/
Автор: Стиллвелл Д.
Теги: математика биографии история математики известные личности
ISBN: 5-93972-???-?
Год: 2004
Текст
Джон Стиллвелл
Математика и ее история
Москва ¦ Ижевск
2004
УДК 111
ББК 111
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
• физика
• математика
• биология
• нефтегазовые
технологии
Стиллвелл Д.
Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2004, 111 стр.
Аннотация
ISBN 5-93972-???-?
ББК ???
© Институт компьютерных исследований, 2004
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
Оглавление
Предисловие ко второму изданию 10
Предисловие к первому изданию 12
ГЛАВА 1. Теорема Пифагора 15
1.1. Арифметика и геометрия 15
1.2. Пифагоровы тройки 16
1.3. Рациональные точки на круге 19
1.4. Прямоугольные треугольники 21
1.5. Иррациональные числа 22
1.6. Определение расстояния 25
1.7. Биографические заметки: Пифагор 27
Глава 2. Греческая геометрия 29
2.8. Дедуктивный метод 29
2.9. Правильные многогранники 32
2.10. Построения с помощью линейки и циркуля 36
2.11. Конические сечения 39
2.12. Кривые более высокой степени 41
2.13. Биографические заметки: Евклид 45
ГЛАВА 3. Греческая теория чисел 47
3.14. Роль теории чисел 47
3.15. Многоугольные, простые и совершенные числа 48
3.16. Евклидов алгоритм 50
3.17. Уравнение Пелля 53
3.18. Методы хорд и касательных 57
3.19. Биографические заметки: Диофант 59
4 Оглавление
Глава 4. Бесконечность в греческой математике 61
4.20. Страх перед бесконечностью 61
4.21. Теория пропорций Евдокса 63
4.22. Метод исчерпывания 66
4.23. Площадь параболического сегмента 70
4.24. Биографические заметки: Архимед 72
Глава 5. Теория чисел в Азии 74
5.25. Евклидов алгоритм 74
5.26. Китайская теорема об остатках 75
5.27. Линейные диофантовы уравнения 78
5.28. Уравнение Пелля у Брахмагупты 80
5.29. Уравнение Пелля у Бхаскары II 83
5.30. Рациональные треугольники 86
5.31. Биографические заметки: Брахмагупта и Бхаскара ... 89
ГЛАВА 6. Полиномиальные уравнения 91
6.32. Алгебра 91
6.33. Линейные уравнения и исключение 93
6.34. Квадратные уравнения 96
6.35. Квадратные иррациональные числа 99
6.36. Решение кубических уравнений 101
6.37. Деление углов 104
6.38. Уравнения более высокой степени 106
6.39. Биографические заметки: Тарталья, Кардано и Виет . . 108
Глава 7. Аналитическая геометрия 113
7.40. Шаги к аналитической геометрии 113
7.41. Ферма и Декарт 114
7.42. Алгебраические кривые 116
7.43. Классификация кубических кривых Ньютона 118
7.44. Построение уравнений и теорема Безу 120
7.45. Арифметизация геометрии 123
7.46. Биографические заметки: Декарт 125
ГЛАВА 8. Проективная геометрия 128
8.47. Перспектива 128
8.48. Анаморфоза 130
8.49. Проективная геометрия Дезарга 131
8.50. Проективный вид кривых 134
Оглавление 5
8.51. Однородные координаты 137
8.52. Снова теорема Безу 140
8.53. Теорема Паскаля 142
8.54. Биографические заметки: Дезарг и Паскаль 144
ГЛАВА 9. Исчисление 148
9.55. Что такое исчисление? 148
9.56. Ранние результаты о площадях и объемах 150
9.57. Максимумы, минимумы и касательные 152
9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса 154
9.59. Исчисление ряда Ньютона 158
9.60. Исчисление Лейбница 162
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц . . 164
ГЛАВА 10. Бесконечные ряды 171
10.62Ранние результаты 171
Ю.бЗСтепенные ряды 174
10.64Интерполяция на интерполяции 177
10.65.Суммирование рядов 178
Ю.ббДробно-степенные ряды 181
10.67Производящие функции 183
10.68Дзета-функция 186
10.69Биографические заметки: Грегори и Эйлер 188
Глава 11. Возрождение теории чисел 193
11.70.Ot Диофанта до Ферма 193
11.71Малая теорема Ферма 196
11.72 Последняя теорема Ферма 199
11.73 Рациональные прямоугольные треугольники 201
11.74Рациональные точки на кубических кривых 0-го рода . . 205
11.75Рациональные точки на кубических кривых 1-го рода . . 207
11.76Биографические заметки: Ферма 211
ГЛАВА 12. Эллиптические функции 214
12.77Эллиптические и круговые функции 214
12.78Параметризация кубических кривых 214
12.79Эллиптические интегралы 216
12.80Удвоение дуги лемнискаты 219
12.81.Общие теоремы сложения 221
12.82Эллиптические функции 223
6
Оглавление
12.83Постскриптум о лемнискате 226
12.84Биографические заметки: Абель и Якоби 226
Глава 13. Механика 232
13.85Механика до исчисления 232
13.86Небесная механика 235
13.87Механические кривые 237
13.88Колеблющаяся струна 241
13.89Гидродинамика 246
13.90Биографические заметки: семья Бернулли 249
ГЛАВА 14. Комплексные числа в алгебре 256
14.91 Невозможные числа 256
14.92Квадратные уравнения 257
14.93Кубические уравнения 257
14.94Попытка Валлиса при геометрическом представлении . . 259
14.95Деление угла 261
14.96.Основная теорема алгебры 265
14.97Доказательства Даламбера и Гаусса 267
14.98Биографические заметки: Даламбер 270
Глава 15. Комплексные числа и кривые 273
15.99Корни и пересечения 273
15.КЖомплексная проективная линия 275
15.10ШЬчки ветвления 278
15.102Гопология комплексных проективных кривых 280
15.10«Биографические заметки: Риман 282
ГЛАВА 16. Комплексные числа и функции 287
16.10-Комплексные функции 287
16.10Конформное отображение 291
16.100:еорема Коши 293
16.10Двойная периодичность эллиптических функций 296
16.10$Эллиптические кривые 299
16.1097ниформизация 304
16.11(Биографические заметки: Лагранж и Коши 305
Оглавление 7
ГЛАВА 17. Дифференциальная геометрия 309
17.11 Трансцендентные кривые 309
17.11Кривизна плоских кривых 312
17.11«Кривизна поверхностей 315
17.11Поверхности постоянной кривизны 316
17.11Геодезические линии 318
17.ПЖеорема Гаусса-Бонне 319
17.11 Биографические заметки: Гарриот и Гаусс 322
Глава 18. Неевклидова геометрия 328
18.118^ксиома о параллельных 328
18.118Сферическая геометрия 330
18.120Геометрия Бойяи и Лобачевского 332
18.12Проективная модель Бельтрами 333
18.12Конформные модели Бельтрами 336
18.123Сомплексные интерпретации 340
18.12-Биографические заметки: Бойяи и Лобачевский 342
Глава 19. Теория групп 346
19.12Понятие группы 346
19.12(Перестановки и теория уравнений 349
19.12Г.руппы подстановок 352
19.128Г.руппы многогранников 354
19.121Г.руппы и геометрии 356
19.13(Комбинаторная теория групп 358
19.13Биографические заметки: Галуа 361
Глава 20. Гиперкомплексные числа 366
20.1323згляд на прошлое комплексных чисел 366
20.1331рифметика пар 367
20.13?войства + и х 370
20.135\рифметические тройки и четверки 371
20.13вКватернионы, геометрия и физика 376
20.13Юктонионы 379
20.13$1очему С,Ни О особенные 382
20.138эиографические заметки: Гамильтон 384
8
Оглавление
Глава 21. Алгебраическая теория чисел 389
21.14(Алгебраические числа 389
21.14Гауссовы целые числа 391
21.14Алгебраические целые числа 394
21.14Лдеалы 398
21.14-Еазложение идеала 402
21.14Вновь суммы квадратов 404
21.14вКольца и поля 408
21.14Ъиографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Н'етер 410
Глава 22. Топология 417
22.148Геометрия и топология 417
22.14Я>ормулы многогранника Декарта и Эйлера 418
22.15(Классификация поверхностей 421
22.15Декарт и Гаусс-Бонне 423
22.152Эйлерова характеристика и кривизна 425
22.15Яоверхности и плоскости 428
22.154Рундаментальная группа 430
22.15Биографические заметки: Пуанкаре 432
Глава 23. Множества, логика и вычисление 436
23.15Юбъяснение 436
23.15Множества 437
23.15Sdepa 442
23.15&ксиома о выборе и большие кардинальные числа .... 445
23.16Диагональная аргументация 448
23.16Вычислимость 450
23.1621огика и теорема Г"еделя 453
23.16Доказуемость и истина 458
23.16-Биографические заметки: Г"едель 460
Литература 464
Индекс 505
Оглавление
Посвящается Илейн, Майклу и Роберту
Предисловие ко второму изданию
Это издание полностью набрано заново в MJtjX, а многие рисунки
переделаны при помощи пакета PSTricks, чтобы улучшить точность
и облегчить внесение поправок в будущем. В процессе этого сделаны
несколько существенных дополнений.
• Здесь три новые главы: о теории чисел в Китае и Индии, о гипер-
гиперкомплексных числах и об алгебраической теории чисел. Они за-
заполнили некоторые пробелы в первом издании и позволяют глубже
понять последующие разработки.
• Здесь гораздо больше упражнений. Это, я надеюсь, исправляет
недостаток первого издания, в котором слишком мало упражне-
упражнений, и некоторые из них слишком сложные. Некоторые чудовищ-
чудовищные упражнения из первого издания, такие как упражнение в раз-
разделе 2.2 по сравнению объема и площади поверхности икосаэдра
и додекаэдра, теперь разбиты на выполнимые части. Тем не менее,
здесь все же присутствуют несколько стимулирующих вопросов
для тех, кому они нужны.
• В упражнения добавлены комментарии, чтобы объяснить, каким
образом они соотносятся с предыдущим разделом, а также (когда
уместно) каким образом они предваряют последующие темы.
• В предметный указатель добавлен дополнительный уровень для
облегчения поиска. Для того чтобы найти работу Эйлера о по-
последней теореме Ферма, например, не нужно больше просматри-
просматривать 41 разную страницу, указанную в пункте «Эйлер». Вместо
этого, в предметном указателе можно найти запись «Эйлер и по-
последняя теорема Ферма».
• Переделана библиография, где приведены более полные выход-
выходные данные многих работ, которые ранее были внесены в список
Предисловие ко второму изданию
11
с краткими или вовсе отсутствующими данными. Я нашел полез-
полезным онлайновый каталог библиотеки Бернди Дибнерского инсти-
института в MIT при поиске этой информации, особенно для ранних пе-
печатных работ. Для новых работ я широко использовал MathSciNet,
онлайновую версию версию Mathematical Reviews.
Есть также множество небольших изменений, некоторые из них
подсказаны недавними математическими событиями, такими как до-
доказательство последней теоремы Ферма. (К счастью, оно не вызвало
значительной переделки текста, потому что история вопроса теории
эллиптических кривых охвачена в первом издании.)
Я благодарен многим друзьям, коллегам и рецензентам, которые
привлекли мое внимание к недостаткам первого издания и помогли мне
в процессе их исправления. Особая благодарность следующим людям.
• Моим сыновьям, Майклу и Роберту, которые выполнили большую
часть набора, и моей жене, Илейн, которая много читала коррек-
корректуру.
• Моим студентам в Math 310 в университете Сан-Франциско, кото-
которые пробовали решать многие из упражнений, и Тристану Нидха-
му, который сперва пригласил меня в университет Сан-Франциско.
• Марку Арону, Дэвиду Коксу, Дуане ДеТемпл, Весу Хьюзу, Крис-
Кристине Малдун, Мартину Малдуну и Эйбу Шеницеру за исправления
и предложения.
Джон Стиллуэлл
Монашский Университет,
Виктория, Австралия
2001
Предисловие к первому изданию
Одно из разочарований, которые испытывает большинство студен-
студентов, изучающих математику, заключается в том, что им никогда не чи-
читают курс по математике. Им читают курсы по исчислению, алгебре,
топологии и т. д., но разделение труда в обучении, видимо, препятству-
препятствует тому, чтобы эти темы объединить в единое целое. Действительно,
некоторые наиболее важные и естественные вопросы не освящаются,
потому что они попадают на ошибочную сторону ограничительных ли-
линий темы. Например, алгебраисты не обсуждают основную теорему
алгебры, потому что «это анализ», а аналитики не обсуждают рима-
новы поверхности, потому что «это топология». Таким образом, если
студенты хотят чувствовать, что они действительно знают математику
к тому времени, когда они оканчивают учебное заведение, необходимо
объединить предмет.
Цель этой книги заключается в том, чтобы дать единый взгляд
на студенческую математику, подойдя к предмету с точки зрения его
истории. Поскольку читатели должны иметь некоторый математиче-
математический опыт, принимаются некоторые основы, и математика не излагает-
излагается формально, как в стандартном тексте. С другой стороны, мы при-
придерживаемся математики более тщательно, чем в большинстве общих
историй математики, потому что математика — наша основная цель,
а история лишь средство приближения к ней. Предполагается, что чи-
читатели знают основы исчисления, алгебры и геометрии, чтобы понять
язык теории множеств, и знакомы с некоторыми более современны-
современными темами, такими как теория групп, топология и дифференциальные
уравнения. Я пытался отобрать доминирующие темы этой области ма-
математики, и сплести их воедино настолько крепко, насколько возможно,
проследив их историческое развитие.
Поступая так, я также пытался соединить некоторые традици-
традиционные свободные концы. Например, студенты могут решать квад-
квадратные уравнения. Почему не кубические? Они могут интегриро-
интегрировать 1/\/1 ~ х2, но им говорят не мучиться с 1/\/1 — ж4. Почему? Неот-
Неотступное следование истории этих вопросов оказывается очень продук-
продуктивным, ведущим к более глубокому пониманию комплексного анализа
Предисловие к первому изданию
13
и алгебраической геометрии, между прочим. Таким образом, я наде-
надеюсь, что эта книга будет не только общей перспективой студенческой
математики, но также некоторым представлением более широких го-
горизонтов.
Некоторые историки математики могут не одобрить мое анахрони-
анахроническое использование современной системы обозначений и (довольно)
современных интерпретаций классической математики. Это несет опре-
определенный риск, такой, как сделать так, чтобы математика выглядела
проще, чем она действительно была в свое время, но по моему мне-
мнению, риск сделать неясными идеи, выраженные громоздким, незнако-
незнакомым обозначением, больше. В самом деле, практически это трюизм,
что математические идеи обычно возникают прежде, чем появляется
обозначение или язык для их ясного выражения, и что идеи неявны,
прежде, чем они становятся явными. Таким образом, историк, кото-
который, предположительно, пытается быть и ясным, и явным, часто не
имеет выбора, кроме как быть анахроническим, проележивая истоки
идей.
Математики могут не одобрить моего выбора тем, поскольку книга
такого размера неизбежно будет неполной. Я предпочел темы с элемен-
элементарными корнями и крепкими взаимосвязями. Основные темы — это
понятия числа и пространства: их начальное разделение в греческой
математике, их объединение в геометрии Ферма и Декарта и плоды
их объединения в исчислении и аналитической геометрии. Некоторые
важные темы сегодняшнего дня, такие как группы Ли и функциональ-
функциональный анализ, опущены по причине их сравнительной удаленности от
элементарных корней. Другие, такие как теория вероятностей, упомя-
упомянуты лишь кратко, так как большая часть их развития, по-видимому,
происходила за пределами основного потока. Что касается каких-либо
других упущений или пренебрежений, то я могу лишь сослаться на лич-
личный вкус и желание сохранить книгу в границах курса, рассчитанного
на один или два семестра.
Эта книга выросла из записей для курса, прочитанного студен-
студентам старших курсов Монашского университета в течение последних
нескольких лет. Курс читался половину семестра и охватывал чуть
больше половины книги (главы 1-11 один год и главы 5-15 второй
год). Естественно, я буду рад, если другие университеты решат осно-
основать курс по книге. В ней множество возможностей для разработки
специального курса посредством варьирования обсуждаемых периодов
или тем. Однако, эта книга в равной степени должна также послужить
14
Предисловие к первому изданию
в качестве общего чтения для студента или профессионального мате-
математика.
В конце каждой главы вставлены биографические заметки, частич-
частично с целью добавить человеческий интерес, но также, чтобы помочь
проследить передачу идей от одного математика к другому. Эти замет-
заметки извлечены, главным образом, из вторичных источников; кроме явно
указанных источников обычно использовался Словарь научной биогра-
биографии (СНБ). Я следовал практике СНБ, описывая мать человека под ее
девичьей фамилией. Ссылки приведены в виде: имя (год), например,
Ньютон A687) относится к Principia, а все источники собраны в конце
книги.
Рукопись внимательно и критично прочитали Джон Кроссли, Дже-
Джереми Грей, Джордж Одифредди и Эйб Шеницер. Их замечания вы-
вылились в многочисленные улучшения, а какие-либо оставшиеся недо-
недостатки, возможно, вызваны моей неспособностью последовать всем их
советам. Им, а также Ан-Мари Ванденберг за ее обычную, блестящую
перепечатку, я выражаю мою искреннюю благодарность.
Джон Стиллуэлл
Монашский Университет,
Виктория, Австралия
1989
Глава 1
Теорема Пифагора
1.1. Арифметика и геометрия
Если имеется одна теорема, которая известна всем математически
образованным людям, то это, несомненно, теорема Пифагора. Напо-
Напомним ее как свойство прямоугольных треугольников: квадрат гипоте-
гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон (рисунок 1.1). «Сум-
«Сумма» — это, конечно, сумма площадей, а площадь квадрата стороны I —
это I2, вот почему мы называем ее «I в квадрате». Таким образом, те-
теорема Пифагора также может быть выражена уравнением
ъ2 = г
A)
где а, 6, с — длины, показанные на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1: Теорема Пифагора
Обратно, решение A) положительными числами а, 6, с может быть
реализовано прямоугольным треугольником со сторонами а, 6 и гипоте-
гипотенузой с. Ясно, что мы можем провести перпендикулярные стороны а, 6
для любых заданных положительных чисел а, 6, и тогда гипотенуза с
должна быть решением A), чтобы удовлетворить теореме Пифагора.
Это обратное представление теоремы Пифагора становится интерес-
интересным, когда мы заметим, что A) имеет несколько очень простых реше-
решений. Например,
(а, 6, с) = C, 4, 5), (З2 + А2 = 9 + 16 = 25 = Ъ2),
(а, 6, с) = E,12,13), E2 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132).
Считается, что в античные времена такие решения могли использовать-
использоваться для построения прямых углов. Например, растянув связанную ве-
веревку с 12 равноотстоящими узлами, молено получить C,4,5)-треуголь-
ник с прямым углом между сторонами 3,4, как показано на рисунке 1.2.
Рисунок 1.2: Прямой угол, полученный растягиванием веревки.
16
Глава 1
Является ли это практическим методом построения прямых уг-
углов или нет, само существование геометрической интерпретации чисто
арифметического результата, подобного
весьма удивительно. На первый взгляд, арифметика и геометрия пред-
представляются совершенно несвязанными областями. Арифметика осно-
основывается на счете, краткой выжимке дискретного (или цифрового)
процесса. Данные арифметики могут, несомненно, пониматься как ре-
результаты некоторых вычислительных процессов, и не предполагаешь,
что они имеют какое-либо другое значение, кроме этого. Геометрия,
с другой стороны, включает скорее непрерывные, чем дискретные объ-
объекты, например, линии, кривые и поверхности. Непрерывные объекты
нельзя построить из простых элементов с помощью дискретных про-
процессов, и предполагаешь скорее увидеть геометрические факты, чем
прийти к ним с помощью вычислений.
Теорема Пифагора была первым намеком на скрытую, более глубо-
глубокую взаимосвязь между арифметикой и геометрией, и она продолжала
занимать ключевую позицию между этими двумя сферами на всем про-
протяжении истории математики. Она иногда занимала позицию сотруд-
сотрудничества, а иногда — конфликта, которая последовала из открытия,
что л/2 — иррациональное число (см. раздел 1.5). Часто случается так,
что из таких областей напряжения появляются новые идеи, разрешая
конфликт и позволяя изначально противоречивым идеям продуктив-
продуктивно взаимодействовать. Напряжение между арифметикой и геометрией,
без сомнения, глубочайшее в математике, и оно привело к глубочай-
глубочайшим теоремам. Поскольку теорема Пифагора первая из них, и самая
влиятельная, она является подходящим предметом для нашей первой
главы.
1.2. Пифагоровы тройки
Пифагор жил около 500 г. до н.э. (см. раздел 1.7), но история
теоремы Пифагора начинается задолго до этого, по крайней мере, еще
в 1800 г. до н. э. в Вавилоне. Свидетельством является глиняная дощеч-
дощечка, известная как Табличка 322, на которой систематически перечисля-
перечисляется большое количество пар целых чисел (а, с), для которых имеется
целое число Ь, удовлетворяющее
а2 + Ъ2 = с2. A)
1.2. Пифагоровы тройки
17
Перевод этой таблички, наряду с ее интерпретацией и историческим
фоном, впервые опубликован Нейгебауером и Заксом A945) [более
поздние обсуждения см. Ван дер Варден A983), с. 2]. Тройки целых
чисел (а, 6, с), удовлетворяющие A), — например, C,4,5), E,12,13),
(8,15,17), — теперь известны как пифагоровы тройки. Предположи-
Предположительно, древние вавилоняне интересовались ими вследствие их интер-
интерпретации как сторон прямоугольного треугольника, хотя наверняка это
неизвестно. Во всяком случае, задача отыскания пифагоровых троек
считалась интересной в других древних цивилизациях, о которых из-
известно, что они владели теоремой Пифагора; ван дер Варден A983)
приводит примеры из Китая (между 200 г. до н. э. и 220 г. н. э.) и Ин-
Индии (между 500 и 200 гг. до н.э.). Наиболее полного понимания задачи
в древности добились в греческой математике, от Евклида (около 300 г.
до н.э.) до Диофанта (около 250 г. н.э.).
Сейчас мы знаем, что общая формула получения пифагоровых
троек следующая
а = (р2 — q2)r, b = 2qpr, с = (р2 + q2)r.
Легко увидеть, что а2 + Ъ2 = с2, когда а, Ь, с заданы этими формулами,
и, конечно, а, 6, с будут целыми, если p,q,r — целые числа. Даже если
вавилоняне не имели преимущества нашего алгебраического обозначе-
обозначения, вероятно, что эта формула, или частный случай
а = р2 -q2,
Ъ = 2pq,
(который дает все решения а, 6, с без общего делителя), была основой
для троек, список которых они составили. Менее общие формулы при-
приписываются самому Пифагору (около 500 г. до н. э.) и Платону [см. Хит
A921), т. 1, стр. 80-81]; решение, эквивалентное общей формуле, дано
в Началах Евклида, Книга X (лемма, вытекающая из Теоремы 28).
Насколько нам известно, это — первая формулировка общего решения
и первое доказательство того, что оно общее. Доказательство Евклида,
по существу, арифметическое, как, наверное, и ожидаешь, поскольку
задача, по-видимому, принадлежит к арифметическим.
Однако, существует более поразительное решение, которое исполь-
использует геометрическую интерпретацию пифагоровых троек. Оно появля-
появляется в труде Диофанта, и описано в следующей главе.
Упражнения
Пары целых чисел (а, с) на Табличке 322:
18
Глава 1
а
119
3367
4601
12709
65
319
2291
799
481
4961
45
1679
161
1771
56
b
169
4825
6649
18541
97
481
3541
1249
769
8161
75
2929
289
3229
106
Рисунок 1.3: Пары на Табличке 322
1.2.1 Для каждой пары (а, с) в таблице, вычислите с2 — а2 и подтвердите,
что это полный квадрат — б2. (Рекомендуется помощь компьюте-
компьютера.)
Вам следует отметить, что в большинстве случаев 6 — «более круглое»
число, чем а или с.
1.2.2 Покажите, что большинство чисел 6 делятся на 60, и, что осталь-
остальные делятся на 30 или 12.
Такие числа для вавилонян, действительно, были исключительно
«круглыми», потому что 60 являлось основой их системы счета. По-
видимому, они вычисляли пифагоровы тройки, начиная с «круглых»
чисел 6, и, что позднее столбец значений 6 разрывал табличку.
Формула Евклида для пифагоровых троек вытекает из его теории
делимости, которую мы рассмотрим в разделе 3.3. Делимость также со-
содержится в некоторых основных свойствах пифагоровых троек, таких
как их четность или нечетность.
1.2.3 Покажите, что квадрат любого целого числа дает остаток 0 или 1
при делении на 4.
1.2.4 Выведите из упражнения 1.2.3, что если (а, 6, с) пифагорова трой-
тройка, тогда а и 6 не могут быть нечетными оба.
1.3. Рациональные точки на круге
1.3. Рациональные точки на круге
19
Из раздела 1.1 мы знаем, что пифагорова тройка (а, 6, с) может
быть реализована треугольником со сторонами а, 6 и гипотенузой с.
Это по очереди дает треугольник со сторонами, выраженными дроб-
дробным (или рациональным) числом х = а/с, у = Ь/с, и гипотенузой 1.
Все такие треугольники молено вставить внутри круга радиуса 1, как
показано на рисунке 1.4. Стороны хну становятся тем, что мы сей-
сейчас называем координатами точки Р на круге. Греки не пользовались
этим языком; однако, они могли вывести зависимость между хну,
которую мы называем уравнением круга. Поскольку
а2 + 62 = с2 B),
мы имеем
= 1,
поэтому зависимость между х = а/с и у = Ь/с:
х2+у2 = 1.
B)
Следовательно, отыскание решений в целых числах A) эквивалентно
отысканию рациональных решений B) или отысканию рациональных
точек на кривой B).
Рисунок 1.4: Единичный круг
Такие задачи сейчас называются диофантовы, в честь Диофан-
Диофанта, который первый всерьез и успешно рассмотрел их. Диофантовы
уравнения потребовали более специального сопутствующего обозначе-
обозначения уравнений, для которых разыскиваются решения в целых числах,
хотя сам Диофант искал лишь рациональные решения. [Имеется од-
одна интересная открытая задача, которая зависит от этого различия.
Матьясевич A970) доказал, что алгоритма для принятия решения, ка-
какие полиномиальные уравнения имеют решения в целых числах, нет.
Неизвестно, есть ли алгоритм для принятия решения, какие полиноми-
полиномиальные уравнения имеют рациональные решения.]
Большинство задач, решенных Диофантом, включают квадрат-
квадратные или кубические уравнения, обычно с одним очевидным тривиаль-
тривиальным решением. Диофант использовал очевидное решение как ступень-
ступеньку к неочевидному, но ни одного описания его метода не сохранилось.
Он был, в конце концов, реконструирован Ферма и Ньютоном в сем-
семнадцатом веке, и это так называемое хордово-касательное построение
20
Глава 1
будет рассмотрено позднее. В данный момент оно нам нужно только
для уравнения х2 + у2 = 1, которое является идеальной иллюстрацией
метода в его простейшей форме.
Тривиальное решение этого уравнения: х = — 1, у = О, которое яв-
является точкой Q на единичном круге (рисунок 1.5). После минутного
размышления осознаешь, что линия, проходящая через Q, с рациональ-
рациональным угловым коэффициентом t,
y = t(x+l) C)
пересечет круг во второй рациональной точке R. Это происходит пото-
потому, что подстановка у = t(x + 1) в х2 + у2 = 1 дает квадратное уравне-
уравнение с рациональными коэффициентами и одним рациональным реше-
решением (х = — 1); следовательно, второе решение также должно быть ра-
рациональным значением х. Но тогда значение у этой точки также будет
рациональным, поскольку t и х в C) будут рациональными. Обратно,
хорда, соединяющая Q с любой другой рациональной точкой R на кру-
круге, будет иметь рациональный угловой коэффициент. Таким образом,
позволяя пробежать через все рациональные значения, мы находим все
рациональные точки R ф Q на единичном круге.
Рисунок 1.5: Построение рациональных точек
Каковы эти точки? Мы находим их, решая только что обсужден-
обсужденные уравнения. Подстановка у = t(x + 1) в х2 + у2 = 1 дает
или
х2A + t2) + 2t2x + (t2 - 1) = 0.
Это квадратное уравнение в х имеет решения —1 и A — ?2)/A + t2).
Нетривиальное решение х = A — ?2)/A + t2), при подстановке в C),
2
Упражнения
Параметр t в паре
,
пробегает через все рациональ-
рациональные числа, если t = q/p, и p,q пробегают через все пары целых чисел.
1.3.1 Выведите, что если (а, 6, с) — любая пифагорова тройка, тогда
а
с
Р2 -
q2 '
1.4. Прямоугольные треугольники
21
для некоторых целых чисел р и q.
1.3.2 Воспользуйтесь упражнением 1.3.1, чтобы доказать формулу Ев-
Евклида для пифагоровых троек.
Тройки (а, 6, с) в Табличке 322, видимо, вычислили, чтобы опреде-
определить прямоугольные треугольники, охватывающие множество форм —
их углы фактически следуют возрастающей последовательности в при-
приблизительно равных шагах. Это вызывает вопрос: можно ли аппрокси-
аппроксимировать какой-либо прямоугольный треугольник пифагоровой трой-
тройкой?
1.3.3 Покажите, что любой прямоугольный треугольник с гипотенузой 1
может быть аппроксимирован сколь угодно близко треугольником
с рациональными сторонами.
Некоторую важную информацию можно почерпнуть из метода
Диофанта, если мы сравним угол в О на рисунке 1.4 с углом в Q на
рисунке 1.5. Оба угла показаны на рисунке 1.6, и мы надеемся, что из
курса геометрии средней школы вы знаете отношение между ними.
л
1.3.4 С помощью рисунка 1.6 покажите, что t = tg | и
cos в =
l-t2
sin в =
Рисунок 1.6: Углы в круге
1.4. Прямоугольные треугольники
Самое время посмотреть на теорему Пифагора с традиционной
точки зрения, как на теорему о прямоугольных треугольниках; одна-
однако, мы будем довольно кратки насчет ее доказательства. Неизвестно,
каким образом теорема была впервые доказана, но, вероятно, это бы-
было сделано с помощью простых манипуляций с площадью, возможно,
подсказанных перестановкой мозаик пола. Насколько лее легко молено
доказать теорему Пифагора показано на рисунке 1.7 [приведенном Хи-
Хитом A925) в его издании Начал Евклида, т. 1, с. 354]. Каждый большой
квадрат содержит четыре копии заданного прямоугольного треуголь-
треугольника. Вычитание этих четырех треугольников из большого квадрата
22
Глава 1
оставляет, с одной стороны (рисунок 1.7, слева), сумму квадратов на
обеих сторонах треугольника. С другой стороны (справа), оно также
оставляет квадрат на гипотенузе. Это доказательство, как сотни дру-
других, которые были даны для теоремы Пифагора, основывается на неко-
некоторых геометрических допущениях. На самом деле, возможно выйти за
пределы геометрических допущений, используя числа как основание
для геометрии, и тогда теорема Пифагора становится истинной почти
по определению, как непосредственное следствие определения рассто-
расстояния (см. раздел 1.6).
Рисунок 1.7: Доказательство теоремы Пифагора
Для греков, однако, не представлялось возможным построить гео-
геометрию на основе чисел, из-за конфликта между их понятиями числа
и длины. В следующем разделе мы увидим, как возник этот конфликт.
Упражнения
Способ увидеть теорему Пифагора на мозаичном полу предложен
Магнусом A974), с. 159, и он показан на рисунке 1.8. (Точечные квад-
квадраты — это не черепицы; они — указание к решению ).
1.4.1 Какое отношение этот рисунок имеет к теореме Пифагора?
Рисунок 1.8: Теорема Пифагора на мозаичном полу
Первое доказательство теоремы Пифагора Евклидом в Книге I На-
Начал также основано на площади. Оно зависит только от того факта, что
треугольники с одним и тем лее основанием и высотой имеют равную
площадь, хотя оно включает довольно сложную фигуру. В Книге IV,
Теорема 31, он дает еще одно доказательство, основанное на подобных
треугольниках (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9: Еще одно доказательство теоремы Пифагора
1.4.2 Покажите, что три треугольника на рисунке 1.9 подобны, и, следо-
следовательно, дайте еще одно доказательство теоремы Пифагора, урав-
уравнивая отношения соответствующих сторон.
1.5. Иррациональные числа
Мы упоминали, что вавилоняне, несмотря на то, что, вероятно, осо-
осознавали геометрическое значение теоремы Пифагора, посвятили боль-
большую часть своего внимания тройкам целых чисел, которые она выяви-
выявила, пифагоровым тройкам. Пифагор и его последователи были преданы
1.5. Иррациональные числа
23
целым числам еще больше. Именно они открыли роль чисел в музы-
музыкальной гармонии: разделение колеблющейся струны на две повышает
высоту ее тона на октаву, разделение на три повышает высоту еще на
одну пятую и т. д. Это великое открытие, первый ключ к тому, что фи-
физический мир может иметь в своей основе математическую структуру,
вдохновило их на поиски числовых моделей, которые всюду означали
для них модели целых чисел. Представьте их ужас, когда они обнару-
обнаружили, что теорема Пифагора привела к величинам, которые были чис-
численно невычислимы. Они нашли длины, которые были несоизмеримы,
т. е. неизмеримы как целые кратные одной и той лее единицы. Отно-
Отношение мелсду такими длинами не было, поэтому, отношением целых
чисел, следовательно, с точки зрения греков вообще не было отноше-
отношением, или иррациональностью.
Несоизмеримые длины, открытые пифагорейцами, являлись сто-
стороной и диагональю единичного квадрата. Непосредственно из теоремы
Пифагора следует, что
(диагональJ = 1 + 1 = 2.
Следовательно, если диагональ и сторона находятся в отношении т/п
(где можно предположить, что типне имеют общего делителя), мы
имеем
откуда
т2 = 2пА.
Пифагорейцы интересовались нечетными и четными числами, поэто-
поэтому они, вероятно, зам>
что т2 — четное чис.
леем т = 2р. Но если
му они, вероятно, заметили, что последнее уравнение, которое говорит,
что т2 — четное число, также означает, что т — четное число, ска-
тогда
следовательно,
т = 2р,
2п2 = т2 = Ар2;
п2=2р2,
что так лее означает, что п — четное число, в противоположность гипо-
гипотезе о том, что типне имеют общего делителя. (Это доказательство
24
Глава 1
появляется в Prior Analytics Аристотеля. Альтернативное, более гео-
геометрическое доказательство упоминается в разделе 3.4.)
Это открытие имело глубокие последствия. Легенда рассказывает
о том, что первый пифагореец, который обнародовал этот результат,
был утоплен в море [см. Хит A921), т. 1, стр.65, 154]. Оно привело
к разделению между теориями чисел и пространства, которое преодо-
преодолели не раньше девятнадцатого века (если именно тогда, обычно до-
добавляют некоторые математики). Пифагорейцы не могли принять л/2
в качестве числа, но никто не мог отрицать, что это была диагональ
единичного квадрата. Следовательно, геометрические величины сле-
следовало рассматривать отдельно от чисел или, скорее, без упоминания
каких-либо чисел, за исключением рациональных. Греческие геометры,
поэтому, разработали оригинальные методы точного обращения с про-
произвольными длинами на основе рациональных чисел, известные как
теория пропорций и метод исчерпывания.
Когда Дидекинд снова рассмотрел эти методы в девятнадцатом
веке, он осознал, что, в конце концов, они обеспечивали арифметиче-
арифметическую интерпретацию иррациональных величин (глава 4). В таком слу-
случае возможно, как показал Гильберт A899), урегулировать очевидный
конфликт между арифметикой и геометрией. Ключевая роль теоремы
Пифагора в этом урегулировании описана в следующем разделе.
Упражнения
Решающий шаг в доказательстве того, что л/2 — иррациональное
число, показывает, что четное т2 означает, что т — четное, или, что то
же самое, что т нечетное означает т2 нечетное. Стоит более тщательно
взглянуть на то, почему это истинно.
1.5.1 Записав произвольное нечетное число т в виде 2д + 1 для неко-
некоторого целого числа q, покажите, что т2 также имеет вид 2г + 1,
который показывает, что т? также нечетное число.
Вероятно, вы занимались какой-нибудь алгеброй, похожей на ал-
алгебру в упражнении 1.2.3, но если нет, вот ваш шанс:
1.5.2 Покажите, что квадрат 2д+1 фактически имеет вид 4s +1 и, следо-
следовательно, объясните, почему каждый целый квадрат дает остаток О
или 1 при делении на 4.
1.6. Определение расстояния
1.6. Определение расстояния
25
Численная интерпретация иррациональных чисел задает каждой
длине численную меру и, следовательно, делает возможным зада-
задание координат х,у каждой точке Р на плоскости. Простейший спо-
способ — взять пару перпендикулярных линий (осей) OX, OY и допустить,
что х,у являются длинами перпендикуляров от Р до ОХ и OY, со-
соответственно (рисунок 1.10). Геометрические свойства Р отражаются
тогда арифметическими соотношениями между хну. Это открывает
возможность аналитической геометрии, развитие которой обсуждает-
обсуждается в главе 7. Здесь мы хотим лишь посмотреть, как координаты задают
точное значение основному геометрическому понятию расстояния.
Рисунок 1.10: Перпендикулярные оси
Мы уже говорили, что перпендикулярные расстояния от Р до
осей — это числа х,у. Расстояние между точками на одном и том
же перпендикуляре к оси следует, поэтому, определять как разность
между соответствующими координатами. На рисунке 1.11 это х2 — х\
для RQ и г/2 — 2/1 для PQ. Но в таком случае теорема Пифагора говорит
нам, что расстояние PR задано
PR2 = RQ2 + PQ2
= (х2 - XlJ + (j/2 - Vlf ¦
To есть
PR=
A)
Поскольку это построение применяется к произвольным точкам Р, R
в плоскости, мы теперь имеем общую формулу для расстояния между
двумя точками.
Рисунок 1.11: Определение расстояния
Мы вывели эту формулу как следствие геометрических допуще-
допущений, в частности, теоремы Пифагора. Хотя это делает геометрию под-
поддающейся арифметическому вычислению, — несомненно, очень полез-
полезная ситуация, — это не говорит о том, что геометрия является ариф-
арифметической. На заре аналитической геометрии последняя была весьма
еретической точкой зрения (см. раздел 7.6). В конечном счете, одна-
однако, Гильберт A899) осознал, что принятие A) в качестве определения
расстояния могло стать фактом. Конечно, все другие геометрические
понятия следует тоже определить на основе чисел, но это сводится
к определению точки, которая есть просто упорядоченная пара (х,у)
26
Глава 1
чисел. Уравнение A), в таком случае, задает расстояние между точка-
точками (Xl,yi) И (Х2,У2)-
Когда геометрия перестраивается таким образом, все геометриче-
геометрические факты становятся фактами касательно чисел (хотя их не обяза-
обязательно будет легче увидеть). Теорема Пифагора становится истинной
по определению, поскольку она встроена в определение расстояния.
Это не должно говорить о том, что теорема Пифагора, в конечном
счете, тривиальна. Скорее, это показывает, что теорема Пифагора яв-
является именно тем, что необходимо, чтобы интерпретировать арифме-
арифметические факты как геометрию.
Я упоминаю эти более поздние разработки лишь для того, что-
чтобы дополнить теорему Пифагора в соответствии с новыми данными
и дать точное изложение ее влияния на трансформацию арифметики
в геометрию. Во времена античной Греции геометрия основывалась го-
гораздо больше на видении, нежели на вычислении. В следующей главе
мы увидим, как грекам удалось построить геометрию на основе визу-
визуально очевидных фактов.
Упражнения
Большинство математиков сегодня больше знакомы с координата-
координатами, чем с традиционной геометрией, все лее некоторые теоремы анали-
аналитической геометрии доказываются редко, потому что они представля-
представляются визуально очевидными. Хороший пример — это то, что Гильберт
A899) называет аддитивностью сегментов: если А, В, С — точки, рас-
расположенные в таком порядке на линии, тогда АВ + ВС = АС.
1.6.1 Соответственно назвав координаты для А, В и С покажите, что
уравнение АВ + ВС = АС эквивалентно
(*)
где xiy2 = у\Х2. Подсказка: Удобно, чтобы В была началом коор-
координат.
1.6.2 Докажите (*), доказав эквивалентное рациональное уравнение, по-
полученное возведением в квадрат дважды, и используя xiy2 = у\Х2.
Следует подчеркнуть, что Гильберт A899) говорит не только об
определении геометрических понятий на основе координат. Он так-
также касается обратного процесса: установления геометрических допу-
1.7. Биографические заметки: Пифагор
27
щений, из которых молено строго вывести координаты. Подробнее об
этом в разделе 2.1.
1.7. Биографические заметки: Пифагор
Достоверно о Пифагоре известно очень мало, хотя он фигурирует
во многих легендах. Из того времени, в котором он жил, не сохрани-
сохранилось никаких документов, поэтому мы вынуждены полагаться на рас-
рассказы, которые передавались в течение нескольких веков, прелсде чем
были записаны. По-видимому, он родился на Самосе, греческом остро-
острове близи побережья, ныне побережье Турции, около 580 г. до н.э. Он
ездил в соседний город на материк, в Милет, где изучал математику
у Фалеса F24-547 гг. до н.э.), который традиционно считается основа-
основателем греческой математики. Пифагор также путешествовал в Египет
и Вавилон, где он, предположительно, познакомился с дополнительны-
дополнительными математическими идеями. Примерно в 540 г. до н.э. он поселился
в Кротоне, греческой колонии, ныне южная Италия.
Там он основал школу, представители которой позже получили из-
известность как пифагорейцы. Девиз школы был: «Все есть число», и пи-
пифагорейцы пытались привести все сферы науки, религии и философии
под правило числа. Говорят, что само слово математика («то, что изу-
изучается») было изобретением пифагорейцев. Школа налагала строгий
кодекс поведения на своих членов, который включал секретность, ве-
вегетарианство и любопытный запрет на употребление в пищу бобов. Ко-
Кодекс секретности означал, что математические результаты считались
собственностью школы, и их конкретных первооткрывателей чужакам
не называли. Именно поэтому мы не знаем, кто открыл теорему Пифа-
Пифагора, иррациональность л/2 или другие арифметические результаты,
которые будут упомянуты в главе 3.
Как указано в разделе 1.5, самый значительный научный успех
пифагорейской школы заключался в объяснении музыкальной гармо-
гармонии на основе отношений целых чисел. Этот успех вдохновил на по-
поиски численного закона, управляющего движением планет, «гармонии
сфер». Такой закон, вероятно, не мог быть выражен на основе того, что
пифагорейцы обычно признавали; тем не менее, представляется обосно-
обоснованным рассмотреть расширение понятия числа, чтобы удовлетворить
потребности геометрии (и, следовательно, механики), как естественное
расширение программы пифагорейцев. В этом смысле, закон гравита-
гравитации Ньютона (раздел 13.2) выражает гармонию, которую искали пифа-
28
Глава 1
горейцы. Даже в самом строгом смысле, пифагореизм во многом сего-
сегодня жив. Имея цифровой компьютер, цифровые часы, цифровое аудио
и видео кодирование всего, по крайне мере приблизительно, в последо-
последовательности целых чисел, мы находимся ближе, чем когда-либо к миру,
в котором «все есть число».
Является ли мудрым абсолютное правило числа, остается увидеть.
Говорят, что когда пифагорейцы пытались распространить свое влия-
влияние на политику, они встретились с народным сопротивлением. Пифа-
Пифагор бежал, но был убит вблизи Метапонта в 497 г. до н.э.
Глава 2
Греческая геометрия
2.8. Дедуктивный метод
Ему было сорок лет, прежде чем он обратился к Геометрии;
что произошло случайно. Находясь в Библиотеке Джентльме-
Джентльмена, «Начала» Евклида лежали открытыми, и это был 47 Е1.
libri I. Он прочитал Теорему. Ей- Б — воскликнул он (ино-
(иногда он, бывало, выразительно божился ради резкости), это
невозможно! Поэтому он читает ее Доказательство, которое
направило его назад к такой Теореме; какую теорему он чи-
читал. Что направило его опять к еще одному, которое он также
прочитал,.. .что, наконец, он был доказательно убежден в ее
истинности. Это заставило его полюбить Геометрию.
Эта цитата о философе Томасе Гоббсе A588-1679) из Кратких
жизнеописаний (Brief Lives) Обри прекрасно схватывает силу самого
важного вклада греков в математику: дедуктивного метода. (Упомя-
(Упомянутая теорема, между прочим, — это теорема Пифагора.)
Мы уже видели, что важные результаты были известны до эпохи
классической Греции, но именно греки первыми создали математику
посредством заключений из ранее установленных результатов, осно-
основывающуюся, в конечном итоге, на наиболее очевидных возможных
утверждениях, называемых аксиомами. Считается, что основополож-
основоположником этого метода был Фалес F24-547 гг. до н.э.) [см. Хит A921),
с. 128], и к 300 г. до н. э. он стал настолько сложным, что Начала Евкли-
Евклида установили стандарт математической строгости до девятнадцатого
столетия. Начала были, в сущности, слишком тонки для большинства
математиков, не говоря уже об их студентах, так что со временем их
свели к самым простым и сухим теоремам о прямых линиях, треуголь-
треугольниках и кругах. Эта часть Начал основана на следующих аксиомах
[в переводе Хита A925), с. 154], которые Евклид называл постулата-
постулатами или общими понятиями.
30
Глава 2
Постулаты
Пусть мы постулируем следующее:
1. Провести прямую линию из всякой точки во всякую точку.
2. Создать конечную прямую линию непрерывно в прямой линии.
3. Описать круг со всяким центром и расстоянием.
4. Что все прямые углы равны друг другу.
5. Что, если прямая линия, падающая на две прямые линии, обра-
образует внутренние углы с одной и той же стороны меньше, чем два
прямых угла, то две прямые линии, если продолженные неограни-
неограниченно, встретятся на той стороне, на которой углы меньше, чем
оба прямых угла.
Общие понятия
1. Вещи, которые равны одной и той лее вещи, также равны друг
Другу-
2. Если равные складываются с равными, целые равны.
3. Если равные вычитаются из равных, остатки равны.
4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
5. Целое больше, чем часть.
По-видимому, Евклид намеревался вывести геометрические тео-
теоремы из визуально очевидных утверждений (постулатов), используя
очевидные принципы логики (общие понятия). Фактически, он часто
невольно использовал визуально правдоподобные допущения, которых
не было среди его постулатов. В его самой первой теореме использова-
использовалось незаявленное допущение, что два круга пересекаются, если центр
каждого находится на окружности другого [Хит A925), с. 242]. Тем не
менее, подобные упущения не замечали до девятнадцатого века, и их
исправил Гильберт A899). Самих по себе, их, вероятно, было бы недо-
недостаточно, чтобы завершить 22-вековое использование Начал в качестве
ведущего учебника. Начала были свергнуты в девятнадцатом веке бо-
более серьезными математическими переворотами. Так называемые неев-
неевклидовы геометрии, использующие альтернативные гипотезы пятому
2.8. Дедуктивный метод
31
постулату Евклида (аксиоме о параллельных), выросли до момента,
когда старые аксиомы больше нельзя было рассматривать как само-
самоочевидные (см. главу 18). В то лее самое время, понятие числа созрело
до момента, когда иррациональные числа стали приемлемыми, и несо-
несомненно, предпочтительнее интуитивных геометрических понятий, вви-
ввиду сомнений насчет того, чем действительно являлись самоочевидные
истины геометрии.
Итогом явился легче приспосабливаемый язык геометрии, в кото-
котором «точки», «линии» и т. п. молено было определить, как правило, на
основе чисел, с тем чтобы они соответствовали типу исследуемой гео-
геометрии. Такое развитие давно назрело, потому что даже во времена Ев-
Евклида греки исследовали кривые, более сложные, чем круги, которые
не вписывались удобно в евклидову систему. Декарт A637) ввел метод
координат, который дает единую основу для обращения как с евклидо-
евклидовой геометрией, так и с кривыми более высокого порядка (см. главу 7),
но, на первых порах, не осознавали, что координаты позволяли полно-
полностью перестроить геометрию на численных основах.
Сравнительно тривиальный шаг (для нас) перехода от аксиом
о точках к аксиомам о числах вынужден был ожидать девятнадцатого
столетия, когда геометрические аксиомы о точках потеряли авторитет,
а теоретико-числовые аксиомы его получили. Мы подробнее расскажем
об этих разработках позже (и о задачах с авторитетом аксиом, вообще,
которые возникли в двадцатом веке). В остальной части этой главы
мы ознакомимся с некоторыми важными непростыми темами грече-
греческой геометрии, используя там, где это удобно, координатную основу.
Упражнения
Общие Понятия Евклида 1 и 4 определяют то, что мы сейчас на-
называем отношение эквивалентности, которое не обязательно являет-
является отношением равенства. В сущности, вид отношения, которое имел
в виду Евклид, — это равенство в некоторой геометрической величине,
как например, длина или угол (но не обязательно равенство во всех от-
отношениях — последнее заключается в том, что он подразумевал под
«совпадением»). Отношение эквивалентности — обычно определяется
тремя свойствами. Для любых а, 6 и с
а^ а, (рефлексивное)
а = b => b= а, (симметричное)
а = 6 и 6 = с => а = с (транзитивное)
32
Глава 2
2.1.1 Объясните, как Общие Понятия 1 и 4 молено интерпретировать
в качестве транзитивного и рефлексивного свойств. Заметьте, что
естественный способ записать Общее Понятие 1 в символической
форме слегка отличается от формулировки транзитивности, при-
приведенной выше.
2.1.2 Покажите, что симметричное свойство следует из евклидовых Об-
Общих Понятий 1 и 4.
Гильберт A899) воспользовался евклидовыми Общими Понятия-
Понятиями 1 и 4 при устранении ошибок в евклидовой системе аксиом. Он
определил равенство длины, постулируя транзитивное и рефлексив-
рефлексивное отношение на отрезках прямой, и выразил транзитивность в стиле
Евклида, так что симметричное свойство оказалось следствием.
2.9. Правильные многогранники
Греческая геометрия поистине полная в том, что касается элемен-
элементарных свойств плоских фигур. Достаточно сказать, что со времени
Евклида была открыта лишь малая толика интересных элементарных
теорем о треугольниках и кругах. Стереометрия требует гораздо боль-
больше усилий даже сегодня, поэтому понятно, почему греки оставили ее
в менее завершенном состоянии. Тем не менее, они сделали несколь-
несколько весьма впечатляющих открытий, и им удалось завершить одну из
прекраснейших глав в стереометрии: перечисление правильных много-
многогранников. Пять возможных правильных многогранников показаны на
рисунке 2.1.
Рисунок 2.1: Правильные многогранники
Куб
Тетраэдр
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Каждый многогранник ограничен рядом равных многоугольных
граней, то же количество граней пересекается в каждой вершине
и в каждой грани все стороны и углы равны, отсюда термин пра-
правильный многогранник. Правильный многогранник — пространствен-
пространственная фигура, аналогичная правильному многоугольнику в плоскости.
Но в то время как есть правильные многоугольники с любым количе-
количеством сторон п Jj 3, правильных многогранников — всего лишь пять.
2.9. Правильные многогранники
33
Этот факт легко доказывается, и, возможно, восходит к пифаго-
пифагорейцам [см., например, Хит A921), с. 159]. Рассматриваем возможные
многоугольники, которые могут существовать как грани, их углы и чис-
число их, которое может встретиться на вершине. Для 3-угольника (тре-
(треугольника) угол составляет тг/3, поэтому три, четыре или пять могут
встретиться на вершине, но шесть не могут, поскольку это дало бы об-
общий угол 2тг, и вершина была бы плоской. Для 4-угольника угол — тг/2,
поэтому, на вершине могут встретиться три, но не четыре. Для 5-уголь-
ника угол — Зтг/5, поэтому на вершине могут встретиться три, но не
четыре. Для 6-угольника угол — 2тг/3, поэтому на вершине не могут
встретиться далее три. Но в каждой вершине многогранника должны
пересекаться, по крайней мере, три грани, поэтому 6-угольники (и, так
лее, 7-угольники, 8-угольники,..., n-угольники) не могут встречаться
в качестве граней правильного многогранника. Это оставляет только
пять возможностей, только что перечисленных, которые соответству-
соответствуют пяти известным правильным многогранникам.
Но действительно ли мы знаем, что эти пять существуют? С тет-
тетраэдром, кубом или октаэдром трудности нет, но не ясно, скажем, что
20 равносторонних треугольников будут соответствовать друг другу,
чтобы образовать замкнутую поверхность. Евклид нашел эту задачу
достаточно трудной, поместив ее почти в конец Начал, и немногие из
его читателей когда-либо одолевали его решение. Прекрасное прямое
построение дал Лука Пачоли, друг Леонардо да Винчи, в своей книге
De divina proportione (О божественной пропорции) A509). Построение
Пачоли использует три копии золотого прямоугольника со сторонами 1
и A + у/5)/2, соединяющимися, как на рисунке 2.2. 12 вершин опреде-
определяют 20 треугольников, таких как ABC, и этого достаточно, чтобы по-
показать, что они равносторонние, т.е. АВ = 1. Это прямое упражнение
в теореме Пифагора (Упражнение 2.2.2).
Рисунок 2.2: Построение икосаэдра Пачоли
Правильные многогранники совершат еще один важный выход
в связи с еще одной разработкой девятнадцатого столетия, теорией
конечных групп и теорией Галуа. Прежде чем правильные многогран-
многогранники совершили свое триумфальное возвращение, они также приняли
участие в известном фиаско: теории планетарных расстояний Кеплера
[Кеплер A596)]. Теория Кеплера иллюстрируется его известным черте-
чертежом (рисунок 2.3) из пяти многогранников, вложенных таким образом,
чтобы создать шесть сфер с радиусами, пропорциональными расстоя-
расстояниям до шести известных тогда планет. К солсалению, несмотря на то,
что математики не могли позволить еще больше правильных много-
34
Глава 2
гранников, природа смогла позволить больше планет, и теория Кеплера
рухнула, когда в 1781 году был открыт Уран.
Рисунок 2.3: Чертеж многогранников Кеплера
Упражнения
Отношения между последовательными радиусами в построении
Кеплера зависят от того, что можно назвать внрадиус и радиусокруж:
каждого многогранника — радиусов сфер, которые касаются ее внутри
и снаружи. Оказывается, что отношение
радиусокруж
внрадиус
одинаково для куба и октаэдра, и оно также одинаково для додекаэдра
и икосаэдра. Это означает, что в построении Кеплера куб и октаэдр
молено поменять местами, также как и додекаэдр и икосаэдр. Таким
образом, существует, по меньшей мере, четыре различных конфигура-
конфигурации правильных многогранников, которые дают одинаковую последо-
последовательность радиусов.
Легко увидеть, почему куб и октаэдр взаимозаменяемы.
2.2.1 Покажите,
ра.
= V% как для куба, так и для октаэд-
октаэдЧтобы вычислить радиусокруж/внрадиус для икосаэдра и доде-
додекаэдра немного далее мы последуем построению Пачоли, с помощью
сложения векторов.
2.2.2 Сначала проверьте построение Пачоли: воспользуйтесь теоремой
Пифагора, чтобы показать, что АВ = ВС = СА на рисун-
рисунке 2.2. (Возможно, окажется полезным использовать дополнитель-
дополнительный факт, что т = A + л/5) /2 удовлетворяет т2 = г + 1. Это также
полезно в нижеследующих упражнениях.)
Теперь, чтобы упростить координаты, мы берем золотые прямо-
прямоугольники, которые в два раза больше нормальной величины — дли-
длина 2т и ширина 2 — и помещаем их в три координатные плоскости
в относительные положения, показанные на рисунке 2.2, поэтому О =
= @, 0, 0) находится в центре каждого прямоугольника.
2.2.3 Покажите, что координаты вершин икосаэдра: (±1, 0±т), (±т, ±1, 0)
и @, ±т, ±1) для всех возможных сочетаний знаков + и —.
2.9. Правильные многогранники
35
2.2.4 В частности, покажите, что соответственно выбранные оси да-
дают А = A, 0, г), В = (т, -1, 0) и С = (т, 1, 0) на рисунке 2.2. Выве-
Выведите, что
радиусокруж = л/г + 2 для этого икосаэдра.
Чтобы найти внрадиус, мы находим центр треугольника ABC, за-
затем вычисляем расстояние до него от О.
2.2.5 Покажите, что центр треугольника ABC — тгBт + 1, 0, г) и, следо-
следовательно, что
1
внрадиус = ^ V 9т + 6; для этого икосаэдра.
о
Отсюда следует, что
радиусокруж
= для любого икосаэдра,
внрадиус ^/9r+6
но полезнее было бы записать это число в более простой форме.
2.2.6 Покажите, что ——
=|=л/3G-4т) =
л/ут -t- 6
Теперь, чтобы вычислить отношение радиусокруж/внрадиус для
додекаэдра, мы воспользуемся двойным додекаэдром, вершинами кото-
которого являются центры граней, такие как —(А + В + С), рассмотренного
О
выше икосаэдра. Это непосредственно дает
радиусокруж двойного додекаэдра = внрадиус икосаэдра = ^-л/9т + 6.
Таким образом, остается найти внрадиус двойного додекаэдра, како-
каковым является расстояние от О до одной из его центров граней. Грань
двойного додекаэдра — пятиугольник с вершинами, например,
Ua+b+c), Ua+c+d), Ua+d+e), Ua+e+f), Ua+f+b),
о о о о о
где В, С, D,E,F — пять вершин икосаэдра, равноотстоящие от А.
36
Глава 2
2.10. Построения с помощью линейки и циркуля
37
2.2.7 Используя А = A,0, г), В = (г, -1,0), С = (г, 1,0), D = @,т, 1),
Е = (—1,0, г) и F = @, —г, 1), покажите, что центр грани пяти-
пятиугольника с указанными вершинами:
-±-EA+2B+2C+2D+2E+2F) = -^-Dт+3, 0, 7т+4) =
и, следовательно, что
1о
,0, т).
внрадиус двойного додекаэдра = —т-=— л/г + 2.
1о
2.2.8 Выведите из упражнений 2.2.7 и 2.2.6, что
радиусокруж
внрадиус ДЛЯ Додекаэдра =
радиусокруж
внрадиус для икосаэдра.
Из этого следует еще один замечательный результат: использова-
использование того факта, что объем пирамиды = — площади основания х высота.
О
Этот результат приписывается Аполлонию.
2.2.9 Разделив многогранник на пирамиды с основаниями, равными гра-
граням, и высотой, равной внрадиусу, установите следующую зависи-
зависимость между додекаэдром D и икосаэдром / с одним и тем же
радиусомокруж:
площадь поверхности D _ объем D
площадь поверхности / объем /
2.10. Построения с помощью линейки и циркуля
Греческие геометры гордились собой из-за своей логической чисто-
чистоты; тем не менее, что касается физического пространства, они руковод-
руководствовались интуицией. Одной из сторон греческой геометрии, на кото-
которую особенно влияли физические соображения, была теория построе-
построений. Многое из элементарной геометрии прямых линий и кругов молено
рассматривать как теорию построений с помощью линейки и циркуля.
Само название предмета, линии и круги, отражает инструменты, кото-
которые использовались для их проведения. И многие из элементарных про-
проблем геометрии, например, деление пополам отрезка прямой или угла,
построение перпендикуляра или проведение круга через три заданные
точки, молено решить построениями с помощью линейки и циркуля.
Когда введены координаты, нетрудно показать, что точки, допус-
допускающие построение из точек Pi, ..., Ри, имеют координаты во мно-
множестве чисел, созданном из координат Pi, ..., Рп посредством опера-
операций +, —, х,-=- и ^ [см. Муаз A963) или упражнения к разделу 6.3].
Квадратные корни, конечно, появляются вследствие теоремы Пифа-
Пифагора: если построены точки (а, 6) и (c,d), тогда построено расстоя-
расстояние у/{с — аJ + (d — ЪJ между ними (раздел 1.6 и рисунок 2.4). Обрат-
Обратно, возможно построение лД для любой заданной длины I (упражне-
(упражнение 2.3.2).
Рисунок 2.4: Построение расстояния
Если взглянуть с этой точки зрения, то построения с помощью ли-
линейки и циркуля выглядят весьма специальными и, маловероятно, что
дадут, такие числа как, например, л/2. Однако греки очень упорно пы-
пытались решить именно эту задачу, которая была известна как удвоение
куба (так называемая потому, что для того, чтобы удвоить объем куба,
нужно было умножить сторону на \/2). Другими печально известными
задачами были трисекция угла и квадратура круга. Последняя зада-
задача заключалась в построении квадрата, равного по площади заданно-
заданному кругу, или в построении числа тг, которое равновелико тому же.
По-видимому, они никогда не отказывались от этих целей, хотя при-
признавали возможность отрицательного решения и допускали решения
посредством менее элементарных средств. В следующих разделах мы
увидим некоторые из них.
Невозможность решения этих задач построениями с помощью ли-
линейки и циркуля оставалась недоказанной до девятнадцатого столетия.
Что касается удвоения куба и трисекции угла, то невозможность по-
показана Вантцелем A837). Честь решения этих задач, над которыми
бились лучшие математики в течение 2000 лет, редко приписывают
Вантцелю, возможно, потому, что его методы вытеснила более мощная
теория Галуа.
Невозможность квадратуры круга доказана Линдеманом A882),
очень строгим способом, тг не только неопределимо рациональными
операциями и квадратными корнями; оно также трансцендентно, то
есть не является корнем какого-либо полиномиального уравнения с ра-
рациональными коэффициентами. Как и работа Вантцеля, это был ред-
редкий пример значительного результата, доказанного незначительным
математиком. В случае Линдемана, объяснение, возможно, заключает-
38
Глава 2
ся в том, что уже был сделан важный шаг, когда Эрмит A873) доказал
трансцендентность е. Доступные доказательства обоих этих результа-
результатов молено найти у Клейна A924). Последующая карьера Линдема-
на была математически непримечательной, даже смущающей. Отвечая
скептикам, которые полагали, что его успех с тг был счастливой случай-
случайностью, он нацелился на самую известную нерешенную задачу в ма-
математике «последнюю теорему Ферма» (о возникновении этой задачи
см. главу 11). Его усилия кончились неудачей в ряде неубедительных
статей, каждая из которых исправляла ошибку в предыдущей. Фрич
A984) написал интересную биографическую статью о Линдемане.
Одна задача линейки и циркуля все еще отрыта: какие правильные
n-угольники молено построить? Гаусс в 1796 году открыл, что возмолсно
построение 17-угольника, и затем показал, что построение правильно-
правильного п-угольника возмолсно тогда и только тогда, когда п = 2mpiP2 ¦ ¦ -Рк,
где калсдое pi — простое число вида 22h +1. (Эта задача известна также
как деление круга, потому что она эквивалента делению длины окруж-
окружности круга, или угла 2тг, на п равных частей.) Доказательство необ-
необходимости фактически завершил Вантцель A837). Однако, до сих пор
точно не известно, каковы эти простые числа или даже бесконечное ли
их множество. Известны лишь числа для h = О,1,2,3.
Упражнения
Многие построения, сделанные греками, молено упростить посред-
посредством их перевода в алгебру, где оказывается, что допускающие постро-
построение длины — это те, которые молено построить из известных длин с по-
помощью операций +, —, х, -т- и J. Поэтому достаточно знать построения
для этих пяти главных операций. Сложение и вычитание — очевид-
очевидны, а другие операции охвачены в следующих упражнениях, наряду
с примером, где алгебра — явное преимущество.
2.3.1 Покажите, используя подобные треугольники, что если длины 1\
и ?2 допускают построение, тогда l\li и h/h тоже.
2.3.2 Используйте подобные треугольники, чтобы объяснить, поче-
почему \fl — длина, показанная на рисунке 2.5, и, следовательно, по-
покажите, что возмолсно построение \fl из I.
Рисунок 2.5: Построение квадратных корней
Одно из прекраснейших построений с помощью линейки и цирку-
циркуля с античных времен — правильный пятиугольник, который включает
2.11. Конические сечения
39
еще один случай золотого отношения т = A + у5)/2. Знание (из рас-
рассмотренных выше вопросов) того, что это число допускает построение,
облегчает нам построение самого пятиугольника.
2.3.3 Найдя некоторые параллели и подобные треугольники на рисунке
2.6, покажите, что диагональ х правильного пятиугольника сторо-
стороны 1 удовлетворяет ж/1 = 1/{х — 1).
2.3.4 Выведите из упражнения 2.3.3, что диагональ пятиугольника: A +
+ \/5)/2 и, следовательно, правильный пятиугольник молено по-
построить.
Рисунок 2.6: Правильный пятиугольник
2.11. Конические сечения
Конические сечения — это кривые, полученные пересечением кру-
кругового конуса плоскостью: гиперболами, эллипсами (включая круги)
и параболами (рисунок 2.7, слева направо). Сегодня мы лучше знаем
конические сечения в виде их уравнений в декартовых координатах:
X2
о2
х2
а2
У
У
"б2 =
ь2
= ах
= 1,
: 1,
гиперболе
эллипс
парабола
В более общем смысле, уравнение второй степени представляет кониче-
коническое сечение или пару прямых линий, результат, который был доказан
Декартом A637).
Рисунок 2.7: Конические сечения
Изобретение конических сечений приписывается Менехму (четвер-
(четвертый век до н.э.), современнику Александра Великого. Рассказывают,
что Александр попросил Менехма преподать краткий курс в геомет-
геометрию, но Менехм отказался, сказав:«Царской дороги в геометрию нет».
Менехм использовал конические сечения, чтобы дать очень простое ре-
решение задачи удвоения куба. В аналитических обозначениях его моле-
молено описать как отыскание пересечения параболы у = -х2 с гипербо-
40
лой ху = 1. Это дает
Глава 2
1 9
j:X = 1
ИЛИ
Хотя греки приняли это как «построение» для удвоения куба,
они, очевидно, никогда не обсуждали инструменты для фактического
проведения конических сечений. Это вызывает недоумение, поскольку
естественное обобщение циркуля тотчас лее наводит на мысль о себе
(рисунок 2.8). Ручка А устанавливается в неподвижное положение от-
относительно плоскости Р, тогда как другая ручка вращается вокруг нее
под постоянным углом в, порождая конус с А в качестве ее оси сим-
симметрии. Карандаш, который свободно скользит в пазе на этой второй
ручке, чертит сечение конуса, лелеащее в плоскости Р. Согласно Кули-
джу A945), с. 149, этот инструмент для проведения конических сечений
впервые описан лишь в 1000 г. н. э. арабским математиком аль-Куджи.
Тем не менее, почти все теоретические факты, которые молено было
пожелать узнать о конических сечениях, уже были разработаны Апол-
Аполлонием (около 250-200 гг. до н.э.).
Рисунок 2.8: Обобщенный циркуль
Теория и практика конических сечений встретились, наконец, ко-
когда Кеплер A609) открыл, что орбиты планет являются эллипсами,
а Ньютон A687) объяснил этот факт с помощью своего закона гра-
гравитации. Это удивительное доказательство теории конических сечений
часто описывается в понятиях основного исследования, получая свою
давно запоздавшую награду, но, возможно, ее также можно рассмат-
рассматривать как упрек грекам за пренебрежение приложениями. (Кеплер,
вероятно, не был уверен в том, какой она была. До конца своих дней
он был весьма горд своей теорией, объясняющей расстояния до планет
на основе пяти правильных многогранников (раздел 2.2). Обаятельный
и парадоксальный характер Кеплера тепло описан в двух замечатель-
замечательных книгах, Кестлера A959) и Банвиля A981).
Упражнения
Ключевое свойство эллипса, как в геометрии, так и в астроно-
астрономии, — это точка, называемая фокусом. Термин по латыни означает
очаг, и был введен Кеплером. Эллипс, фактически, имеет два фоку-
фокуса, и они имеют геометрическое свойство: сумма расстояний от фоку-
фокусов F\, F2 до любой точки Р на эллипсе постоянна.
2.12. Кривые более высокой степени
41
2.4.1 Это свойство дает способ начертить эллипс, используя два штыря
и веревку. Объясните как.
2.4.2 Введя соответствующие координатные оси, покажите, что кривая
с указанным свойством «постоянной суммы» действительно имеет
уравнение вида
г2 V2
— + — = 1
а2 б2
(Хорошо начать с двух членов с квадратными корнями на противо-
противоположных сторонах уравнения, представляющих расстояния F\P
и F2P.) Покажите также, что любое уравнение этого вида дости-
достижимо соответствующим выбором F\,F2 и F\P + F^P.
Еще одно интересное свойство линий от фокусов до точки Р на
эллипсе состоит в том, что они образуют равные углы с касательной
в Р. Отсюда следует, что луч света от F\ до Р отражается через F^-
Простое доказательство этого может основываться на свойстве крат-
кратчайшего пути отражения, показанного на рисунке 2.9 и открытого
греческим ученым Героном около 100 г. н.э.
Рисунок 2.9: Свойство кратчайшего пути
Свойство кратчайшего пути. Путь F1PF2 отражения в линии L
от F\ до F2 короче, чем любой другой путь F\P''F2 от F\ до L до F2-
2.4.3 Докажите свойство кратчайшего пути, рассмотрев два пути F\PF2
и F\P'F2i где F2 — отражение точки F2 в линии L.
Таким образом, чтобы доказать, что линии F\P и F2P образуют
равные углы с касательной, достаточно показать, что F1PF2 короче,
чем F\P'F2 для любой другой точки Р' на касательной в Р.
2.4.4 Докажите это, используя тот факт, что F1PF2 имеет одинаковую
длину для всех точек Р на эллипсе.
Великое открытие Кеплера заключалось в том, что фокус также
важен в астрономии. Это точка, занятая Солнцем, по мере того, как
планета движется по своему эллипсу.
2.12. Кривые более высокой степени
Грекам недоставало систематической теории кривых более высо-
высокой степени, потому что им недоставало систематической алгебры. Они
42
Глава 2
могли найти то, что равнялось декартовым уравнениям отдельных кри-
кривых («симптомы», как они их называли; [см. ван дер Варден A954),
с. 241], но они не рассматривали уравнения в общем или не замечали
какие-либо их свойства, существенные для изучения кривых, напри-
например, степень. Тем не менее, они изучали множество интересных спе-
специальных кривых, о которые Декарт и его последователи обломали
себе зубы, когда в семнадцатом веке, наконец, появилась алгебраиче-
алгебраическая геометрия. Отличное и хорошо иллюстрированное описание этих
ранних исследований молено найти у Брискорна и Кнеррера A981),
глава 1.
