J х J 1 + .
0 2
1
3 1
ж)Г-4ё=; 3)[т^=;
J 3-/Г^ J Ji + x*
о о
1
100 2
И) Г JnO-t*)^; к) Г *^dx;
10 О
1
1 1
л)Гагс|п?^х. м)[ **<**.
о о
2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной полуволны
синусоиды
у = sin х @ < х < л).
2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса с
полуосями а = 1 и Ъ = - .
2
2935. Провод, подвешенный на двух столбах, расстояние
между которыми равно 21 = 20 м, имеет форму параболы. Вычислить
с точностью до 1 см длину провода, если стрелка прогиба h = 40 см.
§ 6. Ряды Фурье
1. Теорема разложения. Если функция f(x) кусочно-непрерывна и
имеет кусочно-непрерывную производную f'(x) в интервале (-/, I),
причем все точки разрыва ?, регулярны (т. е. f(?,) = - [f(t, - 0) + f(t, + 0)]), то
функция f(x) на этом интервале может быть представлена рядом Фурье
Л )= 2 ^ (a"cos— +bnsm—J, (l)
где
л = 1
1
B)
а„ = i Г ft*) cos^ dx(n = 0,1, 2, ...)
-l
l
ft„«i f/(x)8in25*d*(n=.l, 2, ...). B')
§ 6. Ряды Фурье
267
В частности:
а) если функция f(x) четная, то имеем
№=Ц + ? a„cos^, C)
где
1
ап= | f f(x)cos^dx (я = 0, 1, 2, ...);
о
б) если функция /(#) нечетная, то получаем
оо
ПКХ
где
/(*)= ? b„sin^M, D)
1
Ьп = ! \ f{x) sin2F d* (л = lf 2' "'}'
о
Функцию f(x), определенную в интервале @, I) и обладающую в нем
приведенными выше свойствами непрерывности, можно в этом
интервале представить как формулой C), так и формулой D).
2. Условие полноты. Для всякой интегрируемой на интервале (-1, I)
вместе со своим квадратом функции f(x) формально построенный ряд
A) с коэффициентами B), B') удовлетворяет равенству Ляпунова
t
л=1 ',
3. Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье A), даже
расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале (-/, I) функции f{x) можно
интегрировать почленно в этом интервале.
2936. Функцию
f(x) = sin4 x
разложить в ряд Фурье.
2937. Каков будет ряд Фурье для тригонометрического
многочлена
Рп(х) = V (a; cos ix + р; sin ixI
2938. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) — sgn х (-л < х < %).
268
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Нарисовать график функции и графики нескольких частных
сумм ряда Фурье этой функции.
Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
X
2л-1
л = 1
Разложить в ряд Фурье следующие функции:
2939./(х)=М'если,0<х<ог;
к 10, если/ <х <21,
где А — постоянная, в интервале @, 21).
2940. Дх) = х в интервале (-я, л).
2941. f(x) = ^? в интервале @, 2л).
2942. /(ж) = |х| в интервале (-л, я).
ах, если л < х < 0;
2943. Дх) ,, ~ ^
I ох, если 0 < х < л,
где а и о — постоянные, в интервале (-л, л).
2944. Дх) = л2 - х2 в интервале (-л, л).
2945. Дх) = cos ах в интервале (-л, л) (а — не целое).
2946. Дх) = sin ах в интервале (-л, л) (а — не целое).
2947. /(х) = sh ax в интервале (-л, л).
2948. /(х) = е°* в интервале (-/г, Л).
2949. /*(х) = х в интервале (а, а + 21).
2950. /(х) = х sin х в интервале (-л, я).
2951. Дх) = х cos х в интервале ( -5 , 5 j.
Разложить в ряд Фурье следующие периодические функции:
2952. Дх) = sgn (cos x).
2953. Дх) = arcsin (sin x).
2954. Дх) = arcsin (cos x).
2955. Дх) = х - [х].
2956. Дх) = (х) — расстояние х до ближайшего целого числа.
2957. Дх) = |sin x|.
2958. Дх) = |cos x|.
2959. Дх) = У а" 5^ (У < 1
§ 6. Ряды Фурье
269
2960. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = sec x [^j < х < 2).
Указание. Вывести соотношение между коэффициентами а„ и
2961. Функцию f(x) = х2 разложить в ряд Фурье: а) в
интервале (-тс, л) по косинусам кратных дуг; б) в интервале @, л) по
синусам кратных дуг; в) в интервале @, 2л).
Нарисовать графики функций и сумм рядов Фурье для
случаев а), б) и в).
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
fL, ftinl и y_L_
Lu n2 L* пг Lu Bл- 1
л= 1
2962. Исходя из разложения
х=2У (_i)» + i вшпдс (-п<х<п)>
4-1 П
почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье
на интервале (-я, л) функций х2, х3 и х4.
2963. Написать равенство Ляпунова для функции
/(х)= |1при|х|<а;
10 при а < \х\ < л.
Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
Zsm^na -г-i cos2 па
П.2 4-1 п2
2964. Разложить в ряд Фурье функцию
[ х, если 0 < х < 1;
f(x)=*} 1, если1<х<2;
3-х, если 2 < х < 3.
Пользуясь формулами
cos х = -(t + t), sin x = — (t - t),
2 2;
где t =e'xnt = e'x, получить разложение в ряд Фурье следующих
функций:
270
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2965. cos2mx (m — целое положительное число).
2966.
2967.
qsinx
1 - 2<7cosx + q2
l-q2
1 - 2qcosx + q2
(M < i).
(M < i).
2968. 1-qcoax (i | < ^
l-2gcos* + Q-2 vm
2969. ln(l - 2q cos x + q2) (\q\ < 1).
Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические
функции:
х
2970. f(x) = In
2971. f(x) = In
sin-
cos-
2
ё2
2972. /(д;) = In
2973. Разложить в ряд Фурье функцию
Л*)-Jin J
ctg
dt (-л < x < я).
2974. Разложить в ряд Фурье функции
x=x(s), y = y{s) @ < s < 4а),
дающие параметрическое представление контура квадрата:
О < л: < а, 0 < у < а, где s — длина дуги, отсчитанная против хода
часовой стрелки от точки 0@, 0).
2975. Как следует продолжить заданную в интервале 0, -
интегрируемую функцию f(x) в интервал (-л, л), чтобы ее
разложение в ряд Фурье имело вид
оо
f(x) = V ап cos Bп - 1)х (-л < х < л)?
л = 1
2976. Как следует продолжить заданную в интервале ( 0, ^
интегрируемую функцию f(x) в интервал (-л, л), чтобы ее
разложение в ряд Фурье имело вид
оо
f(x) = V bn sin Bn - 1)* (-л < x < л)?
§ 6. Ряды Фурье
271
2977. Функцию
/(*) = *(! -*)
разложить в интервале I 0, ^ I :
а) по косинусам нечетных дуг;
б) по синусам нечетных дуг.
Нарисовать графики суммы рядов Фурье для случаев а) и б).
2978. Функция f(x) антипериодична с периодом л, т. е.
/(х + л) = -Дх).
Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функции в
интервале (-л, л)?
2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье функции f(x)
в интервале (-л, л), если Дх + л) = Дх)?
2980. Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье
ап, Ьп(п = 1, 2,...) функции у =/(х) периода 2л, если график
функции: а) имеет центры симметрии в точках @, 0), [ ±^ , 0 ]; б) имеет
центр симметрии в начале координат и оси симметрии х = ±- ?
2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп
и а„, Р„ (п = 0, 1, 2, ...) функций ф(х) и \|/(х), если
ф(-х) = \|/(х)?
2982. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьп
и а„, Р„ (п = 0, 1, 2, ...) функций ф(х) и \|/(х), если
ф(-х) = -v|/(x)?
2983. Зная коэффициенты Фурье а,„ &„ (п = 0, 1, 2, ...)
интегрируемой функции f(x), имеющей период 2л, вычислить
коэффициенты Фурье а„, Ьп (п= 0, 1, 2, ...) «смещенной» функции
/(х + h) (h= const).
2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1, 2, ...)
интегрируемой функции /(х) периода 2л, вычислить коэффициенты
ФурьеАп, Вп(п = 0, 1, 2, ...) функции Стеклова
x + h
Ш-± \ №<*>•
x-h
272
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
2985. Пусть f(x) — непрерывная функция с периодом 2л
и ап, Ъп (п = 0, 1, 2, ...) — ее коэффициенты Фурье. Определить
коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = О, 1, 2, ...) свернутой функции
F(x) = 1 f f(t)f(x + t) dt.
Пользуясь полученным результатом, вывести равенство
Ляпунова.
§ 7. Суммирование рядов
1. Непосредственное суммирование. Если
ип = vn + l~ vn(n= 1,2, ...) и Пт ип^их,
^ и„ = w„ - Vi.
n = 1
В частности, если
1
a„a„+i-.-a„+,
где числа a, (i = 1, 2, ...) образуют арифметическую прогрессию со
знаменателем d, то
1 1
В некоторых случаях искомый ряд удается представить в виде
линейной комбинации известных рядов:
Zj л ' Z^ д2 б ' Zj л2 12
П = 1 Л = 1 /1 = 1
оо
2. Метод Абеля. Если ряд У а„ сходится, то
л = 0
ОО ОО
У а„ = Игл У апх".
rt = 0 л = О
ОО
Сумма степенного ряда у а„х" в простейших примерах находится
/1 = 0
с помощью почленного дифференцирования или интегрирования.
§ 7. Суммирование рядов
273
3. Суммирование тригонометрических рядов. Для нахождения
сумм рядов
со оо
У а„ cos nx и у bn sin nx
/1 = 0 п=1
их обычно рассматривают как действительную часть и соответственно
как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда в комплексной
ОО
области У лпгп, где г = е'х.
л = о
Здесь во многих случаях полезен ряд
со
у *:=in-J- (и<1).
?—> П 1-Х
11 = 1
Найти суммы рядов:
2986. — + — + — + ... .
1-3 3-5 5-7
2987. —1-— + —I— + —I— + ... .
12 3 2-3-4 3-4-5
2988. JL-J_ + ^_-J_+....
1-2 2-3 3-4 4-5
2989. У 2-
^ (п+ 1)(п + 2)(п-
л = 1
(п+ 1)(л + 2)(я + 3)
1
2990. V (т — натуральное число).
i—i п(п + т)
л(п + т)
2991. —-— + —-— + —-— + ... .
1-2-3 3-45 5-6-7
оо оа
2992. У —!—. 2993. У 2п~г .
L-t пг-\ L* п2Bл+1J
п = 2 л = 1 v '
со оо
2994. V i . 2995. У 2-.
/1=1 Л = 1
2996. У 2 (га+1). 2997. У -^—1 ,.
/1 = 0 л = 1 v '
со со
2998. У -J \ ,. 2999. У И) " .
Zj л2(л+1J(п+2)^ Zj Bл+1)!
/1=1 п = 0
зооо. у И)" .
л = 2
3001. Пусть Р(х) = а0 + ajX + ... + атхт. Найти сумму ряда
у IL
?~i п
274
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Найти суммы следующих рядов:
оо оо
3002. У ^±1х\ 3003. У ЬИ^дЛ
?-> 2"п\ ?-< (п+\)\
п=0 п=0 v '
3004. У (-l)nB»2+l)x2n_ 3005. У _Jlf?^.
La BЛ)\ ±-> BЛ+1)!
л = 0 V ' л = 0 v '
С помощью почленного дифференцирования найти суммы
рядов:
3006. у -.
л = 1
3007. У LD!Ll^l.
4^ пBл-1)
ОО
Zv4n+1
4п+ 1
я = 0
3009.
у a(a + cQ...[a+(n-l)rf] ^п (^ > 0).
п = 1
Указание. Производную ряда умножить на 1 - х.
зою.l- x- + i-W + L±l(*)' + ....
3 2 3-бЫ 3-6-912J
С помощью почленного интегрирования найти суммы рядов:
со
ЗОН. ? Л".
л = 1
оо
3012. ]Г га(га + 2)ж".
л = 1
3013. У Bп + 1)х2п.
л = 0
Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов:
3014Л-; + ?-б + --
3015. 1--+---+... .
3 5 7
3016. 1 - 1 + i-5 - 13 5 + ... .
2 2-4 2-4-6
3017. 1 + I ¦ I + 1_J • 1 + ... .
2 3 2 4 5
§ 7. Суммирование рядов
275
Найти суммы следующих тригонометрических рядов:
оо оо
3018. У ^^. 3019. V ?225
3020. ]Г
sin па: 3019 V СО|ЗЛЛ;
л Z-i
п= 1 л= 1
sinnasinna;
1 п
л = 1
3021. ? ып'яавтл* Г 0 < а < 5).
Л = 1
оо оо
3022. У sinBn~1)x. 3023 У (-lycos"*
А, 2л-1 Z^ ; п2-1
п= 1 л = 2
3024. У cosB/z~1)x. 3025 У (-i)"-i втпх
?-> Bл- lJ Z- л(л+ 1)
л = 1 v ' л = 1 к '
оо
3026. У cosrc* .
?—> л!
л = 0
3027. Построить кривую У smnx 'о8ШДУ = 0.
^—1 Л2
л= 1
Найти суммы следующих рядов:
со
3028. У [(п-1У] BхJп.
л= 1
3029. У &Щхп.
А. Bл !
„ = о Bл>!
3030. — + - + - + ... .
х+1 (x+l)(x + 2) (х + 1)(х + 2){х + 3)
3031. —— Н — • —— + ... при условии, что х > 0, а„ > 0
а, + х а9 + х а, + х
оо
(п = 1, 2, ...) и ряд у — расходящийся.
х . х2 , х4
3032. —=— + —— + —— + ..., если: а) \х\ < 1; б) \х\> 1.
1 - я2 1-х4 1 - х8
3033. У — , если: а) Н < 1; б) И > 1.
L, A-л:")A-л:"+1) -'||
276
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
§ 8. Нахождение определенных интегралов
с помощью рядов
С помощью разложения подынтегральной функции в ряд
вычислить следующие интегралы:
1 1
3034.
f in -±- dx. 3035. f 1"(*+Vb^"z) dx.
J 1-х J x
0 о
1
3036. Г ln^x+x)dx.
0
1
3037. f^^lnCl -x'')dx (p>0,q>0)
о
1 +oo
3038. Г In x ¦ In A - x) dx. 3039. Г *J* .
3040.
С xdx
J e*+l
3041. Разложить по целым положительным степеням модуля h
(О < k < 1) полный эллиптический интеграл 1-го рода
E{k) = j"
2
Jl - h2sm2(p
3042. Разложить по целым положительным степеням модуля k
(О < k < 1) полный эллиптический интеграл 2-го рода
E(k)= f Jl-k4m2<pdy.
3043. Выразить длину дуги эллипса
х = a cos t, д: = Ь sin ? @ < t < 2я)
с помощью ряда, расположенного по целым положительным
степеням эксцентриситета.
Доказать равенства:
1
3044. { U? = f ±
§ 9. Бесконечные произведения
277
3045. f e-*2sinaxdx= ± V ИГ"' a2a + 1.
J 2 ^ Bга+1)!
2и
3046. f ecos x cos (sin х) cos nx dx = ~ (n = 0, 1, 2, ...).
Найти:
2л
3047. e"cos * cos (a sin x - wx) dx (n — натуральное число).
о
я
3048. Г Zs±™ dx.
J l-2acosx + a2
0
Указание. См. пример 2864.
3049. Г In A - 2a cos х + a2) dx.
0
3050. Доказать формулу
J a + x a a2 a3
...+(-iy-ifcLJU +(-!)» Ml, A)
a" a"+I
где a > 0 и 0 < 8„ < 1.
С какой точностью выразится интеграл
J 100 + х
о
если в формуле A) взять два члена?
§ 9. Бесконечные произведения
1. Сходимость произведения. Бесконечное произведение
Р\Рг—Рп — = Y[ Pn A)
п= 1
называется сходящимся, если существует конечный и отличный от нуля
предел
Пр,= liir
п - <
lim || р, = lim P„ = Р.
п — со
i= 1
278
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
Если Р = 0 и ни один из сомножителей рп не равен нулю, то
произведение A) называется расходящимся к нулю; в противном случае
произведение называется сходящимся к нулю.
Сходимость произведения A) равносильна сходимости ряда
со
]Г 1пРп- B)
Необходимым условием сходимости является
lim рп = 1.
П -~ СО
Еслпрп = 1 + сс„ (п = 1, 2, ...) и а„ не меняет знака, то для сходимости
произведения A) необходимо и достаточно, чтобы был сходящимся ряд
оо оо
? «л = ? (Рп - 1). C)
л= 1 л = 1
В общем случае, когда ап не сохраняет постоянного знака и ряд C)
сходится, произведение A) будет сходиться или расходиться к нулю
вместе с рядом
оо со
2
?а„=2>л-1J
п = 1 л = 1
2. Абсолютная сходимость. Произведение A) называется
абсолютно или условно (не абсолютно) сходящимся в зависимости от того,
абсолютно или условно сходится ряд B). Необходимым и достаточным
условием абсолютной сходимости произведения A) является
абсолютная сходимость ряда C).
3. Разложение функций в бесконечные произведения. При
-оо < х < +°° имеют место разложения
со со
sinx = *TT ( 1 - -—] , cosx=rT("l — 1.
n ~ 1 n - I
71
В частности, из первого при х = - получаем формулу Валлиса
Li
ОО
2п 2/г
2 11 2п-1 2п+ 1 '
Доказать следующие равенства:
оо
3051. ТТ ( 1 " -V) = " • 3052- П ^^
11 V л2; 2 11 п3+1 3
л = 2 л = 2
со со
^¦Ш1-^]-!- 3054-п[1 + Ш>2-
л = 2 л = О
§ 9. Бесконечные произведения
279
3055. ГГ cos-iL. =2 3056. ГГ cos 4
11 2" п 11 2"
х _ smx
п= 1 п= 1
оо оо
3057. ГТ chi = 5Ь* . 3058. ГГЦ + х2л)= — (Ы < l).
11 2 х 11 1-я4
3059. ? = — •
п = О
2
2 V2 v^TTi ^ЖТ?2
Зя Зл _ 2я
3060. ГТ -^- • ~^—
11 Зп-1 Зп+1
п = 1
зТз
Доказать сходимость и определить значения следующих
бесконечных произведений:
со оо
3061. ГТ ^^ . 3062. П Г 1 + Цг-1
11 л2-1 11L п{п+2)\
п = 3 п = 1
оо оо (-1)"
3063. ГГ Bп+1)Bя+7) 3064. ТТ а » (а > 0)
11 Bя + 3)Bл + 5) 11 '
(-1)"
л = 1 ' " ' л = 1
ОО ОО
3065. Следует ли из сходимости произведений ТТ рп и ГТ qn
71= 1 П= 1
сходимость произведений:
со оо оо со
a) J] (р„ + д„); б) J] р*; в) J] Pnqn; г) FJ ^ ?
Л = 1 Л = 1 Л = 1 Л = 1
Исследовать сходимость следующих бесконечных
произведений:
со со
3066. п -• зоб7. ГТ {п+1}2
11л 11 п(п + 2]
л = 1
(я + 2)
1 ^ пъпп Tt ( л 1
3068П11 + а- 3069. Щ1-
п= 1 п = 2
оо
л - 2
оо
3071. ГГ n2 + a'n + bl , где п2 + an + Ъ > 0 при л > п0.
11 п2 + ап + Ь
оо
3072. п \n-?*;-ahff-a>i. гДеПо>bl («=i, 2,....Р).
11 (л-Ь,)(л-Ь2)...(п-Ьр)
280
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
3073.
п
га+ 1
я+2
°° I
3075. П«Н-
3077.
п
1 + - \е "
3074. ГТ , п •
оо
3076. ]~J "Vn •
П - 1
3078. Д f 1 - -М е~п , гдес>0.
3079. Л A - хп).
3080. П ( х + —
хп
3081. Л
п= 1
1 +
1 + -
П
IV
л;"
3082. Г] 1-i ^ 2Л
3083. YI ( 1 + ^) cos^ . 3084. J|
sm-
п
х
3085. JI фп(п + х)-1пп.
л = 1
3086. Доказать, что произведение ТТ cos xn сходится, если
л = 1
СЮ
сходится ряд ТТ хп .
л = 1
3087. Доказать, что произведение Т~Т tgf 2 -ч- ос„ ] Г |ос„| < -
сходится, если абсолютно сходится ряд V а„.
п = 1
Исследовать на абсолютную и условную сходимости
следующие бесконечные произведения:
оо сю
3088. J] [ 1 + Ш^] . 3089. TJ [l + H)n + 1
3090
оо оо
•П[' + ^]- 3091-П[' + ^]
§ 9. Бесконечные произведения
281
3092
Jn
ГТ ———
1\ "^+(-1)"
со
3094. Y[ "-Jn^n .
3093.
П»A)"
3096. 1 +
71
ТзД1 Л
3095. YI
п = 1
1
гсС-П-,
! + (-!> 2
i + J_lfi-_L| х
J2JK- 77
1
3097.1 1 + ?)A-?
1
XI-
1
79
1 + J-
л/3
1 + Г» 1 + Г- Х-Г- 1 + Г- -
3098. Показать, что произведение
72 А 7з з
i + J_ + ilfi-J_Vi + -L + ilfi !
V2 2
сходится, хотя ряд
J_ +11 +
7з
1
^+iw-^+-
7з
^72 2
расходится.
3099. Показать, что произведение ГТ A + а„), где
п = I
если п = 2k - 1,
ая= {
-Л
— + I + * , если п = 2k,
Jk k kJk'
сходится, хотя оба ряда V а„ и V а, расходятся.
п = 1 п. = 1
3100. Пусть
оо
Я = 1
(дзета-функция Римана) ирп(п= 1, 2, ...) — последовательные
простые числа.
Доказать, что
п(->Г
«*).
282
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
3101. Доказать, что произведение
со
П('-?
1
и ряд
°° 1
„ _ 1 гп
где рп (п = 1, 2, ...) — последовательные простые числа,
расходятся (Эйлер).
3102. Пусть ап > 0 (п = 1, 2, ...) и
-?а- = 1 + ? +о(-±-) (е> 0).
Доказать, что
Указание. Рассмотреть
со
an+lf 1 _L 1Y
lim а„л" = а,Г| ^-M 1 + ±
n-°° 11 a. v л
n = 1
3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что
1 -3-5...Bл-1) _ _J_
2-4-6. ..Bл) 7^'
3104. Доказать, что выражение
имеет отличный от нуля предел А при п —* оо.
Вывести отсюда формулу Стирлинга
п! = А л" + 2е " A + е„),
где lim гп = 0 и А = л/2я .
Указание. Искомый предел представить в виде бесконечного
произведения
А = lim an = al TT —
Л+ 1
а„
Для определения константы А воспользоваться формулой
Валлиса.
§ 9. Бесконечные произведения
283
Г(х)= lim
3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г(х) определяется
следующей формулой:
п\пх
л — оо Х(Х + 1)...(Х+ П.) '
Исходя из этой формулы:
а) представить функцию Т(х) в виде бесконечного
произведения;
б) показать, что Т(х) имеет смысл для всех
действительных х, не равных целому отрицательному числу;
в) вывести свойство
Г(х + 1) = хГ(х);
г) получить значение Г(п) для п целого и положительного.
3106. Пусть функция f(x) собственно интегрируема на
сегменте [а, Ь] и
5п = Ь~7Г ' ftn = f(a + l8n) ii=1'2 п)-
Доказать, что
п jf(x)dx
Ига ТТA + 5я/;л) = еа
Л — °° -1 -1
i= 1
3107. Доказать, что
п-1
nJ]J(a + ib)
lim
/ = о _ 2
n-1
л — оо
i= 0
У (а + ib)
где а > 0 и Ъ > 0.
3108. Пусть fn(x) (п= 1, 2, ...) — непрерывные функции на
оо
интервале (а, Ъ) и |/„(л;)| < с„ (п = 1, 2, ...), где ряд V с„ сходится.
л= 1
Доказать, что функция
оо
F(x) = П [1 + f"ix)] (I/"(X)I < 2)
л = 1
непрерывна на интервале (а, 6).
3109. Найти выражение для производной функции
оо
F(x) = Yl [1 + /„(х)].
л = 1
Каковы достаточные условия существования F'(x)l
3110. Доказать, что если 0 < х < у, то
lim x(x+l)...(x+n) = Q
л-со у(у+1)...(у+П)
284
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
§ 10. Формула Стирлинга
Для вычисления п\ при больших значениях п полезна формула
Стирлинга
вп
я!= Л%~п я"е~П + т^ @Ол<1).
Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вычислить:
3111. lg 100! 3112. 1 • 3 • 5 ... 1999.
3115-2oinki- зпб.|A^г</«.
о
2л
3117. Г sin200x dx.
J sir
3118. Вывести асимптотическую формулу для произведения
Bп- 1)!!= 1-3- 5...Bп- 1).
3119. Приближенно вычислить С\п , если п велико.
3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти следующие
пределы:
a) lim n2Jn\; б) lim — ;
п — °° п — °° i\fii\
в) Ит " ; г) lim 1гш!
п~°° nJBn- 1)!! "-°° lnrl"
§ 11. Приближение непрерывных функций
многочленами
1. Интерполяционная формула Лагранжа. Многочлен Лагранжа
Р
у (х-х0)...(х-х,_1)(х-х,+ 1)...(х-хп)
Df, {xi-x0)...{xi-xi_l){xl-xitl)...(xi-xn) '
обладает свойством -?„(*,) = yt (i = 0, 1, ..., п).
2. Многочлены Бернштейна. Если f(x) — непрерывная на сегменте
[0, 1] функция, то многочлены Бернштейна
вп(х)= ? /Щси/A-*Г"/
( = 0
при п —> °о сходятся равномерно на сегменте [0, 1] к функции f(x).
§11. Приближение непрерывных функций многочленами
285
3121. Построить многочлен Рп(х) наименьшей степени п,
принимающий заданную систему значений:
X
У
-2
5
0
1
4
-3
5
1
Чему приближенно равны Р„(-1), -Р„A), Р„F)?
3122. Написать уравнение параболы у = ах2 + Ьх + с,
проходящей через три точки: А (х0 - h, у^), В (х0, у0), С (х0 + h, ух).
3123. Вывести формулу для приближенного извлечения
корней у = Jx A < х < 100), используя значения х0 = 1, у0= 1;
*! = 25, ух = 5; х2 = 100, у2 = 10.
3124. Вывести приближенную формулу вида
sin х° ~ ах + Ьх3 @ < х < 90; х = arc x°),
используя значения
sin 0° = 0, sin 30° = |, sin 90° = 1.
Пользуясь этой формулой, приближенно найти:
sin 20°, sin 40°, sin 80°.
3125. Построить для функции f(x) = |jc| на сегменте [-1, 1]
интерполяционный многочлен Лагранжа, приняв за узлы точки:
х = 0, ±-,±1.
2
3126. Заменив функцию у(х) многочленом Лагранжа,
приближенно вычислить
2
Г у(х) dx,
о
где
X
У(х)
0
5
0,5
4,5
1
3
1,5
2,5
2
5
3127. Составить многочлены Бернштеина Вп(х) для функций
х, х2, х3 на сегменте [0, 1].
3128. Написать формулу многочленов Бернштеина Вп(х) для
функции f(x), заданной на сегменте [а, Ь].
286
РАЗДЕЛ V. РЯДЫ
3129. Приблизить функцию f(x) = 1—1-— на сегменте [—1, 1]
многочленом Бернштейна В±(х).
Построить графики функций у = Ш1Л и у = В4(х).
Li
3130. Приблизить функцию f(x) = \х\ при -1 < х < 1
многочленами Бернштейна четного порядка.
3131. Написать многочлен Бернштейна Вп(х) для функции
f(x) = ekx (а < х < b).
3132. Вычислить многочлен В„(х) для функции /(х) = cos x
на сегменте — - < х < - .
2 2
3133. 1. Доказать, что \х\ = lim Pn(x) на сегменте [-1, 1], где
р (Х) = 1 - 2-*! - V l-3-Bi-3) A _ 2у
Г"(Х) 2 2. 2-4...Bi) U Ь
2. Пусть f(x) e С[а, 6] и
ь
Mk= { xkf(x)dx=0 (k = 0, 1, 2, ...).
а
Доказать, что /(х) = 0 при х € [а, Ь].
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об
аппроксимации непрерывной функции многочленами.
3134. Пусть f(x) — непрерывная 2я-периодическая функция
на отрезке [-л, л] и ап, Ъп (п = 0, 1, 2, ...) — ее коэффициенты
Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены Фейера
ап(х) = у + У I 1 - - j (a; cos ix + bt sin ix)
равномерно сходятся к функции f(x) на отрезке [-л, л].
3135. Построить многочлен Фейера а2л _ i(x) для функции
f(x) = \x\ при -я < х < я.
Часть 2
Функции
нескольких
переменных
РАЗДЕЛ VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1. Предел функции. Пусть функция f(P) = f(xlt х2,..., хп) определена
на множестве Е, имеющем точку сгущения Р0. Говорят, что
lim f(P)=A,
Р-Ро
если для любого ? > 0 существует 8 = 5 (е, Р0) > 0, такое что
\№-А\<в
при Р б Е и 0 < р (Р, Р0) < 5, где р (Р, Р0) — расстояние между точками
РиР0.
2. Непрерывность. Функция /(Р) называется непрерывной в точке
Р0, если
lim f(P) = f(P0).
Г-Г а
Функция f(P) непрерывна в данной области, если она непрерывна в
каждой точке этой области.
3. Равномерная непрерывность. Функция f(P) называется
равномерно непрерывной в области G, если для каждого е > 0 существует б > О,
зависящее только от е, такое, что для любых точек Р' и Р" из G имеет
место неравенство
|/(Р') - КР")\ < е
при р (Р\ Р") < 5.
Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой области,
равномерно непрерывна в этой области.
Определить и изобразить области существования следующих
функций:
3136. и = х + J~y . 3137. и = Jl-x2 + Jy2-1 .
3138. и = Jl-x2-у2. 3139. и = .
Jx2 + y2- 1
§ 1. Предел функции. Непрерывность
289
3140. и= л/(х2 + у2-1)D-
3141. и = /* +У ~х .
^2х-х2-у2
3143. и = In (-х - у).
3145. u = arccos —— .
х + у
- X2 -
3146. ы = arcsin — + arcsin (l
У2
У2)-
3142. и= Л-(х2 + у2).
3144. и = arcsin ^ .
X
-у)-
3147. u = Vsin(x2 + (/2). 3148. u = arccos г
3149. и = In (xyz).
3150. и = In (-1 - х2 - у2 + z2).
Построить линии уровня следующих функций:
3151. 2 = х + у. 3152. г = х2 + у2.
3153. 2 = х2 - у2. 3154. 2 = (х + уJ.
3155.2=^. 3156.2 =
х х2+2у2
3157. 2 = Jyx . 3158. z = |х| + у.
3159. а) г = |х| + \у\ - \х + у\; б) z = min (x, у);
в) г = max (|х|, |у|); г) г = min (xz, у).
3160.2= е*2 + .
3161. 2 = Ху (X > 0).
3162. г = х«е~х (х > 0).
3163. 2 = In (*-"); + ?; (а > 0).
V(x + аJ + г/2
3164.2 = arctg 2fl/ (а>0).
х2 + у2 - а2
3165. 2 = sgn (sin x sin у).
Найти поверхности уровня следующих функций:
3166. и = х + у + г.
3167. ы = х2 + у2 + 22.
3168. к = х2 + у2 - 22.
3169. и = (х + уJ + г2.
3170. w = sgn sin (x2 + у2 + г2).
290 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Исследовать характер поверхностей по данным их
уравнений:
3171. z =/(у - ах). 3172. z = /(V*2 + y2).
3173. г = xf[A . 3174. z = /Г«
3175. Построить график функции
F(t) = /(cos t, sin t),
где
/(*,y)=i;yJx'
l 0; у < x.
3176. Найти /Г 1, У.) , если /(х, у) = -|^ •
V х) х2 + у2
3177. Найти /(х), если
J.
\xJ-~
3178. Пусть
/И =«?!+? {х>0).
V^cy х
z= Ту +кЛ- l).
Определить функции /иг, если z = х при у = 1.
3179. Пусть
z = х + у + /(х - у).
Найти функции /иг, если г = х2 при у = 0.
3180. Найти /(х, у), если /( х + у, ^ J = х2 - у2.
3181. Показать, что для функции
/(х, у) = ^JL
х + у
имеем
lim {lim f{x, у)} = 1; lim {lim f{x, у)} = -1,
* — 0 у — 0 у— 0 ж — 0
в то время как hm/(x, у) не существует.
X— О
3182. Показать, что для функции
г2„2
/(*, г/) = =??
х2у2 + (х- уJ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
291
имеем
lim {lim f(x, у)} = lim {lim fix, у)} = О,
дс —0 у— О у — О * —О
тем не менее lim fix, у) не существует.
г/-О
3183. 1. Показать, что для функции
fix, у) = {х + у) sin-sin -
х у
оба повторных предела lim {lim f(x, у)} и lim {lim fix, у)} не су-
Х'О у^О j — Ох — О
ществуют, тем не менее существует lim fix, у) = 0.
J— О
2. Существует ли предел
2х? ¦
х~0 Х2 + У2
lim
3. Чему равен предел функции
f{x, y) = х2е~<-х2-У>
вдоль любого луча х = t cos а, у = t sin a @ < t < +оо) при t—> +оо?
Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при х ~~* +°°
иг/ -*+оо?
3184. Найти
lim {lim fix, у)} и lim {lim fix, у)},
x -~ а у —• b у —• b X —* a
если:
а) fix, y) = 2L+JL , a = oo, fo = oo;
x2 + yi
б) fix, y) = -2- ,a = oo,b = +0;
1 + x"
в) fix, y) = sin -^L_ , a = oo, ;, = oo;
2x +у
r) /(x, y) = J- tg -5Й- , a = 0, Ь = oo;
лгг/ 1 + xy
д) /(x, y) = logx (x + y), a = 1, b = 0.
Найти следующие двойные пределы:
3185. lim , Х + У ,. 3186. lim ?i±?J.
х-*°° Х2 - XU + у2 х-°° X4 + у4
у — ОО у — СО
3187. lim ЁЫХ. 3188. lim (х2 + г/2)е~(х + у)-
jc— О X х— +°°
у — а у ~~* +00
292 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3189. lim (-^ЧТ • 3190. lim (х2 + у2)у2
JC— +оо \Х* + иг/ Х-+0
у — +оо У — 0
3191. lim (l + ±У*. 3192. lim h4x + e'J).
*™~V X) x-l Jx2 , u2
3193. По каким направлениям ф существует конечный предел:
a) lim е"г + уг; б) lim ex -у ¦ sin 2xy,
р -* +0 р — +со
если х = р cos ф и у = р sin ф?
Найти точки разрыва следующих функций:
3194. и = 1 . 3195. и = JUL..
Jx2 + у2 Х + У
3196. и = 4^Л • 3197. и = sin ±-.
д^ + у3 яг/
3198. « = - . 3199. и = In A - х2 - у2).
sina:sin(/
3200. и = — .
дгг/z
3201. u = In * .
J(x - аJ + (у - ЬJ + (г - сJ
3202. Показать, что функция:
| 2хг/ ^ еслих2 + у2^0,
а)/(*,*/) = f + У2 2 2 п
[ 0, если дт + г/^ = О,
непрерывна по каждой переменной л: и у в отдельности (при
фиксированном значении другой переменной), но не является
непрерывной по совокупности этих переменных;
б) f(x, у) = 1
*2У ¦, если х2 + и2 * 0,
х* + у* у
О, если х2 + у2 = О,
в точке О @, 0) непрерывна вдоль каждого луча
х = t cos а, у = t sin а @ < t < +оо),
проходящего через эту точку, т. е. существует
lim f(t cos а, t sin а) = /@, 0);
« — о
однако эта функция не является непрерывной в точке @, 0).
§ 1. Предел функции. Непрерывность
293
3203. 1. Исследовать на равномерную непрерывность
линейную функцию
и - 2х - Зу + 5
в бесконечной плоскости Е2 — \\х\ < +оо, \у\ < +оо I.
2. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости
Е2 = \\х\< +оо, \у\ < +оо функцию
и = Jx2 + у2.
3. Будет ли равномерно непрерывной функция
f(x, у) = sin-
1 - х2- у2
в области х2 + у2 < 1?
4. Дана функция
и = arcsin-.
У
Является ли эта функция непрерывной в своей области
определения Е?
Будет ли функция и равномерно непрерывной в области Е1
3204. Показать, что множество точек разрыва функции
f(x, у) = х sin - , если у^Ои f(x, 0) = 0, не является замкнутым.
У
3205. Доказать, что если функция f(x, у) в некоторой области
G непрерывна по переменной х и равномерно относительно х
непрерывна по переменной у, то эта функция непрерывна в
рассматриваемой области.
3206. Доказать, что если в некоторой области G функция
f(x, у) непрерывна по переменной х и удовлетворяет условию
Липшица по переменной у, т. е.
\f(x, у') - f(x, у")\ < Ь\у' - у"\,
где (х, у') € G, (х, у") € G и L — постоянная, то эта функция
непрерывна в данной области.
3207. Доказать, что если функция f(x, у) непрерывна по
каждой переменной х и у в отдельности и монотонна по одной из
них, то эта функция непрерывна по совокупности переменных
(теорема Юнга).
294 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3208. Пусть функция f(x, у) непрерывна в области а < х < А,
Ь < у < В, а последовательность функций ц>„(х) (п = 1, 2, ...)
сходится равномерно на [а, А] и удовлетворяет условию Ь < (рп(х) < В.
Доказать, что последовательность функций
Fn{x) = f(x, фп(*)) (п=1,2, ...)
также сходится равномерно на [а, А].
3209. Пусть: 1) функция f(x, у) непрерывна в области
R (а < х < А; Ъ < у < В); 2) функция ф(х) непрерывна в интервале
(а, А) и имеет значения, принадлежащие интервалу (Ь, В).
Доказать, что функция
F(x) = f{x, ф(х))
непрерывна в интервале (а, А).
3210. Пусть: 1) функция /(х, у) непрерывна в области
R(a< х < A; b < у < В); 2) функция х = ф(и, v) и у = \\i(u, и)
непрерывны в области R' (а' < и <А'; b' < v < В') и имеют значения,
принадлежащие соответственно интервалам (а, А) и (Ь, В).
Доказать, что функция
F(u, v) = /(ф(ц, и), ф(и, и))
непрерывна в области R'.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
1. Частные производные. Результат частного дифференцирования
функции нескольких переменных не зависит от порядка
дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление, непрерывны.
2. Дифференциал функции. Если полное приращение функции
f(x, у, г) от независимых переменных х, у, z может быть представлено
в виде
Af(x, у, г) = ААх + ВАу + САг + о(р),
где А, В, С не зависят от Ах, Ау, Аг и р = J(AxJ + (AyJ + (AzJ , то
функция f(x, у, z) называется дифференцируемой в точке (х, у, г), а линейная
часть приращения ААх + ВАу + САг, равная
df(x, у, z) = f'x (x, у, z) dx + f'y (х, у, z) dy + f'z (x, у, z) dz, A)
где dx = Ax, dy = Ay, dz = Az, называется дифференциалом этой
функции.
Формула A) сохраняет свое значение и в том случае, когда
переменные х, у, z являются некоторыми дифференцируемыми функциями от
независимых переменных.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
295
Если х, у, z — независимые переменные, и функция f(x, у, г) имеет
непрерывные частные производные до п-ro порядка включительно, то
для дифференциалов высших порядков имеет место символическая
формула
dnf{x, у, z) = ( dx^ + dy$- + dz^j" fix, y, z).
3. Производная сложной функции. Если и> = f(x, у, z) —
дифференцируема и х = ф(ц, и), у = \\i(u, l>), г = х (w. и), где функции ф, \|/, %
дифференцируемы, то
dw _ д_шдх , ЭшЭ(/ , dwdz
du дхди дуди dzdu'
dw = диУдх , thvdji , dwdz
ди dxdv дуди dzdv
Для вычисления производных второго порядка функции w полезно
пользоваться символическими формулами:
^Е = Гр,А ч-вД +R1±Jw+^l^E +д^1^Е +'dRidw
ди2 I дх ду ldz) ди дх ди ду ди dz
и
*» -(р э +еэ +л э>| (р э +Q э +R дл +
где
dudv v Эх Эу Згу v Эх ду dz
+ dj\dtv + djhdiv , dRtdw
до дх dv ду dv dz
p -дх п _ Эг/ p _ dz .
du du du
Эо Эи di>
4. Производная в данном направлении. Если направление 1 в
пространстве Oxyz характеризуется направляющими косинусами:
{cos a cos P cos у} и функция и = f(x, у, г) дифференцируема, то
производная по направлению 1 вычисляется по формуле
du du . ди г, . du
— = — cos а + ^- cos Р + ^~ cos Y-
dl дх dy dz
Скорость наибольшего роста функций в данной точке по модулю и
направлению определяется вектором — градиентом функции:
gradu=^i + ^j+^k,
дх dy dz
модуль которого равен
2 /л,.\2 /л..ч2
*-¦ '=ШЧ|)Ч1
296 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3211. 1. Показать, что
/; (х, b) = j~x [fix, b)].
2. Найти f'x (x, 1), если
fix, у) = х + (у - 1) arcsin /- .
3212. 1. Найти /; @, 0) и /; @, 0), если
fix, у) = Ifxy .
Является ли эта функция дифференцируемой в точке О@, 0)?
2. Является ли дифференцируемой в точке 0@, 0) функция
fix, у) = Ух3 + у3 ?
3. Исследовать на дифференцируемость в точке 0@, 0)
функцию
и /@, 0) = 0.
fix, у) = е *2 + »2 при хг + у2 > О
Найти частные производные первого и второго порядков от
следующих функций:
3213. и = х4 + г/4 - 4х2у2
3215. и= -.
У2
3217. и = х sin ix + у).
3219. u = tg^.
У
3221. и = In ix + у2).
3223. и = arctg-^i^-.
1-ху
3225. и =
Jx2 + y2 + zz
3214. и = ху + У-.
3216. и
4*2 + у2
3218. и
У
3220. и = ху.
3222. и= arctg^.
л:
3224. u = arcsin-
Jx~*~TJ*
3226. u= f 5
3227. u = х*
3228. u = х*2
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
297
3229. Проверить равенство
д2и _ д2и
дхду дудх '
если:
а) и = х2 - 2ху - Зу2; б) и = x'J2; в) и = arccos /- .
ЧУ
3230. 1. Пусть f(x, у) = хух*~У2, если х2 + у2 * 0 и ДО, 0) = 0.
Показать, что
/х„ @,0)*/?@,0).
2. Пусть
| _|?2_ при х2 + у2 > 0;
f(x,y)= 1 Хг + уг У
I 0 при х = у = 0.
Существует ли f'x'y@, 0)?
3231. Пусть u = /(х, у, г) — однородная функция измерения п.
Проверить теорему Эйлера об однородных функциях на
следующих примерах:
а) и = (х - 1у + ЗгJ; б) и = х : в) и = -)х.
Jx* + yt+z2 \yJ
3232. Доказать, что если дифференцируемая функция
и = /(х, у, г) удовлетворяет уравнению
хди +уди +гди =пи>
ах ду дг
то она является однородной функцией измерения п.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
F{t) = f(tx, ty, tz) _
3233. Доказать, что если f(x, у, z) — дифференцируемая
однородная функция измерения п, то ее частные производные
f'x (х, у, г), f'y (x, у, z), f'z (x, у, г) — однородные функции
измерения п ~ 1.
298 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3234. Пусть и = f(x, у, г) — дважды дифференцируемая
однородная функция измерения п. Доказать, что
( хД- + у — + г^-] и = п(п- 1)и.
V дх ду 02 )
Найти дифференциалы первого и второго порядков от
следующих функций (х, у, z — независимые переменные):
3235. и = хту". 3236. и = ? .
У
3237. и = Jx2 + y2. 3238.u = lnjx2 + y2.
3239. и = еху. 3240. и = ху + yz + гх.
3241. и = -?—2.
3242. Найти d/(l, 1, 1) и d2/(l, 1, 1), если
Я*. У, г) = 2|.
3243. Показать, что если
и = Jx2 + у2 + z2,
то d2u > 0.
3244. Предполагая, что х, у малы по модулю, вывести
приближенные формулы для следующих выражений:
а) A + х)тA + у)"; б) In A + х) ¦ In A + у); в) arctg -?±У- .
1+ху
3245. Заменяя приращение функции дифференциалом,
приближенно вычислить
а) 1,002 ¦ 2,0032 • 3,0043; б) 1'032 - ;
ll@, 98)VT705
в) Vl,023 + 1,973; г) sin 29° ¦ tg 46°; дH,971'05.
3246. На сколько изменятся диагональ и площадь
прямоугольника со сторонами д;=6миг/=8м, если первая сторона
увеличится на 2 мм, а вторая сторона уменьшится на 5 мм?
3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился на Да = 1°.
На сколько следует уменьшить радиус сектора R = 20 см, чтобы
площадь сектора осталась без изменения?
3248. Доказать, что относительная погрешность
произведения приближенно равна сумме относительных погрешностей
сомножителей.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
299
3249. При измерении радиуса основания R и высоты Н
цилиндра были получены следующие результаты:
Л =B,5 ± 0,1) м; Я =D,0 ± 0,2) м.
С какой абсолютной погрешностью Д и относительной
погрешностью 8 может быть вычислен объем цилиндра?
3250. Стороны треугольника а = B00 ± 2) м, Ь = C00 ± 5) м
и угол между ними С = F0 + 1)°. С какой абсолютной
погрешностью может быть вычислена третья сторона с треугольника?
3251. Показать, что функция
/(х, у) = J\xy\
непрерывна в точке @, 0) имеет в этой точке обе частные
производные f'x @, 0) и f'y @, 0), однако не является дифференцируемой
в точке @, 0).
Выяснить поведение производных f'x (х, у) и f (х, у) в
окрестности точки @, 0).
3252. Показать, что функция
Ах, у) = -^= ,
Jx2 + у2
если х'2 + у2 ^ 0 и /@, 0) = 0, в окрестности точки @, 0)
непрерывна и имеет ограниченные частные производные f'x (х, у) и
f (х, у), однако эта функция недифференцируема в точке @, 0).
3253. Показать, что функция
f(x, у) = (х2 + у2) sin -^— ,
если х2 + у2 ^ 0 и /@, 0) = 0, имеет в окрестности точки @, 0)
частные производные f'x(x, у) и f'y(x, у), которые разрывны в
точке @, 0) и неограничены в любой окрестности ее; тем не менее
эта функция дифференцируема в точке @, 0).
3254. Доказать, что функция /(х, у) имеющая ограниченные
частные производные fx (x, у) и fy (x, у) в некоторой выпуклой
области Е, равномерно непрерывна в этой области.
3255. Доказать, что если функция f(x, у) непрерывна по
переменной х при каждом фиксированном значении у и имеет
ограниченную производную f (x, у) по переменной у, то эта
функция непрерывна по совокупности переменных хну.
300 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Найти указанные частные производные в следующих задачах:
: - у + х2 + 2ху + у2 + х3 -
Зх2у - у3 + х4 - 4х2у2 + у4.
3256-ё'й1м-е™" = *-»+*г + 2^ + «! + **-
3257. -^- , если и = х In (xy).
дх2ду
3258. — , если и = х3 sin у + у3 sin x.
дх3ву3
3259. -^Н_ , если и = arctg * + У + '-*У* ,
дхдудг 1- ху- хг- у г
3260. .Л3" , если и = е"".
cbcdl/dz
3261. , .?"".. , если u = In
дхдуд&Ц л/(л:-?.J + (г/-ПJ
3262. |^t, если и = (х - х0)" (у - у0)".
3263. : :— , если и — ? .
дхтдуп х-у
3264. ¦?"""" , если и = (х2 + у2)ех + ".
дхтду"
3265. Эр","Гц , если u = xyzex + y + 2.
дхРдучдгГ
3266. Найти /"'„"'(О, 0), если Дх, у) = е* sin г/.
3267. Показать, что если
и = f(xyz),
то
д3и
= *"(*),
ЭхОг/с)г
где ? = xyz, и найти функцию F.
3268. Найти d4u, если и = х4 - 2х3у - 2ху3 + у4 + х3 - Зх2у -
- Зху2 + у3 + 2х2 - ху + 2у2 + х + у + 1.
д4и д4и д*и д4и „ д4и 0
Чему равны производные
Эх4 дх3ду ' дх2ду2 дхду3 ду4
Найти полные дифференциалы указанного порядка в
следующих примерах:
3269. d3u, если и = х3 + у3 - Зху (х - у).
3270. d3u, если и = sin (x2 + у2).
3271. сРи.если и = In (x + у).
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
301
3272. d6u, если и = cos х ch у.
3273. d3u, если и = xyz.
3274. d4u, если и = In (xxyyzz).
3275. d"u, если u = еа* + ^
3276. d"u, если ц = X(x)Y(j/).
3277. d"u, если u = f(x + у + z).
3278. dnu, если u = eax + ^ + ".
3279. Пусть Pn(x, y, z) — однородный многочлен степени п.
Доказать, что
d"Pn(x, у, z) = п\ Pn(dx, dy, dz).
3280. Пусть
Аи = х^ +удЛ.
ох ду
Найти Аи и Аги = А(Аи), если:
а) и = х ; б)и = \njx2 + y2
х2 + у2
3281. Пусть
Аи = <2!if + pi..
dz2 oy2
Найти Аи, если:
а) и = sin х ch у; б) и = 1п,Ух2 + у2.
3282. Пусть
*.-AГ ¦(!)¦¦(?)'•
2 дх2 ду2 дг2 '
Найти Д^ и А2и, если:
а) и = х3 + у3 + z3 - Bxyz; б) и
Jx2 + у2 + z2
Найти производные первого и второго порядков от
следующих сложных функций:
3283. и = /(х2 + у2 + z2).
3284. u = f\x,
V у
3285. и = /(х, ху, xyz).
302 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3286. Найти ?%- , если
Охау
u = f(x + у, ху).
3287. Найти Аи = р$ + ^ + ^|, если
ох1 ду1 дг1
и = f(x + у + г, х2 + у2 + z2).
Найти полные дифференциалы первого и второго порядков
от следующих сложных функций (х, у и z — независимые
переменные):
3288. и = /*(?)> где t = x 4- у.
3289. и = /(<), где t = у- .
х
3290. u = f(Jx2Ty~2).
3291. и = f(t), где t = xyz.
3292. и = f(x2 + у2 + г2).
3293. и = /(?, л), где ?, = ах, л = by.
3294. и = /"(?, Г)), где ?, = х + у, г) = х - у.
3295. u = f{l, Л), где ? = ху, г\ = - .
У
3296. u = f(x + у, z).
3297. и = f(x + у + г, х2 + у2 + z2).
3298. и = f {- Л).
3299. и = f(x, у, z), где х = t, у = t2, z = ts.
3300. и = f(t,, Л. 0. где ?, = ах, л = by, С, = cz.
3301. и = /($, Л. О, где ? = х2 + у2, л = х2 - у2, С = 2ху.
Найти dnu, если:
3302. и = f(ax + by + cz).
3303. и = f{ax, by, cz).
3304. и = /(?, Л. О. где ? = ajx + ^г/ + cxz, л = a2x + b2y + c2z,
С = a3x + b3y + c3z.
3305. Пусть и = f(r), где г = V*2 + J/2 + z2 и / — дважды
дифференцируемая функция. Показать, что
Аи = F(r),
где Аи = —— + —4 + т-^ — оператор Лапласа, и найти функцию F.
ох2 ду2 6г2
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
303
3306. Пусть пив — дважды дифференцируемые функции и
Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305). Доказать, что
Д(ци) = uAv + vAu + 2A(u, i>),
где
A(u ul = ^IL^R + д]±д? _i_ dudv
дхдх Зуду дгдг
3307. Показать, что функция
и = In J(x - аJ + (у - Ь)'г
(а и Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и , д2и _ q
дх2 ду2
3308. Доказать, что если функция и = и(х, у) удовлетворяет
уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то функция
v = и
х2 + у2 ' х2 + у2
также удовлетворяет этому уравнению.
3309. Показать, что функция
2ajnt
(аиЬ — постоянные) удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди _ гЭ2ц
i)t дх2 "
3310. Доказать, что если функция и = и(х, t) удовлетворяет
уравнению теплопроводности (см. задачу 3309), то функция
v=J^e-^l JJL—L] (f>0)
aji U2< аЧ)
также удовлетворяет этому уравнению.
3311. Доказать, что функция
и-!,
г
где г = J(x - аJ + (у - bJ + (z - сJ, удовлетворяет при г ^ 0
уравнению Лапласа
304 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3312. Доказать, что если функция и = и(х, у, г) удовлетворяет
уравнению Лапласа (см. задачу 3311), то функция
lu(k2x k2y k2z
где h — постоянная и г = Jx2 + у2 + z2, также удовлетворяет
этому уравнению.
3313. Доказать, что функция
С,е-"г+С2е"г
и = — — ,
где г= Jx2 + у2 + z2 и С1; С2 — постоянные, удовлетворяет
уравнению Гельмгольца
dhl +d_hl +dju = a2u_
дх2 ду2 Ъг2
3314. Пусть функциии иг = и^х, у, г) и и2 = и2(х, у, г)
удовлетворяют уравнению Лапласа Аи = 0.
Доказать, что функция
v = их(х, у, г) + (х2 + у2 + z2)u2(x, у, z)
удовлетворяет бигармоническому уравнению
Д(Ди) = 0.
3315. Пусть f(x, у, г) есть т раз дифференцируемая
однородная функция измерения п.
Доказать, что
ХТ- + УТ- + ZT У Л*. у,г) = п(п- 1)...(га -т+ l)f(x, у, г).
дх ду дг)
3316. Упростить выражение
sec х '-А + sec у Л ,
ох ду
если
z = sin у + /(sin х - sin у),
где / — дифференцируемая функция.
3317. Показать, что функция
2 = *7|Ч1 ,
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
305
где / — произвольная дифференцируемая функция,
удовлетворяет уравнению
дг , о дг
х— + 2у— = nz.
дх " ду
3318. Показать, что
2 = yf(x2 ~ у2),
где / — произвольная дифференцируемая функция,
удовлетворяет уравнению
у2Э? + дг =д;г_
у дх уду
3319. Упростить выражение
ди , ди , Э»
дх ду дг
если
" = j2 *4 ~ I х^у + 2) + |x2yz + f(y~ х' 2~ х)>
где / — дифференцируемая функция.
3320. Пусть
х2 = то, у2 = uw, z2 = uv
f(x, у, z) = F(u, и, и>).
Доказать, что
xfx + yfy + 2fz = иК + "К + wF'w .
Предполагая, что произвольные функции ср, \\i и т. п.
дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие
равенства:
3321. и'2? - х^ = 0, если z = ц>(х2 + у2).
дх ду
3322. х2— - ху'М + у2 = 0, если z = Ml + ц>(ху).
дг ду Зх
3323. (х2 -у2)~ + ху^- = хуг, если z = eyq
дх ду
о2у*
Уе
V У
3324. х^ + ауд^ + Qz<^ = пи, если и = хпц>{И- , ±) .
дх *ду н дг Ч*а х»)
306 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3325.*^ + удЛ+г^Л =и+^,еслии=^1пх + хФ(^,2
ох ду oz z г \х х
3326. ^# = а2^Ц , если и = ср(х - at) + \\i(x + at).
dt2 OX2
3327. 0 - 2g- + |iH = 0, если и = хФ(х + у) + уу{х + у).
3328. *'? + 2ч,Ц + ^ - С если и - ,g) + *^
3329. ^+2,„||+^|? =»<»-!)»,
если и = х" фГ^ + х1 - " у (#
3330. ^^- = ^ , если и = Ф[* + ц/(у)].
Путем последовательного дифференцирования исключить
произвольные функции ф и \|/:
3331. 2 = х + ф(ху). 3332. z = *фD
3333. z = q(Jx2 + y2). 3334. и = ф(* - у, у - г).
3335. и = фГ- , *0 . 3336. z = ф(х) + \)/(г/).
3337. 2 = ф(х)\|/(у). 3338. 2 = ф(х + у) + \у(х - у).
3339. 2 = хфГ-1 + г/!)/-) . 3340. 2 = ф(хг/) + \|/(-
3341. Найти производную функции
2 = X2 - у2
в точке МA, 1) в направлении I, составляющем угол а= 60°
с положительным направлением оси Ох.
3342. Найти производную функции
2 = X2 - Ху + у2
в точке МA, 1) в направлении I, составляющем угол а с
положительным направлением оси Ох. В каком направлении эта
производная имеет:
а) наибольшее значение; б) наименьшее значение;
в) равна нулю?
3343. Найти производную функции
2 = In (х2 + у2)
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
307
в точке М(х0, у0) в направлении, перпендикулярном к линии
уровня, проходящей через эту точку.
3344. Найти производную функции
U2 ъ2)
в точке М\ — , —1 по направлению внутренней нормали в этой
точке к кривой:
*? +2? =1.
а2 Ь2
3345. Найти производную функции
и = xyz
в точке М A, 1, 1) в направлении Z{cos a, cos р, cos у).
Чему равен модуль градиента функции в этой точке?
3346. Найти модуль и направление градиента функции
u-i,
г
где г = Jx2 + у2 + z2, в точке М0 (х0, у{), z0).
3347. Определить угол между градиентами функции
и = х2 + у2 - г2
в точках А (е., 0, 0) и В @, е, 0).
3348. На сколько отличается в точке М A, 2, 2) модуль
градиента функции
и = х + у + z
от модуля градиента функции
u = j; + j/42 + 0,001 sin A0r'njx2 + y2 + z2)?
3349. Показать, что в точке М0 (х0, у0, г0) угол между
градиентами функций
ц = ах2 + by2 + cz2
и
v = ах2 + by2 + cz2 + 2тх + 2пу + 2pz
(а, Ь, с, т, п, р постоянны и а2 + Ь2 + с2 ^ 0) стремится к нулю,
если точка М0 удаляется в бесконечность.
308 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3350. Пусть и = f(x, у, г) — дважды дифференцируемая
функция. Найти —^ = —I -^ I, если cos a, cos C, cos у — направ-
ol2 ol\olj
ляющие косинусы направления I.
3351. Пусть и = f(x, у, z) — дважды дифференцируемая
функция и
lx {cos ctj, cos Pj, cos Yi}, h {cos a2, cos C2, cos y2},
l3 {cos a3, cos p3, cos y3}
— три взаимно перпендикулярных направления.
Доказать, что:
¦>®, + ®' + ®'-®" + AИ=)'!
К\ д2ц л- д2ц + Э2Ц _ д2и , д2и , д2и
dl\ dl\ dl\ дх2 дУ2 ^г2 '
3352. Пусть и = и(х, у) — дифференцируемая функция и при
у = х2 имеем
и(х, у) = 1 и ^ = х.
Ох
Найти 2Н при у = х2.
ду
3353. Пусть функция и = и(х, у) удовлетворяет уравнению
д2и _ ~д2и _ г,
дх2 ду2
и, кроме того, следующим условиям:
и(х, 2х) = х, и'х (х, 2х) = х2.
Найти и;; (л:, 2х), u"xv (x, 2х), и'у'у(х, 2х).
Полагая z = z(x, у), решить следующие уравнения:
3354. ^|=0. 3355. ^- = 0. 3356. ^ = 0.
ОХ2 дхду дуп
3357. Полагая и = и(х, у, г), решить уравнение
ЭЗц =0.
дхдудг
3358. Найти решение z = z(x, у) уравнения
= х2 + 2у,
dz _ о
0У
удовлетворяющее условию z(x, x2)= 1.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
309
3359. Найти решение z = z{x, у) уравнения
Э22 _ г,
удовлетворяющее условиям: z(x, 0) = 1, z'(x, 0) = х.
3360. Найти решение z = z(x, у) уравнения
<Jz _
дхду
удовлетворяющее условиям: z(x, 0) = х, г@, у) = у2.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
1. Теорема существования. Если: 1) функция F{x, у, z) обращается
в нуль в некоторой точке А0(х0, у0, z0); 2) F(x, у, z) и F'x(x, у, z)
определены и непрерывны в окрестности точки А0; 3) F^(x0, y0, z0) ^ 0, то
в некоторой достаточно малой окрестности точки А„(х0, у0) существует
единственная однозначная непрерывная функция
г = f(x, у), A)
удовлетворяющая уравнению
F(x, y,z) = 0
и такая, что г0 = f(x0, y0).
2. Дифференцируемость неявной функции. Если, сверх того,
4) функция F(x, у, г) дифференцируема в окрестности точки
А0 (х0, у0, г0), то функция A) дифференцируема в окрестности точки
. , ч Эг Эг с-
А0(х0, у0) и ее производные — и —- могут быть найдены из уравнении
ох оу
<±Z + <Ш.<}1 = о '<№ + dFdz = 0 B)
дх дг дх ' ду дг ду
Если функция F(x, у, г) дифференцируема достаточное число раз, то
последовательным дифференцированием равенств B) вычисляются
также производные высших порядков от функции 2.
3. Неявные функции, определяемые системой уравнений. Пусть
функции Ft(xu ..., хт; ylt ..., уп) (I = 1, 2, ..., л) удовлетворяют
следующим условиям:
1) обращаются в нуль в точке Л0(х!0, ..., хп0; у10, ..., «/„„),
2) дифференцируемы в окрестности точки А0;
3) функциональный определитель ——'' '" '—— ^ 0 в точке X,.
о(Уь ...,уп)
310 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В таком случае система уравнений
*",•(*!, ...,*,„; (/„...,(/„) = 0 (/=1,2 п) C)
однозначно определяет в некоторой окрестности точки A0(xw, ..., хт0)
систему дифференцируемых функций
у,= /(*,, ..., хт) (i= 1, 2, ..., п),
удовлетворяющих уравнениям C) и начальным условиям
fi(xl0, ..., хт0) = г//0 (i = 1, 2, ..., л).
Дифференциалы этих неявных функций могут быть найдены из
системы
(i= 1, 2, .... лI».
3361. Показать, что разрывная в каждой точке функция Дирихле
J 1,если х рационально,
1 0,если х иррационально,
удовлетворяет уравнению
у2 - у = о.
3362. Пусть функция f(x) определена в интервале (а, Ь). В
каком случае уравнение
f(x)y = 0
имеет при а < х < Ь единственное непрерывное решение у — 0?
3363. Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны
в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение
f(x)y = g(x)
имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное решение?
3364. Пусть дано уравнение
х2 + у2 = 1 A)
и пусть
у = у(х) (-1 < * < 1) B)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению A).
1) Сколько однозначных функций B) удовлетворяет
уравнению A)?
11 При формулировке большинства задач этого раздела без оговорок
предполагается, что выполнены условия существования неявных
функций и их соответствующих производных.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
311
2) Сколько однозначных непрерывных функций B)
удовлетворяет уравнению A)?
3) Сколько однозначных непрерывных функций B)
удовлетворяет уравнению A), если: а) у@) = 1; б) уA) = О?
3365. Пусть дано уравнение
х2 = у2 A)
и пусть
У = У(х) (-оо < х < +оо) B)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению A).
1) Сколько однозначных функций B) удовлетворяет
уравнению A)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций B)
удовлетворяет уравнению A)?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций B)
удовлетворяет уравнению A)?
4) Сколько однозначных непрерывных функций B)
удовлетворяет уравнению A), если: а) уA) = 1; б) у@) = О?
5) Сколько однозначных непрерывных функций у = у(х)
A-8<л:<1+5) удовлетворяет уравнению A), если уA) =г= 1 и 5
достаточно мало?
3366. Уравнение
х2 + у2 = х* + г/4
определяет у как многозначную функцию от х. В каких областях
эта функция: 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4)
четырехзначна?
Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные
непрерывные ветви.
3367. Определить точки ветвления и непрерывные
однозначные ветви у = у(х) (-1 < х < 1) многозначной функции у,
определяемой уравнением
(х2 + у2J = х2- у2.
3368. Пусть f(x) непрерывна при а < х < Ъ и ф(у) монотонно
возрастает и непрерывна при с < у < d. В каком случае уравнение
Ф(У) = /(*)
определяет однозначную функцию
у = ф-ЧЛ*))?
Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х; б) е~у = -sin2 x.
312 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3369. Пусть
х = у + ф(у), A)
где ф@) = 0 и [ф'(у)[ < А < 1 при -а < у < а. Доказать, что при
-е < х < г существует единственная дифференцируемая функция
у = у(х), удовлетворяющая уравнению A), и такая, что у@) = 0.
3370. Пусть у = у(х) — неявная функция, определяемая
уравнением
х = ky + ф(у),
где постоянная k ^ 0, и ф(у) — дифференцируемая
периодическая функция периода со такая, что |ф'(у)| < Щ- Доказать, что
у = Х + Щх)г
где \|/(х) — периодическая функция с периодом |А|со.
Найти у' и у" для функций у, определяемых следующими
уравнениями:
3371. х2 + 2ху -у2 = а2.
3372. W*2 + y2 = arctg^ .
х
3373. у - е sin у = х @ < б < 1).
3374. ху = ух (х*у).
3375. у = 2xarctg^.
3376. Доказать, что если
1 + ху = й(* - у),
где k — постоянная величина, то имеет место равенство
dx _ dy
1 + х2 l + y2'
3377. Доказать, что если
х2у2 + х2 + у2 - 1 = 0,
то при ху > 0 имеет место равенство
dx + dy = 0
Vi -*4 Vi-у4
3378. Доказать, что уравнение
(*2 + у2J = а\х2 - у2) (а*0)
в окрестности точки х = 0, у = 0 определяет две
дифференцируемые функции: у = у^х) и у = уг(*). Найти yi @) и у'а @).
§ 3. Дифференцирование неявных функций
313
3379. Найти у' при х = 0 и у = 0, если
(х2 + у2J = Зх2у - у3.
3380. Найти у', у" и у'", если х2 + ху 4- у2 = 3.
3381. Найти у', у" и у'" при х = 0, у = 1, если
х2 - ху + 2у2 + х-у-1=0.
3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка
ах2 + 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + f = О
справедливо равенство
Для функции г = z(x, у) найти частные производные первого
и второго порядков, если:
3383. х2 + у2 + г2 = а2.
3384. z3 - 3xyz = а3.
3385. х + у + z = ег.
3386. 2 = V*2 - У2 • tg , * .
3387. * + у + z = e~ix + y + z).
3388. Пусть
х2 + у2 + z2 - 3xyz = О A)
и
f(x, у, z) = xy2z3.
Найти: a) f'x A, 1, 1), если z = z(x, у) есть неявная функция,
определяемая уравнением (l);6)f'x A,1,1), если у = у(х, z) есть
неявная функция, определяемая уравнением A). Объяснить,
почему эти производные различны.
3389. Найти ^ , ^- , ^ при х = 1, у = -2, z = 1, если
dx2 dxdy ду2
х2 + 2у2 + 3z2 + ху - z - 9 = 0.
Найти dz и d2z, если:
3390. ^ + ? + z- = 1.
а2 Ь2 с2
3391. xyz = х + у + z.
3392. * =1п - + 1.
314 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3393.z = х + arctg-
г- х
3394. Найти du, если и3 - 3(х + у)и2 + г3 = 0.
3395. Найти ^- , если F{x + у + г, х2 + у2 + г2) = 0.
дхду
3396. Найти р- и р-, если F(x - у, у - z, z - х) = 0.
ох ду
3397. Найти ^ , ^ и ^|, если F(x, х + г/, ж + у + г) = 0.
дх ду <)хг
3398. Найти:
1) f^|, если F(xz, yz) = 0;
2) d2z, если: a) F(x + z, у + z) = 0; 6) ^f- ,-1=0.
3399. Пусть z = z(x, у) — та дифференцируемая функция,
определяемая уравнением
z3 - xz + у = 0,
которая при х = 3, у = -2 принимает значение 2=2. Найти
dzC, -2) и d22C, -2).
3400. Пусть х = х(г/, г), у = у(х, z), z = г(х, у) — функции,
определяемые уравнением F(x, у, z) = 0.
Доказать, что
дхду_ дг_ _ _,
ду дг дх
3401. Найти Ц- и 4ё , если х + у + z = О, х2 + у2 + z2 = 1.
az dz
3402. Найти:
a)dx( jfo dfz и ^)Прих=1 _1)Z=2> если
аг аг ах2 az2
х2 + у2= -г2, х + у + г = 2;
б) Эй Эй Эи и Эи если жи - ну = о, ум + жу = 1.
dx ду дх ду
3403. Система уравнений
fxe u + 2uu= 1,
[ 1 + v
определяет дифференцируемые функции и = и(х, у) и v = v(x, у)
такие, что иA, 2) = 0 и иA, 2)= 0. Найти dw(l, 2) и dv(l, 2).
§ 3. Дифференцирование неявных функций
315
3404. Найти du, dv, d2u и d2v, если
sinu x
и + v = х + у,
sin и у
3405. Найти du, dv, d2u и d2v при х = 1, у = I, и = 0, v = - ,
4
если
it u
е~х cos - = — , е'х sin - = —.
У Л У Л
3406. Пусть
X = t + Г1, y=t2 + Г2, Z = t3 + Г3.
Найти UR , il, &U и *?1.
ах ах ах2 dx2
3407. В какой области плоскости Оху система уравнений
х = и + и, у = и2 + v2, z = и3 + и3,
где параметры и и у принимают всевозможные вещественные
значения, определяет z как функцию от переменных хну?
Найти производные -А- и -2 .
dx dl/
3408. Найти:
а) ^ и ~ в точке ц = 1, v = 1, если
ах оу
\х = и + In и,
Jl/ = D-lnu,
[z = 2u + и;
"Jv
б) ——- в точке и = 2, v = 1, если
dxdy
X = U + V2,
у = и2- v3,
z = 2ии;
гJг
в) — , если
X = COS ф COS \\1, у = COS ф Sin \|/, Z = Sin ф.
3409. Найти ^|, ^- и ^f , если
dx2 dxdi/ d(/2
х = и cos v, у = и sin у, z = и.
316 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3410. Пусть функция г = z(x, у) определяется системой
уравнений:
[Z = UV
(и к и — параметры). Найти dz и d2z при ц = 0ии = 0.
3411. Найти 2? и ?!? , если
ох ох2
z = х2 + у2,
где у = у{х) определяется из уравнения
х2 - ху + у2 = 1.
3412. Найти ^ и ^ , если
ох оу
У + г
где z определяется из уравнения
гег = хех + уеу.
3413. Пусть уравнения
х = ф(и, v), у = \|/(u, v), z = %(и, и)
определяют z как функцию от х и у. Найти ^ и -^ .
dx с)г/
3414. Пусть
х = ф(ц, и), (/= у(«, и).
Найти частные производные первого и второго порядков от
обратных функций: и = и(х, у) и v = u(x, у).
3415. Найти — , —, —, —¦, если:
ож оу ох оу
а.) х = и cos - , у = и sin - ;
и и
б) х = еи + и sin v, у = е" - и cos u.
3416. Функция и = и(х) определяется системой уравнений
lu = f(x, у, z),
)g(x,y,z) = 0,
[h(x,y,x) = 0.
тт " du d2u
Найти — и —— .
ax ax2
§ 3. Дифференцирование неявных функций
317
3417. Функция и = и(х, у) определяется системой уравнений
\U = f(x, у, 2, t),
\g(y,z, 0 = 0,
\h(z, t) = 0.
Найти %L и ^ .
ox <)y
3418. Пусть
x = f(u, v, w), у = g(u, v, w), г = h(u, v, w).
Найти ^ , ^ и ^ .
3419. Функция 2 = z(x, у) удовлетворяет системе уравнений
f(x, у, z, 0 = 0,
[g(x, у, z, 0 = 0,
где t — переменный параметр. Найти dz.
3420. Пусть и = f(z), где z — неявная функция от переменных
хну, определяемая уравнением z = х + y<p(z).
Доказать формулу Лагранжа
д"и = Э»-> [[ф(г)гЭи
дуп дх"-1\ ах
Указание. Доказать формулу для л=1и применить метод
математической индукции.
3421. Показать, что функция z = z(x, у), определяемая
уравнением
Ф(х-аг,у-Ьг) = 0, A)
где Ф (и, и) — произвольная дифференцируемая функция от
переменных и и v (а и Ь — постоянные), является решением
уравнения
п — 4- Л— = 1
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности A).
3422. Показать, что функция z = z(x, у), определяемая
уравнением
ф fllfo , !LJb) = 0, B)
\ z - г0 z — z0y
где Ф (и, и) — произвольная дифференцируемая функция от
переменных и и v, удовлетворяет уравнению
(*-*„)|+0/-У„)| =*-*„.
