cos
sin x cos
Применяя у
авовки
arctg-jcdx
xex dx
Найти интегралы л
°* J sin’ X cos®
in2 x 4* cos® x.
Применяя ме
Методом интегрирования по
х In X'dx<
математики
Б. П. Демидович
В. А. Кудрявцев
Краткий
курс
высшей
Б. П. Демидович
В. А. Кудрявцев
Краткий курс
высшей математики
Учебное пособие
для вузов
Москва
Астрель • ACT
2001
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
ДЗО
Демидович Б. П.
ДЗО Краткий курс высшей математики: Учеб, пособие для
вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. — М.:
ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ»,
2001. — 656 с.: ил.
ISBN 5-17-004601-4.
Книга содержит четкое и ясное изложение курса высшей ма-
тематики в относительно небольшом объеме. В ней имеется боль-
шое количество примеров и задач, решение которых помогает
усвоению теоретического материала.
Это известное учебное пособие, завоевавшее заслуженную по-
пулярность широтой своего материала и доступностью изложе-
ния, принесет несомненную пользу для нового поколения чита-
телей.
Пособие предназначено для студентов естественных (геологи-
ческого, географического, биологического, химического и др.)
факультетов университетов.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 5-17-004601-4
(ООО «Издательство АСТ»)
ISBN 5-271-01318-9
(ООО «Издательство Астрель»)
© ООО «Издательство Астрель»., 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга содержит краткое, но четкое и ясное изложение основ
высшей математики. Ее текст сопровождается большим количе-
ством пояснительных примеров и рисунков, позволяющих более
глубоко и наглядно воспринимать излагаемый материал.
Пособие состоит из двадцати шести глав. Первые пять глав
посвящены аналитической геометрии на плоскости и включают
такие темы, как прямоугольные и полярные координаты, коор-
динатный метод описания кривых, прямые линии и кривые вто-
рого порядка. В следующих десяти главах излагаются основы
классического математического анализа: функция, теория пре-
делов, непрерывность функции, производная, дифференциал,
неопределенный интеграл, определенный интеграл, приложе-
ния производной и определенного интеграла. Затем следуют гла-
вы, посвященные комплексным числам, определителям, вектор-
ной алгебре, главы с изложением основ аналитической геомет-
рии в пространстве, теории функций от нескольких переменных,
числовых и функциональных рядов, дифференциальных урав-
нений, а также главы, в которых рассматриваются криволиней-
ные и кратные интегралы. Книга завершается главами, в кото-
рых приводятся сведения по теории вероятностей и линейному
программированию, необходимые студентам ряда новых совре-
менных специальностей.
В конце каждой главы имеется хорошо подобранный набор
задач для самостоятельного решения. В приложении дается об-
щая сводка важнейших формул.
Данное учебное пособие известно многим преподавателям
высшей математики университетов и втузов. Оно завоевало за-
служенную популярность широтой своего материала и доступ-
ностью изложения и принесет несомненную пользу для нового
поколения читателей.
Пособие предназначено для студентов естественных (геоло-
гического, географического, биологического, химического и др.)
факультетов университетов.
3
HIM! 1111 т.,-
ГЛАВА I
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К ПРОСТЕЙШИМ ЗАДАЧАМ
§ 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости
Координатами точки на плоскости называются числа, оп-
ределяющие положение этой точки на плоскости.
Прямоугольные декартовы координаты (по имени мате-
матика Декарта) на плоскости вводятся следующим образом: на
этой плоскости выбираются точ-
ка О (начало координат) и про-
ходящие через нее взаимно пер-
пендикулярные направленные
прямые Ох и Оу (оси координат)
(рис. 1). Для удобства рассмот-
рения будем предполагать, что
ось Ох (ось абсцисс) горизонталь-
на и направлена слева направо, а
ось Оу (ось ординат) вертикальна
и направлена снизу вверх; таким
образом, ось Оу повернута относи-
тельно оси Ох на угол 90° против
хода часовой стрелки1*. Кроме то-
го, выбирается единица масштаба для измерения расстояний.
Для данной точки М введем в рассмотрение два числа: абс-
циссу х и ординату у этой точки.
Абсциссой х называется число, выражающее в некотором
масштабе расстояние от точки до оси ординат, взятое со знаком
плюс, если точка лежит вправо от оси ординат, и со знаком ми-
нус, если точка лежит влево от оси ординат. Ординатой у назы-
вается число, выражающее в некотором масштабе (обыкновенно
в том же, как и для абсциссы) расстояние от точки до оси абсцисс,
взятое со знаком плюс, если точка лежит выше оси абсцисс, и
со знаком минус, если точка лежит ниже оси абсцисс.
Эти два числа х и у и принимаются за координаты точки
М, так как они полностью определяют положение точки на плос-
х* Вообще говоря, расположение осей и выбор их положительного и
отрицательного направлений являются произвольными.
4.
кости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует един-
ственная точка, координатами которой являются эти числа;
и обратно, каждая точка плоскости имеет определенные ко-
ординаты х и у. Если точка М имеет координаты х и у, то это
обстоятельство обозначают так: М (х, у) (на первом месте ста-
вится абсцисса х, а на втором — ордината г/). При записи коор-
динат знак плюс, как обычно, можно опускать.
Оси Ох и Оу разбивают плоскость на четыре части, называе-
мые квадрантами. Производя нумерацию квадрантов (I, II, III
и IV) в направлении против хода часовой стрелки, отправляясь
от того квадранта, где обе координаты положительны, получим
следующую таблицу знаков координат:
	I	II	III	IV
X	4-	—	-	4-
У	4“	+	-	—
Рис. 2
Отрезок ОМ, соединяющий начало координат О с точкой М
(рис. 2), называется ее радиусом-вектором. Обозначая через ф
угол, образованный отрезком ОМ с положительным направле-
нием оси Ох, и через г его длину,
для точки М, лежащей в
I квадранте, из треугольников
ОММ' и ОММ" получим
х = г cos ф,
(п	.	(1)
У~Г COS I 2 ФI = Г Sin ф.	v 7
Нетрудно убедиться, что фор-
мулы (1) будут справедливы для
координат точек всех квадрантов. Таким образом, знак абсциссы
х точки М совпадает со знаком косинуса, а знак ее ординаты у —
со знаком синуса в соответствующем квадранте.
Легко видеть, что если точка лежит на оси абсцисс, то ее ор-
дината у равна нулю; если же она лежит на оси ординат, ее абс-
цисса х равна нулю, и обратно. Следовательно, если точка сов-
падает с началом координат, то равны нулю обе ее координаты.
Пример. Точки Мг (хь yj, М2 (х2, i/2), М3(х3, у3) и М4(х4, у4)
на рис. 1 имеют координаты хг == 2, уг » 3; х2 «» -4, у2 = 2; х3 = -2,
Уз = -4; х4 = 5, у4 = -2.
В дальнейшем прямоугольные декартовы координаты для
краткости будем называть просто прямоугольными координатами.
В следующих параграфах рассмотрим некоторые простейшие
задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.
5
§ 2. Преобразование прямоугольной системы координат
При решении задач иногда выгодно вместо данной прямо-
угольной системы координат Оху выбрать другую прямоуголь-
ную систему координат О'х'у', определенным образом ориенти-
рованную относительно первой. Например, при межпланетных
путешествиях можно пользоваться системой координат, связан-
ной с центром Земли (геоцентрическая система координат); од-
нако более удобно использовать систему координат, связанную
с центром Солнца (гелиоцентрическая система координат).
Возникает вопрос о том, как от одной системы координат
перейти к другой.
У

М(х,у)
А
И|\
' х । У
Рассмотрим сначала простейший
случай (рис. 3), когда оси «новой сис-
темы координат» О'х'у' параллельны
соответствующим осям «старой сис-
темы координат» Оху и имеют оди-
наковые направления с ними (парал-
лельный перенос системы коорди-
нат).
Пусть начало новой системы ко-
ординат — точка О' — имеет коорди-
наты (а, Ъ) в старой системе коорди-
нат. Точка М плоскости со «старыми
координатами» (х, у) будет иметь некоторые «новые координа-
ты» [*', у'] (для ясности мы их обозначаем квадратными скоб-
ками). Из рис. 3 непосредственно получаем
х' = х - а, у' = у - Ь,	(1)
т. е. новые координаты точки равны ее старым координатам
минус старые координаты нового начала.
Обратно, из (1) находим
х = х' + а, у = у' + Ъ.
О
Ь.'

о
х
Рис. 3
(2)
Рис. 4
Пусть теперь «новая система»
координат Ох'у', при неизменном
начале О, повернута относительно
«старой системы» Оху на угол а
(рис. 4), т. е. Zx'Ox = а, причем а
считается положительным, если по-
ворот осуществляется против хо-
да часовой стрелки, и отрица-
тельным — в противоположном слу-
чае (поворот системы координат).
6
Обозначим через 0 угол, образованный радиусом-вектором
г = ОМ точки М с осью Ох'; тогда отрезок ОМ, с учетом знака
угла 04 будет составлять с осью Ох угол а 4- 0. Отсюда на осно-
вании формул (1) из § 1 при любом расположении точки М имеем
х = г cos(a + 0) = г cos a cos 0 - г sin a sin 0	(3)
и
у == r sin (a 4- 0) « r sin a cos 0 + r cos a sin 0.	(4)
Так как новые координаты точки М, очевидно, есть
х' = г cos 0, у' = г sin 0,	(5)
то из формул (3) и (4) получаем
х = х' cos a - у' sin a,
у = х' sin a + у' cos a.
(6)
Для запоминания формул (6) используют следующий мнемо-
нический прием: говорят, что первая формула (6) содержит
полный беспорядок, а вторая — полный порядок.
Действительно, в первой формуле на первом месте стоит cos, на
втором — sin; кроме того, присутствует знак минус. Во второй
формуле (6) никаких нарушений правильности в этом смысле
нет.
Формулы (6) выражают старые координаты х и у точки М
через ее новые х' и у'. Чтобы выразить новые координаты х' и
у' через старые х и у, достаточно разрешить систему (6) относи-
тельно х' и у'. Однако можно поступить проще, а именно принять
систему Ох'у' за «старую», а систему Оху за «новую». Тогда, учи-
тывая, что вторая система повернута относительно первой на
угол — а, заменяя в формулах (6) х' и у' соответственно на х
и у и обратно и принимая во внимание, что cos (~a) = cos a,
sin (-a) = -sin a, будем иметь
x' = cos a + у sin a,
y' = —x sin a 4- у cos a. J	* '
Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть
точка О' (а, Ъ) и ось О'х' образует с осью Ох угол а, соединяя
формулы (2) и (6), находим
х = а + х' cos а -у' sin a,	/gx
у = Ь 4- х' sin a 4- у' cos a.
Здесь угол 0 считается положительным, если радиус-вектор ОМ по-
вернут относительно оси Ох' против хода часовой стрелки, и отрицатель-
ным, если он повернут относительно этой оси по ходу часовой стрелки.
7
Аналогично, из формул (1) и (7) получаем
хх = (х - a) cos а + (у - b) sin а,
у' = - (х - a) sin а + (у - b) cos а.
(9)
Из формул (8) и (9) вытекает, что формулы перехода от одной
прямоугольной системы координат к другой прямоугольной сис-
теме координат являются линейными функциями как
новых, так и старых координат, т. е. содержат эти координаты
в первой степени.
Пример. Отрезок ОМ, где точка М имеет координаты (х, у), повер-
нут на угол а = 120° против хода часовой стрелки (рис. 5). Каковы будут
координаты хх и у' нового положения М' точки М?
Предполагая, что с точкой М связана подвижная система координат
Ох'у', на основании формул (6) будем иметь
Xх « х cos 120° - у sin 120° == - (х + у а/З )/2,
у' = х sin 120° + у cos 120° = (х73 - у)/2-
§ 3. Расстояние между двумя точками на плоскости
1) Найдем сначала расстояние г от начала координат О (0, 0)
до точки М (х, у) (рис. 6).
Расстояние г = ОМ, очевидно, является гипотенузой прямо-
угольного АОММ' с катетами ОМ' = |х| и М'М = |у|.
По теореме Пифагора получаем
г = Jx2 + у2 .
(1)
Таким образом, расстояние от начала координат до неко-
торой точки равно корню квадратному из суммы квадратов
координат этой точки.
8
2) В общем случае, пусть
для точек А (хр yj и В (х2, у2)
(рис. 7) требуется найти рас-
стояние d = АВ между этими
точками.
Выберем новую систему
координат Ах'у', начало ко-
торой совпадает с точкой А и
оси которой параллельны
УУ
।
У
В(х2,у2)
<Ь-У2~У1
----х'
dx-x2-Xi С(х2,у^)
Рис. 7
прежним осям и имеют, соответственно, одинаковые направле-
ния с ними. Тогда в новой системе координат точки А и В будут
иметь координаты (§ 2) А [0, 0] и В [х2 - Хр у2 - j/J. Отсюда на
основании формулы (1) получаем
d = 7(x2-^i)2 + (!/2-!/i)2 »	(2)
т. е. расстояние между двумя точками плоскости (при любом
их расположении) равно корню квадратному из суммы квад-
ратов разностей одноименных координат этих точек.
Замечание. Формула (2) дает также длину отрезка АВ. Легко
определить направление этого отрезка. Из прямоугольного Д АВС имеем
dx = d cos а == х2 - xn dy= d sin а = у2 - ух	(3)
(dx и dy называются проекциями отрезка АВ на оси координат Оху).
Отсюда получаем
Х2 - Х1 . у2 -ух . у2 -уА
cos а = 2	, sin а =	, tg а = ——— ,
а	d	х2-хг
где d определяется формулой (2).
Пример. Танк на местности переместился из точки А (-30, 80) в
точку В (50, 20) (относительно некоторой системы координат Оху), при-
чем координаты точек даны в километрах. Найти путь d, пройденный
танком, если он двигался, не меняя направления. Применяя формулу
(2), имеем
d == л/(50 + 30)2 + (20-80)2 = 76400 + 3600 = 100 (км).
§ 4. Деление отрезка в данном отношении
Предположим, что отрезок АВ (рис. 8), соединяющий точки
-4 (хь уг) и В (х2, у2), разделен точкой С на два отрезка АС и СВ,
причем отношение АС к СВ равно Z (Z > 0):
АС =/
СВ
(1)
9
Требуется выразить координаты х и у точки С(х, у) через коор-
динаты концов отрезка АВ.
Опустим перпендикуляры АА19 ВВХ и ССг соответственно из
точек А, В и С на ось Ох. Тогда получим, что три параллельные
прямые AjA, СгС и ВХВ пересекают стороны угла (не обозначен-
ного на рисунке), образованного прямыми АВ и Ох. Как известно
из элементарной геометрии, пучок параллельных прямых рас-
секает стороны угла на пропорциональные части; поэтому
ACt = АС
СВ ’
откуда на основании равенства (1) будем иметь
Из рис. 8 видно, что AjCj = ОСХ - OAt = х - х19 С1В1 = ОВХ - ОСг =
= х2 ~ х. Подставляя эти выражения в формулу (2), получим
Рис. 8
х2-х
Решая уравнение (3) относи-
тельно неизвестной абсциссы х,
будем иметь
х =
аналогично,
хг + 1х2 .
1 + 1 9
!/1 + 1У2
У 1+1 '
Итак, координаты точки С (х, у), делящей отрезок АВ в от-
ношении I (считая от А к В), определяются формулами
X! + 1х2	„_У1 + 1Уг
х ТГГ’ у~ ~гп~
(4)
Если точка С делит отрезок АВ пополам, то АС = СВ и, сле-
довательно, I — АС/СВ = 1. Обозначая координаты середины
отрезка АВ через х , у, получим на основании формул (4) * *
= хг + х2 _ ух + у2
Х ~2~’У	~Г~
(5)
10
т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам соот-
ветствующих координат его концов.
Примечание. При выводе формул (4) и (5) мы предполагали, что
концы А и В отрезка АВ лежат в первом квадранте и, следовательно,
координаты точек А и В положительны. Легко доказать, что формулы
(4) и (5) будут справедливы и в случае произвольного расположения от-
резка АВ на координатной плоскости.
Пример. Вычислить координаты точки С (х, у), делящей отрезок
АВ между точками А (-5, -3) и В (4, -6) в отношении АС/СВ = 3/2.
В этом случае I = 3/2 и, следовательно,
§ 5. Площадь треугольника
Пусть требуется найти площадь S треугольника АВС (рис. 9)
с вершинами А (хи у^, В (х2, у2), С (х3, у3).
Пусть АВ — с, AC = b,a углы, образованные этими сторонами
с осью Ох, соответственно равны аир.
На основании § 3 (см. замечание) имеем (рис. 9)
А'В' = сх = с cos а — х2 - х1г
А"В" = су = csina = y2-y1
А'С = bx = b cos Р = х3 - хг,
А"С” = by = b sin 3 = у3 - ур
(1)
(2)
Рис. 9
11
Пусть ф = ZCAB; очевидно (рис. 9), ф = (3 - ос. По известной
формуле тригонометрии получаем
S = i Ьсвтф = i fecsin(P - Ct) =
Zu	Zu
= i be (sin (3 cos a - cos P sin a) = 1 (bycx - bxcy). (3)
Отсюда в силу (1) и (2) имеем
8 = | [(Уз “ У1)(*2 “ «1) “ (х3 - хОСУг - У1)]-	(4)
£
Заметим, что формула (4) при ином расположении вершин
может дать площадь треугольника S со знаком минус. Поэтому
формулу для площади треугольника обычно пишут в виде
8 = ±| [(х2 - х^уз - у,) - (х3 - Xj)(i/2 - i/i)],	(4х)
А
где знак выбирается так, чтобы для площади получалось поло-
жительное число,
Используя понятие определителя второго порядка
а Ъ
с d
= ad - be,
формулу (4') можно записать в удобной для запоминания
форме:
S-M
У2-У1
*з“*1
Уз-Уг
(5)
Формула (4') упрощается, если точка А (хг, уг) находится в
начале координат. А именно, полагая хг = 0,	= 0, получим
S = ± i (х2у3 - х3у2).
Отметим, что если точки А, В, С находятся на одной прямой,
то площадь S = 0; и обратно, если S = 0, то вершины А, В и С
расположены на одной прямой.
Пример. Вспаханное поле имеет форму треугольника с вершинами
А (-2, -1), В (3, 5) и С (-1, 4) (размеры даны в километрах). Определить
площадь S этого поля.
12
По формуле (5) имеем
s = + l 3 + 2	-1 + 2 1+1 5
5+1	4+1	2 6
- + i (25 - 6) = 9,5 (км2),
или S = 950 га.
Замечание. Вычисление площади многоугольника сводится
к вычислению площадей треугольников. Для этого достаточно
разбить многоугольник на треугольники, площади которых вы-
числяют по формуле (4).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Построить точки: А (2, 3), В (-4; 1), С (2, -3), D (-2, -2). Е (-5, 0).
2.	Определить координаты вершин равностороннего треугольника,
лежащего в I квадранте, со стороной, равной 10, если одна из вершин
его совпадает с началом координат О, а основание треугольника распо-
ложено на оси Ох.
3.	Определить координаты точки М (х, у), симметричной точке А
(1,2) относительно: а) оси Ох; б) оси Оу; в) биссектрисы I и III коорди-
натных углов; г) биссектрисы II и IV координатных углов.
4.	Прямая MN параллельна оси ординат и находится от нее вправо
на расстоянии 5 единиц. Найти координаты точки Alf симметричной
точке А (2, 4) относительно прямой МЛГ, и координаты точки В19 сим-
метричной точке В (-1, 3) относительно той же прямой MN.
5.	На оси Ох найти точку, расстояние от которой до точки А (3, 4)
равно 5.
6.	Отрезок АВ, где А (2, 5) и В (4, 8), делится точкой С в отношении
2:3. Найти координаты точки С.
7.	Точка С (2, 3) делит отрезок АВ в отношении 1:2. Найти коорди-
наты точки В, если известно, что точка А имеет координаты х = 1, у = 2.
8.	Вершины треугольника суть А (-2, 0), В (6, 6) и С (1, -4). Найти
длину биссектрисы, проведенной из вершины А.
9.	В точках А (-2, 1) и В (7, 4) помещены соответственно тх « 10 г
и тп2 = 20 г. Определить координаты центра масс этой системы.
10.	Найти координаты центра масс N треугольника АВС с верши-
нами: А (-2, 1), В (2, -1), С (4, 3). (Центр масс треугольника совпадает
с точкой пересечения его медиан, которая, как известно, делит каждую
из медиан в отношении 2:1, считая от вершины.)
11.	Отрезок между точками А (х0, yQ) и В (х, у) разделен на п равных
частей. Определить координаты хо yt (i = 1, 2, ..., п - 1) точек деления.
13
12.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А (~2, -2),
В(-1, 3)иС (3, -1).
13.	Показать, что точки А (-7, -3), В (-1, 1) и С (2, 3) лежат на
одной прямой.
14.	Площадь треугольника АВС с вершинами А (-2, 1); В (2, 2) и
С (4, у) равна 15. Определить ординату вершины С.
15.	Поле распахано в форме четырехугольника с вершинами
А (0, 200), В (200, 100), С (500, 300) и D (100, 700) (координаты даны
в метрах). Найти площадь поля.
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 1. Множества
Под множеством X = {х, х', х", ...} понимается собрание
(совокупность) некоторых элементов х, х', х", ... . Если х есть
элемент множества X, то пишут х € X (читается: х принадлежит
X); если у не является элементом множества X, то пишут у tX
(читается: у не принадлежит множеству X).
Пример 1.Х — множество всех студентов в данной аудитории.
Пример 2. X = {1, 2, 3, ...} — множество натуральных чисел.
Удобно ввести понятие пустого множества 0, т. е. множе-
ства, не содержащего ни одного элемента. В частности, это осво-
бождает нас от необходимости каждый раз доказывать сущест-
вование хотя бы одного элемента данного множества.
Пример 3. Множество трехголовых людей пусто.
Множества X и X' считаются равными, т. е. X = X', если
они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 7. Множество У, состоящее из части элемен-
тов множества X или совпадающее с ним, называется под-
множеством множества X; в этом случае пишут
Y^X.	(1)
Условились считать, что пустое множество есть подмножест-
во любого множества.
Если множества изображать «логическими фигурами», то со-
отношению (1) соответствует рис. 10.
Если под символом V понимать «для
любого», то соотношение (1) эквивалентно
следующему:
Vy € У => у € X,	(Г)
где стрелка => заменяет слово «следует».
Пример 4. Пусть X — множество всех
студентов первого курса, У — множество
студенток первого курса. Очевидно, У X.
Если У <= X и X <= У, то, очевидно, X = У.
Рис. 10
15
Определение 2. Под объединением (суммой) двух
множеств X и Y понимается множество X U У (U — знак
объединения), состоящее из всех элементов, принадлежащих
хотя бы одному из данных множеств, т. е. входящих или в
X, или в У, или в X и в У одновременно (рис. 11).
Аналогично определяется объединение большего числа мно-
жеств. Так, под объединением X U У U Z трех множеств пони-
мается множество всех элементов, принадлежащих хотя бы од-
ному из множеств X, У, Z. Логически знак объединения мно-
хи:
Рис. 11
жеств соответствует союзу «или» (соединительному).
Например: {1, 2, 3} U {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}.
Определение3. Под пересечением (произведе ни ем)
двух множеств X и У понимается множество X А У (А —
знак пересечения), состоящее из всех элементов, принадлежа-
щих как одному, так и другому множествам, т. е. входящих и
в множество X, и в множество У
(общая часть множеств) (рис. 11).
Таким образом, знак пересече-
ния множеств логически соответст-
вует союзу «и». Если множества X
и У не имеют общих элементов, то
их пересечение пусто:
X А У = 0.
Рис. 13
Аналогично определяется пере-
сечение большего числа множеств.
Так, под пересечением X А У A Z
трех множеств понимается множе-
ство всех элементов, принадлежа-
щих одновременно множествам X,
У иХ.
Например: {1, 2, 3} А {2, 3, 4} =
= {2, 3}.
Определение 4. Для множеств X
и У под их разностью Х\У пони-
мается множество, содержащее
все элементы множества X, не
входящие в множество У (рис. 12).
Если У <= X, то множество Ус =
Х\У называется дополнением мно-
жества У до множества X (рис. 13).
Очевидно, У U УС=Х, УАУс = 0.
Например: {1, 2, 3}\{2, 3, 4} = {1}.
16
§ 2.	Метод координат на плоскости
В гл. I было показано, как, используя прямоугольные коорди-
наты, можно чисто алгебраически решать геометрические задачи.
Раздел математики, занимающийся изучением свойств гео-
метрических фигур с помощью алгебры, носит название анали-
тической геометрии, а использование для этой цели координат
называется методом координат.
Выше мы применили метод координат для решения ряда важ-
ных, но частных задач. Теперь мы приступим к систематическо-
му изложению того, как в аналитической геометрии решается
общая задача, состоящая в исследовании методами математи-
ческого анализа формы, расположения и свойств данной линии.
Пусть мы имеем некоторую линию на плоскости (рис. 14).
Координаты х и у точки М, лежащей на
этой линии, не могут быть вполне произ-
вольными; они должны быть подчинены
известным ограничениям, обусловленным
геометрическими свойствами данной ли-
нии. Тот факт, что числа х и у являются
координатами точки, лежащей на данной
линии, аналитически записывается в виде
некоторого уравнения. Это уравнение на-
зывается уравнением линии на плоскости.
Сущность метода координат на плоскости заключается в том,
что всякой плоской линии сопоставляется ее уравнение1*, а затем
свойства этой линии изучаются путем аналитического исследо-
вания соответствующего уравнения.
§ 3.	Линия как множество точек
Линия на плоскости обычно задается как множество точек,
обладающих некоторыми геометрическими свойствами, исклю-
чительно им присущими.
Пример 1. Окружность радиуса R (рис. 15)
есть множество всех точек плоскости, уда-
ленных на расстояние R от некоторой ее точ-
ки О (центр окружности).
Иными словами, на окружности распо-
ложены те и только те точки, расстояние
которых от центра окружности равно ее ра-
диусу.
Точнее говоря, класс равносильных уравнений.
17
Пример 2. Биссектриса угла АВС
(рис. 16) есть множество всех точек,
лежащих внутри угла и равноуда-
ленных от его сторон.
Этим утверждается, что: 1) для
каждой точки М, лежащей на бис-
сектрисе BD, длины перпендикуля-
ров МР и MQ, опущенных соответ-
ственно на стороны ВА и ВС угла,
равны между собой: MP = MQ, и
2) всякая точка, находящаяся вну-
три угла АВС и не лежащая на его биссектрисе, будет ближе к
одной стороне угла, чем к другой.
§ 4.	Уравнение линии на плоскости
Сформулируем теперь точнее определение уравнения линии1)
на плоскости.
Определение. Уравнением линии (уравнением кри-
вой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удов-
летворяют координаты х и у каждой точки данной линии и
не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на
этой линии.
Таким образом, для того чтобы установить, что данное урав-
нение является уравнением некоторой линии К, необходимо и
достаточно: 1) доказать, что координаты дюбой точки, лежащей
на линии К, удовлетворяют этому уравнению, и 2) доказать, об-
ратно, что если координаты некоторой точки удовлетворяют это-
му уравнению, то точка обязательно лежит на линии К.
Отсюда уже автоматически будет следовать, что: 1') если ко-
ординаты какой-нибудь точки не удовлетворяют данному урав-
нению, то точка эта не лежит на линии К, и 2') если точка не
лежит на линии К, то ее координаты не удовлетворяют данному
уравнению.
Если точка М (х, у) передвигается по линии К, то ее коорди-
наты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой
кривой. Поэтому координаты точки М (х, у) называются теку-
щими координатами точки линии К.
На плоскости Оху текущие координаты точки М данной кри-
вой К обычно обозначаются через х и у, причем первая из них
есть абсцисса точки М, а вторая — ее ордината. Однако, если это
целесообразно, текущие координаты точки М можно обозначать
Линию мы часто будем называть кривой независимо от того, пря-
молинейна она или не прямолинейна.
18
любыми буквами, например М (X, Y) или М (£, л) и т. п. Так,
например, уравнения
у = 2х и У = 2Х,
где точки N (х, у) и N (X, У) расположены на плоскости Оху,
представляют собой уравнение одной и той же прямой на этой
плоскости.
Основное понятие аналитической геометрии — уравнение
линии — поясним на ряде примеров.
Пример 1. Составить уравнение окружности данного радиуса R с
центром в начале координат.
Возьмем на окружности (рис. 17) произвольную точку М (х, у) и
соединим ее с центром О. По определению окружности имеем ОМ = R,
т. е. Jx2 + у2 = R, откуда
x2 + y2 = R2.	(1)
Уравнение (1) связывает между собой
координаты х и у каждой точки данной ок-
ружности. Обратно, если координаты точ-
ки М (х, у) удовлетворяют уравнению (1),
то, очевидно, ОМ = R п, следовательно,
эта точка лежит на нашей окружности. Та-
ким образом, уравнение (1) представляет
собой уравнение окружности радиуса R с
центром в начале координат.
Пример 2. Составить уравнения биссектрис координатных углов.
Рассмотрим сначала биссектрису I и III координатных углов (рис.
18, а). Возьмем на ней произвольную точку М (х, у). Если точка М
лежит в I квадранте, то абсцисса и ордината ее обе положительны и
равны между собой (по свойству биссектрисы). Если же точка М (х, у)
лежит в III квадранте, то абсцисса и ордината будут обе отрицательны,
а модули их равны, поэтому будут равны и координаты х и у этой точки.
Следовательно, в обоих случаях имеем
у = х.	(2)
Обратно, если координаты х и у какой-нибудь точки М (х, у) удов-
летворяют уравнению (2), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе
19
I и III координатных углов. Поэтому уравнение (2) представляет собой
уравнение биссектрисы I и III координатных углов.
Рассмотрим теперь биссектрису II и IV координатных углов
(рис. 18, б). Возьмем на ней произвольную точку N (х, у), В каком бы
квадранте — II или IV — ни была расположена эта точка, координаты
ее х и у равны по модулю и отличаются знаками.
Следовательно, в обоих случаях имеем
у = -х.	(3)
Обратно, если для какой-нибудь точки N (х, у) выполнено уравне-
ние (3), то эта точка, очевидно, лежит на биссектрисе II и IV коорди-
натных углов. Таким образом, уравнение (3) есть уравнение биссектри-
сы II и IV координатных углов.
Пример 3. Составить уравнение прямой, параллельной оси ординат.
Пусть прямая АВ || Оу и пусть отрезок ОА = а (рис. 19, а). Тогда
для любой точки М (х, у) прямой АВ ее абсцисса х равна а:
х — а.	(4)
Обратно, если абсцисса некоторой точки М (х, у) равна а, то эта
точка лежит на прямой АВ.
Таким образом, уравнение (4) представляет собой уравнение пря-
мой, параллельной оси Оу и отстоящей от нее на расстоянии, равном
числовому значению а; при этом если прямая расположена справа от
оси Оу, то а положительно; если же прямая расположена слева от оси
Оу, то а отрицательно.
В частности, при а = 0 получаем уравнение оси ординат: х = 0.
Пример 4. Составить уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.
Совершенно аналогично, если прямая CD || Ох и ОС = b (рис. 19, б),
то ее уравнение будет
у = Ь;
при этом если прямая CD расположена выше оси Ох, то Ъ положительно,
если же прямая CD расположена ниже оси Ох, то Ъ отрицательно.
В частности, при Ъ = 0 получаем уравнение оси абсцисс: у = 0.
Рис. 19
20
Пример 5. Найти линию, расстояние точек которой от точки
В (12, 16) в два раза больше, чем от точки А (3, 4).
Если М (х, у) — произвольная точка искомой линии, то согласно
условию задачи имеем
2АМ = ВМ.	(5)
Чтобы составить уравнение этой линии, надо выразить AM и ВМ
через координаты х и у точки М. На основании формулы расстояния
между двумя точками (гл. I, § 3) имеем
AM = 7(x-3)2 + (t/-4)2, ВМ - 7(х -12)2+ (j/-16)2,
откуда, согласно соотношению (5),
27(х - З)2 + (у - 4)2 = 7(х- 12)2 + (у - 16)2.
Это и есть уравнение искомой линии.
Но в таком виде трудно судить, какую линию представляет это урав-
нение, поэтому упростим его. Возведя обе части в квадрат и раскрыв
скобки, получим
4х2 - 24х + 36 + 4i/2- 32у + 64 - х2- 24х + 144 + у2 - 32у + 256,
или после несложных преобразований имеем равносильное уравнение
х2 + у2 « 100.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением (1), мы видим, что
искомая линия является окружностью радиуса 10 с центром в начале
координат.
§ 5. Построение линии по ее уравнению
Если переменные х и у связаны некоторым уравнением, то
множество точек М (х, у), координаты которых удовлетворяют
этому уравнению, представляет собой, вообще говоря, некото-
рую линию на плоскости (геометрический образ уравнения).
В частных случаях эта линия может вырождаться в одну или
несколько точек. Возможны также случаи, когда уравнению не
соответствует никакое множество точек.
Например, уравнению
(X - 1)2 + (у - 2)2 = О
соответствует единственная точка (1, 2), так как этому уравне-
нию удовлетворяет единственная пара значений: х = 1 и у = 2.
Уравнению
х2 4- у2 = -I
не соответствует никакое множество точек, так как этому урав-
нению нельзя удовлетворить никакими действительными значе-
ниями X и у.
Зная уравнение линии, можно по точкам построить эту линию.
21
Пример. Построить линию, выражаемую уравнением
у = хг	(1)
(обычно говорят короче: построить линию у = х2).
Давая абсциссе х в уравнении (1) числовые значения и вы-
числяя соответствующие значения ординаты у, получим следую-
щую таблицу:
X	...	-3	-2	-1	0	1	2	3	...
У	...	9	4	1	0	1	4	9	...
Нанося соответствующие точки на
плоскость, мы видим, что конфигурация
этих точек определяет начертание некото-
рой линии; при этом чем гуще построена
сеть точек, тем отчетливее выступает ее
контур. Соединяя построенные точки ли-
нией, характер которой учитывает поло-
жение промежуточных точек1*, мы и полу-
чаем линию, определяемую данным урав-
нением (1) (рис. 20). Эта линия называется
параболой.
§ 6. Некоторые элементарные задачи
Если известно уравнение линии, то легко могут быть решены
простейшие задачи, связанные с расположением этой линии на
плоскости.
Задача 1. Заданы уравнение линии К и координаты точки М
(а, Ь), Определить, лежит точка М на линии К или нет.
Иными словами, требуется узнать, проходит линия К через
точку М или не проходит.
На основании понятия уравнения линии получаем правило:
чтобы определить, лежит ли точка М на данной линии
К, нужно в уравнение этой линии подставить координаты
нашей точки. Если при этом уравнение удовлетворится (т. е.
в результате подстановки получится тождество), то точка ле-
Для того чтобы иметь возможность судить о положении промежу-
точных точек линии, мы должны предварительно изучить общие свой-
ства уравнения этой линии (подробнее см. в гл. XI).
22
жит на линии; в противном случае, если координаты точки
не удовлетворяют уравнению линии, данная точка не лежит
на линии.
В частном случае линия проходит через начало координат
тогда и только тогда, когда уравнение линии удовлетворяется
при х = 0 и у = 0.
Пример 1. Дана окружность
х2 + г/2 = 25.	(1)
Определить, лежат ли на ней точки М (-3, 4) и N (4, -2).
Подставляя координаты точки М в уравнение (1), получаем тожде-
ство
(-3)2+42 = 25.
Следовательно, точка М лежит на данной окружности.
Аналогично, подставляя координаты точки N в уравнение (1), будем
иметь
42 + (-2)2 * 25.
Следовательно, точка N не лежит на данной окружности.
Задача 2. Найти точку пересечения двух линий, заданных
своими уравнениями.
Точка пересечения одновременно находится как на первой
линии, так и на второй. Следовательно, координаты этой точки
удовлетворяют уравнениям обеих линий. Отсюда получаем
правило:
чтобы найти координаты точки пересечения двух линий,
достаточно совместно решить систему их уравнений.
Если эта система не имеет действительных решений, то ли-
нии не пересекаются.
Пример 2. Найти точки пересечения параболы у = х2 и прямой у 4.
Решая систему
У = х2,1
У = 4, J
получаем две точки пересечения: А (-2, 4) и В (2, 4).
Задача 3. Найти точки пересечения данной линии с осями ко-
ординат.
Эта задача является частным случаем задачи 2.
Учитывая, что уравнение оси Ох есть у = 0, получаем пра-
вило:	1
чтобы найти абсциссы точек пересечения данной линии с
осью Ох, в уравнении этой линии нужно положить у = 0 и
решить полученное уравнение относительно х.
23
Аналогично, так как уравнение оси Оу есть х = 0, то полу-
чаем правило:
чтобы найти ординаты точек пересечения данной линии
с осью Оу, нужно в уравнении этой линии положить х — 0 и
решить полученное уравнение относительно у.
Пример 3. Найти точки пересечения
окружности
х2 + у2 = 1	(2)
с осями координат.
Полагая у = 0 в уравнении (2), полу-
чаем х2 = 1, т. е. Xj = -1их2 = 1. Отсюда
находим две точки пересечения данной
окружности с осью Ох (рис. 21): А (-1, 0)
и В (1, 0).
Аналогично, полагая х « 0 в уравне-
нии (2), получаем у2 = 1, т. е. ух = -1 и
у2 = 1. Следовательно, имеются две точки
пересечения данной окружности с осью
Оу (рис. 21): С (0, -1) и D (0, 1).
§ 7. Две основные задачи аналитической геометрии
на плоскости
Резюмируя содержание этой главы, можно сказать, что вся-
кой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение меж-
ду текущими координатами (х, у) точки этой линии. Наоборот,
всякому уравнению между х и у, где х и у — координаты точки
на плоскости, соответствует, вообще говоря, некоторая линия,
свойства которой вполне определяются данным уравнением.
Отсюда, естественно, возникают две основные задачи анали-
тической геометрии на плоскости.
Задача 1 .Дана линия, рассматриваемая как множество то-
чек, Составить уравнение этой линии.
Задача 2. Дано уравнение некоторой линии. Изучить по это-
му уравнению ее геометрические свойства (форму и располо-
жение).
§ 8. Алгебраические линии
Определение. Линия называется линией (или кривой)
п-го поряд ка(п = 1, 2, ...), если она определяется уравнением
п-й степени относительно текущих прямоугольных коорди-
нат.
24
Такие линии называются алгебраическими. Например, ли-
нии
х 4- у - 1 = 0, х2 4- у2 = 1, х3 + у3 - Зху = О
являются кривыми соответственно первого, второго и третьего
порядков.
Общий вид кривых первого порядка есть
Ах + By 4- С = О,
где коэффициенты А и В не равны нулю одновременно, т. е.
А2+ В2 # 0. Как будет доказано ниже (см. тл. III), все кривые
первого порядка — прямые линии.
Общий вид кривых второго порядка следующий:
Ах2 4- Вху+ Су2 4- Dx 4- Еу 4- F = 0,
где коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно, т. е.
А2 + В2 4- С2 * 0.
Заметим, что не всякому уравнению второго порядка
соответствует действительная кривая. Например, уравнению
х2 4- 2ху 4- у2 4- 1 = 0 не отвечает никакая кривая на плоскости
Оху, так как, очевидно, нет действительных чисел х и у, удов-
летворяющих этому уравнению.
В следующих главах мы подробно изучим кривую первого
порядка (прямую линию) и рассмотрим важнейшие представи-
тели кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола,
парабола).
Уравнение кривой n-го порядка может быть записано в следующем
виде:
у, ap?x₽j/« = o,	(1)
м = о
p + q<n
где хотя бы один из старших коэффициентов ард9 т. е. таких, что
р 4- q = п, отличен от нуля (£ — знак суммирования).
Отметим важное свойство: порядок кривой (1) не зависит от
выбора прямоугольной системы координат.
Действительно, выбирая другую систему прямоугольных координат
О'х'у', на основании формул перехода (§ 2) имеем
х = ахх' + Ьху' + Ср I
у = а2х' + Ь2у' + с2,1	' '
где ai9 bi9 c^i = 1,2) — некоторые постоянные коэффициенты.
25
Отсюда уравнение кривой (1) в новых координатах О'х'у' будет
иметь вид
ap'q'Xp'Vq' = 0»	(3)
р', д' = О
Р' + д'< л'
где п' — порядок преобразованной кривой. Очевидно, что п' < п. Ана-
логично, исходя из уравнения (3) и совершая обратный переход от ко-
ординат х', у' к координатам х, у, получим уравнение (1), в котором
п < п'. Следовательно, п' = п.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Составить уравнение линии, точки которой отстоят от оси Ох в
два раза дальше, чем от оси Оу.
2.	Составить уравнение линии, точки которой равноотстоят от двух
данных точек: А (2, 1) и В (-3, 0).
3.	Какую кривую описывает центр масс треугольника АВС с двумя
неподвижными вершинами А (6, 0) и В (-6, 0), если третья вершина
С (х3, у3) описывает окружность х2 + у3 =36?
4.	Какие геометрические образы соответствуют уравнениям:
а) ху = 0;	б) х2 + у2 = 0; в) х2 - 1 = 0;
г) У2 - Зу + 2 = 0;	д) х2 - ху = 0?
5.	По точкам построить кривые, заданные уравнениями:
а) у = 2 - х; б) у = 2х - х2; в) у = ± 7100-х2; г) у = ± ~ 7100-х2 .
5
6.	Указать, какие из данных точек А (0, 0), В (1, 1), С (1, -1),
D (-1, -1), Е (1, 2) лежат на кривой у = х2 и какие не лежат на ней.
7.	Найти точки пересечения кривой р = 24-х-х2с осями координат.
8.	Найти точки пересечения окружности х2 + у2 = 8 и прямой
х - у = 0.
ГЛАВА III
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
§ 1.	Уравнение прямой
Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22).
Через произвольную точку Мо (х0, i/0) этой прямой (условно на-
зываемую «начальной точкой») проведем прямую Мох', парал-
лельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда
наименьший неотрицательный угол (р = ZQMox' (0 < ф < тс), обра-
зованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси Мох' или совпа-
дающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.
Очевидно, этот угол не за-
висит от выбора точки Мо. Ес-
ли прямая PQ пересекает ось
Ох в некоторой точке А (а, 0),
то ф есть обычный угол между
направленными прямыми.
Если PQ || Ох, то, очевидно,
Ф = 0. Начальная точка Мо
прямой и угол ф («направле-
ние прямой») однозначно оп-
ределяют положение этой
прямой на плоскости.
1)	Пусть сначала 0 <ф< л/2.
Тогда прямая PQ пересека-
ет ось Оу в некоторой точке
В (0, &), которую можно при-
нять за начальную.
Ордината у = NM текущей
точки М (х, у) прямой (рис. 23)
состоит из двух частей:
у = NC + СМ,	(1)
из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой ко-
эффициент tg ф = А, из рис. 23 будем иметь
NC = Ь и СМ = ВС tg ф = Ах	(2)
при х > 0.
Рис. 23
27
Таким образом,
у = Ь 4- kx
(3)
при х > 0.
Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой
также и при х < 0.
Мы доказали, что координаты любой точки М (х, у) прямой
PQ удовлетворяют уравнению (3). Легко убедиться в обратном:
если координаты какой-нибудь точки Мх (хх, ух) удовлетворяют
уравнению (3), то точка Мх	лежит на прямой
PQ. Следовательно, уравнение (3) представляет собой уравнение
прямой линии PQ (так называемое уравнение прямой с угловым
коэффициентом). Постоянные величины Ъ и k (параметры) име-
ют следующие значения: b = ОВ — начальный отрезок (точнее,
начальная ордината), k = tg ф — угловой коэффициент. Заме-
тим, что если точка В расположена выше оси Ох, то Ъ > 0, а если
ниже, то Ь < 0. При b = 0 прямая проходит через начало коор-
динат и уравнение такой прямой есть
У = kx.	(4)
При k = 0 получаем уравнение прямой, параллельной оси Ох:
У = Ъ.
2)	Если л/2 < ф < л, то с помощью аналогичных рассуждений
мы также приходим к уравнению (3).
3)	Если ф = л/2, т. е. прямая АВ перпендикулярна оси Ох, то
ее уравнение есть (см. гл. II)
х = а,	(5)
где а — абсцисса следа этой прямой на оси Ох (т. е. ее точки
пересечения с осью Ох).
Замечание. Как частные случаи получаем уравнения осей
координат:
у = 0 (ось Ох) и х = 0 (ось Оу).	(6)
Прямую легко построить по ее уравнению.
Пример. Построить прямую, заданную уравнением
Iх ~4-
Известно, что две точки вполне определяют положение прямой. По-
этому достаточно найти две точки, через которые проходит наша пря-
мая. В данном уравнении b = -4. Следовательно, прямая проходит через
точку В (0, -4). С другой стороны, координаты х и у любой точки,
лежащей на нашей прямой, связаны заданным уравнением. Поэтому,
28
задав абсциссу некоторой точки, лежащей на пря-
мой, мы из уравнения прямой найдем ее ординату.
Положим, например, х 2; из уравнения прямой
получим у = -1. Таким образом, наша прямая про-
ходит через точки А (2, -1) и В (0, -4). Построив
эти точки по их координатам и проведя через них
прямую (рис. 24), мы получим искомую прямую.
Из предыдущего видно, что для произволь-
ной прямой на плоскости можно составить ее
уравнение; обратно, зная уравнение некоторой
прямой, можно построить эту прямую. Таким
образом, уравнение прямой полностью харак-
теризует положение ее на плоскости.
Из формул (3) и (5) видно, что уравнение прямой есть урав-
нение первой степени относительно текущих координатх
и у. Справедливо и обратное утверждение.
ТЕОРЕМА. Всякое невырожденное уравнение первой степени
Ах + By + С - О (А2 + В2 * 0)
(7)
представляет собой уравнение некоторой прямой линии на
плоскости Оху (общее уравнение прямой линии), ,
Доказательство. 1) Пусть сначала В 0. Тогда уравнение (7)
можно представить в виде
!/ =
вх
С
В'
(8)
Сравнивая с (3), мы получим, что это есть уравнение прямой
с угловым коэффициентом k = -А/В и начальной ординатой
Ь = -С/В.
2) Пусть теперь В = 0; тогда А 0. Имеем Ах + С = 0 и
х = -С/А,	(9)
Уравнение (9) представляет собой уравнение прямой, параллель-
ной оси Оу и отсекающей на оси Ох отрезок a = ~С/А.
Так как все возможные случаи исчерпаны, то теорема дока-
зана.
§ 2. Угол между двумя прямыми
Рассмотрим две прямые (не параллельные оси Оу), заданные
их уравнениями с угловыми коэффициентами (рис. 25):
у = kx + Ъ, где k = tg ф,	(1)
и
у = k'x + Ъ', где k' = tg ф'.	(2)
29
Требуется определить угол 0 между ними. Точнее, под углом 0
мы будем понимать наименьший угол, отсчитываемый против
хода часовой стрелки, на который вторая прямая повернута
относительно первой (0 < 0 < л). Этот угол 0 (рис. 25) равен углу
АСВ треугольника АВС. Далее, из элементарной геометрии из-
вестно, что внешний угол треуголь-
ника равен сумме внутренних, с ним
не смежных. Поэтому ф' = ф + 0, или
0 = ф' - ф;
отсюда на основании известной фор-
мулы тригонометрии получаем
tg 0 = tg (<pz - Ф) =	•
1 + tg9 • tg ф
Заменяя tg ф и tg ф' соответствен-
но на k и Л', окончательно будем
иметь
Формула (3) дает выражение тангенса угла между двумя пря-
мыми через угловые коэффициенты этих прямых.
Выведем теперь условия параллельности и перпендикуляр-
ности двух прямых.
Если прямые (1) и (2) параллельны, то ф' = ф и, следовательно,
k' = k.	(4)
Обратно, если выполнено условие (4), то, учитывая, что ф' и ф
заключаются в пределах от 0 до л, получаем
Ф' = Ф,	(5)
и, следовательно, рассматриваемые прямые или параллельны,
или сливаются (параллельность в широком смысле).
Правило 1. Прямые на плоскости параллельны (в широком
смысле) тогда и только тогда, когда их угловые коэффициен-
ты равны между собой.
Если прямые перпендикулярны, то 0 = л/2 и, следовательно,
Ctg 0 = — = 1 + kk' = 0;
s tge k'-k
отсюда 1 4- kk' = 0 и
k' = -l/k.
Справедливо также и обратное утверждение.
(6)
30
Правило 2. Две прямые на плоскости перпендикулярны тог-
да и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны
по величине и противоположны по знаку1).
Пусть теперь уравнения прямых заданы в общем виде:
Ах + By 4- С = 0	(7)
и
А'х + В'у + С' = 0.	(8)
Отсюда, предполагая, что В 0 и В' # 0, получаем
у~-ъх-1>	i(7')
25	25
И
Следовательно, угловые коэффициенты этих прямых есть
* = (9)
D	25
Из формулы (3), производя несложные выкладки, находим тан-
генс угла между этими прямыми:
tg 0 = ^В'~А'В .	(10)
s АА+ВВ	v '
Отсюда получаем:
1) условие параллельности прямых (0 = 0)
2) условие перпендикулярности прямых (0 = п/2)
АА' + ВВ' = 0.	(12)
Отметим, в частности, что прямые
Ах + By + С = 0 и Вх - Ау + Сх= 0
взаимно перпендикулярны.
Для прямых, параллельных осям Ох и Оу, условно полагают 1 — °°
31
Пример. Определить угол между прямыми у — х и у = 1,001х + 10.
Здесь угловые коэффициенты прямых есть k « 1 и k' = 1,001.
По формуле (3) получаем
tg 0 = . 1,001-1 = О.О?1 ~ 0,0005 = —— .
6	1 + 1 1,001	2,001	’	2000
Так как для малых углов 0 справедливо приближенное равенство
0 ~ tg 0, то
9 « - — рад *= 1. • 57°18' = 3438_ « 17'.
2000 Р 2000	2000
§ 3. Уравнение прямой,
проходящей через данную точку
в данном направлении
Пусть прямая РМ образует угол ф с положительным направ-
лением оси Ох (рис. 26) и проходит через заданную точку
Р (*и У1)- Выведем уравнение этой прямой, предполагая снача-
ла, что прямая не параллельна оси Оу.
В этом случае, как мы видели, уравнение прямой имеет вид
у = kx + &,
(1)
где k = tg ф — угловой коэффициент прямой, а Ъ — длина от-
резка, отсекаемого нашей прямой на оси Оу. Так как точка
Р (xi> У1) лежит на прямой РМ, то ее координаты хг и уг должны
удовлетворять уравнению (1), т. е.
« b.
У1
Рис. 26
(2)
Вычитая из равенства (1) ра-
венство (2), получим
У - У1 = k (х - xj. (3)
Это и есть уравнение искомой
прямой.
Если прямая, проходящая че-
рез точку Р (х19 У}), параллельна
оси Оу, то ее уравнение, очевид-
но, будет
х = хг.	(4)
32
Если k — заданное число, то
уравнение (3) представляет впол-
не определенную прямую. Если
же k — переменный параметр, то
это уравнение определит пучок
прямых, проходящих через точку
Р (хх, уг) (рис. 27); при этом k на-
зывается параметром пучка.
Пример 1. Написать уравнение пря-
мой, проходящей через точку Р (3, 2) и
параллельной прямой:
Рис. 27
У = I X - 7.
О
Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то ее угловой
коэффициент k « 4/3. Следовательно, на основании формулы (3) урав-
нение этой прямой имеет вид у - 2 «
4
- (х - 3), или
о
у = ~ х - 2.
*	3
Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Р (4, 5) и перпендикулярной к прямой:
у--|х + 7.
Так как искомая прямая перпендикулярна прямой с угловым коэф-
фициентом k “2/3, то ее угловой коэффициент k' = -i/k « 3/2. Сле-
довательно, на основании формулы (3) уравнение этой прямой таково:
3
у - 5 = - (х “ 4), или окончательно
У	= | X ~ 1.
*	2
§ 4. Уравнение прямой, проходящей
через две данные точки
Известно, что через две не совпадающие между собой точки
можно провести прямую, и притом только одну. Отыщем урав-
нение прямой, проходящей через точки Р (хх, уг) и Q (х2, у2).
Предположим сначала, что * х2, т. е. прямая PQ не па-
раллельна оси Оу, Поскольку прямая PQ проходит через точку
Р (*р У1), то ее уравнение имеет вид (см. § 3)
У “ У1 = k(x “ xj,	(1)
2 Б. Демидович, В. Кудрявцев
33
где k — неизвестный нам угловой коэффициент этой прямой.
Однако так как наша прямая проходит также через точку
Q (х2> У 2) 9 то координаты х2 и у2 этой последней точки должны
удовлетворять уравнению (1). Отсюда
У2 - У1 = &(*2 - *1)
и, следовательно, при х2 хг имеем
(2)
Х2
Подставляя выражение (2) для углового коэффициента k в
уравнение (1), получим уравнение прямой PQ:
У " У1=	~ *1)-	(3)
Это уравнение при уг * у2 можно записать также в виде про-
порции:
х~х1 = У~У1 .
*2-*1	У2-У1’
Если Xi = х2, т. е. прямая, проходящая через точки Р (хп у^)
и Q (х2, у2), параллельна оси Оу, то уравнение этой прямой, оче-
видно, будет
х = хР
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точки
Р(4, -2) и Q(3, -1).
На основании уравнения (3) имеем
= JL±2 илиу = -х + 2.
3-4	-1 + 2	*
§ 5. Уравнение прямой в «отрезках»
Выведем теперь уравнение прямой, положение которой на
плоскости задано ненулевыми отрезками, отсекаемыми ею на
осях координат. Предположим, например, что прямая АВ отсе-
кает на оси Ох отрезок ОА = а, а на оси Оу — отрезок OB = b
(рис. 28), причем ясно, что тем самым положение прямой вполне
определено.
Для вывода уравнения прямой АВ заметим, что эта прямая
проходит через точки А (а, 0) и В (0, Ь); поэтому уравнение ее
34
легко получается из уравнения (3') (см. § 4), если положить в
нем хх = а, уг = 0 и х2 = 0, у2 = Ь. Имеем
х-а _ у -О
0-а	д-0
Отсюда
Ь а
и окончательно
* + (1)
а - о
Это и есть так называемое
уравнение прямой в «отрезках».
Здесь х и у, как обычно, — ко-
ординаты произвольной точки
М (х, г/), лежащей на прямой
АВ (рис. 28).
Рис. 28
Пример. Написать уравнение прямой АВ, отсекающей на оси Ох от-
резок ОА « 5, а на оси Оу отрезок ОВ == -4.
Полагая в уравнении (1) а = 5 и Ъ = -4, получим + У- = 1, или
5	-4
5	4
Примечание. Уравнение прямой, проходящей через начало коор-
динат или параллельной одной из осей координат, не может быть запи-
сано как уравнение прямой в «отрезках».
§ 6. Точка пересечения двух прямых
Пусть имеем две прямые
Ах + By + С = 0	(1)
и
А'х + В'у + С' = 0.	(2)
Точка пересечения этих прямых лежит как на первой пря-
мой, так и на второй. Поэтому координаты точки пересечения
Должны удовлетворять как уравнению первой, так и уравнению
второй прямой. Следовательно, для того чтобы найти коорди-
наты точки пересечения двух данных прямых, достаточно
решить совместно систему уравнений этих прямых.
35
Последовательно исключая из уравнений (1) и (2) неизвест-
ные у и х, будем иметь
(АВ' - А'В)х + (СВ' - С'В) = 0	(3)
и
(АВ' - А'В)у + (АС' - А'С) = 0.
(4)
Отсюда если АВ' - А'В 0, то для координат точки пересечения
прямых получаем такие выражения:
СВ'-С'В V = _AC'-A'C
АВ' -А'В ’ У	АВ' -А'В ’
(5)
или, введя определители второго порядка (см. гл. I, §5), имеем
С В
А С
х = -
С' В'
А В
А' В'
У = ~
\А' С'
А В
А' В'
(6)
Для прямых (1) и (2) возможны следующие три случая.
1)АВ' - А'В = 0, т. е.
А' * В'
АВ'
На основании § 2 прямые не параллельны. Координаты их
единственной точки пересечения определяются из формул (6).
2) АВ' - А'В = 0, СВ' - С'В * 0 или АС' - А'С == 0, т. е.
А' == в; с
А В С '
Прямые параллельны (см. § 2) и точки пересечения нет. Ана-
литически это видно из того, что по меньшей мере одно из урав-
нений (3) или (4) противоречиво и, значит, система (1) и (2) не-
совместна.
3) АВ' - А'В = 0, СВ' - С'В = 0, АС' - А'С = 0, т. е.
А' = В' _ С'
А В С'
Прямые (1) и (2) сливаются, и, таким образом, существует
бесчисленное множество точек пересечения. В этом случае левые
части уравнений (1) и (2) отличаются только на постоянный мно-
житель и, следовательно, система этих уравнений допускает бес-
конечно много решений.
36
Пример. Решая совместно систему уравнений прямых
Зх + 4г/ - 10 = 0,
2х + 5г/ - 9 = О,
получаем х = 2 и у = 1. Следовательно, эти прямые пересекаются в точке
N(2, 1).
§ 7.	Расстояние от точки до прямой
Рассмотрим прямую KL, заданную общим уравнением
Ах + By + С = 0,	(1)
и некоторую точку М (х19 г/г). Под расстоянием от точки М
до прямой KL понимается длина перпендикуляра d = MN
(MN ± KL), опущенного из точки М на прямую KL (рис. 29).
Уравнение перпендикуляра
(см. § 2)
В(х - хО -А(у- 1/0 = 0. (2)
Отсюда для основания перпен-
дикуляра N(x2, у2) будем иметь
В (х2 - хх) - А(у2 - I/O = 0 (3)
и, следовательно,
*2-*i = У2-У1 = х
А В ’	( '
MN можно записать в виде
где t — коэффициент пропорциональности. Поэтому
d = 7(x2-^i)2 + (!/2-!/i)2 = л/А2 + В2 |t|.	(5)
С другой стороны, учитывая, что точка N(x2, у2) лежит на
прямой KL, причем из (4) имеем х2 = хх + At, Уг = У1 +
получаем
Ах2 + Ву2 + С = А(хх + At) + В(у! + Bt) + С =
= (Ахх + Вуг + С) + t(A2 + В2) = 0.
Следовательно,
(в)
А2 + В2
Таким образом, в силу формулы (5) имеем
d, =	+ ^1	(7)
7а2+в2
37
В частности, полагая хх = 0, ух = 0, получаем расстояние от на-
чала координат до прямой
Та2 + в2 ’
(8)
Замечание. Разделив обе части уравнения прямой (1) на
<JA2 + B2 , получим уравнение
Ах + Ву + С = q
7а2 + в2
свободный член которого	численно равен расстоянию от
начала координат до прямой. Такое уравнение прямой будем на-
зывать нормированным.
Из формулы (7) получаем правило:
чтобы определить расстояние от точки до прямой, нужно
в левую часть нормированного уравнения этой прямой подста-
вить коордцнаты данной точки и взять модуль полученного
результата.
Пример. Определить расстояние от точки М (-2, 7) до прямой
24х + 7у - 2 = 0.
Нормируя уравнение этой прямой, будем иметь
?4* + 7^-2 = 0, или .24£+-7У-2 = о-
л/242 + 72	25
Отсюда искомое расстояние есть
d = |24-(-2) + 7-7-2| = J_ =0 4
25	25
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Построить прямые, заданные уравнениями:
а) у = 2х — 1; б) 2х - Зу ~ 6 = 0.
2.	Основания равнобедренной трапеции равны 10 и 6, а угол при
основании равен 60°. Написать уравнения сторон этой трапеции, приняв
за оси координат большее основание и ось симметрии трапеции.
3.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3, 4) и
составляющей угол в 45° с прямой у = 2х + 1.
38
4.	Написать уравнение прямой, параллельной прямым
Зх 4- 2у - 6 = 0, 6х + 4у - 3 = О
и проходящей на равных от них расстояниях.
5.	Дан отрезок АВ с концами А(-3, 2) и В(1, -1). Написать уравнение
прямой, соединяющей середину отрезка с началом координат.
6.	Дан треугольник АВС с вершинами А (4, 2), В (—2, 4) и С(-1, -4).
Написать уравнение медианы, проходящей через вершину С, и найти
ее длину.
7.	Дан треугольник АВС с вершинами А (5, 3), В(-3, 4) и С (-2, -5).
Написать уравнение высоты, проходящей через вершину В, и найти ее
длину.
8.	Дан треугольник АВС с вершинами А (6, 4), В (-3, 5), С(-2, -6).
Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно
медиане, проходящей через вершину В.
9.	Через точку (5, 2) провести прямую, отсекающую равные отрезки
на осях координат.
10.	В разрезе угольный пласт имеет толщину ух = 5 м при хг = 100 м;
у2 = 15 м при х2 = 200 м. Предполагая, что пласт имеет форму клина,
найти закон изменения толщины его у в зависимости от расстояния х.
Чему равна толщина при х = 300 м? В какой точке разреза толщина
пласта у = 10 м?
11.	Найти точку пересечения прямых:
а)	5х - 7у - 20 = 0 и 7х - 10г/ + 15 = 0;
б)	2х + Зу - 7 = 0 и 4х 4- бу 4- 11 — 0;
в)2х-г/ = 0их~ 0,5у = 0.
12.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересече-
ния прямых Зх 4- 4у - 7 = 0, 5х + Зу - 8 = 0 и через начало координат.
13.	Найти проекцию точки Af(l, 2) на прямую 5х 4- 2у 4- 20 = 0.
14.	Одна прямая проходит через начало координат и наклонена к
оси Ох под углом а; другая прямая проходит через точку А(а, 0) и на-
клонена к, оси Ох под углом (3(Р # а). Найти точку пересечения этих
прямых.
15.	Дан треугольник с вершинами А (-“2, 1), В (2, ~1), С (4, 3). Оп-
ределить координаты точки пересечения медиан этого треугольника.
16.	Стороны треугольника АВС имеют следующие уравнения:
х 4- 7у - 11 = 0 (АВ);
2х 4- у 4- 4 = 0 (ВС);
Зх - бу - 7 = 0 (СА).
Вычислить площадь треугольника АВС.
39
17.	Найти расстояния от точек О (0, 0), А (1, 2), В (-2, 1) до прямой
Зх - 4у + 10 « 0.
18.	Дан треугольник с вершинами А (1, 1), В (-2, 5) и С (-4, -3).
Найти высоту треугольника, опущенную из вершины С на сторону АВ.
19.	Найти длину отрезка, перпендикулярного прямым
Зх + 4у - 10 = 0 и Зх + 4у - 45 « 0
и заключенного между этими прямыми.
20.	Написать уравнения прямых, параллельных прямой
8х - бу 4- 5 = 0
и проходящих от нее на расстояниях, равных 2.
21.	Найти уравнения прямых, проходящих через начало координат
и отстоящих от точки А (2, 1) на расстоянии, равном 2/5.
ГЛАВА IV
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Окружность
Выведем уравнение окружности (рис. 30) с центром С (х0, у0)
и радиусом R. Для произвольной точки М(х, у) окружности вы-
полнено равенство
MC=R.
Отсюда, вспоминая формулу расстоя-
ния между двумя точками (гл. I, § 3),
имеем
7(х-«о)2 + (У-Уо)2 = R- (2)
Так как обе части равенства (2)
положительны, то, возводя в квад-
рат, получим равносильное уравне-
ние
(х - х0)2 + (у- Уо)2 = Я2.	(3)
Итак, координаты любой точки М (х, у) данной окружности
удовлетворяют уравнению (3). Справедливо также обратное ут-
верждение.
Таким образом, уравнение (3) представляет собой уравнение
окружности радиуса R с центром в точке С (х0, yQ). Это уравнение
назвают нормальным уравнением окружности.
В частности, полагая х0 = 0 и у0 = 0, получим уравнение ок-
ружности с центром в начале координат
х2 + у2 = R2.	(4)
Уравнение окружности (3) после несложных преобразований
можно привести к виду
х2 + у2 + ах + $у + у = 0,	(5)
где а = -2х0, Р - -2z/0, у = *о2 + Уо2 ~ R2-
41
Таким образом, окружность является кривой второго
порядка (см. гл. II, § 8).
Сравнивая уравнение (5) с общим уравнением кривой второго
порядка
Ах2 4- Вху 4- Су2 4- Dx + Еу + F = 0,	(6)
мы видим, что в (5) В = 0 и, кроме того, А = 1, С = 1, т. е. А = С.
Обратно, положим в (6) В = 0 и А = С Ф 0:
Ах2 4- Ay2 4- Dx 4- Еу + F = 0,	(7)
Деля уравнение (7) почленно на А Ф 0 и полагая
мы приходим к уравнению вида (5).
Уравнение (7) называется общим уравнением окружности.
Заметим, однако, что не всякое уравнение (7) является урав-
нением действительной окружности. Легко показать, что (7)
определяет действительную кривую (окружность) лишь при
0(2 * Р2 - у > 0, где а, Р, у выражаются равенствами (8).
4
Таким образом, действительная кривая второго порядка
является окружностью тогда и только тогда, когда: 1) коэф-
фициенты при квадратных текущих координат равны между
собой и 2) отсутствует член, содержащий произведение те-
кущих координат.
§ 2. Центральные кривые второго порядка
Рассмотрим уравнение второго порядка
Ах2 4- Су2 4- Dx 4- Еу 4- F = 0
(1)
(А * 0, С * 0) без члена с произведением координат х и у (В = О)1).
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных
квадратов, будем иметь
(2)
В нашем кратком курсе при рассмотрении общих уравнений
кривых второго порядка мы ограничимся лишь этим случаем.
42
Отсюда, полагая
получаем
х =-D
° 2А
D2
4А
_ __ Е
Уо 2С
4С
А(х ~ «о)2 + С(У - уо)2 = Д.
(3)
(4)
(5)
Точка О'(х0, у о) представляет собой центр симметрии кривой
(5) (центр кривой). Действительно, если точка Мх(хг, уг) лежит на
кривой (5), то симметричная ей относительно О' точка М2(х2, у2)>
где х2 = 2х0 ~ х19 у2 = 2z/0 - у19 очевидно, также лежит на кривой
(5) (рис. 31).
Параллельные осям ко-
ординат Ох и Оу прямые
у = yQ И X = xQ являются
осями симметрии кривой
(5) (оси кривой). Дейст-
вительно, если точка
М(х0, Уо ~ h) лежит на
кривой (5), то симметрич-
ная ей относительно прямой
У = Уо точка M'(xQ, yQ + h)
также лежит на этой
кривой. Аналогичным свойством обладает прямая х = х0.
В дальнейшем, для простоты исследования, будем предпола-
гать, что центр кривой находится в начале координат, т. е. х0 = О,
Уь = 0. Тогда уравнение кривой примет вид
Ах2 + Су2 = А.
(6)
Определение 1. Кривая второго порядка (6) называется
эллипсом (точнее, принадлежит эллиптическому
типу), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки,
т. е.
А • С > 0.
(7)
Для определенности будем полагать, что А > 0 и С > 0 (так
как в противном случае знаки членов уравнения (6) можно из-
менить на обратные).
и
43
Возможны три случая: 1) А > 0, 2) А = 0 и 3) А < 0.
В первом случае, А > 0, имеем действительный эллипс
= 1
«2 Ь2
где числа
а =
(8)
(9)
называются полуосями эллипса. Обычно полагают 0 < Ъ < а (это-
го всегда можно добиться путем надлежащего выбора осей Ох и
Оу). Уравнение (8) называется каноническим уравнением эллип-
са с полуосями а и Ъ (рис. 32). Точки А (а, 0), В (0, &), А' (-а, 0),
В' (О, -Ъ) называются вершинами эллипса, а отрезки А'А = 2а и
В'В = -2Ь — его осями. Отметим, что из уравнения (8) имеем
|х| < a, |i/| < b.
Заметим, что при а = Ъ получаем окружность
х2 + у2 = а2.
Во втором случае, А = 0, кривая (6) представляет собой точку
О (0, 0) (вырожденный эллипс).
Наконец, в третьем случае, А < 0, кривая (6) не имеет дейст-
вительных точек; ее условно называют мнимым эллипсом.
Определение 2. Кривая второго порядка (6) называется
гиперболой (точнее, кривой гиперболического ти-
па), если коэффициенты А и С имеют противоположные зна-
ки, т. е.
А С<0.	(10)
44
Положим, для определенности, А > 0, тогда С < 0. Возможны
три случая: 1) А > 0, 2) А = 0, 3) А < 0.
В первом случае, А > 0, имеем гиперболу с каноническим
уравнением
= 1
а2 62
(И)
где а = (действительная полуось) и & = (мнимая полу-
ось) (рис. 33). Точки А (а, 0) и А'(-а, 0) называются вершинами
гиперболы. Отметим, что |х| > а.
Во втором случае, А = 0, получаем пару пересекающихся пря-
мых (вырожденная гипербола)
(jAx - J-Cy)(jAx + J-Cy) = 0.
Наконец в третьем случае, А < 0, получим гиперболу
х2 _ у2
а'2	д'2
(12)
с полуосями а' = и b' =	. Если а' = ои У = 6, то гипербола
(12) называется сопряженной к гиперболе (11); ее вершины:
В (0,6) и В'(0, -Ь) (рис. 33).
Отрезок А'А = 2а называется действительной осью, а отре-
зок В'В = 26 — мнимой осью гиперболы (11).
Рис. 33
45
Пример. Определить вид и расположение кривой
х2 + 2у2 - 2х + Зу « 0.	(13)
Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квад-
ратов, будем иметь
Следовательно, кривая (13) представляет собой эллипс с полуосями
« 1,03, центр которого находится в точке
и
а
§ 3. Фокальные свойства центральных кривых
второго порядка
Точки F (с, 0) и F' (~с, 0), где
с = 7«2 т&2,	(1)
называются фокусами, соответственно, эллипса, заданного ка-
ноническим уравнением (8), рис. 32 (знак -), и гиперболы, за-
данной каноническим уравнением (11), рис. 33 (знак +).
Отношение
г=-	(2)
а
называется эксцентриситетом центральной кривой второго по-
рядка.
Из формулы (1) имеем: для эллипса 0 < е < 1, для гиперболы
1< е < 4-00. Заметим, что для окружности £ = 0.
Пусть г = MF и г' = MF' — расстояния от точки М цент-
ральной кривой второго порядка до ее фокусов (так называемые
фокальные радиусы точки М). Имеем
г' * 7(х - с)2 + у2	(3)
и
г' = 7(х + с)2 + у2.	(4)
46
Так как
£2 + L2 =1
а2 ” Ь2
где знак плюс соответствует эллипсу, знак минус — гипербо-
ле, то
и, следовательно, с учетом (1) получаем
г= х2-2сх + с2±Ь2(1-~] = (1 т ^-)х2 - 2сх + (с2 ± Ь2) =
\	к а) а2)
~ 1~х2 - 2сх + а2 = I- х - al = lex - а|	(5)
уа2	а
и, аналогично,
г' = ^х2 + 2сх + с2±Ь2^1-^ =|ех + а|.	(6)
Если кривая — эллипс, то 0 < е < 1, |х| < а, и поэтому
г = а - ex, г' = а + ех;
отсюда
г + г' = 2а,	(7)
причем для любых г и г', удовлетворяющих равенству (7), су-
ществует точка данного эллипса.
Таким образом, для любой точки эллипса сумма ее фокаль-
ных радиусов есть величина постоянная (характеристи-
ческое свойство эллипса). Это свойство часто принима-
ют за определение эллипса.
Для гиперболы имеем е > 1, |х| > а. Поэтому
г = ±(ех - а), г' = ±(ех 4- а),
где знак плюс соответствует правой ветви гиперболы (х > 0), а
знак минус — левой ветви (х < 0). Отсюда
г'-г=±2а.	(8)
Итак, для любой точки гиперболы модуль разности ее фо-
кальных радиусов есть величина постоянная (характерис-
тическое свойство гиперболы).
47
§ 4. Эллипс
как равномерная деформация окружности
Рассмотрим окружность радиуса а. Выберем некоторую пря-
моугольную систему координат Оху, начало которой, для про-
стоты, поместим в центре окружности 0(0, 0). Текущие коорди-
наты точки окружности М, для удобства дальнейших рассужде-
ний, обозначим через X и Y. В таком случае уравнение окруж-
ности будет иметь вид (см. § 1)
X2 + Y2 = а2.	(1)
Произведем равномерную деформацию окружности (1) в на-
правлении одного из ее диаметров, который, без нарушения
общности рассуждения, можно считать вертикальным, т. е. на-
правленным по оси Оу. Пусть k — коэффициент деформации
окружности в выбранном направлении, т. е. k есть отношение
длины преобразованного вертикального отрезка к его первона-
чальной длине. Заметим, что при 0 < k < 1 мы имеем равно-
мерное сжатие, а при k > 1 — равномерное растяжение окруж-
ности.
Предположим, что при нашей деформации точка окружнос-
ти М(X, Y) переходит в некоторую точку М'(х, у) преобразован-
ной кривой (рис. 35). Так как точки М и М' лежат на одной и
той же вертикали, то имеем
х = X, у = kY.	(2)
Рис. 35
48
Отсюда при k # О1) получим
Х = х, У=£.	(3)
К
Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим х2 +	=
= а2, или
+ g = 1,	(4)
а2 b2
где Ъ = fee, т. е. преобразованная точка М'(х, у) расположена на
эллипсе с полуосями а и Ь.
Обратно, если точка М'(х, у) принадлежит эллипсу (4), то соот-
ветствующая ей в силу (2) точка М(Х, У) лежит на окружности (1).
Таким образом, результат равномерной деформации окруж-
ности вдоль одного из ее диаметров представляет собой эллипс.
§ 5. Асимптоты гиперболы
Рассмотрим гиперболу (см. рис. 33)
Решая уравнение (1) относительно у, получаем
у = ± - л/х2 - а2 ,	(2)
а
или
(3)
I I	/ д 2
Если |х| неограниченно возрастает, то 11 - - = 1 и, следователь-
но, в некотором смысле, имеет место приближенное равенство
у~+-х.
а
Покажем, что ветви гиперболы (1) сколь угодно близко под-
ходят к прямым (см. рис. 33)
у = +-х,	(4)
а
В случае k « 0 при деформации окружности получаем отрезок
-а < х < а, у =» 0, который можно рассматривать как вырожденный эл-
липс.
49
носящим название асимптот гиперболы. Действительно, напри-
мер, при х > 0 возьмем в формулах (2) и (4) знаки плюс. Рас-
смотрим соответствующие точки М (х, у) гиперболы (2) и
N (х, У) прямой (4), имеющие одну и ту же абсциссу х. Тогда
Y - у = -х- -7х2-а2 =
а а
_ _ • (х ~	~ fl2)(x + 7*2 ~ °2) = а& , Q
а	х + Jx2 - а2	х + Jx2 - а2
при х -♦ + °°.
Аналогично рассматриваются еще три случая: знаки минус
в (2) и в (4) при х -* +оо; в (2) знак плюс, в (4) минус при х -* -оо
и, наконец, в (2) минус, в (4) плюс при х -» -оо.
Заметим, что сопряженная гипербола
как нетрудно проверить, имеет общие асимптоты с гипербо-
лой (1).
Для равнобочной гиперболы (а = Ь)
х2 - у2 = а2
ее асимптоты у — ±х взаимно перпендикулярны.
§ 6. График обратной пропорциональности
Рассмотрим кривую (рис. 36)
ху = а2 (а> 0).
(1)
Выбирая за новые оси коор-
динат Ох' и Оу' биссектрисы
координатных углов и учиты-
вая, что угол поворота а =
п
будем иметь (см. гл. I, § 2)
х = х' cos ? - у' sin 5 = Х..У ,
4	4	л
у = х sm ~ + у cos ~	•
4	4	л
50
Отсюда на основании (1) получаем
Х'2-У'г
—2~ а ’
т. е.
х'2 - у'2 = 2а2.	(2)
Таким образом, графиком обратной пропорциональности (1)
является равнобочная гипербола.
§ 7. Нецентральные кривые второго порядка
Кривая второго порядка называется нецентральной, если
она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно
много центров симметрии (т. е. не имеет единственного центра).
Рассмотрим кривую второго порядка
Ах2 + Су2 + Dx + Еу 4- F = 0,	(1)
где А • С = 0 иА2+С2 * 0. Для определенности будем считать, что
А = 0, С * 0.	(2)
Кроме того, предположим, что D # 0, в противном случае мы бы
имели пару параллельных прямых.
Дополняя в уравнении (1) члены с у до полного квадрата, бу-
дем иметь
с( у +	= -Dx -F +
I* 2CJ	4С
или, полагая
*о = -Б+4^ = -Й’^ = -£’	(3>
получим
(у - Уо)2 = 2р(х - *о)-	(4)
Кривая (4) называется параболой
(рис. 37); точка О' (х0, i/0) носит на-
звание вершины параболы, а число
р называется параметром парабо-
лы. Легко убедиться, что прямая
у = yQ является осью симметрии
параболы (ось параболы); центра
симметрии парабола (4) не имеет.
51
Если вершина параболы находится в начале координат, а ее
осью является ось Ох, то мы получаем так называемое канони-
ческое уравнение параболы
у2 = 2рх,
(5)
причем параметр р здесь обычно считается положительным (это-
го можно добиться, выбирая надлежащее направление оси Ох;
рис. 38, а).
Заметим, что если поменять ролями оси Ох и Оу, то канониче-
ское уравнение параболы примет вид
х2 = 2ру.
(6)
Это уравнение параболы с вертикальной осью (рис. 38, б).
§ 8. Фокальное свойство параболы
Рассмотрим параболу (рис. 38, а)
у2 = 2рх (р > 0).
(1)
Точка F (д.О) называется ее фокусом, а прямая х = -£ — ди-
\ / £
ректрисой.
б)
52
Для точки М(х, у) ее фокальный радиус г = MF равен
I/	2	I	2	/г»2
г =	“ 2) +у2 = Jx2-px+^ + 2px = 1х2+рх+^ = хЧ-£ . (2)
Далее, расстояние от этой точки до директрисы равно
MN = х + £ = г.
2
Таким образом, парабола представляет собой множество
всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фо-
куса) и от данной прямой (директрисы). Это характе-
ристическое свойство параболы.
Пример. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы
параболы у = х2.
Сравнивая это уравнение с уравнением (6), получим 2р == 1; отсюда
р = 1/2. Следовательно, фокус параболы имеет координаты (0, 1/4), а
уравнение директрисы есть у = -1/4.
§ 9. График квадратного трехчлена
Рассмотрим квадратный трехчлен
у = Ах2 + Вх + С (А * 0).
Отсюда
а( х2 + - х + ?
(1)
(2)
Дополняя выражение, стоящее в скобках, до полного квадрата,
получим
2
ИЛИ
4АС-В2
У 4А
ву
2AJ
(3)
Если положить
„	В „ = 4Л.С-В2
Х°	2А' Уо 4А
то из формулы (3) получим
У - Уо = А(х - х0)2.
(4)
(5)
53
Делая параллельный пе-
ренос системы координат
х' = х - х0, у' = у - 1/о,
окончательно будем иметь
у' = Ах'2.	(6)
Уравнение (6) (см. § 7, фор-
мула (6)) представляет собой
каноническое уравнение па-
раболы с вертикальной осью,
вершина которой находится
в точке O'(xQ, yQ) и параметр
р =	. Таким образом, гра-
фик квадратного трехчле-
на является параболой с вершиной в точке О'(х0, у0)> ось ко~
торой параллельна оси Оу (парабола со смещенной вер-
тикальной осью; рис. 39).
Заметим, что абсциссы хг и х2 точек пересечения параболы
(1) с осью Ох являются корнями квадратного уравнения
Ах2 4- Вх + С = 0.
(7)
На этом свойстве основан графический способ решения квадрат-
ного уравнения (7).
Пример. Привести уравнение у = х2 - 4х + 3 к каноническому виду
и построить соответствующую параболу.
Перенося свободный член в
левую часть уравнения и допол-
няя правую часть до полного
квадрата, будем иметь у - 3 + 4 =
— х2 - 4х 4- 4, или
у+1=(х- 2)2.
Полагая х - 2 = х', у 4-1 = у',
получим
у' = х'2.
Таким образом, заданное
уравнение есть уравнение парабо-
лы с вершиной в точке О'(2, -1)
и осью симметрии О'у', парал-
лельной оси Оу (рис. 40).
54
УПРАЖНЕНИЯ
1.	а) Найти координаты центра С и радиус R окружности
х2 + у2 + 8х - 9 = 0.
б)	Написать уравнение окружности с центром С (1, 0), проходящей
через начало координат.
в)	Написать уравнение окружности с центром С (1/2, 1/2), касаю-
щейся осей координат.
г)	Написать уравнение окружности, диаметром которой служит от-
резок с концами А (-1, 2) и В (5, 6).
2.	Написать уравнение прямой, проходящей через центры окруж-
ностей:
х2 + у2 - 6х - 8у - 3 « 0 и х2 + у2 + х - Зу - 1 » 0.
Определить расстояние между центрами этих окружностей.
3.	Найти уравнение общей хорды окружностей:
х2 + у2 - 4х - 2у - 13 = 0 и х2 + у2 - 2х - 4у - 15 = 0.
4.	Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса
х2 + 2у2 = 8.
Построить этот эллипс.
5.	а) Написать каноническое уравнение эллипса, длина малой оси
которого равна 6, а фокусное расстояние равно 8.
б)	Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что
расстояние между концами большой и малой оси равно 5, а сумма длин
полуосей равна 7.
в)	Написать каноническое уравнение эллипса, если расстояния от
его фокуса до концов большой оси равны 2 и 18.
6.	Найти длину диаметра1) эллипса 5х2 + 7 у2 = 24, делящего угол
между осями координат пополам.
7.	а) Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гипер-
болы
9х2 - 16у2 = 36.
б) Написать каноническое уравнение гиперболы, если длина дейст-
вительной оси равна 8, а расстояние между фокусами равно 10. Постро-
ить эти гиперболы.
8.	Найти длину диаметра эллипса	»1, перпендикулярного
*	х2
асимптоте гиперболы —
- Е?
9
= 1, проходящей в I и III квадрантах.
у2 jj2
9.	Найти эксцентриситет гиперболы — -
ней гиперболы.
== 1 и сопряженной с
То есть хорды, проходящей через центр эллипса.
55
х2 и2
10.	Найти расстояние между фокусом Fx гиперболы	= 1 и
9	16
фокусом F2 сопряженной с ней гиперболы.
11.	Найти уравнения прямых, каждая из которых проходит через
х2 и2
фокус гиперболы — -	= 1 и фокус сопряженной с ней гиперболы.
36	64
12.	Асимптоты гиперболы имеют уравнения у = -х и у =
3	3
Найти эксцентриситет гиперболы, если действительная ось ее совпадает
с осью Ох.
13.	Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние
от фокуса до директрисы равно 10.
14.	Определить координаты фокуса и уравнение директрисы пара-
болы у = 0,25х2.
15.	Поперечный разрез зеркала прожектора имеет форму параболы.
Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 60 см, а глубина
30 см.
16.	Дана парабола у2 « 12х. Найти длину ее хорды, проходящей
через точку М(8, 0) и наклоненной к оси параболы под углом 60°.
17.	Написать уравнение линии, точки которой равноотстоят от точ-
ки А (0, 2) и оси Ох.
18.	Привести уравнение параболы у = 2х2 - Зх + 5 к каноническому
виду и определить координаты ее вершины.
19.	Привести уравнение параболы у = -3 + 4х ~ х2 к каноническому
виду и определить координаты ее вершины.
20.	Привести уравнение параболы х = у2- у + 2к каноническому
виду и определить координаты ее вершины.
21.	Арка железнодорожного моста, пролет которого I = 60 м и высота
h = 12 м, имеет форму параболы. Определить высоту hx боковых стоек
арки, нахддящихся на расстоянии 15 м от его концов.
ГЛАВА V
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
§ 1.	Полярные координаты
Основная идея метода координат состоит в том, что положе-
ние точки на плоскости однозначно определяется с помощью
двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает
ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямо-
угольной системы, исключительно употреблявшейся нами до
сих пор, является полярная система координат^ к рассмотре-
нию которой мы и переходим.
Возьмем на плоскости точку О,
которую назовем полюсом, Прове-
дем из полюса О направленную по-
лупрямую Ох, называемую поляр-	____________
ной осью (рис. 41).	о	х
Пусть М — произвольная точка
плоскости. Соединим точку М с по-	Рис. 41
люсом О отрезком ОМ. Длина от-
резка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол
Ф = ZxOM, отсчитываемый от полярной оси к отрезку ОМ про-
тив движения часовой стрелки, — полярным углом. Полярный
радиус р и полярный угол ф и составляют полярные координаты
точки М,
Точка М с полярными координатами риф записывается сле-
дующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится по-
лярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.
Что касается значений, принимаемых полярными координа-
тами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до
+ оо (0 < р < +оо) и значения ф от 0 до 2л (0 < ф < 2л), при этом,
как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси про-
тив хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах прихо-
дится рассматривать углы, большие 2л, а также отрицательные
углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направле-
нию движения часовой стрелки.
57
§ 2.	Связь между прямоугольными
и полярными координатами
Рассмотрим переход от полярных координат к прямоуголь-
ным и обратно.
Предположим, что полюс полярной системы совпадает с на-
чалом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось
является положительной полуосью Ох (рис. 42). Тогда для про-
извольной точки М имеем
ОА = х, AM = у, ОМ = р, А АОМ = ф.
Считая угол ф острым, из прямо-
угольного треугольника АОМ нахо-
дим
ОА = ОМ cos ф, AM = ОМ sin ф,
или
х = р cos ф, у = р sin ф.
Полученные формулы справедливы
для любого угла ф. Так выражаются
прямоугольные координаты точки М через ее полярные коорди-
наты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ по-
лучаем
ОМ = 7ОА2 +АМ2, *£ф =
ОА
или
р = Jx2 + y2, tg ф = “ .
Так выражаются полярные координаты точки через ее прямо-
угольные координаты.
Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нуж-
но учитывать знаки координат хи у.
Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью
уравнений, связывающих их текущие прямоугольные коорди-
наты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут
определяться и уравнениями относительно полярных коорди-
нат.
58
Пример. Рассмотрим кривую р = а<р, где а — некоторое поло-
жительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда.
Для ее построения составляем таблицу соответственных значе-
соединяем их линией, уточняя, если в
этом есть необходимость, положение
промежуточных точек (рис. 43).
§ 3.	Параметрические уравнения линии
Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связываю-
щего прямоугольные координаты х и у, рассматривать так на-
зываемые параметрические уравнения линии, дающие выраже-
ния текущих координат х и у в виде функций от некоторой пе-
ременной величины t (параметра). Параметрические уравнения
играют важную роль, например, в механике, где координаты х
и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции
времени (уравнения движения).
Пример 1. Выведем параметрические уравнения окружности.
Пусть М(х9 у) — произвольная точка окружности радиуса R
с центром в начале координат (рис. 44).
В определяемом ею прямоугольном
треугольнике АОМ обозначим угол
хОМ через t. Тогда, очевидно, будут
иметь место равенства
ОА = ОМ cos t, AM = ОМ sin t,
или
х = R cos t, у = R sin t. (1)
Это и есть параметрические урав-
нения окружности.	Рис. 44
59
Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно иск-
лючить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат
и складываем их:
х2 + у2 = 2?2(cos21 + sin21) = R2.
Пример 2. Выведем параметрические уравнения эллипса.
Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равно-
мерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность ради-
уса а, где коэффициент сжатия k = b/a (см. гл. IV, § 4). Пусть
М (х, у) —- точка эллипса, V (X, У) — соответствующая точка
окружности (рис. 45), где
х = X, у
Рис. 45
= -Y.	(2)
а
За параметр t примем угол,
образованный радиусом ON
окружности с положитель-
ным направлением оси Ох:
t = Z-NOx. Используя форму-
лы (2), имеем
х = X = a cos t,
у = - У = - • a sin t = b sin t.
a a
Таким образом, парамет-
рические уравнения эллипса с
полуосями а и Ь есть
х = a cos t, у = b sin t. (3)
Исключив из уравнений (3) параметр t, получим каноническое
уравнение эллипса
+ у! = 1
ь2
Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам
построить ее.
Пример. Построить кривую
х = t2, у « 2t	(4)
60
Составляем таблицу значений:
t	...	-2	-1	0	1	2	...
X	...	4	1	0	1	4	...
У	...	-4	-2	0	2	4	...
Нанося точки с соответствующими коорди-
натами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их
линией, получим искомую кривую (рис. 46).
Эта кривая— парабола. В самом деле,
исключив параметр t из уравнений (4), получим
У2 - 4х,
т. е. каноническое уравнение параболы.
§ 4. Параметрические уравнения циклоиды
Определение. Циклоидой называется кривая, описывае-
мая точкой окружности, катящейся без скольжения по пря-
мой линии (рис. 47).
Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв
прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся ок-
ружности равен айв начальном положении движущаяся
точка М совпадает с началом координат. За параметр t при-
мем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС ок-
ружности относительно вертикального радиуса КС, где К —
точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как ка-
чение окружности происходит без скольжения, то, очевидно,
имеем
ОК = МК = at.
Рис. 47
61
Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М
циклоиды получаем следующие выражения:
х = OP = ОК - РК = ОК - МQ =
= at - a sin t = a(t - sin £)
и
у = PM = КС - QC = а - a cos t = а(1 - cos t).
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть
х = a(t - sin t), у = a(l- cos £).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Построить точки по их полярным координатам: А (5, 0), В (2, тг/4),
С (3, л/2), D (1, л), Е (2, 571/3).
2.	Какие прямоугольные координаты имеют точки, заданные
своими полярными координатами: А (5, 0), В (6; тг/4), С (2, л/2),
D (4, 5тс/4)?
3.	Построить по точкам логарифмическую спираль р = 2Ф/Л.
4.	Написать в полярных координатах уравнения следующих линий:
а)	х = 1;	г) у = 2х;
б)	у = -2;	д) х + у = 72 ;
в)	у « х;г) у = 2х;	е) х2 + у2 = 25.
5.	Написать уравнение прямой х cos а + у sin а - р = 0 в полярных
координатах.
6.	Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид р = a cos ф.
Написать уравнение этой кривой в прямоугольных координатах и вы-
яснить, что это за кривая.
7.	Линия в полярных координатах задана уравнением р = у—.
Написать уравнение этой линии в прямоугольных координатах.
8.	Линия задана параметрическими уравнениями
х = a sin t, у « b cos t.
Найти ее уравнение в прямоугольных координатах.
62
9.	Линия задана параметрическими уравнениями
х = 2 Ге +	, у =
21 t) *
Найти ее уравнение в прямоугольных координатах.
10.	Линия задана параметрическими уравнениями
х = t2, у = 4t.
Найти ее уравнение в прямоугольных координатах.
11.	Точка движется в плоскости Оху, занимая в момент времени t,
отсчитанный от начального момента £ = О, положение М (200 -1, 100 ~ t).
В какой момент времени точка достигнет прямой 8х - 6z/ + 10 = 0 и
каковы ее координаты в этот момент?
ГЛАВА VI
ФУНКЦИЯ
§ 1. Величины постоянные и переменные
При изучении закономерностей, встречающихся в природе,
все время приходится иметь дело с величинами постоян ны-
ми и переменными.
Опрелеление. Постоянной величиной называется
величина, сохраняющая одно и то же значение (или вообще,
или в данном процессе; в последнем случае постоянная вели-
чина называется параметром).
Переменной величиной называется величина, ко-
торая может принимать различные числовые значения.
Приведем примеры переменных и постоянных величин.
Пример 1. Диаметр и длина окружности, в зависимости от обсто-
ятельств, могут принимать различные значения и, следовательно, во-
обще говоря, являются величинами переменными, в то время как отно-
шение длины окружности к ее диаметру сохраняет всегда одно и то же
значение и, следовательно, есть величина постоянная, называемая чис-
лом я (я = 3,14159 ...).
Пример 2. Объем V и давление р определенной массы газа являются
величинами переменными; однако, как известно из курса физики, про-
изведение Vp при неизменной температуре есть величина постоянная.
При изменении же температуры произведение Vp, вообще говоря, ме-
няется.
Заметим, что во многих вопросах ради общности формулиро-
вок удобно бывает рассматривать постоянную величину как пе-
ременную, принимающую одно и то же значение.
§ 2. Понятие функции
Изучая какое-нибудь явление, мы обычно имеем дело с сово-
купностью переменных величин, которые связаны между собой
так, что значения одних величин (независимые переменные)
полностью определяют значения других (зависимые перемен-
ные, или функции).
64
Например, изучая газ, мы интересуемся его объемом V, тем-
пературой t, давлением р. Согласно закону Менделеева—Клапей-
рона, зная объем и температуру газа, мы можем однозначно оп-
ределить его давление; следовательно, величины Vnt можно рас-
сматривать как независимые переменные, ар — как зависимую
(функцию).
Дадим теперь определение понятия функции, являю-
щегося центральным понятием высшей математики, причем
вначале ограничимся случаем двух переменных величин.
Определение 1. Переменная величина у называется функ-
цией (однозначной) от переменной величины х, если они свя-
заны между собой так, что каждому рассматриваемому зна-
чению величины х (допустимые значения) соответствует
единственное вполне определенное значение1^ величины у.
Это определение впервые в общих чертах было сформулиро-
вано Н. И. Лобачевским.
Переменная х называется при этом аргументом или незави-
симой переменной, у иногда называют зависимой переменной.
Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в
функциональной зависимости.
Совокупность всех значений независимой переменной х, для
которых функция у определена, называется областью определе-
ния или областью существования этой функции.
Наиболее часто область определения функции представляет
собой или интервал (а, Ъ) (рис. 48, а), т. е. совокупность всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству
а < х < b
(подчеркнем, что здесь значения х = а и х = Ъ исключаются!),
или отрезок (сегмент) [а, Ь] (рис. 48, б), т. е. совокупность всех
чисел х, удовлетворяющих неравенству
а < х < Ъ
(здесь значения х = а и х = Ъ включаются!). В некоторых случаях
0) ---о о -----------о -о	>
О a	b	X
Рис. 48
Во всем дальнейшем изложении мы будем предполагать, если не
оговорено противное, что величины и числа, которые мы рассматрива-
ем, принимают только действительные значения.
3 Б. Демидович, В. Кудрявцев
65
областью определения функции является полуинтервал, закры-
тый слева, [а, Ь), или закрытый справа, (а, Ь], т. е. множество
чисел х, определяемых условиями а < х < b или соответственно
а < х < Ь. Множество точек, представляющее собой или интервал,
или отрезок, или полуинтервал, будем называть промежутком
и обозначать через <а, Ь>.
Рассматриваются также бесконечные интервалы: (-оо, а) =
== {х|х < а}, т. е. множество всех чисел, меньших а; (&, +°о) =
= {х| х > Ь}, т. е. множество всех чисел, больших b; (~°°, +°°) —
множество всех действительных чисел (см. гл. VII, § 1). Анало-
гичный смысл имеют промежутки [-°°, а] и [Ь, +<»).
Тот факт, что у есть функция от х, сокращенно обозначают
так:
У = Лх),	(1)
где символ f называется характеристикой функции. Для обо-
значения функциональной зависимости (1) вместо буквы f мож-
но употреблять любую другую букву (например, g, й, F, ф и т. д.),
причем понятно, что различные функции должны обозначаться
в одном и том же вопросе различными буквами.
Частное значение функции f(x) при х = а записывается так:
Да). Например, если
f(x) - х(1 - х),
то /(0) = 0, /(1) = 0, /(2)= -2 и т. п.
Приведем несколько примеров, поясняющих понятие функ-
ции.
Пример 1. Из формулы площади круга
S-nR2
следует, что каждому допустимому (т. е. положительному) значению ра-
диуса R соответствует определенное значение площади S. Следователь-
но, S есть функция от R, определенная в бесконечном интервале:
0 < R < +°°.
Пример 2. Согласно закону Бойля—Мариотта при постоянной тем-
пературе имеем Vp == С, где V — объем газа, р — его давление, С —
некоторая постоянная величина. Отсюда
V=
р
Следовательно, каждому значению давленияр соответствует определен-
ный объем газа V, Можно сказать, что объем газа V есть функция дав-
ления р. Из физических соображений вытекает, что область определе-
ния этой функции есть бесконечный интервал:
0 < р < +°°.
66
Пример 3. Найти область определения функции
у = л/4 - X2.	(2)
Эта функция имеет смысл, если 4 - х2 > 0. Отсюда х2 < 4, или |х| < 2.
Следовательно, область определения функции есть отрезок
-2 < х < 2.
Чтобы более наглядно представить поведение функции, стро-
ят график функции, рассматривая независимую переменную х
и функцию у как прямоугольные координаты некоторой точки
М на плоскости Оху.
Определение 2. Графиком функции у = /(х) называется
множество всех точек М(х, у) плоскости Оху, координаты
которых связаны данной функциональной зависимостью.
Иначе говоря, график функции — это линия, уравнением ко-
торой служит равенство, определяющее функцию.
Например, для функции (2) имеем
х2 + у2 = 4, у > 0,
графиком, очевидно, является верхняя полуокружность радиуса
R = 2 с центром в начале координат (рис. 49). Из рис. 49 стано-
вится ясным, что область определения функции представляет со-
бой отрезок [-2, 2].
Отметим, что, построив график функции у = f(x), мы можем
приближенно определить корни уравнения
f(x) = 0
как абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.
Если каждому значению переменной х соответствует одно
значение переменной у, то у называется однозначной функцией
от х; если же хотя бы некоторым значениям переменной х соот-
-2	0	2 х
Рис. 49
67
ветствует несколько (два, три и т. д.) или бесконечное множество
значений переменной г/, то у называется многозначной (двузнач-
ной, трехзначной и т. д.) функцией от х.
Например, у = х2 есть однозначная функция от х. Также
у = sin х есть однозначная функция от х. Функция у = +*[х есть
двузначная функция от х; у = Arcsinx есть многозначная (бес-
конечнозначная) функция от х.
В дальнейшем под словом «функция» мы будем понимать од-
нозначную функцию, если явно не оговорено противное.
§ 3. Простейшие функциональные зависимости
1.	ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Определение. Две переменные величины называются
прямо пропорциональными, если при изменении одной
из них в некотором отношении другая изменяется в том же
отношении.
Примерами прямо пропорциональных величин служат: дли-
на окружности и ее радиус; путь, пройденный при равномерном
движении, и протекшее время; линейное растяжение упругого
стержня и нагрузка, и многие другие.
Пусть х и у — прямо про-
порциональные величины, и
пусть при х = 1 величина у
принимает значение, равное k.
В силу определения имеем
5 = К; отсюда
1 k
У = kx,	(1)
где постоянная величина k носит название коэффициента про-
порциональности. Функция (1) называется однородной линей-
ной функцией; ее графиком является прямая, проходящая через
начало координат, с угловым коэффициентом k (рис. 50).
2.	ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Определение. Две переменные величины х и у связаны
линейной зависимостью, если
У = Уо + kx,	(2)
где k и yQ — некоторые постоянные величины.
68
Функция (2) называется
линейной; ее график есть пря-
мая (рис. 51) с начальным от-
резком i/o и угловым коэффи-
циентом k.
Примерами величин, нахо-
дящихся в линейной зависи-
мости, являются: расстояние
прямолинейно равномерно
движущейся точки от начала
отсчета и время; длина стерж-
ня и температура его, и т. д.
Рис. 51
3.	ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Определение. Две переменные величины называются
обратно пропорциональными, если при изменении од-
ной из них в некотором отношении другая изменяется в об-
ратном отношении.
Примерами обратно пропорциональных величин служат:
скорость равномерного движения и время, за которое пре-
одолевается данное расстояние; объем, занимаемый газом
(при постоянной температуре), и давление; сила тока (при
постоянной электродвижущей силе) и сопротивление цепи
и т. п.
Пусть х и у — обратно про-
порциональные величины, и
положим, что когда х = 1, то
У = k. Согласно определению
Y Ъ	'
имеем - = -, отсюда
1 У
График этой функции при
k > 0 представляет собой рав-
ностороннюю гиперболу (всю
или часть ее) (рис. 52). При
k <0 мы получаем гиперболу,
расположенную во II и IV квад-
рантах.
69
4.	КВАДРАТИЧНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
Квадратичная зависимость в простейшем случае имеет вид
У = *х2,	(3)
где k — некоторая постоянная величина. График функции (3)
есть парабола (вся или часть) (рис. 53), причем при k > 0 парабола
расположена выше оси Ох, а при k < 0 — ниже оси Ох.
Примерами величин, между которыми имеется квадратич-
ная зависимость, служат: площадь круга и радиус круга; путь,
пройденный телом при свободном падении его, и время, и т. п.
5.	СИНУСОИДАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
При изучении периодических процессов важную роль играет
синусоидальная зависимость
у = A sin(cox 4- (р).	(4)
Функция (4) называется гармоникой; соответствующие постоян-
ные (параметры) носят названия: А — амплитуда, со — частота,
ф — начальная фаза. Функция у — периодическая с периодом
Т = 2л/со,
т. е. значения функции у = у(х) в точках х и х + Т, отличаю-
щихся на период, одинаковы. Действительно, имеем
у(х 4- Т) = A sin [со(х + Т) 4- ф] = A sin (сох 4- 2л 4- ф) =
= Asin(cox 4- ф) = у(х).
Гармонику (4) можно привести к виду
у = A sin со(х - х0),	(5)
где х0 = -2. Отсюда получаем, что графиком гармоники явля-
ется деформированная синусоида с амплитудой А и
периодом Т, сдвинутая вдоль оси Ох на величину х0 (рис. 54)
70
Примерами синусоидальной зависимости могут служить: от-
клонения частиц воздуха от положения равновесия при распро-
странении в нем звуковой волны постоянной частоты и время;
сила однофазного синусоидального тока и время, и т. п.
§ 4.	Способы задания функции
1.	АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Если функция выражена при помощи формулы, то говорят,
что она задана аналитически. Например, в формуле объема шара
У=|лЯ3
объем V есть функция радиуса R, заданная аналитически. Если
функция
У = /(х)
задана формулой, то ее характеристика f обозначает ту совокуп-
ность действий, которую нужно в определенном порядке произвес-
ти над значением аргумента х, чтобы получить соответствующее
значение функции у [или, что то же самое, значение функции /(х)].
Пусть, например,
Дх)=8Л^1.	(1)
Здесь характеристика f обозначает следующую совокупность
действий:
1)	возведение аргумента х в квадрат;
2)	вычитание из полученного результата числа 1;
3)	извлечение из соответствующей разности кубического
корня.
Зная характеристику f и давая аргументу х различные зна-
чения, получим соответствующие значения функции Дх). Так,
например, для нашей функции (1) имеем
Л-1) = V(-i)2-i = о,
до) = -Vo^i = -1,
f(l) = Vl2~ 1 =0 и т. д.
Аналогичный смысл получают выражения
/(х + h) =	+ Л)2 - 1 и т. п.
В некоторых случаях функция может задаваться несколькими
Формулами.
71
Пусть, например,
I 0, если х < О,
'Х' ~ [ х, если х > О.
Эта функция вполне определена, так как для каждого значения ар-
гумента х мы можем указать соответствующее значение функции /(х).
А именно: если х отрицательно или равно нулю, то f(x) равно нулю,
например
Рис. 55
/(0) - 0,
/(-1/2) = 0,
/(-1) = 0 и т. д.
Если же х положительно, то /(х) равно
значению аргумента, например
/(3/4) ~ 3/4, /(5) = 5 и т. д.
Таким образом, две формулы
/(х) « 0, если х < 0,
и
/(х) « х, если х > 0,
определяют одну функцию (рис. 55).
2.	ТАБЛИЧНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Предположим, что мы хотим установить зависимость между
средней годовой температурой t (°C) и высотой местности h над
уровнем моря, выраженной в километрах. Сопоставим результа-
ты наших наблюдений в такой таблице:
h	0	1	2	3	4	5	6	7	8
t	+7,9	+4,6	+0,1	-5,0	-10,7	-16,9	-23,7	-30,8	-38,0
Из приведенной таблицы мы видим, что средняя годовая тем-
пература изменяется вместе с высотой местности над уровнем
моря, причем каждому значению высоты h соответствует опре-
деленное значение температуры t. Следовательно, средняя годо-
вая температура t есть функция высоты местности h над уровнем
моря, при этом соответствие между переменными t и h устанав-
ливается таблицей. Такой способ задания функции называется
табличным.
Зная аналитическое выражение функции, можно предста-
вить эту функцию для интересующих нас значений аргумента
при помощи таблицы. Пусть, например, имеем функцию
у = X3.
72
Давая х ряд числовых значений и вычисляя соответствующие
значения у, получим следующую таблицу:
X	...	-3	-2	-1	0	1	2	3	...
У	...	-27	-8	-1	0	1	8	27	...
Мы видим, что если функция задана аналитически (т. е. при
помощи формулы), то можно построить для нее таблицу, или,
как говорят, табулировать функцию.
Табулируются обыкновенно функции, имеющие сложное
аналитическое выражение (т. е. выражающиеся сложной фор-
мулой), но часто встречающиеся на практике. Так, например,
широко известны таблицы тригонометрических функций: sinx,
cosx и т. д., таблицы логарифмов и т. п. Для этих функций име-
ются формулы, выраженные с помощью бесконечных рядов (см.
гл. XXI, § 12), но эти формулы слишком сложны для практиче-
ского пользования.
Возникает вопрос: всегда ли можно от табличного задания
функции перейти к ее аналитическому выражению, т. е. запи-
сать такую функцию формулой?
Для этого заметим, что таблица дает не все значения функ-
ции, причем промежуточные значения функции могут быть най-
дены лишь приближенно (так называемое интерполирование
функции). Поэтому в общем случае найти точное аналитическое
выражение функции по ее табличным данным нельзя.
Однако всегда можно построить формулу, и притом не одну,
которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет
давать соответствующие табличные значения функции. Такого
рода формула носит название интерполяционной.
3.	ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
Аналитический и табличный способы изображения функции
страдают отсутствием наглядности. Этого недостатка лишен гра-
фический способ задания функции у = /(х), когда соответствие
между аргументом х и функцией у
устанавливается с помощью графика
(рис. 56). Здесь, чтобы для некоторо-
го значения аргумента, например х,
найти отвечающее ему значение у
Функции, нужно на оси Ох отложить
в соответствующем направлении от-
резок ОА = х, а затем построить пер-
пендикуляр AM до пересечения с
Рис. 56
73
графиком. Взяв длину этого перпендикуляра с надлежащим зна-
ком, мы и получим число
У = f(x).
Давая х различные значения, мы с помощью этого приема будем
иметь соответствующие значения функции у, которые, если это
нужно, можно записать в виде таблицы.
Примером графического изображения функции является так
называемая барограмма (запись самопишущего прибора — ба-
рографа), дающая графически изменение атмосферного давле-
ния со временем.
Для построения графика функции у = Дх), заданной анали-
тически, нужно составить таблицу значений х и у данной функ-
„	ции, а затем, рассматривая х как абсциссу,
У I
|	у —- как ординату точки, построить систему
I У^х	точек плоскости.
/	Соединяя эти точки линией, вид которой
/ учитывает по возможности характер проме-
У	жуточных значений функции, получаем при-
f 0 х мерное графическое изображение данной
/	функции.
/	Например, пользуясь данными таблицы
/	на с. 73, строим график функции
I	у - X3
Рис. 57
(кубическая парабола) (рис. 57).
§ 5.	Понятие функции от нескольких переменных
Понятие функции одной независимой переменной естествен-
но распространяется на случай нескольких переменных.
Определение. Переменная величина называется функцией
(однозначной) от нескольких переменных, например
величина и — функцией от двух переменных х и у, если каж-
дой рассматриваемой совокупности значений величин х и у
(допустимые значения) соответствует одно определенное зна-
чение величины и.
Здесь переменные х и у называются независимыми перемен-
ными или аргументами; совокупность рассматриваемых значе-
ний их называется областью определения или областью су-
ществования функции и. Область существования функции двух
переменных хну, вообще говоря, представляет собой некоторое
множество точек плоскости Оху.
74
Тот факт, что и есть функция от х и у, обычно коротко за-
писывается так:
и = /(*, у),
где f называется характеристикой функции. Конечно, вместо
буквы f можно употреблять любую другую букву.
Пример 1. Площадь S прямоугольника, стороны которого равны х
и у9 выражается формулой
S = ху.
Очевидно, S есть функция двух аргументов х и у, определенная в об-
ласти х > 0, у > 0.
Пример 2. Уравнение состояния газа имеет вид Vp — RT, где V —
объем, занимаемый данной массой газа, р — давление, под которым
находится газ, Т — термодинамическая температура, R —некоторая по-
стоянная. Разрешая это уравнение относительно V, получим
у» 51.
Р
Мы видим, что объем V есть функция от двух переменных: давленияр
и абсолютной температуры Т, причем эта функция определена в области
р > 0, Т>0.
Функцию и от трех переменных х, у и z в общем виде можно обо-
значить так:
w = f(x9 у9 г).
Пример 3. Объем V = xyz и полная поверхность S ® 2ху + 2yz +
+ 2zx прямоугольного параллелепипеда с линейными измерениями
х, у и z являются функциями трех аргументов х, у, z, определенными
в области х > 0, I/ > 0 и z > 0.
§ 6.	Понятие неявной функции
Функция называется явной, если она задана формулой, пра-
вая часть которой не содержит зависимой переменной. Напри-
мер, функция у = х2 — явная.
Функция у от аргумента х называется неявной, если она за-
дана уравнением
F(x, у) = 0,	(1)
не разрешенным относительно зависимой переменной. Напри-
мер, функция у (у > 0), определяемая уравнением х2 + у2 = 1,
является неявной.
Чтобы выразить функцию у, определяемую уравнением (1),
в явном виде, достаточно это уравнение разрешить относитель-
но у. Так как для данного значения аргумента х уравнение (1)
75
может иметь несколько (и даже бесконечное множество) корней
у, то в общем случае неявная функция является многозначной.
Совокупность значений аргумента х, для каждого из которых
уравнение (1) имеет хотя бы один действительный корень у,
представляет собой область существования соответствующей
неявной функции. Следует отметить, что не всякое уравнение
(1) определяет неявную функцию. Например, уравнение
х2 + у2 4- 1 = О,
очевидно, не определяет никакой функции (в действительной об-
ласти!).
Пример. Пусть х и у связаны уравнением х2 + у2 == 1. Здесь
у является неявной функцией от аргумента х. Разрешая это урав-
нение относительно у, получим у =	- х2. Эта последняя формула
дает нам у как явную функцию от х.
Иногда разрешение уравнения (1) относительно у затрудни-
тельно. Например, уравнение Кеплера
у - е sin у = х (0 < е < 1)
элементарными средствами не может быть разрешено относи-
тельно у. В таком случае функцию у приходится изучать, поль-
зуясь непосредственно уравнением, определяющим эту функ-
цию.
§ 7.	Понятие обратной функции
Пусть у есть функция от аргумента х:
У = Лх).	(1)
Задавая значения х, будем получать соответствующие значе-
ния у. Можно, однако, считая у аргументом, ах — функцией,
задавать значения у и вычислять соответствующие значения х.
В таком случае уравнение (1) будет определять х как неявную
функцию от у. Эта последняя функция называется обратной по
отношению к данной функции у.
Предполагая, что уравнение (1) разрешено относительно х,
получим явное выражение обратной функции
X = <р(у).	(2)
где функция ф(^) для всех допустимых значений у удовлетворяет
условию
Я<Р(!/)] = !/.	(3)
76
Пример 1. В формуле объема шара
V= ^TtR3
3
(4)
радиус R является аргументом, а объем V — функцией. Разрешив урав-
нение (4) относительно R, получим функцию, обратную данной:
Иногда придерживаются стандартных обозначений: под х
понимают независимую переменную, а под у — функцию, т. е.
зависимую переменную. В таком случае обратную функцию сле-
дует писать в виде
У = <Р(*)-
Например, можно говорить, что функции у = 2х и у = log2x
являются взаимно обратными.
Обратная функция одно-
значной функция может быть
мно гозначной (рис. 58),
т.е. данному значению у может
соответствовать несколько зна-
чений хг, х2, х3, ... обратной
функции х = <p(i/) (рис. 58). В
некоторых случаях удается сде-
лать обратную функцию одно-
значной, вводя дополнитель-
ные ограничения на ее возмож-
ные значения.
Пример 2. Двузначная функция х = +Jy является обратной по
отношению к функции у = х2. Если условимся для корня брать лишь
арифметическое значение его, то обратная функция будет однозначной.
Очевидно, что функция, обратная к функции (2), есть функ-
ция (1). Поэтому функции с характеристиками f и ф, связанными
соотношением (3), являются взаимно обратными. Одна из
них называется прямой функцией, а другая — обратной.
Заметим, что одна и та же кривая
У = /(*)
представляет собой график данной функции и график обратной
ей функции, смотря по тому, на какой из осей, Ох или Оу, от-
кладываются значения аргумента.
77
Если условиться обозначать неза-
висимую переменную через х, а за-
висимую — через у, то, чтобы из
графика данной функции у = f(x)
получить график обратной ей
функции у = ф(х), очевидно, доста-
точно первый график зеркально
отобразить относительно биссект-
рисы I и III координатных углов
(рис. 59).
§ 8.	Классификация функций одного аргумента
В зависимости от характера тех действий, которые надо про-
извести над значением аргумента, чтобы получить соответствую-
щее значение функции, устанавливается следующая классифи-
кация функций.
1)	Если над значением аргумента х и некоторыми постоян-
ными выполняются действия: сложение, вычитание, умноже-
ние, возведение в целую и положительную степень (и притом ко-
нечное число раз), то получается целая рациональная функция,
или многочлен. Общий вид такой функции следующий:
Р(х) = aQxm + а^"1 4- ... 4- ат_1х + ат,
где т — целое положительное или равное нулю число, а коэф-
фициенты а0, ах, ..., ат_х, ат — постоянные числа.
2)	Функция, представимая в виде частного от деления двух
целых рациональных функций:
R(x) = aoXm + aiXm-1 + ...+am.iX + am
boxn + blx"~1 + ...+bn_lx + bn
называется дробной рациональной функцией.
Совокупность целых рациональных и дробных рациональ-
ных функций образует класс рациональных функций.
3)	Если над аргументом х кроме выше перечисленных первых
пяти алгебраических действий производится еще извлечение
корня конечное число раз и результат не является рациональной
функцией, то получается иррациональная функция. Например,
+ +
Здесь под корнем обычно подразумевается его арифметическое
значение.
78
Совокупность рациональных и иррациональных функций об-
разует класс явных алгебраических функций.
4)	В более общем случае алгебраической функцией называет-
ся многозначная неявная функция у, определяемая уравнением
Ро(х)уп + Р1(х)уп - 1 + ... + рп_ i(x)y + рп(х) = О,
где п — целое положительное число, а коэффициенты р0(х),
Pi(x), ..>, рп - i(x), рп(х) — целые рациональные функции от х и
сверх того коэффициентpQ (х) не равен тождественно нулю1). На-
пример, корень уравнения у5 4- у - х2 = 0 есть алгебраическая
функция. Заметим, что эта функция не является явной алгеб-
раической функцией, так как алгебраическое уравнение пятой
степени и выше, вообще говоря, неразрешимо в радикалах.
5)	Всякая неалгебраическая функция называется функцией
трансцендентной.
Простейшими трансцендентными функциями (так называе-
мыми элементарными трансцендентными функциями) явля-
ются:
а)	показательная функция ах, где а — положительное число,
не равное единице;
б)	логарифмическая функция logax, где а > 0 и а 1;
в)	тригонометрические функции:
sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx;
г)	обратные тригонометрические функции:
Arcsin х, Arccos х, Arctg х, Arcctg х, Arcsec х, Arccosec х.
Функции алгебраические, элементарные трансцендентные и
их конечные комбинации носят название элементарных функ-
ций. Это тот основной запас функций, с которым мы будем иметь
дело на протяжении всего курса.
Заметим, что в нашем курсе мы, как правило, будем исполь-
зовать лишь однозначные элементарные функции, накладывая,
если это нужно, на рассматриваемые многозначные функции до-
полнительные ограничения.
§ 9. Графики основных элементарных функций
Приведем графики некоторых основных элементарных
Функций.
Алгебраические функции, в общем случае, рассматриваются в
комплексной области.
79
I.	СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
У = хп,
(1)
где п — целое число.
Функция определена при -оо < х < Ч-оо, если п > 0, и при
О < |х| < Ч-оо, если п < 0.
Если п > 0 (п = 0, 1, 2, ...), то графики функций (1) представ-
ляют собой параболы соответственно нулевого, первого, вто-
рого и т. д. порядков (рис. 60).
Если п < 0 (n = -1, -2, ...), то графики функций (1) представ-
ляют собой гиперболы различных порядков (рис. 61).
II.	РАДИКАЛ
У =
(2)
где п — натуральное число.
Область определения функции: 0 < х < Ч-оо При п четном и
-оо < х < Ч-оо при п нечетном.
Так как х = уп, то (2) является обратной функцией по отно-
шению к степенной функции (1). Поэтому графики радикала при
различных показателях п есть параболы или части их (рис. 62).
III.	ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
У = а*,
где а — постоянное число, причем а > 0, а # 1.
Эта функция определена при всех значениях х. Функция име-
ет положительные значения и монотонно возрастает от 0 до Ч-оо
при а > 1 и монотонно убывает от Ч-оо д0 0 при 0 < а < 1 (рис. 63).
IV.	ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
у = logax (а > 0, а # 1).	(3)
Область определения: 0 < х < Ч-оо.
Так как из формулы (3) имеем
х = а^,
то логарифмическая функция является обратной по отношению
к показательной функции. Цоэтому график логарифмической
функции получается из графика показательной с помощью зер-
кального отображения последнего относительно биссектрис I и
III координатных углов (рис. 64).
80
81
V.	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В высшей математике аргументом тригонометрической
функции является число, которое можно рассматривать как
меру соответствующего угла, выраженного в радианах.
Ограничимся обзором наиболее важных тригонометрических
функций:
у = sin х
определена для всех значений х. Функция sin х — ограниченная
(|sin х| < 1) и периодическая, с периодом 2п (т. е. значения функ-
ции повторяются при изменении аргумента на 2л); графиком ее
служит синусоида (рис. 65).
у — COS X
обладает сходными свойствами с функцией sin х. График ее —
косинусоида, представляющая собой синусоиду, сдвинутую вле-
во на л/2 (рис. 65). Действительно, cosx « sin[ х + 5 ].
у = tgx
определена при х 1 п (k = 0, ±1, ±2, ...); имеет период п.
График функции — тангенсоида (рис. 66).
у = ctg х
определена при х * kn (k = 0, ±1, ±2,...); имеет период л. График
функции — котангенсоида, геометрически тождественная с тан-
генсоидой (рис. 66).
82
VI.	ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
у = arcsin х,	(4)
т. е. у есть дуга, взятая в пределах
-я/2 < у < л/2,	(5)
синус которой равен х:
sin у = х	(6)
(главное значение). Функция (4) однозначно определена
на отрезке [-1, 1]; графиком ее служит часть синусоиды (дуга
АВ на рис. 67).
Если обратить равенство (6), не накладывая условия (5), т. е.
найти все значения у, синус которых равен х, то получим мно-
гозначную функцию
у = Arcsin х,
графиком которой служит синусоида, идущая вдоль оси Оу. Из
свойств дуг, имеющих одинаковый синус, вытекает формула
Arcsinx = (~l)*arcsinx 4- kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
у = arccos х,	(7)
т. е. у есть дуга, взятая в пределах
О <у <тс,	(8)
косинус которой равен х:
cos у = х	(9)
(главное значение). Функция (7) однозначно определена
83
на отрезке [-1, 1]; график ее — часть ко-
синусоиды (дуга АВ на рис. 68).
Решая уравнение (9) относительно у,
в общем случае получим много-
значную функцию
у = Arccos х,
график которой есть косинусоида, иду-
щая вдоль оси Оу. При этом справедлива
формула
Arccos х = ± arccos х 4- 2kn
(fc = 0, ±1, ±2, ...).
у = arctg х,	(10)
т.е. у есть дуга, взятая в пределах
-л/2 < у < л/2,	(11)
тангенс которой равен х:
tg г/ = х	(12)
(главное значение). Функция (10) определена в промежут-
ке -оо < х < Ч-оо однозначно; график ее — дуга тангенсоиды
(рис. 69).
Решая уравнение (12) относительно у, в общем случае будем
иметь многозначную функцию
у = Arctg х,
график которой состоит из бесконечного числа смещенных тан-
генсоид (10). Справедлива формула
Arctgx = arctgx 4- kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
84
т. е. у есть дуга, взятая в пределах
О < у < я,
котангенс которой равен х:
ctg у = х.
(14)
(15)
Функция (13) однозначно определена в промежутке -°° < л <
< 4"°о; ее графиком служит дуга котангенсоиды (рис.70).
Если в уравнении (15) для каждого х определять все значе-
ния у, котангенс которых равен х, то получим многознач-
ную функцию
у = Arcctgx,
(16)
график которой состоит из бесконечного числа смещенных ко-
тангенсоид (13). Имеем
Arcctgx = arcctgx + kn (k = 0, ±1, ±2, ...).
Рассмотренные графики основных элементарных функций
следует помнить. Пользуясь ими, можно легко строить большое
количество графиков элементарных функций, представляя по-
следние как преобразованные основные элемен-
тарные функции.
Пусть график функции
У =	(17)
известен (рис. 71).
Рассмотрим важнейшие преобразования этого графика.
1) График
у = f(x - а)
представляет собой исходный
график (17), сдвинутый в на-
правлении оси Ох на величину,
равную а (рис. 71).
2) График
У = Ъ + ftx)
получается из графика (17) в
результате переноса послед-
него в направлении оси
Оу на величину, рав-
ную Ь (рис. 71).
Рис. 71
85
3) График
у = cf(x) (с * 0)
(18)
получается из графика функции /(х) при 0 < с < 1 с помощью
сжатия в 1/с раз ординат последнего, а при 1 < с < +оо с по-
мощью растяжения вс раз ординат его с сохранением соот-
ветствующих абсцисс (рис. 72).
Если -оо < с < 0, то график (18) является зеркальным
отображением графика у = ~cf(x) относительно оси Ох
(рис. 72).
4) График
у = f(kx) (k * 0)	(19)
получается из графика функции у = /(х) при 0 < fe < 1 увели-
чением в i раз абсцисс его точек, а при 1 < k < +°° у м ень-
k
шением в k раз абсцисс его точек, с сохранением их ординат
(рис. 73).
Если -оо < k < 0, то график (19) представляет собой зер-
кальное отображение графика у = ft-fex) относитель-
но оси Оу (рис. 73).
Приведенные правила геометрически очевидны, и доказа-
тельство их предоставляем читателю.
Комбинируя преобразования 1)—4), получаем возможность,
исходя из графиков простых функций, строить графики относи-
тельно сложных функций.
86
Пример. Построить гра-
фик функции у = 3 sin 2х.
На основании правил
преобразования 3) и 4) этот
график представляет собой
синусоиду у = sinx, абсциссы
точек которой уменьшены в
два раза, а ординаты увели-
чены в три раза (по абсолют-
ной величине, с сохранением
знака; рис. 74).
При построении гра-
фика функции важно учи-
тывать симметрию графи-
ка и периодичность.
Рис. 74
Определение 1. Функция f (х) называется четной, если
она не изменяет своего значения при изменении знака аргу-
мента, т. е. если
f(~x) = f(x).
Например, четными функциями являются х° = 1, х2, cos х и т. п.
График четной функции у == f(x), очевидно, симметри-
чен относительно оси Оу (рис. 75). Поэтому для четной
функции достаточно строить лишь правую половину графика
(х >0); левая половина его (х < 0) является зеркальным отобра-
жением правой относительно оси ординат.
Определение 2. Функция f (х) называется нечетной, если
при изменении знака аргумента знак функции меняется на
противоположный, а числовое значение ее сохраняется, т. е.
если
К~х) = -f(x).
Например, нечетными функциями являются х, х3, sin х, tg х,
arcsin х, arctg х и т. п.
График нечетной функции у = f(x), очевидно, симметри-
чен относительно начала координат (рис. 76). По-
Рис. 75
87
этому, чтобы построить график нечетной функции, достаточно
изобразить правую половину его (х > 0); левая половина графика
(х < 0) получается в результате поворота правой на 180°.
Определение 3. Функция /(х) называется периоди-
ческой. если существует положительное число Т такое,
что
/(х + Т) = Лх).
Наименьшее число с таким свойством называется периодом
функции (рис. 77). С периодическими функциями мы встреча-
лись уже ранее (гл. VI, § 3); например, периодическими являют-
ся функций sin х (период 2л), cosx (период 2л), tg х (период л),
ctg х (период л) и т. д.
Для построения графика периодической функции достаточно
изобразить его на отрезке, длина которого равна периоду (основ-
ная область), а затем построить периодическое продолжение
графика, приписав одинаковые значения ординат точкам, абс-
циссы которых отличаются на число, кратное периоду.
§ 10.	Интерполирование функций
Рассмотрим функцию у = /(х), заданную двумя первыми
столбцами таблицы:
X	У	Ду	Д2у
х^з	У-3	Ду-з	Д2У-3
Х-2	У—2	ДУ-2	Д2у-г
Х-1	У-1	Ду-i	Д2у_1
Х0	Уо	ДУо	Д2Уо
Х1	У1	ДУ1	Д2У1
*2	У2	Ду2	...
х3	Уз	...	...
88
Мы будем предполагать, что табличные значения х_2, X-i,
х0, х19 х2, ... аргумента х — равноотстоящие; иными сло-
вами, разность
Axf = xtг + х - xt = h (i = 0, ±1, ±2, ...)	(1)
есть величина постоянная (A — символ разности). Величина h
называется шагом таблицы. Для изучения закономерности по-
ведения функции у пополним нашу таблицу разностями &у пер-
вого порядка (первые разности):
= У1 + 1- (i = o, ±1, ±2, ...).	(2)
Если функция у = у о + kx — линейная, то ее разность ку^=КК
есть величина постоянная.
Аналогично можно составить разности второго порядка
(вторые разности):
^2У1 =	+	= (*Л + 2“ */i + i)~ (!Л + 1-У/) =
= J/i + 2 “	+ 1 + t/z (i == 0, ±1, ±2, ...)	(3)
и т. д.
Если функция у линейная, то ее вторые разности A2t/f равны
нулю. Для квадратичной функции у = а 4- Ьх + сх2 ее вторые
разности A2z/f постоянны (проверить!).
Под интерполированием понимается приближенное нахож-
дение функции у для нетабличных промежуточных значений ар-
гумента х.
Пусть шаг таблицы h мал и разности At/r почти постоянны.
Положим, что х0 есть ближайшее наименьшее табличное
значение для данного нетабличного значения х, т. е. х0 < х < xv
На промежутке (х0, хх) функцию у приближенно можно считать
линейной У такой, что У(х0) = у0 и ^(xi) = Уг- Геометрически
это значит, что мы дугу кривой М0Мг заменяем соответствую-
щей хордой М0Мг (рис. 78). Так
как угловой коэффициент хорды
М0Мг равен
Ь = У1 - У о = &Уо
h h 9
то
I/ = У = у0+	- х0) (4)
п
(линейная интерполяция).
89
Вводя величину
= f
h
(5)
(«расстояние между точками х и х0, измеренное в шагах»), при-
ближенную формулу (4) можно записать в следующем виде:
У = Уо + *&Уо-	(6)
С помощью формулы (6) можно также производить обратное
интерполирование, т. е. по значению функции у (yQ < у < ух)
находить соответствующее значение аргумента х. Действитель-
но, имеем
t=”».	(7)
ДУо
Отсюда на основании (5) получаем
х = х0 + th.	(8)
Пример 1. Функция у = у(х) задана следующей таблицей:
X	1	1,02	1,04
У	1,21	1,44	1,69
Применяя линейное интерполирование, найти у (1,005). Чему равен
х, если у (х) = 1,5?
Здесь шаг h == 0,02. Полагая х0 = 1, имеем t ==
по формуле (6) находим
1,005-1
0,020
= ~. Отсюда
4
у =1,21 + 1 0,02 = 1,215.
у	4
Для обратного интерполирования полагаем х0 « 1,02 и
у$ == 1,44. Отсюда Дг/0 = 1,69 - 1,44 = 0,25. По формулам (7) и (8)
находим
= 0Д6 = 0 24
0,25	0,25
и х = 1,02 + 0,24 • 0,02 = 1,0248.
Заметим, что для х € (х0, хх) получается аналогичная фор-
мула линейного интерполирования, если вместо ближайшего на-
именьшего табличного значения х0 воспользоваться его ближай-
шим наибольшим табличным значением хх, что иногда бо-
лее выгодно. А именно, имеем
У » У1 + (х - Ху).	(4')
Л
90
Для получения более точных результатов иногда прибегают
к квадратичному интерполированию, заменяя на промежутке
(х0, х2) функцию у квадратным трехчленом Y таким, что
Y(x0) = у0,	У(Х1) = уи У(х2) = у2,
(9)
где Xq — по-прежнему ближай-
шее наименьшее табличное зна-
чение для данного нетаблично-
го значения х. Геометрически
это означает (рис. 79), что мы
дугу МоМгМ2 графика функ-
ции у = у(х) приближенно за-
меняем параболой с вертикаль-
ной осью, проходящей через
точки Мо, М1? М2.
Функцию У запишем в сле-
дующем искусственном виде:
Рис. 79
У = а 4- Ь(х - х0) + с(х - х0)(х - xj.	(10)
Полагая х = х0, в силу (9) получаем У(х0) = yQ = а; отсюда
а = yQ.	(11)
Аналогично, при х = хг будем иметь У(хх) = уг = а + &(хх - х0);
отсюда, используя (11) и учитывая, что хх - х0 = Л, находим
(12)
h h
Наконец, при х = х2 имеем
Y(x2) = у2= а + Ъ(х2 - х0) + с(х2 - х0)(х2 - хД
Отсюда так как х2 - х0 = 2Л и х2 - хх = Л, то, принимая во
внимание (11) и (12), получаем
Луо 9.
!/2 Уо —‘£П=(Уг-У1) + (У1-Уо)-2^уо =
2h2	2h2
= ДУ1-ДУо = &Уо
2Л2	2й2 '
91
L
Таким образом, окончательно имеем
у = У = у0 + ^2 (х - х0) + (х - х0)(х - Xj) (14)
(формула квадратичного интерполирования).
Полагая
^-°=<	(15)
h
и
= (х-х0)-(х1-х0) = t _	(1б)
получим более удобную формулу квадратичного интерполирова-
ния:
y = y0 + tAy0+ ^Ц^Д2у0.	(17)
А
Пример 2. Функция у = у(х) задана двумя первыми столбцами
следующей таблицы:
X	У	Ду	Д2у
0,20	1,2214	626	33
0,25	1,2840	659	33
0,30	1,3499	692	
0,35	1,4191		
Применяя формулу квадратичного интерполирования, найти у (0,27).
В качестве начального значения выбираем х0 =0,25 (необходимые
элементы таблицы подчеркнуты!). Шаг таблицы h = 0,05.
Находим разности Ду0 = 0,0659 и A2i/0 s 0,0033 (в таблице для крат-
кости десятичные разряды опускаются).
Имеем
t = 0^7-0,25 _ 0
0,05
Отсюда по формуле (17) получаем
1/(0,27) = 1,2840 + 0,4 • 0,0659 4-	• 0,0033 =
= 1,2840 + 0,0264 - 0,0004 = 1,3100.
92
УПРАЖНЕНИЯ
1.	В треугольнике АВС, основание которого АС = Ъ и высота BD = Л,
проведена прямая EF, параллельная основанию АС и отстоящая от него
на расстоянии х. Выразить площадь у трапеции AEFC как функцию от х;
определить область существования этой функции и построить ее гра-
фик.
2.	Определить область существования функций:
а) у = Jx-2 ; б) у == 7х2-1;
в) у ==	1	; г) у = lg(l + х).
л/х-Х2
3.	Найти /(0), /(1), /(2), /(3), /(-х), /(1/х), /(х + 1), если
/(х) = х2 - Зх 4- 2.
4.	Зная, что /(1) = -2,23 и /(2) = 1,05, приближенно найти /(1,3),
считая функцию линейной на отрезке [1,2] (линейная интерполяция).
5.	Результаты измерения величин х и у приведены в таблице:
X	10	15	25
У	10	20	40
Найти зависимость между х и у, зная, что она линейная.
6.	Найти целую рациональную функцию второй степени
/(х) = ах2 + Ьх + с
такую, что /(0) = ”3, /(1) = 0, /(2) = 5.
7.	Пусть (р(х) = х2 и у(х) « 2х. Найти ф[ф(х)] и ф[ф(х)].
8.	Найти f[f(x)] и /{/[/(х)]}, если /(х) = 1/(1 - х).
9.	Для данных функций найти явные обратные:
а) у == 2х + 3; б) у = V1 -х3 ; в) у = sin .
10.	Построить графики элементарных функций:
а)г/=х2/3;	б) у = —Ц ;	в)у = 1-[1^ ;
г)у- lg(x + 2);
I	71
Д,) У = 2cos X - -
\	4.
е) у = sin2x. Указание. sin2x =1(1- cos 2х);
2
ж) у = 4 sinf Зх ”	|
к) у = 1 +1 arctgx.
2	71
3) у = -ctg^;
2
ч	. X 4- 1
и) у = arcsin ;
Zu
93
11.	Приближенно найти действительные корни уравнения
х3- Зх + 1 = 0,
построив график функции у = х3- Зх + 1.
12.	Приближенно найти наименьший положительный корень урав-
нения
tgx = х,
построив графики функций у - tg х и у « х.
13.	Функция у = у(х) задана следующей таблицей:
X	0,6	0,7
У	1,8221	2,0138
Используя линейное интерполирование, найти у (0,63). Чему равно х,
если у(х) « 2?
ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Действительные числа
Под величиной в математике понимается все то, что может
быть измерено; при этом физическая сущность величины для нас
безразлична. Поэтому выводы математики обладают общно-
стью, они применимы ко всем величинам вообще. Процесс из-
мерения величины состоит в сравнении ее с другой однородной
величиной (т. е. величиной той же природы), принятой за еди-
ницу. Результат измерения величины есть число — значение из-
меряемой величины. Если измеряемая величина и единица из-
мерения соизмеримы между собой (т.е. имеют общую меру),
то результат измерения есть рациональное число
х ™
п ’
где т и п — целые числа. Если измеряемая величина и единица
измерения несоизмеримы между собой (т. е. не имеют об-
щей меры), то результат измерения есть иррациональное число
(например, а/2 , п и т. д.), которое можно изобразить в виде бес-
конечной непериодической десятичной дроби
х - Ро, Р1Р2--Рп--- •
Если брать в этой дроби конечное число знаков после запя-
той, то мы будем получать некоторые рациональные числа, ко-
торые дадут нам значение измеряемой величины с любой сте-
пенью точности; поэтому практически при измерениях можно
обойтись числами рациональными. Однако при формулировке
общих законов избежать иррациональных чисел нельзя (напри-
мер, площадь круга S = tlR2, где п — число иррациональное).
Числа рациональные и иррациональные носят название дейст-
вительных или вещественных чисел1*.
Для геометрического изображения действительных чисел
служит числовая ось Ох (рис. 80), где в определенном масштабе
расположены числа: рациональные (целые 0, ±1, ±2, ... и дроб-
В дальнейшем под словом «число», если явно не оговорено про-
тивное, мы будем понимать «действительное число».
95
1	2
ные ±i , ±~ , ... и т. д.) и иррациональные. В результате все дей-
2	3
ствительные числа помещаются на числовой оси, заполняя по-
следнюю без просветов, т. е. каждому действительному числу
соответствует определенная точка числовой оси и, обратно,
каждой точке числовой оси отвечает некоторое действитель-
ное число. Поэтому вместо слов «действительное число» часто
говорят «точка».
-2-1	0	12	3
X
Рис. 80
Для приложений к множеству всех действительных чисел х
присоединяют два символа и + оо со свойствами
Такая система действительных чисел называется расширенной.
Предполагается, что справедлива следующая арифметика:
а)	X ±ОО = ±ОО;
б)	-£- == 0;
±оо
в)	х • (±°°) = ±°°, если х > 0,
х • (±°°) » +°о, если х < 0.
Действительные числа могут быть положительными и отри-
цательными. В некоторых случаях приходится игнорировать
знак числа, т. е. рассматривать его модуль.
Определение. Модулем (или абсолютной величи-
ной) действительного числа х называется такое неотрица-
тельное число, обозначающееся |х|, что
. .	[ х, если х > 0,
х == 1	л
1 1	|-х, если х < 0.
Очевидно, для всякого числа х
Например, |-5| = 5,
имеет место равенство |
Если расположить действительные числа на числовой оси, то
модуль |х| любого числа х представляет собой расстояние от на-
чала отсчета О до соответствующей точки А с абсциссой х: |х| =
= ОА (рис. 81).
-4-
О
I
X
Рис. 81
96
Отсюда следует, что если модуль числа х удовлетворяет не-
равенству
|х| < а (или |х| < а),	(1)
то число х подчинено ограничению
-а < х < а (или соответственно -а < х < а),	(2)
т. е. х принадлежит интервалу (-а, а) (или отрезку [-а, а]). В
частности, для любого числа х справедливо неравенство
-|х| < X < |х|.
Обратно, если имеет место одно из двойных неравенств (2),
то выполняется соответственно одно из неравенств (1).
Более общее утверждение: если
|х - х0| < а (или |х - х0| < а),
то, так как |х - х0| равно расстоянию между точками х и х0,
имеем
х0 - а < х < х0 + а (или х0 - а < х < х0 + а)
и обратно (рис. 82).
ц___„_____г1-1*-*о1|
I а I 1х
----О-----	9	о----►
О xQ-a хо\^___________а xQ+a х
Рис. 81
Модуль действительного числа обладает следующими
свойствами.
1) Модуль суммы двух или нескольких чисел меньше
или равен сумме модулей этих чисел.
В самом деле, пусть сначала х и у — действительные числа
одинаковых знаков, т. е. ху > 0. Очевидно, имеем
|х + у| = |±|х| ±|у|| = I ±(| х| +	1)1 = |х| + |у|
(например, |-3 - 5| = |-(3 + 5)| = 3 + 5).
Пусть теперь х и у — действительные числа различных зна-
ков, т. е. ху < 0, причем для определенности предположим, на-
пример, что |х| > |у\. Тогда имеем
I* + у\ = 1±1*1+|у|| = 1±(1*1 - |у|)1 = 1*1 - |у| < 1*1 + 1у1
(например, |-5 + 2| = |-(5 - 2)| = 5 - 2 < 5 + 2).
Таким образом, для любых действительных чисел х и у спра-
ведливо неравенство
|х + у| < |х| + |у|,	(3)
4 Б. Демидович, В. Кудрявцев
97
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда
числа х и у одинаковых знаков.
Замечание. Неравенство (3) легко распространяется на любое ко-
нечное число слагаемых, например
|х + У + z| - |(х + у} + z| < |х + 1/1 + |z| < |х| + |l/| + 14
2) Мод у ль разности двух чисел больше или равен раз-
ности модулей этих чисел.
В самом деле, в силу свойства 1 имеем
|х| = \у + (X - у)| < |l/| + |х - у\.
Отсюда
I* - у\ > Ы - 1г/1-
Z)M оду ль произведения двух или нескольких чисел
равен произведению модулей этих чисел, например
\ху\ = |х||г/|.
А) М оду ль частного равен частному модулей (если
делитель отличен от нуля), т. е. если у # 0, то
|х| = Ы
Ы 1к1'
5) М о д у ль целой положительной или целой отрицатель-
ной степени равен соответствующей степени модуля ос-
нования, т. е.
|хЛ| = |х|а.
Доказательство почти очевидных предложений 3)—5) пре-
доставляем читателю.
§ 2. Погрешности приближенных чисел
Измеряя величину с точным значением а, мы обычно полу-
чаем лишь ее приближенное значение х; разность а - х назы-
вается ошибкой приближенного числа х. Число а будем называть
точным числом, а число х — приближенным. Если х < а, то х
называется приближением по недостатку: если же х > а, то х
называется приближением по избытку.
Определение 1. Абсолютной погрешностью (или
абсолютной ошибкой) До приближенного числа х назы-
вается модуль разности между соответствующим точным
числом а и данным приближенным числом х, т. е.
До = _ xl-	(1)
98
Если точное число а неизвестно, то формула (1) не дает возмож-
ности определить абсолютную погрешность До приближенного
числа х. В этом случае ограничиваются оценкой сверху абсолют-
ной погрешности До, т. е. находят положительное число Д, по воз-
можности мало отличающееся от До, такое, что
Д0<Д.	(2)
Число Д, удовлетворяющее неравенству (2), называется пре-
дельной абсолютной погрешностью приближенного числа х.
Очевидно, имеем
х - Д < а < х + Д;	(3)
вместо неравенства (3) употребляется также сокращенная запись
а = х ± Д.	(3')
Часто бывает, что известны два приближенных числа хг и х2,
между которыми заключается точное число а:
хг < а < х2.
Тогда можно положить
а = х ± Д,
где х = (х2 + xJ/2 и Д = (х2 - xJ/2.
Абсолютная погрешность, взятая без учета измеряемой вели-
чины, не характеризует точности измерения. Например, если
при измерении длины стола аг = 2 м и длины железной дороги
а2 — 200 км допущена одна и та же абсолютная погрешность
Aj = Д2 = 0,1 м, то это не значит, что измерения равноточны; оче-
видно, второе измерение точнее первого. Для оценки точности
измерений вводят понятие относительной погрешности.
Определение 2. Относительной погрешностью
(относительной ошибкой) 50 приближенного числа х
называется отношение абсолютной погрешности До этого чис-
ла к модулю соответствующего точного числа а9 т. е.
6»=й-	(4)
Отсюда
Д0 = |а|80,	(5)
т. е. абсолютная погрешность приближенного числа равна от-
носительной погрешности его, умноженной на модуль соот-
ветствующего точного числа.
99
Если точное число а неизвестно или слишком громоздко, то
дают верхнюю оценку числа80. Число8, удовлетворяющее
неравенству
50 < 3,
называется предельной относительной погрешностью прибли-
женного числа х. Очевидно, если х > 0, то можно положить
8= -А_,
х - А
где А — предельная абсолютная погрешность числа х такая, что
х - А > 0.
Пример 1. Какова предельная относительная погрешность 8 числа
х = 3,14, заменяющего число л?
Так как 3,14 < л < 3,142, то абсолютная погрешность До числа х
удовлетворяет неравенству Ао < 0,002. Отсюда
80 = — < ^22? < 6,4 • 10~4.
0 я 3,14
Следовательно, можно принять 8 « 0,064 %.
Так как точное число а во многих случаях найти трудно, то
на практике полагают а ~ х, где х — достаточно близкое к а
приближенное число, и пользуются приближенными форму-
лами
8о=^°	(4')
И
А0^|х| 80	(5')
(~ — знак приближенного равенства). Соответствующие форму-
лы справедливы также для предельных погрешностей.
Пример 2. Результат измерения с точностью до 0,5 % равен
х = 25,7м. Определить предельную абсолютную погрешность А этого из-
мерения.
Из формулы (5х) имеем А ~ 25,7 • i • 0,01 « 0,13. Следовательно,
измеряемую величину а можно положить равной а в 25,7 м ± 0,13 м.
Введем некоторые понятия, связанные с изображением чи-
сел в десятичной системе, причем ограничимся рассмотрением
лишь положительных чисел1*. Всякая цифра в десятичном изо-
Х) Влияние знака можно учесть особо.

