Автор: Демидович Б.П.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-02-014505-X
Год: 1990
Текст
Б. П. ДЕМИДОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОЕ. ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Государстаенным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов физических
и механико-математических специальностей
высших учебных заведений
щ
МОСКВА €НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 0
ББК 22.161
дзо
УДК 517 (075.8)
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по мате¬
матическому анализу: Учеб. пособие для вузов. — 10-е изд.,
испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 624 с.
ISBN 5-02-014505-X
В сборник включено свыше 4000 задач и упражнений по
важнейшим разделам математического анализа: введение в ана¬
лиз, дифференциальное исчисление функций одной переменной,
неопределенный и определенный интегралы, ряды, дифференци¬
альное исчисление функций нескольких переменных, интегралы,
зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы.
Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении помещены
таблицы.
9-е издание — 1977 г.
Для студентов физических и механико-математических спе¬
циальностей высших учебных заведений. Переиздается по
просьбе книготорговых организаций и институтов.
Ил. 14.
Учебное издание
Демидович Борис Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Заведующий редакцией А. П. Баева. Редактор J\. Mt Барыкина
Технический редактор £. В. Морозова
Корректор В. Я, Сорокина
ИБ № 41134
Сдано в набор 05.05 89. Подписано к печати 20 02.90. Формат 84X108/32.
Бумага тип №2* Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. печ«
л 32.76. Уел кр.-отт. 32,97. Уч-изд. л 32,2. Тираж 170 000 экз«
Заказ № 442. Цена 1 р. 40 к.
Нчдательско производственное и книготорговое объединение «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Набрано в Ленинградской типографии Me 4 ордена Трудового Красного Зна¬
мени Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Со¬
коловой Государственного комитета СССР по печати. 191126, Ленинград,
Социалистическая ул , 14 Отпечатано в Ленинградской типографии № 2
головном предприятии ордена Трудового Красного Знамени Ленинград¬
ского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государст¬
венного комитета СССР по печати. 198052, г Ленинград, Л-52, Измайлов¬
ский проспект, 29.
1602070000—027 „
Д 053 (02)-90 50‘90
ISBN 5-02-014505-Х
© «Наука». Физматлит,
1977; с исправлениями,
1990.
БОРИС ПАВЛОВИЧ ДЕМИДОВИЧ
(1906-1977)
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение в анализ 7
§ I. Вещественные числа 7
§ 2. Теория последовательностей 12
§ 3. Понятие функции 26
§ 4. Графическое изображение функции .... 35
§ 5. Предел функции 47
§ 6. 0*символика 72
§ 7. Непрерывность функции 77
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные пара¬
метрически 87
§ 9. Равномерная непрерывность функции ... 90
§ 10. Функциональные уравнения 94
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций од¬
ной переменной 96
§ I. Производная явной функции 96
§ 2. Производная обратной функции. Производная
функции, заданной параметрически. Производ¬
ная функции, заданной в неявном виде . . . .114
§ 3. Геометрический смысл производной 117
§ 4. Дифференциал функции 120
§ 5. Производные и дифференциалы высших поряд¬
ков 124
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши .... 134
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравен¬
ства 140
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144
§ 9. Раскрытие неопределенностей 147
§ 10. Формула Тейлора 151
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наимень¬
шее значения функции 156
§ 12. Построение графиков функций по характер¬
ным точкам 161
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167
§ 15. Приближенное решение уравнений , . » • 170
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Отдел III. Неопределенный интеграл 172
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы . . . 172
§ 2. Интегрирование рациональных функций ... 184
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных
функций . . . 187
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 192
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных
функций 193
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций 201
Отдел IV. Определенный интеграл 204
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204
§ 2. Вычисление определенных интегралов с по¬
мощью неопределенных 208
§ 3. Теоремы о среднем 219
§ 4. Несобственные интегралы 223
§ 5. Вычисление площадей 230
§ 6. Вычисление длин дуг 234
§ 7. Вычисление объемов 236
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра тя¬
жести 240
§ 10. Задачи из механики и физики 242
§ II. Приближенное вычисление определенных инте¬
гралов 244
Отдел V. Ряды 246
§ 1, Числовые ряды. Признаки сходимости знако¬
постоянных рядов 246
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных, рядов 259
§ 3. Действия над рядами 267
§ 4. Функциональные ряды 268
§ 5. Степенные ряды 281
§ 6. Ряды Фурье 294
§ 7. Суммирование рядов 300
§ 8. Нахождение определенных интегралов с по¬
мощью рядов 305
§ 9. Бесконечные произведения 307
§ 10. Формула Стирлинга 314
§ 11. Приближение непрерывных функций много¬
членами 315
ЧАСТЬ вторая
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных 318
§ 1. Предел функции. Непрерывность 318
§ 2. Частные производные. Дифференциал функ¬
ции 324
§ 3. Дифференцирование неявных функций .... 338
§ 4. Замена переменных 348
§ 5. Геометрические приложения 361
§ 6. Формула Тейлора 367
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 370
ОГЛАВЛЕНИЕ
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра • ,
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от пара¬
метра. Равномерная сходимость интегралов
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несоб¬
ственных интегралов под знаком интеграла , •
§ 4. Эйлеровы интегралы
§ 5. Интегральная формула Фурье •••••«•
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы .
§ 1. Двойные интегралы
§ 2. Вычисление площадей
§ 3. Вычисление объемов
§ 4. Вычисление площадей поверхностей . . . .
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
§ 6. Тройные интегралы
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных инте¬
гралов
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
§ 10. Многократные интегралы
§ 11. Криволинейные интегралы
§ 12. Формула Грина
§ 13. Физические приложения криволинейных инте¬
гралов
§ 14. Поверхностные интегралы
§ 15. Формула Стокса
§ 16. Формула Остроградского
§ 17. Элементы теории поля
379
379
385
392
400
404
40(з
406
414
416
419
421
424
428
431
435
439
443
452
456
460
464
466
471
Ответы
480
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ОТДЕЛ I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Вещественные числа
1°. Метод математической индукции. Чтобы
доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального
числа л, достаточно доказать*. 1) что эта теорема справедлива для
п = 1 и 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь
натурального числа п, то она справедлива также и для следующе¬
го натурального числа п + 1.
2°. Сечение. Разбиение рациональных чисел на два клас¬
са А и В называется сечением, если выполнены следующие усло¬
вия: I) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число по¬
падает в один и только в один класс и 3) любое число, принадле¬
жащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа,
принадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А!В опреде¬
ляет: а) рациональное число,если или нижний класс А имеет наи¬
большее число или же верхний класс В имеет наименьшее число, и
б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего
числа, а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и
иррациональные носят название вещественных или действитель¬
ных *).
3°. Абсолютная величина. Если х — вещественное
число, то абсолютной величиной\х \ называется неотрицательное
число, определяемое следующими условиями:
Для любых вещественных чисел х и у имеет место неравенство
4°. Верхняя и нижняя грани. Пусть X = {*} —
ограниченное множество вещественных чисел. Число
называется нижней гранью множества X, если:
*) В дальнейшем под словом число мы будем понимать
вещественное число, если не оговорено противное.
— х, если х <0;
х, если х ;>0.
т — inf {*}
8 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1) каждое х£Х*) удовлетзоряет неравенству
х^т\
2) каково бы ни было е > 0, существует х'£ X такое, что
х' < т + е.
Аналогично число
М = sup {х}
называется верхней гранью множества X, если:
J) каждое х£Х удовлетворяет неравенству
х ^ М,
2) для любого е > 0 существует X такое, что
х" > М — е.
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить,
что
inf (*) = — оо;
если же множество X не ограничено сверху, то полагают
sup {*} = + ОО.
5°. Абсолютная и относительная погреш¬
ности. Если а (а Ф 0) есть точное значение измеряемой вели¬
чины, а х — приближенное значение этой величины, то
Д = | х — а |
называется абсолютной погрешностью, а
\а\
— относительной погрешностью измеряемой величины.
Говорят, что число х имеет п верных знаков, если абсолютная
погрешность этого числа не превышает половины единицы раз¬
ряда, выражаемого я-й значащей цифрой.
Применяя метод математической индукции, доказать,
что для любого натурального числа п справедливы сле¬
дующие равенства:
|. 1+2+ . . . +„=lili!i.
*) Запись хеХ означает, что число х принадлежит множе*
ству Х.|
§ I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА "
2. 12+22 + . . . Н-«2 = —2J^+Jli2fLdLi>—.
6
3. 13 + 23 + . . . + л3 = ( 1+2+ . . . +п)\
4. 1 + 2 + 22 + . . . + 2n~l = 2" — 1.
5. Пусть а[/,1 = а (а — Л) . . . [а — (и — 1) h ] и
rf°l = 1.
Доказать, что (а + б)1"! = C'"aln~mJblm\ где С% —
П1 =U
число сочетаний из п элементов по т. Вывести отсюда
формулу бинома Ньютона.
6. Доказать неравенство Бернулли:
(1 + л:х)(1 + х2) . . . (1 + хп) >
> I + Хх + Х2-\~ ш . . + xnt
где хъ х2, . . хп — числа одного и того же знака,
большие — 1.
7. Доказать, что если х >—1, то справедливо не¬
равенство
(1 + х)п > 1 + пх (п > 1),
причем знак равенства имеет место лишь при х = 0.
8. Доказать неравенство
ПРИ
Указание. Использовать неравенство
/ п + 2 V+1 f\ . 1 V+1
(тгг) "( +_^+г) >2 <«-••*•••>.
9. Доказать неравенство
21-4! . . . (2п)1>[(п +1)1]" при п>1.
10. Доказать неравенство
1 3 2л — 1 1
2 4 2я д/2я + 1
10.1. Доказать-неравенства:
б) пп+‘ >(п+ I)" (п > 3);
10 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
в) sin( X хл) < £ sin ATft (0 < хк ^ я;
| \fe=i /1 *=1
^ = 1» 2, , « • | п)*
г) (2л)! <22л (п!)2.
11. Пусть с— положительное число, не являющееся
точным квадратом целого числа, и А/В — сечение, опре¬
деляющее вещественное число Vе* гДе в класс В входят
все положительные рациональные числа Ь такие, что
b2>ct а в класс А —все остальные рациональные числа.
Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а
в классе В нет наименьшего числа.
з —
12. Сечение А/В, определяющее число 2 , строится
следующим образом: класс А содержит все рациональные
числа а такие, что а3 < 2; класс В содержит все осталь¬
ные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет
наибольшего числа, а в классе В — наименьшего.
13. Построив соответствующие сечения, доказать ра¬
венства:
а) л/2 +У8" = VT8-; б) лД л/Т = У6.
14. Построить сечение, определяющее число 2^".
15. Доказать, что всякое непустое числовое множе¬
ство, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое
непустое числовое множество, ограниченное сверху,
имеет верхнюю грань.
16. Показать, что множество всех правильных раци¬
ональных дробей m/n, где тип — натуральные числа и
О < т < п, не имеет наименьшего и наибольшего эле¬
ментов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого мно¬
жества.
17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества
рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству
г2< 2.
18. Пусть {—х} — множество чисел, противополож¬
ных числам Доказать, что
a) inf { — х} = —sup{*}; б) sup{—х} =—inf {х}.
19. Пусть {х + у) есть множество всех сумм
х + у, где х£ {х} и у £{у}.
? I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
11
Доказать равенства:
а) inf {х + у) = inf {*} + inf {«/};
б) sup {х + у} = sup {*} -Ь sup {у}.
20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху,
где х£ {л:} и у 6{г/}, причем х > 0 и у > 0.
Доказать равенства:
а) inf {ху} = inf{*}-inf {у};
б) sup {ху} = sup{*}-sup {у}.
21. Доказать неравенства:
а) |лг — у\ > ||дг| — |#||;
б) | X + JCj + . . . + хп | >
22. |* + 1|<0,01. 23. \х—2|>Ю.
24. |jt|>|*+l |. 25. \2х—11<|*—11.
26. |* + 2| + |л:—2| < 12. 27. |х + 2|—|дс|>1.
28. ||л + 1|—\х—1||<1. 29. |х(1—х)|<0,05.
30. Доказать тождество
31. При измерении длины в 10 см абсолютная погреш¬
ность составляла 0,5 мм; при измерении расстояния
в 500 км абсолютная погрешность была равна 200 м.
Какое измерение точнее?
32. Определить, сколько верных знаков содержит
число х = 2,3752, если относительная погрешность этого
числа составляет 1 %?
33. Число х — 12,125 содержит 3 верных знака.
Определить, какова относительная погрешность этого
числа.
34. Стороны прямоугольника равны:
х = 2,50 см ± 0,01 см, у = 4,00 см ± 0,02 см.
В каких границах заключается площадь S этого прямо¬
угольника? Каковы абсолютная погрешность Д и относи¬
тельная погрешность б площади прямоугольника, если
за стороны его принять средние значения?
Решить неравенства:
12
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
35- Вес тела р = 12,59 гс ± 0,01 гс, а его объем
v = 3,2 см3 ± 0,2 см3. Определить удельный вес тела
и оценить абсолютную и относительную погрешности
удельного веса, если за вес тела и объем его принять
средние значения.
36. Радиус круга г = 7,2 м ± 0,1 м. С какой мини¬
мальной относительной погрешностью может быть опре¬
делена площадь круга, если принять я = 3,14?
37. Измерения прямоугольного параллелепипеда
суть:
х = 24,7 м ± 0,2 м,
у = 6,5 м ± 0,1 м,
z = 1,2 м± 0,1 м.
В каких границах заключается объем v этого параллеле¬
пипеда? С какими абсолютной и относительной погреш¬
ностями может быть определен объем этого параллеле¬
пипеда, если за его измерения принять средние значения?
38. С какой абсолютной погрешностью следует изме¬
рить сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы
иметь возможность определить площадь этого квадрата
с точностью до 0,001 м2?
39. С какими абсолютными погрешностями Д доста¬
точно измерить стороны х и у прямоугольника, чтобы
площадь его можно было вычислить с точностью до
0,01 м2, если ориентировочно стороны прямоугольника
не превышают 10 м каждая?
40. Пусть 6 (х) и б (у) — относительные погрешности
чисел х и у, б (ху) — относительная погрешность числа
*у.
Доказать, что б (ху) < б (х) + б (у) + б (х)6 (у).
§ 2. Теория последовательностей
1°. Понятие предела последовательно¬
сти. Говорят, что последовательность xlf х2, . * •. */», . • •» или
иначе хп (п = 1, 2, . . .), имеет своим пределом число а (короче,
сходится к а), т. е.
lim Хп — а,
Л-УОО
если для любого е > 0 существует число N = N (в) такое, что
| — се | < е при п> N.
§ 2. ТЕОРИЯ последовательностей 13
В частности, хп называется бесконечно малой, если
lim хп =■ 0.
л-^оо
Последовательность, не имеющая предела, называется расходя
щейся.
2°. Признаки существования предела.
1) Если
Уп ^ хп ^
И
lim i/n = lim zn = с,
«-►ос п->оо
ТО
lim = с.
Я-*ао
2) Монотонная н ограниченная последовательность имеет
предел.
3) Критерий Коши. Для существования предела
последовательности хп необходимо и достаточно, чтобы для лю¬
бого е >- 0 существовало число N = N (г) такое, что
I %п Хп-Ь р I
если только п > N и р > 0.
3°. Основные теоремы о пределах после¬
довательностей. Предполагая, что существуют
lim хп и lim уПл
П-*оа П-+оо
имеем:
1) если хп^уп, то lim Jf^^lim уп;
П->оо п-*ао
2) lim (хп ± у„) -- lim хп ± lim уп;
П-+ оо П-*-оо п-уоо
3) lim (х„Уп) = lim хп lim уп;
П—»-оо П—► ОО П-УОС
lim хп
4) lim ——= — » если lim упф0.
п-+оо уп Пт уп п->оо
Я-*оо
4°. Число е. Последовательность
(l + (я = 1, 2, . . .)
имеет конечный предел
lim fl + —V = е = 2.718 281 8284 . . *
0-* оо \ ft у
14 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
5°. Бесконечный предел. Символическая запись
lim хп = оо
я—►<»
обозначает, что, каково бы ни было Е > 0, существует число
N — N (Е) такое, что
|хп|>Е при n>N.
6а. Предельная точка. Число g (или символ оо)
называется частичным пределом (предельной точкой) данной
последовательности хп (п = 1,2,...), если существует ео
подпоследовательность
xPv хР2, • « « , хРп% ♦ . * d^pi<p2<...)
такая, что
lim хРп = I
П-*ЭО
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей
мере один конечный частичный предел (принцип Больцано — Вей-
ерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то он же
является конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный)
последовательности хп
lim хп
П-+ ЭО
называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее
lim хп
П-*-оо
называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
lim хп — lim хп
является необходимым и достаточным условием существования
предела (конечного или бесконечного) последовательности *д.
41. Пусть
Хп = —-Jt— (Я = 1, 2,. . .).
п+ 1
Доказать, что
lim хп = 1,
п-+оо
определив для каждого е > 0 число N = N (е) такое, что
\хп — 11 < е, если /г > N.
§ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Заполнить следующую таблицу:
15
0,1
0,01
0,001
0,0001
N
42. Доказать, что хп (п = 1,2, . . .) есть бесконечно
малая (т. е. имеет предел, равный 0), указав для всякого
е > 0 число N = N (е) такое, что | хп | < е при п> N,
если
(— i)n+i ^ 2 п
a) Xfi ■
б) хп
п3+ 1 *
в) хп = —V; г) хп = ( 1)п • 0,999п.
п\
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
е
0,1
0,001
0,0001
• • ♦
N
1
43, Доказать, что последовательности
а) *„ = (—!)пп, б) хп = в) jc« = lg(lgn) (п>2)
имеют бесконечный предел при п -> оо (т. е. являются
бесконечно большими), определив для всякого Е >• 0
чиело N = N (Е) такое, что \хп \ > Е при п> N.
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
Е
10
100
1000
10 000
. . .
N
44. Показать, что хп = п{~1)П (п = 1, 2, . . .) не
ограничена, однако не является бесконечно большой
при п -*■ оо.
16 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
45. Сформулировать с помощью неравенств следую¬
щие утверждения:
a) limxn = оо; б) lim хп = —оо; в) lim хп= +<х>.
П-*оо Л-+-00 Л-^оо
Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел,
определить значения следующих выражений:
46. lim ■ 10 Q(? — 47. lim (д/л+ 1 — -yjn ).
ГТ-оо П2 + 1 * п—°°
48. lim 3/.^si.nral . 49. lim (-2>*+3— .
Л-*оо fl + 1 n-со (-2)n+l+3"+i
50. lim ' + *+* + . • • + a". (|a|<i |6|<1).
п-и» l + 6+ft* + . . . + bn Vl 1
n — l
51. lim
Л-* 00
53.
56. lim
П—*-оо
l + b+62+ .
. . +
1
1 2 1
n2
n2
1
Л
_3
n
n
’ l2
1 22
i-
Л3
n*
1r • • •
l2
1 32 -1
/I3
1 Я* 1
1 1
1 - 3 !
5 ,
2 '
22
23
1
I
1-2
2-3
1 . .
V2 >
. • •
П
(« - l)a
-l)a 1
у
54. Иш [-!L+-f+...+-enii2-l.
л—>00 L n3 /г3 я3 J
55. limf—+ —+ —+ . ■ . +-2n~l-V
-«Л 2 22 23 ^ k2n >/
—!—1.
я(я+1) J
Доказать следующие равенства:
58. lim —— =0. 59. lim -^-=0.
rt—*00 2" n-+oo n I
60. lim -^=0 (a>l). 61. lim-^-=0.
П-+00 Qn n-* 00 /»•
62. \imnqn = 0, если M<1.
Л-*-оо
63. Iim^a=l (a>0). 64. lim —log°n-= 0 (a>l).
Я-* 00 П-+00 fl
65. lim n = 1. 66. lim n = 0.
П-+00 П-КХЗ -yf fi\
§ 2 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 17
67. Какое выражение больше при достаточно боль¬
ших п:
а) 100« + 200 или 0,01/г2?; б) 2П или /г1000?;
в) 1000" или /г!?
68. Доказать, что
Urn С-1—2_.. ._2г^!_Л = 0.
ГС-*-оо \ 2 4 2П )
Указание. См. пример 10.
69. Доказать, что последовательность
*rt = (1+-r)n (п = 1, 2’ ■ * •}
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последо¬
вательность
^п=(1+-~)п+1 (п=1>2» • • •)
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести,
что эти последовательности имеют общий предел
lim (l+ ——^ =lim (н——Y+l = в.
П->оо \ Я / Л->оо \ Я /
Указание. Составить отношения —1 и восполь-
хп Уп-г
зоваться неравенством примера 7.
70. Доказать, что
0<e—(l ч—-Y< — (rt=l, 2, . . .).
V п ) п
При каких значениях показателя п выражение ^1 +——^
будет отличаться от числа е меньше чем на 0,001?
71. Пусть рп/(п =1, 2, . . .) — произвольная по¬
следовательность чисел, стремящаяся к +оо, и дп (п =
= 1,2, . . .) — произвольная последовательность чисел,
стремящаяся к —оо (pnt qn$ [—1, 0]). Доказать, что
lim (1 +-L-Yn = lim (1 + —'Vя = е.
П->оо \ Рп ) П-+оо \ Qn J
/ 1 \П
72. Зная, что lim (14 ) = е, доказать, что
п^оо \ О /
lim (1 • 1 ■ 1 • 1 ■ ' 1 '
18 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Вывести отсюда формулу
e=2+^r+-r + --'+Jr+-T-’ <*>
21 3! п\ п\п
где 0 < б„ < 1, и вычислить число е с точностью до 10-5.
73. Доказать, что число е иррационально.
74. Доказать неравенство
75. Доказать неравенства:
а) —Т~Г<' *п О Ч——~ >
' п + 1 \ п J п
где п — любое натуральное число;
б) 1 + а < е“,
где а — вещественное число, отличное от нуля.
76. Доказать, что lim п (ai/n — 1) = In а (а > 0J,
а—►оо
где In а есть логарифм числа а при основании 6=2,718 .. .
Пользуясь теоремой о существовании предела моно¬
тонной и ограниченной последовательности, доказать
сходимость следующих последовательностей:
77. xn = pa+-!±-+...+J±r (п= 1, 2, . . .),
где pi (г = 0, 1,2,...) — целые неотрицательные чис¬
ла, не превышающие 9, начиная с pv
10 11 п + 9
78. хп ■■
1 3 2п — 1
ж «-(‘--BO—В-О
80,
I
2П
Хп =
-О+-г)0+зМ‘+тг-)-
81. Xi = д/2~, = *\]2 д/2™ , . ,
= у/^2 -f- 2 -f- . * . Ч~У2~ в • • •
п корней
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость сле¬
дующих последовательностей:
* I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 19
82. хп = а0 + <*1? + . . . +anqn,
где |а*| < М (k = 0, 1, 2, . . .) и | q\ < 1.
sin 1 . sin 2 . . sin. n
83. *„ =
84. x„ =
2 22 2"
cos 1! , cos 21 , , cos rtl
85. xn — 1 4
1-2 2-3 я(п+1)
1,1, ,1
22 32 n*
Указание. Воспользоваться неравенством
' 1 — (я = 2, 3, . . .).
пг tl — 1 п
86. Говорят, что последовательность хп (п = 1,
2, . . .) имеет ограниченное изменение, если существует
число С такое, что
I *2 — *1 I + I *3 — *2 | + . . . + | — *«-1 I < С
(п = 2, 3, . . .)•
Доказать, что последовательность с ограниченным из¬
менением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности,
не имеющей ограниченного изменения.
87. Сформулировать, что значит, что для данной по¬
следовательности не выполнен критерий Коши.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходи¬
мость последовательности
1 . 1 . 1 Г 1 1
*„ = 1+ —+ —+ ••• + — •
89. Доказать, что если последовательность хп (п =
«= 1, 2, . . .) сходится, то любая ее подпоследователь¬
ность хРп также сходится и имеет тот же самый предел:
lim х„ = lim хп.
1>Г1 11
П-^оо П-+оО
90. Доказать,, что монотонная последовательность
будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпосле¬
довательность.
91. Доказать, что если lim хп = а, то
П-+СЮ
lim |*Я| = И-
20 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
92. Если хп -*■ а, то что можно сказать о пределе
lim
П-+00 Хп
93. Доказать, что сходящаяся числовая последова¬
тельность ограничена.
94. Доказать, что сходящаяся числовая последова¬
тельность достигает либо своей верхней грани, либо своей
нижней грани, либо той и другой. Построить примеры по¬
следовательностей всех трех типов.
95. Доказать, что числовая последовательность
хп (п = 1, 2, . . .)» стремящаяся к + оо, обязательно
достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности хп (п =
— 1,2, . . . ), если:
96. хп = — . 97. хп = —^ . 98. хя = —.
" 2" “ 100+л л!
Найти наименьший член последовательности хп (п =»
= 1, 2, . . .), если:
99. лся = м2—9л—100. 100. хп = п + ■ .
Для последовательности хп (п = 1,2, . . .) найти
inf хп, sup хп, lim хп и lim хп , если:
П-+оо П-*ао
101. хп = 1 101.1. хл = (-1)"-1^2 + -|-^.
,02. = + - '-Ч-—•
п 2
4 /\О < . /I fljl
103. хп = 1 Ч cos
п+ 1 2
П (П—1)
104. *„= 1 + 2(— 1)л+| + 3- (—1) 2 .
105. хп= п- cos . 106. *„ = ( —1)яп.
п п+1 3
107. *„ = — п[2 + (—1)"]. 108. х„ = п<~1>п.
109, х„ = 1 + пsin --я—. 110. хп- 1
п -10,2
& 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 21
Найти lim хп и lim хп, если:
п^°°
2 пп
■ COS .
111.
112.
113.
*п
114.
Хп
1 + п
пп
Хп “ (l + -^“У • (— 1)" + sin
п . ,
sin2
я+ 1
?/"! ! Z ! Гш «.г .. 2пп
1 ~ 3
Найти частичные пределы следующих последователь¬
ностей:
11в 1 1 1 Э I 7 1
1 Ю. ” » ~ ♦ » '» f ♦ • . • » ' 7~ I
2 2 4 4 8 8 2"
2я —I
♦ • • •
2"
ш- '■ -г- |+-г* 4- '+4- v+-f’
_L, 1+J_, J- + -L, —ц—J
4 4 2 4 3 4 5
1 i,l 1,1 1 , 1
• • • » » а “| * — 1 » • • . * ; г •
n n 2 n n — 1 n
1
• • • •
n + 1
118.
112 12 3 1
2 ' 3* 3 ’ 4 * 4 * 4 5
2 3 4
5 ’ 5 5
‘I
119.
120. хп = -±-[(а + Ь) + (-1Г(а-Ь)].
121. Построить пример числовой последовательности,
имеющей в качестве своих частичных пределов данные
числа
^1» ^2» • • •» &р*
22
ОТДЕЛ Г ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
122. Построить пример числовой последовательности,
для которой все члены данной числовой последователь¬
ности
@1* ®2» • • •» • • •
являются ее частичными пределами. Какие еще частич¬
ные пределы обязательно имеет построенная последова¬
тельность?
123. Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный пре¬
дел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пре¬
делов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела
каждое вещественное число.
124. Доказать, что последовательности хп и уп =
= хпу п (п = 1,2,...) имеют одни и те же частичные
пределы.
125. Доказать, что из ограниченной последователь¬
ности хп {п = 1, 2, . . .) всегда можно выделить сходя¬
щуюся подпоследовательность хр (п = 1, 2, . . .).
126. Доказать, что если последовательность хп (п =
= 1, 2, . . .) не ограничена, то существует подпоследо¬
вательность хв такая, что lim х„ =оо.
рп * рп
П-+оо
127. Пусть последовательность хп (п = 1,2,.. .)’
сходится, а последовательность уп (п = 1, 2, . . .) рас¬
ходится. Что можно утверждать о сходимости последо¬
вательностей:
а) хп + Уп\ б) хпуп?
Привести соответствующие примеры.
128. Пусть последовательности хп и уп (п = 1,
2, . . .) расходятся. Можно ли утверждать, что последо¬
вательности
а) я* + уп\ б) хпуп
также расходятся? Привести соответствующие примеры.
129. Пусть lim хп = 0, и уп (п = 1, 2, . . .) —
гг—►с»
произвольная последовательность. Можно ли утвер¬
ждать, что lim хпуп = 0? Привести соответствующие
«-►оо
примеры.
$ 5 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 23
130. Пусть
lim хпуп = 0.
П-юо
Следует ли отсюда, что либо lim хп = 0, либо lim уп— 0?
Л—*оо П-^оо
| _1_ ( 1)П I / |)Л
Рассмотреть пример: х„ = —— уп=- 5 —
(п= 1, 2, . . . )•
131. Доказать, что
а) lim хп + lim у„ < lim (хп + уп) < lim хп + lim у„
п-+ао п-юо п —►оо п-+оо П-+оо
И
б) lim хп + Пт у„ < Йт (х„ + уп) < Ш хп + Пт уп.
П-+3с п^°° п~’"х п-юа п^"х>
Построить примеры, когда в этих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
132. Пусть хп>0и уп > 0 (п=1, 2, . . .). Доказать,
что
а) \\тхпЛ\туп < lim (хпу„) < lim*„-lim уп
П—*-оо п-+ оо п-юо Я—► оо tl-+oо
И
б) lim хп • lim уп < lim (хпуп) < lim хпЛ\т у„.
п-+оо n-+oo П-юо п—оо П-*-оо
Построить примеры, когда в эгих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
133. Доказать, что если lim хп существует, то, какова
П-*оо
бы ни была последовательность уп (я = 1, 2, . . .),
имеем:
а) Urn (хп + уп) = lim х„ + Пт уп
П-+ СЮ 00 Г1—►ОО
И
б) Йт (х„уп) = Пт хп-Шуп (х„ >0).
П-> оо tx—►ОО П-+00
134. Доказать, что если для некоторой последователь¬
ности хп (п~ 1, 2, . ..), какова бы ни была последователь¬
ность уп (п = 1, 2, . . .), имеет место по меньшей мере
одно из равенств:
a) lim (х„+ !/„) = ПпГ *,, +Пт ул
24 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ИЛИ
б) Пгп (х„уп) = ГТггГ X, ■ ПгтГуп (хп>%
П-*-оо П—>сю П-*- оо
то последовательность хп — сходящаяся,
135. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . .) и
lim хп • lim —i— = 1,
П—юо П—>оо Xfi
то последовательность хп — сходящаяся.
136. Доказать, что если последовательность хп (п =>
= 1, 2, . . .) ограничена и lim (*„+1—х„) = 0, то ча-
П-*> ОО
стичные пределы этой последовательности расположены
всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
/ = lim хп и L = lim хПУ
то есть любое число из отрезка [/, L 1 является частич¬
ным пределом данной последовательности.
137. Пусть числовая последовательность х19 хъ . . ♦
. . . , хП9 . . . удовлетворяет условию
0 ^ Хщ+п ^ (^» Я = 1, 2, , . . ).
Доказать, что lim —существует.
П-> ОО fl
138. Доказать, что если последовательность хп (п = 1,
2, . . .) сходится, то последовательность средних ариф¬
метических
Ел = (^i “Ь* %2 “Ь* • • • “1~ %п) (fi = 1, 2, , . , )
п
также сходится и
lim ?» + *»+••• +*п = lim ^
П-УОО tl п-+ оо
Обратное утверждение неверно: построить пример.
139. Доказать, что если lim хп = -f оо, то
П-> оо
lim -.Xl.+ .X«+ ±.XJ2- = н- оо.
«-►ОО fl
140. Доказать, что если последовательность х„ (п ^
= 1, 2, . . .) сходится и х„ >0, то
lim yf хгх2 . . . хп — lim хп.
П
о
§ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 25
141. Доказать, что если хп >0 {п = 1, 2, . . .), то
lim хп = lim - *я+|-,
П—юс Л—>oo Jf/j
предполагая, что предел, стоящий в правой части по¬
следнего равенства, существует.
142. Доказать, что
lim —- - е.
п-*°°
143. Доказать теорему Штольца: если
а) Уп+i > уп (« = 1. 2, . . .);
*л+1 *л
б) lim уп= + оо, в) существует lim
ГС-*00 л->00 */л+1 i/л
ТО
lim - = lim ~п+х~Хп .
п-+оо Уп п-+оо Уп+1 — Уп
144. Найти:
a) lim ——(а>1); б) lim -lg п -.
Л-^-}"00 °-П /1-*+оо И
145. Доказать, что если р — натуральное число, то
a, |im.l>+2-+ ••■+.» j_.
П~>оо пр +1 1
б» цт(-», + У+•••+-’ г—и-!-.
л-*оо \ пР р -{- 1 / 2
В) птЛ+У+ • • • +Е"-Пр = 2Р
П—►оо +1 P -{- 1
146. Доказать, что последовательность
хп = 1 + Ч—““ + • • . Н—- In п (п ~ 1, 2, . . . )
о п
сходится.
Таким образом, имеет место формула
1+4-Н—1--\ Ь — = c + lnn + enf
2 3 л
где С — 0,577216 ... — так называемая постоянная
Эйлера и е„ -► 0 при п -»• оо.
147. Найти lim ( ? ] ? }- . . . J——V
п->оо \ л -|“ 1 /i-j-2 2 я /
26
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
148. Последовательность чисел хп (п = 1, 2, . . .)
определяется следующими формулами:
х,=а, хг — Ь, ха = --п~(я = 3. 4,. . .).
Найти lim
п~*оо
149 (н). Пусть хп (п = 1, 2, . . .) — последователь¬
ность чисел, определяемая следующей формулой:
Яо>0, xn+l = -j-(xn + -l—) (я = 0, 1, 2, . . .).
Доказать, что limx„ = l.
П-+СХ)
150. Доказать, что последовательности хп и уп (п =
*= 1, 2, . . .), определяемые следующими формулами:
Xi = a, yi = b, хп+1 = л/хпуп, y„+i= +
имеют общий предел
(л (a, fc) = lim дсп = Ьтуп
«-►сю П-юо
(<арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь).
§ 3. Понятие функции
1°. Понятие функции. Переменная у называется
однозначной функцией / от переменной х в данной области из¬
менения X = (*}, если каждому значению х £ X ставится
в соответствие одно определенное действительное значение
У = / (*)« принадлежащее некоторому множеству У= {*/}.
Множество X носит название области определения или об¬
ласти существования функции I (дс); Y называется множеством
значений этой функции.
В простейших случаях множество X представляет собой
или открытый промежуток (интервал) ] а, 6 [ = (а, Ь) :
а < х < 6 или полуоткрытые промежутки
1а, 6) = (а, 6): а < х < 6, [а, 6 [ = [а, Ъ): а < х < 6,
или замкнутый промежуток (сегмент) [а, 61: а ^ х ^ 6, где
а и b — некоторые вещественные числа или символы — оо и
+ оо (в последних случаях равенства исключаются). Если каж¬
дому значению х из X соответствует одно или несколько зна¬
чений у = f (х), то у называется многозначной функцией от х.
2°. Обратная функция. Если под х понимать
любое значение, удовлетворяющее уравнению
f (*) = у,
где у — фиксированное число, принадлежащее множеству зна¬
§ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 27
чений Y функции f (*), то это соответствие определяет на мно¬
жестве У некоторую, вообще говоря, многозначную функцию
* = 1~Чу),
называемую обратной по отношению к функции fr (*), Если
функция у = I (х) монотонна в строгом смысле, т. е. I (х2) >/ (*i)
(или соответственно /, (х2) < jj (*,)) при х2 > xi% то обратная
функция х = 1~х (у) является однозначной и монотонной в том
же смысле.
Определить области существования следующих функ¬
ций:
151. у = —. 152. у = УЗ*—*3 ".
153. у = (х—VaJ \ •
154. а) у = log (дс2 4); б) у = log(x + 2) -Ь log (ж—2).
155. 1/ = /\/5'п (У* ) . 156« у = л/cos х2 .
157. </ = lg('sin—V 158. у = -^±- .
\ X ) У sin пх
2х
159. у = arcsin ——— 160. i/ = arccos (2 sin л:).
161. у = lg [cos (lg *)). 162(h). y — (x-\- |x|) ^/*sin2nje .
163. у — ctg nx -f- arccos (2*).
164. у = arcsin (1—x) + lg (Ig x). 165. y — (2x)l
r
165.1. у = log2log3log4x. 165.2. у = у lg tg x .
165.3. y = '\Js\n2x -\/sin 3jc (0 < x < 2л).
Определить области существования и множество
значений следующих функций:
166. у = <\/2+х—хг . 167. y=lg(l—2 cos я).
168. и = arccos ——— . 169, у = arcsin (lg ——^.
1 + хг Vs 10 )
170. * = (-!)*■
171. В треугольник ABC (рис. 1), основание кото¬
рого АС = b и высота BD = А, вписан прямоугольник
K.LMN, высота которого NM = х. Выразить периметр
2d
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Р пря^-оугольника KLMN и его площадь S как функ¬
ции ОТ X.
Построить графики функций Р = Р (*) и S = S (х).
Рис. 1
172. В треугольнике ABC сторона АВ = 6 см, сто¬
рона АС = 8 см и угол ВАС = х. Выразить ВС = а
м площадь ABC = S как функции переменной х. По¬
строить графики функций а — а (х) и S = S (х).
173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2),
основания которой AD = а и ВС = b (а >Ь), а высота
НВ = h, проведена прямая MN |] ИВ и отстоящая от
вершины А на расстоянии AM = х. Выразить пло*
щадь S фигуры ABNMA как функцию переменной
х. Построить график функции: 5 = S (*).
174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох равномер¬
но распределена масса, равная 2 г, а в точках этой
оси х = 2 и х = 3 находятся сосредоточенные массы
по 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение
§ 3 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 29
функции т = т (х) (— оо < х < + оо), численно
равной массе, находящейся в интервале (—оо , *),
и построить график этой функции.
175. Функция у = sgn х определяется следующим
образом:
( —1, если дс<0;
sgnx = 0, если х = 0;
1, если дс>0.
Построить график этой функции. Показать, что
| X I = X sgn X.
176. Функция у — [х] (целая часть числа х) опре¬
деляется следующим образом: если х = п + Л где п —
целое число и 0 < г < 1, то 1х ] = п.
Построить график этой функции.
177. Пусть
у = л (х) (х > 0)
обозначает число простых чисел, не превышающих
числа х. Построить график этой функции для значений
аргумента 0 < х < 20.
На какое множество Еу отображает множество Ея
функция у = / (лг), если:
178(h). у — х2, £, = {—К*<2}.
179. у= Igx, Ех = {10<дг< 1000}.
180. у = —— arctgх, Ех = {—оо<*< + оо}.
Л
181. y = ctg-^-, £, = {0<И<1}.
4
182. // = |*1. ^={1 <|*|<2}.
Переменная х пробегает интервал 0<*-<l. Ка-
кое множество пробегает переменная у, если:
183* у = а-\-(Ь — а)х. 184. у =
1 — X
185. у = . 186. y = Jx~x2 .
2х — 1 у v
187. «/=ctgnx. 188. у = х-\-[2х\.
30
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
189. Найти / (0), / (1), / (2), / (3), / (4), если / (дс) =
*= X*—6х3 + 11х2—6х.
190. Найти / (— 1), / (— 0,001), / (100), если / (дс) =
= lg (х2).
191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если
/ (*) = 1 + [*].
192. Найти /(—2), /(—I), /(0), /(1), /(2), если
193. Найти /(0), /(— *), /(*+1), /(*)+!,
194. Найти значения х, для которых: 1) / (дс) = 0j
2) / (х) > 0; 3) / (х) < 0, если:
a) /(х) = дс—дс3; б) /(x) = sin—;
X
в) /(*) = (* + И)(1— *)•
195. Найти ф (х) = ~W , если:
h
а) / (*) = ах + Ь\ б) / (х) = х2; в) / (х) = а*.
196. Пусть / (дс) = ах2 + 6л + с. Показать, что
/ (х + 3) - 3/ (* + 2) + 3/ (* + 1) - / (х) s 0,-
197. Найти целую линейную функцию / (дс) = ах + Ь,
если / (0) = — 2 и / (3) = 5.
Чему равны / (1) и / (2) (линейная интерполяция)?
198. Найти целую рациональную функцию второй
степени: / (дс) = ах2 + Ьх + с, если
Чему равны / (— 1) и / (0,5) (квадратичная интерпо¬
ляция)?
199. Найти целую рациональную функцию третьей
степени:
если /(-!) = 0, / (0) = 2, / (1) = - 3, /(2) = 5.
1+дс при — оо<дс<0,
2х при 0<С*<; + оо.
, если
/(-2) = 0, /(0) = 1, /(1) = 5.
/ (х) = аде3 + Ьх2 -f- сх + d,
§ 3 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
31
200. Найти функцию вида / (х) = а + Ьсх, если
/ (0) = 15, / (2) = 30. / (4) = 90.
201. Доказать, что если для линейной функции
f (х) = ах + b
значения аргумента х = хп (я = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие зна¬
чения функции уп = f (*п) (я = 1, 2, . . .) образуют
также арифметическую прогрессию.
202. Доказать, что если для показательной функции
значения аргумента х = х„ (я = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие зна¬
чения функции уп = f (хп) [п = 1, 2, . . .) образуют
геометрическую прогрессию).
203. Пусть функция / (и) определена при 0 < и <1.
Найти области определения функций:
f(x + y) + f(x-y) = 2f(x)f(yl
205. Пусть / (*) + / (у) = f (г). Определить г, если
а) / (*) = ах', б) /(*) = — ;
X
в) /(дс) = arctgх (|*|<1); г) /(лг) = log j**-.
Найти ф [ф (х) ], ij> Гф (х) ], ф [\|5 (х) ] и if {ф (*) I,
/ (*) = а* (а > 0)
a) /(sin*); б) /(In*); в) )•
204. Пусть f(x) = (а*-\-а~х) (а>0). Пока¬
зать, что
если:
206, ф (дс) = лга и -ф (*) = 2*.
207. ф (jc) = sgn дс и (*) = —5—.
х
й
X
0 при*<0,
—х2 прих>0.
32 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
209. Найти / [/ (х) ], / {/ I/ (.х) ]}, если
210. Пусть fn (х) = / (Д . . . / (*))). Найти fn (х), если
п раз
/(*) . .
Vi + x*
211. Найти / (л), если / (х + 1) = х2—Здс + 2.
212. Найти /(*), если / (х + —!—= ха + —5— (I лс| > 2).
\ X J X*
213. Найти f (х), если/^==Jt+Vl+JC* (-*>0).
213.1. Найти /(х), если / ^= хг.
Доказать, что следующие функции являются моно¬
тонно возрастающими в указанных промежутках:
214. f(x) = x2 (0<дс< + оо).
215. f (х) = sin х ^
216. f(x)= tgx
217. f(x) = 2x+sin x ( — oo<x< + oo).
Доказать, что следующие функции являются моно¬
тонно убывающими в указанных промежутках:
218. f(x) = x2 (— оо<*<0).
219. f(x) = cosx (0 < х < л).
220. f{x) = ctgx (0<х<л).
221. Исследовать на монотонность следующие функ¬
ции:
a) f (х) = ах + Ь\ б) / (х) = ах2 + Ьх+с\
в) f{x) = x*; г) f(x)= aXj~~;
сх -f- а
д) f(x) = a* (а>0).
§ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 3S
222< Можно ли почленно логарифмировать нера¬
венство?
223. Пусть ф (я), ip (х) и f (х) — монотонно возрас¬
тающие функции. Доказать, что если
Ф (*) < / (*) < Ч» (*)•
то
ф 1ф (*) ] < / I/ (Х) ] < 1(3 [т]з (х) ].
Определить обратную функцию х = ф (у) и ее об¬
ласть существования, если:
224. г/ = 2х+3 (— оо <х< + оо)
225. у — х2; а) —оо<zx < 0, б) 0 < х<С + ос.
226.^ = -!=^ (хф-1).
\ + х
227. у = ^[—х2 ; а) — 1 < * < 0; б) 0 < х < 1.
228. у — sh х, где sh х = -i- (е* — е~х)
(—oo<x< +оо).
229. у = th х, где th х =
с* + е~х
( —оо<*< +00).
230.
' х, если —оо<а<1;
х2, если 1 < х < 4,
2\ если 4<дг< -f оо.
У =
231. Функция f (х), определенная в симметричном
интервале (— /, /), называется четной, если
/ (— х) == f (х);
и нечетной, если
f (— х) = — f (х).
Определить, какие из данных функций / (х) являются
четными, а какие нечетными:
a) f(x) = 3x—дс3; б) {(х) = У{\—х)* +^(1 -М)1';
2 Б П Демидович
34 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
в) /(х) = а* + а~х (а>0); г) /(*) = In 1 ~ ;
I ~Г X
д) f(x) = ln (x + 's/l+x2).
232. Доказать, что всякую функцию / (*)’, опреде¬
ленную в симметричном интервале (— I, /), можно пред¬
ставить в виде суммы четной и нечетной функций.
233. Функция / (*), определенная на множестве Е,
называется периодической, если существует число Т~> О
(период функции — в широком смысле слова!) такое,
что
f (х ± Т) = f (х) при х £ Е.
Выяснить, какие из данных функций являются пе¬
риодическими, и определить наименьший период их,
если:
а) / (х) = A cos кх + В sin Jir,
б) f (х) = sin х-f- -1— sin 2x-\—— sin Здс;
2 3
в) / (x) = 2 tg —^ 3tg-^-; r)/(jc)=sin*r,
д) f(x) = sin x2; e) f(x) = -\/tgx;
ж) / (x) = tg *Jx; з) f (x) = sin x + sin (x VsT),
234. Доказать, что для функции Дирихле
( 1, если х рационально,
X (*) — | 0' если х иррационально,
периодом является любое рациональное число.
235. Доказать, что сумма и произведение двух пе¬
риодических функций, которые определены на общем
множестве и периоды которых соизмеримы, есть функ¬
ции также периодические.
235.1. Функция /(х) называется антипериодической,
если
/(*+ Г) = -/(х) (Т > 0).
Доказать, что / (дс) — периодическая с периодом 2Т.
236. Доказать, что если для функции f (х) (— оо ■<
< * < + оо) выполнено равенство / (х 4- Т) = kf (х),
где Л и Т — положительные постоянные, то f (ж) =
= (х), где а — постоянная, а <р (х) — периодиче¬
ская функция с периодом Т.
§ 4 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ
35
§ 4. Графическое изображение функции
1Л. Для построения графика функции у = / (*) поступаю!
следующим образом: 1) определяют область существования
функции: X = {х}\ 2) выбирают достаточно густую сеть зна¬
чений аргумента хи *2, . . , , хп из X и составляют таблицу
соответству ющих значений функции
Уь = I (*i) (i = 1, 2, • • . , п)\
3) наносят систему точек Mt (xlt yt) (i = 1, 2, . . . , я) на коор¬
динатную плоскость Оху и соединяют их линией, характер ко¬
торой учитывает положение промежуточных точек.
2°. Чтобы получить грамотный график функции, следует
изучить общие свойства этой функции.
В первую очередь нужно: 1) решив уравнение / (х) =■ О,
определить точки пересечения графика функции с осью Ох
(нули функции), 2) установить области изменения аргумента,
где функция положительна или отрицательна, 3) если возможно,
выяснить промежутки монотонности (возрастания или убы¬
вания) функции; 4) изучить поведение функции при неограни¬
ченном приближении аргумента к граничным точкам области
существования функции.
В этом параграфе предполагается, что свойства просгеиншх
элементарных функций — степенной, показательной, тригоно¬
метрических ит п., известны читателю
Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая боль¬
шой вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков
многих функций. Другие графики иногда удается свести к ком¬
бинации (сумме или произведению и т. п) этих простейших
графиков
237. Построить график линейной однородной функции
У = ах
при а = 0; 1/2; 1; 2; — I.
238. Построить график линейной функции
у = х + Ь
при 6 = 0, 1, 2, — 1.
239. Построить графики линейных функций:
а) # = 2х+3; б) у = 2—0,1л:; у= 1 1.
240. Температурный коэффициент линейного расши-
рения железа а = 1,2* 10"®. Построить в подходящем
масштабе график функции
I = f (D 40° < Т < 100°),
где Т — температура в градусах и I — длина железного
стержня при температуре Т, если / = 100 см при Т = 0°.
2*
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
241. На числовой оси движутся две материальные
точки. Первая в начальный момент времени t = 0 на¬
ходилась на 20 м влево от начала координат и имела
скорость £>х = 10 м/с; вторая при t = 0 находилась
на 30 м вправо от точки О и имела скорость =
= — 20 м/с. Построить графики уравнений движений
этих точек и найти время и место их встречи.
242. Построить графики целых рациональных функ¬
ций 2-й степени {параболы):
а) у = ах2 при а— 1, 1/2, 2, <—1;
б) у = (х—х0)2 при *0 = 0, 1, 2, —1;
в) у = х2-\-с при с = 0, 1, 2, —1.
243. Построить график квадратного трехчлена
у = ах2 + Ьс + с,
приведя его к виду
у = г/о + а (х—х0 )2.
Рассмотреть примеры:
а) у = &х— 2х2\ б) у = х2 — 3jc + 2;
в) у= —х2 + 2х—1; r) y^~Yх2 + х+1.
244. Материальная точка брошена под углом а = 45°
к плоскости горизонта с начальной скоростью v0 =
= 600 м/с. Построить график траектории движения
и найти наибольшую высоту подъема и дальность по¬
лета (приближенно считать g « 10 м/с2; сопротивле¬
нием воздуха пренебречь).
Построить графики целых рациональных функций
степени выше второй:
245. у = лс*+1. 246. у = {1— х2)(2 + х).
247. у = х2‘—х4. 248. у = х(а—х)2 {а + л;)3 (а>0).
Построить графики дробно-линейных функций (ги¬
перболы):
249. у = ~. 250. y = -L-x-.
У X У 1+х
251. Построить график дробно-линейной функции
_ах±±_ {ad_bc¥:0) Сф0),
cx-\-d
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 37
приведя ее к виду
, т
У = Уо
Рассмотреть пример у =
х — х0
Ъх+2
2х — 3
252. Газ при давлении pQ = 1 кгс/м2 занимает объем
vQ = 12 м3. Построить график изменения объема v
газа в зависимости от давления р, если температура
газа остается постоянной {закон Бойля—Мариотта).
Построить графики дробных рациональных функций:
253. у = х-{—— (гипербола).
X
254. у = х2+—— (трезубец Ньютона).
255. у — х-
X
1
Xй
256.- у — - (кривая Аньези).
1 + X2
2х
257. у = — (серпантин Ньютона).
258. // = . 259. у =
I — X1 1 — X1
260. у =—- 1
261. // =
1 + X X I — X
1 2,1
262. у =
1 + X А'2 1 X
(х 4- 1) (х — 2)
(* — 1) (*+ 2)
263. Построить эскиз графика функции
ах2 + Ьх + с t
У = Z-TT («1=^0),
aiX + Й1
приведя ее к виду
у = kx + m-
х — ха
38
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Рассмотреть пример
264. Построить график абсолютной величины силы
притяжения F материальной точки, находящейся на
расстоянии х от притягивающего центра, если F =
= 10 кгс при х = 1 м (закон Ньютона).
265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем v ре¬
ального газа и его давление р при постоянной темпера¬
туре связаны соотношением
Построить график функции р =р (v)', если а = 2
Ь = 0,1 и с = 10.
Построить графики иррациональных функций:
2С6. у = ± V—х—^ (парабола).
2G7. у=±х'\/х (парабола Нейля).
268. у = ± 100—jea (эллипс).
269. у = ± У*2 — 1 (гипербола).
273. у = ± У(*а-П (9—ж*).
274. Построить график степенной функции у = &
при: а) п = 1, 3, 5; б) п = 2, 4, 6.
275. Построить график степенной функции у — хп
при: а) п = — 1, — 3; б) п — — 2, — 4.
ffl /— -
276. Построить график радикала у — у х при:
а) т — 2, 4; б) т = 3, 5.
277. Построить график радикала «/ = }/***, если:
а) т = 2, k = 1; 6) т = 2, k = 3; в) т = 3, k => 1;
г) т = 3, k = 2\ д) т = 3, k = 4; е) m = 4, k = 2;
ж) т
(циссоида).
§ 4 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 39
278. Построить график показательной функции
у = а* при а = 1/2, 1, 2, е% 10.
279. Построить график сложной показательной функ¬
ции у = е1,\ если:
а) уi = x2, б) f/i = — х2; в) iji = ~
г) &д) —^г; е) i/i = T!V•
280. Построить график логарифмической функции
у — logaX при а = 1/2, 2, е, 10.
281. Построить графики функций:
а) у = In (— х); б) у = — In х.
282. Построить график сложной логарифмической
функции у = In ylt если:
а) г/i = 1 + х2; б) уг = (х— 1) (х—2)2 (х—3)3;
в) У\= ; г) y1 = -L; Д) '/i=l+ е*.
1 + X X1
283. Построить график функции у = logt2.
284. Построить график функции у = A sin х при
А = 1, 10, — 2.
285. Построить график функции у = sin (к—л:0),
если х0 = 0, я/4, я/2, Зя/4, я.
286. Построить график функции у = sin пх, если
п = 1, 2, 3, 1/2, 1/3.
287. Построить график функции
у = a cos * + b sin
приведя ее к виду
у = /4 sin (х—х0).
Рассмотреть пример: у = 6 cos х + 8 sin х.
Построить графики тригонометрических функций:
288. у = cos х. 289. у = tg х. 290. у — ctg х.
291. у — sec х. 292. у = csc х. 293. у = sin3 х.
294. у = sin3*. ■ 295. у — ctg2x.
296. у — sin дс-sin Зле. 297. у = ± л/tos х.
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Построить графики функций:
298. i/ = sinje2. 299. t/ = sin-J—. 300. у = cos-^-.
300.1. у = sin я. sin—!—. 301. y = tg-^-.
X X
301.1. у = sec —— . 302. y= x ^2 +sin ——
303. у=±л/1—x2 sin-^—. 304. у = smg_
X X
305. y = e*cosx. 306. у = ± 2"* -\/sin nx •
307. y= co —-. 308. у = In (cos x).
l + & J '
309. у — cos (In x). 310. y = e]/sinx.
Построить графики обратных круговых функций!
311. у = arcsin х. 312. у = arccos х.
313. у = arctg х. 314. у = arcctg х.
315. у= arcsin—!-. 316. у — arccos—^—.
X X
317. у = arcctg —. 318. у = arcsin (sin х).
х
319. у = arcsin (cos ж). 320. у = arccos (cos л:)'.
321. у = arctg (tg х). 322. у = arcsin (2 sin х).
323. Построить график функции
у = arcsin уъ
если:
а) О
в) Уу= \~х ; г) yi = ех.
1 + JC
324. Построить график функции у = arctg г/j, если:
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 41
324.1. Построить графики функций:
а) у = х3—Зх + 2; б) У = — ** ;
(I — х)(1 + д:^
Е) у = ~г~,—Г"; г) у = л/х(1~х2) ;
I X I — 1
д) у = 3sin^—е) у — ctg
пх
l + x2 '
ж) у= • 1 _ 3) У = lg(*a—Зх + 2);
и) //= arcsin sinx^;
к) у = arctg (—!—+ —Ц-4._!__у
V дс— 1 х — 2 д: — 3 /
Л) у = logcos X sin X', м) t/ = (sin*)c,8 *.
325. Зная график функции у = / (*), построить гра¬
фики функций:
a) y = —f М; б) у = / (— *); в) y = —f{— х).
326. Зная график функции у = / (х), построить гра¬
фики функций:
а) У = f (х—*„); б) у = у о + f (х—х0);
в) у = / (2х); г) у = / (&с + 6) (Л ф 0).
326.1. Пусть
1 — |дс| при |jc 1 < 1;
0 при |*|>1.
Построить графики функций:
У = [/ (*—0 +/ (* + 01
при / = 0, t = 1 и t = 2.
327. Построить графики функций:
/<*) = {
а) у = 2 + л/\ — х; б) г/ = 1 — егх\
в) г/ = In (1 Ч-лг);
г) у = — arcsin (1 + х); д) у = 3 + 2 cos 3*.
42 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
328. Зная график функции у = / (х), построить гра¬
фики функций:
а) у = 1/(*)|; б) y = -L.(\f(x)\+f(x)y,
в) y=~Y(\f(x)\~f(x)).
329. Зная график функции у = / (х), построить гра¬
фики функций:
а) У = /2 (*); б) у -= V/W"; в) у = 1п/(х);
г) У = f(f (х)У, Д) У = sgn / (х); е) г/ = [/ (*)].
329.1. Пусть
/ (х) = (х—а) (Ь—х) (а < Ь).
Построить графики функций:
a) y = f(x)\ б) у = Р (х); в) у = —;
/ М
Г) У = VfW; Д) У = ^(лг); е) i/ = lg/ (х);
ж) у = arcctg / (х).
329.2. Построить графики функций:
а) у = arcsin [sin/ (х)[; б) у = arcsin [cos/ (дс)];
в) у — arccos[sin/(ж)]; г) у = arccos[cos /(дс)];
д) у = arctg [tg/ (*)],
если: 1) / (х) = х2; 2) / (дг) = х3.
330. Зная графики функций у = / (<) и у = g (х),
построить графики функций:
а) У = /(*)+ g (*); б) у = / (*) 5 (х); ъ) у = f (g (дг)).
Применяя правило сложения графиков, построить
графики следующих функций:
331. у=1+х + е*. 332. t/H*+l)T2-Kx^-l)-2.
333. у — х-\- sin х. 334. у = х&rc.ig х.
335. y = cosx + — cos2x + —cos Зх.
2 3
336. f/ = sin jc — sin 3jc H—sin bx.
3 5
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 43
337. // = sin4 л: + cos4 л:. 338. у —11—х| -f| 1 + jc |.
339. у = \\ —х\ — | 1 +а:[.
340. Построить графики гиперболических функций:
а) у — ch х, где ch х = (е* + е~х)\
б) y — shx, где sh jc = —(ех—е~х)\
в) у = th х, где th де = sh х
ch х
Применяя правило умножения графиков, построить
графики функций:
341. y — xs'\nx. 342. у — х cosx.
343. y = x2sin2 дс. 344. у --
/(*) = {
1 +
345. у = e-*’ cos 2x. 346. у = xsgn (sin x).
247. y = [x]|sinjuc|. 348. // = cosA:-sgn(sinx).
349. Пусть
1—1*|, если |jc| < 1;
О, если |дс|>1.
Построить график функции
У — f (x) f (a—*),
если:
a) a = 0; 6) a = 1; в) a = 2.
350. Построить график функции
у = х + -у/х sgn (sin njfJ.
Построить график функции у = —!—, если:
/ W
351. f (х) = ж1 (I—*1). 852. / (х) = х (1—х)\
353. f (х) = sin1*. 854. / (х) — 1п х.
355. f (х) = e*sin х.
356. Построить график сложной фуннции у = / (и),
44
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
357. Пусть
1 ( X PI
ф(*) = — (*+И) и ^М = ’
2 [ х2, е
Построить графики функций:
а) У = Ф [ф (*) 1; б) у = ф [i|) (л:) ]}
в) у = Ф [ф (*) ]; г) у = $ (х) ].
358. Пусть
Построить графики функций:
а) у = ф 1ф (х) ]; б) у = ф [ijj (х) ];
в) у — ^ [ф (*) ]; г) у = г|з Ь|) (*) ].
359. Функцию f (лг), определенную в положительной
области х> 0, продолжить в отрицательную область
х < 0 таким образом, чтобы полученная функция была:
1) четной; 2) нечетной, если:
а) / (*) = 1—х\ 6)f(x) — 2x—л2; в) f (x) = -\fx\
г) f (х) = sin х; д) f (At) = ех; е) f (*) = 1п х.
Построить соответствующие графики функций.
360. Определить, относительно каких вертикальных
осей симметричны графики функций:
если |х| < 1;
если |х|>1,
и
2—х2, если |*| <2;
2, если |х|>2.
а) у = ах2 + Ьх+с; б) У = — + —
X1 (1 — Х)г
в) у — ^а-\-х —х (0<а<6);
г) у = a + b cos х.
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 45
361. Определить, относительно каких центров сим¬
метричны графики функций:
\ I L /гЛ О.Х -f~ Ь
а) у = ах+Ь\ б) у = —X—;
сх -j- (L
в) у = ах'л + Ьх2 -\-cx-\- d\
д) у = 1 +Vх—2.
362. Построить графики периодических функций:
а) у= | sin х|; б) у = sgn cos х; в) у = / (х),
где / (ж) = А—- ^2 —у-), если 0 < х< 21 и / (х + 21) =
33 / (х);
г) у = М-2[-|-];
Д) У — Wt где (л:) — расстояние от числа х до бли¬
жайшего к нему целого числа.
363. Доказать, что если график функции у =
= f (х) (— оо < х < + оо) симметричен относительно
двух вертикальных осей х = а и д; = 6 (& > а), то
функция / (х) — периодическая.
364. Доказать, что если график функции у =
= /(*)(— оо <; х < + оо) симметричен относительно
двух точек А (а, г/0), и В (6, yj (6 > а), то функция
f (х) есть сумма линейной функции и периодической
функции. В частности, если у0 = ylt то функция / (х) —
периодическая.
365. Доказать , что если график функции у —
=/ {х) (— оо < х <С + оо) симметричен относитель¬
но точки А (а, у0) и прямой х = b (Ь Ф а), то функ¬
ция / (х) — периодическая.
366. Построить график функции у — / (*) (— оо <
< х < + оо), если / (х + 1) = 2/ (jc) и / (х) = л (1—л)
при 0 < х < 1.
367. Построить график функции
у = f (х) (— оо < X < + оо),
если / (х + я) = / (х) + sin х и / (х) = О при 0 < л < я.
46 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
368. Построить график функции у = у (x)t если:
а) х = у—у\ б) х = ~-уГ‘
1 +I/2
в) к = у — In у\ г) дс® = sin гу.
369. Построить графики функций у = у (х), задан¬
ных параметрически, если:
а) х = 1—/, у = 1—t-;
б) х = / + -j-, у = t + ;
в) х = 10 cos t, у = sin t (эллипс)’
г) х = ch t, у = sh t (гипербола);
д) х = 5 cos2 t, у — 3 sin2/;
е) x = 2 (t—sin t),y— 2 (1—cos /) (циклоида);
ж) x = '"yT, у = {^i + 1, (t>0).
370. Построить графики неявных функций:
а) х2—ху + у% — 1 (эллипс);
б) я3 + г/3—Злгг/ = 0 (декартов лист);
в) У* + л/у = 1 (парабола);
г) х2/3 + у>л = 4 (астроида);
д) sin х = sin г/; е) cos (лх2) = cos (лг/);
ж) ху = у' (х > 0, у > 0); з) дс— | дс | = у—| г/1.
370.1. Построить графики неявных функций:
a) min (х, у) = 1; б) шах (х, у) = 1;
в) шах (|х|, |</|) = 1; r) min (лг3, у) = 1.
371. Построить графики функций г — г (ф) в поляр¬
ной системе координат (г, ф), если:
а) г = ф (спираль Архимеда);
б) г = — (гиперболическая спираль);
<Р
в) т ——(0<ф< + °°)
ф + 1
г) г — 2ф/2п (логарифмическая спираль);
д) г — 2 (1 + cos ф) (кардиоида);
§ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 47
е) г = 10 sin Зф (трехлепестковая роза);
ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли);
з) ф = —т— (r> 1);
Т — 1
и) ф = 2л sin г.
371.1. Построить в полярных координатах г и ср
графики следующих функций:
а) ф = 4г—г2; б) ф - Пг ; в) г2 + ф2 = 100.
1 + г2
371.2. Построить в полярных координатах г и ф
графики функций, заданных параметрически (/ > 0 —•
параметр):
а) ф = / cos21,
г = / sin21, ,
б) ф = 1 —2~‘ sin ,
г = 1 —2~* cos .
2
372. Приближенно решить уравнение
х3—Зх +1=0,
Построив график функции у = х3—Зх + 1.
Графически решить следующие уравнения:
373. х3—4х—1 = 0. 374. х*—4х +1=0.
375. х = 2~х. 376. lg х = 0,1 х.
377. 10* = х2. 378. lg дс = х (0 < х < 2л).
Графически решить системы уравнений:
379. х + у% = 1, 16х4 + у = 4.
380. х2 + I/2 = 100, у = 10 (дс2—х—2).
§ 5. Предел функции
1°. Ограниченность функции. Функция / (*)
называется ограниченной на данном промежутке (а, 6), если
существуют некоторые числа ш и М такие, что
т^Ця)
при я £ (о, 6).
48 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Число т0 = inf {/(*)) = max m называется нижней
b)
гранью функции / (х), а число М0=* sup {/ (jc)} = min М на-
х£(а, Ъ)
зывается верхней гранью функции / (х) на данном промежутке
(а, Ь). Разность Л10—т0 называется колебанием функции на про¬
межутке (а, Ь).
2°. П р е д е л функции в точке. Пусть функция
I (х) определена на множестве X = {х}, имеющем точку сгу¬
щения а. Запись
lim t(x) = A (1)
х-уа
обозначает, что для каждого числа е >■ 0 существует число
6=6 (е) > 0 такое, что для всех х, для которых f (х) имеет смысл
и которые удовлетворяют условию 0<|х—а|<6, справед¬
ливо неравенство
I fix) — А I < 8.
Для существования предела функции (1) необходимо и до¬
статочно, чтобы для каждой последовательности хп а, хп Ф
а (х„ £ X; п = 1, 2, . . .), было выполнено равенство
lim / (xrt) =* А.
П-+ эо
Имеют место два замечательных предела:
1) lim = 1, 2) lim (1 + x)llx — е.
х-+0 X х-^О
Критерий Коши. Предел функции f (х) в точке а
существует тогда и только тогда, если для каждого е > О най¬
дется 6=6 (е) > 0 такое, что
I/(*')-/(О 1<е,
как только 0 <|х' — а\ < 6 и 0 < |х" — а\ < 6, где х' и
х" — любые точки из области определения функции f (х).
3°. Односторонние пределы. Число А* на¬
зывается пределом слева функции / (х) в точке а:
А' = lim / (х) = / (а — 0)4
X-+CL—О
если
| А‘ — I (х) 1 < е при 0 < а—х < 6 (е).
Аналогично, число А" называется пределом справа функции
t (х) в точке а:
Ап = lim / (х) = f (а + 0)
если
| А” —1(х)\<е при 0 < х—а < 6 (е).
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49
Для существования предела функции [ (х) в точке а необ¬
ходимо и достаточно, чтобы
f (я—0) = 1{а + 0),
4°. Бесконечный предел. Условная запись
lim I (х) = оо
о
обозначает, что для любого Е > 0 справедливо неравенство:
If (х) | > Е, если только 0 < \х—а\ < 6 (Е).
5°. Частичный предел. Если для некоторой по*
следовательности хп а (хп Ф а) имеет место равенство
lim I (лГд) = В,
П~+оо
то число (или символ оо) В называется частичным пределом.
(соответственно конечным или бесконечным) функции f (х)
в точке а.
Наименьший и наибольший из этих частичных пределов
обозначаются
lim / (х) и lim f (х)
x-t-a х-ю
и называются соответственно нижним и верхним пределами
функции / (х) в точке а.
Равенство
lim f (х) = lim f (х)
х-+а х-+а
необходимо и достаточно для существования предела (соответег*
венно конечного или бесконечного) функции f (х) в точке с.
381. Показать, что функция, определяемая усло¬
виями:
г / \ т
f (х) = /г, если х = —,
п
где т и п — взаимно простые целые числа и п > 0 й
/ (х) = 0, если х иррационально,
конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не
ограничена в любой окрестности этой точки).
382. Если функция / (*) определена и локально огра¬
ничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то
является ли эта функция ограниченной на данном ин¬
тервале или соответственно сегменте?
Привести соответствующие примеры»
50 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1 х2
383. Показать, что функция /(*)=—jj—— ограни¬
чена в интервале — оо < х < + оо.
384. Показать, что функция f(x) = — cos — не ог-
раничена в любой окрестности точки х = 0, однако не
является бесконечно большой при х -> 0.
385. Исследовать на ограниченность функцию
/ (х) = In х- sin2 —
х
в интервале 0 < х < е.
386. Показать, что функция f (х) =—-— в области
1 + X
0 ^ х <. + оо имеет нижнюю грань т = 0 и верхнюю
грань М = 1.
387. Функция f (х) определена и монотонно возра¬
стает на сегменте [а, Ь]. Чему равны ее нижняя и верх-
няя грани на этом сегменте?
Определить нижнюю и верхнюю грани функций;
388. f (х) = х2 на [— 2, 5).
389. /(*)=—L-. на ( —оо, + оо).
1 -у X
390. f(x) = -£— на (0, +оо).
1 + *
391. /(дг) = х + — на (0, + оо).
х
392. / (jc) = sin х на (0, + оо ).
393. / (дс) = sin лс + cos х на [0, 2л I.
394. / (л:) = 2* на (— 1, 2).
395. / (х) — [х}: а) на (0, 2) и б) на [0, 2 ].
396. / (х) = х — \х 1 на 10, 11.
397. Определить колебание функции
/ (*) = х%
на интервалах: а) (1; 3); б) (1,9; 2,1); в) (1,99; 2,01);
г) (1,999; 2,001).
% $ ПРСДЕЛ ФУНКЦИИ 51
398. Определить колебание функции
f (х) = arctg-^-
иа интервалах: а) (— 1; 1); б) (—0,1; 0,1); в) (—0,01;
0,01); г) (-0,001; 0,001).
399. Пусть т [/ ] и М [/1 — соответственно нижняя
и верхняя грани функции / (лг) на промежутке (а, Ь).
Доказать, что если /х (х) и /2 (*) — функции, опреде¬
ленные па (а, Ь), то
т t/i + f2] > т l/jl + tn [/2]
и
м [ft + /2] < M [/J + М [ft].
Построить примеры функций (л) и /2 (дг), для ко¬
торых в последних соотношениях имеет место: а) случай
равенства и б) случай неравенства.
400. Пусть функция f (х) определена в области
[а, + оо) и ограничена на каждом сегменте [а, 6]с
cz 1а, + оо).
Положим:
т (х) = inf /(£) и М(х)= sup /(£).
Построить графики функций у = т (х) и у = М (х),
если:
а) / М = sin х и б) f (х) = cos х.
401. С помощью «е—6»-рассуждений доказать, что
lim х2 = 4.
*-►2
Заполнить следующую таблицу:
8
0,1
0,01
0,001
0,0001
1 t t
6
402. На языке «Е—б» доказать, что
52 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Заполнить следующую таблицу:
Е
10
100
1000
10 000
• • •
б
1
1
403. Сформулировать с помощью неравенств сле¬
дующие утверждения:
a) lim f(x) = b; б) lim f(x) = b\ в) lim f(x) = b.
x-*a x-+a—0 x-*a-\-0
Привести соответствующие примеры.
Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения и привести соответствующие примеры:
404. a) lim f (х) = b; б) lim f(x) = b;
Х-юо —оо
в) lim / (ж) = b.
405. a) lim f (х) = оо; б) lim / (х) =—оо;
х-+а х->а
в) lim / (jc) = + оо; г) lim / (ж) = оо;
х~+а х->а—0
д) lim f(x) = — оо;
х-+а—0
е) lim /(лг)=+оо; ж) lim /(*) = оо;
x-+a—Q лг-*а+0
з) lim / (х) =—оо; и) lim / (х) = + оо.
x-*a+Q x^a-J-0
406. a) lim/(jc) = oo; б) lim / (х) =—оо;
Х-*-оо Л-^ОО
в) lim / (х) = + оо; г) lim / (х) = оо;
дс-»-» X—>■—оо
д) lim /(*) = — оо; е) lim /(*) = + оо;
ж) lim / (*) = оо; з) lim /(*) =—оо;
*-►4-00 *-»-f-00
и) lim / (jc) = + оо.
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
53
407. Пусть у = / (х). Сформулировать с помощью
неравенств, что значит:
а) у -*• Ь — 0 при х -> а;
б) у -*■ Ъ—0 при х -*■ а—0;
в) у Ь—0 при х -> а + 0;
г) у -> Ъ + 0 при л; -*■ а;
д) у -*■ Ь + 0 при х а—0;
е) у~+ b + 0 при х -> а + 0;
ж) у-у Ъ—0 при х-»- оо;
а) у -> b—О при х -*■ — оо;
и) У -*• Ъ—0 при х + оо;
к) У -*■ Ь + 0 при х -> оо;
л) у b + 0 при х -*■ — оо;
м) у -*■ b + 0 при х -*■ + оо.
Привести соответствующие примеры.
408. Пусть
Р (х) — aQxn + alxn~l+ . . . + ап,
где a, (t=0, п; п > 1,а0 Ф 0) — вещественные
числа.
Доказать, что lim | Р (лг) | = + оо.
409. Пусть R(х) = • а°хп + а1*п-1 +•• • + *"
а0Ф 0 и bQ Ф 0.
Доказать, что
60^ + Mm-l + . .. + Ь„
где
lim /?(*) =
410. Пусть R (х)
°0
О,
Я(лс)
если
если п = т;
если n<.tn.
Q(x)
где Р й и Q (ж) — многочлены от х и
Р (а) = Q (а) = 0.
Какие возможные значения имеет выражение
lim
Р (х)
54 ОТДЕЛ Г ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти значения следующих выражений:
411. a) lim—- ; б) lim * 1
х-*о 2х2 — х — 1 * х->1 2х2 — х — 1 *
х2 — 1
в) lim
дс->оо 2х2 — X — 1
412 ijm П + *)П + 2*) (1+34-1
х—>0 ^
413. limJL+^L-O + S*)..
ж-»о J:2 +
414. lim (* + — (1 + ял)—^ и п—наТуральные
х-»0 х1
числа).
415 lim (*-!)(*-2) («-3)(х-4) (л-5)
' *-оо (5дс - I)5
4|в. „ш (аг-зри. + я- ^
ж-»-оо (2х 1 j**0
417. lim » + !><*+'>
X—►«> п+[
Цпх)я + 1] 2
418. lim 419. lim~ ^ + 2 .
*-з ж* — 8*+ 15 X-+I х*-4х+г
ллл 1* х* — Зх+2 АП1 г х3 — 2х2— 4х + 8
420. lim —. 421, lim ——.
Jt->1 х5 —4х+3 дс->2 х4 — 8ха+16
422. lim *3~2*~1 , 423. lim ~~2)” .
*— I х» — 2х — 1 ж-2 (л3 — 12*+ 16)1и
424. Hm « + **+•
х—> 1 X— 1
х100 — 2х+ 1
424.1. hm ——.
х50 — 2х + 1
хт i
425. lim—-—р (т и п—натуральные числа).
л*и» 1* (*л — art) — пап~г (х — а) ,
426. lim — - —* — (п—натуральное
х -+а (х — ау
число).
1* -*Я+1 — (Л+1)Х+Л , ч
427. lim .—-—(л—натуральное число).
*-►1 (* — I)2
§ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Б5
428‘ !5( 1-хт' ГГ^г) (т и "-натураль¬
ные числа).
429. lim —[(*+—) + (*+—)+.. .
«-►оо п L\ п J \ п J
430. lim — \(х + —V + (х + —У + . . .
/1-*оо п L\ « / \ п J
Указание. См пример 2.
431. Цт-1,±3,+
п^оо 22+ 4г + . . .+ (2и)г
I3 + 23 + . . . + я3
432. lim (
►оо \ tl°
Указание. См пример 3.
т)-
I3 4- 43 + 73 + . . . + (3« — 2)3
п-*со (1 + 4 + 7 + . . . (Зл — 2)|2
433. lim
434. Определить площадь криволинейного треуголь¬
ника ОАМ (рис. 3), ограниченного параболой у —
= b (х/а)2, осью Ох и прямой х = а, рассматривая
ее как предел суммы площадей вписанных прямо*
угольников с основаниями aln, где л -> оо.
56 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти пределы:
435. lim _V*.+V* + V*
■‘■н-00 ух+,
436. lim V* + K*+}f_L
*-ч-~ + l
Vi + 2* -3
437. lim
л:—► 4
438. lim
~-8 2+^J
439. lim
x-»-j — a2
440. lim V^-^V»±L.
at—►з x2 — 9
441. lim j/jLp±±±'
Jt—►—2 x* + 8
442. lim -тЛ^~—. 443. lim .V9 + 2.1 ~ 5
*’>16 -y/x — 4 *-’-8 уЛс — 2
444. lim (n—целое число).
x-*-0 x
445. lim - 0+^,.
X —►О A?
446. lim >.F±1X~X> ~2 .
jc-+o x + *2
447. lim /27±-* ~У27 ~ * .
x~*° x + 2^/x*
448. lim ,VI+7.-yT^iL.
*-*0 -j/" 1 -j- JC — •/1 — *
449. lim- V^+2 -3A“+M-
a->? 1
VT+9 _2
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 57
450. lim
*-*Q
451. lim •
-Vi-f
yi + 5x-(l+*)
m / -—; n з—
I- У 1 + ax yl+P^ / V
452. lim ——! -——— (m и n—целые числа).
*-0 x
yi + ouT^l + px -1 ,
453. lim —*■—1:1 -—— (man — целые
*-»o X
шсла).
454. Пусть Р (*) = агх + а2хг + . . . + алхп и т —
хелое число.
.. /1+Р(х) — 1 Oi
Доказать, что lim- .
*->о * т
Найти пределы:
ггу- |
455. lim—!— (т и п—целые числа).
455.1. lim ( \ V
*">1 \ 1 —л/х \ — уГХ)
456. lim
(1 — Х)"'1
457. lim [д/(дс + а)(* + Ь) — х].
X->-foo
458. lim (V* +V*+v* — v*)-
*-►4-00
459. lim x{-\Jx2-]-2x — 2^хг-\-х + *).
m ,!!?,(Vt+Vt+VT-
-VwwD-
58 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
461. lim (>^х3 + л:2 +1 — >^л:3—х2 +1 Y
Jt—►оо
462. lim (]/ х* -f- Зле2—д/х2—2х\
Х-+-\-оо
463. lim л:1/3 [(* +1)2/3 — (х—1)2/3].
X—►оо
464. lim x3/2(V^+ 2—2^/jc+I -fV*)-
*-►+00
465. lim \V(*—^i) . . . (x + Qn) —*1-
X-»+oo L J
лаа 1* (* — V*2 — 1 )* + л/x2 — 1 )Л у
466. lim - —— - —in—нату-
*-+oo Xn
ральное число).
лап г ('V1 4- х2 + х)" — (V1 + х2 — х)П .
467. lim-^ ^ ——! — (л—нату-
х -+Q X
ральное число).
468. Изучить поведение корней хх и х2 квадратного
уравнения ах2 + Ьх + с = 0, у которого коэффициент
а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с постоянны,
причем b Ф 0.
469. Найти постоянные а и Ь из условия
lim ах—b \ — 0.
х-+оо \ ■* + 1 )
470. Найти постоянные at и bt (i = 1, 2) из условий:
lim (V*2—*+1—atx—bi) = 0
Х-У—ОО
И
lim -yjx2—jc + 1—агх—&2) = 0.
*-►+00
Найти пределы:
Ant sin Ък лпск 4. sin*
471. lim . 472. lim .
X —>0 X Х—*-эо X
473. lim-sin тх (т. и п—целые числа).
x-t-я sin пх
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 59
474. lim T~cos*-. 474.1. lim-^.
x->0 X2 x->0 л
474.2. Hmjectg3A:.
*-►0
лпf? 1- tg * — S^n * л-?/? 1- sin 5*— sin 3x
475. lim—5 . 476. lim .
x-*q sin3* *-*o sin*
Ann cos x — cos 3# ,^o 1*— l + sin* — cos*
477. lim . 478. lim 1 •
«->0 X2 X-+Q 1 -J- Sin pX — COS pX
479. lim tg2*tg(——xY 480, lim(l—x)tg
х-*л/4 \ 4 J *-»l
48Ь Доказать равенства:
a) lim sin x = sin a; 6) lim cos * = cos a;
SIX
~
x-+a
в) lim tg* = tga
x-+a
n = 0, ±1, ±2,. . .y
Найти пределы:
482. lim -s-i-n-JC~5ine.. 483. lim ■cos*~cosa .
x -+a x — a x-*a X — a
484. lim—e*~ tg485. lim .
r-Ki x — a x-*Q x — a
486. lim *ec*~seca., 487. iim _«*«=*-cosec а
* — Д * — a
^gg jjm sin (a + 2дс) — 2»sin (a + x) + sin a
*-*o jkj
4gg Jjm cos (о + 2дс) — 2 cos (a + я) + cos a
*4-0
490. lim <g(*+,2*)-2tg(a + *) + tg0>
Jt-»0 Jta
4qj lim cte(a + 2*) — 2cig(a +jc) + ctga
*-»o *2
492 lim *in + *)sin (Д -f 2«> — sin2a
*-*o *
493. Hm + ,
Х+Я16 2slii2x — 3sin x -j-1
494. lim
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
I — cos х cos 2х cos Зл:
х-*о 1 — cos х
slnfx — —)
495. lim - —. 496. lim tg3*~3tg*
^„/3 1 2 cos x x-rn/3 C0S^x + Jlj
497. lim <§(* + *> tg
x-+Q X2
498. lim '~ctg3jc .
Х-+П/1 2—ctg ctg3 X
499. lim + + »"£_.
X-»Q X3
500. lim-
x~*° Vl + *sinjc—л/cosx
501. lim Vcos* ~3/c'
x->o sin X
502. 503. lim ^-Vccx, ^
,-*> 1-cos* „о j _ cos (i/x)
504i |im l — cos x Vcos 2x Vcos 3*
x-►0 x1
505. lim (sin^x+l—sin^/x).
/ II V \ (I— V*)/(l — X)
506. a) lim [ ——j .
*-*o \ 2+x J *
6) lim(^P) ; B) lim
x->l\2x ) x^+<x>\2-\-xJ
507. lim ( x-+2 Y. 508. lim f —'~+ 1 Y^.
^-+■00 V 2jc — 1 / л~>м \ 2x~ -|- Л 4" 1 /
509. lim fsin"—-лп V
П-+00 \ Зп -j- 1 /
610. lim rtg(^ + *Yf
Jt-*.n/4+Q L v 8 J J
itfi 2x
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 61
513. lim ( х\+-2х —■ V/x. 514. \\тУТ^2х.
х-ис \ 2х2 — Зх — 2 /
515. Шп(-^±"Л‘.
Х->оо \ X — CL /
516. lim (-'х~ М* (aL>0, аг>0).
Jt-^+oo \ ^2Х Т /
517. lim (1 +x2)ctsl*. 518. lim (1 +sin я*)с‘еп*.
*-►0 х—>1
5,9. lim f | + 1«« )ш"‘.
х-+с\ 1 + sin л )
519.1. Гт( ! + ‘8-*
*-+oV 1 + sin х J
520. 521. limf-i^-'pK
t-*A sin a J *-*o\ cos 2л J
522. lim (tgx)lg2*. 523. lim (sin x)^x.
х-^л/4 Х-+Я/2
524- 11т.Кт-0Г*'^
525. lim (sin — _|_cos —) .
X*+oo \ X X /
526. lim J/^cos У* .
x-> 0
527. lim (-nJr 1 У . 528. lim cos" —£=-.
n-+oo \ tl — 1 / n-+oo 'у ^
529. lim JiliLLfL. 530. Hm je[ln (x-f-1)—In*].
X—► 0 X x ►■{ oo
531. lim ,1п*-1пд (a>o).
x-*a x — a
532. lim [sin In (* + 1)—sin In x).
533. lim ■ '-n (*1~*+ [) .
,^.+ccl ln(*w + x+l)
534. lim ftg -l0°-+ --~У
x-+<»\ 1 + 100л:2 J
535. lim Ja£±gL.
x-+-{-go In (3 -j- e2*)
536. lim Jllil + ViiLz5l.
*-*+eo In (l + Vx + Vx)
62 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
537. lim -log {x + h)+ log ~ ~ 2 1о? * (x> Q).
h-+ 0 h1
In cos ax
lntg( ^+ax)
538. lim —. 539. lim
*-►0 sin bx x-*o In cos toe
540. ]im(In «*+Vr=«gLV
x-+Q \ x + Vl — x2 )
540.1. lim +
In (x + Vl — x-)
541. lim a ~ 1 (a>0). 542. lim a ~'*a- (a>-0)«
x->Q X x~>a X — a
543. lim x*~a° (a>0). 544. lim (x + e*)'/*.
a x — a x ->-0
545. limf-i+^Y"1.
x-*-0 \ l + *-3* )
545.1. limf-L+sinxcoso^Ytg3'.
X-+Q V 1 + sin X COS P* )
545.2. lim sm (jijc<X) . 545.3. rim _...sill~(n-2*) .
sin (кх&) x-*i In [cos (я • 2х)!
/ тг i ч еах — е$х
546. limtg"( — + —]. 547. lim .
п-+оа \4 п) x-+q sin ou—sin рлг
548. lim Х'1 ~(а>0). 549. lim 0 ■ (а>0).
х-*а *р — ар х-*Ь X — Ь
550. lim (в>0).
551. lim <« + »)“• («+'->"■ ,
*-юо (х + a -f Ь)1х+а*Ь
552. limnCyfx — l) (*>0).
п-юс '
553. lim п2 (УТ—П4)/^Г) (х>0).
П~+оо
554. lim ( а-] + УГь "} (а>0> ь>0).
п->х, \ а /
555. lim ( "A + "/*-Y (а>о, &>0).
п-юо \ 2 /
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 63
556. lim ^JL+JL+iiLy7* (а>0, Ь> О, О О).
557. + Г (а>0, 6>0, с>0).
*-*о V а + Ь + с )
/ X2 I кх2 \1/Jt
558. lim ( —7-7—7- ) (а>0, Ь>0).
*->0\ ax+bx /
2 2
559* lim Т(а>0> ь>°)*
*-*о (а* —6*)2
560. lim ——~ а — (а>0).
ах — ха
561. a) lim б) Hm -M+^L.
In (1 + 2*) *-+« In (1 + 2*)
562. lim ln(l+2*)lnA + —V
*->+» \ x )
563. lim (1 —x) log* 2.
Х-И
564. Доказать, что
lim = 0 (a>l, n>0).
jt->+oo a*
565. Доказать, что
lim (a> 1, e>0).
X—► -f-oo X
Найти пределы:
566. a) lim ln (** + **> ; б) lim
x-*o In (**+e«) x-*+oo In (x4 + eix)
567. lim ln-(1 + ^ .
1п(* + У1 + ж2)
568. lim [(jc+2) In (jt+2)—2 (jc+ 1) In (дс+ l)-f-JC In ж].
*-►4-00
569. lim Г 1п(л1пд)«1п/—n— -VI
П HJJ
570. lim (In_*±V*I±1_.(n-si+L'j,
Л-++СО \ Л+ V*2 — 1 )
04
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
1* Л/i + xsmx — 1
571. lim v -- -— .
*->о е*‘ — 1
572. Пт cosjx**)-«*(«-*) ^
х-*й х*
573. lim (2г*/(*+'> ■—1)(*1+1>/*. 574. lim (2—jt)sec(тиг/2).
x~>Q х-*1
575. lim
1 — sina+px
х-*п/2 ^/(i—sin«*)(l—sinPx)
576. a) lim-^-; 6) lim chx_1
(a>0, P>0).
X-+0 X
th x
x->Q
в) lim (см. пример 340).
X-й) x
576.1. lim-
shJ x
(см. пример 340).
577. lim
*-►+00
*-►0 In (ch 3*)
sh V'2 + x — sh л/x2 — x
ch x
577.1. a) lim s-^~sh.fl- ; 6) lim-c-h-x-ch^-.
x~y a x — a
578. lim (x—Inch*).
*-►+00
577.2. lim
*-► a x — a
In ch x
X -*U In COS X
579. lim
X-+ 0
580. lim
П-+ oo
^sin 2x x
Ihx
ch-i- \“‘
cos
581. lim arcsin
n J
I — r
1 + *
582. lim arccos (У*2 + * —*)•
JC^+oc
583. limarctg . 584. lim arctg
«-2 (x — 2Уг — , s
(x-2)
VTT
ft б. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
1п-1 + х
586. lim 1~х
х-+0 arctg (14-*)— arctg (1 — дс)
587. lim Гп arctg - tg" (— + -^-Yl,
n-ooL 6 п(**+1) + дс 6 \А т 2л ЛГ
688. lim ж Г— arctg—-—V
Х-ОО V 4 6 х+ 1 )
589. lim х (——arcsin —- х Л.
*•*+*’ \2 V*2+1 /
[/ _ пя -|СОзес (я лЛ+л*)
Л J
691. Нт——е-ч*. 592, ]1т*1пж.
x-*Q *1М Jt-^-f-0
693. а) 11т (л/хг + х •—ж); б) Ит (Уж2 + х —)
*-►—00 X-*- +00
694. a) lim (yi +* + ж2 *-yi—-ж + ж*);
Х-+ — 00
б) lim (д/1 + ж-}-жа —yi —ж + ж*).
694,1 Найти А=> lim /(ж)— lim /(ж), если
/(ж) = 1п *+V*+^
*+ V*2 +
695. a) lim arctg—-—; б) lim arctg—.
JM-1-0 1— X *-И+0 1 —X
т-а) б) Л5.Т+75-
607, a) lim _!2iL±i2-; в) lim -М-+£2.,
X-*—OD X Ов X
598, Доказать, что
Qy
а) -j-j- >-2+0 при x-> — oo;
б) *-2—0 при x-*~ + oo,
Б. П. Демидович
66 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
599. Доказать, что
а) 2*-*1—0 при jc—► —0;
б) 2х-* 1+0 при Х-+-+0.
600. Найти /(1), /(1-0). /<! +0), если / (х) =
= х + Ua).
601. Найти/ (л), / (п—0),/ (п + 0) (п = 0, ± 1, .. .)»
если / (*) = sgn (sin я*).
Найти:
602. lim х у\ /cos — . 603. 11тжГ~1.
я-*о V * л-+о L * J
604. lim sin (л V^+T).
П—►оо
605. lim sin* (я *Jn* + n).
Л—►оо
606. lim sin sin ... sin x.
~ 1 ^
п раз
607. Если lim <j> (x) = А и lim i|) (x) = В, то следует
ж-*а Х-+Л
ли отсюда, что
lim тр («р (х)) = В?
х-+а
Рассмотреть пример: q> (х) = IIq при х = plq, где
р и q — взаимно простые целые числа и <р (*) =* 0 при
х — иррациональном; ф (*) = 1 при х Ф 0 и (х) = О
при х = 0; причем х -*• 0.
608. Доказать теоремы Коши: если функция /(х)
определена в интервале (а, +оо) и ограничена в каждом
конечном интервале (а, Ь), то
а) lim f = lim [/ (х +1)—/ (дс)];
Jf-^+oo X
б) lim [/(*)]■" = lim Mi+Ч (/ (д) > С>0),
предполагая, что пределы в правых частях равенств
существуют.
609. Доказать, что если: а) функция / (ж) определена
в области х > а; б) ограничена в каждой конечной об*
ласти а < х < Ъ\ в) lim (/ (х + 1) — / (дг) J =* оо, то
I ». ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 67
610. Доказать, что если: 1) функция / (х) определена
в области х > а; 2) ограничена в каждой конечной об¬
ласти а < дс < Ь; 3) для некоторого натурального п
существует конечный или бесконечный предел
Um j(«+ч-н«>
Х~»+оо к*
ТО
lim Ш- = -
ХЧ-+Ж п+ I
611. Доказать, что
а) lim (1 + —Y = ех\
Л—►оо \ Л /
б) Hm(l + *+^
п-*аа \ 21 п1 /
612. Доказать, что
lim nsin(2nen\)— 2п.
n-Mt
Указание. Использовать формулу (*) примера 72.
Построить график функций:
613. а) г/ = 1 —jc100; б) у= Um (1—1<*<1)
Л-+-оо
у1М ч .
614. а) у= (*>0)'. б) y = lim—-(х>0).
1 -f- «-»-£» 1 Т" ДС
615. </ = lim (х=/=0).
И П-ос
5. jc= lim а /.
«->00 V
616. ' -9 ■ 1
ТГ
п j
617. у = Х\т. \х« (jc>0).
«-►оо
618. у= lim |/Г1 + дг" + ('у-)П (-«>0).
~П+2
6ГО. у — lim — - (де ^ 0)1
П-*» ^2гп +
620. а) у = sin1049дс; б) у= lim sin2"*.
3»
68 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
621. у = lim + (*^0).
fl—►оо ft
622. у = lim (х— 1) arctgхл.
П-+ОС
623. у = lim V1 + е"<х+‘>.
624. у = lim
П-+оо
х + etx
t-+±oc 1 + etx
625. у = lim —^—In— (x>0)t
i^X t — x X
625.1. y — lim (jc>0).
n_*'00 tg^i nx | j
625.2. y = lim jcsgn |sin*(/ilnx)|.
625.3. Построить кривую
lim V\x\n + \y\n =1.
n-> oo
626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f (х)
называется прямая у = kx + b, для которой
lim (/(*)■—{kx-\-b)\ =0.
X—► оо
Используя это уравнение, вывести необходимые и до¬
статочные условия существования асимптоты.
627. Найти асимптоты и построить следующие крн^
вые:
а) У = —ГГ"—г; б) у= л/х*+х ;
х2 + дс — 2
?/-!л ГЗГ -ч *<?*
в) «/= /л:2—*3 ; г) </ =
д) ^=^(1+0; е) у = *-}-arccos-^-.
Найти следующие пределы:
628. lim
im Г-
И-ао L
Яг-*- ас I L(«+l)l (я+2)1 (2n)l J
629. lim ((1 -+ х)(1 -f х*)(1 +х*)... (1 +лсая)], если
«-►00
|дс|<1.
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 69
G30. lim (cos — cos — . . . cos ——^.
n-ooV 2 4 2" /
631. Пусть lim =1, где t|) (x) > 0 и пусть
х—v О 'Р (л)
a,nnZt 0 (m — 1, 2, . . .) при п-+ оо, т. е. |ат„| < в
при т = 1, 2, . . . и п > N (е).
Доказать, что
Пт [ф(а1л) + <р(а2я)+ . . . +ф(апЛ)] =
п -*00
- Пт №(а1я) + \1)(а2я)+ . . . +1|>(а„Л)Ь (I)
предполагая, что предел в правой части равенства (1)
существует.
Пользуясь предыдущей теоремой, найти:
• miflA+T-1)-
632
t=i
а
633. Игл У (sin—'].
rt-*0О LmJ \ п? J
k = l
п
634. lim £ (а*/л1—1) (а>0).
л-*оо k~l
п
633. lira ПО+ -£“)•
ft—► 00 k =1 ' *
п
ka
636. lim П cos /- •
п-ooftii
637. Последовательность хп задана равенствами:
Xl = V^, bWa + ja . *з= Va+V^TV^ • ••
(а>0).
Найти lim хп.
П-+оа
70 ОТДЕЛ t ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
637.1. Последовательность хп задается следующим
образом:
*i = 0, ха = 1,
Х% — — (^л-1 Ч"ха-г) (я =5 2, 3* . ■ ■ )■
Найти lim х„
П-мо
637.2. Последовательность */„ определяется с по¬
мощью последовательности хп соотношениями:
Уо== *^о» Уп = хп а-«я-1 (л = 1» 2, . . .)|
где 1<х 1 < 1. Найти lim х„, если lim у„ = Ь.
П-+<х> П~+ао
637.3. Последовательность хп определяется следую¬
щим образом:
хв — 1, хп = ■ ■ (п= 1, 2, . , , ).
1 + **-i
Найти lim ха.
П—►ОО
Указание Рассмотреть разности между хя и корнями
1
уравнения х= .
\ + х
638. Последовательность функций
Уп=Уп(х) (0<ДС<1)
определяется следующим образом:
X X Уп— 1 / п л »
Ух — • Уп ~ (л — 2, 3, . . . ).
Найти lim у„.
Л—►О©
639. Последовательность функций у„ = (дс)
(0 < х < 1) определяется следующим образом:
* х , Уп—1 . о о \
*/! = — • = — + —(л = 2, 3, . . .).
Найти lim уп.
639.1. Пусть х> 0 и уп = уя_! (2—J (п = I,
?, . . .). Доказать, что если у(> 0 (/ = 0, 1), то после¬
довательность уп сходится и
lim уп — ——.
X
| 1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 71
Указание. Изучить разность
1
Уп*
х
639.2. Для нахождения у= л/х, где дс>0, при¬
меняется следующий процесс: 0 — произвольно,
Уп= ) (я=1, 2,« « .).
2 V Уп-1 /
Доказать, что
lim уп - V*.
«-►оо
Указание. Использовать формулу
у (я>1).
Уя+ V* \ Ул-1 + V* /
640. Для приближенного решения уравнения Кеплера
х—esin* = m (0<е<1) (1)
полагают
хь = т, Afi^m-1-esinxe, . . . , хп = m + е sin xn.v . . .
(метод последовательных приближений).
Доказать, что существует £ = lim хп и число £ яв-
Л-*оо
ляется единственным корнем уравнения (I).
641. Если ©а (/] есть колебание функции f (х) на
сегменте | х—£ | < h (h > 0), то число
(о„ [/] = lim to* I/]
h->0
называется колебанием функции f (х) в точке £■
Определить колебание функции f (х) в точке х — 0,
если / (0) = 0 и при х Ф 0 имеем:
a) /(*> = sin —; б) f(x) = -±-co&;
X Хг X
в) f(x)=x(2+sin—V г) f(*) = —arctg-^;
Ж) /(*) = (* +1*1)'".
642. Пусть / (х) = sin -j-.
72 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Доказать, что, каково бы ни было число а, удовлет¬
воряющее условию — 1 < а < 1, можно выбрать по¬
следовательность хп —*■ 0 (л=1, 2, . . .) такую, что
lim / (х„) = а.
Ц-*оо
643. Определить
I = lim /(х) и L = lim/(*),
jc-+0 Jt->0
если:
а) /(*)=sin2 — + — arctg —;
X n X
б) /(*) = (2 — х2) cos -J-; В) /(*) = (l +COS5 <1/Д:).
644. Определить
I — lim f {x) и L = lim / (x),
Х-уоо ДГ-+ОО
если:
a) /(•*) = si п x", 6) f (x) = хг cos2 x\
в) f (x) = 2sin r) / (x) = — *,-■ (*>0).
1 + дс2 sina x
§ 6. О-символика
1°. Запись
Ф (jc) = О (ф (ж)) при х £ X
обозначает, что существует постоянная А такая, что
1ф(*)1<Л Ж*)1 Для х£Х. (1)
Аналогично пишут
Ф (*) = О (1J) (дс)) при х а, (2)
если неравенство (1) выполнено в некоторой окрестности Ua
точки а (х Ф а), В частности, если ур (*) Ф 0 при х £ Ua (хФ a) t
то соотношение (2) заведомо имеет место, если существует ко-
Ф (х)
нечный Ит — =£0. В этом случае будем писать ф (х) =
х-+а Ур (х)
в О* 0|> (*)).
Если
Hm _2i£L.—kфо (р>о),
х-+0 хр
то (х) называется бесконечно малой порядка р относительно
§ б. О-СИМВОЛИКА 73
бесконечно малой х. Аналогично, если
Пт =кфй (р > 0),
Х-+ос ХР
то г|э (*) называется бесконечно большой порядка р относительно
бесконечно большой х
2°. Запись
Ф (х) = о 01? (*)) при х а
обозначает, что
Ф (х) = а (х) У (X) (х £Ua, X Ф а), (3)
где а (*) -* 0 при х -► а Если (*) ф 0 при х £ Ua, х Ф а,
то равенство (3) эквивалентно утверждению
фМ
0.
называются эквивалентными
lim
г|? (х)
3°. Функции ф (х) и г|? (*)
(ф U) ~ "ф (лс)) при х -►а, если
Ф (*) — ф (*) = о (ф (х)) при х-+а.
Если if (х) ф 0 при х £ Uа, х Ф а, то из (4) имеем
<Р (*)
(4)
lim
к-+а
= 1.
При х -+■ 0 справедливы соотношения эквивалентности]
sin х ~ х\ tg х ~ дс; а* — 1 ~ х In а (а > 0);
1п(1-[-х)~х; 1 + х —1~— .
п
Вообще
<Р (х) + о (<р (х)) ~ ф (дс).
При нахождении предела отношения двух бесконечно ма¬
лых (или бесконечно больших) функция
при х -+ а данные функции можно заме¬
нять эквивалентными.
645. Считая центральный угол
АОВ = х (рис. 4) бесконечно малой
1-го порядка, определить порядки
малости следующих величин: а) хорды
АВ; б) стрелки CD; в) площади сек¬
тора АОВ; г) площади треугольника
ABC; д) площади трапеции АВВ^А^,
е) площади сегмента ABC.
646. Пусть о (f (х)) — произвольная функция, имею¬
щая при х а более низкий порядок роста, чем функ¬
ция / (х), и О Q (дс)) — любая функция, имеющая при
74
ОТДВЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
к —► о тот же порядок роста, что и функция f (х), где
f(*)> 0.
Показать, что
i) о (о (f (х))) = o(f (*)); б) О (о (f(x))) = о (J (х));
в) о (0(f (*))) - о (} (ж)); г) 0(0Q Ш) ~ О (J (х)),
Я) О (f (*)) + o(f(x)) = 0(f (х)).
647. Пусть х 0 и п > 0. Показать, что
а) СО (Xя) = О (Xя) (С Ф 0 — постоянная);
б) О (*") + О (хт) — О (Xя) (п<т);
в) О (*") О (хт) = О (дя+т).
648. Пусть х + оо и п>0. Показать, что
а) СО (х«) = О (Xя);
б) О (Xя) + О (хт) = О (хя) (п > т);
в) О (Xя) О (хт) = О (хп+т).
649. Показать, что символ ~ обладает свойствами:
1) рефлексивности: ф (х) ~ ф (х); 2) симметрии: если
Ф (jc) ~ tp (at), то ф (х) ~ ф (jc); 3) транзитивности: если
Ф (х) ~ (х) и -ф (jc) — X (лг), то ф (*) ~ X (jc).
650. Пусть х —*• 0. Доказать следующие равенства:
а) 2х—х2 = О (х); б) x.sin -у/х = О (х372);
в) *sin-L = 0(|*|); г) In (е>0);
е) arctg — = 0(1);
X
ж) (1 + х)п = 1 + пх + о (х).
651. Пусть х-*■ + оо. Доказать следующие равен¬
ства:
а) 2 ж*—Зх* +1 = 0 (ж3);
% 6. О СИМВОЛИКА ?5
в) * + ^sin* = 0(x*); г) -у^- = 0(-^-);
д) In дс = о (дс*) (е>0); е) хре~х = о ;
V■*+ V* + V* ~ <\[х\ з) jc* + дс1п10вдс ~ дс*.
652. Доказать, что при достаточно большом дс > О
имеют место неравенства:
а) *»-f IOjc + IOOcO.OOI*3;
б) 1п100одс<д/]Г; в) дс1в£*<е2*.
652.1. Доказать асимптотическую формулу
У*а+Р*+<7 = дс + -£- +0(^-)
при дс —► -f" ОО,
653. Пусть х -> 0. Выделить главный член вида
Сдс" (С — постоянная) и определить порядки малости
относительно переменной х следующих функций:
а) 2дс—Здс3+х5; б) -у/Т+х-—-\/1—дс;
в) Y1—2дс —1 •—Зле; г) tg дс—sin х.
654. Пусть дс —► 0. Показать, что бесконечно малые
а) Ж=-г—; б) f{x) = e-v*
1л X
не сравнимы с бесконечно малой х* (п > 0), каково
бы ни было п, т. е. ни при каком п не может иметь место
f(x)
равенство Нш - ' -- к, где к — конечная величина,
*-►0 хп
отличная от нуля.
655. Пусть дс —*■ 1. Выделить главный член вида
С (дс—1)" и определить порядки малости относительно
бесконечно малой х—1 следующих функций:
а) дс3—Здс + 2; б) Vl — V3T;
в) 1пдс; г) е*—е\ д) дс'—1.
76 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
656. Пусть х —► + оо. Выделить главный член вида
Схп и определить порядки роста относительно бесконечно
большой х следующих функций:
a) Xs+100*+10000; б)
*3 — Зх + 1
3 ,
в) у/х%—х +УГ. г) д/l + Vl + V^ •
657. Пусть дг + оо. Выделить главный член вида
с(тУ и определить порядки малости относительно
бесконечно малой — следующих функций:
X
а) б) У^+Т-V* I
в) Ух+2—2Vx + 1 + д/х ; г) — sin —.
х х
658. Пусть х —► 1. Выделить главный член вида
и определить порядки роста относительно
бесконечно большой —следующих функций:
ч 1 ч In X
Г) — ; д)
sin лх (I — х)а
659. Пусть х -+• + оо и (х) = х" (п = 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций /„ (х) растет бы¬
стрее, чем предшествующая функция /„_х (х); 2) функ¬
ция ех растет быстрее, чем каждая из функций /„ (х)
(я = 1, 2, . . .).
660. Пусть х -»■ + оо и
fn(x)^=y/T (п = 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций /„ (х) растет
медленнее, чем предшествующая функция fn.i (л)|
2) функция f (х) = In х растет медленнее, чем каждая
из функций /„ (х) (/1=1, 2, . .
5 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
77
661. Доказать, что какова бы ни была последова¬
тельность функций
fl М> /2 М. • • • . /я (*). • • • (*о < X < + оо),
МОЖНО построить функцию / (X), которая при X + «>
растет быстрее, чем каждая из функций /„ (я) (л = 1,
2, . . .).
§ 7. Непрерывность функции
1°. Непрерывность функции Функция / (х)
называется непрерывной при к = х0 (или в точке х0), если
Hm /(*)«/(*о) (1)
*-►*<)
т е. если функция / (лЛ определена при х = х0 и для каждого
е > 0 существует 6 = о (е, х0) > 0 такое, что при | х—х0 | < 6
для всех значений I (х), имеющих смысл, выполнено неравенство
I/ (*) — f, (х0) | < е.
Функция / (х) называется непрерывной на данном множестве
X = {jc} (интервале, сегменте и т. п ), если эта функция непре¬
рывна в каждой точке множества X
Если при некотором значении х = х0, принадлежащем об¬
ласти определения X = {х} функции / (х) или являющемся
предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено
(т е или (а) не существует число f (х0), иными словами, функ¬
ция не определена в точке х = х0, или (б) не существует lim j[ (х),
х-+х0
или (в) обе части формулы (1) имеют смысл, но равенство между
ними не имеет места), то х0 называется точкой разрыва функции
f (х)
Различают: 1) точка х0 разрыва первого рода% для которых
существуют конечные односторонние пределы:
/ (Xq — 0) =5 lim f(x) и /(х„ + 0) =• lim f (х)
X-tXo—0 X-*-Xo+0
и 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность
t (*о + 0) — I (х0—0)
называется скачком функции в точке х0.
Если выполнено равенство
И*0 — 0) = I (*о + 0),
то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей
мере один из пределов / (х0 — 0) или J5 (х0 + 0) равен символу оо,
то jc0 называется точкой бесконечного разрыва.
Если выполнено равенство
f (*о — 0) = f (*„) (или f(xt + 0) = t (хе)),
то говорят, что функция f (х0) непрерывна слева (справа) в точке х0.
Для непрерывности функции f (х) в точке хв необходимо и до¬
статочно равенство трех чисел*.
Цх„ - 0) = I (*„ + 0) = t М-
78
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ Б АНАЛИЗ
2е. Непрерывность элементарных функ¬
ций. Если функцни [ (х) н g (х) непрерывны при значении
К xQt то функции
a) I(*)±g (ху, 6) 1(х)е (ху, в) -Щ- (е МФО)
е(х)
также пепрерывны при к = х0.
В частности: а) целая рациональная функция
Р (ж) = Од + atx + . . . +
непрерывна при любом значении х\ б) дробная рациональная
функция
д (Х) = д*+ **** + • - - +<*п**
Ьо+Ьгх+ . . . + Ьтх™
непрерывка при веек значениях х, не обращающих знаменателя
в нуль.
Вообще основные элементарные функции: д", sin х, cos xt
igx, aft logax, arcsin x, arccos x9 arctg *, . . . непрерывны во
всех точках, где они определены.
Более общий результат следующий: если функция f (*)
непрерывна при х = х0 и функция g (у) непрерывна при у =
— { (jc0). функция g (I (х)) непрерывна при х — х0.
3°. Основные теоремы о непрерывных
функциях. Если функция / (х) непрерывна на конечном
сегменте [a, ft], то: 1) / (х) ограничена на этом сегменте; 2) до¬
стигает на нем своей нижней грани т и верхней грани М (metь
рема Вейерш трасса); 3) принимает на каждом интервале
Р) с [а, 61 все промежуточные значения между f (а) и
I (р) (теорема Коши). В частности, если Д(а) I (Р) < 0, то най¬
дется значение у (а < у < 0) такое, что { (у) = 0.
662. Дан график непрерывной функции у = / (х).
Для данной точки а и числа в > 0 указать геометриче¬
ски число 5 > 0 такое, что | f (х) — f (а) | < в при
\х—а \ < 5.
663. Требуется изготовить металлическую квадрат¬
ную пластинку, сторона которой хб = 10 см. В каких
пределах допустимо изменять сторону х этой пластинки,
если площадь ее у = хг может отличаться от проектной
уь = 100 сма не больше чем а) на ± 1 см2; б) на ± 0,1 см2;
в) на ± 0,01 см2; г) на ± е см2?
664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С ка¬
кой абсолютной погрешностью Д допустимо измерить
ребро х этого куба, чтобы объем его у можно было вы¬
числить с абсолютной погрешностью, не превышающей
е м®, если: а) в — 0,1 ма; б) е *= 0,01 м3; в) с = 0,001 м3?
665. В какой максимальной окрестности точки
х0 3 100 ордината графика функции у = V* отли¬
чается от ординаты уй — 10 меньше чем на е = 10~п
1 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 79
(п > 0)? Определить размеры этой окрестности при
п = 0, I, 2, 3.
666. С помощью «е—бэ рассуждений доказать, что
функция / (х) — хг непрерывна при х = 5.
Заполнить следующую таблицу:
е
1
0J
0,01
0,001
• • •
в
667. Пусть / (jc) — и 6 = 0,001. Для значений
ха *= 0,1; 0,01; 0,001;. . . найти максимально большие
положительные числа в « Л (е, х0) такие, чтобы из
неравенства \х—Jt0| < б вытекало бы неравенство
l/W-'/WK*'
Можно ли для данного в = 0,001 выбрать такое
б > 0, которое годилось бы для всех значений х0 из
интервала (0,1), т. е. такое, что если |х—x0j<6, то
|/ (дг) — / (*0) I < е, каково бы ни было значение
* к (0.D?
668. Сформулировать на языке «е—.6» в положитель¬
ном смысле следующее утверждение: функция / (х),
определенная в точке ж0, не является непрерывной в этой
точке.
669. Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти
соответствующие числа о =• 6 (е, х0) > 0 такие, что
|/ (*) — / (х0) | < е, если только | х—х01 < 6.
Можно ли утверждать, что функция / (ж) непрерывна
в точке х0, если: а) числа е образуют конечное множество;
б) числа е образую* бесконечное множество двоичных
дробей е = (л=1, 2, . . .).
670. Пусть дана функция / (*) = лс + 0,001 \х ].
Показать, что для каждого в > 0,001 можно по¬
добрать б = в (в, *) > 0 такое, что | / (У) — / (jc) | < е,
если только | х'—ж| < б, а для 0 < в < 0,001 для всех
значений х этого сделать нельзя.
В каких точках нарушается непрерывность этой
функции?
671. Пусть для каждого достаточно малого числа
б > 0 существует е = е (б, *„) > 0 такое, что если
80 ОТДЕЛ t ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
| х—х„ | < б, то выполнено неравенство | / (*) — / (ха) |<е.
Следует ли отсюда, что функция f (дс) непрерывна при
х = х0? Какое свойство функции f (х) описывается дан¬
ными неравенствами?
672. Пусть для каждого числа в > 0 существует
число 6 = 6 (a, jc0) > 0 такое, что если | f (х) — / (х0) [<е,
то | х—дс0|<6. Следует ли отсюда, что функция { (х)
непрерывна при значении х — х0? Какое свойство функ¬
ции описывается этими неравенствами?
673. Пусть для каждого числа 6 > 0 существует
число е = е (6, дс0) > 0 такое, что если if (х) — f(x0) |<е,
ТО | X—ДСд | < 6.
Следует ли отсюда, что функция / (дс) непрерывна
при дс = дс0? Какое свойство функции / (дс) описывается
данными неравенствами?
Рассмотреть пример:
( arctg*, если х рационально,
( я — arctg дс, если х иррационально.
674. С помощью «е—6»-рассуждений доказать не¬
прерывность следующих функций: а) ах + Ь; б) дс*;
в) дс8; г) V71 д) \/"х; е) sin дс; ж) cos х; з) arctg jc.
Исследовать на непрерывность и изобразить графи¬
чески следующие функции:
675. f(x) = \x\.
хг — 4
676. /(*) =
. если дс^2;
х — 2
А, если х=2.
677. /(*) = - . если дс^£= — 1 и f(—1)—про-
(1 + *)4
извольно.
sin х
678. а) М*) =
1*1
если хФО и (0) = 1;
б) ft (дс) = JiEJL, если хфО и f2 (0) = 1.
1*1
679. f(x) = sin —, если хфО и /(0)—произвольно.
i 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 81
681. f(x) = e-l^t если хфО и f(0) = 0.
682. /(х) — 1 ■ , если хф\ и f( 1)—прпия-
I + е ~
вольно.
683. / (х) =х In х\ если хфО и f (0) = а.
684. f (х) - sgn х. 685. f (х) = Ixl
686. f(jc)c=VJ—[V7|.
Определить точки разрыва функций и исследовать
характер этих точек, если:
687. у = 1—. 688. y=-l±!L,
(1 + *)» у 1 + дс»
1 1
X — 1 *
лП| д: спл / 1— cos я*
691. у — — . 692. у— Л — -—.
sin х V 4 — х*
693. (/ = cos* —. 694. у = sgn ^sin - .
я
cos —
695. у— -—. 696. y = arctg—•.
П X
cos
X
697. у = -yfx arctg —. 698. y=ex+l>*.
у = ——. 700. у = -гг——.
* In* 1
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы
графиков следующих функций:
701. у «= sgn (sin х). 702. у — х — 1х].
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
709. £= J-^Jsgn^sin-y). 710. y = ctg~~.
711. у — sec* ——. 712. «, = (—! pi.
713.
'-«Чт+ТГГ+тЬг)'
714. y== - . 715. у
x^sin* jc sin(**)
716. у =\п . 717. у = е-'К
718. 0=1— e-'t*. 71». у= th **
\-х»
Исследовать на непрерывность н построить графики
следующих функций:
720. « = Иш—1-—(х>0). 721. t/ = lim "*7”"^.
9 J + *n V ' * «-к- Я* + П“*
722. y=lim уТ+л5". 723. у = lim cos!" х.
П-*оо Л-^ОО
724. ы = Иш —- .
я n-»« 1 + (2 sin ж)"
725. у=lira [х arctg (nctgx)].
IW-00
к + х*еп*
т• ,+«■» -
727. !/= Um ■111 <' + «“> .
*-►+00 In (1 ■+■ в*)
728. у— lim (1-fx)th/x.
729. Является ля непрерывной функция:
[ 2х, если 0 <х<1,
/(•*) —12—.*, если 1<х<2.
730. Пусть
если х<0,
если х>0.
При каком выборе числа а функция / (х) будет непрерыв¬
ной?
« Г. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
83
731. Исследовать следующие функции на непрерыв¬
ность и выяснить характер точек разрыва, если:
a) /(х)
-(Г_
при 0<ж < 1,
х при 1<х <2;
«/(*»={'при|1|<,>
1 при |х|> I;
в) /(*) =
cos —-— при |jc|<1#
Г) /Ч*) = {|
[sir
“> 'W-{o
\х—1| при |х|>1;
[ ctg* ях для нецелого х,
[О для целого дг,
[ sin ях для рационального х,
для иррационального х.
732. Функция d = d (х) представляет собой крат¬
чайшее расстояние точки х числовой оси Ох от множества
точек ее, состоящего из отрезков 0 < х < 1 и 2 < х <3.
Найти аналитическое выражение функции d, построить
ее график н исследовать на не¬
прерывность.
733. Фигура Е состоит из
равнобедренного треугольника
с основанием / и высотой 1 и
двух прямоугольников с осно¬
ваниями 1 каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5). Функ¬
ция S = S (у) (0 < у < + оо)
представляет собой площадь
части фигуры Е, заключенной
между параллелями Y **» 0 и
Y — у; а функция b =* Ь (у)
(О < У < + о*) есть длина сечения фигуры Е парал¬
лелью Y — у. Найти аналитические выражения функ¬
ций S и Ь, построить их графики и исследовать на не¬
прерывность.
734. Доказать, что функция Дирихле
X (х) = lim |lim cos" (ят!х)1
\Я—►ОО /
разрывна при каждом значении х.
84 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
735. Исследовать на непрерывность функцию
/ С*) = х% (х),
где х (*) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу).
Построить эскиз графика этой функции.
736. Доказать, что функция Римана
f(x) =
1 т
—, если х = , где тип взаимно
п п
простые числа;
О, если х иррационально,
разрывна при каждом рациональном значении х и не*
прерывна при каждом иррациональном значении х.
Построить эскиз графика этой функции.
737. Исследовать на непрерывность функцию / (х),
заданную следующим образом:
п+ 1
если х есть несократимая рациональная дробь — (п>1), и
п
f (х) = |*|,
если х — иррациональное число. Построить эскиз гра¬
фика этой функции.
738. Функция / (х) = 1 ~ со? * определена для всех
X2
значений аргумента х, кроме х = 0. Какое значение
следует приписать функции / (х) в точке х = 0, чтобы
эта функция была непрерывной при х = 0?
739. Показать, что при любом выборе числа /(1)
функция f (*) = -j-i— будет разрывна при х = 1.
740. Функция / (х) теряет смысл при х = 0. Опреде¬
лить число / (0) так, чтобы / (*) была непрерывна при
х = 0, если:
а) /(л) = -У-1 + * ; 6)
VT+7-1 *
в) /(*) = sinjtsin-i-; г) / (дс) = (1 + д:)|/ж;
s 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
65
Д) f(x) = —■е-ч*\ е) / (х) = Xх (х > 0)j
ж) / (х) = х 1падс.
741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке хл
сумма двух функций f {х) + g (дс), если: а) функция
f (дс) непрерывна, а функция g (дс) разрывна при х = x0i
б) обе функции f (х) и g (дс) разрывны при х = дс0? По¬
строить соответствующие примеры.
742. Обязательно ли произведение двух функций
f (х) g (*) терпит разрыв непрерывности в данной точке
*0, если: а) функция / (дс) непрерывна, а функция g (дс)'
разрывна в этой точке; б) обе функции /(дс) и g (дс) раз¬
рывны при х = jc0? Построить соответствующие при¬
меры.
743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной
функции есть также разрывная функция?
Построить пример всюду разрывной функции, квад¬
рат которой есть функция непрерывная.
744. Исследовать на непрерывность функции /[#(*))
и g If (*) 1, если:
а) / (*) = sgn х и g (дс) = 1 + дса;
б) / (дс) = sgn дс и g (дс) = дс (1—дс2);
в) / (*) = sgn х и g (дс) = 1 + х — 1x1
745. Исследовать на непрерывность сложную функ¬
цию у = /(ы), где и = ф (дс), если
{х при дс рациональном;
О (0 < * < 1)'.
2—х при дс иррациональном
746. Доказать, что если / (дс) — непрерывная функ¬
ция, то F (х) = \ f (х) | есть также непрерывная функция.
747. Доказать, что если функция f (дс) непрерывна,
то функция
где с — любое положительное число, также непрерывна.
и при 0<ы<1;
2—и при 1<ы<2
и
' <—с, если /(*)•< — с;
fc (х)= f (дс), если | / (х) | < с;
с, если f(x)>c,
86 ОТДЕЛ t. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
748. Доказать, что если функция } (х) непрерывна
на сегменте la, b), то функции
т(х)= Inf {f(l)) и УИ(х) = sup {/(I))
также непрерывны на 1а, Ь].
749. Доказать, что если функции f (х) и g (х) непре¬
рывны, то функции
Ф (х) = ш!п [/ (дс), g (х) ] и ф (х) = max [/ (х), g (х))
также непрерывны.
750. Пусть функция / (х) определена и ограничена
на сегменте [в, Ь]. Доказать, что функции
т{х) = inf и М (х) = sup {/(£)}
непрерывны слева на сегменте [а, 6].
751. Доказать, что если функция / (дс) непрерывна
в промежутке а < х •< -Ь оо и существует конечный
lim / (x), то эта функция ограничена в данном проме-
Х-+ +00
жутке.
752. Пусть функция / (х) непрерывна и ограничена
в интервале (х0, + °°). Доказать, что, каково бы ни
было число Т, найдется последовательность хп -*■ + оо
такая, что
lim lf(xn + T)—f{xn)] = 0.
n-voo
753. Пусть ф (х) и 1|з (х) — непрерывные периодиче¬
ские функции, определенные при — оо <; х <С + оо и
lim [ф (х)—\|>(х)] = 0.
X-v+oo
Доказать, что ф (х) = ф (х).
754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го
рода.
755. Доказать, что если функция f (х) обладает сле¬
дующими свойствами: I) определена и монотонна на
сегменте la, b I; 2) в качестве своих значений принимает
все числа между / (а) и / (Ь), то эта функция непрерывна
на la, b].
756. Показать, что функция /(х) = sin—-—.если
х ф а и f (о) = 0, принимает на любом сегменте la, Ы
f в. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
87
все промежуточные значения между f (а) и f (Ь), однако
не является непрерывной на la, b1.
757. Доказать, что если функция / (к) непрерывна
на интервале (а, Ь) и хи хг х„ — любые значения
из этого интервала, то между ними найдется число £
такое, что
f (5) ——\f (*,) +/ (xj + ...+/ (xjl.
Л
758. Пусть f (х) непрерывна в интервале (а, Ь) и
I — limf (х) и L = lim/(jc).
х-+а х+а
Доказать, что, каково бы ни было число X, где
/ < Я. < L, существует последовательность х„-+- а (п =
= I, 2, .. .) такая, что
Нш/(хя)=Х.
§ 8. Обратная функция.
Функции, заданные параметрически
1а. Существование и непрерывность об¬
ратной функции. Если функция у = £ (х) обладает
следующими свойствами: 1) определена и непрерывна на интер¬
вале (а, 6); 2) монотонна в строгом смысле на этом интервале,
то существует однозначная обратная функция х = f-1 (y)t опре¬
деленная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом
смысле на интервале (Л, В), где А =*■ lim I (дс) и В *** hm / (*).
*-►0+0 х-+Ь—О
Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной
функции данной непрерывной функции у = f (х) понимается любая
однозначная непрерывная функция x~g(y), определенная в
максимальной области ее существования и удовлетворяющая
в этой области уравнению f \g (у) | = у
2°. Непрерывность функции, заданной
Параметрически. Если функции <р (/) и я|> (А опреде-
лены и непрерывны в интервале (а, р) и функция ф (/) строго
монотонна на этом интервале, то система уравнений
х = ф (О- У = (О
определяет у как однозначную непрерывную функцию от хг
у = (ф“‘ (*)).
на интервале (а, 6), где а — lim ф (Q и 6 — lim ф (А
Во ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
759. Найти обратную функцию дробно-линейной
функции
У = аХ-^й. (ad—Ьсф 0).
сх-\- d
В каком случае обратная функция совпадает с данной?
760. Найти обратную функцию х = х (у), если
у = X + I*].
761. Показать, что существует единственная непре¬
рывная функция у = у (х) (— оо < х < + оо), удов¬
летворяющая уравнению Кеплера
у — е sin у = х (0 < е •< 1).
762. Показать, что уравнение ctg х = kx для каж¬
дого вещественного k (— оо < k < + оо) имеет в ин¬
тервале 0 < х < я единственный непрерывный корень
х — х (k).
763. Может ли немонотонная функция у =
~ f (х) (— оо < х < + оо) иметь однозначную обрат¬
ную функцию? Рассмотреть пример:
_ I х, если х рационально;
1—х, если х иррационально.
764. В каком случае функция у = / (ж) и обратная
функция х — f~l (у) представляют одну и ту же функ¬
цию?
765. Показать, что обратная функция разрывной
функции у = (1 + х2) sgn х есть функция непрерыв¬
ная.
766. Доказать, что если функция f{x) определена
и строго монотонна на сегменте 1а, 6] и
lim / (х„) = / (а) (а < хп < Ь),
П—>оо
то
lim хп — а.
П-+аа
Определить однозначные непрерывные ветви обрат¬
ных функций для следующих функций:
767. у — х1. 768. у = 2х—х\ 769.у=———.
1 + дс®
770. j/ = sin*. 771. у = cos х. 772. у = tgx.
s 8 ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 89
773. Показать, что множество значений непрерывной
функции у = 1 + sin х, соответствующих интервалу
(О < х <. 2я), есть сегмент.
774. Доказать равенство
arcsin х + arccos х = —.
2
775. Доказать равенство
arctg х + arctg — = -у sgn х (х=£ 0).
776. Доказать теорему сложения арктангенсов:
arctg х + arctg у = arctg + ел,
1 — дсу
где е = е (х, у) — функция, принимающая одно из трех
значений: 0, 1, — 1.