В этом разделе мы должны ограничиться краткими замечаниями
на нескольких примерах.
Циссоида Диоклеса (примерно 100 г. до н. э.)
Эта кривая определяется с использованием вспомогательного кру-
круга, который для удобства мы примем за единичный круг, и вертикаль-
вертикальных линий через ж и —х. Это множество всех точек Р, видимое на
рисунке 2.10. Изображенная часть следует из изменения х между 0
и 1. Это кубическая кривая с декартовым уравнением
Это уравнение показывает, что если (х,у) — точка на кривой, то-
тогда (х, —у) тоже. Следовательно, получаем полную картину ее, отражая
часть, показанную на рисунке 2.10, в ось х. Результат — остроконечная
точка в R, точка возврата, явление, которое впервые появляется с ку-
кубическими кривыми. Диоклес показал, что циссоиду можно использо-
использовать для удвоения куба, которое вероятно (хотя все еще не очевидно!),
как только узнаешь, что эта кривая — кубическая.
Рисунок 2.10: Построение циссоиды
Спирические сечения Персея (около 150 г. до н.э.)
Не считая сферы, цилиндра и конуса, все сечения которых явля-
являются коническими, одной из немногих поверхностей, изучаемых грека-
греками, был тор. Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг
оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли
spira, — отсюда название спирические сечения для сечений плоскостя-
плоскостями, параллельными осям. Эти сечения, которые первым изучал Персей,
2.12. Кривые более высокой степени
43
имеют четыре качественно отличные формы [см. рисунок 2.11, который
переделан из работы Брискорна и Кнеррера A981), с. 20].
Рисунок 2.11: Спирические сечения
Эти формы — выпуклые овалы, «сжатые» овалы, восьмерка и па-
пары овалов — были вновь открыты в семнадцатом веке, когда геометры-
аналитики взглянули на кривые 4-й степени, примерами которых яв-
являются спирические сечения. Что касается соответствующего выбора
тора, то кривая восьмерки становится лемнискатой Бернулли, а вы-
выпуклые овалы — овалами Кассини. Кассини A625-1712) был выдаю-
выдающимся астрономом, но оппонентом теории гравитации Ньютона. Он
отрицал эллипсы Кеплера и вместо них в качестве орбит для планет
предложил овалы Кассини.
Эпициклы Птолемея A40 г. н. э.)
Эти кривые известны из знаменитого астрономического труда,
Almagest Клавдия Птолемея. Сам Птолемей приписывал идею Аполло-
Аполлонию. Представляется почти несомненным, что это идея Аполлония, ко-
который владел коническими сечениями, что иронично, потому что эпи-
эпициклы были у него кандидатами для планетарных орбит, обреченными
на поражение как раз теми самыми коническими сечениями.
Эпицикл в простейшей форме — это путь, пройденный точкой по
кругу, который вращается на другом круге (рисунок 2.12). Более слож-
сложные эпициклы молено определить, имея третий круг, который враща-
вращается на втором и т. д. Греки ввели эти кривые, чтобы попытаться при-
примирить сложные движения планет относительно неподвижных звезд,
с геометрией, основанной на круге. В принципе, это возможно! Ла-
гранж A772) показал, что любое движение вдоль небесного эквато-
экватора молено аппроксимировать сколь угодно близко к эпициклическо-
эпициклическому движению, а более современный вариант результата молено найти
у Штернберга A969). Но ошибка Птолемея была в том, что он, преледе
всего, признал кажущуюся слоленость движений планет. Как мы сейчас
знаем, двилеение становится простым, когда рассматриваешь двилеение
скорее относительно Солнца, чем Земли, и допускаешь, что орбиты яв-
являются эллипсами.
Рисунок 2.12. Пороледение эпицикла
Эпициклы все еще играют роль в технике, и их математические
свойства интересны. Некоторые из них — замкнутые кривые и оказы-
оказываются алгебраическими; то есть, вида р(х,у) = 0 для многочлена р.
Другие, такие как результат вращения кругов, радиусы которых име-
44
Глава 2
ют иррациональное отношение, лежат плотно в определенной области
плоскости и, следовательно, не могут быть алгебраическими; алгебра-
алгебраическая кривая р(х,у) = О может пересекать прямую линию у = тпх + с
в единственном конечном множестве точек, соответствующем корням
полиномиального уравнения р(х, гпх + с) = 0, а плотные эпициклы пе-
пересекают несколько линий бесконечно часто.
Упражнения
Уравнение циссоиды выводимо следующим образом.
2.5.1 Используя X и Y для горизонтальной и вертикальной координат,
покажите, что прямая линия RP на рисунке 2.10 имеет уравнение
У=
2.5.2 Выведите уравнение циссоиды из упражнения 2.5.1.
Простейшая эпициклическая кривая — кардиоида («форма серд-
сердца»), которая получается из круга, вращающегося по неподвижному
кругу той лее величины.
2.5.3 Изобразите схематически картинку кардиоиды, подтвердив, что
она имеет форму сердца (нечто вроде).
2.5.4 Покажите, что если оба круга имеют радиус 1, и мы придержива-
придерживаемся точки на вращающемся круге, вначале находящейся в A, 0),
то кардиоида, которую она вычерчивает, имеет параметрические
уравнения
х = 2 cos 9 — cos 29,
у = 2 sin 9 — sin 29.
Кардиоида — алгебраическая кривая. Ее декартово уравнение, мо-
может быть, трудно открыть, но его легко проверить, особенно, если име-
имеется вычислительная алгебраическая система.
2.5.5 Проверьте, что точка (х,у) на кардиоиде удовлетворяет
(х2+у2-1J = А((х-1J+у2).
2.13. Биографические заметки: Евклид
2.13. Биографические заметки: Евклид
45
Об Евклиде известно еще меньше, чем о Пифагоре. Мы лишь зна-
знаем, что он жил около 300 г. до н. э. и преподавал в Александрии, гре-
греческом городе в Египте, основанном Александром Великим в 322 г. до
н. э. О нем рассказывают две истории. Первая, та лее, что и о Менехме
и Александре, рассказывает, как Евклид отвечает царю Птолемею I
«царской дороги в геометрию нет». Вторая касается студента, который
задал вечный вопрос: «Что я выиграю от изучения математики?» Ев-
Евклид назвал его рабом и сказал: «Дайте ему монету, если он должен
извлечь барыш из того, что он изучает».
Самый важный факт жизни Евклида — это, несомненно, написа-
написание им Начал, хотя мы не знаем сколько математики в них действи-
действительно было его собственной работой. Конечно, элементарная геомет-
геометрия треугольников и кругов была известна до Евклида. Некоторые из
наиболее сложных частей Начал также появились благодаря более ран-
ранним математикам. Теория иррациональных чисел в Книге V возникла
благодаря Евдоксу (около 400-346 гг. до н.э.), как и «метод исчерпы-
исчерпывания» Книги XII (см. главу 4). Теория правильных многогранников
Книги XIII благодаря, по крайней мере, частично, — Тиэтету (около
415-369 гг. до н.э.).
Но каким бы ни был возможный «исследовательский» вклад Ев-
Евклида, его затмил его вклад в организацию и распространение мате-
математического знания. В течение 2000 лет Начала были не только ядром
математического образования, но и находились в сердце западной куль-
культуры. Самая яркая дань восхищения Началами, по существу, исходила
не от математиков, а от философов, политиков и других. В разделе 2.1
мы видели реакцию Гоббса на Евклида. Вот некоторые другие:
Он изучил и овладел шестью книгами Евклида, поскольку он
был членом Конгресса. Он сожалеет о недостатке своего об-
образования и делает все, что он может, чтобы заполнить этот
недостаток.
Авраам Линкольн (пишет о себе), Краткая автобиография
... он изучал Евклида, пока не смог легко доказать все теоре-
теоремы в шести книгах
Герндон Жизнь Линкольна
46 Глава 2
В возрасте одиннадцати лет я начал изучать Евклида... Это
было одно из самых великих событий моей жизни, такое лее
ослепительное, как и первая любовь. Я не представлял, что
в мире существовало нечто столь восхитительное.
Бертран Рассел, Автобиография, т. 1
Возможно, низкий культурный статус математики сегодня, не го-
говоря уже о незнании математики политиками и философами, отражает
отсутствие Начал, соответствующих современному миру.
Глава 3
Греческая теория чисел
3.14. Роль теории чисел
В главе 1 мы видели, что теория чисел была важной в математике,
по меньшей мере, столь же долго, сколь и геометрия, и с основополага-
основополагающей точки зрения, может быть еще важнее. Несмотря на это, теория
чисел никогда не подвергалась систематической трактовке, подобной
той, которой подверглась элементарная геометрия в Началах Евкли-
Евклида. На всех этапах своего развития теория чисел имела бросающиеся
в глаза пробелы, вследствие трудноразрешимости элементарных задач.
Большая часть действительно нерешенных старых задач в математике,
в сущности, — простые вопросы о натуральных числах 1, 2, 3,... От-
Отсутствие общего метода решения диофантовых уравнений (раздел 1.3)
и задача установления простых чисел вида 22 + 1 (раздел 2.3) уже от-
отмечались. Другие нерешенные задачи теории чисел будут упомянуты
в нижеследующих разделах.
Как следствие, роль теории чисел в истории математики совершен-
совершенно отличалась от роли геометрии. Геометрия играла стабилизирующую
и объединяющую роль, вплоть до задержки иногда дальнейшего раз-
развития и создания популярного впечатления, что математика — статич-
статичный предмет. Для тех, кто способен понять ее, теория чисел оставалась
стимулом к прогрессу и переменам. Лишь меньшинство математиков
внесли вклад в успехи теории чисел, но в их число входят несколько ве-
великих: Диофант, Ферма, Эйлер, Лагранж и Гаусс. Эта книга подчерки-
подчеркивает те успехи в теории чисел, которые явились результатом глубоких
связей с другими частями математики, особенно геометрией, посколь-
поскольку они были самыми значительными для математики в целом. Тем не
менее, в теории чисел есть темы, которые слишком интересны, чтобы
их проигнорировать, даже если они представляются (в настоящее вре-
время) лежащими за пределами основного потока. В следующем разделе
мы обсудим некоторые из них.
48
Глава 3
3.15. Многоугольные, простые и совершенные числа
Многоугольные числа, которые изучали пифагорейцы, вытекают
из наивного переноса геометрических идей в теорию чисел. Из рисун-
рисунка 3.1 легко вычислить выражение для то-го n-угольного числа как
сумму определенных арифметических рядов (упражнение 3.2.3) и по-
показать, например, что квадрат есть сумма двух треугольных чисел. Не
считая труда Диофанта, который включает впечатляющие результа-
результаты по суммам квадратов, результаты греков по многоугольным числам
были такого элементарного рода.
Рисунок 3.1: Многоугольные числа
Треугольные числа
Квадратные числа
Пятиугольные числа
В целом, греки, по-видимому, ошибались, придавая столь важное
значение многоугольным числам. О них нет значительных теорем, за
исключением, пожалуй, следующих двух. Первая — теорема, о кото-
которой сделал предположение Баше де Мезериак A621) (в своем издании
трудов Диофанта), что каждое положительное целое число есть сум-
сумма четырех целых квадратов. Это доказал Лагранж A770). Обобще-
Обобщение, которое Ферма A670) сформулировал без доказательства, — что
каждое положительное целое число есть сумма п n-угольных чисел.
Это доказано Коши A813), хотя доказательство немного недостаточно,
потому что все числа, кроме четырех, могут быть 0 или 1. Краткое
доказательство теоремы Коши дано Натансоном A987). Другая заме-
замечательная теорема о многоугольных числах — формула
71=1
к=\
доказанная Эйлером A750) и известна как теорема Эйлера о пятиуголь-
пятиугольных числах, поскольку экспоненты (ЗА;2 — к)/2 — пятиугольные числа.
[Доказательство см.: Холл A967), с. 33.]
(Как теорему о четырех квадратах, так и теорему о пятиуголь-
пятиугольных числах около 1830 года поглотила теория Якоби о тета-функциях,
гораздо более широкая теория.)
Нростые числа также рассматривались в геометрических рамках,
как числа, не имеющие прямоугольного представления. Простое число,
не имеющее делителей кроме себя самого и 1, имеет только «линей-
«линейное» представление. Конечно, это ничто иное, как новая формулировка
3.15. Многоугольные, простые и совершенные числа
49
определения простого числа, а большинство теорем о простых числах
требуют гораздо более мощных идей; однако греки действительно вы-
вырастили одну жемчужину. Это доказательство, что имеется бесконеч-
бесконечное множество простых чисел, в Книге IX Начал Евклида.
При заданной любой конечной совокупности простых чисел pi,P2,
мы можем найти еще одну, рассмотрев
P = PlP2 ...рп + 1.
Это число неделимо на pi,P2, ¦ ¦ ¦, Рп (каждое дает остаток 1). Отсю-
Отсюда, либо само р — простое число, и р > pi,p2, ¦ ¦ ¦, рп, либо оно имеет
простой делитель ф pi,P2, ¦ ¦ ¦, Рп-
Совершенное число — это число, которое равняется сумме своих
делителей (включая 1, но исключая самого себя). Например, 6=1 +
+ 2 + 3 — совершенное число, как и 28 = 1 + 2 + 4 + 7+14. Хотя это
понятие восходит к пифагорейцам, известны лишь две заслуживающие
внимание теоремы о совершенных числах. Евклид завершает Книгу IX
Начал, доказав, что если 2й — 1 — простое число, то 2И~1 Bй — 1) — совер-
совершенное (упражнение 3.2.5). Эти совершенные числа, конечно, четные,
и Эйлер A849) (посмертная публикация) доказал, что каждое четное
совершенное число имеет евклидов вид. Удивительно простое доказа-
доказательство Эйлера можно найти у Бертона A985), с. 504. Неизвестно, есть
ли какие-либо нечетные совершенные числа; может быть, это старей-
старейшая открытая задача в математике.
В силу теоремы Эйлера, существование четных совершенных чи-
чисел зависит от существования простых чисел вида 2й — 1. Они известны
как простые числа Мерсенна, в честь Марена Мерсенна A588-1648),
который первым привлек внимание к проблеме принятия простых чи-
чисел этого вида. Неизвестно, существует ли бесконечное множество чи-
чисел Мерсенна, хотя, по-видимому, все бблыние числа находят довольно
постоянно. В последние годы любое новое всемирно зафиксированное
простое число было простым числом Мерсенна, давая соответствующее
всемирно зафиксированное совершенное число.
Упражнения
Бесконечное множество натуральных чисел не является суммами
трех (или меньше) квадратов. Самое меньшее из них — 7, и можно
доказать следующее: что ни одно число вида 8п + 7 не является суммой
трех квадратов.
50
Глава 3
3.2.1 Покажите, что любой квадрат дает остаток 0, 1 или 4 при делении
на 8.
Выведите, что сумма трех квадратов дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5
или 6 при делении на 8.
Одна из причин, что многоугольные числа играют только малую
роль в математике, заключается в том, что вопросы о них — это, по
существу, вопросы о квадратах, следовательно, центр внимания на за-
задачах о квадратах.
3.2.3 Покажите, что к-е пятиугольное число — (ЗА;2 — к)/2.
3.2.4 Покажите, что каждый квадрат — это сумма двух последователь-
последовательных треугольных чисел.
Теорема Евклида о совершенных числах зависит от свойства про-
простого делителя, которое будет доказано в следующем разделе. Примем
его в данный момент, отсюда следует, что если 2й — 1 — простое число р,
то собственные делители 2и~1р (которые не равны самому 2п~1р):
1,2,2^, ..., 2
и р, 2р, 2^р..., 2п- 1р.
3.2.5 При условии, что делители 2и~1р — те, что только что перечисле-
перечислены, покажите, что 2и~1р — совершенное число, когда р = 2й — 1 —
простое число.
3.16. Евклидов алгоритм
Этот алгоритм назван в честь Евклида, потому что самое раннее
известное его появление — в книге VII Начал. Однако, по мнению мно-
многих историков [например, Хит A921), с. 399] алгоритм и некоторые его
следствия, вероятно, были известны ранее. По меньшей мере, Евклид
заслуживает чести за мастерское представление основ теории чисел на
базе этого алгоритма.
Евклидов алгоритм используется для нахождения наибольшего об-
общего делителя (нод) двух положительных целых чисел а, 6. Первый
этап — построить пару (а\, Ь{), где
а\ = тах(о, 6) — min(a, 6),
b\ = min(a, 6),
3.16. Евклидов алгоритм
51
и затем просто повторить эту операцию, вычитая меньшее число из
большего. То есть, если пара, построенная на шаге г, — (а;, 6;), тогда
пара, построенная на шаге г + 1, —
a;+i = max(a;, 6;) — min(a;, 6;),
Алгоритм завершается на первом шаге, когда a;+i = 6;+i, и это общее
значение — нод (а, 6). Это потому, что вычитание разностей сохраняет
любые общие делители, следовательно, когда сц+х = 6i+i, мы имеем
нод(а, 6) = нод(аь 6i) = . . . = HOfl(ai+b 6i+i) = ai+1 = bi+1.
Абсолютная простота алгоритма облегчает выведение некоторых важ-
важных следствий. Евклид, конечно, не пользовался нашими обозначени-
обозначениями, но, тем не менее, он получил результаты, близкие к следующим.
1. Если нод(а, 6) = 1, тогда есть целые числа то, п, так что та + nb =
= 1.
Уравнения
а\ = тах(о, 6) — min(a, 6),
61 = min(a, 6),
а^, 6j) — тт(а;, 6j),
последовательно показывают, что а\,Ь\ — целые (integral?) линей-
линейные комбинации, та + nb, а и 6; следовательно, а^^Ь^ тоже, сле-
следовательно, аз, 6з,.. .тоже и, наконец, это истинно об сц+х = 6;+ь
Но a;+i = 6j+i = 1, поскольку нод(а, 6) = 1; следовательно, 1 =
= та + пЬ для некоторых целых чисел то, п.
2. Если р — простое число, которое делит ab, тогда р делит а или b
(свойство простого делителя).
Чтобы увидеть это, предположим, что р не делит а. Тогда, посколь-
поскольку р не имеет других делителей, кроме 1, мы имеем нод(р, а) = 1.
Следовательно, по предыдущему результату мы получаем целые
числа то, п, так что
та + пр = 1.
52 Глава 3
Умножение каждой стороны на 6 дает
mab + пЬр = Ь.
По предположению, р делит аЪ, следовательно, р делит оба члена
в левой части, и поэтому р делит 6 правой части.
3. Каждое положительное целое число имеет однозначное разложе-
разложение на простые числа {основная теорема арифметики).
Предположим, напротив, что некоторое целое число п имеет два
разных разложения на простые числа:
П = PlP2 • • -Pj = Я1Я2 ¦ ¦ -4k-
Выделяя общие множители, если это необходимо, мы можем допу-
допустить, что есть pi, которое не находится среди q. Но это противоре-
противоречит предыдущему результату, потому что pi делит п = qi q^ ... qu,
однако оно не делит какое-либо из qi,q2, ¦ ¦ ¦, qk индивидуально,
поскольку есть простые числа ф pi.
Упражнения
Теперь мы можем заполнить пробел в доказательстве теоремы Ев-
Евклида о совершенных числах (предыдущая группа упражнений), ис-
используя свойство простого делителя.
3.3.1 Воспользуйтесь свойством простого делителя, чтобы показать, что
собственные делители 2и~1р для любого нечетного простого чис-
числа р следующие: 1, 2, 22, ..., 2п~1 и р, 2р, 22р, ..., 2и~2р.
Результат, что если нод(а, 6) = 1, то 1 = та + пЬ для некоторых
целых чисел тип есть частный случай следующего способа представ-
представления нод.
3.3.2 Покажите, что для любых целых чисел а и 6 имеются целые чис-
числа т и п, так что нод (а, 6) = та + пЬ.
Это по очереди дает общий способ обнаружения решений в целых
числах линейных уравнений.
3.3.3 Выведите из упражнения 3.3.2, что уравнение с целочисленными
коэффициентами а, 6 и с имеет решение в целых числах х, у, если
нод (а, 6) делит с.
3.17. Уравнение Пелля
53
Обратное этого результата также справедливо, как обнаружива-
обнаруживаешь, при рассмотрении, что необходимое условие для ах + by = с долж-
должно иметь решение в целых числах.
3.3.4 Уравнение 12ж + 15у = 1 не имеет решения в целых числах. Поче-
Почему?
3.3.5 (Решение линейных диофантовых уравнений) Составьте тест, что-
чтобы принять решение, имеются ли для любых заданных чисел а, Ь, с
целые числа х,у, так что
ах + by = с.
3.17. Уравнение Пелля
Диофантово уравнение х2 — Dy2 = 1, где D — неквадратное це-
целое число, известно как уравнение Пелля, потому что Эйлер ошибоч-
ошибочно приписал его решение английскому математику семнадцатого века
Пеллю (его следовало приписать Браункеру). Уравнения Пелля, веро-
вероятно, самое известное диофантово уравнение после уравнения а2 -\-Ъ2 =
= с2 для пифагоровых троек, и в некоторых отношениях оно важнее.
Решение уравнения Пелля — главный шаг в решении общего квадрат-
квадратного диофантова уравнения в двух переменных [см., например, Гель-
фонд A961)], а также ключевой инструмент в доказательстве теоремы
Матьясевича, упомянутой в разделе 1.3, о том, что алгоритма для ре-
решения всех диофантовых уравнений нет [см., например, Дейвис A973)
или Джонс и Матьясевич A991)]. Принимая это во внимание, именно
уравнению Пелля следует впервые появиться в основах греческой мате-
математики, и видеть, как хорошо греки его понимали производит глубокое
впечатление.
Простой случай уравнения Пелля
х2-2у2 = 1
изучался пифагорейцами в связи с \/2. Если х, у — большие решения
этого уравнения, тогда х/у ~ \/2, и, фактически, пифагорейцы нашли
способ порождения все больших и больших решений посредством ре-
рекуррентных соотношений
xn+i = хп
Уп+1 = Хп
2уп,
уп.
54
Глава 3
Краткий расчет показывает, что
xn+i ~2уп+
= -(х2п-2у2п),
поэтому если (хп,уп) удовлетворяет х2 — 2у2 = ±1, тогда (xn+i,yn+i)
удовлетворяет х2—2у2 = =pl. Начиная с тривиального решения (xq, уо) =
= A,0) х2 — 2у2 = 1, мы получаем последовательно большие реше-
решения (х2,у2), (Х4,У4), ¦ ¦ ¦ уравнения х2 — 2у2 = 1. [Пары (хп,уп) извест-
известны как боковые и диагональные числа, потому что отношение уп/хп
стремится к отношению стороны и диагонали в квадрате.]
Но как, прежде всего, могли быть открыты эти рекуррентные
соотношения? Ван дер Варден A976) и Фаулер A980,1982) предпо-
предполагают, что ключ — это евклидов алгоритм, примененный к отрез-
отрезкам прямой, операция, которую греки называли anthyphairesis. При
заданных любых двух длинах а, Ь, можно определить последователь-
последовательность (ai, 6i), (a2, 62),..., как в разделе 3.2, многократным вычитани-
вычитанием меньшей длины из большей. Если a, b — целые кратные некото-
некоторой единицы, тогда процесс завершается как в разделе 3.3, но ес-
если Ь/а — иррациональное число, он продолжается бесконечно. Мы
вполне можем представить, что пифагорейцы, как правило, интере-
интересовались anthyphairesis'oM, примененным к а = 1,6 = л/2. Вот что
происходит. Мы представляем а, 6 сторонами прямоугольника, и каж-
каждое вычитание меньшего числа из большего представлено отсечением
квадрата на более короткой стороне (рисунок 3.2). Мы замечаем, что
прямоугольник, остающийся после шага 2, со сторонами \2 — 1 и 2 —
— \[2 = \/2(\/2 — 1), имеет ту лее форму, что и исходный, хотя длинная
сторона теперь вертикальна, а не горизонтальна. Отсюда следует, что
аналогичные шаги будут повторяться бесконечно, что, между прочим,
является еще одним доказательством того, что у/2 — иррационально.
Рисунок 3.2: Евклидов алгоритм на у/2 и 1
Шаг 1
Шаг 2
В настоящий момент нас, однако, интересует соотношение между
последовательными подобными прямоугольниками. Если мы допустим,
что длинная и короткая стороны последовательных подобных прямо-
прямоугольников xn+i,yn+i и хп,уп, то из рисунка 3.3 мы можем сделать
вывод, что рекуррентные соотношения для xn+i,yn+i:
xn+i = хп + 2уп,
Уп+1 = Хп +уп,
3.17. Уравнение Пелля
55
— в точности соотношения пифагорейцев! Разница заключается в том,
что наши хп, уп не являются целыми, и они удовлетворяют х2 — 2у2 = 0,
не х2 — 2у2 = 1. Тем не менее, чувствуешь, что рисунок 3.3 дает самую
естественную интерпретацию этих соотношений. Открытие, что те лее
самые соотношения порождают решения х2 — 2у2 = 1, возможно, воз-
возникло из желания, чтобы евклидов алгоритм завершался х\ = у\ = 1.
Если пифагорейцы начинали с ii = yi = 1 и применяли рекуррентные
соотношения, то они могли найти, что (хп,уп) удовлетворяет х2 — 2у2 =
= (—1)™, как мы сделали ранее.
Рисунок 3.3.: Рекуррентное соотношение
В греческой математике встречается множество других случаев
уравнения Пелля х2 — Dy2 = 1, и их молено понять похожим образом,
применяя anthyphairesis к прямоугольнику со сторонами 1, у/Т). В седь-
седьмом веке н. э. индийский математик Брахмагупта привел рекуррентное
соотношение для поролсдения решений х2 — Dy2 = 1, как мы увидим
в главе 5. Индийцы называли евклидов алгоритм «пульверизатором»,
поскольку он разбивает числа на все более мелкие части. Чтобы по-
получить рекуррентное соотношение, нужно знать, что прямоугольник,
пропорциональный исходному, в конечном счете, повторяется, факт,
который строго доказал Лагранж лишь в 1768 году. Последующая ра-
работа в Европе над уравнением Пелля, которая началась в семнадца-
семнадцатом веке с Браункера и других, основывалась на непрерывной дроби
для y/D, хотя это равносильно тому же результату, что и anthyphairesis
(см. упражнения). Слсатую, но подробную историю уравнения Пелля
см. у Диксона A920), стр. 341-400.
Интересный аспект теории — весьма нерегулярная зависимость
мелсду D и количеством шагов anthyphairesis'a, прежде чем повторя-
повторяется прямоугольник, пропорциональный исходному. Если число шагов
велико, то наименьшее нетривиальное решение х2 — Dy2 = 1 — огром-
огромно. Известный пример — так называемая задача о быках Архимеда
B87-212 гг. до н.э.). Эта задача приводит к уравнению
х2 - 4729494у2 = 1,
наименьшее решение которого, найденное Крумбигелем и Амтором
A880), имело 206 545 знаков!
56 Глава 3
Упражнения
Непрерывная дробь вещественного числа а > О записывается
1
а = п\ +
1
П4 Н
где П1,п2,пз,п4,... — целые числа, полученные следующим алгорит-
алгоритмом. Пусть
п\ = целая часть а.
Тогда а — п\ < 1 и «1 = 1/(а — п{) > 1, поэтому мы можем принять
П2 = целая часть а\.
Тогда «1 — П2 < 1 и «2 = l/(ai ~~ П2) > 1, поэтому мы можем
принять
п3 = целая часть а2 и т. д.
3.4.1 Примените приведенный алгоритм к числу а = 157/68 и, следова-
следовательно, покажите, что
157
68
= 2-
1
1
1
4+5
Вы можете заметить: то, что происходит, в сущности, является евкли-
евклидовым алгоритмом, примененным к паре A57, 68), за исключением то-
того, что многократные операции вычитания заменены делением с остат-
остатком. Целые числа 2,3,4,5 — последовательные частные, полученные
в этих делениях: 157, деленное на 68, дает частное 2 и остаток 21, 68,
деленное на 21, дает частное 3 и остаток 5 и т. д.
Таким образом, евклидов алгоритм на целых числах a, b дает ре-
результаты, которые могут быть закодированы (конечной) непрерывной
3.18. Методы хорд и касательных
57
дробью для а/6. Эту идею ввел Эйлер, и для некоторых математиков
она стала предпочтительным подходом к евклидову алгоритму. Гаусс
A801), в частности, всегда говорит об евклидовом алгоритме как об
«алгоритме непрерывной дроби».
Евклидов алгоритм на паре (а, 1), где а — иррациональное число,
в сущности, больше известен как алгоритм непрерывной дроби.
3.4.2 Расшифруйте операции в алгоритме непрерывной дроби (отде-
(отделив целую часть и приняв обратную величину остатка) на основе
anthyphairesis'a.
3.4.3 Покажите, что
2+ —
Заметьте, что из упражнения 3.4.4 следует, что л/2 + 1 — периоди-
периодическая непрерывная дробь
2 +
1
2 +
3.4.4 Покажите, что v3 + 1 также имеет периодическую непрерывную
дробь, и, следовательно, выведите непрерывную дробь для уЗ.
3.18. Методы хорд и касательных
В разделе 1.3 мы использовали метод Диофанта, чтобы найти все
рациональные точки на круге. Если р(х,у) = 0 — любое квадратное
58
Глава 3
уравнение в ж и у с рациональными коэффициентами, и если уравне-
уравнение имеет одно рациональное решение х = г\, у = s\, тогда мы мо-
можем найти любое рациональное решение, проведя рациональную пря-
прямую у = тх + с через точку r\, si и найдя другое ее пересечение с
кривой р(х, у) = 0. Оба пересечения с кривой, скажем, х = г\, Г2, зада-
заданы корнями г\, Г2 уравнения
р(х, тх + с) = 0.
Это означает, что р(х, тх-\-с) = к(х — г{)(х — Г2), и поскольку все коэф-
коэффициенты с левой стороны рациональны, и г\ — рационально, тогда к
и г2 также должны быть рациональными. Значение у, когда х = г 2,
у = S2 = тг2 + с, — рационально, поскольку таковы тис, следова-
следовательно, (г2, S2) — еще одна рациональная точка на р(х, у) = 0. Обратно,
любая прямая через две рациональные точки — рациональна, и отсюда
все рациональные точки находят этим способом.
Теперь, если р(х, у) = 0 — кривая 3-й степени, ее пересечения с пря-
прямой у = тх-\-с заданы корнями кубического уравнения р(х, тх-\-с) = 0.
Если мы знаем две рациональные точки на кривой, тогда прямая через
них будет рациональной, и ее третье пересечение с кривой также бу-
будет рационально, согласно аргументу, подобному предыдущему. Этот
факт становится более полезен, когда осознаешь, что молено принять:
две известные рациональные точки совпадают; в таком случае прямая
— касательная через известную рациональную точку. Таким образом,
из одного рационального решения мы молсем создать еще одно постро-
построением касательной, а из двух мы молсем построить третье, проведя
хорду мелсду этими двумя.
Диофант нашел рациональные решения кубических уравнений
способом, который представляется, по существу, этим самым способом.
Сохранившиеся работы Диофанта сообщают о его методах немного, но
правдоподобная реконструкция — алгебраический вариант построений
касательных и хорд — дана Башмаковой A981). Вероятно, первым, кто
понял методы Диофанта, был Ферма в семнадцатом веке, а первым, кто
дал объяснение методу касательных и хорд, был Ньютон A670-е гг.).
В противоположность квадратному случаю, у нас нет выбора в на-
наклоне кривой для кубических уравнений. Таким образом, отнюдь не
очевидно, что этот метод даст нам все рациональные точки на ку-
кубической кривой. Замечательная теорема, угаданная Пуанкаре A901)
и доказанная Морделлом A922), говорит, что молено генерировать все
рациональные точки построением касательных и хорд применительно
к конечному множеству точек. Однако, все еще неизвестно, есть ли
3.19. Биографические заметки: Диофант
59
алгоритм для нахождения конечного множества таких рациональных
образующих на каждой кубической кривой.
Упражнения
3.5.1 Объясните решение х = 21/4, у = 71/8 уравнения х3 — Зх2 + Зх +
+ 1 = у2, данное Диофантом [Хит A910), с. 242], построением ка-
касательной через очевидную рациональную точку на этой кривой.
3.5.2 Заново получите построение рациональной точки Виета A593),
с. 145. При заданной рациональной точке (а, 6) на х3 — у3 = а3 — Ъ3,
покажите, что касательная в (а, Ъ) следующая
и что другое пересечение касательной с кривой — рациональная
точка
а3 - 263 ,63-2а3
х = а я , ,я > У = Ь я , ,я ¦
3.19. Биографические заметки: Диофант
Диофант жил в Александрии во времена, когда греческая мате-
математика, наряду с остальной западной цивилизацией, повсеместно была
в упадке. Катастрофы, которые поглотили Запад с падением Рима,
и подъем ислама, кульминацией которого было сожжение библиотеки
в Александрии в 640 г. н.э., похоронили почти все подробности лсиз-
лсизни Диофанта. Даты его лсизни молено с уверенностью поместить лишь
мелсду 150 и 350 гг. н.э., поскольку он упоминает Гипсиклеса (извест-
(известно, что он жил около 150 г.) и о нем упоминает Теон Александрийский
(около 350 г.). Еще одно свидетельство, письмо Михаэла Пселля (один-
(одиннадцатый век), предполагает, что 250 г. н.э. самое вероятное время,
когда леи л Диофант. Не считая этого, единственный ключ к лсизни
Диофанта — головоломка в Греческой Антологии (около 600 г. н. э.):
Бог даровал ему быть мальчиком шестую часть его лсизни,
и добавив к этому двенадцатую часть, Он одел его щеки пуш-
пушком. Он зажег ему свет супружества после седьмой части,
и пять лет спустя после женитьбы Он даровал ему сына. Увы!
60 Глава 3
поздно рожденный несчастный ребенок; когда он достиг пре-
предела половины жизни своего отца, холодная Судьба забрала
его. Утешившись в своем горе этой наукой чисел, по проше-
прошествии четырех лет он закончил свою жизнь.
[Коуэн и Драбкин A958), с. 27]
Если эта информация верна, то Диофант женился в 33 года и имел
сына, который умер в 42 года, за четыре года до того, как в 84 года
сам Диофант погиб от своей собственной руки.
Труд Диофанта оставался почти незамеченным в течение мно-
многих веков, и сохранился лишь частично. Первые проявления интере-
интереса к Диофанту встречаются в средние века, но многое в чести окон-
окончательного возрождения Диофанта принадлежит Рафаэлю Бомбелли
A526-1572) и Вильгельму Гольцману (известен как Ксиландр, 1532
1576). Бомбелли обнаружил экземпляр Арифметики Диофанта в Ва-
Ватиканской библиотеке и опубликовал 143 задачи из нее в своей Алгебре
A572). Самое известное издание Арифметики — издание Баше де Ме-
зириака A621). Баше быстро увидел возможность общих принципов,
лежащих в основе частных задач Арифметики, и, в своих коммента-
комментариях к книге подготовил своих современников к сложной задаче над-
надлежащего понимания Диофанта и передачи его идей дальше. Именно
Ферма первый взялся за эту сложную задачу и сделал первые важные
успехи в теории чисел после классической эры (см. главу 11).
Глава 4
Бесконечность в греческой
математике
4.20. Страх перед бесконечностью
Рассуждение о бесконечности — одна из характерных черт мате-
математики, а также ее главный источник конфликта. Мы видели, в гла-
главе 1, конфликт, который возник из открытия иррациональных чисел,
и в этой главе мы увидим, что неприятие греками иррациональных
чисел было просто частью общего неприятия бесконечных процессов.
Действительно, до конца девятнадцатого века большинство математи-
математиков неохотно признавали бесконечность более чем «потенциальной».
Безграничность процесса, множества или величины понималась как
возможность ее неопределенного продолжения, и не более, — конечно,
не как вероятность возможного завершения. Например, натуральные
числа 1, 2, 3,... молено принять как потенциальную бесконечность, —
порожденную из 1 процессом добавления 1, — без признания того, что
имеется завершенная совокупность {1, 2,3,...}. То лее самое прилага-
прилагается к любой последовательности х\, Х2, жз,... (скажем, рациональных
чисел), где хп+\ получено из хп по определенному правилу.
И все лее возникает обманчивая возможность, когда хп стремится
ограничить х. Если х есть нечто, что мы уже признаем, скажем, по
геометрическим соображениям, тогда очень соблазнительно рассмот-
рассмотреть х как то или иное «завершение» последовательности х\,х2,х%,....
Представляется, что греки боялись делать подобные выводы. В соот-
соответствии с традицией, они были напуганы парадоксами Зенона, около
450 г. до н. э.
Об аргументах Зенона мы знаем только от Аристотеля, который
цитирует их в своей Физике для того, чтобы доказать их несостоятель-
несостоятельность, и не ясно, чего хотел добиться сам Зенон. Было ли здесь, напри-
например, стремление к размышлению о бесконечности, которое он не одо-
одобрял? Его аргументы настолько крайние, что они едва ли могли быть
62
Глава 4
пародиями свободных дискуссий о бесконечности, которые он слышал
среди своих современников. Рассмотрим первый его парадокс, дихото-
дихотомию:
Движения нет, потому что то, что движется, должно достиг-
достигнуть середины (своего пути), прежде, чем оно достигнет кон-
конца.
(Аристотель, Физика, Книга VI, гл.9)
Первый аргумент, предположительно, заключается в том, что
прежде, чем попасть куда-нибудь, необходимо сначала преодолеть по-
половину пути, а до этого — четверть пути, а до этого — одну вось-
восьмую часть пути, и так до бесконечности. Завершение этой бесконеч-
бесконечной последовательности шагов больше не представляется невозможной
большинству математиков, поскольку она представляет ничто иное как
бесконечное множество точек в пределах конечного интервала. Тем не
менее, она, должно быть, напугала греков, потому что во всех своих
доказательствах они очень тщательно избегали завершенных бесконеч-
бесконечностей и пределов.
Первые математические процессы, которые мы обычно признаем
бесконечными, вероятно, были придуманы пифагорейцами, например,
рекуррентные соотношения
хп+\ = хп + 2уп
Уп+1 = хп + уп
для генерирования целочисленных решений уравнений х2 — 2у2 = ±1.
В разделе 3.4 мы видели, почему эти отношения возникли, скорее всего,
из попытки понять \/2, и нам легко увидеть, что хп/уп —> у/2, по мере
того, как п —!¦ оо.
Однако, маловероятно, что пифагорейцы считали у/2 «пределом»
или рассматривали последовательность как значимый объект вообще.
Самое большее, что мы можем сказать, что, заявляя о рекурсии, пи-
пифагорейцы имели в виду последовательность с пределом л/2, но лишь
гораздо более старшее поколение математиков смогло принять беско-
бесконечную последовательность как таковую и оценить ее значение в опре-
определении предела.
В задаче, где, как правило, мы считаем естественным получить ре-
решение а методом перехода к пределу, греки обычно взамен исключали
4.21. Теория пропорций Евдокса
63
всякое решение, кроме а. Они показывали, что любое число < а слиш-
слишком мало и любое число > а слишком велико, чтобы быть решением.
В следующих разделах мы изучим несколько примеров этого рода дока-
доказательства и увидим, как оно, в конечном счете, принесло плоды в осно-
основы математики. В качестве метода отыскания решений задач, однако,
оно было бесплодным: как, прежде всего, угадать число а? Когда мате-
математики вернулись к задачам отыскания пределов в семнадцатом веке,
они не нашли пользы в строгих методах греков. Двойственные методы
бесконечно малых величин семнадцатого века, критиковались Зеноном
того времени, епископом Беркли, но, до недавнего времени немногое
было сделано, чтобы опровергнуть его возражения, поскольку пред-
представлялось, что бесконечно малые величины не приводили к неверным
результатам. Именно Дидекинд, Вейерштрасс и другие, в конечном сче-
счете, возродили стандарты строгости греков в девятнадцатом веке.
История о строгости потерянной и строгости вновь приобретенной
получила удивительный поворот, когда в 1906 году была обнаружена
ранее неизвестная рукопись Архимеда Метод. В ней он признается, что
его самые глубокие результаты получены с использованием двойствен-
двойственно бесконечных аргументов, и только позже строго доказаны. Потому
что, как он говорит: «Конечно, легче предоставить доказательство, ко-
когда мы имеем ранее приобретенное некоторое знание вопросов с помо-
помощью метода, чем найти его без какого-либо предыдущего знания».
Значение этого утверждения выходит за рамки его откровения, что
бесконечность молено использовать, чтобы открыть результаты, кото-
которые первоначально не поддаются логике. Архимед, вероятно, был пер-
первым математиком, достаточно искренним, чтобы объяснить, что есть
разница между способом, которым теоремы открываются, и способом,
которым они доказываются.
4.21. Теория пропорций Евдокса
Теория пропорций приписывается Евдоксу (около 400-350 гг. до
н.э.), и она изложена в книге V Начал Евклида. Цель теории — дать
возможность трактовать длины (и другие геометрические величины)
так же точно, как числа, в то же время признавая использование ра-
рациональных чисел. Мы видели мотивацию этого в разделе 1.5: греки
не могли принять иррациональных чисел, но они принимали ирраци-
иррациональные геометрические величины, такие как диагональ единичного
64
Глава 4
квадрата. Для упрощения изложения теории, будем называть длины
рациональными, если они рациональные кратные постоянной длины.
Идея Евдокса заключалась в том, чтобы сказать, что длина Л опре-
определяется теми рациональными длинами, которые меньше ее, и теми,
которые больше ее. Точнее говоря, он утверждает, что Ai = A2, если лю-
любая рациональная длина > Ai также < Аг, и наоборот. Также Ai < A2,
если есть рациональная длина > Ai, но < Аг. Это определение исполь-
использует рациональные числа, чтобы дать бесконечно резкое определение
длины, одновременно избегая какого-либо явного использования бес-
бесконечности. Конечно, бесконечное множество рациональных длин < А
представлено мысленно, но Евдокс избегает упоминания об этом, гово-
говоря о произвольно рациональной длине < А.
Теория пропорций была настолько успешной, что она задержала
развитие теории действительных чисел на 2000 лет. Это было нелепо,
потому что теорию пропорций молено использовать для определения
иррациональных чисел, также как и длин. Хотя это было понятно,
потому что общие иррациональные длины, такие как диагональ еди-
единичного квадрата, возникли из построений, которые интуитивно ясны
и конечны с геометрической точки зрения. Любой арифметический
подход к \/2 с помощью ли последовательностей, десятичных чисел
или непрерывных дробей, бесконечен и, поэтому, менее интуитивен. До
девятнадцатого века это представлялось достаточной причиной того,
чтобы считать геометрию лучшим основанием математики, чем ариф-
арифметику. Затем в голову пришли проблемы геометрии, и математики
начали бояться геометрической интуиции также, как они раньше бо-
боялись бесконечности. Произошло удаление геометрической аргумента-
аргументации из учебников и усердное построение математики заново на основе
чисел и множеств чисел. Теория множеств обсуждается далее в гла-
главе 23. В настоящий момент достаточно сказать, что теория множеств
зависит от признания завершенных бесконечностей.
Красота теории пропорций заключалась в ее приспособляемости
к этому новому климату. Вместо рациональных длин, принимаем ра-
рациональные числа. Вместо сравнения существующих иррациональных
длин посредством рациональных длин, строим иррациональные числа
на пустом месте, используя мнолсества рациональных! Длина у/2 опре-
определяется двумя множествами положительных рациональных чисел
: r2
2},
2}.
Дедекинд A872) решил, что пусть этим у/2 будет эта пара множеств!
Вообще, пусть любое разбиение положительных рациональных чисел
4.21. Теория пропорций Евдокса
65
на мнолсества L,U, так что любой член L меньше, чем любой член U,
будет положительным действительным числом. Эта идея, известная
ныне как дедекиндово сечение, больше чем просто уловка Евдокса; она
дает полное и единое построение всех действительных чисел или точек
на линии, используя именно дискретное, наконец, разрешая фундамен-
фундаментальный конфликт в греческой математике! Понятно, что Дедекинд
был доволен своим достижением. Он писал
Сколь часто утверждается, что дифференциальное исчисле-
исчисление имеет дело с непрерывной величиной, и все лее объяснение
этой непрепрывности нигде не дается... И тогда осталось лишь
открыть истинное начало в элементах арифметики и, таким
образом, одновременно получить реальное определение сущ-
сущности непрерывности. Я добился успеха 24 нояб. 1858.
[Дедекинд A972), с. 2]
Упражнения
Имеется лишь одно дедекиндово сечение (L,U), соответствующее
иррациональному числу а, но есть два сечения, соответствующие ра-
рациональному числу а:
L = {г : г < a}, U = {г : г > а},
L= {r :r < a}, U = {r:r^a}.
Чтобы унифицировать теорию всех действительных чисел, мы выби-
выбираем стандартное сечение, назовем его
La = {r :r <a}, Ua = {г : г ^ а}
стандартным способом представления рационального числа а. Тогда
мы можем сказать, рациональное ли, или иррациональное число х, что
низшее множество для х следующее
Lx = {r:r< x}.
Теперь мы используем низшие мнолсества, чтобы определить х + у и ху
для положительных действительных чисел х и у следующим образом:
Lx+y = {г + s : г < х и s < у, где r,s — рациональные числа, }
LXy = {rs '¦ г < х и s < у, где г, s — рациональные числа.}
66
Глава 4
4.2.1 Покажите, что это справедливые определения х + у и ху, когда х
и У — рациональные числа.
Истинная сила этих определений, как осознал Дедекинд, заклю-
заключается в том, что они допускают строгие доказательства результатов
типа л/2^/3 = \/б, которые (по мнению Дедекинда) никогда прежде
строго доказаны не были. Такие доказательства возможны, но до сих
пор нетривильны. Даже для того, чтобы доказать, что \[2\[2 = 3 все
же следует доказать следующие два результата.
4.2.2 Если г2 < 2 и s2 < 2, покажите, что rs < 2.
4.2.3 Если рациональное t < 2, покажите, что t = rs для некоторых
рациональных г, s с г2 < 2, s2 < 2.
4.2.4 Почему упражнения 4.2.2 и 4.2.3 показывают, что л/2^/2 = 2?
4.2.5 Дайте аналогичное доказательство, что л/2а/3 = \/Ъ.
4.22. Метод исчерпывания
Метод исчерпывания, также приписываемый Евдоксу, — это обоб-
обобщение его теории пропорций. Также как иррациональная длина опре-
определяется рациональными длинами с той и другой ее стороны, более
общие неизвестные величины становятся определяемыми сколь угодно
близкими аппроксимациями, используя известные фигуры. Примеры,
данные Евдоксом (и изложенные в Книге XII Начал Евклида), — ап-
аппроксимация круга внутренними и внешними многоугольниками (ри-
(рисунок 4.1) и аппроксимация пирамиды пучками призм (рисунок 4.2,
который показывает самую очевидную аппроксимацию, нехитрую, ко-
которую фактически использовал Евклид). В обоих случаях аппрокси-
аппроксимирующие фигуры известные величины, на основе теории пропорций
и теоремы, что площадь треугольника = 1/2 основания х высота.
Рисунок 4.1: Аппроксимация круга
Рисунок 4.2: Аппроксимация пирамиды
Кусочно-линейные аппроксимации используются, чтобы показать,
что площадь любого круга пропорциональна квадрату его радиуса, сле-
следующим образом. Предположим, что Pi С Ръ С Ръ С ... — внутренние
многоугольники и Q\ D Q2 Э <3з D ... — внешние многоугольники.
Каждый многоугольник получен из своего предшественника делением
4.22. Метод исчерпывания
67
пополам дуг между его вершинами, как показано на рисунке 4.1. То-
Тогда можно показать, с помощью элементарной геометрии, что разность
площадей Qi — Pi можно сделать произвольно малой, и, следователь-
следовательно, Pi аппроксимирует площадь С круга сколь угодно близко.
С другой стороны, элементарная геометрия также показывает, что
площадь Pi пропорциональна квадрату R2 радиуса. Записав площадь
как Pi(R) и используя теорию пропорций, чтобы обработать отношения
площадей, мы имеем
Pi(R) : Pi(R') = R2 : R'2.
A)
Теперь пусть C(R) обозначает площадь круга радиуса R, и предполо-
предположим, что
C(R) : C(R') < R2 : R'2. B)
Выбрав Pi, которая аппроксимирует С достаточно близко, мы также
получаем
Pi(R) : Pi(R') < R2 : R'2,
что противоречит A). Следовательно, знак < в B) неверен, и мы мо-
можем аналогичным образом показать, что > неверен. Таким образом,
единственная возможность:
C(R) :
') = R2 :R12,
то есть, площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
Заметим, что «исчерпание» не означает использование бесконеч-
бесконечной последовательности шагов, чтобы показать, что площадь пропор-
пропорциональна квадрату радиуса. Скорее, показываешь, что любую непро-
непропорциональность молено опровергнуть за конечное число шагов (идя
к подходящей Pi). Это типично для способа, в котором аргументы ис-
исчерпания избегают упоминания пределов и бесконечности.
В случае пирамиды, снова используешь элементарную геометрию,
чтобы показать, что пучки призм аппроксимируют пирамиду сколь
угодно близко. Затем исчерпание показывает, что объем пирамиды, как
и объем призмы, пропорционален основанию х высота (см. упражне-
упражнения ниже). Наконец, есть умный аргумент, чтобы показать, что посто-
постоянная пропорциональности — 1/3. Мы можем ограничиться случаем
треугольных пирамид (поскольку любую пирамиду молено на них раз-
разрезать), и рисунок 4.3 показывает, как треугольная призма разреза-
разрезается на три треугольные пирамиды. Молено видеть, что любые две из
этих пирамид имеют равное основание и высоту, несмотря на то, что та
68
Глава 4
грань, которая принята за основание, зависит от того, какие пирамиды
сравниваются, следовательно, все три равны по объему. Каждая, по-
поэтому, составляет одну треть призмы, то есть 1/3 основания х высота.
Рисунок 4.3: Разрезание призмы на пирамиды
Интересно, что в теории площади многоугольников метод исчер-
исчерпывания Евклиду не понадобился. Все это молено сделать разбиением
аргументов, таких как, доказательство того, что площадь треугольни-
треугольника = 1/2 основания х высота (рисунок 4.4). В сущности, Фракашем
Бойяи A832а) показано, что все многоугольники Р, Q равной площади
можно разрезать на многоугольные куски Pi, ..., Рп и Qi, ..., Qn, так
что Pi равен Qi. Таким образом, мы можем определить многоугольни-
многоугольники как равные по площади, если они обладают разбиениями на такие
соответствующим образом равные куски.
Рисунок 4.4: Площадь треугольника
В известном списке математических задач Гильберта [Гильберт
A900а)] третья задача — принять решение, возможно ли аналогичное
определение для многогранников. Ден A900) показал, что это невоз-
невозможно; действительно, тетраэдр и куб равного объема нельзя раз-
разбить на соответствующие равные многоугольные куски. Следователь-
Следовательно, необходимы бесконечные процессы определенного рода, такие как
метод исчерпывания, чтобы определить равенство объема. Хорошо на-
написанное описание теоремы Дена и соответствующие результаты моле-
молено найти у Болтянского A978).
Упражнения
Хотя метод исчерпывания не нужен для теории площади много-
многоугольников, тем не менее, он является полезной ступенькой к случа-
случаям, где исчерпание необходимо, таким как объемы многогранников или
площади искривленных сфер.
4.3.1 Покажите, что площадь двух треугольников с одинаковым основа-
основанием и высотой можно аппроксимировать сколько угодно близко
тем лее множеством прямоугольников, по-иному образующим пу-
пучок (рисунок 4.5).
4.3.2 Покажите аналогичным образом, что любые два тетраэдра с оди-
одинаковым основанием и высотой можно аппроксимировать сколь
угодно близко одинаковыми призмами, по-иному образующим пу-
пучок (рисунок 4.6).
4.22. Метод исчерпывания
69
Рисунок 4.5: Аппроксимации треугольников
Рисунок 4.6: Аппроксимации тетраэдров
Около 1800 года Лежандр использовал результат упражнения 4.3.2,
чтобы дать еще одно доказательство того, что объем пирамиды состав-
составляет 1/3 объема призмы с тем лее самым основанием и высотой [см.
Хит A925), Книга XII, теорема 5]. Он использовал описанное разбиение
призмы на три тетраэдра, попарно одинакового основания и высоты,
поэтому ему нужно было сделать лишь следующее.
4.3.3 Выведите из упражнения 4.3.2, что пирамиды равного основания
и высоты имеют равный объем.
Еще один интересный подход к объему тетраэдра исчерпанием дан
Евклидом [см. Хит A925), Книга, теорема 4]. Он разбил тетраэдр на
два меньших тетраэдра и две призмы, как показано на рисунке 4.7,
с вершинами на ребре средних точек исходного тетраэдра.
Рисунок 4.7: Разбиение тетраэдра Евклидом
4.3.4 Покажите, что две призмы занимают больше половины объема тет-
тетраэдра. (Следовательно, повторяя построение в меньших тетра-
тетраэдрах, объем тетраэдра можно аппроксимировать сколько угодно
близко посредством призм.)
4.3.5 Покажите, что объем двух призм на рисунке 4.7 составляет 1/4
основания х высота (то есть, основание и высота тетраэдра).
Вычисляя объемы соответствующих призм в меньших тетраэдрах,
мы находим объем исходного тетраэдра как сумму геометрического ря-
ряда.
4.3.6 Покажите, что объем призм следующий
X
42
основание х высота =1/3 основание х высота.
В следующем разделе мы изучаем построение Архимеда, которое
удивительно похоже на построение Евклида. Каждый шаг вырезает
куски остатков из предыдущего шага и ведет к похожему геометриче-
геометрическому ряду.
70
Глава 4
4.23. Площадь параболического сегмента
Метод исчерпывания довел до полной зрелости Архимед B87-
212 гг. до н.э.). Среди его самых известных результатов были объ-
объем и площадь поверхности шара и площадь параболического сегмента.
Как указано в разделе 4.1, Архимед первым открыл эти результаты
нестрогими методами, позлее подтвердив их методом исчерпывания.
Возможно, самое интересное и естественное из его доказательств ис-
исчерпания — доказательство площади параболического сегмента. Сег-
Сегмент исчерпывается многоугольниками аналогично исчерпанию круга
Евдокса, но площадь получается сразу и не только в пропорции к дру-
другой фигуре.
Чтобы слегка упростить построение, мы допускаем, что сегмент
разрезается хордой перпендикулярно оси симметрии параболы. Архи-
Архимед делит параболический сегмент на треугольники Дх, Дг, Дз, • • •,
как показано на рисунке 4.8 (обозначенные их нижними индексами).
Средняя вершина каждого треугольника лежит на параболе на полпу-
полпути между двумя другими (измеренными горизонтально). Эти треуголь-
треугольники ясно исчерпывают параболический сегмент, и поэтому остается
вычислить их площадь. Совершенно удивительно, это превращается
в геометрический ряд.
Рисунок 4.8: Параболический сегмент
Мы кратко укажем, как это случается, изучив Дз (рисунок 4.9).
Поскольку ОР = \ОХ, PQ = jPS по определению параболы. С дру-
другой стороны, SR = ^PS, следовательно, QR = jPS. Теперь Дз — это
сумма треугольников RQZ и OQR, которые имеют одно и то же осно-
основание RQ и «высоту» ОР = РХ следовательно, равную площадь. Мы
только что видели, что RQZ имеет половину основания SRZ и имеет
ту же самую высоту, следовательно, (называя фигуры равными, когда
они имеют ту лее самую площадь)
Д3 = SRZ
= \OYZ
4
По симметрии, Дг = Дз, поэтому
Дз = т
4.23. Площадь параболического сегмента
Аналогичный аргумент показывает
71
Д4 + Д5 + Де + Д? =
и т. д., каждая новая цепочка треугольников имеет одну четвертую пло-
площади предыдущей цепочки. В результате,
( ( \2
площадь параболического сегмента = Дх 1 + - + I - ) +...
Конечно, Архимед не пользуется бесконечным рядом, а использует ис-
исчерпание, показывая, что любую площадь < ^Ai можно превысить,
взяв достаточно много треугольников Д^. Сумма конечного геометри-
геометрического ряда, необходимая для этого, была известна из Начал Евклида,
Книга IX, где Евклид использовал ее для теоремы о совершенных чис-
числах (см. раздел 3.2).
Рисунок 4.9: Треугольник в сегменте
Упражнения
Метод аппроксимации треугольниками Архимеда был блестящим
успехом на параболическом сегменте, но не подходил ко многим другим
кривым. Более общий полезный метод — аппроксимация прямоуголь-
прямоугольниками, вероятно, известная вам из исчисления. Площадь параболи-
параболического сегмента также можно вычислить этим способом, хотя менее
изящно, и, несомненно, Архимед также это делал. Мы познакомимся
с другими искривленными площадями, которые можно вычислить пря-
прямоугольной аппроксимацией, в разделе 9.2.
Вероятно, простейшая площадь, которую нельзя найти с помощью
этого метода, — это площадь под гиперболой у = 1/х, от х = 1 до х = t.
Это происходит потому, что рассматриваемая площадь — logt, а лога-
логарифмическую функцию нельзя определить элементарными средства-
средствами. Но если взамен принимаешь, что площадь — logt no определению,
тогда возможно вывести основное свойство логарифма —
log ah = log a + log b
— и способом, который Архимед, вероятно, бы понял.
72
Глава 4
4.4.1 Предположим, мы аппроксимируем площадь log а под у = 1/х от 1
до а посредством п прямоугольников равной ширины, как показано
на рисунке 4.10.
Рисунок 4.10: Прямоугольная аппроксимация к log a
Покажите, что соответствующая аппроксимация к площади под у =
= 1 /х от Ъ до аЪ посредством п прямоугольников имеет точно та-
такую лее площадь. (Фактически, соответствующие прямоугольники
имеют равную площадь.)
4.4.2 Выведите из упражнения 4.4.1, методом исчерпывания, что пло-
площади под у = 1 /х от 1 до а и от 6 до аЬ равны.
4.4.3 Выведите из упражнения 4.4.2 и приведенного определения log,
что
log ab = log a + log 6.
4.24. Биографические заметки: Архимед
Архимед — один из немногих древних математиков, жизнь кото-
которых известна во всех подробностях, благодаря тому вниманию, которое
он получил от классических авторов, таких как Плутарх, Ливии и Ци-
Цицерон, и его участию в исторически важной осаде Сиракуз в 212 г. до
н.э. Он родился в Сиракузах (греческом городе, ныне Сицилия) около
287 г. до н. э. и сделал большую часть своих важных работ там, хо-
хотя, возможно, он учился некоторое время в Александрии. Видимо, он
состоял в родстве с правителем Сиракуз, царем Гиероном II или, по
крайней мере, был с ним в хороших отношениях. Есть много рассказов
о механизмах, которые изобрел Архимед на благо Гиерона: составные
шкивы для движения кораблей, баллистические устройства для защи-
защиты Сиракуз и модель планетария.
Самый известный рассказ об Архимеде — это рассказ, поведанный
Витрувием (Об архитектуре (De architecture,), Книга IX, глава 3), где
Архимед выпрыгивает из ванны с криком «Эврика!», когда он понял,
что вес короны, погруженной в воду, даст средство проверить, сделана
ли она из чистого золота. Историки сомневаются в достоверности это-
этого рассказа, но он, по крайней мере, признает, понимание Архимедом
гидростатики.
В античные времена репутация Архимеда основывалась на его ме-
механических изобретениях, которые, несомненно, были более понятны
4.24. Биографические заметки: Архимед
73
большинству людей, чем его чистая математика. Однако, молено также
утверждать, что его теоретическая механика (включая закон рычага,
центры масс, равновесие и гидростатическое давление) была его са-
самым оригинальным вкладом в науку. До Архимеда математической
теории механики не было вообще, только совершенно неверная меха-
механика Аристотеля. В чистой математике Архимед не сделал каких-либо
соизмеримых концептуальных успехов, исключая, возможно, Метод,
в котором используются его идеи из статики как средство открытия ре-
результатов о площадях и объемах. Понятия, которые были необходимы
Архимеду для доказательств в геометрии, теории пропорций и мето-
методе исчерпывания, уже были предложены Евдоксом, и именно феноме-
феноменальная проницательность и техника Архимеда подняли его на голову
выше своих современников.
Часто рассказывается история о смерти Архимеда, хотя с различ-
различными подробностями. Его убил римский солдат при взятии римлянами
Сиракуз под командой Марцелла в 212 г. до н.э. Вероятно, он зани-
занимался математикой во время своей смерти, но разгневал ли он солдата,
сказав: «Не трогай моего чертежа!», предположительно. Этот рассказ
дошел до нас от Цецеса (Chiliad, книга II). Другие версии смерти Ар-
Архимеда приведены Плутархом в Марцелле (глава XIX). Плутарх также
рассказывает нам, что Архимед попросил сделать на его надгробии
надпись с фигурой и описанием его любимого результата, отношения
между объемами шара и цилиндра. [Он показал, что объем шара со-
составляет две трети объема, огибающего его цилиндра. См. Хит A897),
с. 43 и упражнение 9.2.5]. Полтора века спустя Цицерон ( Tusculan
Disputations), Книга V) сообщил о находке надгробия, когда он был
квестором на Сицилии в 75 г. до н. э. Могила была заброшена, но фи-
фигура шара и цилиндра все еще была узнаваема.
Глава 5
Теория чисел в Азии
5.25. Евклидов алгоритм
Из предыдущих глав ясно, что древняя Греция оказала огромное
влияние на мировую математику, и что большую часть фундаменталь-
фундаментальных понятий математики молено найти там. Это не означает, однако,
что греки все открыли первыми, или, что они все делали лучше. Мы
уже видели, что теорема Пифагора была известна в Вавилоне раньше,
чем в Греции, и что пифагоровы тройки понимались там лучше, чем
где-либо в Греции, по крайней мере, до времени Диофанта.
Действительно, теорема Пифагора и пифагоровы тройки также
были известны в древнем Китае и Индии. Насколько нам известно,
это были независимые открытия, поэтому скорее представляется, что
теорема Пифагора — математически универсальна, вероятно, она по-
появляется в любой достаточно развитой цивилизации. Другими такими
универсалиями являются понятие тг — отношение радиуса к окружно-
окружности круга, и евклидов алгоритм. Как мы увидим в этой главе, евкли-
евклидов алгоритм, по-видимому, появляется всякий раз, когда есть интерес
к кратным, делителям и целочисленным решениям линейных и квад-
квадратных уравнений.
Для Евклида существовало два совершенно отдельных примене-
применения евклидова алгоритма. Во-первых, алгоритм применялся к целым
числам и использовался, чтобы выводить заключения о делимости
и простых числах. Во-вторых, алгоритм применялся к отрезкам пря-
прямых и использовался в качестве критерия иррациональности: если ал-
алгоритм не завершается, тогда отношение отрезков иррационально. Как
мы видели в разделе 3.4, возможно, что греки продвинули евклидов ал-
алгоритм достаточно далеко, чтобы увидеть, что в некоторых случаях он
становится периодическим; например, когда оба отрезка прямой имеют
длины 1 и Vz.
Независимо от всех этих разработок, первая форма евклидова ал-
алгоритма появилась в Китае при Ханьской династии, между 200 г. до
5.26. Китайская теорема об остатках
75
н. э. и 200 г. н. э. Он использовался китайцами для упрощения дробей —
деления числителя и знаменателя на их нод, — а также для отыскания
решений линейных уравнений в целых числах.
Типичное «применение» такого уравнения следующее. Предполо-
Предположим, что в году 365- дней и в лунном месяце 29^ дней. Если мы пе-
переходим к единицам 1/4 дня, то год и лунный месяц тогда измеряются
целыми числами 1461 и 118. Теперь предположим, что в первый день
года полная луна. Сколько пройдет времени, прежде чем полная луна
будет во второй день года? Это случится через х лет (и у месяцев), где
1461ж= 118у-4.
Мы, поэтому, ищем наименьшее целочисленное решение этого уравне-
уравнения и, как мы видели в разделе 3.3, это зависит от выражения 1 =
= нодA461,118) как комбинации вида 118у — 1461ж, что может быть
сделано с помощью евклидова алгоритма. В этом уравнении, конечно,
нас лишь интересует часть решения, число х, потому что мы хотим
знать лишь кратное 1461, которое в 4 меньше, чем некоторое крат-
кратное 118 (нам все равно, какое). Такую задачу позлее описали бы как
задачу о конгруэнтности: мы ищем х, так что 1461ж конгруэнтно —4,
mod 118. Китайцы стали весьма искусны в таких задачах, расширив
свои методы до множественной конгруэнтности, как объясняется в сле-
следующем разделе. Это привело к важной теореме, известной сегодня как
китайская теорема об остатках.
Около пятого и шестого веков нашей эры, похожие линейные дио-
фантовы уравнения решались в Индии, и, возможно, имелись в виду
похожие проблемы календаря. Однако, индийцы приняли идею в ином
направлении. Они независимо открыли уравнение Пелля х2 — Ny2 = 1,
найденное греками, пытавшимися понять л/N, а также вновь открыли
в нем периодичность. Что примечательнее всего, они сделали это без
какого-либо разбиения рационального и иррационального. Их трактов-
трактовка уравнения Пелля полностью основывалась на целочисленных опера-
операциях, и она слегка сочетается с их трактовкой линейных уравнений.
5.26. Китайская теорема об остатках
Источником этой теоремы является следующая задача, встречаю-
встречающаяся в Mathematical Manual (Математическом наставлении) Сунь-
цзы в конце третьего века н. э. Требуется найти число, которое при де-
делении на 3 дает остаток 2, при делении на 5 — остаток 3 и при делении
76
Глава 5
на 7 — остаток 2. Ответ легко молено найти с помощью эксперимента:
это 23, но Сунь-цзы предлагает следующее объяснение, предположи-
предположительно, чтобы указать общий метод.
Если мы считаем по три, и есть остаток 2, записываем 140.
Если мы считаем по пяти, и есть остаток 3, записываем 63.
Если мы считаем по семи, и есть остаток 2, записываем 30.
Сложите их, чтобы получить 233, и вычтете 210, чтобы полу-
получить ответ.
[Из перевода Математического наставления Сунь-цзы Лама
и Анга A992), с. 178]
Числа 140, 63 и 30 выбраны из-за следующих свойств:
• 140 = 4 х E х 7)
дает остаток 2 при делении на 3,
и остаток 0 при делении на 5, 7.
• 63 = 3 х C х 7)
дает остаток 3 при делении на 5,
и остаток 0 при делении на 3, 7.
• 30 = 2 х C х 5)
дает остаток 2 при делении на 7,
и остаток 0 при делении на 3, 5.
Следовательно, их сумма 233 обязательно дает остатки 2, 3, 2 при деле-
делении на 3, 5, 7, соответственно. Поскольку 3x5x7= 105 дает остаток 0
при делении на 3, 5 и 7, мы можем вычесть 105 из 233 и получить мень-
меньшее число, которое дает те же самые остатки при делении на 3, 5 и 7.
Вычитание 105 дважды дает наименьшее решение, 23.
Но почему, в частности, выбираем 140, 63 и 30? Не будет ли проще
выбрать 35 вместо 140, потому что
• 35 = 5 х 7
дает остаток 2 при делении на 3,
и остаток 0 при делении на 5, 7.
Сунь-цзы продолжает объяснение:
Если мы считаем по три, и есть остаток 1, записываем 70.
Если мы считаем по пяти, и есть остаток 1, записываем 21.
Если мы считаем по семи, и есть остаток 1, записываем 15.
5.26. Китайская теорема об остатках
77
Видимо, он начал с 70 = 2 х E х 7), потому что это наименьшее
кратное 5 и 7, дающее остаток 1 при делении на 3, затем умножил на 2,
чтобы получить число, дающее остаток 2 при делении на 3.
Числа 63 и 30 также молено объяснить таким образом. Наименьшее
кратное 3 и 7, которое дает остаток 1 при делении на 5 — 21 = 3x7.
Поэтому, 63 = 3 х C х 7) есть кратное 3 и 7, которое дает остаток 3
при делении на 5. Аналогичным образом, 15 = 3 х 5 есть наименьшее
кратное 3 и 5, которое дает остаток 1 при делении на 7, поэтому 30 —
наименьшее кратное 3 и 5, которое дает остаток 2 при делении на 7.
В этот момент возникает интересный вопрос. Если Сунь-цзы имел
в виду, что это является общим методом, с целыми числами р, q, r вме-
вместо 3, 5 7, ему необходимо было знать, что имеется кратное m(qr) qr
которое дает остаток 1 при делении на р. Знал ли он это? Такое чис-
число т — это то, что сейчас мы называем обратной величиной qr, mod p,
и задача Сунь-цзы, вероятно, первый случай в истории математики, где
потребовались эти обратные величины.
Метод решения Сунь-цзы в полной общности впервые дан в Мате-
Математическом трактате в девяти книгах Цинь Цзю-Шао в 1247 году.
Он решил ключевую задачу отыскания обратных величин с помощью
евклидова алгоритма. При заданных р и а с нод(р, а) = 1, мы из раз-
раздела 2.4 знаем, что есть целые числа тип, так что
Но тогда
тр + па = 1.
тр = 1 — па,
поэтому тр дает остаток 1 при делении на а, и т — обратная вели-
величина р, mod а. Цинь Цзю-Шао нашел т, пробежав евклидовым алго-
алгоритмом по р и а, затем подставив обратно, чтобы найти тип при тр+
+ па = 1. Он назвал это «методом отыскания 1».
Нетрудно показать (упражнение 5.2.1), что р имеет обратную ве-
величину mod а только, если нод(р, а) = 1. Таким образом в китайской
задаче об остатках нам, в целом, нужны делители, которые должны
быть относительно простым числом. Метод обратных величин тогда
дает следующее.
Теорема Китайская теорема об остатках.. Еслир\,Р2, ¦ ¦ ¦, Pk
взаимно простые целые числа, и г\ ^ Р\,Г2 ^ рч, ¦ ¦ ¦, r^ ^ Рк любые
целые числа ^ 0; тогда есть целое число п, так что п дает оста-
остаток г; при делении на pi для каждого г. Ш
78
Глава 5
Эта теорема множество раз появлялась в истории теории чисел
и часто была средством продвижения новых важных понятий и резуль-
результатов. Ее позднейшее развитие в Китае описано у Либбрехта A973).