100
бражении числа, отличная от нуля, и нуль, если он не служит
для обозначения десятичного разряда или не замещает неиз-
вестную или отброшенную цифру, называется значащей цифрой
этого числа. Например, число 0,0507 имеет три значащие циф-
ры: 5, 0 и 7. Запись числа 27 600 не позволяет судить о числе
значащих цифр его; так, если это число имеет четыре значащие
цифры, то его следует записать, например, в виде 2,760 • 104.
Значащие цифры приближенного числа разделяются на верные
и неверные.
Определение 3. Говорят, что приближенное число имеет
п верных значащих цифр (знаков, считая слева на-
право), если абсолютная погрешность этого числа не превы-
шает 1/2 единицы его п-го разряда.
Например, если число х = 2,356 имеет три верных знака 2,
3, 5, то для абсолютной погрешности этого числа имеем
До < 1 • 0,01 = 0,005.
Математические таблицы составляются таким образом, что все
помещенные в них знаки являются верными. Например, для че-
тырехзначной таблицы логарифмов гарантируется, что абсолют-
ная погрешность мантиссы каждого числа удовлетворяет нера-
венству До < 1 • 10"4.
а
В некоторых случаях абсолютная погрешность приближен-
ного числа может достигать единицы его n-го разряда, тогда бу-
дем говорить, что данное число имеет п верных знаков в широ-
ком смысле. Если абсолютная погрешность приближенного чис-
ла может достигать двух единиц его n-го разряда, то говорят, что
первые п - 1 значащих цифр числа верные, а n-я цифра его сом-
нительная.
Понятие верных цифр не всегда можно понимать буквально,
т. е. в том смысле, что если приближенное число имеет п верных
знаков, то п первых цифр приближенного числа и п первых цифр
точного числа совпадают между собой. Например, если а = 1 есть
точное число и х = 0,999 — приближенное число, то все знаки
последнего, очевидно, верны в широком смысле, хотя ни одна
цифра точного числа не совпадает с соответствующей цифрой
данного приближенного числа. Однако в большинстве случаев
буквальное понимание будет верным.
Количество верных знаков приближенного числа характери-
зует точность измерения и позволяет найти предельную относи-
тельную погрешность этого числа.
101
Пример 3. Приближенное число х — 8,3047 имеет два верных знака.
Какова предельная относительная погрешность 8 этого числа?
Здесь для абсолютной погрешности имеем
До < 1 • 0,1 = 0,05.
По формуле (4') имеем оценку относительной погрешности
50 =	= о.ооб.
0 8,3047
Следовательно, приближенно можно принять 8 = 0,6 %.
Обратно, зная предельную относительную погрешность при-
ближенного числа, можно определить количество его верных
знаков.
Пример 4. Предельная относительная погрешность приближенного
числа х = 623,809 равна 8 — 0,2%. Сколько верных цифр имеет это число?
Используя формулу (5 х), находим оценку абсолютной погрешности
нашего приближенного числа Ао « 0,2 • 0,01 • 623,809 ~ 1,2. Не совсем
строго можно считать, что число х имеет три верные цифры в широком
смысле.
В окончательной записи приближенного числа, вообще гово-
ря, нет смысла сохранять неверные цифры; в крайнем случае
можно удержать одну запасную цифру. Поэтому цифры прибли-
женного числа, не являющиеся верными, обычно откидывают,
или, как говорят, приближенное число округляют. Также часто
приходится округлять громоздкие точные числа.
Правила округления:
1) если первая отброшенная цифра числа (считая слева
направо) меньше 5, то оставшиеся цифры его оставляют
без изменения;
2) если же первая из отброшенных цифр больше или
равна 5, то первую из оставшихся цифр увеличивают на
единицу.
Например, округляя число п = 3,141592... до пяти, четырех,
трех значащих цифр, соответственно получим приближенные
числа 3,1416, 3,142 и 3,14.
Специально выделяется частный случай, когда округляется на одну
цифру число, имеющее последнюю цифру 5. Тогда последняя сохранен-
ная цифра оставляется без изменения, если она четная, и увеличи-
вается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).
При округлении приближенного числа мы, вообще говоря,
увеличиваем его погрешность, добавляя к абсолютной погреш-
ности числа погрешность округления.
102
При пользовании правилом округления погрешность округ-
ления, очевидно, не превышает 1/2 единицы последнего сохра-
ненного десятичного разряда.
' Отсюда следует, что:
1) если точное число округлить до п значащих цифр, то
полученное приближенное число будет иметь п верных деся-
тичных знаков;
2) если же приближенное число с п верными десятичными
знаками округлить до п значащих цифр, то полученное новое
приближенное число будет иметь п верных десятичных знаков
в широком смысле.
§ 3. Предел функции
В математическом анализе, как правило, рассматриваются
безразмерные величины, т. е. величины, лишенные физи-
ческого содержания. Совокупности значений таких величин
представляют собой некоторые числовые множества. Исходя из
этого и используя логические символы V («для любого») и 3 («су-
ществует», «найдется»), можно формализовать определение
функции, приведенное в гл. VI (§ 2).
Определение 1. Пусть X uY — данные числовые множества.
Если в силу некоторого соответствия f, сопоставляющего эле-
ментам множества X элементы множества Y, Ух е ХЗу € У
(единственный), то у называется однозначной функцией
от х, определенной на множестве X.
Этот факт коротко обозначается следующим образом:
у = f(x) (х е хук
(1)
Множество значений функции (1), по смыслу оп-
ределения, содержится в У, т. е. {f(x)} <= У.
Можно сказать, что функция f
осуществляет отображение множе-
ства X в множество У (рис. 83).
Если {/(х)} = У, т. е. любой эле-
мент у € У является значением функ-
ции /, то говорят, что функция f ото-
бражает множество X на мно-
жество У.
Строго говоря, под функцией (1) следует понимать само соответст-
вие f, в силу которого для каждого х G X подыскивается его партнер
у € У. При этом f(x) представляет собой значение функции f в
точке х. Однако на практике символ f(x), где х принимает все возмож-
ные значения, также называют функцией.
103
Пример. Функция f(x) = sinx (0 < х < 2л) отображает интервал
X = (0, 2л) на отрезок У = [ -1, 1].
Пусть между элементами множеств X и У функция у = f(x)
устанавливает взаимно однозначное соответствие, т. е.
Vx е X существует один и только один его образ у = /(х) € У, и,
обратно, У у € У найдется единственный прообраз х € X такой,
что /(х) = у. Тогда функция х = f~\y) (у € У), устанавливающая
соответствие между элементами множеств У и Х9 называется об-
ратной для функции у = /(х). Иными словами, обратная функ-
ция f~l является отображением множества У на множество X.
Очевидно, функции у = f(x) и х = f~\y) взаимно обратны.
Определение 2. Под окрестностью Ua точки а (а —
действительное число) будем понимать любой интервал
а < х < р, окружающий эту точку (а < а < 3), из которого уда-
лена точка а (рис. 84).
Под окрестностью символа оо = ±оо понимается внеш-
ность любого отрезка [а, (3] (рис. 85), т. е. = (-оо, а) и (Р, + оо).
Естественно, что символ °о не содержится в своей окрестности.
Замечание, Общепринято под окрестностью точки а понимать лю-
бой интервал 1а = (а, Р), содержащий точку а9 т. е. если fa есть окрест-
ность точки а, то 1а 3 а. При нашем определении окрестности Ua точки
а для удобства дальнейших рассуждений мы исключаем из нее саму
точку а, т. е. полагаем a t Ua. Такое множество точек обычно называется
проколотой (или пунктированной) окрестностью точки а.
Допуская вольность речи, множество точек Ua == (a, a) U (а, Р) мы
называем просто окрестностью точки а (в нашем смысле). Такое
определение окрестности согласуется с обыденным ее пониманием. На-
пример, естественно предполагать, что в окрестность города Москва не
входит сам город Москва! Тем более, что при определении односто-
ронних окрестностей точки a: U~ = (а, а) (левая окрестность)
и Ua в (а, р) (правая окрестность) — точка а всегда исключается!
(см. § 4).
а
------------------
а К 1
Рис. 84
--------------
а	р
Рис. 85
104
Итак, в дальнейшем, если явно не оговорено противное, под окрест-
ностью точки а мы будем понимать любой интервал, окружающий эту
точку, из которого выкинута сама точка а,
В тех случаях, когда удобно будет считать, что окрестность точки а
содержит саму точку а, мы будем называть ее «полной окрестностью
точки а».
Как нетрудно убедиться: 1) сумма (объединение) любого числа ок-
рестностей точки а и 2) произведение (пересечение) конечного числа
окрестностей точки а есть также окрестности этой точки.
Для положительного числа 8 окрестность Ua некоторой ко-
нечной точки а назовем ее 8-окрестностью, если Ua = (а - 8, а) U
U (а, а + 8), т.е. если
Vx € Ua 0 < |х - а\ < 8 (рис. 86).
СО 1 '	а	а+8 /ZZZZZZZZ//ZZZ,	
	иа		У' ///////////////	X
Рис. 86
Пусть функция Дх) задана на множестве X. Точка а {а ко-
нечно) называется предельной точкой (точкой накопления) это-
го множества, если в любой ее 8-окрестности Ua содержится
бесконечно много элементов х € X, т. е. V(7a: Ua П X * 0. В про-
стейшем случае можно предполагать, что функция /(х) опреде-
лена в некоторой окрестности точки а, причем в самой точке а
функция f(x) не обязательно имеет смысл.
Итак, пусть а — предельная точка множества X — области
определения функции /(х).
Опрелеление 3. Число А называется пределом функции
f(x) при х а (а — число), т. е.
lim f(x) = А,
х —* а
если для любого е > О существует такая 8-окрестность Ua =
= {х|0 < |х - а| < 8}, 8 = 8(e) зависит от е, что
\f(x) - А| < е при х G UaV.	(2)
Для простоты здесь используется 8-окрестность точки а, т. е. ее
симметричная окрестность. Однако определение остается в силе
для любой окрестности Ua = (а, а) и(а, 0), так как она, очевидно, содер-
жит 8-окрестность точки а, где 8 = min(a - а, 0 - а) > 0.
105
Конечно, неравенство (2) должно выполняться для всех
тех х, для которых определена функция Дх), т. е. для х G X n Ua;
согласно определению предельной точки, в каждой окрестности
Ua множество таких значений не пусто.
Замечание 1. По смыслу определения предела функции, числа е и
5 = 8(e) можно полагать достаточно малыми.
Определение 4. Утверждение
lim Дх) = А
х -> ОО
эквивалентно следующему:
|Дх) - А| < е при |х| > А,	(3)
где А = А(е) зависит от е.
Множество всех точек х, для которых |х| > А, очевидно, яв-
ляется симметричной окрестностью символа при
этом предполагается, что для любой такой окрестности Um n X *
* 0; условно можно сказать, что 00 есть предельная точка мно-
жества X — области определения функции Дх).
Объединяя определения 2 и 3, получим общее определение
предела функции при х —► а, которое годится как для конечного
а, так и для а = °°.
Обшее определение предела функции. Пусть Дх) функция,
определенная на множестве X, а — предельная точка этого
множества. Число А является пределом функции Дх)
при х а тогда и только тогда, когда для любого 8 > 0 су-
ществует такая окрестность Ua точки аг\ что
|/(x)-A| <eVx€l7anX	(4)
(при этом Ua П X * 0).
Этот факт коротко записывают следующим образом:
lim f(x) = А,	(5)
х -* а
ИЛИ
Дх) ->• А при х -► а.	(5')
Пример 1. Показать, что
lim х2=4.	(6)
х — 2
Для удобства рассуждений мы будем предполагать, что 1 < х < 3,
т. е. |х - 2| < 1.
Не обязательно симметричная.
106
Пусть е > 0 — произвольное число. Имеем
|х2 - 4| = |х - 2 ||х + 2| = |х - 2|(х + 2) < 5|х - 2| < е,
если |х - 2| < е/5 и |х - 2| < 1. Отсюда можно положить
8 = minff , 1 >0.
к 5	7
Таким образом, равенство (6) доказано. Заметим, что здесь 8-окрест-
ность точки х = 2 — полная, т. е. содержит точку 2.
Пример 2. Показать, что
- Х-* 1 при х —оо.	(7)
х + 1
Имеем
I х _ .1	1	=	1	<	1	=	1	< _
'х+1	|х+1|	|х —(—1)|	|х|-|-1|	|х| — 1
если только
|х| > 1+ 1 = Д,
е
что эквивалентно утверждению (7).
Замечание 2. Не следует думать, что функция /(х) постоянно оста-
ется меньше своего предела.
Возможны три случая: 1) функция не превышает своего предела,
X2	X2
например —-—-	1 при х °°, причем —-—- < 1;
X2 + 1	X2 + 1
2) функция не меньше своего предела, например х2 0 при х —► 0,
причем х2 > 0 при х 0;
3) функция колеблется вокруг своего предела, принимая значения
то меньше, то больше его; например,
2 + s*nx
х
—> 2 при х —► оо.
Замечание 3. При рассмотрении предела функции /(х) при х а,
для простоты, можно было бы предполагать, что функция /(х) опре-
делена в некоторой окрестности точки а.
Однако, как показывают самые простые примеры, это неудобно для
приложений.
Пример 3. Пусть
/(х) =	(х > 0). z
Эта функция определена на множестве X = (0, л]и[2л, Зл]и ко-
торое не является окрестностью бесконечно удаленной точки оо. Тем не
менее, с нашей точки зрения, имеем Ит /(х) = 0.
X оо
107
Отметим одно простое предложение.
ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) = с постоянна в некоторой
окрестности точки а, то
lim f(x) = с,
х —* а
причем с является единственным пределом этой функции при
х а.
(Доказательство этой теоремы предоставляем читателю.)
Функцию, имеющую предел, не следует путать с ограни-
ченной функцией.
Определение5. Функция f(x) называется ограни ченной
на данном множестве X, если существует такое положитель-
ное число М, что
|Дх)| < М при х € X.
Если такого числа М нет, то функция f(x) называется неог-
раниченной.
ЛЕММА. Функция f(x), имеющая предел А при х -* а, огра-
ничена в некоторой окрестности точки а.
Действительно, выбирая е = 1, имеем |Дх) - А| < 1 при х е Ua,
где Uа — соответствующая окрестность точки а.
Отсюда для всех допустимых значений аргумента х1) полу-
чаем
I/(X)| = |[/(х) - А] + А| < | Дх) - А\ + |А| < 1 + \А\ = М,
если только х е Ua.
Замечание 4. Обратное утверждение неверно: ограниченная функ-
ция может не иметь предела.
Например, функция Дх) = sini ограничена при 0 < |х| < +°° и не
х
имеет предела при х -* 0.
Отметим еще одну теорему, устанавливающую связь между
границами функции и ее пределом.
ТЕОРЕМА 2. Пусть существует lim Дх) = А и
х—>а
М < Дх) < N	(8)
в некоторой окрестности Ua точки а. Тогда
M<A<N.	(9)
То есть таких х € Ua, для которых функция Дх) имеет смысл.
108
Доказательство. Действительно, пусть А < М. Полагая
е = М- А>0, в некоторой окрестности Va точки а будем иметь
|/(х) - А| < М - А, т. е. -(М - А) < f(x) - А < М - А.
Отсюда, выбирая х G Va A Ua, получаем f(x) < М, что проти-
воречит левому неравенству (8).
Аналогично опровергается предположение А > N.
Замечание 5. Теорема 2 остается верной, если в (8) одно или оба
неравенства нестрогие.
Следствие. Положительная функция не может иметь от-
рицательного предела.
Замечание 6. Понятие предела функции одной переменной естест-
венно переносится на функции нескольких переменных.
Рассмотрим, например, функцию двух переменных /(х, у),
заданную на некотором множестве X плоскости Оху.
Под окрестностью Ua ь точки Мо (а, Ь) (а и Ь конечны) будем
понимать внутренность любого прямоугольника {ах < х < Рх,
а2 < у < Р2}, построенного вокруг точки Мо (т. е. ах < а < р1?
а2 < Ь < Р2), из которого удалена сама точка Мо.
В таком случае утверждение
lim /(х, у) = А
х -* а
У^Ь
означает, что Ve > 0 Э17а>д такая, что VM(x, у) 6 Uab справедливо
неравенство
|/(х, у) - А\ < г.	(10)
Конечно, при этом предполагается, что в любой окрестности Uab
найдутся точки М(х, у), в которых функция /(х, у) имеет смысл
(предельная точка).
Это определение легко обобщается на тот случай, когда а или
Ь или оба вместе — символы оо.
§ 4. Односторонние пределы функции
В приложениях встречаются так называемые односторонние
пределы функции.
Введем понятия левой и правой окрестностей точки а
(а — число).
109
Определение 7. 1) Любой интервал Ua = (а, а), правым кон-
цом которого является точка а, называется ее левой
окрестностью.
2) Аналогично, любой интервал U* = (а, р), левым концом
которого является точка а, называется ее правой ок-
рестностью.
Символическая запись х —> а - 0 обозначает, что х принимает
лишь значения, принадлежащие некоторой левой окрестности
точки а, т. е. х а, х < а.
Аналогично, запись х —> а + 0 обозначает, что х а, х > а.
Определение 2. 1) Формула
lim f(x) = А,
х — а-О
где функция f(x) определена на множестве Хи а — предельная
точка этого множества (а — конечное), а А -— число, обозна-
чает, что Ve > 0 3 U~a такая, что
|/(х) - А| < е при х е Xn U~v	(1)
(предел функции слева).
2) Аналогично, формула
lim f(x) = В
х->а + О
(В — число) имеет следующий смысл:
|/(х) - В| < е при X е X п и: * 2>,	(2)
где е > 0 произвольно и U* зависит от £ (предел функции справа).
Для чисел А и В употреб-
ляется символическая запись
(рис. 87)
А = f(a - 0) и В = f(a + 0).
Если функция f(x) опреде-
лена в точке а, то ее значение
в этой точке обозначается че-
рез f(a); конечно, оно может не
совпадать с числами f(a - 0) и
7(а+ 0).
Можно, конечно, ограничиться рассмотрением левых 8-окружно-
стей точки a: U~ = (а - 8, а), где 8 = 8(e) > 0.
2> Обычно полагают U* = (а, а + 8), где 8 = 8(e) > 0.
110
Определение 3. Под окрестностью символа — оо по-
нимается любой интервал (-оо, а), а под окрестностью сим-
вола Ч-оо понимается любой интервал (р, +оо).
Формулы
lim /(х) = А' и lim f(x) = В'
расшифровываются так:
|/(х) - А'| < е при х €(—°°, Дх),
а
|/(х) - В'| < £ при х € (Д2, +°°),
где е произвольно, х С Хи= Д^е) (г = 1, 2).
Пример. Пусть /(х) = sgnx Д (х 0) (рис. 88).
м
Имеем	и А
у z/=sgiix
lim f(x) = -1, lim /(1) = l1).	1 *----~-------
X — a-Q	x-*a + 0
Замечание. Для существования	q|	%
предела функции f(x) при x a	. ,
(a — число) необходимо и достаточно
выполнение равенства
f(a - 0) = f(a + 0).	Рис. 88
§ 5. Предел последовательности
Под последовательностью
хи х2, ...» хп, ...	(1)
понимается функция хп = /(и), заданная на множестве натураль-
ных чисел X = {1, 2, ...}.
По аналогии с пределом функции в бесконечно удаленной
точке вводится понятие предела последовательности.
А именно, число а есть предел последовательности хп (п = 1,
2, ...):
lim хп = а2>,
п-^оо
п Здесь для краткости используются обозначения: -0 0 - 0 и +0 =
0+0.
2> Строго говоря, нужно писать п —► +оо. Но так как п — натураль-
ное, то по смыслу п —► оо и п -* +оо — одно и то же.
111
если для любого е > 0 существует такое число N, зависящее от
е, что для всех натуральных п > N выполнено неравенство
|х„ - а\< е.
Пример. Пусть хг = 0,9, х2 = 0,99, х3 = 0,999,... .
Имеем
<” - >• г-•••>•
Пусть е > 0 — произвольное число. Тогда |хп
11 ==	если
’	10«
n > Igl = N, Следовательно,
е
lim хп = 1.
П -* со
§ 6. Бесконечно малые
Опрелеление. Функция а(х) называется бесконечно
малой при х а (а — вещественное число или символ оо),
если для любого е > 0 существует такая окрестность Ua точ-
ки а, что
|а(х)| < е при х е UalK	(1)
Условие (1) эквивалентно следующему:
lim а(х) = 0,	(2)
п -* а
т. е. предел бесконечно малой а(х) равен нулю и обратно.
Иными словами,
а(х) —► 0 при х —► а.	(3)
Аналогично определяется бесконечно малая функция при
х—>а-0их —>а + 0, а также при х —>	или х +°°.
Замечание 1. Если
lim f(x) = А,	(4)
х -* а
то в силу определения предела функции получаем, что разность
/(х) - А есть бесконечно малая. Таким образом, из формулы (4)
Как обычно, неравенство (1) должно выполняться для тех х, для
которых функция а(х) определена, причем предполагается, что множе-
ство таких значений не пусто в любой окрестности Ua точки а.
112
получаем представление функции f(x), имеющей при х -* а пре-
дел А, в виде
ftx) = А + а(х),	(5)
где а(х) —► 0 при х -* а.
Обратно, если для функции /(х) справедлива формула (5), то
число А является пределом функции при х — а. Из формулы (5)
вытекает важная лемма о сохранении знака функции.
ЛЕММА. Если lim /(х) = А * 0, то в некоторой окрестности
х —а
Ua точки а знак функции f(x) (х е X) совпадает со знаком
числа А.
Действительно, пусть г = |А| > 0. Выбирая окрестность Ua
так, чтобы |а(х)| < |А| при х € (7а, в силу равенства (5) будем иметь
sgn/(x) = sgn А1),
где х е Ua о X.
Пример. Точка М движется по оси Ох, причем закон движения ее
х « 2~fsin£ (t — время).
Очевидно, |х| < 2~* < е, если t > log2- = Т. Поэтому
е
lim х = 0.
t — +оо
Таким образом, точка М совершает затухающие колебания вокруг
начала координат.
Замечание 2. Функция f(x) = 0 в некоторой окрестности Ua9
по смыслу определения (1), является бесконечно малой
при х а.
Заметим, что никакая постоянная функция /(х) — с 0, где число
с сколь угодно мало по абсолютной величине, не может быть названа
бесконечно малой. Поэтому так называемые физические бесконечно ма-
лые (например, масса молекулы, размер атома, заряд электрона и т. п.),
с математической точки зрения, не являются бесконечно малыми.
§ 7.	Бесконечно большие
Определение. Функция f{x) называется бесконечно
большой при х^а(а~ число или символ оо):
/(х) -► оо при х а,	(1)
о Запись sgnx читается: «знак х». Функция sgnx определяется сле-
дующим образом: sgn х « +1, если х > 0; sgn 0 = 0; sgn х ~ -1, если х < 0
(ср. рис. 88).
113
если для любого Е > 0 существует такая окрестность Ua точ-
ки а, что
|/(х)| > Е при х 6 иа	(2)
для всех допустимых значений аргумента х.
Если функция f(x) — бесконечно большая при х —* а, то ус-
ловно пишут
lim f(x) = оо.	(3)
х—♦ а
Например, tg х -♦ оо при х —> 5.
А
Записи
lim Дх) = -оо, Нт Дх) = +оо
х а	х а
соответственно обозначают: f(x) < -Е при х € Ua и f(x) > Е при
х € Uа (Е > 0 произвольно и окрестность Ua зависит от Е).
Легко доказывается следующее утверждение.
ЛЕММА. 1) Если f(x) —► оо при х а, то l/f(x) —► 0 при
х~>а;	2) если а(х) —► 0 при х~>а (а(х) # 0 для х а), то
1/а(х) —► оо при х а.
Замечание. Неограниченная функция может не быть беско-
нечно большой.
Например, функция
f(x) = i sin i
X X
не ограничена в любой окрестности точки х = 0, однако она не
является бесконечно большой при х 0.
§ 8.	Основные теоремы о бесконечно малых
ТЕОРЕМА 1. Алгебраическая сумма конечного числа беско-
нечно малых при х а1) функций есть функция бесконечно
малая при х~>а.
Доказательство. Для простоты ограничимся тремя функция-
ми: а(х) -* 0, Р(х)	0 и у(х) —► 0 при х а.
1) Здесь и далее в этом параграфе мы будем предполагать, что все
рассматриваемые функции заведомо определены на некотором общем
множестве X, для которого а является предельной точкой. Рассматри-
ваемые значения х таковы, что х € X.
114
Рассмотрим их алгебраическую сумму
а(х) + Р(х) - у(х).
Пусть е > О — произвольное положительное число. Тогда
е/3 также будет некоторым положительным числом.
В силу определения бесконечно малой существуют три ха-
рактеризуемые числом е/3 окрестности U'a, U", U"' такие, что
|а(х)| < е/3 при х €	Ura,	(1)
|Р(х)| < е/3 при х 6	U",	(2)
|у(х)| < е/3 при х е	U'”,	(3)
Пересечение Ua = U'a П U" П U'” представляет собой окрест-
ность точки а, в которой одновременно будут выпол-
нены неравенства (1), (2) и (3). Таким образом,
|а(х) + р(х) - у(х)| < |а(х)| + |Р(х)| + |-у(«)| =
= |а(х)| + |Р(х)| + fr(x) | < |	|	| = е,
ООО
если х € Ua и х € X. А это и значит, что
а(х) + р(х) - у(х) 0 при х а.
Теорема доказана.
В частности, разность двух бесконечно малых при х а
функций есть функция бесконечно малая при х а.
Определение. Говорят, что функция f(x) ограничена
при х —»а, если она ограничена в некоторой окрестности Ua
точки а.
ТЕОРЕМА 2. Произведение ограниченной при х а функции
на бесконечно малую при х а функцию есть функция беско-
нечно малая при х а.
Доказательство. Пусть
|/(х)| < М(М > 0) при х € Va,
где Va — некоторая окрестность точки а п
а(х) 0 при х -+ а.
Тогда для произвольного е > 0 существует такая окрестность
Ua = К» что
|а(х)| < г/М при х 6 Ua.	(4)
Отсюда имеем
|/(х)а(х)| = |Дх)| |а(х)| < М • ± = е,
если х € Ua. Таким образом, /(х)а(х) —► 0 при х а.
115
ТЕОРЕМА 3. Произведение конечного числа бесконечно ма-
лых при х а функций есть функция бесконечно малая при
х -+ а.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала две функции а(х) -► О
и Р(х) -+ 0 при х -* а.
Полагая 0 < £ < 1 и рассуждая так же, как в теореме 1, убеж-
даемся, что существует такая окрестность Ua, что
|а(х)| < £, | Р(х)[ < £ при х е Ua.
Отсюда
|а(х)р(х)| = |а(х)| • |Р(х)| <£•£<£, если х € Ua.
Следовательно, а(х)Р(х) -* 0 при х 0.
2)	Если мы имеем, например, три функции а(х) —> 0, р(х) -+ 0,
у(х) 0 при х а, то, используя первую часть доказательства,
получаем а(х)Р(х)у(х) = [а(х)Р(х)]у(х)	0 при х -► а.
Следствие. Целая положительная степень [а(х)]а бесконечно
малой функции а(х) 0 при х -+ а есть бесконечно малая
функция при х -> а.
Замечание. Что касается отношения двух бесконечно малых а(х) —► 0
и Р(х) —* 0 при х —* а, то оно может быть функцией произвольного по-
ведения при х а.
Пример. Пусть а(х) = х, Р(х) = 2х + х2, у(х) = х2. Здесь при
х 0 имеем
а(х) -+ 0, Р(х) 0, у(х) 0;
Mi)=2+x-2;I^=x-0;“^ = l-oo.
а(х)	а(х)	у(х) х
С помощью действия деления можно сравнить между собой
бесконечно малые.
Определение 1. Дее бесконечно малые а(х) и Р(х) при х а
имеют одинаковый порядок при х -» а, если их от-
ношение имеет конечный предел, отличный от нуля, т. е.
lim = k 0.
х-а ₽(Х)
Определение 2. Говорят, что при х а порядок бесконечно
малой Р(х) выше порядка бесконечно малой а(х) (или, что то
же самое, порядок бесконечно малой а(х) ниже порядка беско-
нечно малой Р(х)), если отношение Р(х)/а(х) есть бесконечно
малая функция при х —* а, т. е.
lim = 0.
х-а а(х)
116
В этом случае пишут
Р(х) = о[а(х)] при х а.
Опрелеление 3. Говорят, что бесконечно малая Р(х) имеет
порядок п (п — натуральное число) относительно бесконеч-
но малой а(х) при х а, если
lim = k 0.
х-а ап(х)
Если же Р(х) = о[ап(х)] при х а (т.е. k = 0), то порядок Р(х)
выше п по сравнению с а(х).
§ 9.	Основные теоремы о пределах
Здесь мы также будем предполагать, что функции, рассмат-
риваемые в каждой из следующих теорем, определены на неко-
тором общем множестве X, для которого точка а является пре-
дельной точкой (точкой накопления).
ТЕОРЕМА 1. Если каждое слагаемое алгебраической суммы,
конечного числа функций имеет предел при х а, то предел
этой алгебраической суммы при х а существует и равен
такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Доказательство. Пусть, например, имеем алгебраическую сум-
му трех функций Дх) + g(x) - й(х), где
lim Дх) = A, lim g(x) = В, lim Л(х) = С.
х~* a	х—* a	хa
Так как функции отличаются от своих пределов на бесконеч-
но малые, то получаем
f(x) = А + а(х), g(x) = В + Р(х), й(х) = С + у(х),	(1)
где а(х) -* 0, Р(х) —* 0, у(х) -* 0 при х —* а. Из равенств (1), ис-
пользуя теорему об алгебраической сумме бесконечно малых
(§ 8, теорема 1), будем иметь
/(х) + g(x) - h(x) = (А + В- С) + [а(х) + р(х) - у(х)],	(2)
где а(х) + Р(х) - у(х) —> 0 при х -* а. Из равенства (2) вытекает,
что сумма /(х) + g(x) - Л(х) отличается от числа А + В - С на
бесконечно малую и, следовательно, это число является пре-
делом данной суммы. Таким образом, имеем
lim [/(х) + g(x) - й(х)] = А + В - С =
= lim /(х) + lim g(x) - lim й(х),	(3)
х —* а	х~> а	х-^ а
что и требовалось доказать.
117
Следствие. Функция может иметь только один предел при
х~>а.
Действительно, если f(x) -+ А и Дх) А' при х а, то на
основании теоремы 1 получим
Дх) - Дх) = 0 —* А - А' при х —► а.
Так как предел постоянной функции равен самой функции и
единствен (§ 3, теорема 1), то отсюда имеем А - А' = 0, т. е. А' =А.
Замечание. В условии теоремы предполагалось, что каждая из функ-
ций имеет предел, и доказывалось, что и их сумма также имеет предел.
Обратное, вообще говоря, не верно: из существования предела суммы не
следует существования пределов слагаемых. Например, имеем
lim (sin2x + cos2x) = 1,
X -* ОО
тогда как lim sin2x и lim cos2x не существуют, и поэтому здесь
Х~*оо	х~>оо
lim (sin2x 4- cos2x) lim sin2x + lim cos2x.
x oo	x	x -* °°
Таким образом, формулировка «предел суммы равен сумме преде-
лов слагаемых» является нестрогой.
Аналогичное замечание следует иметь в виду для предела произве-
дения (теорема 2) и предела частного (теорема 4).
ТЕОРЕМА 2. Если каждый из сомножителей произведения
конечного числа функций имеет предел при х а, то предел
произведения при х -» а равен произведению пределов сомно-
жителей.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала произведение двух
сомножителей Дх)#(х), и пусть
lim Дх) = А и lim g(x) = В.
х — a	х—> a
Имеем
Дх) = А + а(х), g(x) = В + Р(х),	(4)
где а(х) -> 0 и Р(х) -> 0 при х -> а. Отсюда получаем
f(x)g(x)=A- В + у(х),	(5)
где
у(х) = АР(х) + Ва(х) + а(х)Р(х).	(6)
Из основных теорем о бесконечно малых (§ 8, теоремы 1, 2 и 3)
следует, что у(х) -♦ 0 при х а. Поэтому на основании равенства
(5) будем иметь
lim [/(x)g(x)] = А • В = lim Дх) lim g(x).	(7)
х-а	х~* а х—> а
118
2) Рассмотрим теперь, например, произведение трех функ-
ций Дх)#(х)й(х), имеющих конечные пределы при х —► а. Ис-
пользуя первую часть доказательства, находим
lim [f(x)g(x)h(x)] = lim {/(х)[£(х)Л(х)]} =
х —* а	х —* а
= lim f(x) lim [g(x)/i(x)] = lim /(x) lim g(x) lim h(x).
x->a x-*a	x-*a x — a x~>a
Следствие 7. Постоянный множитель можно выносить за
знак предела.
Действительно, если с есть постоянная функция, то
lim [сДх)] = lim с lim Дх) = с lim Дх).
х—х-*а х-> а	х а
Следствие 2. Если функция Дх) имеет предел при х -* а, то
предел при х-+ а целой положительной степени ее равен такой
же степени предела этой функции, т. е.
lim [Дх)]а = [ lim Дх)]Л
х -* а	х — а
(п — натуральное число).
Пример 1.
lim (х + 10)(х + 20)2(х + 30)3 в
х-*оо	X6
= lim Г( 1 + W1 + 20? fl + 30V1 _
= lim f 1 +	—1	lim f 1 + — Y	lim f 1 +	—V	= 111 = 1.
X — °o\	X/	x —oo\ xj	x~*°°\	xj
ЛЕММА. Пусть Дх) —>4^0 при х -+ а. Тогда обратная по
величине функция l/f(x) ограничена в некоторой окрестности
Ua точки а.
Действительно, положим е = |А| > 0. На основании определе-
ния предела функции имеем
|/(х) - А| < | = И! при X 6 иа
для всех допустимых значений х. Отсюда получаем
|/(х)| = |А - [А - /(X)] I >
> |А| - |А - /(х)| > |А| -	> 0 при х € Ua.
Zj	4U
119
Таким образом,
I 1 I = 1 < А
|/(х)|	1/(*)1	|А| ’
если х € Ua, что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА 3. Если функция f(x) имеет предел при х —> а,
отличный от нуля, то предел при х а обратной ей по
величине функции l/f(x) равен обратной величине предела дан-
ной функции, т. е.
1
lim -2— = -—-— .
x-*aftx) lim ft х)
(8)
Локазательство. Действительно, пусть lim f(x) = А * 0. Тогда
х а
на основании леммы, учитывая, что произведение ограниченной
функции на бесконечно малую есть бесконечно малая (§ 8, тео-
рема 2), будем иметь
йЧ'Опр"
Отсюда получаем
lim — = 1 -	1
х-aftx) A limftx) *
ТЕОРЕМА 4. Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пре-
делы при х~* а и предел делителя отличен от нуля, то предел
их частного (дроби) при х —> а равен частному пределов дели-
мого (числителя дроби) и делителя (знаменателя дроби), т. е.
. limftx)
lim Zw = х'а .
x-ag(x) limg(x)
(9)
Локазательство. Пусть lim g(x) 0. Тогда, используя теорему
х — a
о пределе произведения (теорема 2) и теорему о пределе обратной
величины функции (теорема 3), получаем
lim ГЙ£1"| = Нт Г f(x) • —1 = lim f(x) lim -— =
x->aL$(x)J x — aL	4T(x)J x — a	x — a g(x)
1	lim ft x)
= lim f(x) • ------- =	.
x — a lim^(x) lim^(x)
x — a	x a
120
Пример 2.
lim х*~ * = lim —(х~ !)(* + 1)— = цт х +.А	=
х-1Х3-1	х-1 (х-1)(Х2 + Х+1)	х-1Х2 + Х+1
lim(x+l)
= х 1 = _
lim(x2 + х.+ 1)	3
_ 2
Без доказательства приведем еще одну теорему.
ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) имеет предел при х —> а и
nJf(x) (п — натуральное) существует в точке айв некоторой
ее окрестности Ua, то
lim nJf(x) = Jlimf(x).
х -* a	N х -* а
(10)
§ 10. Некоторые признаки
существования предела функции
Не всякая функция имеет предел, даже будучи ограничен-
ной. Например, sinx при х -» °о предела не имеет, хотя |sinx| < 1.
Укажем два признака существования предела функции.
ТЕОРЕМА о промежуточной функции. Пусть в не-
которой окрестности Ua точки а функция f(x) заключена меж-
ду двумя функциями <р(х) и щ(лс), имеющими одинаковый предел
А при х а (рис. 89), т. е.
ф(х) < /(х) < ф(х)	(1)
и
lim <р(х) = lim щ(х) = А.	(2)
ха	х—* а
Тогда функция f(x) имеет тот же предел:
lim f(x) = А.	(3)
х -* а
121
Доказательство. Из неравенства (1) имеем
ф(х) - А < f(x) - А < ф(х) - А
Отсюда
I/O) - А| < тах(|<р(х) - А|, |ф(х) - А|).	(4)
На основании условия (2) для любого е > О существует такая
окрестность С7а, что
|ф(х) - А| < е и |\у(х) - А| < е при х 6 С7а.	(5)
Поэтому из неравенства (4) получаем
|/(х) - А| < е при X ё Ua,	(6)
т. е. справедливо равенство (3).
Определение. 1) Функция f(x) называется возраста-
ющей {не у бывающей) на данном множестве X, если из
неравенства хг < х2 (xlt х2 С X) вытекает неравенство
f{xi) < /(хг) (соответственно /(хг) < /(х2)).
2) Функция f(x) называется убывающей (не возрас-
тающей) на X, если из неравенства хх < х2 (х19 х2 € X) сле-
дует неравенство f(xr) > f(x2) (соответственно f(xr) > f(x2)).
Возрастающая (не убывающая) или убывающая (не возрастаю-
щая) функция называется монотонной на данном множестве X.
ТЕОРЕМА. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена при
х <а или при х> а. Тогда существует соответственно левый
предел
lim f(x) = f(a - 0)
х —- а - 0
или правый предел
lim f(x) = f(a + 0).
х -* а + 0
Несмотря на наглядность этой теоремы, доказательство ее не
может быть здесь приведено.
Замечание. Аналогичное утверждение верно для а = -оо или для а
= -I-оо.
Следствие. Ограниченная монотонно возрастающая или мо-
нотонно убывающая последовательность хп (п = 1, 2,...) имеет
предел.
Пример. Рассмотрим последовательность периметров Р3, Рб,
Р12, ... правильных n-угольников (п = 3, 6, 12, ...), вписанных в
окружность радиуса R и получаемых в результате удвоения чис-
ла их сторон.
122
Легко убедиться, что
P3<P6<P12< •••>
т. е. периметр Рп монотонно возрастает вместе с п, В то же время
величина Рп ограничена, так как периметр каждого вписанного
правильного n-угольника никогда не превышает периметра лю-
бого описанного многоугольника, в частности, например, пери-
метра описанного квадрата, т. е. Рп < 8R.
Следовательно, существует
lim Рп = С,
П-* оо
который принимается за длину окружности.
§ 11. Предел отношения синуса
бесконечно малой дуги к самой дуге
ТЕОРЕМА. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги
к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, т. е.
lim = 1.	(1)
х -г а X
Доказательство. 1) Пусть сначала х > 0; причем так как дуга
х стремится к нулю, то можно считать, что 0 < х < 5.
А
В тригонометрическом круге радиуса R = 1 построим угол
х = ZAOB (рис. 90), и пусть DB — длина перпендикуляра, опу-
щенного из точки В на радиус ОА, м. АС — отрезок касательной
к окружности, проведенной в точке А до точки пересечения ее с
продолженным радиусом АВ. Очевидно, имеем
пл. А АОВ < пл. сект. ОАВ <
< пл. ДОАС.
Так как DB = sin х и АС = tg х,
то на основании формул элементар-
ной геометрии получаем
т. е.
(2)
|sinx< lx< i tgx,
Си
sin х < х < tg х.
123
Разделив все члены последнего двойного неравенства на по-
ложительную величину sinx, будем иметь
	1 < _^_ < _1_ ,	(3) sinx cosx
или	cos х <	 < 1.	(4) X
Пусть х +0; тогда из наглядных соображений получаем
cos х -> I1). Таким образом, из неравенства (4) следует, что функ-
ция заключена между двумя функциями, имеющими об-
щий предел, равный 1. На основании теоремы о промежуточной
функции (§ 12) получаем
lim 5HL3E =1.	(5)
х-*+0 X
2) Пусть теперь х < 0; имеем	, где -х > 0. По-
х -х
этому
limsinx==1<	(5')
х--0 X
Из формул (5) и (5') очевидно вытекает равенство (1) (см. § 4,
замечание).
Замечание. Из формул (2) вытекает, что если 0 < |х| <
< я/2, то
|sin х| = sin |х| < |х|.
Отсюда, так как |sin х| не превосходит 1, при любом х спра-
ведливо неравенство
|sin х| < |х|,	(6)
причем равенство имеет место лишь при х == 0. Неравенство (6)
часто используется для оценки синусов малых дуг.
Действительно, так как в силу (2) |sinx| < |х| (|х| < л/2), то синус
бесконечно малой дуги есть бесконечно малая. Отсюда 1 - cos х»
= 2 sin2 0 при х -* 0, т. е. lim cosx = 1.
2 н	х—*о
124
§ 12. Число е
Рассмотрим выражение
где и — натуральное число.
Будем давать п неограниченно возрастающие значения и вы-
/	1
числять соответствующие значения степени 1 + - .
к nJ
Получим следующую таблицу;
n	1	2	10	100	1000	10000	...
f	1 A" 1+ i k nJ	2	2,25	2,594	2,705	2,717	2,718	...
Мы видим, что с возрастанием п степень 1 4- - изменяется
к nJ
все медленнее и медленнее и, по-видимому, стремится к некото-
рому пределу, приближенно равному 2,718. Докажем, что это
действительно так.
ТЕОРЕМА. Последовательность
fl + Г)" (га = 1, 2, ...)
k nJ
стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.
Доказательство. Пользуясь биномом Ньютона (см. гл. XI, § 5),
будем иметь
fi+ =i + n.i + n(»-D .fiy + n(n-iXn-A).|T|3 +
+	l)...[ft-(n- 1)] . fiy
l-2-З...п knJ
или
fl+ 1Г-2+ Ifl - 1) + 1(1 - iVl - ?) + ...
k nJ	2 k nJ 2 • 3 k	n) I n)
-+o-4—f1 - -If1 - -1 ••• f1 - — u)
2-3...nk	nj\ nJ k nJ
125
При п > 1 все слагаемые в формуле (1) положительны, причем
с возрастанием показателя п увеличивается число слагаемых и
каждое соответствующее слагаемое становится больше.
Следовательно, последовательность 1 + - начиная с на-
k nJ
именыпего значения, равного 2, растет вместе с показателем га.
С другой стороны, очевидно, что каждое слагаемое в правой
части формулы (1) увеличится, если все множители знаменате-
лей заменить на двойки, а каждую из скобок заменить единицей.
Поэтому
В силу известной формулы для суммы геометрической прогрес-
сии имеем
2	22	2""1	1	2""1
2
Отсюда
/	1 Л"
(1+ 1) <3.
\ nJ
п
1 + -1 при не-
га/
ограниченном возрастании га постоянно возрастают, оставаясь
больше 2, но меньше 3.
Следовательно, на основании следствия к теореме из § 10 су-
ществует конечный предел этой последовательности, очевидно,
принадлежащий отрезку [2, 3] (см. § 3, теорема 2). Этот предел
является иррациональным числом и обозначается буквой еЧ
Итак,
/	1 \ л
е = lim 1 + i .
х-*оо \	nJ
Приближенное значение этого числа есть е — 2,7182818284.
Можно доказать, что функция
(1 + 1Г (х € (-оо, -1) U (0, + оо))
\ XJ
Обозначением числа е и его широким применением во многих воп-
росах математики мы обязаны петербургскому академику Л. Эйлеру.
126
при х -+ оо стремится к числу е:
е = lim 11 + i .
х-оо V х)
Дрщхи. другое выражение для числа е. Полагая i = а (а > -1),
х
будем иметь
1
е = lim (1 +а)а .
а-*оо
С помощью числа е удобно выражать многие пределы.
(2V
1 + - .
X/
2
Полагая - = а, будем иметь
х
lim fl +	= lim (1 + а)2/а = lim [(1 + а)1/а]2 = е2,
х —оо\	XJ	а-* О	а —О
Показательная функция вида
У = ех,	(2)
где е = 2,71828..., называется экспоненциальной; употребляется
также обозначение
ех = ехр х.
График функции (2) изображен
функция играет важную роль в
приложениях.
Пример 2. Пусть некоторая хи-
мическая реакция протекает так,
что в каждый момент времени t ско-
рость образования вещества пропор-
циональна количеству этого вещест-
ва, имеющемуся в наличности в дан-
ный момент времени.
Обозначим через Qo начальное
количество этого вещества (т. е. ко-
личество вещества в момент времени
t = 0). Промежуток времени (0, t)
разобьем на п мелких промежутков:
(о С f £	((п ~ 1)*
\ nJ 9 \л 9 п J 9 I п 9 п )'
на рис. 91. Экспоненциальная
математическом анализе и его
Рис. 91
127
Если в течение каждого из этих весьма малых промежутков ско-
рость реакции считать постоянной, то количества вещества в моменты
времени
£ 2t nt s= t
n* n ***’ n
соответственно будут равны
Qi - Qo + kQ0 • 1 = Qofl +	,
n	\	nJ
«2 = Qj + *Q1 • - = Qjf 1 + -1 = Qo(* + -V.
П	\	n J	\ n J

4
Qn = Qn-i+ kQn-^-Q.-/1 + -]-Qo(l+ -Г.
n	\ nJ k n J
где k — данный коэффициент пропорциональности (закон сложных
процентов). Но согласно условию задачи прирост количества вещества
происходит непрерывно Поэтому, чтобы получить точную формулу,
нужно предположить, что число наших промежутков неограниченно
возрастает, а каждый из них стремится к нулю.
Отсюда, считая, что £	0, для количества вещества Q в момент
п
времени t будем иметь такую формулу:
Этот предел легко выразить через число е. В самом деле, введя обо-
ь
значение — = а, где а -* 0, получим
п	\
Q = Qo lim [(1 + а)1**]*,
а~»0
Т. е.	;
Q = Qoekt.	(3)
Это и есть закон, по которому происходит рост вещества в наших
условиях.
Формула вида (3) встречается при изучении многих процес-
сов, как-то: распада радия (здесь k < 0), размножения бактерий
и т^ п. Отсюда ясно, какую важную роль играет число е в мате-
матическом анализе и его приложениях.
128
§ 13. Понятие о натуральных логарифмах
Если основание логарифмов равно числу е, то логарифмы на-
зываются натуральными или пейеровыми^ и обозначаются так:
loge х = In х.
В высшей математике употребляются почти исключительно
натуральные логарифмы, так как многие формулы для них, как
мы увидим ниже, оказываются более простыми, чем для лога-
рифмов других систем* 2*.
Выведем соотношения между натуральным логарифмом чис-
ла и логарифмом этого числа при основании а(а > 0, а # 1). Пусть
мы имеем
У = loga х;
отсюда
аУ = х.
Логарифмируя это равенство при основании е, находим
у In а = In х.
Отсюда
и = In х,
* Ina
или
l°gaх = i^;ln х-	I1)
Ina
Эта формула выражает логарифм числа х при основании а
через натуральный логарифм этого числа.
Заметим, что, полагая х = е в формуле (1), имеем
loga е = J- In е =	.
ma Ina
Полагая в формуле (1) а = 10, получаем
1g х = log10x = Mln х,	(2)
где М =	= 1g е = 0,43429 — модуль перехода (от натураль-
ных логарифмов к десятичным).
п По имени шотландского математика Непера — изобретателя лога-
рифмов.
2) Кроме того, в приложениях часто встречаются показательные за-
кономерности вида (3) из предыдущего параграфа; в связи с этим более
удобно пользоваться логарифмами при основании е.
5 Б. Демидович; В. Кудрявцев	129
Обратно, из формулы (2) находим
1п X = A 1g X,
М
(3)
где = In 10 - 2,30258.
м
§ 14. Понятие об асимптотических формулах
Пусть ф(х) и ф(х) — функции, определенные в окрестности
точки а.
Обобщая определение § 8, будем говорить, что
у(х) = о (ф(х)) при х -* а,	(1)
если
у(х) - а(х)ф(х),	(2)
где а(х) —► 0 при х —> а.
Если ф(х) 0 в некоторой окрестности точки а, то из (2) имеем
lim ^=0
х~*а ф(х)
(ср. § 8).
Определение. Если при х —> а справедливо равенство
f(x) = ф(х) + о(ф(х)),
(3)
(4)
то ф(х) называют асимптотическим членом (или
асимптотическим выражением) для функции f(x) при х а.
Употребляется запись: f(x) - ф(х) при х а. Если ф(х) 0
при х € Ua, то из формулы (4) получаем
lim =1.
х-*а ф(х)
(5)
Выясним условия существования для функции Дх) нену-
левого линейного асимптотического члена:
Пусть
ф(х) = kx + Ь при х
Дх) = kx + Ъ + а(х),
где а(х) — бесконечно малая при х —* °°, т. е. а(х) = о(1) при
х —► оо, причем, очевидно, также а(х) — o(kx + Ъ) при х оо.
Из (7) будем иметь
f(x) k + Ь + а(х).
X	XX*
(8)
130
Переходя к пределу при х —* 00 в равенстве (8) и учитывая,
что -► 0 при х -» оо, получаем
lim	(9)
л • -О X
Из формулы (7) находим
b = lim [/(х) - kx].	(10)
х оо
Обратно, если существуют пределы (9) и (10), из которых хо-
тя бы один ненулевой, то справедливо асимптотическое разло-
жение (7). Действительно, из формулы (10), где k определяется
равенством (9), имеем
lim [/(х) - kx - &] = 0.
X —оо
Отсюда непосредственно вытека-
ет формула (7).
График линейного асимпто-
тического члена у = kx + b на-
зывается асимптотой кривой
У - f(x) (рис. 92); причем случай
k = 0, Ъ = 0 не исключается.
Здесь для точек М(х, у) на кри-
вой и М'(х, У) на асимптоте У - у
= ММ' 0 при х —► ооО.
Пример. Построить при х —► 4- оо линейную асимптотическую фор-
мулу для функции /(х) « Jx2 + х + 1 .
Используя формулы (9) и (10), имеем:
k = lim
х — +ОО
7x2tx + 1 = lim /1 + 1 + 2-
X	x—*+°° Л/ XX2
И
b = lim (7х2 + х+ 1 - х) = lim .	----
*-*+о°	*-*+о° 7х2 + X + 1 + X
= lim
X + °°
Таким образом,
а/х2 + х 4-1 ~ х + | при х Ч-оо.
Если пределы (9) и (10) существуют при х —► -оо или при х -* 4- оо,
то асимптотическая формула (7) верна при соответствующих условиях.
В этом случае график функции у = Дх) имеет левую асимптоту
или соответственно правую асимптоту.
131
УПРАЖНЕНИЯ
1.	На числовой оси построить множества точек, определяемых не-
равенствами:
а) |х + 2| < 1; б) |х - 3| > 3; в) 0 < |х - 1| < 1/2; г) 1 < |х| < 2.
2.	При определении массы тела был получен приближенный резуль-
тат т = 2,57 г с абсолютной погрешностью До < 0,01 г. Определить пре-
дельную относительную погрешность 8 числа т.
3.	Сколько верных цифр имеет приближенное число х = 35,719,
если относительная погрешность его 80< 1%?
4—10. Найти пределы:
A X 14™ 1000x 4. a) lim —-у ;	6) lim x-> oo	x2-3x + 2 . X2 - 1	’	B) lim x-l	X2-l
5. a) lim	;	6) lim	Vx-2	6. lim	.
x—*9 X-9	x-> oo	x-8	X-OO X
7. lim *“5x.	8. lim	1 - cosx	
x-0	X	x~* 0	X2	
9. lim sinx^sina	10. lim	tgx	
x-a	x-a	x —* 0	1 X	
11. Выяснить поведение корней хг и х2 квадратного уравнения
ах2 + Ъх + с == 0,
если коэффициент а -* 0, а коэффициенты М 0 и с постоянны.
12. Пусть = х и у2 = Jx2 4-1. Показать, что lim (у2 - уг) « 0.
X— +ОО
Выяснить геометрический смысл этого равенства.
13—18. Найти пределы:
13. lim fl + 2Л .	14. lim 	.	15. lim fl -	.
n — oo\ 2nJ	rt-*ool + 2n	n — OO\	nJ
f
16.	lim 11 + - .
n~*oo\	nJ
2
17.	lim (l-x)*.
x —0
18.	lim (
X->oo\X + 1
ГЛАВА VIII
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 1. Приращения аргумента и функции.
Непрерывность функции
Пусть х есть некоторое значение данной переменной величи-
ны. Наряду с х рассмотрим другое значение хг этой переменной
величины. Введем следующее определение.
Определение. Приращением переменной величины на-
зывается разность между новым значением этой величины и
ее прежним значением, т. е. в нашем случае приращение пере-
менной величины равно xt - х.
Для обозначения приращения используется греческая буква А;
так, например, Ах = хх - х обозначает приращение величины х.
Прибавляя к значению переменной величины ее прираще-
ние, получаем приращенное значение этой величины. Напри-
мер, х + Ах есть приращенное значение величины х.
Предположим, что у есть некоторая функция от аргумента х,
т. е.
У = /(х).	(1)
Дадим аргументу х приращение Ах; тогда у получит соответст-
вующее приращение Аг/. Этот факт, очевидно, можно записать
так:
у + Ду = f(x + Дх).	(2)
Из равенств (1) и (2) следует
by = f(x+ Ах)-/(х).	(3)
Пример 1. Определить приращение
аргумента х и приращение функции у = х2,
если аргумент х изменился от -1 до 2.
Здесь, очевидно, Дх = 2 - (-1) = 3 и
Ду = 23 - (-1)3 = 9.
Понятие приращения функции
поясним геометрически. Пусть кри-
вая АВ есть график функции у = /(х)
(рис. 93).
133
Рассмотрим на этой кривой точку М с текущими координа-
тами х и у. Дадим абсциссе х точки М(х, у) приращение Az/,
тогда ордината ее у получит приращение Az/. Точка М(х, у) зай-
мет при этом положение М'(х + Ах, у + Аг/). Пусть С есть точка
пересечения прямой, проходящей через точку М и параллельной
оси Ох, и перпендикуляра M'N', опущенного из точки М' на ось
Ох. Очевидно, что
МС = Ах, СМ' = \у.
Может случиться, что для некоторого х при стремлении Ах
к нулю точка М' неограниченно приближается к точке М и, сле-
довательно, Az/ также стремится к нулю. В таком случае функция
г/ = Дх) называется непрерывной при данном значении х. Более
точно:
Определение 1. Функция f(x), определенная на множестве X,
называется непрерывной при х = х1(или непрерыв-
ной в точке хх), если:
1) функция определена при х = xt (т. е xr е X);
2) приращение функции в точке хг стремится к нулю, ког-
да приращение аргумента Ахх = х - хх стремится к нулю, т. е.
lim [/(«J + Дхх) - f(xx)] = 0,	(4)
Д*! -* О
где бесконечно малое приращение Ахх пробегает лишь те значе-
ния, для которых Дхх + Ахх) имеет смысл. При этом мы, как
всегда, предполагаем (см. гл. VII, § 3), что хх является пре-
дельной точкой множества X и, таким образом, в любой
окрестности UXi найдутся точки хх + Ахх € X, отличные от хх
(Ахх 0), для которых функция Дх) определена.
Короче говоря, функция называется непрерывной в
данной точке, если в этой точке бесконечно малому при-
ращению аргумента соответствует бесконечно малое прира-
щение функции.
Используя понятие предела функции (гл. VII, § 3), получаем
развернутое определение непрерывности функции в
точке: функция f(x) непрерывна в точке хх тогда и только
тогда, когда Ve > 0 38 = 8 (е, Хх) > 0 такое, что
\f(x) - f(xx)| = |/(хх + Дхх) - ftxx)| < £,	(5)
если x = xx + Дхх и 0 < | Дхх| < 8 (Дхх — любое допустимое при-
ращение). Заметим, что неравенство (5), очевидно, выполнено и
при Ахх = 0, т. е. здесь 8-окрестность точки хх можно трактовать
как полную: |Ахх| < 3.
134
Определение 2. Функция f(x) называется непрерыв ной
на данном множестве X, если: 1) она определена на
этом множестве (т. е. Ух 6 X ЭДх)); 2) непрерывна в каждой
точке этого множества, т. е. Ух е X справедливо равенство
lim &у = lim [Дх + Ах) - Дх)] = 0,	(6)
Дх-*0	Дх-*0
где х + Ах € X.
Замечание. Множество X здесь трактуется как область опре-
деления функции, т. е.точких£Хих + Дх$Хнерассматриваются.
Например, функция Дх) непрерывна на отрезке [а, &], если:
1) эта функция определена в каждой точке этого отрезка,
2) Ух 6 [а, Ь] справедливо равенство (6), где х + Ах €[а, &].
Пример 2. Функция
f(} =	1 при х 6 [0, 1],
м 7	0 при xi [0,1]
непрерывна на отрезке X = [0, 1], хотя она не является непрерывной
на оси < х < +°°.
Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию у = х2. Давая
аргументу х приращение Дх, получим
у + Ду = (х 4- Дх)2 = х2 + 2х • Дх + (Дх)2,
где Дг/ — приращение функции у. Отсюда
Ду = Дх • (2х + Дх).
Очевидно, каково бы ни было фиксированное значение х, если Дх бес-
конечно мало, то Ду также будет бесконечно малым. Следовательно, функ-
ция х2 непрерывна при любом значении аргумента х. Иными словами, х2
является непрерывной функцией в бесконечном интервале (-°°, +«>).
Легко также доказать непрерывность степенной функции хп, где
п — натуральное постоянное число.
Определение 3. Точка, в которой нарушается непрерыв-
ность функции, называется точкой разрыва этой функции.
Если х = х0 — точка разрыва функции у = Дх), то возможны
два случая:
1) функция f(x} определена при х = х0, причем
Ду = f(x0 + Ах0) - f(x0) А 0
при 8х0 = х - х0 —” 0;
2) функция Дх) не определена при х = х0 и говорить о при-
ращении функции в точке х0 не имеет смысла. В этом случае
условимся х = х0 называть точкой разрыва функции Дх) только
тогда, когда функция Дх) определена в непосредственной бли-
зости значения х0Ч
То есть при любом е > 0 в интервале (х0 - е, х0 + е) найдутся точки,
где функция Дх) определена.
135
Если можно изменить или дополнительно определить функ-
цию /(х) в точке х0 (т. е. выбрать число /(х0)) так, что измененная
или пополненная функция /(х) будет непрерывна при х = х0, то
эта точка называется устранимой точкой разрыва функции /(х).
В противном случае, т. е. когда функция f(x) остается разрывной
при х = х0 при любом выборе числа /(х0), значение х0 называется
неустранимой точкой разрыва функции Дх).
Пример 4. Рассмотрим функцию Е(х), равную целой части числа х,
т. е. если х e п + q, где и — целое число и 0 < q < 1, то Е(х) = п (рис. 94).
Например, E(j2) = 1, Е(л) « 3, Е(-1,5) = -2 и т. д.
Функция Е(х) разрывна при каждом целочисленном значении ар-
гумента х. В самом деле, например, при х = 1 и достаточно малом Ах
имеем
Е(1 + Ах) = 1, если Ах > О,
и
Е(1 + Ах) = 0, если Ах < 0.
Отсюда, приняв во внимание, что Е(1) = 1, получим
Е(1 + Дх) - Е(1) -1 ?’ если >
I -1, если Ах < 0.
Следовательно, приращение функции Ду = Е(1 + Ах) - Е (1) не
стремится к нулю при Ах —* 0, поэтому функция разрывна при х = 1.
Аналогичное рассуждение можно провести для каждого из значе-
ний х = k, где k — целое число. Итак, точки х — k (k = 0, ±1, ±2, ...) —
неустранимые точки разрыва функции Е(х).
Пример 5. Пусть /(х) = 1/(х — 2)2.
Эта функция не определена при х = 2, но имеет смысл для всех зна-
чений х 2 (рис. 95). Какое бы значение мы ни приписали числу /(2),
всегда будем иметь
/(2 + Дх) - /(2) = -J- - /(2) - оо
(Дх)2
Рис. 94	Рис. 95
136
при Дх —> 0. Таким образом, здесь при х = 2 при любом выборе значения
/(2) бесконечно малому приращению Дх аргумента соответствует беско-
нечно большое приращение Az/ функции. Следовательно, эта функция
имеет неустранимую точку разрыва при х = 2.
§ 2. Другое определение непрерывности функции
Ввиду важности понятия непрерывности функции дадим
другое определение непрерывности в точке, эквивалентное при-
веденному выше.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной
при х = х19 если: 1) эта функция определена при х = хх;
2) имеет место равенство
lim f(x) = /(xi)1’,
X Xi
т. e. функция непрерывна в данной точ-
ке хх тогда и только тогда, когда пре-
дел функции при х -* хх равен значению
функции в предельной точке (рис. 96).
Здесь, понятно, предполагается, что пе-
ременная х принимает лишь те значе-
ния, для которых Дх) имеет смысл. Ины-
ми словами, для функции Дх), непрерыв-
ной при значении хх, из того обстоятель-
ства, что х -* хх, вытекает предельное со-
отношение
f(x) f(Xj).
Легко видеть, что:
1) если функция Дх) непрерывна при х = хх в указанном
ранее (§ 1) смысле, т. е. если	,
lim [Дхх + Дхх) - Дхх)] = 0,	(2)
Дхх -> 0
то, полагая хг + &хг = х, где, очевидно, х -* хх при Ах —► 0, и
пользуясь теоремой о пределе алгебраической суммы, получаем
lim Дх) = /(хх).	(3)
X Хл
Следовательно, функция Дх) непрерывна также при х = хх и в
нашем новом смысле;
Здесь, как обычно, предполагается, что хх есть предельная точка
области определения функции Дх).
137
2) очевидно, что, и обратно, из равенства (3) вытекает равен-
ство (2).
Таким образом, эквивалентность двух определений полно-
стью доказана.
Для функции, непрерывной на множестве X, в силу формулы
(1) для каждого значения xr 6 X выполнено равенство
lim f(x) = fix,).
X -* хх
Так как хх = lim х, то отсюда получаем
X -* Xl
lim f(x) = f( lim x),	,	(4)
X -» Xi	X — Xj
т. e. если функция непрерывна, то знаки предела и функции
перестановочны.
В подробных курсах анализа доказывается, что формула (4)
остается верной для любой непрерывной функции х = ф(£) такой,
что ф(0 —* хг при t	Таким образом, имеем усиленное
свойство перестановочности функции и предела:
lim Я<р(О) = f( Hm <Р(*))-	(5)
* — ii	t^t1
Из определения 3 (§ 1) вытекает, что функция разрывна в
данной точке тогда и только тогда, когда: или 1) не сущест-
вует предела функции в этой точке, или же 2) предел функции
в данной точке существует, но не совпадает со значением
функции в этой точке.
§ 3.	Непрерывность основных элементарных функций
1)	Степенная функция
у = хп
(и — натуральное (см. рис. 60)) непрерывна при любом значении
х (см. § 1, пример 2).
2)	Показательная функция
У = ах (а > 0)
(см. рис. 63) непрерывна при любом значении х.
138
3)	Тригонометрическая функция
у = sin х
(см. рис. 65) непрерывна при каждом значении х.
В самом деле, давая аргументу х приращение Дх и обозначая
через Ду соответствующее приращение функции у, будем иметь
у + Ду = sin(x + Дх); отсюда
Ду = sin(x 4- Дх) - sinx = 2 sin^ • cos[ х +
Ci	\	Z
В силу замечания к теореме из § 11 гл. VII при Дх 0 имеем
Isin^l < !*!;
|	2 I 2
кроме того,
( Дх'
COS х 4- —
< 1.
Поэтому
|Ду| < 2 • й • 1 = |Дх|, т. е. lim Ду = 0.
2	Дх —»о
Следовательно, функция sin х непрерывна в интервале
(—оо, 4-оо).
Совершенно так же доказывается, что
у = cos х
есть непрерывная функция в интервале (~°°, +°°) (см. рис. 65).
§ 4. Основные теоремы о непрерывных функциях
ТЕОРЕМА 1. С у мм а конечного числа непрерывных функций
есть функция непрерывная1^.
Доказательство. В самом деле, если /\(х) и /2(х) — функции,
непрерывные на некотором множестве X, а хх — любое значение
из этого множества, то
lim (Л(х) + f2(x)] = lim Д(х) + lim f2(x) = f^Xi) + f2(xj),
X —* Xj	X —* Xj	X —* Xj
Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и
непрерывны на некотором общем множестве X (например, на интервале
(а, Ь) или отрезке [а, Ь] и т. п.).
139
т. е. предел суммы при х —> х± равен значению этой суммы при
х = хР
Следовательно, функция Д(х) + /2(х) также непрерывна на
множестве X.
ТЕОРЕМА 2. Произведение конечного числа непрерыв-
ных функций есть функция непрерывная.
Доказательство аналогичное.
Следствие. Целый полином
Р(х) = а0 + aix + ••• + апхП
есть функция непрерывная.
ТЕОРЕМА 3. Частное от деления двух непрерывных функ-
ций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых
делитель отличен от нуля.
Доказательство аналогичное.
Следствие. Дробная рациональная функция
= а0 + а1х+...+апх"
&O + &JX +... + Ьтхт
непрерывна всюду, за исключением тех значений х, где знаме-
натель обращается в нуль.
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная функция от непрерывной функции
есть функция также непрерывная; иначе говоря, сложная
функция, состоящая из непрерывных функций, непрерывна.
Доказательство. Пусть хг — произвольная точка области оп-
ределения сложной функции /(ф(х)), причем функция и = ф(х)
непрерывна в точке х19 а функция /(и) непрерывна в точке
ui = ф(х1)- На основании усиленного свойства перестановочности
непрерывной функции и предела (§1) имеем
lim /(ф(х)) = f( lim ф(х)) = /(q^xj),
X —	X -* Xi
т. e. сложная функция /(ф(х)) непрерывна в точке хР
В силу теоремы 4, например, функции (sin х)2 = sin2x и sin(x2)
непрерывны вследствие непрерывности функций х2 и sin х.
Функции, которые мы будем рассматривать в дальнейшем,
непрерывны всюду, кроме, быть может, отдельных значений ар-
гумента.
Например, функция
tgx-
140
(см. рис. 66) в силу теоремы 3 настоящего параграфа непрерывна
для всех значений аргумента х, кроме тех, для которых cos х = О,
т. е. кроме значений х = (2k - 1)л/2, где k — любое целое число.
Аналогично, функция
ctgx = 22^
sinx
(см. рис. 66) непрерывна при sinx # 0, т. е. при х * kit (k —
целое).
Справедлива теорема о непрерывности обратной функции,
которую мы приводим без доказательства.
ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(x) непрерывна и строго
монотонна1) на промежутке (а, &), то существует однознач-
ная обратная функция х = <р(г/), определенная на промежутке
(f(a), /(b)), причем последняя также непрерывна и монотонна
в том же смысле.
В силу этой теоремы радикал nJx (п — натуральное)
(см. рис 62), логарифмическая функция logax (а > 0, а & 1)
(см. рис. 64), главные значения обратных тригонометрических
функций arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х (см. рис. 67—70) не-
прерывны при всяком значении аргумента х, при котором эти
функции определены.
§ 5. Раскрытие неопределенностей
Может случиться, что функция /(х) определена и непрерывна
всюду, за исключением некоторого значения х = х19 при котором
функция /(х) теряет смысл (становится неопределенной).
Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать число /(хх), чтобы до-
полненная функция f (х) была непрерывна при х == хх?
В силу предыдущего для этого необходимо и достаточно вы-
полнение равенства
f(Xi) = lim f(x).
X — Ху
Операция нахождения предела функции /(х) при х хх в этом
случае называется раскрытием неопределенности, асам предел
lim /(х), если он существует, носит не совсем удачное название
Х~> Ху
истинного значения функции /(х) при х = хР
п То есть f(x) или строго возрастает, или строго убывает на (а, Ъ).
141
Пример 1. Пусть
Эта функция теряет смысл при х == 2. Полагая дополнительно
= lim (х + 2) = 4,
Х-2	х-2
получим функцию, непрерывную
всюду, в том числе и при х = 2. Если
же положить Д2) # 4, то соответст-
вующая функция будет разрывна при
х = 2 (рис. 97).
Пример 2. Функция
Дх) = К
X
не определена при х = 0. Полагая до-
полнительно
/(0) = lim Ж = 1,
х-* 0 X
мы получим функцию, определенную и непрерывную для всех
значений аргумента х.
§ 6. Классификация точек разрыва функции
Точка х0 разрыва функции Дх) называется точкой разрыва
первого рода, если существуют конечные односторонние пределы
функции (см. гл. VII, § 4) (рис. 87):
lim Дх) = Дх0 - 0), lim Дх) = Дх0-Ь 0)
х — хо-0	х — х0 + 0
(при этом функция Дх) не обязательно должна быть определена
в точке х0, т. е. Дх0) может не существовать).
Величина
5 = Дх0 + 0) - Дх0 - 0)
называется скачком функции f(x) в точке х0.
Все прочие точки разрыва хг функции Дх) называются ее
точками разрыва второго рода. Среди них важное значение име-
ют точки бесконечного разрыва х19 для которых существуют (ко-
нечные или бесконечные) односторонние пределы
lim Дх) и lim Дх)
х — хо-О	х — х0 + 0
142
и хотя бы один из них является бесконечным
(см., например, рис. 98).
В этом случае прямая х == хг называется
вертикальной асимптотой графика функ-
ции
У = fix).
Функция, допускающая на данном проме-
жутке лишь точки разрыва первого рода в ко-
нечном числе, называется кусочно-непрерыв-
ной на этом промежутке. Заметим, что в точ-
ках разрыва кусочно-непрерывная функция
может быть не определена. Отметим, что для непрерывности функ-
ции f(x) в точке х0 необходимо и достаточно равенства трех чисел:
/(х0 - 0) = /(х0+ 0) = f(xQ).
Пример. Определить характер точки разрыва х0 = 0 функции
/(х) = arcctgi .
х
Здесь мы имеем
lim arcctgi =л и lim arcctgi =0.
х-*-0	X	х-»+0	X
Следовательно, х0 = 0 есть точка разрыва первого рода.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Определить приращение аргумента х и приращение функции
у = Igx, если аргумент х изменился от 10 до 100.
2.	Показать, что для линейной функции у = ах + Ь приращение Ду
не зависит от х.
3.	Доказать непрерывность функции у = Jx.
4.	Доказать, что функция у = |х| непрерывна.
5—7. Определить точки разрыва функций:
5.	fW “ / x1V X9V _l •	6- Лх) = tg(2x+1Y
(х+ 1)(х + 2)(х + 3)	к 4У
8—10. Найти «истинное значение» функций:
8. /(х) = x3 ~i при х = 1.	9. /(х) = при х =
х-1	4-х
10. f(x) = 1 ~ cos2x при х = 0.
X2
11. Определить точки разрыва данных функций и выяснить харак-
тер этих точек: а)	; б) arctg -i— ; в) sin^ .
х	1-х х
ГЛАВА IX
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 1.	Задача о касательной
Пусть М — фиксированная точка данной непрерывной кривой
К (рис. 99). Рассмотрим секущую ММ', проходящую через точку М.
Может случиться, что когда точка М' по кривой неограниченно
приближается к точке М, секущая ММ' стремится к некоторому
предельному положению МТ, т. е. угол у = ^М'МТ —> 0 при
М' М. Тогда предельная прямая МТ называется касательной.
Определение. Касательной к данной непрерывной кри-
вой в данной ее точке М (точка касания) называется предель-
ное положение секущей ММ', проходящей через точку М, когда
вторая точка пересечения М' неограниченно приближается
по кривой к первой.
Если секущая ММ' при М' -> М не имеет предельного поло-
жения, то говорят, что касательной к данной линии в точке М
не существует.
Покажем теперь, как находится уравнение касательной по
заданному уравнению линии.
Задача. Зная уравнение непрерывной линии
у = /(«).
найти уравнение касательной в данной ее точке М (х, у),
предполагая, что касательная существует.
Наряду с точкой М (х, у) возьмем на нашей линии другую
точку М'(х + Дх, у + Az/) (рис. 100). Проведя секущую ММ' и
144
прямые MN || Ох и M'N || Oz/, получим прямоугольный треуголь-
ник MNM' с катетами MN = Ах и NM' = Аг/.
Пусть секущая ММ' составляет с положительным направле-
нием оси Ох угол ф; тогда, очевидно, Z.NMM' = ф. Из прямо-
угольного треугольника MNM' определяем угловой коэф-
фициент секущей:
k' = tg <р =	.
Ах
(1)
Пусть теперь М' —► М; тогда, очевидно, Ах 0 и секущая
ММ' стремится к своему предельному положению — каса-
тель ной МТ в точке М (мы предполагаем, что касательная
существует).
Обозначим через а угол, образованный касательной МТ с по-
ложительным направлением оси Ох. При Ах О будем иметь
ф а, и если касательная МТ не перпендикулярна оси Ох, то в
силу непрерывности тангенса получим
tg Ф — tg а,
отсюда, переходя к пределу при Ах —* 0 в равенстве (1), найдем
угловой коэффициент k = tga касательной МТ:
k = lim .
дх-*о Ах
(2)
Предел, стоящий в правой части равенства (2), называется про-
изводной функции у = Дх) в точке х и сокращенно обозначается
следующим образом:
lim = у' = f'(x)	(3)
дх-*о Ах
(у' читается: «игрек штрих»).
Таким образом, угловой коэффициент касательной к графи-
ку функции равен значению ее производной в точке касания, т. е.
k = f\x).	(4)
Зная угловой коэффициент касательной, легко написать
ее уравнение. Касательная МТ проходит через точку касания
М(х, у), поэтому ее уравнение (см. гл. III, § 3) имеет вид
У ~ у = k(X - х),
где X и У — текущие координаты. Подставляя сюда значение
углового коэффициента k и учитывая, что точка М лежит на
линии, получаем уравнение касательной к этой линии
У - Дх) = Д(х)(Х - х).	(5)
145
Замечание 1. Если обозначить для ясности координаты точ-
ки касания через (х19 уг), а текущие координаты, как обычно,
через (х, у), то уравнение касательной к линии у = fix) в точке
М1(х1, у^ имеет вид
У - У1= у'1(х - *1).	(5')
где уг = /(хх) и у\ = f'(Xj).
Замечание 2. При выводе мы предполагали, что касательная
МТ к линии у = Дх) в точке М существует. Обратно, легко по-
казать, что если для функции у = Дх) существует в точке х ко-
нечная производная, т. е. предел (3) (такая функция называется
дифференцируемой в точке х), то график этой функции в соот-
ветствующей точке имеет касательную (5), не параллельную
оси Оу.
§ 2.	Задача о скорости движения точки
К понятию производной приводит также задача о вычисле-
нии скорости неравномерного движения.
Предположим, что точка М движется по некоторой прямой,
которую примем за ось Ох (рис. 101). Каждому значению време-
ни t соответствует определенное расстояние ОМ = х. Следова-
тельно, можно сказать, что абсцисса х движущейся точки есть
функция времени t:
X = f(t).
Это уравнение называется уравнением движения; оно выражает
закон движения точки.
О	М М' х
Рис. 101
Задача. Зная закон движения, найти скорость движущейся
точки для любого момента времени.
Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка за-
нимает положение М, причем ОМ = х. В момент t + kt точка
займет положение М', где QM' = х + Дх. Отсюда х + Дх =
= fit + Д£). Следовательно, перемещение точки М за время Д£ бу-
дет
Дх = f(t + М) - f(t).	(1)
146
Если точка М в течение промежутка времени [t, t + А£] двигалась
в одном направлении, то Ах численно представляет собой путь,
пройденный точкой за время At1). Отношение
Ах _ f(t + At) - f(t)
At	At
(2)
выражает среднюю скорость изменения абсциссы х за про-
межуток времени At, обычно называемую средней скоростью
движения точки. Предел средней скорости движения при стрем-
лении к нулю промежутка времени At называется скоростью
движения в данный момент времени t. Обозначая эту скорость
через и, получаем
v = lim , или v = lim f(t + ^—£(£) .
At-* 0 At	At —» 0	At
(3)
По аналогии с задачей о касательной (§ 1) можно сказать, что
полученное выражение (3) представляет собой производную
функции х по переменной t, т. е.
и =
Таким образом, скорость прямолинейного движения равна про-
изводной от пути по времени2^
Замечание. Если v = f'(t) сохраняет постоянный знак в некотором
промежутке а < t < Ъ, то можно доказать (см. гл. XI, § 2), что для любого
момента t 6 (а, Ъ) в течение достаточно малого промежутка [t, t + At]
точка движется в одном и том же направлении. Таким образом, Ах пред-
ставляет собой путь, пройденный точкой, и приведенная выше форму-
лировка локально (т. е. для достаточно малого промежутка времени) яв-
ляется точной.
Если же для некоторого момента времени tx имеем /'(ti) “ 0, т. е.
при бесконечно малом промежутке времени Atx = t ~ t1 соответствующее
перемещение точки Ах является бесконечно малой более высокого по-
рядка, то Ах, вообще говоря, не является пройденным путем. Например,
такая ситуации имеет место, когда точка совершает быстро затухающие
колебания около своего положения равновесия. В этом случае формула
(3) не адекватна нашему определению.
В общем случае перемещение точки и путь, пройденный точкой,
различны. Например, если в первую секунду от начала движения
точка передвинулась на 10 м вправо, а в следующую секунду — на 10 м
влево, то перемещение точки за промежуток времени At = 2 с равно
Ах = 0, тогда как пройденный путь з == 20 м.
2> Точнее: скорость есть производная абсциссы движущейся точки
по времени.
147
§ 3.	Общее определение производной
Рассмотрение задач о касательной и скорости движения ис-
торически привело к понятию производной, являющемуся од-
ним из основных понятий высшей математики. При решении
этих задач нам, в сущности, приходилось проделывать одну и ту
же операцию: находить предел отношения приращения функ-
ции к приращению аргумента.
Сейчас мы разберем этот вопрос в общем виде.
Для простоты мы сначала будем предполагать, что рассмат-
риваемая функция у = f(x) определена на некотором конечном
или бесконечном интервале X = (а, Ь) и непрерывна на этом
интервале. Пусть х G (а, Ь) — некоторая фиксированная точка
интервала (а, Ь). Дадим аргументу х приращение Дх О такое,
что х + Дх € (а, &), тогда функция у получит соответствующее
приращение
Дг/ = /(х + Дх) - Дх).	(1)
Составим отношение
Ду
Дх *
(2)
Это отношение показывает, во сколько раз на данном промежут-
ке [х, х + Дх] приращение функции у больше приращения ар-
гумента х; иными словами, оно дает среднюю скорость
изменения функции у относительно аргумента х
на промежутке [х, х + Дх].
Пусть Дх -► 0; тогда и Дг/ —► 0 (в силу непрерывности функ-
ции у). Обозначим через Х1(^ (а, Ъ) множество точек интервала
(а, &), для которых имеет смысл предельный переход
Тогда формула
у' - lim (х 6 А\)	(4)
дх -* о Дх
определяет некоторую функцию у' = f'(x), носящую название
производной функции /(х).
Определение. Производной функции у = f (х) называет-
ся предел отношения приращения функции к приращению ар-
гумента при условии, что приращение аргумента стремится
к нулю, если этот предел существует.
148
Таким образом, производная функции f(x) есть некоторая
функция f\x), произведенная (т. е. полученная по опреде-
ленным правилам) из данной функции.
Функция, имеющая производную на множестве Х19 называ-
ется дифференцируемой на этом множестве (см. гл. XII).
Если х € Хг фиксировано, то в силу (4) производная у' пред-
ставляет собой скорость изменения функции у относительно
аргумента х в точке х.
Для обозначения производной данной функции у = f(x) кроме
у' = Г(х) (Лагран ж)1)
употребляются также символы
= A f(x) (Л е й б н и ц)* 2)
dx dx
(смысл этого обозначения выяснится в гл. XII) и
у = /(х) (Ньютон)3*.
В тех случаях, когда неясно, по какому аргументу (х, t и т. п.)
происходит дифференцирование функции у, ддя соответствую-
щих производных употребляются обозначения
г/', ^ит.п.
Замечание. Функция /(х) считается дифференцируемой на отрезке
[а, Ь], если она дифференцируема в любой его внутренней точке, т. е.
Vx 6 (а, Ъ) существует предел
f'(x) - lim
дх-о Дх
причем предполагается, что х + Дх € [а, &], а в граничных точках отрезка
она имеет так называемые односторонние (правая и левая) производ-
ные, т. е. существуют соответствующие односторонние пределы
/;(а)- lim +	и/:(а)_ lim /(& + Дх)-/(&)
Дх —+0	Дх	Дх—*-0	Дх
Для значения производной у' = f'(x) функции у = Дх) в фик-
сированной точке х = хх употребляются обозначения
(УХ-х. = [Г(Х)]Х.Х1 = /'(Xi).
Здесь /'(хх) — некоторое число.
Читается: «игрек штрих равно эф штрих от икс».
2) читается: «дэ игрек по дэ икс».
dx
8> у читается: «игрек с точкой».
149
Используя формулу (1), выражение для производной можно
записать более подробно:
Г(х) = lim	(5)
дх-*о Дх
С помощью формулы (5), опираясь на теорию пределов, мож-
но находить производные функций.
Пример 1. Найти производную функции у = х2.
Пусть х — произвольное фиксированное значение аргумента. Давая
х приращение Дх # 0, будем иметь у +	= (х + Дх)2. Отсюда
Ду = (х + Дх)2 - х2 = 2х • Дх + (Дх)2
и, следовательно,
.	у' = lim —= lim (2х + Дх) = 2х.
Дх —оДх дх — о
Таким образом,
(х2)' = 2х.	(6)
При решении задачи о касательной (§1) был выяснен геомет-
рический смысл производной.
Геометрическое значение производной. Для данной функ-
ции у = Дх) ее производная у' = f'(x) для каждого значения х
равна угловому коэффициенту касательной к графику функ-
ции в соответствующей точке.
Пример 2. Написать уравнение касательной
к кривой у « х2 в точке М(1, 1) (рис. 102).
Ищем производную у' при х = 1. Согласно
формуле (6) имеем
у' = 2х.
Отсюда
Следовательно, уравнение касательной запи-
шется так:
у - 1 = 2(х - 1), или у = 2х - 1.
Заметим, что касательная к графику функции у = Дх) обра-
зует в данной точке с положительным направлением оси Ох ост-
рый или тупой угол, смотря по тому, будет ли производная функ-
ции в этой точке положительна или отрицательна. Если же про-
изводная равна нулю, то касательная к графику функции в со-
ответствующей точке, очевидно, параллельна оси Ох. Справед-
ливы также и обратные утверждения.
150
Далее, из определения производной вытекает, что производ-
ная у' дает скорость изменения функции у = f(x) относительно
аргумента х. Например, если в некоторой точке х имеем у' = 2,
то это означает, что на малом промежутке [х, х + Ах] прирост
Ау функции у примерно в два раза больше, чем прирост аргумен-
та х, причем это соотношение будет тем точнее, чем меньше |Ах|.
Особенно наглядный смысл получает производная функции
У = f(x), если под аргументом х понимать время. Тогда отношение
А*/
Ах
представляет собой среднюю скорость изменения
функции у за промежуток времени [х, х+ Ах], а
предел этого отношения
у' = lim
дх —о Дх
есть скорость изменения функции у в момент
времени х.
Таким образом, имеем:
Физическое значение производной. Для функции у = /(х),
меняющейся со временем х, производная у'х есть скорость из-
менения функции у в данный момент х.
Производная дает возможность изучать характер изменения
функции. Чем больше модуль производной, тем резче изменяет-
ся функция у при изменении аргумента х и, следовательно, тем
круче подымается или опускается график этой функции. Если
производная некоторой функции у положительна, то, очевидно,
это означает, что с возрастанием аргумента х функция у также
растет; если производная функции отрицательна, то это значит,
что с возрастанием х функция у убывает. Об этом более
подробно см. в гл. XI, § 2.
Понятие производной находит многочисленные применения
в геометрии, физике, механике, химии, биологии и других нау-
ках.
§ 4.	Другие применения производной
Быстрота протекания физических, химических, биологиче-
ских и других процессов, например скорость охлаждения тела,
скорость химической реакции и т. п., также выражается при по-
мощи производной. Поясним это на примерах.
151
Пример 1. Предположим, что температура тела U есть убы-
вающая функция времени: U == f(t).
Пусть t — фиксированный момент времени. Если t получает
приращение Д£, температура U изменяется (уменьшается) на ДС7;
тогда отношение
Д17
At
представляет собой среднюю скорость охлаждения тела. А пре-
дел этого отношения при At -* 0, т. е.
lim^=/ '(£),
At-о At
выражает скорость охлаждения тела в данный момент t.
Таким образом, скорость охлаждения тела равна производ-
ной температуры тела по времени.
Пример 2. Обозначим через х количество вещества, образовав-
шегося при химической реакции за промежуток времени t. Оче-
видно, х есть функция времени: х = f(t).
Если t получает приращение At, то х получает приращение
Зх. Тогда отношение
Ах
At
представляет собой среднюю скорость химической реакции, а
предел
lim = f'(t)
выражает скорость химической реакции в данный момент t.
Таким образом, скорость химической реакции равна производ-
ной реагирующей массы по времени.
§ 5.	Зависимость между непрерывностью
и дифференцируемостью функции
Мы видели (гл. VIII, § 1), что функция
У = /(*)	(1)
называется непрерывной в точке х, если в этой точке
lim Ay = 0.
Дх-0
152
Функция (1) называется дифференцируемой в точке х, если в
этой точке она имеет производную, т. е. если существует конеч-
ный предел:
(2)
Между этими основными понятиями математического ана-
лиза имеется простая связь.
ТЕОРЕМА. Если функция дифференцируема в некоторой
точке, то в этой точке функция непрерывна. Обратное ут-
верждение неверно: непрерывная функция может не иметь про-
изводной.
Доказательство. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в
точке х, т. е. для этой функции выполнено равенство (2). Напи-
шем тождество
Ду =	• Дх (Дх & 0).
Отсюда
lim Ду = lim • lim Дх = у' • 0 = 0.
Дх-*0	Дх—*-0 Дх Дх-*0
Следовательно, функция у = /(х) непрерывна в точке х.
Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то
она не имеет производной в этой точке.
Пример непрерывной функции, не имеющей производной в
одной точке, представляет функция
У = 1*1
(рис. 103). Эта функция непрерывна К	/
при х = 0, но не является дифферен-	/
цируемой для этого значения, так	^=|х|
как в точке х = 0 графика функции	/
не существует касательной.	/
Математикам удалось построить	др
примеры непрерывных функций, не
дифференцируемых ни в одной точке	Рис- ЮЗ
(Вейерштрасс и др.).
Впервые отчетливое различие между понятиями непрерыв-
ности и дифференцируемости функции было дано Н. И. Лоба-
чевским.
Замечание. Производная у' = f'(x) непрерывной функции
г/ = /(х)сама не обязательно является непрерывной.
Если функция /(х) имеет непрерывную производную f'(х) на про-
153
межутке (а, &), то функция называется гладкой на этом проме-
жутке. Функция Дх), производная которой Дх) допускает лишь
конечное число точек разрыва, и притом первого рода, на данном
промежутке (а, Ь), называется кусочно-гладкой на этом проме-
жутке.
§ 6.	Понятие о бесконечной производной
Если функция у = Дх) непрерывна в точке х0 и
/'(х0) = lim	= оо,	(1)
Дх-* о	Дхо
то говорят, что функция Дх) имеет бесконечную производную в
точке х = х0. Согласно геометрическому смыслу производной
(§ 1), производная y'Q= f'(xQ) равна угловому коэффициенту ка-
сательной k = tg а в точке х0. Поэтому tg а = оо и, следовательно,
а = л/2. Таким образом, условие (1) геометрически означает, что
в точке х0 график функции у = Дх) имеет вертикальную каса-
тельную.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Что понимается:
а)	под средним подъемом пути;
б)	под подъемом пути в данной точке?
2.	Что такое:
а)	средняя линейная плотность материального стержня;
б)	линейная плотность стержня в данной точке?
3.	Что следует понимать:
а)	под средней скоростью изменения площади моря;
б)	под скоростью изменения площади моря в данный момент?
4.	Дайте определение:
а)	средней теплоемкости тела;
б)	теплоемкости тела.
ГЛАВА X
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Вводные замечания
Как мы видели, решение многих задач сводится к вычисле-
нию производных известных функций. Поэтому важно уметь бы-
стро находить производные более или менее сложных функций.
Операция нахождения производной не совсем точно называ-
ется дифференцированием, а функция, имеющая конечную про-
изводную на данном множестве, носит название дифференцируе-
мой на этом множестве. Учение о производной и ее приложениях
составляет предмет дифференциального исчисления.
В этой главе мы рассмотрим основные правила дифференци-
рования функций.
Здесь мы будем предполагать, если явно не оговорено про-
тивное, что рассматриваемые функции определены на некотором
конечном или бесконечном интервале.
Прежде чем указать на основные правила для нахождения про-
изводных, вычислим производные некоторых простых функций.
§ 2. Производные от некоторых простейших функций
Производная функции у = f(x) может быть найдена по сле-
дующей схеме:
1)	аргументу х даем приращение Дх 0 и находим для функ-
ции у соответствующее приращенное значение у 4- Дг/ «
= f(x 4- Дх);
2)	вычитая из нового значения функции у 4- Дг/ ее прежнее
значение у = Дх), получаем приращение &у функции;
3)	составляем отношение — ;
Дх
4)	находим предел этого отношения при условии, что Дх —> 0.
Результат предельного перехода lim = у' и является
производной у' от функции у по аргументу х, если,
конечно, он существует.
155
Пользуясь этой схемой, найдем производные некоторых про-
стейших функций.
I. Производная от степени хт, где т — целое положительное
число. Пусть
у = хт.
Имеем у 4- Ау = (х 4- Ах)"1, или согласно биному Ньютона
у 4- Дг/ = тпхт“1Ах 4-	~ хт ~ 2(Ах)2 4- ... 4- (Ах)"1;
отсюда
Ду = тхт-1Дх +	1 А'п~2(Дх)2 + ... + (Дх)т
А * Л
И
— тхт~1 4- т(т~ 1) х"1~2Ах + ... 4- (Ах)"1-1.
Ах	1-2	v 7
Переходя к пределу при Ах -+ 0, находим у' = lim « тхт ~х.
Дх —* о Ах
Следовательно,
(х"1)' = тих"1-1.	(1)
Итак, имеем следующую теорему:
ТЕОРЕМА. Производная от целой положительной степени
независимой переменной равна показателю степени, умножен-
ному на основание в степени на единицу меньше.
В частности, при т « 1 получаем
(х)' = 1,
т. е. производная независимой переменной равна единице.
Имеем также
(х2)' = 2х, (х3)' = Зх2
и т. д.
Замечание. Как будет показано дальше (§ 10), формула (1)
справедлива для любого действительного постоянного показате-
ля т (в частности, для дробного). Поэтому, например, имеем
(7х)' = р) = 1 Х~2 = J- (х > 0),
'	2 2л/х
т. е. производная квадратного корня из независимой перемен-
ной равна обратной величине удвоенного корня.
156
При х « 0 функция у = Jx имеет производную у' = оо. Здесь про-
изводная односторонняя, так как Дх -* +0. Геометрически это оз-
начает, что касательная к параболе у = Jx в точке х = 0 перпендику-
лярна оси Ох.
II. Производная от sin х. Пусть
у = sin х,
где аргумент х выражен в радианной мере.
Имеем у 4- Др •= sin(x 4- Дх). Отсюда
Др = sin(x 4- Дх) - sin х,
или
Др = 2 sin^ • cosfx +	.
y 2 I 2 J
Разделив обе части последнего равенства на Дх, получим
2sin^
=-----— • cbs(х + —1 .
Дх
или
Ду =
Дх
Переходя к пределу при Дх —* 0 и пользуясь теоремой о пре-
деле произведения, имеем
sin—
р' = lim = lim ------— • lim cosfx 4-	.
дх —оДх	дх —о Дх дх — о к 2 7
2
Из теоремы о пределе отношения синуса бесконечно малой
дуги к самой дуге (гл. VII, § 11) следует, что
Sin^E
lim	 - = 1.
Дх —о Дх
2
Кроме того, в силу непрерывности функции cos х имеем
lim cos fx 4-	| = cos Г lim Ixi = cosx.
Дх — о k 2 7	LДх —ok	2 7J
Дх
si”T	/
----- • cos X
Дх	k
2
157
Следовательно,
у' = 1 • cos х = cos х,
т. е.
(sm х)'= cos х.	(2)
Итак, получаем теорему:
производная от sin х равна cos х.
III. Производная от cos х. Пусть
у = COS X.
Тогда у 4 Ьу = cos (х + Дх) и, следовательно,
Ду = cos(x + Дх) - cos х,
или
Ду = -2 sin^ • sinfx +	.
y	2	\	2 J
Отсюда
. Дх
sm —
Ду =г ____2 . ( . ДхА
Дх Дх I 2 7
2
Переходя к пределу при Дх -* 0, получим
sin^	.	.
у' = lim - lim ---------— • lim sinf х +	|.
дх —оДх	Дх —* о Дх	Дх —* о	\	2 J
2
Так как
. Дх
sm---
2	( Дх4
lim —— = 1 и lim sin х + -~ = sin х,
Дх — 0 Дх	Дх-0 \	2 J
2
то окончательно находим
у' == -sin х,
т. е.
(cos х)' = -sin х.	(3)
Таким образом, имеем теорему:
производная от cos х равна sin х, взятому с обратным
знаком.
158
§ 3. Основные правила дифференцирования функций
Переходим теперь к выводу основных правил дифференци-
рования функций.
Предположим, что все рассматриваемые функции определе-
ны и дифференцируемы на некотором общем интервале, причем
все используемые значения аргумента х и приращенные значе-
ния х + Дх принадлежат этому интервалу.
I. Производная постоянной. Производная постоянной вели-
чины равна нулю.
Постоянную величину с можно рассматривать как функцию
Дх) = с,
принимающую одно и то же значение.
Дадим аргументу х приращение Дх 0, тогда, так как функ-
ция Дх) не меняется при изменении аргумента, будем иметь
Дх + Дх) = с.
Вычитая почленно из второго равенства первое, получим
Дх + Дх) - Дх) = 0;
отсюда
Дх + Дх)-Дх) = 0
Дх
Переходя теперь к пределу при Дх —► 0, находим
f(x) = lim Ax + AxWW = о,
Дх-0 Дх
т. е.
е = о.	(1)
Переводя этот результат на язык механики, получаем сле-
дующую наглядную иллюстрацию нашей теоремы:
скорость точки, находящейся в покое, равна нулю,
П. Производная суммы. Производная алгебраичес-
кой суммы конечного числа дифференцируемых функций
равна такой же алгебраической сумме производных этих функ-
ций.
Пусть, например,
у = и + v - w,
где и, v и w — некоторые дифференцируемые функции от х. Да-
дим аргументу х приращение Дх; тогда каждая из функций и, v
159
и w получит соответственно приращение Ди, Ди и Ди; и вследствие
этого функция у получит некоторое приращение Ду. Имеем
у 4- Ду = (и + Ди) 4- (v 4- Ди) - (w + Ди;).
Вычитая почленно из второго равенства первое, находим
\у = Ди 4- Ди - Ди;.
Разделив обе части последнего равенства на Дх, будем иметь
Ду _ Ди + Ди _ Ди;
Дх Дх Дх Дх *
Переходя теперь к пределу при Дх -* 0 и учитывая, что каж-
дое слагаемое правой части имеет предел, находим
lim = lim — 4- lim — - lim —,
дх —оДх дх —оДх	дх —оДх	дх —оДх
или, пользуясь определением производной, окончательно полу-
чаем
у' = и' 4- v' - и/.
Таким образом, если каждая из функций и, v и w диффе-
ренцируема, то алгебраическая сумма этих функций (напри-
мер, и 4- v - w) также дифференцируема; при этом
(и + v - wY =и' + v' - w'.	(2)
Пример 1. Найти производную от функции у = 2 - х 4- х2.
Применяя формулу (1) из § 2, имеем
у' - (2)' - (х)' 4- (х2)' = -14- 2х.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличают-
ся на постоянное слагаемое, то производные их равны между
собой.
В самом деле, если /(х) — дифференцируемая функция, а
с — постоянное слагаемое, то имеем
[/(х) + с]' = Г(х) 4- (с)' = Г(х) 4- 0 = Г(х).
III. Производная произведения. Производная произ-
ведения двух дифференцируемых функций равна произведе-
нию первого сомножителя на производную второго плюс про-
изведение второго сомножигпеля на производную первого.
Пусть
У = uv,
160
где unv — некоторые дифференцируемые функции от х. Дадим
х приращение Дх; тогда и получит приращение Ди, v получит
приращение Ди и у получит приращение Ду. Имеем
у 4- Ду = (и 4- Ди)(и 4- Ди),
или
у 4- Ду = uu 4- и • Ди 4- и * Ди 4- Ди • Ди.
Следовательно,
Ду = и • Ди 4- v • Ди 4- &и- Ди.
Отсюда
ДЕ=и.Д£+р.^+^-Д£-Дх.
Дх Дх Дх Дх Дх
Переходя в последнем равенстве к пределу при Дх —► 0 и учи-
тывая, что и и и не зависят от Дх, будем иметь
lim =
Дх —* о Дх
= и • lim — 4- и • lim 4- lim • lim • lim Дх,
Дх-*о Дх	Дх-*0 Дх	Дх—*0 Дх Дх-* 0 Дх Дх-*о
или
у' = uu' 4“ uu'.
Таким образом, если каждый из сомножителей и и v имеет
производную, то произведение их ии также имеет производ-
ную; при этом
(uu') = u'u + uu'.	(3)
Пример 2. Пусть у = х3 sin х.
Применяя формулу (3) и пользуясь формулами (1) и (2) из § 2, будем
иметь
у' = (х3)' sin х 4- x3(sin x)z « 3x2sin x 4- x3cos x.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за
знак производной.
В самом деле, если с — постоянный множитель, то имеем
(си)' = с'и 4- си',
отсюда, так как с' = 0, получаем
(си)' = си'.
6 Б. Демидович, В. Кудрявцев
161
Следствие 2. Если
у = UVW,
где и, v и w — дифференцируемые функции от х, то
у' = (uvw)' = [(uv)u>]' = (uv)'w + (uv)wf =
= (u'v + uv')w + (uv)wf = u'vw + uv'w + uvw'.
Вообще, производная произведения нескольких дифференци-
руемых функций равна сумме произведений производной каж-
дого из этих сомножителей на все остальные.
IV. Производная частного. Если числитель и знаменатель
дроби — дифференцируемые функции и знаменатель не обра-
щается в нуль, то производная дроби равна также
дроби, числитель которой есть разность произведений знаме-
нателя дроби на производную числителя и числителя дроби
на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат
прежнего знаменателя.
Пусть
и
У~й
где и и v — дифференцируемые функции от х, и v ** 0. Дадим
аргументу х приращение Ах; тогда и, v, у получат соответственно
приращения Ап, Аи, Ду и мы будем иметь
.а	и+Ди
у + Ду =	? .
у у у + Ду
Вычитая почленно первое равенство из второго, получим
д и+Д«_и или д оДи-иДу.
и + Ди	v	(и + Ди)и
Отсюда находим
V—-U—
Ду = Дх Дх	/44
Дх (и + Д1?)и
Пусть Дх —» 0. Так как функция v дифференцируема в точке
х, то она непрерывна в этой точке (гл. IX, § 5) и, следовательно,
lim Ди = 0.
Дх-> О
Поэтому, переходя к пределу в равенстве (4) и учитывая, что
функции и и v имеют производные, получаем
— vu' “uv'
у v2 9
162
или окончательно
Г _ Y = u'v~uv'
ItJ V2
(5)
Пример 3. Пусть у = —-—- .
х2 + 1
Применяя формулу (5), будем иметь
,= (х2-1)'(х2 + 1)-(х2-1)(х2+1)' = 2х(х2 + 1) - (х2 - 1)2х
У	(х2+1)2	(х2 + 1)2
= 2х(х2+1-х2 +1) = 4х
(х2 + 1)2	(х2 + 1)2’
Следствие 1. Если знаменатель дроби — постоянная вели-
чина, то
< иV = и'с-ис' =
IcJ с2 с
т. е.
IcJ с “
Замечание. Последний результат является очевидным, так
как
и	1
- = - • и
с	с
и, следовательно,
If	и*
= -U = —
с	с
Следствие 2. Если числитель дроби — постоянная величи-
на, то
c'v-cv' __ _cv'
V2
V2
(6)
В частности, при с = 1 находим
v
V2 *
(7)
Пример 4. Если у =	,
х2 - 1
то в силу формулы (7) имеем
2х
у (х2-1)2	• (х2-1)2
163
V.	Производная степени с целым отрицательным показате-
лем. Пусть т — ирлое положительное число и
у = х-т^
или
У хт
Применяя формулу (7), получаем
и' = -(х^У = _тхт-1 =
(xm)2
х2т
Следовательно,
(х~тУ
(8)
Мы полупили то же правило, что и при дифференцировании
целой положительной степени.
VI.	Производная от tg х. Пусть
y^tgx = Ж.
COSX
Применяя формулу (5), находим
= (sinx)' • cosx - sinx ♦ (cosx)' _ cosx • cosx - sinx • (-sinx) _
2	2
COS X	COS X
= cos 2 x 4- sin2x = 1
У'
2
COS X
— = sec2x.
cos x
Итак,
(tgx)' = sec2x.
VII.	Производная от ctg х. Пусть
(9)
у = ctg X =
smx
Тогда имеем
/ _ (cosx)' • sinx - cosx • (sinx)' _ (-sinx) • sinx - cosx • cosx
у	2  	1 1	2
sin x	sin x
2	2
sin x + cos x
. 2
sm x
—2~ = -cosec2x.
sin x
Итак,
(ctgx)' = -cosec2x.
(10)
164
§ 4. Производная сложной функции
Рассмотрим некоторую сложную функцию
У =	(1)
Если в цепи функциональных зависимостей у = Дг) и г = ф(х)
аргумент х является последним, то мы будем называть его неза-
висимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что
изменение этого аргумента не зависит от поведения других пе-
ременных величин).
Таким образом, понятия аргумента и независимой переменной сле-
дует различать. Например, пусть
у = sin z и z = х2.
Здесь z есть аргумент функции у, но z, очевидно, не будет независимой
переменной.
Для простоты будем предполагать, что функция у = /(z) оп-
ределена и дифференцируема в интервале (А, В), функция
г = ф(х) определена и дифференцируема в интервале (а, Ь) и при-
нимает значения из интервала (А, В). Тогда функция (1) заведомо
будет определена и непрерывна в интервале (а, Ь). Возникает воп-
рос о дифференцируемости этой функции.
ТЕОРЕМА. Если у = /(z) и 2 = ф(х) — дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная слож-
ной функции
У = /[ф(х)]
существует и равна производной данной функции у по проме-
жуточному аргументу z, умноженной на производную самого
промежуточного аргумента г по независимой переменной х, т. е.
Ух = У 2^
Доказательство. Пусть х — допустимое значение независимой
переменной. Дадим х отличное от нуля достаточно малое прира-
щение Ах; тогда z « ф(х) и у = f(z) получат соответствующие
приращения Az и Ду. Так как производная у'г = f'(z) по условию
теоремы существует, то, предполагая, что Az # 0, можно напи-
сать
lim =у'г.
Да —* 0 Az
Отсюда
й-^+а
165
(см. гл. VII, §6), где а —* 0 при Az —► О и, следовательно,
Ау = (У 2 +
Доопределим бесконечно малую а при Az = 0, полагая а = 0 при
Az = 0. Тогда последнее равенство будет справедливо также и
при Az = 0, так как в этом случае, очевидно, обе части его равны
нулю. Разделив обе части этого равенства на Ах, будем иметь
*£ = Си' + а) • —
Дх	’ Лх ’
Переходя теперь к пределу при Ах 0 и учитывая, что при
этом Az —► 0 и, следовательно, а —* 0, получаем
lim = lim (у'г + а) • lim ,
Дх—“0 Ах	Дх —* О	Дх—*0 Ах
или
Ух = У'г2'х>	(2)
что и доказывает теорему:
ТЕОРЕМА. Дифференцируемая функция от дифференцируе-
мой функции есть функция также дифференцируемая.
Замечание, В обозначениях Лейбница формула (2) принима-
ет вид тождества
dy = dy . dz
dx dz dx ’
Пример 1. Найти производную от функции у « sin(x2).
Полагаем z = х2, тогда у = sin z. Отсюда
z' = 2х и у' = cos z = cos (х2).
Следовательно, согласно формуле (1) имеем
у' = cos (х2) • 2х = 2х cos (х2).
Пример 2. Найти производную от функции у = sin3 х = (sin х)3.
Полагаем z = sin х; тогда у = z3. Отсюда
z' = cos х и у' = 3z2 « 3 sin2 х.
Следовательно,
у' = 3 sin2x cos х.
При достаточном навыке промежуточную переменную z не пишут,
вводя ее лишь мысленно.
Пример 3. Найти производную от функции у = Jxz + 4х + 3 .
Используя формулу для производной квадратного корня (§ 2) и при-
меняя правило дифференцирования сложной функции, имеем
у' -	.	---- • (х2 + 4x4- 3)' =	1	• (2х + 4) =	* + 2„... .
2 7х2 + 4х + 3	<	2 л/х2 + 4х + 3	а/х2 + 4х + 3
166
X
2’
Пример 4. Найти производную от функции у = tg3
Имеем
/	04.—.2^ (xrt,x'\ О4-л»2^ — — 2^ (хА	4-г<»2^ г>лл2^
У = 3tg2- (tg-J = 3tg2- sec2- • (jj = - tg2- sec2- .
§ 5. Производная обратной функции
Пусть
У = f(x)	(1)
есть дифференцируемая функция от аргумента х в некотором ин-
тервале (а, Ь). Если в уравнении (1) у рассматривать как аргу-
мент, а х как функцию, то эта новая функция
х = Ф(у),
где /Т<р(г/)1 = у9 называется, как мы знаем, обратной по отно-
шению к данной. Нашей задачей является: зная производную
у'х = lim — функции у = /(х), найти производную х' = lim у
Дх—>оДх	Ду Q &у
обратной ей функции х = ф(у), предполагая, что обратная функ-
ция существует и непрерывна в соответствующем промежутке
(не разрешая уравнения (1)).
ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с производной,
не равной нулю, производная обратной функции
равна обратной величине производной данной функции.
Доказательство. Пусть функция у = /(х) дифференцируема и
Ух = f'(x) * 0.
Пусть Ду * 0 — приращение независимой переменной у, а
Дх — соответствующее приращение обратной функции х = <р(г/)-
Напишем равенство
^=1:^1).	(2)
&у Дх
Переходя к пределу в равенстве (2) при Ду -> 0 и учитывая,
что при этом также Дх —► 0 (в силу непрерывности обратной
функции), получаем
lim — = 1: lim .
Дуо Дг/ дх-о Дх
Можно доказать, что если при наших условиях Дг/ 0, то Дх # 0.
Поэтому равенство (2) не может потерять смысл.
167
Отсюда
(3)
Ух
где xfy — производная обратной функции.
Замечание. Если пользоваться обозначениями Лейбница, то
формула (3) примет вид
dx = 1
dy dy ‘
dx
Вспоминая геометрический смысл производной, можно дать прос-
тую иллюстрацию формулы (3). В точке М (х, у) графика функции
у = /(х) проведем касательную МТ к этому графику и прямые Мх и
Му, параллельные соответственно координатным осям Ох и Оу
(рис. 104). Обозначая через а и ₽ углы, образованные касательной МТ
с положительными направлениями осей Ох и Оу соответственно,
будем иметь
tg а = tg (ZTM х) = у' '
и
tg₽ = tg (ZTMy) = x;.
Так как а 4- р = л/2, то отсюда следует
tg а • tg ₽ = у'х • х'у = 1,
что эквивалентно формуле (2).
Пример. Пусть у « х + х3. Имеем
у'х = 1 + Зх2 и, следовательно,
Рио.104
§ 6. Производная неявной функции
Рассмотрим несколько примеров дифференцирования не-
явных функций.
Пример 1. Найти производную функции у (у > 0), определяе-
мой уравнением
=1.
а2 Ъ2
Разрешая это уравнение относительно у и беря знак плюс, в
силу условия будем иметь нашу функцию в явном виде:
у = - Ja2- х2 .
168
Дифференцирование ее теперь не представляет никаких за-
труднений.
Однако в некоторых случаях данное нам уравнение элемен-
тарными средствами нельзя разрешить относительно у и прихо-
дится рассматривать у как неявную функцию от х. Поэтому ука-
жем другой способ нахождения производной неявной функции
у. А именно, предполагая, что в данное уравнение вместо у под-
ставлено его явное выражение, получаем тождество
= 1
Д2 Ъ2
причем здесь у есть функция от х. Очевидно, если две функции
тождественно равны друг другу, то равны и их производные. По-
этому, взяв производные от левой и правой частей предыдущего
тождества и применяя правило дифференцирования сложной
функции (§ 4), будем иметь
отсюда
У'
Ь2х
а2у*
Пример 2. Пусть у есть положительная или отрицательная не-
явная функция от х, определяемая уравнением
у2 = 2рх.
Предполагая, что вместо у подставлено соответствующее яв-
ное выражение, и дифференцируя по х левую и правую части
полученного тождества, будем иметь 2уу' = 2р.
Отсюда