Для каких значений у при данном значении х возмо¬
жен разрыв функции е? Построить на плоскости Оху
соответствующие области непрерывности функции в
и определить значение этой функции в полученных
областях.
777. Доказать теорему сложения арксинусов:
arcsin х -f arcsin у =
= (^1)е arcsin (ху л/1—х2 ) + ея
(1*1 <1,
где
| 0, если ху < 0 или х2 + у2 < 1,
I sgn х, если ху > 0 и х2 + у2 > 1.
778. Доказать теорему сложения арккосинусов:
arccos х 4- arccos у =
= (— 1) arccos (ху— д/l—х2 д/l— уг ) + 2яе
(1*1 <1, Ы<1),
где
е _ f 0, если х + у > 0,
1, если х + у < 0.
779. Построить графики функций:
а) у— arcsin х—arcsin д/1—л2;
б) у = arcsin (2* д/1 — х2)—2 arcsin х.
90 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
780. Найти функцию у = у (дс), заданную уравне¬
ниями:
х = arctg 1, у — arcctg t (— оо< t < + оо).
В какой области определена эта функция?
781. Пусть х = ch tb у = sh / (—оо < t < + <»).
В каких областях изменения параметра / неремен¬
ную у можно рассматривать как однозначную функцию
от переменной х? Найти выражения у для различных
областей.
782. Каковы необходимые и достаточные условия
того, чтобы система уравнений х = ф (О* У ~ ^ (О
(<* < t < р) определяла бы у как однозначную функ¬
цию от дг?
Рассмотреть пример: х = sin*/, у — cos*/.
783. При каких условиях две системы уравнений
*“ф(0. jf“tW (a<t<b)
И
х = Ф (X (т). у = Ф (х W) (а < т < Р)
определяют одну и ту же функцию у = у (дг)?
784. Пусть функции ф (х) и я|з (*) определены и не¬
прерывны на интервале (а, Ь) и А = inf ф (х), В =
a<x<bj
=* sup ф (jc). В каком случае существует однозначная
0<Х<Ь
функция f (х), определенная в интервале (А, В) и та¬
кая, что
<р{х) = f (ф (*)) при а < х < Ь?
§ 0. Равномерная непрерывность функции
1°. Определение равномерной непрерыв¬
ности. Функция [ (х) называется равномерно непрерывной
на данном множестве (интервале, сегменте и т. п.) X =
если / (х) определена на X н для каждого е > 0 существует
6 = 6 (е) > 0 такое, что для любых значений х'9 х ' £ X из
неравенства
б
следует неравенство
2°. Теорема Кантора. Функция t (jc), определен¬
ная и непрерывная на ограниченном сегменте [а, 6], равномерно
непрерывна на «том сегменте.
i в РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 91
785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки,
стороны которых дс могут принимать значения в преде¬
лах от 1 до 10 см. С каким допуском 6 можно обрабаты¬
вать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их
длины (в указанных границах) площадь нх у отлича¬
лась от проектной меньше, чем на е? Произвести чис¬
ленный расчет, если:
а) е = 1 см*; б) е = 0,01 см*; в) е = 0,0001 см1.
786. Цилиндрическая муфта, ширина которой в
и длина б, надета на кривую у = \f~x и скользит по
ней так, что ось муфты остается параллельной оси Ох.
Чему должно быть равно б, чтобы эта муфта свободно
прошла участок кривой, определяемый неравенством
— 10 < х < 10, если: а) е = I; б) е =« 0,1; в) е = 0,01;
г) е произвольно мало?
787. В положительном смысле сформулировать на
языке «е—6» утверждение: функция / (дс) непрерывна
на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.),
но не является равномерно непрерывной на этом мно¬
жестве.
788. Показать, что функция / (дс) = 1/х непрерывна
в интервале (0, 1), но не является равномерно непре¬
рывной в этом интервале.
789. Показать, что функция / (дс) = sin п/х непре¬
рывна и ограничена в интервале (0, 1), но не является
равномерно непрерывной в этом интервале.
790. Показать, что функция / (дс) = sin х1 непрерывна
и ограничена в бесконечном интервале — оо < дс <+оо,
но не является равномерно непрерывной в этом интер¬
вале.
791. Доказать, что если функция / (дс) определена
и непрерывна в области а < дс < + оо и существует
конечный
lim /(дс),
<ае
то / (дс) равномерно непрерывна в этой области.
792. Показать, что неограниченная функция
/ (дс) = дс + sin х
равномерно непрерывна на всей оси — оо < дс < + оо.
793. Является ли равномерно непрерывной функция
/ (*) = *г на интервале а) (— /, /), где I — любое,
92 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
сколько угодно большое положительное число; б) на
интервале (— оо, + оо)?
Исследовать на равномерную непрерывность в за¬
данных областях следующие функции:
(-1<дс<1).
796. /(jt) = lnx (0<х<1).
796. f (х) = (0<jc< л).
X
797. f(x) = e* cos — (0<дс<1).
X
798. f (дс) = arctg x (— oo <дс< -f oo).
799. f(x) = -y/x (l<x<-foo).
800. / (x) = лг sin дс (0<дс< + оо).
801. Показать, что функция f (x) = —-1- ** ■■ равно¬
мерно непрерывна на каждом интервале
Л = (— 1 < х < 0) и Л - (0 < дс < 1)
по отдельности, но не является равномерно непрерыв-
вой на их сумме
Ji + = {0<\х\<1}.
801.1. Доказать, что если функция f (х) равномерно
непрерывна на каждом из сегментов [а, с] и [с, Ь], то
зга функция является равномерно непрерывной на сум¬
марном сегменте [а, b ].
802. Для е >> 0 найти в = 6 (е) (какое-нибудь!),
удовлетворяющее условиям равномерной непрерывно»
сги для функции f (дс) на данном промежутке, если:
а) f (дс) = 5дс—3 (— оо <*< + оо)j
б) f (дс) = дс2—2дС'—1 (—2 < х < 5).
в) /(*) = — (0,1 < дс < 1);
X
г)/(дс) = Л/* (0 < дс< + оо);
д) /(дс) = 2sin х—cos дс (—оо<дс< + оо);
е) f (дс) = jf sin — (jc Ф 0) и / (0) = 0 (0 < х < и).
* 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ГЗ
803. На сколько равных между собой отрезков до¬
статочно разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание
функции / (х) = х2 на каждом из этих отрезков было
меньше 0,0001?
804. Доказать, что сумма и произведение ограни¬
ченного числа равномерно непрерывных на интервале
(а, Ь) функций равномерно непрерывны на этом интер¬
вале.
805. Доказать, что если ограниченная монотонная
функция f (х) непрерывна на конечном или бесконечном
интервале (а, Ь), то эта функция равномерно непрерывна
на интервале (а, Ь).
806 (н). Доказать, что если функция / (х) равно¬
мерно непрерывна на конечном интервале (а, Ь), то
существуют пределы
А = lim / (х) и В — lim / (х).
t-yfl+O x-*b—0
Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (а, 6)?
806.1. Доказать что для того, чтобы функцию f (х),
определенную и непрерывную на конечном интервале
(а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом
на сегмент [а, b ], необходимо и достаточно, чтобы функ¬
ция / (х) была равномерно непрерывна на интервале
(а, Ь).
807. Модулем непрерывности функции f (х) на про¬
межутке (а, Ь) называется функция
<о, (б) = sup |/ (хх) — f (х2)|,
где ху и хг — любые точки из (а, Ь), связанные условием
l*i—*г\ < в.
Доказать, что для равномерной непрерывности
функции f (х) на промежутке (а, Ь) необходимо и доста¬
точно, чтобы
lim (0/(6)=0.
Й-.+0
808. Получить оценку модуля непрерывности о/ 6)
(см. предыдущую задачу) вида
<о, (6) < С6«,
где С и а — константы, если:
&)f(x) = x? (0 < х < 1);
б) /(х) = л/х (0 < х < а) и (а<х< +оо),
в) / (ж) = sin х + cos дс (0 < х ^ 2я).
94
ОТДЕЛ t. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 10. Функциональные уравнения
809. Доказать, что единственная непрерывная функ-
ция f (х) (— со < х < + оо), удовлетворяющая для
всех вещественных значений х и у уравнению
f(* + 0) = /<*)+/<0. (О
есть линейная однородная f (*) = ах, где а = f (1) —
произвольная константа.
810. Доказать, что монотонная функция f (х), удов*
летворяющая уравнению (I), есть линейная однородная.
811. Доказать, что функция f (х), удовлетворяющая
уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом
интервале (— е, г), есть линейная однородная.
812. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f {х) (— оо < х <
< + оо), удовлетворяющая для всех значений х и у
уравнению
f(* + y) = f(x)Hy), (2)
есть показательная f (х) = ах, где а = f (1) — положи¬
тельная постоянная.
813. Доказать, что не равная нулю тождественно
функция f (лс), ограниченная в интервале (0, е) и удов-
летворяющая уравнению (2), есть показательная.
814. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х <+ оо),
удовлетворяющая для всех положительных значений
х и у уравнению
f Ш = /(*)+/ (у),
есть логарифмическая f (х) = loga х, где а — положи¬
тельная константа (а Ф 1).
815. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (л:) (0 < х < +<»),
удовлетворяющая для всех положительных значений
х и у уравнению
f(xy) = f(x)f(y), (3)
есть степенная f (х) = Xя, где а — постоянная.
816. Найти все непрерывные функции / (х) (— оо <
С х < + оо), удовлетворяющие для всех веществен¬
ных значений х и у уравнению (3).
817. Показать, что разрывная функция / (дс) ** sgn х
удовлетворяет уравнению (3).
« 10 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 95
818. Найти все йепрерывные функции / (х) (— оо <
< х < + оо), удовлетворяющие для всех веществен¬
ных значений х н у уравнению
f (х + у)+ f (х~у) = 2/ (х) / (у).
819. Найти все непрерывные ограниченные функции
/ (дс) и g (дс) (— оо < х < 4- °°)* удовлетворяющие для
всех вещественных значений хну системе уравнений:
/ (х + у) =*= / (х) f (у) — g (дс) g (у),
g(x + у) = f(x)g (у) -f / (у) g (дс),
и, сверх того, условиям нормировки:
/ (0) - 1 и g (0) - 0.
Указание. Рассмотреть функцию
F (*) = 1* (х) + 8* (х).
820. Пусть Af (дс) «= / (дс -f Аде) — f (х) и А2/ (дс) =
= А {А/ (дс)) суть конечные разности функции / (дс)
соответственно первого и второго порядков.
Доказать, что если функция / (х) (— оо ■< х С + со)
непрерывная и А1/ (дс) = 0, то эта функция линейная,
т. е. / (дс) = аде •+• Ь, где а и Ь — постоянные.
ОТДЕЛ If
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная явной функции
1°. Определение производной. Если к и
*1 = к + Ах — значения независимой переменной, то разность
Ду = f (* + — / (*)
называется приращением функции у = f (х) на сегменте [х, *il.
Выражение
g' = f'(x)= Urn (1)
Д*-*0 Ах
если оно имеет смысл, косит название производной, а сама функ«
ция I (х) в этом случае называется
дифференцируемой.
Геометрически число [е (х) пред¬
ставляет собой угловой коэффици*
ент касательной к графику функции
у = [ (х) в точке его х (tga=t') (х)
(рис. 6).
2.Основные правила
нахождения производ¬
ной. Если с — постоянная вели¬
чина и функции и = и (х), у =
i/(x), w = w (х) имеют производные, то
1) с9 = 0;
2) (сы)' = сы';
3) (и + о — ш)' = и' + *>' —
4) (иа)' = «'11+ ы'и;
6) («")' = nurt“V (л •— постоянное число);
7) если функции у =» \ (и) и и = ф (х) имеют прокэводные*
то
Уж
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 37
3°. Основные формулы. Если х — независимая
переменная, то
I. (хпу = пхп~1 (п — постоянное число).
II. (sinх)* = cosх. III. (cosx)f — —sin*.
IV. (tg*)'=—l—. V. (ctg x)'= 1
cos2 * sin2 X
1
VI. (arcsinx)' =
VII. (arccos x)' =
Vi —
x*
VIII. (arctg X)' « —1—. IX. (arcctg x)' =
1 + x2 1 + x2
X. (a*)f = a* In a, («*)' = «*•
XI. (logd x)' = —^— (a > 0);
* In a
(Inx)' = — (a>0, а Ф\\ *>0).
x
XII. (shx)' = chx. XIII. (chx)'=shx.
XIV. (th x)' = —\ XV. (cth X)' = 1
ch2x sh2*
4°. Односторонние производные. Выраже¬
ния
{ {x)s= Iim _/(*+&*)-/(*)
Ддс->—0 Ax
tw- lim
+ Ax-+0 A*
называются соответственно левой или правой производной функ*
ции / (х) в точке х.
Для существования производной £ (х) необходимо и до¬
статочно, чтобы
Г- (*) = /+ (*)•
а я п р о и з !
точке х и
f(x+ bx)-f(x)
5°. Бесконечная производная. Если функ«
ция I (х) непрерывна в точке х и
lim
д*-*о Ах
то говорят, что в точке х функция / (х) имеет бесконечную произ¬
водную. В этом случае касательная к графику функции у =
= f (х) в точке х перпендикулярна к оси Ох.
4 6. П. Демидович
98 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
821. Определить приращение Ах аргумента х и со¬
ответствующее приращение Ау функции у — \gx, если
х изменяется от 1 до 1000.
822. Определить приращение Ах аргумента х и со¬
ответствующее приращение Ау функции у = Мх\ если
х изменяется от 0,01 до 0,001.
823. Переменная х получает приращение А*. Опре¬
делить приращение А у, если:
а) у = ах-\-Ь\ б) у = ах2 + Ьх-\-с, б) у — ах.
824. Доказать, что:
а) А [/ (*) + g (х) ] — Af (х) + Ag (х);
б) А [/ (х) £(*)]=£(* + Ах) А/ (х) + / (х) Ag (х).
825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Ах, 4 + А у)
кривой у = х% проведена секущая АА'. Найти угловой
коэффициент этой секущей, если: а) Ах = 1; б) Ал: = 0,1;
в) Ах = 0,01; г) Ах произвольно мало.
Чему равен угловой коэффициент касательной к дан¬
ной кривой в точке А?
826. Отрезок 1 < х < 1 + h оси Ох с помощью
функции у = х3 отображается на ось Оу. Определить
средний коэффициент растяжения и произвести числен¬
ный расчет, если: а) А = 0,1; б) h = 0,01; в) h = 0,001.
Чему равен коэффициент растяжения при этом ото¬
бражении в точке х = 1?
827. Закон движения точки по оси Ох дается фор¬
мулой
х = 10/ + 5/2,
где / — время в секундах их — расстояние в метрах.
Найти среднюю скорость движения за промежуток вре¬
мени 20 < / < 20 + At и произвести численный рас¬
чет, если: a) At — 1; б) At = 0,1; в) At = 0,01. Чему
равна скорость движения в момент времени t = 20?
828. Исходя из определения производной, непо¬
средственно найти производные следующих функций:
а) л2; б) х3; в) г) л/х\ д) у/Т; е) tg х; ж) ctg лг;
в) arcsin х; и) arccos х; к) arctg х.
829. Найти /' (1), f (2) и /' (3), если
/ (*) = (ж—1) (х—2)2 (х—3)\
830. Найти /' (2), если / (х) = x2sin (х—2).
§ !. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
831. Найти /' (1), если
f (х) = х + (х—1) arcsin
99
832. Найти lim-^—U^L, если
832- Найти lim
, если функция f (х)
дифференцируема в точке а.
833. Доказать, что если функция / (х) дифференци¬
руема и п — натуральное число, то
Обратно, если для функции / (я) существует предел
(1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет
производную? Рассмотреть пример функции Дирихле
(см. отд. 1, задачу 734).
Пользуясь таблицей производных, найти производ¬
ные следующих функций:
834. у = 2 + х—х2.
Чему равно у' (0); у' у' (1); у' (— 10)?
835. у =—4-— 2х.
v 3 2
При каких значениях х: а) у' (х) = 0; б) у’ (х) =
= - 2; в) у' (х) = 10?
836. у = а5 + 5а3х2—хь. 837. у= —+Ь .
а + b
838. у = (х—а)(х—Ь).
839. */ = (х+1)(х + 2)2(х + 3)3.
840. // = (xsina-f cos а) (х cos а—sin а).
841. у = (1 -f пхт) (1 + тхп).
842. «/ = (1—х) (1 —х2)2 (1—х3)3.
842.1. у = (5 -f 2л')1Л (3—4х)-°.
S44. Доказать формулу
100 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные функций:
о/i е 2дс 1 + х — X2
845. у = . 846. у = ’
1 — а2 ^ 1 — л; + х*
847. у = £ .
(1 — *)2(1 + *)3
848. у =$-*>)(*-*>) .
(1-х)»
849. у = . 850. у=
(1 + *)» 1 + *
851. у = х-\-'\/х -f лг.
око 1 1,1
852. «/ = -- +
V*
853. i/ = v/l5' 854. у = хл/\+~&'
л/х
855. у = (1+х)л/2 + хъ /З + дс3.
856. y = m+^(l— *)m (1 + *)Л .
857. у =—-* —.
•\/а2 — л:2
859. у=
Ун-*2 U+Vi + **)
860. y = ^Jx-\-'\JxAr^x .
861. i/ = ]/l + 3/l + v/x .
862. г/ = cos 2*—2sinx.
863. г/ = (2—x2) cos л: + 2л: sin*.
864. у = sin (cos2 x)- cos (sin2 x).
865. у = sin" ж cos nx. 866. у = sin fsin (sin ж)].
ce_ sin** cro COS*
867. </ = ———. 868. у
869. y = —870. y =
2 sin2x
sin x — x cos x
cos" x cos x + * sin x
871. у
872. у
873. у
874. у
875. у
877. у
879. у
880. у
881. у
882. у
883. у
884. у
885. у
887. у
889. у
890. у
891. у
892. у
893. у
894. у
§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 101
. X 1 X
= tgT-ctgT.
= tgjc ~Ч3х+~г^к-
3 5
= а\/~ctg2* + y^ctg8x.
= sec2 —+cosec2 —.
a a
= sin [cos2 (tg3x)|. 876. tj = e~x\
= 2lg '/*. 878. y = e*(x2—2x + 2).
Г 1 — X2 (1 — JC)2 1
= sin x 1 — cos x e *.
L 2 2 J
= e*(l + ctg-^-).
In 3‘Sin x + со sx
= eax
3*
a sin bx — b cos bx
Va2+ b2
= -\-eee*.
=(т)'(т);(тУ <“>»•
= дс*2" + a*0 + a°x (a > 0). 886. </ = ig*JC8.
= In (In (In jc)). 888. y= In (In2 (In3*)).
= — In (1 + jc) — In (1 + x2)
2 ' 4 2(1 + *)
—Lin *-■
Jt2-f 1
! + -L
4 (1 + x*) 4 1 + **
1 - in ^ VL- V2
In-
2 л/б * л/З + V2
I ]n 1 + * i V^~ ]n l + *-y/T
1 k 1 x 1 k j—* yj
(0<л<1).
— д/ x+Г In (l + ^ж +1 )*
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИВ
895. 4=ln(* + yF+T)-
896. у = х In (л: -|- У1 + х2) —\J 1 -j-x2.
897. y = х\пг(х-\-л/\ + r*)—
•—2^J\-{-xi In (дг + д/l +x2)+2x.
898. У — ~ У*2 + "b ~£~ In {x + У*2 + a* )•
899. y = L—- In Уа_4:.хУЛ- (a>o, 6>0).
2 л/аЬ a — x 'yj b
900. y=-lVI — *2 +31n 1 + ^ ~"2 •
901. y=lntg-^-. S02. y=lntg(^- + -J).
903. t/ = -^-ctg2Jc + lnsinJ;*
904. z/= In /\/ 1 ~sin* .
V 1 + sinx
лл- COS X . ! / 1 + COS X
905. у = — Hn Л / —
2 sin2* V sin*
906. u- In * + « «иx+ y^rfTsin«
a + 6 COS *
(0 <|a|<|ft|).
907. у — — (In3 * + 3 In2 л:+ 6 In л;+ 6).
*
908. «/ = —!— In-! L_.
A x* x 16jc4
909. y = — (l — |/^1+^2 )+3 In (l + + X2 )#
910. f/= In + In -f In “rjj*
911. у = jc [sin (In x)—cos (In x)].
912. t/=lntg-^—cosx-ln tg*.
914. у
916. у
918. у
919. у
920. у
922. у
924. у
926. у
927. у
928. у
930. у
931. у
932. у
933. у
934. у
835. у
936. у
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 103
— arccos -1 . 915. w = arctg-^—.
= —L- arcctg • 917. у — л/х—arctgV**
л/2 *
= *4-дЛ—х2 • arccosх.
= х arcsin /\J 1- arctg V* —V**
= arccos —. 921. у = arcsin (sin x).
X
= arccos (cos2 x). 923. y = arcsin (sin x—cos x).
= arccos л/l —x2 • 925. у = arctg ■1 * ,
1 —x
= arcctg r-sin-xtc.0SJLV
V sin x — cos x /
= - arctg (л/-a~- tg —1
V^T ^ V a+b S 2)
1 — дс2 non 1
= arcsin . 929. y = -
1 + x2 arccos2 (jc2)
= arctg x + — arctg (x3)
3
= ln(l -f-sin2*)—2sinx-arctg (sinx).
= In (arccos —?—^.
I V*)
— In -x + a—l~ arctg ~ ФФ 0).
•vW&> b b
= — л/а1 —x2 -f arcsin — (a>0j.
2 v 2 a
= — In _C£±i)l_ + —— arctg *L=L,
6 x*-x+i y3- * ф
i_ )n xhWI+i
4 д/2 x1 — x У 2 + 1
— arctg -Ti—
2 л/2 * — 1
104 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
937. t/= *(arcsinх)г +2д/1—х2 arcsin*—2х.
938. y = JISSSLL+±\nJ^AE^,
X 2 1 + л/1_л2
939. у = arctg д/л:2 — 1
In X
aJX2 — 1
940. и = - arcsinx 4-Lln-i^.
■\J \ — дс2 2 * + *
<1/11 1 1„ *4—**+ 1 1 4- л/з
941. у In ! — arctg
12 (^+1)г 2л/3 2*2~1
942. у arcctg Jс6.
1 + х1г
943. у = In— 1 4-д/3 arctg —2У* .
л/1 + У 7 + 3/f л/з
944. у = arctg
1 + д/1 — JC3
945. у = arcctg—-—-*— (а>0).
2 л/ах — у?
946. д/Т —2л:—х2 +2 arcsin
д/2
1 , '/1 + Х* +Х 1 . Vl+X*'
947. у = — In ——! — arctg ——— .
4 4 у О у-
4 /l + х* —X 1 х
948. у = arctg (tg2 х).
949. // = д/1 —х? • In д/ | +
Ч——In -■ -f yi—*2 -f- arcsin jc.
2 i + Vi —
950. t/ = x arctg x — In (1+ хг) — (arctg x)a.
2 2
951. у=1п(сл+д/Г+ё5Г).
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 105
952. у — arctg (я + ^Л+*2 )•
. / sin a sin х \
953. у = arcsin [ ).
\ 1 — cos a cos х J
954. и=—i—ln-^qrr-^V? +
4-^3 л/x- + 2 + x V3
V2
, 1 , V*2+2
+ arcts-2L_!_
955. у = — arctg
2V2 ViT
1 J Vl + X* — x V2
4V2 Vi + j^+jcVs
956. „ _ -^21 L- arcctg -0=.
1 + * л/2 Vl— *2
957. у = arccos (sin x2—cos x2).
958. у = arcsin (sin jc2) + arccos (cos jc2).
959. у = em arcsin * [cos (m arcsin jc) -f- sin (m arcsin jc)J.
960. y= arctg e*— In y\J.
960.1. y = Vl+Vl+Vl+7" .
960.2. у = arcctg
V'
ct« —
960.3. «/= In2 (sec 2^* ).
961. y = x+xx + xx* (*>0).
962. у = x*^x?*ax* (a>0, *>-0).
963. y = \f x (*>0).
964. у = (sin x)cos x + (cos x)sin *.
965. у = (In x)* : xln *.
965.1. ty = \ —rCsin (fin2 x) -larct^
L arccos (cos2 x) J
J06 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
966. у = log, е. 967, у — In (ch х) -| .
2ch2*
968. v = — lnfcth—V
sh2je V 2 )
969. у = arctg ftg л:).
970. i/ = arccos f ^.
(0 <\b\<a).
972. Найти производную функции
у = In (cos2А' -г V1 + cos4 jc),
вводя промежуточное переменное и = cos'2*.
Приемом, указанным в примере 972, найти произ¬
водные функций:
973. у = (агсс os *)2 j^ln2 (arccos х)—In (arccos л:) + .
974. >j = arctg (>Л + х* ) + In ^l-+ x -~4~-1-,
2 4 Vt+f-i
675. „ = + ±in g_e-*\
л/l-e-w 2
m‘ y=irV-TT^arcctga'x‘
977. Найти производные и построить графики функ¬
ций и их производных, если:
а) у = |*|; б) у = дс|*|; в) у = In |*|.
978» Найти производные следующих функций:
а) У = \(х—1)2(*+1)3|; б) */ = |sin3*1;
в) у = arccos ——; г) у = [*] sin2 л*.
1*1
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
107
Найти производные и построить графики функций
и их производных:
980. у = ( ^х~а^ (х~Ь)г ПРИ а < х < Ь'
1 0 вне отрезка [а, Ь].
«81.»-/ * при *<о;
| 1п (1 + х) при X > 0.
I arctgх при |*| < 1;
п , х— 1 , , ,
— sgnjc4 — при |х|>1.
( х^е-*’ при | jc | < 1;
983. г/ = | 1
| — при |дс|>1.
984. Производная от логарифма данной функции
у = f (х) называется логарифмической производной этой
функции:
Найти логарифмическую производную от функции у,
если:
в) У = (х—#i)a‘ (x—a2fl... (х—ап)\
г) у =(х + У1+*г)'\
985. Пусть ф (лс) и ij) (jc) — дифференцируемые функ¬
ции от х. Найти производную от функции у, если:
а) 1/ = Уф2(*) + г|)2(*); б) ^ = arctg
в) у= V Ч> W (ф (*) ф0; ^(ж)>0);
г) у = log,, (*) Ц (*) (Ф (х) > 0: t|> (х) > 0).
(3 + *)’
3-*
108 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
986. Найти у', если:
a) y = f (*2); б) у = f (sin2 х) +/(cos2x);
в) y=f(e*)-ef (Jr); г) у = /{/[/ (ж)]},
Где / (и) — дифференцируемая функция.
986.1. Найти /' (0), если
/ (дс) = х (х—1) (х—2) . . .(х—1000).
987. Доказать следующее правило дифференцирова¬
ния определителя я-го порядка:
hi (*) fl2 (х) • ■
• fin (X)
п
fll (*) f 12 (x) . .
. hn (x)
fki (х) }кг (*) •
■ • fkn (X)
-z
f'ki (x) f'ki (*) • '
* • fkn M
fill (х) {П2 (х) •
• • fnn (■*'
k=l
• •••»»«
ftll (X) ft12 (X) •
• • • •
• * Inn W
988. Найти F' (дс), если
х — 1 1 2
F (х)= — 3 х 3
— 2 —3 х+1
989. Найти F’ (ж), если
дс Xs х3
F(x)J
[S у®
1 2х З*2
0 2 6*
990. Дан график функции. Приближенно построить
график ее производной.
991. Показать, что функция
I^sin — при хфО;
х
0 при х = 0
имеет разрывную производную.
992. При каком условии функция
f(x)=xnsin — (хфО) и /(0) = 0
а) непрерывна при х = 0; б) дифференцируема при
дс = 0; в) имеет непрерывную производную при х = 0?
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ
993. При каком условии функция
109
/(х) =1*1"sin—-!—(х=^0) и f(0) = 0 (m>0)
\х\т
имеет: а) ограниченную производную в окрестности на¬
чала координат; б) неограниченную производную в этой
окрестности?
994. Найти f' (а), если
где ф (х) — непрерывная функция и <р (а) Ф 0, не имеет
производной в точке а.
Чему равны односторонние производные /1 (а) и
996. Построить пример непрерывной функции, не
имеющей производной в данных точках: ах, а2, . . . , ап.
997. Показать, что функция
имеет точки недифференцируемости в любой окрестно¬
сти точки х — 0, но дифференцируема в этой точке.
Построить эскиз графика этой функции.
998. Показать, что функция
имеет производную лишь при х = 0.
999. Исследовать на дифференцируемость следующие
функции:
а) У = \(х— !)(*—2)2(х—3)31; б) y = |cosx|;
в) у — |л2—я21 sin* г, г) г/= arcsin (cos х)\
Для функции / (х) определить левую производную
/1 (х) и правую производную /+ (х), если:
1000. f (х) = 1 дгI. 1001. / (х) = Ix] sin пх.
f (х) = (х—а) ф (х),
где функция ф (х) непрерывна при х = а.
995. Показать, что функция
f (х) = | х Q |ф (х),
Г+ (а)?
/(х)=х2 cos— (х Ф 0) и / (0) = 0
*
х2, если х рационально;
0, если х иррационально,
110 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1002. f(x) = x cos— (х^О), /(0) = 0.
х
1003. f(x) = д/sin х2.
1004. f (x) (x Ф 0), / (0) = 0.
It ' *
1+e
1005. f(x) = ^l—e~*‘.
1006. /Ч*) = Iin|*|| (*#0).
1007. f (x) — arcsin —-—.
w 1 + X2
1008. /(*) = (*—2) arctg—^— (хф2), f (2) = 0.
x — 2
x Ф 0 и / (0) = 0 непрерывна при * = 0, но не имеет
в этой точке ни левой, ни правой производной.
1009.1. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода функ¬
ции / (*). Выражения
называются обобщенными односторонними (соответст-
ренно левой и правой) производными функции / (х)
$ точке х0.
Найти /1 (vo) и f+ (*0) в точках разрыва х0 функции
/ (*), если:
1009. Показать, что функция /(*) = * sin— при
и
в) /(*) =
1 + е
1010. Пусть
Д*) = {
х\ если *<х0;
ах + b, еслих>х0.
§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ Ш
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы
функция / (х) была непрерывной и дифференцируемой
в точке х = дг0?
1011. Пусть
^ ^ ( / (*), если х < дг0;
(ах + Ь, если х>ха,
где функция / (л-) дифференцируема слева при х = xQ.
При каком выборе коэффициентов а и Ь функция
F (лг) будет непрерывной и дифференцируемой в точке х0?
1012. На сегменте а < х < Ь построить сопряжение
двух полупрямых
у — (х—а) (— оо < х < а),
у = k2 (x—b) (Ь < х < + оо)
с помощью кубической параболы
у = А (х—а) (х—Ъ) (х—с),
(где параметры А и с подлежат определению).
1013. Часть кривой у = ■ от (|*|>с) дополнить
I % |
параболой
у = а + Ьх2 (| х | < с)
(где а и Ь — неизвестные параметры) так, чтобы полу¬
чилась гладкая кривая.
1014. Можно ли утверждать, что сумма F (я) —
= /(*)+£ (х) не имеет производной в точке х = х0,
если: а) функция / (х) имеет производную в точке х0,
а функция g (*) не имеет производной в этой точке;
б) обе функции f (х) и g (х) не имеют производной в
точке х0?
1015. Можно ли утверждать, что произведение
F (х) = f (х) g (х)
не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция
/ (х) имеет произиодную в точке х0, а функция g (х) не
имеет производной в этой точке; б) обе функции / (дг)
и g (х) не имеют производной в точке х0?
Полагая х0 — 0, рассмотреть примеры: а) / (х) = х,
8 (х) = \х\; б) / (дг) = 1дг|, g (х) = \х\.
112 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИИ
1016. Что можно сказать о дифференцируемости
функции
f(x) = f (g (.к))
в данной точке х = х0, если: а) функция / (ж) имеет
производную в точке х = g (jc0), а функция g (х) не
имеет производной в точке х = лг0; б) функция f (л:) не
имеет производной в точке х = g (х0), а функция g (х)
имеет производную в точке х = х0; в) функция f (х)
не имеет производной в точке х = g (х0) и функция
g (х) не имеет производной в точке х = х0?
Полагая л:0 = 0, рассмотреть примеры:
a) f(x) = x\ g(x) = |*|. б) /(лг) = |л:|, g(x) = *®;
в) f(x)--=2x + \x\, g(x) = -?-x—
о «3
1017. В каких точках график функции у =»
= х + Vsin л: имеет вертикальные касательные?
Построить этот график.
1018. Может ли функция / (х) в точке ее разрыва
иметь: а) конечную производную; б) бесконечную про¬
изводную?
Рассмотреть пример: f (х) = sgn х.
1019. Если функция f (х) дифференцируема в огра¬
ниченном интервале (а, Ь) и lim / (х) = оо, то обяза*
х-ьа
тельно ли
1) lim /' (х) = оо; 2) lim |/' (х) | = + оо?
х-*а х-*а
Рассмотреть пример: fix) =• — + cos — при х-*■ 0.
X X
1020. Если функцня / (х) дифференцируема в огра¬
ниченном интервале (а, Ь) и lim /' (х) = оо, то обяза-
х~+а
тельно ли
lim f(х)= оо?
х-+а
Рассмотреть пример: f (х) = х при х -*• 0.
1021. Пусть функция f (х) дифференцируема в ин¬
тервале (х0, оо) и существует lim / (х). Следует ли
х—►-|-оо
отсюда, что существует lim f' (х)?
Х->+оо
Рассмотреть пример: / (х) = sin ^ .
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 113
1022. Пусть ограниченная функция / (х) дифферен¬
цируема в интервале (х0у + оо) и существует lim /' (дс);
Х->оо
следует ли отсюда, что существует lim / (х) конечный
Х-*оо
или бесконечный?
Рассмотреть пример: f (.х) = cos (In х).
1023. Можно ли почленно дифференцировать нера¬
венство между функциями?
1024. Вывести формулы для сумм:
Рп = 1 + 2х + Зх2 + . . . + пхп~х
и
Qn = 1? + 22х + 3V + . . . + «V-1.
Указание. Рассмотреть (х + х2 + . . . + хп)\
1025. Вывести формулы для сумм:
Sn = sin х + sin 2* + . . . + sin nx
Tn = cos x + 2 cos 2x + . . . -f n cos nx.
1025.1. Вывести формулу для суммы
Sn = ch x + 2ch 2x + . . , + n ch nx.
Указание. Sn = (sh x + sh 2x + . . . + sh nx)'.
1026. Пользуясь тождеством
xx x sin x
COS COS ... COS
2 4 2n nn . x
2n sin
2n
вывести формулу для суммы
s”=Tt*f+T,sf+--+i-t*i-
1027. Доказать, что производная четной дифферен*
цируемой функции есть функция нечетная, а производ¬
ная нечетной дифференцируемой функции есть функция
четная.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1028. Доказать, что производная дифференцируемой
периодической функции есть функция снова периодиче¬
ская с тем же периодом.
1029. С какой скоростью возрастает площадь круга
в тот момент, когда ргдиус этого круга R — 10 см, если
радиус круга растет равномерно со скоростью 2 см/с?
1030. С какой скоростью изменяются площадь и диа*
гональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона
114
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
его х = 20 м, а другая сторона у = 15 м, если первая
сторона прямоугольника уменьшается со скоростью
1 м/с, а вторая возрастает со скоростью 2 м/с?
1031. Из одного и того же порта одновременно вышли
пароход А с направлением на север и пароход В с на¬
правлением на восток. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними, если скорость парохода А
равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч?
1032. Пусть
и S (х) — площадь, ограниченная кривой у = f (*)',
осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точ¬
ке х (х > 0).
Составить аналитическое выражение функции 5 (х),
найти производную S' (х) и построить график функции
1033. Функция 5 (х) есть площадь, ограниченная
дугой окружности у = д/°2—х2’ осью Ох и двумя
перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках О
и х (\х\ < а).
Составить аналитическое выражение функции S (х),
найти производную S' (х) и построить график этой про¬
изводной.
§ 2. Производная обратной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной в неявном виде
1°. Производная обратной функции. Диф¬
ференцируемая функция у = [ (х) (а < х < Ь) с производной
// (*) Ф 0 имеет однозначную непрерывную обратную функцию
х = 1г1 (</)■ причем обратная функция также дифференцируема
и справедлива формула
2°. Производная функции, заданной па¬
раметрически. Система уравнений
где ф (0 и г[> (I) — дифференцируемые функции и <р' (t) ф О,
/(*) = {
х, если 0 < х < 2;
2х—2, если 2<х<С-(-оо
у = 5' (х).
х,
'и
Ух
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 115
определяет у, в некоторой области, как однозначную дифферен¬
цируемую функцию от х\
у = Ф (ф-1 (X)),
причем производная этой функции может быть найдена по фор*
нуле
у\
Ух=—Г•
3°. Производная функции, задан ной в
неявном виде. Если дифференцируемая функция у= у (х)
удовлетворяет уравнению
F (х, у) = О,
то производная у' = у' (*) этой неявной функции может быть
найдена из уравнения
-7- \F (*. «/)] - О,
dx
где F (я, у) рассматривается как сложная функция переменной х.
(Более подробно о дифференцировании неявных функций
см. ч II, отд. VI, § 3.)
1034. Показать, что существует однозначная функ-
ция у = у (*), определяемая уравнением у3 + Зу = х,
и найти ее производную у‘х.
1035. Показать, что существует однозначная функ¬
ция у — у (х), определяемая уравнением
у — е sin у = х (0 < е < 1),
и найти производную ух.
1036. Определить области существования обратных
функций х = х (у) и найти их производные, если:
а) у = х-\-\пх (х>0); б) у = х-\-ех\
в) у = sh х; г) у = th х.
1037. Выделить однозначные непрерывные ветви
обратных функций х = х (у), найти их производные
и построить графики, если:
а) у = 2х2—х4; б) у — в) У = 2е'*—е“2*-
1038. Построить эскиз графика функции у = у (х)
и найти производную ух, если: х = — 1 + 21—1~,
у — 2—31 + /3. Чему равна ух (х) при х = 0 и при
х — — 1? В какой точке М (х, у) производная
Ух (х) = О?
116 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Найти производные у'х (параметры положительны)
если:
1039. х = /" 1—л/t, у = д/1 — frt.
1040. х — sin21, y = cos2t.
1041. х = a cos t, у — b sin t.
1042. x = a ch /, у = b sh t.
1043. x — a cos3t, y = as\nzt.
1044. x=a(t — sin t), y=a(l—cost).
1045. x = e21 cos2t, у — e2t sin21.
1046. x = arcsin — - , у = arccos • 1
Vi + ^ Vi + <2
1047. Показать, что функция у — у (х), определяе¬
мая системой уравнений
х = 2t + |/| , у = Ы2 + it\t\,
дифференцируема при t = 0, однако ее производная
в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.
Найти производные у'х от следующих функций, за¬
данных в неявном виде:
1048. х2 + 2ху—у2 = 2х.
Чему равно у' при х = 2 и у = 4 и при х = 2 и
у= 0?
1049. у2 = 2рх (парабола).
1050. —+ -^ = 1 (эллипс).
а? Ь2
1051. y* + Vf/=Va (парабола).
1052. х2'3-f у2/3 = а2/3 (астроида).
1053. arctg — = In л/х2 + у2 (логарифмическая спи¬
раль).
1054. Найти у'х, если:
а) г = a<f (спираль Архимеда);
б) г = а (1 + cos ф) (кардиоида);
в) г = ает<г> (логарифмическая спираль),
где г — У*2 + У2 и ф = arctg —— полярные координаты.
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОМ
117
§ 3. Геометрический смысл производной
1°. Уравнения касательной и нормали,
Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику диффе¬
ренцируемой функции у = f (х) в точке его М (х, у) (рис. 7)
соответственно имеют вид:
у -у = У' (*-*)
и
У - у = - 4- <*-*>•
у
где X, У — текущие координаты касательной или нормали,
а У' — F (х) — значение производной в точке касания.
2°. Отрезки касательной и нормали.
Для отрезков касательной и нормали: РТ — подкасательная,
PN — поднормаль, МТ — касательная, MN—нормаль (рис. 7);
учитывая, что tg а = у\ получаем следующие значения:
РТ =
МТ =
PN = \yy'\,
Vl + У'2, MN = \у\л/\ + у'\
3°. Угол между касательной и радиу¬
сом-вектором точки касания. Если г = / (<р) —
уравнение кривой в полярной системе координат и 0 — угол,
образованный касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки
касания М (рис. 8), то
*8 Р = ~ •
г'
1055. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
У = (*+ 1) У^З—х
в точках: а) А (— 1, 0); б) В (2, 3); в) С (3, 0).
118
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1056. В каких точках кривой у = 2 + х—х2 каса¬
тельная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна
биссектрисе первого координатного угла?
1057. Доказать, что парабола
1058. На кривой у = 2 sin х (— л < х с п) опре¬
делить те участки ее, где «крутизна кривой» (т. е.| у'\)
превышает 1.
1059. Функции у — х а ух = х + 0,01 sin 1 000 лх
отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что
можно сказать о максимальном значении разности
производных этих функций?
Построить соответствующие графики.
1060. Под каким углом кривая у — In х пересекает
ось Ох?
1061. Под какими углами пересекаются кривые
1062. Под какими углами пересекаются кривые
1063. При каком выборе параметра п кривая
пересекает ось Ох под углом, большим 89°?
1063.1. Показать, что кривая у — |х|а
а) при 0 < а < 1 касается оси Оу;
б) при 1 < а *< + оо касается оси Ох.
1063.2. Показать, что для графика функции
предельное положение секущей, проходящей через точку
А (0, 1), есть ось Оу.
1064. Определить угол между левой и правой каса¬
тельными к кривой: а) у — V1—е~а,*‘ в точке х = 0;
у = а (х—хх) (х—х2) (а Ф 0, хх < х J
пересекает ось Ох под углами а и р (0<ос<-^-,
равными между собой.
у = хг и х = г/2?
у = sin х и у = cos х?
у = arctg пх (п > 0)
У =
|х|“, если афО хф 0,
1, если х = 0,
2х
б) у = arcsin в точке х— 1.
У 1 _1_ V*
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИИ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОП 119
1065. Показать, что касательная к логарифмической
спирали г = ает<* (а и т — постоянные) образует по¬
стоянный угол с радиусом-вектором точки касания.
1066. Определив длину подкасательной к кривой
у = ахп> дать способ построения касательной к этой
кривой.
1087. Доказать, что у параболы у2 = 2рх
а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки
касания:
б) поднормаль постоянна.
Дать способ построения касательной к параболе.
1068. Доказать, что показательная кривая
у — ах (а > 0)
имеет постоянную подкасательную. Дать способ по¬
строения касательной к показательной кривой,
1069. Определить длину нормали к цепной линии
ы = Gch —
а
в любой ее точке М (л*0, {/„).
1070. Доказать, что у астроиды
дс2/3 + у'ъ — а2/3 (а >0)
дл!!иа отрезка касательной, заключенного между осями
координат, есть величина постоянная.
1071. При каком соотношении между коэффициен¬
тами а, b и с парабола у = ах2 Ьх *г с касается
оси Ох?
1072. При каком условии кубическая парабола
У = хг -г рх + q
касается оси Ох?
1073. При каком значении параметра а парабола
у = ах2 касается кривой у — In х?
1074. Доказать, что кривые
У = / (-) (/ (•*) >0) и у = f (х) sin а к,
где / (х) — дифференцируемая функция, каса.отся друг
друга в общих точках.
1075. Показать, что семейства гипербот х2—у2 = а
и ху = Ь образуют ортогональную сетку, т. е. кривые
этих семейств пересекаются под прямыми углами.
120 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1076. Доказать, что семейства парабол
у2 = 4а (а—х) (а > 0) и у2 — 4b (b + *) (Ь > 0)
образуют ортогональную сетку.
1077. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
х = 2t—t2, у = 3t—t3
в точках: а) / = 0; б) / = 1.
1078. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
2t + Р 2t — Р
X = -1 , и — —
1 + Р * 1 + /3
в точках: a) t = 0, б) t = 1, в) t = оо.
1079. Написать уравнение касательной к циклоиде
х — a (t—sin /), у = а (1—cos t)
в произвольной точке t = t0. Дать способ построения
касательной к циклоиде.
1080. Доказать, что трактриса
х — a (In tg — + cos t), у = a sin t (a > 0, 0 < /<л)
имеет отрезок касательной постоянной длины.
Написать уравнения касательной и нормали в за¬
данных точках к следующим кривым:
1081. — + -£- = 1, М (6; 6, 4).
100 64 '
1082. ху + \пу=1, Л4(1; 1).
§ 4. Дифференциал функции
1°. Дифференциал функции. Если прираще¬
ние функции у = I (лг) от независимой переменной х может быть
представлено в виде
Ау — А (*) dx+ о (dx),
где dx = Д*т то линейная часть этого приращения называется
дифференциалом функции у:
dy = А (х) dx.
Для существования дифференциала функции у = / (*) необхо¬
димо и достаточно, чтобы существовала конечная производная
У* = Г О*)» причем имеем:
йу « У' ах. (1)
§ А. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 121
Формула (1) сохраняет свою силу и в том случае, если пе*
ременная х является функцией от новой независимой перемен*
ной (свойство инвариантности первого дифференциала).
2°. О ц е н к а малых приращений функции.
Для подсчета малых приращений дифференцируемой функции
I (х) можно пользоваться формулой
/ (х + А*) — I (X) » f/ (х) Ах,
относительная погрешность которой сколь угодно мала при до¬
статочно малом |А*|, если /' (х) Ф 0.
В частности, если независимая переменная х определяется
с предельной абсолютной погрешностью, равной А*, то Ау и
6^ — предельные абсолютная и относительная погрешности
функции у = I (*) — приближенно выражаются следующими
формулами;
Д, = 1Л Д,
и
6„= I А*.
1083. Для функции
/ (*) = х3—2х + 1
определить: 1) А/ (1); 2) df (1) и сравнить их, если:
a) Ajc = 1; б) Ах = 0,1; в) Ал: = 0,01.
1084. Уравнение движения дается формулой
х = Ы\
где / измеряется в секундах и х — в метрах.
Для момента времени / — 2с определить Ах — при¬
ращение пути и dx — дифференциал пути и сравнить
их, если:
a) At = 1 с; б) А/ = 0,1 с; в) At = 0,001 с.
Найти дифференциал функции у, если:
1085. у =—. 1086. у = — arctg — (аф 0).
х а а
1087. у = —— InI - 1. 1088. «= In|x4-Vjea + °I‘
2а |*+а|
1089. у = arcsin — (аф 0).
а
122 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1090. Найти:
Пусть и, v, w — дифференцируемые функции от х.
Найти дифференциал функции у, если:
1091. у = UVW. 1092. «= — . 1093. у = . -I —.
а2 Уиа+за
1094. у = arctg —. 1095. у = In -\/и2 +V2.
1096. Найти: а) —-—(х3—2х®—ха)\
d(jc3)
d ( sin* V djsinx) . . d(lgx) .
’ d(x2) V x J’ d(cos*) ’ d(ctgx) ’
^ d (arcsin x)
d (arccos x)
1097. В круговом секторе радиус R = 100 см и цен¬
тральный угол а = 60э. Насколько изменится площадь
этого сектора, если: а) радиус его R увеличить на 1 см;
б) угол а уменьшить на 30'?
Дать точное и приближенное решения.
1098. Период колебания маятника (в секундах) оп*
маятника в сантиметрах и g = 981 см/сг — ускорение
силы тяжести.
Насколько нужно изменить длину маятника / =
= 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с?
Заменяя приращение функции дифференциалом,
найти приближенно следующие значения:
редел яется по формуле
1099. 5^ 1,02. 1100. sin 29°. 1101. cos 151°.
1102. arctg 1,05. 1103. lg 11.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 123
1104- Доказать приближенную формулу
л/а2+хжа-\ (а>0),
2 а
где | х | < а (соотношение А С В между положитель¬
ными А и В означает, что А весьма мало по сравне¬
нию с В).
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) д/5; б) д/34; в) У120 и сравнить с табличными
данными.
1104.1. Доказать формулу
's/a^+x = а + г (д>0, jc>0),
где
v2
0<Кт?.
fia®
1105. Доказать приближенную формулу
у/ ап + х та а — (а>0),
г ' па’1-! 4 "
где |*|<а.
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
a) v^9; б) >/"80; в) у'ЮО; г) ^1000.
1106. Сторона квадрата х = 2,4 м ± 0,05 м. С ка*
кими предельной абсолютной и относительной погреш¬
ностями можно вычислить площадь этого квадрата?
1107. С какой относительной погрешностью допу¬
стимо измерить радиус R шара, чтобы объем его можно
было определить с точностью до 1 %?
1108. Для определения ускорения силы тяжести
с помощью колебания маятника пользуются формулой
g = 4л21/Т2, где / — длина маятника, Т — полный пе¬
риод колебаний маятника. Как отразится на значении g
относительная погрешность 8 при измерении1, а) длины /;
б) периода Т?
1109. Определить абсолютную погрешность десятич¬
ного логарифма числа х (х > 0), если относительная
погрешность этого числа равна 6.
124 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1110. Доказать, что углы по логарифмической таб¬
лице тангенсов определяются точнее, чем по логарифми¬
ческой таблице синусов с тем же самым числом десятич¬
ных знаков.
§ 5. Производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Основные определения. Производные выс*
тих порядков от функции у = f, (х) определяются последова¬
тельно соотношениями (предполагается, что соответствующие
операции имеют смысл!):
/<«>(*)« №п-Ч(х)}" (п = 2, 3,
Если функция I (лг) имеет непрерывную производную /(л) (я)
на интервале (а, Ь)у то кратко пишут: d (х) £ С^п) (а, Ь). В ча¬
стности, если 1(х) имеет непрерывные производные всех поряди
ков на (а, b), то употребляется запись: f (х) £ С*00* (а, Ь).
Дифференциалы высших порядков от функции у = Цх) по¬
следовательно определяются формулами
dny = d(dn-'y) (л = 2, 3,
где принято d1y = dy = y'dx.
Если х — независимая переменная, то полагают:
d2x — dzx = . . . = 0.
В этом случае справедливы формулы
dny = y(n)dxn и у(п):
dny
dxn
2е. Основные формулы:
I. (ax)W = ах 1пл а (а £> 0); (ех)(п) « Л
II. (sin х)<Л) = sin^jc+.
III. (cos х)(п) = cos •
IV. (:im)<n) = т (т — 1) . . . (т — п + 1) хт~пя
V.
Хп
3°. Формула Лейбница. Если функции и = (р (х)
и v = ур (дг) имеют производные л-го порядка (я-кратно диффе¬
ренцируемы) то
(uvуп) = ^ ,
t=0
где м^5=й, и С1п — число сочетаний из п эле¬
ментов по (.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125
Аналогично для дифференциала dn (uv) получаем;
п
йп (uv) = ]Г С‘пс1п-‘и<1^,
1=0
где положено d°u = и и dnv = у.
Найти у", если:
1111. г/^д/ГТ*5. 1112. у = ■ .
V1 —х2
1113. у = е~х\ 1114. у = tg jc.
1115. у = (1 -f*2) arctg*. 1116. у=-ЩШ^=..
Vl — **
1117. у = хIn*. 1118. г/ = In/(*).
1119. t/= *[sin(ln*)+cos(ln*)].
1120. Найти у (0), у (0) и у (0), если
у = esinjr cos (sin *).
Пусть ы = <р (*) и v = i|) (*) — дважды дифферен¬
цируемые функции. Найти у”, если:
1121. у = и2. 1122. у = In -у.
1123. {/ = Ун2 + Л 1124. у = ы° (и>0).
Пусть / (*) — трижды дифференцируемая функция.
Найти у' и у'", если:
1125. у = /(*2). 1126. у =
1127. y = f(ex). 1128. у = [{\пх).
1129. у — f (<р (*)), где ф (*) — достаточное число
раз дифференцируемая функция.
ИЗО. Найти d2y для функции у = е* в двух случаях:
а) * — независимая переменная; б) * — промежуточ*
ный аргумент.
Считая * независимой переменной, найти d%y, если:
1131. г/ = уГ+Л 1132.*/=—. 1133, у = х*.
X
126 ОТДЕЛ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть и и v — дважды дифференцируемые функции
от переменной х. Найти d2y, если:
1134. y = uv. 1135. у = —.
v
1136. у = umvn (т и п—постоянные).
1137. у = аи (а> 0). 1138. у = \n-\Ju2-\-v2.
1139. у = arctg —.
v
Найти производные у'х, y'j, у'х' от функции у = у (х),
заданной параметрически, если:
1140. х = 2t—t\ y = 3t—t\
1141. х = a cos t, y = asint.
1142. x = a(t—sinO. y — °( 1—cosO*
1143. x = efcost, y = els\nt.
1144. x = /'(/). у = if (t)—f (t).
1145. Пусть функция у = f (x) дифференцируема до¬
статочное число раз. Найти производные х’, х", х”',
х™ обратной функции х = f"1 (у), предполагая, что эти
производные существуют.
Найти у'х, у*-., и у'х” от функции у = у (х), заданной
неявно:
1146. х2 + у2 = 25. Чему равны у', у” и у”' в точке
М (3, 4)?
1147. у2 = 2рх, 1148. х2—ху-\-у2 = I.
Найти у'х и у'х', если;
1149. у2 + 2 In у = х4.
1150. =аеягс1еу!х (а> 0).
1151. Пусть функция / (х) определена и дважды диф¬
ференцируема при х < х0. Как следует подобрать ко¬
эффициенты а, Ь и с, чтобы функция
/ (х), если х < х0;
а (х—x0)2 -f b (х—х0) + с, если х > х0
была дважды дифференцируема.
F(x) = {
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 127
1152. Точка движется прямолинейно по закону
s = 10 + 20/ — 5Л
Найти скорость и ускорение движения. Чему равны
скорость и ускорение в момент времени t = 2>
1153. Точка М (х, у) равномерно движется пи окруж¬
ности х2 + у2 = а2, делая один оборот за Г с. Найти
скорость v и ускорение / проекции точкм М на ось Ох,
если при t = 0 точка занимала положение V4i (а, 0).
1154. Тяжелая материальная точка М (*, у) брошена
в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости
горизонта с начальной скоростью v0. Составить (прене¬
брегая сопротивлением воздуха) уравнения движения
и определить величину скорости о и ускорения /, а
также траекторию движения. Чему равны наибольшая
высота поднятия точки и дальность полета?
1155. Уравнения движения точки
х = 4 sin o)t — 3 cos со/, у = 3 sin со/ + 4 cos a>t
(а> — постоянно).
Определить траекторию движения и величину ско¬
рости и ускорения.
Найти производные указанного порядка.
1156.
t/ = *(2*~l)2(*+3)3;
найти
У(6> И у'
1157.
а
у=~^>
найти
у"'.
1158.
у = л[х\
найти
фЩ,
1159.
X2
у = . ;
1 — X
найти
ут.
1160.
\ + х
у = /, ;
VI —X
найти
</<100>.
1161.
у =
найти
у(2°).
1162.
у = —;
X
найти
1163.
у = х In х;
найти у<ь>.
1164.
In X
у = ;
х
найти
у™.
1165.
у = х2ъ\п2х\
найти
1166.
cos Зх
У = з
у 1—3*
найти
у"'.
128 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1167. у = sin jesin 2л: sin Зл:; найти «/<10).
1168. t/ = *shjt; найти у<м)
1169. у = е* cos л:; найти у™.
1170. у = sin2 л: In х\ найти г/(в).
В следующих примерах, считая х независимой пе¬
ременной, найти дифференциалы указанного порядка:
1171. у = дс8; найти d&y.
1172. у — 1/л/х’, найти d3y.
1173. y = xcos2x\ найти d10y.
1174. у = ех 1пл:; найти d*y.
1175. у = cos * • ch найти d6y.
В следующих примерах найти дифференциалы ука¬
занного порядка, если и — функция от х, дифференци¬
руемая достаточное число раз:
1176. у = ы2; найти d10y.
1177. у = еи\ найти d4y.
1178. i/ = lnu; найти d3y.
1179. Найти d2y, d3y и dxy от функции у = / (лг),
считая х функцией от некоторой независимой перемен¬
ной.
1180. Выразить производные у" и у'” от функции
у — f (х) через последовательные дифференциалы пере¬
менных х и у, не предполагая х независимой переменной.
1181. Показать, что функция у = Cjcos х + CjSiri х,
где С! и С2 — произвольные постоянные, удовлетво¬
ряет уравнению
*/" + </ = 0.
1182. Показать, что функция у = Cjch х + Cssh х,
где Сг и С2 — произвольные постоянные, удовлетво¬
ряет уравнению
у"-у = о.
1183. Показать, что функция у — Сге^х + Сге^‘х,
где Cj и С2 — произвольные постоянные и —
постоянные, удовлетворяет уравнению
у”— (Ьх + Л.*) у' + к^гУ — 0.
§ 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 129
1184. Показать, что функция
у = хп [Cjcos (In х) + C2sin (In x) ],
где Cx и C2 — произвольные постоянные и n — по¬
стоянная, удовлетворяет уравнению
х2у" + (1—2/i) ху' + (1 + /г2) у = 0.
1185. Показать, что функция
у = cos + Са sin +
+ е-W2- (Сз cos ■+ С4 sin .
где Clt С2, С3 и С( — произвольные постоянные, удов¬
летворяет уравнению
+ У = 0.
1186. Доказать, что если функция f (х) имеет произ¬
водную п-го порядка, то
[/ (ад: 6)]<п> = ая/(Я) (ах+ &).
1187. Найти Р^п){х), если
Р (jc) = аох" -f- в!*4-1 +. . . + ап.
Найти ум, если
1188. у =
1190. у =
1188. у = . 1189. у = 1
cjc + d х (1 — jc)
1
*2 — 3*+2
Указание. Разложить функцию на простейшие дроби.
1191. у = 1192. у i
VI — 2х У
1193. t/ = sin4Jc. 1194. у — cos2x. 1195. у = sin**.
1196. г/ = cos3 jc. 1197. у = sin ах sin bx.
1198. у = cos ах cos bx. 1199. у = sin ax cos bx.
1200. у = sin2 ах cos bx. 1201. t/ = sin4x-f cos4 X.
1202. у — xcos ax. 1203. у = x2 sin ax.
1204. у = (x4 + 2x-f 2)e“*. 1205. г/= e*/x.
1206. y = e?cosx. 1207. t/ = 6,*sinx.
Б. П. Демндовнч
130 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1208. у = In ££2*..
а а—Ьх
1209. у = еахР(х), где Р(х)—многочлен.
1210. у = xshx.
Найти dny, если:
1211. у = хпех. 1212. у = •
1213. Доказать равенства:
1) sin (bx+c)]<n> = S* (a2 + Ьг)п/2 sin (bx + с + /кр)
и
2) cos (bx + c)](n) = (a2 -f 62)"/2 cos (bx+c + nqi),
где
6 a
sin <p = —=z=r и cos <p = —- .
Va2+ b3 Vfl2 + b2
1214. Найти y(n> , если:
а) у = ch ax cos bx; б) у = ch ax sin bx.
1215. Преобразовав функцию f (*) = sin2*\x:, где p —
натуральное число, в тригонометрический многочлен
р
f(•*)”£ Л*cos 2kx, найти /(п) (дс).
k=Q
Указание. Положить sin х = (/ — /), где t ■=
2»
= cos дс + i sin х и t = cos х — i sin *, и воспользоваться фор¬
мулой Муавра.
1216. Найти fw(x), если:
а) f (х) = sinip+1 дс; б) / (х) = cos2p дс;
в) /(х) — cos2p+1Jt,
где р — целое положительное число (см. предыдущую
задачу).
Если
/ (*) = /i (*) + if 2 М.
где t — мнимая единица и fx (х), /2 (дс) — действительные
функции от действительной переменной дс, то по опре¬
делению принимаем:
Г М = п (х) + т (х).
131
доказать, что
sin[(n-f 1) arcctg*].
Указание. Применить формулу Муавра.
1218. Найти п-ю производную от функции
/ (*) = arctg х.
Найти fM (0), если:
1220. a) f (х) — x2(fx\ б) f(x) = arctg х;
в) f М = arcsin х.
1221. a) f (x)=cos (т arcsin х)\ б) f (х)=sin (ttt arcsin *).
1222. a) /(*) = (arctg*)2; 6) fix) = (arcsin*)2.
1223. Найти /(п> (а), если
где функция cp (*) имеет непрерывную производную
(п—1)-го порядка в окрестности точки а.
1224. Доказать, что функция
(п — натуральное число) в точке * = 0 имеет произ¬
водные до л-го порядка включительно и не имеет произ¬
водной (п + 1 )-го порядка.
1225. Доказать, что функция
( е~1/х\ если хфО,
/(*) = I
[ 0, если * = 0
бесконечно дифференцируема при * = 0.
Построить график этой функции.
6*
/ (х) = (*—с)"ф (*),
f(x) =
**"sin —, если хфО,
к
0, если *=0
132 ОТДЕЛ Л. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1226. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(х) = ^ ^ cos (т arccos х) (т= 1,2,...)
удовлетворяют уравнению
(1—дс2) Тт(х)—хТ'т(х) + т2Тт(х) = 0.
1227. Доказать, что многочлены Лежандра
Рт(х) = —К*2— 1Л(Ж) (rn = о, 1, 2, ...)
2тот1
удовлетворяют уравнению
(1 —х2) Pm (х)—2хРт (X) +т(т + 1) Рт (х) = 0.
Указание. Продифференцировать т + I раз равен¬
ство (х®—1) и' = 2тхи, где и = (х2—1)т
1228. Многочлены Чебышева — Лагерра определяются
формулой
Lm (х) = е* (хТе-у^ (т = 0, 1, 2, .. .).
Найти явное выражение для многочлена Lm (х).
Доказать, что Lm (х) удовлетворяет уравнению
xLm (х) + (1—х) Lm (х) + mL (х) = 0.
Указание. Использовать равенство хи' + (х—т) и — 0,
где и — хте~х.
1229. Пусть у = / (и) и и = <р (х), где / (и) и <p (jc) —
л-кратно дифференцируемые функции.
Доказать, что
~r=t Л* (*)/<*’(«),
dxn k=\
где коэффициенты Ак (х) (k = 0, 1, . . . , п) не зависят
от функции / (и).
1230. Доказать, что для л-й производной сложной
функции у = / (х2) справедлива формула
= (2х)" /<л> (ха) + 1} (2х)'1-а/(л-1,(х2) +
dx^ 11
+ п{п-1)(п-2)(п-3) р-а) + ^
$ в ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 133
1231. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются
формулой
нт (X) = (—If е? (ё~хУт) (т = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение многочленов Нт (х).
Доказать, что Нт (х) удовлетворяет уравнению
Нт (х)—2хН ш (*) + 2тНт (х) = 0.
Указание. Использовать равенство и' + 2хы = 0, где
и =
1232. Доказать равенство
4 ' xn+i
Указание. Применить метод математической индук*
ции.
1232.14 Доказать формулу
^(*"lnx)=n!^ln*+g {х>0).
1232.2, Доказать формулу
d2n /ьтх\ (2п)\
dx™
(~г) ~ iSr[Сп №sin Xr~Sn №cos
где
Xй , , у iwi X™
Ся(х) = Ь—— + • • • +(—I)1
21 ' (2 п)\
31 (2/t —1)1
:ть —
dx
цирования и
1233. Пусть — = D обозначает операцию дифферент
dx
f(D) = 'Z,Pk(x)Dk
к=0
—символический дифференциальный многочлен, где р*(х)
(k = 0, 1, ..., п) — некоторые непрерывные функции
от х.
134 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что
f(D)[eXxu(x)} = ekxf(D + X)u(x),
где X — постоянно.
1234* Доказать, что если в уравнении
Ц akxky'*' = О
ft=0
положить х — ё, где t — независимая переменная, чо
это уравнение примет вид:
X —1)... (D<—k + \)y =0,
k=0
где D = —.
dt
§ 6« Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
1°. Теорема Ролля. Если: ]) функция / (дс) опреде¬
лена и непрерывна на сегменте [а, Ь]\ 2) I (х) имеет конечную
производную // (дг) внутри этого сегмента; 3) / (л) = f (6), то
существует по меньшей мере одно число с из интервала (а, Ь)
такое, что
Г (с) = 0.
2°. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция [ (х)
определена и непрерывна на сегменте [а, Ь\\ 2)Цх) имеет конеч¬
ную производную I (х) на интервале (а, Ь), то
/ (Ь) — / (д) = (Ь—а) i (с), где а < с < Ь
(формула конечных приращений).
3°. Теорема Коши. Если: 1) функции I (х) и g (,х)
определены и непрерывны на сегменте [а, Ь]\ 2) / (*) и g (х)
имеют конечные производные f# (дг) и g' (дг) на интервале (at Ь);
3) I'2 (х) + g’2 (*) Ф 0 при а < х < Ь\ 4) g (а) Ф g(b), то
№)-/(«_ по
g (6) — g (a) g'{c)
1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции
/ (*) = {х 1) (х—2) (х 3).
з,
1236. Функция f (х) = 1— у х2 обращается в нуль
при хг = — 1 и х2 = 1, но тем не менее }' (х) ф 0 при
— 1 < х < 1. Объяснить кажущееся противоречие с тео¬
ремой Ролля.
< 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ 135
1237. Пусть функция / (дс) имеет конечную произ¬
водную /' (*) в каждой точке конечного или бесконеч¬
ного интервала (а, Ь) и
lirn f(x) = lim /(дс).
Jt—►a-f- 0 x-+b—0
Доказать, что f' (с) = 0, где с — некоторая точка
интервала (а, Ь).
1238. Пусть: 1) функция f (х) определена и имеет не¬
прерывную производную (п—1)-го порядка fп_1) (дс)
на сегменте U0, хп ]; 2) / (дс) имеет производную «-го
порядка /(я) (дс) в интервале (дс0, хп) и 3) выполнены ра¬
венства
/ (-«о) = f (*i) = ... = / (дс„) (дс0 < *i < . . . < хп).
Доказать, что в интервале (дс0, хп) существует по
меньшей мере одна точка В такая, что /(п) (£) = 0.
1239. Пусть: 1) функция f (дс) определена и имеет
непрерывную производную (р + ?)-го порядка (дс)
на сегменте [а, Ь]\ 2) / (дс), имеет производную
(р + q + 1)-го порядка /И’+'Н-к (jc) в интервале (а, Ь);
3) выполнены равенства
f (а) = Г (а) = . . . = /<" (а) = 0
и
/(&) = /'(&) = ...= fw (Ь) = 0.
Доказать, что в таком случае /^+«+» (с) = 0, где
с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1240. Доказать, что если все корни многочлена
Р„(х) = а0хГ + агл^*г4-.. . + ап (а0ф0)
с действительными коэффициентами ак (k = 0, 1, . . . , п)
вещественны, то его последовательные производные
Р'„ (дс), Рп (*), . . . , РпП~1> (х) также имеют лишь ве¬
щественные корни.
1241. Доказать, что у многочлена Лежандра
Рп (X) = —— — {(дс2— 1П
’ 2nnl dx" U ’ 1
все корни вещественные и заключены в интервале
(- 1. 1).
136 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1242- Доказать, что у многочлена Чебышева—Ла-
герра
Ln (.х) = ex-f- (хпе~1С)
dxn
все корни положительные.
1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита
Нп(х) = (-l)V’-^ (е~П
dxn
все корни вещественные.
1244. Найти на кривой у = х3 точку, касательная
в которой параллельна хорде, соединяющей точки
А (_ 1, _ 1) и В (2, 8).
1245. Верна ли формула конечных приращений для
функции / (х) = Их на сегменте [а> 6], если аЬ < О?
1246. Найти функцию 0 = 0 (л:, Ах) такую, что
/ (х + Ах) - / (*) = Axf' (х+вАх) (0 < 0 < 1),
если:
а) /(х) = ах2 + bx+с (аф0); б) /(х) = *3;
в) /(х) = 1/х; г)/(х) = е*.
1246.1. Пусть f (дг) 6 С*1' (—°°. + 00) и для лю¬
бых х и h справедливо тождество:
/ (X + А) - / (X) а А/' (X).
Доказать, что / (дс) = ах + Ь, где а и Ь — постоян¬
ные.
1246.2. Пусть f (х) 6 С(2) (— оо, + оо) и для лю¬
бых х и Л справедливо тождество
f(x + h)~-f(x) = hf' (х + ±у
Доказать, что / (х) = ах2 + Ъх + с, где а, Ъ и с —
постоянные.
1247. Доказать, что если х > 0, то
где
— < 6(Х) ,
4 2
причем lim 0 (х) = 1/4, lim 0 (х) = 1/2.
JC-H-oo
$ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ. 137
1248. Пусть
f(x) =
3 * при 0 < х 1,
2
— при 1<*<+оо.
Определить промежуточное значение с формулы конеч¬
ных приращений для функции / (х) на сегменте [0, 2].
1249. Пусть f (х) — f (0) = xf (i (х)), где 0 < £(*)<*.
Доказать, что если
f (х) = х sin (In х) при х > 0 и / (0) = 0,
то функция | = 1(*) разрывна в любом сколь угодно
малом интервале (0, |), где е > 0.
1250. Пусть функция / (jc) имеет непрерывную про¬
изводную /' (я) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой
точки | из (а, Ь) указать две другие точки jcx и х2 из
этого интервала такие, что
/(*,)-/(*i) =f/(S) (Xi<?<JCj)?
хг — JCi
Рассмотреть пример: f (х) = х3 (— 1 < х < 1), где
£ = 0.
1251. Доказать неравенства:
а) | sin jc—sin у\ < \ х— у |;
б) ру"'1 (х—у) < хр — ур < рхр~х (х~у),
если 0 <.у<.х и р> 1;
в) |arctga — arctg | <\а—Ь|;
\ о> *“ Ь -1 а а. •“ b л ^ 1 .
г) < 1п — < , если 0 < b < а.
а b Ъ
1252. Объяснить, почему не верна формула Коши
для функций
f (х) — х2 н g (х) = х3
на сегменте [— 1, 1 ].
1253. Пусть функция / (*) дифференцируема на сег¬
менте U„ х2 ], причем jc1jc2 > 0. Доказать, что
' * *• I =f®-y'(t),
Xl — X2 If (jfx) f (x2) I
где jfj < I < x2.
1254. Доказать, что если функция / (jc) дифферен¬
цируема, но не ограничена на конечном интервале
138 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
^а, Ь), то ее производная /' (jc) также не ограничена
на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна (по¬
строить пример).
1255. Доказать, что если функция f (jc) имеет в ко¬
нечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную
производную /' (jc), то f (я) равномерно непрерывна на
(а, Ь).
1256. Доказать, что если функция f (jc) дифференци¬
руема в бесконечном интервале (jc0, + оо) и
lim /' (jc) = 0, то lim =0, т. е. / (jc) = о (х) при
X—►-{-00 X
X -*• + оо.
1257. Доказать, что если функция f (х) дифферен¬
цируема в бесконечном интервале (дс0, + оо) и
f (х) — о (jc) при jc -*■ + оо,
то
lim \Г(х)\ = 0.
Х->-{-оо
В частности, если существует lim /' (х) = k, то k = 0.
Х‘> { оо
1258. а) Доказать, что если: 1) функция f (х) опреде¬
лена и непрерывна на сегменте [jc0, X ]; 2) / (х) имеет
конечную производную /' (jc) в интервале (x0f X); 3) су¬
ществует конечный или бесконечный предел lim /' (*) =
*-►*0+0
Г (х0 + 0), то существует соответственно конечная
или бесконечная односторонняя производная f'+ (*о)|
и /+ (х0) = Г (х0 + 0).
б) Показать, что для функции
f (х) = arctg (хф1) и f( 1) = 0
существует конечный предел lim /' (jc), однако функция
*-►1
f (jc) не имеет односторонних производных /1(1) и
/+ (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные одно¬
сторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если /' (jc) = 0 при а < jc < b, то
f (jc) = const при а < jc < b.
1260. Доказать, что единственная функция
/ (х) (— оо < jc < + °°), имеющая постоянную произ¬
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ 139
водную
Г (X) = к,
есть линейная:
f (дс) = kx + Ь.
1261. Что можно сказать о функции / (дс), если
(дс) = О?
1261.1. Пусть f (х) 6 Cico) (— оо, + оо) и для каж¬
дого дс существует натуральное число пх (пх < п) такое,
что
f(nx) (Х) « о.
Доказать, что функция / (дс) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у =
= у (дс) (— оо < дс < + оо), удовлетворяющая уравне¬
нию
у’ = Ху (X = const),
есть показательная;
У = Сеи,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть {уе~^У•
1263. Проверить, что функции
f(x) = arctg и g(x) = arctg дс
1 —X
имеют одинаковые производные в областях:
1) дс< 1 и 2) дс> 1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
2Х
а) 2 arctg дс + arcsin = л sgn х при | дс| > 1;
1 + JC3
б) 3 arccos х—arccos (Здс—4*3) = я при |дс| <
1265. Доказать, что если: 1) функция / (х) непре¬
рывна на сегменте [а, b ]; 2) имеет конечную производ¬
ную /' (дс) внутри него; 3) не является линейной, то
140 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в интервале (а, Ь) найдется по меньшей мере одна точка с
такая, что
t(b)-t (а)
Ь — а
IГ (С) 1>
Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
1266. Длказать, что если: 1) функция f (х) имеет
вторую производную /" (я) на сегменте [а, Ь] и 2) /' (а) =
= /' (b) = 0, то в интервале (at b) существует по мень¬
шей мере одна точка с такая, что
\Г(с)\>—А \f(b)-f(a)\.
(Ь — ау
1267. Автомобиль, начав двигаться из некоторого
начального пункта, закончил свой путь в / с, пройдя
при этом расстояние s м. Доказать, что в некоторый
момент времени абсолютная величина ускорения дви¬
жения автомобиля была не меньше
4s м
Т2
§ 7. Возрастание и убывание функции.
Неравенства
1°. Возрастание и убывание функции.
Функция f (х) называется возрастающей (убывающей) на сег¬
менте [а, Ь], если
f (*2) > f (xi) при а хх < х2 < Ъ
(или соответственно f (х2) < f (*i) при а ^ хх < х2 ^ Ь).
Если дифференцируемая функция [ (х) возрастает (убывает)
оа сегменте [а, b], то
I* (х) > 0 при а < х Ь (или I' (х) < 0 при а < х ^ 6).
2°. Достаточный признак возрастания
(убывания функции). Если функция I (х) непрерывна на
сегменте [а, b] и внутри него имеет положительную (отрица¬
тельную) производную i (*), то функция I (х) возрастает (убы¬
вает) на [а, Ь].
Определить промежутки монотонности в строгом
смысле (возрастания или убывания) следующих функ¬
ций:
§ 7 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 141
1272. у = x + sin*. 1273. у = jc + |sin 2х|.
1274. у — cos —. 1275. у = — .
х 2х
1276. у = xV* (п>0, х > 0). 1277. у = jc2 — In х2.
1278. /(х) = X{^\Jy+sinlnx^, если х>0 и /(0) = 0.
1279. Доказать, что при увеличении числа сторон п
периметр рп правильного n-угольника, вписанного в ок¬
ружность, возрастает, а периметр Рп правильного
л-угольника, описанного около этой окружности, убы¬
вает. Пользуясь этим, доказать, что рп и Рп имеют об¬
щий предел при п -*■ оо.
1280. Доказать, что функция (l + —^ возрастает
на интервалах (— оо, — 1) и (0, + оо).
1281. Доказать, что целая рациональная функция
Р М = а0 + + . . . + апхп (п > 1, апф 0)
является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах
(— оо, — х0) и (х0, + оо), где х0 — достаточно большое
положительное число.
1282. Доказать, что рациональная функция
R (х) = J,?+-g?x+--+a»x" ■ (апЬт Ф0),
*о+М+- • . + Ьтхт
отличная от тождественной постоянной, монотонна
(в строгом смысле!) в интервалах (—оо, —х0) и (jc0,
+ оо), где х0 — достаточно большое положительное
число.
1283. Производная монотонной функции обязательно
ли является монотонной? Рассмотреть пример: / (х) =*
= х + sin х.
1284. Доказать, что если ф (jc) — монотонно возра¬
стающая дифференцируемая функция и
I/' Ml < ф' М при х > х0,
то
I/ (х) — / W I < ф м — Ф (*о) при X > х0.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1285. Пусть функция / (х) непрерывна в промежутке
а < х < + оо и сверх того /' (х) > k > 0 при х > о,
где k — постоянная.
143 ОТДЕЛ 1Г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказать, что если f (а) < 0, то уравнение f (х) = О
имеет один и только один действительный корень в ин¬
тервале (а, а —•
1286. Функция f (х) называется возрастающей в
точке х0, если в некоторой окрестности | х—х01 < 6
знак приращения функции Д/ (*0) = / (х) — f (х0) сов¬
падает со знаком приращения аргумента Д*0 = х—х0.
Доказать, что если функция f (х) (а < х < Ь) воз¬
растает в каждой точке некоторого конечного или бес¬
конечного интервала (а, Ь), то она является возрастаю¬
щей на этом интервале.
1287. Показать, что функция
f (х) = х -Ь *2sin—, если х Ф 0 и / (0) = 0,
X
возрастает в точке х =* 0, но не является возрастающей
ни в каком интервале (— е, е), окружающем эту точку,
где е >- 0 произвольно мало.
Построить эскиз графика функции.
1288. Доказать теорему: если 1) функции <р (ж) и
1)) (*) n-кратно дифференцируемы; 2) <p(fc) (#0) = (х0)
(k = 0, 1, . . . , п—1); 3) (*) при х> х0,
то имеет место неравенство
Ф (*) > ^ (*) ПРИ х > х0.
1289. Доказать следующие неравенства:
е)е*>1+х при хФ0;
б) х—•< In (1 + *)<* при дс>0;
в) х — sin jc<лс при х>0;
г) tgдс>х+при 0<х<-£-;
д) (ха уа)1/а> (д:р -}- #Р),/С1 при х>0, у>0 и
0 <а < р.
Дать геометрическую иллюстрацию неравенств
а) — г).
1290. Доказать неравенство
— x<sinx<jc при
я 2
§ 7. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 143
1291. Доказать, что при 0 имеет место неравен¬
ство
(,+т)'<£<(, + тГ-
1292. У арифметической и геометрической прогрес¬
сий число членов и крайние члены соответственно оди¬
наковы и все члены прогрессий положительны. Дока¬
зать, что у арифметической прогрессии сумма членов,
больше, чем у геометрической.
1293. Исходя из неравенства
£ (а**+ Ьк)2 > О,
t=i
где х, ab, bk (k — 1, . . , , п) вещественны, доказать
неравенство Коши
1294. Доказать, что среднее арифметическое поло¬
жительных чисел не больше среднего квадратичного
этих же чисел, т. е.
1295. Доказать, что среднее геометрическое положи¬
тельных чисел не больше среднего арифметического
этих же чисел, т. е.
Ухххг.. . х„ ^ —(*1 + *2 + * . . + *„).
Я
Указание. Применить метод математической индукции.
1296. Средней порядка s для двух положительных
чисел а и b называется функция, определяемая равенст¬
вом
A* (a, b) = , если s Ф О,
в
Д0 (а, b) — lim Д5 (а, Ь).
s-*0
В частности, получаем: при s = — 1 среднее гармо¬
ническое; при 5 = 0 среднее геометрическое (доказать!);
144 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при s = 1 срейнее арифметическое; при s = 2 среднее
квадратичное.
Доказать, что:
1) min (а, Ь) < Дs(a, b) < max (а, b);
2) функция Д5 (а, Ь) при аф b есть возрастающая
функция переменной s;
8) lim Д5 (a, &) = min(a, 6);
S—►—ОО
lim A, (а, b) = max (а, 6).
Указание. Рассмотреть —[In As (а, 6)1.
ds
1297(h). Доказать неравенства:
а) х? — 1>а(х— 1) при а > 2, х> 1;
б) \Vx—Ya<Vх—Д. если л> 1, х>а> 0;
в) 1+2 In Ж я2 при л;>0.
§ 8. Направление вогнутости.
Точки перегиба
1°. Достаточные условия вогнутости.
График дифференцируемой функции у = f{ (х) называется вог¬
нутым вверх или выпуклым вниз (вогнутым вниз или выпуклым
вверх) на сегменте [a, 6], если отрезок кривой
у = f (х) (а < X < Ъ)
расположен выше (соответственно ниже) касательной, прове¬
денной в любой точке этого отрезка. Достаточным условием
вогнутости графика вверх (вниз), в предположении существова¬
ния второй производной t" (*) ПРИ я ^ является выпол¬
нение неравенства
//' (х) > 0 (i" (х) < 0) при а < х < Ь.
2°. Достаточное условие точки пере*
р и б а. Точки, в которых меняется направление вогнутости
графика функции, называются точками перегиба. Точка
для которой либо //' (*0) = либо //' (*0) не существует, при¬
чем [/ (*0) имеет смысл, есть точка перегиба, если f" (дс) меняет
свой знак при переходе через значение х0.
1298. Исследовать направление вогнутости кривой
у = 1 +vrx
р точках А (— 1, 0), В (1, 2) и С (0, 0).
5 в НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ J45
Найти промежутки вогнутости определенного знака
и точки перегиба графиков следующих функций:
1299. у = Зхг—х3. 1300. у = ■ а\ (а > 0).
у J а2+ jc* ' 1
1301. у = x + xs/i. 1302. y = ^/\+x\
1303. (/ = x + sinA:. 1304. у = е~х\
1305. у = In (1 +*s). 1306. ;/= jc sin (1п ж) (лс>0).
1307. y = Xх (Jt>0).
1308. Показать, что кривая
y = -£±-L
* **+1
имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
Построить график этой функции.
1309. При каком выборе параметра h «кривая ве*
роятности»
y = JL-e-h'* (ft>0)
л/п
имеет точки перегиба х = ± а?
1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды
х = a (t — sin t), у = а (1—cos t) (а > 0).
1311. Пусть функция / (дс) дважды дифференцируема
в промежутке а < х < + оо, причем: 1) f (а) * А > 0;
2) f (а) < 0; 3) /" (лг) < 0 при х > а.
Доказать, что уравнение / (jc) = 0 имеет один и
только один действительный корень в интервале (а, + оо).
1312. Функция / (х) называется выпуклой снизу
(сверху) на интервале (а, Ь), если для любых точек jtt
и х2 из этого интервала и произвольных чисел и Kt
(А,г> 0, Я2 >0, Я.х + A.J = 1) имеет место неравен¬
ство
f <~« / fai) (-^г)
(или соответственно противоположное неравенство
/ (^i^i *1” ^ / C^i) “Ь ^2/ С^г))*
Доказать, что: 1) функция f (х) выпукла снизу на
(а, Ь), если /" (х) >• 0, при а < х <. Ь; 2) f (jc) выпукла
сверху на (а, Ь), если, /" (х) < 0, при а < х < Ь.
146 ОТДЕЛ ТТ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1313. Показать, что функции
хп (п > 1), ех, х In х
выпуклы снизу на интервале (0, +оо ), а функции
хп (0 < п <Z 1), In х
выпуклы сверху на интервале (0, 4- оо).
1314. Доказать неравенства и выяснить их геомет¬
рический смысл:
a) +Уп)>(—^У (*>°. У>°. х=тьУ> п>1)'«
ф£±*_>(,+ур (хфу).
в) х\пх-\-у\г\у>(х-\-у)\п -, если дг>0 и у~>0.
1314.1. Пусть /" (*) > 0 при а <. х < Ь.
Доказать, что
f(j4r£)<YinXli+fix*>]
при любых xlf х2 £ 1а, Ь].
1315. Доказать, что ограниченная выпуклая функ¬
ция всюду непрерывна и имеет односторонние левую
и правую производные.
1316. Пусть функция f (jc) дважды дифференцируема
в интервале (с, Ь) и f" (5) Ф0, где а < £ < Ь.
Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два
значения д:х и х2 такие, что
/ (хг) — f (*i) j/ ^
Xj —*1
1317. Доказать, что если функция / (jc) дважды диф¬
ференцируема в бесконечном интервале (jc0, + оо) и
lim / (*) = 0, lim f (х) = 0,
х-+хо+0 дг->+оо
то в интервале (jcq, + оо) имеется по меньшей мере одна
точка | такая, что /" (£) = 0.
§ 9 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 147
§ 9. Раскрытие неопределенностей
1-й случай правила Лопиталя (раскрытие
О
неопределенности вида —). Если: 1) функции / (х) и# (х) опреде¬
лены и непрерывны в некоторой окрестности 1/е *) точки а,
где а — число или символ оо, и при х -+■ а обе стремятся к нулю:
lim f(x) = limg(x) = 0;
х-*а х->а
2) производные /' (х) и g' (х) существуют в окрестности Ue точки
а, за исключением, быть может, самой точки а, причем одновре¬
менно не обращаются в нуль при х ф а\ 3) существует конечный
или бесконечный предел
.imilW ,
*-va g' (*)
то имеем:
х-»а g (х) х-*а g* (х)
2-й случай правила Лопиталя (раскрытие
оо
неопределенности вида —). Если: 1) функции [(х) и g (jc) при
оо
х а обе стремятся к бесконечности:
lim / (х) = lim g(x) = оо,
х^а х-+а
где а — число или символ оо;
2) производные /' (х) и g' (х) существуют для всех xt при¬
надлежащих некоторой окрестности Ue точки а и отличных от а,
причем
f/Цх) + g'а (х) Ф 0 при х £ UE и х ф а;
3) существует конечный или бесконечный предел
*-*“ S' (*)
TO
*-*■« 8 (*) *-*•<« g' (*)
Аналогичные правила справедливы для односторонних преде¬
лов.
Раскрытие неопределенностей видов 0-оо, оо — оо, 1°®, 0°
и т. п. путем алгебраических преобразований и логарифмировав
*) Под окрестностью £/* точки а понимается совокупность
чисел х, удовлетворяющих неравенству: 1) 0 < | х—б|<б,
если а — число, и 2) |х| > 1/е# если а — символ оо.
148 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
иия приводится к раскрытию неопределенностей двух основных
типов:
О оо
—• и .
О оо
Определить значения следующих выражений:
<010 1. sin а* Ю1Л 1- ch х — cos х
1318. lim . 1319. hm .
х-+0 sin *_*o x2
1320. lim *3-—x . 1321. lim 3 tg 4x ~ 12 .
x-+ox — s\nx x~+o 3sin 4x — 12sin x
1322. lim . 1323. lim *ctg*~ L .
Jl tg X x^Q X2
1324. lim /tgx-T-i . 1325. lim * («* + >) - - II
л 2sin2x — 1 *-►(> хл
Х~*~Г
,326. lim . ,327. lim arcsin 2x ~ 2 a-rcsi^
*-*o Jt2sinx2 ж->о
,m Й 7w(^arctg VV^arctg д/f ) ■
1329. lim a*-flSin* (Q>0). 1330. limf
jk->0 *3 jc—>1 \ln X — X \)
1331. lim ln<sina*> . 1332. lim ■ln (cos ax)- .
x-+o In (sin bx) x -*o In (cos bx)
1333. 1334. lim-i-Г-! 1-\
x-*Q x4 *->0*Vth* tgxy
m5 ljm Arsh (sh x) Arsh (sin*) ^ где Arsh * =
x-+o sh x—sin*
= In {x + ^jl -f- JC2).
1336. lim —■ (e>0).
1337. lim— (а>0, л>0). 1338. lim
€°x x-*0 -*1
1339. lim Л-0'01'. 1340. lim ln Jt-ln (1 — x).
X—►-j-oo X—► 1—0
1341. limjtMn* (e>0). 1342. limjc*.
X-»+0
1343. lim***-'. 1344. lim(x** — l).
x-*0 ДГ—►O
§ 9 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
1345. limjK*/ll+,nx’. 1346. lim xm~x\
*-►-+-0 Jt—►!
1347. lim(2 —*)tgnjc/2. 1348. lim(tg *)tg2*.
А-И Jl
X-*T
1349. lim (ctgjc)sin\ 1350. lim Tin—Y.
x-+0 x-»-fO\ x )
1351. lim ft* -Si-V". 1352. Urn (HiX»™.
x->oo V 2x i J r->a \ tg a J
1353. lim ( aX-x{t'a.\/x\ 1354. ljm(± L_Y
x->o \ b* — x In b ) x-м) V •* e* — 1 /
1355. limf— J—V 1356. limfctgjc—-V
х-й\1п* x — l J x-*-o V. */
x-I-o [ 1п(дс + V* + x2) bi (1 + x) ] *
1358. \im-X~x- (a>0). 1359. lim (1 + JC)1/x~g<
x->o x — a t-*0 X
1360. lim (°+*>ж-аХ. (a>0).
x-»0 X2
1361. lim (— arctgJcY. 1362. lim (thx)*.
oo\ Л / X-^-j-OO
,363. limf-Sli-Y^. 1363.1. lim (iiLiY/x*.
X J x-*0 \ X J
1363.2. limp^Y'*’ 1363.3. limp^Y'*.
*->0 V x J jc->0 \ X )
1363.4. lim (~rsh— Vм • где Arsh* =
х-*0 \ x )
In (jC +д/l + *2).
1364. lim [ (1 ^—1 . 1365. limf— arccosxY/*.
x-*0 L e J x-vO \ я /
1366. limf-^-Y^. 1367. lim lnch*
i\ ch x J
*+o4chx/ x-*o
(1 jc \cthx „Injc
—+ - ) • 1368.1. lim
2 )
1369. lim Гу' JC® + лса -J- Jt -j-1—л/лс2 + *+1 • *n
x-*+oo L x J
150 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1370. lim [(дс + а)1+<1/л!) — х1+Ых+а)\.
Х-*+оо
1371. Найти lim —.если кривая у = f (х) входит
Х-+0 X
при х 0 в начале координат (0, 0) (lim f (х) = f (0)=0)
х->0
под углом а.
1372. Доказать, что lim xf{x> = 1, если непрерывная
кривая у = f (х) входит при х -> + 0 в начало коорди¬
нат (lim / (я) = 0) и при 0 <С х < е целиком остается
х-*+0
внутри острого угла, образованного прямыми: у =
= — kx и у = kx (k Ф оо).
1373. Доказать, что если для функции / (х) сущест¬
вует вторая производная f" (jc), to
/"(х) = lim f(* + » + f(x-h)-V(x) .
A-^o h2
1373.1. Исследовать на дифференцируемость в точке
х = 0 функцию:
1
/(*) =
ех— 1
1
2 ’
если хф0\
если х = 0.
Ж1+*
1373.2. Найти асимптоту кривой у = (л:>0).
1374. Исследовать возможность применения правила
Лопиталя к следующим примерам:
* • 1
x2sm
a) lim £- ; б) lim-~sin* ;
*-►0 sin лг jc—>оо * + sin*
\\ХП (cos л-|-2sin*) + е~*2 sin2* ^
x-*-\-oo erx (cos x + sin x) 9
r)lim , + ^±sinJCC^
sin X
x-+oo (x + sin x cos x) e
1375. Найти предел отношения площади кругового
сегмента, имеющего хорду Ь и стрелку А, к площади
равнобедренного треугольника, вписанного в этот сег¬
мент, если дуга сегмента при неизменном радиусе R
§ 10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 151
стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом,
вывести приближенную формулу для площади сегмента:
Stt-bh.
3
§ 10. Формула Тейлора
1°. Локальная формула Тейлора. Если
1) функция I (*) определена в некоторой окрестности \х—х01 < е
точки xQ\ 2) ^ (*) имеет в этой окрестности производные /' (*),...
..., f(n~l) (х) до (п—1)-го порядка включительно; 3) в точке
х0 существует производная л-го порядка /(п) (дс0), то
п
f (х) = £ Як (х — Х0)к + о(х — х0)п, (1)
fe=0
где
ак = ^*>(*о) (ft = 0. I п).
k\
В частности, при х0 = 0 имеем:
(2)
При указанных условиях представление (1) единственно.
Если в точке х0 существует производная f(n+i) (*0)f то
остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде
О*
Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие
пять важных разложений:
I. в* = ! + *+-£+...+ *1 + о(*«).
21 п\
уЗ г2П-1
II. sin ж = * h . . . + (— I)"-1 — Ь о (**»).
3! (2л—1)!
у2 ~2П
III. COS X = 1 h...+(“ 1)п — н о (х*1*1).
2! (2л) I
IV. (1 + Х)т = 1 + /ШГ+ m(m~ [) *» + . . .
21
п\
V. 1п(1+*)=ж--^- + . .. + (— I)"-1 — о (*").
2 /г
2°. Формула Тейлора. Если 1) функция ((х)
определена на сегменте [а, 6]; 2) J (дс) имеет на этом сегменте
152 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
непрерывные производные /' (х), . . . , /(n-i) (х); 3) при
а < х <С Ь существует конечная производная £<п) (*), то
л—I
*(*)==£ fnJa) <x-°)*+^nW (e<*<6).
4=0 *'
где
/?„ (ж) = /(П) (° +6 (дс ~ а)) (« - а)" (0 < 0 < 1)
л!
(остаточный член в форме Лагранжа), или
Rn (*) = /(П) (а + 01 (Х ~ а)) (1 - б!)"-1 (ж - а)п <0<е1<31)
(я — 1)1
(остаточный член в форме Коши).
1376. Многочлен
/>(*)=» 1 + 3* + 5х2 — 2х3
расположить по целым неотрицательным степеням дву¬
члена х + I.
Написать разложения по целым неотрицательным
степеням переменной х до членов указанного порядка
включительно следующих функций:
1377. fix) = 1 до члена с лс4. Чему рав-
1 — X + X2
но /<4> (0)?
1378. (I + дс)100 до члена с х2'
(1 — 2дг)40 (1 + 2*)«°
1379. у ат-\-х (а>0) до члена с х3
1380. д/1 — 2х + х? — у 1 — Зх + х до члена с я3.
1381. е2х~х’ до члена с х5.
1382. —-— до члена с х4.
^-1
1383. у sin л:3 до члена с х13.
1384. In cos х до члена с х*.
1385. sin (sin х) до члена с дс3
1386. tg*Ao члена с я5.
1387. In до члена с дс®.
5 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 153
1388. Найти три члена разложения функции f (х) =
= л/х по целым неотрицательным степеням разности
х—1.
1389. Функцию / (х) = хх —1 разложить по целым
неотрицательным степеням бинома х—1 до члена с
(А-1)3.
1390. Функцию у = a ch— (а > 0) в окрестности
а
точки х = 0 приближенно заменить параболой 2-го по¬
рядка.
1391. Функцию f М = д/\ + х2 — х (х > 0) раз¬
ложить по целым неотрицательным степеням дроби —
до члена с —.
х3
1392. Найти разложение функции f (Л) = In (х + Л)
(х > 0) по целым неотрицательным степеням прираще¬
ния h до члена с hn (п — натуральное число).
1393. Пусть
f(x + h) = f(x) + hf'(x) + . . . + ^/W(*+0A)
ft 1
(0 < б < 1), причем /<п+>> (х) Ф 0.
Доказать, что lim 0 = —-— .
п-*-0 Л 1
1393.1. Пусть при х —► 0 имеем
/ М = 1 + kx + о (*)'.
Доказать, что lim [/ (дс)11/дг = ек.
1393.2. Пусть f{x) £ С(2) 10, 1 ] и f (0) = f (1) = 0,
причем | f" (jc) J < А при x £ (0, 1). Доказать, что
I/' Ml < -j при 0 < x < 1.
1393.3. Пусть f (x) (— оо <x < + оо) — дважды
дифференцируемая функция и
= sup |/(ft> (*) I < + оо (k = 0, 1,2).
00<Jt<-|-00
Доказать неравенство M\ < 2M0Af2.
1394. Оценить абсолютную погрешность приближен¬
ных формул:
154 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
X® 1
б) sin х ж х — при | *| < —;
в) tgjc«jc + -^ при |*| <0,1;
г-) д/14-х1-1—^ — при0<*<1.
2 8
1395. Для каких * справедлива с точностью до 0,0001
X2
приближенная формула: cos* =1 — ?
1395.1. Доказать формулу
1^ап + х = а
nan~L
п— I
(п > 2, а> 0, х>0), 0 <г< w
1396. С помощью формулы Тейлора приближенно
вычислить:
а) ^30; б) ул250; в) '^4000;
г) VЯ Д) sin 1®°! е) 1° *>2;
ж) arctg 0,8; з) arcsin 0,45; и) (1, I)1*2
и оценить погрешность.
1397. Вычислить:
а) е с точностью до 10"9;
б) sin 1° » » » Ю~8;
в) cos 9° » » » 10"5;
г) Уб » » » Ю-4;
д) lgll » » » 10"5.
Используя разложения I—V, найти следующие пре¬
делы:
,398. . 1399. lim
JC-Й) X* jr-*0
1400. Hm*3/2(д/*+1+д/дс—1—2л/х).
1401. lim (у'х®+лс6 — у^х6— х6).
оо
X*
§ 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 155
1402. lim [(*•—дса + е1/х—\/*в +
1403. lim . аХ+ а~*.-2 (а > 0).
*-»0 JC2
1404. lim|x—дс21п^1 + “")]•
1405. lim(— —Y 1406. lim-f-—ctgA
X->Q\X Sltixj *_►{) X \ X J
1406.1. .
X-+0 x§
1406.2. lim —(cos-y)S‘1UC . 1406.3. lim sh(*g*>-* .
x-*0 X3 x-*0 JC3
Для бесконечно малой при х -*■ 0 величины у опреде¬
лить главный член вида Сх" (С — постоянная), если
1407. у = tg (sin х) — sin (tg дс).
1408. у = (1 +хУ — 1. 1409. у = 1 П+«)'**. #
е
1410. При каком подборе коэффициентов а и b ве¬
личина
х — (а + b cos дс) sin х
будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х?
1410.1. Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы
при дс -*■ 0 имело место асимптотическое равенство
ctg* = ■1 ^ д*, + 0(А
х + Вх3
1410.2. При каких коэффициентах А, В, С и D спра¬
ведлива при дс -> 0 асимптотическая формула
е* = . ' + Л*+ + 0(х?).
l + Cx + Dx* п v
1411. Считая |jt| малой величиной, вывести простые
приближенные формулы для следующих выражений:
156 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в) Г) « .
Л I ш) \ ,n(| + ir)
1412. Считая х малым по абсолютной величине, вы¬
вести приближенную формулу вида х = a sin х + р tg х
с точностью до члена с х5.
Применить эту формулу для приближенного спрям¬
ления дуг малой угловой величины.
1413. Оценить относительную погрешность следую¬
щего правила Чебышева: круговая дуга приближенно
равна сумме боковых сторон равнобедренного треуголь¬
ника, построенного на хорде этой дуги и имеющего
высотой л/ИЗ ее стрелки.
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции
1°. Необходимое условие экстремума.
Говорят, что функция [ (*) имеет в точке х0 экстремум (макси*
нум или минимум), если функция определена в двухсторонней
окрестности точки х0 и для всех точек х некоторой области:
0< \х—х01 < 6, выполнено соответственно неравенство
I (х) < I (*0) или I (х) > I (*о).
В точке экстремума производная I* (х0) = 0, если она су¬
ществует.
2°. Достаточные условия экстремума.
Первое правило. Если 1) функция f (х) определена и непре¬
рывна в некоторой окрестности | х—х0 | «< б точки х0 такой,
что £' (х0) = 0 или не существует (критическая точка); 2) (х)
имеет конечную производную (х) в области 0< \ х—х0\<: 6;
3) производная f' (*) сохраняет определенный знак слева от xQ
и справа от х0, то поведение функции J5 (х) характеризуется
следующей таблицей:
Знак производной
Вывод
х < хй
х> *0
I
+
+
Экстремума нет
II
+
—
Максимум
III
—
+
Минимум
IV
Экстремума нет
$ 11 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 157
Второе правило. Если функция / (дс) имеет вторую произ¬
водную I" (х) и в некоторой точке х0 выполнены условия
Г (*о) = 0 и Г <*о) + О,
то в этой точке функция / (х) имеет экстремум, а именно:
максимум, когда /" (х0) <0, и минимум, когда
Г <*о> > 0.
Третье правило. Пусть функция / (х) имеет в некотором
интервале | х—jc0 | < 6 производные /' (х), . . . , /л-1 (х) и
в точке х0 производную /<П) (х0), причем
Л*> (х0) =0 (ft = 1, . . п - 1), f<»> (х0) Ф 0.
В таком случае: 1) если п — число четное, то в точке х0 функция
I (х) имеет экстремум, а именно: максимум при
fSn) (х0) <0иминимум при f(n) (х0) > 0; 2) если п — число
нечетное, то в точке х<> функция I (х) экстремума не
имеет.
3°. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наи¬
меньшее) значение на сегменте [а, Ь] непрерывной функции
/ (х) достигается или в критической точке этой функции (т. е.
там, где производная /' (х) или равна нулю, или не существует),
или в граничных точках а и Ь данного сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
1414. у = 2 + л:2. 1415. у = (х— I)3.
1416. у = (х—I)4.
1417. у = хт (1—х)п (тип — целые положитель¬
ные числа).
1418. у = cos х “f- ch х. 1419. у — (х + I)10 е~х.
1420. у = (\ +х + — + . . . +—(п —нату-
\ 21 п\ )
ральное число)
1421. у = |х|. 1422. у = *1/3(1 — х)т.
1423. Исследовать на экстремум в точке х = х0
функцию
/ (*) = (х—х0)п(р (х)
(п — натуральное число), где функция <р (х) непрерывна
при х = Xq и ф (*0) ф 0.
1424. Пусть / (х) = /' (х)= и дг0—ста-
Q (х) Qt (х)
ционарная точка функции f (х), т. е. Pi(x0) = 0,
Q (х0) Ф 0.
Доказать, что sgn /" (лСф) = sgn Р[ (*0).
158 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1425. Можно ли утверждать, что если функция / (х)
в точке х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно
малой окрестности этой точки слева от точки х0 функция
/ (jc) возрастает, а справа от нее убывает?
Рассмотреть пример:
/(*) = 2—х2 (2 + sin —^, если хфО и /(0) = 2.
1426 (н). Доказать, что функция
/(х) = е~1/х\ если *=/=0, и / (0) = 0,
имеет в точке jc = 0 минимум, а функция
g (jc) = хе~>/х\ если хфО, и g (0) = 0
не имеет в точке jc = 0 экстремума, хотя
Г (0) = о, ^ (0) = 0 (п = 1,2,...).
Построить графики этих функций.
1427. Исследовать на экстремум функции:
а) /(jc) = e-1/|x|(-\/2 + sin — ^ при хф0 и /(0) = 0;
б) /(дс) = е_1/|д:1^2 + соз—^ при хфО и /(0) = 0.
Построить графики этих функций.
1428. Исследовать на экстремум в точке jc = 0 функ¬
цию
/(jc) = |jc|^2 + cos-^, если хфО и /(0) = 0.
Построить график этой функции.
Найти экстремумы следующих функций:
1429. у = jc3—6х2 +9х—4. 1430. у = 2jc2—jc4.
1431. у = *(jc—1)*(дс—2)3. 1432. у = х-\——.
я
1433. у = - 2х—. 1434. у= **-3* + 2..
1 + х* * *»+2х+1
1435. у = ^2jc—х2 1436. у = jc х— 1.
1437. у — хе~*. 1438. у = У* In дс.
§ 11. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 159
1439. у — -п -. 1440. у = cosх + — cos 2х.
х 2
1441. у = — , 1442. г/ = arctgje-—-1п(1+х2).
l + sin2* 2
1443. у — ех sin*. 1444. у = | jc| е-1*-11.
Найти наименьшие и наибольшие значения следую¬
щих функций:
1445. / (*) = 2х на сегменте [— 1; 5].
1446. f (х) = х2—4jc + 6 на сегменте [—3; 10].
1447. f (х) — | jc2—3* + 2| на сегменте [— 10; 10].
1448. f(x) — x + — на сегменте [0,01; 100].
х
1449. f(x) = д/5 —Ах на сегменте [ — 1; 1].
Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup)
следующих функций:
1450. / (дс) = хё~0,ш на интервале (0, + оо).
1451. /(jc)=(l+* +
ле (0, +оо).
1452. /(jc) = -1 —* ■ на интервале (0, +оо).
1 + х*
1453. f (jc) = cos jc2 на интервале (— оо, +оо).
1454. Определить нижнюю и верхнюю грани функции
f (£) = ^ ^ на интервале jc •< 1 < + оо.
3 + g*
Построить графики функций
М (jc) = sup f(t) и т (х) = inf f (5).
*<£<+<» *<£<-foo
1454.1. Пусть
Мл = sup || /<А) (х) ||, k = 0, 1, 2, ...
X
Найти М0, Mt и M2t если f (x) = e~x\
1455. Определить наибольший член последователь¬
ности: _
а) = ^ 2' • * б> n+'lOOOO (Л=1, 2> * ’ **
в) Vn (п = 1, 2, ...).
X Хп \ Y
— + . .. Н—^)е на интервал
160 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1456. Доказать неравенства:
а) |Зле—лса|<2 при |*|<2;
б) < х? + (1 —х)р < 1, если 0 < х < 1 и р> 1;
в) хт (а—*)" < — ат+п при т> 0, п> 0 и
’ (т+п)т+п к
0 < х < а;
г) х" +ап <х + а (*>0, а>0, n> 1);
д) | а sin x + bcos*| < Vfl2 + ^ •
1456.1. Доказать неравенство
3 х2 + х + 1
при ОО < X < + оо.
1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена
Р (х) = * (*—I)2 (х + 2)
на сегменте I— 2, 1 ], т. е. найти
£р= sup |Р(*)|.
—2<лг<1
1458. При каком выборе коэффициента q многочлен
Р(х) = х*+ q
наименее отклоняется от нуля на сегменте I— 1, 1],
т. е.
ЕР = sup | Р (*) | = min.
— !<дг<1
1459. Абсолютным отклонением двух функций / (*)
и g (х) на сегменте [а, b ] называется число
Д= sup | f (*) — £ (*) |-
Определить абсолютное отклонение функций»
/ (х) = ха и g (х) = х*
на сегменте [0, 1 ].
1460. Функцию f (*) = хъ на сегменте *tl ПРИ'
блаженно заменить линейной функцией
g (х) = (*! + д:2)х+ Ь
так, чтобы абсолютное отклонение функций / (лг) и g (х)
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
161
(см. предыдущую задачу) было наименьшим, и опреде¬
лить это наименьшее абсолютное отклонение.
1461. Определить минимум функции
Определить число вещественных корней уравнения
и отделить эти корни, если:
1462. х*—вх2 + 9л;— 10 = 0.
1463. х3—Зх2—9х + h = 0.
1464. Зх4—4л:3—6х2 + 12л;—20 = 0.
1465. х5—5х = а.
1466. In х = kx. 1467. в — ах2.
1468. sin3A>cos х = а при 0 ^ х ^ я.
1469. ch х = kx.
1470. При каком условии уравнение х3 + рх + q = 0
имеет: а) один вещественный корень; б) три веществен¬
ных корня. Изобразить соответствующие области на
плоскости (р, д).
Для построения графика функции у = f (х) нужно: I) оп¬
ределить область существования этой функции и исследовать
поведение функции в граничных точках последней; 2) выяснить
симметрию графика и периодичность; 3) найти точки разрыва
функции и промежутки непрерывности; 4) определить нули
функции и области постоянства знака; 5) найти точки экстре¬
мума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции;
6) определить точки перегиба и установить промежутки вогну¬
тости определенного знака графика функции; 7) найти асимп¬
тоты в случае существования их; 8) указать те или иные особен¬
ности графика. В частных случаях общая схема упрощается.
В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба опреде¬
ляются приближенно.
Построить графики следующих функций:
/ (я) = шах (21*1, 11 + *|}.
§ 12. Построение графиков функций
по характерным точкам
1471. у = Зх—х3. 1472. у = \+х*--у.
1473. {/ = (*+!)(*—2)2. 1474*.
6 В. П. Демидович
162 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1479. у = -*1 (х ~ 1} . 1480. у = .
(х+1)4 (I—л2)4
1481. у = (* + -1)3.t 1482*. у= -х*+--8-.
а (ж-1)2 *s+l
1483. у = —f -f —!— . 1484. у = (х-3)л/х.
\ + х Зх1 1 — х
1485. у = ± -J&X2— х*. 1485.1. у = —,*1Г2
V* + 1
1486. у = ± V(^—1) (а:—2) (л:—3).
1487*. у = \fх3—Xй—*+ 1.
1488. у —у'"х2 —х2 + 1.
1489. г/ = (* + 2)2'3 —(jc—2)2/3.
1490. у — (лг-f 1)2/3-|- (л:— 1)2/3. 1491. у = * .
1/1ПО *2У*2— 1 1 /IQQ И+^|3/2
1492. и = - . 1493. u — -—!—1—.
2*2 — 1 * У7
.494. ^1-,+ д/^.
1496*. у= aJ-£±А. 1497. у = sin jc + cos2 *.
1498. у = (7 + 2cosх)sinх. 1499. t/ = sinjc-|—^-sinЗд:.
3
1500. y = cosx—jCos2jj. 1501. у = sin4.*:-f cos4x.
1502. у = sin*-sin 3x. 1503. y— ,
П*+т)
< га/I COS ^ i CA/i i sin X
1504. y= . 1504.1. y = .
cos 2x 2 + cos x
1505. у = 2x — tg *. 1506. у = e2x~x\
1507. у = (1 + x2) e~x‘. 1508. y = x+ e~x.
1509. у = хфе~\ 1509.1. у = e~2x sin2 х.
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 163
1510. у = —. 1511. у = л/\—е~х\
* 1 + х v
1512. у = -^г. 1513. у = lnOe + V**+T).
V *
1514. у — У;с2 + 1- In (* + '\Д2 + 0-
1515. у = - . 1516. // = л: + arctg *.
У l — х2
1517. у = -j + arcctgjc. 1518. y = xarctg*.
1519. y = arcsin ———. 1520. у = arccos -——.
1 + x2 1 + x2
1521. г/ = (дс + 2)е1/\ 1522. у ■= 2V?7r-V^.
1523*. y = ln-~3x+2 .
x2+ 1
1524. у = a arcsin — -\/а2—x2 (a>0).
a
1525. у = arccos ■1 ~ * . 1526. у = Xх.
1 — 2x
1527*. y = x'/x. 1528. у = (1 + *),/\
1529*. y = x(\ +-^y (*>0).
1/1—JC*
1530*. у (без исследования вогнутости).
1 + х2
Построить кривые, заданные в параметрической
форме:
1531.
г- (/+1)2
А — >
4
/ — 1 и
г/ = -——.
17 4
1532.
х = 21 —1\
y = 3t-t\
1533*
(а
V —
и- ‘
» Л —■ 1
/—1
v~ р-1 •
1534.
t*
X = ,
1 -*2
1
У — 1 + <2 *
1535.
x=t+e~\
г/ = 2/ + <Г2'.
1536.
х = a cos 2/,
i/ = acos3f (а>0).
164 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1537. х = cos41, у = sin41.
1538. x = t\nt, У =
1539. x = —« y = atg3t (a>0.)
COSJ t
1540. x = a (sh t — t), y = a(cht— 1) (a>0).
Представив уравнения кривых в параметрической
форме, построить эти кривые, если
1541. х3 + у3 — Заху — 0 (а > 0).
Указание. Положить у = tx.
1542. jc2 + у2 = х* + у4.
1543. х2у2 = jc3—г/3.
1544. хч = у* (х> 0, у > 0).
1545. Построить график кривой: ch2 х — ch2t/ = l.
Построить графики функций, заданных в полярной
системе кооодинат (ср, г) (г > 0):
1546. г - а + b cos <р (0 < а < Ь).
1547. r = asin3m (а>0). 1548. г — —(а>0).
Vcos3<p
1549*. г = л —— . где ш> 1 (а>0).
Ф- 1
1550*. m — arccos ——-.
т г2
Построить графики семейств кривых (а — перемен¬
ный параметр):
1551. у = х2— 2jc-f-а. 1552. у — jc + —.
х
1553. у = х ± д/а (1 —х2).
1554. y = JL + e-a\ 1555. у = Хе~х'а.
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
1556. Доказать, что если функция f (х) неотрица¬
тельна, то функция F (jc) = Cf2 (х) (С > 0) имеет в
точности те же точки экстремума, что и функция f (jc).
1557. Доказать, что если функция ф (jc) — монотонно
возрастающая в строгом смысле при — оо •< jc «< + оо,
§ 13 ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ 165
то функции f (х) и ф (/ (х)) имеют одни и те же точки
экстремума.
1558. Определить наибольшее значение произведе¬
ния т-й и га-й степеней (т > 0, га > 0) двух положи¬
тельных чисел, сумма которых постоянна и равна а.
1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и га-й
степеней (т > 0, га > 0) двух положительных чисел,
произведение которых постоянно и равно а.
1560. В каких системах логарифмов существуют
числа, равные своему логарифму?
1561. Из всех прямоугольников данной площади 5
определить тот, периметр которого наименьший.
1562. Найти прямоугольный треугольник наиболь¬
шей площади, если сумма катета и гипотенузы его по¬
стоянна.
1563. При каких линейных размерах закрытая ци¬
линдрическая банка данной вместимости V будет иметь
наименьшую полную поверхность?
1564. В данный круговой сегмент, не превышающий
полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей пло¬
щадью.
1565. В эллипс — + —=1 вписать прямоуголь-
а2 ьг
ник со сторонами, параллельными осям эллипса, пло¬
щадь которого наибольшая.
1566. В треугольник с основанием Ь н высотой h
вписать прямоугольник с наибольшим периметром.
Исследовать возможность решения этой задачи.
1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается
балка с прямоугольным поперечным сечением, основа¬
ние которого равно Ь и высота Л. При каких размерах
балка будет иметь наибольшую прочность, если проч¬
ность ее пропорциональна bh2?
1568. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед с квадратным основанием наибольшего
объема.
1569. В шар радиуса R вписать цилиндр наиболь¬
шего объема.
1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с наиболь¬
шей полной поверхностью.
1571. Около данного шара описать конус наимень¬
шего объема.
1572. Найти наибольший объем конуса с данной об¬
разующей /.
166 ОТДЕЛ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1573. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом
сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наи¬
большей полной поверхностью.
1574. Найти кратчайшее расстояние точки М (р, р)
от параболы у2 = 2рх>
1575. Найти кратчайшее н наибольшее расстояния
точки А (2,0) от окружности х2 + у2 = 1.
1576. Найти наибольшую хорду эллипса “ + =
= 1 (0 < b < а), проходящую через вершину В (0, — Ь).
м2
1577. Через точку М (х, у) эллипса = 1
а.2 Ь2
провести касательную, образующую с осями координат
треугольник, площадь которого наименьшая.
1578. Тело представляет собой прямой круговой
цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких
линейных размерах это тело будет иметь наименьшую
полную поверхность, если объем его равен V.
1579. Поперечное сечение открытого канала имеет
форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне <р
боков '.мокрый периметр» сечения будет наименьшим,
если площадь «живого сечения» воды в канале равна S,
а уровень воды равен Л?
1530. «Извилистостью» замкнутого контура, ограни¬
чивающего площадь 5, называется отношение периметра
этого контура к длине окружности, ограничивающей
круг той же площади S.
Какова форма равнобедренной трапеции ABCD
(AD\\BC), обладающей наименьшей извилистостью, если
(снование AD = 2а и острый угол BAD = а?
1581. Какой сектор следует вырезать из круга ра¬
диуса R, чтобы из оставшейся части можно было свер¬
нуть воронку наибольшей вместимости.
1582. Завод А отстоит от железной дороги, идущей
с юга на север и проходящей через город В, считая по
кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом <р
к железной дороге следует построить подъездной путь
от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была
наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны
груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному
пути р р., по железной дороге q р. (р > q) и город В
расположен на Ь км севернее завода Л?
1583. Два корабля плывут с постоянными скоро¬
стями и и v по прямым линиям, составляющим угол Э
§ 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 167
между собой. Определить наименьшее расстояние между
кораблями, если в некоторый момент расстояния их
от точки пересечения путей были соответственно равны
а и Ь.
1584. В точках А и В находятся источники света
соответственно силой и S2 свечей. На отрезке АВ = а
найти наименее освещенную точку М.
1585. Светящаяся точка находится на линии центров
двух непересекающихся шаров радиусов R и г (R > г)
и расположена вне этих шаров. При каком положении
точки сумма освещенных частей поверхностей шаров
будет наибольшая?
1586. На какой высоте над центром круглого стола
радиуса а следует поместить электрическую лампочку,
чтобы освещенность края стола была наибольшей?
Указание. Яркость освещения выражается формулой
где <р — угол наклона лучей, г — расстояние источника света
от освещаемой площадки, k — сила источника света.
1587. К реке шириной а м построен под прямым уг¬
лом канал шириной Ь м. Какой максимальной длины
суда могут входить в этот канал?
1588. Суточные расходы при плавании судна состоят
из двух частей: постоянной, равной а р, и переменной,
возрастающей пропорционально кубу скорости. При ка¬
кой скорости v плавание судна будет наиболее эконо¬
мичным?
1589. Груз весом Я, лежащий на горизонтальной
шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места при¬
ложенной силой. При каком наклоне этой силы к го¬
ризонту величина ее будет наименьшей, если коэффи¬
циент трения груза равен А?
1590. В чашку, имеющую форму полушара радиуса at
опущен стержень длины / ;> 2а. Найти положение рав¬
новесия стержня.
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
1°. Касание л-г о порядка. Говорят, что кривые
у = ф (х) и у = \|> (х)
имеют в точке х0 касание п-го порядка (в строгом смысле!), если
Ф<*> (*о) = Wk> (Ч) (А * 0, 1, ...,/») и Ф<л+1>(*в) + Ч><л+1>(*о).
168 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае при х ха имеем:
Ф (*) — (х) = О* [х — *о]/1+1«
2°. Круг кривизны Окружность
(* - I)2 + (у—г)2) = R2,
имеющая с даиноЛ кривой у = / (х) касание не ниже 2-го по¬
рядка, называется кругом кривизны в соответствующей точке*
Радиус этого круга
„ (1+»,!)^
17Г~
называется радиусом кривизны, а величина k = — — кри*
R
визной.
3°. Э в о л ю т а. Геометрическое место центров (£, rtf кру«
гов кривизны (центры кривизны)
у'(\ + у'*) , 1 + у'г
1= х ^—i-g ' , л = L-^—
</" У"
называется эволютой данной кривой у = / (*).
1591. Подобрать параметры hub прямой у = kx + Ь
так, чтобы она имела с кривой у = х3—Зх2 + 2 каса¬
ние порядка выше первого.
1592. При каком выборе коэффициентов а, Ь и с
парабола
у = ах2 + Ьх + с
имеет в точке х = х0 касание 2-го порядка с кривой
у = е*?
1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в
точке х = 0 кривые:
а) у = 1—cos г, б) i/ = tgjc—sin дг;
в) У = в*—(! +* + y)‘
1594. Доказать, что кривая у = е-‘/л;5 при л: О
и г/ = 0 при х = 0 имеет в точке л = Ос осью Оде ка¬
сание бесконечно большого порядка.
1595. Найти радиус и центр кривизны гиперболы
хи = 1 в точках: а) М (1, 1); б) N (100; 0,01).
Определить радиусы кривизны следующих кривых:
1596. Параболы у2 = 2рх.
1597. Эллипса - + -4 = 1 (а>Ь>0).
a* ft*
§ 14 КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 169
1598. Гиперболы — — = 1.
аг Ь2
1599. Астроиды x2,i + у2/3 = а2/3.
1600. Эллипса х — й cos t, у — b sin t.
1601. Циклоиды х = а (/—sin/), у = а (1—cost).
1602. Эвольвенты круга х = a (cos t + t sin t), у =
= a (sin t—t cos t).
1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го
порядка у2 = 2рх—qx~ пропорционален кубу отрезка
нормали.
1604. Написать формулу радиуса кривизны линии,
заданной в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных
в полярных координатах (параметры положительны):
1605. Спирали Архимеда г — а<р.
1606. Логарифмической спирали г = аетЧ>.
1607. Кардиоиды г = а (1 + cos <р).
1608. Лемнискаты ra = a2cos 2<р.
1609. Ha кривой у — \п х найти точку, кривизна
в которой наибольшая.
1610. Максимальная кривизна кубической параболы
Ь 1
у (0 < х < + оо, k > 0) равна . Найти
J 6 У 1000
точку х, в которой достигается эта максимальная кри¬
визна.
Составить уравнения:
1611. Эволюты параболы г/2 = 2рх.
д-2 у-»
1612. Эволюты эллипса 1- — = 1.
а* Ь'1
1613. Эволюты астроиды а'2/3 + у2'3 = а2/3.
1614. Эволюты трактрисы
•, а + л! и1 — уг / > ?
х = a In—— д/а2—ул
у
1615. Эволюты логарифмической спирали г = аетч>.
1616. Доказать, что эволюта циклоиды
х — a (i — sin /), у = а (1 — cos /)
есть также циклоида, отличающаяся от данной только
положением.
170 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 15. Приближенное решение уравнений
Iе. Правило пропорциональных частей
(метод хорд). Если функция [ (х) непрерывна на сегменте
а, Ь] и
/ (а) / (Ь) < 0,
причем I' (х) Ф 0 при а < х < 6, то уравнение
/(*)*= 0 (1)
имеет один и только один действительный корень £ в промежутке
(а, 6). За первое приближение этого корня можно принять зна¬
чение
*1 = а + бь
где
6L = — f{a) (b — а).
f(b) — f(a)
Применяя далее этот способ к тому из промежутков (a, xL)
или (xlf 6), на концах которого функция / (х) равнозначна,
получим второе приближение хг корня § и т. д. Для оценки
л-го приближения хп справедлива формула
т
где т= inf \ff (х) |, причем
а<х<Ь
lim хп =
П~+оо
2°. Правило Ньютона (метод касатель-
н ы х). Если /" (х) Ф 0 на сегменте [а, b] и / (a) f" (а) > 0,
то за первое приближение h корня | уравнения (1) можно при¬
нять значение
ь-« ж
Г (а)
Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню
6 последовательные приближения (п = 1, 2, . . .), точность
которых оценивается, например, по формуле (2).
Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок
графика функции у = £ (х).
Пользуясь методом пропорциональных частей, опре¬
делить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1617. х3 — 6х + 2 = 0. 1618. х*—х—\ =0.
1619. х—0,1 sin л: = 2. 1620. cos* = Jt2.
Пользуясь методом Ньютона, определить с указав
ной точностью корни следующих уравнений:
§ IS. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 171
1621. хг Н—— = 10л: (с точностью до 10_3).
X2
1622. xlgjc=l (с точностью до 10"4).
1623. cos x-ch х = 1 (с точностью до 10_3) (для по¬
ложительного корня).
1624. х + ех = 0 (с точностью до 10"5).
1625. х th х — 1 (с точностью до 10“6).
1626. С точностью до 0,001 найти три первых поло*
жительных корня уравнения tg х — х.
1627. С точностью до 10-3 найти два положительных
. 1 X
корня уравнения ctg* = —.
ОТДЕЛ III
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
1°. Понятие неопределенного интег¬
рала. Если функция I (х) определена и непрерывна на про¬
межутке (а, Ь) и F (х) — ее первообразная, т. е» Fu (*) = f (jc)
при а < х < b, то
J f,(x) dx = F (я) + С, а< х< b,
где С — произвольная постоянная.
2°. Основные свойства неопределенного
интеграла:
a) d{$ t(x)dx]^f(x)dx-, б) J с/Ф (х) = Ф(х) + С;
в) j Af (х) dx = A f f (х) dx (Л = const; А Ф 0);
г) 11/ (х) + g(x)\dx — j I (х) dx + $ g (*) dx.
3°. Таблица простейших интегралов;
Г хп+1
I. J x*dx = — + С (пф - 1).
п+ 1
II. J-^- = ln|*|+ С (хфО).
Ill [ dx — [ arctg х+ С,
J 1 + х2 [ — arcctg х + С.
IV. [——— = — In | —+— + С.
J \—х1 2 11—*
dx ( arcsin jc+ С,
хг \ — arccos х + С.
VI. Г —К = In | х 4- л/хг ± 1 | + С.
) V*2 ±1
VII. J a*dx = + С (а > 0. а Ф 1); j e*dx = е* + С.
In а
VIII. Jsinjtdx= — cos*4-C. IX. J cos x dx « sin x + C.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173
X. Г ——— = — ctg х-\- С.
J sin2x
XI Г —^— = tg лгН- С.
J COS2 X
XII. J sh х dx сэ ch х + С. XIII. J ch x dx = sh x + C.
Xiv. —ctb*+c.
J sh2*
XV. Г —— = th*+C.
J Ch»*
4°. Основные методы интегрирования*
а) Метод введения нового аргумента. Если
j Их) dx = F (х) + С,
то
11 (и) du = F (и) + С,
где и = <р (х) — непрерывно дифференцируемая функция.
б) Метод разложения. Если
f (X) = h (•*) + U (*).
то
I t(x) dx = J U (х) dx + f f3 (x) dx.
а) Метод подстановки. Если t (x) — непрерывна, то, по¬
лагая
X = <Р (/).
где Ф (/) непрерывна вместе со своей производной ф' (t), получим
11 (х) dx = $ f (ф (<)) <р' (0 dt.
г) Метод интегрирования по частям. Если и и v — неко¬
торые дифференцируемые функции от х, то
j* и dv = uv — J v du.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти
следующие интегралы:
1628. S(3—x2)3dx. 1629. J*2(5—x)*dx.
1630. J (1 — x) (1 — 2x) (1 — 3*) dx.
163'•
1632. \(-Z-+-*L + -*L)dx. 1633.
JW x* x* ) J y,
174 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1634. ГУу-2^+!-dx.