Выяснить геометрические свойства поверхности B).
318 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3423. Показать, что функция z = z (x, у), определяемая
уравнением
ах + by + cz = Ф (х2 + у2 + г2), C)
где Ф(и) — произвольная дифференцируемая функция от
переменной и и а, Ъ и с — постоянные, удовлетворяет уравнению
(су - bzI^- + (az - сх)'-^- = bx - ay.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности C).
3424. Функция z = z(x, у) задана уравнением
х2 + у2 + г2 = у/B
Показать, что
(x2-y2-z2)^ +2XI& =2xz.
<)х ду
3425. Функция z = z(x, у) задана уравнением
F(x + zy'1, у + zx~l) = 0.
Показать, что
*?+»!—*»-
3426. Показать, что функция z = z(x, у), определяемая
системой уравнений:
х cos а + у sin а + In г = /(а),
-х sin а + у cos а = /'(а),
где а = а(х, у) — переменный параметр и /(а) — произвольная
дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению
(!),+(!)'"•¦
3427. Показать, что функция z = z(x, у), заданная системой
уравнений:
z = ах + У- + /(а),
а
0 = х - JL + /'(а))
удовлетворяет уравнению
дхду
а2
dz_dz _ 1
§ 4. Замена переменных
319
3428. Показать, что функция z = z{x, у), заданная уравнениями
[z - /(а)]2 = х2(у2 - а2),
[г - /(а)]/'(а) = ах2,
удовлетворяет уравнению
3429. Показать, что функция z = z(x, у), заданная уравнениями
\z = ах + уф(а) + \|/(а),
lO = x + ycp'(a) + i|/'(a),
удовлетворяет уравнению
9?z д±г _ ( д2гЛ2 = Q
дх2 ду2 Кдхду)
3430. Показать, что неявная функция z = z(x, у),
определяемая уравнением
у = хф) + \y(z),
удовлетворяет уравнению
дгУд^г _ 2 ЭгЭг_Э?г_ + (дг\2 9fz = Q
3z// дх2 дхдудхду \дх) ду2
§ 4. Замена переменных
1. Замена переменных в выражении, содержащем обыкновенные
производные. Пусть в дифференциальном выражении
А= Ф(х, у, у'х , у'х'х , ...)
требуется перейти к новым переменным: t — независимой переменной
и и — функции, связанным с прежними переменными х и у уравнениями
x = f(t,u),y = g(t,u). A)
Дифференцируя уравнения A), будем иметь:
dt ди '
Ух
dt ди '
Аналогично выражаются высшие производные у'х'х , ... В результате мы
получаем
А= Ф,(*, и, и\ , и\\ , ...).
320 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Замена независимых переменных в выражении, содержащем
частные производные. Если в дифференциальном выражении
r = р( дг_ дг_ d2z д2г д2г
V ' ' ' дх ' ду ' дх2 ' дхду ' ду2 '
положить
х = f(u, v), у = g{u, и), B)
где пив — новые независимые переменные, то последовательные част-
дг дг
ные производные — , — , ... определяются из следующих уравнении:
дх ду
дг _ 0z9? , dzdg
ди д%ди дуди '
дг = dz_df_ , dzdg_
dv dxdv dy'dv '
и т. п.
3. Замена независимых переменных и функции в выражении,
содержащем частные производные. В более общем случае, если имеем
уравнения
х = f(u, v, w), у = g(u, v, w), z = h(u, v, w), C)
где и, v — новые независимые переменные и w = w(u, v) — новая функ-
дг дг
ция, то для частных производных — , — , ... получаем такие уравне-
ах ду
^if^L + ^L^J?^\ + Ulfdjl + д?д]?) _ ЭЛ , ¦ dhdw
dxVdu dwdu) дууди dwdu) ди dwdu'
il(M + М.диЛ + ^l(M + M.^E] = ЭЛ , dh dw
dx\dv dwdu) dy\dv dwdu J dv dwdu
и т. п.
В некоторых случаях замены переменных удобно пользоваться
полными дифференциалами.
3431. Преобразовать уравнение
г/У" - Зг/ = х,
приняв у за новую переменную.
3432. Таким же образом преобразовать уравнение
у'УУ-10уУУ"+15у''3 = 0.
3433. Преобразовать уравнение
У"+ 1у' + у = 0,
приняв х за функцию и t = ху — за независимое переменное.
§ 4. Замена переменных
321
Вводя новые переменные, преобразовать следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения:
3434. х2у" + ху' + у = О, если х = е'.
3435. у'" = ^ , если t = In \x\.
у х3 ' '
3436. A - х2)у" - ху' + п2у = О, если х = cos t.
3437. у" + у' thx + -^1 у = 0, если ж = In tg- .
ch2x 2
3438. у" + p(x)y' + g(x)y = 0, если у = ие "•• , гдер(х) € СA).
3439. х4у" + хуу' - 2у2 = О, если х = е* и у = ие2', где и = и(?)-
3440. A + х2Jу" = у, если х = tg t и у = —— , где и = u(f).
cost
3441. A - х2Jу" = -у, если х = th t и у = -У- , где u = u(t).
cht
3442. у" + (х + т/)A + т/K = 0, если л; = u + tny = u~t,rp,eu = u(t).
3443. у'" - х3у" + ху' - у = 0, если х = — и у = - , где и = и(<).
3444. Преобразовать уравнение Стокса
у» = АК ,
у (х-аJ(х-ЬJ
полагая
и = -L , t = In
х- о
х- Ъ
и принимая и за функцию переменной t.
3445. Показать, что если уравнение
pL + р(х)^ +q(x)y=0
ах2 ах
преобразовать подстановкой х = ф(?,) в уравнение
g +P(t,)& +Q(^)y=o,
то
[2P&)Q{Q + ЯШШЯ ~'2 = [2p(x)q(x) + q'(x)][q(x)] ,
3446. В уравнении
ФG/, г/, 7/") = О,
322 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
где Ф — однородная функция переменных у, у', у", положить
х
J-
У=« "
3447.В уравнении
с dx
У = е{
F{x2y", xy', у) = О,
где F — однородная функция своих аргументов, положить
У'
и = .г— .
У
3448. Доказать, что уравнение
у"\\ + у'2) - Зу'у = О
не меняет своего вида при гомографическом преобразовании
х_ а^ + Ь^ + Су а2^+Ь2г\ + с2
Указание. Данное преобразование представить в виде
композиции простейших преобразований:
х = аХ + РУ + у, у = Y;
Xj = at, + br\ + с, Yl = a2\ + b2r\ + c2.
3449. Доказать, что шварциан
L v n x'(t) 2Lx'(t)]
x'(t) 2lx'(t).
не меняет своего значения при дробно-линейном преобразовании:
У2*^ (ad-bc^O).
cx(t) + d
Преобразовать к полярным координатам г и ф, полагая
х = г cos ф, у = г sin ф, следующие уравнения:
3450. & = *±Х.
dx х- у
3451. (ху' - уJ = 2*1/A + у'2).
3452. (х2 + у2?у" = (х + yy'f.
3453. Преобразовать к полярным координатам выражение
х + у у' _
ху' -у'
§ 4. Замена переменных
323
3454. Кривизну плоской кривой
К= 1 Ухх |
,2,
A + Ух
2
выразить в полярных координатах гиф.
3455. В системе уравнений
*Л = у + kx(x* + if), ft=-x + ky(x2 + y2)
перейти к полярным координатам.
3456. Преобразовать выражение
dt2 y dt2
введя новые функции г = Jx2 + у2, ф = arctg ^ .
3457. В преобразовании Лежандра каждой точке (х, у)
кривой у = г/(х) ставится в соответствие точка (X, Y), где
Х = y',Y= xy' - у.
Найти Т, Y" и Г".
Вводя новые независимые переменные ?, и г), решить
следующие уравнения:
3458. -^- = ^-, если i; = x + i/Hri = x-i/.
dx dy
3459. у^ - х^ = 0, если I = х и ii = х2 + у2.
3460. а^ +Ь^=1(й^0), если 1 = х кч\ = у - bz.
ох ду
3461. х?^ + ур- = 2, если ? = х и г, = у- .
дх ' ду X
Принимая и и и за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3462. хр- + Л + у2 ~ = ху, если
дх ду
и = In х и и = In (у + лД + У2 )•
3463. (х + у)^- -(х~у)(^- = 0, если
дх ду
и = In V*2 + г/2 и и = arctg - .
324 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3464. хр- + у^ = z + 4хг + у2 + г2, если
Ох ду
U = - И V = 2 + Jx2 + t/2
+ z^.
3465. х^- +ур- = ^,если
ах ду г
u=2x-z2nv=-.
г
3466. (х + z)^- + (у + 2)^ = х + у + 2, если
дх ду
u = x + znv = y + z.
3467. Преобразовать выражение
(z + ех)^ + (г + е*)^ - (г2 - е* + »),
дх ду
приняв за новые независимые переменные
% = у + ге'х, г\ — х + ze~y.
3468. Преобразовать выражение
дг\2 + fdzY
удх) VdyJ
полагая
х = ии, у = |( - v2).
3469. В уравнении
Э* ду дг
ди , ди , ди _ q
ПОЛОЖИТЬ
?, = х,х\ = у- х,{, = г- х.
3470. Преобразовать уравнение
приняв х за функцию, а у и 2 — за независимые переменные.
3471. Преобразовать уравнение
приняв х за функцию, а и = у - z, и = у + z — за независимые
переменные.
§ 4. Замена переменных
325
3472. Преобразовать выражение
приняв х за функцию и и = хг, v = yz — за независимые
переменные.
3473. Решить уравнение
(у + z + и)^ + (х + z + и)р- +{х + у + и)^- = х + у + z,
дх ду dz
положив е^ = х - и, ец = у - и, е^ = z - и.
Перейти к новым переменным и, и, ю, где w = w(u, v), в
следующих уравнениях:
3474. ур- - х^ = (у - х)г, если
ох ду
и = х2 + у2, v = - + - , w = In z - (х + у),
х у
3475. х2^ +у2р- = z2, если
ах ау
и = х, и = - - - , w = - --,
ух г х
3476. (ху + г)~ + A - угг4- = х + yz, если
ах ду
и = yz - х, v = xz - у, w = ху - г.
х = uew, у = vew, z = wew.
3478. Преобразовать выражение
<*-»¦¦{*-%.
полагая
и = In *Jx2 + у2, и = arctg z, w = х + у + z,
где w = w(u, v).
3479. Преобразовать выражение
л _ дг_ . дг_
дх ду
полагая и = хег, и = уег, w = zez, где w = w(u, v).
326 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3480. Решить уравнение
*Э« +у'дЛ + 2дЛ = ц+*?,
дх ду dz г
положив i; = - ,Ц= ^, С = z, w = - , где w = w(t„ r\, Q.
z z z
Преобразовать к полярным координатам гиф, полагая
х = г cos ф, у — г sin ф, следующие выражения:
З481.ю = *^ -у^.
ду v дх
3482. w = х'р + у^ .
дх "ду
*---& + °?-
3486.|0-*»^2 + 2=су^+у'Щ.
дх2 дхду оу*
«»—•'ё - fa»sg;+ «"If - (*i+ »|
3487. Преобразовать выражение
дхду дудх '
положив х = г cos ф, у = г sin ф.
3488. Решить уравнение
д2и _ гЪ2и
dt2 дх2 '
введя новые независимые переменные:
% = х - at, г\ = х + at.
Приняв и и и за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3489. 2^1 + 1^-^1+^ + ^=0, если
дх2 дхду ду2 дх ду
u = х + 2 г/ + 2 и v = х - у - 1.
3490.A+^+(l+^)g+«|+s|=0, если
1п(х + Jl + х2) и v = ln(j/ + Vl +У2)-
,2д*г , 9Avi, d*z ,nil2d2z
3491. axiU—Z; + 2fexy^-f- + cy^^- = 0 (a, b, с— постоянные),
с)*'' охш/ дуг
если
ц = In х и d = In у.
§ 4. Замена переменных
327
3492. р- + Щ = 0, если
дх2 ду2
и = ——— и v = -—^—.
х2 + у2 х2 + у2
3493. ^ + ^ + /n2z = О, если
х = е" cos и и у = еи sin и.
и = х - 2jy и v = х + 2*fy.
3495. *2^ -Иг| = 0, если
Эх2 ()г/2
и = ху и и = - .
У
3496. х2^| - (х2 + у*)Щ- + у2Щ = 0, если
дх2 дхду ду2
и = х + и и v = - + - .
х у
3497. qjU - (^V)g; + Ч$? + »| + *| - 0. если
и = | (х2 + У2) и и = ху.
3498. х2^ - 2* sin г/^- + sin2 y^| = 0, если
дх2 дхду ду2
и = х tg & и v = х.
3499. х~ - уЩ = О (х > О, у > 0), если
Эх2 " d(/2 " '
х = (и + иJ и у = (и - уJ.
3500. i^- = f l + ^V , если
dxdl/ V ду)
и = х и u=i/ + z.
3501. С помощью линейной замены
?, = х + Хху, ц= х + Х2у
преобразовать уравнение
АТ1 + 2В?т + СТТ = °> (!)
cbc2 с^лгЭг/ di/2
где А, В и С — постоянные и АС - В2 < 0, к виду
if". =о.
Найти общий вид функции, удовлетворяющей уравнению A).
328 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа
не меняется при любой невырожденной замене переменных
x = (f>(u, v), j/ = ц/(и, и),
удовлетворяющей условиям:
ди dv ' dv ди'
3503. Преобразовать уравнения:
а) Ди = ^ + Щ = 0; б) Д(Дц) = 0,
дх2 дуг
полагая и = /(г), где г = V*2 + У2 •
3504. Какой вид примет уравнение
fE.+cw=0,
дхду
если положить w = f(u), где и = (х - х0)(у - у0)?
3505. Преобразовать выражение
А = х— + у^- + —,
дхг дхду дх '
полагая
х + у = X, у = XY.
3506. Показать, что уравнение
не меняет своего вида при преобразовании переменных
х = uv и у = - .
* v
3507. Показать, что уравнение
д2г , о d2z , dj_z _ ,-,
дх2 дхду ду2
не меняет своего вида при замене переменных
и = х + z и v = у + z.
§ 4. Замена переменных
329
3508. Преобразовать уравнение
дхду дудг ЪхЪг
полагая х = Г|^, у = ??, 2 = ?,г|.
3509. Преобразовать уравнение
d2z , Э?г , Э?г , д2г , d2z , Э2г _ q
Эх2 Эх2 Эх2 дххдх2 дхх'дх3 дх2дх2
полагая г/х = х2 + х3 - х1г у2 = хх+ х3- х2, у3 = х1 + х2 - д;3.
3510. Преобразовать уравнение
*!е+Ф+г21?+2^S+2"B+2"гё - •¦
полагая t,= -,r\ = -,^ = y-z.
Указание. Записать уравнение в виде А2и - Аи = 0, где
А = х— + у— + г— .
Ох ду дг
3511. Выражения
А = д2ц 4- ^2ц + Э2Ц
2 Э*2 Эу2 Эг2
преобразовать к сферическим координатам, полагая
х = г sin 8 cos ф, у = г sin 9 sin ф, z = r cos 9.
Указание. Замену переменных представить в виде композиции
двух частичных замен
х = R cos ф, у = R sin ф, z = z
и
R = г sin 9, ф = ф, z = r cos 8.
3512. Преобразовать уравнение
чЭл:2 Э?/2У Vd;ey \ду,
введя новую функцию ш и полагая ц> = г2.
330 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Приняв и и v за новые независимые переменные и w = w(u, v)
за новую функцию, преобразовать следующие уравнения:
3513. у^2 +2р- = - , если и = - , v = x, w = xz - у.
ду2 ду х у
3514. ^2 -2^2. + ^| = о, если и = * + у, у= 2, и; = 2.
cte* ожгл/ ш/2 л: л:
3515. ^| +2^|- + ^| = 0,еслии = л; + г/, v = x-y,w = xy-z.
дх2 дхду ду2 у у
3517. Щ - 2iif + Г1 + !!] 3f| - о, если
дх2 дхду V *У ду2
и= х, v = х + у, w — х + у + z.
3518.A-ЛЦ+A-Лр=«|+!,|,всл„
х = sin и, у = sin и, 2 = е1".
3519. A - х2)^ - 2ff - 2х^ - I г = о (|х| < 1), если
Эле2 Эг/2 5* 4
и = - (у + arccos x), v = - (г/ - arccos x), w = zl/l - х2.
dz дг_
3520. р + |^ = 2^-^ - 3(*2 + У2)* (|*| > \у\), если
Эх2 Э(/2 х2-(/2 (х2-у2J ' ' ""'
и = х + у, v = х - у, w
Jx2 - г/2
3521. Доказать, что всякое уравнение
дхду дх ду
(а, 6, с — постоянные) путем замены
2= иеах + ^,
где а и Р — постоянные величины и и = w(x, г/), можно привести
к виду
д2и
дхду
+ с^и = О (с1 = const).
§ 4. Замена переменных
331
3522. Показать, что уравнение
д2и _ ди.
дх2 ду
не изменяет своего вида при замене переменных
x'=*,y' = -I,u'= Ji^,
У У Jy
где и' — функция переменных х' и у'.
3523. Преобразовать уравнение
где Р = -^ и q = -^ , положив ы = х + 2, u=i/ + 2, ш=л; + 1/ + г,
Эх оу
считая, что w = w(u, и).
3524. Преобразовать уравнение
положив * = е4, г/ = ел, z = е^, и = е1", где ш = w{t,, г), Q.
3525. Показать, что вид уравнения
3fz 3?z _ ( д2г\2 = 0
дх2 ду2 Удхду)
не меняется при любом распределении ролей между
переменными х, у и z.
3526. Решить уравнение
М]2 ii? - 2—— ^- + Г—У д2г - о
Эг/у Эх2 ЭхЭу Э*:Э(/ Idx/ ду2
приняв х за функцию от переменных у и 2.
3527. Преобразовать уравнение
Vox ду) дх2 \дх ду) дхду \дх ду) ду2
применяя пРеобРазование ЛежандРа
у _ dz v _ дг у _ дг , дг _
-Л — — , 1 — — , z, — х— -t- у— z,
дх ду дх ду
где Z = Z(X, Y).
332 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 5. Геометрические приложения
1. Касательная прямая и нормальная плоскость. Уравнение
касательной прямой к кривой
* = ф(*), y = W(t), z = X(«)
в точке ее М(х, у, г) имеет вид
Х-х = Y-y = Z-z
dx dy dz
dt dt dt
Уравнение нормальной плоскости в этой точке:
4g(X-x)+ ^(y-y)+E2(Z-z) = 0.
at dt dt
2. Касательная плоскость и нормаль. Уравнение касательной
плоскости к поверхности г = f(x, у) в точке ее М(х, у, z) имеет вид
Z - z = il (X - х) + ^ (У - у),
dx dy
Уравнение нормали в точке М есть
Х-х = Y-y = Z-z
dz dz -l
dx dy
Если уравнение поверхности задано в неявном виде F(x, у, г) = О,
то соответственно имеем
r)F <)F <)F
°rf(X-x)+ 2?(y-j,)+2?(Z-2)=0
dx dy dz
— уравнение касательной плоскости и
Х-х = Y-y = Z-z
dF ()F dF
дх ду dz
— уравнение нормали.
3. Огибающая кривая семейства плоских кривых. Огибающая
кривая однопараметрического семейства кривых f(x, у, а) = 0 (а —
параметр) удовлетворяет системе уравнений:
f(x, у, а) = 0, /; (х, у, а) = 0.
4. Огибающая поверхность семейства поверхностей. Огибающая
поверхность однопараметрического семейства поверхностей F(x, у, г, а) = 0
удовлетворяет системе уравнений:
F(x, у, г, а) = 0, /? (х, у, г, а) = 0.
В случае двупараметрического семейства поверхностей Ф(х, у, г, а, Р) = 0
огибающая поверхность удовлетворяет следующим уравнениям:
Ф(х, у, г, а, C) = 0, Ф^х, у, г, а, Р) = 0, Фр(х, у, z, a, P) = 0.
§ 5. Геометрические приложения
333
Написать уравнения касательных прямых и нормальных
плоскостей в данных точках к следующим кривым:
3528. х — a cos a cos t, у = a sin a cos t, z = a sin t; в точке t = t0.
3529. x = a sin2 t, у = b sin t cos t, z = с cos2 t; в точке t = - .
4
3530. i/ = x, z = x2; в точке МA, 1, 1).
3531. x2 + z2 = 10, у2 + z2 = 10; в точке МA, 1, 3).
3532. х2 + у2 + z2 = 6, х + у + z = 0; в точке МA, -2, 1).
3533. На кривой
х = t, у = t2, z = t3
найти точку, касательная в которой параллельна плоскости
х + 2у + z = 4.
3534. Доказать, что касательная к винтовой линии
х = a cos t, у = a sin t, z = bt
образует постоянный угол с осью Oz.
3535. Доказать, что кривая
х = ае' cos t, у = ае( sin ?, z = aef
пересекает все образующие конуса х2 + у2 = z2 под одним и тем
же углом.
3536. Доказать, что локсодрома
tgg + S) = е*ф (fe = const),
где ф — долгота, \|/ — широта точки сферы, пересекает все
меридианы сферы под постоянным углом.
3537. Найти тангенс угла, образованного касательной в точке
М0(х0, у0) к кривой
z = f(x, у), Х—^ = К^ ,
cos a sin a
где / — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху.
3538. Найти производную функции
Jx2 + у2 + г2
в точке МA, 2, -2) в направлении касательной в этой точке к
кривой
x=t,y= 2t2, z = -2t4.
334 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Написать уравнения касательной плоскости и нормали в
точке М0 к следующим поверхностям:
3539. z = х2 + у2; М0A, 2, 5).
3540. х2 + у2 + г2 = 169; М0C, 4, 12).
3541. 2 = arctg^; М0( 1, 1, |) .
3542. ах2 + by2 + cz2 = 1; М0(х0, у0, 20).
3543. 2= t/ + In-; M0(l, 1, 1).
3544. 2 ; +2* =8; М0B, 2, 1).
3545. х = a cos \j/ cos ц>, у = b cos \|/ sin cp, 2 = с sin у, М0(ц>0, \|/0).
3546. х = г cos ф, у = г sin ф, 2 = г ctg а; М0(ф„, г0).
3547. х = и cos и, у = и sin и, 2 = аи; М0(ио, и0).
3548. Найти предельное положение касательной плоскости к
поверхности:
х = и + и, у = и2 + v2, 2 = и3 + Vя,
когда точка касания М(и, и) (и ^ и) неограниченно приближается
к точке М0(ц0, i>0) линии края и = и поверхности.
3549. На поверхности
х2 + Чу2 + 3z2 + 2ху + 2x2 + Ayz = 8
найти точки, в которых касательные плоскости параллельны
координатным плоскостям.
3550. В какой точке эллипсоида
*! + и! + zl = 1
а2 Ь2 с2
нормаль к нему образует равные углы с осями координат?
3551. К поверхности
х2 + Чу2 + Ъг2 = 21
провести касательные плоскости, параллельные плоскости
х + 4у + 62 = 0.
3552. Доказать, что касательные плоскости к поверхности
xyz = а3 (а > 0) образуют с плоскостями координат тетраэдр
постоянного объема.
3553. Доказать, что касательные плоскости к поверхности
Jx + Jy + Jz = Ja (a>0)
отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна.
§ 5. Геометрические приложения
335
3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу
—"(Э
проходят через его вершину.
3555. Доказать, что нормали к поверхности вращения
г = /G^Т72) (Г*ох
пересекают ось вращения.
3556. Найти проекции эллипсоида
х2 + у2 + z2 - ху = 1
на координатные плоскости.
3557. Квадрат {0<х<1,0<у<1} разбит на конечное число
частей а диаметра^ 5. Оценить сверху число 5, если направления
нормалей к поверхности
z = 1 - х2 - у2
в любых точках Р{х, у) и Р1(х1, yt), принадлежащих одной и той
же части о, отличаются меньше чем на 1°.
3558. Пусть
z = fix, у), где (х, у) € D, A)
— уравнение поверхности и cp(Pi, Р) — угол между нормалями
к поверхности A) в точках Pix, у) € D и Р^х1г ух) € D.
Доказать, что если область D ограничена и замкнута, а
функция fix, у) имеет ограниченные производные 2-го порядка в
области D, то справедливо неравенство Ляпунова
Ф(Р1,Р)<Ср(Р1, Р), B)
где С — постоянная и p(Pi, Р) — расстояние между точками Р и Pj.
3559. Под каким углом пересекается цилиндр х2 + у2 = а2
с поверхностью bz = ху в общей точке М0(х0, у0, z0)?
3560. Показать, что координатные поверхности сферических
координат х2 + у2 + z1 = г2, у = х tg ц>, х2 + у2 = z2 tg2 8 попарно
ортогональны.
3561. Показать, что сферы
х2 + у2 + z2 = 2ах, х2 + у2 + z2 = 2Ьу, х2 + у2 + z2 = 2cz
образуют триортогональную систему.
336 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3562. Через каждую точку М(х, у, z) проходят при А = Aj,
А. = А.2, А. = А3 три поверхности второго порядка:
*2 + У\ + —^— = -1 (а > Ъ > с> 0).
а2-А2 б2-А2 с2-A2 v ;
Доказать ортогональность этих поверхностей.
3563. Найти производную функции и=х+у+гв
направлении внешней нормали сферы х2 + у2 + г2 = 1 в ее точке
М0(х0, Уо> 2о)- В каких точках сферы нормальная производная
функции и имеет:
а) наибольшее значение, б) наименьшее значение,
в) равна нулю?
3564. Найти производную функции и = х2 + у1 + г2 в
направлении внешней нормали эллипсоида ^-+^-+— =1в его точке
а2 Ъ2 с2
М0(х0, г/0, г0).
3565. Пусть -^ и — — нормальные производные функций и
an an
и и в точке поверхности F(x, у, г) = 0. Доказать, что
an an on
Найти огибающие однопараметрических семейств плоских
кривых:
3566. х cos а + у sin а = р (р = const).
3567. (х - аJ + у2 = ^ .
3568. у = /гх + | (а = const).
3569. г/ = 2рх+/Л
3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины /, концы
которого скользят по осям координат.
3571. Найти огибающую эллипсов — + У- =1, имеющих по-
а2 Ь2
стоянную площадь S.
3572. Найти огибающую траекторий снаряда, выпущенного
в безвоздушном пространстве с начальной скоростью и0, при
варьировании в вертикальной плоскости угла бросания а.
3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой
есть эволюта этой кривой.
3574. Исследовать характер дискриминантных кривых
семейств следующих линий (с — переменный параметр):
а) кубических парабол у = (х - сK;
б) полукубических парабол у2 = (х - сK;
§ 6. Формула Тейлора
337
в) парабол Нейля у3 = (х - сJ;
г) строфоид (у - сJ = х2 —i? .
а + л:
3575. Определить огибающую семейства шаров радиуса г,
центры которых расположены на окружности х = R cos t,
у = R sin t, z = 0 (t — параметр, R > г).
3576. Найти огибающую семейства шаров
(х - t cos aJ + (у - t cos (ЗJ + (z - t cos уJ = 1,
где cos2 а + cos2 C + cos2 у = 1 и t — переменный параметр.
3577. Определить огибающую семейства эллипсоидов
а2 Ь2 с2
объем которых V постоянен.
3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р, центры
которых расположены на поверхности конуса х2 + у2 = г2.
3579. Светящаяся точка находится в начале координат.
Определить конус тени, отбрасываемой шаром
(х - х0J + (у- у0J + (z- zQJ < R2,
если х0 + yQ + zQ > R2.
3580. Найти огибающую семейства плоскостей
г- г0=р(х- х0) + q(y - у0),
если параметры р и q связаны уравнением
p2 + q2= 1.
§ 6. Формула Тейлора
1. Формула Тейлора. Если функции f(x, у) имеет в некоторой
окрестности точки (а, Ь) непрерывные все частные производные до л + 1
порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула
f(x, у) = /(а, Ь) + ? ?[(* - а)?. + (У - b)i-J Да, Ь) + Rn(x, у), A)
где
Rn(x,y)=—L-\(x-aJ- +(y-b)±]n+lf(a + Q,l(x-a),b + Qn(y-b))
(я + 1)!L ox дул
(о < е„ < 1).
338 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Ряд Тейлора. Если функция f(x, у) бесконечно дифференцируема
и lim = Rn(x, у) = 0, то эта функция допускает представление в виде
п — on
степенного ряда
оо
/(*, у) = Да, Ъ) + ]Г ±fjyha,b)(x-ay{y-by. B)
Частные случаи формул A) и B) при а = Ъ = 0 соответственно носят
названия формулы Маклорена к ряда Маклорена.
Аналогичные формулы имеют место для функции более чем двух
переменных.
3. Особые точки плоских кривых. Точка Ма(х0, у0)
дифференцируемой кривой F{x, у) = 0 называется особой, если
F(x0, Уо) = 0, F'x(x0, г/0) = 0, F'y (х0, у0) = 0.
Пусть М0(х0, у0) — изолированная особая точка кривой класса СB) и числа
А = F'x'x (х0, (/„), В = F'x'y (х0, г/0), С = F^ (x0, у0)
не все равны нулю. Тогда, если:
1)АС - В2 > 0, то М0 — изолированная точка;
2) АС - В2 < 0, то М0 — двойная точка (узел);
3) АС - В2 = 0, то М0 — точка возврата или изолированная точка.
В случае А = S = С = 0 возможны более сложные типы особых точек.
У кривых, не принадлежащих классу гладкости СB), могут быть
особенности более сложной природы: точка прекращения, угловые точки и др.
3581. Функцию f(x, у) = 2х2 - ху - у2 - 6х - Зг/ + 5 разложить
по формуле Тейлора в окрестности точки АA, —2).
3582. Функцию f(x, у, z) = х3 + у3 + г3 - Зхуг разложить по
формуле Тейлора в окрестности точки АA, 1,1).
3583. Найти приращение, получаемое функцией
f{x, у) = х2у + ху2 - 2ху,
при переходе от значений х = 1, у = -1 к значениям хг— 1 + h,
l/i = -l + *¦
3584. Разложить f(x + h, у + k, z + 1) по целым
положительным степеням величин h, k и I, если
f(x, у, z)=Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz,
3585. В разложении функции
/(*, У) = *у
в окрестности точки АA, 1) выписать члены до второго порядка
включительно.
§ 6. Формула Тейлора
339
3586. Разложить по формуле Маклорена до членов
четвертого порядка включительно функцию
fix, у) = Jl-x2- у2.
3587. Вывести приближенные формулы с точностью до
членов второго порядка для выражений:
ч cos.r . яч ,„1 + х + и
а) ; o)arctg- *.,
cosy 1 - х + у
если \х\ и \у\ малы по сравнению с 1.
3588. Упростить выражение
cos(x + у + z) - cos х cos у cos z,
считая х, у, z малыми по модулю.
3589. Функцию
F(x, у) = I [Я* + h, у) + f(x, y + h) +
+ f(x - h, y) + fix, у - h)]- fix, y)
разложить по степеням h с точностью до Л4.
3590. Пусть fiP) = f(x, у) и Р,(х„ у,) (i = 1, 2, 3) — вершины
правильного треугольника, вписанного в окружность с центром
в точке Р(х, у) радиуса р, причем х1 = х + р, уг = у. Разложить
по целым положительным степеням р с точностью до р2 функцию
Др)= |[ЛЛ) + ЛР2) + «Р3)].
3591. Разложить по степеням h и k функцию
&xyfix, у) = fix + h, у + k) - fix + h,y)- fix, y + k) + fix, y).
3592. Разложить по степеням р функцию
2л
Fip) = — f(x + P cos Ф> У + P sin ф) <^Ф-
0
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
3593. fix, у) = A + х)тA + у)п. 3594. /(*, у) = 1пA + х + у).
3595. fix, у) = ех sin у. 3596. Дх, у) = ех cos у.
3597. fix, у) = sin х sh у. 3598. /(*, у) = cos x ch г/.
3599. fix, у) = sin(x2 + у2).
3600. /(х, у) = 1пA + хIпA + у).
340 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3601. Написать три члена разложения в ряд Маклорена
функции
1
f(x,y)= Г A +x)'2«dt.
о
3602. Функцию ех + у разложить в степенной ряд по целым
положительным степеням биномов х - 1 и у + 1.
3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции f(x, у) = -
У
в окрестности точки МA, 1).
3604. Пусть z — та неявная функция от х и у, определяемая
уравнением z3 - 2xz + у = 0, которая при х = 1 и у = 1 принимает
значение 2=1.
Написать несколько членов разложения функции z по
возрастающим степеням биномов х - 1 и у - 1.
Изучить типы особых точек следующих кривых и примерно
изобразить эти кривые:
3605. у2 = ах2 + х3. 3606. х3 + у3 - Зху = 0.
3607. х2 + у2 = х4 + у4. 3608. х2 + у4 = х\
3609. (х2 + у2J = а\х2 - у2). 3610. (у - х2J = х\
3611. (а + х)у2 = (а - x)x2.
3612. Изучить форму кривой у2 = (х - а)(х - Ь)(х - с) в
зависимости от значений параметров а, Ь, с (а < Ъ < с).
Исследовать особые точки трансцендентных кривых:
3613. у2 = 1 - е-*2. 3614. г/2 = 1 - е~х3.
3615. y = xlnx. 3616. у = -?— .
1 + е*
3617. у = arctgf—!—) . 3618. у2 = sin-.
Vsinxy 2
3619. у2 = sin x2. 3620. у2 = sin3 ж.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
1. Определение экстремума. Пусть функция f(P) = /(лсц ..., хп)
определена в окрестности точки Р0. Если или Д-Ро) > /(-Р), или /(Р0) < f(P)
при 0 < р(Р0, Р) < 8, то говорят, что функция f(P) имеет экстремум
(соответственно максимум или минимум) в точке Р0.
2. Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция
f(P) может достигать экстремума лишь в стационарной точке Р0, т. е.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
341
такой, что е(/(-Р0) = 0- Следовательно, точки экстремума функции f(P)
удовлетворяют системе уравнений
/;. (Xj, ..., хп) = 0 (i= 1, ..., п).
3. Достаточное условие экстремума. Функция f(P) в точке Р0 имеет:
п
а) максимум, если df(P0) = О, d2f(P0) < 0 при V1 |^л:,| ^ О,
i = 1
п
б) минимум, если df(P0) = 0, d2f(P0) > О при V1 |с(х(| ^ 0.
i = 1
Исследование знака второго дифференциала d2f(P0) может быть
проведено путем приведения соответствующей квадратичной формы к
каноническому виду.
В частности, для случая функции f(x, у) двух независимых
переменных х к у в стационарной точке (х0, у0) (df(x0, yQ) — 0) при условии,
что D = AC - В2 *Л, где А = f'x'x (х0, у0), В = f'x'y (х0, у0), С = f'y'y (х0, у0),
имеем:
а) минимум, если D > 0, А > 0 (С > 0);
б) максимум, если D > 0, А < 0 (С < 0);
в) отсутствие экстремума, если D < 0.
4. Условный экстремум. Задача определения экстремума функции
Л-Ро) = Л*1> •••> хп) ПРИ наличии ряда соотношений срД-Р) = 0 (i = 1, ...,
т; т < п) сводится к нахождению обычного экстремума для функции
Лагранжа
т
цр) = f(P) + ? ШР),
i= 1
где "ki(i= 1, .-., /п) — постоянные множители. Вопрос о существовании
и характере условного экстремума в простейшем случае решается на
основании исследования знака второго дифференциала d2L(P0) в
стационарной точке Р0 функции L(P) при условии, что переменные dxx, ..., dxn
связаны соотношениями
V !^'d*,. = o(/=i,...,m).
h дх>
5. Абсолютный экстремум. Функция f(P), дифференцируемая в
ограниченной и замкнутой области, достигает своих наибольшего и
наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в
граничной точке области.
Исследовать на экстремум следующие функции нескольких
переменных:
3621. z = х2 + (у - IJ.
3622. г = х2 - (у - IJ.
342 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3623. z = (x- у + IJ.
3624. 2 = х2 - ху + у2 - 2х + у.
3625.2 = х2у3F - х- у).
3626. 2 = х3 + у3 - Зху.
3627. а) 2 = х4 + у4 - х2 - 2ху - у2;
б) 2 = 2х4 + у4 - х2 - 2у2.
3628. 2 = ху + 52 + 20 (д: > 0, у > 0).
х у
3629. г = ху ll-*l-Ul (а > 0, Ъ > 0).
WV а2 Ь2 v
3630. 2 = ах + ьУ+с (а2 + Ь2 + с2 * 0).
л/х2 + у2 + 1
3631. 2=1- 4х2 + у2.
3632. г = е2ж + 3"(8х2 - бху + Зу2).
3633. 2 = е^-^E-2х + у).
3634. 2 = Eх+ 7у-25)е-(*2 + *У + У2К
3635. 2 = х2 + ху + у2 - 4 In х - 10 In у.
3636. 2 = sin x + cos у + cos (x - у) Г 0 < х < - ; 0 < у < -1.
3637. г = sin х sin у sin (х 4- у) @ < х < л; 0 < у < л).
3638. 2 = х - 2у + lnjx2 + y2 + 3 arctg^ .
3639. z = xy ln(x2 + у2).
3640. 2 = x + у + 4 sin x sin у.
3641. 2 = (x2 + y2)e-<*2 + .«2>.
3642. и = x2 + у2 + г2 + 2х + 4у - 6г.
3643. и = х2 + у2 + г2 + 12ху + 2г.
3644. и = х+-^-+^+2 (х > 0, у > 0, г > 0).
4х у х v .» . у
3645. w = xy2z3(a - х - 2у - Зг) (а > 0).
3646. и= — + — + У1 + ?1 (х > 0, у > 0, z > 0, а> 0, b > 0).
х у z Ь
3647. и = sin х + sin у + sin г - sin (x + у + 2) @ < х < л; 0 < у < л;
О < г < л).
3648.и=ххх2 ...х" A-х1-2х2-...-дх„)(х1 >0,х2>0, ...х„>0).
3649. и = X! + -2 + ^ + ... + -Ь_ + -2- (*, > о, i = 1, 2, ... л).
X, Х2 Х_ . X.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
343
3650. Задача Гюйгенса. Между двумя положительными
числами а и b вставить п чисел х1У x2, ..., хп так, чтобы значение
дроби
„ _ х\хг---хп
(a + xt)(xl + x2)...(xn+b)
было наибольшим.
Найти экстремальные значения заданной неявно функции z
от переменных х и у:
3651. х2 + у2 + z2 - 2х + 2у - 42 - 10 = 0.
3652. х2 + у2 + z2 - xz - yz + 2х + 2у + 2z - 2 = 0.
3653. (х2 + у2 + z2J = а\х2 + у2- z2).
Найти точней условного экстремума следующих функций:
3654. 2 = ху, если х + у = 1.
3655. 2 = ^ + 2 , если х2 + у2 = 1.
а Ъ
3656. 2 = х2 + у2, если ?+2=1.
а о
3657. а) 2 = Ах2 + 2Вху + Су2, если х2 + у2 = 1;
б) 2 = х2 + 12лч/ + 2у2, если 4х2 + у2 = 25.
3658. 2 = cos2 х + cos2 у, если х - у = j.
3659. и = jc - 2г/ + 2г, если л:2 + i/2 + г2 = 1.
3660. и = хтупгр, если
л: + у + 2 = а (т > 0, п > 0, р > 0, а > 0).
3661. и = х2 + у2 + z2, если
~2+!й+-2^1 (а>Ь>с>0).
а2 Ьг с2
3662. и = хг/223, если x+2y + 3z = a(x>0,y>0,z>0,a>0).
3663. а) и = хг/г, если х2 + у2 + г2 = 1, х + у + z = 0;
б) и = лгг/ + yz, если х2 + г/2 = 2, i/ + 2 = 2 (х > 0, у > 0,
2>0).
3664. и = sin х sin г/ sin г, если л; + у + 2 = ^ (х > 0, г/ > 0, г > 0).
344 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3665. и= —+ У- + -. если
а2 Ь2 с2
х2 + у2 + z2 = 1, х cos а + у cos C + г cos у = О
(а > b > с > 0, cos2 а + cos2 C + cos2 Y = !)•
3666. и = (х - ?J + (i/ - лJ + (z - О2, если
Ах + By + Cz = 0, х2 + у2 + z2 = R2,
—э— = —0— = -?- , где cos2 а + cos2 C + cos2 y = 1 •
coscc cosp cosy
3667. и = x1 + x2 + ... + xn , если
?l+?i+... + ?»=! (a > 0; i = 1, 2, ... n).
ax a2 a„
3668. u= x^ + xp2 + ... + xpn (p> 0), если
Xj + x2 + ... + x„ = a (a > 0).
3669. u=^i+^+... + ^; если
x1 x2 xn
Pl*l + P2*2 + ... + C„X„= 1
(a, > 0, ft > 0, Xj > 0, i = 1, 2, ..., n).
3670. и = Xj x2 ... x„ , если xa + x2 + ... + x„ = a (a > 0, af > 1,
i=l,2, ... n).
3671. Найти экстремум квадратичной формы
и = X a'l-i X'X' ^аЧ = а'^
•,1
при условии V Xj = 1.
i= l
3672. Доказать неравенство
П л. jtn
Хп +
Ml > 1±1
2 12
если и > 1 и х > 0, у > 0.
Указание. Искать минимум функции г = - (хл + i/") при условии
х + у = s.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
345
3673. Доказать неравенство Гёльдера
Oj > 0, х, > 0, i = 1, 2, ..., л;А>1, i+l=l
ft ft'
Указание. Искать минимум функции
при условии У а;лг, = А.
; = 1
3674. Доказать неравенство Адамара для определителя
Л = |aj порядка га:
Указание. Рассмотреть экстремум определителя А = |а,,| при
наличии соотношений
? 4 =S, «-1.2, .../г).
Определить наибольшие (sup) и наименьшие (inf) значения
следующих функций в указанных областях:
3675. z = х - 2у - 3, если 0<х<1,0<г/<1,0<х + г/<1.
3676. z = х2 + у2 - 12х+ 16у, если х2 + у2 < 25.
3677. г = х2 - ху + у2, если |х| + \у\ < 1.
3678. и = х2 + 2г/2 + Зг2, если х2 + у2 + г2 < 100.
3679. и = х + у + z, если х2 + у2 < г < 1.
3680. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup)
функции
u = (x + y + z)e~lx + 2y + 3*)
в областях х > 0, у > 0, г > 0.
3681. Показать, что функция z = A + е") cos x - уе*' имеет
бесконечное множество максимумов и ни одного минимума.
3682. Является ли достаточным для минимума функции f(x, у)
в точке М0(х0, у0), чтобы эта функция имела минимум вдоль каждой
прямой, проходящей через точку М0?
Рассмотреть пример f(x, у) = (х - у2)Bх - у2).
346 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3683. Данное положительное число а разложить на п
положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных величин
их была наименьшей.
3684. Данное положительное число а разложить на п
слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
3685. Данное положительное число а разложить на п
положительных множителей так, чтобы сумма заданных
положительных степеней их была наименьшей.
3686. На плоскости даны п материальных точек Р1(х1, у{),
Рг(х2> У2)' •••> Рп(хп' Уп) с массами, равными соответственно т1,
т2, ..., тп.
При каком положении точки Р(х, у) момент инерции системы
относительно этой точки будет наименьшим?
3687. При каких размерах открытая прямоугольная ванна
вместимости V имеет наименьшую поверхность?
3688. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна
с полукруглым поперечным сечением, поверхность которой
равна «S, имеет наибольшую вместимость?
3689. На сфере х2 + у2 + г2 = 1 найти точку, сумма квадратов
расстояний которой от п данных точек Mt{xt, yt, zt) (i = 1, 2, ... n)
была бы минимальной.
3690. Тело состоит из прямого кругового цилиндра,
завершенного прямым круговым конусом. При данной полной
поверхности тела, равной Q, определить его измерения так, чтобы
объем тела был наибольшим.
3691. Тело, объем которого равен V, представляет собой
прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее и верхнее
основания которого завершаются одинаковыми правильными
четырехугольными пирамидами. При каком угле наклона боковых
граней пирамид к их основаниям полная поверхность тела будет
минимальной?
3692. Найти прямоугольник данного периметра 2р, который
вращением вокруг одной из своих сторон образует тело
наибольшего объема.
3693. Найти треугольник данного периметра 2р, который
вращением вокруг одной из своих сторон образует тело
наибольшего объема.
3694. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
3695. В данный прямой круговой конус вписать
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 347
3696. В эллипсоид
*? + ul + zl = i
a2 ft2 с2
вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3697. В прямой круговой конус, образующая которого I
наклонена к плоскости основания под углом а, вписать
прямоугольный параллелепипед с наибольшей полной поверхностью.
3698. В сегмент эллиптического параболоида - = — + ^-,
с а2 Ь2
z = с вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего
объема.
3699. Найти кратчайшее расстояние точки M0(xQ, yQ, z0) от
плоскости Ах + By + Cz + D = 0.
3700. Определить кратчайшее расстояние d между двумя
прямыми
*-*i = у-У\ = г-гх
т1 л. Pi
х-х2 = у-у2 = г-г2
т2 п2 р2
3701. Найти кратчайшее расстояние между параболой у — х2
и прямой х - у - 2 = 0.
3702. Найти полуоси центральной кривой второго порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 = 1.
3703. Найти полуоси центральной поверхности второго
порядка
Ах2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Eyz + 2Fxz = 1.
3704. Определить площадь эллипса, образованного
пересечением цилиндра
*! + й! =1
а2 Ь2
плоскостью
Ах + By + Cz = 0.
3705. Определить площадь сечения эллипсоида
Zl +Ul + zl =i
а2 Ь2 с2
плоскостью
х cos а + у cos Р + 2 cos у = 0,
где cos2 а + cos2 C + cos2 у = 1.
348 РАЗДЕЛ VI. ДИФФ. ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3706. Согласно принципу Ферма свет из одной точки в другую
попадает за кратчайшее время.
Предполагая, что обе точки расположены в различных
оптических средах, разделенных плоскостью, причем скорость
распространения света в первой среде равна vlt а во второй иг, вывести
закон преломления света.
3707. При каком угле падения светового луча на боковую
грань призмы с преломляющим углом а и показателем
преломления п угол отклонения луча (т. е. угол между падающим и
выходящим лучами) будет наименьшим? Определить этот угол
наименьшего отклонения.
3708. Переменные величины х и у удовлетворяют линейному
уравнению
у = ах + Ь,
коэффициенты которого требуется определить. В результате
ряда равноточных измерений для величин х и у получены значения
X;, (/; (t= 1, 2, .... П).
Пользуясь способом наименьших квадратов, определить
наивероятнейшие значения коэффициентов а и Ь.
Указание. Согласно способу наименьших квадратов наивероят-
нейшими значениями коэффициентов а и Ъ являются те, для которых
сумма квадратов погрешностей
? Д? - ? (ах, + Ь - у,)*
;=1 i = 1
будет наименьшей.
3709. На плоскости дана система п точек М;(х;, yt) (i = 1, 2, ...
..., п). При каком положении прямой х cos а + у sin а - р = 0
сумма квадратов отклонений данных точек от этой прямой будет
наименьшей?
3710. Функцию х2 на интервале A,3) приближенно заменить
линейной функцией ах + b так, чтобы абсолютное отклонение
Д = sup \х2 - (ах + Ь)\ A < х < 3)
было минимальным.
РАЗДЕЛ VII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Непрерывность интеграла. Если функции f(x, у) определена и
непрерывна в ограниченной области R[a <х<А;Ь<г/< В], то
/ А
F(y) = f(x, у) dx
1
представляет собой функцию, непрерывную на сегменте Ь < у < В.
2. Дифференцирование под знаком интеграла. Если сверх
указанного в 1°, частная производная f'y (x, у) непрерывна в области R, то при
b < у < В справедлива формула Лейбница
А А
f(x, y)dx = f'y (х, у) dx.
dy
а а
В более общем случае, когда пределы интеграции являются
дифференцируемыми функциями (р(у) и \\i(y) параметра у и а < ц>(у) < А,
а < 4>(у) < -А при Ъ < у < В, то имеем
v(.v)
Ту \ «*•»><**-
ф(!/)
= /(V(i/). yWUl) - /(ф(«/)> yW(y) + Г f'y (x, y)dx b< у< В.
Иу)
3. Интегрирование под знаком интеграла. При условиях 1° имеем
В А А В
dy f(x, y)dx = dx\ f(x, у) dy.
b a a b
3711. Показать, что интеграл
l
F(y) = Г Кх, у) dx
о
от разрывной функции /(х, у) = sgn (x - у) является функцией
непрерывной. Построить график функции и = F(y).
350 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3712. Исследовать на непрерывность функцию
1
J х2 + у2
о
где функция /(х) непрерывна и положительна на сегменте [0, 1].
3713. Найти:
1+а 1
a) lim ?—-; б) lim Jx2 + a2 dx;
а-О J 1 + Х2 + ОС2 а-0 J
а -1
2 1
в) lim х2 cos ах dx; г) lim — ;
-п{ —I i+fi + ?V
д) lim f e~Rsin0
К — оо J
dQ.
3714. 1. Пусть функция /(x) непрерывна на сегменте [А, В].
Доказать, что
X
lim - f [f(t + К) - f(t)] dt = f(x) - f(a) (A < a < x < B).
h — 0 h J
a
2. Пусть: 1) ф„(х) > 0 (n = 1, 2, ...) на [-1, 1]; 2) фл(х)=50 при
п —» со на 0 < е < \х\ < 1; 3) Г ф„(х) dx -> 1 при п -* со.
Доказать, что если /(х) ? С [-1, 1], то
lim Г /(х)ф„(х) dx = f@).
п — оо J
-1
3715. Можно ли совершить предельный переход под знаком
интеграла в выражении
1 d
lim { -e«2dx?
v-oj у2
о
3716. Можно ли вычислить по правилу Лейбница
производную функции
F(y) = f \njx2 + y2dx
о
при у = 0?
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
351
3717. Вычислить F'(x), если
F(x) = Г e-*v2dy.
X
3718. Найти F'(a), если:
cos a
а)Да)= Г ea^T^2dx;
sin а
b + a
6)F(a)= J ^dx;
а + а
/ а
B)F(a) = J lnA + ax)dx;
о
о
г) F(a) = /(х + а, х - a) dx;
а'' х + а
д) Да) = Г dx f sin (x2 + у2 - a2) dy.
О х ~ а
3719. Найти F"(#), если
X
F(x) = Г (х + г/)/(у) dj/,
о
где /(х) — дифференцируемая функция.
3720. Найти F"(x), если
ь
ВД = | /(УI* - J/l dy,
где а < b к f(y) — непрерывная на [а, Ь] функция.
3721.1. Найти F"(x), если
А Л
ВД = ? Г d^j" /(х + 4 + Л) dri (Л > 0),
о о
где f(x) — непрерывная функция.
2. Найти ^""(х), если
F(x)= [f(t)(x-t)nldt.
352 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3722. Доказать формулу
о
Пользуясь формулой A), получить оценку:
d" f sinx
dxn\ x
< —i- при x 6 (-oo, +oo).
n + 1
3723. Функцию /(x) = x2 на промежутке 1 < x < 3
приближенно заменить линейной функцией а + Ьх так, чтобы
з
J (a + to-*»)'**-min.
1
3724. Получить приближенную формулу вида
71 +х2 ~ а + Ьх @ < а < 1)
из условия, что среднее квадратичное отклонение функций а + Ьх
и Vl + х2 на данном промежутке [0,1] является минимальным.
3725. Найти производные от полных эллиптических
интегралов
E{k) = f Vl-/e2sin2(pdcp,
о
л
2
2?(ft) = Г d(P @ < А < 1)
J л/1 - /22sin2<p
и выразить их через функции E(k) и F(fe).
Показать, что E(k) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
E"(k)+±E'(k)+f&L =0.
3726. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
Jn(k) = - cos(/i(p - х sin m) da>
TtJ
0
удовлетворяет уравнению Бесселя
х2«/;' (х) + xj; (x) + (х2 - n2)jn(x) = о.
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
353
3727. Пусть
f ?i?
J Ja~
/(а) = | ^±Цх
Ja- х
о
где функция ф(х) непрерывна вместе со своей производной ty'(x)
на сегменте 0 < х < а.
Доказать, что при 0 < а < а имеем
Ja J Ja-x
Указание. Положить х = at.
3728. Показать, что функция
1
и(х) = Г К(х, y)v{y) dy,
где
Vi jx A-у),еслих<у;
ЛД*> У) - |у A - Х)у если х > у,
и v(y) непрерывна, удовлетворяет уравнению
и"(х) = -v(x) @ < х < 1).
3729. Найти ^ (х, у), если
F(*, у) = Г (Л - У2)/B) dz,
?
где /(г) — дифференцируемая функция.
3730. Пусть f(x) — дважды дифференцируемая функция и
и(х) — дифференцируемая функция.
Доказать, что функция
x + at
u(x, t)=\ [f(x - at) + f(x + at)] + ±- [ F(z) dz
x-at
удовлетворяет уравнению колебания струны
д2и _ гЭ2ц
dt2 дх*
и начальным условиям: и(х, 0) = f(x), и', (х, 0) = F(x).
354 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3731. Показать, что если функция f(x) непрерывна на
сегменте [О, I] и (х - ?J + у2 + z2 * 0 при 0 < ?, < /, то функция
1
и(х,у,г)= Г ; &W
J J{x^W+y?+^i
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и , Э2ц , дги _ q
Эх2 ду2 дг2
Применяя дифференцирование по параметру, вычислить
следующие интегралы:
3732. Г In (a2 sin2 х + b2 cos2 x) dx.
о
71
3733. Г In A - 2а cos * + а2) dx.
о
71
2
3734. Г arctg(atg*)d;Cj
tg*
о
п
2
а|< 1).
3735. Г ln1 + ac0SA: -^_
J 1- a cos я: cosx
о
3736. Пользуясь формулой
г
arc'
л: J 1 + л;2г/2 '
вычислить интеграл
1
I
arctg* dx
х А^:
о
3737. Применяя интегрирование под знаком интеграла,
вычислить интеграл
1
f x*-z*ldx (a>0,b> 0).
J \пх
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
355
3738. Вычислить интегралы:
1
a) (sin{lnl)^fdx;
о
1
х) 1пх
б) Г cosfln l}Z—?-dx (a>0,b>0).
J V x) lnx
0
3739. Пусть/Д/г) и E(k) — полные эллиптические интегралы
(см. задачу 3725). Доказать формулы
к
а) Г F(k)k dk = E(k) - k\ F(k);
о
k
б) Г E(k)k dk = 1[A + /г2)?(/е) - A? F(fe)],
о
где k\ = 1 - /г2.
3740. Доказать формулу
xJo(x) dx = xJx{x),
где J0(x) и J]{x) — функции Бесселя индексов 0 и 1 (см. задачу
3726).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость интегралов
1. Определение равномерной сходимости. Несобственный интеграл
f(x, у) dx,
I
A)
где функция f(x, у) непрерывна в области а < х < +°°, г/, < у < у2, называется
равномерно сходящимся в интервале ((/,, уг), если для любого е > 0
существует число В = В(е) такое, что при всяком Ь > В имеем
I
f(x,y)dx
< Е (У\<У< Уг)-
356 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Равномерная сходимость интеграла A) эквивалентна равномерной
сходимости всех рядов вида
оо -
? f{x,y)dx, B)
" = ° i
где а = а0 < ах < а2 < ... < ап < ап+ , < ... и lim an - +°°.
П — ОО
Если интеграл A) сходится равномерно в интервале (уг, у2), то он
представляет собой непрерывную функцию параметра у в
этом интервале.
2. Критерий Коши. Для равномерной сходимости интеграла A) в
интервале (уг, у2) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
существовало число В = 5(e) такое, что
/>¦¦
< е ((/!<!/< у2),
f(x, y)dx
если только Ъ' > В и Ь" > В.
3. Критерий Вейерштрасса. Для равномерной сходимости
интеграла A) достаточно, чтобы существовала не зависящая от параметра у
мажорирующая функция F(x) такая, что
1) \f(x, у)\ < F(x) при а < х < +°°,
+ оо
а
4. Аналогичные теоремы имеют место для несобственных
интегралов от разрывных функций.
Определить области сходимости интегралов:
+ оо + оо
3741
. [j^Ldx. 3742. Г *™>±dx.
J \ + Х2 J ХР+Xl
о о
+ оо 2
3743. Г ?^dx. 3744. Г -^*-
J *р J |1пжГ
о о
1 cos- Х
3745. Г *~*dx. 3746. Г sin* d*(р>0).
J В«/ГГ^ J x'+sinx
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
357
При помощи сравнения с рядами исследовать сходимость
следующих интегралов:
3747. Г ^^^ dx. 3748. Г — (п > 0).
J х+ a J 1 +*"sin2x
о о
+ О0 +О0
3749. —*±—. 3750. а"У" >dx.
J хр3Ш^х J *"
к Г 0
3751. Сформулировать в положительном смысле, что значит,
что интеграл
Г f(x, у) dx
а
сходится неравномерно в заданном интервале (ух, у2).
3752. Доказать, что если: 1) интеграл
| fix, у)
dx
сходится и 2) функция ф(х, у) ограничена и монотонна по х, то
интеграл
Г f(x)(f>(x, у) dx
сходится равномерно (в соответствующей области).
3753. Доказать, что равномерно сходящийся интеграл
+0° и. м2
/= Г e'v^X"v> dx @<?/< 1)
1
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не зависящим от
параметра.
3754. Показать, что интеграл
1 = J ae-dx
о
сходится: 1) равномерно в любом промежутке 0 < а < а < Ь;
2) неравномерно в промежутке 0 < а < Ъ.
358 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3755. 1. Доказать, что интеграл Дирихле
+оо
/= f ^f^dx
о
сходится: а) равномерно на каждом сегменте [а, Ь], не
содержащем значения а = 0; б) неравномерно на каждом сегменте [а, Ь],
содержащем значение а = 0.
2. Исследовать на равномерную сходимость интеграл
С dx
J ха
в следующих промежутках: а) 1 < а0 < а < +°о; б) 1 < а < +оо.
3. Показать, что интеграл
+ СО
Г dx
J *а+1
о
сходится неравномерно в интервале 1 < а < +оо.
Исследовать на равномерную сходимость в указанных
промежутках следующие интегралы:
1
3756. а) Г —а @ < а < 1);
о
б) f e"ax sin х dx @ < а0 < а < +°°).
о
3757. Г хае~х dx (а < а < Ъ).
о
3758. f ^^^ dx (-00 < а < -к»).
J 1 + х2
-СО
+ Оо
3759. Г dx0 < @ < а < +оо).
J (х-аJ+1
о
3760. а) Г 2iM e~ax dx @ < а < +оо);
о
б) Г lH^Edx @<р< 10).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
359
3761. f егах ?22? dx @ < а < +оо), где р > 0 фиксировано.
1
-f IX»
3762. f Jae-«*2dx (О < а < +оо).
/
о
+ оо
3763. f e-^-rt2 dx; a) a < a < b; 6) -oo < а < +oo.
-oo
+ oo
3764. a) f e-^^ + ^sin x dy (-co < # < +oo);
о
6) f p?dx (p>0).
0
3766
3765. Подобрать число 6 > 0 так, чтобы
-(-со
Г -^-<е при 1,1<р<10, гдее=1СГв.
*
i
. Г х"-1 In" -dx; а)р>р0>0; б) р > 0 (q >-1).
о
1
Г , х" dx (О < п< +оо).
о
1
3768. Г sini ^ @ < п < 2).
3767 . ^
1
3769. Г ^^ ( |ос| <
J l/(x-l)(x
1
V(x-l)(x-2J ^'"' 2
3770. f s™ax dx @ < a < 1).
J J\x - a\
3771. Интеграл называется равномерно сходящимся при
данном значении параметра, если он равномерно сходится в
некоторой окрестности этого значения. Доказать, что интеграл
С adx
J l + a*
о
сходится равномерно при каждом значении a ^ 0 и не сходится
равномерно при a = 0.
360 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3772. Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в
выражении
+ 0О
lim ae~aj: dx?
а^- +оо J
0
3773. Функция f(x) интегрируема в промежутке @, +оо).
Доказать формулу
lim f e~axf(x) dx = f f(x) dx.
a — +oo J J
3774. 1. Доказать, что если f\x) абсолютно интегрируема на
[a, +°°], то существует lim f(x).
2. Доказать, что
lim f{x) sin nx dx = 0,
/г —оо J
о
если f(x) абсолютно интегрируема в промежутке @, +оо).
3775. Доказать, что если: 1) f(x, у) =J f(x, у0) в каждом ко-
f оо
нечном интервале (а, Ь); 2) \f{x, у)\ < F(x), где | F(x) dx < +co, то
а
+ оо f-co
lim f(x, у) dx = lim f(x, у) dx.
a a
3776. 1. Вычислить интеграл
-foo +oo
0 0
используя предельный переход под знаком интеграла.
2. Пусть f(x) непрерывна и ограничена на [0, +°о). Доказать,
что
+ оо
Иш 2 Г M?i djc = /@)
у^о к J x2 +г/2
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
361
3777.1. Найти
f dx
J X"+l
2. Доказать, что интеграл
lim
о
есть непрерывная функция параметра а.
3778. 1. Показать, что
' sin ^
F(a)=J 1^dX
о
есть непрерывная функция в интервале 0 < a < 1.
2. Определить точки разрыва функции
+оо
F(a)= Г sinil-a2)xdx.
о
Построить график функции у = F(a).
Исследовать на непрерывность в указанных промежутках
следующие функции:
3779. F(a) = f -2^?. при a > 2.
J 2 + xa
о
+ 00
3780. F(a) = f ^^dx при a > 0.
l
3781. F(a) = f sin* dx при О < a < 2.
J ха(л-х)а
0
+ oo
3782. F(a) = f , e~*, dx при 0 < a < 1.
J |sinx|a
0
-f-oo
3783. F(a) = f arJ«2 dx при -co < a < +c
362 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 3. Дифференцирование и интегрирование
несобственных интегралов под знаком интеграла
1. Дифференцирование по параметру. Если: 1) функция f(x, у)
непрерывна вместе со своей производной f'y (х, у) в области а < х < +°о,
J/i < У < \)г'< 2) f{x, у) dx сходится; 3) fu {x, у) dx сходится равно-
а а
мерно в интервале (у1г у2), то
+ 00 +О0
— f(x, y)dx= fu (x, у) dx
а а
при У\< У < Уг (правило Лейбница).
2. Формула интегрирования по параметру. Если: 1) функция
-foo
f(x, у) непрерывна при д: > а и у1 < у < у2; 2) f(x, у) dx сходится
равномерно в конечном сегменте \у1, у2], то
Уг +оо +оо </2
dy f(x,y)dx= dx\ f(x,y)dy. A)
Hi a a yt
Если f(x, y) > 0, то формула A) верна также и для бесконечного
промежутка (уи у2) в предположении, что внутренние интегралы
равенства A) непрерывны и одна из частей равенства A) имеет смысл.
3784. Пользуясь формулой
1
\
хп~1с1х= - (п> 0),
п
Ъ
вычислить интеграл
1
/ = \ х" х lnm х dx, где т — натуральное число.
о
3785. Пользуясь формулой
J
dx = _к^ {а> 0)>
хг + а 2Ja
о
вычислить интеграл
+ оо
I = —: > где п — натуральное
число.
§ 3. Дифференцирование а интегрирование несобственных интегралов 363
3786. Доказать, что интеграл Дирихле
о
имеет при а ^ О производную, однако ее нельзя найти с помощью
правила Лейбница.
Указание. Положить шс = у.
3787. Показать, что функция
+оо
F(a)= f cosx dx
J \ + (x + a)z
о
непрерывна и дифференцируема в области -оо < а < +оо.
3788. Исходя из равенства
ь
^r1 = \ e~xydy'
вычислить интеграл
e~ax-ebxdx (а>0,Ь>0).
J x
о
3789. Доказать формулу Фруллани
С f(ax)-f{bx)dx = /@) 1пЬ {а>0>ь> 0)>
J х а
о
где f(x) — непрерывная функция и интеграл -^1 dx
А
смысл при любом А > 0.
Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы:
3790. I* ??S??__?°sb? dx (a > 0> b > 0).
имеет
о
+ 00
3791. Г s™ax-sinbxdx (a>0,b>0).
о
+ ОЭ
3792. f arctgas-arctgft*^ (а > 0, ft > 0).
364 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
С помощью дифференцирования по параметру вычислить
следующие интегралы:
3793. - ^—-dx (а>0, C > 0).
о
+ оо
3794
3795
3796.
. J(e'";e'Pj)dx (а>0,р>0).
0
+ оо
Г р-ах _ р~$х
. - -—sin mx dx (а>0, 3 > 0).
о
- —cos mx dx (а > 0, р>0).
J х
о
Вычислить интегралы:
1
г-2
3797. | "М*-"-¦«¦-) dx (|a| < 1).
о
1
Г 1пA-а2х
J X2 Vl - X
О
1
3798 Г lnU-а^^ ^i^j
о
3799. f arctgot* dx.
J *2,Д2-1
l
+оо
3800. f ln<f + f>dx.
J fi2 + x2
0
+ oo
3801. Г arctgax arctgpx^
J x2
0
3802. f М1±«!?!1М1±?!?!]^.
J л:4
о
3803. Вычислить интеграл Эйлера—Пуассона
о
исходя из формулы
+ СО +О0
I2 = Г e~*2dx f xe~x2y2dy.
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов 365
Пользуясь интегралом Эйлера—Пуассона, найти следующие
интегралы:
3804. Г e-{ax* + 2bx + c)dx (а> о, ас-Ь2> 0).
-оо
+ оо
3805. Г {а1х2 + 2Ь1х + с1)е-<ах2 + 2Ьх + сЫх (а > 0, ас - Ъ2 > 0).
-оо
+ оо
3806. Г e-°*2ch 6х dx (а > 0).
-оо
+°°
3807. Г е~[Х **2'dx (а > 0).
о
+ оо
3808
,. f ^j^±Ldx (а>0,р>0).
о
3809. Г е~ах2 cos bx dx (а > 0).
о
+ оо
3810. a) f xe"*2sin bx dx (а > 0);
о
+ оо
б) х2пе-*2 cos 2bx dx (n — натуральное число).
о
3811. Доказать, что
5
lim
-8
о
Lim Jx[e-axt2dt= fc (a > 0, 6 > 0).
— +оо J ца
3812. 1. Исходя из интеграла
+ оо
7(a) = Г e~ax^^dx (a > 0),
о
вычислить интеграл Дирихле
sinMrfj.
«в-J
л:
о
366 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
2. Какой примерно вид имеет график интегрального синуса
у = Si х,
где
Si
х= f ^
dtf
Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти
следующие интегралы:
+оо
3813.
3814
J-!
cosftx
dx (a > 0).
Г s^g*sinp*dx [|a|7t
о
+ оо
3815. Г Siu«??os^dx.
3816.
о
+ 00
I
sin" ал:
dx.
3817.
\{Ч
ах]
dx.
о
+ оо
о
-J-CO
3818. Г {^Jdx.
3819.
Г ^^dx.
J X2
О
+оо
3820. Г siiHax-sin^^ (ар * 0).
О
+ оо
3821.
|* sin(,
J х
^dx.
о
+ оо
3822. Г g-*'sinaxsinp»dje (/j > о, а > 0, C > 0).
3823. Найти разрывный множитель Дирихле
+ со
D(*)-2J
sin X cos Ъ: —
для различных значений х. Построить график функции у = D(x).
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов 367
3824. Вычислить интегралы:
+оо +оо
a)v.p. Г *М? dx; б) v. p. f SS*S? dx.
J x + b J x+b
-OO -00
3825. Пользуясь формулой
1 = f e-»(i + ««)dy,
1 + X2 J
0
вычислить интеграл Лапласа
+ oo
L= f «*?*dx.
J 1 + x2
0
3826. Вычислить интеграл
+ oo
L С хэлпахй
1 J 1 + х2
о
Вычислить интегралы:
Г sin2x
J 1 + х2
3827. | ^Ц^х.
О
+ СО
3828. f cosa* dx.
J A + Х2J
О
+ оо
3829. f O00lax dx (a > 0, ас - b2 > 0).
J ax2 + 2&x+c
о
3830. Пользуясь формулой
1 = A f e-«/2 dy (x > 0),
*Jx *Jn J
0
вычислить интегралы Френеля
f sin(*2)d*=? f ^Mdx;
J 2 J Jx
0
+ oo
Г cos(*2)d* = |f ^dx.
0
+ oo
368 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Найти интегралы:
+ оо
3831. Г sin (ах2 + 2Ьх + с) dx (a * 0).
-со
+ оа
3832. sin х2 cos 2ax dx.
— СО
+ оо
3833. cos x2 cos 2ax dx.
—оо
3834. Доказать формулы:
-f ОО +00
1) f ^ dx = f sin aa; 2) [ *f™f djc = _ 5C0S аа,
J а2-*2 2а J а2-*2 2
о о
где а^Ои интегралы понимаются в смысле главного значения
Коши.
3835. Найти преобразование Лапласа
F(p) = j" e-P'f(t) dt (p>0)
для функции f(t), если:
а) f(t) = ?'! (я — натуральное число);
б) ДО = Jl;
в) /(*) = еш;
г) /(t) = te-at;
д) /(f) = cos t;
e)f(t)-1-^-
t '
ж) /(*) = sin O.JI ¦
3836. Доказать формулу (интеграл Липшица)
Ja2 + b2
Г e-"'J0(bt) dt = _ / (a > 0),
где JoC*) = - cos(x sin ф) dcp — функция Бесселя 0-го индекса
л J
о
(см. задачу 3726).
§ 4. Эйлеровы интегралы
369
3837. Найти преобразование Вейерштрасса
-foo
F(x)= -L f e<*-yJf{y)dy,
-oo
если:
a) f{y) = 1; 6) /((/) = у2; в) f(y) = e2u«; r) /(j/) = cos ay.
3838. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются
формулами
Нп(х) = (-1)"е*2 ?-п (е-2) (л = 0, 1, 2, ...).
Доказать, что
-t-oo
. О, если т* п;
HJx)Hn(x)e-*2 dx = J on , Г
J m " 2"п!7я, если m = л.
-оо ^
3839. Вычислить интеграл
+<*> ik2 . <*-<;J1
1 г 2L? с? J
ф(х)
-J— Г еЧ°' с* Jdi; (СТ1>0, о2>0),
Z71OJ02 J
имеющий важное значение в теории вероятностей.
3840. Пусть функция /(х) непрерывна и абсолютно
интегрируема на промежутке (-оо, +оо).
Доказать, что интеграл
+ оо
и(х, t) = -i— Г /фе ^2' <?
2n*jnt J
— СО
удовлетворяет уравнению теплопроводности
<hi _ 1 д2и
dt a2dx2
и начальному условию
lim u(x, t) = f(x).
t- +o
§ 4. Эйлеровы интегралы
1. Гамма-функции. При х > 0 имеем:
о
Основное свойство гамма-функции выражается формулой понижения
Цх + 1)~хТ(х).
370 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Если п — целое положительное число, то
TV Ч / „, т( , 1Л 1-З..Д2П-1) Г
Г(я) = (л - 1)!; Г\ п + - = s ' Jn .
v 2J 2"
2. Формула дополнения. При х, не равном целому числу, имеем
я
Г(л:)ГA - х) -
sin ял:
Эта формула позволяет определить гамма-функцию для
отрицательных значений аргумента.
3. Бета-функция. При х > 0 и у > 0 имеем
1
В(*,у)- Г f-\l-ty-ldt.
о
Справедлива формула
Г(х + у)
3841. Доказать, что гамма-функция Г(х) непрерывна и
обладает непрерывными производными всех порядков в области х > 0.
3842. Доказать, что бета-функция В(х, у) непрерывна и
обладает непрерывными производными всех порядков в области х > 0,
У>0.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие
интегралы:
1
3843.
f Jx-x2 dx. 3844. IV Ja2 - х2 dx (а > 0).
о о
3845. f ~^-r-2dx. 3846. f -^-.
J A + хJ J 1 + х3
о о
11
+ сх> 2
3847. Г ^^ . 3848. Г sin6 x cos4 ж dx.
о
1
3849. Г d* (га > 1).
J "л/1 - хп
о о
1
о
+ оо
3850. I x2ne~x2dx (га — целое положительное),
о
§ 4. Эйлеровы интегралы
371
Определить область существования и выразить через
эйлеровы интегралы следующие интегралы:
-f СО + (XI
3851. Г f^-dx (n>0). 3852. f x""' dx.