Когда ее, наконец, открыли в Европе, Эйлер и Гаусс отлично ею вос-
воспользовались .
Упражнения
5.2.1 Докажите, что если тр дает остаток 1 при делении на а, то нод(р, а)
= 1.
5.2.2 Дайте доказательство китайской теоремы об остатках, используя
существование обратных величин mod pi, чтобы оправдать метод
Сунь-цзы.
5.27. Линейные диофантовы уравнения
Мы видели, как китайцы подошли к использованию евклидова ал-
алгоритма в задачах об остатках, где-то между третьим веком н.э. и Ма-
Математическим трактатом Цинь Цзю-Шао 1247 года. Этот алгоритм
также широко применялся в Индии в тот же самый период, начиная
с Ариабхаты из Ариабхата в 499 г. н.э. Ариабхата родился в 476 г.
н.э. и известен также как Ариабхата I, чтобы отличать его от другого
математика с тем же именем, который жил около 950 г. н. э.
Его самым важным вкладом был метод отыскания решений в це-
целых числах уравнений вида ах + by = с, где а, 6 и с — целые числа.
Как китайская задача об остатках, которая имеет с ней близкое сход-
сходство, эта задача во всеуслышание заявляет об евклидовом алгоритме.
Обе задачи сводятся к выражению нод(а, 6) в виде та + mb, и в случае
уравнения ах + by = ев основе этого лежит следующая причина:
Теорема Критерий для решения в целых числах ах + by =
= с. Уравнение ах + by = с, где а,Ь,с — целые числа, имеет решение
в целых числах <?4> нод(а, Ь) делит с.
Доказательство. Если х и у — целые числа, тогда нод(а, 6) де-
делит ах + by; следовательно, если ах + by = с, тогда нод(а, 6) делит с.
Обратно, мы знаем из раздела 3.3, что есть целые числа тип, так
что нод(а, 6) = та + nb. Следовательно, если нод(а, 6) делит с, мы име-
имеем та + пЪ делит с, скажем, [та + nb)d = с. Тогда х = та1, у = nd —
решение уравнения ах + by = с. ¦
5.27. Линейные диофантовы уравнения
79
Как указано в разделе 3.3, нод(а, 6) = ma + nb — естественное след-
следствие евклидова алгоритма, хотя Евклид, очевидно, не заметил его. Мы
также не можем быть уверены, что его заметил Ариабхата, поскольку
его книга содержит лишь несколько строк о задаче решения ах+by = с,
и они стали понятны усилиями позднейших комментаторов. Первым из
них был Бхаскара I, который заметил в 522 г. н.э., что делением а и 6
на их нод, задача сводится к решению задачи
а'х + Ь'у= 1,
где нод(а'б') = 1, и что последняя задача всегда может быть решена.
Таким образом, Бхаскара I допустил, что 1 = нод(а'б') = т'а' + п'Ь'
для некоторых целых чисел т! и п', и отсюда следует, что нод(а, 6) =
= та + nb после умножения обеих сторон на нод(а, 6).
Бхаскара I также ввел яркий термин для евклидова алгоритма,
kuttaka, означающий пульверизатор. Числа а и 6 «пульверизуются»
алгоритмом на меньшие и меньшие части, при этом меньшая часть
является их нод. Индийский пульверизатор был формой алгоритма
деления с остатком, хотя, конечно, слово в равной степени применя-
применяется к вычитательной форме. Чтобы решить уравнение ах + by = с,
где нод(а, 6) делит с, пульверизатор сочетали с вычитанием, чтобы най-
найти коэффициенты тип, так что та + nb = нод (а, 6) и умножением на
соответствующий множитель, чтобы получить хиу, так что ах+by = с.
Примеры можно найти у Сринивасиенгара A967).
Упражнения
Найти тип, так что нод(а, 6) = та + nb, можно, пробежав ев-
евклидовым алгоритмом по числам а и Ъ, параллельно с алгоритмом по
буквенным символам аиЬ. Символы аи b считают числа тип своими
коэффициентами. Например, чтобы найти тип, так что 1 = 21т+17п,
пробегаешь евклидовым алгоритмом, начиная с пары B1,17), а также
с (а, 6), делая с символами тоже самое, что сделано с числами.
Первые несколько шагов выглядят таким образом:
B1,17) [а,Ь)
A7,21-17) F, а-6)
A7,4) F, а-6)
A7-4,4) F-(а-6), а-6)
A3,4) (-а+ 26, а-6)
80 Глава 5
До сих пор, это дает 13 = —21 + 2х17и4 = 21 — 17в форме 21т + 17гг.
5.3.1 Завершите пробегание евклидова алгоритма по B1,17) и, следова-
следовательно, найдите целые числа тип, так что 1 = 21т + 17гг.
5.3.2 Отсюда найдите целые х, у, так что 21ж + Пу = 3.
5.28. Уравнение Пелля у Брахмагупты
Что касается диофантовых уравнений, индийские и китайские ма-
математики очень похожи. Действительно, сходство еще значительнее,
чем предполагалось до сих пор, потому что китайские задачи об остат-
остатках также изучались в Индии. Это предполагает возможный контакт
и разделение идей. С другой стороны, обе математические культуры
расходились в других отношениях. Китайцы развивали алгебру и ме-
методы аппроксимации для уравнений высокой степени, но не решения
в целых числах нелинейных уравнений (за исключением уравнения Пи-
Пифагора). Индийцы сделали меньший прогресс в алгебре, но добились
поразительного успеха в отыскании решений в целых числах уравне-
уравнений Пелля — первый значительный успех в теории чисел со времен
Диофанта.
Автором этого успеха был Брахмагупта, Brahma-sphuta-siddhanta
которого F28 г. н. э.) молено прочитать в английском переводе Коулбру-
ка A817). Трактовка Брахмагупты уравнения Пелля
х2 — Ny2 = 1, где N — неквадратное целое число,
основана на его открытии [см. Колубрук A817), с. 363], что
(х2 - Ny{)(x22 - Ny22) = (ххх2 + Nyiy2J - N(xiy2 + x2VlJ,
которое является обобщением тождества, открытого Диофантом
(Х1 + у1){х1 + 2/2) = {Х±Х2 - 2/12/2 J + {х\У2 + x2yiJ,
к которому мы вернемся позже в связи с комплексными числами.
Как тождество Диофанта, тождество Брахмагупты легко проверяется
умножением обеих частей, хотя на первых порах не легко обнаружива-
обнаруживается.
Брахмагупта использовал свое тождество, чтобы найти решения
х2 - Ny2 = 1
5.28. Уравнение Пелля у Врахмагупты
через последовательность уравнений вида
х2 -Ny2 = ki.
Его тождество показывает, что если
х = xi, у = у\ — решение х2 — Ny2 = к\,
81
х = х2, у = у2 - решение х2 - Ny2 = к2,
тогда
х = х\х2 + Nyiy2, у = х\у2 + х2у\ — решение ж — Ny = k\k2.
Это называется композицией троек (xi,yi,ki) и {х2,у2,к2), чтобы об-
образовать тройку (х\х2 + Nyiy2,xiy2 + x2yi,kik2).
Если к\ = 1 или к2 = 1, композиция — способ порождения беско-
бесконечного множества решений х2 — Ny2 = 1, когда известно одно (если
только одно из ki,k2 равно 1, составляйте композицию соответству-
соответствующей тройки с собой). Еще удивительнее, часто молено найти реше-
решение х2 — Ny2 = 1 из решений
х2 - Ny2 = fci и х2 - Ny2 = к2 для целых ki,k2 > 1.
Причина этого в том, что композиция (xi,y2,ki) с собой дает ре-
решение х2 — Ny2 = к2, скажем х = X, у = Y, и, следовательно, раци-
рациональное решение х = Х/к\, у = Y/k\ х2 — Ny2 = 1. При небольшой
удаче это решение будет целочисленным, или же даст целочисленное
решение, когда композиция составляется дальше.
Пример, х2 — 92у2 = 1. [Это первый пример Брахмагупты; он
говорит, что «человек, решивший эту задачу в течение года, — мате-
математик». См. Коулбрук A817), с.364].
Решение. Поскольку 102 - 92 х I2 = 8, мы имеем тройку A0,1,8).
Составление ее композиции с собой дает тройку
A0 х 10 + 92 х 1 х 1,10 х 1 + 1 х 10, 8 х 8) = A92, 20, 64),
которая означает
1922-92х 202 = 82.
82 Глава 5
Деление обеих частей на 82 дает
242 - 92 х E/2J = 1
и, следовательно, новую «почти целочисленную» тройку B4,5/2,1).
Составление композиции B4, 5/2,1) с собой, наконец, дает целочислен-
целочисленную тройку
B42 + 92 х E/2J, 24 х E/2) + E/2) х 24,1) = E76 + 575,120,1)
= A151,120,1).
Таким образом, х = 1151, у = 120 — решение в целых числах х2 —
-92у2 = 1. Ш
Упражнения
5.4.1 Объясните решения хп+\ = хп + 2уп, уп+\ = хп + уп х2 —
— 1у2 = (—1)" («боковые и диагональные числа» раздела 3.4) на основе
композиции Брахмагупты.
5.4.2 Выведите тождество Брахмагупты, используя факториза-
факторизацию
(x2-Ny2)(x2-Ny2) = (x1-VNyi)(x1 + VNyi)(x2-VNy2)(x2 + VNy2)
и комбинируя первый множитель с третьим, а второй с четвертым.
5.4.3 Покажите, что л/N — иррационально, когда N — неквад-
неквадратное целое число. Выведите, что если а\ — V7V6i = а2 — \/rNb2 для
целых ai,bi,a2,b2, тогда а\ = а2 и 6i = b2.
5.4.4 Если (жз,уз,1) ~~ составное число (xi,yi,l) и (х2,у2,1), ис-
используйте упражнение 5.4.3, чтобы показать, что х3,уз также могут
быть определены как целые числа, так что
(ж! - VNyi)(x2 - VNy2) = x3- VNy3.
Теперь мы освобождаем ж и у от ограничения на целое или ра-
рациональное значения и определяем, что составное число Брахмагупты
любых троек (xi,yi, 1) и (х2,у2,1) должно быть (ххх2 + Nyiy2,xiy2 +
+ x2yi,l).
5.4.5 (Для читателей, знакомых с гиперболическими функциями.)
Покажите, что функции х = cosh и, у = sinhit определяют вза-
VN
имно однозначное соответствие между действительными числами и
5.29. Уравнение Пелля у Вхаскары II
83
и точками (х,у) на ветви гиперболы х — Ny = 1, где х > 1. Пока-
Покажите также, что составное число Брахмагупты (coshих, sinhtti, 1)
и (coshit2, —р= sinhii2,1) есть (cosh(iti + и2), —== sinh(ni + и2), 1), следо-
\/N \/N
вательно, композиция Брахмагупты соответствует слолсению действи-
действительных чисел и.
5.4.6 Используйте функции х = cos9 и у = sin61, параметри-
зируя единичный круг, чтобы показать, что «диофантова компози-
композиция» (xi,yi) и (х2,у2) для образования {ххх2 - yiy2,xxy2 + х2ух) со-
соответствует сложению углов в.
5.29. Уравнение Пелля у Бхаскары II
Брахмагупта нашел решения в целых числах многих уравнений
Пелля х2 — Ny2 = 1 с помощью своего метода композиции, но он не
смог применить его равномерно для всех значений ЛГ. Лучшее, что он
смог сделать, показать, что если х2 — Ny2 = к имеет решение в целых
числах для к = ±1, ±2 или ±4, то х2 — Ny2 = 1 также имеет решение
в целых числах. Его доказательства, что композиция имеет успех в этих
случаях молено найти у Сринивасиенгара A967), с. 111.
Первый общий метод решения уравнения Пелля был дан Бхаска-
рой II в его Bijaganita A150 г. н.э.). Он завершил программу Брахма-
Брахмагупты, дав метод, называемый cakravala или цикличный процесс, кото-
который всегда приносит успех в отыскании целых х, у, к при х2 — Ny2 = к
и к = ±1, ±2 или ±4. По общему признанию, Бхаскара II не дал доказа-
доказательства, что цикличный процесс всегда работает, — это впервые сде-
сделал Лагранж A768), — но, фактически, он работает. Доказательство,
использующее только понятия, доступные Бхаскаре II, молено найти
у Вейля A984), с. 22. Мы просто опишем цикличный процесс и один из
его самых эффектных успехов — решение х2 — 61у2 = 1.
При заданных относительно простых числах а и 6, так что а2 —
— Nb2 = к, мы составляем композицию тройки (а, 6, к) с трой-
тройкой (то, 1,то2 — Л^), полученной из тривиального уравнения
то2 - ЛГ х I2 = то2 - ЛГ.
Результат — тройка (am + Nb,a + bm,k(m2 — ЛГ)), масштаб которой
84 Глава 5
молено уменьшить (до возможно неинтегрируемой) тройки
' ат + Nb а + Ьт т2 - N"
к ' к ' к
Теперь мы выбираем т, так что (a+bm)/k = Ь\ — целое число, и оказы-
оказывается, что (am+Nb)/k = а\ и {т2 — N)/k = k\ тоже целые числа. Если
мы также выберем т, так что т? — N по возможности наименьшее, мы
вполне на пути к тройке (а;, 6;, ki) при к = ±1, ±2 или ±4.
Пример, х2 — 61у2 = 1. [Это пример Бхаскары. См. Коулбрук
A817), стр. 176-178.]
Решение. Уравнение 82 - 61 х I2 = 3 дает нам тройку (а, Ь, к) =
= (8,1, 3). Мы составляем композицию (8,1, 3) с (тп, 1, т2 — 61), получая
тройку (8т + 61, 8 + тп, 3(т2 — 61)) и, следовательно,
8т + 61 8 + т т2 - 61
3
3
Выбирая то = 7 (потому что 72 — ближайший квадрат к 61, при кото-
котором 3 делит 8 + т), мы получаем тройку C9, 5, —4), поэтому уже к = —
—4. Мы уменьшаем масштаб дальше до тройки C9/2, 5/2, —1). Состав-
Составление композиции C9/2,5/2,-1) с собой дает A523/2,195/2,1) и со-
составление ее композиции заново с C9/2,5/2,-1) дает целую трой-
тройку B9718, 3805, —1). Наконец, составление композиции последней с со-
собой дает тройку A766319049, 226153980,1).
Таким образом, уравнение имеет решение в целых числах х =
= 1766319049, у = 226153980. ¦
Этот удивительный пример был вновь открыт Ферма A657), кото-
который сформулировал уравнение х2 — 61у2 = 1 в качестве сложной зада-
задачи своему коллеге Френиклу. Решение х = 1766319049, у = 226153980,
действительно, минимальное ненулевое решение х2 — 61у2 = 1, которое
предполагает, что уравнение Пелля имеют много скрытой сложности —
не ожидаешь, что такой короткий вопрос имеет такой длинный ответ.
Предположительно, Бхаскара II и Ферма знали, что уравнение Пелля
особенно трудно для N = 61. Среди уравнений Пелля для N ^ 100
это имеет наибольшие минимальные решения, и гораздо большие, чем
любое для JV < 61.
5.29. Уравнение Пелля у Вхаскары II
85
Цикличный процесс немного слишком успешен на N = 61, потому
что он завершается раньше, чем что-либо «цикличное» становится оче-
очевидным. Фактически, цикличный процесс обнаруживает ту лее перио-
периодичность, которую мы ранее наблюдали в непрерывной дроби для л/N
(раздел 3.3), и величина минимального решения связана с длиной пе-
периода. Эти факты стали ясны лишь в работе Лагранжа A768), которая
основана на изучении непрерывных дробей.
Упражнения
Удивительный шаг в процессе Бхаскара, где выбор целого числа то,
так что (а + bin)/к, — целое число, также создает целые (am + Nb)/k
и (m2 — N)/k, заслуживает некоторого объяснения. Он зависит от выбо-
выбора исходных а и 6, так что нод(а, Ъ) = 1, — так как он обычно делает а2 —
— Nb2 = к малым — потому что есть контрпримеры, когда нод(а, 6) > 1.
5.5.1 Предположим мы выбираем а = 4, 6 = 2 в а2 — 262, поэтому к = 8.
Найдите т, для которого (а + Ът)/к — целое число, a (am + Nb)/k
— нет.
Предположим нод(а,6) = 1, однако, мы можем доказать, что ес-
если (а + Ьт)/к — целое число, тогда (am + Nb)/k тоже. Отсюда следует,
что (m2 — N)/k тоже, благодаря уравнению
am + Nb
к
m2 - N
к
(*)
которому эта тройка соответствует. Доказательство, что (am + Nb)/k —
целое число, идет следующим образом. В конце оно включает «метод
отыскания 1».
5.5.4 Допуская а + bm = kl, подставим kl — mb вместо одной копии а
в уравнение а2 — Nb2 = к, и, следовательно, покажем, что к де-
делит b(am + Nb).
5.5.3 Подставляя kl — а вместо обеих копий Ьт в уравнение а2т2 —
— Nb2m2 = km2, покажите, что к делит а2(т2 — N).
5.5.4 Выведите из упражнения 5.5.3 и другой формы уравнения (*)
(am + NbJ - N(a + 6mJ = fc(m2 - N)
что к2 делит а2(ат + NbJ, так что к делит а(ат + Nb).
86
Глава 5
5.5.5 Выведите из упражнений 5.5.2 и 5.5.4, что к делит (ar + bs)(am +
+ Nb) для любых целых чисел г и s и, следовательно, что к де-
делит am + _/V6.
5.30. Рациональные треугольники
После открытия рациональных прямоугольных треугольников и их
полного описания Евклидом (раздел 2.8), есть вопрос, возникновение
которого можно было ожидать: а что касается рациональных треуголь-
треугольников вообще? Конечно, любые три рациональных числа могут слу-
служить сторонами треугольника, при условии, что сумма двух любых
из них больше третьего. Таким образом, «рациональный треугольник»
должен быть таким, который рационален не только по длинам сво-
своих сторон, но также по некоторой другой величине, такой как высота
или площадь. Поскольку площадь = — основания х высота, треуголь-
треугольник с рациональными сторонами имеет рациональную площадь тогда
и только тогда, когда все его высоты рациональны, поэтому разумно
определить, что рациональный треугольник — это треугольник с ра-
рациональными сторонами и рациональной площадью.
О рациональных треугольниках возникает много вопросов, но они
редко встречаются в греческой математике. Насколько нам известно,
первый, кто их основательно рассмотрел, был Брахмагупта, в своей
Brahma-sphuta-siddhanta 628 г. н.э. В частности, он нашел следующее
полное описание рациональных треугольников.
Теорема Параметризация рациональных треугольников.
Треугольник с рациональными сторонами а,Ь,с и рациональной пло-
площадью имеет вид
«2 , U2 , «2 . 7,.2
а = Ь v, о = Ь w,
для некоторых рациональных чисел u,v и w.
Брахмагупта [см. Коулбрук A817), с. 306] фактически имеет мно-
множитель 1/2 в каждой из а, 6 и с, но он избыточен, потому что, например,
1 /V
2 I v
„2
v/2
5.30. Рациональные треугольники
87
где mi = и/2 и vi = v/2 также рациональны. Формула излагается без
доказательства, но его будет легко увидеть, если переписать а, 6, с и сде-
сделать следующее более строгое утверждение.
Любой треугольник с рациональными сторонами и рациональной
площадью имеет вид
u2+v2
Ъ =
и2 +w2
и2 — w2
для некоторых рациональных u,v и w; с высотой h = 2u, расщепляю-
расщепляющей сторону с на сегменты с\ = (и2 — v2)/v и с2 = (и2 — w2)/w.
Более строгое утверждение, в частности, говорит, что любой ра-
рациональный треугольник расщепляется на два рациональных прямо-
прямоугольных треугольника. Это следует из параметризации рациональных
прямоугольных треугольников, которая была известна Брахмагупте.
Доказательство. В любом треугольнике с рациональными сто-
сторонами а, Ь, с высота h расщепляет с на рациональные отрезки с\
и С2 (рисунок 5.1). Из теоремы Пифагора следует, что на два прямо-
прямоугольных треугольника со сторонами ci,h,a и C2,h,b, соответственно.
А именно,
a2=c2+h2,
b2 = c2+h2.
Следовательно, по вычитанию,
а2 - Ь2 = с\ - с2. = (ci - c2)(ci + с2) = (ci - с2)с,
поэтому
Но также
следовательно,
- с2 = ¦
а2-б2
которое рационально.
с\ + С2 = с, которая рациональна,
С1~2
-+с ,
-Ь2
оба рациональны.
88
Глава 5
Таким образом, если площадь и, следовательно, высота h также
рациональны, треугольник расщепляется на два рациональных прямо-
прямоугольных треугольника со сторонами с\, h, а и сг, h, b.
Рисунок 5.1: Расщепление рационального треугольника
Из метода Диофанта (раздел 4.3) мы знаем, что любой рациональ-
рациональный прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 имеет стороны вида
,
,
1 для некоторого рационального t,
или, записав t = v/u,
и2 — v2 luv
1
5", 1 для некоторых рациональных и, v.
Таким образом, произвольный рациональный прямоугольник с гипоте-
гипотенузой 1 есть кратное [по v/(u2 + v2)] треугольника со сторонами
и2 — v2 п и2 + v2
7, > 2и> 7, •
Последний, поэтому, представляет все рациональные прямоугольные
треугольники с высотой 2м, по мере изменения рационального v. И от-
отсюда следует, что любые два рациональных прямоугольных треуголь-
треугольника с высотой 2м имеют стороны
-, 2м,
,2 4- i,2
-, 2м,
И2 +W2
для некоторых рациональных v тлги. Соединив оба (рисунок 5.2), полу-
получаем произвольный рациональный треугольник, и его стороны и высота
имеют требуемый вид. ¦
Рисунок 5.2: Собирание произвольного рационального треугольни-
треугольника
Упражнения
5.6.1 (Брахмагупта) Покажите, что треугольник со сторонами 13,
14, 15 расщепляется на два целочисленных прямоугольных треуголь-
треугольника.
5.31. Биографические заметки: Врахмагупта и Вхаскара 89
5.6.2 Покажите, что для любого треугольника со сторонами а, 6, с
и высотой h на стороне с существуют действительные числа u,v,w,
так что
b =
и2 + w2
и2 — v2 , и2 — w2
при этом сторона с расщепляется на части (и2 — v2)/v и (и2 — w2)/w
высотой h = 2м.
5.6.3 Определите, что полупериметр треугольника со сторона-
сторонами а, 6 и с — s = (а+6+с)/2. Тогда, с системой обозначений упражнения
5.6.2, покажите, что
s(s - a)(s - b)(s - с) = м2(г> + wJ
5.6.4 Выведите из упражнения 5.6.3, что
2 / U"
- 1
и2 — у2 и2 — w2
\/s(s — a)(s — b)(s — с) = и
— площадь треугольника со сторонами а, 6 и с. Эта формула площади
в обозначениях а, 6 и с названа в честь греческого математика Геро,
или Герона, который жил в первом веке н. э.)
5.31. Биографические заметки: Брахмагупта
и Бхаскара
Брахмагупта родился в 598 г. н. э.(он сын Джиснагупты) и пролей л,
по крайней мере, до 665 г. Его книга Brahma-sphuta-siddhanta описы-
описывает его как учителя из Бхилламалы, сейчас этот город известен как
Бхинмал в индийском штате Гуджарат. Об его жизни известно очень
мало определенного, за исключением того, что он был выдающимся
астрономом, также как и математиком.
Не считая вкладов в математику, описанных выше, он изве-
известен введением формулы квадратного уравнения (см. раздел 6.3)
и замечательной формулы площади циклического четырехугольни-
четырехугольника. Последняя утверждает, что если четырехугольник имеет сторо-
стороны а, 6, cud, полупериметр s и все вершины на круге, тогда его пло-
площадь \/{s — a)(s — b)(s — c)(s — d). Заметьте, что это обобщает форму-
формулу Герона, упомянутую в упражнении 5.6.4.
90
Глава 5
Параметризация рациональных треугольников Брахмагупты при-
приводит естественным образом к другим вопросам рациональности, каса-
касающимся треугольников и других фигур. Самый известный из них, ве-
вероятно, следующий: есть ли рациональный блок? То есть, есть ли твер-
твердое тело с рациональными прямоугольными гранями, диагональ тела
и все три диагонали граней которого рациональны? Согласно Диксону
A920), с. 497, математик по имени Пауль Гальке нашел блок с рацио-
рациональными сторонами и диагоналями граней в 1719 году. Его стороны:
44, 240 и 117. Однако, диагональ тела этого блока — иррациональна,
и до сих пор неизвестно, существует ли рациональный блок, несмотря
на усилия многих математиков, включая Эйлера и Морделла.
Бхаскара II родился в 1114 или 1115 г. и умер около 1185 г. Он был
сыном Махесвара, из города Биджапура. Большой почитатель Брахма-
Брахмагупты, Бхаскара стал величайшим математиком и астрономом в двена-
двенадцатом веке в Индии, возглавляя обсерваторию в Уджджайне. Говорят,
что его самая известная работа, Лилавати (Lilavati) названа в честь
его дочери, в утешение ей за астрологический прогноз, который ока-
оказался неверным.
История повествует, что Бхаскара использовал свои астрономиче-
астрономические знания (которые в те времена включали астрологические «зна-
«знания»), чтобы выбрать самый благоприятный день и время для сва-
свадьбы своей дочери. Когда подошло время, одна из ее жемчужин упала
в водные часы, когда она наклонилась над ними, остановив поток во-
воды. Прежде, чем кто-либо заметил, решающий момент, однако, прошел,
и свадьбу вынуждены были отменить. Несчастная Лилавати никогда
не вышла замуж, и сейчас ее помнят лишь по книге, которая носит ее
имя.
Глава 6
Полиномиальные уравнения
6.32. Алгебра
Слово «алгебра» происходит от арабского слова al-jabr, означаю-
означающего «восстановление». Оно пришло в математику из книги Al-jabr w'al
muqabala (Наука о восстановлении и противопоставлении) аль-Хорезми
(830 г. н.э.), книги о решении уравнений. В этом контексте «восстанов-
«восстановление» означало добавление равных членов к обеим сторонам и «про-
«противопоставление» означало установление равенства обеих сторон. В те-
течение многих веков аль-джабр гораздо чаще означало вправление сло-
сломанных костей, и хирургическое значение сопровождало математиче-
математическое, когда «аль-джабр» стало «алгеброй» в испанском, итальянском
и английском языках. Даже сегодня, хирургическое значение включено
в Оксфордский словарь английского языка (Oxford English dictionary).
Собственное имя аль-Хорезми дало нам слово «алгоритм», поэтому его
труд оказал продолжительное влияние на математику, несмотря на то,
что его содержание было вполне элементарным.
Его алгебра не пошла дальше решения квадратных уравнений, ко-
которые уже понимали вавилоняне, представлял с геометрических пози-
позиций Евклид, и преобразовывал в формулу Брахмагупта F28 г.) (см.
раздел 6.3). Труд Брахмагупты, высшая точка индийской математики
к тому времени, был более прогрессивным, чем трактат аль-Хорезми
в нескольких отношениях — система обозначений, принятие отрица-
отрицательных чисел и трактовка диофантовых уравнений, — несмотря на
то, что предшествовал трактату аль-Хорезми и, вероятно, был изве-
известен ему. Индийская математика распространилась в арабский мир
с великим продвижением культуры халифами Багдада в восьмом веке,
и арабские математики признавали индийское происхождение некото-
некоторых идей, например, десятичных цифр. Но тогда почему не труд Брах-
Брахмагупты, а труд аль-Хорезми стал канонической «алгеброй»?
Возможно, это тот случай (как «уравнение Пелля», упомянем еще
один уместный пример), где математический термин принят по слу-
92
Глава 6
чайным причинам. Однако, возможно, созрело время для идеи о раз-
развитии алгебры, и простая алгебра аль-Хорезми служила этой цели луч-
лучше, чем алгебры его более утонченных предшественников. В индийской
математике алгебра была неотделима от теории чисел и элементарной
арифметики. В греческой математике алгебра скрывалась за геомет-
геометрией. Другие возможные источники алгебры, Вавилон и Китай, были
потеряны или отсечены от Запада, пока они слишком запоздали, чтобы
иметь решающее влияние. Арабская математика развивалась в нуж-
нужное время и в нужном месте, чтобы впитать как геометрию Запада,
так и алгебру Востока, и признать алгебру отдельной областью со сво-
своими собственными методами. Понятие алгебры, которое возникло, —
теория полиномиальных уравнений, — доказало свою ценность, про-
продержавшись в течение 1000 лет. Только в девятнадцатом веке алгебра
переросла рамки теории уравнений, и это было время, когда большин-
большинство областей математики выросли из своих установленных естествен-
естественных областей.
Ранние алгебраические методы, по-видимому, лишь внешне отли-
отличались от геометрических методов, как мы увидим на примере квадрат-
квадратных уравнений в разделе 6.3. Алгебраические методы решения урав-
уравнений стали отличаться от геометрических, и превзошли их, только
с появлением новых методов, связанных с операциями, и эффективной
системы обозначений в шестнадцатом веке (раздел 6.5). Несмотря на
это, алгебра не отделилась от геометрии, а фактически дала геомет-
геометрии возвращение надежд, благодаря развитию аналитической геомет-
геометрии Ферма и Декартом около 1630 года. Это воссоединение алгебры
и геометрии на более высоком уровне обсуждается в главе 7. Оно при-
привело к современной области алгебраической геометрии.
История алгебраической геометрии развертывается вместе с исто-
историей полиномиальных уравнений, сплетясь в ходе развития со многими
другими математическими нитями. Мы изучим несколько решающих
ранних событий в этой истории. Одно мы уже видели в диофантовых
методах хорд и касательных при отыскании рациональных решений
уравнений (раздел 3.5). Еще одним относящимся к делу событием, хо-
хотя фактически не связанным с западной математикой, был метод ис-
исключения, развитый китайскими математиками между первыми века-
веками новой эры и средними веками. Поскольку этот метод предшествует
какому-либо сравнимому методу на Западе, и касается уравнений низ-
низшей степени, логично обсудить его первым.
6.33. Линейные уравнения и исключение
93
6.33. Линейные уравнения и исключение
Китайцы открыли метод решения линейных уравнений в любом
количестве неизвестных во времена Ханьской династии B06 г. до н.э.-
220 г. н.э.). Он появляется в известной книге Jiuzhang suanshu [Девять
глав математического искусства, см. Шен и др. A999)], которая была
написана в это время, и сохранилась сегодня в варианте третьего века
с комментарием Лю Хуэя. Этот метод, по существу, являлся тем, что
мы называем «гауссовым исключением», систематическим исключени-
исключением членов в системе
а12х2
а1пхп =
ап1хг + ап2х2 + . . . +
путем вычитания соответствующего кратного каждого уравнения из
уравнения ниже его, пока не получится треугольная система:
+ а'1пхп = Ь[
+ а'2пхп = Ь'2
а'22х2+
а'ппхп = Ъ'п
затем решением для xn,xn_i, ..., х\ по очереди последовательными
подстановками. Этот тип вычислений особенно подходил китайскому
устройству, называемому счетной доской, которая вмещала таблицу
коэффициентов и облегчала операции, подобные тем, которые мы вы-
выполняем с матрицами. Подробнее см. Ли и Ду A987).
Приблизительно в двенадцатом веке китайские математики откры-
открыли, что исключение можно приспособить к системам полиномиальных
уравнений в двух и более переменных. Например, можно исключить у
между парой уравнений
ао{х)ут
Ь0{х)у
Ь1(х)у
ат(х) = 0,
Ьт(х) = 0,
A)
B)
где а;(ж), bj(x) — многочлены в х. Член ут можно исключить, образо-
образовав уравнение Ъ0(х) х A) - ао(х) х B), скажем,
ci(x)y
т-2
+ ... + Ст_! = 0.
C)
94
Глава 6
Мы можем образовать уравнение степени т — 1 в у, умножив C) на у,
затем снова исключив ут между C) ху и A), задав, скажем,
г-1=0.
D)
Задача теперь сводится к исключению у между уравнениями C) и D),
которые имеют меньшую степень в у, чем A) и B). Таким образом,
можно продолжить индуктивно, пока не получится одно уравнение в х.
Этот метод был распространен до четырех переменных в работе Чжу
Ши-цзе A303 г.), озаглавленной Siyuan yujian (Яшмовое зеркало четы-
четырех неизвестных).
Как мы увидим в главе 7, полиномиальная задача с двумя незави-
независимыми переменными появилась на Западе в семнадцатом веке, в кон-
контексте отыскания пересечений кривых. Это привело, сначала, к но-
новому открытию метода исключения для многочленов; лишь позднее
этот метод стал основываться на понимании линейных уравнений. Из-
Известное уравнение Крамера для решения линейных уравнений названо
в его честь после появления в книге об алгебраических кривых [Крамер
A750)].
Упражнения
Первый интересный случай исключения между многочленами
с двумя независимыми переменными встречается, когда многочлены
имеют 2-ю степень. Геометрически, это равнозначно отысканию пере-
пересечений двух конических сечений.
6.2.1 Выведите уравнение, которое линейно в у, из двух уравнений
х2+ху + у2 = 1,
4ж2 + Зху + 2у2 = 3
и, следовательно, покажите, что у = A — 2х2)/х.
6.2.2 Выведите, что пересечения двух кривых в упражнении 6.2.1 про-
происходят, когда х удовлетворяет Зж4 — Ах2 — 1 = 0.
Этот пример, где оба уравнения 2-й степени дают единственное
уравнение степени 4(= 2x2), иллюстрирует общее явление, где степе-
степени перемножаются. Мы будем наблюдать другие случаи, и изучим его
глубже, по мере дальнейшего чтения книги.
6.33. Линейные уравнения и исключение
95
Настоящий пример — нетипичное уравнение 4-й степени, посколь-
поскольку оно квадратно в х2 = z. Однако это значительно упрощает его ре-
решение.
6.2.3 Решите 3z2 — Az — I = 0 для z = х2, разложив на множители левую
часть, и, следовательно, найдите четыре решения для х.
Приведите геометрические причины, почему вы ожидаете, что две
кривые 2-й степени будут иметь четыре пересечения. Могут ли они
иметь больше четырех пересечений?
Яшмовое зеркало четырех неизвестных не выходит за рамки
четырех уравнений в четырех неизвестных (отсюда название). Идея
вполне общего характера, но она становится трудновыполнимой на
счетной доске, когда имеется больше четырех неизвестных. Занима-
Занимательная задача в трех неизвестных из Яшмового зеркала, которая не
требует полной строгости метода исключения, дается в нижеследую-
нижеследующих упражнениях.
6.2.4 Задача вторая Яшмового зеркала [см. Хоу A977), с. 135] заключа-
заключается в отыскании стороны а прямоугольного треугольника (а, 6, с)
так что
а — F + с — а) = ab,
Ъ2 + (a + c-b) = be.
Яшмовое зеркало предлагает выбрать неизвестные х = а и у = Ь +
+ с. Используя а2 = с2 — Ь2, покажите, что это означает
Ъ = (у - х2/у)/2,
с=(у + х2/у)/2.
6.2.5 Выведите, что первые два уравнения в упражнении 6.2.4 эквива-
эквивалентны, соответственно,
(-2 - х)у2 + Bх + 2х2)у + х3 = 0,
B - х)у2 + 2ху + х3 = 0.
6.2.6 Вычитая одно уравнение в упражнении 6.2.5 из другого, выведите,
что у = х2/2. Подставьте это обратно, чтобы получить квадратное
уравнение для х, с решением х = а = 4. Каковы значения бис?
96 Глава 6
6.34. Квадратные уравнения
Еще за 2000 лет до н.э. вавилоняне могли решать пары системы
уравнений вида
х + у = р,
ху = q,
которые эквивалентны квадратным уравнениям
х + q = рх.
Исходная пара решалась методом, который давал два корня квадрат-
квадратного уравнения:
М7
когда оба были положительными (вавилоняне не признавали отрица-
отрицательных чисел). Метод состоял из следующих шагов:
1) Составить ———.
2) Составить
3) Составить
4) Составить
—) ¦
2
ху.
Х + У) т,,-Х~У
2 У~ 2 •
5) Найти х,у проверкой значений в 1), 4).
[Что касается реального примера, см. Бойер A968), с. 34]. Конечно,
эти шаги не выражались в символах, а применялись только к конкрет-
конкретным числам. Тем не менее, общий метод подразумевается во многих
решенных частных случаях.
В явном виде общий метод, выраженный как формула словами,
дан Брахмагуптой F28):
6.34. Квадратные уравнения
К абсолютному числу, умноженному четырежды на [коэф-
[коэффициент] квадрата, добавьте [коэффициент] среднего члена;
квадратный корень того лее самого, меньше [коэффициента]
среднего члена, деленный дважды на [коэффициент] квадра-
квадрата, есть значение.
97
[Коулбрук A817), с. 346]
Это решение
уравнения
2а
ах + Ьх = с,
тем не менее, интересно, понимал ли его Брахмагупта именно таким об-
образом, когда через несколько строк он дает еще одно правило, которое
тривиально эквивалентно первому, когда выражено в наших обозначе-
обозначениях:
^/ас + F/2J - F/2)
Методы вавилонян и Брахмагупты, несомненно, дают правильные
решения, но их основа не ясна. Значение квадратных корней, например,
не исследовалось так, как это делали греки. Строгую основу решения
квадратных уравнений можно найти в Началах Евклида, Книга VI.
Теорему 28 можно интерпретировать как решение общего квадратного
уравнения в случае, где имеется положительный корень, как объясняет
Хит A925), т. 2, с. 263. Однако, алгебраическая интерпретация далека
от очевидной, даже когда сужаешь теорему, которая о параллелограм-
параллелограммах, до теоремы о прямоугольниках. Представляется маловероятным,
что Евклид знал алгебру, или, что он выразил бы ее гораздо более
простой геометрией.
Переход от геометрии к алгебре молено увидеть в решении квад-
квадратного уравнения аль-Хорезми (рисунок 6.1). Решение все еще вы-
выражено геометрическим языком, но теперь геометрия — это прямое
воплощение алгебры. Это действительно стандартное алгебраическое
решение, но с «квадратами» и «произведениями», понимаемыми бук-
буквально как геометрические квадраты и прямоугольники. Чтобы ре-
решить х2 + Юх = 39, представим х2 квадратом стороны х и 10ж двумя
прямоугольниками 5 х х, как на рисунке 6.1. Дополнительный квадрат
98
Глава 6
площадью 25 «завершает квадрат» стороны х + 5 до квадрата площа-
площадью 25+39, поскольку 39 — заданное значение ж2 + 10ж. Таким образом,
большой квадрат имеет площадь 64, следовательно, его сторона х + 5 =
= 8. Это дает решение х = 3.
Рисунок 6.1: Решение квадратного уравнения
Евклид и аль-Хорезми не признавали отрицательных длин, поэто-
поэтому решение х = —13 ж2 + 10ж = 39 не появляется. Это вполне естествен-
естественно, поскольку геометрия допускает только один квадрат с площадью 64.
Избежание отрицательных коэффициентов вызывает, однако, некото-
некоторые неестественные алгебраические сложности. Здесь не одно общее
квадратное уравнение, а три, соответствующие различным способам
распределения положительных членов между двумя сторонами: х2 +
+ ах = Ъ, х2 = ах + Ъ, х2 + Ъ = ах.
Упражнения
Квадратные уравнения в геометрии появляются часто, потому что
расстояние определяется квадратным уравнением (в конечном счете,
теоремой Пифагора). Действительно, точки, созданные из рациональ-
рациональных точек построением с помощью линейки и циркуля, могут быть най-
найдены решением ряда линейных или квадратных уравнений, вот почему
они могут быть выражены рациональными операциями и квадратны-
квадратными корнями. Этот результат, который был заявлен в разделе 2.3, может
быть доказан следующим образом.
6.3.1 Покажите, что линия, проходящая через две рациональные точки,
имеет уравнение с рациональными коэффициентами.
6.3.2 Покажите, что круг, центр которого — рациональная точка, и ра-
радиус которого рационален, имеет уравнение с рациональными ко-
коэффициентами .
Ваше доказательство покажет, в более общем смысле, что линия
или круг, построенные из любых точек, имеют уравнение с коэффи-
коэффициентами, получаемыми из координат заданных точек рациональными
операциями. В таком случае достаточно показать, что пересечения ли-
линий и кругов могут быть получены из коэффициентов их уравнений
рациональными операциями и квадратными корнями.
6.3.3 Покажите, что пересечение двух линий может быть вычислено ра-
рациональными операциями.
6.35. Квадратные иррациональные числа
99
6.3.4 Покажите, что пересечение линии и круга может быть вычислено
рациональными операциями и квадратным корнем (потому что оно
зависит от решения квадратного уравнения).
Последний, и самый сложный, случай — отыскание пересечения
двух кругов. К счастью, эти два квадратных уравнения легко свести
к случаю, только что рассмотренному в упражнении 6.3.4.
6.3.5 Уравнения любых двух кругов можно записать в виде
(x-af + (y-bJ=r2,
(x-cJ + (y-dJ=s2.
Объясните, почему. Теперь вычтете одно из этих уравнений из дру-
другого, и, следовательно, покажите, что их общие решения могут
быть найдены рациональными операциями и квадратными корня-
корнями.
Когда решается последовательность квадратных уравнений, реше-
решение может включать вложенные квадратные корни, такие как у E + v5)/
Именно это число, в сущности, встречается в икосаэдре, как видно из
построения Пачоли (раздел 2.2).
6.3.6 Покажите, что диагональ золотого прямоугольника (которая так-
также является диаметром икосаэдра с длиной ребра 1) — у E + у/5)/2.
6.35. Квадратные иррациональные числа
Корни квадратных уравнений с рациональными коэффициента-
коэффициентами — это числа вида а + y/b, где а, Ъ рациональны. Евклид принял
теорию иррациональных чисел далее в Книге X Начал с очень подроб-
подробным изучением чисел вида у у/а ± Vo, где а, Ъ рациональны. Книга X —
самая длинная книга в Началах, и не ясно, почему Евклид посвятил
столь много места этой теме: возможно, потому, что кое-что в ней необ-
необходимо для изучения правильных многогранников в Книге XIII (см.
раздел 2.2 и упражнение 6.3.6), возможно, просто потому, что она бы-
была любимой темой Евклида, или, возможно, это была тема, в которую
он внес оригинальные вклады, которыми следует похвалиться. Гово-
Говорят, что далее теорию иррациональных чисел принял Аполлоний, но,
к сожалению, его труд об этом предмете утерян.
100
Глава 6
После этого, по-видимому, в теории иррациональных чисел про-
прогресса не было до Возрождения, за исключением замечательного от-
отдельного результата Фибоначчи A225). Фибоначчи показал, что кор-
корнями х3 + 2х2 + 10ж = 20 не является ни одно из евклидовых ирраци-
иррациональных чисел. Это не доказательство, как полагали некоторые ис-
историки, что корни нельзя построить с помощью линейки и циркуля.
Фибоначчи не исключил все выражения, построенные из рациональ-
рациональных чисел и квадратных корней; тем не менее, это был первый шаг
в мир иррациональных чисел после Евклида.
В этот момент стоит задать вопрос, как трудно показать, что кон-
конкретное число, скажем, л/2, не может быть построено из рациональных
чисел квадратными корнями. Ответ будет зависеть от того, насколько
хорошо читатель справится со следующими упражнениями. Необхо-
Необходимая операция, конечно, не выйдет за рамки алгебры шестнадцато-
шестнадцатого века. Тонкая часть — это отыскание соответствующей классифика-
классификации выражений согласно сложности (распространение классификации
Евклида на выражения, в которых знаки радикала вложены до про-
произвольной глубины) и использование индукции на уровне слолсности.
Этот тип мышления возник в 1820-х гг., и отсюда, относительно позд-
позднее доказательство, что построение л/2 с помощью линейки и циркуля
невозможно [Вантцель A837)].
Упражнения
Элементарное доказательство, что построение л/2 невозможно, бы-
было найдено специалистом по теории чисел Эдмундом Ландау A877-
1938), когда он был еще студентом. Ниже оно разбито на легкие шаги.
Но сначала нам следует проверить, что л/2 действительно иррацио-
иррационально.
6.4.1 Покажите, что допущение л/2 = т/п, где тип целые числа, ведет
к противоречию.
Доказательство Ландау теперь продолжается организацией всех
допускающих построение чисел во множества Fd, F\, F^ ¦ ¦ ¦, согласно
«глубине вложения» квадратных корней.
6.4.2 Пусть
Fq = рациональные числа и Fk+\ = {а + Ъл/с : a,b,c e Fk}.
6.36. Решение кубических уравнений
101
Покажите, что каждое Fk — поле, то есть, если х, у — в Fk, тогда х+
+ у, х — у, ху и х/у тоже (при у ф 0).
Из упражнения 6.4.1 мы знаем, что л/2 не лежит в Fo, но если
возможно его построение, то оно встретится в некотором Fk+\. Теперь
на основании рассмотрения (гипотетически) первого такого Fk+\ в ре-
результате получается противоречие.
6.4.3 Покажите, что если а, 6, с е Ft, но у/с $ Fk, тогда а+Ь^/с = 0 <?4> а =
= 6 = 0. (Для к = 0 это есть в Началах, Книга X, Теорема 79).
6.4.4 Предположим, что л/2 = а + Ь^/с, где а, 6, с ? Fk, но что л/2 ^
Ft. (Из упражнения 6.4.1 мы знаем, что л/2 ^ F).) Возведите обе
стороны в куб и выведите из упражнения 6.4.3, что
2 = а3
3а62с
6.4.5 Выведите из упражнения 6.4.4, что л/2 = а — Ь-/~с также, и объяс-
объясните, почему это противоречие.
6.36. Решение кубических уравнений
В наши дни Сципионе дель Ферро из Болоньи решил случай
куба и первой степени, равной постоянной, весьма элегантное
и восхитительное достижение. Поскольку это искусство пре-
превосходит всю человеческую ловкость и проницательность та-
таланта смертного, и поистине есть небесный дар и очень ясное
мерило возможности умов людей, кто бы ни посвящал себя
ему, поверит, что здесь нет ничего, что он не может понять.
В подражание ему, мой друг Никколо Тарталья из Бреши, же-
желая быть непревзойденным, решил тот же случай, когда всту-
вступил в состязание с его [Сципионе] учеником, Антонио Мари-
Марией Фиором, и движимый многими моими мольбами, дал его
мне... получив решение Тартальи и ища доказательство его,
я пришел к пониманию, что здесь молено было также сделать
великое множество других вещей. Преследуемый этой мыслью
и с возросшей верой, я обнаружил эти другие вещи, частично
сам, частично с помощью Лодовико Феррари, некогда моего
ученика.
[Кардано A545), с.8]
102
Глава 6
Решение кубических уравнений в начале шестнадцатого века было
первым очевидным успехом в математике со времен греков. Оно вы-
выявило мощь алгебры, которую греки не смогли покорить, мощь, кото-
которая вскоре доллсна была расчистить новый путь к геометрии, которая,
возможно, была царским путем (аналитической геометрией и исчис-
исчислением). Восторг Кардано при этом открытии вполне понятен. Даже
в двадцатом веке, личное открытие решения кубического уравнения
стимулировало, по крайней мере, одну выдающуюся математическую
карьеру [см. Кэк A984)].
Что касается истории оригинального открытия, то мы не знаем
больше того, о чем нам рассказывает Кардано. Сципионе дель Ферро
умер в 1526 году, поэтому первое решение было известно до того вре-
времени. Тарталья открыл его решение 12 февраля 1535 года, вероятно,
независимо, потому что он решил все задачи в соперничестве с уче-
учеником дель Ферро, Фиором, тогда как Фиор нет. Кардано почти все
обвиняли, начиная с Тартальи, в краже решения Тартальи, но его соб-
собственное описание, видимо, распределяет заслуги вполне справедливо.
Более подробно историю вопроса см. во введении и предисловии у Кар-
Кардано A545) и Кроссли A987).
Кардано представляет алгебру в геометрическом стиле аль-Хорезми
(которого в начале своей книги он характеризует как основополож-
основоположника алгебры), различая случаи, которые вытекают из избежания от-
отрицательных коэффициентов. Игнорируя эти сложности, его решение
молено описать следующим образом. Кубическое уравнение х3 + ах2 +
+ Ъх + с = 0 сначала преобразуется в уравнение без квадратного члена
линейным изменением переменной, а именно, х = у — а/3, Тогда имеем,
скажем,
у3 =ру + q-
Полагая у = и + v, левая часть принимает вид
(и3 + г>3) + 3uv(u + v) = 3uvy + (и3 + v3),
что будет равняться предыдущей правой части, если
3uv = р,
и3 + v3 = q.
Исключение v дает квадратное уравнение в и3
6.36. Решение кубических уравнений
103
с корнями
По симметрии, мы получаем те же самые значения для v3. И посколь-
поскольку и + v = q, если полагаем, что один из корней и , то другой — v .
Без потери общности, мы можем принять
«¦ = §
и, следовательно,
у = и + v =
Упражнения
\
\
Оба уравнения 3uv = р, и3 + v3 = q определяют еще один пример
явления, отмеченного в упражнении 6.2.2: когда переменная исключа-
исключается мелсду двумя уравнениями, степени уравнений перемнолсаются.
6.5.1 Уравнение 3uv = р — 2-й степени в и и v, а и3 + v3 = q — 3-й
степени. А каково уравнение, полученное исключением vi
Формула Кардано приводит к удивительным результатам, к кото-
которым мы вновь обратимся в разделе 14.3. Но сначала давайте проверим
ее на действительно простом кубическом уравнении.
6.5.2 Используйте формулу Кардано, чтобы решить у3 = 2. Вы получа-
получаете очевидное решение?
Теперь попытайтесь решить уравнение, где решение менее очевид-
очевидно.
6.5.3 Используйте формулу Кардано, чтобы решить у3 = 6у + 6 и про-
проверьте свой ответ подстановкой.
104
Глава 6
6.37. Деление углов
Еще одним человеком, внесшим важный вклад в алгебру в шест-
шестнадцатом веке, был Виет A540-1603). Он помог освободить алгебру от
геометрического стиля доказательства, введя буквы для неизвестных
и используя знаки «плюс» и «минус», чтобы облегчить операции. Тем
не менее, в то лее время он укрепил ее связи с геометрией на более
высоком уровне, связав алгебру с тригонометрией. Имеется в виду его
решение кубического уравнения с помощью тригонометрических функ-
функций [Виет A591), гл. VI, теорема 3], которое показывает, что решение
кубического уравнения эквивалентно делению произвольного угла на
три (равные) части.
Если мы возьмем кубическое уравнение вида
х3 + ах + Ъ = 0,
мы можем свести его к уравнению
4у3 - Зу = с
только с одним параметром, полагая х = ку и выбирая к, так что
к3
— — —=— ИЛИ Гь — 1 / -
ак 3 V о
Суть выражения 4у3 — Зу такова, что
4 cos3 61-3 cos 9 = cos 36»;
следовательно, полагая у = cos 61, мы получаем
cos 39 = с.
Если нам дано с, тогда мы можем построить треугольник с уг-
углом cos^1 с = 39. Трисекция этого угла дает нам решение у = cos 61
уравнения. Обратно, задача трисекции угла с косинусом с эквивалента
решению кубического уравнения 4у3 — Зу = с.
[Конечно, есть проблема с тригонометрической интерпретацией,
когда с > 1, которая требует комплексных чисел для своего разре-
разрешения. Комплексные числа также включены в формулу Кардано, по-
поскольку выражение под знаком квадратного корня (q/2J — (р/3K мо-
может быть отрицательным. Происходит так, что метод Виета требует
6.37. Деление углов
105
комплексных чисел только, когда их не требует метод Кардано, поэто-
поэтому между ними обоими комплексные числа устранимы. Тем не менее,
кубические уравнения — это место рождения комплексных чисел, как
мы увидим, когда позлее будем подробнее изучать комплексные числа.]
Удивительно, задача деления угла на любое нечетное число равных
частей оказывается имеет алгебраическое решение, аналогичное алге-
алгебраическому решению кубического уравнения. Сам Виет A579) взялся
за задачу отыскания выражений для совпв и sinn0 как многочленов
в cos 61, sin 61, по крайней мере, для некоторых значений п. Ньютон про-
прочитал Виета в 1663-4 гг. и нашел уравнение
n(n2 — 1) о
У = пх x
n(jl2 - \)(n2 - 32) «5
5! X
связывающее у = sinn6 и х = sin6 [см. Ньютон A676а) у Тернбулла
(I960)]. Он доказал этот результат для произвольного п, но нас ин-
интересует случай нечетного интегрального п, когда оно сводится к по-
полиномиальному уравнению. Сюрприз заключается в том, что в таком
случае уравнение Ньютона имеет решение по п-м корням, аналогичное
формуле Кардано для кубических уравнений,
A)
хотя только для п вида 4т + 1. Эта формула совершенно неожидан-
неожиданно появляется у де Муавра A707). [Она также появляется в неопуб-
неопубликованном труде Лейбница A675), хотя без ограничения на п. См.
Шнейдер A968), стр. 224-228.] Он не объясняет, как он нашел ее, но
она понятна нам как
1
sin 9 = — Vsin пв + i cos пв
— л/sin п9 — г cos n9,
следствие нашего варианта формулы де Муавра
(cos б1 + г sin б1)™ = cosn9 + isinn9,
B)
C)
когда п = Am + 1. (см. упражнения 6.6.1 и 6.6.2)
Сам Виет подошел к C) удивительно близко в опубликованном по-
посмертно труде [Виет A615)]. Он заметил, что произведения sin б1, cos б1,
которые встречаются в cosn9, sinn9, — это чередующиеся члены в раз-
разложении (cos б1 + sin б1)™, если не считать некоторых знаков «минус».
106
Глава 6
Ему не удалось лишь заметить, что эти знаки молено было объяснить,
задав sin 9 коэффициент г. В любом случае, такое объяснение, видимо,
показалось бы неестественным его современникам, которые чувствова-
чувствовали себя гораздо удобнее с формулой Кардано, чем с г. В разделе 14.5 мы
увидим, как изменилось восприятие формулы де Муавра с развитием
комплексных чисел.
Упражнения
Причины, почему A) и B) выполняются только для некоторых
целых значений, тогда как C) выполняется для всех, молено понять
с помощью реального вычисления (sin9 + icos9)n.
6.6.1 Используйте C) и sin a = cos(tt/2 — a), cos a = sin(yr/2 — а), чтобы
показать, что
(sin 6» + г cos 6<)и =
sin n9 + г cos п9, когда п = Am + 1
— sin п9 — г cos п9, когда п = Am + 3.
6.6.2 Выведите из упражнения 6.6.1, что B) правильно для п = Am +
+ 1 и ложно для п = An + 3, и, следовательно, что A) правильное
соотношение мелсду у = sin п9 и х = sin 9 только, когда п = Am +1.
6.6.3 Покажите, что A) правильное соотношение мелсду у = cosn9 и х =
= cos6* для всех п [де Муавр A703)].
6.38. Уравнения более высокой степени
Общее уравнение четвертой степени, или квартика,
х4 + ах3 + Ьх2 + сх + d = 0
было решено учеником Кардано, Феррари, и решение опубликовано
у Кардано A545), с. 237. Линейное преобразование приводит уравнение
к виду
х4 + рх2 + qx + r = 0
или
(х2 + рJ = рх2 — qx + р2 — г.
6.38. Уравнения более высокой степени
107
Тогда для любого у
(х2 +р + уJ = (рх2 -qx+p2 - г) + 2у(х2 +р) + у2
= (р+ 2у)х2 -qx + (p2 -г + 2ру + у2).
Квадратное уравнение Ах2 + Вх + С в правой части будет квадратом,
если В2 — ААС = 0, которое является кубическим уравнением для у.
Мы, поэтому, можем решить для у и принять квадратный корень обеих
частей уравнения для х, который тогда становится квадратным урав-
уравнением и, следовательно, тоже решаемым. Конечный результат — это
формула для х, использующая как раз квадратные и кубические корни
рациональных функций коэффициентов.
Впечатляющее преимущество решения кубических уравнений уве-
увеличило надежды, что уравнения более высокой степени также могут
быть решены с помощью формул, построенных из коэффициентов при
помощи рациональных операций и корней, и решение с помощью ра-
радикалов, как его назвали, стало главной целью алгебры в течение сле-
следующих 250 лет. Однако, все такие попытки решить общее уравнение
пятой степени (квинтику) окончились неудачей. Самое большее, что
удавалось сделать, — это привести его к виду
х5 - х - А = 0
только с одним параметром. Это было сделано Брингом A786), и крат-
краткое описание его метода молено найти у Пирпонта A895). Результат
Бринга появился в безвестном издании и оставался незамеченным в те-
течение 50 лет, или он мог бы снова зажечь наделсды на решение урав-
уравнения пятой степени с помощью радикалов. Оказалось, что Руффини
A799) предложил первое доказательство того, что это невозможно. До-
Доказательство Руффини было не вполне убедительным; однако, он был
реабилитирован, когда Абелем A826) дано было удовлетворительное
доказательство, а также еще раз с помощью прекрасной общей теории
уравнений Галуа A831b).
Положительным итогом результата Бринга было неалгебраическое
решение уравнения пятой степени Эрмитом A858). Приведение к урав-
уравнению с одним параметром открыло путь к решению с помощью транс-
трансцендентных функций, аналогично решению Виета кубического уравне-
уравнения с помощью тригонометрических функций. Соответствующие функ-
функции, эллиптические модулярные функции, были открыты Гауссом, Абе-
Абелем и Якоби, а Галуа A831а) дал указание на их связь с уравнениями
108
Глава 6
пятой степени. Эта необычайная конвергенция математических идей
явилась главной темой Клейна A884).
Ввиду трудностей с уравнениями пятой степени, естественно, что
с общим уравнением степени п прогресс был незначительным. Одна-
Однако, два простых, но важных вклада, были сделаны Декартом A637).
Первый — это система обозначений верхних индексов для степеней,
которой мы сейчас пользуемся: х3,х4,х5 и т.д. (Хотя не ж2, что до-
довольно странно. Квадрат х продолжали записывать как хх вплоть до
следующего века.) Второй — это теорема [Декарт A637, с. 159], что
многочлен р(х) со значением 0, когда х = а, имеет множитель (х — а).
Поскольку деление многочлена р{х) степени п на (х — а) дает много-
многочлен степени п — 1, теорема Декарта увеличила надежду на разложение
каждого многочлена п-тл степени на п линейных множителей. Как пока-
показывает глава 14, эта надежда осуществилась с развитием комплексных
чисел.
Упражнения
Основные шаги в доказательстве теоремы Декарта следующие. Ес-
Если первый шаг не представляется достаточно легким, начинайте с а =
= 1.
6.7.1 Покажите, что хп — ап имеет множитель х—а. Каково частное (хп —
— ап)/(х — а)? (И какое оно имеет отношение к геометрическому
ряду?)
6.7.2 Если р(х) = а^хк + ak-ixk^1 + ... + а\х + ао, используйте упражне-
упражнение 6.7.1, чтобы показать, что р{х) — р(а) имеет множитель х — а.
6.7.3 Выведите теорему Декарта из упражнения 6.7.2.
6.39. Биографические заметки: Тарталья, Кардано
и Виет
О Сципионе дель Ферро, открывателе первого решения кубических
уравнений, известно немногое, разве что даты его жизни A465-1526)
и тот факт, что он был профессором арифметики и геометрии в Боло-
Болонье с 1496 года. Возможно, следствием этого явилось то, что Тарталья
и Кардано получили больше математической чести, чем они заслужи-
заслуживают. С другой стороны, нет сомнения, что личности Тартальи и Кар-
6.39. Биографические заметки: Тарталья, Кардано и Виет 109
дано, их непохожие жизни и их ссора составили историю, которая сама
по себе очаровательна.
Никколо Тарталья (рисунок 6.2) родился в Бреши в 1499 или 1500
году и умер в Венеции в 1557 году. Имя «Тарталья» (означающее «за-
«заика»), на самом деле, было прозвищем; считается, что его настоящее
имя Фонтана.
Рисунок 6.2: Тарталья
Детство Тартальи отмечено бедностью, последовавшей после смер-
смерти его отца, почтового курьера, около 1506 года, ранами, полученными,
когда Бреши разграбили французы в 1512 году. Несмотря на то, что он
укрылся в соборе, Тарталья получил пять серьезных ранений в голову,
в том числе одно в рот, что и привело к заиканию. Его жизнь спасла
лишь преданная забота матери, которая буквально зализала его раны.
В возрасте примерно 14 лет он пошел к учителю, чтобы выучить ал-
алфавит, но у него закончились деньги к букве К. Многое из этого есть
в собственном описании Тартальи своей жизни [Тарталья A546), с. 69].
После этого, как гласит повествование, он украл тетрадь с пропися-
прописями и сам стал учиться читать и писать, иногда используя надгробные
плиты в качестве грифельной доски из-за нехватки бумаги.
К 1534 году у него была семья, и по-прежнему нуждаясь в деньгах,
он переехал в Венецию. Здесь он давал публичные уроки математики
в церкви Сан-Джаниполо и опубликовал научные труды. Известное от-
открытие его метода решения кубических уравнений произошло при по-
посещении дома Кардано в Милане 25 марта 1539 года. Когда Кардано
опубликовал его в 1545 году, Тарталья сердито обвинил его в нечестно-
нечестности. Тарталья A546), с. 120 заявил, что Кардано торжественно поклял-
поклялся никогда не публиковать решение и записать его только шифром.
Феррари, который был в то время 18-летним слугой Кардано, встал на
защиту Кардано, заявив, что он при этом присутствовал, и обещания
секретности не было. В серии 12 напечатанных памфлетов, известных
как Cartelli (Вызовы), [перепечатаны Мазотти (I960)]. Феррари и Тар-
Тарталья обменивались оскорблениями и математическими задачами; на-
наконец, оба сошлись в публичном споре в церкви Санта Мария дель
Джардино, Милан, в 1548 году. По-видимому, Феррари взял верх при
обмене, поскольку в благосостоянии Тартальи последующие улучшения
были незначительны. Он умер в одиночестве, по-прежнему в бедности,
девять лет спустя.
Кроме решения кубического уравнения, Тарталью помнят и по
другим вкладам в науку. Именно он открыл, что снаряд должен стре-
стрелять под углом 45°, чтобы достичь максимальной дальности [Тарталья
по
Глава 6
A546), с. 6]. Однако его вывод основывался на неправильной теории,
как ясно из чертежей траекторий Тартальи [например, рисунок 6.3;
Тарталья A546), с. 16].
Рисунок 6.3: Траектория пушечного ядра Тартальи
Итальянский перевод Начал Тартальи был первым напечатанным
переводом Евклида на современный язык, и он также опубликовал ита-
итальянский перевод некоторых работ Архимеда. Информацию о них и ме-
механику Тартальи см. Роуз A976), стр. 151-154.
Кардано Джероламо (рисунок 6.4), которого в более старых ан-
английских книгах описывают под его англинизированным именем Дже-
Джером Кардан, родился в Павии в 1501 году и умер в Риме в 1576 го-
году. Его отец, Фацо, был юристом и врачом, который поощрял занятия
Джероламо, но в остальном, видимо, обращался с ним довольно гру-
грубо, как и его мать, Чара Мичери, которую Кардано охарактеризовал
как «легко раздражаемую, сообразительную и умную, а также толстую,
набожную маленькую женщину». Кардано поступил в университет Па-
Павии в 1520 году и закончил образование получением степени доктора
медицины в Падуе в 1526 году.
Рисунок 6.4: Кардано
Он женился в 1531 году и, затем боровшись до 1539 года за призна-
признание, стал успешным врачом в Милане, действительно, столь успешным,
что его слава распространилась по всей Европе. Очевидно, что у него
был замечательный дар к диагностике, хотя его вклады в медицинское
знание незначительны по сравнению со вкладами его современников,
Андреаса Везалия и Амбруаза Паре. Математика была одним из мно-
многих его интересов за пределами его профессии. Кардано также занял
нишу в истории криптографии за шифровальное устройство, известное
как решетка Кардано [см. Кан A967), стр. 143-145] и в истории вероят-
вероятности, где он первым сделал вычисления, хотя не всегда правильно [см.
Дейвид A962), стр.40-60, и Оре A953), где содержится перевод книги
Кардано об азартных играх].
Насилие и интриги Италии эпохи Возрождения омрачили жизнь
Кардано почти настолько же, насколько и жизнь Тартальи, хотя
и иным образом. Дядя умер от отравления, предпринимались попыт-
попытки отравить как Кардано, так и его отца (так утверждал Кардано),
и в 1560 году старший сын Кардано был обезглавлен за отравление
своей жены. Кардано, который считал, что единственная вина его сына
заключалась, прежде всего, в женитьбе на девушке, никогда не опра-
оправился от этого бедствия. Он больше не мог выносить жизни в Милане
и переехал в Болонью. Здесь он испытал еще один удар, когда в 1565
6.39. Биографические заметки: Тарталья, Кардано и Виет 111
году умер его протеже Феррари, отравленный своей сестрой, как го-
говорили. В 1570 году Кардано был заключен в тюрьму инквизицией за
ересь. Несколько месяцев спустя он отрекся, был освобожден и пере-
переехал в Рим.
За год до своей смерти Кардано написал Книгу моей жизни (The
Book of My Life) [Кардано A575)], которая не столько автобиографич-
автобиографична, сколько является саморекламой. Она содержит несколько сцен из
его детства и возвращается снова и снова к трагедии его старшего сы-
сына, но большая часть книги посвящена похвальбе. В ней есть глава
со свидетельствами пациентов, глава о важных людях, которые иска-
искали его услуг, список авторов, которые цитировали его работы, список
его высказываний, которые, как он считает, заслуживают цитирования,
и сборник небылиц, которыми бы гордился барон фон Мюнхаузен. На-
Надо признаться, в ней есть также (очень короткая) глава, под названием
«Вещи, в которых я потерпел неудачу» и частые предостережения о су-
суетности земных вещей, но Кардано неизменно подавляет все подобные
вспышки смирения в стремлении восхищаться другими гранями своей
великолепной персоны.
О ссоре с Тартальей Книга моей жизни почти молчит. Среди ав-
авторов, которые цитировали его, Кардано смешивает Тарталью в общей
массе с теми, о ком он «не может понять, какой наглостью им удалось
возвести себя в звание ученых». Только в конце своей книги Карда-
Кардано признается, что «в математике я получил несколько предложений,
но очень немного, от брата Никколо». Таким образом, мы вынуждены
вернуться к Cartelli и трудам Тартальи. Самый доступный анализ этих
работ, с переводами важных отрывков, есть у Оре A953), глава 4.
Франсуа Виет (рисунок 6.5) родился в 1540 году в Фонтене-ле-
Конт, городе, который сейчас находится в департаменте Вандея, Фран-
Франция. Его отец, Этьенн, был юристом, а его мать, Маргарита Дюпон,
имела хорошие связи с правящими кругами Франции. Виет получил об-
образование у францисканцев в Фонтене и в университете Пуатье. Он по-
получил степень бакалавра по праву в 1560 году и затем вернулся в Фон-
Фонтене, чтобы начать заниматься практикой.
Рисунок 6.5: Виет
Остальную часть жизни он, в основном, занимался правом или свя-
связанными с этим юридическими и судебными услугами, посвящая мате-
математике лишь часы досуга. Говорят, что в число его клиентов входили
королева Англии Мария и Элеонора Австрийская, а с 1574 по 1584 год
он исполнял обязанности советника и представителя короля Франции
Генриха III. В этот период он подвергся изгнанию вследствие усилий
112
Глава 6
политических соперников, но он вернулся ко двору, когда Генрих III
перевел правительство из Парижа в Тур. После убийства Генриха III
в 1589 году, он служил Генриху IV до 1602 года. Виет умер в 1603 году.
Самым известным подвигом профессиональной карьеры Виета бы-
была расшифровка испанских депеш для Генриха IV во время войны с Ис-
Испанией. Король Испании Филип II не мог поверить, что это было в че-
человеческих возможностях, заявив папе, что французы использовали
черную магию. Возможно, на папу это произвело сильное впечатление,
но недостаточное, чтобы поверить, что сюда была вовлечена магия,
поскольку собственные специалисты Ватикана сломали один из кодов
Филипа 30-ю годами ранее [см. Кан A967), стр. 116-118].
В равной степени известным математическим подвигом Виета,
и в равной степени магическим для его современников, было решение
уравнения 45-й степени, сформулированного Адриеном ван Роменом
в 1593 году:
45ж - 379ж3 + 95634ж5 - ... + 945ж41 - 45ж43 + ж45 = N.
Виет сразу увидел, что это уравнение явилось результатом разложе-
разложения sin 450 по степеням sin 61, и он смог дать 23 решения (он не при-
признавал отрицательных решений). Это было единственное состязание,
которое, между прочим, не породило никакой горечи, — оно привело
к крепкой дружбе между двумя математиками.
Глава 7
Аналитическая геометрия
7.40. Шаги к аналитической геометрии
Основная идея аналитической геометрии — это представление кри-
кривых уравнениями, но в этом не вся идея. Если бы это было так, то греки
были бы первыми геометрами-аналитиками. Менехм, возможно, пер-
первым открыл уравнения кривых, вместе с открытием им конических се-
сечений, и мы видели, как он использовал уравнения, чтобы получить \/2
как пересечение параболы и гиперболы (раздел 2.4). В исследовании
Аполлонием конических сечений использовались уравнения, получен-
полученные как промежуточные результаты геометрических аргументов.
Греческой математике недоставало как раз как ни желания, ни
техники, чтобы манипулировать уравнениями для получения инфор-
информации о кривых. Греки скорее использовали кривые для изучения ал-
алгебры, чем наоборот. Построение \/2 Менехма — отличный пример это-
этого: извлечение корней не было заданной операцией, а операцией, ко-
которую следовало обеспечить с помощью геометрического построения.
Подобным же образом, уравнение не было самостоятельной категори-
категорией, а было свойством кривой, которое молено было открыть после того,
как кривая построена геометрически. Это было естественным состоя-
состоянием дел до тех пор, пока уравнения записывались словами. Когда, как
у Аполлония, запись уравнения занимает половину страницы, трудно
составить общую концепцию уравнения, функции или кривой. Отсюда
недостаток общего понятия кривой в греческой математике — оно было
слишком сложным для оперирования на их языке.