V х
1635. I dx.
Г (1 ~x)i
)
1636. j(l dx.
1637. ^ ('^2x ~ уЛ|* - dx‘
1638. Г VW*~4+2_ 1639> f _*dx_
J x* J 1 + **
1640. Г-—1641. f-x-±.3_ dx.
J 1 — хг J x2 — 1
1642. fil+g+vr^ ldx.
j V i — **
1643. f -V-±i "У*2""-1 dx.
J V — r
1644. j (2jr 4- 3A)2 doc.
1645. С dr. 1646.(^±i-<i*.
J 10* J
1647. j (1 -f-sin,Y-5-cosjc)tfjc.
1648. J У1 — sin 2x dx (0 < * < я).
1649. Jctg2 Acdx. 1650. j tg2 x dx.
1651. | (a sh x +1 ch дс) dx. 1652. J th2 дс dx.
1653. j cth2 дс dx.
1654. Доказать, что если J/ (x)dx = F (x) + С, to
J f (ax + b) dx = — F (ax b) + С (a^=0).
Найти интегралы:
1655. j—. 1656. J(2x—3)10dx.
1657. J j/1 — 3* dx.
§ 1. простейшие неопределенные интегралы 175
1658. С —-х —.
J V2 - 5лс
1659. [ —
J (5х_
2)5/2
1660. ( /1 -_?* + *2 . ^
J 1-х
1661. С — . 1662. [ — .
J 2+3*2 J 2 — 3**
1663. Г
1
- Зх2
1664. Л
С—-—.
3 л/Зх2 — 2
1665, J (е_* + е-2*) d*. 1666. J (sin 5л:—sm5a)djc,
1667. J dx
3. С - . 1669. С ±
J 1 cos X J 1 — (
). ( - .
J 1 + sin x
1671. J [sh (2* + 1) -f ch (2x — 1)] dx.
1672. Г ———. 1673. P ——
J ch2 — J sh4 —
2 2
Путем надлежащего преобразования подынтеграль¬
ного выражения найти следующие интегралы:
1674.
Г xdx
3 VT^
1675. Jx2^l+je3 dx.
1676. J -3 X~l^~ ■ 1677, J XdX
1678
. [-x?x- . 1679. [——
3 4 + ДС4 ] i'¬
ll + xa)4
x3 dx
176 ОТДЕЛ III. неопределенный интеграл
1680. л йх
(i + W*
dx
■у/х
Указание. — = 2d (У х ).
1681
dx
1682.
1683.
1685
1687
С • 1 dx
jsinT-—•
Г dx
) х-у/х3 + I
С - . 1684. С
J ху/хг—\ J
. Г —— . 1686. f -
J (*а-1)3/2 J
dx
(Х2+ 1)3/2
х2 dx
(8*3 + 27)2/3
С— 1688. С— ■
J V* (! + •*) J V* (1 — •*)
1689. \xe~*dx. 1690. J
1691. j dx
exdx
2 + e*
1692.
dx
1693.
V l+e“
^-^~-dx. 1694. j dx
x In X In (In x)
1695. j sin5 jc cos xdx.
1696. С sin* dx.
! cos3 X
yc
1697. J tgxdx. 1698. J ctg x dx.
1699. I -sin< + cosx dx.
sin x — cos x
1700. Г. slnJLcosA. dx.
J ^a2 s\n2 xb2 cos2 x
1700.1. f —2*1—dx. 1700.2. \ —- dx.
.1. f sin * dx. 1700.2. С
J Vcos 2jc J Vcos 2*
1700.3. Г sh * dx.
) Vch 2*
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 177
dx
1701
•S-
sin2 х Vctg х
1702. Г — . 1703.
J sin2 х 2 cos2 х J sin x
1704. f—. 1705. 1706.
J cos x J sh X J chj:
1707. Г shJCChJC— dx. 1708. f ■£_
J * J ch* x j/4h2 x
1709. С dx.
J 1 + *2
1710. f —
J (arcsin x)2 V1 — *2
1711. J /у/_M^±^I±ZL ix,
1712. f-** + — dx.
J *<+l
Указание. dx = d(x —^.
1713. [ -~~l dx. 1714. Г *****
] *'+l J (x‘+l)*
1715. J *"/2d*
Vl + хя+2
In-
1 —X
1716. jIn
1717 r cos*d*
1720.
I
л/2 + cos 2x
1718. f »»»««?* ^ ,719> f
J sin4 x + cos4 x J 9r — 4*
л/i+*2+V(i+*2)3
Применяя метод разложения, вычислить интегралы:
1721. j>(2 — 3x2)2dx. 1721.1. J*(l — х)10 dx.
1722. f-L±Ldx. 1723. f —
J i-x J 1
+ *
dx.
178 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1724. Г —— dx. 1725. {-(1 + X)* dx.
J 3+л: J 1 + *2
1726. Г -(2 ~ хГ~- dx. 1727. f - dx.
J 2 — x* J (1-; --
■ x)lM
1728. \ - —dx.
c+l
1729 ‘ dx
J * +
S y*+1 + V*-i
1730. \xaJ2—5x dx.
l 2
Указание, x = (2 — 5*) + —.
5 5
1731. Г xdx
f X dX
J ^1=1
■ 3x
1732. |jc8v^1 + x2 dx.
1733.
f
J (*-!)<
(* + 3)
Указание 1 = —— [(* + 3) — (x — 1)].
4
1734. Г — . 1735. Г- dx
J x1 + x — 2 J
1736. Г dx
J (**-
<** + l)(*2+2)
2) (x2 + 3)
xdx
1737. Г — . 1738. f-
J (X + 2) (X + 3) J x*+3x2+2
1739. [ - (афЬ).
J (x+a)*(x+b)*
1740. Г — (а2 Ф b2).
J (x2 + a2) (** + b*) ^
1741. J sin2* dx.
1742. J cos2 x dx. 1743. J sin x sin (л: -f- a) dx.
1744. J sin Зд:-sin 5xdx.
1745. [ cos — • cos — dx.
J 2 з
1746. J sin (2*—^ cos ^3x + dx.
§ I. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 179
1747. J sin3 дс dx. 1748. J cos3 x dx.
1749. |sin4jcdjt. 1750. J cos4 x dx.
1751. Jctg*xdx. 1752. Jtg3xdx.
1753. f sin2 3jc sin3 2x dx. 1754. f ^ .
J sin2 x cos2 x
Указание. 1= sin2* + cos2*.
1755. f - . 1756. Г - .
J sin2 X'cos x J sin x cos3 x
1757. f ——dx. 1758. f ——.
J sin x J cos4 x
1759. [——. 1760. [ + dx.
J l + ex J l + «**
1761. J sh2 jcdx.
1762. ^cWxdx. 1763. J sh jc sh 2x dx.
1764. I chxch3xdx. 1765.C - .
J J sh* дс ch® x
Применяя подходящие подстановки, найти следую¬
щие интегралы:
1766. JV 3/Г^7 dx.
1767. Jx3(l—5х2)10 dx.
1768. С —— dx. 1769. С —■- dx.
) л/2-* J V1 — *2
1770. J jc5 (2 — 5*02/3<ta- 1771. J cos0 д: ■ -^/sin jc tfjc.
1772. f sin*cos3* dx. 1773. [-^-dx.
J 1 + COS2 X J cos“ X
1774.
1775.
1776.
1777.
S
S
In xdx
x V1 + In л:
dx
e*/2 + ex
dx
Vl + e*
arctg VJ ^ dx
У* 1 + x
180
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя тригонометрические подстановки х =
= a sin ty х = a tg /, х = a sin2/ и т. п., найти следую¬
щие интегралы (параметры положительны):
1784. С— ±х- . .
J л/(х — а) {Ь — х)
Указание. Применить подстановку х— а = (b — а) sin2 U
1785. J У(*—а){Ь— х) dx.
Применяя гиперболические подстановки х = a sh
х = a ch / и т. п., найти следующие интегралы (пара¬
метры положительны):
1786. jVa2 + *2 dx.
1787. Г ** dx.
) л/а2 + х-
1790. \-yJ(x-ra){x + b) dx.
Указание. Положить х + а = (6—a) sh2/.
Применяя метод интегрирования по частям, найти
следующие интегралы:
1791. fln*djc. 1792. $xnlnxdx (пф—1).
1793. ^ ^х' 1794. J л[х \n2xdx.
1795. \xe~xdx. 1796. Jx2e~2*dx.
1797, f x3e~*3dx. 1798. Jjtcos xdx.
1780. j" д/1 —x2 dx.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181
1799. Jх2sin 2хdx. 1800. Jjeshxd;e.
1801. J’r’chexdx. 1802. Jarctg;cdx.
1803. f arcsin xdx. 1804. J x arctg x dx.
1805. § x2 arccos xdx. 1806. ^ _a_rcs_‘n dx.
1807* j* In (x -j- д/1 -f- x2) dx.
1808. j* x In -■ —x- dx.
1809. J arctg л/х dx. 1810. J sin x • ln (tg jc) dx.
Найти интегралы:
1811. Jjr^’djc. 1812. J (arcsin xfdx.
1813. J x (arctg x)2 dx.
1814. С x2 ln -l~ x dx.
J l + x
1815. Г *ln>_+Vl+_,*») ^
Vi +
X*
1816. f dx. 1817. [ .
J (1 + *2)2 J (a2+*a)J
1818. J л/а2—x2 dx. 1819. J л/х2 + a dx.
1820. Ix2л/а2+ x2 dx. 1821. Jjcsin2jcd*.
1822. 1823. Jxsinл/xdx.
frpaT
— dx.
0 + *2)3/2
arctg x
J _
1825. С—-—-—dx. 1826. f sin {\nx)dx.
J (l + <2)'i/2
1827. J cos (In x)dx. 1828. J eax cos bxdx.
1829. J e?-x sin bxdx. 1830. j e2x sin2 xdx.
1831. J(e* —cos x)2 dx.
1832. [ -arcct^ ^ dx. 1833. Г -in-(sin x) dx.
J e* J sin2*
1834. [ ——1835. f———dx.
J cos2* ) (x-fl)a
Нахождение следующих интегралов основано на приведе¬
нии квадратного трехчлена к каноническому виду и примене-
182
нии формул:
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
I.
ь
dx
,2 _)_ х2
dx
— arctg — + С (аф 0).
а а
п. Г_*
J а2 —
1
III
IV
С х d
) а2 ±
In
х2 2 а
dx 1
— = ± —
2 2
а + х
С (аф 0).
а — х
In | а2 ± х21 + С.
arcsin ——(-С (а> 0).
V
VI
Sax
'у/ Л2 — X2
• С ~Х ~ In | х -{- л/х2 ± а2 | + С (а > 0).
J л/х2 ± а2
Г xdx = ±
J V'а“ =t *2
VII. J V^a — х1 dx — <\Jа1 — х1 +
2
arcsip 1-С (а> 0).
2 а
VIII. | 'у/х1 ± a1 dx = л/х2 ± а2 ±
2
± In | а; + V*“ ± а2 | + С (а£> 0).
Найти интегралы:
1836' f —ГТТ ^ °)- |837- [ -Г*
j д + г?*2 J х2 —
1839.
х+2
1838. ( — . 1839. { — .
J Зх2 — 2х — 1 J х* — 2х2 — 1
1840. {—(*~+ 1} dx. 1841. Г —
J х2+х+\ J — 2х cos а+ 1
Г x?dx
J jc4 — л:-
J 3 sin2 jc —
1842
1844.
1845. [
J sin х
1846. f
3 V-
:2+2
1843.
Sxb dx
дс6 — л:3 — !
dx
8 sin * cos jc + 5 cos2 x
dx
+ 2 cos x + 3
dx
+ bx3
ФФ o).
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ах
1340. у
.2 '
183
. С — dx 1848. Г i
J '\J\—2x — xt J V*
С- ^
J •у/2лг2 — x + 2
1850. Доказать, что если
у = ах2 + bx 4- с (а Ф 0)’,
1847
1849
+ х3
С dx
) л! У
In I -У— + у/ау
+Ja 1 2
dx
л/У V —а
arcsin
— у
1851
1853
1853.1.
1854
1855,
1856
1857.
1858.
1859
у/ й2 — 4ас
-ЬС при а>0
С при а<0.
х+1
Г *d* 1852 Г
J Vh* — *2 J 'V^JC'i + Ч- !■
Г х dx
J V1 — З*2 - 2л;4
Г cos х dx
J Vl + s'n x + COS2 X
Г x* dx
j л]x* — 2x2 — 1
dx.
V l + *2 — *4
dx
56. Г—
J X V X2 + X + 1
Г dx
J x2 V*2 + x — 1
Г dx
) (x + 1) V>+ •
'Se-
s
dx
1) V*2 — 2
dx
(х+2)*Уха+2х-5
1861. Jy2 + *—я2 dx. 1862. J ^2-\-х + х2 dx.
184 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1863. $л/х* + 2х*— 1 xdx.
1864. С —dx. ,865. f *2+1 - dx.
J дед/1 + x — x* ) хл!x* + 1
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Применяя метод неопределенных коэффициентов,
найти следующие интегралы:
1866. \ dx.
J (х-2)(х+5)
xdx
1867.
I'
(■* 4* 1) (•* + 2) (дс + 3)
1868. Г ■ х-Щх . 1869. С —Л±1 dx.
J х2 + х — 2 J X3— 5ха + 6*
1870. [ - dx. 1871. [ ^ .
J дс4 + 5лс2 + 4 ) х3 — 3*4-2
1872. С dx.
J (дс-Ь I)2 (дс—1)
1873. [( Yd*.
JV ж2 — 3*+ 2 )
1874. j dx
1875.
(*4- D(*4-2)2 (дс 4- З)3
dx
хь + х* — 2хл — 2х2 + х + 1
dx
1876. f_*+5* + 4. dx. 1877. С
J г* 4-5*-= 4-4 J (*4- l) l)
1878. f — .
J (x- — Ax 4- 4) (x- — 4x 4- 5)
1879. { — .
J (*- 1)*(*4 + 2х+2)
1880. f — .
J x (l 4- x) (1 4- *4- x2)
1881. f ———. 1882. [-xdx .
J *34-1 ) x3-\
1883. ^ ~JX ] . 1884. J dx
x*+ 1
1885. f ^ . 1886. dx
J x*+ x2+ \
1887. f -
J (1 + *) (14- (14- *3)
*r,4-1
dx
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ 185
1888. [ —
J дс5— я4 + *3 — ;
1889.
• дс2 + х — 1
хЧх
^+3^ + — *2+3* + 1
2
1890. При каком условии интеграл
С ax*+bx + c.dx
J х*(х— I)2
представляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интегралы:
Г ^ . 1892. Г-
J (*-l)2(*+I)3 J
1891. | —... . 1892. I
1893. [ — . 1894. f- *idx
J (*2 + О3 J
1895. J dx
(x*+2x+2)*
(x*+ I)2
x* + 3x — 2
1) (x*+x+ l)2
1897. "
1896. Г * dx.
J (x- * “
Г dx_
J (*4-
l)3
Выделить алгебраическую часть следующих интег¬
ралов:
1898. [ dx. 1899. \ ?х ,
J (х* + х*+ I)2 J (х?+х+ I)3
1900. —21^!—dx,
■ 1)2
С 4xs — 1
J (х*+х+\
1901. Найти интеграл
С dx
J х*+ 2х3+3х*+2х + 1
1902. При каком условии интеграл
Г ах2+20*+у
J (ах2 + 2Ьх + с)2
представляет собой рациональную функцию?
186 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Применяя различные приемы, найти следующие ин¬
тегралы:
1903. Г dx. 1904. f
J (х — l)100 J *“-1
1905. Г - **-dx—. 1906. Г -ili-— dx.
J x*+3 J x»+l
1907. f dx. 1908. f — .
J JC (JC® + Злг* -t- 2) J (x10—10)a
Г x"dx 19Ю. f ^ .
J x8 + 3*4 + 2 J (xt0 + 2X5 + 2)a
1909.
f* «2rt"l f* уЗЯ”1
1911. \ — dx. 1912. \— dx.
J xn+l J (х*п+1)'
1913. f — . 1914. [ ——-
J x (x10 -f- 2) J x(xl«+l)4
1 — x7
x (1 + x7)
1915. ^ 1 " . dx.
/» v4 1
1916. = dx.
J x (x4 — 5) (дс5 — Г
1918. f ! dx.
J ' '
Х' — * A~ ЮОЛ f *4+l
1917. [ —dx.
J x*-t-x2+ 1
X2 — 1
1 + x* + X2 T x + 1
1919. С -*1—~dx. 1920. -~r—dx.
J X8+l J Xе+1
1921. Вывести рекуррентную формулу для вычис¬
ления интеграла
!" = \-пггт-т-jr
J (ах2 + Ьх + с)п
Пользуясь этой формулой, вычислить
I Г dx
8 J (ха+ х + I)3
Указание. Использовать тождество
4а (ах2 + Ьх + с) = (2ах + Ь)2 + (4ас—Ь2)Ф
1922. Применить подстановку t = — для вы-
х + ь
числения интеграла
(x + a)m (х+бр
(тип — натуральные числа).
5 3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 187
Пользуясь этой подстановкой, найти
Г dx
если Рп (х) есть многочлен степени п относительно х.
Указание. Применить формулу Тейлора.
1924. Пусть R (*) = R* (jc2), где R* — рациональная
функция. Какими особенностями обладает разложение
функции R (дс) на рациональные дроби?
1925. Вычислить
С помощью приведения подынтегральных функций
к рациональным функциям найти следующие интегралы:
(х — 2)2 (х + З)3
1923. Вычислить
где п — целое положительное число.
§ 3. Интегрирование некоторых
иррациональных функций
1927.
dx
* О + 2 V* + V*)
1931.
J v.
V£±j.-_V*-1 dx_
V*+1 + V*— i
dx
1932. [ -
) \
3/(*+l)2 (*-D4
Ш ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
X dx
Ш3- ^ У/-, . ■ - - (а>0).
-/ хл (а — х)
dx
aj^ (х —b)n~^
Р dx
1934. \ ^ (п—натуральное чис-
J V(x —«
ло).
1935. ' dK
h
+ У* +Vi + *
/ иг — 1 V
Указание. Положить х = I I .
\ 2 и )
1936. Доказать, что интеграл
| R [х, (х—а)р>п(х—byi") dx,
где R — рациональная функция и р, q, п — целые
числа, является элементарной функцией, если
р + q = ktt,
где k — целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных ирра¬
циональностей:
1937. С — *" - -dx.
J У1 + *+*г
1938. С .
J (x+l)V^+7+T
1939. С dx .
J (1 — дс)2 д/1 — хг
1940. J У*а+2*+2, dx
1941.
X
х dx
\ (l + x) Vl-*-*2
J'
1942. \ 1 -X.T-X1—fa,
Vl+X—■
Применяя формулу
f _p_n 1*1 dx - Qn_x (jc) у + Я f —,
J У J у
где у — л/ax'1 -f bx +c, Pn (jc) — многочлен степени n,
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 189
Qn-i (х) — многочлен степени п—I и К — число, найти
следующие интегралы:
xludx
1943.
$. С —- - - dx. 1944. С —^
J Vl + 2*--** J V1 + X*
1945. jVya2—*2 dx.
1946. [ lx.-.6. dx.
^ д/*'- + 4* + 3
f dx
J Xя ^\JX2 + 1 J JC4 д/х2 — 1
1949. f —■ —.
J (*- l)3 v*2 + 3* + 1
1947. I ~x - . 1948. Г dx
1950. 1 dx
(x+ 1)» л/ хг-\- 2x
1951. При каком условии интеграл
Г __ai**+bix+c1 dx
j Vajf2+ bx-\-c
представляет собой алгебраическую функцию?
Р(х)
Найти \ —— - dx, где и = -уах2 + bx+с, раз-
J Q(x) у
лагая рациональную функцию 1 на простейшие
дроби.
190 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
dx
(*2+ 1) У*2 — 1
\ (1_*4)УГь
1959. ' dx
I960. \ jVil±2_dx.
>•$
х*+ 1
Приводя квадратные трехчлены к каноническому
виду, вычислить следующие интегралы:
dx
1961.
S
x2dx
(дс2 + X 1) У хг + X — 1
1962. [
J (4-:
1963. Г (x+\)dx
■ 2х + х2) У2 + 2х — х2
(хг+х + 1) У*2+ JC+ 1
1964. С помощью дробно-линейной подстановки х =
а+ В/
~вычислить интеграл
1 +t
С dx
) (х2 — х + 1) У л;2 + х + 1
1965. Найти
г dx
J (хг + 2) У2х2 — 2х + 5
Применяя подстановки Эйлера
1) л/ахг-\-Ьх + с = ± -\/ах + г,если а>0;
2) л/ах2 + Ьх+с =лг±Ус, если с>0;
3) 'y/a(x—x1)(x—xi) =z(x—*0.
иайти следующие интегралы:
dx
1966.
х+ У*2+ * + 1
5т
19(?7. ■
i + У1 —2х — х*
1968. JjcV*2—2*+ 2 dx.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 191
1969. ( Jf—
* + V*2 + 3-С + 2
1970. 1 djc
St
+ л/х (1 + x) Г
Применяя различные методы, найти следующие ин¬
тегралы:
ак
1971.
'у/ х1 + 1 — д/х2 — 1
(—!
J (1-^>
1972 1 xdx
■ Xs) л/\—хг
1973. 1 dx
5. [
) V2
+ Vi—х + Vi+-
1974. у *+Vl + «+*_to
f_i±
J l + x
+ t/1 + x+x‘
1975. ^ (* + 1>.
1976
V* + V*+ 1
(x!—\)dx
■ dx.
1978.
1979.
(хг— 1) V*4+ 1
dx
* л/x* + 2x‘ — 1
(x2+ 1 )dx
X -\]Xх + x‘ + 1
1980. Доказать, что нахождение интеграла
§ R(x, л/ах-\-Ь, -y/cx + d)dx,
где R — рациональная функция, сводится к интегриро¬
ванию рациональной функции.
Интеграл от дифференциального бинома
)' хт (а ч- bxn)p dx,
где т, п и р — рациональные числа, может быть приведен к ин¬
тегрированию рациональных функций лишь в следующих трех
случаях (теорема Чебышева):
Случай 1. Пусть р — целое. Полагаем х = } где
N — общий знаменатель дробей т и я.
192 ОТДЕЛ 111. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ttl | I
Случай 2, Пусть — целое* Полагаем а + Ьхп =э
п
— 2^, где N — знаменатель дроби р.
Случай 3. Пусть -т^ +р — целое. Применяем под-
я
становку ах~п + Ъ = 2N, где N — знаменатель дроби ре
Если ft = 1, то эти случаи эквивалентны следующим;
1) р — целое; 2) т — целое; 3) т + р — целое»
Найти следующие интегралы:
1981. J у*3 + л:4 <1*:.
v;
1984. ' **dX
С
j Vi—■**"
1989. *3 djc>
1990. В каких случаях интеграл
|У1+*т dx,
где /я — рациональное число, представляет собой эле¬
ментарную функцию?
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида J slnmx cos'* х dx, где тип — целые
числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований
или применением формул понижения.
§ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 193
Найти интегралы:
1991. f cos5jc<1jc. 1992.
1993. |cos'*xdx. 1994. J sin2*cos4xdx:.
1995. J sin4 xcos5 xdx. 1996. Jsin5xcos5*d*.
1997. f——dx. 1998. С _S25liLdx.
J cos4x J sin3*
1999. [ ——. 2000. f dx
J si
sin3 x J cos3 x
dx
2001. Г — . 2002. Г-
J sin4 x cos4 x J
J Sir
sin3x cos5x
dx
2003. .
sin x cos4 x
2004. ] tg5 x dx. 2005. J ctg* x dx.
2006. ^ sin4* dx.
2007.
2008.
COS6 X
dx
j д/sin3 x cos5 x
С p . 2009. f—.
J COSJtVsin2jc J Vtg*
2010. f —-—.
J 3/t?T
2011. Вывести формулы понижения для интегралов.
а) ln = \ s\nn xdx\ б) Кп = J cos" х dx (п>2)
и с помощью их вычислить
j sin* xdx и | cos® xdx.
2012, Вывести формулы понижения для интегралов:
= б)КЯ = С_£_ («>2)
J sin" X J COSn X
и с помощью их вычислить
dx
f-^-и Г
J Sin5 х J
COS7 X
Следующие интегралы вычисляются с помощью применения
формул:
1. sin a sin р = [cos (ос — Р) — cos (а + Р)].
Т Б. П. Демидович
194 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
II. cos a cos р = -j- [cos (а — р) — cos (о + Р)].
III. sin а cos р = —[sin (а — Р) -f- sin (а + р)].
Найти интегралы:
2013. J sin5xcos xdx. 2014. J cos xcos 2xcos 3xdx.
2015. fsinjcsin — sin— dx.
J 2 3
2016. JsinJcsin(jc + a)sin(A: + 6)(ix.
2017. J cos2 ax cos2 bx dx. 2018. |sin32x-cos2 Zxdx.
Следующие интегралы вычисляются путем применения тож«
иеств:
sin (о — Р) = sin [(* + a) — (дс + Р)]
и
cos (a — Р) = cos [(jc + a) — (jc + p)l.
Найти интегралы:
dx
2019
•i
sin (x + a) sin (x + b)
2020. J dx
sin (x + a) cos (x + b)
dx
dx
cos x + cos a
2021. \
J cos (x + a) cos (дс + b)
2022. Г - . 2023.
J sin x — sin a
2024. J tg x tg (x + a) dx.
Интегралы вида
j R (sin x, cos x) dxt
где R — рациональная функция, в общем случае приводятся
к интегрированию рациональных функций с помощью подста*
новки tg = t.
а) Если выполнено равенство
R (— sin xt cos jc) = — R (sin x, cos x)
или
R (sin xt — cos x) = — R (sin x, cos x),
то выгодно применять подстановку cos дс = t или соответственно
sin х — t.
б) Если выполнено равенство
R (— sin х, — cos х) R (sin х, cos х)9
то полезно применять подстановку tg х = t,
$ 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 195
Найти интегралы:
2025. j- dx
2 sin jc — cos jc + 5
2026. J dx
(2 + cos дс) sin jc
dx
2027. f dx. 2028. f-
J sin д:+2 cos x J 1
+ e cos jc
a) 0<e< 1; 6) e>l.
Г sufx—2030< f
J 1 + sin2 x J
cos2 x dx
2029.
2031.
a* sin2 x + cos® x
S'
(a2 sin2 x + b* cos2 jc)a
2032. ,sin-*cos* dx.
2033.
2034.
2035.
sin *+ cos *
dx
(a sin jc + b cos jc)2
sin x dx
• — ■" ‘ ■ 1 - •
sin3 x + cos3 jc
dx
sin1 jc + cos4 x
sin2 jc cos2 x
sin8 jc -f cose x
2036. jj—n-*Cos2x dx.
2037. f ■ dx. 2038. f JHLIS2UL dx.
J sin4 x + cos4 jc J 1 + sin4 x
2039. f — . 2040. Г — .
J sin6 x + cos6 jc J (sin2 jc + 2 cos2 jc)2
Sdx
, приведя
a sin x+ b cos jc
знаменатель к логарифмическому виду.
2042. Доказать, что
SfljSinJC+fci COSJC , Л.П11 • It « . ^
— = dx = Ax + В In | a sin x + b cos x | + C,
a sin jc + b cos jc
где Л, В, С — постоянные.
Указание. Положить
Cjsin jc + bjcos x — A (a sin x + b cos x) + В (a cos b sin x),
где А и В — постоянные.
Найти интегралы:
2043. [ —si—5.rr,CQS dx. 2043.1. [ ^ dx.
J sin jc+ 2 cos x J sinjc — 3 cos д:
196
2044
•s
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
dx план f Ot sin x + bi cos x
2045.
f a, si
J (aisii
sin x + b cos jc)2
dx.
3 + 5 tg *
2046. Доказать, что
SOi sin x-\- bx cos x + CX , д , ni » • ,
— 1—1 !——dx = Ax + B ln|asmjc +
a sin x + b cos x + с
+ bcoSX + c| + C f : j ,
J a sin x + b cos x + с
где A, В, С — некоторые постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2 cos х — з
2047
2048
Ssin х +
sin х —
2 cos х + j
sin x
•dx.
dx.
+ sin x + cos x
2 sin x + cos x
dx.
2049. .
3 sin x + 4 cos x — 2
2050. Доказать, что
<2i sin5 x + 26| sin x cos x + C\ cos2 x
a sin x + b cos x
dx = A sin *4-
+ В cos x 4- С (
J a sir
dx
i sin дс+ b cos x
где А, В, С — постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2051. J —
2052. J
I2 х — 4 sin х cos х + 3 cos2 x
sin x -f- cos x
sin3 x — sin x cos x + 2 cos2 x
dx.
dx.
sin jc + 2 cos x
2053. Доказать, что если (a—с)2 + Ъ2Ф 0, то
ах sin jc+ b\ cos х
a sin2 х + 26 sin х cos jc + с cos2 х
= А
dx —
Г dui g С du2
j Vi + Xi j kA+
2 + ^2
где А, В — неопределенные коэффициенты, Alf Aa—
корни уравнения
a — X b
b с — X
щ = (а—A/) sin x + bcosx и =
= 0 (Ai Ф A2),
1
a —
(I = 1. 2).
* 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197
Найти интегралы:
2054 Г _2»lnx-co»*i.<tet
J 3sin2 х + 4 cos2 *
2055 f (sin x + cos дс) dx
\
2 sin2 x — 4 sin x cos x + 5 cos2 x
2056. Г ЯП «-.2 cos
J 1 + 4 sin x cos x
2057. Доказать, что
dx
(a sin x + b cos x)n
A sin дс+ В cos x , n (* dx
(a sin дс+ ft cos дс)”-1 J (a sin x + ft cos x)n
где А, В, С — неопределенные коэффициенты.
2058. Найти Г dx
J (sin
2 cos x)*
2059. Доказать, что
dx Asmx .
(a + b cos x)n (a + b cos x)n~l
+ b[- dx +C f y dx - (|a 1 # 1ЬI),
J (a + b cos x)n~x J (a + b cos x)n 2
и определить коэффициенты Л, В и С, если п — нату¬
ральное число, большее единицы.
Найти интегралы:
sin х dx
2060.
J cos X Vi + sin2 x
2061. f sin** dx.
J cos2 x-yjigx
2062.
2063.
sin xdx
J ^2 + sin 2jc
f . dX ,, (0<e<l).
J (1 + e cos x)*
cos'1-1 _£±£_
2064, 2 cfje.
sin"+i ——-
198
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
х+ а
COS !
о
Указание. Положить t = =
sin
X — CL
2065. Вывести формулу понижения для интеграла
/„ =
/ . \я
sin
х + а
sin
V 2
dx
J
(п — натуральное число).
§ 5. Интегрирование различных
трансцендентных функций
2066. Доказать, что если Р (*) — многочлен сте¬
пени пу то
J Р (jc) e?xdx =
Р(х)
Р' <*)
2067. Доказать, что если Р (дс) — многочлен сте¬
пени п, то
J Р (x)cos axdx=
^ sin ах Гр Р" (JC)
a L аа
PIV (х)
Р1" (л) , РV (х)
J Р (х) sin ах dx =
COSO^r^
a L аа
а4
РIV (jc)
Р’" (х) . ру (х)
a2 а*
.]+
... j|+ о
.. J_|-
.. ,^J+с.
Найти интегралы:
2068. jx3e3xdx. 2069. $ (х*—2х + 2) е~х dx.
2070. J х5 sin 5* dx. 2071. J (1+x2)3 cos x dx.
$ В ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ 1S3
2072. j'x>e~x'dx.
2073. j xie/x dx.
2074. J e?x cos4 bx dx. 2075. J sin3 bx dx.
2076. J xe* sin x dx. 2077. J хгех cos x dx.
2078. j xe* sin2 xd*. 2079* J (x—sin x)3dx.
2080
. j cos2^/* dx.
2081. Доказать, что если R — рациональная функция
и числа аи а2, . . . , а„ соизмеримы, то интеграл
0“,Х Jh.x 0а.
есть элементарная функция.
Найти следующие интегралы:
2082.
2084.
2085.
[ — 2083. f ———dx.
J 0 + **)2 J 1 + **
ы
\-
dx
:+ех-2
dx
+ ^/2 + ех/3+ех/6
2087. С—^
J (1+<"•)’ J V**—I
*■» j V-Stt*-
2089. + —1 dx.
2090. f dx
J Vl + ^ + V1—e*
2091. Доказать, что интеграл
J R (x) eax dx,
где R — рациональная функция, знаменатель которой
имеет лишь действительные корни, выражается через
элементарные функции и трансцендентную функцию
j-^-dx = \\{eax) + C,
где
In X
200 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2092. В каком случае интеграл
И
где Р (—Wa<H——+...+-^7- wa0,alf • • • ,а„—
\ X J X хп
постоянны, представляет собой элементарную функцию?
Найти интегралы:
2093. j*(l — e*dx. 2094. j’^1 — -j j e~*dx.
2095. Г — dx. 2096. f-
J *2-3*+2 J
xe ,
■dx.
(*H- l)2
—— dx.
(x — 2)2
Найти интегралы, содержащие функции In f (x),
arctg / (x), arcsin / (x), arccos / (x), где f (x) — алгебраи¬
ческая функция:
2098. j\nnxdx (л—натуральное число).
2099. J х3 In® х dx. 2100. j J dx.
2101. f In [(x + a)*+* (x + by+*\ • - . ■ f-■-■■■■-.
J {x + a) (x + b)
2102. Jin2(x + ^/l+x2)dx.
2103. Jln(-\/l—x + Vl +x)dx.
2104. j* ^ _|_П *^3/а dx. 2105. J x arctg (x +1) dx.
2106. J л[х arctg -y/x dx. 2107. jjc arcsin (1—x)dx.
2108. J arcsin л/х dx. 2109. J x arccos — dx.
2110. ( arcsin .2^x dx.
J l + *
2111. f- arccos* dx. 2112. Г * arccos-x-dx.
J (1_ *2)3/2 J (1 _ X2)3/3
2113. Jx arctgjcln (1 + **) dx.
2114. f*ln-±±JLdx. 2115. [ JllMVI+Zkf-,
J 1 — X J (1+*2)3/2
§ 6 ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ <ЬУНК1Ш* 201
Найти интегралы, содержащие гиперболические функ¬
ции:
2116. Jsh2jcch2xdx. 2117, Jch4jtdx.
2118. Hsh3xdx. 2119. f sh;tsh2jtsh3jedx.
2120. Jthjcd*. 2121. Jcth * xdx. 2122. $ л/thx dx.
2123. j- dx
2123.1.
sh x + 2 ch x
dx
sh2 x — 4 sh * ch x + 9 ch2 x
ch xdx
2123.2. f — . 2123.3. f-
J 0,1 + chx J 3shx —4chx
2124. Jshaxsin bxdx. 2125. J sh ax cos bx dx.
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
2126. f — . 2127. Г - —.
J Xе (1 + X2) J (1 — X2)3
2128. Г - . 2129. С !
J 1 + х^+хв J v__
2)3
dx
+ V*
2130. ( хг д/—— dx. 2Ш* ( г
J V 1-х J хгл/\-х*
2ш-
dx.
x^J х
v-5 у
С - Х^Х -. 2134. Г £ .
J V1 + *а J Vx4i-x)
. [ -dx ■ 2136. [ dx
) хл/\ + хл+ха )хл/х* — Чхг— 1
2137. С ■ 1 +-У-1 ~ f!_ dx.
J 1 — V1 — JC2
2138. f - (1 + *)<*х 2139> Г ln0+ *+*») ^
J 1+V^Mr J (1 + x)a
2140. J (2jc + 3) arccos (2x—3) dx.
2141. J x In (4 + x4) dx.
2135
202
2142.
2143.
2144.
2145.
2146.
2148.
2149.
2150.
2151.
2152.
2154.
2155.
2157.
2158.
2159.
2161.
2163.
2164.
2166.
2169.
2170.
ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
arcsin х 1 + хг
-dx.
xln(l+ Vl + Xa)
Vl + X*
+ 1 \пл/хг — \ dx.
X , X
In-
—j
dx
(2 + sin х)г
dx
-\/1 — X
2,47. j-
dx.
sin 4x
sin8 x + cos8 x
■dx.
sin x Vn- cos X
ax2 + b
x2 + 1
ax2 -f b
arctg x dx.
l
x\nx
In
x — 1
\dx.
dx.
(1 + x2)2
m*ZJLdx. 2153
x3 arccos x
Л
sin 2x
V1 + cos4 x
■dx.
dx.
л/\ — x2
** ar<:le£- dx. 2156. [ *arcctg-*-dx.
l + *2 J
x In (x + V1 + X2 )
(1 +
(1—
dx.
д/1—хг arcsin j;djc.
jc (1 + xa) arcctgxd*. 2160. Ja:*(1 +ln x)dx.
aTCsinf-dx. 2162. [■ ^..dx.
ex J exil (\ + ex)
dx
(e*+1 + l)^-(e*-i + 1)2
Vth2jt+1 dx. 2165. j -J
1 + sin x
• ex dx.
+ cos X
\x\dx. 2167. $x\x\dx. 2168. j(x + [*\)*dx.
{| 1 -Ьл:1 —11— x\}dx.
e~^dx. 2171. Jmax(l, &)dx.
5 в ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЯ 203
2172. | ф (дс) dx, где <р (х) — расстояние числа х до
ближайшего целого числа.
2173, { [х] | sin зхд; 1 й?лг (.х > 0).
1 —хг при |х|< 1;
2174. J/МЛ, где /(*) = , ,_м при 1х|>1_
2175. \f{x)dx, где /(*) =
1, если —oo<x<0;
jc+1, если
2х, если 1<*< + оо.
2176. Найти J xf" (jc) dx.
2177. Найти J /' (2х) dx.
2178. Найти f (х), если f' (х2) = — (х>0).
2179. Найти / (х), если /' (sin* jt) = cos2 х.
2180. Найти f (jc), если
1 при 0<* < 1;
^jc при 1<jc<+ оо
и f (0) = 0.
2180.1. Пусть / (х) — монотонная непрерывная функ¬
ция и /“* (л;) — ее обратная функция.
Доказать, что если
lf(x)dx = F (jc) + С,
ТО
| Г1 (х) dx = xf-1 (х) — F if-1 (j:)) + С.
Рассмотреть примеры: a) f (х) = хп (п > 0);
б) / (х) = ех; в) f (х) = arcsin х; г) f (я) = Arth х.
ОТДЕЛ IV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
1°. Интеграл в смысле Римана, Если функ¬
ция t (х) определена на [а, Ь] н а = х0 < xt < х2 < . . . <хп =
о Ь, то интегралом функции f (jc) на сегменте [а, Ь] называется
число
Ь п—1
U(x)dx= lim УНЪдЬхь 0)
а тах|Д*. |-*0 ^
ГДе Xt < h < Xi+t И &Xi =
Для существования предела (1) необходимо и достаточно,
чтобы нижняя интегральная сумма
rr—I
£= £ т^н
i=0
и верхняя интегральная сумма
_ п—1
S= 2 Af,
t=0
где
mi = inf и sup f (x),
имели общин предел при max | &xL | 0.
Функции I (jc), для которых предел в правой части равенства
О) существует, называются интегрируемыми (собственно) на
соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная
функция; б) ограниченная функция, имеющая конечное число
точек разрыва; в) ограниченная монотонная функция,— инте¬
грируемы па любом конечном сегменте. Если функция I (х) не
ограничена на сегменте [а, Ь], то она собственно неинтегрируема
на [а, Ь].
2°. Условие интегрируемости. Необходи¬
мым и достаточным условием интегрируемости на данном сег¬
менте [а, Ъ ] функции t (х) является выполнение равенства
п— I
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 205
где со,-= —mi — колебание функции f (jc) на сегменте
U«. *f+il.
2181. Найти интегральную сумму Sn для функции
f (х) = I + х
на сегменте [— 1, 4], разбивая его на п равных проме¬
жутков и выбирая значения аргумента ^ (i — 0, 1, . . .
. . . , п—1) в серединах этих промежутков.
2182. Для данных функций / (д:) найти нижнюю Sn
и верхнюю Sn интегральные суммы на соответствующих
сегментах, деля их на п равных частей, если
а) / (дс) = х3 [— 2 < х < 3J;
б)f(x) = *J7 [0<*<1];
в) f (*) = 2х [0 < х < 10].
2183* Найти нижнюю интегральную сумму для
функции f (х) = х4 на сегменте [1, 2], разбивая этот
сегмент на п частей, длины которых образуют геомет¬
рическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы
при п -*■ оо?
2184. Исходя из определения интеграла, найти
т
I (t'o +gt)dt,
о
где и0 и g — постоянны.
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их
как пределы соответствующих интегральных сумм и
производя разбиение промежутка интеграции надлежа¬
щим образом:
2 1 я/2
2185. J x*dx. 2186. faxdx (а>0). 2187. j sinxdx.
-10 о
* ь
2188. Jo**#. 2189. ^ (0 <a<b).
a
Указание. Положить (i — 0,1 n).
b
2190. jxmdx (0<a<b; тф — I).
Q
Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их
абсциссы xi образовывали геометрическую прогрессию.
206 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Ь
2191. j-y- (0<а<Ь).
а
2192. Вычислить интеграл Пуассона
Я
| In (1—2а cos х + а4) dx
при: а) |а| < 1} б) |а| > 1.
Указание. Воспользоваться разложением многочлена
а2п—1 на квадратичные множители.
2193. Пусть функции / (х) и ф (я) непрерывны на
1а, 6]. Доказать, что
/х-1 ъ
lim £ / (&) ф (0i) Axi = {/ (дс) <р(дс) dx,
шах |Д►О i=Q а
где xi < h < Х(+и х, < 0( < *,+1 (/ = 0, 1, . . . ,n— 1) и
Axt = дс,+1 —дс,- (дс0 = а, хп = й).
2193.1. Пусть / (л;) ограничена и монотонна на [0, 1 ].
Доказать, что
0 4=1
2193.2. Пусть функция f (дс) ограничена и выпукла
сверху (см. 1312) на сегменте 1а, Ь].
Доказать, что
ф-а) Ж + т < lj(x)dx^ ф-a) f •
2193.3. Пусть / (jc) £ C(J) [1, + оо) и / (дс) > 0,
/' (jc) > 0, f” (дс) < 0 при дс £ 11, + оо).
Доказать, что
if(k) = -±-f(n) + ]f(x)dx+0(l)
k=\ 2 i
при ft -v оо.
2193.4. Пусть / (л;) £ С(1) 1а, Ь] и
An = ^f(x)dx— Ь~а
а fe=l
5 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 207
Найти lim пАп.
«-►оо
2194. Показать, что разрывная функция
/ (х) = sgn (sin
интегрируема на промежутке [0, 11.
2195. Показать, что функция Римана
(0, если х иррационально;
J 0, если х иррацшм
ф (*) — | если х _ т1П'
где т и п (п > 1) — взаимно простые целые числа,
интегрируема на любом конечном промежутке.
2196. Показать, что функция
f (х) = -^—[~^"]’ 601,111
и / (0) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1 ].
2197. Доказать, что функция Дирихле
|0, если х иррационально;
%(х)— | j, если х рационально,
не интегрируема на любом промежутке.
2198. Пусть функция / (х) интегрируема на [а, Ь ] и
/„ (дс) = sup/(а:) при xi < jc<jci+1,
где
Xi = a + — (b—a) (i = 0, 1,. . . , я; я=1, 2,. . .),
П
Ь Ь
Доказать, что lim J7„ (х) dx = |/ (х) dx.
п—кх а а
2199. Доказать, что если функция / (х) интегрируема
на [а, Ь ], то существует последовательность непрерыв¬
ных функций ф„ (х) (п — 1, 2, . . .) такая, что
С С
J f (х) dx — lim | q>„ (х) dx при а < с <; Ь.
а л-юо а
2200. Доказать, что если ограниченная функция
/ (х) интегрируема на сегменте [a, b), то абсолютная
величина ее |/ (х)| также интегрируема на la, b ], при¬
чем
ь
j'f(x)dx
ь
/М = { -t
208 ОТДЕЛ IV ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2201. Пусть функция / (х) абсолютно интегрируема
ь
на сегменте [а, b ], т. е. интеграл J \f (x)\dx сущест-
а
вует. Является ли эта функция интегрируемой на la, b 1?
Рассмотреть пример:
1, если х рационально;
, если хиррационально.
2202. Пусть функция f (х) интегрируема на la, b ]
и А < / (дс) < В при а < х < Ь, а функция ф (*) опре¬
делена и непрерывна на сегменте [А, В]. Доказать, что
функция ф (/ (дс)) интегрируема на [а, Ь].
2203. Если функции / (дс) и ф (л;) интегрируемы, то
обязательно ли функция f (ф (дс)) также интегрируема?
Рассмотреть пример:
f 0, если х — 0\
fix) — | ^ если хфО,
и ф (дс) — функция Римана (см. задачу 2195).
2204. Пусть функция f (х) интегрируема на сегменте
1А, В]. Доказать, что / (дс) обладает свойством интег-
ь
ральной непрерывности, т. е. limj\f (x + h)—f(x)]dx = 0,
h.—►О a
где [a, bi с. [A, B\.
2205. Пусть функция f (дс) интегрируема на сегменте
ь
la, Ь ]. Доказать, что равенство { /2 (дс) dx = 0 имеет
а
место тогда и только тогда, когда / (*) = 0 во всех точ¬
ках непрерывности функции / (л:), принадлежащих сег¬
менту [а, Ь).
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1°. Формула Ньютона-Лейбница. Если
функция / (х) определена и непрерывна на сегменте [а, 6] и
F (х) — ее первообразнаяр т, е. F' (х) = I (х), то
ь ъ
§f(x)dx*=F (Ь) —F(a) — F(x)\ .
а а
b
Определенный интеграл J I (*) dx при / (*) > 0 геомет-
а
рически представляет собой площадь S криволинейной трапе¬
$ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 209
ции, ограниченной кривой у = / (х), осью Ох и двумя перпен¬
дикулярами к оси Ох: х = а и х = 6 (рис. 9).
2°. Формула интегрирования по частям.
Если I (х), g (х) £ СС1) [а, Ь], то
3°. Замена переменной. Если: 1) функция / (дс)
непрерывна на сегменте [я, Ь]\ 2) функция ф (0 непрерывна
вместе со своей производной ф' (*) на сегменте [а, 0], где а =
= ф (а), b = ф (р); 3) сложная функция JF (ф (/)) определена
и непрерывна на [а, 0], то
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти сле¬
дующие определенные интегралы и нарисовать соот¬
ветствующие криволинейные площади:
Рис. 9
ь ь ь
I (*) е' (*) dx = f(x) g (х) | _ j g (x) J' (x) dx.
af a a
b |i
I / (x) dx = J f (<p (/)) Ф' (0 dt.
a
a
8 3 — я
2206. J y^x dx. 2207. fsinjedx.
-i о
V3 1/2
1/V3
sh 2
sh 2
l/Vr —i/2
sh 1
1
210 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2л
2213.
б
1
Z7I
Г ——— (о<е<1).
J l + ecosx v '
2214. f dx
J V(1 — 2ax + aP) (1 — 2bx + b2)
(|a|<l. Ш<1, ab>0).
Я/2
2215. [ , d\‘ . ■ (аЬф0).
j a2 sin2 x + b2cos2 x
0
2216. Объяснить, почему формальное применение
формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным
результатам, если:
1 2л 1
«J-г- *$-£-(«* т)*
-1 0 -1
2217. Найти j
-I
100 Я
2218. Найти J У1 —cos 2* dje.
С помощью определенных интегралов найти пределы
следующих сумм:
2219. lim (-L + -Y+ • • • + JL=rLV
rt—>оо Л2 П2 пг )
2220. lim Г—!— + —-——V
я-*-» \ л + 1 л+2 я + л /
2221. lim ( — + - + . . . +—2 V
„-«oW+l2 л*+22 п*+п2)
2222. lim — (sin —-f sin-^-+. . . -f sin-~
П-+Со n \ n n n J
2223. lim 1-P-+2P+-,-,.i + n_ (p>0).
2224. lim J-fA/l + -L + A/l + ^- + . ..
a->oo П \ V Я V Я
... +У>+-^).
5 г ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 211
Найти
2225. lim 2226. lim
П->оо fl fl—►ОО
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших
порядков, найти пределы следующих сумм:
2227. lim |Y 1 + -L'jsin — + (l + —Uin — + ...
П-+3о L\ л / Я2 \ п ) rt2
•••+('
п
2228. lim sin — . V"* • 1
П-+ЭО ft J
Л . kn
2+ cos
k=\ n
£ У(пл:+*)(„* + * + 1)
2229. lim — (*>0).
n-+ oo ft2
/ ol/л п2/д 0n/rt
2230. lim / — —- + . . . ■ 2
n+l . 1 1 ,i
т "+v
2231. Найти:
. b ь ь
—— { sin x2dx, { sin x2dx, f sin x2dx.
dx a da a db a
2232. Найти:
в) "S-fvr+Fltti 6)-ff-—
j j Vi + <4
0 xa
COS X
a
в) j cos (nt2) dt.
dx sin x
2233. Найти:
X X
f cos хЧх J (arctg x)2 dx
a) lim ; 6) lim 0 , —;
*-►0 X x-H-oo V*2+l
212 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
.4
G e**dx)
в) lim Vo '
ДС->+оо *
f dx
2233.1. Пусть / (х) ^ С [0, + оо 1 и / (*) -* А при
х —*■ ~Ь оо. Найти lim $f(nx)dx.
П-+оо О
* 1
2234. Доказать, что [ ex’dx ~—ех1 при х->оо.
о 2х
sin х
J VtgT dx
2235. Найти lim — .
*^+о
1 \s\nx dx
о
2236. Пусть / (jc) — непрерывная положительная
] tf(t)dt
функция. Доказать, что функция <р(л;) = —- воз-
\t(t)dt
J
растает при х > 0.
2237. Найти:
2Г [х2 при 0<Jt<l,
a) J/Wii, сст,1М~\2_х пр„ 1<х<г.
б) j f (*) dx, если /(*) =
2238. Вычислить и построить графики интегралов
/ = / (а), рассматривая их как функции параметра а,
если:
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 213
л
ч , | sin xdx
в) / =
1=[—
1
■ 2а cos х + а2
о
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
следующие определенные интегралы:
1п 2 л
2239. { xe~xdx. 2240. Jx sin xdx.
о о
2л е
2241. Г х2 cos xdx. 2242. f |lnx|dx.
0 1/e
f
2243. J arccos x dx. 2244. f x arctg xdx.
Применяя подходящую замену переменной, найти
следующие определенные интегралы:
1 «
2245. С —xdx 2246. J х2 Уа2— ха dx.
J Vs — 4дс 0
°.75 In 2
2249. [ dx.
2250. Вычислить интеграл J 1 t^ 4~ dx, полагая
x — = t.
x
2251. Объяснить, почему формальная замена х =
= ф (0 приводит к неверным результатам, если:
1 1
a) J dx, где * = х2/3; б) \ - -. где * = —;
— 1 J 1
3 у
к
о
I
214 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
3
2252. Можно ли в интеграле fxyfl — x2 dx поло¬
жить х = sin t?
2253* Можно ли в интеграле J д/l —х2 dx при за¬
мене переменной х = sin t в качестве новых пределов
взять числа я и —?
2
2254. Доказать, что если / (х) непрерывна на Iа, b]f
то
ь 1
$f{x)dx = (Ь—а) |/ (а + (Ь—а) дс) Же.
а О
2255. Доказать равенство
J г5/ (ха) = xf (х) dx (а>0).
о 2 о
2256. Пусть / (лг) — непрерывная функция на сег-
менте [Л, 5] id [а, Ь\. Найти J/(х + у)dy при
dx а
\а—х, b—*] с 1А, В].
2257. Доказать, что если / (дс) непрерывна на [0, 1 ],
то
я/2 я/2
а) J /(sin x)dx= | / (cos x) dx',
о о
Я Л
б) \xf(s\nx)dx = — §f(s\nx)dx
о 2 0
2258- Доказать, что для непрерывной на [— /, /1
i i
функции / (х) имеем: 1) J f(x)dx = 2{ f(x)dx, если
—I о
/
функция / (л:) четная, и 2) { f(x)dx= 0, если функция
/ (л:) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию
этих фактов.
2259. Доказать, что одна из первообразных четной
функции есть функция нечетная, а всякая первообраз¬
ная нечетной функции есть функция четная.
2260. Вычислить интеграл
2
^ + *—j-^e*+(,wdx,
1/2
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 215
введя новую переменную
/ = х -f- — •
х
2 Я
2261. В интеграле | f(x)cosxdx выполнить замену
переменного sin х — t.
2262. Вычислить интеграл
I |[c“(inT)]h
— 2я п
е
где п — натуральное число.
я
2263. Найти Г *sin dx.
J 1 + cos2 X
о
3
2264. Найти интеграл Г ——dx, если
F J. 1 + Р(х)
/(*)=»■ 3,
х3 (х — 2)
2265. Доказать, что если f (х) — непрерывная пе¬
риодическая функция, определенная при — оо < х <
< + оо и имеющая период Т, то
а+Т Т
J f{x)dx = $f (х)dx,
где а — любое число.
2266. Доказать, что при п нечетном функции
X X
F(x) = §sinnxdx и G(x) = J cos'* xdx
о о
периодические с периодом 2я; а при п четном каждая
из этих функций есть сумма линейной функции и пе¬
риодической функции.
х
2267. Доказать, что функция F (х) = $ f (jc) dx,
х„
где f (*) — непрерывная периодическая функция с пе¬
риодом Т, в общем случае, есть сумма линейной функ¬
ции и периодической функции периода Т.
—1
(*+1)М*-1)
216 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычислить интегралы:
I
2268. ^x(2—x2)lidx.
2269. Г — .
J х* + х+ 1
9 з.
2270. j(x \nx)*dx. 2271. fx/l— xdx.
-i i
2272. [ . 2273. IV5У1+3Xй dx.
—2
3
2274. ^ arcsin Vt
3
2л
f
0
2n
I
0
2Л
2275. C dx
(2 + cos x) (3 + cos x)
0
2n
2276 C dx
sin4 x + cos4 x
0
я/2 Я
2277, | sin jesin2jcsin3jtd*. 2278. f(jcsinac)arfjc.
о о
я In 2
2279. J e* cos2 х d*. 2280. | sh4jcdjc.
С помощью формул понижения вычислить интегралы,
зависящие от параметра п, принимающего целые по¬
ложительные значения:
Я/2 Я/2
2281. /„= J sin"xdx. 2282. /„= j cosnxdx.
0 0
Я/4 1
2283. /„= j tg2n*djc. 2284. ln=U\—x2fdx.
0 0
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 217
Я/4
2287. /л= Г ( sinx~.cosxYn+'dx.
J V sin х + cos х J
о
Если f (дс) = fx (дс) + if2 (х) есть комплексная функция от
действительной переменной х, где (дс) = Re f, (дс), f а (*) =
= Im t (дс) и = — 1, то по определению полагают:
I !(*) dx = J (x) dx + i J f2 (x) dx.
Очевидно, что
Re J H*) dx = J Re / (x) dx
И
Im j / (дс) dx = J Im f, (дс) d*.
2288. Пользуясь формулой Эйлера
eix = cos x + i sin x,
показать, что
2? ( 0, если тфп,
I glnxg-imx dx={
0 12л, если m—n
(пит — целые).
2289. Показать, что
ь
Г eb{a НР) в(а+1'Р)
1 е(а +id)xdx= — —
J a + Ф
(аир — постоянные).
Пользуясь формулами Эйлера:
cos х = (eix + e~ix), sin x= (eix — erlx),
вычислить интегралы (тип — целые положительные
числа):
Я/2
2290. j sin2m jc cos2rt л:
о
2291. f dx. 2292. f JSZ&+.')*- dx.
J sin дс J cos дс
о 0
n n
2293. J cos" xcos nx dx. 2294. j sin" x sin /u dx.
218 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти интегралы (п—натуральное число):
Я
2295. $ sin"-1 х cos (п + 1) х dx.
о
Я
2296. $cosn—1 jc sin (n+ 1) xdx.
о
2 л
2297. $ er0* cos2rt x dx.
о
л/2
2298. $ In cos x • cos 2nx dx.
о
2299. Применяя многократное интегрирование по
частям, вычислить интеграл Эйлера: В (т, п) =
1
^ (1—x)n~ldx9 где т и п—целые положитель-
о
ные числа.
2300. Многочлен Лежандра Рп(х) определяется фор-
той: Рп(х) = —
Доказать, что
—I
0, если тфп,
2 ■, если т = п,
2п+1
2301. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на [а, Ь\ и F (jc) — функция такая, что F' (*) = f (х)
всюду в [а, Ь], за исключением, быть может, конечного
числа внутренних точек (i=l, . . . , р) и точек а
и Ь, где функция F (х) терпит разрыв 1-го рода («обоб¬
щенная первообразная»). Доказать, что
$ f (х) dx=F(b-0)-F(a+0)-t IF (c, + 0) -F (ct -0)] •
a i =1
2302. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на сегменте [а, Ь\ и
F{x) = C + lf(& dl
а
—ее неопределенный интеграл.
Доказать, что функция F(x) непрерывна и во всех
точках непрерывности функции / (jc) имеет место
§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 219
равенство
F'(x) = f{х).
Что можно сказать о производной функции F (*)’
в точках разрыва функции / (я)?
Рассмотреть примеры:
а) 1 (п = ±1, ±2, . . . ) и /(jc) = 0 при
хф —;
п
б) f (х) = sgn X.
Найти неопределенные интегралы от ограниченных
разрывных функций:
2303. J sgn х dx. 2304. J sgn (sin jc) dx.
2305. J [x] dx (jc>0). 2306. J x [jc] dx (x>0).
2307. J(_l)Wdx.
r» . (1* если I jc|C/,
2308. где /W_{a ^ |xl>|_
Вычислить определенные интегралы от ограничен*
ных разрывных функций:
3 2
2309. Г sgn (jc—jc3) dJt. 2310. f [e*]dx.
о о
6 Я
2311. J [x] sin nx/6dx. 2312. J xsgn (cos jc)dx.
о о
nfl
2313. J ln [jc]djc, где a—натуральное число.
‘•Г
1
2314. f sgn [sin(lnjc)]djc.
0
2315. Найти J I cos jc ] д/sin jc dx, где E — множество
E
тех значений сегмента [0, 4л], для которых подынтег¬
ральное выражение имеет смысл.
§ 3. Теоремы о среднем
1°. С р е д н е е значение функции. Число
М [/] = —J x)dx
о —а а
220 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
называется средним значением функции f (jc) на промежутке
Iа, Н
Если функция f (jc) непрерывна на [a, b\t то найдется точка
£ 6 W такая, что
(с).
2°. Первая теорема о среднем. Если: 1) функ¬
ции 1(х) и ф (jc) ограничены и соответственно интегрируемы на
сегменте [а, £> ]; 2) функция ф (х) не меняет знака при а < х < £>,
то
ъ ь
J if (*) Ф (*) dx = ц J Ф (г) dx,
а а
где и т= inf f (jc), М = sup f(*);3) если, сверх
того, функция I (л;) непрерывна на сегменте [a, 6], то |л = I (с),
где а ^ с < 6.
3°. Вторая теорема о среднем. Если: 1) функ¬
ции j (х) и ф (jc) ограничены и собственно интегрируемы на сег¬
менте [а, Ь1; 2) функция ф (х) монотонна при а < х < 6, то
Ь g *
J f (*) Ф (*) <2* = Ф (а + 0) I / (х) dx + Ф (Ь — 0) j- / (х) dx,
a a g
где а ^ ? <; Ъ\ 3) если, сверх того, функция ф (jc) монотонно
убывающая (в широком смысле!) и неотрицательная, то
J f (ж) Ф (*) dx — ф (а + 0) J Kx) dx (а < 6 < 6);
а а
3') если же функция ф (jc) монотонно возрастающая (в ши¬
роком смысле) и неотрицательная, то
ь ь
J / (х) ф (х) dx = Ф (Ь — 0) | / (х) dx .
2316. Определить знаки следующих определенных
интегралов:
2л 2я
a) [xsmxdx; б) Г —n *- dx\
о J х
о
2 1
в) J xz2xdx\ г) J x2\nxdx.
—2 1/2
2317. Какой интеграл больше:
Я/2 п/2
а) | sin10 xdx или f sinaxdA:?
о о
■ 1
б) или J е-^ dx*
§ 3. ТЕОРЕМЫ о СРЕДНЕМ 221
П 2Л
в) f е~х' cos2 xdx или J е~х‘ cos2 х dx?
О Я
2318. Определить средние значения данных функций
в указанных промежутках:
а) / (х) = х2 на (0, 11;
б) 1(х)~л]х на [0, 100];
в) f (х) = Ю + 2 sin х + 3 cos х на [0, 2л ];
г) f (х) = sin х sin (д: + <р) на [0, 2л ].
2319. Найти среднее значение длины фокального
радиуса-вектора эллипса
г = - р- (0<е<1).
1 — е cos <р
2320. Найти среднее значение скорости свободно
падающего тела, начальная скорость которого равна v^.
2321. Сила переменного тока меняется по закону
. . / 2л t , \
i = i0 sin(-p-f q)J,
где t0 — амплитуда, t — время, Т — период и <р — на¬
чальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы
тока.
232Ы. Пусть / (*) £ С (0, + оо) и lim f (х) = А.
оо
Найти
lim —jf(x) dx.
оо X 0
Рассмотреть пример f (х) = arctg х.
2322. Пусть
| / (t) dt = xf (9х).
Найти 0, если:
a) f (t) = tn (п > — 1); б) / (t) = In t; в) f (t) = e'.
Чему равны lim 0 и lim 0?
Jt—> —j-О jc—►-{■oo
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить ин¬
тегралы:
222 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
100
2325. f .-L.X~dx.
J х+ 100
о
2326. Доказать равенства:
С Xя
a) lim I — dx = 0; б) lim J sin" xdx =0.
n-*OQ J 1 X П-+ 00 0
0
2326.1, Найти:
i
a) Iim f —TZT; 6) lim f f M —.
e-и» J ex*+l e-*+0.J x
где a > 0, b> 0 и f (x) £ С [0, 1 ].
2327. Пусть f (x) непрерывна на [a, b ] и <p (x) непре¬
рывна на la, b] и дифференцируема на (a, b), причем
ф' (jc) > 0 при а < х < b.
Доказать вторую теорему о среднем, применяя ин¬
тегрирование по частям и используя первую теорему
о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить ин¬
тегралы:
200л .
2328. f -^-dx.
100л х
ь
Г
2329. \ sin xdx (а > 0; 0<а<6).
а
Ъ
2330. Jsin^adx (0<а<6).
а
2331. Пусть функции <р (лг) и if (лс) интегрируемы на
промежутке [а, b] вместе со своими квадратами. Дока¬
зать неравенство Коши—Буняковского
ГЬ \ 2 ь ъ
<р (х) ф (л:) dx t < { фа (х) dx {i|)a (jc) dx.
!!■
2332. Пусть функция f (дг) непрерывно дифференци¬
руема на сегменте (а, b ] и f (а) = 0.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 223
Ь
Доказать неравенство М2 < (6— a) $f'2(x)dx, где
М= sup \f(x)\.
2333. Доказать равенство
п+р
lim Г JlHJLdx = 0 (р>0).
«-►оо J X
П
§ 4. Несобственные интегралы
1°. Несобственная интегрируемость
функций. Если функция f (х) собственно интегрируема на
каждом конечном сегменте [а, 6), то, по определению, полагают:
+оо 6
f f(x)dx = lim f l(x)dx. (1)
a &-»•+» a
Если функция I (x) не ограничена в окрестности точки 6
и собственно интегрируема на каждом сегменте [д, b—е] (е > 0),
то принимают;
Ь Ь—е
f f(x)dx= lim f t(x)dx. (2)
a c-4-° a
Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий
интеграл называется сходящимся, в противном случае — рас-
ходящимся (в элементарном смысле!).
2°. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1)
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
число b = b (г) такое, что при любых b* > b и b" > Ь было бы
выполнено неравенство
Ь•
[ (х) dx < е.
Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла
типа (2).
3°. Признаки абсолютной сходимости.
Если |J!(*)I несобственно интегрируема, то соответствующий
элементарный интеграл (1) или (2) от функции f (*) называется
абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходя¬
щимся.
Признак сравнения \. Пусть |f (х) | ^ F (х) при х ^ а.
+оо -(-оо
Если | F (х) dx сходится, то интеграл J £ (*) dx сходится
а а
абсолютно.
Признак сравнения II. Если г|> (аг) > 0 и <р (*) = О* (*ф (*))
—|- оо —|-оо
при х + оо, то интегралы J ф (л:) dx и j ^ (*) dx сходятся
224 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
или расходятся одновременно. В частности, это имеет место,
если ф (*) ~ г|) (*) при х -► + оо.
Признак сравнения III. а) Пусть
f(x) = 0*(~r) при ж-v-t-oo.
В таком случае интеграл (I) сходится, если р > 1, и расходится,
если р ^ 1.
б) Пусть
f(*) = 0*f ! ^ при х-+Ь — 0.
В таком случае интеграл (2) сходится, если р < 1 и расходится,
если р ^ 1.
4°. Специальный признак сходимости.
Если: 1) функция ф (*) монотонно стремится к нулю при х -* + оо
и 2) функция I (*) имеет ограниченную первообразную
F(x) = J7(IMS,
а
то интеграл
I / (х) ф (х) dx
а
схолится, вообще говоря, не абсолютно.
В частности, интегралы
*-j-oo 4-00
С* cos х Г sin х . t . л.
j —л" j —л (“>о>
а а
сходятся, если р > 0.
5°. Главное значение в смысле Коши,
Если функция / (х) такова, что при любом е > 0 существуют
собственные интегралы
с—е ь
| f (де) dx и f f (*) dx (а < с < 6),
а с4-е
то под главным значением в смысле Коши (о. р.) понимается число
v. р,[f(x)dx^ lim Г 7 f(x)dx+ Г
i е-,+0 Li с+е J
Аналогично
4-оо а
v- Р- \ l(x)dx=: lim f l(x)dx.
t—OO fl-^4-00 _a
Вычислить интегралы:
4-00 I
2334. j (a>0). 2335. J \nxdx.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 225
<4-00 1
2336. С —. 2337. [ — .
) ! + J л/T^J
—оо —1
—j- оо 4-00
dx
f — . 2339. Г
J дс4 + х — 2 J
2338. .
' ‘ (*2+*+1)2
2340. Г - . 2341. Г -*-+- dx.
J 1 + *3 J *4+1
0 о
1
2342.
Г dx
) (2 _ х) УГ~
О
4-00
Г dx_
J X V1 + хъ
о
4-00
2343
къ х10
1
-f оо -f ей
2344. Г ——п~ -dx. 2345. Г —8dx.
J (1 + *У J (1 + *1)3/2
о о
+~
2346. J е~ак cos bx dx (а>0).
о
+с°
2347. j е~ах sinbxdx (а>0).
о
С помощью формул понижения вычислить следую¬
щие несобственные интегралы (п — натуральное число);
+00
2348. /„= f xne~xdx.
О
4-оо
2349. /л= Г d- (ac—b2>0).
J (ax*+2bx + c)n '
—оо
2350. 1п= 1‘ — .
J *(*+ 1) . . . (*+ л)
I
2351. /„=Г
'■i
. Vo-*)(» + *)
О
6 Б. П. Демидович
2354. Найти Г е~хП - *sin * C0SX—dx, где Е — мно-
226 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2352. /„= Г .
J сЬя+1 X
о
л/2 Я/2
2353. a) J In sin хdx\ б) j In cos л:d*.
па: —
J 'y/sinx
в
жество тех значений х интервала (0, +<»), для которых
подынтегральное выражег:'* имеет смысл.
2355. Доказать равенство
-{-00 -{-оо
J f ^ах + —^ dx = — j* / (д/х2 + 4аЬ) dx,
о о
где а 0 и b > 0, предполагая, что интеграл в левой
части равенства имеет смысл.
2356. Средним значением функции f (х) на интервала
1 *
(О, + оо) называется число М | f | = lim — f f (£) d\.
x-»+oo X 0
Найти средние значения следующих функций:
а) / (*) = sin2 х + cos2 (х ^/2);
б) / (х) = arctg х; в) / (х) = -yfx sin х.
2357. Найти:
I f VTT^ dt
a) limx Г 005 1 dt‘, 6) lim : ;
A—♦ 0 J i2 x-+oo Xa
4-o°
J txe-ldt
l
в) lim— ; r) limx“ I
x->G - 1 *->0 J
In —
X
ML
^a+i
dt.
где a > 0 и / (/) — непрерывная функция на сегменте
[О, 1].
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227
Исследовать сходимость интегралов
2358. Г — . 2359. [ - .
1 xi-x*+l ) xW+T
2 «{-оо
2360. Г -4L-. 2361. Г xp~le~*dx.
J In дс J
о о
I -{-00
2362.
Г хр In'7 — dx. 2363. Г—-——dx (п > 0).
J х J 1 + *п
О о
J —гс^—- dx (а ф 0). 2365. J —(]~x>dx.
О О
2366. f — а—g— dx (п > 0).
J 2+хп
О
2367. j ™а*п- dx (п > 0).
О
Н-оо я/2
2368. [^-^-dx. 2369. Г —
J х J sinp х cos? х
о о
2370. Г хЧх . 2370.1. (——
J ^ V*3 "f *
о v о v
2371. Г—-—. 2372. [ —1п х— dx.
J х» + х<> ) \-х2
О о
П/2 +зо
dx
2373. Г ■—dx. 2374. Г
о У
In* *
2375. f — .
J (In *)? (In In JC)J
e
Г
+oo
2376.
■ап|рл
r dx
J \X— |Pl | ж — fl2|Pl... I* — <
(fll ^я)*
8*
228 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Ц-оо
2376.1. 1 \&dx.
О
+оо
2377. ( Рт ^ dx, где Рт (х) и Рп (х) — взаимно
J Рп М
о
простые многочлены соответственно степеней тип.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие интегралы:
2378. J i!j^dx.
о
Указание. | sin х | ;> sin2*.
+« *f°°
2379. f 238°- J *p sin (q=£0).
0 0
я/2 -f-oo
2380.1. | sin (sec x) dx. 2380.2, J x2 cos (<e*) <£*:.
о о
2381. +f (q> 0).
J 1 + X*
0
, 1 \
p Sin [ X ^ j +00
2382. \ — dx. 2383. f sin xdx,
J *" J Pn(x)
о 0
где Pm (x) и P„ (x) — целые многочлены и P„(x) > 0,
если x > a > 0.
H-OO
2384. Если | f (x) dx сходится, то обязательно ли
a
f (х) -*■ 0 при х —*■ -f- оо?
Рассмотреть примеры:
-|-оо -}-оо
а) j sin (г8) dr, б) f (— l)fxrl dx.
о о
2384.1. Пусть f(x)£C™[x0, + со), \f'(x)\<C
Н-оо
при х0 < х < + оо и J |/ (x)\dx сходится. Доказать,
хс
что / (х) -> 0 При X + ОО.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 229
Указание. Рассмотреть интеграл
+оо
J t (X) f (*) dx.
Хп
2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл
I f{x)dx
а
от неограниченной функции f (х), определенной на [a, b 1,
рассматривать как предел соответствующей интегральной
Я—1
суммы £ / (£<) где *1 < & < xi+i и Ах( = xi+l—Xi?
i—0
2386. Пусть
ff(x)dx (1)
а
сходится и функция ф (х) ограничена.
Обязательно ли сходится интеграл
J f(x)y{x)dx? (2)
а
Привести соответствующий пример.
Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если
интеграл (1) сходится абсолютно?
2387. Доказать, что если J / (х) dx сходится и / (х) —
а
монотонная функция, то / (дг) = О
2388. Пусть функция / (х) монотонна в промежутке
О < х < 1 и не ограничена в окрестности точки х = 0.
1
Доказать, что если существует J f (х) dxy то
о
1
lim— у f (—} = {х) dx.
fl-мо п \ п J J
«=! О
2389. Доказать, что если функция f (х) монотонна
и ограничена в интервале 0 < х < а и существует не-
а
собственный интеграл J хр f (х) dxt то
о
Гшиср+7 (х) = 0.
*-►4-0
230 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2390. Показать, что:
a)v. p. j^ = 0; в),. p.
—I 0
+r°°
в) v. p. J sin*djt = 0.
*—oo
2391. Доказать, что при x > 0 существует
X
dl
li x — v. p. ^
ln£
о
Найти следующие интегралы:
—оо 2
2392. v. p. [ 2393. v. p.
J x2 — 3* + 2 J x In *
0 1/2
4" 00 _J-oo
2394. v. p. Г - ^-y dx. 2395. v. p. J arctg xdx.
J 14“^ ‘—0°
§ 5. Вычисление площадей
Г. Площадь в прямоугольных коорди¬
натах. Площадь S плоской фигуры АхА2ВгВх (рис. 10),
ограниченной двумя непрерывными кривыми у = ух (дг) и
У — У2 (*) (У2 (х) > Ух М) и двумя прямыми х = а и х = Ь
(а < b)t равна
6
s = I [«/a (*) — £fi (*)] dx.
а
2°. Площадь фигуры, ограниченной к р и «
вой, заданной в параметрическом виде.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 231
Если х — х (/), у = у (/) [0 ^ t ^ Т] — параметрические
уравнения кусочно гладкой простой замкнутой кривой С,
пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей
слева от себя фигуру с площадью S (рис. 11), то
т т
s *= — |г/ (О X' (/) dt = f х (t) у' (/) dt,
или
1 т
S = —\[x(t) у' (t)-x'(t)y(t)] Л.
^ о
3°. Площадь в полярных координатах.
Площадь S сектора ОЛВ (рис. 12), ограниченного непрерывной
кривой г = г (ф) и двумя полупрямыми ф = а и ф = р (а < р),
равна
5 = r3(tp)d(p.
^ а
2396. Доказать, что площадь прямого параболиче¬
ского сегмента равна
S = — Ыг,
3
где Ь — основание и /г — высота сегмента (рис. 13).
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬
данными в прямоугольных координатах *):
2397. ах = у2, ау = Xй.
2398. у = х2, х + у — 2.
2399. у — 2х—х2, х + у = 0.
2400. у = | lg jc |, у = 0, х — 0,1, х = 10.
2400.1. у = 2х, у = 2, х = 0.
2400.2. у = (* + 1)г, х = sin лу, у = 0 (0 < у < 1).
*) Все параметры в этом и следующих параграфах отдела IV
считаются положительными.
232 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2401. у = х; у — х + sin2jc (0 < х < я).
2402-^=-qЬ-’ у=°-
2403. — + -7 = 1.
а2 62
2404. I/2 = х2 (а2—*2).
2405. у2 = 2рх, 27 ру2 = 8 (*—/>)3.
2406. Ах2 + 2Вхг/ + Су2 = 1 (Л > 1, Л С—В? > 0J.
2407. if = —-— (циссоида), х = 2а.
2а — х
2408. х = а In а + ^а TL^ ^а2—^/а, у = 0 (трак¬
триса).
2409. г/2 = - (х>0; л >—2).
* (1 + л:'1+2)а ' ’
2410. у = е-д: | sin л-1, у = 0 (*>0).
2411. В каком отношении парабола у2 = 2х делит
площадь круга х2 + у2 = 8?
2112 (н). Выразить координаты точки М (х, у) ги¬
перболы х'2 — у2 = 1 как функции площади гипербо¬
лического сектора S = ОМ'М, ограниченного дугой
гиперболы М'М и двумя лучами ОМ и ОМ', где
М' (х, —у)—точка, симметричная М относительно
осп Ох.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬
данными параметрически:
2413. х = а (t—sin t), у — а (1 — cos /) (0 < / <2я)
(циклоида) и у = 0.
2414. х = 2t—t2, у = 2t2—t3.
2415. х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t — t cos ^)
(0 < / < 2я) (развертка круга) и х ~ а, у ==£ 0.
2416. х = а (2 cos t—cos 2/), у = а (2 sin t — sin 21).
2417. x = — cos31, y = — sin3 f (c2 = a2— b2) (эво-
a b
люта эллипса).
«л-» ^ i flsin21
2417.1. x = acost, y = .
u 2+sin/
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬
данными в полярных координатах:
2418. r\ — a2 cos 2ср (лемниската).
5 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 232
2419. г = а (1 + cos <р) (кардиоида).
2420. г = a sin Зф (трилистник).
2421. г = - (парабола), ф = —, ф = —.
1— cos<p v к т 4 Y 2
2422. г = - (0<е<1) (эллипс).
1 + е cos ф
2422.1. г — 3 + 2 cos ф.
2422.2. г = —, г = —!— (0<ф < —V
Ф sin ф V 2 у
2423. г = асозф, г = а(со8ф4-зтф) (м 0^65).
2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой
Ф = г arctg г
и двумя лучами ф = 0 и ф = -JL .
2424.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
г2 + Ф2 = 1.
2424.2. Найти площадь фигуры, ограниченной ле¬
пестком кривой
Ф = sin (яг) (0 < г < 1).
2424.3. Найти площадь фигуры, ограниченной ли¬
ниями
Ф = 4г—г3, ф = 0.
2424.4. Найти площадь фигуры, ограниченной ли*
ниями
Ф = г — sin г, ф = п.
2425. Найти площадь фигуры, ограниченной замкну»
той кривой
2at nt
1 + /а Y I + *
Перейдя к полярным координатам, найти площади
фигур, ограниченных кривыми:
2426. х3 + у3 = 3аху (лист Декарта),
2427. дс4 + у1 = а2 (дс2 + у2).
2428. (jc2 + у2)2 = 2а2ху (лемниската).
Приведя уравнения к параметрическому виду, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
234 ОТДЕЛ IV. определенный интеграл
2429. х2/3 + у2/3 =* а2/3 (астроида).
2430. jc4 + у4 = ах2у.
Указание. Положить у = /дс.
§ в. Вычисление длин дуг
1°. Длина дуги в прямоугольных коор¬
динатах. Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно диф¬
ференцируемой) кривой
у = у(х) (а<*<6)
равна
ъ
s = $ Vi + у'2 (*) dx.
а
2°. Длина дуги кривой» заданной пара¬
метрически. Если кривая С задана уравнениями
*=*</), y = y(t)
где *(/), у (/) € СС1) [/0, Г], то длина дуги кривой С равна
т
s = $ V*,2(0+y,a(0 it.
U
3°. Длина дуги в полярных координа¬
тах. Если
Г = Г(ф) (01<<P<P),
где г (ф) £ С(х) [а, 0], то длина дуги соответствующего отрезка
кривой равна
а
s = $ V'2 (<Р) + г'2 (ф) dq>.
а
Длины дуг пространственных кривых см. в отд. VIII.
Найти длины дуг следующих кривых:
2431. у = хш (0<*<4).
2432. у2 = 2рх (0 < jc < ха).
2433. «/ = ach —от точки А (0, а) до точки B(b, h).
2434. у = е* (0 < х < х0).
2435. х = — у2 —Inу (1 < у < е).
4 2
2436. у = а\п—t а г (0<х<&<а).
2437. у = In cos* fo < * < a<-yj.
§ б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ 235
2438. х = a In -а~ у л/а?—у2 (0<6<t/iga).
2439. у2 = ——— (О < х < — aV
2 а —х \ 3 J
2440. дс2/3 + г//3 = а2/3 (астроида).
2441. х — — cos3/, у = — sin3/, сг = a2—Ь2 (эволга-
a ь
та эллипса).
2442. х = cos4/, у = sin4/.
2443. х = a (t — sin /), у = а (1—cos /) (0 < /<2я).
2444. х = a (cos / + / sin /), у = a (sin /—/ cos /)
при 0 < / < 2я (развертка окружности).
2445. х = a (sh /—/), у = a (ch /—1) (0 < / < Г).
2445.1. * = ch3/, t/ = sh3/ (0 < / < T).
2446. r = a<p (спираль Архимеда) при 0 < <p < 2я
2447. г = aem<p (m > 0) при 0 < г < a.
2448. г = a (1 + cos <p).
2449. r= p- (|<p|<—V
1 + cos <p v 2 /
2450. f — a sin3 —.
3
2451. r = ath -2- (0 < ф < 2я).
2452. ф = + (1<кЗ).
2452.1. ф = V'7 (0 < г < 5).
2452.3. г = 1+cos/, ф = /—*g-y- (0< f < Т<п).
2453. Доказать, что длина дуги эллипса
х — <х cos t, у — b sin /
равна длине одной волны синусоиды у = с sin -j-, где
с = д/°2—^2-
2454. Парабола Аау = я2 катится по оси Ох. Дока¬
зать, что фокус параболы описывает цепную линию,
236
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2455. Найти отношение площади, ограниченной пет¬
лей кривой
»= ±(-1—*)уг,
к площади круга, длина окружности которого равна
длине контура этой кривой.
§ 7. Вычисление объемов
1°. Объем тела по известным попереч¬
ным сечениям. Если объем V тела существует и S = S (jc)
есть площадь сечения тела плоскостью, перпенди¬
кулярной к оси Ох в точке х, то
6
V = | S (х) dx.
а
2°. Объем тела вращения. Объем тела, обра¬
зованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции
a^x^bt 0 <«/<«/ (*),
где у (х) — непрерывная однозначная функция, равен
Ь
= уЦх)йх
а
В более общем случае, объем кольца, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры д < х < 6, ух (*) < у ^ у2 (*), где
У1 (*) и у2 (*) — непрерывные неотрицательные функции, равен
ь
v = Я1 [y\{x)—y\(x)\dx.
а
2456. Найти объем чердака, основание которого есть
прямоугольник со сторонами а и Ь, верхнее ребро
равно с, а высота равна /г.
2457. Найти объем обелиска, параллельные основа¬
ния которого суть прямоугольники со сторонами А,
В и а, Ь, а высота равна h.
2458. Найти объем усеченного конуса, основания
которого суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а вы¬
сота равна h.
2459. Найти объем параболоида вращения, основа¬
ние которого 5, а высота равна Н.
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S = S (р)
его поперечного сечения, перпендикулярного коси Ох,
изменяется по квадратичному закону:
S (х) = Ах2 + Вх + С [а С х < b 1,
где А, В и С — постоянные.
§ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 237
Доказать, что объем этого тела равен
V = JL |s (а) + 4S + S (6)],
где Н = Ъ—а (формула Симпсона).
2461. Тело представляет собой множество точек
М (*♦ У г 2), где 0 < г < 1, причем 0 < х < 1, 0 < y<U
если 2 рационально, и — 1 <*<0, — 1 < 0, если
г иррационально. Доказать, что объем этого тела не
существует, хотя соответствующий интеграл
1
f S(z)dz = 1.
о
Найти объемы тел, ограниченных следующими по¬
верхностями:
2462. 4 + 4 = 1> г = °-
а2 b2 а
2463. 4 + -fr + -4 = 1 (эллипсоид).
а2 с2
у-2 <i2
2464. — — = 1, 2 =
Q2 Ь2 С3
2465. д:2 + 21 = a2, #2 + 22 = с3.
2466. а2 + у2 + га = а2, х2 + у2 = а*.
2467. 2а = b (а—х), х2 + у2 = ах.
2468. -^l + -i£ = l (0 < 2 < а).
а2 г2
2469. х + у + г2 = 1, я = 0, у = 0, 2 = 0.
2470. а:2 + г/2 + 22 + + */2 + z* = а2.
2471. Доказать, что объем тела, образованного вра¬
щением вокруг оси Оу плоской фигуры
а < х < Ь, 0 < у < у (х),
где у (х) — однозначная непрерывная функция, равен
ь
Vу = 2л j ху {х) dx.
а
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями,
полученными при вращении отрезков следующих линий:
2472. у = Ь (~)2/3 (0 < х < а) вокруг оси Ох (ней-
лоид).
2473. у = 2х—х2, у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг
оси Оу.
238 ОТДЕЛ IV. определенный интеграл
2474. у — sin х, у = 0 (0 < х < я): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
/ % ч2 х
2475. у = Ъ f —J > У — b — : а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
2476. у = е~х, у = 0 (0 < л: < + оо): а) вокруг
оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2477. х2 + (у—Ь)2 — а2 (0 < а < Ь) вокруг оси Ох.
2478. х2—ху + у2 = а2 вокруг оси Ол:.
2479. у = е~х Vs'n х (0 < х < + оо) вокруг оси Ох.
2480. х = а (t—sin t), у = а (1 — cos t) (0 < /<2я),
у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг
прямой у = 2а.
2481. х = a sin3/, у = b cos3/ (0 < / < 2я): а) во¬
круг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2481.1. Найти объем тела, образованного вращением
площади петли кривой х = 21—t2, у = 4/—t3 вокруг:
а) оси Ох; б) оси Оу.
2482. Доказать, что объем тела, образованного вра¬
щением вокруг полярной оси плоской фигуры
0^а<ф<р<я, 0<г<г(ф)
(ф и г — полярные координаты), равен
V = “Т /г3 Sin ф
Найти объемы тел, образованных вращением плоских
фигур, заданных в полярных координатах:
2483. г = а (1 + cos ф) (0 < ф < 2я): а) вокруг
полярной оси; б) вокруг прямой г cos ф =
2484. (х2 + у2)2 = а2 {х2—у2): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = х.
Указание. Перейти к полярным координатам.
2484.1. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной полувнтком спирали Архимеда
г = аф (а > 0; 0 < ф < я),
вокруг полярной оси.
2484.2. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями: ф = л а3, ф = я, во¬
круг полярной оси.
2485. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры а < г <; а л/2 sin 2ф вокруг полярной оси.
$ 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 239
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой
кривой А В вокруг оси Ох, равна
В
Р = 2я Г | у | ds,
А
где ds — дифференциал дуги.
Найти площади поверхностей, образованных враще¬
нием следующих кривых:
2486. у = х y\J — (0 < х < а) вокруг оси Ох.
2487. у = аcos-^- (1*1 <&) вокруг оси 0хй
26
2488. у — tgx^O < х < вокруг оси Ох.
2489. у2 = 2рх (0 <s£ х < х0): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
2490. 1 (0< 6<а); а) вокруг оси Одг;
б) вокруг оси Оу.
2491. х2 + (#—Ъ)2 = а2 (6 > а) вокруг оси Ох.
2492. х2'3 + //3 = а2/3 вокруг оси Ох.
2493. г/ = ach — (| х | < &); а) вокруг оси Ох; б) во-
а
круг оси Оу.
2494. ± х = a In aJr ^а— л/а2 — у2 вокруг
У
оси Ох.
2495. х = a (t — sin t), у = а (1 — cos /) (0^ /<2я);
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой
У = 2 а.
2496. х = a cos3/, у — a sin3/ вокруг прямой у =* х.
2497. а = а (1 + cos ф) вокруг полярной оси.
2498. г2 = a2 cos 2ф: а) вокруг полярной оси; б) во¬
круг оси ф = —; в) вокруг оси ф = —.
2 4
2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фи¬
гуры, ограниченной параболой ау = а2—х2 и осью Ох,
240
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Найти отношение поверхности тела вращения к поверх¬
ности равновеликого шара.
2500. Фигура, ограниченная параболой у2 = 2рх и
прямой х = р/2, вращается вокруг прямой у = р.
Найти объем и поверхность тела вращения.
§ 9. Вычисление моментов.
Координаты центра тяжести
1°. Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотно*
сти р = р {у) заполняет некоторый ограниченный континуум
Q (линию, плоскую область) и со = со (у) — соответствующая
мера (длина дуги, площадь) той части континуума Q, ординаты
которой не превышают у, то k-м моментом массы М относительно
оси Ох называется число
п
мк= lim Z Р Ю у?Дш 00 = f {у) (Ь = о, 1, 2. ...),
шахДу^О 4__j д
j-де Дyi = tji—yi-1 и Дш (yi) = to (уй — со
Как частные случаи, получаем при к = 0 массу М, при
k = 1 — статический момент, при k = 2 — момент инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно
координатных плоскостей.
Если р — 1, то соответствующий момент называется гео¬
метрическим (момент линии, плоской фигуры, тела и т. д.).
2°. Ц е н т р тяжести. Координаты центра тяжести
(x0f Vii) однородной плоской фигуры площади S определяются
по формулам
Ж}*'
где М\у\ М — геометрические статические моменты фигуры
относительно осей Оу и Ох.
2501. Найти статический момент и момент инерции
дуги полуокружности радиуса а относительно диаметра,
проходящего через концы этой дуги.
2501.1. Найти статический момент дуги параболы
у2 = 2рх (0 < х < р/2)
относительно прямой х = р/2.
2502. Найти статический момент и момент инерции
однородной треугольной пластинки с основанием Ь
и высотой h относительно основания (р = 1).
2502.1. Найти моменты инерции 1Х = М^] и Iy = М^
относительно осей Ох и Оу параболического сегмента,
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ
241
ограниченного кривыми
ау = 2ах — х2 (а > 0) и у = 0.
Чему равны радиусы инерции гх и ryt т. е. величины,
определяемые соотношениями
/.«Si, Iu = Srl,
где S — площадь сегмента?
2503. Найти моменты инерции однородной эллипти¬
ческой пластинки с полуосями а и Ь относительно ее
главных осей (р = 1).
2504. Найти статический момент и момент инерции
однородного кругового конуса с радиусом основания г
и высотой h относительно плоскости основания этого
конуса (р = 1).
2504.1. Найти момент инерции однородного шара
радиуса R и массы М относительно его диаметра.
2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь
поверхности, образованной вращением плоской дуги С
вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости
дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину
окружности, описываемой центром тяжести дуги С.
2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем
тела, образованного вращением плоской фигуры S во¬
круг не пересекающей ее оси, расположенной в плоско¬
сти фигуры, равен произведению площади S на длину
окружности, описываемой центром тяжести этой фи¬
гуры.
2507. Определить координаты центра тяжести кру¬
говой дуги: х = a cos ф, у = a sin ф (| ф| < а *£ я).
2508. Определить координаты центра тяжести об¬
ласти, ограниченной параболами ах = у2, ау =
= х2 (а > 0).
2509. Определить координаты центра тяжести об¬
ласти —+ — < 1 (0 < х < а, 0 < у < Ь).
а* Ь*
2510. Определить центр тяжести однородного полу-
шара радиуса а.
2511. Определить координаты центра тяжести
С (Фо» /о) ДУГИ ОР логарифмической спирали г =
= ает® (т > 0) от точки 0 (— оо, 0) до точки Р (ф, г).
Какую кривую описывает точка С при движении
точки Р?
2512. Определить координаты центра тяжести об¬
ласти, ограниченной кривой г = а (1 + cos ф).
£12
ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2513. Определить координаты центра тяжести об¬
ласти, ограниченной первой аркой циклоиды х =
= а (/ — sin /), у = а (1 — cos /) (0 < / < 2л) и
осью Ох.
2514. Определить координаты центра тяжести тела,
образованного вращением площади 0 < х < а; у2 < 2рх
вокруг оси Ох.
2515. Определить координаты центра тяжести по¬
лусферы х2 + у2 + г2 = а2 (г > 0).
§ 10. Задачи из механики и физики
Составляя соответствующие интегральные суммы и на*
ходя их пределы, решить следующие задачи:
2516. Определить массу стержня длины I — 10 м,
если линейная плотность стержня меняется по закону
6 = 6 + 0,3* кг/м, где х — расстояние от одного из
концов стержня.
2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело
массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой R,
на высоту к> Чему равна эта работа, если тело удаляется
в бесконечность?
2518. Какую работу надо затратить, чтобы растя¬
нуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс ра¬
стягивает эту пружину на 1 см?
Указание. Использовать закон Гука.
2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен
паром под давлением 10 кгс/см2. Какую работу надо
затратить, чтобы уменьшить объем пара в два раза, счи¬
тая, что температура пара остается постоянной?
2520. Определить силу давления воды на вертикаль¬
ную стенку, имеющую форму полукруга радиуса а, диа¬
метр которого находится на поверхности воды.
2521. Определить силу давления воды на вертикаль¬
ную стенку, имеющую форму трапеции, ннжнее осно¬
вание которой а = 10 м, верхнее Ь = 6 м и высота
h = 5 м, если уровень погружения нижнего основания
с = 20 м.
Составляя дифференциальные уравнения, решить сле¬
дующие задачи:
2522. Скорость точки меняется по закону:
v — Уо + at.
§ 10. ЗАДАЧИ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
243
Какой путь пройдет эта точка за промежуток вре¬
мени Ю, Т ]?
2523. Однородный шар радиуса R и плотности в
вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью
со. Определить кинетическую энергию шара.
2524. С какой силой притягивает материальная бес¬
конечная прямая с постоянной лннейной плотностью fi0
материальную точку массы т, находящуюся на расстоя¬
нии а от этой прямой?
2525. Определить, с какой силой притягивает круг¬
лая пластинка радиуса а и постоянной поверхностной
плотности 60 материальную точку Р массы т, находя¬
щуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки, про¬
ходящем через центр ее Q, на кратчайшем расстоянии
PQ, равном Ь.
2526. Согласно закону Торичелли скорость истече¬
ния жидкости из сосуда равна v = с д/2 gh, где g
ускорение силы тяжести, h — высота уровня жидкости
над отверстием и с = 0,6 — опытный коэффициент.
В какое время опорожнится наполненная доверху
вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D = 1 м
и высотой Я = 2 м через круглое отверстие в дне диа¬
метра d = 1 см?
2527. Какую форму должен иметь сосуд, представ¬
ляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня
жидкости при истечении было равномерным?
2528. Скорость распада радия в каждый момент вре¬
мени пропорциональна его наличному количеству.
Найти закон распада радия, если в начальный момент
/ = 0 имелось Q0 граммов радия, а через время Т =
= 1600 лет его количество уменьшится в два раза.
2529. Для случая процесса второго порядка скорость
химической реакции, переводящей вещество А в ве¬
щество В, пропорциональна произведению концентра¬
ции этих веществ. Какой процент вещества В будет
содержаться в сосуде через t — 1ч., если при / = 0 мин.
имелось 20 % вещества В, а при t = 15 мин. его
стало 80 %?
2530. Согласно закону Гука относительное удлинение
е стержня пропорционально напряжению силы 0 в со¬
ответствующем поперечном сечении, т. е. г = о!Е% где
Е — модуль Юнга.
Определить удлинение тяжелого стержня конической
244 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
формы, укрепленного основанием и обращенного вер¬
шиной вниз, если радиус основания равен R, высота
конуса Н и удельный вес у.
§ 11. Приближенное вычисление определенных
интегралов
1°. Формула прямоугольников. Если функ¬
ция у = у (х) непрерывна и дифференцируема достаточное число
b — й
раз на конечном сегменте [а, Ь\ и h = »*t- +ih (t=0,
п
1, • • • , л). У{ = У М, то
ь
j у (дс) dx = А (i/o + (/!+... + «/„_!) + /?„,
а
где
/?„=—■~2а)Л У' (I) (в<| <ft).
2°. Ф о р м у л а трапеций. При тех же обозначе¬
ниях имеем:
а
j у (*) dx= h -f ^ + Rn,
где
Яя =, (V) <«•
3°. Параболическая формула (формула
Симпсона). Полагая я = 2/г, получим:
г А
j у (х) dx = — [((/о + Уг)д + 4 (Ух + Уз + . . . + </2*-i) +
а 3
+ 2 (у2 + У\ + . . . + Уък-ъЛ +
где
2531. Применяя формулу прямоугольников (л = 12),
приближенно вычислить
2я
J xslnxdx
о
н результат сравнить с точным ответом.
С помощью формулы трапеций вычислить интегралы
и оценить их погрешности, если:
1 I
2532. j (п = 8). 2533.
О о
dx
1 + х3
(гг = 12).
§ И. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 245
Я/2
2534. Г л/1 j- sin2 х dx (п = 6).
о
С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:
9
2535. | л/х dx (я = 4).
я
2536. J + cos х dx(n = 6).
о
я/2
2537. j -^y-dx (n = 10).
О
1
2538. f —— {п = 6).
J 1в(1 + *)
О
2539. Принимая п = 10, вычислить константу Ка-
талана
1
G = ^^-dx.
о
I
2540. Пользуясь формулой — = Г ———, вычис*
4 J I + х2
о
лить число я с точностью до 10"5.
I
2541. Вычислить J e^dx с точностью до 0,001.
о
1
2542. Вычислить J (е* — 1) In — dx с точностью
до 10-4.
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл ве-
роятностей J e~*‘dx.
о
2544. Приближенно найти длину эллипса, полуссп
которого а = 10 и b = 6.
2545. Построить по точкам график функции
X
y = \^T~dt
и
приняв Ах — я/3.
ОТДЕЛ V
РЯДЫ
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1°. Общие понятия. Числовой ряд
tfl + <*2 + • * • + ап + * • • = J] ап (1)
п=1
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim Sn = S (сумма ряда),
П-* оо
где Sn ~ аг + а2 + . . . + ап. В противном случае ряд (I)
называется расходящимся.
2°. Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) не¬
обходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
число N =* N (г) такое, что при /1>УУир>0(ли р — нату¬
ральные числа) было выполнено неравенство
п+р
£ а*‘
<е.
I $п+р — I —
i=n+l
В частности, если ряд сходится, то
lim ап = 0.
П-+ оо
3°. Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (I),
имеем ряд
Ь\ + Ь2 + . . . + Ьп + . . . (2)
Если при п nQ выполнено неравенство
О <ал<6д>
то 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); 2) из
расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
В частности, если ап ~ Ьп при п -► оо, то ряды с знакопо¬
ложительными членами (I) и (2) сходятся или расходятся одно¬
временно.
§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 247
4°. Признак сравнения II. Если
Ш'1’
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р ^ 1 расходится.
5°. Признак Даламбера. Если ап > О (я* 1,
2, . . .) и
lim _£n±i_ _ q<
п~> ж> ап
то а) при q < 1 ряд (I) сходится и б) при q > 1 расходится.
6°. Признак Коши. Если ап > 0 (п = 1, 2, . . . )и
lim УаЦ = q,
П-+ ОО
то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q > 1 расходится.
7°. Признак Раабе. Если ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и
lim п (—— Л — р,
п-+эо \ an+i )
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р < I расходится.
8°. Признак Гаусса. Если ап > 0 (п = 1,2,.. .) и
ап 1 I И- I ®Г2
н ■*—НгГ*
*п+! л Л +
где | 0Л | < С и е > 0, то а) при X > 1 ряд (1) сходится и б) при
X < I расходится; в) при X — 1 ряд (1) сходится, если р. > 1,
и расходится, если ц ^ 1.
9°. Интегральный признак Коши. Если
f (*) (х ^ 1) — неотрицательная невозрастающая непрерывная
функция, то ряд
оо
Ем*)
п—1
сходится или расходится одновременно с интегралом
j f(x)dx.
Доказать непосредственно сходимость следующих
рядов и найти их суммы:
2547-(т+т)+(^+^)+---
*) Значение символа О* см. отдел I, § 6, 1°.
248 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2548.- + —+-^-+.. ' 2п~]
2 2* 23 2п
2549. -JL-H —+- ' ' 1
1-2 2-3 3-4 «(«+1)
2550. — + — + • • • Н ! + . . .
1-4 4-7 (Зл — 2) (Зл + 1)
2551. a) flsina + <72sin 2а + . . . + qn sin /га + . . . ;
б) д cos а + q2 cos 2а +. . . + qn cos па + ...
(19 К1).
оо
2552. £ (УМ1^— 2 V«+T + V«).
«= I
оо
2553. Исследовать сходимость ряда sin л*.
п=I
Указание. Показать, что при jc Ф kn (k — целое) невоз¬
можно, чтобы sin пх 0 при гс -►оо!
оо
2554. Доказать, что если ряд][]ая сходится, то ряд
п=1
ос ^л+г^1
£ Л,„ где Л„ *= X a£ (Pi=l. Pi<Pi<> -
п=I
полученный в результате группировки членов данного
ряда без нарушения порядка следования их, также
сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; при¬
вести пример.
оо
2555. Доказать, что если члены ряда X ап положи-
п—1
оо
тельны и ряд£ Ап, полученный в результате группи-
П=1
ровки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также
сходится.
Исследовать сходимость рядов:
2556. 1 — 1 + 1 —1 + 1 —1 + . . .
2557. 0,001 +УШГ + >/(ЩГ + . ..
2558. ——I- ——(- ———}- ,
1! 2! Э! я! ‘
2559. l+-I- + -i- + J-+...+-^_^+...
3 5 7 2п — 1
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 249
2бб°* 1ооГ+ 2001 3001 + • * • + 1000л + 1 "**''1
2561. J+-L+-L+...+
2562. 1+ — +
3s 52 ^ (2п — 1)г
2563. 1 1.1,
V2 2л/з 3-1/4
. . . +
2564. — 1=- +
Vl-3 V 3-5
л V<> + 1
• • • + 4* • • •
V(2rt — 1) (2«+ 1)
2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам
арифметической прогрессии, расходится.
ОО 00
2566. Доказать, что если рядыХап(Л) и /)Л(В)
/1=1 П—1
оо
сходятся и ап<с„ (я=1, 2, ...), то ряд£с„ (С) также
n=i
сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (С),
если ряды (А) и (В) расходятся?
2567. Пусть даны два расходящихся ряда
оо оо
2 ап и £ Ьп с неотрицательными членами.
П = 1 /2=1
Что можно сказать о сходимости рядов:
оо оо
а) 2 min (ап, Ьп) и б) £ шах (ап, Ь„)?
/1 = 1 /1=1
00
2568. Доказать, что если ряд £ а„ (<з„ > 0) сходится,
Л=1
ОО
то ряд X ап также сходится. Обратное утверждение
П= 1
неверно; привести примеры.
оо оо
2569. Доказать, что если ряды£ а2п и £ Ь2п сходятся,
/1 = 1 1
то сходятся также ряды I
Л=1
£50 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2570. Доказать, что если lim пап = а Ф 0, то ряд
П-+ЭО
оо
X ап расходится.
П=1
2571. Доказать, что если ряд £ ап с иоложитель-
п=1
ными и монотонно убывающими членами сходится, то
lim nan = 0.
fl—►оо
2572. Является ли сходящимся ряд ап, если
П~\
lim (ап+1 +
&п+ 2 • • • "f* +р) — 0
П-* оо
при р = 1, 2, 3, . . .?
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих рядов:
^-+ . . . + —
10 10"
sin дг . sin 2л: , , sin па:
2574. ....
2 22 2я
cos х — cos 2х . cos 2* — cos Здг
2575.
2
cos лх — cos (n + 1) *
2575.1. ...
I2 22 n2
Указание. Использовать неравенство
1 . 1 1 I 0
■ ^ " — — ■ (л — 2, 3, • * .).
Л* ft(n— 1) fl — 1 fl
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
следующих рядов:
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 251
Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или
Коши, исследовать сходимость рядов:
0-_0 1000 . 1000* 10003 . 1000" ,
аО/О. ■' ~ -—• —J-* щ л в
11 21 1 31 п!
2579. J!lL + ^_+...+J2DL+...
21 4! (2л!)
1! , 2! ,3! /г!
2580.
2581. а)
1 22 З3 1 пп
2-11 , 22*21 , 23*31 .
I 22 З3
2 Пп\
3-11 . З2 ■ 21 , З3 • 31
о)
> 1 * 22 З3
3я л!
2582. (1!)2 -l -(2!)- -l (302 _l _L (*02
2 24 2° 2п1
2583 1000 + 1000-1001 , 1000-1001-1002 ,
1 1-3 1-3-5 ’
2584. 4 ' 4'7 ’ 4‘7-10 ’
2 2-6 2-6-10
2585. £ (Jl— Vf) , . .
... (л/2 -г"+Н).
ОО
2585.1. £а„,
П — 1
где
(l/л, если м = т2,
ап= { л/ , . 2 (т— натуральное число).
п [1/м2, если пфт2 ' 1
2585 - ^ ™ sin"ka
5.2.
1 + х2 + cos2 ка
п^= 1 k=\
2586.
V ■ 2587. V
\ / 1 \л \ / , 1 V
252 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2588.
V ^ 2589' У "”~1 -.ТВ- •
L ушг к (2пг+я+1) + /
п=2
2589.1. У 2589.2.
Lt 2« + 3'1 Zj \ я+ 1 У
2590. V2+V2 —V2 + Л/2— л/2 + д/2" +
+ /\/ 2 — д /2 + 2 + . . ♦
/ jy
Указание. У 2 « 2 cos — •
4
2591. Доказать, что если
lim
а-»- оо ^
lim -^- = q (а„>0),
то ап = о (q?), где qx > <7.
2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда
ОО
£ ап (ап > 0) выполнено неравенство
0=1
в'1*1 < р< 1 при п > л0.
Доказать, что для остатка ряда
= ^п+1 ^п+2 “Н ...
имеет .место оценка
г. Оп~п.,+1
Rn < a-i0 -1- . если п > п0.
1 —р
оо
2591.2. Сколько членов ряда ^ , где [(2я)!!]2=
п=1
= 2-4 ... 2л, достаточно взять, чтобы соответствую¬
щая частная сумма Sn отличалась от суммы ряда S
меньше, чем на £ = 10“в?
2592. Доказать, что если ШтГ а>141 ■ =q<. 1 (а„>0),
п-уоо йп
то ряд 2 ап сходится.
§ !. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 25Э
Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример
— + —+ —Н—— + — + J—b .. .
2 3 2а За 2а З3
00
2593. Доказать, что если для ряда 2а«(ап>0)
П— 1
существует
J3/1+1
П—►оо
то существует также
lim —"+1- =<7, (А)
п—►оо йп
п
п-+оо
lim Уап =<?. (Б)
Обратное утверждение неверно: если существует
предел (Б), то предел (А) может и не существовать*
Рассмотреть пример
z
3+(-!)п
2л+1
Л=1
2594. Доказать, что если lim \^ап =q (а„ > 0),
П-^-оо
оо
то а) при q < 1 ряд £ ап сходится; б) при q>\ этот
п=Л
ряд расходится {обобщенный признак Коши).
Исследовать сходимость рядов:
2595. V ■2+(~1)/> . 2596. V a cos2 «я/3
Z_i 2я Zj 2я
л—1 л=1
„з [У2 + ( - 1)"]"
зп
п—1
2597.1. у/- ! +
Z-j \ 2 + cos я /
п= 1
Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать
сходимость следующих рядов:
2598- (тУ+(ттУ+(тйг)'+
254 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
а . а (а + d) . а (а + d) (Ь + 2d)
2599.
Ъ (b + d) b(b + d)(b+ 2d)
(а>О, Ь>0, d>0).
2600.
/ А ПП+Р
л=1
I
(2+ VO(2+ V2) . . . (2 +V»)
. у ^ (<7>о).
Z-. </(<? + !).. .(?+п)
4=1
2602
«=1
Р (Р + 1) • • . (р + п — 1) 1
2603. У -
Zj nl П.Я
П = 1
2604. УГ ■-3-»- • У. -L.
L 2-4*6 . . . (2л) J пЯ
п—1
2605(h). VT.Pfr+l)- • -(Р + п-1) Т(р>о ?>о),
w LA. «(9 +1) • • •(<?+«-1) J ;
/1=1
2606 (н). Доказать, что если для знакоположитель-
оо
ного ряда Yi ап (°л > 0) ПРИ п 00 выполнено условие
П=1
^__i + i+„C±.y
flrt+1 « \ п J
а„=0(—!—V
\ ЛР « /
то
где е > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то
а„ | 0 при п ->• оо, т. е. а„ при п > п0. монотонно убы¬
вая, стремится к нулю, когда п-> оо.
Определив порядок убывания общего члена ani ис-
оо
следовать сходимость ряда £ а„, если
П=1
§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 255
2607. an=-nP + ainP~1+ :••+**, Где +
пЧ-\-Ь1п9-^+ . . . + &„
+ I-f- . . . 4-£>9>0.
2608. а„=——sin —.
пр п
2609. ап— (л/п+Т—JT)P In n~1- (n> 1).
n + 1
2610. an = lnp ^sec —) .
2611. an = log^n ^1 + (°>°- b>°)-
2612. a„=[e-(^l + -i-yjp.
2613. an = ! . 2614. a„ = —.
„l+ft/In n " nl+l/n
2614.1. Доказать признак Жамэ: знакоположитель-
оо
иый ряд Yj ап (ап > 0) сходится, если
п=1
(l — уЧ,)—>р>1 при п>«0»
4 'In п
и расходится, если
(l — Van) ~r— < I ПРИ n>n0.
4 J In n
oo
2615. Доказать, что ряд £ an(an>0) сходится,
я=|
in —
если существует a > 0 такое, что —— >1+апри
In п
InJ-
п > п0, и расходится, если — < 1 при п> п0 (ло-
In я
гарифмический признак).
Исследовать сходимость рядов с общим членом!
2616. а„ = л1"х (х>0).
256 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
ГТоаьзуясь интегральным признаком Коши, иссле¬
довать сходимость рядов с общим членом:
2619. ап=—l— (n> 1).
п \пр п
2620. ап= (п> 2).
п (In п)Р (In In п)» '
2620.1. Исследовать сходимость ряда
In 2- In 3 . . . In (п 4- 1)
1° (2 + i
n=I
In 2- In 3 . . . In (n 4- 1) (o>0).
In (2 -}- p) In (3 4 p) . • . In (/i 4* 1 "1" P)
2620.2. Исследовать сходимость ряда ^ , где
Л=1
v (п) — число цифр числа п.
2620.3. Пусть А,„ (п =* 1, 2, , . .) — последователь¬
ные положительные корни уравнения tg х = х.
оо
Исследовать сходимость ряда £ XZ2-
П*= 1
2621. Исследовать сходимость ряда ) —
/ J In
п= 2
(п\)
2622. Доказать, что ряд £ ап с положительными
П= I
монотонно убывающими членами сходится или расхо-
оо
дится одновременно с рядом £ 2пагп.
п=0
2623. Пусть f (х) — положительная монотонно не-
возрастающая функция.
оо
Доказать, что если ряд 2 f (п) сходится, то для
П =1
остатка его
Rn= £ f(k)
k=n+1
справедлива оценка
f f(x)dx<Rn<f(n + \)+ j f(x)dx.
n-H n+l
§ 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 257
«о
Пользуясь этим, найти сумму ряда У —— с точ-
п®
Л—1
иостью до 0,01.
2624. Доказать признак Ермакова: пусть f (х) — по¬
ложительная монотонно убывающая функция и
lim «1.1
ДС-►ос [ (х)
оа
Ряд X! f (п) сходится, если Х<1, и расходится,
П—1
если Я, >• 1.
оо
2625. Доказать признак Лобачевского: ряд £ а„ с по-
П—\
ложительными и монотонно стремящимися к нулю чле¬
нами сходится или расходится одновременно с рядом
00
£ рт2~т, где рт — наибольший номер членов ап,
т=0
удовлетворяющих неравенству
^ 2 т (ti= 1, 2, , . * , рт).
Исследовать сходимость следующих рядов!
оо
2626. У V^+2-V^=Lt
L-k л«
л=2
оо
2627. £!(Уп+а—{/яа + /1 + й).
Л=1
2628. f (ctg -Л2 sin -пк—).
\ Ап — 2 2п+\ J
П—1
■ 10г-л/^¥)-
п=I
У ln(n!).t 2631.
па n=l
2629
п=I
^ „ s
2630.
П=1
2632. £ n*e_V"
rz=l
9 Б. П. Демидович
258 ОТДЕЛ V РЯДЫ
2635
оо / 1 \ оо a In n-f &
У ( п п1+‘ _ 1 ). 2634, £ е ‘ “> *+Г.
гхЙ 4 ' я=1
оо
. у^—-—.
/1=1
2636. У (cos-2-)"’.
n-=l
ch —
2637. \ In '
I
Л
COS ■
п
/2=3
2638. 4 п] л£,°л ^ "Тг"
У —2639. У
Zj nv,‘ Zj (In")'1
я=1 n=2
со
2640. W'1 + cl/n ) (a>0, 6>0, c>0),
л =1
со
2641. £(>“—l).
CO
2642. V [in — Infsin-i-YL
Z-J L \ П» )\
n = I
со
2643. X! a_ <s ,n n+<:lnl n) (a>0).
« = 1
У Г (a>0. b>G),
Lu (rt-\-a)n+b (n + b)n+a v '
/1=1
2645. y_J!i±W_.
Z-i 21-41 . (2n)\
n = I
со
E
«=1
2644.
/1=1
n=i
Исследовать сходимость рядов £ со следующими
n=i
общими членами:
уп _
>• —
§ 2. ПРИЗНАКИ сходимости. 259
1 /п
2646.
о
2647. ип= 1- .
п.А г
j ■/ \ + л;4 dx
о
(rt-fl) я
2648. ий= j
пя
/И- I
264Э. u„= J е~Ых dx.
П
71/П
sin3 х
2G50. а,- \
; + *
о
Г sir
Мп= )Т-
1! + 2! + . • . + л'
2652. ип= 4-1
Ё ln2ft
tla
Заменив последовательности (/г = 1, 2, . . .) со¬
ответствующими рядами, исследовать сходимость их,
если:
2653. хп= 1 + —1— + . . . +—1— — 2У/7.
д/2
2654. xn=f-^
L* Ь 2
*=1
2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы
иайти его сумму с точностью до 10-5, если
а) V-L. б) В) V L
Li п* ' Z-i (n+l)l La (2л-
1)1
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
I9. Абсолютная сходимость ряда. Ряд
Е а» (1)
12=1
9*
260 ОТДЕЛ V РЯДЫ
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
ОО
1>л|- (?)
/1=1
В этом случае ряд (I) также сходится. Сумма абсолютно сходя¬
щегося ряда не зависит от порядка слагаемых.
Для определения абсолютной сходимости ряда (I) достаточно
применить к ряду (2) известные признаки сходимости для знако¬
постоянных рядов.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) на¬
зывается условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно
сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сде¬
лать равной любому числу (теорема Римана).
2°. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
*1-62+63-*4+ • • • +(-1)"-1*п+ • « •
(Ьп^ 0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если
а) Ьп > Ьп+г (п = 1, 2, . . .) и б) lim Ьп = 0. В этом случае
П-+ ОО
для остатка ряда
Rn = (- 1)" ьп+1 + (- 1 )"«&„+, + . . .
имеем оценку
Rn = ( - 1)" Qnbn+1 (О<0„<1).
2°. Признак Абеля. Ряд
£ (3)
п=1
оо
сходится, если: 1) ряд ап сходится; 2) числа Ьп(п = 1,2,...)
п=\
образуют монотонную и ограниченную последовательность.
4°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если:
п
1) частичные суммы Ап= ограничены в совокупности;
t= I
2) Ьп монотонно стремится к нулю при п оо.
2656. Доказать, что члены не абсолютно сходяще¬
гося ряда можно без перестановки сгруппировать так,
что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.
оо
2657. Доказать, что ряд является сходящимся,
л=1
если выполнены условия: а) общий член этого ряда а„
оо
стремится к нулю при п -> оо; б) ряд £/4п, получен-
П = 1
ный в результате группировки членов данного ряда
без нарушения их порядка, сходится; в) число слагав-
§ 2 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 261
рп+1”1
мых ait входящих в член Ап = £ я,- (l=Pi<P2<« • •)»
i=Pn
ограничено.
2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не из¬
менится, если члены этого ряда переставить так, что ни
один из них не удаляется от своего прежнего положе¬
ния больше чем на т мест, где т — некоторое заранее
заданное число.
Доказать сходимость следующих рядов и найти их
суммы:
2659. 1 - + - - + . . .
2 4 8
2 4 8 16 32
2661. 1 --f- L +J L+ . . .
2 3 4 o 6
Указание. Применить формулу 1 Ч—+ . . . Ч—“=
*= С + In п + ел, где С — постоянная Эйлера и lim ей = 0.
Я->оо
оо
2662. Зная, что ^ —-~т~ ^ = 1п 2, найти суммы ря-
П= 1
дов, полученных из данного в результате перестановки
его членов:
а) 1 -|— — __—[_ ___ —\- . . .
а; 1 -j j f — -
3 2 5 7 4
И
2 4 3 6 8
пя+i
——±_— переста-
Vп
/1=1
вить так, чтобы он стал расходящимся.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2664. f (-'>"<2^1.
/ j 2п
262 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2665.
In + 100 V»
*+i
я= 1
2666. 1 + —+ - ! -Ь
2 3 4 5 6 7
2666.1. Пусть
+ —+ -1 . . .
8 9
Е (-!)"&„, (1)
п=1
где Ьп > 0 и Ьп -+■ 0 при п -*■ оо. Следует ли отсюда,
что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример
%-г2±1=Х..
/1 = 1
2667. £ J^5_sl-n_2£L. 2668. —
tel
ос
V (_1)« —.
Lj п 4- 100
г,—\
у (- 0"
Vл + (—
tel П=1
2669.
Л = |
2670. У —
1)"
П~1
ОО
2671. £ sin (я Vn* +*2 ).
П — I
ОО
/_ i\[V«l
2672 ' ( '
п
п=1
I
П=|
2673.1. V —— cos яп*
In2 п п + 1
/1=2
§ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
263
2674. Доказать, что знакочередующийся ряд
Ь\ — ^2 + ^3 — ^4 • ♦ • +(—
сходится, если
-r-=l + —+°(-L)’
Ьп+1 П \ п )
где р > 0 (см. 2606 (н)).
Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную
сходимость следующие ряды:
2675,
оо
2677.
п=2
ОО
оо
с»
п=\
п~ 2
оо
2681.
п=1
ОО
ПК
2682,
оо
оо
п — I
оо
2685.
л=1
264
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Znn оо
sin 1 у ^
—. 2687. V
Inn L-t
ii = l
11=2
оо
•I
2686.
П =2
11
пР
Ч — \
/ ППпя1
2688 * л 1
п=1
2689. V ( —1у—Г '-3-5- • ■»-" V.
Zj L 2-4-6 . . .(2л) J
а —1
2690. V .sin-^in“*-, 2691. £sinм2.
/ j П п=1
ч = I
Указание. Доказать, что lim sin п2 0.
п—>оо
2692. Пусть
£ , V _ (ТрдеР + ai^-1 + • • • +Ор
ЬахА + ЬгХ^~1 + . . . + bq
•— рациональная функция, где а0 Ф 0, Ь0 Ф 0 и [Ь^х? +
+ bxxf>~1 + . . . + bq | > 0 при х > п0.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
ряд
£ (-1 YR(n).
п= По
Исследовать сходимость рядов:
2693. -! 1--\— — —+ . . .
\Р W ЗР 4« 5Р W
2694. 1 +
2695. 1 +
2696. 1 —
J L4._L.4-J L +
3Р 2Р Ь» 7р 4 Р
ir-ir+ir+-ir-ir+ir+
+-пг--^+
i-+-ir+ir-ir+ir+
+ir-i-+ir+
§ 2 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 265
2697. Доказать, что ряды
sin 2* , sin3*
2 3
cos 2х . cos Зх
а) sin х -
б) cos х ■
i 6
не абсолютно сходятся в интервале (0, л).
2698. Для рядов
оо оо
Zcos пх V1 sin пх /Г\ ^ ^ \
п=1 п=1
определить для совокупности параметров (р, х): а) об¬
ласть абсолютной сходимости; б) область неабсолютной
сходимости.
2698.1. Исследовать сходимость рядои
а) V (—1)"У^Г ,
In п 1
б)
I
/1=2
оо
ZsirYrt-l —^ ОО
— .п.тпГ В) Z 7
п=1Л
+ 10 sin /г
Г2=10
2699. Для ряда
Пп-i (1 + P)(2+P) • • • (п+ р)
nlno
П—\
определить: а) область абсолютной сходимости; б) об¬
ласть условной сходимости.
2700. Исследовать сходимость ряда
ОО
1C)
где
о-
о = 1
m(rn — 1) . . . (т —/г+ 1)
п\
2701. Если ряд £ ап сходится и
«—I
lim — = 1,
П—►оо йл
266 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
00
то можно ли утверждать, что ряд £ Ьп также схо-
П=1
дится?
Рассмотреть примеры
у <-!!• и у +л-1
Z-i Vя L-! L V« ” J ’
/1=1 Я=1
сю
2702. Пусть 2 — не абсолютно сходящийся ряд и
п=1
п
РП = £_!£i!±£L, tfe = £J«L-«
<=| i=i
Доказать, что
lim -^- = 1.
П-* 00 Рп
2703. Доказать, что сумма ряда
Г
пР
п=\
для каждого р > О лежит между у и 1,
2703.1. Сколько членов ряда следует взять, чтобы
получить его сумму с точностью до е = 10'®, если:
а) У J-»"1- , б) У.™£1.
Lmk Vft2+ 1 LU V71
n=1 rt=I
2704. Доказать, что если члены ряда
1-1- + -!—!-+-!—...
2 3 4 5
переставить так, чтобы группу р последовательных по-
ложительных членов сменяла группа q последователь¬
ных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет
In 2 + — In —.
2 q
2705. Доказать, что гармонический ряд
1,1,1
§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 267
останется расходящимся, если, не переставляя его чле¬
нов, изменить знаки их так, чтобы за р положитель¬
ными членами следовало бы q отрицательных (р ф q).
Сходимость будет иметь место лишь при р = q.
§ 3. Действия над рядами
Сумма и произведение рядов. По опреде¬
лению полагают:
ОО оо оо
а) а* ± X = ± Ьп)>
Л —I Я = 1 /1= 1
оо оо оо
б) ^ Я/i ^ bn в 2 сп%
ГС=I П=1 /1 — 1
где
+ a2bn-\ + . . . + anbi.
Раоенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда
оо оо
ап и £ Ьп сходятся, а равенство б) —если, сверх того, по
n= I П=1
меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно.
2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из ко¬
торых а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба
ряда расходятся?
2707. Найти сумму двух рядов:
п—1 п~\
Найти суммы следующих рядов:
/2 = 1
оо
2709. ^
2 пл
cos
2п
п=\
л=0
2711. Показать, что ^
п\
п= 0 п=0
(-,)л =1.
268 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
(ОО Ч ■<* оо
Ия") = £(л+1)<7п (1?1<1)*
л=0 / п=О
2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда
^ л/п
П=I
есть ряд расходящийся.
2714. Доказать, что произведение двух сходящихся
рядов
yi^(et>o)„y-<^rL(p>o)
п=1 п~1
есть ряд сходящийся, если а + р > 1, и расходящийся,
если а + р < 1.
2715. Проверить, что произведение двух расходя¬
щихся рядов
п=1 п=1
есть абсолютно сходящийся ряд.
§ 4. Функциональные ряды
1°. Область сходимости. Совокупность Х0 тех
значений дс, для которых сходится функциональный ряд
и\ (*) + ма М + • • • + ип(х) + . . . . (1)
называется областью сходимости этого ряда, а функция
S (*) = lim У щ (дс) (* е *о)
пч-оо i=1
его суммой.
2°. Равномерная сходимость. Последова¬
тельность функций
It М« /2 (X)t • • • » fn(X)t • • •
называется равномерно сходящейся на множестве X, если:
1) существует предельная функция
f (х) = lim fn (х) (х е Х)\
ft-* ос
2) для любого числа е > 0 можно указать число N = /V (ej
такое, что
\t W -fn МI < в
при л > W и х £ X. В этом случае пишут: fn (x)z5J (*)•
I ^я+р (*) — sn (x) | —
< e для всех x £ X.
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 269
Функциональный ряд (1) называется равномерно сходя¬
щимся на множестве X, если равномерно сходится на этом мно¬
жестве последовательность его частичных сумм:
£ = 1
3°. Критерий Коши. Для равномерной сходимости
ряда (1) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для
каждого е > 0 существовало число N = N (е) такое, что при
п > N и р > 0 было выполнено неравенство
л+р
£ щ (X)
i=n+1
4°. Признак Вейерштрасса. Ряд (1) сходится
абсолютно и равномерно на множестве Xt если существует схо¬
дящийся числовой ряд
С1 + С2 + • • • + сп + • • • (2)
такой, что
I (х) | < сп при х £ X (п = 1, 2, • . »).
5°. Признак Абеля. Ряд
оо
£ ап (*) Ьп (*) (3)
п=1
00
сходится равномерно на множестве X, если: 1) ряд ^ ап (х)
1
сходится равномерно на множестве Х\ 2) функции bn (х) (п = J,
2, . . .) ограничены в совокупности и при каждом х образуют
монотонную последовательность.
6°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится равио¬
ли
мерно на множестве X, если: 1) частичные суммы ^ ап (х) в со-
п= i
вокупности ограничены; 2) последовательность Ьп (х) (я = 1,
2, . . .) монотонна для каждого х и равномерно на X стремится
к нулю при п -> оо.
7°. Свойства функциональных рядов,
а) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
есть функция непрерывная.
б) Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на
каждом [а, 0] с: (с, Ь) и существуют конечные пределы
lim ип (х) = Ап (п= 1,2,...).
х->а
оо
то 1) ряд Ап сходится и 2) имеет место равенство
00 \ ОО
£ «„(*)}= X / lim Un(x) 1.
л=1 J /
ГС=1
lim
270 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
в) Если члены сходящегося ряда (I) непрерывно днффс-
ОО
ренцируемы при а < х < Ь и ряд производных £ ип (х) схо-
п =1
дится равномерно па интервале (а, Ь)у то
— Г Е “п (*)] = £ и'„ (*) при х€(а,
dx 1_л=1 J п=i
Ь).
г) Если члены ряда (1) непрерывны и этот ряд сходится
равномерно на конечном сегменте [а} 6], то
Ь ( оо \ оо Ь
J | Е “« W\dx = £ J ип М dx. {'-)
а 1п=1 J п=1 а
b
Вооб1де формула (4) верна, если f Rn (л;) dx -> 0 при п -> оо,
о
оо
где Rn (*) = ^ и4 (*). Это последнее условие годится так лее
1=П-\-\
и для случая бесконечных пределов интеграции.