Замечание. Если две функции
Ф(х) и ф(х) равны друг другу не тож-
дественно, а лишь для некоторого
значения х0 аргумента
ф(*о) = V(xo)»
то отсюда, вообще говоря, не следу-
ет, что ф'(х0) = ф'(хо)« Это ясно видно
из рис. 105, где
<р'(хо) = tg «о И \|Г(х0) = tg ро.
Таким образом, равенство в об-
щем случае нельзя дифференциро-
вать почленно.
Рис. 105
169
§ 7. Производная логарифмической функции
Пусть
у = logax,
где х > 0 (а > 0, а * 1). Найдем производную этой функции,
пользуясь схемой, изложенной в начале § 2.
Дадим аргументу х (х фиксировано) приращение Дх 0 та-
кое, что х + Дх > 0. Тогда функция у получжг приращение Ду и
мы будем иметь у + Ду = log0 (х + Дх); следовательно,
Ду = loga (х + Дх) - loga х
или, так как разность логарифмов равна логарифму частного,
Ду = loge(l +	.
Разделив обе части последнего равенства на Дх, получим
4г - 1 iog/i + ^1.
Дх Дх к х )
Полагая здесь — =a(a>-l), находим
х
= А • A ioge (1 + «)>
Дх ха
или на основании известного свойства логарифма
4г -1 -log.(l+aA
Дх х
Пусть Дх -* 0, тогда, очевидно, и a —► О ^как произведение
бесконечно малой Дх на постоянную величину .
Поэтому
Г
у' = lim = 1 • lim loga(l + a)a .
Дх —* О Дх	X а-*О
1
Функция F(a) = (1 + а)а, очевидно, непрерывна при а 0. Так
как логарифмическая функция также непрерывна и
1
lim (1 +a)a = е
a —0
170
(гл. VII, § 12), то знаки lim и loga можно переставить местами
(гл. VIII, § 2)* 1):
lim
а — О
1-
loga(l + a)“
= loga
lq
lim (1+ос)а
а-*. О
= logoe.
Следовательно,
У' = i l°gae-
Таким образом, имеем формулу
(logax)z = 1 logae.
(1)
Пользуясь известным соотношением (гл. VII, §13) logoe = Д-,
Ina
формулу (1) можно переписать в виде
(logaxz) = —1—
х Ina
Полагая здесь, в частности, а = е и помня, что In е = 1, по-
лучаем
d')
(In х)' = i ,
(2)
т. е. производная натурального логарифма от независимой пе
ременной равна обратной величине этой независимой пере
менной.
Другой важный частный
случай получаем при а = 10:
(Igx)' =	,
где М «1g е « 0,43429 — модуль
перехода.
Логарифмическая функция
у = 1п х определена лишь при
х > 0. Для приложений удобно
рассматривать функцию
у = 1п| х|,
которая имеет смысл как при х положительном, так и при х от-
рицательном, т. е. определена при х * 0 (рис. 106). Для нахож-
Здесь мы по непрерывности доопределяем при a = 0 функцию
1
F(a) = (1 + a)a , полагая F(0) = е.
171
дения производной этой функции запишем ее с помощью двух
равенств:
у = In х при х > 0 и у = 1п(-х) при х < 0.
Отсюда получаем
у' = 1 при х > 0
X
и
у' =	• (-х)' = -i • (-1) = i при х < 0.
Следовательно,
у' = 1 при х * 0, т. е. (1п|х|)' = .
§ 8. Понятие о логарифмической производной
Пусть
у = 1п г, где z = ф(х).
Тогда, применяя формулу дифференцирования сложной функ-
ции, получим
Ух = (In z)'x = (In z)X. или y'x = I z'x.
Таким образом, имеем
(inz>;= г~.
Производная от логарифма функции называется логарифми-
ческой производной функции.
Пример. Найти производную функции у = 1п(х2 + 4х + 5).
Применяя последнюю формулу, имеем
, =s (x2 + 4x + 5)z s 2х + 4
х2 + 4х + 5 х2 + 4х + 5’
§ 9. Производная показательной функции
Пусть
у == ах, где а > 0.
Тогда
In у = х 1п а.
Взяв производную от левой и правой частей по х, будем иметь1)
1 у' = In а;
У
*> Существование у' вытекает из дифференцируемости логарифми-
ческой функции (см. §§ 7 и 5),
172
отсюда
или окончательно
у' = у In а,
(ах)' = ах In а.
(1)
Таким образом, производная показательной функции равна
самой функции, умноженной на натуральный логарифм осно-
вания.
Пример. Найти производную функции у = 2х.
По формуле (1) имеем
(2х)' = 2х In 2.
Полагая в формуле (1), в частности, а = е, получим
(ех)' = ех,
т. е. производная экспоненциальной функции ех равна самой
функции. В этом смысле функция ех является простейшей функ-
цией математического анализа.
В приложениях часто встречаются гиперболические функции, кото-
рые формально определяются равенствами
, ех + е~х , ех - е~х
ch х = —-— , sh х = —-—
2	2
(рис. 107) и
.I „ shx ех - е~х „ chx ех + е~х
chx ех + е~х	shx ех - е~х
(рис. 108). Из формул (2) получаем основное соотношение
(2)
(3)
ch2x - sh2x == 1.
173
На основании формул (2) и (3) непосредственно находим производ-
ные гиперболических функций:
(ch х)' = sh х, (sh х)' = ch х, (th х)' == -Д— , (cth х)' = Д- .
ch2x	sh2x
§ 10. Производная степенной функции
Рассмотрим степенную функцию
у = ха (х > 0),	(1)
где а — любое действительное число.
Логарифмируя равенство (1), получаем
In у = a In х.	(2)
Отсюда
у = ealnre
Поэтому в силу теоремы о производной сложной функции (§ 4)
степенная функция у дифференцируема.
Дифференцируя по переменной х равенство (2), будем иметь
У- = а • 1.
у х
Отсюда
у' = аУ = аха“г.
х
Таким образом, мы получаем общее правило дифференцирова-
ния степенной функции:
(ха)' = аха"1,	(3)
т. е. производная степени независимой переменной равна по-
казателю степени, умноженному на основание в степени на
единицу меньше.
Если степенная функция (1) имеет смысл при х < 0, то фор-
мула (3) будет справедлива также и при х < 0.
§ 11.	Производные обратных
тригонометрических функций
Функции, обратные тригонометрическим функциям, носят
название обратных тригонометрических или обратных круго-
вых функций (Arcsin х, Arccos х, Arctg х, Arcctg х и т. д.).
Главные значения обратных тригонометрических функций
получаются в результате обращения дифференцируемых (с от-
174
личной от нуля производной в соответствующей области) триго-
нометрических функций и, следовательно, в силу теоремы о про-
изводной обратной функции (§ 5) являются также дифферен-
цируемыми. Найдем их производные.
I.	Производная от arcsin х. Пусть
у = arcsin х,	(1)
где -1 < х < 1 и -л/2 < у < л/2 (см. гл. VI, § 9).
Обратная функция имеет вид
х = sin у,	(2)
причем х'у = cos у 0, если у € (~л/2, л/2).
Используя правило дифференцирования обратной функции
(§ 5), получим
г4= Л = —.	(3)
Ху cosy
Так как cos у > 0 при -л/2 < у < п/2> то, учитывая (2), получаем
cos у = + 71 - sin2y = 71 ~~ х2 > 0, -1 < х < 1.
Следовательно, на основании (3) имеем
т. е.
(arcsin xY =  1 -.	(4)
Из формулы (4) следует, что кривая (1) при х == ±1 имеет
вертикальные касательные.
II.	Производная от arccos х. Пусть
у = arccos х,
тогда
х = cos у,
причем -1<х<1иОСу<л.
На основании правила дифференцирования обратной функ-
ции (§ 5) имеем
г4=Л=-^_.
Ху	sin у
175
Так как sin у > 0 при О < у < п, то
sin у = +л/1 ~ cos2# = а/1 -х2 > 0 (-1 < х < 1).
Поэтому
Таким образом,
(arccos х)' =	.	(5)
71^2
Замечание. Формулу (5) мы могли бы также получить из со-
отношения
arcsin х + arccos х = п/ 2.
III.	Производная от arctg х. Пусть
у = arctg х (-оо < х < +оо, -я/2 < у < я/2)
и, следовательно, х = tg у.
Имеем (см. VI, § 3)
у' = ± =_J_ =	1	= 1 - .
Ху sec2# 1 + tg2# 1 + х2
Таким образом,
(arctg х)' =	.
IV.	Производная от arcctg х. Пусть
у = arcctg х	(—о° < х < 4-оо, о < у < л),
тогда х = ctg #.
Имеем (см. VII, § 3)
'	2	-	,	2	1 4-у2’
ху со sec #	1 + ctg#
т. е.
(arcctgx)'=-—.
Пример. ГarcctgГ) = i- '	= 7^-5 (* * °)-
176
§ 12.	Производная функции, заданной параметрически
Зависимость между переменными х и у иногда удобно зада-
вать двумя уравнениями
х == ф(0> У = V(0>	(1)
где t — вспомогательная переменная (параметр). Особенно часто
этим пользуются в механике, где параметр t обычно обозначает
время, а уравнения (1) представляют собой параметрические
уравнения траектории движущейся точки М(х, у).
Уравнения (1), вообще говоря, определяют у как сложную
функцию от х, В самом деле, разрешив первое уравнение системы
(1) относительно параметра t (если это возможно), будем иметь
t = 0(х),
где 0 — функция, обратная к функции ср. Отсюда, исключая из
уравнений (1) параметр t9 получим
!/ = V(0(x)).	(2)
Пользуясь формулой (2), легко найти производную у'х как про-
изводную сложной функции.
Однако на практике исключение параметра t часто бывает
затруднительным, а иногда даже невозможным. Поэтому мы да-
дим правило для нахождения производной у'х9 не требующее иск-
лючения параметра.
ТЕОРЕМА. Если функция у от аргумента х задана пара-
метрически х = <р(£), у = \|/(£), где функции cp(f) и \|f(t) диффе-
ренцируемы и ф'(0 0, то производная этой функции есть
у'х = у^-	(3)
X,
Доказательство. В цепи равенств
у = v(t), t = 0(х),
где t = 0(х) есть обратная функция по отношению к функции
х = (p(t)9 будем рассматривать параметр t как промежуточный
аргумент. В таком случае, согласно правилу дифференцирова-
ния сложной функции (§ 4), имеем
у'х ~ y't • t'x-	(4)
Применяя теперь правило дифференцирования обратной функ-
ции (§ 5), получим
t'x = -Jr-	(5)
xt
177
Следовательно, из формул (4) и (5) находим у'х — y't:x't9 что и
требовалось доказать.
Замечание. Пользуясь обозначениями Лейбница, формуле
(3) можно придать вид очевидного равенства
dy = dy , dx
dx dt dt '
Этим еще раз подчеркивается удобство обозначений Лейб-
ница.
Пример. Пусть
X = f2, у == ^3	(6)
Имеем x't « 2t, y't = St2. Следовательно,
Ух = yt'xt~ 3t2:2t ~ -1.
Справедливость последней формулы можно непосредственно проверить,
исключая из равенств (6) параметр t.
§ 13.	Сводка формул дифференцирования
Выведенные нами правила и формулы дифференцирования
для функций одного и того же независимого переменного х объ-
единим в таблицу:
I. c' = 0.	X. (cos x)' = -sin x.
II. (и 4- v - w)' = и' 4- v' - и/. XL (tgx)' = sec2x.
III. (cu)' = cu'.	XII. (ctgx)' = -cosec2x.
IV. (uv)' ® u'v 4- uv'.	
v Г if V = u'v~uv' * luj	V2	XIV. (ax)' = axln a, (exY = ex.
VI. y'x = /X-	XV. (arcsin xY =	1 -. Vl -x2
vn.x;=±. У Ух	XVI. (arccos x)' — - _j__ . 71 -x2
VIII. (xn)' = nx"-1, x' = 1.	, XVII. (arctg x)' - —Ц.
IX. (sin x)' = cos x.	XVIII. (arcctg x)' = Ц. 1 4- Xz
178
§ 14.	Понятие о производных высших порядков
Производная f'(x) от функции f(x) называется производной
первого порядка и представляет собой некоторую новую функ-
цию. Может случиться, что эта функция сама имеет производ-
ную. Тогда производная от производной первого порядка назы-
вается производной второго порядка или второй производной и
обозначается так:	Итак,
/"(х) = [Г(х)]'.
Производная от производной второго порядка, если она су-
ществует, называется производной третьего порядка или
третьей производной и обозначается так: /'"(х), т. е.
Г"(х) = [/"(х)]',
и т. д.
Для обозначения дальнейших производных употребляются
римские цифры.
Пример. Пусть у = sin х. Тогда имеем последовательно
у' = cos х, у" « -sin х, у"' « -cos х, у1У = sin х, ... .
§ 15. Физическое значение
производной второго порядка
Мы видели, что с помощью производной первого порядка
можно найти скорость движения. Покажем, что для того, чтобы
вычислить ускорение движения, надо воспользоваться произ-
водной второго порядка.
Пусть закон движения точки М по оси Ох выражается урав-
нением х = f(t). Пусть в момент времени t точка М имеет скорость
и, а в момент t 4- &t — скорость v + Ди.
Таким образом, за промежуток времени скорость точки
изменилась на величину Др. Отношение
Ди
М
называется средним ускорением прямолинейного движения за
промежуток времени Д£. Предел этого отношения при Д£ О,
т. е.
179
называется ускорением точки М в данный момент t. Обозначая
ускорение буквой у, можем написать j = v'(t). Но v =	Поэтому
v\t) = [НОГ = /"(0.
Итак, имеем
J = /"(0,
т. e. ускорение прямолинейного движения точки равна второй
производной от пути1) по времени.
УПРАЖНЕНИЯ
1—30. Найти производные от следующих функций:
1. а) у = Зх2 - х 4- 5; б) /(х) = 1/х2. Чему равны f'(1), Л(“Ю)?
2.у-2^+з?/Г2-Х.	3.j/ = ^ + A. =
а/%	а л	и I/
5. у = х2(2х - 1).	6. у = (х + 1)л/х.	7. у = x2sin х.
8. у=-±_.	9.у=-^—.	10. у = s.inx-_cos.^.
у 14-х2	1-х2	sinx4-cosx
11.	у - sin2 х. 12. у - sin х2.	13. у = cos3 5 .	14. у = cos--.
Li	Ы
15.	у = 71 4-х2 • 16. у « In In х. 17. у = In2 х. 18. у = In х2.
19. у = Intgi .	20. у = хп 4- пх.	21. у = е-*2.
22. у е*/2(х2 - 4х 4- 8).	23. у = arcsin 5 .	24. у = arccos i . X
25. у == arctg i .	26. у	= (tg х - ctg х)2.	27. /(х) == х 4- arcctg х.
28. у = 1п(х 4- 71 + х2 )• 29. у == Jl-x2 4- i arcsin х.
а	&
30.	у « 1 lnl±-£ 4- 1 arctg X.
4	1-х	2
31—33. Найти производные от дифференцируемых неявных функ-
ций у — у(х), определяемых уравнениями:
31.	х2 4- у2 - ху = 1.	32. х3 4- у3 - Зху = 0.
33.	а) у = х 4- In у; б) найти у' в точке М(1, 1), если 4- 2ху = 3.
34.	Найти производные у'х от функций, заданных параметрически:
а) х = a cos t, у = b sin t; б) х = wt, у =
в) х = e~*cos t, у = e_fsin t при t « 0.
Точнее: от абсциссы движущейся точки.
180
35—37. Найти вторые производные от функций:
35.	а) у ; б) у = х + sin 2х. 36. у = 1п х. 37. у = х2е~х.
38.	Найти /(0), /'(0) и f'(0), если f(x) ~ cos Зх.
39.	а) Написать уравнение касательной к кривой у - х2 в точке ее
М(2, 8); б) написать уравнение касательной к синусоиде у = sin х в точке
х == я; в) написать уравнение касательной к параболе i/2 = 2х в точке (8, 4).
х2 I/2
40.	Написать уравнение касательной к эллипсу —- 4- £- = 1 в точке
а2 о2
его M(xlt z/j).
41.	Написать уравнение касательной к эллипсу х = 10 cos t, у “ 6 sin t
в точке, соответствующей t = л/3.
42.	Нормалью к кривой в данной ее точке M(xlt уг) называется пер-
пендикуляр к касательной к этой линии в точке касания М. Написать
уравнения нормалей к следующим кривым в заданных точках:
а) у = tg х в точке 0(0, 0); б) у2 = 2х в точке 2И(8, 4);
в) х2 4- у2 = 25 в точке (3, -4).
43.	С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда
радиус его R = 10 м, если радиус круга растет со скоростью 2 м/с?
44.	Человек ростом h « 175 см отходит со скоростью v = 1,5 м/с от
фонаря, висящего на высоте Н = 5 м. С какой скоростью растет длина
его тени?
45. Закон движения точки х =
4- at 4- Н t2. Найти скорость и
*0
ускорение движения.
46.	Зная уравнение движения точки х = t - sin t, определить ско-
рость и ускорение этой точки.
ГЛАВА XI
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 1. Теорема о конечном приращении функции
и ее следствия
Приведем теорему о конечном приращении функции:
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА. Конечное приращение дифференцируе-
мой функции равно соответствующему приращению аргумен-
та. умноженному на значение ее производной в некоторой про-
межуточной точке, т. е. если f(x) есть дифференцируемая
функция на некотором промежутке {а. Ъ) и х19 х2 (хг < х2) —
любые значения из этого промежутка, то
/(х2) - /(хО = (х2 - хх)/'ф,	(1)
где Xi < ^ < х2.
Доказательство. На графике функции у = f(x) проведем се-
кущую АВ через точки A(Xi, /(хх)) и В(х2, /(х2)) (рис. 109). Будем
перемещать эту секущую параллельно начальному положению
до тех пор, пока она не превратится в касательную А'СВ' к гра-
фику нашей функции в некоторой точке его С(£, f(^))1), где
Мы опускаем здесь доказательство того факта, что такое предель-
ное положение существует.
182
хх < £ < x2. Согласно нашему построению угловой коэффициент
секущей АВ равен угловому коэффициенту касательной А'СВ',
поэтому
/(^2) ~ f(xi) __ f'tf)
Х2 - хг
Отсюда
f(x2) - f(Xi) = (х2 - хг)Г&),
что и требовалось доказать.
Следствие /. Если производная функции равна нулю на не-
котором промежутке, то функция есть тождественная
постоянная на этом промежутке.
В самом деле, если, например,
f'(x) = 0 при а < х <Ь,
то, полагая в формуле (1) хх = х0, где х0 есть некоторое фикси-
рованное значение из промежутка (а, Ь), и х2 = х, где х — любое
значение из этого промежутка, будем иметь
f(x) - /(х0) = (х - ХО)Г(£) = о.
Отсюда
/(х) = /(х0) == const, если а < х < Ь.
Следствие 2. Если две функции имеют равные производные
на некотором промежутке, то эти функции на рассматри-
ваемом промежутке отличаются друг от друга самое большее
на постоянное слагаемое.
В самом деле, если
/К*) =
при х € (а, Ь), то на этом промежутке имеем
[Л(х) - /2(х)]' = Л(х) - /2(х) = 0.
Следовательно, в силу следствия 1 функция Д(х) - /2(х) есть
постоянная при а < х < Ъ, т. е.
/1(х) -/2(Х) = С
для всех значений х, принадлежащих промежутку {а, Ъ).
Пример. Как известно, для любого значения -оо < х < +оо имеем
(arctgx)' = YYp и (-arcctgx)' =	.
183
Следовательно,
arctg х - (-arcctg x) = C,
где C — некоторая постоянная. Положив в последнем тождестве х ** 1,
получим ~ +5 = С, т. е. С = ^ . Таким образом,
4	4	2
arctg х + arcctg х =
я
2’
В дальнейшем нам понадобится теорема о корнях
производной:
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. Между двумя последовательными корня-
ми дифференцируемой функции всегда содержится по меньшей
мере один корень ее производной.
Доказательство. В самом деле, если f(x) — дифференцируемая
функция и
f(*i) = f(x2) = О (Xi < х2),
то из формулы (1) имеем
(х2 - хх)Л(р = О,
или, так как х2 х19
f'fc) = О, где Xj < £, < х2.
§ 2. Возрастание и убывание функции
одной переменной
Опрелеление. Говорят, что функция f(x) возрастает в
промежутке {а, Ь), если любому большему значению аргумента
х в этом промежутке соответствует большее значение функ-
ции; иными словами, f(x) есть возрастающая функция в проме-
жутке {а, Ь), если, каковы бы ни были значения хг и х2 из этого
промежутка (рис. 110, а), из неравенства
' х2 > хг
вытекает равенство
Аналогично, говорят, что /(х) убывает в промежутке
{а, Ь), если любому большему значению аргумента х в этом
промежутке соответствует меньшее значение функции; ины-
184
ми словами, f(x) есть убывающая функция (рис. 110,6), если из
неравенства
х2 > *1
вытекает неравенство
/(х2) < f(xr).
ТЕОРЕМА 1. (Необходимый признак возрастания (убывания)
функции.)
1) Если дифференцируемая функция возрастает в некото-
ром промежутке, то производная этой функции неотрица-
тельна в этом промежутке.
2) Если дифференцируемая функция убывает в некотором
промежутке, то ее производная неположительна в этом про-
межутке.
Доказательство. 1) Пусть дифференцируемая функция f(x)
возрастает в промежутке (а, Ь). Согласно определению произ-
водной,
/'(%)= lim /U + Ax)-/(x)
Дх —* о	Дх
Если значения х и х 4- Дх принадлежат промежутку (а, Ь), то в силу
возрастания функции f(x) знак ее приращения f(x 4- Дх) - /(х), где
Дх * 0, одинаков со знаком приращения Дх аргумента х. Следова-
тельно, при достаточно малом по абсолютной величине Дх имеем
Дхч-Дх)-/(х) > 0
Дх
Переходя в последнем неравенстве к пределу при Дх —► 0 и учи-
тывая, что предел положительной функции, очевидно, не может
быть отрицательным, получаем (гл. VII, § 3)
/'(х) > 0.
185
Рис. Ill
2) Доказательство второй час-
ти теоремы вполне аналогично до-
казательству первой части ее.
Замечание. Геометрически
утверждение теоремы сводится к
тому, что для графика возрастаю-
щей дифференцируемой функции
касательные образуют с положи-
тельным направлением оси Ох
острые углы a (tg а == f'(x)) или
в некоторых точках А параллель-
ны оси Ох (рис. 111),
Для графика убывающей дифференцируемой функции все
касательные образуют тупые углы с положительным направле-
нием оси Ох или параллельны ей.
ТЕОРЕМА 2. (Достаточный признак возрастания (убывания)
функции.)
1) Если производная дифференцируемой функции положи-
тельна внутри некоторого промежутка, то функция возрас-
тает на этом промежутке.
2) Если производная дифференцируемой функции отрица-
тельна внутри некоторого промежутка, то функция убывает
на этом промежутке.
Доказательство. 1) Пусть, например, дифференцируемая
функция f(x) такова, что
f(x) > 0 при a < х < Ь.
Для любых двух значений a < Xi < х2 < Ь, принадлежащих
промежутку {а, Ъ), в силу теоремы о конечном приращении
функции имеем
Я>2) - /(«1) = («2 - *1)Г(£).
где £ — промежуточное значение между хх и х2 и, следовательно,
лежащее внутри промежутка {а, Ь). Так как х2 - хг > 0 и /'(£) > О,
то отсюда получим
f(x2) - /(хх) > 0, или /(х2) > /(хх).
Следовательно, функция /(х) возрастает на промежутке (а, Ь).
2) Доказательство второй части этой теоремы совершенно
аналогично доказательству первой ее части.
Функция возрастающая (или убывающая) называется моно-
тонной. Промежутки, в которых данная функция возрастает
или убывает, называются промежутками монотонности этой
функции.
186
Пример. Исследовать на возрастание и убы-
вание функцию
f(x) == х3 - Зх + 2.
Находим производную
Г(х) = Зх2 - 3 = 3(х2 - 1).
Производная обращается в нуль при значениях
хг = -1 и х2 “ 1. Эти значения разбивают всю
бесконечную ось Ох на три промежутка:
(-оо, -1], (-1, 1], [1, +оо),
внутри каждого из которых производная f'(x) со-
храняет постоянный знак. Очевидно, внутри
первого и третьего промежутков производная f(x) положительна, а вну-
три второго — отрицательна. В этом проще всего можно убедиться, взяв
точки, принадлежащие соответствующим интервалам. Следовательно,
функция f(x) возрастает в первом промежутке, убывает во втором и сно-
ва возрастает в третьем (рис. 112).
§ 3. Понятие о правиле Лопиталя
Рассмотрим отношение
fix) =	,
' V(x)
где функции ф(х) и \у(х) определены и дифференцируемы в не-
которой окрестности Ua точки а, исключая, быть может, саму
точку а. Может случиться, что при х а обе функции ф(х) и
Ф(х) стремятся к 0 или к °°, т. е. эти функции одновременно яв-
ляются или бесконечно малыми, или бесконечно
большими при х -► а. Тогда говорят, что в точке а функция
f(x) имеет неопределенность, соответственно, вида
О	оо
или —
О	оо
(1)
В этом случае, используя производные ф'(х) и \|/'(х), можно сфор-
мулировать простое правило для нахождения предела функции
f(x) при х —► а, т. е. дать рецепт для раскрытия неопре-
деленностей вида (1). Этот способ вычисления предела из-
вестен под названием правила Лопиталя.
ТЕОРЕМА. Предел отношения двух бесконечно малых или
бесконечно больших функций равен пределу отношения их про-
изводных (конечному или бесконечному), если последний су-
ществует (в указанном смысле).
187
Доказательство. Доказательство мы проведем только для не-
определенности вида , причем для простоты будем предпола-
гать, что функции ф(х) и ф(х), вместе с их производными ф'(х) и
\|/(х), непрерывны в точке а и \|f'(a) 0. Доказательство для слу-
оо
чая — значительно сложнее,
оо
Итак, пусть
lim ф(х) = ф(а) = 0	(2)
х -* a
И
lim у(х) = у(а) = 0.	(2')
X ~* а
Разность ф(х) - ф(а) можно рассматривать как приращение функ-
ции ф(х) в точке а, соответствующее приращению аргумента
Дх = х - а. Поэтому
lim Ф,(х)-Ф(а) = фЧа);	(3)
х a X — CL
аналогично,
Нт У(£).ГУ(«) =1|Г(д)#0.	(3')
х —* a	X — CL
Учитывая формулы (2) и (2') при х а, получаем
Ф(х)-ф(д)
ф(х) _ ф(х)-ф(а) _ х-а
ф(х) ф(х) - у(д) ф(х)-у(а)'
х-а
Отсюда, переходя к пределу при х —► а и используя формулы (3)
и (3'), будем иметь
lim Ф^2=Ф2£)	(4)
х-аф(х) V (д)
Но мы предположили, что производные <?'(х) и \|f(x) непрерывны
при х -* а, причем у'(а) * 0, поэтому
. Ишф'(х) ,, .
lim ф (х) = *~g	= ф .	(5)
х-аф'(х) limy'C*) ф'(а)"
Сопоставляя формулы (4) и (5), получаем правило Допиталя
lim = lim .
х-аф(х) х-аф(х)
(6)
188
Замечание. Обращаем внимание, что в правой части формулы (6)
берется отношение производных, а не производная отношения.
9х__ 1
Пример 1. Найти lim -- .
х-* о sinx
Здесь при х = 0 числитель и знаменатель дроби равны нулю, т. е.
при х 0 мы имеем неопределенность вида 5. Применяя правило Ло-
питаля (6), получим
lim = lim	= In 2.
х—*0 Sinx	х—*0 COSX 1
у 2
Пример 2. Найти lim — .
Х-+ОО ех
При х +оо имеем неопределенность вида — .
Применяя правило Лопиталя два раза, получим
lim — = lim — = lim - = 0.
х — ч-оо ех	+оо ех х-.+оо ^х
Таким образом, при х 4-оо показательная функция ех растет быстрее
степенной функции х2.
Указанные выше типы неопределенностей 5 и ~ не являют-
ся единственными. Например, если
f(x) = ф(х)\|/(х),
причем ф(х) 0 и \|/(х) оо при х а, то при х -* а функция
Дх) имеет неопределенность вида 0 • оо. Другой пример представ-
ляет функция
/(х) = ф(х) - ф(х),
где ф(х) 4-оо и \|/(х) -► 4-оо при х а. Здесь при х а получаем
неопределенность вида оо - оо. Возможны и другие виды неоп-
ределенностей. Для раскрытия этих неопределенностей их ста-
раются с помощью тождественных преобразований свести к ос-
новным типам неопределенностей 2 или . Последние обычно
находятся на основании правила Лопиталя.
Пример 3. Найти lim х In х.
х -* +0
Здесь мы имеем неопределенность вида 0 • оо. Переписывая данное
выражение в виде
lim х In х = lim ,
х -* +0	х -> +0	1
X
189
получаем неопределенность вида — . Отсюда, применяя правило Лопи-
таля, находим
1
lim х In х = lim = lim (-х) = 0.
х — +0	х +0	1	х -> +0
X2
Пример 4. Найти lim f ctgx - i |.
х - 0 к	X)
Данное выражение представляет собой неопределенность вида оо - оо.
Используя формулу ctg х = £2^ , будем иметь
sinx
lim fctgx - 11 = lim f - 11 = lim	.
x —ok	x) x-o\smx xj	x —> о	xsmx
Так как получилась неопределенность вида , то применяем правило
Лопиталя:
lim fctgx - 11 = lim ?°85.T.£si?_^^ = - lim . *sin*  =
x — ok xj x —o sinx + xcosx x —о smx + xcosx
= -lim s-inx - = --Д- = o.
x —o sinx	1 + 1
---+ C0SX
X
Последний результат был получен на основании известного предела:
lim S12— = 1 (гл. VII, § 11). Здесь при нахождении предела оказалось
х-0 X
целесообразным, как и во многих других случаях, комбинировать пра-
вило Лопиталя с элементарными приемами.
Для функции
/(X) = [ф(х)Г<Х>
ф(х) —► 0	и у(х) -*	0	при х а,
ф(х) —► 00	и ф(х) ->	0	при х а,
<р(х) -> 1	и ф(х) —	оо	при х —* а
получаем неопределенности соответственно вида 0°, °°0, 1°°.
Здесь выгодно логарифмировать функцию Дх).
Пример 5. Найти
А= lim (sinx)tffX.	(7)
х -* л/2
190
Выражение (7) представляет собой неопределенность вида 1°°. Логариф-
мируя выражение (7) и используя непрерывность логарифмической
функции, находим
1пА = 1пГ Нт (sinx)^] = цт [ln(sin х)^] =
|_х-*л/2	J х-*л/2
= lim (tg х • In sin x) = lim *nsinx
х-тг/2	x—>n/2 CtgX
Применяя правило Лопиталя к получившейся неопределенности вида
ОО -
—, будем иметь
оо
' COSX
In А = lim six*x = Нт (-sin х cos х) = 0;
x — л/2	1	X -* п/2
• 2 t
Sin X'
отсюда А = 1.
§ 4. Формула Тейлора для многочлена
Пусть данный многочлен
Р(х) « а0 + ахх + а2х2 + •••+ апхП	(1)
требуется разложить по степеням бинома х - х0, где х0 — неко-
торое число. Эту задачу можно решить элементарно, используя
тождество х s х0 + (х - х0). Однако можно указать более простой
прием. Пусть
Р(х) = Ао + Ах(х - х0) + А2(х - х0)2 + ... + А„ (х - х0)” (2)
— искомое разложение, коэффициенты которого А^, Ап А2,..., А„
требуется найти. Полагая х = х0 в тождестве (2), получим
Р(х0) = Д) + 0; отсюда
Ао = Р(х0).	(3)
Дифференцируя тождество (2), будем иметь
Р'(х) = Ах + 2А2(х - х0) + ... + пАп(х - х0)п -х.
Отсюда, полагая х = х0, получим
А = Р'(х0).
После вторичного дифференцирования находим
Р"(х) = 2!А2 + ... + п(п - 1)Ап(х - х0)*-2
191
и при х « х0 имеем Р"(хо) = 2!А2, т. е.
Для определения дальнейших коэффициентов разложения (2)
можно использовать тот же прием. Довольно очевидно, что имеет
место общая формула
(ft = 0,1,2,	(5)
где по определению полагают Р(0)(х) = Р(х) и 0! = 1. Формулу (5)
можно строго доказать методом математической индукции.
Подставляя коэффициенты (5) в разложение (2), получим
формулу Тейлора для многочлена
Р(х) = Р(х0) + Р'(х0)(х - х0) +	(х- х0)2 +... +	(х- х0)»,
2!	П\
или короче
Р(х) = £ £^(х -х0)*.	(6)
А = 0
Заметим, что, как нетрудно убедиться, старшие коэффициенты раз-
ложений (1) и (2) совпадают, т. е. Ап = ап. Поэтому справедливо равен-
ство
IpcW-a,.
Если положить х0 = 0, то правая часть равенства (6) будет тождест-
венно равна правой части многочлена (1). Поэтому справедливы равен-
ства
(. = 0,1, ...,„).
Пример. Многочлен Р(х) = 1-2x4- Зх2 - 4х3 разложить по степеням
бинома х 4- 1.
Здесь х0 = -1. Имеем
Р'(х) = -2 + 6х - 12х2, Р"(х) = 6 - 24х, Р"'(х)= -24
и
Р(-1) = 10, Р'(-1) == -20, Р"(-1) = 30, Р"'(-1) = -24.
Таким образом, Р(х) = 10 - 20(х 4- 1) 4- 15(х 4- I)2 - 4(х 4- I)3.
192
§ 5. Бином Ньютона
Рассмотрим функцию
f(x) = (а + х)п,	(1)
где п — натуральное число. Полагая х0 = 0 и используя формулу
Тейлора (6) из § 4, получаем
(а + х)п = Aq + Агх + ... + Апхп,	(2)
где
Л,-Г» (*-0,1............п).
Так как из (1) получаем
/(*)(х) = п(п - 1) ... [n - (k - 1)](а + x)n~k9
то ДО) = ап и
ffe)(0) = п(п - 1) ... [n - (k - 1)]а" ~ * (k = 1, 2, ..., п).
Таким образом, Ао = ап и
Ak =	ап -к (k = 1, 2, ...» п).	(3)
Числа Ak носят название биномиальных коэффициентов и
условно обозначаются следующим образом:
Ак=Ск,	(4)
где С* называется числом сочетаний из п элементов по k (ком-
бинаторный смысл чисел С£ будет выяснен позднее; см.
гл. XXV, § 10).
Итак, на основании формулы (2) имеем биномиальную фор-
мулу Ньютона
(а + х)п = ап + пап~1х 4-	ап~2х2 + ... + хп. (5)
В частности, при а = 1 получаем
(1 + х)п = 1 + пх +	... + хп. (5')
7 Б. Демидович, В. Кудрявцев
193
§ 6. Формула Тейлора для функции
Пусть функция /(х) имеет непрерывную производную N-ro
порядка /W(x)1) в интервале (а, Ъ) и х0 € (а, &). Используя резуль-
таты предыдущего параграфа, построим многочлен Тейлора
Др J
А = 0
(1)
степени п, где п < N.
Многочлен Рп(х) можно рассматривать как некоторое при-
ближение (аппроксимацию) данной функции. Обозначая че-
рез Rn(x) соответствующую ошибку (так называемый остаточ-
ный член), будем иметь
f(x) = Р„(х) + Л„(х).	(2)
Покажем, что при х —► х0 остаточный член R„(x) будет бес-
конечно малой порядка выше п (теорема Пеано). В самом
деле, рассмотрим предел
г R„(x)
lim ———— =
х-х„(Х-Х0)"
/(х) - |7(х0) + Г(х0)(х - х0) + .
= lim ------------------------
Х-Хо	(Х-ХО)П
№q),
п!
. (3)
Очевидно, мы имеем неопределенность вида 5. Применяя пра-
вило Лопиталя (§ 3) последовательно п раз и учитывая непре-
рывность производной АпЦх), находим
..	Ra(x)
lim -—=
x-x„(x-X0)n
f'(x) - p'(x0) +	“ *o) + ••• +	~ xo)nl]
x-x0	n(x-xo)n-1
^о) + -+(/п_(2^)!(х-Хо)П’2] _
n(n- l)(x-xo)"-2
... = lim	= o.
x-x0 n(n-l)...l
= lim
п Отсюда, по смыслу операции дифференцирования, получаем, что
в интервале (а, Ь) существуют непрерывные производные f(x) « Л0),
f(x), ..., /^(х).
194
Следовательно,
Rn(x) = о[(х - х0)п].	(4)
Таким образом, получаем локальную формулу Тейлора:
f(x) = £ f-^ (X - х0)* + о[(х - х0)"]П.	(5)
А = 0
В частном случае, при а<О<Ьихо = О, будем иметь так назы-
ваемую локальную формулу Маклорена:
f(x)=	+	(6)
k = 0
Пример. Функцию f(x) = sinx аппроксимировать в окрестности точ-
ки xQ = 0 многочленом Тейлора Р3(х) третьей степени.
Имеем f(x) — sin х, f(x) = cos х, f'\x) = -sin x, /'"(x) = -cos x.
Отсюда /(0) « 0, /'(0) = /z<(0) = 0, /'"(0) e -1. На основании формулы
(6) получаем
у з
sin х « х - — + о(х3).	(7)
Формулу (7) часто используют для нахождения синусов малых уг-
лов х, причем следует иметь в виду, что здесь х выражен в радианах.
Полагая х - х0 = Л, х = х0 + h и учитывая, что
/(х) - f(x0) = /(х0 + Л) - /(х0) = А/(ХО),
формулу (5) можно записать в виде
ЛДхо) = Л/'(х0) + ГЫ + ... + ^ ГпЫ + о(Л«).	(8)
/2!	Г11
§ 7. Экстремум функции одной переменной
Опрелеление. Говорят, что при значении хг аргумента х
функция f(x) имеет максимум /(хх), если в некоторой ок-
рестности точки хх (возможно, весьма малой) выполнено не-
равенство (рис. 113)
/(xj > f(x) (х # Xi).
п В общем случае формула (5) оказывается содержательной, если х
принадлежит достаточно малой окрестности UXq точки х0.
195
Рис. 113
Аналогично, говорят, что
при значении х2 аргумента х
функция f(x) имеет минимум
f(x2), если в некоторой окрест-
ности точки х2 имеет место не-
равенство (рис. 113)
f(x2) < f(x) (х * х2).
Максимум или минимум
функции называется экстрему-
мом функции, а те значения ар-
гумента, при которых достигают-
ся экстремумы функции, называются точками экстремума
функции (соответственно: точками максимума или точками
минимума функции).
Из определения следует, что экстремум функции, вообще го-
воря, имеет локальный характер — это наибольшее или
наименьшее значение функции по сравнению с близлежа-
щими значениями ее. Поэтому наличие экстремума функ-
ции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от
того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой
точки зрения понятно, что минимум функции может быть боль-
ше максимума, подобно тому, как впадина в горах может иметь
большую отметку над уровнем моря, чем небольшая вершина.
Пусть функция f(x) определена на отрезке [а, Ь] и имеет экс-
тремум в точке х0 6 [а, &]. Если х0 — внутренняя точка отрезка,
то разность
/(х) - f(x0) (х * х0)
сохраняет постоянный знак в некоторой двусторонней ок-
рестности х0 - h < х < xQ + h (х * х0) точки х0. Такой
экстремум называется двусторонним. Например, функция
/(х) = 71-х2 имеет двусторонний максимум при х0 = 0, так как
/(х) < Дх0) = 1 при -1 < х < 1, х 0. Если же х0 — концевая
точка отрезка [а, 6], например х0 = а, то /(х) - /(х0) сохраняет
знак лишь в некоторой односторонней окрестности
а = х0<х<х0 + й точки х0. Такой экстремум называется одно-
сторонним (краевым). Например, функция f(x) = 71 - х2 имеет
односторонний минимум при х0 = -1 и при х0 = 1.
В дальнейшем под словом «экстремум» мы будем понимать
двусторонний экстремум, т. е. будем предполагать, что
для точки экстремума х0 данной функции f(x) имеется некоторая
окрестность 0 < |х - х0| < h точки х0, в которой разность f(x) - f(xQ)
сохраняет постоянный знак.
196
1.	НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
ТЕОРЕМА. В точке экстремума (двустороннего) дифферен-
цируемой функции производная ее равна нулю.
Доказательство. Пусть, для определенности, хоесть точка ми-
нимума функции f(x). Следовательно,
/(х0 + Дх0) > f(x0),
если Дх0 # 0 достаточно мало по абсолютной величине.
Отсюда
f(x0 + Дх) - /(х0) л а л
——; ' /v 07 > 0, если Дх0 > О,
Дх0
и
/(х0 + Дх) - /(х0)	л А л
——-—< 0, если Дх0 < 0.
Дх0
Переходя в этих неравенствах к пределу при Дх0 0, для
производной в точке х0, равной
,f(x0) = lim +
Дх0 — О Дх0
соответственно получаем
Л(хо) > 0» если Дх0 > 0, и f'(x0) < 0, если Дх0 < 0.
Так как значение производной f'(xQ) не должно зависеть от
способа стремления Дх0 к нулю, то отсюда следует, что
Л(хо) = О.	(1)
Теорема доказана.
Геометрическая иллюстрация. Геометрически условие (1)
обозначает, что в точке экстремума дифференцируемой функции
У = f(x) касательная к ее графику параллельна оси Ох (рис. 114, а).
Рис. 114
197
Слелсгвие. Непрерывная функция может иметь экстремум
лишь в тех точках, где производная функции равна нулю или
не существует.
Действительно, если в точке х0 экстремума функции f(x) су-
ществует производная f'(xQ), то в силу доказанной теоремы эта
производная равна нулю: f'(xQ) = 0.
То, что в точке экстремума непрерывной функции производ-
ная может не существовать, показывает пример функции, гра-
фик которой имеет форму «ломаной» (рис. 114,6).
Те значения аргумента х, которые для данной функции f(x)
обращают в нуль ее производную f(x) или для которых произ-
водная f'(x) не существует (например, обращается в бесконеч-
ность), называются критическими значениями аргу-
мента.
2.	ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ
Из того обстоятельства, что Д(х0) = 0, вовсе не следует, что
функция f(x) имеет экстремум при х = х0.
В самом деле, пусть f(x) = х3. Тогда f'(x) = Зх2 и, следова-
тельно, /'(0) == 0. Однако значение /(0) не является экстремумом
данной функции, так как разность Дх) - ДО) меняет знак при
изменении знака аргумента х (см. рис. 57).
Таким образом, не для всякого критического значения аргу-
мента функции Дх) имеет место экстремум этой функции. По-
этому мы наряду с необходимым условием дадим достаточные
условия экстремума функции.
ТЕОРЕМА 1 (первое правило). Если дифференцируемая функ-
ция f(x) такова, что для некоторого значения х0 ее аргумента
х производная f'(x) равна нулю и меняет свой знак при пере-
ходе через это значение1^, то число Дх0) является экстрему-
мом функции f(x), причем:
1) функция f(x) имеет максимум при х = х0, если изменение
знака производной f\x) происходит с плюса на минус;
2) функция Дх) имеет минимум при х = х0, если изменение
знака производной f\x) происходит с минуса на плюс.
Мы говорим, что некоторая функция F(x) меняет свой знак при
переходе через значение х0, если существует столь малое положительное
е такое, что
F(x) < 0 при х0 - е < х < х0 и F(x) > 0 при х0 < х < х0 + е
или наоборот.
19?
Локазательство, 1) Пусть f'(xQ) = 0, причем
f'(x) > О при х0 - £ < х < х0
и
f'(x) < О при х0 < X < Хо + £,
где £ — достаточно малое положительное число.
Отсюда в силу теоремы 2 из § 2 следует, что функция f(x)
возрастает на отрезке [х0 - £, х0] и убывает на отрезке [х0, х0 + £].
Следовательно, в непосредственной близости к значению х
имеем
f(xo) > f(x)> если х < х0
и также
f(xQ) > f(x)> если х > х0.
Иными словами, при х = х0 функция Дх) имеет максимум.
2) Аналогично доказывается вторая часть теоремы.
Замечание. Можно доказать, что теорема остается верной, если в
критической точке х0 производная /'(хо)не существует, но функция /(х)
непрерывна при х = х0.
ТЕОРЕМА 1'. Если для дифференцируемой функции f(x) ее
производная f'(x) при х = х0 обращается в нуль, но при переходе
через это значение производная сохраняет постоянный знак,
то при х = х0 функция f(x) не имеет экстремума.
Локазательство. В самом деле, если, например, f '(х0) = 0 и
/'(х) > 0 при х0 - £ < х < х0 + £, х х0,
то функция /(х) возрастает как на отрезке [х0 - £, х0], так и на
отрезке [х0, х0 4- £]. Следовательно, функция не имеет ни макси-
мума, ни минимума при х = х0.
Пользуясь этими теоремами при исследовании дифференци-
руемой функции Дх) на экстремум, сначала находят критиче-
ские значения аргумента функции, т. е. те значения х0, для ко-
торых
Г(х0) = О,
а затем, выбрав для каждого такого значения х0 столь малый
интервал (х0 - £, х0 + £), чтобы он не содержал других критиче-
199
ских значений (конечно, если это возможно!), проверяют харак-
тер этого значения по следующей схеме:
f(xo-h)	f'(x0 + Л)	Заключение
+	+	Экстремума нет
+	—	Максимум
—	+	Минимум
—	—	Экстремума нет
Здесь переменная h пробегает интервал 0 < h < е.		
Пример. Исследовать на экстремум функцию
/(х) = х3 - 6х2 + 9х + 5.
Находим производную
f\x) = Зх2 - 12х + 9 == 3(х2 ~ 4х + 3).
Приравнивая ее нулю и решая соответствующее квадратное уравне-
ние, получаем корни производной: = 1 и х2 = 3. Отсюда
Г(х) = 3(х - 1)(х - 3).
Исследуем, как изменяется знак f(x) вблизи значения х = 1.
При любом достаточно малом положительном числе h имеем
X	f\x)
1-h	+
1 + h
Следовательно, функция /(х) при х == 1 имеет
максимум, равный /(1)« 9. Аналогично, для значе-
ния х = 3 получим
х	/'(х)
3-й
3 + h +
Поэтому функция /(х) при х = 3 имеет мини-
мум, причем /(3) = 5.
График функции у = х3 - 6х2 + 9х + 5 изобра-
жен на рис. 115.
Рис. 115
200
ТЕОРЕМА 2 (второе правило). Если для дифференцируемой
функции f(x) в некоторой точке х0 ее первая производная f'(x)
равна нулю, а вторая производная f"(x) существует и отлич-
на от нуля, т. е.
f'(xo) = O, Г(хо)*О,
то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а именно:
1) если /"(х0) > 0, то /(х0)— минимум функции f(x), и
2) если f"(xQ) < 0, то /(х0) — максимум функции f(x).
Доказательство. 1) Положим сначала, что /'(*о)= 0» /"(*о) > 0.
Пусть х = х0 + Дх0 — точка, близкая к х0. Так как вторая про-
изводная f\x) есть производная от первой производной f'(x), то
имеем
Г(х0) = Ит Н^о + Ахо)-Г(хо) = lim
Ах0 —> 0	Дх0	Х-ХО X — Хо
(здесь мы воспользовались тем, что /'(хо) 3=7 0). Таким образом,
переменная величина — стремится к пределу /"(хо)	0, а
X — х0
значит, начиная с некоторого момента эта величина имеет знак
своего предела (гл. VII, § 6, лемма), т. е. в нашем случае знак
плюс. Поэтому
f > 0 при 0 < |х - х0| < е,
X х0
где е — достаточно малое положительное число. Отсюда получа-
ем, что числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые
X — Хо
знаки и, следовательно,
f'(x) < 0 при х0 - е < х < х0
и
f'(x) > 0 при х0 < X < хо + £.
Мы видим, что производная f'(x) при переходе через точку х0
меняет свой знак с минуса на плюс. На основании теоремы 1
число /(х0) есть минимум функции /(х).
2) Аналогично доказывается, что если /'(хо) = 0 и f"(xQ) < 0,
то /(х0) — максимум функции /(х).
Теория экстремума функций имеет многочисленные практи-
ческие применения.
Задача. Дан треугольник АВС, основание которого АС = Ь
и высота BL = h (рис. 116). Найти прямоугольник наибольшей
201
площади, который можно
вписать в этот треугольник.
Обозначим высоту KL
искомого прямоугольника
через х, основание DE че-
рез у (рис. 116). Тогда пло-
щадь его
U = ху.
Переменные х и у не явля-
ются независимыми, они
связаны некоторым соотно-
шением. В самом деле, из
подобия треугольников DBE и АВС, учитывая, что высоты их
• ВК и BL пропорциональны основаниям DE и АС, имеем
ВК = РЕ
BL АС 9
или так как ВК — h - х, DE = у, BL = Л, АС = Ь, то,
следовательно,
h-x у
h ь'
Отсюда
У = Г (Л - х).
п
Исключая у из выражения для U, находим
и = £ (й - х)х = | (йх - х2).	(2)
h	h
Ищем максимум этой функции. Дифференцируя, получим
V = £(й - 2х).
h
Приравнивая производную U' нулю, находим
h - 2х = 0, или х = Л/2.
Легко видеть, что это значение х действительно даст макси-
мум функции U. В самом деле, составляя вторую производную,
будем иметь
и" =	< о.
h
Следовательно, при х = Л/2 площадь U имеет максимум, причем
из формулы (2) получаем
C/max = bh/A
Таким образом, площадь наибольшего прямоугольника, впи-
санного в треугольник, равна половине площади этого треуголь-
ника.
202
§ 8. Вогнутость и выпуклость графика функции.
Точки перегиба
Определение. График дифференцируемой функции у = f(x) на-
зывается вогнутым вверх1) (или выпуклым вниз2)) в
промежутке (а, &), если соответствующая часть кривой
у = f(x) (х е (а, &»	(1)
расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке
М(х, f(x)) (рис. 117, а).
Аналогично, график дифференцируемой функции у = f(x)
называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в
промежутке {а, Ь), если соответствующая часть кривой (1)
расположена ниже касательной, проведенной к любой ее точке
М(х, f(x)) (рис. 117,6).
Рис. 117
Достаточные условия вогнутости (выпуклос-
ти) графика функции.
ТЕОРЕМА. 1) Если для дважды дифференцируемой функции
у = f(x) вторая ее производная f"(x) положительна внутри
промежутка (а, Ь), то график этой функции вогнут вверх в
данном промежутке.
2) Если же вторая производная f"(x) отрицательна внутри
промежутка (а, Ь), то график функции у = f(x) вогнут вниз
в этом промежутке.
Доказательство. 1) Пусть f"(x) > 0 при a<x<bnxQ— любая
точка промежутка {а, Ь). Сравним в точке х ординату у кривой
у = f(x) с ординатой у ее касательной MqN, проведенной в точке
Х) То есть в положительном направлении оси Оу.
2) То есть в отрицательном направлении оси Оу.
203
M0(x0, f(x0)) (рис. 118). Так как угловой коэффициент касатель-
ной MqN равен f(x0), то (см. гл. Ш, § 3)
У - f(xo) + f '(х0)(х - х0).
Отсюда
5 = У - у = f(x)~ f(x0) - f'(x0)(x - х0).	(2)
Используя теорему Лагранжа (§1), будем иметь
f(x) - f(x0) = (х - х0)Г(£),
где £ € (х0, х).
Поэтому из (2) получаем
5 = (х-хо)[Г(^)-/'(хо)].	(3)
Далее, так как f"(x) = [/'(*)]' > 0, то f(x) — возрастающая
функция.
Пусть х < х0; тогда, очевидно, £ < х0 и, следовательно, в силу
возрастания f\x) имеем < В этом случае из формулы
(3) получаем 8 > 0.
Если теперь х > х0, то £ > х0 и поэтому /'(£) > /(х0). Из фор-
мулы (3) снова выводим 8 > 0.
Таким образом, при х * xQ имеем
8= у - у > 0, т. е. у > у.	(4)
Отсюда вытекает, что при а < х < Ь кривая у = f(x) распо-
ложена выше своих касательных и, значит, график функции
у = f(x)вогнут вверх на промежутке (а, &).
2) Аналогично доказывается, что если /"(х) < 0 при а < х < Ь,
то график функции у = Дх) вогнут вниз на промежутке (а, Ь).
Опрелеление. Точкой перегиба графика дифференци-
руемой функции у = Дх) называется его точка, при переходе
через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость
или наоборот (рис. 119).
204
ТЕОРЕМА. Если для функции у = /(х) вторая производная
ее в некоторой точке х0 обращается в нуль и при переходе
через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка
М(х0, f(xQ)) является точкой перегиба графика функции.
Доказательство. Предположим, что вторая производная f"(x)
в точке М обращается в нуль и меняет свой знак, например, с
плюса на минус. Тогда левее точки М вторая производная функ-
ции /(х) положительна, а потому при х0 - е < х < х0 график этой
функции вогнут вверх; правее точки М вторая производная f"(x)
отрицательна и, следовательно, при х0 < х < х0 + е график функ-
ции у = /(х) выпуклый вверх. Таким образом, в точке М кривая
У = f(x) меняет вогнутость на выпуклость, поэтому точка М есть
точка перегиба этой кривой.
Замечание. В точке перегиба х0 функции у = f(x) вторая производ-
ная f"(x0) может также не существовать, например обращаться в беско-
нечность.
Пример. Пусть дана кривая Гаусса у = е~х2.
Имеем
у' = -2хе~х2 и у" == (4х2- 2)е~х2 = 4^х2 - е~х2.
Вторая производная у" обращается в нуль, если х2 -	= 0; отсюда
хг = -1/72 и х2 = 1/ J2 .
Изменение знака второй производной характеризуется следующей
таблицей:
X	—00 < X <-1/72	-1/72 < х < 1/72	1/72 < х < +°°
у”	+	-	+
Следовательно, точки А (-1/72,1/7ё )иВ(1/72,1/л/ё) являются
точками перегиба данной кривой (рис. 120).
205
§ 9. Приближенное решение уравнений
Рассмотрим уравнение
Дх) = 0,
(1)
где функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (а, Ь).
Значение £ € {а, Ь), удовлетворяющее уравнению (1), т. е. такое,
что f(£>) = 0, называется корнем этого уравнения (или нулем
функции Дх)).
Геометрически корни уравнения
(1) представляют собой абсциссы то-
чек пересечения графика функции
у = Дх) с осью Ох (рис. 121).
Для геометрического решения
уравнения (1) иногда удобно заме-
нить его равносильным уравнением
Рис. 121
<р(х) = у(х).	(2)
Тогда корни уравнения (1) находятся как абсциссы точек
пересечения кривых у = ф(х) и у = \|/(х).
Пример 1. Графически решить уравнение
х + 1g х = 2.	(3)
Очевидно, имеем 1g х = 2 - х. Отсюда корень уравнения (2) пред-
ставляет собой абсциссу точки пересечения логарифмической кривой
у = 1g х и прямой х = 2 - х (рис. 122).
Построив на миллиметровой бумаге
ук	эти кривые, приближенно находим ко-
рень уравнения (3): £ « 1,77.
2К
X х+у=2	Геометрически наглядной пред-
X?	ставляется следующая теорема:
y-lg.rX—-	ТЕОРЕМА. Если непрерывная
—о	►	функция f(x) на концах отрезка
° / 1	2\ х	[а, Р] с Р)1} принимает значения
/	разных знаков, т. е. Да) Др) < 0, то
/	внутри отрезка [а, Р] имеется по
меньшей мере один нуль функции
Рис. 122	Дх) (т. е. обязательно существует ко-
рень уравнения Дх) = 0).
Этот корень будет единственным, если f\x) сохраняет по-
стоянный знак на (а, Р) (ввцду монотонности функции Дх)).
Запись [а, Р] с <а, Р> означает, что отрезок [а, Р] содержится в
промежутке (а, д).
206
Предполагая, что уравнение f(x) = 0, где Дх) непрерывна на
(а, Р>, имеет единственный корень £ внутри отрезка [а, р] с (а, р>,
причем выполнено условие Да)ДР) < 0, укажем некоторые прос-
тые приемы для приближенного нахождения этого корня.
А. Метод половинного деления. Пусть функция Дх) непре-
рывна на [а, р] и Да)ДР) < 0. Разделим отрезок [а, Р] пополам,
и пусть у есть середина этого отрезка. Если /(у) = 0, то у есть
искомый уровень. Если /(у) 0, то через [cq, PJ обозначим ту из
половин [а, у] или [у, Р], на концах которой функция Дх) имеет
противоположные знаки. Затем повторим прием половинного де-
ления и т. д. В результате или мы найдем точный корень урав-
нения Дх) = 0, или же получим сужающуюся последователь-
ность отрезков
[а, И о [а]; э ...»
внутри которых находится искомый корень £ («метод вилки»).
Так как длина n-го отрезка [а„, Рп], равная —, стремится
к 0 при п -+ оо, то, повторяя этот прием достаточно большое чис-
ло раз и принимая £ ~ | (ап + Рп), можно определить искомый
Zj
корень £ с любой, заранее заданной точностью.
Б. Метод хорд. Заменим дугу
АВ в кривой у = Дх) (а < х < Р)
ее хордой АВ , проходящей че-
рез концевые точки А(а, Да)) и
В(Р, ДР)), и принимаем за при-
ближенное значение корня £
уравнения Дх) = 0 абсциссу
точки пересечения хорды АВ с
осью Ох (рис. 123).
Если Да) Др) < 0, то это равносильно тому, что мы в качестве
приближенного значения корня £ берем точку £х, делящую от-
резок [а, Р] в отношении |Да)| : |ДР)| (способ пропорциональных
частей).
Уравнение хорды АВ имеет вид (см. гл. III, § 4)
У - f(a) = (х - а).
(4)
,207
Полагая у = 0 в уравнении (4), находим точку пересечения х =
хорды АВ с осью Ох (рис. 123):
(5>
Число принимают за первое приближение корня £. Если
/(£1)	0, то формулу (5) можно применить к тому из отрезков
[а, или [£р Р], на концах которого функция Дх) принимает
значения различных знаков, и т. д.
Пример 2. Методом хорд определить корень уравнения
Дх) = х3 + х - 12 = 0.	(6)
Для приближенного нахождения корня уравнения (6) можно нари-
совать эскизы графиков функций у = х3 и у = 12 - х. Грубой прикидкой
мы обнаруживаем, что искомый корень, т. е. абсцисса точки пересече-
ния графиков, находится в интервале (2, 3). Действительно,
/(2) = 8 + 2 - 12 = -2 и /(3) = 27 + 3 - 12 = +18.
Поэтому можно принять а = 2 и Р == 3.
Применяя формулу (5), получим приближенное значение корня:
5- = 2-ПТ2(3“2)-2-1-
Заметим, что
Д^) = 9,261 + 2,1 - 12 = -0,639.
Поэтому для уточнения значения корня формулу (5) следует применить
к отрезку [2,1; 3].
В. Метод касательных. Заменим теперь дугу АВ кривой
У = f(x) касательной АС, проведенной в точке А(а, Да))
(рис. 124). Так как угловой коэффициент касательной АС равен
то ее уравнение имеет вид
у - /(а) = Г(а)(х - а).	(7)
208
Отсюда, полагая у = 0, находим для корня £ его приближен-
ное значение
5=’-^	<8>
{формула Ньютона).
Заметим, что если на нашем чертеже (рис. 124) провести ка-
сательную в точке В[Р, /(Р)], то точка пересечения ее с осью
Ох даст плохое приближение корня £. Здесь следует придержи-
ваться правила: если вторая производная функции f"{x) сохра-
няет постоянный знак в интервале (а, Р), то касательную
следует проводить в той концевой точке дуги АВ, для кото-
рой знак функции совпадает со знаком ее второй производной.
Пример 3. Методом касательных определить корень уравнения (6),
лежащий в интервале (2, 3).
Здесь f"{x) = 6х > 0 при 2 < х < 3, причем /(3) = +18. Поэтому в
формуле (8) полагаем а = 3. Так как f'{x) = Зх2 + 1 и f'{3) = 28,то имеем
- 3 - 58 = 2’36'
Для контроля заметим, что
/(ЕТ) = 13,14 + 2,36 -12 = +3,5.
Так как в нашем случае	, где = 2,10 и « 2,36, то можно
положить
£ - |	5) - | (2,10 + 2,36) = 2,23.
&	Л
Здесь
/(2,23) « 11,09 + 2,23 - 12 = 1,32.
Для уточнения корня можно применить методы хорд и касательных
к отрезку [2,10; 2,23] и т. д.
§ 10. Построение графиков функций
В предыдущих параграфах было показано, как с помощью
производных двух первых порядков изучаются общие свойства
функции. Пользуясь результатами этого изучения, можно соста-
вить ясное представление о характере функции и, в частности,
построить математически грамотный эскиз ее графика.
Исследование функции у = f(x) (которую мы будем предпо-
209
лагать элементарной) в простейших случаях целесообразно про-
водить по следующей схеме.
1)	Анализируя свойства функции Дх), определяем область
существования ее; для простоты предположим, что это бу-
дет некоторый промежуток {а, Ъ). Полезно также выяснить сим-
метрию графика (четность или нечетность, периодичность и т. п.).
2)	Находим точки разрыва функции. Исследуем также
поведение функции при х -+ а и х -* Ь, где а и Ъ — граничные
области существования функции.
3)	Решая уравнение
Лх) = О,	(1)
определяем корни (нули) функции. Выясняем знак функции в
различных областях, учитывая, что элементарная функция мо-
жет менять свой знак лишь проходя через нуль или через точку
разрыва.
4)	Решая уравнение
Г(х) = О,	(2)
находим критические значения аргумента для
функции Дх). Изучая затем знак производной f\x) в каждом
из промежутков между двумя соседними критическими значе-
ниями, определяем промежутки возрастания и убывания функ-
ции и выясняем характер этих критических значений.
5)	Решая уравнение
Г(х) = 0,	(3)
определяем критические значения аргумента для
производной Выясняя затем знак производной f"(x) в
каждом из промежутков между двумя соседними критическими
значениями аргумента для производной Д(х), устанавливаем
промежутки выпуклости и вогнутости вверх графика функции
Дх) и находим его* точки перегиба.
В более сложных случаях следует исследовать также те точ-
ки, в которых производные /'(х) и f"(x) не существуют.
Для решения уравнений (1), (2) и (3), возможно, придется
применить приближенные методы (см. § 9).
Составляя в заключение таблицу значений функции для ее
характеристических точек (граничные точки области
существования функции, точки разрыва, точки пересечения гра-
фика функции с осями координат, точки экстремума, точки пе-
региба и т. п.) и учитывая результаты проведенного выше иссле-
дования, изображаем эту функцию графически.
Заметим, что иногда достаточно проводить неполное иссле-
дование функции.
210
Пример. Построить график функции у = х + х .
Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1)	Функция определена, если 0 < 1 - х < +оо. Отсюда область су-
ществования ее:	< х < 1.
2)	Точек разрыва нет, причем
lim у = ~°° и lim у = р(1) = 1.
х — -ОО	х — 1
3)	Решая уравнение х + Jl-x = 0, получаем корень функции
Хо--1^5 =-1,62;
м
при этом у < 0, если -оо < х < х0, и у > 0, если х0 < х < 1.
4)	Находим производную
Рис. 125
Приравнивая ее нулю, получаем критическую точку хг « 3/4. Кроме
того, очевидно, у' обращается в оо при х = 1. Поэтому х2 = 1 также будет
критической точкой.
Промежутками монотонности функции являются (-оо, 3/4) и (3/4,1),
причем, как нетрудно убедиться, исследуя знак производной, функция
возрастает в первом промежутке и убывает во втором. Следовательно,
хг есть точка максимума функции. В точ-
ке х2, очевидно, функция имеет краевой
минимум.
5)	Находим вторую производную
" = _ 1 ’
У 4(1-х)3/2‘
Так как вторая производная всюду отри-
цательна, то график функции вогнут вниз
и точек перегиба нет.
Результаты наших исследований объ-
единяем в таблицу. Примерный график
функции изображен на рис. 125.
X	У	у'		у"		Примечание
—оо х0~ 1,62 0 хх == 0,75 1	—оо 0 1 1,25 1		► +	-	> -	Функция возрастает
		0 1- —оо				Максимум функции
						Функция убывает
						
211

УПРАЖНЕНИЯ
1.	Найти приращение функции f(x) == х3 на отрезке Ч < х < 2 и
проверить теорему о конечном приращении функции.
2.	Проверить теорему о корнях производной для функции
Дх) = (х - 1)(х - 2)(х - 3)
на отрезках [1, 2] и [2, 3].
3—5. Определить промежутки монотонности функций:
3.	/(х) = х2 - 4х - 1.	4. /(х) = Зх - х3.	5. /(х) = хе~х.
6—17. Найти следующие пределы функций:
6. lim
х — О
х- sinx
х3
7.	lim 3*~2* .
х -* О 1п(1 + х)
__sinx
8.	lim	——- . Получить отсюда формулу для приближенного
«спрямления малых дуг»: х
« i (2 sin х + tg х).
3
9.	lim .	10. lim .	11. lim —.
x 1 SinTtX	x-*+oo 1,01х	X —+°o юоу^
12.	lim (1 - x)tg^ .	13. lim f x arcsin-1.
x—* 1	2	X-*OO \	xj
14. lim f —. 15. lim xx.
x-i <x-1 lnx>	x —0
i
16. lim x1-x.	17. lim (ctgx)sinx.
x — 1	x—0
18—22. Определить значения экстремумов функций:
v3
18.	у = х(а—х) (а > 0).	19. у -	- 2х2 4- Зх - 1.
3
20.	у =	.	21. у = 72 + х-х2 .	22. у = хе~2х.
23.	В полукруг радиуса а вписать прямоугольник наибольшей пло-
щади.
х% Z/2
24.	В эллипс -г- + ^- = 1 вписать прямоугольник наибольшей пло-
а2 Ь2
щади, стороны которого параллельны осям эллипса.
25.	В шар радиуса а вписать конус наибольшего объема.
26.	При каких размерах коробочка, изготовленная из квадратного
листа бумаги со стороной а, имеет наибольшую вместимость?
27.	Определить точки перегиба графика функции у = х2 - х3.
212
28—39. Построить графики функций:
-у-2
28.	у = Зх - х3.	29. у = х2(2 - х)2.	30. у -
31.	у = х+1.	32.у=-1_.	33. у --г-Ц.
х	1 + х	4-х2
34.	у = xjl - х. 35. у == 7(1 -х)/х.
36.	у == sin х + cos х (0 < х < 2л).
37.	у х in х. (См. указание в «Ответах».)
38.	у = хе~х. (См. указание в «Ответах».)
39.	у = х - arctg х.
ГЛАВА XII
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
§ 1. Понятие о дифференциале функции
Пусть имеем некоторую дифференцируемую функцию
У = /(х).
Приращение Аг/ функции у служит важной характеристикой
изменения этой функции на заданном конечном отрезке [а, &].
Однако непосредственное определение приращения функции
иногда затруднительно. Тогда обычно поступают следующим об-
разом: разбивают отрезок [а, &] на конечное число достаточно
малых отрезков [х, х 4- Дх] и приближенно считают, что на каж-
дом из них прирост функции происходит по закону прямой про-
порциональности (например, малый элемент кривой линии рас-
сматривают как прямолинейный; неравномерное движение точ-
ки в течение малого промежутка времени трактуют как равно-
мерное и т. п., где «малость» понимается в известном смысле).
Иными словами, предполагается, что на достаточно малом от-
резке [х, х 4- Ах] имеет место приближенное равенство
Аг/ ~ ЛДх,
где коэффициент пропорциональности k не зависит от Ах, но,
вообще говоря, зависит от х. Если при этом окажется, что при
надлежащем подборе коэффициента пропорциональности по-
грешность Дг/ - &Ах будет бесконечно малой величиной высшего
порядка относительно Ах, т. е. отношение
= а	(1)
Ах
будет бесконечно малым при Ах —► 0, то величина
dy = АДх
называется дифференциалом функции у в точке х (здесь буква
d — знак дифференциала). В этом случае, как следует из соот-
ношения (1), справедливо равенство
Аг/ = k Ах 4- а Дх,	(2)
где а —► 0 при Дх —* 0.
214
Иначе говоря (см. гл. VII, § 8),
Ду =	+ о( До-
определение. Дифференциалом функции называет-
ся величина, пропорциональная приращению независимой пе-
ременной и отличающаяся от приращения функции на беско-
нечно малую функцию высшего порядка малости по сравнению
с приращением независимей переменной.
Слагаемое k Дх в формуле (2) часто называют главной линей-
ной частью приращения функции (или главным линейным чле-
ном приращения). Поэтому можно сказать: дифференциал функ-
ции представляет собой главную линейную часть бесконечно
малого приращения этой функции.
Пример 1. Пусть функция у = х2 есть площадь
квадрата, сторона которого равна х (рис. 126).
Если стороне х дать приращение Дх, то новое ее
значение станет х + Дх и, следовательно, пло-
щадь у квадрата получит приращение
Ду = (х + Дх)2 - х2, или Ду = 2хДх 4- (Дх)2.
Первое слагаемое суммы, стоящей в правой час-
ти последнего равенства, очевидно, является
главной линейной частью приращения функции
при Дх -* 0. Поэтому
dy == 2хДх.
Рис. 126
На рис. 126 приращение Ду функции у изображается площадью всей
заштрихованной части, тогда как дифференциал dy функции изобража-
ется площадью заштрихованной части без площади маленького квадра-
та, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.
Сформулируем теорему единственности дифференциала:
ТЕОРЕМА. Данная функция может иметь только один диф-
ференциал.
Доказательство. В самом деле, пусть функция у == f(x) имеет
два дифференциала: dy = АДх и dry = АхДх. В силу определения
дифференциала имеем
Ду = АДх + аДх и Ду = АхДх + ахДхх,
где а и ах - бесконечно малые при Дх -> 0. Отсюда
АДх + а Дх = АхДх + ахДх
и, следовательно, при Дх 0 имеем k - Ах = ах - а.
Переходя к пределу при Дх 0 в последнем равенстве, полу-
чаем
k - Ах= 0,
215
т. е. k = АР Таким образом, дифференциалы dy и dry совпадают.
Теорема доказана.
Из определения дифференциала непосредственно следует:
дифференциал функции отличается от приращения этой
функции на величину высшего порядка малости по сравнению
с приращением независимой переменной. Этим обстоятельством
часто пользуются при приближенных вычислениях.
Пример 2. Пусть у = х3 - х2 + 2х + 3. Найти Ду и dy при значении
х = 1 и сравнить их между собой в трех случаях: а) Дх = 1; б) Дх - 0,1
и в) Дх = 0,01.
Имеем Ду - [(х + Дх)3 - (х + Дх)2 + 2(х + Дх) + 3] - (х3 - х2 + 2х + 3).
Производя алгебраические выкладки, получим
Ду » (Зх2 - 2х + 2)Дх + (Зх - 1)(Дх)2 + (Дх)3.
Первое слагаемое, стоящее в правой части последнего равенства,
очевидно, является главной линейной частью приращения функции.
Следовательно,
dy « (Зх2 - 2х + 2)Дх.
Полагая х = 1, получим следующую таблицу:
Дх	Ду	dy	(в процентах) Ду
1	6	3	50
0,1	0,321	0,3	93
0,01	0,030201	0,03	99
Отсюда ясно видно, что доля дифференциала dy в приращении Ду стре-
мится к 100%, если Дх 0.
§ 2. Связь дифференциала функции с производной.
Дифференциал независимой переменной
ТЕОРЕМА 1. Если функция имеет дифференциал, то эта
функция имеет также и производную.
Доказательство. В самом деле, пусть дана некоторая функция
у = /(х) и пусть
dy = АДх
есть дифференциал этой функции. Согласно формуле (2) § 1, при-
ращение Ду может быть записано в следующем виде;
Ду = АДх + аДх,
216
где а — бесконечно малая при Дх 0. Отсюда = k + а и,
Дх
следовательно,
lim = k,
Дх —о Дх
т. е. производная у' существует и равна величине k.
Следствие. Дифференциал функции равен произведению про-
изводной этой функции на приращение независимой перемен-
ной, т. е.
dy = /Дх.	(1)
ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет производную, то эта
функция имеет также и дифференциал.
Доказательство. Пусть функция у = Дх) имеет производную
lim — у'.
Дх—*0 Дх
Отсюда = у' 4- а, где а — бесконечно малая при Дх -* 0 и,
Дх
следовательно,
Ду = у'Дх + аДх. ч	(2)
В сумме (2) первое слагаемое у'Дх, очевидно, представляет собой
главную линейную часть приращения Ду, т. е. является диффе-
ренциалом функции у. Таким образом, функция имеет диффе-
ренциал
dy == у'Дх.
Теорема доказана.
Замечание. Теперь понятно, почему функция от одной независимой
переменной, имеющая производную, называется дифферен-
цируемой.
До сих пор мы пользовались понятием дифференциала функ-
ции. Введем понятие дифференциала независимой переменной.
Определение. Под дифференциалом независи мой
переменной понимается дифференциал функции, тождест-
венной с независимой переменной, т. е. функции у = х.
Так как
у' = 1 для у = х,	(3)
то согласно формуле (1) имеем
dx = Дх,
217
т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению
этой независимой переменной.
Пользуясь этим последним свойством, формулу (1) можно пе-
реписать в следующем симметричном виде:
dy = y'dx.	(4)
Итак, дифференциал функции равен произведению производ-
ной этой функции на дифференциал независимой перемен-
ной.
Разделив обе части последней формулы на dx, получим
Иными словами, производная функции равна отношению диф-
ференциала этой функции к дифференциалу независимой пе-
ременной.
До сих пор обозначение имело символический характер;
dx
сейчас это выражение мы можем рассматривать как обычную
дробь с числителем dy и знаменателем dx.
§ 3. Геометрический смысл дифференциала
Выясним геометрический смысл дифференциала функции.
Рассмотрим график функции у = f(x).
Рис. 127
Пусть М(х, у) и М'(х 4- Дх, у + Дг/) —-
две точки данной кривой (рис. 127).
В точке М проведем касательную МТ
к графику функции (здесь Т — точка
пересечения касательной с M'N || Оу)
и рассмотрим Д MTN с катетами
MN = Дх и NT (MN || Ox, NT || Оу).
Если через ф обозначить угол, образо-
ванный касательной МТ с положи-
тельным направлением оси Ох, то бу-
дем иметь
NT = Дх tg ф.
Но из геометрического смысла производной следует tgф =
= f'(x) = у'. Поэтому
NT = г/'Дх = dy.
218
Таким образом, имеем теорему:
Дифференциал функции у = Дх) в данной точке х равен
приращению ординаты касательной к графику
функции в этой точке, когда х получает приращение Ах.
Замечание. Приращение функции Аг/ = NM' (рис. 127), во-
обще говоря, не равно дифференциалу dy = NT этой функции.
В частности:
1) если график функции вогнут вверх, то
Ду > dy;
2) если же график функции вогнут вниз, то
Ду < dy.
§ 4. Физическое значение дифференциала
Пусть известен закон движения точки М по оси Ох:
х = f(t),
где х — расстояние точки М от начала отсчета О, t — время,
причем будем предполагать, что точка М движется в одном и
том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени
dt точка М переместится в точку М', пройдя при этом путь
Дх = f(t + dt) - f(t).
Это есть истинное приращение пути.
Дифференциал пути dx согласно формуле (4) из § 3 равен
dx = xt'dt.
Но х/, представляющая собой производную пути по времени,
есть скорость движения и в момент времени t; поэтому
dx = vdt.
Таким образом, дифференциал пути равен тому фиктив-
ному приращению пути, которое получится, если предполо-
жить, что начиная с данного момента времени точка дви-
жется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.
Например, если спидометр автомобиля показывает 60 км/ч,
то шофер, рассчитывая, что за 1 мин пробег машины составит
1 км, фактически вычисляет не приращение пути за 1 мин (ко-
торое вследствие неравномерности движения может быть не рав-
но 1 км!), а дифференциал пути.
219
§ 5. Приближенное вычисление
малых приращений функции
Если Дх мало по абсолютной величине, то для дифференци-
руемой функции f(x) ее приращение
&f(x) = f(x + Дх) - Дх)
отличается от дифференциала
df(x) = f'(x)Ax
на величину, бесконечно малую относительно Дх. Отсюда имеем
приближенное равенство
f(x + Дх) - Дх) » Д(х)Дх,	(1)
или
Дх + Дх) = Дх) + f'(x)bx.	(1')
Эти равенства весьма полезны при приближенных расчетах. За-
метим, что формула (1') представляет собой линейный член фор-
мулы Тейлора (гл. XI, § 6).
Пример 1. Найти 5/1Д . Полагая в формуле (1') Дх) = l/х,
f'(x) = —-—, х = 1, Дх = 0,1, будем иметь V1J =	+ 0,1—=
32/х5	3?/Р
= 1 + 0,1 • 1 = 1,033.
По таблицам же находим 3/1Д = 1,032.
Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных
вычислений.
Задача. Для данной функции
У = f(x)
предельная абсолютная погрешность ее аргумента х равна Дх,
т. е.
|Дх| < Дж.
Каковы предельные абсолютная Ду и относительная по-
грешности функции у?
Из формулы (1) имеем
|Ду| = |у'1|Дх|;
220
следовательно, при у' 0 можно принять
Ду = И Дх	(2)
и
5,= ^ = |(1п у)'|Дж.
Пример 2. Угол х = 60° определен с точностью до 1°. Как отразится
это обстоятельство на синусе угла?
Здесь Дх « аге 1° = л/180 ~ 1/57. Поэтому ошибка для у = sin х
на основании формулы (2), где у' = cos х, может достигать величины
Ду = cos 60° • Дх - 1/114 « 0,01.
§ 6. Эквивалентность приращения функции
и дифференциала функции
Введем понятие эквивалентных или асимптотически рав-
ных бесконечно малых функций.
Определение. Две бесконечно малые функции а = а (х) и
Р = Р (х) называются эквивалентными или равно-
сильными при х —> а, если предел их отношения равен
единице, т. е. тогда, когда
lim ~ = 1.
х -* а р
Для обозначения равносильности бесконечно малых а и Р
употребляется знак эквивалентности ~, а именно, пишут ос ~ р.
Так, например,
sin ос ~ ос
при а —> 0, так как
lim = 1.
а->0 а
Заметим, что если бесконечно малые а и Р эквивалентны,
то разность между ними есть бесконечно малая высшего по-
рядка по сравнению с каждой из них.
В самом деле, если	—► 1, то имеем
Р
а-Р = а _ 1 _> о
3 Р ’
т. е. а - Р имеет порядок выше, чем Р (гл. VII, § 8). Аналогичное
рассуждение можно провести также и для а.
221
Обратно, если разность двух бесконечно малых а и Р есть
бесконечно малая высшего порядка по сравнению с одной из
них, то эти бесконечно малые эквивалентны.
Действительно, предполагая, например, что
а-Р = “ - 1 — о
₽ Р ’
получаем а/Р -* 1 и, следовательно,
а ~ р.
В частности, отбрасывая (или прибавляя) от бесконечно ма-
лой бесконечно малую высшего порядка, получаем величину,
равносильную исходной.
Например, при х -* 0 имеем (х + 1000х2) ~ х.
Отметим важное свойство эквивалентных бесконечно малых.
ТЕОРЕМА 1. При нахождении предела отношения двух бес-
конечно малых данные бесконечно малые можно заменять эк-
вивалентными им (предполагая, что предел отношения по-
следних, конечный или бесконечный, существует).
Доказательство. Действительно, пусть а(х) — а^х) и Р(х) ~
~ Рх(х) при х —* а. Имеем
а(х) _ а(х) . «1(х) . Pi(x)
Р(х) а^х) Pi(x) Р(х) '
Переходя к пределу в тождестве (1), получим
lim = lim • lim • lim 51^ =
х "а Р(х) i “а а^х) i "а Рг(х) £-а Р(х)
- 1 . 11m	. 1 - lim
х^а Р1(х)	х -> а Р1(Х)
(1)
Пример. Так как при х -* 0 sin х ~ х (гл. VII, § 11) и 2х + 5х2 ~
~ 2х (поскольку 5х2 - 0 (2х) при х —> 0), то
lim	= lim .
х-*о sm3x о Зх 3
ТЕОРЕМА 2. Бесконечно малое приращение функции эквива-
лентно дифференциалу этой функции при всех значениях не-
зависимой переменной, для которых производная функции ко-
нечна и отлична от нуля.
Доказательство. В самом деле, если функция у = Дх) диффе-
ренцируема, то из формулы (2) § 2 имеем
Ду = dy + аДх,
где а — бесконечно мало при Дх —► 0.
(2)
222
Так как согласно условию теоремы при Дх О имеем
dy = у'Ьх # 0, то
Ду = 1 +
dy у''
Следовательно,
lim = 1,
Дх—*о dy
т. е. бесконечно малые Аг/ и dy эквивалентны при Дх 0.
Пример. Пусть /(х) = (1 + х)“ Имеем
Д/(0)=/(х)-/(0)=(1 + х)«-1
и
df(G) = f'(O)(x - 0) = ах.
Поэтому
(1 + х)а - 1 ~ ах при х —* 0.
Замечание. Вообще, если функция f(x) дифференцируема в
точке х = 0, то при х —► 0 имеем
Д/(0)=/(х)-/(0)-/'(0)х.	(3)
Из формулы (3), в частности, при х —* 0, получаем:
a)	sin х ~ х;
б)	ах - 1 ~ х In а (а > 0);
в)	1п(1 4- х) ~ х.
§ 7.	Свойства дифференциала
Рассмотрим теперь некоторые свойства дифференциала, ана-
логичные свойствам производной.
В дальнейших формулировках мы будем предполагать, не
оговаривая этого каждый раз, что все рассматриваемые функции
имеют производные, т. е. являются дифференцируемыми.
I.	Дифференциал постоянной. Дифференциал постоянной
равен нулю.
Полагая в формуле (4) из § 2 у = с и у' = 0, получаем
de = 0.
II.	Дифференциал суммы. Дифференциал алгебраической
суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой
лее алгебраической сумме дифференциалов этих функций.
В самом деле, если и, и и w —- дифференцируемые функции
от независимой переменной х, то, например, имеем
(и + и ~ wY = и' + v' - w'.
223
Умножая обе части на dx, получаем
(и 4- v - w)' dx = и' dx + v' dx - w' dx.
Отсюда согласно формуле (4) из § 2 выводим
d (и 4- v - w) == du 4- dv - dw.
III.	Если две дифференцируемые функции отличаются на
постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между со-
бой.
Имеем
d(u 4- с) = du 4- de.
Полагая здесь с постоянной и, следовательно, de == 0, получим
d(u 4- с) = du.
IV.	Постоянный множитель может быть вынесен за знак
дифференциала.
В самом деле, если с постоянно, то
(си)' = си'.
Умножив обе части этого равенства на dx, получим
(cu)'dx = c(u'dx),
или
d(cu) = cdu.
V.	Дифференциал произведения. Дифференциал произведе-
ния двух сомножителей равен произведению первого сомножи-
теля на дифференциал второго плюс произведение второго сом-
ножителя на дифференциал первого.
В самом деле, если и и v — дифференцируемые функции от
х, то имеем
(ио)' = uv' 4- vu'.
Умножая обе части на dx, получаем
(uv)'dx = u(v'dx) + v(u'dx),
или
d(uv) = udv + vdu.
VI.	Дифференциал частного. Дифференциал дроби (частно-
го) равен также дроби, числитель которой есть произведение
знаменателя дроби на дифференциал числителя минус произ-
ведение числителя на дифференциал знаменателя, а знамена-
тель есть квадрат знаменателя дроби.
224
Мы имеем
(и у = у и' - ии'
IvJ и2
Умножив обе части на dx9 получим
f wV я	v(u'dx)-u(v'dx)
luj	v2
Отсюда
и\ _ vdu-udv
luj и2
VII.	Дифференциал сложной функции. Дифференциал слож-
ной функции (функции от функции) равен произведению про-
изводной этой функции по промежуточному аргументу на
дифференциал этого промежуточного аргумента (обе функции
дифференцируемы).
Пусть у = f [ф(х)]. Положим ф(х) = и и, следовательно,
у = f(u). Если f(u) и ф(х) — дифференцируемые функции, то
согласно теореме о производной функции от функции можно
написать
У'х = У'^'х-
Умножив обе части этого равенства на дифференциал dx неза-
висимой переменной х, получим
y'xdx = y'u(y'xdx).	(1)
Но y'xdx = dy и u'xdx = du; следовательно, равенство (1) можно
переписать так:
du = y'udu.	(2)
Замечание. Формула (2) по внешнему виду совпадает с формулой
(4) из § 2, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (4)
х есть независимая переменная и, следовательно, dx « Дх, тогда как в
формуле (2) и есть функция от независимой переменной х и поэтому,
вообще говоря, du & Ди.
Из формулы (2) следует такая теорема.
VIII.	Независимость вида дифференциала от выбора неза-
висимой переменной. Дифференциал функции равен произведе-
нию производной этой функции на дифференциал аргумента,
при этом безразлично, будет ли этот аргумент независимой
переменной или дифференцируемой функцией от другой неза-
висимой переменной.
8 Б. Демидович, В. Кудрявцев
225
На основании формул для производных (гл. X, § 12) получаем
соответствующую таблицу для дифференциалов, где и — произ-
вольная дифференцируемая функция.
ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ФУНКЦИИ
I.	dun = пип ~ 1 du.
II.	dan = ап In a du(a > 0),
den = endu.
III.	d(loga u) = 4^
ulna
(a > 0, a * 1),
d(lnu) =	.
IV.	d(sinu) = cos и du.
V.	d(cosu) = ~sin и du.
Nl.d(&u) =
COS и
VII.	d(ctg u) = —.
sin и
VIII.	d(arcsin u) = du  .
IX.	d(arccos u) =	— .
X.	d(arctgu)=
1 +
XI.	d(arcctg u) =	•
XII.	df(u) = f'(u)du.
§ 8. Дифференциалы высших порядков
Пусть х — независимая переменная, у = f(x) — дифферен-
цируемая функция. Согласно формуле (4) § 2 имеем
df(x) = f'(x)dx;	(1)
таким образом, дифференциал функции f(x) есть функция от
двух аргументов: х и dx.
В дальнейшем мы будем предполагать, что dx — дифферен-
циал независимой переменной х — имеет произвольное, но
фиксированное значение, не зависящее от независимой
переменной х и одно и то же для всех рассматриваемых функций.
Если dx фиксировано, то df(x) есть некоторая функция от х,
пропорциональная производной f'(x), с коэффициентом пропор-
циональности, равным dx. Может случиться, что эта функция
также имеет дифференциал1); в таком случае последний называ-
ется дифференциалом второго порядка (или вторым дифферен-
циалом) функции Дх); а дифференциал, определяемый форму-
Для этого достаточно, чтобы существовала вторая производная
Г\х).
226
лой (1), носит более точное название дифференциала первого по-
рядка (или первого дифференциала).
Определение. Дифференциалом второго порядка
(или вторым дифференциалом) d2f(x) функции f(x) на-
зывается дифференциал от дифференциала первого порядка
этой функции, т. е.
d2f(x) = d[df(x)].	(2)
Аналогично, дифференциалом третьего порядка (или треть-
им дифференциалом) d3f(x) функции f(x) называется дифферен-
циал от дифференциала второго порядка этой функции, т.е.
d3f(x) = d[d2f(x)].
Так последовательно определяются дифференциалы высших по-
рядков.
Выведем теперь формулу для дифференциала второго поряд-
ка функции f(x) от независимой переменной х, предполагая, что
эта функция дважды дифференцируема, т. е. имеет производ-
ную второго порядка. Так как
df(x) = f'(x)dx,
то вследствие формулы (2) имеем
d2f(x) = d[f'(x)dx\.	(3)
Если х — независимая переменная, то dx, равный Ах, оче-
видно, не зависит от х, т. е. dx по отношению к переменной х
играет роль постоянной. Поэтому в формуле (3) множитель dx
можно вынести за знак дифференциала и мы получим
d2f(x) = dx • d[f'(x)].
Так как f'(x) снова есть некоторая функция от х, то из формулы
(1) следует
d[f'(x)] = [f'(x)]' dx = f"(x) dx.
Отсюда окончательно находим
d2f(x) = f''(x)dx2,	(4)
где dx2= (dx)2.
Таким образом, получаем теорему:
Дифференциал второго порядка от данной функции равен
произведению производной второго порядка этой функции на
квадрат дифференциала независимой переменной.
Замечание. Формула (4), вообще говоря, неверна, если х не явля-
ется независимой переменной, так как здесь dx нельзя рассматривать
как множитель, не зависящий от х.
227
Если положить f(x) = у, то формулу (4) можно переписать
так: d2y = y"dx2-, отсюда имеем
т. е. производная второго порядка от данной функции равна
отношению дифференциала второго порядка этой функции к
квадрату дифференциала независимой переменной.
Если х есть независимая переменная, то аналогично формуле
(4) имеем
d3ftx) = /'"(x)dx3,	d4/(x) = f IV(x) dx4
ит. д.
Положим теперь в формулах (4) и (5)
f(x) s х.
Тогда f'(x) = 1, Г(х) = 0, Г'(х) = 0,... . Следовательно,
d2x = 0, d3x = 0, ... .
Получаем теорему:
Дифференциалы высших порядков от независимой перемен-
ной равны нулю.
УПРАЖНЕНИЯ
1—6. Найти дифференциал dy функции, если:
1. у = Зх2. 2. у = х sin х + cos х. 3. у = —	.	4.	у =	- х2.
5. у = In х. 6. у = х2, где х = 2 - t + t2.
7.	Пусть у = х3 - 2х2 + Зх + 6. Найти Ду и dy и	сравнить их между
собой, если: а) х == 1, Дх = 1; б) х = 1, Дх = 0,1.
8.	Ребро куба х = 10 м. На сколько увеличится объем этого куба,
если ребро его получит приращение Дх = 0,1 м? Дать точное и прибли-
женное решения.
9.	Заменяя приращения функции дифференциалом, приближенно
найти:
а) ?/0 95 ; б) cos 60°20'; в) arctg 1,02.
10.	Какова предельная абсолютная погрешность функции у = tg х,
если х == 60° ± 1°?
11.	Найти dy и d2y, если у е~х2.
ГЛАВА XIII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Первообразная функция.
Неопределенный интеграл
Основная задача дифференциального исчисления состоит в
нахождении дифференциала данной функции или ее производ-
ной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: по
заданному дифференциалу, а следовательно, и производной не-
известной функции F(x) требуется определить эту функцию.
Иными словами, имея выражение
dF(x) = f(x)dx	(1)
или соответственно
F'(x) =	= f(x),
dx
где f(x) — известная функция, нужно найти функцию F (х). Для
простоты мы будем предполагать, что равенство (1) выполнено
на некотором конечном или бесконечном промежутке.
Искомая функция F (х) называется при этом первооб-
разной функцией по отношению к функции Дх). Таким
образом, мы можем дать следующее определение первообразной
функции.
Определение. Первообразной функцией для данной
функции f(x) на данном промежутке называется такая функ-
ция F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал
которой равен f(x)dx на рассматриваемом промежутке.
Например, одной из первообразных функций для функции
Зх2 будет х3, ибо (х3)' = Зх2. Первообразная функция не единст-
венна, так как (х3 + 1)' = 3х2,(х3- 5)' = 3х2ит. п., поэтому функ-
ции х3 + 1, х3 - 5 и т. п. также являются первообразными для
функции Зх2. Следовательно, данная функция имеет бесчис-
ленное множество первообразных.
В нашем примере каждые две первообразные отличались
друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Покажем, что
это будет иметь место и в общем случае.
229
ТЕОРЕМА. Две различные первообразные одной и той же
функции, определенной в некотором промежутке, отличают-
ся друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.
Доказательство. В самом деле, пусть f (х) — некоторая функ-
ция, определенная на промежутке (a, b), a Fx(x), F2(x) — ее пер-
вообразные, т.е.
Fi(x) = f(x) и F'(х) = /(х).
Отсюда
F'i(x) = F'2(x).
Но если две функции имеют одинаковые производные, то эти
функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое
(гл. XI, § I, следствие 2 к теореме о конечном приращении функ-
ции). Следовательно,
Л(х) - F2(x) = С,
где С — постоянная величина, что и требовалось доказать.
Геометрическая иллюстрация. Если
у = Fx(x) и У = F2(x)
— первообразные одной и той же
функции /(х), то касательные
к их графикам в точках с об-
щей абсциссой х параллельны
между собой: tga = Fx(x) =
= F 2(х) = f(x) (рис. 128). В та-
ком случае расстояние меж-
ду этими кривыми, считая
вдоль оси Оу, остается посто-
янным:
F2(x) - Fx(x) = С,
т. е. эти кривые в некотором
Рис. 128	смысле «параллельны» друг
другу.
Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной F(x) для
данной функции f (х), определенной на промежутке {а, Ь), все-
возможные постоянные С, мы получаем все первообразные для
функции f(x).
В самом деле, с одной стороны, если F (х) есть первообразная
функция для /(х), т. е. если F'(x) = f(x), то функция F(x) + С,
где С — любая постоянная, в силу того, что производная посто-
янной равна нулю, также будет первообразной функции /(х), так
как
[F(x) + С]' = F'(x) + С' = /(х).
230
С другой стороны, мы доказали, что каждая первообразная
функции f(x) может быть получена из функции F(x) путем при-
бавления к ней надлежащим образом подобранного постоянного
слагаемого С.
Следовательно, формула
Кх) + С,	(2)
где < С < +°°, a F(x) — какая-либо первообразная для функ-
ции Дх), исчерпывает всю совокупность первообразных для дан-
ной функции Дх).
В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговоре-
но противное, что рассматриваемая функция Дх) определена и
непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежут-
ке (а, Ь).
Введем теперь основное понятие интегрального исчисления —
понятие неопределенного интеграла.
Определение. Общее выражение для всех первообразных дан-
ной непрерывной функции Дх) называется неопределенным ин-
тегралом от функции f(x) или от дифференциального выраже-
ния Дх) dx и обозначается символом
J f(x)dx.
При этом функция Дх) называется подынтегральной функ-
цией. а выражение Дх) dx называется подынтегральным выра-
жением.
Вспоминая определение первообразной, можно сказать, что
неопределенный интеграл J f(x)dx на данном промежутке явля-
ется функцией общего вида, дифференциал которой ра-
вен подынтегральному выражению Дх) dx, а следовательно, про-
изводная которой по переменной х равна подынтегральной
функции Дх) во всех точках рассматриваемого промежутка.
Пусть F(x) — некоторая вполне определенная первообразная
для функции Дх). Как мы видели, всякая другая первообразная
этой функции имеет вид F (х) 4- С, где С — некоторая постоян-
ная. Согласно определению неопределенного интеграла можно
написать
j f(x)dx = F(x) + С,	(3)
где F'(x) = Дх) и постоянная С может принимать любое значение
и поэтому называется произвольной постоянной.
231
Пример. Как мы видели, для функции Зх2
одной из первообразных является функция х3.
Поэтому
J Зх2 dx = х3 + С.
Геометрически неопределенный ин-
теграл
у = F(x) + С
Рис. 129	представляет собой семейство «парал-
лельных» кривых (рис. 129).
Из определения неопределенного интеграла вытекает, что ес-
ли мы имеем дифференциальное уравнение (т. е. уравнение, со-
держащее дифференциалы) (подробнее см. гл. XIX) вида
dy = f(x)dx,
где функция f(x) непрерывна в интервале (а, &), то общее реше-
ние этого уравнения при а < х < Ъ дается формулой
У = Г /(х) dx.
§ 2.	Основные свойства неопределенного интеграла
Опираясь на формулу (3) предыдущего параграфа, выведем
основные свойства неопределенного интеграла.
I.	Дифференциал неопределенного интеграла равен подын-
тегральному выражению, а производная неопределенного ин-
теграла равна подынтегральной функции.
Это свойство непосредственно вытекает из определения неоп-
ределенного интеграла.
Таким образом, имеем
d f(x) dx = /(х) dx
(1)
и
| f(x)dx = f(x).
II.	Неопределенный интеграл от дифференциала непрерыв-
но дифференцируемой функции равен самой этой функции с
точностью до постоянного слагаемого.
232
В самом деле, пусть
J скр(х) = J cp'(x)dx,
где функция ф(х) непрерывна. Функция ф(х), очевидно, является
первообразной для ф'(х). Поэтому имеем
J d<p(x) - <р(х) + С.	(2)
Замечание. В формулах (1) и (2) знаки d и J, следующие друг за
другом в том или другом порядке, взаимно уничтожают друг друга (если
не учитывать постоянного слагаемого). В этом смысле дифференцирова-
ние и интегрирование и являются взаимно обратными математи-
ческими операциями.
III.	Отличный от нуля постоянный множитель можно вы-
носить за знак неопределенного интеграла, т. е. если постоян-
ная А 0, то
j Af(x)dx = A J f(x)dx.	(3)
В самом деле, пусть F (х) — первообразная для /(х). В силу
основной формулы (3) из § 1 имеем
aJ f(x)dx = A[F(x) + С] = AF(x) + Си	(4)
где Ci « АС, причем С и Сг — произвольные постоянные при
А 0. Но AF(x) есть первообразная для функции Af (х), так как
[AF(x)]' = AF'(x) - А/(х).
Поэтому из формулы (4) получаем требуемую формулу (3).
Замечание. При А = 0 формула (3) неверна, так как левая часть ее
представляет собой произвольную постоянную, а правая часть тождест-
венно равна нулю.
IV.	Неопределенный интеграл от алгебраической суммы ко-
нечного числа непрерывных функций равен такой же алгеб-
раической сумме неопределенных интегралов от этих функ-
ций, т. е. если, например, функции /(х), g(x) и Л(х) непрерывны
в интервале (а, Ь), то
J IfM + g(x) - A(x)]dx = J f(x)dx + J g(x)dx - J h(x)dx (5)
при x G (a, b).
233
Действительно, пусть F(x), G(x) и Н(х) — первообразные
соответственно функций Дх), g(x) и h(x), т. е. F'(x) = Дх),
G'(x) = g(x), Н'(х) = Л(х) при хб (а, Ь). На основании формулы
(3) из § 1 имеем
J f(x)dx + J g(x}dx - J h(x)dx =
= [ВД + CJ + [G(x) + C2] - [H(x) + C3] =
[F(x) + G(x) - H(x)] + C, (6)
где Cx, C2, C3 — произвольные постоянные, С == Cx + C2 - C3,
очевидно, также является произвольной постоянной. Но функ-
ция F(x) + G(x) - Н(х) есть первообразная для функции
Дх) + g(x) - Л(х), так как
[F(x) + G(x) - Н(х)]' =
= F'(x) + G'(x) - Н\х) = Дх) + g(x) - Л(х).
Следовательно,
J [Дх) 4- g(x) - Л(х)] dx = F(x) + G(x) - Н(х) + С. (7)
Из формул (6) и (7) вытекает равенство (5).
§ 3.	Таблица простейших неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная
дифференцированию, нетрудно получить таблицу простейших
интегралов. Для этого, будем исходить из формулы (3) § 1, кото-
рую перефразируем теперь таким образом: если
dF(x) = Дх)</х,
то
J f(x)dx = F(x) + С.
Обращая формулы дифференцирования, получим:
I. Так как	\jn + 1J	i = xmdx,	С	*	rm+l xmdx = -—- + C to J	m + 1 (m	-1).
II. » »	d(ln |х|)	= dx 	 9 X	f =ln|x| + C » J X (при X < 0 и при X >	> 0).
234
III.	Так как d(ex) = exdx,
IV.	» » dfr^—1 = axdx,
kin a)
V.	» » d(sin x) = cos x dx,
VI.	» » d(-cos x) = sin x dx,
VII.	» » x) = —r ,
COS X
VIII.	» » d(-ctg x) =	,
sin x
IX.	» » d (arcsin x) = —t—,
л/Г^2
v dx
a(-arccos x) = .	,
to J eXdx =	+ C.
f axdx =	+ C
» J	Ina
(a > 0, a # 1).
» J cos x dx = sin x + C.
» J sin x dx = -cos x + C.
» f = tg X + c.
J COS X
» f = “ctg x + C.
J sin2x
Г dx = arcsin x + q =
J
= -arccos x + Cx.
X. » » d (arctg x) = |^-,
d(-arcctg x) =	,
= arctg x + C =
1 + x2
= -arcctg x + Cr
Для полноты таблицы присоединим сюда еще две формулы,
справедливость которых можно проверить непосредственно диф-
ференцированием :
ХП. f t dx = ln|x + Jx2 + a 14- С, где постоянная a 0 (cm. § 7).
J 7x2 + a
Так как (см. гл. X, § 9) d(chx) == shxdx и d(sh x) = chxdx, to
имеем еще две полезные формулы:
XIII. J sh х dx = ch x + С. XIV. J ch x dx = sh x + C.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, будем называть
табличными, и их необходимо твердо запомнить.
Примеры, f х3 dx = — + С;	f 2х dx =	+ С.
235
§ 4. Независимость вида неопределенного интеграла
от выбора аргумента
В таблице основных интегралов предполагалось, что х есть
независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохра-
няет свое значение, если под х понимать любую непрерывно диф-
ференцируемую функцию от независимой переменной.
В самом деле, пусть х есть независимая переменная, f(x) —
некоторая непрерывная функция на данном промежутке,
F(x) — ее первообразная, т. е. F'(x) = f(x). Имеем
| f(x)dx = F(x) + С.	(1)
Положим теперь
и « ф(х),
где ф(х) — некоторая непрерывно дифференцируемая функ-
ция1), и рассмотрим интеграл
J f(u)du = J f(u)u'dx.	(2)
В таком случае сложная функция
F(u) = Г(Ф(х))	(3)
является первообразной для подынтегральной функции интег-
рала (2). Действительно, в силу независимости дифференциала
первого порядка от выбора независимой переменной получаем
dF(u) = F\u)du = f(u)du	(4)
и, следовательно,
£ [F(u)] =	= f(u)u'.	(4')
dx	du dx
Поэтому
j f(u)du = F(u) + C,	(5)
где F'(u) = f(u).
Таким образом, из справедливости формулы (1) следует спра-
ведливость формулы (5); при этом последняя формула получает-
ся из предыдущей путем формальной замены х на и. На основа-
То есть предполагается, что производная ф' (х) непрерывна.
236
нии этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших
интегралов:
f umdu =	+ С (т * -1), I* — = In |u| + С и т. д.,
J	т+1	J и
где и — любая непрерывно дифференцируемая функция от не-
зависимой переменной. Эта таблица является обращением обоб-
щенных формул дифференцирования (гл. XII, § 7). Выбирая раз-
личным образом функцию и, мы можем существенно расширить
таблицу простейших интегралов.
Пример. Из формулы (1) следует
|xdx=^+C.	(6)
Заменяя здесь х на sin х, получим
л	.2	»	.2
sin х d(sin) « fEHJJE + С, т. е. sin х cos х dx =	+ С.
Далее, подставляя, например, в формулу (6) вместо х функцию 1пх,
будем иметь
f In х d(ln х) =	+ с, или f — dx =	+ С
J	£	J X	Z
ИТ. п.
Отсюда становится понятной важность умения приводить
данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду
f(x)dx = g(u)du,
где и есть некоторая функция от х, a g — функция более простая
для интегрирования, чем f.
Приведем некоторые преобразования дифференциала, полез-
ные для дальнейшего:
1)	dx = d(x 4- ft), где b — постоянная величина;
2)	dx = - d(ax), где константа а # 0;
а
3)	dx = - d(ax + ft) (a * 0);
a
4)	x dx = 1 d(x2);
5)	sin x dx = -d(cos x);
6)	cos x dx = d(sin x).
Вообще,
<p'(x)dx = d(p(x).
237
Примеры. Пользуясь этими преобразованиями дифференциалов,
найти следующие неопределенные интегралы:
1)	f = 1 f fe+&) = lln|ax + + С (а * 0);
J ах + &	a J ах + b	а
1	|	з
2)	^Jx^2dx = j(x-2)2d(x-2)={^L + С=|(х-2)2 +С;
2
3)	Г sin 5х dx = 1 Г sin 5х d(5x) = -1 cos 5х + С;
Г xdx_ = 1 fd(x2+l) = 11п(х2 + !) + С;
J х2+1 2J х2 + 1	2
dx =
х2 + 4	2
dx
73^x2
= iarctg^ + С;
= arcsin-^ + С;
7з
= -In |cos х| + С;
COSX
dx
x*Jx2 -1
f dx
J 2 Г,
^1 X2
= TarcsinA + С = -arcsin^ + С, где |х| > 1;
х	|х|
2 е
§ 5. Понятие об основных методах интегрирования
Для вычисления данного интеграла мы должны, если это воз-
можно, пользуясь теми или другими способами, привести его к
табличному интегралу и таким образом найти искомый резуль-
тат. В нашем курсе мы рассмотрим лишь некоторые, наиболее
238
часто встречающиеся приемы интегрирования и укажем их при-
менение к простейшим примерам.
Наиболее важными методами интегрирования являются:
1) метод разложения, 2) метод подстановки и 3) метод интегри-
рования по частям.
1; Метод разложения. Пусть /(х) = f^x) 4- f2(x); тогда на
основании свойства IV § 2 имеем
f(x)dx = f fx(x)dx + f f2(x)dx.
По возможности слагаемые Д(х) и f2(x) стараются подобрать так,
чтобы интегралы от них находились непосредственно.
Пример 1.
j*(l - Jx)i 2dx = J (1 - 2jx + x)dx = J dx - J 2jx dx 4- J xdx =
Л	Л	/*	уЗ/2	у»2	Д	!—	v»2
= \ dx - 2 I x^2dx + I x dx = x - 2-— 4- -L 4- C = x - ~ xjx + -L 4- C.
JJ J	3	2	3	2
2
Примечание, Нет надобности после каждого слагаемого ставить
произвольную постоянную, потому что сумма произвольных постоян-
ных есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.
Пример 2.
f х4~6х3-8х2+ 9х - 5	_ ffx2-6x-8+-	=
J	х2	J \	хх2;
= J x2dx - 6 J xdx - 8 Jdx + 9 J - 5 J x~2dx = у - 6 -у -8х +
+ 91п|х | - 5 •	+ С =	- Зх2 - 8х + 91п|х| + - + С.
— 1	О	X
Пример 3.
f tg2x dx = f Г —dx = f —~“ f dx = tg x - x 4- C,
J	J ^cos x J J cos x J
Пример 4. J sin2x dx.
Так как sin2x = (1 - cos 2x), to
(1 - cos 2x)dx = i
cos 2x d(2x) =
i x - 1 sin 2x 4- C.
2	4
239
Пример 5. I sin x cos 3x dx.
Так как sin x cos 3x « (sin 4x - sin 2x), то имеем
J sin x cos 3x dx «
J (sin 4x - sin 2x)dx = i J sin 4x d(4x) -
- | Г sin 2x d(2x) = -1 cos 4x 4- ~ cos 2x + C.
2.	Метод подстановки (метод введения новой переменной).
Пусть f(x) непрерывна на интервале (а, &) и х = ср(£) непре-
рывно дифференцируема на интервале (а, 0); причем функция (р
отображает интервал (а, 0) в интервал (а, &).
На основании свойства независимости неопределенного ин-
теграла от выбора аргумента (§ 4) и учитывая, что dx = <p'(t)dt,
получаем формулу замены переменной в неопределенном интег-
рале
J f(x)dx = J /(<p(t))<p'(t)dt.	(1)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (1), может ока-
заться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства,
или даже табличным.
Рассмотрим примеры.
Пример 6. J х Jx-5 dx.
Чтобы избавиться от корня, полагаем 5 « t. Отсюда х = t2 4- 5
и, следовательно, dx == 2t dt.
Производя подстановку, последовательно имеем
J xjx - 5 dx — J (t2 4- 5)t • 2t dt =
= j (2t“ + 10*2)dt = 2 j t*pt + 10 j tzdt = 2 -	+10 j + c =
= | (x - 5)5/2 + (x - 5)3/2 + C.
О	о
Пример 7. J 7a2 - x2 dx (a > 0).
Здесь полезно применить тригонометрическую подстановку
х « a sin t, отсюда dx = a cos t dt. Следовательно,
J Ja2-x2 dx = J д/а2 - a2sin2f • a cos t dt « a2Jcos2t dt =*
- ~ f (1 4- cos 2t)dt f dt 4- f cos 2* d(2t) = ~ t + sin 2t 4- C.
£ J	J 4 J	2	4
240
Возвращаясь обратно к переменной х, будем иметь
sin t = - и t = arcsin .
а	а
Далее,
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin tjl- sin2t =2- /1 - ~	J a2 -x2 .
a 4 a2 a2
Поэтому окончательно получим
J 7a2-x2dx -	arcsin^ + | Ja2 - x2 + C.	(2)
Иногда формулу (1) полезно применять справа налево:
j	= J flcp(x)]d(p(x),	(3)
ИЛИ
J f\$(x)W(x)dx = J f(t)dt9
где
t = <p(x).
На практике желательно не вводить новой переменной t9 а
ограничиться использованием формулы (1). Простейшие приме-
ры этого типа были разобраны в § 4. Здесь мы дополнительно
рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 8. f Vl + ctgx dx
J sin2x
Полагая t « 1 + ctg x, dt - - ^x2 , будем иметь
sin x
f ^...t*** dx - - f (1 + ctgx)V3 d(l + ctgx) =
J sin x J
= - f = -3 *4/3 + c = -f (1 + ctgx)4/3 + C.
J	4	4
KI A fl y
In x + ---I - .
Inx7 x
Так как — - d(ln x), то имеем
x
j(1ПХ + A.)	- Jin X d(lnx) + J = i ln2x + ln|ln x| + C.
241
Пример 10.
Г exdx = Т d(e*) = 1, |е* -11 . с
J «2х-1 J (О2-1	2 |?ГИ|
(см. формулу XI в § 3).
3.	Метод интегрирования по частям. Пусть и и и — непре-
рывно дифференцируемые функции от х. На основании формулы
дифференциала произведения (гл. XII. § 7, V) имеем
d(uv) = и dv + v du;
отсюда
udv = d(uv) - v du.
Интегрируя, получим
Ju dv = Jd(uv) - Ju du,
или окончательно
judu-uv~^du.	(4)
Это и есть формула интегрирования по частям.
Выведенная формула показывает, что интеграл J udv приво-
дится к интегралу J vdu, который может оказаться более прос- (
тым, чем исходный, или даже табличным.
Рассмотрим несколько примеров.	*
Пример 11. J In х dx.	j
d х
Полагая здесь и = 1п х и dv =dx, получим du “ d In x = — и v = x.
x
Следовательно, в силу формулы (4) будем иметь
Г	Г	dx
In х dx = х In х - I х • — = х In х - х + С.
J	J	х
Пример 12. J х cos х dx.
Полагая и = х и dv = cos х dx, имеем du = dx и v = J cos x dx =	: |
— sin x. Пользуясь формулой интегрирования по частям (4), получим	{
I х cos х dxх sin х I sm х dx х sm х "F” cos х *1* С,
242
На практике важно научиться применять формулу (4), не выписы-
вая в стороне выражения для функций и и и.
Пример 13.
J х arctg х dx = 1 J arctg x d(x2 + 1) =
= | [(x3 + l)arctg x - J (x2 + l)d arctg x] «
= ^±larctgx- 1 j(x*+ 1)-^L. -^12arctgx- ±x + C.
§ 6. Интегрирование рациональных дробей
с квадратичным знаменателем
Речь идет о вычислении интегралов вида
Р(х)
ах2 + Ьх + с
dx,
где Р(х) — целый многочлен, а, Ь, с — постоянные, а 0. Раз-
делив числитель Р (х) на знаменатель ах2 + Ъх + с, получаем в
частном некоторый многочлен Q(x) и в остатке — линейный дву-
член тх + п (так как степень остатка ниже степени делителя);
отсюда
Р(х) J Q(x\ + тх + п .
ах2 + Ъх + с Т	ах2 + Ьх + с'
Интеграл от многочленагф(х) находится непосредственно; поэто-
му мы покажем, как вычисляются интегралы вида
J ах2 + Ьх + с
Выведем сначала два основных интеграла.
= - arctg - + С (а* 0),
CL	(L
т. е.
-/* л = - arctg - + С (а* 0).
х2 + а2 а а
(1)
(2)
243
г dx
J x2-a2
Имеем
1 ___________
х2-а2 (х + а)(х-а)
Отсюда
f-Д-,--UM-
J х а 2а J 1х-а
Г_£^_ - Г J
2а II х-а 1х-
= _ (x + a)~(x~Q) — i f 1 _ 1
2a (x + a)(x-a) 2a\x-a x + a
d(x - а) _ Г d(x + а)~| _
х-а J х+а J
= 4 Пп |х - а| “ 1п|х + а|] + С = Д- In Iх ~ а|
2а	2а |х + а|
Итак (ср. XI из § 3),
г dx 1 , i „|
Г = Л In *_® + С (а * 0).
J х а 2а |х + а|
Результаты (2) и (3) следует запомнить.
К интегралам I и II присоединим еще интеграл:
ттт f xdx _ 1 f d(x2±a2) _ 1 ln|x2 ± a2| + c
+ с.
(3)
__ 1 Г d(x2 ± а2) _
2J х2±а2
* J x2±a2
Пример 1.
Г dx 1 Г d(xj2)
J 2x2 + 3	72 J (xV2)2 + (73)2
4 • 4= arctg 4=^ + С =
]2 л/3 7з
1
+ С.
Пример 2. f = -4= In £
J *2“5	2a/5
x + ,/б	7
Основной прием вычисления интеграла (1) состоит в следую-
щем: квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с дополняют до полного
квадрата1). После этого, если коэффициент т = 0, интеграл (1)
сводится или к интегралу I, или к интегралу II. Если же т 0,
то интеграл (1) сводится к интегралам I и III или к интегралам
II и III. Как это делается, покажем на примерах.
Пример 3.
f dx
J х2-10х + 16
dx
= Г d(x-5)
- 2 • 5х +25)+ (16 - 25) J (х-5)2-32
= тДг 1п[(х~5)~3| + С = 11п|*~8| + С.
2-3 |(х-5) + з| 6 |х-2|
Мы предполагаем, что квадратный трехчлен не является точным
квадратом.
%
244
Пример 4.
dx
х2 + Зх + 4
_________dx
х2 + 2 ?х + :
2	4
d{x +1)
2	/ /^2
х + 3
= _L arctg——Д + С = A arctg + С.
Л	Л	Л Л
2	2
Пример 5. I = f ./dx = f------.
F F J x2 + x + l	Jr 1V 3
lX+2j +4
Полагаем x + i = t; отсюда x = t - | и dx — dt.
Следовательно,
'М
dt
= 1
2
47 _ 1 Г
3	2 J
4 t2 +
dt
-	• Aarctg-L +C =
2	2 I 47	2 7з
2
= i ln(x2 + x + 1) ~ -1= arctg + C.
2	Л Л
Пример 6. f .
J х2 + 1
1
x^
Произведя деление x4 на x2 4- 1, имеем —-—- = x2 - 1 + —-—- .
2 4- 1	X2 4- 1
Отсюда
x2 — 14-
x x2+l
dx
= — - х + arctgx + С.
О
Замечание. Если квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с имеет
действительные и различные корни хг и х2, то, как доказывается
в подробных курсах анализа, для вычисления интеграла (1) мож-
но воспользоваться разложением подынтегральной
функции на простейшие дроби:
тх 4- п	А В
ах2 + Ъх + с
х — х2
(4)
245
где А и В — неопределенные коэффициенты. Числа А и В нахо-
дятся путем приведения тождества (4) к целому виду и прирав-
нивания коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и
правой частях полученного равенства.
С х 4" 2
Пример 7. Найти I = I —-—------ dx.
J х24-5х-6
Приравнивая знаменатель нулю, получаем уравнение х2 4- 5х - 6 = 0;
находим его корни: хг == 1 и х2 = - 6. Согласно формуле (4),
х + 2	_ А . В	/к\
х2 + 5х-6	х-1 х 4-6 *
Отсюда, освобождаясь от знаменателя и учитывая, что х2 4- 5х - 6 =
= (х - 1)(х - 6), получаем
х 4- 2 = А(х + 6) + В(х - 1),	(6)
или
х 4- 2 = (А + В)х + (6А - В).
Приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степенях
х в правой и левой частях последнего равенства, будем иметь
А 4- В = 1,1
6А-В =2.|
Следовательно, А = 2/1, В = 4/7.
Заметим, что коэффициенты А и В можно просто определить из тож-
дества (6), полагая в нем сначала х « 1, откуда 3=А-7иА= 3/7, а
затем полагая х = -6, что дает -4 = В(-7) и В = 4/7.
На основании разложения (5) получаем
1= ? f	i f d(* + 6.)	= 8ln|x _	j| + 4ln|x +	6| +	c =
7 J	x —1	7 J x + 6	7	1 7 '	1
= i ln{|x - l|3(x + 6)4} + C.
§ 7. Интегрирование простейших иррациональностей
1. Если подынтегральное выражение содержит лишь ли-
нейную иррациональность \1ах + Ь (а * 0), то полезна подста-
новка
t = nJa x + b.
Пример 1. Найти I =
xdx
Vx+ 1
Полагаем t = 3Jx 4-1; отсюда х = t3 - 1 и dx = 3f2dt
246
Имеем
I - j (X3~„1)-^£.2fff = 3 J (t4 - t)dt = |t5-|t2 + C =
= I (x + 1)5/3 _ 3 (X + 1)2/3 + c.
О	a
2. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональ-
ности
f dx
J Jax2 + bx + c
с помощью дополнения квадратного трехчлена ах2 4- Ъх 4- с до
полного квадрата сводится к одному из двух интегралов
f dx
J Ja + x2 9
вычисление которых дано ниже.
I. [ --.Ух (а * 0).
J л/х2 + а
Применим здесь подстановку Эйлера:
jx2 + a = t - х9
где t — новая переменная. Возводя это равенство почленно в
квадрат, будем иметь х2 4- а = t2 ~ 2t х 4- х2, или
а = t2 - 2tx.,
Беря дифференциалы от обеих частей последнего равенства,
получим 0 = 2t dt - 2х dt ~ 2t dx9 или
t dx = (t - x)dt.
Отсюда
dx _ dt m Л	dx _ dt
--- = — , т. e.	.	= — .
t - X	t	J^+a.	*
Таким образом, имеем
/7^-К-ад + с-
Наконец, заменяя t его выражением через х, окончательно
находим табличный интеграл XII (§ 3):
f dx = ln|x + 4х2 + а | 4- С (а 0).	(1)
J 7^2 + а
247
Эту формулу необходимо запомнить.
Пример 2. Г -----------.
J Jx2 - 6х + 13
Используя формулу (1), имеем
dx
'х2-6х+13
dx
х-3)2 + 4
Полагая здесь х - 3 = t, последовательно получим
dx
'х2-6х+13
= ln(t + 7#2 + 4) + С.
>2 + 4
Так как t = х ~ 3, то окончательно будем иметь
...—----- = ln[x - 3 4- 7(х-3)2 + 4 ] + С =
7х2-6х+13
= In (х - 3 + 7х2-6х+13) + С.
dx
Ja2 - х2
= arcsin + С (а > 0).
а
Пример 3.
dx
~х~ х2
df х +	х + -
I 2)	х 2	2 г -4-1
= arcsin—— + С = arcsin——— + С.
5 ( П2	&	75
4 (* +2j
§ 8. Интегрирование тригонометрических функций
В приложениях важное значение имеют интегралы
I = I sinmx cos"x dx,
где тип — целые неотрицательные числа.
Здесь различают два случая:
1) хотя бы один из показателей т или п есть число нечетное;
2) оба показателя тип есть числа четные.
В первом случае интеграл I берется непосредственно.
248
Пример 1. Найти I = J sin3 х cos2 х dx.
Последовательно полагаем
I « J sin2x cos2x(sin х dx) « - J(1 - cos2x)cos2x d(cos x) «
e - I cos2 x d(cos x) + I cos4x d(cos x) = -1 cos3x + i cos5x 4- C.
J	J	3	5
Во втором случае для вычисления интеграла I используют формулы
двойного аргумента:
sin2x = 1 (1 - cos 2х), cos2x = i (1 + cos 2x), sin x cos x - i sin 2x.
Пример 2. Найти I « J sin2 x cos4 x dx.
Имеем
r f/ •	~ 9 j (Vsin2xV 1 + cos2x ,
I = (sm x cos x)2cos2x dx = I—-—I -----------dx =
i Г sin2 2x(l + cos 2x)dx « | | sin2 2x dx + | | sin2 2x cos 2x dx =
8 J	8 J	8 J
= 1 f Lz_c°s4x dx + -L f sin2 2x d(sin 2x) -
8 J 2	16 J
== A f dx - -L f cos 4x dx + -L •	=
16 J 16 J	16	3
= _L x - -i- sin 4x + -Д- sin3 2x + C.
16	64	48
В теории рядов Фурье (гл. XXI, § 17) важное значение имеют
интегралы
J sin тх sin пх dx, J cos тх cos пх dx,
sin тх cos пх dx.
Они вычисляются на основании формул тригонометрии:
sin a sin Р = i [cos(a - Р) - cos(a + Р)],
cos a cosP = i [cos(a - Р) + cos(a + Р)],
sin a cosP = i [sin(a - p) + sin(a + P)].
A
Пример 3.
Г	If	11
I sin x sin 5x dx = - I (cos 4x - cos 6x)dx « - sin 4x - — sin 6x + C.
J	2 J	8	12
249
§ 9. Интегрирование некоторых
трансцендентных функций
Интеграл
J P(x)eaxdx,
где Р(х) — многочлен, берется многократным интегрированием
по частям.
Пример.
J x2e2xdx = A J x2d(e2x) = e2x - A J e2x • 2xdx =
= e2x - A f xd(e2x) = e2x - £ e2x + A f e2xdx =
2	2 J	2	2	2 J
= — e2x - - e2x + A e2x + C = f — - - + A'] e2* + C.
2	2	4	12	2 4j
Аналогичным приемом вычисляются интегралы вида
JP(x)sin ах dx и JP(x)cos ах dx,
где Р(х) — многочлен.
§ 10. Теорема Коши.
Понятие о «неберущихся» интегралах
До сих пор мы весьма удачно для некоторых непрерывных
функций Дх) находили их неопределенные интегралы
j f(x)dx.
Возникает вопрос, всегда ли это будет так, т. е.: 1) всякая ли
непрерывная функция Дх) имеет неопределенный интеграл и
2) каким способом можно найти этот интеграл, если он сущест-
вует?
Ответом на первую часть этого вопроса служит теорема Ко-
ши, являющаяся основной теоремой интегрального исчисления.
ТЕОРЕМА КОШИ. Всякая непрерывная функция имеет пер-
вообразную.
Иными словами, для каждой непрерывной в интервале (а, Ь)
функции Дх) существует функция Р(х), производная которой
в интервале (а, Ь) в точности равна данной функции Дх), т. е.
Р'(х) = Дх).
250
Тем самым существует и неопределенный интеграл
j f(x)dx = F(x) + С,
где С — произвольная постоянная.
Доказательство этой теоремы ввиду его сложности не может
быть з^есь приведено.
Этим не решается вторая часть нашего вопроса: если дана
непрерывная функция /(х), то как найти ее неопределенный ин-
теграл. Теорема Коши вовсе не утверждает, что первообразную
данной функции можно фактически отыскать с помощью конеч-
ного числа известных операций и выразить ответ в элементар-
ных функциях (алгебраических, показательных, тригонометри-
ческих и т. п.). Более того, имеются непрерывные элементарные
функции, интегралы от которых не являются элементарными
функциями. Такие интегралы часто называют «небврущи-
мися», подразумевая под этим, что такого рода интегралы не
могут быть выражены с помощью конечного числа элементар-
ных функций.
Например, можно доказать, что интегралы
[e~x‘dx, [*™dx,	[^dx,
J	J X	J X	J Inx
и ряд других не сводятся к конечной комбинации элементарных
функций и, следовательно, являются «неберущимися» в нашем
смысле слова.
УПРАЖНЕНИЯ
1—13. Пользуясь таблицей простейших интегралов, найти следую-
щие неопределенные интегралы:	х ~	• I 4 С
1. f (х2 V Зх + l)dx. 2. ffizlVdx. 3. fx~2^ + 2dx.
J	JV X )	J x23/i
с г 1	c
4. (ax + bx)2dx, 5. I (sin 3x + cos 5x)dx.
C dx
6. I--------Указание. Применить тождество 1 == sin2x 4- cos2x.
J sin x cos x
9. \ dx .
J 72 - 3x2
12 f xdx 13 / dx
n |* dx	g dx
‘ J J2 + 2 •	 J 2 - 3x2 ’
10. Г 71_+dx n ftg2xdx.	_____
J VTTx5	J	J 1 + x2 1/2-3x
14—22. Применяя метод разложения, найти интегралы:
j* у2 - f *	Г у2	Г у2
14. dx.	15. ,dx. 16.	_^—_dx.
J 1 - X	J 1+x2	J 1 - X2
“X - I	- у j* Lsi
17.	f(|±42dx.	18. J 1 + x2	f J 4 - x2 ’	19. f	. J x2-5x + 6
20.	f cos25x dx.	21.	I sin x cos 7x dx.	22. I cos 3x cos 5x dx.
23—	-26. Применяя указанные подстановки, найти интегралы:		
23.		= o.	24.j-^- (Ji = t). }1 + Jx
25.	Г 	^-3/2 <х = Sin *)• J (1-х2)3/2		26. f — d^~~ (e* = t). J l + 2e*
27-	-32. Методом интегрирования по частям найти интегралы:		
27.	J arctg х dx.	28.	J x In x dx.	29. J x sin x dx.
30.	Г xexdx.	31.		32. Г x2exdx.
33-	-4О.Найти интегралы от рациональных дробей:		
33.	f	34	f dx	35 f dx .
	J Зх2 + 7*	J 5x2—2’	
36.	f dx .	37.	Г dx	38. f	dx__
	J 1 + X + X2 ’	J х2-Зх+Г	J x2 + 8x-9
39.	f	f*	dx. 40. J x2 + 8x + 15	f 2 dx -dx. J x2 + 4x + 5	
41-	-47.Найти интегралы от иррациональных функций: 1	Р Л л*	si **		
41.	J </2х - 3 dx. 42. J	dx. 43.	. 44.	.
		Vx + 1	J	л/2-х2	J 7x2-2
45.	f dx .	46.	f dx	47. f dx - - .
	J Jx2 + x	J 71 + 2x-x2	J Jx2 + 4x + 3
48-	-бЗ.Найти интегралы от тригонометрических функций:		
48.	I sin х cos3x dx. 49.	I sin2x cos2x dx.	50. Г sin3x dx.
cos4x dx.
sin x sin(x + a)dx.
i* dx
53.	---__ .Указание. Использовать формулу
J cos x
= d(tgx).
COS X
54—бО.Найти интегралы от трансцендентных функций:
54.	j x2e~xdx.	55. J (x2 + 2x + 3)exdx. 56. J (x - l)sin 2x dx.
57.	j* e~2xcos 3x dx. 58. J x arcctg x dx.	59. J lV2x dx.
60. I arcsin х dx.
ГЛАВА XIV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие об определенном интеграле
Пусть f(x) — функция, непрерывная на данном отрезке
[а, &], где а < b или а > Ь, и F(x) — некоторая ее первообразная
(см. гл. ХШ, § 1), т. е. F'(x) = f(x) при х € [а, 6].
Определение. Под определенным интегралом
ъ
jf(x)dx	(1)
а
от данной непрерывной функции /(х) на данном отрезке [а, Ь]
понимается соответствующее приращение ее первообразной,
т. е.
ь
p(x)dx = F(b) - F(a)	(2)
а
(формула Ньютона—Лейбница).
Кроме того, считаем для любой функции /(х), имеющей
смысл в точке а,
а
J f(x)dx = О
а
(а — любое). Таким образом, формула (2) справедлива также при
а = Ъ.
В выражении (1) числа а и & называются пределами интег-
рирования, соответственно — нижним и верхним, [а, Ь] — про-
межутком интегрирования, a f(x) — подынтегральной функ-
цией. Формулу (2) можно выразить в виде правила: опреде-
ленный интеграл равен разности значений первообразной
подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов
интегрирования.
Введя обозначение для разности
F(b) - F(a) = F(x)|*,
253
L
где вертикальная черта носит название вставки9 формулу (2)
можно записать еще так:
ь
J f(x)dx = F(x)\ba,	(3)
а
причем следует помнить, что при расшифровке вставки сначала
подставляется верхний предел интегрирования, а затем
нижний.
Пример. Найти интеграл от х2 в пределах от 2 до 4.
Так как | х3 есть первообразная для х2, то согласно формуле (3) имеем
4
ГхШ=^|4=^-8=182
J з |2	3	3	3
Заметим, что тот же результат мы получили бы, если бы использо-
у 3	у 3
вали другую первообразную для х2, например —- + 1 или — - 2 и т. д.
о	3
Это явление носит общий характер.
ТЕОРЕМА. Определенный интеграл от непрерывной функ-
ции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной
функции.
Доказательство. Пусть F(x) и Fr(x) — две различные первооб-
разные непрерывной на отрезке [а, &] подынтегральной функции
Дх) интеграла (1). В силу основной теоремы для неопределенного
интеграла (гл. XIII, § 1) имеем
Fj(x) = F(x) + С,
где С — некоторая постоянная величина. Отсюда
Л(Х)|* - Fx(b) - F^a) = [F(&) + С] - [F(a) + С] =
ъ
= F(b) - F(a) = F(x)\ba = j f(x)dx,
a
что и требовалось доказать.
Следствие.
ь
(4)
где под J f(x)dx понимается одна из первообразных для функ-
ции f(x).
254
Формула (4) устанавливает связь между определенным и со-
ответствующим неопределенным интегралами. Отметим фор-
мальную разницу между ними: определенный интеграл пред-
ставляет собой число, а неопределенный — функцию.
Согласно теореме Коши (см. гл. XIII, § 10), всякая непрерыв-
ная на отрезке функция имеет первообразную.\ Отсюда вытекает
теорема.	\
ТЕОРЕМА. Для всякой функции, непрерывной на отрезке
[а, 6], существует соответствующий определенный интеграл.
Замечание. Пусть у' = Дх), т. е.	у
dy = f(x)dx.	(5)
Интегрируя равенство (5) в пределах от а до Ь, будем иметь
ь
y(b) - у{а) - j f(x)dx.	(6)
а
Последняя формула часто применяется на практике.
Учение о неопределенном и определенном интегралах и их
приложениях составляет предмет интегрального исчисления.
§ 2. Определенный интеграл
с переменным верхним пределом
Пусть функция Дх) непрерывна на отрезке [а, &]. Рассмотрим
интеграл
X
$fit)dt,	(1)
а
где t ё [а, х] с [а, &] (во избежание путаницы переменная интег-
рирования обозначена другой буквой).
Если F (х) — первообразная функции /(х), т. е.
F'(x) = fix),
то согласно формуле Ньютона—Лейбница имеем
j fit)dt = Дх) - F{a).	(2)
а
Отсюда
A f f(t)dt = A [F(x) - Fia)] - F'ix) - [Да)]' = fix) - 0 = fix).
ax J	dx
a
255
Следовательно, производная определенного интеграла с пе-
ременным верхним пределом по этому пределу равна значению
подынтегральной функции для этого предела:
X
(3)
ах j
а
Таким образом, интеграл
X
Ф(х) = ]7(*М*	(4)
а
является первообразной для подынтегральной функции
/(х). Отметим, что из формулы (2) следует, что Ф(а) = 0, т. е. Ф(х)
есть та первообразная для функции Дх), которая
обращается в нуль при х = а.
Пример. Имеем
A f Vl+Pdt» JT+x2.
dx J
a
Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным
нижним пределом
х
а
где х € [а, Ь].
На основании формулы Ньютона—Лейбница имеем
[F(b) - F(x)] = [F(b)Y - F'(x) = -/(x).
Таким образом, производная определенного интеграла с пе-
ременным нижним пределом по этому пределу равна значению
подынтегральной функции для этого предела, взятому с об-
ратным знаком.
Замечание. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь],
то на основании связи неопределенного интеграла с первообраз-
ной (гл. XIII, § 1) будем иметь
х
jf(x)dx ₽ С + J f(t)dt
а
при а < х < Ь, где С — произвольная постоянная.
256
A (f(x)dx
dx J
§ 3. Геометрический смысл определенного интеграла
Рассмотрим площадь S(x)1) переменной криволинейной тра-
пеции (рис. 130), ограниченной сверху непрерывной кривой
У = f(X) (а < X < b, f(X) > 0), снизу осью OX(Y = 0), слева не-
подвижной вертикалью X = а, а справа подвижной вертикалью
X = х (а < х < &).
Рис. 130
Наглядно можно вообразить себе, что вдоль оси ОХ происхо-
дит наводнение и вертикальный фронт воды передвигается слева
направо.
Пусть х получает приращение Дх (для определенности поло-
жим, что Дх > 0). Тогда площадь изменится на величину Дв
(рис. 130), представляющую собой площадь полоски, ограничен-
ной дугой РР' кривой, осью ОХ и двумя вертикалями X = х и
X = х + Дх. Положим
т = min f(X)
х<Х<х + Ах
и
М = max f(X).
х < X < х + Ах
Сравнивая площадь Дв с площадями прямоугольников с об-
щим основанием Дх и высотами т и М, будем иметь
тпДх < AS < МДхЧ	(1)
Отсюда
т <	< М.	(2)
О понятии площади см. замечание к теореме § 9.
2) Равенство здесь не исключается, так как функция f(X) может
быть постоянной.
9 Б. Демидович, В. Кудрявцев
257
Пусть теперь Дх +0. Тогда в силу непрерывности функции
f(X) имеем
тп —► f(x) иМ -* f(x).	(3)
Отсюда на основании теоремы о пределе промежуточной пере-
менной (гл. VII, § 8) получаем
lim — = /(х).
дх—*+о Дх
Аналогично, при Дх -0 будем иметь
lim — = /(х).
Дх —*-0 Дх
Следовательно, существует предел
lim	= f(x).
— -о Дх ах
(4)
Таким образом, производная площади переменной криволи-
нейной трапеции для любого значения аргумента X = х равна
ее концевой ординате у = /(х) (теорема Ньютона—Лейбница).
Из формулы (4) получаем
dS = f(x)dx.	(5)
Пусть S — полная площадь криволинейной трапеции
(рис. 130), ограниченная кривой Y = f(X), осью ОХ и двумя вер-
тикалями X == а и X = Ь. Интегрируя равенство (5) в пределах
от а до Ь и учитывая, что S(a) = 0, на основании формулы (6) из
§ 1 будем иметь
ь
S = S(b) - S(a) = j f(x)dx.	(6)
a
Таким образом, определенный интеграл (6) от непрерывной
неотрицательной функции при а< Ъ равен площади соответ-
ствующей криволинейной трапеции^ (геометрический смысл
определенного интеграла).
Пример 1. Найти площадь S одной полуволны синусоиды у = sin х
На основании геометрического смысла
определенного интеграла имеем
п
S « J sin х dx === -cosx |” == -(cos л - cos 0)«
а = -(-1-1) = 2
(соответствующих квадратных единиц).
(0 < х < л) (рис. 131).
Рис. 131
Что следует понимать под площадью криволинейной трапеции в
случае знакопеременной функции /(х), см. § 5, замечание.
258
Пример 2. Выяснить геометрический смысл интеграла
х2 dx
и, пользуясь этим, найти его значе-
ние.
Так как у =	- х2 есть урав-
нение верхней полуокружности
х2 + у2 = 1, у > 0, то интеграл I
представляет собой площадь полу-
круга радиуса 1 (рис. 132).
Поэтому I = л/2; этот резуль-
тат можно получить также непо-
средственным вычислением ин-
теграла (7).
Рис. 132
§ 4. Физический смысл определенного интеграла
Задача. Зная скорость v « v(t) прямолинейного движения
точки, найти пройденный ею путь за промежуток времени
О < t < Т.
Предполагая, что траекторией точки является ось Ох
(рис. 133) и х = x(t) есть уравнение движения, будем иметь
(гл. IX, § 2)
Отсюда
v(0=^7-
dt
dx = v(t)dt.
(1) M
-------02--------Qh..	Ю	JO---
0	x(or*---s ~-^x(T) x
(2)	Рис. 133
Интегрируя равенство (2) в пределах от 0 до Т, получим путь,
пройденный точкой за время t:
т
s = х(Т) - х(0) = J v(f)dtV.
о
(3)
Точнее, формула (3) дает приращение абсциссы дви-
жущейся точки, т. е. перемещение точки за время Т. Пройденный
путь получится в том случае, когда скорость v(t) сохраняет посто-
янный знак, т. е. точка движется в одном и том же направлении
(см. гл. IX, § 2).
259
Замечание. Из (3) получаем уравнение движения точки
т
х = х0 4- J v(t)dt,
о
где х0 = х(0).
Пример. На какую высоту за 10 с поднимется ракета, брошенная
вертикально вверх, если ее скорость (км/с) меняется по закону
1 ?
(f + 1)2*
v = 2 +
Чему равна средняя скорость полета ракеты за этот промежуток вре-
мени?
Путь, пройденный ракетой за 10 с, равен
ю
s = f Гг + —1— 1 dt = f 2t - -J—"I
JL (t + i)2J I t + ij
0
- (0 - 1) == 20,91 KM.
Поэтому соответствующая средняя скорость ракеты равна
„ _ 20,91 км _ 9 пси км
Uc₽  То” — -2’° с •
§ 5.	Основные свойства определенного интеграла
При выводе основных свойств определенного интеграла мы
будем исходить из формулы Ньютона—Лейбница (§ 1):
ь
jf(x)dx = F(b) - F(a),	(1)
а
где Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь] и F'(x) = Дх) при х € [а, &].
Для лучшей обозримости свойства определенного интеграла
разобьем на группы.
А. Общие свойства.
I.	Величина определенного интеграла не зависит от обо-
значения переменной интегрирования, т. е.
ь	ь
J f(x)dx = J f(t)dt,
а	а ‘
где х, t — любые буквы.
Это свойство непосредственно вытекает из формулы (1).
260
II.	Определенный интеграл с одинаковыми пределами ин-
тегрирования равен нулю (на основании сделанного соглаше-
ния).
Заметим, что это определение соответствует и формуле Нью-
тона—Лейбница:
ъ
j f(x)dx = F(a) - F(a) = 0.
а
III.	При перестановке пределов интегрирования определен-
ный интеграл меняет свой знак на обратный.
В самом деле, переставляя пределы интегрирования, в силу
формулы (1) имеем
а	Ь
| f(x)dx = F(a) - F(b) = -[F(b) - F(a)] = - j f(x)dx.	(2)
b	a
Б. Свойство аддитивности.
IV.	Если промежуток интегрирования [а, Ь] разбит на ко-
нечное число частичных промежутков, то определенный ин-
теграл, взятый по промежутку [а, &], равен сумме определен-
ных интегралов, взятых по всем его частичным промежут-
кам.
Действительно, пусть, например, [а, &] = [а, с] U [с, Ь], где
а < с < Ъ. Тогда, полагая F'(x) = f(x), имеем
ь
| f(x)dx = F(b) - F(a) = [F(c) - F(a)] + [F(b) - F(c)] =
°	c	b
=	| f(x)dx	+	j	f(x)dx.	(3)
a	c
Замечание. Формула (3) остается	верной,	если	с	лежит вне
отрезка [а, Ь] и подынтегральная функция f(x) непрерывна на
отрезках [а, с] и [с, &].
В. Свойства линейности.
V.	Постоянный множитель можно выносить за знак опре-
деленного интеграла.
Действительно, пусть F (х) — первообразная для Дх) на [а, &]
и А — постоянная величина, тогда АЕ(х) есть первообразная для
АДх), так как
[AF(x)]' = AF'(x) = АДх).
261
Имеем
ь
^Af(x)dx=AF (x)\ba =AF(b) - AF(a) =
°	b
- A\F(b) - F(a)] = A J f(x)dx.
a
VI.	Определенный интеграл от алгебраической суммы ко-
нечного числа непрерывных функций равен такой же алгеб-
раической сумме определенных интегралов от этих функций.
Действительно, рассмотрим, например, алгебраическую сумму
f(x) + g(x) - h(x)	(4)
трех непрерывных функций Дх), g(x), Л(х), и пусть F(x), G(x),
Н(х) — их первообразные, т. е.
F'(x) = Дх), G'(x) = g(x), Н'(х) = Л(х).
Тогда F(x) + G(x) - Н(х) является первообразной для суммы
(4), так как
[F(x) + (Дх) - Я(х)]' = F'(x) + (?'(х) - Я'(х) =
= f(x) + g(x) - h(x).
Отсюда имеем
ь
j \f(x) + g{x) - h(x)}dx = [F(x) + G(x) - Я(х)]|‘ =
°	= [F(b) + G(b) - H(b)] - [F(a) + G(a) - H(a)] =
= [F(6) - F(a)] + [(?(&) - G(a)] - [Я(&)	- Я(а)] =
b	b	b
= J f(x)dx	+	J	g(x)dx	- J h(x)dx.
a	a	a
Г. Свойства монотонности.
VII.	Если подынтегральная функция определенного интег-
рала непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интег-
рирования больше нижнего или равен ему, то определенный
интеграл также неотрицателен.
В самом деле, пусть Дх) > 0 при а < х < Ъ. Так как
F\x) = Дх) > 0, то первообразная F(x) есть возрастающая функ-
ция (точнее, неубывающая функция). В таком случае при Ъ > а
ъ
имеем J f(x)dx = F(b) - F(a) > fl.
262
VIII.	Неравенство между непрерывными функциями можно
интегрировать почленно при условии, что верхний предел ин-
тегрирования больше нижнего.
Действительно, пусть Дх) < g(x) при а < х < Ь, где Дх) и #(х)
непрерывны на отрезке [а, Ь]. Так как g(x) - Дх) > 0, то при b > а
в силу свойств VI и VII имеем
| [£(*) - Д^ДОх = Jg(x)dx - J (x)dx > О,
отсюда
Замечание. Пусть Дх) —
знакопеременная непрерывная
функция на отрезке [а, Ь], где
Ъ > а. Например (рис. 134),
Дх) < 0 при а < х < а, Дх) > О
при а < х < р и Дх) < 0 при	Рис 134
Р < х < Ъ.
В силу свойства аддитивности IV, учитывая геометрический
смысл интеграла (§ 3), имеем
Ъ	а	0	Ь
f(x)dx == J f(x)dx + j f(x)dx + J f(x)dx =
а	а	0
= -Sx + S2 - S3, (5)
где St, S2, S3 — площади соответствующих криволинейных тра-
пеций.
Таким образом, определенный интеграл, в общем случае,
при а<Ь представляет собой алгебраическую сумму площадей
соответствующих криволинейных трапеций, где площади
трапеций, расположенных выше оси Ох, берутся со знаком
плюс, а площади трапеций, расположенных ниже оси Ох, —
со знаком минус.
Если Ь < а, то все обстоит наоборот.
Заметим, что площадь заштрихованной на рис. 134 фигуры
выражается интегралом
lx =	+ S2 + S3 (b > a).
263
§ 6.	Теорема о среднем
ТЕОРЕМА. Определенный интеграл от непрерывной функ-
ции равен произведению длины промежутка интегрирования
на значение подынтегральной функции при некотором проме-
жуточном значении аргумента1^.
Доказательство. В самом деле, в силу формулы Ньютона—
Лейбница имеем
ь
p(x)dx = F(b) - F(d),	(1)
a
где F'(x) = f(x). Применяя к разности первообразных теорему о
конечном приращении функции (гл. XI, § 1), получим
F(b) - F(a) ~(b- a)F'(c) = (b - a)f(c),
где a < c < b. Отсюда
ь
J f(x)dx = (b - a)f(c),
a
где a < c < b.
(2)
Замечание. Формуле (2) при f(x) > 0 можно дать простую
геометрическую иллюстрацию. В самом деле, левая часть ее
представляет собой площадь криволинейной трапеции АаЪВ, где
АВ имеет уравнение у = /(х) и а и b — абсциссы точек А и В.
Правая же часть этой формулы выражает площадь прямоуголь-
ника с основанием Ъ ~ а и высотой сС, равной f(c) (рис. 135).
Таким образом, формула (2) геомет-
Рис. 135
рически означает, что можно всегда по-
добрать на дуге АВ такую точку С с абс-
циссой с, заключенной между а и 6, что
площадь соответствующего прямоуголь-
ника aDEb с высотой сС будет в точности
равна площади криволинейной трапе-
ции аАВЬ.
Итак, площадь криволинейной трапе-
ции, ограниченной непрерывной линией,
равновелика площади прямоугольника с
тем же «основанием» и высотой, равной
некоторой средней ординате линии.
Предполагается, что верхний предел интегрирования больше
нижнего.
264
Число f(c) = ц носит название среднего значения функции
f(x) на промежутке [а, Ь]. Из формулы (2) имеем
ь
Ц = -1_ f f(x)dx.
о - a J
(3)
2jtt
Пример 1. Сила переменного тока равна i = iQ sin , где i0 > 0 — мак-
симальное значение силы тока, Т — период, t — время.
Найти среднее значение квадрата силы тока за период Т..
На основании формулы (3) имеем
Т	.2 Т
ц = i2 = 1 f ?dt = ^ [sin2^ dt,
T J	T J	T
О	о
где черта обозначает операцию усреднения. Так как sin2a «
1 - cos2a
=--------то
2
т
.2
i2 =
Л ч	-2 / гт, д'
cos —— at = \t — — sm —-
T )	2Т\ 4л T .
Т .2
= J• (4)
о 1
о
Корень квадратный из среднего значения квадрата силы тока носит
название эффективной силы тока, т. е. I,** = Ji2 . На основании фор-
мулы (4) получаем важный для электротехники результат:
Ьфф ~	•
(5)
Следствие. Пусть m = min f(x) и М = max f(x).
а< x<b	а < x<b
Так как m < f(x) < М, то при а < & из формулы (2) имеем
ь
ш(Ъ - а) < J f(x)dx < М(Ь - а),
а
п/2
Пример 2. Оценить интеграл I ==	------.
J 1 + sin х
о
Так как	< 1 при 0 < х < л/2, то на основании формулы
2	1 + sin х
(6)	имеем л/4 < I < л/2. Приближенно можно положить
+	=1 (0,79 + 1,57) = 1,18.
2\4 2J 2
(6)
7C
Точное значение интеграла есть I = —— ® 1,12.
272
265
§ 7.	Интегрирование по частям в определенном интеграле
Пусть и = и(х) и и = v(x) — непрерывно дифференцируемые1*
функции на отрезке [а, &].
Имеем
d[u(x) и(х)] = u(x)dv(x) + v(x)du(x).
Интегрируя это равенство в пределах от а до b и учитывая, что
du(x) = u'(x)dx и dv(x) = v'(x)dx,
находим
ь	ь
u(x)v(x)|* = J u(x)v'(x)dx + J v(x)u'(x)dx.
a	a
Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в опре-
деленном интеграле
ъ	ъ
J u(x)v\x)dx = u(b)v(b) - u(a)v(a) ~ J v(x)u'(x)dx. (1)
a	a
Для краткости употребляется обозначение
u(b)v(b) - u(a)v(a) = u(x)u(x)|*.
2я
Пример. Найти J х cos х dx.
о
Полагая и = х, dv = cos х dx = d(sin х), получим du = dx, v » sin x.
Применяя формулу (1), будем иметь
2п	2я
f	j	l2jl f • j
I х cos х dx = х sm x|0 - I sm x dx =
о	о
= 2л sin 2л - 0 • sin 0 + cos x^71 = cos 2л - cos 0 = 0.
§ 8.	Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан определенный интеграл
ъ
p(x)dx,	(1)
а
где /(х) — непрерывная функция на отрезке [а, &], и пусть по
каким-то соображениям нам желательно ввести новую перемен-
ную t, связанную с прежней, х соотношением
х = ф(£) (а < t < Р),	(2)
То есть имеющие непрерывные производные и'(х) и о\х).
266
где <p(t) — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке
[а, Ь]. Если при этом: 1) при изменении t от а до Р переменная х
меняется от а до &, т. е.
Ф(а) = а, у(Р) = Ь,	(3)
и 2) сложная функция /(ф(0) определена и непрерывна на отрез-
ке [а, Р]Х), то справедлива формула
ъ	Р
j f(x)dx = J /(<p(t))(p'(t)dt.	(4)
а	а
Для доказательства рассмотрим сложную функцию
W)),
где F(x) — первообразная для функции /(х), т. е.
F'(x) = /(х).
Применяя правило дифференцирования сложной функции,
получим
^г(ф(#)) = г'(ф(О) • ф'(0 = Яф(О) • фЧО;
at
следовательно, функция F((p(t)) является первообразной для
функции /(<р(^)) • (р'(0-
Отсюда на основании формулы Ньютона—Лейбница, учиты-
вая равенства (3), будем иметь
Р
| ЯФ(О •	= Г(ф(0) |J = Г(ф(р)) - Г(ф(а)) =
а	Ъ
= F(b) - F(a) = J ftx)dx,
а
что и требовалось доказать.
Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью
замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней пере-
менной, достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования по фор-
мулам (3).
Пример. Вычислить
J xjl + xdx.	(5)
о
Естественно положить
t - 71+ х,	(6)
Если значения ф(0 не выходят из отрезка [а, Ь], то условие 2) из-
лишне (см. теорему о непрерывности сложной функции, гл. VIII, § 4,
теорема 4).
267
отсюда х = t2 - 1 и dx == 2t dt. Новые пределы интегрирования опреде-
ляются из формулы (6); полагая х = О, будем иметь t = 1 и, полагая
х = 3, получим t = 2. Следовательно,
3	2	2
J х Vi + х dx = J(t2 - 1) • t • 2t dt = 2 J (t4 - t2)dt =
0	1	i
9f32-l _ 8-П
к 5	3 J
62 _ 14 = 7П
5	3	15
§ 9.	Определенный интеграл как предел
интегральной суммы
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &] и пусть для
определенности f(x) >0 на [а, &], где а < Ъ. Тогда ее определенный
интеграл
ь
j f(x)dx	(1)
а
геометрически представляет собой площадь S криволинейной
трапеции аАВЪ, ограниченной данной кривой у = /(х), осью Ох
(у = 0) и двумя вертикалями х = а и х = & (рис. 136).
Еще свыше 2000 лет тому назад греческие математики для
приближенного вычисления площади S употребляли следую-
щий прием: разобьем фигуру SX) на весьма большое число верти-
кальных полосок, ограниченных перпендикулярами к оси Ох,
проведенными в точках
х0 = а, х19 х2, ..., хп = Ъ (а = х0 < хх < х2 < ... < хп = &).
Здесь мы криволинейную трапецию и ее площадь обозначаем од-
ной и той же буквой S. Разница между ними видна из контекста.
268
Каждую из этих полосок приближенно можно считать за прямо-
угольник с основанием Axf = xt + х ~ xt (i = 0, 1, 2, п - 1) и
некоторой промежуточной высотой /(xf), где xt < xt < xf + 1.
Тогда площадь одного такого прямоугольника, очевидно, равна
/(xJAxf (i = 0, 1, 2, ..., п- 1)
и, следовательно, площадь ступенчатой фигуры, состоящей из п
таких прямоугольников, будет
Sn = /(х0)д*0 +	+ ••• + Л^п-1 )Ах„-1	(2)
или, короче,
п -1
(2')
i = 0
где буква Z обозначает знак суммирования (сложения) и
под этим знаком выписан общий (типичный) член слагаемых;
при этом указано, сколько слагаемых и какие именно входят
состав суммы.
Сумма (2) или (2') называется интегральной суммой для
функции Дх)1*. Так как при п —> оо и max |AxJ —► 0 наши полоски
в пределе обращаются в ординаты графика функции у = /(х), то
естественно ожидать, что
ъ
lim Sn = S = f f(x)dx.	(3)
oo	J
a
Действительно, справедлива следующая теорема:
ТЕОРЕМА. Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, &],
то предел ее интегральной суммы Sn при п м max |AxJ -> 0
равен соответствующему определенному интегралу этой
функции, т. е.
lim
max | AxJ
i = и	a
D Понятие интегральной суммы (2') естественно обобщается на слу-
чай знакопеременной функции.
2) В этом смысле знак интеграла представляет собой стилизованную
букву S (знак суммы), а обозначение всего определенного интеграла яв-
ляется сокращенной записью суммы бесконечно большого числа беско-
нечно малых слагаемых вида /(х)Ах « f(x)dx на отрезке [а, д] (с нашей
точки зрения, Предел такой суммы).
п-1	*
у	= jf(x)dx2>.	(4)
о
269
Доказательство. Пусть
a = х0 < хх < х2 < ... < хп _ х < хп = Ь.
ь
Положим S = J f(x)dx. В силу свойства аддитивности (§ 5, IV)
имеем	°
п-1 х>?
[ f(x)dx.
i = 0 х,
Отсюда, применяя теорему о среднем (§ 6), будем иметь
п — 1
S = £	(5)
i = 0
где Дх1 = xi+ j - xt > 0 и 6 [х(, xi + J.
Рассмотрим интегральную сумму
S»=Z f^i^Xi,	(6)
i = 0
где xt 6 [х(, Xi + х].
Из формул (5) и (6) получаем
п — 1
S-S„= £ №)- f(xt) ]Дхх.	(7)
« = о
Отсюда
и-1
|S-Sn|<	|/(^)-/(хх)||Дх<|.	(8)
i = 0
Если £ — произвольное положительное число, то при доста-
точно малом max |AxJ, в силу непрерывности функции Дх), обес-
печены неравенства
1Л& - f(Xi )| < £ (« - о, 1, ..., п - 1)1).	(9)
Поэтому из (9) и (8) получаем
п-1
|S - Sn| < У еДХ| = е(& - а),	(10)
i=0
где (b - а) — длина отрезка [а, Ь].
Для любой непрерывной на отрезке функции доказано свойство ее
равномерной непрерывности на рассматриваемом отрезке.
270
Из неравенства (10), ввиду произвольности числа е, вытека-
ет, что
lim Sn = S,	(11)
п -* оо
т. е. справедливо равенство (3).
Замечание. Если у = f(x) > 0 на [а, &], то под площадью кри-
волинейной трапеции аАВЬ по определению мы будем по-
нимать число
S = lim Sa,
П~^оо
предполагая, что этот предел существует.
Следствие. Если функция f(x) > 0 непрерывна на отрезке
[а, &], то криволинейная трапеция {а	Ь,	f(x)}
имеет конечную площадь, т. е. является квадрируемой фигурой.
§ 10. Понятие о приближенном вычислении
определенных интегралов
Определенный интеграл
ъ
f(x)dx	(1)
от заданной непрерывной функции у = f(x) точно вычисляется
далеко не всегда. Однако, пользуясь его геометрическим смыслом,
можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот
интеграл находится с любой степенью точности. Мы здесь рас-
смотрим простейшую из них, так называемую формулу трапеций.
Как известно (§ 3), интеграл (1) представляет собой площадь
(с учетом знака — см. замечание на с. 263) криволинейной тра-
пеции, ограниченной линией у == f(x), осью Ох и двумя ордина-
тами х = а и х = Ъ (рис. 137).
271
Разобьем отрезок [a, fe] на п равных частей длины h = -—-
п
(шаг разбиения).
Пусть х0, х19..., хп (х0 = а, хп = Ь) — абсциссы точек деления,
у о, у19 ..., уп— соответствующие ординаты кривой. Имеем
расчетные формулы
Xt = х0 + ih, yt = f(Xi)
(i = 0, 1, 2, ..., и). В результате построения наша криволинейная
трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той
же ширины Л, каждую из которых приближенно примем за тра-
пецию. Суммируя площади этих трапеций, будем иметь
ь
Jf(x)dx « |(у0 + У1) + |(У1 + У2) + ••• + |(Уп-1 + Уп)
а
ИЛИ
b
jydx =	+ У1 + уг + ... + Уп-i + у) (2)
а
(формула трапеций). Формулу (2) можно коротко записать в виде
ъ
г	п
у dx = h £ £(уг,	(3)
а	« = о
где = 1/2 при i = 0 и i = и; = 1 при i == 1, 2, ..., п - 1.
Погрешность
ь
Г
Rn = У dx - Л £ £,у,-
I * = 0
называется остаточным членом формулы трапеций (3). Доказано, что
если функция у = f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) на
отрезке [а, Ь], то
\Ra\<b-Z^M2h\ где М2= max |Г(х)|.
а<х<Ъ
1
Пример. Приближенно вычислить J 71 + х2 dx — I.
о
Разобьем промежуток интегрирования [0, 1] на 10 частей (п == 10);
следовательно, шаг h =« 0,1.
272
Абсциссы точек деления x((i = 0, 1, ..., 10) и соответствующие им
ординаты yt —	+ xf , вычисленные с помощью таблицы квадратных
корней, приведены в таблице, причем ординаты yt для удобства умно-
жены на множитель е, такой, что Ez = 1/2 при i = 0 и i = 10 (отмечены
звездочкой) H8f= 1 при i = 1, 2, ..., 9.
1		
0	0,0	0,5000*
1	0,1	1,0050
2	0,2	1,0198
3	0,3	1,0440
4	0,4	1,0770
5	0,5	1,1180
6	0,6	1,1662
7	0,7	1,2207
8	0,8	1,2806
9	0,9	1,3454
10	1,0	0,7071*
		11,4838
По формуле (3) имеем I ~ 0,1 • 11,4838 ~ 1,148. Точное значение
интеграла равно I « | J2 4- ln(l + J2 ) « 1,1479.
§11. Формула Симпсона
Более точную формулу мы получим, если профиль криволи-
нейной полоски будем считать параболическим.
Рассмотрим вертикальную полоску (рис. 138), ограниченную
непрерывной кривой у = /(х),
осью Ох (у = 0) и двумя вер-
тикалями х = -Л и х = Л.
Если h мало, то кривую
У = приближенно можно
заменить параболой
У = ах2 + Рх + у, (1)
проходящей через точки
ЛС-Л,^), В(0, у0)иС(Ь,У1).
273
Тогда
= ^й3 + 2уй. (2)
О
-А
h
J у dx = I
-h
приближенно будет равен
л
J (ах2 + рх + у) =	+ ух
-л
Полагая в формуле (1) последовательно х = -Л, 0, й, полу-
чаем
У-i = ай2 - Рй + у, у0 = у, yi = ah2 + Рй + у. (3)
Отсюда
<4>
Подставляя эти значения в формулу (2), будем иметь
h
f ydx = i й(у_х - 2y0 + yx) + 2уой = | (y_x + 4y0 + yx) (5)
J	о	о
-h
(формула Симпсона).
Пример. Пользуясь формулой Симпсона, найти
л/2
I = J cos х dx.
-п/2
Полагая h = л/2, имеем =0, у0 = 1,	= 0. Следовательно,
1=*(0 + 4 + 0)=?л = 2,07
6	3
(точное значение 1=2).
Используя параллельный перенос системы координат, фор-
мулу Симпсона можно писать в виде
ь
j У<*х^ [у(а) + 4у(*±*) + у(й)] ,	(5х)
а
__ b — d
= -X- 
Замечание. Для увеличения точности вычисления определенного
ъ
интеграла I у dx промежуток интегрирования (а, &] разбивают на п час-
274
тичных промежутков, где п — достаточно большое натуральное число,
и к каждому из них применяют формулу Симпсона (5х), полагая
h «	. В силу свойства аддитивности данный определенный интег-
2п
рал будет приближенно представлять сумму полученных так результа-
тов (параболическая формула).
§ 12. Несобственные интегралы
При определении интеграла
ъ
j f(x)dx	(1)
а
предполагалось, что: 1) промежуток интегрирования [а, &] коне-
чен и 2) подынтегральная функция f(x) определена и непрерывна
на отрезке [а, &]. Такой определенный интеграл называется собст-
венным (слово «собственный» обычно опускается). Если нару-
шается по меньшей мере одно из двух условий: 1) или 2), то сим-
вол (1) будем называть несобственным определенным интегралом.
Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших
случаев.
I. Пусть функция Дх) непрерывна при а < х < +°о. Тогда по
определению полагают
+ оо	Ь
f f(x)dx = lim f f(x)dx.	(2)
J	6-Ч-+0О J
a	a
Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бес-
конечным пределом интегрирования, стоящий в левой части ра-
венства (2), называется сходящимся и его значение определяется
формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл,
несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходя-
щимся и ему не приписывается никакого числового значения.
Геометрически для неотрицательной на [а, сю) функции Дх)
несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криво-
линейной фигуры, ограниченной данной линией у = Дх), осью
Ох и вертикалью х = а (рис. 139).
0| а	х
Рис. 139
275
Пусть F(x) — первообразная функция для подынтегральной
функции f(x). На основании формулы (2) имеем
4-ос
f f(x)dx = lim [F(b) - F(a)].
J	b — +oo
a	f
Если ввести условное обозначение
F(+oo) = iim F(b),
b~> +oo
то получим для сходящегося несобственного интеграла с беско-
нечным верхним пределом интегрирования обобщенную форму-
лу Ньютона—Лейбница:
4-оо
J f(x)dx - F(+oo) - F(a),	(3)
где F'(x) = f(x).
Пример 1.
4-oo
Г 3-^-2 = arctg х|+°° = arctg(-t-oo) - arctg 0=2 - 0 = 2 .
J J- г X	&
a
II. Пусть функция f(x) непрерывна при a < x < b и имеет
точку разрыва при х = Ь. Тогда соответствующий несобственный
интеграл от разрывной функции определяется формулой
Ь	Ь-Е
f f(x)dx = lim f f(x)dx	(4)
J	E —+o J
a	a
и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от
того, существует или не существует предел правой части равен-
ства (4).
Если существует функция F(x), непрерывная на отрезке [а, &]
и такая, что
F'(x) = f(x) при а < х < Ъ
(обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла
(4) справедлива обобщенная формула Ньютона—Лейбница:
Ь	Ь~е
f f(x)dx = lim f f(x)dx = lim [F(& - e) - F(a)] =
J	e -* +0 J	e -* +0
a	a
= F(b)- F(a) = F(x)\ba.
1
о
Пример 2.
1
= 2-0 = 2.
о
276
УПРАЖНЕНИЯ
л/2
1. Вычислить определенный интеграл J cos х dx и указать его
-л/2
геометрический смысл.
2—4. Вычислить определенные интегралы:
1	е	8
dx С dx
х ' ‘’
У
5.1 - f ei2dt. Найти: а) —; б) — .
J	dy dx
X
6.	Найти среднее значение функции f(x) = Jx на отрезке [1; 9].
7.	С помощью интегрирования по частям вычислить интегралы:
2л	1
a) J х sin 2х dx; б) J (х - l)e~xdx.
о	о
8.	Произведя указанную замену переменной, вычислить интегралы:
2	1
а) [ а/4 - х2 dx, х 2 sin t; б) [ -----dx___ , х = t2.
J	j (1+х)7*
9.
Приближенно вычислить интеграл
dx ч ,
----: а) по формуле тра-
пеций, б) по формуле Симпсона, разделив отрезок [0; 1] на п -10 равных
частей. Результаты вычислений сравнить с точным значением интегра-
ла, равным In 2 « 0,69315.
10. Вычислить следующие несобственные интегралы:
4-оо	1	4-оо
б> *>/
О	-1/2	О
ГЛАВА XV
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
§ 1. Площадь в прямоугольных координатах
Задача 1. Найти площадь S криволинейной трапеции аАВЬ,
ограниченной данной непрерывной линией у = /(х), отрезком
а < х < b оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = &, если f(x) > О
при а < х < b (рис. 140).
На основании геометрического смысла определенного интег-
рала имеем
ь
[у dx,	(1)
где у = f(x) — данная функция.
Замечание. Формулу (1) можно обосновать иначе. Будем рас-
сматривать площадь S как переменную величину, образованную
Рис. 140
часть приращения AS при Ах
прямоугольника с основанием
dS
перемещением текущей орди-
наты хМ = у из начального по-
ложения аА в заключительное
положение ЬВ. Давая текущей
абсциссе х приращение Ах « dx,
получим приращение пло-
щади AS, представляющее
собой площадь вертикальной
плоскости хММ'х', заключен-
ной между ординатами в точ-
ках х и х' = х + dx (рис. 140).
Дифференциал площа-
ди dS есть главная линейная
0 и, очевидно, равен площади
dx и высотой у1); поэтому
= У dx	(2)
п Можно строго доказать, что для непрерывной функции у = /(х)
площадь прямоугольника у dx отличается от площади полоски AS на
величину высшего порядка малости относительно dx.
278
(элемент площади в прямоугольных координатах). Интегрируя
равенство (2) в пределах от х = а до х = Ь, будем иметь формулу (1):
ь
S = J у dx.
Здесь на частном примере показано применение так называе-
мого метода дифференциала, сущность которого заклю-
чается в том, что сначала из элементарных соображений состав-
ляется дифференциал искомой величины, а затем после интег-
рирования в соответствующих пределах находится значение са-
мой искомой величины. Более подробно этот метод развит в те-
ории дифференциальных уравнений (гл. XXII).
В следующих параграфах на конкретных примерах мы озна-
комимся с двумя основными методами в теории определенного
интеграла: 1) методом интегральных сумм (см. гл. XIV, § 9)
и 2) методом дифференциала.
Пример 1. Найти площадь S области, ограниченной эллипсом
£? + =1
а2 Ь2
Ввиду симметрии можно ограничиться вычислением 1/4 площади
S (рис. 141).
Из уравнения эллипса для I квадранта имеем у = - Ja2 - х2. Отсюда
по формуле (1) получаем
Применим тригонометрическую под-
становку х == a sin t, dx = a cos t dt.
Новые пределы интегрирования t ** а
и t = Р определяются из уравнений
О « a sin t, а “ a sin t. Можно поло-
жить а == 0 и Р = л/2.
Следовательно,
л/2	л/2
| S = | J J(a2 - a2)sin2t • a cos t dt = ab J cos2 t dt =
о	о
n/2
= f (1 + cos 2t)dt - ft + isin 2t]r 2 =	• 5 = -ab
2 I	2 \	2 Ло 224
0
и
S = nab.
В частности, полагая a = b, получим площадь круга S « па2 с ради-
усом а.
279
Замечание. В более сложных случаях фигуру стараются предста-
вить в виде суммы или разности криволинейных трапеций.
Задача 2. Найти площадь области, ограниченной двумя не-
прерывными линиями
У1 = у2 = f2(x) (у2 > !/1)
и двумя вертикалями х = а и х = Ъ (рис. 142).
Будем предполагать, что = fr(x) и у2 = /г(х) — неотрица-
тельные функции на [а, &]. Этого всегда можно добиться путем
параллельного переноса оси Ох.
Искомую площадь S можно рассматривать как разность двух
криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями.
Поэтому
b	ь
S = |	y2dx -	|	у^х
\	а	а
и, следовательно,
ь
s = | (у2 - yi)dx,	(3)
а
где ух = Д(х) и у2 = /2(х) — данные функции. Заметим, что
У2 “ У1 = fz(x) - fi(x)
представляет собой «толщину» площади S в точке х.
Пример 2. Определить площадь S, ограниченную параболой у ==
= х2 + 1 и прямой х + у = 3 (рис. 143).
Решая совместно систему уравнений параболы и прямой
у = х2 + 1,
X + у = 3,
находим абсциссы точек пересечения: хг = -2 и х2 = 1.
У*
Рис. 142
Рис. 143
О
280
Полагая у2 = 3 - х и уг = х2 + 1, на основании формулы (3) получим
1	1
S= J[(3-x)-(x2+l)]dx= J(2-x-x2)dx =^2х-у - у
-2	-2
1
~	-2
= 2(1+2)- 1(1-4)- |(1 + 8) = 6+| -3 = 4|.
Формула (1) дает возможность вычислять также площади
простых фигур, уравнение контура которых задано параметри-
чески.
Пример 3. Найти площадь S, ограниченную первой аркой циклоиды
х = a(t - sin t), у « а(1 - cos t)	(4)
и осью Ох (гл. V, § 4, рис. 47).
Имеем
2яа
S = J у dx.
о
Произведем в этом интеграле замену переменных, приняв за независи-
мую переменную параметр t. Из уравнений (4) получим
dx == а(1 - cos t) dt,
причем имеем t = 0 при х = 0 и t = 2л при х = 2па. Следовательно,
2л	2п
S = J а(1 - cos t) • а(1 - cos t) dt = a2 J (1 - 2 cos t + cos2 t) dt *
о	о
2л
= a2[(*-2sint)|o" + | 1 + eos2t dt] =
0
« а2 Г 2л + | (t + i sin 2t) P" 1 = a2(2n + л) = Зла2.
L 2	2 |o J
Таким образом, получаем теорему Галилея: площадь, ограниченная ар-
кой циклоиды и ее хордой, равна утроенной площади производящего
круга.
§ 2. Площадь в полярных координатах
Задача. Найти площадь S сектора ОАВ, ограниченного данной
непрерывной линией
Р = /(ф)
и двумя лучами ф = а и ф = Р, где риф — полярные координаты
(рис. 144).
281
Для решения задачи используем
метод дифференциала.
Представим себе, что площадь S
возникла в результате перемещения
переменного полярного радиуса р =
= /(ф) при ф, меняющемся от ф = а до
ф = Р (рис. 144). Если текущий поляр-
ный угол ф получит приращение dtp, то
приращение площади AS = пл. ОММ'.
Дифференциал dS представляет собой
главную линейную часть приращения
AS при </ф -* 0 и равен площади кругового сектора OMN радиуса
р с центральным углом <2фХ); поэтому
dS= ±MN ОМ= ipd(p-p= 1 р2 rfcp	(1)
Ли
(элемент площади в полярных координатах). Интегрируя ра-
венство (1) в пределах от ф = а до ф = Р, получим искомую пло-
щадь
₽
а
где р = /(ф) — данная функция.
Пример. Найти площадь, ограниченную кардиоидой
р « а(1 + cos ф).
Составляем таблицу значений:
ф	0	+Z “6	£ 1 со +1	4-1	4"	1+ аясл а	±71
р	2а	~1,9а	о coicq	а	а 2	«0,1а	0
Построив точки кардиоиды по значениям ф и р из нашей таблицы,
можно составить приближенное представление о форме этой кривой
(рис. 145).
V Действительно, по аналогии с физическим смыслом дифференци-
ала (гл. XII, § 4), дифференциал площади dS равен фиктивному прираще-
нию площади S при повороте на угол с1ф полярного радиуса р при условии,
что последний сохраняет постоянную величину. Отсюда ясно, что dS есть
площадь кругового сектора радиуса р с центральным углом </ф.
282
Так как кардиоида, очевидно,
симметрична относительно полярной
оси, то достаточно определить верх-
нюю половину площади, а затем ее уд-
воить. Обозначая всю площадь, огра-
ниченную кардиоидой, через S, будем
п
J р2 с?<р. Отсюда
о
Рис. 145
п	>
J COS2 ф б/ф)
о	у
+ cos ф)2 d<p ® а2
\ О	Q
cos ф d(p +
иметь
я
Или, так как
я
О
л
Л.
1о =°
О
О	о
окончательно получаем
+ cos 2ф) с/ф = ” ( Ф +
\
>я
1о 2
S = — а2.
2
§ 3. Длина дуги в прямоугольных координатах
Определение. Под длиной дуги АВ понимается предел, к
которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту
дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно,
а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.
Назовем кривую гладкой, если эта кривая непрерывна и в
каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое
положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой,
если уравнение ее может быть записано в виде
у = /(х) (а < х < Ъ),	(1)
где функция /(х) непрерывна и имеет непрерывную производную
f\x) на данном отрезке [а, Ь].
ТЕОРЕМА. Всякая гладкая кривая (1) имеет определенную
конечную длину дуги.
Доказательство. Впишем в данную гладкую кривую (1) лома-
ную линию М0МгМ2 ... Мп (рис. 146), где Мо = A(a, f(a)) и Мп =
283
= В(&, /(&)). Проецируя звенья	= 1, 2, п) ломаной
на ось Ох, получим разбиение отрезка [а, &] на систему отрезков
Axf. Пусть Az/Z — приращение данной функции у = /(х) на отрезке
Axf (рис. 146). По теореме Пифагора имеем
Mi_1Mi - J(AXi)2 + (Ayi)2 •
Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции
(гл. XI, § 1), получим Дг/( =	где xf — некоторая проме-
жуточная точка отрезка Дх4Х). Отсюда
= 71+Г2(^)Д^
и, следовательно, длина всей ломаной МОМХ ... Мп (т. е. ее пе-
риметр) равна
Пп= £71 + Г2(7,)Дхе
<=1
Чтобы найти длину I кривой (1), нужно в последнем выраже-
нии перейти к пределу, предполагая, что п —> °° и max Дх; -> 0.
Таким образом,
I = Ит V Jl + f'2(xt) tsxi.
max Дх. — 0
i = l
Геометрически х£ есть та точка отрезка Axz, в которой касатель-
ная к графику функции у = f(x) параллельна его хорде	.
284
Мы получили предел интегральной суммы для непрерывной
функции
F(x) = 71 + Г2(х)
ь _________
(см. гл. XIV, § 9). Поэтому I = л/1+]Р\х) dx, или
а
b
Z = |71 + /2 dx,	(2)
а
где у' = f\x).
Дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Пусть
одна точка А(а, h) кривой фиксирована, а другая М(х, у) — пе-
ременная (рис. 147). В таком случае длина дуги I = AM есть
некоторая функция от переменной х. Согласно формуле (2) мы
имеем
+ у'2 dx.
Отсюда, используя теорему о производной определенного интег-
рала с переменным верхним пределом (гл. XIV, §2), получим
r= 71+/
и, следовательно,
dl = л/1 +!/’2 dx.
Это и есть формула дифференци-
ала дуги в прямоугольных коор-
динатах.
Так как у' = 4^ » то
dx
dl= J(dx)2 + (dy)2.	(3)
Любопытно отметить, что последняя формула представляет
собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника
МТР (рис. 147).
Пример 1. Вычислим длину дуги отрезка цепной линии. Так назы-
вается линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная
в двух точках.
285
Уравнение этой линии в надлежащим образом выбранной системе
координат таково:
У =
| (е1/а + е~х/а),
(4)
где а — некоторое положительное число (параметр цепной линии).
Уравнение (4) проще записать так:
у = a ch - ,
а
(4')
где ch — гиперболический косинус (см. гл. X, § 9).
Точка А (0, а), являющаяся наиболее низкой точкой кривой (4)
(рис. 148), называется вершиной цепной линии.
Вычислим длину дуги АВ цепной ли-
нии, предполагая, что абсцисса точки В
равна Ь, а ордината ее равна Л. Дифферен-
цируя уравнение (4'), будем иметь
y' = sh*.
а
Далее выводим 1 + у'2 « 1 + sh2 - =
а
= ch2 - . Следовательно,
а
71 +У'2 = ch - .
а
Отсюда согласно формуле (2) получим
Ь	b	ь
АВ = f ch - dx = af ch -	= ash-| -a(sh - -sh(f|=ash-
J a J a \a) aka J a
oo
(см. формулу XIV § 3 гл. XIII).
Формула для длины дуги АВ принимает более простой вид, если
правую часть ее выразить через ординату h точки В. В самом деле, оче-
видно,
h = a ch - .
а
В силу тождества sh2 - = ch2- - 1 имеем
а а
АВ = a /ch2- - 1 = 7й2 - а2
а
т. е. дуга АВ равна катету ОС прямоугольного треугольника ОАС
(рис. 148), гипотенуза которого АС = Л и другой катет ОА = а.
286
Замечание. Пусть требуется найти длину дуги I кривой, за-
данной параметрически:
* = Ф(О, У = W(y) \t0< t < Т],
где <р(0 и <|/(^) — непрерывно дифференцируемые функции на от-
резке [f0, Т]. Можно доказать, что формула (3) для дифференци-
ала дуги dl будет справедлива и в этом случае. Так как dx = x'dt9
dy = y'dt, то имеем
dl = Jdx2 + dy2 = Jx'2 + у 2 dt.
Интегрируя последнее выражение в пределах от t = tQ до t = 7\
получим длину дуги
т _________
I = j 7х'2 + /2 dt.	(5)
<0
Пример 2. Найти длину дуги окружности
х = a cos £, у = a sin t
от £ == 0 до t = Т.
Здесь dx = -a sin t dt9 dy = a cos t dt9 поэтому
dl « A/a2sin2t + a2cos2t dt = a dt
и, следовательно,
т
I = J a dt aT.
о
Пример 3. Найти длину дуги аст-
роиды
х2/3 + i/2/3 = а2/3
(рис. 149). Уравнение астроиды мож-
но записать в виде
(Х1/3)2 + (^1/3)2 = (а1/3)2.
Естественно ввести параметр t9 пола-
Рис. 149
гая х1/3 = а1/3 cos t9 у1'3 « а1/3 sin t.
Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды
х = a cos3 t9 у = a sin3 t9
(6)
где 0 < t < 2л.
Ввиду симметрии кривой (6) достаточно найти 1/4 длины дуги Z,
соответствующую изменению параметра t от 0 до л/2. Имеем
dx — -За cos2 t sin t dt9 dy = За sin2 t cos t dt.
287
Отсюда находим
dl = Jdx2 + dy2 = За sin t cos t dt.	1
Интегрируя это выражение в пределах от t = 0 до t « п/2, получим	t
л/2	л/2
« J За sin t cos t dt — J sin 2t dt = (-cos 2t)|	=
0	0	0
= (l + l)=|a.
О
Следовательно, вся длина дуги астроиды равна I « - a • 4 = 6a.
§ 4. Длина дуги в полярных координатах
Выведем сначала дифференциал dl дуги в полярных коорди-
натах. На основании формулы (3) из § 3 имеем
(dl)2 = (dx)2 + (dy)2,
где х и у — прямоугольные декартовы координаты точки дуги.
Как известно, формулы перехода от полярных координат р
и ф к прямоугольным хну следующие:
х = р cos ф, у = р sin ф.
Отсюда
dx = cos ф dp - р sin ф dф, dy = sin ф dtp + р cos ф dф.
Возведя в квадрат, получим
(dx)2 = cos2 Ф^р)2 - 2р cos ф sin ф dp dф + р2 sin2 ф^ф)2,
(dy)2 = sin2 <p(dp)2 + 2р sin ф cos ф dp dф + р2 cos2 ф^ф)2.
Складывая эти равенства почленно, будем иметь
(dl)2 = (dp)2 + р2^ф)2.
Следовательно,
dZ = 7(dp7+p\d^/.
Последнюю формулу можно представить в таком виде;
dl = 7р2 + р'2 dф,	(1)
где р' = & .
288
J
Задача. Найти длину дуги I непре-
рывно дифференцируемой кривой
Р = Яф)
между точками А (а, /(а)) и В (0, ДР)),
где риф — полярные координаты
(рис. 150). Интегрируя равенство (1)
в пределах от ф = а до ф = 0, получим
длину дуги в полярных координатах
₽
I = f 7р2 + р'2 d<p,
где р = Дф) — заданная функция, р' = /'(ф) — ее производная.
Пример. Вычислим полную длину дуги кардиоиды (см. рис. 145)
р = а(1 + cos <р).
Имеем р' = -a sirup. Поэтому
р2 р'2 = а2ц 4- 2 sin ф + cos2 ф + sin2 ф) =
= а2 (2 + 2 cos ф) = 2а2(1 + cos ф) = 4а2 cos2 2
А
и, следовательно, Jp2 + р'2 = 2а cos 2 . Обозначая длину дуги верхней
части кардиоиды через ~ Z, получим
я	я
11 2а f cos б/ф = 4а f cos	= 4а f sin	= 4а.
2 J 2 J 2 12/ I 2 Ло
о	о
Отсюда для длины дуги I всей кардиоиды, ввиду симметрии верхней
и нижней частей ее, находим I = 8а.
§ 5. Вычисление объема тела
по известным поперечным сечениям
Задача. Зная закон изменения площади поперечного сечения
тела, найти объем V этого тела (рис. 151, с. 290).
Пусть Ох — некоторое выбранное направление, a S = S(x) —
площадь поперечного сечения плоскостью, перпендикулярной
оси Ох в точке с абсциссой х. Функцию S(x) будем предполагать
известной и непрерывно меняющейся при изменении х. Кроме
того, будем предполагать, что, в некотором смысле, контур се-
чения изменяется также «непрерывно».
10 Б. Демидович, В. Кудрявцев
289
Проецируя тело на ось Ох, получим некоторый отрезок [а, Ь],
дающий линейный размер тела в направлении оси Ох.
Разделим отрезок [а, &] на большое число мелких частей Ахг-
О = 1, 2, ..., п) и через точки деления проведем плоскости, пер-
пендикулярные оси Ох. В результате наше тело разобьется на п
слоев, каждый из которых приближенно может быть принят за
цилиндр. Так как объем i-го слоя приближенно равен S(xf) Axf,
где xt — некоторая точка отрезка Axf (рис. 151), то для объема
тела V получаем выражение
У«^5(х()Дхг.	(1)
1 = 1
Если п -► ею, причем max |AxJ —► 0, то приближенное равенство
(1) становится все более точным и в пределе мы получим
7= lim ^TSfx^AXf.
i = 1
Сумма (1) представляет собой интегральную сумму для не-
прерывной функции S(x), и ее предел есть соответствующий оп-
ределенный интеграл (гл. XIV, § 9). Поэтому
ь
V = | S(x) dx.	(2)
а
Пример 1. Найти объем V пирамиды с площадью основания В и вы-
сотой Н (рис. 152).
290
За ось Ох примем прямую, проходящую через вершину О пирамиды
перпендикулярно основанию ее и направленную от вершины к основанию.
Пусть S — площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся
на расстоянии х от вершины. Так как площади параллельных сечений
S
пирамиды относятся как квадраты расстоянии их от вершины, т. е. — =
В
х2	В
= —-, то S = —- х2. Из формулы (2) предыдущего параграфа получаем
Н2	Н2
r-]sdx-p]x!dx-%T-lBH-
о	о
что согласуется с известной формулой геометрии.
Пример 2. Пусть (рис. 153) и S2 — площади нижнего и верхнего
сечений «бочкообразного» тела, a So — площадь его среднего сечения.
Тогда, применяя формулу Симпсона (гл. XIV, § 11) к интегралу (2), по-
лучаем
н
V = | S(x) dx « (Sx + S2 + 4S0),
О
где Н — высота тела (кубатурная формула Симпсона).
§ 6. Объем тела вращения
Задача. Найти объем тела Vx, образованного вращением во-
круг оси Ох криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной дан-
ной непрерывной линией
!/ = /(*) (/(х)>0),
отрезком а < х < Ъ оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = Ь
(рис. 154).
Рис. 154
291
Эта задача представляет частный случай задачи, рассмотрен-
ной в предыдущем параграфе.
Здесь площадь переменного поперечного сечения S = S(x), соот-
ветствующего абсциссе х, есть площадь круга радиуса г/, поэтому
S(x) = пу2. Отсюда на основании формулы (2) § 5 имеем
ь
Vx = nJ y2dx,	(1)
а
где у = f(x) — данная функция.
Формулу (1) можно также получить непосредственно методом диф-
ференциала. Элемент объема dVx, очевидно, представляет собой ци-
линдр с основанием S и высотой dx1). Следовательно,
dVx = пу2 dx.
Отсюда, интегрируя в пределах от х == а до х = Ъ, получим формулу (1).
Замечание. Пусть криволинейная
трапеция cCDd, ограниченная одно-
значной непрерывной линией х = g(y),
отрезком с < у < d оси Оу и двумя парал-
лелями у = с и у = d, вращается вокруг
оси Оу (рис. 155). Тогда объем тела вра-
щения Vy, по аналогии с формулой (1),
равен
d
Vy == nJ х2 dy,	(2)
с
где х = g(y) > 0 — данная функция.
Пример. Определить объем тела, ограниченного поверхностью, по-
лученной от вращения эллипса.
х2 и2
2- + 2- = 1
а2 *2
(3)
вокруг большой оси а (ось Ох) (рис. 156).
Так как эллипс (3) симметричен относительно осей координат, то
достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ пло-
щади ОАВ, равной одной четверти площади эллипса (рис. 156), и полу-
ченный результат удвоить.
Иными словами, dVx есть главная линейная часть приращения пе-
ременного объема Vx при перемещении сечения S (х) на бесконечно ма-
лую величину dx.
292
Обозначим объем тела
вращения через Vx; тогда на
основании формулы (1) имеем
У2 dx,
о
где 0 и а — абсциссы точек
В и А Из уравнения эллип-
са находим у2 = &2^1 -	.
Отсюда
а	а
ly=nfdx = nb2 [
2 х	J	I a2)	J
О	о
1а
О
Следовательно, окончательно имеем
V = ^nab2.
х 3
Аналогично, при вращении эллипса (3) вокруг малой оси Ъ объем
соответствующего тела вращения равен
Vy=±na2b.
Полагая а == &, получим объем шара радиуса а:
V = i па3.
3
§ 7. Работа переменной силы
Задача. Найти работу А непрерывной переменной силы F(x),
приложенной к материальной точке М, при перемещении по-
следней вдоль оси Ох из положения х = а в положение х = Ь,
предполагая, что направление силы совпадает с направлением
перемещения.
Пусть точка М переместилась из положения х в положение
х + dx (рис. 157). На бесконечно малом промежутке [х, х + dx]
__.x.____М М' F(x)
----1----*----------------Н
О a	fig	Ъ
Рис. 157
293
длины dx силу F(x) приближенно можно считать посто-
янной. Поэтому элементарная работа силы равна
dA == F(x) dx.	(1)
Интегрируя выражение (1) в пределах от х « а до х = &, получим
всю работу
ь
А = J F(x) dx.	(2)
а
Пример. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину
на 5 см, если сила 100 Н растягивает пружину на 1 см?
Согласно закону Гука, упругая сила F, действующая на пружину,
возрастает пропорционально растяжению х пруждны, т. е.
F = kx.
Здесь перемещение х выражено в метрах, а сила F — в ньютонах. Для
определения коэффициента пропорциональности k согласно условию за-
дачи полагаем F = 100 Н при х = 0,01 м. Отсюда 100 == k • 0,01, т. е.
k « 10000 и, следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании
формулы (2) равна
0, 05
А = | ЮОООх dx = 5000х2 |° 05 - 12,5 (Дж.)
о
§ 8. Другие физические приложения
определенного интеграла
Для иллюстрации основных методов в теории определенного
интеграла: 1) метода дифференциала и 2) метода интегральных
сумм — рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Концентрация вещества (г/м3) в воде меняется по
закону
г _ Юг
X + 1
Рис. 158
(1)
(х — глубина слоя).
Сколько вещества Q содержится в вер-
тикальном столбе воды, площадь попереч-
ного сечения которого равна S = 1 м2, а глу-
бина меняется от 0 до 200 м?
Рассмотрим бесконечно тонкий слой
столба воды с сечением S толщины dx, на-
ходящийся на глубине х (рис. 158).
294
Количество вещества, содержащегося в этом слое, равно
dQ = С • Sdx = dx.	(2)
X +1
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 200, получим
200	200
Q = 10 j = 10 j	dx = 10[х - In (х + 1)]|о°° =
= 10(200 - In 201) = 10 • (200 - 5,3) г = 1947 г.
Пример 2. Найти, с какой силой однородный стержень 0 < х <
< 1 линейной плотности 8 притягивает материальную точку Р(а)
(а > 1) массы т (рис. 159).
0
х x+dx
Рис. 159
Согласно закону Ньютона, бесконечно малый элемент стерж-
ня [х, х 4- dx] массы 8 dx притягивает материальную точку Р с
силой
dF = -k
mbdx
(а-х)2
(3)
где k — коэффициент пропорциональности (гравитационная по-
стоянная). Так как эти силы притяжения действуют в одном и том
же направлении, то их можно алгебраически складывать, а сле-
довательно, и интегрировать (так как интеграл — предел алгеб-
раической суммы). Получим
F = -femS Г = -km& - -i-f = -femSf-Ц-^ = -±S^L.
J(a-x)2	a-x|0	\a — l a) a(a-l)
0
Пример 3. Определить силу давления воды на вертикальный
круг радиуса R, центр которого погружен в воду на глубину Н
(Я > 2Д).
В качестве оси Ох возьмем вертикальную прямую с началом
координат О, совпадающим с центром круга (рис. 160). Данный
круг разобьем на п узеньких горизонтальных полосок толщины
соответственно Axz (i — 1, 2, ..., п). Рассмотрим i-ю полоску
АА'В'В, удаленную от центра круга на величину xz и имеющую
295
Рис. 160
толщину Axf (рис. 160). Если
Axz — малая величина, то эту по-
лоску приближенно можно при-
нять за прямоугольник, и поэтому
ее площадь
ASf « АА' • Axf = 2 7й2 - х2 Axf.
Считая, что уровень погруже-
ния этой полоски равен Н — xt, со-
гласно закону Паскаля получим
силу давления воды на эту полоску
р(Н - xf)ASf = 2р (Н - xt)
где р — плотность воды.
Суммируя эти выражения, получим приближенное значение
силу давления Р воды на всю пластинку
Р « £ 2р(Я -
1 = 1
(4)
Формула (4) тем точнее, чем меньше Ах(. В пределе при п -*• 00
и max Ar, -* 0 получим точную формулу для силы давления воды:
Р = lim У 2р(Я - xi)jR2-x^xt.
(5)
Сумма (4) является интегральной для функции
f(x) = 2р(Я - x)jR2-x2 ,
поэтому ее предел есть соответствующий определенный интег-
рал. Следовательно, из (5) находим
R
Р = 2р f (Н - х)7Я2-х2 dx = npR2H.
-R
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Найти площади фигур, ограниченных линиями:
1)	параболами у ~ х2, у2 = х;
2)	гиперболой ху = а2 и прямыми I/ = 0, х = &, х =	(& > 0);
3)	параболой у = 2х - х2 и осью Ох;
CL2
4)	кривой Аньези у = —----- (а > 0) и осью Ох;
а2 + х2
296
5)	кривой г/ = и прямыми г = О и г/ = е;
6)	параболой у » 2(х - 1)(3 - х) и осью Ох;
7)	параболой у2 ~ 2(х - 1) и прямой х = 3;
8)	кривой г/ = 2х и прямыми у = 2 и х — 0;
9)	параболами у = 1 - х2 и у == х2 - 7.
2.	Найти площадь, ограниченную астроидой х - a cos3 t, у = a sin3 t
(0 < t < 2я).
о
3.	Найти длину дуги отрезка полукубической параболы у — - х3/2 от
3
точки xt = 0 до точки х2 «• 8.
х2 1
4.	Найти длину дуги отрезка кривой у = — - - In х от точки хх — 1
до точки х2 « е.
5.	Найти длину дуги одной арки циклоиды
х = a(t - sin t), у « а(1 - cos t) (0 < t < 2л).
6.	Построить лемнискату р2 « a2 cos 2ф и найти площадь всей облас-
ти, ограниченной этой линией.
7.	Построить «трехлепестковую розу» р = a sin Зф и найти площадь
области, ограниченной этой линией.
8.	Вычислить длину дуги логарифмической спирали
р == ает<₽ (а > 0, т > 0),
находящейся внутри круга р = а.
9.	Построить кривую р = 2а sin2 2 и найти длину ее дуги.
10.	Найти объем обелиска, основаниями которого служат прямо-
угольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна h.
11.	С помощью интегрирования найти объем шара радиуса R.
12.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох об-
ласти, ограниченной следующими линиями:
1)	у = 2х - х2, у = 0;
2)	одной полуволной синусоиды у = sin х и г/ = 0;
3)	у — sec х, у = 0, х = ±л/4;
4)	у = х2, у = 2х.
13.	Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу об-
ласти, ограниченной следующими линиями:

у « h (параболоид вращения).
2) у = е~х, у = 0 и х = 0.
297
14.	Скорость точки в зависимости от времени t меняется по закону
v « о,(Ш3 [м/с].
Какой путь пройдет точка за 10 с? Чему равна средняя скорость дви-
жения?
15.	Удельная теплоемкость вещества при температуре t равна
с = 0,2 + 0,001t.
(с выражено в Дж/(г • °C)). Какое количество теплоты нужно сообщить,
чтобы нагреть 1 г вещества от 0 до 100 °C?
16.	Линейная плотность стержня 0 < х < I длины I равна
. пх
Q = Qo sm — ,
где qQ — постоянная. Найти массу стержня.
17.	Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен паром под
давлением 100 Н/см2. Какую работу надо совершить, чтобы при неиз-
менной температуре уменьшить объем пара в два раза?
18.	Найти силу давления воды на вертикальный полукруглый щит
радиуса а, диаметр которого находится на поверхности воды.
ГЛАВА Xyi
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Арифметические операции
над комплексными числами
Как известно, под комплексным числом понимается выра-
жение вида
z - х + iy = х + yi,	(1)
где х и у — действительные числа, a i — мнимая единица.
Числа вида х 4- Ю = х отождествляются с действительными
числами; в частности, 0 + 10 = 0. Числа вида 0 + iy = iy называ-
ются чисто мнимыми.
Действительные числа х и у называются соответственно дей-
ствительной и мнимой частями числа z и обозначаются сле-
дующим образом:
х = Re г, у = Im z.	(2)
Под модулем комплексного числа z понимается неотрица-
тельное число
|z| = |(Re z)2 + (Im z)2|1/2 = Jx2 + y2 > 0.	(3)
Сопряженным числом z к числу (1) называется комплексное
число
2 = х + i(-y) = х - iy.	(4)
Таким образом,
Re z = Re z, Im z = ~Im z	(5)
и
|z| = |z|.	(6)
На множестве комплексных чисел следующим образом опре-
делено отношение равенства двух чисел, а также операции
сложения, вычитания, умножения и деления.
299
I.	Пусть zx = xx + iyt и z2 = x2 + iy2‘ Тогда
Zi = z2 <=> Re Zj = Re z2, Im = Im z2.
В частности, z = 0 <=> Re z = 0, Im z = 0.
II.	Zx ± Z2 = (Xj ± X2) + Hyt ± y2).
Отсюда следует, что
Re (zi ± z2) = Re zx ± Re z2,
Im (zj ± z2) = Im Zt ± Im z2.
III.	ZiZ2 = (xxx2 - угу2) + i(xxi/2 + x2yj).
Отсюда, в частности, получаем важное соотношение
i2 = (0 + il)(O + il) = (0 - 1) + i(0 + 0) = -1.	(7)
Заметим, что правило умножения Ш получается формально
путем умножения двучленов хх + iyr и х2 + 1у2 с учетом (7).
Очевидно также, что для z = х + iy и z = х - iy имеем
ZZ = |z|2 = X2 + у2.
IV.	il = ii*2 = (Х1*2 + У1Уг) + *(ХгУ1 ~ х»Уг) (z * 0).
22 Z2Z2	х2 + у 2
Легко проверить следующие свойства:
l)(z) = z; 2) zx±z2 = zx±z2; 3)z^ = z1z2;
4) fil'j = il (z2 # 0); 5) Re z = ^, Im z = ^.
lz2J Z2	2	21
§ 2. Комплексная плоскость
Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат
Оху. Каждому комплексному числу z = х + iy может быть пос-
тавлена в соответствие точка плоскости z(x9 у) (рис. 161), причем
это соответствие взаимно однознач-
но. Плоскость, на которой реализо-
вано такое соответствие, называют
комплексной плоскостью, и вме-
сто комплексных чисел говорят о
точках комплексной плос-
кости.
300
На оси Ох расположены дей ствительные числа: z =
= х + Oi = х, поэтому она называется действительной осью. На
оси Оу расположены чисто мнимые числа г = 0 + iy = iy9
она носит название мнимой оси.
Заметим, что г = |z| представляет собой расстояние точки z
от начала координат.
С каждой точкой z связан р а д и у с-в е к т о р этой точки Oz;
угол, образованный радиусом-вектором точки z с осью Ох, на-
зывается аргументом (р = Arg z этой точки. Здесь -оо < Arg z <
< +°°. Для нулевой точки z = 0 аргумент произволен. Наимень-
шее по модулю значение Arg z называется главным значением
его и обозначается через arg z:
-п < arg z < л.	(1)
Для аргумента ф имеем (рис. 161)
cos ф = - , sin ф = 2, tg ф = ^ ,	(2)
Г	Г	X
где г = *]х2 4- у2.
Примеры: 1) arg 2 = 0; 2) arg (-1) = я; 3) arg i = я/2.
Модуль г и аргумент ф комплексного числа z можно рассмат-
ривать (рис. 161) как полярные координаты точки z. Отсюда по-
лучаем
х = г cos ф, у = г sin ф.	(3)
Таким образом, имеем тригонометрическую форму
комплексного числа
z = х + iy = г cos ф 4- ir sin ф = г (cos ф + i sin ф),	(4)
где г = |z|, ф = Arg z.
ТЕОРЕМА 1. При сложении комплексных чисел их ради-
усы-векторы складываются (по правилу параллелограмма).
Действительно, если число
Zi = Xi 4- 1ух соответствует точке
с координатами (х19 уг)9 а число
= х2 + iy2 — точке с координа-
тами (х2, i/2), то числу Zi 4- z2 от-
вечает точка (хх 4- х2, уг 4- у2). Так
как (рис. 162) заштрихованные
прямоугольные треугольники с
катетами х2 и у2 равны между
собой, то четырехугольник с вер-
301
шинами 0, z19 zr + 22, z2 есть парал-
лелограмм. Следовательно, ради-
ус-вектор точки zr + z2 является
суммой радиусов-векторов точек
из2(ср. гл. XVIII, §2).
Следствие. Так как |z| есть дли-
на вектора Oz, то
1*1 + z2| < |zx| + |z2|.
ТЕОРЕМА 2. При вычитании
комплексных чисел их радиусы-
векторы вычитаются.
Так как zx- z2 = zT + (-z2), то zr - z2 равен второй диагонали
параллелограмма, построенного на векторах Oz и Оз'(рис. 163),
т. е. равен разности радиусов-векторов точек zt и z2 (ср. гл. XVIII,
§3).
Следствие. Расстояние между двумя точками z и z' равно
р (z', z) = \z' - z|.
§ 3.	Теоремы о модуле и аргументе
ТЕОРЕМА 1. Модуль произведения комплексных чисел равен
произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения
равен сумме аргументов сомножителей.
Действительно, если
zi = ri (cos Ф1 + * sin Ф1)» z2 г2 (cos Фг + * sin Фг)>
то имеем
zxz2 = rxr2 [(cos (pi cos ф2 - sin фх sin ф2) 4- i(sin фх cos ф2 +
+ cos Ф1 sin Ф2)] = т\г2 [cos (Ф1 + Ф2) + i sin (фх + ф2)].
Отсюда
|ZjZ2| = rxr2 = |zx| • |z2|
и
Arg ZiZ2 = Фх + Ф2 = Arg zi + Arg z2,	(1)
где значения многозначной функции Arg, стоящие в левой и пра-
вой частях равенства (1), следует подбирать соответствующим
образом. Это замечание надо иметь в виду и для дальнейшего.
Следствие. Модуль целой положительной степени комп-
лексного числа равен такой же степени модуля этого числа,
302
а аргумент степени равен аргументу числа, умноженному на
показатель степени, т. е.
1И = |z|n, Arg zn = п Arg z
(п — целое положительное число).
Доказательство непосредственно вы-
текает из рассмотрения произведения
равных сомножителей.
Пример. Построить точку z' = iz. Имеем
И = |i| • |z| = \z\,
Arg z' = Arg iz = arg i + arg z =	+ arg z.
Следовательно, при умножении на i век-
тор Oz поворачивается на прямой угол про-
тив хода часовой стрелки (рис. 164).
Рис. 164
ТЕОРЕМА 2. Модуль частного двух комплексных чисел равен
частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен
разности аргументов делимого и делителя.
Пусть
zi e ri (cos Ф1 + * sin Ф1)> z2 в г2 (cos Ф2 + * sin Ф2) 56 0.
Так как
z2 = г2 (cos ф2 - i sin ф2) = г2 [cos (-ф2) + i sin (-ф2)],
то на основании теоремы 1 имеем
21 _ Г1 СО8ф1 + 18Шф1 _ гг (совф! + isinQ1)[cos(-92) + 48Ш(-ф2)]
z2 г2 совф2 +/втф2 г2 (созф2 + 18Шф2)(со8ф2-гзтф2)
= - [cos (<рх - <р2) + i sin (<рх - Ф2)] (г2 * 0).
Г2
Отсюда
- = 9 = И ’ Arg ~ = Ф1 “ Ф2 = Arg 2i - Arg z2. .
Z2 r2 lz2l	22
§ 4.	Извлечение корня из комплексного числа
Пусть
ч/z = p(cos ip + i sin ip),	(1)
где z = r(cos (р + i sin <р). Тогда на основании § 3 имеем
z = [p(cos ф + i sin у)]" = pn(cos nip + i sin nip). (2)
303
Отсюда получаем
р" = г, пу = <р + 2kn (k — 0, ±1, ±2, ...).	(3)
Таким образом,
р =	= П7Й , у = Arg	.
Л	л
Заметим, что здесь под nJr понимается арифметическое значение
корня.
Здесь в качестве числа k достаточно брать лишь значения
k == 0, 1, 2, и - 1, так как при всех прочих значениях k по-
лучаются повторения уже найденных значений корня. Следова-
тельно, окончательно имеем
(cos W +	+ t sinarg^t. 2^ J
(Л «О, 1, 2, ...,n-l).	(4)
Из формулы (4) следует, что корень n-й степени из любого
комплексного числа 2=0 имеет точно и значений.
Пример. Найти W =	+ i.
Так как -1 + i = fcos^ + i sin^? \
\	4	4 J
то на основании формулы
(4) имеем
cos
^ + 2йл	^ + 2Лл
4	... 4
—_+1яп__
+ +>slnfj + ^)'| (ft-0, 1,2).
L \4	3 J \4	3 7J
Отсюда
yl	Wo S/2 f cos? + i sin?
V 4	4
ч W
2n
—
3 J J
cos iirc + isini^ л
12	12 ,
Рис. 165
= V2 f cos n + i sini^ я\
I 12	12 J
Точки Wq, W\, W2 представляют
собой равноотстоящие друг от друга точ-
ки, расположенные на окружности ра-
диуса ?/2 (рис. 165).
304
§ 5.	Понятие функции комплексной переменной
Пусть даны две комплексные плоскости Оху (плоскость z) и
O'uv (плоскость w).
Определение. Если каждой точке z € Е (Е — множество
точек плоскости z) по некоторому закону f ставится в соот-
ветствие единственная точка w€E' (Е' — множество точек
плоскости о?), то говорят, что w есть функция от z (одно-
значная)
w - f(z)	(1)
с областью определения Е, значения которой принадлежат
множеству Е' (рис. 166). Если множество значений функции
f(z) исчерпывает все множество Е', то Е' называется множест-
вом значений (областью изменения) функции f(z). В этом случае
пишут
Е' = f(E).	(2)
Множества Е и Е' можно изображать на одной комплексной
плоскости.
Таким образом, каждая комплексная функция реализует од-
нозначное в одну сторону отображение одного множества на дру-
гое. Благодаря этому комплексные функции находят свое при-
менение в таких науках, как гидродинамика и аэродинамика,
так как с их помощью удобно описывать «историю» движения
объема жидкости (или газа).
Раздел математики, изучающий свойства комплексных
функций, носит название теории функций комплексной пере-
менной.
Пример. Во что переходит сектор Е
О < arg z < я/2, 0 < |z| < 1
(рис. 167, а) при отображении w ~ z2?	,
305
Имеем
arg w = 2 arg z < n и |u>| « |z|2 < 1.
Поэтому отображенная область E' представляет собой полукруг
(рис. 167, б).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	найти г =	.
(73-i)50
2.	Построить области:
а)	0 < Re z < 1;	в) 0 < arg z < л/4;
б)	Im z > 2;	г) |z| < 1.
3.	Во что переходит квадрат плоскости z с вершинами 0, 1, 1 + i, i
при отображении w = г2?
ГЛАВА XVII
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО
И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ
§ 1. Определители второго порядка
Под определителем (детерминантом) второго порядка по-
нимается выражение
D =
— 0^2	#2^1
#2 &2
(1)
(см. также гл. I, § 5).
Числа а19 Ъ19 а29 Ъ2 называются элементами определителя;
они расположены в двух строках и в двух столбцах (ряды опре-
делителя), В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что все
рассматриваемые величины действительны.
Формула (1) дает правило «развертывания» определителя
второго порядка, а именно: определитель второго порядка ра-
вен разности произведений его элементов первой и второй ди-
агоналей.
С помощью определителей второго порядка удобно решать
линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:
а1х + Ъгу =
а2х + Ь2у = с2.
(2)
Такую линейную систему, в которой свободные члены нахо-
дятся в правых частях, для определенности мы будем называть
стандартной.
Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел
(х, у)9 обращающая эту систему в тождество. Если существует
только одна такая пара, то решение называется единст-
венным. Аналогично вводится понятие решения для системы,
содержащей п неизвестных (п = 1, 2, 3, ...).
Для нахождения решений системы (2) применим метод
исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на Ь29 а вто-
рое — на — и складывая, будем иметь
(Я1&2	#2^1)^ ""	с2^1*
(3)
307
Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на — а2>
а второе — на ахи складывая, получаем
(афг - a2br)y = агс2 - a2cv	(4)
Введем определитель системы
ai &i
а2 Ь2
а также дополнительные определители
Dx

Заметим, что дополнительные определители Dx и Dy получаются
из определителя системы D путем замены коэффициентов при
указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.
Уравнения (3) и (4) принимают вид
Dx = Dx9 Dy = Dy.	(5)
Если D 0, то отсюда получаем, что система (2) имеет един-
ственное решение
Dx Du
D 9 у D
(6)
(формулы Крамера)1^.
Замечание. Если определитель D = 0, то система (2) или не
имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много
решений (т. е. система неопределенная).
Пример. Решить систему
7х - бу = 5,
8х - 7у = -10.
(7)
Имеем
7 -6
8 -7
= -49 4- 48 = -1,
5 -б
-10 -7
= -35 - 60 = -95,
8 -10
= -70-40 = - 110.
7	5
Фактически мы доказали, что если решение системы (2) существу-
ет, то оно выражается формулами (6). Непосредственной подстановкой
можно убедиться, что при D 0 формулы (6) дают решение системы (2).
308
Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем
=^95
ПК	Dy	-110	11Л
= 95,	и =	тг	=	——	“	110.
а	D	-1
Геометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересе-
чения прямых (7).
§ 2. Система двух однородных уравнений
с тремя неизвестными
Рассмотрим однородную систему
ахх + Ьгу + cxz = 0,
а2х + Ъ2у + c2z == 0.
Эта система всегда совместна, так как, очевидно, имеет ну-
левое решение х = 0, у = 0, z = 0. Однако интересно найти
не н у л е в ы е решения (х, у, г) системы (1). Пусть, например,
2^0.
Тогда систему (1) можно переписать в виде
2	2
а2^ + ^2^ = -С2«
2	2
(1)
(2)
Отсюда, предполагая, что D =
х = 2.
2 D
~ci Ьг
-с2 Ь2
ai &i
а2 Ь2
= j.
D
* 0, получаем
Ь1
Ь2 с2
(3)
И = 1
2 D
== _2
D
в1 -сг
а2 — ^2
«1 ci
С2
(4)
Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы (1)
а1 С1
j ^2 с2
Определители второго порядка Du D2 и D3, которые получа-
ются из матрицы (5) путем вычеркивания соответствующего
столбца, называются ее минорами. Таким образом, имеем
di
^2 с2
(5)
D2
а1 С1
О>2 ^2
Da
а1
а2 Ъ2
= D.
Д-
309
Используя эти обозначения, уравнения (3) и (4) можно пере-
писать в следующем виде:
х = £1 у = _£г
z D3 z D3
Отсюда получаем
X _ у = _2_
-01	О3
Равенства (6), очевидно, справедливы также и для нулевого ре-
шения.
Таким образом, имеем следующее правило: неизвестные
однородной системы (1) пропорциональны соответствующим
минорам ее матрицы коэффициентов, взятым с надлежащими
знаками.
Обозначая через t коэффициент пропорциональности для от-
ношений (6), получим полную систему решений системы (1):
(7)
(6)
х = D^t, у = -D2t, 2 = D3t (-00 < t < + 00).
При выводе формул (7) мы предполагали, что D = D3 * 0. Од-
нако, как легко убедиться, формулы (7) будут справедливы, если
любой (хотя бы один) из миноров D19 D2, D3 отличен от нуля.
Замечание. Если все миноры D19 D2 и D3 равны нулю, то сис-
тема (1) требует особого рассмотрения.
Пример. Решить систему
х - 2у + 3z = 0,
4х + 5у - 6z = 0.
Составляя матрицу коэффициентов
(8)
находим ее миноры:
-2 3
5 -6
= 12 - 15 = -3,
1 3
4 -6
= -6 - 12 - -18,
1 -2
4 5
= 5 + 8 = 13.

О3 =
На основании
имеет вид
формулы (7) полная система решений системы (8)
х = -3*, р = + 18*, z = 13*,
Простейшее ненулевое решение системы (1), получающееся при * = 1,
есть х = -3, у = 18, z = 13.
310
§ 3. Определители третьего порядка
Определение 7. Под определителем (де тер ми-
нан том) третьего порядка понимается выражение
D =
ai сг
#2 ^2 с2
^3 *3 С3
(1)
Числа af, bt, ct (i = 1, 2, 3) называются элементами опреде-
лителя; они расположены в трех строках и трех столбцах
его {ряды определителя),	г
Раскрывая определители второго порядка (миноры) в форму-
ле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получаем, что
определитель третьего порядка представляет собой знакопере-
менную сумму шести слагаемых:
D — а^2с3 + #2^3С1 +	#1^3С2	а2^1С3 а3^2СЪ (2)
из которых три берутся со знаком плюс, а три — со знаком минус.
Пример. Вычислить
12 3
2 3 4
3 4 5
(3)
Используя формулу (1), имеем
- 1 • (-1) -2 • (-2) 4- 3 • (-1) = 0.
В дальнейшем мы укажем более удобные способы вычисления оп-
ределителей третьего порядка.
Определение 2, Под минором элемента определителя
третьего порядка понимается определитель младшего (вто-
рого) порядка, получающийся из данного определителя в ре-
зультате вычеркивания строки и столбца, содержащих дан-
ный элемент.
Например, для определителя (3) минором его элемента 2,
стоящего во второй строке и в первом столбце, является опреде-
литель
В дальнейшем для краткости будем говорить, что элемент оп-
ределителя третьего порядка занимает четное место, если сум-
ма номеров его строки и его столбца есть число четное, и нечет-
ное место, если эта сумма есть число нечетное.
311
Определение 3. Алгебраическим дополнением (минором со
знаком) элемента определителя третьего порядка называет-
ся минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если эле-
мент занимает четное место, и со знаком минус, если его
место нечетное.
Таким образом, если М есть минор элемента определителя,
a i и j — соответственно номер строки и номер столбца, на пере-
сечении которых находится данный элемент, то его алгебраиче-
ское дополнение есть
А = (-1)‘+>М.
Например, для элемента с2 определителя (1), находящегося во
второй строке и в третьем столбце, его алгебраическое дополне-
ние есть
Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам
элементов определителя, можно задать таблицей
В дальнейшем алгебраические дополнения элементов опре-
делителя с буквенными элементами условимся обозначать соот-
ветствующими прописными (большими) буквами.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ. Определитель третьего порядка
равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда
его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается
строка или столбец).
Таким образом, для определителя (1) справедливы шесть раз-
ложений:
D — ^2^2	^2^2 >
D = Л3А3 4* 63-63 4- ^зСз
и
D =	4-	+ «з^з»
D =	+ Ь2В2 4" 6363,
D = СуС^ 4“ с2С2 + С3С3.
(4)
(5)
312
Легко проверить, что формулы (4) и (5) дают одно и то же
выражение (2), принятое за определение.
Замечание, С помощью формул типа (4) или (5), по индукции, мож-
но ввести определители высших порядков.
§ 4. Основные свойства определителей
При формулировках мы не будем указывать порядок опреде-
лителя, так как эти свойства справедливы для определителей
любого порядка.
I.	(Равноправность строк и столбцов.) Определитель не ме-
няет своего значения при замене всех его строк соответст-
вующими столбцами, т. е.
til &i Ci
&2 ^2 С2
а3 &3 С3
а2 а$
bi Ь2 Ъ2
Ci С2 С3
(1)
Действительно, разлагая первый определитель по элементам
первой строки, а второй — по элементам первого столбца, в силу
теоремы разложения (§ 3) мы получим один и тот же результат.
II.	При перестановке двух параллельных рядов определи-
теля его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется
на обратный.
Пусть, например, в определителе

О1 &i Ci
а2 Ъ2 с2
О'З Ь3 с3
(2)
переставлены первая и вторая строки; тогда получим определитель
D =
а2 ^2 с2
ai ci
«3 &з с3
(2')
Разлагая определитель D по элементам второй строки и учи-
тывая, что при перестановке строк изменилась четность мест
этих элементов, будем иметь
D — ах( Ах) 4- Bi) 4- сх( Сг) — D.
Аналогичное положение получается и в других случаях.
313
Следствие 1. Определитель, у которого два параллельных
ряда одинаковы, равен нулю.
В самом деле, пусть, например,
П =
Cj
Cj
Ьз сз
Переставляя первую и вторую строки определителя, в силу
теоремы получим определитель -D. Но очевидно, эта операция
не изменяет определитель D, поэтому -D = D и, следовательно,
D 0.
Следствие 2. Сумма парных произведений элементов како-
го-либо ряда определителя на алгебраические дополнения со-
ответствующих элементов параллельного ряда равна нулю,
т. е. для определителя (2) имеем
^1^2	^1®2	^1^2 —
IZjA-g 4” &рВд 4" CjOg == Q
ит. д., а также
4“ (Z2jB2 «3^3 — 0,
4“ 6Z2C2	^3^3 ~~~ Q
(3)
(4)
и т. д. (всего таких соотношений можно написать двенадцать).
Левые части всех соотношений (3) и (4) представляют собой
разложения соответствующих определителей третьего порядка,
содержащих два одинаковых параллельных ряда и, следователь-
но, равны нулю. Например,
^iA2 4- &iB2 с1^2 *“
ai
^1
а3 ^3 с3
= 0
(здесь разложение нужно производить во второй строке!).
III.	Общий множитель элементов какого-либо ряда опреде-
лителя можно выносить за знак определителя, т. е.
kax kbr kcr
^2 ^2
а3 ^3 с3
аг Ьг сг
а>2 &2 С2
О'З *3 сз
= k
и т. п.
Это свойство непосредственно вытекает из разложения опре-
делителя по элементам соответствующего ряда.
314
Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определи-
теля равны нулю, то определитель равен нулю.
Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя
пропорциональны соответствующим элементам параллельно-
го ряда его, то определитель равен нулю.
Например, имеем
ai	ci
kar kbt kcx
аз	сз
b-у
ai ci
a3 b3 c3
= 0 и t. n.
IV.	Если элементы какого-либо ряда определителя пред-
ставляют собой суммы двух слагаемых, то определитель мо-
жет быть разложен на сумму двух соответствующих опре-
делителей.
Например, имеем
ai + ai	Cj+Yi
a2	^2	c2
а>з	&з	сз
— (#! +	4- (&! 4- Pi)Bi + (<?! 4- Yi)Ci “
—	4- b1B1 4- CjCJ + (OC01 4- PiBi 4- YiCj) —
ai bi Ci а2 b2 с2	4-	«1 Pi Yi а2 Ь2 С2
аз Ьз с2		а3 ^3 с3
и T. П.
Следствие. Величина определителя не изменится, если к
элементам какого-либо ряда, его прибавить (или отнять) чис-
ла, пропорциональные соответствующим элементам парал-
лельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорци-
ональности (так называемые «элементарные преобра-
зо вания определителя»).
Действительно, пусть
Ь\ ct
а2 Ь2 с2
а3 Ь2 с3
Рассмотрим, например, определители
ar ± ka2 bx ± kb2 сх ± kc2
а2 &2	^2
а3 Ь3 с3
315
Используя свойства IV и III, будем иметь
ai Ьг сг
о>2 ^2 С2
#3 Ь3 с3
±k
а2 ^2 С2
#2 ^2 ^2
#3 &3 С3
= D ± fe • 0 = Л.
Элементарные преобразования дают удобный способ вычис-
ления определителей.
Пример. Вычислить симметричный определитель

12 3
2 12 •
3 2 1
Вычитая из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей
строки утроенную первую строку, получим
D -
12 3
О -3 -4
О -4 -8
-3 -4 = 24 - 16 = 8.
-4 -8
= 1
§ 5. Система трех линейных уравнений
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений
а^х + Ьгу + С}2 ~ dj,!
а2х + b2y + c2z = d2A	(1)
а3х + b3y + c3z == d3J
свободные члены которых находятся в правых частях. Под ре-
шением системы понимается всякая тройка чисел (х, у, z)9 удов-
летворяющая этой системе. Введем определитель системы

ai &i ci
U>2 ^2 С2 ’
#3 Ь3 С3
а также дополнительные определители
	di bi сх	>	б&1 di Ci		cii bi di	
2>х =	&2 ^2 С2		. и2 d2 с2	. 2>2 =	^2 ^2 ^2	(3)
	d3 Ь3 с3		п3 d3 с3		п3 b3 d3	
316
Последовательно умножая уравнения системы (1) на алгеб-
раические дополнения Ах, А2, А3 соответствующих элементов а19
а2, а3 первого столбца определителя D, получим
(арАх + а^А2 + ЛзА3)х + (Ъ^ 4-	+ b^A3)y +
4- (CiAj 4- с%А2 + c$A3)z = diAj 4- d%A2 4- d$A3.	(4)
Отсюда, применяя теорему разложения (§ 3) и следствие 2 к
свойству II, будем иметь Dx 4- 0 • у + 0 • z = 2)х, т. е.
Dx = Dr.
(5)
Используя алгебраические дополнения элементов второго и
третьего столбцов определителя D, аналогично находим
Dy = Dy, Dz = Dz.	(5')
Если определитель системы D # 0, то из уравнений (5) и (5')
получаем единственное решение системы (1):
Du	Dz„
х==“7Г,!/==“^,^=-7Г1)-
D * D	D
(6)
Таким образом, имеем правило Крамера: неизвестные
стандартной линейной системы (1) с ненулевым определите-
лем представляют собой дроби, знаменатель которых есть
определитель системы, а числители равны соответствую-
щим дополнительным определителям.
Замечание. Если определитель системы D = 0, то система (1)
или несовместна, или имеет бесконечно много решений.
Пример. Решить систему
х 4- 2у 4- 3z = 1,
2х 4- Зу + z = 0, -
Зх 4- у 4- 2z = 0.
Имеем
В =
12 3
2 3 1
3 12
Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третье-
го столбца утроенный первый столбец, получим
10 0
2 -1 -5
3 -5 -7
-1 -5
-5 -7
= 7 - 25 = - 18 * 0.
Ср. подстрочное примечание на с. 308.
317
Для дополнительных определителей находим следующие значения:				
	12 3 0 3 1 0 12	= 1 •	3 1 1 2	“ 5,
=	113 2 0 1 3 0 2	= -1 •	2 1 3 2	= -1,
	12 1 2 3 0 3 10	= 1 •	2 3 3 1	= -7.
Используя правило Крамера, получаем решение системы:
х = -5/18, у = 1/18, г = 7/18.
§ 6. Однородная система трех линейных уравнений
Рассмотрим линейную систему
atx + bry + cxz = 0,1
а2х + Ъ2у + c2z = ОА	(1)
а3х + ьзУ + сз* = 0, ]
свободные члены которой равны нулю. Такая линейная система
называется однородной.
Однородная линейная система (1), очевидно, допускает нуле-
вое решение х = 0, у = 0, г = 0 и, следовательно, всегда совместна.
Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет
ненулевые решения.
ТЕОРЕМА. Линейная однородная система трех линейных
уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения
тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.
(2)
Доказательство. Пусть система (1) имеет ненулевое решение
(х19 Ун Zi). Если определитель ее D * 0^ то на основании формул
Крамера система (1) обладает только нулевым решением, что
противоречит предположению. Следовательно, D = 0.
Пусть D = 0. Тогда линейная система (1) либо несовместна,
либо имеет бесконечно много решений. Но наша система сов-
318
местна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, сис-
тема (1) допускает бесконечно много решений, в том числе и не-
нулевые.
Замечание. Укажем способ нахождения ненулевых решений одно-
родной системы (1) в типичном случае.
Пусть определитель системы D « 0, но не все его миноры второго
порядка равны нулю.
Мы будем предполагать, что
ai
а2 Ъ2
(3)
(этого всегда можно добиться с помощью перестановки уравнений и из-
менения нумерации неизвестных).
Рассмотрим подсистему, состоящую из двух первых уравнений сис-
темы (1):
агх 4- Ьху 4- сг2 = О,
а2х 4- b2y + с2г = 0.
(4)
В силу § 2 решения этой системы имеют вид
x=A3t, y = B3t, 2^C3t	(5)
(-оо < t < 4-оо), где А3, В3, С3 — соответствующие алгебраические до-
полнения. Подставляя эти числа в неиспользованное третье уравнение
системы (1) и учитывая, что определитель D = 0, получаем
а3х + Ъ3у 4- с3г = (ЯзА3 4- Ь3В3 4- c3C3)t = Dt = O.
Следовательно, формулы (5), где t произвольно, дают все решения
полной системы (1).
Геометрически уравнения системы (1) представляют собой уравне-
ния трех плоскостей в пространстве Охуг (см. гл. XIX, § 2). Если опре-
делитель D * 0, то эти плоскости пересекаются в единственной точке
0(0, 0, 0); если же определитель 2) = 0, но не все его миноры второго
порядка равны нулю, то в нашем случае эти плоскости пересекаются по
прямой линии (как «листы книги»). Без рассмотрения оставлен случай
слияния трех плоскостей.
§ 7. Система линейных уравнений
с многими неизвестными. Метод Гаусса
Рассмотрим систему л линейных уравнений с п неизвестными:
а11Х1 + а12Х2 + ••• +а1пХп ““ а1,п + 1»
^21х1 + а22х2 + ••• + а2пхп а2, п+1>
Яп1Х1 + йП2х2 + ••• + аппхп = ап,п+1‘
319
Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация, а имен-
но: у коэффициента аи первый индекс i обозначает номер уравнения, а
второй j — номер неизвестного. Для удобства выкладок свободные чле-
ны обозначены через aif п +1 (i == 1, 2,	n).
Наиболее простой метод решения системы (1) — это метод иск-
лючения. Мы изложим его в форме схемы Гаусса (обычно на-
зываемой методом Гаусса).
Пусть для определенности ап # 0 — «ведущий коэффици-
ент». Разделив все члены первого уравнения на ап, будем иметь
приведенное уравнение
Х1 + а12х2 + ... + ai„x„ = aln + п	(2)
где
av-^U-1.2..............п + 1).	(3)
1 «и
Рассмотрим i-e уравнение системы (1):
a»i*i + aj2x2 + ... + a(nx„ = ait „ + j.	(4)
Для исключения xt из этого уравнения умножим приведенное урав-
нение (2) на ап и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда
будем иметь
^х2 4- ... 4- а%хп «	»	(5)
где
а\^ — atj ~ (J ** 2, 3, ..., и + 1).	(6)
Таким образом, получаем укороченную систему		
“22 *2 ' •••	“2л *л а2, л+1 »		
„(V ~ +	4- л(1) г = /т(1) ап2 х2 + ••• 4* апп Хп ®2, п + 1 ,	У	(7)
коэффициенты которой определяются по формулам (6).
Если ее ведущий коэффициент 94 0, то из системы (7)
указанным выше приемом можно исключить неизвестное х2, причем
новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д.
Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Га-
усса.
Для определения неизвестных х1} х2, ..., хп рассмотрим приведен-
ные уравнения
+ a12x2 4г... + ainxft « ab Л+1,1
х2 + ... 4- осф пхп e a(J> n+v I	(gj
V* = Г/(П “У - I
ЛП Un, п+1]
320
Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход)
v = ГУ*”-1)
ЛП ^П, П + 1 9
X = а(л-2>	- п(п-2) Г
хп-1 '*п-1, п+1	®п-1, п хп>
> О)
Х1 а1, п +1 а1пХп &1,п-1Хп~1	•••	а12Х2*
Заметим, что операции (9) выполняются без деления.
Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то
уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возмож-
но, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Га-
усса не допускает реализации.
Пример. Методом Гаусса решить систему
2хг ~ Зх2 + 4х3 = 20, 3Xi + 4х2 - 2х3 = -11, ► 4хх + 2х3 + Зх3 = 9. Составляем таблицу коэффициентов систс свободные члены ее как коэффициенты при х°				(Ю) >мы (10), рассматривая = 1:	
xi	Х2	х3	х°	Е	
2J 3 4 1	1 1 1 .	1 -	1 СО 00 СП . 1		4 -2 3 2	20 -11 9 10	23 -6 18 11,5	I
	8,5 _£J	 1	-8 -5 -0,625	-41 -31 -3,875	-40,5 -28 -3,5	II
		-2,6875 1	-8,0625 3	-10,75 4	III
1	1	1	1 I-1 СО 00	4 -1 2	IV
Последний столбец Е содержит суммы элементов соответствующих
строк таблицы; этот столбец служит для контроля вычислений.
Считая отмеченный коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэф-
фициент все элементы первой строки таблицы (включая и входящий в
столбец Е), получаем коэффициенты первого приведенного уравнения
(см. табл.). Текущий контроль вычислений осуществляется тем, что эле-
мент из столбца Е равен сумме всех остальных элементов этой строки.
Этим заканчивается заполнение раздела I таблицы.
И Б. Демидович, В. Кудрявцев
321
Далее, используя формулу (6), подсчитываем коэффициенты укоро-
ченной системы, не содержащей неизвестного хг, Цпя наглядности будем
называть строку, содержащую коэффициенты приведенного уравнения,
приведенной, а столбец, содержащий ведущий элемент раздела, —
ведущим. Тогда на основании формулы (6) справедливо правило:
преобразованные коэффициенты схемы Гаусса, равны ее прежним ко-
эффициентам минус произведение «проекций» их на соответствую-
щие приведенную строку и ведущий столбец таблицы. Пользуясь
этим, заполняем раздел II таблицы, включая контрольный столбец. Для
удобства вычислении в качестве ведущего коэффициента раздела II бе-
рем элемент 8 (см. табл.).
Аналогично производится заполнение раздела III таблицы. Этим за-
канчивается прямой ход схемы Гаусса.
. Неизвестные х3, х2 и ^последовательно определяются из приведен-
ных уравнений
= 3,
х2 0,625х3 ~ 3,875,
хг - 1,бх2 4- 2х3 = 10.
Отсюда
х3 ~ 3,
х2 - - 3,875 4- 0,625 • 3 = -2,
Х1 = 10-2 • 3 4- 1,5- (-2) = 1
(обратный ход). Результаты обратного хода помещены в разделе IV
таблицы.
Заметим, что если в качестве свободных членов взять элементы столб-
ца S, то для неизвестных получатся значения х3 = 4, х2 = -1,	= 2,
превышающие на единицу значения неизвестных х3, х2, хг. Этим обеспе-
чивается заключительный контроль вычислений.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Вычислить определители второго порядка:
а) -7 6 . б) cosa -sina
8 -7 sina cosa
2.	С помощью определителей решить систему
х 4- 0,9г/ « 1 1
1,1х 4- у = -2.]
3.	Найти решения системы
х 4- у = 1,1
2х 4- 2у « a ]
(a — параметр).
322
4.	Найти точку пересечения прямых линий
5х + ay = 1,
х - 5у = —3
(а — параметр).
5.	Решить систему
х - Зу + 5z = 0,1
7х- 9у- llz = 0. j
Указать какое-нибудь целочисленное ненулевое решение этой системы.
6.	Вычислить определители третьего порядка:
а)	0 12 -1 0 3 -2 -3 0	; б)	12 3 14 9 1 8 27		; в)	X 1 2 0 2	X2 \х 1	X3 Зх2 6х
7. Решить уравнение								
				х- 1 1 ; 1	1 г-1 1 X	1 1 -1	=	0.
8.	С помощью определителей решить систему
-х 4- Зг/ + 5z = 1,
Зх + у + 3z = 2, ►
5х + Зу - z = -3.
9.	Решить систему
х + 2у + Зг « 0,
2х - Зу + 4z = 0, *
Зх - у + 7z = 0.
10.	Решить систему
ах = 0, 1
X + у = 0, >
х + z - 0 ]
(а — параметр).
11.	Методом Гаусса решить систему
хг + 2х2 4- Зх3 + 4х4 = -10,
2хг 4- Зх2 4- 4х3 - бх4 = -8,
Зх! 4- 4х2 - 5х3 - 6х4 « 4,
4хх - 5х2 - 6х3 - 7х4 » 24.
ГЛАВА XVIII
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Скаляры и векторы
Величина, полностью характеризуемая своим числовым зна-
чением в выбранной системе единиц, называется скалярной или
скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура
среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным
или отрицательным или равным нулю.
Величина, кроме числового значения характеризуемая еще
направлением, называется векторной пли. вектором. К чис-
лу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор оп-
ределяется числом и направлением.
Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, на-
пример а. Геометрически вектор изображается направленным
отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозна-
чение а = АВ, где точка А — начало
В	отрезка, а точка В — конец его. В даль-
а	нейшем, для наглядности изложения,
векторы мы будем рассматривать как
направленные отрезки.
Под модулем (длиной) вектора а
Рис. 168
|а| = а
понимается числовое значение его, без учета направления. (Ес-
тественно, |АВ| обозначает модуль вектора АВ.) Вектор 0, модуль
которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором
(направление нулевого вектора произвольно).
Два вектора а и Ъ считаются равными, если они расположены
на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в
широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково на-
правлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким
образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными сло-
вами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку
пространства при условии сохранения длины и направления.
324
В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую
начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию
свободных векторов в трехмерном пространстве.
§ 2. Сумма векторов
Определение. Суммой нескольких векторов, например а,
Ь, с, d (рис. 169), называется вектор
з = а + Ь + с + d,
по величине и направлению равный замыкающей ОМ простран-
ственной ломаной линии, построенной на данных векторах.
Для случая двух векторов а и Ь
(рис. 170) их суммой s является ди-
агональ параллелограмма, постро-
енного на этих векторах, исходя-
щая из общей точки приложения
их (правило параллелограмма).
Так как в треугольнике длина
одной стороны не превышает сум-
мы длин двух других сторон, то из
рис. 170 имеем
|а + Ь\ < |а| + |Ь|,
т. е. модуль суммы двух векторов
не превышает суммы модулей
этих векторов.
Для случая трех векторов а, Ь,
с (рис. 171) их суммой з является
диагональ ОМ параллелепипеда,
построенного на этих векторах
(правило параллелепипеда).
Легко проверить, что для век-
торного сложения справедливы
следующие свойства:
1) переместительное свойство
а + b = Ь + а,
т. е. векторная сумма не зависит
от порядка слагаемых;
2) сочетательное свойство
а + (Ъ + с) = (а 4- Ь) + с =
= а + Ъ + с,
325
т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от
порядка расстановки скобок.
—>
Для каждого вектора а = ОА (рис. 172) существует противо-
—>
положный вектор -а = ОА', имеющий ту же длину, но проти-
воположное направление. По правилу параллелограмма, очевид-
но, имеем
а 4- (-а) = О,
где 0 — н у л ь-в е к т о р.
ka (k<0)	а
ka (k>Q)
Рис. 172
Легко проверить, что а 4- 0 = а.
§ 3. Разность векторов
Под разностью векторов а и Ь (рис. 173) понимается вектор
d = а - Ь
такой, что
/	Ь + d = а.	(1)
Ь /
I	Отметим, что в параллелограмме, по-
I	строенном на данных векторах а и Ъ (см.
рис. 170), их разностью является соответ-
0	ственно направленная вторая диагональ
Рис. 173	параллелограмма.
Легко проверить, что справедливо следующее правило вычи-
тания:
а - Ь = а 4- (~Ъ).
§ 4. Умножение вектора на скаляр
Определение. Произведением вектора а на скаляр k
(рис. 174) называется вектор
Ъ = ka = ak,
имеющий длину Ъ = |й| а, направление которого: 1) совпадает
-а	а
"а "о Г-
Рис. 174
326
с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему,
если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.
Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает
следующими свойствами:
1)	(k + l)a = ka + la,
k(a + b) = ka + kb;
2)	k(la) = (kl)a;
3)	1 - a = a, (~l)a = -a, 0 • a = 0
(k, I — скаляры).
Пример, (a + Ь) + (a - &) = 2a.
Если ненулевой вектор a разделить на его длину а = |а| (т.е.
умножить на скаляр 1/а), то мы получим единичный вектор е,
так называемый орт, того же направления: е = а/а. Отсюда име-
ем стандартную формулу вектора
а = ае.	(1)
Формула (1) формально справедлива также и для нулевого
вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.
§ 5. Коллинеарные векторы
Определение. Два вектора а = ОА и b = О'В (рис. 175) на-
зываются коллинеарными, если они параллельны в ши-
роком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых,
или же на одной и той же прямой).
Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно
считать, что н у л е в о й вектор коллинеарен любому
вектору.
ТЕОРЕМА. Два ненулевых вектора а и
Ъ коллинеарны тогда и только тогда,
когда они пропорциональны, т.е.
b = ka	(1)
(ft — скаляр).
Доказательство. 1) Пусть векторы а и Ъ
(а 0, Ъ 0) коллинеарны и е, е' — их
орты.
Имеем
a = ae и Ъ = Ъе'.	(2)
Очевидно,
е' = ±е,	(3)
327
где знак плюс соответствует векторам а и b одинакового направ-
ления, а знак минус— векторам а и b противоположного на-
правления.
Из формул (2) и (3) получаем
Ъ = ±Ье = ±- * (ае) = ±-а.
а	а
Отсюда вытекает формула (1), где k = +b/a.
2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов
а и Ь непосредственно следует из смысла умножения векторов
на скаляр (§ 4).
§ 6. Компланарные векторы
Определение. Три вектора а, b и с называются комп-
ланарными, если они параллельны некоторой плоскости в
широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат
в ней).
Можно сказать также, что векторы а, Ь и с компланарны
тогда и только тогда, когда после приведения их к общему на-
чалу они лежат в одной плоскости.
По смыслу определения тройка векторов, среди которых име-
ется хотя бы один нулевой, компланарна.
ТЕОРЕМА. Три ненулевых вектора а, Ь и с компланарны
тогда и только тогда, когда один из них является линейной
комбинацией других, т.е., например,
c = ka + lb (1)
/Р /	(k, I — скаляры).
/	/ Доказательство. 1) Пусть
/	/ векторы а, Ь и с компланар-
/	/ ны, расположены в плоскости
I	(рис. 176) и имеют общую
/	^**О^*****-л/ точку приложения О.
/	у	Предположим сначала, что
1-------------------'	эти векторы не все попарно
Рис. 176	коллинеарны, например век-
торы а и Ь неколлинеарны.
Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов са и с^,
коллинеарных соответственно векторам а и Ь, в силу § 5 будем
иметь
с = са + сь = ka 4- 1Ь,	(2)
где k и I — соответствующие скаляры.
328
Если векторы а, Ь, с попарно коллинеарны, то можно написать
с = ka = ka + ОЬ;	(3)
таким образом, снова выполнено условие (1).
—►	—>	—>
2) Обратно, если для векторов а = ОА, Ь = ОВ и с = ОС
(рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответ-
ствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости,
содержащей векторы а и Ь, т. е. эти векторы компланарны.
Пример. Векторы а, а + b, а - b компланарны, так как
а = |(а + Ь)+ 1(а - Ь).
§ 7. Проекция вектора на ось
Осью называется направленная прямая. Направление пря-
мой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси
будем считать положительным, противоположное —
отрицательным.
Опрелеление 7. Проекцией точки А на ось / (рис. 177)
называется основание А перпендикуляра АА, опущенного из
точки А на эту ось.
Здесь под перпендикуляром АА понимается прямая, пересе-
кающая ось I и составляющая с ней прямой угол1). Таким обра-
зом, проекция А' есть пересечение плоскости, проходящей через
точку А и перпендикулярной оси I, с этой осью.
Определение 2. Под ком-
понентой (составляю-	д
щей) вектора а = АВ отно-	I
сительно оси I (рис. 177) пони-	\	/
мается вектор а' = АВ', на-	\	/
чало которого А' есть проек- е	a
ция на ось I начала А вектора	А В' I
а, а конец которого В' есть
проекция на ось I конца В это-	^ис- Ш
го вектора.
Определение 3. Под проекцией вектора а на ось
I понимается скаляр аг = ±|А'В'|, равный длине (модулю) его
компоненты а' относительно оси I, взятой со знаком плюс,
Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматри-
ваем в трехмерном пространстве.
329
если направление компоненты совпадает с направлением оси
I, и со знаком минус, если направление компоненты противо-
положно направлению оси I.
Если а = О, то полагают at = О.
Заметим, что если е — единичный вектор оси Z, то для ком-
поненты а' справедливо равенство
а' = aze.	(1)
ТЕОРЕМА 1. Проекция вектора а на ось I равна произведе-
нию длины а вектора на косинус угла между направлением
вектора и направлением оси, т.е.
az = a cos ф, ф = Z(a, Z).	(2)
Локазательство. Так как вектор

a = ОА свободный (рис. 178), то
можно предположить, что начало
его О лежит на оси Z.
1)	Если угол ф между вектором a
и осью Z острый (0 < ф < л/2), то на-
—>
правление компоненты a = ОА
вектора а совпадает с направлени-
ем оси Z (рис. 178, а). В этом случае
имеем
az = npza = 4-|ОА'| = |ОА| cos ф =
= a cos ф.
2)	Если угол ф между вектором а и осью Z тупой (л/2 < ф < л)
(рис. 178, б), то направление компоненты а' = ОА вектора а про-
тивоположно направлению оси Z. Тогда получаем
az = npza = -|ОА'| = -1ОА| cos (л - ф) = a cos ф.
3)	Если же ф = л/2, то формула (2), очевидно, выполняется,
так как при этом az = 0.
Таким образом, формула (2) доказана.
Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна,
если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна,
если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол —
прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же
ось равны между собой.
ТЕОРЕМА 2. Проекция суммы нескольких векторов на дан-
ную ось равна сумме их проекций на эту ось.
330
/доказательство. Пусть,
например, s = а + Ь + с,
где (рис. 179) а = ОА, b =
—>	—>
- АВ и с = ВС и, следо-
вательно, 8 = ОС.
Обозначая проекции
точек О, А, В, С на ось I
через О', A, Bf, С' и учи-
тывая направления ком-
понент (рис. 179), имеем
npzs = +|О'С'| = +|О'А'| + |А'В'| - |В'С'| = npza + npzb + npzc, (3)
что и требовалось доказать.
Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую
ось равна нулю.
ТЕОРЕМА З.При умножении вектора на скаляр его проекция
на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.
npz(Aa) = k npza.
(4)
Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения век-
тора на скаляр.
Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна
такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.
npz(fexa + k2b) = fexnpza + fe2nPzb.
§ 8. Прямоугольные декартовы координаты
в пространстве
Пусть (рис. 180) Ох, Оу, Oz — три взаимно перпендикуляр-
ные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие
из общей точки О (начало
координат) и образующие
правую тройку (правая
система координат),
т. е. ориентированные по
правилу правого буравчи-
ка. Иными словами, для
наблюдателя, направлен-
ного по оси Oz, кратчай-
ший поворот оси Ох к оси
Оу происходит против хо-
да часовой стрелки. Три
331
взаимно перпендикулярные плоскости Oyz9 Ozx и Оху9 прохо-
дящие через соответствующие оси, называются координатными
плоскостями; они делят все пространство на восемь
октантов.
Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее
радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат
О и конец которого есть данная точка М.
Определение. Под декартовыми прямоугольными
координатами х9 у9 z точки М понимаются проекции
ее радиуса-вектора г на соответствующие оси координат, т. е.
х = Гх, у = Гу, Z = Гг.	(1)
В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные коорди-
наты мы будем называть просто прямоугольными коор-
динатами.
Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z),
причем первая координата называется абсциссой, вторая — ор-
динатой, а третья — аппликатой точки М.
Для нахождения этих координат через точку М проведем три
плоскости МА, МВ, МС, перпендикулярные соответственно
осям Ох, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся на-
правленные отрезки
ОА = х, ОВ = у, ОС = z,	(2)
численно равные координатам точки М.
Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с
измерениями |х|, |i/|, |z|, образованного плоскостями МА, МВ, МС
и координатными плоскостями. Поэтому
г = Jx2 + y2 + z2.	(3)
Если обозначить через а, 0, у (0 < а, 0, у < л) углы, образо-
ванные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем
иметь
х = г cos а, у = г cos 0, z = г cos у.	(4)
Косинусы cos а, cos 0, cos у называются направляющими ко-
синусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем
cos2 а + cos20 + cos2 у =	+ 2^ = 1,	(5)
ч	^*2	7*^	^*2
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-
тора точки пространства равна 1.
332
Из формулы (4) следует, что координата точки М положи-
тельна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с
соответствующей координатной осью, и отрицательна, если
этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра
которого составляют положительные полуоси координат, все ко-
ординаты точек положительны. В остальных октантах простран-
ства отрицательными координатами точек будут те, которые со-
ответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.
Измерения |х|, |i/|, |z| параллелепипеда П равны расстояниям
точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx,
Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты
точки М пространства представляют собой расстояния от
этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежа-
щими знаками.
В частности, если точка М (х, у, z) лежит на плоскости Oyz,
то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости
Оху, то г = 0, и обратно.
§ 9. Длина и направление вектора
Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого
вектора на оси координат
ах = прха, ау = пруа, аг - прга	(1)
называются координатами вектора а; при этом вектор мы бу-
дем записывать так: а = {ах, ау, az}.
Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как
радиус-вектор точки М(ах, ау, az). Отсюда получаем длину вектора
|а| = а = Jax + ay + az ,	(2)
т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квад-
ратов его координат.
Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений
ах = a cos а, ау = a cos Р, az = a cos у,	(3)
причем
cos2 а + cos2 Р + cos2 у= 1,	(4)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна
единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однознач-
но определяют его направление. Следовательно, вектор полно-
стью характеризуется своими координатами.
333
Пример. Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.
Имеем
а = а/1I 2 + 22 + (-2)2 » 3
И
ах 1 о аи 2	аг 2
cos а = — = - , cos р = -* = -, cos у = — =	.
а 3	а 3	а 3
Отсюда
1	2
а = arccos ± ~ 70°30', Р = arccos £ ~ 48°10',
3	3
(2 \
-- 1 ~ 13Г50'.
Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями
Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Oz.
§ 10. Расстояние между двумя точками пространства
Пусть Мг (х1? у19 zj — начальная точка отрезка I = МгМ2 и
М2 (х2, у2, z2) — конечная точка его. Точки Мх и М2 можно задать
их радиусами-векторами гг = {х19 у19 гг} и r2 = {х29 у2, z2} (рис. 181).
Рис. 181
Рассматривая вектор I = MtM2,
из ^ОМГМ2 будем иметь
I = Г2 - гР	(1)
Проецируя это векторное ра-
венство на оси координат и
учитывая свойства проек-
ций, получаем
Zx = x2-*i, 1у = У2~У1>
= Z2~ г1-	(2)
Таким образом, проекции направленного отрезка на оси ко-
ординат равны разностям соответствующих координат кон-
ца и начала отрезка.
Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе,
расстояние между двумя точками М1иМ2)
I =	= 7(^2-^i)2 + (!/2-!/i)2 + (z2-zi)2 •	(3)
Итак, расстояние между двумя точками пространства
равно корню квадратному из квадратов разностей одноимен-
ных координат этих точек.
334
Пример. Ракета из пункта (10, -20, 0) прямолинейно перемес-
тилась в пункт М2 (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти
путь Z, пройденный ракетой.
На основании формулы (3) имеем
Z= 7(- 30 -10)2 + (- 50 + 20)2 + (40 - О)2 =
= 71600 +900+1600 = 74100 = 64,4 (км.)
Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемеще-
ния I, нетрудно определить направление движения ракеты.
§11. Действие над векторами, заданными
в координатной форме
Пусть вектор а = {ах, ау9 az} задан своими проекциями на оси
координат Ох, Оу, Oz.
Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого
является вектор а, а ребрами служат компоненты его а19 а2, а3
относительно соответствующих координатных осей. Имеем раз-
ложение
а = аг + а2 + а3.	(1)
Если ввести единичные век-
торы (орты) i, j, k, направленные
по осям координат, то на основа-
нии связи между компонентами
вектора и его проекциями (§ 7)
будем иметь
""* a^L, — ayJ,
а3 = azk.	(2)
Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем коор-
динатную форму вектора
а = axi + ayj + azk.	(3)
Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Дей-
ствительно, пусть
а = a'xi + a'yj + a'2k.	(3')
Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3 х) и пользуясь перемести-
тельным и сочетательным свойствами суммы векторов (§ 2), а также
свойствами разности векторов (§ 3), будем иметь
0 = (ах - a'x)i + (ау - a'y)j + (а2 - a'2)k.
Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от
нуля, то векторы I, j и k были бы компланарны (§ 5), что неверно. По-
этому а'х == ах, а'у = ау, а'г =а2и единственность разложения (3) доказана.
335
Если b == {bx, by, bz}, то, очевидно, также имеем
Ъ = bxi 4- byj + bzk.	(4)
Рассмотренные выше линейные операции над векторами
можно теперь записать в следующем виде:
1) Ла = Xaxi 4- Xayj 4- Xa2fe,
или короче: Ла = {Лах, Лау, Ла2} (Л— скаляр). Таким образом,
при умножении вектора на скаляр координаты вектора ум-
ножаются на этот скаляр;
2) а ± Ъ = (ах ± &x)i 4- (ау ± by)j 4- (az ± 62)fe,
или кратко: а ± b = {ах ± bx, ау ± by, az ± bz}.
Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их
одноименные координаты складываются (или вычитаются):
Пример. Найти равнодействующую F двух сил
Fr - {10, 20, 30} и F2 = {30, 20, 10}.
и ее направление.
Имеем F « Fl + F2 = {10 + 30, 20 4- 20, 30 4-10} «{40, 40, 40}. Отсюда
F « |F| = 4073 и cos а == cos |3 = cos у = 1/7з ,
где cos а, cos 0, cos у — направляющие косинусы равнодействующей F.
§ 12.	Скалярное произведение векторов
Определение. Под скалярным произведением двух
векторов а и Ь понимается число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных
обозначениях:
а • Ь = (а, Ъ) = ab cos ср, (1)
Рис. 183
где ф = Z(a, Ъ).
Заметим, что в формуле (1) скалярное
произведение можно еще записывать как
аЪ, опуская точку. Так как (рис. 183)
b cos ф = праЬ и a cos ф = прьа,
то можно записать
ab = a • праЬ == b • прьа, (2)
т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного
из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением
первого.
336
Физический смысл скалярного произведения. Пусть посто-
янная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение s = MN
материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемеще-
нием s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при
перемещении s равна
А = Fs cos ф.
На основании формулы (1) имеем
A = Fs.
Таким образом, работа постоянной си-
лы при прямолинейном перемещении ее
точки приложения равна скалярному
произведению вектора силы на вектор
перемещения.
Рис. 184
Скалярное произведение векторов обладает следующими ос-
новными свойствами.
1)	Скалярное произведение двух векторов не зависит от
порядка этих сомножителей (переместительное свой-
ство):
аЬ = Ьа.	(4)
Эта формула непосредственно следует из формулы (1).
2)	Для трех векторов а, Ъ и с справедливо распредели-
тельное свойство
(а + Ь) • с = ас + Ьс,	(5)
т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор
можно «раскрыть скобки».
Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства
проекций векторов (§ 7, теорема 2), имеем
(а + Ъ) • с = прс(а + Ь) • с = (прса + прсЬ) • с =
= прса • с + прсЬ • с = ас + Ьс.
3)	Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля
этого вектора, т.е.
а2 = а2.
Действительно,
а2 = аа « аа cos (аГа) = а2.
Отсюда для модуля вектора получаем формулу
|а| = *J(a, а).
(6)
337
4)	Скалярный множитель можно выносить за знак скаляр-
ного произведения, т.е.
(Ла, Ь) - (а, ЛЬ) = Л(а, Ь).	(7)
Это свойство также легко получается из (1).
5)	Скалярное произведение линейной комбинации векторов
на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации
данных векторов на этот вектор, т.е.
(Ла 4- цЬ, с) = Л(а, с) 4- ц(Ь, с)
(Лиц — скаляры).
Это — очевидное следствие 2) и 4).
Из определения (1) вытекает, что косинус угла ф = Z(a, Ь)
между двумя ненулевыми векторами а и Ь равен
cos ф = ^ .	(8)
ab
Из формулы (8) получаем, что два вектора а иЬ пер пен-
ди к у л яр ны (рртогональн ы), т. е. ф == л/2, тогда и толь-
ко тогда, когда
аЬ == 0.	(9)
Это утверждение справедливо также и в том случае, когда
хотя бы один из векторов а или Ь нулевой.
Пример. Найти проекцию вектора а на вектор Ь.
Обозначая через ф угол между этими векторами, имеем
ab	Ь
прьа = a cos ф = а • — = а * - == ае,
а и	и
Ь
где е = - — орт вектора Ь.
§ 13.	Скалярное произведение векторов
в координатной форме
Пусть
а = dxi 4- ayj 4- azk	(1)
и
Ь = bxi 4- byj + b2fe.	(2)
Перемножая эти векторы как многочлены (что законно в си-
лу свойств § 12) и учитывая соотношения
ij == jk = ki = 0 и И = jj = kk = 1,
будем иметь
ab = ахЬх 4- ауЬу 4- a2bz.	(3)
338
Таким образом, скалярное произведение векторов равно сум-
ме парных произведений их одноименных координат. Отсюда,
обозначая через ф угол между векторами а и Ъ, получаем
COS ф = «Ь =	Дх&х + Ду&у +,.Я£?.£_ .	(4)
ab	Jax + ay + aJb2x + b2y + b2
Пример. Определить угол ф между векторами
а = {1, +2, 3} и b = {-3, 2, -1}.
На основании формулы (4) имеем
cos ф ~  . 1-(-3)^ :2.4-3^------ . _ 2 = _ 1 s _0Д43
712 + 32 + 32 • 7(-3)+22 + (-1)2	14	7
Отсюда ф = arccos ) * 98°10'.
Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно
условию коллинеарности (§ 5),
Ъ = Ла,	(5)
где k — скаляр, что эквивалентно Ьх = kax, by == kay9 Ьг = kaz или
&*=&£=&£.	(6)
ах ау аг
Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда,
когда их одноименные координаты пропорциональны.
Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и Ъ име-
ем ф = л/2 и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),
ахЬх + аиЬп + а_Ъ2 = 0.
Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и
только тогда, когда сумма парных произведений их одноимен-
ных координат равна нулю.
§ 14. Векторное произведение векторов
Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов
называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она
ориентирована по правилу правого
винта или соответственно по прави-
лу левого винта.
Заметим, что если в тройке
некомпланарных векторов а, Ъ, с пе-
реставить два вектора, то она изме-
нит свою ориентацию, т. е. из пра-
вой сделается левой или наоборот.
В дальнейшем правую тройку
мы будем считать стандартной.
а)	б)
Рис. 185
339
Рис. 186
Определение. Под вектор-
ным произведением двух век-
торов а и Ь понимается вектор
с - а х Ь = [а, Ь],	(1)
для которого:
1)	модуль равен площади парал-
лелограмма, построенного на дан- 4
ных векторах, т. е.
с = |с| = ab sin ф,	(2)

где ф = Z(a, Ь) (0 < ф < л) (рис. 186);
2)	этот вектор перпендикулярен перемножаемым векто-
рам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на
них параллелограмма), т. е. с ± а и с ± Ь;
3)	если векторы неколлинеарны, то векторы а, Ь, с обра-
зуют правую тройку векторов.
Укажем основные свойства векторного произведения.
1)	При изменении порядка сомножителей векторное произ-
ведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.
Ъ х а = -(а х Ь).	(3)
Действительно, при перестановке векторов а и Ъ площадь по-
строенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е.
|Ь х а| = |а х Ь|. Однако тройка векторов Ъ, а, а х Ь является левой.
Поэтому направление вектора b х а противоположно направле-
нию вектора а х Ъ (а и Ь неколлинеарны). Если а и b коллинеар-
ны, то равенство (3) очевидно.
Таким образом, векторное произведение двух векторов не
обладает переместительным свойством.
2)	Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.
а х а = 0.
Это — очевидное следствие свойства 1).
3)	Скалярный множитель можно выносить за знак вектор-
ного произведения, т.е. если Л — скаляр, то
(Ла х Ь) = (а х ЛЬ) = Л(а х Ь).
Это свойство непосредственно вытекает из смысла произве-
дения вектора на скаляр и определения векторного произведе-
ния.
4)	Для любых трех векторов а, Ь, с справедливо равенство
(а + Ь) х с = (а х с) 4- (Ь х с),	(4)
т.е. векторное произведение обладает распределительным
свой ст вом.
340
Пример.
(а - Ь) х (а + Ь) = (а х а) - (Ь х а) 4- (а х Ь) - (Ь х Ь) ~
= 0 + (а х Ъ) + (а х Ь) + О = 2(а х Ь),
Отсюда, в частности, имеем
|(а - Ь) х (а 4- Ь)| = 2|а х Ь\,
т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного
параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.
С помощью векторного произведения удобно формулировать
легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и Ь:
axb = 0.
§ 15. Векторное произведение в координатной форме
Пусть
а = axi 4- ayj + azk	(1)
и
b = bxi + byj + bzk.	(2)
Перемножая векторно эти равенства и используя свойства
векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:
а х Ь = [axbx(i х i) 4- ayby(j х i) + azbz (k x 01 +
+ [axby (i x j) + ayby(j x /) + azby(k x /)] +
+ [axbz (i x k) + aybz(j x fe) + azbz(k x fe)].	(3)
Из определения векторного произведения следует, что для ортов
i, j, fe справедлива следующая «таблица умножения»:
i х i = 0, j х j = 0, fe х fe = 0,
i x j = -(j x i) = fe, j x fe = -(fe x j) = i, fe x i = - (i x fe) = j.
Поэтому из формулы (3) получаем
а х b = i(aybz - azby) + j(azbx - axbz) + k(axby - aybx) =
(с сохранением порядка следования букв х, у, z).
Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде
определителя третьего порядка (см. гл. XVII)
а х Ь =
i j k
ах dy аг
bx by Ьг
(5)
341
Из формулы (4) вытекает, что
|а х Ь|2 =
ау аг +
Ьу Ьг
ах
Ьг Ьх
ах ау
Ьх ьу
(6)
Геометрически формула (6) дает квадрат площади паралле-
лограмма, построенного на векторах а и Ь.
Пример. Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0),
В(1, 0, 1) и С (0, 1, 1).
Площадь S треугольника АВС равна 1/2 площади параллелограмма,
построенного на векторах АВ и АС (рис. 187). Используя формулы для
>	—>
проекций направленных отрезков (§ 10), имеем АВ = {0, -1, 1} и АС =
= {-1, 0, 1}; отсюда
Следовательно,
S= 1|АВхАС|=
a	Z
§ 16. Смешанное произведение векторов
Определение. Под смешанным (или векторно-скалярным)
произведением векторов а, Ь и с понимается число
аЬс = (а х Ь) • с.	(1)
Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого,
исходящими из общей вершины О, являются векторы а, Ь и с.
Тогда |а х b\ = S представляет собой площадь параллелограм-
ма, построенного на векторах а и Ь, т.е. площадь основания па-
Рис. 188
342
раллелепипеда. Высота этого параллелепипеда Н, очевидно,
равна
Н = ±пр8 с = ±с cos ф,	(2)
где S = а х Ь и знак плюс соответствует острому углу ф = Z(c, S),
а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы а, Ь, с
образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.
На основании определения скалярного произведения (§ 12)
имеем
(а х b)c = Sc = S • пр8с « ±SH = ±V,	(3)
где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с.
Отсюда
аЬс == ±И,
т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V
параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому
со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку,
и со знаком минус, если они образуют левую тройку.
Справедливы следующие основные свойства смешанного про-
изведения векторов.
1) Смешанное произведение не меняется при циклической
перестановке его сомножителей, т.е.
аЬс = Ьса = cab.
Действительно, в этом случае не изменяется ни объем парал-
лелепипеда П, ни ориентация его ребер.
2) При перестановке двух соседних множителей смешанное
произведение меняет свой знак на обратный, т. е.
Ьас = асЬ = сЬа = -аЬс.
Это следует из того, что перестановка соседних множителей,
сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки
векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в пра-
вую.
С помощью смешанного произведения получаем необходимое
и достаточное условие компланарности трех векторов а, Ь, с:
аЬс = О
(объем параллелепипеда равен нулю). Если
а == axi + ayj + azk,
Ь = bxi + by] + bzk,
c = cxi + cy] + czk,
343
то, используя выражения в координатах для векторного (§ 15) и
скалярного (§ 13) произведений векторов, получаем
abc = (a xb) с = (Ь х с) а = а (Ь х с) =
= (axi + aj + ajt)
i ] k
bx by bz
Cy Cg
t. e.
abc =
^X Cly &Z
bx by bz
CX Cy CZ
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Найти длину и направление вектора а = {1, -1, л/2}.
2.	Найти равнодействующую F трех сил Fr == {10, 20, 0}, F2 =
= {0, -10, 20}, F3 = {-10, 0, -20} и ее направление.
3.	Найти проекцию вектора а = {1, 2, -2} на вектор b = {1, 0, -1}.
4.	Найти работу силы F = {10, 20, 30}, если точка приложения ее
прямолинейно перемещается из пункта М(0, 1, 2) в пункт N(3, -4, 5).
5.	Найти площадь S и угол ф параллелограмма, построенного на век-
торах а = {1, -2, 3} и Ь == {3, 2, 1}.
6.	Являются ли компланарными векторы
a = j + fe, b = fe + i, c = i4-/?