В средние века идея координат появилась иным образом в работе
Орема (около 1323-1382 гг.). Координаты использовались в астроно-
астрономии и географии со времен Гиппарха (около 150 г. до н.э.); действи-
действительно, Орем назвал свои координаты «долгота» и «широта», но он,
по-видимому, первый использовал их, чтобы представить функции, на-
например, скорость, как функцию времени. Установив систему координат
114
Глава 7
до определения кривой, Орем сделал шаг вперед по сравнению с гре-
греками, но ему также не хватало алгебры, чтобы двигаться дальше.
Шаг, который, наконец, сделал аналитическую геометрию возмож-
возможной, — это решение уравнений и усовершенствование системы обозна-
обозначений в шестнадцатом веке, который мы обсудили в предыдущей главе.
Этот шаг дал возможность рассматривать уравнения, и, следовательно,
кривые, в некоторой общности и иметь уверенность в собственной воз-
возможности манипулировать ими. Как мы увидим в следующем разделе,
на обоих основателей аналитической геометрии, и Ферма, и Декарта,
сильно повлияли эти усовершенствования.
За более подробным описанием развития аналитической геометрии
отсылаем читателя к отличной книге Бойера A956).
Упражнения
7.1.1 Обобщите идею Менехма, чтобы показать, что любое кубическое
уравнение
ах3 + Ьх2 + сх + d = 0 при d ф О
молено решить пересечением гиперболы ху = 1 с параболой.
7.41. Ферма и Декарт
В истории математики было несколько случаев, когда важное от-
открытие сделано независимо и почти одновременно двумя личностями:
например, неевклидова геометрия Бойяи и Лобачевским, эллиптиче-
эллиптические функции Абелем и Якоби, исчисление Ньютоном и Лейбницем.
Мера нашего возможного рационального объяснения этих замечатель-
замечательных событий должна основываться на идеях, уже висящих «в возду-
воздухе», условиях, ставших благоприятными для их кристаллизации. Как
я пытался показать в предыдущем разделе, в начале семнадцатого века
условия для аналитической геометрии были благоприятными. Поэто-
Поэтому совсем не удивительно, что предмет был открыт независимо Ферма
A629) и Декартом A637). (Труд Декарта Геометрия (La Geometrie),
возможно, на самом деле начат в 1620-х годах. В любом случае, он
независим от Ферма, работа которого не публиковалась до 1679 года.)
Удивительно, однако, узнать, что как Ферма, так и Декарт, начали
с аналитического решения одной и той лее классической геометриче-
геометрической задачи, задачи о четырех линиях Аполлония, и что главное от-
открытие каждого заключалось в том, что уравнение второй степени со-
соответствует коническим сечениям. До этого момента Ферма был более
7.41. Ферма и Декарт
115
методичен, нежели Декарт, но он дошел лишь до этого. Он довольство-
довольствовался тем, что оставил свою работу в «простом и грубом» состоянии,
уверенный, что она качественно вырастет, когда ее подпитают новые
изобретения.
С другой стороны, Декарт рассмотрел множество кривых более вы-
высокой степени и отчетливо понял мощь алгебраических методов в гео-
геометрии. Однако он хотел утаить эту мощь от своих современников,
особенно от соперника-математика Роберваля, как он признал в письме
к Мерсенну [см. Бойер A956), с. 104]. Геометрия была написана, что-
чтобы похвалиться своими открытиями, а не объяснить их. В ней немного
систематического изложения, и доказательства часто опущены с сар-
саркастическим замечанием, как например,: «Я не перестану объяснять
это подробнее, потому что я лишу вас удовольствия овладеть этим са-
самостоятельно» (с. 10). Тщеславие Декарта столь велико, что приятно
видеть, как он порой терпит неудачу, как на с. 91: «Отношения между
прямой и кривой линиями неизвестны, и, я считаю, не могут быть об-
обнаружены человеческим разумом». Он имеет в виду нерешенную тогда
задачу определения длины кривых, но он высказался слишком рано,
поскольку в 1657 году Нейл и ван Хейрет нашли длину дуги полуку-
полукубической параболы у2 = х3, а вскоре исчисление сделало такие задачи
рутинными. [Полное и интересное описание истории длины дуги молено
найти у Гофмана A974), гл.8].
Упражнения
Как мы сейчас знаем, все конические сечения можно задать сле-
следующими уравнениями стандартного вида (из раздела 2.4):
г2 V2 9 г2 V2
— Н—- = 1 (эллипс), у = ах (парабола), — = 1 (гипербола).
аА ЬА аА ЬА
Приведение произвольного квадратного уравнения в ж и у к одному
из этих видов зависит от соответствующего выбора начала координат
и осей, как открыли Ферма и Декарт. Основные шаги кратко обозна-
обозначены в следующих упражнениях.
7.2.1 Покажите, что квадратную форму ах2+Ьху+су2 можно преобразо-
преобразовать к виду а'х'2-\-Ъ'у'2 соответствующим выбором в в подстановке
х = х cos в — у' sin в,
у = х sin в + у' cos в,
116 Глава 7
проверив, что коэффициент х'у' — это (с — a) sin 29 + 6 cos 29.
7.2.2 Выведите из упражнения 7.2.1, что соответствующим вращени-
вращением осей любую квадратическую кривую можно выразить в ви-
виде а'х'2 + У у'2 + с'х' + d'y' + е' = 0.
7.2.3 Если У = 0, а а' ф 0, покажите, что подстановка х' = х" + f дает
либо параболу стандартного вида, либо «двойную линию» х = 0.
(Почему это называется «двойной линией», и является ли она се-
сечением конуса?)
7.2.4 Если и а', и У ненулевые, покажите, что сдвиг начала координат
дает стандартный вид либо для эллипса, либо для гиперболы, ина-
иначе, пару линий.
7.42. Алгебраические кривые
Я мог бы привести здесь несколько способов нанесения и пони-
понимания ряда кривых линий, при этом каждая кривая сложнее,
чем любая предыдущая, но я считаю, что наилучший способ
сгруппировать вместе все такие кривые и затем классифици-
классифицировать их по порядку — это признание того факта, что все
точки этих кривых, которые мы можем назвать «геометриче-
«геометрическими», то есть, те, которые допускают четкое и точное изме-
измерение, должны иметь определенное отношение ко всем точкам
прямой линии, и, что это отношение должно быть выражено
посредством единого уравнения.
[Декарт A637), с.48]
В этом отрывке Декарт определяет то, что мы называем алгебра-
алгебраическими кривыми. Тот факт, что он называет их «геометрически-
«геометрическими», показывает его привязанность к идее греков, что кривые явля-
являются результатом геометрических построений. Он использует обозна-
обозначение уравнений не для того, чтобы непосредственно определить кри-
кривые, а для того, чтобы ограничить понятие геометрического построе-
построения строже, чем это делали греки, ограничивая в связи с этим понятие
кривой. Как мы видели в разделе 2.5, греки рассматривали некоторые
построения, такие как вращение одного круга на другом, которые спо-
способны создавать трансцендентные кривые. Декарт назвал такие кривые
7.42. Алгебраические кривые
117
«механическими» и нашел способ исключить их, ограничившись кри-
кривыми, «выраженными посредством единого уравнения». Из строк, сле-
следующих за приведенным отрывком, становится понятно, что он имеет
в виду полиномиальные уравнения, поскольку он дает классификацию
уравнений по степени.
Отказ Декарта от трансцендентных кривых был близорук, по-
поскольку исчисление вскоре предоставило методы оперирования ими,
но, тем не менее, он был плодотворен, чтобы сконцентрироваться на
алгебраических кривых. Понятие степени, в частности, было полезной
мерой сложности. Кривые первой степени — простейшие из возмож-
возможных, а именно, прямые линии; второй степени — следующие по про-
простоте, конические сечения. С помощью кривых третьей степени видны
новые явления точек перегиба, двойных точек и точек возврата. Точки
перегиба и возврата знакомы из у = х3 и у2 = х3, соответственно; мы
также видели точку возврата на циссоиде (раздел 2.5). Классический
пример кубической кривой с двойной точкой — декартов лист A638):
х3 + у3 = Заху.
«Лист» — это замкнутая область справа от двойной точки; Декарт
неправильно понял остаток кривой вследствие пренебрежения отрица-
отрицательными координатами. Верная форма листа впервые дана Гюйгенсом
A692). Рисунок 7.1 — это рисунок Гюйгенса, который также показы-
показывает асимптоту кривой.
Рисунок 7.1: Рисунок листа Гюйгенса
Отличное описание ранней истории кривых можно найти у Брис-
корна и Кнёррера A981), глава 1. Множество отдельных кривых, с чер-
чертежами, уравнениями и историческими заметками, можно найти у Го-
меса Тейксейры A995а,Ь,с). Развитие понятия кривой Декартом изучал
Бос A981).
Упражнения
Лист — это кубическая кривая, к которой применим метод хорд
Диофанта (раздел 3.5). Берем линию у = tx, проходящую через «оче-
«очевидную» рациональную точку @, 0) на кривой, и находим другую точ-
точку пересечения. Это построение также дает нам возможность выразить
произвольную точку (х, у) на кривой на основе параметра t.
118 Глава 7
7.3.1 Покажите, что декартов лист имеет параметрические уравнения
За*2
' y
t3
и используйте эти уравнения, чтобы показать, что он касателен
к осям в 0.
7.3.2 Покажите, что уравнение х3 + у3 = Заху листа может быть запи-
записано в виде
х + у =
За
У х
7.3.3 Покажите, что х/у и у/х стремятся к —1 по мере того, как х —» ±оо
на листе, и, следовательно, выведите уравнение его асимптоты из
упражнения 7.3.2.
Целое семейство «многолистовых» кривых изучал Гранди A723):
7.3.4 Розы Гранди заданы полярными уравнениями
г = a cos пв
для целых значений п. [Рисунок 7.2 показывает некоторые из этих
кривых, как дано Гранди A723)]. Покажите, что розы Гранди ал-
алгебраические.
7.3.5 Покажите, что «роза» для п = 1 — круг, и что «роза» для п = 2
имеет декартово уравнение
/9 9\ Я 9/9 9\9
(х2 + У2K = а2(х2 -у2J.
Рисунок 7.2: Розы Гранди
7.43. Классификация кубических кривых Ньютона
Поскольку кривые первой и второй степени — это прямые линии
и конические сечения, то их хорошо понимали до пришествия аналити-
аналитической геометрии. Вплоть до конца восемнадцатого века большинство
математиков считало, что они не поддаются дальнейшему пояснению
7.43. Классификация кубических кривых Ньютона
119
и, следовательно, неподходящий предмет для новых методов. Извест-
Известный пример — трактовка в духе греков планетарных орбит в Principia
Ньютона [Ньютон A687)]. Классическому отношению к кривым низкой
степени подвел итог Даламбер в своей статье о геометрии в Энцикло-
Энциклопедии A751):
Алгебраическое вычисление не следует применять к теоремам
элементарной геометрии, потому что нет необходимости ис-
использовать это исчисление, чтобы облегчить доказательства,
и, по-видимому, доказательств, которые действительно мож-
можно облегчить этим исчислением, не имеется, за исключением
решения задач второй степени с помощью линии и круга.
Таким образом, первая задача, обнаруженная аналитической гео-
геометрией, а также первая, которая считалась принадлежащей собствен-
собственно предмету, была задача исследования кубических кривых. Эти кри-
кривые классифицированы, более или менее полно, Ньютоном [коммента-
[комментарии см. Болл A890)].
Ньютон A667) начал свою работу с общей кубической кривой в х
и у
ау3 + Ьху2 + сх2у + dx3 + еу2 + fxy + gx2 + hy + kx + I = 0,
построив общее преобразование осей, ведущее к уравнению с 84 члена-
членами, затем показав, что последнее уравнение молено свести к одной из
форм
Аху2 + Ву = Сх3 + Dx2 + Ex + F,
ху = Ах3 + Вх2 + C'x + D,
у2 =Ax3 + Bx2 + Cx + D,
Затем Ньютон разделил кривые на виды в соответствии с корнями
правой части, получив 72 вида (и упустив 6). Его статья не содер-
содержит подробных доказательств; они были предоставлены Стирлингом
A717), наряду с четырьмя видами, которые упустил из виду Ньютон.
Позднее некоторые математики, такие как Эйлер, критиковали клас-
классификацию Ньютона за отсутствие общего принципа. Объединяющий
принцип, конечно, желателен, чтобы уменьшить сложность классифи-
классификации. И такой принцип уже подразумевался в одном из беглых за-
замечаний Ньютона, раздел 29 «О происхождении кривых при помощи
120
Глава 7
теней». Этот принцип, который будет объяснен в следующей главе, сво-
сводит кубические кривые к пяти типам, видимым на рисунке 7.3 [взят
из английского перевода статьи Ньютона, опубликованной в 1710 году;
см. Уайтсайд A964)].
Читатель может заинтересоваться, где среди этих пяти появля-
появляется самая знакомая кривая, у = х3. Ответ состоит в том, что она
эквивалентна кривой с точкой возврата на рисунке 75 Ньютона. Это
объясняется в следующей главе.
Рисунок 7.3: Классификация кубических кривых Ньютона
Упражнения
Кубические кривые, которые Ньютон назвал «остроконечными»
и «узловыми» ? алгебраически проще, чем другие. В частности, их
молено параметризовать рациональными функциями.
7.4.1 Найдите параметризацию х = p(t), у = q(t) полукубической пара-
параболы у2 = х3 с помощью многочленов р и q: 1) проверкой 2) отыс-
отысканием точки второго пересечения линии у = tx через точку воз-
возврата @, 0).
7.4.2 Найдите рациональные функции х = r(t), у = s(t), которые пара-
параметризуют у2 = х2(х + 1), найдя второе пересечение линии у = tx
через двойную точку кривой.
7.44. Построение уравнений и теорема Безу
В разделах 7.1, 7.2 и 7.3 развитие аналитической геометрии опи-
описано в общих чертах от первых наблюдений уравнений как свойств
кривых до полного осознания того, что уравнения определяли кривые,
и, что понятие (полиномиального) уравнения было ключом к понятию
(алгебраической) кривой. Оглядываясь на прошлое, мы можем сказать,
что Геометрия Декарта [Декарт A637)] была важным шагом в со-
созревании предмета, но книга не определяет окончательно, что такое
аналитическая геометрия. Действительно, она в значительной степени
посвящена двум промежуточным темам в развитии предмета: теории
уравнений шестнадцатого века и теперь почти забытой дисциплине,
называемой «построение уравнений».
Образцом построения уравнения было построение Менехма л/2 при
помощи пересечения параболы и гиперболы. С геометрической точки
7.44. Построение уравнений и теорема Везу
121
зрения, используются знакомые кривые (парабола и гипербола), чтобы
построить менее знакомую длину (\/2). Это становится яснее, когда вы-
выражено алгебраически: кривые 2-й степени используются для решения
уравнения 3-й степени: х3 = 2. В 1620х гг. Декарт открыл нечто более
общее: метод решения любого уравнения третьей и четвертой степени
пересечением кривых 2-й степени, параболы и круга. Его друг Бекман
A628) сообщил в заметке, что «месье Декарт создал столь много из
этого изобретения, что он сознался, что никогда не встречал ничего
превосходящего себя, и, что даже никто другой никогда не находил
ничего лучшего» [перевод Боса A981), с.330]. Декарт не был столь пре-
превосходен, как он думал, поскольку Ферма независимо сделал то же са-
самое открытие в неопубликованной работе [Ферма A629)], усилив уже
необычайное совпадение между своей работой и работой Декарта. Од-
Однако Ферма, видимо, не занимался этой идеей дальше, а Декарт занял-
занялся.
В Геометрии Декарт нашел особую кубическую кривую, так назы-
называемую декартову параболу, пересечения которой с соответствующим
кругом дают решение любого заданного уравнения пятой или шестой
степени. Декарт завершает книгу этим результатом, весело сообщая
читателю, что
нужно только следовать тому же методу, чтобы построить все
задачи, все более и более сложные, до бесконечности; посколь-
поскольку в случае математической прогрессии, всякий раз, когда за-
заданы первые два или три члена, легко найти остальные.
[Декарт A637), с. 240]
В действительности это было нелегко, и попытки найти удовлетвори-
удовлетворительное общее построение для уравнений n-й степени иссякли около
1750 года. История подъема и падения этой области математики рас-
рассказана Босом A981, 1984).
В поисках общего построения, математики случайно предположи-
предположили, что кривая степени т пересекает кривую степени п в тп точках.
Первая формулировка этого принципа, который получил известность
как теорема Безу, по-видимому, сделана Ньютоном 30 мая 1665 года:
Ибо число точек, в котором могут пересекаться две линии,
никогда не может быть больше, чем прямоугольник чисел их
размеров. И они всегда пересекаются в столь многих точках,
исключая те, которые только мнимые.
122
Глава 7
[Ньютон A665b), с. 498]
Теорема Безу заставляет предполагать, что решения уравнения г(х) =
= 0 степени к = т ¦ п могут быть получены из пересечений соответ-
соответствующей кривой степени т с соответствующей кривой степени п. На
алгебраическом языке, идет поиск уравнений
р(х,у) = О,
q(x,y) = 0
A)
B)
степеней т, п, соответственно, исключение из которых у дает заданное
уравнение
г(х) = 0 C)
в качестве «результанта». Вот как математики Запада впервые встре-
встретились с задачей исключения, которую китайцы решили несколькими
столетиями ранее (раздел 6.2).
Однако кроме того факта, что построение уравнений было обрат-
обратно исключению, и гораздо труднее, западным математикам необходи-
необходимы были два дополнительных факта о самом исключении: первый, что
исключение между уравнениями степеней тип давало результант сте-
степени тп; второй, что уравнение степени тп имеет тп корней. Второе
утверждение, как указано в разделе 6.7, становится фактом только, ко-
когда допускаются комплексные числа. Первое становится фактом толь-
только, когда допускаются «точки в бесконечности». Если, например, A)
и B) — уравнения параллельных линий, тогда C) — «степени 0» и не
имеет решений. Однако, молено считать, что параллельные линии пере-
пересекаются «в бесконечности», и геометрическое оформление этой идеи,
проективная геометрия, развивалась примерно в то лее самое время,
что и аналитическая геометрия. К солсалению, до девятнадцатого века
не осознавали, что проективная и аналитическая геометрии нуждались
друг в друге. До того времени проективная геометрия развивалась без
координат, и все попытки доказать теорему Безу [особенно Маклоре-
ном A720), Эйлером A748b), Крамером A750) и Безу A779)] терпели
неудачу из-за недостатка точного метода подсчета точек в бесконеч-
бесконечности. В результате, теорема Безу, которая оказалась основным до-
достижением теории построения уравнений, не была должным образом
доказана долгое время после того, как отказались от самой теории.
Истоки проективной геометрии и плоды ее слияния с аналитиче-
аналитической геометрией обсуждаются в главе 8.
7.45. Арифметизация геометрии
123
Упражнения
Из раздела 6.7 мы знаем, что произвольное уравнение четвертой
степени эквивалентно одной из форм
х4 + рх2
qx
г = 0.
7.5.1 Покажите, что любое такое уравнение можно решить, найдя пере-
пересечение параболы у = х2 с другой квадратической кривой (следо-
(следовательно, с коническим сечением).
7.5.2 Найдите две параболы, пересечения которых дают решения ж4 =
= х + 1 и, следовательно, покажите, что уравнение четвертой сте-
степени имеет два действительных корня.
7.45. Арифметизация геометрии
Мы подчеркивали, что первые геометры-аналитики, в частности,
Декарт, не допускали, что геометрия могла основываться на числах
или алгебре. Возможно, первый, кто воспринял идею арифметизации
геометрии серьезно, был Валлис A616-1703). Валлис A657), гл. XXIII
и XXV, дал первую арифметическую трактовку Книг II и V Евклида,
и ранее он дал первую чисто алгебраическую трактовку конических
сечений [Валлис A655b)]. Вначале он вывел уравнения из классических
определений по сечениям конуса, но затем поступил наоборот, чтобы
вывести их свойства из уравнений, «без путаниц с конусом», как он
выразился.
Валлис был ведущим математиком этого времени. Томас Гоббс,
представленный в начале главы 2, охарактеризовал трактат Валлиса
о конических сечениях как «паршу из символов» и осудил «все то ста-
стадо, которое применяет свою алгебру к геометрии» [Гоббс A656), с. 316
и Гоббс A672), с. 447]. Пример и авторитет Ньютона, вероятно, укрепи-
укрепили мнение, что алгебра неуместна в геометрии линий или конических
сечений; мы видели в разделе 7.4, как это оставалось общепринятой
точкой зрения, по крайней мере, до 1750 года.
Алгебра не привилась в элементарной геометрии до тех пор, пока
ее не принял Лагранж A773b) и не поддержали влиятельные учебни-
учебники Монжа и Лакруа около 1800 года. Но к тому времени элементарная
геометрия был привнесена в теорию уравнений, появилась высшая гео-
геометрия, все больше и больше зависящая от исчисления и появляющих-
появляющихся теорий комплексных функций, абстрактной алгебры и топологии,
124
Глава 7
которые расцвели в девятнадцатом веке. Высшая геометрия раздели-
разделилась, чтобы образовать дифференциальную геометрию и алгебраиче-
алгебраическую геометрию, оставив элементарный остаток, который мы называем
сегодня «аналитической геометрией».
Несмотря на ее скромный статус, Гильберт A899) придал анали-
аналитической геометрии важную фундаментальную роль. Гильберт довел
арифметизацию Валлиса до логического завершения, допустив в каче-
качестве данных только действительные числа и множества и построив из
них евклидову геометрию.
Таким образом, из множества R действительных чисел строим
евклидову плоскость как множество упорядоченных пар (х,у) («то-
(«точек»), где х,у е R. Прямая линия — это множество точек (х,у)
в плоскости, так что ах + by + с = 0 для некоторых постоян-
постоянных а, Ь, с. Линии параллельны, если их коэффициенты х и у пропор-
пропорциональны. Расстояние между точками (xi,yi) и (х2,у2) определяется
как \/(х2 — xiJ + (г/2 — У\J- Как объясняется в разделе 1.6, это опре-
определение обусловлено теоремой Пифагора, которая является краеуголь-
краеугольным камнем моста от арифметики к геометрии.
С этими определениями все аксиомы и теоремы геометрии Евкли-
Евклида становятся доказуемыми теоремами об уравнениях. Например, ак-
аксиома, что непараллельные линии имеют общую точку, соответствует
теореме, что линейные уравнения
а\х + Ь\у + с\ = О,
а2х + Ь2у + с2 = О
имеют решение, когда a\b2 — Ь^а^ ф 0.
Гильберт считал, ничуть не больше, чем Ньютон, что числа не
являются истинным предметом геометрии. Он сильно поддержал гео-
геометрическую интуицию как метод открытия, как явствует из книги
Гильберта и Кон-Воссена A932). Цель его арифметизации состояла
в том, чтобы дать надежное логическое основание геометрии после раз-
разработок девятнадцатого века, которые дискредитировали геометрию
и водворили арифметику в качестве конечного авторитета в математи-
математике. Это основание больше уже не такое надежное, как представлялось
в 1900 году, как мы увидим в главе 23; тем не менее, оно все еще самое
надежное из известных нам оснований.
7.46. Биографические заметки: Декарт
7.46. Биографические заметки: Декарт
125
Рене Декарт (рисунок 7.4) родился в Лаэ (ныне называется Лаэ-
Декарт) во французской провинции Турень в 1596 году и умер в Сток-
Стокгольме в 1650 году. Его отец, Иоахим, был советником в высшем суде
Ренна в Бретани; его мать, Жанна, была дочерью генерал-лейтенанта
из Пуатье и владела собственностью, которая в итоге дол лена была
гарантировать Декарту финансовую независимость. Его мать умерла
в 1597 году, и Декарта воспитывали его бабушка по матери и няня.
Видимо, он не был близок с отцом, братом или сестрой, редко говорил
о них другим и писал им только по деловым вопросам.
Рисунок 7.4: Декарт (музей Лувра)
Иоахим Декарт отсутствовал дома по полгода из-за своих су-
судебных обязанностей, но он достаточно видел Рене, чтобы заметить
его необычайное любопытство, называя его «маленьким философом».
В 1606 году он поместил его в иезуитский колледж Ла Флеш, который
был недавно основан Генрихом IV в Анжу. Молодому Декарту предо-
предоставили в школе особые привилегии, в знак признания его интеллек-
интеллектуальных перспектив и хрупкого здоровья. Он был одним из немногих
мальчиков, у которых была своя комната, ему разрешалось читать кни-
книги, запрещенные другим учащимся, и позволялось оставаться в посте-
постели до позднего утра. Проведение нескольких утренних часов в постели,
размышляя и записывая, превратилось в жизненную привычку, и ко-
когда он, наконец, вынужден был отказаться от нее в условиях шведкой
зимы, последствия оказались роковыми.
Самым драматическим событием его школьной жизни оказалось
убийство Генриха IV в 1610 году. Поскольку Генрих IV был не только
основателем школы, но также самым популярным королем во француз-
французской истории, его смерть была глубоким шоком. Л а Флеш стал местом
тщательно разработанной траурной церемонии, кульминацией которой
было погребение сердца короля. Декарт был одним из 24 учащихся,
которых выбрали для участия в церемонии.
Он закончил Ла Флеш в 1614 году и после изучения права в Пу-
Пуатье, которое, видимо, не произвело на него впечатления, в 1618 году
отправился в Голландию в качестве добровольца без жалованья в ар-
армию принца Нассауского. В то время такое решение было обычным
для молодого француза со средствами, поскольку голландцы воевали
с врагом Франции, Испанией, и Декарт, видимо, поступил в армию,
чтобы повидать мир, а не из-за вкуса к жизни в казармах или сраже-
сражениям. Случилось так, что затем в войне наступило временное затишье,
126
Глава 7
и Декарт получил два года фактического отдыха, чтобы размышлять
над наукой и философией.
Будучи в Бреда, 10 ноября 1618 года, он увидел расклеенную на
стене математическую задачу. Поскольку он еще недостаточно вла-
владел голландским, он попросил стоящего рядом человека перевести ее.
Именно так Декарт повстречал Исаака Бекмана, который стал его пер-
первым наставником в математике и другом на всю жизнь. Следующее
10 ноября Декарт встретил в Баварии. Он провел день в интенсивных
размышлениях в натопленной комнате (он назвал ее «печь») и в ту
ночь ему приснился сон, который он позлее посчитал откровением того
пути, которому он должен следовать в развитии своей философии. От-
Открыл ли также сон путь к аналитической геометрии, как предполагали
некоторые, мы, вероятно, никогда не узнаем. Собственное описание сна
Декартом утеряно, и у нас есть только краткое изложение, сделанное
его первым биографом, Байе A691), с. 85, которое не поможет. В лю-
любом случае, по-видимому, нелепо присуждать Декарту приоритет над
Ферма на основе сна. Разве нельзя предъявить контрпретензию, если
бы стал известен сон подростка Ферма?
В 1628 году Декарт переехал в Голландию, где он провел боль-
большую часть остальной своей жизни. Он вел простую, но размеренную
жизнь, и, наконец, приступил к разработке идей, задуманных девятью
годами ранее. Относительная изоляция устраивала его, поскольку он
относился вралсдебно к другим гигантам науки своего времени, таким
как Галилей, Ферма и Паскаль, и предпочитал общаться с учеными, ко-
которые могли понимать его и не оспаривать его превосходство. Одним
из них был Марен Мерсенн, который был учеником старших классов
в Ла Флеш во времена Декарта, и был его главным научным знакомым
во Франции. Другие — это принцесса Елизавета из Богемии и королева
Швеции Кристина, с ними обеими Декарт вел обширную переписку.
Положительной стороной нетерпимости Декарта к интеллектуаль-
интеллектуальным соперникам был, видимо, подлинный интерес к делам его соседей
в Голландии. Он поощрял местных юношей, которые проявили талант
в математике, и он был известен в округе как кто-то, к кому обра-
обращаются во время беды [см. Вроман A970), с. 194-196]. Единственной
серьезной любовью его жизни была служанка по имени Хелен, которая
в 1635 году родила ему дочь, Францину. Надо признаться, его интерес
в этом деле не простерся до женитьбы на Хелен, но смерть Францины
от скарлатины в 1640 году была величайшим горем его жизни.
В 1649 году Декарт согласился поехать в Стокгольм, чтобы стать
учителем королевы Кристины. Это была кульминация его переписки
7.46. Биографические заметки: Декарт
127
с ней и переговоров через друга Декарта, французского посла Шаню.
Королева, которая отличалась своей физической, а также умственной
энергией, ночью спала не более 5 часов и поднималась в 4 утра. Декарт
должен был приезжать в 5 утра, чтобы давать ей уроки философии.
Программа началась 14 января 1650 года, в самую холодную зиму за
последние 60 лет. Молено представить шок для организма Декарта из-за
такого раннего подъема, затем поездки из резиденции посла до двор-
дворца. Однако, на самом деле, именно Шаню первым поддался простуде.
18 января он свалился от воспаления легких, и Декарт, видимо, под-
подхватил болезнь от него. Шаню выздоровел, а Декарт нет, и он умер
11 февраля 1650 года.
Декарт, конечно, известен своей философией, также как и аналити-
аналитической геометрией. Геометрия первоначально была приложением к его
основному философскому труду Рассуждение о методе. Другие прило-
приложения — Диоптрика, трактат об оптике, и Метеорика, первая попытка
дать научную теорию погоды. В Диоптрике Декарт не проинформи-
проинформировал своих читателей, что Птолемей, аль-Хорезми, Кеплер и Снелль
уже открыли основные принципы оптики; тем не менее, он представил
предмет с большей ясностью и тщательностью, чем раньше, несомнен-
несомненно, усовершенствовав как теорию, так и практику оптического изме-
измерения. Что касается Метеорики, мы сейчас знаем, насколько прежде-
преждевременна была попытка теории погоды в 1637 году, поэтому понятно,
что в этом трактате больше провалов, чем успехов. Его самый боль-
большой успех — правильное объяснение радуги (за исключением цветов,
объяснение которых завершено Ньютоном), которое Декарт смог дать
на основе своей оптики. Более типично, к сожалению, его объяснение
грома: он вызван облаками, сталкивающимися друг с другом, и не свя-
связан с молнией. Отличный обзор научной работы и философии Декарта,
с особенно детальным анализом Геометрии, дан Скоттом A952).
Глава 8
Проективная геометрия
8.47. Перспектива
Перспективу можно просто описать как реалистическое представ-
представление пространственных сцен на плоскости. Это, конечно, заботило ху-
художников с давних времен, и некоторые римские художники к пер-
первому веку до н.э., видимо, добились правильной перспективы; впе-
впечатляющий пример показан у Райта A983), с. 38. Однако, быть мо-
может, это был скорее проблеск отдельного гения, нежели успех теории,
потому что огромное большинство древних изображений показывают
неправильную перспективу. Если действительно имелась классическая
теория перспективы, то она была полностью и по-настоящему утеря-
утеряна в Темные века. Средневековые художники предпринимали некото-
некоторые очаровательные попытки в перспективе, но она всегда получалась
неправильной, и ошибки продолжали существовать даже в пятнадца-
пятнадцатом веке. Ошибки по-прежнему продолжают существовать в тестах по
математике двадцатого века. Рисунок 8.1 показывает художественный
пример пятнадцатого века из Райта A983), с. 41; рядом математический
пример двадцатого века из изложения Грюнбаума A985).
Рисунок 8.1: Ошибки в перспективе
Открытие метода правильной перспективы обычно приписывается
флорентийскому художнику и архитектору Брунеллески A377-1446),
около 1420 года. Первый опубликованный метод появляется в трактате
О живописи Альберти A436). В последнем методе, который получил
известность как вуаль Альберти, использовался отрез прозрачной тка-
ткани, натянутый на рамку, и установленный перед сценой, которую нуж-
нужно нарисовать. Тогда, наблюдая сцену одним глазом, в неподвижном
положении, можно выписать сцену непосредственно на вуали. Рису-
Рисунок 8.2 демонстрирует этот метод, со смотровым глазком, чтобы удер-
удержать глаз в неподвижном положении, как изобразил Дюрер A525).
Рисунок 8.2: Изображение Дюрером вуали Альберти
8.47. Перспектива
129
Вуаль Альберти прекрасна для рисования реальных сцен, но чтобы
нарисовать в перспективе воображаемую сцену, требовалась некоторая
теория. Художники Возрождения использовали следующие основные
принципы:
1) Прямая линия в перспективе остается прямой.
2) Параллельные линии либо остаются прямыми, либо сходятся в од-
одной точке (их точке схода).
Эти принципы достаточны, чтобы решить задачу, с которой часто стал-
сталкивались художники: перспективное изображение выстланного квад-
квадратной мозаикой пола. Альберти A436) решил частный случай этой
задачи, в котором одна группа линий пола горизонтальна, то есть
параллельна горизонту. Его метод, который получил известность как
costruzione legittima, показан в упрощенной форме на рисунке 8.3. Него-
Негоризонтальные линии пола определяем, располагая их с равными проме-
промежутками вдоль базисной линии (представляется, что она касается по-
пола) и позволяя им сойтись в точке схода на горизонте. Горизонтальные
линии пола определяются тогда выбором одной из них произвольно,
таким образом определяется одна мозаика на полу, и затем построени-
построением диагонали этой мозаики к горизонту. Пересечение этой диагонали
с негоризонтальными линиями — это точки, через которые проходят
горизонтальные линии. Это, несомненно, верно на реальном полу (ри-
(рисунок 8.4), следовательно, остается верным в перспективном изображе-
изображении.
Рисунок 8.3: Costruzione legittima
Рисунок 8.4: Реальный пол
Упражнения
Почти во всех изображениях мозаичных полов одна группа линий
параллельна горизонту. Однако, принципы 1) и 2) достаточны, что-
чтобы создать перспективное изображение мозаичного пола при условии
произвольно расположенной мозаики, и они показывают, что нет необ-
необходимости в измерениях, чтобы добиться в costruzione legittima распо-
расположения с равными промежутками вдоль базисной линии.
8.1.1 Используйте линии, показанные на рисунке 8.5, чтобы определить
все линии на мостовой, созданные заданной мозаикой.
130
Глава 8
8.1.2 Используя диагонали как в упражнении 8.1.1, покажите, как со-
создать линии в мозаичном размещении, когда базисная линия па-
параллельна горизонту, не производя каких-либо измерений.
Рисунок 8.5: Мозаичный пол с произвольной ориентацией
8.48. Анаморфоза
Из построения вуали Альберти ясно, что перспективное изображе-
изображение не будет выглядеть абсолютно правильным, если смотреть на него
не с точки обзора, использованной художником. Опыт, однако, пока-
показывает, что искажение незаметно, за исключением крайних положений
точек обзора. Вслед за мастерством перспективы итальянских худож-
художников развился интересный вариант, в котором картина выглядит пра-
правильно только с одной, крайней, точки обзора. Первый известный при-
пример этого стиля, известного как анаморфоза, недатированный рисунок
Леонардо да Винчи из Атлантического кодекса (составленного меж-
между 1483 и 1518 годом). Рисунок 8.6 показывает часть этого рисунка,
лицо ребенка, которое выглядит правильным, если рассматривать его
глазом, находящимся вблизи правого края страницы.
Рисунок 8.6: Рисунок лица Леонардо
Около 1530 года идею восприняли немецкие художники. Самый
известный пример встречается в картине Хольбейна Два посла A533).
Таинственная полоска через нижнюю часть картины становится чере-
черепом, если смотреть из точки вблизи края картины. Отличную оценку
этой картины и историю анаморфозы, см. Балтрушайтис A977) и Райт
A983), стр. 146-156. Искусство анаморфозы достигло самой совершен-
совершенной технической формы во Франции в начале семнадцатого века. По-
видимому, не случайно, что это также было время и место рождения
проективной геометрии. Действительно, ключевые фигуры в этих двух
областях, Нисерон и Дезарг, были хорошо осведомлены о работе друг
друга.
Нисерон A613-1646) был студентом Мерсенна и, как и он, мона-
монахом ордена миноритов. Он выполнил несколько необычных анаморфи-
анаморфических стенных изображений, длиной до 55 метров, а также объяснил
теорию в La perspective curieuse (Любопытной перспективе) [Нисерон
A638)]. Рисунок 8.7 — это его иллюстрация анаморфозы стула [из кни-
книги Балтрушайтиса A977), с.44]. Анаморфоза, если смотреть обычным
образом, показывает стул как нечто ранее не виданное, и все лее с со-
соответствующей крайней точки видишь обычный стул в перспективе.
8.49. Проективная геометрия Дезарга
131
Рисунок 8.7: Стул Нисерона
Этот пример выявляет важный математический факт: перспек-
перспективный вид перспективного вида вообще не является перспективным
видом. Повторение перспективных видов дает то, что мы сейчас на-
называем проективным видом, и стул Нисерона показывает, что проек-
проективность более широкое понятие, чем перспективность. Следовательно,
проективная геометрия, изучающая свойства, которые инварианты
в условиях проекции, шире, чем теория перспективы. Сама перспекти-
перспектива развилась в математическую теорию, начертательную геометрию,
лишь в конце восемнадцатого века.
8.49. Проективная геометрия Дезарга
Математическое окружение, в котором можно понять вуаль Аль-
Альберти, — семейство линий («лучи света»), проходящее через точку
(«глаз»), вместе с плоскостью V («вуалью») (Рисунок 8.8). В этом
окружении задачи перспективы и анаморфозы не очень трудны, но
понятия были интересны и явились вызовом традиционной геометри-
геометрической мысли. Вопреки Евклиду имеем следующее:
1) Точки в бесконечности («точки схода»), где параллели пересека-
пересекаются.
2) Преобразования, которые изменили длины и углы (проекции).
Рисунок 8.8.: Видение через вуаль Альберти
Первый, кто построил математическую теорию, объединяющую
эти идеи, был Дезарг A591-1661), хотя идея точек в бесконечности уже
использовалась Кеплером A604), с. 93. Книге Дезарга A639) Brouillon
projet d'une atteinte aux evenements des rencontres du cone avec un plan
(Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается
при встрече конуса с плоскостью) претерпела крайний случай запозда-
запоздалого признания, оказавшись полностью утраченной в течение 200 лет.
К счастью, его две самые известные теоремы, так называемая теорема
Дезарга и инвариантность двойного (сложного) отношения, были опуб-
опубликованы в книге о перспективе [Босс A648)]. Текст Дезарга A639)
и часть работы Босса A648), включая теорему Дезарга, молено най-
найти у Тейтона A951). Английский перевод, с обширным историческим
и математическим анализом, есть у Филда и Грея A987).
Как Кеплер, так и Дезарг, оба постулировали одну точку в беско-
бесконечности на калсдой линии, замыкающую линию в «круг бесконечного
132
Глава 8
радиуса». Все линии в семействе параллелей разделяют одну и ту же
точку в бесконечности. Непараллельные линии, имеющие конечную об-
общую точку, не имеют одной и той лее точки в бесконечности. Таким об-
образом, любые две отдельные линии имеют как раз одну общую точку, —
более простая аксиома, чем у Евклида. Довольно странно, но линия
в бесконечности была введена лишь в теории Понселе A822), несмотря
на то, что самая очевидная линия в рисовании перспективы, — гори-
горизонт. Дезарг широко использовал проекции в Brouillon projet; именно
он первый использовал их, чтобы доказать теоремы о конических се-
сечениях.
Теорема Дезарга — это свойство треугольников в перспективе,
проиллюстрированное на рисунке 8.9. Теорема утверждает, что точ-
точки X, Y, Z на пересечениях соответствующих сторон лежат на одной
линии. Это очевидно, если треугольники находятся в пространстве, по-
поскольку линия — это пересечение плоскостей, их содержащих. Теорема
в плоскости, тонко, но фундаментально отличается, и требует отдель-
отдельного доказательства, как понял Дезарг. Действительно, то, что теорема
Дезарга играет ключевую роль в основах проективной геометрии, по-
показано Гильбертом A899) (см. раздел 20.7)
Рисунок 8.9: Теорема Дезарга
Инвариантность двойного отношения отвечает на естественный во-
вопрос, который впервые задал Альберти: поскольку длина и угол при
проекции не сохраняются, то что лее? Ни одно свойство трех точек, на-
находящихся на одной линии, не может быть инвариантным, потому что
молено спроектировать любые три точки на одной линии на три любые
другие (упражнение 8.3.1). Поэтому необходимы, по крайней мере, че-
четыре точки, и двойное отношение, в сущности, проективный вариант
четырех точек. Двойное отношение (ABCD) точек А, В, С, D на одной
линии (в таком порядке) — это / . Его инвариантность наиболее
Су И U И
просто видна, если выразить ее еще раз в понятиях углов, используя
рисунок 8.10. Пусть О любая точка, не принадлелеащая линии, и рас-
рассмотрим области треугольников ОСА, ОС'В, ODA и ODB. Сначала
вычислим их из основ на АВ и высоты h, затем вычислим вновь, ис-
используя О А и ОВ как основы, и высоты, выраженные на основе синусов
углов в О:
8.49. Проективная геометрия Дезарга
133
Ъь-СА = площадь ОСА =^ОА- ОС sin ZCOA,
]rh-CB = площадь ОС В = \оВ ¦ ОС sin/1С ОВ,
\h-DA = площадь ODA =\oA-OD sin ZDOA,
}rh ¦ DB = площадь ABB = ^
¦ OD sin /.DOB.
Подставив значения С А, С В, DA и DB из этих уравнений, мы находим
[следуя Мебиусу A827)] двойное отношение углов в точке О:
СА I DA = sin ZCOA / sin ZDOA
С В DB sin ZCOB sin ZDOB'
Любые четыре точки A',B,'C",D' в перспективе с A,B,C,D из точ-
точки О имеют одинаковые углы (рисунок 8.10), следовательно, они бу-
будут иметь одинаковое двойное отношение. Но тогда его также будут
иметь любые четыре точки, А", В", С", D", проективно связанные
с А, В, С, D, поскольку проективность, по определению, результат по-
последовательности перспектив.
Рисунок 8.10: Оценка двойного отношения
Упражнения
Как указано выше, мы не можем надеяться на инвариант, который
проще, чем двойное отношение, потому что любые три точки на одной
линии проективно связаны друг с другом.
8.3.1 Покажите, что любые три точки на одной линии можно направить
на любые другие три точки на одной линии с помощью проекции.
Случай теоремы Дезарга, где два треугольника лежат в одной
и той лее плоскости, молено доказать, рассмотрев плоскость в про-
пространстве. Схема доказательства показана на рисунке 8.11. Треуголь-
Треугольники A\B\Ci и А2В2С2 находятся в перспективе от О в плоскости П,
Р — точка в пространстве за пределами П, и линия OD\D^ пересека-
пересекает П только в О.
Рисунок 8.11: Планарная теорема Дезарга
134
Глава 8
8.3.2 Покажите, что треугольники AiC\Di и A2C2D2 находятся в раз-
разных плоскостях и в перспективе от О.
Таким образом, из неплоского варианта теоремы Дезарга следует,
что пересечения пар сторон {A\Di,A2D2), {A\C\, A2C2) и {C\D\, C2D2)
лежат на одной линии.
8.3.3 Покажите, что эти пересечения проектируются из Р на пересече-
пересечения пар сторон (Ai,Bi,A2B2), (AiC\, A2C2) и (CiBi,C2B2) и, сле-
следовательно, выведите плоскую теорему Дезарга.
8.3.4 Захватывает ли это доказательство вашу интуитивную идею по-
посмотреть на плоскую конфигурацию Дезарга (рисунок 8.9) и ин-
интерпретировать ее как трехмерную? Если так, то что представляет
точка Р?
8.50. Проективный вид кривых
Проблемы рисования перспективы включали, главным образом,
геометрию прямых линий. Правда, были задачи, такие как рисование
эллипсов, которые должны выглядеть как перспективные виды кругов,
но художники обычно довольствовались тем, что решали такие зада-
задачи, интерполируя гладко выглядящие кривые в подходящее обрамле-
обрамление прямых линий. Пример такого рисунка — чаша Учелло A397-1475)
на рисунке 8.12.
Рисунок 8.12: Рисунок чаши Учелло. (Уффици, Флоренция)
Математическая теория перспективы кривых стала возможной
с пришествием аналитической геометрии. Когда кривая определяется
уравнением f(x,y) = 0, уравнение любого перспективного вида полу-
получается с помощью соответствующего преобразования х и у. Однако,
эта трансформационная точка зрения, даже если она довольно проста
алгебраически, появилась только у Мёбиуса A827). Первые работы по
проективной геометрии, Дезарга A639) и Паскаля A640), использова-
использовали язык классической геометрии, хотя язык уравнений был доступен
от Декарта A637). Это было понятно, не только потому, что аналити-
аналитический метод у Декарта был столь неясен, но также потому, что пре-
преимущества проективного метода молено было яснее увидеть, когда он
использовался в классическом окружении. Дезарг и Паскаль придер-
придерживались прямых линий и конических сечений, показывая как проек-
проективная геометрия могла легко достигнуть и превзойти результаты, по-
полученные греками. Более того, проективная точка зрения давала что-то
8.50. Проективный вид кривых
135
еще, что, наверное, было непонятно грекам: ясное описание поведения
кривых в бесконечности.
Например, Дезарг A639) [см. Тейтон A951), с. 137] различал эл-
эллипс, параболу и гиперболу по количеству их точек в бесконечно-
бесконечности: 0, 1 и 2, соответственно. Точки в бесконечности на параболе и ги-
гиперболе молено увидеть совсем просто, наклонив их обычные виды
в перспективные виды (рисунки 8.13 и 8.14). Парабола имеет только
одну точку в бесконечности, потому что она пересекает каждый луч
через 0, за исключением у-оси, как раз в одной конечной точке. Что
касается гиперболы, ее две точки в бесконечности находятся там, где
она касается своих асимптот, как видно на рисунке 8.14. Продолжение
гиперболы выше горизонта вытекает из проектирования нижней ветви
через тот лее самый центр проекции (рисунок 8.15).
Рисунок 8.13: Парабола
Рисунок 8.14: Гипербола
Рисунок 8.15: Ветви гиперболы
Проективная геометрия выходит за рамки описания поведения
кривых в бесконечности. Линия в бесконечности не отличается от лю-
любой другой линии и может быть лишена своего особого статуса. То-
Тогда все проективные виды кривой одинаково верны, и молено сказать,
например, что все конические сечения — это эллипсы, если их соот-
соответственно рассматривать. Это не удивительно, если помнить о кони-
конических сечениях не как о кривых второй степени, а как о сечениях
конуса. Конечно, все они выглядят одинаково с вершины конуса.
Более удивительно, что также имеет место значительное упроще-
упрощение кубических кривых, когда они рассматриваются проективно. Как
упоминалось в разделе 7.4, Ньютон A695) разделил кубические кривые
на 72 типа (и упустил из виду 6). Однако, в разделе 29 «О происхожде-
происхождении кривых при помощи теней» Ньютон утверледал, что всякую куби-
кубическую кривую молено спроектировать на один из именно пяти типов.
Как говорилось в разделе 7.4, это включает результат, что у = х3 мож-
можно спроектировать на у2 = х3. Доказательство этого — простое вычис-
вычисление, когда вводятся координаты (см. упражнение 8.5.3), но мы уже
получили осторожный намек на это из перспективного вида у = х3.
(См. рисунок 8.16. Ниленяя половина точки возврата — это вид у =
= х3 нилее горизонта; верхняя половина выходит из проектирования
вида позади головы наблюдателя через Р на плоскость изображения
впереди.)
Рисунок 8.16: Перспективный вид кубической кривой
Обратно, у2 = х3 имеет перегиб в бесконечности. Проективная
136
Глава 8
классификация Ньютона вытекает из изучения поведения в бесконеч-
бесконечности всех кубических кривых и наблюдения, что каждая имеет харак-
характеристики, которыми уже обладали, необязательно в бесконечности,
кривые вида
у2 = Ах3 + Вх2 + Cx + D.
Ньютон уже разделил их на пять типов в своей аналитической клас-
классификации (это те пять, которые показаны на рисунке 7.3). Результат
Ньютона был улучшен лишь в девятнадцатом веке, когда проективная
классификация по комплексным числам уменьшила количество типов
кубических кривых только до трех. Мы обсудим это позлее в связи
с развитием комплексных чисел (раздел 15.5).
Упражнения
Как предполагалось выше, точки в бесконечности кривой молено
сосчитать, рассмотрев пересечения кривой с линиями, проходящими
через начало координат, и замечая, где они стремятся к бесконечности.
8.4.1 Используйте этот метод, чтобы объяснить, почему:
• гипербола ху = 1 имеет две точки в бесконечности,
• кривая у = х3 имеет одну точку в бесконечности.
Рисунки 8.13 и 8.14 сделаны, полагая, что вуаль Альберти является
(х, ^-плоскостью в (х, у, ^-пространстве, «глаз» находится в @, —4,4),
обозревая (ж,г/)-плоскость.
8.4.2 Найдите параметрические уравнения линии от @, —4,4) до (х', у', 0)
и, следовательно, покажите, что эта линия пересекает вуаль, где
Ах'
V
8.4.3 Переименуйте координаты х, г в вуали в X, Y, соответственно; по-
покажите, что
4-У
У =
AY
4-У
8.51. Однородные координаты
137
8.4.4 Выведите из упражнения 8.4.3, что точки (х',уг) на параболе у =
= х2 имеют образ на вуали
= 1
и проверьте, что это эллипс, показанный на рисунке 8.13.
8.51. Однородные координаты
Способ, которым проективная геометрия позволяет расположить
бесконечность на том же основании, что и конечные точки плоскости,
интуитивно понятен, когда представляешь себе горизонт на картине,
который является линией, как любая другая. Однако самый удобный
способ формализовать идею — ввести координаты. Во времена Дезарга
этого не произошло, возможно, из-за сопротивления координатам в эле-
элементарной геометрии, которая тогда господствовала (см. разделы 7.4
и 7.5). Подходящие координаты, ныне известные как однородные коор-
координаты, были изобретены Мёбиусом A827) и Плюкером A830). Одно-
Однородные координаты дают естественное расширение декартовой плоско-
плоскости R2 с помощью точек в бесконечности, присваивая новые координа-
координаты точкам, уже существующим, и создавая новые точки с отложенными
координатами.
Однородные координаты точки (X, У) € Е2 - это все тройки дей-
действительных чисел (Xz,Yz,z) при z ф 0, то есть, все тройки действи-
действительных чисел (x,y,z) при x/z = X, y/z = Y. Если, следуя Клейну
A925), мы полагаем, что X,Y, — это координаты х,у в плоскости z =
= 1, тогда эти тройки — как раз координаты точек /Она линии в R3
от О до (X,Y) (рисунок 8.17). Таким образом, однородные координа-
координаты дают взаимно однозначное соответствие между точками (X, Y) G R2
и негоризонтальными линиями, проходящими через О в R . Горизон-
Горизонтальные линии, точки которых имеют координаты (х,у,0), естественно,
соответствуют точкам в бесконечности. Более того, имеется естествен-
естественный способ определения, какие точки в бесконечности «принадлежат»
заданной кривой.
Рисунок 8.17: Построение однородных координат
Всякая кривая С в R , выраженная уравнением
A)
138 Глава 8
может быть заново выражена уравнением, скажем,
B)
для г^О. Если р — многочлен степени п, мы можем распространить B)
на все значения z, перемножив на z , задавая
f.!) =p(x,y,z) =
C)
где р — однородный многочлен степени п в х, у, z [то есть, если (х, у, z)
есть решение C), то (tx,ty,tz) тоже, как и должно быть, поскольку
эти тройки являются координатами одной и той лее точки]. Например,
если кривая в R — это линия аХ + bY + с = 0, тогда соответствующее
однородное уравнение C) — ах + by + cz = 0.
Уравнение C) удовлетворяется всеми точками (X,Y) = (x/z,y/z)
кривой С, вместе с другими возможными тройками координат при z =
= 0. Последняя образует горизонтальные линии, к которым приближа-
приближаются линии от О до точек С по мере того, как X или Y —» оо, поэтому
естественно рассматривать их как точки в бесконечности С. В част-
частности, каждая линия ax + by + cz = 0 имеет одну точку в бесконечности
с координатами (tb, —ta, 0) для всех t ф 0.
В геометрических терминах, мы расширили (X, У)-плоскость R
до действительной проективной плоскости RP2, заново интерпрети-
интерпретировав каждую точку (X, Y) как линию от О до (X,Y) и завершив это
множество линий до множества всех линий, проходящих через О. Го-
Горизонтальные линии, которые не имеют интерпретации в (X, У)-плос-
кости, интерпретируются как точки в бесконечности. В процессе это-
этого, каждая алгебраическая кривая С в (X, У)-плоскости расширяет-
расширяется до своего проективного завершения С [с уравнением p(x,y,z) = 0]
включением точек в бесконечности, которые являются пределами сво-
своих обыкновенных точек. Мы можем смоделировать RP2 поверхностью,
если каждая линия, проходящая через О, заменяется своим пересече-
пересечением с единичной сферой, а именно, парой антиподальных (диамет-
(диаметрально противоположных) точек. Точки в бесконечности становятся
тогда антиподальными парами на экваторе z = 0, который показыва-
показывает, что они такие же, как и все другие точки. Линия L в R2, заданная
линейным уравнением аХ + bY + с = 0, имеет в качестве завершения
проективную линию L с однородным линейным уравнением ах + by +
+ cz = 0, которое представляет плоскость, проходящую через О. Таким
8.51. Однородные координаты
139
образом, точки L лежат в плоскости, проходящей через О, и, следо-
следовательно, моделируются антиподальными парами на большом круге.
Линия в бесконечности, z = 0, просто состоит из антиподальных пар
на экваторе, и, следовательно, такая же, как любая другая проективная
линия.
Проективную линию молено мысленно себе представить как боль-
большой полукруг (который содержит одного представителя от каждой ан-
типодальной пары) с установленными концами. Это замкнутая кривая,
поэтому Кеплер и Дезарг не слишком ошибались, считая проективную
линию кругом. Проективная плоскость, однако, это не сфера, а нечто
более особенное, как заметил Клейн A874). На сфере, любая простая
замкнутая кривая разделяет поверхность на две части. «Малая» за-
замкнутая кривая в проективной плоскости RP2, то есть, кривая строго
содерлеащаяся в полусфере модели, также разделяет RP2, но «боль-
«большая» кривая нет. Экватор, например, не отделяет верхнюю полусферу
от нижней, потому что полусферы — это то же самое место в процессе
идентификации антиподальной точки! Менее парадоксальный взгляд
на это виден, если вернуться к модели RP2, элементами которой явля-
являются линии, проходящие через О. Линии, проходящие через экватор,
не отделяют линии, проходящие через верхнюю полусферу, от линий,
проходящих через нижнюю полусферу, потому что это те лее самые
линии.
Упражнения
Модель RP , точки которой являются линиями, проходящими че-
через О, и линии которой, являются плоскостями, проходящими через О,
также помогает представить другие основные свойства проективных
линий:
8.5.1 Используйте эту интерпретацию проективных линий, чтобы пока-
показать, что все линии в семействе параллелей имеют одну и ту же
точку в бесконечности.
8.5.2 Таким же образом покажите, что любые две проективные линии
пересекаются как раз в одной и той же точке.
Переходя от точек в плоскости к линиям, проходящим через О, яс-
ясно, что ничего особенного в плоскости z = 1, в которой мы начинали,
нет: точки в любой плоскости в R3, не содержащей О, соответствуют
разным линиям, проходящим через О. Обратно, мы можем переходить
140
Глава 8
от линий, проходящих через О, к точкам в любой плоскости, не со-
содержащей О. Действительно, часто удобно рассмотреть проективные
кривые в различных таких плоскостях. Это соответствует принятию
различных проекций одной и той лее кривой, и дает нам возможность
проективно одинаковы.
показать, например, что у = х3 и у2 = х3
8.5.3 Пусть X,Y обозначают координаты х,у в плоскости г = 1 (как
раньше), и пусть X',Z' обозначают координаты х, z в плоско-
плоскости у = 1. Покажите, что кривые Y = X3, (Z1J = (X1K имеют
одно и то лее уравнение в однородных координатах х,у, z.
8.5.4 Выведите, что Y = X3 отображается на (Z1J = (X1K проекцией
от О плоскости z = 1 на плоскость у = 1.
Теперь вернемся к интерпретации проективной плоскости RP как
поверхности, сферы с установленными антиподальными точками. Сле-
Следующий результат показывает еще один способ, в котором RP2 отли-
отличается от сферы.
8.5.5 Покажите, что полоса RP2, окружающая проективную линию, это
лист Мёбиуса (рисунок 8.18).
Рисунок 8.18: Лист Мёбиуса
8.52. Снова теорема Везу
Как мы видели в разделе 7.5, точное описание точек в бесконеч-
бесконечности необходимо, чтобы получить теорему Безу о том, что кривая
степени т пересекает кривую степени п в тп точках. Проективное за-
завершение это делает. Предыдущие упражнения показывают, что линии
(кривые 1-й степени) пересекаются в точке 1x1= 1. Вообще, если Ст —
кривая с однородным уравнением степени т
Рт(х,у,г) = 0,
A)
и если С'п — кривая с однородным уравнением степени п
Pn(x,y,z) = 0, B)
есть желание показать, что уравнение
гтп(х,у) = 0,
C)
8.52. Снова теорема Везу
141
которое вытекает из исключения z между A) и B), — однородное урав-
уравнение степени тп. Это не сложно сделать (см. упражнения), но, види-
видимо, однородная формулировка теоремы Безу, со строгим доказатель-
доказательством, что результант гтп имеет степень тп, была дана лишь в конце
1800-х годов [согласно Клайну A972), с. 553, «точный подсчет кратно-
стей» был впервые сделан Хальфеном в 1873 году].
В гипотезу теоремы Безу должно быть включено очевидное усло-
условие: что кривые С'т и С'п не имеют общей составляющей. Алге-
Алгебраический эквивалент этого условия заключается в том, что мно-
многочлены рт,рп не имеют непостоянного общего множителя. Тогда
форма теоремы Безу, которую можно доказать с помощью однород-
однородных координат, следующая: кривые Ст,Сп с однородными уравнения-
уравнениями pm(x,y,z) = 0, pn(x,y,z) = 0 степеней т,п и без общей состав-
составляющей имеют пересечения, заданные решениями однородного урав-
уравнения гтп(х, у) = 0 степени тп.
Полезное следствие теоремы Безу: кривые Ст,Сп степеней т,п,
имеющие больше тп пересечений, имеют общую составляющую.
Упражнения
Как открыли китайцы (см. раздел 6.2), задача исключения при-
принадлежит линейной алгебре. В случае теоремы Безу, это включает
определение критерия, чтобы множество однородных уравнений име-
имело ненулевое решение, и это ведет к выражению результанта гтп как
детерминанта.
8.6.1 Предположим, что
pm{x,y,z) = aozm
рп(х, у, z) = bozn
ат,
... + bn
однородные многочлены степеней т,п. Поэтому a,i(x,y) — одно-
однородный многочлен степени г, bj(x, у) — однородный многочлен сте-
степени j. Умножив рт и рп на соответствующие степени z, покажите,
что уравнения
рт = 0 И рп = 0
эквивалентны системе однородных линейных уравнений т + п в
переменных zm+n^1,
z2, z1, z°, которые, в свою очередь, экви-
142
Глава 8
валентны
а0
0
0
bo
0
0
по
h
bo
ai
0
bi
0
6n
0
0
0
bn
... 0
... 0
ar
... 0
¦•. о
b.
= 0.
8.6.2 Покажите, что многочлен р(х, у) — это однородный многочлен сте-
степени k <?4> p(tx, ty) = tkp(x, у).
8.6.3 Покажите rmn(tx,ty) = tmnrmn(x,y). Подсказка: умножьте стро-
строки rmn(tx,ty) на соответствующие степени t, чтобы упорядочить,
что каждый элемент в любом столбце содержит ту же степень t.
Затем удалите эти множители из столбцов, так чтобы гтп(х,у)
осталось.
8.53. Теорема Паскаля
Эссе о кониках Паскаля [Паскаль A640)] написано в конце 1639
года, когда Паскалю было 16 лет. Он, вероятно, слышал о проективной
геометрии от своего отца, который был другом Дезарга. Эссе содер-
содержало первую формулировку известного результата, который получил
известность как теорема Паскаля или мистическая гексаграмма. Тео-
Теорема утверждает, что пары противоположных сторон шестиугольника,
вписанных в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных
точках. (Вершины шестиугольника могут встретиться в любом порядке
на кривой. На рисунке 8.19 порядок выбран, чтобы дать возможность
трем пересечениям лежать внутри кривой.) Доказательство Паскаля
неизвестно, но он, вероятно, установил сначала теорему для круга, за-
затем тривиально распространил ее на произвольные конические сечения
по проекции.
Рисунок 8.19: Теорема Паскаля
Плюкер A847) представил теорему Паскаля в новом свете, пока-
показав, что она является естественным следствием теоремы Безу. Плюкер
8.53. Теорема Паскаля
143
использовал дополнительную теорему о кубических кривых, которую
можно обойти, дав следующий непосредственный вывод из теоремы
Безу.
Пусть Li,L2, ¦¦¦, Lq последовательные стороны шестиугольника.
Объединения противолежащих сторон L1UL3UL5 и L2UL4UZ/6 молено
считать кубическими кривыми
h-ib(x,y,z) = Q, hi&{x,y, z) = 0,
где каждая I — произведение трех линейных множителей. Эти две кри-
кривые пересекаются в девяти точках: шести вершинах шестиугольника
и трех пересечениях противоположных сторон. Пусть
c(x,y,z) = о
A)
уравнение коники, которая содержит шесть вершин.
Мы можем выбрать постоянные а, /3, так что кубическая кривая
, у, z) + C1246 (х, у, z) = 0
B)
проходит через любую заданную точку Р. Пусть Р точка на конике,
неравной шести вершинам. Тогда кривые A), B) 2-й, 3-й степени име-
имеют 7 > 2 х 3 общих точек, и, следовательно, общую составляющую
по теореме Безу. Поскольку с не имеет непостоянного множителя, по
предположению, этой общей составляющей должна быть сама с. Сле-
Следовательно,
ali35 + Chi6 = cp C)
для некоторого многочлена р, который должен быть линейным, по-
поскольку левая часть C) имеет 3-ю степень, и с имеет 2-ю степень. По-
Поскольку кривая Ы135 + /%4б = 0 проходит через девять общих точек
до Нзь = 0 и ?24б = 0, тогда как с = 0 проходит только через шесть из
них, оставшиеся три (пересечения противоположных сторон) должны
быть на линии р = 0.
Упражнения
8.7.1 Обобщите предыдущий аргумент, чтобы показать, что если п кри-
кривых второй степени пересекаются в п2 точках, из которых пт ле-
лежат на кривой степени т, то оставшиеся п(п — тп) точек лежат на
кривой степени тг — т.
144
Глава 8
Важный частный случай теоремы Паскаля был открыт около 300 г.
н.э. Паппом, и называется теоремой Паппа. В этой теореме, коника —
«вырожденное» коническое сечение, состоящее из двух прямых линий.
Обычная формулировка теоремы Паппа, как формулировка теоре-
теоремы Паскаля, говорит, что пересечения противоположных сторон шести-
шестиугольника находятся на прямой линии. Однако, если мы воспользуемся
свободой считать, что эта линия находится в бесконечности, то теорема
Паппа принимает форму, которую легче представить и доказать.
8.7.2 Объясните рисунок 8.20 как иллюстрацию теоремы Паппа.
8.7.3 Запишите формулировку теоремы, соответствующую рисунку 8.20,
следствие из которой, что P1Q3 и P2Q2 параллельны. (Эквивалент-
(Эквивалентно, ОР1/ОР2 = OQ3/OQ2).
8.7.4 Выведите требуемое уравнение из двух других уравнений, которые
выражают параллелизм на рисунке 8.20.
8.7.5 Нарисуйте также рисунок и докажите теорему в случае, где две
линии Р\Р2 и Q\Q2 не пересекаются в О, то есть, когда они тоже
параллельны.
Рисунок 8.20: Иллюстрация теоремы Паппа
8.54. Биографические заметки: Дезарг и Паскаль
Жирар Дезарг родился в Лионе в 1591 году и умер в 1661 году.
Он был одним из девяти детей Жирара Дезарга, сборщика десятины,
и Жанны Кроппе. Очевидно, он воспитывался в Лионе, но информация
о его молодости отсутствует. К 1626 году он работал инженером в Па-
Париже, и быть может, использовал свои знания в знаменитой осады Ла
Рошели в 1628 году, во время которой была построена дамба в гавани,
чтобы помешать английским кораблям снять осаду с города.
В 1630-х годах он вступил в кружок Марена Мерсенна, который
регулярно собирался в Париже для обсуждения научных тем, и в 1636
году написал главу в книге Мерсенна о музыкальной теории. В том лее
году он опубликовал 12-страничную брошюру о перспективе, первый
набросок своих идей в проективной геометрии. Brouillon projet [Дезарг
A639)] был издан лишь в 50 экземплярах и получил весьма небольшую
поддержку. Действительно, его принимали, как правило, враждебно,
8.54. Биографические заметки: Дезарг и Паскаль
145
и Дезарг годами был занят полемической борьбой со своими клевет-
клеветниками [см. Тейтон A951), стр. 36-45]. Сначала его поддержали лишь
Паскаль, большая часть работ которого о проективной геометрии так-
также утеряна, и гравер Авраам Босс, который разъяснил перспективный
метод Дезарга [Босс A648)]. Дезарг был обескуражен атаками на свою
работу и предоставил распространение своих идей Боссу, который не
был по-настоящему математически подготовлен для этой задачи. Про-
Проективная геометрия заняла свою нишу в математике только с публика-
публикацией книги Филлипа де ла Ира [де ла Ир A673)], отец которого, Лоран,
был учеником Дезарга. Видимо, вполне вероятно, что книга де ла Ира
повлияла на Ньютона. Об этом, а также подробнее о математическом
наследии Дезарга, см. Филд и Грей A987), гл.З.
Около 1645 года Дезарг обратил свои таланты к архитектуре, воз-
возможно, чтобы продемонстрировать своим критикам практичность сво-
своих графических методов. Он руководил строительством различных до-
домов и общественных зданий в Париже и Лионе, выделяющихся слож-
сложными конструкциями, такими как лестницы. Его самое известное до-
достижение в инженерии, система для поднятия воды в замке Болье,
вблизи Парижа, также интересна с геометрической точки зрения. В ней
впервые используются эпициклические кривые (раздел 2.5) в зубчатых
колесах, как указано Гюйгенсом A671). Гюйгенс посетил замок в то
время, когда им владел Шарль Перро, автор Золушки и Кота в сапо-
сапогах.
Дезарг, видимо, вернулся в научные круги Парижа к концу своей
жизни, Гюйгенс слышал, как он читал лекцию о существовании геомет-
геометрических точек 9 ноября 1660 года, но информация об этом периоде его
жизни скудна. Его завещание было зачитано в Лионе 8 октября 1661
года, но дата и место его смерти неизвестны.
Блез Паскаль (рисунок 8.21) родился в Клермон-Ферране в 1623
году и умер в Париже в 1662 году. Его мать, Антуанетта Батон, умерла,
когда ему было три года, и Блеза воспитывал его отец, Этьенн. Этьенн
Паскаль был юристом, интересовавшимся математикой, который при-
принадлежал к кружку Мерсенна и, как отмечалось ранее, был другом
Дезарга. В его честь названа кривая, улитка Паскаля. В 1631 году
Этьенн взял Блеза и его двух сестер в Париж и оставил все свои офи-
официальные обязанности, чтобы посвятить себя их образованию. Поэтому
Блез Паскаль никогда не ходил в школу или университет, но в возрасте
16 лет он знал латынь, греческий, математику и науку. И, конечно, он
написал свое Эссе о кониках и открыл теорему Паскаля.
Рисунок 8.21: Паскаль
146
Глава 8
Эссе о кониках [Паскаль A640)] — это короткая брошюра, содер-
содержащая краткое излолсение большого трактата о конических сечениях,
который он начал готовить, и который ныне утерян. Она включает
формулировку теоремы Паскаля для круга. Паскаль работал над сво-
своим трактатом до 1654 года, когда он был почти полностью завершен,
но впоследствии он никогда не упоминал о нем. Лейбниц видел руко-
рукопись, когда он был в Париже в 1676 году, но неизвестно видел ли ее
кто-нибудь в дальнейшем.
В 1640 году Паскаль и его сестры присоединились к своему от-
отцу в Руане, где он стал сборщиком налогов. У Паскаля возникла идея
построить вычислительную машину, чтобы помочь своему отцу в ра-
работе. Он нашел теоретическое решение приблизительно в конце 1642
года, на основе зубчатых колес, но трудности в производстве точных
деталей задержали появление машины до 1645 года. Это был первый
работающий компьютер. Зубчатый механизм для сложения представ-
представляется нам сейчас очевидным, но во времена Паскаля он уже поставил
вопросы типа «Может ли машина думать?» Сам Паскаль был доста-
достаточно удивлен механизмом, чтобы сказать, что «арифметическая ма-
машина создает эффекты, которые приближают к мысли ближе, чем все
действия животного. Но она не делает ничего, что дало бы нам воз-
возможность приписать ей желание, как животным» (Паскаль, Мысли,
340). Машина весьма впечатлила канцлера Франции, и Паскалю были
предоставлены исключительные права на ее производство и продажу.
Неизвестно, был ли коммерческий успех, но некоторое время Паскаль,
по крайней мере, забавлялся возможностью нажиться на своих идеях.
Направление жизни Паскаля начало смещаться от таких мирских
забот в 1646 году, когда его отца лечили от ранения в ногу два местных
костоправа. Эти костоправы были янсенистами, тогда быстро растущей
секты внутри католической церкви. Их влияние привело к обращению
целой семьи в янсенизм, и Паскаль начал посвящать больше времени
религиозной мысли. В течение нескольких лет он все-таки продолжал
научную работу. В 1647 году он исследовал изменение барометриче-
барометрического давления с высотой, итогом которого стали его Повые экспери-
эксперименты, касающиеся вакуума опубликованные в том же году; в 1651
году он сделал первопроходческую работу в гидростатике, результатом
которой стал Великий эксперимент, касающийся равновесия жидко-
жидкостей, опубликованный в 1663 году; и в 1654 году он исследовал так
называемый треугольник Паскаля, сделав фундаментальные вклады
в теорию чисел, комбинаторику и теорию вероятностей (подробнее об
этом см. главу 11). В 1654 году Паскаль испытал «второе обращение»,
8.54. Биографические заметки: Дезарг и Паскаль
147
которое привело его к почти полному уходу из мира и науки и уве-
увеличившейся приверженности янсенизму. Только в 1638 и 1659 годах
он сосредоточивается временами на математике (однажды, как расска-
рассказывают, чтобы отвлечь свой ум от зубной боли). Его любимая тема
на этом этапе — циклоида, кривая, созданная точкой на окружности
круга, который вращается на прямой линии. Позлее, в семнадцатом ве-
веке, циклоида стала валсной в развитии механики и дифференциальной
геометрии (см. главы 13 и 17).