Определить области сходимости (абсолютной и ус¬
ловной) следующих функциональных рядов:
2716. У^-. 2717.
Lb хп 2л — 1 \ I х J
П — 1 п=1
2718. V——( —Y.
Li л+ 1 ^ 2х+ 1 )
я=1
2719. У-1.:3/ • •(2n~1) (—?£_Y.
Lt 2-4 .. . (2п) ^ 1 + х* J
Л = 1
2720. У Л^-хп(1 —х)\ 2721. V
/ -j 2л. / j
2722.
I
(-1)"
. _ (х+п)<>
П=1
2723. (Ч>0; 0<*<я).
оо
2724. У ——— (ряд Ламберта).
1 — хп
/1=1
§ 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 271
п=1 п=1
2727.
(1 + X) (1 + дс*) . . . (1 + *»)
п= 1
□о оо
2728. £ яе-л*. 2729. Y* — 1
L Vn\ i+eM** *
/1=1
оо
2730. £ (2—х) (2—X1/2) (2—д:'/3). . . (2—*>/«) (*>0).
/1 = 1
2731. V -("-+-?)П-. 2732. V —(д:>0;г/>0).
Zj л"+* Lt хп-\-уп у * '
п=1 М=1
00 <50
2733. V (у>0). 2734. £ ^|*Г+ |у|»\
Z-I «+ </п П=|
П=1
2735. ^ ■1п(1 + д:П) (jg>0). 2736. £ ^"(*+"7)*
гг=1 гс=1
+00
2737. Доказать, что если ряд Лорана £ апхп схо-
П~—оо
ДИТСЯ при X = Xt И при X = Х2 (|jCj| < |*21)> ТО этаГ
ряд сходится также при Uil < |*1 < 1*2|-
2738. Определить область сходимости ряда Лорана
+ 0°
Z^
и найти его сумму.
2739. Определить области сходимости (абсолютной
и условной) рядов Ньютона:
П=1 п=1 П—1
где лДО = х (х— 1) ... [х — (/i—l) 1.
272 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
оо
2740» Доказать, что если ряд Дирихле у схо*
/ i ПХ
п—\
дится при х = х01 то этот ряд сходится также при х >х0.
2741. Доказать, что для равномерной сходимости
на множестве X последовательности /„ (х) (п = 1,2, . . .)
к предельной функции / (х) необходимо и достаточно,
чтобы
lim jsupr„ (x)J =0,
где гп (х) = |(х)|.
2742. Что значит, что последовательность fn{x) (п = 1,
2, . . .): а) сходится на интервале (х0> + оо); б) сходится
равномерно на каждом конечном интервале (а,
Ь) а (х0, + оо); в) сходится равномерно на интервале
(дсв, + оо)?
2743. Для последовательности
/„(*) = хп (п = 1, 2, . . .) (0 < х < 1)
определить наименьший номер члена N = N (е, х), на¬
чиная с которого отклонение членов последовательно¬
сти в данной точке х от предельной функции не превы¬
шает 0,001, если х = —, —-—, , ,. , —-—, .. .
10 У ю У ю
Сходится ли эта последовательность равномерно на
интервале (0, 1)?
оо
2744. Сколько членов ряда V —?1П п*—следует взять,
L-1 П (п + 1)
Л = 1
чтобы частная сумма 5„ (х) отличалась при — оо < х <.
< + оо от суммы ряда меньше чем на е? Произвести
численный расчет при: а) е = 0,1; б) е = 0,01$ в) е =
= 0,001.
2745. При каких п будет обеспечено выполнение
неравенства
-z-f
1=0
Исследовать последовательности на равномерную схо>
димость в указанных промежутках:
у2 I
1
1
’
§ 4- ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 273
2746. fn(x) = хп\ а) 0 < X < -i-; б) 0 <х < 1.
2747. fn(x) = xn— лс"+1; О < jc < 1.
2748. /„ (jc) = лс« — *2n; 0 < jc < 1.
2749. /„ (*) = —!—; 0<x< + oo.
X + Я
2750. /„(jc) = ■ "* ; 0 <x < 1.
l + n+ *
2751. fn (x) = -■* ; a) 0 < x < 1 — e;
1 + xn
6) 1— в) 1+e -foo, гдее>0.
2752./„(*) = —^L_; а)0<*<1;
1 + n2 X2
6) l<JC< + 00.
2753. /„(*)= д/x
2754. fn(x) = n (д/*+~ У*)'. 0<дс< + св.
2755. a) /„ (jc) = ; - oo <*< + oo;
n
6) fn(X) = sin —; — «<*<-j-oo.
n
2756. a) fn(x) = arctg me; 0<*< + oo; 6) fn(x)=>
= jc arctgплс; +
2757. fn(x) = <*«-»', 0<jc<1.
2758. fn(x) = e-'x-n?; a) —/<*</, где /—любое
положительное число; б) — оо <Cjc<C + оо.
2759. fn (л:) = — 1п —; 0<*< 1.
п п
2760. (дс) = ^1 + — у; а) на конечном интер*
вале (а, Ь)\ б) на интервале (—оо, +оо).
2761. fn (х) = п (х1/п — 1); 1 < х < а.
2762. /„ (х) = У\~+х?\ 0 < х < 2.
274 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1
2763. fn (х) =
/Ас, если 0 < х <
П
пг(— jcY если— <*<—;
\ п ) п п
2
О, если х >—
п
на сегменте 0 < х < 1.
2764. Пусть f (х) — произвольная функция, опреде¬
ленная на сегменте [а, 6], и /„ (х) = (,г=
п
= 1, 2, . . .)•
Доказать, что /„ (х) / (я) (а < дс < 6) при /г -> оо.
2765. Пусть функция / (*) имеет непрерывную про¬
изводную /' (а:) в интервале (а, Ь) и
fn (х) = п [/ (л: + —/ (jc)] •
Доказать, что /„ (jc) /' (х) на сегменте а < дс < р,
где а < а < р < Ь.
/1—1
2766. Пусть /„ (jc) = ^ / (jc + , где / (х) —
1=0
непрерывная на (— оо, + оо) функция. Доказать, что
последовательность /„ (jc) сходится равномерно на лю¬
бом конечном сегменте [а, b ].
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
00
2767. Y, хп а) на интервале |*|<<7, где 0<1;
п=О
б) на интервале |дс|<1.
оо
ZXn
— на сегменте — 1 < х < 1.
л2
П=1
оо
2768. К V на интервале (0, +оо).
п~О
оо
2769. Yj (1 —*) хп на сегменте 0 < jc < 1.
л=0
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 275
уП уП+1
2770.
Z(v-^r>
fi=1
оо
2771. V - ; 0<*<+оо.
L Ц«-1)*+1](я*+1)
П= I
00
2772. У ! ; 0<*< + оо.
L (* + «)(*+я + 1)
»=-|
2773. У — ;
L (1 + ■*) (1 + 2дс) . . . (1 + лх)
п=1
а) 0 < х < е, где е > 0; б) е < х < + оо.
2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
равномерную сходимость в указанных промежутках
следующих функциональных рядов:
оо
а) У 2 ‘ —» — °°<Л:< + °°;
/ j X2 + п2
11=1
-2<*< + о°:
п=1
оо
в) +
гг=1
Г> У , Г'ь+
1 + и5*2
n=l
оо
Д) ^ (*"+*“»), -L < | д^| < 2;
п = I
оо
Zxn
. |*|<а, где а — произвольное
[т}
п—I
положительное число;
276 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
ж) у «»«"* , |*|< + оо;
/ШША -/tlA + я4
п=1
оо
V Г1 COS ПХ 1.^1
3> W<+0°;
гг—1
оо
v sin пх |
и) \ —, |x|<-foo;
/ i пуп
п=\
K)iin(i+^r)' '*'<«
п—2
Л) X *2£-л*. 0 < *< + оо;
П=I
м) У arctg ^ , |х|< + оо.
X2 + п3
л=1
Исследовать на равномерную сходимость в указан¬
ных промежутках следующие функциональные ряды:
оо
л-_- sin ПХ ч . . п
2775. > а) на сегменте е < х < 2л — е,
/ I п
П=I
где е>0; б) на сегменте 0 < * < 2я.
оо
2776. У 2" sin——; 0<х< + оо.
Li 3"jc
Л = 1
2777. У-(-—1)П-; 0<*< + оо.
L-i х+п
Я —1
Указание. Оценить остаток ряда*
оо
2778. У 0< * < 2я.
л+sin*
я=2
оо
П (П— 1)
2779. ) ! ; |лс| <10,
La Vn
г* + ех
п=1
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 277
2 пп
Z2 пп
cos
*-
+ X2
2780. / —oo<jf< + oo.
у п2 + .*2
Л=1
■Е
л/йТ
JC
2782.N (z:1)tVn| : 0 < х< + оо.
1
'sjn (п + х)
п—1
2783. Может ли последовательность разрывных функ¬
ций сходиться равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
fn (х) = —1|) (*) (л = 1, 2, . ..),
п
где ф(*)—I**’ есЛИ * иРРационально>
1 1, если х рационально.
оо
2784. Доказать, что если ряд | /„ (х) | сходится
п=1
равномерно на 1а, Ь], то ряд X) fn(x) также сходится
Л —I
равномерно на [а, Ь].
оо
2785, Если рядХ/л (х) сходится абсолютно и равно*
П=1
оо
мерно на [а, Ь], то обязательно ли ряд£ l/nMI сх0*
П = 1
дится равномерно на [а, Ь]7
00
Рассмотреть пример £ (— 1)" (1 —х) хп, где 0 < х < 1.
п=О
2786. Доказать, что абсолютно и равномерно сходя¬
щийся ряд
(р<х<1),
Л=1
где f„(x) =
О, если 0 < х < 2-<п+1>;
— sin2(2/1+Injc), если 2-(л+1)<х<2_";
п
О, если 2~п < х < 1,
278 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с не¬
отрицательными членами.
оо
2787. Доказать, что если ряд£ <рл(*), члены кото-
Л = 1
рого суть монотонные функции на сегменте [а, Ь], схо¬
дится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то
данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сег¬
менте [а, Ь].
оо
2788. Доказать, что степенной ряд £ апхп сходится
п—О
абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком
лежащем внутри его интервала сходимости.
2789. Пусть ап -> оо так, что ряд ^ j —
п=I П
сходится.
Доказать, что ряд V* —-—сходится абсолютно и равнс-
LJ х — ап
/2 = 1
мерно на любом ограниченном замкнутом множестве,
не содержащем точек ап (п = 1, 2, „ . .).
оо
2790. Доказать, что если ряд £ ап сходится, то ряд
л=|
оо
Дирихле ) -^-сходится равномерно при х > 0.
/ 1 ПХ
п= I
оо
2791. Пусть ряд £ ап сходится. Доказать, что ряд
П=I
оо
апе~пх сходится равномерно в области х > 0.
П=I
оо
2792. Показать, что функция f(x)= У —in л-~ не-
/ J П3
п=\
прерывна и имеет непрерывную производную в области
— оо < х <С + оо.
2793. Показать, что функция
I
П=—оо
а) определена и непрерывна во всех точках, за исключе-
§ 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 279
пнем целочисленных: х = 0, ±1, ± 2, . . . 5 б) перио*
дическая с периодом, равным 1.
оо
2794. Показать, что ряд2 [пхе~пх—(n — 1) хе-<п~1)*1
П=\
сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако
его сумма есть функция, непрерывная на этом сегменте.
2795. Определить области существования функций
/ (я) и исследовать их на непрерывность, если
/2 = 1 Л=1
з) / (х) =
(1 + хг)п
П=1
2796. Пусть rk (k = 1,2,...) — рациональные числа
сегмента [0, 1 ]. Показать, что функция
оо
/w=ZJji^lL {0<х<1)
/г=1
обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) диф¬
ференцируема в иррациональных точках и недифферен¬
цируема в рациональных.
2797. Доказать, что дзета-функция Римана
‘«-1т-
л=1
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области не¬
прерывные производные всех порядков.
2798. Доказать, что тэта-функция
-f- 00
е (jc) = £ е-пп*х
Л=—оо
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
2799. Определить область существования функции
/ (*) и исследовать ее на дифференцируемость, если:
оо оо
*1
/1=1 п=1
280 отдгл v ряды
2800. Показать, что последовательность
L (*) = — arctg хп (п = 1, 2, . . .)
П
сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[lim /„ (jc)!' Ф lim f'n (1).
/1-+-00 х=\ П—юс
2801- Показать, что последовательность
fn(x) = xl + -—smn(x+
сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[ lim /„ (*)]' Ф lin f'n (х).
Г2—>00 П~*-ао
2802. При каких значениях параметра а: а) после¬
довательность
fn (х) = пахе—пх (1)
(п = 1,2,...) сходится на сегменте [0, 1 ]; б) последо¬
вательность (1) сходится равномерно на [0, 1 ]; в) воз¬
можен предельный переход под знаком интеграла
1
lim J fn (х) dx?
л—voc 0
2803. Показать, что последовательность
fn (х) = пхе~пх‘ (п=1, 2, ...)
сходится на сегменте [0, 1J, но
I 1
J [lim fn (*)] dx ф lim J/„ (x)dx.
0 П->оо П-*-оо о
2804. Показать, что последовательность
/„(*) = пх (1— х)п (п = 1, 2, . . .)
сходится неравномерно на сегменте [0, 1 ], однако
I 1
lim f fn (х) dx = f lim fn(x) dx.
n->oo 0 0 n ->oo
2805. Законен ли переход к пределу под знаком
интеграла в выражении
пх dx?
lim Г —
П—*00 .! 1 •
П-*оо ,) 1 + п2х*
6
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 281
Найти:
2806. lim V —%1—.
jc-^i—о 2—/ л хп-\-[
л—1
оо
2807. lim £ (хп — хп+|).
х-+\—0 п—I
<*> ОО
2808. lim V ——. 2808.1. lim V -—.
*-*+0 La 2nn* x^oo La 1 + Л2*2
/7=1 л=1
2809. Законно лн почленное дифференцирование ряда
Xarctg
п = 1
2810. Законно ли почленное интегрирование ряда
Л=1
на сегменте [0, 11?
2811. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — бесконечно
дифференцируемая функция и последовательность ее
производных fM (х) (я = 1,2,...) сходится равномерно
на каждом конечном интервале (а, Ь) к функции <р (дс).
Доказать, что <р (х) = Сех, где С — постоянная вели¬
чина. Рассмотреть пример /п(х) = е-{х~п)‘, п= 1,2,
2811.1. Пусть функции fn(x), п=1, 2, ..., — опреде¬
лены и ограничены на (— оо, -f оо) и /„ (х) ф (х) на
каждом сегменте (а, Ь]. Следует ли отсюда, что
lim sup / (х) = sup ф (х)?
П-*ао X X
§ 5. Степенные ряды
1°. Интервал сходимости. Для каждого сте¬
пенного ряда
До + av (х—а) + . . . + ап(х—а)п + . . .
существует замкнутый интервал сходимости: \х—а | ^ R, вну¬
три которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус
282 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
сходимости R определяется по формуле Коши — Адамара
-4“= Пт У\ап f.
R П-►оо
Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле
йп I
R = lim
м-*оо| ап+1 I
если этот предел существует.
2°. Теорема Абеля. Бели степенной ряд S (х) =
оо
= апхп (| дс 1 <. R) сходится в концевой точке x—R интер-
п=0
вала сходимости, то
5 (R) = lim S (*).
x-+R— О
3°« Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция
f (дг) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степен¬
ной ряд
/г=0
Остаточный член этого ряда
Rn W = f (*) - }Ja)- ~ a)k
/е=0
может быть представлен в виде
(,) = /(я+1) (д + в (* — a)) (J[ _ в)Я+1 (0 < 0 < 1}
(п+ 1)!
(форма Лагранжа), или в виде
Rn (х) = fl)) (1 - 0i)« (jc - o)n+1 (0 <0! < 1)
n\
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложе¬
ний:
I. e* = i+
2! я1
( — ОО < X < + оо).
у<3 y2rt—1
II. sin х = х — ~ + ... +(-!)«-!
3! (2« — 1)!
(_ оо <*< + оо),
х2П ,
21 (2л) 1
( — ОО < X < + 00^
§ 8 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 283
IV. (1 + х)т = 1 + тх -Ь х2 + . . .
21
# § > + т(т—\). . . (/п —n+ 1)
rt]
у2 уЗ у/1
V. 1п(1 + х) «*--£. + -£
2 3 п
(— 1 <*<1),
4°. Действия со степенными рядами.
Внутри общего интервала сходимости |*—а | < R имеем:
а) £ (* — а)п ± £ Ь„ (х — а)п = £ (а„ ± 6„) (х — а)п;
л=0 /1=0 м=0
б) £ вЛ(х-а)« £ Ьп(х-а)п= £ е„ (*-«)".
л=0 л=0
где сп = a0bn + dibn_i + . . . -f- апЬ0\
в) “Т” 1 2 а« (* * а^1 = S <Я + °п*1 — ^"}
Ln=0 J п=0
г) IIЁ - о)Т'■с+Z-^г(* -
|_я=0 J л=0
5°, С т е п е н н ы е ряды комплексной обла¬
сти. Рассмотрим ряд
/2=0
где
= fl/t + ^/1» а = а + ф, г = х + «/, i2 = — 1.
Для каждого такого ряда имеется замкнутый круг сходимости
\г—a\^Rt внутри которого данный ряд сходится (и притом
абсолютно), а вне расходится. Радиус сходимости R равен ра¬
диусу сходимости степенного ряда
п=О
в действительной области.
Определить радиус и интервал сходимости и иссле¬
довать поведение в граничных точках интервала сходи¬
мости следующих степенных рядов:
2812. £ . 2813. £ Э" + (-2)" (je+
П—\ П=1
а)п+г.
284 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2814. У-Й12-Л
L, <2">'
1
2815. 2 (0<а< 1).
Л=1
ми. £(l + -!-)">.
л=1
оо
2817. (а> 1).
La
л=1
2818. Vfi-35—О—'>.1У^1У,
La L 2 4 6 . . . (2л) J V 2 )
п=I
2819. У,( —1)-
L, L (2л +1)1 J
П—1
2820. У .-у /; ... у»-^»т ./ х„
L-t п\
Я=1
т(т — 1). . .(т-гп + 1)
2821.
п=I
п=I
£ (а>0'6>0)-
2822.
П=1
оо
2823. V —(а>0)
Z-i aV"
П = 1
оо
0“ЛА* ГЛ
2824. 4
Г
V«a+1
n=l
(2 л)!!
2825. V —— х".
L, (2я+1)И
/1 = 1
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 285
2826. *"•
Л=1
2827-|;(1+т+---+т)л
П—1
2828. £ J3-+<.Z-»)T ^
Л=1
2829. У„(^11У A2my^L.
/ , In п L 2Л
п—2
Z, __ п1л/« 1
— хп (ряд Принсгейма).
п
п=\
Z]0V{n)
(1 —л:)лэ где v (п)— число цифр
2831
п~\
числа п.
2831.2.
Lu \ sin п )
п=I
2832. Определить область сходимости гипергеомет-
рического ряда
l + JLL^+JLiEL+iIM+lL^ + ...
1 • Y b2-v(V+l)
, а(а+ 1). . . (а+ n — 1) Р(Р+ 1). . .(Р+и-1)„я ,
• • « “I Л -р« • •
1-2. . , п • Y (V + 1). • .(Y + »“U
Найти область сходимости обобщенных степенных
рядов:
у—!—2834- У —sin—.
L> 2«+ 1 V. 1Л-Х ) Li Хл 2»
2833.
/1=0 /1=1
286
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2835. ^ 2836. +-7) е~пх-
оо
п=I
2838. Функцию
f (.к) = х3
разложить по целым неотрицательным степеням бинома
х + 1.
2839. Функцию
разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по сте-
зать соответствующие области сходимости.
2840. Функцию / (х) = In х разложить по целым
неотрицательным степеням разности х—1 и выяснить
интервал сходимости разложения.
Найти сумму ряда
Написать разложения следующих функций по це¬
лым неотрицательным степеням переменной х и найти
соответствующие интервалы сходимости:
2841. / (х) = sh х. 2842. f (х) — ch х.
2843. f (х) = sin2*. 2844. f (х) = ах (а > 0).
2845. f {х) = sin (ц arcsin х).
2846. / (х) = cos (fx arcsin jc).
2847. Написать три члена разложения функции
f (jc) = хх по целым неотрицательным степеням разно¬
сти х—1.
2848. Написать три члена разложения функции
f (jc) = (1 + x)Ux (хф 0) и f (0) = е по целым неотри¬
цательным степеням переменной х.
2849. Функции sin (х + h) и cos (дс + h) разложить
по целым неотрицательным степеням переменной h.
/(*) =
(а Ф0)
а — х
пеням бинома х—Ь, где Ь Ф а; в) по степеням —. Ука-
оо
§ J СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 287
2850. Определить интервал сходимости разложения
в степенной ряд функции:
/(*)’
х2 — 5ЛГ + 6
а) по степеням х; б) по степеням бинома х—5, не произ¬
водя самого разложения.
2850.1. Можно ли утверждать, что
.V
Zv2rt-1
( —1)"~' (2П_ 1) l£sin* на ( —оо, 4-оо)
л=1
при N-+cо?
Пользуясь основными разложениями I—V, написать
разложения в степенной ряд относительно х следую¬
щих функций:
2851. е~Л 2352. cos2 х. 2853. sin3x.
2854. - -~10 ■. 2855. ! . 2856.
1-* 0-*)а д/1 — 2х
i57. 1п л / 1 .
V 1 —X
1 -j- х — 2х*
Указание. Разложить данную дробь на простейшие*
2859. —12—-5* . 2880. *
6 — 5х — (1— х)(\— х3)
2861. ! . 2862. 1
1 — X — X2 1 + X + X2
2862.1. /(*) = ! г.
1 + X + X2 + дс3
Чему равно /(1000) (0)?
2863. —хсоза-^ . 2864. *sin а
1 — 2х cos а + х2 1 — 2х cos а + х2
2865. — . 2866. 1
l-2xcha+x2
2867. ln(l+x + *a + *3). 2868. ^cosecos(xsma).
Указание* Применить формулы Эйлера
288 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Разложив предварительно производные, путем по¬
членного интегрирования получить разложения в сте¬
пенной ряд следующих функций:
00
2869. / (ж) = arctg х. Найти сумму ряда / 1^+1 .
^ 2n“1
2870. f (х) = arcsin 2871. / (х) = ln(x + JT+?).
2872. /(*) = In (1-2* cos « + **).
2873. Применяя различные методы, найти разложе¬
ния в степенной ряд следующих функций:
а) / (х) = (1 + х) 1п (1 + х)\
б) f(x) = -^r ,n + — arctg х\
4 1 — х 2
в) / (х) — arctg 2 —
1 + 4jc ’
2*
г) / (*) = arctg
2 — х2
д) f(x) = X arctgх— In Vl + *2;
е) f (x) = arccos (1 — 2x2);
ж) f(x) — x arcsin x + ^/1 —x2;
з) / (лг) = jc In (jc -f- V1 + *2) — Vl + *2-
2874. Используя единственность разложения
f(x + h)-f(x) = hf (x) +-%-Г (x) + . . . ,
найти производные п-го порядка от следующих функций:
а) f(x) = ex\ б) f (х) = еа'х\ в) / (х) = arctg х.
2875. Функцию f (х) = In ! разложить по
2 + 2х Xs
целым положительным степеням бинома х + 1.
2876. Функцию / (х) = —?— разложить в степей-
1 — х
ной ряд по отрицательным степеням переменной х.
2877. Функцию f (*) = In х разложить в степенной
X — 1
ряд по целым положительным степеням дроби —^ ,
2878. Функцию / (ж) = —— разложить в сте-
Vi+-«
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 289
пенной ряд по целым положительным степеням дроби
к
1 + х
оо
2879. Пусть f(x)=) -2—. Доказать непосредст-
/-J П\
/1=0
венно, что
f (х) / (у) = f (х + у).
2880. Пусть по определению
ОО оо
ZX2n + l *2/1
(— \)п И cosx= > ( — 1)я .
v (2/1+1)1 Lk (2/i)l
/х=0 n=0
Доказать, что
a) sin х cos х = sin 2х\ б) sin2 * +cos2 я = 1.
2881. Написать несколько членов разложения в сте¬
пенной ряд функции
Т-1
уП
/(*) =
1Ш
п—0
Производя соответствующие действия со степенными
рядами, получить разложения в степенные ряды сле¬
дующих функций:
2882. f(x) = (l+x)e~x. 2883. /(*) = (!—*)2ch л/х.
2884. / (лг) = In2 (1 —дс). 2885. /(*) = ( 1 + *2) arctg *.
2886. f (jc) = ех cos jc. 2887. / (jc) = е* sin jc.
2888. f (x) = ~ln • 2889. f (x) = (arctg xf.
2890. /(jt) = (-^'-J,
Написать три члена разложения (отличные от нуля)
в степенной ряд по положительным степеням перемен¬
ной х следующих функций:
2891. f(x) = tgx. 2892. / (jc) = th jc.
2893. f (jc) = ctg x —.
x
10 Б. П Демидович
290 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2894. Пусть разложение sec х записано в виде
у2п
sec л: = V -Еп - хт.
L, (2/1)1
я=О
Вывести рекуррентное соотношение для коэффици¬
ентов Еп (числа Эйлера).
2895. Разложить в степенной ряд функцию
/(*)= ■ 1 — (И<1).
V1 — 2 tx + х2
оо
2896. Пусть f (х) = апх*. Написать разложение
п= О
функции F (х) = j ^ .
оо
2897. Если ряд £ °пХП имеет радиус сходимости Ru
п=о
оо
а ряд 2 — радиус сходимости R2, то какой ра-
п—О
диус сходимости R имеют ряды
00 оо
а) £ (ап ± Ьп) хп\ б) '£апЬпхп'?
п—О п=О
2898. Пусть I = lim I - а" ■ I и L = ijm
п->оо I art+i I п-+оо
ап
ап+1
Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
00
X апхп удовлетворяет иеоасгнстзу
п=0
I < R L.
оо
280Э. Доказать, что ecin f (х) —Yja^n, пртсм
n =0
|n\ on I <M (n= 1,2,., .),
где Л! — посто"мчтя, то: 1) f (x) бзсчсчгчпэ длффз^п-
цнруема в любои1 тол^г а; 2) справедливо разло^еши
/ (*) = У H11SL (х _а)п (| * | < + оо).
Z-i и»
«=о
2899.1. Пусть / (я) £ С<°°> (о, Ь) п |/,п)(х)| < с'1 (п =
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 291
= 0, 1,2,...) при х £ (а, Ь). Доказать, что функция
/ (х) разлагается в степенной ряд
00
f (х) = X ап (х —х0)п (дс0 £ (а, 6)),
П=0
сходящийся в интервале (а, Ь).
2899.2. Пусть f (*) £ С<“> [— 1,1 ] и /"•> (х) > 0 (п =
= 0, 1, 2, . . .) при х ^ I— 1,1 ]. Доказать, что в ин¬
тервале (— 1,1) функция f (х) разлагается в степенной
ряд
/(*) = Z йпхп.
П= О
Указание. Использ>я монотонность производных
f(n> (х) для остаточного члена Rn(x) ряда Тейлора функции
(*), получить оценку
1 Rn МК1*1л+1/0).
2990. Доказать, что если 1) ап> 0 и 2) существует
оо оо
lim 2 Ял *л = 5, то 2 Qn#n = S.
д:——0 П=0 п= 0
Разложить в степенной ряд функции:
Л
=■
J V»-'4
д
2901. | e~rdt. 2992
I
о
х
2903. \ -^ii- dt. 2£Э4. Г —ct^-x dx
С sin I
J ~
и о
f/ dt
in (i /) (НЗШ!сать четыре члена).
Применяя почленное дифференцирование, вычислить
суммы следующих рядов:
2906. х + - + -£-л-. . .
3 5
\ 3 у5
2007. х —-J--
3 5
290S. 1 + —— + -j- . . .
21 41
Ю*
292 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
х2 . лс3 .
2909.
1 2 2 3 3-4
2910. 1+— x-f--^-x*+-^-x3+ . ..
2 2-4 2-4.6
Указание. Производную ряда умножить на 1— х.
Применяя почленное интегрирование, вычислить
суммы рядов:
2911. х + 2л:2 -Ь Зл:3 + . . .
2912. х—4х2 + 9л:3—16л:4 + . . .
2913. 1 -2л: + 2-Зл:2 + 3-4л:3 + . . .
ОО
2914. Показать, что ряд у = ^ ~(4~)Г УД°влетво‘
/1=0
ряет уравнению t/,v = у.
оо
ЕХП
удовлетво-
(л!)а
п=0
ряет уравнению ху" + у'—у = 0.
Определить радиус и круг сходимости степенных
рядов в комплексной области (г = х + <</):
2916, У-!ir.'-О".,
Li я-2*
П —I
2917.
Г
(1-!- 0я гп
(я-г !)(,*+ 2)
п=I
2018. V — .
(1 + 0 (1 + 20 . . . (1 + т)
11=1
2919. V —
La л
.a+i0
>1=1
2920.
Z{z-eia)n
я (l — eia)n
n=l
2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, при*
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 293
ближенно вычислить т/9 и оценить ошибку, которая
получится, если взять три члена разложения.
2922. Приближенно вычислить:
a) arctg 1,2; б) 1000; в)—L-; г) In 1,25
д/е
и оценить соответствующие погрешности.
Пользуясь соответствующими разложениями, вычис¬
лить с указанной степенью точности следующие значе¬
ния функций:
2923. sin 18° с точностью до 10-5.
2924. cos 1° с точностью до 10"®.
2925. tg 9° с точностью до 10-3.
2926. е с точностью до 10_6.
2927. In 1,2 с точностью до 10-4.
2928. Исходя из равенства
я . 1
— =- arcsin —,
6 2
найти число я с точностью до 10'4.
2929. Пользуясь тождеством
-Л. = arctg ~ + arctg -j-,
вычислить число я с точностью до 0,001.
2930. Пользуясь тождеством
= 4 arctg — arctg 1
4 5 239
определить число я с точностью до 10-9.
2931. Пользуясь формулой
ln(n + l) = lnп + 2[ ! 1 -—- 1- . . .1,
v L 2n+l 3(2п+i)s J
найти In 2 и In 3 с точностью до 10“5.
2932. С помощью разложений подынтегральных функ¬
ций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие
интегралы:
2
J i f sin * .
a) J e-^dx] 6) J el/xdr, в) \ —-—
0 2 J
dx
1 + ж3 ’
C94 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1 1 +оо
г) ^ cos хЧх\ д) Ц ^ dx; е) ^
0 0 3
1/3 1
МУлЬ-1 3> S'Vi+7 ;
о о
100
10
1/2 1/2 I
„) ( -2^-л Л) „) Jrtte.
0 0 о
2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной
полуволны синусоиды
у = sin х (0 < х < я).
2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса
с полуосями а = 1 и b = 1/2.
2935. Провод, подвешенный на двух столбах, рас¬
стояние между которыми равно 21 = 20 м, имеет форму
параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину про¬
вода, если стрелка прогиба h = 40 см.
§ 6. Ряды Фурье
1°. Теорема разложения. Если ф> нкцня JF (х)
кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производ¬
ную {/ (х) в интервале (— I, I), причем ее точки разрыва !• регу¬
лярны (т. е. / (I) = ~ ff (1—0) +f. + 0)1), то функция [ (г)
в этом интервале можег быть представлена рядом Фурье
ОС
oQ , V1 / пях пях \
t w=——+2, c°s —}— +Ьп sin —]— j * w
n=i
где
!=“T
Cn = —\ f (x) cos —~— d< (.'1=0, 1, 2, . . .) (2)
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 295
1 f , , v . ппх .
bn = — UWs»п—-—dx (/1=1, 2, • . .)• (2')
~/
В частности:
а) если функция JF (*) четная, то имеем:
оо
«, х 0в I V ппх
/(*)=—£~ + > a„cos—-—, (3)
П=1
где
г
- I , V V ППХ ,
в* = — \ f (х) cos —-— d* (л = 0, 1, 2,
--Н
о
б) если функция £ (х) нечетная, то получаем;
оо
* у ППХ
) ЬПsin—j—» (4)
П—1
где
2 Г Р , . ля*
Ьп = — U(*)sm—j—dx (/1=1,2, , .
О
Функцию f (х), определенную в интервале (0, /) и обладаю*
щую в нем приведенными выше свойствами непрерывности,
можно в этом интервале представить как формулой (3), так
и формулой (4).
2°. Условие полноты. Для всякой интегрируемой
на отрезке [— /, /] вместе со своим квадратом функции f (г)
формально построенный ряд (1) с коэффициентами (2), (2') удов¬
летворяет равенству Ляпунова
О ПГ\ }
1
(4 + bn) = — J/ (*) dx
3°. Интегрирование рядов Фурье. Ряд
Фурье (1), даже расходящийся, интегрируемой по Риману в ин¬
тервале (— I, I) функции I (х) можно интегрировать почленно
в этом интервале.
2936. Функцию
/ (*) = sin4*
разложить в ряд Фурье.
296 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2937. Каков будет ряд Фурье для тригонометриче¬
ского многочлена
П
Рп (х) — 2 («г cos ix -|- р< sin ix)?
t =о
2938. Разложить в ряд Фурье функцию
/ (х) = sgn х (— я < х <С я).
Нарисовать график функции и графики нескольких
частных сумм ряда Фурье этой функции.
Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница
(- I)"-1
I
П —I
Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах
следующие функции:
( А, если 0<х<^1:
2939. / (х) = А
10, если /<лс<2/,
где А — постоянная, в интервале (0, 21).
2940. /(*) = * в интервале (— я, я).
2941. / (х) = л х - в интервале (0, 2я).
2942. f (х) = | д:| в интервале (—я, я).
{ ах, если —я<л:<0;
2943. /(*)= . ^
(ох, если 0<д:<я,
где а н b — постоянные, в интервале (— я, я).
2944. / (х) = я2—х2 в интервале (— я, я).
2945. f (а) = cos ах в интервале (— я, я)’ (а —
не целое).
2946. / (х) = sin ах в интервале (— я, я) (а —
не целое).
2947. / (х) = sh ах в интервале (— я, я).
2948. / (л:) = еах в интервале (— h, h).
2949. f (х) — х в интервале (а, а + 21).
2950. f (х) = х sin х в интервале (— я, я).
2951. / (х) = х cos х в интервале ^ , -2-) .
Разложить в ряды Фурье следующие периодические
функции:
§ б ряды фурье 297
2952. / (х) = sgn (cos jc).
2953. f (jc) = arcsin (sin jc).
2954. / (x) = arcsin (cos jc). 2955. f (jc) = jc — [jcI.
2956. f (jc) = (jc) — расстояние jc до ближайшего це¬
лого числа.
2957. / (jc) = | sin jc|. 2958. / (jc) = |cos jc|.
oo
2959. /(*)= Y an —in(|ct|<1).
/ , sin X
n= 1
2960. Разложить в ряд Фурье функцию
/ (д:) = sec л: ^ 4~<'Л:<:~4“‘)'
Указание. Вывести соотношение между коэффициен¬
тами ап и 2-
2961. Функцию f (х) = х2 разложить в ряд Фурье;
а) в интервале (— эх, я) по косинусам кратных дуг;
б) в интервале (0, л) по синусам кратных дуг; в) в ин¬
тервале (0, 2я).
Нарисовать график функций и графики сумм рядов
Фурье для случаев а), б) и в).
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
±-, V -L-. УН- „ f !
*" Li а2 L> (2n-i)2
fl —1 /1 = 1 /2—1
2C62. Исходя из разложения
оо
*-2 y(_i)«+i_ilILJ!fL_ (_я<*<я)|
L4 «
/1=1
почленным интегрированием получить разложения в ряд
Фурье на интервале (— л, л) функций jc2, х3 и jc4.
2963. Написать равенство Ляпунова для функции
т-1 1 при ,Jc|<a;
'■ \0 при a<|jc|<n.
Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
293
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2964. Разложить в ряд Фурье функцию
х, если 0 < х < 1;
/(*) =
1, если l<je<2;
3—х, если 2<х<3.
Пользуясь формулами
cos х
= -L(t+l), siax = -L-(t—t),
где t = е1х и t = e~ix, получить разложение в ряд Фурье
следующих функций:
2965. cos2'" х (т — целое положительное число).
2966.
2967.
2968.
q sin х
1 — 2q cos x + ф
\-Ф
1 — 2q cos д: qi
1 — q cos x
(I id).
(Md).
(Md).
1 — 2q cos x + q2
2969. In (1—2q cos x 4- q*) (I q I < 1)’.
Разложить в ряд Фурье неограниченные периодиче¬
ские функции:
X
Т
X
sin -
COS
2970. /(*) = ln
2971. /(*) = ln
2972. /(*) = In
2973. Разложить d ряд Фурье функцию
, X
tg—
х
/(JC)=Jln V|Ctg"2"
dt (—зх^л:<я).
2974. Разложить в ряд Фурье функции
х = х (s), у = у (s) (0 < s < 4а),
дающие параметрическое представление контура квад¬
рата: 0 < х С а, 0 •< у < а, где s — длина дуги, от¬
считанная против хода часовой стрелки от точки О
(0, 0].
$ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 299
2975. Как следует продолжить заданную в интер¬
вале (0, я/2) интегрируемую функцию / (х) в интервал
(— я, я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
оо
/(*)= 2 a„cos(2/i—1)х (—я<х<я)?
Л=1
2976. Как следует продолжить заданную в интервале
(О, я/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал
(— я, я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
оо
/(*) = 2 sin(2/1—1)Х (— я<х<я)?
/1=1
2977. Функцию
*)
разложить в интервале (0, я/2):
а) по косинусам нечетных дуг; б) по синусам нечет¬
ных дуг.
Нарисовать графики суммы рядов Фурье для слу¬
чаев а) и б).
2978. Функция / (х) антипериодична с периодом я,
т. е.
/ (х + я) = — / (х).
Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функ¬
ции в интервале (— я, л)?
2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье функ¬
ции / (х) в интервале (— я, я), если / (х + я) н= / (х)?
2980. Какими особенностями обладают коэффициенты
Фурье ап, bn (п = 1, 2, . . .) функции у = / (х) периода
2я, если график функции: а) имеет центры симметрии
в точках (0, 0), (± я/2, 0); б) имеет центр симметрии
в начале координат и оси симметрии х = ± я/2?
2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
ап, Ьл и ап, р„ (/1 = 0, 1,2,.. .) функций <р (х) и Ц (х),
если
<р (—*) = ■ф м?
2832. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
аа, Ьп и ап, (а = 0, 1, 2, . . .) функций q> (->:) н у (х),
если
ср (— х) = — 41 (х)?
300 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
2983. Зная коэффициенты Фурье а,и Ьп (п = 0, 1,
2, . . .) интегрируемой функции / (х), имеющей период
2л, вычислить коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1,
2, . . .) «смещенной» функции / (х + h) (h = const).
2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (а = 0, I,
2, . . .) интегрируемой функции / (х) периода 2л, вы¬
числить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0, 1,2,...)
функции Стеклова
fh(X)=-±-Tfa)dt
2л
2985. Пусть / (х) — непрерывная функция с перио¬
дом 2л и а„, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты
Фурье. Определить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0,
1, 2, . . .) свернутой функции
F (*)=• — +
П -Я
Пользуясь полученным результатом, вывести ра¬
венство Ляпунова.
§ 7. Суммирование рядов
1°. Непосредственное суммирование.
Если
Ии = — Vn (п= I, 2, . . .) и lim vn = v<3ot
TO
00
£ Un = V00 — »!.
n—1
В частности, если
1
«л = >
ДлЯл+i • • • ап+т
где числа ai (i = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрес¬
сию со знаменателем d, то
1 1
t>/2 t= — • .
та алДл+1 • • • Д«+т-1
Б некоторых случаях искомый ряд удается представить
в виде линейной комбинации известных рядов:
£
§ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 301
(—lyi+l j
— " Т. И.
П— I
ОО
2°. М е т о д Абеля. Если ряд^] ап сходится, то
п=)
оо оо
£ в* “ Jim £ в«г-.
п=0 х~* 1 “ 0 /1=0
оо
Сумма степенного ряда ^ апхп в простейших примерах нахо«
/1=0
дится с помощью почленного дифференцирования или интегри¬
рования.
3°. Суммирование тригонометрических
рядов. Для нахождения сумм рядов
оо оо
£ ancosnx и ^ ans\r\nx
п—0 п=1
их обычно рассматривают как действительную часть и соответст¬
венно как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда
оо
в комплексной области anzn, где г = е1Х,
П—0
Здесь во многих случаях полезен ряд
оо
я=1
Л 1
— = 1п— — (|г| < 1).
tl 1 “ 2
Найти суммы рядов:
2986. 1 ' 1
2987.
2988.
1-3 3-5 5-7
1,1,
1-2-3 2-3-4 3-4-5
_1 ! j I 1_
1-2 2-3 3-4 4-5
2989.
2990.
X
(п+ 1)(я+2) (п+3)
п=1
! (от—натуральное число).
п(п+т)
Л=1
302 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
1,1,1
2991.
2992.
2994.
2996.
2998.
2999.
1-2-3 3-4-5 5-6-7
V 1 . 2993. V —2п—
я*-1 п2 (п + 1)а
/2=2 /1=1
оо оо
У * . 2995. Y—-
1_А я(2я+1) «I
/1 = 1 /1 = 1
У JgL(".±jL, 2997. У ?
п\ £_t п4(л+1)4
/2=0 /2=1
сю
1-.
ч2 (я + 1)а (я + 2)*
(1=1
У . 3000. У ■ i~1)n
L (2Я+1)! n2+rt-:
п=0 /1=2
3001. Пусть Р (х) = а0 + агх + . . . + атхт. Найти
сумму ряда
I
п\
/1=1
Найти суммы следующих рядов:
3002. У ”2+1- хп. 3003. У -1 —)Пя—хп.
Z-i 2"nl Li («+1)!
/1=0 /2=0
3004. У (~1)'1(2д2+ 0 ■ х-п. 3005. У - пЧ~.
Zj (2n)l Zj(2«+1)1
/1=0 /2=0
С помощью почленного дифференцирования найти
суммы рядов:
y^L. 3007. У А=1УЧ1*
П я (2п — 1)
3006. * - *
' ' * 1)
/2=1 П=1
3008.
3009.
оо
I
§ 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 303
xin+i
Ап + 1
п=0
у а(а+<0. . .[д+(д-1)Л1 (d>0)>
d-2d. . .nd 1 1
П= 1
Указание. Производную ряда умножить на 1—х.
ЗОЮ.
1 * 14 / х Y I 147 f * У 1
3 2 3-6 \ 2 / 3-6-9 \ 2 /
С помощью почленного интегрирования найти суммы
рядов:
00 оо
ЗОН. £ п2хп~\ 3012. £«(л + 2)хп.
rt=1 Г2 —1
3013. " РМ-В**
I
/г!
п=0
Используя метод Абеля, найти суммы следующих
рядов:
3014. 1 —+ 1 1 '
3015. 1
3016. 1
4 7 10
-J- + -!
3 5 7
1 , 1-3 1-3-5
2-4 2-4 б
3017. 1 + — L + _L'3
2 3 2-4 5
Найти суммы следующих тригонометрических рядов;
О
у Jjn_nx_ ^ 3019. У -CQS п-
La 11 Lj 11
П=1
ОС
I
3018.
П = 1 П= 1
sin яа sin nx
n
r
n=i
304 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3021.
3022.
^ sin^ttsin^ £о«х<-|-).
1 = 1
сю
I
П = I
sin (2п — 1) х
2ft — 1
П — 1
оо
3023.
П.—2
оо
I
3024
П.—2
cos (2п — 1) х
(2п — I)2
п=1
3025. > (_l)n-i, 1\п-п.х-
(п + 1)
/1 = 1
Л = 1
оо
I
3026. > -^-Пл:
, nl
п^О
3027. Построить кривую
оо
V» sin мх»sin пу
= 0.
/ i «“
n=l
Найти суммы следующих рядов:
3028. У t(n ~ 1)'-1- (2*)2л. 3029. Y (в|)*-a:".
Lt (2n)l Zj (2л)!
/1=1 /1=0
зозо. —+ ——+
* + 1 (X+ l)(*+2)
31
(x+ L) (x + 2) (х + 3)
3031. —— i — — h . • • при условии,
at + x a2 + x a3 + x
ОС
wo x > 0, an > 0 (n = 1, 2, . . .) и ряд У — рас-
L~k ал
л=1
ходящийся.
§ 8. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 305
3032. — + —- + —- h . . . , если
1 __ *2 1 — JC4, 1 —
а) |а:|<1; б) |*|>1.
оо
Zyrt+l
f
, если а)|х|<1; б)|*|>1.
(1 — Xя) (1 —
п = I
§ 8. Нахождение определенных интегралов
с помощью рядов
С помощью разложения подынтегральной функции
в ряд вычислить следующие интегралы:
* Ау, qhqc; С (х + V 1+*2_)_
3034* \ In — dx. 3035. \ 111 ^ ^ v dXt
J 1 — х J х
о о
3036. jj -ln (1-+ >:) dx.
0
1
2037. {хР~1 In (1 —xQ) dx (р>0, q>0).
0
1
3038. f ln л: - ln (1 —>?)dx.
о
-|-oo -foo
у dx
3039.
, f 3040. f
J -1 J
e* + 1
о о
3041. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
1-го рода
Я/2
d(p
F(k) =
j -у/1 — k% sin* cp
о
3042. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
2 -го рода
Л/2
E(k) = j л/l — fe2sin2<p d<p.
о
3043. Выразить длину дуги эллипса
х = a cos i, х — b sin t (0 < t < 2я)
306 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
с помощью ряда, расположенного по целым положитель¬
ным степеням эксцентриситета.
Доказать равенства:
3044. f_^L==y,_L
J Xх £j Пп
0 п=1
-foo
8045. I е~х> sin ах dx = — V ——— — а2п+1.
J 2 U (2п+1)!
n—Q
2я
8046. J ecos х cos (sin х) cos nxdx = -2- (n—0, 1, 2,...).
0 tl 1
Найти:
2Я
3047. j ea cos * cos (a sin x~ nx) dx (n—натуральное
о
число).
Я
„л.л С *sina j
3048. 1 dx.
J 1 — 2a cos дс + a2
о
Указание См. пример 2864.
n
3049. J In (1 —2a cos x + a2) dx.
о
3050. Доказать формулу
* л + jc a a2 a3
...+(-1)"-»—~1)!- +(-1)"-^, 0)
or an 14
где a > 0 и 0 < 0„ < 1.
С какой точностью выразится интеграл
-foo
f —?—dxp
J 100 + x
о
если в формуле (1) взять два члена?
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
307
§ 9. Бесконечные произведения
1°. Сходимость произоедения, Бесконечное
произведение
оо
PlP2 • • • Рп • • • = Рл ^
Л = 1
называется сходящимся, если существует конечный п отличный
от нуля предел
п
lim JJ pi = Иш Рп = Р.
П-+ оо Л=оо
Если Р = 0 и ни один из сомножителей рп не равен нул о,
то произведение (1) называется расходящимся к нулю\ в против¬
ном случае произведение называется сходящимся к нут*
Необходимым условием сходимости является
lim рп = 1.
п-*оо
Сходимость произведения (1) равносильна сходимости ряда
оо
£ ,п Рп- (2)
л—/га
Если рп = 1 + ап (п = 1, 2, . , и ая не меняет знака,
то для сходимости произведения (1) необходимо и достаточно,
чтобы был сходящийся ряд
Z «л = Z (Рл- 1). (3)
«=1 л =I
В общем случае, когда не сохраняет постоянного знака
и ряд (3) сходится, произведение (1) будет сходиться или расхо*
диться к нулю вместе с рядом
оо оо
£««=■£О»*-О2*
п=I я=1
2°. Абсолютная сходимость. Произведение (!)
называется абсолютно или условно (не абсолютно) годящимся
в зависимости от того, абсолютно или условно сходится ряд (2).
Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости
произведения (1) является абсолютная сходимость ряда (3).
3°. Разложение функций в бесконечные
произведения. При — оо < х < + оо имеют место раз¬
ложения
308 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
В частности, из первого при х = я/2 получаем формулу
Валлиса
Я тт 2/1
Т " II 2п —
2/i 2/t
—, ... 1 2л+1
п=\
Доказать следующие равенства:
3051.
П0-^г)=т-
/1=2
л» — 1
П=2 '3+' 3
3053.
/1=2
Ш1 »("+')] 3 '
^•Щ'+СтГН
п=0
3055. И cos ——— = —-.
11 2"+1 п
П = 1
3056. П cos —= -^-.
1J, 2я л;
П=I
3057. ffch-i- = -^LL.
11 2« х
Л1—1
оо
3058. ТТ (l+jt2rt)=—!— (| х | < 1).
Ыо 1~х
3059. — = ■ 2 2 2
3060.
л/2 д/2 + л/2 д/2 + л/2 + л/2
Зп З/г 2я
тт —^—
И Зп 1 Зп+1 3л/3
Доказать сходимость и определить значения следую¬
щих бесконечных произведений:
3061. ТТ .в*г.1-. 3062. ПГц-—-—1.
IILTn(n + 2)J
зобз. Д
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 309
(2я + 1) (2в + 7)
„=1 (2п + 3) (2л + 5)
3064. П а(-1)Л/п (а>0).
П—1
3065. Следует ли из сходимости произведений п Ра
П —\
и П Qn сходимость произведений: а) Ц (р„ + qn);
/1=1 Я=1
б) П Р2П’ В) П РпЯп, Г) П —?
П=I П=1 lij qn
Исследовать сходимость следующих бесконечных про¬
изведений:
3066.
П—• 3067. ТТ
11 а 11 п (п + 2)
П—\ п— 1
го69- no-v)-
Дс^тг)'-
00 2 у ^
3071. ТТ n fll"+ &х , где n3-fan + &>0 при
11 п2-±-ап-\-Ь
П=Па
п> п0.
3072. ТТ v,("-«p) , где Ло>6,
11 (n — bi)(n — b^. . . (л — Ьр)
/1==По
(t'=l,2,. . . , р).
3073. П л/ П+1 . 3074. И ^
йо V «+2 И V^Tf
3075. Д УI + -L.
3076. П 3077. ДО -f “) е~х/п‘
310
ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3078.
Д(1 __£_)««» где ОО.
/7=1
3079. П (1 ~ П 3080. Д (1 +
п=1
3081
-П
л=1
(i+—Y
1+
3082.
1 _ * Л exl*f" Л-*ПП'
П=1
схэ
3084. Д
1
/ . X \ Р
( sin \
п
X
п J
оо
3085. IX У In (п + х) — In п .
П—\
оо
3086. Доказать, что произведение Ц cos хп сходится,
/1=1
оо
если сходится ряд Ц х~п.
П=1
оо
3087. Доказать, что произведение Д tg^ -^- + ая)
ап | <сходится, если абсолютно сходится ряд
£ ая.
/1=1
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие бесконечные пооизвелегшя:
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
311
3090
3092.
Пз=
д/я
3093. Пп(-»\
Л=1
л/л +(-1)я
ЗС94. Д"/п<-чп . 3095> П[1+ (_1)„( '']•
309в-('+^)(,-^)С-^)х
ч1+^)е-ж,+^)(,+^)х
*Ы)Х'+*У'
3097.
3098. Показать, что произведение
(1+^г+т)С-^г)(
сходится, хотя ряд
1 + —
IX
V. ■ Г>
*0-if)
(^Г+^)+('vT)+(vf+^)+
+(~ vT) + '-'
расходится.
оо
309Э. Показать, что произведение Ц(1+оО> где
п=1
1
л/k
если п — 2k—1,
1,1,1 о*.
——+ —Ч —, если п = 2k,
\ k * k л] k
оо оо
сходится, хотя оба ряда £али 2 ®л расходятся,
/А—1 Д—I
3,2 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3100. Пусть
оо
‘«-Zv
П = 1
(дзета-функция Римана) и рп (п = 1, 2, . . .) — после¬
довательные простые числа.
Доказать, что ТТ (1 —^ * = £ (х).
ДI *)
ОО J
3101. Доказать, что произведение JJ ^1 —^ и
оо
ряд ) ,где/?,1(п= 1, 2, . . .)—последовательные про-
Z-J Рп
п=1
стые числа, расходятся (Эйлер).
3102. Пусть я„ > 0 (я = 1, 2, . . .) и
Доказать, что
1 + — +0(—(е>0).
/2 V м1+е /
«■-0’(■£•)■
Указание, Рассмотреть
lim П — —1 -|- —Y ,
п-+оо 1 1 ап \ п )
п=1
3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что
1-3-5 . . . (2n — 1) 1
2-4-6 . . . (2я) ~ ^ '
3104. Доказать, что выражение
п\еп
Ои '
Пп+1/2
имеет отличный от нуля предел А при п -*■ оо.
Вывести отсюда формулу Стирлинга
п! = Arin+l/2e~n (1 -f е„),
где Нт е„ = 0 А = У2л.
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 313
Указание* Искомый предел представить в виде беско¬
нечного произведения
оо
А = lim а„ = аг ТТ ап+1/а„.
«-*•“ а=1
Для определения константы А воспользоваться формулой
Саллиса.
3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г (х) опреде*
ляется следующей формулой:
Г(х) = lim — .
П—►оо X (* + 1) ♦ . . (X + П)
Исходя из этой формулы: а) представить функцию
Г (х) в виде бесконечного произведения; б) показать,
что Г (х) имеет смысл для всех действительных хл не
равных целому отрицательному числу; в) вывести свой¬
ство
Г (х + 1) = хГ (х);
г) получить значение Г (п) для п целого и положитель¬
ного.
3106, Пусть функция f (х) собственно интегрируема
па сегменте [а, Ь] и
Ьп=-^~, fin=f(a + ibn) (/ = 1,2,. . . ,/г).
П
Дока?ать, что
ь
U (x)dx
lim ГГ (1 +б«Ап) =еа
/2->оо i —0
3107. Доказать, что
£ (Я+ ib)
1=0
где а > 0 и b > 0.
3108. Пусть /„ (*) (п = 1, 2, . . .) — непрерывные
функции на интервале (а, Ь) и |/„ (х) | < cn (n = 1,
оо
2, . . .), где ряд X Сп сходится.
П=1
814 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
Доказать, что функция
/Ч*) = П [1+/«(*)! (1Ы*)КП.
п= 1
непрерывна на интервале (а, Ь).
3109. Найти выражение для производной функции
оо
f <*) = П [1+/»(*)]•
л=1
Каковы достаточные условия существования Fl (.jc)?
3110. Доказать, что если 0 < х < у, то
Нш *(*+»>• • • (*+£). — о,
«-►оо У {у + 1) • • • (у + п)
§ 10. Формула Стирлинга
Для вычисления п\ при больших значениях п полезна фор•
мула Стирлинга
п\ « д/2я«" ппе-п+вп/т (0 < 0„ < 1).
Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вы-
числить:
3111. lg 100! 3112. 1-3-5 . . . 1999.
3113. 13'5- • 3114. CiSo.
2-4-6 ... 100
3115. 1001
20! 30! 50!
1 2я
3116. f (1 — *2)50 dx. 3117. f sin200 xdx.
о 0
3118. Вывести асимптотическую формулу для про¬
изведения
(2/г—1)!1 = 1-3-5 .. . (2п—1).
3119. Приближенно вычислить Щп, если п велико.
3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти сле¬
дующие пределы:
a) lim n\; б) lim —-—;
П-+00 П—►ос J/'JJj
в) lim—- n ; r) lim lnn!
V(2n — 1)!1 1п""
§ И. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 315
§ 11« Приближение непрерывных функций многочленами
1°. Интерполяционная форму ла Лаг*
р а н ж а. Многочлен Лагранжа
п
р у* (х хр) » . . (х — (х — хи1) . . .(х — хп)
п Zj (Xi — *o) • . • (Xi — Xi-1) (Xi — Xi+i) . . . (Xi — *„) 4
1=0
обладает свойством Pn (xt) = yi (i = 0, 1, . . . , л).
2°. Многочлены Бернштейна. Если / (jc) —
непрерывная на сегменте [0, 1] функция, то многочлены Бернш¬
тейна
п
вп (X) = £ f су (1 - х)«-‘
1=0
при п -*■ оо сходятся равномерно на сегменте [0, 1 ] к функции
Их).
3121. Построить многочлен Рп(х) наименьшей сте¬
пени п, принимающий заданную систему значений:
X
-2
0
4
5
У
5
1
—3
1
Чему приближенно равны
Рп(-1), Рп(1), Ря(6)?
3122. Написать уравнение параболы у = ах2 4-
-г Ьх + с, проходящей через три точки: А (х0—h, у ),
В (х0, у0), С (х0 + h, yt).
3123. Вывести формулу для приближенного извле¬
чения корней у = д/х (1 < х < 100), используя зна¬
чения х0 = 1, у0 = I; дсх = 25, yi = 5; хг = 100,
«/* = ю.
3124. Вывести приближенную формулу вида
sin х° « ах + bxs (0 < х < 90; х = arc я0),
используя значения
sin 0° = 0, sin 30° = — , sin 90° = 1.
2
Пользуясь этой формулой, приближенно найти:
sin 20\ sin 405, sin 80°.
316 ОТДЕЛ V. РЯДЫ
3125. Построить для функции / (х) = (*j на сегменте
1 — 1, 1] интерполяционный многочлен Лагранжа, при¬
няв за узлы точки: х= 0, ±-^-, ± 1.
3126. Заменив функцию у (л:) многочленом Лагранжа,
2
приближенно вычислить f у (*) dx, где
X
0
0,5
1
1,5
2
У(У)
5
4,5
3
2,5
5
3127. Составить многочлены Бернштейна Вп (х) для
функций х, jc2, Xs на сегменте [0, 1 ].
3128. Написать формулу многочленов Бернштейна
Вп (jc) для функции / (jc), заданной на сегменте [а, b ].
I X I 1 ~~ X
3129. Приблизить функцию f (х) = — — на сег¬
менте [— 1, 1 ] многочленом Бернштейна В4 (х).
Построить графики функций у = * и у =
= Я4 (jc).
3130. Приблизить функцию / (jc) = |jc| при
— 1 < х 1 многочленами Бернштейна четного по¬
рядка.
3131. Написать многочлен Бернштейна В„ (х) для
функции
f (*) = ekx (а < х < b).
3132. Вычислить многочлен Вп (х) для функции
/ (*) = cos jc на сегменте —— < х < —.
2 2
3133. Доказать, что |jc| = lim Рп (jc) на сегменте
П-+оо
[— 1, I ], где
рп (х) = 1 —{—£— V ,! -з. • . (2t 3) (1 _х2у
' 2 2-4 . . . (20 V '
1=2
§ II. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 317
3133.1. Пусть / (х) £ С [а, b ] и
ь
М/, = J xkf (х) dx = 0 (k = О, I, 2, . . . ).
а
Доказать, что / (х) = 0 при х £ [а, 6 ].
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об
аппроксимации непрерывной функции многочленами.
3134. Пусть f (х) — непрерывная 2я-периодическая
функция и ап, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты
Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены
Фейера
Л—1
ап (х) = -у- + ^ (l ^ (at cos ix -f sin ix)
i=i
равномерно сходятся к функции f (х) на отрезке
[— я, я ].
3135. Построить многочлен Фейера cr2rt-i (х) для
функции
f (х) = \х\ при — Я < X ^ я.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОТДЕЛ VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
1°. Предел функции. Пусть функция f (Р) =
= f (х1% х~> хп) определена на множестве £, имеющем
точку сгущения Р0 Говорят, что
lim /(Р) = Л,
Р-*Яо
если для любого е > 0 существует 6=6 (е, Р0) > 0 таксе, что
IMP) — i4 | < е,
если только Р £ Е и 0 < р (Р, Р0) < б, где р (Р, Р0) — рас¬
стояние между точками Р и Р0.
2°. Непрерывность. Ф> нкция [ (Р) называется
непрерывной в точке Р0, еслч
lim l(P)=f (Ро).
Р-+Р0
Функция f (Р) непрерывна в данной области, если она непре¬
рывна в каждой точке этой области.
3°. Равномерная непрерывность. Функция
I (Р) называется равномерно непрерывной в области G, если для
каждого е > 0 существует б > 0, зависящее только от е, та¬
кое, что для любых точек Р* и Р" из G имеет место неравенстг j
1НП-НП1<е,
если только
р (Р'. Я") < б.
Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой сб>
Ласти, равномерно непрерывна в этой области.
Определить и изобразить области существования
следующих функций:
3136. u = x+sjy. 3137. u=yi—•х* -f л/у^Т.
3138. и = л/1—х2—у2. 3139. и =— 1 —.
y*4v-i
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 319
3140. и = У(*2 + у*— 1) (4 — х2—у2).
3141. и - л/ +
V 2х — х2 — у*
3142. u = Vl — (^2 + г/)2.
3143. u = ln(—х—у).
3144. и = arcsin —.
х
3145. u = arccos—-—.
*+</
3146. и= arcsin-^— + arcsin(1—у).
У1
3147. а = д/sin (х2 + £/г).
3148. и = arccos —■ ■2- ■ .
У*2 + у2
3149. u — \n(xyz). 3150. u = ln(—1—х2 — y2+z2).
Построить линии уровня следующих функций:
3151. z = x + y. 3152. z = x2+y2.
3153. z = x2—y2. 3154. z = (x + y)2.
3155. z= —. 3155. z = - .
x x2 + 2t/2
3157. z — -\jxy. 3153. 2 = | x | -f" У»
3159. z = \x\-fI//1 — \x-\-y\.
315J.1. z = min(A’I y). 3159.2. z = max(|*|, |г/|).
3159.3. z — min(x2, y). 3169. z = e2x/xl+yl.
3161. 2 = X? (x > Oj. 3262. z - x4~K (.v > 0)..
31G3. г=\п ц— (а>0).
V (х + а)2 + У
31С1 2-crctg-~-аг—- (а>0).
А + уг — О?
3!G5. 2 — sgn (sin х sin у).
Найти nocepxt.'ccTii уроепя следующих функции:
3163. и = х + у + г. 3137. и = х2 + у2 + г2.
316S. и = х2 + у2 — г2. 3169. и = (х + у)2 + г2.
3170. и — sgn sin (.к2 + у2 -г г2).
820 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Исследовать характер поверхностей по данным их
уравнениям:
3171. 2 = f (у—ах). 3172. г = / + у2).
3!73. 3,74« 2 = ^("7)*
3175. Построить график функции
Р (0 — / (cos U sin *)>
где
( 1, если y>x,
^ — ( 0, если усх.
3176. Найти f (1, —^, если / (х, у) = -2х9~- .
\ х J x-+yi
3177. Найти / (аг), если
л/х2+ у-
е>
(х>0).
X J X
3178. Пусть _
2 = V*/ + / (V* — О-
Определить функции f и 2, если 2 = х при у = 1.
3179. Пусть
2 = х + у + f {х—у).
Найти функции f иг, если г — хг при у = 0.
3180. Найти f (х, у), если f (х + у, = х2—уг.
3181. Показать, что для функции
f(x, у) =
х — у
х+у
имеем:
lim (lim / (лс, t/)\ = l; lim (lim/(х, y)\=—i,
X-*Q llZ-^0 j y-*Q \ JC-^0 /
в то время как lim / (x, у) не существует.
jk->0
у-» о
3182. Показать, что для функции
f(x, у) =
■2..2
хлу
*V + (,х — у)*
имеем:
lim (lim /(х, #)\ = lim (lim/ (х, t/)\ = 0,
jc—►О ►О I у-+ 0 \ jc—►О J
тем не менее lim / (х, у) не существует.
х-+0
у-* о
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 321
3183. Показать, что для функции
/'(х, у) = (х-\- у) sin — sin —
х у
оба повторных предела lim Him / (дг, г/)1 и lim /lim f(x, #)\
x-+0 \^-*0 J |(f—^0 /
не существуют, тем не менее существует lim / (дг, у) — 0.
дс-*0
у-+ О
3183.1. Существует ли предел
lim —2ху- ?
*-*о ж* + у4
и-* о
3183.2. Чему равен предел функции
Их, у) = х*е~{х'-у)
вдоль любого луча
х = / cos а, у = t sin а (0 < / < + оо)
при / -*• + °о?
Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой
при х -> оо и у оо?
3184. Найти lim/lim/(jc, у)\ и lim/lim/(jc, y)l,
x-+a \y~+b ) y-*b \*-*а J
если:
а) f(x, y) = - — yi- , a = oo, b = oo;
x*+y*
б) f(x, y) = ■ -, a=oo, b= +0;
1 +
B) /(JC, y) = sin-■ -*■ a=oo, b = oo;
2*+ У
r) /(jc, «/) = —tg—^—, fl = 0, 6 = oo;
Д) f{x, 1/) = log*(* + */), a=l, t = 0.
Найти следующие двойные пределы:
3185. lim . 3186. lim-i£±i£-.
Х-* оо X* — ху + У2 ж-»оо ж4 + у4
оо у-+ оо
3187. lim -sin *y . 3188. lim (*2 + f/2) е^х+«К
х->0 X *->+<*>
11 Б. П. Демидович
322 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3189. Игл (—-2L—Y. 3190. lim {х* + у*)*К
Х-++00 \ х2+у2 J Х-+0
у~* ®
3191. lim (\ + -ЬГ'“+И
Х-кзо \ X )
X-i
у^а
3192. lim
£а V*2+y2
3193. По каким направлениям ф существует конеч¬
ный предел:
a) lim е*/(*г+у2>; б) lim е*г-у'' sin 2ху,
Р-^+О р->+О0
если х = р cos ф и у = р sin <р?
Найти точки разрыва следующих функций:
ху
х+У
3194. и = 1 3195. и =
Vх3+ у*
3196. и= ■х + у 3197. u = sin —.
х3 + ур ху
3198. и= ! . 3199. и = \п(\—х2—у2).
sin л: sin у
3200. и — —-—.
хуг
3201. и = In-
л/ (ас — а)2 + (У — Ь)г + (г — с)4
3202. Показать, что функция
п \ (“ёгТ’ если х2 + г/2#0,
f (лг, у) •= | *2 + у1
[ 0, если х2 + г/а = 0,
непрерывна по каждол перэченной х и у в отдельности
(при фиксированной значении другой переменной), но
не является непрерывной по совокупности этих пере¬
менных.
3203. Показать, что функция
/(*. у) =
х-у
, если х2-\-у2Ф0;
X4 + у*
0, если хг + уг = 0,
п точке О (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча
х — t cos а, у = t sin а (0 < t < + оо),
§ I ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 323
проходящего через эту точку, т. е. существует
lim /(/cos a, /sina) = /(0, 0);
м
однако эта функция не является непрерывной в точке
(0, 0).
3203.1. Исследовать на равномерную непрерывность
линейную функцию и = 2дс—3у + 5 в бесконечной пло¬
скости £2 = {|*| < + оо, |«/|< + оо},
3203.2. Исследовать на равномерную непрерывность
в плоскости £2 = {| jc| < + оо, |«/| •< + оо} функцию
и = У*2 + у2.
3203.3. Будет ли равномерно непрерывной функция
в области х2 + у2 < 1.
3203.4. Дана функция и = arcsin—. Является ли
У
эта функция непрерывной в своей области опреде-
ления £?
Будет ли функция и равномерно непрерывной в об¬
ласти £?
3204. Показать, что множество точек разрыва функ¬
ции / (*, у) = х sin—, если у Ф 0 и f (х, 0) = 0, не
У
является замкнутым.
3205. Доказать, что если функция f (х, у) в некото¬
рой области G непрерывна по переменной х и равно¬
мерно относительно х непрерывна по переменной у, то
эта функция непрерывна в рассматриваемой области.
3206. Доказать, что если в некоторой области G
функция f (дс, у) непрерывна по переменной х и удовлет¬
воряет условию Липшица по переменной у, т. е.
I/ С*. */')-/(*, у") I < L\y'-y"\,
где (jc, у') £ G, (х, у") £ G и L — постоянная, то зга
функция непрерывна в данной области.
3207. Доказать, что если функция / (jc, у), где
(х, у) £ Е, непрерывна по каждой переменной хну
в отдельности и монотонна но одной из них, то эта функ¬
ция непрерывна по совокупности переменных в области Е
{теорема Юнга).
3208. Пусть функция / (jc, у) непрерывна в области
а < jc < Л, b < у < В, а последовательность функций
11*
324 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ф„ (дс) (я = 1, 2, . . .) сходится равномерно на [а, А 1
и удовлетворяет условию b < <р„ (х) < В. Доказать,
что последовательность функций
Рп(х) = / (х, <рп(х)) (я = 1,2,...)
также сходится равномерно на [а, А].
3209. Пусть: 1) функция / (л:, у) непрерывна в области
R(a<.x<ZA; b < у < В); 2) функция ф (х) непре¬
рывна в интервале (а, А) и имеет значения, принадле¬
жащие интервалу (b, В). Доказать, что функция
F (х) = f (х, ф (*))
непрерывна в интервале (а, А).
3210. Пусть: 1) функция / (х, у) непрерывна в обла¬
сти R (а < х < А; b < у < В); 2) функции х = <р (и, v)
и у = (и, v) непрерывны в области R' (а' < и < Л';
b'<.v<B') и имеют значения, принадлежащие со¬
ответственно интервалам (а, А) и (&, В). Доказать, что
функция
F (и, v) = f (ф (и, у), ф (г/, и))
непрерывна в области R'.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
1°. Частные производные. Результат частного
дифференцирования функции нескольких переменных не за¬
висит от порядка дифференцирования, если все производные,
входящие в вычисление, непрерывны.
2°. Дифференциал функции. Если полное при¬
ращение функции I (дс, у, г) от независимых переменных х, у, г
может быть представлено в виде
Н (*. У. г) = А Ах + ВАу + CAz + о (р),
где коэффициенты А, В, С не зависят от А*, Ау, Аг и р =
= V(A*)2 + (Д^)2 + (Дг)2, то функция / (дс, у, г) называется
дифференцируемой в точке (дс. //, z), а линейная часть приращения
А Ах + В Ау + + С Дг, равная
df (х, у, г) =--/*(*, у, г) dx-\-f'y (х, у, г) + /' (дс, </, z)dz, (1)
где <2* = Ддс, dy = Дr/t dz = Аг, называется дифференциалом
этой функции.
Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда
переменные дс, у, г являются некоторыми дифференцируемыми
функциями от независимых переменных.
Если я, г/, г — независимые переменные, и функция
f У» 2) имеет непрерывные частные производные до я-го порядка
включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет
Ч 2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 325
место символическая формула
dnf( х, у, z) = (dx -2- + dy + dz -^-Y / (*, у, г).
V дх ду dz J
3°. Производная сложной функции. Если
^ = И*. У» 2) дифференцируема и х = ф (гг, v), у = \р (и, v)t
г= х (и, и), где функции ф, if, % дифференцируемы, то
dw dw dx ^ dw dy ^ dw дг
ди дх ди ду ди дг ди
dw dw dx . dw dy . dw дг
dv дх dv ду dv дг dv
Для вычисления производных второго порядка функции w
полезно пользоваться символическими формулами:
d2w _ /у д , л d_^D _d V«._l dw
диг \ дх dy dz ) du дх
dQi dw j dRi dw
du ду ди дг
и
d2w
= ( Pt^ + <h-— + Ri-l-)(p»-l-+(h-§- +
du dv V dx dy dz J\ dx dy
d \ dPx dw dQx dw , dRi dw
dv dx dv dy dv дг
где
P-— О - dy R - дг
ГI — —, VI — —— > К1—“Т—>
ди ди du
Р О - ду R - дг
‘2 “ » V2 — "Г » А2 г—.
dv dv dv
4°, Производная в данном направлении.
Если направление I в пространстве Охуг характеризуется на¬
правляющими косинусами {cos a, cos р, cos Yl и функция м =
= f, (х, у, г) дифференцируема, то npouseodnoR по направлению
I вычисляется по формуле
ди du . du 0 . du
• = cos а -4 cos р cos 7.
dl dx dy dz
Скорость наибольшего роста функции в данной точке, по вели¬
чине и направлению, определяется вектором — градиентом
функции:
. ди 3 . ди f . ди .
grad u^—-t+—~J+ — k,
дх ду дг
величина которого равна
325. ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
S211. Показать, что
Гх(х, b) = JL[f{x> ь)].
ах
3212. Найти f'x(x, 1), если
f(x, у)=х-\-(у—1) arcsin д/-^- •
3212.1. Найти /ИО, 0) и f'y (0, 0), если / (х, у) = \Псу.
Является ли эта функция дифференцируемой в точке О
{0, 0)?
3212.2. Является ли дифференцируемой в точке
О (0, 0) функция
f (х, у) = >/ х3 + у3?
3212.3. Исследовать на дифференцируемость в точке
О (0, 0) функцию f (х, у) = e~i,x’+yl при *2+ у2>0 и
/ (0, 0) = 0.
Найти частные производные первого и второго по¬
рядков от следующих функций:
3213. и = х?-}-у*—4дАД 3214. и = ху + -^~.
3215. ы = —. 3216. и —
и*
у V + г/2
3217. гг = xsin (а: + г/). 3218. и = -^-
3219. u = tg —. 3220. и = х«.
У
3221. ы = In (дс + у2). 3222. и = arctg
X
3223. и = arctg- xJr y~. 3224. u=arcsin-
У х-+1/2
_1_
V*2 + ^ + 22
3227. и=хУ1\ 3228. u =
3229. Проверить равенство
д2Ц
дх ду дц дх 1
§ 2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 327
если
а) и = х2—2ху—3у2; б) и = лУ;
в) ы = arccos д/ — •
3230. Пусть t (х, у) =ху * .если х2 + у2 ф 0
дс2 + у2
и / (0, 0) = 0. Показать, что fXIJ (0, 0) ^ fyx (0, 0).
3230.1. Существует ли f'x'y(0, 0), если
(< \ (“Т?Т при
/(*, {/) = | *+(/2
( 0 при х = у — 0.
3231. Пусть и = f (х, у, г) — однородная функция
измерения п. Проверить теорему Эйлера об однородных
функциях на следующих примерах:
а) и = (х—2у+3г)2; б) и = — —* —:
V х2 + уг+г1
*~(тГ-
3232. Доказать, что если дифференцируемая функ¬
ция и = f (х, у, г) удовлетворяет уравнению
ди , ди , ди
Х—+У— +2—— — пи,
ах ду дг
то она является однородной функцией измерения п.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
F (/)= /«*. 'У< tz)
3233. Доказать, что если f (х, у, г) — дифференци¬
руемая однородная функция измерения п, то ее частные
производные f'x (дг, у, г), f'y (лг, у, г), f'2 (х, у, г) — однород¬
ные функции измерения п—1.
3234. Пусть и — f (х, у, г) — дважды дифференци¬
руемая однородная функция измерения п. Доказать, что
Найти дифференциалы первого и второго порядков
от следующих функций (дг, у, г — независимые пере¬
менные):
3235. и — хтуп, 3236. ы = —.
У
328 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3237. и = V*2 + Уг ■ 3238. « = 1пл/-?+?Г.
3239. и = еку. 3240. и = хууггх.
3241. и= - .
^ + у1
3242. Найти df (1, 1, 1) и d2f (1, 1, 1), если
/(*. у, 2) = |/"“ •
3243. Показать, что если и = -\/хг + уг -4-г2, то
d2u > 0.
3244. Предполагая, что х, у малы по абсолютной
величине, вывести приближенные формулы для следую¬
щих выражений:
а) (1 +jc)m (1 +у)п\ б) In (1 +*)• In (1 +!/);
в) arctg * j у ■.
1 + ху
3245. Заменяя приращение функции дифференциа¬
лом, приближенно вычислить
а) 1,002 • 2,0032 • 3,0043; б) 1,032 —:
V0,98 УШ3”
в) Vl.023+ 1,973; г) sin 29°• tg46°; д) 0,971-«
3246. На сколько изменятся диагональ и площадь
прямоугольника со сторонами ^ = б м и I/ = 8 м, если
первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона
уменьшится на 5 мм?
3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился
на Да = 1°. На сколько следует уменьшить радиус сек¬
тора = 20 см, чтобы площадь сектора осталась без
изменения?
3248. Доказать, что относительная погрешность про¬
изведения приближенно равна сумме относительных по¬
грешностей сомножителей.
3249. При измерении радиуса основания R и вы¬
соты Н цилиндра были получены следующие результаты:
R — 2,5 м dh 0,1 м; Н = 4,0 м ± 0,2 м.
С какой абсолютной погрешностью Д и относительной
погрешностью 6 может быть вычислен объем цилиндра?
3250. Стороны треугольника а = 200 м ±2 м,
b = 300 м ± 5 м и угол между ними С = 60° ± 1°.
$ 2 ЧЛСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 329
С какой абсолютной погрешностью может быть вычис¬
лена третья сторона треугольника с?
3251. Показать, что функция
/ (X, у) = л/\ху\
непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке обе частные
производные f'x (0, 0) и f'y(0, 0), однако не является диф¬
ференцируемой в точке (0, 0).
Выяснить поведение производных f'x (х, у) и f'y (х, у)
в окрестности точки (0, 0).
3252. Показать, что функция
/(*> «/)=— . если х2 + угф0
л/ х2 + у2
f (0, 0) = о,
в окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограни¬
ченные частные производные fx(x, у) и fy(x, у), однако
эта функция недифференцируема в точке (0, 0).
3253. Показать, что функция
f(x, у) = (х2 + у2)sin если хг + у*ф0
х2+ У2
f (0, 0) = о,
имеет в окрестности точки (0, 0) частные производные
f'x(x, у) и f'y(x, у), которые разрывны в точке (0, 0) и не-
ограничены в любой окрестности ее; тем не менее зта
функция дифференцируема в точке (0, 0).
3254. Доказать, что функция / (х, у), имеющая огра¬
ниченные частные производные f'x (х, у) и f'y (х, у) в не¬
которой выпуклой области £, равномерно непрерывна
в этой области.
3255. Доказать, что если функция f (х, у) непрерывна
по переменной х при каждом фиксированном значении у
и имеет ограниченную производную f'y (х, у) по перемен¬
ной у> то эта функция непрерывна по совокупности пе¬
ременных х и у.
Найти указанные частные производные в следующих
задачах:
оог/> <Э4// дАи д*и
3256. , , , если
дхА дх*ду дх2ду2
и = х—у + х2 + 2 ху + у2 + х3—3 х2у—у3 + х4—
— 4х2у2 + tf4.
330 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
д3и
3257. , если и = х\п(ху).
дх2ду
3258. —-—t если ы = дг3 sin г/ + г/3 sin jc.
дхгду*
3259. ———, если и = arctg х+ у+ г — хУг .
дх ду дг 1 — ху — хг — уг
3260. —-—, если и = е*Уг.
дх ду дг
3261. ——— , если и = In
д*дуд%дл У^-ЙЧ-Ог-п)1
др+4п
3262. ——если и = (х—х0)е(у—у0)4.
дхрду4
3263. JZ2L-, если и = ^~.
дх^ду71 х — у
3264. ■ д™ ■, если и — (х2+у2) ex+'J.
дхтдуп к
fiP+q+ffj
3265. , если и = хуге*+У+г.
дхРдуОдгГ
3266. Найти f%*n\0, 0), если / (х, у) = ех sin у.
3267. Показать, что если и = / (хуг), то
дх ду дг
F(t),
где t = хуг, и найти функцию F.
3268. Найти diu, если и = х*—2х3у—2ху3 + у* +
4- х*—3х2у — 3ху2 + i/3 + 2х2—ху + 2у2 + х + у + 1.
.. д*и д*и д*и
Чему равны производные
д*и д*и ~
и ?
дх* дх3ду дх2ду2
дх ду* ду4
Найти полные дифференциалы указанного порядка
в следующих примерах:
3269. d3u, если и = х3 + у3—3ху (х—у).
3270. d3u, если и = sin (х2 + у2).
3271. dl0u, если и = In (х + у).
3272. d°u, если и = cos х ch у.
3273. d3u, если и = хуг.
3274. dlu, если и = In (xxy'Jzz).
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 331
3275. dnu, если и = еах+Ьу.
3276. dnu, если и = X (х) Y (у).
3277. dnu, если и = / (х + у + 2),
3278. dnu, если и = еах+Ьу+С2.
3279. Пусть Рп{х, у, г) — однородный многочлен
степени п. Доказать, что
dnPn(x, у, z) = п\ Рп (dx, dy, dz).
3280. Пусть
, ди , ди
Аи = х— 1-у-
дх ду
Найти Аи и А2и = А (Аи), если
а) ; б) и = \п -^х2 + у2.
х2+у*
3281. Пусть
(Ри , д2и
А и ■■
дх" дуъ
Найти Аи, если
а) и = sin х ch у; б) и = In *Jx2 + у2‘.
3282. Пусть
д2и , , д'и
дх'1 ду2 ог:
Найти A и А2ы, если
а) и = х3 Jr г/3 + 23'—Зхуг; б) « =
V*2 4 4 г2
Найти производные первого и второго порядков от
следующих сложных функций:
3283. u=f(x2 + y2 + z*).
3284. u=f(x,
3285. u—f(x, ху, хцг).
д2и
3286. Найти , если и = f (х + у, ху).
дх ду
тт „ А д2и . д2и . д2и
3287. Наити А« = —— 4-——-f,
дкг ду2 дг1
332 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
если
И = / (X + у + 2, *2 + у2 + г2).
Найти полные дифференциалы первого и второго
порядков от следующих сложных функций (х, у и 2 —
независимые переменные):
3288. и = f (/), где / = х + у.
3289. и = f (f), где t = —. 3290. и — f (л/х2 +у2).
X
3291. и = f (t), где t = хуг. 3292. и = f (х2 + у2-\-гг).
3293. и = f (i, г]), где I = ах, r\ — by.
3294. «=/(1, г)), где £ = х + у, т) = х—у.
3295. и — f (5, ri), где I — ху, г) = —.
У
3296. и = / (х + у, г).
3297. и = f (х + у + г, х2' + у2 + г2).
3298. и=/(—,
3299. и = f (х, у, г), где х = t, у = t2, z = t3.
3300. и — f (1, rj, £), где I = ax, ц = by, £ = сг.
3301. и = f (£, rj, £), где t = x2 + у2, t| = x2—y2,
& = 2xy.
Найти £?"«, если:
3302. и = f (ax by + cz). 3303. и f (ax, by, cz).
3304. u = f (I, t), £), где i = ajJC + bxy + cxz,
= atx + b2y + c2z, С — a^x + b3y + c32.
3305. Пусть и = f (г), где r = д/r2 + у2 + г2 и
/ — дважды дифференцируемая функция. Показать, что
Ди = F (г),
А д2и . д2и , д2и п
где Ди 1 1 оператор Лапласа, и
дх2 ду2 дг2
Найти функцию F.
3306. Пусть и и v — дважды дифференцируемые
функции и Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305).
Доказать, что
Д (uv) = и Ду + v Ди + 2Д (и, v),
где
. , . ди dv , ди dv . ди dv
Д (и, t>) = .
' ' дх дх ду ду дг дг
3307. Показать, что функция
и = In л/(х—с)2 + (у—Ь)2-
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 333
(а п Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и , д2и q
дх2 ду2
3308. Доказать, что если функция и = и (х, у) удов¬
летворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то
функция
* У
X2 + У2 9 х2-\- у2
также удовлетворяет этому уравнению.
3309. Показать, что функция
(■х-Ь)а
v = u^~
АаЧ
2а д/я/
(а и Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению тепло¬
проводности
да о д2и
— = а2
dt дх2
3310. Доказать, что если функция и = и (х, f) удов¬
летворяет уравнению теплопроводности (см. задачу
3309), то функция
_-М (<>0)
a«Jl аЧ>
также удовлетворяет этому уравнению.
3311. Доказать, что функция
1
и = —,
где г = л!(х—<а)2 + {у—й)2 + (г—с)2, удовлетворяет
при г Ф 0 уравнению Лапласа
л д‘2и д2и д2и п
з== 1 1 = 0.
дх2 ду2 dz2
3312. Доказать, что если функция и ~ и (х, у, г)
удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311),
то функция
1 / k2X k2y k22 \
и=~иЫ' —у
где к — постоянная и г — -у/х2 + у2 + г2, также удов¬
летворяет этому уравнению.
334 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
8313. Доказать, что функция
C1g-ar+ сгеаг
U — ■
где г = aJx2 + y2+z2 и Cv Сг — постоянные, удов¬
летворяет уравнению Гельмгольца
д'2и . д2и д2и 2
а2 и.
дхг дуъ дг2
3314. Пусть функции их = ut (х, у, г) и ы2 = н2 (дг,
у, г) удовлетворяют уравнению Лапласа Ди =* 0.
Доказать, что функция
v = иг (х, у, г) + (х2 + у2 + z2) и2 (х, у, г)
удовлетворяет бигармоническому уравнению
Д (Ду) = 0.
3315. Пусть f (х, у, г) есть т раз дифференцируемая
однородная функция измерения п. Доказать, что
(x-t+!/-t+z-tTnx’
= n(n — l)... (n—m + l)f (х, у, z)'
3316. Упростить выражение
дг , дг
sec* ^sec у —,
дх ду
если г = sin у + / (sin х — sin у), где / — дифференци¬
руемая функция.
3317. Показать, что функция z = xnf ’ гДе / —
произвольная дифференцируемая функция, удовлетво¬
ряет уравнению
*1Г+2У-1Г = пг.
дх ду
3318. Показать, что г = yf (x2—y2)f где / — произ-
гольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
о дг , дг
0S7+XI>-S7-J-
3319. Упростить выражение + если
—^гХ3(у + г) + -±- (У — х> 2—
где / — дифференцируемая функция.
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 335
3320. Пусть хг = vw, у2 = uw, z2 = uv и
f (X, у, 2) = F (и, v, w).
Доказать, что
xf'x + yfy + zfi = uF'u + vF'tt + wF‘w.
Предполагая, что произвольные функции <p, i|j и т. п.
дифференцируемы достаточное число раз, проверить
следующие равенства:
3321. у— х = 0, если г = ф (х2+ у2).
дх ду
3322. х2 ——ху-^- + иг — 0, если г = — + <$(ху).
дх ду Зх
3323. (х2—у2) + ху = хуг,
дх ду
( ъ?)
если г = \уе J.
ди . ди , а ди
3324. х {- ay f-6z — пи,
дх ду дг
если и — хпа> (-У— , —— ]#
\ха )
S325. х-^-+у^-+г^- = и + J3L.
дх ду дг г
если «= 1п л:-{- jctp
3326. = еслии = ф(х—а0 + ^(* + а0*
dt2 дх2
3327. — 2 ——Ь-^- = 0,
дх2 дх ду ду*
если м = л:ф(х + (/) + г/^(дс + {/).
3328. х*^ + 2ху^Г + у24ч-=Ь
дх2 дх ду ду2
если и = ф '
3329. x2-pL + 2xy-^-+y2-^- = n{n-\)u,
дх2 дх ду ду2
если и = хпф^—^ +
оооп <Ри ди 3% . . , ,
3330. ____ = , если и = ф[* + ^(у)1.
од: дх ду ду дх2.
336 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Путем последовательного дифференцирования исклю¬
чить произвольные функции <р и я|э:
3331. z = х -j- ф (ху)9 3332. у — хф ^^,
3333. z = q('\/x2 + y2). 3334. и = у(х—у, у — z).
3336. и = ф(—,
3336. z = ф (jc) -f-1|> (у). 3337. z = ф (х) t|j (у).
8338. z = ф (jc+у) 4- tp (jc—у).
3339. г = дсф ^ + yty .
3340. г = ф (jсу) -f- я)) ^.
3341. Найти производную функции г = хг—уг в
точке М (1, 1), в направлении I, составляющем угол
а = 60° с положительным направлением оси Ох.
3342. Найти производную функции г = jc2—ху + уг
в точке М (1, 1) в направлении I, составляющем угол а
с положительным направлением оси Ох. В каком на¬
правлении эта производная имеет: а) наибольшее зна¬
чение; б) наименьшее значение; в) равна 0.
3343. Найти производную функции z = In (jc2 + у2)
в точке М (х0, г/0) в направлении, перпендикулярном
к линии уровня, проходящей через эту точку.
3344. Найти производную функции г = 1 —^
в точке М (—по направлению внутренней
W2 У2 )
нормали в этой точке к кривой:
3345. Найти производную функции и = хуг в точке
М (1, 1, 1), в направлении / {cos a, cos р, cos у}.
Чему равна величина градиента функции в этой
точке?
3346. Найти величину и направление градиента
функции
1
и = ,
т
где г = д/У + уг- + г2, в точке М0 (jc0, уа, г0).
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 537
3347. Определить угол между градиентами функции
и = х2 + у2—z2 в точках А (е, 0, 0) и В (0, е, 0).
3348. На сколько отличается в точке М (1,2, 2) ве¬
личина градиента функции и = х + у + гсгг величины
градиента функции
w = jc + # + z + 0,001 sin (10°я -у/х2 + у2 + z2)?
3349. Показать, что в точке М0 (х0, у0, z0) угол ме¬
жду градиентами функций
и — ах2 + by2 + cz2
и
v = ах2 + by2 -f cz2 + 2тх + 2пу + 2pz
(а, Ъ, с, т, п, р — постоянны и а2 + Ь2 + с2 ф 0) стре¬
мится к нулю, если точка М0 удаляется в бесконечность.
3350. Пусть и — f (х, у, z) — дважды дифференци¬
руемая функция. Найти если cos а,
cos Р, cos v — направляющие косинусы направления /.
3351. Пусть и = / (х, у, z)—дважды дифференци¬
руемая функция и
/i {cos <xlt cos 0!, cos Yx}, /2 {cos a2, cos p2, cos v2},
l3 {cos a3, cos p3, cosva}
— три взаимно перпендикулярных направления.
Доказать, что:
д2и , д2и , д2ч д2и , д2и , д2и
б)
dl\ dl\ d/j дх? ду1 <?г2
3352. Пусть и = и (х, у) — дифференцируемая функ¬
ция и при у = х2 имеем:
и(х, у) = \ и
дх
Найти при у = хй.
ду н *
3353. Пусть функция и = и (х, у) удовлетворяет
уравнению
дч а2и _ 0
дх3 ду4 ~
338 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и, кроме того, следующим условиям:
и (х, 2х) = х, их (я, 2х) = ха.
Найти
и’хх(х, 2х), Ыхц (.х, 2х),
иУУ
(х, 2х).
Полагая г = г (х, у), решить следующие уравнения:
3354. = 3355. = 0.
дх2 дх ду
дпг л
3356.
дуп
3357. Полагая и = и (х, у, г), решить уравнение
аз“ =0.
дх ду дг
3358. Найти решение г = г (х, у) уравнения
-^-=х2 + 2у,
ду
удовлетворяющее условию: г (.к, х2) — 1.
3359. Найти решение z — г (х, у) уравнения
^- = 2.
ду*
удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = 1, zy(xt 0) = х.
3360. Найти решение г = г (х, у) уравнения
д2г
дх ду
удовлетворяющее условияхм: г (х, 0) = jc, г (0, у) = у2.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
1°. Теорема существования. Если: I) функ¬
ция F (х, у, г) обращается в нуль в некоторой точке
А0 (х0, у0, 20); 2) F (х, yt 2)11 F' (х, yt г) определены и непрерывны
в окрестности точки Л0; 3) (дс0, y0i г0)ФО, то в некоторой доста¬
точно малой окрестности точки А0 (x0t yt)) существует единствен¬
ная однозначная непрерывная функция
г = I (х> у), (1)
удовлетворяющая уравнению
F (*, У> А = 0
п такая, что z0 = f (х0, yQ).
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 339
2°. Дифференцируемость неявной функ¬
ции. Если, сверх того, 4) функции F (х, у, г) диффе¬
ренцируема в окрестности точки А0 (х0, у0, г0), то функция (1)
дифференцируема в окрестности точки А0 (х0, у^) и ее произ*
дг дг
водные и — могут быть найдены из уравнений
дх ду
——\-IL~Jl. =о. «
дх дг дх ду дг ду
Если функция F (*, у, г) дифференцируема достаточное число
раз, то последовательным дифференцированием равенств (2)
вычисляются также производные высших порядков от функции ?•
3°. Неявные функции, определяемые си¬
стемой уравнений. Пусть функции Ft (xti . , , , хт\
У г» • • • » Уп) 0 — 1» 2, . в * # п) удовлетворяют следующим ус¬
ловиям:
1) обращаются в нуль в точке А0 (*ю. • • • #
010» • • • » Упо)> ^
2) дифференцируемы в окрестности точки Л0;
3) функциональный определитель . ^ Ф 0
д (Уи . ... Уп)
в точке Л0.
В таком случае система уравнений
Fi (х 1, • • хт\ Ух, , • 0п)=О (/=1,2,, • »| л), (3)
однозначно определяет в некоторой окрестности точки
Л0 (*хо» • . • , *то) систему дифференцируемых функций
f (%1» • • • » хт) 0* ^ 1» 2, • * • » Л),
удовлетворяющих уравнениям (3) и условиям
fi (*10. • • • » Хтп) ~ (i ~ 1, 2л).
Дифференциалы этих неявных функций могут быть най-
дены из системы
т п
V др1 . V ^
/ я -^/ + y'-fL^* = 0
L-i dxt Lu dyk
/=i ft=i
(i li 2, * § * j и)*),
3361. Показать, что разрывная в каждой точке функ*
ция Дирихле
J 1, если х рационально,
0, если дг иррационально,
*) При формулировке большинства задач эторо раздела без
оговорок предполагается, что выполнены условия существова¬
ния неявных функций и их соответствующих производных.
340 ОТДЕЛ VT ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
удовлетворяет уравнению
у2—у = 0.
3362. Пусть функция / (х) определена в интервале
(а, Ь). В каком случае уравнение
/ (*) у = 0
имеет при а<.х<.Ь единственное непрерывное решение
у - 0?
3363. Пусть функции / (х) и g (х) определены и не¬
прерывны в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение
/ (х) У =g (х)
имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное ре¬
шение?
3364. Пусть дано уравнение
+ у2 = 1 (1)
У = У(х) (— 1 < х < 1) (2)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравне¬
нию (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (0) = 1;
б) у (I) = 0?
3365. Пусть дано уравнение
х2 = у* (1)
п
У = У (*) (— 00 < х < + оо) (2)
есть однозначная функция, удовлетворяющая уравне¬
нию (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций
(2) удовлетворяет уравнению (1)?
4) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (1) = 1;
б) у (0) = 0?
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 341
5) Сколько однозначных непрерывных функций
у = у (х) (1—б < х < 1 +6) удовлетворяет уравнению
(1), если у (1) = 1 и 6 достаточно мало?
3366. Уравнение х* + у2 = х* + у* определяет у как
многозначную функцию от х. В каких областях эта
функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна,
4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой
функции и ее однозначные непрерывные ветви.
3367. Найти точки ветвления и непрерывные одно¬
значные ветви у = у (х) (— 1 < х < 1) многозначной
функции у, определяемой уравнением (я2 + у2)2 =
= х2—у2.
3368. Пусть f (*) — непрерывна при а<. х <. b и
Ф (у) — монотонно возрастает и непрерывна при с <Cy<.d.
В каком случае уравнение <р (у) = / (дс) определяет одно¬
значную функцию у = ф-1 (/ (*))?
Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х\ б) е~у =
= — sin2*.
3369. Пусть
* = у + ф (у), (О
где ф (0) = 0 и | ф' (у) | < k < 1 при — а<. у < а. До¬
казать, что при — е «< х <. е существует единственная
дифференцируемая функция у—у(х), удовлетворяю¬
щая уравнению (1), и такая, что у (0) = 0.
3370. Пусть у = у (х) — неявная функция, опреде¬
ляемая уравнением
X — ky ф (у),
где постоянная к Ф 0, и ф (у) — дифференцируемая
периодическая функция периода о такая, что | ф' (у) | <
<|£|. Доказать, что
У = -7- + Ч>(*).
к
где (х) — периодическая функция с периодом \k\ <а.
Найти у' и у" для функций у, определяемых следую¬
щими уравнениями;
3371. х2 + 2ху—у2 = а2. 3372. In л/х2- + у2 ^
= arctg —.
X
3373. у — е sin у = х (0 < е < 1).
3374. ху = у* (х Ф у). 3375. у = 2х arctg—.
342 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3376. Доказать, что при
1 + ху — k (х—у),
где k — постоянная величина, имеет место равенство
dx _ dy
1 + ж2 1 + у» *
3377. Доказать, что если
х2у2 + х2 +у2 — 1=0,
то при ху> 0 имеет место равенство
- dx + /у =0.
Vl— X* Vl— У*
3378. Доказать, что уравнение
(х2 + у2)2 = а2 (*2—г/2) (а Ф 0)
в окрестности точки х = 0, у = 0 определяет две диф¬
ференцируемые функции: у = У\(х) а у = у2(х). Найти
у[ (0) и у'2(0).
3379. Найти у' при х = 0 и у = О, если
(*• + = За:2^—г/3.
3380. Найти у’, у” и у'", если х2 + ху + у2 = 3.
3381. Найти у', у" и у'" при х = 0, у = 1, если
х2—ху + 2г/2 + х—у— 1 = 0.
3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка
ах2 + 2 Ьху + су2 + 2dx + 2 еу + / = 0
справедливо равенство
-£-[(у")~2/3 1=0.
Для функции г = г (х, у) найти частные производные
первого и второго порядков, если:
3383. х2 + у2 + z2 = а2. 3384. z*—3xyz = о3.
3385. х у z = е2.
3386. z = V^IIF-tg— 2
•\Z*a — у2
3387. л: + у + г = £—<*+» +2>.
3388. Пусть
хг + у% + г2 — Ъхуг = 0 (1)
и
/ (дг, г/, г) = xy2za.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 343
Найти: a) f'x (1, 1, 1), если г — г (х, у) есть неявная функ¬
ция, определяемая уравнением (1); б) f'x (1, 1, 1), если
у = у (х, г) есть неявная функция, определяемая урав¬
нением (1). Объяснить, почему эти производные раз¬
личны.
3389. Найти , ■ дг , -д — при х = 1, у — — 2,
дх2 дхду ду* К
2=1, если х2 + 2у2 Ч- 3z2 + ху—г—9 = 0.
Найти dz и d2z, если:
v2 * i2 jr2
3390. —+ —+ — = 1.
a* ft* ca
3391. xyz = jc + у + 2.
3392. —= In — +1. 3393. z = * + arctg —.
г у г — х
3394. Найти du, если и3 — 3 (х + у) иг Ч- г3 = 0.
3395. Найти , если
дх ду
F(x + y + z, *2 + */2 + г2) = 0.
3396. Найти и если
аде %
F(x—y, y—z, z—х) = 0.
3397. Найти и -^4-, если
дх ду дх2
F(x, x + y,x + y + z) = 0.
3398. Найти если F(xz,yz) — 0.
ддс2
3399. Найти d?z, если:
a) f (л: + 2, y + z)~0; б) *7*) = °‘
3391.1. Пусть z — z (х, у)—та дифференцируемая
функция, определяемая уравнением
г3 — дег Ч- у = 0,
которая при х = 3, у = — 2 принимает значение г = 2.
Найти dz (3, — 2) и d%z (3, — 2).
3400. Пусть х = х (у, г), у = у (х, z), z = г (дс, у) —
функции, определяемые уравнением F (дс, у, г) = 0.
Доказать, что
дх ду дг j
ду dz дх
344 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН И
IL.
3401. Найти и если х + у -f г = 0, х2 +
dz сг
+ у2 + г2 = 1.
3402. Найти и ири х = 1,
dz dz dz2 а'г2
у = — 1, г = 2, если х2 + у2 = г2, jc + у + г = 2.
3403. Найти _*L и _*L если *1г—yV = о,
йд: ду дх ду
уи + XV = 1.
3403.1. Система уравнений
xeu+v+ 2 uv= 1,
yeu-v Ч— = 2х
1 + »
определяет дифференцируемые функции и = и (х, у),
и v = v (х, у) такие, что и (1, 2) = 0 и v (1, 2) = 0.
Найти du (1, 2) и dv (1, 2).
3404. Найти du, dv, d2u и d2v, если
sin и X
u + v = x + y, — = —.
sin V у
3405. Найти du, dv, d2und2v при x = 1, у = I, и = 0,
Jl
v = —, если
4
e'j/x cos — = —, eu/* sin — = - y
У V2 y л/ 2
3406. Пусть
x = t + Г1, у = t2 + Г2, 2 = t9 + Г3.
тт « du dz d2y d2z
Наити -2- , , —— II .
dx dx dx2 d*2
3407. В какой области плоскости Оху система урав¬
нений
х — и + v, у — и2 4- v2, г — и3 + v3,
где параметры и и v принимают всевозможные вещест¬
венные значения, определяет г как функцию от пере¬
менных х и и? Найти производные и
дх ду
3407.1. Найти и в точке и = 1, v = 1, если
дх ду
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 345
X = и + In V,
y^v — ln и,
z = 2u-\-v.
3407.2. Найти в точке и = 2, v = 1, если
дхду
х = и + и2,
у = ы2—Vs
г = 2«у.
3408. Найти если
дх2
* = cos ф cos ijj, t/ = cos ф sin ф, г = sin ф.
оллп u « o2z д2г д~г
3409. Наити , и , если
дх2 дх ду ду2
х — и cos v, у = и sin v, г = V.
3410. Пусть z — г (jc, у) функция определяется си¬
стемой уравнений:
х = еи+г>, у = еи~°, г = uv
(и и v — параметры). Найти dz и d2z, при и = 0 и v = 0.
3411. Найти и если г = х2 + у2, где и =
dxdx* * » »
= у (х) определяется из уравнения
jc2 — ху + у2 = 1.
3412. Найти и если и , где 2 опре-
дх ду у + г
деляется из уравнения ге* = дсе* + уец.
3413. Пусть уравнения х = ф (ы, у), у = яр (ы, о),
2 — ОС (“» у) определяют г как функцию от х и у. Найти
_*L„ Jf_.
дх ду
3414. Пусть х = ф (и, и), у = гр (и, v). Найти част¬
ные производные первого и второго порядков от обрат¬
ных функций: и = и (jc, у) и v = v (х, у).
и . ди ди dv dv
3415. Наити—, , , —, если
дх ду дх ду
а) х = и cos —, у = и sin —;
и и
б) jc = е“ + и sin v, у = еи — и cos v.
346 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3416. Функция и = и (х) определяется системой
уравнений
«=*/(*. у, г), g (х, у, г) = 0, h (.к, у, г) = 0.
т f „ du d2u
Наити и ——.
dx dx2
3417. Функция и = и (х, у) определяется системой
уравнений
и = f (х, у, г, t), g (у, г, t) = 0, h (z, t) = 0.
тт о ди ди
Наити и .
дх ду
3418. Пусть х — f (и, v, w), у — g (и, v, w), г =
< / \ и и ди ди ди
<= п (и, v, W). Наити , и .
дх ду дг
3419. Пусть функция г — г (х, у) удовлетворяет
системе уравнений / (х, у, z, t) = 0, g (х, у, z, t) = 0,
где t — переменный параметр. Найти dz.
3420. Пусть и = / (г), где г — неявная функция от
переменных х и у, определяемая уравнением г =
•= х + у<р (г).
Доказать формулу Лагранжа
дуп дхп-1 V Л дх j
Указание. Доказать формулу для п = 1 и применить
метод математической индукции.
3421. Показать, что функция z = г (х, у), опреде¬
ляемая уравнением
Ф (х — аг, у — Ьг) = 0, (1)
где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функ¬
ция от переменных и и v (а и Ь — постоянные), являются
решением уравнения
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (1).
3422. Показать, что функция z — z (х, у), определяе¬
мая уравнением
ФГ——дг°-, .у~^Л=0, (2)
\ г — г0 г — г0/
где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функ¬
ция от переменных и и v, удовлетворяет уравнению
(* — Х0)-^-+ (у — уо) - =2 —20.
дх ду
5 S. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 347
Выяснить геометрические свойства поверхности (2).
3423. Показать, что функция г = г (*, у), определяе¬
мая уравнением
ах + by + с2 — Ф (дс2 + у2 + г2), (3)
где Ф (и) — произвольная дифференцируемая функция
от переменной и и а, b и с — постоянные, удовлетворяет
уравнению
Осу— bz) + (аг—сх) -^- = Ьх —ау.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (3)’.
3424. Функция г — г (х, у) задана уравнением
x2 + y2 + z2 = yf(-j).
Показать, что
(х2—у2—г2) -f 2xi/ = 2хг.
дх ду
3425. Функция г = г (х, у) задана уравнением
F (х+гу-1, у+zх~1)=0.
Показать, что
дг . дг
* -Г + У-т- = г—хУ-
дх ду
3426. Показать, что функция г = г (х, у), опреде¬
ляемая системой уравнений:
х cos ос + у sin а + In г = f (а), 1
— jesina-}-ycosa = /' (a), J
где а = а (х, у) — переменный параметр и f (а) — про¬
извольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
(*У+(£У-Л
3427. Показать, что функция г = г (.х, у), заданная
системой уравнений:
г — cw -| -—f- f (ос),
a
О—jc—у- +/'(«).
а-
удовлетворяет уравнению
дг дг ,
348 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3428. Показать, что функция г = г (х, у), заданная
уравнениями
[z—f (а)]* = х1 (у*—а2),
[z—f (а)] f' (а) = <хх\
удовлетворяет уравнению
дг дг
ху,
дх ду *
8429. Показать, что функция г = г (х9 у), заданная
уравнениями
г = а*+(/<р(а) + 1|)(а), 1
0 = х + уу' (а) + 1р' (а), J
удовлетворяет уравнению
д2г д*г / cPz у = q
дх2 ду2 \ дх ду )
3430. Показать, что неявная функция г = г (х, у),
определяемая уравнением
у = х<р (г) + ф (г),
удовлетворяет уравнению
/ дг у д2г g &г дг д2г , / дг у d2z _ q
V ду ) дх2 ддс cty dx &/ V 5л: ) дуъ
§ 4. Замена переменных
1°. Замена переменных в выражении, со*
держащем обыкновенные производные-
Пусть в дифференциальном выражении
А = Ф (дс, у, ух, у"хх, . . .)
требуется перейти к новым переменным: t — независимой пе-
ременной и и — функции, связанным с прежними переменными
Хну уравнениями
Х = Щ, и), y = g(.t, и). (О
Дифференцируя уравнения (1), будем иметь:
dt ди *
Ух =
dt ди
т
Аналогично выражаются высшие производные уххЬ •« • В ре¬
зультате мы получаем:
А = и, Цц% • •
§ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
349
2°. Замена независимых переменных в
выражении, содержащем частные произ¬
водные. Если в дифференциальном выражении
п г / dz dz д1г дгг д2г \
В = F [ х, у, г, , , , , , . . , I
V дх ду дх2 дх ду ду2 /
положить
X — f(u, V), у = g (и, v), (2)
где и п v — новые независимые переменные, то последователь-
dz dz
ные частные производные — > f . . определяются из еле-
дх dy
дующих уравнений*
dz
dz
df i
dz
dg
du
dx
du
dy
du
dz
dz
*/
dz
dg
dv
dx
dv
1 dy
dv
и т. п.
3°. Замена независимых переменных и
функции в выражении, содержащем част¬
ные производные. В более общем случае, если имеем
уравнения
х = I (ut v, w), у = g (и, v, w), z—h (и, v, w)t (3)
где ut v — новые независимые переменные и w = w (и, v) —
dz dz
новая функция, то для частных производных —» —- , , , •
дх ду
получаем такие уравнения:
-Н-f+НгЧг-)+-£(-
дх \ ди dw du у dy \
dz / df , df dw \ dz /
dx v dv dw dv ) dy \
dg |
i ds
dw '
, du
1 dw
du .
dh
г
. dh
dw
dg i
dg
du
dw y
dw
du
dv
dw
dv j
dh
h
. dh
dw
dv
dw
dv
и т. n.
В некоторых случаях замены переменных удобно пользо¬
ваться полными дифференциалами.
3431. Преобразовать уравнение у'у"' — 3у"г =х9
приняв у за новую независимую переменную.
3432. Таким же образом преобразовать уравнение
y'hjIV — Wy"y'" + 15 у"3 = 0.
3433. Преобразовать уравнение
у"+—у'+у=о,
X
350 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию и t — ху — за независимое пере¬
менное.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения:
3434. х*у"- + ху' + у — 0, если х = е1.
3435. у"л = , если t — In | х |.
3436. (1— х2) у'1 — ху' + пгу — 0, если х = cos t.
3437. у"+у' th х 4 ^—у = 0, если *=lntg —.
v а ch*x * 2
X
—1/2 S P<5MS
3438. y"+p (x) y'+q (x) y=0, если y=ue * ,
где p (*) f Ol).
3439. x*y" + xyy' — 2</a = 0, если x — ё и у — ueztt
где и = и (t).
3440. (1 + х2)*у”- = у, если х = tg t и у ■ ,
COS /
где и = и (t).
3441. (1 —хУу" = —у, если х — th / и у = —-—,
ch /
где и — и (t).
3442. у"■ + (х + у) (1 + у')3 = 0, если х = и + t
л у = и—t, где и = и (t).
3443. у1" — *У'' + ху1 — у = 0, если х = -j-
и у =-у, где и = и (/).
3444. Преобразовать уравнение Стокса
_ ау
у (х — а)2 (х — Ь)2 ’
полагая
и j * | х—а I
и = —-—, <= 1п I
х — Ь \ х — b I
В принимая и за функцию переменной t.
3445. Показать, что если уравнение
JpL + p(x)^L+q(x)y = 0
ах2 dx
$ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ! 351
преобразовать подстановкой х — ф (|) в уравнение
-0- + P(i)-|-+Q(t)i/=o,
то
[2P(|)Q(|) + Q'a)l [Q(!)]-3/2 =
= [2р (.к) q (jc) +q' (л:)] [q {x)\-W.
3446. В уравнении Ф (у, у', у") = 0, где Ф — од¬
нородная функция переменных у, ууположить
У=е*
S и dx
3447* В уравнении F (х2у", ху\ у) = 0, где F —
однородная функция своих аргументов, положить
у
и = х —
у
3448. Доказать, что уравнение
У11 (1 + У,й) - зу'у"2 = о
не меняет своего вида при томографическом преобразо¬
вании
х= flis+fti'H + Ct _ + Ь2к\ + ^2
oi+by] + c 9 al+Ьц + с
Указание. Данное преобразование представить в виде
композиции простейших преобразовании:
x=aX + $Y + y> у= У;
1 v-
X = —, 7 =
Хг
в
Х\ — Д? + Ьх\ + с, Y! = а2% + бгЛ + с2*
3449. Доказать, что шварииан
sit/m - *"м 3 [*'(*) 1*
не меняет своего значения при дробно-линейном преоб¬
разовании:
<М-Ьс + %
cx(t)-\-d
Преобразовать к полярным координатам г и ф, по¬
лагая х = г cos ф, у = г sin ф, следующие уравнения;
352 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3450. ^Le-£±iL.
dx х — у
3451. (ху'—у)2 = 2ху (1 + у'2).
3452. (лга + уУу" = (х + уу')\
3453. Преобразовать к полярным координатам вы*
* + чу'
ражение — .
ху —у
3454. Кривизну плоской кривой
\у'хЛ
К-
выразить в полярных координатах г и ф.
3455. В системе уравнений
■¥- = y + kx(x* + y% JM-=-x + ky(x* + y*)
at at
перейти к полярным координатам.
3456. Преобразовать выражение
лш d1у &гх
W = х—z у ,
df * dt2
введя новые функции г ~ л/ х2 + у2, <р = arctg — •
X
3457. В преобразовании Лежандра каждой точке
(х, у) кривой у = у (а) сгавшся в соответствие точка
(X, Y), где
Х = у\ Y = ху'-у.
Найти Y', Y" н Y"'.
Вводя новые независимые переменные | и rj, решить
следующие уравнения:
3458. = если Ъ — х + у и г\ = х—у.
3459. у— jc-^- = 0, если £=дс и д = х2 + #2.
ох ду
3460. а = 1 (а^=0), если £ = х и т] =
дх ду
=у—Ьг.
3461. ху = г, если £=х и ч\=—.
дх ду х
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 353
Принимая и и v за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3462. х -^-+дЛ ~г У2 -^- = ху9 если и = 1пх и 0—
дх ду
= ln (y + V1 + '/2)-
3463. (х + у) ——(л;—у) -^- = 0, если и =
дх ду
= InУ-с2 + г/2 и u=arctg —.
3464. х +г/-^- = 2 + У*а + «2 + 22» если
дх ду
и — — и и = г + У*2 + г/2 + 22 .
3465. х + у = —» если ы = 2х —г* и
дх * ду г
v = —.
2
3466. (x+z)-^- + (y +2)-^-=де + г/+г, если
<9* (?(/
U = X + 2 И V — y+Z.
3467. Преобразовать выражение
(2 + e*)-^- + (z + еу) — (2а—е^),
д* 5 г/
приняв за новые независимые переменные
1 = у + ге~х, ц = х + ге~У.
3468. Преобразовать выражение
полагая
X = UV, у = -~ (и2 — V2).
3469. В уравнении
ди . ди . ди _ q
дх ду дг
положить 5 = X, Г) = у—X, £ = 2—X.
3470. Преобразовать уравнение
12 Б. П. Демидович
354 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
приняв х за функцию, а у и г — за независимые пере¬
менные.
3471. Преобразовать уравнение
(и—z) ~~+(У+z)= О»
дх ду
приняв х за функцию, а и = у—г, v = у + г — за не¬
зависимые переменные.
3472. Преобразовать выражение
приняв х за функцию п и — хг, v = уг — за независи¬
мые переменные.
3473. В уравнении
(у + 2 + и) + {х + г + и) ——j- (* + г/ -f- и) —— =
дх ду дг
— х-\-у-\-г
положить:
е^ = х—и, ё* = у—и, ё* ~ г—и.
Перейти к новым переменным и, v, w, где w =■
= w (и, v), в следующих уравнениях:
3474. у— х-^—=-(у—х)г, если
дх ду
U = X2 + (f, 1>=—+ —. Ш = 1П2— (х + у).
* У
3475. + у2 — =22, если
дх ду
v== j i_ w==2 L
* у х г х
3476. (ху + г)-^- + (\ — if)= х + уг, если
дх ду
и = уг—х, v = хг—у, w = ху—г.
/ дг \2 . / дг * дг дг
3477' (х ■-5Г) +(» *Г) ":* 17' 1Г’ есл"
x = uew, у — vew, z = wew.
3478. Преобразовать выражение
дг дг
/ дг дг \
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 355
полагая
и = 1пУ х2 + у2, v = arctg г, w = х + у + 2,
где w = о» («, у).
3479. Преобразовать выражение
л дг . дг
дх ду
полагая и = хег, v = уег, w = гег, где w — w (и, v).
3480. В уравнении
ди . да . ди , ху
х \-у f-г = ыЧ——
<5х ду дг г
положить: £ = —, л =—, t, = г, w =— , где sy =>
г г г
= w (s, 11, 5).
Преобразовать к полярным координатам г и <р, по¬
лагая х = г cos ф, у = г sin ф, следующие выражения:
ди ди 0.0rt ди . dw
3481. !2i = jc у . 3482. ш = л: Ьу .
ду J дх дх ду
ди \а , / ди \2 олол д2и , д2и
w
***■ *-(v) +(ir) • 3484-
0,0- п д2и , 0 д2и , « д2«
3485. w = х2 \- 2ху Ь У
дх2 * дхду и ду2
олоа a d2z 0 д2г . 2 д2г
3486. w = у* — 2ху L v2
dx2 dt/2
d*2 дхду ду2
дг . дг
3487. В выражении
J __ ди dv ди dv
дх ду ду дх
положить х = г cos ф, у = г sin ф.
3488, Решить уравнение = аг ~~~ > введя новые
независимые переменные
|= д;—at, tj = х + at.
Приняв и и у за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
12*
356 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3489. 2 -\ — + + = если
дхг дх ду ду2 дх ду
U = х + 2у + 2 и v=x—у—1.
3490. (l + x*) — + (\ + if)—+x—+y— = 0,
' дх2 v J ' ду* дх у ду
если и = In (х + д/ 1 + х2) и и = In (у + д/ 1 + у2).
3491. ах2 - -+ 26лт/ —— 1- с*/2 = 0 (а, 6,с—
дх2 дх ду ду2
постоянны), если w = In х и у = In у.
олла дгг . д2г л
3492 . = 0, если
дх2 ду2
х У
и =— и v = ^.
х2+у2 х2+у*
3493. + т2г = 0, если
дх2 д//2
* = e“cos v> у = eusin v.
о-1Л>1 д2г 1 dz , _ m
зт- <!,>0>' ес',и
ы = х—2 л/ у a v — х + 2 л[у.
3495. хtJLl—o2_££__ о еслн и = хи и v = —.
дх* * ду* J у
3496. х2 —(х2 -j- У2) —“—\-уг-^- = 0, если
дхг дх ду ду2
I 1 , 1
и = х+у И V = 1 .
3497. ху ^-<*.+Л-/2- + ч,-|£-+!,^ +
дх2 дх ду дуг дх
+ х-—- = 0, если и = (х2 + у2) и v=xу.
3498. jc2-^—2jc sin у ———hsin2</ -^- = 0, если
дх2 дх ду ду2
U = X tg — И У = X.
S 2
3499. x-jl y_^L==o (jc>0, y>0), если
дх2 at/2
л = (и + у)2 и у = (и—у)2.
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 357
3500. —д2г— = (\ + , если
дхду \ ду )
и = х и v — у + г.
3501. С помощью линейной замены
£ = х + г\ = х + Ку
преобразовать уравнение
А J!fL + 2B^- + C^=0, (1)
дх* дхду дуг
где А, В и С — постоянные и АС—В2 С 0, к виду
<?1дг\
Найти общий вид функции, удовлетворяющей урав¬
нению (1).
3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа
A2sJ!l + J!l=0
дх2 ду2
не меняется при любой невырожденной замене перемен¬
ных
X = <р (и, V), у = У (и, V),
удовлетворяющей условиям:
д<р _ дф _дф_ _ __дф_
ди dv до ди
3503. Преобразовать уравнения
a) A« = -^- + -|fL = 0; б) Л (Аи) = 0,
дх2 ду1
полагая и — f (г), где г = V*2 + У2*
3504. Какой вид принимает уравнение
дЧо Л
\-сш = 0,
дхду
если положить
w = f (и),
где и = (х—х0) (у—у о)?
3505. Преобразовать выражение
- д2и . д2и . ди
Л = х—— +у-г-—Ь —»
дх2 д* ду дх
полагая
л + у = X, у = XY.
35S ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3506. Показать, что уравнение
dh ' ■ 2ху2 — + 2 (у—у3) ~~ + х2у2г = 0
дх2 дх ду
не меняет своего вида при преобразовании переменных
1
X = UV и у = —.
V
3507. Показать, что уравнение
л , 2 дгг , + _fg_=Q
дх2 дх ду ду2
не меняет своего вида при замене переменных
и = X + 2 И У = Г/ + 2.
3508. Преобразовать уравнение
д2и , . д2а л
ху h */z Ь *2 = 0,
* * dt/cfc дхдг
полагая
* = Л?. У = is. г = In-
3609. Преобразовать уравнение
д*г дгг , д2г , дЧ , а2: , д2г л
*9*2 ’
<3^1 дх2 дхъ дх{ дх2 дх{ дх3 дх2дх3
полагая
УI = X 2 “1“ У 2 *^1 ^3 ^2» #3 *^1 ™"^3*
3510. Преобразовать уравнение
х2^+У2^ + г*^ + 2хУ-уЬ + 2х21ПГ +
дх2 dtr dz2 дх дх
+ 21/г-^- = 0,
дг
полагая
JL
д:
Указание. Записать уравнение в виде А2и—Аи=0,
где
Л 5 _l д L д
А = * — + !/ — + г-— ,
ОХ оу 02
3511. Выражения
( ди у , / да \а . / ди \а
§ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 359
И
А д2и , д*и . д2и
Ам
2 дх2 ду2 ^ дг2
преобразовать к сферическим координатам, полагая
х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0.
Указание. Замену переменных представить в виде ком*
позиции двух частичных замен
X = R cos ф, у = R Sin ф, 2=2
и
R = г sin 0, Ф = Ф, г = г cos 0*
3512. В уравнении
/ дЧ . д2г \ ( дг \2 , / дг \2
Ч дх* ^ )“( дх ) +( ду )
ввести новую функцию w, полагая w = г2.
Приняв и и v за новые независимые переменные
и w = w (и, v) за новую функцию, преобразовать сле^
дующие уравнения:
3513. у-^г+ 2 — = — , если и = —, v = xt
ду2 ду х у
w — xz—y.
3514. — 2———\-—г =0, если u = x+yt
дх4 а</г ^
—.
х дс
3515. -H-L + 2 ——если и =х+у,
дх* дхду ду3 п
v = x—у, w = xy—Z.
oeie d22 , д22 , 02 . Х+у
3516- “ГГ + Т^ + Т- = г> если —о '
дх2 дл% ддс 2
у = , СУ = 26^.
d2z 0 d2z . /, , и \ д2г
3517. — 2 ———bfl + -М — =0,
дх2 дхду V х J ду2
если
и = х9 v = x + yy w=x+y +z.
3518. (1 А'2) ~~ Ь (1 У'
дх2
если x = sinM, г/ = sin о, z — ew.
3518. (1_л-г)-^- + (1 — tf)J*- = x — + y — ,
' ' дх2 ^у J ’ дуг дх * ду
360 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3519. (1— х-)— — 2х — -2 = 0
v дх2 ду2 дх 4
(|х|<1), если и = (у + arccos х), v = (у—агссоях),
w = zyr 1 —X2 .
дг дг
3520. = 2 - А У-дУ
дх2 ду2 х2 — у2
—37?:И?г~<1х1>1у1)» если « = * + */. V = X—y,
(.X2 — у2)2
г
W = -
V л:2 — f/2
3521. Доказать, что всякое уравнение
д2г х дг , и дг . А
'-а Ьяг = 0
дхдг/ д* ду
(а, й, с — постоянные) путем замены
z =
где аир — постоянные величины и и = и (х, у)% можно
привести к виду
д*и ' - схи = 0 (q = const).
d*dy
азать
меняет своего вида при замене переменных
3522. Показать, что уравнение = -^- не из-
J г д*2 ду
1
х' = —, у'= и' = —^-е ,
У У *Jy
где и' — функция переменных х' и «/'.
3523. В уравнении
«<ич»-£-о+Р+*+ад»-^-+
+ p(1 + p)-fr = 0’
ду1
дг дг ,
где р = и <7 , положить ы = jc + z, у =
ах
= I/ + 2, W = X + у + 2, считая, что о» = ш (ы, t>).
§ 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 361
3524. В уравнении
д2и . о д2и . о д2и
i/2JrТ- + 22-
дх2 ду2 дг2
положить х = е%, у = еч, г = ее, и = е*®, где до =■
= а» (I , Л» £)•
3525. Показать, что вид уравнения
д2г дЧ / д2г \2
дх1 дуг I дхду ) ~
не меняется при любом распределении ролей между
переменными х, у иг.
3526. Решить уравнение
/ дг у д2г 2 дг дг д2г . / дг Ч2 д2г q
V. ду ) дх2 дх ду дхду \ дх / ду2 '
приняв х за функцию от переменных у иг.
3527. Преобразовать уравнение
\дх ду ) дх1 Г Ч дх ду )
дхду
+ С _*\-££_=0,
\дх ду) ду3 *
применяя преобразование Лежандра
v дг ,7 дг г, дг , дг
Х = —, У = —, Z = x— +у- г,
дх ду д* ду
где Z = Z (X, У),
§ 5. Геометрические приложения
1°. Касательная прямая и нормальная
плоскость. Уравнение касательной прямой к кривой
* = Ф (0. У = (0, * = X <0
в точке ее М (лг, у, 2) имеет вид
X —х _ У —j/ ^ Z — z
dx dy dz
~~dt ИГ ~7Г
Уравнение нормальной плоскости в этой точке:
Щ- (X - х) + л. (У _ у) + ±- (Z _ г) = о.
dt dt ds
362 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2°. Касательная плоскость и нормаль.
Уравнение касательной плоскости к поверхности г = £ (х, у)
в точке ее М (х, у, z) имеет вид
Z~z=-^-(X-x)
дх ду
Уравнение нормали в точке М есть
X Y-у __ Z — г
дг дг — I
дх ду
Если уравнение поверхности задано в неявном виде
F (*, yt г) = 0, то соответственно имеем:
af (X-,) + 4L(r-9) + JL,Z-2,_o
дх ду дг
— уравнение касательной плоскости и
X — х Y — у Z — 2
dF dF dF
дх ду дг
— уравнение нормали.
3°. Огибающая кривая семейства пло¬
ских кривых. Огибающая кривая однопараметрического
семейства кривых ft (х, у, а) = 0 (а — параметр) удовлетворяет
системе уравнений:
I (дг, у, а) = 0, /а (х, у, а) = 0.
4°. Огибающая поверхность семейства
поверхностей. Огибающая поверхность однопараметри¬
ческого семейства поверхностей F (х, у, 2, а) = 0 удовлетворяет
системе уравнении:
F (xt у, z, а) — 0, Fa(x, у, 2, а) = 0.
В случае двупараметрического семейства поверхностей
Ф (х, г/, г, а, р) = 0 огибающая поверхность удовлетворяет
следующим уравнениям:
Ф (дг, у, z, а, Р) = 0, Ф^(*, у, 2, а, Р) = 0,
Фр(*, у, 2, а, Р) = 0.