J 1 + х- J A + х)»
о о
-t-oo
3853. f *md* (a > О, Ь > 0, п > 0).
J (а + &х»)р
ь
3854. f (*-g)m(ft-*)"dx @<a<b;c> 0).
J (x + c) + n + 2
° 5
1 2
3855. Г dx (m > 0). 3856. f sin x cos" x dx.
о о
71
2
3857. Г tg" x dx.
о
Л -too
3858. f sin"~'x dx @ < \k\ < l). 3859. f e-*" dx (n > 0).
J (l + fccosx)" I. ' ' ) J
о о
+ oo 1
3860. f xme-x"dx. 3861. f Г In ^Ycfx.
о о
-I OO -t OO
3862. Г xV'lnxdi (a>0). 3863. Г ^ 4nxdx.
о о
-fOO ac CO
3864. a) f xP~4n2xdx; 6) f ^dx; в) Г iSi*-d*.
J 1 + x Jl + x3 Jl + x4
0
+ CO
3865. Г XP~l~^'ldx.
J (l + x)lnx
0 0 0
+ CO
0
3866.
Г x'-i-x-Pfa @<p< 1).
J 1-х
Указание. Этот интеграл можно рассматривать как
lim [В(р, е) - ВA - р, е)].
Е — оо
+ СО 1
3867. Г 2^ dx @ < а < В). 3868. Г In Г(х) dx.
J shCx ^ J
372 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3869. Г In Г(х) dx (а > 0). 3870. Г In Г(х) sin nx dx.
а 0
1
3871. In Г(д;) cos 2nnx dx {n — натуральное число).
о
Доказать равенства:
1 1
3872 Г ^х • Г x2dx — я
' J «ГПс* J JT^x* 4'
о о
+ oo +oo
3873. Г e-**dx- f x2 e~xi dx = -2- .
J J 8^2
00
+00
.1 n-\
m = 1 0
+ 00
3875. lim f е~хП dx = 1
n -> 00
0
3874. p| Г ^MrI"^= riV'z Bjt) 2 #
" 0
i
0
+ 00
Используя равенство — = tm~ 1e"xt dt (x > 0), найти
xm Г(/п) J
0
интегралы:
+ oo
3876. Г ?^?*dx @</n<l).
0
+00
3877. Г 2iD?^dx @<m<2).
0
3878. Доказать формулы Эйлера:
a) \ tx~ Vх' cos a(kt sin a) dt = ^^ cos ax;
J A.1
0
+00
6) f tx~ Vх'cos a sin(Af sin a) dt = ^
J Xх
**'sin ax
X>0,x>0,-?<a< 2].
2 2j
§ 5. Интегральная формула Фурье
373
3879. Найти длину дуги кривой
г" = ап cos /i(p (а > 0, п — натуральное).
3880. Найти площадь, ограниченную кривой
|лг|л + \у\п = а" (п > 0, а > 0).
§ 5. Интегральная формула Фурье
1. Представление функции интегралов Фурье. Если: 1) функция
f(x) задана на оси -со < х < +°°, 2) кусочно-непрерывна вместе со своей
производной f'(x) в каждом конечном промежутке и 3) абсолютно
интегрируема на интервале (-°°, +со), то во всех своих точках
непрерывности она допускает представление в форме интеграла Фурье:
-)-оо
f(x) = [a(k) cos Xx + b(X) sin Xx] dX, A)
о
где
+ оо -f со
а(Х) = - Г Ш cos Ц, d\ и Ь(Х) = - Г № sin Xi, d\.
Я J 71 J
-oo _oo
В точках разрыва функции f(x) левая часть формулы A) должна быть
заменена на - [f(x + 0) + f(x - 0)].
Для четной функции f(x), с тем же замечанием относительно точек
разрыва, формула A) дает:
f(x)= f a(k) cos Xx dX, B)
о
где
+ оо
а(Х) = - Г /© cos XI, а\.
о
Аналогично для нечетной функции f(x) получаем
где
f(x)= [ b(X)sinXxdX, C)
о
-boo
НХ) = | Г № sin Ц, d\.
о
374 РАЗДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
2. Представление функции интегралом Фурье в интервале @, +°о).
Функция f(x), заданная в интервале @, +°о), и кусочно-непрерывная
вместе со своей производной f'(x) на каждом конечном интервале (а, Ь) С
С @, +о°), абсолютно интегрируемая на @, +°°), по желанию может быть
представлена в данном интервале или формулой B) (четное
продолжение), или формулой C) (нечетное продолжение).
Представить интегралом Фурье следующие функции:
f 1, если |*| < 1;
3881./(*) =
[О, если |*| > 1.
J sgn *, если |*| < 1;
если И > 1.
3883. f{x) = sgn ix- a) - sgn (x - 6) (Ь > а).
3882. Д*) = <|0-
3884. /(jc)
_ ki
Л 1 - Ь±11 если |*| < а;
О, если |*| > а.
3885. /(*) = —L- (а > 0).
aL + *z
3886. f(x) = —2— (а > 0).
а^ + х
[sin*, если 1*1 < я;
3887. /(*) = 1П
10, если * > л.
3888. /(*) = <
3889. /(*)
cos*, если 1*1 < - ;
II 2
0, если |*| > ^ .
Asincof, если \t\ < -^ ;
ю
0, если \t\ > ^М
(О
(тг — натуральное число).
3890. /(*) = e-aW (a > 0).
3891. /(*) = е"аЫ cos 3* (a > 0).
3892. /(*) = е~аМ sin C* (a > 0).
3893. f{x) = е-*2.
3894. /(*) = xe~*2.
§ 5. Интегральная формула Фурье
375
3895. Функцию
fix) = е~х @ < х < +оо)
представить интегралом Фурье, продолжая ее: а) четным
образом; б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье
F(x)=-±= f f(t)e-'tx dt = -L lim [f{t)eitxdt
-oo -/
для функции fit), если:
3896. f(x) = e-0^1 (a > 0).
3897. f{x) = xe aW (a > 0).
3898. /(ж) = e 2 .
3899. fix) = e 2 cos ax.
3900. Найти функции ф(х) и \|/(я), если:
+ оо
а) Г ф(у) cos ху dy = j^—2;
о
4-00
б) yiy) sin дгг/ <iy = ех ix > 0).
о
РАЗДЕЛ VIII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы
1. Непосредственное вычисление двойного интеграла. Двойным
интегралом от непрерывной функции f(x, у), распространенным на
ограниченную замкнутую квадрируемую область Q., называется число
Я/(*, у) dx dy = lim VV f(xt, у^Ах^у,
max Дх, — 0 *—• t-r1
a max|Ajf j — 0 '
где ДдГ; = x, + j - x,, Дг/у = i/, + l - y-: и суммирование распространяется на
те значения i yl j, для которых (xt, yj) € Q,.
Если область О, задана неравенствами
а < х < b, yi(x) < у < у2(х),
где J/Дх) и г/гС*) — непрерывные функции на сегменте [а, Ь], то
соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по формуле
ь Уг(*1
f(x, у) dx dy = Г dx Г f{x, у) dy.
Q a yx(x)
2. Замена переменных в двойном интеграле. Если непрерывно
дифференцируемые функции
х = х(и, v), у = у(и, v)
осуществляют взаимно-однозначное отображение ограниченной и
замкнутой области О. в плоскости Оху на область Q' в плоскости Ouv, и
якобиан
/= д(*> У)
D(u,v)
сохраняет постоянный знак виза исключением, быть может,
множества меры нуль, то справедлива формула
f(x, y)dx dy = f(x(u, v), y(u, v))\I\ du dv.
§ 1. Двойные интегралы
377
В частности, для случая перехода к полярным координатам гифпо
формулам х = г cos ф, у = г sin ф имеем
f(x, у) dx dy = f(r cos ф, г sin ф)г dr d(p.
а я1
3901. Вычислить интеграл
Я
О <х< 1
О -4 у « 1
ху dx dy,
рассматривая его как предел интегральной суммы, разбивая
область интеграции на квадраты прямыми
x=-,y=L (i, j= 1, 2, ..., п - 1)
п п
и выбирая значение подынтегральной функции в правых
верхних вершинах этих квадратов.
3902. Составить нижнюю ? и верхнюю S интегральные
суммы для функции f(x, у) = х2 + у2 в области 1 < л; < 2, 1 < г/ < 3,
разбивая последнюю на прямоугольники прямыми
*=l + i,j/=l + ^" (i, /=0, 1, .... д).
Чему равны пределы этих сумм при п —> оо?
3903. Вычислить приближенно интеграл
Я
dxdy
j24 + x2 + y2
аппроксимируя область интеграции системой вписанных
квадратов, вершины которых AVl находятся в целочисленных точках,
и выбирая значения подынтегральной функции в вершинах этих
квадратов, наиболее удаленных от начала координат. Сравнить
полученный результат с точным значением интеграла.
3904. Приближенно вычислить интеграл
Я
Jx + у dS,
где S — треугольник, ограниченный прямыми х = 0, у = 0 и
х + у = 1, разбив область S прямыми х = const, у = const, х + у = const
на четыре равных треугольника и выбрав значение
подынтегральной функции в центрах масс этих треугольников.
378 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3905. Область S{x2 + у2 < 1} разбита на конечное число квад-
рируемых частей ASt (/ = 1,2 п) диаметра меньше чем 8. При
каком значении 8 будет обеспечено выполнение неравенства
Г Г sin (x + y)dS- ]Г sin (x, + У,)А5(
< 0,001,
где (xt, у,) € AS,?
Вычислить интегралы:
1 1
3906. Г dx Г (х + у) dy. 3907. Г dx f xy2 dy.
о о
2л а
3908. Г с?ф Г г2 sin2 ф dr.
о о
3909. Доказать равенство
А В
[\ X(x)Y(y) dxdy= I X{x) dx ¦ I Y(y) dy,
R a b
если R — прямоугольник: a< x < A, b < у ^ В и функции Х(х)
и Y(y) непрерывны на соответствующих сегментах.
3910. Вычислить
А В
1= \ dx\ f(x, у) dy,
если
f(x,y)=F?(x,y).
3911. Пусть f(x) — непрерывная функция в промежутке
а < х < Ь.
Доказать неравенство
[f{x)dx < (Ь - a) f f{x) dx,
где знак равенства имеет место лишь, если fix) = const.
Указание. Рассмотреть интеграл
ь ь
I dxl [fix) - fiy)f dy.
§ 1. Двойные интегралы
379
3912. Какой знак имеют интегралы:
а) Г Г Ы(х2 + у2) dx dy;
б) Г Г VI- (*2 -у2) dx dy;
х2 + у2 < 4
в) arcsin(x + у) dx dy?
О <х< 1
-1«</« 1-х
3913. Найти среднее значение функции
f(x, у) = sin2 х sin2 у
в квадрате 0<х<я, 0<?/<я.
3914. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
'- Я
dxdy
100+ cos2x+ cos2 у
3915. Найти среднее значение квадрата расстояния точки
круга (х - аJ + (у - ЬJ < Д2 от начала координат.
В задачах 3916—3922 в двойном интеграле f(x, у) dx dy
а
расставить пределы интегрирования в том и другом порядке для
указанных областей Q.:
3916. Q. — треугольник с вершинами О @, 0),АA, 0), В A,1).
3917. Q — треугольник с вершинами О @, 0), А B, 1), В (-2, 1).
3918. Q, — трапеция с вершинами О @, 0), А A, 0), В A, 2),
С@, 1).
3919. Q — круг х2 + у2 < 1.
3920. Q, — круг *2 + у2 < у.
3921. О — параболический сегмент, ограниченный кривыми
у = х2 к у = 1.
3922. О. — круговое кольцо 1 < х2 + у2 < 4.
3923. Доказать формулу Дирихле
ах а а
dx f(x, у) dx = dy\ f(x, у) dx (a > 0).
oo о у
380 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах:
2 2х 2 2-х
3924. Г dx( f{x, у) dy. 3925. Г dx Г /(х, г/) dj/.
Ох -6 ?2_1
4
1 ж2 1 I-*2
3926. Г dx Г /(х, у) dy. 3927. Г dx Г /(х, у) di/.
0 ** -1 -JTT*
2 J2x - х2 2л 72м
3928. f dx f f(x,y)dy. 3929. Г dx f /(х, у) dy (a >0).
1 2-х
J2ax-x°
с In* 2л sin*
3930. Г dx f /(x, г/) dy. 3931. f dx Г f(x, y) dy.
10 0 0
Вычислить следующие интегралы:
3932. xy2 dx dy, если область О. ограничена параболой
a
у2 = 2px и прямой х = 2 (р > 0).
3933. —* ^ (а > 0), если область О. ограничена кратчай-
JJ J2a-x
п
шей дугой окружности с центром в точке (а, а) радиуса а,
касающейся осей координат, и осями координат.
3934. Ц |xy| dx dy, если Q - круг радиуса а с центром
в на-
а
чале координат.
3935. (х2 + у2) dx dy, если Q — параллелограмм со сторо-
?2
нами у = х, у = х + а, у = а и у = За (а > 0).
3936. II у2 dx dy, если Q ограничена осью абсцисс и первой
п
аркой циклоиды х = a(f - sin ?), у = a(l - cos t) @ < ? < 2я).
В задачах в двойном интеграле f(x, у) dx dy перейти к по-
а
лярным координатам гиф, полагая х = г cos ф и у = г sin ф,
расставить пределы интегрирования, если:
3937. О, — круг х2 + у2 < а2.
3938. Q — круг х2 + у2 < ах (а > 0).
§ 1. Двойные интегралы
381
3939. & — кольцо а2 < х2 + у2 < Ъ2.
3940. Q — треугольник 0<х<1;0<у<1-дс
х2
3941. Q. — параболический сегмент -а < х < а; — < ц < а.
а
3942. В каком случае после перехода к полярным
координатам пределы интегрирования будут постоянные?
Перейти к полярным координатам г и ф, полагая х = г cos ф
и у = г sin ф, и расставить пределы интегрирования в том и
другом порядке в следующих интегралах:
1 1 1 Jl-x2
3943. f dx f f{x, у) dy. 3944. Г dx f /(*> У) <ty.
0 0 0 1-х
2 дс/5 1 x2
3945. [ d* f f(Jx2 + y2) dy. 3946. f d* Г /(*, у) dy.
Ox 0 0
3947. I fix, y) dx dy, где область О, ограничена кривой
° ix2 + у2J = a2ix2 - у2) ix > 0).
Полагая, что г и ф — полярные координаты, изменить
порядок интегрирования в следующих интегралах:
я
2 acostp
3948. f cfcp f /(ф, г) dr (a > 0).
_л о
2
л
2 a Vein 2 <р
3949. (d(p f (Лр, г) dr (a > 0).
о о
о ф
3950. f йф Г /(ф, г) dr @ < a < 2л).
о о
Перейдя к полярным координатам, заменить двойные
интегралы однократными:
3951. f Г fiJx2 + y2)dx dy.
х2 + у2а
3952. HfiJx2 + y2)dx dy, где Q = ||у|< \х\; \х\< l|.
a
3953. Г Г f[Adx dy.
382 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Переходя к полярным координатам, вычислить следующие
двойные интегралы:
3954. f Г л/х2 + у2 dx dy.
х2 + у2 ^ а2
3955. sin л/х2 + у2 dx dy.
7Т2 < X2 + i/2 < 4712
3956. Квадрат S{a < х < а + /г, й < у < b + h}, (a > 0, b > 0) с
помощью системы функций
и = 2- , и = л/х]/
преобразуется в область S". Найти отношение площади области
S' к площади S. Чему равен предел этого отношения при h —> 0?
Вместо х и у ввести новые переменные и и и и определить
пределы интегрирования в следующих двойных интегралах:
ft |5х
3957. Г dx J f(x, у) dy @ < a < b; 0 < a < p), если
и = x, и = ^ .
a ax
2 2-х
3958.
0 1-х
dx I f(x, y) dy, если и = x + у, v = x - y.
0 1-х
3959. /(*> y) dx dy, где область Q. ограничена кривыми
Jx + Jy = Уа , x = 9, у = 0 (а > 0),
если
х = w cos4 v, у = и sin4 и.
3960. Показать, что замена переменных
* + у = ?, у = ?,ц
переводит треугольник 0 < х < 1, 0 < у < 1-хв единичный
квадрат 0<Е,<1,0<Г|<1.
3961. При какой замене переменных криволинейный
четырехугольник, ограниченный кривыми ху = 1, ху — 2, х - у + 1 = 0,
х ~ у - 1 = 0 (х > 0, у > 0), перейдет в прямоугольник, стороны
которого параллельны осям координат?
§ 1. Двойные интегралы
383
I. |Т f(x + y)dxdy.
Произведя соответствующие замены переменных, свести
двойные интегралы к однократным:
3962.
х\+'\у\ « 1
3963. f f f(ax + Ьу + с) dx dy (а2 + Ьг * 0).
х2 + угИ
3964. f(xy) dx dy, где область Q ограничена кривыми
а
ху = 1,ху=2,у = х,у = 4х(х>0,у>0).
Вычислить следующие двойные интегралы:
3965. JJ(x + y)dx^ где область Q ограничена кривой
а
х2 + у2 = х + у.
3966. П (\х\ + \у\) dx dy.
\х\ + М < 1
3967. /1 - ^— - ^ dx dy, где область Q. ограничена эллип-
сом — + ^ = 1.
о2 Ь2
3968. f f (х2 + у2) dx dy.
х4 + у4 < 1
8969. J J (х + y)dx dy, где область О ограничена кривыми
,2
уг = 2х, х + у = 4, х + у = 12.
3970. || х, .х ф, где область О ограничена кривыми ху = 1,
х + у = - .
у 2
3971. Г Г |cos (х + у)| dx dy.
0«x«Jt
0 « J/«7t
3972. Г Г \Z±X -x2-y2
х* + у2<1
3973. f f J\y-x2\ dx dy.
dx dy.
0iy<2
384 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить интегралы от разрывных функций:
3974. Г Г sgn (х2 - у2 + 2) dx dy.
хг + у1 < 4
3975. |Т [х + у] dx dy.
0iyi2
3976. Г Г 7|г/-х2| dx dy.
Г Г xmyndxdy=0,
х2< </«4
3977. Доказать, что
л2 + </2 С а2
если тип — целые положительные числа и по меньшей мере
одно из них нечетно.
3978. Найти
lim -L \\ f(x, y)dx dy,
р-о лр2 JJ
X2 + у2 < p2
где f(x, у) — непрерывная функция.
3979. Найти F\t), если
nt_x
ey2dx dy.
Oi x< t
0 « у « t
3980. Найти F'(t), если
Д*) = f f -Jx2 + y2 dx dy.
(a:-(J + (j/-'J«1
3981. Найти F'(t), если
F(t)= ff f(x,y)dxdy (t>0).
x2 + y2<t2
3982. Доказать, что если f(x, у) непрерывна, то функция
х х+у-1
и(х, у) = I f d^ f f{l, Л) dt)
0 %-x+y
удовлетворяет уравнению
ш-в- «*¦л-
§ 2. Вычисление площадей
385
3983. Пусть линии уровня функции f(x, у) — простые
замкнутые кривые и область S(vlt v2) ограничена кривыми f(x, у) = ух
и f(x, у) = v2.
Доказать, что
f(x, у) dx dy = vF'(v) dv,
Я(и,.и2)
где F{ v) — площадь, ограниченная кривыми f(x, у) = игя f(x, y) = v2.
Указание. Область интегрирования разбить на части,
ограниченные бесконечно близкими линиями уровня функции f(x, у).
§ 2. Вычисление площадей
Площадь области S, расположенной в плоскости Оху, дается
формулой
Я
dx dy.
Найти площади, ограниченные следующими кривыми:
3984. ху = а2, х + у = | а (а > 0).
3985. у2 = 2рх + р2, у2 = -2qx + q2 (p > 0, q > 0).
3986. (.г - уJ + х2 = а2(а> 0).
Переходя к полярным координатам, вычислить площади,
ограниченные следующими кривыми:
3987. (х2 + у2J = 2а2(х2 - у2); х2 + у2 > а2.
3988. (хя + у3J = х2 + у2,х>0,у>0.
3989. (х2 + у2J = а(х3 - Зху2) (а > 0).
3990. (х2 + у2J = 8а2ху; (х - аJ + (у - аJ < а2 (а> 0).
Вводя обобщенные полярные координаты г и <р по формулам
х = ar cos" ф, у = br sin° ф (г > 0),
где а, Ь и а — надлежащим образом подобранные постоянные, и
учитывая, что \х' У> = aabrcos ф sin ф, найти площади,
386 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ограниченные следующими кривыми (параметры считаются
положительными) :
3991. %2 + g = f + I.
a2 b2 h k
з"з-Ё + й4 = ё+ё^>о'у>о)-
3994.a)g+g4=g-g(x>0,y>0);
3995-4|+^^1;X = 0'y=°-
Производя надлежащую замену переменных, найти площади
фигур, ограниченные следующими кривыми:
3996. х + у = а, х + у = Ь, у = ах, у = (Зх @ < а < Ь; 0 < а < C).
3997. ху = а2, ху = 2а2, у = x, у = 2х (х > 0; у > 0).
3998. а) у2 = 2рх, у2 = 2qx, х2 = 2гу, х2 = 2sy @ <р <q;0<r< s);
б) х2 = ay, x2 = by, x3 = су2, х3 = dy2 @ < a < b; 0 < с < d);
в) у = axp, у = frxp, у = ex'1, у = dx'1 @ < p < q; 0 < a < 6;
0 < с < d).
3999. a) /i + /и = 1, ? + /? = 2,
A/a yb A/« V*
-=\Л~=\ (a>0;fo>0);
a b a t>
6) f*^ + frf =1,(^+^1=4,
-=\,Ъ-=\ (х>0, y>0).
a b a o
4000. ^- + У = 1, где А. принимает следующие значения:
А к- С6
1С\ 2С2 4 2 |C2(JC>0 >0).
3 3 3 3 у
4001. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(ajx + Ь1У + ClJ + (a2x + Ь2у + c2f = 1,
где
8 = a1b2 — a2b1 ^ 0.
§ 3. Вычисление объемов
387
4002. Найти площадь, ограниченную эллипсами -~— + -У— = с2
ch2w sh2u
(и = иг, и2) и гиперболами
-2-Г - -*-г = с (и = . Уг) @ < "i < и2;
cos2 У sin2 у
0 < Uj < и2, х > 0, у > 0).
Указание. Положить х — с ch и cos d, г/ = с sh u sin у.
4003. Найти площадь сечения поверхности
х2 + у2 + z2 - ху - xz - yz — а2
плоскостью х + у + z = 0.
4004. Найти площадь сечения поверхности
1+1+1=0
х у z
плоскостью 2=1- 2{х + г/).
§ 3. Вычисление объемов
Объем цилиндроида, ограниченного сверху
непрерывной поверхностью г = f(x, у), снизу
плоскостью г = 0 и с боков прямой
цилиндрической поверхностью, вырезающей из
плоскости Оху квадрируемую область Q. (рис. 14), равен
V=Uf{x,y)dxdy. /у
г
О
^^г =
Ч(х,у)
— /
V
С~п~~^
X
Рис. 14
4005. Нарисовать тело, объем которого равен интегралу
1 1-х
V= jdx j (x2+y2)dy.
о о
4006. Изобразить объемы, выражаемые следующими
двойными интегралами:
а) [Г (х + у) dx dy; б) Г Г Jl - ? - ? dx dy;
0 < х + I/ < 1 х2 . «f < ,
x»0,y>0 4 9
в) Г Г (x2 + y2) dx dy; r) \l Jx2 + y2 dx dy;
|x| + M«l x2 + y2ix
д) Jxydx dy; e) sin njx2 + y2 dx dy.
1 ix<2
xlyiZx
x2 + u2 < 1
388 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
4007. 2=1 + х + у, 2 = 0, х + у=1,х = 0, у = 0.
4008. х + у + 2 = а, х2 + у2 = Л2, х = 0, у = 0, 2 = 0 (а > Лл/2 ).
4009. 2 = х2 + у2, у = х2, у = 1, 2 = 0.
4010. 2 = COS X COS у, 2 = 0, |х + у| < jj , |х - у| < - .
4011. 2 = sin^ , 2 = 0, у = х, у = 0, х = я.
4012. 2 = ху, х + у + 2 = 1, 2 = 0.
Переходя к полярным координатам, найти объемы тел,
ограниченных следующими поверхностями:
4013. 22 = ху, х2 + у2 = а2.
4014. 2 = х + у, (х2 + у2J = 2ху, 2 = 0 (х > 0, у > 0).
4015. 2 = х2 + у2, х2 + у2 = х, х2 + у2 = 2х, 2 = 0.
4016. х2 + у2 + 22 = а2, х2 + у2 > а|х| (а > 0).
4017. х2 + у2 - az = 0, (х2 + у2J = а2(х2 - у2), z = 0 (а > 0).
4018. 2 = е-<*2 + >, 2 = 0, х2 + у2 = Я2.
4019. 2 = с cos n-Jx* + yz, 2 = 0, у = х tg а, у = х tg C, (а > О,
о 0, 0<а<C< 2я).
4020. г = х2 + у2, 2 = х + у.
Найти объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями (параметры предполагаются положительными):
4021. ? + g + 2| = 1, *! + g = 2? (г > 0).
4022.i| + g-2|=-ifi| + g=i.
а2 о2 с2 а2 о2
4023.^+^ =2,^+^=^+^,2 = 0.
а2 о2 с а1 о2 а о
4024. {—, +У1J + * =1,г = 0.
\а2 Ъг) с
4025. (- + ?\ + ^ = 1, х = 0, у = 0, г = 0.
Va ЬУ с2
4026. ?! + к! + ?f = I, f*f + ulJ = *? - к?.
а2 Ь2 с2 U2 Ъ2) а2 Ь2
4027. 22 = ху, х + у = а, х + у = 6@<а<Ь).
4028. 2 = х2 + у2, ху = а2, ху = 2а2, у = |, у = 2х, z = 0.
4029. 2 = ху, х2 = у, х2 = 2у, у2 = х, у2 = 2х, 2 = 0.
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
389
4030. г=с sin^ , г = 0, ху = а2, у = ах, у = ?х@ <а < C; х >0).
4031. 2 = х'2 + у'2, z = 0, х + у = 1, х = 0, у = 0.
4032. ^+^+2=1, (*)* + (И)* = 1, z = 0.
а2 Ь2 с 1а7 IW
4033. a) 2 = с arctg^ ,2 = 0, Jx2 + у2 = а arctg^ (у > 0);
б)г = уе а ,ху = а2, ху = 2а2, y = m,y = n,z = 0 @ < т < п).
4034. — + ^ + - = 1, х = 0, ц = 0, z = 0 (л > 0).
а" Ь" с"
4035. Г- + УТ + (-Y = 1, х = 0, г/ = 0, г = 0 (л > 0, /п > 0).
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
1. Случай явного задания поверхности. Площадь гладкой
криволинейной поверхности г — z(x, у) выражается интегралом
а
s-JIH$+r*-]dxdy-
2 '3zV
ду)
где Q. — проекция данной поверхности на плоскость Оху.
2. Случай параметрического задания поверхности. Если уравнение
поверхности задано параметрически:
х = х(и, v), у = у(и, v), г = z(u, v),
где (и, и) е й, Q — ограниченная замкнутая квадрируемая область и
функции х, у и z непрерывно дифференцируемы в области ?2, то для
площади поверхности имеем формулу
где
S= f Г JEG - F2 du dv,
y<)u) Уди) Уди.
p = дхдх , ду_д_л , ЭгЭг
dudv dudv dudv
390 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4036. Найти площадь части поверхности az = xy,
заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
4037. Найти площадь поверхности тела, ограниченного
поверхностями х2 + z2 = а2, у2 + z2 = а2.
4038. Найти площадь части сферы х2 + у2 + z2 = а2,
заключенной внутри цилиндра —„ + ^- = 1 {Ь < а).
а,2 Ъ2
4039. Найти площадь части поверхности z2 = 2xy, отсекаемой
плоскостями х + у = 1, х= 0, у = 0.
4040. Найти площадь части поверхности х2 + у2 + г2 = а2,
расположенной вне цилиндров х2 + у2 = +ах (задача Вивиани).
4041. Найти площадь части поверхности z = Jx2 + у2,
заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = 2х.
4042. Найти площадь части поверхности z = Jx2 - у2,
заключенной внутри цилиндра (х2 + у2J = а2(х2 - у2).
4043. Найти площадь части поверхности z = -(х2 - у2),
вырезанной плоскостями х — у = +1, х + у = ±1.
4044. Найти площадь части поверхности х2 + у2 = 2az,
заключенной внутри цилиндра (х2 + у2J = 2а2ху.
4045. Найти площадь:
а) части поверхности х2 + у2 = а2, вырезанной
плоскостями х + z = 0, х - z = 0 (х > 0, у > 0);
3
б) части поверхности (х2 + у2J + z — 1, отсекаемой
плоскостью z = 0;
в) части поверхности (- + ^ ) + — = 1, вырезанной
ча Ъ) с
плоскостями х = 0, 1/ = 0 и z = 0;
X2 II2
г) части поверхности — — — = 2z, вырезанной поверх-
а b
ностью — + ^ = 1 (г > 0);
о2 Ъ2
д) части поверхности sin z = sh x • sh у, отсекаемой
плоскостями х = 1 и х = 2 (у > 0).
4046. Найти поверхность и объем тела, ограниченного
поверхностями х2 + у2 = - г2, х + у + z = 2а (а > 0).
4047. Найти площадь части сферы, ограниченной двумя
параллелями и двумя меридианами.
§ 5. Приложение двойных интегралов к механике
391
4048. Найти площадь части геликоида
х = г cos ф, у = г sin ф, г = Лф, где 0 < г < а, 0<ф< 2л.
4049. Найти площадь части поверхности тора
х = (b + a cos \|/) cos ф, у = (Ь + a cos i|/) sin ф, 2 = a sin \|/
(О < а < 6), бграниченной двумя меридианами ф = фх, ф = ф2 и
двумя параллелями \\i = ^lt \|/ = \j/2.
Чему равна поверхность всего тора?
4050. Найти телесный угол to, под которым виден из начала
координат прямоугольник х = а> 0, 0 К у < b, 0 < z < с.
Вывести приближенную формулу для со, если а велико.
§ 5. Приложение двойных интегралов к механике
1. Центр масс. Если х0 и уа — координаты центра масс пластинки ?2,
лежащей в плоскости Оху, и р = р(х, у) — плотность пластинки, то
х°= м I I рх dx dy'y°= м\\ ру dx dy' A)
n a
где М = р dx dy — масса пластинки.
п
Если пластинка однородна, то в формулах A) следует положить р = 1.
2. Моменты инерции. 1Х и J — моменты инерции пластинки О,,
лежащей в плоскости Оху, относительно координатных осей Ох и Оу —
выражаются соответственно формулами
Г Г ру2 dx dy, Iy = Г Г рх2 dx dy, B)
а
где р = р(х, у) — плотность пластинки.
Рассматривается также центробежный момент инерции
1xil = \\pxy dx dy. C)
а
Полагая р = 1 в формулах B) и C), получим геометрические
моменты инерции плоской фигуры.
4051. Найти массу квадратной пластинки со стороной а, если
поверхностная плотность пластинки в каждой точке
пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин квадрата и
равна р0 в центре квадрата.
392 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти координаты центра масс однородных пластинок,
ограниченных следующими кривыми:
4052. ау = х2, х + у = 2а (а > 0).
4053. Jx + Jy = Va, х = 0, у = 0.
2 2 2
4054. х3 + у3 = а3 (х > 0, у > 0).
4055. ? + 2 =Щ (петля).
Va 6/ с2
4056. (х2 + у2J = 2а2ху (х > 0, у > 0).
4057. г = а A + cos ф), ф = 0.
4058. х = a (t - sin t), у = а A - cos г) @ < f < 2п), у=0.
4059. Найти координаты центра масс круглой пластинки
х2 + у2 < а2, если плотность ее в точке М (х, у) пропорциональна
расстоянию точки М от точки А (а, 0).
4060. Определить кривую, описываемую центром масс
переменной площади, ограниченной кривыми:
у= J2px, y=0,x = X.
Найти моменты инерции 1Х и J относительно осей координат
Ох и Оу площадей (р = 1), ограниченных следующими кривыми:
4061. ? + 2 =1, ? + U. = 1, у = о (bl > 0, 62 > 0, h > 0).
О] Л о2 h
4062. (х - аJ + (г/ - аJ = а2, х = 0, у = 0 @ < х < а).
4063. г= а A + соэф).
4064. х4 + у4 = а2(х2 + у2).
4065. ху = а2, ху = 2а2, х = 2у, 2х = у (х > 0, у > 0).
4066.1. Найти полярный момент
h = IT (*2 + У2) dx dy
s
площади S, ограниченной кривой
(х2 + у2J = а2(х2 - у2).
2. Найти центробежный момент инерции 1ху однородной
фигуры, ограниченной кривыми
ау = х2, ах = у2 (а > 0).
4067. Доказать формулу
7, = 7, + Sd2,
§ 5. Приложение двойных интегралов к механике
393
где /,, /( — моменты инерции фигуры S относительно двух
параллельных осей I и 10, из которых 10 проходит через центр масс фигуры, ad —
расстояние между этими осями.
4068. Доказать, что момент инерции плоской области «S
относительно прямой, проходящей через центр масс О @, 0) и
составляющей угол а с осью Ох, равен
''I = Ix cos2 а - 21' sin a cos а + Iy sin2 а,
где 1Х и / — моменты инерции области S относительно осей Ох
и Оу, а 1ху — центробежный момент:
1ху = \\ РХУ dx dy.
s
4069. Найти момент инерции правильного треугольника со
стороной а относительно прямой, проходящей через центр масс
треугольника и составляющей угол а с его высотой.
4070. Определить силу давления воды на боковую стенку х > 0
цилиндрического сосуда х2 + у2 = a2, z = 0, если уровень воды в нем
z = h.
4071. Шар радиуса а погружен в жидкость постоянной
плотности 5 на глубину h (считая от центра шара), где h> а. Найти
силу давления жидкости на верхнюю и нижнюю части шаровой
поверхности.
4072. Прямой круговой цилиндр, радиус основания которого
равен а, а высота Ъ, целиком погружен в жидкость плотности 5
так, что центр его находится на глубине h под поверхностью воды,
а ось цилиндра составляет угол а с вертикалью. Определить силу
давления жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.
4073. Определить силу притяжения однородным цилиндром
х2 + у2 < а2, 0 < z < h, материальной точки Р @, 0, Ь), если масса
цилиндра равна М, а масса точки равна т.
4074. Распределение давления тела на площадку смятия
^ +^ <1
а2 Ъ2
дается формулой р = р0\ 1 - 2L - !L j. Определить среднее дав-
V а2 Ь )
ление тела на эту площадку.
4075. Луг, имеющий форму прямоугольника со сторонами
акЬ, равномерно покрыт скошенной травой с погонной
плотностью, равной р. Какую минимальную работу надо затратить,
чтобы собрать все сено в центре луга, если работа по
транспортировке груза массой М на расстояние г равна kMr @ < k < 1).
394 РАЗДЕЛ VHI. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 6. Тройные интегралы
1. Непосредственное вычисление тройного интеграла. Если
функция f(x, у, г) непрерывна, а область V ограничена и определяется
следующими неравенствами:
Xi<X< Х2, у^Х) < у < у2(х), 2,(X, у) < 2 < Z2(x, у),
где Ух(х), у2(х), zx(x, у), z2(x, у) — непрерывные функции, то тройной
интеграл от функции f{x, у, г), распространенный на область V, может
быть вычислен по формуле
х2 у2(х) х2(х,у)
f(x, у, г) dx dy dz = \ dx \ dy f(x, у, z) dz.
V *! ух(х) хх(х, у)
Иногда удобно также применять формулу
f(x> У> 2) dx dy dz = dx f(x, у, z) dy dz,
V xt S(*)
где S(x) — сечение области V плоскостью х = const.
2. Замена переменных в тройном интеграле. Если ограниченная
кубируемая замкнутая область V пространства Охуг взаимно
однозначно отображается на область V пространства O'uvw с помощью
непрерывно дифференцируемых функций
х = х{и, V, ш), у = у(и, и, w), 2 = z(u, v, w),
причем
j = D(x, у, z) ^ Q ^ w) e v,
D{u, v, w)
то справедлива формула
f(x, у, z) dx dy dz =
ш
f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\I\ du dv dw.
v
Как частные случаи, имеем:
1) цилиндрическую систему координат ц>, г, h, где
х = г cos ф, у = г sin <р, 2 = h,
D(x,y,z) =r.
D(r, ф, h)
§ 6. Тройные интегралы
395
2) сферическую систему координат ф, \\i, r, где
х = г cos ф cos ц/, у = г sin ф cos \|/, z = г sin i|/,
ШЫЬИ = ^ Cos v.
Д(г,ф,у)
Вычислить следующие тройные интегралы:
4076. г x(/2z3 dx dy dz, где область V ограничена поверхно-
V
стями z = ху, у = х, #=1,2 = 0.
4077. ——* У г—-, где область V ограничена поверхно-
v
стями x + y+z=l,x=0, у = 0, z = 0.
4078. xyz dx dy dz, где область V ограничена поверхно-
V
стями х2 + у2 + г2 =.1, х = 0, у = 0, z = 0.
4079. I I 11 ?—г + У-г + ^)dx dy dz, где область V ограничена
V
поверхностью
х2 + Ml + г± = 1.
а2 Ь2 с2
4080 ""'" '
-III 7#2 + у2 dx dy dz, где область V ограничена по-
v
верхностями *
X2 + у2 = Z2, 2 = 1.
Различными способами расставить пределы в следующих
тройных интегралах:
1 1 - X X + у
4081. Г dx f dy f f(x, у, z) dz.
0 0 0
1 Jl-x2 1
4082. f dx f dy Г f(x, y, z) dz.
1 1 x2 + y2
4083. f dx Г dj/ Г f(x, y, z) dz.
о о
396 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Заменить тройные интегралы однократными:
х I ц 11 х + у
4084. f d^ Г dr\ Г f@ d?. 4085. Г dx f dy f /(г) dz.
0 0 0 0 0 0
4086. Найти
ABC
\ dx\ dy\ f(x, y, z) dz,
a b с
если f(x, у, z) = F'x'yZ (x, y, z) и a, b, с, А, В, С — постоянные.
Переходя к сферическим координатам, вычислить интегралы:
4087. Jx2 + у2 + z2 dx dy dz, где область Кограничена по-
V
верхностью х2 + у2 + г2 = г.
1 J\ -х2 Н-х2- у2
4088. Г dx Г dy Г z2 dz.
0 ° Jx^7?
4089. Перейти к сферическим координатам в интеграле
Г /f Jx2 + у2 + z2 ) dx dy dz,
v
где область V ограничена поверхностями г = х2 + у2, х = у, х = 1,
у =0,z = 0.
4090. Произведя соответствующую замену переменных,
вычислить тройной интеграл
V
где V— внутренность эллипсоида — + ^- + ^- =1.
а2 Ъ2 с2
4091. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить
интеграл
V
где область V ограничена поверхностями х2 + у2 = 2z, z = 2.
4092. Вычислить интеграл
х2 dx dy dz,
v
где область V ограничена поверхностями z = ay , z = by , у > О
@ < a < b), z = ax, z = Px @ < a < C), z = h (h > 0).
§ 6. Тройные интегралы
397
4093. Найти интеграл xyz dx dy dz, где область Fpacno-
v
ложена в октанте х>0,у>0,2>0и ограничена поверхностями:
¦ь-2 i ii2 v2 _i_ w2 9 » 9 r>
z = *- , z = г_ , xy = a% xy = bi,y = ax, у = px
@ < a < й; 0 < a < P; 0 < m < n).
4094. Найти среднее значение функции
f(x, у, z) = х2 + у2 + z2
в области х2 + у2 + z2 < х + у + z.
4095. Найти среднее значение функции
fix, у, z) = е^ *2 <2
2 „2 ,2
в области — + У- + — < 1.
а2 о2 с2
4096. Пользуясь теоремой о среднем, оценить интеграл
и= fff dxdydz
J J J V(*-aJ + (i/-bJ+(z-cJ
X2 + l/2 + 22< Л2
где a2 + b2 + c2 > R2.
4097. Доказать, что если функция fix, у, z) непрерывна в
области V и
Г \\fix, у, г) dx dy dz = 0
для любой области со С V, то fix, у, z) = 0 при (х, у, г) € V.
4098. Найти F'(i), если:
а)
Fit) = Г Г Г fix2 + у2 + z2) dx dy dz,
х2+ и2 + г2 st t2
где / — дифференцируемая функция;
б) .F(i) = И{ fixyz) dx dy dz
0<x<t
OHySt
0«zS t
где / — дифференцируемая функция.
398 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4099. Найти
f f f xmynzp dx dy dz,
x2 + у2 + z2«; l
где т, пир — целые неотрицательные числа.
4100. Вычислить интеграл Дирихле
xpyqzr A - х - у - z)s dx dy dz,
(p> 0, q> 0, r> 0, s > 0),
где область Vограничена плоскостями х + у + 2 = 1,х = 0,у = 0,
z = 0, полагая
x + y + z = ?,,y + z = ?,r\, 2 = ?лС-
§ 7. Вычисление объемов
с помощью тройных интегралов
Объем области V выражается формулой
V= Г П dx dy dz.
V
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:
4101. 2 = х2 + у2, z = 2х2 + 2у2, у = х,у=х2.
4102. 2 = х + у, z = ху, х + у = 1, х = 0, у = 0.
4103. х2 + z2 = а2, х + у = ±а, х - у = ±а.
4104. аг = х2 + у2, z = ,/х2 + У2 (а > 0).
4105. az = а2 - х2 - у2, z = а - х - у, х = 0, у = 0, z = 0 (а > 0).
4106. 2 = 6 - х2 - у2, z = Jx2 + у2.
Переходя к сферическим или цилиндрическим координатам,
вычислить объемы, ограниченные поверхностями:
4107. х2 + у2 + z2 = 2az, х2 + у2 < г2.
4108. (х2 + у2 + z2J = а2(х2 + у2 - г2).
4109. (х2 + у2 + z2f = Зхуг.
4110. х2 + у2 + г2 = а2, х2 + у2 + 22 = Ь2, х2 + у2 = г2 (г > 0)
(О < а < ft).
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
399
В следующих примерах удобно пользоваться обобщенными
сферическими координатами:
г, ф и \\i (г > 0; 0 < ф < 2л; -- < у < -1,
вводя их по формулам
lx = ar cosa <p cosp ц/,
<y = br sina ф cos13 \y,
[г — cr sinp \|/
(а, ?>, с, а, Р — постоянные),
Д(*'У'2) = аВабсг2 cosa " ' ф sina ~ ' ф cos2P ~ ' ш sinp ~ » ш.
Л(г,Ф,Ч/)
Вычислить объемы тел, ограниченных следующими
поверхностями:
4111. ГЗЕ! +g +?fl2 = *
Va2 62
4112. а) Г *Ц +И! +2?) = ^ +?;
7 _9 L9 _9 ~9 1.9 '
\а2 Ъ2 с2) а2 Ь2 сг
4113. ^ + й! +5f =1, ?f +JL2 = ?.
a2 i>2 c2 a2 &2 с
4114. *? + ^ + г- = 1.
a2 Ъ2 с4
2Л2
4115. Г^ +?1+^=1
Пользуясь подходящей заменой переменных, вычислить
объемы тел, ограниченных поверхностями (параметры
предполагаются положительными):
4116. а) Г* + « + 5J = f + ^ (Ж > 0, у > 0, z > 0);
a 6 су h k
б) f? + й + sV = ? - а (х > о, i/ > о, 2 > о).
Va b су h k
4117. а) Г* + 2 + 2V = ?Л2 ¦ (х > о ,у> О, г > 0);
va о су аос
б) g + у' + (j)' = 1 (х > 0, у > 0, 2 > 0).
400 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4118
•а)| + ^ + (i=Ux>0,y>0,z>0);
з- = l(x>0,y>0,z> 0);
А/С
=>(^+Ш|+Ш!
4119. z = x2 + у2, z = 2(x2 + у2), ху = a2, xy = 2a2, x = 2y,
2x = у (x > 0, у > 0).
4120. x2 + 22 = a2, x2 + z2 = 62, x2 - y2 - 22 - 0 (x > 0).
4121. (x2 + y2 + 2Z)
2-.3 _ a°x
6r2
4122. (^ +У1 +ZIJ =1 -e^c*
a2 b2 c2J h
Z + iL
4123. a b = ^ arcsin I* + H + Z), ± + l =i,x = 0, x = a.
X+K + - n \a b c) a b
a b с
4124. ? + У- + ^ = In a Ь c , x = 0, 2 = 0, ^+5=o,
a b с x г/ be
a b
1 + \L + I =i.
a b с
4125. В каком отношении объем шара х2 + у2 + г2 < 4az делит
поверхность х2 + у2 + аг = 4а2?
4126. Найти объем и поверхность тела, ограниченного
поверхностями х2 + у2 = az, z = 2а - Jx2 + у2 (а > 0).
4127. Найти объем параллелепипеда, ограниченного
плоскостями
а{х + bty + ctz = ±ht (i = 1, 2, 3),
если
Д =
«1 Ь, С!
а2 Ь2 с2
«з Ь3 е3
^ 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
401
4128. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(ахх + Ьгу + cxzf + (а2х + b2y + c2zJ + (а3х + b3y + c3zJ = Л2,
если
Д =
«1 bi ci
аг Ъг сг
а3 Ь3 с3
*0.
4129. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
U2 ЬЧ с2" Ala2 Ъг) к '
4130. Найти объем тела, расположенного в положительном
октанте пространства Oxyz (x>0,j/>0,z>0)h ограниченного
поверхностями:
*1 + Ш + ?f = 1 (от > о, п > 0, р > 0), х = 0, у = 0, z = 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
1. Масса тела. Если тело занимает объем V и р = р (х, у, г) —
плотность его в точке (х, у, z), то масса тела равна
ш
М = I I I p dx dy dz.
A)
2. Центр масс тела. Координаты центра масс (х0, у0, z0) тела
вычисляются по формулам
х° = м J J J рх dx dy dz;
v
Уо = MjJJ pydx dy dz'
v
h\\\pz dx xy dz'
B)
zn =
Если тело однородно, то в формулах A) и B) можно положить р = 1.
3. Моменты инерции. Моментами инерции тела относительно
координатных плоскостей называются соответственно интегралы
V V
1гх~JJJ ру2dx dy dz'
v
'У
px2 dx dy dz,
402 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Моментом инерции тела относительно некоторой оси I
называется интеграл
ш
pr2 dx dy dz,
где г — расстояние переменной точки тела {х, у, г) от оси I. В частности
для координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно имеем:
* х * ху * хг» ¦* у -* ух ' * у г» ^ г -* г х гу •
Моментом инерции тела относительно начала координат
называется интеграл
ш
Л> = I I | Р(*2 + У2 + г2) dx dy dz.
v'
Очевидно, имеем
4. Потенциал поля тяготения. Ньютоновым потенциалом тела в
точке Р (х, у, г) называется интеграл
«х.у.г)- jjj рE,Чр0М,
к
где F — объем тела, р = р(^, r\, Q — плотность тела, и
Материальная точка массы т притягивается телом с силой,
проекции которой X, Y, Z на оси координат Ох, Оу, Oz соответственно равны:
v
V
где G — гравитационная постоянная.
4131. Найти массу тела, занимающего единичный объем
0 < х < 1,0<г/<1,0<2<1, если плотность тела в точке М (х, у, г)
дается формулой р = х + у 4- z.
4132. Найти массу тела, заполняющего бесконечную
область х2 4- у2 + z2 > 1, если плотность тела меняется по закону
р = р0е-*^2 + + 22, где р„ > 0 и k > 0 постоянны.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
403
Найти координаты центра масс однородных тел,
ограниченных поверхностями:
аг о2 с2
4134. z = х2 + у2, х + у = а, х = 0, у = 0, z = 0.
4135. х2 = 2pz, у2 = 2рх, х = |, z = 0.
4136. *f + g+2f=l, * = 0,y = 0, 2 = 0.
а2 ?2 с2
4137. х2 + 22 = а2, у2 + 22 = a2 (z > 0).
4138. х2 + у2 = 2г, х + у = 2.
4139. (- + ^ + -У = ?2* (ж > 0, у > 0, 2 > 0, а > 0, & > 0,
\а2 b2 c2^ abc
О 0).
4140. 2 = хг + г/2, 2 = |(х2 + г/2), х + у = ±1, х - у = ±1.
4141. — +!f- +- =l,x = 0,y=0,z = 0 (n>0,x>0,y>Q,z>0).
ап Ъ" с"
4142. Определить координаты центра масс тела, имеющего
форму куба:
0<х<1,0<{/<1,0<2<1,
если плотность тела в точке (х, у, z) равна
2сг- 1 20-1 2у- 1
Р= X 1'а у !-Р 2 !-Т ,
где 0 < а < 1, О < р < 1, 0 < у < 1 •
Определить моменты инерции относительно координатных
плоскостей однородных тел, ограниченных следующими
поверхностями (параметры положительные):
4143. - + ^ + - = 1, х = 0, у = 0, 2 = 0.
abc
4144. ? + ? + г-2 = 1.
о2 о2 с2
4145.
4146.
xf + ^ = —
о2 Ь2 с2
а) *? + а! +
; а2 Ь2
„ г2 ;у2
г 2
= 1, ? +41 = *;
о2 Ь2 а
-' б2 с а о с
404 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
la2 Ъ2 с2) а2 Ьг с2 '
б)@" + ®п + Ш" = 1' х=°-у=0>г=0 (*>0;
х > 0, г/ > 0, z > 0).
Определить моменты инерции относительно оси Oz
однородных тел, ограниченных поверхностями:
4148. 2 = х2 + у2, х 4- у = ±1, х - у = ±1, z = 0.
4149. а) х2 + у2 + г2 = 2, х2 + у2 = z2 (z > 0);
б) (х2 + у2 + z2f = a5z.
4150. Найти момент инерции неоднородного шара
х2 + у2 + z2 < Л2
массы М относительно его диаметра, если плотность шара в
текущей точке Р{х, у, z) пропорциональна расстоянию этой точки
от центра шара.
4151. Доказать равенство
/, = /, + Md2,
1 'о
где /, — момент инерции тела относительно некоторой оси I,
I, — момент инерции относительно оси 10, параллельной I и
проходящей через центр масс тела, d — расстояние между осями и
М — масса тела.
4152. Доказать, что момент инерции тела, занимающего
объем V, относительно оси I, проходящей через его центр масс
О @, 0, 0) и образующей углы а, C, у с осями координат, равен:
/, = Ix cos2 a + Iу cos2 P + 1г cos2 у -
- 2Кху cos a cos C - 2Кхг cos a cos у - 2Kyz cos P cos y,
где Ix, Iy, Iz — моменты инерции тела относительно осей
координат и
КХу ~ РХУ dx dy dz, Кхг = pxz dx dy dz,
V V
Куг= Г Г Г pyz dx dy dz
v
— центробежные моменты.
4153. Найти момент инерции однородного цилиндра х2 + у2 < а2,
z = ±h, плотности р0 относительно прямой х = у = z.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
405
4154. Найти момент инерции относительно начала
координат однородного тела плотности р0, ограниченного поверхностью
(х2 + у2 + z2J = а\х2 + у2).
4155. Найти ньютонов потенциал в точке Р(х, у, г)
однородного шара Е,2 + п2 + ^2 < R2 плотности р0.
Указание. Положить, что ось 0? проходит через точку Р{х, у, г).
4156. Найти ньютонов потенциал в точке Р(х, у, г)
сферического слоя Rj < ?2 + i]2 + 'Q < R2, если плотность р = f(R), где
f — известная функция и R = Jt2 + ц2 + ^2.
4157. Найти ньютонов потенциал в точке Р@, 0, г) цилиндра
?2 + л2 < а2, 0 < С, < h, постоянной плотности р0.
4158. С какой силой притягивает однородный шар
?2 + л2 + С < R2
массы М материальную точку Р@, 0, а) массы т?
4159. Найти силу притяжения однородным цилиндром
?,2 + УJ<а2, 0< С< А
плотности р0 точки Р@, 0, z) единичной массы.
4160. Найти силу притяжения однородным шаровым
сектором плотности р0 материальной точки единичной массы,
помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхности равен
R, а угол осевого сечения сектора равен 2а.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
1. Случай бесконечной области. Если двумерная область ?1 не
ограничена и функция f(x, у) непрерывна на Q, то по определению полагают:
f(x, у) dx dy = liiti^ f(x, y) dx dy, A)
где Q,„ — любая последовательность ограниченных замкнутых квадри-
руемых областей, исчерпывающая область О.. Если предел в правой
части существует и не зависит от выбора последовательности Q.„, то
соответствующий интеграл называется сходящимся; в противном случае —
расходящимся.
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл от
непрерывной функции, распространенный на неограниченную
трехмерную область.
406 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Случай разрывной функции. Если функция f(x, у) непрерывна в
ограниченной и замкнутой области О. всюду, за исключением точки Р(а, Ь),
то полагают:
Г Г f(x, у) dx dy = lim Г Г f(x, у) dx dy, B)
И Q-t/,.
где Uc есть область диаметра е, содержащая точку Р, и в случае
существования предела рассматриваемый интеграл называют сходящимся; в
противном случае — расходящимся.
Предполагая, что вблизи точки Р(а, Ь) имеет место равенство
га
где абсолютная величина функции ф(аг, у) заключена между двумя
положительными числами т и М и г = J(x- а)г + (у- ЬJ, получим, что
1) при а < 2 интеграл B) сходится; 2) при а > 2 — расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл B), если
функция f(x, у) имеет линию разрыва.
Понятие несобственного интеграла от разрывной функции легко
переносится на случай тройных интегралов.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы с
бесконечной областью интегрирования @ < т < |ф (лг, у)\ < М):
4161. ff MbMLdxdy.
J J (х* + у*у
+ оо -f-oo
4162. Г f ^U .
J J (i + ix|p)(i + iyh
-OO —OO
4163. ff У(Ж'У? dxdy.
J J (l + x2 + y2)p
4164. ff fxdy (p>0,q>0).
J J \x\p+\y\" ^
\x\ + \y\ > 1
4165. ff sinxsinVdx dy.
JJ (x + y)"
x + y>l
4166. Доказать, что если непрерывная функция f(x, у)
неотрицательна и Sn (п = 1, 2, ...)— какая-нибудь
последовательность ограниченных и замкнутых областей, исчерпывающая
область S, то
Г \f(x, у) dx dy = lirn^ \\f(x, y) dx dy,
где левая часть имеет смысл одновременно с правой или не имеет его.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
407
4167. Показать, что
lim I sin (х2 + у2) dx dy = л,
1*1 ц п
тогда как
lim
П -> со
х'1 +уг < 2 я л
Г Г sin (х2 + у2) dx dy = 0
(л — натуральное число).
4168. Показать, что интеграл
J J (*2 + J/2J *
*> 1,»>1
расходится, хотя повторные интегралы
+ СО +СО +00 -fOO
1 I
сходятся.
[dx Г Г'-Уа dy и f dy f X?-V*,dx
J J (X2+</2J У J ^J (^ + г/2J
Вычислить интегралы (параметры положительны):
4169. П 2*&. 4170. П J*&L.
J J хРуч J J (* + {/)'
XI/ > 1 #+ ^ > 1
*> 1 0S*« 1
4171 ff rfxdy 4172 ff -J**li-.
J J Jl-x2- г/2 J J (*2 + 2/2)''
дг2 + #2 < 1 х2 + у2> 1
4173. ff -^Ц. 4174. ff е^^Ых dy.
и
>x2 + l 0<x<y
Переходя к полярным координатам, вычислить интегралы:
+ оо -f со
4175.
Г I* е<х2 + »2Ых dy.
-оо -оо
+ оо +оо
4176. f f e-<*2 + «2)cos (х2 + у2) dx dy.
-оо — оо
+ оо +оо
4177. f f e-(*2 + y2)sin(x2 + у2) dx dy.
408 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить интегралы:
+-оо + оо
4178. Г Г eax2 + 2bxy + c^ + 2dx + 2ey + fdx dy, где а < О, ас - Ь2>0.
-ОО -оо
4179. el°2 ft2jdx dy.
а2 б2
+ 00+00
4180. *j/e [°2 а" ,dx dy {О < |е| < 1
-оо -оо
Исследовать на сходимость несобственные двойные
интегралы от разрывных функций @ < т < |ф(ж, у)| < М):
4181. „х ^„, где область Q определяется условиями:
J J х2 + у2
а
\у\<х2;х2 + у2<1.
4182. ff ?(*¦??, dxdy.
JJ (л;2 + ху + у*у
*2 + </2«i
4183. ГГ . d*dV (р>0, g>0).
1*1 + м < 1
4184. f fp&JUdxdy.
" 0
ff Ф(»,У) rfxdy.
J J (l-**-J,2)P У
0 0
4185.
д;2 + у2 < 1
4186. Доказать, что если: 1) функция <р(х, у) непрерывна в
ограниченной области а < х < А, Ъ < у < Б; 2) функция /(х)
непрерывна на сегменте а<х<АиЗ)р<1,то интеграл
А В
(dx( грЩ-dy
J J \f(x)-y\P У
a b
СХОДИТСЯ.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
409
Вычислить следующие интегралы:
4187. П In * dx dy.
J J Jx2+u2
Jx2 + j/2
xz + y4 < 1
r2 + #2 <
u x
4188. Г dx f dy (a > 0).
J J J(a-x)(x-y)
4189. In sin(x - y) dx dy,
a
где область О. ограничена прямыми у = 0, у = х, х = л.
4190. Г Г _g*&-.
J J 7^^72
х/- + уй ^ х
Исследовать на сходимость следующие тройные интегралы:
4191. fff ^lL^^.dxdydz,rp,eO<m<\<p(x,y,z\<M.
JJJ (х' + у' + г'У
X2 + i/2 + Z2 > 1
4192. fff 9(*. У. z) dx dy dz, где 0 < m < b(*, ц, z| < M.
JJJ (X2 + y2 + Z2)"
*2 + !/2 + z2 < 1
4193. fff . dxfVdz (p>o, g>0, r>0).
W + M + |z|>i
4194. f f f f{x,y,z)dxdydz ,Где0<т<|/<*,у,2|<М,
JJJ {\u-«>(xW + \z-\v(x)V}p
а ф(х) и \|/(.r) — непрерывные функции на сегменте [0, а].
4195. f f Г rjff^
Ы<1
Вычислить интегралы:
1 1 1
... ' ' lj_
¦22K
4196 f f f dxdyd2 4197 fff dxdydz
JJJ xpy"zr JJJ (x2 + y2 + z
0 0 0 x2 + j,2 + z2 > 1
4198. fff ^^ .
JJJ A-х*-у*-г*у
x2 + y2 + z2 < 1
-f-oo -foo -foo
4199. fff е~(*г + уг + *2Ых dy dz.
-oo -oo —oo
410 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4200. Вычислить интеграл
-4-со +оо +оо
Г Г Г e~nXi-x*X3)dxxdx2dx3,
) _ ОО — ОО
3 3
где P(xlt х2, х3) =У У aijXfXjiaij = ау7) — положительно опре-
деленная квадратичная форма.
§ 10. Многократные интегралы
1. Непосредственное вычисление кратного интеграла. Если
функция f(xx, х2,..., хп) непрерывна в ограниченной области О., определяемой
неравенствами
х'2(хг) < х2< х'Цхх),
Хп (Xi, Х2 Хп _ j ) Ч Хп «s Xn \ХХ, Хг, ... , Хп _ j ),
где х[, х" — постоянные числа, х'^х^), х'г' (хх), ..., х'п(хх, х2, ..., хп„х),
х'^ (ас,, х2, ..., хп_х) — непрерывные функции, то соответствующий
многократный интеграл может быть вычислен по формуле
[[•¦•| Я*1. Х2> -¦ ' Xn)dxl dx2 ¦¦• dxn =
а
= Г dx1 dx2... f(xx, x2, ..., xn)dxn.
2. Замена переменных в кратном интеграле. Если: 1) функция
f(xx, x2, ..., *„) равномерно непрерывна в ограниченной измеримой
области О.; 2) непрерывно дифференцируемые функции
*i = <P>(?i> ^2. •••. U (i = 1. 2 а)
осуществляют взаимно однозначное отображение области О.
пространства Оххх2 ... хп на ограниченную область Q.' пространства 0%х?,2.. .?,„ и
3)якобиан
Р(хх,х2,...,хп)
в области Q', то справедлива формула
... f(xx, х2, ..., хп) dxx dx2... dxn =
а
= J J • J /(Ф1.Ф2. ••- Ф„) W^1^2 ••• ^„.
§10. Многократные интегралы
411
В частности, при переходе к полярным координатам (г, <pj, ф2, ..., Ф„-1)
по формулам
Х1 = Г COS фк
х2 — г sin ф! cos ф2,
хп _ , = г sin ф! sin ф2 ... sin фл _ 2 cos ф„_ ,,
хп = г sin ф, sin ф2 ... sin ф„ _ 2 sin ф„ _ j,
имеем
I = В(хьхг,...,хп) = ^ . . s.n „ _ 2 s.n„ - з ф 4
?(ЛФ1, ••¦,Ф„-1)
4201. Пусть .йГ(л:, у) — непрерывная функция в области R(a < х < Ъ;
а < у < 6) и
*„(*. */) = f \...\к(х, h)K(tlt t2)... K(t„, y)dt,dt2 ...dtn.
a a a
Доказать, что
ь
Kn + m + ,(x, у)=\ка (х, t)Km (t, y) dt.
a
4202. Пусть / = f{Xi, x2, ¦ ¦¦, xn) — непрерывная функция в
области 0< Xj< x (i= 1, 2, ..., п). Доказать равенство
X Х\ Хп 1 XX X
Г dx! \ dx2 ... J f dxn = \ dxn Г dxn^ ...j / dxx (n> 2).
0 0 0 0 xn x2
4203. Доказать, что
f dti f dt2 ... f /(ti)/(*2) ... /(*„) dtn = 1 f /(x) dt
0 0 0 I 0
где / — непрерывная функция.
Вычислить следующие многократные интегралы:
1 1 1
4204. а) Г Г • • • (xl + х\ + ... + x2n) dx1 dx2 ... dxn;
оо о
i i i
б) Г ... (*! + х2 + ... +xnJ dxx dx2 ... dxn.
оо о
412 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4205./„= РР f" dx1 dx2 ... dxn.
x, >0.x,»0,...,xn ?0,
1 xl xn-\
4206.
0 0 0
4207.
dxr dx2 ... x1x2 ... xndxn.
о о
Jx1 + x2 + ... + xndxx dx2 ... dxn.
xx $o.x2>o xn >o,
4 T^2^
4208. Найти объем /г-мерного параллелепипеда,
ограниченного плоскостями
апх1 + ai2x2 + ... + ainxn = ±ht (i = 1, 2, ..., /г),
если А = |a,J ^ 0.
4209. Найти объем я-мерной пирамиды
Ъ. + Ъ. + ... + Ь < 1, х > о (i=l,2 /г)
(а; > 0, i = 1, 2, ..., п).
4210. Найти объем n-мерного конуса, ограниченного
поверхностями
2 2 2 2
^А л_ Х2 , , хп- 1 _ хп „ _
2 -г 2 -г ... -г 2 2 , х„ ип.
ах а2 a„_, a„
4211. Найти объем n-мерного шара
х\ + х\ + ... + х\ < а2.
4212. Найти II ... I xndxx dx2 ... dxn, где область Q. опреде-
ляется неравенствами
2.2. ,2 ^-2 Й ^ ^-Л
4213. Вычислить
§ 10. Многократные интегралы
413
4214. Доказать равенство
X х1 Хп-1 х
jdXljdx2... J f(xjdxa= jftu^-^du.
0 0 0
4215. Доказать равенство
х х\
хг dxl х2 dx2 ... f(xn + i) dxn _,. j —
о о о
X
= -i- f (x2~u2f f(u)du.
2nn\J
0
4216. Доказать формулу Дирихле
I I ... I ЛСi X9 • •» Х* CtX-^ CtXo»'- QX-n =^
xl + x2+... + xn<l
_ Г(Р1)Г(р2)...Г(р„)
(Pi.P2. ...,P„>0).
r(Pi+P2 + -"+Pn+l)
4217. Доказать формулу Лаувилля
... /(Xj +x2 +... + xn)x1l x2 ¦¦• x," dxx dx2... dxn~
X. + X~ + ... + X„ < 1
r(Pi + p2+ ¦¦•+Pn) J
0
где /(u) — непрерывная функция.
Указание. Применить метод математической индукции.
4218. Привести к однократному интегралу л-кратный
интеграл (п > 2)
п
распространенный по области х1 + х2 + ... + хп < Д2, где f(u) —
непрерывная функция.
414 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4219. Вычислить потенциал на себя однородного шара
радиуса R и плотности р0, т. е. найти интеграл
-шя
dxldyidzldx2dy2dz2
2 2 2 , .
где гх> г = 7(^1" *гJ + (У1 - УгJ + («i - *2J ¦
4220. Вычислить я-кратный интеграл
+ СО + О0 +ОС
JJ...J.
?v^+2Xvi^
,/ = 1
do-! dxt ... dxn,
— ОО — (X)
если у QijXfXj (а,; = а,,) — положительно определенная квадра-
тичная форма.
§ 11. Криволинейные интегралы
1. Криволинейный интеграл 1-го рода. Если f(x, у, z) — функция,
определенная и непрерывная в точках гладкой кривой С
х = x(t), у = y(t), z = z(t), (t0 < f < Г) A)
и ds — дифференциал дуги, то
г
f f(x, у, z)ds = Г Я*@. y(t), z(t))Jx'2(t) + y'2(t) + z'Z(t)dt.
с t0
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от
направления кривой С.
2. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го
рода. Если р = р(х, у, г) — линейная плотность в текущей точке (х, у, z)
кривой С, то масса кривой С равна
М = р(х, у, z) ds.
с
Координаты центра масс (х0, у0, г0) этой кривой выражаются
формулами
х°= м хр^х'у'г^ds' Уо = м \ ур^х'у'г>> ds' г°= м \ zp(-x'y'z>> ds'
§11. Криволинейные интегралы
415
3. Криволинейный интеграл 2-го рода. Если функции Р = Р(х, у, г),
Q = Q(x, у, г), R = R(x, у, г) непрерывны в точках кривой A),
пробегаемой в направлении возрастания параметра t, то
Р(х, у, г) dx + Q(x, у, г) dy + R(x, у, г) dz =
с
т
- f {P(x(t), y{t), z(t))x'(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y\t) + B)
+ R(x(t), y(t), z(t))z'(t)} dt.
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изменяет
свой знак на обратный. Механический интеграл B) представляет собой
работу переменной силы {Р, Q, R}, точка приложения которой
описывает кривую С.
4. Случай полного дифференциала. Если
Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz = du,
где и = и{х, у, z) — однозначная функция в области V, то независимо от
вида кривой С, целиком расположенной в области V, имеем
I Р dx + Q dy + R dz = и(хг, j/2> 2г) ~ и(х\, У\, 2t),
с
где (xj, yx, Zj) — начальная и (x2, y2, z2) — конечная точки пути. В
простейшем случае, если область Т^односвязна и функции P,QnR обладают
непрерывными частными производными первого порядка, для этого
необходимо и достаточно, чтобы в области V были тождественно
выполнены следующие условия:
дР =dQ 9Q = ЭД ЭЯ = ЭР
ду Эх dz Э(/ ' dx dz
Тогда, в простейшем случае стандартной параллелопидальной
области V, функцию и можно найти по формуле
х у г
и(х, у, г) = Г Р(х, у, z)dx + Г Q(x0, у, z)dy + R(x0, y0> z) dz + с,
*о Уо го
где (х0, (/0, г0) — некоторая фиксированная точка области V и с —
произвольная постоянная.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го рода:
4221. (х + у) ds, где С — контур треугольника с вершинами
с
0@, 0),АA, 0)иВ@, 1).
416 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4222. у2 ds, где С — арка циклоиды
с
х = а (? - sin t), у = а A - cos 0 @ < t < 2я).
4223. Г (х2 + у2) ds, где С — кривая
с
л: = a (cos ? + t sin t), у = a (sin ? — ? cos ?) @ < t < 2л).
4224. xy ds, где С — дуга гиперболы
с
х = a ch t, у = a sht (О < t < ?0)-
л/44. 22г
4225. ( х3 + у3 ds, где С — дуга астроиды х3 + у3 = а3.
с
4226. eV*2 + </2 ds, где С — выпуклый контур, ограниченный
с
кривыми г=а, <р=0, ф=- (гиф — полярные координаты).
4
4227. |у| ds, где С — дуга лемнискаты
(х2 + у2J = а2(х2 - у2).
4228. л: ds, где С — часть логарифмической спирали г = ае
с
(k > 0), находящаяся внутри круга г < а.
4229. л/*2 + У2 ds, где С — окружность х2 + у2 = ах.
с
). -|, где С — цепная линия у = a ch - .
J !/2 о.
kip
С
4230.
Найти длины дуг пространственных кривых (параметры
положительны):
4231. х = 3t, у = 3t2, z = 2f3, от О @, 0, 0) до А C, 3, 2).
4232. х = е~' cos t, у = е~' sin t, z = е'*, при О < t < +oo.
4233. у = a arcsin - , z = - In—- от О @, 0, 0) до А (х0, у0, z0).
а 4 а + х
4234. (х - уJ = а (х + у), х2 - у2 = § х2 от О @, 0, 0) до
8
§11. Криволинейные интегралы
417
4235. х2 + у2 = С2, У- = tg- от О @, 0, 0) до А (х0, у0, г0).
х с
4236. х2 + у2 + z2 = a2, Jx2 + у2 ch ( arctg ^ J = а от точки
А (а, 0, 0) до точки В (х, у, г).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода, взятые
вдоль пространственных кривых:
4237. (х2 + у2 + z2) ds, где С — часть винтовой линии
с
х = a cos t, у = a sin t, z = bt @ < ? < 2rt).
4238. I x2 ds, где С — окружность
с
х2 + у2 + z2 = а2, х + у + z = 0.
4239. z ds, где С — коническая винтовая линия
с
х = t cos t, у = t sin ?, 2 = t @ < ? < tQ).
4240. z ds, где С — дуга кривой я2 + у2 = z2, у2 = ах от точки
с
О @, 0, 0) до точки А (а, а, V2 ).
4241. 1. Найти массу кривой х — a cos t, у = b sin ? (а > b > 0;
0 < t < 2я), если линейная плотность ее в точке (х, у) равна |г/|.
2. Найти массу дуги параболы
у2=2рх ( 0 < х < |j ,
если линейная плотность параболы в текущей точке М(х, у)
равна \у\.
3. Найти массу дуги кривой х = at, у = ^ ?2, z = | ?3 @ < ? < 1),
/2Й
плотность которой меняется по закону р = /-? .
А/ а
4242. Вычислить координаты центра масс дуги однородной
кривой у = a ch- от точки А @, а) до точки В (b, h).
а
418 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4243. Определить центр масс дуги циклоиды
х = a (t - sin t), у = а A - cos t) @ < t < л).
4244. 1. Найти статические моменты
Sy= \ х ds, Sx = \ у ds
с с
дуги С астроиды
2 2 2
х3 + г/5 = а3 (х > 0, г/> 0)
относительно осей координат.
2. Найти момент инерции окружности
х2 + уг = аг
относительно ее диаметра.
3. Найти полярные моменты инерции
10 = Г (х2 + у2) ds
с
относительно точки О@, 0) следующих линий: а) контура С
квадрата max {|x|, |у|} = а; б) контура С правильного треугольника
с вершинами в полярных координатах
P(a,0),Q(a, ^), Л (а, ^
4. Найти средний полярный радиус астроиды
2 2 2
Xs + у3 = а3 ,
т. е. число г0 (г0 > 0), определяемое формулой
г 2
io = s г0,
где /0 — полярный момент инерции астроиды, относительно
начала координат (см. 4244.3) и s — длина дуги астроиды.
4245. Вычислить координаты центра масс контура
сферического треугольника х2 + у2 + г2 = а2; х > 0, у > 0, г > 0.
4246. Найти координаты центра масс однородной дуги
х = е* cos t, у = е' sin t, z = ef (-00 < i < 0).
4247. Найти моменты инерции относительно координатных
осей одного витка винтовой линии
х = a cos t, у = a sin ?, z=—-?@<?< 2я).