Математики, конечно, весьма солсалеют об уходе Паскаля из мате-
математики в раннем возрасте; однако, выиграла от обращения Паскаля не
только религия. Провинциальные письма, которые он написал, чтобы
продвинуть идеи янсенизма, и его Мысли, которые были изданы янсе-
янсенистами после его смерти, стали классикой французской литературы.
Несомненно, Паскаль единственный великий математик, репутация ко-
которого в равной мере велика среди литераторов. Более того, его предан-
преданность идеалу янсенизма, служить нуждающимся, имела одно продол-
продолжительное следствие: его идею о системе общественного транспорта.
Незадолго до своей смерти в 1662 году Паскаль увидел первую в мире
службу омнибусов. Экипажи можно было брать от Порт Сен-Антуана
до Люксембурга в Париже за 5 су, при этом прибыли распределялись
для помощи бедным.
Глава 9
Исчисление
9.55. Что такое исчисление?
Исчисление возникло в семнадцатом веке как система сокращений
результатов, полученных методом исчерпывания, и как метод откры-
открытия таких результатов. Типы задач, для которых исчисление оказалось
подходящим, — отыскание длин, площадей и объемов кривых фигур
и определение местных свойств, таких как тангенсы, нормали и кри-
кривизна, — короче, того, что мы ныне признаем задачами интегрирова-
интегрирования и дифференцирования. Эквивалентные задачи, конечно, возника-
возникают в механике, где одна из величин время, вместо расстояния, следова-
следовательно, именно исчисление сделало возможной математическую физи-
физику, развитие которой мы рассмотрим в главе 13. Кроме того, исчисле-
исчисление, в конечном счете, связано с теорией бесконечного ряда, порожда-
порождающей разработки, которые стали фундаментальными в теории чисел,
комбинаторике и теории вероятностей.
В первом случае, необычный успех исчисления был возможен, по-
потому что оно заменило длинные и тонкие аргументы исчерпывания
краткими рутинными вычислениями. Как подсказывает название, ис-
исчисление состоит из правил для вычисления результатов, а не их ло-
логического обоснования. Математики семнадцатого века были знакомы
с методом исчерпывания и допускали, что они всегда могли вернуться
к нему, если их результаты вызывали сомнение, но поток новых ре-
результатов стал столь велик, что сделать это редко позволяло время.
Как писал Гюйгенс A659а), с. 337
У математиков никогда не будет достаточно времени прочи-
прочитать все открытия в Геометрии (количество, которое увеличи-
увеличивается изо дня в день, и, видимо, в этот научный век, скорее
всего, разовьется в огромные пропорции), если они дальше бу-
будут представлены в строгой форме в соответствии с методом
древних.
9.55. Что такое исчисление?
149
Прогресс в геометрии, когда писал Гюйгенс, был действительно
впечатляющим, учитывая, что тогда имелась очень простая система
исчисления. Фактически все, что было известно — это дифференциро-
дифференцирование и интегрирование степеней х (возможно дробных) и явное диф-
дифференцирование многочленов в х,у. Однако, в союзничестве с алге-
алгеброй и аналитической геометрией этого было достаточно, чтобы найти
касательные, максимумы и минимумы всех алгебраических кривых.
И при соединении с исчислением бесконечного ряда Ньютона, откры-
открытого в 1660-х годах, правила степеней х образовали завершенную систе-
систему дифференцирования и интегрирования всех функций, выразимых
в степенных рядах.
Последующее развитие исчисления — приводящее в замешатель-
замешательство исключение из нормального процесса упрощения в математике.
В настоящее время мы имеем гораздо менее элегантную систему, кото-
которая приуменьшает использование бесконечного ряда и услолсняет си-
систему правил дифференцирования и интегрирования. Правила диффе-
дифференцирования по-прежнему полные, при условии, что задан разумный
набор операций для построения функций, но правила интегрирования
душераздирающе неполные. Они не достаточны, чтобы интегрировать
простые алгебраические функции типа
или даже рациональ-
рациональные функции с неопределенными константами типа 1/(ж — х — А).
Более того, только в последние десятилетия мы смогли сказать, какие
алгебраические функции интегрируемы по нашим правилам. [Этот ма-
малоизвестный результат изложен Дейвенпортом A981).]
Вывод из этого, по-видимому, таков, что кроме небольшого упро-
упрощения языка, мы не можем сделать исчисление проще, чем оно было
в семнадцатом веке! Несомненно легче представить историю предмета,
если мы воздержимся от наложения современных идей. Преимущество
этого подхода также в том, что он подчеркивает чрезвычайно комбина-
комбинаторную природу исчисления — в конце концов, он о вычислении. В свете
текущей полемики об относительных достоинствах исчисления и ком-
комбинаторики, может быть, полезно вспомнить, что большая часть клас-
классической комбинаторики была частью алгебры рядов, и, следователь-
следовательно, частью исчисления. Мы развиваем эту тему подробнее в следующей
главе о бесконечном ряде.
Об истории исчисления написано много, и некоторые особенно по-
полезные книги — это книги Бойера A959), Барона A969) и Эдуардса
A979). Однако историки стремятся надоедливо толковать о вопросе
логического обоснования и тратить несоизмеримое количество време-
времени на способ обращения с ним в девятнадцатом веке. Это не только
150
Глава 9
затушевывает смелость и силу раннего исчисления, но и слишком дог-
догматично о способе, которым следует обосновать исчисление. Несмотря
на то, что обоснование уже было доступно в семнадцатом веке (метод
исчерпывания), есть также обоснование двадцатого века [теория беско-
бесконечно малых Робинсона A966)], и явное разнообразие основ исчисления
предполагает, что мы еще не дошли до его фундамента.
9.56. Ранние результаты о площадях и объемах
Идея интегрирования часто вводится аппроксимацией площади
под кривыми у = хк с помощью прямоугольников (рисунок 9.1), ска-
скажем, от 0 до 1. Если основание области разделено на п равных ча-
частей, то высоты прямоугольников: A/п)к,B/п)к, ..., (п/п)к, и отыс-
отыскание площади, занятой прямоугольниками, зависит от суммирования
ряда 1к + 1к + ... + пк. Если кривая вращается вокруг оси х, то пря-
прямоугольники выметают цилиндры площади поперечного сечения тгг2,
где г = A/п)к,B/п)к, ..., (п/п)к, что вызывает суммирование ря-
ряда 12к + 22к + ... + п2к.
Рисунок 9.1: Аппроксимация площади с помощью прямоугольни-
прямоугольников
Со времен Архимеда первые новые результаты по площадям и объ-
объемам фактически основывались на суммировании этих рядов. Араб-
Арабский математик аль-Хайсам (около 965-1089 гг.) суммировал ряд 1к +
+ 2к + ... + пк для к = 1, 2, 3,4 и использовал результат, чтобы найти
объем твердого тела, полученного вращением параболы вокруг свое-
своего основания. [О методе суммирования рядов аль-Хайсама см. Барон
A969), с. 70 или Эдуарде A979), с. 84, а также упражнения об еще од-
одном методе.]
Кавальери A635) распространил эти результаты вплоть до к = 9,
используя их, чтобы получить эквивалент
к dx =
,fc+l
и предполагая эту формулу для всех положительных целых чисел к.
Этот результат был доказан в 1630-х гг. Ферма, Декартом и Роберва-
лем. Ферма даже получил результат для дробного к [см. Барон A969),
стр. 129,185 и Эдуарде A979), с. 116]. Кавальери больше известен своим
«методом неделимых», ранним методом открытия, который рассмат-
рассматривал площади, деленные на бесконечно тонкие полоски, и объемы,
9.56. Ранние результаты о площадях и объемах
151
деленные на бесконечно тонкие слои. В Методе Архимеда использова-
использованы те лее идеи, но как указывалось в разделе 4.1, он был неизвестен
до двадцатого века. Удивительно, современник Кавальери, Торричелли
(изобретатель барометра), сделал предположение, что это метод, быть
может, использовался греками. Сам Торричелли получил много резуль-
результатов, используя неделимые, один из них был почти идентичен опреде-
определению площади параболы, данного Архимедом в Методе [Торричелли
A644)]. Другое его открытие, которое вызвало в то время удивление,
заключалось в том, что бесконечное тело, полученное вращением у =
= 1/х вокруг оси ж от 1 до оо, имеет конечный объем [Торричелли
A643) и упражнение 9.2.3]. Философ Гоббс A672) писал о результа-
результате Торричелли, что, «чтобы понять это умом, не требуется, человеку
необязательно следует быть геометром или логиком, но ему следует
быть сумасшедшим».
Упражнения
9.2.1 Найдите 1 + 2 + ...+ п, суммируя тождество (т+1J — т2 = 2т+ 1
от то = 1 до гг. Аналогичным образом найдите I2 + 22 + ... + п2,
используя тождество
(то + IK - то3 = Зто2 + Зто + 1
наряду с предыдущим результатом. Таким же образом, найди-
найдите I3 + 23 + ... + п3, используя тождество
(то + IL - то4 = 4то3 + бто2 + 4то + 1,
и т.д.
9.2.2 Покажите, что аппроксимация площади под у = х2 с помощью пря-
прямоугольников на рисунке 9.1 имеет значение Bп + 1)п(п + 1)/6п3,
и выведите, что площадь под кривой — 1/3.
9.2.3 Покажите, что объем тела, полученного вращением части у = 1/х
от х = 1 до оо вокруг оси х, конечен. Покажите, с другой стороны,
что площадь его поверхности бесконечна.
Самое элегантное применение метода неделимых Кавальери состо-
состояло в доказательстве формулы Архимеда для объема шара. Его аргу-
аргументация проще, чем аргументация Архимеда, и идет следующим об-
образом.
152
Глава 9
9.2.4 Покажите, что слой z = с шара х2
у2 + z2 = 1 имеет ту лее
площадь, что и слой z = с цилиндра х2 + у2 = 1 за пределами
конуса х2 + у2 = z2.
9.2.5 Выведите из упражнения 9.2.4 и известного объема конуса, что
объем шара составляет 2/3 объема описывающего цилиндра.
9.57. Максимумы, минимумы и касательные
Идея дифференцирования сейчас считается проще, чем интегри-
интегрирования, но исторически она развилась позже. Кроме построения каса-
касательной к спирали г = ав Архимедом, примеров характеристического
предельного процесса
lim :
Ах^сю
Ax)-f(x)
Ах
не появлялось до тех пор, пока он не был введен Ферма в 1629 году для
многочленов /, и не стал использоваться для нахождения максимумов,
минимумов и касательных. Труд Ферма, как его открытие аналити-
аналитической геометрии, не публиковался до 1679 года, но он стал известен
другим математикам посредством переписки после того, как был опуб-
опубликован более сложный метод касательных Декарта A637).
Вычисления Ферма включают жонглерство, которым также поль-
пользовался Ньютон и другие: введение «малого» или «бесконечно малого»
элемента Е в начале, деление на Е для упрощения, затем опускание Е
в конце, как будто он является нулевым. Например, чтобы найти на-
наклон касательной к у = х2 при любом значении х, рассмотрим хорду
между точками (х, х2) и (х + Е, (х + ЕJ) на ней.
наклон =
(x + Ef - x2
Е
2хЕ + Е2
Е
= 2х + Е,
и теперь мы получаем наклон касательной, пренебрегая Е. Эта про-
процедура привела в ярость философов, которые считали: утверждалось,
что 2х + Е = 2х и одновременно В/О. Конечно, необходимо лишь
утверждать, что ИтЕ^о(^х + Е) = 2х, но математики семнадцатого
века не знали, как это сказать. В любом случае, они были слишком
9.57. Максимумы, минимумы и касательные
153
увлечены силой метода, чтобы беспокоиться о такой критике (и трудно
было воспринимать философов серьезно, когда они были столь упря-
упрямы, как Гоббс; см. раздел 9.2). Метод Ферма применяется ко всем мно-
многочленам р(х), поскольку член наивысшей степени в р(х + Е) всегда
сокращается членом высшей степени в р{х), оставляя члены, делимые
на Е. Ферма смог также распространить его на кривые, заданные по-
полиномиальным уравнением р(х, у) = 0. Он сделал это в 1638 году, когда
Декарт, в надежде поставить его в тупик, предложил находить каса-
касательную к листу.
Общность метода Ферма дает право считать его одним из основа-
основателей исчисления. Несомненно, что он мог найти касательные ко всем
кривым, заданным полиномиальными уравнениями у = р{х) и, веро-
вероятно, ко всем алгебраическим кривым р(х,у) = 0. Полностью в явном
виде правило для последней задачи найдено Слузом около 1655 года
[но не публиковалось до Слуза A673)] и Гудде в 1657 году [опублико-
[опубликовано в издании Геометрии Декарта 1659 года , Шутен A659)]. В нашей
системе обозначений, если
=0,
то
p(x,y) =
dy _ _
dx
В настоящее время, это результат легко получить с помощью неявного
дифференцирования (см. упражнения), но его также молено получить
непосредственными манипуляциями с многочленами.
Упражнения
Для доказательства, что касательные к алгебраическим кривым
молено найти без исчисления, достаточно внимательнее взглянуть на
то, что в разделе 3.5 мы назвали методом касательных Диофанта.
В своей Арифметике, задача 18, Книга VI (ранее упоминалась в упраж-
упражнении 3.4.1), Диофант находит касательную у = 4^ + 1ку2 = х3 — Зх2 +
+ Зх + 1 в точке @,1), видимо, с помощью проверки. Не ссылаясь на
геометрическую интерпретацию, он просто подставляет '^- +1 вместо у
в у2 = х3 - Зх2 + Зх + 1.
154
Глава 9
9.3.1 Проверьте, что эта подстановка дает уравнение
х3 - 21 2 = 0.
Какова геометрическая интерпретация двойного корня х = 0?
9.3.2 Что бы вы подставили вместо у, чтобы найти касательную в @,1)
к кривой у2 = х3 — Зх2 + 5х + 1?
Эти уравнения показывают, как можно найти касательные, поис-
поискав двойные корни, хотя это требует некоторой дальновидности, чтобы
сделать правильную подстановку. С помощью исчисления процесс ока-
оказывается более механическим.
9.3.3 Выведите формулу Гудде и Слуза, дифференцируя ^а^хгу3 = 0
относительно х.
9.3.4 Используйте дифференцирование, чтобы найти касательную к ли-
листу х3 + у3 = Заху в точке F, с).
9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса
Усилия Валлиса арифметизировать геометрию отмечались в раз-
разделе 7.6. В своей Arithmetica Infinitorum (Арифметике бесконечного
[Валлис A655а)] он предпринял аналогичную попытку арифметизи-
арифметизировать теорию площадей и объемов кривых фигур. Некоторые из его
результатов, понятно, были эквивалентны уже известным результатам.
Например, он дал доказательство того, что
хр dx = -
о Р
для положительных целых чисел р, показав, что
(F + V + 2р
пр
по мере того, как п —» оо.
Однако он создал новый подход к дробным степеням, скорее непосред-
непосредственно найдя Jo xm'n dx, чем рассматривая кривую уп = хт, как сде-
сделал Ферма. Он первым нашел /0 х1/2 dx, Jo x1/3 dx,.. .рассмотрев пло-
площади, дополнительные к площадям под у = х2,у = х3,... (рисунок 9.2),
9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса
155
затем угадал результаты для других дробный степеней по аналогии
с уже полученными.
Рисунок 9.2: Площади, использованные Валлисом
Как другие первые создатели исчисления, Валлис двойственно от-
относился к величинам, которые стремились к нулю, трактуя их как нену-
ненулевые в один момент и нулевые в следующий. За это он получил ужас-
ужасную отповедь от своего заклятого врага Томаса Гоббса: «Ваша пре-
презренная книга Arithmetica infinitorum; где Вашим неделимым нечего
делать, без того, чтобы не считалось, что они имеют величину, иными
словами, делимы» [Гоббс A656), с.301]. Не говоря уже об этой ошибке,
которая легко исправляется предельными аргументами, рассуждение
Валлиса крайне неполное по сегодняшним стандартам. Например, на-
наблюдая модель в формулах для р = 1, 2, 3, он сразу же заявит формулу
для всех положительных целых чисел р «с помощью индукции» и для
дробных р «с помощью интерполяции». Его смелость достигла новых
высот к концу Arithmetica infinitorum, когда он выводит свою извест-
известную формулу о бесконечном произведении
ТГ
4
2 4 4 6 6
3 ' 3 ' 5 ' 5 ' 7
Описание его рассуждения можно найти у Эдуардса A979), стр.171-
176, где оно охарактеризовано как «одно из самых дерзких исследова-
исследований об аналогии и интуиции, которые когда-либо давали правильный
результат».
Однако мы должны иметь в виду, что Валлис предлагал, прежде
всего, метод открытия, и какое открытие он сделал! Его бесконечное
произведение для тг не было первым, когда-либо данным, поскольку
Виет A953) открыл
2 7Г 7Г 7Г
- = COS j COS g COS yg . . .
\
\
Однако формула Виета основывается на умном, но простом трюке (см.
упражнения), в то время как формула Валлиса имеет более глубокое
значение. Связав тг с целыми числами через последовательность ра-
рациональных операций, Валлис обнаружил последовательность дробей
(полученную завершением произведения на n-ом множителе), которую
156
Глава 9
он назвал «гипергеометрической». Позлее было установлено, что ана-
аналогичные последовательности встречаются как коэффициенты в разло-
разложениях в ряд многих функций, что привело к широкому классу функ-
функций, названных Гауссом «гипергеометрическими». Кроме того, произ-
произведение Валлиса была тесно связано с двумя другими прекрасными
формулами для тг, основанными на последовательностях рациональ-
рациональных операций:
I2
З2
52
Непрерывная дробь была получена Браункером из произведения Вал-
лиса, а также опубликована Валлисом A655b). Ряд — это частный слу-
случай ряда
открытого индийскими математиками в пятнадцатом веке (см. раз-
раздел 10.1) и позже заново открытого Ньютоном, Грегори и Лейбницем.
Эйлер A748а), с. 711, дал прямое преобразование ряда для тг/4 в непре-
непрерывную дробь Браункера. В дополнение к выделению этой эффектной
цепной реакции, метод «интерполяции» Валлиса имел важные послед-
последствия в работе Ньютона, который использовал его при открытии общей
биномиальной теоремы (раздел 10.2).
Упражнения
9.4.1 Используйте тождество sina; = 2sin(a;/2) cos(a;/2), чтобы показать
2й sinB:/2™)
откуда
-l^cosfcosjcosj
9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса
157
9.4.2 Выведите произведение Виета, подставив х = тг/2.
Уравнение, связывающее ряд для тг/4 с непрерывной дробью
для 4/тг, а именно,
1-1+1-1+ =
3 5 7
1
2 +
2 + ...
следует непосредственно из более общего уравнения
1111 1
А ВС D
А
В-А
С-В +
С2
D-C + ...
доказанного Эйлером A748а), с. 311. Следующие упражнения дают
доказательство результата Эйлера.
9.4.3 Проверьте, что
Ав
В-А
9.4.4 Когда -^ в левой части в упражнении 9.4.3 заменяется на -^ —
И И
— -=;, которое равняется
(
В +
В2
по упражнению 9.4.3, покажи-
с-в
в
те, что В в правой части следует заменить на В + ———. Следо-
G — В
158 Глава 9
вательно, покажите, что
А ВС
В-А
С -В
Таким образом, когда мы изменяем «хвостовую часть» ряда (за-
яя — на — — —), то затрагиваем тол
В В С
рывной дроби. Это положение остается:
меняя — на — — —), то затрагиваем только «хвостовую часть» непре-
В В Су
9.4.5 Обобщите свою аргументацию в упражнении 9.4.4, чтобы получить
непрерывную дробь для ряда с п членами, и, следовательно, дока-
докажите уравнение Эйлера.
9.59. Исчисление ряда Ньютона
Ньютон сделал много своих самых важных открытий в 1665/6 гг.
после изучения работ Декарта, Виета и Валлиса. В издании Геомет-
Геометрии Шутена он столкнулся с правилом Гудда для касательных к ал-
алгебраическим кривым, которое с точки зрения Ньютона фактически
было полным дифференциальным исчислением. Хотя Ньютон сделал
вклады в дифференцирование, которые нам полезны, например, цеп-
цепное правило, дифференцирование было малой частью его исчисления,
которое зависело, главным образом, от операций с бесконечным ря-
рядом. Поэтому характеризовать Ньютона как основателя исчисления —
значит вводить в заблуждение, если не понимать исчисление, как пони-
понимал его он, как алгебру бесконечного ряда. В этом исчислении, диффе-
дифференцирование и интегрирование выполняются почленно на степенях х
и, следовательно, сравнительно тривиальны.
В начале своей главной работы по исчислению, Трактата о мето-
методах ряда и флюксиях (известного также под сокращенным латинским
названием De methodis), Ньютон четко формулирует свой взгляд на
роль бесконечного ряда:
Поскольку операции вычисления в числах и с переменными
очень похожи. ..я удивлен, что никому не пришло в голову
9.59. Исчисление ряда Ньютона
159
(если вы исключите Н.Меркатора с его квадратурой гипер-
гиперболы) приспособить учение, недавно созданное для десятич-
десятичных чисел, похожим образом к переменным, особенно потому,
что в таком случае открыт путь к более поразительным по-
последствиям. Ибо поскольку это учение в ряду имеет такое лее
отношение к Алгебре, какое учение в десятичных числах име-
имеет к общей Арифметике, его операции Сложения, Вычитания,
Умножения, Деления и извлечения Корня молено легко узнать
из последнего.
[Ньютон A671), стр.33-35]
Квадратура (определение площади) гиперболы, упомянутая Нью-
Ньютоном, — это результат, который бы мы записали как
dt
1 + t
ж2
2
х3
3
х4
4
впервые опубликован Меркатором A668). Ньютон открыл тот лее са-
самый результат в 1665 году, и частично именно страх потерять при-
приоритет заставил его написать De methodis и более раннюю работу
De analyst [Ньютон A669)]; полное название на английском языке On
Analysis by Equations Unlimited in Their Number of Terms (Анализ
при помощи уравнений с бесконечным числом членов)]. Ньютон также
независимо открыл ряды для tg^1 x, sin ж и cos ж в De analysi, не зная,
что все три ряда уже были открыты индийскими математиками (см.
раздел 10.1).
Оба результата, Меркатора и индийцев, получены методом раз-
разложения геометрического ряда и интегрирования почленно. В нашей
системе обозначений
dt
1 + t
-t + t2-t3
-
2
-
3
—
4
160
Глава 9
dt
-e
..)dt
3
Ньютон рутинно использовал эти методы в De analysi и De methodis,
но он значительно расширил их область действия с помощью алгебраи-
алгебраических операций. Он не только получил суммы, произведения, частные
и корни, как намечается в его введении к De methodis, но его извлечения
корней также распространяются на общее построение обратных функ-
функций с помощью новой идеи обращения бесконечного ряда. Например,
после того, как Ньютон [Ньютон A671)] нашел ряд х — (х2/2) + (х3/3) —
— ..., для f* dt/(l + t), который, конечно, log(l + x), он установил
У = Х-^ + ^~... A)
и решил A) для х (которое мы узнаем как экспоненциальную функ-
функцию еу минус 1). Его метод в табличной форме напоминает арифмети-
арифметические вычисления того времени, но эквивалентные установлению х =
= ао + а\у + а2у2 + ¦ ¦., подстановке в правую часть A) и определе-
определению ао, а\, п2, ¦ ¦., последовательно сравнивая с коэффициентами левой
части. Ньютон нашел несколько первых членов
1
1 3
У
1
1
затем уверенно пришел к выводу, что ап = 1/п! в манере Валлиса. Как
он выразился «Теперь после того как извлечены корни за соответству-
соответствующий период, их иногда по желанию можно распространить, наблюдая
аналогию ряда».
Де Муавр A698) дал формулу для обращения ряда, которая обос-
обосновывает такие заключения; впечатляет, что Ньютон смог найти такой
элегантный результат с помощью такого непривлекательного метода.
Его открытие ряда для sin ж [Ньютон A669), стр.233, 237] еще более
поразительно. Сначала он использовал биномиальный ряд
а)р = 1+ра
р(р-
2!
) 2 , р(р-1)(р-2) „
а -\ — а
3!
9.59. Исчисление ряда Ньютона 161
(хотя без естественного выбора а = —х2, р = — ^), чтобы получить
1 1 т-З 1 о _5 1 о г 7
sin ж — z — ж -|- +9-4 5 2-4-6 7
почленным интегрированием, затем мимоходом констатировал «Я из-
извлек корень, который будет
1
1
6
120'
5040
362 880
- ...»
добавив несколько строк спустя, что коэффициент z2n+1 есть 1/Bп +
+ 1)!.
Упражнения
Расположение данных в виде таблицы, необходимых для выполне-
выполнения инверсии ряда, имеет следующий вид; он показывает коэффициен-
коэффициенты 1,у,у2,у3,.. .в х и их степени.
1 у у2 у3
а0
а-1
а-2
9.5.1 Используйте приведенные строки, чтобы подставить ряд в степе-
9 X2
нях у для х и х в у = х —— + ..., и, следовательно, покажите,
что ао = 0, ai = 1 и аг = 1/2 по очереди, сравнивая коэффициенты
на двух сторонах уравнения.
9.5.2 Вычислите первые несколько элементов в третьей строке таблицы
(коэффициенты х3 и, следовательно, покажите, что а3 = 1/6.
Это показывает, почему обратная функция х = еу — 1 имеет сте-
степенной ряд, который начинается
Покажите, что биномиальный ряд дает
1 _ 1 , 1,2 , 1 • 3 ,4 , 1 • 5 • 7,
4-6
2-4-6
9.5.4 Используйте упражнение 9.5.3 и sin
вывести ряд Ньютона для sin~ x.
162
Глава 9
9.60. Исчисление Лейбница
Эпохальные работы Ньютона [Ньютон A669, 1671)] были пред-
предложены Королевскому обществу и Кембридж Юниверсити Пресс, но,
невероятно, как сейчас представляется, в публикации было отказано.
Поэтому случилось так, что первой опубликованной статьей по исчис-
исчислению была работа Лейбница A684), а не Ньютона. Это привело к то-
тому, что первоначально Лейбниц удостоился чести за открытие исчис-
исчисления, и позлее к горькому спору с Ньютоном и его последователями
по вопросу о приоритете открытия.
Нет сомнения, что Лейбниц открыл исчисление независимо, что
у него была лучшая система обозначений, и что его последователи
больше внесли в распространение исчисления, чем последователи Нью-
Ньютона. Работе Лейбница не хватало глубины и виртуозности Ньютона, но
тогда Лейбниц был библиотекарем, философом и дипломатом, уделяя
математике лишь часть своего времени. Его Nova methodus (Новый ме-
метод) [Лейбниц A684)] была относительно слабой статьей, хотя она дей-
действительно закладывает несколько важных основ — правила суммы,
произведения и частного для дифференцирования, и вводит обозначе-
обозначение dy/dx, которое мы сейчас используем. Однако для Лейбница dy/dx
было не просто символом, как для нас, но буквально частным беско-
бесконечно малых dy и dx, которые он рассматривал как разности (отсюда
символ d) между соседними значениями у и х, соответственно.
Он также ввел знак интеграла / в De geometrica (О геометрии)
[Лейбниц A686)] и доказал основную теорему исчисления: интегри-
интегрирование — это обратный процесс дифференцирования. Этот резуль-
результат был известен Ньютону и далее, в геометрической форме, учителю
Ньютона, Барроу, но он стал прозрачнее в формализме Лейбница. Для
Лейбница / означал «сумму» и J f(x)dx был буквально суммой чле-
членов f(x)dx, представляющей бесконечно малые площади высоты /(ж)
и ширины dx. Разностный оператор d дает последний член /(ж) dx
в сумме, и деление на бесконечно малое dx дает fix). Поэтому вот!
А
dx
f{x) dx = f{x)
основная теорема исчисления.
Сила Лейбница лелсала скорее в определении важных понятий,
чем в их техническом развитии. Он ввел слово «функция», и именно
он первый начал мыслить в понятиях функций. Он провел различие
между алгебраическими и трансцендентными функциями и, вопреки
9.60. Исчисление Лейбница
163
Ньютону, предпочитал выражения «конечного вида» бесконечным ря-
рядам. Поэтому оценка / /(ж) dx для Лейбница была задачей отыскания
известной функции, производная которой — fix), тогда как для Ньюто-
Ньютона — задачей разложения /(ж) в ряд, после чего интегрирование было
тривиальным.
Поиск конечных видов был погоней за недостижимым, но, как мно-
многие усилия решить трудно разрешимые задачи, он привел к стоящим
результатам в других направлениях. Попытки интегрировать рацио-
рациональные функции поставили задачу разложения на множители мно-
многочленов и привели, в конечном счете, к основной теореме алгебры
(см. главу 14). Попытки интегрировать 1/\/1 — ж4 привели к теории
эллиптических функций (глава 12). Как указывалось в разделе 9.1, за-
задача принятия решения, какие алгебраические функции могут быть
интегрированы в конечном виде, была решена лишь недавно, хотя не
в форме, подходящей для учебников по исчислению, которые продол-
продолжают оставаться забывчивыми к большинству разработок со времен
Лейбница. (Изменилось лишь одно: теперь гораздо легче опубликовать
книгу по исчислению, чем во времена Ньютона!)
Упражнения
Лейбниц A702) был загнан в угол интегралом J 4 х—, потому что
X ~\~ _1_
он не увидел разложения ж4 + 1 на действительные квадратичные мно-
множители.
9.6.1 Записав ж4 + 1 = ж4 + 2ж2 + 1 — 2ж2, или иначе, разложите ж4 + 1
на действительные квадратичные множители.
9.6.2 Используйте множители в упражнении 9.6.1, чтобы выразить —
в форме элементарной дроби
qi(x) ?2(ж)
где gi (ж) и дг (ж) — действительные квадратные многочлены.
9.6.3 Не вдаваясь во все детали, объясните, как элементарные дроби
в упражнении 9.6.2 можно интегрировать в понятиях рациональ-
рациональных функций и функции tg^1
164
Глава 9
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон
и Лейбниц
Джон Валлис (рисунок 9.3) родился в 1616 году в Ашфорде, Кент,
и умер в Оксфорде в 1703 году. Он был одним из пяти детей Джо-
Джона Валлиса, приходского священника Ашфорда, и Джоанны Чэпмен.
У него было две старших сестры и два младших брата. Молодого Джо-
Джона Валлиса признали научным талантом семьи, и в 14 лет его отправи-
отправили в Фелстед, Эссекс, в школу Мартина Гольбеха, известного учителя
того времени. В школе он изучал латынь, греческий и иврит, но он
не встречался с математикой пока не вернулся домой на рождествен-
рождественские каникулы в 1631 году. Один из его братьев изучал арифметику,
чтобы подготовиться к профессии торговца, и Валлис попросил его
объяснить ее. Это оказалось единственным уроком по математике, ко-
который когда-либо получал Валлис, несмотря на то, что позже он учился
в Эммануэль-колледже в Кембридже.
Рисунок 9.3: Джон Валлис
Как объяснил Валлис в своей автобиографии:
Математику в то время считали не университетской дисципли-
дисциплиной, а делом торговцев, купцов, моряков, плотников, землеме-
землемеров и тому подобных; или возможно, некоторых составителей
календарей в Лондоне. И более, чем за 200 лет в нашем колле-
колледже я вообще не знаю двух людей, кто бы больше занимался
математикой, чем я сам, которой было, тем не менее, очень
немного; я никогда не делал ее серьезным предметом изуче-
изучения (или лее приятным разнообразием), пока некоторое время
назад я не был назначен профессором ее.
[Валлис A696), с.27]
В Эммануэль-колледже Валлис изучал богословие с 1632 по 1640
год, когда он получил степень магистра гуманитарных наук. Жизнь
в колледже, очевидно, была ему приятна, и он остался бы там в каче-
качестве стипендиата, если бы имелось место. Он стал стипендиатом Квинс-
коллледжа в Кембридже в течение года, но, поскольку стипендиаты
должны были оставаться холостыми, оставил место, когда в 1645 году
женился. Таким образом, случилось так, что большую часть 1640-х гг.
Валлис оставался духовным лицом.
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц 165
1640-е годы были решающим десятилетием в английской истории,
в связи с усилением парламентской оппозиции королю Карлу I и каз-
казнью короля в 1649 году. Частично благодаря удаче, частично из-за того,
что приспособился к новым политическим условиям, Валлис изменил
направление своей жизни к математике. На ранней стадии конфликта
он обнаружил у себя весьма ценную способность расшифровать зако-
закодированные сообщения. Опять процитируем автобиографию:
Примерно в начале наших гражданских войн, в году 1642,
капеллан сэра Уильяма Уоллера показал мне перехвачен-
перехваченное письмо, написанное шифром. ... Он спросил меня (то ли
в шутку, то ли всерьез), смогу ли я что-нибудь с этим сде-
сделать.. .. Я рассудил, что это не может быть ничем иным, кроме
как новым алфавитом и, прежде, чем я лег спать, я раскрыл
его, что явилось моей первой попыткой в дешифровании.
[Валлис A696), с.37]
Это первый в серии успехов, которые были у Валлиса при взло-
взломе кодов для парламентариев; они принесли ему не только политиче-
политическую благосклонность, но также репутацию в математическом искус-
искусстве. [Подробнее о криптографии Валлиса см. Кан A967), с. 166]. Когда
роялист Питер Тернер был изгнан с (Savilian) ? кафедры геометрии
в Оксфорде в 1649 году, Валлис был назначен на его место. Наконец,
его главная математическая способность получила шанс для развития,
и с тех пор он практиковал в математике почти непрерывно до конца
своей жизни.
Исаак Ньютон (рисунок 9.4) родился в Рождество 1642 года в Вул-
сторпе, Линкольншир. Происхождение его семьи и детство не предве-
предвещали будущего величия. Отец Ньютона, также Исаак, был довольно
состоятельным, но неграмотным человеком, и он умер за три месяца
до рождения Ньютона. Его мать, Ханна Эйскоф, вновь вышла замуж,
когда Ньютону было три года, только, чтобы отказаться от него по на-
настоянию отчима. Мальчик был оставлен на попечение семьи Эйскоф,
обстоятельство, которое помогло его образованию (брат Ханны, Уи-
Уильям, учился в Кембридже, и со временем он направил туда Ньюто-
Ньютона), но эмоционально не компенсировало ему отсутствие отца и матери.
В зрелой жизни Ньютон стал очень нервным, скрытным и подозритель-
подозрительным; он никогда не женился и скорее заводил себе врагов, чем друзей.
Рисунок 9.4: Исаак Ньютон
166
Глава 9
Молодой Ньютон больше интересовался строительством сложных
машин, таких как ветряные мельницы, чем университетскими заняти-
занятиями, хотя как только он сосредоточил свою мысль на этом, он стал пер-
первым учеником школы. В 1661 году он поступил в Тринити-колледж в
Кембридже, в качестве сайзера. Сайзеры должны были зарабатывать
себе на жизнь в качестве слуг более богатых студентов, и то, что он
стал таковым, указывало на скупость его матери, поскольку она могла
содержать его, но предпочла этого не делать. Первые занятия Ньюто-
Ньютона — изучение Аристотеля, обычная учебная программа того времени.
Первый мыслитель, который произвел на него впечатление, — Декарт,
труды которого наделали тогда шуму в Кембридже. К 1664 году, в ряде
заметок, которые он назвал Quaestiones guaedam philosophicae, Ньюто-
Ньютона занимали вопросы механики, оптики и физиологии зрения. Он был
также поражен геометрией Декарта, предпочитая ее евклидовой, ко-
которую при первой встрече «он презирал.. .как банальную книгу» (со-
(согласно позднейшим воспоминаниям де Муавра).
Годы с 1664 по 1666 были самыми важными в математическом
развитии Ньютона и, возможно, самым творческим периодом в жиз-
жизни любого математика. В 1664 году он поглощал математику Декарта,
Виета и Валлиса и начал свои собственные исследования. В конце 1664
года он понял идею кривизны, из которой выросло многое в дифферен-
дифференциальной геометрии (см. главу 17). Университет закрылся в 1665 году,
который был бедственным годом чумы в большей части Англии. Нью-
Ньютон вернулся в Вулсторп, где его математические размышления стали
всепоглощающей страстью. Пятьюдесятью годами позлее Ньютон так
вспоминал это время:
В начале 1665 года я нашел метод аппроксимации ряда и пра-
правило для уменьшения любого достоинства любого бинома в та-
такой ряд. В том же году 1 мая я нашел метод касательных Гре-
Грегори и Слуза, и в ноябре имел прямой метод флюксий, и в сле-
следующем году в январе имел теорию цветов, и в следующем мае
у меня был доступ в обратный метод флюксий. И в том лее са-
самом году я начал размышлять о гравитации, распространив до
орбиты Луны и... из правила Кеплера периодических времен
планет... я вывел, что силы, которые держат планеты на ор-
орбитах, должны [быть] взаимно как квадраты своих расстояний
от центров.... Все это было в два чумных года: 1665-1666. Ибо
в те дни я находился в расцвете своего возраста для изобре-
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц 167
тения и занимался механикой и философией больше, чем [sic]
в любое другое время.
[Уайтсайд A966), с.32]
Кроме упомянутых достижений, открытия Ньютона в этот период
включали ряд для log(l + x) и, по крайней мере, в предварительной
форме, классификацию кубических кривых.
Как мы видели, первые попытки Ньютона опубликовать свои ре-
результаты были безуспешными; тем не менее, кое-кто прочитал их и при-
признал его гений. В 1669 году люкасовский профессор математики в Три-
нити, Исаак Барроу, ушел в отставку, чтобы посвятить себя теологии,
и Ньютона по рекомендации Барроу назначили на кафедру. Ньютон
занимал этот пост до 1696 года, когда он принял приводящее в за-
замешательство решение принять должность учителя в Минте, Лондон.
Выдающееся достижение его люкасовского профессорства — класси-
классические Principia [Ньютон A687)], или их полное название Philosophiae
naturalis principia mathematica (Математические принципы натураль-
натуральной философии).
Principia, в которых развита теория гравитации, основанная на
законе обратных квадратов Ньютона 1665 года, обязаны своему суще-
существованию посещению Кембриджа Эдмундом Галлеем в 1684 году. Ги-
Гипотеза о законе обратных квадратов витала в воздухе в то время, Рен,
Гук и сам Галлей думали о ней, но не доставало математического выво-
вывода ее последствий. Галлей спросил Ньютона, какую бы кривую описала
планета по этому закону, и был рад узнать, что Ньютон вычислил: она
должна быть эллипсом. Когда его попросили предоставить доказатель-
доказательство, у Ньютона были некоторые затруднения при его реконструкции,
в конце концов, три месяца спустя он послал Галл ею статью на девяти
страницах De motu corporum in gyrum (О движении тел на орбите). De
motu были Principia в зачаточном виде.
Осознав значение результатов Ньютона, Галлей передал их Коро-
Королевскому обществу и заставил Ньютона расширить их для публикации.
Его толчок пришелся как раз во время. Возбуждение по поводу ранних
результатов Ньютона улеглось, и в течение предыдущих шести или се-
семи лет он напрасно тратил свое время над алхимическими опытами.
С вновь загоревшимся интересом к математике, Ньютон посвятил сле-
следующие 18 месяцев почти исключительно Principia, «столь решитель-
решительный, столь серьезный над своими занятиями, что он ел недостаточно,
мало того, часто он забывал поесть вовсе», как заметил современник
168
Глава 9
в Кембридже [см. Уэстфол A980), с. 406]. Когда Книга I была пред-
представлена в Королевское общество в апреле 1686 года, ее по-прежнему
не хотели печатать, и Галлей предпринял героические усилия, чтобы
переубедить их. Он не только рискнул своими деньгами в этом пред-
предприятии, но ему пришлось уговаривать Ньютона довести дело до кон-
конца, поскольку Ньютон разразился гневом, когда Гук заявил о своих
претензиях на приоритет. Наконец, в 1687 году Principia были изданы,
и слава Ньютона обеспечена, по крайней мере, в Британии.
В начале 1690-х годов Ньютон работал над исправлением Principia
и приведением в порядок некоторых своих ранних исследований. Как
мы видели, окончательная форма его классификации кубических кри-
кривых относится к этому периоду. В 1693 году у него было серьезное рас-
расстройство здоровья, и, быть может, это повлияло на его решение оста-
оставить Кембридж ради Минта в 1696 году. Он не оставил полностью нау-
науку, став в 1703 году президентом Королевского общества, но его матема-
математическая деятельность в основном ограничилась спором о приоритете
с Лейбницем по вопросу изобретения исчисления. Ньютон умер в 1727
году и похоронен в Вестминстреском аббатстве. Уэстфол A980) — от-
отличная биография за последние годы.
Готфрид Вильгельм Лейбниц (рисунок 9.5) родился в Лейпциге
в 1646 году и умер в Ганновере в 1716 году. Его отец, Фридрих, был
профессором этики в Лейпциге, и его мать, Катерина Шмук, также
происходила из ученой семьи. С шестилетнего возраста Лейбницу был
предоставлен свободный доступ в отцовскую библиотеку, и он стал
ненасытным читателем. В 15 лет он поступил в Лейпцигский универси-
университет и получил степень доктора права в Альтдорфе в 1666 году (Лейп-
(Лейпциг отказал ему в докторской степени, потому что он был слишком
юн). В 1663 году, во время летнего посещения Йенского университета,
он немного изучал Евклида, другими предметами изучения были пра-
право и философия, предметы, которые должны были стать основой его
будущей карьеры. Отсутствие ранней практики в математике наложи-
наложило опечаток на позднейший математический стиль Лейбница, в кото-
котором хорошие идеи иногда были недостаточно развиты из-за недостатка
технического мастерства. Часто казалось, что ему не хватало не толь-
только техники, но также терпения, чтобы развивать идеи, задуманные его
широким воображением. Ныне представляется, что Лейбниц был пи-
пионером в комбинаторике, математической логике и топологии, но его
идеи в этих областях были слишком фрагментарны, чтобы их исполь-
использовали его современники.
Рисунок 9.5: Готфрид Вильгельм Лейбниц
9.61. Биографические заметки: Валлис, Ньютон и Лейбниц 169
Интерес к логике привел Лейбница к его первому вторжению в ма-
математику, очерку Dissertatio de arte combinatoria [Лейбниц A666)]. Его
цель заключалась в «общем методе, в котором все истины разума были
бы сведены к своего рода исчислению». Лейбниц предвидел, что будут
задействованы перестановки и комбинации, но он не добился доста-
достаточных успехов, чтобы заинтересовать математиков семнадцатого века
в этом проекте. Мечта об универсальном логическом исчислении вновь
оживилась в девятнадцатом столетии, но, наконец, разбилась вдребез-
вдребезги результатами Геделя A931) (см. главу 23). Тем не менее, Лейбниц
извлек значительную выгоду из своей работы по комбинаторике; она
привела его к его идеям в исчислении.
После получения докторской степени по праву, Лейбниц начал
юридическую карьеру на службе у курфюрста Майнца. В 1672 году
его обязанности призвали его в Париж, где он встретил Гюйгенса,
и в первый раз его серьезно захватила математика. Годы с 1672 по
1676 были решающими в математической жизни Лейбница, и подроб-
подробно освещены Гофманом A974). Начав с «треугольника Паскаля», ко-
который он использовал в своей Dissertatio [Лейбниц A666)], Лейбниц
заинтересовался разностями между последовательными членами ряда.
Используя разности, он разработал метод интерполяции для функций,
который, как мы увидим в разделе 10.2, был также независим от от-
открытий Ньютона и Грегори. Лейбниц показал свое открытие Гюйгенсу,
который побудил его использовать разности в суммировании бесконеч-
бесконечных рядов, поставив задачу оценки X^^i l/n(n + !)• Лейбниц добился
успеха (через некоторое время) и успешно продолжал пользоваться тем
лее методом в других случаях. Это было его введением к бесконечным
процессам исчисления, а также, возможно, истоком предпочтения им
решений «конечного вида». В 1673 году он поднялся на новый уровень
с открытием
3
1
6,8
1
10,12
почленным интегрированием. К 1676 году он, фактически, завершил
свою формулировку исчисления, включая основную теорему, обозна-
обозначение dx и знак интеграла.
Первый период математической деятельности Лейбница пришелся
на конец 1676 года. Ему не удалось получить научный пост в Париже
или Лондоне, в поисках лучшего жалованья он переехал в Ганновер,
170
Глава 9
чтобы поступить на службу герцога Брауншвейского-Люнебургского.
В основные его обязанности входило выступать в качестве советника,
библиотекаря и консультанта по некоторым инженерным работам. Ко-
Когда в 1679 году герцог умер, его наследник поручил Лейбницу составить
генеалогию дома Брауншвейгов, чтобы поддержать династические при-
притязания семьи. Лейбниц окунулся в этот проект с таким усердием, ко-
которым трудно восхищаться, учитывая цель генеалогии, хотя это дало
ему возможность путешествовать, посещать библиотеки и встречаться
с учеными всей Европы. В 1682 году он помог основать журнал Ada
Eruditorum и пользовался им, чтобы публиковать свои открытия в ис-
исчислении, а также открытия своих блестящих последователей, Якоба
и Иоганна Бернулли. Это привело к быстрому распространению систе-
системы обозначений и методов Лейбница по всему континенту.
С приходом к власти в 1698 году нового герцога Брауншвейгско-
го Лейбниц отчасти утратил милость, хотя сохранил свою должность,
и при поддерлске других членов семьи в 1700 году основал Берлинскую
Академию и стал ее первым президентом. Его последние годы были
отравлены спором о приоритете по поводу исчисления и пренебреже-
пренебрежением его хозяина. Он по-прежнему упрямо пытался завершить историю
дома Брауншвейгов, когда он умер в 1716 году. Его секретарь был един-
единственным человеком, присутствовавшим на его похоронах, и история
не публиковалась до 1843 года.
Глава 10
Бесконечные ряды
10.62. Ранние результаты
Бесконечные ряды были представлены в греческой математике, хо-
хотя греки пытались заниматься ими как конечными, насколько возмож-
возможно, работая с произвольными конечными суммами а\ + а^ + ¦ ¦ ¦ + ап
вместо бесконечных сумм а\ + а^ + ¦ ¦.. Однако, в этом как раз состоит
разница между потенциальной и действительной бесконечностью. Во-
Вопроса о том, что, например, парадокс Зенона о дихотомии (раздел 4.1)
касается разложения числа 1 в бесконечный ряд
2 22 23 24 ''
и что Архимед нашел площадь параболического сегмента (раздел 4.4),
по существу, суммируя бесконечный ряд
+ 4 42 43 ' 3'
не возникает. Оба этих примера — частные случаи результата, который
мы выражаем как суммирование геометрического ряда
1-r
когда
< 1.
Первые примеры бесконечных рядов, отличные от геометрических,
появились в средние века. В книге примерно от 1350 года, названной
Liber calculationum Ричард Суизет (или Суайнсхед, известный как Вы-
Вычислитель) использовал очень длинную словесную аргументацию, что-
чтобы показать, что
2 + 22" + 23 + 24" + '" = 2'
172
Глава 10
[Аргументация воспроизведена у Бойера A959), с. 78.] Примерно в то
же время Орем A350b), стр. 413-421, суммировал этот и аналогичные
ряды с помощью геометрического разложения, как на рисунке 10.1,
показывая
2 - 2
А + А
23 24
Рисунок 10.1: Суммирование Орема
Фактически, Орем приводит на рисунке лишь последнюю картин-
картинку, но представляется вероятным, что он пришел к ней, разрезая пло-
площадь двух квадратных единиц (как показано), судя по его вводному
замечанию: «Конечную поверхность молено составлять столь длинной,
сколь мы желаем, или высокой, изменяя растяжение без увеличения
размера». Область, построенная Оремом, между прочим, — возмож-
возможно, первый пример явления, с которым столкнулся Торричелли (раз-
(раздел 9.2) в гиперболическом теле вращения — бесконечный размер, но
конечный объем.
Еще одно важное открытие Орема заключалось в расхождении
гармонического ряда
Его доказательство было элементарным аргументом, который сейчас
стандартен.
1+1+1+1
5 6 7^8
1+1+1+1
8 + 8 + 8 + 8
--1 + - + - + -
2 2 2
Таким образом, многократно удваивая число членов, собранных
в последовательные группы, мы можем бесконечно получать группы
суммы > -, давая сумме возможность перерасти все границы.
Как указывалось в разделе 9.4, индийские математики нашли ряд
tg
1
10.62. Ранние результаты
с его важным частным случаем
173
=1++
4 3 5 7
в пятнадцатом веке. Ряд для тг был первым удовлетворительным от-
ответом на классическую задачу квадратуры круга, ибо хотя выражение
бесконечно (как, вероятно, должно быть, в свете теоремы Линдемана
о трансцендентности тг), правило порождения последовательных чле-
членов настолько конечно и прозрачно, насколько, возможно, могло быть.
Печально, что индийский ряд стал известен на Западе слишком позд-
поздно, чтобы оказать какое-либо влияние или даже, до сих пор, воздать
надлелеащую честь его открывателю. Радлсагопал и Рангачари A977,
1986) показали, что ряды для tg^1 х, sin ж и cos ж были известны в Ин-
Индии до 1540 года, и, вероятно, до 1500 года, но конкретные даты и их
открыватели точно неизвестны.
Упражнения
Доказательство Орема посредством разбиения гармонического ря-
ряда на
имеет следующий геометрический аналог.
10.1.1 Справляясь с рисунком 10.2, покажите, что
1+ + +
-> площади под у = - между х и х = тг + 1.
10.1.2 Теперь разбейте эту площадь под у = 1/х на участки между х =
= 1 и i = 2, i = 2 и i = 4, ж = 4 и ж = 8,..., и покажите, что все
эти участки имеют одинаковую площадь. (Это можно сделать да-
далее не прибегая к исчислению, если вы используете аргументацию
упражнений 4.4.1 и 4.4.2.)
10.1.3 Выведите из упражнения 10.1.2, что площадь от х = 1 до х = п
и, следовательно, сумма 1 + - + -
ности.
—, стремится к бесконеч-
174
Глава 10
Площадь под у = 1/х отж = 1дож = п+1— это, конечно, log(n + 1),
поэтому рисунок 10.2 показывает, что 1 + | + ^ + ... + ^> log(n + 1).
Поскольку п —» оо, эти две функции п остаются примерно одинаковой
величины.
10.1.4 Сравнивая искривленную поверхность с соответствующими пря-
прямоугольниками ниже кривой, покажите, что
и, следовательно, что 0<1+- + - + ... + — — log(n + 1) < 1.
10.1.5 Покажите также, с помощью геометрической аргументации, что 1+
+ - + ^ + ...+ — — log(n + 1) увеличивается по мере того, как
увеличивается п, поэтому он имеет конечный предел < 1.
Значение предела известно как постоянная Эйлера у,тлу — при-
приблизительно 0,577. Однако, о природе у известно немного, даже явля-
является ли она иррациональной.
Рисунок 10.2: Сравнение 1+^ + ^ + ... + — с площадью
10.63. Степенные ряды
Индийский ряд для tg^1 был первым примером, кроме геометри-
геометрического ряда, такого как 1+х+х2+х3 + ... = 1/A—ж), степенного ряда,
то есть, разложения функции f(x) по степеням х. Идея степенного ряда
оказалась плодотворной не только в представлении функций, но даже
в изучении числовых рядов. Большинство интересных числовых рядов
оказалось примерами степенного ряда для конкретных значений х, на-
например, ряд для тг/4 — х = 1 пример ряда для tg^1 x.
Теория степенных рядов началась с публикации ряда
,„,2 т"^ ^у4
log(l + х)=х-^- + ^-^ + ...
Меркатором A668). Как мы видели, он был получен интегрированием
геометрического ряда
1
1 + х
х2-х3
10.63. Степенные ряды
175
почленно. Теперь большинство важных трансцендентных функций —
логарифмические, показательные, а также зависимые тригонометриче-
тригонометрические и гиперболические функции, получают интегрированием и обра-
обращением из алгебраических функций, и довольно простых алгебраиче-
алгебраических функций, притом. Например, ev — обратная функция у = log ж, и
sin у — обратная функция у = sin~ x и
и т. д. Таким образом, ключ к нахождению степенного ряда — нахожде-
нахождение разложений в ряд простых алгебраических функций. Как только
это сделано, почленное интегрирование и метод обращения ряда Нью-
Ньютона (раздел 9.5) дают степенной ряд для всех общих функций.
Рациональные функции, такие как 1/A + ?2), молено разложить,
используя геометрический ряд; решающий шаг был сделан Ньютоном
A665а), когда он открыл общую биномиальную теорему
х)р = 1+рх
р(р-
р(р-1)(р-2)
дающую разложение функций, таких как 1/л/1 — t2 = A — t2) xl2. Эта
теорема была также независимо открыта Грегори A670). И Ньюто-
Ньютона, и Грегори вдохновил нестрогий эвристический метод интерполя-
интерполяции, использованный Валлисом A655а), но они усовершенствовали его
до результата, известного ныне как формула интерполяции Грегори-
Ньютона:
ia + h) =
f ДДа)
A)
176
где
Глава 10
A2f(a) = Af(a + 6) - Af(a) = f(a + 26) - 2/(а + 6) + f(a),
A3f(a) = A2f(a + b) - A2f(a) = f(a + 26) - 3/(a + 26) + 3/(a + 6) - /(a),
Эта замечательная формула определяет значение / в произволь-
произвольной точке а + h из значений в бесконечной арифметической последо-
последовательности точек а, а + 6, а + 26,... Первые п членов дают многочлен
п—й степени в h, принимая те лее значения, что / в а, а + 6, ..., а +
+ nb. Следовательно, формула, справедливая для любой /, та, которая
является пределом своих аппроксимирующих многочленов. Это подра-
подразумевает все функции, представимые степенным рядом, при условии,
что точки а, а + 6, а + 26, ..., выбраны разумно (точки тг, 2тг, Зтг, ..., —
плохой выбор для sin ж, поскольку ось х — это полиномиальная кривая,
проходящая через все из них).
Ньютон открыл формулу A) после своих специальных исследова-
исследований по интерполяции, которые привели его к биномиальной теореме.
Грегори открыл общую формулу первым и затем использовал ее, чтобы
вывести биномиальную теорему (см. упражнения ниже), все независи-
независимо от Ньютона. Представляется даже, что Грегори использовал тео-
теорему об интерполяции, чтобы открыть теорему Тейлора за 44 года до
Брука Тейлора. Есть весомое доказательство, что Грегори использовал
ряд Тейлора для других результатов [Грегори A671)], а ряд Тейлора
B)
есть просто предельный случай A) по мере того, как 6^0. Несомненно,
именно так он был выведен Тейлором A715). Переход от A) и B) прост,
если допустить правдоподобное предельное поведение для бесконечной
суммы. Заметьте, что
ДДо) /(а + 6) -/(а)
/'(а), когда
и аналогично,
б2
10.64. Интерполяция на интерполяции
и т.д. Мы записываем A) как
177
f(a + h) = f(a)
Af(a) h(h-b)A2f(a)
и замечаем, что n-й член —* (hn/nl)f^'(a) по мере того, как п —* оо.
Допуская, что предел бесконечной суммы — это сумма этих пределов,
мы тогда получаем ряд Тейлора B) как предел A) по мере того, как 6 —>
Упражнения
10.2.1 Покажите, что
г=0
где (™) — обыкновенный биномиальный коэффициент.
10.2.2 Если а = 0, 6 = 1 и /(ж) = A + к)х, покажите, что Ди/@) = кп,
используя конечный биномиальный ряд
г=0
10.2.3 Выведите общий биномиальный ряд
| ^
б3
используя формулу интерполяции Грегори-Ньютона.
10.64. Интерполяция на интерполяции
Значение интерполяции в развитии исчисления, видимо, весьма
недооценено. Тема редко возникает сегодня в книгах по исчислению,
и, к тому же, лишь в качестве численного метода. Все трое из самых
выдающихся основателей исчисления, Ньютон, Грегори и Лейбниц, на-
начали свою работу с интерполяции, и мы видели, как это привело к двум
178
Глава 10
самым важным их результатам, биномимальной теореме и теореме Тей-
Тейлора. [О работе Лейбница, см. Гофман A974).] С изгнанием интерпо-
интерполяции в численные методы, эта связь оказалась утерянной. Конечно,
интерполяция на поверку есть численный метод, когда используются
лишь несколько членов ряда Грегори - Ньютона, но полный ряд — точ-
точный и, следовательно, представляет гораздо больший интерес. Именно
этот интерес к разложениям в бесконечный ряд по существу выделяет
Ньютона, Грегори и Лейбница (а также Валлиса) от их предшествен-
предшественников в интерполяции.
Интерполяция относится к временам античности как метод оценки
значений функций между известными значениями. Но, возможно, пер-
первыми, кто рассмотрел возможность точной интерполяции, были Томас
Гарриот A560-1621) и Генри Бриггс A556-1630). Основная часть труда
Гарриота осталась неопубликованной или даже не приведена в надле-
надлежащий порядок, но формула найдена в его бумагах, и она эквивалентна
первым членам ряда Грегори-Ньютона [см. Лоне A965)]. Лоне дати-
датирует эту работу Гарриота 1611 годом. Бриггс, возможно, узнал что-то
об интерполяции от Гарриота, когда оба были в Оксфорде около 1620
года. В Arithmetica logarithmica Бриггса [Бриггс A624)], которая ка-
касается исчисления логарифмов, используется ряд для интерполяции,
и в ходе этого приводится первый случай биномиальной теоремы для
дробного показателя степени:
A
2" 2-4"
2-4-6'
2 - 4 - 6 -:
Грегори знал о работе Бриггса, и Ньютон, конечно, мог знать о ней,
хотя убедительных доказательств, что это так, до сих пор не найдено.
Более подробную информацию об истории интерполяции см. Уайтсайд
A961) и Голдстайн A977).
10.65. Суммирование рядов
Результаты по бесконечным рядам, которые мы до сих пор виде-
видели, являются, по большей части, скорее декомпозициями или разло-
разложениями, нежели суммированиями. То есть, начинаешь с «известной»
величины или функции и раскладываешь ее в бесконечный ряд. Реше-
Решения обратной задачи, суммирования заданного ряда, были сравнитель-
сравнительно редкими. Одним из них было суммирование Архимедом 1 + 1/4 +
+ 1/42 + ... Возможно, следующим было суммирование ряда, такого
10.65. Суммирование рядов
179
как 1/1 • 2 + 1/2 • 3 + ... + 1/п(п + 1) + ..., данное Менголи A650).
Ряд ~^2 1/п(п + 1) легко суммируется вследствие счастливого случая:
следовательно,
1 I 1 1
1-2 2-3 •••
1
п(п -\-
! 1
п(п+ 1)
1)
/
V
- 1
1
п
1 v
1
1
п +
, (
11
1'
1
2
Л 1
з) '¦¦
1 f1
-' Iя
1
п +
1
п+Г
Предполагая, что п —* оо, мы тогда получаем сумму 1 для бесконечного
ряда.
Первой, действительно трудной задачей суммирования была: 1 +
+ 1/22 + 1/32 + ... Менголи безуспешно взялся за ее решение, также
как и братья Бернулли, Якоб и Иоганн, в серии статьей [Бернулли,
Якоб и Иоганн A704)]. Братья Бернулли смогли суммировать похожие
ряды, заново открыв ряд Менголи Y11/п(п + 1), а также суммирова-
суммировали J2l/(n2 — 1), но для самого Yl V77-2 они смогли получить только
тривиальные результаты, такие как
Решение, наконец, было получено Эйлером A734), долгое время спустя
после смерти Якоба Бернулли, и Иоганн Бернулли воскликнул: «Таким
образом удовлетворено самое горячее желание моего брата... если бы
только мой брат был еще жив!» (Иоганн Бернулли, Opera, т.4, с.22).
Действительно, услышав, что сумма равна тг2/6, Иоганн Бернулли сам
открыл доказательство, которое оказалось таким же, как у Эйлера.
Эйлер A707-1783) был, вероятно, величайшим виртуозом опера-
операций с рядами, и его первое суммирование 1 + 1/22 + 1/32 + ... было
одним из самых смелых аргументов. (Позлее он дал более строгие до-
доказательства.) Рассмотрим уравнение
sin
= _ х_ х^_ _ х^_
3! + 5! 7!
. .. = 0,
A)
легко получаемое из ряда синусов раздела 8.5. Это уравнение име-
имеет корни х\ = тг2, Х2 = Bтг2), жз = (ЗтгJ,..., но не 0, потому
180
Глава 10
что siny/x/y/x —> 1, по мере того, как ж —> 0. Теперь, если полино-
полиномиальное уравнение
1 + ахж + агж + ... + аижи = 0
имеет корни ж = х\, х2, ..., ж„, то
1 + ах ж + . . . + аижи =11 — ) A — ) . . . ( 1 — ) B)
по теореме о делимости многочлена Декарта. Кроме того,
1
х2
= —коэффициент х = —ai,
поскольку каждый член х в разложении правой части B) возникает
из члена —ж/ж; в одном множителе, умноженном на 1-ы во всех дру-
других множителях. Предположив, что это также верно о «бесконечном
полиномиальном» уравнении A), мы получаем
то есть,
Следовательно,
¦ + :=- + ... = —коэффициент ж = — I —— ,
1
6'
тг2 BтгJ (Зтг)
З2
6 '
Q.E.D.!
Упражнения
Рассуждение Эйлера также приводит к правильной формуле бес-
бесконечного произведения для sin ж, которая, в свою очередь, дает про-
произведение Валлиса для тг/4 (раздел 9.4).
10.4.1 Выведите бесконечное произведение для ——— из рассуждения
Эйлера, и, следовательно, покажите, что
sin х = х [ 1 —
1-
1-
3V
10.66. Дробно-степенные ряды
181
10.4.2 Подставив х = тг/2 в бесконечное произведение для sin ж, покажи-
покажите, что
2 = 1-3 3-5 5-7
тг 2-2 4-4 6-6 ¦"'
и, следовательно, получите произведение Валлиса для тг/4.
10.66. Дробно-степенные ряды
Введение степенных рядов помогло математикам осознать поня-
понятие функции (см. также раздел 13.4), обратя внимание на общность
выражения ао + а\х + а2х2 + .... Однако, не каждая функция f(x) вы-
выразима как степенной ряд ао + а\х + а2х2 + .... Это очевидно в случае
функций, которые стремятся к бесконечности, по мере того, как х —* 0,
поскольку степенной ряд имеет значение ао, когда х —* 0. Что касается
других функций, таких как f(x) = ж1/2, поведение в 0 запрещает раз-
разложение в степенной ряд по более тонкой причине. Эти функции имеют
в 0 ветвящееся поведение; они многозначны и, следовательно, они не
являются функциями в строгом смысле. Например, функция ж1/2 дву-
двузначна, потому что каждое число имеет два квадратных корня, каждый
с противоположным знаком.
Такое поведение не отражается в степенном ряде ао + а\х + а2х2 +
+..., которому молсет быть присвоено только одно значение для каждо-
каждого значения ж. Все дробные степени ж — многозначны: ж1'3 трехзначно,
ж1/4 — четырехзначно и т.д.; и многозначное поведение типично для
алгебраических функций вообще. Мы говорим, что у есть алгебраиче-
алгебраическая функция х, если жиг/ удовлетворяют полиномиальному уравне-
уравнению р(х,у) = 0. Из-за невозможности решения большинства полино-
полиномиальных уравнений в радикалах (раздел 6.7) следует, что алгебраи-
алгебраические функции обычно невыразимы в радикалах, то есть конечными
выражениями, построенными из +,-, х,-ги дробных степеней.
Тем не менее, замечательное открытие Ньютона A671) заключа-
заключалось в том, что любую алгебраическую функцию можно выразить как
дробно-степенной ряд в ж:
у = ао + ахжГ1 + а2ЖГ2азжГз + . . .,
где г\,г2,гз — рациональные числа. Более того, ряд может быть пере-
182
писан
в виде
ао -
\-hx
Yb2x
si
Глава
(coo + coia
(сю + сцз
10
Г" —1—
Г" —1—
со2х2 +
с\2х2 +
(си
сп2х2
то есть, как конечная сумма обыкновенного степенного ряда с дробны-
дробными степенями х в качестве множителей. Это означает, что в окрестно-
окрестности х = 0 поведение у похоже на поведение конечной суммы дробных
степеней.
Например, если у2A + х) = х, мы имеем
У =
X1'2
1 + х
A-х + х2 -х3
= х1'2
и вблизи начала координат у имеет поведение, аналогичное х1'2; в част-
частности, имеется два значения у для каждого х. Вклад Ньютона — это
остроумный алгоритм для последовательных степеней х. Надлежащего
понимания самих дробных степеней не было, пока не приняли, что у
и у — это комплексные числа. Это было сделано в девятнадцатом ве-
веке, и на этой основе более строгое выведение ряда Ньютона было дано
Пиюзе A850). По этой причине, дробно-степенные разложения алге-
алгебраических функций называются разложениями Пиюзе.
Упражнение
Невозможность обыкновенного степенного ряда для х1'2 молено
показать следующим образом.
10.5.1 Любое разложение в обыкновенный степенной ряд х1'2 имело бы
вид
х ' = а\х + а2х + а^х + . . . ,
потому что х1/2, когда х = 0. Теперь возведите в квадрат обе части
и выведите противоречие.
10.67. Производящие функции
10.67. Производящие функции
183
Фибоначчи A202) ввел известную последовательность, известную
ныне как последовательность Фибоначчи
1,2,3,5,8,13,21,34,55,...
в которой каждый член (после первых двух) является суммой двух
предыдущих членов. Несмотря на этот простой закон образования, оче-
очевидной формулы для п-го члена последовательности нет. Такая фор-
формула была открыта лишь спустя 500 с лишним лет де Муавром A730),
и открывая ее, де Муавр ввел новое мощное применение бесконечного
ряда, метод производящих функций. Этот метод, который имеет боль-
большое значение в комбинаторике, теории вероятностей и теории чисел,
будет проиллюстрирован с использованием самой последовательности
Фибоначчи.
Технически удобно начать с Fo = 0 и F\ = 1, затем принять после-
последующие члены как указано выше (поэтому F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3,...),
определяя
Fn+2 = Fn+1 + Fn для п ^ 0.
Это пример линейного рекуррентного соотношения, и именно для ре-
решения таких соотношений в теории вероятностей де Муавр ввел про-
производящие функции. Производящая функция для последовательности
Фибоначчи имеет вид
f(x) = F0 + Fxx + F2x2 + F3x3
Мы замечаем, что
xf(x) = Fox+ FlX2
x2f(x) = Fox2
Следовательно,
f(x) - xf(x) - x2f(x) =F0 + Fxx - Fox
+ (F2 - Fi - F0);i:2
+ ( Po JT'r, Pi ~)t
\r3 r2 rl)J-'
184
Глава 10
то есть, /(ж)A — х — х2) = Fq + Fix — Fqx = х, потому что все коэф-
коэффициенты Fn+2 — Fn+i — Fn = 0 по определению последовательности
Фибоначчи. Таким образом,
х2 '
1 — x — x
и используя корни (—1 ± \/5)/2 = 2/A ± у/Ъ) 1 — х — х2 = О, чтобы
разложить на множители знаменатель, мы получаем
Затем разбив на элементарные дроби
1
и используя разложения в геометрический ряд
1 - (A + у/Ъ)/2)х
1 - (A - у/Ь)/2)х
мы, наконец, получаем
1 +
1-
+ Л
Приравнивание этого к определению f(x) = Fo + Fix + F^x2
Fn =
... дает
A)
10.67. Производящие функции
185
He удивительно, что формулу для Fn было трудно найти! Как пра-
правило, не ожидаешь, что иррациональное число V5 входит в целочислен-
целочисленную функцию Fn. Объяснение состоит в том, что последовательность
Фибоначчи фактически определяет у/5, потому что Fn+i/Fn —» A +
+ л/5)/2 (золотое отношение) по мере того, как п —> оо, поэтому A),
в сущности, определяет отдельные члены последовательности Фибо-
Фибоначчи в понятиях последовательности в целом (или, если предпочи-
предпочитаете, на основе поведения последовательности в бесконечности). За-
Замечательный факт, что определение Fn становится скорее явным, чем
рекурсивным, когда оно выражено в понятиях A + л/5)/2, есть след-
следствие простоты производящей функции f(x), которая кодирует всю
последовательность.
Рекурсивное свойство чисел Фибоначчи, использованное в доказа-
доказательстве де Муавра, заключается в том, что они удовлетворяют линей-
линейному рекуррентному соотношению; то есть, Fn выражена как опреде-
определенная линейная комбинация более ранних членов последовательности.
Доказательство легко обобщить, чтобы показать, что производящая
функция Y^ anxn любой последовательности {ап}, определенная линей-
линейным рекуррентным соотношением, рациональна. Кроме того, доказа-
доказательство можно обратить, чтобы показать, что степенной ряд любой
рациональной функции имеет коэффициенты, которые удовлетворяют
линейному рекуррентному соотношению. Таким образом, рациональ-
рациональные функции можно охарактеризовать на основе их степенных рядов,
факт, который был замечен Кронекером A881), Раздел IX.
Упражнения
Формула Fn = -±=
2
дает несколько ин-
тересных предельных и аппроксимирующих свойств Fn. Например,
"+1 >
10.6.1 Покажите
по мере того, как п —> оо.
10.6.2 Покажите, что Fn = ближайшее целое число к -^— I
V5 \
186 Глава 10
10.6.3 Используя l/(l + Fn/Fn+i) = Fn+i/Fn+2 или, иначе, покажите, что
\/5
2
= 1
1
1 +
10.68. Дзета-функция
Цель производящей функции — зашифровать сложную последо-
последовательность с помощью функции (действительной или комплексной
переменной), которая в некоторых отношениях проще. Метод кодиро-
кодирования не обязательно должен быть таким прямым, чтобы взять п-й
член последовательности в качестве коэффициента хп. Например, из-
известная формула произведения Эйлера A748а), с. 288, кодирует после-
последовательность 2,3,5, 7,11, ..., простых чисел как следующую сумму
степеней 1,2,3,4,...