Написать уравнения касательных прямых и нор¬
мальных плоскостей в данных точках к следующим
кривым:
3528. х = a cos a cos /, у = a sin a cos t9 z = a sin t;
в точке / = /0.
3529. х = а sin2/, у = 6 sin t cos t, z = с cos2 в
- л
точке t = —,
4
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 363
3530. у = х, z = х2; в точке М (1, 1, 1).
3531. х2 + г2 = 10, у2 + г2 = 10; в точке М (1, 1,3).
3532. x2+y24-z2 = 6, x-\-y-\-z= 0; в точкеМ(1,—2,1),
3533. На кривой х = t, у — i2, z = t3 найти
точку, касательная в которой параллельна плоскости
х + 2у + z = 4.
3534. Доказать, что касательная к винтовой линии
х = a cos t, у — asm t, z = bt образует постоянный
угол с осью Oz.
3535. Доказать, что кривая
x = ae‘cost, у = ае‘ sin t, z = ae‘
пересекает все образующие конуса х2 + у2 = z2 под
одним и тем же углом.
3536. Доказать, что локсодрома
tg = ek<f (k = const),
где ф — долгота, ф — широта точки сферы, пересекает
все меридианы сферы под постоянным углом.
3537. Найти тангенс угла, образованного касатель¬
ной в точке М0 (х0, у0) к кривой
2 = f(x, у),
Х — Хд _ У — Уо
cos a sin а
где f — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху.
3538. Найти производную функции
X
V*2 + у- + г2
в точке М (1,2, — 2) в направлении касательной в этой
точке к кривой
х= t, у = 212, г = — 2t\
Написать уравнения касательной плоскости и нор»
мали в указанных точках к следующим поверхностям:
3539. г = я2 -+• у2; в точке М0 (1, 2, 5).
3540. х2 + у2 + г2 = 169; в точке М0 (3, 4, 12).
3541.2 = arctg — ; в точке М0 ^1,1, .
3542. ах2 + by2 + cz2 = 1; в точке М0 (х0, уа, г0).
3543. z = у + In—; в точке М0 (1, 1, 1).
364
ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3544. 2Х/2 + 2у/2 = 8; в точке М0 (2, 2, 1).
3545. х = a cos ij) cos ф, у = b cos sin ф, г —
= с sin г|>; в точке М0 (ф0, ^0).
3546. х = г cos ф, у = г sin ф, г = г ctg а; в точке
А*о (Фо, Го)-
3547. х — и cos v, у = и sin и, z — av; в точке М0
(«о, »0).
3548. Найти предельное положение касательной
плоскости к поверхности:
X = U + V, у = U2 + V2, Z ~ U3 + V3,
когда точка касания М (и, v) (и Ф v) неограниченно
приближается к точке М0 (и0, ы0) линии края и = v
поверхности.
3549. На поверхности х* + 2у2 + Зг2 + 2ху +
+ 2xz + 4yz = 8 найти точки, в которых касательные
плоскости параллельны координатным плоскостям.
3550. В какой точке эллипсоида
нормаль к нему образует равные углы с осями коорди¬
нат?
3551. К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21 провести
касательные плоскости, параллельные плоскости
3552. Доказать, что касательные плоскости к поверх¬
ности xyz — а3 {а > 0) образуют с плоскостями коор¬
динат тетраэдр постоянного объема.
3553. Доказать, что касательные плоскости к поверх¬
ности _ _
V^ + Vi/-t-V2=Va (а>0)
отсекают на осях координат отрезки, сумма которых
постоянна.
3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу
проходят через его вершину.
3555. Доказать, что нормали к поверхности враще¬
ния
х + Ay + 6z = 0.
* = /(V*a + y4) <ГФ 0)
пересекают ось вращения
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 365
3556. Найти проекции эллипсоида
х2 + у2 + z2— ху = I
на координатные плоскости.
3557. Квадрат {0 < * sg 1, 0 < # •< 1} разбит на
конечное число частей а диаметра «£ б. Оценить сверху
число б, если направления нормалей к поверхности
2 = 1—х2—у2
в любых точках Р (х, у) и Рг (xlt г/х), принадлежащих
одной и той же части а, отличаются меньше чем на 1°.
3558. Пусть
2 = / (X, у), где (*, у) £ D, (1)
— уравнение поверхности и ф (Pv Р) — угол между
нормалями к поверхности (1) в точках Р (х, у) £ D
И р 1 (*1> У i) 6 D•
Доказать, что если область D ограничена и замкнута
и функция / (xt у) имеет ограниченные производные 2-го
порядка в области D, то справедливо неравенство Ля¬
пунова
ф (Plt P)<Cp(Plt Р), (2)
где С — постоянная и р (Z5Р) — расстояние между
точками Р н Рг.
3559. Под каким углом пересекается цилиндр
х2 + Уг = я2 с поверхностью bz = ху в общей точке
М0 (*0, у§у 2q)?
3560. Показать, что координатные поверхности сфе¬
рических координат х2 + у2 + г2 = г2, у = х tg ср,
х2 + у2 — z2 tg20 попарно ортогональны.
3561. Показать, что сферы х2 + у2 + г2 = 2ах,
х2 + у2 + г2 = 2by, х2 + у2 + z2 = 2cz образуют три-
ортогональную систему.
3562. Через каждую точку М (х, у, г) проходят при
X = Х19 X = X2t X = Х3 три поверхности второго по¬
рядка:
—— 1 —= —1 (а>Ь>с> 0).
С2_Х2 Я* П С2— X,2 ' '
Доказать ортогональность этих поверхностей.
3563. Найти производную функции и = х + у + г
в направлении внешней нормали сферы х -\-у + 2 = 1
в точке ее М0 (xQ, yQ, z0).
366 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В каких точках сферы нормальная производная функ¬
ции и имеет: а) наибольшее значение, б) наименьшее
значение, в) равна нулю?
3564. Найти производную функции и = х2 + у2 + г2
X2 U2
в направлении внешней нормали эллипсоида —— + -+*
Ч—— = 1 в точке его М0 (х0, у0, г0).
С1
3565. Пусть и -у- нормальные производные
функций и и v в точке поверхности F (лг, у, г) = 0. До-
д , ч dv , ди
казать, что (uv) = u \-v .
дп дп дп
Найти огибающие однопараметрических семейств пло¬
ских кривых.
3566. х cos а + у sin а ~ р {р = const).
3567. (х—а)2 + у2 = -j-.
3568. у — kx + (а = const).
3569. у2 =2рх +р2.
3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины /,
концы которого скользят по осям координат.
3571. Найти огибающую эллипсов+ 1,
имеющих постоянную площадь S.
3572. Найти огибающую траекторий снаряда, выпу¬
щенного в безвоздушном пространстве с начальной ско¬
ростью v0, при варьировании в вертикальной плоскости
угла бросания а.
3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской
кривой есть эволюта этой кривой.
3574. Исследовать характер дискриминантных кри¬
вых семейств следующих линий (с — переменный па¬
раметр):
а) кубических парабол у = (х—с)3;
б) полукубических парабол у2 = (х—с)3;
в) парабол Нейл я у3 = (х—с)2;
г) строфоид (у—с)2 = х2 а~*..
а + х
3575. Определить огибающую семейства шаров ра¬
диуса г, центпы которых расположены на окружности
х = R cos t, у — R sin t, г — 0 (t — параметр, R > г).
§ в. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 367
3576. Найти огибающую семейства шаров
(х—t cos а)2 + {у—t cos Р)2 + (2—t cos v)2 = 1.
где cos2a + cos2§ + cos2y = 1 и t — переменный па¬
раметр.
3577. Определить огибающую семейства эллипсои-
^
дов 1- —— _L = 1, объем V которых постоянен.
а2 b2 с2
3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р,
центры которых расположены на поверхности конуса
х2 + у2 = z2.
3579. Светящаяся точка находится в начале коорди¬
нат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром
(х—х0)2 + (у—уо)2 + (г—20)2 < Я2,
если х% + у\ + z20 > R2.
3580. Найти огибающую семейства плоскостей
г—гй = р (х—х0) + q (у—уо),
если параметры р и q связаны уравнением
р2 + q2 = 1.
§ 6. Формула Тейлора
Г. Формула Тейлора. Если функция {(х, у)
имеет в некоторой окрестности точки (с, 6) непрерывные все
частные производные до п + 1 порядка включительно, то в этой
окрестности справедлива формула
/ (*, у) = / (а, 6) +
П
+ £-Y [<* - а) + (у - Ь) -j-^t (a, b)+Rn (х, у), (1)
i= I
где
Rn(x, у) = ' [(* — а)-^- + (У — &)х~Т+1Х
(п +1)! L дх ду i
Х/(а + 0я(л: — а), 6 + 0„(у — >))
(0 < 0„ < 1).
2°. P я д Тейлора. Если функция / (xt у) бесконечно
дифференцируема и lim Rn(xt у) = 0, то эта функция допускает
368 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
представление в виде степенного ряда
оо
t (*. У) =f(a, Ь)+ У fW> (а, Ь) (х - а)1 (у - Ь)<. (2)
t\j\ ху
Частные случаи формул (1) и (2) при а = Ь = 0 соответст*
венно носят названия формулы Маклорена и ряда Маклорена,
Аналогичные формулы имеют месго для функции более чем
двух переменных.
3°. Особые точки плоских кривых. Точка
Mq (x0t i/o) дифференцируемой кривой F (.к, у) = 0 называется
особой, если
F (*0. г/о) = 0, F'^xо, у а) = 0, F'y(x0, у„) = 0.
Пусть М0 (х0, i/q)—изолированная особая точка
кривой класса С^Т) и числа
А = рхх Уо) = 0, В = F‘x'y (xq, yQ)t С = F'y'y (x0i у0)
не все равны нулю. Тогда, если
1) Л С—В2 > 0, то М0 — изолированная точка;
2) АС—В2 С 0, то М0 — двойная точка (узел);
3) АС—В2 = О, то УИ0 — точка возврата или изолирован¬
ная точка.
В случае А = В = С = 0 возможны более сложные типы
особых точек. У кривых, не принадлежащих классу гладкости
С<2>, могут быть особенности более сложной природы: точки
прекращения, угловые точки и др.
3581. Функцию f (*, у) = 2х2—ху—уг—бдс—3у + 5
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, -2).
3582. Функцию / (х, у, г) — дс8 + у3 + z8 — 3хуг
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, 1, 1).
3583. Найти приращение, получаемое функцией
/ (дс, у) = х2у + хуг — 2ху, при переходе от значений
х = 1, у = — 1 к значениям хг— 1 + h, уг — — 1 +k.
3584. Разложить f (х + h, у + k, г + /) по целым
положительным степеням величин h, k и /, если
/ (*. У, г) =
= Лдса + By3 + Cz2 + 2Dxy + 2£*2+ 2F уг.
3585. В разложении функции f (х, у) — х? в окрест¬
ности точки А (1, 1) выписать члены до второго порядка
включительно.
3686. Разложить по формуле Маклорена до членов
четвертого порядка включительно функцию
/ {х, у) = V 1 —х2—у*.
§ б. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 369
3587. Вывести приближенные формулы с точностью
до членов второго порядка для выражений:
ч COS ДС j 1 -j— X “{— у
а) ; б) arctg --
cos у 1 — х+у
если |*| и \у\ малы по сравнению с 1.
3588. Упростить выражение
cos (* + у + z) — cos * cos у cos г,
считая х, у, г малыми по абсолютной величине.
3589. Функцию
F(x> y) = -j-lf(x + h> y) + f(x> y + h) +
+ f (x-h, y) + f (X, y-h) ] - f (X, y)
разложить по степеням h с точностью до Л4.
3590. Пусть / (Р) = / (х, у) и Я, у с) (i = 1, 2,
3) — вершины правильного треугольника, вписанного
в окружность с центром в точке Р (х, у) радиуса р,
причем = х + р, Уу — у. Разложить по целым по¬
ложительным степеням р с точностью до р2 функцию
f(p) = -jlf(Pi) + f(P*) + f(Ps)l
3591. Разложить по степеням h и k функцию
Ьхя f (*• у) =*/(* + h> У + k) — f(x+h, у) —
—f (х, у + k) + f (х, у).
3592. Разложить по степеням р функцию
I 2,1
^(р) =—J7(* + pcos<p, t/ + psin<p)cf<p.
in о
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
3593. f (х, у
3594. f (х, у
3595* / (х, у
3596. / (*, у
3597. / (х, у
3598. / (*, у
3599. f {x, у
3600. / (*, у
= (1 + х)т (1 + у)п.
= In (1 + х + у)•
= е* sin у.
= е* cos у.
= sin * sh у.
= cos х ch у.
= sin (*2 + у2).
= In (1 -Ь *) In (1 + у).
3601. Написать три члена разложения в ряд Макло-
оена функции / (*, у) = J (1 + х)^ dt.
370 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3602. Функцию в*+» разложить в степенной ряд по
целым положительным степеням биномов х—I и у + 1.
3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции
/ (х, у) = —в окрестности точки М (1, 1).
У
3604. Пусть г — та неявная функция от х и у, опре*
деляемая уравнением г3—2хг 4- у = 0, которая при
х = 1 и у = 1 принимает значение 2—1.
Написать несколько членов разложения функции г
по возрастающим степеням биномов х—1 и у—1.
Изучить типы особых точек следующих кривых и
примерно изобразить эти кривые:
3605. у2 = ах2 + *3. 3606. х3 + у3 — Зху = 0.
3607. *2 + у2 = х* + у*. 3608. х2 + у* = Xе.
3609. (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2). 3610. (у—х2)2 = Л
3611. (а + х) у2 = (а—х) х2.
3612. Изучить форму кривой у2 = (*—а) (х—Ь)Х
X (х—с) в зависимости от значений параметров а, Ь, о
(a b с).
Исследовать особые точки трансцендентных кривых:
3613. у2=1 — е~*2. 3614. у2 = 1~е-*3. 3615. у=х\пх.
3617. у = arctg (—-—V 3818. у2 = sin — .
\ sin х ) х
3619. г/2 = sin*2. 3620. i/2 = sin3x.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
1°. Определение экстремума. Пусть функция
/ (Р) = / (*i, . . . , хп) определена в окрестности точки Р0.
Если или I (Р0) > / (Р), или / (Р0) < / (Я) при 0 < р (Р0, Р) <
< б, то говорят, что функция I (Р) имеет строгий экстремум
(соответственно максимум или минимум) в точке Р0.
2°. Необходимое условие экстремума.
Дифференцируемая функция /, (Р) может достигать экстремума
лишь в стационарной точке Р0, т. е. такой, что df. (Р0) = 0.
Следовательно, точки экстремума функции £ (Р) удовлетворяют
системе уравнений ^.(*1» • • • • хп) = 0 (г = 1, . . . , п).
3°. Достаточное условие экстремума.
Функция I (Р) в точке Р0 имеет:
п
а) максимум, если d[ (Р0) = 0, d2l (Р0) <0, при £ | dxi\Ф0, и
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 371
п
б) минимум, если df (Р0)— 0, d2f (Р0)> О при \dxi \ =^=0.
i=i
Исследование знака второго дифференциала d2f, (Р0) может
быть проведено путем приведения соответствующей квадратич¬
ной формы к каноническому виду.
В частности, для случая функции / (дс, у) двух независимых
переменных х и у в стационарной точке (х0, у0) (df (xQt yQ) = 0)
при условии, что D = АС — В2 Ф 0, где А = fxx(xQt у0),
в = fxy (хо- Уо)< с = СЛхо> Уо) имеем:
1) минимуму если D > 0, А > 0 (С > 0);
2) максимум, если D > 0, А < 0 (С < 0);
3) отсутствие экстремума, если /) -< 0.
4°. У с л о в н ы й экстремум. Задача определения
экстремума функции f (Pq) = f (xlt , . . , xпри наличии ряда
соотношений Ф/(Р) = 0 (/ = 1, . . . , m; m <: л) сводится к на¬
хождению обычного экстремума для функции Лагранжа
т
L(P)=f(P)+ £
i=1
где (i = 1, . . . , /л) — постоянные множители. Вопрос о су¬
ществовании и характере условного экстремума в простейшем
случае решается на основании исследования знака второго
дифференциала d2L (Р0) в стационарной точке Р0 функции L (Р)
при условии, что переменные dxlt , t , dxn связаны соотноше¬
ниями
я дф,
dx: = 0 (г = 1, . . ., /я).
/=I dxi
5°. Абсолютный экстремум. Функция £ (Р),
дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, до¬
стигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой об¬
ласти или в стационарной точке, или в граничной точке области*
Исследовать на экстремум следующие функции не¬
скольких переменных:
3621. г = х2 + (у— 1)а. 3622. г = х2 — (у— 1)а.
3623. г = (х—у + 1)а.
3624. г = хг — ху + у2 — 2х + у.
3625. г = х2у3 (6—х—у). 3626. г = х3 + у3—Зху.
3627. г = х* + у* — х2 — 2ху—у2.
3627.1. 2 = 2х* + у* — х2 — 2у2.
^0 90
3628. г = ху+ — 4-— (*>0, у > 0).
х у
3629. г=хул 1——--^1 (а > 0, &>0).
V а2 Ь2
372 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3630. г= а,. (а2 + 62 + с2 ^ 0).
V *2 + у2 + 1
363». 2 = 1 — У 4- у2.
3632. z = e2X+3y(8x*—6xy + 3y*).
3633. г = ех2-у (5 — 2х + у).
3634. г = (5л: 4-7у—25) е—<*=+*у+!/‘).
3635. г = х2 + ху + у2 — 4 1п л: — 10 In у,
3636. 2 = sin х 4* cos у + cos (л:—у) (0 < х < я/2;
0 < t/< я/2).
3637. г = sin х sin у sin (х+у) (О^х < я; я).
3638. 2 = х—2i/ + ln-\/*2 + (/2 + 3arctg —.
3639. г = ху In (л2 + г/2).
3640. г = * + у 4- 4 sin х sin у.
3641. г = (х2 + /г)е-(*+''->.
3642. м = х2 4~ */2 4- 22 4" 2лт 4* 4у — 62.
3643. и = л:3 4- #2 4- 22 4- 12ху 4- 22.
3644. ы = л:4- — + —-4-— (дг>0, */>0, 2>0).
4х «/ z
3645. и = хугг'л (а—х—2у—Зг) (а > 0).
3646. «= — 4- — + -^. + — (х>0, у>0, 2>0,
к у г Ь
а>0, £>>0).
3647. и = sin л: 4- sin у 4- sin г — sin (х 4- у 4- г)
(0 =s£ х < я; 0 < г/ я; 0 < 2 < я).
3648. ы = х,х2 = х"(1 — 2х2 — . . . — пхп) (л:,>О,
Х2>0 хп>0).
3649. и = л:14--^-4- — 4- • . • +-^- + — (Х[>О,
*1 «2 *П-1 *П
1 = 1, 2, . . п).
3650. Задача Гюйгенса. Между двумя по¬
ложительными числами а и b вставить а чисел х1г
*2» • • • I хп так> чтобы величина дроби
_ *1*2 • • • *П
(а + хг) (дгх + х2) . . . (дг„4- Ь)
была наибольшей.
Найти экстремальные значения заданно"! неявно
функции 2 от переменных х и у:
3651. х2 4- у2 4- г2 — 2х 4- 2y-iz —10 = 0.
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 373
3652. х2+ у2 + z2 — хг—yz + 2х + 2у + 2z —2 =0.
3653. (х2 + у2 + г2)2 = а2 (х2 + у2 — г2).
Найти точки условного экстремума следующих функ¬
ций:
3654. г = ху, если х + у — 1.
3655. 2 = — + — , если х2-\-у2 = 1.
а b
3656. г = х2 + г/2, если — + — = 1.
а ь
3657. г=Ах2-\-2Вху+Су2, если х2+у-=1.
3657.1. z — х2 + \2ху + 2у2, если ix2 + у2 = 25.
3658. z = cos2* + cos2у, если х—у =
3659. и = х — 2у + 2z, если х2 + у2 + z2 = 1.
3660. и = хт упг», если х у + z ~ а (т> 0,
п > 0, р > 0, а > 0).
3661. и = х2 + у2 + г2, если — + — + — = 1
а а2 ь2 с2
(а>Ь>с > 0).
3662. и = xy2z3, если х + 2у + Зг = а (х > 0,
у> 0, г> 0, а> 0).
3663. и = xyz, если х2 + у2 + z2 = 1, х + у + г =0.
3663.1. и = ху + yz, если х2 -+- у2 = 2, у + 2 = 2
(* > 0. г/ > 0, г > 0).
3664. ы = sin х sin у sin z, если х у + г =
(* > О, у > 0, г > 0).
3665. и = — + — -f —, если х2 + у2 + г2 = 1,
fl2 62 С2
х cos а + у cos р + z cos у = 0 (а > Ь > с > О,
cos2 а + cos2p + cos2v = 1).
3666. и = (х—|)2 + (у—»i)2 + (г—£)2, если Ах 4-
+ By + Cz = 0, x2 + y2 + z2 = R2, -i—= -J— =
cos a cos p
= —£—, где cos^ + cos2P cos2v = 1.
cos v
3667. u=x2.+x2 + .. . + ДГ2. если — + —
1 1 n ai at
... + —= 1 (a<>0; i = 1, 2, ..., n).
an
3668. и = jcf+xp +.. . +xp (p> 1), если xl +
+хг+ .. ,+jcn = a (a>0).
374 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3669. « = — + — +...+ , если
Xi Х2 Хц
Pi*i + Рг*24* • • • + Ря*я = 1
(а<>0, Pi>0, *>0, i = 1, 2, . . ., п).
3670. и = если х1+х2 + .. . + ха — а
(а>0, 1, i —— 1, 2, , ■ ft).
3671. Найти экстремум квадратичной формы
П
ы = Z ацх^! (ац = а1С)
i> /
при условии
1=1
3672. Доказать неравенство
хп + Уп ^ ( X + у Y*
5 i-J '
если я > 1 и х > 0, г/ > 0.
Указание. Найти минимум функции г = —- (дсп + i/я)
при условии * + (/ = s.
3673. Доказать неравенство Гёльдера
(а(>0, Х(^0, t = l, 2, .. ., ft; k>\, + =
Указание, Найти минимум функции
при условии
п
J] aixt — А.
i=i
3674. Доказать неравенство Адамара для опреде¬
лителя А = \ац\ порядка п:
л2<п(|,а0-
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ
375
Указание. Рассмотреть экстремум определителя А =
= \ац\ при наличии соотношений
Z al' = St = Ь 2 п).
/=1
Определить наибольшие (sup) и наименьшие (inf)
значения следующих функций в указанных областях:
3675. 2 = х—2у—3, если 0 < jc < 1 , 0 < у < 1,
О < х + у < 1.
3676. г = х2 + у2—12л: + 16у, если х2 + у2 < 25.
3677. 2 = х2—ху + у2, если |jc| + \ у\ < 1.
3678. и = х2 + 2у2 + Зг2, если х2 + у2 + 22 < 100.
3679. и = х + у -г г, если х2 + уг < г < 1.
3680. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань
(sup) функции
и — (х + у 4- г) е-(*+2^+32>
в области х > 0, у> 0, г >• 0.
3681. Показать, что функция г = (1 + еу) cos х—уе9
имеет бесконечное множество максимумов и ни одного
минимума.
3682. Является ли достаточным для минимума функ¬
ции / (jc, у) в точке М0 (х0, у0), чтобы эта функция име¬
ла минимум вдоль каждой прямой, проходящей через
точку М0?
Рассмотреть пример / (jc, у) = (х—у2) (2х—у2).
3683. Данное положительное число а разложить
на п положительных сомножителей так, чтобы сумма
обратных величин их была наименьшей.
3684. Данное положительное число а разложить на п
слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наи¬
меньшей.
3685. Данное положительное число а разложить на п
положительных множителей так, чтобы сумма заданных
положительных степеней их была наименьшей.
3686. На плоскости даны п материальных точек
Pi (*i. Уi). (*2. #г)> • • • > рп (хп, Уп) с массами, со¬
ответственно равными ту, т2, . . . , тп.
При каком положении точки Р (х, у) момент инер¬
ции системы относительно этой точки будет наимень¬
шим?
3687. При каких размерах открытая прямоугольная
ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверх¬
ность?
376 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3688. При каких размерах открытая цилиндриче¬
ская ванна с полукруглым поперечным сечением, по¬
верхность которой равна 5, имеет наибольшую вмести¬
мость?
3689. На сфере х2, + у2 + г1 — 1 найти точку,
сумма квадратов расстояний которой от п данных то¬
чек Mi (xit yCt zL) (i = 1,2,..., n) была бы минималь¬
ной.
3690. Тело состоит из прямого кругового цилиндра,
завершенного прямым круговым конусом. При дан¬
ной полной поверхности тела, равной Q, определить
его измерения так, чтобы объем тела был бы наи¬
большим.
3691. Тело, объем которого равен V, представляет
собой прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее
и верхнее основания которого завершаются одинако¬
выми правильными четырехугольными пирамидами. При
каком угле наклона боковых граней пирамид к их ос¬
нованиям полная поверхность тела будет минималь¬
ной?
3692. Найти прямоугольник данного периметра 2р,
который вращением вокруг одной из своих сторон об¬
разует тело наибольшего объема.
3693. Найти треугольник данного периметра 2р, ко¬
торый вращением вокруг одной из своих сторон обра¬
зует тело наибольшего объема.
3694. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
3695. В данный прямой круговой конус вписать пря¬
моугольный параллелепипед наибольшего объема.
j^2 м2
3696. В эллипсоид — =1 вписать
а2 с2
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3697. В прямой круговой конус, образующая ко¬
торого / наклонена к плоскости основания под углом а,
вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшей
полной поверхностью.
3698. В сегмент эллиптического параболоида — =
с
X2 J/2
= — + -^"> 2 = с> вписать прямоугольный паралле-
лепипед наибольшего объема.
3699. Найти кратчайшее расстояние точки
М0 (х0, у0, г0) от плоскости Ах + By + Сг + D =0.
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 377
3700. Определить кратчайшее расстояние d между
двумя прямыми в пространстве
X—Xi у — \У __ Z — 2Х
тх пх р!
И
х — х2 у — У2 „ г —?2
т2 п2 ръ
3701. Найти кратчайшее расстояние между парабо¬
лой у = х2 и прямой х—у—2 = 0.
3702. Найти полуоси центральной кривой второго
порядка
Ах2 + 2 Вху + Су2 = 1.
3703. Найти полуоси центральной поверхности вто¬
рого порядка
Ах2 + By2 + Cz2 + 2 Dxy + 2 Eyz + 2Fxz = 1.
3704. Определить площадь эллипса, образованного
пересечением цилиндра
= 1
а2 ь2
плоскостью
Ах -Ь By + Cz — 0.
3705. Определить площадь сечения эллипсоида
у2 »i2 ч2
—Н—— = 1
а? Ь2 са
ПЛОСКОСТЬЮ
х cos а + у cos р + г cos у = 0,
где
cos2a + cos2p + cos2v = 1.
3706. Согласно принципу Ферма свет, исходящий
из точки А и попадающий в точку В, распространяется
по той кривой, для прохождения которой требуется
минимум времени.
Предполагая, что точки А и В расположены в раз¬
личных оптических средах, разделенных плоскостью,
причем скорость распространения света в первой среде
равна vv а во второй v2, вывести закон преломления
света.
378 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3707. При каком угле падения отклонение светового
луча (т. е. угол между падающим и выходящим лучами),
проходящего через призму с преломляющим углом а
и показателем преломления п, будет наименьшим? Оп¬
ределить это наименьшее отклонение.
3708. Переменные величины х и у удовлетворяют
линейному уравнению у = ах + Ь, коэффициенты ко¬
торого требуется определить. В результате ряда равно¬
точных измерений для величин х и у получены значения
Xi, yi (t = 1,2,..., п).
Пользуясь способом наименьших квадратов, опреде¬
лить иаивероятнейшие значения коэффициентов а и Ь.
Указание. Согласно способу наименьших квадратов
наивероятнеишими значениями коэффициентов а и b являются
те, для которых сумма квадратов погрешностей
±^=t{aXi+b-y$
;=i i=i
будет наименьшей.
3709. На плоскости дана система п точек Mt(xt, yi)
(i = 1, 2, ... , n).
При каком положении прямой
х cos а + у sin а — р = 0
сумма квадратов отклонений данных точек от этой
прямой будет наименьшей?
3710. Функцию х2 на интервале (1, 3) приближенно
заменить линейной функцией ах + b так, чтобы абсо¬
лютное отклонение
Д = sup| х2 — (ах b) | (1 < х «S 3)
было минимальным.
ОТДЕЛ VII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие
от параметра
1°. Непрерывность интеграла. Если функ¬
ция I (х, у) определена и непрерывна в ограниченной области
R [а b^ys^B 1, то
А
F(y) = $U*, У) dx
а
представляет собой функцию, непрерывную на сегменте
b ^ у ^ В.
2°. Дифференцирование под знаком и н -
т е г р а л а. Если сверх указанного в 1°, частная производная
fy(x> У) непрерывна в области R, то при b < у < В справедлива
формула Лейбница.
d А А ,
У) dx = § fy (х, y)dx.
У а а
В более общем случае, когда пределы интеграции являются
дифференцируемыми функциями <p (t/) и ф (у) параметра у и
а < Ф (У) < Л. а < {у) < А при b < у < В, имеем:
^ Ъ(у)
~т- { f.{x, y)dx = t (1р {у), у) ^ (у) — I (ф (у), у) ф' (у) +
Г У)
+ j f'y(x, y)dx (Ь<у<В).
<Р (У)
3°. Интегрирование под знаком инте¬
грала. При условиях I0 имеем:
В А А В
J dyj f(x, y)dx = $ dxf [ (x, у) dy.
Ь a a b
3711, Показать, что интеграл
F(U) =J7(*. y)dx
0
380 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
от разрывной функции / (х, у) = sgn (х—у) является
ф'/нкцией непрерывной. Построить график функции
tt <= F (у).
3712. Исследовать на непрерывность функцию
em = (-^dx,
J
где функция f (лг) непрерывна и положительна на сег¬
менте [0, 1 ].
3713. Найти:
'+“ j
а> is J -r+dJ^- «»
imf—a—.
oc-*0 j 1 + X2 + a2 a->0 —1
a
f Л dx
в) lim j cos axdx) r) lim
a-*00
3713.1. Найти
lim jf
•-►00 0
Я/2
Hm f <r*sin9d0.
3714. Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте
[А, В]. Доказать, что
lim-J-j1 [f(t + h)—f(t)]dt = f(x)—f(a) (А<а<х<В).
/t—►О п а
3714.1. Пусть 1) <р„(*) > О (п = 1, 2, . . .) на
I— 1, 1 ]; 2) <р„ (я) ~Х 0 при п -*■ оо на 0 < е < | л:| < 1;
1
3) f <р„ (дг) dx -*■ 1 при п -*• оо.
Доказать, что, если f (х) £ С [— 1, 1 ], то
I
lim $ f(x)q>n(x)dx = f (0).
П-+оо —1
3715. Можно ли совершить предельный переход под
знаком интеграла в выражении
1
lim [—e~x‘,ytdx?
if-0 J y%
§ t СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 381
3716. Можно ли вычислить по правилу Лейбница
производную функции
I
F(y) = J In V^ + </a dx
о
при у = О?
3717. Вычислить F' (х), если
X1
F (х) = f e-^dy.
X
3718. Найти F' (а), если:
cos а 6+а
a) F (а) = J еа^1 ~x*dx; б) F (а) = Г s n ах- dx\
sin a „J X
а+а
В) F(a)={ lnV + ax)..dx-t
J X
О
а
г) F(а)=[f(х + а, х—а)dr,
о
а2 х+а
д) F(a) = § dx J sin (х2 + у2—a2) dtj.
О jc—а
3719. Найти F" (jc), если
F W = I (x+y)f(y)dy,
о
где / (jc) — дифференцируемая функция.
3720. Найти F"- (лг), если
F(x) = $ f(y)\x—y\dy,
а
где а < b и f (у) — непрерывная на [а, Ь ] функция.
3721. Найти F" (jc), если
F(x) = ±-$dzh(* + t + 4)dt\ (Л>0).
А2 о о
где f (jc) — непрерывная функция.
3722. Найти (jc), если
F(x)=U(f)(x-t)"-'dt.
О
382 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3722.1. Доказать формулу
о
(/2=1, 2, . • . ).
Пользуясь формулой (1), получить оценку:
dn / sin х ч | 1 r, ч
( ] < при хи — оо, + оо).
dxn ^ ж J\ я+ 1 к 44 • т /
3723. Функцию f (х) = х2 на промежутке 1 < х < 3
приближенно заменить линейной функцией а + Ьх так,
чтобы
з
J (a -f bx —х2)2 dx = min.
i
3724. Получить приближенную формулу вида
Vl + х2 « а + Ьх (0 < х < 1)
из условия, что среднее квадратичное отклонение функ¬
ций а + Ьх и У1 + х2 на данном промежутке [0, 1 ]
является минимальным.
3725. Найти производные от полных эллиптических
интегралов
Я/2
Е (ft) = j yi—/г2 sin2 ф dq>
о
Й
я/2 J
F (k)— Г (0<*<1)
J у 1 —A2 sin2 ф
о
и выразить их через функции Е (k) и F (k).
Показать, что Е (k) удовлетворяет дифференциаль¬
ному уравнению
Е" (k) + — E' (k) +-£ (fe)- = 0.
k 1— *s
3726. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
1 Г
Jn (х) =—J cos («ф —* sin ф) ^ф
Я О
удовлетворяет уравнению Бесселя
x2J'n(x) + *</«(*) + (х2—п2) Jn{x) = 0.
S I. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 383
3727. Пусть /(а) = f Ф (*)<** , где функция <jp (jc)
J У« — дс
О
непрерывна вместе со своей производной <р' (х) на сег¬
менте 0 < х < а.
Доказать, что при О <С а < а имеем:
а
f'(a) = JL&. + C-j£14-dx.
'sja. J V« —*
о
Указание. Положить х = аЛ.
3728. Показать, что функция
1
и (х) =|К (х, y)v(y)dy,
где
(1 —//), если jс<у,
!/(1— х), если х>у,
и v (у) непрерывна, удовлетворяет уравнению
и" (х) = — v (х) (0 < jc < 11.
3729. Найти F'x‘y(x, у), если
F(x, {/)= J (x—yz)f(z)dz,
х/у
где f (z) — дифференцируемая функция.
3730. Пусть / (х) — дважды дифференцируемая функ¬
ция и F (jc) — дифференцируемая функция.
Доказать, что функция
1 1 х+е“
и(х, i)r= —If (x—at) + f (x + at) ]+— J F (z)dz
2 2 a x—at
удовлетворяет уравнению колебаний струни
д2и 2 д'1и
= аг
dt“ дх2
и начальным условиям: и (х, 0) — / (л:), и\ (х, 0) = F (х).
3731. Показать, что если функция / (jc) непрерывна
на сегменте 10, / ] и (х—|)2 + у2 + г%- Ф 0 при 0 <!</,
то функция
» Г (I) ь
384 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
удовлетворяет уравнению Лапласа
д2и . д'*и . дги
= 0.
дх2 ду2 dz1
Применяя дифференцирование ио параметру, вы¬
числить следующие интегралы:
л/2
3732. J ln(a2sin2jt + b2cos2x)djc.
о
Л
3733. J In (1 —2a cos х -j- a2) dx.
о
л/2
3734. Г dx.
Г arctg (а
J
о
Я/2
3735. f ln-L±-ac0SJC..-^L_ (|a|< 1)
J 1 — a cos x cos x
о
3736. Пользуясь формулой
I
arctg x
_ С dy_
J l + *2i
X J 1 + X2y2
0
вычислить интеграл
l
f arc*g X dx
j * Vi—**
о
3737. Применяя интегрирование под знаком интег¬
рала, вычислить интеграл
г* vb yd
_f —dx (а>0, 6>0).
J 1п X
о
3738. Вычислить интегралы:
о
б) J cos ^ln -i-) * dx (а> 0, 6>0).
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИПТЕГРЛЛЫ 385
3739. Пусть F (k) и F (k) — полные эллиптические
интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы
к
а) J F (ft) kdk=E{k)—k\F (ft);
О
к
б) j£(ft)ftdft = -i-[( 1 +k7)E(k)—k2iF (ft)J,
о
где k\ - 1—ft2.
3740. Доказать формулу
X
J xJ0 (дс) dx = xJt (x),
0
где J0 (л:) и J i (jc) — функции Бесселя индексов 0 и 1
(см. задачу 3726).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие
от параметра.
Равномерная сходи,’кость интегралов
Iе. Определение равномерной сходи*
мости. Сходящийся несобственный интеграл
оо Ь
Г { (.X, у) dx = lim f / (дс, у) dx, (i)
а а
где функция IF (x, у) непрерывна в области а ^ х < + оо,
Уь < £/ < У2» называется равномерно схооящимся в интервале
fe/i» £/2)» если Для любого е > 0 существует число В = В (е)
такое, что при всяком b > В имеем;
-j-oo
Г I (х, у) dx < е (t/t < у < (/2).
Равномерная сходимость ишеграла (1) эквивалентна равно¬
мерной сходимосги всех рядов вида
оо Un+1
£ I Цх. y)dx, (2)
п= 0 ап
где а= а0 < at < а2 < . . . <о„ < ап+1 < ... и lim о„=+ оо.
/| —► X)
Если интеграл (I) сходится равномерно в интервале (ylt у2),
то он представляет собой непрерывную функцию
параметра у в этом интервале.
2°. Критерий Коши. Для равномерной сходимости
интеграла (1) в интервале (у1г у2) необходимо и достаточно,
13 Б. П. Демидович
383
ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
чтобы для любого е >• 0 существовало число В = В (е) тахое,
что
ьа
f /(*. У)Лх
<8 при У1<У<Уг,
если только Ь’ > В и Ь" > В.
3°. Критерий Вейерштрасса. Для равномер¬
ной сходимости интеграла (1) достаточно, чтобы существовала
не зависящая от параметра у мажорирующая функция F (л;)
такая, что
П 11 (*. У) \ ^ F (■*) при а ^ х < + оо
и
-{-оо
2) | F(jc)d^<+oo,
а
4°. Аналогичные теоремы имеют место для несобственных
интегралов от разрывных функций.
Определить области сходимости интегралов:
+°°
3741.
3742.
0
ОО
1
+ X2
XCQS X
-dx.
хр + хР
dx. 3743.
•J-oo
I
sin х9
jхР
dx.
3744.
dx
| In JC |Р
COS
3745.
1 —*
7T3-
• dx.
3746.
xp + sin X
dx (p~>0).
При помощи сравнения с рядами исследовать схо¬
димость следующих интегралов:
3747. [ ^-dx.
J JC+a
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 387
+оо
3748. [ xdx —~ (n> 0).
J l-\-xnsin2x
0
4-oo
3749. r dx
\ -
xp y^sin- л:
я
3750. J -sin {x + *2) d!*.
xr‘
0
3751. Сформулировать в положительном смысле, что
+“
значит, что интеграл J / (х, у) dx сходится неравно-
а
мерно в заданном интервале (ylt у2)?
3752. Доказать, что если 1) интеграл J / (х) dx схо-
а
дится и 2) функция ф (xf у) ограничена и монотонна
по х, то интеграл
+оо
J /(х) ф (х, y)dx
а
сходится равномерно (в соответствующей области).
3753. Доказать, что равномерно сходящийся интеграл
+ОС
1= j е у'\ u)dx (0<у<1)
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не за¬
висящим от параметра.
-foo
3754. Показать, что интеграл 1 = ] ae~axdx
о
1) сходится равномерно в любом промежутке
0<а<а<4 и
2) сходится неравномерно в промежутке 0 < а < Ь.
3755. Доказать, что интеграл Дирихле
4-00
у — j* sin ах
О
1) сходится равномерно на каждом сегменте Iа, й], не
содержащем значения а = О, и 2) сходится неравно¬
мерно на каждом сегменте 1а, Ь)> содержащем значе¬
ние а = 0.
13*
dx
388 ОТДЕЛ Vtl ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3755.1. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
+“ .
С d«
1
в следующих промежутках: а) 1 < а0 < а < + оо;
б) 1 < а < + оо.
3755.2. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
Г при 0<а< 1.
3755.3. Показать, что интеграл Г — сходится
J *“+1
о
неравномерно в интервале 1 < а < + оо.
Исследовать на равномерную сходимость в указан¬
ных промежутках следующие интегралы:
3756. J e-a*sin xdx (0<ао < а< + °°)
о
+“
3757. j x*e~xdx (а < а < Ь).
+■»
3758. Г -°-°s а— dx ( —оо<а<-Ьоо)
J 1 +
-ОО
-ОО
[ — (0 < а< + оо).
з
го°
^ smx e-cLx^x (0<а< + оо).
—оо
4-00
3759.
о
+00
3760.
3760.1. С 1пР-1- dx (0 < р < 10)
J X V*
I
4-00
3761.
J е-ах _E0S*_ (0<а<+оо),
\
где р>О фиксировано.
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 389
+?“
37S2. J лЯe~ax'dx (0 < а< + оо).
о
+»
3763. J e~<x~a)'dx; а) а<а<&; б)—оо<а< + оо.
*—оо
+оо
3764. J e-^^+^sinxdy ( — оо<лс< +00).
+°° .
3765. J -ilH-dx (р > 0).
0
3765.1. Подобрать число Ь > 0 так, чтобы
V Ас
1 ~Г~,—Г<е ПРИ Ы 10, где е=»10“*,
J 1 + *"
ь
1
3766.
J^-i а) р> Ра >0; б) р>0
3767. Г — * ■ dx (0 < я< + оо).
J Vl-*2
О
1
3768. Г sin —(0<« <2).
J X хп
о
(*а-—(i«i<4-).
О
2
3769.
о
I
\
3770. \ —s-in-a* - dx (0 < а < 1).
V !* — <*!
3771. Интеграл называется равномерно сходящимся
при данном значении параметра, если он равномерно
сходится в некоторой окрестности этого значения. До¬
казать, что интеграл
+« .
, С ъйх
390 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сходится равномерно при каждом значении а Ф 0 и не
сходится равномерно при а = 0.
3772. Законен ли переход к пределу под знаком
интеграла в выражении
+оо
lim | ae~axdx?
a-*-fO 0
3773. Функция / (х) интегрируема в промежутке
(0, + оо). Доказать формулу
-J-oo -}-оо
lim J e~axf(x)dx— J f(x)dx.
a-»+0 0 0
3773.1. Доказать, что если f' (х) абсолютно интегри¬
руема на 1а, + оо ], то существует lim f (х).
3774. Доказать, что
+оо
lim J f(x)sin nxdx = 0,
П-+ оо 0
если функция f (х) абсолютно интегрируема в про¬
межутке (0, + оо).
3775. Доказать, что если 1) / (х, у) ^ f (х, у„) в каж¬
дом конечном интервале (а, Ъ)\ 2) | / (х, у) | < F (х), где
+00
J F (х) dx < 4* оо, то
а
+00 -f оо
lim J f(x, y)dx— J lim/(jc, у) dx.
У-*Ус о a y-*ya
3776. Вычислить интеграл
I ‘~*йх = j to [(I + -fr]<b.
0 0
используя предельный переход под знаком интеграла,
3776.1. Пусть f (х) — непрерывна и ограничена на
[О, + оо). Доказать, что
li™ — +Г -£®rdx = f{0).
у-»е я J х*+г/2
о
3776.2. Найти
5 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 391
3777. Доказать, что интеграл
F(a)= j e-^-^dx
есть непрерывная функция параметра а.
3777.1. Показать, что
Г sinJr
F (а) = \ dx
есть непрерывная функция в интервале О < а < I.
3778. Определить точки разрыва функции
+“ sin (1 — а*) х
о
Построить график функции у — F (а).
Исследовать на непрерывность в указанных проме¬
жутках следующие функции:
+00
3779. F(a) — [ -xdx - при а >2.
j 2 + ха
о
+со
3780. F(а) = С —dx при а>0.
Г CQS *
) ~
I
п
Г sin х
J ха (я — А')®
о
Н-оо
3782. F(a) = f —i dx при 0<а<1.
J | sin x I06,
о
4-00
3783. F(a)= J ae~xa'dx при — oo<a<+oo#
i
я
3781. F(a) = J —^-—dx при 0<a<2,
0
+oo
392 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 3. Дифференцирование и интегрирование
несобственных интегралов под знаком интеграла
1°. Дифференцирование по параметру.
Если 1) функция f (х, у) непрерывна вместе со своей произ¬
водной f'y (х, у) в области а ^ х < + оо , ух < у < у2;
■4" <30 +оо
2) J t(x> У) dx сходится; 3) J f'y(xt у) dx сходится равномерно
а а
в интервале (ух, то
— J /(*. y)dx<= J f’y(х, у) dx
dy а а
При ух < у < у2 (правило Лейбница).
2°, Формула интегрирования по пара*
метру. Если 1) функция f (х, у) непрерывна при х^а и
+г°°
Ух^ИУ ^У*\ 2) J t (х, у) dx сходится равномерно в конечном
а
сегменте [уг, у2), то
Уч +<» 4-00 уг
j dy J f (xt у) dx = j dx J f (x, y) dy. (1)
У1 a ay,
Если I (x, у) > 0, то формула (1) верна также и для беско¬
нечного промежутка (уи у2) в предположении, что внутренние
интегралы равенства (1) непрерывны и одна из частей равенства
(1) имеет смысл.
3784. Пользуясь формулой
г 1
f xn~xdx = — (л>0),
о п
вычислить иитеграл
1
/ = f xn~l lnm х dx, где т — натуральное число,
о
3785. Пользуясь формулой
4-00
С dx л / ^ m
— («>0),
J х2+а 2 л] а
о
вычислить интеграл
4-00
г Г* dx
/ = \ , где л—натуральное число.
о
$ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 393
3786. Доказать, что интеграл Дирихле
—J-OC
Па)=)
sin ах ,
dx
х
о
имеет при а Ф 0 производную, однако ее нельзя найти
с помощью правила Лейбница.
Указание. Положить ах = у.
3787. Показать, что функция
F(a)= f ■ ^ dx
J i + (x + d)*
о
непрерывна и дифференцируема в области
— оо < а < + оо.
3788. Исходя из равенства
е-ах_-Ьх Ь
= f e-xvdy,
вычислить интеграл
+ OQ
_—ах Я—Ьх
^ — dx (а>О, Ь>0).
о
3789. Доказать формулу Фруллани
Г dx = f(0) In— (а>0, b>0),
J * а
о
-foo
где / (jc) — непрерывная функция и интеграл j* - dx
А
имеет смысл при любом А > 0.
Применяя формулу Фруллаии, вычислить интегралы:
dx (а>0, Ь>0).
-foo
1 с
cos ах — cos Ьх
• J
0
X
-foo
г
sin ах — sin Ьх
' J
0
X
394 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
Ш2 J arctg аде — arctg Ьх ^ (в>()> ь>^
О
С помощью диф:{)еренцирования по параметру вы¬
числить следующие интегралы:
-foo
Г р-а<3 _ 0-№
3793
f — в_р*
. \ dx (а>0, Р>0).
о
Г / е~а* —е-Р* V
. \ ^ J dx (а>0, р>0).
о
-*’*1
Г е~ах — е~рх
. \ sin mxdx (а>0, Р>0).
о
•foo
Г — е-р*
\ cos mxdx (а>0, Р>0).
3796
о"
Вычислить интегралы
1
3797. [ .ln (1 ~а_i- (| а |< 1).
J jc2Vl-*a
О
1
3798. J -ln(1 аУ}- dx (| а | < !)•
Vl-
О
3799. J _ ^cigax__dx
' <\/X2 — \
О
3800. С ln<a* + **l dx.
] Р2+*2
0
3801. arctg ах arctg Рх ^
О
3802. Т И1 + г^"0 + ^_-),.^.
о
5 3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 395
3803. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона
+5°
I— j e-^dx,
исходя из формулы
“I-00 4°°
/а = J er-*dx J xe-t'v’dy.
О о
Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти
величины интегралов:
+00
3804. { е-(ах'+2Ъх+с) fa (а>0, ас—62>0),
—-оо
Н-ОО
3805. J (dj*2 + 2Ьгх + Ci) g-w*s+2»*+o dx
—оо
(а>0, ас—6a>0).
+оо
3806. J e~ax,chbxdx (а>0).
—оо
-f-oo
3807. J e-^+a^^dx (а>0).
О
-f*oo
Г е~ах'— ё~^
3808. \ dx (а>0, р>0).
J х2
о
-{-оо
3809. J e-°*’cosbx dx (а>0).
о
3810. J xe-ei’sin bxdx (а>0).
о
+oo
3811. J x2ne~x,cos2bx dx (n — натуральное число).
U
3811.1. Доказать, что
6
lim д/х f e~axt'dt — л/— (а>0, б>0).
-J.+00 —в V а
2. Исходя из интеграла
/(а)= j g-a* .sm$x (а>0),
396 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интеграл Дирихле
+«>
= С JOL&Ldx.
X
О
8812.1. Какой примерно вид имеет график интег¬
рального синуса
у = Si х,
где
О
Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти
величины интегралов:
4-00
р ах2
3813
С е — cos Pjc
. J dx (а>0).
о
т4 (|a|^|p|)t
о
38,5. Т ™Laxc??lx-dx. 3816. Т ^™-dx.
J X J X
о о
3817. +j 3818. +j (^^.улс.
О о
3819. j -^^-dx
О
4-oo
3820.
j sin*a*-sin-(ap^0).
0
3821, j dx.
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 397
3S22. Т dx (k > 0, а>0, р>0).
J X2
О
3823. Найти разрывный множитель Дирихле
+00
D(x) = — С sin KcosXx —■
Jl J A
для различных значений x. Построить график функции
у = D (я).
3824. Вычислить интегралы:
+оо +оо
л\ f sin ах j ^ С sin ах .
a) v, р. \ dx\ б) v. р. \ dx.
1 J x+b F J х+Ь
—оо *—оо
3825. Пользуясь формулой
| e~y{<+x',)dy,
1 + дс2 о
вычислить интеграл Лапласа
+оо
L= [ -cosax-dx.
J Н- X*
о
+00
3826. Вычислить интеграл Li= \ *sm<x* dx,
J 1 + xi
о
Вычислить интегралы:
3827. [ -sin'x_-dx. 3828. J ~--^dx.
l + x* J (1 + Jt2)a
о 0
+»
3829.
f —djc (fl>o, ec_ft»>0).
J ад:2 + 26л: + с
3830. Пользуясь формулой
—р- = —тг-+Г (*>°)»
V* V11 о
398 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интегралы Френеля
-[-оо + оо
^ sin (л;2) dx = ^ _il£L£_ dx,
о о V*
+ 00 +00
^ cos (л2) dx = -~ ^ _££!£_ dx.
о о У*
Найти величины интегралов:
+“
3831. J sin (ax^ + ibx + c^dx (аф 0).
<—оо
+оо
3832. J sin л:2 • cos 2ах dx.
—сю
+”
3833. j cos jc2-cos 2axdx.
t— oo
3834. Доказать формулы:
+ 00
1Ч C cos а* Л л
1) \ — dx — sinaa;
J a2 — x2 2 a
о
+ 00
С x sin ax * n
2) I dx— cos да,
J a- — x* 2
о
где а Ф О н интегралы понимаются в смысле главного
значения Коши.
3835. Найти преобразование Лапласа
+00
F(p)= j e-p‘f(t)dt (р>0)
о
для функции / (f), если:
а) f{t) — tn (п—натуральное число);
б)М0 = УГ; в) f(t) = eat;
г) / (0 = /<?-«'; д) f(t) = cost\
е) / (0 = ;
ж) /(0 = sin a-yT.
§ 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 399
3836. Доказать формулу (интеграл Липшица)
+оо
[ е~аЧй (Ы) dt = — 1 - (<2>0),
J л/а2-\-Ь*
1 Я
где J0(x) = — J cos(хsin ср)^ф— функция Бесселя
я о
0-го индекса (см. задачу 3726).
3837. Найти преобразование Вейерштрасса
F{x) = -±—+?e-<.*-rtf(y)dy,
Vя —
если:
а)/(*/) = 1; б)f(y) = y2\
в) f (у) = е2“У; г) / (у) = cos ш/.
3838. Многочлены Чебышева — Эрмита определяются
формулами
Нп (*) = (— 1)" (ег*) (п = 0. 1,2, . . .).
ахп
Доказать, что
+г°° (0, если m Ф /г;
_^Ят(х)Я„(^)е-^=|2„п1^ если т = п<
3839. Вычислить интеграл
, +f-[?+irl
Ф (х) = 1 е dt
2по1(,2 J
—оо
(<*!> О, а2>0),
имеющий важное значение в теории вероятностей.
3840. Пусть функция / (*) непрерывна и абсолютна
интегрируема на промежутке (— оо, + оо).
Доказать, что интеграл
+Г° (Б-*)’
u(x, t)-- ) fd)e~ АаЧ dl
2а Vп* *—»
удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 1 д2и
400 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и начальному условию
lim и(х, t) = f(x).
t-++о
§ 4. Эйлеровы интегралы
1°, Гамма-функция. При х > 0 имеем:
+оо
Г (л:) = f tx~ye'ldt.
Основное свойство гамма-функции выражается формулой по-
нижения
Г (х + 1) = хГ (х).
Если п — целое положительное число, то
(п+±Л= 13
V 2 ) 2"
2°. Формула дополнения. При 0 < х < 1
имеем:
Г(*)Г(1-*).
sin пх
3°. Б е т а - ф у н к ц и я. При х > 0 и у > 0 имеем:
1
В (дг, у) = J
и
Справедлива формула
о, v Г(х)Г(</)
В (х, у) = ———— .
Г (х+у)
3841. Доказать, что гамма-функция Г {х) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
в области * > 0.
3842. Доказать, что бета-функция В (я, у) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
в области х> 0, у > 0.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить сле¬
дующие интегралы:
1 а
3843. f syjx—x1 dx. 3844. J дс2 л/a2—х2 dx (а>0),
о о
-| оо ^
3845. \ —^±—dx.
(1+
о
§ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 401
►f-oo
3846. \ —.
J 1 4- *3
о
3847. Г - — ■ -.
J • + *4
О
п/2
3848. J sin6 х*cos4 х dx.
0
1
3849. Г - (л> 1).
j Упггг
О
4-00
3850. j x^e-t'dx (п—целое положительное),
Определить область существования и выразить че¬
рез эйлеровы интегралы следующие интегралы:
Н-оо т_
3851. j -|Х^- dx (п>0).
О
4" оо
fyfrt-1
— dx.
0 + *)n
О
4*00
3853. Г —— (а>0, Ь>0, п>0).
J (а+б*Т v
0
3854. Г 1* -а)т (Ь оса<Ь, с>0).
J (jc + c)m+"+2 4 7
а
1
3855. ( - (т>0).
J
О
я '2 л/2
3856. J sinm jccos" Jed*. 3857, j tg" х dx.
3858. f —dx (0<\k\<l).
J (1 +ft cos*)"
о
402 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
-J-оо
3859. J е-*п(1х (п>0).
о
•-j- оо
3860. )' xme~*ndx.
0
1
3861. j (in-jjdx.
+00
3862. J xPe~ux \nxdx (a>0).
0
+ 00
3863. Г ■■“** dx.
J l + *
0
3864. f *P~4n2* dx.
J 4" X
0
3864.1. f ■ x]nx ■dx. 3864.2. f ■ ^x--dx.
J 1 + *3 J 1 + x4
0 0
+oo
XP-1 — л^-1
(1 + x) In X
0
3866. Г -i-"1- x~- dx (0<p<l).
J 1 — *
0
Указание. Этот интеграл можно рассматривать как
lim [В (р, е) — В (1 — р, е)].
£-►+0
+00
3867. Г -^^-djc(0<a<p).
J sh Р*
0
1 <2+1
3868. J In Г (х) dx. 3869. j In Г (х) dx (a> 0).
0 а
1
3870. {In Г (я) sin пх dx,
0
1
3871. J In Г (*) cos 2ппх dx (п — натуральное число),
о
§ 4. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ 403
Доказать равенства:
1 1
3872.
С dx Г хЧх _ л
j V* -*4 j V»—4
о о
-f-оо 4"00
3873. f e-x'dx- f хЧ~Чх = п ,
о О 8 д/2
« +00
3874. Д j = ^-1.у-|(2я)я-^ •
m=1 о
-f-oo
3875. lim J е~хПйх = 1.
Л—>00 О
I 1
Используя равенство —— = ■ ^ ■ ■ J tm~xe-xidt (х>0),
наити интегралы
4-00
3876.
"о
4-00
С cos ах
J d* (0<т<1).
О
|-оо _
3877. Г (0<т<2).
J *
3878. Доказать формулы Эйлера:
4~оо
а) j tx-le~u cos а cos (kt sin a) dt = Г ^ cos ax;
о
4~00
б) | tx~le~“^“sin^sinajd/ = -^-^_sin ак
о A,*
(X>0, x>0, —5-< a<-f-).
3879. Найти длину дуги кривой
rn = ап cos n<p (a > 0, n — натуральное).
3880. Найти площадь, ограниченную кривой
|*|e + lyle = a* («>0, a>0).
401 ОТДЕЛ VII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 5. Интегральная формула Фурье
1°. Представление функции интегра¬
лом Фурье. Если I) функция \ (х) задана на оси — оо <
2) кусочно-непрерывна вместе со своей производ¬
ной I' (х) в каждом конечном промежутке и 3) абсолютно инте¬
грируема на интервале (—оо, +«>). то во всех своих точках не¬
прерывности она допускает представление в форме интеграла
Фурье:
+ 0°
/ (х) = J [а (X) cos кх + b (A,) sin kx) dk, (О
о
где
-foo 4-00
«(*.)*=— I /© cosbidiH b(l)=— { ©sin Я* «5.
Я —оо Я —со
В точках разрыва функции | (х) левая часть формулы (I) должна
быть заменена на — I/ (лр + 0) + / (jc — 0)1.
Для четной функции f (я), с тем же замечанием относительно
точек разрыва, формула (1) дает:
4°о
/ (*) a J а (X) cos kx dk, (2)
о
где
4-00
а (Я.) = — | f(l) cos
Я о
Аналогично для нечетной функции £ (дс) получаем:
4о°
/ (л) = J Ъ (X)sin kx dk, (3)
о
где
2 +Г
Ь(к) = — J /(|)sinA,|i|.
Я о
2°. Представление функции интегралом
Фурье в интервале (0, +оо). Функция f (*), заданная
в интервале (0, +оо) и кусочно-непрерывная вместе со своей
производной f' (х) на каждом конечном интервале (а, Ь) с:
с (0, + оо), абсолютно интегрируемая на (0, + оо), по желанию
может быть представлена в данном интервале или формулой (2)
(четное продолжение), или формулой (3) (нечетное продолжение).
Представить интегралом Фурье следующие функции:
1, если |х|<1;
если |*|>1.
sgnx, если | jc 1< 1;
3881. /(*) = {£
3882. /(*) = -,
1 0, если | ж|>1.
S 5. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ФУРЬЕ 403
3883. / (*) = sgn (х—а)—sgn (х—b) (b'xi).
( h (1 , если |*| ^ а;
3884. /(*) = ' 0 '
I 0, если |лс|>а.
3885. f (*) = ——J—— (а>0).
а2+ х-
3886. f(x) = -^— (а>0).
а2 + х
( sin х,
3887. /(*) = [
3888. f(x) =
если |*| < я;
если |*|>я.
cos*, если |*| <
3889. /(0 =■
0, если |*|> —.
2
A sin <i>t, если |f| < -2я” ;
(£>
0, если 111 > (п — нату-
ш
ральное число).
3890. f (*) = е~“1*1 (а>0).
3891. f (х) — е~а I *1 cos р* (а>0).
3892. f (*) = е~а I * 1 sin р* (а>0).
3893. f(x) = e~*\ 3894. f(x) = xe~x\
3895. Функцию / (*) = е~х (0 < * < + °°) пред¬
ставить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным 013-
разом; б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье
, +оо I л
F(x) =—-— f f(t)e~“xdt =—l— lim f f(t)e~ltxdt
yinT Угя '-*+<*> л,
для функции / (t), если:
3896. /(*) = <?-“!*! (а>0).
3897. f (*) = хе~а 1 *1 (а > 0).
3898. f (*) = e~ix*12. 3899. f (*) = **/* cos а*.
3900. Найти функции <р (*) и г|) (*), если:
+г° 1
a) J <р(</)cosxydy =
0 1 “г Я
+оо
® J ^ (У) s*n ХУ dy = (*>0).
о
ОТДЕЛ VIII
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двойные интегралы
1°. Непосредственное вычисление двой¬
ного интеграла. Двойным интегралом от непрерывной
функции / (дс, у), распространенным на ограниченную замкну¬
тую квадрируемую область Q, называется число
Г Cf (дс, у) dx dy = lim V V / (xit yj) Ддс*Д*//,
q тах|Лл:.^0^^
max | Ay j |-*0 '
где Ддс; = xi+i — xi, Ayj = £//+* — yj и сумма распростра¬
няется на те значения i и /, для которых (лс*, yj) £ Q.
Если область Q задана неравенствами
а^х^Ь, ух (х) ^у ^ у2 (дс),
где f/j (х) и (/2 (дс) — непрерывные функции на сегменте [a, b],
то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по
формуле
ь У2 (х)
У) dxdy^j dx J f(x, у) dy.
Q а У1 (*)
2°, Замена переменных в двойном и н т е *
г р а л е. Если непрерывно дифференцируемые функции
дс = х (u, v)t у = у (и, v)
осуществляют одно-однозначное отображение ограниченной и
замкнутой области Q в плоскости Оху на область ft' в плоско¬
сти Ouv, и якобиан
J _ Р(х, у)
D(ut v)
сохраняет постоянный знак в Q за исключением, быть может#
множества меры нуль, то справедлива формула
I i f (*. y)dxdy = $ $ f (х (и, v), у («, v)) | / | du do.
в й'
В частности, для случая перехода к полярным координа*
там г и ф по формулам дс = г cos ф, у = г sin ф имеем;
Ш(*. y)dxdy = j fi(r cos ф, r sin ф) r dr dq.
Q Q'
§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
407
3901. Вычислить интеграл J f xtjdxdy,
рассматривая его как предел интегральной, суммы, раз¬
бивая область интегрирования на квадраты прямыми
х = iln, у = jln ((',/= 1, 2, , п—1)
и выбирая значение подынтегральной функции в пра¬
вых верхних вершинах этих квадратов.
3902. Составить нижнюю S и верхнюю 5 интеграль¬
ные суммы для функции f (ху у) = х2 + у2 в области
1 < х < 2, 1 < у < 3, разбивая последнюю на прямо¬
угольники прямыми
аппроксимируя область интегрирования системой вписан¬
ных квадратов, вершины которых Ац находятся в целочис¬
ленных точках, и выбирая значения подынтегральной
функции в вершинах этих квадратов, наиболее удален¬
ных от начала координат. Сравнить полученный резуль¬
тат с точным значением интеграла.
где S — треугольник, ограниченный прямыми х = 0,
у = 0 и х + у — 1, разбив область S прямыми х =
= const, у = const, х + у = const на четыре равных
треугольника и выбрав значение подынтегральной функ¬
ции в центрах тяжестей этих треугольников.
3S05. Область S {х2 + у2 < 1} разбита на конечное
число квадрируемых частей AS( (i = 1, 2, . . . , п) диа¬
метра меньше чем 6. При каком значении б будет обес¬
печено выполнение неравенства
X = I + —г У
П
п
Чему равны пределы этих сумм при п -*■ оо?
3903. Приближенно вычислить интеграл
»
3S04. Приближешю зычислнть интеграл { J-у/х+у dS,
s
П
{ { siп (х + у) dS — ]£ sin (х, + г/,-) AS, <0,001,
где у{) £ AS,?
408 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить интегралы:
11 1 X
3906. j dx § (х +у) dy. 3907. §dx\xy2dy.
0 0 0 jc2
2л а
3908. f d<р f г2 sin2 ф dr.
о о
3909. Доказать равенство
а в
j- J X (х) Y (у) dxdy = f X (х) dx ■ J Y (у) dy,
R а Ь
если R — прямоугольник: а < * < Л, b < у < В, и
функции X (х) a Y (у) непрерывны на соответствующих
сегментах.
А В
3910. Вычислить / = f dx\ f (х, у) dy, если
а b
/ (*. у) = F'xy (х, у).
3911. Пусть / (х) — непрерывная функция в проме¬
жутке а < х < Ь. Доказать неравенство
Г 6 “|2 Ь
< (b—a)ff2(x)dx,
где знак равенства имеет место лишь, если / (я) = const-
Указание. Рассмотреть интеграл
Ь ь
$dx$[f(x)-f(y)]2 dy.
а а
3912. Какой знак имеют интегралы:
а) fj In (х2 + у2) dxdy;
W+i&Kl
б) J J ]/ \ —x2 — y2 dxdy',
в) J J arcsi n (x + y) dx dy?
0^*<l
— x
3913. Найти среднее значение функции
/ (*» У) — sin2jc sin2*/
в квадрате: 0<д;^я, 0<г/<я.
3914. Пользуясь теоремой о среднем, оценить ин¬
теграл
I
dxdy
§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 409
3915. Найти среднее значение квадрата расстояния
точки круга (х—а)2 + (у—b)2 < R2 от начала коор*
динат.
В задачах 3916—3922 в двойном интеграле
fj7 (х, у) dxdy расставить пределы интегрирования в
а
том и другом порядке для указанных областей Q.
3916. й — треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В(1, 1).
3917. Q — треугольник с вершинами О (0, 0),
А (2, 1), В (- 2, I).
3918. Q —трапеция с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В (1, 2), С (0, 1).
3919. Q — круг х2 + у2 < 1.
3920. Й — круг х2 + у2 < у.
3921. Q — параболический сегмент, ограниченный
кривыми у = х2 и у = 1.
3922. Q — круговое кольцо 1 < х2 + у2 < 4.
3923. Доказать формулу Дирихле
ix а а
jdxjf {х, у) dx=[dy\f (х, y)dx (а>0).
а о о I/
Изменить порядок интегрирования в следующих
интегралах:
2 2х 2 2—х
3924. j'dxj f(x, у) dy. 3925. J dx J f(x, y)dy.
0x —6 (Jt2/4)—1
1 xa
3926. J dx J f (*, y) dy.
0 x3
1 1—
3927. J dx J f{x, y) dy.
-1 —Vl—X*
3928. jdx^C* f(*. У)4У-
I 2-x
2 a *J'2ax
3929. J dx J f(xt y)dy (a> 0).
0 л/2ах—х3
3930. J dx \ f (jc, y) dy.
1 0
2л sin x
3931. J dx J f(x, y)dy.
0 0
410 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вычислить следующие интегралы:
3932. [ | xy2dx dy, если область £2 ограничена па-
‘я
раболой у2 = 2рх и прямой х = р/2 (р > 0).
чена кратчайшей дугой окружности с центром в точке
(а, а) радиуса а, касающейся осей координат, и осями
координат.
3934. J J | ху \dx dy, ссли £2— круг радиуса а с
центром в начале координат.
3935. | j (х'л + у2) dx dy, если О — параллелограмм
со сторонами у — х, у — х + а, у — а и у = За (а > 0).
3936. | J y2dx dy, если Q ограничена осью абсцисс
и первой аркой циклоиды х = a (t — sin t), у =
— а (1 — cos t) (0 < t < 2л).
В двойном интеграла
перейти к полярным координатам г и <р, полагая х =
= г cos ф и у = г sin ф, и расставить пределы интегри¬
рования, если:
3937. £2 — круг х2 + у2 < а2.
3938. £2 — круг х2 + у2 < ах (а > 0).
3939. £2 — кольцо а2 < х2 + у2 < Ь2.
3940. £2 — треугольник 0 < х < 1; 0 < г/ < 1—х.
3941. £2 — параболический сегмент — а < х < а;
х21а < у <; а.
3942. В каком случае после перехода к полярным
координатам пределы интегрирования будут посто¬
янные?
Перейти к полярным координатам г и ф, полагая
х = г cos ф и у = г sin ф, и расставить пределы интег¬
рирования в том и другом порядке в следующих интег¬
ралах:
Q
(3
J J7 (X, y)dxdy
Q
3943. .fd*J7(*, y)dy, 3944. J dx J' f (x, y)dy.
0 0 0 1— X
§ I. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 411
3945. )dx ‘f f (*№+7) dy.
0 x
3946. jdx] f (a-, y)dy.
о 0
3947. J | / (x, y) dx dy, где область £2 ограничена
a
кривой (хг + у2)2 = о3 (хг—у2) (х > 0).
Предполагая, что г и <р — полярные координаты,
изменить порядок интегрирования в следующих инте¬
гралах:
я/2 a cos Ф
3948. J dtp j f(tp, r) dr (а> 0).
-я/2 0
я/2 a Vsin 2<р
3949. j d<p J / (ф, г) dr (а>0).
о о
0 ф
3950. J |/ (ф, г) dr (0<а<2я).
а 0
Перейдя к полярным координатам, заменить двой¬
ные интегралы однократными:
3951* II / Wx* + y*)dxdy.
3952. |1/ (^x2 + y*)dxdy, й = {|г/|<|дс|; |а: |<1}.
Q
3953. J j" / ^dxdy.
*Ч-уг<*
Переходя к полярным координатам, вычислить сле¬
дующие двойные интегралы:
3954. JJ д/х2 + г/2 djedt/.
3955. Я sin д/jc2 + if dx dy.
3956. Квадрат S {а <. х <. а + h, b <. у <. b + h}
(a > 0, b > 0) с помощью системы функций
и = г/2/лг, v - У*£/
преобразуется в область S'. Найти отношение площади
области S' к площади S. Чему равен предел этого от¬
ношения при h 0?
412 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вместо х и у ввести новые переменные и и v и опреде¬
лить пределы интегрирования в следующих двойных
интегралах:
ь р*
3957. J dx | / (дг, у) dy (0 < а < Ь; О < а < 0)',
а ах
если и = х, v = у/х.
2 2—*
3958. J dx J f (х, у) dy, если и = х + у, v = х—у.
О 1—х
3959. J J / (дг, у) dx dy, где область Й ограничена
а_ _
кривыми л/х + л/у = л[а, х = 0, у = 0 (а > 0),
если х — и cos4v, у — и sin4u.
3960. Показать, что замена переменных
х + у = £, у — Ь\
переводит треугольник 0 < х < 1, 0 < г/ < 1 — х в
единичный квадрат 0 < I < 1, 0 < t| < 1.
3961. При какой замене переменных криволинейный
четырехугольник, ограниченный кривыми ху = 1,
ху = 2, х—у +1=0, х—у—1 =0 (х > 0, ^ > 0),
перейдет в прямоугольник, стороны которого парал¬
лельны осям координат?
Произведя соответствующие замены переменных, све¬
сти двойные интегралы к однократным:
3962. fj f(x + y)dxdy.
3963. ГГ / (ах + by -f с) dx dy (аг + b2 Ф 0).
3964. J j / (xy) dx dy, где область Q ограничена
й
кривыми ху = 1, ху — 2, у = х, у — Ах (х > 0, у > 0).
Вычислить следующие двойные интегралы:
3965. f J (х + у) dx dy, где область Q ограничена
"а
кривой х2 + у2 = х + у.
3966. Jf (\х\ + \y\)dxdy.
3967. NV 1 ^ dxdy, где область Q
а
y‘i
ограничена эллипсом —— = 1.
§ 1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 413
3968. Г С (х2 + у2) dx dy.
3969. J [ (л: -!- у) dx dy, где область Q ограничена
Q
кривыми у2 — 2х, х + у = 4, х + у = 12.
3970. f \ ху dx dy, где область Q ограничена кри*
а
выми ху = 1, х + у = 5/2.
3971. f { | cos (х + у) | dx dy.
О <Ж<Я
х+у
- - л/2
3973. jj л/\У~х2\ dxdy.
М<1
0<i/<2
3972. |JL:Tr х2—Уг
dxdy.
Вычислить интегралы от разрывных функций:
3974. [ j sgn (х2—у2 + 2) dx dy.
*5+</г<4
3975. [ f [х -\- у\ dx dy. 3976. JJ л/[у—х2] dxdy.
0<x<2 x2<!/<4
0<V<2
3977. Доказать, что ГГ xmyn dxdy =0, если
тип — целые положительные числа и по меньшей
мере одно из них нечетно.
3978. Найти
lim—l— fj f(x, у)dxdy,
р-»- 0 Яр
где f (х, у) — непрерывная функция.
3979. Найти F' (/), если
F(t) = dx dy.
0<х<1
3980. Найти F' {t), если
F(0 — И л/х* + у2 dxdy.
3981. Найти F' (t), если
F(0- ГГ }{х, у)dxdy (t>0).
#+у’<Р
414 ОТДЕЛ Vltl КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЧЬТ
3982. Доказать, что если / (jc, у) непрерывна, то
функция
1 % *+^,-6
«(•*. y) = — $d.t | /(s, ii)dri
2 0 6-*+у
удовлетворяет уравнению
дги д2и е , .
1F—W~nx' »>•
3983. Пусть линии уровня функции / (jc, //) — про¬
стые замкнутые кривые и область 5 (ух, d2) ограничена
кривыми / (*, у) — Vi и f (jc, у) = £>2.
Доказать, что
II /(-к. У)dxdy = \ vF' (и)dv,
S (£»,, Vi) V,
где F (у) — площадь, ограниченная кривыми f (jc, y)=vt
и / (-к, у) = у.
Указание. Область интегрирования разбить на части,
ограниченные бесконечно близкими линиями уровня функции
I (*. у).
§ 2. Вычисление площадей
Площадь области S, расположенной в плоскости Оху,
кается формулой
S = J | dx dy
s
Найти площади, ограниченные следующими кри¬
выми:
3984. ху — а2, х + у =-^- а (а > 0).
3985. у1 = 2рх + р2, у2 = — 2qx + q2- {р > 0,
g>0).
3986. (jc—у)2 + jc2 = а2 (а > 0).
Переходя к полярным координатам, вычислить пло¬
щади, ограниченные следующими кривыми:
3987. (jc2 + у2)2 = 2а2 (х2—у2); х2 + у2 > а2.
3988. (jc8 + у3)2 = х2 + у2, х>0, у> 0.
3989. (jc2 + у2)2 = a (jc3—3ху2) (а >• 0).
3990. (jc2 + у2)2 = 8а2ху; (л- — а)2 + (у—а)2 < а2
(а > 0).
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
41S
Вводя обобщенные полярные координаты г и ф па
формулам
х — аг соь“ ф, у = br sina ф (г > 0),
где о, & и a — надлежащим образом подобранные по¬
стоянные и ■ D('x' = a abr cosa_l ф sina_l ф, найти
D(r, ф)
площади, ограниченные следующими кривыми (параметры
считаются положительными):
Производя надлежащую замену переменных, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
3996. х -{• у = а, х + у = Ь, у = ах, у = $х
(0<а< Ь; 0< a < Р).
3997. ху — а2, ху = 2а2, у — х, у = 2х (х > 0;
У> 0).
3998. у2 = 2рх, у2 = 2дх, х2 = 2гу, х2 - 2sy
(0 < р < q; 0 < г < s).
3998.1. х2 = ay, х2 = by, х3 — су2, х3 — dy*
(0 < а < Ь; 0 < с < d).
3998.2. у = ахр, у — Ьхр, у = у = dx*.
(0 <р< q; 0 <а<Ь; 0 < с< d).
3993. + оо. ,>0).
3994- (f ■<*>»■ *>°>'
3995. т/ —+ l/-f = 1;х = 0, </=0.
* а * b
416 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4009.
У
1, где к принимает следующие
5
значения: — с*, — с2, —с\ — с2 (х> 0,у>0).
3 3 3 3 ' J
4001. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(алх + Ьху + сх)г + (а2* + Ьгу + с2)* = 1,
где 6 ct]b2 0.
4002. Найти площадь, ограниченную эллипсами.
х? у
+ —
ch2 и
sh2 и
= С*
coszy
У 2
-^7— = С2
sin2 V
(и — и I, и2) и гиперболами
(v = vv v2) (0 < «j < uzi
0 < < v2; x > 0, у > 0).
Указание. Положить х = с ch и cos v, у = с sh и sin v,
4003. Найти площадь сечения поверхности
х2 + у2 -г г2 — ху — xz — уг — а2
плоскостью х + у -г г = 0.
4004. Найти площадь сечения поверхности
—+—+—=о
х у г
ПЛОСКОСТЬЮ Z = 1—2 (х + у),
§ 3. Вычисление объемов
Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной по¬
верхностью г = I (х, у) 5* 0, снизу плоскостью г — 0 и с боков
ррямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из пло*
Скости Оху квадрируемую область Q (рис. 14), равен
v = IIy)dxdH'
а
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 417
4005. Нарисовать тело, объем которого равен ин¬
тегралу
1 I-*
v =$dx J (x2 + y2)dy.
о о
4006. Изобразить объемы, выражаемые следующими
двойными интегралами:
а) Я (x + y)dxdy;
*>0, */>0
б) И Vi-_f—
*74+</79«1
в) И (x2 + y2)dxdy;
Ы+\у\<1
г) Я V*2+*/2 dxdy>
Я) Я л/ху dxdy,
х^у^2х
е) f j sin я д/г8 + у2 dx dy.
х'+У'-<1
Найти объемы тел, ограниченных следующими по¬
верхностями:
4007. г = 1+ х + #, 2 = 0, х + у = 1, х = 0,
У = 0.
4008. х + у + г — а, х2 + уг- = R\ х = 0, у = 0*
г = 0 (а > /?У 2).
4009. 2 = х2 + у2, у = х2, у — 1, 2 = 0.
4010. 2 = cos дс cos у, 2 = 0, | * 4- у\ < я/2,
1х — у | < л/2.
4011. г = sin , г = 0, у = х, у = 0, х = п.
4012. г = ху, * + 0 + 2=1, 2 = 0.
Переходя к полярным координатам, найти объемы
тел, ограниченных следующими поверхностями:
4013. гг — ху, х2 + у2 = аг.
14 Б. П. Демидович
418 ОТДЕЛ vril КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4014. 2 = х + //, (х2 + у2)2 = 2ху, 2 = 0 (х > О,
£/>0).
4015. г = х'1 + у2, х2 + у2 = х, х2 + у2 = 2х, г =0.
4016. х2 + у2 + г2 = а2, х2 + у2>а |х| (а> 0).
4017. х2 + у2—аг = 0, (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2),
2=0 (а > 0).
4018. г = е~(хЧу,), г - 0, л:2 + у2 = R2.
4019. г = с cos
Я У*з+ f 2 = 0, у = JC tg а,
2а
г/ == л: tg р (а > О, с > О, 0 г£ а< р sg 2я).
4020. г = л'2 + £/2, 2 = х + у.
Найти объемы тел, ограниченных следующими по¬
верхностями (параметры предполагаются положитель¬
ными):
у2 IЛ у2 у2 в«2 V2
4021. JL. + -J- + -L.*!, JL_+ -£_ = -£- (2>0).
а2 b2 с2 а2 Ь2 с2
у2 /|2 ^2 у2 у2
4022. — + -2 — = —I, —+ —= 1.
а3 с2 а2 ft2
4023. + -У— = —, -^- + — = —4- — , 2 = 0.
а2 Ь2 с а2 b2 а b
4024. (JL +JfLY + i- = 1, г = 0.
\ а1 Ьг ) с
4025. ^ + + х — 0, у = 0, 2 = 0.
4026. JL+JL + JL = ], (JL+JLV^JL-JL.
а2 b2 с2 \ а2 62 ) а2 Ь2
4027. г2 = ху, х + у = а, х у = b (0 <.а<. Ь).
4028. г = х2 + у2, ху — а2, ху = 2аг, у =-^-,
у — 2х, г = 0.
4029. г = ху, х2 = у, х2 = 2*/, у2 = х, у2 = 2х,
г = 0.
4030. г — с sin^j-, г = 0, ху—а2, у — ах, у = |5х
(0 < а < р; х > 0).
4031. г = х3'2 + */3/2, 2 = 0, х+у = 1, х = 0, у =0.
лпаа
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ 419
4033. г = с arctg —, 2 = 0, <\/х2+у* = a arctg —
(У> 0).
4033.1. г = уе~х«1а\ ху=ай, ху= 2а2, у = т, у = п,
z = 0 (0 < т < п).
4034. -£- + -£1-|~£- = 1, * = 0, у=0, 2=0 (п>0).
а" Ьп сп
4035. (~ + “^")Я + (~)т = х = 0, у — 0, 2 = 0
(п>0, ш>0).
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
1°. Случай явного задания поверхности.
Площадь гладкой криволинейной поверхности г = г (*f J/) вы¬
ражается интегралом
&
где Q — проекция данной поверхности на плоскость Оху.
2°. Случай параметрического задания
поверхности. Если уравнение поверхности задано пара¬
метрически:
х — х (и, v), у = у (иt v), г = г (ы, и),
где (м, и) £ Q, Q — ограниченная замкнутая квадрируемая
область и функции х, у и г непрерывно дифференцируемы
в области Q, то для площади поверхности имеем формулу
S = J J VEG - F2 du da,
Q
‘-Ф’+ФЧ-Н-
г дх дх . ду ду , дг дг
г j j .
да dv ди dv ди dv
4036. Найти площадь части поверхности аг = ху,
заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
4037. Найти площадь поверхности тела, ограничен¬
ного поверхностями х2 + г2 = а2, у2 + г2 = а2.
4038. Найти площадь части сферы х2 + у2 + z3 =а2,
заключенной внутри цилиндра Ь-2— =1 (b а).
а2 Ьг
14*
420 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4039. Найти площадь части поверхности г2 = 2ху,
отсекаемой плоскостями х + у = 1, х — 0, у = 0.
40-10. Найти площадь части поверхности х2 -(- у2 +
+ г2 = а2, расположенной вне цилиндров х'2 + у2 —
= ± ах (задача Вивиани).
4011. Найти площадь части поверхности г —
= V *2 + */2> заключенной внутрн цилиндра л:2 + у2—
= 2л:.
4042. Найти площадь части поверхности г =
= д/ л2—#2, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2—
= а2 (х2—у2).
4043. Найти площадь части поверхности г =
= (х2—у2), вырезанной плоскостями х—у = ± 1,
X + у = ± 1.
4044. Найти площадь части поверхности х2 + у2 =
= 2 аг, заключенной внутри цилиндра (х2 + у2)2 —
= 2а2ху.
4045. Найти площадь части поверхности х2 + у2 =
= а2, вырезанной плоскостями х + г = 0, х—г = 0
(х > 0, у > 0).
4045.1. Найти площадь части поверхности
(х2 + y2)il2 + г = I,
отсекаемой плоскостью г = 0.
4045.2. Найти площадь части поверхности
(—+-fV+—=1’
\ a b J с
вырезанной плоскостями х = 0, у ~ 0 u z = 0.
4045.3. Найти площадь части поверхности
- ^=2 2,
а b
вырезанной поверхностью
-4 + -J1-1 (z > 0).
а2 Ь-
4045.4. Найти площадь части поверхности
sin г = sh jc-sh г/,
отсекаемой плоскостями х ~ I и х = 2 (г/ > 0).
4046. Найти поверхность и объем тела, ограничен¬
ного поверхностями х2 + у2 = — z2, x+y-tz=2a
(а > 0).
§ 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
421
4047. Найти площадь части сферы, ограниченной
двумя параллелями и двумя меридианами.
4048. Найти площадь части геликоида х — г cos ф,
у = г sin <р, z = Аф, где 0 < г < а, 0 <С Ф <С 2л.
4049. Найти площадь части поверхности тора
х = (Ь + a cos if) cos ф, у = (Ь + a cos if) sin ф, г =
— a sin i|) (0<а^ Ь\ ограниченной двумя меридиа¬
нами Ф=Фх, Ф=Ф2 и двумя параллелями гр
Ф = 1|?2-
Чему равна поверхность всего тора?
4050. Найти телесный угол <о, под которым виден
из начала координат прямоугольник х = а > 0,
О ^ у ^ Ь, 0 ^ 2 ^ с.
Вывести приближенную формулу для ш, если а ве¬
лико.
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
1°. Центр тяжести. Если х0 и у0 — координаты
центра тяжести пластинки Q, лежащей в плоскости Оху, и р =
= Р (х> У) — плотность пластинки, то
ж* = ^ J рх dx dy, Ito = -Jj- ^ РУ dx dy.
(1)
Q
где M = | j*p dx dy — масса пластинки.
G
Если пластинка однородна, то в формулах (I) следует по¬
ложить р = 1.
2°. Моменты инерции. 1 х и 7f/ — моменты инер¬
ции пластинки Q, лежащей в плоскости Оху, относительно коор¬
динатных осей Ох а Оу — выражаются соответственно формулами
Ix ~ I j P'fdxdy, ly= f | px2dx dy, (2)
о ‘ц
гдг р = р (х, у) — плотность пластинки.
Рассматривается также центробе^-сний момент инерции
1хц = J j Р xydx dy. (3)
Q
Полагая p — 1 в формулах (2) и (3), получим геометри¬
ческие моменты инерции плоской фигуры.
4051. Найти массу квадратной пластинки со сторо¬
ной а, если плотность пластинки в каждой точке про¬
порциональна расстоянию этой точки от одной из вер¬
шин квадрата и равна р0 в центре квадрата.
422 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти координаты центра тяжести однородных пла¬
стинок, ограниченных следующими кривыми:
4052. ау = х2, х + у = 2а (а> 0).
4053. V* + Vy = Va. х = 0, у = 0.
4054. х2/3 + у-’3— a2/i (х > 0, у > 0).
4055- (т+тТ“^ (nerля,•
4056. (а2 + г/2)2 = 2а2ху (х> 0, у~> 0).
4057. г = а (1 + cos tp), <p = 0.
4058. х = a (t — sin t), у = a (1 — cos t) (0 < /<2л),
У = 0.
4059. Найти координаты центра тяжести круглой
пластинки х2 + у2 «£ а2, если плотность ее в точке
М (х, у) пропорциональна расстоянию точки М от точки
А (а, 0).
4060. Определить кривую, описываемую центром тя¬
жести переменной площади, ограниченной кривыми:
у = V 2рх, у = 0, х = X.
Найти моменты инерции 1Х и /у относительно осей
координат Ох и Оу площадей (р = 1), ограниченных
следующими кривыми:
4061. + = 1, + = 1, У = 0 (6i>0,
ft U2 h
f>2>0, Л>0).
4062. (*—a)2 + (y—a)2 = a2, x = 0, у = 0 (0<x<a).
4063. г = a (1 + cos (p).
4064. x* -f y* = a2 (x2 + */2).
4065. xy = a2, xy = 2a2, x = 2y, 2x = у (дг > 0,
</>0).
4066. Найти полярный момент
/о = и(*2 + У2) dxdy
площади S, ограниченной кривой
(х2 + jj2)2 = а2 (х2—у2).
4066.1. Найти центробежный момент инерции 1ху
однородной фигуры, ограниченной кривыми
ау = дс2, ах = у2 (а > 0).
4067. Доказать формулу /, = /, + Sdа, где /,,
I, — моменты ииерции фигуры S относительно двух
о -
§ 5 ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 423
параллельных осей I и /0, из которых /0 проходит через
центр тяжести фигуры и d — расстояние между этими
осями.
4068. Доказать, что момент инерции плоской обла¬
сти S относительно прямой, проходящей через ее центр
тяжести О (0, 0) и составляющей угол а с осью Ох.
равен
/ = I х cos2a — 2/^ sin a cos a + Iy sin2a,
где !x и Iу — моменты инерции области 5 относительно
осей Ох и О у и [ху — центробежный момент:
4069. Найти момент инерции правильного треуголь¬
ника со стороной а относительно прямой, проходящей
через центр тяжести треугольника и составляющей
угол а с его высотой.
4070. Определить силу давления воды на боковую
стенку х > 0 цилиндрического сосуда х3 + у2 = а2,
2 = 0, если уровень воды г = Л.
4071. Шар радиуса а погружен в жидкость постоян¬
ной плотности 6 на глубину Л (считая от центра шара),
где h > а. Найти силу давления жидкости на верхнюю
и нижнюю части шаровой поверхности.
4072. Прямой круговой цилиндр, радиус основания
которого равен а, а высота Ь, целиком погружен в жид¬
кость плотности б так, что центр его находится на глу¬
бине А под поверхностью воды, а ось цилиндра состав¬
ляет угол а с вертикалью. Определить силу давления
жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.
4073. Определить силу притяжения однородным ци¬
линдром х2 + у2 < а3, 0 < г < Л, материальной точки
Р (0, 0, Ь), если масса цилиндра равна М, а масса точки
равна т.
4074. Распределение давления тела на площадку
смятия
Определить среднее давление тела на эту площадку.
4075. Луг, имеющий форму прямоугольника со сто¬
ронами а и Ь, равномерно покрыт скошенной травой
424 ОТДЕЛ VIIT КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
с плотностью, равной р кгс/м2. Какую минимальную
работу надо затратить, чтобы собрать все сено в центре
луга, если работа по транспортировке груза Р кгс на
расстояние г равна кРг (0 < k < 1).
§ 6- Тройные интегралы
1°. Непосредственное вычисление трон¬
ного интеграла. Если функция / (*, у% z) непрерывна и
область V ограничена и определяется следующими неравен¬
ствами:
*1 х2, уЛх)^ у ^у2 (х), г, (дс, У)^г^г2(х, у),
где уг (*), у2 (*), zx (X, у), z2 (х2> у) — непрерывные функции,
то тройной интеграл от функции / (х, у% г), распространенный на
область V, может быть вычислен по формуле
х? Уч {X) 2г (ДГ, Ц)
J {{/(*» 9, г) dx dy dz = j dx | d|/ f /(*, уt z) dz.
V xt yt (X) zt (x, y)
Иногда удобно также применять формулу
дг,
Ф/(*» У* z) dx dydz = § dx |J f (х, yf z) dy dz,
где S (*) — сечение области V плоскостью x = const.
2°. Замена переменных в тройном ин¬
теграле. Если ограниченная кубируемая замкнутая область
V пространства Oxyz взаимно однозначно отображается на об¬
ласть V' пространства O'uvw с помощью непрерывно дифферен¬
цируемых функций
х=х(и, V, w), у = у (и, V, а), г= г (и, v, к),
D (х% уу z)
причем якобиан / = ^ — при (и, vt о,-) £ V’f почти
всюду (в смысле меры) сохраняет постоянный знак, то справед¬
лива формула
J J J / (*, У, 2) dx dy dz —
= 11 j *“• °* a,)> У (“• 2 ("■ v> tt’)) U \ dudv da.
Как частные случаи, имеем: 1) цилиндрическую систему коорди¬
нат <р, г, А, где
х = г cos Ф, у = г sin ф, z = А,
и
Р(Х, У, г) _Г'
D (г, ф, А)
§ 6. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 425
и 2) сферическую систему координат <р, г, где
х = г cos ф cos if, у = г sin Ф cos гр, 2 = г sin \р,
-D y’ г) = Г- cos Ц>.
О (л, Ф, ip)
Вычислить следующие тройные интегралы:
4076. HI xy2z3dx dy dz, где область V ограни¬
чена поверхностями г = ху, у = х, х = 1, 2 = 0.
4077. f f Г dx dy dz , где область V ограничена
J J J (1 + * + У + Z)3
поверхностями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, 2 = 0.
4078. JJI xyzdxdydz, где область V ограничена
поверхностями х2 + у2 + 22 = 1, х = 0, у = 0, 2 = 0,
4079. J j* J -h~-\—y) dy dz, где область V'
ir
ограничена поверхностью
*J I У2 I 2* |
"TTTTI r = I-
a2 b2 с2
4080. Jll у*2yi dx dy dz, где область V огра¬
ничена поверхностями
х2 + у2- = г2, 2=1.
Различными способами расставить пределы интегра¬
ции в следующих тройных интегралах:
I 1— х дг-Н/
4081. J dx J dy J /(л:, //, z)dz.
000
i i
4082. \dx J dy /(*, y> z)dz.
—1 —Vi —^
1 I *Ч-</2
4083. f rfjc f j /(я, у у z)dz.
boo
Заменить тройные интегралы однократными:
4084. / dg j dn Ь (S) d£. 4085. / dx f d/f / (2) dz.
0 0 0 0 0 0
426 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4086. Найти
ABC
$dx$dyjf(x, у, z)dz,
а Ь с
если / (х, у, z) = F’X'JZ (х, у, г) и а, Ь, с, А, В, С — по¬
стоянные.
Переходя к сферическим координатам, вычислить
интегралы:
4087. ШУ^~ + у2 + z2 dxdydz, где область V
ограничена поверхностью х2 + уг + г2 = г.
I VI^5 V2—х*—V»
4088. J dx J dx J z2dz.
0 0 V*5??
4089. Перейти к сферическим координатам в инте¬
грале
/Д/ + ^ +
где область V ограничена поверхностями г — х2 + у2,
X = у, X = 1, у = О, 2 = 0.
4090. Произведя соответствующую замену перемен¬
ных, вычислить тройной интеграл
HSV-
— dxdydz,
ь* с*
j^2 ^у2 2>2
где У — внутренность эллипсоида V — Н = 1.
а2 b2 с2
4091. Перейдя к цилиндрическим координатам, вы¬
числить интеграл
II 1(х4 +у2) dxdydz,
где область V ограничена поверхностями х2 + у2 = 2г,
2 = 2.
4092. Вычислить интеграл JJJ x2dx dy dz, где об-
V
ласть V ограничена поверхностями г — ay2, z = by2,
у > 0 (0 < а < Ь), z — ах, г — рх (0 < а < р), г =
= h (ft > 0).
4093. Найти интеграл J j* J xyz dx dy dz, где об-
v
ласть V расположена в октанте х >• 0, у> 0, z >■ 0
$ 6 ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 427
и ограничена поверхностями:
х2 + у2 х2 + У2 9 U* а
г = —> г — —, ху = а2, ху = ft-, у = ах, у = 6дс
m л
(О < <з < Ь; 0 < а < Р; 0 < m < /г).
4094. Найти среднее значение функции
/ (л-, у, г) = л;2 + у2 + 22
в области хг + г/2 + г2 < х + у + г.
4095. Найти среднее значение функции
l=P'sJJ^ + 'W + 1Г
/(*, у, z)=e
у 2
в области Ь — Ч < 1.
а2 Ьг сг
4096. Пользуясь теоремой о среднем, оценить ии-
теграл
- III
dx dy dz
i
x’+V+^gR1 V(* - a)2 + (1/ - by +(z — c)*
где a- + 62 + c2 > Я2.
4097. Доказать, что если функция / (лг, г/, г) непре¬
рывна в области V и
Ш/(*. 2)dxdydz = 0
О)
для любой области <о с 1/, то / (л:, г/, 2)s0 при
(*, г/, г) £ У.
4098. Найти F' (/), если:
а) F(t) = Ш f(x2+y2 + z*)dxdydz,
где / — дифференцируемая функция;
б) F(0= Jj$f(xyz)dxdydz,
0<J
где / — дифференцируемая функция.
4099. Найти
Ш xmtfzpdxdydz,
JCa+^+2a<l
где m, /г и р — целые неотрицательные числа.
4100. Вычислить интеграл Дирихле
JJJ' xptff (1 —x—y—zf dxdydz
(р > 0, q > 0, г > 0, s > 0),
428 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где область V ограничена плоскостями х + у + z = 1#
К = 0, у = 0, г = 0, полагая
* + 4Г + г = |, 0 + z = &n, г =
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Объем области V выражается формулой
Найти объемы тел, ограниченных следующими по¬
верхностями:
4101. г = х2 + у2, г = 2х2 + 2у2, у = х, у = х2.
4102. г = х + у, г = ху, х + у = 1, х = 0, у = 0.
4103. х2 + г2 = а2, х + у = ± а, х—у = ± а.
4104. аг = х2 + у2, г = -\Jx2 + у2 (а~> 0).
4105. аг = а1—х2—у2, г = а—х—у, х = 0, у = 0,
2 = 0 (а > 0).
4106. г = 6—X2—у2, г = <\]х2 + у2.
Переходя к сферическим или цилиндрическим ко¬
ординатам, вычислить объемы, ограниченные поверх¬
ностями:
4107. х2 + у2 + z2 — 2аг, х2 + у2 < г2.
4108. (х2 + у2 + г2)2 — а2 (х2 + у2 — г2).
4100. (я2 + у2 + 22)3 = 3хуг.
4110. Xs + у2 + г2 = а2, х2 + у2 + г2 = Ь2,
х2 + у2 = г2 (г > 0) (0 < а < Ь).
В следующих примерах удобно пользоваться обобщенными
сферическими координатами
Л <р и Ц > 0; 0 ^ ср ^ 2л; -сгр ^ ,
вводя их по формулам
Р (*» У» г) ^ a$abcr cosa 1 ф sina 1 ф cos2** 1 sin^ 11[).
Z> (г, ф» 4>)
v =Я\dxdydz.
V
(a, b, с, a, p — постоянные),
$ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 429
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями;
4,11. (jL+je. + jLy = JL.
\<fi Р c*J h
4П2. ('^ + ^ + Лу=.-±1 + .£.
W* Ьг с* J a2
4П2.1. ('-^ + -^l-;--!iy = —+ -^1—!l.
\ a2 с- / a2 b2 c2
4ПЗ. -il+J'l+JUl, =
c* 6- с2 a2 b3 с
4Ц4. + + = L 4115. f-il + ^Y + —
CJ 6* C4 W2 fi2/ fi4
Пользуясь подходящей заменой переменных, вы¬
числить объемы тел, ограниченных поверхностями (па¬
раметры предполагаются положительными):
4116. ( Ь~“ + “—= — + ~ (х ^0» У ^0, z > 0).
V а 6 с / h k
4116.1. (—+ -^- У = — —(х>0, у>0, 2>0).
\ д 6 су Л к
4117. (JL + JL + ±\*=*yL (Х>0, у>0, г>0).
\ а b с ) abc
4118. + = i (JC>0| у>0, 2>0).
л- Vr+Vi‘fV“r=i (*>0, y>0,
4118.2. |/f+{7f+J/'"7 = ' <*>0' У>°-
2>0).
«•^(vr+C-f-r+er-1-
4! 19. 2 = jc2 + y2, 2 = 2 (*2 + у2), *</ = a2, xy =
= 2a2, x = 2y, 2x = у (x > 0, у > 0).
4120. *2 + г2 = a2, x2 + 22 = b\ х*—у*—г* = 0
(*>0).
4121. (*» +01 + z*)» =
JC2+ У
2a/ca
4122. (— 4- — 4- — V = — • e~ *Ч<р-\-уЧ1>‘+*1*' .
\a* ^ ) h
4118
>0).
430 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ Н КРИСОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4123.
У
а Г Ь
= A arc3in (±+JL + ±),
zi \ а b с)
^-+ — --1, >; = 0, х — а.
а Ь
4124. —
а
JL л. Л
а Ь
Х = 0, 2=0,
•f- г — = 0, JL + i + _Lei.
4125. В каком отношении делит объем шара
Лс* + уг + 22 < 4аг поверхность л:2 -f i/2 -f аг = 4а2?
4128. Найти объем и поверхность тела, ограничен¬
ного поверхностями хг + уг — аг, г = 2а — л/х2 + у%
(а > 0).
4127. Найти объем параллелепипеда, ограниченного
плоскостями
а,А' + b,y + c,z = ± hi (/=1,2, 3),
если
А =
bt ci
= 0.
4128. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(ахх + bjy + с±г)2 + (а2х + Ь2у + с2г)2 -f
+ (а3х + Ьяу с3г)3 = Л2,
если
<*1 ь 1 ci
frj ^2
д =
а3 с3
4129. Найти объем тела, огранш.еппсгэ пос;р;:ностью
(* ±jLY
\ в* ь*)
4130. Найти объем тела, расположенного г, положи¬
тельном октанте пространства Охуг (х ^ и, у > 0, г 0)
§ 8 ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИН1ЕГРАЛОБ
431
и ограниченного поверхностями:
х 0, у — 0, 2 = 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
1°. М а с с а тела. Если тело занимает объем V и
р = р (х, у, г) — плотность его d точке (*, у, г), то масса тела
равна
2°. Центр тяжести тела. Координаты центра
тяжести (х0, i/flf ?0) тела вычисляются по формулам
Если тело однородно, то в формулах (1) и (2) можно поло*
жить р = 1.
3°. Моменты инерции. Моментами инерции тела
относительно координатных плоскостей называются соответ*
ственно интегралы
Моментом инерции тела относительно некоторой оси I
называется интеграл
где г — расстояние переменной точки тела (дг, //, г) от оси /*
В частности для координатных осей Ох, Оу и Ог соответственно
имеем:
Моментом инерции тела относительно начала координат
называема инте1р*гл
(1)
v
1
*0 =
М v
(2)
!ху = I f J 9*'dX dy dZ% = I f J ^dx dy dz>
V
l2x = П J Py2dxdydz.
v
/o “ j f j" P № J‘_ У* + *2) d:: dtJ dz•
L
Очевидно, имеем; I0 ~ l.xy 'Г ItJl + /«.
432 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4°. Потенциал поля тяготения. Ньютоно*
еым поп^1чниало.ч тела в точке Р (*, у, т) называется интеграл
d\dr\dZ
и (К, у, Z) = J j* I* р (', 11, £) ■
V
Где V — объем тела, р = р (£, rj, £) — плотность тела, и
Материальная точка массы m притягивается телом с силой
F= (X, Yj Z), проекции которой X, Y, Z на оси координат
Ох, Оу, О г равны:
X = km ^ = km J J J р * а Х d\ dr\
Y = kmfy =km§ 1 j*p ^ ^ dT*d^'
Z = J j* J p - -drj
Где & — постоянная закона тяготения.
4131. Найти массу тела, занимающего единичный
объем 0 < х < 1, 0 < £/ < 1, 0 < г < 1, если плот¬
ность тела в точке М {х, у, г) дается формулой р =
= X + у + Z.
4132. Найти массу тела, заполняющего бесконечную
область х2 + у2 + г2 > 1, если плотность тела ме¬
няется по закону р = рае-к^х"+и‘+г\ где р0 > 0 и k >0
постоянны.
Найти координаты центра тяжести однородных тел,
ограниченных следующими поверхностями:
1*2 fjl у2
4133. — + — = — . г = с.
а2 Ь2 с2
4134. z = х2 + у2, х + у = а, х = 0, у = 0, 2 = 0.
4135. х2 = 2рг, у2 = 2рх, х = 2 = 0.
4136. -4 + -fr + -J = 1’ * = 0> У = 0' z = 0*
4137. х2 + z2 — а2, у2 + г2 = а2 (г > 0).
4138. х2 + у3 = 2г, х + у = г.
4139. Г-т + -4+-тУ=^Т’ ^>0’ г>0;
\ аг Ь3 с2 / ate
а>0, &>0, с>0).
§ 8 ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 433
4140. 2 = х2 + у2, г = Y (х2 + У2), х + у = ± 1,
х—у = ± к
4141* 4 + 77 + 4 = ^ *=0> у=0> 2=0 («>0»
х > 0, у >0, г > 0).
4142. Определить координаты центра тяжести тела,
имеющего форму куба: 0 < х < 1, 0 <t/ < 1, 0 < г < 1,
если плотность тела в точке (х, у, г) равна
-V/— I 2р—I 2у—1
р = х,-ау1-р2
где0<а<1, 0<Р<1, 0 < у < 1.
Определить моменты инерции относительно коорди¬
натных плоскостей однородных тел, ограниченных сле¬
дующими поверхностями (параметры положительны):
4143. — + — + — = 1, х = 0, у = 0, 2 = 0.
а Ь с
у2 |>2 ^2 у2 </2
4146. -^+-£ + -^ = 1, -£ + -£1 = -*-.
с2 62 с2 a2 b2 a
4147. —+ —= 2 — , .* +JL = JL.
a2 b2 с a b с
a+i+ihi+i-i-
4,47.2. (i)"+(X)"+(f)"=l. *=0, jf = 0, 2=0
(n> 0; 0, г/ > 0, 2> 0).
Определить моменты инерции относительно оси Ог
однородных тел, ограниченных поверхностями:
4148. г = х2 + у2, х + у = d- I, х—у = ±1,2 = 0.
4149. а2 + у2 + 22 = 2, х2 + у1 = 22 (г > 0).
4149.1. (а-2 + г/2 + 22)j = а5г.
4159. Найти момент инерции неоднородного шара
ха + у1 + 22 <; R2 массы М относительно его диаметра,
если плотность шара в текущей точке Р (х, у, г) пропор¬
циональна расстоянию этой точки от центра шара.
4151. Доказать равенство // = //о + Md2, где It —«
момент инерции тела относительно некоторой оси /,
/ie — момент инерции относительно оси параллель¬
434 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ной / и проходящей через центр тяжести тела, d — рас¬
стояние между осями и Af — масса тела.
4152. Доказать, что момент инерции тела, занимаю¬
щего объем Vу относительно оси /, проходящей через
его центр тяжести О (0, 0, 0) и образующей углы а, р,
у с осями координат, равен:
/, = lx cos2 а +1у cos2 р + /2 cos2 у—2Кху cos a cos р —
—2Кх2 cos a cos v—^Куг cos р cos v,
где /*, 7^, /2 — моменты инерции тела относительно
осей координат и
Кхй = 11J Р*У ^ ^ = И j рд-г d* dy dz,
Lyz = $jf$pyzdxdydz
— центробежные моменты.
4153. Найти момент инерции однородного цилиндра
х* + у2 < a2, z — ± h, плотности р0 относительно пря¬
мой х = у = г.
4154. Найти момент инерции относительно начала
координат однородного тела плотности р0, ограничен¬
ного поверхностью
(*2 + уг + г3)2 = а2 (*2 + у*).
4155. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
однородного шара |г + л2 + С2 < R2 плотности р0.
Указание. Положить, что ось 0£ проходит через точку
Р (*■ у, г).
4156. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
сферического слоя Щ £2 + л2 + V < R\* если плот¬
ность p=^J#)^j\n,e f — известная функция и R —
== Vt2 + Ла + £а-
4157. Найти ньютонов потенциал в точке Р (0, 0, г)
цилиндра I2 + л2 < о2» 0 < £ < Л, постоянной плот¬
ности р0.
4158. С какой силой притягивает однородный шар
|2 + л2 + £2 < R2 массы М материальную точку
Р (0, 0, а) массы /п?
4159. Найти силу притяжения однородным цилинд¬
ром I2 + л2 < я2. 0 < £ < h, плотности р0, точки
Р (0, 0, г) с единичной массой.
4160. Найти силу притяжения однородным шаро¬
вым сектором плотности р0 материальной точки с мае-
§ 9. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
435
сой, равной единице, помещенной в его вершине, если
радиус шаровой поверхности равен R, а угол осевого
сечения сектора равен 2а.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
1°. Случаи бесконечной области. Если дву¬
мерная область Q не ограничена и функция I (х, у) непрерывна
на Q, то по определению полагают:
где Qn — любая последовательность ограниченных замкнутых
квадрируемых областей, исчерпывающая область Q. Если
предел в правой части существует и не зависит от выбора
последовательности Qrt, то соответствующий интеграл назы¬
вается сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл
от непрерывной функции, распространенный на неограниченную
трехмерную область.
2°. Случай разрывной функции. Если функ¬
ция f (дс, у) непрерывна в ограниченной и замкнутой области Q
всюду, за исключением точки Р (а, b), то полагают:
где Ue. есть область диаметра е, содержащая точку Р, и в случае
существования предела рассматриваемый интеграл называют
сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Предполагая, что вблизи точки Р (а, Ь) имеет место равенство
где абсолютная величина функции ф (х, у) заключена между
числами /п > 0 и М > 0 и r= V(* — я)2 + (У — &)2.
получим, что 1) при а < 2 интеграл (2) сходится;
2) при а > 2 — расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл (2),
если функция I (х, у) имеет линию разрыва.
Понятие несобственного интеграла от разрывной функции
легко переносится на случай тройных интегралов.
Исследовать на сходимость несобственные интегралы
с бесконечной областью интегрирования (0 < т <
О)
JI / (х, У) dxdy = lim J* J / (*, У) dxdy, (2)
a ^+0 й-ие
f(xt */) = <р(дг, y)lra,
< |ф (*. у)\ < м < + оо):
Х-+Уй> 1
+ эо +00
4162.
—00 —оо
436 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4163. ГГ £J£lJ0 dxdy.
J J О + *2+у2)р J
4164. Г Г —— (р>0, <?>0).
J J \х\Р+\у\ч
\х\+т>\
С С sin*sin£/ - ,
4165. \ — axdy.
J J (*+</)*
х+У* 1
4166. Доказать, что если непрерывная функция
f (х, у) неотрицательна и Sn (п = 1, 2, . . .) — какая-
нибудь последовательность ограниченных и замкнутых
областей, исчерпывающая область S, то
Ш(*. y)dxdy = lim Я /(*. У)dxdy,
S п-* оо 5 „
л
где левая часть имеет или не имеет смысла одновременно
с правой.
4167. Показать, что
lim J { sin (x2 + y2)dxdy = я,
Я->00 |дг|<л
тогда как
lim | J sin (ха + у2) rfjc rfr/ = О
п-+оо х*~{-у2*0яп
(п — натуральное число).
4168. Показать, что интеграл
и-
хг — у-
■ dxdy
(х*+уУ
х>\,у>\
расходится, хотя повторные интегралы
+оо -J-oo -foo +оо
[dx Г_£ulL-dy и Гdy Г x2-y\-dx
J J (** + У2)2 J J (■* ~г У )
11 11
сходятся.
Вычислить интегралы (параметры положительны):
4169. Г Г-^. 4170. ГГ-^-.
J J J J (* + у)р
ху> 1, 2+^/5 1,
лг>1 0<х<1
dx dy
4171. Г Г ^ . 4172. Г Г —
J J VF-F-72 J J (** + уУ
х*+У'<1 * х*+у*>Ъ
§ 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 437
4173. j j* 4174- j j erMrVdxdy.
УЖ'-j-1 О СХ<£/
Переходя к полярным координатам, вычислить ин¬
тегралы:
4-эо —|~ оо
4175. J- J е~{х +«'Ых dy.
—оо —оо
4-оо 4*^0
4176. j J cos (х2+у2)dxdy.
—оо —оо
4~оо +оо
4177. J- | e-<*’+i/') sin (х°- + if) dxdy.
•—оо —оо
Вычислить интегралы:
4-00 4-00
4178. j I e3x2+2i^+ci/2+2dx+2«y+/ dxdy, где а <О,
—оо —оо
ас — Ь2>0.
4179. f f e-^'^+y'ih'Mxdy.
Х'/аг+ч1/Ь‘1> 1
+f° +,43 _ ( *2 , о X I, U* \
4180. J j xtje ' » bl)dxdy{0<|е|<1).
—эо —ОР
Исследовать на сходимость несобственные двойные
интегралы от разрывных функций (0 < т < | <р (х,у) | <
< М < + оо):
4181. Г \ dx dy , где область Q определяется усло-
JoJ *2 + г/2
пнями: |у| а2; х2 у2 < 1.
4*82. [ Г НЫй dxdy.
J J {х2+ху + у2)р
хг-\-уг^1
4183.
Г f Шу- (р>О, q>0).
J J \x\P+\y\«
ui+ iai<i
« °.AS^JLdxdlJ'
4184. j* | \x-y\P
О о
4185. Г [ dxdy.
.) J (1 —j*-уУ у
438 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4186. Доказать, что если 1) функция <р (х, у) непре¬
рывна в ограниченной области а < х < Л, Ь < у < В;
2) функция / (х) непрерывна на сегменте а < х < А
и 3) р <. 1, то интеграл
А В
ШЬЛ-Иу
и
\fM-y\p
а Ь
СХОДИТСЯ.
Вычислить следующие интегралы:
1
V*2 + у1
4187. Г [ In ! dxdy,
J J. VF+7'
fl JC
( ^ f — d~ (a>0).
J J V(a — jc) (x — u)
4190.
4188. ....
о о V(a — -«) (x — y)
4189. J J In sin (jc—y)dxdy, где область Q orpa-
Q
иичена прямыми у = 0, у = x, х = л.
Г f dxdy т
J J л/ X2 4- uz
x*+y>^x V ~ y
Исследовать на сходимость следующие тройные ин¬
тегралы:
4т- III dxi,J<t2- ™0<т<
дсЧ
< 1Ф (х, г/, г) |< М< + ОО.
4192. ( Г f —у' —dxdydz, где 0«О
J J J (х* + у2+г*)е
хЧ»!+гг< 1
<1<Р(*> 0, z)|<M< + оо.
4193. Г Г Г 0 0 0)
\х\ + \У\ + \2\>\
4194. [ [ [ 0<т <
J J J {[</-<Р(*)12+[г-*(*)ГГ
ООО
<|/(jc, у, 2)| < М< + оо, a <p(jt) и i|)(x)—непрерывные
функции на сегменте [0, а].
4195. dxdydz
:т
ш-
\х + у — г|р
iwi<i.
1*1 <1
§ 10 МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 439
Вычислить интегралы:
1 1 1
С dxdydz /1107 Г Г Г dxdydz
(г2 + у'1 + г2)3
ООО ‘ 1
4198. ГГ Г .
.) J J (1 -х*-у*-гУ
Х*+у'+2'-<\
-foo -{-оо -fоо
4199. J’ J J е-^+у^dxdydz.
—со 00 —оо
4200. Вычислить интеграл
-{-оо +оо +оо
jjj е~Р(х‘-*>• X^>dxl dxt dx3,
•—оо —оо —оо
3 3
где Р (*ь хг, *3) = 2 Z OiiXtXi (а,/ = ап) — положи-
£=1 /=I
тельно определенная квадратичная форма.
§ 10 Многократные интегралы
1°. Н епосредственное вычисление крат¬
ного интеграла. Если функция f (xlt *2, . . *я) не<
прерывна в ограниченной области Q, определяемой неравен^
ствами
*1 ^ х\ < *1»
t'ni* 1> *2 *2 *«-«)•
где х\ и х\ — постоянные числа и х2 (*(), х2 (д^), ...
•••• х'п(х 1. хъ •••» хп-\)> хп(х 1» х2 *rt—i) — непрерывные
функции, то соответствующий многократный интеграл может
быть вычислен по формуле
11 • • • J f (*i* х *п) dxxdXb . . . dxn =
x"i хг(ж1) жл(*1 хп-1)
= | dxi | dx2 ... J f (*i, x2 xn) dxn.
x\ Ы'О x'n(x i */1—1)
2°. Замена переменных в кратном инте¬
грале. Если 1) функция / (jtlf х2 хп) равномерно не¬
прерывна в ограниченной измеримой области О; 2) непрерывно
дифференцируемые функции
Xi = ф* (£i* £2» • • •» £л) (* = Ь 2, . • ., П)
осуществляют взаимно однозначное отображение области Й про*
440 ОТДЕЛ Vllt. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
странства Ojc1jc2. . *хп на ограниченную область IV пространства
0%i£2. . . In и 3) якобиан
у ^ р (*i, х2, . . хп)
О (ll, g* . . .. In)
сохраняет почти всюду постоянный знак (кроме множества меры
нуль) в области Q', то справедлива формула
J J • * ■ I f х2» * • - хл) dxi dx2 • • • ^/i —
Q
— J J • • • J't (*Pi. <f2, ■ ■ •. Фл) 111 fi'si . . . dla.
Q
В частности, при переходе к полярным координатам
(г* фц Фг> • • о Фп-i) по формулам
хх = г cos фх,
х2 = г sin (f х cos ф2,
^n-i = r sin фх sin ф2 . . . sin фл_2 c°s ф«-ь
а'л = г sin ф! sin ф2 . . . sin ф„_2 sm фя-1
имеем:
/ «= : •» — гл-1 sjn/i-2 ф2 sinrt~3 ф2 . . . sin ф„_2.
О (г, фх, . . Фл—i)
4201. Пусть К(х, у)— непрерывная функция в об¬
ласти R (а ^ х ^ Ь; а < */ < й) и
Кп(х, у) =
ь ь ь
= J J ... f к (х, у /с (^, L)... К (tn, у) dtydt2 . .. dtn.
а а а
Доказать, что
ь
Kn+m+l(X, у) = f Кп (х, li) dt.
а
4202. Пусть / = (лг1( х.2, . . . , х„) — непрерывная
функция в области 0 < xt < х (i — 1, 2, , п). До¬
казать равенство
X Хх Х^-1 XX X
J dx1 J dx2 . . . J' / dx„ = J dxn J dxn,x . . ,jjfdXl
оо о о xn x2
(n > 2).
4203. Доказать, что
fd/jV . . YfVi)f(k) • -.f(tn)dtn = ±\lf(T)dx\n,
ooo nMo J
где / — непрерывная функция.
§ 10 МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 441
Вычислить следующие многократные интегралы:
] 1 I
4204. a) J* J ■ • • J* (^i 4“ * • • tin) • • • dxn
ЬПI
об о
1 1 I
б) f J ••• J(*1 + *2 + . • ,+x„)idxldxi... dxn.
0 0 о
4205. /„ = ] {. • • _[ dxt dx~i. . . dxa.
лг^О, х^>0, . . хп>0%
*x+V • • • +V<a
I xt x„
... 5
0 0 0
4206. J dxx j dxi. .. j . . . xndxn.
4207. J j" “" J "\J -H H” ■ • • “H dx\... dxn.
*j>0. *2>0, . . xn> 0
*l + *a+ • • +*n< I
4208. Найти объем /г-мерного параллелепипеда, огра¬
ниченного плоскостями
^11-^1 "Ь ^1*2X2 • * 1 4" @1П%П == ^ ^ == 1| Я • • •>
если А =|а,/| ф 0.
4209. Найти объем n-мерной пирамиды
+ 1, лс,> 0 (i = 1,2 ft)
ai Ог а„
(at > 0, / = 1, 2, .. ., п).
4210. Найти объем «-мерного конуса, ограниченного
поверхностями
'> 2 2 2
х\ xi xn . XZ.
-L + -l+...+-pL = -i, *„ = <!„.
йт 4 an-1 а\
<211. Найти объем «-мерного шара
х*+х\+. . . + 4<а2.
4212. Найти jj ... §x2„dxidx2 ... dx„, где область Q
Q
определяется неравенствами
h h
— < xn < —
2 2
4213. Вычислить
dxj dx2 . , . dxn
Si-S
442 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4214. Доказать равенство
f dxA dx2. .. j* f (xa) dxn = J f(u)
0 0 0 0
4215. Доказать равенство
* *n , *
J XjdXi J x2dx2 ... }f (xn+1) dxn+1 = —— j (jc2—m2)" / (u) du.
0 0 0 2"«l 0
4216. Доказать формулу Дирихле
11 ■ • • I • • • fy-'dxxdx2. . . dxa ~
• ■+*/!< 1
^ Г(^)Гу . ГЫ (л^ Ря>0)
Г (Pi + Ра + • • • + Рп + О
4217. Доказать формулу Лиувилля
I J ' * * I / (*1 "Ь *2 + • • • + Хп) Х%{ 1Х*2‘ 1 . . .
*1’*г *п>°
*!+*»+• • • + *п<1
... х?п" ldxtdx2. . . dxn =
I
_ Г (pt) Г (ра) ... г (pn) J J Uf>i+P.+ • • • +оя-' du
Г(Р1+Р2+. . . + р„) Jo
(ft» Р*» • ♦ ч Ря^>^)»
где / (и) — непрерывная функция.
Указание. Применить метод математической индукции.
4218. Привести к однократному интегралу «-кратный
интеграл (я > 2)
J ( ... J/(V*?+*2 + - ••+*?,) fV-r2 ■ • • **«.
Q
распространенный по области я?-г-Я2,
где / (и) — непрерывная функция.
4219. Вычислить потенциал на себя однородного шара
радиуса R и плотности р0, т. е. найти интеграл
•>
dxldyLdzidx2dy2dz2
- ,
-шш
xi+^l+2l<fi2
^4-^+4<R2
где гь 2 = V(^1 —*г)2 + (й —i/2)2 + (Zj—г2)2.
§ tl КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 443
4220. Вычислить n-кратный интеграл
+г°° +.00 -h® -( £ attxSi+2 £ йл+4
J J ••• J е <•'•/=! *=' J dxxdx2. . . dxn,
оо —оо
если X anxixi {cLii — Qn) — положительно определен-
i. /=1
ная квадратичная форма.
§ 11. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейный интеграл 1*го рода,
Если f (х, у, 2) — функция, определенная и непрерывная в точ¬
ках гладкой кривой С
x=x(t), y = y(t),2=z(t) Uo^t^T) (I)
и ds — дифференциал дуги, то по определению полагают
Т
\f(x, у, г) ds = | / (х (/), у((), 2{())'\/x'i(t) + y’,1(t)-\-z't(t)dt.
С
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от
направления кривой С.
2°. Механические приложения криволи¬
нейного интеграла 1-го рода. Если р= р (х, у, г)
— линейная плотность в текущей точке (х, у, г) кривой С, то
масса кривой С равна.
М = J р (х, у, г) ds,
с
Координаты центра тяжести (х0, y0t zQ) этой кривой выра-
жаются формулами
*о = -7- f хр (х, у, г) ds, Уо = -77 f S/P (*. У. *) ds,
Л1 с М с
20 = — Г zp (х, у, z) ds.
М t
3°. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Если функции Р = Р (х, у, г), Q — Q (х, yt z), R =R (х, у, г)
непрерывны в точках кривой (1), пробегаемой в направле¬
нии возрастания параметра /, то полагают
Р (х, у, z) dx+Q (х, у. г) dy + R (х, у, z) dz =
т
= J {Р (х М, у (0. г (0) *'(*) + <? (х (0. У V). г (0) у' (0 +
^0
+ /?(*(/), 0(0. (2)
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изме¬
нит свои знак па обратный. Механически интеграл (2) представ-
444 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ляет собой работу переменной силы (Я, Q, Я}, точка приложен
ния которой описывает кривую С.
4°. Случай полного дифференциала. Если
Р (дс, у, z) dx + Q (х, у, г) dy + R (дс, у, г) dz = dw,
где м = u U, у, г) — однозначная функция в области V, то
независимо от вида кривой С, целиком расположенной в области
У, имеем:
§ Р dx+Qdy+ Rdz = и (x2f у2, z2) — и (*ь уъ гх),
с
где (дсх, r/х* zi) — начальная и (дс2, i/2, г2) — конечная точка
пути. В простейшем случае, если область V односвязна и функ*
ции Я, Q и R обладают непрерывными частными производными
Первого порядка, для этого необходима и достаточно, чтобы
в области V были тождественно выполнены следующие условия:
dP_^dQ_ dQ = dR dR дР
ду дх дг ду ' дх дг
Тогда в простейшем случае стандартной параллелопидальной
области V, функцию и можно найти по формуле
х у г
U (X, у, г) = j- Р (х, у, z) dx+ j Q (*„, у, z)dy + | R (х0, у0, г)ёг+с,
Хо Уо 26
где (х0, у0, 20) — некоторая фиксированная точка области V и
С— произвольная постоянная.
Механически этот случай соответствует работе силы, имею¬
щей потенциал.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го
рода:
4221. J (х + у) ds, где С — контур треугольника
с вершинами О (0, 0), А (1, 0) и В (0, 1).
4222. | у(2 ds, где С — арка циклоиды
с
х = a (t — sin /), у = а (1 — cos /) (0 <; t с 2л).
4223. | (х2 + у2) ds, где С — кривая
с
х = a (cos t + t sin /), у — a (sin t — t cos t)
(0 < t < 2л).
4224. f xy ds, где С — дуга гиперболы
с
х = о ch у = a sh / (0 < / < /„).
4225. J(У/34-уЧУ)ds, где С — дуга астроиды
3 = а2/3.
§ И. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 445
4226. J e^^+^ds, где С—выпуклый контур, ограничен¬
ный кривыми г=а, ф = 0, ф — ~ (г и <Р—полярные коор*
дннаты).
4227. j11 у | ds, где С — дуга лемнискаты
с
(х2 + у2)2 = а2 (х2 — у2).
4228. | х ds, где С — часть логарифмической спи¬
рали г = aek<f (k > 0), находящаяся внутри круга г<а.
4229. fVF + у2 ds, где С—окружность х2 у2 — ах.
с
4230. I —, где С—цепная линия у = а ch —.
J У* а.
с
Найти длины дуг пространственных кривых (пара¬
метры положительны):
4231. х — Zt, у = ЗЛ 2 = 2t3, от О (0, 0, 0) до
А (3, 3, 2).
4232. х = е~{ cos t, у = e-/sin t, г = er', при
0 < / < +оо.
4233. у — a arcsin—, г = — In а~* от 0(0, 0, 0)
а 4 а + х
до А {х0, Ijc, ?0).
4234. (х—у)2 = а (х + у), хг—tf = — z2 от 0(0, 0, 0)
8
до А (х0, уо, г0).
4235. х2 + у2 = сг, — = tg — от О (0, 0, 0) до
X С
А (хп, г/о, г0).
4236. х2 + у'1 + г2 = a2, -\/x2+y2ch (arctg —^ = а от
точки А (а, 0, 0) до точки В (х, у, г).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода,
взятые вдоль пространственных кривых:
4237. | (jc2 + у2 + z2) ds, где С — часть винтовой
линии
х = a cos t, у = a sin t, г = Ы (0 < / < 2л).
446 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4238. J х2 ds, где С — окружность
х + </ + 2 — а2, х + у + z — 0.
4239. f zds, где С — коническая винтовая линия
с
л; = t cos /, у = / sin /, г = / (0 < / < /0).
4240. ^zds, где С — дуга кривой х2 + у2 = г2,
= ах от точки О (0, 0, 0) до точки А (а, а, ад/2).
4241. Найти массу кривой х = a cos /, у = b sin t
(а > b >■ 0; 0 < / < 2 я), если линейная плотность
ее в точке (х, у) равна р = \у\.