ГЛАВА XIX
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Уравнения поверхности и линии в пространстве
Определение 7. Уравнением поверхности в про-
странстве Oxyz называется такое уравнение между перемен-
ными х, у9 z, которому удовлетворяют координаты всех то-
чек данной поверхности и не удовлетворяют координаты то-
чек, не лежащих на этой поверхности. То есть если
F (х9 z/, z) = 0	(1)
— уравнение поверхности Р (рис. 189), то при М(х, у, z) € Р1)
имеем F(x, у, z) = 0, а при N(x, у, z) £ Р2} имеем F(x, у, г) & 0.
Таким образом, уравнение (1)
выполнено тогда и только тогда,
когда точка М(х, у, z) принадле-
жит данной поверхности. Коорди-
наты произвольной точки поверх-
ности называются текущими ко-
ординатами точки. Поэтому со-
ставить уравнение поверхности —
это значит найти связь между те-
кущими координатами ее точек.
Пример 1 (уравнения коор-
динатных плоскостей). Каждая
точка М(х, у, z), лежащая на ко-
ординатной плоскости Oyz9 имеет
абсциссу х = 0; обратно, если для какой-нибудь точки М(х, у, z)
абсцисса ее х = 0, то эта точка расположена на плоскости Oyz.
Следовательно,
х = 0
—	уравнение координатной плоскости Oyz.
Аналогично,
у = 0 и z = 0
—	соответственно уравнения координатных плоскостей Oxz и Оху. * 2
Формулам € Робозначает, чтоточкаМпринадлежитР (см. гл. II, § 1).
2) Формула N £ Р обозначает, что точка N не принадлежит Р.
345
В более общем случае
х = а, у = b, z = с	(2)
— уравнения трех плоскостей, перпендикулярных соответст-
вующим координатным осям Ох, Оу, Oz и отсекающих на них
отрезки, численно равные а, Ъ и с.
ТЕОРЕМА. Уравнение цилиндрической поверхности, обра-
зующие которой параллельны координатной оси, не содержит
текущей координаты, одноименной с этой координатной
осью, и обратно.
Локазательство. Пусть, например, цилиндрическая поверх-
ность Р образована перемещением прямой MN || Oz (образую-
щая) вдоль заданной линии L, лежащей в плоскости Оху (на-
правляющая) (рис. 190).
Обозначим через М(х, у, z) точку поверхности Р с текущими
координатами х, у и z. Образующая MN, проходящая через точку
М, пересекает направляющую, очевидно, в точке N(x, у, 0).
Пусть
F (х, у) = 0	(3)
— уравнение направляющей L в коор-
динатной плоскости Оху. Этому урав-
нению удовлетворяют координаты
точки N. Так как точка М поверхности
Римеет ту же самую абсциссу
хи ту же самую ординату у,
что и точка N, а переменная z в урав-
нение (3) не входит, то координаты
точки М также удовлетворяют уравне-
нию (3). Таким образом, координаты
любой точки М(х, у, z) поверхности Р удовлетворяют уравнению
(3). Обратно, если координаты какой-нибудь точки М(х, у, z)
удовлетворяют уравнению (3), то эта точка расположена на пря-
мой MN || Oz такой, что ее след на плоскости Оху, точка N(x,
у, 0), лежит на линии L, а значит, точка М принадлежит ци-
линдрической поверхности Р. Следовательно,
F (х, у) - 0
является уравнением цилиндрической поверхности в простран-
стве Oxyz, причем в этом уравнении отсутствует координата z.
Пример 2 (уравнение эллиптического цилиндра). Эллипти-
ческий цилиндр, в основании которого лежит эллипс с полуося-
ми а и Ъ, а осью служит ось Oz (рис. 191), на основании преды-
дущей теоремы имеет уравнение
2	2
+ = 1.
а2 Ь2
346
В частности, при а = Ь получаем уравнение кругового цилиндра
х2 + у2 = а2.
Линию L в пространстве можно задать как пересечение двух
данных поверхностей Рх и Р2 (рис. 192). Точка М(х, у, z), лежа-
щая на линии L, принадлежит как поверхности Р19 так и поверх-
ности Р2, и, следовательно, координаты этой точки удовлетворя-
ют уравнениям обеих поверхностей.
Поэтому под уравнениями линии в пространстве понимается
совокупность двух уравнений:
F1 (х, у, г) = 0,1
F2 (х, у, z) = О,]	(4)
являющихся уравнениями поверхностей, определяющих дан-
ную линию.
Не нужно думать, что для нахождения уравнений линий сис-
тему (4) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать,
так как число уравнений системы (4) меньше числа неизвестных.
Точный смысл, который придается равенствам (4), следующий:
линии L принадлежат те и только те точки М(х, у, z), ко-
ординаты которых удовлетворяют обоим уравнениям систе-
мы (4).
Заметим, что данную линию можно по-разному задавать как
пересечение поверхностей. Поэтому линии в пространстве соот-
ветствует бесчисленное множество равносильных мржду собой
систем уравнений.
Определение 2. Уравнениями линии в пространстве
Oxyz называется такая пара уравнений между переменными
х, у, z, которой удовлетворяют координаты каждой точки,
лежащей на данной линии, и не удовлетворяют координаты
любой точки, не лежащей на этой линии.
347
ПримерЗ (уравнения координатных осей). Ось Ох можно,
рассматривать как пересечение координатных плоскостей Оху и
Oxz. Поэтому
У = 0,
2 = 0
— уравнения оси Ох.
Аналогично,
х = 0,1 х = 0,
2 = 0 И у = 0
— уравнения осей Оу и Oz соответственно.
Пример 1. Написать уравнения окружности Г радиуса Я » 1, центр
которой находится в точке С(0, 0, 2) и плоскость которой параллельна
координатной плоскости Оху (рис. 193).
Окружность Г можно рассматривать как пересечение кругового ци-
линдра радиуса 1 с осью Oz и горизонтальной плоскости, расположен-
ной выше координатной плоскости Оху на две единицы. Поэтому урав-
нения данной окружности есть
х2 + у2 = 1,
2 = 2.
В механике линию L часто рассматривают как след движу-
щейся точки (рис. 194). Пусть х, у, z — текущие координаты
точки М линии L. Так как с течением времени точка М переме-
щается и ее координаты меняются, то они являются функциями
времени t. Следовательно, имеем
x = <p(t). y = V(O. z = %(i),	(5)
348
где ф, у, % — некоторые определенные функции. Обобщая урав-
нения (5), под t понимают вспомогательную переменную (пара-
метр), не обязательно время; поэтому уравнения (5) носят на-
звание параметрических уравнений линии в пространстве.
Исключая из уравнений (5) параметр t, мы получим два со-
отношения между текущими координатами х, у и з, которые
представляют собой уравнения некоторых поверхностей, прохо-
дящих через данную линию.
Пример 2. Написать уравнения вин-
товой линии радиуса а и шага h (рис. 195).
Пусть М (х, у, г) — текущая точка
винтовой линии, М' (х, у, 0) — ее про-
екция на плоскость Оху.
Приняв за параметр t « АМ'Ох и
учитывая, что аппликата г винтовой ли-
нии растет пропорционально углу пово-
рота t, будем иметь
х = a cos t,
у — a sin t, ►
z = bt.
(6)
Для определения коэффициента пропор-
циональности Ъ положим t == 2я; тогда
z = h. Следовательно,
Рис. 195
h = 2nb и Ь = А
2л
Исключая параметр t из первого и второго, а также из первого и третьего
уравнений (6), получаем
х2 + у2 = а2,
2
х — a cos -.
о
Следовательно, винтовая линия представляет собой пересечение круго-
вого цилиндра с образующими, параллельными оси Ог, и цилиндриче-
ской поверхности с образующими, параллельными оси Оу, и имеющей
своей направляющей косинусоиду, лежа-
щую в плоскости Охг. Из уравнений (6')
также вытекает, что проекция винтовой
линии (6 х) на координатную плоскость
Оху есть окружность, а на координатную
плоскость Oxz — косинусоида.
Текущую точку М(х, у, г) кри-
вой L можно характеризовать ее
радиусом-вектором («следящий
радиус-векто р») (рис. 196)
Г = XI + yj + zk
(6')
Рис. 196
349
(i, /, k — орты). Тогда из (5) получаем векторное уравнение линии
г = f(t),	(7)
где
f(t) = i(p(i) + jV(O +
— так называемая вектор-функция скалярного аргумента t.
В механике в качестве параметра t обычно берут время. В
таком случае линию (7) называют траекторией точки М(х, у, г).
Множество всех точек М(х, у, z) пространства, координаты
которых удовлетворяю!* данному уравнению (или системе урав-
нений), называется геометрическим образом (графиком) данно-
го уравнения (или системы уравнений).
Пример 3. Какой геометрический образ соответствует уравнению
z3 - 1 = 0?	(8)
Из уравнения (8) получаем г == 1 или z«-l. Следовательно, графиком
уравнения (8) является пара плоскостей, параллельных координатной
плоскости Оху и отстоящих от нее на расстояниях, равных единице
(рис. 197).
Пример 4. Какой геометрический образ соответствует паре уравнений
х = 2, у = 3?
Искомый график представляет собой пересечение плоскостей х — 2
и у = 3 и, следовательно, является прямой линией, параллельной оси Ог
и имеющей след 2V (2, 3, 0) на координатной плоскости Оху (рис. 198).
§ 2. Общее уравнение плоскости
Плоскость Р в пространстве можно задать некоторой ее точкой
М0(х0, у09 20) и ненулевым вектором ЛГ{А, В, С} (А2 + В2 + С2 * 0),
перпендикулярным этой плоскости (нормальный или направ-
350
ляющий вектор плоскости). Пусть
ГО = {«О» Уо* 2о}— радиус-вектор
точки т0, а г = {х, у, г} — радиус-
вектор произвольной точки М
плоскости (текущий радиус-век-
тор) (рис. 199). Тогда вектор г - rQ =
= {х - х0, y-y$,z~ z0} расположен
в данной плоскости и, следова-
тельно, ортогонален вектору N,
т. е. N ± (г - г0). Отсюда, исполь-
Рис. 199
зуя условие ортогональности двух векторов (гл. XVIII, г§42),
имеем
2V (г - г0) = 0.	(1)
Это и есть уравнение плоскости в векторном виде. В коор-
динатной форме уравнение (1) имеет вид
А (х - х0) + В (у - i/0) + С (z - z0) = 0,	(2)
или
Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0,	(3)
где
D = - Ах0 - ByQ - Cz0 = -Nr0.
Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости и
представляет собой уравнение первой степени относительно те-
кущих координат х, г/, z. Таким образом, плоскость есть
поверхность первого порядка.
Обратно, пусть дано невырожденное уравнение (3) (А2 4- В2 4-
4- С2 0). Выберем некоторую точку Мо (х0, i/0, zQ)9 лежащую на
поверхности (3) (например, если А 0, то в качестве такой точки
можно взять Мо (-D/A, 0, 0) и т. п.). Имеем
Ах04- ByQ+ Cz0+ D = 0.	(4)
Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), будем иметь
А (х - х0) + В (у - уо) 4- С (z - Zq) = 0.	(5)
Отсюда, введя векторы N = {А, В, С}, г0= {х0, у0, z0}, г = {х, у, z},
получим
N (г - г0) = 0.
Следовательно, поверхность, заданная уравнением (3), явля-
ется плоскостью, проходящей через точку М0(х0, yQ, zQ) пер-
пендикулярно вектору N.
351
Пример 1. Найти угол, образованный плоскостью х ~ 2у + 2z - 10 =
— Ос осью Oz,
Под углом v между прямой и плоскостью понимается угол между
данной прямой и ее проекцией на эту плоскость; этот угол является
дополнительным к углу ф, образованному прямой и перпендикуляром
(нормалью) к плоскости.
Нормальный вектор нашей плоскости есть N « {1, -2, 2}. Отсюда
2	2
sin ф = cos ф = ..— 	= -
712 + (-2)2 + 22	3
2
и, следовательно, ф = arcsin - ~ 41°50'.
3
Если в уравнении (1) в качестве направляющего вектора плос-
кости взять единичный вектор п = N/N (N = JA2 + В2 + С2 & 0),
то получим так называемое нормированное уравнение плоскости
п(г- г0) == 0,	(6)
или, в координатах,
Ах + By + Cz + D e q
7а2 + в2 + с2
(7)
где D = —Ах0 - Ву0 - Cz0. Уравнение (7) удобно при нахождении
расстояния точки от плоскости
Задача. Найти расстояние h от точки Mi(xx, yl9 z^) до плоскос-
ти Р, заданной уравнениемДб) (рис. 200).
Пусть h — MrN19 где MrNr ± Р, N\€ Р.
Рассмотрим вектор = гх - г0, где гх и г0 — радиус-век-
торы точек Мо С Р и Мг. Из A	учитывая, что MrNr || и,
находим Л = |пр„ (гх - г0)| = \п (гх - г0)| =
—	+	* Р|
л/А2 + В2 + С2
Следовательно, получаем правило:
чтобы найти расстояние от точ-
ки до плоскости, нужно в левую часть
нормированного уравнения плоскости
подставить координаты данной точки
и взять абсолютную величину получен-
ного результата.
352
В частности, полагая xt = 0, yt = 0, гг — 0, получаем рас-
стояние от начала координат до плоскости:
Ло =
IBI
7А2 + В2 + С2’
§ 3. Угол между плоскостями
Пусть даны две плоскости
Ах + By + Cz + D = 0, А'х + В'у + C'z + D' = 0	(1)
с направляющими векторами N = {А, В, С} и N' = {А', В', С'}.
Тогда ф — двугранный угол между ними — равен углу, образован-
ному векторами N и N'. Таким образом, имеем (см. гл. XVIII, § 12)
С08ф_ЛГЛГ’	(2)
где NN' = АА + ВВ' + СС и N = Ja2 + B2 + C2 , N' = Ja'2 + B'2 + C2 .
Отсюда получаем:
1) условие параллельности плоскостей (в широ-
ком смысле)
А __ В __ С
АВС	к
и 2) условие их перпендикулярности
АА + ВВ' 4- СС' = 0.	(4)
Заметим, что если для плоскостей (1) не выполнено условие
(3), то эти плоскости не параллельны и не сливаются, т.е. явля-
ются пересекающимися.
Пример. Определить угол ф между биссекторными плоскостями
х - z = 0, у - z = 0.
Здесь N = {1, 0, -1}, N' =» {0, 1, -1}. Имеем
ОАО 10 + 01+(-1) (-1)	1
COS ф — ----------— -- = —
72-72	2
и, следовательно, ф = 60°.
§ 4. Уравнения прямой линии в пространстве
Прямая в пространстве однозначно определяется точкой
М0(х0, Уо, z0) и направлением (т. е. некоторым вектором).
Пусть г0 = {х0, г/о, 2о) — радиус-вектор точки Мо, a s « {I, т, п}
— ненулевой направляющий вектор прямой (длина его про-
12 Б. Демидович, В. Кудрявцев
353
извольна). Обозначая через г = {х, у, г} радиус-вектор произволь-
ной точки М прямой (текущий радиус-вектор), из векторного
треугольника ОМ^М (рис. 201) имеем
r=ro+MoM.	(1)
Так как векторы MQM и s коллинеарны, то
М0М = ts,	(2)
где t — некоторый скаляр (-°° < t < +°о). Подставляя это выра-
жение в уравнение (1), получим векторное уравнение прямой
линии в пространстве
rQ + ts	(3)
(t — параметр).
Проецируя равенство (3) на координатные оси, будем иметь
параметрические уравнения прямой линии в пространстве
х = х0 + It,
у = Уь+ mt,>
z = z0+ nt.
(4)
Если из уравнений (4) исключить параметр t, то получим так
называемые канонические уравнения прямой линии в про-
странстве
Х-Х0 = У-Уо = z - Zp Х)
I т п
Система (5) содержит два уравнения, например при п * 0 можно
положить
х — х0 s z-zQ y-yQ == z-zQ
I n 9 m n *
Эти уравнения имеют смысл пропорций, т. е, какие-то (не более
чем два) из чисел I, т, п могут быть нулями.
354
Эти уравнения представляют собой уравнения двух плоскостей, пересе-
чением которых является данная прямая. Заметим, что первое уравне-
ние не содержит координаты у, а второе — координаты х. Следовательно
(см. § 1), первая плоскость параллельна оси Оу, а вторая параллельна
оси Ох, т.е. эти плоскости являются плоскостями, проецирующими на-
шу прямую на координатную плоскость Oxz и соответственно на коор-
динатную плоскость Oyz.
Числа/, т, и называются направляющими коэффициентами
прямой линии. Обозначая через а, ₽, у углы, образованные пря-
мой с координатными осями (рис. 201), и учитывая, что cos а,
cos (3, cos у являются направляющими косинусами вектора а, бу-
дем иметь
I = s cos а, т = s cos Р, п = s cos у,
где
S = 7/2 4- 7П2 4- И2 о
— длина вектора а. Отсюда получаем
cos а = - , cos р = — , cos у = -
a	s	а
(cos2 а + cos2 Р 4- cos2 у = 1).
(6)
(7)
Таким образом, направляющие коэффициенты прямой про-
порциональны соответствующим направляющим косинусам
этой прямой.
Уравнения прямой (5) можно записать в стандартном виде
X-Xq = y-yQ Z-ZQ
cos a cosP cosy
где cos а, cos Р, cos у — направляющие косинусы прямой.
Пример 1. Уравнения движения ракеты х = 2t, у = -4t, z = 4t, где
время t дано в секундах, а координаты (х, у, г) движущейся точки —
в километрах.
Какова траектория ракеты? На каком расстоянии будет находиться
ракета М от точки старта О (0, 0, 0) через 10 с?
Исключая из данных уравнений время t, получим уравнения тра-
х и z
ектории - = 4 = j, или
х = у = z
1	-2	2 ’
Таким образом, траектория представляет собой прямую линию, про-
ходящую через начало координат.
При i = 10 с имеем х = 20, у = -40, z = 40 и
г == ОМ = Jx2 + у2 + z2 — 7400 + 1600 + 1600 км « л/Зббб км = 60 км.
355
Задача» Написать уравнения прямой, проходящей через две
несовпадающие точки Ма (х0, г/0» z0) и Мг (х19 у19 zj. За направ-
ляющий вектор прямой можно принять
s = {хх - Х0,	- у о, Zi - z0} * 0.
Следовательно, на основании (5) имеем
= У~Уо = z-Zq
xi”xo У1~Уо “ 2о
(8)
Пример 2. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
Af0(3, -4, 5) и параллельной оси Oz.
Очевидно, имеем cos а = 0, cos 0 « 0, cos у» 1. Таким образом, в
силу (5') получаем уравнения искомой прямой
х- 3	у + 4	z-5
О °	1 ’
эквивалентные паре уравнений
х-3 == z-5 у+ 4 = г- 5 п
О 1 9 О Ь ’
(9)
или
х -t3 = 0, I/ + 4 = 0.
Направляющий вектор прямой (9) есть {0, 0,1}, т.е. эта прямая перпен-
дикулярна осям Ох и Оу.
Прямую L в пространстве можно задать также как линию
пересечения двух плоскостей РиР' (рис. 202):
Рис. 202
Ах + By + Cz 4- D = О,
А'х + B'y+C'z + D' = 0.
(Ю)
Предполагается, что плоскости не
параллельны и не сливаются (см.
§ 4). Векторы N = {А, В, С} и ЛГ' =
= {А', В', С'} являются нормальны-
ми векторами этих плоскостей. На-
правляющий вектор з прямой, оче-
видно, удовлетворяет условиям s ± N
и 8 ± ЛГ'. Можно положить
s = N х N'
(х — знак векторного произведе-
ния (см. гл. XVIII, § 15)).
См. подстрочное примечание на с. 354.
356
Пример 3. Определить направляющие косинусы прямой
х - 2у + Зг - 4 = О,
Зх - 2у + г 0.
Имеем N = {1, ^2, 3}, ЛГ « {3, -2, 1}. Отсюда
s = # х N' =
i j k
1-2 3
3-2 1
= 4i + 8/ 4- 4fe = 4(i 4- 2] 4- k)
За направляющий вектор прямой можно принять з0 «
h = {1,2,1};
4
длина его з0 = Тб. Отсюда
cos а « 1/75 , cos Р = 2/76 , cos у - 1/7б .
§ 5. Понятие о производной вектор-функции
Пусть мы имеем вектор-функцию
r(t) = x(t)i 4- y(t)j + z(t)k	(1)
(а < t < (3), где для удобства функции параметра t, представляю-
щие проекции вектора r(t) на оси координат, обозначены соот-
ветствующими буквами (ср. § 1). Если трактовать r(t) как ради-
ус-вектор точки М(х, у, t) пространства Oxyz, то конец перемен-
ного вектора r(t) опишет некоторую кривую К пространства Oxyz,
параметрическими уравнениями которой является векторное
уравнение (1). Механики эту кривую называют годографом пе-
ременного вектора r(t).
Естественно определим предел вектор-функции, полагая
lim r(t) == i lim x(t) 4- j lim y(t) + fe lim z(t),	(2)
t —*	f ^0	t Iq
если пределы в правой части равенства
(2) существуют.
Дадим параметру t приращение At;
тогда точка М(х, у, z) кривой К перемес-
тится в точку этой кривой М\х 4- Дх,
у 4- Ду, z + Аз), радиус-вектор которой
есть
n(t) - r(t) + Ar(t).
Из векторного треугольника ОММ'
имеем (рис. 203)
Ar(t) = ММ' = Axi 4- Ду/ + Дзй.
357
Отсюда, предполагая для определенности, что Ы > 0, получим
±zk	(3)
At At At' At
т. е. вектор направлен по секущей ММ'.
At
В общем случае при At О вектор —будет коллинеарен
At
вектору ММ'.
Определение. Под производной вектор-функции г = r(t)
понимается вектор
% = lim ДгШ.
at	At
(4)
Если x(t), y(t), z(t) — дифференцируемые функции, то из
формулы (3) при At —* О находим
dr = dxi+ diLj + dzk
dt dt dts dt
(5)
‘	г
Так как предельное положение секущей по определению есть ка-
сательная, то вектор направлен по касательной к кривой К
в точке ее М (в сторону возрастания параметра t).
Из формулы (5), как обычно, получаем
(6)
Если t — время, то вектор = и представляет собой ско-
dt
рость движущейся точки М (х, у9 z), понимаемую как вектор.
Пример. Написать уравнение касательной к кривой
X = t, V = t2, 2 = t3
в точке ее М(19 1, 1) (t = 1).
Здесь
г = ti + t2j + t3fe и » i + 2tj + 3t2fe.
dt
Отсюда направление касательной в точке М определяется вектором
=i + 2j + 3fe.
\dt)M
Таким образом, уравнение искомой касательной есть
х-1	у~1 = 2 — 1
1	2	3 ‘
358
§ 6.	Уравнение сферы
Определение. Сферой радиуса R называется множество
всех точек пространства, расстояние от каждой из которых
до данной точки (центра) равно R.
Выведем уравнение сферы. Пусть С(х0, yQ, z0) — центр сферы
радиуса R, а М(х9 у, г) — произвольная точка, лежащая на этой
сфере (рис. 204). Тогда СМ = R. По формуле расстояния между
двумя точками имеем
СМ = J(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2.
Приравнивая это выражение R, по-
лучим уравнение сферы
7(х - ХО)2 + (у - Уо)2 + (2 - *о)2 =я
или окончательно
(х - х0)2 + (у - у0)2 + (г - г0)2 = R2.
Если центр сферы совпадает с началом координат, то х0 = 0,
i/o = 0, г0 = 0 и уравнение сферы принимает вид
х2 + у2 + г2 = R2.
Пример 1. Определить координаты центра и радиус сферы
х2 + у2 + z2 - 2у + Зг = 0.
Объединяя члены, содержащие одноименные текущие координаты,
и дополняя их до полных квадратов, будем иметь
х2 + (у- 1)2 + (г + |)2 = ^.
Следовательно, центр сферы находится в точке с(0,1, -1 i | и радиус ее
R = | ЛЗ.
Заметим, что совокупность
(х - х0)2 + (у - у0)2 + (г - z0)2 = R2,
Ах + By + Cz + D = Q
уравнений сферы и плоскости определяет окружность, по кото-
рой пересекаются плоскость и сфера (если это множество не пус-
то). В частности, если Ах0 + ByQ 4- CzQ + D ~ 0, то совокупность
этих уравнений изображает окружность большого круга.
359
z
ДГ(О,О,Я)
0
S(0,0,-B)
Рис. 205
RAM{x,y,z)
Уравнение окружности можно также писать в параметриче-
ском виде.
Пример 2. Написать параметрические уравнения меридиана сферы
х2 + у2 + г2 = В2,
проходящего через полюсы ЛГ(О, О, R) и
S(0, О,-Я), если плоскость меридиана об-
разует угол а с координатной плоско-
стью Oxz (рис. 205).
За параметр текущей точки М(х, у, г)
меридиана примем угол V = ZM0M' —
широту этой точки, где М'(х, у, 0) —
проекция точки М на координатную плос-
кость Оху . Так как М'О = r = R cos \|/, то
из рис. 205 имеем
х = г cos а = R cos \|/ cos а,
у = г sin а « R cos у sin а, >
z = R sin v,
где -л/2 < \|/ < л/2.
. У
M'(x,y,0)
§ 7.	Уравнение эллипсоида
Опрелеление. Трехосным эллипсоидом называется
поверхность, полученная в результате равномерной деформа-
ции {растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно пер-
пендикулярным направлениям (ср. гл. IV, § 4).
Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:
X2 + У2 + Z2 - Я2,	(1)
где X, У, Z — текущие координаты точки сферы.
Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в
направлении координатных осей Ох, Оу иОг с коэффициентами
деформации, равными k19 k2n
В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы
М {X, У, Z) с текущими координатами X, У, Z перейдет в точку
эллипсоидам' (х, у, г) с текущими координатами х, у, г, причем
х = kxX, у = k^Y, z == k3Z
(рис. 206). Отсюда
Х= Y= Z= 77-
k2 к3
Иными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох
уменьшаются в ~ раз, если 0 <	< 1, и увеличиваются в kx раз, если
kx > 1, и т. д.
360
Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь
х2
ц
или
х^
а2 Ъ2 с2
где а = kxR, Ъ = k2R, с = k3R. Уравнение (2) связывает текущие
координаты точки М' эллипсоида и, следовательно, является
уравнением трехосного эллипсоида.
Величины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида; удво-
енные величины 2а, 2Ь и 2с называются осями эллипсоида и,
очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях
деформации (в данном случае в направлениях осей координат).
Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллип-
соид называется эллипсоидом вращения, так как может быть по-
лучен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей.
Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллип-
соидом вращения с полуосями
а = Ъ = 6377 км и с = 6356 км.
Если а = Ъ = с, то эллипсоид превращается в сферу.
§ 8.	Уравнение параболоида вращения
Пусть вертикальная парабола
X2 - 2pZ,	(1)
расположенная в плоскости Oxz, вращается вокруг своей оси
(ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая на-
звание параболоида вращения (рис. 207).
361
Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произволь-
ную точку М(х, у, г) параболоида вращения, и пусть эта точка
получена в результате вращения точки N(X, О, Z) данной пара-
болы вокруг точки С(0, О, Z).
Так как точки М и N расположены в одной и той же гори-
зонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же
окружности, то имеем
X = л/х2 + У2, Z = г.	(2)
Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение па-
раболоида вращения
х2 + у2 = 2pz.
Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность рту-
ти, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вра-
щающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике
для получения параболических зеркал.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Какие геометрические образы в пространстве соответствуют дан-
ным уравнениям:
а) ху — 0;	б) xz = yz;	в) у2 + у - 2 = 0;
г) г2 = 2х;	д) у = 1, z = -2;	е) х2 = 0;
ж) х2 4- у2 - 0; з) х2 + у2 + г2 = 0.
2.	Определить длину перпендикуляра, опущенного из начала коор-
динат на плоскость х - у + zj2 - 8=0, и углы, образованные этим
перпендикуляром с осями координат.
3.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и отсекаю-
щей на осях Ох и Оу отрезки длины 2 и 3 соответственно.
4.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1, 2, 3)
и перпендикулярной оси Oz.
5.	Значения функции z = f (х, у) заданы таблицей с двумя входами:
х У	70	80
10	1,23	1,34
40	1,40	
Приближенно найти z при х = 72 и у = 20, считая функцию z
л и н е й н о й, т. е. первой степени относительно х и у.
362
6.	Какие углы образует прямая -—i »» * - в —с осями коор-
1	-1	-72
динат?
7.	Найти «следы» (т. е. точки пересечения) прямой
х 4-1 = у -1 _ z + 2
2-3	4
на координатных плоскостях.
8.	Написать уравнение сферы с центром в точке С(2, -2, 1), прохо-
дящей через начало координат.
9.	Для сферы х2 + у2 + z2 = R2 написать параметрические уравнения
параллели с угловым расстоянием а (|а| < л/2) от экватора г = 0, приняв
за параметр долготу ф текущей точки М(х, у, z).
10.	Определить полуоси эллипсоида х2 + 2у2 4- 3z2 = 4.
11.	Определить полуоси эллипса, образованного пересечением эл-
липсоида
у2	т/2	jr2
— + *-+--= 1 ПЛОСКОСТЬЮ х == 3.
36	9	4
12.	Написать уравнения касательной к винтовой линии
х = a cos у = a sin f, z = bt	(1)
в точке ее Мо, соответствующей параметру t = tQ. Какой угол образует
эта касательная с осью Oz? Найти проекции винтовой линии на коор-
динатные плоскости.
ГЛАВА XX
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Понятие функции от нескольких переменных
Во многих вопросах геометрии, естествознания и т. д. прихо-
дится иметь дело с функциями двух, трех переменных и более.
Приведем примеры.
Пример 1. Площадь треугольника U ® ху/2 с основанием х и вы-
сотой у есть функция от двух переменных х и у, определенная в области
х > 0 и у > 0.
Пример 2. Разрешая уравнение сферы х2 4- у2 + z2 = R2 относительно
г, при z > 0 получим z « jR2-x2 -у2.
Здесь аппликата z точки верхней полусферы есть функция двух пе-
ременных х и у — абсциссы и ординаты этой точки. Данная функция
определена в круге х2 4- у2 < R2.
Пример 3. Объем прямоугольного параллелепипеда V = xyz с изме-
рениями х, у и z есть функция этих трех переменных, определенная в
положительном октанте пространства Oxyz.
Пример 4. Сила притяжения F двух материальных точек, имеющих
массы т и рц и занимающих соответственно положения М(х, у, z) и
Ун 2i), согласно закону Ньютона, равна
F = k,
(*1 - Х)2 + (у 1 - у)2 + (2! - Z)2
где k — некоторая константа (гравитационная постоянная). Следователь-
но, F есть функция от шести переменных х, у, г, xlt zt.
Сделаем одно важное замечание: всякая функция от не-
скольких переменных становится функцией от меньшего чис-
ла переменных, если часть переменных зафиксировать, т.е.
придать постоянные значения.
Например, пусть мы имеем функцию
и =	2)
от трех переменных х, у и z. Если положить, что z сохраняет
постоянное значение z = с, то мы получим функцию от двух пе-
ременных х и у:
и = f (х, у, с).
364
Далее, предполагая, что две переменные у и z сохраняют неиз-
менные значения у = Ъ и z = с, получим функцию и = /(х, 6, с)
от одной переменной х.	О ?	;
Таким образом, в разных вопросах, по желанию, функцию и
можно рассматривать как функцию одной, двух или трех пере-
менных.
Строго говоря, почти всякая физическая зависимость дает нам при-
мер функции весьма большого количества переменных. Но при изуче-
нии этой зависимости мы игнорируем часть несущественных факторов
и тем самым ограничиваем число переменных, сводя его к минимуму.
Например, путь а, пройденный свободно падающим телом за время £,
зависит от следующих переменных: t — времени падения, Q — площади
поперечного сечения тела, ср — широты места, h — высоты места над
уровнем моря, р — давления воздуха, Т — температуры воздуха^ т| —
коэффициента вязкости воздуха и т. д. Так что мы должны написать
8 = f(t, Q, ф, h,p, Т, п, ...).
В первом приближении все переменные, кроме времени t, являются
малосущественными. Игнорируя их, получим s =* f(t) и тем самым при-
ходим к известной формуле
s = -
s 2’’
где g — ускорение свободного падения, которое считается постоянным.
Если хотя бы частично учесть роль других переменных, то мы будем
иметь формулы для s все более и более соответственно точные, завися-
щие от все более возрастающего числа переменных.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух
переменных
* = /(*,{/) (1)
является, вообще говоря, поверхность в пространстве Oxyz.
В самом деле, пусть данная функция определена в некоторой
области со плоскости Оху. Тогда каждой паре значений х и у из
области со соответствует по формуле (1) некоторое значение г;
иными словами, каждой точке N(x, у, 0) € со ставится в соответ-
ствие точка М(х, у, z), принадлежащая графику функции и яв-
ляющаяся концом перпендикуляра к плоскости Оху.
Если точка N занимает всевозможные положения, исчерпы-
вающие область со, то связанная с ней точка М, в общем случае,
опишет в пространстве некоторую поверхность Р1*, «нависаю-
щую» над областью со. Наглядно можно представлять себе, что
Р есть «крыша», построенная над площадкой со. Поверхность Р
Речь идет о простейших элементарных функциях.
<365
и является геометрическим изображением функции (1) (рис.
208). Геометрические изображения функций трех и большего
числа переменных не имеют простого геометрического смысла.
В некоторых случаях можно получить наглядное геометри-
ческое представление о характере изменения функции, рассмат-
ривая ее линии уровня (или поверхности уровня), т.е. линии
(или поверхности), где данная функция сохраняет постоянное
значение.
Опрелеление 7. Линией уровня функции
2 = f{X, у)
называется множество всех точек плоскости Оху, для ко-
торых данная функция имеет одно и то же значение
(и з о к р и в а я).
Таким образом, уравнение линии уровня есть
f(x, у) = С,
где С — некоторая постоянная.
Пример. Построить семейство линий уровня функции z = х2 + у2.
Давая z неотрицательные значения z = 0, 1, 2, ... (г, очевидно, не может
быть отрицательным), получим соответственно уравнения линий уровня
функции: х2 4- у2 = 0 — точка 0(0, 0); х2 + у2 = 1 — окружность радиуса
R = 1 с центром 0(0, 0); х2 + у2 « 2 — окружность радиуса R == J2 с
центром 0(0, 0) и т. д.
Таким образом, линии уровня нашей функции представляют собой
семейство концентрических окружностей с центром О. Построив эти ли-
нии, получим «карту поверхности» для данной функции с отмеченными
высотами (рис. 209).
На рис. 209 мы наглядно видим, что функция z растет вдоль каж-
дого радиального направления. Поэтому в пространстве Oxyz геомет-
Рис. 208
Рис. 209
366
рический образ функции представляет собой гигантскую «яму» с кру-
то растущими краями. Теоретически это параболоид вращения
(см. гл. XIX, § 8).
Опрелеление 2. Поверхностью уровня функции
и = f (х, у, 2)
называется множество всех точек пространства Oxyz, для
которых данная функция имеет одно и то же значение (и з о-
повер хности).
Линии и поверхности уровня постоянно встречаются в физи-
ческих вопросах. Например, соединив на карте поверхности Зем-
ли точки с одинаковой средней суточной температурой или с оди-
наковым средним суточным давлением, получим соответственно
изотермы и изобары, являющиеся важными исходными
данными для прогноза погоды.
§ 2. Непрерывность
Пусть г = f (х, у) есть функция от двух переменных х и у,
совокупность значений (х, у) которых для краткости будем на-
зывать точкой; таким образом, z есть функция «точки».
Дадим переменной х приращение Дх, оставляя переменную
у неизменной. Тогда разность
Дхг = f(x 4- Дх, у) ~ Дх, у)	(1)
называется частным приращением функции f(x, у) по перемен-
ной х. Следовательно, можно написать
ДхДх, у) = Дх 4- Дх, у) - Дх, у).	(2)
Аналогично, если только переменной у дается приращение
Ду, а переменная х остается неизменной, то разность
Д/ (х, у) = f (х, у 4- Ду) - Дх, у)	(2')
называется частным приращением функции Дх, у) по перемен-
ной у.
Наконец, может случиться, что обе переменные х и у полу-
чили соответственно приращения Дх и Ду. Тогда соответствую-
щее приращение функции
Д/ (*, У) f (х 4- Дх, у 4- Ду) - f (х, у)	(3)
называется полным приращением функции f(x, у) (или просто
приращением функции).
Естественно, что здесь рассматриваются лишь такие точки
(х, у), (х 4- Дх, у), (х, у 4- Ду), (х + Дх, у 4- Ду),
для которых функция f имеет смысл, т. е. определена.
367
Заметим, что из формул (2), (2') и (3) следует, что полное
приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных
приращений этой функции:
Ы(Х, у) * Axf(x, у) + Д/(х, у).
Пример 1. Найти приращение функции f (х, у) = х2 + ху - 2у2, где
х изменилось от 2 до 2,2 и у — от 1 до 0,9.
Здесь Дх = 0,2 и Ду = -0,1. Имеем
f (2; 1) = 22+2«1-2‘12=4
и
f (2,2; 0,9) = 2,22+ 2,2 • 0,9 - 2 • 0,92= 5,20.
Следовательно,
Д/(2; 1) = 5,20 ~ 4 = 1,20.
Аналогично определяются и записываются частные и полные
приращения функции с числом переменных, большим двух.
Определение 1. Функция f(x, у) называется непре-
рывной в точке (х0, у0), если: 1) функция определена в
данной точке и эта точка является предельной для области
существования функции; 2) бесконечно малым приращениям
Дх0 = х “ х0 и Ду0= у - у0
переменных х и у соответствует бесконечно малое прираще-
ние &f(x$, yQ) функции f(x, у), т. е. при любом способе стремления
приращений Дх0 и Ду0 к нулю, для которых Дх0 + Дх0, у0 Ч- Д yQ)
имеет смысл, выполнено условие
lim Д/(х0, у0) = lim [/(х0 + Ах0, у0 + Ду0) ~ f(x0, у0)] = О1’. (4)
Дх0 -> 0	Дх0 0
Ду0 0	Ау0 0
Для наглядности можно мыслить, что функция Дх, у), не-
прерывная в точке (х0, у0), определена как в самой этой точке,
так и в некоторой окрестности ее, причем при доста-
точно малых по модулю Дх0 и Д у0 имеет место равенство (4).
Определение2. Функция f(x, у) называется непрерывной
в данной области, если эта функция непрерывна в каж-
дой точке рассматриваемой области, т. е. если для каждой
точки (х, у) области имеем
lim ДДх, у) = lim [Дх + Дх, у + Ду) - Дх, у)] = 0,	(5)
Дх0 0	Дх -* 0
Ду0 - 0	Ду - 0
причем здесь мы, как обычно, предполагаем, что смещенная точка
(х + Дх, у + Ду) принадлежит данной области и Дх + Дх, у + Ду)
существует (множество таких точек не пусто в любой окрестнос-
D Определение предела функции см. гл. VII, § 3, замечание.
368
ти точки (х, у) в силу определения 1). Таким образом, можно
сказать, что функция непрерывна тогда и только тогда, когда
бесконечно малым приращениям ее аргументов соответству-
ет бесконечно малое приращение функции.
Пример 2. Функция / (х, у) « Jx + Jy + Jl-x-y определена и
непрерывна в треугольнике: Д - {х > 0, у > 0; х + у < 1}. Заметим, что
точки границы множества Д не являются его внутренними
точками.
Из формулы (5) следует, что
/(х + Дх, у + Ду) = f(x, у) + а,	(6)
где а — бесконечно малая при Дх —► 0 и At/ —► 0. Таким образом,
если функция f{x, у) непрерывна, то значения ее в двух бес-
конечно близких точках отличаются друг от друга на беско-
нечно малую функцию.
Положим х + Д'х = хп у 4- Дг/ = ух; очевидно, при Дх 0,
Az/ 0 имеем хг —► х и ух -> у и обратно. Тогда из формулы (5)
получаем эквивалентное определение непрерывности
функции
lim ftx1; yj = f(x, у).
xt -* X
Уг^У
§ 3. Частные производные первого порядка
Пусть дана функция
z = f (х, у).
Для простоты здесь и в дальнейших параграфах по смыслу будем
предполагать, что для каждой рассматриваемой точки (х, у)
функция Дх, у) определена в некоторой полной окрестности этой
точки.
Рассмотрим отношение частного приращения
Дх2 = f(x + Дх, у) - f(x, у)
функции z по переменной х к приращению Дх этой переменной
Дх£ = Дх+дх,^-^^
Дх	Дх
Предел этого отношения при Дх, стремящемся к нулю, если та-
ковой существует, называется частной производной {первого по-
рядка) функции z = /(х, у) по х и обозначается так:
й = f'Ax, у).
369
Мы имеем, следовательно,
m и ftx+Ax,y)-/(x,y)
Эх	Дх
Аналогично определяется частная производная ~ = /'(х, у)
ду
от функции х ~ f(x, у) по у:
дг = Um £fxjrt^h/(xj£)
ду д,--о Ду
Определение. Частной .производной функции от не-
скольких переменных по одной из этих переменных называ-
ется предел отношения соответствующего частного прира-
щения функции к приращению рассматриваемой независимой
переменной при условии, что последнее стремится к нулю.
Заметим, что если от функции z = f(x, у) берется производная
^,тог/ считается постоянным; если же находится ~ ,
дх	ду
тох считается постоянным.
Поэтому частная производная функции от нескольких пе-
ременных равна производной той функции одной переменной,
которая получится, если все независимые переменные данной
функции, кроме соответствующей одной, считать постоян-
ными, т.е.
- [Ах, у)], где у = const, и т. д.
ох ах
Следовательно, частное дифференцирование не требует ника-
ких новых правил дифференцирования, и мы можем пользовать-
ся известными формулами (см. гл. X, § 13).
Пример 1. Пусть z — х3 sin у + у4.
Легко видеть, что
- Зх3 sin у, — = х3 cos у + 4у3.
дх	ду
Аналогично определяются и вычисляются частные производные
функции и = f (х, </, г) трех переменных х, у, z и т. д.
Пример 2. Пусть и - хв - у4 + 3z5; тогда
— - 6х\	= -4„8	= 15г4.
Эх ду У ’ дг
Для функции
2 = /(Х, у)
370
нетрудно выяснить геометрический смысл ее частных произвол-
ных 22 = /'Х(х, у) и	= f'x(x, у). Геометрическим изображением
дх	ду
данной функции является некоторая поверхность Р (рис. 210).
Полагая у = const, мы получаем плоскую кривую Гх, пред-
ставляющую собой сечение поверхности Р соответствующей
плоскостью, параллельной координатной плоскости Oxz. Пусть
МК — касательная к кривой в точке М(х, у, z), а а— угол,
образованный этой касательной с положительным направлением
оси Ох. Так как
дг Гд£"|
дх	L9xJ у = const
на основании геометрического смысла обычной производной
имеем
Й = tg а.
дх
Аналогично, если Гу есть сечение поверхности Р плоскостью
х = const и Р — угол, образованный с осью Оу касательной ML
в точке М(х, у, z) к кривой Гу, то
§ 4. Полный дифференциал функции
Пусть z = /(х, у) есть функция от двух независимых перемен-
ных х и у. Полное приращение этой функции
Az = f(x + Ах, у + Аг/) - ftx, у)
371
представляет собой разность значений данной функции в точках
М(х, у) и М'(х + Дх, у + Ду). Обозначим через р расстояние между
этими точками:
р = 7(Дх)2 + (Ду)2.
Если при р —* О можно подобрать не зависящие от Дх и Ду
величины А и В так, что выражение
А Дх + В &у
будет отличаться от полного приращения Дг функции на вели-
чину высшего порядка малости по сравнению с р, то это выра-
жение называется главной линейной частью полного прираще-
ния функции. В этом случае мы получим
Аг = А Дх + В Ау 4-ур,	(1)
где у 0 при р О (или, что то же самое, у 0 при Дх —► 0 и
Ду -* 0).
Выражение (1) можно записать в другом виде. Поскольку
Дх = р cos ф, Ду = р sin ф (рис,. 211), имеем
р = Дх cos ф + Ду sin ф;
ЛГ
• отсюда
Дг=АДх + ВДу + аДх + Р Ду, (Iх)
----- \-Лу
.Л^<Ф	\| г«е
дх N	а = у cos ф —► 0 и 0 = у sin Ф 0
Рис. 211	при р —► 0, т. е. при Дх	0 и Ду —* 0
и обратно.
Обобщая определение дифференциала функций одной неза-
висимой переменной на случай функции двух независимых пе-
ременных, приходим к следующим определениям.
Определение 1. Под дифференциалом независимой
переменной понимается приращение этой переменной, т. е.
dx = Дх и dy = Ду.
Определение 2, Полным дифференциалом функ-
ции (или, короче, дифференциалом функции) z = f(x, у)
двух независимых переменных х и у называется главная ли-
нейная часть полного приращения этой функции.
Это определение естественным образом распространяется на
функции любого числа переменных.
Обозначая дифференциал функции буквой d, можно написать
dz = АДх + В &у,	(2)
372
где А и В не зависят от Дх и Ду и, сверх того,
Дг - dz = осДх + рДу,
где а и Р — бесконечно малые при Дх 0 и Ду 0. Функция,
имеющая дифференциал в данной области, называется диффе-
ренцируемой в этой области. Если функция г дифференцируема,
то для полного приращения Дг функции имеет место формула
(1) или (1 ').
Заметим, что если функция г = f(x, у) дифференцируема, то
эта функция непрерывна. Действительно, переходя к пре-
делу в формуле (lz) при Дх -* 0 и Ду -* 0, получим
lim Дг = 0,
Дх —► 0
Ду — О
т. е. функция г непрерывна (см. § 2).
Пример 1. Найти дифференциал функции г = ху.
Функцию z можно рассматривать как площадь прямоугольника со
сторонами х и у (рис. 212)1). Давая сторонам х и у приращения Дх и Ду,
получим приращение Дг площади г, представляющее собой площадь
«каймы»:
Дг = (х + Дх)(у + Ду) - ху =
= уДх + хДу + Дх Ду.
Главная часть этого приращения
при Дх —► 0 и Ду —► 0, состоящая из
двух прямоугольников со сторонами
у, Дх и х, Ду есть дифференциал dz
площади г; поэтому
dz « у Дх + х Ду.
ТЕОРЕМА 1. Дифференциал функции равен сумме произведем
ний частных производных этой функции на дифференциалы
соответствующих независимых переменных.
Доказательство. Пусть функция г = /(х, у)диффе рен ци-
р у е м а, т. е. имеет дифференциал
dz = А Дх 4- В Ду.	(3)
Для определения коэффициентов А и В напишем полное прира-
щение функции
Дг = А Дх + В Ду + а Дх + Р Ду,	(4)
где а и Р — бесконечно малые при Дх -♦ 0 и Ду 0. Полагая
Ду = 0 в формуле (4), получим частное приращение
Дхг « А Дх + а Дх.
Для наглядности мы считаем х и у положительными.
373
Отсюда
Ах£
Дх
и, следовательно, при Дх —► 0 будем иметь
lim = — =	= А
дх о Дх дх
Аналогично, полагая Дх = 0 в формуле (4), находим
lim	= в.
Л(/~*0 Ду ду
Таким образом,
dz п dz
дх9 ду'
(5)
Подставляя эти значения в формулу (3) и учитывая, что Дх = dx
и Лу = dy, получим окончательно
dz = ^-dx + ~dy.
дх ду
Следствие. Данная функция имеет единственный диф-
ференциал.
Действительно, из доказательства теоремы 1 следует, что
дифференциал функции z = /(х, у), если он существует, обяза-
тельно выражается формулой (5).
Замечание. Из формулы (5) следует, что для функции z - /(х, у)
двух независимых переменных х и у ее дифференциал dz есть функция
четырех независимых переменных х,у, dx, dy,линейная
(т. е. первой степени) относительно второй пары переменных. Первая
пара переменных, х и у, представляет собой координаты точки М(х, у),
в которой берется дифференциал; вторая пара переменных, dx и dy, есть
координаты вектора смещения точки М (х, у) при переходе
ее в бесконечно близкую точку Af'(x + dx, у 4- dy), где dx и dy — про-
екции отрезка ММ' на соответствующие оси координат Ох и Оу.
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие дифференцируемости функ-
ции). Если функция z « /(х, у) обладает непрерывными Haem-
's
ными производными = fx(x, у) и = /'(х, у) в данной об-
ласти, то эта функция дифференцируема в этой области и
ее дифференциал выражается формулой (5).
Локазательство. Рассмотрим полное приращение функции
Дг = f(x + Дх, у + Дг/) - /(х, у).
374
Вычитая и прибавляя член f (х, у + Ду), будем иметь
Дг = [Дх + Дх, у + Дх) - Дх, у + Ду)] + [Дх, у + Ду) - Дх, у)]. (6)
Первая квадратная скобка формулы (6) представляет собой
приращение функции Дх, у) по переменной х при фиксирован-
ном значении у + Ду второй переменной у, т.е. ее можно рас-
сматривать как приращение функции одной переменной х. Фик-
сируя величину у + Ду и применяя теорему Лагранжа о конечном
приращении функции (гл. XI, § 1), находим
Дх + Дх, у + Ду) - Дх, у + Ду) = Дх/;(х, у + Ду), (7)
где х — некоторое промежуточное значение между х и х + Дх.
Аналогично, вторая квадратная скобка формулы (6) есть прира-
щение функции Дх, у) по переменной у при неизменном значе-
нии переменной х. Поэтому в силу теоремы Лагранжа имеем
Дх, у + Ду) - Дх, у) = ЬуГу(х, у),	(8)
где у — промежуточное значение между у и у + Ду. Из формул
(6), (7) и (8) следует
Дг Дх^(х, у + Ду) + byf'y(x, у).	(9)
Пусть Д —* 0 и Ду -* 0. Так как производные f'x(x, у) и f'(x, у)
непрерывны, то значения их в бесконечно близких точках
Р( х, у + Ду) и М(х, у) и соответственно Q(x, у) и М(х, у) (рис. 213)
отличаются друг от друга на бес-
конечно малые (§ 2); поэтому	Р(£,у+Ду)
Д(х, у + Ду) - /;(х, у) + а
<?(х,у)1
и	Ду
х^(х, у) = /;(х, у) + р,
где аир— бесконечно малые ’	Дх
при Дх —► 0 и Ду -* 0. Отсюда из	рис. 213
формулы (9) имеем
Дг = [ДХх, у)Дх + Д(х, у)Ду] + (аДх + рДу). (10)
По определению главная линейная часть полного прираще-
ния функции есть дифференциал dz этой функции. Следова-
тельно, из формулы (10) получаем
dz ~ fx{x, у)Ьх + f (x, y)ty  p-dx + dy,
9	ох оу
что и требовалось доказать.
375
Пример 2. Найти дифференциал функции z = xv.
Здесь ~ = ухУ _ 1 и « x^ln х. Отсюда
дх	ду
dz = dx + dy = ухУ “ xdx + ху In х dy.
дх ду
Замечание. Аналогично, если функция и = Дх, у, z) имеет
непрерывные частные производные	и , то дифферен-
дх ду дг
циал этой функции выражается формулой
du=^dx+^dy+^dz,
дх ду дг
где dx = Дх, dy = Ду и dz = Дг.
Пример 3. Найти дифференциал функции и = ~е2.
Имеем ® -ег,	== ~-^ег,	« -ег. Следовательно,
дх у ду у2 дг у
du = ez( -dx - ~dy+ - dz\
v У У2 У )
При малых приращениях Дх и Ду приращение дифференци-
руемой функции
ДДх, У) = f(* + Дх, у + Ду) - (х, у)
приближенно можно заменить дифференциалом df(x, у) этой
функции:
df(x, у) = Д(х, у)Дх + /;(х, у)Ду.
Отсюда имеем приближенное равенство
f(x + Дх, у + Ду) - Дх, у) ~ Д(х, у)Дх + /'(х, у)Ду,
которое будет тем относительно точнее, чем меньше |Дх| и |Ду|.
Пример 4. Дан прямоугольник со сторонами х = 6 м и у == 8 м.
На сколько изменится диагональ этого прямоугольника, если сторона
х увеличится на 5 см, а сторона у уменьшится на 10 см?
Обозначая диагональ прямоугольника через и, имеем и « 7^2 + У2 •
Отсюда, заменяя приращение Дх диагонали дифференциалом du
этой диагонали, приближенно находим
a	j х . . у А хДх + уДу
Ди ~ du = —= кх +  -------Ау = — —й .
л/Х2 + у2	Jx2 + у2 Jx2 + у2
376
Полагая в последней формуле х = 6 м, Дх = 0,05 м, у = 8 м, Дг/ = -0,10 м,
получаем
Дца6-0,05 + 8-(-0Д0}м = -0,05 м.
736 + 64
Таким образом, диагональ прямоугольника уменьшится приблизитель-
но на 5 см. Точный подсчет дает значение Ди = -0,045 м.
§ 5. Применение дифференциала функции
к приближенным вычислениям
С помощью полного дифференциала функции можно выяс-
нить, как отражаются на значении функции погрешности ее ар-
гументов.
Задача. Определить предельную абсолютную погрешность Д2
функции
2 = f (X, у),
зная предельные абсолютные погрешности Дх и Ду аргументов х, у:
|Дх| < Дх и \&у\ < Ду.
Имеем
|Az| = \f(x + Дх, у + \у) - /(х, у)\.
Заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим
|Дз| я ^'(х, у)Дх + f'y(x, у)Ду|.
Отсюда выводим приближенную оценку:
||^| |Дх| + ||^| |Ду|.
Следовательно, за предельную абсолютную погрешность
функции z можно принять
д2=||£|дх+|^|л.	(1)
2 |дх| х |dz/| У	' '
Пример. Гипотенуза прямоугольного треугольника х = 120 м +
± 2 м, а острый угол у == 30° ± 1Q. С какой точностью можно найти
противолежащий данному углу катет z этого треугольника?
Имеем
х « х sin у,	(2)
Отсюда
Ъх	. Ъх
— = sin у, — = х cos у.
Эх	ду
377
Полагая х = 120, Ах = 2и(/==^,Ау=	, по формулам (2) и (1) находим
z « 120 sin 30° - 60 (м)
и
Аг = sin 30° • 2 4- 120 • cos 30° •	= 1 + 1,8 - 2,8 (м).
Следовательно,
г = 60 м ± 2,8 м.
Используя формулу (1), можно определить также предель-
ную относительную погрешность функции:
8 = А*.
г И
В частности, положим
2 = ху (х ^0, у 0).
Тогда Дг = |у|Дж + |х|Ду и, следовательно,
8г = п + г? , или 8г = 8Х + 8 ,
|х|	|у|	у
т. е. предельная относительная погрешность произведения равна
сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
§ 6. Понятие о производном функции .
по данному направлению
Пусть и = f(x, у) — функция, определенная в области со. Рас-
смотрим некоторую точку М(х, у) 6 о и некоторое направление I,
определяемое направляющими косинусами cos 01 и cos 0 = sin а
(т.е. cos а и cos 0 — косинусы углов, образованных лучом I с по-
ложительными направлениями осей координат Ох и Оу). При
перемещении в данном направлении I точки М(х, у) в точку
М'(х + Дх, у + Ду) е 0) функция и — f(x, у) получает приращение
Д,и = f (х + Дх, у + Ду) - f (х, у),
которое называется при-
ращением функции и в
данном направлении I
(рис. 214). Если ММ' = Д/
есть величина перемеще-
ния точки М, то из пря-
моугольного треугольника
МРМ' получаем
Дх = Д( • cos а,
Ду = Д/ • cos 0;	(2)
378
(3)
следовательно,
Д;и — f(x + Д* cos а, у + Д/ cos P) - f(x, y).
Определение. Под производной функции и в
dl
данном направлении I понимается предел отношения
приращения функции в этом направлении к величине переме-
щения при условии, что последняя стремится к нулю, т. е.
57 = lim ^7-
dl ы — о Ы
**	ди ди
С этой точки зрения производные — и — можно рассматри-
дх ду
вать как производные функции и в положительных направлени-
ях осей координат Ох и Оу.
Производная дает скорость изменения функ-
dl
ции в направлении I.
Выведем формулу для производной , предполагая, что
dl
функция и = f(x, у) дифференцируема. Из определения диффе-
ренциала функции следует, что приращение функции отличается
от дифференциала функции на величину высшего порядка малос-
ти относительно приращений независимых переменных. Поэтому,
используя формулу полного дифференциала (§ 4, (5)), будем иметь
Д;П = Дх + Ду + ехДх + е2Ду,
dx dy
где 0 и е2	0 при Дх —► 0 и Ду 0. Отсюда в силу соотно-
шений (2) получаем
Д^и = f cos а + cos Р^Д/ + (Sj cos а + г2 cos Р)Д/.
\ах	dy J
Следовательно,
cos а + cos В + Ei cos а + е2 cos В.
AZ дх	ду
Переходя к пределу в последней формуле при Д/ -► 0, т.е. при
Дх —► 0 и Ду —► 0, и основываясь на определении (3), получим ис-
комую формулу для производной функции в данном направлении:
ди ди . ди о
— = — cos а + — cos р,
dl дх	ду
где cos р = sin а.
Пример. Найти приращение функции и « х2 + 2ху - у2 при пере-
Q
мещении точки М(1, 2) в направлении I, образующем угол а = arctg - с
4
(4)
379
положительным направлением оси Ох, на расстояние AZ » 0,1. Чему
равна производная в точке М?
д1
Имеем tg а = 3/4, причем 0 < а < я/2. Отсюда sec а — 71 + tg2a -
Е 9	5
s /1 + — = - ; следовательно,
N 16	4
cos а = —— = - и sin а = tg а • cos а =-•“=? .
seca 5	4 5	5
Используя полученные направляющие косинусы cos a = 4/5 и cos Р = 3/5
направления I, находим для точки М приращения координат
Дх = AZ • cos a = 0,1 •	= 0,08 и А у = AZ • cos 3 - 0,1 • ? = 0,06.
5	5
Таким образом, перемещенная точка М' юае&г координаты
Xj = х + Ах = 1 + 0,08 = 1,08 и уг = у + Ау = 2 + 0,06 = 2,06.
Отсюда искомое приращение функции и равно
Д/U = (1,082 + 2 • 1,08 • 2,06 - 2,Об2) - (I2 + 2 • 1 • 2 — 22) ==
= 1,3724 - 1 = 0,3724.
Заметим, что ~ 3,7. Далее, имеем
^ == 2х 4- 2z/,	= 2х - 2у;
дх	ду
(Э14^	( Э uA
6, I =-2и, следовательно,
VdyJM
fsrl = cos a + Пт5) cos ₽ - 6 • i + (-2) • I - 3,6.
\.dxJM \dyJM	5	5
Замечание. Для функции и = /(х, у, z) ее производная в на-
правлении I, определяемом вектором I = {cos a, cos Р, cos у}, равна
ди _ ди
д1
= cos а + cos Р + cos у.
дх	ду	dz
§ 7. Градиент
Определение /. Говорят, что в данной области ^опреде-
лено скалярное поле, если для каждой точки МЕО) задан
некоторый скаляр (т. е. число)
и - f(M).	(1)
Таким образом, и есть числовая функция точки.
По установившейся традиции слово «область» здесь служит синони-
мом слова «множество». Точное определение понятия «область» см. в § 11.
380
Примерами скалярных полей являются температурное поле,
т. е. распределение температуры в нагретом теле; распределение
концентрации вещества в растворе, и т. п.
Если область со расположена на плоскости Оху, то любая ее
точка М определяется двумя координатами (х, у) и плоское ска-
лярное поле (1) может быть записано в виде
и = f(x, у) ((х, у) € (О).	(2)
Аналогично, для области со, находящейся в пространстве Oxyz,
мы будем иметь
<14 = /(X, у, z) ((X, у, Z) € СО).
Таким образом, понятие скалярного поля представляет собой
физическую трактовку функции нескольких переменных.
Определение 2, Говорят, что в данной области со определено
векторное поле, если для каждой точки М € со задан не-
который вектор
а = F(M).	(3)
Примерами векторных полей являются поле скоростей в дан-
ный момент времени точек потока жидкости; силовое поле, со-
здаваемое некоторым притягивающим центром, и т. п.
Для случая плоского векторного поля (3) (со 6 Оху) мы будем
иметь вектор-функцию
а = F(x, у) ((х, у) 6 со).	(4)
Отсюда, переходя к координатам вектора а, получим
ах = Fi(x, у), ау = F2(x, у).	(5)
Таким образом, задание плоского векторного поля (4) равно-
сильно заданию двух скалярных полей (5).
Аналогично, для случая пространственного векторного поля
(со € Oxyz) получаем
а = F(x, у, z),	(6)
или же, в координатах,
ах = F^x, у, z), ау = F2(x, у, г), аг = F3(x, у, z).	(7)
Итак, векторное поле (6) эквивалентно трем скалярным по-
лям (7). Этим объясняется удобство векторного языка:
он позволяет в одной векторной формуле записывать нескдлько
скалярных соотношений.
Множество всех точек М, для которых скалярное поле (1)
сохраняет постоянное значение
f(M) = const,
называется поверхностью (или линией) уровня скалярного ноля
(изоповерхности) (см. § 1).
381
Определение 3. Пусть
и = Дх, у)	(8)
— дифференцируемое плоское скалярное поле1). Тогда вектор
grad и =
Эи Эи
Эх’ ду
(9)
называется градиентом поля; или подробнее
grad и =	4-	,
Эх ду
где i, j — единичные векторы, направленные по осям координат
Ох и Оу (координатные орты).
Аналогично, для пространственного скалярного поля
7	и = Дх, у, z)	(8')
его градиент есть вектор
gradu = F^,^,^l	(9')
1_Эх ду dz J
Таким образом, скалярное поле порождает векторное поле —
поле градиентов.
Под производной скалярного поля (8') в данном направлении I
понимается выражение (см. § 6)
ди _ ди л. ।	ди	о ।	ди ..	/1
—- = т— cos а +	— cos	р +	— cos у,	(10)
dl Эх	ду	дг
где cos а, cos Р, cos у — направляющие косинусы вектора I дан-
ного направления. Производная представляет собой скорость
dl
изменения поля в данном направлении.
ТЕОРЕМА 1. Производная скалярного поля в данном направ-
лении равна проекции градиента поля на данное направление
(в соответствующей точке).
Доказательство. Обозначим через l0 = {cos a, cos Р, cos у} еди-
ничный вектор направления I.
Тогда, учитывая формулу (9') и вспо-
миная определение скалярного произве-
дения (гл. XVIII, § 12), выражение (10)
можно записать в следующем виде:
= grad и • l0 = Igrad u| |Z0| cos <p =
Ol
= |grad u| cos (p,	(11)
где (p = Z(grad и, l) (рис. 215).
l> To есть f (x, y) — дифференцируемая функция двух переменных.
382
Отсюда
37 = пр, grad и.
(12)
Следствие. Градиент скалярного поля в данной точке по
модулю и направлению равен максимальной скорости измене-
ния поля в этой точке.
Действительно, из формулы (11) получаем, что
max = — = |grad u|,
l dl dl*
и при этом cos ф = 1. Отсюда находим, что ф = 0 и, следовательно,
направление вектора 1 = 1* должно совпадать с направлением
grad и, т.е. i* = k grad и, где k > О. Кроме того, для этого направ-
ления имеем
ди
dl*
= |grad и\
(13)
Замечание. Из следствия вытекает, что градиент поля не за-
висит от выбора прямоугольной системы координат Oxyz.
Пример. Найти модуль и направление градиента поля и = - + г2
в точке Мо(2, 1, 0).
Имеем
I = 1 “1.
м0 ^У'м0
(19 =("Й = "2’ (19 “(2г)м. =0.
vdl/7д/0 \ у J\dzjмо
Следовательно,
grad u(M0) = i - 2/.
Отсюда
|grad и(М0)| = а/5
1	2
и cos а = — , cos В = —— , cos у = 0.
75	75
Точка Мо, в которой grad u(Af0) = 0, называется особой для
скалярного поля; в противном случае точка Мо называется не-
особой (обыкновенной).
Приведем без доказательства теорему, выясняющую направ-
ление градиента скалярного поля.
ТЕОРЕМА 2. Во всякой неособой точке плоского скалярного
поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня,
проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.
383
§ 8.	Частные производные высших порядков
Пусть имеем некоторую функцию г = f(x, у) от двух пере-
менных х и у. Ее частные производные
Г, - и г, -
являются функциями от переменных х и у. В некоторых случаях
для этих функций существуют снова частные производные, на-
зываемые частными производными второго порядка (или прос-
то вторыми частными производными):
Эх2 дх I дх) fx*( ,У^'	дхду	di/ldxj
= i_ (& ) = f' (х и)	—	= f" (х и)
дудх дх\ду) ТУ*Х’У)’ ду* ду\ду) Tw(X’y)-
Продолжая таким путем дальше, мы можем определить ча-
стные производные третьего порядка (третьи частные про-
изводные) и т. д.
Аналогично определяются и записываются частные произ-
водные высших порядков от функции трех и большего числа пе-
ременных.
Можно доказать следующую теорему:
если все входящие в вычисления частные производные, рас-
сматриваемые как функции своих независимых переменных,
непрерывны, то результат частного дифференцирования не
зависит от последовательности дифференцирования.
Э22	д22
В частности, например, если производные и не-
дхду дудх
прерывны, то имеет место равенство
д2 г _ д2 z
дхду дудх*
Не приводя доказательство в общем виде, проверим справедли-
вость этого последнего утверждения на отдельных примерах.
Пример. Пусть z ® ху (х > 0).
Имеем
— = ихУ ~ Z = ХУ ~ 1 + иху ~ 1 In X,
дх У ’ дхду	У
= ХУ In х, д z = уХу - I in х + ХУ " х.
ду	дудх
384
Мы видим, что для данной функции z соблюдается равенство
э2г = a2z
дхду дудх ’
как и следовало ожидать.
§ 9.	Признак полного дифференциала
Если функция и = Дх, у) дифференцируема, то полный диф-
ференциал ее имеет вид (§ 4, формула (5))
du = Р (х, у) dx + Q (х, y)dy,	(1)
где
Р(х,	и Q(x, г/)=|^.	(2)
ох	оу
Возникает обратная задача: при каких условиях дифферен-
циальное выражение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy,	(3)
где функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вместе со своими про-
изводными первого порядка, является полным дифференциалом
некоторой функции и?
Необходимое условие полного дифференциала дается сле-
дующей теоремой.
ТЕОРЕМА. Для того чтобы дифференциальное выражение
(3) являлось в области G полным дифференциалом некоторой
функции u=F (х, у), необходимо, чтобы в этой области тож-
дественно было выполнено условие
g =	((X, у) е (?)	(а)
ох оу
(условие полного дифференциала).
Доказательство. Пусть (3) — полный дифференциал функции
и = Р(х, у). Имеем
du = |^dx +	(4)
ох оу
Отсюда в силу единственности дифференциала (§ 4, теорема 1,
следствие) получим
Р(х, у) - Q(x, у) =	(5)
ох	оу
13 Б. Демидович, В. Кудрявцев
385
Дифференцируя первое равенство (5) по у, а второе — по х,
будем иметь
ЭР = Э2и dQ = д2и	f6)
ду	дхду’ дх дудх'
Так как для непрерывных смешанных производных результат
дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования,
то из (6) получаем
ЭР _ dQ
ду дх 9
т. е. условие (а) выполнено.
Следствие. Если условие (а) не выполнено, то выражение
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy не является в области G полным диф-
ференциалом некоторой функции.
Замечание. Можно доказать, что для конечной йли беско-
нечной прямоугольной области
G = {а < х < Ъ-, А < у < В}
выполнение условия (а) также достаточно для существования
функции и такой, что
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = du.
Пример. Являются ли выражения
у dx - х dy н у dx + х dy
полными дифференциалами некоторых функций?
Для первого выражения имеем Р = у. Q =» -х. Отсюда
ЭР =1 3Q =-1
ду 9 дх
и, следовательно, условие полного дифференциала не выполнено,
т. е. не существует функции, полный дифференциал которой равен
у dx - х dy.
Для второго выражения получаем Р « у, Q = х и, следовательно,
ЭР _ dQ = .
ду дх
Условие полного дифференциала выполнено. Так как плоскость можно
рассматривать как бесконечнуй) прямоугольную область, то у dx 4- ху
есть полный дифференциал некоторой функции. Действительно,
у dx + х dy = d (ху).
386
§ 10. Максимум и минимум функции
нескольких переменных
Напомним, что (см. гл. VII, § 3) под окрестностью точки
плоскости понимается внутренность любого прямоугольника,
окружающего эту точку, исключая саму точку (проколотая ок-
рестность).
Аналогично, под окрестностью точки пространства понима-
ется внутренность произвольного параллелепипеда, содержаще-
го эту точку, за вычетом самой точки.
Определение. Максимумом (строгим) функции f(x, у)
называется такое значение f(x19 у±) этой функции, которое
больше всех ее значений f(x9 у), принимаемых данной функцией
в точках некоторой окрестности точки (х19 yi)1^ (Эта окрест-
ность может быть весьма малой по своим линейным размерам.)
Аналогично, минимумом (строгим) функции f(x, у) на-
зывается такое значение f(x2, у2) этой функции, которое мены
ше всех ее значений f(x, у), принимаемых данной функцией в
точках некоторой окрестности точки (х2, у2).
Максимум или минимум функции f(x, у) называется экстре-
мумом этой функции, а точка, в которой достигается экстремум,
называется точкой экстремума (соответственно точкой макси-
мума или точкой минимума функции).
Аналогично определяется экстремум функции f(x, у, z) и т. д.
Укажем необходимый признак экстремума функции
нескольких переменных.
ТЕОРЕМА. В точке экстремума функции нескольких пере-
менных каждая ее частная производная первого порядка либо
равна нулю, либо не существует.
Доказательство. Рассмотрим для простоты функцию двух пе-
ременных и = f(x, у), и пусть f(xQ, у0) — ее максимум (рассуж-
дения для минимума функции аналогичны).
Зафиксируем одну из переменных, например у, полагая у = yQ.
Тогда получим функцию одной переменной
U1 = f(x, у0),
которая, очевидно, будет иметь максимум при х = х0. Отсюда на
основании теории экстремума функции одной переменной (гл. XI,
§ 7) получаем, что
( 77 )	= fx (х0, Уо) = О
V дх Jх = xQ
или f'x(xQ, уq) не существует.
По смыслу определения функция f(x, у) должна иметь смысл на
некотором множестве точек этой окрестности.
387
Совершенно так же доказывается, что f'y(x^ yQ) = 0 или f'y(xQ, у0)
не существует.
Следствие. В точке экстремума MQ(xQ, yQ) дифференцируе-
мой функции f(x, у) выполнены равенства
f'x(XO> Уо) = °> fy(.xo> Уо) = О-
Аналогично, если дифференцируемая функция f(x, у, г) име-
ет экстремум в точке М0(х0, у0, z0), то
fx(xo> У о, zo) = 0, f'v(x0, у0, z0) = 0, /;(х0. Уо. zo) = О-
Замечание 1. Точку, в которой частные производные первого
порядка некоторой функции либо равны нулю, либо не сущест-
вуют, назовем критической для данной функции.
Тогда теорема эквивалентна утверждению: экстремумы
функции нескольких переменных могут достигаться лишь в
критических точках ее.
Замечание 2. Выведенные выше условия экстремума функ-
ции, вообще говоря, не являются достаточными, т. е. если, на-
пример, в некоторой точке все частные производные первого по-
рядка функции равны нулю, то в этой точке функция не обяза-
тельно имеет экстремум.
Пример 1. Для функции /(х, у) = ху имеем
f'x(x, у) = у, f'y(x, у) = х.
Следовательно, /'(0, 0) « /'(0, 0) = 0.
Однако точка 0(0, 0) не является точкой экстремума функции, так как
в любой окрестности точки О имеются точки А (е, е) и В (~е, е) (е > 0 про-
извольно) такие, что
ДА) = е2> 0 = /(0) и /(В) = —г2 </(0).
Пример 2. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих
сумму трех измерений, равную данной положительной величине а, най-
ти тот, объем которого наибольший.
Обозначим измерения рассматриваемого прямоугольного паралле-
лепипеда через х, у и г (х > 0, у > 0, z > 0). Его объем V выразится
так: V = xyz. Кроме того, согласно условию задачи имеем
х + у + z « а.
Выразив z через х и у из последнего уравнения и подставив это
значение z в выражение для V, получим
V = ху(а - х - i/),
где переменные х и у являются независимыми.
388
Возьмем частные производные от V по х и у:
= ау - 2ху - у2,	= ах - х2 - 2ху.
t ох	ду
Приравняв эти частные производные нулю, будем иметь
ау - 2ху - г/2 = О, I
ах - х2 - 2ху = 0.]
Так как Для искомого параллелепипеда величины х и у заведомо не рав-
ны нулю, то мы можем наши уравнения сократить на них. После прос-
тых преобразований получим систему
2х + у = а, 1
х 4- 2у « а. ]
Решая обычным методом эту систему, находим х = а/3 и у « а/3.
Следовательно, также z == а/3.
Итак, искомый параллелепипед есть куб, ребро которого равно а/3
(можно строго доказать, что объем его при данных условиях наибольший).
§11. Абсолютный экстремум функции
Рассмотрим некоторое множество G точек плоскости (или
пространства).
Точка М называется внутренней для множества G, если она
принадлежит этому множеству вместе с некоторой своей окрест-
ностью (рис. 216).
Точка N называется граничной для множества G, если в любой
ее полной окрестности имеются точки, как принадлежащие G, так
и не принадлежащие ему (рис. 216).
Сама точка N не обязательно прина-
длежит множеству G.
Совокупность всех граничных то-
чек множества G называется его грани-
цей Г.
Опрелеление 7. Множество G бу-
дем называть областью, если все его
точки — внутренние1^.
Множество G с присоединенной
границей Г, т. е. множество G = G U Г,
называется замкнутой областью.
Область называется ограниченной, если она целиком содер-
жится внутри круга (или шара) достаточно большого радиуса.
Обычно такое множество называется открытым.
389
Пример 1. Внутренность К круга
(рис. 217)
есть область; граница ее — окружность
х2 + р2 “ 1; круг с присоединенной грани-
цей, т. е. совокупность точек, для которых
х2 + у2 <: 1, — замкнутая область.
Опрелеление 2. Наименьшее или
наибольшее значение функции в дан-
ной области называется аболют-
ным экс трем умом функции (со-
ответственно абсолютным минимумом или абсолютным мак-
симумом) в этой области.
Имеет место следующая теорема:
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА. Функция, непрерывная в ограни-
ченной и замкнутой области, достигает в этой области свое-
го наименьшего и своего наибольшего значений.
ТЕОРЕМА. Абсолютный экстремум функции в данной облас-
ти достигается либо в критической точке функции, прина-
длежащей этой области, либо в граничной точке области.
Пример 2. Найти абсолютный экстремум функции z = ху в треуголь-
ной области S с вершинами 0(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (рис. 218).
Имеем
= о
х
_ у М =Х.
дх У' ду
Отсюда находим критическую точку 0(0, 0) с координатами х = О,
у “ 0, принадлежащую области S.
Изучим поведение функции z на границе Г = ОАВО области S. На
участке ОА имеем у = 0 (0 < х < 1). Поэтому z = 0.
Аналогично, на участке ОВ имеем
(О < у < 2), получаем z = 0.
Наконец, отрезок АВ имеет уравнение у
« 1, или у = 2 - 2х (0 < х < 1). Отсюда
z = ху = 2х - 2х2.
2 =
2
Имеем
= 2 - 4х = О
дх
при х = 1/2, откуда у = 1. Так как
=-4<0,
Эх2
390
то в точке £>(1/2, 1) функция z достигает своего наибольшего значения
Af = ~ ‘ 1 = 5 на отрезке АВ.
6 л
Итак, наименьшее значение функции z в области S есть
т = 0 и оно реализуется в точках отрезков ОА и ОВ, составляющих часть
границы Г области S; наибольшее ее значение М = 1/2 дости-
гается в точке £>(1/2,1), принадлежащей отрезку АВ границы Г.
§ 12. Построение эмпирических формул
по способу наименьших квадратов
В естествознании, в частности в физических и биологических
науках, приходится пользоваться эмпирическими формулами,
составленными на основании опыта и наблюдения. Один из на-
илучших методов получения таких формул — это способ
наименьших квадратов. Изложим идею этого способа,
ограничиваясь случаем линейной зависимости двух величин.
Пусть мы хотим установить зависимость между двумя вели-
чинами х и у (например, температурой и удлинением прямоли-
нейного металлического стержня). Производим соответствую-
щие измерения (например, п измерений) и результаты сопостав-
ляем в таблице:
X	*1	х2	*3	...	Хп
У	Ух	У2	Уз	...	Уп
Будем рассматривать х и у как прямоугольные координаты
точек на плоскости. Предположим, что точки с соответствующи-
ми координатами, взятыми из нашей таблицы, почти лежат на
некоторой прямой линии, например располагаются так, как по-
казано на рис. 219. Естественно в этом случае считать, что между
х и у существует приближенная линейная зависимость,
т. е. что у есть линейная функция
от х, выражающаяся формулой
у = ах + &,	(1)
где а и Ъ — некоторые постоянные
коэффициенты, подлежащие опре-
делению. Формула (1) может быть
представлена в таком виде:
ах + Ъ - у = 0.	(2)

Так как точки (х, у) только приблизительно лежат на нашей
прямой, то формулы (1) и (2) приближенные. Следовательно,
подставляя в формулу (2) вместо х и у их значения хх, уг\
х2, У 2* •••; Уп> взятые из предыдущей таблицы, мы получим
равенства:
ахг + b - ух = ех, ах2 + Ь - у2 = е2,	(3)
ахп + b - уп = е„,	
где
е2, е„	(4)
— некоторые числа, вообще говоря, не равные нулю, которые
мы будем называть погрешностями.
Требуется подобрать коэффициенты а и & таким образом, что-
бы эти погрешности были по возможности малыми по абсолют-
ной величине1). Способ наименьших квадратов состоит в сле-
дующем: нужно подобрать коэффициенты а и & так, чтобы сум-
ма квадратов погрешностей была возможно
мень шей, т. е. потребуем, чтобы сумма
17 = 82 + ef + ... + 82	(5)
была наименьшей. Если эта минимальная сумма квадратов ока-
жется малой, то тогда и сами погрешности будут малыми по аб-
солютной величине.
Примечание. Можно было бы попытаться вместо суммы квадратов
погрешностей взять сумму их и искать коэффициенты а и Ъ так, чтобы
эта сумма была возможно малой по абсолютной величине. Однако это,
очевидно, не обеспечит малости погрешностей, так как последние могут
иметь различные знаки. Этого не может случиться, если задача реша-
ется методом наименьших квадратов.
Заменяя в выражении (5) числа (4) их значениями из ра-
венств (3), получим такую величину:
и = (ах1 + b - yj)2 + (ах2 + b - у2)2 + ... + (ахп + b - уп)2. (6)
В формуле (6) числа х1г у1г х2, у2, ..., хп, уп получены в ре-
зультате измерений и рассматриваются как данные; коэффици-
__________ '
Эта задача является простейшим частным случаем общей пробле-
мы «о наилучшем приближении функций», поставленной и в весьма
широких условиях решенной П. Л. Чебышевым.
392
енты же а и b — неизвестные величины, подлежащие определе-
нию.
Итак, U можно рассматривать как функцию от двух перемен-
ных а и Ь. Подберем коэффициенты а и fe так, чтобы функция U
получила возможно меньшее значение. Согласно предыдущему
параграфу, для этого необходимо, чтобы соблюдались условия
^-0,^-0.
да дЬ
Беря эти частные производные и для удобства выкладок снабжая
их коэффициентом 1/2, будем иметь
| 57 = (а«1 + Ь - yj)xi + (ах2 + b - у2)х2 + ...
z о а
... + (ахп + Ь - уп)хп,
I = (axi + ь ~ У1) + (axz + ь ~ Уг) + — + (ахп + b - уп).
Z ди
Отсюда, приравнивая эти частные производные нулю, получим
линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и fe:
(ахх + b - yi)Xi+ (ax2+ b - y2)x2 + ... + (axn + b - yn)xn = 0,
(axj + b - у J + (ax2 + b - y2) + ... + (axn + b - yn) = 0.
Производя обычные алгебраические преобразования, пред-
ставим эту систему в более простом виде:
a(xf + х2 + ... + х2п)+ Ь(хх + х2 + ... + х„) =
= Xil/x + х2у2 + ... + х„уп,
а(хх+ х2 + ... + х„)+ bn = yi + у2 + ... + уп,
или, введя сокращенные обозначения, имеем
/ = 1	i=1 i=l
хг + Ьп=
i=i	i=i
(7)
Это окончательный вид так называемой нормальной систе-
мы способа наименьших квадратов. Из этой системы мы находим
а и fe, а затем подставляем их в нашу эмпирическую формулу
у = ах + Ь.
393
Пример. Пусть результаты измерений величин х и у и итоги обра-
ботки их занесены в следующую таблицу:
i		У1	xf		
1	-2	0,5	4	-1,0	-0,175
2	0	1	0	0	0,175
3	1	1,5	1	1,5	0,100
4	2	2	4	4	0,025
5	4	3	- 16	12	-0,125
Е	5	8,0	25	16,5	0
Положим
у = ах + Ъ.
Нормальная система (7) имеет вид
25а+ 55=16,5,
5а + 5Ь = 8.
Решая эти уравнения, получим а = 0,425, Ъ « 1,175. Отсюда
у = 0,425х + 1,175.
В последнем столбце таблицы даны соответствующие погрешности.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Определить области существования функций:
а) и = xjl - у2; б) и = Jx2 + у2-1; в) и « 1п(х + у),
2.	Построить линии уровня следующих функций:
a)	z = х - у; в) г — х2 - у2;
б)	г = ;	г) 2 = у - х2.
х
3.	Построить поверхности уровня функций:
а) и == х + у + г; б) и = у2 4- z2.
4.	Найти частные производные первого порядка и полный диффе-
ренциал от следующих функций;
а) и = х2 - 2ху - у2; б) и = Х ; в) и = /- .
Jx2 + у2	ЧУ
394
5.	Найти производную — функции и = — в точке Мо(1, 1) в на-
Jy
7t Л 3 Я
правлении l, образующем угол а с осью Ох, если a = 0, -, - , —, я,
4 2	4
— , — , — , 2я. Чему равен |grad и (Мо)|?
4	2	4
6.	Изотермы температуры и имеют вид х2 + у2 = С. Зная, что для
изотермы, проходящей через точку А(3, 4), значение функции и = 30 °C,
а для изотермы, проходящей через точку В(5, 1), значение функции
и s 35 °C, приближенно найти |grad и (А)|, если линейные расстояния
даны в километрах.
7.	Найти производные второго порядка от функций:
а) и = х 1п у + 7sinx ; г) и « 3Jx + arctg у;
в) и — 1п(х + у2);
Л 1-т	Э2 и	Э2и	. /—7~
8.	Проверить, что . .	== - —г- , если и = х arcsin vx/u.
дхду дудх
9.	Масса тела в воздухе т == 0,52 кг + 0,02 кг, а в воде т1 = 0,31 кг +
+ 0,01 кг. С какой точностью можно определить плотность тела?
10.	Выяснить, какие из данных выражений являются полными диф-
ференциалами:
a) dx + у dy, б)^ - (у > о),
У2 У3
(«>0,8>0).
(* + у)
11.	При каком условии сумма трех положительных слагаемых х, у
и z будет наименьшей, если произведение этих слагаемых есть величина
постоянная, равная а?
12.	В полушар радиуса а вписать прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
13.	В прямой круговой конус, радиус основания которого г, а
высота h, вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего
объема.
14.	Результаты измерения величин х и у яъкпся следующей таблицей:
X	10	20	30	40	50	60
У	150	100	40	0	-60	-100
395
Предполагая, что между х и у существует линейная зависимость
у = ах + Ь9
способом наименьших квадратов определить коэффициенты а и Ь.
15.	Параболу у « х2 на участке 2 < х < 4 приближенно заменить
прямой Y = kx + b так, чтобы «средняя квадратичная ошибка»
4
со = J (у - Y)2dx была наименьшей.
2
16.	Найти абсолютный экстремум функции и = Зх + 4у + 5 в области
X2 + у2 < 1.
Указание. Использовать параметрические уравнения границы
области.
ГЛАВА XXI
РЯДЫ
§ 1. Примеры бесконечных рядов
В настоящей главе мы займемся изучением свойств беско-
нечных рядов, а также разложением функций в
степенные и тригонометрические ряды.
Примером бесконечного ряда, который рассматривается в
элементарной алгебре, является бесконечно убывающая геомет-
рическая прогрессия1)
а + aq + aq2 + ... + aqn~1 + ...,	(1)
где |q| < 1. Здесь каждый следующий член образован из преды-
дущего по определенному закону, а именно: каждый следующий
член получается из предыдущего посредством умножения его на
знаменатель прогрессии q. Следовательно, n-й член, так назы-
ваемый общий член прогрессии, выражается формулой
u„ = dgB-1 (n = 1, 2, 3, ...).
Другой пример бесконечного ряда представляет гармониче-
ский ряд
1	+ 5+ 5+ 7+ l+- + i +-’	(2)
2	3	4	6	п
п-и член которого равен ип = i .
л
Существуют также ряды, составленные из функций, например
Х-У*2	-у»3
_ I Л, I Л,	I	Л-
1	1-2	1-2-3	1-2. ..п
где n-й член равен
(3)
Точнее было бы сказать — ряд, составленный из членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. В дальнейшем мы для краткос-
ти ряд вида (1) будем называть просто «геометрической прогрессией».
2> Сокращенная запись п! (читается: «л факториал») обозначает про-
изведение всех натуральных чисел, не превышающих числа п.
397
Закон образования членов ряда дается его n-м членом, кото-
рый называется общим членом ряда. Имея формулу об-
щего члена ряда, можно найти любой член этого ряда.
Возникает задача: исследовать свойства бесконечного ряда,
предполагая, что n-й член его известен.
Заметим, что теория рядов имеет большие практические при-
менения ввиду возможности при широких условиях представле-
ния данной функции в виде бесконечного ряда более простых
функций, например ряда многочленов, что позволяет легко при-
ближенно находить значения функции для данного значения ар-
гумента.
§ 2. Сходимость ряда
* Дадим общее понятие бесконечного ряда. Пусть имеем
некоторую составленную по определенному закону бесконечную
последовательность чисел или функций, чисто формально соеди-
ненных между собой знаком плюс:
Uj + u2 + и3 + ... + ип + ... = у ип.	(1)
п = 1
Такое выражение называется бесконечным рядом или просто ря-
дом, а слагаемые и19 и2, и3, ..., ип, ... называются членами этого
ряда. Если члены ряда — числа, то ряд называется числовым;
если же они являются функциями, то ряд называется функци-
ональным.
Заметим, что изучение функциональных рядов сводится к
изучению числовых. В самом деле, если
Un= fn(x) (п = 1, 2, ...),
то для каждого фиксированного значения аргумента х мы полу-
чаем соответствующий числовой ряд (1), свойства которого и
нужно исследовать.
Член ип ряда (1), стоящий на n-м месте, считая от начала,
называется общим членом этого ряда. Ряд (1) считается задан-
ным, если известен общий член его, выраженный как
функция номера п. Тадсовы, например, ряды (1), (2) и (3)
из § 1, где соответственно
Un = а<Г - 1, ип = 1, ип =	.
п	п\
398
’ Считая, что ряд (1) задан, мы можем образовать частичные
суммы этого ряда, т. е.
Si=ult
$2 = и । 4” U2,
=	+ 4^2	и39
Sn=u1+u2+u3 + ... + ип _! + ип.
Предположим сначала, что ряд (1) числовой. Рассмотрим два
случая.
I. Пусть при неограниченном возрастании номера и сумма п
первых членов Sn ряда (1) стремится к конечному пределу S:
lim Sn = S.
п-*оо
Тогда говорят, что ряд (1) сходится и число S называют сум-
мой этого ряда.
II. Пусть при неограниченном возрастании номера п сумма
п первых членов Sn ряда (1) возрастает неограниченно или вооб-
ще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд (1)
расходится и суммы не имеет.
Определение. Числовой ряд называется сходящим с я, ес-
ли существует конечный предел последовательности его час-
тичных сумм — этот предел называется сум мой ряда*,
в противном случае ряд называется расходящим с я.
Если ряд (1) функциональный, т. е.
un=/n(x) (n = 1, 2, ...),
то для каждого фиксированного значения х0 аргумента х соот-
ветствующий числовой ряд
Л(*о) + /2(^0) + — + /п(*о) + —	(1')
или сходится, или расходится. Соответственно этому х0 называ-
ется или точкой сходимости, или точкой расходимости дан-
ного функционального ряда, а совокупность всех точек сходи-
мости функционального ряда называется областью сходимости
его.
Если ип = fn(x) (п = 1, 2, ...) и функциональный ряд (1) схо-
дится в каждой точке х некоторого множества, то он называется
сходящимся на этом множестве, а функция S == S(x), опреде-
ляемая для каждого рассматриваемого значения х формулой
S = lim Sn(x),
П ~ > ОО
называется суммой этого ряда на данном множестве.
399
Если ряд (1) сходится, то разность между суммой S и частич-
ной суммой Sn его	j
Rn = s-sn
называется п-м остатком ряда. Остаток Rn ряда представляет
собой ту погрешность, которая получится, если в качестве при-
ближенного значения суммы ряда S взять сумму Sn первых
п членов этого ряда.
Так как S есть предел последовательности Sn, то, очевидно,
lim Rn = lim (S - Sn) = 0.
n оо	n -> CO
Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося
ряда> можно сумму этого ряда вычислить с любой степенью
точности.
Отсюда ясно, что основной задачей теории рядов является
исследование сходимости ряда. Задача о нахождении
суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значение, так
как, после того как установлена сходимость ряда, сумма его в
большинстве практически важных случаев приближенно легко
может быть найдена.
Поясним понятия сходимости и расходимости рядов на при-
мерах.
Пример 1. Рассмотрим бесконечную геометрическую
прогрессию
а + aq + aq2+ ... + aqn~x+ ...,
(2)
где а * 0.
Известно, что Sn — сумма п первых членов геометрической прогрес-
сии — выражается формулой
_ 0(1-д'») _ _а_ _ _а_ ,
"	1-q	1-q	1-q 4
Здесь приходится рассматривать отдельно четыре случая.
1)	Пусть |д| <1. Тогда qn при неограниченном возрастании п стре-
мится к нулю и, следовательно,
lim «„=/--
n-*oo	1 — q
В этом случае ряд (2) сходится и его сумма равна S « --.
1-Q
2)	Пусть |g| > 1. Тогда при неограниченном возрастании п степень
qn возрастает неограниченно по абсолютной величине и, следовательно,
возрастает неограниченно сумма п первых членов Sn. Поэтому ряд (2) в
этом случае расходится и не имеет суммы.
400
3)	Пусть q « 1. Тогда ряд (2) принимает такой вид:
а + а 4- ... + а 4- ... (а * 0).
Легко видеть, что Sn == па и, следовательно, при неограниченном воз-
растании п сумма Sn возрастает неограниченно. Поэтому ряд (2) в этом
случае расходится.
4)	Пусть q - -1. В этом случае ряд (2) принимает вид
а-а + а~а + ...+ (-1)п ~ 'а 4- ... .
Величина Sn будет равна нулю или а в зависимости от того, будет
ли п четно или нечетно. Ясно, что Sn при а 0 не стремится ни к какому
пределу при неограниченном возрастании п. Ряд (2) в этом случае рас-
ходится.
Следовательно, бесконечная геометрическая прогрессия (2) сходит-
ся тогда и только тогда, когда абсолютная величина знаменателя
ее меньше единицы: |q| < 1.
Пример 2. Пусть имеем ряд
—— +	———	4" ———	4~ ———	4- 1-	4" ... 4~ ——~~ —	4-... •	(3)
1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	п(п+1)	' 7
Покажем, что этот ряд сходится. Возьмем сумму первых п членов
его:
s i	. i	. i	. i .1	. + 1
п	1-2	2’3	3-4	4-5	5-6	п(л4-1)’
Легко видеть, что отдельные слагаемые могут быть представлены
так:
1 _	г 1 1	_ 1	1	1-1	1
1-2	2’	2-3	2	3’	3-4	3	4’
1______1 _	1	1	= 1	_	1
4-5	4	5 ’ *	*	’ п(п4-1)	п	Л4-1’
Поэтому
q П .fl	П	.fl	1А	.fl	П	.	.fl И
+ k2	~ ЗУ	+1з	~l)	+l4	’в]	+- + ln
Отсюда S„ = 1--и, следовательно,
П 4- 1
lim Sn = 1.
n — oo
Таким образом, ряд (3) сходится и сумма его равна 1.
Дальнейшие свойства рядов относятся к числовым ря-
дам, если явно не оговорено противное.
Укажем теперь некоторые элементарные свойства рядов.
401
ТЕОРЕМА 1. Сходимость ряда ип не нарушится, если все
п = 1
члены его умножить на одно и то же число k, отличное от
нуля, причем для сумм этих рядов выполнено равенство
£feun = *£un.
п = 1	п = 1
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из
перехода к пределу при N -> оо в равенстве ^kun = k ип.
п = 1	п = 1
оо	оо
Под суммой (разностью) двух рядов ^ип и понима-
п = 1	п - 1
ется соответственно ряд вида
У (и» ± vn).
п = 1
ТЕОРЕМА 2. Сумма (разность) двух сходящихся рядов есть
ряд сходящийся, причем
оо	оо	оо
У (ип ± vn) = у ип ± у vn.	(4)
п = 1	п = 1	п = 1
N	N	N
Действительно, так как У («п ± »п)	vn для лю-
л = 1	п= 1	п = 1
бого конечного N, то при N —> оо в пределе получим равенство (4).
§ 3. Необходимый признак сходимости ряда
ТЕОРЕМА. Если ряд
иг + и2 + ... + ип_ ип 4- ...
сходится, то его п-й член ип при неограниченном возрастании
номера п стремится к нулю.
Доказательство. Мы имеем
Sn.! = Ui+u2 + ... + U„.1
И
S„=Ui+u2+ ... + un.t+un.
Отсюда
и„ ~ S„ — S„ i.
п п — 1
402
Так как данный ряд сходится, то lim Sn = S и lim Sn_r = S.
Отсюда
lim un = lim (S„ - Sn _ i) = lim Sn - lim Sn _ x = S “ S = 0,
n -* O°	n —> ОО	и —► OO	n —” CO
что и требовалось доказать.
Следствие. Если n-й член ряда при неограниченном возрас-
тании его номера п не стремится к нулю, то этот ряд рас-
ходится.
Доказанный необходимый признак сходимости ряда, вообще
говоря, не является достаточным. Можно привести примеры ря-
дов, у которых общий член ип стремится к нулю при п оо, а
ряд тем не менее расходится.
Пример. Рассмотрим гармонический ряд
1 + i + i + 7 + | + i + i 4-i + ... + - + ... .	(1)
2345678 n
Общий член этого ряда ип « i стремится к нулю при неограничен-
п
ном возрастании п. Тем не менее покажем, что ряд (1) расходится. Для
этого возьмем сумму 2т первых членов ряда (1) и сгруппируем эти члены
следующим образом:
2 члена	22 члена
JG 1 4- 1 4- 1 4- 1 + 1 + 1 + 1
+ U + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16
23члена
... + f------ + --------- + ... + -i-
V2m-1 + 1	2т-1 + 2	2т.
2m~i члена
Легко видеть, что
1 +1>1+1=2=1
3	4	4	4	4	2
I +1 +1 +1>1 + 1+1 +1 =4 = 1
567888888	2
1
16
± + ± + ± + ±+ JL + ±+ ±+ ±= A = i,
16 16 16 16 16 16 16 16 16 2
1	+	1	+ + J_ > ± + ± + । 1 _ 2”-1 _ 1
2те-1 + 1	2/п-1 + 2	** 2т 2т 2т 2т 2т 2’
2т -1 члена
403
Следовательно, сумма членов, стоящих в каждой скобке, больше 1.
&
Так как общее число скобок, не считая двух первых членов, очевидно,
равно т —* 1, то
S2->l+f-
Если число членов n = 2т в сумме S2M возрастает неограниченно, то
и показатель т также возрастает неограниченно. Поэтому стремит-
ся к бесконечности и, следовательно, гармонический ряд (1) расходится.
Таким образом, рассмотренный нами необходимый признак
сходимости, вообще говоря, не дает возможности судить о том,
сходится ли данный ряд или нет. Мы перейдем теперь к уста-
новлению таких признаков, которые позволят в ряде случаев
точно ответить на вопрос о сходимости или расходимости данно-
го ряда.
§ 4. Признак сравнения рядов
Для доказательства дальнейших теорем нам понадобится та-
кая лемма:
ЛЕММА. Если в ряде
иг + и2 + ... + ир + ир + 1 4- ир + 2 4- ...	(1)
отбросить конечное число первых начальных членов, например
р членов, то получим ряд
Ир+1 + Мр + 2 + ир + 8—»	(2)
который сходится (или расходится) одновременно с данным
рядом (1).
Доказательство. Обозначим сумму отброшенных членов че-
рез Q:
Q = мх + и2 + ... + ир.
Пусть S„ — сумма первых п членов ряда (1), a S — сумма первых
п членов ряда (2). Тогда, очевидно, Sn + p = Q + S'n. Отсюда S'„ =
~ &п + р ~
Предположим, что ряд (1) сходится, и пусть lim S„ = S, а
ч	п — оо
следовательно, и
lim S„ + p = S.
п—* со г
404
В таком случае
lim S'n = S - Q
I , ,	- n — oo
и, следовательно, ряд (2) тоже сходится.
Предположим теперь, что ряд (2) сходится, и пусть lim S'n =
П— СО
= S'; тогда
lim S„ = lim S„ + . = S' + Q.
n^OO	n.-'OQ	r
Поэтому ряд (1) также сходится.
Тем самым доказано, что из сходимости одного из наших ря-
дов следует сходимость и другого, и обратно.
Лемма доказана полностью.
Следствие /. При исследовании ряда на сходимость можно
игнорировать конечное число членов его.
Следствие 2, Если ряд (1) сходится и S есть его сумма, то
п-й остаток этого ряда Rn = S - Sn представляет собой сумму
ряда ип + х + ип + 2 + ип + з + ...» т. е.
Rn = ип + 1 + ип + 2 + ип + з + ... .
Теперь докажем такую теорему:
Признак сравнения рядов. Если члены ряда
и1 + и2 + ... "Ь ип + ...	(3)
положительны (точнее, неотрицательны) и не превышают
соответствующих членов сходящегося ряда
V1 + 1>2+ — + Vn + ...,	(4)
то данный ряд (3) тоже сходится.
Доказательство. Введем обозначения
Sn — щ + u2 + и3+ ... + ип
И
S'n = 1>1 + V2 + v3 + ... + v„.
Так как ряд (4) сходится, то имеем
lim S'n = S',
п — ОО
где S' — сумма ряда (4). Согласно условию теоремы выполнены
неравенства 0 < их < vt, 0 < и2 < v2, ..., О < ип < vn, ... . Отсюда
следует, что
sre < s; < s'.
Ввиду того, что члены ряда (3) положительны, при увеличе-
нии п сумма Sn монотонно возрастает, оставаясь, однако, все вре-
мя не больше S'. Как известно (гл. VII, § 10), всякая монотонно
405
возрастающая ограниченная последовательность имеет пре-
дел. Поэтому Sn при неограниченном возрастании п стремится к
определенному пределу и, следовательно, ряд (3) сходится.
Следствие. Если члены некоторого ряда не меньше соответ-
ствующих членов знакоположительного ряда1* и второй ряд
расходится, то расходится также и первый ряд.
В самом деле, если бы первый ряд сходился, то в силу теоре-
мы сходился бы и второй ряд, что противоречит нашему усло-
вию.
Замечание. В силу леммы признак сравнения рядов (3) и (4)
и следствие к нему остаются в силе, если соответствующие не-
равенства между их членами выполнены начиная с некоторого
номера (и > N).
Применим этот признак к доказательству сходимости неко-
торых рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже
известна.
Пример 1. Рассмотрим ряд
А + X 4- — 4- А
12	22, З2 42
1
(5)
Отбросив первый член, сравним его со сходящимся рядом (3) из § 1:
1 . 1 . 1 . 1 . . 1 .
1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-5 +'"	п(п+1)+"”
Очевидно,
2. < 1 1 < 1	1	<	1
22	12’ З2 2-3’”” (п + 1)2	и(пч-1)’””
Отсюда на основании леммы и признака сравнения ряд (5) сходится.
Далее, из сравнения с рядом (5) следует, что ряд
1 4 1 4- 1 4 1
1р 2р Зр 4р
сходится, если р > 2. Можно доказать, что этот последний ряд сходится
при р > 1 и расходится при р < 1.
Пример 2. Рассмотрим ряд
(6)
Так как > i (п « 2, 3, ...), то из сравнения с гармоническим рядом
л/n п
(§ 3) следует, что ряд (6) расходится.
То есть ряда с положительными (точнее, неотрицательными) чле-
нами.
406
§ 5. Признак сходимости Даламбера
Существует много признаков сходимости рядов, позволяю-
щих судить о сходимости или расходимости данного ряда по по-
ведению его коэффициентов. Рассмотрим один из них.
Признак сходимости Даламбера. Пусть все члены ряда
Щ 4- и2 + ... + ип + ...
положительны и пусть при неограниченном возрастании но-
мера п предел отношения (л 4- 1)-го члена к п-му существует
и равен некоторому числу I, т. е. lim = L В таком случае:
л“*°° ип
1°. Если этот предел I меньше единицы, то данный ряд
сходится.
2°. Если предел I больше единицы, то ряд расходится.
3°. Если предел I равен единице, то признак определенного
ответа о сходимости или расходимости ряда не дает, т. е.
в этом случае возможна как сходимость ряда, так и расхо-
димость его.
Доказательство. Пусть имеем ряд
иг 4- и2 4- ... 4- ип + ип _ i 4- ...,	(1)
составленный из положительных чисел, и пусть lim = I.
ип
Тогда при достаточно большом л, т. е. при л, не меньшем неко-
торого числа N, имеем
где е — заранее заданное как угодно малое положительное число.
Отсюда -е <	- I < 8, или
z - £ < iktl < / + е,	(2)
Лл
если только л > N.
Рассмотрим отдельно, три случая.
1°. Пусть I < 1. Мы можем взять число 8 настолько малым,
что /4-8 также будет меньше 1; тогда, положив I 4- 8 = q, получим
О < g < 1.
На основании неравенства (2) имеем ^2 < д, или
ип
+1 < unq,
407
причем это последнее неравенство будет выполнено, если n = N,
N + 1, N 4- 2, ... . Давая номеру п эти значения, получим серию
неравенств:
uN + 1 <
uN + 2<uN + 1q < uNq2,
uN + з < UN+ 2<I < ЩД3’
Итак, члены ряда
“w + i + uN + 2 + uN + 3 + ... .	(3)
меньше соответствующих членов геометрической прогрессии
+ “№2 + и№3 + ••• •	(4)
Так как знаменатель q прогрессии (4) меньше единицы, то
ряд (4) сходится (§ 2, пример 1). Но тогда на основании признака
сравнения и замечания к нему сходятся как ряд (3), так и ис-
ходный ряд (1).
2°. Пусть теперь I > 1. Мы можем е > 0 взять настолько ма-
лым, что число I — г будет также больше единицы. Тогда при
достаточно большом и на основании (2) будем иметь > 1, или
ип
un + 1> ип ПРИ я = N, N + 1, N + 2, ... .
Отсюда
UN < UN+1 < UN + 2< ••• •
Таким образом, члены ряда (1) начиная с некоторого номера
N возрастают при увеличении их номера, будучи положитель-
ными. Следовательно, ип не стремится к нулю при п -> 00. По-
этому на основании следствия из необходимого признака сходи-
мости (§ 3) ряд (1) расходится, причем общий член его не стре-
мится к нулю.
3°. Если I = 1, то на примерах можно показать, что ряд в
одних случаях сходится, в других — расходится. В этом случае
мы должны прибегнуть или к теореме сравнения, или к другим
признакам.
Замечание 1. Если ряд (1) функциональный, т. е.
ип = /п (х) > 0.
и I = 1(х) — соответствующий предел, то наша схема 1°, 2° и 3°
остается в силе для каждого х.
408
Замечание 2. Из доказательства признака сходимости Да-
ламбера для случая 2° следует, что если для некоторого ряда
Ui +	+ ••• + ип + •••
выполнено неравенство
lim > 1,
Un
то n-й член ип этого ряда не стремится к нулю при неограни-
ченном возрастании его номера п.
Пример 1. Рассмотрим ряд
	а , а2 1	2	дЗ + д’ + -	. + — п	дл +1 п + 1	(5)
где а — положительное число. тх	пл+1 ай+1 ап Имеем -— =		 : — = а •			п	и, следовательно,	
ип	П+1	п	п+1		
lim = a lim —- = a lim —  = а.
л-*<» Un п -*оо 714-1	П~*ОО^_|_А
П
На основании признака Даламбера ряд (5) сходится при 0 < а < 1
и расходится при а > 1.
Если а = 1, то признак Даламбера ответа не дает. Но в этом случае
ряд (5) принимает вид
1 + i + | | + ... + i + ... .
2	3	4 n
Это гармонический ряд; он, как мы видели выше (§ 3), расходится.
Пример 2. Рассмотрим ряд
1000 . 10002 . 10003 .
1!	2!	3!
Л	1000й
с общим членом ип “------— .
п!
1000й+1
Имеем ип + 2 • ---— . Отсюда
(п +1)!
ип+1 = ЮОО^п! = 1000
ип (п + 1)!-1000й п + 1
и, следовательно,
Hm = lim 1022 =0.
л — оо ип л-*°° П + 1
Поэтому ряд сходится. Заметим, что члены данного ряда вначале воз-
растают (до 1000-го члена!), а затем начинают быстро убывать. Такой
ряд мало пригоден для практических вычислений.
409
Пример 3. Для ряда
2. + А. + ... + -L +
I2 22 и2
согласно признаку Даламбера соответствующий предел I = 1. Как из-
вестно (§ 4, пример 1), этот ряд сходится.
§ 6. Абсолютная сходимость
Приведенные выше достаточные признаки сходимости рядов
относились к рядам с положительными членами. Аналогичными
свойствами обладают также ряды с отрицательными членами.
Рассмотрим теперь ряды, часть членов которых положитель-
на, а часть членов отрицательна или равна нулю. Такие ряды
называются знакопеременными.
ТЕОРЕМА. Если для знакопеременного ряда
»1 + и2+ ... + ип + ... = ^ип	(А)
п = 1
сходится ряд, составленный из модулей его членов:
оо
l«il + 1«г1 + — + W + — = У W	(В)
п = 1
то данный ряд также сходится.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд
оо
(U1 + |их|) + (и2 + |и2|) + ... + («„ + |uJ) + ... = у (ип + |и„|). (С)
п = 1
Так как
о < ип + |и„I < 2|и„|
(и = 1, 2, ...) и ряд
f(2|un|)	(В')
п = 1
в силу сходимости ряда (В) сходится, то на основании признака
сравнения (§ 4) ряд (С) также сходится. Но наш ряд (А) пред-
ставляет собой разность двух сходящихся рядов
п-1	n = 1	n = 1
и, следовательно, есть ряд сходящийся (см. § 2).
410
Теорема доказана.
Замечание. Обратное утверждение неверно. Именно, если
данный ряд сходится, то ряд, составленный из модулей его
членов, не обязательно сходится; этот ряд может и расхо-
диться.
Таким образом, все сходящиеся ряды можно разбить на два
класса.
К первому классу относятся такие сходящиеся ряды, для ко-
торых ряды, составленные из модулей их членов, также сходят-
ся. Такие ряды называются абсолютно сходящимися.
Ко второму классу относятся сходящиеся ряды, для которых
ряды, составленные из модулей их членов, расходятся. Такие
сходящиеся ряды называются рядами неабсолютно сходящими-
ся или условно сходящимися.
Определение. Ряд называется абсолютно сходя-
щимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный
из модулей его членов.
Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд
сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расхо-
дится.
Например, сходящийся ряд
1-1 + 1_1 + ±_±+...
2	4	8	16	32
есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составлен-
ный из модулей его членов
1 + 1 + 1 + 1 + ± + JL
2	4	8	16	32
тоже сходится. (Оба ряда — геометрические прогрессии со зна-
менателями, соответственно равными -i и 1.)
Напротив, ряд
1-1 + 1-1 + 1 -1
2	3	4	5	6
как мы увидим дальше, есть ряд сходящийся (см. § 7), но
он не абсолютно с х о д и т с я, так как ряд, составленный
из модулей его членов
1+1 + 1 + 1 + 1 + 1+..„
2	3	4	5	6
расходится (гармонический ряд).
411
Признак абсолютной сходимости ряда. Пусть для некоторого ряда
щ +и2+... + ип +...	(А)
выполнено условие lim	Un+l	= 1.
п — ОО	ип	
В таком случае: 1) если I < 1, то данный ряд (А) сходится абсо-
лютно; 2) если I > 1, то ряд (А) расходится.
В самом деле, наше условие есть не что иное, как признак Далам-
бера, примененный к ряду
|ui|+|u2|+... + |wn| + ... .	! (В)
Отсюда вытекает, что если Z < 1, то оба ряда (А) и (В) сходятся и,
следовательно, данный ряд (А) сходится абсолютно.
Если же I > 1, то, в силу замечания к признаку Даламбера, |ид| не
стремится к нулю при п -* оо. В этом случае оба ряда (А) и (В) расхо-
дятся.	, ,
§ 7. Знакочередующиеся ряды.
Признак сходимости Лейбница
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
Vi - v2 + v3 - v4 + v5 - Vq + ... + (-1)" - 1Vn +	(1)
где vn > 0 при и = 1, 2, 3, ..., т. e. ряд, у которого любые рядом
стоящие члены его имеют противоположные знаки.
ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА. Если модули членов знакочередующе-
гося ряда (1) монотонно убывают при возрастании их номера,
т.е.
vx> v2> v3> v4> ...	(2)
и n-й член ряда при неограниченном возрастании п стремится
к нулю, т. е.
lim vn = О,	(3)
п — оо
то. ряд этот сходится (вообще говоря, не абсолютно).
Доказательство. Возьмем сумму S2m первых 2m членов ряда
(1) и запишем ее следующим образом:
s2m = (Vi - V2) + (v8 - t>4) + ... + (v2m-1 - v2m).	(4) ‘
Так как разности, стоящие в скобках в сумме (4), на основа-
нии условия (2) положительны или равны нулю, то
Точнее ряд (1) должен быть записан так:
i>i+ (“^2)+ u3 + (-v4)+ ... .
412
Если 2т возрастает, то S2m не убывает, ибо каждый раз прибав-
ляются положительные или равные нулю слагаемые. С другой
стороны, эту сумму можно представить в таком виде:
S2m = Vi-(v2 - V3) - (v4- v5) - ... - (v2m-2-v2m_1)-v2m. (5)
Отсюда
&2т	V1‘
Следовательно, S2m, будучи монотонно возрастающей (точ-
нее, не убывающей) и ограниченной последовательностью, стре-
мится при пг —>• оо к некоторому пределу S (см. гл. VII, § 10), т. е.
lim S2m = S.
m —со
’ Но очевидно, что
&2т + 1 ~ ^2т	^2т + 1>
причем на основании (3) имеем lim v2m +1 = 0. Принимая это во
m — оо
внимание, получим
limS2m + 1= lim S2m + lim v2m + 1 = S + 0 = S.
m~*oo	m-* oo	m-*°o
Таким образом, Sn при неограниченном возрастании п стре-
мится к одному и тому же пределу S, будет ли п четное или не-
четное. Поэтому ряд (1) сходится.
Замечание. Абсолютная погрешность при замене суммы S сходя-
щегося знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоре-
мы Лейбница, суммой Sn его первых п членов не превышает модуля
первого отброшенного члена.
В самом деле, отбрасывая в сходящемся знакочередующемся ряде
все члены после члена (-1)" ~ и обозначая полученную в результате
этого абсолютную погрешность через рл, имеем
S - Sn « (-1)" vn + 1+ (-!)« + Ч + 2 + ...=
= (-!)"[(«»+ 1-ц> 4^) + (ц,+з-ц,+<) + ••• 1;
отсюда
Pn“|S - Sn|-(Vn + 1-Vn+2) + (l>„ + 3-l>B + 4) + ...»
или
Рп==^п + 1-‘Ч + 2-^+з)-Ч+4-Уп+5)“ ••• •
Следовательно,
Рп < »п + 1-
413
Пример. Ряд
1+1-1+1-1
2	3	4	5	6
приведенный в конце § 6, сходится, так как для этого ряда выполнены
все условия теоремы Лейбница.
§ 8. Степенные ряды
Ряд вида
а0+ ахх + а2х2+ ... + апхп +	(1)
расположенный по возрастающим целым неотрицательным сте-
пеням переменной х и имеющий коэффициенты а0, а19 а2,ап,
..., не зависящие от х, называется степенным рядом. Иногда рас-
сматривают степенной ряд более общего вида:
а0 + а^х - а) + а2(х - а)2 + ... 4- ап(х - а)п +...,	(2)
где а — некоторое постоянное число. Ряд (2) легко приводится
к виду (1), если положить х - а = х'. Поэтому в дальнейшем мы
почти исключительно будем заниматься степенными рядами ви-
да (1).
Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (1). Давая пе-
ременной х фиксированное значение, получим числовой ряд, ко-
торый в зависимости от х сходится или расходится.
Можно доказать, что для любого степенного ряда (1) сущест-
вует конечное или бесконечное неотрицательное число R — ра-
диус сходимости ряда — такое, что если R > 0, то при |х| < R
ряд сходится, а при |х| > R — расходится. При |х| = 7?, т. е. при
х = R и при х = -7?, может иметь место как сходимость, так и
расходимость степенного ряда. Интервал (-7?, 7?) называется ин-
тервалом сходимости степенного ряда. Если R = +°о, то интер-
вал сходимости представляет собой всю числовую прямую. В слу-
чае, если R - 0, степенной ряд (1) сходится лишь в точке х = О
и интервал сходимости, строго говоря, не существует.
В простейших случаях радиус сходимости степенного ряда
(1) может быть определен с помощью признака Даламбера. Для
этого рассмотрим ряд, составленный из модулей членов ряда (1):
l“ol + l«il М + N И2 + — + \аJ |х|л + ... .	(3)
Как известно из предыдущего, если ряд (3) сходится, то будет
сходиться и ряд (1) и при этом абсолютно. Для решения вопроса
о сходимости ряда (3) воспользуемся признаком сходимости
414
Даламбера. Обозначим (и + 1)-й член ряда (3) через vn, т. е.
vn = Ы 5 отсюда vn + 1 = |an + J |х|Л + х. Составим отношение
ап + 1
Предположим, что существует предел отношения ^±2
«л
и -> 00. Обозначим этот предел через I:
lim п — оо	ап+1	= 1.
	«Л	
при
(4)
Тогда
lim = I |х|.	(5)
П-оо v
Очевидно, если |х| < |, то I |х| < 1 и ряд (3) сходится. Следо-
вательно, сходится и ряд (1), и притом абсолютно.
Если же |х| > |, то I |х| > 1. На основании замечания 2 из § 5
оба ряда (3) и (1) расходятся.
Таким образом, R = | > 0 есть радиус сходимости степенного
ряда (1), и на основании соотношения (4) имеем формулу
R — lim
л — СО
ап +
(6)
Остается открытым вопрос: будет ли сходиться ряд (1) при
R > 0 на концах интервала сходимости (-В, Я), т. е. когда х = R
или х = -R? В каждом отдельном случае этот вопрос решается
особо.
Пример. Рассмотрим ряд
X , X2 . X3
12	3
Xя
п
(7)
Здесь ал = i и ап + j«
п
Согласно (6) для радиуса сходимости
1
П+ 1 ’
R ряда (7) имеем
1
R = lim 	 = lim 71 +1 = lim fl + i'] = 1.
n — оо 1	Л — ОО Л	п — оо V nJ
п+ 1
Следовательно, ряд (7) сходится в интервале (-1, 1).
415
Чтобы решить вопрос о сходимости ряда (7) на концах интервала,
положим сначала х = 1. Получим гармонический ряд
14-1+1+... + 1+ ....
2	3 п
который, как мы видели, расходится.
Возьмем теперь х = -1. Тогда ряд (7) примет вид
2	3	4	5	п
Этот ряд сходится условно в силу теоремы Лейбница.
Итак, область сходимости ряда (7) — промежуток [-1, 1).
§ 9. Дифференцирование и интегрирование
степенных рядов
Сумма степенного ряда
f(x) = а0 + ахх + а2х2+ ... + апхп + ...	(1)
представляет собой функцию, определенную в интервале сходи-
мости (-/?, R) этого ряда, где предполагается, что R > 0.
Можно доказать, что функция f(x) дифференцируема и ее
производная f'(x) может быть найдена почленным дифференци-
рованием ряда (1), т. е.
f'(x) == аг 4- 2а2х + ... + папхп ~ 1 + ...
при -R<x<R. Это же справедливо и по отношению к производ-
ным высших порядков.
Аналогично, неопределенный интеграл от функции f(x) для
всех значений х, принадлежащих интервалу сходимости, может
быть получен почленным интегрированием ряда (1), т. е.
fx/	zi 1	। aix2 _1 aix3 >	_1_ апхп+1 ,
J/(x)dx = С + аох + -%- + -L- + ... +	+...,
если -R < х < R.
Таким образом, степенной ряд в своем интервале сходимости
по отношению к операциям дифференцирования и интегрирова-
ния ведет себя так же, как многочлен с конечным числом членов.
§ 10. Разложение данной функции в степенной ряд
Для приложений важно уметь данную функцию /(х) раз-
лагать в степенной ря д, т. е. функцию/(х) представлять
в виде суммы стеленного ряда, так как тем самым мы получаем
416
возможность просто вычислять значения этой функции с любой
степенью точности.
Прежде чем поставить вопрос в общем виде, разберем неко-
торые частные случаи.
Рассмотрим степенной ряд
1 + X + х2 4- ... + хп + ... .
Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию со зна-
менателем х и, как мы видели, сходится при |х| < 1, причем сум-
1 ~
ма его равна ---. Следовательно, мы можем написать
1-х
Д- = 1 + X + х2+ ... + хп + ... .
1-х
(1)
На последнее
функции
равенство можно смотреть как на разложение
в степенной ряд, расположенный по возрастаю-
щим степеням переменной х. Из разложения (1) легко получить
другие разложения, представляющие большой интерес.
Разложение функции 1п(1 + х). Заменяя в разложении (1)
х на -2, будем иметь
Д- = 1 - г + z2 - ... + (~l)nzn + ... .
1 + 2
(2)
Если
О < |z| < |х| < 1,
то равенство (2), как было сказано в § 9, можно проинтегрировать
почленно по z в пределах от 0 до х. Поэтому, умножая равенство
(2) на dz и интегрируя почленно в пределах от 0 до х, получаем
(-1)"
zndz + ... .
Отсюда
•••+ (~1)п ?лГ +
л +1 |о
или
In (1 + х) = Z - $ +	- ... + (-1)»	+ ....
JL Z 0	+ 1
если |х| < 1. Можно показать, что это разложение справедливо
также при х = 1 и, следовательно,
In 2 - 1- i + i - 1 + ... .
2	3	4
14 Б. Демидович, В. Кудрявцев
417
Разложение функции arctg х. Положим в разложении (1)
х = -и2:
_1	= 1 _ z2+ 24 -	+ (-l)nz2n + ... .
1+Z2	'
Умножая последнее равенство на dz и интегрируя почленно
в пределах от 0 до х, где |х| < 1, получаем
X
4- Jz4dz
о
х
... + (—l)n^z2ndz 4- ...,
о
или
arctg zl = z|
Io Io
-... + (-1)”
2n + l
0
Так как arctg 0 = 0,
то окончательно имеем
-v-3	<ъ»5	<у»2я +• 1
arctg х=х-	- ... + (-1)»^—г +
о	о	zn + 1
если |х| < 1. Можно доказать, что это разложение остается вер-
ным и при х = 1, и при х = -1.
В частности, при х = 1 выводим
arctg 1 = - =1-1 +1 - 1 + 1 - ... .
ё	4	3	5	7	9
Мы видим, что многие функции, как, например, In (1 4- х),
arctg х и т. п., допускают разложение в степенной ряд относи-
тельно аргумента х. Естественно поставить общий вопрос о раз-
ложении данной функции /(х) в ряд по возрастающим целым
неотрицательным степеням переменной х. Этим вопросом мы и
займемся в следующем параграфе.
§11. Ряд Маклорена
Предположим, что данная функция /(х) может быть разло-
жена в стёпенной ряд:
/(х) = а04- ахх 4- а2х2 + а3х34- а4х44- а5х54- ...,	(1)
где а0, а19 а29 ... — неопределенные коэффициенты, причем ин-
тервал сходимости |х| < R этого ряда не сводится к точке, т. е.
R > 0.
Как было указано выше, степенной ряд (1) в его интервале
сходимости можно дифференцировать почленно любое число
418
раз, понимая под этим, что все получающиеся ряды будут схо-
диться и их суммы равны соответствующим производным.
Последовательно дифференцируя почленно ряд (1) бесконеч-
ное число раз, будем иметь
f'(x) = аг+ 2а2х + За3х2 + 4а4х3 + 5а5х4 + ...,
f"(x) = 2а2 + 2 • За3х + 3 • 4а4х2 + 4 • ба5х3 + ...,
Г'(х) = 2 • За3 + 2 • 3 • 4а4х + 3 • 4 • 5а5х2 4- ...,
/^(х) = 2 • 3 • 4а4 + 2 • 3 • 4 • ба5х + ...,
Полагая в этих равенствах, а также в (1) х = 0, получим
/(0) = а0, r(0) = ai, Г(0) = 2а2,
/'"(0) = 2 • За3, /IV(0) = 2 • 3 • 4а4...........
Отсюда
ао = ЛО), в1=ф, а2=™,
aa=f^-, а4 = Л0) .....
3	1-2-3	4	1-2-3-4
Подставляя далее значения коэффициентов а0, а19 а2, а3,... в ряд
(1), получаем ряд МаклоренаУ
/М-ДО)+П2)х+фх2+а»1х> + ... + Ы»1 «• + ... (2)
(ср. гл. XI, § 6, формула (6)).
§ 12. Применение ряда Маклорена к разложению
в степенные ряды некоторых функций
1)	Разложение функции ех. Пусть
f(x) = ех.
Имеем
f'(x) = ех, f"(x) = ех, f"(x) = ех, f^fx) = ех, ... .
Полагая здесь х = 0, получаем
Г(0) = е° = 1, /'(0) - 1, /"(0) = 1, /"'(0) = 1,	(0) = 1.
о В общем случае формально составленный ряд Маклорена для
функции f(x) не обязательно сходится к этой функции.
419
Подставляя эти значения в ряд Маклорена (§11, формула (2)),
окончательно будем иметь
1 х . х2 . х3 . х4 ,	, хп .
€	1+ 1! + 2! + 3! +4! + -+^! +--	(1)
Общий член ряда из правой части формулы (1) есть ип = —.
п\
Применяя признак Даламбера к ряду из модулей его членов, по-
лучаем
lim = lim	= lim И = 0;
л-»с°	п-»оо 1(714-1)! л!| n-оо П1
следовательно, степенной ряд V — сходится для любого х,
п!
п - 0
т. е. интервал сходимости его есть (-°°, +°°). В подробных кур-
сах доказывается, что сумма этого ряда для любого значения х
равна ех, т. е. разложение (1) справедливо для любого х.
2)	Разложение функции sin х. Пусть
f{x) = sin х;
отсюда
f\x) = cos х, f"(x) = -sin x,
f"\x) = -cos x, flv (x) =sinx, ... .
Полагая x = 0, имеем
/(0) = 0, f(0)=l, /"(0) = 0,
f"(0)«-l, /IV(0) = 0, ... .
Подставляя эти значения в формулу (2) из § 11, получаем
sinx =	1)л-1 х2п 1 +	(2)
SmX 1!	3! + 5!	(2п-1)!+*”’
где х измеряется в радианах. Нетрудно убедиться, что ряд из
правой части формулы (2) сходится при любом х. Можно дока-
зать, что сумма его равна sin х, т. е. что разложение (2) справед-
ливо при любом х.
3)	Разложение функции cos х. Если
/(х) = COS X,
то имеем
/'(х) = -sin х, f"(x) = -cos х,
f"'(x) = sin x, (x) « cos x, ... .
420
Полагая х = 0/получаем
7(0) =1, f'(0) = О, Г(0) = -1,
/'"(0) = О, /IV(0) = 1...
Подставляя эти значения в формулу Маклорена (2) из § 11,
находим
cosx = 1-lT + g-- + (-1)n(S+-’	(3)-
где х измеряется в радианах. Этот ряд сходится так же, как (2),
при любом х, как нетрудно убедиться. Доказывается, что сумма
этого ряда равна cos х.
Разложение (3) можно было получить из разложения (2) по-
членным дифференцированием.
4)	Разложение бинома Ньютона (1 + х)т.
Пусть
Дх) = (1 + х)т,
где т — число целое или дробное, положительное или отрица-
тельное. Тогда имеем
f'(x) = тп(1 + х)т ~ Ч
f"(x) = т(т - 1)(1 + х)т ~ 2,
/'"(х) == т(т - 1)(ти ~ 2)( 1 + х)т - 3,
f<n\x) = т(т ” 1)(/и - 2) ... (тп - и + 1)(1 + х)т ~ п,
Полагая х = 0 во всех этих формулах, получаем:
/(0) = 1, /'(0) = гп9 Г(0) = т(т - 1),
Г'(0) = гп(т - 1)(тп - 2), ...,
/(и)(0) = т(т - 1)(ти - 2) ... (т - п + 1), ... .
Подставляя выражения для f(0), f'(0)9 /"(0), /'"(0), •••> Лп)(0), ...
в ряд Маклорена (2) из § 11, будем иметь
(1	+ х)т = 1 + Ф X +	X2 + ...
1	1-2
_ + m(m-l)(m-2)...(m-n+l)	+
1 * 2 * 3... zi
Формально формула бинома Ньютона для нецелого или от-
рицательного показателя выглядит так же, как и для целого по-
ложительного показателя. Если т — целое положительное чис-
ло, то при п = т + 1 множитель т - п + 1 равен нулю. Следо-
вательно, ряд (4) оборвется и вместо бесконечного разложения
получится конечная сумма (ср. гл. XI, § 5).
421
Пользуясь формулой R = lim
n -+ оо
ап
ап + 1
, найдем интервал схо-
димости (-Я, R) ряда из правой части формулы (4). Мы имеем
__ т(т - 1)(тп - 2)...(тп - n + 1).
п	1-2-3...ft
+ 1
пг(т - 1)(тп - 2)...(zn - п 4-1)(т - п)
1 • 2 • 3...ft(« +1)
Отсюда
а»
ап + 1
I ft + 1 I
\т - ft|
и, следовательно,
R = lim |.n + !| = lim
' п —ОО |тп —ft| H-*oo
Таким образом, биномйальный ряд сходится внутри интервала
-1 < х < +1
и расходится вне его. Сходится ли этот ряд при х = 1 и х = -1,
необходимо исследовать для каждого случая отдельно
Значительно сложнее доказывается, что при |х| < 1 сумма
ряда равна (1 + х)т, т. е. разложение (4) справедливо всюду на
(-1, 1).
§ 13. Применение степенных рядов
к приближенным вычислениям
Полученные разложения дают возможность вычислять част-
ные значения функции, приближенно вычислять некоторые «не-
берущиеся» определенные интеграды и т. п. Рассмотрим не-
сколько примеров.
1)	Вычисление sin 1. Полагая х = 1 в разложении для sin х,
имеем
S1“1-1" Ji + Ji +-
Если отбросить все члены начиная с 4-го, то погрешность бу-
дет по абсолютной величине меньше	(так как ряд для
422
sin 1 есть ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница).
Отсюда
sin 1 ~ sin 57°18'	- 1 + 1 = °»8417
с точностью до 0,0002.
2)	Вычисление корней. Пусть требуется вычислить ?/9 .
Записав это выражение в виде
1V/3
sj
и полагая в формуле бинома Ньютона т = 1/3 и х = 1/8, будем
иметь
?/9 = 2
1-2
1 .1
3 8
= 2(1+±-J- +-— -...) «
I 24 576	41472	)
~ 2(1 + 0,0417 - 0,0017 + 0,0001) = 2,0802.
По таблицам же 1/9 = 2,0801.
3)	Вычисление натуральных логарифмов. В § 10 было выве-
дено следующее разложение:
y>2	уЗ	-у* 6	'Y*7
In (1 + х) = х -	.	(1)
v ’	2	3	4	5	6	7
Ряд (1) не годится для вычислений натуральных логарифмов чи-
сел, больших 2, так как он расходится при х > 1. Однако на основе
его мы можем получить другой ряд, пригодный для нашей цели.
Для этого заменим в формуле (1) х на -х; тогда получим
Оба ряда (1) и (2) имеют общий интервал сходимости: |х| < 1.
Как известно (см. § 1), сходящиеся ряды можно складывать или
вычитать почленно. Поэтому, предполагая, что |х| < 1, и вычитая
из равенства (1) равенство (2), будем иметь
1п1±*=2(х+^+£ + ^ +...). .	(3)
1 — X \ О О ।	/
423
Полагая = ^2 (N > 0), находим х =	. Подставляя
1-х N	2N +1
эти значения в ряд (3), получаем
ln(W + 1) - In N = 2 Г—1— + 1 • —1—- +
v 7	L2W+1	3 (2W+1)3
+ 1 •	1	+ 1 •	1	+	1 ЛП
5 (2#+1)5	7 (2W+1)7	’ J ’ U
Применяя признак Даламбера, легко убедиться, что ряд (4)
сходится для всякого положительного числа N. Следовательно,
пользуясь этим рядом, можно шаг за шагом определить нату-
ральные логарифмы всех целых положительных чисел.
Ряд (4) сходится при больших N очень быстро. Оценим при N > 0
абсолютную погрешность рп, которая получается, если отбросить в фор-
муле (4) все члены, стоящие в скобке после n-го члена. Имеем
р„-2Г-1_ •________I____ +	•_____1____ +
Ип L2n + 1 ^+1)2»+1 2n + 3 (2#+1)2п+3
+ -J- •______I____
2n + 5 (2У+1)2л + 5	J
Очевидно, что
pn<-2_.________I____ Г1+	1	+	1-- + 1
Рл 2п + 1 ^+1)2"+» L (2W+1)2	(2W + 1)4 J’
или, подсчитывая сумму бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, стоящей в квадратных скобках, получаем окончательно
рл<—2_.__________1	..	(5)
" 2(2п + 1) (2N+1)2»-3 ЛГ(#+1)	' 7
Положим в разложении (4), например, N = 1 и п = 3. Имеем
In 2 ~ 2fi + i • J- + i • 2Л = 0,6932;
13	3 З3 5 з5;
при этом на основании формулы (5) абсолютная погрешность удовлет-
воряет неравенству
р <-----1. А..
нз 2 • 7 • З5 • 1 • 2	5000
т. е. мы имеем три верных десятичных знака.
Далее, полагая N = 2 и ограничиваясь двумя членами (п « 2), по-
лучаем
In 3 ~ In 2 + 2Q + | • i j = 1,0985,
424
причем абсолютная погрешность удовлетворяет неравенству
р2<__________________________1_____-_1_.
Р2 2 • 5 • 53  2 • 3	7500
Продолжая дальше, таким образом можем вычислить натуральный
логарифм любого положительного числа с достаточной точностью.
4) Вычисление определенных интегралов. Пусть, например,
требуется вычислить интеграл
1
f dx».
J х
о
Соответствующий неопределенный интеграл
| dx
не может быть выражен в элементарных функциях, т. е. пред-
ставляет собой «неберущийся интеграл», и, следовательно, при-
менить формулу Ньютона—Лейбница здесь нельзя. Тем не менее
исходный определенный интеграл можно вычислить прибли-
женно с помощью рядов.
Разделив почленно ряд для sin х на х, будем иметь
sinx	+
х	3!	5!	7!
Отсюда, интегрируя почленно, получаем
1 111
f	sinx	dx =	f	dx -	i f	x2 dx +	~	f	x4 dx - ... =
J	x	J	3! J	5!	J
0	0	0	0
Г ~ 1 xfl1 + 1 . Xfl1
Io 3! 3 Io 5! 5 l0
- 1  Л+ 5П5 - - “ °’94611-
Так как ряд знакопеременный и модули его членов монотон-
но убывают, то, ограничившись тремя членами, получим, что
погрешность меньше —< 0,00003.
5! • 5	35280
§ 14. Ряд Тейлора
В некоторых случаях функция Дх) или ее производные теряют
смысл при х = 0, как, например, функция Дх) = In х или Дх)= Jx.
Такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Для
Здесь подынтегральная функция f(x) = S1^x определена при х 0.
При х = 0 по непрерывности полагаем ДО) « 1.
425
разложения подобного рода функций иногда можно воспользо-
ваться более общими степенными рядами, расположенными по
возрастающим степеням разности х - а, где а — надлежащим
образом подобранное постоянное число.
Пусть данная функция f(x) допускает разложение по возрас-
тающим степеням разности х - а:
f(x) = Aq + Ar (х - а) + А2(х - а)2 4-
-I-	А3(х - а)3 4- А4(х - а)4 4-	(1)
которое справедливо в некотором интервале |х - а| < R.
Положим х - а = z. Тогда разложение (1) перепишется в виде
F(z) = f(z + а) = Aq+ Arz +A2z2+ ...,	(2)
где |z| < R. Следовательно, согласно § 11 разложение (2) есть ряд
Маклорена для функции F(z). Так как F<n>(z) == F^(z 4- а) (п = 1,
2, ...), то отсюда получаем
Ао= F(0) = f(a), ф = ф,
а, = m А =	= ^2}
1	2!	2! ’ "* ’	" п! п! ’	*
Подставляя эти значения коэффициентов в ряд (1), будем иметь
/(х) = f(a) + ф(х - а) + ф(х - а)2 +
+	- а)3+... + Ф^(х - а)» +... .	(3)
3!	п\
Это и есть ряд Тейлора.
В частности, полагая здесь а = 0, получаем ряд Маклорена
7(х) = /(0) + Г(0)х + £^х2+	... + £фхп+ ... .
2!	3!	п\
Ограничиваясь в формуле (3) лишь конечным числом членов,
вместо ряда Тейлора получаем многочлен Тейлора
Рп(х)~ У t^(x - а?	(4)
л = о
(ср. гл. XI, § 6, формула (1)). Если ряд (3) сходится в некоторой
окрестности Ua точки а и его сумма равна функции f(x), то мно-
гочлен Рп(х) дает приближенное представление функции f(x) в
окрестности Ua.
Пример 1. Разложить многочлен f(x)= х3 - 5х2 4- 8х 4- 3 по возрас-
тающим степеням разности х ~ 2.
426
Дифференцируя функцию Дх), имеем
f'(x) = Зх2 - 10х 4- 8, f '(х) = бх - 10,
Д"(х) « 6,	Д*)(х) = 0 при п > 3.
Подставляя х = 2, получаем
Д2) = 7, /'(2) = О, f" (2) - 2, /'"(2) = 6, Лп)(2) = 0 при п > 3.
На основании ряда Тейлора (3) разложение функции Дх) по возрас-
тающим степеням разности х - 2 имеет вид
/(х) = 7 + ^ • 0 +	• 2 +	 6,
JI	1 • £	1 ‘ Z • О
или окончательно Дх) =*7 4- (х - 2)2 + (х - 2)3.
Пример 2. Функцию Дх) = In х разложить по возрастающим степе-
ням разности х - 1.
Имеем
Г(Х) =1, f\x) = -1, Г(Х) =	, f”(x) = -1-^ , ... .
X	X2	X3	X4
Отсюда
Д(1) « 1, /"(1) = -1, /"'(1) =1*2, /IV(1) == -1 • 2 • 3, ... .
Следовательно,
In X = In 1 + 1 • (х - 1) -	- I)2 +
4---1	• (х - I)3- * '	• (х - I)4 +
1-2-3 (	’	1-2-3-4 (	’
ИЛИ
!„ х . (1 _ ц -ibLU! +	- fctll! +....
А	О	Т5
Это разложение справедливо, если 0 < х < 2.
Заметим, что этот ряд можно было бы получить непосредственно из
ряда для In (х 4- 1) (см. § 10), положив In х = ln(l 4- z), где г = х - 1.
§ 15.	Ряды в комплексной области
В ряде случаев приходится рассматривать ряды, членами ко-
торых являются комплексные числа, т. е. ряды вида
(Uj 4- ivj 4- (и2 + iv2) + ... + (ип 4- ivn) 4- ...,	(1)
где ип и (n = 1, 2, ...) — действительные числа n i2 - -1.
Ряд (1) называется сходящимся^ если сходятся по отдельнос-
ти ряд, составленный из действительных частей членов данного
ряда, т. е.
их 4- ц2 4- ... 4- ип 4- ...,	(2)
427
и ряд, составленный из мнимых частей этих членов:
i?i+ v2+ ... +	... .	(3)
Если через Sn обозначить сумму первых п членов ряда (2) и
через Тп — сумму первых п членов ряда (3), то в случае сходи-
мости этих рядов существуют
lim Sn = S и lim Тп = Т.
п~* ОО	п оо
В таком случае комплексное число S + iT называется суммой
ряда (1).
Имеет место следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Если сходится ряд модулей членов ряда (1), то
ряд (1) также сходится.
Доказательство. В самом деле, если сходится ряд
+ V? + Jul + vl + ... + Jul + V2 + ....
то в силу очевидных неравенств
KI <	+ vl и |v„| < Jul + vl
(n = 1, 2, ...) на основании признака сравнения (§ 4) и теоремы
из § 6 будут сходиться, и при этом абсолютно, оба ряда: (2) и (3).
Тогда согласно определению сходится также ряд (1). Теорема до-
казана.
В комплексной области рассматривают также и степенные
ряды
с0 + сгг + c2z2+ ... + cnzn + ...,
где с„ = ап 4- i&n, z = х + ty(n == 0, 1. 2, ...).
В силу предыдущей теоремы такой ряд заведомо будет схо-
диться, если сходится ряд модулей
kol+ |С1И + |c2||z|2+ ... + |c„||z|n + ...,
где |cn| = Jal + bl и |z| = Jx2 + у2 (п = 0, 1, 2, ...). Для исследо-
вания сходимости последнего ряда можно применять все извест-
ные нам признаки, например признак Даламбера.
§ 16.	Формулы Эйлера
Применим полученные нами разложения ех, sin х, cos х рдя
вывода весьма важных формул, связывающих эти функции меж-
ду собой.
Если х — действительное число, то, как известно (см. § 12),
имеет место разложение
^ = 1 + r+g + g+-’
при этом ряд сходится для любого значения х.
428
Если z = х + iy, где х и у — действительные числа и i2 = -1,
то по определению положим
е*=1 + г + Й + й + --
Применив признак Даламбера к ряду модулей
(1)
1!	2!	3!
обнаружим, что этот ряд сходится при каждом значении |з|, а
следовательно, сходится и ряд (1). Тем самым показательная
функция ez определена для всех комплексных значений г.
В частности, при z = ix, где х — действительное число, имеем
1!	2!	3!	4!	5!	6!
7х)7 । (ix}
7!	8!
то, подставляя эти
Так как i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1, i5 = i и т. д.,
значения в разложение для eix, получаем
1	1!	2!	*3!	4!	5!	6!	'7!
или, отделив здесь действительные и мнимые части, будем иметь
'	2!	4!	6!	8!	Ч1!	3!
Согласно формулам (2) и (3) из § 12 выражение, стоящее в первой
скобке, равно cos х, а выражение, стоящее во второй скобке, рав-
но sin х. Поэтому мы приходим к такой замечательной формуле:
eix = cos х + fsin х.	(2)
Заменяя здесь х на -х и учитывая, что cos (-х) = cos х и
sin (”х) = -sin х, находим
e~ix = cos х - isin х.
X5
х8
8!
х5 _ х7
5!	7!
(3)
Мы получили знаменитые формулы Эйлера.
Разрешая формулы (2) и (3) относительно cos х и sin х, будем
иметь
eix + е-1Х	.	eix _ е-1Х
cos х = -—~, sm х = — -------
2i
2
В общем случае, если z = х + iy, можно показать, что
ех + = ехе*.
Следовательно,
ех + = ex(cos у + i sin у).
429
1 +
Пример, e 2
I я
= e cos -
\
+ i sin
2)
= ei.
Если z * r(cos ф + i sin (p) — комплексное число в тригонометриче-
ском виде (гл. XVI, § 2), то на основании формулы (4) получаем пока-
зательную форму комплексного числа
где г = |г| и (р = Arg г.
z « ге"?,
(5)
§ 17.	Тригонометрические ряды Фурье
Напомним (гл. VIII, § 6), что функция f(x) называется кусоч-
но-непрерывной на данном промежутке (а, Ь), если этот проме-
жуток можно разбить на конечное число частичных промежут-
ков {а8, b8} (s « 1, 2, ..., N), на каждом из которых: 1) функция
f(x) ограничена и непрерывна во внутренних точках; 2) на кон-
цах существуют конечные односторонние пределы
f (а8 + 0) = lim ftx), f(b8 - 0) = lim f(x)
xs-as + 0	xs-b8-0
(s - 1, 2, ..., N).
Под интегралом от функции f(x) понимается число
Ъ	ъя
J«X)*-f J/H*.
а	8 ~ 1 а8
Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на (а, Ь)
функции /(х) существует обобщенная первообразная (см. гл.
XIV, § 12)
X
F(x) == J Дх) dx (х € [а, Ь], х0 € [а, &])
Хо
и, следовательно,
ъ
J Дх) dx = F(b) - F(a).
а
Пусть ф (х) и v (х) — две действительные кусочно-непрерыв-
ные на данном конечном промежутке (а, Ь) функции. По аналогии
с соответствующей операцией векторной алгебры (гл. XVIII, § 13)
под скалярным произведением функций ср (х) и \|г (х) понимается
интеграл
ь
(ф. V) = f <P(x)V(x)dx-	(1)
430
Замечание. Нетрудно сообразить, что произведение двух кусочно-
непрерывных на (а, Ъ} функций есть функция кусочно-непрерывная на
(а, Ъ) и, следовательно, в нашем случае интеграл (1) существует.
Число
11ф|| = л/(ф, Ф) =
<p2(x)dx
(2)
называется нормой функции ф(х).
Функции (р(х) и ф(х) называются ортогональными на данном
промежутке (а, Ь), если
ь
(ф, у) = Г ф(х)ф(х) dx = 0.	(3)
Рассмотрим основную систему тригонометрических функций
cos "52, sin 2^ (n = 0, 1, 2.....)	(4)
общего периода Т = 21 (I — полупериод). В физике функции
ип = ап cos (и = 0, 1, 2, ...)
и
v„ = 6nsin2^ (п = 1, 2, ...)
называют основными гармониками; графиками их являются си-
нусоиды с амплитудами соответственно ап и Ьп (гармоника vQ не
рассматривается, так как и0 = 0).
ЛЕММА. Основные тригонометрические функции (4) попар-
но ортогональны на любом промежутке, длина которого равна
общему периоду Т = 21 этих функций, т. е. для стандартного
промежутка {~l, I) имеем условия ортогональности:
i
Т	ТППХ плп ПгТ1х''\	_ лпп JTlTtX _	ппх j __ л . ___	„
1. I cos	—-— , cos ——	= I cos —-—	cos	—— ax — и	при m += n.
\	I	v / I	t	v
-l
I
m7tx _ ТТ-ТГДСА j* • niTix • mzx j л	—/ **»
. Ism —, sm —j—J I sm —j— sin	и при m n*
-i
i
mitx • rnix\   f ___ mnx _• nitx j   л
. ^cos —~, sm	I cos —— sm —— ax == 0
-i
(тип — любые целые числа).
431
Условия ортогональности I, II, III проверяются непосредст-
венно путем вычисления соответствующих интегралов. Здесь ис-
пользуются формулы тригонометрии:
1)	cos a cos 0 = | [cos (а - 0) 4- cos (а + 0)];
А
2)	sin а sin Р = - [cos (а - Р) - cos (а + Р)];
А
3)	sin а cos Р — - [sin (а - Р) + sin (а + Р)].
Например, при т & п имеем (см. I)
тих
cos —— , cos
тпх nitx * _
cos —— cos -у- ах =
cos [т-п)пх + cos (m + n)nx]dx =
-I
= 1 Г 1 sin <т~ге)ях + —L____________
2 |_(тп-п)л	I (т + п)л
sin +
так как sin kit = 0 при любом целом А.
(В справедливости соотношений II и III читателю предлага-
ется убедиться самостоятельно.)
Замечание. Подсчитаем нормы основных тригонометриче-
ских функций.
1) При п = 0 имеем 0-ю гармонику cos Ох = 1. Согласно фор-
муле (2) получаем
i
||1||2 = J I2 dx = 2/,
-I
т. е.
2) При и > 1 имеем
COS2
1 4- cos
|1|= J21.
dx =
2nnx
I
x+JL. sin2^
2nn I
(5)
т. е
COS
5^|| = JZ (n = 1, 2, 3
(6)
432
3) Аналогично,
sin2 dx =
1 - cos
2nnx
I .
= lfx_ l sin 2^5
2l 2пп I
t. e.
sin 222 = Jl (n = 1, 2, 3, ...).
(7)
Пусть f(x) — кусочно-непрерывная периодическая функция
периода Т = 21. Естественно попытаться представить эту функ-
цию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник
„ __ „ ппх . т ппх
ип ап C0S ~	Sin J
(л = 0, 1, 2, ...) (см. гл. VI, § 3) того же периода 21 (гармони-
ческий анализ ф у н к ц и и). Таким образом, мы приходим
к тригонометрическому ряду Фурье
ft*) = у + У fan cos + bn sin	(8)
п = 1
(здесь, для удобства дальнейших выкладок, коэффициент 0-й
гармоники берется с множителем 1/2). Исторически эта задача
впервые возникла при математической обработке результатов
наблюдений высоты приливной волны в данном месте, которая
периодически повторяется с течением времени. Гармонический
анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные
предсказания ее величины, что весьма важно для мореплавания.
Предположим, что ряд (8) сходится на промежутке (-Z, I) и
допускает почленное интегрирование.
Интегрируя почленно ряд (8), будем иметь
cos
sin dx . (9)
Так как
i	i
___ TLTtX j..   \	•_ TL1IX j
cos —— dx = I sin —— dx = 0
-i	-i
433
при п = 1, 2, ... (это также следует из условий ортогональности),
то получаем
| /(х) dx - Й • 21 = а01.
Отсюда
а°= | J f(x) dx.
-I
(10)
Заметим, что свободный член ряда (8)
-I
представляет собой среднее значение периодической
функции /(х).
Умножая теперь обе части равенства (8) на cos (тп = 1,
2, ...) и интегрируя почленно, будем иметь
J f(x)cos ^~^dx =
__ О0
2“
илх тпях .
cos —— • cos —-— ах +
•_ Т1ЯХ .	771Л X	/1 1 \
sm-y—-cos—~dx ‘
Отсюда в силу условий ортогональности I, III и формулы (6)
получаем
i	i
J f(x) cos dx = am J cos2 dx = aml (12)
-i	-i
и, следовательно,
am = j j f(x) cos dx (m = 1, 2, 3, ...).	(13)
-I
434
Аналогично, умножая обе части равенства (8) на sin
(т = 1, 2, ...) и интегрируя почленно, находим
j Z(x)sin ^dx =
- £ f sin ^dx + У
2 I I
-I	n = 1
„ f — nnx . mitx i ,
an I cos — • sin —— ax +
• • nitx . mitx *
sm — • sm —— ax
(14)
Отсюда в силу условий ортогональности II и III и формулы
(7) имеем
i	i
J f(x) sin dx = ЪтJ sin2 dx = bml
-i	-i
и, значит,
i
bm = 7 f f(x)sin ^dx (m = 1, 2, 3, ...)•	(15)
* J	I
-z
Заменив букву m на букву n (что по смыслу формул допусти-
мо!), мы из формул (13) и (15) для коэффициентов разложения
(8) получим следующие значения:
а„
Ъ„
= фи
-I
cos
sin
nitx
I
dx
(16)
(n = 0, 1, 2, ...). Заметим, что коэффициент а0 на основании (10)
получается из формулы (16) при п — 0; этим объясняется, что сво-
бодный член ряда (8) берется в форме | а0. Числа ап, Ьп (п = 0, 1,
£
2, ...) называются коэффициентами Фурье функции /(х).
Определение. Тригонометрический ряд (8), коэффициента-
ми которого являются коэффициенты Фурье (16) данной пери-
одической функции /(х), называется ее рядом Фурье (точ-
нее, тригонометрическим рядом Фурье) независи-
мо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции f(x)
или нет.
435
В этом смысле говорят, что функция /(х) порождает ряд
Фурье, и пишут
fix) ~ у + У (a„cos + 6„sin ,	(17)
п = 1
где знак ~ обозначает «соответствует».
Мы без доказательства укажем сейчас достаточные условия
разложимости периодической функции в ряд Фурье.
Назовем функцию f(x) кусочно-гладкой на промежутке (а, &),	|
если она кусочно-непрерывна на (а, Ъ) и имеет на нем кусочно- 4
непрерывную производную f(x).	|
ТЕОРЕМА СХОДИМОСТИ. Пусть периодическая функция I
f(x), определенная на (-°°, +°°), кроме, быть может, точек |
разрыва ее, и имеющая период Т = 2Z > О, является кусочно
гладкой в своей основной области1).	|
Тогда: 1) ее ряд Фурье (17) сходится для любого значения
х €	+°°), т. е. существует сумма ряда Фурье
S(x) = lim
ЛГ—> оо
Л ЛЯХ . 1 пях
6Zncos -	4" onsin —-—
(18)
2)	сумма ряда Фурье S(x) равна функции f(x) в точках х
непрерывности ее: S(x) = /(х) — и равна среднему арифмети-
ческому пределов функции /(х) слева и справа в точках х0
разрыва функции2), т. е.
-S(xo) = j [/(«о - 0) + f(x0 + 0)].	(19)
Так как для точки непрерывности х функции f(x) имеем
/(х) = /(х - 0) = /(х + 0),
то в общем случае можно написать
S(x) = ±[f(x-O) + f(x + O)].	(20)
А
В дальнейшем мы будем предполагать, что для функции Дх)
выполнены условия теоремы сходимости, и вместо знака соот-
ветствия ~ будем писать знак равенства = (игнорируя точки раз-
Х) То есть на любом промежутке, длина которого равна периоду этой
функции.
,	2) Таких точек в основной области периодической функции f(x) име-
ется лишь конечное число.
436
рыва функции!). Таким образом, для ряда Фурье функции f(x)
имеем
п ~~~ ЛЯХ 1 L ппх\
апС0 ~г + Ьп	~)9
f(x) =
(21)
п = 1
где коэффициенты ап и Ьп определяются формулой (16).
Замечание. Формулы (21) и (16) упрощаются, если период
функции f(x) равен 2л. В этом случае Z = л и мы имеем
f(x) = -x + У (ancos nx + bnsin nx),
£	АяшЛ
(21')
где
Л
Ь.
-я
cosnx ,	, л ч
dx (n = 0, 1, 2
sinnx
(16')
Пример. Написать ряд Фурье пери-
одической функции f (х) периода Т = 21,
если (рис. 220)
О, ~/<х<0,
1
2
Рис. 220
Sn(x)
SO(X)
y I
Z1 х
Из формулы (16) получаем