2л
§11. Криволинейные интегралы
419
4248. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода
Г х dy - у dx,
ОА
где О — начало координат и точка А имеет координаты A, 2),
если: а) ОА — отрезок прямой линии; б) ОА — парабола, ось
которой есть Оу; в) О А — ломаная линия, состоящая из отрезка ОВ
оси Ох и отрезка ВА, параллельного оси Оу.
4249. Вычислить
\ х dy + у dx
ОА
для путей а), б) и в), указанных в предыдущей задаче.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 2-го рода,
взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания
параметра:
). (х2 - 2ху) dx + (у2 - 2ху) dy, где С — парабола
4250.
с
у = х2 (-1 <х< 1).
4251. Их2 + у2) dx + (х2 - у2) dy, где С — кривая
с
у=1-\1-х\ @<х<2).
Л v-2 j/2
4252. {х + у) dx + {х - у) dy, тде С — эллипс — + ^- = 1,
J а2 о2
с
пробегаемый против хода часовой стрелки.
4253. Bа - у) dx + x dy, где С — арка циклоиды
с
х = a (t - sin t), у = а A - cos i) @ < t < 2л).
4254. <? {x + y)dx-{x-v)dy , где с - окружность х2 + у2 = а2,
пробегаемая против хода часовой стрелки.
4255. ф , х. + , У , где ABCDA — контур квадрата с верши-
J Ы + \у\
ABCDA
нами А A, 0), В @, 1), С(-1, 0), D @, -1).
420 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4256. J dx sin у + dy sin х, где АВ - отрезок прямой между
АВ
точками А @, л) и Б (я, 0).
4259
4257. ф dy arctg^ - dx, где ОягА — часть параболы у - х2
ОтАпО
и ОпА — отрезок прямой у = х.
Убедившись, что подынтегральное выражение является
полным дифференциалом, вычислить следующие криволинейные
интегралы:
B,3)
4258. Г xdy + у dx.
,2)
¦ -4)
I х dx + у dy.
.3)
4260. [ (х + у) dx + (х - у) dy.
@.1)
(i,i)
4261. Г (х - y)(dx - dy).
(i.-i)
4262. f(x + y){dx + dy), где f(u) непрерывна.
@,0)
A.2)
4263. У x~ x У вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
J х2
B,1)
(в, 8)
4264. х х+ У У- вдоль путей, не проходящих через нача-
J Jx2 + у2
A,0)
ло координат.
(*2.(/2>
4265. ф(х) dx + \\i{y) dy, где ф и \|/ — непрерывные функ-
ции.
C,0)
4266. Г (х4 + 4жг/3) dx + Fх2у2 - 5у4) dy.
(-2,-1)
(-1,2)
C,-4)
@,1)
B, 3)
§11. Криволинейные интегралы
421
4267.
мои у = .
4268.
A,0)
Г xdy
J (х
@.-1)
к.
B,п)
И1-
не пересекающих
4269.
(",Ь)
-ydx ]
-уJ
У— cos -
X2
оси Оу
ex(cos и dx
вдоль путей, не пересекающих пря-
@,0)
4270. Доказать, что если f(u) — непрерывная функция
я С — кусочно-гладкий замкнутый контур, то
? f(x2 + у2)(х dx + у dy) = 0.
с
Найти первообразную функцию г, если:
4271. dz = (х2 + 2ху - у2) dx + (х2 - 2ху ~ у2) dy.
4272. dz = —ydx-xdy
Зх2-2ху + 3у2
4273. dz = (*2 + 2*// + 5.i/2)rfx + (x2 - 2xy + y*)dy _
(x + yK
4274. dz = ex[ey(x - у + 2) + y]dx + ех\ё>{х - у) + 1] dy.
4275. dz = ? _i? dx + f-—? dy.
4276. dz = /)";;1" fin l-)dx - -J^fi-fln 1W где
Эхп + 2Э(/т-Ч /V dx"-1^*2 I rj
r = Jx2 + y2 .
4277. Доказать, что для криволинейного интеграла
справедлива следующая оценка:
I Г Р dx + Q dy < LM,
с
где L — длина пути интеграции и М = max JP2 + Q2 на дуге С.
4278. Оценить интеграл
IR = L ydx-xdy _
J (x2 + xi/+i/2J
x2+y2-R2
Доказать, что lim IR = 0.
422 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых (координатная система предполагается правой):
4279. | (у2 - zz) dx + 2yz dy - x2 dz, где С — кривая x = t,y = t2,
с
t3.
z = t @ < t < 1), пробегаемая в направлении возрастания параметра.
4280. \ у dx + z dy + х dz, где С — виток винтовой линии
с
х = a cos t, у = a sin t, z = bt @ < t < 2я), пробегаемой в
направлении возрастания параметра.
4281
{у - г) dx + (z - х) dy + (х - у) dz, где С — окружность
х + уг + z = а , у = д: tg а @ < а < я), пробегаемая против хода
часовой стрелки, если смотреть со стороны положительных х.
4282
х2 dx + z2 dy + х2 dz, где С — часть кривой Вивиани
х + уг + гг = а , х + у = ах (z > 0, а > 0), пробегаемая против
часовой стрелки, если смотреть с положительной части (х > а)
оси Ох.
4283. Г (у2 - z2) dx + {г2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, где С — контур,
с
ограничивающий часть сферы х2 + у2 + z2 = 1, х > 0, у> 0, z> О,
пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности остается
слева.
Найти следующие криволинейные интегралы от полных
дифференциалов:
B,3,-4)
4284.
4285
Г х dx + у2 dy - z3 dz.
i.i)
i,i)
yz dx + xz dy + xy dz.
(l.i.i)
F,i,i)
A.2,3)
(x2,y2,z2)
4286. f xdx^^jdz^ где точка (x^y^zj расположена
J Jx2 + y2 + гг
(xs.y1.zl)
на сфере х2 + у2 + z2 = а2, а точка (x2, y2, z2) — на сфере х2 + у2 +
+ z2 = b2 (a > 0, b > 0).
§12. Формула Грина
423
(х2,(/2.г2)
4287. ф(х) dx + \\j(y) dy + %(х) dz, где ф, \|/, % — непре-
i. f(x + у + z)(dx + dy + dz), где / — непрерывная
('l-i/l-Z])
рывные функции.
(х2,1/2.г2)
4288.
(xvyvzt)
функция.
(*2,!/2, г2)
4289. J f(Jx^
+ у2 + z2 )(x dx + у dy + z dz), где / — не-
(*l.J/l.2,)
прерывная функция.
Найти первообразную функцию и, если:
4290. du = (х2 - 2yz) dx + (у2 - 2xz) dy + (z2 - 2xy) dz.
4291. du = { 1 - i + U) dx + B + —)dy- Ц-dz.
\ у z) Vz y2J z2
4292. du = (x + У ~ z)dx + (x + У - z)dy + (x + У + z)dz
x2 + y2 + z2 + 2xy
4293. Найти работу, производимую силой тяжести, когда
точка массы т перемещается из положения (д^, ух, Zj) в
положение (х2, у2, z2) (ось Oz направлена вертикально вверх).
4294. Найти работу упругой силы, направленной к началу
координат, значение которой пропорционально расстоянию от
материальной точки до начала координат, если эта точка
описывает в направлении против хода часовой стрелки положительную
четверть эллипса — + У— = 1.
v а2 Ъ2
4295. Найти работу силы тяготения F = — , где г = Jx2 + у2 + z2,
г2
G— гравитационная постоянная, действующей на единичную
массу, когда последняя перемещается из точки М1 (xlt ylt z±) в
точкуМ2(л:2,г/2,22).
§ 12. Формула Грина
1. Связь криволинейного интеграла с двойным. Если С —
замкнутый простой кусочно-гладкий контур, ограничивающий конечную од-
носвязную область S, пробегаемый так, что область S остается слева, и
424 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
функции Р (х, у) и Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка Р'у (х, у) и Q'x (x, у) в области S и на ее
границе, то имеет место формула Грина
Ip(x, y)dx + Q (х, у) dy = IT (g - у) dx dy. A)
с s
Формула A) справедлива также и для конечной области S,
ограниченной несколькими простыми контурами, если под границей С
последней понимать сумму всех граничных контуров, направление обхода
которых выбирается так, что область S остается слева.
2. Площадь плоской области. Площадь фигуры S, ограниченной
простым кусочно-гладким конутром S, равна
ф х dy = -<р у dx = - (р (х dy - у dx).
с с с
В этом параграфе, если не оговорено противное, предполагается, что
замкнутый контур интегрирования простой (без точек
самопересечения) и пробегается так, что ограниченная им область, не содержащая
бесконечно удаленной точки, остается слева (положительное
направление).
4296. С помощью формулы Грина преобразовать
криволинейный интеграл
I — <р Jx2 + у2 dx + у[ху + In (х + Jx2 + у2)] dy,
с
где контур С ограничивает конечную область S.
4297. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный
интеграл
= <Ь (х + уJ dx - (х2 + у2) dy,
1 =
к
где К — пробегаемый в положительном направлении контур
треугольника ABC с вершинами А A, 1), В C, 2), С B, 5).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл
непосредственно.
Применяя формулу Грина, вычислить следующие
криволинейные интегралы:
4298.
с
<р ху2 dy - х2у dx, где С — окружность х2 + у2 = а2.
§12. Формула Грина
425
4299. <г> (х + у) dx - {х - у) dy, где С — эллипс
с
*? +U1 =1.
а2 Ъ2-
4300. <р ег[A - cos у) dx- (у - sin у) dy], где С — пробегаемый
с
в положительном направлении контур, ограничивающий
область 0<х<к, 0<y< sin х.
4301. <? e-(*2-) (cos 2xy dx + sin 2xy dy).
4302. На сколько отличаются друг от друга криволинейные
интегралы
h = f (x + у? dx-(x- yf dy,
АтВ
72= j{x + yfdx-ix-yfdy,
АпВ
где AmB— прямая, соединяющая точки А A, 1) и В B, 6), и
АпВ — парабола с вертикальной осью, проходящая через те же
точки А и В и начало координат?
4303. Вычислить криволинейный интеграл
J
(е* sin у - ту) dx + (ех cos у - т) dy,
АтО
где АтО — верхняя полуокружность хг + у2 = ах, пробегаемая
от точки А (а, 0) до точки О @, 0).
Указание. Дополнить путь АтО до замкнутого прямолинейным
отрезком ОА оси Ох.
4304. Вычислить криволинейный интеграл
J Му)ех ~ ту] dx + W{y)ex - т] dy,
АтВ
где ф(у) и ф'(|/) — непрерывные функции, а АтВ —
произвольный путь, соединяющий точки A (Xj, j/j) и В (х2, у2), но
ограничивающий вместе с отрезком АВ площадь АтВА данной величины S.
4305. Определить две дважды непрерывно дифференцируемые
функции Р (х, у) и Q {х, у) так, чтобы криволинейный интеграл
I = ? Р (х + а, у + C) dx + Q (х + а, у + C) dy
с
для любого замкнутого контура С не зависел от постоянных а и C.
426 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4306. Какому условию должна удовлетворять
дифференцируемая функция F (х, у), чтобы криволинейный интеграл
Г F (х, у)(у dx + х dy)
АтВ
не зависел от вида пути интегрирования?
4307. Вычислить
/ = ixdV-ydx ^
J х2 + у2
с
где С — простой замкнутый контур, не проходящий через начало
координат, пробегаемый в положительном направлении.
Указание. Рассмотреть два случая: 1) начало координат
находится вне контура; 2) контур С окружает начало координат.
С помощью криволинейных интегралов вычислить площади,
ограниченные следующими кривыми:
4308. х = a cos t, у = Ъ sin t @ < t < 2я) (эллипс).
4309. х = a cos3 t, у = b sin3 t @ < t < 2л) (астроида).
4310. (х + уJ = ах (а > 0) и осью Ох (парабола).
4311. Xs + у3 = Заху (а > 0) (петля декартова листа).
Указание. Положить у = tx.
4312. (х2 + у2J = а2(х2 - у2) (лемниската).
Указание. Положить у = х tg ф.
4313. Кривой х3 + у3 = х2 + у2 и осями координат.
4314. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(х + у)п + т + 1 = ахпут (а > 0, п > 0, т > 0).
4315. Вычислить площадь, ограниченную кривой
Г*У + (И)" = 1 (а > 0, Ь > 0, п > 0)
и осями координат.
- -
Указание. Положить - = cos " m, f = sin " ф.
а о
4316. Вычислить площадь, ограниченную кривой
и осями координат.
4317. Вычислить площадь петли кривой
ЙН'+ЙНМгШ" (">0,*>0.с>0,П>0).
§12. Формула Грина
427
4318. Эпициклоидой называется кривая, описываемая
точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без
скольжения по неподвижной окружности радиуса R и остающейся вне
нее.
Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, предполагая,
что отношение - = п есть целое число (п > 1).
г
Разобрать частный случай г = R (кардиоида).
4319. Гипоциклоидой называется кривая, описываемая
точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без
скольжения по неподвижной окружности радиуса R и остающейся
внутри нее.
Найти площадь, ограниченную гипоциклоидой, предпола-
гая, что отношение — = п есть целое число (п > 2).
г
R
Разобрать частный случай г = — (астроида).
4
4320. 1. Вычислить площадь части цилиндрической
поверхности х2 + у2 = ах, вырезанной поверхностью х2 + у2 + г2 — а2.
2. Доказать, что объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох простого замкнутого контура С, расположенного
в верхней полуплоскости у > 0, равен
-7i<b у2
V = -я© у dx.
4321. Вычислить
г= l SLXdY-YdX
1 2кУ X2 + Y2 '
с
если X = ах + by, Y = сх + dy и простой замкнутый контур С
окружает начало координат (ad - be) ^ 0).
4322. Вычислить интеграл / (см. предыдущую задачу), если
X — ф(х, у), Y — \\i(x, у) и простой контур С окружает начало
координат, причем кривые ц>(х, у) = 0 и \у(х, у) = 0 имеют несколько
простых точек пересечения внутри контура С.
4323. Показать, что если С — замкнутый контур и I —
произвольное направление, то
*
cos A, n) ds = 0,
где п — внешняя нормаль к контуру С.
428 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4324. Найти значение интеграла
/ = <Ь [х cos(n, х) + у cos (п, у)] ds,
с
где С — простая замкнутая кривая, ограничивающая конечную
область S, и п — внешняя нормаль к ней.
4325. Найти
lim - I (F • n) ds,
:s)-o ь J
с
где S — площадь, ограниченная контуром С, окружающим
точку (х0, у0), d(S) — диаметр области S, п — единичный вектор
внешней нормали контура С и F{X, Y} — вектор, непрерывно
дифференцируемый в S + С.
§ 13. Физические приложения
криволинейных интегралов
4326. С какой силой притягивает масса М, равномерно
распределенная по верхней полуокружности х2 + у2 = а2, у > 0,
материальную точку массы т, занимающую положение @, 0)?
4327. Вычислить логарифмический потенциал простого
слоя
и(х, у) = (Ь к In - ds,
с
где к = const — плотность, г = J(^ - хJ + (п - уJ и контур С есть
окружность ?? + г\2 = R2.
4328. Вычислить в полярных координатах риф
логарифмические потенциалы простого слоя
2л 2л
Ix = cos m\\i In - d\\i и 72 = sin m\\i In-d\\i,
о о
где г — расстояние между точкой (р, ф) и переменной точкой
A, \|/), а т — натуральное число.
4329. Вычислить интеграл Гаусса
и(х,у)=?> cos^n)ds,
где г = J(%- хJ + (г) - уJ — длина вектора г, соединяющего
точку А(х, у) с переменной точкой М(^, п) простого замкнутого глад-
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов
429
кого контура С, (г, п) — угол между вектором г и внешней
нормалью п к кривой С в точке ее М.
4330. Вычислить в полярных координатах риф
логарифмические потенциалы двойного слоя
К, = Г cos mycos^n)dv|/ и Кг = f sin туЬиа^'"' dy,
rcos(r, п) (
г
о о
где г — расстояние между точкой А (р, ср) и переменной точкой
М A, \|/), (г, п) — угол между направлением AM = г и радиусом
ОМ = л, проведенным из точки О @, 0), и m — натуральное
число.
4331. Дважды дифференцируемая функция и = и(х, у)
называется гармонической, если Дц = '—- + С—И = 0. Доказать, что и
дхг ду2
есть гармоническая функция тогда и только тогда, если
ди
дп
I
^ds = 0,
где С — произвольный замкнутый контур и ^ — производная
дп
по внешней нормали к этому контуру.
4332. Доказать, что
где гладкий контур С ограничивает конечную область S.
4333. Доказать, что функция, гармоническая внутри
конечной области S и на ее границе С, однозначно определяется своими
значениями на контуре С (см. задачу 4332).
4334. Доказать вторую формулу Грина на плоскости
Я
и v
dx
dy= <Ь
ди
ди
дп дп
и
V
ds,
где гладкий контур С ограничивает конечную область S и
дп
производная по направлению внешней нормали к С.
430 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4335. Пользуясь второй формулой Грина, доказать, что если
и = и(х, у) — гармоническая функция в замкнутой конечной
области S, то
и(х, у) =
1 ? („д1пг
- In r^}ds,
on
где С — граница области S, n — внешняя нормаль к контуру С,
(х, у) — внутренняя точка области S и г = V(^ - хJ + (л - уJ —
расстояние между точкой (х, у) и переменной точкой (?,, г|)
контура С.
Указание. Вырезать точку (ж, у) из области S вместе с
бесконечно малой круговой окрестностью ее и применить вторую формулу Грина
к оставшейся части области S.
4336. Доказать теорему о среднем для гармонической
функции и (М) = и(х, у):
" (M) = 2nR ^ U^' Л) dS'
где С — окружность радиуса R с центром в точке М.
4337. Доказать, что функция и(х, у), гармоническая в
ограниченной и замкнутой области и не являющаяся постоянной в
этой области, не может достигать своих наибольшего и
наименьшего значений во внутренней точке этой области (принцип
максимума).
4338. Доказать формулу Римана
Я
L[u] M[v]
и v
dx dy = <Ь Р dx + Q dy,
где
Д.л д2и , „ди , иди . „
и] = ——- + а— + о— + си,
дхду Ох ду
M[v] = IbL - а^ - b^ + cv
дхду дх ду
(а, Ъ, с — постоянные), Р и Q — некоторые определенные
функции и контур С ограничивает конечную область S.
4339. Пусть и = и(х, у) и v = v{x, у) — компоненты скорости
установившегося потока жидкости. Определить скорость
изменения количества жидкости в ограниченной контуром С области
S. Какому уравнению удовлетворяют функции и и и, если
жидкость несжимаема и в области S отсутствуют источники и стоки?
§14. Поверхностные интегралы
431
4340. Согласно закону Био—Савара электрический ток г,
протекающий по элементу проводника ds, создает в точке
пространства М(х, у, z) магнитное поле напряженностью
г3
где г — вектор, соединяющий элемент ds с точкой М, и k —
коэффициент пропорциональности.
Найти проекции Нх, Ну, Нг напряженности магнитного поля
Н в точке М для случая замкнутого проводника С.
§ 14. Поверхностные интегралы
1. Поверхностный интеграл 1-го рода. Если S — кусочно-гладкая
двусторонняя поверхность
х = х(и, v), у = у(и, v), г = z(u, v), ((u, v) e Q.) A)
и f(x, y, z) — функция, определенная и непрерывная в точках
поверхности S, то
S
где
f f f(x, у, z)dS = Г Г f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) JEG - F2 du dv,
B)
Уди) \ди) уди
-ilHIHI
F = ЭжЗх , дуду , ЭгЭг
dudv dudv dudv
В частном случае, если уравнение поверхности S имеет вид
z = г(х, у) ((х, у) б с),
где г(х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая функция, то
ff f(x, у, z)dS = f f f(x, у, г(х, y))k+f^y + ^.Jdx dy.
S a
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности S.
Если функцию f(x, у, г) рассматривать как плотность поверхности
S в точке (х, у, г), то интеграл B) представляет собой массу этой
поверхности.
432 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Поверхностный интеграл 2-го рода. Если S — гладкая
двусторонняя поверхность, S+ — ее сторона, характеризуемая направлением
нормали n {cos a, cos P, cos у}, Р = Р(х, у, z), Q = Q(x, у, z), R = Щх, у, г) —
три функции, определенные и непрерывные на поверхности S, то
Р dy dz + Q dz dx + R dx dy =
sf
= Г Г (P cos a + Q cos P + R cos y) dS. C)
s
Если поверхность S задана в параметрическом виде A), то
направляющие косинусы нормали п определяются по формулам:
А В
cos a = — — , cos P =
±JA2 + B2 + C2' ±JA2 + B2 + C2'
С
cos у = — — ,
±JA2 + B2+C2
где
A= д{и, г) ^ E _ 3(z, x) Q_ D(x,.y)
d(u, v) ' d(u, v) ' d(u, v) '
и знак перед радикалом выбирается надлежащим образом.
При переходе к другой стороне S" поверхности S интеграл C) меняет
свой знак на обратный.
4341. На сколько отличаются друг от друга поверхностные
интегралы
h = f f (x2 + y2 + z2) dS,
s
l2~
h = J J (x2 + У2 + г2) dP,
p
^2 , ,,2 . „2 = „2
где S — поверхность сферы х + у + z = а и P — поверхность
октаэдра \х\ + \y\ + \z\ = а, вписанного в эту сферу?
4342. Вычислить
Я
zdS,
где S — часть поверхности х2 + z2 = 2az (a > 0), вырезанная
поверхностью z = Jx2 + у2.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 1-го рода:
4343. (х + у + z) dS, где S — поверхность
s
х2 + у2 + z2 = a2, z > 0.
§ 14. Поверхностные интегралы
433
4344. (ж2 + у2) dS, где S — граница тела
Jx2 + у2 < 2 < 1.
4345. , где S — граница тетраэдра
JJ A + х+</J
S
х + у + z < 1, х > О, у > 0, z > 0.
4346.
\xyz\ dS, где S — часть поверхности z = х2 + у2, от-
s
секаемая плоскостью 2=1.
4347. — , где S — поверхность эллипсоида и /г — расстоя-
s
ние центра эллипсоида до плоскости, касательной к элементу dS
поверхности эллипсоида.
4348. 2 dS, где S — часть поверхности геликоида
s
х — и cos v, у = и sin v, z = v @ < и < а; 0 < v < 2п).
4349. г2 dS, где S — часть поверхности конуса
s
х = г cos ф sin а, у = г sin ф sin а, z = r cos а
@<г<а;0<ф< 2я) и а — постоянная ( 0 < а < - J.
4350. (ху + yz + zx) dS, где S — часть конической поверх-
s
ности z = Jx2 + у2, вырезанная поверхностью
х2 + у2 = lax.
4351. Доказать формулу Пуассона
Г f f(ax + by + cz) dS = 2л Г f(uja2 + b2 + c2) du,
s -i
где S есть поверхность сферы х2 + у2 + г2 = 1.
4352. 1. Найти массу параболической оболочки
z= \(х2 + У2) @<2< 1),
плотность которой меняется по закону р = г.
434 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Найти массу полусферы
х2 + у2 + z2 = а2 (г > 0),
плотность которой в каждой ее точке М (х, у, z) равна - .
а
3. Найти статические моменты однородной треугольной
пластины
x + y + z = a {х> 0, у> 0, z> 0)
относительно координатных плоскостей.
4353. Вычислить момент инерции однородной сферической
оболочки
х2 + у2 + z2 = a2 (z > 0)
плотности р0 относительно оси Oz.
4354. Вычислить момент инерции однородной конической
оболочки
~г + ^ " Й = ° @<Z<b)
аг а1 о1
плотности р0 относительно прямой
2: = U. = г ~ b
10 0
4355. Найти координаты центра масс:
а) части однородной поверхности z — Jx2 + у2,
вырезанной поверхностью х2 + у2 = ах;
б) однородной поверхности z = Ja2 - х2 - у2 (х > 0; у > 0;
х + у < а).
4356.1. Найти полярные моменты инерции
h = JJV + У2 + г2) dS
s
следующих поверхностей S:
а) поверхности куба max {\x\, \y\, \z\} = a;
б) полной поверхности цилиндра х2 + у2 < R2; 0 < г < Н.
2. Найти моменты инерции треугольной пластинки
x + y + z = l {x> 0;у> 0; z> 0)
относительно координатных плоскостей.
§ 14. Поверхностные интегралы
435
4357. С какой силой однородная усеченная коническая
поверхность
х = г cos ф, у = г sin ф, z = г @ < ф < 2л, 0 < 6 < г < а)
плотности р0 притягивает материальную точку массы т,
помещенную в вершине этой поверхности?
4358. Найти потенциал однородной сферической
поверхности х2 + у2 + г2 = a2 (S) плотности р0 на точку М0(х0, у0, z0), т. е.
вычислить интеграл
-Я
p0dS
г
s
где г = J(x - х0J + (у - у0J + (z- г0J.
4359. Вычислить
F{t) = f f f(x, у, г) dS,
X + (/ + Z = t
где
,, ч = J 1 - х2 - у2 - г2, если х2 + у2 + г2 < 1;
Г(х'у'2) |о, если х2 + у2 + z2 > 1.
Построить график функции u = .F(?).
4360. Вычислить интеграл
F(t)= [[ f(x,y,z)dS,
Я
х2 + у2 + z2 = ?2
где
х2 + г/2, если х > Jx* + у2 .
fix, у, z)
О, если л: < л/*2 + у2
4361. Вычислить интеграл
*•(*, у, 2, t) = Г Г /(?, п, О dS,
s
где S — переменная сфера
(? - хJ + (Л - уJ + (С - 2J = г2,
и
1, если q2 + ц2+ ^ < а2.
О, если q + г| + С, > а\
предполагая, что
436 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить следующие поверхностные интегралы 2-го рода:
4362. (xdydz + ydzdx + zdxdy), где S — внешняя сторона
сферы х2 + у2 + г2 = а2.
В(У),
4363. f(x)dydz +g(y)dzdx + h(z)dxdy, где f(x), g\
h(z) — непрерывные функции и S — внешняя сторона
поверхности параллелепипеда 0 < х < а; 0 < у < Ь; О < z < с.
4364. (у - г) dydz + (z - х) dzdx + (x - у) dxdy, где S —
s
внешняя сторона конической поверхности х2 + у2 = г2 (О < z < h).
4365. f f (^ +dzdx + dx^ , где S - внешняя сторона
,s
эллипсоида — + f- + — = 1.
a2 &2 c2
4366. x2 dy dz + y2 dz dx + z2 dx dy, где S — внешняя сто-
,s
рона сферы (х - aJ + (у - bJ + (z - cJ = i?2.
§ 15. Формула Стокса
Если Р = P(x, у, г), Q = Q(x, у, г), R = R(x, у, z) — непрерывно
дифференцируемые функции и С — простой замкнутый кусочно-гладкий
контур, ограничивающий конечную кусочно-гладкую двустороннюю
поверхность S, то имеет место формула Стокса:
Р dx + Q dy + R dz = \\
с s
dS,
cosa cosp1 cosy
A. A i.
dx dy dz
P Q R
где cos a, cos P, cos у — направляющие косинусы нормали к поверхности S,
направленной в ту сторону, относительно которой обход контура С
совершается против хода часовой стрелки (для правой координатной системы).
4367. Применяя формулу Стокса, вычислить
криволинейный интеграл
hydx + zdy + xdz,
с
где С — окружность х2 + у2 + z2 = a2, x + у + z = 0, 'пробегаемая
против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной
стороны оси Ох.
Проверить результат непосредственным вычислением.
§ 15. Формула Стокса
437
4368. Вычислить интеграл
h (х2 - yz) dx + (у2 - xz) dy + (z2 - xy) dz,
AmB
взятый по куску винтовой линии
x = a cos ф, у = a sin ф, z = -J- ф
от точки А (а, О, 0) до точки В (а, 0, h).
Указание. Дополнить кривую АтВ прямолинейным отрезком
и применить формулу Стокса.
4369. Пусть С — замкнутый контур, расположенный в
плоскости х cos а + у cos C + z cos у - р = 0 (cos a, cos C, cos у —
направляющие косинусы нормали плоскости) и ограничивающий
площадку S. Найти
dx dy dz
cosa cosP cosy
x у г
где контур С пробегается в положительном направлении.
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:
4370. ф (у + z) dx + (z + x) dy + (х + у) dz, где С есть эллипс
с
х = a sin21, у = 2а sin t cos t, z = a cos21 @ < t < n), пробегаемый
в направлении возрастания параметра t.
4371. ф(г/ - z) dx + B - x) dy + {x - y) dz, где С — эллипс
с
х2 + у2 = а2, - + У. = 1, (а > о, h > 0), пробегаемый против хода
а /г
часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси Ох.
4372. ф (у2 + z2) dx + (х2 + z2) dy + (х2 + у2) dz, где С есть кривая
с
х2 + у2 + z2 = 2Rx, х2 + у2 = 2гх @ < г < R, г > 0), пробегаемая так,
что ограниченная ею на внешней стороне сферы х2 + у2 + z2 = 2Rx
наименьшая область остается слева.
438 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4373. ? (у2 - г2) dx + (z2 - х2) dy + (х2 - у2) dz, где С
сечение
поверхности куба 0 < ж< а, 0 < у < а, 0 < z < а плоскостью
о
х + у + z = -а, пробегаемое против хода часовой стрелки, если
смотреть с положительной стороны оси Ох.
4374. <р y2z2 dx + z2x2 dy + x2y2 dz, где С — замкнутая кривая
с
х = a cos t, у = a cos 2t, z = a cos 3f, пробегаемая в направлении
возрастания параметра t.
4375. Доказать, что функция
W (х, у, г) = ft» Г Г cos(^' n) dS (/г = const),
V Г
где S — площадка, ограниченная контуром С, п — нормаль к
поверхности S и г — радиус-вектор, соединяющий точку
пространства М (х, у, z) с текущей точкой А (?, ц, Q контура С,
является потенциалом магнитного поля Н, создаваемого током i,
протекающим по контуру С (см. задачу 4340).
§ 16. Формула Остроградского
Если S — кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая объем V,
и Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у, г) — функции, непрерывные
вместе со своими частными производными 1-го порядка в области V + S,
то справедлива формула Остроградского:
Г Up cos a + Q cos P + R cos у) dS = f f f (P + у- + у) dx dy dz,
S V
где cos a, cos C, cos у — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности S.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать
следующие поверхностные интегралы, полагая, что гладкая
поверхность S ограничивает конечный объем V и cos a, cos C, cos у —
направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S:
4376. ffx3di/dz + y3dzdx + z3dxdy.
4377. yzdydz + zxdzdx + xydxdy.
§ 16. Формула Остроградского
439
4478 Г Г XCOSCC+ у cos ft + г cosy .q
J J Jx2 + и2 + г2
s а
4379. Г Г (^ cos а + ^ cos C + ^ cos yl dS.
J J ve)* dy dz )
™- jj № - S)«»+(I -1) ~ *+(g - g) H <»¦
4381. Доказать, что если S — замкнутая простая поверхность
и 1 — любое постоянное направление, то
Г fcos(n, l)dS= О,
s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
4382. Доказать, что объем тела, ограниченного поверхностью
S, равен
V = - \\(х cos а + у cos C + z cos у) dS,
s
где cos a, cos C, cos у — направляющие косинусы внешней
нормали к поверхности S.
4383. Доказать, что объем конуса, ограниченного гладкой
конической поверхностью F (х, у, г) = 0 и плоскостью
Ах + By + Cz + D = 0, равен
v= isH,
3
где S — площадь основания конуса, расположенного в данной
плоскости, и Н — его высота.
4384. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = +с и
[ х = a cos и cos v + b sin и sin и,
< у = a cos и cos v - b sin и cos и,
[ 2 = с sin u.
4385. 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
х= и cos v, у = и sin у, 2 = -ы + a cos u (u > 0, a > 0)
и плоскостями: х=0иг=0.
2. Найти объем тела, ограниченного тором
[ х = (b + a cos \|/) cos ф,
< у = (b + a cos i|/) sin ф, @ < a < ft).
I z = a sin \|/.
440 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4386. Доказать формулу
j- \ ||| fix, у, г, t)dx dy dz
X2 + у2 + Z2 < t2
[\ f(x, у, z, t)dS + И[ &dx dy dz (t > 0).
x2 + i/2 + z2-t2 x2 + ij2 + z2 < t2
С помощью формулы Остроградского вычислить следующие
поверхностные интегралы:
4387. \\х2 dy dz + у2 dz dx + z2 dx dy, где S — внешняя сто-
s
рона границы куба 0<х<а, 0<у<а, 0<2<а.
4388. х,! dy dz + уя dz dx + zA dx dy, где S — внешняя сто-
s
рона сферы
x2 + у2 + z2 = а2.
4389. \\(х - у + z) dy dz + (у - z + х) dz dx + (z - x + y) dx dy,
s
где S — внешняя сторона поверхности
\x - у + z\ + \y - z + x\ + \z - x + y\ = 1.
4390. Вычислить
где S — часть конической поверхности х2 + у2 = z2 @ < z < h) и
cos a, cos P, cos у — направляющие косинусы внешней нормали
к этой поверхности.
Указание. Присоединить часть плоскости
2 = h, х2 + у2 < /г2.
4391. Доказать формулу
Я/^-Ш~ <-¦><*¦
V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, п —
внешняя нормаль к поверхности S в текущей точке ее (^, r\, Q,
г = «/(?- хJ + (г) - уJ + (?- zJ иг — радиус-вектор, идущий от
точки (х, у, г) к точке (?, г|, Q.
§ 16. Формула Остроградского
441
4392. Вычислить интеграл Гаусса
I(x,y,z) = jjc-2^dS,
s
где S — простая замкнутая гладкая поверхность,
ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверхности S в точке ее
(?, г], 0, г — радиус-вектор, соединяющий точку (х, у, z) с точкой
Рассмотреть два случая:
а) поверхность S не окружает точку (х, у, z),
б) поверхность S окружает точку (х, у, z).
4393. Доказать, что если
Ди
д2и , д2и
дуг
дх2
д2и
дг2
и S — гладкая поверхность, ограничивающая конечное тело V,
то справедливы следующие формулы:
а) Пу dS= [HaucIx dy dz;
s v
dy)
yf~\dx dy dz +
+ uAu dx dy dz,
v
где и — функция, непрерывная вместе со своими частными
производными до второго порядка включительно в области V + S, и
'г^- — производная по внешней нормали к поверхности S.
дп
4394. Доказать вторую формулу Грина в пространстве
ш
Ди Ди
и v
dx dy dz
Я
ди dv_
дп дп
dS,
где объем V ограничен поверхностью S, n — направление внешней
нормали к поверхности S и функции и = и (х, у, z), v = v (x, у, z)
дважды дифференцируемы в области V + S.
4395. Функция и = и (х, у, г), обладающая непрерывными
производными до второго порядка включительно в некоторой
области, называется гармонической в этой области, если
442 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Доказать, что если и — гармоническая функция в конечной
замкнутой области V, ограниченной гладкой поверхностью S, то
справедливы формулы:
v s
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
Пользуясь формулой б), доказать, что функция,
гармоническая в области V, однозначно определяется своими значениями
на ее границе S.
4396. Доказать, что если функция и = и(х, у, z) —
гармоническая в конечной замкнутой области V, ограниченной гладкой
поверхностью S, то
«x.».,)-±jj[u2^ + !?],«,.
где г — радиус-вектор, идущий из внутренней точки (х, у, г)
области V в переменную точку D, Ц, Q поверхности S,
г = 7D ~ хJ + (Л ~ УJ + (С ~~ zJ. п — вектор внешней нормали к
поверхности S в точке D, Л> О-
4397. Доказать, что если и = и(х, у, z) — функция,
гармоническая внутри сферы S радиуса R с центром в точке (х0, у0, z0), то
"(*о> Уо, zo)=: j^r2 \\u(x, У, z)dS
s
(теорема о среднем).
4398. Доказать, что функция и = и(х, у, z), непрерывная в
ограниченной замкнутой области V т гармоническая внутри нее,
не может достигать своих наибольшего и наименьшего значений
во внутренней точке области, если эта функция не является
тождественной постоянной (принцип максимума).
4399. Тело V целиком погружено в жидкость. Исходя из
закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила жидкости
равна весу жидкости в объеме тела и направлена вертикально
вверх (закон Архимеда).
4400. Пусть St — переменная сфера D - хJ + (г\- уJ + (С, - гJ =
= t2 и функция /D, г|> С) непрерывна. Доказать, что функция
§17. Элементы теории поля
443
удовлетворяет волновому уравнению
д2и , д2и , д2и
дх2 ду2 Ъг2
и начальным условиям: u\t = 0 = 0, -^
Ъt
Ъи
Ъ2и
Ъь2
= f(x, У, г).
Указание. Производную — выразить тройным интегралом.
at
§ 17. Элементы теории поля
1. Градиент. Если ы(г) = и(х, у, г), где г = xi + у] + zk, есть
непрерывно дифференцируемое скалярное поле, то градиентом его
называется вектор
, Ъи . , Ъи . . Ъи ,
grad ы=—i+—]+—к
Ъх оу Ъг
или, короче, grad и = Vu, где V = i:— + j^- + k— . Градиент поля и в
Ъх Ъу Ъг
данной точке (х, у, г) направлен по нормали к поверхности уровня
и(х, у, г) = С, проходящей через эту точку. Этот вектор для каждой
точки поля по модулю
-х-Ш1Не
Ъу)
и направлению дает наибольшую скорость изменения функции и.
Производная поля и в некотором направлении l{cos a, cos C, cos у}
равна
ди „ , . ди , ди г, . Ъи
— = grad и ¦ 1 = —- cos а + — cos р + — cos у.
Ъ1 дх ду дг
2. Дивергенция поля и ротация (вихрь) поля. Если
а(г) = ах (х, у, г) i + ау {х, у,г)}+ аг (х, у, г) к
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
div a
Va = ^ + ^ + ^
дх ду дг
называется дивергенцией или расходимостью этого поля.
Вектор
rot а = V х а =
i
дх
ах
J
Э
ду
ау
к
Э
дг
аг
носит название ротации или вихря поля.
444 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3. Поток вектора через поверхность. Если вектор а(г) порождает
векторное поле в области О,, то потоком вектора через данную
поверхность S, расположенную в Q, в указанную сторону, характеризуемую
единичным вектором нормали n{cos a, cos P, cos у), называется интеграл
\ \ ап dS = \\(ах cos a + ay cos Р + аг cos у) dS,
S S
где а„ = an — нормальная проекция вектора. Формула Остроградского
в векторной трактовке принимает вид
<D an dS = Г Г Г div a dx dy dz,
где S есть поверхность, ограничивающая объем V, и п — единичный
вектор внешней нормали к поверхности S.
4. Циркуляция вектора. Линейным интегралом от вектора а(г),
взятым по некоторой кривой С {работа поля), называется число
a dr = axdx + ац dy + аг dz.
Если контур С замкнут, то линейный интеграл называется
циркуляцией вектора а вдоль контура С.
В векторной форме формула Стокса имеет вид
adr= ff(rota)„dS,
Я
с *
где С — замкнутый контур, ограничивающий поверхность S, причем
направление нормали п к поверхности S должно быть выбрано так,
чтобы для наблюдателя, стоящего на поверхности S, головой по
направлению нормали, обход контура С совершался против хода часовой стрелки
(для правой системы координат).
5. Потенциальное поле. Векторное поле а(г), являющееся
градиентом некоторого скаляра и:
grad и = а,
называется потенциальным, а величина и называется потенциалом поля.
Если потенциал и — однозначная функция, то
I
a dr = и (В) - и (А).
АВ
В частности, в этом случае циркуляция вектора а равна нулю.
Необходимым и достаточным условием потенциальности поля а,
заданного в поверхностно односвязной области, является выполнение
условия
rot a = О,
т. е. такое поле должно быть безвихревым.
§17. Элементы теории поля
445
4401. 1. Найти модуль и направление градиента поля
и = х2 + 2уг + Зг2 + ху + Зх - 2у - 6z в точках: а) О @, 0, 0);
б) А A, 1, 1) и в) В B, 0, 1). В какой точке градиент поля равен
нулю?
2. Пусть
и = ху - z2.
Найти модуль и направление grad и в точке М (-9, 12, 10). Чему
равна производная -^ в направлении биссектрисы координатно-
01
го угла хОу!
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент поля
и = х3 + у3 + z3 - Зхуг
а) перпендикулярен оси Oz; б) параллелен оси Oz; в) равен нулю?
4403. Дано скалярное поле
и = In- ,
г
где г = J(x - аJ + (у - Ъ)г + (х - сJ. В каких точках пространства
Oxyz имеет место равенство
|grad u\ = 1?
4404. Построить поверхности уровня скалярного поля
и= Jx2 + y2 + (z + 8J + Jx2 + y2 + (z-8J.
Найти поверхность уровня, проходящую через точку М (9, 12, 28).
Чему равен max и в области х2 + у2 + z2 < 36?
4405. Найти угол ф между градиентами поля
х2 + у2 + г2
в точках А A, 2, 2) и В (-3, 1, 0).
4406. Пусть дано скалярное поле
Jx2 + у2 + г2
Построить поверхности уровня и поверхности равного
модуля градиента поля.
Найти inf и, sup и, inf |grad u\, sup |grad и\ в области 1 < z < 2.
446 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4407. С точностью до бесконечно малых высших порядков
найти расстояние в точке М0 (х0, у0, z0) между двумя бесконечно
близкими поверхностями уровня
и (х, у, г) = с и и (х, у, г) = с + Ас,
где и (х0, г/о. *о) = с (grad и (ха, у0, г0) * о).
4408. Доказать формулы:
а) grad (и + с) = grad и (с — постоянно);
б) grad cu = с grad и (с — постоянно);
в) grad (ц + v) = grad и + grad и;
г) grad uv= и grad v + v grad и;
д) grad (a2) = 2u grad w;
е) grad f'(u) = f(u) grad u.
4409. Вычислить:
a) grad r; 6) grad г2; в) grad- , где r = Jx2 + y2 + z2.
r
4410. Найти grad f(r), где r = Jx2 + y2 + z2.
4411. Найти grad(cr), где с — постоянный вектор иг —
радиус-вектор из начала координат.
4412. Найти grad{|c x г|2} (с — постоянный вектор).
4413. Доказать формулу
grad f(u, v) = -? grad и + -L grad и.
ди dv
4414. 1. Доказать формулу
V2 (ии) = и V2v + и У2и + 2 Vи Vu,
где
v = iiL +j| +ka
ox oy oz
о гJ Л2 rJ
v2= w = — + — + —.
dx2 dy2 dz2
2. Доказать, что если функция и = и(х, у, г)
дифференцируема в выпуклой области Q. и |grad и\ < М, где М — постоянная,
то для любых точек А, В из Q. имеем:
\и (А) - и (В)\ < Мр (А, В),
где р(А, В) — расстояние между точками А и В.
4415. Для функции и = и(х, у, z) выразить grad и: а) в
цилиндрических координатах; б) в сферических координатах.
§17. Элементы теории поля
447
4417. Найти производную поля и
где г
= 7^
+ у* + zz
4416. Найти производную поля и = — +^-+— в данной
а2 о2 с2
точке М(х, у, г) в направлении радиуса-вектора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна величине
градиента?
1
г
в направлении 1 {cos a, cos р\ cos у).
В каком случае эта производная равна нулю?
4418. Найти производную поля и — и (х, у, z) в направлении
градиента поля v = и (х, у, z).
В каком случае эта производная будет равна нулю?
4419. Написать в ортах векторное поле
а = с х grad и,
если
г
и = arctg
Jx^
i + j
+ У'
4420. Определить силовые линии векторного поля
а = xi + у] + 2zk.
4421. Доказать непосредственным вычислением, что
дивергенция вектора а не зависит от выбора прямоугольной
координатной системы.
4422. Доказать, что
div a (M)
lim
d(S)-
М-
dS,
где S — замкнутая поверхность, окружающая точку М и
ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверхности S,
d(S) — диаметр поверхности S.
4423. 1. Найти дивергенцию поля
а= -ix + jy+kz
Jx2 + у2
в точке М C, 4, 5). Чему приближенно равен поток П вектора а
р.2?
через бесконечно малую сферу {х
2. Найти
ЗJ + (у - АJ + (z - 5)г
div
i J k
AAA
дх ду Ъг
448 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4424. Доказать, что:
а) div (a + b) = div a + div b;
б) div (цс) = с grad и (с — постоянный вектор, и — скаляр);
в) div (ua) = и div a + a grad и.
4425. Найти div (grad и).
4426. Найти div [grad f(r)], где г = Jx2 + у2 + z2. В каком
случае div [grad /(r)] = О?
4427. Вычислить: a) div г; б) div- .
г
4428. Вычислить div [f(r)c], где с — постоянный вектор.
4429. Найти div [f(r)r]. В каком случае дивергенция этого
вектора равна нулю?
4430. Найти:
a) div (и grad и); б) div (и grad и).
4431. Жидкость, заполняющая пространство, вращается
вокруг оси Oz против часовой стрелки с постоянной угловой
скоростью ш. Найти дивергенцию вектора скорости v и вектора
ускорения w в точке М (х, у, z) пространства в данный момент
времени.
4432. Найти дивергенцию гравитационного силового поля,
создаваемого конечной системой притягивающих центров.
4433. Найти выражение дивергенции плоского вектора
а = а(г, ф) в полярных координатах г и ф.
4434. Выразить div a(x, у, г) в ортогональных
криволинейных координатах и, v, w, если
х = f(u, v, w), у = g(u, v, w), z = h(u, v, w).
Как частный случай получить выражение div а в
цилиндрических и сферических координатах.
Указание. Рассмотреть поток вектора а через бесконечно малый
параллелепипед, ограниченный поверхностями и = const, и = const,
w — const.
4435. Доказать, что:
а) rot (a + b) = rot a + rot b;
б) rot (ца) = и rot a + grad (и х а).
4436.1. Найти: a) rot r; б) rot[/(r)r].
2. Найти модуль и направление rot а в точке М A, 2, -2),
если
a=J/i+?j + ?k.
z х у
4437. Найти: a) rot c/(r); б) rot [с х /(г)г] (с — постоянный
вектор).
4438. Доказать, что div (a x b) = b rot a - a rot b.
§ 17. Элементы теории поля
449
4439. Найти: a) rot (grad и); б) div (rot a).
4440. Жидкость, заполняющая пространство, вращается
вокруг оси l{cos a, cos p, cos у} с постоянной угловой скоростью со.
Найти ротацию вектора линейной скорости v в точке
пространства М (х, у, г) в данный момент времени.
4441.1. Найти выражение ротации плоского вектора а = а (г, ф)
в полярных координатах г и ср.
2. Выразить rot а (х, у, z): а) в цилиндрических координатах;
б) в сферических координатах.
4442.1. Найти поток вектора г: а) через боковую поверхность
конуса х2 + у2 < z2 (О < z < h); б) через основание этого конуса.
2. Найти поток вектора а = \yz + ]xz + кху: а) через боковую
поверхность цилиндра х2 + у2 < а2 (О < z < Л); б) через полную
поверхность этого цилиндра.
4443. Найти поток радиуса-вектора г через поверхность
2=1- л/*2 + У2 @< 2< 1).
4444. Найти поток вектора а = х2\ + у2] + z2k через
положительный октант сферы х2 + у2 + z2 = 1, х > 0, у > 0, z > 0.
4445.1. Найти поток вектора а = yi + zj + xk через полную
поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х = 0, у = О,
z = 0, х + у + z = а (а > 0).
Проверить результат, применяя формулу Остроградского.
2. Найти поток вектора
а = x3i + уя] + z3k
через сферу х2 + у2 + г2 = х.
4446. Доказать, что поток вектора а через поверхность S,
заданную уравнением г = г (и, и) {(и, v) € О.) равен
s a
где а„ = an и п — единичный вектор нормали к поверхности S.
4447. Найти поток вектора а = т— (т — постоянная) через
г3
замкнутую поверхность S, окружающую начало координат.
4448. Найти поток вектора
«<,)-? вг«1(-^),
где е, — постоянные и г, — расстояния точек Mt (источники) от
переменной точки М(г), через замкнутую поверхность S,
окружающую точки М, (i = 1, 2, ..., п).
450 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4449. Доказать, что
П ^dS= H(v2udx dy dz,
где поверхность S ограничивает тело V.
4450. Количество теплоты, протекающее в поле температуры
и за единицу времени через элемент поверхности dS, равно
dQ = -fen grad и dS,
где k — коэффициент внутренней теплопроводности и п —
единичный вектор нормали к поверхности S. Определить
количество теплоты, накопленное телом V за единицу времени.
Используя скорость повышения температуры, вывести уравнение,
которому удовлетворяет температура тела (уравнение
теплопроводности).
4451. Находящаяся в движении несжимаемая жидкость
заполняет объем V. Предполагая, что в области V отсутствуют
источники и стоки, вывести уравнение неразрывности
g + div(pv) = 0,
где р = р(х, у, z) — плотность жидкости, v — вектор скорости,
t— время.
Указание. Рассмотреть поток жидкости через произвольный
объем ш, содержащийся в V.
4452. 1. Найти работу вектора а = г вдоль куска винтовой
линии г = ia cos t + ja sin t + kbt @ < t < 2я).
2. Найти работу поля
a=ii+ij+ik
у г х
вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки М A, 1, 1)
иЛГB, 4, 8).
3. Найти работу поля
а = iey ~г + )ег' х + кех ~у
вдоль прямолинейного отрезка между точками О @, 0, 0) и
МA,3, 5).
4453.1. Найти работу поля
а = (у + г)\ + (z + x)j + (х + у)к
вдоль кратчайшей дуги большого круга сферы х2 + уг + z2 = 25,
соединяющей точки М C, 4, 0) и N @, 0, 5).
§17. Элементы теории поля
451
2. Найти работу вектора а = f(r)r, где f — непрерывная
функция, вдоль дуги АВ.
4454. 1. Найти циркуляцию вектора
а = -у\ + х] + ск
(с — постоянная): а) вдоль окружности х2 + у2 = 1, г = 0; б) вдоль
окружности (х - 2J + у2 = 1, г = 0.
2. Найти циркуляцию Г вектора а = grad I arctg ^ J вдоль
контура С в двух случаях:
а) С не окружает ось Oz; б) С окружает ось Oz.
4455. Дано векторное поле
а = -^-i - — j + Jxyzk.
¦Jx Jz
Вычислив rota в точке МA, 1, 1), приближенно найти
циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой окружности
\(х-1J + (у-1J + (г-1J = г2,
[(х - 1) cos а + (у - 1) cos 3 + (z - 1) cos 7=0,
где cos2 а + cos2 P + cos2 у = 1 ¦
4456. Плоский установившийся поток жидкости
характеризуется вектором скорости
w= u(x, y)i + v(x, y)j.
Определить: 1) количество жидкости Q, протекающее через
замкнутый контур С, ограничивающий область S (расход жидкости);
2) циркуляцию Г вектора скорости вдоль контура С. Каким
уравнениям удовлетворяют функции и и и, если жидкость несжимаема и
поток безвихревой?
4457. 1. Показать, что поле
а = yz Bх + у + z)i + xz (x + 2у + z)j + ху (х + у + 2z) k
потенциальное, и найти потенциал этого поля.
2. Убедившись в потенциальности поля
2 х х 1
а = 11 ~ j j - з к>
(y + zJ (y+zJ (y + zJ
найти работу поля вдоль пути, соединяющего в положительном
октанте точки М A, 1, 3) и N B, 4, 5).
452 РАЗДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4458. Найти потенциал гравитационного поля
создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
4459. Найти потенциал гравитационного поля,
создаваемого системой масс ml (i = 1, 2, ..., /г), помещенных в точках
M,(i= 1,2, ..., /г).
4460. Доказать, что поле а = f(r)r, где /(г) — однозначная
непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал
этого поля.
4461. Доказать формулу
gradPjjJJ p(Q) ^ 1 = -jj p(Q) n ^ + JJ| grade p(Q) ^,
*- v J s v
где S — поверхность, ограничивающая объем V, n — внешняя
нормаль к поверхности R, г — расстояние между точками
Р(х, у, г) и Q(?, r\, Q.
4462. Доказать, что если а = grad и, где
-оо
г= лМ-*J + (л-(/J + (С-гJ,
то
div а = р(х, у, z)
(предполагая, что соответствующие интегралы имеют смысл).
ОТВЕТЫ
Раздел I
16.0; 1. 17.-72; Л- 22.-1,OK x< -0,99. 23. х < -8; х > 12.
24. х< -I. 25. О < х< ?. 26. |х| < 6. 27. х > ~-. 28. -А < х< А.
2 3 ' ' 2 2 2
29. ^LzJp- <х< ^/1° ; 1±М < х < 5±^2 . 31. Второе. 32. Два знака.
33. Не превышает 0,41% . 34. 9,9102 см2 < S < 10,0902 см2; Д < 0,0902 см2;
5 < 0,91%. 35. 3,93 г/см3 ± 0,27 г/см3; 5<7,3%. 36. 5 < 3,05%.
37. 172,480 м3< V < 213,642 м3; V= 192,660 м3 ± 20,982 м3; 5 ~ 12%.
1 /2 lg\
38. Д < 0,17 мм. 39. Д < 0,0005 м. 42. а) N > - ; б) iV > - ; в) iV > 1 + —* ;
' е ' чг lg2 '
г) Я > jJ?|^ = 2330 lgl. 43. а) N > Е; б) N > (i||J; в) N > 1010. 46. 0.
47. 0. 48. 0. 49. - . 50. i-^ . 51. 1 . 52. 1. 53. 1. 54. ^ . 55. 3. 56. 1. 57. 2.
3 1-а 2 2 3 3
67. а) второе; б) первое; в) второе. 72. е = 2,71828... . 92. Равен 1, если
а^Ои принадлежит [-1; 1], или не существует, если о = 0. 96. х3 = 1- .
о
97. х100 = ± . 98. х1000 = i2gjgp - 2,49 • 10452. 99. х4 = х5 = -120.
100. х10 = 20.101. а) 0; 1; 1; 1; б)-31 ; 5; -2; 2.102. -1; l|; 0; 1.103. 0; 2; 0.
104. -4; 6; -4; 6. 105. -|; 1; -i ; 1. 106. -оо; +оо; -оо; +оо. 107. -оо; -1;
-оо; -оо. Ю8. 0; +0°; 0; +со. Ю9. -оо; +оо; -оо; +оо. но. -5; 1,25; 0; 0.
111. -А ; 1. 112. -(е + -U ; е + 1. 113. 0; 1. 114. 1; 2. 115. 0; 1. 116. 0; 1.
2 1 Л'
117. 1; -;-;...; 0. 118. Все вещественные числа, заключенные между
о о
0 и 1, включая последние. 119. 1; 5. 120. а; Ъ. 127. а) расходится,
б) может как сходиться так и расходиться. 128. а) нельзя; б) нельзя.
129. Нет. 130. Нет. 144. а) 0; б) 0.147. In 2.148. - (а + 26). 151. -оо < х < +°о;
О
х * -1. 152. -сю<х<-73 и 0 < х < Л. 153. -1 < х < 1. 154. а) |х| > 2;
б)х>2. 155. 4k2n2< х< Bk + lfn2 (к = 0, 1, 2, ...). 156. |х| < /| и
^(«-1) < W<J|D* + D (*-1.2,...). 157.^ <*<? и
454
ОТВЕТЫ
1 1
< X <
— (fe = 0, 1, 2, ...). 158. х>0, х* п (п= 1, 2, ...).
2А+1 2fc + 2 *¦>''¦' \ , , )
159. -± < х< 1.160.1л:- Ы< ? (fe = o, +1, ±2, ...). 161. ю'2*"^"< л: <
|2*+^1л
< 10l + ^" (А = 0, ±1, ±2, ...). 162. х = -1, -2, -3, ... и л: > 0. 163. х < О,
я * -л (л = 1, 2, ...). 164. К х < 2. 165. а) х = |, 1, |, 2, ... ; б) х > 4;
в)/гл + -л < х< Ал + | (й = 0, ±1, ±2 ...); гH<х<5и^<х<^.
166. -1<х<2;0<г/<1^. 167. 2/от + 5 < х < 2/гл + ^ (ft = 0, ±1, ±2,...);
-oo<i/<lg3. 168.-оо<х< +оо; 0<г/< л. 169. К х< 100; -| < г/ < - .
170. х = Р , где Л и ? — целые числа; г/ = ±1. 171. P = 26 + 2(l--lx
@ < х < /г); S = Ъх ( 1 - -) @ < х < К). 172. а = Vl00-96cosx @ < х < л);
S = 24 sin х @ < х < л). 173. S = — х2, если 0 < х < — ;S = h(x- 2—^1,
v ' a-b 2 l 4 J
„„„„ а-6 ^ , a + b. с _ иГа + b (a - xJ~\ „„„„ a + 6 ^ „ ^ „
если —-— < x < ; i> = я - i -г- , если —— ч х ^ а.
2 2 L2 a - о J 2
174. /n(x) = 0, если -°° < x < 0; m(x) = 2x, если 0 < x < 1; m(x) = 2, если
1 < x < 2; яг(х) = 3, если 2 < x < 3; яг(х) = 4, если 3 < x <+oo.
178. Ey = {0 < у < 4}. 179. Ey = {1 < t/ < 3}. 180. ?,, = {0 < г/ < 1}.
181. ?;, = {1 < |г/| < +oo}. 182. Ey = {1<у< 2}. 183. a < у < b при а < b
и b < у < а при a > b. 184. 1 < у < +°o. 185. 0 > у > -°о и +oo > j/ > 1.
186. 0 < у < |. 187. +oo > у > -oo. 188. 0 < г/ < i и | < у < 2. 189. 0; 0;
0; 0; 24. 190. 0; -6; 4. 191. 1; 1; 1; 2. 192. -1; 0; 1; 2; 4. 193. 1, I±* ,
1-х
-=?-, -^- , ^4 . r^ ¦ 194. a) f(x) = 0, если х = -1,х=0их=1;
2+x 1+x x+1 1-х
/(x) > 0, если -оо < x < -1 и 0<х<1; /(х) < 0, если -1 < x < 0 и
1 < x < +oo; б) Дх) = 0, если x = ±i ; Дх) > 0, если —-— < x < -i- и
А 2&+ 1 2/г
-тгЛ-г < х < -—!— (fe = 0, 1, 2, ...); Дх) < 0, если —— < х < —I—
2/г+1 2А + 2 v " 1К ' 2А + 2 2А+1
и-i < х<-—Ц- (/г = 0, 1, 2, ...); в) f(x) = 0, если х < 0 и х = 1; /(х) > 0,
если х < 0 и х = 1; Дх) > 0, если 0 < х < 1; Дх) < 0, если 1 < х < +оо.
195. а) а; б) 2х + я; в) а* ¦ ^— . 197. Дх) = | х - 2; Д1) - i ; Д2) = 2^
198.Дх)=|х2+Пл;+1; Д-1) = -|; ДО, 5) = 2И. 199.Дх)=^х3
3
ОТВЕТЫ
455
- 1 х2 - Щ х + 2. 200. f(x) = 10 + 5 • 2х. 203. a) 2kn < x < к + 2kn
(ft = 0, ±1, ±2); б) К х < е; в) х > 0, х * k (k = О, 1, 2, ...). 205. а) г = л: + у;
6)z= -&L; в) г = -?±^ ; г) г = -?±^- . 206. ф(ф(лг)) = л;4; ч/(у(*)) = 22*;
* + J/ 1 — ЛС1/ 1 + JCI/
ф(\|/(*)) - 22х; \|/(ф(д:)) = 2'г. 207. ф(ф(х)) = sgn л:; i|/(i|/(x)) = х (х * 0);
ф(\|/(х)) = у(ф(х)) = sgn л; (х * 0). 208. ф(ф(х)) = (р(х); \|/(ф(х)) = \|/(лг);
\|/(\|/(х)) = срA|/л:)) = 0. 209.-±-^; х(х*0,х*1). 210./„(*)= ¦ х
х 71 +их2
211.х2-5х + 6. 212. х2-2 ГЫ> 2il . 213. 1. 1±ЖШ . 2.f(x) = \
\ 2) х \\-х)
221. а) Возрастает при а > 0 и убывает при а < 0; б) при а > О убывает
в интервале [ -°°, -—1 и возрастает в интервале -— , +°о ] ; в) возрас-
\ 2а) V 2а )
тает; г) при ad - be > 0 возрастает в интервалах ( -°°, -21 и [--,+°° ] ;
д) возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1. 222. Можно, если
основание логарифмов больше 1. 224. У^— (-оо < j/ < +оо). 225. a) -Jy
(О < у < +оо); б) л/г/ @ < у < +оо). 226. i-^ (у * -1). 227. a) -Jl-y*
@<у<1); б)-УГТ2 @< у< 1). 228. Arsh г/ = In (у + ДТу~*)
(-оо < у < +оо). 229. Arth у = - In ii^ (-к » < 1). 230. х = у, если
2 1-у
-оо < у < 1; х = Jy , если 1 < г/ < 16; л: = log2 г/, если 16 < у < +оо.
231. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) нечетная.
233. а) Периодическая, Т = -? ; б) периодическая, Т — 2л; в) периодиче-
Л
екая, Т = 6к; г) периодическая, Т = я; д) непериодическая; е) периоди-
о
ческая, Г = я; ж) непериодическая; з) непериодическая. 241. ?= 1-е,
о
*—з|«. 248.Х0—А, и,-^- 244.y = ,-^; 9 км; 36 км.
251.*„ = -4; у0=2- 252. р = i2 (у > 0). 263. fe = -2-, m - a'6"a6';
с с V а, 2
'к.^лм ^ „_fci оял „= Ю
л = -?- - ?i (a,b - ab,), х0 = -^ . 264. у = Щ . 287. А = Ja2 + b2; sin x0 = -2 ,
ai aj ai x
cos x0 = - . 356. г/ = 2 sin *, если |лг - nk\ < 5 , и г/ = (-1)*, если
А 6
* <\x-Kk\<^ (k = 0, ±1, ±2, ...). 357. а) у = \ (х + |*|); б) и в) у = х2,
DO i
если х > 0; у = 0, если х < 0; г) у = х, если х < 0; у = х4, если х > 0.
456
ОТВЕТЫ
358. а) у = 1; б) у = 1, если 1 < |х| < Уз ; г/ = 0, если \х\ < 1 или \х\ > 7з ;
в);/ = 1, если |х| < 1; г/ = 2, если |х| > 1; г) г/ = -2, если |х| > 2; </ = 2 - B - х2J,
если |х| < 2. 359. При х < 0 имеем: а) 1) /(х) = 1 + х, 2) /(х) = ~A + х);
б) 1) /(х) = -2х - х2, 2) /(х) = 2х + х2; в) 1) /(х) = /^ , 2) /(х) = -V1* ;
г) 1) /(х) = -sin х, 2) /(х) = sin х; д) 1) /(х) = е~х, 2) /(х) = -е"*;
е) 1) /(х) = In (-х), 2) /(х) = -In (-x). 360. а) х = -± ; б) х = А ; в) х = Ц^ ;
2а 2 2
г) х = йл (fe = 0, +1, ±2, ...). 361. а) (х0, ах0 + Ь), где х0 — произвольно;
б) (--.-) ; в)(х0, у0), гдех0 = --^- иу0 = аХо +bx\ +cx0 + d; г) B, 0);
V с с J 6 а
д) B, 1). 372. Корни: -1,88; 0,35; 1,53. 373. 2,11; -0,25; -1,86.
374. 0,25; 1,49. 375. 0,64. 376. 1,37; 10. 377. -0,54. 378. 0; 4,49.
379. X; = -0,57, у1 = -1,26; х2 = -0,42, у2 = 1,19; х3 = 0,45, у3 = 0,74;
хл = 0,54, ул = -0,68. 380. х, = -1,30, I/, = 9,91; х2 = 2,30, г/2 = 9,73;
х3 = -0,62, у3 = -9,98; х4 = 1,62, г/,, = -9,87. 382. а) Вообще говоря, нет;
б) да. 385. Ограничена сверху и неограничена снизу. 387. /(а) и (Ь).
388. 0; 25. 389. 0; 1. 390. 0; 1. 391. 2; +°°. 392. -1; 1. 393. -J2;j2.
394. |; 4. 395. a) 0,1; 6H,2. 396. 0; 1. 397. a) 8; 6H,8; в) 0,08; г) 0,008.
398. а) л; б) я; в) я; г) л. 411. а) 1; б) §; в) А . 412.6. 413.10.
414. А Пт(п - т). 415. 5. 416. ^ . 417. л 2 . 418.-А. 419. А .
2 v ' \2) 2 2
420. 1. 421. А . 422. А . 423. (^Г . 424. а) п(,1+1); б) 2-А- . 425. ^ .
4 3 \2) ' 2 ' 24 п
426. ^А^) а" -г. 427. HiRlH . 428. 2Li^ . 429. х + 2 . 430. х2 + ах + ^ .
2 2 2 2 3
431. 1. 432. А. 433. 3. 434. ^. 435. 1. 436. -А-. 437. А. 438. -2.
2 3 72 3
439. -L • 440. -— . 441. — . 442. А . 443. — . 444. А . 445. -2. 446. А .
JTa 16 144 4 5 п 4
447. AL . 448. 2 . 449. 4-А-. 450. — . 451. -А . 452. « - ? . 453. И + Р .
27 2 27 36 1 т. п. т п
455. 1. i . 2. А . 456. -А.. 457. А (а + &). 458. А . 459. -А . 460. 1.
т 2 п! 2 2 4
461. | . 462. 2. 463. | . 464. -А . 465. А (Д] + а2 + ... + а„). 466. 2". 467. 2л.
468. lim х, = оо, lim х2 = -с- . 469. а = 1, Ь = -1. 470. а, = ±1; 6, = +А
а —0 а -0 0 2
(/ = 1, 2). 471. 5. 472. 0. 473. (-1)"'""™ . 474. а) А ; б) 1; в) А . 475. А .
476. 2. 477. 4. 478. А . 479. \ . 480. ?-. 482. cos a. 483. -sin a. 484. sec2 a
р 2 к
ОТВЕТЫ
457
(а * Bk + 1M , ft = 0, ±1, ...). 485. -—5— (а * Ал, где А — целое).
2 sin2a
486. -^ (о * Bft + 1J , где А — целое). 487. -_2°5? (а * kn, где А —
cos2a 2 sin2a
целое). 488. -sin a. 489. -cos a. 490. ZllM (а ^ Bft + 1M , где ft — целое).
cos3о 2
491. ^? (а *¦ kn, где к — целое). 492. - sin 2a. 493. -3. 494. 14.
sin3a 2
495. -1 • 496. -24. 497. -?°?25 (a * Bk + 1M , где А — целое). 498. 3 .
УЗ cos-1 a 2 4
499. i . 500. 4 . 501. ~-L . 502. 72 . 503. 0. 504. 3. 505. 0. 506. a) i ;
4 3 12 2
б) J ; в) 1. 507. 1. 508. 0. 509. 0. 510. 0. 511. 1. 512. е3. 513. 1. 514. е~г.
515. е2". 516. О, если а^ < а2; +°°, если ах > а2; е "' , если ах — а2. 517. е.
А
518. е-1. 519. а) 1; б) Je . 520. ectg" (a * kn — целое). 521. е5 . 522. е.
1 -х-
523. 1. 524. е. 525. е. 526. i. 527. e* + I. 528. е 2 . 529. 1. 530. 1.
•Те
531. i . 532. 0. 533. i . 534. -2. 535. 5 . 536. - . 537. ~1-2&1. 538. — .
а 5 2 2 хг Ь
539. f2)\ 540. а) 0; б) га. 541. In a. 542. a" In S-. 543. a" In ea. 544. с2.
545. а) |; б)еР2-; в) 2 ; г)-2. 546. е2. 547.1. 548. ~аа'^. 549. a" In a
550. ах In2 a. 551. е"(" + Ь). 552. In х. 553. In *. 554. ф. 555. Jab
556. l/abc. 557. (a"bbcc) «*h*c. 558. -i- . 559. fin^V*. 560. a"" In a
561. a) 0; 6) l2L|. 562. In 8. 563. -In 2. 566. a) - ; 6) - . 567. 1. 568. 0
ln2 ' 2
2
2
569. In a2. 570. |. 571. A . 572. -2. 573. c2. 574. e*. 575. ?LL§ . 576. a) 1;
8 г Усф
6) | ; в) 1. 577. a) |; 6) 2 sh | . 578. a) ch a; 6) sh а; в) -1. 579. a) In 2;
6) 1. 580. e*2. 581. -5 . 582. 5 . 583. -5 . 584. ^ . 585. —±— . 586. 2.
2 3 2 4 1 + x2
2
587. -?^~ . 588. A . 589. 1. 590. e". 591. a) 0; 6) 0. 592. a) +<*>; 6) A.
jrz+ 1 2 2
593. a)-1; 6I. 594. l.ln^. 595. a) 5 ; 6) -5 . 596. a) 1; 6H. 597. a) 0;
a2 2 2
6I. 600. 2;1;2. 601. 0; (-l)"; (-1)". 602.0. 603.1. 604.0. 605.1.606.0.
458
ОТВЕТЫ
613. б) у = 1, если |х| < 1; у = 0, если \х\= 1. 614. б) у = 0, если О < х < 1
У — ¦: , если х = 1; г/ = 1, если 1 < х < +оо. 615. i/ = -1, если О < \х\ < 1
г/ = О, если |х| = 1; у =1, если \х\ > 1. 616. г/ = |х|. 617. г/ = 1, если О < х < 1
у = х, если х > 1. 618. у = 1, если О < х < 1; г/ = х, если 1 < х < 2; у = %г-,
если х > 2. 619. ;/ = 0, если О < х < 2; г/ = 2 V2 , если х = 2; г/ = х2, если
х > 2. 620. б) г/ = 0, если х * Bft + 1M ; у = 1, если х = Bft + 1M
(ft = 0, ±1, ±2, ...). 621. i/ = In 2, если 0 < х < 2; у = In x, если х > 2.
622. j/ = 0, если -1 < х < 1; J/ = | (х - 1), если х > 1. 623. у = 1, если х < -1;
I/ = ех+ \ если х > -1. 624. а) у = х, при х < 0; г/= - , при х = 0; {/ = 1,
при х > 0; б) - . 625. а) г/ = л/х при 0<x<ln4ft-l<x<4ft+l; г/ = х
х
при 4ft-3<x<4ft-2n4ft-2<x<4ft-l; у = -(Jx + х) при х = 2ft - 1
(ft = 1, 2, 3, ...); б) у = О, если х — рационально; у = х, если х —
иррационально; в) контур квадрата тах{|х|, \у\) = 1. 627. а) х = 1, х = -2, у
111
= х - 1; б) г/ = х + - при х —> оо, у = -х - - при х -» -°°; в) у = - - х; г)
^ л о
(/ = х при х -» +°°, у = 0 при х —> -оо; д) (/ = 0 при х -» -оо, у = х при
х — +оо; е) у = х + 5 . 628. 0. 629. — . 630. SH^ . 632. 1. 633. 2
2 1-х х 62
634. i In a. 635. Те . 636. e" 6 . 637. 1. \ A + Vl + 4a ). 2. f . 3. -A_
4. ^li . 638. а) УГТх - 1; 6) 1 - Jl-x . 641. a) 2; 6) +oo; B) 0; r) 1
д) 2; e) 1; ж) 2 sh 1. 643. a) I = -1, L = 2; 6) Z = -2, L = 2; в) Z = 2, L = e
644. a) Z = -1, L = 1; 6) Z = 0, L = +°°; в) Z = - , L = 2; r) Z = 0, L = +oo
645. а) Первого порядка; б) второго; в) первого; г) третьего; д) третьего
1
е) третьего. 653. а) 2х; б) х; в) ^ ; г) ^ . 655. а) 3(х - IJ; б) {.1~хK
2 2 ' ' !/2
2 1
в) х - 1; г) е(х - 1); д) х - 1. 656. а) х2; б) 2х2; в) х5 ; г) х* . 657. а)
г) i • -J- ; д) —L- . 663. а) 9,95 < х < 10,05; б) 9,995 < х < 10,005
л 1-х х- 1
в)9,9995<х< 10,0005; г) VlOO - е <х<7Ю0 + е. 664А<|-; а)Д<3,7мм
ОТВЕТЫ
459
б) Д< 0,37 мм; в) Д< 0,037 мм. 665.100[1 - Ю-*1']2 < х< 100[1 + 10-"" + 1)]2;
а) 81 < х < 121; б) 98,01 < х < 102,01; в) 99,8001 < х < 100,2001;
г) 99,980001<х< 100,020001. 666.8 = min -L ,1 . 667.5= /*° -0,001x1;
V11 ) 1 + ех0
а) 5 ~ 10; б) 8 ~ 10; в) 8 = Ю'9. Нельзя. 669. а) Нельзя; б) можно.