4241. К Найти массу дуги параболы
у2 = 2рх (0 < х < р/2),
если линейная плотность параболы в текущей точке
М (х, у) равна \у\.
4242. Найти массу дуги кривой х = at, y— — t2,
2
z = — t3 (0 < / < 1), плотность которой меняется по
3
закону р = У2у/а.
4243. Вычислить координаты центра тяжести дуги
однородной кривой у = а ch — от точки А (0, а) до
а
точки В (Ь, А).
4244. Определить центр тяжести дуги циклоиды
х — a (t — sin t), у — a (I — cos t) (0 sS / < л).
4244.1. Найти статические моменты
Su = $xds, Sx=^yds
дуги С астроиды
*2/3 + у2/3 = a2/3 (х > 0, у > 0)
относительно осей координат.
4244.2. Найти момент инерции окружности х2 +
+ у1 = а2 относительно ее диаметра.
4244.3. Найти полярные моменты инерции
/.-J (*2 + Л *
§ II КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 447
относительно точки О (0, 0) следующих линий: а) контура
С квадрата max {|х|, ] г/1} = а; б) контура С правиль¬
ного треугольника с вершинами в полярных координатах
Р(а, 0), Q(a, R(a,
4244.4. Найти средний полярный радиус астроиды
Х213 + у2/3 = а213'
т. е. число г0 (г0 > 0), определяемое формулой
/« = S • Го,
где /о — полярный момент инерции астроиды, относи¬
тельно начала координат (см. 4244.3) и s — длина дуги
астроиды.
4245. Вычислить координаты центра тяжести контура
сферического треугольника х2 + у2 -f г3 = а2; х > 0,
у > 0, г > 0.
4246. Найти координаты центра тяжести однородной
дуги
х = е‘ cos /, у — е1 sin t, г = е' (— оо < / =£0).
4247. Найти моменты инерции относительно коорди¬
натных осей одного витка винтовой линии
н
х = а cos t, y = as\nt, г = t (0 < t < 2л).
4248. Вычислить криволинейный интеграл 2-го типа
J xdy—ydx,
ОА
где О — начало координат и точка А имеет координаты
(1, 2), если: а) ОА —отрезок прямой линии; б) ОА —
парабола, ось которой есть Оу; в) ОА — ломаная ли¬
ния, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка ВА, па¬
раллельного оси Оу.
4249. Вычислить
J xdy + ydx
ОА
для путей а), б) ив), указанных в предыдущей задаче*
Вычислить следующие криволинейные интегралы 2-го
рода, взятые вдоль указанных кривых, в направлении
возрастания параметра:
448 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4250. J' (а2 — 2л;у) dx + (у2 — 2ху) dy, где С —■
с
парабола
У = х" (—1 < х < 1).
4251. f (а2 + у-) dx + (х2 — г/2) dy, где С — кри-
'с
вая
у = 1 — | 1 — * | (0 < * < 2).
4252. (j)(x + У) dx + (х — у) dy, где С — эллипс
с
U2
-—= 1, пробегаемый против хода часовой стрелки.
а* 62
4253. j (2а — у) dx + х dy, где С — арка цикло¬
иды
х = a (t — sin t), у — а (1 — cos t)
(0 < t < 2л).
4254. (f) + У) (*~у) dy_ t где с — окружность
J **+0*
jc2+ t/a = а2, пробегаемая против хода часовой стрелки.
4255. (f) dx + dy ^ Где A BCD А — контур квад-
J 1*1+ М
ABCDA
рата с вершинами А (1, 0), В (0, 1), С(—1, 0),
D(0, -1).
4256. f dx sin у + dy sin x, где AB — отрезок пря-
AB
мой между точками А (0, л) и В (я, 0).
4257. ф dy arctg ——dx, где ОтА — отрезок па-
От АпО
раболы у = х2 и ОпА — отрезок прямой у = х.
Убедившись, что подынтегральное выражение яв¬
ляется полным дифференциалом, вычислить следующие
криволинейные интегралы:
(2, 3) (3, —4)
4258. J xdy+ydx. 4259. f xdx+ydy.
(-1, 2) (0, l)
« П КРИВОЛИИЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 449
(2. 3)
4260. J (x + y)dx + (x—у) dy.
to. !)
(I, И
4261. j (x—y) (dx—dy).
(i. — ii
(fl. b)
4262. J" f (x + y) (dx + dy), где / (и) непрерывна.
(0, о»
а. 2>
4263. J — x~xdy вдоль путей, не пересекающих
S
<
оси Оу.
X
<2, 1)
4264. f x dx+ у dy_ вдоль Путей( не проходящих
J V + у‘
(1. 0)
через начало координат.
1*2
4265. J <р (jc) dx + ip (у) dy, ф и i|) — кепрерыв*
Ui. УО
ные функции.
ю, 0)
4266. J (jc4 + 4jсуа) dx + (6jс2уг — Бг/4) dy.
(-2. -1)
ll. 0)
4267. [ xdy — ydx вдоль nVTefl> не пересекающих
J (х — у)*
(О, -I)
прямой у = х.
4268. ^ (l—^-cos—^ dx + ^sin -f “^~cos dy
(1. Л)
вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
(а. Ь)
4269. f в* (cos у dx—sin у dy).
<0. 0)
4270. Доказать, что если / (и) — непрерывная функ¬
ция и С — кусочно гладкий замкнутый контур, то
§ f (X* + У2) (xdx + ydy) = 0.
с
Найти первообразную функцию г, если:
4271. dz=(x2+2xy —y*)dx+ (х2—2ху—уг)dy.
15 Б. П. Дешдовп
450 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4272. dz = У*-*.*». ,
Зх2 — 2 ху + 3 у2
4273. dz - + 5^2> dx + — 2хУ + У*)
(х + у)3
4274. dz = ех [еу{х — у + 2) + у\ dx +
+ е* 1еУ {х — у) + 1] dy.
4275. dz^^^-dxj-^y. dy.
дхп+1дут дхпдут+1 *
4276. dz — —- — (In -1-') dx—
дхп+2дут~1 V г )
д-+- +-*—fin —\dy, где г = <\/х2+у2.
дхп-'дут+2 \ г ; V
4277. Доказать, что для криволинейного интеграла
справедлива следующая оценка:
J Р dx + Q dy | < LM,
где L — длина пути интеграции и М = max -у/Р2 + Q2
на дуге С.
4278. Оценить интеграл
/л= А —ydx — x_dy—
J (х2+*У + Уг)2
x'+y2=R'
Доказать, что lim 1R = 0.
/?-> оо
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых (координатная система пред¬
полагается правой):
4279. J (у2 — г2) dx + 2yz dy — x2dz, где С — кри-
с
вая х = /, у = /2, z = /3 (0 < t < 1), пробегаемая в
направлении возрастания параметра.
4280. J у dx + z dy + х dz, где С — виток винтовой
с
линии х = a cos /, у = a sin t, z = bt (0 < t < 2л),
пробегаемый в направлении возрастания параметра.
4281. f (у — z) dx + (z — x)dy + (х — y)dz9 где
с
С — окружность х2 + у2 + z2 = а2, у = jc tg а (0 <
< а < я), пробегаемая против хода часовой стрелки,
если смотреть со стороны положительных х.
4282. j у2 dx + z2 dy + х2 dz, где С — часть кри-
§ II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 451
вой Вивиани х2 + у2 + г2 = а2, х2 + у2 = ах (г >
> 0, а > 0), пробегаемая против часовой стрелки, если
смотреть с положительной части (х > а) оси Ох.
4283. Г (у2 — г2) dx + (г2 — х2) dy + (х2 — у2) dz,
с
где С — контур, ограничивающий часть сферы х2 + у2 +
+ г2 — 1, х > 0, у > 0, 2 > 0, пробегаемый так, что
внешняя сторона этой поверхности остается слева.
Найти следующие криволинейные интегралы от пол¬
ных дифференциалов:
(2, 3. -4)
4284. Г xdx-\-y2dy—7?dz.
0,1.1)
(в. i, it
4285. f yzdx + xzdy + xydz.
(1, 2, 3)
Ua. Уъ 2a)
4286. Г xdx+gdy + tib' где точка ^ yi>
) л/*г+У2+г2
(Xt, Уi, 2.)
расположена на сфере x2 + у2 + г2 = а2, а точка (дг21
у2, 2<j) — на сфере х2 + у2 + z2 = fc2 (а > 0, b > 0).
(*J. »1, 2»)
4287. | ф (х) dx -f t|> (у) dy + х (*) где ф,
(*i. Si. г,)
г]?, х — непрерывные функции.
02, *»)
4288. J’ / (х +у + г) (dx + dy Л- dz), где/ —
tfi. 01. *11
непрерывная функция.
!/а. 2,)
4289. J f (V^2 + У2 + z2 )(xdx + ydy + zdz), где
<*1. Vi, г,)
f—непрерывная функция.
Найти первообразную функцию ы, если:
4290. du = (х2 — 2уг) dx + (у2 — 2xz) dy +
4- (г2 — 2хг/) б?г.
4291. du= ^1 ^ + Jf)dx + (-J + Jr)dy~~
—2-dz.
г2
4292. du (x+y—z)dx+(x+ y — z)dy+ (x+t/ + z)dz
x2 -г У1 + z2 + 2*1/ *
15*
4Й2 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4293. Найти работу, производимую силой тяжести,
когда точка массы т перемещается из положения
(*и У\л 2Х) в положение (.х2, у2, z2) (ось Oz направлена
вертикально вверх).
4294. Найти работу упругой силы, направленной
к началу координат, величина которой пропорциональна
удалению материальной точки о/ начала координат,
если эта точка описывает в направлении, противополож¬
ном ходу часовой стрелки, положительную четверть
2
эллипса 1.
а1 Ь2
4295. Найти работу силы тяготения F = klr2, гдег =
= V*2 + У2 + *2 * действующей на единичную массу,
когда последняя перемещается и точки Мх(хг, ylt 2г)
в точку М2 (х2, у2, z2).
§ 12. Формула Грина
1°. Связь криволинейного интеграла
с двойным. Если С — замкнутый простой кусочно гладкий
контур, ограничивающий конечную односвязную область S,
пробегаемый так, что область S остается слева, и функции
Р (х> У)> Q (*» У) непрерывны вместе со своими частными производ¬
ными первого порядка Р'у(х, у) и Q'x (xt у) в области S и на ее
границе, то имеет место формула Грина
ф Р (х, y)dx+Q (X, у) dy ~ (J±-ljL.yxdy. (1)
С S
Формула (1) справедлива также и для конечной области S,
ограниченной несколькими простыми контурами, если под гра¬
ницей С последней понимать сумму всех граничных контуров,
направление обхода которых выбирается так, что область S
остается слева.
2°. Площадь плоской области. Площадь S
фигуры, ограниченной простым кусочно гладким контуром С,
равна
S = xdy — — <§ у dx =* — <j> (х dy — у dx).
с с 2 с
В этом параграфе, если не оговорено противное, предпола¬
гается, что замкнутый контур интеграции простой (без точек
самопересечения) и пробегается так, что ограниченная им об¬
ласть, не содержащая бесконечно удаленной точки, остается
слева (положительное направление).
4296. С помощью формулы Грина преобразовать кри¬
волинейный интеграл
§ 12 ФОРМУЛА ГРИНЛ 453
/ = | -\/х2 + уъ dx + y[xy+\n {х -f ^/x2 + y2)]dy,
где контур С ограничивает конечную область S.
4297. Применяя формулу Грина, вычислить криво¬
линейный интеграл
/ =§(x-t-y)2dx— (.X2 f у*) dy,
к
где К — пообегаемый в положительном направлении
контур треугольника ABC с вершинами А (1, 1), В(3,2),
С (2, 5).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл
непосредственно.
Применяя формулу Грина, вычислить следующие
криволинейные интегралы:
4298. §xy2dy—x2ydx, где С — окружность
хг + у1 = а2.
4299. $(х у) dx — (.V — у) dy, где С — эллипс
\'с
4300. ф ех [(i—cos y)dx — (у—sin у) dy], где С —
с
пробегаемый в положительноvi направлении контур,
ограничивающий область 0 < х < я, 0 < у < sin х.
4301. | e-u’—1/‘) (С03 2Ху dx — sin 2л у du).
х2+у‘=№
4302. На сколько обличаются друг о г друга криво¬
линейные интегралы
А = f (x-yfdx—(х — yfdy
АтВ
И
h= J {x — y)2dx—(x—y)-dy,
АпВ
где АтВ — прямая, соединяющая точки А (1, 1) н
В (2, 6), и АпВ — парабола с вертикальной осью, про¬
ходящая через те же точки А и В и начало координат?
4303. Вычислить криволинейный интеграл
] (ех sin г/—ту) dx + (ех cos у — т) dy,
АтО
454 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где АтО — верхняя полуокружность х2 + у2 = ах, про¬
бегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).
Указание. Дополнить путь АтО до замкнутого прямо
линейным отрезком О А оси Ох.
4304. Вычислить криволинейный интеграл
J 1ф (у)е*—щ\ dx -f [ф' (у) ех—т] dy,
АтВ
где ф (у) и ф' (у) — непрерывные функции и АтВ — про¬
извольный путь, соединяющий точки A (xlt ух) и
В (д:г, уг), но ограничивающий вместе с отрезком АВ
площадь АтВА данной величины S.
4305. Определить две дважды непрерывно дифферен¬
цируемые функции Р (х, у) и Q (х, у) так, чтобы кри¬
волинейный интеграл
/ = <£ Р(х+а, y + $)dx + Q(x + a, y-\-$)dy
с
для любого замкнутого контура С не зависел от постоян¬
ных а и р.
4306. Какому условию должна удовлетворять диффе¬
ренцируемая функция F (лг, у), чтобы криволинейный
интеграл
j F{х, у) (ydx + xdy)
АтВ
не зависел от вида пути интегрирования?
4307. Вычислить
I = £ t
Т *2 + у*
С
где С — простой замкнутый контур, не проходящий
через начало координат, пробегаемый в положительном
направлении.
Указание. Рассмотреть два случая: I) начало коорди¬
нат находится вне контура; 2) контур С окружает начало коор¬
динат.
С помощью криволинейных интегралов вычислить
площади, ограниченные следующими кривыми:
4308. Эллипсом х = a cos /, у = b sin / (0 < / <
< 2л).
4309. Астроидой х = a cos3/, у = Ъ sin3 t (0 < / <
< 2я).
<310. Параболой (jc + у)2 = ах {а > 0) и осью Ох.
§ 12. ФОРМУЛА ГРИНА 455
43И. Петлей декартова листа я3 + */3 = 3аху
(а > 0).
Указание. Положить у = tx.
4312. Лемнискатой (л:2 + уг)г = а2 (л;2 — уг).
Указание. Положить у = х tg <р.
4313. Кривой х3 + у* = х1 -т у* и осями координат.
4314. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(х + у)п+т+' = ахпут (а > 0, я > 0, т > 0).
4315. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(irУ+(■*")"=1 (а>0> ь>0,">0)
и осями координат.
Указание. Положить — *= cos2/" ф, —1— = <inS/rt ф.
а Ъ
4316. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(fHiHfr-Ktr
(а>0, Ь > 0, /г>1) и осями координат.
4317. Вычислить площадь петли кривой
(тГ+^Г-<т)Ш
(а>0, Ь>0, с>0, /г>0).
4318. Эпициклоидой называется кривая, описываемая
точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без
скольжения по неподвижной окружности радиуса R и
остающейся вне нее.
Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, пред-
О
полагая, что отношение — = п есть целое число (п >!).
Г
Разобрать частный случай г = R (кардиоида).
4319. Гипоциклоидой называется кривая, описывае¬
мая точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся
без скольжения по неподвижной окружности радиуса R
и остающейся внутри нее. Найти площадь, ограниченную
гипоциклоидой, предполагая, что отношение R/r = п
есть целое число (п > 2).
Разобрать частный случай г = RI4 (астроида).
456 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4320. Вычислить площадь части цилиндрической по¬
верхности х2 + у2 = ах, вырезанной поверхностью
*2 + у2 + 22 = а2.
4320.1. Доказать, что объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох простого замкнутого контура С,
расположенного в верхней полуплоскости у > 0 равен
V = —л | y2dx.
с
4321. Вычислить
2л J Хг + Y2
с
если X = ах + by, Y — сх + dy w простой замкнутый
контур С окружает начало координат (ad — be Ф 0).
4322. Вычислить интеграл / (см. предыдущую за¬
дачу), если X — <р (х, у), 7 = 0]) (jc, у), и простой кон¬
тур С окружает начало координат, причем кривые
Ф (х, у) = 0 и г|э (х, у) = 0 имеют несколько простых точек
пересечения внутри контура С.
4323. Показать, что если С — замкнутый контур и
/ — произвольное направление, то
<б cos (/, n)ds — 0,
с
где п — внешняя нормаль к контуру С.
4324. Найти значение интеграла
I = &[х cos (я, х) +у cos (я, у)\ ds,
с
где С — простая замкнутая кривая, ограничивающая
конечную область 5, и и — внешняя нормаль к ней.
4325. Найти
lim &(F-n) ds,
d <S)->-0 s £
где S — площадь, ограниченная контуром С, окружаю¬
щим точку (xQ, уа), d(S)—диаметр области S, п—еди¬
ничный вектор внешней нормали контура С и F {X, Y} —
вектор, непрерывно дифференцируемый в S + С.
§ 13. Физические приложения криволинейных
интегралов
4326. С какой силой притягивает масса М, равно
мерно распределенная по верхней полуокружности х2 4-
+ у2 = а2, у > 0, материальную точку массы т., зани¬
мающую положение (0, 0)?
$ 13 ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕПНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 457
4327. Вычислить логарифмический интеграл простого
слоя
и (х, у) = ф х In ds,
где к = const — плотность, г — V(£—х)2 i" (Т1—У)2
и контур С есть окружность + rj* = R2.
4328. Вычислить в полярных координатах р и <р
логарифмические потенциалы простого слоя
2я 2л
= J cos twp In — dtp и /2 = ^ sin mtf» In — dip,
о о
где r — расстояние между точкой (р, ср) и переменной
точкой (1, ijj) и т — натуральнье число.
4329. Вычислить интеграл Гаусса
, v X* cos (г, п) .
и(х, у) =ф —as,
где г =V(I—*)2-t-Cn—ч)2 — длина векгооа г, со¬
единяющего точку А (д-, и) с переменной точкой М (|, т))
простого замкнутого гладкого контура С, (г, п) — угол
между вектором г и внешней нормалью п к кривой С
в точке ее М.
4330. Вычислить в полярных координатах ,о и <р
логарифмические потенциалы двойного слоя
2я
COS (Г, п) J .
cos т\р ——dxJ),
о
2л
C<'S (Г, п)
sin т\f -—- а-ф,
г
и
где г — расстояние между точкой А (р, ф) и переменной
точкой М (1, я|з), (г, и)— угол между направлением
AM = г и радиусом ОМ = п, проведенным из точки
О (0, 0), и т — натуральное число.
4331. Дважды дифференцируемая функция и =
= и (х, у) называется гармонической, если Ди =
= = 0. Доказать, что и есть гармоническая
458 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
функция тогда и только тогда, если
$
С
^-ds = О,
дп
^ ди
где С— произвольный замкнутый контур и — про-
дп
изводная по внешней нормали к этому контуру.
4332. Доказать, что
ЯШ+С£)>*-
= —j* j"и Аи dxdy -f (j)и ds,
s с
где гладкий контур С ограничивает конечную область S.
4333. Доказать, что функция, гармоническая внутри
конечной области S и на ее границе С, однозначно опре¬
деляется своими значениями на контуре С (см. задачу
4332).
4334. Доказать вторую формулу Грина на плоскости
ЯГ i‘Adxd»=j>
ди dv
дп дп
и v
ds,
где гладкий контур С ограничивает конечную область S
д
и — производная по направлению внешней нормали
дп
к С.
4335. Пользуясь второй формулой Грина, доказать,
что если и — и (х, у) — гармоническая акция в зам¬
кнутой конечной области S, то
с
где С — граница области S, п — направление внешней
нормали к контуру С, (х, у) — внутренняя точка обла¬
сти S и г = У(^ — х)2 (г| — у)2 — расстояние между
точкой (х, у) и переменной точкой (|, t]) контура С.
Указание. Вырезать точку (х, у) из области S вместе
с бесконечно малой круговой окрестностью ее и применить вто¬
рую формулу Грина к оставшейся части области S.
$ 13 ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 459
4336. Доказать теорему о среднем для гармониче¬
ском функции и (М) = и (х, у):
u(M)=-£^-(j)u(i, r\)dc,
с
где С — окружность радиуса R с центром в точке Af.
4337. Доказать, что функция и (х, у), гармониче¬
ская в ограниченной и замкнутой области и не являю¬
щаяся постоянной в этой области, не может достигать
своих наибольшего и наименьшего значений во внутрен¬
ней точке этой области (принцип максимума).
4338. Доказать формулу Римана
IIIdxdy = (§)pdx+Qdy>
S с
где
= к л +a-r- + b—-+си,
дх ду ах ду
я я . , оН) dv , dv .
М [у] а b 1-си
дх ду дх ду
(а, Ь, с — постоянные), Р и Q — некоторые опреде¬
ленные функции и контур С ограничивает конечную
область S.
4339. Пусть и = и (х, у) и v = v (х, у) — компо¬
ненты скорости установившегося потока жидкости. Опре¬
делить количество жидкости, вытекшее за единицу вре¬
мени из ограниченной контуром С области S (т. е. раз¬
ность между количествами вышедшей и вошедшей жид¬
кости). Какому уравнению удовлетворяют функции и ко,
если жидкость несжимаема и в области S отсутствуют
источники и стоки?
4340. Согласно закону Био — Савара электрический
ток i, протекающий по элементу проводника ds, создает
в точке пространства М (х, у, z) магнитное поле с на¬
пряжением
dH=ki-{r?ds) ,
г»
где г — вектор, соединяющий элемент ds с точкой М,
и k — коэффициент пропорциональности. Найти проек¬
ции Нх, Ну, Н2 напряжения магнитного поля Н в
точке М для случая замкнутого проводника С.
460 ОТДЕЛ VIII. кратные и КРИВОЛПНЕПНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 14. Поверхностные интегралы
Iе. Поверхностный интеграл 1-го рода.
Если S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность
х = х (и, V) у = у (и, V) 2=2 (и, V) ((ы, v) £ Q) (1)
и l(xt у, 2) —функция, определенная и непрерывная в точках
поверхности S, то
$$Цх, у, z)dS =JJ/ (х(и, v), у (и, с), г (и, v)) VEG~F2dudo,
S а
(2)
где
ч-ё-у+ш’+ш’-
F = дх дх j ду ду ^ dz дг
ди dv ди dv du dv
В частном случае, если уравнение поверхности S имеет вид
г = z(xf у) ((*, у) £ а),
где г (х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая функ¬
ция, то
J J7 (*. у. 2) dS =
S
-у "*■ *» V1+(Ю’+(
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности 5*
Если функцию f {х, у% г) рассматривать как плотность по¬
верхности 5 в точке (х, у, г), то интеграл (2) представляет собой
массу этой поверхности.
2°. Поверхностный интеграл 2-го р о д а«
Если S — гладкая двусторонняя поверхность, 5+ — ее сторона,
жарактеризуемая направлением нормали h (cos a, cos р, cos y}t
Р = Р (х, у, г)> Q = Q (х> у, г), R — R (х, у, z) — три функ¬
ции, определенные и непрерывные на поверхности S, то
J j Р dy dz+Q dzdx+R dx dy= j J (Я cos a+Q cos p+# cos y)dS. (3)
s> s
Если поверхность 5 задана в параметрическом виде (1), то
направляющие косинусы нормали п определяются по форму*
§ 14 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 461
где А~-д(у' г) ■. В = -д{г’ х)~, С = Л^У) , изнаи
d(U, V) d(li, L’) д(ы, v)
перед радикалом выбирается надлежащим образом.
При переходе к другой стороне 5*" поверхности S интеграл (3)
меняет свой знак на обратный.
4341. На сколько отличаются друг от друга поверх¬
ностные интегралы
/i = II(x2 + y2 + z2)dS и /a = JJ(x* + y* + z*)dP,
S р
где S — поверхность сферы хг + у2 + г2 — а2 и Р —
поверхность октаэдра 1*1+ |*/| + |2| = а, вписан¬
ного в эту сферу?
4342. Вычислить JJ г dS, где S — часть поверх-
s
ности х2 + z2 = 2аг (а > 0), вырезанная поверхностью
2 = л/х2 + у2.
Вычислить следующие поверхностные интегралы
1-го рода:
4343. (дс + у + г) dS, где S — поверхность
х2 + у2 + г2 = а2, г > 0.
4344. j f (х2 + у2) dS, где S — граница тела
s
■у/х2 + у2 < г < 1.
4345. J j* ^ , где S — граница тетраэдра
s
* + у + г<1, *>0, у > 0, 2 > 0.
4346. | xyz | dS, где S — часть поверхности г =
= х2 + у2, отсекаемая плоскостью 2=1.
4347. J j* , где S — поверхность эллипсоида и
s
h — расстояние центра эллипсоида до плоскости,
касательной к элементу dS поверхности эллипсоида.
4348. jjzdS, где S — часть поверхности геликоида
х = и cosv, у = и sinw, 2 = у(0<м<а; 0<и<2я).
4349. J J 2* dS, где S — часть поверхности конуса
s
х =* г cos ф sin а, у = г sin ф sin а, г — г cos а
462 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(О<г<а; 0<ф<2я) и а—постоянная
4350. Ц (ху +yz + zx)dS, где S — часть конической
поверхности г = д/х2 + у2, вырезанная поверхностью
хй + у2 = 2 ах.
4351. Доказать формулу Пуассона
1
11 f (ах + by + cz) dS — 2n§ f (и л/а2 + b2 + с2) du,
s —1
где S есть поверхность сферы х2 + у2 + г2 = 1.
4352. Найти массу параболической оболочки
г = ±(х2 + у2) (0 <*<!),
плотность которой меняется по закону р — г.
4352.1. Найти массу полусферы
х2 + у2 + z2 = а2 (z > 0),
плотность которой в каждой ее точке М (х, у, г) равна г/а.
4352.2. Найти статические моменты однородной тре¬
угольной пластинки * + i/ + 2 = a(*>0)</>0,
г > 0) относительно координатных плоскостей.
4353. Вычислить момент инерции относительно оси Ог
однородной сферической оболочки х2 + у2 -f г2 = а2
(г > 0) плотности р0.
4354. Вычислить момент инерции однородной кони-
j^2 п'2 2^
ческой оболочки 1- — = 0 (0 < г < Ь) плот-
с- а£ о~
пости р0 относительно прямой
х У __ 2—Ь
10 о
4355. Найти координаты центра тяжести части одно¬
родной поверхности г = -\/х2 + у2, вырезанной по¬
верхностью х2 + у2 = ах.
4356. Найти координаты центра тяжести однород¬
ной поверхности
2 = -у/а2—х2—у2 (х > 0; у > 0; х + у < а).
4356.1, Найти полярные моменты инерции
lo = $j(x2 + y2 + z2)dS
§ 14 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 4G3
следующих поверхностей S:
а) поверхности куба max {\x\t \y\t | е |}= а;
б) полной поверхности цилиндра х2 + у2 < R2; 0 <
^ г < Н.
4356.2. Найти моменты инерции треугольной пла¬
стинки
х + у + г = I (х > О, у > О, z > 0)
относительно координатных плоскостей.
4357. С какой силой притягивает однородная усе^
ченная коническая поверхность
х = г cos ф, у = г sin ф, г — г
(0 < ф < 2я, 0 < Ъ < г < а)
плотности р0 материальную точку массы т, помещенную
в вершине этой поверхности?
4358. Найти потенциал однородной сферической по¬
верхности х2 + у1 + г2 = a2 (S) плотности р0 на точку
М0 (х0. г/0, г0), т. е. вычислить интеграл и= J J -°dS »
где г = ^/(х—х0)2 + (у—у0)*-{-(г—г0)й.
4359. Вычислить
^(0= И / (х, у, г) dS,
X+y+2=t
1 — х2—у2—г2, если х2+у2+г2 < 1;
где
f (х> У< г)— | о, если х2-\-у2-\-г2> 1.
Построить график функции и = F (t).
4360. Вычислить интеграл
Fit)= Я /<*. у, z)dS,
1?+уг+*=Р
где
/С*, у. г)-Г+л есл“ z>Vf+^:
I 0, если г < У*2 + у2.
4361, Вычислить интеграл
F(x, у, г, 0 = Я/(£, Л* QdS,
S
где S — переменная сфера
(£ — *)2 + СП — У)г + (S — 2)а = t\
464 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И
fa, ть
1, если £2 + rf + £2< а2;
если £2 + 112 + £2>а‘-,
предполагая, что
r = -^x2 +y* + z2 >а>0.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 2-го
рода:
4362. { f (л: dydz-\-ydzdx-\-z dx dy), где S — внешняя
5
сторона сферы х2 + уг + г2 = а2.
4363. {J | (д:)dydz+g (у) dzdx + h (z) dx dy, где / (х),
g (у), h (г) — непрерывные функции и S — внешняя
сторона поверхности параллелепипеда 0 < х < а; 0 <
< у < Ь; 0 ^ г < с.
4364. (у—z)dy dz + (z—x)dzdx + (x—y)dxdy,
s
где S — внешняя сторона конической поверхности х2 +
т j/s = г2 (0 < г < h).
4365. + где 5 — внеш*
S
х2 и2 Z2
няя сторона эллипсоида ——+ ~^гН—г-=1*
or b2 с2
4366. $ $ x2dydz + у2 dz dx + zl dx dy, где S — внеш¬
няя сторона сферы (jc — а)2 + (у — Ь)г + (z —с)2= R-.
§ 15. Формула Стокса
Если Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у, г) —
непрерывно дифференцируемые функции и С — простой замкну¬
тый кусочно гладкий контур, ограничивающий конечную ку«
сочно гладкую двустороннюю поверхность S, то имеет место
формула Стокса:
cos a cos р cos у
§Pdx+Qdy+Rdz=n
С S
д
д
д
дх
ду
дг
Р
Q
R
dS,
где cos a cos Р, cos Y — направляющие косинусы нормали к по¬
верхности S, направленной в ту сторону, относительно которой
обход контура С совершается против хода часовой стрелки
(для правой координатной системы).
§ IS ФОРМУЛА СТОКСА 465
4367. Применяя формулу Стокса, вычислить кри¬
волинейный интеграл J у dx + z dy + х dz, где С —
с
окружность х2 + у2 + 2* = а2, х + у + z = 0, про¬
бегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
Проверить результат непосредственным вычислением.
4368. Вычислить интеграл
J (x2—yz)dx + (y2—xz)dy + {z2—xy)dz,
АтВ
взятый по отрезку винтовой линии
je = acoscpf у = а sinq), г = ——<р
от точки А (а, 0, 0) до точки В (а, 0, h).
Указание. Дополнить кривую АтВ прямолинейным
отрезком и применить формулу Стокса.
4369. Пусть С — замкнутый контур, расположен¬
ный в плоскости х cos а + у cos 6 + z cos у — р = 0
(cos a, cos р, cos у — направляющие косинусы нормали
плоскости) и ограничивающий площадку S.
Найти
dx dy dz
ф cos a cos р cos у i
С X у 2
где контур С пробегается в положительном направле¬
нии.
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы:
4370. J (у + г) dx + (г + х) dy + (х + у) dz, где
с
С — эллипс х = a sin2 t, у = 2а sin t cos t, z = a cos2 t
(0 < t < jx), пробегаемый в направлении возрастания
параметра t.
4371. J {у — z) dx + (z — x) dy + (x — y) dz, где
с
С — эллипс х2 + у2 = а2 — + — = 1 (а > 0, h > 0),
a h
пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
4372. | (у2 + г2) dx + (х2 + z2) dy + (х2 + у2) dz,
с
где С — кривая х2 + у2 -f г2 = 2Rx, х2 + у2 — 2гх (0<
<r<R, г> 0), пробегаемая так, что ограниченная
466 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ею на внешней стороне сферы х2 + у2 + г2 = 2Rx наи¬
меньшая область остается слева.
4373. f (у2 — z2) dx + (г2 — х2) dy + (х2 — у2) dz,
С
где С — сечение поверхности куба 0 < х < а, 0 <
пробегаемое против хода часовой стрелки, если смот¬
реть с положительной стороны оси Ох.
4374. J y2z2dx + x2z2dy + x2y2dz, где С— замкну-
с
тая кривая х = a cos /, у = a cos 2/, г = a cos 3/,
пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
4375. Доказать, что функция
где S — площадка, ограниченная контуром С, п — нор¬
маль к поверхности S и г — радиус-вектор, соединяю¬
щий точку пространства М (х, у, г) с текущей точкой
А (£, контура С, является потенциалом магнит¬
ного поля //, создаваемого током i, протекающим по
контуру С (см. задачу 4340).
Если S — кусочно гладкая поверхность, ограничивающая
объем V, и Р = Р (х, у, г), Q = Q (*, у, z)t R = R (*, у, г) —.
функции, непрерывные вместе со своими частными производ¬
ными 1-го порядка в области V + 5, то справедлива формула
Остроградского:
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нор¬
мали к поверхности S.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать
следующие поверхностные интегралы, если гладкая по¬
верхность 5 ограничивает конечный объем V и cos а,
cos р, cos у — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности S:
§ 16. Формула Остроградского
J [(Я cos a + Q cos p + R cos y) dS =
4376. J §x3dy dz + y3 dzdx + z3dxdy.
« 16 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 467
4377. J f yzdydz + zxdzdx-\-xydxdy.
s
437g f Г X cos a + у cos ft + г cos у ^
S V X1 + y2 + z2
4379- IKirC0S“+'l'C0S|i+irC0ST)‘,s-
438°-
+(^-5-Ый-
4381. Доказать, что если S — замкнутая простая
поверхность и / — любое постоянное направление, то
| J cos (и, /) dS — О,
где п — внешняя нормаль к поверхности 5.
4382. Доказать, что объем тела, ограниченного по¬
верхностью S, равен
х cos а + у cos р + zcos у) dS,
3 s
где cos а, cos р, cos т — направляющие косинусы внеш¬
ней нормали к поверхности S.
4383. Доказать, что объем конуса, ограниченного
гладкой конической поверхностью F (х, у, г) = 0 и
плоскостью Ах + By + Cz + D = 0, равен
V = — SH,
з
где 5 — площадь основания конуса, расположенного
и данной плоскости, и Н — его высота.
4384. Найти объем тела, ограниченного поверхностя¬
ми: г = dz с и
х = a cos и cos v + b sin и sin и,
у = a cos и sin v—b sin и cos v,
z — csinu.
4385. Найти объем тела, ограниченного поверхно¬
стью
х = и cos к, у = и sin v, г — —и + о cos v
(и > 0)
и плоскостями: х = 0 и г = 0 (а > 0).
468 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4385.1. Найти объем тела, ограниченного тором
jc = (6 + acosi|))cos ср, '
0 = (b + acosil5)sin ф, (0<а<6).
2 = asint|)
4386. Доказать формулу
-jr{JAUix'1
= у' г' ^dS+ (JJ
x’+y'+2’=P х’+у'+г^Г-
(/>0).
С помощью формулы Остроградского вычислить еле-
дующие поверхностные интегралы:
4387. jj х3 dy d2 + у2 dz dx + z2 dx dy, где S —
внешняя сторона границы куба 0 < jc < a, 0 < t/ < a,
0 < 2 < a.
4388. JJ x3 dy dz + y3 dz dx + z3 dx dy, где S —
внешняя сторона сферы x2 + у2 + z2 = a2.
4389. J J(x — у + z) dy dz + (y — z + x) dz dx 4*
+ (2 — x + y) dx dy, где S — внешняя сторона поверх*
ности
\х — у -У г\ + \у — z + х\ + \Z — х + у \ = 1.
4390. Вычислить J J (х2 cos a+у2 cos Р + z2 cos v) dS,
s
где S — часть конической поверхности хг+у2 = z2
(0 < г < А) и cos a, cos Р, cos v — направляющие
косинусы внешней нормали к этой поверхности.
Указание. Присоединить часть плоскости г = h,
*а + У*
4391. Доказать формулу
V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
V, п — внешняя нормаль к поверхности S в текущей
точке ее (|, tj, Q, г = У(| — х)2 + (г) — у)2 + % — г)2
§ 16 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО
469
и г — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке
где S — простая замкнутая гладкая поверхность, огра¬
ничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверх¬
ности 5 в точке ее (£, г\, £), г — радиус-вектор, соеди¬
няющий точку (х, у, z) с точкой (|, л» С) и г —
Рассмотреть два случая:
а) когда поверхность S не окружает точку (дг, у, г),
б) когда поверхность S окружает точку (*, у, г).
4393. Доказать, что если
и S — гладкая поверхность, ограничивающая конечног
тело V, то справедливы следующие формулы:
где и — функция, непрерывная вместе со своими част¬
ными производными до второго порядка включительно
в области V + S, и — производная по внешней нор-
дп
мали к поверхности S.
4394. Доказать вторую формулу Грина в простран¬
стве
где объем V ограничен поверхностью S, п — направ¬
ление внешней нормали к поверхности S и функция
(I, Л> 3.
4392. Вычислить интеграл Гаусса
s
=^а-х)2 + (ч-у)*+ к-*)2.
А д-и . д2и . д2и
А и = Ь- 1
дх1 ду2 дг2
v
470 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и = и (.х, у, z)9 v = v (х, у, г) дважды дифференцн-
руемы в области V + S.
4395. Функция и = и (х, у, г), обладающая не¬
прерывными производными до второго порядка включи¬
тельно в некоторой области, называется гармонической
в этой области, если
А д2и . д2и . д2и л
Д U = - = 0.
дх* ду2 дг2
Доказать, что если и — гармоническая функция в ко¬
нечной замкнутой области V, ограниченной гладкой
поверхностью S, то справедливы формулы:
— dS = 0;
дп
а)И
S
где п—внешняя нормаль к поверхности S.
Пользуясь формулой б), доказать, что функция, гар¬
моническая в области V, однозначно определяется сво¬
ими значениями на ее границе S.
4396. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) —
гармоническая в конечной замкнутой области V, огра¬
ниченной гладкой поверхностью S, то
S
где г — радиус-вектор, идущий из внутренней точки
(Ху */, г) области V в переменную точку (£, т), С) поверх¬
ности S, г = y(g — х)2 + (rj — у)2 + (£ — z)2, л —
вектор внешней нормали к поверхности S в точке (Е, г), £).
4397. Доказать, что если и = и (xf yt z) — функция,
гармоническая внутри сферы S радиуса R с центром
В (*<,, Уй, г0), то и (х0, у0, z0) = —~г J j* и (х, у, г) dS
S
(теорема о среднем).
4398. Доказать, что функция и = и (х, у, г), не¬
прерывная в ограниченной замкнутой области V и гармо¬
ническая внутри нее, не может достигать своих наиболь¬
шего и наименьшего значений во внутренней точке обла-
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поля 47!
сти, если эта функция не является тождественной
постоянной (принцип максимума).
4399. Тело V целиком погружено в жидкость. Исходя
из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила
жидкости равна весу жидкости в объеме тела и напра¬
влена вертикально вверх (закон Архимеда).
4400. Пусть St — переменная сфера (£ — х)2 +
+ Сп — у)2 + (С — г)2 = /а и функция / (£, т], I) —
непрерывна. Доказать, что функция
st
удовлетворяет волновому уравнению
д2и ; д2и . д2и д2и
дх2 ду2 дг2 dt2
Idw
= 0, =/ (х, у, г).
t=o dt /=о
ди
Указание. Производную —— выразить тройным инте-
dt
тралом.
§ 17. Элементы теории поля
1°. Градиент. Если и (г) = и (х, */, *)> где г = х/ -f4
+ уУ+ есть непрерывно дифференцируемое скалярное поле,
то градиентом его называется вектор
. ди..ди3.ди
grad и = —- I + -—/ + —- k
дх ду дг
или, короче, gradu—S/ut где V = / ——ЪУ-7—Ь^“г“-Гра-
дх ду дг
диент поля и в данной точке (дс, у, г) направлен по нормали
к поверхности уровня и(х, у, г) = С, проходящей через эту
точку. Этот вектор для каждой точки поля по величине
и направлению дает наибольшую скорость изменения функции и.
Производная поля и в некотором направлении I (cos а,
cos р, cos y) равна:
ди л 1 да , ди Q , ди
= grad и ■ I = cos а -[ cos р -I cos у.
dt дх ду дг
2°. Дивергенция поля и ротация (вихрь)
поля. Если
а (г) = ах (дг, у, г) I + ау (х, у, г) j + аг (*, у, г) к
472 ОТДЕЛ VIII- КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
div a = =
dat , дау да2
i
J
k
д
д
д
дх
ду
дг
ах
ау
аг
дх ду дг
называется дивергенцией или расходимостью этого поля.
Вектор
rot а — V X а =
носит название ротации или вихря поля.
3°. Поток вектора через поверхность.
Если вектор а (г) порождает векторное поле в области Q, то ло-
током вектора через данную поверхность 5, расположенную
в Й, в указанную сторону, характеризуемую единичным векто¬
ром нормали п (cos a, cos (5, cos y)» называется интеграл
| [ andS J (ах cos а + ау cos а2 cos v) dSt
‘s S
где an — an — нормальная проекция вектора. Формула Ocmpf
градскосо в векторной трактовке принимает вид =
s
j J J div a dxdy dz, где S есть поверхность, ограничиваю-
v
щая объем У, и я — единичный вектор внешней нормали к по¬
верхности «S.
4°. Циркуляция вектора. Линейным интегралом
от вектора а (г), взятым по некоторой кривой С (работа поля),
называется число
j a dr = Г axdx -f- aydy -f- a^dz,
с с
Если контур С замкнут, то линейный интеграл называется
циркуляцией вектора а вдоль контура С.
В векторной форме формула Стокса имеет вид & а аг =
с
= f f (rot a)ndSt где С — замкнутый контур, ограничивающий
S
поверхность S, причем направление нормали п к поверхности
S должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, стоящего на
поверхности 5, головой по направлению нормали, обход контура
С совершался против хода часовой стрелки (для правой системы
координат).
5°. Потенциальное поле. Векторное поле а (г),
являющееся градиентом некоторого скаляра и;
grad и — at
называется потенциальным, а величина и называется потенциал
лом поля..
§ 17 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поля 473
Если потенциал и — однозначная функция, то
f a dr = и (В) — и (А).
Лв
В частности, о этом случае циркуляция вектора а равна нулю
Необходимым и достаточным условием потенциальности
поля а, заданного в поверхностно односвязной области, яв¬
ляется выполнение условия rot а = 0, т. е, такое поле должно
быть безвихревым.
4401. Найти величину и направление градиента поля
и = х2 + 2у2 + Зг2 + ху + Зх — 2 у — 6 z в точках:
а) О (0, 0, 0); б) А (1, 1, 1) и в) В (2, 0, 1). В какой
точке градиент поля равен нулю?
4401.1. Пусть и = ху— г2. Найти величину и на¬
правление grad и в точке М (—9, 12, 10).
Чему равна производная — в направлении биссек-
61
трисы координатного угла хОу?
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент
поля
и « х* + у3 + z3 — 3xyz
а) перпендикулярен к оси Oz; б) параллелен оси Oz\
в) равен нулю?
4403. Дано скалярное поле
и = In —,
г
где г = <у/(х — а)2 + (у — b)2 + (z — с)2. В каких
точках пространства Oxyz имеет место равенство
Jgrad «|=1?
4404. Построить поверхности уровня скалярного поля
и = л/хг-\-уъ-\-(г-\-Щ2 +д/х2+уг + (г—ЪУ.
Найти поверхность уровня, проходящую через точку
М (9, 12, 28). Чему равен шах и в области х2 + у2 +
+ z2 < 36?
4405. Найти угол <р между градиентами поля
+ у2 + г4
в точках А (1, 2, 2) и В (—3, 1, 0).
4406. Пусть дано скалярное поле и = — г —.
V*2 + у2 + ?г
Построить поверхности уровня и поверхности рав*
ного модуля градиента поля.
474 ОТДЕЛ VIII КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Найти ini и, sup и, inf | grad ы|, sup (grad и | в обла¬
сти 1 < г < 2.
4407. С точностью до бесконечно малых высших по¬
рядков найти расстояние в точке М0 (*„, у, z0) между
двумя бесконечно близкими поверхностями уровня
и (х, у, г) = с и и (х, у, г) — с + Ас,
где и (х0, у<у, г()) = с (grad и (х0, у0, г0) ф 0).
4408. Доказать формулы:
а) grad (м + с) = grad и (с — постоянно);
б) grad си = с grad и (с — постоянно);
в) grad (и + о) = grad и + grad v;
г) grad uv = v grad и -+• и grad v;
д) grad (гг2) = 2и grad гг;
е) grad /' (и) = /' (гг) grad гг.
4409. Вычислить: a) grad г; б) grad г2; в) grad
где r = xi + yj+zk.
4410. Найти grad j (г), где т — ^/хъ + у2 + г2.
4411. Найти grad (сг), где с—постоянный вектор и
г — радиус-вектор из начала координат.
4412. Найти grad {|с х г\2} (с — постоянный век¬
тор).
4413. Доказать формулу grad / (гг, с/) = -^-grad и -Ь
ди
Ч—grad V.
до
4414. Доказать формулу v 2 (uv) — uV2v + t>V2« *Ь
4- 2V«V v, где
„ . д , . д ,ь д
v = iir'rJli + klT’
V-V7- 4V+ * 1 *
дх* ду2 дг1
4415. Доказать, что если функция и и (х, у, z)
дифференцируема в выпуклой области Q и | grad и | <; М,
где М — постоянная, то для любых точек А, В из Q
имеем:
| гг (А) — гг (В) j < Мр (А, В),
где р (/!, В) — расстояние между точками А и В.
4415.1. Для функции гг = гг (*, у, г) выразить
grad гг: а) в цилиндрических координатах; б) в сфериче¬
ских координатах.
8 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 475
4416. Найти производную поля и = + —|--—
а1 Ь7 С1
в данной точке М (х, у, г) в исправлении радиуса-век¬
тора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна вели¬
чине градиенте.'1*
4417. Найти произвол ;ую поля и = l/г, где г =
= л/х2 -jr у2 г2, в направлении /{cos a, cos р, cos y}.
В каком случае эта производная равна нулю?
4418. Найти производную поля и = и (х, у, г) в на¬
правлении градиента поля v = v (х, у, г).
В каком случае эта производная будет равна нулю?
4419. Напие:лъ в ортах векторное поле а = е X
X grad и, если
u — atciK—— и c = i+j + k.
V*2+ Уг
4420. Определить силовые л;.кии векторного поля
а — xi -f yj -f 2 zk.
4421. Доказать непосэедственным вычислением, что
дивергенция вектора а не зависит от выбора прямо¬
угольной координатной системы.
4422. Доказать, что div а(М) = iim —f j а„ dS,
d <S)-»0 V s
где 5 — замкнутая поверхность, окружающая точку М
и ограничивающая объем V, п— внешняя нормаль к по¬
верхности S, й (S) —диаметр поверхности S.
44 >2.1. Найти дивергенцию поля а=~ —
в точк-.4 М (3, 4, С). 4evy приближеичо par,он поюк П
вектора а через бесконечно малую сферу (х — З)2 +
+ (у — 4)3 + (2 — 5)2 = е2?
4423. Найти
div
4424. Доказать, чю a) du (а -b b) = div а+ div Ь;
6} div (ис) = с drad и (с — постоянный вектор, и —ска¬
ляр); в) div (иа) = и div а -+- а grad и.
4425. Найти div (grad и).
i
J
к
д
д
д
дх
ду
дг
со2
476 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4426« Найти div Igrad f (г)], где г — -у/ х2 + у* + г2.
В каком случае div [grad f (/•)] = О?
4427. Вычислить: a) div г; б) div г/г.
4428. Вычислить div [/ (г) с], где с — постоянный
вектор.
4429. Найти div [ f (г) г]. В каком случае диверген¬
ция этого вектора равна нулю?
4430. Найти: a) div (и grad и); б) div (и grad v).
4431. Жидкость, заполняющая пространство, вра¬
щается вокруг оси Ог против часовой стрелки с постоян¬
ной угловой скоростью со. Найти дивергенцию вектора
скорости v и вектора ускорения w в точке М (х, у, г)
пространства в данный момент времени.
4432. Найти дивергенцию гравитационного силового
поля, создаваемого конечной системой притягивающих
центров.
4433. Найти выражение дивергенции плоского век¬
тора а = а (г, ф) в полярных координатах г и <р.
4434. Выразить div а (х, у, г) в ортогональных кри-
волинеиных координатах и, v, w, если д: = /(«, v, w),
У = g (и> v< w)> z = h (и, v, w). Как частный случай
получить выражение div а в цилиндрических и сфериче¬
ских координатах.
Указание. Рассмотреть поток оектора а через беско¬
нечно малый параллелепипед, ограниченный поверхностями
и — const, и = const, w = const.
4435. Доказать, что: a) rot (а + Ь) = rot а + rotftj
б) rot (не) = и rot а -+- grad (и х а).
4436. Найти: a) rot г; б) rot [/ (г) г].
4436.1. Найти величину и направление rot а в точке
М (1, 2, —2), если а— -У- i + — j+ — к.
г х у
4437. Найти: a) rot cf (г); б) rot lex } (г) г] (с—
постоянный вектор).
4438. Доказать, что div (а х Ь) = Ь rot а —a rot b,
4439. Найти: a) rot (grad «); б) div (rot а).
4449. Жидкость, заполняющая пространство, вра«
щается вокруг оси I (cos a, cos р, cos y} с постоянной
угловой скоростью «о. Найти ротацию вектора линейной
скорости v в точке пространства М (х, у, г) в данный
момент времени.
4440.1. Найти выражение ротации плоского вектора
а — а (г, ф) в полярных координатах г и ф.
% 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 477
4440.2. Выразить rot а (х, у, г) а) в цилиндриче¬
ских координатах; б) в сферических координатах.
4441. Найти поток вектора г:
а) через боковую поверхность конуса х2 + у2 < г2-
(0 < 2 < А);
б) через основание этого конуса.
4442. Найти поток вектора а = iyz +jxz +kxy: а) че¬
рез боковую поверхность цилиндра х2 + у2 < а2 (0 < z <
< А); б) через полную поверхность этого цилиндра.
4443. Найти поток радиуса-вектора г через поверх¬
ность 2=1 — -у/х2 + у2 (0 < 2 < 1).
4444. Найти поток вектора а = x2i + y2j -\-z2k через
положительный октант сферы х2 + у2 + z2 = 1, х > 0,
у > 0, г > 0.
4445. Найти поток вектора a — yt+zj+xk через
полную поверхность пирамиды, ограниченной плоско¬
стями х = 0, у = 0, 2 = 0, х + у + 2 = а (а > 0).
Проверить результат, применяя формулу Остроград¬
ского.
4445.1. Найти поток вектора а = хЧ + y3j + z3k
через сферу х2 + у2 + г2 = х.
4446. Доказать, что поток вектора а через поверх¬
ность S, заданную уравнением г = г (и, у) ((и, v) 6 Q),
равен
fbMSC-s-sO**
s а
где а„ = ап и п — единичный вектор нормали к по¬
верхности S.
4447. Найти поток вектора а — mrlr3 (т— постоян¬
ная) через замкнутую поверхность S, окружающую на¬
чало координат.
П
4448. Найти поток вектора а (г) = ^ grad ^ —4^~) *
1=1
где е( — постоянные и rt — расстояния точек М( (источ¬
ники) от переменной точки М (г), через замкнутую по¬
верхность S, окружающую точки Mt (i = 1, 2, . . ., п).
4449. Доказать, что И ^tds
S V
где поверхность 5 ограничивает тело V.
4450. Количество тепла, протекающее в поле темпе¬
ратуры и за единицу времени через элемент поверхности
•-Ш
V2u dx dy dz,
478 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
dS, равно dQ = —kti grad и dS, где k — коэффициент
внутренней теплопроводности и п — единичный вектор
нормали к поверхности 5. Определить количество тепла,
накопленное телом V за единицу времени. Используя
скорость повышения температуры, вывести уравнение,
которому удовлетворяет температура тела (уравнение
теплопроводности).
4451. Находящаяся в движении несжимаемая жид¬
кость заполняет объем V. Предполагая, что в области V
отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение нераз¬
рывности.
+ div (pz>) = О,
at
где р = р (.V, у, г) — плотность жидкости, v — вектор
скорости, t — время
Указание. Рассмотреть поток жидкости через произ¬
вольный объем <■>, содержащийся в V.
4452. Найти работу вектора а =г вдоль отрезка вин¬
товой линии г = ia cos t + Ja sin t 4- kbt (0 < / <2я).
4452.1. Найти работу поля a — — i + —JJr — k
у г x
вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки
М (1, 1, 1) и N (2, 4, 8).
4452.2. Найти работу поля а = icll~2 4- je2~x 4-
4- kex~u вдоль прямолинейного отрезка между точками
О (0, 0, 0) и М (1, 3, 5).
4452.3. Найти работу поля а = (у + z) i + (2 4- x)j 4*
+ (х + у) к вдоль кратчайшей дуги большого круга
сферы хг + уг + гй = 25, соединяющей точки М (3, 4, 0)
и N (0, 0, 5).
4453. Найти работу вектора а = f (г) г, где / — не¬
прерывная функция, вдоль дуги АВ.
4454. Найти циркуляцию вектора а = —yi + xj 4*
Ч- ck (с — постоянная): а) вдоль окружности х* 4- уъ =»
= 1, z = 0; б) вдоль окружности (* — 2)2 4- у2 = 1*
г = 0.
4455. Найти циркуляцию Г вектора а =»
«= grad ^arctg —^ вдоль контура С в двух случаях: а) С на
окружает ось Ог; б) С окружает ось Ог.
§ 17. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ поля 475)
4455.1. Дано векторное поле
а = —y—l
л/г л/г
Вычислив rot а в точке М (1, 1, 1), приближенно
найти циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой ок¬
ружности
(х-1)2 + (у-1)2 + (г-1)2=е2, j
(х— 1) cos ос + (у— 1) cos р + (г— 1) cos у= 0, (
где cos2 а + cos2 |3 + cos2 7=1.
4456. Плоский установившийся поток жидкости ха¬
рактеризуется вектором скорости
W = и (х, у) I + V (х, у) j.
Определить: 1) количество жидкости Q, протекающее че¬
рез замкнутый контур С, ограничивающий область S
(расход жидкости); 2) циркуляцию Г вектора скорости
вдоль контура С. Каким уравнениям удовлетворяют
функции и и v, если жидкость несжимаема и поток без¬
вихревой?
4457. Показать, что поле
а = уг (2* + у + г) I + хг (х + 2у + z)j +
+ ху (х + у + 2z) к
— потенциальное и найти потенциал этого поля.
4457.1. Убедившись в потенциальности поля
д _ 2 ^ х . х £
~ (У + 2)1'2 (У + Zf2 (i1+Zf2 ’
найти работу поля вдоль пути, соединяющего в положи¬
тельном октанте точки М (1, 1, 3) и N (2, 4, 5).
4458. Найти потенциал гравитационного поля
создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
4459. Найти потенциал гравитационного поля, со¬
здаваемого системой масс rtic (i = 1, 2, . . ., п), поме¬
щенных в точках Mi (С =1,2,..., п).
4460. Доказать, что поле а = f (г) г, где / (г) — од¬
нозначная непрерывная функция, является потенциаль¬
ным. Найти потенциал этого поля,
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ I
ОТДЕЛ I
16. 0; 1. 17. —л/2\ л/2. 22. — 1,01 <*<—0,99. 23.
<—8; JQ&12. 24. х< —. 25. 0<х< —. 26. |дс|<6.
2 3
27. х> -. 28. L<*<JL, 29. ■ 5~ А/30. <JC<
2 2 2 10
5 —V20 5 + V20 ^ 5+V30 п
< ^ j —-!—^ <х<—-— . 31. Второе.
10 10 10
82. Два знака. 33. Не превышает 0,41 %. 34. 9,9102 см* <
<S< 10,0902 см2; Д<0,0902 см2; 6 <0,91 %. 35. 3,93 гс/сма±
tfc 0,27 гс/см8; б <7,3 %. 36. 6^3,05 %, 87. 172,480 м3 <
< с sg: 213,642 м8; t> = 192,660 м3 ± 20,982 м35 6 « 12 %.
38. Д<0,17мм. 39.Д<0,0005 м.42. a)W>—; б)
р, Vе
lg —-
1+-i^; г) ” ““‘‘Т-,3-а) ^
Q в) iV^ 10*°. 46. 0. 47. 0. 48. 0. 49. -i-,
60. ■ 1 ~Ь . 51. —. 52. —. 53. —. 54. —. 65. 3.
I—а 2 2 3 3
66. 1. 67. 2. 67. а) второе; а) первое; в) второе. 72. 6 =
2,71828 ... 92. Равен 1, если аф 0 и принадлежит [ — I,
!], или не существует, если 0 = 0. 96. х9 » 1—. 07. дп0о =
8
I 10001000
в _L. 98. х1000 = ~ 10QQ1— ^ 2,49‘ 1°4"2‘ *4==*Б= 120‘
100. х10 = 20. 101. 0; 1; 1; 1. 101.1. —3—; 5; —2; 2.
2
162. — 1; 1—; 0; 1. 103. 0; 2; 0; 2. 104. —4; 6{ -4} в.
2 ’
ОТВЕТЫ 481
105. —; II —1 Ю6. — оо; + оо; — оо; + оо.
2 2
107. —оо; — 1; —оо; —оо. 108. 0; + оо; 0; оо. 109. —оо;
+ оо; — оо; + оо. МО. —5; 1,25; 0; 0. 111. —^
112. _^s+_i—в+1. 113.0» 1. 114. 1; 2. 115. 0;
1. 116. 0; 1. 117. 1; , . . ;0. 118.Все вешест-
2 3
венные числа, заключенные между 0 и 1, включая последние,
119. 1, 5.120. a; bt 127. а) расходится, б) может как сходить¬
ся, так и расходиться. 128. а) нельзя; б) нельзя, 129. Нет.
130. Нет. 144.а)0; 6)0. 147. In 2. 148.-L (а+ 2ft). 151. -оо<
<дс<+оо, хф—1. 152. — оо<,х^—л/з и 0<*< V3.
153. — 154. а) |#|>2; б) дс>2. 155. 4h‘W ^ х <
< (2ft + I)2 п» (ft - 0, 1. 2, . . .). 156. и
-j (4ft - 1) < | *| < д/y (4* + 1) (A - 1, 2, • . • )•
i57. —!—<*< —— и ——!—<*< !— <ft=
2ft + 1 2ft 2ft + 1 2ft + 2
=0, 1. 2, . . .). 158. *>0, хфп (/t=l, 2, . . .). 159. -<
3
<*<1. 160. |*-йя|< — (ft = 0, ±1, ±2, . .
6
161. <*< lO^+V2)* (ft=0, ±1, ±2, . . .). 162. x—
= —1, —2, —3, ... и x^0. 163. x<0, хф— n(n — 1,
2. . . .). 164. 1<*<£2. 165. * = —, 1, —, 2, . . .
2 2
165.1. дс > 4. 165.2. ftn-b— <*<ftn+ — (ft«=0, ±1. . . .).
4 2
165.3. и — . 166. — 1 < x sc 2; 0<
3 3 2
<!/< 1 _L. 167. 2kn + —<*<2йя -J-— (ft = 0, ±1,
2 3 3
±2, • . .); — oo <3 у < lg 3. 168. — oo < x < + oo; 0 ^
<л. 169. 1 <*< 100; —, 170. x = p
2q+ 1 *
16 Б. П Демидович
482 ОТВЕТЫ
где о и q — целые числа; у « ± 1. 171. Р = 26 +2^1 *
(О < х<Л); 5 = Ьх ^1 (0 < х < Л). 172. а =
= ^ 100 — 96 cos х (0<*<л), 5 = 24 sin д: (0<х<я). 173. 5=
л 9. a — b с , / a — b \
= х2, если 0 < х < ; S = h [ х |,
д — b 2 V 4 У
а — 6..а+6 с uf aJr b (а — х)2
если <дс< !—; S--Ut- —х ’
2
если ^ х ^ а. 174; m(x)=0, если — оо<*^0; m (х)=
= 2xt если 0 < х ^ 1; т(х)<= 2, если 1 <5 х < 2; m (jc) = 3,
если 2 < * < 3; т (х) = 4, если 3 < *< + оо. 178. Еу = {0 <
<«/< 4). 179. £у = {1<0<3). 180. £у = {0 < у < 1}.
18!. £,,= {l^|i/|< +оо}. 182. Еу*=* {1 <2}. 183. а<
<у<Ь при с<6 и Ь<^у<Ца при а >6. 184.
>«/> — оо. 188. 0<у < — и — <«/<2. 189. 0; 0; 0; 0;
2 2
24. 190. 0; —6; 4. 191. 1; 1; 1; 2. 192. —1; 0; 1; 2; 4.
, 1 + * — х 2 х—\ 1 + *
190. 1, — f — » » 1 # •
1— х 2+х \ + х *+1 1— X
194. a) f(x) = 0, если х = — 1, х — 0 и х = 1; / (*) > О, если
— оо<*< —1 и 0 < л: < 1; 1(х) <0, если —1<*<0 и 1<
<дс<+оо; б) [ (х) = 0, если х = ±—; /(х)>0, если
k
« < ^ < —— и <*< - (6 = 0, 1,
2k + 1 2k 2k + 1 2k+ 2
2, . . .); t (*) < 0, если ! < x < ? и —<x<
2k + 2 2* + 1 2k
< — ^ p (fe = 0, 1, 2, . . .); в) f (x) = 0, если x < 0 и
jkhI; /(*)>0f если 0<*< 1; /(лг)<0, если 1 <*< + оо.
195. a) a; 6) 2* + ft; в) a*- - 1 . 197. /(*) = — x — 2;
Л 3
f (1)=; /(2) =.2A. 198. /(*) = -!_*» + JL*+1;
О о 0 0
jf(_l) = _A. / (0.5) =■ 2 . 199. f(*) = -i2-*3__Z_*,_
ОТВЕТЫ 483
OQ
— jc+ 2 200. f(JC) = 10+5.2* 203. а)2£я<*<я +
6
«+ 2/ея (k «= 0, ± 1, ± 2, . . .). б) 1 < x < e; в) x > 0, x Ф
Фк(к = 0, 1, 2, ...). 205. a) z~x+j/; б) г ^
") г = -?+у ; Г)г=_£±£_. 206. ф(ф(х)) = х<;
1 — ху 1 + ху
ф № (а:)) = 2**; <р СФ (х)) ~ 2«; ф (ф (ж)) = 2*’. 207. <р (ф (ж)) =
= sgn х; ф (ф (*)) = х(хф 0); ф (1|> (jc)) «» ф (ф (х)) = sgn х (х Ф
ф 0). 208. ф (Ф (*)) ~ ф (х); ф (ф (х)) «= ф (х); ф(ф(х)) =
= ф(ф(х)) = 0. 209. х{хфЪ, хф\). 210. М*)=*
— . 211. хг —5х + 6. 212. х2 — 2^|х|
лЛ +' 2
213. 1 + V н- X2 213.1. f(x) = f—-—Y. 221. а) Воз-
х * V 1 —х /
растает при а>0 и убывает при а <50; б) при а>0 убывает
в интервале ( 001-у- ) и возрастает в интервале (-А +оо);
в) возрастает; г) при ad — bc$> 0 возрастает в интервалах
оо, —^ и ^ — , +<»^; Д) возрастает при а £> 1
и убывает при 0<3а< 1. 222. Можно, если основание лога*
и — 3 _
рифмов больше 1. 224, — (— оо <у< +оо). 225. а) —
(0 < + оо); б) л]у (0^<Ч- оо). 226. 1-~У- {уф- 1).
1 + !/
227. а) — V1 — У2 (0sQ/<l); б) лЛ — г/2 (0<!/<1). 228. Arsh 1/=*
■= In (^ + У1 + ) (— оо < */ < + оо). 229. Arth ^ ^
— — In 1 у (— 1 < у < 1). 230. х = у, если — оо<у<1;
2 1 —у
если 1 < ^ < 16; JC« log2 у, если 16<у< + оо.
231. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) нечет*
пая, 233. а) Периодическая, Т = 2я/Х; б) периодическая,
Т ~ 2я, в) периодическая, Т = 6я; г) периодическая, Т = я|
д) непериодическая; е) периодическая, Т = я; ж) непериоди*
2 1
ческая; з) непериодическая. 241. / = 1 — с, *■=» — 3— м.
Ъ Аос — Ь2 . х2
243. *о= , Уо d . 244. t/ = х !
2а 4а 36 000 1
16*
484 ответы
9 км; 36 км. 251. х0 — ; у0 = — . 252. р — (v >
с с v
, a axb — abx с 6, . .
>0). 263. Л = 1 m и , п = —
flj Д| aj
—aM, х0= — . 264. 287. Л « У a2 + 62 ; sin *0=
ct х2
*= — t cos *0 => . 356. у вв 2 sin х% если | х — л/г | ^ — *
А А 6
и у — (— 1)*, если — < | х — лк | < (/г = 0, ±1, ±2, . . .).
6 6
357. а) у — (х -Ь I * I); б) и в) у « ха, если х > 0; у = 0»
если де<0; г) у=х, если дг<0; у = дг4, если *>0. 358. а) </=
= 1; б) у = 1, если 1 ^ | дс) ^ л/3 ; у = 0, если |х| < 1 или
1*1 >л/з"; в) у = если у = 2. если Ijc|> 1; г) у=
=—2, если |х|>2; «/ = 2—(2 — хг)г, если |х|^2. 359. При х<
< О имеем: а) 1) / (дс) = 1 + х, 2) / (х) •= — (1 + дс); б) 1) / (дс)=
= — 2х — дс2, 2) / (дс) = 2х + ж2; в) 1) f (х) ■= V — х, 2) / (х) =
= —У—*; г) 1) /(х) = — sinx, 2) /(х) = sinх; д) 1) /(х) =
«= «г* 2) / (х) = — г'*; е) I) f (х) = In (— х), 2) f (х) =
= — In ( — х). 360. а) х = —; б) х = —• в) х = ———;
2 а 2 2
г) х «■» Ая (А = О, ± 1, ± 2, . . .). 361. а) (х0 ах0+ 6), где х0—
(d а \ Ь
* — ); в) (х0, у0)> где х0 —
с с J 3 а
и у0 = ах£+ bxl+ сх0 + d; г) (2, 0): д) (2, 1). 372. Корни:
— 1,88; 0,35; 1,53. 373. 2,11; —0,25; — 1,86. 374. 0,25;
1,49. 375. 0,64. 376. 1,37; 10. 377. —0,54. 378. 0; 4,49.
379. xi =—0,57, i/i =* — 1.26; х2 = — 0,42, у2 = 1,19; х3 =
= 0,45, у3= 0,74; х4 = 0,54, у4= —0,68. 380. Xj = — 1,30,
уд = 9,91; ха = 2,30, у2 = 9,73; х3= —0,62, у3 =■ —9,98; х4 =
= 1,62, ^4= —9,87. 382. а) Вообще говоря, нет; б) да,
385. Ограничена сверху и неограничена снизу. 387. / (а) и (Ь).
388. 0; 25. 389. 0; I. 390. 0; 1. 391. 2; + се. 392. — 1;
1. 393. — V2; V2 . 394. -Ь; 4. 395. а) 0, 1; 6)0; 2.
396. 0; 1. 397. а) 8; б) 0,8; в) 0,08; г) 0,008. 398. а) я;
6) л; в) я; г) я. 411. а) 1; б) —; в) —. 412. 6. 413. 10.
3 2
__ п (W-H)
114. m). 415. 5“б. 416. 417- п 2
1
— •
485
422. .
4
3
1
425. -2L.
24
n
m — n
. 429. xA
ОТВЕТЫ
418. 419. —. 420. 1. 421,
2 2
423. (±J. 424. U_. 424.1.
426. .n(n-l±a»-\ 427. "("+ 1) . 428.
2 2 2
-f—. 430. х^+ахА- —. 431. 1. 432. —. 433. 3
2 3 2
434. —. 435. 1. 436. ——. 437. —. 438. —2 439. —— .
3 д/2 3 л] 2а
440. L, 441. __L_. 442. -L. 443. —. 444. —
16 144 4 5 п
445. —2. 446. —. 447. 448. —. 449. 4 —
4 27 2 27
450. —. 451. . 452. — 5-. 453. —+
36 2 m п т п
455. —. 455.1. —. 456. —. 457. — (о+6). 458. —
т 2 п! 2 2
459. L. 460. 1. 461. —. 462. 2. 463. —. 464. -
4 3 3 4
465. — (ai + a2+ . . . + a„). 466.2я. 467. 2п. 468. lim =
П а-*0
= оо, lim х2=—— . 469. а = 1, 6= — 1. 470. at = 1, =»
а~+ 0 &
= + _L(t = 1, 2). 471. 5. 472. 0. 473. (— 1)т-" — .
2 я
474. —. 474.1. 1. 474.2. —. 475. —. 476. 2. 477. 4
2 3 2
1 1 2
478. —. 479. 480. —. 482. cos д. 483. —sina
2 я
485. !—
sin2 а
(а Ф knt где k — целое). 486. S*n (а ф (2fe + 1) — , где
cos2 а 2
484. sec2 a ф (2Л+1) , А=0, ±1. • .
COS lZ
k— целое). 487. (афкя> где k— целое). 488. —sin a
sin2 a
486 ОТВЕТЫ
cos 2 а
494. 14. 495. —. 496. —24. 497.
Уз cos"a
ф (2k + 1)-j-, где k — иелое j.
500. —. 601. —. 502. л/2. 603. 0. Б04. 3. 505. 0.
3 12
506. а) ; б) -j- ; в) I. 507. 0. 508. 0. 509. 0. 510. 0.
511. 1. 512. е3. 513. 1. 514. 515. 516. 0, если ax<ia2\
+ оо, ес-ш а!>а2; eb\—b'Jau если а1 = а2- 517. е. 518. е*1.
519. 1. 519.1. УГ. 520. eciga (a=£kn—целое). 521. е3/2.
522. е~К 523. 1. 524. е~'К 525. е. 526. —[—. 527. е*+‘.
Уе
528. 529. 1. 530. 1. 531. —. 532. 0. 533. — . 534. —2.
а 5
635. JL. 536. — . 637. {^~ . 538. — . 539. (—V.
2 2 ж2 6 V. Ь )
540. 0. 540.1. п. 541. In а. 542. аа1п —. 543. а? 1п еа. 544 е\
е
545.—. 545.1. еР2—а*. 545.2.—. 545.3. —2. 546. е2.
3 Р
647. 1. 548. — а“-Р. 549. аь In а. 550. а* In2 а. 551. е~(а+ь).
Р __
552. In х. 553. In*. 554. Vb. 555. Vой- 556. у^абсТ
557. (а^б^Иа+Но. 558. 559. (In-V' • 560. аа°1па.
^ ъ)
561. а) 0; б) —. 562. In 8. 563. — In 2. 566. а) — • б) — .
In 2 2 2
ОТВЕТЫ 487
589. 1. 590. е2/я. 591. 0. 592. 0. 593. а) + оо; б) — .
2
594. а) — 1; б) 1. 594.1. In — . 595. а) — • б) — .
а1 2 ’ 2
596. а) 1; б) 0. 597. а) 0; б) 1. 600. 2; 1; 2. 601. 0; (— 1)п-‘;
( —1)л. 602. 0. 603. 1. 604. 0. 605. 1. 606. 0. 613. б) у = 1,
если |*| <1; у z= 0, если |х|=1. 614. б) у = 0, если 0^х<1;
у = —! если х = 1; у~ 1, если 1 <х< + оо. 615. у = — 1,
2
если 0< |ж| < 1; */=>(), если |х| = 1; </ = 1, если |х|>1.
616. «/= \х\. 617. у = 1, если 0 < х <; 1; у = х, если х>1.
у2
618. уя 1, если 0<дс^ 1 \у = если 1 <*<2; ,если
2
х>2. 619. 1/ *= 0, если 0 ^ х < 2; у — 2 У2, если х =■ 2; г/ = х2,
если X > 2. 620. б) ~ 0, если хФ(2к+\) — ; г/ = 1, если
2
*= (2ft + 1) — (А = 0. ± 1, ± 2; . . .)■ 621. у= In 2, если 0<
2
< * < 2; у = 1пх, если х> 2. 622. I/ «■ 0, ссли — 1 < х <; 1; */ =
= (х — 1), если х> 1. 623. у = 1, если jc — 1*, у = ex+lt
ес!и х> — 1. 624. у*=х при х<0; «/ = —- при х = 0; 1
при х> 0. 625. — . 625.1. у = Ух при 0 ^ х < 1 и 4/г — 1 <<
<*<464-1*. t/=x при 4ft — 3<x<4fc — 2 и 4/е — 2 < д: < 4/е —
— 1; у = (У* + х) при х=2Дг—1 (£ — 1, 2, 3, . . .). 625.2. у —
= 0, если х—рационально; у = х, если х — иррационально.
625.3. Контур квадрата max{|xl, | £/1} = 1. 627. а) х=1; х=—2,
у—х~\\ б) Г/=Х“|—— при х-+-\-оо, у— — х — при х ->
2 2
-V- — оо; в) у = х; г) £/ = х при х ->- + оо, £/ = 0 при х-*
3
-*■ —оо; д) у = 0 при х ——оо, у = х при х-v -f оо; е) */=>
= * + — . 628. 0 . 629. . 630. -Sln * . 632. — .
2 1—х х 6
633.—. С34. — In а 635. Л/ё. 636. е~“21*. 637. — (1 +
2 2 2
-f УТТ4я). 637.1. —. 637.2. —. 637.3. —.
3 1 — а 2
488 ОТВЕТЫ
638. <y/T+lc — 1- 639. 1 — V1 — х . 641. а) 2; б) + оо; в) О,*
г) 1; д) 2; е) 1; ж) 2sh 1. 643. а) / « — 1, L — 2; б) / — — 2,
L » 2; в) / = 2, L = e. 644. а) I = — 1, L = 1; б) / = О, L =
= + оо; в) / = — , L = 2; г) / О, L «=. + оо. 645. а) Пер-
2
вого порядка; б) второго; в) первого; г) третьего; д) третьего}
е) третьего. 653. а) 2х; б) х; в)~^—; г) . 655. а) 3 (х — l)2s
б JlnJiJL. В) х— j; г) е(х — 1); д) х — 1. 656. а) х2;
V 2
б) 2х2; в) л2/3; г) л1/8. 657. а) j ; б) J 2;
«~КтГ‘ Чт)'- «“•■> т(4г>
/к f 1 V'2 1 / 1 \1/3 I I
б)V2X( — ) ; в)— (- ) ; ;
\ 1 — X J \ 1 — X ) Я 1 — X
д) ! . 663. а) 9,95<х< 10,05; б) 9,995<*< 10,005;
X — 1
в) 9,9995 <х<3 10,0005; г) У100 — е <*<УЮ0 + е. 664. Д<2
а) Д<33,7 мм; б) Д<0,37 мм; в) Д <0,037 мм.
665. 100 [1 — 10-(Л+1)]2<ж< 100[1+ 10-<п+1>]*; а)81<*<121;
б) 98,01 <ж< 102,01; в) 99,8001 <3л:< 100,2001; г) 99,980001<
<х<3 100,020001. 666. б = min (——, Л. 667. 6= Ы° я*
V И ) l + e*o
«0,001^; а) |б да 10—5; б) 6 да 10~7; в) 6 да 10~9. Нельзя.
669. а) Нельзя; б) можно. 671. Нет; ограниченность в точке
х0. [672. Нет; если функция / (х) определена в конечном про¬
межутке (а, Ь)% то эти неравенства выполнены всегда; если
по меньшей мере а или b равно символу оо, то lim |/ (*)| =
Jt~>oo
= + оо. 673. Нет; однозначность и непрерывность обратной
функции. 675. Непрерывна. 676. Непрерывна, если А = 4,
и разрывна при х = 2, ес-пи А Ф 4. 677. Разрывна при х=
= —1. 678. а) Непрерывна; б) разрывна при х — 0.
679. Разрывна при х = 0. 680. Непрерывна. 681. Непрерывна*
682. Разрывна при х = 1. 6#3. Непрерывна при а = 0 и раз¬
рывна при а Ф 0. 684. Разрывна при х = 0. 685. Разрывна
ири х = k (k — целое). 686. Разрывна при х = k2 (k = lt
2# • . ■). 687, х = —1 — точка бесконечного разрыва, 688, х =
ОТВЕТЫ
t= *_1 — устранимая точка разрыва. 689. х = —2 и х = 1 —
точки бесконечного разрыва. 690. х = 0 и х = 1 — устранимые
точки разрыва; х = —1 —точка бесконечного разрыва.
691. х = 0 — устранимая точка разрыва; х *= Ля (Л = ± Ь
d: 2, * , .) — точки бесконечного разрыва. 692. дг = ± 2 —
устранимые точки разрыва. 693. * = 0 — точка разрыва 2-го
рода. 694. х = — (k = ± 1, ±2, . « — точки разрыва 1-го
k
рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 695. х = 0 и х =»
2
= — ^ (Аг = 0„ ±1, , . — устранимые точки разрыва.
696. х = 0 — точка разрыва 1-го рода. 697. * = 0 — устрани*
мая точка разрыва. 698. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
699. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = 1 — точка беско¬
нечного разрыва. 700. х = 0 — точка бесконечного разрыва}
х = 1 — точка разрыва 2-го рода. 701. х = (Л = 0, ± 1,
it 2, ., .) — точки разрыва 1-го рода. 702. х = k (k *= 0, ± I»
±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода. 703. х = 6 (А «= ±1в
d: 2, • . — точки разрыва 1-го рода. 704. Функция непре¬
рывна. 705. х = ± V" (я *= 1, 2, « , - точки разрыва 1-го
рода. 706. х = — (k = ±1, ±2, , , ,) — точки разрыва 1-го
k
рода; х = 0 — точка бесконечного разрыва. 707. х = — (fe =
k
= ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 — устра*
2
нимая точка разрыва. 708. х = (£=0. ±1. ±2. . . Л—.
(2k + 1)я '
— точки разрыва 1-го рода; х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
709. х = dr— и х =± —!— (Л 1, 2, , , .) — точки раз-
* V*
рыва 1-го рода, х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 710. х ■■
*= — (= ± 1, ± 2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х =■
k
2
— О — точка разрыва 2-го рода. 711. х=* (k = Oj
(2k + 1) я
ifc 1, ±2, < * .) — точки бесконечного разрыва; х =“ 0 — точка
разрыва 2-го рода. 712. х = ± л/п (п = 1, 2, , , .) — точки
разрыва 1-го рода. 713. дг = 0, х = 1 и х= 2 — точки разрыва
1-го рода. 714. х *= kn (k = 0, it 1, ±2, . . .) — точки бес¬
конечного разрыва. 715. x = У/ел (k = 0, 1,2, . . .) —
точки бесконечного разрыва. 716. х = —1 и х *= 3 — точки
490 ОТВЕТЫ
бесконечного разрыва. 717. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
718. х= 0 — устранимая точка разрыва. 719. х = ± 1 —
точки разрыва 1-го рода. 720. у= 1, если 0 дс < 1; у =
= —, если х — 1; у — 0, если х > 1; х — 1 — точка раз-
2
рыва 1-го рода. 721. у = sgn х\ х = 0 — точка разрыва 1-го
рода. 722. у = 1, если |дс|< 1; У = я2, если |дс|>1. Функ¬
ция непрерывна. 723. у = 0, если х Ф Ал; у = 1, если х =
= Ая (A = 0, ± 1, ± 2, • . .); дс = Ая — точки разрыва 1-го
я х
рода. 724. у = если |дс — Ал | < —; у =— , если х =
6 2
«= /гя ± — ; у = 0, если — < | * — Ая | < (Л = О,
6 6 6
± 1, • . 0; # = Ая ± — точки разрыва Ьго рода. 725. {/=
6
*= — х. если Ал < х < Ая + ; у =« — дс, если Ая +•
2 2 1 2
•+- — < дс < Ая + я; у — 0, если х = Ая + — (А = О,
2 2
Ая
± 1, • , .); х = — точки разрыва l-ro рода. 726. у = д»
при х < 0; у = х2 при х > 0. Функция непрерывна. 727. t/ =
е= 0 при х ^ 0 и у = х при х > 0. Функция непрерывна*
728. у — — (1 + х) при х < 0; у = 0 при дс = 0 и у = 1 +
+ х при дс > 0; дс = 0 — точка разрыва 1-го рода.
729. Нет. 730. а — 1. 731. а) Функция непре¬
рывна; б) х = —1 —точка разрыва 1-го рода; в) х— —1 —
точка разрыва l-ro рода; г) дс = А (А = 0, ± 1, ±2, . . .) —
точки бесконечного разрыва; д) хф А (А = О, ±1, ±2, . . .)
— точки разрыва 2-го рода. 732. d = —х при — оо < х < 0;
3
d = 0 при 0 ^ дс ^ 1; d = х — 1 при 1 < дс d — 2 —я
3
при — < дс < 2; d — 0 при 2 < дс < 3; d = х — 3 при
У2
3 < дс < +оо. Функция — непрерывна. 733. S = Зу — V
1 5
при s =» — -j-2y при 1 <1/ <2; S = — -\-у при
2<*/^3; S = при 3<у<+оо; функция — непрерывна,
Ь —3— у при 0 ^.у < 1; Ъ = 2 при 1 < у < 2; 6=1 при 2<
<*/^3; Ь = 0 при 3 < у < 4-оо; дс = 2 п х = 3 —точки раз¬
рыва l-ro рода 735. Разрывна при дс ф 0 и непрерывча при
х = 0. 737, Разрывна при всех отрицательных значениях и
ОТВЕТЫ 491
положительных рациональных значениях аргумента. 738.
I (0) = 0,5. 740. а) ,5; б) 2; в) 0; г) е; д) 0; е) 1; ж) 0. 841.
а) Да; б) нет. 742. а) Нет; б) нет. 743. Нет. Пример: f (х) =
= 1, если х — рационально» и / (jt) = — 1, если х — ирраци¬
онально. 744. a) t {g (х)) непрерывна, g(ft (*)) разрывна при х=0:
Q (*)) разрывна при л: = —1, х = 0 и * = 1t g (ft (*)) =0
непрерывна; в) f (g (х)) и g (£ (*)) непрерывны. 745. £ (<р (л:)) sa
— duA-b
759. x — ; a + d = 0. 760. x =» у — k% если 2k ^
cy — a
<y< 2ft+l (^«0, dr 1, ±2, . . .)•_ 764. f(f(x)) = x.
767. x= — д/f/ (0<(/< + oo); х=л!у (0 < у < + оо).
768. — Vl — У ( — oo x =* 1 + д/l — У ( —oo<
1 — V1 — У2
<У< 1). 769. x = — ( —
У
1 + д/1 —
= ^ — (0 <|(/|< 1). 770. jc = ( — l)ft arcsinу +
+ kn (k = 0, ±1, ± 2, . . . ) ( — 1 < 1). 771. x = 2kn±
± arccos у (k = 0, ±1, ± 2, . . .) (— 1 < у <; 1). 772. x =
= arctg у + kn (k = 0, ±1, ± 2, . . .) (— оо < у < + oo)4
776. 8 =0, если xy<l; e = sgnx, если xy> 1. 779. a) r/ =
я я
= » если —1^дс^0; у = 2 arcsin дс — — i если
0<х<1; 6) |/ = — (я + 4 arcsin дс), если — —-^=г*
1 1
у = О, если — у< лс < ; г/ = я — 4 arcsin х, если
1 я / я я \
-ЩГ 780.у=т-х (__<*<—j.
781. у= V*2-! 0<*< +оо);у= — У*2 — 1 (1<*+оо).
7S2. Для всех /, для которых ср (t) = х, где дс — произвольное
значение функции ф (/), функция ф (/) должна иметь одно и то
же значение. 783. Множество значений % (т) при а < х < 0
должно быть интервалом (я, b). 784. Для всех значений х, для
которых ф (х) = и, где и — произвольное число из интервала
(А, В), функция (дс) должна принимать одно и то же значение*
785. |6|< “"см. а) 0,5 мм; б) 0,005 мм; в) J),00005 мм.
20
1 5 е3
788. а) б < —б) б < 2,5-10"*; в) 6 < — .Ю”7; г) б < —-
4 2 4
(е<1). 793. а) Да; б) нет. 794. Равномерно непрерывна.
,95. Не является равномерно непрерывной. 796. Равномерно
ьепрерывна. 797. Не является равномерно непрерывной.
798. Равномерно непрерывна. 799. Равномерно непрерывна.
е
800. Не является равномерно непрерывной. 802. а) 6 = ~*
5
б) 6 = -|-; в) 6 = 0,01 е; г) б = е2 (е<1); д) 8 = -f;
О «
e) 6=min^-^-» — V 803. п > 1 800 ООО.
\ 3 3 -р Е /
6
t
492 ответы
е2
3+:
808. а) а/(6) <36; б) со/ (б)< Уб"; cof(6)< —=
V
в) (О, (6)< б л/2-- 818. f(*) =я cos ах или f (х) a ch ах,
819. / (х) = cos ах; g(x) = ± sin ах (а = const).
ОТДЕЛ II
821. Дх = 999; Ду «= 3. 822. Дх = — 0,009; Дг/ = 990 000.
823. а) Д# = аДх; б) Ду = (2ах + 6) Ах + а (Дх)2; в) Ду =*
= a*(a** — 1). 825. а) 5; б) 4,1; в) 4,01; г) 4 + Дх; 4.
826. З+3/i + Zi2; а) 3,31; 3, б) 3,0301; в) 3,003001; 3.
827. а) аср = 215 м/с; б) vcp = 210,5 м/с; в) уср =
= 210,05 м/с; 210 м/с. 828. а) 2х; б) Зх2; в)— “V (х=^0);
х2
г) “7^T(Jt>0); д) (^0): е)_^Г
(•* Ф (2й 1) f, . = 0, ±1.. . .); ж) L-
(хфкп, k=Q, ±1з) (1*1 d):
■> —VT^"'(|*|<1): к) Tib"* 829‘ _8: 0:0‘
830. 4. 831. 1 + ~ • 832. f (а). 834. y'=l—2x; 1,
4
0, — 1. 21. 835. у' = **+* — 2; а) —2; 1; б) — 1;
0; в) —4; 3. 836. 10а3*- б*4. 837. “
а + Ь
838. 2* — (а + Ь). 839. 2 (* + 2) (* + З)2 (3*2 + 11*+ 9).
840. * sin 2а + cos 2а. 841. mn [*m-1+*n_1+(m+n) *т+'*-1].
842. — (1 — *)* (1 — х2) (1 — дс3)* (1 + 6* -j- 15** + 14*3).
842.1. — 20 (17 + 12*) (5 + 2*)9 (3 — 4*)1». 843. — Г—Ц-Ч—+
\ х‘ х3
9 \ 2 (1 + х2)
-г) <**<»• :845- (1 _ху (|*|^1)-
2(1 — 2*) 1— *+4*а
846' ' (1-*+*У • 847‘ + (1Л^1)-
12 — 6* — 6*2 + 2*3 -f- б*4 — Зх5
848. 3-~ (*=?Ы).
(1 — *)3
rP-1 (I *)4-1
8S0-- [Р-(<?+1)*-(Р+9-1)*г] (*¥=-1).
ответы 493
851. 1 + '/— ■ +—r~ (*>0). 852. V —
1 Г1 2
(*>0). 853. +
Зх3/Т ' ’ Зу^Г
1 . 1 + 2х2
(х > 0). 854.
^ хт/Т х л/Г+^“~ •
855 .6 + 3,-b8^+4^±2,1+3^ (^3/—).
У2 + *2^(3+х3)2
85в. 8дл
859.
<« + т) П+У(1 - *)" (1-МГ ‘ (а2-*2)^
2л;2 ^ / 1 + *з
(|*|<|а|). 858. ■" у -{_х3 (\х]ФЦ.
' 860. * + 2 У* +4 VT -\/* + V^
(‘+'уя ' 8vW^v;V«+V^v;
(*>0). 861. -jr - з~ Л " ~ *
/ *2 (| + >лг)э
X— 1 — (*¥=0, хф — 1, хф — 8).
lAl + Vl + fc")
862. — 2 cos jc(1 + 2 sin x). 863. *2 sin x. 864.— sin 2x-cos (cos 2x).
865. л sin'^x-cos (rt + 1) x. 866. cos x•
2 sin x (cos x sin xa — x sin x cos x2)
• cos (sin *)*cos [sin (sin *)]. 867. a ^ ■
1 + cos2 x
(х2Фкпj k «=» I, 2, • • •). 868. ——2 sin3x (x¥=kni
я sin* / 2k— 1
k = Q, ±1, ±2...)- 869. CQsn+1-{** 2 *
2
871. —-—:
k — целое^ . 870.
(cos x + x sin x)2 „
(хфкп\ fc=0, ±1, ± 2, . » •). 872. l + tg6*^^
¥=(2/г+1)-“5 *=0, ± 1, • • •). 873. *■
^ 3sin4*|/ctg x
2x
— 16 cos
a / kna.
(x Ф knt k — целое). 874. — I x ф—-—*
a sin3
a
fe — целое), 875. — 3 tg2 x-sec2x-sin (2 tg3 x)-cos [cos3 (tg8*)]
494 ОТВЕТЫ
Ф + kn, k — целое^ . 876. — Ъхе-х*.
877. т 2tg l/x sec2 — In 2. 878. х2ех. 879. хЧ~х sin х.
X2 X
ех (sin х — cos х)
880. (х ф 26 л, k — целое).
2 sin2
1 + In2 3 ,
881 . — sin х. 882. д/а2+&г е“х s\n Ьх.
О
883. ех [1 + ее* (1 + еееХ)\. 884. у (in (* > °)‘
885. аа■ х?а-1 + 1п а + а*■ а?* 1пг а.
886. — lg е lg2 *г (х Ф 0). 887. ; —— (* > е).
X X In х In (In х)
6 1
888. (х>е). 889.
x\nxln(\n*x) К } (l + *)a(! + *2)
т. -л— т>1^ т. '
««ко. «и- -a(l + JrP) “>-»■
8951 VF+1~'‘ 896‘ M*+V**+i )•
897. In2 (jc + 898. У*2+<г2 . 899.
a — bx2
(w<Vt)' 9M-
901. — (0 < jc — 26я<я, /г — целое). 902. *
sin X COS X
x — 2kn | < ~Y * k — целое^ • 903. — ctg3 x (0 <
<x — 26л < л, k — целое). 904. (x Ф —^ ^ ■ л,
cos x \ 2
cos2 x
/г —целое). 905. —— (0<x —26д<я, k — целое).
sin3*
У fr2 — а1 1пз у
m 0+6 cos x • 907- J- (*><»•
1 , y _ 2x
ответы 495
1 + *+ — +ln —
X X
pin — — ■ ■ ■ — ■ ■■■ ■
0 +'ln'7)[' + ','"(i'+lni)]
fill. 2 sin (In x) (x>0). 912. sin X' In tg x ^0 < x — 2kn < 9
k—целое\ 913. 1 (\x\ < 2). 914. — - * .
' V4 — x2 Vl + 2x —Xя
(| * - 11 < V2). 915. -Jrr (® * °>- 9I6- , I о
X4 + a2 xa+ 2
917. — (*>0). 918. x arccos x (| jc | < I).
2(l + x) Vl-*a
-— (x > 0). 920. —
1 + * i*i V*a—i
2fe~1 „ ь_„л„„Л ООО 2sgn(sinjc) cos<
919. arcsin л / —2— (x > 0). 920. i (| x\ > I)
V ! + * |*|V?
(2k 1 \
x =7^ —-— я. Л—целое J . 922.
д/1 + COS2 X
x^knt k целое). 923. cg£_f_ /q<3x — £jt < —,
Vsin2x ^ ^
A — целое V 924.—sgn* -(OcUKl). 925. ?—(*¥=1).
) Vi - *a 1 + *a
926. 1 (x Ф—+Ы, k—целое') . 927. l- . 928.— —gn*
V 4 / a-\-b cos x 1 + xa
(ХФ0). 929. -* (|x| < 1). 930. 1 + **
-\/1 — x4 arccos3 (x2) 1 + xe
~
V*
931. —2cos x*arctg (sin x). 932. J (x>l),
2* л/x — 1 arccos — —
a2 4- b2 / 1
933. (*>—a). 934. д/a2 — *2 • 935.
(x+a) (*2 + 62) *3+l
{хф — 1). 936. 1 (|x|?M). 937. (arcsin х)я (| * | < 1).
x4 + 1
938. SJSS^JL (0< | X| < 1}. 939. -Xln* ; (x > 1).
x2 (x2—l)3/2
940. —'?■arcSin * (| x | < 1). 941.
(I-*2)3'2 x6+l { 1 V2
O'1* vf)-
496 ОТВЕТЫ
12jc9 1
642. — . 943. (*<1). 944.
<‘ + -12)а (1 - X) V* 2л/~х
<|х| < 1). 945. _ 1 (0<*<а). 946. — **
л] ах — х2 д/1 — 2х — х
<|х+11<У2). 947. 1- . 948. Sln2*
sin4 дс+ cos4*
, 2k — 1 - \ Л/|Л V \— x2 x
x Ф rt, k — цeлoeJ. 949. —
X In л/ -—— (I*|<1). 950. —— arctg *. 951. **
‘ + *a Vh^
952. * . 953. _sin a sgn (cos x cos a) ^ ^ ^ cos a).
2 (1 + x2) 1 — cos a cos x
654. 1 - (0 < | xl < 1). 955. _Vi±£_ (|*|=£
(x*— 1) У*2+2 ' " 1— x*
^ 1). 956. 4 -(Uld). 957. J*(cos**+sin^_
(1+ x2)2Vl — X* Vsin (2*2)
(o< i *| < <д/(+4“)я’ ft = 0, 1,...).
/ kft
858. 2x[sgn (cos x2) + sgn (sin x2)] f|*| Ф —— » k = 0, 1, 2,...).
959. -—j —• (arcsin*) CQS m (arcsin*) (1*1 < 1).
VI — x2
ex — \
060.
e^+i
960.1.
6
060.2.
V i + Vi+4/i+** ■ V (i+v i+^4 )2 ■ 4/o+*v
x3 cos —(sin —h cos —^-Л /4 / ctg —
*2 V *2 x2 J \ x2
плл о 21+In 2-sin In (sec 2 ^ x
060.3. - - - 961. \ + xxX
3 V*2 cos2 (2^ )
X (1 + In jc) + x*x*x + In x-\- In2 x^ {x > 0). 962. ха^1х*? X
ответы 497
X (1 + a In х) + Лса*^— + In a In x^+x*a** In а (1 -4-In х) (х>0).
063. х1/дг~2 (1 — In х) (х>0). 964. (sin x)1+cos х (ctg2 х— In sin х) —
— (cos x)1+sin x (tg2 x — lncos x) ^0<x — 2kzi<~ t k — целое^.
965. ■ <1п-*П [X— 2 In2 *+x ln X• ln (ln jc)] (* > 1). 965.1. j/'—
^In ДС+1
«=2у j arctg * In arcsin <sina *> | jretgg.r |~ sin *'s§n (cos *>
j 1+ *2 arccos (cos**) [ arcsin(sin2x)
cosx sgn(sinx) _ _Ц/ фЫ_ t ft = 0> ±, _ 4
arccos (cos2 x) дЛ + cos*2 x JJ ^
066. — (log* e)2 (x>0, х=тИ). 967. th3x. 968. — (x>0).
x sh3x
969. ? . 970. -Sgn *sh (x ф 0). 971. — ^Ach *_.
ch 2x ch x b-\-a ch x
sin 2x 2
072. . 973. ■■ arccos x« ln (arccos x)
VI + cos4 x V \ — *2
<|*| < 1). 974. — . 975. gfel!larc.sin(g-fL
4/0+W (1 - e-™?'2
Aa2X ]n д
(хфО). 976. — — arcctg a~x (a > 0). 977. a) sgn x (x^O);
(1 a2*)2
6) 2 |*|; в) — (**=0). 978. a) (*- 1) (*+1)2(5*- 1)sgn (*-f-l);
X
3 1
6)—sin2x«|sinx|; в) - (| x| > 1); г) я[х] sin2njc,
2 *V*2— i
979. у' = — \ при — oo<x<l; y' = 2x — 3 при!^х<2;
у1 = 1 при 2 <x< + oo. 980. y' = 2 (x — a) (x — b) (2x — a — b)
при x£[a, b]; y' = 0 при x£[a, 6]. 981. $/'=1прих<0;
у' =■ — при0<Гх<+оо. 982.$/' = ? при — 1<
I + x 1 + x2
<*<1; I/' = 1/2 при |x| > 1. 983. у' = 2хеГх* (l — x2) при
|*|<1; y'=Q при | лс|>1. 984. a) б) - — ?6*~±^*а+2*:!.
x (1—x2) 3x(l—x) (9—x2)
n
(*=^0, хф\, *#±3); в) V ———; г) —-Л ■
tt х~а‘ V1 + **
985. a) + +
У ф2 W + V (х)
498 ОТВЕТЫ
ф2 M + f (X)
> . . s.-w _тии|,
I <Р(*) ’PW Фа W J ^ (*) In ф (x)
<P' (x) _ Jnj>(*)_ 4 986 aj 2xf' (хгу, 6) sin Ix [/' (sin2 x) —
ф (x) In2 ф (jk)
—/' (cos2л:)]; в) ef {x) [exf (ex) + /' (x) f (e*)]; r) f' (x) f [[ (я)] x
ХГ {/I/Ml}. 986.1. 1 0001 988. 3x2 + 15. 989. 6xa. 992. a) n>
>0; 6) n > 1; в) n > 2. 993. a) n > m + 1; б) 1 < n < m+l.
994. ф (a). 995. f- (a) = — ф (a), f+ (a) = ф (a).
999, а) Недифференцируема при x= 1; б) недифференциру¬
ема при x = '~~~2 ^ я> ^“Ц€ЛОе1 в) Дифференцируема всюду?
г) недифференцируема при х = kn, k — целое; д) недифферен¬
цируема при ж«- — 1. 1000. fl (*) = f+ (х) = sgn х при хФО
и /1 (0) = — 1, (0) = 1. 1001. (х) = (*) = я [х] cos ял
при х Ф целому числу; /1 (k) = я (А — 1) (— 1)*, /+ (/г) = nk X
X (— 1)* при k целом. 1002. /1 (х) = /+ (х) = fcos — + — X
\ X X
Xsin —Ysgnfcos —^ при х ф (k—целое); /1 (—5—^ =»
х) V х) 2k+\ \2£+1/
= - (2k + 1) -у, /; (^Щ-) = (2* + 1)-j . ЮОЗ. /1 (ж) =
= jf+ (дг) с= - х C0S Х ■ при V2H" < IX | < V(2/г + 1) я (Л = 0, 1,
д/sin д:2
2, . ,.); f. (0) = — 1, /; (0) = 1; £ (У(2* + I) я ) = + оо,
(УВД = ± оо (Л = 1. 2, . . .). 1004. /1 (ж) = /; (ж) =
|+(|+т>,м
(1 + г1'*)2
д/1 — е~'
при хфО] /- (0) = 1. /+(0)=(0). 1005. /. (х) =
= /+(*) =—** - при *#0; /1(0)=—1, /+ (0) = 1.
1006. (’_ (*) = /V (*) — — , где е = — 1 при 0 <3 | х | 1 и е =
дс
= 1 при 1<| дс [<+ оо /1 (йй1)=— 1. /+(Т1)=1. 1007. /!(*) =
= /+ (*);=-2Sgin^'7*^ ПРИ хф ? 1; /1 (±1) = =Fl, /1(±1)=
1 -J- *а
ОТВЕТЫ 499
е= 3=1 1008. (х) = f\ (х) и arctg — при
+ *-2 (*-2)2 + 1
хф2\ (2) - ч=я/2. 1009.1. a) fl (0) = - 1/2, £ (0) = 1/2;
б) /1(1) =f'+ (1) = 1/2; в) (0) = /; (0) = 0. 1010. а = 2*0;
-х\. 1011. a = f. (дг0); b = t(x0)-x/_ (.к0). 1012. Л =
*iЧ- *, c==_ak2+bkl ' 1013>fl = _3»g.t 6=
(t; — а)2 Arx + «2 2с 2с3
1014. а) Можно; б) нельзя. 1015. а) Нельзя, б) нельзя.
1016. а), б), в) Функция F (х) может как иметь производную
F'(х), так и не иметь ее. 1017- х => /?я (k = 0, ±1, ±2, .. .).
1018. а) Не может; б) может. 1019. 1) Не обязательно; 2) обяза¬
тельно. 1020. Необязательно. 1021. Не следует. 1022. Не следует.
1023. Вообще говоря, нельзя. 1024. х ^~пх ;
О-*)2
1 + х — (п + 1)2хп + (2м2 + 2п — 1) хп+1 — п2хп+2
On —
(1 - X)*
пх . л+1
sin sin ■
0 2х
1025. Srt= = —
х
sin
2
х . 2я+1 . „ пх
п sin — sin х — sin2
2 2 2
i n
2 sin2-^-
2
n sh sh x — sh2
1025.1. S„ = ±b. 1026. Sn^
2sh2 —
2
= —— ctg —- ctg x, 1029. 40я см2/с. 1030. 25 m2/c; 0,4 м/с.
2n b 2n
1031. 50 км/ч. 1032. S (x) = -y- , если 0 < * 2; 5 (*) = x2 —
— 2x+2, если *>2; S' (*) = x, если 0^х<2; Sf(x) = 2x — 2,
если x > 2. 1033. S (x) ~ Yaa—r® + — arcsin
2 2 a
S' (x) » Va2 — *2 sgnx (0<lx|<a). 1034. tj = !
3 (</J -+- 1)
1 .4 ^ ^ ' *
1035. = , 103G. a) — oo<t/< + oo; x =
1 — E COS у X -h 1
6) — 00 < у < + oo, a*' = ; в) — oo < [/ < + oo,
У 1—Х+У
500 ОТВЕТЫ
г) — 1 < у < 1; х = —-— . 1037. а) хг *
VT+7 1-*1
= — V1 + V* — у ( — <“<?/< 1); х2— — V1 — VI — у
(0<{/< 1); дс3 — V1 — V1 — у (0 <«/< 1); *i — У*+ Vi — г/
( — оо < I/ < 1); х) = ——! — (/=1,2, 3,4). б) *! =
4* (1 —х2)
= — y\J х у_у (0<(/< 1); *2 = д/']'—у~ (0^у< I): =
(» = 1, 2); в) Xt = — In (1 + У1 — у) ( — оо<0<1)}
2t/:
* = in * +V» . ..У. (0<^ < 1); / = - ! (( «. 1 2).
2 у 1 2(е-х — е-**)
1038. ух = _-l(i + /); — 3; в (-4; 4).
'--л/ТУ
(1-УтУ — —
'VW-
,039- 1/ —/ Г-Чт (/>0, t Ф 1). 1040. у =. -1
(0<*<1). 1041. р' = ctg / (0 <| /1 < Jt). 1042. y'x = —X
a a
X cth / (|*|>0). 1043. y'= — tg 1^ф 2к^ 1 n, к — целое^.
1044. yx = ctg-j- (1ф 2kn, й — целое). 1045. t/'= tg / x
X 6^ + ^ “J- + *11* /=5* ' ,046' ^x = sgni
(0<m < + oo). 1048. y'= 1 ~~*~y ; —, L. 1049. .
* —у 2 2 у
-УТ- ~-t/T-
* ^ 1054. a) tg (ф + arctg ф); 6) — ctg ^ф ф О,
b2 x
1050. — . 1051
1053.
x — У
ф ф ± в) (ф + arctg—>055. а) у = ■/ 4 (лг-fl);
Ъ~2
у —(*+ 1); 6) у = 3, х = 2; в)* = 3, у — 0.
Ю5в. a) (y* 2Т): б) (0* 2)- ,058- 1^1 <-f- и -fL<
ОТВЕТЫ 501
<|x|<gjt. 1059. max | y\ — у j = Юл « 31,4. 10C0. «
1061. —; arctg — « arc 37°. 1062. arctg 2 VJ « arc 70°30'.
2 4
1063. n > 57,3. 1064. a) 2 arctg —; 6) — . I0C6. 1 — 1.
i a | 2 I a |
1068. 1071. 62 —4ac = 0. 1072. (—Y + f—V *= 0 .
lei V 3 J V 2 )
1073. a = —, 1077. а) 3* — 2y ~ 0, 2* + 3i/ ■--- 0; б) 3* — у —
2e
— 1 *э 0, x + 3# — 7 = 0. 1078. а) у «= дс. у = — х; б) Зх — у —
— 4 — 0, х + Зу — 3 =» 0; в) г/ = — х, у => х. 1079. у — 2а —
= (х—a/0)ctg—^-. Касательная к циклоиде перпендикулярна
к отрезку, соединяющему точку касания с точкой соприкоснове¬
ния катящегося круга. 1081. Зх + by — 50 = 0, 5х — 3у — 10,8 =
= 0. 1082. х + 2у — 3 = 0, 2х — у— 1 = 0. 1083. А/= (1) = Лдс -Н
+3(Дх)2+(Дх)3; df( 1)=Дх. а) 5, 1; б) 0,131, 0,1; в) 0,010301, 0,01.
1084. Дх = 20 Д/ + 5 (Д/)2» dx = 20Д^; а) 25 м, 20 м; б) 2,05 м,
2 м; в) 0,020005 м, 0,02 м. 1085. — (хфО). 1086. ——.
х2 а'1-г ха
Ю37. (|х|=На|). 1088. -dx- . 1089. - -sgnfl— dx
— °г V*2+а VaJ —
(| х | < I а I)- 1090. a) (1 + x) exdx; 6) xsinx&c; в)—
/ 2 — In * . . л. . xdx dx
(хФО); r) <fjc(x->0); д)—■ ; e)
2x -\fx Vfli! + **
(1 - Х1)л!г
9y Wу dx
(|*|< 1); ж) p—— (I * I < 1): з) (1*1 > D?
l“* xV*a-l
и)—^—(хф — + *я, ft — целое! ^ . 1091. vw du + uw dv -f*
cos3 x \ 2 J
• a vdu — 2и dv . , m и + v dv
+ uvdw. 1092. : (v^=0). 1093.
(и2 + и2)3/2
(а2 + * > 0). 1094. vdu~lldv- (u> + о» > 0). 1095. udu+u dv
u2 + V2 U2 + V*
(и2 + > 0). 1096. a) 1 — 4x3 — 3jc°; 6) cos* — V
2x2 V x )
в) — ctg x (x Ф kn, k — целое); r) — lg* x ^x Ф + knt k—це*
502 ОТВЕТЫ
лое^; д) — 1(|jc|< 1). 1097. а) Увеличится на 104,7 см2;
б) уменьшится на 43,6 см2. 1098. Увеличить на 2,23 см.
1099. 1,007 (по таблицам: 1,0066). 1100. 0,4849 (по таблицам:
0,4848). 1101. —0,8747 (по таблицам: —0,8746). 1102. 0,8104=
= arc 46°26' (по таблицам: arc 46°24/). 1103. 1,043 (по табли¬
цам: 1,041). 1104. а) 2,25 (по таблицам: 2,24); б) 5,833 (по
таблицам: 5,831); в) 10,9546 (по таблицам: 10,9545). 1105.
а) 2,083 (по таблицам: 2,080); б) 2,9907 (по таблицам: 2,9907);
в) 1,938 (по таблицам: 1,931); г) 1,9954 (по таблицам: 1,9953).
1106. 0,24 м2; 4,2 %. 1107. 6R ^ 0,33 %. 1108. a) 6g = 6£;
3*
б) бй = 2бг. 1109. 0,436. 1111. —-(?-+ 2-> ■. 1112.
(1 -гх*)Ч* (1 — jc2)5/2
(|*|<1). 1113. 2е-*‘ (2х2 — 1). 1114. --2?111* (хф 2к 1 я,
cos3 * \ 2
к = 0, ± 1, • • • V П15. —— 1-2 arctg ж. 1116. — к
) 1 + *2 (1 — JC2)2
(1 + 2дс2) arcsin jc^ 1и? щ8. f(x)f"(x)—f'2(x)
(1 — х2)*/2 х р (х)
(/(*)>0). 1119. — sin(lnx) (jc>0). 1120. у (0) = 1, у' (0) =
*
пп" «'2 „г2
«= I, у” (0)«0. 1121. 2(ыы*+ы'2). 1122. — - — —
(“»>»)• ..г», <-+-><■■«;
(м2 + а2)3/2
1124. у"=и* ■—+»' In «J + о + и. 1п „ j #
1125. у" = 4*2/" (я2) + 21' (х2); у'" = 8*3/'" (ж2) -f 12x/" (х2).
1М- -?~,'(т)+-^''(-г);
“ —"эт-
«= е2*/" (е*) + £ХС (ех); (/'" = е3*/'" (е*) + Зе**Г (ех) -}- ех1' (ех).
1128. «Г-— (Г (In*)-/' (In ж)]; ОМ-
* *J
_ 3/" (In *) + 2f (In *)]. 1129. у" = ф'2 (*) }" (Ф (*» +
+ ф" (*) Г (Ф (*)); у'"=--ф'3 (*) Г" Н (*)) + Зф' (ж) ф" (*) г (ф (*))+
+ ф" (*) Г (ф(*))- 1130. a) cxdx2\ б) ех (dx- -г d- х).
dx2 2 !n * — 3
|Ш* ~(1 + х,)3/2 • 1132. dx2(x> 0).
у'" =
ответы 503
1133. Xх £( 1 + In х)2 + - J- j dx2. 1134. udto + 2dado + vd2u.
(v d2u — и d2v) — 2dv (vdu — и dv) /
1135. - — 1 L(v>0).
1136. um~2vn~2 {[rn (m — 1) iMu2 + 2mnuvdudv + n (n — 1) u2dv2\-{*
uv (mvd2u + nud2v)}. 1137. au In a (du2 In a + d2u).
1138. [(t>2 — m2) du2 — 4uvdudv + (и2 — v2) dv2 + (u2 + v2) (ud2u +•
+ vd2v] (w2 + v2)~2 (и2 + v2 > 0). 1139. [ — 2utda2 + 2 (w2
г»3) dadv + 2uvdv2 + (и2 + v2) (ivd2u — ud2v)] (u2 + v2)~2 (a2 + u2>
>°). 1140.
1 „ 3 cos t
1141* Г—; Уш - - 2- — (/ ^ Art,
a sin t a2 sin5/
1 cos~
k — Целое). 1142. у" «= — — ; yw = p
4a sin4— 4aJ sin7 -jp
(*^2fcit, fe— целое). 1143. yn ■
V2 coss^+-^-)
g-** (2sin f+ cos') . .V
У 2 cos4
1 f"' (0
n44, г/''="7м^Г,’ ym=-rw ги)ф0)-
_L. „ у" . y’y"'-W* .
1145. *' =
р'уУ-10у'уУ' + 15y"3 ...... x
*iv=_-Z-2 g „ — 2 fo'^0). 1146. ,
У ■ У
25_ 75x 3_ 25 225
«/» ’ j/4 ’ 4 * 64 ’ 1024 *
1147. —. H48. y'=-X~y ,
у y* \r x — 2y
6 54jc 2x3*/
= » i/"« . 1149. //'=.
^ (x-2 у)* У (x-2 у)* У 1 + y*h
-y -[3(1 +г)2+2л:4(1.-'/2)]. П50. у' =
(1 + У2)*
604 ОТВЕТЫ
_ ,+, . _2iii±s-. mL ' ГМ1
* — У ~ — у)3 2
6 = /'(*o); C = / (JC о). 1152. 20— 10/, - 10; 0, —10.
2яа . 2я 4я2а ?я
1153. ——— sin — U / = - - —-cos ~ t.
/Т/2
1154. x*aa0/cosa, j/ = r0fsina — ; v=*
л/vl^2vQgt sin а + g2t2 ; / = g; xtga —
2
gx2
Vn sin a
2c»o cos2a
* — ; —sin 2a. 1155. x2+y2 = 25; 5|o>|, 5<oa.
1156. (/(«) = 4-6!; </<7> = 0. 1157. у'" = __ am (m + 1 >(m + 2)
Xm+3
17!!
(x + 0). 1158. *00) = _ 21vV- ■ (* > 0),
где л!1 обозначает произведение натуральных чисел, не превы¬
шающих числа л, и одинаковой четности с ним, т. е. 17!! =
8!
= 1-3-5... 17. 1159. ^8) = ———— (хф\).
197!! (399 — х)
1160. у^т = — Чт—7==- (х < I).
* 2100(1 — л)100 л/l — х х '
1161. ут = 2^ (*2+ 20*+ 95). 1162. £/<10) = ех X
ш А1
X £(-<)' —г^—, где А1Ю = Ю-9- . . .(11 — 0 и /1?0= 1.
i=i *‘+‘
6 274 120
1163. t,<*)= _-—(*> 0). 1164. j/<5) = —— -In * (*>0).
X4 Xе Xе
(1225 \
— x2sin2x + 50xcos2x-j- sin2xj.
27(1—3x)2 —36 . Л 27 (1 — 3x)2 — 28
1166. y’"= (i 3*)7/3 ~ S,n^ - (ГГ&0»/3 C0S 3jC
1167. y( l°)=i — 2» sin 2x— 2J8 sin 4*+ 28-310 sin 6*.
11G8. j/(100) = x sh * + 100 ch *. 1169. yJV =. —4e*cos*.
60 , / 144 160 96 Л . .
1,70. »C._ - J sm2x +
+ ( “ +- 12a° + 32 In*) cos 2*.
V xe x4 x2 )
15
1171. 120dx6. 1172. —7=— dx' (x>0).
8x3 л/х
1173. — 1024 (* cos 2*+ 5 sin 2*) d*10. 1174. e* (ln* +
ОТВЕТЫ
, 4 6,8 6 \
1175.
505
8 sin x sh x djc**
1176. 2udl0u + 20dudQu + 90d2udQu + 240d*ud7u + A20d*udiiu -f*
+ 252 (d2u)2. 1177. eu (,du4 + 6du2dau + 4dud*u + 3d2u2 + d*u).
2du2 3dud2u , d*u
1178.
1179.
+ y'd2x\ d3y = y'"dx* + 3 y"dxd2x + y'd3*;
+ 6 y"'dx2d2x + 4y"dxd*x + 3y"d2x2 + y'd*x.
dx dy
d2x d2y
dx
dx
dy
dx
dy
— 2>d2x
d*x
d*y
d2x
d2y
d*x
1187. P<n) (x) = ct0n\ 1188,
(-1)" ,
dxb
{ — 1)*-* nlc*-* (ad — be)
189. n\
Xn+X
*b=
(cx + d)n+i
1190. (—l)”atX
1191.
1-3 . . . (2n — I)
(1 — 2*)"+I/2
1192.
2)Л+А (л — 1)"+*
( — !)«+!. 1-4. . . (Зга — 5) (Згг + 2x)
3n (I + x)n+1/3
(ПЛ \
2x + ~J~J-
(nn \ л лпт 3 . / nn \
2л: + —^—1 - 1195. Tsm(*+—
nn
3" . Л
sin I Зл: -
4 ^
3"
4
nn
r>
/ ЯЯ \
cos 3x+—j
j {a + b)n
1195.
1196.
1197. -
3 /
— cos(x +
(a — b)n
■)+
COS I(a_6)JC+
[<
(a — 6)n
1198. - —cos
cos I (a + b) x +
nn
nn
-]■
(a + b)n
cos
X sin
1200.
bn
b) x + •
[(a - 4)* +
[(a+ *)*-f-]
nn 1
~~2 J
(a —6)"
2
(*+*)"
+ '
nn
•]-
/ nn \
cos
(2a + b)n
Y
1199.
J.
iin £(a + 6)
[(2a-«•)* +
(2a — b)n
cos I (2a + b) x +
-]■
506
1201
+ nansin ( ax
ОТВЕТЫ
1202.
1203.
. 4/l“1 cos ^4x + —^^ . 1202. anx cos ^ ax + —~^ -f*
Xй
nn
n (n — 1)
•]
у sin -J—^ — 2nan~1x cos ^ax ^.
1204. ( —l)ne“* [*2 — 2 (я — 1) jc+ (n — 1) (я — 2)].
1205. e*
T+Z<-|,‘
(1=1
я (в - 1)
(«-*+ 1)
**+!
(пп \
л: + —J
/ пп \
1206. е*2«/2 cos ( х + —-— j
1208. ~2 [(“ + Ьх)п + (— I)"-1 (а + Ьх)п] ж | <
, а h
<
I -у р . 1209. еах [апР (*) + С'пап~'Р' (х) + ... +Р<») (дс)].
1210. y {[(* + я) - (- 1)п (х - я)] ch * + [(* + я) +
+ (—1)л(дс —rt)]shJc}.
1211. dny = e*l хп +
4- пЧп~1 +
п2 (п — I)2
2!
' +
1212.
( — 1)пп\
Хп+*
\dxn (дс > 0).
1214. а) (a2 + б2)"/2 £cos^n<p — —^ ch ах cos ^ Ьх +
пп
— sin ^/1ф
б) (а2 + 62)«/2^cos^
■^sh ах sin^6x+ ^ j;
яф-
+ sin ^лф — ■ ^2~) sh ах cos ~2—)]
а
» где
cos ф =
, =-> sin ф = —7===-. 1215. /(">(*) *
Уа2 2 Y уа2 ^ £>2
Р-1 . Г пя 1
£ (_ 1)Р+*2п-ар+1 (р — *)п С*р cos (2р — 2fe) jc 4- —— .
А—0
1216. а)
и
Ь-
k=Q
ОТВЕТЫ 60?
X sin[(2p - 2k + 1) * + -^1; б) 2n_lp+l (p - kVlCb> *
L A J *=0
, WJl 1. V4 (2p — 2/e4-i)r/
X cos |^(2p — 2k) x + —- I » a) )
2v>
k=Q
XC*,+I cos[(2p-2ft+l)x+-!^-]).
(— D""1 (« — 1)1
1218. (f+ х%)пр sin (я arcctg x) (x ф 0).
1219. a) -^-[2«+i+(_l)"j; б) -П(2^~3)" \n>l).
1220. а) я (я— 1) ая~2; 6) Pk> (0) ■= 0, f<*»+(0) ~
= (—I)* (2AI) (* = 0. 1. 2, ...); в) f(*W (0) = 0, /(2ft+l>(0) =
■=[1-3. . . (2k — l)]2 (ft = 0, 1, 2.. . .)• «221. a) /I2*) (0)=
~ (— 1)*/л2 (m2 — 22) . . . [m2 — (2A — 2)2], ft2*”1) (0) = 0;
б) /1й)(0) = 0, f' (0) = m, /(**+!) (0) = (— l)*m (rn2 — l2). . .
. . . [от2 — (2k — l)2] (*=1, 2, . . .). 1222. a) /<«*)(0)~
-(-l)*-*-2(2t-l)l(l + -i- +. . . +^T7-).
ft2*-!) (0) = 0 (*~1, 2, . . .); 6) /(3*) (0) = 2**-* [(* — 1)1]*,
(0)«» 0(ft = l, 2, . . 1223. л1ф(а).
1228. Lm( x)=*(-\)m\xm— m2xm_1 4- OT*(m — *>*, *m-2 J. . . .
L 1*2
... + (— l)m ml J . 1231. ffm (*) c= (2x)m — m (2*r-«+
CT(W-,)(CT_2).(m-3) (2,)m-4_ ^ ,236> При, = 0
21
не существует конечной производной f' (х). 1244. А (—1, —I),
С (1 1). 1245. Неверна. 1246. а) 6 = 1/2; б) 0 =
V’
> + хЛх + — (Д*)2 —х
Ах
(х>0, Ах > 0); в) 0 =.
= — (л/1 + — -)')(*(*+ Дх)>0); г) 0 = — ln^-i.
Ах\ V х / Ах Ах
1248. с==~ ИЛИ . 1250. Вообще говоря, нет. 1261. f(x) =
= с0 + схх -г . . . + сп_гХп-\ где a (i = 0t 1 п — 1) пос¬
тоянны. 1268. При — оо<х<~- функция возрастает, при
Б08 ответы
—5-<х< + 00 убывает. 1269. При — оо < х < —1 функция
2
убывает, при —1 < х < 1 возрастает; при 1 < х < + оо убы¬
вает. 1270. При — оо < х<— 1 функция убывает, при —1 <3
< х < 1 функция возрастает; при 1 < х < + оо убывает.
1271. При 0<х< 100 функция возрастает; при 100 < х <3
< +оо убывает. 1272. Функция возрастает. 1273. В промежут-
(kn kn , я \ .
—— , —-—г~з“) ФУНКЦИЯ возрастает; в промежутках
—l Л_ t ЛЛ убывает (6 = 0, ±1, ±2,. . .)•
V 2 3 2 2 /
1274. В промежутках ( ? • —Л и ( ! , —^
^ 2k + 1 2k) V 2k + 1 2k+2)
функция возрастает; в промежутках ( ! , —?—^ и
V 2k “[* 2 2k “I* \у
( 1^ убывает (k = 0, 1, 2, . . .)• 1275. При
V 2 k 2k+ 1 )
2
— оо<х<0 функция убывает; при 0<х< возрастает;
In 2
2
при <х<+оо убывает. 1270, При 0<х< п функция
In 2
возрастает; при п < х < + оо убывает. 1277. Убызает при
— оо < ‘дс < —1 и 0 < х < 1; возрастает при —>1 < х < 0 и
1 < х<+ оо. 1278. В промежутках (е 7я/12-|-2Ля^ €13я/12+2Ля^
функция возрастает; в промежутках (е13я/12+2£л е17я/12+2йя)
убывает (ft = 0; ±1, ± 2, . . .)• 1283. Не обязательно*
1298. В точке А кривая вогнута вверх; в точке В вогнута
вниз; С — точка перегиба. 1299. График при — оо < х < 1 вог¬
нут вверх; при 1 < х < + оо вогнут вниз, х = 1 — точка
а
перегиба. 1300. При |х|< — вогнутость вниз; при | х |>
Уз
й а
> вогнутость вверх, х = ± точки перегиба.
д/з Уз
1301. При х<0 — вогнутость вниз; при х>0 — вогнутость
вверх; х=0—точки перегиба. 1302. Вогнутость вверх. 1303. При
2kn < х < (2k + 1) я— вогнутость вниз; при (2£-|-1)я<х<
< (2/г + 2)я — вогнутость вверх; х = /гя —точки перегиба (k =
= 0, ±1, ± 2, . . . ). 1304. При |х| < V1/2 —вогнутость
вниз; при | х | > У1/2 — вогнутость вверх; х — ± V1/2 — точ¬
ки перегиба. 1305. При |х|<1—вогнутость вверх; при |х|>
ответы 509
D> 1—вогнутость вниз; дс= ± 1—точки перегиба. 1306. При
е2/гл—Зя/4 ^ х ^ е2/гя+я/4 — вогнутость вверх; при
еМл+ я/4 с2/гя+5я/4 — вОГНуТОСТЬ вниз; * =Э ^я+я/4 — точ-
ки перегиба (k = 0, ±1, ±2, . . .). 1307. Вогнутость вверх
при 0 < х < -f- оо. 1309. Л = ! * 1310. Вогнута вниз (при
oV2
о>0). 1318. —. 1319. 1. 1320. 2. 1321. —2. 1322. —.
b 3
1323. —. 1324. —. 1325. — . 1326. 1327. 1.
3 3 6 2
1328. o — b ,329. -Lino. 1330. —2. 1331. I. 1332. (—\.
Zab 6 V b)
1333. —. 1334. —. 1335. 1. 1336. 0. 1337. 0. 1338. 0.
6 3
1339. 0. 1340. 0. 1341. 0. 1342. 1. 1343. 1. 1344.— 1. 1345. A
1346. e~K 1347. «2/п 1348. e~l. 1349. 1. 1350. 1. 1351. 1.
1352. e2/sin2a^a=5£ , h — целое^ . 1353. ei/2<lna a-1n1 i>).
1354. — . 1355. — . 1356. 0. 1357. L. 1358. aa (In a—I).
2 2 2
1359. — . 1360. —. 1361. е-2/я. 1362. 1. 1363. eV«.
2 a
1363. 1. е-Ч». 1363.2. e1/3. 1363.3. e"1/3. 1363.4. <rV«. 1364. e~lf2.
1365. <r2/". 1366. e~K 1367. ———. 1368. УГ. 1368.1. 0.
n — m
1369. L. 1370. a. 1371. tga. 1373.1. /' (0) =» L-.
1373.2. 0 = 1374.
а) Правило Лопиталя непри¬
менимо, предел равен нулю; б) правило Лопиталя непримени¬
мо, предел равен 1; в) формально примененное правило Лопита¬
ля дает неверный результат, равный 0, предел не существует;
г) применение правила Лопиталя незаконно и приводит к не¬
верному результату, равному нулю, предел не существует.
1375. 1376. 5— 13(х+ 1)+ 11 (х+ 1)* — 2(х+ I)3. 1377. Н-
3
+ 2* + 2*а — 2х*+о (х4); — 48. 1378. 1 + 60* + 1950** + о (х1).
1379. а-| —о {х'1). 1380. —
tnam~1 2т*а*п-' 6
1381. 1 + 2*+*2 ?_*3_JL*4 L _i_ 0 (*5ч 1382. i_
3 b 15
610 ОТВЕТЫ
У уЗ уЪ у? 4*13
- — 4-— ±_ + о(х*). 1383. х .. .4-0 (х19).