о
У
1
(Zq
= 1, т. е. а0/2 = 1/2;
о
о
«п “ | J f(x)cos dx =
0 • cos dx + Г 1 • cos dx
1
I
о
1 I •	71ЛХ|	_ Л	Z	4 Q
= _	. --sin	——-I	= U	(n =	1, Z
l ПП I |0
о
fe„ = l f Kx)sin dx = i
ппх
• sm -у-
1 ™ п11х
1 • sm —— ах
о
1 ( I	n~x
I V ил	I
плхА   1	i \ 
7 -	=——(совпл—1) =
I J	nit
К-1)»-1], Т. е.
ПЛ
о
0, если n четное;
2/пл, если n нечетное.
(22)
437

Отсюда, так как функция Дх) кусочно-гладкая в промежутке (-Z, /),
справедливо разложение
/(х) = 1 + - fsin + |sin | sin + ... 1
2 nV I 3 Z 5 I )
(-1 < х < I).	(23)
На рис. 220 представлены графики частичных сумм ряда Фурье (23)
1	1	2	тгт
функции Дх): S0(x) = -, 5j(x) = - + - sin — и т. д.
&	а	И	I
I
F
§ 18. Ряды Фурье четных и нечетных функций |
Рассмотрим симметричный интеграл	|
I	0	I
J Дх) dx = J Дх) dx 4- J Дх) dx,	(1)
-I	-I	о	?
где Дх) — функция, непрерывная или кусочно-непрерывная на
отрезке [-Z, I].
Делая в первом интеграле подстановку х = -t, dx = -dt и
учитывая независимость определенного интеграла от обозначе-
ния переменной интегрирования, получаем
I	0	I	±
f f(x) dx = - f f(-t) dt + f Дх) dx =
-Z	-Z	0	I
I	I	I	I
= | f(-x) dx + | f(x) dx = | [/(-x) + ftx)] dx. (2) t
0	0	0	I
1) Пусть функция Дх) четная, т. е. f(-x) = Дх). Тогда из
формулы (2) имеем
J Дх) dx = 2j f(x)dx.	(3)
-Z	о	S
Таким образом, симметричный интеграл от	четной функ-	I
ции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому
по половинному промежутку интегрирования.	j
I
438
2) Пусть функция /(х) н е ч е т н а я, т. е. f(-x) = -/(х). В та-
ком случае из формулы (2) получаем
I
I /(х) dx = 0.	(4)
—I
Таким образом, симметричный интеграл от нечетной
функции равен нулю.
Заметим, что утверждения 1) и 2) очевидны из геометриче-
ских соображений (рис. 221, а, б).
ТЕОРЕМА. 1) Ряд Фурье четной периодической функции со-
держит только косинусы кратных дуг, т. е. в его состав входят
лишь четные гармоники, включая свободный член.
2) Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит
только синусы кратных дуг, т. е. в его состав входят лишь не-
четные гармоники.
Доказательство. 1) Пусть f(x) — четная периодическая функция
периода 21, а ап, Ьп — ее коэффициенты Фурье. На основании фор-
мулы (4), учитывая, что гармоники sin (п - 1, 2, ...) — нечет-
ные функции и, следовательно, функции f(x) sin нечетные,
имеем
i
Ьп = 11 /(x)sin dx = 0 (л-1,2,...).	(5)
-I
Поэтому
л«) = ? + X a»cos	(6)
п = 1
439
где, используя четность функций f(x) COS ^у^ , из формулы (3)
получаем
ап = | J /(x)cos dx = j j /(x)cos ^y^ dx
(n = 0, 1, 2, .\
(7)
2) Пусть теперь f(x) — нечетная периодическая функция пе-
риода 21. Так как cos ^у^ (п = 0, 1, 2, ...) — функции четные и,
следовательно, функции /(x)cos 2у^ нечетные, то
I
an = | | f(x) cos dx = 0 (n = 0, 1, 2, ...).
-I
Поэтому
fix) = f b„sin
n = 1
где, используя четность функций f(x) sin —j— , на основании фор-
мулы (3) имеем
Ьп = у f /(x)sin — dx - If /(x)sin dx (n = 1, 2, ...).
I J	I	* J	*
-I	0
Теорема доказана.
§ 19. Понятие о рядах Фурье
непериодических функций
Кусочно-гладкую непериодическую функцию f(x), за-
данную на бесконечной оси -оо < х < -t-оо, нельзя представить
ее рядом Фурье, так как сумма его, будучи суммой гармоник с
общим периодом Т, есть функция периодическая с тем же пери-
одом Т и, следовательно, не может быть равна функции f(x) для
всех х. Однако можно построить представление этой функции в
виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном про-
межутке.
440
1 Пусть интересующий нас промежуток есть (-/, I), т. е. сим-
метричен относительно начала координат (этого всегда можно
добиться путем параллельного сдвига оси Ох).
Построим функцию ф(х) периода 21 такую, что (рис. 222)
Ф (*) = /(х) при -I < х < I.	(1)
Предполагая, что функция <р(х) удовлетворяет условиям тео-
ремы сходимости (§ 17), имеем
где
СО
I —- ^0 I	I л	717ТХ | 7 _Л __ ЛТСХ |
Ф (*) == у +	^nCOS — + fe„sin —J
n = 1
(-OO < X < +OO),
I
sin
ппх
COS —
ппх
I
dx
(n = 0, 1, 2, ...).
(2)
(3)
Отсюда на основании тождества (1) получаем
f(x) = т + X (°»cos + b»sin (~1<х< V’ (2')
п = 1
где

cos
sin
ппх
I
dx
ппх
I
(и -0, 1, 2, ...).
(3')
Подсчитаем сумму S(x) ряда (2'), или соответствующего ряда
(2), в концевых точках х = ± I. Согласно общей формуле (§ 17)
имеем
S(l) = Ф^ ~ Q)+ Ф(^ + 0)
(4)
441

Но на основании тождества (1) и 2/-периодичности функции 3
ф(х) геометрически очевидно (рис. 222), что
Ф(/ - 0) = f(l - 0), ф(/ + 0) - ф(Ч + 0) = f(-l + 0).	j
Поэтому из формулы (4) получаем
S(0=.^-0)V(^0).	(5)
2
Из 2/-периодичности суммы S(x) вытекает, что
S(-Z) = S(Z).	(6)
Пример 1. Функция f (х) = ех разложена в ряд Фурье на промежутке
(-1, 1). Чему равна 5>(1), где S(x) — сумма ряда Фурье?
На основании формулы (5) имеем
S(l) = е1-0*/-1*0 =	= ch 1 = 1,54.
A	4U
Пусть теперь непериодическую функцию /(х) требуемся
представить рядом Фурье периода 21 на «полупериоде» 0 < х < 1.
Полагая
Ф(х) =	(7)
Л(х), -Z < х < 0,
где Л(х) — произвольная кусочно-гладкая функция, из формул
(2) и (3) получаем бесконечное множество рядов Фурье
f(x) = V + У f«ncos 222 + b„sin 22*) ( 0 < х < Z), (8)
Zj	\	L	I J
п - 1
дающих представление функции /(х) на интервале (0, Z).
В частности, полагая Д(х) = f(- х) (-Z < х < 0) в формуле (7)
(«четное продолжение»), будем иметь
Г(х) = ? + У ап cos 222 (0 < х < I),	(9)
п = 1
где
i
а„ = % [ f(x) cos dx (n = 0, 1, 2, ...).	(10)
Z J	Z	4
0	I
Аналогично,	полагая Д(х)	= -/(-x) (~Z < x < 0) в формуле (7)	f
(«нечетное	продолжение»),	получаем	>
оо	I
f(x) = j Ъп sin 222Е ( 0 < х < Z),	(11)
n = 1
442
где
btt = 7 f f(x) siri *7* dx (n = x’ 2’ -)-	(12)
0
Таким образом, кусочно-гладкую функцию, заданную на по-
лупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье
бесчисленным множеством способов. В частности, по жела-
нию эту функцию на данном полупериоде можно представить:
1) в виде суммы четных гармоник или 2) в виде суммы нечет-
ных гармоник.
Пример 2. Функцию /(х) = х разложить по косинусам кратных дуг
в интервале (0, it).
Заметим, что здесь функция f(x) нечетная и требуется получить ее
ряд Фурье, содержащий лишь четные гармоники. Это можно сделать,
используя четное продолжение функции на (-я, 0).
Полагая I — л, из формулы (9) будем иметь
оо
Л*) = V + У, a/>cos пх.	(13)
г»
п-1
Используя формулу (10), находим
(л = 1, 2, 3, ...). Отсюда
cosnxl71
«2 1о
= J- (cos nit - 1) = -1- [(-1)» -1]
nzn	nzit
0, если п четное,
4
, если п нечетное.
П2П
Таким образом, при 0 С х < л имеем
= 5 - 4 f cosx . cos3x . cos5x
2 л\ l2 32	52

443
На рис. 223 изображены график функции у = х и график суммы
у = S(x) ряда Фурье (14). При 0 < х < я они совпадают, а вне отрезка
[О, я] различны.
Полагая х == 0 в формуле (14), получаем замечательный числовой
ряд (Эйлер)
1 + ± + ±+...=«?.
I2 З2 52	8
(15)
УПРАЖНЕНИЯ
1—6. Пользуясь необходимым признаком и признаком сравнения,
исследовать сходимость рядов:
1. 1 - 1 + 1 - 1 4- ... .
2. 0,001 + 7бГоб1 + VoTooi + ... .
4.	—— 4- —-— 4- —-— 4- ... .
1-2	3 • 22	5 • 23
5.	1 + | + ~ 4-i 4- ... . Указание. Сравнить с гармоническим
3	5	7
рядом, умноженным на 1/2.
6.	1 + -1= + -1= + ... .
472	9л/3
8. —	+	—	+ -1	+	... .
1!	2!	3!
10	+ (212 +
'	2!	4!	6!
12 11 + — + 3! .
2- 11 + 22 + З3 +	'
7—12. Пользуясь признаком Даламбера, выяснить сходимость рядов:
7.1 + 3 +_5 +
2	22	23
9.	+ _2L + _2L
1000	2000	3000
,, 1,1-3, 1-3-5
И- 2 + 2?5 + ГТ8 '
444
13—16. Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
13. 1 - — + — - —
72 7з Л
14. 1 - — + — - —
2!	3!	4!
15. 1 - |	|	+ ... .
3	5	7
16 1 + 9 - 25 - 49 I 81 .121
’ 2	4	8	16	32	64
17—20. Определить интервалы сходимости степенных рядов и иссле-
довать поведение их в граничных точках:
у2	уЗ	у4	у	у2	уЗ
17.	X - тг +£- -	+ .... 18. 1 + £+£-+£-+... .
2	3	4	2!	4!	6!
19.	Их + 21х2 + 31х3 + ... .
20	х ~ 4 + JjLZ-UZ 4- (х~ I)3 4.
1-2	2-22	3-2®
21,	22. Разложить в ряд Маклорена функция:
21.	f(x) - а* (а > 0).	22. f(x) = sin2 х.
23.	Функцию Дх) — а/х разложить по целым возрастающим степе-
ням разности х - 1.
24—27. Пользуясь стандартными разложениями, представить в виде
степенных рядов следующие функции:
24.	Дх) = е-*2.
25.	Дх) = cos2х. Указание, cos2х = (1 + cos 2х)/2.
26.	Лх) - —.	27. /(х) «= -А— .
28.	Пользуясь разложением в ряд, приближенно вычислить:
а) 7ё; б) sin 18°; в) 6Л“2 .
1/2
29.	Приближенно вычислить интеграл
е~х2 dx.
30.	Вывести приближенную формулу для функции Дх) = j cos Vx dx,
о
если |х| — малая величина.
31.	Разложить в тригонометрический ряд Фурье в интервале (-я, л)
функции:
a) ftx) = | х; б) /(х) = х2.
4U
ГЛАВА XXII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Основные понятия
Во многих вопросах геометрии, физики, механики, естество-
знания, техники и т. п. играют большую роль дифференциаль-
ные уравнения. Так называются уравнения, связывающие меж-
ду собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее
производные различных порядков по х. Порядок старшей про-
изводной, входящей в данное дифференциальное уравнение, на-
зывается порядком этого уравнения.
Таким образом, общий вид дифференциального уравнения
n-го порядка следующий:
F(x9 у9 у', уп9 ..., уЮ) = 0,	(1)
причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить
х, у и отдельные производные порядка ниже чем п. Например,
уравнения
у' + | у = Sin х, у" + 4</' + 13 г/ = 0, у”' + уу' - О
имеют соответственно порядок первый, второй и третий.
Дифференциальное уравнение (1) называется линейным 9 ес-
ли левая часть его есть многочлен первой степени относительно
неизвестной функции у и ее производных у', у", ..., у<га) (и не
содержит их произведений), т. е. если это уравнение имеет вид
а0(х)уМ + аг(х)у<п ~ D + ... + ап(х)у = f(x).	(2)
Здесь функции aQ(x), а1(х)9 ..., ап(х), обычно определенные и не-
прерывные в некотором общем интервале, называются коэффи-
циентами линейного уравнения, а функция /(х) — правой
частью или свободным членом его. Если правая часть /(х) ли-
нейного уравнения (2) тождественно равна нулю, то уравнение
называется однородным (или без правой части); в противном
случае это уравнение называется неоднородным (или с правой
частью). Линейные дифференциальные уравнения находят мно-
гочисленные применения в приложениях.
446
Всякая функция
У = Ф (х),
которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тож-
дество, называется решением этого уравнения. Решить, или про-
интегрировать, данное дифференциальное уравнение — значит
найти все его решения в заданной области. График решения на-
зывается интегральной кривой.
Заметим, что основная задача интегрального исчисления —
отыскание функции у, производная которой равна данной непре-
рывной функции f(x),— сводится к простейшему дифференци-
альному уравнению
у' = /(*)•
Общее решение этого уравнения есть
у = J f(x)dx + С,	(3)
где С — произвольная постоянная и под интегралом понимается
одна из первообразных функции f (х)1).
Выбирая надлежащим образом постоянную С, при условии
непрерывности функции /(х) можно получить любое решение
этого простейшего дифференциального уравнения.
При интегрировании дифференциальных уравнений высших
порядков появляется несколько произвольных постоянных.
Пример 1. Рассмотрим уравнение второго порядка у" в 0. Так как
у" = (уУ = 0, то отсюда следует у' = Cv Интегрируя последнее равен-
ство, будем иметь
у == J С\ dx + С2 = Схх 4- С2.	(4)
Таким образом, решение (4) содержит две произвольные постоян-
ные Сг и С2, т. е. число произвольных постоянных в формуле (4) в точ-
ности равно порядку уравнения. Такое решение называется общим ре-
шением уравнения; в данном случае оно представляет всю бесконечную
совокупность решений дифференциального уравнения.
Точнее, формулу (3) следует писать в виде
У = j KX) dx + С,	(3')
«О
где х0 — некоторая начальная точка данной области. Формула вида (3')
удобна для приложений, так как позволяет явно выделить произволь-
ную постоянную С. Это замечание следует иметь в виду и в дальнейшем.
447
Опрелеление 1. Общим решением дифференциального
уравнения (1) называется такое решение его
у = <р(х, Сн С2...CJ1»,
которое содержит столько независимых произвольных посто-
янных Ci, С2, Сп, каков порядок этого уравнения.
При этом произвольные постоянные называются независи-
мыми, если общее число постоянных, входящих в состав функ-
ции ф, не может быть уменьшено путем введения других произ-
вольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.
Если общее решение задано в неявном виде
Ф(х, у, Ср С2, ..., Сп) = О,
то оно обычно называется общим интегралом.
Определение 2. Всякое решение дифференциального уравне-
ния, которое получается из общего решения, если приписать
определенные значения произвольным постоянным, в него вхо-
дящим, называется частным решением этого диффе-
ренциального уравнения.
Пример 2. Рассмотрим уравнение второго порядка
+ У = 0.
Легко сообразить, что функции sin х и cos х будут решениями этого
уравнения, так как (sin х)" = -sin х и cos х" = -cos х.
Как нетрудно проверить непосредственно, функция
у = Сх sin х 4- С2 cos х,
где Ci и С2 — независимые произвольные постоянные, также является
решением нашего уравнения и, следовательно, представляет собой об-
щее решение его. Если мы, например, положим Сх = 2 и С2 = -5, то
получим функцию
yi = 2 sin х - 5 cos х,
являющуюся частным решением данного дифференциального
уравнения.
Если в результате решения дифференциального уравнения
найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в дан-
ное уравнение, можно проверить правильность решения.
Пример 3. Показать, что функция у = (С\ + С2х)ех есть решение
уравнения
у" - 2у' + у « 0.
Функция ф предполагается непрерывно дифференцируемой по
всем своим аргументам достаточное число раз.
448
В самом деле, здесь
У' “ (Сх + С2х)ех + С2ех « (Сх + С2 + С2х)ех
У" “ (Ci + С2 + С2х)ех + С2ех — (Сг + 2С2 + С2х)ех .
Следовательно,
у” — 2у' + у — (Сг + 2С2 + С2х)ех — 2(С^ 4- С2 + С2х)ех + (Cj + С2х)ех = О,
что и доказывает наше утверждение.
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка
следующий:
F(x, у, у') = 0.
В простейших случаях это уравнение может быть разрешено от-
носительно производной у':
У' =	У)-	(1)
Общее решение уравнения (1) имеет вид
у = ф(х, С),	(2)
где С — произвольная постоянная. Геометрически общее реше-
ние (2) представляет собой семейство интегральных кривых,
т. е. совокупность линий, соответст-
вующих различным значениям по-
стоянной С (рис. 224). Интегральные
кривые обладают тем свойством, что
в каждой их точке М (х, у) наклон
касательной удовлетворяет условию
tg а = f(x, у).
Если задать точку MQ (х0, yQ), че-
рез которую должна проходить интег-
ральная кривая, то тем самым из бес-
конечного семейства интегральных
кривых, в простейшем случае, выде-
ляется некоторая определенная интегральная кривая, которая
соответствует частному решению нашего дифференциального
уравнения.
Аналитически это требование сводится к так называемому
начальному условию: у = yQ при х = х0. Если известно общее
решение (2), то имеем у0 = ф(х0, С).
Из этого условия, вообще говоря, можно определить произ-
вольную постоянную С и, следовательно, найти соответствующее
частное решение. В этом состоит задача Коши (начальная задача).
15 Б. Демидович, В. Кудрявцев
449
Задача Коши. Найти решение у = (р (х) дифференциального
уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию
г/о= Ф (хо),т- е- принимающее при х =» х0 заданное значение у = i/0.
Геометрически задачи Коши формулируются так: найти ин-
тегральную кривую дифференциального уравнения (1), проходя-
щую через заданную точку MQ (х0, z/0).
Отметим следующее: дифференциальные уравнения являются ма-
тематическим аппаратом, с помощью которого мы можем изучать про-
цессы, протекающие в природе. Если условия задачи полностью опре-
деляют процесс, то он должен протекать однозначно, т. е. решение
дифференциального уравнения, дающее закон протекания процесса,
должно быть единственным. Общее решение дифференциального
уравнения содержит произвольные постоянные и, следовательно, не да-
ет определенного ответа на поставленный вопрос. Поэтому при решении
конкретных задач кроме дифференциального уравнения нужны еще до-
полнительные условия. В простейшем случае это начальные
условия, и мы приходим к задаче Коши.
В некоторых случаях дифференциальное уравнение (1) пер-
вого порядка выгодно записывать в форме
^=7(х, У),	(Г)
или в форме
Р(х, у) dx + Q(x, у) dy = 0,	(3)
где Р (х, у) и Q (х, у) — известные функции. Форма (3) удобна
тем, что здесь переменные хи у равноправны, т. е. каждую
из них можно рассматривать как функцию другой. Под реше-
ниями уравнения (3), в общем случае, понимаются функции
х = ф(0, у = \|/(£), заданные параметрически (I — параметр) и
удовлетворяющие уравнению (3).
Не существует общего метода интегрирования дифференци-
ального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают
лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого
из которых дается свой особый способ решения.
§ 3. Уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется уравнением с разделяющимися пере-
менными, если оно имеет вид
X(x)Y(y)dx + X1(x)Y1(i/)dr/ = 0,	(1)
450
где Х(х), Хг(х) — функции только переменной х, a У(у),
Ух(г/) — функции только переменной у.
Для решения уравнения (1) разделим обе части его на произ-
ведение Y (у) Хх(х), предполагая, что оно не равно нулю. Тогда
после очевидных сокращений получим
ад + W ‘ °'	(2>
В уравнении (2) при dx стоит функция только от х, а при dy
стоит функция только от у. В этом случае говорят, что перемен-
ные разделены. Беря интегралы от левой и правой частей равен-
ства (2), будем иметь
/	* + J W - с- <3>
Здесь под интегралами понимаются некоторые соответствующие
первообразные.
Соотношение (3) и представляет собой общий интеграл урав-
нения (1).
В общем случае, деля на произведение -Х\(х) Y(y), мы рискуем по-
терять те решения уравнения (1), которые обращают это произведение
в нуль.
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция
х = а,	(4)
где а — корень уравнения A\(x) = 0, т. е. Хг(а) = 0, есть решение урав-
нения (1). Функция
У = Ь,	(5)
где Ъ — корень уравнения Y(y) = 0, т. е У (Ъ) = 0, также является ре-
шением уравнения (1).
Геометрически решения (4) и (5), если они существуют, представ-
ляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Оу и оси
Ох.
Пример 1. Пусть дано уравнение
& = У.	(6)
dx х
Отсюда имеем
х dy = у dx.
Предположим, что у 0. Если мы обе части этого уравнения раз-
делим на ху, то переменные разделятся и мы получим
dy _ dx
У х ’
451
Интегрируя, будем иметь
J 4л = J 41,
ИЛИ
In у = In х 4- In С1).	(7)
Здесь произвольная постоянная взята в логарифмической форме,
что законно, так как всякое действительное число Сх может быть пред-
ставлено как логарифм другого числа:
Сг = In С, где С = еС1.
Потенцируя равенство (7), окончательно получим
у = Сх (х * О, С* 0).	(8)
Полагая теперь ху = 0 и учитывая, что х # 0, получим решение
уравнения (6) у = 0. Формально это решение получается из формулы (8)
при С = 0.
Общее решение (8), где С — любое действительное число, геометри-
чески представляет собой семейство полупрямых, исходящих из начала
координат (рис. 225).
Пример 2. Найти кривую, проходящую через точку Q (-1, 4) и об-
ладающую тем свойством, что поднормаль ее в любой точке имеет одно
и то же значение, равное 4.
Пусть у == f(x) — искомая кривая, МТ — касательная к этой кривой
в точке М (х, у), МЫ — нормаль (перпендикуляр к касательной в точке
касания) (рис. 226). Поднормалью PN называется проекция отрезка
нормали MN на ось Ох,
Строго говоря, мы должны писать
_	In | у\ =1п |х| + In С ,
где С > 0. Но допущенная нами «вольность» не отразится на оконча-
тельном результате, если после потенцирования произвольную постоян-
ную С считать действительным числом. Это следует иметь в виду и для
дальнейшего.
452
Так как РМ « у и Z.NMP = Z.MTP = а, то PN = у tg а. Но согласно
геометрическому значению производной tg а « у'; поэтому для поднор-
мали окончательно имеем такое выражение:
PN = уу
В силу условия задачи
уу' = 4, или у - 4.
Разделяя переменные, получаем
у dy == 4 dx.
Взяв интегралы от правой и левой частей, будем иметь
J У “ 4 J dx + С, или = 4х + С.
Отсюда
г/2=8х + СР	(9)
Мы получим семейство парабол, вершины которых лежат на оси Ох.
Определим произвольную постоянную Сх из условия, что наша пара-
бола проходит через данную точку Q (-1, 4). Подставляя в уравнение (8)
вместо текущих координат координаты точки Q, находим 16 = -8 + Сх;
отсюда Cj = 24.
Следовательно, уравнение искомой параболы имеет вид у2 = 8х + 24,
или
у2 = 8(х+ 3).
Вершина параболы находится в точке А(-3, 0), а осью ее служит ось Ох
(рис. 227).
Пример 3. Скорость охлаждения тела в
воздухе пропорциональна разности между
температурой тела и температурой воздуха.
Температура воздуха равна 20 °C. Известно,
что в течение 20 мин тело охлаждается от 100
до 60 °C. Определить закон изменения темпе-
ратуры тела в зависимости от времени.
Если обозначить время через £, а темпера-
туру тела через U, то скорость охлаждения
тела, иначе — скорость изменения его темпе-
ратуры, будет равна производной . Со-
dt
гласно условию задачи имеем
= k(U - 20),
dt
где k — коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные, по-
лучим
dU
(7-20
= k dt.
453
Взяв интегралы от левой и правой частей, будем иметь
или
1п(Г - 20) « kt + InC.
Отсюда U - 20 = Cekt и, следовательно,
U = 20 + Cekt.	(10)
Для определения постоянных Cnk воспользуемся условиями задачи:
U = 100 при t = 0
и
[/ = 60 при t = 20.
Подставляя эти значения в уравнение (10), будем иметь
100 = 20 + С,
60 = 20 + Се20*.
Отсюда С = 80, е20* = 1/2 и, следовательно,
Внося эти значения в уравнение (10), окончательно получаем
U = 20 + 80 • (	.
Таков закон изменения температуры U в зависимости от времени t
при указанных условиях.
В рассмотренных примерах 2 и 3 на составление дифференциальных
уравнений мы имели дело непосредственно с производной искомой
функции. Приведем пример, где рассуждения удобнее вести, оперируя
с дифференциалами искомых величин.
Пример 4. В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси,
каждую минуту поступает 30 л воды и вытекает 20 л смеси (рис. 228, а).
Так как в дальнейшем мы будем потенцировать, то здесь выгодно
писать In С вместо С.
454
Определить, какое количество соли останется в резервуаре через t мин,
предполагая, что смесь мгновенно перемешивается.
Пусть х — количество соли в резервуаре в момент времени t, а
х + dx — количество соли в момент времени i + dt. Так как смесь вы-
текает, то количество соли х уменьшается с течением времени и, следо-
вательно, dx < 0 при dt > 0. Объем смеси в резервуаре в момент времени
t, очевидно, равен
V = 100 + 30t - 20t = 100 + 10t,
поэтому концентрация соли (т. е количество соли, содержащейся в еди-
нице объема смеси) в момент времени t будет равна
х
100 +lot’
(И)
Изменение количества соли -dx за бесконечно малый промежуток
времени [t, t + dt] мы получим, если объем вытекшей за этот проме-
жуток смеси 20dt умножим на концентрацию соли (11). Отсюда имеем
дифференциальное уравнение
-dx =----*---
100+10t
• 20 dt,
или
dx = -
2х
10+ t
dt.
(12)
Кроме того, из условий задачи вытекает начальное условие
4-о~Ю.	(13)
Разделяя переменные в уравнении (12) и интегрируя, последова-
тельно получаем
f = -2 f
J х J 10 +1 ’
т. е.
In х = -2 In (10 + t) + In С
и, следовательно,
(10 + t)2’
Полагая t = 0, из начального условия (13) находим 10 = С/100, т. е.
С = 1000. Поэтому закон изменения количества соли х в кило-
граммах, находящейся в резервуаре, в зависимости от протекшего вре-
мени t в минутах (рис. 228, б) дается формулой
1000
(10 + t)2‘
(14)
455
Заметим, что из формулы (14), зная количество соли, оставшейся в
резервуаре (последнее легко установить, измеряя объем резервуара и
концентрацию соли в нем), можно определить, сколько времени прошло
от начала процесса. На этой идее основано вычисление возраста морей
и океанов.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
Понятие однородного дифференциального уравнения перво-
го порядка связано с однородными функциями. Многочлен
Р (х, у) =
ij
называется однородным степени п, если все члены его имеют
один и тот же порядок и, т. е. для каждого такого члена ацХ'у*
имеем
i + j = и.
Например,
Р(х9 у) s 2х2 - Зху ~ 5у2	(1)
есть однородный многочлен степени 2. Заметим, что если аргу-
менты х и у однородного многочлена степени п заменить на про-
порциональные величины kx и ky9 то в результате этот много-
член умножится на n-ю степень коэффициента пропорциональ-
ности k. Так, например, для многочлена (1) имеем
Р (fex, ky) = 2(fex)2 - 3(kx)(ky) — 5(ky)2 =
= k2 (2x2 - 3xy - 5y2) = k2P (x, y).
Последнее свойство кладется в основу общего определения одно-
родной функции.
Определение 1. ФункцияР (х, у) называется одно родной
степени п9 если для любого числа k имеет место тождество
P(kx9 ky) = knP(x9 у).
Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение
Р(х, y)dx + Q(x, у) dy = 0.	(2)
Определение 2. Дифференциальное уравнение первого поряд-
ка (2) называется однородным, если коэффициенты Р (х, у)
и Q (х, у) при дифференциалах переменных х и у суть одно-
родные функции одной и той же степени.
456
Можно доказать, что с помощью подстановки
и = 2 (или v =	,	(3)
х V	у)
где и — новая неизвестная функция, однородное дифференци-
альное уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющими-
ся переменными.
Пример. Решить дифференциальное уравнение
(х + у) dx + х dy = 0.	(4)
Здесь Р = х + ynQ = х - однородные функции первой степени,
поэтому уравнение (4) однородное. Согласно указанию полагаем
М	,	(5)
И
У == хи,
где и — неизвестная функция. Отсюда
dy ** х du + и dx.
Подставляя это выражение в уравнение (4), будем иметь
(х + хи) dx + х (х du + и dx) = 0, или х du + (2и + 1) dx = 0.
Разделяя переменные, получаем
du = dx
2u +1 х
Для удобства умножим обе части последнего равенства на 2. Тогда,
интегрируя почленно, будем иметь
f = -2 f — •
J 2u + 1 J х
отсюда находим
е
In (2u + 1)»» -2 In х + In С и 2u + 1 = - .
х2
В силу формулы (5) имеем + 1 « Д и, следовательно,
X2	X2
У = “
X
2
(6)
где С} = С/2 — произвольная постоянная.
В процессе решения нам приходилось делить на функции х и 2и + 1.
Приравнивая их нулю, получаем возможные решения:
1) х = 0 и 2) 2и + 1 = 0; отсюда у = -х/2.
Обе функции 1) и 2), как легко убедиться проверкой, удовлетворяют
данному уравнению (4); последняя получается из общего решения (6)
при Сг = 0.
457
Пусть теперь однородное дифференциальное уравнение име-
ет вид
У' = f(x, у), или = f(x, у).	(7)
ах
Записывая последнее уравнение в дифференциалах, получим
dy = Дх, y)dx.
При dy стоит коэффициент, равный 1, т. е. однородная функция
нулевой степени; следовательно, Дх, у) также должна быть од-
нородной функцией нулевой степени.
Таким образом, дифференциальное уравнение (7) является од-
нородным тогда и только тогда, когда правая часть его f(x, у)
есть однородная функция нулевой степени1*.
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
имеет вид (см. § 1)
а(х)у' + Ь(х)у + с(х) = 0,	(1)
где а(х), &(х), с(х) — заданные функции. Если а(х) 0, то урав-
нение (1) можно записать в приведенном виде
у' + р(х)у = f(x),	(2)
где р(х) =	и f(x) =	, (/(х) — свободный член или правая
п(х)	п(х)
часть уравнения). Мы будем предполагать, что коэффициент
р(х) и свободный член Дх) уравнения (2) непрерывны на некото-
ром интервале (а, Ъ).
Для решения уравнения (2) искомую функцию у представим
в виде произведения двух множителей;
У = uv,
(3)
где и — некоторое ненулевое решение соответствующего одно-
родного уравнения
и' 4- р(х)и = 0,	(4)
а и — новая неизвестная функция. Так как
у' = u'V + uv',	(5)
1> То есть правая часть этого уравнения не изменяется при замене х на
kx и у на ky, где k — произвольный коэффициент пропорциональности.
458
то, подставляя выражения (3) и (5) в дифференциальное уравне-
ние (2), получаем
[и' 4- р(х) u\v 4- uv' == f(x)	(6)
или в силу (4) имеем
uv' = /(х).	(7)
Заметим, что фактически функция и подбирается так, чтобы
коэффициент при v в уравнении (6) был равен
ну лю.
Из уравнений (4) и (7) последовательно находятся функции
unv, причем для и выбирается какое-нибудь конкретное реше-
ние, отличное от нуля. Подставляя полученные выражения для
функций и и v в формулу (3), найдем искомую функцию у.
Замечание, На практике нет необходимости линейное уравнение
(1) приводить к виду (2); можно сразу применять подстановку (3).
Пример 1. Решить уравнение
ху' + 2у = х2.	(8)
Уравнение (8), очевидно, линейное. Полагаем
у — uv, у' — u'v 4- uv',	(9)
Подставляя эти выражения в уравнение (8), получаем
(хи' 4- 2u)v 4- xuv' = х2.
Подбираем функцию и так, чтобы
хи' 4- 2и ~ 0;	(10)
тогда
xuv' = х2.	(11)
Из (10) последовательно получаем
интегрируя, находим
|	= -2 J , т. е. In и = -2 In х + In Со,
а следовательно, выбирая Со = 1, получаем
и = ± .	(12)
X2
Отсюда из (11) имеем х • Д = х2, Д = х3 и, таким образом,
х2 dx	dx
v = |хМх = j + C,	(13)
где С — произвольная постоянная.
459
Итак, на основании (12) и (13) окончательно находим
1 (х* г^\	X2 С
y = uv= -2(j + c)^ т-е- +
Пример 2. Найти решение уравнения
(х + у)у' = 1,	(14)
удовлетворяющее начальному условию: у = 0 при х = -1.
По виду уравнение (14) не является линейным. Однако если рас-
сматривать х как ф у н к ц и ю от у9 то, учитывая, что у' = —?, полу-
X
чаем линейное уравнение
х' = х + у.	(15)
Как обычно, положим
х = uv9
X'^dx ^duv + u^
dy dy dy
Подставляя эти выражения в уравнение (15), будем иметь
du . dv .
— V + и— = UV + у.
dy dy
Отсюда, учитывая, что согласно выбору и
получаем
Из (17) находим частное решение
и = еУ.
Поэтому из (18) получаем
еУ— = у, dv = ye-ydy
dy
и, значит,
v = J ye~ydy = ~уе~у - е~у + С
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(здесь было применено интегрирование по частям!) Из (19) и (20) нахо-
дим общее решение:
х = UV = -у — 1 + СеУ.	(21)
Полагая здесь у = 0 при х = -1, получаем -1 = -1 + С, т. е. С = 0.
Таким образом,
х = -у -1, т. е. у = -(х + 1)
есть искомое частное решение.
460
Пример 3. Сила тока I в электрической цепи с омическим сопротив-
лением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
L~^ + Ri = Е,	(22)
dt
где Е — электродвижущая сила (рис. 229, а). Найти силу тока i через
время t после момента включения, если Е меняется по синусоидальному
закону
Е = Ео cos wt	(23)
и i = 0 при t = 0.
Рис. 229
Из (22) имеем
4- ai = cos cot,	(24)
dt	L
где для краткости положено a « R/L.
Полагая i = uv9 обычным приемом получаем
^+au=0 и = ^2 coscot.	(25)
dt	dt L
Отсюда
— = -a dt, In и = -at
и
(постоянную интегрирования мы опускаем!) и
и €-at'	(26)
Из (25) имеем
COS	« ^0 eat cos у# fa
dt L	L
и
V -£»(/+ C),	(27)
E
где
7 = Jgai cos cot dt	(28)
(одна из первообразных).
461
I
Применяя двукратное интегрирование по частям, находим
О dfSinton =е« sincot _ Г sincot .aeMdt =
J \ (0 )	О) J (О
= е<№ sin tot + Ct Г ш . J coscof) =
О) со J I со )
= са< sincot + а	coscot _ f coscot . ae«»dJ =
CD CD L CD J 0)	J
1	Cf
= - eafsin wt 4- ea<cos cot - — I,
CD	CD2	CD2
откуда получаем
-i-eaf(cDsincof + acoscot)
T _ CD2_____________________ _ ge^CDSinCDt 4- aCQSCDt)	zOQv
1 af	cd2 + a2
CD2
Подставляя это выражение в формулу (27), находим
V = (eat • to sin cot + acoscot + C)t	(30)
где C — произвольная постоянная.
Перемножая функции и и v ((26) и (30)), получаем закон изме-
нения силы тока
i = f со sin со t + acoscot	Ce-af A
L I co2 4- a2	) *
При t = 0 из начального условия находим
О = — f—-— +с\ т.е. С--------------—.
L lco2 + a2 )’	co2 + a2
Следовательно,
E
i = т—(co sin cot + a cos cot - ae~a9-
L(co24-a2)
Если t достаточно велико, то e~at — малая величина (a > 0) и ею в
формуле (32) можно пренебречь. В таком случае будем иметь
Eq .
1 ~ г / о —т: (w sm wt 4- a cos cot).
L(co24-a2)
Полагая (рис. 229, 6) cd = 7со2 4- a2 cos ср, a = 7<d2 + a2 sin ср, из фор-
мулы (33) окончательно получаем
Е	Е
i - —. _ ° sin (cot 4- ср) =	0 — sin (cdZ + ср),
L7co24-a2	'	7(Lcd)2 + B2
(32)
(33)
где ср ® arctg - — начальная фаза тока,
со
462
§ 6. Понятие о методе Эйлера
В предыдущих параграфах мы рассмотрели простейшие ти-
пы дифференциальных уравнений первого порядка, допускаю-
щих решения в квадратурах1) (или, как иногда говорят, интег-
рирующихся в конечном виде!). Однако не существует общего
метода для нахождения точного решения произвольного диффе-
ренциального уравнения первого порядка. Поэтому важное зна-
чение приобретают приближенные методы решений
дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим простейший из
них, так называемый метод Эйлера.
Пусть на заданном отрезке х0 < х < X требуется найти реше-
ние дифференциального уравнения первого порядка
у' = f(x, у)	(1)
с непрерывной правой частью /(х, у), удовлетворяющее началь-
ному условию
У(*о) = Уо-	(2)
Геометрически это значит, что для дифференциального урав-
нения (1) нужно построить интегральную кривую у = у(х), про-
ходящую через точку М0(х0, yQ) (рис. 230, а). Из геометрического
смысла производной получаем, что в каждой точке М (х, у) ин-
тегральной кривой ее наклон (т. е. угловой коэффициент каса-
тельной) удовлетворяет условию
k - tg а = f(x, у).	(3)
Так как правая часть дифференциального уравнения (1), по пред-
положению, непрерывна, то можно считать, что на небольшом
Рис. 230
То есть решения которых выражаются с помощью неопределен-
ных интегралов.
463
участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту
кривую приближенно можно заменить ломаной линией.
Практически это делается так: разобьем отрезок [х0, X] на
достаточно мелкие части: [х0, xj, [хх, х2], ..., [хп_19 X], число
которых равно п, и пусть
^li=x1 + i-xi (I = 0, 1, ..., п - 1)
— длины соответствующих частичных отрезков. Для простоты
будем считать их равными (хотя это не обязательно!). Тогда
й. =	= h = const.	(4)
Величина h называется шагом процесса.
Заменим кривую	с вершинами Afz (xi9 yt) лома-
ной NQN1N2...Nn с вершинами Nt (xt, yt) (i = 0, 1, 2, ..., n - 1,
Уо == Уо)> гДе M) = Af0, и последовательными наклонами
tg Р/ = f(xi9 9i) == У/
(5)
(i = 0, 1, 2, ..., n - 1, yt = y'Q= ftx0, i/0))
(полигон Эйлера) (рис. 230, а). Из рис. 230, б имеем расчетные
формулы
= х0 + ih9
&& = h tg pz = hf(xi9 ^),
Pi +1 == У/ + Ayt
(i = 0, 1, 2, ..., n - 1, po = y0)*	(6)
Заметим, что с механической точки зрения мы непрерывный
процесс, описываемый дифференциальным уравнением (^за-
меняем импульсным процессом, протекающим с по-
стоянной скоростью на элементарных промежутках [xf, xt + J
(i = 0, 1, 2, ..., п - 1), скорость которого меняется скачками при
переходе к последующему промежутку.
Недостатки метода: 1) малая точность при значительном ша-
ге й, большой объем работы при малом шаге;
2) систематическое накопление ошибок.
Метод Эйлера служит идейной основой для других, более со-
вершенных методов приближенного решения дифференциаль-
ных уравнений.
Пример. Методом Эйлера на промежутке [0; 0,5] найти решение
дифференциального уравнения
У' = х + у9 у(0)=1.	(7)
464
Выберем шаг h “0,1. Результаты вычисления (с точностью до 10“3)
занесены в таблицу:
X	У	у' = х + у	Ду = y'h
0	1,000	1,000	0,100
0,1	1,100	1,200	0,120
0,2	1,220	1,420	0,142
0,3	1,362	1,662	0,166
0,4	1,528	1,928	0,193
0,5	1,721		
Таким образом, £(0,5) = 1,721. Нетрудно найти точное решение
(уравнение (7) — линейное!): у = 2ех - (х + 1); отсюда г/(0,5) = 2je - 1,5 ~
~ 2 ’ 1,645 - 1,500 = 1,790.
§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка
Общий вид дифференциального уравнения второго порядка,
разрешенного относительно старшей производной, следующий:
у" = f(x, у, у').	(1)
Общее решение
у = ф(х, С15 С2)	(2)
этого уравнения содержит две незави-
симые произвольные постоянные Сг и
С2. Геометрически общее решение (2)
представляет собой бесконечную сово-
купность интегральных кривых, зави-
сящую от двух независимых парамет-
ров Сх и С2. Вообще говоря, через каж-
дую точку М0(х0, у о) плоскости Оху
проходит пучок интегральных
кривых (рис. 231). По-
этому, чтобы из нашего семейства интегральных кривых выде-
лить одну определенную интегральную кривую Г, недостаточно
указать точку Мо (х0, z/0), через которую должна проходить эта
последняя кривая, а следует указать еще направление, в котором
кривая Г проходит через точку Мо, т. е. задать тангенс угла а0,
образованного касательной к этой кривой в точке Мо с положи-
тельным направлением оси Ох. Аналитически, если обозначить
tg а0 = У'о>
465
мы приходим к таким начальным условиям: у = z/0, у' = у$ при
х = х0. На основании (2) имеем
Уо ~~ Ф (хо> Ср С2),
У о s Фх (хо» Ср С2).
(3)
Из системы (3) можно, вообще говоря, определить постоян-
ные Схи С2 и тем самым найти частное решение
У = ф(х),
удовлетворяющее нашему уравнению (1) и заданным начальным
условиям
у\х-х0~ Уоя У^-х0~ У о	(4)
(задача Коши). Заметим, что при решении конкретных физиче-
ских задач, как правило, наряду с дифференциальным уравне-
нием фигурируют те или иные начальные условия (4), так как
решение такой задачи, по понятным соображениям, должно
быть однозначным.
С помощью дифференциального уравнения второго порядка
записывается основное уравнение динамики.
Пусть материальная точка массы т движется по оси Ох под
действием переменной силы F. Если обозначить через j ускоре-
ние этой точки, то согласно закону Ньютона имеем
mj = F.	(5)
В наиболее общем случае сила F зависит от времени t, от коор-
динаты х (характеризующей положение материальной точки на
оси Ох) и от скорости этой точки. Следовательно,
at
F = F(t, х, .
k dt)
С другой стороны, как известно (гл. X, § 14), для прямоли-
нейного движения ускорение j равно второй производной от пути
• d2x
по времени, т. е. j =	.
Подставляя величины F и j в уравнение (5), получим диффе-
ренциальное уравнение движения точки
466
Чтобы полностью описать движение точки, нужно дополни-
тельно задать начальное положение и начальную скорость точки
== t0 = Х0 И li = to = U°
(начальные условия).
§ 8. Интегрируемые типы дифференциальных
уравнений второго порядка
В общем случае дифференциальное уравнение второго поряд-
ка не может быть решено в конечном виде. Мы рассмотрим здесь
некоторые простые случаи, когда уравнение второго порядка ре-
шается с помощью квадратур, т.е. применением операций
неопределенного интегрирования.
Тип I. Пусть
У" = 7(х).	(1)
Интегрируя, будем иметь
у' = jf(x)dx + Ср
Интегрируя еще раз, окончательно получаем
у = Jdx Jf(x)dx 4- Crx + С2,
где С\ и С2— произвольные постоянные, и неопределенные ин-
тегралы трактуются как некоторые первообразные соответст-
вующих функций.
Тип II. Пусть
у'' = №).	(2)
Положим
/ = Р-
Отсюда, рассматривая р как функцию от у, будем иметь
у" = djL = & . dii =р&.
dx dy dx dy
Следовательно, уравнение (2) примет вид
pg - m
467
Разделяя переменные, получаем
Р dp = f(y)dy.
Интегрируя последнее уравнение, находим
§ = f f(y)dy +	,
ы	J	&
или
Р= ±J^f(y)dy + C1.
Так как р =	, то предыдущее уравнение можно записать так:
dy =
dx
± Jtfftyjdy + C!.

Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, оконча-
тельно будем иметь
f . . dy — = ± (х + С2).
J ^f^dy + C^
Не стоит запоминать эту сложную формулу общего решения
уравнения типа II, а следует усвоить способ интегрирования.
Тип III. Пусть
У" = f(y').	(3)
Полагаем
У' =Р-
Тогда
V” =
у dx
Уравнение (3) примет вид
3? - «₽>•
Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем
иметь
= dx
f(p)
- J =х+с>-
Определив из этого последнего уравнения величину р =	,
ах
путем вторичного интегрирования можно будет найти и у.
468
Пример 1. Определить закон движения материальной точки массой
тп, брошенной с начальной скоростью и0 вертикально вверх.
Вертикальную прямую, являющуюся траекторией движущейся
точки, примем за ось Ох, при этом положительное направление оси Ох
установим вверх. За начало координат О возьмем начальное положение
нашей материальной точки.
Если пренебречь сопротивлением воздуха, то единственная сила,
действующая на нашу точку, есть сила тяжести mg, направленная вер-
тикально вниз. Согласно закону Ньютона имеем следующее дифферен-
циальное уравнение движения:
или
Кроме того, должны быть соблюдены начальные условия:
х|(_о = О и	=р0.	(5)
dfL-o
Производя подстановку
dx = d2x = dv
dt	dt2 dt *
из уравнения (4) получаем
= -g, или dv = -g dt.
<	dt
Интегрируя, будем иметь
v = Cj - gt.
Полагая здесь t = 0 и используя второе условие (5), найдем Сг = и0.
Отсюда
V = vQ - gt9	(6)
или
dt "°
Интегрируя еще раз, будем иметь
X = С2 + Vot -	.
Для определения константы С2 заметим, что в силу первого условия (5)
х = О при t — 0. Подставляя эти значения в наше последнее уравнение,
получаем С2 « 0. Следовательно,
x = vot-^.	(7)
469
Таков закон движения материальной точки, брошенной вертикаль-
но вверх с начальной скоростью vQ (без учета сопротивления воздуха).
В частности, в наивысшей точке подъема должно быть v - 0. Отсюда
из уравнения (6) определяем время подъема Т ==—, а из уравне-
g
у 2
ния (7) — соответствующую высоту подъема Н = —.
Пример 2. Решить уравнение у" = у~3.
Полагаем здесь у' = р, отсюда
у"
dp _ dp dy _ dp
dx dy dx dy
Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем
р^ = у-з
Pdy У
Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь
Р dp = y~3dy и	+ у •
—и	L
Отсюда
p =	(CjX))
и, следовательно,
d]L _±
dx	у
Это уравнение первого порядка. Разделяя переменные, имеем
VdV = + dx.
Умножая обе части на С19 получаем
После интегрирования будем иметь
f
J
Вычислим интеграл, стоящий в левой части уравнения. Замечая,
что
С.У dy - IdtC^-l),
£4
470
будем последовательно иметь
Г c.ydy _ 1 р(С1Уг-1) _
J 7с1У2-1 2J 7Cij/2-i
lf	|(C1J/2-l)"2	_______
= i J (С1У2 - 1)-1/2 d(Ciy2 - 1) = ‘-------Jc^ -I.
2
Таким образом, находим ^гУ2 ~ = i (Pix + С2), или окончательно
С1У2- 1~(Сгх + С2)2.
Пример 3. Найти решение уравнения 2у'у" = 1, удовлетворяющее
начальным условиям: г/ = 0, / = 1 при х « 1.
Полагая у' = р и у" = & , имеем
CLX
2р = 1.
dx
Разделяя здесь переменные, получаем
2р dp = dx,
или после интегрирования
р2 = х + СР
Для определения постоянной Сх используем начальное условие
р = /= 1 при х = 1. Имеем 1 = 1 + Сг; отсюда С} = 0 и, следовательно,
р2 = х.
Извлекая корень, получаем
причем перед корнем взят знак плюс, так как при х = 1 мы должны
иметь р = 1.
Разделяя переменные и интегрируя, находим
у = fjidx - |хЗ/2 + С2.
2
Для определения постоянной С2 полагаем х = 1 и р = 0; тогда 0 = - + С2,
о
2
т. е. С2=	. Таким образом, искомое решение есть
У = I (X3/2 - 1).
О
471
§ 9. Случаи понижения порядка
дифференциальных уравнений
Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение вто-
рого порядка
у” = f(x, у, у')	(1)
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
Случай 1. Пусть правая часть дифференциального уравнения
(1) явно не содержит х, т. е. уравнение имеет вид
У” = /(!/> У')-	(2)
Полагая здесь
у' = р и у" =	=	=
У F У dx dy dx dyp
получим дифференциальное уравнение первого порядка
= Ку,
ау
где роль независимой переменной играет у.
Случай 2. Пусть правая часть дифференциального уравнения
(1) явно не содержит I/, т. е. уравнение имеет вид
у" = f(x, у').	(3)
Полагая
и
получим уравнение первого порядка
= f(X, р)
CLX
с неизвестной функцией р.
Отметим, что рассмотренные выше типы II и III (§ 8) явля-
ются частными случаями соответственно уравнений (2) и (3).

Пример 1. Решить уравнение
У ' =	•	(4)
У
Согласно случаю 1 полагаем у' = р и у" = р^2. Тогда уравнение (4)
dy
примет вид
р & =
dy у
Отсюда: 1) р = 0, т. е. у = С; или 2)	, т. е.	и
dy У РУ
In р = In у + In СР
а
472
Потенцируя, будем иметь
=С1!/
и, следовательно,
=Cjdx.
У
После интегрирования получаем
1п у = (\х + In С2
и,значит,
у = с2ес'х,
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Пример 2. Найти решение уравнения
ху" = 2х - у',
(5)
удовлетворяющее начальным условиям: у — 1 и у = 1 при х = 1.
d
В уравнении (5) полагаем у' = р и у"
==	, Тогда
х& = 2х - р,
или
=2
dx х
Полученное уравнение — однородное1*, поэтому примем
Н Го
следовательно,
р = хи и == х^ + и.
dx dx
Подставляя в уравнение (6), будем иметь
отсюда
du 2 — 2и	du 2dx
— =------, или ----.
dx х	u-1 х
Интегрируя, получаем
In (и - 1) = -2 In х + In Сг
и, следовательно,
X2
р - С1	С,
т. е. *- = 1 + —±	и р = х + —-.
хх2	х
Уравнение (6) можно также рассматривать как линейное.
473
Для определения постоянной Сг используем начальные условия: р = у' = 1
при х = 1. Получаем 1 = 1 + Ст, т. е = О и, таким образом,
dx
Отсюда имеем dy = х dx и
y = |xdx=^+C2.	(7)
Постоянную С2 определяем из начальных условий. Полагая х « 1 и
у = 1/2 в формуле (7), получаем |	| + С2, т. е. С2 = 0. Следовательно,
и и
искомое частное решение есть
У ~ х2/2.
§ 10. Понятие об интегрировании дифференциальных
уравнений с помощью степенных рядов
Для простоты изложим этот метод на примере дифференци-
ального уравнения первого порядка
у' = f(x, у), у(х0) = i/0,	(1)
где функция /(х, у) бесконечно дифференцируема,
т. е. имеет производные всех порядков.
Будем искать решение задачи (1) в виде ряда Тейлора (гл.
XXI, § 14)
У = Уо + Уо(х - хо) + тт (х - *о)2 + •••>	(2)
а !
где для краткости положено
уГ =У(пЧхо) (п = 1,2, ...)•
Свободный член у0 ряда (2) определяется из начального ус-
ловия (1). Коэффициент у'о мы находим из дифференциального
уравнения (1)
Уо = f(x0, Уо)-
Для нахождения коэффициента j/o продифференцируем по х
уравнение (1), предполагая, что у есть функция от х. Имеем
У' = 4МХ> у)],
ах
отсюда
Уо =	У)] х = х0
474
и т. д. Сложный вопрос о сходимости ряда (2) мы оставляем без
рассмотрения.
Этот метод, с очевидными изменениями, применим также и
для уравнения второго порядка
у" = f(x, у, у'), у(х0) = Уо, у'(х0) = Уо. (3)
Пример. С помощью степенных рядов найти решение дифференци-
ального уравнения
/ = ху 4- у29 у(0) — 1.	(4)
Положим
У-у0 + у'0х+^*2+^*3 + ... •	(5)
О!
Из условий (4) имеем у0 = 1, y'Q = 0 • 1 + 12= 1.
Дифференцируя как сложную функцию правую часть уравнения
(4), получаем
= (у 4- ху') 4- 2уу';	(6)
отсюда уд = (1 + 0) + 2 • 1 • 1 = 3.
Далее, дифференцируя уравнение (6), будем иметь
у'" « (2у' 4- ху") 4- 2(у'2 + уу")
и, следовательно, Уо' = (2 + 0) 4- 2 • (1 + 1 • 3) = 10 и т. д.
Таким образом, из (5) имеем
у= 1 + х + |Х2+ |хЗ+ ... .	(7)
2	3
Результаты вычислений можно оформить в виде таблицы:
X	0	0,1	0,2	0,3	...
У	1	1,117	1,273	1,480	...
§ 11. Общие свойства решений
линейных однородных дифференциальных
уравнений второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное урав-
нение второго порядка
у" + р(х)у' + д(х)у = 0,	(1)
коэффициенты которого р(х) и д(х) непрерывны.
Пусть
У1 = У1(х) и у2 = у2(х)
— частные решения уравнения (I)1).
Опрелеление. Два решения уг и у2 называются линейно
зависимыми, если можно подобрать постоянные числа а}
475
и а2 не равные одновременно нулю, такие, что линейная ком-
бинация этих функций тождественно равна нулю, т. е.
Я1У1 + а2у2 = 0.	(2)
В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, ре-
шения уг и у2 называются линейно независимыми Иными сло-
вами, если функции ух и у2 линейно независимы и имеет место
тождество (2), то аг = а2 « 0.
Очевидно, решения уг и у2 будут линейно зависимы тогда
и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т. е.
если
Уг = аУ1	(3)
(или наоборот), где а — постоянный коэффициент пропорци-
ональности.
В самом деле, если выполнено условие (3), то можно записать
Я1У1 + а2У2 = °,
где аг = а и а2 = -1 0, и, следовательно, эти решения являются
линейно зависимыми.
Обратно, если решения уг и у2 линейно зависимы, то имеет
место тождество
Я1У1 + а2У - 0,
где по меньшей мере одна константа, аг или а2, не равна нулю.
Полагая, например, что а2 0 и а = -ах/а2, получаем у2 = аух.
Понятие линейной зависимости применимо также к любой
паре функций. Аналогично определяются линейная зависимость
и линейная независимость нескольких функций.
Пример. Функции ekiX и ekzX при k2 * kx линейно незави-
симы.
В самом деле, допустим, что имеет место соотношение
axek'x + a2ek*x = 0,
где хотя бы один из коэффициентов аг и а2, например а2, не равен нулю.
Тогда получим тождество
е(*2“*1)х = -aja2,
что невозможно, так как левая часть этого равенства меняется с изме-
нением х, а правая часть постоянна.
Зная два частных линейно независимых решения уг и у2 урав-
нения (1), легко получить общее решение этого уравнения. А
именно, имеет место такая теорема.
Слово «частные» здесь понимается в том смысле, что эти решения
не содержат произвольных постоянных.
476
ТЕОРЕМА. Если уг и у2 — линейно независимые частные ре-
шения линейного однородного уравнения второго порядка (1),
то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих
частных решений, т, е. общее решение уравнения (1) имеет вид
У = С1У1 + С2У2.	(4)
где Сх и С2 — произвольные постоянные (-оо < Сг < +°о,
-оо < С2 < +°°).
Доказательство. В самом деле, так как уг и у2 — решения урав-
нения (1), то имеем
У1 + Р(х) у{ + q(x)yr = 0	(5)
и
Уг + Р(х) У2 + Ч(х)у2 = 0.	(6)
Подставляя выражение (4) в левую часть уравнения (1), в си-
лу (5) и (6) получаем
(С1У1 + С2у2)" +X^)(Ci!/i + C2y2)z + qtxyC^ + C2i/2) =
= CiJ/Г + С2у2 + р(х)(\у{ +р(х)С2у2+ q(x)C1y1+ q(x)Czy2 =
= Cib/i +р(х)у'1 +	+ С2[у2 +р(х)у2 + q(x)y2] = Сх • 0 + С2 • 0 = 0.
Отсюда следует, что функция
У = С1У1 + С2у2	(7)
будет решением уравнения (1) при любом выборе постоян-
ных Сх и С2.
Если решения уг и у2 линейно независимы, то решение (7)
будет общим решением дифференциального уравнения (1),
так как оно содержит две произвольные постоянные Сг и С2, ко-
торые в этом случае не могут быть сведены к одной, т. е. явля-
ются независимыми.
Можно доказать, что формула (7) дает все решения со-
ответствующего линейного дифференциального уравнения (1).
Замечание. Если же частные решения уг и у2 линейно зави-
симы, то решение (4) не будет общим. В самом деле, пусть уг и
у2 линейно зависимы, т. е. пусть имеет место соотношение у2 = ау19
где а — некоторая константа. Подставляя у2 в выражение (4),
будем иметь
У = С1У! + С2ау1
ИЛИ
У = Су 1,	(8)
где С = Сх + С2. Это решение содержит только одну произвольную
постоянную С и потому не будет общим. Итак, чтобы найти об-
щее решение уравнения (1), достаточно знать два его частных
линейно независимых решения ух и у2.
477
§ 12. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение
у" + ру' + ?у = 0	(1)
имеет постоянные коэффициенты pnq.
Будем искать частное решение уравнения (1) в форме
У = ekx,	(2)
где k — постоянное число, подлежащее определению. Из (2) имеем
у' == kekx и у" = k2ekx.
Подставляя у, у' и у" в уравнение (1), получаем
k2ekx 4- pkekx + qekx = О
или, сокращая на множитель ekx, который не равен нулю, находим
k2 + pk + q = 0.	(3)
Квадратное уравнение (3), из которого определяется число А,
называется характеристическим уравнением данного линейно-
го уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
(1). Заметим, что для написания характеристического уравне-
ния (3) достаточно в дифференциальном уравнении (1) производ-
ные у", у' и функцию у заменить на соответствующие степени
величины fe, рассматривая при этом функцию у как производную
нулевого порядка.
Решая характеристическое уравнение (3), получаем
=	(4)
л “
Здесь могут представиться три различных случая.
Случай I. Если
^-«>0,	(5)
то согласно формуле (4) характеристическое уравнение (3) имеет
два действительных и различных корня и fe2. Следовательно, ли-
нейное уравнение (1) допускает два различных частных решения
уг = efclX и ух = ek*x.
Так как kx # А2, то эти решения, как мы видели (§11, при-
мер 1), линейно независимы. Следовательно, общее решение для
случая I имеет вид
у =	+ С2е*1Х.	(6)
478
Пример 1. Пусть
у" - 2у' - 8у = 0.	(7)
Решая характеристическое уравнение
k2-2k - 8 = 0,
находим его корни = 4, k2 = -2. Общее решение уравнения (7) имеет вид
у =	+ С2е-2х.
Случай II. Если
- q = 0,	(8)
то в силу формулы (4) характеристическое уравнение (3) имеет
единственный корень
^1 = ^2 = “ п '
Такой корень называется кратным. Поэтому одно частное реше-
ние уравнения (1) будет
-Ях
= е 2 •
Всякое другое частное решение у2, линейно независимое с ylt
обязательно должно иметь вид
У2 = У12 (*).	(9)
где z = г(х) — некоторая функция от х, не являющаяся тожде-
ственно постоянной. Отсюда
У г = е 2
Дифференцируя, находим
у2 = е 2* г' + е = е 2*fz' - ^z]
\	\	2 /
и
Подставляя у2; у'2иу2 в уравнение (1), после сокращения на
общий множитель е 2 получаем
г" - рг' +	+ pz' - z + qz = 0,
4	4
ИЛИ
z" + (q - Ъ = 0.
к 4 7
479
Наконец, в силу условия (8) будем иметь
Л	г" = 0.
Отсюда
z = а и z = ах 4- Ь9
где а и Ь — произвольные постоянные.
Следовательно,	рх
i/2= (ах 4- Ъ)е 2 .	(10)
Так как мы интересуемся только частным решением, то мож-
но принять а = 1 и Ъ = 0. Тогда
Уъ =	2 •
Таким образом, общее решение уравнения (1) в случае II будет
у=е2 (Сх + С2х).	(И)
Заметим, что формула (10), в сущности, уже давала это общее
решение, так как всякое решение уравнения (1) можно предста-
вить в виде (10).
Пример 2. Пусть у" - бу' + 9у = 0.
Решая характеристическое уравнение k2 - 6k 4- 9 = 0, находим крат-
ный корень = 3 + 79-9 в 3. Следовательно, общее решение запи-
шется в виде	о	ч
У = еЗх(С14-С2х).
Случай III. Если
4
то на основании формулы (4) характеристическое уравнение (3)
имеет два сопряженных комплексных корня
kr = а 4- р/ и k2 = а - Pi,
гдеа = -| и0 =
Z	'х -г
Тогда частные решения и у2 уравнения (1) будут такие:
У1 = е<« + 30 и у2 =	- ЗОх 1).	(12)
Под производной комплексной функции
fi(x) 4- if2(x)
действительной переменной х, где /х(х) и f2(x) — действительные функ-
ции от х, a i — мнимая единица, по определению понимают выражение
(Л(х) + if2(x)]' = fi(x) + i/2(x).
Пользуясь формулой (4) из гл. XXI, § 16, легко проверить, что если
k = а 4- ф, то (ekxY = kekx. Следовательно, функции уг и у2, а также любая
линейная комбинация их удовлетворяют нашему дифференциальному
уравнению.
480
Отсюда общее решение уравнения (1) формально можно записать
так:
у = Ci +	+ с2 e(ot‘pf)x,
или
у = ^^(Ci е^х + С2 е~1$х ),	(13)
где Ci и С2 — некоторые комплексные константы, подобранные
таким образом, чтобы выражение (13) было действительным.
В выражении (13) можно избавиться от мнимых величин. Со-
гласно формулам Эйлера (гл. XXI, § 16) имеем
е$х = cos Рх + isin Рх и е~$х = cos fix - fsin fix.
Отсюда
у = еах [(Ci + С2) cos fix + i (Ci - C2) sin px].
Полагая
Ci + C2 = Ci и i (Ci — C2) = C2,
окончательно получаем
у = eax (Ci cos fix 4- C2sin Px),	(14)
где Сг и C2 — какие угодно (ввиду произвольности постоянных
Ci и С2) постоянные действительные числа. Это и есть общее
решение в действительной форме уравнения (1) для случая III.
В частности, если в характеристическом уравнении (3) имеем
р = 0 и q = р2, то корни fei>2 = ±р/ будут чисто мнимыми (а = 0)
и для соответствующего дифференциального уравнения
у” + Р2у = 0
получим общее решение его в таком виде:
у = Cjcos Px + С2 sin рх.	(15)
Замечание. В приложениях иногда используется другой вид
формулы (14). А именно, полагая
Ci = A sin ф и С2 = A cos ф,	(16)
где А и ф — новые произвольные (А > 0) постоянные, будем иметь
у = Ае™ sin (Рх + ф).	(17)
Из (16) получаем
А = TcfTci, tg<p=^.
Если х трактовать как время, то с физической точки зрения
функция (17) описывает колебательный процесс, затухающий
при а < 0 и неограниченно растущий при а > 0.
16 Б. Демидович, В. Кудрявцев
481
Пример 3. Имеем уравнение
у" - бу' 4- 13у = 0.
Решая характеристическое уравнение &2 -	4- 13 = 0, получаем
комплексные корни k12 = 3 ± 2L Здесь а == 3 и р == 2. Следовательно, на
основании формулы (14) общее решение запишется в виде
у = е3х (Cxcos 2х 4- C2sin 2х).
Пример 4. Материальная точка массы т притягивается к неподвиж-
ному центру О с силой, пропорциональной удалению х точки от притя-
гивающего центра (упругая сила) (рис. 232). Найти закон движения
этой точки (пренебрегая сопротивлением среды). Согласно закону Нью-
тона имеем
kx
Рис. 232
где k — коэффициент пропорциональ-
ности, а знак минус поставлен потому,
что направление действующей силы
противоположно смещению х. Отсюда
+ (02х = 0, где со = р.
at2	ут
Мы получили линейное уравнение второго порядка с постоянными ко-
эффициентами. Корни соответствующего характеристического уравнения
k2 4- со2 = 0
являются чисто мнимыми: Л1>2 e ±wi. Поэтому в силу формулы (14)
(а == 0, Р = со) имеем
х == C^os cof + С2 sin cof.
Можно положить Сг = Asin ф, С2 == A cos ф, где А и ф — некоторые
другие произвольные постоянные. Отсюда
х = A sin (cof 4- ф),
т. е. материальная точка в наших условиях совершает периодические
гармонические колебания около притягивающего центра с ампли-
тудой А и начальной фазой ф.
§ 13. Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго по-
рядка
у" + РУ' + <1У = К*),
(1)
где р и q — данные постоянные числа, f(x) (правая часть урав-
нения) — известная функция от х. Имеет место следующая тео-
рема:
482
ТЕОРЕМА. Общее решение неоднородного уравнения (1) равно
сумме общего решения соответствующего однородного урав-
нения
у" + ру' + qy = 0	(2)
и частного решения данного неоднородного уравнения.
Доказательство. Пусть
У ~ С1У1 + С2У2	(3)
есть общее решение уравнения без правой части (2) и z есть не-
которое частное решение соответствующего уравнения с правой
частью (1). Очевидно, имеем
У” + РУ' + qy = 0 и z" + pz' + qz = Дх).
Складывая почленно эти уравнения и учитывая, что производ-
ная суммы равна сумме производных, получаем
(у + z)" + р(у + z)' + q(y + z) = Дх).
Отсюда ясно, что функция
У = У + z	(4)
будет решением уравнения (1), и при этом общим, так как в
ее состав, в силу формулы (3), входят две независимые произ-
вольные постоянные Сг и С2.
Так как мы умеем находить общее решение у однородного
линейного уравнения с постоянными коэффициентами, то оста-
ется лишь указать способ нахождения частного решения z соот-
ветствующего неоднородного уравнения (1), где р и q — посто-
янные.
При рассмотрении этой последней задачи мы ограничимся
лишь простейшими правыми частями Дх) В этих случаях для
нахождения частного решения уравнения (1) обычно применя-
ется так называемый метод неопределенных коэффициентов.
Случай I. Правая часть уравнения (1) есть показатель-
ная функция
Дх) == aemx (а 0).
Ищем частное решение z также в форме показательной функции
z = Аетх,	(5)
где А — неопределенный коэффициент. Отсюда
zf = Атетх = Ат2етх.
483
Подставляя f(x) и выражения для z и его производных в уравне-
ние (1), после сокращения на етх будем иметь
А(ти24- pm + q) = а.	(6)
Возможны два случая: 1) тп не является корнем характерис-
тического уравнения, т. е.
т2 + pm + q 0.
Тогда А = —— ------- и, следовательно,
тп2+ртп + у
z = аетх •
m2+pm + q ’
2) число т есть корень характеристического уравнения, т. е.
тп2 + pm + q = 0.	(7)
Тогда уравнение (6) противоречиво и, следовательно, дифферен-
циальное уравнение (1) не имеет частного решения в форме (5).
В этом случае: а) если т есть простой корень характеристи-
ческого уравнения (т. е. другой корень этого уравнения отличен
от тп), то частное решение уравнения (1) следует брать в виде
г = Ахетх>
и б) если же тп — кратный корень характеристического уравне-
ния, то частное решение уравнения (1) нужно искать в виде
z = Ах2етх.
Эту рекомендацию можно непосредственно проверить.
Пример 1. Пусть у" - 5у' + бу = ех.
Решим сначала уравнение без правой части:
у" - 5у' + 6у =0.
Характеристическое уравнение здесь имеет вид k2 - 5k +6 = 0. Отсюда
корни его будут kx = 3,^=2. Следовательно, общее решение уравнения
без правой части таково:
у = Схе2х + С2е2х.
Так как тп = 1 не является корнем характеристического уравнения,
то ищем частное решение уравнения с правой частью в следующей форме:
z = Аех,
где А — неопределенный коэффициент. Дифференцируя, будем иметь
z'=Аех, z" = Аех.
Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получаем
Аех - 5Аех + 6Аех = ех или 2А = 1.
484
Отсюда A =1/2. Итак, частное решение уравнения с правой частью
есть
Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей тео-
ремы имеет вид
у = Схе3х 4- С2е2х4- | ех.
Случай II. Правая часть уравнения (1) есть тригоно-
метрический полином
/(х) = Mcos сох 4- Nsin сох.	(8)
Ищем частное решение z этого уравнения также в форме три-
гонометрического полинома
г = Асов (ох 4- Bsin (ох,
где А и В — неопределенные коэффициенты.
Дифференцируя, получим
z' = -Acosin (ох + Bocos (ох и z" = -A(o2cos (ox - B(o2sin (ox.
Отсюда, подставляя эти выражения в уравнение (1) и собирая
вместе члены с cos (ох и sin (ох, будем иметь
(-А(02 4- Вр(О 4- Ag)cos (ох 4- (- В(о2 - Ар(О 4- Bg)sin (ох =
= Mcos (ох 4- N sin (ох.
Так как последнее равенство представляет собой тождество,
то коэффициенты при cos (ох и sin (ох в левой и правой частях
этого равенства должны быть соответственно равны друг другу
и мы получим
A(q - (о2) 4- Вр(О = М, -Аро 4- B(q ~ (О2) = N. (9)
Из этой системы, вообще говоря, мы и сможем определить коэф-
фициенты А и В. Единственный случай, когда система (9) несов-
местна, это
р = 0, q = (о2
(т. е. когда ±i(0 — корни характеристического уравнения). Тогда
частное решение z следует брать в такой форме:
z = x(Acos (ох 4- Bsin (ох).
Пример 2. Пусть
у" - 4у' 4- 4у = cos х	(10)
Соответствующее однородное уравнение будет
у" - 4у' + 4у = 0.	(11)
485
Решая характеристическое уравнение k2- 4k +4 = 0, находим кратный
корень &1>2 = 2 ± V4 - 4 = 2.
Следовательно, общее решение однородного уравнения (11) есть
у = е2х(С1 + С2х).
Будем искать частное решение уравнения (10) в такой форме:
z = Acos х + Bsin х,
где Аи В — неопределенные коэффициенты.
Дифференцируя, получаем
г' = -Asin х + Bcos х, z" = -Acos х - Bsin х.
Подставляя z, z' и z" в уравнение (10), будем иметь
-Acos х - Bsin х + 4Asin х - 4Bcos х + 4Acos х + 4Bsin х == cos х.
Приравнивая коэффициенты при cos х и sin х справа и слева, получим
систему
ЗА - 4В = 1, 4А + ЗВ = 0.
Решая эти уравнения совместно, находим А = 3/25 и В = -4/25 и, сле-
довательно,
_3	4	.
2	25 C°SX 25 SmX*
Отсюда общее решение уравнения (10) будет иметь вид
у = е2х (С1 + Сгх) + COS X - sin х.
до	Zo
Пример 3. Изучить колебания материальной точки массы тп, нахо-
дящейся под действием упругой силы, пропорциональной отклонению
х точки от положения равновесия, при наличии периодической возму-
щающей силы
F =Fosin pt
(Fo, р — постоянные). Сопротивлением среды пренебрегаем.
Согласно закону Ньютона дифференциальное уравнение движения
точки имеет вид (рис. 233)
/72 -у-
т^— = - kx + Fosinpt
х	dt2	°
0 . x — m
----------о < -ъ  »	» (k — коэффициент пропорци-
kx	F x ональности) или
Рис. 233	d2x , 9	. л
—• + (02х = a sm pt, (12)
[k	F
где co = /— и a = — . Общее решение однородного уравнения
N т	т
d2x
dt2
+ сох = 0,
как известно (см. § 12, пример 5), имеет вид (свободные колебания точки)
х = Cxcos art + C2sin art,	(13)
где Cj и C2 — произвольные постоянные.
486
При нахождении частного решения z неоднородного уравнения (12)
следует различать два случая.
1) Пусть р & (о, т. е. частота внешней силы не совпадает с частотой
свободных колебаний (13).
Полагаем
z = Acos pt 4- Bsin pt,	(14)
где АиВ — неопределенные коэффициенты.
Подставляя выражение (14) в уравнение (12), будем иметь
-Ap2cos pt - Bp2sin pt 4- o)2(Acos pt 4- Bsin pt) « asin pt,
или
A (co2 - p2)cos pt + B(co2 - p2)sin pt = asin pt.
Отсюда
A(a)2 — p2) = О, В (co2 - p2) == a
и, следовательно, A ~ 0, В = —-—- . Таким образом,
a)2-p2
г =	? sin pt.
(02-p2
Общее решение неоднородного уравнения (12) (вынужденные колебания
точки) дается формулой
х = С, cos co# + C2sin art 4- ——- sin pt
co2—p2
(15)
и представляет собой наложение двух колебаний с частотами а) и р, при-
чем колебания ограничены.
2) Пусть р = со, т. е. частота внешней силы совпадает с частотой
свободных колебаний (13).
В этом случае формула (15), очевидно, теряет смысл. Полагаем
z « t(A cos art 4- В sin cot);
отсюда
z' = (Acos cot 4- Bsin art) 4- (-Acosin art 4- Bcocos art)
и
z" « 2(-Acosin art 4- Bcocos art) 4- f(~Aco2cos wt - Ba)2sin art).
Подставляя эти выражения в уравнение (12), будем иметь
2(-Acosin art 4- Bcocos art) - co2f(Acos art 4- Bsin art) +
4- co2t(Acos art 4- Bsin art) « asin art,
или
2(Acosin art 4- Bcocos art) = asin art.
Отсюда для определения неопределенных коэффициентов А и В имеем
систему
-2Асо = а, 2Всо = 0.
Следовательно, А = - а/2со, В = 0 и, значит,
z = cos (tit
2 со
487
(рис. 234). Вынужденные колебания точки при этом описываются
выражением
X “ CjCOS (Of 4- C2sin cot - COS (Dt.	(16)
Формула (16) показывает, что размах колебаний х неограниченно
растет вместе с временем t. Таким образом, даже ничтожно малая внеш-
няя сила в случае 2 вызывает неограниченные колебания системы. Это
явление носит название резонанса» Физическим последствием резонанса
является нарушение работы и даже разрушение упругой системы. На-
пример, известны случаи, когда ритмические стуки поезда, идущего по
железнодорожному мосту, приводили к разрушению этого моста.
Случай III. Правая часть линейного уравнения (1) представ-
ляет собой полином, например, второй степени
f(x) = ах2 4- Ьх + с (а * 0).	(17)
Ищем частное решение z этого уравнения также в форме по-
линома второй степени
z = Ах2 + Вх 4- С,
где А, В и С — неопределенные коэффициенты.
Дифференцируя, будем иметь
z' = 2Ах + В и z" = 2А.
Отсюда, подставляя z, zf и z" в уравнение (1), получаем
2А + р(2Ах+ В) 4- q(Ax2 4- Вх 4- С) = ах2 + Ьх + с,
или
Aqx2 + (2Др + Bq)x 4- (2А + Bp + Cq) = ах2 + Ьх + с.
Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда
и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях
переменной х равны, то для определения коэффициентов А, В и
С имеем систему
Aq = а, 2Ар + Bq = b, 2А 4- Вр 4- Cq == с. (18)
488
Если q 0, то из этой системы для коэффициентов А, В и С
получаются определенные числовые значения. Тем самым част-
ное решение г будет вполне определено.
Если же q = 0 (характеристическое уравнение имеет простой
нулевой корень), то система (18) несовместна. В этом случае, по-
лагая, что р * 0, частное решение г следует искать в форме
z = х(Ах2 + Вх + С).
Аналогично нужно поступать, если f (х) есть полином ка-
кой-нибудь другой степени.
Пример 4. Пусть у" - 4у' + 13у = 2х + 1.
Уравнение без правой части здесь будет
у" - 4у' 4- 13у = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 4fe 4- 13 = 0, его корни
/г12 = 2 ± ЗЛ Общее решение однородного уравнения запишется так.
у = е2х (Cjcos Зх + С2 sin Зх).
Частное решение неоднородного уравнения ищем в такой форме:
z = Ах 4- В.
Отсюда г' = А и г" = 0. Подставляя эти выражения в неоднородное
уравнение, получаем
-4А + 13(Ах + В) = 2х + 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и пра-
вой частях последнего тождества, будем иметь
13А = 2; -4А + 13В = 1.
Решая совместно эту систему уравнений, получаем А = 2/13, В == 21/169.
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения есть
2	21
2 ~ -X 4“ -- .
13	169
Поэтому его общее решение имеет вид
у = e^CjCOS Зх + C2sin Зх) + х +	.
Произвольные постоянные, входящие в общее решение, могут быть
определены из начальных условий.
Пример 5. Найти решение у == у(х) уравнения
у" = х2 4- у	(19)
такое, что
у(0) =-2, /(0)=1.	(20)
Запишем уравнение (19) в стандартном виде
У" “ У = х2.	(21)
489
Однородное уравнение здесь следующее:
у" - У “ 0.
Характеристическое уравнение k2- 1 = 0 имеет корни ^ = 1ий2 = -1.
Следовательно, общее решение однородного уравнения есть
у = Сгех + С2е~х,
где Сг и С2 — постоянные.
Для нахождения частного решения z неоднородного уравнения (21)
полагаем
г = Ах2 4- Вх + С.
Подставляя эту функцию в уравнение (21), будем иметь
2А - (Ах2 + Вх + С) = х2.
Отсюда
-А=1, -В=0, 2А - С = 0;
следовательно, А = -1, В = 0, С = -2 и z = -х2 - 2.
Общее решение неоднородного уравнения (19) имеет вид
У + z,
или
у = Сгех + С2е~х - (х2 + 2).	(22)
Дифференцируя, находим
у' = Cxex + С2е~х - 2х.	(23)
Полагая х = 0 в формулах (22) и (23) и используя начальные условия
(20), для определения постоянных Сг и С2 получаем систему
Сх+Сг^О, Cj-C^l.
Отсюда = 1/2, С2 ** —1/2.
Подставляя эти значения в формулу (22), получаем искомое решение
У “	~ €~х) “ (*2 + 2), т. е. у = sh х - (х2 + 2).
§ 14. Понятие о дифференциальных уравнениях,
содержащих частные производные
Пусть функция и описывает некоторый физический процесс.
Всякий процесс протекает в пространстве, точки которого можно
характеризовать декартовыми прямоугольными координатами
(х, г/, z) и во времени t. Поэтому в общем случае функция и яв-
ляется функцией четырех переменных: и = и(х, у, z, t)l\ Диф-
ференцируя функцию и, получаем частные производные
дх ду
и т. д. В данном процессе эти производные связаны известными
п В некоторых случаях можно ограничиться рассмотрением плос-
кости или прямой линии; соответственно этому снижается число неза-
висимых переменных функции и.
490
соотношениями, и, таким образом, мы приходим к диффе-
ренциальному уравнению, содержащему част-
ные производные.
Для физических приложений особый интерес представляют
дифференциальные уравнения, для которых входящие в них стар-
шие частные производные имеют второй порядок (так называемые
дифференциальные уравнения второго порядка). К числу их от-
носятся уравнения газовой динамики, гидродинамики, электро-
магнетизма (уравнения Максвелла) и многие другие. Поэтому
дифференциальные уравнения с частными производными второго
порядка получили название уравнений математической физики.
Для случая двух независимых переменных приведем важнейшие
типы таких уравнений.
I.	Одномерное волновое уравнение
д2и „2д2и
dt2 дх2
Это уравнение встречается при изучении ряда колебательных процессов
(поперечные колебания упругой струны, продольные колебания стерж-
ня, колебание глаз в трубке и др.).
II.	Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)
ди „2д2и
dt дх2’
описывающее нестационарный тепловой режим стержня (см. § 14).
С этим уравнением связана также задача о распространении электриче-
ских колебаний в линии.
III.	Уравнение Лапласа
д2и , Э2и о
дх2 ду2
дающее стационарное распределение температуры в однородной плас-
тинке, и др.
Для решения этих уравнений в различных условиях были созданы
специальные приемы (так называемые методы математической физики).
Ограничимся для простоты случаем двух независимых пере-
менных х, у
и = и(х, у)
л	ди ди д2и
и введем сокращенные обозначения — = их, — = ии, т-—- = ихи
дх ду у дхду у
и т. п. Тогда общий вид дифференциального уравнения второго
порядка для неизвестной функции и следующий:
F(x, у, и, их, иу, ихх, иху, иуу) = 0,	(1)
где F — известная функция.
491
Всякая функция и = ф (х, у), обращающая уравнение (1) в
тождество, называется его решением; график решения носит на-
звание интегральной поверхности.
Пример. Найдем и = и(х, у), если
gt - 0.	(2)
Уравнение (2) можно записать в следующем виде:
Отсюда следует, что -- не зависит от у, т. е. является
функцией только переменной х. Таким образом, из (3) вытекает
- ед,	<4)
где Сх(х) — произвольная функция.
Интегрируя уравнение (4) по переменной у, получаем
и =	(5)
или
и = Ct(x)y + С2(х),1>	(6)
где Сх(х) и С2(х) — произвольные функции. С помощью диффе-
ренцирования легко убедиться, что решение общего вида (6),
содержащее произвольные функции Сх(х) и С2(х), дает здесь сово-
купность всех решений дифференциального уравнения (2).
Таким образом, решением дифференциального уравнения (2) яв-
ляется произвольная функция, линейная относительно перемен-
ной у.
Отметим, что общие решения обыкновенных дифференци-
альных уравнений содержат произвольные постоянные; для
дифференциальных уравнений с частными производными их ре-
шения общего вида включают произвольные функции.
Конкретизируя функции Сх(х) и С2(х) в формуле (6), полу-
чаем частные решения уравнения (2). Например, полагая Сх(х) =
= sin х, С2(х) = cos х, будем иметь частное решение и = у sin х +
+ COS X и т. п.
В интеграле (5) переменная х предполагается постоянной, причем
для каждого фиксированного х можно брать свою произвольную посто-
янную С2. Поэтому С2 = С2(х).
492
Дифференциальные уравнения с частными производными, как пра-
вило, имеют бесконечное число решений (см., например, пример 1). Ре-
шение же физической проблемы, описываемой дифференциальным
уравнением, по смыслу должно быть однозначным; иначе оно не
дает возможности прогнозировать соответствующее физическое явле-
ние и, следовательно, является малоценным для практики. Поэтому
при решении задач физического содержания кроме дифференциального
уравнения должны быть использованы дополнительные условия, позво-
ляющие из бесконечной совокупности решений данного дифференци-
ального уравнения выделить единственное его решение, дающее закон
функционирования рассматриваемого физического процесса. В про-
стейшем случае это так называемые начальные и краевые ус-
ловия. Грубо говоря, первые характеризуют данный процесс в началь-
ный момент времени, а вторые описывают поведение процесса на гра-
нице рассматриваемой области. Начальные и краевые условия задачи
называются граничными условиями.
Если в уравнении (1) переменную у интерпретировать как время, то
простейшие начальные условия для неизвестной функции и имеют вид
и(х, yQ) = /(х), иу(х, i/o) =	(7)
где f(x) и Д(х) — заданные функции. Нахождение функции и, удовлет-
воряющей дифференциальному уравнению (1) и начальным условиям
(7), носит название задачи Коши.
Пример. Найти решение и = и(х, у) уравнения иуу = 0, удовлетво-
ряющее начальным условиям
и(х, 1) = х2, иу(х, 1) = х.
На основании формулы (6) будем иметь
и ^С^хУу + С2(х), иу = Сх(х).	(8)
Полагая у « 1 в формулах (8), получаем
х2=С1(х) + С2(х), х = С1(х);	(9)
отсюда Ci(x) = х, С2(х) = х2 - хи, следовательно,
и == ху + (х2- х).	(10)
Решение и единственно.
Физическая задача, описываемая дифференциальным уравнением
с частными производными, а также граничными условиями, называет-
ся корректно поставленной, если: 1) эта задача имеет решение; 2) ре-
шение задачи единственно; 3) решение задачи непрерывно зависит от
граничных условий.
Действительно, прежде чем решать задачу, нужно убедиться, что
эта задача вообще разрешима. В истории науки известны многочислен-
ные примеры, когда люди затрачивали массу труда и времени в поисках
решения задач, не имеющих решения. Так, например, около 2000 лет
многие математики пытались разрешить задачу о «квадратуре круга»,
т. е. с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий
493
данному кругу, и лишь в конце XIX столетия доказано, что это невоз-
можно. Аналогично, в химии оказались бесплодными поиски «фило-
софского камня», переводящего неблагородные металлы в благородные.
Гарантию разрешимости рассматриваемой задачи дает теорема су-
ществования решения.
Что касается второго требования, то, как было отмечено выше, не-
однозначные решения задачи малопригодны для практики. Однознач-
ность решения обеспечивается теоремой единственности.
Наконец, нарушение третьего условия приводит к нежелательным
последствиям. С точки зрения практики это плохо, если ничтожно ма-
лые изменения начальных или краевых условий (в реальной обстановке
они известны лишь приближенно) влекут значительное изменение ре-
шения задачи в данной области! Поэтому тут нужна теорема гладкости
решений.
В последнее время возник интерес к некорректно поставленным за-
дачам. Здесь основополагающие результаты были получены
академиком А. Н. Тихоновым.
§ 15. Линейные дифференциальные уравнения
с частными производными
Определение: Дифференциальное уравнение называется
линейным (точнее, вполне линейным), если оно явля-
ется целым многочленом первой степени относительно неиз-
вестной функции и ее производных и, в частности, не содер-
жит их произведений.
Таким образом, общий вид линейного дифференциального
уравнения второго порядка следующий:
А(х, У)ихх + В(х, у)иху + С(х, у)иуу + а(х, у)их +
+ Ь(х, у)иу + с(х, у)и = f(x, у),	(1)
гдеА(х, у), В(х, у), С(х, у), а(х, у), Ь(х, у), с(х? у) — известные
коэффициенты, f(x, у) — заданный свободныйчлен.
Если f(x, у) = 0, то линейное уравнение (1) называется однород-
ным (без свободного члена); в противном случае уравнение (1)
называется неоднородным.
Вводя сокращенное обозначение
L[u] = А(х, у)ихх + В(х, у)иху + С(х, у)иуу +
+ а(х, у)их 4- Ь(х, у)иу + с(х, у)и
(здесь L — так называемый линейный дифференциальный опе-
ратор), уравнение (1) можно записать в компактном виде
L[u] ~ f(x,y).	(Г)
Линейное однородное дифференциальное уравнение
L[u] = 0	(2)
494
обладает следующим важным свойством: любая линейная ком-
бинация с постоянными коэффициентами решений линейного
однородного дифференциального уравнения есть также реше-
ние этого уравнения (ср. § 11). В частности, сумма любого числа
решений линейного однородного дифференциального уравнения
есть также решение этого уравнения (принцип наложе-
ния решений).
Не проводя доказательства в общем виде, ограничимся при-
мером, выясняющим идею доказательства. Пусть дано однород-
ное уравнение
Ь[«] = ихх - хиуу = 0	(3)
и и2 — его решения, т. е. L[uJ = 0, L[u2] = 0.
Рассмотрим, например, функцию
и = 2их - Зи2.	(4)
Из (3) имеем
Ь[«] = (2ux - 3u2) - х^-2 (2щ - 3u2) =
= 2^	"3(тт -Цгт) =2L[u1]-3L[u2] = 0.
к дх* 2 ду2) к Эх2 ду2)
Таким образом, и есть решение уравнения (3).
§ 16. Вывод уравнения теплопроводности
Рассмотрим однородный стержень1) постоянного поперечно-
го сечения S и длины I, теплоизолированный с боков, ось кото-
рого примем за ось Ох (рис. 235). Обозначим через и = u(x, t)
(OCxCZ, OCf< +°о) температуру стержня в сечении с абсциссой
х в момент времени t2\
Пусть р = const — плотность
стержня, с = const — его удель-
ная теплоемкость, k = const —
коэффициент теплопроводности,
Ф(х, t) — интенсивность тепло-
вого источника, находящегося
в сечении х для момента време-
ни t, отнесенная к единице мае-	Рис. 235
Вообще, под стержнем в механике понимается тело с одним
превалирующим линейным размером. Например, ракету можно рас-
сматривать как стержень с переменным сечением.
2) Предполагается, что во всех точках любого поперечного сечения
стержня температура одна и та же.
495
сы и единице времени1) (например, аппаратуру, работающую в
космическом корабле, можно рассматривать как источник теп-
ла). Согласно закону Фурье количество теплоты, изменяющееся
в направлении оси Ох за бесконечно малый промежуток времени
dt через сечение S с абсциссой х, равно
dQx=-k^Sdt,	(1)
где k — коэффициент теплопроводности
( ди
I представляет здесь
градиент температуры uj. В формуле (1) стоит знак минус, так
как при > 0, т. е. при возрастании температуры и вместе с х,
дх
поток тепла направлен в обратную сторону, и наоборот.
Составим соотношение теплового баланса для элемента
стержня ДУ, заключенного между двумя бесконечно близкими
сечениями I и II, соответственно, с абсциссами х и х + dx. По-
ложим для определенности, что температура стержня и возрас-
тает в направлении оси Ох. Тогда через сечение I тепло «выхо-
дит» (-), а через сечение II — «входит» (4-). Пусть dQ есть коли-
чество теплоты, полученное нашим элементом ДУ за промежуток
времени dt.
Тогда, учитывая, что количество теплоты, выделенное за вре-
мя dt источниками тепла, сосредоточенными в элементе ДУ, равно
Ф(х, t) pSdx dt,
(2)
и, используя формулу (1), будем иметь
dQ = -k^\ Sdt + k^\ S dt + рвФ(х, t) dx dt. (3)
°x\x	dx|x + dx
Применяя формулу (гл. XII, § 5)
f(x + dx) ~ f(x) + f'(x) dx	(4)
с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости, по-
лучим

Эх|х
Эх2
dx.
X
(5)
Поэтому формула (3) принимает вид
dQ = k^.S dx d.t + pS<D(x, t) dx dt.	(6)
To есть количество теплоты, создаваемое этим источником тепла
за единицу времени и приходящееся на единицу массы.
496
С другой стороны
Эи
Эе
есть скорость изменения температуры
элемента АV, и поэтому \и =	dt представляет собой изменение
dt
его температуры. Так как масса элемента AV равна pS dx, то
полученное при этом количество теплоты составляет
dQ = cpS dx^ dt.
ot
(7)
Приравнивая выражения (7) и (6), после сокращения на об-
щий множитель S dx dt получаем
=	+ Рф(*’	<8>
Ос ох*
или, вводя традиционное обозначение
А - а2,	(9)
ср
окончательно будем иметь
= а2|^ + 1Ф(х, t).	(Ю)
dt дх2 с
Дифференциальное уравнение (10), описывающее распреде-
ление температуры и в стержне, носит название уравнения теп-
лопроводности (уравнение Фурье).
Если источники тепла отсутствуют, то уравнение (10) прини-
мает вид
Эи _ „2д2и
— = .
dt дх2
(И)
Аналогичное уравнение справедливо также для изменения
температуры тела.
Уравнение теплопроводности находит применение в физике,
химии, астрономии, строительном деле и др.
§ 17. Задача о распределении температуры
в ограниченном стержне
Согласно § 16 температура и = u(x, t) однородного стержня
(рис. 236) в сечении х в момент времени t в отсутствие источников
тепла удовлетворяет уравнению теп-
лопроводности
Эи = 2Э2и
dt dx2
(0 < х < I). (1)
ь-
0
X
—I--------1------->
I	X
Рис. 236
497
Будем предполагать, что задано начальное условие
и(х, 0) « /(х) (0 < х < Z).	(2)
Предположим также, что концы стержня х = 0 и х = 1 постоянно
имеют температуру, равную температуре внешней среды, которую ус-
ловно будем считать равной нулю. Таким образом, имеем простейшие
краевые условия
u(0, t) = 0, u(Z, t) == 0
(3)
при любом t > 0.
При данных условиях требуется найти распределение температуры
и = и(х, t) в стержне для последующих моментов времени t > 0.
Для уравнения (1) сначала будем искать ненулевые решения спе-
циального вида:
u = X(x)T(t),	(4) .
где X (х) есть функция только переменной х, а Г (t) — функция только
переменной t. Так как
= XT’, = Х”Т,
dt	дх2
то, подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем
XT' = а2Х"Т.
Отсюда, разделяя переменные, будем иметь
X" = Г
X а2Т
(5)
Левая часть тождества (5) зависит только от х, а правая — только от t.
Так как х и t — независимые переменные, то это возможно лишь тогда,
когда обе части тождества (5) равны некоторой постоянной величине.
Обозначая эту постоянную для удобства дальнейших выкладок через
— X2 получаем
¥=-Х2’^т=-Х2-	(6)
Отсюда будем иметь два уравнения:
X" + №Х = 0, Т' + а2Х2Т - 0.	(7)
Первое из уравнений (7) есть линейное однородное уравнение с по-
стоянными коэффициентами; корни его характеристического уравне-
ния fe2 4- X2 = 0 есть ky 2 в Согласно известным формулам (см. § 12)
его общее решение имеет вид
Х(х) = Asin Хх 4- Bcos Хх,	(8)
где А и В — произвольные постоянные.
Второе уравнение (3) легко решается методом разделения перемен-
ных, а именно, находим
T(t) « Се-а2^ ,	(9)
где С — произвольная постоянна^.
Можно непосредственно убедиться, что при другом выборе знака
этой постоянной мы не получим нужных решений.
498
Перемножая функции (8) и (9), будем иметь
и == e~«2*2*(Asin Хх + Bcos Хх),	(10)
причем здесь принято С = 1, что равносильно замене АС на А и ВС на В.
Функции (10), при любом выборе постоянных А, В и X, удовлетво-
ряют уравнению теплопроводности. Потребуем, чтобы они удовлетво-
ряли также краевым условиям (3). Полагая х = 0, получаем 0 = е~а2кг* В,
отсюда В = 0 и, следовательно,
и ~ Ae~a2*-2t sin Хх.	(10')
Полагая теперь х = Z, в силу условия (3) будем иметь
0=Ae-«2^ sinXZ.	(11)
Но А 0, так как в противном случае мы бы имели нулевое решение
и = 0. Поэтому
sin XZ - 0	(12)
и
XZ = пл (п = 0, ±1, ±2, ...).	(13)
Отсюда
(п = 0, ±1, ±2, ...).	(14)
Числа Хп называются характеристическими числами задачи, а сово-
купность их — спектром задачи. Каждому характеристическому числу
Хл соответствует частное решение уравнения теплопроводности.
ип = Апе^г* sinSj^,	(15)
где для краткости положено Ь = ап/1.
Заметим, что в качестве п достаточно брать лишь целые положи-
тельные числа (n = 1, 2, ...), так как при п = 0 имеем и = 0, что проти-
вопоказано, а при п < 0 получаем решения той же природы, как при
соответствующем п' = -п > 0.
Итак, формула (15) дает полный набор линейно независимых част-
ных решений вида (4) уравнения теплопроводности (1), удовлетворяю-
щих краевым условиям (3). Физически функции ип представляют собой
температурные волны, графиками которых являются затухаю-
щие при t -* сю синусоиды (рис. 237, а, б).
а)
Рис. 237
499
Осталось обеспечить начальное условие (2). Так как уравнение (1)
линейное и однородное, то можно применить принцип наложе-
ния решений (§ 15). Отсюда будем иметь
и(х, t) = У, Ane-bVt sin^p ,	(16)
п = 1
причем если ряд (16) сходится, то при известных условиях функция
(16) является решением уравнения (1). Полагая t == 0 в формуле (16), в
силу начального условия (2) будем иметь
оо
/(х)= ^ABsin^.	(17)
п = 1
Ряд (17) представляет собой разложение на отрезке [О, Z] функции f(x)
в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Для коэффициентов разложения
справедливы формулы (см. гл. XXI, § 19)
i
Ап = if /(x)sin *7* dx (n = 2> 3> •••>•	(18)
0
Таким образом, решение задачи дается рядом (16), коэффициенты
которого определяются формулой (18). Для обычной инженерной прак-
тики достаточно брать несколько членов этого ряда.
Заметим, что полученное решение носит формальный харак-
тер, так как не была исследована сходимость ряда (16). Однако можно
показать, что если функция /(х) — достаточно гладкая на отрезке [О, Z],
то ряд (16) сходится и сумма его и(х, t) удовлетворяет как дифференци-
альному уравнению (1), так и начальному условию (2), а также краевым
условиям (3), т. е. u(x, t) есть решение нашей задачи в обычном смысле.
Примененный метод решения задачи обычно называют методом
Фурье (или методом разделения переменных).
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Показать, что функция у == Се~х2, где С — произвольная посто-
янная величина, является решением уравнения у' + 2ху s 0.
2.	Показать, что функция у = ех (Сх cos х + С2 sin х), где Сг и С2 —
произвольные постоянные величины, является решением уравнения
у" - 2у' + 2у = 0.
3.	Найти интегральную кривую уравнения ху' = 2у, проходящую
через точку Мо (2, 3).
4.	Проинтегрировать уравнения с разделяющимися переменными:
а) х dx + у dy = 0; б) у dx + х dy » 0; в) dx - х dy = 0;
г) у' = 2 + у; д) у' = ех + У.
5.	Решить однородные дифференциальные уравнения:
а) (х2 4- y2)dx - ху dy = 0; б) у' = 2 1п^ .
500
6.	Найти интегральную кривую уравнения ху' « у + Jx2 + у2 , про-
ходящую через точку (1, 0).
7.	Решить линейные дифференциальные уравнения:
а) ху' = х3 + у; б) (х + у2) у' = 1.
8.	Найти решение уравнения у' cos х + у sin х = 1, удовлетворяющее
начальному условию у « 0 при х = 0.
9.	Найти кривую, в каждой точке которой касательная перпенди-
кулярна полярному радиусу точки касания.
10.	Найти кривую, проходящую через точку А(2, 1) и имеющую по-
стоянную подкасательную (т. е. проекцию на ось Ох отрезка касатель-
ной от точки касания до точки пересечения с осью Ох), равную 4.
11.	Скорость распада радия в каждый момент времени пропорци-
ональна имеющемуся наличному количеству его. Найти закон распада
радия, если начальное количество радия составляет Qo и известно, что
через 1600 лет (период полураспада) останется лишь половина этого
количества.
12.	Химическая реакция, переводящая вещество А в вещество В,
протекает так, что в каждый момент времени скорость убывания коли-
чества вещества А пропорциональна произведению наличных количеств
вещества А и В.
В начальный момент в реторте содержалось 800 г вещества А и 200 г
вещества В; через 2 ч вещества А осталось 400 г. Какое количество ве-
щества А будет в реторте через 4 ч?
13.	Методом Эйлера найти у(2), если у' = х - у, у (1) = 0,370 (h = 0,2).
14—16. Проинтегрировать уравнение второго порядка:
14.	у" = sin х. 15. у" - -у. 16. 2уу" == 1 + у'2.
17.	Найти интегральную кривую уравнения у" = х, проходящую
через точку М0(0, 1) и касающуюся в этой точке прямой у = ~ + 1.
18.	С помощью степенных рядов проинтегрировать уравнения:
у 2
а) у' = У +	, у(0) = 1; б) у' = ху, у(0) = 0, у'(0) = 1.
4
19—27. Проинтегрировать линейные уравнения с постоянными ко-
эффициентами :
19.	у" + у' - 2у = 0. 20. у" + 2у' + 2у - 0. 21. у" + у' + у == 0.
22.	у" = у' ~ 0,25г/. 23. у" + у = 0, если у == 2 и у' = -1 при х = 0.
24.	у" - у = е2х. 25. у" + Ду = sin х. 26. у" - бу' + бу — х2.
27. у"- 2у' + 2у = 2х, если у = 0 и у' = 0 при х = 0.
28. На точку массы т действуют притягивающая упругая сила, про-
порциональная удалению этой точки от положения равновесия, и сила
сопротивления среды, пропорциональная скорости точки. Найти закон
движения точки, предполагая, что сила сопротивления среды мала по
сравнению с упругой силой.
ГЛАВА XXIII
$
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейный интеграл первого рода
Пусть К — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая1)) пло-
ская кривая
X = х(0, у = y(t) (t € [a, PJ),
где t — параметр, а
ds = Jdx2 + dy2 = а/х'2(£) + y'2(t) |df|
— ее дифференциал дуги. Здесь если а < Р, то dt > 0 и
ds = +7я'2 + у'2; если же а > Р, то dt < 0 и ds = -,Jx'2(t) + y'2(t) dt.
Если /(х, у) — функция, непрерывная на кривой К, то под ее
криволинейным интегралом первого рода, взятым по кривой К,
понимается интеграл
з
J7(x, у) ds = |7(x(t), «/(O)a/x'2(*) + i/'2(O |dt|.	(1)
К	а
Если кривая К задана уравнением
у = у(х) (а < х < Ь),
то, рассматривая х как параметр, получим
ь
J7 (х, у ) ds - ff(x, у (х)) 71 + /2(х) dx.
К	а
Допустим, что кривая К — материальная, т. е. имеет массу.
Пусть As — некоторая дуга кривой К, содержащая точку М, а
Ат — масса этой дуги. Тогда отношение \m/ks носит название
средней плотности дуги As, а
ц(М) = lim —,
' As-M As
То есть производные ее координат, возможно, допускают конеч-
ное число точек разрыва первого рода.
502
т. е предел средней плотности дуги при условии, что дуга Да стя-
гивается в точку М9 называется линейной плотностью дуги в
точке М.
Если ц = f(x9 у) рассматривать как линейную плотность дуги
в текущей ее точке М (х9 у)9 то
dm = ц ds
есть масса бесконечно малой дуги ds (элементарная масса) и
интеграл
т = Jp ds	(2)
к
представляет собой массу линии (физический смысл криволи-
нейного интеграла первого рода).
Криволинейный интеграл первого рода обладает следующими
очевидными свойствами.
1) При изменении направления интегрирования криволи-
нейный интеграл первого рода не изменяет своего значения
(рис. 238), т. е.
к+ к~
где К+ — кривая К9 пробегаемая в заданном направлении (на-
пример, при возрастании параметра t)9 а К~ — кривая К9 пробе-
гаемая в противоположном направлении (соответственно при
убывании t).
2) Если кривая интегрирования К с помощью некоторой точ-
ки разбита на части: К = Kr U К2 (рис. 238), то
К^К2 кх К2
Пример. Найти массу полуокружности х2 + у2 « 1, у > О (Г)
(рис. 239), если линейная плотность ее в текущей точке М (х9 у) про-
порциональна ординате у.
Рис. 238
503
Беря в качестве параметра t полярный угол (рис. 239), получаем
параметрические уравнения полуокружности
х = cos t, у = sin t (0 < t < л).	(3)
Элементарная масса
dm = ц ds = ky Jx'2 + у'2 dt,	(4)
где k — коэффициент пропорциональности. Так как
х' = - sin t, у' = cos t и ds = Jx'2 + у'2 dt = dt,
то из (4) имеем
dm = k sin t dt.
Отсюда масса линии Г будет равна
п
т = k Г sin t dx = k (-cos t) * = 2k,
Jo	0
Аналогично определяется криволинейный интеграл первого
рода от функции f(x, у, z), взятый по кусочно-гладкой простран-
ственной кривой К:
X = x(t), у = y(t), г = z(t) (t€[a, Р]):
₽
Jf(x, у, z) ds = J y(t), z(t))Jx'2(t) + /2(t) + z'2(t) |dt|,
К	a
где
ds = Jdx2 + dy2 + dz2 = Jx'2(t) + y'2(t) + z'2(t) \dt\
— дифференциал дуги пространственной кривой К.
§ 2. Криволинейный интеграл второго рода
Пусть
X - х(0, у == y(t) (t e[a, р])
— гладкая (или кусочно-гладкая) кривая К с выбранным направ-
лением (такую линию, для краткости, будем называть путем) и
Х(х, у), Y (х, у) — пара функций, непрерывных на кривой К.
Учитывая, что дифференциалы текущих координат х и у кривой
К имеют вид
dx = x'(t) dt, dy = y'(t) dt,	(1)
504
под криволинейным интегралом второго рода от пары функций
X и У, взятым по кривой К, понимается интеграл
Jx(x, у) dx + Y(x, у) dy =
₽
-	|[Х(х (t), У (О) *' (t) + Y (х (t), У (О У' (t)] dt (2)
a
(по традиции для выражения, стоящего слева, скобки не пишут-
ся и предполагается, что интеграл J относится ко всей сумме).
Если путь К задается уравнением у = у(х) (х€[а, &]), то фор-
мула (2) принимает вид
Jx(x, y)dx + Y(x, y)dy =
₽
=	J [X(x, y(x)) + Y(x, z/(x)) y'(x)] dx.	(3)
a
Аналогично, если К, задается уравнением х = х(у)
(у е [А, В]), то
^Х(х, y)dx + У(х, y)dy =
В
=	j [Х(х(у), у) х'(у) + У (x(i/), y)]dy.	(4)
А
Криволинейный интеграл второго рода обладает следующими
свойствами.
1) При изменении направления пути интегрирования криво-
линейный интеграл второго рода изменяет свой знак на обрат-
ный, т. е
J ~ J •	(5)
Действительно, изменение направления пути интегрирова-
ния равносильно перестановке пределов интегрирования а и 0 в
определенном интеграле (2); а это влечет изменение знака опре-
деленного интеграла (гл. XIV, § 5).
505
2) Если путь интегрирования К состоит из двух частей К =
= Кги К2,то
J -J + J-	(в)
К^К2 К1 к 2
Пример 1. Найти значения интеграла I » у dx ~ х dy вдоль ука-
занных путей: 1) О А — прямая; 2) ОтА — парабола с вершиной О и
осью Оу; 3) ОВА — ломаная, 4) ОСА — ломаная (рис. 240).
1)	Уравнение прямой ОА есть у = 2х (0 < х < 1). Отсюда dy = 2 dx
и, следовательно,
I1 = j (2х dx - х • 2dx) = 0.
о
2)	Уравнение параболы ОтВ имеет вид
у = kx2. Так как парабола проходит через
точку А(1, 2), то 2 = k • I2 и, значит, fc == 2,
т. е. у = 2х2. Отсюда dy = 4х dxvt
I2 = J(2x2dx - х • 4х dx) =
о
2
3
1
о
о
= _2
3’
2 имеем
3)	На основании
13 ~ I (у dx - х dy) + I (у dx - х dy).	(7)
OB	BA
Так как уравнение OB есть у = 0 (0 < х < 1), то у'(х) = 0.
Далее, уравнение ВА записывается так: х = 1 (0 < у < 2); поэтому
х'Су) « 0. Из формулы (7) получаем
1	2
I3“ j (0 - х • О) dx + j (у • 0 - 1) dy = -2.
О	о
4)	Аналогично,
Л = Г (!/ dx -х dy) 4- Г (у dx - х dy) =
ОС	СА
2
= J (у • о - 0) dy +
о
506
Заметим, что здесь интеграл I при фиксированных концах пути ин-
тегрирования К зависит от вида этого пути.
Пример 2. Найти
I = I у dx 4- х dy
вдоль линий К9 указанных в примере 1.
Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, по-
следовательно имеем:
Л = I (у dx + х
1	1
dy) = J(2x dx 4- x • 2dx) = 4^xdx = 2x2
о	о
i	i
4е J (y dx + x dy) = J(2x2dx + x • 4x dx) = 6 j x2dx = 2x3
О mA	0	0
I3 = Г (У dx + X dy) + Г (y dx + X dy) =
OB	BA
1	2
= J (0 + x • 0) dx 4- J (y • 0 4- 1) dy == 2,
о	0
14 — I (y dx 4- x dy) 4- I (y dx 4- x dy) =
oc	CA
2	1
= J (y • 0 4- 0) dy 4- J (2 4- x • 0) dx = 2.
о	0
Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для
различных путей, соединяющих точки О и А. Принципиальное разли-
чие примеров 1 и 2 будет разъяснено в § 4,
Если
X = x(t), у « у(0, г - z (t) (t е [а, р])
есть кусочно-гладкая пространственная кривая К и X (х, у, z)9 Y (х, у, z),
Z(x, у9 z) — тройка функций, непрерывных на кривой К, то под соот-
ветствующим криволинейным интегралом второго рода понимается ин-
теграл
Х(х, у, z) dx + Y (х, у9 z) dy + Z(x9 у, z) dz =
P
- |[X(x(t), y(t), z(t))x'(t) + Y(x(t), у (t), z(t))y\t) +
+ Z(x(t), у (t)> z(t))z' (t)] dt.
507
§ 3. Физический смысл криволинейного интеграла
второго рода
Пусть F = [Х(х, у), Y (х, z/)] — непрерывно меняющаяся
переменная сила и
х = x(t), у = y(t) (t € [а, И)
— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обо-
значим через ds = ММ' бесконечно малый вектор перемещения
из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку
М'(х 4- dx, у -I- dy) (мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми
высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = {dx, dz/}. Так
как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно
считать постоянной, то элементарная работа силы (см. гл. XVIII,
§ 12 и 13) равна
dA = F ds = X dx + Y dy.	(1)
Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим рабо-
ту си лы
А = Jx dx + У dy.	(2)
Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволи-
нейный интеграл второго рода.
Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет
собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования,
проекциями которой на координатные оси являются соответ-
ствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.
Пример. Найти работу А переменной силы F = {у, -х}, точка при-
ложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)
508
Согласно формуле (2) имеем
А = I X dx 4- Y dy = i/ dx - х dy.
ов	ов
Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx9 поэтому
2	2
А = fx2 dx “ х * 2х dx = - f х2 dx =
2	9
= "2^(ед).
о	6
о	о
Аналогично, работа пространственной силы
F = {Х(х, у, г), У (х, у, z), Z(x, у, г)}
вдоль пути К-. х = x(t)9 у = y(t), z = z(t) выражается криволи-
нейным интегралом второго рода
J X dx + Y dy 4- Z dz.
к
§ 4. Условие независимости криволинейного интеграла
второго рода от вида пути интегрирования
Пусть X = Х(х9 у)9 Y = У(х, у) — непрерывные функции в
области G (рис. 243). Рассмотрим две произвольные точки
Mi (xn z/i) и М2 (х2, у2) области и всевозможные пути М1аМ2,
М^М29 МгуМ29 ..., соединяющие эти точки (Мг — начало пути,
М2 — конец пути) и не выходящие за пределы области G. Может
случиться, что
f X dx 4- У dy - f X dx 4- У dy =
м$м2
= f X dx + У dy= ... .(1)
м&м2
В таком случае говорят, что кри-
волинейный интеграл второго рода
I = J X dx + У dy (2)
не зависит от вида пути
интегрирования в данной об-
ласти G.
Если выполняются условия (1),
то для интеграла (2) нет необходи-
509
 I
мости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить
лишь его начальную точку Мх (хх, уг) и его конечную точку М2
(х2, У2) пути. Поэтому здесь употребляется обозначение
(*2> у2)
I = | X dx + У dy.	(3)
(ХрУх)	I
Справедлива следующая теорема:	|
ТЕОРЕМА. Если в области G подынтегральное выражение
X dx + Y dy является полным дифференциалом1^ некоторой
функции U = U (х, у), т, е.
dU = X dx 4- Y dy при (x, у) € G,	(4)
то криволинейный интеграл (2) не зависит от пути интег-
рирования в области G.
Доказательство. Пусть
X = ф(0» У = V(0	€ [«1, t2])	(5)
— произвольный путь К в области G, соединяющий точки
Mi (хх, ух) и М2 (х2, у2), причем
<р(*1) = Х1. Ш)ИУ1>
Ф(*2) = х2, ф(*2) = у2.
Из формулы (4) имеем
X dx + У dy = dU [<р(0, у(0].
Отсюда получаем

I = j dU [ф (t), V(0] = U [ф(0, V(0]
= и [ф(*2), v(t2)] - и [ф(#х), у(*х)].
(6)
(7)
(8)
Далее, используя соотношения (6), будем иметь
I = U(x2, у2) - U(xlt ух) = ЩМ2) - ЩМ,).	(9)
Таким образом, значение интеграла I одно и то же при любом
выборе функций ф(£), Ф(<) и, следовательно, интеграл I не зави-
сит от вида пути, соединяющего точки Мх (хх, ух) и М2 (х2, у2)
х> Признак полного дифференциала см. в гл. XX, § 9.
510

Следствие 1. Если выполнено соотношение (4), то в силу
(9) имеем
(х2, у2)
J X dx + Y dy = и (х2, у2) - U(xlt У1)	(10)
(обобщенная формула Ньютона — Лейбница).
Следствие 2. Если подынтегральное выражение X dx + Y dy
есть полный дифференциал и путь интегрирования К замкну-
тый, то
j>X dx + У dy = 0
к
(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль зам-
кнутого пути).
Пример. Найти
(3,4)
I- J у dx + х dy.
(1,2)
Так как у dx 4- х dy = d (ху), то, независимо от вида пути, соеди-
няющего точки М1(1, 2) и М2(3, 4), имеем
(3,4)
(1,2)
ч (3,4)
d(xy) = ху
(1,2)
- 3 • 4 - 1 • 2 « 10.
§ 5. Работа потенциальной силы
Теорема предыдущего параграфа имеет физическое содержа-
ние. Пусть в области G определено силовое поле
F = {Х(х, у), Y (х, у)}.
Примером силового поля может служить поле силы тяжести
у поверхности Земли, где на любую материальную точку массы
т действует сила mg (g — ускорение свободного падения). Более
общим примером силового поля является гравитационное поле,
создаваемое массой М. Здесь на материальную точку массы т,
находящуюся на расстоянии г от притягивающего центра, со-
гласно закону Ньютона действует сила (k — гравита-
г
ционная постоянная), направленная к притягивающему центру.
Другим примером силового поля служит электрическое поле
Кулона.
511
Если существует функция U = С7(х, у) такая, что
— У =
Эх ’ дг/ ’
то говорят, что поле потенциальное (иначе, F — потенциальная
сила), а функцию U называют потенциалом поля. В этом случае,
очевидно,
X dx + Y dy = dx + dy = dU.
дх ду
Отсюда для работы А потенциальной силы F вдоль пути, со-
единяющего точки Мг (хр z/i) и М2 (х2, у2), имеем
Уг)	(х2, у2)
А= J X dx + Y dy = J dU = U(x2, y2) - U (xu yt),
т. e. работа потенциальной силы не зависит от вида пути и
равна разности потенциалов силы для конечной и начальной
точек пути.
В частности, если путь замкнут, то работа А = 0.
Пример. Найти работу А силы тяжести при перемещении в верти-
кальной плоскости Оху (вблизи поверхности Земли) точки массы т из
положения М1(х1, уг) в положение М2 (х2, у2) (рис. 244).
Если ось Ох горизонтальна, а ось Оу
У
М2(х2,у2)
X
Рис. 244
вертикальна, то проекции силы тяжести,
действующей на материальную точку мас-
сы тп, равны X = 0, У = ~mg. Имеем
X dx + У dy == -mg dy = d(-mgy).
Поэтому за потенциал поля силы тя-
жести можно принять
U == - mgy.
Отсюда работа силы тяжести, незави-
симо от пути МГМ2, равна
(Х2, у2)
А = -mgy
= ~rng(y2- уг).
Замечание. Аналогичные результаты справедливы для кри-
волинейного интеграла, взятого по пространственной кривой.
В частности, если
X dx + У dy + Z dz = dl7(x, у, z),
то
(*2, У* *г)
J X dx + У dy + Z dz = 17(х2 , у2, z2) - U(xr, ylt гг).
512
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Вычислить криволинейные интегралы первого рода:
a)	J (х + у) ds, где линия К — отрезок прямой у == 2х - 1 (-1 < х < 2);
б)	х ds, где К — дуга параболы у = х2/2 (0 < х < 1);
в)	х2у2 ds, где К — окружность х « R cos t, у = R sin t (0 < t < 2л);
г)	I arctg 2 ds, где К — дуга кардиоиды г = а (1+ cos ф) (0 < ф < я/2).
J х
к
2.	Найти площадь забора, построенного на периферии К квадрата
О < х < 1, 0 < i/ < 1, высота которого в точке (х, у) 6 К равна г « х2 + у2,
3.	Определить массу окружности х2 + у2 = R2, если ее плотность в
точке (х, у) равна р = y2/R2.
4.	Определить координаты центра масс С (х0, г/0) однородной полу-
окружности К: х2 + у2 = R2, у >0.
Указание. В механике доказывается, что координаты центра
масс однородной кривой К выражаются формулами
х0 = у Г х ds, yQ = | Г у ds,
Lt J	L J
где L — длина дуги кривой.
5.	Найти момент инерции 1у дуги полукубической параболы у = х3/2
(О < х < 4/3) относительно оси Оу,
Указание,	х2 ds,
6.	Найти момент инерции 1Х арки циклоиды К: х = a(t - sin t),
у = а(1 - cos t) (0 < t < 2я) относительно оси Ох,
У к а з а н и е. Ix = I у2 ds.
7,	Вычислить криволинейные интегралы второго рода:
a)	I y2dx - х2 dy, где кривая К — дуга параболы у = 1 - х2 от точки
М (-1, 0) до точки N (1, 0);
17 Б. Демидович, В. Кудрявцев
513
б)	I	, где К — отрезок прямой х + у » 1 (0 < х < 1);
/ /ху
в)	Ф ^-4—» где К — окружность х = a cos t, у = a sin t
J х2 + у2
к
(О < t < 2л).
8.	Вычислить j) у(у dx - х dy),~ где К есть контур треугольника с
к
вершинами 0(0, 0), А(2, 1) и В(1, 2), пробегаемый против хода часовой
стрелки.
9.	Вычислить следующие криволинейные интегралы второго рода,
не зависящие от пути интегрирования:
(-3,4)	(2,1)
а)	[ xdx-у dy; в) f	(j, > 0);
J	J	У*
(1,2)	(1,2)
(1,6)	d,l)
6)	J у dx + х dy; г) J ex + у (dx 4- dy),
(2,3)	(0,0)
10.	Найти работу силы с проекциями X = i/, У = -х вдоль эллипса
х « a cos t, у = b sin t (0 < t < 2л).
11.	Найти работу силы F « {-kx, ~ky) при перемещении ее точки
приложения из Mt(a, 0) в М2 (О, Ъ).
12.	Найти работу силы с проекциями X « sin (х + у), Y = 0 вдоль
контура треугольника с вершинами 0(0, 0), М(л/2, 0), Х(0, л/2) при
обходе его против хода часовой стрелки.
13.	Найти работу силы с проекциями X = x/r2, Y = у/г&, где
г « Vx2 + у2, при перемещении точки из положения М (а, 0) в поло-
жение Х(0, Ъ) (а > О, Ъ > 0).
Указание. Использовать формулу х dx + у dy « г dr,
14.	Вычислить интеграл
(4, 5,6)
I х dx + г dy 4- у dz.
(1,2,3)
ГЛАВА XXIV
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Понятие двойного интеграла
Рис. 245
В теории определенного интеграла для нахождения площади
криволинейной трапеции было введено понятие интегральной
суммы, пределом которой является определенный интеграл
(гл. XIV, § 9). На основе задачи об определении объема тела мы
придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел ко-
торой называется двойным интегралом.
Задача. Найти объем тела, ограниченного сверху непрерыв-
ной поверхностью z = f(x, у) (f(x, у) > 0), снизу конечной зам-
кнутой областью S плоскости Оху и с боков прямой цилиндри-
ческой поверхностью, построенной на границе области S и имею-
щей образующие, перпендикулярные плоскости Оху (рис. 245).
Тело указанного вида для краткости
называется цилиндроидом. В частном
случае, когда верхнее основание ци-
линдроида есть плоскость, параллель-
ная нижнему основанию его, то цилинд-
роид называется цилиндром. Примером
цилиндра служит круговой цилиндр,
рассматриваемый в средней школе.
Обобщая рассуждение, обычно приме-
няемое для нахождения объема круго-
вого цилиндра, нетрудно доказать, что
объем V цилиндра с площадью основа-
ния S и высотой Н равен V = SH.
Для вычисления объема V данного
цилиндроида разобьем основание его S
на конечное число элементарных ячеек
ASp AS2, ..., AS„ (вообще говоря, криво-
линейных). В каждой из этих ячеек ASf
выберем точку Mf(xz, yt) G ASf (i = 1, 2, ..., n) и построим прямой
цилиндрический столбик с основанием ASf и высотой =
= f(xi9 yt), равной аппликате поверхности в выбранной точке.