671. Нет; ограниченность в точке х0. 672. Нет; если функция Дх)
определена в конечном промежутке (а, Ь), то эти неравенства выполняются
всегда; если по меньшей мере а или Ь равно символу со, То lim |/(х)| = +°°.
X -^ DO
673. Нет; однозначность и непрерывность обратной функции. 675.
Непрерывна. 676. Непрерывна, если А = 4, и разрывна при х = 2, если А ^ 4.
677. Разрывна при х = —1. 678. а) Непрерывна; б) разрывна при х = 0.
679. Разрывна при х = 0. 680. Непрерывна. 681. Непрерывна. 682. Разрывна
при х = 1. 683. Непрерывна при а = 0 и разрывна при а ^ 0. 684. Разрывна
при х = 0. 685. Разрывна при х = k (ft — целое). 686. Разрывна при
х = k2 (ft = 1, 2, ...). 687. х = -1 — точка бесконечного разрыва.
688. х — —1 — устранимая точка разрыва. 689. х = -2их = 1 — точки
бесконечного разрыва. 690. х = 0их=1 — устранимые точки разрыва;
х = -1 — точка бесконечного разрыва. 691. х = 0 — устранимая
точка разрыва; х = kn (ft = ±1, ±2, ...) — точки бесконечного разрыва.
692. х = ±2 — устранимые точки разрыва. 693. х = 0 — точка разрыва
2-го рода. 694. х= - (ft = +1, +2, ...) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 —
k
о
точка разрыва 2-го рода. 695.х = 0их =—-— (ft = 0,±l,...)— устранимые
2&+ 1
точки разрыва. 696. х = 0 — точка разрыва 1-го рода. 697. х = 0 —
устранимая точка разрыва. 698. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
699. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = 1 — точка бесконечного разрыва.
700. х = 0 — точка бесконечного разрыва; х = 1 — точка разрыва 2-го рода.
701. х = kn (k = 0, ±1, ±2, ...) — точки разрыва 1-го рода. 702. х = k
(k = 0, ±1, ±2, ...) — точки разрыва 1-го рода. 703. х = k(k = ±1, ±2, ...) —
точки разрыва 1-го рода. 704. Функция непрерывна. 705. х = ±Jn
(п = 1, 2, ...) — точки разрыва 1-го рода. 706. х = - (k = ±1, ±2, ...) —
k
точки разрыва 1-го рода; х = 0 — точка бесконечного разрыва. 707. х = -
k
{k = ±1, ±2, ...) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 — устранимая точка
о
разрыва. 708. х = (ft = 0, ±1, ±2, ...) — точки разрыва 1-го рода;
B/г + 1)я
х = 0 —- точка разрыва 2-го рода. 709. х = ±- и х = ±— (ft = 1, 2, ...) —
точки разрыва 1-го рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 710. х = -
k
(ft = ±1, ±2, ...) — точки бесконечного разрыва; х = 0 — точка разрыва
о
2-го рода. 711. х = (ft = 0, ±1, ±2, ...) — точки бесконечного
Bк+ 1)п
460
ОТВЕТЫ
разрыва; х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 712. х = +Jn (п = 1, 2, ...) —
точки разрыва 1-го рода. 713. х = 0,х=1их = 2 — точки разрыва 1-го рода.
714. х = kn (ft = 0, +1, ±2, ...) — точки бесконечного разрыва. 715. х = ±Jkn
(Л = 0, 1, 2, ...) — точки бесконечного разрыва. 716. х = -1их = 3 —
точки бесконечного разрыва. 717. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
718. х = 0 — устранимая точка разрыва. 719. х = ±1 — точки разрыва
1-го рода. 720. у = 1, если 0 < х < 1; у = - , если х = 1; у = О, если х > 1;
х = 1 — точка разрыва 1-го рода. 721. г/ = sgn х; х = О — точка разрыва
1-го рода. 722. у = 1, если )х| < 1; у --= х2, если |х| > 1. Функция
непрерывна. 723. у = 0, если х ^ Ля; у = 1, если х = /гя (ft = 0, +1, ±2, ...);
х = kn — точки разрыва 1-го рода. 724. у = х, если |х - йя| < 5 ; у = ? ,
если х = Ы ± -; у = О, если 5 < |х - йя| < — (ft = 0, ±1,±2, ...);х = Ы±- —
6 6 6 6
точки разрыва 1-го рода. 725. у = %х, если kn < х < kn + 5 ; у = -^х,
если /гя + - < х < /от + я; у = 0, если х = kn + \ (ft = 0, ±1, ...); х = — —
2 у 2 2
точки разрыва 1-го рода. 726. у = х при х < 0; у = х1 при х > 0. Функция
непрерывна. 727. г/ = 0 при х < 0 и г/ = х при х > 0. Функция непрерывна.
728. у = -A + х) при х < 0; у = 0 при х=0иу=1+х при х > 0; х = 0 —
точка разрыва 1-го рода. 729. Нет. 730. а = 1. 731. а) Функция
непрерывна; б) х = -1 — точка разрыва 1-го рода; в) х = -1 — точка разрыва
1-го рода; г) х = ft (ft = 0, +1, +2, ...) — точки бесконечного разрыва;
д) х ^ ft (ft = 0, ±1, ±2, ...) — точки разрыва 2-го рода. 732. d = -х при
-°о < х < 0; d = 0 при 0 < х < 1; d = х - 1 при 1 < х < - ; d = 2 - х при
f <: х < 2; d = О при 2 < х < 3; d = х - 3 при 3 < х < +оо. функция
непрерывна. 733. S = Зу - ^ при 0 < у < 1; S = ^ + 2# ПРИ 1 < i/ < 2;
5 11
S = - + у при 2 < у < 3; S = —- при 3 < у < °о; функция — непрерывна;
Ь = 3 - у при 0 < у < 1; b = 2 при 1 < у < 2; b = 1 при 2 < у < 3; b = О
при 3 < у < +оо; х = 2их = 3 — точки разрыва первого рода. 735. Разрывна
при х ^0 и непрерывна при х = 0. 737. Разрывна при всех
отрицательных значениях и положительных рациональных значениях аргумента.
738. ДО) = 0,5. 740. а) 1,5; 6J; в) 0; г) е; д) 0; е) 1; ж) 0. 741. а) Да;
б) нет. 742. а) Нет; б) нет. 743. Нет. Пример: f(x) = 1, если х —
рационально, и /(х) = -1, если х — иррационально. 744. a) f(g(x)) непрерывна,
8(f{x)) разрывна при х = 0; б) f(g(x)) разрывна при х = -1,х = 0их=1,
g(f{x)) = 0 непрерывна; в) f(g(x)) и g(f(x)) непрерывны. 745. /(ф(х)) = х.
759. х = ~аУ + ь ; а + d = 0. 760. х = у - ft, если 2ft < у < 2ft + 1
су-а
ОТВЕТЫ
461
(ft = 0, ±1, ±2, ...). 764. /(/(х)) = х. 767. х = - 4~у @ < г/ < +°о);
х = Ту (О < г/ < +оо). 768. х = 1 - л/1-г/ (-°° <</<!); х = 1 + Jl-y
(-00 < у < 1). 769. х = ! ~ J1 ~ У2 (-1 < г/ < 1), х = ^-+ J1 ~ У2 @ < \у\ < 1).
770. х = (-1)* arcsin у + kn (ft = 0, ±1, ±2, ...) (-1 < у < 1).
771. х = 2/от + arccos i/ (ft = О, ±1, ±2, ...) (-1 < i/ < 1). 772. х = arctg j/ + ftjt
(ft = 0, ±1, +2, ...) (-00 < ;/ < +oo). 776. e = 0, если xy < 1; e = sgn x,
если xz/ > 1. 779. a) j/ = -2 , если -1 < x < 0, у = 2 arcsin x - | ( если
0 < x < 1; 6) t/ = -(л + 4 arcsin x), если -1 < x < -— , у = О, если
-— <x< — ;f/ = 7t-4 arcsin x, если — < x < 1. 780. y~- -x ( -- < x < -) .
Л Л Л 2 I 2 l)
781. г/ = Jx2-1 A < x < +oo); у = Jx2- 1 A < x < +oo). 782. Для всех г,
для которых <p(f) = х, где х — произвольное значение функции (р@.
функция \|/(f) должна иметь одно и то же значение. 783. Множество
значений х(т) при а < т < Р должно быть интервалом (а, Ь). 784. Для
всех значений х, для которых ср(х) = и, где и — произвольное число из
интервала {А, В), функция \|/(х) должна принимать одно и то же
значение. 785. |8| < j- см. а) 0,5 мм; б) 0,005 мм; в) 0,00005 мм.
786. а) 8 < \ ; б) 5 < 2,5 • 10~4; в) б < \ • 10; г) 5 < г- (е < 1).
4 2 4
793. а) Да; б) нет. 794. Равномерно непрерывна. 795. Не является
равномерно непрерывной. 796. Равномерно непрерывна. 797. Не явля
ется равномерно непрерывной. 798. Равномерно непрерывна. 799. Рав
номерно непрерывна. 800. Не является равномерно непрерывной
802. а) 5=|; б) 5 = |; в) 5 = 0,01е; г)8 = е2(е<1); д) 8 = \
5 8 3
е) 8 = min f | , -^-\. 803. п > 1 800 000. 808. а) соД8) < 38; б) шД8) < JE
@,(8) < -^= ; в) ш,(8) < 8 л/8 . 818. /(х) = cos ах или /(х) = ch ax.
Да
_5_
Дс
819. /(х) = cos ax; g(x) = ± cos ax (a = const).
Раздел II
821. Дх = 999; Д(/ = 3. 822. Дх = -0,009; Ау = 990 000. 823. а) Ау = аДх;
б) Д(/= Bах + 6)Дх + а(ДхJ; в) Ау = ах(а&х - 1). 825. а) 5; 6L,1; в) 4,01;
гL + Дх;4. 826. 3 + 3ft + ft2; aK,31;V3; 6K,0301; в) 3,003001; 3.
827. a) vcp = 215 м/с; 6) уср = 210,5 м/с; в) иср = 210,05 м/с; 210 м/с.
828. а) 2х; б) Зх2; в) —\ (х *0); г) JL (х>0); д) -L- (х * 0); е) -±—
2jx
462
ОТВЕТЫ
(х * Bft - 1)- , ft = 0, ±1, ...); ж) -—!— (х * kn, ft = О, +1, ...); з) 1
2 sin-x ,/l-x2
(|х| < 1); и) - * ¦¦ (|х| < 1); к) —Ц . 829. -8; 0; 0. 830. 4. 831. 1 + 5
71 - х2 1 + х 4
832. /'(а). 834. у' = 1 - 2х; 1, О, -1, 21. 835. у' = х2 + х - 2; а) -2; 1;
б) -1; 0; в) -4; 3. 836. 10а3х - 5х4. 837. -2- . 838. 2х - (а + Ь).
а + о
839. 2(х + 2)(х + 3JCх2 +11+9). 840. х sin 2а + cos 2а. 841. тя[х"'" ' +
+ хп~1 + (т + тг)х"' + " " !]. 842. а) -A - хJA - х2)A - х3JA + 6х +
+ 15х2 + 14х3); б) -20A7 + 12х)E + 2х)9C - 4хI9. 843. -(— + — + -
Vx2 х3 х4
(х * 0). 845. 2A + *2> (|х| * 1). 846. 2^~2х) . 847. 1-* + 4*'
v ; A-х2J Vl ' ' A-х + х2J A-хKA + хL
ГЫ*П 818 12~6х-6х2+2х3+5х4-3х5, . ..х giq _A - x)"-'|Qp + ?) + (р- g)x|
у ' '• " A-хK v '' ' A + х)''+>
(х * -1). 850. "'y-f [р ~ (q + 1)х - (р + д - 1)х2] (х * -1).
A + хJ
851. 1 +
2 Jx. 3Vx
— (х > 0). 852. -—, - —
х2 2xjx Zxlfx
(х > 0).
853. -2= + -1- (х > 0). 854. Щ^. 855. 6+ Зх + 8х* + Ах°+ 2х* + Зх>
3%/х xjx
Л~-
(X * lj=3 ). 856. (п-т)-(п + т)х
(n + m)" + m7(l-x)"(l + x)"
858.
2х2 1 + х3
1-х» аД-х3
(|х| * 1). 859.
A + х2J
1
860.
42 + х2 VC + х'5]2
857. —Hi-j (|x| < |а|).
(а2-х2J
l + 2jx + 4jx>]x+Jx
SjxJx+Jx'Jx+'Jx + '/x
(х * 0, х * -1, х * -8).
(х > 0). 861. J- 1 • -
27 iixm + 1/iJ .^Гй/ГтЩ
862. -2 cos x(l + 2 sin x). 863. х2 sin x. 864. -sin 2x • cos(cos 2x).
865. п sin" " 1 х • cos(n + 1)х. 866. cos х • cos(sin х) • cos[sin(sin x)].
867.2sinx(cosxsinx2-xsinxcosx2)(x2^kK;k = l,2,...).86&.--1 + cos2x(x^kn,
sin2x2 2sin3x
ft-0,±l,±2,...).860.^iuf (x* 2А^1Я)/г_Целое1.870. x- .
cos" + ,x v 2 / (cosx + xsinxJ
871.
(x * /гл; ft = 0, ±1, ±2, ...). 872. 1 + tg6 x (x * Bft + I)- ;
-16 cos
2
2x
ft = 0, ±1, +2, ...). 873.
3sin4xvctgx
(x ^ kn, k — целое). 874.
l32x
x * ^p , ft — целое ) . 875. -3 tg2 x ¦ sec2 x • sinB tg3 x) • cos[cos2(tg3 x)]-
ОТВЕТЫ
463
х * ± + kn, k — целое . 876. -2x6-*'. 877. -- • 2 * sec2± • In 2.
3 / х2 х
878. xV. 879. xV* sin x. 880. <"(sin*-cosx) (x ^ 2/гя> ft _ целое)-
2sin3-
2
881. - x + 'n 6 sin x. 882. Ja2 + b2 eax sin bx. 883. ex[l + е«'A + е''")].
884. у fin | - —} (x > 0). 885. a" x°a-1 + ax" ~l ax" In a + axaa* In2 a.
886. 5 lge-lg8 **(**(>). 887. * (x>e). 888. 6 (x>e).
x xlnxln(mx) xlnxln(ln3x)
889' П ^ T, (x > -!)¦ 89°- -Г-Г (W > !)¦ 891' м * «л2 <* " °>-
A + *JA + *2) *4-l x(l + x4J
892. -J— (|x| > J) . 893. f (|x| < 1). 894 1—=- (x > -1).
3x2-2V V3; (l-x2)(l-fex2) 2A + 7x71)
895. X . 896. In (x + Vx2 + 1). 897. In2 (x + 7x2+l). 898. Jxz + a2.
7*2+l
899. -4— f |x| < fc) . 900. ? @ < x < 1). 901. -Л- @ < x - 2fat < л,
ft — целое). 902. -J— f|x - 2fen| < ? , ft — целое! . 903. -ctg3 x @ < x - 2ftn < л,
COS X \ Lt J
ft — целое). 904. -— f x * l^zl л, ft — целое). 905. ^^ @ < x - 2йл < л,
cosx v 2 У sin3*
/г — целое). 906. ^\Г^2 . 907. -^ (* > 0). 908. -I In x (x > 0).
a + b cosx
l + x + i+ lni
909. ?*¦ . 910. ? ? . 911. 2 sin (In x) (x > 0).
1+зуГ7Тг A+xlnS[1+xlne+lnS]
912. sin x • In tg x f 0 < x - 2/гл < 5 , ft — целое) . 913. * (|x| < 2).
V 2 ) j4-x2
914. 1 (|x - 1| < 72). 915. -|2?- (a * 0). 916. -Ц (x *0).
7l + 2x-x2 x +a * +J
917.—f^- (x>0). 918,- * arccosx(|x|<l). 919. arcsin П^- (x>0).
2A+ x) 7ГГГ2 Vl + x
920. - (|*| > 1). 921. sgn (cos x) f x * 2-^ л, ft — целое
\x\Jx*^l V 2
922-2Bgn(8inx):cosj? (**2foi, ft-целое). 923. sinx+ cosx fo<*-fcn< 2,
7l + cos2x 7sin2x v 2
ft — целое). 924. SJP±_ @ < Ixl < 1). 925. —i- (x * 1). 926. if**? + for,
; 7i-*2 1 + *2 V4
464
ОТВЕТЫ
k — целее) . 927. -i . 928. -^ММ (х * 0). 929.
J а + ocosx 1 + х2
-Д ^ x'arccos3(x2)
(|*| < 1). 930. fi-*- . 931. -2 cos л; • arctg (sin x). 932.
1 + x
2xJx~ larccos
./x
(x > 1). 933. ?-±?- (X > -a). 934. Ja* - x2. 935. -J— (x * -1).
(x+a)(x2 + 62) x3+l
936.
-ji-^- (|*| * -1). 937. (arcsin xf {\x\ < 1). 938. -arc^sx @ < \x\ < 1)
939.
942.
*lnx , (* > 1). 940. xarccosx (|x| < 1). 941. -?i- f|jc| * -1
(Л;2_ 1K/2 * ' (l-*2K/2 «I ' X»+l l' ' 7;
„i2*!,- 943.- 1_(*<1). 944.—i=(H< 1). 945.-1=
@ < л: < a). 946. *' ¦ ([* + 1| < J2). 947. * . 948.
(x * 2Ar^Jt> k ~ целое1- 949-
vr
sin2x
sin4x + cos4x
JT
950. -*— arctg x. 951. , e' . 952.
1 + x2 б J\ + e2' 2(l + x2)
: _ ^= . in t? (|x| < 1).
УГ^2 V l + x
1 qco sinasgn(cosx- cosa)
1 - cosacosx
(cos * * cos a). 954. x @ < 1*1 < 1). 955. J1 + x" (U * 1).
(x*- 1Ox^72 1~*4
956. L. (|*| < 1). 957. 2x(cosx2+sinx2) U < |x| < Kn ^
(l + x2J-/l-*2 VsinBx2) l «/l 2^
ft = 0, 1,2, ...] . 958. 2x[sgn(cos x2) + sgn(sin x2)] (\x\ * ^ , ft = 0, 1,2, ...1 .
959
6) -
2m_ . glares,.,*) cos m (arcsin ж) (Ы < 1}_ 9QQ_ a) ilzl ;
Vl-x2 ^*+1
Л+Vi+vi+x4 • •i/(i+vi+*1I ¦ V(i+xi)
; в)
l
x3cos— sin—+cos — /ctg —
гJ'-УМп2.8шB^).1п(8ое2^) 9611+jErA+lnjc) + ^x,q+ln;c+ln2x
3 Vx1- cos223-^ V*
(x > 0). 962. x° ~ l xx" A + a In x) + axx°' (- + In a In x) + xxax" In a(l + In x)
i-2
(x > 0). 963. x" A - In x) (x > 0). 964. (sin xI + cos x ¦ (ctg2 x - In sin x) -
- (cos xI + si" * (tg2 * - In cos x) (o<x~2kK<^,k
965. 1. H^L-i [x - 2 In2 x + xlnxln(lnx)] (x > 1). 2. y'=
2y
целое
arctgx
1 + x2
ОТВЕТЫ
465
i arcsinsin2x + nrrfcr2 x • Г sinx ¦ sgn(cosx) _ cosx ¦ sgn(sinx)
arccos(cos' x) Larcsin(sin2x)Vl + sin2x arccos (cos2 x)-/l + cos2x j
(x * ^ , k = 0, +1 , ...). 966. -- (log, ef (x > 0, x * 1). 967. th3 x.
968. —L. (x > 0). 969. -1- . 970. sgn(shx) {x * 0). 971. a + fechx .
sh-^x ch2x chx ft + achx
972,- sin2^_ . 973. - 2 arccos x In (arccos x) (|x| < 1). 974.
7l+ cos4x 7l-x2 1/A+ x4K
975_ _27t^2arcsin(^2) (x ^ Q) 97g_ 4a'Mna arctg fl-, (fl > 0) 977 a) x
2 A + a2'J
A-е2-2J
(x * 0); б) 2|х|; в) - (x * 0). 978. a) (x - l)(x + lJEx - 1) sgn (x + 1);
б) 2 sin 2x • jsin x|; в) — l {\x\ > 1); г) л[х] sin 2ях. 979. у' = -1 при
2 xVx2 - 1
-oo <х<1; у' = 2x - 3 при 1 < x < 2; г/' = 1 при 2 < х < +°о.
980. у' = 2(х - а)(х - ?>)Bх — а — Ъ) при х е [а, 6]; у' = 0 при х 6 [а, Ь].
981. г/' = 1 при х < 0; и' = —— при 0 < х < +°°. 982. у' = —5— при
1 + X 1 + X2
-1 < х < 1; г/' = 1 при |х| > 1. 983. у' = 2хе~*2 A - х2) при |х| < 1;
4,' = 0приИ>1. 984.a)i7-^; бM4-36Х + 4 w (ж * 0> х * Х,
хA-х2) ЗхA - х)(9 - х2)
х * ±3); в) V -2г- ; г) ^^ . 985. а) ф(*?<р'(*) +У(*М*> (фг(х) + ^ ^ 0).
^ х - а, VI+ х2 7ф2(х) + \(;2(х)
(фЧхЖх)-ф(х)^(*)) (^)+^)^0);в)<'<'^АкГ) {-ЦтТ^ -^ Ь^1;
Ф2(х) + ч;2(х) [(p(x)v(x) ф2(х) |
г) ^И Г^ " ^ Г1^ -986- !¦ а) 2^'(^2); б) sin 2x[/'(sin2 x) - /'(cos2 *)];
V(x) 1пф(х) ф(х) 1п2ф(х)
в) е«*> [е* /V) + /'(*)«**)]; г) f (х)/' [/(x)]f{/ [/(*)]}; д) 1000! 988. Зх2 + 15.
989. 6х2. 992. а) п > 0; б) п > 1; в) п > 2. 993. а) л > т + 1; б) К п < т + 1.
994. ф(а). 995. /! (а) = -ф(а), /! (а) = ф(а). 999. а) Недифференцируема
при х = 1; б) недифференцируема при х = —-— л, k — целое; в)
дифференцируема всюду; г) недифференцируема при х = Ал, k — целое;
д) недифференцируема при х = -1. 1000. fl = fl = sgn х при х ^ 0 и
fl @) = -1, fl @) = 1. 1001. fl (x) = f'+ (x) = я[х] cos лх при х * целому числу;
fl(k) = л(А - 1)( -1)*, К (К) = Kk(-lI' при k целом. 1002. f_ (х) = Д (х) =
fcos - + - sin -) sgn f cos5] при x * 2 (A — целое); f'_ f ' =
xx x) \ x) 2k + 1 \2k + 1)
466
ОТВЕТЫ
Bft + 1M, Z+f-Щ = Bft + 1M. 1003. fl(x) = U(x)
2 \2k+ 1J 2 ,/sinx2
при
V2ftli < \x\ < J{2k+l)n (ft = 0, 1, 2, ...); /-@) = -1, ?@) = 1;
/^ (VBft+ lOi)= Too, /;G2ft7t) = ±oo (ft = l, 2, ...). 1004. /!(x)= ?(x) =
1 + 1 1 + ile*
при x ^ 0; /: @) = 1, f'+ @) = 0. 1005. /!(x) = ?(x) = xe~
l + ei) ^~е
при x ^ 0; /:@) = -1; f'+ @) = 1. 1006. fi (x) = /+(*)= ? . где e = -1
при 0<|х|<1 и e = 1 при 1 < |x| < +oo; /•; (+i) =-i, /; (+i) = i.
1007. f_(x)= ?(*) = 2sg^~2x2) прих* Tl; /!(T1) = T1, ?(+l) = ±l.
1008. fL(x) = f+ (x) = arctg -i^ - (x_*~)a2+1 при x * 2; /; B) = + | .
1009. 1. a) t @) = -1 , Я @) = i ; 6) /! A) = ? A) = | ; в) fi @) = f+ @) = 0.
1010. a = 2x0; b = -x0. 1011. a — fi (x0); ft = /(x0) - x0/!(x0).
1012.A=^^,c=ak2+bkl. 1013. a = -^«f ,& = -«!. 1014. а) Можно;
(b-aJ fti + ft2 2c 2c3 '
б) нельзя. 1015. а) Нельзя; б) нельзя. 1016. а), б), в) Функция F(x) может
как иметь производную F'(x), так и не иметь ее. 1017. х = kn (ft =0,
±1, +2, ...). 1018. а) Не может; б) может. 1019. 1) Не обязательно; 2)
обязательно. 1020. 1) Не обязательно. 1021. Не следует. 1022. Не
следует. 1023. Вообще говоря, нельзя. 1024. а) Рп = 1- ("+1)^"+"^"*1;
\А. — X)
Qn
+ х-(п+1Jх"+Bп2+2п~ 1)х" + >-п2х" + 2 .
A-хK
¦ х ¦ 2п + 1 • ,пх
nsin-sm х - sin2-—-
22 2 . 1025. S„ -
2 sin2!
sin
6) S —
nsh—sh n +
2 {
2sh
nx . л + 1
— sin x
2 2
sin -
2
V\ u?nx
-\x- sh2-—-
2) 2
2x
1026. Sn = A. ctg ^ - ctg x. 1029. 40л см2/с. 1030. 25 м2/с; 0,4 м/с.
1031. 50 км/ч. 1032. S(x) = ^ , если 0 < х < 2; S(x) = х2 - 2х + 2,
если х > 2; S'(x) = х, если 0 < х < 2; S'(x) = 2х - 2, если х > 2.
1033. S(x) = !|! Ja2 - х2 + ^ arcsin !|!; S'(x) = Ja2 - х2 sgn x @ < |х| < а).
1034. {/; = * . 1035. г/; = —* . 1036. а) -°° < у < +оо- ?„ = -?-;
3(у2 + 1) х 1-ECOSJ/ у Х+1
ОТВЕТЫ
467
б) -оо <и< +<х>; х', = ; в) -оо < у < +оо; х'„ = , ; г) -1 < у < 1;
'' 1-лг*.'/ '' 7l J- у2
х'„ = —— . 1037. а) х, = - Jl + Jl-y (-сю < у < 1); х, = -Jl-Jl-y
1 -.'/
(О < j/ < 1); х3 = л/Г-ТГ^ @ < у < 1); *., = Л + JT=~y (-00 < j, < i);
1
.., (i-1, 2, 3, 4); б) *, = -/!*- @<i/<1); x2 == U-
4x(l-x2) VI -y \l-i/
(О < у < 1); x\ = ¦?-. (i = 1, 2); в) x, = -ln(l + JT^j, ) (-00 < y < i);
x2 = in l + VW @ < у < 1); x'; = -__L_ (,; = 1, 2). 1038. yx = -§ x
1/ 2(p-*-p-'") 2
x(l + 0; -3; -- и -5 ; (-4 4). 1039. JiLzJhl. (t > 0, t * 1). 1040. j/; = -1
@ < x < 1). 1041. ifx -= -- ctg < @ < И < л). 1042. y'x = ^ cth I (\t\ > 0).
1043. y'x = -tg f ( f ^ ^-^ л, ft — целое j . 1044. ;/; = ctg '- (t * 2kn, k —
целое). 1045. y'x = ig t ¦ tg [t + ^) [t ^ - + kn, t -'- | + Ля j. 1046. y'x = sgn t
@ < \t\ < +00). Ю48. u' = -'-r~^; 5 ; -I. Ю49. ? . 1050. -^ . 1051. - № .
x - 1/ 2 2 1/ a2i/ *Jx
1052. -3/^ . 1053. i-^ . 1054. a) tg (cp + arctg ф); б) ctg -« ftp * 0,
цх x- у 2 \
(р^±'Щ- B) tg (<p + arctg ¦-). 1055. а) у = ;i/4 (x + 1); </ = -^(х+П;
6) 1/ = 3, x = 2; в) x = 3, i/ = 0. 1056. a) (| , 2-П ; 6) @, 2). 1058. |xj < ? u
2я
3
< |x| < л. 1059. max \y\ ~ y'\ = Юл = 31,4. 1060. 5 . 1064. a) 2 arctg i ;
4 l!|
6M. 1066. \-l\. 1069. f^. 1071.ft2 -4ac = 0. 1072. f^V +('A* = 0.
2 |n| |a| l3j V2<
1073. a = — . 1077. a) 3x - 2y = 0, 2x + 3y = 0; 6) 3x - и - 1 = 0,
2e /v w
x + 3(/ - 7 = 0. 1078. а) у = х, у = -x; 6) 3x - у - 4 = 0, x + 3</ - 3 = 0;
в) у = -x; 1/ = x. 1079. у - 2a = (x - ai0) ctg -^ . Касательная к
циклоиде перпендикулярна к отрезку, соединяющему точку касания с
точкой соприкосновения катящегося круга. 1081. Зх + 5у - 50 = О,
5х - Згу - 10,8 = 0. 1082. х + 2у - 3 = 0, 2х - г/ - 1 - 0. 1083. Д/A) - Ах +
+ 3(ДхJ + (ДхK; d/(l) = Дх. а) 5, 1; 6H,131,0,1; в) 0,010301, 0,01.
1084. Дх = 20Д^ + 5(Д02. dx = 20A<; а) 25 м, 20 м; б) 2,05 м, 2 м;
468
ОТВЕТЫ
в) 0,020005 м, 0,02 м. 1085.-^ (х * 0). 1086.-^-. 1087.-^-
х2 а2 + х2 х2-а2
(|х| * \а\). 1088. -^— • Ю89. sgna dx {\x\ < \а\). 1090. а) A + x)exdx;
л/х2 + а »/я2 - х2
б) х sin х dx; в) -^ (х * 0); г) 2"lnx dx (х > 0); д) xdx ; е) dx
х 2xjx Ja2 + x2 .. ,.;
A-х2J
(\х\ < 1); ж) -%Щ (\х\ < 1); з) -&= (\х\ > 1); и) -g- (х * 5 + Ля,
1 - х2 xJx2 - 1 cos^x V 2
А — целое!). 1091. uw du + ии> du + uu du). 1092. vdu-f^v (у * о).
1093_ _udU+vdv {u2 + v2 > Q) 1Q94i Vdu-Udv (u2 + v2 > Q)
'1 и2 + и2
(и2 + v2J
Ю95. ^u + odv (и2 + „2 > 0)-1096_ а) х _ 4хз _ Зхв. б) J_ Г cos х _ sinx^ .
!i2 + V2 2х2 V X У
в) -ctg х (х ^ /гя, ft — целое); r) -tg2 х J х ^ 5 + kn, к — целое! 1 ; д) -1
(jx| < 1). 1097. а) Увеличится на 104,7 см2; б) уменьшится на 43,6 см2.
1098. Увеличить на 0,0223 м. 1099. 1,007 (по таблицам: 1,0066).
1100. 0,4849 (по таблицам: 0,4848). 1101. -0,8747 (по таблицам: -0,8746).
1102. 0,8104 = arc 46°26' (по таблицам: arc 46°24'). ПОЗ. 1,043 (по
таблицам: 1,041). 1104.1. а) 2,25 (по таблицам: 2,24); б) 5,833 (потаблицам:
5,831); в) 10,9546 (по таблицам: 10,9545); 1105. а) 2,083 (по таблицам:
2,080); б) 2,9907 (по таблицам: 2,9907); в) 1,938 (по таблицам: 1,931);
г) 1,9954 (по таблицам: 1,9953). 1106. 0,24 м2; 4,2% . 1107. 8Я < 0,33% .
1108. а) 8, = 8,; б) 8. = 28,.. 1109. 0,438. 1111. xC + 2x'2). Щ2. Зх
к s A + X2K'2 5
A-х2J
(|х| < 1). 1113. 2е-*2 Bх2 - 1). 1114. ?^JH (х * ih±ln, k = 0, ±1, ...).
cos3x V 2 J
1115. -2iL + 2 arctg x. 1116. -1*- + (^^2)^шх ^ < 1} my 1
1 + X2 A-Х2J A-Х2M'2 X
(x>0). 1118. f(x)f'..'(x)-f'2(x) (/(*)>0). 1119. -2 sin (In x) (x > 0).
f2(x) x
1120. i/@) = 1, i/'@) = 1, y"@) = 0.1121. 2(uu" + u'2). 1122. """~"'2 - """ ~v'2
U2 V2
(uv > 0). 1123. (»'^')(»»"^'W»'»-.»')' (u2 + „2 > 0) 1124_ - = u„x
(u2 + v2K12
x [f u^ + v In u V + u"""""'2 + ^^ + u" In «1. 1125. у" = 4x2 /"(x2) +
IV u J и2 и J
+ 2/'(x2); j,'" = 8x3 f"\x2) + 12x f"(x2). 1126. j," = 1 Г'Ц) + J; f(J) ;
*"'- -? r(S - ? r(S - ?r© • 1127-*" - e2I/"(eI)+eT(e*);
ОТВЕТЫ
469
у'" = e3xf'"(ex) + 3e2xf"(ex) + exf\ex). 1128. у" = 4- [/"(In х) - /'(In х)];
л;2
у'" = -. [/'"(In х) - 3/"Aп х) + 2/'Aп х)]. 1129. у" = Ф'2(х)/"(ф(х)) + ф"(х)/'(ф(х));
у'" = фм(х)/"'(ф(х)) + Зф'(х)ф"(х)/"(ф(х)) + ф'"(х)/'(ф(х)). ИЗО. а) ех dx2;
dx2 iiqo 2lnx-3
A + х2K
б) ex(dx2 + d2x). 1131. _-?*-—. 1132. *ш*~ d*2 (x > 0).
1133. xx ГA + In xJ + 11 dx2. 1134. и d2v + 2 du dv + v d2u.
1135. (^H-HrfM-acMudH-urfu) („ > 0). 1136. u»-2 „»-2{[т(/л _ 1}и2 х
t;3
x du2 + 2mnvu du dv + n(n - l)u2 dv2] + uv(mv d2u + nu d2v)}.
1137. a" In a(du2 In a + d2u). 1138. [(v2 - u2) du2 - 4uv du dv + (u2 - v2) dv2 x
x (u2 + v2)(u d2u + v d2v)(u2 + v2y2 (u2 + v2 > 0). 1139. [-2uv du2 +
+ 2(u2 - v2) du dv + 2uv dv2 + (u2 + v2)(v d2u - и d2v)](u2 + v2)~2
,2 i „2 x Л\ 11 AC\ ,." — 3 . ./" _ 3 (*¦ -s- Л\ ЛЛ АЛ .." _ 1
(u2 + v2> 0). 1140. y" = —-— ; y'" = (t * 1). 1141. y" ,
v ' y 4A-0 8(l-0:! asin'i
t
cos-
,„ = -^™Ц. {f ^Ыук_ целое). 1142. y» = _ 3_ ; y»> = ^
a Slnt 4osin«l 4a«8in'i
2 2
(t* 2fcn, fe - целое). 1143. у" = e- ; у'" = g-2'Bsint+cost)
V2cos3ft + ?) V2cos5f« + -]
* 5 + fat, ft = 0, ±1, ±2, ... ] . 1144. У"=-рщ1 У'" = fiffi (ПО * 0).
1145. x' = I; x" = -Й11; x"'--У'у"';^'" ; xIV = _y'Vy-I0y'/'y"' +I5y"»
(•*<». 114e.-?,-2|,-ZS?,-8 -g,-m. H47.fi.-fi|.^.
У У У 4 64 1024 i/ у3 ул
1148. у' = 2?^ , у" = § , у'" = 54* . 1149. у' = -^ ;
У х-2у' * (х-2уУ У (x-2yf У 1 + у*
у" = тг% '[3A + y2f + 2х"A ~у2)]- 115°-у'=^^\у" = Ц^Р¦
A + у2K *-у (х-уK
1151. a = |/"(х0); b = /'(х0); с = /(х0). 1152. 20 - 10f, -10; 0, -10.
1153. v = -— sin —t, u; = _i??a. 2я и54 =
</ = u0isina- Ц- ; и = л/^о- 2u0g-isina + g2 t2 ;w = g; у = xtga- —^ ;
2 2u0cos2a
o„sin^a и
; -° sin 2a. 1155. x2 + y2 = 25; 5|ш|, 5ш2. 1156. yF) = 4-6!; j/G) = 0.
2g- g-
1157. у'" = -°w(m+l)(m + 2) (je ^ Q)_ n58_ ^io) = _ 17!! (д. > Q)> Где n„
470
ОТВЕТЫ
обозначает произведение натуральных чисел, не превышающих числа п, и
одинаковой четности с ним, т. е. 17!! = 1 ¦ 3 • 5 ... 17. 1159. ут = ——:—-
(**1). 11вО.//10°)= 197!C99-х) _ (х<1) 1Ш ^20, = 22 W + 20х + 95).
210°(l-xI00./l-x
х1
1162. j/<"» = ех ? (-1)'^ , где А\0 = 10 • 9 • ... A1 - i) и А°0 = 1.
i = 0
X
1163. у<5) = --^ (х > 0). 1164. j/'5
5)
1165. i/E0) = 250 [ -х2 sin 2x + 50х cos 2х + ±4^ sin 2х ). 1166.
274 120
In х (х > 0).
У
= 27(l-3*)--36sin3jc-27(l-3*)--28C0833C (х * Г) . 1167. <ю> =
A-ЗхK A-ЗхK
= -28 sin 2х - 218 sin 4х + 28 ¦ З10 sin 6х. 1168. г/100> = х sh х + 100 ch x.
1169. yIV = -4ex cos х. 1170. у'6» = -§2 + fiil - Ш + **) sin 2x +
+ Г60 _ 180 + 120 + 32 ln Л cos 2л._ 1171_ 120 dxs_ 1172_
15
dx3
8x3Vx
(x > 0). 1173. -1024(x cos 2x + 5 sin 2x) dxw. 1174. ex (ln x + - - - +
V xx2
+ A. - ±) dx4. 1175. 8 sin x sh x dxb. 1176. 2«d10a + 20 du d9u +
x-> x*
+ 90 d2u d*u + 240 d3u d7u + 420 d4u d6u + 252(d5uJ. 1177. eu(du4 +
+ 6du2 d2u + 4du d3u + 3 d2u2 + dAu). 1178.
2du2 3dud2u , d3u
1179. d2i/ = i/" dx2 + y' d2x; d3y = y'" dx3 + 3y" dx d2x + y' d3x;
d4y = yw dx4 + 6y'" dx2d2x + 4y" dx d3x + 3y" d2x2 + y' d4x.
1180. y"
dx dy
d2x d2y
dx
dx*
[n\c-
(cx+ d)"
; у
dx dy
d3x d3y
¦3d2x
dx dy
d2x d2y
dx5
1187. Р*л)(х) = a0n\
1188.<-1)""',l!c"'1(ad'''c). 1189. nlltm + 1 1. ll90.(-l)"n!:
(cx+d)"+1 Lxnil (l-x)"+1J v '
X Г I - 1 1.
L(x-2)"*i (x-l)" + IJ
X <
A-х)"
1191. l-3-Bn-l)
(l~2x)"*2
1192.^1>^11n4-^3nn;i5H3,' + 2j:)(n>2;x^-l).1193.-2"-1coSf 2х+Щ
1194. 2"-'cosBx+ Sfj. 1195. | sin (x + y) - j sin Cx + !f
1196. | cos( x+ Sfj + ^ cos Cx+ f"j . 1197. l2^? cos [ (a-b)x+ f~\
ОТВЕТЫ
471
- i*±?? Cos Г (а + b)x + ^1 . 1198. ^^ cos Г (a - b)x + Щ + i°±^ x
x cos [(a + b)x + ^1. 1199. ^l! sin [(a - &)x + y] + ^y^ x
xsin[(a + b)x+^].12O0. |cos(&x+^l - Ba__b); ^д ГBа - &)x+уЧ -
- Ba + fc)" cos [Ba + b)x + f]. 1201. 4"-1cosDx + y=) .
1202. a" x cos [ax + 2?\ +nan~1 sin [ax + y1). 1203. a" [x2 - "^ 1}1 x
x sin (ax + 02) - 2nan~1 x cos fax + y1) . 1204. (-l)"e-x[x2 - 2(n - l)x +
+ (n - l)(n - 2)]. 1205. eWi + V(-l)* n(»-D-(»-*+1) I.
X l—l X*+1
1 ft = 1 '
1206. ex • 2"/2cos(x + 0J1) . 1207. ex • 2n'2 sin (x + 01\ .
1208. ^n)!b° [(a + bx)n + (-l)""'(a - bx)n] (\x\ < П) .
(a2~b2x2)n V \b\J
1209. eax[a"P(x) + Clna"-lP'(x) + ... + P(n)(x)]. 1210. i {[(x + n) -
- (-l)"(x - n)] ch x + [(x + n) + (-l)"(x - n)] sh x}. 1211. d"i/ = ex Г х" +
+ nV-1 + *^j:"-z + ... + n!l dx". 1212. Lil^Lljlnx- yil dx"
2! J x" + 1 /-; /
(x>0). 1214. a) (a2 + b2J • cos mp - у chaxcoslbx + у
- sin [ n<p - ^ sh ax sin (&x + —11; 6) (a2 + ft2)l Г cos (mp - y] ch ax x
xsin f&x+ —\ +sin (шр- ^] shaxcos (bx+ yll, где cos ф = a ,
sin ф = b , 1215. f"\x) = У (-If + *2" - 2" + ' (p - k)" C2p cos Bp -
- 2k)x + f] . 1216. a) ? (-iy + *BP-2A+1)» Cjp+, sin [Bp - 2k +
* = 0
+ l)x + f]; 6) ^ 2"'2* + 1(p - kyc\p cos [Bp - 2fe)x + Щ;
472
ОТВЕТЫ
„)У jBP-2fe+lV c* cog \Bр-2к + 1)х+Щ\. 1218. (-!?-'("-D!x
'¦¦ -п ' ' A + х2J
х sin (я arcctg х) (х * 0). 1219. а) - [2" * ' + (-1)"]; б) п{%п~Ч- (п > 1).
1220. а) л (н - 1)а"; б) f2"'@) = О, f2* ' ''(О) = (-1)*BЛ!) (к = О, 1,
2, ...); в) /•'-'¦'(О) = 0, /*2* + 1> = @) = [1 • 3 ... Bft - I)]2 (/г = О, 1, 2, ...).
1221. а) /,2А')@) = (-l)*m2(m2 - 22) ... [т2 - B/г -2J], f(;2k ~ " @) = 0;
б) /B'">@) = 0, /'@) = т, f{2h + "@) = ("l)*m(m2 - l2)...[m2 - Bk -1J]
(k =1,2, ...). 1222. а) /<2*>@) = (-1)* " ' ¦ 2B/г -1)! (l + | + ... + ^j ,
/"''-"(О) = 0 (к = 1, 2, ...); б) р2к) @) = 22* [(/г- I)!]2, /*2*-'>@) = 0
(/,• = 1, 2, ...). 1223. л! <р(а). 1228. L,„(x) = (-1)"' \хт - mV +
,- ""(т-1)' ^-2 + _ + (_1)n m!J _ 1231. Ят(х) = Bх)т - т("|-1) Bх)"'-2 +
f т(т-1)(т-2)(т-3) Bх)т - 4 _ _ _ 1236. При х = 0 не существует
конечной производной f'(x). 1244. А (-1, -1), С A, 1). 1245. Не верна.
/х2 + хАх + -(АхJ - х
1246. а) 0= |; б) 0 = 2 (х > 0, Дх > 0);
в) о = JL{ /i + ^ - i "I (X(x + Дх) > 0); г) 0 = — In —— . 1248. с = i или
AxW х J v v ' ; ' Дх Ах 2
л/2 . 1250. Вообще говоря, нет. 1261. /(х) = с0 + с,х + ... + + ся _ jx" " \
гдесД/'^О, 1, ...,/г- 1)постоянны. 1268. При -оо<х< - функция возрастает,
при - < х < +°° убывает. 1269. При -°о < х < -1 функция убывает, при
-1 < х ' 1 возрастает; при 1 < х < +°° убывает. 1270. При -°° < х < -1
функция убывает, при -1 < х < 1 функция возрастает; при 1 < х < +°°
убывает. 1271. При 0 < х < 100 функция возрастает; при 100 < х < +°°
убывает. 1272. Функция возрастает. 1273. В промежутках (— , ^ + 5J
функция возрастает; в промежутках | — + - , -^ + 3 | убывает (к = 0, ±1,
-t2, ...). 1274. В промежутках
f 1
\2k+ l
1
2/г+ 2 '
Mi' i
' 2A:J " I 2А + 1 '
1 1 и f X
2/г + l) " l 2/г '
2/J + 2j Ф>шсция
--t~1 убывает
2/г + 1 /
возрастает; в промежутках
v ь н + с ьн + 1 / \ ^ /г -i /г + 1 у
(/г = 0, 1, 2, ...). 1275. При -оо < х < 0 функция убывает; при 0 < х < —
In 2
ОТВЕТЫ
473
о
возрастает; при -— < х < +°о убывает. 1276. При 0<х< п функция возрастает;
In 2
при п < х < +со убывает. 1277. Убывает при -со <х<-1и0<х<1; возрастает
при -1<х<0и1<х< +оо. 1278. В промежутках [ е 12 , с
I* , 2tot Ш . 2Ь
функция возрастает; в промежутках е 12 , е 12 убывает
- 2А-я^
(к = 0, ±1, +2, ...). 1283. Не обязательно. 1298. В точкеЛ кривая вогнута
вверх; в точке В вогнута вниз; С — точка перегиба. 1299. График при
-со < х < 1 вогнут вверх; при 1 < х < +со вогнут вниз; х — 1 — точка
перегиба. 1300. При \х\ < — вогнутость вниз; при \х\ > — вогнутость
Уз Уз
вверх; х = +— —точки перегиба. 1301. При х<0 — вогнутость вниз;
7з
при х > 0 — вогнутость вверх; х = 0 — точка перегиба. 1302. Вогнутость
вверх. 1303. При 2/гя < х < Bk + 1)л — вогнутость вниз; при
Bk + 1)л < х < Bk + 2)л — вогнутость вверх; х = kn — точки перегиба
(к = 0, ±1, +2, ...). 1304. При |х| < I- — вогнутость вниз; при \х\ > - —
вогнутость вверх; х = + I- — точки перегиба. 1305. При \х\ < 1 —
вогнутость вверх; при |х| > 1 — вогнутость вниз; х = ±1 — точки
26тс-2Л 2*п,П
перегиба. 1306. При е "¦ < х < е 4 — вогнутость вверх; при
2кп+ - 2к% * — кп - -
е 4 <' х < е 4 — вогнутость вниз; х = с 4 — точки
перегиба (к = 0, ±1, ±2, ...). 1307. Вогнутость вверх при 0 <' х •- Н-^".
1309. Л = J- . 1310. Вогнута вниз (при а > 0). 1318. - . 1319. 1.
аУ2 Ь
1320. 2. 1321. -2. 1322. 1 . 1323. -i . 1324. I . 1325. i . 1326. 1 .
3 3 3 6 2
1327. 1. 1328. — . 1329. i In a. 1330. -2. 1331. 1. 1332. [-"\ . 1333. - .
За& 6 Kb) С
1334. -. 1335. 1. 1336. 0. 1337. 0. 1338. 0. 1339. 0. 1340. 0. 1341. 0.
3
1342.1. 1343.1. 1344.-1. 1345. е*. 1346-е. 1347. с'. 1348. е1.
1349. 1. 1350. 1. 1351. 1. 1352. е^- (а * Ц , k — целое].
1353. е~2°" "~ 1п'Ь). 1354. - . 1355. i . 1356. 0. 1357. -1. 1358. a"(in а - 1).
2 2 2
2 1 1 I \_
1359.-?. 1360. А. 1361. е ".1362. 1. 1363. а) е5; б) е ё; в) е« ; г) е * ;
2 а
474
ОТВЕТЫ
_i -1 -2
д) е1. 1364. е 2 . 1365. е* . 1366. е1 . 1367. -^- . 1368. a) Je ; б) 0.
л - m
1369. -|. 1370. а. 1371. tg a. 1373. 2. /'@) = -1 . з. у = I Г* + |] .
1374. а) Правило Лопиталя неприменимо, предел равен нулю; б)
правило Лопиталя неприменимо, предел равен 1; в) формально
примененное правило Лопиталя дает неверный результат, равный 0, предел не
существует; г) применение правила Лопиталя незаконно и приводит
к неверному результату, равному нулю, предел не существует. 1375. - .
о
1376. 5 - 13(х + 1) + 11(х + IJ - 2(х + 1)я. 1377.1 + 2х + 2х2 - 2х4 + о(х4);
^+0(х2).
¦ хъ + о{хь).
-48. 1378. 1 + 60х + 1950х2 + о(х2). 1379. а + —?— - (та~1)х2 + о(х2).
та"'-' 2т2а2т~1
3 6 15
1382. 1 - 2 + ?f - _*1 + о(х4). 1383. х - ?- - -^- + о(х13).
2 12 720 v ; 18 3240 v '
1384. -?-2 - ?l - ?! + о(х6). 1385. х - ^ + о(х3). 1386. х + ^ + ^ + о(х5).
2 12 45 v ' 3 v ' 3 15 v '
1387. -*f - -*1 - -*1_ + o(xe). 1388. 1 + i (x - 1) - i (x - lJ + о((х - lJ).
6 180 2835 2 v ' 8
1389. (x - 1) + (x - lJ + | (x - lK + o((x - lK). 1390. у = a + |! + o(x2).
1391.1- -L + of 11. 1392. In x + * - 11 +...+(-i)»-tll +0(/г").
2x 8x3 \x3J x 2x2 nxn
о i
1394. а) Меньше ; б) не превышает ; в) меньше 2 • 10~6;
(п + 1)! 3840
г) меньше 1. 1395. 1. |х| < 0,222 = arc 12°30'. 1396. а) 3,1072; б) 3,0171;
в) 1,9961; г) 1,64872; дH,309017; еH,182321; жH,67474 = arc38°39'35";
з) 0,46676 = arc 26°44'37"; и) 1,12117. 1397. а) 2,718281828; б) 0,01745241;
в) 0,98769; г) 2,2361; д) 1,04139. 1398. -1. 1399. - . 1400. -i . 1401. - .
' ,/>>*/, 12 3 4 3
1402. 1. 1403. In2 о. 1404. i . 1405. 0. 1406.а) i ; б) 1? ; в) 1; г) 1 1407. ±L .
6 2 ' 3 ' 90 ' 2 ' 3 30
1408. х2. 1409. ^ . 1410.1. а = 1 & = -1 2. А = -? ; В = -1 . 3. А = I,
2 3 3 5 15 2
Р= - . 1413. •—- ,гдеа — половина центрального угла дуги. 1414. Максимум
3 180
г/ = 2- при х = - . 1415. Экстремума нет. 1416. Минимум у = 0 при х = 1.
1417. Минимум (/ = 0 при х = 0, если яг — четное, и экстремума нет при
х = 0,еслит — нечетное; максимум у = —ULJL прих= т ; минимум
(т+ п)т*п т + п
ОТВЕТЫ
475
у = 0 при х = 1, если п — четное, и экстремума нет при х — 1, если п, —
нечетное. 1418. Минимум у = 2 при х = 0. 1419. Минимум г/ = 0 при
х = -1; максимум у = 1010е"9 ~ 1 234 000 при х = 9. 1420. Максимум
у = 1 при х = 0, если п — нечетное, и экстремума нет при х = 0, если п —
четное. 1421. Минимум у = 0 при х = 0. 1422. Максимум у = - l/i ~ 0,529
о
при х = - ; минимум у = 0 при х = 1; экстремума нет при х = 0.
о
1423. Минимум Дх0) = 0, если (р(х0) > 0 и л — четное; максимум Дх0) = 0,
если ф(х0) < 0 и л — четное; Дх0) — не экстремум, если п — нечетное.
1425. Нет. 1427. а) Минимум ДО) = 0; б) минимум ДО) = 0.1428. Минимум
ДО) = 0. 1429. При х = 1 максимум у = 0; при х = 3 минимум у = -4.
1430. Минимум у = 0 при х = 0; максимум г/ = 1 при х = ±1. 1431. При
с _ /То
х = -——- = 0,23 минимум г/ ~ -0,76; при х = 1 максимум у = 0;
6
при х = ^ ~ 1,43 минимум i/ = -0,05; при х = 2 экстремума нет.
6
1432. При х = -1 максимум у = -2; при х = 1 минимум г/ = 2. 1433. При
х = -1 минимум у = -1; при х = 1 максимум {/ = 1. 1434. При х — -
5
минимум г/ = -— . 1435. При х = 0их = 2 — краевой минимум г/ = 0; при
о О I—
х = 1 максимум у = 1. 1436. При х = - минимум у = -- v2 ~ -0,46;
4 8
при х = 1 экстремума нет. 1437. При х = 1 максимум у = е-1 ~ 0,368.
1438. При х = +0 краевой максимум у = 0; при х = е'2 = 0,135 минимум
у = -? ~ -0,736. 1439. При х = 1 минимум у = 0; при х = е2 ~ 7,389
е
максимум у = — ~ 0,541. 1440. При х = kn (h = 0, ±1, +2, ...) максимум
у = (-1)* + - ; при х = ±— + 2/гя (Л = 0, +1, ±2, ...) минимум г/ = -|.
1441. При х = /гл (/г = 0, ±1, ±2, ...) максимум у = 10; при х = я( k + -
(k = 0, ±1, ±2, ...) минимум у = 5. 1442. При х = 1 максимум у = ^ -
- i In 2 = 0,439. 1443. При х = -- + 2ufe (fe = 0, ±1, ±2, ...) минимум
у = -^ е + 2*л. при х = ^ + 2/гл (fe = 0, ±1, ±2, ...) максимум
У = V2 (, 4 + л _ 1444. При х = -1 максимум j/ = е-2 ~ 0,135; при х = 0
минимум у = 0 (угловая точка); при х = 1 максимум у = 1. 1445. - ; 32.
476
ОТВЕТЫ
1446. 2; 66. 1447. 0; 132. 1448. 2; 100, 01. 1449. 1; 3. 1450. 0; — ~ 36,8.
е
1451. 0; 1. 1452. 0; | A + JI) ~ 1,2. 1453. -*? е" 4 =-0,067; 1.
1454. 1. т(х) = -| , если -оо < х < -3; т(х) = i-i-? , если -3 < х < -1;
6 3 + хг
т{х) = 0, если -1 < х < +°о; М(х) = i , если -оо < * < 1; М(х) = ^-±^ ,
если 1 < х < +°°. 1455. а) Ц^ = 1,77 • 107; б) -L ; в) 73 = 1,44.
1457. 9 + 6-^ = 4,85. 1458. q =--. 1459. ^ . 1460. g(x) = (х, + х2)х -
- 1 (х\ + х\ + 6xiX2); Д = | (Xj - х2J. 1461. § . 1462. Один корень: C, +оо).
8 8 3
1463. Один корень: -оо < Хх < -1, если Л > 27; три корня: -оо < хх < -1,
-1 < х2 < 3 и 3 < х3 < +о°, если -5 < h < 27; один корень: 3 < х3 < +°°,
если h < -5. 1464. Два корня: -оо < Xl < -1 и 1 < х2 < +оо. 1465. Один
корень: -оо < хх < -1, если -оо < а < -4; три корня: -оо < Xj < -1,
-1 < х2 < 1 и 1 < х3 < +°°, если -4 < а < 4; один корень: 1 < х, < +°°,
если 4 < а < +оо. 1466. Один корень: 0 < хх < 1, если -оо < k < 0; два
корня: 0<х,<- и- < х2< +о°, если 0 < k < - ; корней нет, если k > - .
к k e e
с2
1467. Корней нет, если а < 0; один корень: -оо < х, < 0, если 0 < а < — ;
три корня: -оо < хх < 0, 0 < х2 < 2 и 2 < х3 < +оо, если ^- < а < +оо.
1468. Два корня при \а\ < 3«/3 /16; нет корней при \а\ > -— . 1469. Два
корня: 0 < |xj| < \ и Ъ, < \х2\ < +оо; где \ ~ 1,2 — положительный корень
уравнения: cth х = х, если \k\ > sh Ъ, ~ 1,50; корней нет, если \k\ < sh \.
1470. а) ^- + Я1 > 0; б) El + 91 < о. 14711'. Симметрия относительно
' 27 4 ' 27 4
начала координат. Нули функции: х = 0их = ±= 73 ±1,73. Минимум
у = -2 при х = -1; максимум у = 2 при х = 1. Точка перегиба х = 0, у = 0.
1472. Симметрия относительно оси Ог/. Нули х = ±,/l +73 = ±1,65.
Минимум {/ = 1 при х = 0; максимум г/ = 1 - при х = ±1. Точки перегиба:
1 ^
х = ±— ~ ±0,58; у = 1— . 1473. Симметрия относительно точки А A, 2).
7з !8
Нули: х = -1 и х = 2. Минимум у = 0 при х = 2; максимум i/ = 4 при
х = 0. Точка перегиба: х = 1, г/ = 2. 1474. Симметрия относительно оси Оу.
11 К задачам на построение графиков не везде даются полные ответы.
ОТВЕТЫ
477
Нули функции: х = ±J2 ~ ±1,41. Максимум у = 2 при х = 0; минимум
у*=\-М = -о, 12 при х = ± J 2 + JE =±2,06. Точки перегиба: xli2 = ±0,77,
у12 = 1,04; х3, 4 = ±2,67, у3?4 ~ -0,010. Асимптота у = 0. 1475. Точки
разрыва: х = 2 и х = 3. Нули: х = ±1. Минимум у = -A0 - 796 ) ~ -0,20
при х = 7~724 ~ 0,42; максимум у = -A0 + 796 ) = -19,80 при
5
х = Z_b/24 д. 238 Точка перегиба: х = -0,58, у ~ -0,07. Асимптоты:
5
х = 2,х = 3иу=1. 1476. Точки разрыва: хх = -1 и х2 = 1. Нуль функции
х = 0. Точек экстремума нет. Точка перегиба х ~ -0,22, у ~ -0,19.
Асимптоты: х = -1, х = 1 и у = 0. 1477. Нуль функции х = 0. Точка разрыва
13
х = -1. Минимум у = 0 при х = 0; максимум у = -9-= при х = -4. Точек
перегиба нет. Асимптоты: х = -1иу = х-3. 1478. Минимум у = 0 при
Q I
х = -1; точка перегиба х = -4, у = ^— . Асимптоты: х = 1 и у = 1.
625
1479. Максимумы у = -34^2+142 = -8,82 при х = ~*+f^ = -3,56 и
I/ = 0 при х = 0; минимум у = 34-/17-142 _ _0>06 при х = 7l7- 3 _ 056
Точка перегиба х ~ - , у — -— . Асимптоты: х = -1 и у = х - 3.
5 у 45
1480. Симметрия относительно начала координат. Точек экстремума нет;
точка перегиба х = 0, у = 0. Асимптоты: х = -1, х = 1 и у = 0.
1481. Минимум у = 13 - при х = 5; точки перегиба: х = -1, у = 0. Асимптоты:
х=1иу = х + 5. 1482. Минимум у = 2- при х = 2; максимум у = -3,2
о
при х ~ -2,4; точка перегиба х = 0, у = 8. Асимптоты: х = -1 и у = х.
1483. Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: х = ± ^— ~ ±0,79.
Точекэкстремуманет.Точкиперегиба:х = ± /- ~±0,71,у = -2- .Асимптоты
х = -1, х = 0, х = 1иу = 0. 1484. Область существования: 0 < х < +°°.
Нули: х = 0 и х = 3. Минимум у = -2 при х = 1; краевой максимум у = 0
при х = 0. Вогнутость вверх. 1485. а) Область существования: |х| < 2 J2', ~ 2,83.
Симметрия относительно начала координат и осей координат. Нули:
х = 0их = ±2 72. Максимум \у\ = 4 при х = ±2; минимум \у\ = 0 при
х = 0; краевой минимум |у| = 0 при х = ±2 72 . Точек перегиба нет;
б) нуль функции х = 2. Минимум у = - 75 = -2,24 при х = -0,5. Точка перегиба
^i=_3j_741 ~_1A8; yi =~ -2,06 и х2 = Щ^- ~ 0,42; у2 = -1,46.
478
ОТВЕТЫ
Асимптоты: j/ = -1 при х —> -°° и i/ = 1 при л; —> +°о. 1486. Область
существования: 1<х<2иЗ<х< +о°. Нули: х = 1,х = 2их = 3.
Максимум г/ = - i/l2 ~ 0,62 при х = ~ ^ ~ 1,42; краевые минимумы
о о
|г/| = 0 при х = 1, 2 и 3. 1487. Минимум у = 0 при х = 1; максимум
у = г V4 ~ 1,06 при х = -- ; точка перегиба х = -1, г/ = 0. Асимптота:
о о
у = х - - . 1488. Симметрия относительно оси 0(/. Минимум г/ = -1 при
о
х = 0. Вогнутость вниз. Асимптота: у = 0.1489. Симметрия относительно
начала координат. Нуль функции: х = 0. Минимум у = -УТб = -2,52
при х = -2; максимум у = ifl6 при х = 2. Точка перегиба: х = 0, у = 0.
Асимптота: у = 0. 1490. Симметрия относительно оси Ог/. Минимум
у = yi ~ 1,59 при х = ±1; максимум у = 2 при х = 0. Вогнутость вниз.
1491. Симметрия относительно начала координат. Точка разрыва:
х =" ±1. Нуль функции: х = 0. Минимум у = — ~ 1,38 при х = V3 ;
V2
максимум у = ~— при х = -J3 . Точки перегиба х, = 0, (/, = 0 и х, 3 = ±3,
У2,з = ±1 о ¦ 1492. Область существования функции: |х| > 1. Симметрия
относительно оси Оу. Краевой минимум у = 0 при х = ±1. Вогнутость
вниз. Асимптоты: у=* при х -* +°° и у = -^ при х —>• -со. 1493. Область
3 г- 1
существования функции: х > 0. Минимум (/ = - J3 ~ 2,60 при х = - .
Вогнутость вверх. Асимптоты у = х + - и х = 0. 1494. Область
существования: х > 0 и х < -3. Нуль функции х = а + ^ '¦¦ = 4,30. Минимум
у = 13 при х = -4; краевой максимум у = 1 при х = 0. Вогнутость вверх.
5 1
Асимптоты: у = - - 2х при х —у -оо; у = -- при х —> +оо; х = -3 при
х -» -3 - 0. 1495. Минимум у = 0 при х ^ 0; максимум у = 1/4 ~ -1,59
при х = -2. Точки перегиба: хл = -B - 7з ) = -0,27, г/, = М21' ъ
0,46;
х2 = -B + 73) ~ -3,73, у2 = -3\^±Ш. ~ -1,72. Асимптота х = -1.
1496. Симметрия относительно оси Оу. Функция положительная. Максимум
у = V3 =1,73 при х = 0; минимум y=j2 =1,41 при х — +1. Точки перегиба:
xi,2 ~ ±0,47; у12 ~ 1,14 и хм ~ ±4,58, у-лл ~ 4,55. Асимптоты ;/ = +х.
1497. Период функции: Т = 2л; основная область 0 < х < 2л. Нули функции:
ОТВЕТЫ
479
хг = л + arcsin ^—- ~ 1,21л и х2 = 2л - arcsin ^2—i и 1,79л. Минимумы
у = 1 при х = - и г/ = -1 при х = — ; максимум г/ = 1 - при х = ^ и
х = ^ . Точки перегиба: х, = arcsin i+^M = 0,32л, у, = 19 + 3-/?3 _. 1>13.
х2 = л - arcsin Lb/H = 0,68л, уг = 1Э+3-^ ; х3 = л + arcsin Щ=А ~ 1 ;20л,
8 32 8
у, - ii^l « 0,055; х4 - 2л - arcsin Ж^ - 1,80л, ,4 - iizMI.
1498. Период функции: 2л; основная область -л < х < л. Симметрия
относительно начала координат. Нули: х,=0 и х2,3 = ±л. Минимум
1 5 /— 1 15 I—
у = -— V15 ~ -7,3 при л: = -arccos - = -0,42л; максимум у = — «/15 ~ 7,3
8 4 8
при х = arccos - ~ 0,42л. Точки перегиба: х^ = 0, уг = 0;
4
x23 = ±arccosf-|l =+0,84л, </w = ±||Vl5 =+2,54; x4j5 = +л, j/4i5 = 0.
1499. Период функции: Т = 2л; основная область: -л < л: < л. Симметрия
относительно начала координат. Нули: xt = 0 и х2>3 = ±Я- Минимумы:
у = -- J2 ~ -0,94 при х = -— и х = -- , у = - при л: = 5 ; максимум
3 4 4 3 2
у = -- при х = -- , г/ = - л/2 при х = - и х = ?-5 . Точки перегиба:
*! =0, !/! = 0; х2,3 = ±arcsin /| = ±0,37л, у23 = ±^ 730 ~ ±0,81;
ж4,5 = +(я - arcsin J) « +0,63л, у4_в = +± 730 ; *в,т = ±я, г/6>7 - 0.
1500. Период функции: Т = 2л; основная область [~я; я]. Симметрия
I _ /о
относительно оси Оу. Нули функции: xlj2 = iarccos —-^— ~ +0,62я.
11 3
Минимумы: у = ± при х = 0; г/ = -1± при х = +л; максимумы: у = -
при х = ±2 . Точки перегиба: хь2 = ±arccos Lb/Ц = +0,18я, у1>2 = 0,63;
х34 ='±arccos 1-^33 = +0,70л, i/3,4 ~ -0,44. 1501. Период функции:
8
Т= - ; основная область -- ,-\ .Симметрия относительно оси Оу.Функ-
2 L 4 4J
ция положительная. Максимум у = 1 при х = 0; минимум у = - при
х = +- . Точки перегиба: Xj 2 = +- , у, 2 = ?- . 1502. Период функции:
4 8 ' 4
480
ОТВЕТЫ
Т = я; основная область -- , 2 . Симметрия относительно оси Оу. Нули
функции: хх = 0 и х2;, = ±- . Минимумы у = 0 при х = 0 и (/ = -1 при х = ±2 ;
о ^
максимум г/ = — при я; = iarccos - = ±0,21л. Точки перегиба:
16 4
/129
х. , = ±- arccos 1 + -^ « ±0,1 1л, у, , == 0,29; ж, 4 = ±i arccos —
1,2 2 16 И1,2 .1,4 2 16
~ ±0,3бя, уЗА =~ -0,24. 1503. Период функции: Т = я; основная область
0 < х < л. Точка разрыва: х = — . Нули: х, = 0, х2 = л. Экстремумов
4
нет, функция возрастает. Точка перегиба: х = - , у = ^— . Асимптота
х = — . 1504. а) Период функции: Т = 2л; основная область [-л; л].
Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: х12 = ±2 . Минимум
у = 1 при х = 0; максимум t/ = -1 при х = ±л. Точки перегиба: х12 = 5 ;
г/, 2 = 0. Асимптоты: х = ±5 их=±—^ ; б) период функции: Т = 2л, основная
/3
область -л < х < л. Функция нечетная. Минимум у = -^— ~ -0,58 при
о
х = --? ; максимум г/ = — ~ 0,58 при х = -? . Точка перегиба: х1 = 0,
о о о
t/j = 0; х23 = +л, г/23 = 0.1505. Центры симметрии (kn, 2/гл). Нули функции:
X! = 0 и x2j3 ~ ±0,37л, ... . Максимумы у = - - 1 + 2/гл при х = - + kit,
минимумы у = Ч 2 - 1 + 2/гл при х = - 2 + /гл . Точки перегиба:
х = /гл, ;/ = 2kn. Асимптоты: х = —— к (k — целое). 1506. Симметрия
относительно прямой х = 1. Функция положительна. Максимум у — е
/о г
при х = 1. Точки перегиба х, 2 = 1 ± %— , у, 2 = «/е ~ 1,65. Асимптота г/ = 0.
1507. Симметрия относительно оси Оу. Функция положительна. Максимум
/о 5 -?
г/ = 1 при х = 0. Точки перегиба: х, 2 = ± /- ~ ±1,22, г/12 =- е 2 ~ 0,56.
^ 2 '2
Асимптота у = 0. 1508. Функция положительна. Минимум j/ = 1 при
х — 0. Вогнутость вверх. Асимптота у — х при х —> +°°. 1509. а) Функция
неотрицательная; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0; максимум
У= № е ~ 0,39 при х = \ . Точки перегиба: Xj = "LlM ~ -0,15, г/, ~ 0,34
V У 3 3
ОТВЕТЫ
481
и х2 = + ' ~ 1.48, у2 ~ 0,30. Асимптота у = 0 при х —• +°°; б) функция
неотрицательная. Минимум у - 0 при х = йл (к = 0, ±1, ±2, ...); макси-
мумы у = - с 2 при х = - + кп. Точки перегиба хк — (-1) - + kn,
г -Г2*+1(-1)*]я
ук= - е L J . 1510.Функцияположительнаприх>-1иотрицательна
4
при х < -1. Минимум z/ = 1 при х = 0. Вогнутость вверх при х > -1 и
вогнутость вниз при х < -1.1511. Симметрия относительно оси Оу.
Функция неотрицательная; нуль х = 0. Минимум у = 0 (угловая точка) при
х = 0. Вогнутость вниз. 1512. Область существования функции: х > 0.
Нуль функции х = 1. Максимум у = - ~ 0,74 при х = е2 ~ 7,39. Точка
е
перегиба: х — е8/:| = 14,33, у = - е~',/:! ~ 0,70. Асимптоты: х = 0 при х —» +0
о
и г/ = 0 при х —> +оо. 1513. Симметрия относительно начала координат.
Нуль х = 0. Точек экстремума нет; функция возрастающая. Точки
перегиба: х — 0, у = 0. 1514. Симметрия относительно начала координат.
Нуль функции х = 0. Функция возрастает. Вогнутость вверх при х > 0
и вогнутость вниз при х < 0; О @, 0) — точка перегиба. 1515. Область
существования функции: |х| < 1. Симметрия относительно начала
координат. Функция монотонно возрастает. Вогнутость вверх при х > 0 и
вогнутость вниз при х < 0; точка перегиба: х = 0, у = 0. Асимптоты:
х = +1. 1516. Симметрия относительно начала координат. Нуль
функции: х = 0. Точек экстремума нет; функция возрастающая. Точка
перегиба: х = 0, у = 0. Асимптоты: у = х - 5 при х -* -°о и у = х + ^ при
х -> +оо. 1517. Нуль функции х ~ -5,95. Минимум у = - + - ~ 1,285
2 4
при х = 1; максимум г/ = -- + -р ~ 1,856 при х = -1. Вогнутость вверх
при х > 0 и вогнутость вниз при х < 0; точка перегиба х = 0, у = - .
Асимптоты: у= - +ппри х —> -°о и у = i прих —> +°о. 1518. Симметрия
относительно оси Оу. Функция неотрицательна; нуль х = 0. Минимум
у = 0 при х = 0. Вогнутость вверх. Асимптоты: у = -5 х - 1 при х —» -°°
и у = - х - 1 при х —» +о°. 1519. Симметрия относительно начала
координат. Нуль функции х = 0. Минимум у = —- (угловая точка) при
х = 1; максимум у = - (угловая точка) при х = 1. Точка перегиба х = 0,
у = 0. Асимптота у = 0. 1520. Симметрия относительно оси Оу. Функция
482
ОТВЕТЫ
неотрицательна; нуль х = 0. Минимум у — 0 при х = 0 (угловая точка).
Вогнутость вниз. Асимптота у = п. 1521. Точка разрыва функции х = 0.
Нуль функции х = -2. Минимум у — 4je ~ 6,59 при х = 2; максимум
5
у = ± = 0,37 при ж = -1. Точка перегиба х=--,у=-е2 = 0,13.
Асимптоты: х = 0иг/ = х + 3. 1522. Область существования функции
\х\ > 1. Симметрия относительно оси Оу. Краевой максимум у = 2 ¦& —2,67
при х = ±1. Вогнутость вверх. Асимптота у = 1. 1523. Область
существования функции х < 1 и л: > 2. Точки пересечения с осями координат
@,1п2)иA , о]. Максимуму =1,12 при х = 1~^10 ~ -0,72. Асимптоты
х = 1,х = 2иг/ = 0. 1524. Область существования функции |х[ < а. Точки
пересечения с осями координат: @, -а) и @,67а, 0) (приблизительно!).