2 12 720 18 3240
1384. — - —4-0 (дга). 1385. л ^4-0(х3). 1383. *4-
2 12 45 3
уЗ X.2 ув
+ JL4-_ii_4-0(x5). 1387. — ± * ^о(*0).
3 15 6 180 2835
1388. 1 4- — (х — 1) — — (х — I)2 4- о ((я — 1)*). 1389. (х — 1) +
2 8
■+ (* — I)2 -f — (х — 1)3+ о ((*— I)3). 1390. у = а-\—-—о (*2).
2 2 а
1391. — ! 1-о/"—V 1392. In л: 4- —
2х 8*3 \ х9 ) х 2х2 1
ип *5
• • . + (—ly1-1 \-o(hn). 1394. а) Меньше*
пх” («4- 1)1 *
6) не превышает —?—; в) меньше 2-10~в; г) меньше—
3840 16
1395. |*|<0,222=агс 12°30'. 1396. а) З.Ю72-, б) 3,0171, в) 1,9961:
г) 1,64872; д) 0,309017; е) 0,182321; ж) 0,67474 - arc 38°39'35";
з) 0,46676 = arc 26°44'37"; и) 1,12117. 1397. 3) 2,718281828;
б) 0,01745241; в) 0,98769; г) 2,2361; д) 1,04139. 1398.
12
1399. —. 1400. — —. 1401. —. 1402. —. 1403. 1п2а.
3 4 3 6
1404.—. 1405. 0. 1406.—. 1406.1.—. 1406.2.—.
2 3 90 2
1406.3.—. 1407.—, 1408. х\ 1409.—, 1410. а = —;
2 30 2 3
1410.1. А ■= Ва -. 1410.2. А = — ,
3 5 15 2
о 1 s' 1 г» 1 ,-ii V 2х ^ 4 Ап
В = — • С , D = — .1411. а) ; б) — х; в) ■
12 2 12 Я3 3 100 *
70 2 1 q4
г)-—. 1412. а =—; 8 = —# 1413. , где а — полонина
х 3 3 180
центрального угла дуги. 1414. Максимум у = 2-~ при х = —■ #
1415. Экстремума нет. 1416. Минимум у = 0 при *=1.
1417. Минимум у = 0 при х = 0, если m — четное, и экстре-
тгппп
мума нет при * = 0,если т — нечетное; максимум */=<
\„\т+п
(т+п)
т л 1
при х= ; минимум у = 0 при х= 1, если п — четное,
т + п
ответы 51!
и экстремума нет при х = 1, если п — нечетное* 1418. Мини¬
мум у — 2 при х = 0. 1419. Минимум у = 0 при х = —I;
максимум у = 10l0£~9 « 1 234 000 при х = 9. 1420. Максимум
у = 1 при х = 0, если п — нечетное, и экстремума нет при
х = 0, если п — четное. 1421. Минимум у = 0 при х = О*
j з j
1422. Максимум у = — jA «0,529 при х =—; минимум у = О
3 3
при х = 1; экстремума нет при х = 0. 1423. Минимум Jf(x0) =
= 0, если ф (х0) > 0 и я — четное; максимум f (х0) = 0, если
Ф <*о) < 0 и п — четное; f (х0) — не экстремум, если п — не¬
четное. 1425. Нет. 1427. а) Минимум [ (0) = 0; б) минимум
t (0) = 0. 1428. Минимум I (0) = 0. 1429. При х = 1 макси¬
мум у = 0; при х = 3 минимум у = —4. 1430. Минимум у = 0
при х = 0; максимум у = 1 при *=±1. 1431. При х =
= — —— « 0,23 минимум (/«—0,76; при х = 1 максимум
6
у — 0; при х = —« 1,43 минимум у «—0,05; при х =
6
= 2 экстремума нет. 1432. При х = —1 максимум I/= —2; при
дс *=» 1 минимум у = 2. 1433. При х = —1 минимум £/ =. — 1; при
7 1
х = 1 максимум у = 1. 1434, При х = — минимум у =
5 ‘ 24
1435. При *с=э0 и х = 2—краевой минимум у=* 0; при х=1
^ 3 з
максимум у = 1. 1436. При х — — минимум у — V2
4 8
«—0,46; при х = 1 экстремума нет. 1437. При х = 1 максимум
у = е~х «0,368. 1438. При х=а+0 краевой максимум у = 0;
2
при х — е~2 « 0,135 минимум г/ «—0,736. 1439. При х=
е
4
= 1 минимум у = 0; при х = е2 « 7,389 максимум у — —«0,541.
е
,2
1440. При х = /гл(&=0, ±1, ±2, . . .) максимум I/ = (—1)* -(-
4- — ; при х = dt + 2/гл (& = 0, ±1, ±2, .. .) минимум у=
2 3
3
= . 1441. При x=kn(k = Ot dz 1, rh2, . • .) максимум
4
у а 10; при х = л ^/г + (£ = О, ±1, ±2, ...) минимум г/=5.
л 1
1442. При х«=> 1 максимум у — — — In 2 «0,439. 1443. При
л л! 2
х — 1- 2я£ (k = 0, ±1, dh2, . , .) минимум у — ——— X
4 2
Б12 ОТВЕТЫ
ПрИ х __ _3я_ 2feji (/г —I 0, ifcl, ±2, максимум
4
уе= J444 р|рИ Хив — 1 максимум ушяё**2 «
«0,135; при хв.0 минимум у = 0 (угловая точка); при 1
максимум у= 1 (угловая точка). 1445. ; 32. 1446, 2; 66.
1447. 0; 132. 1448. 2; 100,01. 1449. 1; 3. 1450. 0( — »36,8.
е
1451.0; 1. 1452. 0; — (1 + л/2)& 1.2. 1453. — «
2 2
» —0,067; 1. 1454. m (дс) « -,если — оо<*^—3; т(х)=
6
1 -4- х
— если — 3<дс< — 1; т (х) = 0, если —1 < дс < +оо;
3 + дс®
1 1 -J- X
М (дс) = — , если — оо < дс < 1; М (х) = 1 если 1<*<
2 3 + дса
1410 1
<+оо. 1455. а) -^-«1,77.10’: б) в) /3 » 1,44.
1457. 94,85. 1458. q L.M59. 1460. g(x) =
4 2 27
= (*i + *2) * - “jk*! + *2 + 6*i*2); д = — *2)2- 1461 • -7*
О С 3
1462. Один корень: (3, + оо). 1463. Один корень: — оо < хг<1
< —1, если h > 27; три корня: — оо < хг < — 1, —1 <*2 <
<3 и 3<дс8< + оо, если —5< h < 27; один корень: 3 <
< *3 < + оо, если h < —5. 1464. Два корня: — оо < хг < — 1
и 1 < х2 < + оо# 1465. Один корень: — оо < хх < —1, если
— оо < а < —4; три корня: — оо < < —1, — 1 < х% < 1,
1<*3<+оо, если —4<а<4; один корень: l<*1<+oot
если 4 < а < + оо. 1466. Один корень: 0 < xt < 1, если
— оо < k < 0; два корня: 0 < дс3 <— и — <х2<+ оо, если
k k
0 < k < — ; корней нет, если k > — . 1467. Корней нет, если
е е
е2
а<0; один корень: — оосд^со, если0<а< — ; три кор-
4
е2
ня: — оо < xi < 0, 0 < дс2 < 2 и 2 < дс3 < + оо, если — < а <
4
<+оо. Г468. Два корня при |а|<3 Уз/16; кет корней при
| а | > 3 -\/3 / 16. 1469. Два корня: 0 < | jcj | < | и £<|*а|<
< + оо, где 5» 1, 2 — положительный корень уравнения-,
cth х = де, если | > sh £ « 1,50; корней нет, если |A|>sh£.
ОТВЕТЫ 513
1470. а) —+ — >0; б)-5—< 0. 1471. *). Симметрия
27 4 27 4
относительно начала координат. Нули функции: х = 0 и х =
с=±Уз«±1,73 Минимум у =■—2 при х — —1; максимум £/=
*= 2 при х =* 1. Точка перегиба х = 0, у = 0. 1472. Симметрия
относительно оси Оу. Нули дс ± д/1 -j- Уз » ±1,65. Мини¬
мум f/=> 1 при х = 0; максимум у = 1 -1- при хе=±1. Точка
1 5
перегиба; х = ±—у=г ~ ±0,58; у = 1— . 1473. Симметрия от-
V3 18
ноеительно точки Л (I, 2). Нули*, х = — 1 и х = 2. Минимум
у = 0 при х = 2; максимум у =» 4 при х=0. Точка перегиба
* = 1, */ = 2. 1474. Симметрия относительно оси О*/. Нули
функции: х = ±V2 » ±1,41. Максимум у— 2 при х = 0;
минимум у = 1 « —0,12 при х = ±У2 -f- д/5 « ±2,06.
Точки перегиба: хь 2 = ±0,77, ylt а = 1.04; хэ< 4 «±2,67, у% \ ъ*
да —0,010. Асимптота (/ = 0. 1475. Точки разрыва: х = 2 и
х = 3. Нули: ^=±1. Минимум у — —(10 — У%) »—0,20
при Х=Л —— ж 0,42; максимум у — —(10+У9б)я*—19,80
5
при х— 7 /^2,38. Точка перегиба х«—0,58, 0,07,
5
Асимптоты: х = 2, х = 3 и г/ = 1. 1476. Точки разрыва: Xi =
=—1 и х2 = 1. Нуль функции х=0. Точек экстремума нет.
Точка перегиба х да —0,22, у да —0,19. Асимптоты: х = —1,
х = 1 и у = 0. 1477, Нуль функции х = 0. Точка разрыва
13
х — —1. Минимум I/ = 0 при х = 0; максимум у = — 9 — при
х = —4. Точек перегиба нет. Асимптоты: х = —1 и у—х — 3.
1478. Минимум у = 0 при х = —1; точка перегиба х = —4,
81
у = . Асимптоты: х = 1 и и = 1. 1479. Максимумы |/=
625
34 VT7 +142 „ оп 3 + л/\7 , ,с
= — да —8,82 при х « —3,56 и
32 _ 2
34 У17 —142 пл.
у ■= 0 при х = 0; минимум у = да—0,0о при х—
32
^^ да 0,55. Точка перегиба г= 7, i/a —. Асим-
2 5 45
птоты: х = — 1 и у — х — 3. 1480. Симметрия относительно
начала координат. Точек экстремума нет; точка перегиба х = 0,
*) К задачам на построение графиков не везде дают пол¬
ные ответы.
17 Б. П. Демидович
514 ОТВЕТЫ
у = 0. Асимптоты: х = —1, х = 1 и у = 0. 1481. Минимум
у = 13— при х = 5; точки перегиба х = —I, у = 0. Асимпто-
2
ты: *=1иг/ = х+ 5. 1482. Минимум у = 2— при х = 2;
3
максимум у я* —3,2 при х « —2,4; точка перегиба х = 0,
у = 8. Асимптоты: х = —I и у = х. 1483. Симметрия относи¬
тельно оси Оу. Нули функции: х = ~ ±0,79. Точек
4
экстремума нет. Точки перегиба: * = ±/у/у « ±0,71, у =
2
*= — 2— . Асимптоты: х = —\, х = 0, *~ I и |/= 0. 1484. Об-
3
ласть существования: 0 ^ х <С + «>. Нули: л: = О и х = 3.
Минимум у = —2 при * = 1; краевой максимум у = 0 при
х = 0. Вогнутость вверх. 1485. Область существования: \х\ ^
^2У2«2,83. Симметрия относительно начала координат и
осей координат. Нули: х = 0 и х = ±2 V2- Максимум 11/1 = 4
при дс = ±2, минимум \у\ = 0 при х = 0; краевой минимум
\у\ = 0 при х= ±2У2. Точек перегиба нет. 1485.1. Нуль
функции х ~ 2. Минимум у = — У5 » —2,24 при х = —0,5.
Точка перегиба хг = — 3 + V41_ ^ ^ |g. ^ ^—2,06 и х2 —
8
== Л о,42; i/2 « —1,46. Асимптоты: у = —1 при х -►
8
—оо и у = 1 при дс ->» + оо. 1486. Область существования:
1 < л: < 2 и 3 ^ дс < + оо. Нули: х = 1, xj= 2 и л: = 3,
Максимум | у | = « 0,62 при х — — « 1,42; крае-
3 3
вые минимумы \у\ = 0 при х= 1, 2 и 3. 1487. Минимум у =
2 з 1
= 0 при х = 1; максимум у = — -/7« 1,06 при дс ; точ-
3 3
ка перегиба х = —1, у = 0. Асимптота у = х . 1488. Сим-
3
метрия относительно оси Оу. Минимум у = —1 при х = 0.
Вогнутость вниз. Асимптота у = 0. 1489. Симметрия относи¬
тельно начала координат. Нуль функции: х = 0. Минимум
г/ «=. — ^[6 « —2,52 при л: = — 2; максимум у =\r~V6 при
х=2. Точка перегиба: *=0, у=0. Асимптота: у=0. 1430. Сим-
3
метрия относительно оси Оу. Минимум у = 4 « 1,59 при дс =
= ± 1; максимум г/ = 2 при х = 0. Вогнутость вниз. 1491. Сим¬
метрия относительно начала координат. Точка разрыва: х= ± 1.
ОТВЕТЫ 515
л/з" -
Нуль функции! х=0. Минимум y=~Y « U38 при х = УЗ;
/?
максимум у= г~~” при х = —Уз. Точки перегиба: Х\ ~ О,
VT
= 0 и х2,з = di3f y2t8 = d:I . 1492. Область существова¬
ния функции: |*| >1. Симметрия относительно оси Оу, Кра¬
евой минимум у = 0 при л* = rhl. Вогнутость вниз, Асимп-
X X
•готы: у «= — при х-> + оо н у = — — при х ->—оо. 1493. 06-
3
.пасть существования функции: х > 0. Минимум =-^-У3 я*
л 2,60 при *=-1-, Вогнутость вверх Асимптоты у = х-\+
3
4--^- и х = 0. 1494. Область существования: х ^0 и х <—3.
5 4- л/13
Нуль функции —-L-Л «4,30. Минимум у = 13 при
х =* —4; краевой максимум у = 1 при х = 0. Вогнутость
5 1
вверх, Аслмптоты: у 2х при х-+ — оо; у— — при
х-+ + оо; х = —3 при х——3 — 0. 1495. Минимум у=0 при
з
х = 0; максимум у = — у 4 « — 1,59 при х = — 2. Точки
перегиба: Xj= — (2 —\/3)« — 0,27, у\ — «
» 0,46; *2 = -(2+ УЗ) » — 3.73, уг = - - + «
« — 1,72. Асимптота х = —1. 1496. Симметрия относительно
оси Оу. Функция положительная. Максимум */с=УЗ «1,73
при х = 0, минимум у = У2 ^1,41 при х = ±1. Точки пере¬
гиба *i, а « ±0,47; у,, 2 « 1,14 и х3.4«±4,58, i/g, 4 » 4 55,
Асимптоты у = =ьх. 1497. Период функции: Т = 2л; основная
д/5 1
область 0^Сх^2л. Нули функции; х^л-farcsin—- »
_ 2
Уз j
« 1,21л и х2«2л — arcsin—— « 1,79л. Минимумы у— 1
л . Зл , 1
при х = — и у = — 1 при х = —— -f максимум у = 1 — при
516 ОТВЕТЫ
я 5л _ .1 + ^33
х = — и х = . Точки перегиба: хг = arcsin 1 «
fi 6 8
„ 19 + 3д/33 , 1Q .1 +Д/33
» 0,32л, i/i — 1 « 1,13; х2 =» я — arcsin да
32 8
19+3 д/33 . . УЗЗ _ 1
« 0,68л, уг = 1 ; ж3 = я + arcsin — «
32 ' 8
19 —Эд/зз пп,с „ . УЗЗ—I
« 1,20л и* = « 0,055; х4 = 2л — arcsin — «
* 32 8
19 3 /Л/ 33
« 1,80я, у4 = - . 1498. Период функции 2я; основ-
32
ная область —я < х <; я. Симметрия относительно начала
координат. Нули: хх = 0 и х2, а = =ья. Минимум =
15 1
У15 ^—7,3 при хжш —arccos — « — 0,42я; макси-
8 4
15 1
мум у= —— У 15 «7,3 при х = arccos---« 0,42л. Точки пе¬
региба: хг = 0, у! = 0; х2,3= ± arccos ^ ^ « ± 0,84я;
21 ,
«/« з = ± У15 ^ ± 2,54; х4,3 ■=> ± я, $/4, 5 = 0. 1499. Пери*»
32
од функции: Т — 2я, основная область: —я < х < я, Сим¬
метрия относительно начала координат. Нули: хг = 0 и х2.9=*
2
с= ±я. Минимумы: у — У2 «— 0,94 при дс = — и
я 2 я 2
% , у = — при х = —; максимумы: у = ■—
4 3 2 3
я 2 /— я Зл _
при х = , у = — V2 при х = — и jc . Точки
У 2 3 4 4
перегиба: *j = 0, уг =* 0; х2>з — ± arcsin ^ ±0,37я,
1/2,з = гЬ У 30 « ± 0,81; х4, 5 = ±^я — arcsin/\J“Г ^
та ± 0,63я, J/4 а = ± ■ У30 ; x6t 7 = ±я, */в| 7= 0. 1500. 11е-
27
риод функции: Г = 2я; основная область [ —л, я). Сим¬
метрия относительно оси Оу. Нули функции: х1>2 =
= iarccos-^ «±0,62я. Минимумы: у=-- при х
2 2
ОТВЕТЫ 517
л , 1 3
« о; у * —1 — при х = ±я максимумы: I/ = — при х =
2 4
в ± —• Точки перегиба: xlt 2 = arccos ^ л/зЗ ^
3 ь
« ±0,18я, у1, 2 » 0,63; л;3> 4 = ± arccos »±0,70я,
8
Л
1/з, 4 —0,44. 1501. Период функции: Т = —• основная об-
2
Г Я я 1
ласть I , — I.
L 4 4 J
Симметрия относительно оси Оу. Функ¬
ция положительная. Максимум у = 1 при х = 0; минимум у =
«= —при х *= ± — . Точки перегиба xlti = ± —, //i 2=— .
2 4 8 4
1502. Период функции Т = я; основная область
[я я 1
2 * 2 J
Симметрия относительно оси Ог/. Нули функции: хх = 0
я
и ха, а = ± — . Минимумы: у = 0 при jc = 0 и г/ = —1 при
3
я 9 1
х = ± — ; максимум у = — при jc = ± arccos — »±0,21я*
2 16 4
1 1 a/ 129
Точки перегиба: хьз = ± — arccos—-—У »±:0,11я,
2 16
1 1 — л/129
Ух, 2 » 0,29; хъ 4 = ± — arccos «± 0,36л; ух * »
2 16
» —0,24. 1503. Период функции: Т = я, основная область:
Jrt
0 ^ jc ^ я. Точка разрыва: jc = —— . Н> ли: хх = 0, х2 — я.
4
Экстремумов нет, функция возрастает. Точка перегиба: jc =
я л/2
= *—, у =—— . Асимптота х = . 1504. Период сЬун-
4 2 4
кцин Т = 2я, основная область [—я, я]. Симметрия отно-
Л
сительно оси Оу. Нули функции: хъ 2 —±—. Минимум у = 1
при jc = 0; максимум у = —1 при х = ± я. Точки перегиба:
я л t я» Зя
*1,2= —; уи 9=0. Асимптоты jc = ± — и х «= ± .
2 4 4
1504,1* Период функции Т *= 2л, основная область —л
518
ОТВЕТЫ
О.Е
^ я. Функция нечетная. Минимум у= -—«—0,58 при
3
2л л/3 л го 2я -
л ; максимум у=— «0,58 при х = . Точ-
3 3 3
ка перегиба хх= 0, уг = 0; хъ 3 я, г/2.з“0* 1505. Центры
симметрии (Ал, 2Ад). Нули функции: хг = 0, х2, 3 « ±0,37я,...
Максимумы у = — 1 + 2Ал при х = — -f- минимумы
2 4
у п=з — 1 + 2/гя^ при х = —. Точки пере¬
гиба: х = Ал, у = 2/гл. Асимптоты: х — --- — я (/г — це-
2
лое). 1506. Симметрия относительно прямой х = 1. Функция
положительна. Максимум у = е при дс = I. Точки перегиба
л/2 /—
хг, 2 ~ 1 ± ^— ♦ i/i, 2= V<? » Ь65. Асимптота г/ = 0.
1507. Симметрия относительно оси Оу. Функция положитель¬
на. Максимум у = 1 при х = 0. Точки перегиба: xit 2 =“
Vi
5
=ь 1,22, уь 2= 0,56. Асимптота у
= 0. 1508. Функция положительна. Минимум г/ = 1 при дс =0,
Вогнутость вверх. Асимптота у=х при дс—►+ оо. 1509. Фун*
кция неотрицательная; нуль дс=0. Минимум у = 0 при х = 0;
9 3
максимум у = |^/ e-2/3ss0,39 при * = . Точки пере¬
гиба: *!= — « —0,15, yi » 0,34 и *2 = 2+.'У-! «
3 3
«1,48, г/г^О^О. Асимптота £/= 0 при дс-> + оо. 1509.1. Функ¬
ция неотрицательная. Минимум # = 0 при дс = Ал (А = 0,
ct 1, ±2, ...); максимумы #=—е—(2Л+1/2)я при х = — + Ал .
2 4
Точки перегиба хи = (— !)* — + Ая, ^ [2Л+1/3( 1)*jjx ^
6 4
1510. Функция положительна при дс >— 1 и отрицательна
при дс < —1. Минимум г/ = 1 при дс = 0. Вогнутость вверх
при дс > —1 и вогнутость вниз при дс < —1, 1511. Симметрия
спюсительно оси Оу. Функция неотрицательная; нуль дс = 0.
Минимум у = 0 (угловая точка) при х = 0. Вогнутость вниз.
1512. Область существования функции: дс > 0. Нуль функции
ОТВЕТЫ 519
х = 1. Максимум у = —« 0,74 при х = е2 « 7,39. Точка пе-
е
о
региба: х = е8/3 « 14,33, у ~ —е"^/а«0,70. Асимптоты: х = 0
3
при х-* + 0 и у = 0 при х —>-+ оо. 1513. Симметрия относи¬
тельно начала координат. Нуль х = 0. Точек экстремума нет;
функция возрастающая. Точка перегиба: х=0, #=0. 1514. Сим¬
метрия относительно начала координат. Нуль функции х = 0.
Функция возрастает. Вогнутость вверх при х > 0 и вогнутость
вниз при *<0; 0(0, 0) —точка перегиба. 1515. Область
существования функции: |х|< 1. Симметрия относительно на¬
чала координат. Функция монотонно возрастает. Вогнутость
вверх при х > 0 и вогнутость вниз при х<0; точка перегиба:
х = 0, у = 0. Асимптоты: х = ± 1. 1516. Симметрия относи¬
тельно начала координат. Нуль функции: х =0. Точек экстре¬
мума нет, функция возрастающая. Точка перегиба: х = 0,
у — 0. Асимптоты: у = х — при х-+—°о и у — х-Ь —
2 2
при х->+ оо. 1517. Нуль функции х « — 5,95. Минимум */ =
1 t п I оос 1 1.3л
» 1,285 при х = 1; максимум у — 4—— »
« 1,856 при х = —1, Вогнутость вверх при х > 0 и вогну¬
тость вниз при х < 0; точка перегиба х = 0, у= — ш Асим-
2
X X
птоты: у = )-я при х-+ — оо и у = — при х—>- + «>.
2 2
1518. Симметрия относительно оси Оу. Функция неотрица¬
тельна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0. Вогнутость
вверх. Асимптоты: у = — х— 1 при х-> — оо и ы= — х —.
2 2
— 1 при х -^ + оо. 1519. Симметрия относительно начала
координат. Нуль функции х = 0. Минимум у = (угло¬
вая точка) при х = 1; максимум (угловая точка) прц
х = 1. Точка перегиба х = 0, £/ = 0. Асимптота = 0.
1520. Симметрия относительно оси Ог/. Функция неотрицатель¬
на; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0 (угловая точка).
Вогнутость вниз. Асимптота у = л. 1521. Точка разрыва функ¬
ции х = 0. Нуль функции х = —2. Минимум у = А л/е «6,59
при х = 2; максимум у = — «0,37 при х = —1. Точка пе-
520
ОТВЕТЫ
2 8
региба дс= , у = — е“5/2«0,13. Асимптоты: х = 0 и
5 5
у = х + 3. 1522. Область существования функции |дс|>1.
Симметрия относительно оси Оу. Краевой максимум у =»
е= 2^2 «2,67 при * = ±1. Вогнутость вверх. Асимптота#^
= 1. 1523. Область существования функции дс < 1 и х > 2-
Точки пересечения с осями координат (0, In 2) и (1/3, 0). Мак¬
симум у « 1,12 при х =— дз —0,72. Асимптоты дс —
3
= 1, х=2иу = 0. 1524. Область существования функции
|х|^<2. Точки пересечения с осями координат: (0, —а) и (0,
67а, 0) (приблизительно!). Функция монотонно возрастает.
Краевой минимум у = а при х = —а и краевой мак¬
симуму = — а при х = а. Вогнутость вверх. 1525. Область
2
существования функции: х 0 и х ^ — * Краевой минимум
3
2
у~ 0 при х = 0; краевой максимум у = я при дс =—. Вог-
3
2
нутость вниз при х<0 и вогнутость вверх при дс ^—. Асимп-
3
я
тота у — —. 1526. Область существования: х > 0. Функция
(1 \и* 1
— I « 0,692 при дс = «
е ) е
« 0,368; краевой максимум у = 1 при дс = + 0. Вогнутость
вверх. 1527. Область существования функции х > 0. Краевой
минимум у — 0 при дс = + 0; максимум у — е[/е « 1,44 при
дс = е. Асимптота у= 1. 1528. Область существования: х >
> —1, дс ф 0. Функция положительна. Устранимая точка раз¬
рыва: дс = 0. Точек экстремума нет, функция убывающая. Вог¬
нутость вверх. Асимптоты: х =—1 и у = 14 1529. Функция
монотонна при дс > 0. Краевой минимум у — 0 при дс = + 0.
Асимптота у = е . 1530. Функция положительна.
Симметрия относительно оси Оу. Точки разрыва: х= ±1. Мн.
нимум у = е при х = 0; максимум у = »0,15 при х =
— 4 Vе
*= ± л/Ъ • Четыре точки перегиба, Асимптоты: х = —1 при х
ОТВЕТЫ 521
-> — 1 + 0; х = 1 при х —► 1 — 0 и у = 0 при х -> оо,
1531. Функции х и у — неотрицательны; хт1П = 0 при t =
=—1; утin = 0 при t — 1. Вогнутость вверх при / > -1 и
вогнутость вниз при t <С —1. 1532. Точки пересечения с осями
координат: (0, 0) при / = 0; (±2 УЗ —3,0) при / = ± У"3
и (0, —2) при t = 2; xmaX = 1 и (/щах ~ 2 при t = 1 (точка
возврата); Угтш1 = —2 при t= —1. Вогнутость вверх при f< 1
и вогнутость вниз при *> 1. 1533. Точка пересечения с осями
координат: (0, 0) при t = 0; xmax = 0 при t = 0, хт\п — 4
при / = 2; у убывает при возрастании /. Точка перегиба (—0,08;
0,3) при t « — 0,32 (приближенно). Асимптоты; у = 0, х =
1 х 3
= — и “• 1534. Точка пересечения с осью Оу:
(0, 1) при t — 0; точка пересечения с осью Ох: (—1, 0) при
t = оо. Краевые экстремумы: xmin = 0 и утих = 1 при / = 0;
*тах = “1 и Ут in = 0 при t = оо. Точек перегиба нег. Асимп¬
тота у = —. Вогнутость вверх при |f|> 1 и вогнутость вниз
2
при |/| < 1. 1535. Функции х и у — положительные; хт\п =
= 1 и утin = 1 при t = 0 (точка возврата). При t < 0 — вог¬
нутость вверх-, при t > 0 — вогнутость вниз. Асимптота у =*
=2х при /-*+оо. 1536. Основная область: [0, я]. Точки пере¬
сечения с осями координат:! —, 0 | при *= — ; ( 0, -—^
> 6 I V^/
при < = — ;(— а, 0) при t ~ —; /0, —ПРИ 1 »
4 2 V а/2 / 4
(f'°)
при t = Экстремумы: хтлХ = а и утзХ = а при
t — 0; i/min ^ при t —— j Х[лш ' ^ при t —; //maxs
О ^
2я . D
= а при f = ; xmax = й и ут\п = — а при t = п. Вог-
3
я я
путость вверх при 0 < t < вогнутость вниз при — <
< t < я. 1537. Функции х и у — неотрицательные и периоди¬
ческие; основная область 0 <-2-. Экстремумы: хт1П*=*0
и Утах=1 при < =-у И Хт„= 1 И ут|„ = 0 При t — 0.
Вогнутость вверх, 1538, Область существования; t > 0, Сим*
522 ОТВЕТЫ
метрия относительно прямой х + у = 0. Экстремумы: *mjn «
= — » —0,37, у = —* да —2,72 при / = — ; ^тах = — *
е ее
к — г при t — е. Точки перегиба: = —^2 да —0,34,
~ —5.82 при t=e~^2 да 0,24 и х2 а
= '\[2е/^2, y2 = ^J2е~^2 при t=e^2 да 4,10. При t —
е=г — изменение знака вогнутости. Асимптоты: *=0 и */=
б
в= 0. 1539. Функции дс и t/ — периодические с периодом Т =
«= 2л, основная область —я < / < я. Симметрия кривой отно¬
сительно осей координат. Кривая имеет две ветви. Экстремумы:
х min = о, У = 0 при t — 0; *max = — а, £/ = 0 при / = ± я.
Вогнутость вверх при — я <С t < —я/2 и 0 < t < я/2; вог¬
нутость вниз при —я/2 < i < 0 и я/2 < / < я. 1540. Сим¬
метрия относительно оси Оу; утjn =0, х = 0 при / = 0.
Вогнутость вниз. 1541. Параметрические уравнения: х =
За* За/2 , ^ ^ , ч ^
(/ = (—оо <С / <-{-оо). Симметрия относи-
\ + t* 1 + /э
тельно прямой у = х. Точка пересечения с осями координат
О (0, 0) (двойная точка). хтах = да 1,59а при у ~ a -J/" 2 да
о _ 0 ^
да 1,2д; f/max=ay'r4 при х=а^2. Асимптота х + у + а= 0.
1542. Симметрия относительно начала координат, осей коорди¬
нат и биссектрис координатных углов. О (0, 0) — изолирован¬
ная точка. Точки пересечения с осями координат: (±1, 0)
И (0, ± 1). |*lmln=l при У = 0; | * Imax ° л / ‘ + ^ »
тах-
«1,10 при \у\ = л/1/2 да 0,71; |</|min = 1 при х = 0 | у |
= /\J 1 ^^ ^ ПРИ 1*1 =V 1/2. 1543. Параметрические
\ —р 1 — /3 и
уравнения: х = , у , где /=^-(—со < *<
tl I х
С+оо). Кривая имеет две ветви. Симметрия относительно
прямой х + у = 0. Экстремумы: xmjn « 3/2 у^2 да 1,89, у =
= —3/2 уТ « —2,38 при <= —3/2 «—1,26; j/max =—3/2 уТ
ас = 3/2 >^4 при / = — >^1/2 да —0,79, Точки перегиба: jc, «
« 2,18, i/i « -4,14 при t = — j/"-L (7 + 3 У7) » — 1 .SO;
ОТВЕТЫ 523
jc2«4,14, у2 « —2,18 при / = —-i- (7 — 3 л/в) 0,53j
при t~ —^2 —изменение знака вогнутости-. 1544. Кривая
состоит из прямой у ~ лс и гиперболической ветви дс = (J +-
4- 0!//. У = (1 + 01+1// ( — 1 < t < + оо). (■е, е) — двойная
точка. Вогнутость вверх при хфу. Асимптоты: jc = I и у
= 1. 1545. Область существования: |х| ^ In (l + V2)~ 0,88.
Симметрия относительно осей координат. Краевой минимум
\у\ = 0 при х = dr In (l + У2). Вогнутость вниз при у> О
и вогнутость вверх при у < 0. Асимптоты: у = х и у = —х.
1546. Область существования функции: г^0,|ф|^а, где а=з
е= arccos (-f) . Кривая замкнута. Симметрия отиоситель*
но полярной оси. Максимум г = а + Ь при ф = 0; краевой
минимум г = 0 при Ф = dr а. 1547. Область существованиям
0<ф<—; -^-<Ф<я, Функция г —
3 3 3 3
периодическая с периодом . Кривая замкнута и имеет
~ я 5п
три одинаковых лепестка. Оси симметрии: ф= —, ф= .
б в
Зл
и Ф = • Начало координат 0(0, 0) —тройная точка*
я я
При 0 < ф ^ — имеем: максимум г = а при ф = — и ми*
3 О
нимум г = О при ф = 0 и ф = 1548. Область существо*
3
я я 5 2я
вания функции: |ф| <— и —< |ф| < — я, период *
6 2 6 3
2Ti
Минимум t » а при ф = 0 и ф = ± ——. Асимптоты: ф ^
3
л я 5л _
= н=—, Ф=±—и ф = dr . 1549. Спираль, имеющая
6 2 6
начало координат своей асимптотической точкой; г монотонно
убывает при возрастании ф. Асимптота ф = I. 1550. Область
существования г ^ ~~шш^—^ 0*62. Краевой максимум ф
j—
при t = — ; минимум ф = arccos— « arc 75°30' при
2 4
624 ОТВЕТЫ
г — 2. Асимптота т cos <р = 1 при т -v -f оо, 1551. Семейство
парабол с вершинами (1, а — 1) (минимумы). Точки пересече¬
ния с осями координат (0, а) и (1 4= Vl—а, О) (при а < 1)«
Вогнутость вверх. 1552. Семейство гипербол при аФ 0 и пря¬
мая у — х при а = 0. Минимумы у=2\а\ при х=\в\
и максимумы у — —2 |а| при дс = — 1 а| (а^О). Асимптоты
у = х и х = 0. 1553. Семейство эллипсов при 0 «< а <1 + оо;
семейство гипербол при — оо < а < 0; прямая у = х при а *■
*= 0. Все кривые семейств проходят через точки (—1, —1)
и (1, I). При у > х имеем: 1) максимум у *= Vl + а при х =*
” , если а > 0; максимум у = — У1 + а при х =»
Vl + a
I
г= , если —1 <а< 0; краевые минимумы у = =р1
Vl + а
при х = + 1 (а Ф 0); 2) вогнутость вниз. При у х имеем:
I) минимум у — — У1 + а при х = ^ , если а >0}
л/\ + а
минимум у =*У1 + а при х = ^ , если —1 < а < 0)
д/1 + а
краевые максимумы у = 1 при х = =р1; 2) вогнутость вверх.
Асимптоты: у = (l + У — а ) дс и «/ = (1 — У — а) др при а<0.
1554. Семейство показательных кривых, если аФ 0; прямая г/=
М , если а = 0. Общая точка семейства (0, 1). Ми-
2
нимумы у = —(1 + In 2а) при х = In 2а, если а > 0}
2а а
г/ монотонно возрастает, если а ^ 0. Асимптота у = .
2
1555. Семейство кривых, проходящих через точку (0, 0) и име¬
ющих в ней общее касание с прямой у = х. Максимум =
» оег1 « 0,37а при х = а, если а > 0; минимум у — ае~] при
х = а, если а < 0. Точка перегиба дс = 2а, у= 2ае~2 « 0,27а.
Асимптота у = 0. 1558. . 1559. (m + п) X
(т + п)т+Л
/ атп \ - .
XI 1 т+л e 15G0. Основание системы логарифмов
V ттпп )
не должно превышать е^* « 1,445. 1561. Квадрат со стороной
У^. 1562, Острые углы треугольника 30° и 60°, 1563. Высота
ОТВЕТЫ 525
банки Н = 2 1/ -7^- равна диаметру ее основания; полная
_ Vt г cos а Ч" Vcos2 а4-8
поверхность Р= V 54лУ2 , 1564.созф = *
4
где 2а — дуга сегмента и 2ф — дуга, стягиваемая стороной
прямоугольника. 1565. Стороны прямоугольника а л/2
и Ь л/2 . 1566. Если h> Ь, то периметр Р вписанного пря¬
моугольника с основанием х и высотой у имеет краевой мак¬
симум при у = Л; если h < bt то Р имеет краевой минимум
при у = 0; если h = bt то периметр Р постоянен, 1567. Ъ =
л/з
F' ‘-"Vi-
1568. Измерения параллелепипеда
—, ■ 2/? и ■ ■ R — . 1569. —R3. 1570. я/?2(Н-
Уз л/з Уз зУз
+ ViT) « 81 % поверхности шара. 1571. Объем конуса равен
2л,
удвоенному объему шара. 1572, — Z3. 1573. Если tga <
9 д/3
. 1
<-^-9 то максимум полной поверхности цилиндра достигается
при г= , где г — радиус основания цилиндра.
2(1 — tg a)
Если tga ^ то при г = R имеем краевой максимум.
1574
. р (3/2 — l) y\J- . 1575. 1; 3. 1576. Если Ь <
а о2
— , то максимум длины хорды MB = , где с =
У-2 0
Vа2 — Ь2 и точка М имеет координаты х и у, достигается
то
у2
краевой максимум длины хорды MB =* 26 достигается при х=0,
при х = ± л/а2 — 262; у — —— ; если Ь> —,
г2 '
цлины хорды Mi
у =* bu 1577. х=—У = —-з-; аб. 1578. Минимум по-
Vs V2
. / 3V
верхности достигается при г = h = I/ f где г — радиус
у 5я
626 ОТВЕТЫ
основания цилиндра и h — его высота. 1579. <р = 60°.
1580. Трапеция, описанная около окружности. Боковые сто*»
Vt
роны А В =■= CD = a sec2 . 1581. а « 2я А/ «arc 294%
где а — центральный угол оставшегося сектора. 1582. ф =а
Я Я l а а
= arccos , если arccos-1-^ arctg —; ф = arctg—, если
р р b b
Я ^ l а |aa + 6u|sin0 л АЛ
arccos — < arctg — . 1583, 1584. АМ=*
р ^ и?-\- v* — 2uv cos 0
а ^1 + j/"• *585» Расстоя
ние светящейся точки
от центра большего шара равно х = , если а ^
,+(^г
> г + R /\Jи х = а — г9 если г + R < а < г +
» где а — расстояние между центрами шаров.
158в- —а—- 1587. (а2/3 + 62/3)3/2. 1588. о»1/ гДв
'у 2 ' Л
Л — коэффициент пропорциональности. 1589. arctg Л. 1590. При
/ ^ 4а угол наклона стержня определяется из формулы cos а33
I + V/2+ ^8а2 ,
= 1—- ! ; при / > 4а положения равновесия нет;
16а
1591. * = — 3; 6=3; у « 3 (1 — х). 1592. а — -1- ^ 6 =
= (1 — *0); с = е*° ^1 — х0 Н . 1593. а) Первый;
б) второй; в) второй. 1595. а) л/з"» (2, 2),
б) ',00 000, (1С0 Г,00 000) (приблизительно!). 1596. р(1 +
, ^ , . . {О* — F2jr)?/2 VС2 — Л2
4 ] • 1597. 1 где е
2* W
'TJ
a& а
(е2х2 — а2)3/2
— эксиеьтпгснтет эллчпса. 1598. » где
ab
— V ц-2 + fr2
е =
эксцентриситет гиперболы. 1599, 3\аху[1/\
ОТВЕТЫ
523
1600.
1601.
1605.
1608.
2 V 2a#.
(fl2+ /-2)3/2
2a2 + r2
/Т2
. 1609.
(1 — e2 cos2 03/2. где e — эксцентриситет эллипса.
(г2 + л'2)3''2
1602. a*.
1604.
1606. г У1 + m2
ln 2
3r V V2 2 J
1611. Полукубическая парабола
1612. Астроида (a£)2/3 + (br\flz = с4/3,
1613. Астроида (| + т|)2/3 + (£ — T])2/^3= 2a2^3. 1614. Цепная
\r2 + 2r'2 — rr" \
2
1607. — V2or .
3
1610. *0« 680 м.
21pr\2 =.8(| — /»3.
где с2 = с2 — fe2.
линия
i
1615. Логарифмическая спираль
о a ch — .
а
р ■■ maem л/2) . 1616. £ = яа+ а (т — sin т); г] = —2а+
+ а(1— cost), где т = /— я. 1617. — —2,602; х2 =
= 0,340; *3= 2,262. 1618. *^—0,724; х2= 1,221.
1619. х 2,087 = arc 119°35'. 1620. ± 0,824 1621. *, =.
= 0,472; х2 = 9,999. 1622. хг = 2,5062. 1623. хг = 4,730;
*2“ 7,853. 1624. ха —0,56715. 1625. х = ± 1,199678.
1626. хх « 4,493; *2 = 7,725; *3« 10,904. 1627. хх = 2,081;
х2 =■ 5,940.
ОТДЕЛ III
В ответах этого отдела ради краткости произвольная
аддитивная постоянная С опущена.
9 1 625
1628. 27* — 9х3 + —х* — х1. 1629. —-*3— 125*Н-
О I о
10 1 11 3
+ 30*» —л» -f — Xl. 1630. х — Зхг + — х3 — — х*.
О / о Z
1631. х — — — 21п|х|.
X
2
1СЗЗ. — хд/х +2 л/х
о
1С32.
a In I х|
2*2
4 а г— 24 12 г— ,
1631. — ху х — * у *° +
5 17
1638.
£ 4/ —
3
4 (х2 -т- 7)
1635.
7^х
1638. In I * I
1
4jc4
,1,1 1+*
+ — In П
4 II — *
з / з з л 1 л
"Vt”( Т* Г*'+Т )'
1637. 2х — -j- У'ТПГ + -у УШ*~.
1639. х—arctg*. 1640. -~х-{*
х— 1
1641. х+21п
х+1
528
1642.
1643.
1645.
1646.
1648.
«= х
1650.
1653.
1657.
1659.
1661.
X ln,
1664.
X ctg
1670
1672.
1675.
1677.
1679.
1681.
ОТВЕТЫ
arcsin ln (jc+ Vl + *2 )-
In
1(44.JL+s.
xx2\ j ^ 6 In 9
2_/'_LY + —L_ (-LVе
ln 5 \ 5 / 5 ln 2 V 2 / ’
— eu — e* + x. 1647. x — cos x + sin x*
2 V2 sgn/- jcos —- — cos / J * где /■»
я
— —([ ] — целая часть). 1649. — jc — ctg дс.
4
— дс+tg*. 1651. achx+bshx. 1652. x—th*.
x — cth x. 1655. ln 1 x + a |. 1656. (!2x — 3)U.
(1 — Зх)4/3. 1658. %- V2 — Sx
4 5
2 5 5
1660.
15 (5* — 2 )3/2 ' * 2
GVt)'
"7Г" a,c‘e (.* VT ) ■ 1662 ~~\jT x
+ *V3” I 1663. arcsin
:; ■ iuuo. -
У2 — *V3 I V3
l=- In | * УГ + Уз*2 - 2 |. 1665. — (<г* +
V3
r^V 1666. — xsin 5a — “4" cos 5*. 1667. — X
/ 5 2
(2jc+-j)- 1668 1669.
~tg(i—,67L 4"[dl(2x+1)+Sh(2A:-1)1'
2th — . 1673. — 2 cth —. 1674. — УI — .
2 2
-7-( 1 + *-3)4/3. 1676. In 13 — 2*21.
4 4
1 1 x-
1678. — arctg
2(1 +ЛГ2) 4 2
1680. 2 arctg
i + y^+i
1 I X* — У2
7== *b
® V2 J ж^ + Уг
cos ~ ♦ 1682. — In
X
ОТВЕТЫ
529
1683.
•— arcsin *
1*1
1684.
1685.
1686.
V х2 — 1
2 sgn x in (VmT" + ViT+TD
1688. 2 arcsin 1689. |-r*2,
1687.
-jV^+27 .
(* 0 + *) > 0).
1690 In (2 e*).
1691. arctg «*. 1692. — In (e** + Vl + <?"“)• 1693. — In3*.
3
1 9
1694. In | In (In x) |. 1695. — sin6 x. 1696.
6
3
1697. — In | cos x|. 1698. In I sin x|. 1699. —
V cos X *
^ 1 — sin 2*.
1700. -
1700.1.
1700.2.
Va2 sin2 x + b2cos2x
a2 — b2
I
y— - In | У2 cos x + Vcos 2x |.
—7==~ arcsin (V2 sinx). 1700.3.
V2
X In (V2 chx+Vch2x ).
,m
1704. ln|tg (t + "4”)I*
1701.
Vr 4
Vctg3 x\
1703. In
1706. 2 arctg ex
1707.
1705.
1
In
+ Vsh4* + ch4* 1708. 3 |/th * .
2 У2
m(-
“t
“T
,-h 2x
1709.
V2
- (arctg jc)».
1710.
1712.
X In
1715
1_
V2“
1717.
arcsin x
1
— ;— arctg ,
V2 _ x V2
x2 —x V2 + 1
1711.
x'^ — 1
Y>n3/2U+ VIT^5).
1713.
1
1714.
2 л/2
1
==-*
хг + * У 2 +1
—^ ^ In (jc't"*‘2/2-(- У1 + *n+2 )
In I x j при n = — 2. 1716
15 (x5 + l)3
при
n Ф — 2j
1 + x
Tln" 1-,
1
V2
■==— arcsin
1»(УТ sin*^> *718. yarctg(tg2*).
530
1719.
ОТВЕТЫ
1
2 (In 3 — In 2)
In
3*-2*
3x+2*
. 1720. 2 Vl + Vl + *2 .
1721. JL*s +JL*?. 1721.1.
3 5 7
1722. —ж — 2 In I 1 —л:|. 1723. ~ (1— *)2+ln | 1 + *|. 1724. 9*—
11 +~1Г~,
— + — л:3 — 27 In | 3 + x |
2 3
1726.
V2
1
in
V2 + x
У2 — X
1
1725.
-p2 In 12—x2|—x. 1727.
X + In (1 + X2).
1
99 (1 — x)91
49 (1 — x)98 97 (1 — x)37-
1728.
'+ 8
1730.
- X — In I X + 1 |.
8+ 30x
1729. — [(x + I)3/2 — (x — l)3/2].
3
375
(2 — 5x)8/*.
1731.
1 +2x
10
(1 — Зх)2Я
I jc— 1
1732. + — (1+**)«/». 1733. —In
14 8 4 j x + 3
1,31.
3 I x+2
1735. arctg x ■
1736.
In
+
1
10 V2
1 *+313
(x + 2)2
2
In
V2
— arctg
■+V2
1
— arctg
«-70П 1 I X2+\
1738. — In -r—
In
x+ a
x2+ 2
1740.
5 V3
1739.
V3
2x + a + b
V^
1737.
(a—b)2(x+a)(x+b)
1 /1 , X
i — arctg
(a — b)3 I x b I a2 — b2 \ b b
__L arctg —^ (| a 1=^=1 b I). 1741. — —sin 2.«. 1742. — +
a a J 2 4 2
lxl 1
j sin 2x. 1743. —cos a sin (2x + a). 1744. —sin2x—
4 2 4 4
— —sin8x. 1745. 3sin — +— sin e
16 6 5 ь
1746. — X
10
Xcos^5A!+-^-^ + -i-cos^ + -^-j. 1747. _cos*+-^-X
Xcos3*. 1748. sinx ——sin3x#
3
1749. — x — sin 2x-[-
8 4
ОТВЕТЫ Б31
1 3 11
+ —- sin 4л?, 1750. —хА sin 2л: А sin 4*,
32 8 4 32
1751. — х — ctgx. 1752. — tga х + ln | cos xf.
3 3 13
1753. — —- cos 2x — cos 4x + cos 6x + —— X
16 64 48 128
X cos 8x H—-7—- cos 12x, 1754. tg x — ctg?x. 1755. г 4*
192 - sinx 1
+ ln I ‘sfv + -irt • 1756- -o ~ i~ + ln *1*
1 V 2 4 J\ 2 cos2 x
1757. ln | sin x| — — sin2x. 1758. tgx + —tg3x.
2 3
1759. x — ln(l + e*). 1760. * + 2 arctg e*. 1761. +
+ ~ sh 2x. 1762. ~ + ■— sh 2x. 1763. -|-shs*.
1764. sh 2x + -g- sh Ax. 1765. — (th x + cth x).
3
1766 . — (9+ 12x4- 14л:'2) (1 — xf3.
1767 . 1 +j5-Ar- (l _ 5x2)U. 1768. — (32 + 8x + Зх2) X
6 600 15
X л/2 — х . 1769. 1_ (8 + 4x2 + Zx* л/\—х* .
1770. - 6 + 25ж3
(2 — 5*3)6/3. 1771. (— Lsin** + _L. x
1000 U 7 11
X sin4 дЛ Vsin3 * • П72. — cos2 x + —- In (1 4- cos* x).
J 2 2
1773. — tg3 x + — tg8 x. 1774. — ( — 2 + ln ж) V1 4- 'n x .
3 5 3
1775. — x — 2е-х/24-21п(1 + e*/2). 1776. x— 2 ln(Vl 4- <?*).
1777. (a ret о V*)2- 1778. ■ . x . 1779. — V*2—2 4-
V1 — X‘ 2
4-ln|x+V*2— 2 |. 1789. — V1 — x2 -j—-—arcsinx.
2 2
1781. X . 1782. — Va" + + cl arcsin —— #
а2 У а2 4-х2 a
1783. 3a + -- Vjc (2a — x) ■{- 3a2 arcsin /\ — , 1784. 2 X
2 V 2д
632 ОТВЕТЫ
X arcsin
, (6-а)2
in л/j^-. 1785. Ji+
\ b — a 4
a /. 1786. +—x
V b—a 2 2
arcsin
1792. *
X In (x + Va? + *»). >787. — л/a2 + x* — In (x+ л/5^).
2 2
1788. л/х2 — a2 — 2a In (V* — a + V*"-Fa), если x > a;
— Ух2—a2 + 2a In (V — *+ я + V — * — a), если x< — a.
1789. 2In (V* + Д + V* + М. если x+a>0 и x+6;>0j
— 2 In (V — * — a + У — x — б), если x + a < О и x + b < 0.
1790. а& b VU+ a) (* + b) - In (Ух+~а +
4 4
+ У*+б), если x + a>0 и x+6>0. 1791. x(ln x - 1).
An* ! — 1793. !_(1п** +
n+1 \ «+1 / x
■f 2 in x + 2). 1794. — x*P An* x —In *+—). 1795. — (x+
3 \ 3 9 J
+ 1) e~x. 1796. (x2 + x -f —'j. 1797. — *L±— e~*•.
2 V. 2 J 2
Oy2 1 у
1798. x sin x+cos x. 1799. — cos 2x H sin2x.
4 2
1800. xchx-shx. 1801. jsh 3x - j X
X ch 3x. 1802. x arctg x — ln(l + x2). 1803. x arcsin x-f*
2
+ Vi — **• >804. —+ -1 + - arctg x. 1805. И~ X— X
2 2 9
/; 2 1 x3 inn* arcsin x . 14-У I— x2
X VI — x2 -{ arccos x. 1806. In ~ v
3 x
1807. x In (x + VI + *2 ) — Vl + *2 • l808- * —
2
X In '-+*- . 1809. _ V7 + (l + x) arctg л/7 . I810. In
l — X
— cos *• In tg *. I8ll. — (x3— \)е**л 1812. x (arcsin x)2+ 2 X
3
arcsin x— 2x. 1813. ■ * *— (arctg x)2 — x arctg x 4*
2
x
l —X2
f *
tgTP
ОТВЕТЫ 533
+_Lln(l+x2). 1814. — — X2 — - In I 1 — x2| + — In I — L
2 3 3 3 | 1 -\-x |
1815. aJ\+x* In (x-f УТ+хМ - x. 1816. — -— H
2 (1 + x2)
+ — arctg x. 1817. - | !— arctg — (а Ф 0).
2 2a2 (a2 + x2) 2a3 a
1818. — V a2 — x2 4" a‘ arcsin—-— (а Ф 0). 1819. * X
2 2 | a | 2
X У*а + a -j- — In | x + У*2 + a |. 1820. - * —° X
2 8
хУа2 + х2 — In (x + Vfl2+ *2) • 1821. ~ — sin2x—
8 4 4
cos 2* ^ 1822> 2 # ,823 2 (6 — x) -у/х X
8
Xcos л/7 — 6 (2 — x) sin У*. 1824. (!—*,) garctg*
2 У1 + x2
1825. ^ g———. 1826. — (sin (In x) — cos (In x)].
2У1 + Х2 2
,827. JL [sin (Щ x) + cos (In x)]. 1828. ,g cos_6x + 6 sin 6x_ ^
2 a2 + bl
1onA a sin bx — b cos bx <оол e2* m v
1829. eP*. 1830. (2 — sin 2x — cos 2x).
a2 + b2 8
1831. — + — sin2x — ex (cos x + sin x) + — e2*. 1832. — x +
2 4 2
+ _L in(l 4. <?*) — rx arcctg(^). 1833. — [*+ ctg*.ln(esln*)].
2
1834. *tg*+ ln|cos *|. 1835. ——. 1830. —т^=- X
x -f- I yab
X arctg I *л/ , если ab> 0; -In
<gn a | V|ol4-«VW
если ab < 0. 1837. —~ arctg . 1838. — Я
V7 V? 4
1839 — ,n
4 V2
2 V — С1Э I Vi“i —■* Vifti
2* — 1
Vf ■
*2 - (V2 + 0
*a + (V2 - 1)
1840.— *
2
. ! *- l
* lnh; г
I 3x + 1
1 2x 4- 1 1
X In (ДС2 + x + 1) + —^r- arctfcj —-£=—. 1841. — ^
X ln(x- — 2xcos a + l)+ctg a*arctg ~—C0S a- (a ^*kn9 k — ue
sin a
534 ОТВЕТЫ
1 t 2jc2 — 1
пое). 1842. In (x4 — x2 + 2) H pr- arctg
_ u. - * -r TT7r —K
1843. -L In {I x* -Ь 11 (x3 — 2)2}. 1844.-i-Inl 3s,n*—5cos*
sin x — cos x
(tg-^+Л
1845. arctg X — - — . 1846. -L In (x V* + Va+ bx2).
2
если 6^0; —« * arcsin (‘V-т)- если а>0и
6<0. 1847. arcsin . 1848. ln I jc H—!—л/x1 + x
у 2 I 2
1849. -jLln^x—J + д/*2— ^*+1)‘ 185,‘ ~ + A'—^ +
+ — arc«in ■2X ~ 1 . 1852. — In (x+ — + V*2 + * + Л -f
2 д/21 2 V 2 J
4- У*2+ x+ 1 . 1853. ^rrr- arcsin ;j_ -.
2-V2 V17
1853.1. arcsin ~.sln*~!. 1854. - ln Ix2— 1+ V^4—2x2—1| +
3 2
\ } , ^ <)y'l _ 1
+ - V*4—2x‘— 1. 1855. ‘--T~ Vl + *a — X* + —arcsin ~ .
V5
1856. — In
х+2+2л/хг + х+ 1 Vx2+x-l
a:
1857.
x
f7 + arcsin * ■- fU+— >-^-Y 1858. _rJL X
2 |*| V5 VI 2 2 / V2
x ln;
l-x+V2(l + x3) I ,ИВЛ . x — 2 ,, _
1 . 1859. arcsin — (| x | >
1 + * I I x — 11V2
>V5). ,880.-!---^^-. 1 - '+?
arcsin
* “b 2 5 л/ъ | x -\-2 | V 6
(|x + 1| > л/6). 1861. -2* ~ 1 V2 + X — xa 4- — X
4 8
X arcsin — 1862. J— In (-1— 4-*+ V2+ * + *■* 'in"
3 8 \ 2 J
2x+_i_ x <2 ^ )ge3 *_+_!. V«« + 2x»- i Lx
4 1 2
X ln I*2 4-1 + V*4 + 2-«2 — 1 1. 1864. - Vl + « — Jc* -{—- X
1— 2*
X arcs in --
У5
-ln
ОТВЕТЫ
2 + x + 2 VI + x — x2
535
V5 \
2 J’
1865. ln
x*—\+ aJx* + 1
1867. — In
2
x
(x+2)*
1866. ln| x— 2|+ ln|x + 5|*
<x + 1) (x + 3)3
llx5 21x4 ,
1868.
3x7
43x3
9
85x2
X in
28
5
1
(x+2)
1024
171x + — X
4 <5 2 3
1869. x + — In I jc | — ln|x—21 4-
6 2
+ — In I x — 31.
1871. —
1
3 (x — 1)
1870.
+ — In
9
1
3
x — 1
arctg x
8 , x
■ arctg
1874.
1875.
1873. -
9x2 + 50x + 68
4 (x+2) (x+3)a
3x2 + 3x — 2 .
x + 2
5x — 6
3
1872.
x2 — 3x + 2
+ 4 ln
x+1
x— 1
x —2
8 (x — 1) (x + I)2
x2 + 1
16
1
8
ln
In
(x+ 1) (x + 2)16
* + 1
x— 1
(* + 3)« |
. 1876. arctg x+
+ — ln
6 x2 + 4
1877. — arcctg x + — ln •
2 4 x2+l
1878.
X In
1
x —2
(x-1)2
■arctg (x — 2)
8
25
+ 2x + 2
2 , 14- 2x
— — arctg —
Уз Уз
1 . 2x — 1
+ vr 8 ~jT'
1832. —
6 X2 + X 1
1879.
arctg (x + 1),
1881
I
+
1
5 (x — 1) 50
X
1880. In
— ln
6
I . 2x+\
—- arctg •
x—\
x+ 1
arctg x.
2
л/з
1884.
Уз
> + *
(* + I)8
*2 — * + 1
1883.
•X
+ ■
2 л/2
arcts •
■ V-2
4 V 2
ln
V2+1
1 — л:2
.„о- 1 , *2+*+l
1885. — ln —
4 xi — * + I
х*—х У2 4-1
I
2 УЗ
636
X arctg
X2-!
хд/З
1886.
ОТВЕТЫ
1
i„J + «V3+«- +J_X
4 д/3 1 — х V3 +
X arctg х + arc*g *3*
6
X In-
(1 + *)2
1 — х + х2 2
,000 I , (х — 1)а
1888. — In —5 1—
6 х2 + х+1
1887. —
arctg х
1
1
: l
6(1 + х) 6
1 2х — 1
X In
х2 + 2х + 2
V3
зУз
— arctg 2х
arctg
л/з
л/з
1889. — X
5
arctg (х+ I) — arctg (2х+ 1).
5 5
х2+х + 1/2
1890. д + 2& + Зс = 0. 1891. 2
*+ I
8(х-1) (х+ I)2
+
1
16
X In
4-
X— 1
Зд/з
arctg
1892.
2х — 1
3 (*3 + 1)
1893.
1894.
х2 + 2х + 2
УЗ ' 8(*2+1)2
arctg (*+ 1). 1895.
+ -Ll„ _(*+■')• 4.
9 х* — х+\
«&+*>--- 3 arctg;ct
8
16 У2
In
x2 + X л/2 + 1
1896.
5x + 2
3(x2 + x+l)
2x+ 1
— arctg
4 (*4+ l)_
x У2
■ +
8У2
(*-!)*
*2 + * + 1
X2 — 1
+
8
X arctg
Vs
X arctg x. 1898.
1897.-
7x5 — llx
21
32 (x4 — l)2
x3 + 2x
128
■In
X— 1
зУз
x
X+ I
--x
64
6 (** + ** + 1)
. 1899.
1900.
xb + x + 1
(весь интеграл!).
8л4 + 8s2 + 4jc — 1
28 (jcs + x + J)2
1901. —^~-1
зУз
arctg
1903.
2x+ 1
Va
1
1902.
3(x2+x+l)
ay + ca =s 2fcp.
96 (x— l)9
97 (x — l)07
1
1904. — In
8
99 (x — l)w
1905. - arctg ■ . 1906
4 Уз" л/з
xa — 1
X2 + 1
98 (x — l)y8
— arctg x3,
4
12
■In-
(x2+l)a
X4 - X2 + 1
ответы 537
1 2 у2 1 5 у4
X arctg х9 — arctg —— . 1007. — In
2V3 V3 8 *4 + 2
— In . 1908. — ( — 1 !
*•+1 ЮО V *М-Ю 2 VIO
X In
\\ 1909. jL+_L ln. **+1
x°
+ ViO IJ 4 4 (x* + 2)*
1910. L arctg (X5 . 1), 1911. _L x
10 (x10 + 2x5 + 2) 10 n
X (xn — ln | x" + 1 I) (n ф 0). 1912. — (arctg xn ^
2n \ x2n+\ /
\ x10 11
(пфО), 1913. —In - . 1914. - h—X
20 *10 + 2 I0(*10+I) 10
jc10 1 I 1 1
X In— . 1915. —In —liJ . 1916. — X
jc‘0+1 7 (\ + x7)2 5
1 x2 1 1
1917. arctg— 1918. ——X
д/з х^/з Vs
XU.I x(x4-5)
— 5x + 1
К In 2* + (1.-.УУЬ + 2.. _i_,„^W2±L.
2x2 + (l + V5) x + 2 4V2 x*-\-x2 V2 +1
1920. arctg x+ — arctg x3. 1921. In= 2ax + 6 ,
3 (n—1) A (ax2+6x+c)/I“*
1 3 2c . A л #2 » 2at + 1 .
J /л-1, где A = Aac — 62; /3 = -L [-
л—1 A 6(x2+x+l)2
2дг+1 + _i_ arctg _g* + 1 ,922. 1 =
З^ + дс+l) 3^ ф
= ! -!_/ -L + 3/-J1-
(b —fl)m+n“* J <m 625 v f 2
-3ln|/|Y где /= —. ,923. - V — +
) * + 3 Ljk\(n—k)(x—a)n-k
fc=0
Pl„n) (a)
-j ln I x — a |. 1924. R(x) = P (x5) J-
n\
k ni
+ Г — 1 — 1, где Я —многочлен,
Lt Zj l (ai~x)ai {ac+*)“/ J
.=1 ,=1
dh 0 = 1» . . • 1 fc) — корни знаменателя и Л// — постоянные
S38
коэффициенты. 1925.
ОТВЕТЫ
—У
2 п Lu
k=l
COS
я (2k — 1)
2п
■о-
In | 1 — 2jc X
х cos —- я + дсЛ -j V
2 п J п £_J
/2=1
. я (2ft — 1)
sm ^—-X
2п
X arctg
2fe — 1
дс — cos я
2п
. 2k — 1
Sin я
2 п
. 1926. 2 V* —2 In (1 + л/х) .
1927. — In
4 (,+W)2( 1-К + 23/Г)3
2 У?
X
К arctg Al^Ji L. 1928. —(* —t2 2_ln I / — 11 + — x
yf 4 2 4 8
X In (<2 + i + 2) —_ arctg - ,t = 1^2-r x .1929. 6/ —
8У7 yf
— 3<2 —2/»+ — <4-
2
где / = 'f x + 1 . 1930.
— fi — fl + 3 In (1 + <2) — 6 arctg t,
5 7
2 ^
(i + V'*)2 i + W
1931.
дс/дс2 J_ , *- ln 1 V-к2—1 |. 1932. \f ^±L .
2 V x—l
1 + t y2 + <2
1933. —
X arctg
2 2
a/3
1 + /4
l—/2
+
ln
У 2
4 У 2
•—i/^7-
н—^
1 — l л/2 + <a 2 V2
rt
1934.
a — &
xi/XjT. 1935. -f + лЛ -4-V
у дс — a 2 2
Xln(V*+Vl+*)- 1937.
3 — 2x
x (1 +*) X
2
V1 т * T *- ^-X
4 8
X In (y + x+y/l+x+x* j. 1938. -lnj 2~^^+£Г!
ОТВЕТЫ
Б39
1939.
X ln
2 — х
3(1 — х)2
х + 2 + л] 2 R
л/l—x2. 1940. Д + 1п(*+1 + Д)-У"2 *
где R — л/х2 + 2х + 2.
1941,
1 + 2х
arcsin ~ г 1П
V5
X VI + X — х1
11
3 + * + 2 У1 — х — х1
\ + х
1—2*
. 1942. - — X
arcsin ■
X У1 + 2* — х1 — 4 arcsin
д/5
1 — х
■. 1943.
19+5*+2*а
. 1944.
/ 63
( 256
21
128
*а-|*
f —*5 - — *7 + л/ГТ^- — In (*+ л/Т+1?).
160 80 \о) 256 ^ '*
1945.
1946.
\ к
/ X2
п
24
■Л У а2— Ч—— arcsin
; 16
14*
|а|
-37^ V^2+4x+3—66 In | х+2+У*2+4*+3 ('
1947. !— л/ха +1 ■]—-- In 1 + У*2 + L .
2*а т т 2 |х|
1948. -*2+1 X
Зх3
И
XV^-I. 1949. — V*a + 3A;+1
. 40Л/Г *
(х+ 1) л/5 + 2У*г + Зх + I
X In
1
1950.
Зх -f* 5
X У*2 + 2х arcsin ■
1*+Ч
1951. 4a(ca1+M1)=8a2£1+3frafl1(a^0). 1952.
8 (* + 1)а
, где * < — 2 или * > 0.
У1 +2* — *2
1
=- In
V2
X arcsin
1954.
Y2 + Vl + 2х — *2
2(1 — *)
1—*
1
1953. — v
2
+ — In
* — 3 1
/•= In
I * — 1 | Vs 2
V xa + * + 1
x-j- 1
1 — )t + 2 Vjta + x+ 1
3x+l—2л/х*— x—I I
x+\ J*
+ m (*+-£-+ Vxa + * +1^4-
* + *
x+l
| д.
X У1 + 2* — *2 — 2 arcsin .— - —
V2 V2
1955.
1
arcsin
*yr
ll+*le
640
1938.
ОТВЕТЫ
Ух2 — 4х + 3~
(дс < 1 или х > 3).
1
X— 1
1957.
— 2 arcsin
1
1
1958.
1959.
2 V2
In
л/2
* л/2- + V*2 — 1
=— arctg
1* = 2|
jc л/2
*У2 —л/*4—1
2лЛ +
4 V2
— In
V1 + X1 + X V2
VT+1?—* V2
1S30. In (ж + V*2 + 2 ) — arctg
V*2 +2
arcsin
(2дс + 1) л/2 + УЗ (*2 + * — 1)
196!- угх
(2х+1)У2 — УЗ(ха-|-х— 1)
1962.
х 1
уг
У2
arc tg
У2 +2х — х3
1
Уб + У 2 + 2х — х2
X In —
1964.
X In
X in'
1966.
у 6 — У2 + 2Х —х2
I
—- arctg
У2
1963.
(1—х)У2 Уб
2(*-1)
— X
з У х2 + х + 1
Ух2 + х+2_ +
1
(* — 1) У 2
(х+1)УГ — Уз (ха + х + 1)
УхД — х+ 1
1965.
Уб
1
— х
—-х
У2 (2х2 — 2х + 5) — (х + 1) 1
У2 (2х2 — 2х + 5)" + (х + 1) 3
arctg
6 У2
л/2*2 — 2х + 5
1
2 (2г +1) 2
+ у? + х + 1 . 1967.
1 + У1 — 2х — л,2
In ‘
|2*+1|а
г — 1
In
г =
1968.
х+1
» где г = х +
-|—2 arctg г, где
I
1 ( 1
Т{Т №-■)• +
+ <*- 1Г*1 + Ш -!)■-(>- D-I + № -1) + Ч - 1ГЧ
Н—— In 12 — 11, где г = * + V*2 — 2*+ 2 .
5 1,3,
1969. . „ , ; Ь — In | Z — 1 | —
18 (г+1) 6(2+1)г 4
16 ln|2-2|--^-1nl2+l|, где Z=_V£±H±1.
108 х + 1
27
ОТВЕТЫ
541
1970.
2 (3 — 42)
5(1 — г —г2)
+ "WT",n
УГ 4-14-2-г
л/ЁГ — 1 — 2г
где
г=— * + У* (14-х), 1971< — (Ух2 4-1 +
1п
х + У*2 + 1
— fin ,Va + '
v гУГ-t
у' 12г2 ^
л/3-— 1/
з^ТГ
X arctg
с + У*2 — 1
~+У/'12гГ+ I
^12?+ I
14-х
1972.
-2 X
г Уз
— У1 — х —
где г =
1
/— ■ arcsin х.
У2~
1+2х+2У| + х+хг
(2 + х + 2 У1 + х + ха )2
+ x3/2j- -f k* + i)5/2-*5'2].
О
X In
1974. yi+*+x2+--X
•975. -^-[(х+I)3/J +
X arcsin-
: л/2
'• I977-
х3+ 1
1 X2 — 1
У2
■=— In
1976. т=-
У2
х УГ + Ух4 + 1
х4—1
~'(i*i>VV2 -1).
1978. — arcsin
2 х У2
1 , х2(2х2+ 1 4-2 Ух4 4-х2 4- 1 ) 1
1979. —In - — - ■ 1981. —X
2 х2 + 2 + 2 Ух4 + х4+1 3
х У(х + х2)3 — * "^2— Ух 4-х2 4- -g- In (yF 4-
+ V1 + * ) ПРИ х > 0. 1982. — х5/6 — 4х1//2 + 18х,/в +
Зх
1/6
1 + х
1/3
- 21 arctg х,/6.
1983.
— 2е — 2za + За, где
5
л/1 + *^х2 . 1984. — г + —— г3 — - г,— • где г= V1 —х*\
v 3 5
1 г2 4- г 4- 1
1985. — In 1——-
6 (2-1)1
-~W~ arctg
2г 4- 1
УГ *
где г =
Vl + *
1986. -j" ,n I
4 j z —■ 1
643
arctg 2, где г =
. 1 . 22+2+l f
+ — to *_.+г +
ОТВЕТЫ
Vtt*
. 1987. 4- In 2 1
2 Уз
f==- arctg
2+1 '
г4 — I
гУГ ’
6/
где 2 bs у 1 +
где
К
1
1 +
X
(2+1)2
1989.
32
2 (2*+ 1)
4 22 — 2 + 1
Уз"
. 2г — 1
'&XCig~W~
где
1990.
2 1
1991. sin x— — sin3 x + — sin5x.
3 5
3 1
X sin 2x + —-sin4x + —- sin82x.
64 4o
3 1
X sin 2x +-—sin4x — —- sin3 2x.
64 48
где k = ± 1, ± 2, . . •
1992.
1993.
5 1
”йГ*-Тх
5 1
x+ — X
16 4
1994.
sin 4x
sin3 2x
48
1995.
sin5 x
16
2 sin7 x
64
sin9 x
+
1996.
cos 2x
cos3 2x
cos5 2x
cos x
1999.
64
1998.
cos X
96
COS X
2
320
COS3 X
1997.
1
3 cos3 x
2 sin2 x
2sin2x
2000.
3 X
In tg —
2 j 2
sin x
2 cos2 x
+ -J- In ' 2001 ’ — 8ctS 2jc — ct632ж-
tg4 x . 3 tg2 x ctg2 x
£002.
2003.
- 3 In | tg x |.
i
1
cos X
tg2X
,1 x
■ + In I tg —
3 cos3 x 2
2004.
tg4 x
2
ctg3x
■ In | cos X |.
— ctg*. 2008.
2005.
t<Z5 X
4
ctg3 X
— —. 2007. — 2 yctgx +
ответы 543
+ivw.
л/З 1 — t2 л 3/—
arctg —- * где / = у sшх*
2 t л/З
1 , 22 + г VF +1 1 , г V2”
мм-Т7Г|п~737уг^ W г~^'
Г® ,= VtfT. ИЮ- -r'° J-V+1 +~У2~Х
2?з — J 2
X arctg —^===—* где i= у/ t g х. 2011» /д =г
cosxsin^x , rt—l r tJ> sin х cos'1”1 х ,
*= — 1 / rt—2* Kn — Г
п п п
, л — 1 1 5
Н Кп.2\ IQ = — — cosxsin^x— cosxsin^jr—«
п б 24
5 5 17
— cosxsinx + —-х; = —sinxcos?x + —“"X
lb 10 о 48
. . 35 . „ . 35 . .35
X sin х cos5- X + ’ ‘ Sin X cos3 X + sin X COS X -f- — X.
192 12a 128
cos x , n—2
2012. I n =■ — - . i j /д_21
(/i — l)sin" гх rt—l
* sin* . n 2
" (Л — 1) cos'1-1* « — 1 n_2’ 5
cos x 3 cos x ,3,1 x I sin x
-In tg— ; Я, = -
4sin4x 8sin2x 8 | 2 | 6 co^ x
5sinx . 5sinx , 5
24 cos4 x 16 cos2 x 16
In tg
2013. cos 4x — —- cos 6x. 2014. X 1 S*n
8 12 4 8
sin4x . sin 6x 3 x 3 5x
2015. — cos — — cos —-
16 24 2 6 Ю
3 7x . 3 llx 1
_ "7ГC0S “б~“ IT C0S ~6~~ ■ • —co$(a~b)X
X cos x — ~ cos(x + a + b) + - cos (3x + a + ^) •
2017 X I sm^ax j s*n26x . sin 2 (a — b) x .
4 8a + 8 b + 16 (a —
544
sin 2 (a + b) x
16 (fl + b)
Hcos 6x
48
ОТВЕТЫ
2018. —
3 3
— cos 2x + — cos 4x +■
lb 64
X In
2020.
2021.
2022.
X In
X In
128
sin (x -b b)
cos 8*
1
cos 12*. 2019.
1
sin (x + fl)
1
cos (a — b)
2
sin (a — b)
- ln
ln
192 sin (a — b)
» если sin (a — b) Ф 0.
sin (x + b)
cos (* + b)
если cos (a — Ь)Ф0<
t . cos (x + b) I
ln | ;—;—— i если sin (a — b) ф 0.
cos a
cos (x + a)
x — a
sin
cos ■
x + a
(cos а Ф 0). 2023.
sin a
X
cos
x — a
cos-
x + a
2
cos x
(sin fl ф 0). 2024. — x + ctg a X
X arctS
cos (* + a) J
3 tg ~~ + I
У5
(sin а Ф 0).
2026. — In
2025.
1
2027. (2 sin x + cos x) ■
5
arctg 2
-)|. 2028. a)
X arctg ^ Д j | , 8 - tg
5
2
Vl — e2
*)•
vr~x
П — cos x) (2 + cos x)1
(1+cos*)3
— in|tg(Y+
X
6)
1
1 —e
1 -|- 6
1 F + cos X + Vf2 — 1 sin x
если
ln
Ve2 — I I 1+8 cos x
2029. x — ■ arctg (V2~ tg x).
a tg x \ (2b2)~1z
0 < e < 1;
если e > 1,
1
ab
X
X arctg
2031.
(ah" + 62)
2030.
1 A at
arctg —
ОТВЕТЫ Б4С*
(ab Ф 0), где z=tgx. 2032. — (sin х — cos дс) —
cos х
\=Г- In Itgf— +—')\. 2033.
2 \2 I V 2 8 )\ a (a sin х + b cos х)
2034. - J- Щ <iin* + c?s-fl’ _ > arctg fj™*-™* V
6 1 — sin лсcos дс: V3 V V3sinx )
тъ- ж “,d8 Отт)' 2036' т |v?Tvf*
X arctg u д/2 — л/2 arctg
V4 + 2V2 лЛ—2V2 Г
x гл 1 . л/2 ~s\r\2x
если и = tg 2х - 2037. In -^-=
2 V2 V2 +sin2x
2038. arctg (sin2 х). 2039. arctg (- tg 2л:V 2040. - (-
2 \2 / 4(г2+2)
-) т=— arctg—%r-, где 2=tgx. 2041. —. * X
4 д/2 л/2 Уаг+&2
X In I tg (— 5ВЛ I, rAecos<p=— a Hsiny= 6
I \2 2j\ Vas+62 л/а2 + йг
x 3
2043. In | sin x + 2 cos x |. 2043.1. 0,1 *+0,3 In |sin x—
5 5
— 3cosx|. 2044. — + — In | 5 sin дг+З cos x |. 2045. — ——— X
' 34 34 a2+b2
! * cici\ -j- bhj
a sin x + b cos x (a2 -f- b2)V2
In I tg (— -|- —^ I, где cos <p=
I V 2 2/1
V a2 + b2 V cil + b2 5 5
5tgT + 1
X ln | sin x—2 cos *^31 arctg . 2048. —
5 2 2
— tg L In (д/2 + sin x + cos x). 2049. — x -
2 \ 2 8 / 2 5
л/7+Уз(^^-1)
A/7-V3^2tg?-lj
2051. —sin x + 3 cos x + 2 л/2 In | tg "b | • 2052. -g- X
18 Б. П Демидоонч
1 4
In | 3 sin x+4 cos x—2 | + —— In
5V21
546
ОТВЕТЫ
X (Sin дс + 3 cos лс)-[-
8
5 У 5
1
— In
Уб — 1 4- 2 tg ~
У5 + 1 — 2 tg -i-
. 2054. ^=X
Уз
X arctg L In
V Уз / 4 2 — sin*
„ . , - , Уб + 2 sin x + cos x
— 2 cos x) H — in ——■
2055. — arctg (sin x—
5
10 Уб Уб — 2 sin x — cos x
2056.
4У2
X In
2058.
У2 (sin X+ COS x)-f- 1
У2 (sin x + cos jc) — 1
2 sin x — cos x
1 ^ |Уз + V2 (sin jc—cos x)
2059. A
10 (sin x + 2 cos jc)2
b
= — (n— 1) (a2 —&2)
ft — 2
4У(> |Уз — У 2 (sin дс—cos дс)
^г'”|Чт+^
(2 n — 3) a
10
1) (a2 — b2)
С =
(a — 1) (a2 — b2)
2061. 2 ytg7 — 1
y5ti
2060.
I )n У2 + УI + sin2 x
У2
cos ДС
ln tg ДС+ V2tg* +1 1
2V2 tg дс— У2 tg ДС +1 У2
X
* V2tg* 1 . / sin дс — cos дс Л
^ arctg (tg x > 0). 2062. — arcsin | I —
‘g*-1 2 V Уз У
—- ln (sin x + cos x -J- У2 + sin 2дс ) . 2063.
2
Уз
esin x
*rc,6(Vbr«'8f)' ***■
(I—e2)(l+e cos дс)
2
-+
X
n cos a
(l__e2)3/2
X ^cos X~^a ^ " ^cos a 2065, = ^U-i x
X cos a — ln_2 -1—- S'П a- /л_1, где n > 2 и t = sin * a X
л — 1
( ' X + a V1
(Sln 2 ) •
2068. e*x
■(-
2069. — е-*(л:2 + 2). 2070. ~(jj-
2x
27
4дс3
25
24дс \
625 )
cos 5дс +
+(-
12дг2
24
5 125 3125
— (20дс — 4дс3) cos дс. 2072.
sin 5дс. 2071. (21 — Юдс2 + хА) sin дс—
(хв + Здс4 + 6х2 + 6).
2073.
2е* (/* — 5/4 + 20/3 — 60/2 + 120/ — 120). где t = У*.
ОТВЕТЫ 547
2074. ^Г-L-f a cos 26*+ 26 sin 2ft* -I ^
L 2a 2(0*4-46*) J 4
Г 3 (flsin bx — b cos bx) a sin 3bx — 3b cos 3bx 1 eX ^
L a2 + 62 a2 + 962 J 2
X [x (sin x — cos *) + cos дс]. 2077. —— [*2(sin x + cos x) — 2дсХ
X sin дс + (sin дс — cos дс)]. 2078. ex Г* ~ 1 — (2 sin 2ac
L 2 10
+ cos 2дс) -| — (4 sin 2дс — 3 cos 2дс)1. 2079. — x4 + — дс2 +
50 J 4 4
+ 3x2 cos дс — x ^6 sin дс -|—~s*n 2*^ —^5 cos дс + -~cos2x^ —
— — cos3 x. 2080. — -f- — Vx sin (2 У*) -\—-- cos (2 V*) •
3 2 2 4
2082. *4 ! In (1 4- ex). 2083. <?* — In (1 4-«*).
1 + e*
2084. — 4- — In |г*_ 1 |+ J_ |n (e* 4- 2). 2085. * —
2 3 6
-3 In {(1 + е*/в) V1 + ex/3 } _ 3 arctg <•*/». 2086. x+ 8
1 4- e*/4
2087. — 2 arcsin (e-*/2). 2088. In (e* + V«“ — 1 ) 4- arcsin (<r*).
2089. л/егх 4- 4ex — 1 +2ln{ex-\-2+ 4- 4<f* — 1) —
'J- . 2090. — e~x{^\-\-ex — VI — <*) 4*
. 2ex — I
.arcsin
e*V5 ‘ ’ 2
Л-J-in (VTT? r 0 0 - УГ^У) 2092. Hi + +
4 (Vl + e1 + 0(1 + Vl — й1) 11
0-f)-
' 1 a« = о. 2093. <?*
21 (л — 1)!
2094. — e~x — li (e-*). 2095. e4 li (e2*-4) — e2 li (e2*-2).
** . 2097. 1—(хг+ 3*4- — ——')4*64<?4X
2 V. 2 x — 2 J
2096.
X + 1
X li (ew_4). 2098. x [1пл дс — n In*"1 дс + n (n — 1) 1пл-2 дс +
4-(—1)п-‘п(п—1) . . . 2 In * 4- ( — 1)" я1]. 2099. -^-^ln3* —
__ JL ina x 4. JL |n * . 2100. — (In3 * -f.
4 8 32 J 2** V
, _L ln2x 4- A Inx4- —V 2101. !n(*4- a) ln(*4- 6).
2 2 4 /
2102. *ln2 (дс + V1 + дс2) — 2 V1 + *2 In (дс + Vl + *2) + 2др.
18*
548 ответы
2ЮЗ. —- -ь х in (УТ^7 + УГ+7) 4- — arcsin х.
2 2
2104. —у 1п * In U+ VI 4 *2) . ^105. — + — X
л/1 + JC2 2 2
X 1п (х2 + 2х -f 2) + arc*g (* + 0 . 2106. —+ — X
2 3 3
X In (1 4 х) 4 -~ ^Х— arctg Vх . 2107. ^ л/2х—х7> 4*
3 4
4-?^ — arcsin (1 — ж) 2108. — л/х — х2-\-(х —^
4 2 V 2 )
X arcsin V* . 2Ю9. S— * • V*2~ 1 + * п,я,,ле —
X
arccos -
2 дс
2110. 21 1 — л/х | + (1 + х) arcsin-^-. 2111. *arccQS *_
1 4 x V1 — x2
n о arccos дс , 1 , 1 ~\~x
— In V1 — * . 2112. 4 — In !— . 2113. x —
Vl — x1 2 \ — x
— arctg л: + ^ * arctg x ^ [ln (1 + x2) — 11 . 2114. x —
1 ~ X* In -- -+ — . 2115. — ln УI -f x2 +
2 1 — x У1 + x2
x in Х+ЫТТ*) 2116. iL+^L.2117. JfL + _!!l2£.
8 32 8 4
+ 2118. -£^_chx. 2119. Ch6* ch4*
32 3 24 16
ch 2x
. 2120. ln ch x 2121. x — cth * 2122. 0.5[ln(ew +
_i_ уг« — | ) arcsin (й-2Л')1 . 2123. —arctg 3-l/*^2 th -f-
H- lY 2123.1. -I=- nrctg '--‘ Г2 . 2123.2. X
У У5 Уб зУп
3 th — Л
X arctg | —?— I. 2123.3. — x In | 3 sh дг — 4chx|.
Vll / 7 7
ntOA achaxsmbx—bshaxcosbx 010C a ch ax cos bx+bshaxs\nbx
&124. * Zl£o. —— #
a2 + b2 a2 + b2
1 1 1 ] x A- x3 I
2126. 1 —arctg x. 2127.-.--^ 1— X
5дс5 3*3 x 8 (1 — **)* 16
X In
1 + * I 2128. ! In 1 + * V3 + *2 1_
• — I 4 УЗ 1 - Jt УЗ + x* 2 УЗ
ОТВЕТЫ 549
X arctg -?—^L- . 2129. 2 У я — 3 *Лс + 6 V**" — б In (V^ +
х уз
+ l)(x>0). 2130. L (15 + Юх + 8*2) л/х (1 — x) 4-
24
+ —■ arcsin V*(0<*<1). 2131. Ly'l_x«_
8 X
_ln 1 + Vl - *a d^K-1) 2132. — Vl —■* V* (At > 0).
1*1 3
2133. —(8 — 4x2 + 3*4) V* + *2 . 2134. — In (l +Z^
15 2 1-2 + г2
— V3 arctg » W г = j/"" 1 .
2135. L in
3
2 + x3 + 2 У1 + *3 + *6
ДС
3
2136. — X
2
X arccos —- ^ 1 . 2137. 2 + * 2_ у ^ __ ^ _ 2 x
x* V2 * *
X arcsin x (| x | < 1). 2138. L (l + *)* _l JL+ 2x ^T+W +
2 4
In (1 +X+JC2)
*+-j+V*+**
(*>0; *<—!). 2139.
l+x
—L ,n-JL±iL_ + V3 arctg -I±*L . 2,40. _ *5±*L x
2 1+* + *. ф 4
X V — x2 3x — 2 + + 3x - arccos (2x-3) (1 <*<2).
2141. — x2+ —— In (4 + x4) +2 arctg . 2142. — .V—~*— у
2 2 x
X arcsin * + ~ (arcsin x)2-f In | x| (0<|x|<l). 2143. (1 -f-
+ V' + xi ) In (l + У1 + x- ) — л/l -j- x2 . 2144. x +7
9
x VF+T + -^2+1)3/2 ,nVF^r_-L ln Ж±
3 3 У*г-и +i
(|x|>l). 2145. (—~*■- — In 2\ V1 — *2 — X
v Vi-w 2
X arcsin x — In 1 ^ * x* (0<x<|). 2146.— (-
x 3 (2+sin x)
550 ОТВЕТЫ
2tg — + i
4 2 1
+ — arctg =z . 2147. —X
3V3 V3
x ,n 2±iV|±^ilL. 2,48. -- -I !_ X
7 — 4 V2 — cos 4* Vl+cosjt 2 V2
X In ^ ~h.2Ps f , , 2149. аГдс arctg * - ln (x2 + 1)1 —
—- V1 + cos дс L 2 J
— (arctg jc)2. 2180. a(x ln I ln|*1 — lf\ +
2 V I x+ I )
x—\
*+ 1
In * t 1 1
2161. 1 In-
2(1 + x*) ' 4 \+x2
(дс > 0). 2152. Vl + x* arctg x— In (дг + V1 + *a ) • 2153.
— ln (cos2 Jt + Yl + cos4 x ). 2154. *?* + * 2 + л _ ^
9 9
Хл/\—х2 arccos jc (|x|<l). 2155. ^ ^дс
X arctg x-|—!-(arctg*)2 + -2-ln(I+x8). 2158.
2 3 4(l+xJ)
1 — ДС2 A 1п(*+УГ+У> , 1
arctg x. 2167. ——1— - -1
4(1 -)r x2) 2(1 — дс2) 4 V2
x ln .У1 +*2 — *У2_ (|*|<1). 2158. — +— Vl — *a x
V1 + *2 + * V2 * 2
X ascsin дс + — (arcsin x)2 (| x | < 1). 2159. -2- -]—— -f- — X
4 4 12 4
X (1 + x2)2 arctg x. 2160. Xх (дс>0). 2161. x — e~x arcsin (e*)—
— ln (1 + yflT*w) (a: < 0). 2162. x — In (l + ex) — 2e~xf2 X
X arctg ex/2 — (arctg e*/2)2. 2163. C*h 1 [лс —ln (1 +
4
-f<?*chl)] . 2164. — 21n(tg*-}-yi-fth2* H l— X
4shl ^2
xln_V^^±V|ULiL. 2165. e*tg^-. 2166. -£l*L.
V1 + ths дс — У2 th дс ^ 2
2,67. ^|X| . 2168. J£-(,+ |,|). 2169. (»+*)! 1+x! 4.
3 3 2
-f — — . 2170. ex—1, если x < 0; I—e~x% если
ОТВЕТЫ 651
ла о
*>0. 2171. х% если |*|<1; 1 sgn дг, если |ж|>1.
3 3
2172. -i- + -L ^(х) L) |l _ 2 | (х) —L IJ , где (ж) = ,-(*).
2173. J£L{W_(_i)HCoS«*}. 2174. * — при |де|^1;
я 3
X 1
х |*Н sgn х при |дс|>1. 2175. х% если — оо<х^0;
2 6
х2 1
1- х, если 0<х<1; х2-\ , если лс>1. 2176. хV (х)
2 2
— /(ж). 2177. —/(2*). 2178. / (х) = 2 V* • 2179. * — .
2 2
2180. f (х) = х при — оо < х ^ 0; / (*) = е* — 1 при 0 < х <
< + оо.
ОТДЕЛ IV
2181. 12 — . 2182. а) $„ = 16-! !15_ + $~п =
2 — 4 2я 4п2
п-1
Sn =
-4-Н£+-ё-‘ -ь-iZVi-
i=l
я
Z/Т ч c 10 230 _
/у — , в) Sj,—B(2HVe_0 *
- 10^2,0/Л 2183. Sn=31. • «-
n(21°/',-l) “ "/32-1 6
2184. y0T+ — gT*. 2186. 3. 2186. a~— . 2187. 1.
2 In a
1 1 hm+1 — am+l b
2188. sin x. 2189. . 2190. . 2191. In — .
a b m-j- 1 a
2192. а) 0, если | a | <5 1; 6) я ln a2, если |a| > L
2193.4. — ^ fl [/ (a) — f (6)]. 2201 Вообще говоря нет.
2203. He обязательно. 2206. 11 ——. 2207. 2. 2208. — .
4 6
2209. — . 2210. 1. 2211. 1. 2212. П
3 2 я i п a
2213. 2jI 1 1 + Vo*
. 2214. -— In v . 2215.
Vi — e2 'y/cib 1 — л/ab 2\ab\
552 ответы
2216. а) Подынтегральная функция — и ее первообразная
х
In | дс | разрывны в промежутке интеграции [— 1, 11; б) функция
——■ arctg ( —
ф V Ф
— arctg (■ ^ , играющая роль первообразной, разрывна
W 2 /
при 0 < дс ^ 2я; в) функция arctg — разрывна при дс — 0.
дс
2217.—. 2218. 200 V2 - 2219.—. 2220. In 2. 2221.—.
3 2 4
2222. —. 2223. . 2224. — (2 V2 — l). 2225. —.
л р+1 3 е
2226. 1 | f(x) dx. 2227. —я. 2228. —Л—. 2229.*+
Ь — а а ® д/з
+ — . 2230. —. 2231.0; —sina2; sin ft2. 2232. a) 2* У7+*5';
2 In 2
3jc2 2x
6) ■ в) (sin д: —cos x) cos (я sin2 x).
V i + x12 Vit**
2233. a) 1; б)—; в) 0 . 2233.1. A. 2235. 1. 2237. a)—;
4 6
6)—. 2238. a) если а<0; - — + — , если
2 3 2 3 2 3
1; — — , если а >1; б), если|а|^1; П
2 3 2 2а-
2
если |а|>1; в) 2, если |а|^1; , если |а|>1.
|а|
2239. — In —. 2240. я. 2241. 4я. 2242. 2
0-т>
2243. 1. 2244. — . 2245. —. 2246. Ла4
3 2 6 16
2247. —?— In ,9 + 4 V2 ^ 2248. 2 — . 2249. Я“
л/2 ^ 2 4
2250. —. 2251. а) Обратная функция х= ± /3/2 двузначна;
Уг
б) функция х = 1// разрывна при t = 0; в) не существует
однозначной непрерывной ветви функции дс =■ Arctg t, опреде¬
ленной на конечном сегменте и пробегающей значения от Одоя.
2252, Нет, 2253. Можно, 2256. I (х + Ь) — j (х + а).
ответы 553
i
2260. —ebfi. 2261. f (/(arcsin t) — / (я — arcsin t)] dt 4-
2 о
о
+ f [/(2я+ arcsin 0“/ (я —arcsin 01 df. 2262. 4«. 2263. JlL
il 4
1 1
2264. arctg — — 2я. 2268. 315 —. 2269. — In 3 —
27 26 2
5—. 2270. — e3 — . 2271. —66 —. 2272.— — .
2 V3 27 27 7 3
2273. 2274. —п — л/з. 2275. 2л/"—J V
270 3 U 2V2'J
2276. 2л V2. 9277. — . 2278. — — . 2279. — (e"_l).
6 6 4 5
2280. —In 2 —2281. I„ = . JL , если n =
8 1024 (2ft)! I 2
e2ife; /„ = , гели n = 2*4- 1. 2282. Cm. 2281.
(26 + 1)!!
2283. ,-1)-Г-"-('|—L + -L- ...+ t-')"- 41
L 4 \ 3 5 2/i — 1 / J
/лма ( — nn «I
2284. 22n ^ . 2285. Cm. 2281. 2286. /„ = K }
(2 я + 1)! (m4-l)/m
2287. /„=(— 1)" J—In V2" + -L f1-+(~1),"’1“7]) '
2290. "(2m)! (2*)! _ 229j_
0, если n четное; n, если
22m+M+i/n!rt! (m + я)!
jr jt tlJT
n нечетное. 2292. ( — 1)" я. 2293. . 2294. sir .
2n 2n 2
n—l
2295. 0. 2296. 0. 2297. —1— (l - e~2an) + 2 ^ C!‘n x
a2 I
In — 2k)2 J
. 2298. — (— 1)"-». 2299. (m . ‘)l
a1 + (2n — 2k)2 J 4я (m+л—1)1
2302. В точках разрыва функции I (х) производная F' (х) мо¬
жет как существовать, так и не существовать. 2303. |дс|4-С.
2304. arccos (cos х) 4- С. 2305. х [jc] t*l (W Ь f) ^ ^
2306. -- ^ И (М +.0 (21*] +J) 4_ С. 2307. С 4-— X
2 12 я
554 ОТВЕТЫ
X arccos (cos яx). 2308. -i- (|i + x | — 11 — x |) + C. 2309. — 1.
on „2
2310. 14 — ln71 2311. л 2312. — . 2313. ln/il.
л 4
2314. —th—. 2318. —. 2316. а)—; б) + ; в) + ; г)—.
2 3
1 2
2317. а) Второй; б) второй; в) первый. 2318. а) —; 6)6 —;
3 3
в) Ю; г) — cos ф. 2319. — Ь — малая полуось эл-
2 V1 — е*
липса. 2320. t>cp = -i- (Ho+i’i). где Ui—конечная скорость тела.
2321
. — tl 2321.1. А. 2322. а) 0 = \/ ; 6)0 = —;
2 У п + 1 е '
1 ^ _ | I о«т
в) 6 = — In , lim в = —, lim 0= 1. 2323. ±
X X х-*0 2 Х-++СО 3
4л 1 1
± в(|0|<1). 2324. Заключается между и ,
3 10 д/з 10
2325. 0,01 —0,0050 (0 < 0 < 1). 2326.1. а) 1; б) / (0) In — .
а
2328. —^— (0 < 0<1). 2329. — 0(| 0|<1). 2330. — (| 01<1).
50л а а
2334. —. 2335. — 1. 2336. л. 2337. л. 2338. — In 2.
а 3
2339. ———. 2340. ———. 2341. - . 2342. —.
зУз 3V3 V2
1 Щ I 1 +
V3"
2343. — 1пЛ-4 —Y 2344. 0. 2345. ——1. 2346.—-—
5 I УЗ ) 2
2347. - . 2348. /„ = п\ 2349. /„ = -^ X
а*+Ьг (2п — 2)11
X • 2350- Л. = "1 Е (“ !)*+1 с*1п (* + U, где
(ac—b2y+l/2 *=1
Скп — число сочетаний из п элементов по k. 2351. 1п =
(п — 1)!! л (п — 1)!1
— , если п — четное, и /rt = — , если
п\\ 2 п\\
п — нечетное. 2352. 1п = — л, если п — четное; /„ =
п\\
ОТВЕТЫ
555
^ J2 LHL «ели п — нечетное. 2353. а) — In 2;
«И 2
I/O-
б) — — 1п2. 2354. ? У ■— . 2356. а) 1; б) —; в) 0.
2 1 — е~л 2
2357. а) I; б) —; в) 1; г) —/(0). 2358. Сходится*
3 а
2359. Сходится. 2360. Расходится. 2361, Сходится при р> 0.
2362. Сходится, если р > — 1 и q > — 1. 2363. Сходится,
если т > — 1, п — т > 1. 2364. Сходится при 1 < п < 2*
2365. Сходится при 1 < п < 2. 2366. Сходится, если т >—2,
п — m > 1. 2367. Сходится при п > 0 (а ^ 0). 2368. Расхо¬
дится. 2369. Сходится, если р < 1, </< 1. 2370. Сходится
при п> — 1 - 2370.1. Сходится. 2371. Сходится, если min (p,q)<C
С 1, шах (р, q) > 1. 2372. Сходится. 2373. Сходится.
2374. Сходится, если р > 1, q С 1. 2375. Сходится при р :>
> 1, q произвольном, г < 1 и при р = 1, </ > 1, г < I.
п
2376. Сходится, если р* < 1 (t = 1, 2, . . . , /г), £ pL > L
i=i
2376.1. Сходится при а > — 1, Р > — 1, а + 0 < — К
2377. Сходится, если Рп (х) не имеет корней в промежутке
[0, + оо) и п> m + 1. 2378. Сходится не абсолютно.
2379. Сходится не абсолютно. 2380. Сходится абсолютно, если
— 1 < - < 0; сходится условно, если 0 ^ -- < 1.
Р Я
2380.1. Сходится. 2380.2. Сходится. 2381. Сходится абсолют¬
но, если р >■ —2, q > р + 1; сходится условно, если р > — 2*
р < <7 ^ р + 1. 2382. Сходится условно при 0 < п < 2.
2383. Сходится абсолютно при я > т + 1; сходится условно-
при т с п ^ т + 1. 2385. Нет. 2392. In — . 2393. 0.
2
2394. п. 2395. 0. 2397. —. 2398. 4—. 2399. 4 —.
3 2 2
2400. 9,9—8,1 lge«6,38. 2400.1.2 !—«0,56. 2400.2. — +
In 2 3
-f—«0,97. 2401.—. 2402. па2. 2403. nab. 2404. —а3,
я 2 3
2405. — д/2 Рг 2406. Я 2407. Зла3.
15
VАС-В2
2408. . 2409. —^— 2410. — cth — « 0,546.
2 п-\-2 2 2
556 ОТВЕТЫ
5411. (Зя + 2) :(9я —2). 2412. x = chS, </ = shS 2413. Зла4.
2414. —. 2415. — (4я2 + 3я). 2416. блд2. 2417. —X
15 3 8
Х-^-. 2417.1. паг(—^ 9\. 2418. а2. 2419.
аЬ \ Уз /
2420. Л2-' 2421. — (3 + 4V2). 2422. Яр2
4 ’ 6 ' ^ V " ' (1-е2)3/2 '
2422.1.11л. 2422.2.—. 2423. (л — 1) — . 2424. — X
я 4 2
х А — In 2 Н —^ . 2424.1. — . 2424.2. — . 2424.3.
I Уз ) з
4 -jj-. 2424.4. я ^1 + . 2425. я ^1 2-^ аг.
2426. — а2. 2427. яа2 У 2 . 2428. а2. 2429. —па2.
2 8
2430. . 2431. — (lOVlO— 1). 2432. 2 д/*„ (*о + —) +
8 У 2 27 V V 2 У
V*iT + д / + ~
+ pln . 2433. л/h- — а1. 2434. ха —
Vf
— У2 + У1 + <?-*■• — In 1 + +_f*° . 2435. — •'Ь— .
1 + У2 4
2436. а 1п а + — 6. 2437. In tg (— -f -£Л . 2438. а ln — .
а — Ь _ \ 4 2 / 6
2439. 4аЛ+ V3 In J_±V3_V 2440. 6а 2441. 4Ja-~b>) .
^ _ V2 /
2442. 1 + ^ + V2 ) 2443 8а 2444 2д'га. 2445.
V2 _
V2 ch + Vch Т
2 Ah — VchT— Л -V2 In - = . 2445.1.
^ 2 ' 1+У2
— (ch3/2 2Т — 1). 2446. лол/1+ 4я2 + — 1п(2л+ УГ+4я2).
2 2
2447. а. 2448. 8а. 2449. р (У2 + In (l + У 2”)] .
m
ответы 557
2450. -^L. 2451. а (2л — th я). 2452. 2 + — In 3.
2 2
1 Oji
2452.1.6 — . 2452.2. sh R 2452.3. Г. 2455. —=^=r-«0,73.
3 5 V3
2456. -**_(2a + c). 2457. — [(2A + a) В + (A + 2a) ft].
6 6
2458. [(2A fe)B + (A + 2a) Щ . 2459. — SH 2462. — X
6 2 3
X abc. 2463. — яabc 2464. ■ -nab° . 2465. a3. 2466. — X
3 3 3 3
Ха3 (я —V 2467. a* • 2468. . 2469. -i-
\ 3 ) 15 2 15
2470. -4л a3. 2472. —nab2 2473. a) 6).
3 7 15 3
jt2 4 itn^h
2474. a) — • б) 2я2. 2475. a) — я aft2; 6) —.
2 ’ 15 6
2476. а) —; б) 2л. 2477. 2a2a2ft. 2478.
2 3
2479. ^——— . 2480. а) 5л2<т'; ”5) бл'а-'; в) 7ji?a3.
2481. а) —- лай2; 6) —- яа26 2481.1. Vx = — я, Vu =
105 105 35
64 _ ,8 , 13
я 2483. a) — яа3; б) — я2а3. 2484. а) Г д/2 X
105 3 4 4 L
Х1п(1+У2) ?_1; 6)-^L; в)-**-. 2484.1.—х
3 J 4V2 4 3
X (л* - 6я2) а3. 2484.2. -я 2485. . 2486. --- --Г21 VT3" +
3 2V2 243 V
3 + Vi?y 2487. 2aViW4F+— lnf^ +
^ 2 / л \2Ь
+ vZEpi). М88. „[(V5-V2-i+inbiti)Mi±)].
2489. a) 1(2vn + p) V2p*,i 4 /J3 — p2l; 6) — I (p + 4jc„) X
t 4 L
X V2*o (p + 2*„) -p2 In V2x0 -М/p + 2*o J 2490 a)2nft2+
. 0 , arcsin e _ ... 2jt&2 . f a f Л
+ 2ла& ; б) 2паг-\ ln I — (1 + e) I , где e --
e e L b J
558 ответы
л/д! (ft IО
= — эксцентриситет эллипса. 2491. 4я*ab 2492. —
а 5
X яа2. 2493. а) я а ^2 b + ash ; б) 2яа + Ь sh — ^
— ach—V 2494. Ала2. 2495. а)ла2; б) 16я2а2, в) — v.
а ) 3 3 *
X яа2. 2496. — а2 (4 У2 — l) . 2497. — я а2. 2498. а) 2 па\
5 5 ^
X (2 — V2): б) 2яа2 V2 I в) 4яа2. 2499. [|4 У 5 о
128 Ут
+ 17 In (2+ У5)1 » 1,013. 2500.1' = — р2; Р=2яр2[(2ч
+ V2)+ In (1 + V2)l. 2501. /И, = 2а2; М2 =
яа*
2~
2501.1. -^-(V2 +51n (1 + У2)1 . 2502. = М2 ^
8 6
кич О о
= . 2502.1. 1Х = — а4, /„ = — а4, г, = а У 6/35, л,.
12 35 У 5 ^
«=аУбТ5 - 2503. = ^> = -2—-. 2504. А4, ч
jrf2/i2 jt 9
— , Л1а= г2Л3. 2504.1. /= —МЯг 2507. *0 =
♦ г /*. . 6JU4. 1 . / = IYI Г\ СКЗУН . Д-П =
12 30 5 0 X
^ _sina_; ^ = 0 2508 _9Ч 2509
а V 20 20 У V Зя *
^ . 2510. ^0, 0, . 2511. ф0 = <р — а, где а ^
= arctg —^—• го = —7====-. Логарифмическую спираЛ1
2т Vl + 4 m2 Р ^
*о =—рШ?, , ет(ф°+а>. 2512. фо-=0, г0 = — а . 2513. *а
VI + 4т2 т 6 *=
= яа, уо = — а . 2514. х„= — д. у0 =■ 0. 2515. fo. 0, —\
6 3 V 2 J •
Rh
2516. 75 кгс . 2517. Ahr=mg , где Я — радиус Зем^и.
R “f* h *
Aoo = mgR. 2518. 0,5 кгс-м. 2519. 1740 кгс-м. 2520. — л3
3 4 •
2521. 708 — Т. 2522. v0T + — Га. 2523. — яб<в2^,,
3 2 15
2524, Проекции силы притяжения на координатные оси: X = q
ОТВЕТЫ
559
Y = —2km\L0fa, где k — постоянная тяготения. 2525. 2nkmbQ X
^ \ где k — постоянная тяготения. 2526. При-
О Уа2+62 )
Х V/ Уа2+62
мерно 3 часа. 2527. Сосуд должен быть ограничен поверхностью
образованной вращением кривой у = Сх4 вокруг вертикальной
оси Оу. 2528. Q = <20.2-'/160° 2529. 99.92 %. 2530.^.
6 Е
В ответах на приближенное вычисление определенных инте¬
гралов даны табличные значения. 2531. —6,2832. 2532. 0,69315-
2533. 0,83566. 2534. 1,4675. 2535. 17,333. 2536. 5,4024*
2637. 1,37039. 2538. 0,2288. 2539. 0,915966. 2540. 3,14159.
2541. 1,463.2542. 0,3179.2543. 0,8862. 2544.51,04
2545.
я/3
0,99
2я/3
1,65
1,85
4я/3
1 ,72
5л/ 3
1,52
2л
1,42
ОТДЕЛ V
2546. — . 2547.—. 2548. 3.
3 2
2549. 1. 2550.
<7sin а
б)
q cos а — q1
. 2551. a)
л
2552. 1 — д/2 .
1 — 2q cos а + q2 \ — 2q cos а + q2
2553. Сходится лишь при х — kn (k — целое). 2556. Расходится.
2557. Расходится. 2558. Сходится. 2559. Расходится. 2560. Рас¬
ходится. 2561. Расходится. 2562. Сходится. 2563. Сходится.
2564. Расходится. 2566. Может как сходиться, так и расхо¬
диться. 2567. а) Может как сходиться, так и расходиться;
б) расходиться. 2578. Сходится. 2579. Сходится. 2580. Сходится.
2581. а) Сходится; б) расходится. 2582. Сходится. 2583. Схо¬
дится. 2584. Сходится. 2585. Сходится 2585 J. Сходится.
2585.2. Сходится при любых а и х. 2586. Сходится. 2587. Рас¬
ходится. 2588. Расходится. 2589. Сходится 2589.1. Сходится.
2589.2 Сходится 2590. Сходится 2591.2. п >13. 2595. Сходится.
2596. Сходится. 2597 Сходится. 2597.1. Сходится. 2598. Сходится
при/»2. 2599 .Сходится при 1. 2600. Сходится при
Р >
2601. Сходится. 2602. Сходится при р + q > 1.
2603. Сходится при q > р. 2604. Сходится при — + q> 1*
2
560 ОТВЕТЫ
2605. (н). Сходится при a {q — р) > 1. 2607, Сходится при
Я > Р + !• 2608. Сходится при р > 0. 2609. Сходится при
р > 0. 2610. Сходится при р> . 2611. Сходится при Ь Ф
ф 1. 2612. Сходится при р > 1. 2613. Расходится. 2614. Рас¬
ходится. 2614.2. Сходится при р + х > 1. 2616. Сходится при
х <С ——. 2617. Сходится. 2618. Расходится. 2619. Сходится
е
при р > 1. 2620. Сходится при р > 1 q произвольном и при
р = 1, ? > 1. 2620.1. Расходится. 2620.2. Сходится
2620.3. Сходится. 2621. Расходится. 2623. 1,20. 2626. Схо¬
дится при а>—. 2627. Сходится, если а = — . 2628. Рас-
2 2
холится. 2629. Сходится 2630. Сходится при а > 2. 2631. Схо¬
дится. 2632. Сходится 2633 Сходится. 2634. Сходится, если
г — 0, -2- <—1. 2635. Расходится. 2636. Сходится, если аФ
d
ф 0. 2637. Сходится. 2638. Расходится. 2639. Сходится.
2640. Сходится, если а = л/Ьс. 2641. Сходится, если а< —1.
2642. Сходится, если а > ——. 2643. Сходится при аъ > е> с =
2
= 0 и при ас > 1. 2644. Сходится при а + b > 1. 2645. Схо¬
дится. 2646. Сходится. 2647. Сходится. 2648. Расходится.
2649. Сходится. 2650. Сходится. 2651. Сходится. 2652. Схо¬
дится при а > 2. 2653. Сходится. 2654. Сходится. 2655. а)
N > 100 000; б) N > 12; в) N > 4. 2659. — . 2660. 1 —.
9 7
2661. In 2. 2662. a)—In 2; б) — In 2. 2664. Сходится.
2 2
2665. Сходится. 2666. Сходится. 2666.1. Не следует
2667. Сходится. 2668. Сходится. 2669. Сходится. 2670. Расхо¬
дится. 2671. Сходится. 2672. Сходится. 2673. Расходится.
2673.1. Сходится. 2675. Абсолютно сходится при р > 1; усло¬
вно сходится при 0 < р < 1. 2676. Абсолютно сходится при
р > 1; условно сходится при 0 < р ^ 1. 2677. Абсолютно
сходится при р > 1; условно сходится при — <р< 1.
2
2678. Абсолютно сходится при \х— nk\C— [k — целое);
4
условно сходится при х — л/г ± — . 2679. Сходи юя услов-
4
ОТВЕТЫ
561
по при любом х, не равном целому отрицательному числу.
2680, Абсолютно сходится при р > 1; \словно сходится при
О < р ^ 1. 2681. Абсолютно сходится при р > 2; условно
сходится при 1 < р ^ 2. 2682. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при 1/2 < р 1. 2683. Условно сходится,
2684. Абсолютно сходится. 2685. Расходится. 2686. Условно
сходится. 2687. Абсолютно сходится при р > 1; условно схо¬
дится при 1/2 <р <1. 2688. Расходится. 2689. Абсолютно схо¬
дится при р> 2; условно сходится при 0<р^2 2690. Схо¬
дится. 2691. Расходится. 2692. Абсолютно сходится при q >
>Р + 1; условно сходится при р <. q <р + 1. 2693. Абсолют¬
но сходится при р > 1, <7 > 1; условно сходится при 0<
<С р= <7^ 1. 2694. Абсолютно сходится при р > 1; условно
сходится при р == 1. 2695. Абсолютно сходится при р > I;
условно сходится при р = 1. 2696. Абсолютно сходится при
р > 1, <7>1; условно сходится при 0<р=?<;1. 2698. а) р> 1;
б) 0<р<;1. 2698.1. а) Сходится*, б) сходится; в) сходится.
2699. а) ?>р+1; б) pCq^.p+\. 2700. Сходится абсолютно при
т 0; сходится условно при —1 < т < 0. 2703.1. а) п >
^ 1 000 000; б) п ^ 1,32-Ю1в. 2706. а) Расходится; б) может
2 3
как сходиться, так и расходиться. 2707. —. 2708. ♦
3 4
2709. —. 2710. —!—— . 2716. Сходится абсолютно при
7 I *— ху
| х | > 1. 2717. Сходится абсолютно при х > 0; сходится
условно при х = 0. 2718. Сходится абсолютно при х > — и
3
при х < — 1. 2719. Сходится абсолютно при |дс] Ф 1 и сходится
А117 3
условно при дс=— 1. 2720. Сходится абсолютно при— — <£
6
I 2 д /1 у | о
< *<— и при —< х< — —— . 2721. Сходится абсо-
3 3 6
лютно при | дс — nk\^— (k = 0, ±1 ±2, . . .). 2722. Схо-
6
дится абсолютно при р > 1 и х Ф k (k = —1, —2, . . .) и
сходится условно при 0 < р ^ 1, хф k. 2723. Сходится абсо¬
лютно при q > р + 1 и сходится условно при р < q ^ р + 1.
2724. Сходится абсолютно при | лгI < 1. 2725. Сходится абсо¬
лютно при \х\ < 1. 2726. Сходится абсолютно при \х\Ф\т
2727. Сходится абсолютно при хф—1. 2728. Сходится абсо¬
лютно при дс>*0. 2729. Сходится абсолютно при 0<|дс|<С
С + оо, если | а | > 1; расходится, если | а 1 ^ 1 или если дс = 0.
19 Б. П. Демидович
562
ОТВЕТЫ
2730. Сходится абсолютно при х = 2 и при х > е. 2731. Схо¬
дится абсолютно при jc> 1. 2732. Сходится, если 0< min (дг,
у) < 1. 2733. Сходится абсолютно при | х | < 1,0 ^ у < -г оо
и при | jc| > 1, У > |*|; сходится условно при X = —1, 0 ^
< 0 < 1. 2734. Сходится абсолютно при max (|jc|, |у|) < I.
2735. Сходится абсолютно при: 1) 0 х < 1, — <»<//<+°о;
2) х= 1, у> 1 и 3) jc> 1, у~> 2. 2736. Сходится абсолютно
при | дс — Лгл |< , где k — целое число. 2738. — < | х |< 2;
4 2
6jc (х2 - 1 j
- . 2739. а) Сходится абсолютно при х :> 0,
(2—jc)2 (2jc—I)2
сходится условно при —I <х< 0; б) сходится абсолютно при
р + JC > 1 и при JC = 0, 1, 2, .... сходится условно при
0 < р + jc ^ 1; в) сходится абсолютно при: 1) \х\ < 1, у —
произвольно; 2) х — ±1, 3) jc — произвольно, у~0,
1.2, . . .; сходится условно при х = 1, — < у < — .
2 2
2743. При е = 0,001 и jc = y^O.l , N ^ 3т. Нет. 2744. п >
7>—. 2745. п^26. 2746. а) Сходится равномерно; б) сходится
е
неравномерно. 2747. Сходится равномерно. 2748. Сходится не¬
равномерно. 2749. Сходится равномерно. 2750. Сходится рав¬
номерно. 2751. а) Сходится равномерно; б) сходится неравно¬
мерно; в) сходится равномерно. 2752. а) Сходится неравно¬
мерно; б) сходится равномерно. 2753. Сходится равномерно,
2754. Сходится неравномерно, 2755. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2756. а) Сходится неравномерно;
б) сходится равномерно. 2757. Сходится неравномерно.
2758. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2759. Сходится равномерно. 2760. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2761. Сходится равномерно.
2762. Сходится равномерно. 2763. Сходится неравномерно.
2767. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2768. Сходится равномерно, 2768.1. Сходится неравномерно,
2769. Сходится неравномерно. 2770. Сходится равномерно.
2771. Сходится неравномерно. 2772. Сходится равномерно.
2773. а) Сходится неравномерно*, б) сходится равномерно.
2775. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2776. Сходится неравномерно. 2777. Сходится равномерно.
2778. Сходится равномерно. 2779. Сходится равномерно.
2780. Сходится равномерно. 2781. Сходится равномерно.
2782. Сходится равномерно. 2783. Может. 2785. Не обяза-
ОТВЕТЫ
563
тельно. 2795. а) Существует и непрерывна при х < 1.
б) существует и непрерывна при | х \ < + оо; в) существует при
\х\ <+ оо, разрывна при х = 0. 2799. а) Существует и диф¬
ференцируема при х Ф —к (к = 1, 2, 3, . . .); б) существует
при \х \ < + оо, дифференцируема всюду, за исключением
х— 0. 2802. а) а произвольно; б) ос< 1; в) а< 2.
2805. Нет. 2806. -у 1п 2. 2807. 1. 2808. 1. 2808.1.-у-.
2809. Законно. 2810. Да. 2812. R = 1; (— 1, 1).
При х= —1 сходи 1ся абсолютно, если 1, и
условно, если 0 < р ^ 1; при х= 1 сходится абсолютно,
если р > 1, и расходится, если р ^ 1. 2813. R = -у ;
/4 2 \ 4
I — * — ). При х — — — сходится условно;
V 3 3 / 3
2
при х — — — расходится. 2814. #=4; (—4,4). При
О
= ±4 расходится. 2815. R = Ч-оо; (—оо, + оо). 2836. R =
— —; ( » — ). При х = ±— расходится. 2817. 7? =
е V е е / е
= + оо; (—оо, + оо). 2818. R = 2; (—1, 3). При х = —1 схо¬
дится абсолютно, если р > 2, и условно, если 0 < р ^ 2; при
jc = 3 сходится абсолютно, если р > 2, и расходится, если р ^ 2.
2819. # = 2Р; (—29, 2;)). При х = —2Р сходится абсолютно,
если р > 2 и расходится, если р ^ 2\ при х = 2Р сходится
абсолютно, если р > 2, и сходится условно, если 0 < р ^ 2.
2820. /? = 1; (—1; 1). При д: = —1 сходится абсолютно, если
т^0, и расходится, если /п < 0; при х= 1 сходится абсо¬
лютно, если т ^ 0, и сходится условно, если —1 < т < 0.
2821. R = min^—; R). При х = —R сходится
условно, если а ^ bt и абсолютно, если а < Ь; при х = R рас-
кодится, если а^Ь, и сходится абсолютно, если а<Ь.
2822. R = max (a, b); (— R, R). При х = d:R расходится.
2823. R = 1; (—1, 1). При х = =F 1 сходится абсолютно,
если с> 1, и расходится, если 1. 2824. R = 1*, (—1, 1).
При х = ± 1 сходится абсолютно. 2825. R = 1; ( — 1,
1). Прих = —1 сходится условно; при х = 1 расходится.
2826. R= 1; ( — 1,1). При х = — 1 расходится; при
х= 1 сходится условно. 2827. R = 1; (—1, 1). При
I / 1 14 ~
х = =Ы расходится. 2828. R = —; ( -7). При
4 V 4 4/
1 1 / 1 1\
*=±— расходится. 2829. Я —-г*, I ——» ) • Нря
4 о \ о u J
# = =Ь“Г расходится. 2830. /? = 1; (—1, 1). При х = ±1 схо*
о
дится абсолютно. 2831. Я = 1; (—1, 1). При х= ±1 сходится
условно. 2831.1. При 0 < х < 2 сходится абсолютно; при л; = 2
сходится условно. 2831.2, Сходится лишь при х = 0. 2832. R =
19*
Б64 ОТВЕТЫ
= 1; (—1, I). При х = —1 сходится абсолютно, если у—а—
— Р >■ О, и сходится условно, если —1 < у — а — Р^О;
при х = 1 сходится абсолютно, если v — & — Р>0, и расхо¬
дится, если у—а — р ^ 0. 2833. х > 0. 2834. |*|>
2835. 0 < | дс | < + оо. 2836. х > —1. 2837. | л; — kn |< -j,
где к — целое число. 2838. — 1 + 3 (х + 1) — 3 (х + I)2 +
(х — Ь)п
Ь)п+i
п=О п=0
(I*1 > |а|).
4- (*+ I)3. 2839. а) ]Г-^г<1*1<1«1); б) Yj
п=О
оо
(I* — 6 I < |а — Ь\у, б) - Y
п=0
оо
Z(x 1У»
( — I)"-1 — — (0<л:<2); In 2.
гг =1
оо оо
ZX2n+l Х2П
“ (UK +оо). 2842. > *
(2п + 1)! ^ (2/01
п=0 я —О
(|лс|<+«ю). 2843. Y <-1)Я+1~1:ч, *;n(UI< -f °о).
П =1
22/7—1
12^
Zln^a
х" (| х | < -f оо). 2845. цх 4-
пf
п=О
+ *з+ х5+. (М<1)>
2846. Г(224^^} . . .(|х|<1).
2847. 1 -K.v—1)4-(.у-1И4-—Х~<)1 ■+ . . . (О < х < 2).
2848. ^(1-++4гД;2__ш'А'Э+ • ‘ ’) (|Д;|<1)-
Л2 Л3
2849. sin (дс + Л) = sin дс + h cos дс — — sin дс — —* cos дс + . . #
vi/ 21 31
h2
(IЛ I < + °°); cos (дс + h) = cos дс — h sin дс — cos дс +
№
J — sin x+ . . . (|Л| < + оо). 2850. а) ( - 2. 2);
*Т* «51
ответы 565
Z( — 1)" х2п
— (\х\<+ос),
п\
л—О
2852. 1 + ^ ( - 1)" дм (I Ж| < + оо), 2853. X
п= 1
оо 00
х2(-1)П+1"£т~1)Гд;2Я+1 (|*|<+оо)- 2854- 2
л=1 я=10
оо
(| л:| < 1). 2855. (л + 1)*л(М <3 1). 2856. * +
п=1
оо оо
Z^ + i 1 V"4!
—(1*1 <3 0- 2858. — 2^ [1-(-2Н*"
п =0 л=1
(l^l<3 y)- 2859. 2][1+ ~ 7"1)П ] *П<1А;1<1)*
п=0
~2~ Z [* + ~~2 ] *"(| *1 < 1}~ 2Ш* 2]вя**'
[(^-У
/ vr-i Y+*i
I II \мпч,л а ^пиипаччп;,
V. 2 У J V3
где *„ = -^=- [(-^2+1 -) + +(-1)" X
л/б~ — 1 \п+1 1 2
yi [ ) (числа Фибоначчи). 2862. —т=- X
X^J^sin ——(| л | < 1). 2862.1. ^ Сп^1, где c„ =
/г=0 n=0
c= 1, если л = 4/г; cn= — 1, если я = 2/г + 1; cn = 0.
если я = 2£ + 2 или л = 2/г + 3 (/г = 0, ±1, ±2, . , . )«
оо
f(l°00) (0) = 10001. 2863. £ *п cos ла (1*1 < I).
п=I
оо оо
. V хп sin па (| х | < 1). 2865. У хп sh па (| х \ < ё~ •).
л=0 п—О
566 ОТВЕТЫ
п =0
п—I
ОО ОО
'• ^ -С°^Па хп (| л: | < -'г оо). 2889. (- 1)п
ОО
I
П=1
оо
А2,,+1 Г
x‘i^rr(lx|< 1)- 287L *+ А г 1)П
п—I
2868
Я =0 Л=0
х_2^(1я|<1)« 28:э. у _12п-и^ х
2я -г 1 ^ ' 4 ^ / , (2я)!!
(2^ — 1)И
_ (2я)!1
ОО
Х~П +1 1 \ ' COS ПСс
Х-V- , (1*1< 1)- 2872.-2 ) х* (1*1^1).
2n + 1 J / , п
/1=1
ОО
2873. а) *+) (_1)я+1 — *"+l. - (— 1 < х < 1);
/ , л (/» т I)
П=1
ОО
Z*4/t+l
-^ТГ
>1=W
оо
Z( — 1)^ 23"-1 /1 1 \
<,<т) ;
П=1
г) (,*l<vr)i
n=0
ос
*> Z(-
х2'1
_ ''^-Гс-ц ' "»'«=*«> 21x1
м^1
1 +
, V* (2n—1)!! xin I
+ 2_ №0" 2^+r! "p" 0<'”!1 “ ”
и=1
ОТВЕТЫ 567
. . ** , Г"1 f (2л — 1)1! *м+* ),
«.=5»; ») 1 +—+ £да""а» +1
п *1
*а I Vя , .и *2п — 1)!! xw+*
•) -■+—■йл+г);, -j^rr ««!<«.
/1*1
л Г п (п — 1)
2874. а) е* (2х)п + Ц +
X еаМ [в'
хо"—**-г.. .1; .) ■ "й" *
(-1)"-»л1 Г (п-1)(п-2)
(I + дг1)" L
(п — 1) (п —2) (л — 3) (г. — 4)
х ^-9 + -JIL-J)Sn -,2.НП - 4> хп->_ . , .J.
V* (— 1)л
5875. ) — ■ — (д: + I)1" ( — 2 < х < 0).
• «'•£-=тг(-7тг)'
2876
1 п=мз
(х>0). 2в78. -^+ У
•+* U (2n)!l I I+* j
» + ■
П—\
. 2881. 1 — * — ~~г* ** — ** — • • •
2 12 24
(-1уч-1(л-1)
п!
л=п 2
(|*,< +">• I Ы
2
(2д)1 (2 л — 2)1
п«0
+ • (2n ^ 4)|—J*"(l*.l<+»). где 01 = 1, (— 1)1 = а»,
00
(-2)1 = 00 HI, д, 2884. 2 J (1+4"+ ■ ’ ‘+Т")х
li «1
568 ОТВЕТЫ
xn+l (_ l)« + l
X— (_!<*<!). 2885. » + а2]--4««-Г~
n =1
__ n in /7 JT
2 7 cos —-
(|*|<1). 2883. > i x" (|x|< + со).
L-i ПI
n=0
« 2rt/2 sin -H.
2887. ) - xn (|x|< +<»).
L-! nl
rt—1
2888,
/i~l
b'wO'
n^i
J J(-i)"-i (i + ~+ • • • +_г) *"}<-! <*<!)•
Z°° 92'1+1 (лП2 1
- \ г х2П (I* I < l>- 28flK * + ~7Л‘3 +
(2n -i- 2)! ^
л-0
+ ~lr *‘+ • • • (|д:|< f)- SB92- *- ~7 л? +
•ь^-«ч- • • -(|'|<т)- !ет-
^г*1- • • • (l*l<“). 2894. £0=1, £ ( (-l)fcx
945 ^0 \
x U o. i£05. I (x) = У Pn (/) *"
(2k)\(2n-2k)\ j £o
(2n—1)11 Г,,
(|*|<1), где />,(*) = l; Яя(0 =
п(я — 1) n(/i— 1) (я —2)(ге —3) ^_4_ I
2 (2п — 1) 2-4-(2л—1) (2я — 3) ’ J
ОО
(л ^ 1) (многочлены Лежаидрл). 289G. £ чпхп, где
п=о
п
2897‘ а) fl>min(/?lf Я2); б)
л=о
ОТВЕТЫ
2901.