515
Объем такого столбика на основании формулы объема цилиндра,
очевидно, равен
f(xi9 y^Si9	(1)
где ASf1J — площадь соответствующей ячейки. Сумма объемов
этих цилиндрических столбиков представляет собой объем сту-
пенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволиней-
ное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем
более точной, чем меньше диаметры ячеек ASZ. Поэтому объем
нашего цилиндроида приближенно выразится суммой
V* yt) AS,.	(2)
i = l
Формула (2) дает возможность найти объем V с любой сте-
пенью точности, если чцсло ячеек ASf достаточно велико и ли-
нейные размеры их весьма малы. Обозначим через dt диаметр
ячейки Дй^чт. е. наибольший линейный размер ее. Точнее гово-
ря, под диаметром d ограниченной замкнутой (т. е. с присоеди-
ненной границей) фигуры Ф (дуги, площадки и т. п.) понимается
длина наибольшей ее хорды АВ, где А € Ф и В € Ф (рис. 246)* 2) 3.
Из данного определения следует, что
фигура Ф, имеющая диаметр d, целиком
помещается внутри круга радиуса d,
/	\	описанного из любой ее точки С как из
/	xf	\	центра. Поэтому если d 0, то фигура Ф
I	I	«стягивается в точку». Аналогично оп-
\ А^х / ределяется диаметр пространственного
\	/ тела.
V/	Пусть
_____s'	d = iwxdi
Рис. 246	— наибольший из диаметров ячеек ASX,
ДВ2, ..., ASa. Предполагая, что в формуле
(2) число ячеек п неограниченно возрастает (и -► 0), причем диа-
метр наибольшей из них становится сколь угодно малым (d 0),
в пределе получаем точную формулу для объема цилиндроида
V = Нт У f(xz, yj ASf3).	(3)
Здесь мы для удобства ячейки и их площади обозначаем одинако-
выми буквами. Разница между ними видна из контекста.
2) Ячейки ASZ, можно предполагать замкнутыми.
3) Точнее говоря, по определению под объемом цилиндроида
понимается предел (3), если он существует.
516
Выражение, стоящее в правой части формулы (3), называется
двойным интегралом от функции f(x, у)9 распространенным
на область S, и обозначается следующим образом:
lim У f(xit yt) AuSt = f f f (x, y) dS.	(4)
icl	s
Поэтому для объема цилиндроида окончательно имеем
V = || fix, у) dS.
(5)
Обобщая конструкцию, примененную для вычисления объ-
ема цилиндроида, приходим к следующим определениям.
Определение 7. Двумерной
интегральной суммой (2)
от данной функции f(x, у), рас-
пространенной на данную об-
ласть S, называется сумма пар-
ных произведений площадей эле-
ментарных ячеек ASi области S на
значения f(xi9 yt) функции f(x, у) в
выделенных точках этих ячеек
(рис. 247).
Определение 2. Двойным ин-
тегралом (4) от функции f(x, у),
распространенным на данную об-
ласть S, называется предел соот-
ветствующей двумерной интегральной суммы (2) при неограни-
ченном возрастании числа п элементарных ячеек &St и стрем-
лении к нулю их наибольшего диаметра d при условии, что
этот предел существует и не зависит от способа дробления
области S на элементарные ячейки \St и выбора точек в них.
В формуле (4) f(x, у) называется подынтегральной функци-
ей, S — областью интегрирования, a dS — элементом площади.
Справедлива следующая теорема:
ТЕОРЕМА. Если область S с кусочно-гладкой границей Г ог-
раничена и замкнута1), а функция f(x9 у) непрерывна в области
S, то двойной интеграл
Г f fix, y)dS = lim У fixlt y^St,
JsJ	i = i
(6)
To есть граница Г причисляется к области S (см. гл. XX, §11).
517
существует, т. е. предел соответствующей двумерной интег-
ральной суммы существует и не зависит от способа дробления
области S на элементарные ячейки ASZ и выбора точек в них.
В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой тео-
ремы выполнены.
В формуле (6) нет необходимости указывать, что п сю, так
как из а —► 0, очевидно, следует п -+ оо.
Если f(x, у) > 0, то двойной интеграл (6) представляет собой
объем прямого цилиндроида, построенного на области S как на
основании и ограниченного сверху поверхностью z = Дх, у) (гео-
метрический смысл двойного интеграла).
Так как значение двойного интеграла не зависит от вида эле-
ментарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем
использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие
сетки. Весьма часто удобной оказы-
вается прямоугольная сетка, образо-
ванная пересечением двух систем
прямых, параллельных соответ-
ственно координатным осям Ох и Оу
(рис. 248). В этом случае элементар-
ными ячейками являются пря-
моугольники со сторонами, равными
Axf и Ду7, за исключением, возможно,
ячеек, примыкающих к границе Г.
Чтобы подчеркнуть использова-
ние прямоугольной сетки, в обозна-
чении интеграла (4) полагают
dS = dxdy	(7)
(двумерный элемент площади в прямоугольных координатах),
причем
f [/(*, y)dxdy = lim У У/(хо у) Дхг Дур (8)
S	1 J
max|AyJ -* О
где (xf, у-) € AS/y и сумма (8) распространяется на все значения i
и у, для которых AS/;- == АхДг/, (можно показать, что непрямо-
угольные ячейки, примыкающие к кусочно-гладкой границе Г,
не влияют на значение предела (8)).
В следующих параграфах мы рассмотрим основные способы
вычисления двойного интеграла.
п Здесь мы применяем двойную индексацию ячеек, указывая от-
дельно номер i вертикальной полосы и номер j горизонтальной полосы,
содержащих данную ячейку, подобно тому, как на билете в кино отме-
чается номер ряда и номер места.
518
§ 2. Двойной интеграл в прямоугольных
декартовых координатах
Предположим для определенности, что область интегрирова-
ния S представляет собой криволинейную трапецию (рис. 249);
а < х < 6, ух(х) < у < у2(х),	(1)
где уг = i/i(x) и у2 = у2(х) — однозначные непрерывные функции
на отрезке [а, &]. Такую область будем называть стандартной отно-
сительно оси Оу. Заметим, что вер-
тикаль, проходящая через точку х
оси Ох при а < х < &, пересекает
границу Г области S только в двух
точках Мг(х, У]) («точка входа») и
ЛГ2(х, у2) («точка выхода»).
Пусть /(х, у) — функция, не-
прерывная в области S, и
1= Г|7(*, y)dxdy (2)
Рис. 249
— ее двойной интеграл.
1) Предположим сначала, что /(х, у) > 0 в области S. Тогда
двойной интеграл I представляет собой объем цилиндроида
(рис. 250), ограниченного снизу областью S, сверху поверхно-
стью z = /(х, у) и с боков прямой цилиндрической поверхностью.
Рис. 250
519
Для вычисления объема I применим метод сечений
(гл. XV, § 5). А именно, пусть о(х) — площадь сечения цилинд-
роида плоскостью МгМ2М 2М '1? перпендикулярной оси Ох в точ-
ке ее х е [a, 5] (рис. 250).
Тогда имеем
ь
I = f o(x)dx.	(3)
Но а(х) представляет собой площадь криволинейной трапе-
ции, ограниченной снизу отрезком уг < у < у2 оси О'у' || Оу и
сверху кривой z = f(x, у), х = const.
Поэтому
у2(х)
ст(х) = J f(x,y)dy.	1(4)
Можно доказать, что при наших условиях о(х) непрерывна
при х € [а, Ь].
Подставляя выражение (4) в формулу (3), получим оконча-
тельно
Уг(*)
y)dxdy =
S
J /(X, y)dy.
У1(х)
(5)
Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему
повторному интегралу (5), т. е. вычисление двойного ин-
теграла сводится к двум квадратурам. Заметим, что при вычис-
лении внутреннего интеграла в формуле (5) х рассматривается
как постоянная величина.
Рис. 251
2) В случае знакопеременной
функции z = /(х, у), например, если
Дх, у) > 0 при (х, у) е и Дх, у) < 0
при (х, у) € S2(S1 U S2 = S), двойной
интеграл (2) равен алгебраичес-
кой сумме объемов V\ и V2 цилинд-
роидов, построенных соответственно
на основаниях и в2(рис. 251), т. е.
Цях, y)dxdy = Vt-V2. (6)
Можно доказать, что формула (5)
справедлива и в этом случае.
520
Отметим один важный случай: пусть S — прямоугольник
а < х < Ь,А < у < В (рис. 252) и /(х, у) == Х(х) Y(y), где Х(х) —
функция, непрерывная на [а, Ь] и зависящая только от х, и
Y(z/) — функция, непрерывная на [А, В] и зависящая только от у.
В силу формулы (5) имеем
ь в	ь	в
^X(x)Y(y)dxdy = Jdxjx(x)Y(yW = ^X(x)dx^Y(y)dy. (7)
S	a A	a	A
Но внутренний интеграл в формуле (7) есть постоянное чис-
ло, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла и
мы получим
ь	в
j jХ(х) Y(y) dxdy = j X(x)dx J Y(y)dy,	(8)
S	a	A
т. e. двойной интеграл (8) равен произведению двух однократных
интегралов.
Замечание 1. Если область S — стандартная относительно
оси Ох, т. е. (рис. 253)
А < у < В, х^у) < х < x2(z/),
то по аналогии с формулой (5) получаем
В
y)dxdy = jdi/ j f(x, y)dx.	(9)
s	А уг(х)
В частности, если область S есть прямоугольник: а < х < Ь9
А < у < В, то имеем
ь в
y^dxdy = y)dy
S	a A
И
В b
y)dxdy =	y)dx.
S	A a
У
Рис. 252
Рис. 253
521
Отсюда получаем
ъ в
f(x, y)dy =
В ъ
f(x, y)dx,
т е. если пределы интегрирования в повторном интеграле от
непрерывной функции конечны и постоянны, то результат
интегрирования не зависит от порядка интегрирования.
Замечание 2. Если область S нестандартная, то ее разбивают
(если это возможно) на конечное число областей S2, ..., Sp,
стандартных относительно осей координат Ох или Оу и на осно-
вании свойства пределов полагают
а затем применяют соответственно формулы (5) или (9).
Пример 1. Найти
Рис. 254
I =	(х2 + y2)dxdy,
где S — квадрат 0<х<1,
Расставляя пределы интегрирования, бу-
дем иметь
1=1+1=2
о 3	3	3-
Геометрически / представляет собой объем цилиндроида с квадрат-
ным нижним основанием, ограниченного сверху параболоидом враще-
ния г « х2 + у2 (рис. 254).
Пример 2. Вычислить двойной интеграл
xy2dx dy,
где S — прямоугольник 0 < х < 1, -2 С у < 3.
522
Расставляя пределы интегрирования и разделяя переменные, будем
иметь
1 з
1 . 27 + 8 _ 35 = 55
2	3	6	6*
Пример 3. Вычислить
j J х2у dx dy,
(Ю)
где S — треугольник с вершинами О (0, 0), А (2, 0) и В (2, 1) (рис. 255).
Область S ограничена прямыми у « 0, у = х/2, х = 2 и является
стандартной как относительно оси Оу, так и оси Ох.
Для вертикали MN «точка входа»
в область S есть М(х, 0), «точка выхо-
да» — N(x, х/2) (0 < х < 2). Таким об-
разом, при фиксированном х перемен-
ная у для точек области S меняется от
0 до х/2. Поэтому, интегрируя в двой-
ном интеграле (10) сначала по у при х
= const, а затем по х, согласно формуле
(5) будем иметь
У-
Рис. 255
2
С	>*2
dy - I x2dx •
о
у—х/2 __ 1
J хМх =
о
1 х5 2 _ 4
8 ' 5 0	5’
(И)
Аналогично, для горизонтали PQ «точка входа» в область есть
Р(2у, у) и «точка выхода» — Q (2, у) (0 < у < 1). Следовательно, при
фиксированном у переменная х для точек области S меняется от 2у до 2.
Произведя в двойном интеграле (10) интегрирование сначала по х при
у « const, а затем по у, на основании формулы (9) получаем
1	2
I = J у dy J xzdx ==
0	2у
X3
3
х=2
х=2у
(12)
Мы пришли, как и следовало ожидать, к тому же самому результату,
причем второй способ вычисления оказался несколько более сложным.
523
Пример 4. Изменить порядок интегрирования в повторном интег-
рале
1	X
J dx J f(x, y)dy.
О х2
Область интегрирования S ограничена кривыми у = х2, у = х и х = О,
х = 1 (рис. 256). Отсюда, изменяя роли осей координат, получаем
х = у иу-О, у = 1.
Следовательно,
i х	i Л
Jdx J f(x, y)dy = fdy J f(x, y)dx.
Ox2	О у
Пример 5. Расставить пределы интегрирования в двойном интег-
рале
^ = [ f(x, y)dx dy,	(13)
если область интегрирования S есть круговое кольцо, ограниченное ок-
ружностями х2 + I/2 = 1 (у) и х2 + I/2 = 4 (Г) (рис. 257). Область S не
является стандартной. Для расстановки пределов интегрирования в ин-
тервале (13) разбиваем область S на четыре стандартные относительно
оси OY области Sx, S2, S3 и S4, как указано на рисунке. Используя урав-
нение окружностей
У = ± 71 -х2 (у) и у = ± л/4-х2 (Г),
524
имеем.
f(xt y)dxdy + J J /(x, y)dxdy =
J J f(x, y)dxdy + J J /(x, y)dxdy +
Sj	S2
Аналогичная формула получится, если мы будем расставлять пре-
делы интегрирования в другом порядке.
§ 3. Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
JJftx, y)dxdy = y)dS
S	S
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным
координатам г и ф, полагая
х = г cos ф, у = г sin ф.	(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
ASi7- с помощью координатных линий г = г7 (окружности) и ф =
= ф^ (лучи) (рис. 258).
Введем обозначения
Дгу = rj + i - ry, Дфг = ф; +1 - ф,.
Так как окружность перпендику-
лярна (ортогональна) радиусам, то
внутренние ячейки ASfy с точностью
до бесконечно малых высшего поряд-
ка малости относительно их площади
можно рассматривать как прямо-
угольники с измерениями г; Аф/ и Аг7;
поэтому площадь каждой такой ячей-
ки будет равна
AS/y ~ ГуАф^Гу.	(3)
Что касается ячеек AS/7 неправильной
формы, примыкающих к границе Г
525
области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значе-
ние двойного интеграла (ср. § 1, формула (8)) и мы их будем иг-
норировать.
В качестве точки Му € AS у для простоты выберем вершину
ячейки ASfy с полярными координатами Гу и Тогда декартовы
координаты точки Му равны
Ху = cos (pf, у у = r;-sin ф^
и, следовательно,
Уц) = f(Tj cos фг, г, sin (Pi).	(3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной
интегральной суммы, причем можно показать, что на значение
этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной сум-
мы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости.
Поэтому, учитывая формулы (3) и (3'), получаем
jy)ds =	SX*#» уч> “
я	#
= Иш ^f(ry со8фг, г; sincp,) Гу Аф( Дгу, (4)
i. i
где d — максимальный диаметр ячеек ASy и сумма распростра-
нена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащие-
ся в области S. С другой стороны, величины <pf и г; суть числа и
их можно рассматривать как прямоугольные декартовы коорди-
наты некоторых точек плоскости Офг. Таким образом, сумма (4)
является интегральной суммой для функции
f(r cos ф, г sin ф)г,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элемента-
ми Афг и Агу. Следовательно,
lim У f(rj cos ф^, г; sin ф^Гу Aфi Аг; =
d —* 0
i. i
= JJ /(г cos ф, г sin ф)г йф dr. (5)
Выравнивая формулы (4) и (5), получаем окончательно
JJ ft*, y)dS = J J /(г cos ф, г sin ф)г dф dr. (6)
S	S
Выражение
dS = г dф dr	(7)
526
называется двумерным элементом площади в полярных коор-
динатах (ср. гл. XV, § 2). Итак, чтобы в двойном интеграле
(1) перейти к полярным координатам, достаточно координа-
ты х и у заменить по формулам (2), а вместо элемента пло-
щади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить
повторным. Пусть область интегрирования S определяется нера-
венствами
а < ср < р, гх(ф) < г < г2(ф),
где г^ф), г2(ф) — однозначные непрерывные функции на отрезке
[а, р] (рис. 259). Тогда по аналогии с прямоугольными коорди-
натами (см. § 2) имеем
р г2(ф)
j*j*F(r, (p)d(pdr= Jdcp J F(r, ф)</г,	(8)
S	а г^ф)
где
F(r, ф) — rf(r cos ф, r sin ф).
Пример 1. Переходя к полярным координатам фиг, вычислить
двойной интеграл
где S — первая четверть круга радиуса R s 1 с центром в точке О (0, 0)
(рис. 260).
Так как *]х2 + у2 = г, то, применяя формулу (6), получаем
S	S
Рис. 259
527
Область S определяется неравенствами 0 < ф < л/2, О < г< 1. Поэтому
на основании формулы (8) имеем
л/2	1
О О
Пример 2. В интеграле
dx
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный
прямыми у = 0, у = х, х
Рис. 261
= 1 (рис. 261).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются следующим об-
разом: (р = 0, ф = я/4, г cos ф = 1 и, следо-
вательно, область S определяется неравен-
ствами
О < ф < л/4, 0 < г < 1/cos ф = sec ф.
Отсюда на основании формул (6) и (8), учи-
тывая, что Jx2 + у2 = г, имеем
п/4 зесф
г2 dr.
§ 4. Интеграл Эйлера—Пуассона
С помощью полярных координат можно просто вычислить
важный для теории вероятностей интеграл Эйлера— Пуассона
+ОО
I=je~x*dx.	(1)
О
Так как определенный интеграл не зависит от обозначения
переменной интегрирования, то, очевидно, можно также запи-
сать
J e~v*dy.
о
(2)
Перемножая формулы (1) и (2) и учитывая, что произведение
этих однократных интегралов можно рассматривать как двойной
о
528
интеграл от произведения подынтегральных функций (см. § 2,
формула (8)), будем иметь
/2= \e-^^y^dxdy.
(3)
где область S определяется неравенствами
О < х < +оо, О < у < 4-оо
и, следовательно, представляет собой первый квадрант коорди-
натной плоскости Оху (рис. 262)1).
Переходя в интеграле (3) к полярным координатам, получим
л/2 +оо
г d(p dr =
л/2
О
Отсюда, учитывая положитель-
ность числа I, находим
Рис. 262
e~xi dx =
В силу четности функции у = е~х‘ имеем также
4-00	4-оо
J е~х* 2dx = 2 J е~*2 2dx = Jit,
о	о
что представляет собой площадь, ограниченную осью Ох и кри-
вой Гаусса у = е~х2 (см. гл. XI, § 8, рис. 120).
§ 5. Теорема о среднем
Пусть функция /(х, у) непрерывна в ограниченной замкнутой
области S и т = minftx, у), М = шах/(х, у) — соответственно
S	S
наименьшее и наибольшее значения функции /(х, у) в области S.
Строго говоря, интеграл (3) является несобственным и
нуждается в специальном определении. Однако выполняемые формаль-
ные операции приводят к правильным результатам.
л . 1
2 2
о
=
529
Для двумерной интегральной суммы этой функции, распростра-
ненной на область S, имеем оценки
mS<^f(xt,y^t<MS,	(1)
1 = 1
где S =	ASZ — площадь области S. Отсюда, переходя к пределу
i = i
при d = max d(ASf) 0 в неравенствах (1) и учитывая существо-
i
вание двойного интеграла, получаем
mS < j р(х, y)dS < MS.	(2)
Число
ц=1П/(х’y)ds	(з)
S
называется средним значением функции f(x, у) в области S. Из
неравенств (2) вытекает, что т < ц < М.
Формулу (3) можно переписать в следующем виде:
|p(x,y)dS = pS	(4)
(тп < |1 < М). Таким образом, двойной интеграл равен среднему
значению подынтегральной функции, умноженной на площадь
области интегрирования.
Не нужно думать, что формула (4) дает универсальный способ вы-
числения двойного интеграла. Дело в том, что, как правило, среднее
значение функции определяется через двойной интеграл. Поэтому ре-
альный смысл здесь имеет оценка (2).
Пример. Оценить интеграл
где S — квадрат 0 < х < 1, 0 < у < 1.
Для функции f(x, у) — л/х2 + у2 имеем
т = min f(x, у) = ДО, 0) = 0 и М = тах/(х, у) == /(1, 1) = J2.
s	s
Так как 8 = 1, то 0 < /	л/2 = 1,41.
Можно принять
/== 1(0 + 1,41) = 0,71.
530
Эта оценка грубая, так как точное значение интеграла есть
I - 5 [л/2 + 1п(1 + 72 )] = 0,79.
О
Более точное значение интеграла I получится, если область интег-
рирования S разбить на достаточно мелкие части и к каждой из них
применить теорему о среднем.
§ 6. Геометрические приложения двойного интеграла
В § 1 было показано, что прямой цилиндроид, построенный
на основании S в координатной плоскости Оху и ограниченный
сверху непрерывной поверхностью z = f(x, у), имеет объем,
равный
V = ||fix, y)dx dy.	(1)
Пример 1. Найти объем V тела,
ограниченного поверхностями
2 = X2, 2 = 0, X = 0, у = 0, X + у = 1.
Искомое тело имеет своим ос-
нованием треугольник S на плос-
кости Оху, образованный линиями
х = 0, у = 0, х + г/ = 1, и ограничено
сверху параболическим цилиндром
2 == х2 (рис. 263). Отсюда на основа-
нии формулы (1) получим
Jdx • х2у
о
1 _ 1 _ 1
3	4	12 *
Если в формуле (1) положить
f(x, у) = 1,
то получим объем прямого цилиндра с высотой z = 1, численно
равный площади S его основания. Поэтому площадь плоской об-
ласти S равна
S = ||dxdi/.	(2)
S
Формулу (2) можно записать также в виде
(3)
531
У
Рис. 264
Пример 2. Найти площадь, ограни-
Л	а2 2а2
ченную гиперболами у = —, у =
(а > 0) и прямыми х = 1,х = 2 (рис. 264).
На основании формулы (2) получим, что
площадь S равна
2	2а2/х	2
1	а2/х	1
2
= а2 = а2 In х11 = а2 In 2 « 0,7а2.
§ 7. Физические приложения двойного интеграла
Пусть S — материальная пластинка. Если AS есть часть плас-
тинки S, содержащая точку М и имеющая массу Дтп, то отношение
Azn
AS
называется средней поверхностной плотностью куска AS, а пре-
дел этого отношения при условии, что диаметр d(AS) -* 0, назы-
вается поверхностной плотностью р(М) пластинки S в точке М:
р(ЛГ)= lim
d(AS) -* 0 AS
Очевидно, поверхностная плотность р(М) пластинки S есть
функция точки ЛГ. Понятия средней поверхностной плотности
пластинки и поверхностной плотности пластинки в данной точке
вполне аналогичны понятиям сред-
ней линейной плотности дуги и ли-
нейной плотности дуги в точке, вве-
денным в гл. XXIII, § 1.
Положим, что поверхностная
плотность пластинки S в текущей
точке М(х, у) равна р = р(х, у), где
р(х, У) — известная непрерывная
функция. Рассмотрим бесконечно
малый элемент dS пластинки, со-
держащий точку М (рис. 265). Так
как в пределах этого элемента плас-
532
тинку можно считать однородной с плотностью р, то масса эле-
мента dS (элементарная масса) равна
dm = pdS.	(1)
Интегрируя выражение (1) по всей пластинке S, находим
массу пластинки
т = j JpdS.	(2)
Рассматривая dm как материальную точку, удаленную от
осей координат Ох и Оу на расстояния у и х, получим элемен-
тарные статические моменты пластинки
dSx = у dm = ур(х, y)dS,
dSy = х dm = xp(x, y)dS.
Отсюда, интегрируя эти выражения по всей пластинке S, на-
ходим статические моменты пластинки S относитёльно ко-
ординатных осей
s
(3)
s
В механике доказывается, что статический момент пластинки
относительно какой-нибудь оси совпадает со статическим момен-
том точечной массы, равной массе пластинки, сосредоточенной
в центре масс ее относительно той же оси (теорема Вариньона).
Отсюда, обозначая через (х0, Уо) координаты центра масс плас-
тинки S, будем иметь
Sy = тпх0, Sx = myQ;
следовательно,
Х° = = m Г fXP(X’ y)dS’ У° = 77 = 77 f
т т 2 J	т т j J
s	s
где т — масса (2) пластинки.
Аналогично, для элементарных моментов инерции плас-
тинки S относительно осей координат Ох и Оу получаем выра-
жения
dlx = y2dm = у2р(х, y)dS, dly = x2dm = x2p(x, y)dS.
533
Отсюда после интегрирования по пластинке S будем иметь |
моменты инерции пластинки S относительно координатных
осей
= |р2р(х,	= ||x2p(x,	(5) J
8	S	I
Элементарный полярный момент инерции определяется |
формулой
d/0 = r2dm = (х2 + £/2)р(х, y)dS,
где г2 = х2 + у2 — квадрат расстояния массы dm от начала коор-
динат. Интегрируя последнее выражение по пластинке S, полу-
чаем полярный момент пластинки
4 = I>2 + у2)р(х’ y)ds‘
(6)
Из формул (5) и (6) следует, что
Iq 1х ^у*
(7)
Полагая р(х, у) = 1 в формулах моментов, получим соответ-
ствующие моменты инерции геометрической фигуры S. Напом-
ним, что при вычислении в декартовых прямоугольных коорди-
натах, как обычно, принимается dS = dx dy, а в случае поляр-
ных координат имеем dS = г dq dr.
Пример 1. Определить координаты центра масс квадратной плас-
тинки S: 0 < х < 2, 0 < у < 2, поверхностная плотность которой в точке
М(х, у) равна р « х + у.
Пользуясь формулой (2), находим массу пластинки
2	2	2
т = J J pdxdy = Jdx J(x + y)dy == J
я	оо	о
2

у2Л У=2
*у + %} =
= J(2x + 2)dx = (хг + 2х)|3 = 8.
о
По формуле (3) определяем статические моменты пластинки S от-
носительно координатных осей:
2	2	2
534
2	2	2
J J xpdxdy = Jdx J(x2 + xy)dy = Jdx ^x2y +
S	0	0	0
W
y=0
2
J (2x2 + 2x)dx ==
о
2 = i?+4~91
о ®	8
Равенство моментов Sx и Sy можно было предвидеть ввиду симмет-
рии задачи.
На основании формул (4) центр масс пластинки S имеет координаты
х =51 =	= 1 ^il u=£x=ii
° т 3 8	6	1б’ У° т 1б”
Пример 2. Найти момент инерции 1Х круга S: х2 + у2 < х (рис. 266)
относительно оси Ох.
Полагая р = 1, на основании первой формулы (5) имеем
Ix = £|>dS.	(8)
Задачу будем решать в полярных координатах. Имеем
х г cos ф, у = г sin ф и dS » г dtp dr.
Уравнение границы Г области S есть
х2 + у2 = х.
Отсюда, переходя к полярным коор-
динатам, получаем г2 = г cos ф. Сле-
довательно, после сокращения на не-
существенный множитель г имеем
г — cos ф,
причем так как г > 0, то -л/2 < ф <
< л/2. Таким образом, при каждом
фиксированном ф € [-л/2, л/2]
радиус г меняется в пределах ОС
< г < cos ф. Переходя к полярным
координатам в формуле (8), полу-
чаем
1Х - JJ z^sin2 ф • г dr йф «
я/2
« - J 8Ш2ф СОв4ф с/ф.
-я/2
535
Как известно, cos2 ф = | (1 + cos 2ф) и sin2 ф cos2 ф «« - sin2 2ф, поэтому
а	4
cos
п/2
J
-71/2
71/2
+ 77-7 f sin2 2
32 J
-л/2
Л/2
i (1 + COS2 ф)</ф ®	( 8Ш22ф t/ф +
2	32 J
- 71/2
л/2	п/2
« — Г (1 - cos 4ф) <йр + 7Г7 I sin2 2ф d(sin2(p)
64 J	64 J
-п/2	-п/2
1 .
-sin
4
л/2
-л/2
1 # 8М132ф я/2
64	3	„/9
—п/2
5 - О] + 0= я
2	)	64
§ 8. Понятие о тройном интеграле
По аналогии с двойным интегралом определяется так назы-
ваемый тройной интеграл. Пусть в декартовом пространстве
Oxyz задана конечная замкнутая область V и /(х, у9 z) — огра-
ниченная функция, определенная в V. Разобьем область V на ко-
нечное число ячеек &V19 ДИ2, •••> и в каждой из них выберем
точку
Mt(xi9 yi9 zt) € ДТ< (i = 1, 2, ..., n)
(рис. 267). Сумма
С1)
i- 1
где — объем i-й ячейки, называется
трехмерной интегральной суммой.
Обозначим через d наибольший из
диаметров ячеек ДКД). Будем произ-
вольным способом неограниченно из-
мельчать ячейки ДУ2-. Тогда предел ин-
тегральной суммы (1) при d 0, если
этот предел существует и не зависит от
формы ячеек ДТ< и выбора точек Mt в
них, называется тройным интегралом
Понятие диаметра см. в § 1.
536
от функции f(x, у, з), распространенным на область V, и
обозначается следующим образом:
Z^dV=	Z№Vi-
(2)
Доказывается, что если подынтегральная функция Дх, у, z) не-
прерывна в замкнутой ограниченной области интегрирования V
с кусочно-гладкой границей, то тройной интеграл (2) существует.
Если область V заполнена массой и Дх, у9 г) представляет
собой непрерывно распределенную объемную плотность в теку-
щей точке М(х9 у9 z), то f(xi9 yi9 где Mt(xi9 yi9 zt) е AVf, с
точностью до бесконечно малой высшего порядка малости отно-
сительно максимального объема ячеек АУ;- (j = 1,..., п), есть масса
ячейки AV). Следовательно, интегральная сумма (1) приближен-
но равна массе т9 заполняющей область V. При d —► 0 получаем,
что предел суммы Sn будет равен массе т. Отсюда выводим фи-
зический смысл тройного интеграла: если Дх, у9 г) есть непре-
рывная плотность распределения массы в пространстве Oxyz9 то
тройной интеграл
т=JTP<x’у> z^dV
(3)
представляет собой массу, заполняющую область интегрирова-
ния V. В частности, если плотность Дх, у9 z) = 1, то масса области
V численно равна ее объему. Поэтому объем области V выража-
ется тройным интегралом
(4)
Если вычисление тройного интеграла (2) ведется в прямо-
угольных координатах х, у9 z9 то в качестве ячеек	выбирают
прямоугольные параллелепипеды с измерениями Axf, Ai/;, &zk9
грани которых параллельны координатным плоскостям, т. е. по-
лагают
^Vtjk= Ьх^у^.
В этом случае элемент объема dV считают равным
dV = dxdydz	(5)
(элемент объема в прямоугольных координатах) и тройной ин-
теграл (2) записывают в следующем виде:
Щ f(x, у, z)dx dy dz.
(6)
537
В частности, для объема тела получаем формулу
dx dy dz.
(6')
В простейшем случае вычисление тройного интеграла (6) сво-
дится к трем квадратурам. А именно, пусть область ин-
тегрирования V стандартна относительно оси Ог (ср. §2),
т. е. ограничена снизу и сверху соответственно однозначными не-
прерывными поверхностями
21 = гг(х, у), г2 = z2(x, у),
причем проекция области V на координатную плоскость Оху есть
плоская область S (рис. 268).
Отсюда следует, что при фиксированных значениях (х, у) € S
соответствующие аппликаты г точек области V изменяются в
пределах zx(x, у) < z < z2(x, у). По аналогии с двойным интегра-
лом (§ 6) будем иметь
у> z^dx dy dz = JJdx dy J ^x’y’ z^dz
JV	S	г,(х,у)
Если, кроме того, проекция S стандартна относительно оси
Оу и определяется неравенствами
а < х < &, z/Дх) < у < у2(х),
Рис. 268
538
где i/i(x) и y2(x) — однозначные непрерывные функции на отрез-
ке [а, Ь], то
»s(*. У)
b Уг(*)	z2(x,y)
s
zx(x,y)
t/i(x) *i(x,y)
Из формул (7) и (8) получаем окончательно
Ь У2(х)	г2(х, у)
JJJ fix, у, z)dx dy dz =
V
(9)
Vl(*)	2j(X,0
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к
трем квадратурам.
Заметим, что если область интегрирования V стандартна от-
носительно всех трех координатных осей Ох, Оу и Oz, то пределы
интегрирования для тройного интеграла (6) можно расставить
3! = 6 различными способами.
Пример. Вычислить
I
-ш
V
xyz dx dy dz,
где V — пирамида OPQR, ограниченная следующими плоскостями:
х = 0, у = 0, 2 = 0, х + у + z = 1 (рис. 269).
Рис. 269
539
Проекция области V на координатную плоскость Оху есть треуголь-
ник S, ограниченный прямыми
х = 0, у = 0, х + у = 1.
При (х, у) Е V аппликаты точек (х, у, z)6 V удовлетворяют неравен-
ству 0<2<l-x-z/. Поэтому
1 — х — у
Z = fjxy dx dy J zdz = JJxi/ dx dy •
S	0	s
2=l-X-y
z~0
xy(l - x - y)2dxdy.
s
Расставляя пределы интегрирования для треугольника S, получаем
1	1-х
I - 11xdx | i/[(l - х)2 - 2(1 - х)у + y2]dy =
о о
= Ъ [х[(1-х)2	-2(1-х)-	+ £1 " 1 *dx =
J L	z 4 J »=о
1 1
|х(1-х)<[| -| +l)dx- |[1-(1-х)](1-х)Мх =
J (1 - x)4dx - J(1 - x)5dx
о	о
1 Г	(1-х)5	1	, (1-х)6	И	, 1 fl	П	_ 1
24 L 5	0	6	0 J 2415	67	720*
Число I представляет собой массу пирамиды V, если плотность ее в
текущей точке М(х, у, г) равна р = хуг.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Вычислить повторные интегралы:
2л	1
в) J dtp J г sin2 ф dr.
о	о
2.	Нарисовать область интегрирования и вычислить повторные ин-
тегралы:
1 X	1 у + у2	2я	Ф
a) Jdx J Jx~Vy dy;	б)	Jdi/ J xy	dx; в)	J </ф	J	r cos ф dr.
0	0	-1 у	0	0
3.	Расставить пределы интегрирования в том и другом порядке в
двойном интеграле JJ/(х, y)dx dy для следующих областей интегриро-
вания:
a)	S — треугольник с вершинами 0(0, 0), А(1, 0) и В(1, 2);
б)	S — трапеция с вершинами 0(0,0), А(2, 0), В(1, 1) и С(0, 1);
в)	В — четверть круга х2 + у2 < 1, х > 0, у > 0;
г)	В — параболический сегмент, ограниченный линиями у =х2, у = 4;
д)	В — круг х2 + у2 < 2х.
4.	Изменить порядок интегрирования в следующих повторных ин-
тегралах:
1 х	1 е	п	sinx
a) J dx J/(x, y)dy,	б)	J dy J/(x,	y)dx-, в)	Jdx	J fix,	y)dx.
Ox2	0 e*	0	0
5.	Перейти к полярным координатам и расставить пределы интег-
рирования в следующих двойных интегралах:
a)	JJ х2у dx dy, где В — круговой сектор, ограниченный линиями
s
X2 + у2^1, у = х, у = -х(у> 0);
б)	JJ а/х2 4- у2 dx dy, где В — треугольник с вершинами 0(0, 0),
А(2, -1), В(2, 1);
в)	JJ/(х + y)dx dy, где В — параболический сегмент, ограниченный
линиями у == X и у = X2.
6.	Вычислить двойные интегралы:
a)	I I (х + y)dx dy, где В — треугольник с вершинами 0(0, 0),
А(1, 0) и В(0, 1);
б)	JJxi/2dx dy, где В — параболический сегмент, ограниченный
линиями у2 — х, х = 1;
в)
dxdy
0/+D2’
где В — параболический сегмент, ограниченный
линиями у = 1 - х2, у ~ 0;
г)	II A. dx dy, где В — гиперболический сегмент, ограниченный
J J Jy
О
линиями ху — 4, х 4- у ** 5.
541
7.	Перейдя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:
', где S — круг х2 + у2 < я2;
s
I I	—n dx dy, где S — треугольник, ограниченный прямыми
JJ х2 + у2
S
у = X, у = -х, у = 1.
8.	Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
a)	z =	д/l ~ У2 , 2 = 0,	у	= х,	х	= 0;
б)	z ==	2 - х - у, z == 0,	х2	+ у2	=	1, х — 0, у = 0;
в)	z = х2 + у2, 2 = 0, у2 = х, х = 1;
г)	2 =	jx2 + У2,2 = 0,	х2	+ у2	==	2х;
Д)* =	£х,2 = 0, +	g	- 1	(z	> 0).
а	а* Ь*
9.	Найти моменты инерции однородной круглой пластинки
х2 + у2 < R2 относительно осей Ох и Оу.
10.	Определить координаты центра масс однородной пластинки, ог- ;
раниченной кривыми ау = х2, у = а.
11.	Вычислить
1 X у
^dx^dyf хуг d2.
ООО
12.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 у2, г = 2у2,
ху = 1, ху = 4, х = 1, х = 3.
ГЛАВА XXV
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
А. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
§ 1* Случайные события
В естественных науках познание действительности происхо-
дит в результате испытаний (экспериментов) или наблюдений,
т. е. опыта в широком понимании слова. Под испытанием (на-
блюдением), в общем смысле, подразумевается наличие оп-
ределенного комплекса условий. Возможный результат —
исход испытания или наблюдения — называется событием, не-
зависимо от его значимости.
При построении теории события идеализируются, т. е. игнорируют-
ся ситуации, несущественные для данного явления.
Пример. При бросании монеты может выпасть герб или ре-
шетка (обратная сторона). Таким образом, при однократном ис-
пытании возможны два события: А — выпадение герба, В — вы-
падение решетки.
Однако возможно еще одно событие С — когда монета станет на
ребро. Но при организации игры в «орлянку» это обстоятельство несу-
щественно (монета перебрасывается!) и в нашем идеализированном опы-
те это событие не учитывается.
Определение 1. Результат испытания, который нельзя за-
ранее прогнозировать, называется случайным событием.
Иными словами, событие является случайным в данном опы-
те, если заранее нельзя предсказать, произойдет оно или не про-
изойдет в этом опыте.
Например, случайным событием является выпадение герба
при бросании монеты. Конечно, предполагается, что испытание
организовано так, что исход его заранее не известен.
Во многих случаях случайное событие есть результат неполной ин-
формации о данном явлении, Например, в опыте с бросанием монеты,
если нам были бы известны сила толчка, форма монеты, закон сопро-
тивления воздуха и другие факторы, определяющие закон движения
монеты, мы смогли бы точно предсказать исход испытания.
Определение 2. Событие называется достоверным в
данном испытании (т. е. при осуществлении определенной со-
543
вокупности условий), если оно неизбежно происходит при
этом испытании.
Например, получение студентом положительной или отрица-
тельной оценки на экзамене есть событие достоверное, если эк-
замен протекает согласно обычным правилам.
Определение 3. Событие называется невозможным в
данном испытании, если оно заведомо не происходит в этом
испытании.
Например, если в урне находятся лишь цветные (небелые)
шары, то извлечение из этой урны белого шара есть событие не-
возможное. Отметим, что при других условиях опыта появление
белого шара не исключается; таким образом, это событие невоз-
можно лишь в условиях нашего опыта.
Теория вероятностей есть наука, изучающая закономер-
ности случайных событий.
В связи с развитием новой техники особый интерес представ-
ляют статистические закономерности массовых однород-
ных случайных событий (контроль качества продук-
ции, обслуживание серийного производства, работа телефонной
станции и т. п.). Здесь в различных вариантах установлена ос-
новная теорема теории вероятностей — закон больших чисел.
Примем как аксиому, что для каждого события А можно оп-
ределить, по крайней мере теоретически, вероятность этого
события — число Р(А), представляющее, в некотором смысле,
«меру достоверности» данного события и подчиненное естествен-
ным требованиям. Предполагается, что вероятность любого со-
бытия удовлетворяет неравенству
О < Р(А) < 1,
причем вероятность невозможного события равна нулю, а веро-
ятность достоверного события равна единице.
На практике считают, что если вероятность события мала, то это
событие практически невозможно; наоборот, если вероятность события
близка к единице, то это событие почти достоверно; и сообразно этому
принимают обоснованные решения.
В создании теории вероятностей участвовали многие круп-
ные математики (Паскаль, Ферма, Лаплас, Гаусс, Пуассон и др.).
В более поздний период решающие успехи в этой науке прина-
длежат отечественным математикам (Чебышев, Марков, Ляпу-
нов, Бернштейн, Колмогоров, Хинчин и др.).
Теория вероятностей широко используется в теоретических
и прикладных науках (в физике, геодезии, в теории стрельбы, в
теории автоматического управления и многих других). В част-
ности, она служит теоретической базой математической и при-
кладной статистики, на основе которых происходит планирова-
ние и организация производства.
544
§ 2.	Алгебра событий
С каждым испытанием связан ряд интересующих нас собы-
тий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно.
Например, пусть при бросании игральной кости (т. е. кубика, на
гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие А есть
выпадение одного очка, а событие В есть выпадение нечетного
числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.
Пусть все возможные результаты испытания осуществляют-
ся в ряде единственно возможных частных случаев, взаим-
но исключающих друг друга (так называемые элементарные со-
бытия или элементарные исходы). Тогда:
1)	каждый исход испытания представляется одним и только
одним элементарным событием;
2)	всякое событие А, связанное с этим испытанием, есть мно-
жество (совокупность) конечного или бесконечного числа эле-
ментарных событий;
3)	событие А происходит тогда и только тогда, когда реали-
зуется одно из элементарных событий, входящих в это множе-
ство.
Пример 1. Пусть событие А состоит в выпадении нечетного
числа очков при однократном бросании игральной кости.
За элементарные события здесь могут быть приняты следую-
щие результаты испытания: (1), (2), (3), (4), (5), (6). Событие А
представляет собой множество событий {(1) (3), (5)}.
По аналогии с теорией множеств (см. § 1) строится алгебра
событий.
Определение 7. Под суммой двух событий А и В понима-
ется событие
А + В = A U В,
которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло
хотя бы одно из событий А и В.
В общем случае, под суммой нескольких событий понимает-
ся событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих со-
бытий.
Пример 2. Пусть событие А есть выигрыш по займу I, а собы-
тие В — выигрыш по займу II. Тогда событие А + В есть выиг-
рыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).
Определение 2. Произведением двух событий А и В на-
зывается событие
АВ = А А В,
состоящее в одновременном появлении как события А, так и
события В.
18 Б. Демидович, В. Кудрявцев
545
В общем случае, под произведением нескольких событий по-
нимается событие, состоящее в одновременном осуществлении
всех этих событий.
Пример 3. Пусть события А и В есть успешные прохождения
соответственно туров I и II при поступлении в институт. Тогда
событие АВ представляет собой успешное прохождение обоих ту-
ров.
События А и В называются несовместными в данном испы-
тании, если произведение их есть событие невозможное, т. е.
АВ-О,
где О — невозможное событие.
Иными словами, два события несовместны, если появление
одного из них исключает появление другого и наоборот.
§ 3.	Классическое определение вероятности
Пусть событие А — некоторый исход испытания и
Ер Е2> •••,	(!)
— конечная система всех возможных и единственно возможных
попарно несовместных элементарных исходов этого испытания
(полная система элементарных событий). Таким образом, со-
бытие А происходит тогда и только тогда, когда имеют место не-
которые события из системы (1) (благоприятные или бла-
гоприятствующие исходы или так называемые шансы
для события А).
Предположим, что события системы (1)равновозможны, т. е.
нет основания предполагать, что одно из событий системы (1)
превалирует, в смысле появления, перед другими. Иногда это
можно установить, используя «свойство симметрии».
Определение 7. Под вероятностью Р(А) события А
понимается отношение числа равновозможных элементарных
исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу
всех равновозможных и единственно возможных элементар-
ных исходов данного испытания.
Таким образом, если т — число элементарных исходов, бла-
гоприятных событию А, и п — общее число всех элементарных
исходов при данном испытании, и все эти исходы равновозмож-
ны, то на основании определения имеем формулу
Р(А) = ^.	(2)
п
546
Так как, очевидно, 0 < т < и, то
О < Р(А) < 1,	(3)
т. е. вероятность любого события есть неотрицательное чис-
ло, не превышающее единицы.
Замечание. Из определения вероятности следует, что равно-
возможные элементарные события являются равновероятными,
т. е. обладают одной и той же вероятностью.
Из определения вероятности вытекают следующие основные
ее свойства.
1.	Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие А невозможно, то число благо-
приятных ему элементарных исходов т = 0 и мы имеем
Р(А) =5=0.
п
2.	Вероятность достоверного события равна единице.
В самом деле, если событие А достоверно, то, очевидно, т = п
и, следовательно,
Р(А) -2=1.
п
Приведем некоторые элементарные теоремы о вероятностях.
Определение 2. Два события А и В называются экви-
валентными:
А = В,
если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит
другое.
С точки зрения теории вероятностей такие события считают-
ся равными.
Например, если в урне содержатся только белые и черные
шары, то появление черного шара и появление небелого шара
есть события эквивалентные.
ТЕОРЕМА 1. Эквивалентные события имеют одинаковые ве-
роятности, т. е. если А = В, то
Р(А) = Р(В).	(4)
Действительно, каждый элементарный исход для события А
является таковым же для события В и обратно. В силу формулы
(2) справедливо равенство (4).
Определение 3. Говорят, что из события А следует со-
бытие В(А => В), если событие В появляется всякий раз, как
только произошло событие А.
Например, для любых событий А и В имеем АВ => А и АВ => В.
547
ТЕОРЕМА 2. Если А=> В, то
Р(А) < Р(В).	(5)
В самом деле, пусть события А и В включены в общую сис-
тему равновероятных элементарных исходов, причем т и тп'—
число благоприятных элементарных исходов соответственно для
событий А и В, ап — общее число элементарных исходов. Так
как каждый элементарный исход для события А является также
элементарным исходом для события В, то т < т' и, следовательно,
Р(А) = — < — = Р(В);
п п
таким образом, неравенство (5) доказано.
Определение 4. Событие А, происходящее тогда и только
тогда, когда не происходит событие А, называется про-
тивоположным последнему.
Например, если при_бросании монеты событие А есть выпа-
дение герба, то событие А представляет собой невыпадение герба,
т. е. выпадение решетки.	_
Из определения 4 следует, что: 1) событие А + А достоверно;
2) событие АА невозможно.	_
ТЕОРЕМА 3. Вероятноеть противоположного события А рав-
на дополнению вероятности данного события А до 1, т. е.
Р(А) = 1 - Р(А).	(6)
Действительно, пусть полная система равновозможных эле-
ментарных исходов содержит п событий, из которых тп (тп < п)
благоприятны событию А. Тогда п — тп элементарных исходов
неблагоприятны событию А, т.е. благоприятствуют событию А.
Таким образом, имеем
Р(А) =	= 1 - ™ = 1 - Р(А).
п	п
Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление ве-
роятностей событий.
Пример 1. Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпа-
дения герба хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения
герба (событие В)?
Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ,
ГР, РГ, РР; число их п = 4.
Событию А благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых
т = 3. Следовательно,
Р(А) = - = 7 •
п 4
548
Событию В благоприятствует один исход ГГ (т' = 1). Поэтому
Р(В) = — = 1.
и 4
Пример 2. Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность
того, что сумма выпавших очков равна б (событие А)?
Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары
(х, I/), где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6; общее число эле-
ментарных исходов п = 36.
Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),
число которых т = 5.
Следовательно,
Р(А) “ - = •
п оо
§ 4. Статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности события предполагает,
что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) эти исходы рав-
новозможны.
Однако на практике встречаются испытания с бесконечным
числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих
методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным
числом исходов, представить в виде суммы равновозможных эле-
ментарных исходов.
Поэтому применение классического определения вероятнос-
ти весьма ограниченно.
Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда
более удобное для приложений.
Пусть производится и однотипных испытаний, одним из ис-
ходов которых является данное событие А.
Определение 7. Отношение числа появлений т события А
к общему числу испытаний п называется относительной
частотой (частостью) события А.
Таким образом, обозначая через Wn (А) относительную час-
тоту события А при п испытаниях, будем иметь
Wn(A)=™.	(1)
п
Очевидно, 0 < Wn(A) < 1.
Из формулы (1) получаем
т = Wn(A)n,	(2)
т. е. число появлений события А равно его относительной час-
тоте, умноженной на число испытаний.
549
При однотипных массовых испытаниях во многих случаях
наблюдается устойчивость относительной частоты
с о б ы т и я, т. е. при числе испытаний п —* оо относительная час-
тота ТУЛ(А) события А колеблется около некоторого постоянного
числа р, причем эти отклонения тем меньше, чем больше произ-
ведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные ис-
пытания. Это число р называется вероятностью события
А в статистическом смысле.
Определение2. Под вероятностью события в
статистическом смысле понимается почти досто-
верный предел его относительной частоты при неограниченно
растущем числе испытаний.
Таким образом, почти достоверно, что относительная частота
события приближенно совпадает с его статистической вероятно-
стью, если число испытаний достаточно велико.
С этой точки зрения величина
Ц = пр	(3)
представляет собой среднее значение числа появления
события А при п испытаниях.
При широких предположениях доказывается, что вероятнос-
ти события в классическом и статистическом смыслах совпадают
между собой.
Пример. В результате ряда испытаний было обнаружено, что при
200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова веро-
ятность р поражения цели этим стрелком? Сколько для него попаданий
в цель можно ожидать при 1000 выстрелов?
Используя статистическое определение вероятности, имеем
Р =	=0,95 = 95 %.
200
Отсюда число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно со-
ставляет
ц = 1000 • 0,95 = 950.
§ 5. Теорема сложения вероятностей
ТЕОРЕМА. Вероятность суммы двух несовместных собы-
тий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. если
АВ = 0, то
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).	(1)
Доказательство. Пусть из общего числа п всех возможных и
равновозможных элементарных исходов испытания благо-
550
приятствуют событию А, а тп2 — событию В. Так как события А
и В несовместны, то появление события А исключает появление
события В и обратно; поэтому число благоприятных исходов со-
бытия А + В в точности равно + т2. Отсюда на основании
классического определения вероятности получаем
Р(А + В) = -V.+ т2 =	= Р(А) + Р(В).
П	71	77
Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно не-
совместных событий равна сумме вероятностей этих собы-
тий.
Пусть, например, события А, В и С попарно несовместны,
т. е. события АВ, АС, ВС невозможны.
Имеем
Р(А + В + С) = Р[(А + В) + С] = Р(А + В) + Р(С) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С).
Замечание. Пусть теперь события А и В совместны. Тогда
число благоприятных элементарных исходов для события А 4- В
будет
т = тг + т2 “ т',
где т' — число элементарных исходов, благоприятных для со-
бытия АВ. Действительно, складывая числа исходов тпх и т2, бла-
гоприятных событиям А и В, мы исходы, благоприятные собы-
тию АВ, считаем два раза; следовательно, при подсчете числа
исходов для события А + В излишнее значение т' следует отбро-
сить.
Поэтому, в общем случае имеем
Р(А + В) ==	+	- т' =	+ т2 __ тп' =
п	п п п
=Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (2)
Следствие. Так как Р(АВ) > 0, то из формулы (2) имеем
Р(А + В) < Р(А) + Р(В),	(3)
т. е. вероятность суммы двух событий никогда не превосходит
суммы вероятностей этих событий.
Это утверждение, очевидно, справедливо также и для не-
скольких событий.
Пример. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих одинаковых
по размеру шаров. Какова вероятность, что шар, случайным образом
извлеченный из урны, будет цветным (не белым)?
551
Пусть событие А — извлечение красного шара из урны, а событие
В — извлечение синего шара. Тогда событие А + В есть извлечение цвет-
ного шара из урны. Очевидно, имеем
Р(А) = 3/10, Р(В) = 5/10.
Так как события А и В несовместны (извлекается только один шар),
то по теореме сложения имеем
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,3 + 0,5 = 0,8.
§ 6. Полная группа событий
Определение. Система событий
А19 а2, ...,Ап	(1)
называется полной группой событий для данного ис-
пытания, если любым исходом его является одно и только
одно событие этой группы.
Иными словами, для полной группы событий (1) выполнены
следующие условия:
1) событие Ai + А2 + ... + Ап достоверно;
2) события At и A; (i * j) попарно несовместны, т. е. AfA; = О
(i * j), где О — событие невозможное.
Простейшим примером полной группы событий является па-
ра событий: А и А.
ТЕОРЕМА. Сумма вероятностей событий полной группы
равна единице.
Локазательство. Для полной группы (1) событие Ах + А2 +
+ ... + Ап = D достоверно, а события этой группы попарно несов-
местны. Отсюда на основании теоремы сложения вероятностей
имеем
Р(АХ + А2 + ... + Ап) = P(AJ + Р(А2) + ... + Р(АП). (2)
Но
P(Ax+A2 + ... + Ara) = P(D)=l,
поэтому из (2) имеем
Р(АХ) + Р(А2) + ... + P(An) = 1.
§ 7. Теорема умножения вероятностей
Определение 1. Вероятность события А при условии, что
произошло событие В, называется условной вероят-
ностью события А и обозначается так:
Р(А/В) = РВ(А).	(1)
552
Замечание. Вероятность каждого события А в данном испытании
связана с наличием известного комплекса условий. При определении
условной вероятности мы предполагаем, что в этот комплекс условий
обязательно входит событие В. Таким образом, мы фактически
имеем другой, более обременительный комплекс условий, соответст-
вующий испытанию в новой обстановке. Вероятность РВ(А) появления
события А при этих новых условиях называется его условной
вероятностью, в отличие от вероятности Р(А), которая может быть
названа безусловной вероятностью события А.
Пример. В урне находятся 7 белых и 3 черных шара.
Какова вероятность: 1) извлечения из урны белого шара (событие А);
2) извлечения из урны белого шара после удаления из нее одного шара,
который является белым (событие В) или черным (событие С)?
Здесь
ЛА) = ^- = 0,7; РВ(А) = | = 0,666 Р^А) = £ = 0,777 ... .
1V	У	У
Таким образом, условная вероятность события может быть как
меньше, так и больше вероятности этого события.
Определение 2. Два события А и В называются неза-
висимыми, если вероятность каждого из них не зависит
от появления или непоявления другого, т. е.
Р{А) = РВ(А) = РВ(А)	(2)
и
Р(В) = РА(В) = РА(В).	(2')
В противном случае события называются зависимыми.
ТЕОРЕМА 1. Вероятность произведения (совмещения) двух
событий А и В равна произведению вероятности одного из них
на условную вероятность другого, в предположении, что пер-
вое имеет место, т. е.
Р(АВ) = Р(А)Ра(В).	(3)
Доказательство. Пусть событию А благоприятствуют т, а со-
бытию АВ благоприятствуют k равновозможных элементарных
исходов из общего их количества п. Тогда
Р(А) =	, Р(АВ) = -.	(4)
п	п
Но если событие А произошло, то в этой ситуации возможны
лишь те т элементарных исходов, которые благоприятствовали
событию А, причем k из них, очевидно, благоприятствуют собы-
тию В. Таким образом,
Ра(В) =
т
553
Отсюда на основании равенств (4) имеем
Р(АВ) = - =- • - = Р(А)Ра(В).	(5)
zi пт
Теорема доказана.
Так как ВА = АВ, то имеем также
Р(АВ) = Р(ВА) = Р(В) • РВ(А).	(6)
Замечание. Формула (5) формально остается верной, если событие
А невозможно.
Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо ра-
венство
Р(А)Ра(В) = Р(В)Рв(А).	(7)
ТЕОРЕМА 2. Вероятность совместного появления двух не-
зависимых событий А и В равна произведению вероятностей
этих событий:
Р(АВ) = Р(А)Р(В).	(8)
Действительно, полагая, что РА(В) = Р(В), из формулы (5)
получаем формулу (8).
Пример. Вероятность поражения цели первым стрелком (событие
А) равна 0,9, а вероятность поражения цели вторым стрелком (событие
В) равна 0,8. Какова вероятность того, что цель будет поражена хотя
бы одним стрелком?
Пусть С — интересующее нас событие; противоположное событие
С, очевидно, состоит в том, что оба стрелка промахнулись. Таким об-
разом, С = АВ. Так как события А и В независимы (при стрельбе один
стрелок не мешает другому!), то
Р(С) = Р(А) • Р(В) = [1 ~ Р(А)] • [1 - Р(В)]=
= (1 - 0,9) • (1 - 0,8) - 0,1 • 0,2 = 0,02.
Отсюда вероятность того, что цель будет поражена хотя бы одним стрел-
ком, есть	__
Р(С) - 1 - Р(С) = 1 - 0,02 « 0,98.
Теорема 1 допускает обобщение на случай нескольких собы-
тий. Например, для случая трех событий А, В и С имеем
Р(АВС) = Р[А • (ВС)] = Р(А) • РА(ВС) = Р(А) • РЛ(В) • Р^С). (9)
Опрелеление 3. События называются независимыми в
совокупности, если каждое из них и любое произведение
остальных (включающее либо все остальные события, либо
часть из них) есть события независимые.
События, независимые в совокупности, очевидно, попарно
независимы между собой; обратное неверно.
554
ТЕОРЕМА 3. Вероятность произведения конечного числа не-
зависимых в совокупности событий равна произведению веро-
ятностей этих событий.
Действительно, например, для трех независимых в совокуп-
ности событий А, В и С из формулы (9), учитывая, что
РА(В) = Р(В), Р^С) = Р(С),
имеем
Р(АВС) = Р(А) • Р(В) • Р(С)
и т. п.
§ 8. Формула полной вероятности
Пусть событие А может произойти в результате появления
одного и только одного события Ht (i = 1, 2, ..., п) из некоторой
полной группы несовместных событий
Ни Н2.....на.
События этой группы обычно называются гипотезами.
ТЕОРЕМА. Вероятность события А равна сумме парных про-
изведений вероятностей всех гипотез, образующих полную
группу, на соответствующие условные вероятности данного
события А, т. е.
Р(А) = £Р(Н,)РЯ<(А)	(1)
i = 1
(формула полной вероятности), причем здесь
= 1.	(2)
i = 1
Доказательство. Так как
А = НгА + НгА + ... + Н„А,
причем, ввиду несовместности событий Н2, Нп, события
HrA, Н%А, ..., Н„А также несовместны, то на основании теорем
сложения и умножения вероятностей имеем
р(А) = ^Р(НЛ) p(h;>pHi(A),
i = 1	i = 1
что и требовалось доказать.
555
Пример. В магазин для продажи поступает продукция трех фабрик,
относительные доли которых есть: I — 50%, II — 30%, III — 20%. Для
продукции фабрик брак соответственно составляет: I — 2%, II — 3%,
III — 5%. Какова вероятность того, что изделие этой продукции, слу-
чайно приобретенное в магазине, окажется доброкачественным (собы-
тие А)?
Здесь возможны следующие три гипотезы: Яг, Н2, Н3 — приобре-
тенная вещь выработана соответственно на I, II и III фабриках; очевид-
но, система этих гипотез полная, причем их вероятности
P(Hi) = 0,5, Р(Н2) ~ 0,3, Р(Н3) = 0,2.
Соответствующие условные вероятности события А равны
PHi (А) = 1 - 0,02 = 0,98, РНг (А) = 1 - 0,03 = 0,97,
РНз (А) = 1 - 0,05 = 0,95.
По формуле полной вероятности имеем
Р(А) = 0,5 • 0,98 + 0,3 • 0,97 + 0,2 • 0,95 - 0,971.
§ 9. Формула Бейеса
Задача. Имеется полная группа несовместных гипотез
н19 н29 ..., нп,
вероятности которых P(Ht) (i = 1, 2, ..., п) известны до опыта
(вероятности априори). Производится опыт (испытание),
в результате которого зарегистрировано появление события А,
причем известно, что этому событию наши гипотезы приписы-
вали определенные вероятности РН(А) ==1,	•••’ Л)- Спраши-
вается, каковы будут вероятности этих гипотез после опыта (в е-
роятности апостериори).
Например, очевидно, следует отбросить гипотезы, отрицаю-
щие появление события А. Вообще, проблема состоит в том, что,
имея новую информацию, мы должны переоценить вероятности
наших гипотез.
Иными словами, нам нужно определить условные вероятности
рА(н() а = 1,2,п).
На основании теоремы умножения вероятностей имеем
P(AHt) = Р(А) • PA(Ht) = Р(Н{) • PHi(A);
отсюда
pA(Ht) = f(g^i(A) а - i, 2,...»n).	(1)
556
Для нахождения вероятности Р(А) можно использовать фор-
мулу полной вероятности
Р(А) = £Р(Яу)РЯ/(А).	(2)
Отсюда имеем формулу вероятностей гипотез после опыта
(формулу Бейеса)
РА(Н,) = -/>(Н‘)^^) а = 1, 2, ...» п).	(3)
£р(Н,)РЯ/(А)
Т = 1
Пример. Вероятность поражения самолета при одиночном выстреле
для 1-го ракетного расчета (событие А) равна 0,2, а для 2-го (событие
В)— 0,1. Каждое из орудий производит по одному выстрелу, причем
зарегистрировано одно попадание в самолет (событие С). Какова веро-
ятность, что удачный выстрел принадлежит первому расчету?
До опыта возможны четыре гипотезы: Н1 в АВ, Н2 = АВ , Н3 = АВ
iuHi = АВ*, эти гипотезы образуют полную группу событий.
Вероятности их, при независимом действии расчетов, соответствен-
но равны
Р(Н4) = 0,2 • 0,1 - 0,02, Р(Н2) « 0,2 • 0,9 = 0,18,
Р(Н3) = 0,8 • 0,1 = 0,08, Р(Н4) = 0,8 • 0,9 - 0,72,
причем P(HX) + Р(Н2) + Р(Н3) + Р(Я4) = 1.
Условные вероятности для наблюдаемого события С при данных ги-
потезах будут
РЯ1(С) = 0, РЯ2(С) = 1, РЯ|(С) = 1, Ря(С) = 0.
Следовательно, гипотезы Нг и Н4 отпадают, а вероятности гипотез
Н2 и Н3 вычисляются по формуле Бейеса:
РС(Н2) =---°’18 1---- ~ 0,7, РС(Н3)----°’ 08 1--- Я 0,3.
* ' 0,18 1 + 0,08 1	3>	0,18-1+0,08-1
Таким образом, с вероятностью приблизительно 0,7 можно утверж-
дать, что удачный выстрел принадлежит 1-му расчету,
Б. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
§ 10. Элементы комбинаторики
Рассмотрим совокупность п различных элементов а19 а2,..., ап.
Произвольную упорядоченную выборку (возможно, с повторе-
ниями) из этих элементов
aai аа2 ... аат (1 < ak < n; k = 1, ..., тп)
будем называть соединением.
557
Например, при бросании монеты 10 раз выпадение герба (Г)
и выпадение решетки (Р) могут дать соединение
ГГГГРРГРРР.
Определение 1. Размещениями из п элементов по т
(т < и) называются их соединения, каждое из которых содер-
жит ровно т различных элементов (выбранных из данных
элементов) и которые отличаются либо самими элементами,
либо порядком элементов.
Определим число А™ размещений из п элементов аи а2. ...,
ап по т.
Пусть aai аа2 ... аат — всевозможные размещения, содержа-
щие т элементов. Будем эти размещения строить последователь-
но. Сначала определим aai — первый элемент размещения. Оче-
видно, из данной совокупности п элементов его можно выбрать
п различными способами. После выбора первого элемента aai,
для второго элемента а^ остается п - 1 способов выбора и т. д.
Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти
выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому
имеем
А™ = п(п ~ 1)(п ~ 2) ... [и - (т - 1)].	(1)
Вводя обозначение факториала и! = 1 • 2 * 3 ... и, формулу
(1) можно записать в следующем виде:
Определение 2. Соединения из п элементов, каждое из ко-
торых содержит все п элементов и которые отличаются
лишь порядком элементов, называются перестановками.
Очевидно, число перестановок из п элементов равно
А* - п(п - 1)(и - 2) ... [п - (и - 1)] - и!.	(3)
Условно считают 0! = 1.
Определение 3. Сочетаниями из п элементов по т на-
зываются такие их соединения, каждое из которых содержит
ровно т данных элементов и которые отличаются хотя бы
одним элементом.
Обозначим через С™ число сочетаний из п элементов по т.
Рассмотрим все допустимые сочетания наших элементов
аоц aa2 ••• aam •
558
Делая в каждом из них т\ возможных перестановок их эле-
ментов, очевидно, получим все размещения из и элементов по т.
Таким образом, имеем формулу
с: -/71! = ^:;
отсюда
Гт = 41 = n(n~ (rn- 1)]
n m\	m\	‘	( '
Формулу (4) можно представить также в виде
Символ С™ обладает очевидным свойством
С = сГт,	(6)
которое будет верно также и при т = 0, если принять С£ = 1.
Числа С™ являются коэффициентами в формуле бинома
Ньютона
(р + g)n = рп+ C*pn~lq + C2pn-2g2 + ... + qn
и поэтому часто называются биномиальными коэффициентами
(ср. гл. XI, § 5).
Пример. Партия из 10 деталей содержит одну нестандартную. Ка-
кова вероятность, что при случайной выборке 5 деталей из этой партии
все они будут стандартными (событие А)?
Здесь число всех случайных выборок п » С®0 , а число выборок,
благоприятствующих событию А, есть т = С|. Таким образом, искомая
вероятность равна
_ С» _ 9!	5! 5! _ 1
' 7	С®,	5!4!	10!	2’
§11. Биномиальный закон распределения вероятностей
Событие А называется независимым в данной системе
испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не
зависит от исходов других испытаний.
Серия повторных независимых испытаний, в каждом из ко-
торых данное событие А имеет одну и ту же вероятность Р(А) = р9
559
не зависящую от номера испытания, называется схемой Бернулли.
Таким образом, в схеме Бернулли для каждого испытания
имеется только два исхода: 1) событие А («успех») и 2) событие
А («неудача») с постоянными вероятностями Р(А) =ри Р(А) = q,
причем, очевидно, р + q = 1.
Рассмотрим задачу: в условиях схемы Бернулли определить
вероятность Рп(т) (0 < тп < п) того, что при и испытаниях собы-
тие А, имеющее одну и ту же вероятность Р(А) = р для каждого
отдельного испытания, появится ровно т раз.
Благоприятные серии испытаний здесь имеют вид
А„ Art ... АЛ ,
«1 аг ап 9
где Аа/ == А или A (i == 1, 2, ..., и), причем событие А встречается
ровно т раз, а событие А — ровно (л - т) раз. Так как испытания
независимы, то вероятность реализации одной такой благопри-
ятной серии равна pmqn ~ т, где р = Р(А), q = Р(А) = 1 - р. Все
благоприятные серии получаются в результате выбора различ-
ных т номеров испытаний из общего количества п номеров и,
следовательно, число их равно С™. Отсюда, применяя теорему
сложения вероятностей для случая несовместных событий, для
вероятности появления события А точно т раз при п испытаниях
получим формулу Бернулли
Рп(т) = C^pmqn - "» - га! ..Pmqn ~т.	(1)
т\(п — ml)
Эта формула называется также биномиальной, так как ее
правая часть представляет собой (т + 1)-й член бинома Ньютона
(q + р)п = C°qn + C%pqn ~1 +C2p2qn ~ 2 + ... + С"рп.
Отсюда получаем биномиальное распределение
вероятностей (см. § 15) числа появлений события А при п
независимых испытаниях:
1 = (9 + Р)п = Рв(0) + Р„(1) + Р„(2) + ... + Р„(п).	(2)
Пример. Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании мо-
неты герб выпадет ровно 5 раз.
Здесь вероятность выпадения герба при одиночном испытании р ®
= 1/2, отсюда q = 1 - р = 1/2.
По формуле Бернулли имеем
560
§ 12. Локальная теорема Лапласа
Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле
Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важ-
ную приближенную формулу для вероятности Рп(т) появления
события А точно т раз, если п — достаточно большое число.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА. Пусть р = Р(А) — вероятность события
А, причем 0 < р < 1. Тогда вероятность того, что в условиях
схемы Бернулли событие А при п испытаниях появится точно
т раз, выражается приближенной формулой Лапласа.
Р„(7П)«—(1)
*l2nnpq
где
q=l-p и t =	(2)
Jnpq
Доказано, что относительная погрешность формулы (1) стре-
мится к нулю при п о°. Доказательство этой теоремы имеется
в полных курсах теории вероятностей.
В статистическом смысле Ц = пр представляет собой среднее
значение числа появлений т события А при и испытаниях; та-
ким образом, т - пр есть отклонение числа появлений события
А от его среднего значения. Что касается выражения а = Jnpq ,
то теоретико-вероятностный смысл его будет выяснен позднее
(см. § 18). Рассматривая а как некий масштаб для отклонений
при п испытаниях, число t можно наглядно представить себе как
отклонение числа появлений события А от его среднего значе-
ния, измеренное в этом масштабе.
Введя функцию
Фо(О - -^= <г“/2	(3)
(эта функция табулирована), формулу (1) можно переписать в
виде
Р„(7П) « -±= <Po(t) =	Фо(^^ .	(4)
Jnpq Jnpq Jnpq '
Так как функция <р0(£) монотонно убывает при |f| то для
одной и той же серии испытаний (п фиксировано) большие, по
абсолютной величине, отклонения т - пр менее вероятны, чем
меньшие. Это утверждение, понятно, справедливо при достаточ-
но большом числе испытаний п, так как лишь в этом предполо-
жении была получена приближенная формула Лапласа.
561
Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном вы-
стреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах
цель будет поражена ровно 20 раз?
Здесь р = 0,2, q = 0,8, п = 100 и тп = 20. Отсюда
Jnpq = 7100 • 0,2 • 0,8 = 4
и, следовательно,
. _ т~пр „ 20 - 100 • 0,2 _ Л
4
Учитывая, что ф0(0)888 1/ а/2я ~ 0,40, из формулы (1) получаем
Р100 (20) « 0,40 • | = 0,10.
4
Не следует удивляться, что значение вероятности мало: попадание
точно 20 раз при 100 выстрелах есть событие сравнительно редкое! По-
чти достоверным событием тут является попадание около 20 раз. На-
пример, вероятность Р неравенства 15 < т < 25, включающего 11 зна-
чений т « 15, 16, ..., 24, 25, близка к единице.
Это можно проверить, вычисляя вероятность по формуле
25
р= Xpioo(fe).
А = 15
§ 13. Интегральная теорема Лапласа
Поставим вопрос: какова вероятность Рп(тп1, тп2) того, что в
условиях схемы Бернулли событие А, имеющее вероятность
Р(А) = р (0 < р < 1), при п испытаниях появляется не менее
т1 раз и не более тп2 раз?
На основании теоремы сложения вероятности для несовмест-
ных событий получим
т2
У, Рп(т).	(1)
т~тг
Отсюда, используя локальную теорему Лапласа, приближенно
будем иметь
Рп(тг, т2) ~ У
т =
-р= ^т),
'Jnpq
(2)
где
tm = PLJPP (mi< m2)
Jnpq
(3)
562
и
Имеем
1	--
<Po(i) = -Д= е 2
J2n
(4)
== (т + 1)-пр _ тп-пр =	1
Jnpq Jnpq Jnpq
^m+l tm
и, следовательно,
«2
Pn(mu m2) « У <p0(tm)Atm.
(5)
m = mt
Сумма (5) является интегральной для функции <p0(t) на
отрезке tmi < t < tm,. При п —► оо, т. е. при Ыт 0, ее предел
есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому, считая
п достаточно большим, получаем приближенную формулу
P„(wh. тп2) = f <p0(f)dt = — f е 2 dt,	(6)
J	72л J
4	Ч
где
_ т^-пр _ т2-пр
mi	!	’ т2	---•
Jnpq	Jnpq
Это составляет содержание интегральной теоремы Лапласа.
Введем стандартный интеграл вероятностей {функцию
Лапласа)
х х &
фо(*) ” J<Po(0<^ = -^= |« 2 dt,	(7)
который, очевидно, является первообразной для функции <р0(х).
Тогда на основании формулы Ньютона—Лейбница из (6) бу-
дем иметь
Р„(/пх, /п2) ~ Фо(tni) - Фо(tm,).	(8)
Формула (8) приближенно дает вероятность того, что число
т появлений события А при и испытаниях удовлетворяет нера-
венству тг < т < тп2, а следовательно, случайная величина t —
неравенству fmi < t < tmi. Эту формулу часто записывают так:
P^j < т < т2) = P(tm, < t < t„2) « Ф0(Чг) - Ф0(«)В,) (8')
{интегральная формула Лапласа).
563
Интеграл Ф0(х) не выражается через элементарные функции;
для вычисления его используются специальные таблицы, обыч-
но помещаемые в полных курсах теории вероятностей.
Мы приводим здесь часть такой таблицы.
Таблица значений функции Ф0(х)
X	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3
Ф(Х)	0	0,192	0,341	0,433	0,477	0,494	0,499
Функция Ф0(х) (рис. 270) обладает следующими свойствами:
1) Фо(О) = 0; 2) Ф0(+оо) = 1/2 (см. гл. XXIV, § 4); 3) функция
Ф0(х) нечетна, т. е. Фо(- х) = -Ф0(х) (поэтому в таблице нет на-
добности приводить значения функции Ф0(х) для отрицательных
значений аргумента), в частности Ф0(-оо) = -1/2; 4). Ф0(х) —
монотонно возрастающая функция (это следует из того, что
Фо(х) “ Фо(х) > 0)- При х > 3, с точностью до тысячных, можно
принять Ф0(х) = 0,500.
Пример. Вероятность поражения цели при одиночном выстреле од-
ного орудия равна р = 0,2. Какова вероятность того, что при залпе из
100 орудий цель будет поражена не менее 20 раз?
Здесь п = 100, 20 < п < 100. Имеем
Jnpq = 7100 • 0,2 • 0,8 = 4.
Отсюда
. _ 20 - 100 • 0, 2 _ п т . _ 100 - 100 ♦ 0, 2 _ 9П
г20	----- — и и г100 — ----j------ — ЛО.
На основании формулы (8) получаем
Р(20 < т < 100) « Фо(2О) - Ф0(0) = 0,500 - 0 = 0,500.
564
Задача. В условиях схемы Бернулли найти вероятность того,
что отклонение относительной частоты — события А от его ве-
га
роятности Р(А) = р(0<р<1)по абсолютной величине не пре-
вышает заданного числа е > 0.
Эту вероятность мы будем обозначать так:
р(\™ - р\ < £.) .
ч га | J
Из неравенства
Is	(9)
Iп I
получаем равносильное неравенство
\т - пр\ < гае, или -гае < т - пр < гае.
Отсюда, полагая
f = пг-пр
Jnpq
будем иметь
-г = -Е /Z < t < е IZ = t
NPq 4pq
В силу формулы (8'), учитывая нечетность функции Ф0(х),
находим
"^1 с = p<"*i < * < *i) “ Ф<А) - ®o(-h) =
Ч га |	)
-2Ф0((1)-2Ф0[е^.
Так как Фо(+°°) = |, то
2Ф°(Б^)	1 при П - оо.
Таким образом, в условиях схемы Бернулли, как бы ни было
мало е > 0, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице,
можно ожидать, что при достаточно большом числе испыта-
ний п отклонение (9) относительной частоты появления со-
бытия А от его вероятности по абсолютной величине будет
меньше е (закон больших чисел в форме Бернулли).
565
§ 14. Теорема Пуассона
Пусть производится серия п независимых испытаний (п == 1,
2, 3, ...), причем вероятность появления данного события А в
этой серии Р(А) « рп > 0 зависит от ее номера п и стремится к
нулю при п оо (последовательность «редких событий»).
Предположим, что для каждой серии среднее значение числа по-
явлений события А постоянно, т. е.
лрп = ц = const;	(1)
отсюда
/>„=£•	(2)
п
На основании биномиальной формулы (§11) для вероятности
появления события А в n-й серии ровно т раз имеем выражение
р„(тп) = СР” (1 -ра)п~т = с: (£)и (1 - иу ”.	(3)
Пусть т фиксировано и п —► оо. Тогда
Ст ГёУ = л(п-1)(л~2)...[п-(тп-1)] m _
п InJ	mlnm
= fl - Г) (1 - Г) ... fl -	.
ml I п) I п) I п ) ml
Кроме того (см. гл. VII, § 12), учитывая, что
1
lim (1 + а)а = е
а—*0
и, следовательно,
1
lim (1 - а)а = е-1,
а — О
имеем
если п оо.
Таким образом, переходя к пределу в формуле (3) при п оо,
получаем
lim Рп(т) = lim С™ • f^l • lim fl - И =	(4)
п —* оо	п—► оо	\П) п->оо\ п)	ml
566
Если п велико, то вероятность Рп(т) сколь угодно мало отли-
чается от своего предела (4). Отсюда при больших п для искомой
вероятности Рп(т) имеем приближенную формулу Пуассона
Рп(,п)
ml
где ц = прп (теорема Пуассона).
Вообще, формулу Пуассона можно применять в случаях, ког-
да число испытаний п «велико», вероятность событияРп^р «ма-
ла», а ц = пр «не мало и не велико».
Формула Пуассона находит применение в теории массового
обслуживания.
Пример. При выработке некоторой массовой продукции вероят-
ность появления одного нестандартного изделия составляет 0,01. Како-
ва вероятность, что в партии 100 изделий этой продукции 2 изделия
будут нестандартными?
Здесь вероятность р == 0,01 мала, а число п - 100 велико, причем
ц = пр = 100 • 0,01 = 1.
Используя закон Пуассона для искомой вероятности, получаем сле-
дующее значение:
Лоо(2)«ё<г'1=5<г1 = 0’184-
В. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 15. Случайная дискретная величина
и ее закон распределения
Величина называется случайной, если она принимает свои
значения в зависимости от исходов некоторого испытания (опы-
та), причем для каждого элементарного исхода она имеет един-
ственное значение. Случайная величина называется дискретной
(в узком смысле), если множество всех возможных значений ее
конечно.
Геометрически множество всех возможных значений диск-
ретной случайной величины представляет конечную систему то-
чек числовой оси.
Пусть X — дискретная случайная величина, возможными и
единственно возможными значениями которой являются числа
хи х2, ..., хп.
Обозначим через
Pt = Р(Х = xt) (i = 1, 2, ..., n)
567
вероятности этих значений (т. е. pt есть вероятность события, со-
стоящего в том, что X принимает значение х^.
События X = xt (i = 1, 2, ..., и), очевидно, образуют полную
группу событий, поэтому
••• +Рп= 1-	(1)
Определение. Соответствие между всеми возможными зна-
чениями дискретной случайной величины и их вероятностями
называется законом распределения данной случайной
величины.
В простейших случаях закон распределения дискретной слу-
чайной величины X удобно задавать таблицей:
X	*1	*2	...	
р	Pl	Р2	...	Рп
Здесь первая строка таблицы содержит все возможные значения
случайной величины, а вторая — их вероятности.
Заметим, что таблицу значений дискретной случайной вели-
чины X, если это целесообразно, формально всегда можно по-
полнить конечным набором любых чисел, считая их значениями
X с вероятностями, равными нулю.
Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 руб.,
10 выигрышей по 100 руб. и 100 выигрышей по 1 руб. при общем числе
билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша X
владельца одного лотерейного билета.
Здесь возможные значения для X есть
Xi = 1000, х2 = 100, х3 = 1, х4 = 0.
Вероятности их соответственно будут
рг = 0,0001, р2 = 0,001, р3 = 0,01, р4 = 1 - (pi + р2 + р3) ~ 0,9889.
Закон распределения для выигрыша X может быть задан таблицей:
X	1000	100	1	0
р	0,0001	0,001	0,01	0,9889
Число появлений т события А при и независимых испыта-
ниях можно рассматривать как случайную величину X со зна-
чениями т = 0, 1, 2, ..., п. Закон распределения этой величины
дается биномиальной формулой
. Pm - Р(Х = т) = C”pmqn - п,
где р = Р(А), q = Р(А) =1 — р (биномиальное распределение).
568
В частности, если р мало и п велико, причем рп = ц — огра-
ниченная величина, заключенная между двумя фиксированны-
ми положительными числами, то приближенно справедливо рас-
пределение Пуассона
рт = Р(Х = т) «	(т = 0, 1, 2,	п).
§ 16. Математическое ожидание
Определение. Математическим ожиданием диск-
ретной случайной величины называется сумма парных произ-
ведений всех возможных ее значений на их вероятности.
Если х2, ..., хп есть (полный) набор всех значений диск-
ретной случайной величины X, a Рц р2, ..., рп — соответствую-
щие им вероятности, то, обозначая буквой М математическое
ожидание, будем иметь
М(Х)-£х<А,	(1)
1 = 1
где
(2)
1 = 1
Очевидно, математическое ожидание случайной величины X не
изменится, если таблицу значений ее пополнить конечным чис-
лом любых чисел, считая, что вероятности этих чисел равны
нулю.
Математическое ожидание М (X) случайной величины есть
величина постоянная и поэтому представляет числовую ха-
рактеристику случайной величины X.
Пример. Найти математическое ожидание выигрыша X в примере
из § 15.
Пользуясь помещенной там таблицей, имеем
М (X) = 1000 • 0,0001 + 100 • 0,001 + 1 • 0,01 + 0 • 0,9889 =
= 0,21 (руб.) = 21 (коп.)
Как нетрудно сообразить, М(Х) = 21 коп. есть «справедливая» цена
билета.
Замечание 1. Отельные слагаемые xpt (i = 1, 2,..., п) суммы
(1) представляют собой математические ожидания слу-
чайных величин Xt (i = 1, 2, ..., п), возможными значениями ко-
торых являются xt и 0 с вероятностями соответственно pt и 1 - pt.
569
Замечание 2. Пусть х = min и х = max xt —соответственно
наименьшие и наибольшие возможные значения случайной ве-
личины X. Имеем
* = х < х =*•
1 = 1	1 = 1	1 = 1
Таким образом,	_
х<М(Х)^х.	(3)
Таким образом, математическое ожидание случайной величины
является некоторым ее средним значением.
Замечание 3. Математическое ожидание числа появлений
события А при одном испытании совпадает с вероятностью этого
события Р(А) = р.
Действительно, пусть X — число появлений события А в дан-
ном испытании. Случайная величина X может принимать два
значения: Xj == 1 (событие А наступило) с вероятностью рг = р и
х2 = 0 (событие А не наступило) с вероятностью р2 = 1 - р = q.
Поэтому
М (X)	+
§ 17. Основные свойства математического ожидания
Укажем важнейшие свойства математического ожидания.
Доказательства будут проведены для дискретных случайных ве-
личин. Однако соответствующие теоремы справедливы также и
для непрерывных случайных величин, поэтому при формули-
ровках этих теорем мы не будем упоминать, что рассматривае-
мые случайные величины дискретны.
Нам понадобится выяснить смысл арифметических операций
Х + У, X - У, ХУ и т. п., где X и У — дискретные случайные
величины. Нетрудно дать соответствующие определения.
Например, под суммой X + У понимается случайная вели-
чина Z, значениями которой являются допустимые суммы
ifyxt + У/, где xiи У) — все возможные значения соответственно
случайных величин X и У, причем соответствующие вероятности
равны
= P(Z = zj = Р(Х = xt) P(Y = /X = xj.
Если какая-нибудь из комбинаций xk + z/z невозможна, то ус-
ловно полагают nkl = 0; это не отразится на математическом ожи-
дании суммы.
Аналогично определяются остальные выражения.
570
Различают также независимые и зависимые случай-
ные величины. Две случайные величины считаются независимы-
ми, если возможные значения и закон распределения каждой из
них один и тот же при любом выборе допустимых значений дру-
гой. В противном случае они называются зависимыми. Несколь-
ко случайных величин называются взаимно независимыми, ес-
ли возможные значения и законы распределения любой из них
не зависят от того, какие возможные значения приняли осталь-
ные случайные величины.
ТЕОРЕМА 1. Математическое ожидание постоянной вели-
чины равно этой постоянной, т. е. если С — постоянная вели-
чина, то
М(С) - С.	(1)
Локазательсгво. Постоянную величину С можно рассматри-
вать как случайную дискретную величину, принимающую лишь
одно возможное значение С с вероятностью р = 1. Поэтому
М(С) = С • 1 = С.
ТЕОРЕМА 2. Математическое ожидание суммы двух (или
нескольких) случайных величин равно сумме математических
ожиданий этих величин, т. е. если X и У — случайные величи-
ны, то
М(Х + У) = М(Х) + М(У)	(2)
и т. п.
Локазательсгво. 1) Пусть случайная величина X принимает
значения xt с вероятностями pt ( i = 1, 2, ..., п), а случайная
величина У принимает значения с вероятностями = 1, 2,
..., т). Тогда возможными значениями случайной величины X
+ У будут суммы xt + z/y, вероятности которых равны
= Р(Х = х.) Р(У = у^Х = х^ =
= P(Y =yj)P(X^Xi/Y = yy). (3)
Как было отмечено выше, все комбинации (i, j) (i = 1, 2, ...
..., n, j= 1, 2, ..., m) можно считать допустимыми, причем если
сумма xt + z/7 невозможна, то полагаем « 0.
Имеем
п т	п т	п т
М(х + у) =	+	= X + Z Е W	(4)
i = 1/ = 1	! = 1/ = 1	i = 1/ = 1
Воспользовавшись очевидными свойствами суммы: 1) сумма
не зависит от порядка слагаемых и 2) множитель, не зависящий
571
от индекса суммирования, можно выносить за знак суммы, из
(4) получим
п т	п т
М(Х + Y) = £х(.	£лу.	(5)
i = i j = 1	i = 1	/ = 1
т
Сумма Пу представляет собой вероятность события, состоя-
щего в том, что случайная величина X принимает значение xt
при условии, что случайная величина У принимает одно из своих
возможных значений (что достоверно); это сложное событие, оче-
видно, эквивалентно тому, что X принимает значение xt и по-
этому
= Р(Х = х,) = Pi.
j = i
Аналогично,
= Р(У = У/) = р'.
i = l
Тогда из формулы (5) получаем
п	т
M(X + Y)= ^xiPl + ^у)Р'} = М(Х) + М(У),
i = 1	7=1
что и требовалось доказать.
2) Для нескольких случайных величин, например для трех
X, Y и Z, имеем
М(Х + Y + Z) = М[(Х + У) + Z] -
= М(Х + У) + M(Z) = М(Х) + М(У) + M(Z)
ИТ. д.
Следствие. Если С — постоянная величина, то
М(Х + С) = М(Х) + с.
ТЕОРЕМА 3. Математическое ожидание произведения двух
независимых случайных величин равно произведению их ма-
тематических ожиданий, т. е.
M(XY) = М(Х) M(Y),	(6)
где X и Y — независимые случайные величины.
Локазательство. Пусть (xi9 pt) (i = 1, 2, ..., п) и (y;, /?') (j = 1,
2,..., m) — законы распределения соответственно случайных ве-
личин X и У. Так как X и У независимы, то полный набор зна-
572
чений случайной величины XY состоит из всех произведений ви-
да х^ (f = 1, 2, и, j = 1, 2, ..., т), причем вероятности этих
значений по теореме умножения для независимых событий рав-
ны^.
Имеем
п т	п	т
M(XY) = ^^xiyjPlp' = £х,р, ^VjP'j =
i = 1 j = 1	i - 1	j - 1
= £ xiPiM(Y) =	(7)
i= 1
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Математическое ожидание произведения не-
скольких взаимно независимых случайных величин равно про-
изведению математических ожиданий этих величин.
Действительно, например, для трех взаимно независимых
случайных величин X, У, Z имеем
M(XYZ) - M[(XY)Z] = M(XY) M(Z) = M(X) М(У) M(Z)
и т. п.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за
знак математического ожидания.
Если С — постоянная величина, а X — любая случайная ве-
личина, то, учитывая, что С и X независимы, на основании тео-
ремы 1 получим
М(СХ) = М(С) М(Х) = СМ(Х).
Следствие 3. Математическое ожидание разности любых
двух случайных величин X и Y равно разности математиче-
ских ожиданий этих величин, т. е.
М(Х - У) = М(Х) - М(У).
Действительно, используя теорему о сумме математических
ожиданий и следствие 2, получим
М(Х - У) = М[Х + (-У)] - М(Х) + M(-Y) -
= М(Х) + (-1) М(У) = М(Х) - M(Y).
§ 18. Дисперсия
Пусть X — случайная величина, М(Х) — ее математическое
ожидание (среднее значение). Случайную величину X - М(Х) на-
зывают отклонением.
573
ТЕОРЕМА 1. Для любой случайной величины X математи-
ческое ожидание ее отклонения равно нулю, т. е.
М[Х - М(Х)} = 0.
Доказательство. Действительно, учитывая, что М(Х) — по-
стоянная величина, имеем
М[Х - М(Х)] = М(Х) - М[М (X)] = М(Х) - М(Х) = 0.
Определение.Дисперси ей (рассеянием) случайной ве-
личины называют математическое ожидание квадрата от-
клонения этой величины от ее математического ожидания.
Отсюда, обозначая дисперсию буквой D, для случайной ве-
личины X будем иметь
D(X) = М{[Х - М(Х)]2}.	(1)
Очевидно, что дисперсия случайной величины постоянна, т. е.
является числовой характеристикой этой величины.
Если случайная величина X имеет закон распределения
G = 1, 2, ..., п), то, обозначая для краткости М(Х) = ц, из
формулы (1) будем иметь
D(X) = £(х, - ц)2Р/.	(2)
i = l
Корень квадратный из дисперсии D(X) называется средним
квадратичным отклонением а (иначе — стандартом) этой
величины:
с(Х)=7о(Х).	(3)
Пример. Пусть закон распределения случайной величины задан таб-
лицей:
X	4	10	20
p	1/4	1/2	1/4
Определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратичное отклонение о(Х).
Имеем
М(Х) = 4 • i +10-1 + 20 • i =11;
4	2	4
отсюда
D(X) = (4 - ll)2 • | + (10 - ll)2- | + (20 - ll)2- | = 33
И
ст (X) = JD(X) - л/зз ~ 5,75.
574
ДисперсияD(X)служит мерой рассеяния (разброса)значений
дискретной случайной величины X. Действительно, пусть D(X) мала.
Тогда из формулы (2) получаем, что все слагаемые (х{ - ц)2 • (i = 1, 2,
...» и) также малы. Отсюда следует, что если не обращать внимания на
значения, имеющие малую вероятность (такие значения практически
невозможны), то все остальные значения xt мало отклоняются от ц. Та-
ким образом, при малой дисперсии D(X) почти достоверно, что значения
случайной величины концентрируются около ее математиче-
ского ожидания (за исключением, быть может, сравнительно малого
числа отдельных значений). В частности, если D(X) = 0, то, очевидно,
X == ц и случайная величина представляет собой точку на числовой оси.
Если Р(Х) велика, то концентрация значений случайной величины X
около какого-нибудь центра исключается.
ТЕОРЕМА 2. Дисперсия случайной величины равна разности
между математическим ожиданием квадрата этой величины
и квадратом ее математического ожидания, т. е.
D(X) = М(Х2) - [М(Х)]2.	(4)
Локазательство. Используя основные теоремы о математиче-
ских ожиданиях случайных величин, имеем
D(X) = М{[Х - М(Х)]2} = М{Х2 ~ 2ХМ(Х) + [М(Х)]2} -
= М(Х2) - 2М(Х) • М(Х) + [М(Х)]2 = М(Х2) - [М(Х)]2.
ТЕОРЕМА 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
Действительно, если С •— постоянная величина, то М(С) = С
и, следовательно,
Р(С) = М[(С ~ С)2] = М(0) == 0.
Результат этот очевиден, так как постоянная величина изо-
бражается одной точкой на числовой оси Ох и не имеет рассеяния.
ТЕОРЕМА 4. Дисперсия суммы двух независимых случайных
величин X и Y равна сумме дисперсий этих величин, т. е.
D(X + У) = D(X) + Р(У).	(5)
Локазательство. Так как
М(Х + У) = М(Х) + М(У),	(6)
то имеем
D(X + У) = М{[(Х + У) ~ М(Х + У)]2} =
= М {[(X - М(Х» + (У - М(У))]2} =
= М{[Х - М(Х)]2} + М{[У - М(У)]2} +
+ 2М{[Х - М(Х)] • [У - М(У)]} = D(X) + Р(У) + 2К(Х, У),
где
К(Х, У) = М{[Х - М(Х)] • [У - М(У)]}
— так называемый корреляционный момент величин X и У.
Если случайные величины X и У независимы, то случайные ве-
575
личины X ~ М(Х) и У - М(У), отличающиеся от X и У на посто-
янные величины, очевидно, также независимы. Поэтому в силу
теорем 3 из § 17 и 1 имеем
К(Х, У) - М[Х - М(Х)] • M[Y - M(Y)] = О
и, следовательно, справедлива формула (5).
Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно незави-
симых случайных величин равна сумме дисперсий этих ве-
личин.
Следствие 2. Если С — постоянная величина, то
D(X + С) = D(X).
Таким образом, случайные величины X и X + С имеют оди-
наковую меру рассеяния.
ТЕОРЕМА 5. Постоянный множитель можно выносить за
знак дисперсии, возводя его в квадрат, т. е.
D(CX) = С2В(Х).
Доказательство. Если С — постоянный множитель, то в силу
теоремы 2 имеем
D(CX) = М(С2Х2) - [М(СХ)]2 = С2М(Х2) - С2[М(Х)]2 - C2D(X).
Таким образом, рассеяние величины СХ в С2 раз больше рас-
сеяния величины X.
Следствие. Дисперсия разности двух независимых случай-
ных величин равна сумме дисперсий этих величин, т. е. если
случайные величины X и У независимы, то
D(X - У) = D(X) + П(У).
Действительно, на основании теорем 4 и 5 имеем
D(X - У) = D[X + (-У)] = D(X) + D(~Y) =
= D(X) + (-1)2Я(У) = D(X) + D(Y).
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
являются ее основными числовыми характеристиками.
Задача. Определить математическое ожидание и дисперсию
для числа X появления события А при п независимых испыта-
ниях, в каждом из которых вероятность события Р(А) == р посто-
янна.
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2, ..., п и
распределена по биномиальному закону
рт = Р(Х = тп') = C™pmqn ~т (т = 0, 1, 2, ..., п),	(7)
где q = Р(А) = 1 - р.
576
Величину X можно рассматривать как сумму независимых
случайных величин
х = х1 + х2 + ... + хп,
где Xt (i = 1, 2, ..., n) — число появлений события А в i-м испы-
тании. Случайная величина Xt принимает лишь два значения:
1, если событие А появилось в i-м испытании, и 0, если событие
А не произошло в i-м испытании. Вероятности этих значений
Р(А) =ри Р(А) = q. Отсюда
M(Xf) = l- p + O- g= p(i = l, 2, ..., n)
(см. также § 16). Отсюда, используя теорему о математическом
ожидании суммы, будем иметь
М(Х) = М(ХГ) + М(Х2) + ... + М(Хп) - пр. (8)
Таким образом, математическое ожидание числа появлений
события А в условиях схемы Бернулли совпадает со «средним
числом» появления этого события в данной серии испытаний.
Для дисперсии случайной величины Xt получаем
D(Xt) = (1 - р)2р + (0 - p)2q = q2p + p2q = pq(q + p) = pq.
Отсюда по свойству дисперсии суммы независимых случай-
ных величин (теорема 4) будем иметь
D(X) = D(Xr) + D(X2) + ... + D(Xn) = npq. (9)
Поэтому среднее квадратичное отклонение (стандарт)
о(Х) = VD(Xj = Jnpq.	(10)
Формулы (8) и (9) дают математическое ожидание и диспер-
сию для биномиального закона распределения.
Замечание. Теперь становится понятным смысл случайной величины
t == т~пР
Jnpq
в приближенных формулах Лапласа (§ 12—13), а именно, t представ-
ляет собой отклонение числа появлений события А от его математиче-
ского ожидания, измеренное в стандартах (так называемое нор-
мированное отклонение).
Рассмотрим п дискретных попарно независимых случайных
величин Хр Х2, ..., Х„, дисперсии -D(Xf) (i = 1, 2, ..., п) которых
равномерно ограничены:
0 < D(Xt) < К (1 = 1, 2, ..., п).
19 Б. Демидович, В. Кудрявцев
577
Эти величины, возможно, имеют значительный разброс, од-
нако их среднее арифметическое
Хп =	+ Х2 + ... + Ха)
п
ведет себя достаточно «кучно».
А именно, при указанных выше условиях имеет место заме-
чательная теорема:
ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА. Для любого положительного г> 0 ве-
роятность неравенства
\Хп - М(ХП)| < е, где М(Хп) = 1 V M(Xt),
п л-i
/ = 1
сколь угодно близка к 1, если число случайных величин п до-
статочно велико, т. е.
lim Р(|Х„ - М(Хп)\ < е) = 1
п ОО
(закон больших чисел в форме Чебышева).
Теорема Чебышева находит применение в теории ошибок,
статистике и т. п.
§ 19. Непрерывные случайные величины.
Функция распределения
Случайную величину X будем называть непрерывной, если
все ее возможные значения целиком заполняют некоторый ко-
нечный или бесконечный промежуток <а, Ь> числовой оси.
Предполагается, что при каждом испытании случайная величи-
на X принимает одно и только одно значение х € <а, Ъ>. Заметим,
что дискретные и непрерывные случайные величины не исчер-
пывают все типы случайных величин.
Для характеристики непрерывной случайной величины X
вводят функцию распределения
Ф(х) = Р(-оо < X < х).	(1)
называемую интегральным законом распределения.
Если значения случайной величины X рассматривать как
точки числовой оси Ох, то Ф(х) представляет собой вероятность
события, состоящего в том, что наблюдаемое значение случайной
величины X принадлежит интервалу (-оо, х), т. е. находится
левее точки х. Этот интервал зависит от правого конца его х,
и поэтому естественно вероятность является функцией от х, оп-
ределенной на всей оси -оо < х < +°о.
578
Заметим, что функция распределения имеет смысл также
для дискретных случайных величин.
Функция распределения Ф(х) обладает следующими свойствами:
I.	Функция Ф(х) есть неубывающая функция аргумента х,
т. е. если х < х', то Ф(х) < Ф(х').
Действительно, если х' > х, то из события X € (-<*>, х), оче-
видно, следует событие X € (-оо, х'). Но тогда вероятность Ф(х')
второго события не меньше вероятности Ф(х) первого (§ 3, тео-
рема 2).
II.	Так как Ф(х) — вероятность, то справедливо неравенство
О < Ф(х) < 1.
III.	Ф(-оо) = 0, Ф(+оо) = 1.
Действительно, событие X € (-оо, -оо), очевидно, невозмож-
но, а событие X € (-оо, +°°) достоверно.
Зная функцию распределения Ф(х), можно для любого про-
межутка [а, д] определить Р(а < X < Ь) — вероятность попада-
ния случайной величины X в этот промежуток (здесь принято
левый конец а промежутка включать, а правый b не включать
в этот промежуток).
В самом деле, пусть А есть событие X € (-оо, а), В — событие
X € (-°°, &) и С — событие X 6 [а, Ь).
Тогда, очевидно, имеем
В=А + С.
Так как события А и С несовместны, то по теореме сложения
вероятностей получаем Р(В) = Р(А) + Р(С), отсюда
Р(С) - Р(В) - Р(А),
т. е.
Р(а < X < Ъ) - Ф(Ь) - Ф(а),	(2)
причем Ф(&) - Ф(а) > 0 в силу свойства I.
Таким образом, вероятность того, что случайная величина
X примет значение, принадлежащее промежутку [а, Ъ), равна
приращению ее функции распределения на этом промежутке.
В дальнейшем случайную величину X будем называть н е -
прерывной лишь в том случае, когда ее функция распреде-
ления Ф(х) непрерывна на оси (-°°, +<»).
ТЕОРЕМА. Вероятность (до опыта) того, что непрерывная
случайная величина X примет заранее указанное строго оп-
ределенное значение а, равна нулю.
В самом деле, в силу формулы (2) имеем
Р(а < X < х) = Ф(х) - Ф(а).	(3)
579
Положим, что х -* а; тогда в пределе промежуток [а, х) будет
содержать единственную точку а. Кроме того, в силу непрерыв-
ности функции Ф(х) в точке а имеем
lim Ф(х) = Ф(а).
х а
Переходя к пределу при х -* а в равенстве (3), получим
Р(а) = ПтФ(х) - Ф(а) = Ф(а) - Ф(а) = 0.
х — а
Таким образом, при непрерывной функции распределения
вероятность «попадания в точку» равна нулю.
Следствие. Для непрерывной случайной величины X справед-
ливы равенства
Р(а<Х < Ь) = Ф(Ь) - Ф(а)	(2')
и
Р(а < X < &) = Ф(&) - Ф(а),	(2")
где Ф(х) == Р(а < X < х) — ее функция распределения.
Действительно,
Р(а < X < b) = Р(а < X < Ь) + Р(Х = Ь) =
= [Ф(Ь) - Ф(а)] + 0 = Ф(&) - Ф(а).
Аналогично доказывается второе равенство.
Замечание. В общем случае невозможные события и события с ну-
левой вероятностью могут оказаться неэквивалентными.
Предположим теперь, что для непрерывной случайной вели-
чины X ее функция распределения Ф(х) имеет непрерывную про-
изводную
Ф'(х) = <р(х).	(4)
Функцию <р(х) называют плотностью вероятности (для дан-
ного распределения) или дифференциальным законом распреде-
ления случайной величины X.
Термин плотность вероятности имеет следующий смысл.
Пусть [х, х 4- dx} — бесконечно малый промежуток. Тогда в силу фор-
мулы (2') имеем
Р(х < X < х 4- dx) - Ф(х 4- dx) - Ф(х).
Заменяя бесконечно малое приращение функции Ф(х 4- dx) - Ф(х)
ее дифференциалом Ф'(х)с?х = ф(х)</х, получаем приближенное равенство
Р(х < X < х 4- dx) = ф(х)</х.	(5)
Таким образом, плотность вероятности представляет собой отноше-
ние вероятности попадания точки в бесконечно малый промежуток к
длине этого промежутка.
Так как плотность вероятности ф(х) является производной
неубывающей функции Ф(х), то она неотрицательна: ф(х) > 0. В
580
отличие от вероятности, плотность вероятности может прини-
мать сколь угодно большие значения.
Так как Ф(х) является первообразной для ф(х), то на основа-
нии формулы Ньютона—Лейбница имеем
ь
|ф(х)с/х = Ф(Ь) - Ф(а).
а
Отсюда в силу (3') получаем
ь
Р(а<Х< b) = pp(x)dx.
Геометрически
(рис. 271) эта веро-
ятность представляет
собой площадь S кри-
волинейной трапе-
ции, ограниченной
графиком плотности
вероятности у = ф(х),
осью Ох и двумя орди-
натами х = а и х = Ъ.
Рис. 271
Полагая а = и 6 = +°о, получаем достоверное событие
X е (-оо, +°°), вероятность которого равна единице. Следова-
тельно,
J <p(x)dx = 1.
-ОО
(7)
Полагая в формуле (6) а = -оо, b = х и обозначая для ясности
переменную интегрирования х другой буквой, например t (это
законно для определенного интеграла), получаем функцию рас-
пределения
Ф(х) == Р(-оо < X < х) = J
(8)
§ 20. Числовые характеристики
непрерывной случайной величины
Будем рассматривать бесконечно малый промежуток
[х, х + dx] как «жирную точку» х оси Ох. Тогда вероятность то^
го, что случайная величина X принимает значение, совпадающее
581
с этой «жирной точкой» х, равна <p(x)dx и математическое ожи-
дание этого события есть
dM = x<p(x)dx.
Представляя прямую < х < +оо как бесконечное множе-
ство таких «жирных точек», по аналогии с определением мате-
матического ожидания дискретной случайной величины, полу-
чаем естественное определение математического ожидания не-
прерывной случайной величины (только здесь суммирование за-
меняется интегрированием).
Определение. Под математическим о жид а ни ем
непрерывной случайной величины X понимается число
+ОО
М(Х) = | x<p(x)dx	(1)
—оо
(конечно, это определение имеет смысл лишь для таких слу-
чайных величин X, для которых интеграл (1) сходится).
Для дисперсии непрерывной случайной величины X сохра-
ним прежнее определение
D(X) = М{[Х - М(Х)]2}.
Из формулы (1) вытекает
+ ОО
D(X)= | [х - M(X)]2<p(x)dx	(2)
—оо
(конечно, в предположении, что интеграл (2) сходится). Можно
также пользоваться формулой
D(X) = М(Х2) - [Af(X)]2 = | x2<p(x)dx - j x<p(x)dx .	(3)
—oo	L. _qq
Можно доказать, что основные свойства математического
ожидания и дисперсии дискретных случайных величин сохра-
няются также и для непрерывных случайных величин.
Пусть теперь все возможные значения непрерывной случай-
ной величины X целиком заполняют конечный отрезок [а, Ь].
Тогда ф(х) = 0 при -оо < х < а и при Ъ < х < +оо и, следовательно,
4-схэ	а	ь
М(Х) = J xcp(x)dx = J x(p(x)dx + J xcp(x)dx +
-оо	— оо	а
+ОО	а	b
+ J x<p(x)dx = О + J x<p(x)dx + 0 = J <p(x)dx.
Ь	-оо	а
582
Аналогично,
b	b
D(X) = J[x - М(Х)]2ф(х)б/х, причем J<p(x)dx = 1.
§21. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина X, все возможные значе-
ния которой заполняют конечный промежуток (а, Ь), называет-
ся равномерно распределенной, если ее плотность вероятности
ф(х) постоянна на этом промежутке.
Иными словами, для равномерно распределенной случайной
величины все ее возможные значения являются равновоз-
можными.
Пусть, например, X € [а, Ь]. Так как в этом случае ф(х) = const
при х € [а, &] и ф(х) = 0 при х t [а, &], то
ъ	ь
J(p(x)dx = ф(х)^*йх = (Ь - а)ф(х) == 1;
а	а
отсюда
ф(х) = ПРИ а < х < 6.
о —а
Пусть [а, Р] € [а, &] (рис. 272). Тогда
р
р = Р(а < X < Р) = Г ф(х)е/х =	,
J	Ь — а
а
т. е.
(1)
X/
где L — длина (линейная мера) всего отрезка [а, Ь] и I — длина
частичного отрезка [а, р].
О
Рис. 272
*
Значения случайной величины X, т. е. точки х отрезка [а, Ь],
можно рассматривать как всевозможные элементарные исходы
некоторого испытания. Пусть событие А состоит в том, что ре-
зультат испытания принадлежит отрезку [а, р] cz [а, &]. Тогда
точки отрезка [а, Р] есть благоприятные элементарные ис-
ходы события А.
583
Согласно формуле (1) имеем геометрическое определение
вероятности: под вероятностью события А понимается от-
ношение меры I множества элементарных исходов, благопри-
ятствующих событию А, к мере L множества всех возможных
элементарных исходов в предположении, что они равновоз-
можны:
Р(А) = L < 1.
Lt
Это определение естественно переносит классическое опреде-
ление вероятности на случай бесконечного числа элементарных
исходов.
Аналогичное определение можно ввести также тогда, когда
элементарные исходы испытания представляют собой точки
плоскости или пространства.
Пример 1. В течение часа 0 < t < 1 (t — время в часах) на остановку
прибывает один и только один автобус. Какова вероятность того, что
пассажиру, пришедшему на эту остановку в момент времени i = 0, при-
дется ожидать автобус не более 10 мин?
Здесь множество всех элементарных исходов образует отрезок
[0,1], временная длина которого L == 1, а множество благоприятных эле-
ментарных исходов составляет отрезок [0,1/6] временной длины I « 1/6.
Поэтому искомая вероятность есть
р~1/Ъ = 1/6.
Пример 2. В квадрат К со стороной а с вписанным в него кругом S
(рис. 273) случайно бросается материальная точка М. Какова вероят-
ность того, что эта точка попадает в круг S?
Рис. 273
Здесь площадь квадрата есть К = а2, а площадь
круга S =	а2.
За искомую вероятность естественно принять
отношение
Р - | - I = 0.785.
Эта вероятность, а следовательно, и число я,
очевидно, могут быть определены эксперимен-
тально.
§ 22. Нормальное распределение
Распределение вероятностей случайной величины X называ-
ется нормальным, если плотность вероятности подчиняется
закону Гаусса
Ф(х) = ае-&(ж-л»)2,	(1)
584
где а, Ь и х0 — некоторые постоянные, причем а > 0 и Ъ > О.
В этом случае график плотности вероятности представляет со-
бой смещенную кривую Гаусса (рис. 274), симметричную отно-
сительно прямой х — xQ и с максимальной ординатой z/max = а.
Для удобства выкладок эту
кривую центрируем, введя
новые координаты £ = х - х0 и
т] = у. Тогда закон Гаусса при-
мет вид
Ф© = ае^ (2)
и будет представлять собой
дифференциальный закон рас-
пределения случайной вели-
чины X = X - х0.
Постоянные а и & в формуле (2) не являются произвольными,
так как для плотности вероятностей ф(£) должно быть выполне-
но условие
9(£)d£ = а
(3)
Делая замену переменной Ь£2 = t2, £ =	, будем
иметь
4-оо	4-оо
fe-‘2^ = J	(4)
J	J	Jb	Nb
-oo	-co
(см. гл. XXIV, § 4). Отсюда на основании формулы (3) находим
oj-l,	(5)
т. е.
-I-	(6>
Таким образом,
фЮ=лЙ^г-	(7>
л
585
Для математического ожидания случайной величины будем
иметь
4-оо	4-оо
М(Х) = J - Д |	= о
-оо	-оо
(ввиду нечетности подынтегральной функции). Отсюда
М(Х) = М(Х 4- х0) = М(Х) + М(хо) = О + х0 = х0.	(8)
Таким образом, при нормальном распределении случайной
величины X ее математическое ожидание х0 совпадает с точкой
пересечения оси симметрии графика соответствующей кривой
Гаусса с осью Ох (центр рассеивания).
Для дисперсии случайной величины X получаем
D(X) = М(Х2) - [М(Х)]2 = М(Х2) =
4-оо	4-оо
=	J	(9)
—оо	—оо
Полагая и = £ и dv — %e~b^d£, =	и интегрируя по
частям, с учетом формулы (4) будем иметь
4-оо	4-оо
Г52е-.5-(г5.-6.^*"+	g.
J	-OO J	Zb ^Ь
—oo	_oo
Таким образом, из формулы (9) получаем
и, следовательно,
П(Х) = Р(Х + х0) = П(Х)4-П(х0)=^ +0=±.	(10)
Zb	Zb
Отсюда для среднего квадратичного отклонения величины X
получим
о(Х) = ТЩТ) = ±.
& и
Введя обозначение о = о(Х), будем иметь
b=J_, а=
2а2 A/л
586
Подставляя эти значения в формулу (1), получим стандартный
вид нормального закона распределения случайной величины X
в дифференциальной форме:
(Х-ХО)2
<р(х) - -4= е 2°2 ,	(И)
Ол/2л
где х0 « М(Х) и о == JD(X).
Таким образом, нормальный закон распределения зависит
только от двух параметров: математического ожидания и
среднего квадратичного отклонения.
Нормальный закон распределения случайной величины в ин-
тегральной форме имеет вид
Ф(х)= —4= f е~^~ dz.	(12)
Оа/2я J
—оо
Формулы (11) и (12) упрощаются, если ввести нормированное
отклонение
(13)
о
тогда
ф(х)----1—e"2 = l(p0(t)
cj2n °
(см. § 12). Полагая в интеграле (12) т = -—— ,dx=—, получаем
О	о
х-х0
° т8	° т8	‘ т8
Ф(х) = 4= | е 2 dx = -4z Г е 2 dx + -== | е 2 dx = 1 + Фо(О>
72л	72л	72л J	2
где t определяется формулой (13) и Фо(О — стандартный интег-
рал вероятностей (см. § 13).
Отсюда получаем, что для случайной величины X, подчи-
няющейся нормальному закону, вероятность попадания ее на от-
резок [а, &] есть
Р(а < х < Ь) = Ф(&) - Ф(а) =
587
В частности, вероятность того, что отклонение величины X
от ее математического ожидания х0 по абсолютной величине бу-
дет меньше а, равна
Р(|Х- х0| < а) = Р(х0 - а < X < х0 + а) = 2Ф0(|).
Полагая а = За, получаем
Р(|х - х0| < Зст) = 2Ф0(3) = '0,9973,
т. е. такое отклонение является почти достоверным (пра-
вило трех сигм).
Нормальный закон распределения вероятностей находит
многочисленные применения в теории ошибок, теории стрельбы,
физике и т. д.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Пусть А — случайное событие, С — достоверное событие. Что сле-
дует понимать под событиями А + А, АА, А + С, АС?
2.	Игральная кость бросается один раз. Каковы вероятности следую-
щих событий: А — выпадение одного очка; В — выпадение нечетного
числа очков; С — выпадение не менее трех очков?
3.	В урне находятся 2 белых шара и 8 черных шаров. Сколько белых
шаров следует добавить в урну, чтобы вероятность извлечения из нее
одного белого шара была не меньше 0,99?
4.	Из урны, содержащей 5 белых шаров и 3 черных шара, случай-
ным образом извлекается 4 шара. Каковы вероятности того, что: а) сре-
ди них будет одинаковое число белых и черных; б) число белых превы-
сит число черных?
5.	Студент из 30 экзаменационных билетов усвоил 24. Какова веро-
ятность (в %) его успешного ответа на экзамене на билет: а) при одно-
кратном извлечении билета; б) при двукратном извлечении билета (вы-
тянутый билет не возвращается!)?
6.	Три стрелка одновременно стреляют в цель. Вероятность пораже-
ния цели первым стрелком равна 0,9; вторым — 0,8; третьим — 0,6.
Какова вероятность того, что: а) цель будет поражена хотя бы одним
стрелком; б) будет зарегистрировано не менее двух попаданий в цель;
в) ни один из стрелков не попадет в цель?
7.	Доказать, что если события А и В независимы, то события А и В
также независимы.
8.	Вероятность поражения цели при одиночном выстреле равна р =
= 1/3. Найти распределение вероятностей для числа попаданий т при
числе выстрелов п = 5.
588
9.	Вероятность поражения цели при одном выстреле равна р = 0,2.
При каком числе выстрелов цель будет поражена хотя бы один раз с
вероятностью, не меньшей 0,999?
10.	Многократные измерения некоторой величины дали следующие
значения (содержащие случайные ошибки): хг = 1,2 (два раза); х2 = 1,3
(пять раз); х3 = 1,4 (три раза). Предполагая, что эти изменения равно-
точны, найти математическое ожидание (среднее значение) и дисперсию
результата измерения. Чему равна средняя квадратичная ошибка ре-
зультата измерения?
11.	Дискретные случайные величины X и Y независимы. Доказать,
что величины X = X + СиУ (С — постоянная величина) также неза-
висимы.
12.	Все значения случайной величины X принадлежат интервалу
(0, 2), причем плотность вероятности <р(х) = 1/4 при 0 < х < 1 и ф(х) =
= 3/4 при 1 < х < 2. Найти функцию распределения Ф(х), математиче-
ское ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
13.	Случайная величина X равномерно распределена на центриро-
ванном отрезке [-Z, Z]. Найти плотность вероятности ф(х), математиче-
ское ожидание М(Х), дисперсию D(X) и стандарт о(Х).
14.	Показать, что кривая Гаусса
„ = _ 1	р-х2/2а2
У
имеет точки перегиба при х = ± п.
15.	При опытной стрельбе было обнаружено, что отклонение А точки
попадания от цели подчиняется нормальному закону с математическим
ожиданием М = 0 и дисперсией D = 4 м2. Какова вероятность того, что
|Д| < 1 м?
16.	При расфасовке некоторой продукции пакет считается стандарт-
ным, если его масса отличается от заданной массы 1 кг не более чем на
20 г (в ту или другую сторону). Проверено, что при аккуратной работе
ошибки массы подчиняются нормальному закону с математическим
ожиданием М = 0 и средним квадратичным отклонением о = 10 г. Не-
которая партия этой продукции из 10 000 пакетов содержит 9000 стан-
дартных пакетов. Соответствует ли это данному нормальному закону?
ГЛАВА XXVI
ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
§ 1.	Векторное пространство п измерений
В гл. XVIII мы видели, что каждый вектор х трехмерного
пространства может быть задан тремя координатами: х = {хх,
х2, х3}. Обобщая это свойство, приходим к понятию п-мерного
вектора.
Определение. Упорядоченная система п чисел х = {хх, х2,
..., хп} называется п-мерной точкой или п-мерным
вектором.
Числа х19 х2, ..., хп называются координатами точки (век-
тора) х; мы будем предполагать, что они действительны. Вектор
с нулевыми координатами 0 = {0, 0, ..., 0} называется нулевым
вектором или, короче, нуль-вектором. При геометрическом изо-
бражении вектор х можно рассматривать как радиус-век-
тор соответствующей точки.
По аналогии с трехмерными векторами определяются основ-
ные операции для n-мерных векторов х = {хх, х2, ..., хп} и у =
= {У1> У2> •••> Уп}-
I.	Равенство векторов. Два вектора равны тогда и только
тогда, когда одинаковы их соответствующие координаты, т, е.
х = у <=> xt = yt (t = 1, 2, ..., п).
II.	Сумма векторов. По определению полагают
* + у = {*1 + У1, х2 + у2, х„ + уп}.
В частности, для вектора х = {хп х2, хп} и ему противо-
положного —х = {-х1( -х2,	-х„} имеем
х + (—х) — 0,
где 0 — нуль-вектор.
III.	Разность векторов
X - у - {*1 - У1, Х2 - у2, .... хп - уп}.
590
Справедливо соотношение
X - у = X + (-у).
IV.	Умножение на скаляр. Если k — скаляр, то
kx = {Ахр kx2, kxn}.
V.	Скалярное произведение:
(х, у) = х у = "£ х$1.
i = 1
Под модулем (нормой) вектора х понимается число
Г п 11/2
X = |х| = 7(« • х) = j Хж,? I > °-
4 = 1 j
Расстояние между точками х и у определяется формулой
Г л	1 1/2
р(х, у) =\х -у\ = у (xt - yt)2 [ .
4 = 1	J
В частности, |х| есть расстояние от начала координат О до
точки х.
Полагая (х, у) = ху cos ф, получаем угол между векторами
Ф = arccos^*’ V).
ху
В частности, если х • у = 0, то ф = л/2 (ортогональные
векторы).
Для операций I—V справедливы обычные свойства (см. гл.
XVIII).
В частности, если
т
х = Xе***
А = 1
есть линейная комбинация векторов х1, ..., хт (индексы
векторов мы ставим сверху) и сг, с2, ..., ст — скаляры, то
/ т	\	т
У CkXk, У - Ck(xk, у).
v*=l	/	А=1
Совокупность всех n-мерных векторов (точек), для которых
определены операции I—V, называется п-мерным евклидовым
пространством Еп.
591
Определение. Векторы х1, х2, хт пространства Еп назы-
ваются линейно зависимыми, если существуют скаля-
ры с19 с2, ст не все равные нулю (|сх| + |с2| + ... + |cj 0),
такие, что
т
£ ckxk = 0.
Л = 1
В частном случае при т = 2 эти векторы называются к о л ли-
неарными, а при тп = 3 — компланарными (ср. гл. XVIII,
§ 5 и 6). В противном случае эти векторы называются линей но
независимыми.
Можно доказать, что в пространстве Еп существует самое
большее п линейно независимых векторов. Таким образом, раз-
мерность dim Еп векторного пространства Еп можно определить
как максимальное число линейно независимых векторов, поме-
щающихся в этом пространстве.
Пусть хе Еп их1, х2, ..., хп — линейно независимые векторы
из Еп. Так как векторы х, х1, х2, ..., хп линейно зависимы, то
сх + S Ck*k = О’
k = 1
где, очевидно, с 0.
Отсюда получаем
Л = 1
Таким образом, каждый вектор х е Ел можно разложить (и
притом единственным способом!) по векторам х1, х2, ..., х". Ины-
ми словами, эти векторы образуют базис пространства Ел. Числа
^k(k — 1, 2,..., и) называются координатами вектора х в данном
базисе х1, х2, ..., хп. В частности, координаты заданного вектора
х = {хр х2, хл} есть его координаты в базисе ортов
е1 = {1, о, 0, ..., 0}, е2 = {0, 1, 0, ..., 0}, ..., еп = {0, 0, 0, ..., 1}.
§ 2. Множества в n-мерном пространстве
Совокупность точек х = {хх, х2, ..., хп} n-мерного простран-
ства Еп называется множеством этого пространства.
Множество точек х таких, что
0 < р(х, х0) < е,
592
будем называть окрестностью UXo точки х0 (точнее, Е-окрест-
ностъю). Точка х0 не входит в свою окрестность, т. е. окрестность
пунктированная.
Множество G называется открытым, если каждая точка
х € G этого множества принадлежит ему вместе с некоторой сво-
ей окрестностью.
Множество F называется замкнутым, если оно является до-
полнением некоторого открытого множества G, т. е. F = Еп \G.
Пусть Е с Еп. Точка не обязательно принадлежащая Е,
называется граничной для множества Е, если £ не является внут-
ренней ни для множества Е, ни для его дополнения Ес = Еп \Е.
Совокупность всех граничных точек множества Е называется его
границей: Г(Е) = Г. Очевидно, Г(ЕС) = Г(Е).
Опрелеление 1. Множество точек х = {хр х2, ..., хп} € Еп,
координаты которых удовлетворяют линейному уравнению
агхх + а2х2 + ... + anxn = Ь	(1)
(аг, а2, ..., an, Ъ постоянны), где коэффициенты аг, а2, ..., ап не
все равны нулю, называется гиперплоскостью простран-
ства Еп.
В случае трехмерного пространства это множество является
обычной плоскостью.
Введя нормальный вектор гиперплоскости (1)
а = {aj, а2, ...» ап},
ее уравнение можно записать в виде
а • х = Ь.	(2)
Гиперплоскость (2) делит пространство Еп на два замкнутых
полупространства:
a x<b (Е), ax>b (E+)D.
Если свободный член Ь * 0, то полупространства Е~ и Е+
можно различать следующим образом: 1) если Ъ > 0, то Е~ со-
держит начало координат 0, а Е+ не содержит 0; 2) при Ь < 0 —
наоборот.
Здесь, следуя традиции, точки гиперплоскости а • х = b причисля-
ются к обоим полупространствам Е~ и Е+. Эта гиперплоскость является
их общей границей.
20 Б. Демидович, В. Кудрявцев
593
Пример. Прямая хг + х2 = 1 разбивает плоскость Охгх2 на две полу-
плоскости: Xi + х2 С 1 и хг + х2 > 1 (рис. 275).
Определение 2. Совокупность точек
Z = X + Р(у - х),	(3)
где 0 < Р < 1 (рис. 276), называется отрезком [х, у] с концами
X и у.
Формулу (3) можно записать в симметричном виде
Z = ах + Ру,	(3')
где а > О, Р > 0, а 4- р = 1. При а = О, Р = 1 и а = 1, р = О
получаются концы отрезка; при 0 < а < 1, 0 < Р < 1 —
внутренние точки его. Заметим, что точку х можно рассматри-
вать как отрезок [х, х] с совпадающими концами.
Это определение обобщает понятие отрезка для двумерного и
трехмерного пространств.
Определение 3. Множество АсЕп называется выпук-
л ым, если для любых двух точек х € А и у G А соединяющий
их отрезок [х, у] также принадлежит множеству А: [х, у] сА
Примерами выпуклых множеств могут служить точка, отре-
зок, круг, шар, все пространство Еп и т. п. Условно считают, что
пустое множество 0 выпукло.
ЛЕММА. Любое полупространство в Еп есть выпуклое мно-
жество.
Действительно, пусть границей полупространства Е являет-
ся гиперплоскость
а • х = Ь,	(4)
а само полупространство определяется неравенством
а-х<&.	(5)
594
Рассмотрим произвольные точки у и принадлежащие мно-
жеству Е9 т. е.
а • у < fe, а * z < Ь,	(6)
и пусть t = ay + (а > О, Р > 0, а + 0 = 1) — произвольная точка
отрезка [у, z].
Используя свойства скалярного произведения, на основании
неравенств (6) имеем
а • t = а(ау + рз) = а(а • у) + р(а • z) < а • Ъ + р • Ъ = (а + Р)& = 6,
т. е.
а • t < Ь.	(7)
Таким образом, t € Е и, следовательно, полупространство Е
выпукло.
ТЕОРЕМА. Пересечение любого числа выпуклых множеств
есть множество выпуклое.
Доказательство проведем для случая двух выпуклых мно-
жеств: для произвольного, конечного или бесконечного, числа
выпуклых множеств рассуждения аналогичны.
Пусть А и В — выпуклые множества и С = А П В — их пе-
ресечение.
Если С пусто, то по определению оно выпукло. Пусть С не
пусто и х, у — любые две точки, принадлежащие С (возможно,
совпадающие). Из смысла пересечения следует, что х, у € А, а
также х, у € В. Рассмотрим отрезок [х, у], Так как множества
А и В выпуклые, то [х, у] cz А и [х, у] а В и, следовательно,
[х, у] с С. Таким образом, множество С также выпукло.
Следствие. Пересечение любого числа полупространств есть
выпуклое множество (возможно, пустое).
Замечание, Рассмотрим систему линейных неравенств
anxi + ai2x2 + ... + alnxn < bt
(i = 1, 2, .... п).	(8)
Любой набор чисел х19 х2, ..., хп9 удовлетворяющий всем не-
равенствам (8), называется решением этой системы неравенств.
Числа х19 х2, ..., хп9 удовлетворяющие лишь одному из нера-
венств системы (8), заполняют полупространство в пространстве
Еп. Решения принадлежат пересечению всех этих полупрост-
ранств. Из теоремы следует, что множество всех решений систе-
мы (8) представляет собой выпуклый многогранник (по-
лиэдр). Примерами выпуклых многогранников в трехмерном про-
странстве могут служить: пирамида; параллелепипед; призма;
слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями, и т. п.
595
Пример, а) Решения системы нера-
венств
Xi > 0, х2 > О, хг + х2 < 1
в пространстве Е2 заполняют треуголь-
ник с вершинами 0(0, 0), А(1, 0), В(0, 1)
(рис. 277);
б) множество решений системы
Xi > 0, Xi + х2 > 1
в пространстве Е2 есть угол, вершиной
которого служит точка В(0, 1), а сторона-
ми являются полупрямая ВА и полуось
Вх2 (рис. 277).
Определение. Точка выпуклого множества, которая не яв-
ляется внутренней ни для какого ненулевого отрезка, целиком
принадлежащего этому множеству, называется его
крайней точкой.
Например, для отрезка его крайними точками являются кон-
цы отрезка; для треугольника — его вершины и т. п.
Интуитивно ясно, что выпуклый многогранник, т. е. пересе-
чение конечного числа полупространств, имеет конечное чис-
ло крайних точек — его вершины.
§ 3. Задача линейного программирования
В последнее время математические методы широко исполь-
зуются в таких вопросах, как планирование народного хозяйст-
ва, организация управления промышленностью, планирование
военных операций и т. п. С общей точки зрения, задачи управ-
ления и планирования обычно сводятся к выбору некоторой сис-
темы числовых параметров или функций (характеристики
плана), обеспечивающих наиболее эффективное достижение
поставленной цели (оптимальный план), с учетом ограни-
ченности возможных ресурсов. Для оценки эффективности пла-
на вводится так называемая целевая функция (т. е. по-
казатель качества плана), выраженная через характе-
ристики плана и принимающая экстремальное значение (т. е.
наименьшее или наибольшее значение) для оптимального плана.
Для большого количества практически интересных задач це-
левая функция выражается линейно через характеристики
плана, причем допустимые значения параметров подчинены так-
же линейным равенствам или неравенствам. Нахождение при
данных условиях абсолютного экстремума целевой функции
596
носит название линейного программирования (более удачным
был бы термин «линейное планирование»).
Математически задача линейного программирования форму-
лируется следующим образом: требуется найти абсолютный экс-
тремум (наименьшее или наибольшее значение в зависимости от
смысла задачи) линейной функции
S = CjXx + с2х2 + ... + спхп (cf + с2 + ... + с„ * 0)	(1)
(целевая функция) при условии, что на переменные хп х2, ...
..., хп наложены ограничения в виде линейных равенств или не-
равенств:
хх > 0, х2 > 0, ..., хк > О1) (k < п)	(2)
и
^а/Л.<Ь,* 2) (i = l,2, ...,тп).	(3)
7=1
Определение 7. Максимальная совокупность Й значений х19
х2, •••> удовлетворяющих всем неравенствам (2) и (3),
называется об лас тью допустимых значений зада-
чи линейного программирования (короче, допустимой
областью).
Допустимая область й является областью определения функ-
ции S.
Из теоремы предыдущего параграфа следует, что допусти-
мая область задачи линейного программирования представля-
ет собой выпуклый многогранник (возможно, являющийся пус-
тым множеством, если система неравенств (1), (3) несовместна).
Определение 2. Набор значений х19 х2, ..., хп из допустимой
области й, при которых целевая функция (1) принимает, по
смыслу задачи, или наименьшее, или наибольшее значение, на-
зывается решением задачи линейного программирования
(или оптимальным планом). В случае существования
хотя бы одного решения задача линейного программирования
называется разрешимой.
Теоретически возможны три случая: А) Условия (2), (3) про-
тиворечивы и, следовательно, допустимое множество й пусто.
Задача (1), (2), (3) решения не имеет. Б) Допустимая область Й
не ограничена; задача (1), (2), (3) может иметь решение, а может
Неравенство противоположного смысла хр < 0 сводится к неравен-
ствам типа (2) путем введения новой координаты х'р = -хр (1 < р < k).
2) Неравенства противоположного смысла в результате почленного
умножения на -1 сводятся к неравенствам вида (3).
597
не иметь его. В) Система условий (2), (3) совместна и допустимая
область Q ограничена. В силу теоремы Вейерштрасса (гл. XX,
§ 11) задача линейного программирования (1), (2), (3) разрешима,
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь случая В).
Согласно общей теории (см. гл. XX, § 10, 11) целевая функ-
ция (1) достигает своего абсолютного экстремума или в крити-
ческой точке, или на границе Г допустимой области Q. Так как
ее частные производные
....п)
нигде одновременно в нуль не обращаются в области Q, то целе-
вая функция S достигает своего абсолютного экстремума на гра-
нице Г допустимой области Q. Этот результат можно уточнить.
ТЕОРЕМА. Линейная целевая функция может достигать
своего строгого абсолютного экстремума лишь в крайних точ-
ках допустимой области.
Доказательство. Действительно, пусть
S(x) = ^ctxt s с • х
i = l
— целевая функция, с = {сис2, .... сп}, х = {х1; х2, ...» хп} и Q —
ее допустимая область. Предположим, например, что S(£) = М,
где § = {£р £2, • ••» U 6 £1, есть строгий максимум целевой
функции S (х) и £ — некрайняя точка выпуклой области Q. Тог-
да существует ненулевой отрезок [у, z] с Q, для которого точка
£ является внутренней, т. е.
£ = ay + pz,	(4)
где 0<а<1, 0<Р<1,а + Р=1, причем, очевидно, £ * у и £ * z.
Так как S(£) = М есть строгий максимум функции S(x), то, вы-
бирая отрезок [у, з] достаточно малым (что, очевидно, можно
сделать), будем иметь
S(y) < М, S(z) < М.	(5)
Из равенства (4), учитывая, что S(x) — линейная однородная
функция, получаем
S(E) = с • (ay + pz) = а (с • у) + р(с • з) =
= aS(y) + pS(z) < aM + рМ = М.
и мы, таким образом, приходим к противоречию. Теорема дока-
зана.
598
Замечание. В общем случае можно доказать, что абсолютный экс-
тремум линейной целевой функции S(x), если он существует, всегда ре-
ализуется в крайних точках выпуклой допустимой области £2, т. е. в
вершинах многогранника £2 (возможно, конечно, что абсолютный экс-
тремум целевой функции достигается также и в других точках; напри-
мер, функция S(x) может иметь свое наибольшее значение во всех точ-
ках одной из граней многогранника £2 и т. п.)
Таким образом, решение задачи линейного программирования сво-
дится к нахождению конечного числа значений целевой функции и
сравнению их между собой.
Пример. Найти наименьшее и наи-
большее значения функции
S = хг + 2х2
в области £2: 0 < хг < 20, хг + 2х2 > 20,
Х1 ~ Х2 “30.
Область О представляет собой че-
тырехугольник с вершинами А (20,0),
В(20,50), С(0, 30), В(0, 10) (рис. 278).
Имеем
8(A) = 20, 8(B) = 120,
8(C) = 60, S(Z>) = 20.
Следовательно, наименьшее значе-
ние функции 8 в области £2 равно т = 20
(достигается в вершинах А и В), а на-
ибольшее ее значение М = 120 (дости-
гается в вершине В).
Этот результат становится геометрически наглядным, если постро-
ить линии уровня функции 8, т. е. прямые хг + 2х2 = const.
Однако такое легкое решение задачи возможно лишь в самых прос-
тых случаях. Использованный здесь «метод перебора», даже при срав-
нительно небольшом числе переменных п и неравенств т, связан со зна-
чительным объемом работы и требует применения быстродействующих
вычислительных машин. Поэтому были созданы методы, упорядочи-
вающие перебор вершин допустимой области (симплекс-метод, метод
потенциала и др.); для знакомства с ними следует обратиться к специ-
альной литературе.
В заключение приведем две конкретные задачи, решаемые
методом линейного программирования.
Задача 1. Организация снабжения. Пусть потребляющий центр
обеспечивает свое необходимое снабжение некоторым однород-
ным продуктом (например, картофелем) из п пунктов.
Обозначим через xt количество продуктов (например, в тон-
нах), закупаемых центром в i-м пункте, а через ct — цену едини-
цы продукта в этом пункте (включая стоимость перевозки), i =
= 1, 2, ..., п. Постоянные ct различны, так как в одном пункте
производится более дешевый продукт, а в другом — более доро-
гой. Кроме того, пункты удалены на различные расстояния от
599
центра и, следовательно, издержки на транспортные перевозки
различны. Тогда расходы центра, при данном плане закупок, со-
ставляют
s = Xcixi-	(6)
j = l
Если а — потребность центра в данном продукте, то должно
быть обеспечено условие
= а.	(7)
/ = 1
Кроме того, объем производства продукта в i-м пункте огра-
ничен некоторой величиной bz. Возможно также, что пропускная
способность транспорта, могущего быть использованным для пе-
ревозки продукта в центре, лимитируется величиной Ь\. В таком
случае на естественно налагаются ограничения:
О < xt <	(8)
где 0Z = min(&f, b<) (i = 1, 2, ..., n).
При рациональном плане закупок продукта расходы центра
должны быть минимальными. Таким образом, мы прихо-
дим к задаче линейного программирования: найти наименьшее
значение функции расходов (6) при условиях (7) и (8). В данном
случае задача имеет простое решение.
Задача 2. Транспортная задача. Пусть в пунктах А19 А2, ..., Ат
производится некоторый однородный продукт, потребляющими
центрами которого являются пункты В19 В2, Вп.
Предположим, что транспортные издержки при перевозе
единицы продукта из пункта At в пункт составляют ctj денеж-
ных единиц, а количество продуктов (например, в тоннах), пе-
ревозимых из Az в Bj, есть xtj (i = 1, 2, ..., тп, j = 1, 2, ..., п). В
таком случае суммарные транспортные издержки будут
т п
i = 1 } = 1
Объем производства в пункте At лимитируется некоторой ве-
личиной az (i = 1, 2,..., тп), зависящей от производственной мощ-
ности предприятия. Предполагая, что вся продукция идет в
пункты потребления, имеем условия
^xtj = at (i=l, 2, ..., ти).	(10)
м
600
Кроме того, потребность в продукте для пункта диктуется
интересами производства и составляет некоторую определенную
величину bj(j = 1, 2,	п). Поэтому
Y Хц = bj (j = 1, 2,	п).	(11)
i - 1
Требуется организовать такой план перевозок, при котором
суммарные транспортные издержки S были бы минимальными
при условии, что производимый на пунктах At продукт исполь-
зуется целиком (условия (10)) и полностью удовлетворена по-
требность пунктов потребления (условия (11)). Это — типичная
задача линейного программирования.
Можно доказать, что для разрешимости транспортной задачи
необходимо и достаточно выполнение условия
т	п
(12)
т. е. суммарный объем производства должен быть равен суммар-
ному объему потребления.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ВАЖНЕЙШИЕ ПОСТОЯННЫЕ
л = 3,14159,	л-1 = 0,31831,
л2 = 9,86960,	Л"2 = 0,10132,
е = 2,71828,	е’1 = 0,36788,
е2 = 7,38906,	в’2 = 0,13534,
М = Ige = 0,43429,	= In 10 = 2,30259.
СВОДКА ФОРМУЛ
I.	Аналитическая геометрия на плоскости
1.	Параллельный перенос системы координат
х' = х - а, у' « у - Ь,
где О'(а, Ъ) — новое начало, (х, у) — старые координаты точки, [х', у'] —
ее новые координаты.
2.	Поворот системы координат (при неподвижном начале)
х = х' cos а - у' sin а, у = х' sin а + у' cos а,
где (х, у) — старые координаты точки, [х', у'] — ее новые координаты,
а — угол поворота.
3.	Расстояние между точками (хх, у{) и (х2, i/2)
d “ 7(x2-«i)2 + (!/2-!/i)2 •
4.	Координаты точки, делящей отрезок с концами (хп у^) и (х2, z/2)
в данном отношении I,
х, + lx2 ,,_Vi + 1у2
х ТГГ’ у
При I — 1 имеем координаты середины отрезка:
х - х1 + хг у = У1+Уг
J
602
5.	Площадь треугольника с вершинами (хг, уг)9 (х2, уг) ™ (х3, у3)
s = ± 5 КХ2 - *1)(Уз — У1) - (*з - XiXj/2 - «/1)1-
А
6.	Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у — kx + Ь,
где k = tg (р (угловой коэффициент) — наклон прямой к оси Ох и b —
величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.
ъ' _ъ
7.	tg 0 = -~. — тангенс угла между прямыми с угловыми ко-
1 + k k
эффициентами k и k'.
Условие параллельности прямых: k' = k; условие перпендикуляр-
ности прямых: fe' == - 7 .
k
8.	Уравнение прямой, проходящей через данную точку (хх, ух):
у - ух= k(x - xj,
где k — угловой коэффициент прямой.
9.	Уравнение прямой, проходящей через две точки (х19 уг) и (х2, г/г):
Х-Х1 _ У-У1
*2~*1	У2-У1'
10.	Уравнение прямой, отсекающей отрезки аиЪна осях координат:
2 +2=1.
а Ъ
11.	Общее уравнение прямой
Ах + By + С = 0	(А2 + В2 * 0).
12.	Расстояние от точки (хп i/J до прямой Ах + By 4- С = 0:
g = [Axj + Bi/i + Cl
л/А2 + В2
13.	Уравнение окружности с центром (х0, yQ) и радиусом R:
(х - х0)2 + (у - уо)2 « R2.
14.	Каноническое уравнение эллипса с полуосями а и Ь:
^+^1.
а2 Ъ2
(1)
Фокусы эллипса F(c, 0) и F'(-c, 0), где с2 = а2 - Ь2.
15.	Фокальные радиусы точки (х, у) эллипса (1):
г = а - ех; г' = а + ех,
где е = - <1 — эксцентриситет эллипса,
а
603
16.	Каноническое уравнение гиперболы с полуосями а и Ь:
х2 _	= 1
а2 Ь2
(2)
Фокусы гиперболы F(c, 0) и F'(~c, 0), где с2= а2 + Ъ2.
17.	Фокальные радиусы точки (х, у) гиперболы (2):
г = ± (ех - а), г' - ± (ех + а),
где е = с/а >1 — эксцентриситет гиперболы.
18.	Асимптоты гиперболы (2):
У = ±-Х.
а
19.	График обратной пропорциональности
ху = с (с 0)
— равносторонняя гипербола с асимптотами х — 0 и у = 0.
20.	Каноническое уравнение параболы с параметром р:
у2 = 2рх.
Фокус параболы: F(p/2, 0); уравнение директрисы: х = -р/2; фокаль-
ный радиус точки (х, у) параболы: г = х + £.
21.	График квадратного трехчлена
у = Ах2 + Вх + С
Л	В В2- 4АСА
— вертикальная парабола с вершиной О (	~—4А—J *
22.	Полярные координаты точки с прямоугольными координатами
х и у:
р = 7х2 +z/2, tg«p =
Прямоугольные координаты точки с полярными координатами риф:
х == р cos ф, у = р sin ф.
23.	Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром
в начале координат:
х « R cos t, у = R sin t
(t — параметр).
24.	Параметрические уравнения эллипса с полуосями а и Ь:
х =* a cos t, у == б sin t.
25.	Параметрические уравнения циклоиды:
х = a(t ~ sin t), у « а(1 - cos t).
604
II.	Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
1.	Основные теоремы о пределах:
a)	lim[/(x) + g(x) - Л(х)] = lim/(x) + limg(x) - limft(x);
х-*а	х —* а	х-*а	х -* а
б)	Нт(Дх) £(х)] = ИтДх) • limg(x).
Х-* а	х—* а	х -*а
В частности,
lim [с/(х)] = с lim Дх);
х — а	х —* а
в)	lim [/(x)/g(x)] = lim Дх): limg(x) (limg(x) * 0).
x —* a	x~*a	x-*a x~+a
2.	Замечательные пределы:
a) lim = i; 6) lim fl + IY = lim (1 + a)V“= e = 2,71828....
x —0 X	X—oo\ x) a —0
3.	Связь между десятичными и натуральными логарифмами:
1g х = М In х,
где М = Ige = 0,43429... .
4.	Приращение функции у = Дх), соответствующее приращению Дх
аргумента х:
= /(х + Дх) - /(х).
5.	Условие непрерывности функции у = f(x):
lim Дг/ = 0.
Дх -* о
Основное свойство непрерывной функции
, lim Дх) = Д lim х).
X “♦ Xj	X -* Xi
6.	Производная
Геометрически у' = /'(х) — угловой коэффициент касательной к графи-
ку функции у « /(х) в точке с абсциссой х.
Правила нахождения производных и сводка формул для производ-
ных — см. гл. X, § 13.
7.	Теорема Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой
функции
Д*2) “ /(*0 = (Х2 “ *1)/'(£)>
где £ € (Xi, х2).
8.	Функция у = Дх) возрастает,, если f'(x) > 0, и убывает, если
/'(*) < 0.
605
9.	Правило Лопиталя для неопределенностей вида ~ или ~ :
Um -Iim2l£l,
х-а V(x) x-alg(x)
если предел справа существует.
10.	Локальная формула Тейлора
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - х0) + ... +	- xQ)n + о[(х - х0)п],
где f^(x) существует в некоторой полной окрестности точки х0.
11.	а) Необходимое условие экстремума функции f(x) в точке х0:
/'(х0) = 0 или f'(xo) не существует.
б)	Достаточные условия экстремума функции f(x) в точке х0:
1)	/'(х0) = f'(xQ- h1)f'(xQ+ h2) < 0 при любых достаточно малых
hx > 0 и h2 > 0, или
2)	/'(х0) = 0, /"(х0) * 0.
12.	а) График функции у - /(х) вогнут вверх, если /"(х) > 0, и
вогнут вниз, если /"(х) < 0.
б)	Необходимое условие точки перегиба графика функции у = /(х)
при х = х0: /"(х0) = 0 или /"(х0) не существует.
Достаточное условие точки перегиба при х = х0:
/"(х0) - 0, /"(х0 ~ h.) f"(xQ + h2) < О
при любых достаточно малых hx > 0 и h2 > 0.
13.	Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Р] и /(а) /(Р) < О,
то корень £ уравнения /(х) * 0 приближенно может быть найден по фор-
мулам:
а) = а -	(₽ ~ а> (метод хорд):
/(а)
/'(а) ’
б) = а -
где /'(а) * 0, /(а)/"(а) > 0 (метод касательных).
14.	Дифференциал независимой переменной х: dx = Дх. Дифферен-
циал функции у = /(х): dy = y'dx. Связь приращения Дг/ функции с
дифференциалом dy функции:
Ду == dy + аДх,
где а О при Дх —► 0.
Основные свойства дифференциалов и формулы дифференциалов —
см. гл. ХП, § 7.
15.	Малое приращение дифференцируемой функции
/(х + Дх) - /(х) » /'(х)Дх.
606
16.	Дифференциал второго порядка функции у = /(х), где х — не-
зависимая переменная (d2x = 0):
d2y = y"dx2.
III.	Интегральное исчисление
1.	Если dy — f(x)dx, то
У = J f(x)dx
(неопределенный интеграл).
2.	Основные свойства неопределенного интеграла:
a)dj/(x)dx « /(x)dx, ^J/(x)dx] “ /(х);
б) | dF(x) = F(x) + С;	в) ^Af(x)dx = A J f(x)dx (А * 0);
г) Jlf(x) + S(x) - h(x)]dx = Jf(x)dx + Jg(x)dx - Jh(x)dx.
Таблица простейших неопределенных интегралов — см. гл. XIII, §3.
3.	Основные методы интегрирования.
а)	Метод разложения:
Jftx)dx = J/i(x)dx + ^f2(x)dx,
где fix) = Л(х) + /2(х).
б)	Метод подстановки: если х = <p(f), то
j/(x)dx = |/(<p(t))<p,(Odt
в)	Метод интегрирования по частям:
J udv = ио - J vdu.
4.	Формула Ньютона—Лейбница: если /(х) непрерывна и
F'(x) = /(х), то
ь
j f(x)dx = F(b) - F(a).
а
5.	Определенный интеграл как предел интегральной суммы:
Г f(x)dx = lira У/(х()Дхо
J	max|axj - 0
где хг € [Xj, х( + J и Ах, = Xj +1 - х(.
607
6. Основные свойства on
функции непрерывны):
ъ	ь
a) J f(x) dx = J f(t)dt;
a	a
b	a
в) J f(x)dx = - J f(x)dx;
a	b
b	b
Д) jA/(x)dx = A J f(x)dx;
a	a
x	b
ж) y- - f(x), A f
dx J	dx J
a	x
7. Теорема о среднем: если
иного интеграла (рассматриваемые
а
б) Jf(x)dx - 0;
ebb
г) J f(x)dx 4- J f(x)dx = J f(x)dx9
аса
b
e) J [/(x) + g(x) - h(x)]dx =
a
b	b	b
= J f(x)dt	+	J g(x)dx	-	J h(x)dx;
a	a	a
t - -f(x).
непрерывна на [a, &], то
J f(x)dx
a
= (b- a)f(c),
где а < с < Ъ.
8.	Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
ь	ь
~ v(x)u'(x)dx.
a J
J u(x)v'(x)dx = u(x)v(x).
9.	Формула замены переменной в определенном интеграле:
ь	Р
J /(x)dx = J /(ф(О)ф'(О^.
a	a
где а ф(а) и Ъ = ф((3).
10.	Формула трапеций:
ь
С fl	1 \
J ydx = й^-t/o + i/i + ... + yn-i + -y„J ,
а
« Ъ — а	т
где п = -----, х0 а и хп = Ь9
п
У = /(х), yt = f(x0 + ih) и = 0, 1, 2, ...» п).
608
11.	Формула Симпсона
ь
J ydx - |	+ У(Ь)]>
а
где Л - i (Ь - а).
£л
12.	Несобственный интеграл:
+ ОО	Ь
Г f(x)dx == lim f f(x)dx.
J	b ->4-oo J
a	a
13.	Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной
линией у = f(x) (/(х) > 0), осью Ох и двумя вертикалями х = а и х = b
(а < Ь):
ь
 s = J ydx.
а
14.	Площадь сектора, ограниченного непрерывной линией р = /(ф)
(риф — полярные координаты) и двумя лучами ф = а и ф = Р (а < Р):
Р
s=|jpw
а
15.	Длина дуги гладкой кривой у - f(x) в прямоугольных коорди-
натах х и у от точки х в а до точки х « Ь (а < &):
ь
, 1 = J л/1 + у'2 dx.
а
16.	Длина дуги гладкой кривой р = /(ф) в полярных координатах р
и ф от точки ф = а до точки ф = 0(а < Р):
Р
I « J 7р2 + р'2 <1ф-
а
17.	Длина дуги гладкой кривой х » ф(£)> У = Ф(0, заданной пара-
метрически (tQ < Т):
т
+у'2dt.
<0
18.	Объем тела с известным поперечным сечением S(x):
ь
V= Js(x)dx.
609
19.	Объем тела вращения:
ь
а)	вокруг оси Ox: Vx ** п Jy2dx (а < Ь);
а
d
б)	вокруг оси Оу: Vy « nJ x2dy (с < d).
с
20.	Работа переменной силы F « F(x) на участке [а, Ь]
ь
A — ^F(x)dx.
а
IV. Комплексные числа,
определители и системы уравнений
1.	Комплексное число z - х + iy, где х = Re z, у = Im z — дейст-
вительные числа и^2 = -1. Модуль комплексного числа
|z| = л/х2 + у2 > 0.
Равенство комплексных чисел:
Zi = z2 <=> Re zx = Re z2 и Im zr = Im z2.
2.	Сопряженное число для комплексного числа z = х + iy:
z — х ~ iy.
3.	Арифметические действия над комплексными числами
= *1 + iyi и 22 = х2 + iy2:
a)	Zi ± z2 = (Xi ± х2) + i^ ± у2);
б)	ZiZ2 = (хгх2 - угу2) + i(xry2 + х2уг);
2i _ zxz2 _ (xxx2^yxy2}^i{x2yx-xxy2}
Z " №----------------JFrf------------*0)'
В частности,
Re z = i (2 + z) Im z « ± (z - z), \z\2 = zz.
Zi
4.	Тригонометрическая форма комплексного числа:
z == r(coscp + i sin<p),
где г = |г| и ф = Arg z.
5.	Теоремы о модуле и аргументе:
a)	ki + z2| < IzJ + |z2|;
6)	|zjZ2| = IzJIzJ, Arg ZiZ2 - Arg Zj + Arg z2;
610
в)
Z1
*2
Zi
, Arg—
Z2
= ArgZj - Argz2 (z2 * 0);
r) |zn| = \z n, Arg zn = n Arg z (n — целое).
6.	Корень из комплексного числа'.
& = О/Й fC08ar?z + 2ft” + i sinargz + 2fe^
к п	nJ
(k = О, 1, 2,	п-1).
7.	Показательная форма комплексного числа*,
z = ге'\
где г = |г| и ф = Argz.
8.	Определитель второго порядка:
D =
9. Решение системы
ai
Л2 Ь2
— O1&2 — 02^1*
а1Х + ^1У = с19
а2х + Ъ2у = с2
дается формулами
Dx
Х D ’
Оу .	Xf	X
У = & (правило Крамера),
где
D =
ai
а2 Ь2
*0, Dx^
Ci
с2 Ь2
ai ci
а2 с2