Функция монотонно возрастает. Краевой минимум у = ~-а при х = -а
и краевой максимум у = ^ а при х = а. Вогнутость вверх. 1525. Область
о
существования функции: х < 0 и х > - . Краевой минимум (/ = 0 при
о
2
х = 0; краевой максимум у — к при х = - . Вогнутость вниз при х < 0 и
о
вогнутость вверх при х > - . Асимптота у = - . 1526. Область существо-
о о
вания: х > 0. Функция положительна. Минимум !/ = (-)' ~ 0,692 при
х = - ~ 0,368; краевой максимум у = 1 при х = +0. Вогнутость вверх.
е
1527. Область существования функции х > 0. Краевой минимум у = 0
1
при х = +0; максимум у = ее ~ 1,44 при х = е. Асимптота J/ = 1.
1528. Область существования: х > -1, х ^ 0. Функция положительна.
Устранимая точка разрыва: х = 0. Точек экстремума нет, функция
убывающая. Вогнутость вверх. Асимптоты: х = -1 и у = 1. 1529. Функция
монотонна при х > 0. Краевой минимум у = 0 при х = +0. Асимптота
у = е\х - -) . 1530. Функция положительна. Симметрия относительно
оси Оу. Точки разрыва: х = ±1. Минимум у = е при х = 0; максимум
у = —- ~ 0,15 при х = ±«/3 . Четыре точки перегиба. Асимптоты: х = -1
47ё
при х —» -1 + 0; х = 1 при х—>1-0иу = 0 при х —> °о. 1531. Функции
х и у — неотрицательны; xmin = 0 при t = -1; j/min = 0 при t — 1. Вогнутость
вверх при (>-1и вогнутость вниз при t < -1. 1532. Точки пересечения
с осями координат: @, 0) при t = 0; (±2л/3 - 3, 0) при t = +V3 и @, -2)
при f = 2; хгоах = 1 и утт = 2 при ? = 1 (точка возврата); j/min = -2 при
ОТВЕТЫ
483
t = -1. Вогнутость вверх при (<1и вогнутость вниз при t > 1. 1533. Точка
пересечения с осями координат: @, 0) при t = 0; xmax = 0 при t = 0,
xmin = 4 при t = 2; у убывает при возрастании t. Точка перегиба (-0,08; 0,3)
1 х 3
при t ~ -0,32 (приближенно). Асимптоты: (/ = 0, х = -- и у = i - 2 .
1534. Точка пересечения с осью Ог/: @, 1) при t = 0; точка пересечения
с осью О*: (-1, 0) при t = °о. Краевые экстремумы: xmin = 0 и утах = 1
при ? = 0; хтах = -1 и ymin = 0 при t = оо. Точек перегиба нет. Асимптота
у = - . Вогнутость вверх при |t| > 1 и вогнутость вниз при |f| < 1.
1535. Функции х и у — положительные; *min = 1 и ymin = 1 при t = 0
(точка возврата). При / < 0 — вогнутость вверх; при t > 0 — вогнутость
вниз. Асимптота у = 2х при t —> +°°. 1536. Основная область: [0, к].
Точки пересечения с осями координат: ( - , 0 1 при t = ? ; I 0; -— ] при
< = 5;(-а,0)при(=|;[0,-^] npH« = ^;f| ,ol при«= ^ .Экстремумы:
*max = а И Ушах = ° ПРИ * = °J </min = ~а ПРИ * = | ' *min = ~« При t = 5 ;
угаах = а при t = -? ; хптх = а и i/min = -а при ? = я. Вогнутость вверх при
о
0 < t < - ; вогнутость вниз при - < t < к. 1537. Функции х и у —
неотрицательные и периодические; основная область 0 < t < 2 . Экстремумы:
*mm = ° И Ушах = 1 При i = 2 ; Хтах = 1 И у^ = 0 ПрИ t = 0. ВОГНУТОСТЬ
вверх. 1538. Область существования: t > 0. Симметрия относительно
прямой х + у = 0. Экстремумы: atmin = -- ~-0,37, i/ = -e~-2,72 при
t = - ; j/max = - , я: = е при i = е. Точки перегиба: хх = -j2e--& ~ 0,34,
е е
г/, = -л/2е-/2 = 5,82 при t = е-& ~ 0,24 и х2= J2e^ , у2 = J2e^2 при
? = e-ft ~ 4,10. При t — - — изменение знака вогнутости. Асимптоты:
е
х = 0 и у = 0. 1539. Функции х и (/ — периодические с периодом Т = 2я;
основная область -я < t < л. Симметрия кривой относительно осей
координат. Кривая имеет две ветви. Экстремумы: xmin = а, у = 0 при ? = 0;
*тах = ~а> У = 0 ПРИ * = —л- Вогнутость вверх при -п < t < —^ и0<(< -;
вогнутость вниз при -5 <<<0и- <у<к. 1540. Симметрия относительно
оси Оу; ymin = 0, л: = 0 при t = 0. Вогнутость вниз. 1541. Параметрические
уравнения: х = , г/ = ¦ (-оо < f < +oo). Симметрия относительно
1+ г3 1 + t3
484
ОТВЕТЫ
прямой у = х. Точка пересечения с осями координат О @, 0) (дройная
точка). х„шх = ifi ~ 1,59а при у = а\[2 ~ 1,2а; г/„шх = а'1/4 при х = al/2 .
Асимптота х + у + а = 0. 1542. Симметрия относительно начала
координат, осей координат и биссектрис координатных углов; О @, 0) —
изолированная точка. Точки пересечения с осями координат: (±1, 0) и
@, ±1). |*|mln = 1 при у = 0; |*|1110Х = Щ& - 1,10 при \у\ = J « 0,71;
|i/|lnin = 1 при х = 0; |г/|1ппх = при |х| = /- . 1543. Параметрические
уравнения: х = —— , у = , где t = J- (-°° < t < +°°). Кривая имеет
две ветви. Симметрия относительно прямой х + у = 0. Экстремумы:
«mm = | V2 = 1,89, у = -| !Д = -2,38 при t = -V2 = -1,26; ymax = -| V2 ,
jc = j- 1/4 при ? = -зр = -0,79. Точки перегиба: *i = 2,18, j/, = -4,14 при
2 ty 2
t = -JUl + z4l) ~-1,90; зс2-4,14,^ = -2,18 при f = -3/|G-3V5) =-0,53
при ? = -'V2 — изменение знака вогнутости. 1544. Кривая состоит из
1 .Л
прямой у = х и гиперболической ветви д; = A + ?) ' , х = A + t) '
(-1 < ? < +°°). (е, е) — двойная точка. Вогнутость вверх при х ^ у.
Асимптоты: х — 1 и г/ = 1. 1545. Область существования: |х| > In A + J2 ) ~ 0,88.
Симметрия относительно осей координат. Краевой минимум \у\ = 0 при
х = ±1п A + л/2 ). Вогнутость вниз при у > 0 и вогнутость вверх при у < 0.
Асимптоты: у = х и у = -х. 1546. Область существования функции: г > 0,
|(р| < а, где а = arccos (-- I . Кривая замкнута. Симметрия относительно
полярной оси. Максимум г = а + b при ф = 0; краевой минимум г = 0 при
ф = ±сс. 1547. Область существования: 0 < ф < |; ^ < ф < я; ^ <ф< —.
о о о 3
Функция г — периодическая с периодом -? . Кривая замкнута и имеет
о
три одинаковых лепестка. Оси симметрии: ср = - , ф = — и ф = — .
6 6 2
Начало координат О @, 0) — тройная точка. При 0 < ф < | имеем:
о
максимум г — а при Ф = р и минимум г = 0 при ф = 0 и ф = |.
О о
1548. Область существования функции: Ы < ? и ^ < ]ф| < - я; период — .
6 2 6 3
Минимум г = а приф = 0 иф = ±— . Асимптоты: ф = +5,ф = ±2 иф = ±—.
3 6 2 6
ОТВЕТЫ
485
1549. Спираль, имеющая начало координат своей асимптотической
точкой; г монотонно убывает при возрастании ф. Асимптота ф = 1.
/5-1
1550. Область существования г > — = 0,62. Краевой максимум ф = я
при г = ; минимум ф = arccos - ~ arc 75°30' при г = 2. Асимптота
г cos ф = 1 при г —» +оо. 1551. Семейство парабол с вершинами A, а - 1)
(минимумы). Точки пересечения с осями координат: @, а) и A + Jl - a , 0)
(при а < 1). Вогнутость вверх. 1552. Семейство гипербол при а^Ои
прямая у = х при а = 0. Минимумы у — 2|а| при х = \а\ и максимумы
(/ = —2\а\ при х = -|а| (а ^ 0). Асимптоты г/ = х и х = 0. 1553. Семейство
эллипсов при 0 < а < +°°; семейство гипербол при -°° < а < 0; прямая
у = х при а = 0. Все кривые семейств проходят через точки (-1, -1) и
A, 1). При у > х имеем: 1) максимум у = Jl + a при х = ¦ , если
Jl + a
а > 0; максимум г/ = -Jl + a при х = - , если -1 < а < 0; краевые
Jl + a
минимумы у = +1 при л: = +1 (а ^ 0); 2) вогнутость вниз. При (/ < х
имеем: 1) минимум у = -Jl + a при х = - , если а > 0; минимум
Vl + а
г/ = Jl + a при х = ——== , если -1 < а < 0; краевые максимумы у = +1 при
7l + a
х = +1; 2) вогнутость вверх. Асимптоты: у = A + V~a )х и i/ = A - V~a )x
при а < 0. 1554. Семейство показательных кривых, если а ^ 0; прямая
у = 1 + - , если а — 0. Общая точка семейства @, 1). Минимумы
у = — A + In 2a) при х = - In 2a, если a > 0; у монотонно возрастает,
2a a
если a < 0. Асимптота i/ = |. 1555. Семейство кривых, проходящих
через точку @, 0) и имеющих в ней общее касание с прямой у = х.
Максимум у = ае'1 ~ 0,37а при х = а, если а > 0; минимум у = ае~1 при х = а,
если а < 0. Точка перегиба х = 2а, у = 2ае~2 ~ 0,27а. Асимптота у = 0.
m + ii m 1, г- пи. Л—1—
1558. ^—^- . 1559. (т + п) [—— "¦*" . 1560. Основание системы лога-
(т + п)'" *" \m'"n"i
I
рифмов не должно превышать ег ~ 1,445. 1561. Квадрат со стороной JS .
1562. Острые углы треугольника 30° и 60°. 1563. Высота банки Н = з —
равна диаметру ее основания; полная поверхность Р = 3j54itV2.
1564. cos ф = cosa+Vcos2a_+8 ^ где 2а _ дуга сегмента и 2ф — дуга,
4
стягиваемая стороной прямоугольника. 1565. Стороны прямоугольника
486
ОТВЕТЫ
aj2 и b л/2 . 1566. Если h > b, то периметр Р вписанного прямоугольника
с основанием х и высотой у имеет краевой максимум при у = Л; если
h < b, то Р имеет краевой минимум при у = 0; если ft. = Ь, то периметр
Р постоянен. 1567. b = — , ft = d I- . 1568. Измерения параллелепипеда
2К , Ш и -2.. 1569. — Л3. 1570. %R2 A + л/5 ) ~ 81% поверхности шара.
./3 л/3 л/3 ЗТЗ
1571. Объем конуса равен удвоенному объему шара. 1572. —— I3.
9./3
1573. Если tg а < - , то максимум полной поверхности цилиндра ДОСТИ-
гается при г = , где г — радиус основания цилиндра. Если
tg а > - , то при г = R имеем краевой максимум. 1574. р(\[2 - 1) I + * .
2 'у 2
1575. 1; 3. 1576. Если b < — , то максимум длины хорды MB = — , где
л/2 с
с2 = л/я2 - Ь2 и точка М имеет координаты х и у, достигается при
длины
х = ±^- Ja2 - 2b2; у = — ; если b > -^- , то краевой максимум
С2 с2 _у^
а
хорды MB =2b достигается при х — 0, у = Ь. 1577. л: = — , у = — ; ab.
л/2 V2
/зТ^
1578. Максимум поверхности достигается при г = ft = з/— , где г — радиус
V 5л:
основания цилиндра и Л — его высота. 1579. ф = 60°. 1580. Трапеция,
описанная около окружности. Боковые стороны AB = CD = a sec2 ^.
/2
1581. а = 2я /- ~ arc 294°, где а — центральный угол оставшегося
ty о
сектора. 1582. ш = arccos 2 , если arccos 2 > arctg - ; <р = arctg - , если
р р Ь Ъ
arccos 2 < arctg 2 . 1583. I"» + ftu|si"e . 1584. AM = f 1 + ./liV' .
/> 6 7+ u2-2udcoso v A/st;
1585. Расстояние светящейся точки от центра большего шара равно
п 1И [r
х = —-— , если a > r + R - и х = а - г, если r + R<a<r + R - , где
a — расстояние между центрами шаров. 1586. — . 1587. а3 + Ь3 г .
л/2 v >
1588. у = з/тг" > гДе k — коэффициент пропорциональности. 1589. arctg k.
ОТВЕТЫ
487
1590. При / < 4а угол наклона стержня определяется из формулы
cos а = ——— — ; при I > 4а положения равновесия нет. 1591. k = -3;
16а
Ъ = 3; у = 3A - х). 1592. а= ±ех°;Ь= ех« A - х0); с = е*» [ 1 - х0 + ^) .
1593. а) Первый; б) второй; в) второй. 1595. а) Д , B, 2); б) 500 000,
з 2
A50, 500 000) (приблизительно!). 1596. р{\ + Щ*. 1597. (а2-е2*2J,
V р ) ab
з
где ? = ^а — эксцентриситет эллипса. 1598. 'Е х ' , где
a ab
е = -Ja2 + b2 __ ЭКСцентрисиТет гиперболы. 1599. 3\аху\*. 1600. — A - б2 cos21) 2
а Ь
з
где е — эксцентриситет эллипса. 1601. 2 J2ay . 1602. at. 1604. ;—v + r )—.
\r2+ 2r'2- rr"\
з
1605. iBl+lDl . 1606. rjl + m2 .1607. ? J2a~r . 1608. Si. 1609. f J- ,-1^2
2a2+r2 3 3r 1^2 2
1610. x0 ~ 680 м. 1611. Полукубическая парабола 27рл2 = 8(?, - pK.
2 24
1612. Астроида (a?M + (bnK = с 3 , где с2 = a2 - b2. 1613. Астроида
2 2 2 j.
D + П) * + (? ~ ПM = 2a ». 1614. Цепная линия л = a chb . 1615. Лога-
a
„,(„-?)
рифмическая спираль р = таг . 1616. \ = ла + а(т - sin т);
Л = -2а + аA - cos т), где т = t - п. 1617. х, = -2,602; х2 = 0,340; х3 = 2,262.
1618. х1 = -0,724; х2 = 1,221. 1619. х = 2,087 = arc 119°35'. 1620. ±0,824.
1621. Xi = 0,472; х2 = 9,999. 1622. xt = 2,5062. 1623. х1 = 4,730; х2 = 7,853.
1624. х = -0,56715. 1625. х = ±1,199678. 1626. х1 = 4,493; х2 = 7,725;
х3 = 10,904. 1627. X! = 2,081; х2 = 5,940.
Раздел III
В ответах этого раздела ради краткости произвольная аддитивная
постоянная С опущена.
1628. 27х - 9х3 + 5 х5 - - х7. 1629. ^ х3 - 125х4 + ЗОх5 - ±5 хе + ± х7.
5 7 3 3 7
1630. х - Зх2 + — х3 - 5 ж4. 1631. х - 1 - 2 In |х|. 1632. a In |х| - ^ - -^- .
3 2 х ' ' ' ' х 2х2
1633. Ixjx + 2jx. 1634. ±x\fx - ^х12Ух~5 + % i/x~3.
3 5 17 3
1635.--g-fl + ^x-gx2 + ^x31.1636.4^2+7).1637.2x-ig6y72x~5 +2 3</9x~2.
3J-X{ 2 5 8 ) VJ~X 5 2
488
ОТВЕТЫ
1638. In Ы - — . 1639. х - arctg х. 1640. -х+- In |I±*| . 1641. х + 2 \n\*zl\.
1 4х4 2 jl _ jcj \x+l\
1644.-^1+ 2- ±- +-il.
In 4 hi6 ln9
1642. arcsin x + In (x + Jl + x2). 1643. In
-Jx*^\
x + Jx2 + 1
2 fir +
i- fiV . 1646. I e2r -c* + x. 1647. x - cos x + sin x.
1645. . . . , .
ln5 V 57 51n2 \2) 2
1648. (cos x + sin x) • sgn(cos x - sin x). 1649. -x - ctg x. 1650. -x + tg x.
1651. a ch x + b sh x. 1652. x - th x. 1653. x - cth x. 1655. In |x + a\.
1656. i. Bx- 3)n. 1657. -| A -3x)». 1658. -| V2-5x . 1659. ? .
1660. -5 V(l-xJ . 1661. -i- arctgf x p) . 1662. -?- In
2 76 V V27 27б
15Ex-2):
j2 + xj3
Д-хЛ
1663. A. arcsin (x /1]. 1664. J- In 1x73 + 73x2-2 I. 1665. -(e-x + i ejr).
73 ^ V2J 73 I 2 J
1666.-x sin 5a - i cos5x. 1667. -i ctgf2x + 51 1668. tg ?. 1669.-ctg ^.
5 2 v 47 2 2
1670. tg
U 2
. 1671. i [ch Bx + 1) + sh Bx - 1)]. 1672. 2 th ? .
1673. -2 cth |. 1674. -7l-x2. 1675. i A + x3) 3. 1676. -± In |3 - 2x2
1677. 5—- . 1678. i arctg ^ . 1679. -i- In
2A+ x») 4 ё 2 872
'-72
¦72
1680. 2 arctg 7x .
1681. cos - . 1682. -In
X
i + 7x2+ i
1683. -arcsin ^ . 1684.
1*1
7*2 + i
1685.
7*2~i
1686. i V8x3 + 27 . 1687. 2 sgn x lnG[x| + 71*+1|)
(x(l + x) > 0). 1688. 2 arcsin Jx.. 1689. -1 e-*2. 1690. In B + ex).
1691. arctg <?*. 1692. -In (e~x + Jl + e-**). 1693. ± In3 x. 1694. In |ln (In x)|.
О
1695. i sin" x. 1696.
1697. -lnlcosxl. 1698. In Isin x\.
1699. 2-Vl-sin2x. 1700. a) ^"in»x+ fr2cos^ (fl2 ^2). g) ^J_ ,n |y2C0S x +
2 a2-ft2 72
+ 7cos2x |; в) — arcsin G2 sin x); r) — In {J2 ch x + 7ch2x ).
72 72
1701. -^ i/ctg3x . 1702. -J- arctg (Ь-Щ. 1703. In Itg i|. 1704. In I tgf ^ + 2'
3 J2 ^J2> I 2| [ 12 4,
1705. In I th ?|. 1706. 2 arctg e\ 1707. — ]nf ?li2-? + 7sh4x + ch'1x 1.
I 21 272 V 72 '
ОТВЕТЫ
489
1708. 3'Vthic. 1709. A (arctg хJ. 1710. -—i— . 1711. 2 hi 5 (х + УГ71Г2).
2 arcsinx 3
1712. ^ arctg ^ЦА . 1713. -t- In
rV2 + l
72
1715.
л + 2
x72
n f 2
2^2 x2 + x72+l
. 1714.
15(x5+lK
In x 2 + Jl + x 2) при n ^ -2; — In Ixl при п — -2.
1716. A in2 A±? . 1717. -A- arcsin fjl sin x 1 . 1718. A arctg (tg2 x).
1719. 1 in |3J-2*| 1720. 2«/l + Jl + x=2. 1721. a) A x3 - ^ x5 + ? x7;
2(ln3-ln2) |3*+2*| '3 5 7
6) -A"x)" + A~x)'2. 1722. -x - 2 In 11 - x|. 1723. A (i - xJ + \n И + x|.
11 12 ' ' 2V ' ' !
1724. 9x - ^x2 + \x* - 27 1n|3 + x|. 1725. x + In A + x2).
*j О
1726. — In
У2
Л-
J2-X
+ 2 In 12 - x2| - x. 1727. 1
1 ' 99A-*)9!
1
1
A-х)" 49A-x)98 97A-x)9
3 3.
+ x - In |x + 1|. 1729. А Г (x + 1) 2 - (x - 1) 2 1.
1730.
8+ 30x
375
B-5xJ.1731.
_l + 2x
10
A -3xJ.1732. ^-A +x2K - |A + x2K.
1733. A in |хц1| . 1734. 1 ln |х^_1| # 1735 arctg x _ J_ arctg x_
4 |x + 3| 3 |x+2| S ft B f2
1736.
10У2
ln
X-T2
1739.
¦Л
2x + a + b
arctg -*.. 1737. ln Ji±|li . 1738. A ln ^i±A .
5л/3 Уз
(x + 2J
x2+2
ln \x±2.\ . 1740. —-A— f A arctg
x+ b
a2-ft2 1.6
(a-6J(x + a)(x + 6) (a-ftK
- A arctg 2) (lal * \b\). 1741. ? - A sin 2x. 1742. *• + A sin 2x.
a a/1111 24 2 4
1743. - cos a - A sin Bx + a). 1744. A sin 2x - — sin 8x. 1745. 3 sin ^ +
2 4 4 16 6
+ 3 sin 5x . 1746. -J- cos f 5x + ^-) + ± cos ( x + ^) . 1747. -cos x +
5 6 10 I 12/ 12 V 121
+ - cos3 x. 1748. sin x - A sin3 x. 1749. -x - - sin 2x + — sin 4x.
3 3 8 4 32
1750. - x + A sin 2x + — sin 4x. 1751. -x - ctg x. 1752. A tg2 x + ln Icos x].
8 4 32 2s11
1753. -J. cos 2x - — cos 4x + — cos 6x + — cos 8x + J- cos 12x.
16 64 48 128 192
1754. tg x - ctg x. 1755. -— + ln Itg ( % + ?) . 1756. —-— + ln Itg x|.
sinx V 2 4J 2cos2x
490
ОТВЕТЫ
1757. In |sin x| - i sin2 x. 1758. tg x + \ tg3 x. 1759. x - In A + ex).
1760. x + 2 arctg e*. 1761. -| + | sh 2x. 1762. | + 1 sh 2x. 1763. f- sh3 x.
1764. i sh 2x + - sh 4x. 1765. -(th x + cth x). 1766. -—(9 + 12x +
4 8 v ' 140 v
+ 14x2)(l - x) ~3.1767. -1 +„5„5*2 A ~ 5x2)n. 1768. --2- C2 + 8x + 3x2)V2-x .
6600 15
1769. --L (8 + 4x2 + 3x4)Vl-x2. 1770. -6+f5x3B - 5x3K.
15 1000
1771. f| - | sin2 x + -^ sin" xl Vsin3x . 1772. -± cos2 x + - ln(l + cos2 x).
1773. i tg3 x + i tg5 x. 1774. - (-2 + In x)Vl + lnx . 1775. -x - 2e~* +
3 5 4
+ 2 In A + e2). 1776. x - 2 In A + J\ + е*). 1777. (arctg Jx f. 1778.
VT
1779. ? Vx2-2 + In |x + Vx2-2 |. 1780. ? Jl - x2 + i arcsin ? .
2 2 2a
1781. * . 1782.-Va2-x2 + a arcsin ? . 1783. -*R±! JxBa-x) +
a2J^TV2 a 2
+ 3o2 arcsin /^ . 1784. 2 arcsin /^ . 1785. 2x~(a + b) „/(x-a)(b-a) +
«J2a V6 - a 4
+ (Ll«lf arcsin /m? . 1786. 2 Ja* + x2 + ^ In (x + Va2 + x2).
4 Vb-a 2 2
1787. | Va2 + x'2 - ^ In (x + 7a2 + x2). 1788. Vx2 - a2 - 2a In (Vx^S +
+ Jx + a ), если x > a; -*/x2 - a2 + 2a In (J- x + a + J- х- а ), если х < -a.
1789. 21n (Jx~+ a + Jx + b ), если x + a > 0 и x + b > 0; -2 In ( J- х- а +
+ J-x-b), если х + а<0их + Ь<0. 1790. 2x + a + b J(x + a)(x + b) -
4
- (b~aJ In (Jx + a + Jx + a ), если х + а>0их + 6>0. 1791. x(ln x - 1).
1792. iHi fin x - -M (n * -1). 1793. -I (In2* + 21nx + 2).
n + 1 V n + 11 x
3
1794. \ x2 fln2x - \ lnx + 5\ 1795. -(x + l)e"x. 1796. -^ {x2 + x + ±) .
о \ о У / 2 V 2/
1797. -?i±l e-*2. 1798. x sin x + cos x. 1799. -2*2 cos 2x + ^ sin 2x.
2 4 2
1800. x ch x - sh x. 1801. (^ + —) sh 3x - (^ + -i) ch 3x.
V 3 9 J \3 27)
1802. x arctg x - i In A + x2). 1803. x arcsin x + Vl - x2. 1804. -- +
ОТВЕТЫ
491
+ I±*f arctg x. 1805. -l±*L JT^x~2 + - arccos x. 1806. -™?Ш -
2 9 3 x
. 1807. x In (x + УГТх ) - ^1 + x2 .1808. x - i-^ In 1±* .
v 2 1-х
-In
|l+ Vl-X'
1809. -л/х + A + x) arctg Jx . 1810. In tg - - cos x • In tg x.
1811. \(x* - l)e*3. 1812. x(arcsin xJ + 2jl-x2 arcsin x - 2x.
О
1813. ii^ (arctg xJ - x arctg x + i In A + x2). 1814. -1 x2 - 1 In |l - x2| +
+ ?? In |ki*|. 1815. Vl + x2 In (x + JTTx2) - x. 1816.
3 |l + x| 2(l + x2)
+ 1 arctg x. 1817. ——? + -L arctg ? (a * 0). 1818. | V^T2 +
2 2a2(a2+x2) 2a3 a 2
+ |- arcsin f-, (a * 0). 1819. | 7x2 + a +2 In |x + 7*2 + a |.
1820. xi2x2+a'2) Va2 + x2 - ^ In (x + Ja2 + x2). 1821. ^ - ^ sin 2x -
8 8 4 4
- ?°|2?. 1822. 2(Vx-l)e^. 1823. 2 F - x) 7* cos 7* - 6 B - x) sin 7* .
8
1824.-?bj?)?!^. 1825. Oi?l^!^ . 1826. 2 [sin (In x) - cos (In x)}.
2Vl + x2 27l+ x2 2
1827. ^[sin (In x) + cos (In x)]. 1828. "^osbx + bsmbx ?a^
2 a2 + b2
1829 asinfrx-bcosfrx e« 1830 ?ff B - sin 2x - cos 2x). 1831. 2 + 1 sin 2x -
a2 + b2 8 2 4
- e*(cos x + sin x) + | e2x. 1832. -x + i In A + е2дг) - e"x arcctg (ev).
1833. -[x + ctg x • In (e sin x)]. 1834. x tg x + In Icos xl. 1835. -?— .
X + 1
1836. — arctg f x P ) , если afc > 0; -^-2- In
Jab \ Ча) 27^6
/jq| + xj\b\
№-*J\b\
1837. — arctg ^-i . 1838. 1 In |-*J_L| . 1839. -^- In
Л 77 4 J3x+l| 472
, если ab < 0
x2-G2 + 1)
x2 + G2-l)
1840. i In (x2 + x + 1) + ± arctg ^?±1 . 1841. i In (x2 - 2x cos а + 1) +
2 73 7з 2
+ ctg а • arctg *~C0SC( (a * kn, k — целое). 1842. - In (x4 - x2 + 2) +
sin a 4
+ -\ arctg ^-i . 1843. 1 ln{|x3 + l|(x3 - 2J}. 1844. I In |3sinx-5cosx| .
27' 77 9 2 I sinx-cosx I
1845. arctg -. 1846. — In (x Jb + Ja + bx2), если b > 0;
2 Tfe
492
ОТВЕТЫ
-L arcsin ( x PO , если а > О и b > 0. 1847. arcsin ?±i . 1848. ln j x +
+ | + 7x2 + x | . 1849. — In ( x - i + Jx2-ix+l) . 1851. ~75 + x-x2 +
+ i arcsin Z±-^± . 1852. 7x2 + x + 1 + i In ( x + - + 7x2 + x +1 ) .
2 721 2 12 )
1853. a) -i- arcsin 4*1±3; 6) arcsin 2siny~1. 1854. 1 7x4-2x2-l +
2^2 ./17 3 2
+ i In |x2 - 1 + 7x4 + 2x2-l |. 1855. -i 7l + x2 - x-» + 2 arcsin 2x^1 _
2 2 4 75
i + Iarcsin^2f|x+i|>^l
2 |.г|У5 Ч 2| 2i
x-2
\х-\\Д
(\x + i| > 76).
1856. -In * + 2 + 2Vx» + x+_l _ 1857_7^
1858. —L In
72
1-* + 72(l + x2)
1 + x
I860. i Г+2х-5 + -J- arcsin
1859. arcsin
x + 7
x >
72).
x + 2
>7B
1861.
2x-l
72 + x - x2 +
|х + 2|7б
2x- 1
. 1862.
2x+l
72 + x + x2 +
+ 1 In fi + x + 72 + x + x2 1 . 1863. ?^ 7x4 + 2x2-l - i In |x2 +
+1 +7x4 + 2x2-l|. 1864. -71 + x - x2 + i arcsini^ - In
2 75
2+x+27b
| x - || < ^1 • 1865. In
<r2-l + 7x'+l
1866. In |x - 2| + In |x + 5|.
1867.1 In 1 (x+2)"
2 |(x+l)(x+3K
1868 — - — + — - ^ + Пх* - 21*' +
' 9 8 7 6 5 4
. 1869. x + i In Ixl - - In |x - 21 +
+ 43xf _ 85? + 1?1 + 1 j I x-1 I _ 1869. x + 1 ln у _ 9
3 2 3 (jr+2vH 0 ' ' 2
|(x+2)">2'
+ 25 In |x - 3|. 1870. x + i arctgx-- arctg ? . 1871. -— + ? ln |*zl| .
3 3 ь 3 s 2 3(x- 1) 9 x+2
1872. -J- + I In |x2 - 11.
x+1 2 ' '
1873.
- 5*'6 + 4 ln |?^1|
x2-3x+2 x-2
1874. 9-Y'+50-r + 68 + I In [(*+*)(* +2)">| 1875 _ 3x' + 3s-2 +
4(x + 2)(x+3J 8 | (x+3I' I 8(x-l)(x+lJ
+ йIn |fri| •1876-arctg x + iln Sri •1877-1arcctg x + iln i^rf •
1878. --L-t - arctg (x - 2). 1879. -^ + fQ In Ji^lii. - A ^ (ж + 1}.
1880. In |_*_| - A arctg I^2* . 1881. I ln (* + D2 + J_ arctg **^I .
|x+l| 73 73 6 х2-х+1 Д Д
1882. I ln ii^DL + -L arctg ^±1. 1883. i ln \x-l1\ - i arctg x.
6 x2 + x+l /§ /3 4 bc+i 2
ОТВЕТЫ
493
1884. JL In ** + *V2+l + J_ arctg jcji_ _ 1885_ l ln x^x+l +
4V2 x2-xj2 + l 2j2 1-х* 4 x2-x+l
+ _L arctg ^1. 1886. J- ln 1 + *^ + *2 + 1 arctg x + 1 arctg x3.
273 xJZ iJZ X-xJZ + x* 2 6
1887. -—-1— + i In ii±?li + i arctg x - J- arctg ^i
6A + *) 6 1-x + x2 2 ЗТЗ V3
1888. \ ln (f-1J - J- arctg 2*^1. 1889. I ln *2 + 2*+2 +
6 x2 + x+l y^ 73 5 X2 + J: + I
2
+ I arctg (x + 1) - 2 arctg Bx + 1). 1890. a + 26 + 3c = 0.
a 5
1891. - *a + *+2 + J_ j |*+_1| 1892_ * 1 j (.v+lJ
8(x-l)(x+lJ 16 |x-l| 3(x3+l) 9 x2-x+l
+ -?- arctg ?-?—1 . 1893. -гCлг2+5.) + 5 arctg x. 1894. ] J-
3J3 3 8(x2+lJ 8 ° x2 + 2x + 2
+ arctg (x + 1). 1895. ? + -L_ In ^2+x^+1 - -1- arctg -*^t .
4(x4+l) 16V2 x2-x72+l 8^2 x2~x
1896. 5x+2 + i In 1^121 + -§_ arctg ??±l . i897. 7дг»-11дг +
3(x2 + x+l) 9 x2 + x+l 373 73 32(x4-lJ
+ JL lnl^l -21 arctg x. 1898. *3+2y . 1899. -8*' + 8дг2 + 4*~ * .
128 |x+l| 64 ъ 6(х4 + х2+1) 28(x3 + x+lJ
1900. -—*¦ (весь интеграл!). 1901. —?+±1— + J_ arctg 2xj_l.
x5 + x+l 3(x2 + x+l) зуз Д
1902. ay + ca = 2ftp. 1903. 1 _ 3 _ 3 _ 1
96(х-1)Э0 97(x-l)97 98(x-l)!K 99(x-l)"
1904. I ln 14^1 - 7 arctg x2. 1905. -i- arctg ^ . 1906. ±- ln i*I±i)l +
8 |x2+l| 4 473 73 12 x4-x2+l
+ i arctg Xя + -L arctg 2x2~l . 1907. | ln
3 273 73 8 x4 + 2 x'+l
1908. ~-L(—f— + -J— In
iooUIO-io 2710
TTo
TIo
1909. ^ + I In _*1±-L
4 4 (x4 + 2)
191°" -щХ\1+2) ~ TO arCtg ^ + «¦ 191L J <*" - ln I*" + !D <" * °>-
1912. J- (arctg д- - -?1.) („ * 0). 1913. ± In -^ . 1914. ^-^ +
+ ± In -?ll- . 1915. i ln -1*3- . 1916. I In |^4-5)|.
10 *i°+l 7 A + x'J 5 |x-'-5x+l|
1917. J- arctgZLll. 1918. J- ln 2x2 +A - 75)x+2 Ш9 J_ ^ x'-x272+l
73 хТз 75 2x2 + (l + 75)x+2 472 x4 + x272 + l
1920. arctg x + i arctgx3. 1921. /„ = Щ±Ь 2/г^З . 2a,
3 s " (n-l)A(ax2 + fcx + e)"~i n-1 Д " '
494
ОТВЕТЫ
где Д = 4ас - Ь2; 13 = 2х±±
+ _,2*+1 + _jL arctg 2х+1
1922.
6(х2 + *+1J 3(х2 + х+1) зТЗ 73
(б-а)-»* — 1 J im 625 I t 2 ' 'J '
где
ж-2
i = —- . 1923. - Y
x+3 Z-i ft!(n
p%w
k)(x - a)
A
+ ^lln\x - a\.
Я-
где P — многочлен,
1924. R(x) = P(x2) +УУ
/~1/~1 L(a,.-x)"' (a, + x)"
+at (i = 1, ..., k) — корни знаменателя, Atj — постоянные коэффи-
n
циенты. 1925. -±Y cos nBk~l) ¦ \n { 1 - 2x cos nBk~l) + x2 ) +
2л Z^ 2n V 2n J
П
7lBA- 1) ]
x - cos —i '
sin nBfe-l) arctg ^— . 1926. 2jx -2ln(l + Jx).
2л б . яBА-1)
sin—i '
2n
1927. 2 in
xifx
4 (l + 67xJ(l-67*+237xK 2^7
3 „,.„<-„ 4e7x-l
-¦- arctg -^—
77
1928. ?t4-
- It2 - I In |f - 1| + 15 In (t2 + t + 2) - -2L arctg 2i±I , t = 3ДТ^.
1929. 6f - 3t2 - 2t3 + ^ t4 + ^ t5 - ^ t1 + 3 In A + t2) - 6 arctg f, где
г= V*+~l . 1930. ?¦ - —^— . 1931. ^ - W*2-l + i \n\x+ Jx^l I.
A + VxJ 1 + V* 2 2 2
1932.-2,^+1.1933.--^- +-2- In l + t^2 + t2 +_i
V^x-l
. 1934.
1 + '4 4^2 l-tj2 + t2 2^2 «72
л /х- 6
а-Ь Цх-а
. 1935. | +7ж - 1 JxJTTx)--\n(Jx +7ГТх).
1937. -<Ц2* 71 + х + х2 - I In (i + х + 7l + x +
1938. -In
+ R) - 72 In
2-x + 2 7x + x+l
x+1
. 1939.
2^x
3A-*)'
Vl-x2. 1940. Л + In (x + 1 +
Х+2 + 72Д
, где R = Jx2+2x+2 . 1941. arcsin li-2^ +
75
+ In
3 + x+ 2~J\- x- x2
1-2*
1 + x
1942. ±—^- Jl + x-x2
H arcsin J-2-
75
1943_ _19 + 5x+2*2 Jl + 2X_X2 _ 4 arcsin Ц? . 1944. (Ь3_ _ 2i_ з +
6 ^2 V256 128
+ ^-5-^-7+^vT^-^ln(x+7rT^2).1945.f-^-i
160 80
10
256
16 24
ОТВЕТЫ
495
+ ?) Ja2 - х2 + 2l arcsin ? . 1946. {^ - H* + 37") 7x2 + 4x + 3
6 J 16 |a| 13 3 ;
66 In I* + 2 + 7*2 + 4x + 3 |. 1947. -J- л/л^ТТ + I In * + -/*' + 1 .
2x2 2 |x|
1948. ??!+! Т^Щ. 1949. Зх-5 Т^ЧЗх+Т - -Ji- In
Эх* « 20(х-1J^ 40^5
(x + lO5 + 27x2+3x+l
х- 1
1950. 3*+5 Jx2+2x - - arcsin ——, , где х < -2 или х > 0.
8(x+lJ 8 |x+l|
1951. 4a(ca, + 6b,) = 8a2ct + ЗЬ2^ (a * 0).
--Lin
72
1954.
72+ 7l + 2x-x2
1-х
. 1953. - arcsin *~3 - i In
2 \х-1\Л 2
1952.
3x + 1
/l + 2x
V 2A-
-2Л2-
-x!
x)
X -
1
-MHH + In [ X + I + Vx^+X+l W 1 ln
x+1 I 2 J 2
x + 1
1 - x + 2jx2 + x + 1
x + 1
1955. -I+2E 7l + 2x-x2 - 2 arcsin Hvi - _L
2 72 72
хД
|l + x|
1956.
1958.
,7*2-4x + 3
x-1
2 arcsin (х < 1 или х > 3). 1957. -=- arctg
с 71
'к-2|
72 7Г
272
In
x72 + 7x2-1
xj2- Jx2- 1
1959.
271 + x2 472
In
7l + x2 + x72
7l + x2-x72
1960. In (x + Jx2 + 2 ) - arctg illll. 1961. J-In
* 76
Bx+ 1O2 +V3(x2+x- 1)
Bx+l)V2-V3(x2+x-l)
1962. arcsin ^ - 4 arctS Л+2х~? - 4 In 7б+72 + 2х-х2_
7з
1963. 2^) . 1964. —i- arctg^2 + xti +J_ in
3Vx2 + x+l 72 (x-lO2 76
(l-xO2 7б 7б-72 + 2х-х2
(x+ 1O2- V3(x2 + x+ 1)
7x2-x + 1
еслих+ 1 >0. 1965. -1- In V2Bx2-2x+5)-(x_+j) _ 1 arctg 72^2xT5 _
672 72Bx2-2x + 5) + (x + 1) 3 x+1
1966.
+ 4 In
2B2+1) 2 |2г+1|3
где
z = x + Jx2 + x + 1 . 1967. In lizil
2 arctg 2, где z = l + Vl-2*-x? _ 196g I ! [B - 1K + (z _ i)-3] +
x 8 3
+ [B-1J+(г-1Г2] + [(г-1) + B-1Г1] +i 1п|г-1|,где2 = х+7х2-2х+2.
1969.
18B+1) 6B+1)
1 + ? In |z - 1| - H In |z - 2| - -H. in |г + 1|,
+ 1J 4 ' ' 27 ' ' 108 ' '
75+1 + 22
75-1-23
где 2 = МП*Л . 1970. _2iiz_l?L + _?_ ln
x+1 5(l-2-22) 575
+ Jx(l + x). 1971. ^ Gx2 + 1 + Jx^l) + 7 In
4 4
, где z = -x +
x + 7x2 + 1
x+ 7x2 - 1
496
ОТВЕТЫ
1972. I 7i - -Л= ( In г7з + УГ2Г2+1 _ 2 arctg i/pE) , где 2 - 1+*
3i/l2 V z73- Vl2z2+1
1973. JYTx - Jl - x - — arcsin x.
72
sV3- 1'
l-.tr
+ I ln \ + 2x+2j\ + x + x2
2 B + x+2jl + x + x2J '
1976.-— arcsin
72
cj2_
x2 + 1
1975. ?
¦1 ?_
(x+ lJ + x2
1974. Vl + sr + x2 +
5 5
(x + 1J - x2
.1977.-4: ln
72
:72 + 7x4+l
x2-l
1978. i arcsin x2" *
x2 72
(W > 772 -1 )• 1979. i ln *гB*2+1 + 2./х> + х2+1) _ 1981_ 1 V(x + x2)
2 + 2л/х< + *2+ 1
ii^ Jx + x2 + | In (Jx + Jl + x) при x > 0. 1982. § x" - 4x2 +
8 8 5
+ 18x(i
-^ - 21 arctg xl. 1983. 2 25 - 2г3 + Зг, где
2= л/l + V*2 •
1 + x3
1984. -г + ? г3 - 2l\ гдег = Tl^T2. 1985. ± ln *i±?±i - JL
3 5 6 (г-lJ 7з
arctg
где 2 =
¦vr
2-1
1986. \ ln |i±i| - i arctg г, где г
2- 1
22 + 2+ 1
Z2-l
„ 22+1
7з
t/i + x4
X
1987. i ln ^- + -L In ^ + ' + i + -1= arctg ^Ц^ , где г = 4jT+~xB.
2+1 12 22-2+l 273
1988.5 2-4-5 20, rflez=Jl + ±. 1989.
4 9
гТЗ
32 _ 1 ь B + 1J
2(г3+1)
22-2+ 1
- 7J arctg ^—i , где г = 373x-x3 19Q{) m= 2 где fe = ±1 ±2> _
2 73 * k
1991. sin x - | sin3 x + - sin5 x. 1992. — x - i sin 2x + — sin 4x +
16
64
+ -L sin3 2x. 1993. ~x + i sin 2x + — sin 4x - — sin3 2x. 1994. ±-
48 16 4 64 48 16
_ sin4x , sin32x iqqk sin5x _ 2sin7x , sin9x iQQf! _cos2x , cos32x
64
48
64
96
?^|*. 1997. —i— - -i- . 1998. -^ cos x - ^!?_ _ 3 ln L xl
320 3cos3x cosx 2 2sin2x 2 2
1999.
cosx . 1 i„ j.„ x
^x +2 1П tg 2"
2000. sinx + - ln Itg (- + 2N
2cos2x 2 ь 1,2 4,
2001. -8 ctg 2x - ? ctg3 2x. 2002. tSl? + Ш!л - ^M? + з ln Itg x|.
3 . 4 2 2 i & I
2003. -±- + -±j- + ln Itg fl
cosx 3cos3x 2
2004. *?l* - t?f* - in |cos x|.
4 2 ' '
2005. -x - ^ + ^ - ctg x. 2006. Ц± . 2007. -2 VcTg^ + f Vtg^ .
5 о 5 3
ОТВЕТЫ
497
2008. 1 In \H±mi±n\ - 4 arctg kJ! ,
4 |(i_t)»(i_t.)| 2 <л/з '
где
t = Vsinx.
2009. JL In г2+г^+1 - J- arctg iJL, 2 = ,/tgi . 2010. 1 In i*i±lil +
2^2
>72+ l J2
z2- 1
2-<-z2+l
+ ^ arctg 2?l^i , Где 2 = -l/tg^ . 2011. /„ = - cos*sin"''x + ^/„_2;
2 7з n n
v _ sinxcos"-*x , n - I -v . г
л„ - ~ + —— л„_2, i6
- cos x sin5 л: - — cos x sin3 л:
6 24
-— cos xsin x + — x; KR = - sin л; cos7 л: + — sin xcos5 x + AL sinxcos3 x +
16 16 8 8 48 192
+ 3L sin x cos x + — x.
128 128
2012. /„
^ 1n-2>
(n - l)sin"~ 1 x n - 1
K7
sin* , n-2p . r _ cosx 3cosx , 3 i„ L„ xl .
~ + л„_р i„ — - + - In tg - ,
(n- l)cos"^ n-1 " г " 4 sin4* 8sin2x 8 | 2|
+
5sinx
5 sinx
+ A In tg [\ + f\ . 2013. -i cos 4x
6cos6x 24cos4x 16cos2x 16
-A cos6x.2014.* + ™±Z± +^Л? +S^?.2015.? cos? -± cos^
12
3
16
24
8
3_
6 10
cos ~ + A cos ii^ . 2016. -i cos (a - ft) cos x - ^ cos (x + a + ft) +
14 6 22 6 2 4
+ i- cos Cx + a + b). 2017. * + ^^^ + sin2bx + sin2(a-ft)x +
12 ' 4 8o 8ft 16(a-ft)
+ sin2(a + ft)x _ 2018 _3_ CQS 2 + J3_ CQS 4x + J_ бл: _ _3_ g +
16(a + ft) 16 64 48 128
+ J_ cos 12*. 2019. i In |sin(* + 6)l , если sin (a - ft) * 0.
192 sin(a-ft) |sin(x+a)|
2020. i ln|sin(x + a)| , если cos (a-ft) ^ 0.2021. ? ln|cos(x+ft)j ,
cos(a-ft) |cos(x + ft)| sin(a-ft) |cos(x + a)|
если sin (a - ft) * 0. 2022. —— In
cos a
(cosa^O). 2023. —— In
sin a
3tg?+l
(sin a * 0). 2024. -x + ctg a ¦ In I cosx 1 (sin a * 0). 2025. -L arctg 1 .
|cos(x+a)| 75 75
2026. i In (l-co^)BcosxJ _ 2027_ _ 1 B gin x+co„) + Ax
6 (lcosxK 5 575
xlnltgfi + SE?i?2
12 2
2028. a) ; 2 arctg f \\—- tg ^1, если 0 < e < 1;
VT^P Wl + e s 2J'
6) —I— In e+cosx+7^4^M , если e > 1. 2029. x - ± arctg G2 tg x).
T^TTl 1 + ecosx 72
2030. \ arctg (&*). 2031. /^'/L + ^ "^g ? ^ " °>' где г = tg*¦
ab \ b J (a2z2 + b2) 2ab3 b
498
ОТВЕТЫ
2032. i(sin x - cos x) - — In Itg {- + -
2033.
a(asinx + 6 cosx)
2034. -I In (sinx+cosxJ - -1 arctg (^coss-sinx^ . 2035. -L arctg (№*) .
6 1-sinxcosx 73 V Jz
2036. - J J2 + J2 arctg "
4 I 74 + 272
/2-72 arctg " I, где u = tg 2x.
74-272 I
2037. -i- In 72-sin2s . 2038. i arctg (sin2 x). 2039. arctg (i tg 2x
2^2 72+sin 2
2040.
2 + -5_ arctg -4 , где г = tg x. 2041. , * In |tg (| + |
4(*2 + 2) 472
72
где cos ф
7a2+62
И STn ф :
JaJ+b2
Ja2 + b2
2043. a) -- - § In |sin x + 2 cos x|
6) 0,lx + 0,3 In Isin x - 3 cos x|. 2044. — + — In |5 sin x + 3 cos x|.
1 ' 34 34 ' '
2045.
_ab1 - axb
1
a sinx + 6 cosx
aax + bbx
3
(a2+b2J
lnltgl^ +2
1 Si 2 2
, где cos ф =
Ja2 + b2
Ч И К 5tg|+l
и sin ф = ° . 2047. -— + - In Isin x - 2 cos x + 3| - - arctg .
Ja2 + b2 5 5 5 2
2048. I - i tg (* - 2"j - I In G2 + sin x + cos x). 2049. - x - i In |3 sin x +
+ 4 cos x - 21 +
5721
+ 272 In tg (I + I
In
77+73[2tg|-l
77-73Btg|-l
2051. -sin x + 3 cos x +
. 2052. - (sin x + 3 cos x) + -2- In
5 575
75-l + 2tg|
75+l-2tg|
2054. -A arctg f?^E^^ - 7 In 2+sinx . 2055. 3 arctg (sin x - 2 cos x) +
73 V 73 J 4 2-sinx 5
+ _J_ . ln 7б+ 2 sinx + cosx _ 2056_ _3_ ln
107б 7б - 2sinx - cosx 472
73 + 72( sinx - cosx)
73-72(sinx- cosx)
b
7Ц
sinx+ cosx)+ 1
72(sinx+ cosx)- 1
476
xln
2059. A
2058_ 2 sinx-cosx + _J_ ь L (x + arctg 2
10(sinx + 2cosxJ 1075 I V2 2
, В
Bn- 3)a
-, С
n-2
(n-l)(a2-ft2) (n-l)(a2-62) (n-l)(a2-62)
2060. -1 In ^ + 71+fin's _ 2061_ 27^ - J_ In tgx+72ljx+l +
72 lcos*l 272 tgx-72tgx+l
+ ± arctg ^Si (tg x > 0). 2062. Ц arcsin f sinx" C0SXT) - 1 ln (sin x +
72 tgx-1 21 V 73 J J 2
ОТВЕТЫ
499
+ cos х + л/2 + sin 2х ). 2063. ^^ + — arctgf /1^ tg-
(l-e2)(l + ?cosx) 2 sWl + e 2
A_E2J
2064. -—^— cos Ц^ -sin iZ-H (cos a * 0). 2065. /. = 27„ , cos a -
- /„_2 + ?Jina r-i Где n > 2 и t = sin ^-2 f sin iiSV' . 2068. e3x f *f -
" ^ n- 1 2 I 2 ) V 3
- ?+ т - Й •2069- -«-<*' + 2>- 207°- -(т - ?+ Hi)cos 5* +
+ (Zl - IML + JZL.) Sin bx. 2071. B1 - 10x2 + x4) sin л: - B0x - 4л:3) cos x.
V 5 125 312&/
2072. -^ (x° + 3x4 +6x2 + 6). 2073. 2e'(/5 - 5?4 + 20f3 - 60f2 +
+ 120t - 120), где f = л/х . 2074. e"["-L + gcos2frx+2bsin2bx1 _
L2a 2(a2 + 4/>2) J
2075 — r3(asinbx - fccosfox) _ a sin3ftx - 3fecos3bx"| 2076 — ГгСчтп г -
4 L (a2 + b2) (a2 + 9b2) J' ' 2 l V
- cos x) + cos x]. 2077. — [x2(sin x + cos x) - 2x sin x + (sin x - cos x)].
2078. ex[*^ - — B sin 2x + cos 2x) + — D sin 2x - 3 cos 2л:) 1.
L 2 10 50 J
2079. - xA + - x2 + 3x2 cos x - x{ 6 sin x+- sin 2x1 - (б cos x + - cos 2x
4 4 I 4 7 I, 8
- i cos3 x. 2080. | + i Jx sin B л/г ) + i cos B л/х). 2082. x + — —x -
- In A + ex). 2083. ex - In A + e'). 2084. -2 + i In И - 1| + - In (ex + 2).
2 3 б
Г * I 11 x
2085. x - 31n A + еъ )л/1 + e3 [¦ - 3 arctg e5 .
2086. x
1 + e4
2087. -2 arcsin (V2""] . 2088. In (ex + Ve2*-1) + arcsin (e_Jt).
2089. Je2* + 4ex-l + 2 In (e* + 2 + Je2x + 4ex-l) - arcsin 2<"~l .
е*Л
2090. - i «Г* (VT+e^- л/П=* ) + 1 In (VTTP-lXl-jrr^). 2092. a, +
2 4 (Vl + ex+l)(l + Vl-e*)
+ ^ + ^ + ... + a" = 0. 2093. ex { 1 - Я . 2094. -e~* - li (e"x).
1! 2! (n-1)! I xj v
2095. e4 li (e2*) - e2 li (e2x~2). 2096. -?- . 2097. e— ( x2 + 3x + 21 -
x+1 2 V 2
- JiLj + F4e4 + li (e2x~4). 2098. x[ln" л: - л In" x + n(n - 1) In" x + ...
500
ОТВЕТЫ
... + (-1)" " ' • п (п - 1) ... 2 In х + (-1)лл!)]. 2099. ?-* ( In3 x - 2 In2 x +
+ 2 In x - —1 . 2100. -— f In3 x + - ln2x +2 In x + 2] . 2101. In (x + a) x
8 32,J 2x2 I 2 2 <U '
x In (x + b). 2102. x In2 (x + JlTx~2) - 2 JTTx~2 In (x + Vl + x2) + 2x.
2103. -- + x\n(Jl-x + Vl+ *) + -arcsin x. 2104. xln* -
2 2 7l + x2
- ln(x + Jl + x2). 2105. -? + i In (x2 + 2x + 2) + ^ arctg (x + 1). 2106. -- +
+i In A + x) + ??^ arctg Jx . 2107. -^±-? J2x-x2 + 2?iz_§ arcgin A _ ^
3 3 4 4
2108. | Jx-x* + (x - 1) arcsin Jx . 2109. -^M Jx*-1 + ^ arccos I.
2110. -2 sgn A - x) V* + A + x) arcsin -^ . 2111. ?arccos* - In Vl - x2.
1 + * TT7*1
2112 arccos* + 1 ln Ьнх
ЛТ7* 2 1 - x
2113. x - arctg x + fi±?-2 arctg x - |] x
x [ln A + x2) - 1]. 2114. x - i-^ ln ii^ . 2115. -ln JT+x~2 + , * x
2 1-* Vl + *2
x ln (x + VT^T2 ). 2116. -i + ^M* . 2117. Зх + sh2? + sh4x
v ; 8 32 8 4 32
2118. ^ - ch x. 2119. 2h6x _ ?h4x _ ?l^i . 2120. ln ch x. 2121. x - cth x.
3 24 16 8
2122. 0,5[ln (e2* + Je4* - 1) + arcsin (e'2jr)]. 2123. a) -^ arctg 3~1/2 f 2 th | + l); 6)
73 V 2 /
.Larctgih^B)-^ arctg
75 V5 Зл/П
f3th-
тп
; r)-|x- |ln |3 shx - 4ch x|.
2124.
achaxsinbx - bshaxcosbx
a2 + b2
2125.
achaxcosbx + bshaxsinbx
a2 + b2
2126. --L + -L - I - arctg x.
5x" 3x,f x
2127.
1 x + x3
8 A-х2J
16 1-х
2128. J- ln 1 + x^ + x2 - -i- arctg i^ . 2129. 27* - 337x + 667x -
473 1-Хл/З + х2 2V3 Хл/3
- 6 ln E/x + 1) (x > 0). 2130. -J- A5 + lOx + 8x2Ox(l-x) + | arcsin Jx
24 8
@ < x < 1). 2131. -?- УГ^2 - ln 1 + -^Гх~2 (\x\ < i). 2132. -| Jl-xjx
X \X\ о
(x > 0). 2133. -1 (8 - 4X2 + Зх4).ДТГ2.2134.1 ln iiiill - 73 arctg '^l ,
15 'v 2 1-z + z2 73
2136. i arccos iii-i .
2 x272
гдег = ,/^. 2135.-i ln
V x 3
2 + x3+27l + x3 + x°
x3
ОТВЕТЫ
501
2137. -Lt^ii _ 2 jl_xz _ 2 arcsin x (|x| < 1). 2138. -i A + xJ + 5_L^ x
xx 2 4
x Vx + x2 + ^ in I x + i + 7x+x2 I (x > 0; x < -1). 2139. -ln(l + * + *2) -
8 | 2 | 1 + x
- I in !i±?21 + 73 arctg 1±2? . 2140. -2x + 21 7-*2 + 3x-2 + fx2 +
2 1 + x + x2 73 4 I
+ 3x - ^1 arccos Bx - 3) A< x < 2). 2141. -x2 + ^ In D + x4) + 2 arctg ^ .
8 / 2 2
2142. -:ZEjE arcsin x + ± (arcsin xJ. 2144. -*1±1 7x2 + 1 + L*l±l? x
x 2 ' 9 3
x In Jx^^l - i In ^2+1~1 (|x| > 1). 2145. B—? - In -^=) TT7*2 -
3 7x2 + 1 + 1 VI-x 7i _ x)
I a 2tg|+l
-i arcsinx-ln1*-71'* @<x<l).2146. Ocosx s + -±- arctg ?__ .
2 x 3B + sinx) 3V3 73
2147
1 i 7 + 472+ cos4x 2148 1 _ 1 1 72 + 7l + cosx
72 7-472-cos 4x 71 + cosx 272 72-71 + cosx
2149. a\x arctg x - \ In (x2 + 1I - ^ (arctg xJ. 2150. a { x In |?LlI| -
L 2 J 2 ¦ V \x+ 1|
- In |x2 - l|l + ?±^ In2 j*_il| . 2151. - ln* + i In -*!_ (x > 0).
1 4 4 U+ 1 2(l + x2) 4 1 + x2 v
2152. TTTx2 arctg x - In (x + 7l + л:2 )• 2153. -In (cos2 x + Vl + cos4x ).
2154. ~!l?±?! - i±?f 71 - x2 arccos x (|x| < 1). 2155. -^ - ( * - ?T) x
9 3 6 13/
x arctg x+\ (arctg xJ + § In A + x2). 2156. - * - *-*' arctg x.
2 3 4A + x2) 4A + x2)
2157_ in(x + 7IT^) + _i_ In7T+^-x72 (y K 1}> 2158_ ^xf + x дзр x
2(l-x2) 472 7Г71Г2 + х-У2 4 2
x arcsin x + - (arcsin xJ (Ixl < 1). 2159. - + — + i(l + x2J arcctg x.
4 ' ' 4 12 4
2160. xx (x > 0). 2161. x - <r* arcsin (e*) - In A + 7l-e2*) (x < 0).
2
2162. x - In A + e*) - 2e~2 arctg e~2 - ( arctg e2l . 2163. -^~ [x - In A +
+ e* Ch 1)] - -?L . 2164. -2 In (th x + 7l + th2x ) + — In -A + tb2x + 72th* _
4shl 72 7l + th2x-72thx
2165. ex tg * . 2166. ii?! . 2167. ^ . 2168. ^ (x + |x|).
2 2 3 3
2169. A + x)l1 + *l + A-*I1~х1 . 2170. e1 - 1, если x < 0; 1 - e"\ если х > 0.
2 2
2171. x, если |x| < 1; j + | sgn x, если |x| > 1. 2172. | + i f(x) - |j x
502
ОТВЕТЫ
х 1 - 2 I (х) - -I , где (х) = х - [х]. 2173. Щ {\х\ - (-l)w cos лх}.
2174. х - — при Jx| < 1; х - | |х| + I sgn x при |х| > 1. 2175. х, если
-со < х < 0; — + х, если 0 < х < 1; х2 + 1 , если х > 1. 2176. xf'(x) - f(x).
2177. I /Bх). 2178. /(*) = 2 Vx. 2179. а) х - ^ ; б) f(x) = х при -со < х < 0;
/(х) = е* - 1 при 0 < х < +оо.
Раздел IV
2181. 12|.2182. a) S_„=16l-g+g,s:=i6l +^2 +g;
6)S„= ly /I, s> If [i. B)S„= -L°^_, 5- 10230_2f_
nB»-l) nf2»-l)
2183. S„ = 31. '^~1 ; 51. 2184. y0T+ -Ur2. 2185.3. 2186. ?—± .
— 32-1 5 2 lna
2187.1. 2188. sin x. 2189.1 - 1. 2190. Ь*1-"""'. 2191. In ^.
a b m + 1 a
2192. a) 0, если |a| < 1; б) л In a2, если |a| > 1. 2193. 5. — [/(a) - /(b)].
2201. Вообще говоря, нет. 2203. He обязательно. 2206. 111. 2207.2.
4
2208.5. 2209.5. 2210.1. 2211.1. 2212.-^—. 2213.
2я
2sina JTZ
2214. -1= In LlM . 2215. -?-. . 2216. а) Подынтегральная функция 1
Tab 1-Той 2|afc| x
и ее первообразная In |x| разрывны в промежутке интеграции [-1, 1];
б) функция — arctg(i?2|, играющая роль первообразной, разрывна
1 2
при 0 < х < 2тс; в) функция arctg - разрывна при х = 0. 2217. - .
х 3
2218. 200л/2. 2219.1. 2220. In 2. 2221.5. 2222.?. 2223.—.
2 4 л р+ 1
2224. ? B-/2 - 1). 2225. 1. 2226.1. — f /(x) dx. 2227. 5 л. 2228. -5- .
3V e Ь-eJ 6 73
2229. х+1 2230. -1-. 2231. 0;-sin a2; sin б2. 2232. а) 2х4ТТх* ;
2 1п2
ОТВЕТЫ
503
б) ,3*2 - 2х ; в) (sin х - cos x) cos (тс sin2 x). 2233. а) 1; б) ^ ; в) 0.
Vi + х12 ./ТТ7» 4
г) А. 2235. 1. 2237. а) 5 ; б) I . 2238. a) i - ? , если a<0;i-2+^,
у ' 6 ' 2 32 323
если 0<а<1;^--, если а > 1; б) 2 если |ос| < 1; -?- , если |а| > 1;
2 3 2 2а2
в) 2, если |а|< 1; ^- , если |а| > 1. 2239. | In -. 2240. л. 2241.4л.
2242.2 ( 1 - iV 2243. 1. 2244. 2я _ ^ 2245 1 2246 тш^
I ej 3 2 6 16
2247. — In Ч±ЛЛ . 2248. 2- - . 2249. - . 2250. — . 2251. а) Обратная
Л 7 2 4 72
2 ,
функция х = +12 двузначна; б) функция х = - разрывна при t = 0; в) не
существует однозначной непрерывной ветви функции х = Arctg t,
определенной на конечном сегменте и пробегающей значения от 0 до тс.
2252. Нет. 2253. Можно. 2256. f(x + b) - f(x + a). 2260. 2 e2 .
1 0
2261. f [/(arcsin t) - f(n - arcsin f)] dt + f [Д2я + arcsin () - Дя - arcsin t)] dt.
2262. 4n. 2263. ^. 2264. arctg Щ -2л. 2268. 315—.
2269. 1 In 3 - -S- . 2270. -5- e3 - A . 2271. -66^ . 2272. -5 . 2273. -M-.
2 2,/3 27 27 7 3 270
2274. ^ л - 73 . 2275. 2л (-L - J-) . 2276. 2л 72 . 2277. 1.
3 vV3 2-/2' 6
2278. — - - . 2279. - (ел - 1). 2280. - In 2 - i^l. 2281. /„ = ^2fe)!! • - ,
6 4 5 v ' 8 1024 " Bk)\\ 2
если n = 2k; I. = BкУА , если п = 2k + 1. 2282. См. № 2281.
" Bft+l)!!
2283. (-1)" Г- — fl — i + - - ... +tll^ll. 2284. 22" (n!J .
v ' L4 I 3 5 2n-l)\ Bn+l)!
2285. Cm. № 2281. 2286. In = ()""! . 2287. /„ = (-1)"] -In Д + - Г 1 -
" (m+l)" + 1 " v ' J 2 L
- i + ... + (-I)" il I . 2290. , *Bт)!!Bи)! 2291 „
2 nJ I 22m + 2" + 1m!n!(m + n)!
я, если n нечетное. 2292. (-1)"я. 2293. i. 2294. il sin ^.
2295. 0. 2296. 0. 2297. -J- A - е-2ол)[ C\n + 2 VcL ^ 1.
22"a v 'L 2n f-> 2"a2+Bn-2fcJJ
504
ОТВЕТЫ
2298. — (-1)". 2299. (m)l(" 1)! . 2302. В точках разрыва функции
4л (т + л - 1)!
f(x) производная F'(x) может как существовать, так и не существовать
2303. |*| + С. 2304. arccos (cos x) + С. 2305. х[х] - l*l(l*l+1) + с
2306. ^iiJ - l*1(l*l+1)Bl*l+l) + с. 2307. С + - arccos (cos nx)
2 12 я '
2308. | (|/ + х\ - \1 - х\) + С. 2309. -1. 2310. 14 - In 7! 2311. ^
2312. -5! . 2313. In rt! 2314. -th |. 2315. | . 2316. а) -; б) +; в) +; г) -.
12 1
2317. а) Второй; б) второй; в) первый. 2318. а) ~ ; б) б- ; в) 10; г) - cos (p
О О Ct
2319.1. Р =Ъ — малая полуось эллипса. 2. v = - (v0 + vj, где v1 —
Vl - E2 2
конечная скорость тела. 2320. i to . 2321. A. 2322. a) 0 = „/-i- ; 6) 0 = - ;
в) G = i In ?^i , lim 0 = i , lim 0=1. 2323. ^ + ^ G (|0| < 1).
x x х- о 2*—°° 3 3
2324. Заключается между —!— и -1. 2325. 0,01 - 0,0050 @ < 0 < 1).
10V2 10
2326.2. а) 1; б) /@) In ^ . 2328. -i- @ < 0 < 1). 2329. - 0 (|0| < 1). 2330. 5
а 50 тс а а
(|9|< 1). 2334. i. 2335.-1. 2336. л. 2337.71. 2338. - In 2. 2339. -ii .
а 3 зУз
2340. — . 2341. -2- . 2342. - . 2343. i In f 1 + —). 2344. 0. 2345. - - 1.
ЗТЗ Л 2 5 I JsJ 2
2346. —°_ . 2347. —^— . 2348. /„ = n! 2349. /„ = Bn"^)!! • 7lQ'"'sgna .
a2 + ft2 a2 + 62 " " Bл-2)!! „tl
(ac-b2) 2
2350
n
. In= n\ V" (-1)* + 'C„ In (/г + 1), где С„ — число сочетаний из п
к = 1
элементов по А. 2351./„ = '"",, S' если /г — четное, и 7„= 'л~ '" ,
л!' 2 п!!
если п. — нечетное. 2352. /„ = ^——^ я, если л — четное, и /л = ^——^ ,
л!! л!!
л
еслип — нечетное. 2353. а)-- In 2; б) -- In 2. 2354. ZtMkl .2356. а) 1;
; 2 2 1-е"
б) 5 ; в) 0. 2357. а) 1; б) I; в) 1; r) i ДО). 2358. Сходится. 2359. Сходится.
2360. Расходится. 2361. Сходится при р > 0. 2362. Сходится, если р > -1
и 5 > -1. 2363. Сходится, если т > -1, п - т > 1. 2364. Сходится при
ОТВЕТЫ
505
1 < п < 2. 2365. Сходится при 1 < п < 2. 2366. Сходится, если т > -2,
п - т > 1. 2367. Сходится при п > 0 (а ^ 0). 2368. Расходится.
2369. Сходится, если р < 1, q < 1. 2370. а) Сходится при п > -1;
б) Сходится. 2371. Сходится, если min (p, g) < 1, max (p, д) > 1.
2372. Сходится. 2373. Сходится. 2374. Сходится, если р > 1, q < 1.
2375. Сходится при р > 1, q произвольном, г < 1 и при р= 1, q> 1, г< 1.
2376. а) Сходится, еслир, < 1 (/ = 1, 2, ..., /г), V р, > 1; б) сходится при
i = 1
а > -1, Р > -1, а + В < -1. 2377. Сходится, если Рп(х) не имеет корней
в промежутке [0, +оо] и п> т+ 1. 2378. Сходится не абсолютно.
2379. Сходится не абсолютно. 2380. а) Сходится абсолютно, если
-1 < ?±_L < 0; сходится условно, если 0< ?-J_ < 1; б) сходится;
9 Я
в) сходится. 2381. Сходится абсолютно, еслир > -2, q> p + 1; сходится
условно, если р > -2, р < g < р + 1. 2382. Сходится условно при 0 < п < 2.
2383. Сходится абсолютно при п> т+ 1; сходится условно при
т<п<т+1. 2385. Нет. 2392. In i . 2393. 0. 2394. л. 2395. 0. 2397. ^ .
2 3
2398. 4|. 2399. 4|. 2400. а) 9,9 - 8,1 lg е ~ 6,38; б) 2 - -±- = 0,56;
в) I + ? ~ 0 97 2401. 5 . 2402. па2. 2403. лаЬ. 2404. ^ а3. 2405. §§ ,/2р2.
' 3 л 2 3 15 ^
2406. я . 2407. Зла2. 2408. ^1. 2409. -^- . 2410. ± cth 5 =0,546.
JAC^B7' 2 « + 2 2 2
2411. (Зл + 2) : (9л - 2). 2412. * = ch S, у = sh S. 2413. Зла2. 2414. -§-.
15
2415. ^Dл3 + Зл). 2416. бла2. 2417. а) ^ • ^ ; б) ла2 {А? - 9
3 8 аб 1уз
2418. а2. 2419. ^1 . 2420.^1. 2421.^C + 472). 2422. а) КР* :
2 4 6 ' Г
A-Е2J
б) Ил; в) i . 2423. (л-1)^ . 2424. Ifl-ln2+-^). 2425. а) \ ; б) ±; в) 4-i :
тс 4 2 V „уЗ^ 3 тс 15
г) я( 1 + 5^) ; д) jr/l - ^ a2. 2426. 5 а2. 2427. ла272 . 2428. а2. 2429. | ла2.
2430. ^- . 2431. -5- A0 710 - 1). 2432. 2 Lf х0 + Е.) + р In ^ ?
8^2 27 ^ ^ 27 й
/х„ + х„ +
.?
2433. 7^=T2 ¦ 2434. ж0 - 72 + Jl + e2"" - In х + ^ +/'° • 2435. ?±± .
1 + 72 4
2436. а In ^ -Ь. 2437. In tg f 2 + |Г) . 2438. a In 2 . 2439. 4а( 1 +
а-6 v4 2/ 6 V
506
ОТВЕТЫ
+ 73 In ±±Л) . 2440. 6а. 2441. 4<"'-»') . 2442. 1 + 1пA + 71) . 2443. 8а.
J2 ) аЪ Д
2444. 2я2а. 2445. a) 2fch % Jchf - 11 - 72 In
72ch| + 7chT
1 + 72
6) i (ch2 2T - 1). 2446. яа71 + 4?12 + 2 In Bл + 7l + 4я2 ). 2447. Ш-Ё1 a.
2 2 m
2448.8a. 2449.p[ 72 + In A + 72 )]. 2450. 5|? . 2451. аBл - th л).
2452. a) 2 + i In 3; 6) 6i ; в) sh Д; г) Г. 2455. -^ZL ~ 0,73. 2456. ^ Ba + c).
2 3 573 6
2457. | tBA + a)B + (A + 2aN]. 2458. ^ [BA + a)B + (A + 2a)b].
2459. iSH. 2462. % abc. 2463. ^nabc. 2464. ^?^? . 2465. ^ a3.
2 3 3 3 3
2466. I a3 f я - ?1 . 2467. 1* a2 7^ . 2468. M! . 2469. -i . 2470. Ц^ а3.
3 V 3/ 15 2 15 3
2472. | nafe2. 2473. a) ^ ; 6) ^ . 2474. a) ^ ; б) 2л2. 2475. a) i- лаб2;
7 15 3 2 15
6) 2?f? . 2476. a) 5 ; б) 2л. 2477. 2л Vb. 2478. ^ . 2479. 2 .
' Ь 2 3 5(l-e 2")
2480. a) 5л2а3; б) 6л3а3; в) 7л2а3. 2481. a) — лаЬ2; б) — пагЪ.
> ' ' ' ' ; 105 ' 105
2482.1. Vx=Pk; V„ = -Si я. 2483. 1. a) § ла3; б) ^ я2а3. 2. а) ^ Г 72 х
35 105 3 4 4 L
х In A + 72 ) - |] ; б) ^-3; в) 2!«! . 2484. 1. I (л4 - 6л2)а3. 2. ? „.
3J 472 4 3 3
2485. ^!«! . 2486. ^Щ- { 21 ТТЗ + 2 In 3 + *^1 . 2487. 2а7л2а2 + 4Ь2 +
272 243 I 2 )
+ 8? 1п яа+^ЦЦ' . 2488. я[ G5 -72) + 1п(^+1^)].
2489. a) ^ tBx0+pO2px0 + p2 - р2]; б) 3 [ (р + 4х0) 72х0(р + 2х0) - р2 х
. 2490. а) 2л*2 + 2тшЪ&-^1 ¦ б) 2яа2 + ^ In Г 2 A + еI,
Х1П7^о_+7р^ *<>
7р
где е = — —эксцентриситет эллипса. 2491. 4.к2аЬ. 2492.—ла2.