Ф) = 1 + ^ + з^ + ^ + ---
(дзета функция). Формула Эйлера имеет вид
1 1 1 1 1
A - 1/23) A - 1/33) A - 1/53) A - 1/73) A - 1/113)
= 1+23 + Зт + 43+""
Множители в левой части: A — 1/р^), где рп — гг-ое простое число.
Мы разлагаем калсдый такой мнолситель как геометрический ряд
4г + ^
Рп Vn
3
Рп
Перемножая все эти ряды вместе, мы получаем обратную величину
каждого возможного произведения простых чисел, до s-й степени, точ-
точно один раз. То есть, левая часть — это сумма
10.68. Дзета-функция
187
в которой каждое произведение р™1р™'2 ¦ ¦ -р™Т простых чисел встре-
встречается только один раз. Но каждое натуральное число ^ 2 выразимо
как раз одним способом как произведение простых чисел (раздел 3.3),
следовательно, последняя сумма равняется правой части формулы Эй-
Эйлера
Первоначально, показатель s > 1 был здесь только для того, что-
чтобы обеспечить сходимость. В разделе 10.1 мы видели, что ?(s) рас-
расходится, когда s = 1; она сходится, когда s > 1. Риман A859) обнару-
обнаружил, что ?(s) становится более мощной, когда в качестве s принимается
комплексная переменная. В знак признания этого, ?(s) часто называ-
называют дзета-функцией Римана. Результат Эйлера из раздела 10.4 можно
иначе выразить как ?B) = тг2/6. Значения СD), СF), С(8), • • • также най-
найдены Эйлером и оказались рациональными кратными тг4, тг6, тг8,..., со-
соответственно. Значения СC), СE),... не имеют известной зависимости
от тг или других стандартных постоянных, хотя Апери A981) показал,
что СC) иррациональна. Самая известная гипотеза о C(s) и один из
самых популярных результатов в математике сегодня, так называемая
гипотеза Римана: ?(s) = 0, только, когда Re(s) = ^.
Упражнения
Хотя C(s) не определена для s = 1 (потому что это дает расхо-
расходящийся ряд 1 + - + - + - + ...), эту ситуацию можно использовать,
чтобы дать новое доказательство, что имеется бесконечное мнолсество
простых чисел. (Таким образом формула произведения Эйлера объ-
объединяет в единое целое два явно несвязанных результата — уникальное
разложение простых чисел и бесконечное число простых чисел.)
10.7.1 (Эйлер) Покажите, что если имеется только конечное множество
простых чисел pi, ..., р„, то
1
1
1
1 - 1/pi 1 - 1/р2 ' ' ' 1 " 1/рг
3
Выведите, что имеется бесконечное множество простых чисел.
Формулировка гипотезы Римана требует некоторой квалифика-
квалификации, потому что
молено определить для некоторых значений s,
188
для которых ряд 1 + —
из формулы
Глава 10
— + —
не имеет смысла. Это следует
открытой Риманом и названной функциональным уравнением для
дзета-функции. Функциональное уравнение дает нам возможность
определить ?A — s), когда известна C(s); и оно также показывает, что
есть некоторые «тривиальные нули» ?A — s), а именно, где cos Щ- = 0.
Тривиальные нули игнорируются в формулировке гипотезы Римана.
10.7.2 Какая s дает тривиальный нуль ?A — s)?
Функция Г в функциональном уравнении — это гамма-функция,
введенная Эйлером, чтобы обобщить факториал: Г(п) = (п — 1)! для
целых значений п. Любопытное следствие функционального уравне-
уравнения заключается в том, что мы можем присвоить значения некоторым
расходящимся рядам, таким как 1 + 2 + 3 + 4+..., интерпретировав
их как ?A — s), затем еще раз интерпретировав ?A — s) с помощью
функционального уравнения.
10.7.3 С помощью подходящей новой интерпретации покажите, что
1
1 + 2 + 3 + 4+... = -
12'
10.69. Биографические заметки: Грегори и Эйлер
Джеймс Грегори родился в 1638 году в Драмоуке, вблизи Абер-
Абердина; младший из трех сыновей Джона Грегори, городского священ-
священника. Он получил свое первое образование у своей матери, Джанет
Андерсон, дядя которой, Александр, был секретарем Виета и редакто-
редактором посмертно изданных трудов Виета. Средний брат, Дейвид, также
обладал математическими способностями и после смерти отца, в 1651
году, он поддерживал Длсеймса во время его последующего обучения
в средней школе и Маришал-колледже в Абердине. Маришал-колледж
ныне обладает единственным известным портретом Длсеймса Грегори
(рисунок 10.3).
Рисунок 10.3: Джеймс Грегори (Маришал-колледж)
Первым значительным достижением Грегори было изобретение
зеркального телескопа, который он описал в своей книге Optica promota
10.69. Биографические заметки: Грегори и Эйлер
189
в 1663 году. К сожалению, ему не удалось получить удовлетворитель-
удовлетворительно сконструированный прибор, и от его проекта отказались в поль-
пользу более простого прибора, изобретенного Ньютоном. Тем временем,
Грегори решил улучшить свои научные знания на континенте, и про-
провел большую часть времени с 1664 по 1668 годы, изучая математику
в Италии. Его учителем был Стефано дельи Анджели A623-1697) из
Падуи; от него Грегори узнал о методах Кавальери. Влияние итальян-
итальянской школы было очевидным в геометрическом подходе Грегори к зада-
задачам интегрирования в его первых математических трудах Vera circuli
et hyperbolae quadratura [Грегори A667)] и Geometriae pars universalis
[Грегори A668)], но в них также была оригинальность Грегори. Кни-
Книги получили горячие отзывы в Лондоне, и, когда Грегори поехал туда
после возвращения из Италии, его избрали в Королевское общество.
Geometriae pars universalis —это, главным образом, систематиза-
систематизация результатов в дифференцировании и интегрировании тогда извест-
известных, но она включала первое опубликованное доказательство основной
теоремы исчисления. Несмотря на важность этого, теорема принадле-
принадлежала не одному Грегори, поскольку Ньютон и Лейбниц открыли ее
независимо. Что действительно выделяет Грегори среди других мате-
математиков семнадцатого века, так это Vera quadratura (Истинная квадра-
квадратура), чрезвычайно смелая и образная попытка доказать, что числа тг
и е трансцендентны.
Как указывалось в разделе 2.3, трансцендентность е и тг остава-
оставалась недоказанной до девятнадцатого века, и, конечно, не методами
семнадцатого века, поэтому понятно, что попытка Грегори не достигла
цели. Тем не менее, она полна блестящих идей: унификация круговых
и гиперболических функций (без использования комплексных чисел),
понятие сходимости и различие мелсду алгебраическими и трансцен-
трансцендентными функциями. Грегори показал, что площади, высеченные как
из круга, так и из гиперболы (задающие тг и различные логарифмы как
частные случаи), молено получить как пределы чередующихся геомет-
геометрических и гармонических средних:
гп+1
i+i
2 \ г
lira in = lira In = I.
n—wo n—wo
Если го = 2 и /о = 4, то / {геометрически-гармоническое среднее 2
190
Глава 10
и 4) есть тг. Если, с другой стороны, i0 = 99/20 и /0 = 18/11, то-
тогда / есть log 10. Эти примеры Грегори иллюстрируют способ, как
геометрически-гармоническое среднее охватывает, как круговые, так
и гиперболические функции. Чередующаяся процедура, использован-
использованная для определения среднего, имела интересный отголосок в работе
Гаусса, который аналогично исследовал определенное арифметически-
геометрическое среднее в 1790-х годах, с далеко идущими результатами
(раздел 12.6).
В 1669 году Грегори вернулся в Шотландию и занял кафедру ма-
математики в Сент-Андрусе. Он женился на молодой вдове, Мери Бернет,
дочери художника Джорджа Джеймсона, который также происходил
из рода Андерсонов. У Джеймса и Мери было две дочери и сын, кото-
который стал профессором медицины в Абердине. Довольно впечатляющее
древо семьи Грегори молено найти в краткой биографии Грегори Тер-
нбулла [Тернбулл A939)].
Грегори провел в Сент-Андрусе пять лет, в течение которых он
получил важные результаты по рядам. Однако, его контакты с други-
другими учеными ограничивались письмами из Лондона, и услышав о по-
похожих результатах Ньютона, он предположил, что его опередили и не
опубликовал свои. Недостаток контактов и враждебность к матема-
математике в Сент-Андрусе заставили его в 1674 году принять предложение
о занятии кафедры в Эдинбурге. Увы, он пробыл в Эдинбурге лишь
год, когда он тяжело заболел, вероятно из-за удара во время показа
спутников Юпитера группе студентов. Он умер несколько дней спу-
спустя, в октябре 1675 года, слишком рано, чтобы мир понял значение его
работы.
Леонард Эйлер родился в Базеле в 1707 году и умер в Санкт-
Петербурге в 1783 году. Его отец, Пауль, изучал теологию в Базельском
университете, где он также посещал лекции по математике Якоба Бер-
нулли. По окончании он стал протестантским священником и женился
на дочери священника, Маргарет Брукнер. Леонард был первым из их
шести детей. Семья была очень бедная, и, вскоре после рождения Эйле-
Эйлера, переехала в деревню за пределами Базеля, где они жили в доме из
двух комнат. Эйлер получил свое первое математическое образование
дома, у своего отца. Позже он снова переехал в Базель и посещал сред-
среднюю школу, но математике там не обучали, поэтому он брал несколько
частных уроков у студента университета.
В 13 лет Эйлер поступил в Базельский университет, который стал
математическим центром Европы под руководством Иоганна Бернул-
ли, младшего брата и преемника Якоба. Бернулли посоветовал Эйлеру
10.69. Биографические заметки: Грегори и Эйлер
191
изучать математику самостоятельно и в субботу днем старался быть
в его распоряжении, чтобы помочь справиться с трудностями. Офици-
Официально Эйлер изучал философию и право. Получив степень магистра по
философии в 1723 году, он последовал желанию своего отца и поступил
на факультет теологии. Однако, он все больше попадал под очарова-
очарование математики и осознал, что ему следует отказаться от мысли стать
священником.
Для математиков в Швейцарии было немного возможностей и 1727
году Эйлер уехал из Базеля в Санкт-Петербург. Сыновья Иоганна Бур-
нулли, Даниил и Николай, были назначены там в новую Академию на-
наук, и они убедили власти найти место для Эйлера. Эйлер уже подавал
надежды парой статей в Acta Eruditorum и почетным упоминанием
в конкурсе Парижской Академии 1727 года, но в Санкт-Петербурге он
превзошел все ожидания, проделав работу высокого качества со ско-
скоростью, которая с тех пор удивляла математиков. Первые годы в Пе-
Петербурге с братьями Бернулли, должно быть, были мечтой молодого
математика. Однако, также верно, что на продуктивность Эйлера не
повлияли позднейшие препятствия, включая потерю зрения. Он запол-
заполнил половину страниц, опубликованных Санкт-Петербургской Акаде-
Академией с 1729 года и в течение 50-ти с лишним лет после его смерти (!),
и он также несет ответственность за половину публикаций Берлинской
Академии между 1746 и 1771 годами.
Первые важные перемены в жизни Эйлера в Санкт-Петербурге
произошли в 1733 году, когда Даниил Бернулли вернулся в Базель.
Эйлер тогда стал профессором математики, но также вынужден был
возглавить факультет географии. В том лее году он женился на сооте-
соотечественнице, Катарине Гзель, дочери художника, который преподавал
в Санкт-Петербурге. В итоге, они имели 13 детей, 5 из которых до-
достигли зрелости. Обязанности Эйлера по географии включали подго-
подготовку карты России, задача, которая переутомляла его глаза и, воз-
возможно, привела к лихорадке, которая испортила зрение его правого
глаза в 1738 году. Рисунок 10.4 — это портрет со здоровой стороны.
Рисунок 10.4: Леонард Эйлер
К 1740 году политическое положение в Санкт-Петербурге стало
неопределенным, и Эйлер переехал в Берлин, где Фридрих Великий
только что реорганизовал Берлинскую Академию. Эйлер стал директо-
директором математической секции и оставался в Берлине 25 лет. Некоторые
из его самых известных работ датируются этим периодом, в частно-
частности, Introductio in analysin infinitorum (Введение в анализ бесконечных)
[Эйлер A748а)] и Letters a une princesse d'Allemagne sur divers sujets de
192
Глава 10
physique et de philosophic (Нисъма о разных физических и филозофиче-
ских материях, писанные к некоторой немецкой принцессе), один из
классических трудов по популярной науке. Однако в Берлине Эйлеру
было неуютно. По поводу руководства Академией происходили частые
ссоры, и циничный Фридрих имел склонность насмехаться над набож-
набожным и скромным Эйлером. В 1762 году Екатерина Великая взошла на
престол в России, и Санкт-Петербургская Академия, с которой Эйлер
постоянно поддерживал контакт, стала снова выглядеть привлекатель-
привлекательной.
В 1766 он вернулся в Санкт-Петербург вместе с семьей (в каче-
качестве вознаграждения, его старший сын добился там кафедры физики).
Вскоре после приезда Эйлер перенес болезнь, которая испортила почти
все его оставшееся зрение, и в 1771 году он полностью ослеп. Пожалуй,
слепота сконцентрировала ум Эйлера еще удивительнее. У него всегда
была великолепная память, например, он знал наизусть Энеиду Верги-
Вергилия, и с помощью двух своих сыновей и других сотрудников поток его
публикаций продолжился с еще бблыней скоростью, чем когда-либо.
Его Алгебра [Эйлер A770)] была продиктована слуге, и все же стала
самым успешным учебником по математике со времен Начал Евклида.
Одним из самых замечательных качеств Эйлера была его готов-
готовность объяснить, как совершались его открытия. Математики восемна-
восемнадцатого века были менее скрытными, чем их предшественники в шест-
шестнадцатом и семнадцатом веках, но Эйлер был уникален, раскрывая
свои догадки, эксперименты и частичные доказательства. Некоторые
самые интересные из этих отчетов представлены в книге Пойя [Пойя
A956 )] на достоверной аргументации. Например, глава 6 книги вклю-
включает перевод научного труда, в котором Эйлер известил о теореме о пя-
пятиугольных числах. Здесь невозможно кратко изложить все вклады
Эйлера в математику, хотя некоторые, имеющие первостепенное зна-
значение, представлены в следующих главах. Наилучшее имеющееся крат-
краткое изложение — это статья Юшкевича об Эйлере в Словаре научных
биографий.
Глава 11
Возрождение теории чисел
11.70. От Диофанта до Ферма
Некоторые важные результаты в теории чисел были открыты
в средние века, хотя им не удалось укорениться до тех пор, пока их
заново не открыли в семнадцатом веке или позднее. Среди них — от-
открытие китайскими математиками треугольника Паскаля и «китайская
теорема об остатках», а также формулы для перестановок и комбина-
комбинаций Леви бен Гершона A321). Раннее развитие китайской теоремы об
остатках обсуждается в главе 5, и теорема вновь возникла только после
того периода времени, который мы собираемся обсудить. Полное опи-
описание ее истории можно найти у Либрехта A973), глава 5. Треуголь-
Треугольник Паскаля, напротив, начал процветать в семнадцатом веке после
длительной спячки, поэтому интересно проследить, что было известно
о нем в средние века, и, что сделал Паскаль, чтобы возродить его.
Китайцы использовали треугольник Паскаля как средство созда-
создания и составления таблиц биномиальных коэффициентов, то есть, ко-
коэффициентов, встречающихся в формулах
а + Ь
а2 + 2ab + Ь2
а3 + За26 + Заб2 + б3
а4 + 4а36 + 6а262 + 4а63 + б4
а5 + 5а46 + 10а362 + 10а263 + 5а64 + б5
а6 + 6а56 + 15а462 + 20а363 + 15а264 + баб5
7а66 + 21а562 + 35а463 + 35а364 + 21а265 +
a-\
a-\
a^
аЛ
a^
-ьу =
-ь? =
-ьу =
-ъ? =
-ъу =
и т. д. Когда биномиальные коэффициенты сведены в таблицу следую-
следующим образом (с тривиальной строкой 1, добавленной наверху, соответ-
194 Глава 11
ствующей 0-й степени а + 6),
1 1
12 1
13 3 1
14 6 4 1
15 10 10 5 1
16 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
и т.д., fc-й элемент (?) n-й строки — это сумма (?li) + ("/Г1) двух эле-
элементов выше него в (п — 1)-й строке, как следует из формулы (упраж-
(упражнение 11.1.1)
(а + Ь)п = (а + b)n-la + (а + b)n-lb.
Треугольник появляется до глубины шести у Ян Хуэя A261) и до глуби-
глубины восьми у Чжу Ши-цзе A303) (рисунок 11.1). Ян Хуэй приписывает
треугольник Цзя Сяню, который жил в одиннадцатом веке.
Рисунок 11.1: Китайский треугольник Паскаля
Число (?) появляется в средневековых сочинениях на иврите как
число комбинаций п предметов, взятых к одновременно. Леви бен Гер-
шон A321) дает формулу
(п-к)\к\
наряду с тем фактом, что имеется п\ перестановок п элементов. В сво-
своем трактате о перестановках и комбинациях Леви бен Гершон очень
близко подходит к использованию математической индукции, если не
к ее фактическому изобретению. Как мы сейчас формулируем этот ме-
метод доказательства, оказывается, что свойство Pin) натуральных чи-
чисел п выполняется для всех п, если молено доказать РA) (базовый шаг),
и для произвольного п можно доказать Pin) => Pin + 1) (индукцион-
(индукционный шаг). Рабинович A970) предложил объяснение некоторых дока-
доказательств Леви бен Гершона, которое, видимо, непременно показывает
деление на базовый шаг и индукционный шаг, но индукционному ша-
шагу необходима некоторая помощь в системе обозначений, чтобы стать
доказательством для действительно произвольного п. Леви бен Гершон
не говорит: «Рассмотрим п элементов a,b,c,d, ..., е», как мы могли бы,
11.70. От Диофанта до Ферма
195
но лишь «Пусть элементами будут а, Ь, с, d, e», поскольку он не владел
методом эллипсов.
Принимая во внимание эти отличные результаты, почему мы на-
называем таблицу биномиальных коэффициентов «треугольником Паска-
Паскаля»? Это, конечно, не единственный случай математического принципа
называть скорее в честь переоткрывателя, а не первооткрывателя, но
в любом случае Паскаль заслулсивает увалсения за большее, чем просто
переоткрытие. В своем Traite du triangle arithmetigue [Паскаль A654)],
Паскаль объединил алгебраическую и комбинаторную теории, пока-
показав, что элементы арифметического треугольника молено интерпрети-
интерпретировать двумя способами: как коэффициенты ап~кЪк в (а + Ъ)п и как
число комбинаций п предметов, взятых к одновременно. В сущности,
он показал, что (а+Ь)п — производящая функция для количеств комби-
комбинаций. В качестве приложения, он нашел математическую теорию ве-
вероятностей, решая задачу распределения ставок (упражнение 11.1.2),
и в качестве метода доказательства он впервые использовал матема-
математическую индукцию действительно сознательным и недвусмысленным
образом. В общем, в самом деле прогресс!
Переходя к труду Паскаля 1654 года, мы пролетели мимо конца
эпохи в теории чисел до Ферма, поскольку Ферма уже активно рабо-
работал в этой области в 1630-х гг. Однако, удобно иметь некоторые сведе-
сведения общего характера об установленных биномиальных коэффициен-
коэффициентах, поскольку ранняя работа Ферма появляется в этом окружении.
Упражнения
Основные свойства биномиальных коэффициентов, например, тот
факт, что каждый является суммой двух над ним в треугольнике Па-
Паскаля, естественно следует из их интерпретации как коэффициентов в
разложении (а + Ъ)п.
11.1.1 Используйте толсдество
(а + Ъ)п = (а + Ьу-^а + (а + ЪУ'Ч,
чтобы доказать свойство сложения биномиальных коэффициентов:
п - 1
к - \
n- 1
к
Это свойство предоставляет легкий способ вычислить треугольник
Паскаля до любой глубины и, следовательно, рассчитать справедливое
196
Глава 11
распределение ставок в игре, которую следует отложить с п оставши-
оставшимися партиями. Мы полагаем, что игроки I и II имеют равный шанс
выиграть каждую партию, и что I необходимо победить в А; из остав-
оставшихся п партий, чтобы выиграть ставки.
11.1.2 Покажите, что отношение выигрышных ставок I к выигрышным
ставкам II:
n
n- 1
k-1
+
-2
Свойство сложения биномиальных коэффициентов также объясня-
объясняет присутствие в треугольнике Паскаля некоторых интересных чисел.
11.1.3 Объясните, почему третья диагональ слева в треугольнике, а имен-
именно, 1, 3, 6,10,15, 21, ..., состоит из треугольных чисел.
11.1.4 Числа на следующей диагонали, а именно, 1,4,10, 20, 35, ..., мож-
можно назвать «тетраэдральными числами». Почему это подходящее
описание?
11.71. Малая теорема Ферма
Самая известная теорема, действительно доказанная Ферма A640а)
и известная как «малая» или «меньшая» теорема, чтобы отличить ее
от его «последней» или «великой» теоремы (следующий раздел), — сле-
следующая.
Если р — простое число и п — взаимно простое число к р, тогда
= 1
modp).
Эквивалентные формулировки этого результата, которые избегают ис-
использование языка «конгруэнтно mod p», неизвестного во времена
Ферма, имеют вид:
пР~ — 1 делится на р
или
пр — п делится на р.
Последнее выполняется, потому что пр — п = п(пр 1 — 1) делится на р
только тогда, когда пр~х — 1, поскольку р — простое число и не делит п.
11.71. Малая теорема Ферма
197
Малая теорема Ферма недавно стала незаменимой в некоторых
областях прикладной математики, таких как криптография, поэтому
узнать, что она берет начало в одной из наименее применяемых задач
в математике, построении совершенных чисел, наводит на размышле-
размышления. Как мы видели в разделе 3.2, оно зависит от построения простых
чисел вида 2т — 1, и именно по этой причине Ферма вначале заин-
заинтересовался условиями, при которых 2т — 1 имеет делители. В то лее
самое время (середина 1630-х гг.) он исследовал биномиальные коэф-
коэффициенты, и сочетание этих двух интересов, весьма вероятно, привело
к открытию его малой теоремы для п = 2.
Его собственное доказательство неизвестно, но различные авторы
[например, Вейль A984), с. 56] указывали, что теорема непосредственно
следует из того, что (^), (JJ), • • •, ( ^J, для р простого, делятся на р:
2Р = A + 1)р = 1 +
p
1,
следовательно,
2р-2 =
Р
р-1
делится на р и, поэтому, 2Р х — 1 тоже.
Но как доказать, что (р), (jj), • • •, (p^J делятся на р? Это есте-
естественно следует из формулы Леви бен Гершона
к) (р-к)\к\'
которая показывает, что простое число р — это множитель числите-
числителя, но не знаменателя. Знаменатель, тем не менее, делит числитель,
поскольку (^) — целое число, поэтому множитель должен оставать-
оставаться целым после того, как имело место деление. Ферма, возможно, не
получил именно этого результата, поскольку у него еще не было ком-
комбинаторной интерпретации биномиальных коэффициентов Паскаля, но
у него была формула
п + то — 1
то — 1
то — 1
которая косвенно ее выражает, и, из которой молено легко извлечь свой-
свойство делимости [см. Вейль A984), с.47].
198
Глава 11
До сих пор мы имеем доказательство малой теоремы Ферма
для п = 2. Вейль A984) предполагает два возможных пути из этого
пункта к общей теореме. Один — итерацией биномиальной теоремы,
метод, который использовался Эйлером A736) в первом опубликован-
опубликованном доказательстве теоремы Ферма. Другой — непосредственным при-
применением полиномиальной теоремы, метод самого раннего известного
доказательства, которое содержится в неопубликованной статье Лейб-
Лейбница от конца 1670-х гг. [см. Вейль A984), с. 56].
Точно также как коэффициент ар~кЬк в (а + Ь)р — р\/(р — к)\к\,
коэффициент а'1 а\
а2
ап)р - p\/qi\q2\ ¦ ¦ .qn\,
где qi + q2 + ¦ ¦ ¦ + qn = P (упражнение 11.2.4). Этот полиномиальный
коэффициент делится на р, по той же аргументации, что и выше, в том
случае, если нет д; = р. Таким образом, коэффициенты всех членов,
кроме ар,а^, ¦ ¦ ¦ , арп в (а\ + а^ + ¦ ¦ ¦ + ап)р делятся на простое число р.
Отсюда следует, заменяя каждый из п членов а\,а2, ..., ап на 1, что
A + 1 + ... + 1)р = 1Р + 1Р + ... + 1Р + члены, делимые на р
то есть, пр — п делится на р. Тогда, если само п — взаимно простое
число кр (следовательно, не делится на р), мы имеем пр~1 — 1, делимое
на р или общую малую теорему Ферма.
Упражнения
Биномиальную теорему можно итерировать, чтобы показать, что р
делит пр — п следующим образом.
11.2.1 Используйте результат 2Р = A + 1)р = 2+члены, делимые на р, и
его метод доказательства, чтобы показать, что
Зр = B + 1)р = 3 + члены, делимые на р.
11.2.2. Основываясь на идее упражнения 11.2.1 покажите, что пр — п де-
делится на р при любом положительном целом п.
11.2.3 Обратите внимание на члены, делимые на р, в первых несколь-
нескольких строках треугольника Паскаля, вычисленного в предыдущем
разделе.
11.72. Последняя теорема Ферма
199
Как и биномиальную теорему, полиномиальную теорему молено
доказать комбинаторно, рассматривая количество способов, которыми
член а'1, а^2 . . . а^" может возникнуть из множителей (ах+а2 + . . . + аи)р.
11.2.4 Докажите формулу для полиномиального коэффициента, данного
выше, обращая внимание, что коэффициент равняется количеству
способов разбиения р предметов на непересекающиеся подмноже-
подмножества величин qi,q2, ¦ ¦ ¦ , qn.
ll.72. Последняя теорема Ферма
С другой стороны, невозможно записать куб как сумму двух
кубов или записать четвертую степень как сумму двух чет-
четвертых степеней или, вообще, любое число, степень которого
выше второй, записать как сумму двух одинаковых степеней.
У меня есть поистине изумительное доказательство этой тео-
теоремы, однако это поле слишком узкое, чтобы поместить его.
[Ферма A670), с. 241]
Это замечание, написанное на полях своего экземпляра труда Ба-
Баше Диофант, когда он изучал его в конце 1630-х гг., — второй пункт
в Наблюдениях о Диофанте Ферма, опубликованных посмертно в 1670
году. Ферма отвечал на трактовку Диофантом задачи выражения квад-
квадрата как суммы двух квадратов. Как мы видели в главе 1, это задача
нахождения пифагоровых троек (а, 6, с) или, что то же самое, нахожде-
нахождения рациональных точек (а/с, Ь/с) на круге х2 + у2 = 1.
Последняя теорема Ферма, утверждение, что не существует тро-
троек (а, 6, с) положительных целых чисел, так что
ап + Ьп = с™, где п > 2 — целое число,
стала самой известной задачей в математике. Многие математики вно-
вносили решения для частных значений п. Эйлер для п = 3, сам Ферма
для п = 4 (см. следующий раздел), Лежандр и Дирихле для п = 5,
Ламе для п = 7, Куммер для всех простых п < 100, кроме 37, 59, 67.
Детальное описание этих ранних результатов можно найти у Эдуардса
A977). Конечно, достаточно доказать теорему для простых показате-
показателей степени, поскольку контрпример
ап + Ьп = с"
200
Глава 11
для непростого показателя степени п = пр, где р — простое число,
также будет контрпримером
{ат)р + {Ът)р = (ст)р
для простого показателя степени р.
После Куммера значительных успехов не было сделано до 1980-
х гг., когда открылись два новых подхода. Фолтингс A983) показал,
что для каждого показателя степени п имеется максимально конеч-
конечное число контрпримеров к последней теореме Ферма. Это следствие
гораздо более общей теоремы Фолтингса, разрешающей гипотезу Мор-
делля A922), что каждая кривая рода > 1 имеет максимально конеч-
конечное число рациональных точек. Понятие рода объясняется в главе 15.
В данный момент мы отметим только, что «кривая Ферма»
имеет 0-й род, когда п = 2, 1-й род, когда п = 3 и род > 1, в против-
противном случае. Таким образом, теорема Фолтингса показала, что кривая
Ферма могла иметь максимально конечное число рациональных точек
(и, следовательно, ап + Ьп = с™ мог иметь максимально конечное число
целочисленных решений) в случаях, еще нерешенных.
Второй подход введен Фреем A986), который сделал удивительное
предположение, что контрпример ап+Ьп = с™ к последней теореме Фер-
Ферма мог повлечь за собой нечто невозмолсное относительно кубической
кривой
у2 = х(х-ап)(х + Ъп).
Вместе с тем, лишь предполагалось, что рассматриваемое свойство, ко-
которое называется немодулярностью, невозможно, и было также неиз-
неизвестно, влечет ли ее за собой контрпример к последней теореме Ферма.
Однако Рибе A990) доказал, что контрпример влечет за собой немо-
немодулярность, и в 1994 году Эндрю Уайлс доказал, что немодулярность
невозможна для кубических кривых указанной формы. Поэтому контр-
контрпример к последней теореме Ферма не может существовать.
В этой заключительной главе в истории последней теоремы Фер-
Ферма произошел драматический поворот, потому что Уайлс впервые объ-
объявил о своем результате в 1993 году (после семи лет работы над ним
в уединении), только, чтобы через несколько месяцев обнаружить, что
в его доказательстве был серьезный пробел. Однако с помощью Ри-
Ричарда Тейлора этот пробел был заполнен в 1994 году, и полное доказа-
доказательство опубликовано Уайлсом A995). Доказательство чрезвычайно
11.73. Рациональные прямоугольные треугольники
201
сложное, но мы можем, по крайней мере, объяснить его общую трак-
трактовку кубических кривых и эллиптических функций; несомненно, это
важные нити, проходящие через всю эту книгу.
11.73. Рациональные прямоугольные треугольники
Площадь прямоугольного треугольника, стороны которого —
рациональные числа, не может быть квадратом целого числа.
Эту теорему, которая является моим собственным открытием,
я, наконец, успешно доказал, правда, не без труда и упорных
размышлений. Я привожу доказательство здесь, так как этот
метод даст возможность сделать необычайные усовершенство-
усовершенствования в теории чисел.
[Ферма A670), с. 271]
Это номер 45 Наблюдений о Диофанте Ферма, отвечающий на
задачу, поставленную Баше: найти прямоугольный треугольник, пло-
площадь которого равняется заданному числу. Это наблюдение валено не
только для теоремы и объявленного метода, но также потому, что за
ним следует единственное довольно полное доказательство, оставлен-
оставленное Ферма в теории чисел. В качестве добавочного вознаграждения,
доказательство в неявном виде разрешает последнюю теорему Ферма
для п = 4 (см. упражнения), и оно является отличной иллюстрацией
его «метода» бесконечного спуска, который действительно привел к вы-
выдающимся усовершенствованиям в теории чисел. В нижеследующем
описании, формулировки, которые составляют доказательство Ферма
(появляющиеся с отступом, как цитата, приведенная выше), расшире-
расширены и выражены в современной системе обозначений, вытекающей из
реконструкции Цейтена A903), с. 163. Мы используем перевод Ферма,
данный Хитом A910), с. 293, в его версии реконструкции.
Если бы площадь прямоугольного треугольника была квадра-
квадратом, то существовали бы два биквадрата, разность которых
была бы квадратом целого числа. Следовательно, существо-
существовали бы два квадрата целых чисел, сумма и разность которых
были бы квадратами.
Выбрав подходящую единицу длины, мы можем выразить стороны ра-
рационального прямоугольного треугольника как пифагорову тройку вза-
202
Глава 11
имно простых целых чисел р2 — q2, 2pq,p2 + q2, как отмечено в разде-
разделе 1.2. Поскольку их нод — 1, нод(р, q) = 1 тоже. Поэтому, посколь-
поскольку Ipq — четное, р2 — q2 и его множители р + q,p — q должны быть
нечетными. К тому лее, ни одна из двоек p,q,p-\- q,p — дне имеет обще-
общего простого делителя, иначе р, q имела бы. Тогда, если площадь pq(p +
+ q)(p — q) — квадрат, ее множители также доллсны быть квадратами:
p = r2, q = s2, p + q = r2 + s2 = t2, р - q = г2 - s2 = и2.
A)
Поэтому сумма и разность квадратов г2, s2 также квадраты, поэтому
И - s4 = (г2 + s2){r2 - s2) = t2u2 = v2.
Поэтому мы доллсны иметь квадрат целого числа, который
был бы равен сумме квадрата и удвоенной величине другого
квадрата, в то время как квадраты, из которых составлена эта
сумма, сами бы имели квадрат целого числа для своей суммы.
Из A) мы имеем
t2-u2 = 2s2, то есть, t2 = u2 + 2s2.
B)
И также из A)
s2=r2.
Но если квадрат составлен из квадрата и удвоенной величи-
величины другого квадрата, его сторона, как я могу очень легко до-
доказать, также составлена из квадрата и удвоенной величины
другого квадрата.
Поскольку из B) (t + u)(t — и) = t2 — и2 = 2s2, то (t + u)(t — и) —
четное. Тогда одно из t + u,t — и — четное и, следовательно, другое
тоже. Положим
t + и = 2w, t — и = 2х. C)
Тогда
s2 = (t + u)(t - и)/2 = 2wx.
Следуя обратно через C),B),A), мы видим, что любой общий дели-
делитель w, х также был бы общим у t, и, у t2,u2, у г2, s2 и, следовательно,
у р, q. Таким образом, w, x взаимно простые, и, поэтому, поскольку wx
дважды квадрат, мы имеем либо
w = у , х = 2z
либо
w = 2z , х = у .
11.73. Рациональные прямоугольные треугольники
203
В обоих случаях,
t = w + х = у2 + 2zA
D)
= г2.
Из этого мы можем сделать вывод, что вышеуказанная сторо-
сторона — это сумма сторон около прямого угла в прямоугольном
треугольнике, и, что простой квадрат, содержащийся в сум-
сумме, — основание, а удвоенная величина другого квадрата —
перпендикуляр.
Если мы допустим, что у2, 2z2 стороны прямоугольного треугольника,
то гипотенуза h удовлетворяет
h2 = (у2J + Bz2J = \((у2 + 2z2J + (у2 - 2z2J)
= l(t2 + u2) поC)иD)
по A)
Следовательно, h = г, и треугольник — рациональный.
Этот прямоугольный треугольник будет, поэтому, образован
из двух квадратов, сумма и разность которых будет квадрата-
квадратами. Но молено показать, что оба эти квадрата будут меньше,
чем квадраты, первоначально предполагаемые, так что как их
сумма, так и их разность — квадраты.
Исходными квадратами с суммой и разностью, равными квадратам,
были р = г2, q = s2, которые получились из перпендикулярных сто-
сторон р2 — q2 и 2pq рационального прямоугольного треугольника, пло-
площадь которого, по предположению, будет квадратом. Теперь мы имеем
рациональный (несомненно интегральный ?) прямоугольный треуголь-
треугольник с перпендикулярными сторонами y2,2z2, площадь которого, y2z2,
также квадрат. Этот треугольник меньше, поскольку его гипотенуза г
меньше, чем сторона 2pq исходного треугольника, и, следовательно, он
дает меньшую пару (целочисленных) квадратов р', q', сумма и разность
которых — квадраты.
Таким образом, если существуют два квадрата, так что сумма,
и разность обоих — квадраты, то будут также существовать
два других целых квадрата, которые имеют то лее свойство, но
меньшую сумму. По тому лее рассуждению мы находим сумму
204
Глава 11
еще меньше, чем последняя найденная, и мы можем продол-
продолжать до бесконечности, находя целые квадраты целых чисел
все меньше и меньше с тем лее свойством. Это, однако, невоз-
невозможно, потому что не может быть бесконечного ряда чисел
меньше, чем любое данное целое число, которое мы хотим.
Это противоречие означает, что исходное предположение о рациональ-
рациональном прямоугольном треугольнике, площадь которого квадрат целого
числа, неверно. Версии Зейтена и Хита переходят к противоречию ско-
скорее, чем Ферма, отмечая, что спуск от гипотетического исходного тре-
треугольника к треугольнику с площадью y2z2 можно повторить, что-
чтобы дать бесконечную убывающую последовательность целочисленных
площадей. Вейль A984), с. 77 укорачивает доказательство еще дальше.
Логический принцип, включенный в метод спуска Ферма, конечно,
тот лее самый, что и принцип, на котором основана математическая ин-
индукция: любое множество натуральных чисел имеет наименьший член.
Однако, обстоятельства, в которых могут применяться оба метода со-
совершенно различны. Что касается индукции, необходима подходящая
гипотеза, по которой совершается индукционный шаг; что лее касается
спуска, то необходима подходящая величина, по которой спускаться. На
практике, спуск является гораздо более частным методом, связанным
с геометрическими свойствами определенных кривых: кривые 1-го ро-
рода мы встретим в разделе 11.6 и последующих главах [см. также Вейль
A984), с. 140]. Общая задача, поставленная Баше, — принятие решения,
какие числа п являются площадями рациональных прямоугольных тре-
треугольников, — по существу, тесно связана с теорией кривых 1-го рода,
и ее недавнее возрождение прекрасно описано Коблицем A985).
Упражнения
Два из утверлсдений, которые возникают при спуске от гипотетиче-
гипотетического рационального прямоугольного треугольника, площадь которого
квадрат целого числа, представляют самостоятельный интерес, и к то-
тому лее они ложные, потому что они подразумевают существование та-
такого треугольника.
11.4.1 Покажите, что существование квадратов г2 и s2, для которых
как г2 + s2, так и г2 — s2 — квадраты, означает существование
рационального прямоугольного треугольника, площадь которого
квадрат целого числа.
11.74. Рациональные точки на кубических кривых 0-го рода 205
11.4.2 Покажите, что ненулевое целое решение r4 — s4 = v2 означает суще-
существование рационального прямоугольного треугольника, площадь
которого квадрат целого числа. (Подсказка: Это тот лее самый тре-
треугольник, что и в упражнении 11.4.1.)
11.4.3 Из упражнения 11.4.2 выведите последнюю теорему Ферма для п =
= 4.
Невозможность ненулевого целочисленного решения г4 — s4 = v2
также можно показать более прямым спуском, который избегает неко-
некоторых шагов, использованных Ферма. Основные шаги следующие, при
этом полагается, что г, s и, следовательно, v не имеют общего простого
делителя.
r2 = a2+62, s2=2ab, v = а2 - b2
для некоторых ненулевых целых а, 6
a = c2-d2, b = 2cd
для некоторых ненулевых целых с, d
с= е2,d= f2 тл с2 — d2 квадраты,
потому что s2 = 4cd(c2 — d2)
и с, d, с2 — d2 не имеют общего простого делител
е4 - /4 = д2
для целой пары (е, /) меньше, чем (г, s)
11.4.4 Обоснуйте шаги в этой аргументации.
11.74. Рациональные точки на кубических кривых
0-го рода
Молено сомневаться, что у Ферма было правильное доказательство
последней теоремы Ферма, потому что в большей части его работы рас-
рассматриваются кривые низкой степени (^ 4) и, весьма маловероятно,
что он мог предвидеть сведение Фреем задачи Ферма n-й степени к во-
вопросу о кубических кривых. Надо признаться, что мы не знаем навер-
наверняка, каковы были методы Ферма, и он не говорил на языке отыскания
рациональных точек на кривых. Тем не менее, это самый естественный
путь интерпретации его решений диофантовых уравнений и установле-
установления связи меледу ними и более ранними и поздними результатами в том
лее роде Диофанта и Эйлера, соответственно. Мы улее описывали мето-
методы отыскания рациональных точек на кривых 2-й (в разделе 1.3) и 3-й
(в разделе 3.4) степени. Теперь мы вновь исследуем их с точки зрения
206
Глава 11
рода, который становится все более и более важным, так как рассмат-
рассматриваются кривые более высокой степени. В этом разделе мы ограничим
свое внимание 0-м родом.
Одно из свойств кривой С 2-й степени, которую мы наблюдали
в разделе 1.3, заключается в том, что рациональная линия L, прохо-
проходящая через рациональную точку Р на С, пересекает С во второй ра-
рациональной точке, при условии, что уравнение С имеет рациональные
коэффициенты. К тому лее, получаем таким образом все рациональные
точки Q на С, вращая L вокруг С. Есть еще одно важное следствие это-
этого построения, не зависящее от рациональности С или L. Оно состоит
в том, что выражая хну координаты Q на основе наклона t линии L,
мы получаем параметризацию С рациональными функциями (напо-
(напомним, что рациональные функции необязательно имеют рациональные
коэффициенты).
Например, это построение на круге х2
параметризацию
у = 1 в разделе 1.3 дает
У =
t2
(рисунок 11.2). Кривые 0-го рода можно определить как кривые, кото-
которые допускают параметризацию рациональными функциями. Сейчас
я покажу, что 0-й род включает некоторые кубические кривые, приме-
применяя похолсее построение к декартову листу.
Рисунок 11.2: Параметризация на круге
Лист как кривая был определен в разделе 7.3 уравнением
x3 + у3 = Заху.
A)
Начало координат О — очевидная рациональная точка на листе; более
того, О — это двойная точка кривой, как становится ясно из рисун-
рисунка 11.3. Линия у = tx, проходящая через О, пересекает, поэтому, лист
в еще одной точке Р, и изменение t дает все другие точки Р на кривой.
Найдя координаты Р как функции t, мы поэтому получаем парамет-
параметризацию.
Чтобы найти Р мы подставляем у = tx в A), получая
х3 + t3x3 = 3axtx,
следовательно,
t3) = 3at
11.75. Рациональные точки на кубических кривых 1-го рода 207
и, поэтому
У =
3at
1 + t3
3at2
1 + t3'
B)
C)
(Эти параметрические уравнения в упражнении 7.3.1 были выведены
из ничего.) Похолсее построение применяется к любой кубической кри-
кривой с двойной точкой, или в более общем смысле, к любой кривой сте-
степени п+1 с n-кратной точкой; следовательно, все такие кривые 0-го
рода.
Рисунок 11.3: Параметризация листа
Упражнения
Следует отметить, что двойная точка на кривой р(х,у) = О дает
двойной корень уравнения р(х, тх + с) = 0 для пересечений линии у =
= тх + с через двойную точку.
11.5.1 Определите двойной корень уравнения, полученный подстанов-
подстановкой у = tx в приведенное выше уравнение A).
11.5.2 Объясните, используя общее свойство двойного корня, почему ли-
линия рационального наклона через рациональную двойную точку
на кубической кривой с рациональными коэффициентами обяза-
обязательно пересекает кривую в другой рациональной точке.
Мы отмечаем также, что, как в построении квадратичных кривых,
все рациональные точки на листе получены этим методом.
11.5.3 Покажите, что если х та у рациональны, то t в B) и C) тоже.
11.5.4 Выведите из упражнения 11.5.3, что рациональные точки на листе
именно точки с рациональными t-значениями.
11.75. Рациональные точки на кубических кривых
1-го рода
Мы еще не дали точного определения 1-го рода, но оказывается
так, что это род всех кубических кривых, которые не относятся к 0-му
208
Глава 11
роду. Из раздела 11.5 мы знаем, что кубические кривые 1-го рода не
могут иметь двойных точек, и, фактически, они также не могут иметь
точек возврата, потому что оба этих случая приводят к рациональ-
рациональным параметризациям. (Что касается одного случая точки возврата,
см. упражнение 7.4.1.) Мы еще должны показать именно те функции,
которые действительно параметризуют кубические кривые 1-го рода.
Такие функции, эллиптические функции, определили лишь в девятна-
девятнадцатом веке, и их впервые использовал Клебш A864), чтобы парамет-
параметризовать кубические кривые.
Многие ключи к существованию эллиптических функций были из-
известны до этого, но, на первых порах, представлялось, что они ука-
указывают в других направлениях. Вначале тайна заключалась в том,
как Диофант и Ферма выработали решения диофантовых уравне-
уравнений. Интерпретация их результатов Ньютоном A670-е гг.) с помо-
помощью хордово-касательного построения (раздел 3.5) прояснила эту пер-
первую тайну, или прояснила бы, если бы кто-нибудь заметил ее в то
время. Но прежде, чем математики действительно осознали хордово-
касательное построение, они должны были объяснить несколько при-
приводящих в замешательство зависимостей между интегралами функ-
функций, такими как l/yax3 + bx2 + ex + d, найденными Фагнано A718)
и Эйлером A768). В конце концов, Якоби A834) заметил, что хордово-
касательное построение объясняет эту тайну тоже. Объяснение Якоби
было загадочным и, несмотря на то, что эллиптические функции бы-
были известны в то время в связи с интегралами, теория чисел и теория
кривых их полностью не впитали до появления Пуанкаре A901).
Аналитические истоки эллиптических функций будут объяснены
в следующей главе. В этом разделе мы подготовим связь с этой теорией,
выведя алгебраическую зависимость между коллинеарными точками
на кубической кривой. [Более глубокая трактовка всей истории вопроса
есть у Вейля A984)].
Мы начнем с формы уравнения для кубической кривой Ньютона
(раздел 7.4):
2 3 2
у2 = ах3 + bx2
d.
A)
Рисунок 11.4 показывает эту кривую, когда у = 0 для трех различных
действительных значений х.
Рисунок 11.4: Коллинеарные точки на кубической кривой
В разделе 3.5 мы нашли, что, если а,Ь,с — рациональны, и, ес-
если Р\,Р2 — рациональные точки на кривой, то прямая линия че-
через Рь-Рг пересекает кривую в третьей рациональной точке Рз. Если
11.75. Рациональные точки на кубических кривых 1-го рода 209
уравнение этой прямой линии имеет вид
у = tx + к,
то результат подстановки B) в A) — уравнение
ах3 + Ъх2 + cx + d- (tx + кJ = 0
B)
C)
для х координат Ж1,ж2,жз трех точек Р\,Р2,Рз- Но если корни C) —
х\,х2,хз, его левая часть должна иметь вид
а(х - xi)(x - х2)(х - х3).
В частности, коэффициент х2 должен быть
— а(х\ + Х2 + хз)-
Сравнивая это с фактическим коэффициентом х2 в C), мы находим
Ъ — t = —a(xi + Х2 + хз),
следовательно,
ХЗ = -(XI + Х2) д .
D)
Если Pi = (xi,yi), Р2 = (х2,у2), то t = (y2-yi)/(x2-x1), и подставляя
это в D), мы, наконец, получаем
-Х2)-
E)
задавая хз как явную рациональную комбинацию координат Pi, Рг. Ес-
Если Р\,Р2 — рациональные точки, то E) показывает, что хз (и, следо-
следовательно, уз = tx3 + к) также рационален, как мы уже знали.
Что неожиданно, так это то, что E) также является теоремой сло-
сложения для эллиптических функций. Это влечет следствие, что кривая
может быть параметризована эллиптическими функциями х = /(и),
у = д(и), так что E) — именно уравнение, выражающее хз = f(u\ +112)
на основе /(mi) = xi, f(u2) = х2, g(ui) = yi и g(u2) = 2/2 • Поэтому по-
построение прямой линии хз от х\ и Х2 также молено интерпретировать
как сложение значений параметров, и\ и г*2 х\ и Х2. Первые теоремы
слолсения были найдены Фагнано A718) и Эйлером A768) посредством
преобразования интегралов. Эйлер осознал, что имелась связь между
такими преобразованиями и теорией чисел, но так и не смог полностью
понять ее. Еще раньше, Лейбниц подозревал о такой связи, когда он
писал:
210
Глава 11
Я...помню, что предложил (что могло показаться кое-кому
странным), что прогресс в нашем интегральном исчислении
милостиво зависит от развития того типа арифметики, ко-
который, насколько нам известно, первым систематически рас-
рассмотрел Диофант.
[Лейбниц A702), в переводе Вейля A984)]
Якоби A834), видимо, в первый раз увидел связь после получе-
получения тома трудов Эйлера о преобразовании интегралов, но необходимо
было значительное прояснение эллиптических функций прежде, чем
понимание Якоби стало широко доступным. Мы опишем некоторые из
основных шагов в этом процессе прояснения в главах 12 и 16.
Упражнения
Доказательство, что кривые 1-го рода нельзя параметризовать
рациональными функциями можно смоделировать на доказательстве
Ферма, что г4 — s4 = v2 невозможно в положительных целых числах.
Причина состоит в том, что поведение рациональных функций уди-
удивительно похоже на поведение рациональных чисел, с многочленами,
играющими роль целых чисел, и при этом степень является мерой вели-
величины. Самая удобная кривая для иллюстрации этой идеи — у2 = 1-х4,
которая оказывается кривой 1-го рода.
11.6.1 Покажите, что параметризация у2 = 1 — х4 рациональными функ-
функциями и означает, что имеются многочлены r(u), s{u) и v{u) с
r{uL - s(uL = v{uf.
Теперь, чтобы имитировать остальную часть доказательства Фер-
Ферма (или упрощенную версию в упражнении 11.4.4), нужна теория де-
делимости для многочленов. Как теория для натуральных чисел, она
может основываться на евклидовом алгоритме. Она вытекает из тех
лее основных положений, что и в разделе 3.3, поэтому мы опустим ее.
Нам также нужна формула для «пифагоровых троек» рациональ-
рациональных функций. Она может быть найдена геометрическим методом раз-
раздела 1.3, вынесенном в «плоскость рациональной функции», где каждая
«точка» — это упорядоченная пара (х(и), у (и)) рациональных функций.
11.76. Биографические заметки: Ферма
211
11.6.2 Убедитесь, что «линии» и «наклон» имеют смысл в плоскости ра-
рациональной функции, и, следовательно, покажите, что каждая точ-
точка ф @, —1) на «единичном круге»
имеет вид
l-t(uJ 2t(u)
, , 2, У(и) =
t(uJ
для некоторой рациональной функции t(u).
11.6.3 Выведите из упражнения 11.6.2 формулу для «пифагоровых тро-
троек» многочленов, как формулу Евклида для обыкновенных пифа-
пифагоровых троек.
Сейчас можно имитировать доказательство Ферма, показывая,
что r(uL — s(uL = v(uJ невозможно для многочленов, и, следователь-
следовательно, что у2 = 1 — х4 не имеет параметризации рациональными функция-
функциями. Отсюда следует, что то же верно о некоторых кубических кривых.
11.6.4 Подставьте х = (X + 1)/Х и у = Y/X2 в у2 = 1 — х4 и, следова-
следовательно, покажите
Y2 = кубическому многочлену в X.
Выведите, что, если кубическая кривая в X, Y имеет рациональ-
рациональную параметризацию, то у2 = 1 — х4 тоже имеет.
11.76. Биографические заметки: Ферма
Пьер Ферма (рисунок 11.5) родился в Бомоне, близ Тулузы, в 1601
году и умер в Кастре, также близ Тулузы, в 1665 году. Подробности его
жизни неизвестны, как и его математики, но, по-видимому, она была
относительно не богата событиями. Отец Ферма, Доминик, был бога-
богатым торговцем и юристом, его мать, Клер де Лонг, происходила из из-
известной семьи, и у них было два сына и две дочери. Пьер ходил в школу
в Бомоне, университетскую учебу начал в Тулузе и закончил ее полу-
получением степени по праву в Орлеане в 1631 году. Таким образом, ака-
академические успехи Ферма были далеки от головокружительных, и не
обязательно потому, что его также отвлекала математика. Насколько
212
Глава 11
нам известно, его самой ранней математической работой была анали-
аналитическая геометрия 1629 года и, по мнению Вейля A984), его теория
чисел созрела, когда Ферма приближался к сорокалетнему возрасту.
Рисунок 11.5: Пьер де Ферма
По имеющимся свидетельствам, Ферма, видимо, не подпадает под
обычные клише о математическом гении: он начал немолодым, не ра-
работал со страстной напряженностью, и, как правило, не желал публи-
публиковать свои результаты (хотя он иногда похвалялся ими). Верно, что
немногие математики эпохи Ферма действительно занимались матема-
математикой ради заработка, но Ферма был чистейший из любителей. По-
видимому, математика никогда не приводила к какому-либо перерыву
в его профессиональной жизни.
Действительно, после получения степени по праву в 1631 году, он
женился на дальней родственнице со стороны матери, Луизе де Лонг,
получил большое приданное и принялся за удобную юридическую ка-
карьеру. Его положение дало ему право на обращение господин де Ферма,
отсюда имя Пьер де Ферма, под которым он сейчас известен. У него
и Луизы было пятеро детей, старший из которых, Клемен-Самуэль,
издал математические труды своего отца [Ферма A670)]. Вероятно, са-
самое драматическое, и вселяющее ужас, переживание жизни Ферма —
его заболевание чумой во время эпидемии 1652 или 1653 года. Сначала
сообщили, что он умер, но он оказался среди немногих счастливчиков,
которые выжили.
В течение 1660-х гг. у Ферма было неважное здоровье. Встречу
с Паскалем в 1660 г. вынуждены были отменить, потому что ни тот,
ни другой не был достаточно здоров для путешествия. В результате,
Ферма упустил свой единственный шанс встретится с ведущим матема-
математиком. Он никогда не ездил дальше Тулузы, и вся его работа выполнена
по переписке, главным образом, с членами кружка Мерсенна в Пари-
лее. После 1662 года в его письмах прекратились упоминания о научной
работе, но он подписывал юридические документы за три дня до сво-
своей смерти. Он умер в Кастре, во время выездной сессии суда, и был
похоронен там. Однако в 1675 году его останки были перенесены в фа-
фамильный склеп Ферма в церкви Августинцев в Тулузе.
Явный отказ Ферма поставить математику во главе своей профес-
профессиональной деятельности делает глубину и диапазон его математиче-
математических достижений тем более ошеломляющим. Мы можем никогда не
узнать достаточно о Ферма, чтобы понять его математическую мысль,
но попытки, которые предпринимались до сих пор, увеличивают на-
надежды, что можно сделать больше. Махони A973) дает обзор всей
11.76. Биографические заметки: Ферма
213
математики Ферма, но ему не удается отдать должное теории чисел.
У Вейля A984) есть блестящий анализ теории чисел Ферма, но дру-
другие стороны математики Ферма, по-прежнему, не проанализированы
с достойным сравнения пониманием.
Глава 12
Эллиптические функции
12.77. Эллиптические и круговые функции
Рассказ об эллиптических функциях — один из самых любопыт-
любопытных в истории математики, начиная со сложной аналитической идеи,
интегралов вида / R(t, \Jp(t))dt, где R — рациональная функция и р —
многочлен 3-й или 4-й степени, и заканчивая кульминацией простой
геометрической идеи, поверхностью тора. Возможно, лучший способ
понять — это сравнить его с вымышленной историей круговых функ-
функций, которая начинается с интеграла / dtj\J1 — t2 и кончается откры-
открытием круга. Вряд ли как этот вымысел, она проходила параллельно
реальному развитию эллиптических функций между 1650-ми и 1850-
ми гг.
Позднее признание геометрической природы эллиптических функ-
функций произошло благодаря позднему признанию существования и гео-
геометрической природы комплексных чисел. Действительно, более позд-
поздняя история эллиптических функций развертывается бок о бок с раз-
развитием комплексных чисел, которые являются предметом глав 14-16.
В данной главе мы, в основном, рассматриваем историю до 1800 г.,
до того, как комплексные числа проникли в действительно существен-
существенном масштабе. Однако, в основном рассказе есть несколько подтем, для
понимания которых не требуется комплексных чисел, и которые хоро-
хорошо проводят параллель с вымышленной историей круговых функций.
Удобно рассказать одну из них сейчас, потому что она иллюстрирует
параллель упрощенным образом, а также тесно примыкает к неопре-
неопределенному концу главы 11, параметризации кубических кривых.
12.78. Параметризация кубических кривых
Чтобы увидеть, как построить параметризующие функции для ку-
кубических кривых, мы вначале должны воспроизвести параметризую-
12.78. Параметризация кубических кривых
215
щие функции
х = smtt,
у = cos и
для круга х + у = 1, делая вид, что мы знаем эту кривую не геомет-
геометрически, а только как алгебраическую зависимость между хну.
Синусоидальную функцию молено определить как обратную /
функции f^1(x) = sin ж, которая, в свою очередь, определима как
интеграл
Наконец, интеграл молено рассматривать как следствие уравнения у2 =
= 1-х2, потому что подынтегральное выражение 1/Vl — х2 — про-
просто 1/у. Почему мы скорее используем это подынтегральное выраже-
выражение, чем любое другое, чтобы определить и = f~x{x) и, следовательно,
получить х как функцию /(и)? Ответ заключается в том, что мы тогда
получаем у как /'(и), следовательно, и х, и у — функции параметра и.
Это подтверждается следующим вычислением:
dx
du
rii \ ax -, /аи
f (и) = — = 1/ —
du I dx
следовательно, у = f'(u) (которая, конечно, cos и).
В точности такое же построение можно использовать, чтобы пара-
параметризовать любое отношение вида у2 = р(х). Мы полагаем
= д-1(х)= Г
Jo
dt
чтобы получить х = д(и), и затем находим, что у = д'(и) диффе-
дифференцированием и. Поэтому в некотором смысле параметризовать кри-
кривые вида у2 = р(х) (которые, как мы знаем из раздела 8.4, должны
включать все кубические кривые, вплоть до проективного преобразо-
преобразования х и у) тривиально. Как мы увидим в следующем разделе, ин-
интегралы J dt/\/p{i) изучались с 1600-х гг. для р, многочлена 3-й и 4-й
216
Глава 12
степени; однако, никто не думал обращать их до почти 1800 года. Яко-
би глубоко знал и интегралы, и обращение, когда он написал свою
загадочную статью [Якоби A834)], указывающую зависимость между
интегралами и рациональными точками на кривых (см. разделы 11.6
и 12.5). Поэтому, представляется вероятным, что он понимал предше-
предшествующую параметризацию, хотя в явном виде такую параметризацию
впервые дал Клебш A864)
Упражнения
Может случиться, что интеграл J dtj \/p{i) не сходится, вслед-
вследствие поведения 1/\Jp(t) в t = 0. Но в таком случае молено исполь-
использовать параметр и = f^1(x) = f* dt/^/p(t) для некоторого другого
значения а.
12.2.1 Проверьте, что у = /'(и) остается истинной с этим изменением
определения.
Когда кубическая кривая — у2 = ж3, которая имеет рациональ-
рациональную параметризацию, параметризующие функции, построенные выше,
действительно оказываются рациональными.
12.2.2 При условии, что у = ж3/2, найдите х = /(и) и у = /'(и), где и =
12.79. Эллиптические интегралы
Интегралы вида / R(t, \/p(t)) dt, где R — рациональная функция
и р — многочлен 3-й или 4-й степени без кратных множителей, на-
называются эллиптическими интегралами, потому что первый пример
встречается в формуле для длины дуги эллипса. (Функции, полученные
обращением эллиптических интегралов называются эллиптическими
функциями, а кривые, которые требуют эллиптических функций для
своей параметризации, называются эллиптическими кривыми. Такой
дрейф значения «эллиптический» довольно неудачен, потому что эл-
эллипс, поддающийся параметризации рациональными функциями, не
является эллиптической кривой!)
Эллиптические интегралы появляются во многих важных задачах
геометрии и механики, например, как длины дуги эллипса и гиперболы,
12.79. Эллиптические интегралы
217
периода простого маятника и деформации тонкого упругого стержня
[см. главу 13 и, например, Мельзак A976), стр. 253-269]. Когда в конце
семнадцатого века впервые возникли эти задачи, они поставили первое
препятствие перед программой Лейбница интегрировать в «конечной
форме» или «элементарными функциями». Как говорилось в разде-
разделе 9.6, Лейбниц считал, что правильным решением задачи интегриро-
интегрирования J f(x)dx будет известная функция д(х), так что д'(х) = f(x).
Функции тогда «известные», и которые сейчас называются «элемен-
«элементарными», — это функции, составленные из алгебраических, круговых
и показательных функций и обратных им.
Все попытки выразить эллиптические интегралы в этих поня-
понятиях провалились, и еще в 1694 году Якоб Бернулли предположил,
что задача была невозможной. Догадку, в конечном счете, подтвердил
Лиувилль A833), в ходе доказательства, что большой класс интегра-
интегралов неэлементарен. Тем временем, математики открыли столь много
свойств эллиптических интегралов и эллиптических функций, полу-
полученных из них обращением, что их молено было считать известными,
если далее не элементарными.
Ключ, который открыл множество секретов эллиптических инте-
интегралов, — кривая, известная как лемниската Бернулли (рисунок 12.1).
Эта кривая кратко упоминалась в разделе 2.5 как одно из спирических
сечений Персея. Она имеет декартово уравнение
и полярное уравнение
(х2+у2J = х2-
г2 = cos 26».
Рисунок 12.1: Лемниската Бернулли
Первый, кто рассмотрел ее как самостоятельную кривую, был
Якоб Бернулли A694). Он показал, что длина ее дуги выражается эл-
эллиптическим интегралом J^ dtj\J\ — t4, впоследствии известным как
лемнискатный интеграл, и, таким образом, он дал этому формально-
формальному выражению конкретную геометрическую интерпретацию. Многие
более поздние разработки в теории эллиптических интегралов и функ-
функций выросли из взаимосвязи мелсду лемнискатой и лемнискатным инте-
интегралом. Будучи простейшим эллиптическим интегралом, или, во вся-
всяком случае, самым аналогичным интегралу арксинуса J^ dtj\J\ — t2,
лемнискатный интеграл f* dt/^1 — t4 был самым поддающимся мани-
манипуляциям. Часто после извлечения некоторого свойства из лемнискат-
218
Глава 12
ного интеграла молено было расширить аргумент до более общих эл-
эллиптических интегралов.
Самым заметным примером этой методологии было открытие те-
теорем сложения, которые мы обсуждаем в следующем разделе.
Упражнения
Свойства лемнискаты, о которых говорилось выше, легко доказу-
доказуемы с помощью стандартной аналитической геометрии и исчисления.
12.3.1 Выведите декартово уравнение лемнискаты из полярного уравне-
уравнения
г2 = cos 26».
12.3.2 Используйте полярное уравнение лемнискаты и формулу для эле-
элемента дуги в полярных координатах
ds=
чтобы вывести, что длина дуги лемнискаты задается
г '
12.3.3 Сделайте вывод, изменяя переменную интегрирования до г, что
общая длина лемнискаты — 4 JQ dr/y/1 — г4.
В отличие от подынтегрального выражения 1Д/1 — t2, которое
рационализируется подстановкой 2г>/A + v2) вместо t, лемнискатное
подынтегральное выражение 1/Vl — t4 нельзя рационализировать за-
заменой t на любую рациональную функцию.
12.3.4 Объясните, каким образом это следует из упражнений в разде-
разделе 11.6.
Именно эта связь между интегралом лемнискаты и теоремой Фер-
Ферма о невозможности г4 — s4 = v2 в положительных целых числах, заста-
заставила Якоба Бернулли подозревать невозможность оценки лемнискат-
ного интеграла известными функциями.
12.80. Удвоение дуги лемнискаты
12.80. Удвоение дуги лемнискаты
219
Теорема сложения — это формула, выражающая f(u\ + мг) в по-
понятиях f(u{) и /(г*г) и, возможно, также /'(их) и /'(иг). Например,
теорема сложения для синусоидальной функции имеет вид
sin(iti + U2) = sin их cos иг + sin иг cos и\.
Поскольку производная sin и, соей, равна v I — sin и, мы также можем
записать теорему сложения как
sin(iti + И2) = sin их у 1 — sin2 1*2 + sin 1*2 у 1 — sin2 u\,
показывая, что sin(ni + иг) — алгебраическая функция sinni и sinn2-
Для того, чтобы упростить сравнение с эллиптическими функци-
функциями, мы рассмотрим следующий частный случай теоремы сложения
синусоиды:
sin2n = 2sinnv I — sin и. A)
Если мы допустим
и = sin х =
тогда
Но из A) мы также имеем
2и =
поэтому
dt
B)
Принимая во внимание, что sin l x = J* dt/л/1 — t2 представляет
угол и, видимый на рисунке 12.2, уравнение B) говорит нам, что угол
(или длина дуги) и удваивается, двигаясь от ж к 2ж\/1 — х2. Последнее
число, поскольку оно получено из ж с помощью рациональных опера-
операций и квадратных корней, молено построить из ж с помощью линейки
220
Глава 12
и циркуля (подтверждая геометрически очевидный факт, что угол мо-
может быть увеличен вдвое с помощью линейки и циркуля).
Рисунок 12.2: Удвоение дуги окружности
Все это имеет замечательную параллель в свойствах лемнискаты
и интеграле длины ее дуги J^ dt/y/l — t4. Открытие формулы для удво-
удвоения дуги лемнискаты Фагнано A718) показало, что геометрическую
информацию молено извлекать из ранее трудноразрешимых эллипти-
эллиптических интегралов, и мы также можем считать его первым шагом к те-
теории эллиптических функций. В нашей системе обозначений, формула
Фагнано имеет вид
dt
dt
C)
Поскольку 2ж\/1 — ж4/A + ж4) получен из ж с помощью рациональных
операций и квадратных корней, C) показывает, как и B), что дуга
может быть удвоена построением с помощью линейки и циркуля.
Фагнано вывел свою формулу с помощью двух подстановок, кото-
которые, как указывает Зигель A969), с.З, аналогичны естественной под-
подстановке для интеграла арксинуса (см. упражнения ниже).
Упражнения
В следующих упражнениях сравнивается эффект подстановки t =
= 2г>/A + v2) в dt/y/1 — t2 с аналогичными подстановками для t2
в dt/y/1 - t4.
12.4.1 Покажите, что подстановка t = 2г>/A + v2) дает л/1 — t2 = A —
— v2)/(l + v2) и, следовательно, что dt/y/l — t2 = 2dv/(l + v2).
12.4.2 Покажите, что t2 = 2v2/{l + v4) дает л/1 -14 = A - г>4)/A + v4)
и, следовательно,
dt _ /7, dv
Отсюда следует, что это изменение переменной соответствует неко-
некоторой зависимости между интегралами, которая оказывается «на пол-
полпути» к формуле Фагнано.
12.81. Общие теоремы сложения
12.4.3 Выведите из упражнения 12.3.2, что
dv _ [ 1+Х dt
221
Чтобы завершить путешествие в формулу Фагнано, мы делаем
вторую, похожую подстановку, которая восстанавливает лемнискатный
интеграл.
12.4.4 Подобным образом покажем, что подстановка v2 = 2w2/(l — w4)
дает
dv — /о d"w
V1 + v4
12.4.5 Проверьте, что результат подстановок в 12.4.2 и 12.4.4 дает
2-ш л/1 — w4
t =
и, что соответствующая зависимость между интегралами — фор-
формула удвоения Фагнано.
12.81. Общие теоремы сложения
Формула удвоения Фагнано оставалась малоизвестной редкостью,
пока 23 декабря 1751 года Эйлер не получил экземпляр трудов Фагна-
Фагнано; эту дату Якоби позже охарактеризовал как «день рождения эл-
эллиптических функций». Эйлер первым увидел, что прием с подста-
подстановкой Фагнано был не просто любопытной счастливой случайностью,
а открытием поведения эллиптических интегралов. При помощи своего
превосходного умения манипулировать, Эйлер быстро сумел распро-
распространить его на весьма общие теоремы сложения. Сначала на теорему
сложения для лемнискатного интеграла
222
Глава 12
затем на / dt/\/p(t), где pit) — произвольный многочлен 4-й степени.
Остроумная реконструкция хода мыслей Эйлера, по аналогии с теоре-
теоремой сложения арксинуса
дана Зигелем A969), стр. 1-10. Блестящий, как и его результаты, Эй-
Эйлер рассматривал только эллиптические интегралы, не эллиптические
функции, им обратные, поэтому можно было все еще уклоняться от
сути оценки Якоби. Но следует помнить, что Якоби мог видеть эллип-
эллиптическую функцию за милю, вероятно, легче, чем мы можем увидеть,
что теорема сложения арксинуса действительно теорема о синусах!
Следует отметить, что теоремы сложения Эйлера не охватывают
всех эллиптических интегралов. Общая форма / R{t, \/р~Щ) dt, однако,
приводит как раз к трем видам, из которых эйлеров — первый и са-
самый важный. Классическая теория эллиптических интегралов различ-
различных видов, с их различными теоремами сложения и преобразования,
была систематизирована Лежандром A825). Нелепо, но это было как
раз перед появлением эллиптических функций, которые сделали мно-
многое в работе Лежандра устаревшим.
Эти ранние исследования разрабатывали некоторые формальные
подобия между f dt/\/р~Щ, где р — многочлен 4-й степени, и f dt/\/q{t),
где q — квадратный многочлен. Реальной разницы, если р имеет 3-ю
степень, нет, как показывает естественное преобразование (упражне-
(упражнение 12.5.1). Вот почему j dt/yjp{t) также называется эллиптическим
интегралом, когда р — 3-й степени. Действительно, в конечном счете,
оказалось, что самый удобный интеграл для использования в качестве
основы теории эллиптических функций — Jdt/ \J At3 — g2t — дз, обрат-
обратная функция которого известна как функция Вейерштрасса р.
Теорема сложения для этого интеграла имеет вид
dt
- g2t - д3
dt
- 92t - дз
dt
-git-,
где хз — ничто иное как ж-координата третьей точки на
у2 = Ах3 - д2х - д3
прямой линии, проходящей через (xi,yi) и ix2,y2) (см. раздел 11.6).
Теперь, когда из раздела 12.2 мы знаем, что эта кривая параметризу-
12.82. Эллиптические функции
223
ется х = р(и), у = р'(и), определенных обращением интеграла, понят-
понятна некоторая связь между геометрией кривой и теоремой сложения.
Но ошеломляющая простота соотношения, по-видимому, требует более
глубокого объяснения. Оно лежит в царстве комплексных чисел, в ко-
которое мы ненадолго войдем в следующем разделе и более основательно
в разделах 16.4 и 16.5.
Упражнения
12.5.1 Покажите, что подстановка t = 1/и преобразует
dt — du
- иа)A - ub)(l - ис)
Обратно, мы можем преобразовать многочлены четвертой степени
под знаком квадратного корня в многочлены третьей степени, да-
даже в случаях, когда многочлен четвертой степени не имеет вида,
полученного в упражнении 12.5.1.