10.	Решения однородной системы
агх + Ъгу + crz = О,
а2х + b2y + c2z = О
(1)
даются формулами
х = DJ, у - -D2t, z В3/(-оо < t < +оо),
где
ai ci D -
а2 с2	а2 Ь2
— миноры матрицы
4^1 Cj
а2 Ъ2 с2
D
Ь2 с2
611
11.	Определитель третьего порядка
где
— алгебраические дополнения соответствующих элементов определителя.
12.	Решение системы
агх + bty + crz —
а2х + b2y + c2z =* d2, ►
а3х + М + сз2 == d3
дается формулами Крамера
где
	°i bi Ci			di bi Ci
	0^2 ^2 с2	*0,		d2 b2 c2
	®з Ь3 С3			d3 b3 c3
ttj dj Cj
&2 ^2 с2 9
а3 d3 с3
ai
0^2 Ь2 ^2
а3 &з d3
13.	Решения однородной системы
ахх + Ьху + сг2 » О,
Л2Х + Ь2У + С22 =
а3х + ь3у + с32 О,
если
D -
ai ci
^2 ^2 с2
а3 Ъ3 с3
а1
а2 ^2
*0
находятся из подсистемы (см. (10))
агх + Ъгу + сгг О,
а2х 4- Ь2у + с22 =* 0.
612
V.	Элементы векторной алгебры
1.	Сумма векторов а9 Ь, с есть вектор s — а + Ъ + с, являющийся
замыкающим векторной линии со звеньями а9 Ъ9 с,
2.	Разность векторов а и Ь есть вектор d = а-Ъ = а + (-6), где -Ь
есть вектор, противоположный вектору Ь.
3.	Произведение вектора а на скаляр k есть вектор b - ka такой,
что Ъ = |£|а, где а = |а| и Ь - |Ь|, причем направление вектора Ь совпадает
с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно ему, если к < 0.
4.	Векторы а и Ь коллинеарны, если Ъ = ka (k — скаляр).
Векторы а, Ъ, с компланарны, если с « ka + lb (k9 I — скаляры).
5.	Скалярное произведение векторов анЬ есть скаляр
ab = ab cos ф,
где ф = Z. (а, Ь).
Векторы а и Ь ортогональны, если ab = 0.
Если а = {ах9 ау9 аг} и Ь = {Ьх9 Ъу9 Ъг}9 то
аЪ =* ахЪх + ауЬу + агЪг.
6.	Векторное произведение векторов анЬ есть вектор
с = а х Ь9
где с ± а, с ± Ъ и с - ab sin ф (ф = Z(a, Ъ))9 причем а, Ь, с —- правая тройка.
Если a = {ах9 ау9 аг}^Ь= {Ъх9 Ьу9 Ьг}9 то
а х Ь =
i j k
&Х 9
ьх Ьу ьг
где i9j9k— единичные векторы (орты), направленные по соответствую-
щим осям координат.
7.	Смешанное произведение
abc - (ах Ь) • с
представляет собой объем (со знаком) параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь9 с.
ЕСЛИ а {^х> &у9	{^jt»	С	Су* ТО
аЪс =
ах ау аг
bx Ьу Ьг
Сх Су Сг
VI.	Аналитическая геометрия в пространстве
1.	Декартовы прямоугольные координаты точки М (х, у9 z) про-
странства Oxyz есть
х = гх9 у = ry9 z = гг9
где г = ОМ — радиус-вектор точки М.
613
2.	Длина и направление вектора а = {ах, ау9 аг} определяются фор-
мулами
а « |а| «»	+ а* + af ,
cos а = —, cos ₽ = \ cos у = — (cos2 а + cos2 Р + cos2 у = 1),
а	а	а
где cos а, cos Р, cos у — направляющие косинусы вектора а.
3.	Расстояние между двумя точками Mr(x19 у19 zr) и М2(х2, у2, z2)
d - |мйи2| = 7(*2 - Х1)2 + (У 2 - У1)2 + («2 - *1)2 •
4.	Уравнение плоскости с нормальным вектором N = {А, В, С} *
# 0, проходящей через точку М0(х0, Уо, 2о)» есть
N • (г - г0) = 0,	(1)
где г — радиус-вектор текущей точки плоскости М(х9 у9 z) и г0 — ра-
диус-вектор точки Мр.
В координатах уравнение (1) имеет вид
А(х - х0) + В(у - уо) + C(z - zQ) = О,
или
Ах + By + Cz + D = 0,	(2)
где D = -Axq ~ Вуо - Cz0 (общее уравнение плоскости).
5.	Расстояние от точки Мг(х19 уг, zr) до плоскости (2) равно
d == И1**+
Ja2+B2 + C2
6.	Векторное уравнение прямой линии в пространстве:
г = r0+ st9	(3)
где г - {х, у, z} — текущий радиус-вектор прямой, г0 — {х0, г/0> 2о) —
радиус-вектор фиксированной точки прямой, а « {т9 п9 р} * 0 — на-
правляющий вектор прямой, t — параметр (~°° < t < +°°).
В координатной форме уравнение прямой (3) имеет вид
х-Хр = y-Уо = z-Zp
т п р *
7.	Прямая линия как пересечение плоскостей задается уравнениями
Ах + By + Cz + D = О,
А'х + В'у + C'z + D' = 0.
(4)
Направляющий вектор прямой (4) есть s = N х где N — {А, В, С},
N' = {Az, В', С'}.
8.	Уравнение сферы радиуса В с центром (х0, у09 zQ):
(х - хр)2 + (у - уо)2 + (z - Zp)2 = R2.
614
9.	Уравнение трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь и с:
+i^ +	-1
а2 Ьг С2
10.	Уравнение параболоида вращения вокруг оси Ог:
х2 + у2 = 2рг.
VII.	Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных
1.	Условие непрерывности функции z = Дх, у):
lim [Дх + Дх, у + Az/) - Дх, у)] = О
Дх —О
Ду— О
lim Az
Дх —О
Ду-О
или
lim Дхт, yj « Дх, у).
хх — X
У\ “* У
Аналогично определяется непрерывность функции и = Дх, г/, г).
2.	Частные производные функции г - Дх, у) по переменным х и ух
dz = Ит /(х + Ах, у)-/(х, у) дг = Птп /(х,у + Ау)-/(х,у)
Эх дх-о	Ах	ду Лу-о	&у
3.	Полный дифференциал функции г = f(x, у) от независимых пе-
ременных х и у;
dz^^-dx+^dy,
дх ду
где dx = Ах и dy = Дг/.
Если и = Дх, I/, г), то
du=|udx+dudy+dudz
дх ду дг
4.	Малое приращение дифференцируемой функции
txz « Ах + Лу.
дх ду
5.	Производная функции и = Дх, у) по направлению I, заданному
единичным вектором {cos a, cos Р), равна
Эи _ ди , ди л
— = — cos а + -г— cos р.
dl дх ду
Аналогично, если и = Дх, i/, z) и {cos a, cos Р, cos у} — единичный
вектор направления Z, то
Эи _ Эи . ди о , Эи ЛЛв „
cos а + v cos Р + cos Y*
dl дх ду дг
615
6.	Точки экстремума (точнее — точки возможного экстремума)
дифференцируемой функции и = /(х, у9 z) определяются из уравнений:
/'(х, у, г) = 0,	/'(х, у, z) = 0,	/'(х, у, z) - 0.
7.	Градиент скалярного поля и - /(х, у9 г) есть вектор
Отсюда
grad и -
ди ди ди
дх9 ду 9 dz
8.	Если Р(х, y)dx + Q(x, y)dy есть полный дифференциал в области
G, то
((X, У) е G)
ду дх
(признак полного дифференциала).
VIII. Ряды
1.	Основное определение:
оо
п - 1	п = 1
2.	Необходимый признак сходимости ряда: если ряд ип сходит-
ся, то
lim ип — 0.
3.	Геометрическая прогрессия:
V ад"-1 = ----, если |д| < 1.
1 - а
п = 1
4.	Гармонический ряд
1 + 1
2	3
(расходится).
5.	Признак Даламбера. Пусть для ряда	ип (ип > 0) существует
lim = 1.
п-^оо и„
616
Тогда: а) если I < 1, то ряд сходится; б) если I > 1, то ряд расходится и
ип У» 0.
оо	оо
6.	Абсолютная сходимость. Если ряд У |un| сходится, то ряд у ип
п = 1	п = 1
также сходится (абсолютно).
7.	Признак Лейбница. Если v2> v3> ... > 0 и vn —► 0 при п —► оо,
то знакочередующийся ряд
I?! ~ V2 + V3 - 1?4 + ...
сходится.
8.	Радиус сходимости степенного ряда
а0 + агх + а2х2 + ...
определяется по формуле
R =

lim
П — оо
an + i
если последняя имеет смысл.
9.	Ряд Маклорена:
f(x) = ДО) + /'(0)х + х2 + ... + хп + ... .
10.	Разложение в степенные ряды основных функций:
а)= 1 + х + х2+ ... + хп + ... (|х| < 1);
1-х
б)	1п(1 +х) = х -	+ V “Т +-+W-1- +••• (~1<х<1);
& О 4	Л
у«3	у 5	у 7	у2л-1	. .
в)	arctgx = х- ^+ ^--£-+... +	+ ... (|х| < 1);
о О 7	— 1
у2	-уЗ	уЛ	. . I
Г) е* = 1 + X + |- +	+ ... +	+ ... (|х| < + оо);
Z!	О!	71!
уЗ у5 у 7	у2л-1	.	.
д) sinx - х- I; + ь - Ij + ... + <-1>-	+ ... (|х| < +~);
у»2	у»4 г6	у»2л	. .
+ it - fr + - + w (fej; + - <1«1<+^
ж) (1 + x)n = 1 + тх + m',m ~	№ + ...
1 * и
+ х„ + (|х| <
11.	Ряд Тейлора:
f(x) = /(а) + /'(а)(х - а) + (х - а)2+ ... + (х - а)” + ....
2!	п!
617
12.	Ряды в комплексной области:
со	оо	оо
У (и» + iv„) - У ип + i У v„.
П = 1	71 = 1	п = 1
13.	Абсолютная сходимость рядов с комплексными членами. Если
ряд
оо	оо
У 1“» + toJ - У +
л=1	п=1
оо
сходится, то ряд (ип + ivn) также сходится (абсолютно).
п = 1
14. Формулы Эйлера:
eix = cos х + i sin x, e~ix = cos x - i sin x.
15. Тригонометрический ряд Фурье кусочно-гладкой функции f(x)
периода 21 имеет вид
ао . V1 С.___h ^^ппхУ	п\
fw “ “г + n с ~ + bn	~ J9
п = 1
где
1	I
ап = | Г ftx)cos^dx (п = 0, 1, 2, ...),
I
ъп = | f /(x)sin^ dx (п = 1, 2,...)
(коэффициенты Фурье функции / (х)).
Для функции f(x) периода 2п получаем
оо
/(х) в 7Г + V (®n cos пх + sin ЛХ)»
а .
п = 1
где
Ъп
я
1 Г*/ ч cosnx.
= - Я«) 1 .
я J [smnx
(п = 0, 1, 2, ...).
В точках разрыва функции f(x) сумма ряда (1) равна
S(x)= | [/(х - 0) + f(x + 0)].
618
16. Если 2/-периодическая функция /(х) четная, то
/(*)= у + У a„cos^,
п = 1
где
i
а» “ 7 рСОсовпг dx = °’ lj 2’ ->•
t J	I
о
Если 2/-периодическая функция /(х) нечетная, то
К*)- £&„sin^,
п = 1
где
6, - | p(x)8in^ dx (n = 1, 2, ...).
о
IX. Дифференциальные уравнения
1.	Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Х(х) Y(y)dx + X^Y^dy = О
имеет общий интеграл
(1)
Особые решения, не входящие в интеграл (1), определяются из уравне-
ний Xi(x) - 0 и У (у) - 0.
2.	Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = О,
где Р(х, y)nQ (х, у) — однородные непрерывные функции одинаковой
степени, решается с помощью подстановки
У == их
(и — новая функция).
3.	Линейное дифференциальное уравнение первого порядка
а(х)у' + Ь(х)у + с(х) == О
может быть решено с помощью подстановки у = uv, где и — ненулевое
решение однородного уравнения а(х)у' + Ъ(х)у = 0, а v — новая функ-
ция.
619
4.	Интегрируемые случаи дифференциального уравнения второго
порядка:
а)	если
у" “ /(*).
то общее решение
у = J dx J f(x)dx + Схх + С2;
б)	если
у" ~ Ку),
то общий интеграл
[   dy = ± (X + С2);
3 J2jf(y)dy + Cl
в) если
у" “ f(y'),
то общий интеграл уравнения может быть найден из соотношения
где у' = р.
5.	Случаи понижения порядка для дифференциального уравнения
второго порядка:
а)	если
У" - fix, у’),
то, полагая у' ** р(х), получаем
б)	если
у" = Ку, у'),
то, полагая у' - р(у), будем иметь
6.	Общее решение линейного однородного дифференциального урав-
нения второго порядка
у" + р(х)у' + q(x)y = О
имеет вид
У = Ci!/i + С2у2,
где и 1/2 — линейно независимые частные решения.
620
7.	Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка
у" + Р(х)у' + У(Х)У = f(x)
имеет вид	_
У = У + 2,
где у — общее решение соответствующего однородного уравнения, z —
частное решение данного неоднородного уравнения.
8.	Таблица 1
Общий вид решений однородного уравнения у" 4- ру' + qy = О
(р и q постоянны) в зависимости от корней
характеристического уравнения k2 + pk + q — О
№ п/п	Характер корней kr и k2 характеристического уравнения	Вид общего решения
I	Корни и k2 действительные и различные	у = CrekiX + C2ek*x
II	Корни равные: “ ^2	У = (Cj + С2х)е*‘*
III	Корни комплексные: kr = а 4- ф, &2 = ос - ф	у = е^С^соз Рх 4- C2sin 0х)
9. Таблица 2
Характер частного решения z неоднородного уравнения
у" + ру' + + qy = f(x) (pnq постоянны)
в зависимости от правой части f(x)
№ п/п	Правая часть /(х)	Случаи	Частное решение1*
I	/(х) = аетх (а, т постоянны)	1)т2 + рт + д^О, 2) т2 4- рт 4- д = 0. а) р2 ~ 4g > 0, б) р2 - 4g в 0	МММ II II II < *3 Л
II	/(х) = Mcos сох 4- 4- N sin сох (М, N, (о постоянны; (о 0)	1)р24-(д-(о2)2^О, 2) р = 0, д = (о2	z « A cos (ох 4- 4- В sin (ох, z = х(А cos (ох + + В sin (ох)
III	/(х) « ах2 + Ъх +. с (а, Ь, с постоянны)	2) q = 0,р 0	z Ах2 4- Вх 4- С, z = х(Ах2 4- Вх 4- С)
^А, В, С — постоянные неопределенные коэффициенты.
621
X.	Криволинейные интегралы
1.	Криволинейный интеграл первого рода от непрерывной функ-
ции /(х, у), взятый по кусочно-гладкой кривой К: х = x(f), у = y(t)
(t € [a, PJ), равен
₽
J/(x, y)ds = J/(x(t), y(f))Jx'2(t) + y'2(t)\dt\.
К	a
(1)
Если кривая К задана уравнением у — у(х) (а < х < Ь), то
ь
f(x, y)ds = р(х, j/(x))71+y'2(x)dx.
Аналогично определяется криволинейный интеграл первого рода
для случая пространственной кривой К.
Если f(x, у) есть линейная плотность линии К9 то интеграл (1) пред-
ставляет массу линии К.
2.	Криволинейный интеграл второго рода от пары непрерывных
функций Х(х, у), У(х, у), взятый по кусочно-гладкому пути К: х — х(£),
У “ y(t) (* [ос» ₽]), определяется формулой
J Х(х, y)dx + У(х, y)dy =
к
= J [X(x(t), y(t))x'(t) + Y(x(t), y(t))y’}dt.	(2)
а
Если путь К задан уравнением у = у(х) (х 6 [а, £]), то
ъ
Jx(x,y)dx + У(х, y)dy - |[Х(х, у (х)) + У(х, у(х))у' (x)]dx.
К	а
Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода
для пространственной кривой К.
Физически интеграл (2) представляет собой работу переменной си-
лы F = {Х(х, у), У(х, у)} вдоль пути К.
3.	Если выполнено условие
Х(х, y)dx + У(х, y)dy « dU(xr у),
то интеграл (2) не зависит от пути интегрирования К и
Jx(x, y)dx + У(х, y)dy - Щх>
к

= и (Х2, Уг) “	!/1),
(3)
где (xlt Уг) — начальная точка пути, (х2, у2) — конечная точка пути.
Физически интеграл (3) представляет собой работу силы, имеющей
потенциал U(x, у).
622
XI.	Двойные и тройные интегралы
1.	Двойным интегралом от функции /(х, у)9 распространенным на
область S, называется число
J f f(x, y)dS = lim £ f(xit yM,	(1)
S	'= 1
где (xi9 yt) e ASi (i “ 1, 2, ...» n), d — наибольший диаметр ячеек
Если /(x, у) > 0, то геометрически интеграл (1) представляет собой
объем прямого цилиндроида, построенного на основании S и ограни-
ченного сверху поверхностью г — /(х, у).
2.	Если область интегрирования S стандартна относительно оси Оу
и определяется неравенствами а < х < Ъ, уг(х) < у < у2{х), где уг(х)9
у2(х) — непрерывные функции, то двойной интеграл в прямоугольных
декартовых координатах от непрерывной функции /(х, у) выражается
формулой
Ь Уг(х)
V)dx dy = Jdx J /(x, y)dy.
S	а уг(х)
3.	Двойной интеграл в полярных координатах фиг, где
х =. г cos ф, у = г sin ф,
имеет вид
JJ f(x> y)dS = J J f(r cos ф, r sin ф) rd(p dr.
s	s
Если область интегрирования S определяется неравенствами
а < ф < Р, г^ф) < г < г2(ф), то
р г2(ф)
JJ f(x> y)dS = Jcfcp J rf(r cos ф, r sin ф)с/г.
s	a n(<p)
4.	Если p ~ p(x, у) — поверхностная плотность пластинки S9 то ее
масса
т = J*Jp(x’ y)dS = dy
*s	s
(физический смысл двойного интеграла). В частности, при р = 1 полу-
чаем формулу площади пластинки
623
5.	Статические моменты пластинки S относительно координат-
ных осей Ох и Оу выражаются интегралами
Sx= PJ/dS,S₽ =
JJpxdS.
где р » р(х, у) — поверхностная плотность пластинки S.
6.	Координаты центра масс пластинки S определяются формулами
_ Sy _ Sx
m m
где m — масса пластинки (см. (2)).
Для однородной пластинки в формулах (2) и (3) можно положить
Р = 1.
7.	Моменты инерции пластинки S относительно координатных
осей Ох и Оу выражаются интегралами
Ix = ||pj/2dS, 1У = |Jpx2ds-
s
где p ~ p(x, y) — поверхностная плотность пластинки.
8.	Тройным интегралом от функции /(х, у9 z)9 распространенным
на область V, называется число
f(x, у, 2)dV - lim у f(xit yt, г,)ДУ(,	(4)
d —О
i = l
где (хэ yi9 Zi) € AVf (i = 1,2, ..., n), d — наибольший диаметр ячеек AKZ.
Если /(x, у, z) есть плотность в точке (х, у, z)9 то тройной интеграл
(4)	представляет собой массу, заполняющую объем V.
9.	Объем тела V равен
ш
V
v	v
10.	Если область интегрирования V определяется неравенствами
а < х < Ь9 у^х) < у < г/2(х), ^(х, у) < z < z2(x, у)9 где у^х)9 zt(x9 у)
(i • 1, 2) — непрерывные функции, то тройной интеграл в прямоуголь-
ных координатах от непрерывной функции Дх, у9 г) может быть вы-
числен по формуле
ч Р	z2(x, у)
f(x9 у9 z)dx dy dz = jdx J dy J f (x, y9 z)dz.
V	а	уг(х) г^х.у)
624
XII. Теория вероятностей
1.	Под суммой двух событий А и В
А+ В=АU В
понимается событие, которое имеет место тогда и только тогда, когда
осуществляется хотя бы одно из событий А и В.
2.	Под произведением двух событий А и В
АВ = А П В
понимается событие, которое имеет место тогда и только тогда, когда
происходит как событие А, так и событие В.
3.	Вероятность (в классическом смысле) события А
Р(А) = - (ОС Р(А) С 1)
п
— отношение числа т благоприятных для события А равновозможных
элементарных исходов к числу п всех единственно возможных и равно-
возможных элементарных исходов.
4.	Вероятность противоположного события
Р(А) = 1 - Р(А).
5.	Теорема сложения пля двух несовместных событий А и В:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
В общем случае
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
6.	Теорема умножения вероятностей:
Р(АВ) = Р(А)Ра(В),
где РЛ(В) — соответствующая условная вероятность события В.
Если события А и В независимы, то
Р(АВ) = Р(А) • Р(В).
7.	Формула полной вероятности:
Р(А) = £Р(Яг)РН((А),
i = 1
где Ни Н2, ...» Нп — полная группа гипотез:
А =	НА, = 0 при i * 1, £ Р(Яг) = 1.
i = 1	i= 1
8.	Формула Бейеса:
Рлт-
н
(i-1, 2, где Н19 Н2, ...» Нп — полная группа гипотез.
21 Б. Демидович, В. Кудрявцев
625
9.	Основные формулы комбинаторики:
а)	число размещений из п элементов по т
а: = п(п - 1) ... \п-(т- 1)] = —;
(п — ту
б)	число перестановок из п элементов А” » п!;
в)	число сочетаний из п элементов по т
ст =- п(п~ 1)- [п~(7П~ 1)] =
п	т\	ml(n-m)l‘
10.	Формула бинома Ньютона:
(д + Р)п =* qn + C*qn~lp+ C2qn~2p2 + ... + рп.
11.	Биномиальный закон распределения: в условиях схемы Бернул-
ли вероятность появления события А при п испытаниях точно т раз
(О < т < п) равна
P„(m) = С” p”q*-“ = —
т!(п — ту
где Р(А) ~ р, Р(А) = q = 1 - р при однократном испытании.
12.	Локальная формула Лапласа:
Рп(т) « .	.е-‘2/2
J2nnpq
(см. п. 11), где 0 <р < 1, q*=l- р9 t = (npq)~V2 (т ~ пр).
13.	Интегральная формула Лапласа:
Р(т^т< т2) ~ Фо (tmz) - Фо (*ОТ1),
где
“ tm - (лрд)"1/2 (т - пр)9 Ф0(х) = -pz: fe-*2/2 dt.
J2n J
14.	Формула Пуассона:
Pn(m)« И2е-м,
т\
где ц = пр, причем вероятность р мала.
15.	Математическое ожидание дискретной случайной величины
X = {Хр Х29 •••9 #П}>
П
где pi = Р(Х == Xi) (i »1, 2, ..., п), ^Pi 1, есть
\ 4 = 1
М(Х)~ Pi.
L = 1
626
Основные свойства:
1)	М(С) = С;	4) М(СХ) = СМ(Х);
2)	М(Х + У) = М(Х) + М(У);	5) M(XY) = М(Х) M(Y)
3)	М(Х - У) = М(Х) - M(Y);	(X и У независимы).
16.	Дисперсия дискретной случайной величины X
D - М{[Х - М(Х)]2} = М(Х2) - [М(Х)]2.
Основные свойства:
1)	2>(С) = 0;
2)	D(X ± У) = D(X) + £(У) (X и У независимы);
3)	D(CX) = C2D(X).
17.	Для биномиального закона распределений числа появлений X
события А при п испытаниях имеем:
1)	Р(Х = т) = С”pnqn~m (т = 0,1,2, ... , п), гдер = Р(А), q = Р(А);
2)	М(Х) = пр;
3)	Z>(X) = npq.
18.	Для непрерывной случайной величины X имеем:
а)	функцию распределения
X
Ф(х) = Р(-оо < X < х) = |ф(0 dt
-оо
(-оо < х < +°°), где ф(х) — плотность вероятности;
б)	математическое ожидание
+ оо
М(Х) = j Хф (х) dx;
—оо
в)	дисперсию
+ОО
D(X) = | [х - М(Х)]2ф (х) dx.
-оо
19.	Для нормального закона распределения случайной величины X
плотность вероятности имеет вид
ф(х)----
а72л
где xQ == М(Х), а = *jD(X),
В этом случае
Р(а < х < Ь) = Ф0Г—- Фо(^^1 >
k a J \ а )
где Фо (х) (см. п. 13) — стандартный интеграл вероятностей.
ОТВЕТЫ
Глава I
2. (О, 0), (10, 0), (5, 573). 3. а) М(1, -2); б) М(-1, 2); в) М(2, 1);
г)М(-2, -1). 4. Aj(8, 4); ВД11, 3). 5. хг = 6, У1 = 0; хг = 0, Уг = 0.
6. сМ , бГ . 7. В(4, 5). 8.	72.9. (4, 3). 10.	1|, 1). 11. xt = х0 + th,
к 5	57	3	к 3	7
У, = Уо+ tk (i = 1, 2, .... п - 1), где h - и k =	. 12. 12.
п	п
14.	j/i » 10; у, = -5. 15. 15| га.
5
Глава II
1.	у = 2х и у = -2х. 2. 5х + у + 2 = 0. 3. Окружность: х2 + у2 = 4.
4. а) Совокупность осей координат; б) начало координат (0, 0); в) пара
прямых, параллельных оси Оу, лежащих по обе стороны ее и отстоящих
от нее на расстоянии, равном единице; г) пара прямых, параллельных
оси Ох и отстоящих от нее на расстояниях, равных 1 и 2; д) совокупность
биссектрисы I и III координатных углов и оси Оу.
6.	Точки А и В лежат на кривой; точки С, D и Е не лежат на кривой.
7.	(0, 2); (-1, 0); (2, 0). 8. (2, 2) и (-2, -2).
Глава III
2. у = 0; у = 2л/3 ; у = 7з (х + 5); у = ~л/3 (х - 5). 3. х - Зу + 9 =»
= 0, Зх + у - 13 = 0. 4. 12х + Sy - 15 = 0. 5. х + 2у = 0. 6. 7х - 2у - 1 =
- 0; «/53.7. 7х + Sy - 11 = 0; -Д-. 8. 6х + 5у - 56 = 0. 9. х + у - 7 =
ТПз
— 0. 10. у = 0,1х - 5; 25 м; 150 м. 11. а) х = 305, у == 215; б) точки
пересечения нет — прямые параллельны; в) х = t, у = 2t, где t произ-
вольно, — прямые сливаются. 12. у = х. 13. (-4, 0). 14. х = г—т- » У =
628
= "	» где = tga и k2 = tg₽. 15. f l|, 1Л. 16. 13. 17. 2; 1; 0.
«2“Л1	к 3 J
18.6,4.19. 7. 20.8x - бу — 15 = 0, 8x - бу + 25 = 0.21. у = - x и у = — х.
4	24
Глава IV
1.	а) С(-4, 0); R = 5; б) х2 4- у2 « 2х, в) х2 + у2 - х - у + | = 0; г) х2 +
4
+ у2 - 4х - 8у + 7 = 0. 2. 5х - 7у + 13 = 0; | а/74.3. х - у - 1 = 0.
А
4. а - 2j2 , Ь = 2, с = 2, F(2, 0), F'(-2, 0), е = 1/72.5. а)	= 1;
б) £ +4 = 1; в) + Й = 1- в. 4. 7. а) а = 2, Ъ = 3/2, с - 5/2,
’ 16	9	’ 100	36	’
О
5/4. 10. ^2= 572. 11. ± х ± у = 10. 12. 5/3. 13. у2 - 20х. 14. (О, 1);
у = -1. 15. 7,5 см от вершины. 16. 24. 17. у = 1 +	. 18. yi = 2х2 ,
xj = х - 2, yi = у + 3; Ох(2, -3). 19. ух = -х2 , хх = х - 2, ух = у - 1;
0,(2, 1). 20. у? = х„ Xi - х - ?, yi = у - |; Ог(|,	. 21. Лг = 9 м.
,	, О) , Е = 1,25; б)	= 1. 8. 150/7481.9. 5/3;
Г 21.
Глава V
2.	А(5, 0); В(3^ , 372); С(0, 2); D(-2^2, -2j2 ). 4. а) р = sec <р;
б) р = -2 cosec (р; в) (р = п/4 и ф = 5л/4; г) ф = arctg 2 и ф = л + arctg 2;
д) р = sec (ф - £); е) р » 5. 5. р = ——
к 47	соз(ф-а)
6. х2 + у2 = ах; окружность
с центром в точке С(а/2, 0) и радиуса R |а|/2. 7. у2 = 2х + 1 (парабола).
8.	=1 (эллипс). 9.	- 1 (гипербола). 10. у2 = 16х (пара-
бола). 11. 505; (-305; -405).
Глава VI
1. у = bx( 1 - -£-1 (0 < х < Л). 2. а) х > 2; б) |х| > 1; в) 0 < х < 1;
k 2h)
г) X > -1. 3. /(0) = 2, /(1) - 0. /(2) = 0, /(3) - 2, /(-х) = х2 + Зх + 2, /(1) =
= I-8**?*!, /(х + 1) = х2 - х. 4. -1,25. 5. у - 2х - 10. 6. /(х) = х2 +
629
+ 2х - 3. 7. <p(v(x)J - 22- ; V[<p(x)] = 2X‘. 8. flf(x)] = 1 - 1; f{fl/(x)]} = x.
9. a) x =	; 6) x = 3Jl-y3, x = 2 arcsin y. 11. Xj = -1,88; x2 — 0,35;
x3= 1,53. 12. 4,49. 13. 1,8796; 0,6928.
Глава VII
1. a) -3 < x < -1; б) -оо <x<0, 6<x< +°°; в) 1/2 <х<1, l<x<
< 11; r) -2 < x < -1, 1 < x < 2. 2. = 0,4%. 3. Две. 4. a) 0; 6) 1; в) -1/2.
A
5. a) 1/6; 6) 1/12. 6. 0. 7. 5. 8. 1/2. 9. cos a. 10. 2. 11. lim xx = -c/b;
a-*0
lim x2 = oo. 13. 1. 14. 0. 15. e~i.16. e3. 17. e 2. 18. e1.
a —0
Глава VIII
1.	Дх = 90; Ду = 1. 5. -1, -2, -3. 6.	+ 5 (n = 0, ±1, ±2, ...). 7. 0,
2 о
±1, ±2, ... . 8. 3. 9.1/4. 10. 2. 11. a) x = 0 — точка разрыва первого рода;
б) х = 1 — точка разрыва первого рода; в) х = 0 — точка разрыва второго
рода.
Глава X
1. а) / = 6х - 1; б) f'(x) = -2/х3, f'(l) = -2, /'(-10) « 0,002. 2. у' =
= _L +_2_ +_1_
Jx *Jx 3x3Jx
у' = х -	. 4. у' =	. 5. у' = 6х2 - 2х. 6. у' =
= (Зх + 1)/2л/х. 7. у' = x2cosx + 2х sin х. 8. у' = -2х/(1 + х2)2. 9. у' =
=	+	• Ю. у' = -----------. 11. у' = sin 2х. 12. у' = 2х cos х2.
(1-х2)2	* (sinx + cosx)2 *	*
13. у' = -7sin х • cos | . 14. у' = -|x2sin~ . 15. у' =	* __. 16. у' =
4	2	2	2	л/1+х2
=	. 17. у' =	. 18. у' = -. 19. у' = -Д— . 20. у' = пхп ~1 + пх In п.
xlnx	X	х	sinx
21. у' = -2хе~х2. 22. у' = е2 . 23. у' =	1	. 24. у' = —-, если
2	74ZP	1x17^1
|х|> 1. 25. у'—. 26. у'= - 16c°sQ2x • 27. у' =	. 28. у' = -±= .
х2 + 1	sin32x	1 + х2	71 + х2
29.у'= ДТр.30.у'=т-1^.31.у'=^.32.у'=^.ЗЗ.а)у' =
---^7; б) у' = -3. 34. а) у; =	б) у'х = 1±Д1е<“; в) у'х = -1.
у -1	а	со
35. а) у" = (4х2 - 2)е~х2; б) у" = -4 sin 2х. 36. у' = -1/х2. 37. у" = (х2- 4х +
630
+ 2)е-‘. 38. /(0) = 1, /'(0) = 0, /"(0) = -9. 39. а) у = 12х - 16; б) у - я -
- х; в) х - 4у + 8 = 0. 40.	= 1. 41. у = ^(20 - х). 42. а) у =
« -х; б) 4х + у - 36 « 0; в) 4х + Зу = 0. 43. 40л м2/с. 44. ~0,8 м/с. 45. v =
= а + р^, у = 0. 46. v = 1 - cos t; j = sin t.
Глава XI
3. (-oo, 2), (2, 4-00). 4. (-oo, -1), (-1, 1), (1, +OO). 5. (-oo, 1), (1, +oo).
в. 1.7. In?. 8. 1.9. 2. 10. 0. 11. 0. 12. ?. 13. 2. 14. 1/2. 15. 1.
6	2	3 л	n
16. 1/e. 17. 1. 18. x « a/2, у = a2/4 (макс.). 19. x « 1, у « 1/3 (макс.);
x = 3, у » -1 (миним.). 20. х = 1, у « 1 (макс.); х == -1, у = -1 (миним.).
21. х = 1/2, у — 3/2 (макс.). 22. х « 1/2, у = 1/2е (макс.). 23. Стороны
прямоугольника: a J2 и «72 /2. 24. aj2 , bj2.25. Высота конуса равна
4«/3. 26. «/6, 2«/3, 2«/3. 27. х - 1/3, у = 2/27.
28.	Область определения: -оо < х < 4-оо; Цщ у = 4-оо, lim у «
Х — -СО	х — +°о
« -оо. функция нечетная. Точек разрыва нет. Точки пересечения с ося-
ми координат: (— 7з,0) (0, 0) и (7з, 0). Точки экстремума: у^п « -2
при х = -1 и z/max в 2 при х = 1. Точка перегиба (0, 0).
29.	Область определения: -оо < х < 4-оо; Кт у = lim у == 4-оо.
. X -СО	X -* +°°
Функция неотрицательная. Точек разрыва нет. Нули функции: хг = 0
и х2 = 2. Точки экстремума: z/min = 0 при х - 0 и х = 2; ут&к == 1 при х ==
- 1. Точки перегиба: (1 -
30.	Область определения: -оо < х < 4-оо; Пт у == lim у « 1. Функ-
Х->-оо	х —Ч-оо
ция четная. Точек разрыва нет. Нуль функции х - 0. Точка экстремума:
!/imn e 0 ПРИ х в 0. Точки перегиба (+1/ 7з , 1/4).
31.	Область определения: -оо <х<0и0<х< 4-оо; Ит у = -оо,
X -» -со
lim у = -оо, Нт у = 4-оо, Пт у = 4-оо. функция нечетная. Точка
х-*-0	х +0	х-*+оо
разрыва х = 0. Нулей нет; функция отрицательна при х < 0 и положи-
тельна при х > 0. Точки экстремума: i/max = -2 при х = -1 и z/min = 2 при
х » 1. Точек перегиба нет; вогнутость вниз при х < 0 и вогнутость вверх
при х > 0.
32.	Область определения: -оо < х < 1 и -1 < х < 4-оо; lim у = 1,
х — -оо
lim у = 4-оо, Нт у = -оо, Нт у = 1. Точка разрыва х = -1.
х —-1-0	Х — -1+0	X —4-00
Нуль функции х = 0. Точек экстремума нет; функция возрастает в про-
межутках (—оо, -1) и (-1, 4-оо). Точек перегиба нет; вогнутость вверх
при х < -1 и вогнутость вниз при X > -1.
631
33.	Область определения:	< х < -2, -2 < х < 2и2< х < 4-°°;
lim у — 0, lim у = -оо, lim у = 4-оо, lim у = 4-°°, lim у = -оо,
х-*-оо	х-*-2-0	х—*--2 + 0	х —2-0	х —2 + 0
lim у = 0. Функция четная. Точки разрыва: xt « -2 и х2 = 2. Точка
х-*+оо
экстремума ymin = 2 при х = 0. Точек перегиба нет; вогнутость вниз при
х < -2 и х > 2; вогнутость вверх при -2 < х < 2.
34.	Область определения: -оо < х < 1; lim у == -оо, г/(1) = 0. Точек
Х-»-оо
разрыва нет. Нули функции: х^О их2 = 1; функция отрицательна при
х < 0 и положительна при х > 0. Точек разрыва нет. Точки экстремума
Утах == 273 /9 ~ 0,38 при х = 2/3 и ymin = 0 (краевой) при х == 1. Точек
перегиба нет; вогнутость вниз.
35.	Область определения: 0 < х < 1; lim у «+оо, г/(1) в 0. Точка
х —*+0
разрыва х = 0. Нуль функции х« 1; функция неотрицательная. Функ-
ция убывающая; краевой минимум у = 0 при х « 1. Точка перегиба
(3/4,1/73).
36.	Функция периодическая с периодом 2л; 1/(0) = у(2л) « 1. Точек
разрыва нет. Нули функции: хг = Зл/4 и х2 « 7л/4. Точки экстремума:
Утах = */2 при х ~ л/4 и ymin === - л/2 при х = 5л/4. Точки перегиба:
(Зл/4, 0) и (7л/4, 0).
37.	Область определения: 0 < х < 4-°°; lim у « 0 и lim у = + сю.
X+0	х —+оо
Устранимая точка разрыва х = 0. Нуль функции х - 1; функция отри-
цательна при 0 < х < 1 и положительна при 1 < х < 4-°°. Точка экстре-
мума i/min == -1/е « -0,37 при х = 1/е. Точек перегиба нет; вогнутость
вверх.
Указание. С помощью правила Лопиталя доказывается, что при
N 4-оо число N растет быстрее своего натурального логарифма, т. е.
lim = 0.
Г —*+со N
Поэтому
lim у = lim х In х = lim
с — +0 х —• +0	х -»+0
х
38. Область определения:,-00 < х < 4-°°;
lim у = -оо, Нт I/ = 0.
X —-ОО	X — +ОО
Точек разрыва нет. Нуль функции х == 0; функция отрицательна при
х < 0 и положительна при х > 0. Точка экстремума угаах ® 1/е» 0,37 при
х ® 1. Точка перегиба (2, 2/е2), где 2/е2 ~ 0,27.
Указание. Для нахождения предела lim у можно воспользо-
X — +°°
ваться указанием к предыдущему примеру. А именно,
lim у = lim хе~* = lim — = lim = 0.
Х — +ОО	х — +СО	Х — +ОО ех	х —+°о ех
632
39.	Область определения: -оо < х < +оо? цт „ = -оо цт „ «
X —-оо	X — +«>
= -f-oo. функция нечетная. Точек разрыва нет. Нуль функции х = О;
функция отрицательна при х < 0 и положительна при х > 0. Точек экс-
тремума нет; функция возрастающая. Точка перегиба (0, 0); вогнутость
вверх при х < 0 и вогнутость вниз при х > 0.
Глава XII
1.	dy = 6х dx. 2. dy = х cosx dx. 3. dy = * +*L2 dx. 4. dy = - xdx .
( *	/	л/l ~ X%
5.dy=^.6.dy = 2x dx = 2(2 - t + t2)(-l + 2t)dt. 7. а) Ду = 4, dy = 2;
б) Ду = 0,211, dy - 0,2.8. 30,301 m3; 30 m3. 9. a) 0,983; 6) 0,495; в) 0,795.
10. Ду = 0,07. 11. dy = -2xe~x‘dx; d2y - (4x2- 2)e-x‘dx2.
Глава XIII
1.	+ X + C. 2. x - 2 In |x| - i + C. 3. - A +	- —
3	2	x
I q л #2* _i_ b%x _l_ 2(аЬ)ж ц. p 5 _cos3x
C‘4’ Ina2 + lnb2 Inab * ‘	3
4- c. 7. — arctg— + C. 8. -i-In +	4- C. 9. — arcsinl
J2 J2	2j6 j2-xj3	73
10. arcsin x + ln(x + 71 + x2) + C. 11. -x + tg x + C. 12. i ln(l + x2) + C.
A
13.	72 - Зх + C. 14. -fx +	- ln|l - x| + C. 15. x - arctgx + C.
2E| - x + C. 17. x + ln(l + x2) + C. 18. lln||±^| + c-
19. ln|x~^| + C. 20. % + i sin 10x + C. 21. -i cos 8x + cos 6x + C.
|x- 2|	2	20	16	12
22. | sin 2x + Sin 8x + C. 23. % (x - I)5/2 + | (x - I)3/2 + C. 24. 2jx -
4	16	5	о
- 2 ln(l + Jx) + C. 25. . x - + C. 26. x - ln(l + 2e*) + C. 27. x arctg x -
71-x2
- 1 ln(l + x2) + C. 28. — Inx -	+ C. 29. -x cos x + sin x + C. 30. (x -
2	2	4
- l)e* + C. 31.	- i + C. 32. (x2 - 2x + 2)e* + C. 33. ~^= arctg [x j|A +
x x	a/21	\	/
_A_ ln x75-_T2 + c. 35. 1 arctg*±l + c. 36. -7= arctg+
2710	x75 + 72	2	2	73	73
1. Hr
Vx 5Vx^ 2xVx
sill5x + C. 6. tg x - ctgx +
5
+ C.
16.
+ C. 34. 
2Л0

633
+ С. 37. i In 2x~3~^ + C. 38. iIn 1*^11 + C. 39. In +C.
Л 2X-3 + T5 9 10 k + »l	(* + 3)2
40.	x - 2 In |x2 + 4x + 5| + 3 arctg(x + 2) + C. 41. | i/(2x-3)4 + C.
О
42.	I 7(x+l)3 - 47*4-1 + C. 43. arcsin + C. 44. In |x 4-	1 4-
3	72
+ C. 45. In lx +	4- 7* 2 + * I + C. 46. arcsin4- C.
I 2	I	J2
47. In lx 4- 2 4- 7*2 4-4x4-31 4- C. 48. cos4x + C. 49. - x - Д- sin 4x 4-
1	1	4	8	32
4- C. 50. -cos x + 1 cos3 x + C. 51. ? x 4- | sin 2x + sin 4x 4- C.
3	8	4	32
52. | cosa - i sin(2x 4- a) 4- C. 53. tgx 4- | tg3x 4- C. 54. -(x2 4- 2x 4- 2)e“x
a	4	<5
+ C. 55. (x2 + 3)e* + C. 56. cos2x + lsin2x + 0. 57. ±e~2*x
x (3 sin 3x - 2 cos Зх) + C. 58. £ +	1 arctg x + C. 59. x(ln2x - 2 In x +
4- 2) 4- C. 60. x arcsin x 4- Jl - x2 4- C.
Глава XIV
1. 2. 2. 0,2. 3. 1. 4. 4,5. 5. а) e**; 6) -e*2. 6. 13/6. 7. а) -я; 6) -e~\
8. а) я; б) я/2. 10. a) 1; б) 2я/3; в) 2я/(ЗТз).
Глава XV
1. 1)1; 2) a2 In 2; 3)1; 4) ла2; 5)1; 6) 2? 7) б|; 8) 2 - -1- « 0,56;
О	О	d	<5	in Z
9) 211. 2. |ла2. 3. 171 4. 1(е2 + 1) » 2,10. 5. 8а. 6. а2. 7.
3	8	3	4	4
8.	71 + rn2.9. 8а. 10. | [АВ + аЬ + (А + а)(В + &)]. 11. 4лЯ8/3.
12. 1)16л/15; 2) л2/2; 3) 2л; 4) 64л/15. 13. 1) ла2й/2; 2) 2л; 14. 25 м;
2,5 м/с. 15. 25 Дж. 16. 2qol/it. 17. «17 400 Дж. 18. 2а3/3.
Глава XVI
1. z — -1 (1 + л/З). 2. а) Вертикальная полоса; б) полуплоскость;
А	\
в) угол; г) внутренность единичного круга. 3. Отображенная область есть
криволинейный треугольник, ограниченный кривыми: v2ssx 4(1 - u), v2 =
= 4(1 4- и), v *= 0 (w = и 4- iv).
634
Глава XVII
1. а) 1; б) 1. 2. х = 280; у = -310. 3. 1) х ® t, у « 1 - t (-°° < t <+°о)
при а = 2; 2) решений нет при а * 2. 4. х = (5 - За)/(25 + а),
у = 16/(25 + а), если а # -25; при а = -25 прямые параллельны. 5. х =
= 39t, у = 23t, 2 = (—оо < t < +о°); х = 39, у = 23, г = 6 при t = 1.
6. а) 0; б) 12; в) 2х3. 7. хг = -1, х2 = 2. 8. D = 84, Dx « 14, Dy - -84,
Dz = 70; х = 1/6, у = -1, г = 5/6. 9. х = 17£, у = 2t, г = -7f(-oo < t < 4-00).
10. х = 0, у = 0, z = 0 при а 0; х t, у = -t, 2 = -t (-00 < t < +00) при
а = 0.	11.	= 55/127 ^ 0,4331, х2 = -248/127 « -1,9528,
х3 == -183/127 ~ -1,4403, х4 = -70/127 ~ -0,5512.
Глава XVIII
1. а = 2; а = л/3, р = 2л/3, у = я/4. 2. F = 10; а = я/2, Р = 0, у “ л/2.
3. 3/72.4. 20. 5. S = 8 а/З ; coscp « 1/7, sincp = |	.6. Некомпланарны.
Глава XIX
1. Совокупность координатных плоскостей Оу г и Охг; б) совокуп-
ность координатной плоскости Оху и биссекторной плоскости двугран-
ного угла между координатными плоскостями Охг и Оуг; в) пара па-
раллельных плоскостей у = -2 и у = 1; г) параболический цилиндр;
д) прямая, параллельная оси Ох; е) координатная плоскость Оуг; ж) ось
Oz; з) точка 0(0, 0, 0). 2. р = 4; а = 60°, Р = 120°, у = 45°. 3. |	| = 1.
4. z = 3. 5. =1,31. 6. 60°, 120°, 135°. 7. (0, -1/2, 0); (-1/3; 0, -2/3);
(0, -1/2, 0). 8. х2 + у2 + г2" 4х 4- 4у - 2г = 0. 9. х e R cos а cos <р,
у = R cos а • sin ф, z = R sin а. 10. а = 2, b = л/2 , с == 2/а/З . 11. 3^3/2.
л X — CL COS t0 у CL sm tn Z — Ь tn	b 9 I 9	9	л z
12.	2	= -------2	=-----2	; arccos -	; x2 4- y2 = a2, x = a	cos - ;
-asinf0	a cost 0	b	Ja2 +	b
У = a sin 5.
О
Глава XX
1. а) Полоса |у| < 1; б) внешность круга х2 4- у2 > 1; в) полуплоскость
х + у > 0. 2. а) Параллельные прямые; б) прямые, проходящие через
начало координат, исключая это начало; в) гиперболы, оси которых сов-
падают с координатными осями Ох и Оу; г) параболы с общей осью Оу.
3. а) Параллельные плоскости; б) круговые цилиндры с общей осью Ох.
4. a) du = 2[(х - y)dx - (х + y)dyl б) du =	^)du^	.
Vх +У )	2\у\*/ху
5.	- 2 cos а - sin а; 2; 1/72 ; -1; -3/72; -2; -1/72 ; 1; 3/72 ; 2;
635
|grad и (Af0)| = 75.6. |grad и (A)| « 50,5 °С/км. 7. a) - - 1 + siP2* ,
a*2 4Tsin3^
Э2и „ __ 1 Э2и _ _2L л) ^2ц = О ^2ц = О ^2ц == §ХУ д2и = 1 Э2и „
дхду у 9 ду2 у2 9 J дх2 9 ду2 9 dz2 z* 9 дхду г2 9 дхдг
=	• в) — =	~~г d2u = ~ 2У • d2u = 2(х-у2) . ч д2и _
z3 9 дх2 (х + у2)2’ дхду	(х + у2)2' ду2 (х + у2)2 9 ' дх2
= —Л= » т-г- “ 0,	2ут-,. 9. 2,48 кг/м3 ± 0,26 кг/м3. 11. х =
9хз/^2 ЭхЭу Эу2 (1+у2)2
= у = z ** *Ja. 12. Измерения параллелепипеда 2а/7з , 2а/7з , а/7з.
13. Измерения параллелепипеда 2r J2 /3, 2г72 /3, Л/3. 14. у « 198,77 -
- 5,06х. 15. х2 ~ 6х ~ ~. 16. min и = 0 = и(-0,6; -0,8); max и = 10 ==
- и(0,6; 0,8).
Глава XXI
1. Расх. 2. Расх. 3. Сход. 4. Сход. 5. Расх. 6. Сход. 7. Сход. 8. Сход.
9. Расх. 10. Сход. 11. Сход. 12. Сход. 13. Сход. 14. Сход. 15. Расх.
16. Сход. 17. -1 < х < 1. 18. -оо < х < +оо, 19, х = 0. 20. -1 <	х	<	3.
21. ах = 1 + х In а + х2^-2д + ... (-оо <	х < +°°). 22. sin2x «	+
+	- - (~°°<х< +ОО). 23. «/х - I + 1(х - I) - _1_ (х - 1)2 +
+	~ I)3 + - (0 < х < 2). 24.	е~*2 = 1 - х2+	- ...	(-°°	<	х	<
<	+°°). 25. Указание. cos2x = | (1	+ cos2x); cos2x = 1 -	-
-	+ — (~°° < х < +°°)- 26- ,, 1	= 1 + 2х + Зх2 + ... (-1 < х <
o’	(l-x)z
<	1). 27. -4=	= 1 + 1х2	+ i-4x<	+ тг-44*6	+ - (-1	< X < 1).
71-х2	2	2-4	2-4-6	'		’
28. а) 1,649; б) 0,309; в) 1,037. 29. 0,5450. 30. /(х) ~ х -	+ ^.
3!. а) |
= Si£x _ sin2x + sin3x _...(_я<х<я); 6)Х2=^ -4^
1	2	3 v	' f 3 k l2
cos2x . cos3x
22	32
(-71 < X < Я).
Глава XXII
3.	у = | x2. 4. a) xz + у2 « С; б) Ху = С; в) у « С • In х; г) у = -2 + Сех;
д) у -1п(С - ех). 5. а) у2 « 2х2 In Сх; б) у « хе1 + Сх. 6. у = | (х2 - 1).
636
7. а) у =	+ Сх; б) х = Се» - (у2 + 2у + 2). 8. у = sin х. 9. х2 + у2 - С.
©£/1600
. 12. 100 г. 13. у(2) - 1,122;
точное значение у(2) = 1 + е~2 ~ 1,135. 14. у = Сг + С2х - sin х.
15.	у - C1Sin(x + С2). 16. у = Сх +	17.у - 1 + * + £.
18.	а) у = 1 + х + 1 х2 + 1 х3 + ...; б) у = х + х4 + -i- х7 + ... .
а	4	OUtI
19.	у « Схех + С2е~2х. 20. у = ^(C^cos х + C2sin х).	21. у =
= е~х/2[Cxcos^ х + C2sin^ xl.
\	«	И z
22. у = е’/ЧСг + С2х).
23. у == 2 cos х -
- sin х. 24. у = 1 е2х + Сгех + С2е-Х. 25. у = | sin х + C^cos 2х + C2sin 2х.
3	3
26.	у = = i х2 + — X + — + Cjf2x + С2е3ж. 27. у = 1 + х - excos х.
6	18	108
28.	х = C1e“P‘/2cos (t +	, где g = fej/zn, р = k2/m и k2 —
коэффициенты пропорциональности.
Глава XXIII
1.	а) Зл/5 /2; б) (2^2 - 1)/3; в) лВ5/4; г) а [(л + 4)72 - 8]. 2. з|.
О
3. nR. 4. х0 = 0, Уо = IR. 5. |! •	« 1,42. 6.1Х =	а3. 7. а) 16/15;
б) 2л; в) 2л. 8. -9/2. 9. а) -2; б) 0; в) 3/2; г) е2 - 1. 10. -2паЬ. 11. А =
= |(а2-Ь2). 12. -f5 - 1). 13. In—. 14. 311.
/2	)	а	а
Глава XXIV
1. а) 3/20; б) (1-
3. a) jdx j f(x, y)dy
о о
2	2-х
+ J dx j /(х, y)dy =
1	о
1 JT3?
= jdy j /(x, y)dx;
0	0
4
e-1)2; в) л/2. 2. a) 4(272 - 1)/15; 6) 2/5f в) 2л.
2	1
= |dy J f(x, y)dx;
0	y/2
1	2-y
Jdy J f(x, y)dx;
2
r) J dx f /(x, y)dy
-2 x2
0
0
6) Jdx J7(x, y)dy +
0	0
i
в) jdx J f(x, y)dy =
0	0
4 Jy
= py j /(x, y)dx;
О -Л
637
i	i + Л^р	i	7?
jdi/ j f(x, y)dx. 4. a) Jdy J f(x, y)dx;
-1	0	У
я-arcsin у	Зл/4	1
J f(x> y)dx, 5. a) J dtp jHsincp cos2 cpdr;
arcsinу	п/4	О
sin <р/cos 2 ср
2 J2x-x2
Д) jdx J fix, y)dy =
o -72x-x2
e Inx	1
6) jdx J f(x, y)dy, в) jdy
10	0
arctgO, 5	2 seccp	n/4
6) J dtp | r2dr; в) J d<p	|	r/[r(cos(p + sincp)]dr. 6. a) 1/3; 6) 4/21;
-arctgO. 5	0	0	0
в) 2 - 72 ln(l + 72); r) 16/5. 7. а) 2л2; б) л/4. 8. a) 1/3; б) (Зл - 4)/6;
в) 88/105; г) 32/9; д) 2abc/3. O.IZ=I=^ R*. 10. x0 - 0, у = ? а. 11.1/48.
*4	5
12. 28/3.
Глава XXV
1. А + А = А, АА = А, А + С = А, АС = А. 2. Р(А) = 1/6; Р(В) =
~ 1/2; Р(С) = 2/3. 3. > 790. 4. а) 3/7; б) 1/2. 5. а) 80%; б) « 97 %.
6. а) 0,992; б) 0,876; в) 0,008. 8. Ро « 32/243; Рг - 80/243; Р2 = 80/243;
Р3 = 40/243; Р4 « 10/243; Р5 = 1/243. 9. > 31. 10. М = 1,31; D = 0,0049,
о = 0,07. 12. Ф(х) = 0 при —оо < х < 0; Ф(х) = | х при 0 < х < 1; Ф(х) ==
4
= 7 х - | при 1 < х < 2; Ф(х) = 1 при 2 < х < +°о; М(Х) = 1|; D(X) =
4	2	4
- Ц. 13. ф(х) = 1; М(Х) = 0; D(X)= = Ь2; о(Х) = ± « 0,581.
4о	а I	о	/3
15. ~ 0,384. 16. Число стандартных пакетов должно быть примерно
9540.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная погрешность 98
---предельная 99
—	сходимость ряда 398
Абсолютный экстремум функции 389
---целевой функции 596
Абсцисса 4
Алгебра событий 558
Алгебраическое дополнение элемента
определителя третьего порядка 312
Амплитуда 70
Аналитическая геометрия 17
Аппликата 332
Аппроксимация функции 194
Аргумент 65
—	комплексного числа 301
—	произведения комплексных чисел 302
— точки комплексной плоскости 301
— целой положительной степени
комплексного числа 303
—	частного двух комплексных чисел 303
Аргументы 74
Арккосинус 83
Арккотангенс 84
Арксинус 83
Арктангенс 84
Асимптота 131
—	вертикальная 143
Асимптотическая формула 130
Асимптотический член 130
Асимптоты гиперболы 50
Астроида 287
Базис n-мерного евклидова простран-
ства 592
Барограмма 74
Бесконечно большая 113
—	малая 112
---более высокого порядка 116
---порядка п относительно другой
бесконечно малой 117
— малые асимптотически равные 221
---одинакового порядка 116
---равносильные 221
---эквивалентные 221
Бесконечный ряд 397
Бином Ньютона 193, 559
Биномиальная формула Ньютона 193
Биномиальное распределение вероят-
ностей 560, 568
Биномиальные коэффициенты 193,559
Вектор 324
—	п-мерный 590
—	нулевой 324, 590
Вектор противоположный 326
—	свободный 324
Векторы коллинеарные 327, 592
—	компланарные 328, 592
—	линейно зависимые 592
--независимые 592
—	ортогональные 591
—	равные 324
Векторное поле 381
—	произведение векторов 340
------в координатной форме 341, 342
Вектор-функция скалярного аргумен-
та 350
Величина 95
—	векторная 324
—	переменная, постоянная 64
—	скалярная 324
—	случайная 567
Вероятность апостериори 556
—	априори 556
—	события (классическое определе-
ние) 546
--в статистическом смысле 550.
—	условная 552
Вершина параболы 51
—	цепной линии 286
Вершины гиперболы 45
—	эллипса 44
Взаимно однозначное соответствие 104
Внутренняя точка множества 389
Вогнутость вверх 203
—	вниз 203
Вторая производная 179
Второй дифференциал 227
Вторые частные производные 384
Вынесение постоянного множителя за
знак интеграла 233
-----------предела 119
------------производной	161
Выпуклое множество в Еп 594
Выпуклость вниз 203
—	вверх 203
Выпуклый многогранник 595
Выражение подынтегральное 231
— производной по направлению через
градиент 382
639
Гармоника 70
Гармоники основные 431
Гармонический анализ 433
— ряд 397
Геометрический образ уравнения 21,
350
— смысл бесконечной производной 154
---двойного интеграла 518
---дифференциала функции 218
---задачи Коши 450
---модуля векторного произведе-
ния векторов 342
---необходимого условия экстрему-
ма функции 197
---определенного интеграла 257
---производной 145, 150
------обратной функции 168
---смешанного произведения век-
торов 342
---теоремы о среднем 264
---частных производных 371
Геометрическое определение вероят-
ности 584
Гипербола вырожденная 45
—	равнобочная 51
Гиперболические функции 173
Гиперболы сопряженные 45
Гиперплоскость 593
Гипотезы 555
Главная линейная часть приращения
функции 214
------полного приращения функ-
ции 372
Главное значение аргумента 83, 301
Годограф 357
Градиент 382
Граница множества 389, 593
Граничная точка множества 389, 593
Граничные условия 493
График квадратного трехчлена 53
—	логарифмической функции 80
—	обратной пропорциональности 50
—	показательной функции 80
—	радикала 80
—	степенной функции 80
—	уравнения 21, 350
—	функции 67
---двух переменных 365
Графики обратных тригонометриче-
ских функций 83
—	тригонометрических функций 82
Деление отрезка в данном отношении 10
Детерминант 307, 311
Деформация окружности равномер-
ная 48
Директриса 52
Дисперсия (рассеяние) случайной ве-
личины 574
Дисперсия биномиального закона рас-
пределения 577
Дифференциал 214, 215, 218, 372
— алгебраической суммы 223
— второго порядка 227
— дуги в прямоугольных координа-
тах 285
— независимой переменной 217, 372
—	неопределенного интеграла 232
—	первого порядка 227
—	площади 278
—	полный 372
—	постоянной 223
—	произведения 224
—	сложной функции 225
—	третьего порядка 228
—	частного 224
Дифференциальное исчисление 155
— уравнение 232, 446
---линейное 446
------неоднородное 446
------однородное 446
---------второго	порядка 475
------------с	постоянными коэффи-
циентами 478
------первого порядка 458
---первого порядка 449
---------однородное 456
---------с разделяющимися пере-
менными 450
---с частными производными 490
------------линейное 494
Дифференцирование 155
— степенного ряда 416
Длина вектора 324
— дуги 283
---в прямоугольных координатах 283
------полярных координатах 288
---кривой, заданной параметриче-
ски 287
Дополнение 16
Достаточное условие абсолютной схо-
димости ряда 412
---вогнутости (выпуклости) графи-
ка функции 203
---возрастания (убывания) функ-
ции 186
---дифференцируемости функции
нескольких переменных 374
---точки перегиба графика функ-
ции 204—205
---экстремума второе 201
------первое 198
Достаточные* условия сходимости ря-
дов 404, 407, 412
---экстремума функции 198—201
Евклидово пространство п-мерное 591
640
Зависимость квадратичная 70
—	линейная 68
—	обратная пропорциональная 69
—	прямая пропорциональная 68
—	синусоидальная 70
—	функциональная 65
Задача Коши 450, 466
---для дифференциального уравне-
ния с частными производными 493
—	линейного программирования 596
—	математической физики 493
— о касательной 144
---скорости движения 146
Закон «больших чисел * в форме Бер-
нулли 565
-----------Чебышева 578
— Гаусса 584
— распределения случайной величи-
ны 568
---------дифференциальный 580
— сложных процентов 128
Замена переменной в неопределенном
интеграле 240
------определенном интеграле 266
Значащая цифра числа 101
------сомнительная 101
Значение переменной величины при-
ращенное 133
—	периодической функции среднее 434
—	приближенное 98
—	случайной величины среднее 570
— функции истинное 141
---наибольшее в области 390
---наименьшее в области 390
---среднее 265
— числа появления события среднее 550
Значения аргумента критические 198
Изокривая 366
Изоповерхность 367
Интеграл двойной 515
— криволинейный второго рода 504,
508
---первого рода 502
— неопределенный 231
---от алгебраической суммы 233
------дифференциала 232
— несобственный 275
---от разрывной функции 276
---расходящийся 276
---с бесконечным пределом 275
---сходящийся 275
— определенный 253
---как предел интегральной суммы
268
---с переменным верхним пределом
255,256
— табличный 235
Интеграл тройной 536
—	Эйлера—Пуассона 528
Интегральная кривая 447
—	поверхность 492
— сумма 269
---двумерная 517
---трехмерная 536
Интегральное исчисление 255
Интегралы «неберущиеся» 250
Интегрирование методом разложе-
ния 239
---подстановки 240
— некоторых трансцендентных функ-
ций 250
— по частям 242
------в определенном интеграле 266
— простейших иррациональностей
246—248
— рациональных дробей с квадратич-
ным знаменателем 243—246
— степенного ряда 416
— тригонометрических функций
248,249
Интегрирования основные метода 238
Интервал 65
—	сходимости степенного ряда 414
Интерполирование функции 73, 89
---квадратичное 91
Интерполирования квадратичного
формула 92
Интерполяция 73
—	линейная 89
Испытание 543
Исходы элементарные 545
Кардиоида 282
Касательная 145
Квадранты 5
Класс рациональных функций 78
—	явных алгебраических функций 79
Классификация точек разрыва 142
Координаты вектора 333
---в данном базисе 592
—	полярные 57
—	прямоугольные 5, 332
---декартовы 4, 332
—	середины отрезка 10
— точки 4, 590
---линии текущие 18
---пересечения двух прямых 35
---поверхности текущие 345
— центра масс пластинки 533
Корень уравнения 206
Косинусоида 82
Косинусы направляющие 332
Котангенсоида 82
Коэффициент пропорциональности 68
— угловой 28, 69
641
Коэффициенты линейного дифферен-
циального уравнения 446
—	прямой направляющие 355
—	Фурье 435
Краевые условия 493
Крайняя точка выпуклого множест-
ва 596
Кривая второго порядка гиперболиче-
ского типа 44
		нецентральная 51
		центральная *42
		эллиптического типа 43
—	Гаусса 205
—	гладкая 283
—	интегральная 447
—	n-го порядка 24
Лемма о сохранении знака функции 113
Линейная комбинация 591
Линейное программирование 597
Линии алгебраические 24
Линия n-го порядка 24
—	уровня 366
Логарифм натуральный 129
Логарифмическая форма произволь-
ной постоянной 452
Максимум функции 195
---нескольких переменных 387
Масса дуги элементарная 503
—	пластинки 533
Математическое ожидание 577
---— случайной величины дискрет-
ной 569
-------непрерывной 582
Место элемента определителя нечет-
ное 311
-------четное 311
Метод Гаусса 319
—	дифференциала 282
—	исключения 320
—	касательных 208
—	координат 17
—	неопределенных коэффициентов
483
-------разложения рациональной
дроби на простейшие 245
—	половинного деления 207
—	разделения переменных 500
—	Фурье 500
—	хорд 207
—	Эйлера 463
Методы приближенные решений диф-
ференциальных уравнений 463
Минимум функции 196
---нескольких переменных 387
Минор элемента определителя третье-
го порядка 311
642
Многочлен 78
—	однородный 456
—	Тейлора 194
Множество 15
—	выпуклое в Еп 594
—	замкнутое 593
—	значений функции 305
—	открытое 593
—	пустое 15
—	точек 17
Множества равные 15
Модуль вектора 324, 591
—	перехода 129
—	произведения комплексных чисел
302
—	целой положительной степени 302
--частного двух комплексных чи-
сел 303
—	числа действительного 96
--комплексного 299
Момент пластинки полярный 534
Моменты инерции пластинки 533
— статические пластинки 533
Направление оси 329
Направляющие косинусы 332
—	коэффициенты прямой 355
Направляющий вектор плоскости
350,351
Начало координат 4
Начальная ордината 29
—	фаза 70
Начальное условие 449, 466
Начальные условия 493
Начальный отрезок 28
Независимость вида дифференциала от
выбора независимой переменной
225
— определенного интеграла от выбора
первообразной 254
Необходимое условие возрастания
(убывания) функции 185
--сходимости ряда 402
--экстремума функции 197
--------нескольких переменных 387
Неопределенность 141,187
Непрерывность дифференцируемой
функции 153, 373
—	косинуса 139
—	обратной функции 141
—	основных элементарных функций
138,139
—	показательной функции 138
—	полинома 140
—	произведения 140
—	синуса 139
Непрерывность сложной функции 140
—	степенной функции 138
Непрерывность суммы 139
— функции 134, 135
—	частного 140
Норма вектора 591
—	функции 431
Нормальное распределение 584
Нормальный вектор гиперплоскости 593
---плоскости 350, 351
Нуль функции 206
Нуль-вектор 324, 590
Область 389
—	допустимых значений задачи ли-
нейного программирования 597
—	замкнутая 389
—	изменения функции 305
—	определения (существования)
функции 65, 74, 305
—	стандартная 519
Обозначения производной 149
Обратная функция 167
Общее решение дифференциального
уравнения 447, 448, 465
-------линейного неоднородного 483
-----------однородного второго по-
рядка 477
------------------с постоянными
коэффициентами 478—482
— уравнение окружности 42
---плоскости 351
---прямой на плоскости 29
Общий член геометрической прогрес-
сии 397
---ряда 398
Объединение (сумма) множеств 16
Объем тела 537
---вращения 291
---с известным законом изменения
площади поперечного сечения 289
— эллипсоида 293
Окрестность символа оо 104
-------симметричная 105
---±ОО 111
— точки 104, 109, 387, 593
Октанты 332
Оператор линейный дифференциаль-
ный 494
Операции линейные над векторами в
координатной форме 335, 336
— над комплексными числами 301
Определители дополнительные 308,
316
Определитель второго порядка 12, 307
— системы 308, 316
— третьего порядка 311
Оптимальный план 596
Организация снабжения 599
Ордината 4, 332
Орт 327
Ортогональность основных тригоно-
метрических функций 431
Оси координат 4, 331
—	кривой 43
Оси симметрии кривой 43
—	эллипса 44
—	эллипсоида 361
Основная система тригонометриче-
ских функций 431
Остаток ряда п-й 400
Остаточный член формулы Тейлора 194
------трапеций 272
Ось 329
—	абсцисс 4
—	действительная 301
—	гиперболы действительная 45
--мнимая 45
—	мнимая 301
—	ординат 4
—	параболы 51
—	полярная 57
—	симметрии параболы 51
—	числовая 96
Отклонение 573
Относительная погрешность 99
--предельная 100
------произведения 378
Отображение множества 103
Отрезок (сегмент) 65
Ошибка 98—99
Парабола 22, 51
—	кубическая 74
Параболоид вращения 361
Параллельный перенос 6
Параметр 59, 64
—	параболы 51
—	пучка 33
Первообразная 229
Первый дифференциал 227
Переменные зависимые 64
—	независимые 64, 74
Пересечение (произведение) мно-
жеств 16
Перестановки 558
Перестановочность знаков функции и
предела 138
Переход к полярным координатам в
двойном интеграле 527
Период функции 70, 88
Периодичность графика функции 87
Плоскости координатные 332
Плоскость комплексная 300
Плотность вероятности 580
—	дуги линейная 503
—	поверхностная 532
Площадь в полярных координатах
281, 282
643
Площадь в прямоугольных координа-
тах 278, 279
—	плоской области 531
—	треугольника 11
Поверхность интегральная 492
—	первого порядка 351
—	уровня 367
Поворот системы координат 6
Погрешность абсолютная 98
---предельная 99
—	округления 102
—	относительная 99
---предельная 100
------произведения 378
Подмножество 15
Поднормаль 452
Подстановка Эйлера 247
Подынтегральная функция 231
Подынтегральное выражение 231
Поле векторное 381
—	градиентов 382
—	потенциальное 512
—	скалярное 380
Полиэдр 595
Полная группа событий 552
Полуинтервал 66
Полуоси эллипса 44
—	эллипсоида 361
Полуось гиперболы действительная 45
---мнимая 45
Полюс 57
Понижение порядка дифференциаль-
ного уравнения 472
Потенциал поля 512
Правило Крамера 317
—	Лопиталя 187
—	округления 102
—	параллелепипеда 325
—	параллелограмма 325
—	трех сигм 588
Предел вектор-функции 357
—	интегрирования верхний, нижний
253
—	корня n-й степени 121
—	последовательности 111
---Г1 + -Г 125
V п)
—	произведения 118
—	степени 119
— суммы 117
— функции 105—106, 110
---двух переменных 109
---при х-* оо 106,111
— частного 120
Предельная абсолютная погрешность
99
—относительная погрешность 100-
— точка множества 105, 110
644
Пределы интегрирования 253
—	функции односторонние 110
Преобразования графика 85
—	определителя элементарные 315
Приближение по избытку 98
---недостатку 98
Приближенное вычисление прираще-
ний 220
---с помощью степенных рядов
422—425
—	решение уравнений 206
Приближенные вычисления с по-
мощью полного дифференциала
функции 377, 378
Признак абсолютной сходимости ряда
412
— Даламбера 407
— коллинеарности векторов 327, 339
— компланарности векторов 328, 343
— Лейбница 412
— ортогональности векторов 338, 339
— перпендикулярности векторов 338,
339
—	полного дифференциала 385
—	сравнения рядов 404
— существования ненулевых реше-
ний однородной системы линей-
ных уравнений 318
Признак сходимости ряда необходи-
мый 402
Приложения геометрические двойно-
го интеграла 531
------определенного интеграла
278—293
---физические двойного интеграла
532—536
---определенного интеграла 293—
296
---производной 150
Принцип наложения решений 500
Приращение аргумента 148
— переменной величины 133
— площади 278
— функции 148, 367
---в данном направлении 378
---полное 367
---частное 367
Проекция вектора на ось 329
— точки на ось 329
Произведение вектора на скаляр 326
— векторов векторное 340, 341
---скалярное 336,338
---смешанное 342
—	множеств 16
—	событий 545
—	функций скалярное 430
Производная 148, 149
—	алгебраической суммы 159
Производная арккосинуса, косинуса
175, 158
— арккотангенса, котангенса 176, 164
— арксинуса, синуса 175, 157
— арктангенса, тангенса 176,164
—	бесконечная 154
--вектор-функции 357
—	второго порядка 179
—	квадратного корня 156
—	логарифмическая 172
—	логарифмической функции 170
—	натурального логарифма 171
—	неявной функции 168
—	обратной функции 167
—	первого порядка 179
—	по направлению 378
—	показательной функции 172
—	постоянной 159
—	произведения 160
—	сложной функции 165
—	степени 156, 164
—	третьего порядка 179
—	функции, заданной параметриче-
ски 177
—	частная 369
—	частного 162
—	экспоненциальной функции 173-
Производные гиперболических функ-
ций 173
—	односторонние 149
—	частные высших порядков 384
Произвольная постоянная 231
Промежутки бесконечные 66
—	монотонности функции 186
Промежуток 66
—	интегрирования 252
Путь 504
Пучок прямых 33
Работа силы переменной 293
--потенциальной 511
--элементарная 294
Равенство векторов 324, 590
—	комплексных чисел 300
Радиус полярный 57
—	сходимости степенного ряда 414
—	фокальный точки параболы 53
Радиусы фокальные точки централь-
ной кривой второго порядка 46
Радиус-вектор 5, 332
—	точки комплексной плоскости 301
Разделение переменных 450
Разложение определителя третьего
порядка по строке (столбцу) 312
—	функций в степенной ряд 416—422
Размещения 558
Разность векторов 326, 590
—	второго порядка 89
Разность множеств 16
—	первого порядка 89
Раскрытие неопределенностей 141, 187
Распределение вероятностей биноми-
альное 559,568
—	нормальное 584
—	Пуассона 566
—	равномерное 583
Расстояние между двумя точками 9,
334,591
---------комплексной плоскости 302
— от точки до плоскости 352
---------прямой 37
Решение дифференциального уравне-
ния 447,475, 476
------общее 448
------с частными производными 492
------частное 448
— дифференциальных уравнений с
помощью степенных рядов 474
— задачи линейного программирова-
ния 596
— линейной системы 307, 316
Ряд 397, 398
—	гармонический 397
—	знакопеременный 410	'	-
—	знакочередующийся 412
—	Маклорена 418
—	расходящийся 399
—	степенной 414
—	сходящийся 399
---абсолютно 411
---условно 411
—	Тейлора 425
— функциональный 398
— Фурье 430, 433
---непериодической функции на
конечном промежутке 440
---периодической функции 435
---------нечетной 438—440
---------четной 438—440
— числовой 398
Ряды определителя 307, 311
Сводка формул дифференцирования 178
Свойства вероятности 547
— дифференциала 223—226
— дисперсии 575—578
— криволинейного интеграла второго
рода 504
------первого рода 502
Свойства линейности определенного
интеграла 261
— математического ожидания 570—573
— модуля действительного числа 97,98
---комплексного числа 302— 304
— монотонности определенного инте-
грала 262
645
Свойства общие определенного интег-
рала 260
— операции сложения векторов 325,
326
----умножения вектора на скаляр
326, 327
— определителей 313—316
— основные неопределенного интег-
рала 232—234
— произведения векторов векторного
339—341
------скалярного 336
---------смешанного 342
----функции, имеющей предел при
х —* а 118
Свойство аддитивности определенно-
го интеграла 261
— сложения векторов переместитель-
ное 325
------сочетательное 325
— характеристическое гиперболы 47
----параболы 53
----эллипса 47
Связь дифференциала функции с про-
изводной 216—218
— между бесконечно малой и беско-
нечно большой 114
----прямоугольными и полярными
координатами 58
Сегмент 65
Семейство интегральных кривых 449
Сдвиг 85
Сила тока эффективная 278
Символы логические V и 3 103
— теоретико-множественные 15, 16
Симметрия графика 87
Синусоида 82
Система двух линейных однородных
уравнений с тремя неизвестными 309
------уравнений с двумя неизвест-
ными 307
— действительных чисел расширен-
ная 96
— координат гелиоцентрическая 6
----геоцентрическая 6
----полярная 57
----правая 331, 339
— линейная стандартная 307, 316
— неопределенная 308, 317
— несовместная 308, 317
— п линейных уравнений с п неиз-
вестными 319
— трех линейных уравнений с тремя
неизвестными 316
--------------однородная 318
— элементарных событий полная 546
Скаляр 324
Скалярное поле 380
— произведение векторов 336, 338, 591
---функций 430
Скачок функции 142
Скорость движения 146
— средняя изменения функции отно-
сительно аргумента 148
След движущейся точки 348
Следствия из теоремы Лагранжа 183
Сложение комплексных чисел на
комплексной плоскости 301
Случайная величина 567
---дискретная 567
---непрерывная 578
Случайные величины зависимые 571
---независимые 571
-------взаимно 571
Смешанное произведение векторов 342
Событие 543
—	достоверное 543
—	невозможное 544
—	противоположное 548
—	случайное 543
События независимые 553
---в совокупности 554
—	несовместные 546
—	равновозможные 546
—	эквивалентные 547
—	элементарные 545
Соединение 557
Соотношение основное между гипер-
болическими функциями 173
Составляющая вектора относительно
оси 329
Сочетания 558
Спектр задачи 499
Спираль Архимеда 59
Способ задания функции аналитиче-
ский 71
		графический 73
		табличный 72
—	наименьших квадратов 392
—	пропорциональных частей 207
Среднее квадратичное отклонение 574
Стандарт 574
Стандартный интеграл вероятностей 563
Строки и столбцы определителя 307,
311
Сумма векторов 325, 336, 590
—	множеств 16
—	ряда 399
---с комплексными членами 428
— событий 545
Суммирование 269
Сфера 359
Схема Бернулли 560
— непосредственного нахождения
производной 155
— построения графика функции 209
646
Таблица дифференциалов 226
— производных 178
— простейших неопределенных ин-
тегралов 234,235
---------обобщенная 237
Табулирование функции 73
Тангенсоида 82
Теорема Вариньона 533
—	Вейерштрасса 390
—	Галилея 281
—	единственности дифференциала 215
—	Коши 250
—	Лагранжа 182
—	Лапласа интегральная 562
---локальная 561
—	Лейбница 412
— о корнях производной 184
---направлении градиента 383
---непрерывности дифференцируе-
мой функции 153
---промежуточной функции 121
---среднем 264
------для двойного интеграла 529
---существовании длины дуги глад-
кой кривой 283
---существовании предела моно-
тонной ограниченной функции 122
—	Пеано 194
—	Пуассона 566
—	разложения определителя 312
—	Ролля 184
— сложения вероятностей 550
— существования двойного интеграла
517,518
---обратной функции 141
---определенного интеграла 254
— сходимости ряда Фурье 436
— умножения вероятностей 552
— Чебышева 578
Теоремы о проекциях 330—331
— основные о бесконечно малых
114—117
------непрерывных функциях
139—141
------пределах цу—121
Теория вероятностей 544
— функций комплексной переменной
305
Точка бесконечного разрыва 142
— выпуклого множества крайняя 596
— критическая функции нескольких
переменных 388
—	множества внутренняя 390
---граничная 390, 593
—	накопления множества 105
—	п-мерная 590
—	перегиба графика функции 204
Точка разрыва 135
---второго рода 142
---неустранимая 136
---первого рода 142
---устранимая 136
— расходимости ряда 399
— скалярного поля неособая (обыкно-
венная) 383
---особая 383
— сходимости ряда 399
Точки графика функции характерис-
тические 210
— максимума функции 195, 387
— минимума функции 196, 387
— экстремума функции 196
------нескольких переменных 387
Траектория точки 350
Транспортная задача 600
Трапеция криволинейная 264
Третий дифференциал 228
Третья производная 179
Тригонометрический ряд Фурье 433
Тройка правая, левая 331, 339
Угловой коэффициент касательной 145
---прямой 28, 69
---секущей 145
Угол между плоскостями 353
---прямыми 29
—	полярный 57
Умножение вектора на скаляр 326,
336, 591
Уравнение волновое одномерное 591
—	гиперболы каноническое 45
—	движения 59
—	динамики основное 466
— дифференциальное 446
---линейное 446
------неоднородное 446
------ОдНОрОдНОе 446
------второго порядка 465, 475
-------------с постоянными коэф-
фициентами 478
------первого порядка 458
---первого порядка 449
---------однородное 456
---------с разделяющимися пере-
менными 450
---с частными производными 490
-----------линейное 494
—	касательной 146
—	кривой на плоскости 18
—	Лапласа 491
—	линии на плоскости 17, 19
---векторное 350
—	окружности нормальное 41
---общее 42
— параболоида вращения 361
647
Уравнение параболы каноническое 52
---с вертикальной осью 52
—	плоскости в векторном виде 351
---нормированное 352
---общее 351
—	поверхности в пространстве 345
— прямой в отрезках 35
---в пространстве векторное 354
---нормированное 38
---общее 29
---проходящей через данную точку
в данном направлении 32
---------две данные точки 33
---с угловым коэффициентом 28
— сферы 359
— теплопроводности 491, 495
—	характеристическое 478
—	цилиндрической поверхности 346
—	эллипса каноническое 44
—	эллипсоида 360
—	эллиптического цилиндра 346
Уравнения координатных плоскос-
тей 345
---осей 348
—	линии в пространстве 347
—	параметрические 348
—	математической физики 491
— параметрические линии на плос-
кости 59
---окружности 59
---циклоиды 62
---эллипса 60
— прямой в пространстве канониче-
ские 354
---------как совокупность уравне-
ний двух плоскостей 356
---------параметрические 354
Ускорение среднее 179
— точки 180
Условие начальное 450
— независимости криволинейного ин-
теграла от пути интегрирования
510
— параллельности плоскостей 353
---прямых 31
— перпендикулярности плоскостей 353
---прямых 31
Условия граничные 493
— краевые 493
— начальные 466
Условная вероятность 552
Усреднение 265
Факториал 558
Фигура квадрируемая 271
Физический смысл дифференциала
функции 219
Физический смысл криволинейного
интеграла второго рода 508
---------первого рода 503
---определенного интеграла 259
---производной 151
------ВТОрОГО порядка 179
---скалярного произведения векто-
ров 337
---тройного интеграла 537
Фокус параболы 52
Фокусы гиперболы 46
— эллипса 46
Форма вектора координатная 335
— комплексного числа тригонометри-
ческая 301
Формула Бернулли 560
— Бейеса 556
— интегрирования по частям в опре-
деленном интеграле 266
-----------неопределенном интег-
рале 242
— Лапласа 561
---интегральная 563
—	Маклорена локальная 195
—	Ньютона 209
---биномиальная 193
—	Ньютона—Лейбница 253
------обобщенная 276, 511
—	параболическая 273
—	полной вероятности 555
—	Пуассона 567
—	Симпсона 273
---кубатурная 291
—	Тейлора для многочлена 191
---локальная 195
—	трапеций 272
Формулы Эйлера 429
Функция 64, 65
—	алгебраическая 79
—	возрастающая 122, 185
— гладкая 154
— двух переменных дифференцируе-
мая 373
------непрерывная в точке 368
---------в области 368
— дифференцируемая в точке 146,153
---в области 149, 155
—	дробная рациональная 78
—	иррациональная 78
—	комплексной переменной 305
—	кусочно гладкая 154, 436
---непрерывная 134,137, 430
—	Лапласа 563
—	логарифмическая 80
— многозначная 68, 77, 83, 84
—	монотонная 122
•	— невозрастающая 122
—	неограниченная 108
648
Функция непрерывная в точке 134,137
----на множестве 138
— неубывающая 122
— нечетная 87
— неявная 75
— обратная 76, 77
— ограниченная на множестве 108
— однозначная 67, 74
— однородная линейная 68
----степени п 456
— периодическая 70, 88
— показательная 80
— прямая 77
— распределения 578
— степенная 80
— трансцендентная 79
— убывающая 122, 185
— целая рациональная функция 78
— целевая 597
— четная 87
— экспоненциальная 127
— явная 75
Функции взаимно обратные 77, 104
—	гиперболические 173
—	обратные тригонометрические 83—
85
—	ортогональные 431
—	тригонометрические 82
—	элементарные 79
----трансцендентные 79
Характеристика функции 66, 75
Характеристические точки графика
функции 210
—	числа задачи 499
Характеристическое уравнение 478
Ход метода Гаусса обратный 321
------прямой 320
Целевая функция задачи линейного
программирования 597
Центр кривой 43
—	окружности 17
—	симметрии кривой 43
Цепная линия 285
Циклоида 61
Цилиндроид 515
Частные производные первого поряд-
ка 369,384
Частота 70
—	события относительная 549
Число 82, 95
—	е126
—	иррациональное 95
—	комплексное 299
—	перестановок 258
—	приближенное 98
—	размещений 558
—	рациональное 95
—	сопряженное 299
— сочетаний 193, 558
—	точное 98
—	чисто мнимое 299
Числа действительные (веществен-
ные) 95
Шаг таблицы 89
Эквивалентность бесконечно малого
приращения функции и ее диффе-
ренциала 222
Экстремум функции 195
--двусторонний 196
--нескольких переменных 387
------односторонний 196
Эксцентриситет центральной кривой
второго порядка 46
Элемент объема 292, 537
— площади в полярных координатах
282
-	двумерный 527
------прямоугольных координа-
тах 279
---------двумерный 517
Элементы множества 15
—	определителя 307, 311
Эллипс 43	*
—	вырожденный 44
—	действительный 44
—	мнимый 44
Эллипсоид вращения 361
—	трехосный 360
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 3
Глава I. Прямоугольная система координат на плоскости
и ее применение к простейшим задачам............................ 4
§ 1.	Прямоугольные координаты точки на плоскости.............. 4
§ 2.	Преобразование прямоугольной системы координат........... 6
§ 3.	Расстояние между двумя точками на плоскости.............. 8
§ 4.	Деление отрезка в данном отношении......................  9
§ 5.	Площадь треугольника.....................................11
Упражнения....................................................13
Глава П. Уравнение линии........................................15
§ 1.	Множества................................................15
§ 2.	Метод координат на плоскости...........................  17
§ 3.	Линия как множество точек................................17
§ 4.	Уравнение линии на плоскости.............................18
§ 5.	Построение линии по ее уравнению.........................21
§ 6.	Некоторые элементарные задачи............................22
§ 7.	Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости.24
§ 8.	Алгебраические линии.....................................24
Упражнения....................................................26
Глава Ш. Прямая линия...........................................27
§ 1.	Уравнение прямой.........................................27
§ 2.	Угол между двумя прямыми.................................29
§ 3.	Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении....................................................32
§ 4.	Уравнение прямой, проходящей через две данные точки......33
§ 5.	Уравнение прямой в «отрезках»............................34
§ 6.	Точка пересечения двух прямых............................35
§ 7.	Расстояние от точки до прямой............................37
Упражнения....................................................38
Глава IV. Линии второго порядка.................................41
§ 1.	Окружность...............................................41
§ 2.	Центральные кривые второго порядка.......................42
§ 3.	Фокальные свойства центральных кривых второго порядка....46
§ 4.	Эллипс как равномерная деформация окружности.............48
§ 5.	Асимптоты гиперболы......................................49
§ 6.	График обратной пропорциональности.......................50
§ 7.	Нецентральные кривые второго порядка.....................51
§ 8.	Фокальное свойство параболы..............................52
§ 9.	График квадратного трехчлена.............................53
Упражнения....................................................55
Глава V. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии ... 57
§ 1.	Полярные координаты......................................57
§ 2.	Связь между прямоугольными и полярными координатами......58
§ 3.	Параметрические уравнения линии..........................59
§ 4.	Параметрические уравнения циклоиды.......................61
Упражнения....................................................62
650
Глава VI. Функция................................................. 04
§ 1.	Величины постоянные и переменные.......................... 64
§ 2.	Понятие функции........................................... 54
§ 3.	Простейшие функциональные зависимости..................... 68
§ 4.	Способы задания функции................................... 71
§ 5.	Понятие функции от нескольких переменных.................. 74
§ 6.	Понятие неявной функции................................... 75
§ 7.	Понятие обратной функции.................................. 76
§ 8.	Классификация функций одного аргумента.................... 78
§ 9.	Графики основных элементарных функций..................... 79
§ 10.	Интерполирование функций.................................. 88
Упражнения...................................................... 93
Глава VII. Теория пределов........................................ 95
§ 1.	Действительные числа..................................     95
§ 2.	Погрешности приближенных чисел............................ 98
§ 3.	Предел функции............................................103
§ 4.	Односторонние пределы функции.............................109
§ 5.	Предел последовательности....।............................111
§ 6.	Бесконечно малые..........................................112
§ 7.	Бесконечно большие............................-...........113
§ 8.	Основные теоремы о бесконечно малых........................114
§ 9.	Основные теоремы о пределах...............................117
§ 10.	Некоторые признаки существования предела функции. . . . ;.121
§ 11.	Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге .... 123
§ 12.	Число е...................................................125
§ 13.	Понятие о натуральных логарифмах..........................129
§ 14.	Понятие об асимптотических формулах.......................130
Упражнения......................................................132
Глава VIII. Непрерывность функции...............................133
§ 1.	Приращения аргумента и функции. Непрерывность функции.....133
§ 2.	Другое определение непрерывности функции................ 137
§ 3.	Непрерывность основных элементарных функций..............138
§ 4.	Основные теоремы о непрерывных функциях..................139
§ 5.	Раскрытие неопределенностей..............................141
§ 6.	Классификация точек разрыва функции....................  142
Упражнения....................................................143
Глава IX. Производная...........................................144
§ 1.	Задача о касательной.....................................144
§ 2.	Задача о скорости движения точки.........................146
§ 3.	Общее определение производной............................148
§ 4.	Другие применения производной............................151
§ 5.	Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции 152
§ 6.	Понятие о бесконечной производной........................154
Упражнения....................................................154
Глава X. Основные теоремы о производных.......................155
§ 1.	Вводные замечания.......................................................................155
§	2.	Производные от некоторых простейших функций...155
§	3.	Основные правила дифференцирования функций.....159
§	4.	Производная сложной функции.....165
§	5.	Производная обратной функции...167
§	6.	Производная неявной функции...............168
§	7.	Производная логарифмической функции.....170
§	8.	Понятие о логарифмической производной.............  172
§	9.	Производная показательной функции...............172
§ 10.	Производная степенной функции...........................................................174
§11.	Производные обратных тригонометрических функций ........................................174
651
§ 12.	Производная функции, заданной параметрически............177
§ 13.	Сводка формул дифференцирования.........................178
§ 14.	Понятие о производных высших порядков...................179
§ 15.	Физическое значение производной второго порядка.........179
Упражнения....................................................180
Глава XI. Приложения производной................................182
§ 1.	Теорема о конечном приращении функции и ее следствия...182
§ 2.	Возрастание и убывание функции одной переменной........184
§ 3.	Понятие о правиле Лопиталя.............................187
§ 4.	Формула Тейлора для многочлена.........................191
§ 5.	Бином Ньютона..........................................193
§ 6.	Формула Тейлора для функции.............................194
§ 7.	Экстремум функции одной переменной.....................195
§ 8.	Вогнутость и выпуклость графика функции. Точки перегиба.203
§ 9.	Приближенное решение уравнений.........................206
§ 10.	Построение графиков функций.............................209
Упражнения....................................................212
Глава XII. Дифференциал.........................................214
§ 1.	Понятие о дифференциале функции..........................214
§ 2.	Связь дифференциала функции с производной.
Дифференциал независимой переменной...........................216
§ 3.	Геометрический смысл дифференциала.......................218
§ 4.	Физическое значение дифференциала........................219
§ 5.	Приближенное вычисление малых приращений функции.........220
§ 6.	Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции . 221
§ 7.	Свойства дифференциала...................................223
§ 8.	Дифференциалы высших порядков............................226
Упражнения....................................................228
Глава XIII. Неопределенный интеграл.............................229
§ 1.	Первообразная функция. Неопределенный интеграл.........229
§ 2.	Основные свойства неопределенного интеграла............232
§ 3.	Таблица простейших неопределенных интегралов...........234
§ 4.	Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента 236
§ 5.	Понятие об основных методах интегрирования.............238
§ 6.	Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем 243
§ 7.	Интегрирование простейших иррациональностей............246
§ 8.	Интегрирование тригонометрических функций..............248
§ 9.	Интегрирование некоторых трансцендентных функций......'250
§ 10.	Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралах.........250	,
Упражнения....................................................251
Глава XIV. Определенный интеграл................................253
§ 1.	Понятие об определенном интеграле......................253
§ 2.	Определенный интеграл с переменным верхним пределом.....255
§ 3.	Геометрический смысл определенного интеграла...........257
§	4.	Физический смысл определенного интеграла. .............259
§	5.	Основные свойства определенного интеграла..............260
§ 6.	Теорема о среднем......................................264
§	7.	Интегрирование по частям в определенном интеграле......266
§	8.	Замена переменной в определенном интеграле.............266
§ 9.	Определенный интеграл как предел интегральной суммы....268
§ 10.	Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов . . 271
§ 11.	Формула Симпсона........................................273
§ 12.	Несобственные интегралы. .. к...........................275
Упражнения....................................................277
Глава XV. Приложения определенного интеграла....................278
§ 1.	Площадь в прямоугольных координатах......................278
§ 2.	Площадь в полярных координатах...........................281
652
§ 3.	Длина дуги в прямоугольных координатах....................283
§ 4.	Длина дуги в полярных координатах.........................288
§ 5.	Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям...289
§ 6.	Объем тела вращения......................................291
§ 7.	Работа переменной силы...................................293
§ 8.	Другие физические приложения определенного интеграла.....294
Упражнения....................................................296
Глава XVI. Комплексные числа....................................299
§ 1.	Арифметические операции над комплексными числами.........299
§ 2.	Комплексная плоскость....................................300
§ 3.	Теоремы о модуле и аргументе.............................302
§ 4.	Извлечение корня из комплексного числа...................303
§ 5.	Понятие функции комплексной переменной...................305
Упражнения....................................................306
Глава XVII. Определители второго и третьего порядков............307
§ 1.	Определители второго порядка.............................307
§ 2.	Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными....309
§ 3.	Определители третьего порядка............................311
§ 4.	Основные свойства определителей.....;....................313
§ 5.	Система трех линейных уравнений..........................316
§ 6.	Однородная система трех линейных уравнений...............318
§ 7.	Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса 319
Упражнения....................................................322
Глава XVIII. Элементы векторной алгебры..........................324	,
§	1.	Скаляры и векторы......................................324
§	2.	Сумма векторов.........................................325
§	3.	Разность векторов......................................326
§	4.	Умножение вектора на скаляр............................326
§	5.	Коллинеарные векторы...................................327
§	6.	Компланарные векторы...................................328
§ 7.	Проекция вектора на ось...........................<....329
§ 8.	Прямоугольные декартовы координаты в пространстве......331
§ 9.	Длина и направление вектора............................333
§ 10.	Расстояние между двумя точками пространства.............334
§ 11.	Действия над векторами, заданными в координатной форме...335
§ 12.	Скалярное произведение векторов.........................336
§ 13.	Скалярное произведение векторов в координатной форме....338
§ 14.	Векторное произведение векторов.........................339
§ 15.	Векторное произведение в координатной форме.............341
§ 16.	Смешанное произведение векторов.........................342
Упражнения....................................................344
Глава XIX. Некоторые сведения из аналитической геометрии
в пространстве...............................................345
§ 1.	Уравнения поверхности и линии в пространстве.............345
§ 2.	Общее уравнение плоскости................................350
§ 3.	Угол между плоскостями.................................. 353
§ 4.	Уравнения прямой линии в пространстве....................353
§ 5.	Понятие о производной вектор-функции.....................357
§ 6.	Уравнение сферы..........................................359
§ 7.	Уравнение эллипсоида.....................................360
§ 8.	Уравнение параболоида вращения . . ......................361
Упражнения....................................................362
Глава XX. Функции нескольких переменных.........................364
§ 1.	Понятие функции от нескольких переменных.................364
§ 2.	Непрерывность............................................367
§ 3.	Частные производные первого порядка......................369
653
§ 4.	Полный дифференциал функции...........................371
§ 5.	Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям 377
§ 6.	Понятие о производной функции по данному направлению...378
§ 7.	Градиент..............................................380
§ 8.	Частные производные высших порядков...................384
§ 9.	Признак полного дифференциала.........................385
§ 10.	Максимум и минимум функции нескольких переменных......387
§ 11.	Абсолютный экстремум функции..........................389
§ 12.	Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов 391
Упражнения..................................................394
Глава XXI. Ряды...............................................397
§ 1.	Примеры бесконечных рядов.............................397
§ 2.	Сходимость ряда.......................................398
§ 3.	Необходимый признак сходимости ряда...................402
§ 4.	Признак сравнения рядов.............................  404
§ 5.	Признак сходимости Даламбера..........................407
§ 6.	Абсолютная сходимость.................................410
§ 7.	Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница...412
§ 8.	Степенные ряды........................................414
§ 9.	Дифференцирование и интегрирование степенных рядов....416
§ 10.	Разложение данной функции в степенной ряд.............416
§ 11.	Ряд Маклорена.........................................418
§ 12.	Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды
некоторых функций............................................419
§ 13.	Применение степенных рядов к приближенным вычислениям..422
§ 14.	Ряд Тейлора...........................................425
§ 15.	Ряды в комплексной области............................427
§ 16.	Формулы Эйлера........................................428
§ 17.	Тригонометрические ряды Фурье.........................430
§ 18.	Ряды Фурье четных и нечетных функций .................438
§ 19.	Понятие о рядах Фурье непериодических функций.........440
Упражнения..................................................444
Глава ХХП. Дифференциальные уравнения.........................446
§ 1.	Основные понятия......................................446
§ 2.	Дифференциальные уравнения первого порядка............449
§ 3.	Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.450
§ 4.	Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.456
§ 5.	Линейные дифференциальные уравнения первого порядка....458
§ 6.	Понятие о методе Эйлера................................463
§ 7.	Дифференциальные уравнения второго порядка............465
§ 8.	Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка 467
§ 9.	Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений....472
§ 10.	Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений
с помощью степенных рядов дифференциальных уравнений ...... 474
§ 11.	Общие свойства решений линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка...................475
§ 12.	Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами..................478
§ 13.	Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами..................482
§ 14.	Понятие о дифференциальных уравнениях, содержащих частные
производные...................................................490
§ 15.	Линейные дифференциальные уравнения с частными производными 494
§ 16.	Вывод уравнения теплопроводности.......................495
§ 17.	Задача о распределении температуры в ограниченном стержне .... 497
Упражнения...................................................500
654
Глава XXIII. Криволинейные интегралы............................502
§ 1.	Криволинейный интеграл первого рода.......................502
§ 2.	Криволинейный интеграл второго рода.......................504
§ 3.	Физический смысл криволинейного интеграла второго рода...508
§ 4.	Условие независимости криволинейного интеграла второго рода
от вида пути интегрирования....................................509
§ 5.	Работа потенциальной силы................................511
Упражнения....................................................513
Глава XXIV. Двойные и тройные интегралы.........................515
§ 1.	Понятие двойного интеграла...............................515
§ 2.	Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах...519
§ 3.	Двойной интеграл в полярных координатах...................525
§ 4.	Интеграл Эйлера—Пауссона.................................528
§ 5.	Теорема о среднем........................................529
§ 6.	Геометрические приложения двойного интеграла.............531
§ 7.	Физические приложения двойного интеграла.................532
§ 8.	Понятие о тройном интеграле..............................536
Упражнения....................................................540
Глава XXV. Основы теории вероятностей...........................543
А.	Основные определения и теоремы..............................543
§ 1.	Случайные события........................................543
§ 2.	Алгебра событий..........................................545
§ 3.	Классическое определение вероятности.....................546
§ 4.	Статистическое определение вероятности...................549
§ 5.	Теорема сложения вероятностей............................550
§ 6.	Полная группа событий....................................552
§ 7.	Теорема умножения вероятностей...........................552
§ 8.	Формула полной вероятности...............................555
§ 9.	Формула Бейеса...........................................556
Б. Повторные независимые испытания..............................557
§ 10.	Элементы комбинаторики................................. 557
§ 11.	Биномиальный закон распределения вероятностей...........559
§ 12.	Локальная теорема Лапласа...............................561
§ 13.	Интегральная теорема Лапласа............................562
§ 14.	Теорема Пуассона..............-.........................566
В.	Случайная величина и ее численные характеристики............567
§ 15.	Случайная дискретная величина и ее закон распределения..567
§ 16.	Математическое ожидание.................................569
§ 17.	Основные свойства математического ожидания..............570
§ 18.	Дисперсия........................................  ?....573
§ 19.	Непрерывные случайные величины. Функция распределения....578
§ 20.	Числовые характеристики непрерывной случайной величины...581
§ 21.	Равномерное распределение...............................583
§ 22.	Нормальное распределение................................584
Упражнения....................................................588
Глава XXVI. Понятие о линейном программировании.................590
§ 1.	Векторное пространство п измерений.......................590
§ 2.	Множество в n-мерном пространстве........................592
§ 3.	Задача линейного программирования........................596
Приложения......................................................602
Важнейшие постоянные..........................................602
Сводка формул.................................................602
Ответы..........................................................628
Предметный указатель............................................639
Учебное издание
Демидович Борис Павлович,
Кудрявцев Всеволод Александрович
КРАТКИЙ КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Редакция «Луч»
Ответственный редактор Е. С. Гридасова
Технический редактор Л. Б. Чуева
Оформление обложки Д. С. Иванова
Подписано в печать с готовых диапозитивов 15.03.01.
Формат бОХЭО1/^* Печать офсетная. Бумага офсетная.
Гарнитура «Школьная». Усл. печ. л. 41.
Тираж 10 000 экз. Заказ 922.
Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции
ОК-005-93, том 2; 953000 — книги, брошюры
Гигиеническое заключение
№ 77.99.14.953.П.12850. 7.00 от 14.07.2000
ООО «Издательство Астрель» Лицензия ЛР № 066647 от 07.06.99
143900, РФ, Московская область, г. Балашиха, проспект Ленина, 81
ООО «Издательство АСТ» Изд. лиц. ИД № 02694 от 30.08.2000
674460, Читинская обл., Агинский р-н, п. Агинское, ул. Базара Ринчино, д. 84.
Наши электронные адреса: www.ast.ru E-mail:astpub@aha.ru
При участии ООО «Харвест». Лицензия ЛВ № 32
от 10.01.2001. 220040, Минск, ул. М. Богдановича, 155-1204.
Налоговая льгота — Общегосударственный классификатор
Республики Беларусь ОКРБ 007-98, ч. 1; 22.11.20.100.
Республиканское унитарное предприятие
«Полиграфический комбинат имени Я. Коласа».
220600, Минск, ул. Красная, 23.
Б. П. Демидович
В. А. Кудрявцев
Краткий курс
высшей математики
Книга содержит четкое и ясное
изложение курса высшей математики
в относительно небольшом объеме.
В ней имеется большое количество
примеров и задач,
решение которых помогает усвоению
теоретического материала.
Это известное учебное пособие,
завоевавшее заслуженную популярность
широтой своего материала
и доступностью изложения,
принесет несомненную пользу
для нового поколения читателей.
Пособие предназначено для студентов
естественных (геологического,
географического, биологического,
химического и др.) факультетов
университетов.