а 5
2493. а) ла [ 2Ь + а sh ^1 ; б) 2ла ( а + Ъ sh ? - а ch ^ . 2494. 4яа2.
ОТВЕТЫ
507
2495. а) Ц- па2; б) 16tiV; в) Ц. па2. 2496. Щ а2 D Л - 1). 2497. Ц- па2.
О Од Э
2498. а) 2ла2 B - 72 ); бJтш272; в) Ana2. 2499. 5 [1475 +
1283Лб
+ 17 In B+ 75)] =1,013. 2500. v= ^р2; Р = 2пр\B + J2 ) + In A + J2 )].
О
2501.1. М, = 2а2; М2 = ^ . 2. ? [72 + 5 In A + 72 )]. 2502.1. М\ = ^ ;
2 8 6
M2=f-2^^3l^J^laV^aJ'^aJ-2503-M2^!Ef!:
Mf = П?!Ь _ 2504Л. м = н!? , м2 = JL /^А3. 2. / = § МЛ2. 2507. *0 -
2 4 ' 12 ^ 30 5 °
= aSiii« 0_ 2508 ГJ. _?_ >| 2509> Г4а 4&>| 2510 @ Q 3 у
a i/0 120 20 J 13я 3tJ { 8 )
2511. ф0 = ф - а, где а = arctg — ; г0 = тг . Логарифмическую спи-
2т 7l + 4m2
раль г0 = ат emlif«ta). 2512. Фо = 0, г0 = 5 а. 2513. х0 = па, й=5а,
7T+4m2 6 6
2514. х0 = | а, 1/0 = 0. 2515. ( 0, 0, f]. 2516. 75 кг. 2517. Ah = /ng-^- ,
3 v 2 / К + h
где Д — радиус Земли; А» = mgR. 2518. 5 Дж. 2519. 1740 Дж. 2520. § а3.
О
2521. 708i Г. 2522. v0T + | Г2. 2523. -i л8оJД5. 2524. Проекции силы
притяжения на координатные оси: л = 0, У = — , где k — гравита-
а
ционная постоянная. 2525. 2nkm80 1 - -—== ] , где k — гравитационная
V Ja2+b2->
постоянная. 2526. Примерно 3 часа. 2527. Сосуд должен быть
ограничен поверхностью, образованной вращением кривой у = Сх4 вокруг
вертикальной оси Оу. 2528. Q = Q0 ¦ 2_ш° . 2529. 99,92% . 2530. ^ .
В ответах на приближенное вычисление определенных интегралов
даны табличные значения. 2531. -6,2832. 2532. 0,69315. 2533. 0,83566.
2534. 1,4675. 2535. 17,333. 2536. 5,4024. 2537. 1,37039. 2538.0,2288.
2539. 0,915966. 2540. 3,14159. 2541. 1,463. 2542. 0,3179. 2543. 0,8862.
2544. 51,04.
2545.
X
У
0
0
п
3
0,99
2я
3
1,65
Я
1,85
4л
3
1,72
5я
3
1,52
2л
1,42
508
ОТВЕТЫ
Раздел V
2546. ? . 2547. | . 2548. 3. 2549. 1. 1550. | . 2551. а)
3' ' 2 ' ' ' ' ' '3' ' ' I- 2qcosa + q2 '
б) 9cosot~?2 . 2552. 1 - -/2 . 2553. Сходятся лишь при х = Ая (ft —
1 - 2qcosa + q2
целое). 2556. Расходится. 2557. Расходится. 2558. Сходится.
2559. Расходится. 2560. Расходится. 2561. Расходится. 2562. Сходится.
2563. Сходится. 2564. Расходится. 2566. Может как сходиться, так и
расходиться. 2567. а) Может как сходиться, так и расходиться;
б) расходится. 2578. Сходится. 2579. Сходится. 2580. Сходится.
2581. а) Сходится; б) расходится. 2582. Сходится. 2583. Сходится.
2584. Сходится. 2585. а) Сходится; б) сходится; в) сходится при
любых а и х. 2586. Сходится. 2587. Расходится. 2588. Расходится.
2589. а) Сходится; б) сходится; в) сходится; г) сходится. 2591. 2. п > 13.
2595. Сходится. 2596. Сходится. 2597. а) Сходится; б) сходится.
2598. Сходится при р > 2. 2599. Сходится при Ъ-^~ > 1. 2600. Сходится
о
прир > - . 2601. Сходится. 2602. Сходится прир + q > 1. 2603. Сходится
при q > р. 2604. Сходится при ? + q> I. 2605(h). Сходится при
а(Ч ~ Р) > 1- 2607. Сходится при q > р + 1. 2608. Сходится при р > 0.
2609. Сходится при р > 0.2610. Сходится при р > - . 2611. Сходится при
b ^ 1. 2612. Сходится при р> 1. 2613. а) Расходится; б) расходится.
2616. Сходится при х < - . 2617. Сходится. 2618. Расходится.
с
2619. а) Сходится при р > 1; б) сходится при р > 1, q произвольном и
при р = 1, q > 1. 2620. а) Расходится; б) сходится; в) расходится.
2621. Сходится. 2623. 1,20. 2626. Сходится при а > i . 2627. Сходится,
если а = - . 2628. Расходится. 2629. Сходится. 2630. Сходится при а > 2.
2631. Сходится. 2632. Сходится. 2633. Сходится. 2634. Сходится, если
с =0, - < -1. 2635. Расходится. 2636. Сходится, если а^ 0.
d
2637. Сходится. 2638. Расходится. 2639. Сходится. 2640. Сходится,
если а = Jbc . 2641. Сходится, если а < -1. 2642. Сходится, если а > - .
2643. Сходится при аь > е, с = 0 и при ас > 1. 2644. Сходится при а + b > 1.
2645. Сходится. 2646. Сходится. 2647. Сходится. 2648. Расходится.
2649. Сходится. 2650. Сходится. 2651. Сходится. 2652. Сходится при
а < 2. 2653. Сходится. 2654. Сходится. 2655. а) N > 100 000; б) N > 12;
ОТВЕТЫ
509
в) N > 4. 2659. - . 2660. 1- . 2661. In 2. 2662. а) ^ In 2; б) - In 2.
9 7 '22
2664. Сходится. 2665. а) Сходится; б) сходится. 2666. Не следует.
2667. Сходится. 2668. Сходится. 2669. Сходится. 2670. Расходится.
2671. Сходится. 2672. Сходится. 2673. а) Расходится; б) сходится.
2675. Абсолютно сходится при р > 1; условно сходится при 0 < р < 1.
2676. Абсолютно сходится при р > 1; условно сходится при 0 < р < 1.
2677. Абсолютно сходится при р > 1; условно сходится при - < р < 1.
2678. Абсолютно сходится при \х ~nk\< - (ft — целое); условно сходится
при х =nk± - . 2679. Сходится условно при любом х, не равном целому
4
отрицательному числу. 2680. Абсолютно сходится при р> 1; условно
сходится при 0 < р < 1. 2681. Абсолютно сходится при р > 2; условно
сходится при 1 < р < 2. 2682. Абсолютно сходится при р > 1; условно
сходится при - < р < 1. 2683. Условно сходится. 2684. Абсолютно
сходится. 2685. Расходится. 2686. Условно сходится. 2687. Абсолютно
сходится при р> 1; условно сходится при - < р< 1. 2688. Расходится.
2689. Абсолютно сходится при р > 2; условно сходится при 0 < р < 2,
2690. Сходится. 2691. Расходится. 2692. Абсолютно сходится при
q > р + 1; условно сходится прир < q < р + 1. 2693. Абсолютно сходится
при р > 1, q > 1; условно сходится при 0 < р = q < 1. 2694. Абсолютно
сходится прир > 1; условно сходится прир = 1. 2695. а) Абсолютно
сходится при р > 1; условно сходится при р = 1; б) абсолютно сходится при
р > 1, q > 1; условно сходится при 0 < р = q < 1. 2697. а)р> 1; б) 0 < р < 1.
2698. а) Сходится; б) сходится; в) сходится. 2699. a) q > р + 1;
б)р < q <р + 1. 2700. Сходится абсолютно при т > 0; сходится
условно при -К т < 0. 2703. а) п > 1 000 000; б) п > 1,32 • 101в.
2706. а) Расходится; б) может как сходиться, так и расходиться.
2707. - . 2708. - . 2709. -- . 2710. -±±^-. 2716. Сходится абсолютно при
34 7 1-ху
\х\> 1. 2717. Сходится абсолютно при х > 0; сходится условно при х = 0.
2718. Сходится абсолютно при х > - - и при х < -1. 2719. Сходится абсо-
о
лютно при \х\ *¦ 1 и сходится условно при х = -1. 2720. Сходится
абсолютно при -^З, < х< \ я при \ < х < dlLtl 2721. Сходится
о 3 3 6
абсолютно при \х - nk\ < ? (fe = 0, ±1, +2, ...). 2722. Сходится абсо-
6
лютно прир > 1 и д; ^ I; (й = -1, -2, ...) и сходится условно при 0 < р < 1,
х 5* ft. 2723. Сходится абсолютно при ?>р+ 1 и сходится условно при
510
ОТВЕТЫ
р < q < p + 1. 2724. Сходится абсолютно при |х| < 1. 2725. Сходится
абсолютно при |*| < 1. 2726. Сходится абсолютно при |х| ^ 1. 2727. Сходится
абсолютно при х 5й -1. 2728. Сходится абсолютно при х > 0. 2729.
Сходится абсолютно при 0 < |х| < +°°, если \а\ > 1; расходится, если |а| < 1 или
если х = 0. 2730. Сходится абсолютно при х = 2 и при х > е. 2731.
Сходится абсолютно при х > 1. 2732. Сходится, если 0< min(x, (/)< 1.
2733. Сходится абсолютно при \х\ < 1, 0 < у < +°° и при |х| > 1, у > \х\;
сходится условно при х = -1, 0 < у < 1. 2734. Сходится абсолютно при
max (\х\, \у\) < 1. 2735. Сходится абсолютно при: 1) 0 < х < 1, -оо < у < +оо;
2) х = 1, у > 1 и 3) х > 1, у > 2. 2736. Сходится абсолютно при \х - kn\< 2 ,
4
где k — целое число. 2738. i < |х| < 2; ¦ 6x(f'L; ¦ 2739. а) Сходится
2 B- x)JBx- 1J
абсолютно при х > 0, сходится условно при -1 < х< 0; б) сходится
абсолютно при р + х > 1 и при х = 0, 1, 2, ..., сходится условно при
0 < р + х < 1; в) сходится абсолютно при: 1) \х\ < 1, у — произвольно;
2) х — ±1, г/ > - ; 3) х — произвольно, г/ = 0, 1, 2, ...; сходится условно
при х = 1, -| < г/ < |. 2743. При е = 0,001 и х = 'i/ОД , /V > Зт. Нет.
2744. п> - . 2745. п > 26. 2746. а) Сходится равномерно; б) сходится не-
Е
равномерно. 2747. Сходится равномерно. 2748. Сходится неравномерно.
2749. Сходится равномерно. 2750. Сходится равномерно. 2751. а)
Сходится равномерно; б)сходится неравномерно; в)сходится равномерно.
2752. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно. 2753.
Сходится равномерно. 2754. Сходится неравномерно. 2755. а) Сходится
равномерно; б)сходится неравномерно. 2756. а) Сходится неравномерно;
б) сходится равномерно. 2757. Сходится неравномерно. 2758. а)
Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 2759. Сходится равномерно.
2760. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно. 2761.
Сходится равномерно. 2762. Сходится равномерно. 2763. Сходится
неравномерно. 2767. а) Сходится равномерно; б)сходится неравномерно.
2768. 1. Сходится равномерно. 2. Сходится неравномерно. 2769.
Сходится неравномерно. 2770. Сходится равномерно.2771. Сходится
неравномерно. 2772. Сходится равномерно. 2773. а) Сходится неравномерно;
б) сходится равномерно. 2775. а) Сходится равномерно; б) сходится
неравномерно. 2776. Сходится неравномерно. 2777. Сходится равномерно.
2778. Сходится равномерно. 2779. Сходится равномерно. 2780.
Сходится равномерно. 2781. Сходится равномерно. 2782. Сходится
равномерно. 2783. Может. 2785. Не обязательно. 2795. а) Существует и
непрерывна при [х] < 1; б) существует и непрерывна при |х| < +°°; в)
существует при |х| < +оо, разрывна при х = 0. 2799. а) Существует и
дифференцируема при х ^ -k (k = 1, 2, 3, ...); б) существует при |х| < +°°, диф-
ОТВЕТЫ
511
ференцируема всюду, за исключением х = 0. 2802. а) а произвольно;
б)а< 1; в)а<2. 2805. Нет. 2806. i In 2. 2807. 1. 2808. a) 1; б) % .
2 6
2809. Законно. 2810. Да. 2812. Д = 1; (-1; 1). При х = -1 сходится
абсолютно, если р > 1, и условно, если 0 < р < 1; при х = 1 сходится
абсолютно, еслир > 1, и расходится, еслир < 1. 2813. R = - ; I --;--] . При
о V о о J
х = -- сходится условно; при х = -- расходится. 2814. Д = 4; (-4; 4).
о о
При х = ±4 расходится. 2815. Д = +<»; (-°°, +оо). 2816. R =-;(--;-) .
е V е е)
При а; = ±- расходится. 2817. R = +°°; (-°о, +оо). 2818. R = 2; (-1, 3).
е
При х = -1 сходится абсолютно, если р > 2, и условно, если 0 < р < 2;
при х = 3 сходится абсолютно, если р > 2, и расходится, если р < 2.
2819. Л = 2Р; (-2Р, 2Р). При х = -2Р сходится абсолютно, если р > 2, и
расходится, если р < 2; при х = 2Р сходится абсолютно, если р > 2, и
сходится условно, если 0 < р < 2. 2820. R = 1; (-1, 1). При х = -1
сходится абсолютно, если яг > 0, и расходится, если т < 0; при х = 1
сходится абсолютно, если т > 0, и сходится условно, если -1 < т < 0.
2821. Д = min [-;-]; (-R; R). При х = -Д сходится условно, если а > Ь,
va ft/
и абсолютно, если а < Ь; при х = Д расходится, если а > Ь, и сходится
абсолютно, если а < Ь. 2822. Д = max (а, Ь); (-Д; Д). При х = +Д
расходится. 2823. Д = 1; (-1; 1). При х = +1 сходится абсолютно, если а > 1,
и расходится, если а < 1. 2824. Д = 1; (-1, 1). При х = +1 сходится
абсолютно. 2825. Д = 1; (-1; 1). При х = -1 сходится условно; при х = 1
расходится. 2826. Д= 1; (-1, 1). При х= -1 расходится; при х= 1
сходится условно. 2827. Д= 1; (-1; 1). При х = ±1 расходится.
2828. Д = I; Г -i ; il . При х = ±| расходится. 2829. Д = i ; ( -i , |
При х = +- расходится. 2830. Д = 1; (-1; 1). При х = ±1 сходится
о
абсолютно. 2831. а) Д = 1; (-1; 1). При х = ±1 сходится условно;
б) при 0 < х < 2 сходится абсолютно; при х = 2 сходится условно;
в) сходится лишь при х = 0. 2832. Д = 1; (-1, 1). При х = -1 сходится
абсолютно, если у - ос - Р > 0, и сходится условно, если -1 <у-а-р<0; при
х = 1 сходится абсолютно, если у ~ ее — C > 0, и расходится, если у - а - Р < 0.
2833. х > 0. 2834. |х| > | . 2835. 0 < |х| < +оо. 2836. х > -1. 2837. |х - Ая| < - ,
где ft — целое число. 2838. -1 + 3 (х + 1) - 3 (х + IJ + (х + IK.
512
ОТВЕТЫ
2839- а) I ?i A-1 < W); б) ? т^т (|х-Ы<1«- ь\); в) - ? -?
л = 0 л = (Л ' л = О
(И>Н). 2840. ? (-1)" (*-1)" @ <х< 2); In2. 2841. |] :у2"*' | (\х\< +оо).
/1=1 л = 0 ^ '"
2842. ? -g (И < +оо). 2843. ?(-1)"+1 g^ х2" (|х| < +оо).
2844. V 12^ х" (И < +оо). 2845. ц* + liOlzll!) х3 + Ц(*-^)C»-|ia) ^ + ...
¦?—' /г! 3! 5!
и = О
(|х| < 1). 2846. 1 - |-2 х2 - М*С2'-И') ^ _ ... (|х| < 1}. 2847. 1 + (х - 1) +
+ (х - IJ + <^И? + ... (О < х < 2). 2848. е( 1 - - + — х2 - 1- х3 + ... )
v ' 2 v ' I 2 24 16 J
(jx| < 1). 2849. sin (x + h) => sin x + h cos x - — sin x -— cos x + ... (|/г| < +co);
cos (x + h) = cos x - h sin x - — cos x + ^- sin x + ... (|/i| < +°o).
2850.1. a) (-2; 2); 6) C, 7). 2. Нет. 2851. ]Г (riVlif! (|x| < +0O).
л = О
2852. 1.1+ У(-1)" t^ х2л (|х| < +oo). 2853. 2 V (-1)" + 1 32"~' x2"+1
^ Bл)! ' 4„ i B/г+1)!
со со
(|x| < +oo). 2854. ? x" A*1 < !)• 2855- X (rt + 1)x" ('*' < 1)-
n = 10 л = 0
2856. x + У B"-*)!! x" + ' f -1 < x < I) . 2857. V ^H (|x| < 1).
п = 1 л = О
2858. |?[1 " (-2)"]х" (|х| < |) . 2859. ? [l + fc^L"] хл (|х| < 1).
Л =- 1 П = О
2860. | ? [„ + i^bD!]x"(|x|<l). 2861. ? апх",гдеап=-^[(^1)" + 1 +
+ (-1)" {Дг^)"+ 1 (числа Фибоначчи). 2862. а) -^ ? х„ sin 2M"+1) (|х| < 1);
б) У с„х", где с„ = 1, если л = 4k; с„ = -1, если л = 2/г + 1; с„ = 0, если
л = О
и = 2/г + 2 или л = 2k + 3 (Л = 0, ±1, ±2, ...). У*1000' @) = 1000!.
2863. ?х" cos па (|х| < 1). 2864. ? х" sin ла (|х| < 1). 2865. ? х" sh ла
л = 1 /1 = 0 и = О
(|х|< e-W). 2866. У <2"\V!! *2" A*1 < D- 2867. У (^Г' + П + НУ'К-Р^ х*
•^-J Bл)!! ^—| л
ОТВЕТЫ
513
(-К х< 1). 2868. ? -___Hi«x" (W+oo). 2869. ? (-1)" J^Ai (|х| < 1); 5
п=0' /1 = 0
2870. х + f Bп-1)!!**"' (|х| < 1}_ 2871_ + у I (_1)Я Bп-1)!!*»-»'
^ B/г)!! 2л+1ч ' ; /L |v ' Bга)!! 2л+1
(|х|< 1). 2872.-2 V ?25™ х"(|х|< 1). 2873. а) х + У(-1)"+1 _?^L_
,fri д! _, л(п + 1)
(-1 < л:< 1); б) у ?lHi (-к ж < 1); B)arctg2+ V (-1)2" х2" - i
i-, 4/i+ 1 /> .» ь L 2л-1
(|х| < 1); е) 2|х| | 1 + У l2"'1I1 • -^- 1 при 0 < х < 1 и -1 < х < 0;
1 ^ Bп) ! 2п+ 1 ^
жI + ^ + у|B"-1)!!^', + 2} (|х|<1);з)-1 + ^ + у(-1ГB^1)"х
2 ZJ1|B" + 2!!Jn+1 | ' ' ' 2 ;^v ' B/1 + 2)!!
х *!П (|х| < 1). 2874. а) е*2 ГBх)л + «lizli Bх)" + "(и-1Х»-2М"-3) х
2п+ Iм1' L 1! 2!
хBхГ-4 + ...1;б)Ц^е^Га"+,г(,'1;1)а"-1х+"("-1Кп-2)а"-2х2 + ...1;
ч(-1)"-'п! Q-i_(rt-l)(n-2) „-a + (/i-l)(n -2)(n-3)(n- 4) „-5 _ 1
' A + x2)" L 3! 5! ""J'
2875. У tl)l(x + lJ" (-2 < x < 0). 2876. -Y - (|x| > 1).
^-j /г л-/ x"
n = 1 я = 1
2877. У _2_(?_Г]2" + 1 (*>0). 2878. -?- + V ^2")!! М-)'
^n2n+l{x+l) v y 1 + x ^ B")!! Vl + xJ
( x > -I) . 2881.1 - \ x - i x2 - i- x3 -... (|x| < 1). 2882. 1 + ??^iA-ApL_li) x«
(|x| < +00). 2883. У Г--А— ?¦ + i ] x" (|*| < +00), где 0! = 1,
Vl ' ' ^ LBn)! B/1-2)! B/г-4)!J vl ' '
(-1)! = 00, (-2)! = 00 и т. д. 2884. 2 V ( 1 + A + ... + i) iAlA (-1 < x < 1).
?-• V 2 ni n+1
(-1)"' r2„+i
/1 = 1
ПК
2885. x + 2 У ?±i— х2лЛ1 (|х| < 1). 2886. У i- x" (Ixl < +00).
*-• An2- 1 ^-1 /1!
/1 = 1
„, 25 sin -
2887. У 1 x" (|x| < +00). 2888. V (-l)"_1f 1 + A + ... + AW
'-', n\ ?-1 \ V 2 n)
514
ОТВЕТЫ
(-К х < 1). 2889. У (-1)" " ' f I + i + - + 5-Ц) - (W < 1]-
п = 1
^ 22" + '(л!J „2„ /|г| с -, ч оой1 „ , 1 гз , 2_ ь , ( U < 51
2890. У VLL-x2" (\х < 1). 2891. х + i х3 + — х5 + ... х <
А Bл + 2)! ч|' 3 15 I ' ' 2
2892. х - i x3 + Л х5 + ... fixl < ?! . 2893. -1 х - 4 х3 - -|- х5 -
3 15 I' ' 2) 3 45 945
= 0. 2895. Р0(х) = 1;
(|х|<я).2894.?о=1, I ()*BЛ)!B|1_2Л)!
Р m = Bп-1)!! Г „ _ п(п-1) х„ - 2 + л(л-1)(л-2)(л-3) „ - 4 _ ]
"W re! L 2Bn-l) 2-4Bл-1)Bл-3) '"J
(п > 1) (многочлены Лежандра). 2896. У s„x", где s„ = У aft.
л = 0 А = О
2897. а)Д>тт(Д1,Л2);б)Л>Д1Д2.2901. У (-1)" Д2"" (]х| <+оо).
Bл- 1)!! -У11
1-2л * 1
2902. х+ У ^n-iy.'.x" (M<i).2903.V (-1)" ^— (|х|<+°о).
А Bл)!! 4л+1М1 ' ^v ; Bл + 1)Bл + 1)! М 1
2904.
I = 1
у (-1)" *2"" (|ж| < 1). 2905. х+?-*!+?1-... (|х| < 1).
A v ; Bл+1J ' ' 4 36 96 mi/
п = О v '
2906. | In i-^ (|x| < 1). 2907. arctg x (|x[ < 1). 2908. ch x (|x| < +oo).
2909. 1 + i-^ In A - x) (|x| < 1). 2910. —I— (-1 < x < 1). 2911
l^~x A-хJ
(|z| < 1). 2912. *\l_~xl (И < 1). 2913. -$?— (|xj < 1). 2916. Л = 2;
(x - lJ + (y~ If < 4. 2917. R= ^=;x2 + y2< - . 2918. Л = 1; x2 + у2 < 1.
V2 2
2919. R = 1; x2 + y2 < 1. 2920. Л = I 2 sin ^1 ; (x - cos aJ + (y - sin aJ <
< 4 sin2 |. 2921. 2,080. 2922. a) 0,87606 = arc 50°11'40"; 6) 1,99527;
в) 0,60653; г) 0,22314. 2923.0,30902. 2924.0,999848. 2925.0,158.
2926. 2,718282. 2927. 0,1823. 2928. 3,1416. 2929. 3,142.
2930. 3,141592654. 2931. In 2 = 0,69315; In 3 = 1,09861. 2932. a) 0,747;
6J,835; в) 1,605; г) 0,905; д) 1,057; e) 0,119; ж) 0,337; з) 0,927;
и) 8,041; к) 0,488; л) 0,507; м) 0,783. 2933. 3,82. 2934. 4,84. 2935. 20,02 м.
О I 1
2936. - - - cos 2х + - cos 4x. 2937. Ряд Фурье совпадает с многочленом Рп (х).
8 2 8
2938. я у sinBfe-l)x я 2939_ А _ 2А у _J_ j BA 1} ях
4 A 2/V-14 2 я ^ 2k+ 1 к ' I
k = 1 k = о
ОТВЕТЫ
515
2940. 2 V (-1Г+1 sinnx 2941 V sin,lx 2942 2 - 1 V cosBft+l)x
?-* ' n ^ n 2 я ?-• Bk + lJ
л =¦¦ 1 л = 1 k--0 • '
2943 (a~b)n - 2(a~ fc) V cosBfe+ l)x + / . ,-, -у. f-1)" + ' sinny
4 л Zj Bft+1) ^ л '
л = о ч ¦ л = i
2944. ? ^ + V tliU! cos nx. 2945. ^М2 rj_ + у (_1)В + i acosttxl _
3 i-' п2 л 12а *—• л2-a2 J
2946 2s'mna \-^ (-1)" ' 'nsinnx 2947 2shna ^ (-1)"*'nsinnx
л 4_i n2 - a2 л -<--< пг + а2
, nx ¦ n
aftcos nnsin —
J_.+ у (-1)" * i
2aft 4J (aftJ + (ялJ
2948. 2 sh a/i
2949. a -* / +
+ Ш у I f sin 252 cos 2M - cos 2M Sin M^| (a < * < a + 21).
2950. 1 - I cos л; + 2 V tlllH cos nx. 2951. 1? V (-1)""'" sin 2 л*.
2 4w л2- 1 л ^ Г4л2- lJ
я = 2 n -- ] -
2952. ^V |(-i)^osBfc+l)xl 2953> 4 у ('!)* SinBfe+l)x.
ль Г ' 2ft + 1 л 4_, Bft + IV'
ft - 0 l I ft =. 0 v >
2954. 1 У ?°sBft+l)x _ 2955_ 1 _ 1 у зш2ллх (д; ^ целому числу).
я -^ B/г+ IJ 2 я ^ п
2956
1 _ JL V cos2nB/i + 1)х 2957 - - - V cos^l!X
'4 л2 2j Bл+1J ' 'л л,ь W-Г
2958.
+ 4 у tl)^l cos 2fcx. 2959. —Z- +2V ^ cos nx. 2960. - In A + J2 ) +
к jL, 4ft2-1 1-a2 Z-l-a л
+ EJH)A[2+^4^sin^]co3(8fe + 4)x[+|; {(-!)*[§ ln(l + V2) +
ft = 0 1 m = 1 I ft = ] '
+ 16 у _Hjr_ sin Bm _ iMl cos gkx 1 . 2961. а) ^ + 4 У till cos n*
л 4-i 2m - 1 4J 3 z_^ „2
m -- 1 I л = 1
НК*<л); бJлУ tillll sin„x-§y sinBfc^l)x (Q<x<7t);BL^ +
¦i-i л л ¦<—i Bft + 1)J 3
+ 4 у ?2M* - 4л У 2HL^ @ < x < 2л); ??,*!,??. 2962. x2 = ?? +
/-j л2 ¦<—i n 6 12 8 3
л = 1 л = 1
+ 4 y (_1)n cosnx. хз = 2я2 у (-i)" + i SM2E + 12 У (-1)" 2iM
\n Sill П X .
516
ОТВЕТЫ
хл - ! я4 + 8я2 У (-1)" ?2^ + 48 У LiUli cos лх. 2963. 2^Ll2Q ;
л ^ ' n2 Z. „4 2
л^-Зпа+За2 29642 _ _9_ у J_ 2ял* + J_ у еоз2ля* @<лг<3).
6 3 2л2 4^ 3 2л2 „4"i
2965. ^С1„, + ^гт ? c™m cos2fcx. 2966. ]Г g" sin ях (|?| < 1).
А= 1 п= 1
CV СО СО
2967.1 + 2 ? 9" cos «* (|д| < 1). 2968. ? </" cos лх. 2969. -2 ]? 2? Cos nx.
п - \ /1 = 0 п * 1
2970. -In 2 - У ^^ . 2971. -In 2 + V (-D"*'"»"* _
^—< П ?—1 П
л » 1 п = 1
2^2 _2 у cosBfe+l)* 2973_ у ainB*+l)x 2974 , } = а _
Z^ 2/г+ 1 А B/г+ lJ w 2
to * = о v '
i2^ B*tl)! 2а л2^B/г+1J 2а yw 2
k О ' к = О ч у
- is V —1— cos Bfe+1)*s + IS V (~1)ttl sin B/г+1)Л5
л2 Z^ Bfe+lJ 2а я2 A B/z+lJ 2a
2975. Д-х) = f(x); f(n - x) = -Дх). 2976. Д~х) = -Дх); Дя - x) = Дх).
к - 0
б) у j[(-1)'".1 +§_i 1 sinB/e + l)xl f0<x<5).2978.a2 =b2 =0
ft = o 1LBA+ lJ tcB*+1)»J v ' ]{ 2) 2n 2n
(я=0, 1, 2, ...). 2979. a2„_, = b2n_ , = 0 (я = 1, 2, 3, ...). 2980. a) o„ = 0,
b2k ., = 0; б) а„ - 0, bM = 0. 2981. <z„ = a„, p„ = -bn. 2982. a„ = -a„,
П„ -= b„. 2983. a„ = a„ cos nh + bn sin ля, b„ = b„ cos /i/i - a„ sin л/г.
2984.Д, = a0f A„ = a„ Si-lSS , д, = b„ ^^ (я = 0, 1, 2, ...). 2985.Д, = a2 ,
nh nn
An = a\ f b2, ; Bn = 0 (я = 1, 2, ...). 2986. 1 . 2987. 1. 2988. 2 In 2 - 1.
2989. 1. 2990. I f 1 + i + ... + Г). 2991. In 2 - 1. 2992. 2 . 2993. 1.
4 m У 2 m) 2 4
2994. 2 A - In 2). 2995. 2e. 2996. 3e2. 2997. ^ - 3. 2998. E! - 39 .
3 4 16
2999. 1 (cos 1 - sin 1). 3000. i D In 2 - 1). 3001. ex(amxn + a„,_ lxm~l + ...
... -t u0), где коэффициенты aA (ft =0,1,..., m) определяются из равенства
P(n) = атл (я - 1)... (я - т + 1) + ат _ ,я (я - 1)...(я - т + 2) + ... + с^я + а„.
ОТВЕТЫ
517
i) e-- I. 3004.A- f)
- - sin
___ x. 3005. - (i±i sh Jx -ch Jx), если x > 0; i (Z±l sin Vfxj -
- cos 4x1 I , если x < 0. 3006. In —L_ . 3007. 2x arctg x - In A + x2) (|x| < 1).
/ 1-х
3008. i arctg x + i In li^ (|x| < 1). 3009.A- x)~* - 1 (|x| < 1).
3010. (l- I]"» - 1. 3011.-LtiL (|x|< 1). 3012. g--^ (|x| < 1).
3013. A + 2x2)e*2. 3014. — + - In 2. 3015.5. 3016. — .
ЗТЗ 3 4 72
3017. - . 3018. ^^ @ < x < 2k). 3019. -In I 2 sin -I @ < x < 2л).
3020. - In
2
¦ x + a
SOI
2
. x - a
sin
2
3021. - , если 0 < x < 2a; 0, если a < x < 2я - 2a;
4
-- , если 2л - 2a < x < 2л. 3022. 2 sgu x (U < л). 3023. - {1 - ^H
4 4 ' ' 2 V 2
-isinx (|х|<л). 3024. - - %| (|x| < л). 3025. - A + cos x) -
2 8 4 2
- sin x In С 2 cos |] (|лг| < л). 3026. ecos r cos (sin x) (|x| < +00). 3027. x = in,
y= jn (i, 7 = 0, ±1, ±2, ...). 3028. 2 (arcsin xf (|x| < 1). 3029. — +
4-х
+ _L/L arcsin Jk , если x > 0; -±- - ^bS_ l„ M+J^x если < Q
5 2 4-х 5 2
D-хJ D-хJ
3030. — . 3031. ^1 . 3032. a) -?- ; 6) —L. . 3033. a)
6) 'r
x-1 x 1-х 1-х A- xJ
. 3034. 1. 3035. 1 + У (-1)" Bn~1)!! 1 . 30З6. ?-
(x-1J ?-• B/i)M B«+lJ 12
3037. - У - . 3038.2--. 3039.—. 3040.^. 3041. F(/г) =
jL, n(p+nq) 6 24 12
- i •+1 [«¦ '¦'¦ 1 ¦ *»*¦««-11 ¦ -1»т -
и ^ 1
x ^~-x . 3043. 2ла [l - (I) e2 - (i-|) |4 -...], где e - эксцентри-
518
ОТВЕТЫ
ситет эллипса. 3047. ^- . 3048. In A + а) при |а| < 1 и — In ( 1 + -
при |а| > 1. 3049. 0 при |а| < 1 и л In а2 при |а| > 1. 3050. 2 • 10"°. 3061. - .
3062.2. 3063.^. 3064. а. 3065. а) Нет; б) да; в) да; г) да.
3066. Расходится к нулю. 3067. Сходится. 3068. Сходится при р> 1.
3069. Расходится к нулю. 3070. Сходится при любом р. 3071. Сходится,
если ах = а. 3072. Сходится, если V а, = V br 3073. Расходится к ну-
лю. 3074. Сходится. 3075. Сходится. 3076. Сходится. 3077. Сходится
при любом х. 3078. Сходится при любом х. 3079. Сходится при \х\< 1.
3080. Сходится при \х\ < 2. 3081. Сходится при \х\ > е. 3082. Сходится
при любом х. 3083. Сходится при \х\ < 1, р, произвольных и при х = ±1,
р> 1, q> -. 3084. Сходится при любом х и р. 3085. Расходится.
3088. Сходится условно. 3089. Расходится. 3090. Сходится абсолютно,
если р> 1; сходится условно, если - < р< 1. 3091. Расходится.
3092. Расходится. 3093. Расходится. 3094. Сходится условно. 3095.
Сходится условно. 3096. Расходится. 3097. Сходится абсолютно при а > 1;
сходится условно при -- < а< 1. 3109. F'(x) = F(x) V " ;
2 ^ 1 + /„(х)
? |Л(ж)|<+о°,|Л(*I<сп(л = 1,2,...),где|; с„< +00.3111.157,970 +
+ G • 0,0004 @ < О < 1). 3112. 102866 • 7,7 • A + j~.) Ф\ < 1).
3113. 0,0798 • (l + JL) (|0| < 1). 3114. 1028 • 1,378 • (l + JL] (|0| < 1).
3115. 1042 • 4,792 • (l + jfo) (N < !)¦ ЗИ6. 0,124 • A + JL) (|0| < 1).
3117. 0,355-fl + JL") (|e|< 1). 3118. Bл- 1)!!= J2 Bn)ne "* ^ (|0„|< 1).
en
3119. EL e^n (|ej < !) 312o. a) 1; б) е; в) f ; r) 1. 3121. P,(x) = 1 - ^ x -
Ttui 2 21
~hx2+12 *3; Рз(_1) е 3'43; РзA) = ~1,57; РзF)"8-43'3122, ^= y°+
+ y' " У ~ X (x - x0) + yi " 2^°J y " * (л: - x0J. 3123. у = 0,808 + 0,193л: -
ОТВЕТЫ
519
- O.OOlOlx2. 3124. sin x° ~ — Г 1 - (—Vl; sin 20° = 0,341; sin 40°-0,645;
288 L \lbOJ J
sin 80° = 0,994. 3125. P(x) = \ Gx2 - 4x4). 3126.7^. 3127. Bn(x) = x;
О О
B„(x)=x2 + iii^);B„(x)=fl- l)[l-*)x*+ * fl- I) x2 + I,.
3128. B„(x) = V /fa + 11)с>п^-аУ(ь-х)п-', где / = b - a.
*-i \ П I I"
i - 0
3129. B„(x) = 1 A - x)(l + xK + i A + xf. 3130. B2„ (x) = J f1^)" x
*1^[(ЙУ+(гт|Л- 3131.ад^-[1 + (е"-1)^]",
где l = b~ a. 3132. B„(x) = I IT cos — + i— sin -?-Y + f cos — -
" 2 LI 2л л 2?tJ I 2n
-f2x sinJLY'],rflej=yri.3135.a2„_1(x) = 5-§ у "-* соВBй-1)х
л 2n) 1 2" ' v ' 2 я Z- 2n-l BA-1J
Раздел VI
3136. Полуплоскость у > 0. 3137. |x| < 1; \y\ > 1. 3138. Круг x2 + z/2 < 1.
3139. Внешность круга х2 + </2 > 1. 3140. Кольцо 1 < х2" + у2 < 4.
3141. Луночка х < х2 + у2 < 2х. 3142. -1 < х2 + у < 1. 3143.
Полуплоскость х + у < 0. 3144. Пара вертикальных углов |у| < |х| (х ^ 0).
3145. Пара тупых вертикальных углов, ограниченных прямыми у = 0
и г/ = -2х, включая границу без общей вершины О @, 0). 3146.
Криволинейный треугольник, ограниченный параболами у2 = х, у2 = -х и
прямой у = 2, исключая вершину О@, 0). 3147. Семейство
концентрических колец 2nk < х2 + у2 < я B/г + 1) (ft = 0, 1, 2, ...). 3148. Внешность
конуса х2 + у2- г2 = 0, включая границу за вычетом вершины.
3149. Совокупность четырех октантов пространства. 3150.
Внутренность двуполостного гиперболоидах2 + у2 - г2 =-1.3151. Параллельные
прямые. 3152. Концентрические окружности. 3153. Семейство
равносторонних гипербол с общими асимптотами у = ±х. 3154. Параллельные
прямые. 3155. Пучок прямых с вершиной в начале координат, за
вычетом вершины. 3156. Семейство подобных эллипсов. 3157. Совокупность
равносторонних гипербол, асимптотически приближающих к осям
координат и расположенных в I и II квадрантах. 3158. Семейство двузвен-
ных ломаных линий, вершины которых расположены на оси Оу.
3159. а) I и III квадранты при 2 = 0; семейство двузвенных ломаных ли-
520
ОТВЕТЫ
ний, звенья которых параллельны осям координат, а вершины
расположены на прямой х + у = 0 при г > 0; б) линии уровня — стороны углов,
параллельные положительным направлениям координатных осей Ох и
Оу с вершинами на прямой у = х; в) семейство контуров квадратов с
общим центром О @, 0), стороны которых параллельны осям координат
Ох и Оу при z > 0; точка О@, 0) при г = 0; г) прямые, параллельные оси
Ох, если г < 0; стороны углов, параллельные координатной оси Ох и
положительной полуоси Оу, с вершинами на параболе у — х2, если г > 0;
положительная полуось Оу, если 2 = 0. 3160. Пучок окружностей,
проходящих через начало координат (не включая этого начала!) и ортого-
нальных к оси Ох. 3161. Кривые у = . 3162. Кривые у = .
In* lnx
3163. Семейство окружностей с центрами на оси Ох, ортогональных к
окружности х2 + у2 = а2. 3164. Семейство окружностей, ортогональных
к оси Оу и проходящих через точки (-а, 0), (а, 0), за вычетом последних.
3165. Прямые х = тп и у — пп (т, п = 0, +1, ±2, ...), при 2 = 0;
система квадратов тп < х < (т + 1)л, пп < у < {п + \)п, где (-1)'" + " = г,
при 2 =-1 или 2 = 1. 3166. Семейство параллельных плоскостей.
3167. Семейство концентрических сфер с центром в начале координат.
3168. Семейство двуполостных гиперболоидов при и < 0; семейство
однополостных гиперболоидов при и > 0; конус при и = 0. 3169.
Семейство эллиптических цилиндров, общей осью которых является прямая
х + у = 0, г = 0. 3170. Семейство концентрических сфер х2 + у2 + г2 =
= пп (л = 0, 1, 2, ...), при и — 0; семейство сферических слоев пп < х2 +
+ у2 + г2 < п(п + 1), где (-1)" = и, при и = -1 или и = 1. 3171.
Цилиндрическая поверхность с направляющей г = f(y), x = 0, образующие
которой параллельны прямой у — ах, 2 = 0. 3172. Поверхность вращения
кривой 2 = f{x), у = 0 вокруг оси Ог. 3173. Коническая поверхность с
вершиной в начале координат и направляющей: х= 1, г = /((/).
3174. Коноид с направляющей: х = 1, 2 = f{y), образующие которого
параллельны плоскости Оху. 3176. /II, ^ ) = f(x, у). 3177. «/1 + х2.
3178. f(t) = 2 +t2; z=x-l + Jy(x> 0). 3179. f(x) = x2 - x;
z = 2y + (x- yf. 3180. f(x, y) = x2j^-X . 3183.2. Нет. 3. 0; нет. 3184. a) 0,1;
6) |, 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, оо. 3185. 0. 3186. 0. 3187. а. 3188. 0. 3189. 0.
3190.1. З191.е. 3192. In 2. 3193. а) ^ < ф < Зл ; б) ^ < ф < ^ и
'2 N 2 ' 4 ч 4
^1 < ф < ll. 3194. Точка разрыва: х = 0, у = 0. 3195. Все точки прямой
4 4
ОТВЕТЫ
521
х + у = 0. 3196. О @, 0) — точка бесконечного разрыва; точки прямой
х + у = 0 (х ^ 0) — устранимые точки разрыва. 3197. Точки,
расположенные на осях координат. 3198. Совокупность точек прямых х = тп и
у'= пк {т., п = 0, +1, +2, ...). 3199. Точки окружности х2 + у2 = 1.
3200. Точки координатных плоскостей: х — 0,у = 0иг = 0. 3201. (а, Ь, с).
3203.1. Равномерно непрерывна. 2. Равномерно непрерывна. 3.
Неравномерно непрерывна. 4. Функция непрерывна на Е, но неравномерно.
3211. 2. f'x(x, 1)= 1. 3212. 1. fx@, 0)= 0, /;@, 0)= 0; функция
недифференцируема в точке О @, 0). 2. Функция недифференцируема
в точке О @, 0). 3. Функция дифференцируема в точке О @, 0).
3213. ^ = 4х3 - 8ху2, ^ = 4г/3 - 8х2(/, ^Н = 12х2 - 8у2, ?± - -16xj/,
Эх ду ' ах2 дхду
Щ = 12у2- 8х2. 3214. * = y+l,|»=*-iL,|^=0,?iL=l--A,
clt/^ «х у ду у1 Ox2 дхду у'
д2и _ 2х Qoi4 3tf _ J_ Эй _ _2х Э2ц _ л Э2ц _ __2_ Э2ц _ 6х
ду2 у3 ' Эх у2 ' ду у3 Эх2 дхду у3 ду2 уА
oo-ic Эй _ у2 ди _ _ ху д2и _ _ Зху2 д2и _
'Эх (х2+г/2K'2' ду (х2 + у2K'2' Эх2 (х2+1/2M'2' ЭхЭу
_ у{2х2-у2) Э^ = _x(x2-2i/2) 3217. ^ = sin (а: + у) + х cos (х + у),
(x2+i/2M'2 ду2 (x2 + i/2M'2 Эх *' У1
^ = х cos (х + у), — = 2 cos (х + у) - х sin (х + г/), ^- = cos (х + у) -
Э(/ Эх2 9xdi/
-xsin(x + y), ЦЦ = -х sin (x + у). 3218. ^ = -2*ein*? , Эй = _cos^f
Э1/2 Эх I/ 9j/ i/2
Э2и _ _2sinx2 + 4x2cosx2 Э2и _ 2xsinx2 Э2ц _ 2cosx2 Я219 — =
Эх2 у дхду у2 ду2 у3 Эх
= 2?sec2xf; да =_?fsec2xf; dju _ 2se(;2xf + 8xf gin xf se(;3xfj
.У У Э(/ у2 у Эх2 1/ у у2 у у
i!iL = -2? sec2?f _ 4xf sinxf gec3xf ; dju _ 2xf gec2xf + 2?| ginxf se(,3xf _
ЭхЭ(/ у2 У У3 У У ду2 У3 У У4 У У
3220.^ =ух«~\^ =хПпх,р1 =y(y-l)x«-2,pt- =ХУ-1A+у\пх),
Эх ду dx2 dxdj/
i^=x"ln2x(x>0). 3221.^ = -Ц, ^--^, |!н =-—i—,
Э1/2 Эх x+i/2 Э(/ x+i/2 Эх2 (x+t/2J
Э2ц _ _ 2у Э2ц = 2(х- i/2) 4922 — = - У ?if = х
дхду (х+1/2J' ду2 (х + у2J Эх x2+i/2 9i/ х2 + у2
д2и _ _ 2xi/ Э2ц _ _ х2 - I/2 Э2ц _ _ 2xi/ 3223 —
Эх2 (х2 + у2J ' дхду (х2 + у2J ' ду2 (x2+i/2J' 'Эх 1 + х2 '
Эй = 1 Э2ц _ 2х Э2и _ g dh± _ _ 2i/ /^ ^ ^ч
ду l + i/2' Эх2 A + х2J' ЭхЭу ' ду2 A + !/2J
3224 — = М Зи _ _ xsgni/ Э2ц _ _ 2хIt/I Э2ц = (х2 - i/2)sgni/
'Эх х2 + у2'ду х2 + у2' Эх2 (х2 + i/2J ' ЭхЭу (х2+1/2J
522
ОТВЕТЫ
д2и = 2х\у\ , ф Q4 3225 ди = _ х д2а = _ 2хг-у2-г2
ду2 (х2 + у2J У ' дх (x2 + i/2 + z2K'2 ' дх2 (x2+i/2 + z2M'2 '
д2и _ Зху 4226 — = -(-У — = --(-У — = (-У In -
дхду (х2 + у2 + z2M'2 Эх х\у) ' ду у\у) ' dz li/У у'
Э2» = г(г- l)f*Y З2" = ?l?±JJ(*Y <L!i? = (*Y in2 ? 2fi?. = -if/*Y
Эх2 x2 \y) ' ду2 у2 \yj ' dz2 \yj у ' дхду хуку)
д2и -их\'A+гЫх\ Ъ^и = _ЦхУ f1 + 2ln?Ub0).
ЭхЗг х\у) У у) dydz у\у) \ у) \у
4227 d}L = УН ди. _ и 1пх ди _ _у_и i Д2ц _ i/(t/ - z)u д2и _ uln2x
дх xz ' ду г dz z2 ' дх2 x2z2 ' ду2 z2
д2и _ yulnx /о, i . i„ x\ д2и _ (г + y\nx)u д2и _ _yu(z + yh\x) д2и _
dz2 z4 ' дхду xz2 ' ЭхЭг xz3 ' dydz
= -HlMiUJL^l (xz * o). 3228. 3f? = й! u, 3« = zy^u In x, Ы -
z3 <)x x ду dz
= y>u In x In j/, i!H = K^ii и, ^ = z<r2u (г - 1 + zj,' In x) In x,
dx2 X2 ду2
g = j,'U A + у' 1П X) 1П * In2 y, g| = ^lif A + j,* ln X), gl =
= УгиХпУ A + г/г ln x), ?%- = (/"!u ln x [1 + г ln z/(l + i/z lnx)] (x > 0, j/ > 0).
x di/dz
3230. 2.fx'y @, 0) не существует. 3235. du = xm^yn'l{my dx + + nx dy),
d2u = xm ~ 2yn ~ 2[m(m - l)y2 dx2 + 2mn xy dx dy + n(n - 1) x2 dy2].
3236. du = Vd*-xdV , d2u = -4 ^ (ydx-x dy). 3237. du = xd^VdH ,
У У ' Jx2 + y2
tfa = (ydx-xdyJ 3238 du = xdx+ydy d2u = (y2-x2)(dx2-dy2)-4xydxdy
(x2 + y2K'2 ' ' x2 + y2 ' (х2 + г/2J
3239. du = ex» (y dx + x dy); d2u = ex"[y2 dx2 + 2A+ xy) dx dy +
+ x2 dy2]. 3240. du = (у + z) dx + (z + x) dy + (x + y)dz,
d2u - 2{dxdy + dydz + dzdx). 3241. du = {*2 + y2)d*~ 2z(xdx + ydy) _
(x2 + j/2J
d2u = 2z[Cx2 - y2)dx2 + bxydxdy + C,i/2 - x2)di/21 - 4(x2 + y2)(xdx + yrfi/)rfz
(x2 + y2Y
3242. dx - с(г/, -2(dx - dy)(dy + dz). 3244. a) 1 + mx + ny; б) ху; ъ)х + у.
3245. a) 108,972: 6I,055; в) 2,95; r) 0,502; д) 0,97. 3246. Диагональ
уменьшится приблизительно на 3 мм; площадь уменьшится
приблизительно на 140 см2. 3247. Уменьшить на 1,7 мм. 3249. Д'= 10,2 м3; 5 = 13%.
3250. Д ~ 7,6 м. 3251. f'x (x, у) и f'y (x, у) не ограничены в окрестности
точки @, 0). 3256. |^ = 24, -Ц^_ = О, -^Ц = -16. 3257. -2!н_ = 0.
dx4 дхлду ох'ду* дх2ду
3258. -Ц±- = -6(cos х + cos у). 3259. 3Э'" = 0. 3260. d"u -
dx3dys дхдудг дхдудг
ОТВЕТЫ
523
- е*"г A + 3xyz + x2y2z2). 3261. г~4~- = ~4 + 48(х'Ч^ " ЛJ. гДе
я у ЭхЭг/Э^<)г1 г4 г8
r = ,/(x-5J+(j,-TiJ. 3262. |^ » р!д!. 3263. 2(-1)"(т + п-1)!(пдг+«у) _
дхРду'1 (x-j/)m + " + 1
3264. е1 + «[х2 + г/2 + 2(ягх + пу) + т (т - 1) + п (п - 1)]. 3265. (х + р) х
х (г/ + д)(г + г) е* + " + г. 3266. sin ^ . 3267. F(t) - f (t) + 3tf"(t) + t2f'"(t).
3268. d'u = 24 (dx4 - 2dx3 dy - 2dx dy3 + dy4); ^ = 24, -^- = -12,
ox4 ox'oy
JllL. = 0, _^- = -12, ^ = 24. 3269.- d3u = 6 (dx3 - 3dx2 dy +
дх2ду2 дхду3 oi/'1
+ 3dx dy2 + dy3). 3270. d3u = -8 (x dx + (/ dyK cos (x2 + i/2) - 12 (x dx +
+ у dy)(dx2 + dy2) sin (x2 + y2). 3271. d10u - -9!(rf*+ ff" ¦ 3272. d6u =
= -(dxe - 15dx4di/2 + 15dx2dy4 - dy6) cos x ch г/ - 2dx dy (Zdx4-
- 10dx2 dy2 + 3dy4) sin x sh y. 3273. d3u = 6dx dy dz. 3274. d4u =
= 2 f2^-4 + ^ + <^-\. 3275. d"u = eax + b»(adx + b dy)n. 3276. d"u =
\ x3 y3 z3 J
= ? С* Х^Чх)^*1 (у) dx"-* dy*. 3277. dnu = ^ (x + у + z) (dx + dy + dz)n.
k = 0
3278. d"u = eax + h" + " (a dx + b dy + с dz)\ 3280. a) Au = -u, A2u = u;
6) Au = 1, A2u = 0. 3281. a) Au = 0; 6) Au = 0. 3282. а) Д,и = 9[(x2 - yzf +
+ (г/2 - хгJ + (z2~ xyJ], Д2и = 6 (x + г/ + г); б) AjU = — , где г = Jx2 + у2 + z2 ,
Д,и = 0. 3283. jJH = 2х/'(*2 + у2 + г2); ^ = 2f'(x2 + у2 + z2) + 4x2 f'\x2 +
Ох дх2
+ S + *'* ВУ - 4х^2 + »2 + *">¦ 3284-1 " « (*• Й + \ « (*¦ Й :
g --рл (*¦ f)! IS - л'«(-- Э - !«(*¦ f)+ р« И):
Ш, =~$f['2iX'~y) ~f>f*2{X'-y) ~?f*iX'l)''J^ =?f'2iX'^ +
+ ^f'2ix'f)-*285-Tx=n +yf'2 +угГ''-Ту~хГ' + хгП'-Т2 =
= xyfi"; |^ = /ii +У2/Й +»г22^, + 2yf['2 + 2yzf'{3 + 2y2zf2'3;
dx' t
y-j — x J22 + *x zf23 + x z f33 , —— - x у 733 , —у - xr/f22 -i- xj/г ^33 -i-
+ xf'i'2 +xzf'{3 +2xyzf2'3 + f'2+zf3; ^^ =xyf'13 +xy2f23 +xy2zf33 +yf3 ;
i^f = x2j//2'3 + x2yzV3\ + xf3. 3286. i!f = /;', + (x + u)/i'2 + хг//2'2 + « .
524
ОТВЕТЫ
3287. Аи = 3/;', + 4(х + у + z)f{2 + 4(х2 + у2 + z2)f22 + 6/2 .
3288. du = f'{t){dx + dy); d2u = f"(t) {dx dyJ. 3289. du = f'{t) xdV~Vdx ¦
x2
cfu = f"{t) Wy-yd*)* - 2f'(t) dx{xdy-ydx) _ 3290_ du=f . xdx+ydy .
x* x3 .Jx2 + i/2
d2u = r . {Xdx + ydl/J + r . (ydx-xdyJ _ g29L ^ц = д0 л. d2u = r(t) dt2 +
x2 + y2 -
(x2 + i/2J
+ f'(t) d2t, где dt = i/z dx + zx dy + xi/ d2 и d2? = 2(г dx dy + у dx dz +
+ x dy dz). 3292. du = 2/' • (x dx + у dy + z dz); d2u = 4/" • (x dx +
+ i/ di/ + z dzJ + 2/' • (dx2 + du2 + dz2). 3293. du = a/J dx + fe/2 dy;
d2u = a2f[\ dx2 + 2abf['2 dx dy + b2 /22 dlf ¦ 3294- du = Л' ' (dx + dy) +
+ /2 ¦ (dx ~ dy); d2u = f[\ • (dx + dyJ + 2f['2 ¦ (dx2 - dy2) + f22 ¦ {dx - dyJ.
3295. du = /; • {y dx + x dy) + f, ¦ ydx-xdlJ; d2u = /!', ¦(«Л + д: dyJ +
J/2
+ 2/,, , j/'dac'- x2d;y2 + /„ ,(;/rfx-xd,VJ +2f!-dxdy-2f2 Aydx-xdy)dy ^
. У2 У4 У3
3296. du = ([ • {dx + dy) + f2 ¦ dz; d2u = f{\ • {dx + dyJ + 2f'l2 • {dx +
+ dy)dz + /22 ¦ dz2. 3297. du = f[ ¦ {dx + dy + dz) + 2/2 • (x dx + у dy +
+ z dz); d2u = /Ji • (dx + dy + dzJ + 4f\'2 • {dx + dy + dz){x dx + у dy +
+ z dz) + 4f!z2 (x dx + у dy + z dzJ + 2/2 • (dx2 + dy2 + dz2).
3298. du= fi- ydx~xdy + /< ¦ 'dy-ydz . d2u = /;; . [ydx-xdyf + 2/„ x
i/2 г2 ^ 4
x (.!/<** - xdy)(zdy - yd г) + p, . (zdy - ydzJ - %f . (ydx- xdy)dy __ ^r x
i/2z2 z* y3
X (,2dy-ljdz)dZ _ g299_ du = (/v + 2f „ + gf2/-, ) d{. d2u = (л, + 4(«, +
z3
+ 4<2/22 + 6i2/;;3 + 12<3y^ + 9f4/M +2/2 +6i/^)d/. 3300. dw=
= af[ dx + bf2 dy + cf3 dz; d2u = a2/Yi dx2 + 62/22 di/2 + c2 /^ dz2 +
+ 2abf'l'2 dx dy + 2acf\'3 dx dz + 2bc f23 dy dz. 3301. du = 2f\ • (x dx +
+ у dy) + 2f2 ¦ {x dx - у dy) + 2f3 • {y dx + x dy); d2u = 4/1', • (x dx +
+ у dyJ + 4/2'2 • (x dx - у dyJ + 4Газ ¦ (г/ dx + x dyJ + 8/y2 • (x2 dx2 -
- y2 dyJ + 8/Уз • (x dx + у dy){y dx + x di/) + 8/2g • (x dx - у dy) x
x(j/ dx + x dy) + 2/', • (dx2 + d//2) + 2/2 ¦ (dx2 - d(/2) + 4f3 • dx di/.
3302. d"u = /<"» (ax + by + cz){a dx + b dy + с dz)". 3303. dnu=\adx^- +
+ bdy ^- + с dz ^-)" f{l, r\, О, где \ = ax, л = by, С = cz. 3304. d"u =
or) di,/
ОТВЕТЫ
525
+ с2|^ + с3^]]" Л^, Л. О- 3305. F(r) = Пг) + ; Г (г). 3316. 1. 3319. хг/2.
3331. х^ - у^5 = х. 3332. 2х^ + у^2 = 2г. 3333. у|г - х^ = о.
од: dj/ дх ду ' дх ду
3334. |ii + |Н + |if = о. 3335. х^ + ydJL + z2» = 0. 3336. ^- = 0.
о* dj/ dz dx rfi/ ог дудх
3337.2^- = |г5г. 3338. 2!* - ?!* = 0. 3339. х^ + г/^ = г.
dyd* dxdi/ dje2 ду2 дх о у
3340. х2^| - у2^ + х^ - ydJL = 0. 3341. 1 - 73 . 3342. ^ = cos a + sin а;
ох2 ду2 дх ду Э/
а)а==; б)а=^; в)а = ^иа=^. 3343. —2—.
4 4 4 4 /~2 г
3344. -i- V2(a2 + b2). 3345. ^ = cos a + cos P + cos v; Igrad d = 73 .
ab dl
3346. |grad u\ = — ; cos (grad uTx) = -— , cos (grad u^y) = -— ,
rn ro ro
cos (grad Сг) = -^, где г0= Jx20 + y20 + z20. 3347.5. 3348.- 3142.
'"o 2
3350. ^ = ^ cos2 а + ^ cos2 p + ?» cos у + 2^- cos и cos p +
дН дх2 ду2 dz2 dxay
+ 2^- cos a cos y + 2^- cos В cos v. 3352. ^ = -0,5. 3353. u" (x, 2x) =
олгог dydz ду
= u'Jj, (x, 2x) = -4x/3, u"xy (x, 2x) = 5x/3. 3354. z = xtp(y) + \\)(y).
3355. z = ф(х) + y(y). 3356. 2 = ф0(х) + (/фДх) + ... + у" " 1 ф„ _ ,(x).
3357. и = ф(х, г/) + \|/ (х, г) + % (у, г). 3358. и = 1 + х2у + у2 - 2х\
3359. 2 = 1 + ху + у2. 3360. z = х + у2 + 0,5xi/ (х + ?/). 3362. Множество
нулей функции Дх) должно быть нигде не плотным на интервале (а, Ь),
т. е. нули функции f(x) не могут целиком заполнять никакой интервал
(а, Р) <= (а, Ь). 3363. Множество нулей функции Дх) должно быть нигде
не плотным на интервале (а, Ь), причем каждый нуль Ъ, функции Дх)
одновременно есть нуль функции g(x) и сверх того существует конечный
предел lim [g(x)/f(x)]. 3364. 1) Бесчисленное множество; 2) две; 3) а) одна;
б) две; 3365. 1) Бесчисленное множество; 2) четыре: у = х; у = -х;
у = |х| и у = -\х\; 3) две; 4) а) две; б) четыре; 5) одна. 3366. 1) Нигде;
2) 0 < |*| < 1, |х| = dl±Jl ¦ 3) х = О, \х\ = 1; 4) К |х| < /!±^1;
однозначные ветви: у = ?j- + j- + x2-x* [\x\< J-f-j; y = 4-2-J-4 + *2-
L |lx.«..4 (W\< 1 + Л\. „ = c i_ /I
526
ОТВЕТЫ
1 < \х\ < ILLS.) , где 8 - -1, 1. 3367. Точки ветвления: (-1, 0), @, 0),
A, 0); у = г{х)^Лх2+1-{2х2+1) (|х| < 1), где ?(х) = -1, 1, sgn x и -sgn х.
3368.Множество значений функции ф(у) должно иметь общие точки с
множеством значений функции /(х). 3371. у' = -iLUL ¦ у"- а
х-у (х-уK
3372. у'=*±1;у"= 2i?L^p . 3373. у' = —i ; у" = -?sin\4.
" Х- у " (Х- I/K 1-ECOSI/ " A-ECOSJ/K
3374 у' = ^(i-'11*) • у" = .У21.'Я1-1пхJ-2(х-.1/)A-]пх)A-1п.;/)-хA-1п.;/)Ч
'У х2A-1пу)'У x4(l-lnyK
3375. г/ = У.; у" = 0. 3378. </', @) = -1; у'2 @) = 1. 3379. у\ @) = 0;
у'2{0) = -М; г/з@) = 7з .З380.у' = -^ ;^ = __J|_ ;^ = __М|?_
3381. f/' = 0;f/"—|; у"' = -|. 3383. g =
Э2г _. „х_у . Э2г _ _у2 + г2 4384
ЭхЭу г3 ' Эу2 г3 Эх z2~xy' ду z2-xy'
djz 2xy3z . Э^г __ 2x3yz . Э2г = г(г4 - 2х,1/г2 - х2у2) д385 Эг
Эх2 (г2 - xi/K ' Эу2 (г2 - хуK Эхе);/ (г2-хуK дх
X ,
2
)г
(х+2уK'
. _Эг = _(/ .
Эу г
- г/г .
•У
d2Z .
Ох2
Эг
(* + 2уM
X2 + 22
г3
_ XZ
XZ
_. Эг _ I . Э2г _ д2г _ д2г _ _ х + у + z 44»fi ^z
ду x+y+z-l' дх2 дхду ду2 (х + у + 2-1K дх х2 - у2 '
?_5 -= - У2 ¦ ^2z — _ г/2г . (I2z _ xi/г . Э2г _ _ х2г
ду х--у2' Эх2 (х2-у2J' 'дхду (х2 - у2J ' ду2 (х2 - у2J '
3387. ^ = ^ = -1: i?f = iff = 2!f = 0. 3388.а)-2; б)-1. 3389. ^ = -2 ;
Эх Э(/ Эх2 dxoi/ Э{/2 Эх2 5
if*. - -I ; i!? = -394 зз90. с/г = -?? № + ^1 ; d2z = -^ [Г if +
ЭхЭу 5 ' Эу2 125 г I a2 62 J ' г3 LU2
+ г? a dxf + 2xi/ d d . (? + 2_2^ d^f I зз91. dz = -(l-yg)d*+d-«)dy
c2J а2 а262 у Kb2 с2) b2 \ 1 - ху
d2z= _2{уA - yz)dx2 + \х + у- гA + xy)\dxdy + хA - xz)dy2} 3392 dz =
A-хуJ
= '(У<**+ »rfy) ; d2z = -^2(ydx-xdyJ _ 3393. dz = dx- (?^ll^ ;
y(x + z) y2(x + zY (x-zJ + y(y+1)
d2z = 2(x - г)(у H-1I (х-гJ + у21 d2_ 3394i du = _u2{dx + dy)-z2dx
[(x-2J + y(y+l)|3 и U|2(x + y)-U|
3395- By - -(g;^^^2^ - ^ * ^ + *'*-«]-
_ 2(F\ +2xF^ )(F[ +2yF'2 )F'2 S3Q6 ^ = f- - f - _ Э2 = ^ - ^
(F; +22F!,K " ' Эх F'2 -F^' dy F'2-F'3
ОТВЕТЫ
527
3397. g --A + ?L±?L); | --A + ?); g =-^[^№ +
+ 2F,'2 + F22 ) - 2(F,' + F2 )F? (Fli + F23) + (F,' + f; JF^ ].
3398. l) |ff = ^(xf; + tfFi r3 • [{/2z2(F2'2 f;; - 2F[ ц f,'2 + f;2 fj; ) -
Эх2
-2z(xF; +j,F2" )F;2 ]; 2) a) d2z = -F?F" " 2(g ^'j, + ^^ (dx - ^J;
6) d22 = Fi*F ~2F[ F'2F['1 + F'^F'22 (ydx-x dyJ. 3399. dz = i Bdx - dy);
(xF/ +yF^ K 9
d2z = —2_Bd*2 - bdxdy + 2dy2). 3401.^ = ?—^; ^ = ^^ •
243 v y y dz x-i/ dz x-y
олпо „\ dx п du _ -1 d2x _ d2z/ _ 1 . Кч 3u _ xt/ + yu . dv _
3402. a) — = 0, -f- - -1, -— - -—-f - -- ; 0) ——<*— , — -
dz dz dz2 dz2 4 dx x2 + y2 dx
= yu-xv . Эй = xv-yu . dv = ^xu^jv {x2 + z > 0). 3403. du = _ 1 dy,
x2 + y'2 dy x2 + y2 dy x2 + y2 3
dv = -dx + 1 do. 3404. du = (sinu + xcos^dx-^iim-xcos^d,, .
3 XCOSU + у COS U
j —(sinи — i/cosu)rfx+ (sinu + ;/cosu)di/ . ,2 = y2 . = Brfxcosu-xdusini;)rfi; _
XCOSP+I/COSU ' XCOSi) + J/COSU
_ BdycoSu-ydusmu)du MQ5 du = 1. (dx + rf ); dy = к dy _ 1 (dje _ dj/).
x cos i> + у cos u 2 4 2
d2u = dx2; d2u = i (dx - dj/J. 3406. & = 2( t + ±); I* = 3 (t2 + ± + l);
2y y' dx V t) dx V г2 j
41И. = 2; ^ = 6f t + i) . 3407. j, > ^ ; ^ = -Зцу; ^ = | („ + „) {u * v).
dx2 dx2 V t) У 2 dx dy 2K
3408 al— = -• —=--¦ 6) ^'z = -^- ¦ b1 — = -sin2(P+ cos^cos2i|;
' ' dx 2' dy 2 ' ' dxdy 121 ' ' Эх2 sin3q>
3409. ^ = sin2", — =-cos2", Ъ2± = _sin_2u _ 3410_ dz = 0;
Эх2 и2 dxdy и2 dy2 и2
d2Z = I (dx2 - dy2). 3411. ** = 1ЩмП df* = 4х_^/ + ^x _
2V y dx x-2y dx2 x-2y (x-2yK
3412. ^ = — + (x+1)(.V-x) ex - '; <hi = _ x + z + (y+l)(y-x) gy - z_
' dx y+z (z + l)(y + z) ' dy (y + zJ (z + l)(y + zJ
3413. "M =-l f^l^l -<tV<h\ dz_ =_1 Г'Э^Эф _ ЭхЭф4! где/= ЭфЭч/ _ Эч/йф _
' dx I \dudv dvduj'dy I (dudv dvduj ' dudv dudv
3414 ^!f = 1Э4; . du = __1Эф . 3fu = _J_ |f'3j/fl_fB _ ckpSfv'j f^2
Эх I dv ' dy Idv' dx2 P \\d\\i du2 dv du2 J \dv
2(d\\i Э2ф _ Эф Э2>(/1 dj?<)^ , ^Э\|;Э^ф _ ЭфЭ^^ (d_^\21 . Э2ц = J_ //ЭуЭ2ф
чЭиЭиЭу ЭиЭиЭиуЭиЭи 1ЭиЭо2 dv dv2 J \du) ['dxdy I3 \\dvdu2
528
ОТВЕТЫ
ДфД2>|ЛЭфЭ\|/ _(д\\1 д2ц> __Дф Д2\|/ ~\ /'OtfiЭ\}/ , Дф_Д\|Л <(d\\t д2ц> _ ДфД21[Л ЭфДу
ди ди2 ) dv dv Удидиди dvdudvJVdudv диди) \dvdudv до ди2) dvdu\
д2и ___ 1
ду2 Р
(д\уд2<р _ Эф Э2 \|Л ГД_чЛ2 „ о ГЭч/ Д2Ф _ ЭфЭ2цЛ ДфДф , (д\уд2ц>
удиди2 до ди21 \до) [додидо до до2 1 дидо [диди2
- ЭФ?_^ т21 где7 = ЭфЭч! _ ЭсрЭч/ _ 3415. а) ^ = cos 2 ; ^ = sin ? :
Ди До2 У \ouJ J Ди Дч оисш Дд- и ду и
ЭЕ = _C8in 2 - i> со8 ») ; ^ = cos ^ +^ sin ^ ; б) °" - sint!
ох У и и и) ду и и и дх eu(sinD - cosi;) + 1
ди _ -cosи . Эи _ -(е" - cosi>) . ди _. е" + sinu
ду e"(sini>- cosi>) + 1 дх u|p"(sinu>- cosy)+ 1| ду u\e"(s'u\v-coso)+l\
3416 4л =1-ё1л =L J3(g.^)f j i+ii+r IV f + dJMl (i <L +
' dx h ' dx2 /J j 3(i/, г) l 'Э* 2ду 3dz) d(y,z) \ ' дх
+ T 1 +1 ±)*g+ %Ш ( I i- + I д + Г 3 V /; 1 глр 7 = Э^' ft)
+ hdy + hdz) g+ ЖуТЛ'дх +hTy + hdz) ")' ГД6 ll д(уТГ)'
j = 9(g, /t) ^ 7 = d(g,ft) И j = D(f,g,h) _ 3417_ ди ^ д?. ди = dj_ +^Э?;
Д(г, л:) ' д{х,у) D(x,y,z)' дх дх' ду ду Iidy'
где/,= *&? и /2 - |^. 3418. ^ = ?; Э« = I2 ; |f = ? , где I, =
Э(г, г) Д(лг, 0 Дх I ду I дг I
д(о,и<) d(v,w) d(v,w) D(u,u,w) /3
где 7, = Jj&il, 72 = Й1) , 73 = jjiLD . 3431. *'" + xx" = 0. 3432. x!V = 0.
1 d(x, t) 2 д(у, t) J d(z, t)
3433.^ -t(—V = 0.3434.^ + у = 0.3435.^ - 3^ + 2^ - 6j/ = 0.
dt2 (dt) dt2 y dt3 dt2 dt y
3436. 4lR + n2y^ 0. 3437. ill + m*y = o. 3438. и" + Г q(x) - i p2(x) -
- ip'(x) 1 и = 0. 3439. 41Л + (и + 3)^ + 2ы = 0. 3440. ^ = 0. 3441. ^ = 0.
2 J dt2 d? dt2 dB
3442. 41Л + 8иDлK = 0. 3443. Хь 4-Л + т4 + \L1Л + du = 0
3444. u" -u' = ——u. 3446. Ф A, u, u' + u2) = 0. 3447. F(xu' + u2-u, u, 1) = 0.
(o- bJ
3450. 41 = r. 3451. r'2 = 1"sin2(P/-2. 3452. r(r2 + 2r'2 - rr") = r'3.
Оф 5ш2ф
3453. ?. 3454. X" = |r' + 2r'2- rr"l. 3455. ^ = fer3; ^ = -1.
r 2 dt df
(r2+r'2\2
ОТВЕТЫ
529
Ь456. w = 4- ( ^—) • 3457. Г = х; У" = 4т ; У" — — й111. 3458. z = ф(лг + у),
dt К dt) у" у TV *"
где ф — произвольная дифференцируемая функция. 3459. г = ф(х2 + (/2).
3460. г = ^ + ф(ы - &г). 3461. г = хц>(И) . 3462. |i + ^5 = е" sh у.
а ^ и Ы Эй dv
3463. |2 = ^ . 3464. ^ = i . 3465. ^ = 2 • i!±if. 3466. Bи + v - г)|^ +
Э« оч dv 2 ои v г2-и ди
дг\2 . ГЭгУ
+ (и + 2У - г)|? = ц + v - г. 3467. _?l^i?l^ . 3468. Va"j Ut" .
'ди -Л -,А u2 + v2
3469. ^ = 0. 3470. ^ = ^-5. 3471. ^ + ^ = if . 3472. А =
0^ Оу у ди dv v
X'-2XU + u'\№\№Y]
1\ди) Уди) J 34?3_ |а + ди + ди + Зи + (е5 + er + eC) = о.