JU
+z
оо
E'-""
я! (2л + 1)
n= o
(2л 1)!!
(2л)!1 4я + 1
n=l
X (2л + 1) (2л + 1)!
(|*|<1). 2905.*-
оо).
2902. х +
оо
2903.
У <-1)"х
* -л
п= 0
оо
2904.
У (-1)пх
£ 4
п—0
*3 1
X*
36
96
2907. arctg х
(2 п + I)2 4
(1*1< 1). 2906. In -*-+— (| дг| < 1)
2 1 — х
(|*|<1). 2908. chx(|*|< +оо). 2909. 1 +
+ * - In (1 - х) (|*|<1). 2910. —7== ( — 1 <
X VI — X
-jrhr (|'|<|)' 2912- v+~*r '
(|*|<1). 2913. ?*-■ (| дс| < 1). 2.16. Я = 2;
(1 — л)3
(*-!)* + (»- 1)'2<4. 2917. R = х* + у*<-у-
2918. Я=1; х2 + у2<1. 2919. Я=1; х2-\-у2< I.
а
2920. R —
2 sin
2
(дс — cos а)2 + (у — sin а)2 •<
<4 sin2 — . 2921. 2,080. 2922. a) 0,87606 =
2
=arc 50°1 Г40"; б) 1,99527; в) 0,60653; г) 0,22314. 2923.0,30902.
2924. 0,999848. 2925. 0,158. 2926. 2,718282. 2927. 0,1823.
2928. 3,1416. 2929. 3,142. 2930.3,141592654. 2931. In 2=0.69315;
In 3=1,09861. 2932. a) 0,747; 6) 2,835; в) 1,605; г) 0,905;
д) 1,057; е) 0,119; ж) 0,337; з) 0,927; и) 8,041; к) 0,488}
л) 0,507; м) 0,783. 2933. 3,82. 2934. 4,84. 2935. 20,02 м.
3 1 I
2936. cos2aH cos Ах. 2937. Ряд Фурье совпадаете мно-
8 2 2
ОО
г» / ч плоо 4 V* sin (2£ — 1) х я ЛЛОЛ А
гочленом Рп (*). 2938. — > * — • — . 2939. —
я L, 2ft — 1 ’ 4 2
Й—1
670
ОТВЕТЫ
— У 1- sin (2k + 1) —. 2940. 2 V (— 1)я+1 X
л Lu 2ft+1 I La
П—1
ОО
Zsin пх
п
k=Q
sin пх
2941.
2С42. — —у
2 я
ОО
Л=0
оо
*=0
cos (2k + 1) х
(2* + l)2
cos (2k -\- 1) x
2943. (a — Ь) я 2 (a — b)
(2k + 1)
+ (e +
«
/2—1
1)П+1
2944.J- я. + 4 у (-.l>a+1-coSnx. 2945. 2sinlla
3 / . n*
z .
Al=l
J. У (_i)n+i££2L^l 2016 2sinna V (-|)"'l'lwsin,I;t
f ‘ я A
n=1 J “
>h яа
я Z-(
71
2 a
n- — a*
2947. У -Ь'Г"5|"“ . 2948. 2 sh оЛ ' 1
+
ОС
Ё(_|л
п- -г а2
, яядс яял:
яЛ cos пп sin
(a/*)2 -|- (яя)2
п=1
2/
2a/i
2949. а + / +
Я=|
ляа ляд: яла . ял*
sin cos — cos sin
(a< *<a +2/). 2950. 1
2 Lk n*- 1
rtx \
I J
cos Я*.
/1=2
2951, -it V » si„ 2952. ± V ((_!)* X
я /j (4я2 — l)2 я \
n=l *=0
,cos(2fe + l)< | 2953 _1_ у ( sin (2ft + 1)
2Й + 1 j я Zj (2M-1)2
4=0
ОТВЕТЫ 571
2954. j- У -C0S (2k- + ^ . 2055. J LV -£r 2 \nJL
It Z_i (2ft + l)2 2 n Lj n
k=0 '1=1
oo
/ , ч onec 1 2 COS 2л (2/1 + 1) X
(x ф целому числу). 2956. > -—.
4 Li (2/i+I)2
Г2 =0
2957. 2958. Л+iV J=fc X
I-1V . та Л.1Г
я я Z-i 4&2 — 1 я я 4 k2 — 1
k=\ k=i
oo
a an+l 4
X cos 2kx. 2959. j- 2 ) cos nx. 2960. — X
1 — а2 1 — a я
n=1
Xln(l+V2“) + £ j(- 1)Л Г 2 + sin -y-
/5=0 ( L "1 = I
+Z j(_ 1)Л £ IT ln (1 + ^ "1—~ x
X COS (86 + 4) X
k
у J—1Z1 sin (2от — 1) — I cos Skx
Lj 2m— 1 4 1
m=1
Jl
. 2961. а) + 4X
3
Z(— 1)* т-i (__1)л+г
— -—cosrtx(—л^х^я); б) 2я ) — - sin лх —
fl2 J n
/1 = 1 /2=1
- У sin(2k+l)x-(0^x<n); в) +
n Lj (2k +1)3 3 la n*
k=0 n= 1
_4я£^Ч0<*<2я); 4-. 2962. ,2 =
6 12 8
rt = l
*=— + 4 V (- \)n—S-n* ; x3«2n2V (- l)"+i —11Я--fr
3 La n? Z_j я
/1=1 n=l
4-12 У (— l)"-sl-n*~; X*= — яН-8п2У (_l)«I2i£l+
/ ^ Я3 Я Л2
«=1 /1=1
, до V' (— !)n+1 nnPO а (я—а) я2—Зла + 2a1
+ 48 > — cos nx 2963. —; #
Zj n* 2 6
n=l
572 OTBFTbi
оо оо
2л пх
п=\ /1=1
ллл 2 9 1 2лпх .1 со^ 2л
2964. > cos >
3 2л2 La п2 3 2л2 Zj п1
/1=1 /1=1
т
<0 < ж < 3). 2965. Jj- С- + £ С»-* cos 2 А*.
fe^l
оо оо
2966. £ <7rt sin я* (|<71 < 1). 2967. 1 +2 qn cos пх (\q\C\).
п—1 п=0
~ п
2968. V q* cos пх. 2969. — 2 V —— cos пх. 2970. — In 2 —
К~о L-л п
/7=1
2971, -1п2 + £- (-0"+lcosnx
л=1 /1=1
оо
-’Z
«»72. -2> С05-<2*-±1К, 2973. Y-i.in.(2*+U*.,
2ft+ 1 Zj (2ft+l)a
fe=0 A=0
oo
_A_. , 4 a 4fl Г» 1 (2fc + 1) ns . 4a ^
2974. x (s) > cos — 1—- X
2 я2 Zj (?Л + l)2 2a я2
fc=0
Z(_l)fe . (26 + 1) Я5 a 4a
—- sin — ; «/(5)= X
(2k + l)2 2a 2 яа
ft=0
■у 1 co.(2*+I)ns 4a у (-')k+1zin (2H-l)ns
Zj (2k+\f 2a n*/_, (2ft+l)2 2a
fe=0 й=0
2*75. /(— x) = f (x); I (n — x)= -t(x). 2976. /(-*) =
2 8 (—l)ft -|
f(n-x) =t(x). 2977. a)
-Id
(2ft + l)2 я (2* + 1)»
k=o
2 (— 1)*+1
X cos {2ft + I) rj (<)<.«; -i); «) ^([г,Ц'|,, +
+ — 1 Sin (2k + \) x\ —V
я (2Ar + l)3 J J \ 2 /
2978. a2n = b2n — 0 (n = 0, 1,2, . . .). 2979. a2„_* = 62„_j = 0
(n = 1, 2, 3, . * 2980. а) аЛ = 0, = ~ 0, =
ответы 573
0. 2981. <хп — ап, рл = —Ьп. 2982. &п = —ап. Prt = Ьп.
2983. ап = ап cos nh -j- bn sin nh, bn = bn cos nh — an sin nli.
- * sin nh 0 .sin nh . e л
2984. i4o—#о» /1 ^--Qn 9 Bft — bn - (/z — 1, 2, . . .).
«ft лл
2985. A0 = eg. = al + b\; Bn =0 (n= 1. 2 . . •)• 29S& J- .
2987. — . 2988. 2 In 2 — 1. 2980.—. 2990. -I—f'l
4 4 //
+ ...+—V 2991. ln 2 5-. 2992. —. 2993. 1.
m J
-0+T
2 4
2
2994. 2 (1 —ln 2). 2995. 2e. 299C. 3e2. 2997. — 3.
3
tt2 QQ 1 1
2998. - ^ . 2999. — (cos 1—sin 1). 3000. — (4 In 2—1).
4 16 2 6
3001. ex (amx,n + Jr . . . +a0), где коэффициенты
a/г (Л:=0, 1 tn) определяются из равеистиа Р(п)=атп(п—
• 1) . . . {п т -j- 1) -f- CLrn_in (п — 1) . . . (п — т -j- 2) -f- . . .
4- aj/i -I- a0 3002. ехП + ~+ lj. 3003. ^*2+l + —j x
Xe-1 — . 3004. (l —^ cos * — sin x. 3005. —— X
ж V 2 J 2 4
X —— sh V* — ch V* Y если x > 0; —( x ~r 1 ■ x
I Vx J 4 Ww
XsinVl-*! —cos V |*lY еслп *<0. 3006. In—5—. 3007. 2vX
J l~x
X arctg x — ln (1 + jc2) (1*1 < 1). 3008. J— arctg* 4—- X
2 ' 4
X In 1 +* (|*| < 1). 3009. (1 — tc)~a/d —I (|*|<1). 3010.
1 — X
(l — —)“1/3— 1. 3011. —L+£_ (|*| с 1). 3012. *(3~ *)-
\ 2 / (l—*)a (l-.*)3
(|*| <1). 3013. (1 -1- 2дсг) 3014. —fL__j.J_in2.
з д/з 3
3015. —. 3016. —!—. 3017. — . 3018. Я~- (0<*<
4 2 2
< 2я). 3019. — ln
2 sin —
(0 < * < 2 л). 3020. ■— x
574
ОТВЕТЫ
X In
s:n
x — a
. 3021. —, если 0<*<2a; 0, если a<x<
4
<2я — 2a; —, если 2л—2а<л:<2я. 3022. — sgn х (| х |<я).
4 4
3023-
1 (\ со> х \ х . м ^ v
— ( 1 | sin X {\Х |<Я)
2 V 2/2
. 3024.
п
7'“
(2с“ т)
(!х|^я). 3025. — (1 + cus х) — sinxln
2
(| х\<л). o J26. eCCjSX cos (sin x) (| x j < oo). 3027. x = in, у =
= /л (i, . =;0, ±1, ± 2, . . 0- 3028. 2 (arcsin x)2(\x\ 1).
3029.
V* V* 4
arcsin—1 , если x>0;
3/2
—/j-L— In V|JC| ~>~Vi——, если дг<0. 3030.
(4 — ,rlJ/j
3031. ---. 3032.
X
1—X
1 — X
3033. a) -
(I-*)2
6)
(* — i}‘
3034.1 3335. 1+V (—I)” - ! •.
Lt (2/7)1! (2n+l)a
я-l
3031 -J—, 3037.
12
1
n=l
(P -I- nq)
3038. 2 —
ЗСЗЭ.
_!_ . 3049. — . 3041. F (k) =—11 + У [(2ft 1)11 T
•24 12 2 <2n)!l -I
X
X
3042. E(k)=•
3043.
n(2/t—1)!1~|2 fe2n
(2/t)!l J 2n —
Л = 1
“ИтТ^-Ш-?-—•]
эксцентриситет эллипса, 3047.
2яа*
п\
, где е —
. 3048. In (1 + а) при
[а|<1 и -L- In Г14-—^ при |а| > 1, 3049. 0 при
а2 V а )
ответы 575
]а| < 1 и л In а2 при |а| > 1. 3050. 2 10~в. 3061. — *
4
о
3062. 2. 3063. -у. 3064. я_1п\ 3065. а) Нет; б) да; в) да;
г) да. 3066. Расходится к нулю. 3067. Сходится. 3088. Схо¬
дится при р > 1. 3069 Расходится к нулю. 3070. Сходится
при любом р. 3071. Сходится, если аг = а. 3072. Сходится,
р р
если <ц = ^ bi. 3073. Расходится к нулю. 3074. Сходится*
i=i
3075. Сходится. 3076. Сходится. 3077. Сходится при
любом х. 3078. Сходится при любом к. 3079. Сходится
при \х\ < 1. 3080. Сходится при \х\<2. 3081. Сходится
при \х\>е. 3082. Сходится при любом х. 3083. Сходится
при \х\ < 1, р, произвольных и при х = dz 1, р > 1, <7 >
> —. 3084. Сходится при любых ха р. 3085. Расходится
2
3088. Сходится условно. 3089. Расходится. 3090. Сходится
абсолютно, если р > 1; сходится условно, если — < р ^ 1,
2
3091. Расходится. 3092. Расходится. 3093. Расходится*
3094. Сходится условно. 3095. Сходится условно. 3096. Рас-
холптся. 3097. Сходится абсолютно при а > 1; сходится
оо
1 V* fn (*)
условно при — < а ^ 1. 3109. Z7' (дс) = F (х) / ;
2 La 1+/„ ОО
п=1
ОО ОС
£ | //1 W | < + °°* | f'n W I < СП (« = 1. 2, . . .), где £ с„ <
П= 1 П = [
<4- 00. 3111. 157,970 4-0-0.0004 (0 <6 < 1). 3112. Ю2*66- 7,7Х
V 12000 ) \ 300 )
31М. 10". 1,378-^1(I 6 |<1). 3115. 1042-4,792-^1 +
+ -^г)(101 < 1)« 31!6- 0,124‘(I + "^') (|G| < 1)в
_0_
288
0 \,|А, ^ Л . 0
120
3117. 0,355-Г 1 -| —^ (| 01 < 1). 3118. (2л — 1)1! « л/^ (2«)”Х
\ 600 )
Хе~п+в"/12п (|0Л| < 1). 3119. _^_/л/ЬП (10„| с 1).
576 ОТВЕТЫ
3120. а) 1; б) е; в) —; г) 1. 3121. Р, (х) = 1 -
2
счс: 1 r
jc ^- х2 -) *3; Р3 (— 1) » 3,43;
21 14 42
Р„(1)= -1,57; Р8(6)«8,43. 3122. у = у0 + (*_*„)+
2 Л
+ У1 ~2^Г У'}~ <* — *о)2. 3123. jr = 0,808 + 0,193*—
— 0.00101*2. 3124. sin лг° « —^£_fi — i—Vi: sin20°«0,34l;
288 L V 150 У J
sin 40° « 0,645; sin 80° « 0,994. 3125. P(x)= — (7x2 — 4x*).
3126. 7-L. 3127. Ba(x)=x; Bn (x) = x*+ -*(1 ~ x) ; B„(*) =
-(|-T)(|-7)'1 + f('-T)*I + ^'' 3,28e'w=
~ f (a + ~n" О C" Iх ~ a)i ^ x)n 1 , где I =b —a.
(=0
3129. S„ (jc) = -i- (1 ~ *) С + *)a + -ТГ (> + *>4- 313°* W “
О 16
4(^)1-»' [({Sy+GSn
= «*e j^l + (eft//n — 1) *~~a j" , где I = ft — a. 3132. £„ (x) =
1 Г/ я , . 2x я \n . / я . 2x . я VI
«=— I cos J-t Sin I +1 COS I sin—I lt
2 LV 2n я 2n J \ 2n я 2n) J
n-i
•2 I one /4 л 8 V1 rt—fe COS(2fc— 1)JC
где t2 = — I. 3135. o2n.i(jc) > — —4
2 lW 2 л /j2n-l (2ft — l)4
k=\
ЧАСТЬ II
ОТДЕЛ VI
3136. Полуплоскость x > 0. 3137. \x\ < 1; |#|>h
3138. Круг дс2 + у2 < 1. 3139. Внешность круга *а + £/2 > 1,
3140. Кольцо 1 < ха + у2 < 4. 3141. Луночка х < х2 + у2 <С
< 2jc. 3142. —1 а;2 + у ^ 1. 3143. Полуплоскость х + у <
ОТВЕТЫ
577
< 0. 3144. Пара вертикальных углов , у | ^ ; х\ (дс ф 0).
3145. Пара вертикальных тупых углов, ограниченных прямыми
у = 0 и у = —2дс, включая границу без общей вершины О (0, 0).
3146. Криволинейный треугольник, ограниченный параболами
У2 = У2 — —* и прямой у = 2, исключая вершину О (0, 0)«
3147. Семейство концентрических колеи 2nk ^ х2 + у2 ^ я X
X (2k + 1) (Л = 0, 1, 2, , . .)• 3148. Внешность конуса х2 +
+ у2 — г2 = 0, включая границу за вычетом вершины. 3149. Со¬
вокупность четырех октантов пространства. 3150. Внутренность
двуполостного гиперболоида х2 + у2 — г2 = —1. 3151. Парал¬
лельные прямые. 3152. Концентрические окружности. 3153. Се¬
мейство равносторонних гипербол с общими асимптотами у =
= 3154. Параллельные прямые. 3155. Пучок прямых с вер¬
шиной в начале координат, за вычетом вершины. 3156. Семей¬
ство подобных эллипсов. 3157. Совокупность равносторонних
гипербол, асимптотически приближающихся к осям координат и
расположенных в I и III квадрантах. 3158. Семейство двузвен¬
ных ломаных линий, вершины которых расположены на оси Оущ
3159. I и III квадранты при 2=0; семейство двузвенных ло¬
маных линий, звенья которых параллельны осям координат,
а вершины расположены на прямой х + у = 0 при г > 0.
3159.1. Линии уровня — стороны углов, параллельные поло¬
жительным направлениям координатных осей Ох и Oyj с верши¬
нами на прямой у = х. 3159.2. Семейство контуров квадратов
с общим центром О (0, 0), стороны которых параллельны осям
координат Ох и Оу при г > 0; точка О (0,0) при г = 0.
3159.3. Прямые, параллельные оси Оде, если г < 0; стороны
углов, параллельные координатной оси Ох и положительной
полуоси Оу, с вершинами на параболе у = дс2, если г >• 0; поло¬
жительная полуось Оу, если 2=0. 3160. Пучок окружностей,
проходящих через начало координат (не включая этого начала!) и
С
ортогональных к оси Ох. 3161. Кривые у = . 3162. Кри-
1п дс
С+х
вые у = . 3163. Семейство окружностей с центрами на
In х
оси Оде, ортогональных к окружности дс2 у1 = а2. 3164. Се¬
мейство окружностей, ортогональных к оси Оу и проходящих
через точки (—а, 0), (а, 0), за вычетом последних. 3165. Прямые
к = тл и у = пп (т, п = 0, ±1, ±2, . . .), при г = 0; система
квадратов тл < дс < (т + I) л, пп < у < (п + 1) л, где
(—\)т+п = г, при г — —1 или 2=1. 3166. Семейство парал¬
лельных плоскостей. 3167. Семейство концентрических сфер
G центром в начале координат. 3168. Семейство двуполостных
573
ОТВЕТЫ
гиперболоидов при и < 0; семейство однополостных гипербо¬
лоидов при и. > 0; конус при и = 0. 3169. Семейство эллипти¬
ческих цилиндров, общей осью которых является прямая х -Ь
+ у = 0, 2 = 0. 3170. Семейство концентрических сфср х2 Н-
+ у2 + г2 = пп (п = 0, 1, 2, . . .), при и = 0; семейство сфе¬
рических слоев пп < х2 у2 + г2 < п (п + 1), где (-—1)Л = и9
при и = —1 или и = 1. 3171. Цилиндрическая поверхность
с направляющей z=f(y)t х= 0, образующие которой параллель¬
ны прямой у — ах, z=0. 3172. Поверхность вращения кривой
2 = t (*)» У = 0 вокруг оси Ог. 3173. Коническая поверхность
с вершиной в начале координат и направляющей: х = 1, г =
= f (у)- 3174. Коноид с направляющей: х = 1, z = I (у), обра¬
зующие которого параллельны плоскости Оху. 3176. /^1,-^-^=
= / (х, «/). 3177. д/1 + х2 . 3178. / (0 = 2* + **; 2 = * — 1 +■
+ У57 (ЛР > 0). 3179. t (х) = X2 — х\ z= 2у + (х — у)2.
3180. /(*, у) = х2 1 . 3183.1. Нет. 3183.2. 0; нет. 3184. а) 0.
1 +*/
1; б) — , 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, оо. 3185. 0. 3183. 0. 3187. а.
2
3188. 0. 3189. 0. 3190. 1. 3191. е. 3192. In 2. 3193. а) -у < q ^
^ Зя ^ я _ Зя 5л 7л
^ • б) — < Ф < — и С ф С — . 3194. Точка раз-
2 4 4 4 4
рыва: х = 0, у = 0. 3195. Все точки прямой х + у = 0.
3196. О (0, 0) — точка бесконечного разрыва; точки прямой
х + у = 0 (х ф 0) — устранимые точки разрыва. 3197. Точки,
расположенные на осях координат. 3198. Совокупность точек
прямых х = тл и у = пл (т, п = 0, ±1, ±2» . . .). 319Э. Точ¬
ки окружности х2 + у2 = 1. 3200. Точки координатных пло¬
скостей: х = 0, у = 0 и z= 0. 3201. (a, by с). 3203.1. Равно¬
мерно непрерывна. 3203.2. Равномерно непрерывна.
3203.3. Неравномерно непрерывна. 3203.4. Функция непре¬
рывна на £, но неравномерно. 3212. [х (х, 1)= 1. 3212.1.
f’x (0, 0) = 0, ['у (0, 0) = 0; функция недифференцируема в точ-
к^ О (0, 0). 3212.2. Функция недифференцируема в точке
0(0, 0). 3212.3. Функция дифференцируема в точке 0(0, 0).
3213. — =* 4г> — 8*«/4 , — = V — 8х% = 12л2— 8у\
дх ду дх*
д'и —16ху, = 12у2 - 8*2. 3214. — =
дхду ду2 дх у
ответы 579
(*u
X
n
a2a _
-7-
d2fc
а2м
2x
dy
3??5.
X
du
\
a*2
— U f
du
dxdy
2x
o, *
yz
d2u
OX
’ »
dy “
^Л'2
dxdy
J)2u _ 32J6 _du y2 du\__
у* ду2 у4 dx (дс2 + £/2)3/2 dy
xy d2u 3 xy2 d2n
{хг + У2)л/* * dx2 (x2-j-y2)5/2 9 dxdy
_ у (2л2 — у2) дЧ _ х (х2 — 2у2) 321? Он
(х1 — У1)ЬР * ду2 (х1 4- у2)5/2 * dx
= sin (дс 4- «/) + дс cos (дс 4- у), = JC cos (дс + у), д и
dy ох1
д2и
= 2 cos (дс 4" У) — *sin (л 4" #)» = cos (дс+f/) — xsin (*+(/),
dxdy
d2u • , , ч 2л* sin х2 си
- =—х sin (х + у). 3218. = , =
dy2 dx у оу
cos дс2 д2и 2 sin х14- 4х2 cos дс2 д1и
if- dx2 у dx ду
2xsinx2 d2u 2 cos дс2 л.4л du 2х , v*
3219. = ес' ,
У2 ду2 у3 дх у у
du х2 дс2 д1и 2 й дс2 8х* . л:2
sec- , = — sec2 j sin X
dy у2 У dx2 у у у2 у
„ з X2 д2и 2х . л;3 4л:3 . х2
X secd , see2 sin X
У д* ду у2 У yz У
к, л з л2 д~и 2х2 х2 2х4 . дс2 а л2
X see3 , = see2 j sin sec3 .
У dy2 i/ У У* У у
3220. — =ухЧ~\ = x*!n*, = у (у- 1)хУ-\
dx dx dx2
di‘‘ хУ-1 (\ + у \n x), ■^- = x«\n2x(x>Q). 3221. —=s
d* d// dr/2 ддс
1 du 2y d~u 1 d?u
* + У2 dy ~~ x-\- y2 ' dx2 (x -i- y2)2 ’ dxdy
— 2У d*u - 2(x — y2) 3222. _ у
(x + У2)2 dy2 (x 4- y2)2 dx x2 + y2
du дс dlu 2 xy d2u x2 — y2
dy x* +y2 ' дк2 (x2 + y2)2 ' dxdy (x2+y2)2 ’
_d2u _ 2xt/ 3223 _du__ 1 du
dy2 (x~ + У2)~ " dx 1 -J-лг2 ' di/ H-*/1 *
d2u 2x d2u __ Q d-u _ 2у
dx3 “ (1 + дг2)2 ’ dxdy ~ ' dy2 (1 + y2)2
580
ОТВЕТЫ
у ,1ч ди \и\ ди xsenw
(ху Ф 1). 3224. = — ,
дх х2 + у2 ду х2 + у2
д2и 2х 1 у | д2и (х2 — у)2 sgn у д2и
дх2 (х2 + у2)2 9 дх ду (х2 + у2)2 ду2
— —2х\у\— ^ ^ ' 3225 _ди_ _ X
3226.
(х2 + у2)2 дх (х2 + у* + 22)3/2
д2и 2л:2 — у2 — г2 д2и Зху
дх* ~ (х2 + у2 + z2)5/2 ’ дх ду ~~ (х2 + у2 + г2)5/*
ди _ j_ ( х у ди £_ / х V ди
дх х V у ) ду у \ у ) дг
— ( х Y in -- д2и __ г (г — 1) /£\г д2и
If// У дх2 X2 V у / ду2
г (г + 1) / х V д*и _ / х У|по х д2и
У2 \ У ) ' дг2 \ У ) у дхду
г2 ( х у д2и I / х у/ х \ du
ху \ £ / дх дг х V у ) \ у ) ’ ду дг
уи
ХтУ^-тШ'^тУ
LfiYf|+,l„-!L-)fJL>o'). 3227, ,
У \ У / \ У / V У ) дх
ди и In х ди _ уи д-и __ у (и — г) и
ду г дг г2 дх2 xV
д2ы ы!п2х д-и уи In х
— = —. —г = ^——(2г+у]пх), ——
(fy3 2 02“ 2 дх ф
__ (г + j/ In х) и д-и уи (г + у Iп х) д2н
хг2 дх дг хг3 ду дг
и\Пх[г + у\*х) {хгф0)' 3228 J!L^JLU' д“
г3 дх х д//
г-i 1 д-м </? 0/г—1)
= 2М 1U In X , = In X In У, — —— — ,
дг дх2 х2
д2и Я2*]
= zyz~2u (г 1 -j- гг/2 In х) In х, —— = */2u (1 + у2 In х) X
дг/2 02*
. у 1 to 0?ы гу2~ли д2и и2и In у
X 1п х In2 £/, —— = —2 (1 + ^ In х), —— = х
дх ду х дх дг х
д2и
Х(1 + ^1пх), —— = /-lw In х [1 + 2ln у (1 + i/Mnx)] (х >
ду дгя
>0, у> 0). 3230.1. fxy(0, 0) не существует. 3235. du = xm“1 X
Xу'1"1 (/я// dx + nx dy), d2w = xm~2yn~2 [m (m — 1) y2 dx2 + 2/тш X
X xy dx dy + n (n — 1) x2 dy2]. 3236. du = y^x — xdy ^ ^
У2
^—dy(ydx — xdy). 3237. du — — f d2u =
^ V^2 + «/2
ОТВЕТЫ 581
3238. du = --x-dx + ydy , л,-
(дс'2 4- f/a) / X~ -|- yl}'
_ _ зда л +
(JC* + у2)2
xdij); d~u = ely \y2dx2 + 2(1 -|- xy) dxdy -j- x2dy2]. •
3240. du = (y + 2) dx + (г + *) dy + (дс + у) dz, d2u = 2 (dxdy +
. i . . , , , ,. , (*2 + У2) dz — 2г (xdx + ydy)
+ dydz -f- dzdx). 3241. du = (д.г + y2)2 »
2г [(3*г — у2) dx‘ + Sxydxdy + (3у2 — jc2) —
... — 4 (x2 + y‘) (xdx. + ydy) dz
(x2 + y2)3
3242. dx — dy, —2 (d* — dt/) (dy + dz). 4244. a) 1 + mx + ny;
б) xy\ в) x+ y. 3245. a) 108,972; 6) 1,055; в) 2,95; r) 0,502;
д) 0,97. 3246. Диагональ уменьшится приблизительно на 3 мм;
площадь уменьшится приблизительно на 140 см2. 3247. Умень¬
шить на 1,7 мм. 3249. Л « 10,2 м3; 6 ж 13 %. 3250. Л ж 7,6 м,
3251. f/x (дс, у) и f (дс, у) не ограничены в окрестности точки (0, 0).
Л 1ИЛ д4и дАи д*и
3256. — = 24, ——— = 0, —— = - 16.
дх4 дх3ду дх2ду2
д*и дви
3257. — =0. 3258. - - = — б (cos х + cos у).
дх2ду дх*ду*
Ри д^и
3259. ——— = 0. 3260. - Л—- = ехуг (1 + 3 хуг +
дхдудг дхдудг
+ х2уЧ% 3261.
д*и 6 , 48 (Jg — £)а (У — лУ
дхдуд\дх\ г* гь
dP+qu
где /•= л/(х— &)а + (У — Ti)8. 3262. ' дхрдх<, ' =
2 ( — 1)т (т + п — 1)1 (пх + ту)
3263. ——“ — ! ——. 3264. X
(х + у)т+п+1
X [дса + t/2 + 2 (тх + пу) + т(т — 1) + п (п — 1)]. 3265. (* +
пл.
+ Р) (У + Я) (г + Г) е*+У*г. 3266. sin —— . 3 267. F (t) =*
— f (f) + 3tf" (0 + t2r (t) • 3268. d*u = 24 (dx* — 2dx4y —
d*u d*u
-2dxdy3+dyi)‘ =24> "W = ",2,
—— = 0, ——— = — 12, -^-=24. 3269. d°u =
дх2ду2 дхд f dy4
= 6 (dx? — ЫхЧу + Zdxdy* + dy*). 3270. d*u = —8 (Й +
+ ydy)z cos (дс2 -J- i/2) — 12 (дс^дс + ydy) (dx2 + dy2) sin (дс2 + у2).
3271. d10u = — 91 ,(d* + Г . 3272. d“u = — (dx6 —
(x + j/)10
582 ответы
— 15dx*dy2 + \bdx2dy* — dy*) cos x ch у — 2dxdy (3dx* —
— \0dx2dy2 + 3dyA) sin xsh y. 3273. d3« = 6dxdydz. 3274.
d'u = 2 (~~T~ + df3 + ~dZ* ) • 3275- d"“ = e°X+l"' X
v x3 г/3 г3 у
n
X (ad* + М(/)л. 3276. dnu = £ X^-*) (л) K<'’> (//) dxn~kdyk.
fe=0
3277. d^u = /(") (ж + у + г) (dx + dy + dz)n. 3278. dnu =
__ еа*+Ьц-\-с2 ^adx j_ fj^y _j_ cdz)n. 3280. a) Ait — —u,
A'2u = u; 6) Au = 1, A2u = 0. 3281. а) Ди = 0; б) Д « =
= 0. 3282. a) AjU = 9 |(дс2 — yz)2 -f- (y2 — xz)2 + (г2 — ху)г],
Д2ц = 6(х + у + г); б) Д1« = -^—, где г= л/х2у2г2 »
5и д2и
Д2н = 0. 3283. = 2хV (*2 + у2 + г2); —— =
ох дх2
= 2/' (л2 + у2 + г2) + 4хТ (х2 + Уг + г2); ■ = 4xyf
дх ду
ам -£--«(«. f) + -7«(«' v);
-S-—7-Ф Т> *£-«■ (*' т) +
, 2 / * \ , 1 / л: \ д2и х . >
^12 ( х> ) “I 22 ( Х' )’ л д 2
У \ У J У2 \ У J дхду у2
х Г‘2 (*• тО т*) ir):
д2и
ду2
х2 ( х \ . 2х t ( х \ л л ди
Р/ ди ./ ./ d/i /
= Л + уп + уф; —— = */2 + *<г/з; = xyf з;
<32
д2и « // « // » // д2и
= fu -г ^^22 + </2г2/зз + 2j//12 + 2уг/и + 2</22/гз;
а*2
// « // d2W // d2u
= x‘lf22 + 2x1zf& + *^2/зз; ■——- = *V/33; -
дг2 cfxdr/
= xyl22 + XlJZ2h3 + xf\2 + Xl)\z + 2ху2?23 + f2 + zfc
dx dz
*= xyf\3 + xy2f23 + xy2zfw + yf3\ - f “ = X2yh3 -!- *2yz/33 +
d</ dz
/ d2tl » If H t n n
+ x/3. 3286. = /:||+(^+V) /12+^22+ ^2- 3287. Ди = /ц+
+ 4 (* + г/ + г) /;2 + 4 (х2 + г/2 + г2) f22 + 6/2. 3288. du =
ответы 583
*= f'(t) (dx + dy); d?u = f" (/) (dx + dy)2. 3289. du =
-no "fr-** : л-гм -УН x
x ttw-m ' гж
x3 V * 4- */
л _ r.J& + *W + . 329!. 4,, _
*24-«/a (* + y)
= f'(t)dt, d2u = f" (t) dt2 + f' (t) d4, где d/-=-r/2d* + 2xd</4-
4" xydz и d-t = 2 (zdxdy + yd*dz + xdydz). 3292. du = 2/' X
X («/* + ydy + zdz); d2u = 4f" ■ (xdx + ydy + zdzY + 2Г • (d*2 +
-f + dza). 3293. du = af [dx -f bf2dy; d2u = a2fudx2 +
+ 2nb[udxdy 4- b2[rJdy2. 3294. du = f\• (dx 4- dy) + f2X
X (d.r — dy)\ d2u = fn-(dx + dy)2 -f 2f[rJ^dx2 — dy2) + (n X
X (dx — dy)2. 3295. du = f'{-(ydx + xdy) + f’r , ydx —xdy
u
,9 О y2d*2 X2d«2
И = fir (ydx + Xdy)2 + 2/,,. -* + X
У
(ydx-xdy)2 , , , (ydx—xdy) dy
X + 2/, .dxdy - 2f2 - .
3296. du = f'r(dx -I- d{/) + f'rdz; d2u --= /п • (dx + dy f -J-
+ 2/;2-(dx + dy)dz+ ("■£• dz2. 3297. du = f[■ (dx + dy + dz)
•f 2/’,• (jrd-c + i/dy 4- zdz); dru = f’n-(dx + dy 4- dzj2 4- 4/p X
X (dx -rdy + dz) (xdx 4- ydy 4- zdz) + 4(22 (xdx 4- ydy 4- zdz)- +
4- 2b (dx2 4- dy"- 4- dz-). 3298. du=f\- - _ *dy
-L.
!/-
, c, zdy — ydz . t» (ydx — xdy f ,
*r /2 : d2u = f 11 • 4-
Z2 y*
. ^r' (ydx — xdy) (zdy — ydz) , » (zdy — ydz)2
4- 2/12 — 4- /22
у z z4
(f/dx — xdu) du . (zdu — udz) dz
- 2/i — , — - 2h • —■ • - v " . 3299. du =
j/3 г3
= (/! + 2/^ 4- Ы%) dt; d2u = (f"n 4- 4/fjj 4- 4/Уй 4- б/2^ 4-
4- 12^7^3 + 9^/зз 4- 2/2 4- 6//3) dt2. 3300. du = af’jdx + bf'2dy +
4- cf\dz; d2« = a2f"udx2 + b‘2fndy2 4- c2/^dz2 4- 2abfxldxdy 4-
4- 2acf\3dxdz -f 2bcf2idydz. 3301. du =2f\-(xdx + ydy) 4-
4- 2f’2(xdx—ydy) 4- 2ty (ydx 4- xdy); d2u = 4^,• (xdx 4- ydy)2 +
584 ответы
+ 4fly(* dx—у dy)2 + 4/33- (у dx+x dyf + 8Г]2- (x2dx2 — 1?dy2) -|-
+ 8/i3- (* dx+y dy) (y dx+xdy)+8fc3-(x dx— у dy) (y dx +x dy) -{-
+ 2/J- (dx?-j- dy2) + 2/g* (At2 — dy2) + ifydx dy. 3302. dnu =
= /<") (ax + by-f cz) (adx + b dy + с dz)n. 3303. dnu =
/5 д д V
— + /(I, r), £), где \ = ax,
t) = by, £ = cz. 3304. dnu = J^djc ^ + o2
д \ / д d d \ t / d .
+ (frx + 6S ^-+b3 — j - ^ (^Cl—n-
+ Са^Г+Сз^")]”/(1, n' 9' 3305, fw = nr) + 7x
X f' (r). 3316. 1. 3319. xyz. 3331. X — —y — = x.
dx dy
dz dz dz dz
3332. 2x— + y— = 2z. 3333. у — - * - — = 0.
dx dy dy dy
du . du , du nnn du du ,
3334. 4” я = 0. 3335. x —— -f- t/ ~b
dx dy dz dx dy
du d2z d2z dz
+ г = 0. 3336. —■ - - 0. 3337. 2 — — -= X
<3г dxdy ‘ dxdy dx
dz d-z dlz dz dz
X —. 3333. — — = 0. 3339. л: + у 2.
dy dx- дуы dx dy
n d-z d2z dz dz
3340. x2——-y* — + x — -y — = 0- 3341. 1 -
dx2 dy2 dx dy
,— dz я
— V3. 3342. —= cos a + sin a, a) a =—;
dl 4
5я Зя 7я
6) a = ; в) a = и a => . 3343.
4 4 4
2 ■ - . 3344. — У 2 (a2 + b2) . 3345. d“
/ 0 9 -- ab dl
V*o+!/o
«= cos a + cos p -|- cos y; | grad и | = Уз . 3346. | grad и | =■
— cos (gradtt, *) = — cos (grad w, y) =*
*0 re
— — • cos(grad иГг) «=•— — > где /•# = дДо + y\ + % .
Г0 Г0
ответы 585
, д2и д2а д2и д2и
-г-—cos2P + “ГГ cos2v+2 —— cos a cos р + 2—г- X
ду2 дг- дх ду дх дг
д^и ди
X cos а cos 7 + 2 cos В cos у. 3352. = — 0,5.
ду дг ду
3353. и'хх (дг, 2х) =и"иу (х, 2х) = —4/Здс, иху (jc, 2х) = 5/3jc.
3354. z = хф (//) + г|з (у). 3355. г = ф (jt) + г|? (£/)- 3356. г =
= Фо М + 0<Pi (х) +• • • 4- уп~1 фп.1 (*). 3357. и = ср (х, у) +
+ *ф (jc, г) + х (i/, 2). 3358. и — 1 + х2у + у2 — 2хх. 3359. г —
= 1 + ху + у2. 3360. г = х + */2 + 0,5хг/ (ж + г/). 3362. Нули
функции f (jc) не могут целиком заполнять никакой интервал
(а, Р) <з (а, Ь). 3363. Множество нулей функции f (jc) должно
быть нигде не плотным на интервале (а, 6), причем каждый нуль |
функции f (jc) одновременно есть нуль функции g (х) и сверх
того существует конечный предел lim [g (x)/f(х) ]. 3364. 1) Бес-
численное множество; 2) две; 3) а) одна; б) две. 3365. 1) Бес¬
численное множество; 2) четыре: у — х\ у — —х, у~ |х| и
у = —\х \ ; 3) две; 4) а) две; б) четыре; 5) одна. 3366. 1) Ни-
где; 2) 0 < | х\ < 1, |х| = д/ - ' ^ ; 3) л:= 0, |x|=”
VI + д/2~
; однозначные ветви: у =
-'Ут + Ут+*’-'' (|«I«=V '+-- )••
в = гУт+'’-*‘(' <и|<
где е= — 1, 1. 3367. Точки ветвления: (— 1, 0)р
/п m /1 m / ч - / ^&х~+ 1 -(2^+1)
(0, 0), (1, 0); у = е (х)
V-
2
(|*|^1), где £(*)— —1, 1, sgn х и —sgn х. 3368. Мно¬
жество значений функции ф (у) должно иметь общие точ¬
ки с множеством значений функции / (х). 3371. уг а
- - -i±ij у" _ . 3372. i±*: .
* — У (Х — у)3 X—I/ (JC — */)3
3373. „• = ! i -та-.
1 —8 COS у (1 —8 COS у)
( £/- (1 — 1п ЛГ) . „ уг[у(\ — 1п х)2 — 2 (X — У)Х
3374* у — » и —
ДС2 ( 1 — In £/) JC4 (1 — ln f/)3
X (1 — In JC) (1 — ln у)— ДР (I — In y)*] _ , ул
4/1 I 41 * Oo/O. у — 9
A4 ( 1 — 1П у)3 Z
58(1 ОТПЕТЫ
у" = 0. 3378. у\ (0) = — 1; у2 (0) = 1, 3379. у\ (0) = 0;
ух (0) = - УзГ; {/3(0) = V3". 3380. у'= - 2*+/ I
дс+2 у
18 162л;
уи 1 у'" — — . 3381. и' = 0;
У (х + 2 у? * (Jt+2*)» У ’
; «Г=—г- 3383- — s — =
3 3 дх г ду
у_ 9 д2г х2 + г* ч д2г _ ху
г * дх2 г3 * дх ду г3 *
д2г у1 + *2 дг уг дг
— . 3384. = : =
ду2 г3 дх г2 — лтг/ ду
хг д2г 2ху*г д*г
г2 — jo/ * ^д:2 (г2 — ху)ъ * а*/2
2хъуг д2г г (zx — 2хуг2 — х“у*)
• — — “ ■ • о385»
(г1 — xyf дх ду (г2 — ху)6
дг дг 1 д2г д2г д?г
дх ду х + у + г — 1 аде2 дхду ду1
= £+»+« _ ^ JL
(дt+y + г—I)3 аде х2 — уг ду
у г в а2г у2г в а2г
х2 — ^22 с?л:‘2 (х2 — //2)2 дх ду
хуг д2г х2г дг
3387.
(л:2 — у2)2 ду- (*- —*/2)2 дх
дг д2г д2г д2г
ду ^ ад:2 дхду ду2
3388. а) —2; б) — 1. 3389.
д2г 2 а2г
ах2 б ах а*/
1 д2г 394 с2 / х dx
3390. dz = — — f—г" +
5 ду2 125
Y С4 Г/ ДС2 . г2 \ <f*2 , 2до/
—j, J— -?-*£*“•+
+Л^+-£Л-4£.1. 339,.
\ Ь* с* J b* J 1 — ху
2 {у (1— уг) dx2+[x+y—г (\+ху)] dx dy +х(1 — хг) йу"-\
3*2 = —— ‘ (
(1 -ху?
3392. ф—Л-. - гЧУ**-Х^
у{дс + г) I/2 (дс + г)«
(дг — г) dw
3393. dz = dx- {x_z)t + yiy+l) ; <** =
„^-^(y+DK.-^+^L^ 3394> ^
[(*-*)* + *(?+!)]»
ответь? 587
_ и'1 (dx + dy) — z4z 333;. дгг _ 4(х—г) (у—г)
и [2 (х + у) — и] ' ' дхду {F.t + ^F^Y
• . / , «■ л п п 2 (F| -ч- 2x^2) (-^1 "Г 2yF ) Ft
X 1^2 FИ - 2FiF2/42 + f 1 F22J - — , •
(F.+2 zF2f
dz F\— ^3 dz F2 ^1 „л_ 5г
3396. = — . 3397. -— =
dX F2~ F3 У F2~F3
_ (\ Fi^~F 2 V дг ( Jji \ dh __
\ F3 J дУ ~ I F'J’ dx'1
— ~ ^3-3 [^3 (^11 + 2^12 + ^22) ^ (Fj + F2) F3 (/^3 + /^23) +
+ (^1 + ^2)2/7зз]‘ 3398* “ “ C*^i + ^2) 3- [№ *
* (^2 ^11 — ^F\F2F\2 + FI ^22)” 2г (*^l + ^2) ^1 ]'
F2 F\\ — ^F\F2FP "1“ ^*1 F02
3399. a) d*z= - - / / 2 - ■ 1 - (dx-dyf,
(f'+f2)3
,x „ F2Fn~'iF\F2F\2'1rF\F22 , „
б) <Рг — —; — (ydx — x dy)2.
{xFl+yF2f
1 2
3399.1 dz = — (2 dx — dy)\ d2z = — —— (2 dx2 — bdxdy^r
У Z4u
+ 2*-,. 3401. -£■ = -*=£-; M—L=±-.
d2 x — */ 0* x — #
2402. -^-=0, -^-=—1, -i!!£_ = L.
йГ2 ^2 <fe2 dz2 4
3403 хц -f~ yv t dv _ yti — xp e da xv—yu ф
dx x2 + */2 * dx x2 -j- */2 ’ ду x24-*/2
JlL xtl.,+ yv- (X2 + yZ > 0). 3403.I. du= J- <ft/: dv =»
Ф *J + У2 3
==-dx+±dy. 3404. du- (sinv+xcosv) dx—(sinu—xcosv) dy
3 X COS V 4- у COS и
da = — <sin v-У cos u)dx | (sin И+У cosh) dy . ^u_ _dtv=.
X COS V 4- у cos U X COS V 4- у COS и
(2dx cos v — xdv sin u) dv (2dy cos и — ydu sin u) du
•—■ '■ * •
X COS V 4“ У cos и X COS У 4-у COS и
3405. du = — (dx 4- dy)\ dv = — dy — (dx — dy)\ <£lu = dy?\
2 4 2
588
отвгты
d*v = — (dx — dy)*. 3406. = 2 (t 4- —'i • — = 3 (/* +
2 d* V / У ’ dx ^
+ — +Л; —= 2 ; -^- = 6^+—V3407. —;
*2 / dx2 ’ dx2 4 * J 2 *
-3„у; = J_ (U 4. 0) („ ф у). 3407.1. дг 3-
ддг dy 2 dx 2
дг ■= — —. 3407.2. _^£__ _26__ 3408_ d2*
d(/ 2 dx% 121 dx*
_ _ sin2 ф+cos2 ф cos2 \|] 3409 d2z __ sin 2v d2z
sin3ф dx2 u2 dxdy
cos 2v d2z sin 2v ОЛ1Л , л
= : = . 3410. dz <= 0; d2z =
u2 dy2 u2
«= — (dx*—dy*). 3411. ~^2— = -2 ; -^- = 4*~2У-_[_
2 dx x — 2r/ 1 dx2 x—
1 6* 34,2. a“ — 1 ; (*+!)(</-*) g»-».
(дс—2у)3 аде у+г (г+l) (i/+z)
2
-*l f±i_+iy±ili^L «»-». 3413. Jl L x
Ф (У+г)2 (z+l)(</+z)2 dx /
/ ftp ft|) dy, \ <9г 1 / dx d<p i?X
\ du dv dv du J dy I \ du dv dv
rjle/=J*E--^L ^U?-.34i4. 6,1 _ 1 ;
du dv du dv dx I dv
I d(p , d2a 1 IY d\|) d2ф дф
I dv ’ дх2 P i\ dv du2 dv
n
/ dip Y _ 2 ( ^ ^2Ф дф d2t|? Л
\ dv J \ dv du dv dv du dv )
dt|> d\\>
, дф
\
du
)'
du
dy
д2ф >
)x
du2 >
f dtp
V
^ dv
A
du dv
d2ф дф d2^ \/ ^ if ^ ^
^ dv2 dv dv2 ) \ du ) J* dxdy P dv du2
dy d2t|) \ дф dtp / dtp d2ф дф d2tp \ / дф
dv du2 ) dv dv \ dv dudv dv dudv J\du
dtp . ^ф ^ \ , / dx)) ^2ф Эф d2tp \ дф dtp
* dv dv du ) \ dv dv2 dv dv2 ) du du
(Pu 1 j / dty d2ф дф d2>p \ / дф V g f ^ v
dy2 P (\ du du2 dv du2 ) \ dv ) V dv
d2ф дф d2,p \ дф дф _j_ / dtp д2ф дф d2tp
du dv dv du dv J du dv V dy dv2 dv dv2
£SLV1, ГДе !=*>- *L_*LJ±.. 3415.3) du
du dv dv du dx
v dw v dv
7* “d7
v dv / . v v v \
= cos —; = sin — ; =—j sin cos—1;
и dx \ и и и J
ответы 589
dv v . v . v ^ du sin v
. = с05 j sin — ; б) * —
ду и и и дх e“(sint> — cosu)+l
ди — cos v dv — (eu — cos a)
dy eu (sin v—cos «) + 1 дх и [eu (sin a — cos v) + 1)
dv ea + s\nv du / dhi
o4Id. - —
dy и [eu (sin u—cos »)+l) dx lx dx2
_ _цiti/,, + ,,AY/+0, ± +
/J 1 д (у, г) V дх ду дг )± д (у, г) V. дх
I / д ' / д V г ' 3V’ е) (} д If д I
-Ь /а —— -г /3 —— J g -г — I /1 —— + 12 — 1-
ду дг ) д (у, г) V дх ду
д V и\ л) / д(е. h) . _
-тМ
+ /3—-1 Л , где /х = /2 =
д(<Л г) с) (г, дс)
= d(g, /г) н ; в Р(/. g. ft) 3417 = _д1_. _5н_
дх ' ду
d [x
, У)
£►(*, У. г)
d!
+ ■
/.2d3
1
где /, =
dfe, Л)
dy
hdy
5 (г, 0
8. -
£ч
U .
ди _ /а
• S-*
dx
/ ’
d:y ” /
йг
d (qf,
h)
/ — -
5 ft л _
d(f. g)
d(v,
к»)
> * 2
1 1 з —
д(;-. ю)
d(v, ц,1)
/з
/
и / =
5 (/i,
п
1
1)
» где
/. =
Д (/. в.
А)
D (а, и,
а»)
д(,£,
g)
0
/э д(х, ()
f) (f d^x
/э = V.. С-:31. х"'+хх'*=0. 3432. jcIV^O. З-’.ЗЗ. — _
д(г, 0 с*/2
— t ( —V = 0. 3434. + у = 0. 3433. 3 -+
\ dt ) dt1 dt» <М2
4-2-^ 6у = 0. 3433. ^—р п2у=0. 3437. ^-+от2у=0.
ctt gl/2 с//-
3438. и" + U(x) р2 (х) — jo" (х) 1 « = 0. 3439. d'U '
438. и* + ^ (х) L- р* (*) 1- р' (х)] « = 0.
+ («+3)-^-+2u = 0. 3440. -^- = 0. 3441. =- 0.
3442. +8и (—Y = 0. 3442. Р + (31* + 1) +
dt3 V dt J dt* dt2
4- —=0. 3444. и"—ы'= - и. 3446. Ф (1. и, u'+u2)=0.
dt (a — b)*
3447. F (xu' + и2 — и, u, 1) = 0. 3450. — = r. 3451. rrl =
__1—sin2cp_ ^ 3452. r (r2 + 2r'2 — rr") = r'3. 3453. .
sin29 f
Б90 ответы
3454. К = -~fi +■ ^тП ■ГГ— . 3455. -^1— = kr3; *L = - I.
(г2 + /гу/2 dt dt
3456. w = — fra-^-Y 3457. Y’ = x; Y" = —=
dt V dt J y"
U'"
= -—. 3458. z — Ф (x -\- y)t где ф — произвольная диффсреи-
у* 3
Цируемая функция. 3459. г = ф (х2 + £/2) 3460. г — +
а
Н- ф (£/ — Ьг). 3461. г = хф f . 3462. — -+ — =е“ sh о.
\ х ) ди dv
3463. = ——. 3464. — = —. 3465. -^~ = -£-Х
ди dv dv 2 ду о
~4- ц д? dz
X . 3463. (2а + и — 2) [- (u-f-2y—г) = и -\-v—2.
г2 — u du dy
f t _j_i dz V
ех+У г1
3437. . 3468.
(■5-Н-57
,2
1 _ е~х — - е-У — * и2 + 1,:
дп
3169. -^-=0. 3470. -*L = JL~Z . 3471.
dg ду у dy dv
3472./!= ь^-дц ^ \jWJ_ 3473 _ди_
. ( дх , дл: \2 д|
л I U h V I *
\ du dv J
+ —+ —+ 3u + (e5 +еч+еЧ =0. 3474. — = 0.
dt] dl dv
3475. — =0. 3476. — =0. 3477. u2f—Y + ^f—Y =
du dv \ du J \ dv J
e2Ufl cos2 A
= an2— . 3478. — — . 3479. A =■
dw dw do*
du
dw dw da; En d«
*= 1 — , 3480. = —Э-L. # 3481. ш — #
dw do d£ £ d9
3482. ш = 8483. ш Y + f Y «
dr v, dr; T ra v dф;
ълал д2и , 1 ди , 1 d2a Qyloe „ d2«
3484. ш = 4 I -« 3485. ияг2 *
дг* ^ Г дг г* 0ф2 0ra
ОТВЕТЫ 591
3486. 3487. / 1 ( да ди да
1 / ди dv dtt dv \
dq2 г \ дг дф дф дг )
3483. и = Ф ух — at) + (х + я 0. где ф и ф — произвольные
Функции. »3 —-!• —= 0. 3490. —j—= 0.
ди до ди ди2 да2
з*:91.
fl (_*? ЛЛ+2ь-**-+е(-* _*Л = 0.
\ da2 да / ди dv \ да2 да )
3492. - — -f = 0. 3 «3. -f + т?егиг = 0.
da- du2 da2 da2
3494. -^i- = 0. 3495. —= — — . 3496. d*2
d« do du dv 2u dv du dv
2 dz ^ d^z dz
3497. (u2 — a2) = a
ы (4 — uv) dv du dv du
3498. -*L =, — . 3499. -*L_ + —L_ (aJl
dv1 u2 -j- v2 du du dv u2—v2 \ dtt
_ „ = 0. 3500. (\ - JL\ J?L-JL _*L = 1.
dv J \ dv J du dv dv dv1
3501. и = ф (x + %iy) + ф (* + Т^гу), где Xi и Х2 — корни урав¬
нения А + 2ВХ + СХ2 = 0. 3503. а) Ди = —j—5—;
dr2 г dr
. v * \ d*u , 2 d3u 1 d2u 1 du ocn.
б) Д (Дм) = 1 1 . 3504. и X
dr* r dr3 r2 dr2 r3 dr
d’fc» , , d2u ,r d2a .
X -" i~ " “T- ccj — 0■ 3o05. A -—• Л ~ ■ — У ■ ■ - —r**
du2 du дХ2 dXdY
du
~dX'
N. (r du \ A d2U d2U d2// \
x (c —)=2 (ет-Г5Г + K + nt •
3509. -f-j--^ = 0. 3510.-^- = 0. 3511. Дхы =>
^ <*§ <5?
вЛЁ“.у+ — (—)2+—— f--Y; дг« = —X
V dr ) r* \ m) r2sin20 V d<p) ’ f-
x r_fL (> ^L)+_i_ JLAine JfL) + _J_
L dr V dr / sinO d0 \ d(3 / sin20 £ф2 J
3512. a(J^+Jto\(J«_V+(j!L\\ 3513. _^L
\ dx1 cV / \ dx ) \dy J du2
= 0. £514. —-= 0. 3515. —— = —. 3516. ^ 1
<?t»2 chr 2 d/t2
I ^ о Qtn ^ I / V Л д1® Л 0-10 d2w
j ~2w. 3517. 1-1 1 I =0. 3j18.
du dv du2 \ и J dv2 du1
592 ответы
+ _^ + (_^Y + (—Y=0- 3519. ® .
dv2 \ du J V dv J du du 4 sin2 (u—v)
3520. -^- + -^- = 0. 3523. -^- = 0 3524 —
da2 dy2 d« dv dl2
d2w d*w _ dw Jw_ dw_ _ Г/ to V ,
r ала dp dl ^ дц dc LI /
+ (^)2^ (^)2]' 3526‘ *=WW+1>(*). 3527. Л (X, ЮХ
X ——2B(X, У)+C(X, Y)—= 0. 3528. —^— =
dK2 dXdK dX2 —cosasin/o
= y-° = —-; 2 — 20 = (x—xa) cos a tg /0 + ({/ —
— sin a sin t0 cos tQ
— i/o) sin a tg f0, где x0 = a cos a cos /0. Уо = о sin a cos f0> г0 =
= a sin f0. 3529. — -4- — a 1, у = — ; ax—cz = — (a2—c2).
a с 2 2
3530. -*= J~J- = -г-~ L • x+y+2z=b. 3531. — =
1 1 2 3
—-~ X -Z~ Ъх+Ъу—г=3. 3532. x+z=2; y+2=0; x—2=
-1
=0. 3533. Mi (—1,1.—I): i-, 3537. tg(p
= f'x (*(>• </q) cos ® ^ (*o> #o)sin a- 3538‘ ^JT~ 16
3539. 2x + 4y — z — 5 = 0;
dl 243
x — 1 у — 2 __ z — 5
2 4 — 1
3540. 3x + 4y + 12г = 169; — = — = —. 3541. г= --
3 4 12 4
г
L(x_y); _£nL==_iZlI_== i_. 3542. a*0*+
2 1 — 1 2
+ Ьу0у + сг0г= 1; — = -УУ,~ = г~~ Ъ-. 3543. *+</-
ax о by0 cz0
—2z = 0; * ~ 1 - = -y-~ L — г ~ L. . 3544. *+{/ — 42=0;
— I — 1 2
-*~2 ■= JSlL. = . 3545. _L cos cos фо + — X
1 1 —4 a b
, z . . , x sec i|?0 sec <p0 — a
x cos ipo sin фо H sin гро = 1; z =a
с 6c
Д у sec cosecjpo - fr_ = г cosec - с. ^ 3546. * cos <p« +
ac ab
593
н- £/ sin фо — 2tga=r0;
z — r0 ctg a
y — r0 sin(p0
sin (f0
ответы
x — r0 cos ф0
COS фо
3547, ax sin v0 — ay cos v0 + u0z = au0v0;
— tga
x — Up cos Vp у— w0sint’0 г — аа0 Зх
asiny0 — a cos у0 u0
3548,
3 У
+
lln
+ — = 2 . 3549. /1(0, ±2V2, + 2V2); S(±2, +4, ±2);
"0
C(± 4, =F2, 0.) 3550. x = ±
G
У = ±‘
2 = ±
d d ' d
где d = Va2+ *>2 + c2, 3551. x -f 4y + 62 = ± 21. 3556. x2 +
-J- у2 — ху = 1, г = 0; 3у1 + 4г2 = 4, х ~ 0; Зх2 + 4г2 = 4, у = 0.
3557. 6 <0,003. 3559. cos ф =
2bz0
а Vа? + Ь2
. 3563.
ди
дп
: X0-f*
+ Уо+г<>; а) х0 = у0 = г0--
1
л/3
; б) х0 = y0 = z0 —
л/з
ди
в) на окружности х + у + г = 0, х2 + у2 + г2 = 1 . 3564. — =з
дп
V
. 3566. х2+ у* = р2. 3567. у= ±jc.
1* Ь* с*
3568. у2 = 4а*. 3569. Огибающей нет. 3570. х2/3 + у2/3 = Z2/3.
S *о Я*2
3571. | jc« | = —^— . 3572. у =
2я 2g 2vl
„ 3574. а) £/= 0—оги¬
бающая (геометрическое место точек перегиба); б) у— 0 — оги¬
бающая; в) у — 0 — геометрическое место особых точек (то¬
чек возврата); г) х = 0 — геометрическое место двойных то¬
чек, х = a — огибающая. 3575. Top (Vх 2 + У2 — R)2 + г2 =*
= г2. 3576. x2sin2a + у2 sin2 р + г2 sin2 у — 2хуХ
Xcos a cos р — 2x2 cos a cos v — 2yz cos pcos y—i. 3577. |x*/2|=*
— . 3578. | zdz V*2 + У2 I — P V2 . 3579.
4л V3
г/о
+
i/o го I
+
^ ^ <fl2(*2 + i/2+z2). 3580. (x-x0)a+&—
- tf>)* = (2 - *0)2. 3581. f (x, у) = 5 + 2 (x - I)2 - (x - 1) (y+2)-
- (y + 2)2- 3582. / (x, y, 2) = 3 [(x- l)2 +(y-l)2 + (2- l)2~
-(x-1) (// — 1) — (x — 1) U— 1) —(y — I) (*-1)] +(*-1)34-
20 Б. П. Демидович
594 ответы
-H«/-l)s+(2-1)3-3(дс-1)(«/-1)(г-1). 3583. А/ (1, —1)=
*=А — ЗА-М — Л4 — 2hk + k2) + (h*k + ft*2). 3584. f (х + h, y+k,
z+l) = f(x, y, z)+2[h(Ax+Dy+ E) + k(Dx+ By + F) + lx
X(Ex+Fy + Cz)]-t-f(h, k. I). 3585. *0 = 1 + (jt - l)+(x- 1) ><
X (j/-1) + ^(1+0(jc-1), 1+0(</-1)) (0 < 0 < 1), где
#a(*> = + 3dx + In x-dy) X
x (—jdx* + -^dxdy)+(^f dx3~-J-dx'ldy)] и dx=
= * — 1, dy = у — 1. 3586. 1 i- (д * + y2) (*2+ </«)2.
2 8
3587. a) 1 -(x2—y2)\ 6) — + x — xy. 3588. — (xy + яг +
2 4
+ уг). 3589. F (x, y) =-j- (fxx + fm)+-^ ($L + C*) +•••
3590. f(p) = /(at, y) -f [(£*(*. У) + fyy {x, {/)].
3591. ДXyi (*> У) =hk
а2/ у V л'п~1*п~т~1 дп/ (x, у)
dx dy ZjZj«!(ft-wi)I dxmdyn~m
n=3 m=l
oo
!• F (P)=f (*. y) + ^ ^ j Л-f (x, у), где Д =
Л=1
1 ^ 3593. 1 + mx + ny -f- m-m x1 + mnxy +
dx2 dy2 21
-h n(n~1}-ya+ ••• <l*l<l.
3594. V (т + п-l)! ^ () *,+ ы < 1}.
m\n\
m, n=0
OO 00
V V1 / ,w. W'
ml (2n + 1)1
35954 LL(~l)n • ^<<+oo)-
3596.
m=0 n=0
У* У <-1)n—!(1*кз+°°-i»i<J+e°)-
/ J / 7 ml (2л)I
m=0 /1=0
OO OO
г-^ гп х2Ш+1у2Л+1
\ \ ( 1ЛЛ1 “
(2m + 1)! (2n + 1)1
3597. LL (~i)m ,, ..л.. . ... a*i<+°°. ш<
m=0 л=0
ОТВЕТЫ
Б95
ТП ТП yVnu2i.
<+ оо). 3598. у у (-1)т—- * чГ <|*|< +оо, |у|<
La l-j (2т)! (2я)!
т=0 л=0
< + оо). 3599. У (— 1)" (х* + У2)2пп_ (Xt + у2 < + оо).
La (2ft + 1)1
П=0
ОО оо
3600. у у (_i)m+n_f!VL (i*i<i, |у|<1). 3601. /(*, У)=
LL
т—1 п=1
(дс — \)т (у Ч~ 0я
т—0 л=0
(|дс|<+оо, \у\< + ОО). 3603. £ (-1)"[1+ (*_!)] 0,-1)»
п=О
(— оо < * < + ОО, 0 < у < 2). 3604. z — 1 + [2 (х — 1) —
— to — 1)1 — [8 — I)2 - ю (х - 1) (у- 1) + 3 (у - I)2) +
+ . . , 3605. (О, 0) — изолированная точка, если а < 0; точка
возврата, если а — 0; двойная, если а > 0. 3606. (О, 0) —
двойная точка. 3607. (О, 0) —изолированная точка. 3608.(0,0)
— изолированная точка. 3609. (0, 0) — двойная точка.
3610. (0, 0)—точка возврата (второго рода). 3611. (0, 0) —
двойная точка. 3612. Если а < b С с, то кривая состоит из
овала и бесконечной ветви; если а = b < с, то А (а, 0) — изо¬
лированная точка; если а < Ь = с, то В (Ь, 0) — двойная точ¬
ка; если а= то А (ау 0) —точка возврата. 3613. (0,0) —
двойная точка. 3614. (0, 0) — точка возврата. 3615. (0, 0) —
точка прекращения. 3616. (0, 0) —угловая точка. 3617. х =
— kn(k—0, ±1, ±2, ...)—точки разрыва 1-го рода. 3618. х==
= 0 —точка разрыва 2-го рода. 3619. х — 0 —двойная точка.
3620. x=kn(k=0t ±1, ±2,. . .)—точка возврата. 3621. гт\п —
=0 при дг=0 и у= 1. 3622. Точек экстремума нет. 3623. Не¬
строгий минимум 2=0 в точках прямой х—«/+1 = 0. 3624. гт\п=
=—1 при х= 1 и у—0. 3625. zmax=108 при х= 2, у— 3; нестрогий
минимум 2 = 0 при х=0, 0<t/<6; нестрогий максимум 2=0
при х — 0, — oo<i/<0 и 6< {/< +оо. 3626. 2т\п — —1
при х = 1 и у — 1. 3627. 2mjn = “2 при хг = —1, уг = —1 и
хъ — 1» У2 = 1; экстремума нет при х=0, у = 0. 3627.1. Мак¬
симум z = 0 при х = 0, у = 0; минимум 2= —1— при х =
8
= ± t у = ± 1; седло г = — 1 при х = 0, у = ± 1, и сед-
а
20*
596 ОТВЕТЫ
jij г = — рри x= zt i у = 0 . 3628. Минимум г = 30
8 2
ab х
при х = 5 и у — 2 « 2G29. 2т{П т=- при — =а
3 д/3 Q
у 1 аб jc £/ , 1
= т- = ± —т=г ; Wx= -■ ■ при — = .
ь уз з л/з g 6 л/з
3630. г^ах = Vfl2 + &2 + £2 при х = — , у= — % если с > 0;
с с
zmin= — У я2 + 62 + с2 при х = —, у = — , если с<0;
с с
экстремума нег, если с = 0, а2~\-Ь2фО. 3631. гтаХ = 1 при
х — 0 и у = 0. 3632. Минимум 2 = 0 при х = 0, у — 0; седло
г=-^— е~2 при * = — , у= — . 3633. Седло г — г3 при
2 4 2
х = 1, у — —2 3634. Максимум г = е~13 ж 2,26-10”6 при х=\,
у = 2>\ минимум г= —26-б’1/52»—25,51 при х= г/ —
— — . 3635. Минимум г = 7 — 10 In2 «О ,0685 при х = 11
26
ц = 2. 3833. 2тах = — V3 при х = -5- и у = — . 3637. zmm=
2 3 6
Зл/з 2л . 3V3
-— при *=[/ = —-; гтах = —^— при jc = t/ —
8 3 8
1 3
— -JL. 363S. Седло г = — I -1 In 2 -] я « I,70 при х ~
3 2 4
= 1, г/ = 1, 3639. Минимум 2= — » —0,184 прм х = у==
! ж ± 0,43; максимум г= —при л:=—u—zЬ ? 1
~ л/2б 2е V2?
экстремума нет в стационарных точках х = 0, у = ± 1 и л —
зх
5=±1, г/ = 0. 3640. Стационарные точки дс = ( — 1)ш+1 +
+ (т+п)-~, = 1)'п+1+(/п —n)-2-(m, п — 0, ± I,
±2, . . .). Экстремум г=тп -,L «Jz ^ ( — 1)т+1 + 2(—1Д
если тип различной четности (максимум при m нечетном
и п четном, минимум при т четном и п нечетном); экстремума
нет, если тип одинаковой четности. 3641. гтт = 0 при
* = 0 и у = 0; нестрогий максимум г = е~1 при х2 + у2 — 1.
ответы 597
3642. Hmin == — 14 при х — —I, у = —2, г — 3. 3643, Ми¬
нимум и=—6913 при х— 24, у= —144, z= — 1. 3644. Мини-
1 а7
мум л = 4 при х = — , i/ = 1, г= 1. 3645. umax = при
2 77
х = ^ = г = -^-; нестрогий экстремум ы = 0 при */ = 0, х ^ О,
г Ф 0, х + + Зг ф а. 3646. Минимум и — 1 / —-—
4 1/ 166
1 15/тё-ггт 1 ъ/"лс~тг 1 / a*bl
при х = — у 16аи£>. у == — у 16а*Ь , г — — у\ / „
2 4 2 V 4
3647. Максимум и — 4 при jе = г/ = 2 = -~; краевой минимум
гг = О при х — у = z = 0 и х = */ = z = я. 3648. wmax =а
G2 \па+л +2/2 2
1 при XI = х2= . . . = ХЛ = .
2 + n + 2J п* + п + 2
3649. Минимум и = (п + 1) 21/л+1 при Xj ■=.2l/'г’,',, х2=х2|, .
xn = xty. 3650. Числа а, xlf х2> . . х„, 6 составляют геомет-
nVf~
рическую прогрессию со знаменателем <7= t/ — . 3651. Ми¬
нимум 2i= —2 и максимум z2 = 6 при а: = 1, г/= — I.
3652. — (4 + 2V6) при х = у= — (3 + V6); zmaX =:
— 2^6—4 при х = у= —(3 — V§")- 3653. Нестрогий минимум
2=я 2^2~ ПРИ х2^у2~ ~q * нестрогий максимум
2= —/— при X2 + у2 — , 2 > 0. 3654. 2тах=— при
2 V2 8 4
* 1 оясг л/а2 + ь2
х = , у = —* 3655. 2т1п = — — при х =з
2 2 |ab |
be ае __ л]а2-\-Ь'1
л/а2-\~Ь2 ^ *Ja2-\-b2 * таХ |а6|
be ае
при х = —ту — _. 1 , у = —,-=.■■ . -- , где е = sgn ab Ф 0.
Уа* + 62 V^ + 62
оейс а262 ab2 a2b
3656. Zmax = При X = , 0 = .
а2 + &2 а2+62 а2 + 62
3657. 2min = г„1ах -=Я2, где ^ и — корни уравнения (И —
— X) (С — А.) — В2 = 0 и Xj < Х2. 3657.1. Максимум 2=106 —
4
при х = ± 1 — » у = ± 4; минимум г = — 50 при х = ± 2,
598 ОТВЕТЫ
1/= + 3. 3658. Экстремум г = \~\—-—-У— при —
V2 8 2
у — + (Л: = 0, ±1, dz 2, . . .) (максимум, если Л—
8 2
четное, и минимум, если k — нечетное). 3659. umjn = — 3 при
1 2 2 0 1
х= 1 у = — * 2 = wmax=3 при х = —, у =
3 3 3 3
2 2 ат+п+РттппрР
= — — , г — — . 3660. wтах при
3 3 (т + п + р)п+п+Р
— = — = — = . 3661. umin = c2 при *=0, */ =
т п р m + я + /7
= 0, z=±c; umaX = a2 при х=± а, у = 0, 2 = 0. 3662. итах =
= (Tf при дс=«/=2=-2-. 3663. umin= ^
W 6 3 V6
при —у = ^/Г « * =—
12 12
ж = 2 = 37 и (/ — . у = z = и х
Уб д/6
1 1 2
"max= — при * = </ = — И 2 = —, * = 2 =
зуб Vo Уб
12 12
= — и у = ——, г/ «= г — и *== —.
д/б ^уб *у6 -\/б
3663.1. Условный максимум ы = 2 при Jto 1, у=1, 2 = 1.
3664. ытах = -^- при *=0=2 = -^-. 3665. umin=Xi и umax =
8 6
ill ( sin2 <* | sin2 6 .
= Ь2» рле л* и Л2 —корни уравнения Л,2 — [ 1 —[-
Ч а2 Ь2
. sinaY
Л х + (_£2f!jL_ + ^LL+_“£1_Л = о <зсж < Х2).
1 с3 ^ V а2с2 а2й2 )
irim « , /?2Н cos а + fi cos р +Ceos V)2 .
3666. um)n- _____ f Umax =
“1 / П \ — 1
3667. umin= I при
(i = 1, 2, • • • | я). 3668. umin —
(i = 1, 2, , • , f n), 3669. Umln
ответы 599
= л/тг (I v*iP') 2
= С 2 \
\ai + + • • • + ал)/
3670. и,Плх —
а1+а2+... + ая
12 п
3- = -^2_ = . . . =-^- = 5 . 3671. Экс-
а1 осл ах + а2 +. . . ал
тремумы и = \ определяются из уравнения | at/- — Я.64/ ] = 0,
где б4-у = 0 при i ф j и 6i( = 1. 3675. Inf 2 = — 5, sup z =
= —2. 3676. Inf z = — 75; sup 2 = 125. 3677. Inf 2 = 0;
sup 2 = 1. 3678. Inf u = 0; sup u= 300. 3679. Inf и =
e= sup и = l + V2 . 3680. inf u = 0; sup и =
« 0,37. 3682. Нет. 3683. Минимум равен —-— .
Пг~
У a
3684. Слагаемые равны. 3685. Множители равны xi =s
1/a,
/ I » 1 \ «1 a2
I a. a. a„ 1
\aa! og2 2 . . . a„ я )
P = I.
ot¬
to) 4
2, • • • , n), где at- (t = 1, 2, .... n) — соответствующие пока¬
затели степеней; наименьшее значение суммы Г—?—j—! [•
\ ах а.,
I
'5Г+'*‘ + аГ
+ ...+^ «Г-) ‘
a n )
^ п \ п п
3686. х = —- £ mt*<, у = —- 2 «ДО. где М = £ «Л
М t=i М j=i i=i
3687. Измерения ванны *^2^*, yr2V~, — y'TF. 3688. Н =*
2
= 2/? = 2 » где ^—радиус цилиндрической поверхности
I л , '»
и Н —ее образующая. 3689. *= V ^ 1 V
N L *ь У~ ~~ГГ L Уь
i=\ N t=i
600 ОТВЕТЫ
Минимальная сумма квадратов расстояний равна п — 2N +
п
+ £(*?+*< + *?)■ 3690- Угол наклона образующих конуса
;=1
2
к его основанию равен arcsin —. 3691. Угол наклона боко-
3
. 2
вых граней пирамид к их основаниям равен arcsin — #
3
3692. Стороны прямоугольника и . 3693. Стороны
3 3
треугольника и . 3694. Измерения парал-
2 4 4
лелепипеда
2 R
2 R R
и . 3695. Высота параллеле-
Уз V3 л/з
пипеда равна — высоты конуса. 3696. Измерения параллеле-
3
пипеда-
2 а
^ н ———. 3697. Высота параллелепи-
V3 л/з V3
tg а — л/2
педа /г = / sin а*— —, если а> arctg У2, и /г = 0,
2 tga—л/2
если 0 < сс < arctg V2 . 3698. Измерения параллелепипеда
с, Ь п — . 3699. -1 А5±+.?.У° +_СЧ+ ^1. % 3700. _— х
2 fi2-i-c2 ±Л
*i~*2 £/j~У г 21—г2
3701.
«ii «1 Pi
«2 Р2
7
mi/ix
m2n2
+
+
Pimi
p.:m2
4 V2
3702. Квадраты полуосей a2 = h1 и b2 = X2
являются корнями уравнения (1 — kA) (1 — ХС) — к2В2 = 0.
= 0. 3704. -5£*_ х
3703. Квадраты полуосей а2
= Х,
Л* = x2
ЛЬ—1
DX
FK
корнями уравнения
Dk
fiX—1
1 £X
Fk
EX
CX—1
|С|
nabc
X Ул2 + S3 + с* ■ 3705.
Vл2 cos2 а + b2 cos2 р + с1 cos2 у
2707. Угол падения равен arcsin отклонение луча
ОТВЕТЫ 601
равно 2 arcsin sin — а* 3708. Искомые коэффициенты
а и b определяются из системы уравнений а [деде] + Ъ [х\ 1 =
п
*= [ху\, а [х\] + Ьп= [у\], где [дн/) = хцц и т. п. Задача
»=1
имеет определенное решение, если £ (xt—дс/)2=^0. 3709. tg 2а =
*>/'
2 (х-у — ху) - . - . -
t= — —^—-—L - , р = х cos а + у sin а, где дс =
[х2—(х)2] — [f/a — (у)2]
.Я 1 "
t=— Y^Xi ху = — xiyi и т. п. суть средние значения.
tl i=l п 1=1
3710. 4а: — 7/2; Дтт ~ 1/2.
ОТДЕЛ VII
3711. F (у) = 1, если — oo<t/<0; F (у)= 1 —2у, если
F (у) = —U если 1 < */<+ оо# 3712. F (у) разрывна при у=0»
3713. а) —; б) 1; в) —; г) In 2е—. 3713.1. 0.
4 3 1 +е
3715. Нельзя. 3716* Нельзя. 3717. F' (х) = 2хе—*8 — е—*в —
—J fe-^dy. 3718. а) - (еа Isin “' sin а + еа 1 cos “1 cos а)+
X
cos а
+ J Vl — X* е“ dx; б) ( Ь-г- ) Sin а (6 +а) —
sin а \ а & -f ® /
— Г—Ч —^sina(a+a); в) — 1п(1+а2); г) /(а, — a)-f-
V а а + а / а
a a2-fa
+ 2J/^(m, t») djc, где u = x + а и t; = лг — а; д) 2a J sin (r/2+
0 a2—a
a2 a1 x-fa
+ a4 — a2) di/ + 2 J sin 2дс2*cos 2адс dx — 2a J <£* J cos (дс2 -{- i/2 —*
О о jc—a
— a2)dy. 3719. /^(^«З/М+гяП*). 3720. M = 2/ (*)»
если дс£(а, 6), и f"(x)=0, если x£(a, b). 3721. F* (дс) =
= . А2П*)_, где да/ (*)==/ (лг+2А)—2/(*+А)+/(*). 3722. Я») (дг) =
h2
— (п — 1)1 / (х). 3723. 4* —. 3724. 0,934 + 0,428* (при-
602 ОТВЕТЫ
„ dE E — F dF
близительно!). 3725.
dk k dk k([—k2)
3729. F\„ (.
k
L. 3729. F'xy (x, y) = * (2 - 3ya) f (xy) + JL / ( +
+ *2</(l — y2)f'(xy). 3732. я ln _LiL±JAL. 3733. О, если
|e|^l; nlna2, если |a|>l. 3734. -2-sgna In(1 -f |a|).
3735. я arcsin a. 3736. -2- In (l + л/2). 3737. In ^ j .
3738. a) arctg — ; 6) -L In • b* + 2b + 2
1+(a+1)(6+1) * 2 аг + 2а + 2
p— 1
3741. a>0. 3742. Max (p. <?) > I. 3743.
<1.
3744. p<\. 3745. я<0 и n> —. 3746. /» —. 3747- Cxo-
2 2
2/г 1
дате я при a > 0 и при a я (л = 1р 2, . . . ).
3748. Сходится при п > 4. 3749. Сходится при р > 1.
3750. Сходится при — I < п ■< 2. 3755.1. а) Сходится равно¬
мерно; б) сходится неравномерно. 3755.2. Сходится неравно¬
мерно. 3756. Сходится равномерно. 3757. Сходится равномерно.
3758. Сходится равномерно. 3759. Сходится неравномерно.
3760. Сходится равномерно. 3760.1. Сходится равномерно.
3761. Сходится равномерно. 3762. Сходится неравномерно.
3763. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
3764. Сходится неравномерно. 3765. Сходится равномерно.
3765.1. b > 10™. 3766. а) Сходится равномерно; б) с хо¬
лится неравномерно. 3767. Сходится равномерно. 3768. Схо¬
дится неравномерно. 3769. Сходится равномерно. 3770. Схо-
л/ Д
цится равномерно. 3772. Нет. 3776. —■——. 3776.2. 1.
3778. а = ± 1. 3779. Непрерывна. 3780. Непрерывна.
3781. Непрерывна. 3782. Непрерывна, 3783. Разрывна при
« = „. СТ8. JL. №’-'»< -И-)
nm+l 2 (2л)! I
3788. In —. 3790. In —. 3791. 0. 3792. — ln JL,
а а 2 b
3793. — 1п-£-. 3794. In , (2а)2<Х <2Р)2Р , 3795. arctg—
2 о (а _j. р)2«+2р т
ОТВЕТЫ
603
— arctg — (т Ф 0). 3796. — In ^ + ffl3 . 3797. — л (1 —
т 2 а2 + т2
— Vl — а2 )• 3798. я In 1 + “V 1 ~ а2._ , 3799. JLsgn а (1+
+ | ос [ — Vl +а2)-
л , (а + Р)а+е
3800. —- 1п(|а| + |р|) (Р ф 0).
IPI
3801. — In
2
(а>0. Р>0). 3802. [«Р (а+Р) +
3
4- а3 In а + Р3 In Р — (а3 + Р3) In (а + Р)] (а > 0, Р > 0).
/ / ас—Ь*
8803.
3805.
3806.
3609
3804.
(а + 2b2) at — 4abbt + 2a?ci
2 а2
Vi
Vt
аг—ft1
'• ~л/~
2 V а
c6V4a 3807. -Vf* e~2a. 3808. V* (VP—V«).
e-*V4et 38jo.
6 e_4V4a. 3811. (—1)"X
4a
X
v?r
(e~&2). 3812. (я/2) sgn p. 3812.1. Функция
22«+i db2n
нечетная. При дс > 0 минимумы в точках 2Ая и максимумы
в точках (2/г — 1) я, где k = 1, 2, 3, . . • Асимптоты // =
2
при * -► + ОО и у = — при X -> — ОО,
3813. я
IPI
— Vяа . 3814. 1п
2
а Ч~ Р
а — р
3815. 0, если | а( < | Р|;
— sgn а, если |а| = |Р|; —sgn а, если |а|>|Р|. 3816. — X
4 2 4
X sgn а.
3817. — |а|.
2
3818. — а|а|
8
3820. — 1п
8
Р
3821. —
3822. _®±JL arctg-^±Р-
а — р
arctg— ^- + —In *2+(а ^ . 3823. D (х) = I
z к 4 /г2+(а+Р)2
при |х|<1; D{x) = — при х=±\; D (х) = 0 при |д:|>1<
2
3824. а) я sgn a cos ab\ б) я sgn a sin ab.
3825. — X
2
604 ОТВЕТЫ
ХГ|а|. 3826. -5- sgn ае~ 1 °Ч 3827. -2— (l — е~2).
2 4
3828. -iLiL+JjLlLe-l"1, 3829. —г Л cos — e-W/aV^b‘.
4 Vac — 62 a
""•тл/т: tVt ш'-Vifi’"'(^L+
Ц- -5- Sgn . 3832. Vя cos ^a2 + . 3833. VS" sin ^a2 +
3835‘ ^ ~я+Г’ ~0^>- ; Q) ПРИ P>a’»
4 J pn+1 2p vp p — a
fl ■ ■ J- а ; д) ~txt; ®)ln('1 + —); ») x
(p + a)2 p2+l V. p J Ч.РЫР
X е~а~!Ар. 3837. а) 1; б) х2+ —; в) е2“+а,; г) — е“а,/4 X
2 2
х cos a*. 3839. <р (дс) = е"*г/2а!, где a = д/о^ + .
3843. —. 3844. -22L. 3845. —. 3846. 2я
8 16 2\/2 ‘ ЗУЗ
—^=- . 3848. -^L . 3849. . 3850. i?n~l'>U х
2V2 512 п 2П+1
л sin
п
X V11 • 3851. (0<т<м). 3852. В (л — т, т)
тк
л sin
(0 < m < п). 3853. ^-(±.y+Un BpL±-L, Р~^)
fo< m-±--<pV 3854. (b ~ a)m*n+l B(m + l,n+l)
V fl J (cl + c)n+L (b + c)m+1
(m> — 1, n>— 1). 3855. — b(—, 1 Ц (n<0
m \ m n J
или п> 1). 3856. -1- В f ■■m ^ , -S-i-LA {jfi > —i, n^,
2 V 2 2 J
>_!). 3857. 5 (I я I < 1) . 3858. - f ■ X
2 cos -55_
2
хв(— , —^ (n >0). 3859. — Г ((n >0). 3860. —— x
\2 2 J ft U J |n|
ХГ( ') (";L>0)' 3881. Г(р+1)(р>-1).
3862.
dp L oP^ J
ОТВЕТЫ
. 3863.
n* cos pit
605
(0 <P<
sin-6 рл
< 1). 3864. я3 • - 1 + C0Si! P-- (0 < p < 1). 3864.1. — II2.
sin3 pn 27
3804.2.
Зд3
32 У 2
3865. In
tg
pn
tg
qn
(0< p< 1, 0<q< 1);
0(p=*q). 3866. л ctg ftp. 3867. -5- tg aU
3869. In
3868. ln .
20 20
-\-a (\na — 1). 3870. — Л + ln — Y 3871.—.
n V 2 ) An
3876.
(a> 0). 3877.
na"
(a> 0).
2Г (m) ccs •
2Г (m)sin«
3879. aB
V 2 2/i /
. 3880.
2a2
■'(v)
3881. /(*) =
1 — cos X,
‘ r(f) +i
—. JL С .S1‘n ^ cos Xx dX. 3882. f (x) = — £
я J л я J
о о
XsinXxdX. 3883. /(*)=- f
я J X
■dX.
38S4. f (x) =*!L[ — CCS-qX- cos hd. 3885.
na J
о
a4 + x2
1
4-00
-}-oo
-ss — I ccs Xx dX. 3S08.
a и
H-OO
= I e-ah sin Xx dX
a* x2 о
38S7. f (x) = — f -nXn -sinXxdk. 38E3. f (x)=*
я j 1 — X2
о
-j-OO -f“00
2 f cos Ял/2 * „ ooon (/л 2А о С sin 2ллЯ/соv.
= — \ cos XxdX. 3889. f(t) = \ X
я ) 1-л2 я J ^-co2
о 0
-ь°°
XsinX/dX. 3890. f(x) = — f C°S rfX. 3891. / (*) =
я J + a2
606 ОТВЕТЫ
-*-оо
— — [ Г 1 ! 1 cos kxdk. 3892. f (х)=
я J L (Х-Р)2 + а2 Т(Я+ p)2+a2J
о
И-00
Г Xslnhx ^
V dk. 3893. е“х =»
я J [(Х-Р)2+а2][(^+Р)2 + а2]
о
<=—L= f cos Xx d’k. 3894. xe^ =—L_ f Xe~v/4 sinXxdk.
V-т- 0 2 Vя o
+°°
3895 a) e-c = — [ —dk (0 < x < + oo); 6) e~x =
я J 1 + №
о
*-j— OO i - .
- — 5 \S,7T*-dX (°<*< + «>). 3896. f(*) = A /А x
Л J 1 + X2 V Я
0
X — . 3897. F (x) =—i ^\/— — . 3898. F(*)=
х* + а? V я (*2 + а2)2
= 3899. F (ж) = £.-(*М-аа)/2 ch ал 3900. а) ср (у) =
*= «г* <*><»); б) Ч>(У) = —;■ (У>0).
я 1 + «/2
ОТДЕЛ VIII
3901.—. 3902. S = — lL + _5_; s = -^2—t—Li—1_
4 3 n 3n2
+ ——; 13 -5- . 3903. 9,88. Точное значение 2я (7 — -v/24) « 13,20.
Зя2 3
3904. 0,402. Точное значение 0,4. 3905. б < 0,00022. 3906. 1.
3907. —. 3908. Л£_, 39Ю. / = F (А, В) — F {А, Ь) —
40 3
— F (я, В) + F (а, 6). 3912. а) Отрицательный; б) отрица¬
тельный; в) положительный. 3913. — , 3914. 1,96 < / < 2.
4
1 * 11
3915. а2+&Н —. 3916. J J f (дс, у) dy = § dy J/(*, y)dx.
2 0 0 о и
2 1 1 2if
3917. Га* Г f(*, y)dy~[ dy f f(xty)dx0 3918.
-2 l*|/2 0 -20
x+1 II 2 1
fdx j f(xt y)dy= J dy ]*/(*, y)d* + J dy | f(*, y)dx.
Jo oo l y-l
ОТВЕТЫ
607
i Vi—i Vi—
39!9. J dx | /(jc, y)dy= | dy J / (x, 0)dx.
1/2 l/2+Vl/4-^2 1 V^S?5"
3920. J ^ | / (x, y) dy = J dy J f (x, y) dx.
—1/2 1/2—Vl/4—jl3 0 — ^y^kF
1 1л i ^
3921. J dx j f(xt y)dy=§dy J f (x, y)dxe
-1 * 0
—1 V 4 —jc2 1 j'—Vl—x2
3922. J dx J / (x, y) dy + J dx | j f (x, y) dy +
—2 — У 4—jc2 —1 [—V 4—Jt?
У4—jc2 | 2 У 4—JC2 2
+ J / (*. 1 + \dx J / (-с. У) 3924. Jd</ J / (x, y) dx-f-
Vl—J 1 — V4—0 W2
4 2 0 2 VHT
+J ^ f f(x* d-* • 3925- I ^ I f (*> y) <*■* +
2 W/2 _2 Vl+P
* 2—*» I Vy
-fj dy I f(x, y)dx. 3926. f dy J Kx, y)dx,
0 -2УЙТ 0 V7
о Vi-j/2 i Vb^T
3927. J dy | / (x, y) d* + J dy J f (x, y) dx.
—л/i—i/a 0 —Vi—ST
l i-fVi—1/* д [e—v^2—v*
3928. Jdy J Цх, y)dx. 3829. Г dy { J f(x. y) dx +
0 2—1/ 0 ( vV2^
2a 1 2o 2a \ e
+ f /(*. ^ J f (*< У)dx. 3930. J dy Г f(x,y)dx.
0+yiirjr j „ vV2o о
1 я—arcsin f/ 0 2n-farcsin у
3931. Jdjr J t(x, y)dx— Jdy J /(*, y)dx.
0 arcsin p . .
—1 n—arcsin у
3932.
— • 3933. ^2 У 2—-V Уо . 3934.—. 3935. 14a*.
21 \ a J 2
or 4 2n a
£252.. 3937. j dtp J r/ (/• cos <p. rs\a<f)dr. 3938.
12 On
3936.
Я/2 fl COS
2я \b\
J d<f J r{ (r cos ф, r sin ф) dr. 3939. J dф J rf (r cos <pe
—jx/2 0 0 |a|
a/2 l/УГ cosec (ф+л/4)
/■sin ф) dr. 3940. I | /■/(/■ cos <p, Г5!пф)4л
608 ОТВЕТЫ
jt/4 a sin <p/cosa ф Зя/4 а/81Пф
3941. J dq> j rf (г cos ф, г sin ф) dr + J ^ф J rf(r cos ф,
0 0 Я/4 0
я a sin ф/cos2 ф
г sin ф) dr + J 4ф J г/ (г cos ф, г sin ф) dr. 3942. В том
Зя/4 0
случае, если область интеграции ограничена двумя концентричес¬
кими окружностями с центром в начале координат и двумя лу¬
чами, исходящими из начала координат. 3943.
ft/4 1/cos ф я/2 1/sin ф
| <2ф J rf (г cos ф, г sin у) dr + J Лф J rf (г cos ф,
0 0 Я/4 0
1 я/2 Уг“ arcsin 1/г
rsin ф)4г= J rdr j* / (rcos ф, rsin ф) д(ф+J rdr J / (г cos ф,
О 0 1 arccos 1 /г
Я/2 1
г$1пф)4ф. 3944. J ^ф J rf (г cos ф, г sin ф) dr =
0 1/V2 cosec (ф+я/4)
1 я/4+arccos 1//-V2
J* г dr J / (Г COS ф, Г Sin ф) 4ф.
l/л/Т Я/4—arccos 1/г*\/ 2
я/з 2/cos ф
3945. | dtp J г/ (г) dr =■
Я/4 О
2 vr 4
= -j^- ^ rf (г) dr ^ ^-5 arccos r[ (r) dr.
0 2 V2"
я/4 1/cos ф
3946. J Жр J rf (r cos ф, г8тф)**г=
0 sin ф/cos2 ф
д/ГИг5"—1
arcsin —>-—
1 r *
t= I rdf J /(rcos(p, /■sin9)df +
0 0
Vl+4/-1—1
vr arcs,n —5?—
-f J rdr J Kr COS ф, Г sin Ф) йф.
1 arccos \/r
я/4 a Vcos 2ф
3947. j ^ф J rf (r cos ф, rsin ф) dr <=>
«—я/4 0
1 r*
-7- arccos —r
a 2 aJ
^ Jrdr I f(rcos Ф, Г$Шф)^
0 1 #*
—2 arccos
arccos -
ОТВЕТЫ 609
г я 1 г
3948. [dr Г /(ф, г) d<p. 3949. f dr { X
Or 0 1 /о
—агссоь— —arcsin—r
a 2 a-
a a 1
xf( ф* r)dy. 3950. J dr j* / (Ф, г) <2ф. 3951. 2л J rf(r)drt
Or о
I vr
3952. л J rf (r) dr +
4 arccos —rf (r) dr.
о
ffl/2
3953.— f f (tg Ф) cos^ ф ^ф. 3954. ..2ла3 . . 3955. — 6л*.
2 Л/2 3
3/2
3956. 6 ft2+6 (b+h)+(b+h)*+(2b+h) Vft (6+/t) , JLf^Y
5 ^и +V) (v^b b~\-h) 2 \fl /
3957. f udul I (uy uv) du. 3958. J_ § du J —W
a a 2 l —ы \ 2 2 /
л/2 a
3959. 4 J sin3 a cos3 vdv^uf (u cos4 v, usin4v)du. 3961. u=xy, v=x—y.
о о
l l
3962. f f (u) du. 3963. 2 \ л/\ — u* f (и л/а* + b2 + c) du.
-l -l
2
3964. In 2 f f (u) da. 3965. —. 3966. —. 3967. — nab.
i 2 3 3
я 11 37
3S69. 543 . 3970. 1 In 2.
/ * UtO • 05»/V. i
V2 15 128
3971. 2л. 3972. — я. 3973. — + —.
16 3 4
4 1 + Vr 4
3974. — я + 8 In —^-zz . 3975. 6. 3976. — (4 —
3 Y2 3
— 3 л/Т + 4 V3"). 3978. / (0. 0). 3979. -y F (t), если
/>0 3980. 2 ^ = dxdy 3981. F'(t) =
2л > ig ч
?=r | it (i cos ф, t sin ф) <*ф. 3984. \~fT~ 2 In 2 J A
610 ОТВЕТЫ
2 , Зл/з“—я
3985. (р + q) л/pq . 398G. яа2. 3987. - а\
3 3
я . л/2 / /—v я а.2
3988. — Ч ^ In (1 + V2 ). 3989. . 3990, а2Х
V? \ яаб /а2., 62 \
■Ч-.rcsln ; ). 3991. —j.
V14
8
У
Ь* >
\ Л4 '
~ & ;
3994.
4
a2b2 Т ob
. 3993. X
№ J 6
a*bk (ak + 2bh)
6Л2 (aft + &Л)2
1 (аб)5 об (р — а) (Ь2 — а2)
3994.1. . 3995. . 3996. - -•
1260 с* 70 2 (а + 1) (р + 1)
а2 4 1
3997. 1п 2. 3998. —(<? — р) (s — г). 3998.1. —- X
2 3 15
X (65 - а5) (с-3 - d~3). 3998.2. — *~Р — X
(Р +!)(<? + 1)
X (bqJr'lq~~p — aQ^q~p) (c~p+1/<?__1 — I )e
65 189 / 1 , 12 \
3999. ab. 3999.1. 1 arctg \-—-)ab9
16 V 3 25 у
я
108
с2 —— 1
4000. —-(VlO —2) arcsin —. 4001. -
6 3 101
с2
4002. [(v2 — yj) (sh 2u2 — sh 2«i) — (a2 — «i) (sin 2^ — sin 2t>x)I.
4003. — я a*. 4004. —%=r-. 4007. -7-.
3 7 \7 6
nR-a 2 88
4008. R3. 4009. . 4010. я. 4011. я.
4 3 105
4012.
17 4/34 я
—21n2. 4013. т=— ГЧ — |аа. 4014. —.
12 Зл/я \4) 8
45 16 яа3
<015. ■—-я. 4016. а3. 4017. . 4018. я(1 —
32 9 8
— e~R1 ). 4019. 2агс- —«)("— 2) _ 4020 .
я3 8
\ 4
4021. —nabc(2 — д/2 ). 4022. —■-паЬс(2л/2 — l).
3 3
Зяabc 2 „ аЬс
4023. . 4024. — па(х. 4025. .
8 3 3
ОТВЕТЫ 611
9 3 а2о В 8
4028. —а!К 4029, —. 4030. In—* 4031,
2 4 а а 35
75
4032. —— nabc. 4033. —■ ■■■—* • 4033.1» (n — т) X
2ЬЬ 128
йЬс аЬс
* (g-i - g-2) fl* 4034. —_. Гз (1/л)/г (3/л)# 4035. — *
Зла 2/я + п
X Г (1/т)/Г (2/я) /г(1/т + 2/я). 4036. —- яа2 (2 УГ — l).
и
4037. 16а2. 4038. 8а2 arcsin—. 4039.
а д/2
4040. 8а2. 4041. я У2~. 4042. . 4043. —+
2 3
, 2-\/2*
(1 + Т1п3)'1"‘з"агс‘е—4044-
X (20 — Зп). 4045. 2а2. 4045.1. [3 УЙГ In (3 + УШ)].
6
1 / 1 . 1 У1 Г/ 1 , 1 . 1 \3/2 1 1
4045.2. —аЬс ( —— — | I ( —— 4—— 4 | — I .
3 V а2 &2 / LV а2 b* с2 ) с3 J
4045.3. ab (2 л/2 — l) arctg А/”7~ 9
3 V о
4045.4 —■ In (е + е"1). 4046. S = 4л (3 + 2 Уз") а4; V =
8я
а3. 4047. (ф2 — ф!) (sin я|>2 — sin ipi) 9*, где
Уз
фьфа — долготы меридианов,^» t|>2 —широты параллелей, R —*
f I а 4* Vg2 + Л2 )
— радиус сферы. 4048. я |а у аг-\-h? + Л2 In — 1.
4049. S = а (ф2— ф!) [Ь (Ц>2 — tyi) + cl (sin г])2 — sin 4J1)]; 4n2ab,
. be be
4050. о = arcsin , -■ ■■■ a -- „ =—; со « -—-.
V(fl + ^2) (a2 + c2) * fl2
4051. -fi^-[2 + yrin(l+yr)]. 4052. x. 1-;
8 a 256
Уо = — a. 4053. x0 = y0 = — . 4054. x0 = y9= ——— a.
О 5 dlOJl
anr.m a*b ab* na
4 55, Xo = ~№] 4 56, Х»=У°=~‘
5 16 5
4057. xq = — a\ f/0 = — — a. 4058. x0 = na; y0 = — a.
6 9я 6
612 ОТВЕТЫ
а
4059. Xq — — —; Уо = 0. 4060. Парабола у0 =
5
1 Л Ыг3 h I b\ — b% I
= — У 30рх9 . 4061. 1Х = ; /„ - — —
8 12 у 12
Д'
f.4
(Ь = 11). 4062. /*= 1у=—— (16 — 5л). 4063. /* =
16
21лс4 , 49яо4 Зяа4
‘ 1и= . 4064. /* = /„ =
32 ’ у 32 * у 4 У2
9 яа4 а4
4065. /* = 1 у = — а4. 4066. /0 = . 4066.1. .
у 8 8 12
с4
4069. /а = т=—. 4070. Я = ah\ У — 0, где X,
32 V3
У — проекции силы давления на оси координат Ох и 0у4
4071. Pt = па26 ^h — -g- ; Р2 — па26 .
4072. Проекции силы давления на оси Ох и Ог, расположен¬
ные в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилин¬
дра, из которых ось Ох — горизонтальная, а ось Ог — верти¬
кальная, соответственно равны: Хх = —na26^h, — —-cosa^X
Xsin a, Zi = — яа25 — -у- cos a ^ cos a; Х2=ла25х
-~cos a ^sin а, 22=ла26^/1 + —- cos a^cos a. 4073. Про¬
екции силы притяжения на оси Ох, Оу, Ог, соответственно,
2 ктМ
равны: X = 0, у = 0, Z = — — {| b | — | b — h | +
+ V+ (Ь — И)2 — -у/а2 Ь2 }, где k — постоянная тяготе¬
ния. 4074. рСр = ~Ро- 4075. А = {2аЬ У а2 + Ь2
6 + Уа2 + , L а + Vas+&4
-f- a3 In • Ь 63 In
a b
1 15 1
4076. —. 4077. —In 2 — -—. 4078. .
364 2 16 48
4 я I [ * l—«*
4079. — nabc. 4080. — . 4081. J dx j f dz J f(x, у, 2) dy-\~
5 6 0 lo о
I 1—Jt \ 1 ( z 1—y
+ J f(x, y, z)dy\ = § dzH dy J f(x, y, z)dx +
x 2—X J 0 lo г—у
ОТВЕТЫ 613
1 1 —у 1 1 I V?2—xi
4- J dy J f (х, у, г) dx\. 4082. f dx J dz Г / (дс, у, z) dy=
* о ’ ~l >х|
I 2 л/г'—у2 1 ix' I
*= J <*2 jdy J f(x,y,z)dx. 4083. f dx | J dz j /(*, y, z)dy +
0 —2 —т]г‘—цг 0 lo 0
*-+i i \ i fyr 1
+ j dz f1 /(*, y, z)dy — j' dy J / (x, y, z) dx -j-*
** уг-х2 > 0 [о V*-u!
II | 2 1 *
+ f dy J f(x,y,z)dx }+J dz I dy f f (x, y, z) dx.
Vr 0 J 1 V*-i VT^5
4084. (x-?)f(Qdl 4085. -J- J (2 - г*) / (г) dz +
* 0 ^ 0
+ — f (2-z*)f(z)d.. 4086. F(y4, B, C)-F(A, B, c) -
2 l
— F(/4, 6. C) — F (a, B, C) + fG4, b, c)+F(a, B, c) +
+ F (a, b, C)-F (a, b, c). 4087. . 4088. (2 л/Г - l).
1U 15
n arctg- 1 1
4 cos ф cos ф cos tj)
4089. j J cos ypdyjp j r2f{r)dr.
0 0 sin ф
cov*
n2abc лл 1бя лллл 2 /1 1 \ ,
«*• *WI- — • "«■ If (rf—f)x
*(^ 7T>‘vr- *ю- j-) *
X (6« -а8)[(Рг-а*) (l+~^) + 41n -^j. 4094. -g-*
«5. 3„-2). 4M6. „ = -f- +6R ■
где |01 < 1. <0C8. a) F' (/) = AnPf (f2), 6) F'(O =
Q
= — (0 + i f i ■«г/2/' (^г) dx dy • где / > 0 и V = {0 s£ x <
^0^z^<}. 4099. 0, если одно из чисел т, rt
4л (m — l)t* (« — 1)11 (p — 1)!I
и p нечетно; — ; — ; ; > если
tn ft "I- p 3 (ш .1 -f- p 1)! I
Г(р+1)Г(?+1)Г(г+1)Г(5+1)
числа m. n и p четные. 4100. — •
T(p + q + r + s + 4)
3 7 2 лаа
4101. —— . 4102. . 4103.— a* (3n — 4). 4104.
35 24 3 6
614
4105.
4108.
X (&3
4112.1,
4114.
4116.
I
X —
i
1
4118.2
4120.
4122.
4125.
4127.
4130.
4131.
4133.
4135. j
= —
“ 8
=-
ОТВЕТЫ
fl* 32
(Зл —4). 4106. — я. 4107. яа3.
4109. -L. 4110. iLfc-Vnx
_ я a2te я2
— a3). 4111. — -—. 4112. abc.
oh 4
пгаЬс 5 nabc ,
4113. (3 — V5 )•
4V2 * 12
8я ate /я „ / 1 \
—4115- — y— p(t)
abc fa . b \ / a2 , ft2 \ abc
60
;f)‘
fa . b \ f a? , ft2 \ a&c
(т+тК-5-+^г )• ,"6'1' —x
abc abc abc
• 4117l • 4118.—.4118.1.
L_lJL 1 554400 3 90
г k
abc 4я 9
■ "1ЙГ- 4,,8-3_ IT abc' 4Ш* Ta2
1 /2 / 3 \ 4л
T *> Vv ГЧт)- ,m- — *
^7— (1— e-i). 4123. —abc. 4124. 5a6c (— —^
ЗЛ v ’ 2 V e 3 )
5яа3 яа2
37:27.4126. V = ——; S = — (6 yr + 5 УГ- l)
8Л1Л0Л3 4лЛ3 я2 abc2
—4128. . 4129. —
I A I 3 I A J З/i sin (я/л)
'(vMtMt)
a&c
(“f)
r(—+ —+ —)
V m n p J
4132. 4яр0^
2
2
4134. *0 = */o ” “Г
5
7 л. 7
со = 77 p; Уо = 0 , 2о =
2
_| Я \ и
/г2
7
а\
г°="зо"аа‘
3
3 ь
7а:
Уо^Ц :г<Г_3
18 176
3 а
с. 4137. х0 = у0 = 0; 2q = • 4138. хо = Уо= 1;
8
5 9я 9я f 9я
Г- 4m- = -W*'■
ОТВЕТЫ 615
4141.
20 а Ь с
4140. х0 = уа = 0; г0 = —гг • 4141. — — -■
(тИт)
(тМт)
4142. *о = ос; у0 = Р;
аЬсъ a3bc ab3c
г0 = у. 4143. 1хи = ; = ; 12Х = .
xv бо 1 уг 60 60
4 4 4
4144. / ху — ——nabc3; I уг = —— л а?Ьс\ izx = nab3c.
15 15 15
. лабс3 па3Ьс . л abac
4145. /хи = ; /„, =— ; /,, = •
^ 5 ’ ®*“ 20 ’ " 20
9/7 ЬгЭ 9/ifo3r
4Ив. /*„=>-^-<15я-16); /«=-^-(105я-272);
. 2а3Ьс 7
1уг = — |5у5~ (105я — 92). 4147. i w = — na6cJ;
4 4 15л2
Тпа6с: 4|47л- ^ = 1iwr
15л2
X /«г — / — /к/< -—■ j — а&ст1 •
г 256 У2 ху 128 V2
КтМт)
Кт>Ш .. , "(r)f(f) ..
X : -а&3с; 1ХЛ = —— . -abc*.
ГШ " г(т)
14 4л л
4148. /*=——. 4149. /г =—• (4л/2 — 5). 4149.1. —а»,
15 15 5
4 М / 2 \
4150. — MR\ 4153. / = (а2+—h2 ], где М =
9 3 \ 3 у
JT2/75fl«
= 2лр0д2й — масса цилиндра. 4154. /0 =
4155. и = 2лр0 » если г<Д; и =
8
4лЯ3р0
3/
если г > Я, где г = У г2 + У2 + z2 . 4156. ц = 4лх
616
ОТВЕТЫ
X j"2 / (р) min • р) dp, где г = У х2 + у2 +;
X | А — г| + 2 |2|] + a2 In
4157. и = яр0 {(А — 2) Уаг + (Л—г)2 + г Уа2-f г2 —[(А — г)Х
Л — г + Уа2 + (А — г)2
•\/а2 + г2 — г
kMm
4158. X = 0; У =0; Z= — , если |я|>Я,
л 1 а |
Л = —
Я3
а, если |а|<Я. 4159. X = 0; Y = 0;
Z= — 2яр0А: {V я2 + г2 _уа2-НА-г)2 — (I г | — |А-г|)}.
4160. Х = 0; У = 0; Z= — nkp0R sin2 а. 4161. Сходится
при р>1. 4162. Сходится при Р>1 и > 1.
1
4163. Сходится при 4164. Сходится при
1.1 1
1 < 1. 4165. Расходится. 4169.
Р q (p—q)(q—\)
(p>q> 1). 4170. — (р>\)ш 4171. 2я.
Р — 1
4172. (р>1). 4173. яд/2 (V^ — l). 4174. —.
р — 1 2
4175. л. 4176. —. 4177. —. 4178. —£=-ед/6,
2 2 Уб ’
где 6 =
4180.
a b d
a b
и Д =
bee
Ь с
d е f
пеа-Ь2
4170. — ab.
е
4181. Сходится. 4182.
1
при — 4-
Р
2(1—е2)3'2
Сходится при р < 1. 4183. Сходится
. 1
п Г> 1. 4184. Сходится при р < 1. 4185. Сходится
q
я л;2
при р<1. 4187. —. 4188. л а. 4189. In 2.
2 2
3
4190. 2. 4191. Сходится при р > . 4192. Сходится при
3 111
р<— . 4193. Сходится при 1 1 < 1.
2 р q г
4194. Сходится при р<1. 4195. Сходится при р< 1.
4196. [(1-РГ1 (1-^(1 -'Г1 (Р< 1. f<l, r< 1).
4л /3 \
4197. 9 4198. 2лВ f — > 1 — рJ (р<1). 4199. л3/2.
ОТВЕТЫ
617
4200.
V-f •
где Д = |а,-/|.
4204.
al — •
a) з •
б)
п (Зп + 1)
ап
4205. —-.
п!
4206.
1
12
2nnt *
4207.
2
. 4208.
2ПЛ1Л2 .
. .h„
*
4209.
X а № .
4212.
(«— 1)! (2n + 1)
(llCL* •
«г
4210.
J A I
п{п-\)П
пТ
• an*
4211.
яп^ап
(t+0
я(п—!)/2а„-1Лз
12Г
(^)
Г
4213.
я
(п+\)!2
<rS4
„п/2
4218.
Rn
_(т) *
. Д j е~ д/в, где б=| ац \ и Д =
4221. 1 + V2 .
|/ (V“ ) и"/2 4219. u =~""2Po^S»
4220
мленный определитель
3!iLb.L
— окай
ь, I С
256
4222.
a3
15
4223. 2л2а3 (1 + 2я2). 4224. — (ch3/2 2/0—О- 4225. 4а7/3
6
4226. 2 (еа— 1)+ —аеа. 4227. 2а2 (—2 У2 ). 4228. 2kai^l+k2.
4 ... l+4fca
4229. 2а2. 4230. —. 4231. 5. 4232. л/З. 4233. | *0I+I*a|
где |х0|<а.
4234.
4 V2
AV^-+tV4-)
4235. [ 1
(1 --?0Л Vего • 4236. a У2 arctg—-!-ll
\ Зс ) .ПГ
л/а2 —■.
4237. -25- (За2 + 4л262) У а2 + *>2 • 4238. — яа». 4239. — х
3 3 3
х К2 + /о)3/2 — 23/2]- 4240. Г100 У38 — 72 - 17 X
256 У2 L
, где е =
618 ОТВЕТЫ
^ 1п 25 + 4л/эв j ^ 4241. 2Ь (ъ + a _E£ELL.^
а/CL2 ^2 2
«=—- эксцентриситет эллипса. 4241.1. — р2 X
а 3
Х(2У2 — 1). 4242. — Г(ЗУЗ — 1)+— 1п 3 + 2^-1.
8 L 2 3 J
4243. х0 = Ь — а д /——— ; _
* h + a 2 2 V*2-^
4244. *о = Уо = — а- 4244.1. S* = Sy = — а2. 4244.2. я<А
3 5
4244.3. a) — о3; б) ■ 3'^3 ■ а3. 4244.4. /-0 = °
Л , аЬ
Уо
3 2 ^2
4а 2 1
4245. х0 = y0 = ZQ= . 4246. х0 = —; у0= j
Зя 5 5
%«-L. 4247. ^ = /*, = ('—+—') V4яга2 + Л® ; /г
2 \ 2 3 /
= аг 'У 4л.2а2 + ft2. 4248. a) 0; б)—; в) 2. 4249. а) 2;
3
б) 2; в) 2. 4250. —. 4251. —. 4252. 0. 4253. — 2лаа.
15 3
4254. —2 т. 4255. 0. 4256.0. 4257. — — 1. 4258.8.
4
а-\-Ь
4259. 12. 4260. 4. 4261. — 2. 4262. J / (и) du.
о
О У?
4263. — . 42W. 9. 4265. j q>(x)dx+ f ^(jy)dy. 4266. 62.
2 X, yt
4267.1. 4268. Я + 1. 4269. e“ cos b— 1. 4271. г = — 4-
3
J- xly — J№4 ^ + C. 4272. —1 arctg -3* ~ v + C.
3a 2
4273. 2 = — + In | * + у | + C. 4274. г = е*+ч (*-// +
(* + У)'
dn+mu
+ 1) + ye + C. 4275. г = — — + C. 4276. r =>
dxndym
_ jp+m / t + c 4278 7 j 4279 _i_
д*лд<Л ч * у J Rz 35
4280. — naa. 4281. 2я л/2 a2 sin — a). 4282. — .
1283. — 4.
Хъ
4284. — 53
ОТВЕТЫ
12
4285. 0.
619
4286. b — ат
У2 2* *2-Н/24-2а
4287. J ф (х) dx + J г|) (у) dy + $ % (z) dz.. 4288. J / (и) ^
*» У» г, JCi+i/i+г,
д/*2+«'2+г2
4289.
| uf(u)du. 4290. и= —— (х3+у3+23)—2хуг+С.
3
4291. и = х Ь— +С. 4292. « = In V(* + ^)a + za +•
V г
+ arctg - (- С. 4293. А = — mg (z2 — г!). 4294. И =
* + 0
= — — (а* - Ь2). 4295. Л = к (— —'l, где =
2 \ ri rt J
4295.
•V*?+»?+*< (‘=i* 2>-
4297. -46-
4298.
яа*
4296. / = || y2dxdy.
4299. —2паб. 4300. — X
5
X (еп — 1). 4301. 0. 4302. h — 1% = 2.
4304. mS + ex,<f (уг) — е*‘ф (у{) — т (у2 — у,) -
4303.
птаг
8
■ (*з — X
• ♦ где и — дважды
Х(у2+у,). 4305. Р = —, Q = fex + —
dx
дифференцируемая функция и k — постоянная величина.
4306. у)] = -4~ lyF{x, у)}. 4307. I) /=0; 2) 7=2я.
dx dy
4308. nab. 4309. —паб. 4310. —. 4311. —а2. 4312. а2.
8 6 2
4313. — . 4314. — В (2m+l. 2я+1). 4315. — X
3 9 л/з 2 2/1
Г»
(т)
4316.
О-—)*
1 + — 4J—
sin ■
abc3
. 4318. п (rt + 1) (л+2) л2; блг2. 4319. яХ
4317.
2 (2л + О
X (л — 1) (п —2) г2; 6лЛ 4320. 4аа. 4321. sgn (ad — be).
620 ОТВЕТЫ
4322. У = sgn-^Л $ Где сумма распространена на все
La д (х, (/)
точки пересечения кривых: ф (*, t/) = 0 и я|) (л;, £/) =.0, лежащие
внутри контура С« 4324. У = 25, где S — площадь, огра¬
ниченная контуром С, 4325. Хх (дг0# r/0) + (*0» ^о)*
4326. Проекции силы на оси координат равны: X = 0; Y
= 2kmMina2, где /г — постоянная тяготения. 4327. ы = 2лиД X
X In—1—, если р = л/х2 + у2 <; R\ u=2nxR\n —, если
Я Р
р > R. 4328. Ух = —pmcos тф, у2 ~ JL- рт sin тф,
т т
л л
если 0<р^1: /2 — р~т cos тф, У2 = р"т sin тф,
т т
если р > 1. 4329. и = 2л, если точка А (х, у) лежит внутри
контура С; и = л, если точка Л (х, £/) лежит на контуре Cj
к = 0, если точка A (xt у) лежит вне контура С. 4330. Ку=*
= лрт cos тф, К 2 — пРт sin тф, если 0 < р < 1; К i = 0,
л л
Л2 = 0, если р = 1; К\ = cos тф, У<2 = sin тф,
рт рт
если р>1. 4339. <2- f fr*L+-*-V* 4/;-^-+-^=о.
J J V dx dy J dx dy
s
4340. Hx = ki(^)-^-Ur\-y)dz-(l-2)dy]-, = J-X
с с
* 1(5 _ г) dx - (I - X) dz]; H2 = ki(^~ [(*_*) dy-{4-y) dx],
С
4341. /i — /2 = (4 л — 2 л/3 ) a4. 4342. — пл/I as. 4343. яа?.
2
4344. — (H- V2 )■ 4345. J—+ (V3 — l) In 2.
2 2
125 д/б — I
4347. — abc (— + — j_ —'j .
3 \ a* b* ^ c* J
4346
420
4348. я2 [а л/[ + a2 + In (a + д/l + uO]. 4349. -Яа - sin a X
2 _
X COS* a (0 < a ^ ^ . 4350. — ^2 a >. 4352.-2я-^1+6 '^3— .
V 2 ) 15 15
4352.1. яа4. 4352.2. . 4353. —— лро<з4.
2V3 3
ОТВЕТЫ 621
„„с яр„а (За4 + 2Ьа) У а2 + Ь2 лоев а .
4354. — . 43зэ. г0 = —; уа = 0;
* А ^
а- 4356. х0 = уо = —2_; г0 = — (V2 -1- 1 ) .
9л 2^/2 я
4356.1. а) 40 а4; б) я/? Г Я (/?+ Я2) + — яЛ . 4356.2. Уз
*- 3 J 12
4357. Проекции силы притяжения на оси | координат X =- 0;
У = 0; 2 = nkmpa In — . 4358. и = 4лр0 minfa, ^ , где
* \
r0 = V^o + !/o+2o • 435Э- *40 --7-(3-/•)*. если |/|<
18
<УЗ; F(/)=-0, если |/|>л/3. 4360. F (0= я (8~5У2!.^.
6
4361. F — 0, если a; F= [а2 — (г — /)2], если г — а С
г
< t < r-\- а\ F = 0, если t > г + я (* ^ 0). 4362. 4ла‘*.
4303. r_L<fl)_ 0Й- + абс.
La b с J
4ЙС4. 0. 4365. (а262+а'2с2+й2с2). 4386. — (а+й+с) Я3,
абс 3
/- Л3
4337. — яа2л/3. 43С8. —. 4369. 2 пл. 5. 4370 0.
6
4371. —2ла (а + h). 4372. 2дУ?А 4373. —--а3. 4374 0.
О
<370. 3 [ J J (х1 -'г у2 -I- г2) d-tdr/йг. 4377. 0.
V
!378. 2 Г С f ^1/-— . 4379. J f J Ли dx cty dz, где Дм =
JJJ лЛч-</2 + <-2 17
v
= ^ + -^- + —• 438Э. 0. 4384. — (а2 + —^ \с\,
дх‘1 ду* дг* 3 V 2 )
4385. — аК 4335.1. 2л V/?. 4387. За4. 4388. яа\
9 5
jг/Г
4389* 1. 4390. —. 4392. а) I 0; б) / = 4л.
4401. а) grad и (0) = 3/ — 2У — Ckt | grad и (0) | --•■= 7, cos а=3/7,
о 5
cos [5= —— , соь у= ——; б) ^rad и (Л)=6/-[-3./, J grad и (А) 1=
652 ОТВЕТЫ
=3 Vs , cosa= —^—y cos , cos v=0; в) grad и (В) =
Vs л/s
= 7/, [ grad w (B) | = 7. cos a = 1, cos 0 = 0, cos у = 0;
grad и = 0 в точке M (—2, 1, 1). 4401.1. grad и (М) =>
= 12/ — 9У — 20Лг, | grad и {М) \ = 25, cos а =>
12 а 9 4 ди 3
cos р , cos у— —
25 25 5 dl л/“
4402. a) ху = 22; б) х = г/ = 0 и х = у = г; в) х = у = г,
4403. г=1. 4404. _±(£!±j£L _j_ _ifl_ = 1 (ц> 16),
и2 —256 я2
f2 _1_ м2 о
*—— [ 1; шах и = 20. 4405. cos ф = .
960 1024 9
4406. Поверхности уровня — полости конусов; поверхности
равного модуля градиента — торы; inf и = 0, sup и = lj
inf | grad и |=0, sup | grad и | = —. 4407. ^ AC *
2 I grad a (x0, «/o, 20) |
4409.3)—; 6)2г; в) —. 4410. £' (r) — . 4411. c.
г r3 T
4412. 2r (c-c) — 2c(c-r). 4415.1. a) grad —— X
dr т
du . du , , , . . .
X e<p 4 ег, где er = i cos <p+y sin qp, e<p= — / sin ф +
dq> dz
+ j cos Ф, ez = k — орты, касательные к соответствующим ко*
w л ди , 1 ди .1
ординатным линиям; б) grad и = ер ееЧ X
дг г дв rsinO
X —- £<р> где ет = / cos ф sin 0 + у sin ф sin 0 + k cos 0, ее=»
дф
= i cos ф cos 0+У sin ф cos 0—k sin 0, £ф= — i sin ф+у cos ф —
орты, касательные к соответствующим координатным линиям,
ди 2 и /-Г—: Т ди ,
4416. — , где г = V*2+ 0 +га; = | grad u\t
dr r dr
du cos (/, г) ди Л
если а = Ь = с. 4417. — — = 0, если
dl га д/
ди grad и grad v ди Л , , .
/Jr. 4418. =-s = ; = 0, если grad «Xgrad v.
dl | grad v | dl
44,, Д_ » (V»T+7+ Й t (х-у) г ^
(*2 + у2 + г*) У *a + у1
4420. t/ = Cjx, г = c2x2. 4422.1. div a (Al) = 18/125; П =
= ^ Я88. 4423. 0. 4425* div (grad и) = Am, где A и =
125
ОТВЕТЫ 623
д*и , dhi , дЧ 442в г (г) + _2_ /' (г); / (Г) = с +
д*2 д*/2 022 Г
с 2
Н —, где си Cj — постоянные. 4427. а) 3; б)
г г
4428. (с-г). 4429. 3£ (г) + rf (г); /М = — , где
г
с — постоянная. 4430. a) uJSu + (grad и)2\ б) uAv + grad и X
Xgrad у, где Да— оператор Лапласа. 4431. diva=0; div w=*
= —2<о2. 4432. О, вне притягивающих центров. 4433. diva=
1 Г д / ч . да™ 1
— J (rar)-\ — I, где аг> аф — проекции вектора а
г \_ дг dq J
на координатные линии <р = const и г = const. 4434. diva=
= ~ТТ7ТГ Г~Т~ (MNau) 4—— (N Lav) Н—(1,Л1аш)1, где
LMN L ди dt) dw J
flu. av> &W — проекции вектора a на соответствующие коорди¬
натные линии
■ У (*Т+(1)г+©г’ *■ У ©!+(5)Ч£Т •
Если г, <р, г — цилиндрические координаты, то div а =
— -5— Г—— (гаг)-\~ _|_ г _- если л, 0, ф—сферические
Г L ^ дф 02 J ’
координаты, то diva= ! Г—— (r^rSinOj+r —(aosinG)-f-
r2 sin в L dr d0
+ г_0вф1 4436. а) 0; 6) 0. 4436.1. rot a (M) = —i —
dq> J 4
—/+—- | rot a (M) | — —V141 , cos a — 5 , cos (5 =*
2 4 / У141
— 4 cosy= ^— . 4437. a) [rXf]; 6) 2/(r) c-f-
Vl41 У141
V (r)
T
[<?(r-r) —r(c*r)]. 4439. a) 0; 6) 0. 4440. rot v =
= 2(0/. 4440.1. rot a = — Г —(гаф) где сф и аг —
г L ^ (Зф J
1 Г д ч
дф
— проекции вектора а, соответственно на координатные линии
г = const и ф = const. 4440.2. a) rot a = —— ~Vr-l-
, / dar daz \ , 1 Г д . ч dar 1
+ (“& ^ГГФ + Т br('fl(p) “ "aaTj "г> где
624 ОТВЕТЫ
ar—ax cos ф+ay sin ф, яф=— ax sin ф-\-ay cos ф, a2=a2; 6) rot a=a
1 Г д . . Лч даь 1 , 1 Г 1 far
в —- (Дф sin 0) — -1 . — —
г sin О L дО дф J г L sin В дф
— (га(( )1^0 + — Г —— (гае) ^ф» где а, = ах cos ф sin 0 +
dr J г L ^ d0 J
►f- ау sin ф sin 0 + а2 cos 0, ае = а* cos ф cos 0 + ау sin ф cos 0
— a2sinO, = —а* sin ф + ау cos ф. 4441. а) 0; б) nh\
Qjr
4442. а) 0; б) 0. 4443. я. 4444. —. 4445. 0.
8
4445.1. —. 4447. Апт. 4448. У ес. 4450. ср-^-=а
5 A, dt
~ div (к grad u)t где с — удельная теплоемкость и р — плотность
ОЛ *1
тела. 4452. 2я2Ь2. 4452.1. 8^--1п2. 4452.2. _ (3 +
21 4
ГВ
— 12е-2). 4453. j f(r)rdr. 4454. а) 2л; б) 2я. 4455. а) Г=1
ГА
— 0; б) Г = 2ял, где л —число оборотов контура С вокруг
оси Oz. 4455.1. rota(M) = — у —2/f, Г = — я (cos 0+2 cos v) е2.
S 5
ди dv ди до
дх ду ду дх
4457. и= xyz(x + y + z) + C.
и{»,
4457.1. —. 4453. «= —. 4459.
3 г
1=1
где г;—расстояние переменной точки М (jc, yt z) от точки Л1 *(/=
= 1, 2 л), 4460. u(xt у, г)= J tf(t)dtt где r= 'yjх2+у2-\-г\