12.5.2 Преобразуйте
dt
du
л/l — t4 л/кубический многочлен в и
сделав подходящую подстановку для t.
12.82. Эллиптические функции
Идея обращения эллиптических интегралов для получения эллип-
эллиптических функций возникла благодаря Гауссу, Абелю и Якоби. У Гаус-
Гаусса идея появилась в конце 1790-х гг., но он не опубликовал ее; у Абеля —
в 1823 году, и он опубликовал ее в 1827 году, независимо от Гаусса. Неза-
Независимость Якоби до некоторой степени не столь ясная. По-видимому,
он приближался к идее обращения в 1827 году, но к действию его по-
побудило лишь появление статьи Абеля. Во всяком случае, его идеи впо-
впоследствии развивались со взрывной скоростью, и два года спустя он
опубликовал первую книгу об эллиптических функциях, Fundamenta
nova theoriae functionum ellipticarum, [Якоби A829)].
Гаусс впервые рассмотрел обращение эллиптического интеграла
в 1796 году, в случае J dt/^/l — t3. В следующем году он обратил ле-
224
Глава 12
мнискатный интеграл и продвинулся вперед дальше. Определяя «ле-
мнискатную синусоидальную функцию» х = si (и) через
dt
о V-l-t
он нашел, что эта функция была периодической, как синус, с периодом
г-1
Гаусс также заметил, что sl(u) вызывает комплексные аргументы, по-
поскольку из г2 = — 1 следует, что
d{it)
dt
следовательно, sl{iu) = isl{u), и лемнискатный синус имеет второй пе-
период 2ivj. Таким образом, Гаусс открыл двойную периодичность, одно
из ключевых свойств эллиптических функций, хотя вначале он не осо-
осознал его универсальность. Область действия и значение эллиптических
функций он обнаружил 30 мая 1799 года, когда он открыл необычайное
численное совпадение. Вот запись в его дневнике об этом дне:
Мы установили, что арифметически-геометрическое среднее
между 1 и л/2 есть тг/ш до 11 разрядов; доказательство этого
факта, несомненно, откроет новое поле анализа.
Гаусс был очарован арифметически-геометрическим средним с 1791
года, когда ему было 14 лет. Арифметически-геометрическое среднее
двух положительных чисел а и Ъ — это общий предел, agM(a, Ъ) двух
последовательностей {ап} и {Ьп}, определенных
[Более подробную информацию о теории и истории функции см. Кокс
A984).]
Действительно, верно, что agM(l, у/2) = tt/vj, как вскоре доказал
Гаусс, и «полностью новое поле» анализа, которое он создал из слияния
12.82. Эллиптические функции
225
этих идей, было необычайно богатым. Оно заключало в себе эллипти-
эллиптические функции вообще, тета-функции, позлее заново открытые Якоби,
и модулярные функции, позлее заново открытые Клейном. Теория, оче-
очевидно, не совершенствовалась до 1850-х гг., когда Риман показал, что
двойная периодичность становится очевидной, когда эллиптические ин-
интегралы помещены в подходящее геометрическое окружение.
К солсалению, Гаусс, фактически, не опубликовал ни один из своих
результатов об эллиптических функциях. Кроме публикации выраже-
выражения для agM(a, 6), как эллиптической функции [Гаусс A818)], он не
сделал ничего до того, как в 1827 году появились результаты Абеля,
затем сразу объявил их своими. Он писал Бесселю [Гаусс A828)]:
Я, скорее всего, не подготовлю свою исследования по транс-
трансцендентным функциям, которые я проводил в течение многих
лет — с 1798 года.... Господин Абель сегодня, как я вижу, опе-
опередил меня и освободил меня от бремени относительно одной
трети этих материалов.
Со стороны Гаусса неискренне было заявлять, что у него больше
результатов, чем у Абеля, потому что у Абеля также были результа-
результаты, неизвестные Гауссу. Верно, у Гаусса был приоритет по ключевым
идеям обращения и двойной периодичности, но приоритет еще не все,
как, возможно, знал сам Гаусс. Его собственное взлелеянное открытие
зависимости между agM и эллиптическими интегралами не только не
было найдено ранее, но даже опубликовано Лагранжем A785).
Упражнения
Следующие упражнения показывают, как лемнискатный синус
и его производная совершенно аналогичны обыкновенному синусу и его
производной, косинусу.
12.6.1 Покажите, что si'(и) = у/l - si4(и).
12.6.2 Выведите из теоремы сложения Эйлера (раздел 12.4), что
sl(u)sl'(v) + sl(v)sl'(u)
sl(u + v) =
1 + si2 (и) si2 (v)
226
Глава 12
12.83. Постскриптум о лемнискате
Удвоение дуги лемнискаты имело несколько интересных послед-
последствий для самой лемнискаты. Фагнано показал, с помощью похожих
аргументов, что квадрант лемнискаты молено разделить на две, три
или пять равных дуг с помощью линейки и циркуля [см. Эйуб A984)].
Это вызвало вопрос: для какого п лемнискату можно разделить на п
равных частей с помощью линейки и циркуля? Напомним из разде-
раздела 2.3, что на соответствующий вопрос для круга ответил Гаусс A801),
ст.366. Ответ следующий: п = 1тр\р\.. .рк, где каждое pi — простое
число вида 22 + 1. Во введении к своей теории Гаусс заявляет:
Принципы теории, которые мы собираемся объяснить, дей-
действительно распространяются намного дальше, чем мы ука-
укажем. Ибо они могут применяться не только к круговым функ-
функциям, но точно также к другим трансцендентным функци-
функциям, т. е., к тем, которые зависят от интеграла /A/л/1 — ж4) dx.
(ст. 355).
Однако его сохранившиеся статьи не включают ни одного такого
же проницательного результата о лемнискате, как его результат о кру-
круге. Есть лишь запись в дневнике от 21 марта 1797 года, где утвержда-
ется делимость лемнискаты на пять равных частей.
Ответ на задачу деления лемнискаты на п равных частей найден
Абелем A827), который преобразовал туманность Гаусса в кристаль-
кристальную ясность: деление с помощью линейки и циркуля возможно для
точно такого же п, как для круга. Этот удивительный результат слу-
служит, возможно, лучше, чем любой другой, подчеркиванию объединяю-
объединяющей роли эллиптических функций в геометрии, алгебре и теории чисел.
Современное его доказательство молено найти у Розена A981).
12.84. Биографические заметки: Абель и Якоби
Нильс Хенрик Абель родился в небольшом городке Финнёй, на
юго-восточном побережье Норвегии, в 1802 году и умер в Осло в 1829
году. За свою короткую жизнь ему удалось заслужить уважение луч-
лучших математиков Европы, но он пал жертвой официального безразли-
безразличия, ужасных семейных тягот и туберкулеза. Его душераздирающая
история не похожа на историю его великого современника в другой
области, поэта Джона Китса A797-1823).
12.84. Биографические заметки: Абель и Якоби
227
Как несколько математиков до него (Валлис, Грегори, Эйлер),
Абель был сыном протестанского священника. Его отец, Серен, отли-
отличился в теологии и философии в Копенгагенском университете и под-
поддерживал новые литературные и общественные двилсения своего вре-
времени. Широта взглядов Серена, особенно относительно употребления
алкоголя, к солсалению, не согласовывалась со здравым смыслом, и его
женитьба на Ан Мари Симонсен в 1799 году, в конце концов, приве-
привела к катастрофе. Прекрасная Ан Мари была талантливой пианисткой
и певицей, но совершенно безответственной, и позлее она открыто из-
изменяла своему мужу. Семья держалась вместе в первые годы жизни
Абеля, когда его воспитывал отец, но оба родителя часто становились
пьяны и неуравновешены, когда Нильса и его старшего брата, Ханса
Матиаса, отправили в Кафедральную школу Осло.
Вначале в школе было не лучше, чем дома. Некоторые из лучших
учителей ушли в недавно открытый Университет Осло, и дисципли-
дисциплина упала до точки, когда драки между персоналом и учащимися бы-
были обычными. Учитель математики, Бадер, был особенно жесток, бил
даже хороших учеников, таких как Абель, и ранил одного мальчика
настолько тяжело, что это привело к его смерти. Это стало причиной
увольнения Бадера (однако, до суда дело не довели) и назначения но-
нового учителя математики, Бернта Михаэля Холмбое, в 1818 году. Хотя
он не был творческим математиком, Холмбое знал свой предмет и был
учителем, который внушал надежду. Он познакомил Абеля с текста-
текстами Эйлера об исчислении, и вскоре Абель отбросил все остальное чте-
чтение ради трудов Ньютона, Лагранжа и Гаусса, между прочим. К 1819
году Холмбое писал в своем отчете: «С превосходнейшим гением он
сочетает ненасытный интерес и желание к математике, поэтому, если
он будет жить, он, вероятно, станет великим математиком» [см. Оре
A957), с. 33]. Оре сообщает нам, что последние три слова исправлены,
вероятно, вместо фразы «выдающимся математиком мира», которую
Холмбое, может быть, попросил смягчить директор школы. Почему
Холмбое выбрал для равновесия фразу со зловещим «если он будет
жить», загадка, хотя тревожно близкая к верному пророчеству.
В течение двух последних лет в Кафедральной школе, около 1820
года, Абель поверил, что он открыл решение уравнения пятой степе-
степени. Математики в Осло были настроены скептически, но не смогли
придраться к аргументации Абеля, поэтому ее послали к датскому ма-
математику Фердинанду Дегену. Деген толсе не смог найти ошибку, но он
благоразумно попросил у Абеля больше деталей и численный пример.
Когда Абель попытался вычислить один, он обнаружил свою ошибку.
228
Глава 12
Однако у Дегена также было другое предложение: Абелю лучше на-
направить свою энергию на «эллиптические трансцендентные функции».
Тем временем, семья Абеля распадалась. Ханс Матиас после мно-
многообещающего начала в Кафедральной школе скатился в отстающие
ученики класса, и его отослали домой, в итоге, он стал слабоумным. Его
отец пил до самой смерти в 1820 году, оставив семью без гроша. Нильс
Хенрик, теперь старший член семьи, несущий за нее ответственность,
предпринял шаги, которые должны были спасти его сестру Элизабет
и младшего брата Петера. Он нашел другой дом для Элизабет и взял
Петера с собой, когда поступил в Университет Осло в 1821 году.
Вскоре Абель прочитал большую часть передовых трудов по ма-
математике в университетской библиотеке и всерьез начал свои собствен-
собственные исследования. К 1823 году он открыл обращение, которое было
ключом к эллиптическим функциям, доказал нерешимость уравнения
пятой степени и открыл удивительную общую теорему об интегриро-
интегрировании, ныне известную как теорема Абеля, которая неявно вводит по-
понятие рода. Во время поездки в Копенгаген в 1823 году с тем, чтобы
сообщить Дегену об этих результатах, он повстречал и полюбил Крис-
Кристину («Крелли») Кемп. Как и Абель, она происходила из образован-
образованной, но обнищавшей семьи; она зарабатывала себе на жизнь репетитор-
репетиторством. Оставшиеся шесть лет жизни Абеля были поглощены борьбой за
признание его математики и попытками занять должность, достаточно
оплачиваемую, которая позволила бы ему жениться на Крелли.
В 1824 году он выиграл правительственную стипендию, чтобы по-
поехать и встретиться с другими учеными, и обручился с Крелли на Ро-
Рождество. Теперь она работала в Осло в качестве гувернантки, работа,
на которую ее устроил Абель. Стипендия, в основном, предназначалась
на поездку в Париж, но, когда он, наконец, отплыл, в конце 1825 года,
он импульсивно сделал крюк и заехал в Берлин навестить друзей. Там
он также встретил Августа Крелля, инженера и математика-любителя,
который собирался основать первый немецкий математический жур-
журнал. Встреча была удачной, так как Крелль мог предоставить между-
международное распространение первых важных результатов Абеля, тогда
как Абель мог обеспечить качественные статьи, которые гарантировали
успех новому журналу. При встречах с влиятельными математиками
Абель был менее удачлив. Он не сделал попытки посетить Гаусса во
время пребывания в Германии, будучи убежден, что Гаусс «абсолютно
недоступен», и ему не удалось произвести впечатление на Коши в Пари-
лее, хотя он подарил ему экземпляр мемуара о теореме Абеля. Во время
12.84. Биографические заметки: Абель и Якоби
229
пребывания в Париже Абель открыл свою теорему о лемнискате и по-
позировал для своего единственного известного портрета (рисунок 12.3).
Рисунок 12.3: Нильс Хенрик Абель
К концу 1826 года у Абеля кончались деньги, и он ел лишь один раз
в день. Он боялся, что потеряет связь с Крелли, так как она вернулась
в Копенгаген и писала редко. Он уехал из Парилса в Берлин 29 декабря,
хотя у него еще хватало денег, чтобы платить за поездку, и его ждало
письмо от Крелли! Наконец, хорошие новости! Крелли поддерживала
его как всегда, и их планы на будущее возродились. Абель вернулся
в Осло в мае 1827 года через Копенгаген и договорился о другой рабо-
работе для Крелли в Норвегии. К сожалению, университет все еще не желал
дать ему больше, чем временная должность, оплаты за которую едва
хватало, чтобы погасить долги семьи. В сентябре 1827 года в журна-
журнале Крелля была опубликована первая статья Абеля об эллиптических
функциях. В том лее месяце на сцене появился Якоби с первым объ-
объявлением о своих результатах. Это были результаты, которые Абель
знал, как доказать, и, когда несколько месяцев спустя появились дока-
доказательства Якоби, Абель был потрясен, увидев, что Якоби использовал
метод обращения без признания его первого появления в статье Абеля.
Вначале Абель испытал горечь от такого удара и пытался «одолеть»
Якоби с помощь второй статьи. Однако он перестал иметь зуб против
него, когда узнал, насколько Якоби действительно был восхищен его
работой. Якоби, в самом деле, признал, что его первое объявление осно-
основывалось на догадках, и, что он осознал, что обращение было ключом
к доказательству, только после чтения работы Абеля.
В мае 1828 года Абель, наконец, получил приличное предложение
о работе из Берлина, только вынужден был отказаться от него два меся-
месяца спустя. Крелли трудилась в поддержку Абеля, но другой кандидат
пролез вперед него. Тогда группа французских математиков обрати-
обратилась с ходатайством к королю Швеции и Норвегии использовать свое
влияние в интересах Абеля, но Университет Осло по-прежнему оста-
оставался непреклонным. К этому моменту, время истекало. Здоровье Абе-
Абеля ухудшалось, и в январе 1829 года он начал харкать кровью. Крелли
возобновила его попытки в Берлине, но было слишком поздно. Абель
умер 6 апреля 1829 года, как раз за два дня до получения письма от
Крелли, где сообщалось о его назначении профессором в Берлине.
Карл Густав Якоб Якоби (рисунок 12.4) родился в Подстаме в 1804
году и умер в Берлине в 1851 году. Он был вторым из трех сыновей
Симона Якоби, банкира. Старший сын, Мориц, стал физиком и изоб-
изобретателем популярной псевдонауки под названием «гальванопластика»,
230
Глава 12
которая сделала его в свое время более известным, чем Карла. Самый
младший, Эдуард, продолжил семейное дело, кроме того, у них была
сестра, Тереза. Имя матери Якоби до нас не дошло, хотя ее линия род-
родства также была важна, один из ее братьев заботился об образовании
Якоби, пока он не поступил в среднюю школу в 1816 году. Его переве-
перевели в старший класс всего несколько месяцев спустя, но он вынужден
был оставаться там в течение четырех лет, пока не достиг возраста
для поступления в университет. В школьные годы Якоби выделялся
в классических языках и истории, также как и в математике. Он изучил
Introductio in analysin infinitorum Эйлера [Эйлер A748а)] и попытался,
как Абель, решить уравнение пятой степени.
Рисунок 12.4: Карл Густав Якоб Якоби
Поступив в Берлинский университет в 1821 году, Якоби продол-
продолжил свое широкое классическое образование в течение двух лет, преж-
прежде, чем личное изучение трудов Эйлера, Лапласа и Гаусса убедило его,
что он располагал временем только для математики. Он получил свою
первую степень в 1824 году и начал читать лекции (по дифференци-
дифференциальной геометрии) в Берлинском университете в 1825 году. Несмотря
на репутацию из-за грубости и сарказма, Якоби быстро добился успе-
успеха в своей карьере. Он переехал в Кенигсберг в 1826 году, став там
адъюнкт-профессором в 1827 году и профессором в 1832 году. Его рез-
резкую манеру перевешивали иногда его исключительная энергия и энту-
энтузиазм как в исследованиях, так и в преподавании. Ему удалось соеди-
соединить то и другое, читая лекции об эллиптических функциях до 10 часов
в неделю, включая свои последние открытия. О таком крайне интенсив-
интенсивном обучении, как сейчас, тогда не слыхивали, все лее Якоби постепенно
создал школу из талантливых учеников.
В 1831 году он женился на Мари Швинк, дочери когда-то богато-
богатого человека, который потерял свое состояние из-за спекуляций. Девять
лет спустя, с возрастающей семьей (в итоге, пять сыновей и три доче-
дочери), Якоби оказался в похожем затруднительном положении. Состоя-
Состояние его отца исчезло, и он вынужден был содерлсать свою овдовевшую
мать. В 1843 году он пережил полный упадок сил из-за переутомления,
и ему поставили диагноз, диабет. Его другу Дирихле удалось добить-
добиться стипендии для Якоби на поездку в Италию для поправки здоровья.
Проведя там восемь месяцев, Якоби был достаточно здоров, чтобы вер-
вернуться. Ему дали разрешение переехать в Берлин, из-за его более мяг-
мягкого климата, и увеличили жалованье, чтобы покрыть более высокие
траты на житье в столице. Однако в 1849 году прибавка к жалова-
жалованью была отменена. Якоби вынужден был переехать из своего дома
12.84. Биографические заметки: Абель и Якоби
231
в гостиницу, и он отослал остальную семью в небольшой городок Гота,
где проживание было дешевле. В начале 1851 года он подхватил грипп
после того, как навестил их. Прежде, чем он выздоровел, он заболел
оспой и через неделю умер.
Якоби помнят за его вклады во многие области математики, вклю-
включая дифференциальную геометрию, механику и теорию чисел, а также
эллиптические функции. Он был большим почитателем Эйлера и пла-
планировал издать труды Эйлера, которые, в конце концов, начали появ-
появляться, в сокращенном объеме в 1911 году. Действительно, во многих
отношениях Якоби был вторым, если не малым ?, Эйлером. Он ви-
видел эллиптические функции не столько как вещи в себе, как Абель, но
как источник ослепляющих формул, причастных к теории чисел. В его
основной работе об эллиптических функциях, Fundamenta nova [Яко-
[Якоби A829)] молено найти поразительное собрание формул. В то лее вре-
время его глубоко впечатлили идеи Абеля, и он самоотверженно боролся,
чтобы они получили большую известность. Он ввел термины «абелев
интеграл» и «абелева функция» для обобщений эллиптических инте-
интегралов и функций, рассмотренных Абелем, а также «абелева теорема»
для теоремы Абеля, которую он охарактеризовал как «величайшее ма-
математическое открытие нашего времени».
Глава 13
Механика
13.85. Механика до исчисления
Неоднозначный заголовок отражает двойственную цель этого раз-
раздела: дать краткий обзор механики, которая возникла до исчисления,
и ввести тезис, что механика психологически, если не логически, была
необходимой предпосылкой для самого исчисления. Остальная часть
главы развертывается вокруг этого тезиса, демонстрируя, как в ходе
изучения задач механики возникли несколько важных областей в ис-
исчислении (и за его пределами). Недостаток места, не говоря уже о недо-
недостатке специальных знаний, не дает мне вторгнуться слишком далеко
в историю понятий механики, поэтому я предположу некоторое пони-
понимание времени, скорости, ускорения, силы и тому подобного, и сосре-
сосредоточусь на математике, которая возникла из отражения этих поня-
понятий. Эти математические направления будут прослежены до девятна-
девятнадцатого века. Больше подробностей можно найти у Дюга A957, 1958)
и Трусделла A954, I960I. В прошлом веке, по-видимому, скорее ма-
математика была движущей силой механики, чем наоборот. Выдающи-
Выдающиеся понятия механики двадцатого века, относительность и квантовая
механика, были бы немыслимы без достижений девятнадцатого века
в чистой математике, некоторые из которых мы обсудим позже.
Как указывалось в разделе 4.5, в античности единственный су-
существенный вклад в механику сделал Архимед, введя основы статики
(равновесие рычага требует равенства моментов с обеих сторон) и гид-
гидростатики (тело, погруженное в жидкость, испытывает подъемную си-
силу, равную весу смещенной жидкости). Известные результаты Архи-
Архимеда о площадях и объемах, по существу, были открыты, как он по-
показал в своем Методе, с помощью гипотетического уравновешивания
1См. также К.Трусделл «Очерки по истории механики». М.—Ижевск: 2002
(прим. ред.).
13.85. Механика до исчисления
233
тонких слоев различных фигур. Таким образом, ранние нетривиаль-
нетривиальные результаты в исчислении, если под исчислением понимать метод
открытия результатов о пределах, опирались на понятия механики.
О средневековом математике Ореме также говорилось (раздел 7.1)
в связи с использованием координат для того, чтобы дать геометриче-
геометрическое представление функций. Отношение, которое представил Орем,
по существу, было скоростью v как функции времени t. Он понял,
что смещение тогда представлено площадью под кривой, и, следова-
следовательно, в случае постоянного ускорения (или «равномерно деформи-
деформированной скорости», как назвал ее он), смещение равняется общему
времени х скорость в средний момент (рисунок 13.1). Этот резуль-
результат известен как «Мертонская теорема об ускорении» [см., например,
Кладжет A959), с. 355], потому что она берет начало в работе группы
математиков Мертон-колледжа, Оксфорд, в середине 1330-х гг. Первые
доказательства были арифметические и гораздо менее прозрачные, чем
рисунок Орема.
Рисунок 13.1: Мертонская теорема об ускорении
Хотя в 1330-х гг. постоянное ускорение понималось теоретически,
до эпохи Галилея A564-1642) было не ясно, что действительно проис-
происходило в природе, — а именно, с падающими телами. Галилей сообщил
об эквивалентном результате, что смещение тела, падающего из состо-
состояния покоя во время t = 0, пропорционально ?2, в письме [Галилей
A604)]. Вначале он был не уверен, вытекало ли это из скорости, про-
пропорциональной времени v = Ы (то есть, постоянному ускорению), или
пропорциональной расстоянию v = ks, но позже он правильно разре-
разрешил вопрос в пользу v = Ы [Галилей A638)]. Складывая равномерно
увеличивающуюся вертикальную скорость с постоянной горизонталь-
горизонтальной скоростью, Галилей впервые вывел правильную траекторию бро-
брошенного тела: параболу.
Движение брошенных тел было весьма важным вопросом в эпоху
Возрождения, и, предположительно, его часто наблюдали, тем не ме-
менее, траектории, предлагавшиеся до Галилея, совершенно противоречи-
противоречили здравому смыслу (см., например, рисунок 6.3). Убеждение, шедшее
от Аристотеля, что движение молено поддерживать лишь постоянным
применением силы, привело математиков к игнорированию очевидно-
очевидного и рисованию траекторий, где горизонтальная скорость уменьшалась
до нуля. Галилей опроверг это заблуждение, утвердив принцип инер-
инерции: тело, которое не подвергается воздействию внешних сил, движется
с постоянной скоростью.
Принцип инерции был отправной точкой в механике Ньютона; дей-
234
Глава 13
ствительно, его часто называют первым законом Ньютона. Это част-
частный случай его второго закона, что сила пропорциональна массе х
ускорение [Ньютон A687), с. 13]. По этому закону движение тела опре-
определяется сложением сил, действующих на него. Правильный закон сло-
сложения сил, что силы складываются векторно, был открыт в случае
перпендикулярных сил Стевиным A586) и в общем случае Роберва-
лем [опубликован Мерсенном A636)]. Движение, поэтому, определяет-
определяется сложением векторов соответствующих ускорений, метод, который
использовал Галилей в случае брошенного тела.
Определение скорости и смещения на основе ускорения — это, ко-
конечно, задачи интегрирования, поэтому механика внесла в исчисление
естественный класс задач, как раз в то время, когда возникал пред-
предмет. Но правда заключалась не только в этом. Первые исследователи,
практикующие исчисление, считали, что непрерывность была непре-
непременным существенным признаком функций, и единственный способ,
которым они могли определять непрерывность, было обращение, в ко-
конечном счете, к зависимости скорости или смещения от времени. С этой
точки зрения, все задачи интегрирования и дифференцирования были
задачами механики, и Ньютон описал их как таковые, когда объяснял,
как молено применять его исчисление бесконечного ряда:
Теперь остается, в качестве объяснения этого аналитического
искусства, представить несколько типичных задач, и, в основ-
основном, будут представлены такие, как природа кривых. Но,
прежде всего, я бы отметил, что трудности этого рода мож-
можно свести лишь к двум задачам, которые, быть может, позво-
позволят мне предложить в отношении пространства, пересекаемо-
пересекаемого любым локальным движением, каким бы ускоренным или
замедленным оно ни было:
1. При заданной непрерывно длине пространства (то есть,
в каждый момент времени), найти скорость движения
в любое предложенное время.
2. При заданной непрерывно скорости движения, найти
длину пространства, описанного в любое предложенное
время.
[НьютонA671),с.71]
Конечно, теперь мы знаем, что первая задача требует для своего
решения скорее дифференцируемости, чем непрерывности, но пионеры
13.86. Небесная механика
235
исчисления думали, что непрерывность влекла за собой дифференци-
руемость, и, следовательно, не признавали ее в качестве отдельного по-
понятия. Действительно, именно исследование вопроса механики, задачи
о колеблющейся струне, обнаружило это различие.
13.86. Небесная механика
Астрономия была мощным стимулом в математике с древнейших
времен. Эпициклическая теория Аполлония и Птолемея ввела инте-
интересное семейство алгебраических и трансцендентных кривых, как мы
видели в разделе 2.5, а сама теория господствовала в западной астро-
астрономии до семнадцатого века. Даже Коперник A472-1543), когда он
в De revolutionibus orbium coelestium [Коперник A543)] опроверг гео-
геоцентрическую систему Птолемея гелиоцентрической системой, не скло-
склонен был отказаться от эпициклов. Принятие Солнца в качестве центра
системы, упрощает орбиты планет, но не делает их круговыми, поэто-
поэтому Коперник, принимая птолемееву философию, что орбиты должны
порождаться круговыми движениями, моделировал их с помощью эпи-
эпициклов. По существу, он использовал больше эпициклов, чем Птолемей.
Более важным шагом вперед, с математической точки зрения, бы-
было введение Кеплером эллиптических орбит в Astronomia nova [Кеплер
A609)]. Когда Ньютон объяснил эти орбиты как следствие гравитаци-
гравитационного закона обратных квадратов в Principia [Ньютон A687), с. 56],
он показал, что имелся более глубокий уровень объяснения, бесконечно
малый уровень, где можно было добиться простоты, даже, когда она
невозможна на глобальном уровне. Сила, действующая на данное те-
тело В\ — это просто векторная сумма сил вследствие влияния других
тел ??2, • • •, Вп в системе, определяемая их массами и расстояниями
от В\ по закону обратных квадратов, и, по второму закону Ньюто-
Ньютона, это определяет ускорение В\. Ускорения В^, ..., Вп определяются
похожим образом, следовательно, поведение системы полностью опре-
определяется законом обратных квадратов, как только заданы начальные
положения и скорости. Закон обратных квадратов — это закон беско-
бесконечно малых, в том смысле, он описывает ограничивающее поведение
тела, его ускорение, а не его глобальное поведение, такое как форма
или период его орбиты.
Как мы сейчас знаем, глобальное поведение динамической системы
редко можно описать в явном виде, поэтому Ньютон нашел единствен-
единственный жизнеспособный базис для динамики, направляя внимание к бес-
236
Глава 13
конечно малому поведению. К сожалению, он неудачно передал это
понимание, выражая его в геометрических терминах, будучи убежден,
что исчисление, которое он использовал для открытия своих резуль-
результатов, неуместно в серьезной публикации. К восемнадцатому веку это
убеждение было рассеяно Лейбницем и его последователями, и оконча-
окончательная формулировка динамики в понятиях исчисления дана Эйлером
и Лагранжем. Они признали, что бесконечно малое поведение динами-
динамической системы символически описывалось системой дифференциаль-
дифференциальных уравнений, и, что глобальное поведение, в принципе, выводимо из
этих уравнений интегрированием.
Однако остался вопрос, действительно ли закон обратный квад-
квадратов объяснял наблюдаемое глобальное поведение Солнечной систе-
системы. В системе только с двумя телами Ньютон показал [Ньютон A687),
с. 166], что каждое описывает коническое сечение относительно друго-
другого, в нормальных случаях, эллипс, как утверждал Кеплер. В системе
трех тел, таких как Земля-Луна-Солнце, простое глобальное описание
было невозможно, и Ньютон смог получить только качественные ре-
результаты при помощи аппроксимаций. При наличии в Солнечной си-
системе множества тел возможно было крайне сложное поведение, и в те-
течение 100 лет математики не могли объяснить некоторые из реально
наблюдаемых явлений.
Известный пример — так называемое вековое изменение Юпите-
Юпитера и Сатурна, которое обнаружил Галлей в 1695 году из наблюдений
тогда доступных. В течение нескольких столетий Юпитер ускорялся
(двигаясь по спирали по направлению к Солнцу), а Сатурн замедлялся
(двигаясь по спирали вовне). Задача заключалась в объяснении этого
поведения и определении, продолжится ли оно, с возможным разруше-
разрушением Юпитера и исчезновением Сатурна. Эйлер и Лагранлс безуспешно
работали над задачей; затем, в столетнюю годовщину Principia Лаплас
A787) добился успеха в объяснении явления. Он показал, что вековое
изменение фактически было периодическим, Юпитер и Сатурн воз-
возвращались в свои первоначальные положения каждые 929 лет. Лаплас
считал это подтверждением не только ньютоновой теории, но также
устойчивости Солнечной системы, хотя, по-видимому, последнее по-
прежнему открытый вопрос.
Лаплас ввел термин «небесная механика» и не оставил сомнений,
что с его монументальной Mecanique celeste, трудом из пяти томов, ко-
который появился между 1799 и 1825 годами, пришла теория. Звездный
час теории в астрономии наступил в 1846 году, с открытием Нептуна,
положение которого вычислили Адаме и Леверьер на основе наблюда-
13.87. Механические кривые
237
емых возмущений орбиты Урана. Трудный вопрос устойчивости был
вновь поднят в трех томах Les methodes nouvelles de la mecanique celeste
Пуанкаре A892, 1893, 1899). В этом труде Пуанкаре направил внима-
внимание на асимптотическое поведение, до некоторой степени дополняя точ-
точку зрения Ньютона о бесконечно малых точкой зрения по отношению
к бесконечности, и его методы оказали сильное влияние на динамику
двадцатого века.
13.87. Механические кривые
Когда Декарт выдвигал доводы в пользу ограничения La Geometrie
алгебраическими кривыми (которые он назвал «геометрическими», см.
раздел 7.3), он явно исключил некоторые классические кривые на до-
довольно неопределенных основаниях, так как они
принадлежат только механике, и не находятся среди тех кри-
кривых, которые, как я думаю, должны быть включены сюда,
поскольку они должны пониматься, как описанные двумя от-
отдельными движениями, отношение которых не допускает точ-
точного определения.
[Декарт A637), с.44]
Кривые, которые Декарт передал «механике», — это кривые, ко-
которые греки определяли с помощью некоторых гипотетических меха-
механизмов, например, эпициклов (описанными вращением одного круга на
другом) и спирали Архимеда (описанной точкой, движущейся с посто-
постоянной скоростью вдоль равномерно вращающейся линии). Вероятно,
он осознавал, что спираль трансцендентна в силу того, что она пересе-
пересекает прямую линию в бесконечном множестве точек. Это обратно пове-
поведению алгебраической кривой р(х,у) = 0, которая пересекает прямую
линию у = тх + с только в конечном множестве точек, соответствую-
соответствующем конечному множеству решений р(х,тх + с) = 0. Это доказатель-
доказательство существования трансцендентных кривых было дано в явном виде
Ньютоном A987), лемма XXVIII.
Мы не знаем, отличал ли Декарт, скажем, алгебраические эпицик-
эпициклы от трансцендентных; тем не менее, в общих чертах верно, что его
«механические» кривые были трансцендентными. Это осталось верным
с широким распространением механики и исчисления в семнадцатом
веке, и, несомненно, большая часть новых трансцендентных кривых
238
Глава 13
берет начало в механике. В этом разделе мы познакомимся с тремя са-
самыми важными из них: цепной линией, циклоидой и изгибом упругих
стержней.
Цепная линия — это вид подвесной нити, которая, по предположе-
предположению, совершенно гибкая, и ее масса равномерно распределена вдоль ее
длины. На практике гибкость и равномерность массы лучше предста-
представить себе с помощью подвесной цепи, отсюда название цепная линия,
которое происходит от латинского слова catena, означающего цепь. Гук
A675) заметил, что та лее самая кривая встречается как вид изгиба бес-
бесконечно малых камней. Цепная линия очень сильно похожа на парабо-
параболу, и вначале Галилей предположил, что она является таковой. Оши-
Ошибочность этого доказал 17-летний Гюйгенс A646), хотя в то лее время
он не смог определить правильную кривую. Он, однако, показал, что
вид параболы принимала гибкая нить, нагруженная весами, которые
равномерно распределялись в горизонтальном направлении (как при-
приблизительно в случае для троса висячего моста).
Задача о цепной линии была, наконец, решена независимо Иоган-
Иоганном Бернулли A691), Гюйгенсом A691) и Лейбницем A691) в ответ
на вызов Якоба Бернулли в 1690 году. Иоганн Бернулли показал, что
кривая удовлетворяла дифференциальному уравнению
dx
где а — постоянная и s = длина дуги (рисунок 13.2). Он вывел это
уравнение, заменив часть ОР цепи, которая удерживается в равно-
равновесии касательной силой F\ в Р и горизонтальной силой Fo, которая
независима от Р, на материальную точку W, равную весу ОР (следо-
(следовательно, пропорциональную s), удерживаемую в равновесии теми же
силами. Сравнение направлений и величин сил дает
dx
W_
С помощью остроумных преобразований Бернулли привел уравнение
к виду
dx =
ady
/у2 - а2 '
другими словами, к интегралу. Это решение было настолько простым,
насколько могло быть сформулировано в то время, поскольку х —
13.87. Механические кривые
239
трансцендентная функция у и, следовательно, может быть выраже-
выражена, наилучшим образом, как интеграл. Сегодня, конечно, мы осознаем
функцию как одну из «стандартных» и сокращаем решение как
у = ach| - a.
Рисунок 13.2: Цепная линия
Циклоида — это кривая, порожденная точкой на окружности кру-
круга, вращающегося на прямой линии. Несмотря на то, что она является
естественным предельным случаем в эпициклической семье, циклоиду,
по-видимому, не исследовали до семнадцатого века, когда она стала
любимой кривой математиков. Она имеет много прекрасных геомет-
геометрических свойств, и еще больше замечательных механических свойств.
Первое из них, открытое Гюйгенсом A659b) состоит в том, что цикло-
циклоида — это таутохрона (кривая равного удаления по времени). Части-
Частице, вынужденной скользить вдоль перевернутой циклоиды, требуется
столько лее времени, чтобы спуститься в самую нижнюю точку, неза-
независимо от исходной точки.
Гюйгенс A673) создал классическое применение этого свойства
к часам маятника, используя геометрическое свойство циклоиды (Гюй-
(Гюйгенс, 1659с). Если маятник, при этом полагается, что он невесомая
нить с материальной точкой в конце, вынужден качаться мелсду дву-
двумя циклоидальными «щеками>, как назвал их Гюйгенс (рисунок 13.3),
то материальная точка будет перемещаться вдоль циклоиды. Следо-
Следовательно, период циклоидального маятника независим от амплитуды.
Это делает его теоретически лучше обыкновенного маятника, период
которого, несмотря на то, что приблизительно постоянен для малых
амплитуд, фактически включает эллиптическую функцию. На прак-
практике, проблемы, такие как трение, делают циклоидальный маятник не
более точным, чем обыкновенный маятник, но его теоретическое пре-
превосходство на некоторое время исключило обыкновенный маятник из
механики. В Principia Ньютона, например, часто упоминается циклои-
циклоидальный маятник, но никогда простой маятник.
Рисунок 13.3: Циклоидальный маятник
Второе замечательное свойство циклоиды заключается в том, что
она является брахистохроной, кривой кратчайшего времени. Иоганн
Бернулли A696) поставил задачу отыскания кривой между заданными
точками А и В, вдоль которой точечная масса спускается за кратчай-
кратчайшее время. Он уже знал, что решением была циклоида, и решения
были найдены независимо Якобом Бернулли A697), Лопиталем A697),
240
Глава 13
Лейбницем A697) и Ньютоном A697). Эта задача глубже, чем задача
о таутохроне, потому что циклоиду следовало выделить из всех воз-
возможных кривых между А и В. Решение Якоба Бернулли было самым
глубоким, потому что оно признавало аспект задачи о переменной кри-
кривой, и сейчас оно считается важным шагом в развитии вариационного
исчисления.
Изгиб упругих стержней — еще одно из открытий Якоба Бернул-
Бернулли, и также валено в развитии еще одной области, теории эллиптиче-
эллиптических функций. Изгиб упругих стержней — это кривая, форму которой
принимает тонкий упругий стержень, сжатый на концах. Якоб Бер-
Бернулли A694) показал, что кривая удовлетворяла дифференциальному
уравнению, которое он привел к виду
ds =
dx
Для того, чтобы интерпретировать этот интеграл геометрически, он
ввел лемнискату и показал, что длина ее дуги выражается точно таким
лее интегралом. Это было началом исследований лемнискатного инте-
интеграла, которые включали важные открытия Фагнано и Гаусса, о кото-
которых говорилось в предыдущей главе. Исследовать эллиптические ин-
интегралы Эйлера также побудил изгиб упругих стержней. Эйлер A743)
дал картины изгибов упругих стержней, которые показывают, что они
имеют периодические формы (рисунок 13.4). Именно эти рисунки впер-
впервые показали реальный период эллиптических функций, хотя, конечно,
в первом эллиптическом интеграле периодичность была неявной, дли-
длиной дуги эллипса (реальным периодом является окрулсность эллипса).
Рисунок 13.4: Формы изгиба упругих стержней
Упражнения
Получению функций гиперболического косинуса из уравнения цеп-
л. d2v
ной линии помогла сложная формула для —-, которую вы должны
dx'
вначале проверить, если она вам не знакома.
13.3.1 Используйте
—— d2y
¦f dy1 и —- =
dx2
dy
13.88. Колеблющаяся струна
чтобы преобразовать дифференциальное уравнение
241
в
где z
= dy/dz.
dx
dz
dy
dx
X
s
~ a
a
/TT
z2
B)
13.3.2 Решите A) для х и, следовательно, покажите, что исходное урав-
уравнение имеет решение
у = a ch | + const.
Значительно легче решить уравнение висячего моста, вот, может
быть, почему Гюйгенс смог сделать это в возрасте 17 лет, прежде чем
стало известно многое из исчисления.
13.3.3 Как следует преобразовать формулу -j- = j|, если нагрузка равно-
равномерна распределена в горизонтальном направлении (как в висячем
мосте)?
13.3.4 Решите преобразованное уравнение из упражнения 13.3.3 и, следо-
следовательно, покажите, что решением является парабола.
Наконец, мы можем проверить, что цепная линия действительно
трансцендентная кривая.
13.3.5 Покажите, что функции sin и cos и, следовательно, sh и ch, транс-
цендентны. Подсказка: Вам могут понадобиться комплексные чис-
числа.
13.88. Колеблющаяся струна
Задача о колеблющейся струне — одна из самых плодовитых в ма-
математике, она является источником таких разных областей как диф-
дифференциальные уравнения в частных производных, ряд Фурье и тео-
теория множеств. Замечательно также, что она, возможно, является един-
единственным окружением, в котором чувство слуха привело к важным ма-
математическим открытиям. Как мы видели в разделе 1.5, пифагорейцы
242
Глава 13
открыли зависимость между высотой и длиной, слушая гармоничные
тоны, создаваемые двумя струнами, длины которых находились в про-
простом целочисленном отношении. Таким образом, в известном смысле,
молено «услышать длину струны», и некоторые позднейшие открытия
математически важных свойств струн — например, обертонов, перво-
первоначально были подсказаны слухом [см. Достровский A975)].
В античные времена различные авторы предполагали, что физиче-
физической основой высоты была частота колебания, но лишь в семнадцатом
веке была открыта точная зависимость между частотой и длиной стру-
струны, наставником Декарта, Исааком Бекманом. В 1615 году Бекман дал
простое геометрическое доказательство, чтобы показать, что частота
обратно пропорциональна длине; следовательно, пифагорейские отно-
отношения длин молено таклсе интерпретировать как (взаимные) отношения
частот. Последняя интерпретация более фундаментальна, потому что
только частота определяет высоту, тогда как длина определяет высоту
только, когда материал, поперечное сечение и натяжение струны по-
постоянны. Зависимость мелсду частотой v и натяжением Т, площадью
поперечного сечения А и длиной I, экспериментально открыта Мерсен-
ном A625):
Первый вывод закона Мерсенна на основе математических допущений
дан Тейлором A713), в статье, которая знаменует современной теории
колеблющейся струны. В ней он открыл простейшую возможность для
мгновенного вида струны, полусинусоидальную волну
у = к sin ¦
I
и, вообще, установил, что сила на элемент пропорциональна d2y/dx2.
Последний результат был отправной точкой для драматического
успеха в теории Даламбера A747). Учитывая зависимость у от време-
времени t, также как от х, Даламбер осознал, что ускорение должно быть
выражено d2y/dt2, и сила, найденная Тейлором, д2у/дх2, следователь-
следовательно, фигурируют частные производные. Второй закон Ньютона дает
тогда то, что сейчас называется волновым уравнением
д2у I д2у
Ъ~х~2 = ~^~?Н2'
13.88. Колеблющаяся струна
243
записывая постоянную пропорциональности как 1/с2. Не испугавшись
этого дифференциального уравнения в частных производных, Далам-
Даламбер постепенно продвинулся вперед к следующему общему решению.
Уравнение молено упростить, изменив масштаб времени s = ct до
2 ¦
Цепное правило дает
'ду ду
дх2 ds
д2у д2у
dX+
A)
д2у
V ''
отсюда Даламабер пришел к выводу, что
д2у д2у
ds2 dxds
— функция s + х, и
д2у д2у
ds2 dxds
— функция s — x, откуда, скажем,
ду_+ду_ =
дх ds
= '<•+*>•
и, подобным же образом,
ду ду
дх
ду
ds
Это дает
244
Глава 13
и, наконец,
У =
дх
ds
n(f(s + x)(ds + dx) — g(s — x)(ds — dx))
x)
- x).
Обращая аргумент, мы видим, что функции Ф и Ф могут быть произ-
произвольными, по крайней мере, пока они допускают различные сложные
дифференцирования.
Но насколько произвольной является произвольная функция?
Произвольна ли она также, как струна произвольной формы? Зада-
Задача о колеблющейся струне застала математиков восемнадцатого века
неподготовленными к ответу на эти вопросы. Они поняли, что функ-
функция должна быть чем-то выраженным формулой, возможно, бесконеч-
бесконечным рядом, и полагали, что это гарантировало дифференцируемость.
Все же самая естественная форма колеблющейся струны — это форма
с недифференцируемой точкой, треугольник перебираемой струны, ко-
когда ее отпускают, поэтому, природа, видимо, потребовала расширения
понятия функции за пределы мира формул.
Путаница усилилась, когда Даниил Бернулли A753) заявил, на
физических основаниях, что общее решение волнового уравнения могло
быть выражено формулой, бесконечным тригонометрическим рядом
7ГЖ TTCt
у = а\ sin —— cos ——
• 2-кх 2-Kct
A2 Sin —;— COS
I
I
Это равнозначно заявлению, что любая мода колебания вытекает из
наложения простых мод, факт, который он считал интуитивно очевид-
очевидным, п-й член в ряду представляет n-ую моду, обобщая формулу Тей-
Тейлора для основной моды и встраиваясь во временную зависимость; но
Даниил Бернулли не дал метода вычисления коэффициента ап.
Сейчас мы знаем, что его интуиция была верной, и, что тре-
треугольная волновая форма, среди прочих, представима тригонометри-
тригонометрическим рядом. Однако прошло значительное время в девятнадцатом
веке, прежде чем было получено что-нибудь похожее на ясное понима-
понимание тригонометрического ряда. Тот факт, что треугольная волна могла
быть представлена рядом, сделал ее настоящей функцией по классиче-
классическим стандартам, следовательно, привел математиков к пониманию,
13.88. Колеблющаяся струна
245
что представление ряда не гарантирует дифференцируемости. Позже,
была также поставлена под сомнение непрерывность, и бесконечно тон-
тонкие задачи, касающиеся сходимости тригонометрических рядов, приве-
привели Кантора к развитию теории множеств (см. главу 23).
Эти замечательно далекие последствия того, что казалось, на пер-
первый взгляд, чисто физическим вопросом, были, конечно, не только пло-
плодами исследований колеблющейся струны. Тригонометрические ряды
оказались ценными для всей математики, от теории теплоты, где Фурье
применил их с таким успехом, что они получили известность как ряды
Фурье, до теории чисел. Самое известное применение в теории чисел,
вероятно, доказательство Дирихле A837), что любая арифметическая
прогрессия а, а + Ь, а + 26, ..., где нод(а, 6) = 1 содержит бесконечно
много простых чисел. Пифагор непременно бы одобрил!
Упражнения
Простейшее уравнение теплопроводности — одномерный вариант
дТ
dt
для температуры Т во время t и положения х вдоль бесконечного пря-
прямого провода. Это уравнение можно вывести из закона охлаждения
Ньютона, который утверждает, что скорость теплового потока между
двумя точками пропорциональна разнице их температур.
Поэтому приблизительная разница jr-dx между Т в х и х + dx
вызовет поток теплоты от х — dx до х со скоростью, пропорциональ-
Fit'
ной Ц^-dx. Однако, в то же время, теплота будет течь от х — dx до х
ах
приблизительно с той же скоростью. Чтобы найти чистый поток к х
и, следовательно, скорость -^- увеличения температуры, нам необхо-
дТ
2
дх
13.4.1 Следуя этой линии аргументации, дайте достоверное получение
уравнения теплопроводности
дТ
dt
д2Т
246
Глава 13
Синусы и косинусы вытекают из уравнения теплопроводности, ко-
когда его решают методом разделения переменных.
13.4.2 Предположим, что уравнение теплопроводности имеет решение ви-
вида T(x,i) = X(x)Y(i), где X и Y — функции единичных перемен-
переменных х и t, соответственно. Покажите, что
dYjt)
d2X(x)
Y(t) dt X(x) dx2
= constant.
13.4.3 Теперь объясните, как синусы и косинусы задействованы в реше-
решении для Х{х).
13.89. Гидродинамика
Свойства потока жидкости исследовались с древнейших времен,
вначале в связи с практическими вопросами, такими как водообеспе-
ченность и гидромеханизмы. Однако ничего похожего на математиче-
математическую теорию не было создано до эпохи Возрождения, и до пришествия
исчисления молено было только рассматривать довольно грубые макро-
макроскопические величины, такие как средняя скорость истечения из от-
отверстия в резервуаре. Ньютон A687), Книга II ввел в изучение жидко-
жидкостей методы бесконечно малых, но многое в его рассуждении неполно,
основано на неподходящих математических моделях или просто невер-
неверно. Даже в 1738 году, когда область гидродинамики, наконец, полу-
получила свое название в классическом труде Даниила Бернулли Гидро-
Гидродинамика, основные инфитизимальные законы движения жидкостей,
по-прежнему, открыты не были.
Первый важный закон был открыт Клеро A740), в контексте, кото-
который, по существу, был, в основном, статическим. Клеро интересовался
одним из актуальных вопросов своего времени, формой (или «фигу-
«фигурой») Земли. Ньютон доказывал, что Земля должна быть отчасти вы-
выпуклой на экваторе в результате спина. Естественно, как сейчас пред-
представляется (и, несомненно, тогда, поскольку явление ясно наблюдалось
на Юпитере и Сатурне), на это возразил противник Ньютона, Кассини,
который приводил доводы в пользу веретенообразной формы Земли,
вытянутой к полюсам. Клеро, действительно, принял участие в экспе-
экспедиции в Лапландию, которая подтвердила догадку Ньютона с помо-
помощью измерений, но он также подошел к решению задачи теоретически,
изучая условия равновесия массы жидкости.
13.89. Гидродинамика
247
Он рассмотрел векторное поле силы, действующей на жидкость,
и заметил, что она должна быть тем, что мы сейчас называем без-
безвихревым или потенциальным полем. То есть, интеграл силы вокруг
любой замкнутой траектории должен быть нулевым; иначе жидкость
будет циркулировать. Условие, которое он фактически сформулировал,
эквивалентно условию, что интеграл между любыми двумя точками
будет независим от траектории. В частном двумерном случае, где име-
имеются составляющие Р, Q силы в направлениях хиу, величина, которую
нужно интегрировать, следующая
Pdx + Qdy.
Клеро доказывал, что в силу независимости интеграла от траектории,
эта величина должна быть полным дифференциалом
Следовательно, Р = df/дх, Q = df/dy и P,Q удовлетворяют условию
дР_
ду
dQ_
дх
A)
Это условие действительно необходимо, но существование потенци-
потенциала / означало больше математических тонкостей, чем можно бы-
было предвидеть в то время. Клеро вывел соответствующие уравнения
для составляющих P,Q, R в физически более естественном трехмер-
трехмерном случае и дошел до изучения эквипотенциальных поверхностей / =
= constant. Он также нашел удовлетворяющее решение задачи фигуры
Земли. Когда сила в точке является результирующей силы тяжести
и силы вращения, тогда эллипсоид вращения — фигура равновесия,
при этом ось вращения короче оси эллипса [Клеро A743), с. 194].
Оказалось, что двумерное уравнение A), несмотря на то, что яв-
является физически частным, хотя и естественным, имеет глубокое ма-
математическое значение. Оно было открыто в динамической ситуации,
полагая, что Р, Q скорее составляющие скорости, чем силы. В этом слу-
случае A) по-прежнему выполняется, когда течение автономное и безви-
безвихревое, как показал Даламбер A752) посредством аргументации, похо-
похожей на аргументацию Клеро. Решающий дополнительный факт, кото-
который сейчас возникает, состоит в том, что Р, Q удовлетворяют второму
248
Глава 13
отношению
f + |7=0' B)
выведенному Даламбером как следствие несжимаемости жидкости.
Он рассмотрел бесконечно малый прямоугольник жидкости с кон-
концами в точках (х,у), (х + dx,y), (х,у + dy), (х + dx,y + dy) и па-
параллелограмм, в который он переносится в бесконечно малый ин-
интервал времени известными скоростями (P,Q), (Р + (dP/dx)dx,Q +
+ (dQ/dx)dx),.. .Уравнивание площадей этих двух параллелограммов
приводит к B). В трехмерном случае подобным лее образом получаем
ар
дх
ду dz
но значение A) и B), как открыл Даламбер, состоит в том, что их
молено объединить в единый результат о комплексных функциях Р +
+ iQ. Эта вспышка вдохновения стала основой теории комплексных
функций, разработанных в девятнадцатом веке Коши и Риманом (см.
раздел 16.1).
Упражнения
Чтобы скорее понять принцип безвихревого течения, полезно рас-
рассмотреть течение, которое, без сомнения, является вихревым, напри-
например, леесткое вращение плоскости вокруг начала координат с постоян-
постоянной угловой скоростью ш.
13.5.1 Для этого течения покажите, что составляющие скорости в точ-
точке (х,у) равны
Р = -шу, Q = шх,
дР 9Q
ду дх
гг ег дР dQ
Таким образом, величина -^ ^- является мерой величины вра-
ду дх
щения течения. Ее действительно иногда называют «вращением», но
чаще называют вихрем, термином который ввел в 1870 году Джеймс
Клерк Максвелл.
Величина -^—Ь -д— называется расхождением, потому что она из-
измеряет величину «расширения» леидкости. Как и следовало олеидать,
для леесткого потока, описанного выше, расхоледение нулевое.
и выведите, что
13.90. Биографические заметки: семья Вернулли
249
13.5.2 Проверьте, что расхолсдение нулевое для жесткого вращения во-
вокруг начала координат.
Более непосредственный способ увидеть, что расхождение нулевое
для любого несжимаемого течения в плоскости, — рассмотреть непо-
неподвижный прямоугольник, с протекающей через него жидкостью.
Рассмотрим прямоугольник с концами, закрепленными в плоско-
плоскости в (х, у), (х + dx, у), (х, у + dy), (х + dx, у + dy), и рассмотрим поток
жидкости через него. Жидкость течет в конце х со скоростью Р, следо-
следовательно, приток пропорционален Р dy, и она вытекает в конце х + dx
со скоростью Р + (дР/дх) dx и т.д.
13.5.3 Покажите, что чистый приток жидкости составляет
\ дх ду
dxdy,
и, следовательно, что для несжимаемой жидкости расхождение ну-
нулевое.
13.5.4 Покажите подобным же образом, что
9E + dQ + dR =0
дх ду дг
для несжимаемого течения в трех измерениях.
13.90. Биографические заметки: семья Бернулли
Несомненно, самой выдающейся семьей в истории математики бы-
была семья Бурнулли из Базеля, которая включала, по крайней мере, во-
восемь отличных математиков с 1650 по 1800 гг. Трое из них, братья Якоб
A654-1705) и Иоганн A667-1754) и сын Иоганна, Даниил A700-1782),
входили в число выдающихся математиков всех времен, как молено до-
догадаться по их вкладам, уже упоминавшихся в этой главе. Несомненно,
все математики Бернулли сыграли важную роль в истории механики.
Их влияние в этой области молено найти у Шабо A977), где также
есть портреты большинства из них, а также у Трусделла A954, 1960).
Однако, Якоб, Иоганн и Даниил интересны с более широкой точки зре-
зрения, математикой, также как и своей личной жизнью. Семья Бернулли,
несмотря на свой математический талант, также имела более чем свою
250
Глава 13
долю высокомерия и ревности, которая восстановила брата против бра-
брата и отца против сына. Три поколения подряд отцы пытались напра-
направить своих сыновей к нематематической карьере, чтобы увидеть лишь,
как их снова притягивала математика. Самый болезненный конфликт
произошел между Якобом, Иоганном и Даниилом.
Якоб, первый математик в семье, был старшим сыном Николая
Бернулли, преуспевающего фармацевта и городского головы Базеля,
и Маргареты Шёнауэр, дочери другого богатого фармацевта. У них
было еще три сына: Николай, который стал художником, и в 1686 году
нарисовал портрет Якоба, который вы видите (рисунок 13.5); Иоганн;
и Иеронимус, который продолжил семейное дело. Отец хотел, чтобы
Якоб непременно изучал теологию, которой он вначале и занялся, по-
получив диплом в 1676 году. Однако Якоб также начал изучать математи-
математику и астрономию, и в 1677 году он поехал во Францию, чтобы учиться
у последователей Декарта. В 1681 году его астрономия вовлекла его
в конфликт с теологами. Вдохновленный появлением большой коме-
кометы в 1680 году, он опубликовал брошюру, в которой предлагал законы,
управляющие поведением комет, и утверждал, что их появления молено
предсказать. На самом деле, его теория не была правильной (это было
за шесть лет до Principia), но, несомненно, она расходилась во взглядах
с теологией того времени, которая использовала неожиданность появ-
появления комет, утверждая, что они были знаками божественного недо-
недовольства. Якоб решил, что его будущим была скорее математика, чем
теология, и он принял девиз Invito Patre, Sidera verso (Вопреки же-
желанию моего отца, я обращусь к звездам). Он совершил вторую обра-
образовательную поездку, в Нидерланды и Англию, где он встретил Гука
и Бойля, и в 1683 году начал читать лекции по механике в Базеле.
Рисунок 13.5: Портрет Якоба Бернулли работы Николая Бернулли
В 1684 году он женился на Юдит Степанус, и они, в итоге, имели
сына и дочь, никто из них не стал математиком. В известном смысле,
математическим наследником Якоба был его племянник Николай (сын
художника), который продолжил одно из самых оригинальных направ-
направлений исследований Якоба, теорию вероятностей. Он подготовил по-
посмертную публикацию книги Якоба по этому предмету, Ars conjectandi
[Якоб Бернулли A713)], которая содержит первое доказательство зако-
закона больших чисел. Закон Якоба Бернулли описывал поведение длинных
последовательностей испытаний, для которых положительный исход
имеет постоянную вероятность р (эти испытания теперь называются
испытаниями Бернулли). В точном смысле, доля успешных испытаний
будет «близка» к р для «почти всех» последовательностей.
13.90. Биографические заметки: семья Вернулли
251
В 1687 году Якоб стал профессором математики в Базеле и, вместе
с Иоганном (которого он тайно обучал математике), приступил к овла-
овладению новыми методами исчисления, которые тогда появлялись в ста-
статьях Лейбница. Это оказалось трудным, возможно, больше для Яко-
Якоба, чем для Иоганна, но к 1690-м гг. блеском своих открытий братья
сравнялись с самим Лейбницем. Якоб, математик-самоучка, был мед-
медлительнее, но прозорливее из двух. Он стремился дойти до сути каж-
каждой задачи, тогда как Иоганн довольствовался любым решением, чем
быстрее, тем лучше.
Иоганн был десятым ребенком в семье, и его отец готовил его к де-
деловой карьере. Когда отсутствие склонности к коммерческой деятель-
деятельности стало очевидным, ему разрешили поступить в 1683 году в Базель-
ский университет, и в 1685 году он стал магистром гуманитарных наук.
В это время он также посещал лекции своего брата и, как говорилось
ранее, изучал у него математику частным образом. Их соперничество
не выплывало наружу до конкурса по решению задачи о цепной линии
1690 года, но, быть может, талант младшего брата беспокоил Якоба
уже в 1685 году. В том году он убедил Иоганна заняться изучением ме-
медицины, сделав крайне оптимистичный прогноз, что она предоставля-
предоставляла большие возможности для применения математики. Иоганн вполне
серьезно занялся медициной, получив диплом в 1690 году и доктор-
докторскую степень в 1695 году, но к тому времени он был больше известен
как математик. С помощью Гюйгенса он получил кафедру математики
в Гронингене, и таким образом стал свободным, чтобы сосредоточиться
на своем истинном призвании.
Широкого применения математики в медицине не случилось, хо-
хотя Иоганн Бернулли создал забавное применение геометрического ря-
ряда, которое сегодня, по-прежнему, имеет место как часть физиологиче-
физиологических мелочей. В De nutritione [Иоганн Бернулли A699)] он использовал
предположение, что постоянная часть телесной субстанции, однородно
распределенная, каждый день теряется и заменяется питанием, с тем
чтобы рассчитать, что почти все вещество тела через три года будет
обновлено. Этот результат спровоцировал в то время серьезный теоло-
теологический спор, поскольку он означал невозможность воскрешения тела
из всей его прошлой субстанции.
Иоганн Бернулли сделал несколько важных вкладов в исчисление
в 1690-х гг. вне механики. Одним из них был первый учебник по этому
предмету, Analyse des infiniment petits. Он был опубликован под име-
именем его студента, маркиза Лопиталя A696), видимо, в обмен на щедрую
финансовую компенсацию. Еще одним вкладом, сделанным совместно
252
Глава 13
с Лейбницем, был метод определения частной производной. Они оба
держали это открытие в секрете в течение 20 лет, чтобы использовать
его как «секретное оружие» в задачах о семействах кривых [см. Энгель-
ман A984)]. Другие открытия по-прежнему остаются вне территории,
обычно исследуемой в исчислении, например,
Этот потрясающий результат Иоганна Бернулли A697) можно дока-
доказать, используя подходящее разложение в ряд хх и интегрирование по
частям (см. упражнения).
Соперничество между Якобом и Иоганном вылилось в открытую
враждебность в 1697 году из-за изопериметрической задачи, задачи
отыскания кривой заданной длины, которая окружает наибольшую
площадь. Якоб правильно понял, что это была задача вариационно-
вариационного исчисления, но утаил свое решение, тогда как Иоганн настаивал на
публикации неверного решения и заявлял, что Якоб совсем не имел ре-
решения. Якоб представил свое решение в Парижскую Академию в 1701
году, но оно почему-то осталось в запечатанном конверте даже после
его смерти. Даже когда в 1706 году решение обнародовали, Иоганн от-
отказался признать свою ошибку или превосходство анализа Якоба.
Иоганн женился на Доротее Фалкнер, дочери депутата парламента
Базеля, и при помощи связей своего тестя получил кафедру греческого
языка в Базеле в 1705 году. Это дало ему возможность вернуться из
Гронингена в Базель, но его настоящей целью была кафедра матема-
математики, не греческого языка. У Якоба тогда было плохо со здоровьем,
но его последние дни отравляла вера, что Иоганн интриговал против
него, чтобы занять его место, используя предложение о кафедре грече-
греческого языка как ступеньку на пути к достижению цели. Именно так и
случилось, ибо, когда в 1705 году умер Якоб, Иоганн стал профессором
математики.
Со смертью Якоба и фактическим выходом в отставку Лейбни-
Лейбница и Ньютона, Иоганн почти 20 лет наслаждался положением ведуще-
ведущего математика мира. Он особенно гордился своей успешной защитой
Лейбница от приверженцев Ньютона:
Когда в Англии объявили войну г-ну Лейбницу из-за чести
первого изобретения нового исчисления бесконечно малых,
я был, против своего желания, втянут в нее; от меня требовали
13.90. Биографические заметки: семья Вернулли 253
принять участие. После смерти г-на Лейбница борьба доста-
досталась мне одному. Масса английских противников выпала на
мою долю. Моя участь состояла в отражении атак господ Кей-
ла, Тейлора, Пембертона, Робинса и других. Короче говоря,
я один, как известный Горацио Коклес, не давал передышки
на мосту всей английской армии.
[Перевод Пирсона A978), с. 235]
Его портрет той эпохи демонстрирует высокомерие Бернулли на
вершине его карьеры (рисунок 13.6).
Рисунок 13.6: Иоганн Бернулли
Иоганн Бернулли встретил, наконец, достойного противника в ли-
лице своего собственного ученика, Эйлера, в 1727 году. Открытой войны
не было, только вежливый обмен корреспонденцией о логарифмах от-
отрицательных чисел, но он выявил, что Иоганн Бернулли понимал неко-
некоторые свои результаты хуже, чем Эйлер. Иоганн Бернулли упорствовал
в своем упрямом непонимании еще 20 лет, тогда как Эйлер продолжал
развивать свою блестящую теорию комплексных логарифмов и пока-
показательных функций (см. раздел 16.1). Иоганн Бернулии, по-видимому,
совсем не возражал против успеха своего ученика; вместо этого, его
съедала ревность по поводу успеха его сына Даниила.
Даниил Бернулли (рисунок 13.7) был средним из трех сыновей
Иоганна, все они стали математиками. Старший, Николай (историки
его называют Николай II, чтобы отличить от первого математика Ни-
Николая), умер от лихорадки в Санкт-Петербурге в 1725 году в возра-
возрасте 30 лет. Младший, Иоганн II, отличился меньше всех из троих, но
он был отцом следующего поколения математиков Бернулли, Якоба II
и Иоганна III.
Рисунок 13.7: Даниил Бернулли
Путь Даниила в математику очень похож на путь его отца. Пока он
был подростком, он брал уроки у старшего брата; отец хотел, чтобы он
занялся коммерческой деятельностью, но когда эта карьера не удалась,
Даниилу разрешили изучать медицину.
Он получил докторскую степень в 1721 году и предпринял несколь-
несколько попыток, чтобы добиться кафедры анатомии и ботаники в Базе-
Базеле, достигнув, наконец, цели в 1733 году. Однако к этому времени
он ушел в математику, с таким успехом, что его вызвали в Санкт-
Петербургскую Академию. За годы, проведенные там A725-1733),
254
Глава 13
у него зародились идеи о модах колебания, и он создал первый черно-
черновой набросок своей Гидродинамики. Хотя ему не удалось найти основ-
основные дифференциальные уравнения гидродинамики в частных произ-
производных, в Гидродинамике сделаны другие важные успехи. Один из
них — систематическое использование принципа сохранения энергии;
другой — кинетическая теория газов, включая вывод закона Бойля,
который теперь стандартен.
К сожалению, публикация Гидродинамики задержалась до 1738 го-
года. Это оставило приоритет Даниила открытым для атаки, и одним из
тех, кто воспользовался этим, был его собственный отец. Самозванный
Гораций спора о приоритете между Лейбницем и Ньютоном предпри-
предпринял попытку самой вопиющей кражи приоритета в истории матема-
математики, публикуя книгу о гидродинамике в 1743 году и датируя ее 1732
годом. Даниил был опустошен, и он писал Эйлеру:
Всю мою Гидродинамику, ни йотой из которой я, действитель-
действительно, обязан своему отцу, у меня неожиданно целиком украли,
и я теряю, поэтому, в один момент плоды десятилетней рабо-
работы. Все теоремы взяты из моей Гидродинамики, и затем мой
отец называет свои сочинения Гидроликой, теперь в первый
раз обнародованной, 1732 года, поскольку моя Гидродинамика
была напечатана только в 1738 году.
[Даниил Бернулли A743), в переводе Трусделла A690)]
Ситуация была не вполне столь определенной, как утверждал Да-
Даниил [подробную оценку см. у Трусделла (I960)], но, во всяком случае,
поступок Иоганна Бернулли обернулся против него самого. Его репу-
репутация была столь запятнана этим эпизодом, что ему даже не поставили
в заслугу те части его работы, которые были оригинальными. Даниил
продолжал наслаждаться славой и долгой карьерой, став профессором
физики в 1750 году и читая лекции восторженной аудитории до 1776
года.
Упражнения
13.6.1 Используйте интегрирование по частям, чтобы показать, что
1 С—11nni
хп(log х)п dx = V ' '
(n + 1)
n+1 '
13.90. Биографические заметки: семья Вернулли
13.6.2 Выведите, что
255
З3
44
используя разложение в ряд хх = ех log x.
Глава 14
Комплексные числа в алгебре
14.91. Невозможные числа
В нескольких последних главах часто утверждалось, что некото-
некоторые тайны, формула де Муавра для sin-пб (раздел 6.6), факториза-
факторизация многочленов (раздел 6.7), классификация кубических кривых (раз-
(раздел 8.4), точки ветвления (раздел 10.5), род (раздел 11.3) и поведение
эллиптических функций (разделы 11.6 и 12.6) — становятся прозрач-
прозрачными с введением комплексных чисел. Что комплексные числа делают
все это и больше — одно из чудес математики. В начале своей истории,
комплексные числа а + 6л/-—Т считались «невозможными числами», их
терпели только в ограниченной алгебраической области, потому что
они казались полезными в решении кубических уравнений. Но их зна-
значение оказалось геометрическим, и, в конечном итоге, привело к объ-
объединению алгебраических функций с конформными отображениями,
теорией потенциала и еще одной «невозможной» областью, неевклидо-
неевклидовой геометрией. Это разрешение парадокса \/—Т было столь мощным,
неожиданным и прекрасным, что лишь слово «чудо» представляется
адекватным для его описания.
В данной главе мы увидим, как из теории уравнений возникли ком-
комплексные числа и дали возможность доказать ее основную теорему, —
в какой момент стало ясно, что комплексные числа имели значение
далеко за пределами алгебры. Их влияние на кривые и теорию функ-
функций, к которым имеют отношение конформные отобралсения и теория
потенциала, описаны в главах 15 и 16. Неевклидова геометрия имеет
совершенно другие истоки, но пришла туда же, куда и теория функций
в 1880-х гг., благодаря комплексным числам. Эта неожиданная встре-
встреча описана в главе 18, после нескольких геометрических приготовлений
в главе 17.
14.92. Квадратные уравнения
14.92. Квадратные уравнения
257
Обычный способ ввести комплексные числа в курсе математики —
указать, что они необходимы для решения квадратных уравнений, та-
таких как уравнение х2 + 1 = 0. Однако, этого не произошло, когда впер-
впервые появились квадратные уравнения, поскольку в то время не было
необходимости всем квадратным уравнениям иметь решения. Многие
квадратные уравнения подразумеваются в греческой геометрии, как,
наверное, ожидается, когда исследуются круги, параболы и тому по-
подобное, но не требуется, чтобы всякая геометрическая задача имела
решение. Если задаешь, вопрос, пересекаются ли, скажем, конкретный
круг и линия, тогда ответ может быть «да» или «нет». Если да, квад-
квадратное уравнение для пересечения имеет решение; если нет, оно реше-
решения не имеет. «Мнимое решение» в этом контексте названия не имеет.
Даже, когда квадратные уравнения появились в алгебраической
форме у Диофанта и арабских математиков, на первых порах не бы-
было оснований признавать комплексные решения. По-прежнему хотели
лишь знать, имелись ли действительные решения, и если нет, ответ был
просто, — нет решения. Это был откровенно подходящий ответ, когда
квадратные уравнения решаются геометрически, делая полным квад-
квадрат (раздел 6.3), как по-прежнему делали до эпохи Кардано. Квадрата
отрицательной площади в геометрии не существовало. История могла
бы быть иной, если бы математики больше пользовались символами
и отважились рассмотреть символ \/— 1 как самостоятельный объект,
но этого не произошло, пока квадратные уравнения не догнали куби-
кубические; на этом этапе комплексные числа стали неизбежны, как мы
сейчас увидим.
14.93. Кубические уравнения
Решение кубического уравнения дель Ферро-Тартальи-Кардано
имеет вид
У =
у =py
258
Глава 14
как мы видели в разделе 6.5. Формула включает комплексные числа,
когда (д/2J — (р/3K < 0. Однако, это невозможно отбросить как слу-
случай, не имеющий решения, потому что кубическое уравнение всегда
имеет, по крайней мере, один действительный корень (поскольку у3 —
— ру — q положительно для достаточно большого положительного у
и отрицательно для достаточно большого отрицательного у). Таким
образом формула Кардано поднимает проблему согласования действи-
действительного значения, найденного, скажем, проверкой с выражением вида
-6V-1-
а-Ьу-1.