^„Г dx + vdxY d4 йг1 3^
V ди ди)
3474. ^ = 0. 3475. ^ = 0. 3476. ^ = 0. 3477. и2 ("УJ + v2 №)* =
ди ди ди \duj \dvj
e2"fl-|^cos2u
= ^Эи-Эн; _ 3478. V ^ - . 3479.А = %» : ^ . 3480. ^ = ?? .
ди dv дш ди ди дС, L,
ди
Ъ± . 3482. ш = гдЛ . 3483. ш - Г^' + if дЛУ . 3484. ш = ^в
3481. и; = 2» . 3482. ш = г^ . 3483. ш - ^ + ± 2» . 3484. ш - 21Л +
Эф Эг Vdry гЧЭфу дгг
+ 1Эи +19^3485. ш^г2^. 3486. ш = ^. 3487.7 = If ^ -2^
г Or г2 Эф2 Эг2 Эф2 глЭгЭф ЭфЭг.
3488. и = ф(ж - а<) + \\i(x + at), где ф и ш — произвольные функции.
3489.3^- +? = 0.3490. ^ + ^ =0.3491.of ~ - ^) + 2Ь^- +
диди ди ди2 dv2 V ди2 ди) диди
f b( *ll - ЗА = о. 3492. ^4 + ^ = 0. 3493. |^ + ?-!* + mVz = 0.
Эи2 dv) ди2 ди2 ди2 dv
3494. ?§-=0. 3495. ?*- = JJj* . 3496. i^- = _J_ jj* .
dudu dudu 2udu dvdu u{4-uv)dv
3497. (u2 - v2)f±- = u^ . 3498. fff = -lJ?-^ . 3499. f^ + -J— fy|2 -
ouov ди ди2 u2 + vlou диди и2 - v2 V ou
- u^) =0.3500. f 1 - !??) iff + 32 iff =l.3501.u = (P(x + A.1j/) + v(x + Xay),
где Xi и Х2 — корни уравнения A + 2BX + CX2 = 0. 3503.a)Au=— + -— ;
rfr2 rrfr
530
ОТВЕТЫ
б) Д(Ди) = ^ + 24!" _ 1ё!л + На . 3504. и^- + 42 + cw - 0.
dr4 rdr3 r2dr2 r3dr du2 du
3505.А = Х^-У^+|.3508.^(^)+л±(л|) + С|(^
¦ i^m+«Й+"^ •3509- Э+ Ш+ g - °-35ia w - °
3511. AlU - gJ + I(!J + ^(gJ; A2u - Ig ( ^|) + -1,1 x
xf sin 9^1 +-1-Э!»]. 3512. w(%4 + ?2) = №)* + f^
I 3eJ sin2 9 Эф2 J l Эх2 by2) Vdx) Uy
3513. ^ - 0. 3514. ?!» = 0. 3515. ^ = i . 3516. ^ + ^ = 2w
Ou2 du2 du2 2 du2 oudv
3517. 2!«2 + (H - l) ^E = 0. 3518. ^ + ^ + f*2V + f^V = 0
Эй2 U J 3u2 9u2 3d2 V3uJ UyJ
3519. |ff = -? . 3520. ^ + |iS = 0. 3523. |^ = 0
duou 4sin2(u-t>) ou2 dv2 oudv
3526. * = уф) + ф). 3527. A(X, Y)g - 2B(X. У)^ + С(Х, Y)gf = 0
3528. *~x° = y~y° = i^2 ; z - z0 = (x - xQ) cos a tg tQ +
-coscxsmi0 -sinacosf0 cos@
+ (y - y0) sin a tg t0, где х0 = a cos a cos t0, y0 = a sin a cos t0, z0 = a sin t0.
3529. ? + 2 = i, у = к ; ax - сг = 1 (a2 _ c2). 3530. *zJ = JLJ: = ?zi ;
a c * 2 2Ч 1 1 2
x + i/ + 2z = 4. 3531. ?zi = ^i = 2^J ; 3* + 3y - z = 3. 3532. x + z = 2,
w 3 3-1
y + 2 = 0;x-z = 0. 3533. M, (-1, 1, -1); M2 ( -|, | , ~i) . 3537. tg ф =
= Гх (*o> y0) cos a + r, (x0, j/o) sin a. 3538. |* = - JiL . 3539. 2* + Ay - z -
-5 = 0; ?zi = iLzJ = 2^ 3540 3 + 4 + 12 = 16g x = 2 = _г_
2 4-1 y 3 4 12
_ n
3541. 2=2-1(л;-г/);^1=й__1=_4. 3542. a*0* + йУоу + cz0z = 1;
?Zf° _ ^tfo = i2?o 3543- * + „ _ 2z = 0; *zi = i^i = ?^1.
ax„ by0 cz0 -1 -1 2
3544. x + j/ - 4z = 0; *-j-^ = ^ = ^?_1. 3545. * cos щ cos ф0 +
ОТВЕТЫ
531
+ ^ cos iy0 sin ф0 + - sin i]/0
о с
_.. *seci)/0sec<p0- а _ i/scctyocoseccpo - 6 _ zcosecv|/0-c
6c ac ab
3546. л: cos ф0 + у sin ф0 - z tg a = 0;
x-r„cos(P[) j/-r„sinp0 _ z - r0ctga
cos<p0
x- u„cosyn
sm(p„
_ j/-u0sini;„
-tga
z-av„
"n
3547. ад: sin v0 - ay cos v0 + v0z = au0v0;
asini>0 -ocosu0
3548. ^ - Ц + A = 2. 3549. A @, ±2 72 , +2 72 ); В (±2, +4, ±2);
С (±4, +2, 0). 3550. л: = ±^ , г/ = ±^-, z = ±c- , где d = Ja2 + b2 + c2.
add
3551. x + Ay + 6z = +21. 3556. x2 + y2 - xy = 1, z = 0; Зу2 + 4л:2 = 4,
x = 0; 3x2 + 4z2 = 4, j/= 0. 3557. 8 < 0,003. 3559. cos ф = 2Ъг° .
aja2+ b2
3563. -H = x0 + </„ + г0; а) x0 = y0 = z0 = -L ; 6) x0 = y0 = г0 = —p ;
o" 73 73
в) на окружности х + г/ + z = 0, х2 + </2 + z2 = 1. 3564. ^ = -
an . _
*j> + i/o ?o
б4 с4
3566. х2 + у2 = р2. 3567. j/ = ±х. 3568. г/2 = 4ах. 3569. Огибающей нет.
- - - с г
3570. х3 + 1/5 = р . 3571. |хг/| = #-. 3572. » = ?»-?* 3574. а) у = 0 —
2lt 22 2и*
огибающая (геометрическое место точек перегиба); б) у = 0 —
огибающая; в) у = 0 — геометрическое место особых точек (точек возврата);
г) л: = 0 — геометрическое место двойных точек, х = а — огибающая.
3575. Top Gx2 + j/2 - R? + г2 = г2. 3576. х2 sin2 а + у2 sin2 C + z2 sin2 у -
- 2ху cos а cos C - 2xz cos a cos у - 2</z cos P cos у — 1. 3577. |xi/z| =
р72.
3578. |г ± 7л-2 + г/2
3579.
* У
хо Уо
i J
2
+
г/ г
Уо г0
2
+
4я7з
Z X
го Уо
2
< R\x2 + y2 + z2). 3580. (х - х0J + (у- г/0J = (г - z0J. 3581. /(х, у) =
= 5 + 2(х - IJ - (х - 1H/ + 2) - (j/ + 2J. 3582. /(х, у, г) = 3[(х - IJ +
+ (у - IJ + (г - IJ - (х - l)(j/ - 1) - (х - 1)(г - 1) - (у - 1Хг - D] +
+ (х - IK + (г/ - IK + (г - IK - 3(х - 1)((/ - 1)(г - 1). 3583. Af(l, -1) =
= ft - 3ft + (-ft2 - 2ftft + ft2) + (ft2ft + ftft2). 3584. f(x + ft, у + ft, z + I) =
= /(x, г/, z) + 2[ft(Ax + ity + ?) + ft(Z>x + By + .F) + Z(?x + Fy + Cz)] +
+ /(ft, ft, 0- 3585. x" = 1 + (x - 1) + (x - l)(j/ - 1) + Д2A + 9(x - 1),
1 + 8(j/ - 1)) @ < 9 < 1), где Д2(х, i/) = i *»[" f И dx - In x • % X + 3 f И dx +
532
ОТВЕТЫ
+ In х ¦ dy ) f —^ dx2 +- dx dy ] + (Ц dx3 - -2 dx2 dy ]1 ndx = x ~ I,
dy = у - 1. 3586. 1 - \ (x2 + if) - | (x2 + y2J. 3587. a) 1 - | (x2 - y2);
6) 2 + x - x(/. 3588. -(*(/ + xz + j/г). 3589. F(x, y) = ^ (& + /^ ) +
'И"" , ^ л , . 3590.F(p)= f(x,y)+%\
4
+ Jg (/i«, + С. ) + ¦••• 359°- *"(p) = Л*, у) + ^ [(?'* (*. tf) + С (*. J/)]-
3591. Д,„ = f(x, у) = Aft |\?f + Y V Л"-'*--'Э-/(*,уП . 3592. F(p) -
*" ЫлгЭу 4 ^ m!(n- m)! дхтду',-т]
=«*•»)+ Ё (^(iJ" An^> *>• где A = В+ w* • 3593-1+mx+
+ ny + ZiUL^lx2 + mnxy + ^^ y2 + ... (\x\< 1, |j,| < 1).
3594. у (-1)—'(m + n-l)!x,y(W + | |<1} 3595- у у(-1Г *"У*"'
Z^ m\n\ y ' ' k ' /-, Z-,y ' /n!Bn+l)!
,2n
:*l< +°°. Ы= +°°)- 3596. ? ? (-ly-iUiJi (H< +oo, |«,|< +oo).
Bm+ l)!B/i + 1)!
3597. V У (-1)" «*"'y*"'— (|*| = +oo, \y\ = +oo).
Ij Z-, y ' Bm+l)H2n+lY. M ' Ul '
m = О и = О
3598. У У (-1)'" хгтУ2" (Ы < +оо, |у| < +оо). 3599. У (-1)"(*2 + .'/2>2"^
L /-,у ' Bт !Bп)! ч ' |у| ' A v -1 2л+1)!
(х2 + у2< +оо). 3600. У У (-1)"'+ "i^ (Ы < 1, |у| < 1). 3601. f(x, у) =
t—ii—i mn
т~\ п=1
= 1 + \(х - fjy. 3602. ? ? ^-у^+1>" (И < +оо, \у\< +оо).
3603. ? (-Щ1 + (л: - 1)](«/ - 1)" (-°° < х < +°°, о < у < 2). 3604. г = 1 +
N = О
+ [2(х - 1) - (у - 1)] - [8(* - IJ - Щх - 1H/ - 1) + 3(j/ - lJ] + ... .
3605. (О, 0) — изолированная точка, если а < 0; точка возврата,
если а = 0; двойная, если а > 0. 3606. (О, 0) — двойная точка.
3607. @,0) — изолированная точка. 3608. @,0) — изолированная точка.
3609. (О, 0) — двойная точка. 3610. (О, 0) — точка возврата (второго
рода). 3611. (О, 0) — двойная точка. 3612. Если а < Ъ < с, то кривая
состоит из овала и бесконечной ветви; если а = Ъ < с, то А (о, 0) —
изолированная точка; если а < Ъ = с, то В (Ь, 0) — двойная точка; если
а — b = с, то А (а, 0) — точка возврата. 3613. (О, 0) — двойная точка.
3614. (О, 0) — точка возврата. 3615. (О, 0) — точка прекращения.
3616. (О, 0) — угловая точка. 3617. х = kit (ft = 0, ±1, ±2, ...) — точки
разрыва 1-го рода. 3618. х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 3619. х = 0 —
ОТВЕТЫ
533
двойная точка. 3620. х = kn (k = 0, ±1, +2, ...)— точки возврата.
3621. zrai„ = 0 при х = 0 и у = 1. 3622. Точек экстремума нет. 3623.
Нестрогий минимум 2 = 0 в точках прямой х - у + 1 =0. 3624. zmin — -1
при х = 1 и у = 0. 3625. zmax = 108 при х = 2, у = 3; нестрогий минимум
2 = 0 при х = 0, 0 < у < 6; нестрогий максимум 2=0 при х = О,
-со <у<0 и 6<(/< +оо. 3626. 2mi„ = -1 при х = 1 и у = 1.
3627. a) 2rain = -2 при д:, =-1,у1=-1их2 = 1, i/2 = l; экстремума нет при
х = 0 у = 0; б) максимум 2 = 0 при х = 0, у = 0; минимум г = -1 - при
8
х = ±= , у = ±1; седло г = -1 при х = 0, г/ = ±1, и седло г = -- при
2 8
х = ±- , (/ = 0. 3628. Минимум г = 30 при х = 5 и г/ = 2. 3629. 2min = - —
2 ' ЗТЗ
при * = -К = ±± ; 2,„ах = ^ при 5 = 2 = ±-L . 3630. г,„ах = Ja2 + b2 + c2
при х = - , у = - , если с > 0; zmill = - Ja2 + b2 + с2 при х = - , у = - , если
ее ее
с < 0; экстремума нет, если с = 0, а2 + Ъ2 ^ 0. 3631. г,пах = 1 при х = 0 и
у = 0. 3632. Минимум 2 = 0 при х = 0, у = 0; седло г = - е~2 при х = -- ,
у = -- . 3633. Седло г = е3 при х = 1, у = -2. 3634. Максимум г = е-13 ~
~ 2,26 ¦ 10при х = 1, у = 3; минимум г = -26 е 52 ~ -25,51 при х = -— ,
//=-—. 3635. Минимум г = 7 - 10 In 2 = 0, 0685 при х = 1, у = 2.
3636. 2„,ах =|73прих=2Иу=5. 3637. гт1п = -^ при х = у = Ц ;
2тах = 3^ при х = у =5 . 3638. Седло г = -1 + i In 2 + \ к ~ 1,70 при
S3 2 4
х = 1, у = 1. 3639. Минимум г = -— ~ -0,184 при х - (/ = +-L ±0,43;
максимум г = — при х = —у = ± ; экстремума нет в стационарных
2р .Де
точках х = 0, г/= ±1 и х = +1, г/ = 0. 3640. Стационарные точки
* = Тг(-1Г +' + (т + n)i 'у = 15 (^1у"'' + {т " лI (т' л = °' ±х' ±2' -0-
Экстремум 2 = тк + \- + 73 ) (-1)"'' ' + 2 • (-1)", если т. и и различной
четности (максимум при т нечетном и п четном, минимум при т
четном и л нечетном); экстремума нет, если тип одинаковой четности.
534
ОТВЕТЫ
3641. zmin = 0 при х = 0 и у = 0; нестрогий максимум г = е 1 при
х2 + у7- = 1. 3642. uml„ = -14 при х= -1, у= -2, г= 3. 3643. Минимум
и = -6913 при л: = 24, i/ = -144, z = -1. 3644. Минимум ц = 4 при л: = - ,
у= 1, z = 1. 3645. ишах = 2_ при х = у = z = 2 ; нестрогий экстремум и = 0
при и = 0, х * 0, z *0, х + 2(/ + 3z * а. 3646. Минимум u = li2„/_2- при
4 Vloo
л; = i 'Шба14^ , I/ = | Vl6a46 , z = | /^ . 3647. Максимум и = 4 при
х = у = z = 5 ; краевой минимум ц = 0 при л; = у = 2 = 0и2=г/ = 2 = я.
"+Л + 2
3648. итах = _,,_,- 2 при лг,= х2
тах {п2 + п + 2) "*"* ' ~z - ~" п» + в + 2"
1 1
3649. Минимум и = (га + lJn+1 при *] = 2" + 1 , ж2 = *i хп = л:".
3650. Числа а, х1У х2, ..., хп, Ь составляют геометрическую прогрессию
со знаменателем q = „+W- . 3651. Минимум zx = -2 и максимум 22 = 6
при*= 1, у = -1. 3652. 2min = -D + 2 л/б ) при х = у = -C + 76 );
гшах = 2 л/б - 4 при х = у = -C - 7б ). 3653. Нестрогий минимум г = -—2—
при л:2 + #2 = -^- , г < 0; нестрогий максимум z = -2— при л:2 •+- г/2 = -?- ,
8 272 8
г > 0. 3654. 2„,ах = i при ж - ± , </ «= ± . 3655. 2nliI, = -4^Г-2 ПРИ
\аЬ\
х = - 'к , у = - ~~ ; 2тах = ""~ ." при д: = Е , у = аЕ ,
7а2 + б2 7а2 + Ь2 I0''! 7аГ2 + 62 7а2 + ft2
=
i ПРИ
а?
7а2 + Ь2
0. 3656.
л; =
2
*max
Z
1
2 ;
¦И-
Ja2+b2
\ab\
агЬ2
а2 + Ь2 а2 + Ь2 аг+Ь2
3657. a) 2min = Я,,, 2гаах = А-2, где Хг и А,2 — корни уравнения (Л - Я)(С - А.) -
- В2 = 0 иХ1<Х2; б) максимум 2 = 106- при х = ±11, i/ = ±4; минимум
2 =-50при?=±2,2=^3.3658. Экстремумг = 1+Ы1^ прил; = 5 + 5*
72 8 2
г/ = -5 +5- (Л = 0, ±1, ±2, ...) (максимум, если fe — четное, и мини-
8 2
12 2
мум, если k — нечетное). 3659. umin = -3 при х — -^ , у = - , z = -1;
о о о
Umax = 3 при * = i , *, = -§ , 2 = f . 3660. Umax = *"">т~п'р>
ОТВЕТЫ
535
2L = U. = 2 = 2 . 3661. umin = с2 при х = О, у = 0, z = ±c; umax = a2
ОТ П р т+П + р """ > У > 'max
при х = ±а, у = 0, г = 0. 3662. u,nax = (Jj при х = у = г=^. 3663. a) umin =
= --Ц при х = у = А. И2 = ^ • * = 2 = ~р и </ = _4: - У = z = 4= и
зТб 7б Те ./б 7б 7б
зс""^'и-""^прижа=у"-^иг"^'*"г""^ """^
1 2
г/ = г = -— ил: = — ; б) Условный максимум и = 2 при л: = 1,
{/=1,2=1. 3664. umax = | при х = (/ = г = 5 . 3665. umin 4,и umax = Х2,
где X, и Х2 - корни уравнения Л2 - (^ + 02$ + S^) X + (sgS +
+ ^ + ^$) = ° ^ < **)¦ 3666- "п,ь, = Д^сова+Дсов^Ссозу)*.
Мтах = Л2. 3667. umin = (у ll ' при х, = iff I
l
(t= 1, 2, ..., л).
3668. umln = -^- при x, - 2 (i = 1, 2, .... я). 3669. иш1п = ^ ? V«/fy
при ^ = Jf ( ? 7°Щ )"' 0 = 1. 2, .... n). 3670. uma>
<1 + «2+...t.< a, a я x x x
oi] a2 ...an при —- = - - »
ш, + a2+ ... + a„y a, ce2 a„
= - . 3671. Экстремумы и = к определяются из уравнения
щ + а2+ ... + а„
|а;, - X8/J = 0, где 8,, = 0 при i ^ j и 8„ = 1. 3675. Inf z = -5, sup z = -2.
3676. Inf г = -75; sup 2 = 125. 3677. Inf z = 0; sup г = 1. 3678. Inf u = 0;
sup и = 300. 3679. Inf и = -i ; sup и = 1 + J2 . 3680. Inf и = 0; sup u =
= e = 0,37. 3682. Нет. 3683. Минимум равен — . 3684. Слагаемые равны.
— — —\ -L + i
aa. a, ...a„
3685. Множители равны xt — * '- (i = 1, 2, ..., n),
(a.)"'
где a; (/ = 1, 2, ..., л) — соответствующие показатели степеней;
536
ОТВЕТЫ
— — -U-L + -L
1 1 1 ^ [ "i "л V'l
наименьшее значение суммы I— + — + —j | па, а2 ...а„ '
V tX 1 ^2 п
- п 1 " "
3686. х = — У т:Х:, у = — У т,Ц/, где М = У т.. 3687. Измерения
ванны 72?, 'V2F, i 3V2F . 3688. Я = 2Я = 2 /А , где Л — радиус
2 a/3ti
цилиндрической поверхности и Н — ее образующая. 3689. х = — У xh
N t—'
y'hiy"Z"ht. z»r*eN= 1{1?х<) +(l>) +(l>J- Минимальная
" 2 2 2
сумма квадратов расстояний равна п -2N+ V (xt + yt + г, ). 3690. Угол
г -= 1
о
наклона образующих конуса к его основанию равен arcsin - . 3691. Угол
наклона боковых граней пирамид к их основаниям равен arcsin - .
о
3692. Стороны прямоугольника -?¦ и 2 . 3693. Стороны треугольника
о о
?, -? и -? . 3694. Измерения параллелепипеда —, — и —.
244 7з Л Л
3695. Высота параллелепипеда равна - высоты конуса. 3696. Измере-
ния параллелепипеда — , — и — . 3697. Высота параллелепипеда
Л Л Л
h = I sin a • got ~ * , если а > arctg 72 , и h = 0, если 0 < а < arctg 72 .
2tga-72
3698. Измерения параллелепипеда a, b и - . 3699. — — — '.
2 4А2 + В2 + С2
3700. d = —
+д
xi х2 У\ Уг г\ гг
т2 пг р2
у где Д :
т2 и 2
«1 Pi
Рг
Pi "I,
Рг тг
3701. —1— . 3702. Квадраты полуосей а2 = А., и Ь2 = Л2 являются корнями
472
уравнения A - ХА) A - ХС) -Х2Вг = 0. 3703. Квадраты полуосей а2 — Xlt
b2 = Х2 и с2 = А.3 являются корнями уравнения
АХ - 1 ОЯ FA
DX ВХ-1 ЕХ
FX EX CX-1
= 0.
ОТВЕТЫ
537
3704. ^ 7Л2 + В2 + С2. 3705. паЬс . 3707. Угол паде-
|С| ./и2 cos2 a + b2cos2P + c2cos2y
ния равен arcsin j n sin ^); отклонение луча равно 2 arcsin j n sin -J - а.
3708. Искомые коэффициенты а и Ь определяются из системы уравнений
п п
a[xx] + b[xl] = [ху], a[xl] + bn = [yl], где [ху] = ]Г Х;(/,, [xl] = ? х,,
/ = 1 (= 1
[г/1] = V у,. Задача имеет определенное решение, если V (х, - хуJ * 0.
3709.tg2a= Чху-ху) р = -cosa + ^sina> где х = i Yх„
1*2-(*JЫ.у2-Ы21 п ?\
ху = - V х,г/; и т. п. суть средние значения. 3710. 4х - - ; Атт = = .
Раздел VII
3711. F(y) = 1, если -со < у < 0; F(y) = 1 - 2у, если 0 < у < 1;
Дг/) = -1, если 1 < у < +оо. 3712. F(y) разрывна при у = 0.
3713. а) 5; б) 1; в) §; г) In -^-; д) 0. 3715. Нельзя. 3716. Нельзя.
4 3 1 + е
3717. F'(x) = 2хе*5 - е~х3 - f y2e~*'J2 dy. 3718. а) -(ea,si"a| sin a +
x
cosa
+ ea,cosa,cosa) + Г 7l - x2 e«VTT^ dx; б) П + _^_") sin aF + a) -
J Va b+aj
sinu
-(- + —) sin a(a + a); в) - ln(l + a2); r) /(a, -a) + 2 Г f'u (u, v) dx, где
\a a + a) a J
о
it = x + a и и = x - a; д) 2a Г sin (у2 + а4 - a2) dy + 2 f sin 2x2 cos 2ax dx -
2a
Г dx Г cos (x2 + y2 - a2) dy. 3719. F"(x) = Щх) + 2x f(x).
3720. F"(x) = 2/(x), если x € (a, b), и F"(x) = 0, если х € (a, 6).
3721. 1. F'(x) = ^4^ - гДе A2 /(*) = /(* + 2Л) - 2/(x + h) + f(x).
2. Fin\x) = (и - l)!/"(x). 3723. 4x - ^ . 3724. 0,934 + 0,428*
538
ОТВЕТЫ
(приблизительно!). 3725. g - ifl; g - ^ - ?
3729. *% (*,y) = ж B - 3j/2)/(*z/) + 4/(*l + *2j/(l - г/2)Г(*у)
3732. я In !sL±-l?l. 3733. О, если \a\ < 1; я In а2, если \a\ > 1
3734. ? sgn a In A + |a|). 3735. 71 arcsin a. 3736. ? In A + Л )
3737. In ^i± . 3738. a) arctg ^ ; 6) ± lnb2+ffe+2 . 3741. a > 0
a+1 ' б l + (a+l)F+l) ' 2 a2+2a+2
3742. Max (p, ?) > 1. 3743. |?ni| < 1. 3744. p < 1. 3745. n < 0 и n > I
I 7 I 2
3746. p > i . 3747. Сходится при а > 0 и при a = -2n~1n (я = 1, 2, ...).
3748. Сходится при п > 4. 3749. Сходится при р > 1. 3750. Сходится
при -1 < л < 2. 3755. 2. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно
3756. а) Сходится неравномерно; б) сходится равномерно. 3757. Схо
дится равномерно. 3758. Сходится равномерно. 3759. Сходится
неравномерно. 3760. а) Сходится равномерно; б) сходится равномерно
3761. Сходится равномерно. 3762. Сходится неравномерно. 3763. а) Схо
дится равномерно; б) сходится неравномерно. 3764. а) Сходится нерав
номерно; б) сходится равномерно. 3765. Ь > 1070. 3766. а) Сходится
равномерно; б) сходится неравномерно. 3767. Сходится равномерно
3768. Сходится неравномерно. 3769. Сходится равномерно. 3770. Схо
дится равномерйо. 3772. Нет. 3776.1.^. 3777.1.1. 3778.2. a = +1
3779. Непрерывна. 3780. Непрерывна. 3781. Непрерывна. 3782. Непре
рывна. 3783. Разрывна при a = 0. 3784. И)"'' . 3785. ? ¦ Bп~ ^!V"^
nm + 1 2 Bfi)!!
3788. In ь- . 3790. In ? . 3791. 0. 3792. 5 In 2 . 3793. ± In ?.
a a 2 b 2 a
3794. In <2а>2д'ТС . 3795. arctg 1 - arctg ? (m * 0). 3796. ± In ?±«?
(cx+PJ" + 2l1 m mv ' 2 a2 + m2
3797. -n(l - л/1-a2 )• 3798. nln * + ^ ~ .3799. 2 Sgn a ¦ A + |a| - Vl + a2)
3800. i In (|a| + P|) (P * 0). 3801. 2 In <°y (a > 0, P > 0)
3802. ^ [a3(a + P) + a3 In a + P3 In P - (a3 + p3) ln(a + P)] (a > 0, P > 0)
О
3803. & . 3804. /5 e^ . 3805. ("+262)ai-4a&b1+2a2ct С -^ _
2 Va 2a2 Va
ОТВЕТЫ
539
Г ?- Г 1 Г -Н
3806. Ре^. 3807. ^<Г2а. 3808. Jn(S ~ Та). 3809. i P е 4о .
*/а 2 2 «j а
3810. а) Щ Д ; б) (-l)"^ ~ (^) ¦ 3812.1. 5 sgn p. 2. Функция
4aVa <2 do ^
нечетная. При х > 0 минимумы в точках 2/гя и максимумы в точках
Bk - 1)л, где k = 1, 2, 3, ... Асимптоты у = 5 при х -* +°° и у = -5
при * - -со. 3813. ц1й - л/ла. 3814. | In 1«^_§|. 3815. О, если |а| < |р|;
2 2 lot — р|
2 sgn а, если |а| = |р|; | sgn а, если |а| > |р|. 3816. ? sgn а.
3817. ?|а|. 3818. ^а|а|. 3819. ?. 3820. | In |«|. 3821. 5.
21 ' 8 ' ' 4 8 |р| 4
3822. «±J arctg «±? - ^ arctg «^ + § In Ц + ^Ц. 3823. Дх) = 1
при |дс| < 1; Щх) = i при х = ±1; ?>(*) = 0 при |х| > 1. 3824. а) я sgn a cos db;
б) л sgn a sin ab. 3825. ?е"|а|. 3826. 2 sgn аеа'. 3827. 2A - «г2).
2 4 4
3828. 2Е&±]«1)е-Н 3829. _2L_ cOS^ ^7°ГТ2. 3830. 1 /jj; I/jj.
4 Jac-b2 a 2"J2 2^2
3831. Й sinf^-^ + 2 sgn al. 3832. Л cos fa2 + 5). 3833. 7я sin [a2 + 5
3835. a) -?- ; б) -А;; в) -J- прир > а; г) —1— ; д) -?- ; е) In f 1 + Л;
P" + 1 2р^Р Р"а (Р + аJ р2+1 1. рУ
г s! , ,«?
Ж) ^V? е 4Р . 3837. а) 1; б) х2 + ±; в) е2»* + а2. г) | е 4 cos ал:.
3839. ср(*) = -4= е~2, где о = Jo2 + а\. 3843. 2 . 3844. 2?L! . 3845. -2- .
ал/2п 8 16 2j2
3846. — . 3847. — . 3848. -^ . 3849. —2— . 3850. (^2"~1)и л/я.
ЗТЗ 272 512 nsinn 2-i
п
Z) п х
Ь)
наш
п.
(m > -1, л > -1). 3855. i В (I , 1 - i) (л < 0 или л > 1).
m Vm ny
540
ОТВЕТЫ
3856. i вГ^-i-i , iti) (т>-1,п>-1). 3857. —2— (У < 1). 3858.
2 V 2 2 ; 2созпя
2«-
A -А2J
хВ f 5 ,5) („ > 0). 3859. ± Г (I) (а > 0). 3860. ± Г BLti) BL±i > 0
\2 2) п \п) \п\ \ п > V п
3861. Г(р + 1)(р>-1). 3862. -1 ril?±li] (р>-1). 3863. -5??°5?5
ар L а''*1 J sinzpn
@<р<1). 3864. a) к3 1+J°s*fn @<р<1); б) ^ л2; в) Зл3
sin-'prt
32 V2
3865. In
fc 2
tlf
(О <р< 1, 0 < q< 1). 3866. 71 ctg лр. 3867. i tg |5 .
3868. In Дк . 3869. In 72л + а (In a - 1). 3870. i ( 1 + In 5]
3871. J-. 3876. яа'"~
21 (m)cos-
(а > 0). 3877.
2r(m)sin-
(а > 0).
2ofr/l
2 2n
3879. aB ( ± , -i-'). 3880. — — . 3881. /(x) = ? f SiiA cos Ax dA.
ff2) ^J
3882. f(x) - i Г b?22A sin ^ dA. 3883. /(x) = * f sin^-aj-sin^-t) A_
л J А л J Л
Л*) - ^ f
na J
2h f 1 - cosaA
3884. /(x) = ^ I *-^f": cos Ax dA. 3885. —!—: = i f e'aX cos Ax dA.
0
2 Г sinAre
3886.
- = Г e'^sin Ал: dA. 3887. f(x) = - Г ^^ sin Ax dA. 3888. f(x) =
u-1- X2 J 71 J 1 - A2
о о
= - f -^r cos Ал- dA. 3889. f(t) = ^ f ¦¦ w- sin A; dA. 3890. f(x) =
л J 1 -А2 л J А2- ш2
о о
= *2 f ?2SA? dA. 3891. fix) - 2 Г Г 1 + 1 1 cos Ax
л J A2 + a2 я J L(A-pJ + a2 (A + PJ + a2J
dA.
3892. f(x) = ^ f
AsinAx
|(A-PJ + a2J|(A+pJ + a2|
dA. 3893. e
x2 =_L
Jk
x f e 4 cosAxdA. 3894. xe~xi = — f Ae 4 sin Ax dA. 3895. a) e~
J 2jn J
ОТВЕТЫ
541
= ? f 2^ dX @ < x < +<x>); б) е-* = ? Г *-sin\* dX @ < х < +оо).
Tijl + Л2 я J 1 + Л2
о о
3896. F(x) = /1 • —2— . 3897. F(x) = -i /I—^— . 3898. F(x) = e_T .
Vn x2 + a2 чяAг + а!)
j-2 + a2
3899. F(x) = e 2 ch ax. 3900. a) <p(y) = e"" (y > 0); 6) v|;(i/) = - • -?— (w > 0).
л 1 + j/2
Раздел VIII
3901. ± . 3902. S=^-— +-5- ;S=40+U+_5_131 3903 g 8g
4 3 л 3n2 3 /i Зл2 3
Точное значение 2я G - 724 ) = 13,20. 3904. 0,402. Точное значение 0,4.
3905. 5 < 0,00022. 3906.1. 3907. -L . 3908.^. 3910.1 = F (А, В) -
-F(A, b) - F (а, В) + F(a, b). 3912. а) Отрицательный; б) отрицательный;
в) положительный. 3913. - . 3914. 1,96 </< 2. 3915. а2 + Ъ2 + — .
4 2
1 I 11 2 1
3916. J" dx Г /(х, у) di/ = Г di/ f fix, у) dx. 3917. Г dx f /(*, у) dy *=
0 0 0 и -2 Щ
2
1 2ц 1 а: ( 1 11
= Г dy f Ад:, i/) dx. 3918. Г dx Г Дх, у) dy = Г dz/ f /(х, «/) dx +
О -2.1/ 0 0 0 0
2 1 1 Vl-*2 1 Vl-J/Z
+ j dy j f{x, y) dx. 3919. j dx j fix, y)dy= j dy J" fix, y) dx.
1 I+ /1 2
2 2 V4 1 7i/ - !/2 1 1
3920. [ dx f Дх, i/) dy = f dy f Дх, у) dx. 3921. f dx f f(x, y) dy =
1- 1-х2
2 VI
1 Jil
f di/ f Дх, i/) dx. 3922. f dx f fix, y) dy + f dx
0 -J5 -2 -JTT' -1
J* f(x, y) dy +
+ f /(x, y) dy
+ j dx f f(x, y) dy. 3924. j dy j fix, y) dx +
542
ОТВЕТЫ
2Vi+.v 8 г-и
+ f dy J {f{x, у) dx. 3925. j dy j f{x, y)dx + J dy J /(*, y) dx.
2 1 -1 -2jT7~4 0 -2jT71i
2
1 375 0 Jl-IJ2 1 Vl-.V
3926. f dy f Дл:, г/) dx. 3927. f dy f f(x, y) dx + Г dy f /(*, у) dx.
0 Л -1 -JIT? ° -J^t
1 1 + ,/l - iJ a j a-Ja2-y2 2a |
3928. f dj/ f f(x, y) dx. 3929. Г dy\ f /(*,y) dx + Г Д*, г/) dx +
О 2-,/ О | ,j2 a*Ja2-y2 j
2a
2a 2d If 1 n-fircsiiiy
+ f dy f f(x, y) dx. 3930. f dy f Дх, у) dx. 3931. f dy f f(x, y) dx -
a „2 0 f,fi 0 nrcsiiw/
2a
0 2rt + arcsinni/
- f dy f Дл:, у) dx. 3932. |1. 3933. ( 2 V2 - |] a^a . 3934. ^ .
-1 it- Hrrsiny
2п я
3935. 14a4. 3936. ^^- . 3937. ( d<p ( rf (r cos ф, r sin cp) dr.
о о
n
2 ricostp 2n |/>[
3938. I (/ф j гДг cos ф, r sin ф) dr. 3939. J с(ф Г rf (r cos ф, г sin ф) dr.
2 72
3940. faty f rf (r cos ф, r sin ф) dr. 3941. fcfcp Г rf (r cos ф, г sin ф) dr +
ЗЛ _a_ "'""P
+ Г dф Г r/ (r cos ф, г sin ф) dr + Г dip Г г/" (г cos ф, г sin ф) dr.
Л О ЗЛ О
4 4
3942. В том случае, если область интеграции ограничена двумя
концентрическими окружностями с центром в начале координат и двумя лучами,
л 1
4 сожр
исходящими из начала координат. 3943. I с?ф I rf (r cos ф, г sin ф) dr +
о о
я 1 п
2 sinip 1 2
+ Г dф Г rf (г cos ф, г sin ф) dr = Г г dr Г / (г cos ф, г sin ф) dф +
ОТВЕТЫ
543
Л
+ Г г dr Г /(г cos ф, г sin ф) Ар. 3944. Г dф Г гДг cos ф, г sin ф) dr =
1 „ 1 ° 1 / п\
arccos - — cosec о + -
г 75 ^ *'
t- arccos—-
rji
Г г dr f f(r cos ф, г sin ф) dф. 3945. Г йф f r/ (r)dr =
1
гЛ 4
= J1 Г rf (r)dr + I (ъ - arccos ?] r/(r) dr. 3946. f Ар >
о zji °
cos4>
X
Г rf (r cos ф, г sin ф) dr = \r dr f f(r cos ф, г sin ф) dq> +
sinqi
СОВ2ф
aresin
f- Ml^Sin - i —
J2 2 г 4 о^со8 2ф
+ Г r dr Г Дг cos ф, r sin ф) dip. 3947. Г cfcp Г rf(r cos ф, r sin ф) dr =
J—5
= f r dr Г f(r cos ф, г sin ф) йф. 3948. Г dr Г /(ф, г) с(ф.
1 г2
--arccos—
2 а2
I_l»rcsi„C
2 2 „2
3949. Г dr f /(ф, г) dф. 3950. f dr Г Яф, г) d9- 3951. 2я Г гДг) dr.
1 г2
-arccos—
2 „2
75
3952. л f rf(r)dr + f f п - 4 arccos II rf(r) dr. 3953. 1 [ f(tg ф) cos2 ф dф.
0 1 71
"г
3954.^! . 3955. -6л2. 3956. 5 • Ь2 +Ь(Ь+h) + (b +h)*+ {2b +h)Mb +h).
3 5 л/а(а + h)(Ja + Ja + h)(Jb+ *]b + h)
3 Ь Р 2 4-u
|№. 3957. ( и du ( f(u, uv) dv. 3958. I f du f f^LLE ; !L^j du.
а к 1 -u
л
2 а
3959. 4 sin3 у cos3 v dv \ uf (u cos4 v, и sin4 u) du. 3961. и = xy> v = x - y.
544
ОТВЕТЫ
3962. Г /(и) du. 3963. 2 [ Jl - и2 f(uja2 + b2 + с) du. 3964. In 2 [ f(u) du.
-i -i i
3965. - . 3966. - . 3967. - nab. 3968. -?- . 3969. 543^ . 3970. 1-51 - in 2.
2 3 3 72 15 128
3971. 27t. 3972. — n. 3973. 5 + 2 . 3974. i л + 8 In i±-^I . 3975. 6.
16 3 4 3 Д
3976. I D-3 72 +4л/3). 3978. ДО, 0). 3979. -ДО, если г > 0.
2 f f x + y dx dy. 3981. F'(i) = ( tf (t cos ф, f. sin (p) dm.
JJ „ V*2 + .v2 J
3980
U-i^ + fy-D2*: 1
3984. (^ - 2 In 2) a2. 3985. | (p + q) Jfq . 3986. тш2. 3987. 3^~ла2.
v 8 у 3 3
3988. | + у ^ + ^/2>- 3989- X- 3' a\^t + arcsin 4^
3991. Щ? + ??1 . 3992. Щ *?-(*! + *1) + 2l?f 1. 3993. «*(«! + *) .
4 U2 a2J 3 U^U4 ftv л2И 6 U2 кч
3994_ a) a<bk(ak + 2bh) 6) _J_(a6]f 39g5 aft g996 ф-a)(u»-a»)
' 6h2(ak + bhJ 1260 c8 70 2(a+l)@+l)
3997. ^ In 2. 3998. a) ^ (g - p)(s - r); 6) -1 (bs - аъ)(с~3 - d);
2 3 15
в) (Р/()"(;+1)F^ - °'^)(c^ - ^i ¦з999-а) шаь; б) 1? (arctg 1+
+ if) a&. 4000. ^ (VlO - 2) arcsin 1 . 4001. ?¦ . 4002. ^ [(o2 - i^Xsh 2u2 -
- sh 2щ) - (u2 - ul)(sin2v2 - sin 2vi)]. 4003. - тш2. 4004. — . 4007. - .
3 7V7 6
4008. 5^ - 2 Л3. 4009. Ю. . 4010. я. 4011. л. 4012. И _ 2 In 2.
4 3 105 12
4013. -i-I^V. 4014. я. 4015. ^ тс. 4016. На3. 4017. М!.
37^ ^ 8 32 9 8
4018.71A - е-). 4019. 2а2с • (Р-«)(*-2). 4020. ? . 4021. ± ла6сB - V2 ).
л2 8 3
4022. ^7tabcBV2 - 1). 4023. 3™*? . 4024. ^тсаЬс. 4025. ^.
3 v ' 8 3 3
4026. | abc (Зтс + 20 - 16 «/2 ). 4027. ^' ~ °3). 4028. ? а4. 4029. 5 .
4030. ^ In ?. 4031. А . 4032. Л-шЬс. 4033. a) 5ls!?; б) (я - т)(е'1 - е2)а2.
я a 35 256 128
ОТВЕТЫ
545
Р|±1 Г(Г|ГГ2
4034. ?*? ¦ —п1 . 4035. -«*?- l . 4036. ? тш2 B 71 - 1). 4037.16a2.
Зл2 /^ 2m+ n ГA+2А 3
4038. 8a2 arcsin ^ . 4039. -^- . 4040. 8a2. 4041. я72 . 4042. ^ .
а Л 2
4043. _2я + 2^ fl + - 1пЗ +^ arctg -^ . 4044. ^ B0 - Зл).
4045. a) 2a2; 6) jj [3 TlO + In C + TlO )]; в) | abc A + I) [A + I +
+ i]* - i] ; r) | aft B72 - 1) arctg J ; д) jj In (e + e). 4046. S = 4яC +
+ 2 73)a2; V = ^а3. 4047. (ф2 - ф^вт \\i2 - sin yij R2, где щ, ф2 —
7з
долготы меридианов, \|/1; \р2 — широты параллелей, R — радиус сферы.
4048. к I aja2+h2 + Л2 In " + ^а2 + я2 \. 4049. S = а(ф2 - ф,)[а (Щ ~ Vi) +
/г |
+ а (sin \iin - sin w,)l; 4nzab. 4050. со = arcsin ; со = -4 •
7(а2 + Ь2)(а2 + с2)
4051. В»?! [2 + 72 In A + 72 )]• 4052. х0 = -§; г/0 = | а- 4053. х0 = </0 = \ .
4054. х0 = j,0 = 151 а. 4055. х0 = ?± ; у0 = ff-t . 4056. х0 = */0 = f ¦
315л 14cJ 14с,! о
4057. х0 = | а; у0 = -^ а. 4058. х0 = ла; г/0 = jj а. 4059. х0 = -? ; (/„ - 0.
4060. Парабола у0 = i 730р^~о • 4061. /, = ^ ; /„ = ^I_±iJ F = |Ь, - ft2|).
4062. 7, = /„ = g A6 - 571). 4063. /, = 2-l^f; I„ = ^f. 4064. /, = /„ = ^|\
4065. 4 = 7„ = | a4. 4066.1. /0 = ^ . 2. Si. 4069. 7a = -^- . 4070. X = ah2;
J 8 8 12 32^3
Y = 0, где X, У — проекции силы давления на оси координат Ох и Оу.
4071. Р, = тш28 Г А - ? a ] ; Р2 = яа25 (А + | а] . 4072. Проекция силы
давления на оси Ох и Ог, расположенные в вертикальной плоскости,
проходящей через ось цилиндра, из которых ось Ох — горизонтальная, а ось
Ог — вертикальная, соответственно равны: Х1 = -па2Ь I А - - cos a sin a,
546
ОТВЕТЫ
Zx = -яа25 А - | cos a cos a; X2 = ка2Ъ I A + | cos a sin a,
Z2 = na2S I A + - cos a) cos a. 4073. Проекции силы притяжения на
оси Ox, Oy, Oz, соответственно, равны: X = 0, Y = 0, Z
_2kmM
a2h
Щ - \b - h\ + Ja2 + (b- AJ - Ja2 + b2}, где А — гравитационная постоянная.
4074.Pcp = 1Л. 4075. А = ^§) 2оА^Tfti + a3In ttJHIE + tf In 9±JE±E j.
4076. J- . 4077. i In 2 - -^ . 4078. -i-. 4079. - яаЬс. 4080. 5.
364 2 16 48 5 6
1 X 1-Х 1 1-Х
4081. f dx f dz f /(x, y, z) dy + f dz f /(x, у, z) dy =
0 0 0 x г-х
1 г 1 -!/ 1 1 -!/
= Г dz | f dy f Дх, у, z) dx + dy Г Дх, у, z) dx .
0 0 г - у х О
1 1 Jl2 - X2 1 х Vz2-</2
f da: f dz Г /(x, «/. z) dj/ = f dz f d(/ f /(x, y, z) dz.
-1 Ы -./I2^2 0 -X -Л^2
1 X2 1 X2+l 1
С dx Г dz J" /(x, г/, z) dy + f dz f f(x, y, z) dy
4082
4083.
¦J
= dz
Vx 1 11 2 1
Г dy f Дх, у, z)dx+ Г dy f /(x, i/, z) dx ¦ + f dz J dy >
i
x j" f(xt y, z) dx. 4084. I f (x - §2 f&d^. 4085. I J B - z2) «a:)dz +
¦if^i2 о о
2
+ | f B - z2) f(*)dz. 4086. F (A B, Q - F (A, B, c) - F (A, b, C) -
l
- F (a, B,C) + F {A, b, c) + F (a, B, c) + F (a, b, C) - F (a, b, c).
\ „rctgJ- !
4 costp costpcosy
4087. -2-. 4088. -2- B 72 - 1). 4089. Г dcp f cos у d\|/ f r2 f(r) dr.
3*
ОТВЕТЫ
547
4090. 5!?бс. 4091. 152. 4092. А (J, - ±V-L - -Ц А*.Д .
4 3 27 U3 Р3А^ 7^
4093. J- (-Ц - -LI (b8 - а8) Г (Р2 - а2) { 1 + -J-) + 4 In 2] . 4094. |.
32 V/n2 п2) L V а2E2/' «J 5
4095.3 (е - 2). 4096. и = ^ , д3 , где |е| < 1.4098. a) F(t) = 4irf2 Д/2);
3 «/a2 + b2 + с2 + OR
6) F'(t) = - lF(t) + f f f *</z A*i/2) dx di/ dz 1, где t > 0 и F= {0 < x < t,
V
О < у < ?, 0 < z < /}. 4099. О, если одно из чисел от, пир нечетное;
An . (т-1)!1(д-1)!!(р-1)!!> если чисда т> п И четные.
m + n + p + 3 (m+n + p+1)!!
4100. Г(я+1)Г(?+1I-(г+1)Г(8+1) 4101 _3_ 4102 X . 4103. 2 а3Cл - 4).
Г(р + <7 + г+в + 4) 35 24 3
4104. — . 4105. — (Зл - 4). 4106. — я. 4107. яа3. 4108. ^1. 4109. - .
6 24к 3 4 72 2
4110. 5B - 72)(Ь3 - о3). 4111. 5 • «!??. 4112. a) ^ abc; б) Sf?$? .
3 3 Л 4 4/2
4113. ^? C - 75 ). 4114. |5 аЬс. 4115. ^ J Г2A) . 4116. а) ^ х
(«V
be _ ^h> лллп „\ в^с . &\ abc ai-io „\ abc .
90 '
х Г« + ?Н«! + ??) ; б) ?»? • — . 4117. а) afec ¦; б) «*? . 4118. а)
U fc/ U2 fe2i 3 a + b '554 400 ' 3 ;
h + k
6) *bc_ j 4я & 4И9 92 4120 1(ьз _ 3) /1г2| §1 4121. iV. 4122.
; 1680 '35 4 3V Wn \a) 3
nabc2
x A - e). 4123. 2 abc. 4124. 5 abc (± - i) . 4125. 37 : 27. 4126. F
2 Ve 3v
ЗЛ
5na3
S=MfF 72 +575 - 1). 4127. *hbb. 4128. ^ . 4129. —Si- • ^?.2.
6 |Д| 3|Д! 3nsinll h
n
4130. 2*? • U; U; lpJ . 4131. § . 4132. 4лр0(l- + 4 + Д | tK
mn + mp+np / i ll4) 2 l,« ft2 ffJ7
Vm n p)
4133. ( 0, 0, | с ] . 4134. x0 = г/о = | a; г0 = ^ a2. 4135. x0 => ^p; j/0 = 0;
3a
8
4138. x0 = 2/0=l; г0=|. 4139. *0 = i? a; j/0 = M Ь; z0 - 9*
г0 = ^p. 4136. x0 = | a; j/0 - | b; z0 = | с 4137. x0 = j/0 - 0; z0 =
448"' "" 448"' ~u 448C'
548
ОТВЕТЫ
rf^vr3
4140. х0 = у0 = 0; z0 = X . 4141. ^ = ^ = !• = 1 ¦ Уп> KnJ . 4142. х0 = а;
20 а 6 с 4 rm,/4^|
и ^1^о г abc3 т а3Ьс т ab3c лллл т 4 _„j_„3.
</„ = Р; z0 = у. 4143.1Х„ = — ; /„, = — ; /„ = — . 4144. /х„ = — яабс ;
г 4 л, т 4 _ .з лл ак г nabc3 , т па3Ьс . r nab3c
«* = 15 ; 7" = 15 *•" = "б- 5 "г = ~20~ ; 7" = ~W "
4146. a) /„ = Щ? A571 - 16); /„ = ^ A05тс - 272); 1„ = Щ? A05л - 92);
б) /,„ = I яаЬс3; /хг = | яаЬ3с; 7„2 - | яа3&с. 4147. а) 7„2 = -Ц^ а'Ьс;
r<iVf-
/„ = -^ ab"c- 7- = ^Т а&с°; б) ^ = ИЗ • -^7^ ' а',6с;
25672 128./2 5л2 /^
r^lilif^ nfiWi
/,
1 V л У V и
аЬ'с; /r„ = JL • ' а&с3. 4148. Iz = li .
5 ,{*) ' " 5'12 п^
4149.а) /г = ^ D 72 - 5); б) ? а5. 4150. ? МЛ2. 4153. / = М ( а2 + 1h2 ) , где
15 5 9 3 v 3 j
М = 2яр0о2Л — масса цилиндра. 4154. IQ = —?—-^ . 4155. ц = 2яр0 ( Д2 - ^-I ,
если г < Д; и = — , если г > R, где г = 7*2 + */2 + г2 . 4156. ы =
Зг
= 4я I" /(р) min [2- , р ) dp, где г = «/х2 + у2 + г2. 4157. и = яр0| (Л - z) x
: Ja2 + (h-z2) + zja2 + z2 - [(h - z) \h -z\ + z\z\] + a2ln
h-z + J~a2 + {h-zy
Ja2+z2- г
4158. X = 0; У = 0; Z = ~?yf , если \a\ > R, Z = ~Шр а, если \а\ < R.
4159. X = 0; У = 0; Z = -2np0G{Ja2 + z2 - Ja2 + (h-zJ - (|z| - |/i - z\).
4160. X = 0; У = 0; Z = -Gp0i?sin2 a. 4161. Сходится при р > 1.
4162. Сходится прир> 1 nq> 1. 4163. Сходится при р> - . 4164. Сходится
при i + i < 1. 4165. Расходится. 4169. (р > a > 1).
Р Ч (Р-9)(?-1)
ОТВЕТЫ
549
4170. -J- (р>1). 4171. 2л. 4172. -*- (р > 1). 4173. я 7^72 - 1).
Р-Х ~ р- 1
4174. ± . 4175. л. 4176. - . 4177. - . 4178. — е8 , если 5 =
2 2 2 Jfr
a ft
6 с
Д =
a b d
bee
d с f
4179. - ab. 4180.- Я?°2Ь2 . 4181. Сходится. 4182. Сходится
с -
О/ 1 _ <-2\2
2A-Е2J"
при р < 1. 4183. Сходится при - + - > 1. 4184. Сходится при р < 1.
Р <1
4185. Сходится при р < 1. 4187. 5 . 4188. ла. 4189. -5! Ь 2. 4190. 2.
о о
4191. Сходится прир > - . 4192. Сходится прир < - . 4193. Сходится
при - + 1 + - < 1. 4194. Сходится прир < 1. 4195. Сходится при
р q r
р < 1. 4196. A - р)~'A ~ ?ГЧ1 - г)-1 (р < 1,
, о < 1, г < 1). 4197. — .
у 3
3 г-Т
4198. 2лв[| , 1 - р | (р < 1). 4199. л5 . 4200. /- , где А = \а,\. 4204. a) ^ ;
б) "C»+1). 4205. ^ . 4206. -i- . 4207. — ? . 4208. 2"h^-h* .
' 12 n! 2"п! (л-1)!Bл+1) |Д|
» - 1 п п - 1
4209. tt'fl»-a". 4210. _*J aia2...an. 4211. -JH!°1- . 4212. я 2 а""'л
4213. —
4220. fc е~5 , где 5 '= |а,у| и Д
bj с
» + 1 л 1
-?-?—. 4218. Д"^1_ f Я7й)и2"' rfw- 4219. u = 1^л2РоЛ5.
окаймленный определитель.
4221. 1 + Л . 4222. ^ а3. 4223. 2л2а3A + 2л2). 4224. ^ (ch * 2t0 - 1).
15 6
4225. 4as . 4226. 2(е" - 1) + - ае". 4227. 2а2B - 72 )• 4228. 2ka2J1 + k2 .
4 1 + 4ft2
4229.2а2. 4230.5. 4231.5. 4232. 73 . 4233
о
4234. -3- (,р» + 2 зЫ | . 4235. ( 1 + Щ Jcza . 4236. а 7~2 —^ - - 1г|
4-/2 Н а Ч 3 ) v 3c^
|х0| + \г0\, где |х0| < а.
arctg
Ja2-z2'
550
ОТВЕТЫ
4237. ^ (За2 + 4n2b2)Ja2 + b2. 4238. | па3. 4239. \ [ B + i2,J -2~2\.
3 3 о
4240. St— Г 100738 - 72 - 17 In 25 + 4^1. 4241.1. 2Ь { Ь + а^^Щ ,
256^2 L 17 -I I е J
где е = i/afHf _ эксцентриситет эллипса. 2. ? р2B «/2 - 1). 3. ? Г C 7з -1) +
о 3 8 L
+ | 1пЩ^].4242.х0-Ь-а^;у0 = ^+—^=.4И43.х0=у0=и.
2 3 J yh + a 2 2jh2 - а2 3
4244. 1. S* = S = ^ а2. 2. ла3. 3. а) Ц- а3; б) ^ а3. 4. г0 = -^ .
5 3 2 J2
4245. х0 - (/о = г0 = |5 . 4246. *0 = |; у0 - -1 ; z0 - |. 4247. /, = /„ =
= Г^ + ^Г) 74п2а2 + Л2; /г = а2./4я2а2 +/г2. 4248. a) 0; б) ? ; в) 2.
V 2 3 / О
4249. а) 2; б) 2; в) 2. 4250. -±|. 4251. |. 4252. 0. 4253. -2ла2. 4254. -2л.
4255.0. 4256.0. 4257.- -1. 4258.8. 4259.12. 4260.4. 4261.-2.
4
О + Ь *2
4262. f f(u) du. 4263. -|. 4264. 9. 4265. f cp(jc) dx + f \|/Q/) di/. 4266. 62.
,3
4267. 1. 4268. л + 1. 4269. e" cos b - 1. 4271. г = — + x2f/ - xy2 - У- +С.
3 3
4272. -L- arctg ^^ + C. 4273. z = - 2У2 ¦ + In \x + y\ + С
2j2 2yj2 (x+yJ
4274. г = ex + y (x - у + 1) + yex + С 4275. г = ^"\"ц + С.
дх"дут
4276. г = -i^- f arctg 2) + С. 4278. I/J < ^. 4279. J- . 4280. -ла2.
Эх-Эу™ У у) R2 35
4281. 2л72 a2 sin f5 - а ) . 4282. -55! . 4283. -4. 4284. -53^ . 4285. 0.
v4 ) 4 12
г2 *2+ + г2
4286. Ь - а. 4287. Г q>(x) dx + f \\i(y) dy + f /(г) dz. 4288. Г Дм) du.
ГЦ 2 2
,/*2 + + г2
4289. f uf(u)du. 4290. u = i (x3 + i/3 + z3) - 2xyz + С
/22 2
4291. u = * - 2 +ЬК + с. 4292. и = In V(*+i/J + Z2 + arctg -2- + С.
г/ г ж + j/
ОТВЕТЫ
551
4293. А = -mg (z2 - гх). 4294. А = -| (а2 - b2), fc — коэффициент
упругости. 4295. А = G\— - —) , где r; = Jx2 + y2+z2 (i = 1, 2).
4296. 7 = f f y2 dx dy. 4297. -46? . 4298. Щ? . 4299. -2nab. 4300. -i (e* - 1).
о А 5
nma
4301. 0. 4302. h -I2 = 2. 4303. '^- . 4304. mS + ex* ф(г/2) - e*' (f(yi) -
- m (г/2 - г/,) - | (xt - дс,)(у2 + у,). 4305. P = g , Q = to + g , где и -
дважды дифференцируемая функция и к — постоянная величина.
4306. — [xF(x, у)} = i- [yF(x, у)]. 4307. 1) 7 = 0; 2) 7 = 2л. 4308. nab.
ох ду
4309. -nab. 4310. — . 4311. ^а2. 4312. а2. 4313. I + -12L .
8 6 2 3 эТз
р2' 1
4314. ^ВBт + 1, 2я + 1). 4315. 9±^1L . 4316. ^
2 г(?
1 +
l-i|7t
4317. °fec2 . 4318. я (л + 1)(л + 2)^; бяг2. 4319. я (п - 1)(л - 2)^;
бяг2. 4320.1. 4а2. 4321. sgn (ad - be). 4322. 7 = Y sgn ^-Й , где сумма
^ д(*, .у)
распространена на все точки пересечения кривых ф (х, у) = 0 и 1|/ (я, г/) = О,
лежащие внутри контура С. 4324. 7 = 2S, где S — площадь,
ограниченная контуром С. 4325. Хх(х0, у0) + Y'y(x0, y0). 4326. Проекции силы
на оси координат равны: X = 0; У = , где G — гравитационная
па2
постоянная. 4327. и = 2ях7? In — , если р = Jxz + у2 < R; и = 2якй In i , если
Я р
р > R. 4328. 7j = — р'" cos тф, 72 = р~т sin тф, если р > 1. 4329. и = 2я, если
т
точка А(х, у) лежит внутри контура С; и = я, если точка А(х, у) лежит на
контуре С; и = 0, если точка А(х, г/) лежит вне контура С. 4330. Tfj =
= ярт cos тф, 7l2 = КРт sin тФ> если 0 < р < 1; Кг = О, К2 = 0, если р = 1;
7ц = --^ cos тф, Л = —^ sin тф, если р > 1. 4339. Q = f f (^ + ^1 d* dj/;
^ + ^ = 0. 4340. Нх = fti Л 1 [(г, - у) dz - (? - 2) di/];
Эй I Дц
Ъх ду
552
ОТВЕТЫ
Н« = kt j> ? К5 - 2) da: - (\ - х) dz]; Hz = ki 11 [(?, - x) dj/ - (n - y) dx].
с с
4341. /j - /2 = Dл - ijb )a4. 4342. |л72а3. 4343. ла3.
4344.5A + 72). 4345. ^-^ + G3 - 1) In 2. 4346. 125-^-1.
2 2 420
4347. i5 abc f-i- + J- + i) . 4348. n^ajl + a2 + In (a + VTT^)].
3 Va2 b2 c2)
4349. S2l sin a cos2 a f0 < a < Z) . 4350. ^ J2 a4. 4352.1. 27IA + 6^).
2 V 2J 15 15
о 2 о a3 joco 4 4 jocj яр0аCа2 + 2b2) Ja2 + b2 ,occ . a
2. ла. 3. -^— . 4353. - лр0а4. 4354. M° ——- . 4355.a) x0 = - ;
2^3 3 12 2
г/о = 0; г0 = 15 a; 6) x0 = j/0 = S- ¦ z0 = 2 G2 + 1). 4356.1. a) 40a4;
9л 2V2 л
6) KR\R(R + НJ + ? Я3 1. 2. ^ . 4357. Проекции силы притяжения на
оси координат X = 0; Y = 0; Z = nkmp0 In 2 • 4358. u = 4лр0 min (a, — 1 ,
b V r0;
где r0 = Jxl + yl + zl. 4359. *¦(*) = ? C - t2J, если |t| < 73 ; f (t) = 0,
lo
еслиЫ>73. 4360. F(t) = M8-5-^)^, 4361. F = 0, если f < r - a;
6
F = ^ [a2 - (r - *J], если r-a<f<r + a;.F = 0, если f > r + а (< > 0).
г
4362. 4ла3. 4363. \0вЫШ + g(b)-g{0) + /-(с)-/,@I аЪс 4364 0.
La b с А
4365. i^ (a2b2 + a2c2 + b2c2). 4366. ^ (a + Ь + с)Д3. 4367. -ла273 .
abc 3
4368. ^ . 4369. 2 пл S. 4370. 0. 4371. -2ла (a + A). 4372. 2лДг2.
4373. -|a3. 4374. 0. 4376. 3 (И (x2 + y2 + z2) dx dy dz. 43,11. 0.
V
4378. 2fff dxdVdz .4379. fff Ди dx dy dz, где Да = ?л +?л +pi.
JJJ Jx2 + y2 + z2 Ш 3x2 3i/2 Эг2
4380. 0. 4384. ^ f a2 + ^2) |c|. 4385.1. ^ a3. 2. 2л2а26. 4387. За4.
3 V 2j ' ' 9
4388. ^яа5. 4389. 1. 4390. -^ . 4392. a) 7 = 0; б)/= 4л.
5 2
ОТВЕТЫ
553
4401.1. a) grad и @) = 3i - 2/ - 6k; |grad u@)| = 7, cos a = |, cos C = -|,
cos у = -- ; 6) grad и (A) = 6i + 3j, |grad и (A)\ = 3 Jb , cos a = — ,
' V5
cos C = — , cos y = 0; в) grad и (Б) = 7t, |grad u (Б)| = 7, cos a = 1, cos C = 0,
л/5
cos y = 0; grad и = 0 в точке M (-2, 1, 1). 4401.2. grad и (М) = 12i - 9у - 20/г,
|grad u (M)| = 25, cos a = if, cos C = -JL , cos у = -|; |f = -|= •
<25 ^5 о о( ,y2
4402. a) xy = z2; 6) x = j/= 0 и * = г/= z; b)x = j/ = 2. 4403. r=l.
4404. 4<*г + ,'/2) + l?! = 1 (u > 16); ii±^-2 + _*i- = 1; max u = 20.
u2-256 u2 960 1024
Q
4405. cos ф = -- . 4406. Поверхности уровня — полости конусов; поверхности
равного модуля градиента — торы, inf и = 0, sup и = 1; inf |grad ц| = 0,
sup|gradu\=-. 4407. , —[^ . 4409. а) Е ; б) 2г; в)-i . 4410. f'(r)r- .
2 \gradu(x0, у0, г0)\ г г3 г
4411. с. 4412. 2г(с • с) - 2с(с • г). 4415. a) grad и = ^ ег + ~ еф + ^ е2, где
dr гс)ф т oz
ег = icos ф + jsin ф, еф = -isin ф + jcos ф, е2 = к — орты, касательные к
соответствующим координатным линиям; б) grad u=-^e+--^ee+ ——- -if e_,,
dr гЭ9 rsmOdcp v
где er = i cos ф sin 0 + j sin ф sin 0 + k cos 6, ee = i cos ф cos Э + j sin ф cos 6 -
- k sin 9, еф = -i sin ф + j cos ф — орты, касательные к соответствующим
координатным линиям. 4416. — = — , где г = Jx2 + у2 + г2 ; -^ = Igrad ц|,
dr r or
и „ лл-11 ди _ cos(/, г) . Эц г. 1 | _ ллло ди _ grad и grad v .
если а = о = с. 4417. — = "—¦* ; — = 0, если 1 J_ r. 4418. — = =—;—Ц—¦.— ;
Ы г2 Ы dl [gradu|
д-± = 0, если grad и 1 grad v. 4419. а = Ч-/^У^уг)-ЦД^У^хг)_+Цх-^г _
dl (x2 + y2 + z2)Jx2 + y2
4420. у = CiX, z = с2х2. 4423.1. div a (M) = -^ ; П = 2L ке3. 2. 0.
4425. div (grad и) = Ди, где Ди = |!й + »!Н + |!й . 4426. f (г) + 2 /'С);
Эдс2 di/2 Эг2 г
/(Г) = с + ?i, где с и d — постоянные. 4427. а) 3; б) - . 4428. ^ (с • г).
г г г
4429. ЗДг) + rf(r); (fr) = -з , где с постоянна. 4430. а) и Ди + (grad иJ;
б) и Ди + grad и • grad v, где Ди — оператор Лапласа. 4431. div v = 0;
div w = -2co2. 4432. О, вне притягивающих центров. 4433. div a =
554
ОТВЕТЫ
1 ГЭ . ч . <)а,.-\
= - \ — (га.) + -^ , где а., ат — проекции вектора а на координатные
г Lor Эф J T
линии ф = const и г = const. 4434. div a = ——— Г— (MNau) + — (NLa„) +
LMN Lou uv
+ — (LMaw) , где au, aD, aw — проекции вектора а на соответствующие
aw J
-РД»н—и..L. .(gLg)' + (§S)',«= g)'¦(?)'¦(»)'.
iV = IjM +(^p) + (v4 • Если г, ф, г — цилиндрические координаты,
то div a = - — (га.) + -т-1 + г—- ; если г, 0 и ф — сферические
г Lor dtp dz J
координаты, то div a = U- (r2ar sin 0) + r^- (aH sin 6) + r^-1.
r2sin9 L3r Э9 Эф J
4436.1. a) 0; 6) 0. 2. rot a (M) = -| i - j + § k, |rot a (M)| = | УШ ,
= , cos P = ~^= , cos у = -Щ= ¦ 4437. a) f-^ [r x c];
cos a
7141 7141 7141 r
6) 2f(r)c + f-^ [c(r • r) - ric ¦ r)]. 4439. a) 0; 6) 0. 4440. rot v = 2co.
r
4441.1. rot a = - \~- (гаф) - —r k, где аф и аг — проекции вектора а
соответственно на координатные линии г = const и ф = const.
2- a) rota = Ы " ai") е' + (э7 " Эг-J е* + "г fc ^ " WJ е"
где ar = ах cos ф + av sin ф, аф = -ах sin ф + ау cos ф, аг = аг;
б)го4а-=-ЦГ|. Ksine)-^'ler+ir-I- .^-а(гафIев +
rsinG LdO * Эф J r Lsin9 Эф Эг ф J
+ - — (гае) - гт-Ч еф, где аг = ах cos ф sin 0 + а„ sin ф sin 0 + a, cos 0,
г Ldr Эф J
ае = ах cos ф cos 9 + аи sin ф cos 0 - а2 sin 0, а^ = -ах sin ф + ау cos ф.
4442.1. а) 0; б) лЛ3. 2. а) 0; б) 0. 4443. л. 4444. 2Л . 4445.1. 0. 2. 5 .
8 5
4447. 4лт. 4448. V е,.. 4450. ср^ = div (fe grad u), где с — удельная
теплоемкость и р — плотность тела. 4452. 1. 2л262. 2. 8— • In 2.
21
3. | C + е4 - 12е2). 4. -12. 4453. Г /(г) г dr. 4454.1. а) 2л; б) 2л. 2. а) Г = 0;
ОТВЕТЫ
555
б) Г = 2пп, где п — число оборотов контура С вокруг оси Ог.
4455. rot а (ЛГ| = -j - 2k, Г = -rc(cos Р + 2 cos y)e2.4456. Q = [ [ (|* + |^) dx Ф;
S
Г-fff^ +%*) dxdy;^ =-^,^=^.4457.1.u = xyz(x + y+z) + C.
j) \дх ду.) дх ду ду дх
s
2. - . 4458. и = — . 4459. и (х, у, г) = V — , где г, — расстояние
3 r fa, r>
переменной точки М (.х, у, г) от точки Mi (i = 1, 2, ..., п).
г
4460. и (х, у, г)= f ?/(?) dt, где г = Jx2 + у2 + г2.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Часть 1
Функции одной переменной
Раздел I
Введение в анализ
§ 1. Вещественные числа 6
§ 2. Теория последовательностей 11
§ 3. Понятие функции 23
§ 4. Графическое изображение функции 30
§ 5. Предел функции 41
§ 6. О-символика 61
§ 7. Непрерывность функции 65
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически 75
§ 9. Равномерная непрерывность функции 78
§ 10. Функциональные уравнения 81
Раздел II
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Производная явной функции 83
§ 2. Производные обратной функции, функции, заданной
параметрически, и функции, заданной в неявном виде 100
§ 3. Геометрический смысл производной 101
§ 4. Дифференциал функции 105
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков 108
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши 117
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства 123
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба 126
§ 9. Раскрытие неопределенностей 129
§ 10. Формула Тейлора 132
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции . . 137
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам 143
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций 145
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 148
§ 15. Приближенное решение уравнений 150
Раздел III
Неопределенный интеграл
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы 152
§ 2. Интегрирование рациональных функций 162
СОДЕРЖАНИЕ 557
§ 3. Интегрирование иррациональных функций 165
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 168
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 174
§ 6. Примеры на интегрирование функций 177
Раздел IV
Определенный интеграл
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы 180
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных . . 185
§ 3. Теоремы о среднем 196
§ 4. Несобственные интегралы 199
§ 5. Вычисление площадей 207
§ 6. Вычисление длин дуг 211
§ 7. Вычисление объемов 212
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 215
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра масс 216
§ 10. Задачи из механики и физики 219
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 220
Раздел V
Ряды
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 223
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 235
§ 3. Действия над рядами 241
§ 4. Функциональные ряды 242
§ 5. Степенные ряды 254
§ 6. Ряды Фурье 266
§ 7. Суммирование рядов 272
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов 276
§ 9. Бесконечные произведения 277
§ 10. Формула Стирлинга 284
§ 11. Приближение непрерывных функций многочленами 284
Часть 2
Функции нескольких переменных
Раздел VI
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§ 1. Предел функции. Непрерывность 288
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции 294
§ 3. Дифференцирование неявных функций 309
§ 4. Замена переменных 319
§ 5. Геометрические приложения 332
§ 6. Формула Тейлора 337
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 340
Раздел VII
Интегралы, зависящие от параметра
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 349
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
Равномерная сходимость интегралов 355
558 СОДЕРЖАНИЕ
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов
под знаком интеграла 362
§ 4. Эйлеровы интегралы 369
§ 5. Интегральная формула Фурье 373
Раздел VIII
Кратные и криволинейные интегралы
§ 1. Двойные интегралы 376
§ 2. Вычисление площадей 385
§ 3. Вычисление объемов 387
§ 4. Вычисление площадей поверхностей 389
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике 391
§ 6. Тройные интегралы 394
§ 7, Вычисление объемов с помощью тройных интегралов 398
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике 401
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 405
§ 10. Многократные интегралы 410
§ 11. Криволинейные интегралы 414
§ 12. Формула Грина 423
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов 428
§ 14. Поверхностные интегралы 431
§ 15. Формула Стокса 436
§ 16. Формула Остроградского 439
§ 17. Элементы теории поля 443
ОТВЕТЫ 453
Учебное издание
Демидович Борис Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Редакция «Образовательные проекты»
Ответственный редактор Е. С. Гридасова
Технический редактор Л. Б. Чуева
Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93, том 2;
953005 — литература учебная
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.000577.02.04 от 03.02.2004 г.
ООО «Издательство Астрель»
129085, Москва, пр-д Ольминского, д. За
ООО «Издательство ACT»
667000, Республика Тыва, г. Кызыл, ул. Кочетова, д. 28
Наши электронные адреса: www.ast.ru
E-mail: astpub@aha.ru
ОАО «Санкт-Петербургская типография № 6».
191144, Санкт-Петербург, ул. Моисеенко, 10.
Телефон отдела маркетинга 271-35-42.
По вопросам приобретения книг обращаться по адресу:
129085, Москва, Звездный бульвар, дом 21, 7 этаж
Отдел реализации учебной литературы
«Издательской группы ACT»
Справки по телефону: @95J15-53-10, факс 232-17-04