Кардано не был готов к этой задаче в Ars magna [Кардано A545)].
Правда, он, действительно, один раз упомянул комплексные числа, но
в связи с квадратными уравнениями, и сопроводил комментарием, что
эти числа были «столь же тонки, сколь и бесполезны» [Кардано A545)
гл.37, Правило II].
Первой работой, где комплексные числа воспринимаются серьезно,
и достигнуто необходимое согласование, была работа Бомбелли A572).
Бомбелли разработал формальную алгебру комплексных чисел, с осо-
особой целью приведения выражений у а + 6л/—Т к виду с + dy^l. Его
метод дал ему возможность показать реальность некоторых выраже-
выражений, вытекающих из формулы Кардано. Например, решение
x3 =
имеет вид
= ^2 + 11-1
2 - 11 Vе!
согласно формуле. С другой стороны, проверка дает решение х =
= 4. Бомбелли подозревал, что обе части х в формуле Кардано имели
вид 2+п\/—1, 2—пу1— 1, и он нашел, возводя формально эти выражения
2
в куб [используя (у (—1) = — 1], что действительно
следовательно, формула Кардано также дает х = 4.
14.94. Попытка Валлиса при геометрическом представлении 259
Рисунок 14.1 — факсимиле страницы рукописи, на которой Бом-
Бомбелли сформулировал свой результат. Не трудно различить предше-
предшествующие выражения, если принять во внимание систему обозначений
и тот факт, что 11\/— 1 записан как у10 — 121.
Рисунок 14.1: Рукопись Бомбелли
Намного позже Гёльдер A896) показал, что любая алгебраиче-
алгебраическая формула для решения кубического уравнения должна вклю-
включать квадратные корни величин, которые становятся отрицательными
для конкретных значений коэффициентов. Доказательство результата
Гёльдера можно найти у ван дер Вардена A949), с. 180.
Упражнения
14.3.1 Проверьте, что B + уг—1K = 2 + 11л/—Г-
Можно работать в обратном направлении и придумать кубическое
уравнение с «очевидным» решением, которое молено согласовать с ужас-
ужасным решением в формуле Кардано. Вот пример.
14.3.2 Проверьте, что C + V^TK = 18
14.3.3 Отсюда объясните, почему
6 = (з + Vе!) + (з - Vе!) = у 18 + 26v'ri
14.3.4 Найдите р и q, так что
18=| и 26V-1 =
14.3.5 Проверьте, что 6 — это решение уравнения х3 = рх
ний р и q, найденных в упражнении 14.3.4.
q для значе-
значе14.94. Попытка Валлиса при геометрическом
представлении
Несмотря на успешное использование комплексных чисел Бомбел-
Бомбелли, большинство математиков считали их невозможными, и, конечно,
даже сегодня мы называем их «мнимыми» и используем символ i для
260
Глава 14
мнимой единицы \/— 1. Первая попытка дать комплексным числам кон-
конкретную интерпретацию была предпринята Валлисом A673). Эта по-
попытка была неудовлетворительной, как мы увидим, но, тем не менее,
интересной «близкой осечкой». Валлис хотел дать геометрическую ин-
интерпретацию корням квадратного уравнения, которое мы запишем как
х2 + 2Ьх + с2 = 0, 6, с ^ 0.
Его корни:
= -6±
и, следовательно, они действительны, когда Ь ^ с. В этом случае корни
можно представить точками Pi,P2 на действительной числовой оси,
которая определяется геометрическим построением на рисунке 14.2.
Когда Ъ < с, линии длины 6, присоединенные к Q, слишком коротки,
чтобы достигнуть числовой оси, поэтому точки Pi, Р2 «нельзя иметь на
оси», и поэтому Валлис ищет их «вне этой оси... (в той лее Плоскости)».
Он на правильном пути, но он приходит к неподходящим положениям
для Pi, Р^ останавливаясь слишком близко у своего первого построе-
построения.
Рисунок 14.2: Построение действительных корней Валлиса
Рисунок 14.3 сравнивает его представление Pi, Рг = —Ь±г\
когда Ъ < с, с современным представлением. Вероятно, Валлис пола-
полагал, что + и — должны продолжаться, чтобы соответствовать «спра-
«справа» и «слева»; хотя это имеет неприемлемое следствие, что г = —г
(пусть в его представлении 6 —> 0). Эта оплошность была понятна,
поскольку во времена Валлиса даже отрицательные числа все еще на-
находились под подозрением, и, например, существовала путаница в зна-
значении (—1) х (—1). Путаница осложнялась введением квадратных кор-
корней, и уже в 1770 г. Эйлер привел «доказательство» в своей Алгебре,
что V^2 х V^3 = V& [Эйлер A770), с.43].
Рисунок 14.3: Построение комплексных корней
Представление Валлиса
Современное представление
Упражнения
Утверждение, что л/—2 х \/—3 = \/б неверно, только, если исполь-
используется условие, что v6 означает положительный квадратный корень 6,
как сегодня мы обычно делаем. Допущение, что л/б обозначает па-
пару ±\/б квадратных корней 6 приемлемо, в этом случае утверждение
Эйлера верное.
14.95. Деление угла
261
14.4.1 Предположим, что л/—2~ обозначает пару квадратных корней —2,
что л/—3 обозначает пару квадратных корней —3, и, что л/~2~х \Г~3
обозначает все возможные произведения; покажите, что
V^3 = \/б.
14.4.2 Истинно ли также (как в обычной интерпретации), что
[-Ъ = -\/б?
14.95. Деление угла
В разделе 6.6 мы видели, как Виет связал трисекцию угла с реше-
решением кубических уравнений, и, как Лейбниц A675) и де Муавр A707)
решили уравнение деления угла на п частей с помощью формулы типа
формулы Кардано:
A)
Мы также видели, как его и формулы Виета для cosпв и smn9 легко
можно объяснить формулой
(cos в + i sin 9)n = cos пв + i sin пв
B),
которая обычно ассоциируется с де Муавром. На самом деле, де Му-
Муавр никогда не выражал B) в явном виде. Самое близкое, к чему он
пришел, — это формула для (cosв + ismffI/71 [де Муавр A730); ряд
отрывков из работы де Муавра о делении углов см. Смит A959)]. По-
видимому, ключи к алгебре круговых функций не были настолько стро-
строгими, чтобы открыть B) до того, как с помощью исчисления была вы-
выявлена для него более глубокая причина.
Комплексные числа вошли в теорию круговых функций в статье
об интегрировании Иоганна Бернулли A702). Заметив, что \/—Т = i
делает возможным разложение на простые дроби
1
1/2 1/2
1-zi'
Бернулли увидел, что интегрирование даст выражение для tg z как
мнимого логарифма, хотя он не записал рассматриваемое выражение
262
Глава 14
и, очевидно, был озадачен тем, что оно могло означать. В разделе 16.1
мы увидим, как Эйлер внес ясность в открытие Иоганна Бернулли
и развил его в прекрасную теорию комплексных логарифмов и пока-
показательных функций. Что здесь имеет значение, так это то, что Иоганн
Бернулли A712) снова вернулся к этой идее и на этот раз завершил
интегрирование, чтобы получить алгебраическую зависимость меж-
между thn6 и tg6. Его аргументация следующая. При условии, что
= tgn9,
= tet
мы имеем
пв = tg у = ntg x;
следовательно, принимая дифференциалы
dy = ndx
1 + у2 ~ 1 + х2
1 1
или
у-г
\=ndx
x + г х — г
Интегрирование дает
log(y + i) - log(y - i) = nlog(x + i) - n\og(x - i),
то есть,
откуда
log j— = log
x + i
(x-i)n(y + i) = (x + i)n(y-i). C)
Это была первая формула типа формулы де Муавра, где i действитель-
действительно используется в явном виде, и первый пример явления, ясно сфор-
сформулированного Адамаром: кратчайший путь между двумя истинами
в действительной области иногда проходит через комплексную область.
Решение C) для у как функции х выражает tgn6 как рациональную
функцию tg в, которую трудно получить, используя одни действитель-
действительные формулы. На самом деле, из C) легко показать, что у — частное
многочленов, состоящих из чередующихся членов в (х + 1)и, при усло-
условии, что чередуются знаки + и — (см. упражнения).
В течение восемнадцатого века математики испытывали противо-
противоречивые чувства по отношению к у/—1. Они хотели использовать его на
14.95. Деление угла
263
пути к результатам о действительных числах, но сомневались, имело
ли оно свое собственное конкретное значение. Котес A714) даже ис-
использовал а + \/—1Ь для представления точки (а, 6) в плоскости (как
позже сделал Эйлер), очевидно, не заметив, что (а,Ь) была правиль-
правильной интерпретацией а + у/^1Ъ. Поскольку эти результаты о \/—Т бы-
были подозрительны, они часто оставались несформулированными, когда
молено было сформулировать эквивалентный результат о действитель-
действительных числах. Этим молено объяснить, почему де Муавр установил A),
но не B). Еще один пример избелсания результатов о у/—1 — замеча-
замечательная теорема о правильном n-угольнике, открытая Котесом в 1716
году и опубликованная посмертно в Котес A722):
Теорема. Если Aq, ..., Ап-\ — равноотстоящие точки на еди-
единичном круге с центром О, и, если Р — точка на OAq, так что ОР =
= х, тогда (рисунок 14.4)
РА
о ¦
n-i = 1-хп.
Рисунок 14.4: Теорема Котеса
Эта теорема не только связывает правильный п-угольник с много-
многочленом хп — 1, но, фактически, геометрически реализует факториза-
факторизацию хп — 1 в действительные линейные и квадратичные множители.
По симметрии имеем PAi = PAn-i, ..., следовательно,
РАо
РА0 ¦ РА\ ¦ РА\... PA2n_1
n нечетное
РАо ¦ РА\ ¦ РА\... РА2п/2_1РАп/2 п четное.
РАо = 1 — х — действительный линейный множитель, как и РАп/2 ко-
когда п — четное, и из теоремы косинусов в треугольнике ОРА^ следует,
что
РА{ = 1 - 2х cos
2Ьг
Самый легкий путь отсюда к теореме — разбить РА2, на комплексные
линейные множители и использовать теорему де Муавра, хотя мы мо-
можем лишь предполагать, что в этом заключался метод Котеса, посколь-
поскольку он сформулировал теорему без доказательства. У теоремы Котеса
имеется вторая половина, которая похожим образом разлагает 1 + хп
на действительные линейные и квадратичные множители. Эти факто-
факторизации нужны были, чтобы интегрировать 1/A ± хп) разложением
на элементарные дроби; что было, в сущности, главной целью Котеса.
264
Глава 14
Такие задачи стояли тогда во главе повестки дня в математике, и они
послужили причиной последующих исследований в факторизации мно-
многочленов, в особенности, первых попыток доказать основную теорему
алгебры.
Упражнения
Формула Иоганна Бернулли, связывающая у = tgn9 и х = tg9
ошибочна для некоторых значений п, потому что она пренебрегает воз-
возможной постоянной интегрирования. Результат интегрирования дол-
должен быть
log(y + i) - log(y -i) =n log(a; + i) - n log(a; - i) + С
для некоторого С, ведущий к
у + i (х + i)n
У-г (x-i)r
(*)
для некоторого постоянного D (равного ес). Иногда D = 1 дает пра-
правильную формулу, но иногда нам необходимо D = — 1.
14.5.1 Покажите, что D = 1 дает правильную формулу, когда п = 1.
14.5.2 Используя формулы для sin 29 и cos 29, или иным способом, пока-
покажите, что
и проверьте, что это следует из (*) для D = — 1, но не для D = 1.
14.5.3 Используйте формулу в упражнении 14.5.2, чтобы выразить tg40
на основе tg26* и, следовательно, на основе tg9.
14.5.4 Допуская, что у = tg46* и х = tg9, выразите результат упражне-
упражнения 14.5.3 как
_ 4ж — 4ж3
и проверьте, что это следует из (*), когда D = — 1.
14.96. Основная теорема алгебры
265
14.96. Основная теорема алгебры
Основная теорема алгебры — это утверждение, что каждое поли-
полиномиальное уравнение p(z) = 0 имеет решение в комплексных числах.
Как заметил Декарт (раздел 6.7), решение z = а означает, что p(z)
имеет множитель z — а. Частное q(z) = p(z)/(z — а), в таком случае, —
многочлен низкой степени; следовательно, если каждое полиномиаль-
полиномиальное уравнение имеет решение, мы можем также извлечь множитель
из q(z), и, если p(z) имеет степень п, мы можем дальше разлагать p(z)
на п линейных множителей. Существование такой факторизации — ко-
конечно, еще один способ сформулировать основную теорему.
Первоначально, интерес ограничивался многочленами p(z) с дей-
действительными коэффициентами, и в этом случае Даламбер A746) за-
заметил, что, если z = и + iv — решение p(z) = 0, то сопряженная ве-
величина ~z = и — iv тоже. Поэтому мнимые линейные множители дей-
действительного p(z) всегда молено объединить в пары, чтобы образовать
действительные квадратичные множители:
(z — и — iv)(z — и + iv) = z — 2uz + (и + v ).
Это дало еще один эквивалент основной теоремы: всякий (действитель-
(действительный) многочлен p(z) молено выразить как произведение действитель-
действительных линейных и квадратичных множителей. В восемнадцатом веке те-
теорему обычно формулировали таким образом, когда основная ее цель
заключалась в том, чтобы сделать возможным интегрирование рацио-
рациональных функций (см. раздел 14.5). Здесь также избегали упоминания
Часто говорилось, что попытки доказать основную теорему нача-
начались с Даламбера A746), и, что первое удовлетворительное доказатель-
доказательство было дано Гауссом A799). Это мнение не следует признавать бес-
бесспорным, так как источник его сам Гаусс. Гаусс A799) дал критику до-
доказательств от Даламбера, показав, что все они имели серьезные недо-
недостатки, затем предложил свое доказательство. Он намеревался убедить
читателей, что новое доказательство было первым верным, хотя в нем
использовалось одно недоказанное предположение (которое обсуждает-
обсуждается дальше в следующем разделе). Мнение о том, какое из двух непол-
неполных доказательств более убедительно, конечно, может измениться со
временем, и я считаю, что о доказательстве Гаусса A799) молено было
бы судить сегодня иначе. Ныне мы можем заполнить пробелы у Да-
Даламбера A746), обращаясь к стандартным методам и теоремам, тогда
как легкого способа заполнить пробел у Гаусса A799) по-прежнему нет.
266
Глава 14
Оба доказательства зависят от геометрических свойств комплекс-
комплексных чисел и понятия непрерывности для их завершения. Основное гео-
геометрическое понятие, что комплексное число x+iy молено идентифици-
идентифицировать точкой в плоскости, таинственно ускользало от всех математи-
математиков до конца восемнадцатого века. В этом заключалась одна из причин
того, что доказательство Даламбера было неясным, и использование
этого понятия Арганом A806) было важным шагом в приведении в по-
порядок доказательства Даламбера. Гаусс, видимо, пользовался тем же
понятием, но скрыл его роль в своем доказательстве, возможно, счи-
считая, что его современники были не готовы рассматривать комплексные
числа как плоскость.
Что касается понятия непрерывности, ни Гаусс, ни Даламбер не
понимали его как подобает. Гаусс A799) серьезно преуменьшал труд-
трудности, заключенные в недоказанном шаге, утверждая, что «никто, на-
насколько мне известно, никогда не сомневался в нем. Но если кто-нибудь
этого пожелает, тогда на другом основании я намереваюсь привести
доказательство, которое не оставит сомнений» [перевод из Струйка
A969), с. 12]. Возможно, чтобы предвосхитить критику, он дал второе
доказательство [Гаусс A816)], в котором роль непрерывности миними-
минимизирована. Второе доказательство чисто алгебраическое, за исключени-
исключением использования частного случая теоремы о промежуточном значе-
значении. Гаусс предположил, что полиномиальная функция р(х) действи-
действительной переменной х принимает все значения между р(а) и р(Ь) по
мере того, как х убегает от а к 6. Первый, кто оценил важность непре-
непрерывности для основной теоремы алгебры, был Больцано A817), кото-
который доказал непрерывность полиномиальных функций и попытался до-
доказать теорему о промежуточном значении. Последнее доказательство
было неудовлетворительным, поскольку у Больцано не было ясного по-
понимания действительного числа, на которое оно должно опираться, но
оно указывало в правильном направлении. Когда в 1870-х гг. появилось
определение действительных чисел (например, с сечениями Дедекинда;
раздел 4.2), Вейерштрасс A874) строго установил основные свойства
непрерывных функций, такие как теорема о промежуточном значении
и теорема об экстремальном значении. Это завершило не только вто-
второе доказательство Гаусса, но также доказательство Даламбера, как
мы увидим в следующем разделе.
14.97. Доказательства Даламбера и Гаусса
Упражнения
267
Комплексные корни уравнения с действительными коэффициен-
коэффициентами встречаются в сопряженных парах, вследствие фундаментальных
свойств сопряженных величин.
14.6.1 Покажите непосредственно из определения и + iv = и — iv, что
Я\ + Z2 — Z\~\- Я2 Z\ • Z2 — Z\ ¦ Z2
для любых комплексных чисел z\,z2.
14.6.2 Выведите из упражнения 14.6.1, что p(z) = p(z) для любого много-
многочлена p(z) с действительными коэффициентами, и, следовательно,
что комплексные корни p(z) = О встречаются в сопряженных па-
парах.
14.97. Доказательства Даламбера и Гаусса
Ключ к доказательству Даламбера — теорема ныне известная, как
лемма Даламбера: если p(z) — непостоянная полиномиальная функ-
функция и p(zq) ф О, то любая окрестность zq содержит точку z\, так
что |p(zi)| < |p(zo)|-
Доказательство этой леммы, предложенное Даламбером, зависело
от решения уравнения w = p(z) для z как дробно-степенного ряда в w.
Как говорилось в разделе 9.5, о таком решении объявил Ньютон A671),
но ясным и строгим его сделал лишь Пюизе A850). Поэтому аргумен-
аргументация Даламбера не держалась на надежном основании, и в любом
случае, она была излишне усложненной.
Простое элементарное доказательство леммы Даламбера дано Ар-
ганом A806). Арган был одним из со-открывателей геометрическо-
геометрического представления комплексных чисел [вероятно, первым был Вессель
A797), но его труд оставался почти неизвестным в течение 100 лет],
и он предложил следующее доказательство в качестве иллюстрации
эффективности представления.
Значение р(-го) = xq + iyo интерпретируется как точка (жо,г/о)
в плоскости, так что |p(zo)| — расстояние (жо,г/о) от начала координат.
Мы хотим найти A.z, так что p(zq + A.z) ближе к началу координат,
чем р(-го). Если
p(z) = ciqz71 + aiz71^1 + . . . + ап,
268
Глава 14
то
p(z0
Az) = ao(zo + Az)n + ai(zo + Az)n + . . . + an
= aoz% + aiz^1 + . . . + an + AxAz + A2(AzJ + ... + An(Az)T
для некоторых постоянных Ai, зависящих от zq,
нулевые не все, потому что р — не постоянно
= p(zo) + AAz + uj,
где А = Ai(AzI содержит первую ненулевую Ai и \ш\ — мало по сравне-
сравнению с |-ААг|, когда \Az\ — мало (потому что ш содержит более высокие
степени Az). В таком случае ясно, что (рисунок 14.5) выбором направ-
направления Az, так что AAz противоположно по направлению p(zq), мы
получаем \p(zo + Az)\ < \p(zo)\. Это завершает доказательство леммы
Даламбера.
Рисунок 14.5: Построение для леммы Даламбера
Для завершения доказательства основной теоремы алгебры, возь-
возьмем произвольный многочлен р и рассмотрим непрерывную функ-
функцию \p(z)\. Поскольку p(z) с^ aozn для \z\ большого, \p(z)\ возрастает
с \z\ вне достаточно большого круга \z\ = R. Мы теперь получаем z,
для которого \p(z)\ = 0 из теоремы об экстремальном значении Вей-
ерштрасса A874); непрерывная функция на замкнутом ограниченном
множестве принимает максимальные и минимальные значения. По этой
теореме, \p(z)\ принимает минимальное значение при \z\ ^ R. Мини-
Минимум ^ 0 по определению, и, если он > 0, мы получаем противоречие по
лемме Даламбера: либо точка z с \z\ ^ R, где \p(z)\ принимает значе-
значение меньше своего минимума, либо точка z с \z\ > R, где \p(z)\ меньше,
чем ее значения на \z\ = R. Поэтому имеется точка z, где |р(<г) = О
и, следовательно, p(z) = 0.
В доказательстве Гаусса также использовался тот факт, что p(z)
ведет себя как член высшей степени aozn при большом \z\, и также
основывается на аргументе непрерывности, чтобы показать, что p(z) =
= 0 внутри некоторого круга \z\ = R. Гаусс рассмотрел действительные
и мнимые части p(z),Ke[p(z)} и Im[p(z)] и исследовал кривые
Re[p(z)] = 0 и lm[p(z)] = 0.
[Легко увидеть, что это алгебраические кривые р\{х,у) = 0 и р2(х,у) =
= 0, разлагая степени zk = (х + iy)k и собирая действительные и мни-
мнимые члены.] Его цель заключалась в отыскании точки, где эти кривые
14.97. Доказательства Даламбера и Гаусса
269
пересекаются, потому что в такой точке
0 = Re[p(z)]=Im[p(z)]=p(z).
При \z\ большом, кривые близки к кривым Re(ao-z") и 1т(ао-ги) = 0,
которые являются семействами прямых линий, проходящих через нача-
начало координат. Более того, линии, где Re(aoz") = 0, чередуются с теми,
где Im(aoz") = 0, по мере того, как создаешь контур вокруг начала
координат. Например, рисунок 14.6 показывает Re(z2) = 0 и Ixn(z2) =
= 0 как чередующиеся сплошные и штриховые линии. Отсюда следует,
что кривые Ke[p(z)} = 0 и Im[p(z)] = 0 пересекают достаточно боль-
большой круг \z\ = R попеременно. Вплоть до этого момента аргументация
сравнима с леммой Даламбера, и ее точно также молено сделать стро-
строгой.
Рисунок 14.6: Линии для доказательства Гаусса
Чтобы завершить это доказательство, нам следует лишь показать,
что кривые пересекаются внутри круга, и именно в этом шаге, как по-
полагал Гаусс, никто не мог сомневаться. Он предположил, что отдель-
отдельные участки алгебраической кривой Re[p(z)] = 0 вне круга \z\ = R,
соединятся внутри круга, как и отдельные участки Im[p(z)] = 0. То-
Тогда поскольку участки Re[p(z)] = 0 чередуются с участками Im[p(z)]
на \z\ = R, было бы «явно абсурдным», если бы их связующие участ-
участки внутри круга не пересекались. Следует лишь мысленно представить
ситуацию, похожую на видимую на рисунке 14.7, чтобы быть уверен-
уверенным, что Гаусс был прав. Однако существование связующих участков
чрезвычайно трудно доказать (и доказательство, что они пересекают-
пересекаются также не тривиально, будучи, по крайней мере, таким лее трудным,
как теорема о промежуточном значении). Первое доказательство было
дано Островским A920).
Рисунок 14.7: Кривые для доказательства Гаусса
С сегодняшней точки зрения, путь Даламбера к основной теореме
алгебры представляется в самой своей основе легким, потому что он
протекает через общие свойства непрерывных функций. Путь Гаусса,
несмотря на то, что на расстоянии представляется в равной степени лег-
легким, проходит через все еще незнакомую территорию действительных
алгебраических кривых. Пересечения действительных алгебраических
кривых труднее понять, чем пересечения комплексных алгебраических
кривых, и ретроспективно их труднее понять, чем основную теорему
алгебры. Несомненно, как мы увидим в следующей главе, основная тео-
теорема дает нам теорему Безу, которая, в свою очередь, разрешает задачу
подсчета пересечений комплексных алгебраических кривых.
270
Упражнения
Глава 14
Выражение в лемме Даламбера для p(zq + Az) — пример ряда
Тейлора, ранее обсужденного в разделе 10.2. Когда функция — мно-
многочлен р, как здесь, ее ряд Тейлора — конечен, потому что р имеет
только конечное множество ненулевых производных.
14.7.1 Покажите, что А\ =
последнее выражение — р
+ (п - l)aiz^2 + . . . + aK_i и, что
+
¦¦¦ +
14.7.2 Покажите, что А2 =
+ а„_2 и, что последнее выражение — p"(zo)/2.
14.7.3 Используя биномиальную теорему, покажите, что Ai = p^(zo)/il
и, следовательно, что
p(zo + Az) = aozo+a1zo~1 + . . . + an+A1Az+A2(AzJ + . . .+An(Az)n
— пример формулы ряда Тейлора.
14.98. Биографические заметки: Даламбер
Жан Лерон Даламбер (рисунок 14.8) родился в Париже в 1717 го-
году и умер там в 1783 году. Он был незаконоролсденным сыном шевалье
Детуш-Канона, кавалерийского офицера, и хозяйки салона, мадам де
Тансин. Его мать оставила его при рождении около церкви Сен-Жан-
Лерон в галереях Собора Парижской богоматери, и поэтому его кре-
крестили Жан Лерон, следуя традиции для подкидышей. Впоследствии
его отец установил его местонахождение и нашел для него дом у сте-
стекольщика по имени Руссо и его жены. Имя Даламбер появилось позлее,
по причинам, которые неясны.
Рисунок 14.8: Жан Батист Лерон Даламбер
Руссо, должно быть, были любящими приемными родителями, раз
Даламбер пролсил с ними до 1765 года. Он получил аннуитет от своего
отца, который также устроил его обучение в янсенистском колледже
Четырех наций в Париже. Здесь он получил хорошую подготовку по
основам математики и развил неизменную неприязнь к теологии. По-
После короткого изучения права и медицины, в 1739 году он обратился
к математике.
В том году он начал посылать сообщения в Академию наук, и его
честолюбие и талант быстро вознесли его к славе. В 1741 году он стал
14.98. Биографические заметки: Даламбер
271
членом Академии и в 1743 году опубликовал свой самый известный
труд Traite de dynamique. Пробившись наверх из бедных низов, Да-
Даламбер не хотел терять своего положения. Как только он попал в Ака-
Академию, его усилия сосредоточились на том, чтобы оперелсать своих
соперников. Случайно ли, или по вролсденному духу соперничества,
Даламбер всегда, видимо, работал над теми же задачами, что и другие
ведущие математики, вначале Клеро, позлее Даниил Бернулли и Эй-
Эйлер. Он всегда боялся потерять приоритет и попадал в цикл поспешных
публикаций, за которыми следовала полемика о значении и важности
его работы. Несмотря на то, что он был отличным писателем (избран
во Французскую Академию в 1745 году), его математика почти всегда
была неудачно представлена. Многие из его лучших идей не были по-
поняты, пока Эйлер не разобрал и мастерски не изложил их. Поскольку
Эйлер часто делал это, не воздавая по заслугам, понятно, что Далам-
Даламбер был взбешен, но он расточал свою энергию на ссоры, вместо того,
чтобы изложить свою работу так, как она того заслуживает.
Еще одна причина, почему Даламбер уделял математике недоста-
недостаточно внимания, его участие в широкой интеллектуальной жизни сво-
своего времени. Когда в 1740-х гг. Даламбер вышел на сцену, математи-
математика пользовалась большим престижем в философских кругах, в значи-
значительной степени, благодаря успеху Ньютона в объяснении движений
планет. Математика была моделью рационального исследования, ко-
которое, как надеялись, сделает возможным правильную организацию
всего знания и правильное ведение всех человеческих дел. Движение
за реорганизацию знания и поведения в соответствии с рациональными
направлениями получило известность как Просвещение, и оно особенно
сильно было во Франции, где философы видели в нем средство низвер-
низвержения существующих институтов, особенно, церкви. Около 1745 года
Даламбер окунулся в брожение Просвещения, которое тогда било клю-
ключом в салонах и кафе Парижа. Он подружился с ведущими светоча-
светочами, Дидро, Кондильяком, Руссо, и пользовался спросом в большинстве
модных салонов за свой ум и дар подражания.
Однако, Просвещение заключалось не только в разговорах, одним
из его самых солидных достижений была 17-томная Энциклопедия, из-
издаваемая Дидро с 1745 по 1772 год. Даламбер написал введение к Эн-
Энциклопедии, Discours preliminaire, и в нем он подвел итог своим взгля-
взглядам на единство всего знания. Оно значительно способствовало успеху
проекта и было главной причиной его избрания во Французскую Ака-
Академию. Даламбер также был научным редактором и написал много
статей по математике. Со временем среди энциклопедистов наметился
272
Глава 14
раскол: между крайними материалистами во главе с Дидро и более уме-
умеренной группировкой Вольтера. Дидро склонялся к биологии, для ко-
которой он предложил абсурдную псевдоматематическую основу, в то лее
время, порицая «непрактичность» обыкновенной математики. Далам-
бер встал на сторону Вольтера и разорвал свои связи с Энциклопедией
в 1758 году.
Тем не менее, интеллектуальная мода уходила из математики,
и в 1760-х гг. у Даламбера нашелся лишь один друг-философ, кото-
который по-прежнему ей интересовался, теоретик вероятности, Кондорсе.
Примерно в это время Даламбер встретил единственную любовь своей
жизни, Жюли де Лепинас. Жюли была кузиной мадам дю Деффан,
салон которой посещал Даламбер. После ссоры по поводу переманивая
посетителей салона, Жюли, с помощью Даламбера, основала собствен-
собственный салон. Когда Жюли заболела оспой, Даламбер выходил ее; когда
он сам заболел, она убедила его переехать к ней. Это было в 1765 году,
когда он, наконец, покинул дом приемных родителей. В течение сле-
следующих десяти лет его жизнь вращалась вокруг салона Жюли, и ее
смерть в 1776 году стала жестоким ударом. К горю добавилось уни-
унижение, когда он узнал из ее писем, что у нее были страстные романы
с другими мужчинами в течение всего времени, пока они были вместе.
Последние семь лет Даламбер провел в небольших апартаментах
в Лувре, которые ему пожаловали как постоянному секретарю Фран-
Французской Академии. Он оказался не в состоянии работать в математике,
хотя это была единственная вещь, которая по-прежнему интересовала
его, и его наполняли мрачные предчувствия по поводу будущего самой
математики. Несмотря на свое уныние, он делал все, что мог, чтобы
поддержать и поощрить молодых математиков. Возможно, самым пре-
прекрасным достижением последних лет Даламбера было начало карьеры
Лагранжа и Лапласа, работа которых в механике, в конечном счете,
завершила многое в его собственной. Должно быть, предвкушение бу-
будущих успехов его талантливых протеже приносило ему какое-то удо-
удовлетворение, все лее они эффективно завершили теорию механики, как
ее знал Даламбер. Что он не мог предвидеть, так это то, что незначи-
незначительная часть его работы, использование комплексных чисел, расцве-
расцветет в следующем столетии (см. разделы 16.1 и 16.2), и, что математика
взломает границы, установленные мышлением века восемнадцатого.
Глава 15
Комплексные числа и кривые
15.99. Корни и пересечения
Между пересечениями алгебраических кривых и корнями полино-
полиномиальных уравнений имеется тесная связь, восходящая еще к постро-
построению л/2 Менехма (корень уравнения х3 = 2) посредством пересече-
пересечения параболы и гиперболы (раздел 2.4). Самая прямая связь, конечно,
встречается в случае полиномиальной кривой
= р(х),
A)
пересечения которой с осью у = 0 — как раз действительные корни
уравнения
р(х) = 0. B)
Если B) имеет к действительных корней, то кривая A) имеет к пере-
пересечений с осью у = 0. Здесь мы должны подсчитать пересечения тем
лее способом, каким мы подсчитываем корни, в соответствии с кратно-
кратностью. Корень г B) имеет кратность /i, если множитель (х — г) встре-
встречается ц раз в р(х), и корень г тогда считается ц раз.
Этот способ подсчета также геометрически естественней, потому
что, если, например, кривая у = р(х) пересекает ось у = 0 с кратно-
кратностью 2 в 0, тогда линия у = шх, «близкая» к оси, пересекает кривую
двалсды, один раз вблизи пересечения с осью, и еще раз именно там.
Пересечение у = х2 и у = 0 (рисунок 15.1) молено считать, поэтому,
двумя точками совпадения, к которым стремятся различные пересе-
пересечения с у = ojx по мере того, как ш —> 0. Таким же образом, пересечение
кратности 3 молено объяснить как предел трех различных пересечений,
например, у = uix с у = х3 (рисунок 15.2).
Рисунок 15.1: Пересечение кратности 2
Рисунок 15 .2: Пересечение кратности 3
274
Глава 15
На первый взгляд кажется, что эта идея не выдерживается с крат-
кратностью 4, поскольку у = ojx пересекает у = ж4 только в двух точ-
точках, х = О и х = \]~п. Объяснение заключается в том, что в этом
случае также имеются два комплексных корня (\/ш умножить на два
комплексных кубических корня 1), следовательно, мы не можем прене-
пренебречь комплексными корнями, если мы хотим получить геометрически
«правильное» количество пересечений.
Основная теорема алгебры (раздел 14.6) дает нам п корней урав-
уравнения п-й степени B) и, следовательно, п пересечений полиномиальной
кривой A) с осью у = 0. Однако, чтобы получить п корней, мы выну-
вынуждены признать комплексные значения х, следовательно, мы вынужде-
вынуждены рассмотреть «кривые», для которых хну комплексные, чтобы по-
получить п пересечений. Это, и другие значительные следствия основной
теоремы алгебры (например, интерпретация кратности «точки совпа-
совпадения», см. упражнение 15.1.1) убедили математиков восемнадцатого
века признать комплексные числа в теории кривых прежде, чем были
поняты сами комплексные числа, и даже прежде, чем была доказана
основная теорема алгебры.
Самое элегантное следствие теоремы Безу заключается в том, что
кривая С'т степени т пересекает кривую С'п степени п в тп точках.
Как мы видели в разделе 8.6, если, чтобы учесть точки в бесконеч-
бесконечности, используются однородные координаты, тогда пересечения Ст
и С'п соответствуют решениям уравнения гтп(х, у) = 0, которое являет-
является однородным степени тп. Теперь мы можем использовать основную
теорему алгебры, чтобы показать, что гтп(х,у) — произведение тп
линейных множителей следующее:
= Утп 11 ( h у — cii j для некоторого р < mn
по основной теореме, поскольку rmn(x/y, 1) — многочлен степени р
mn в единственной переменной х/у. Но тогда
rmn(x,y)=ymn-vf{(bix-aiy)
г=1
15.100. Комплексная проективная линия
275
поскольку каждый множитель у впереди (если таковой имеется) три-
тривиально имеет вид bix — сцу.
Отсюда следует, что уравнение гтп(х,у) = 0 имеет тп решений,
и, следовательно, имеется тп пересечений С'т и Сп, считающих крат-
кратности.
Упражнения
15.1.1 Покажите, что у = uix пересекает у = хп в п различных точках,
когда ш ф 0, и перечислите их (например, с помощью теоремы де
Муавра).
Если кривая К имеет двойную точку в О, тогда линия у = tx
может иметь двойное касание с К в О, даже если соседние линии у =
= (t + oj)x не пересекают К в соседних точках, кроме О. В этом случае
двойное касание можно объяснить как касание с двумя ветвями кривой
в О.
15.1.2 Рассмотрите линии у = tx, проходящие через двойную точку О
у2 = х2(х + 1). Покажите, что каждая такая линия имеет в О
двойное касание с кривой, за исключением, когда t = ±1. Как вы
объясняете эти кратности, когда t = ±1?
15.1.3 Покажите, что у = tx также имеет двойное касание с у2 = х3 в сво-
своей точке возврата О. Попытайтесь объяснить это, рассмотрев у2 =
= х3 как результат «стягивания петли» у2 = х2(х + ш) (допуская,
что ш —!¦ 0).
15.1.4 Покажите, что линия у = tx имеет двойное касание в О с лемнис-
лемнискатой (х2 + у2) = х2 — у2, за исключением двух значений t, для
которых она имеет четверное касание.
15.1.5 Объясните кратности, найденные в упражнении 15.1.4 с помощью
известного вида лемнискаты (рисунок 12.1).
15.100. Комплексная проективная линия
В разделе 8.5 мы видели, что добавление точки в бесконечности
к действительной линии R в R x R образует замкнутую кривую, которая
качественно похожа на круг. Несомненно, действительная проективная
линия в модели сферы действительной проективной плоскости RP2
276
Глава 15
имеет почти такие лее геометрические свойства, как большой круг на
сфере, после того, как учитывается тот факт, что антиподальные точки
на сфере — это та лее точка на RP2. Ситуация с комплексной «лини-
«линией» С похолса, но ее труднее мысленно представить. С — уже двумер-
двумерна, как мы видели в доказательстве Гаусса основной теоремы алгебры,
следовательно, комплексная «плоскость» С х С — четырехмерна, и ее
практически невозможно мысленно представить.
Для того чтобы избежать экскурса в четырехмерное пространство,
мы сначала изменим наш подход к действительной проективной линии.
В разделе 8.5, мы рассмотрели обыкновенные линии L в горизонталь-
горизонтальной плоскости, не проходящей через начало координат, и продлили
калсдую до проективной линии, «точки» которой — линии, проходя-
проходящие через начало координат О в плоскости, проходящей через О и L.
Негоризонтальные линии в этом семействе соответствуют точкам L,
а горизонтальная линия в семействе — точке в бесконечности L. Сей-
Сейчас мы используем это построение снова, чтобы непосредственно про-
продемонстрировать качественную, или точнее топологическую, эквива-
эквивалентность мелсду проективной линией и кругом (рисунок 15.3).
Рисунок 15.3: Действительная проективная линия
Считается, что начало координат N — наивысшая точка круга, ко-
который в самой нижней точке касается нашей линии L = R. Мелсду
линиями, проходящими через N, и точками круга есть непрерывное
взаимно однозначное соответствие. Каждая негоризонтальная линия
соответствует своему пересечению х' ф N с кругом, тогда как горизон-
горизонтальная линия соответствует самому N. Поэтому проективное завер-
завершение R, которому мы сейчас присваиваем имя RP1, топологически
такое же, как у круга, в том смысле, что мелсду ними есть непрерыв-
непрерывное взаимно однозначное соответствие. Более того, мы можем понимать
проективное завершение R топологически, как процесс добавления од-
одной «точки», которая «приблилсается» по мере того, как стремишься
к бесконечности в любом направлении вдоль R, ибо когда х стремится
к бесконечности в любом направлении, х' стремится к той лее точке N
на круге.
Теперь мы можем рассмотреть проективное завершение С таким
лее образом, используя рисунок 15.4, который показывает так назы-
называемую стереографическую проекцию плоскости С на сферу. Каждая
точка z ? С проектируется на точку z' на касательной сфере S лу-
лучом, проходящим через z и северный полюс N на S. Это устанавливает
непрерывное взаимно однозначное соответствие между точками z на С
и точками z' ф N на S. Более того, по мере того, как z стремится
15.100. Комплексная проективная линия
277
к бесконечности в любом направлении, z' стремится к N, следователь-
следовательно, проективное завершение СР1 плоскости С — топологически такое
лее, как полная сфера S с точкой в оо С, соответствующей N.
Рисунок 15.4: Комплексная проективная линия
Поскольку для комплексного анализа хочется завершить С точ-
точкой оо этим способом, переходу от С к СР1 послужили и геометрия,
и анализ. Видимо, Гаусс первый оценил по достоинству преимуще-
преимущества С U {оо} над С, поэтому в анализе СР1 часто называют сферой
Гаусса. [К солсалению, видимо, сохранились лишь несколько неопуб-
неопубликованных, недатированных фрагментов работы Гаусса на эту тему;
см. Гаусс A819)]. Геометры-алгебраисты называют СР1 (комплексной)
проективной линией, поскольку она — формальный эквивалент дей-
действительной линии, даже если топологически она является поверхно-
поверхностью. Подобным лее образом, комплексные кривые топологически явля-
являются поверхностями, известными аналитикам, как Римановы поверх-
поверхности, хотя геометры-алгебраисты предпочитают называть их «кри-
«кривыми».
Взгляд как на «поверхность» полезен при изучении внутренних
свойств комплексных кривых. Например, род (введенный в связи с па-
параметризацией в разделах 11.3-11.5) оказывается имеет очень простое
значение в топологии поверхностей (см. раздел 15.4). С другой сторо-
стороны, взгляд как на «кривую» полезен при изучении пересечений кривых
и их вложения в С х С или ее проективного завершения СР1. Вместо
того, чтобы пытаться представить себе, например, как две плоскости
пересекаются в одной точке С х С, лучше представить себе пересече-
пересечение как аналогичное пересечению действительных линий в действи-
действительной плоскости, — как единственное решение двух линейных урав-
уравнений. В конце концов, мы работаем с С, чтобы устранить аномалии,
которые встречаются в R, а не ради того, чтобы сделать нечто иное,
и мы ожидаем, что многое в поведении действительных кривых повто-
повторится с комплексными.
Упражнения
Поскольку сложение и умножение — непрерывные функции, до-
довольно легко найти взаимно однозначные непрерывные отображения
мелсду некоторыми комплексными алгебраическими кривыми и сфе-
сферой.
15.2.1 Покажите, что проективное завершение кривой Y = X2 топологи-
278
Глава 15
чески является сферой, рассмотрев ее параметризацию
X = t,
= t2
где t изменяется по сфере С U {оо}. А именно, покажите, что отоб-
отображение t ь-!¦ (t,t2) взаимно однозначно и непрерывно.
15.2.2 Похожим образом покажите, что проективное завершение Y2 = X3
топологически является сферой, рассмотрев параметризацию
= t2
= t3
и непрерывное отображение t >-+ (t2,t3).
15.2.3 Рассмотрите отображение сферы t на проективное завершение Y2 =
= Х2(Х + 1), определенное 11—> P(t), где P(t) — третье пересечение
кривой с линией Y = tX, проходящей через двойную точку (най-
(найденную в упражнении 7.4.2).
Покажите, что это отображение непрерывно, и, что оно взаимно
однозначно, исключая точки t = ±1, которые обе отображаются
в точку О на кривой. Сделайте вывод, что кривая топологически
такая же, как и сфера с двумя идентифицированными точками
(рисунок 15.5)
Рисунок 15.5: Сингулярная сфера
15.101. Точки ветвления
Ключ к топологической форме комплексной кривой р(х,у) = 0
лежит в ее точках ветвления, точках а, где разложение у Ньютона-
Пюизе начинается с дробной степени (ж —а) (см. раздел 10.5). Природа
точек ветвления впервые описана Риманом A851) как часть новой ре-
революционной геометрической теории комплексных функций. Идея Ри-
мана, одна из самых проливающих свет в истории математики, должна
была представить зависимость р(х, у) = 0 между комплексной перемен-
переменной х и комплексной переменной у покрытием плоскости (или сферы),
представляющей переменную х, поверхностью, представляющей пере-
переменную у, при этом точка или точки поверхности у над заданной точ-
точкой х = а являются значениями у, которые удовлетворяют р(а, у) = 0.
Если уравнение р(а, у) = 0 имеет в у степень п, то вообще будет п
различных значений у для заданной а, следовательно, п «листов» по-
поверхности у, лежащих над ж-плоскостью в окрестности х = а. При
15.101. Точки ветвления
279
конечном множестве исключительных значений х, листы сливаются
благодаря совпадению корней, и теория Ньютона-Пюизе говорит, что
в такой точке у ведет себя как дробная степень ж в 0. Наша главная за-
задача, поэтому, понять поведение римановой поверхности для у = хт'п
в окрестности 0.
Идею молено достаточно хорошо усвоить, наблюдая частный слу-
случай у = х1'2. Если мы рассмотрим единичный диск в у-плоскости и по-
попытаемся деформировать его для того, чтобы точки у = ±^/х лежали
выше точки х в единичном диске ж-плоскости, то в результате получим
нечто, похожее на рисунок 15.6.
Рисунок 15.6: Точка ветвления для квадратного корня
Углы в на границах диска — это аргументы соответствующих то-
точек гв. Если
х = eie =
то
Лв/2+тг)
дающие показанные значения. На рисунке 15.7 видно более графиче-
графическое изображения, взятое из раннего учебника по теории Римана [Ней-
[Нейман A865), форзац].
Рисунок 15.7: Картинка точки ветвления Неймана
Следует отметить, что ужасный внешний вид точки ветвления,
в частности, линии самопересечения, — это следствие представления
зависимости у2 = х в количестве измерений меньше четырех, которых
она на самом деле требует. Если мы подобным же образом попытаемся
представить зависимость у2 = х между действительными жиг/, поло-
жа у-ось вдоль ж-оси, так чтобы у = ±у/х находились на вершине ж, то
в результате получим ужасную свернутую «точку ветвления» в 0 (ри-
(рисунок 15.8). Это следствие попытки представить зависимость в одном
измерении. В действительности, как показывает вторая часть рисунка,
если ее рассматривать как кривую в плоскости, то зависимость такая
же гладкая в 0, как в любом другом месте. (Заметьте, между прочим,
что свернутая линия на рисунке 15.8, действительная у-ось, соответ-
соответствует линии самопересечения на рисунке 15.7.)
Рисунок 15.8: Одномерная точка ветвления
280
Глава 15
15.102. Топология комплексных проективных кривых
281
15.102. Топология комплексных проективных
кривых
Для того, чтобы понять полную структуру комплексной проектив-
проективной кривой, определенной у2 = х, нам необходимо знать ее поведение
в бесконечности. В оо есть еще одна точка ветвления, похожая на точку
в 0 (просто замените х на 1/и и у на 1/v и заметьте, что мы смотрим
на v2 = и близко от у = 0, v = 0 — ситуация такая лее, как прежде). То-
Топологическую природу зависимости между хну молено тогда понять
с помощью модели, видимой на рисунке 15.9. Сфера (сфера х) покрыта
двумя сферами (как луковичной шелухой), разрезанными вдоль линии
от 0 до оо и поперечно соединенными. Разрез от 0 до оо произволен,
но поперечное соединение необходимо, чтобы создать структуру точки
ветвления в 0 и оо.
Рисунок 15.9: Покрытие сферы
Покрытие сферы х этими двумя листовыми поверхностями выра-
лсает «покрытие проективного отображения» (х, у) ь-» х от общей точки
на кривой у2 = х до ее х координаты и показывает, что оно двукратное,
исключая точки ветвления 0, оо. Сама двулистная поверхность захва-
захватывает внутреннюю топологическую структуру кривой, и эту струк-
структуру молено гораздо легче увидеть, отделяя две кожицы от сферы х
и друг от друга, затем соединяя требуемые края (рисунок 15.10). Края,
которые следует соединить, обозначены теми лее буквами, и мы видим,
что результирующая поверхность топологически является сферой.
Рисунок 15.10: Соединение отдельных листов
Этот результат молено скорее получить, проектируя каждую точ-
точку (х,у) на кривой в у, поскольку это взаимно однозначное непрерыв-
непрерывное отобралеение меледу кривой и у-осью, которое, как мы знаем, то-
топологически является сферой (когда включена оо). Кривая здесь бы-
была смоделирована разрезанием и соединением листов на сфере, пото-
потому что этот метод распространяется на все алгебраические кривые.
Теория Ньютона Пюизе означает, что любую алгебраическую зави-
зависимость р(х,у) = 0 молено моделировать конечнолистным покрыти-
покрытием сферы, с конечным мнолееством точек ветвления. Самая общая
структура точки ветвления определена предписанием для поперечного
соединения (перестановки) листов, и разрезая листы меледу точками
ветвления (или, если необходимо, до дополнительной точки) их молено
вновь соединить, чтобы создать предписанное поведение ветвления.
Самый интересный случай этого метода — кубическая кривая
у2 = х(х - а)(х - C).
Эта зависимость определяет покрытие в сфере х, которое двулистное,
поскольку для каждой х имеются положительное и отрицательное зна-
значения для у, с точками ветвления в 0, а, /3 и оо. (Точка ветвления в оо
объясняется в нижеследующих упражнениях.) Таким образом, если мы
разрезаем листы от 0 до а и от /3 до оо, требуемое соединение похоже
на показанное на рисунке 15.11. Мы находим, как сделал Риман, что
эта поверхность — тор, и, следовательно, топологически не такая, как
сфера. Оказалось, что это открытие было открытием понимания куби-
кубических кривых и эллиптических функций, как мы увидим в следующей
главе.
Рисунок 15.11: Соединение листов кубической кривой
Сразу видно, что рассматривая отношения вида
у2 = (х — ai)(x — а2) ... (ж - а*2п),
молено получить римановы поверхности формы, показанной на рисун-
рисунке 15.12. Эти поверхности топологически отличаются друг от друга
количеством «дыр»: 0 для сферы, 1 для тора и т.д. Этот простой топо-
топологический инвариант оказывается родом, который также определяет
тип функций, которые могут параметризовать соответствующую ком-
комплексную кривую. Другие геометрические и аналитические свойства
рода будут раскрываться в следующих нескольких главах. Топологи-
Топологическое значение рода было установлено Мёбиусом A863), когда он по-
показал, что любая замкнутая поверхность в обыкновенном пространстве
топологически эквивалентна одной из форм, видимых на рисунке 15.12.
Рисунок 15.12: Общая риманова поверхность
Упражнения
Мы можем перенести «одномерную точку ветвления» (рисунок 15.8)
в бесконечность, чтобы увидеть топологию действительной проектив-
проективной кривой у2 = х.
15.4.1 Объясните, почему действительная проективная кривая у2 = х
имеет точку ветвления в бесконечности, похолеую на точку в 0,
и, следовательно, сделайте вывод, что эта кривая топологически
является кругом.
282
Глава 15
Объяснение точки ветвления в бесконечности кубической кривой
идет следующим образом.
15.4.2 Используйте подстановку х = 1/и,у = 1/v, чтобы показать, что
кривая
у2 = х(х - а)(х - /3)
ведет себя в бесконечности как кривая
v2 = и3A - иа)-1 A - и/3)-1
ведет себя в 0, что, в свою очередь, качественно походит на пове-
поведение
/
15.4.3 Покажите, рассматривая точки, лежащие выше и = егв, что v =
= и3/2 имеет точку ветвления в 0, похожую на точку v = и1/2.
15.103. Биографические заметки: Риман
Бернхард Риман (рисунок 15.13) родился в деревне Брезеленц,
близ Ганновера, в 1826 году и умер в Селаске, Италия, в 1866 году. Он
был вторым из шести детей Фридриха Римана, протестанского священ-
священника, и Шарлотты Эбель. Вплоть до 13 лет его обучал отец с помощью
деревенского школьного учителя, но он показал такие способности бы-
быстрого восприятия математики, что они не могли понять его. В 1840
году Риман переехал жить к бабушке в Ганновер, чтобы посещать сред-
среднюю школу. После ее смерти в 1842 году он продоллсил занятия в шко-
школе в Люнебурге, который был ближе к дому, так как его отец переехал
в новый приход в деревне Квикборн. В Люнебурге ему очень повезло
с директором школы, который распознал его талант и дал ему почи-
почитать книги Эйлера и Лелсандра. Говорят, что он одолел 800-страничную
Theorie des Nombres Лелсандра за шесть дней.
Рисунок 15.13: Бернхард Риман
Светлая сторона жизни Римана, которую мы пока что видели, ма-
мало чем отличалась от жизни Абеля. Но, как у Абеля, в ней также име-
имелась темная сторона. Семья Римана также была бедна, и страдала от
туберкулеза. Его мать, три сестры и сам Риман, в конце концов, умерли
от этой болезни. По крайней мере, Риман избелсал семейного разлада
и очень ранней смерти, которые сделали жизнь Абеля столь трагичной.
Во все времена он поддерлсивал близкие и нежные отношения с семьей,
15.103. Биографические заметки: Риман
283
он прожил достаточно долго, чтобы жениться и стать отцом, и у него
также было время тщательно разработать свои великие идеи и при-
приобрести значительных последователей. Опубликованный труд Римана,
всего лишь один том, действительно менее обширен, чем труд какого-
нибудь другого значительного математика, который дожил до сорока
лет. Но еще ни одна другая книга не оказывала такого влияния на со-
современную математику.
Карьера Римана в качестве математика началась вскоре после то-
того, как в 1846 году он поступил в Геттингенский университет. Он наме-
намеревался последовать по стопам своего отца и изучать теологию, но, как
Эйлер и братья Бернулли до него, он почувствовал слишком сильный
зов математики и получил разрешение отца поменять сферу деятель-
деятельности. Поворот к математике состоял в признании того, где лелсал его
величайший талант, а не из-за презрения к теологии или философии.
Действительно, Риман был глубоко набожным человеком и хорошо на-
начитан в философии, до такой степени, что читатели с тех пор сетовали
на влияние языка немецкой философии на его стиль.
Геттинген в 1846 году не был Меккой для математиков, как молено
было бы ожидать с великим Гауссом на кафедре математики. Профес-
Профессора чуждались студентов и не поощряли ни оригинального мышле-
мышления, ни читали лекций о текущих исследованиях. Далее сам Гаусс читал
только элементарные курсы. Через год Риман перевелся в Берлинский
университет, где атмосфера была более демократичной, и, где Якоби,
Дирихле, Штейнер и Эйзенштейн делились своими самыми последними
идеями. Риман был слишком застенчив, чтобы полностью погрузиться
в эту радикально иную атмосферу, но он подружился с Эйзенштей-
Эйзенштейном, который был старше его всего на три года, и очень многое узнал
от Дирихле. В последующих работах Римана весьма оригинально ис-
используются некоторые идеи Дирихле, в частности, квазифизический
принцип (на самом деле впервые сформулированный Кельвином) Ри-
Риман назвал принципом Дирихле. Среди замечательных заключений,
которые он вывел из этого принципа, была теорема о том, что кривые
топологического рода 0 именно те, которые можно параметризовать
рациональными функциями.
Сильная сторона Дирихле состояла в использовании анализа в чи-
чистой математике, особенно в теории чисел, и Римана также широко ат-
аттестовали как аналитика. Однако он не был тем узким специалистом,
какими обычно являются аналитики сегодня. Его сферой деятельности
была вся математика, рассматриваемая с аналитической точки зрения.
Он видел, где молено использовать анализ, чтобы осветить математи-
284
Глава 15
ку от теории чисел до геометрии, но он также видел, где сам анализ
нуждался в освещении извне. Понятие римановой поверхности и топо-
топологическое понятие рода, в особенности, сделали многие ранее с трудом
добытые результаты анализа почти очевидными. Живой пример осве-
освещения анализа с помощью топологии — объяснение Риманом двойной
периодичности эллиптических функций, который мы увидим в разде-
разделе 16.4.
Римановы поверхности введены в докторской диссертации Рима-
Римана [Риман A851)]. В 1849 году он вернулся в Геттинген и, после по-
получения докторской степени, начал работать, чтобы получить право
на должность приватдоцента (читающего лекции). Одним из требова-
требований был очерк, которое он выполнил мемуаром о ряде Фурье, где он
ввел понятие «интеграла Римана». Интеграл Римана, действительно,
не является одной из лучших идей Римана (хотя он один из самых
известных студентам сегодня), так как интеграл, введенный позлее Ле-
Лебегом, гораздо лучше годился для предмета (см. главу 23). Другим
требованием была лекция, три названия которой он должен был пред-
представить факультету университета. Гаусс выбрал третье, которое было
самым трудным, об основах геометрии. Однако Риман блестяще ока-
оказался на высоте положения, и его лекция Uber die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde Ыедеп (О гипотезах, лежащих в основании
геометрии) стала одной из классических в математике [Риман A854b)].
В ней он ввел главные идеи современной дифференциальной геомет-
геометрии: n-мерные пространства, метрики и кривизну, а также способ, в ко-
котором кривизна управляет глобальными геометрическими свойствами
пространства. В частном случае двух измерений, эти идеи были уже
поняты Гауссом (см. главу 17), поэтому для Гаусса, тогда, в последний
год его жизни, радостью и открытием было видеть, насколько дальше
продолжил их Риман.
Риман добился цели и стал лектором, получив удовлетворение от
того, что привлек неожиданно большую аудиторию (восемь студен-
студентов!). В течение следующих нескольких лет он разрабатывал материал
для, может быть, своего самого значительного труда [Риман A857)],
который сделал для алгебраической геометрии то, что он ранее сде-
сделал [Риман A854b)] для дифференциальной геометрии. Одним из его
студентов в это время был Дедекинд, который позднее придал теории
Римана более алгебраическую форму, которая используется сегодня.
Дедекинд был также со-редактором сборника трудов Римана и написал
очерк о жизни Римана [Дедекинд A876)], который является основным
биографическим источником для этого раздела. Должность лектора
15.103. Биографические заметки: Риман
285
была очень продотворна математически, но она приносила только до-
добровольную плату от студентов, и Риман находился на грани голодной
смерти. Он испытал другие удары: смерть отца и сестры Клары, а так-
также нервное расстройство, вызванное переутомлением.
Когда в 1855 году умер Гаусс и его преемником стал Дирихле,
была предпринята неудачная попытка назначить Римана адъюнкт-
профессором. Эта попытка окончилась неудачей, но Риману предоста-
предоставили регулярное жалованье, и, когда в 1859 году умер Дирихле, Риман
стал его преемником. В 1862 году он женился на Элизе Кох, подруге
своих сестер, и их дочь, Ида, родилась в Пизе в 1863 году. В 1862 году
Риман начал ездить в Италию в интересах своего здоровья, и он про-
проводил там много времени в оставшиеся ему годы. Он любил Италию
и ее художественные сокровища, а также получил теплый прием у ита-
итальянских математиков. Двое его друзей, Энрико Бетти и Эудженио
Бельтрами, воодушевленные идеями Римана, сделали важные вклады
в топологию и дифференциальную геометрию. Бельтрами увидел, как
понятие искривленного пространства Римана могло быть использовано
в качестве основы неевклидовой геометрии, революционное открытие,
которое, возможно, не предвидел даже Риман (см. главу 18).
Пребывание Римана в Италии было слишком коротким. Он умер
в Селаске на озере Маджори летом 1866 года, жена находилась рядом
с ним. Дедекинд следующим образом описал его последние дни (не
в своем обычном стиле, но, без сомнения, чутким к чувствам жены
Римана):
За день до своей смерти он лежал под смоковницей, его пере-
переполняла радость при виде великолепного пейзажа, он работал
над своей последней книгой, к сожалению, оставшейся неза-
незаконченной. Кончина пришла тихо, без напряжения или агонии
смерти; казалось, будто бы он с интересом следил, как душа
расставалась с его телом; его жене пришлось дать ему хлеб
и вино, он попросил ее передать его любовь домашним, ска-
сказав: «Поцелуй наше дитя». Она читала вместе с ним молитву
Господню, он не мог больше говорить; со словами «И остави
нам долги наша» он благочестиво поднял глаза, она почув-
почувствовала, как его рука холодеет в ее руке, и еще через несколь-
несколько вздохов, его чистое, благородное сердце перестало биться.
Благородный дух, внушенный ему в доме его отца, оставался
с ним всю его жизнь, и он оставался верен своему Богу, как
и его отец, хотя и не в той лее форме.
286
Глава 15
[Дедекинд A876)]
Об Абеле говорили, что он оставил достаточно, чтобы занять мате-
математиков в течение 500 лет, и то же самое можно сказать о Римане. Сего-
Сегодня, спустя свыше 130 лет после смерти Римана, основная нерешенная
задача в чистой математике — так называемая гипотеза Римана, до-
догадка, сделанная Риманом A859) случайно в статье о распределении
простых чисел. Риман рассматривал функцию Эйлера (обсужденную
в разделе 10.7)
Ф) = 1 + ^ + ^ + ...,
введя для нее дзета-обозначение, и распространил ее на комплексные
значения s. Он заметил, что если ?(s) = 0, то 0 ^ Re(s) ^ 1, и до-
добавил, что вполне вероятно, что все нули ?(s) имеют действительную
часть 1/2. Далее он не занимался этой проблемой, поскольку для его
цели этого первоначального наблюдения было достаточно, ибо цель за-
заключалась в выведении бесконечного ряда для F(x), количества про-
простых чисел меньше положительного целого числа х. Позднее математи-
математики осознали, что гипотеза Римана управляет распределением простых
чисел до необычайной степени, вот почему столь настойчиво ищут ее
доказательство. Поскольку все усилия лучших математиков до сих пор
терпели неудачу, возможно, успеха добьется лишь еще один Риман.
Глава 16
Комплексные числа и функции
16.104. Комплексные функции
Когда Бомбелли A572) ввел комплексные числа, он также неявно
ввел комплексные функции. Решение у кубического уравнения у3 =
= py + q,
У =
\
\
включает кубический корень комплексного аргумента, когда (д/2J <
(р/3K. Однако, в этом контексте комплексные функции были не более
(или менее) проблематичны, нежели комплексные числа. Иногда бы-
было удивительно узнать, что функции оказывались равными, как когда
Лейбниц и де Муавр показали (раздел 6.6), что
где у — многочлен в х = sin 9, который равняется sinn0, но никого не
заботило значение функций, пока их уравнения не могли быть прове-
проверены с помощью алгебры.
Положение запуталось еще больше с трансцендентными функция-
функциями, в особенности, с теми, которые определены интегрированием. Клю-
Ключевым примером была логарифмическая функция, которая возникает
из интегрирования dz/(l + г). Как только эту функцию поняли, при-
причина алгебраических чудес типа теоремы Лейбница-де Муавра стала
намного понятнее.
История комплексного логарифма началась, когда Иоганн Бернул-
ли A702) заметил, что
dz
dz
dz
2A-*>/=]
288
Глава 16
и пришел к выводу, что «мнимые логарифмы выражают действитель-
действительные круговые сектора». На самом деле, он не выполнил интегрирова-
интегрирование, но он смог получить
^„-1 __ 1 1 i-z
поскольку Эйлер ставит ему в заслугу похожую формулу в письме
к нему [Эйлер A728b)]. Однако, это могло быть почтительным от-
отношением молодого Эйлера к своему бывшему учителю, потому что
Иоганн Бернулли продемонстрировал плохое понимание логарифмов
по мере того, как продолжалась переписка. Он настойчиво заявлял,
что log(—x) = log(a;) на основании того, что
4~ bg(-a;) = }- = 4~ log(a;),
dx x dx
несмотря на напоминание Эйлера A728b), что равенство производных
не означает равенства интегралов. Эйлер продолжал предполагать, что
комплексный алгоритм имеет бесконечное множество значений.
Тем временем Котес A714) также открыл зависимость между ком-
комплексными логарифмами и круговыми функциями:
log(cos х + i sin x) = ix.
Осознав важность этого результата, он озаглавил свою работу Нагтопга
mensurarum (Гармония мер). Рассматриваемыми «мерами» были лога-
логарифмическая и обратная функция тангенса, которые «измеряли», соот-
соответственно, гиперболу и круг через интегралы J dx/(l + х) и J dx/(l +
+ ж2). Широкий класс интегралов был сведен к этим двум типам, но
было не понятно, почему требовались две, видимо, несвязанные «ме-
«меры». Результат Котеса был первым [не считая близкую осечку Иоганна
Бернулли A702)], который связал их обе, показывая, что в более ши-
широкой области комплексных функций логарифм и обратные круговые
функции, по существу, одинаковы.
Самой компактной формулировки их соотношения добились около
1740 года, когда Эйлер перенес внимание с логарифмической функции
на обратную ей, показательную функцию. Окончательная формула
= COS X
г sm х
впервые была опубликована Эйлером A748а), который вывел ее, срав-
сравнивая разложение в ряд обеих частей. Формулировка Эйлера в поняти-
понятиях однозначной функции егх дала простое объяснение многих значений
16.104. Комплексные функции
289
логарифма (которые Котес упустил) как следствия периодичности cos
и sin. Прямое объяснение, основанное на определении log как интегра-
интеграла, было невозможно, пока Гаусс A811) не внес ясность в значение
комплексных интегралов и не указал их зависимость от пути интегри-
интегрирования (см. раздел 16.3)
Формула Эйлера также показывает
(cos х + i sin x)n = егпх = cos nx + i sin nx
и, следовательно, дает более глубокое объяснение формулы Лейбница-
де Муавра. В более общем смысле, теоремы сложения для cos и sin (раз-
(раздел 12.4) можно рассматривать как следствия намного более простой
формулы для показательной функции
Мнимая функция егх была в такой степени гораздо понятнее, чем ее
действительные составные части cos ж и sin ж, что было трудно обой-
обойтись без нее, и формула Эйлера дала математикам сильный толчок
к окончательному принятию комплексных чисел. Более подробное опи-
описание роли логарифмических и показательных функций в развитии
комплексных чисел можно найти у Каджори A913).
Почти в то же время, когда Эйлер пролил свет на cos и sin, Да-
ламбер нашел много действительных функций, которые встречаются
естественным образом в парах как действительная и мнимая части ком-
комплексных функций — в гидродинамике. Как говорилось в разделе 13.5,
Даламбер A752) открыл уравнения
дР_дО_
ду дх
дх + ду
= 0,
A)
B)
связывающие составляющие скорости Р, Q в двумерном установившем-
установившемся безвихревом течении жидкости. Уравнения A) и B) возникают из
требований, что Q dx + Р dy и Р dx — Qdy должны быть полными диф-
дифференциалами, в этом случае еще один полный дифференциал имеет
вид
Qdx + Pdy+i(Pdx-Qdy) = (Q + iP) (dx
dy
iP)d(x+%
\ г
290
Глава 16
Даламбер пришел к выводу, что это означает, что Q + гР — функция /
числа ж + у/г, так что Q = Re(/) и Р = Im(/).
Чтобы почувствовать силу этого результата, следует забыть совре-
современное определение функции, по которому и(х,у) + iv(x,y) — функ-
функция ж + iy для любых функций и, v. В контексте восемнадцатого сто-
столетия, «функция» /(ж + iy) была вычислима из х + iy при помощи
элементарных операций; на худой конец, /(ж + iy) — была степенным
рядом в x-\-iy. Это налагает строгое ограничение на и, v, а именно, что
ди _ dv^ &и _ ду
дх ду' ду дх'
Это были именно те уравнения, которые Даламбер нашел в гид-
гидродинамических исследованиях, но их назвали уравнениями Коши-
Римана, потому что эти математики подчеркнули их ключевую роль
в изучении комплексных функций. Понятие комплексной функции
утвердилось, когда Коши A837) показал, что функции f(z), где z = х+
+ iy, следует лишь быть дифференцируемой, чтобы быть выразимой
как степенной ряд в z. Поэтому этого достаточно, чтобы определить,
что комплексной функцией f(z) является та, которая дифференцируе-
дифференцируема относительно z, для того, чтобы гарантировать, что / определена со
строгостью восемнадцатого века. Отсюда следует, в частности, что пер-
первая производная / влечет за собой производные всех порядков, и, что
значения / в любой окрестности определяют ее значения повсюду. Эта
«строгость» в понятии комплексной функции — достаточное ограни-
ограничение, чтобы дать возможность доказать нетривиальные свойства, но
в то лее время она оставляет достаточно гибкости, молено сказать «те-
«текучести», чтобы охватить важные общие ситуации.
Упражнения
Эйлерову производную егх = совж+г sin ж легко объяснить, исполь-
используя степенные ряды
1! 2! 3!
- + -
найденные в разделе 9.5.
16.105. Конформное отображение
291
16.1.1 Допуская, что ряд для ev также справедлив для у = ix, покажите,
что
Ргх — 1 _
2! + 4! 6!
16.1.2 Допуская, что это верно для почленного дифференцирования ряда
синусов, покажите, что
и, следовательно, что егх = cos ж + г sin ж.
Еще одно следствие егх = cos ж + г sin ж заключается в том, что г =
что позволяет нам оценить странное число гг.
7Г i 7Г
= cos ^ + г sin ^ = е
16.1.3 Покажите, что il имеет действительное значение [ЭйлерA746)]. Ка-
Каково оно?
16.1.4 Используя тот факт, что е2гп7Т для любого целого п, приведите
формулу для всех значений il [Эйлер A746)].
16.105. Конформное отображение
Еще одна важная общая ситуация, в которую внесли ясность ком-
комплексные функции, задача конформного отображения. Отображение
сферы (поверхности Земли) на плоскость — это практическая задача,
которая привлекала внимание математиков со времен античности. До
восемнадцатого века большинство заметных математических вкладов
в отображение составляли стереографические проекции (раздел 15.2),
благодаря Птолемею около 150 н.э. и проекции Меркатора, применен-
примененной Г. Меркатором в 1569 году [речь о Герарде Меркаторе, а не Ни-
колаусе, который открыл ряд для log(l + ж)]. Обе эти проекции были
конформными, то есть, сохраняющими углы, или что математики во-
восемнадцатого века предпочитали называть «подобное в малом». Это
означает, что образ f(R) любой области R стремится к точному мас-
масштабному отображению R по мере того, как величина R стремится к 0.
Поскольку «подобие в большом», несомненно, невозможно, например,
большой круг нельзя отобразить на замкнутую кривую, которая раз-
разделяет плоскость на две равные части, конформность — это лучшее,
292
Глава 16
что молено сделать, чтобы сохранить внешний вид областей на сфере.
Сохранение углов в проекции Меркатора было преднамеренным, цель
которого заключалась в том, чтобы помочь навигации, и в случае сте-
стереографической проекции конформность впервые была замечена Гар-
риотом около 1590 года [см. Лоне A979)].
Успехи в теории конформного отобралсения были сделаны Ламбер-
Ламбертом A772), Эйлером A777) (сфера на плоскости) и Лагранжем A779)
(общая поверхность вращения на плоскости). Все эти авторы исполь-
использовали комплексные числа, но представление Лагранжа самое ясное
и общее. Используя метод Даламбера A752), он объединил пару диф-
дифференциальных уравнений в двух действительных переменных в еди-
единое уравнение в одной комплексной переменной и пришел к результа-
результату, что любые два конформных отображения поверхности вращения на
(ж,у)-плоскость связаны через комплексную функцию f(x + iy), отоб-
ралсающую плоскость на себя. Эти результаты увенчались результатом
Гаусса A822), обобщившим теорему Лагранлса до конформных отобра-
отображений произвольной поверхности на плоскость.
Обратно, комплексная функция f(z) определяет отображение
плоскости z на себя, и легко увидеть, что это отображение — конформ-
конформное. Действительно, это следствие дифференцируемости /. Сказать,
что предел
/(го + Sz) - /(го)
lira
Sz
существует, значит сказать, что отображение диска {г : \г — zq\ < \Sz\}
вокруг zq на область вокруг /(.го) стремится к масштабному отобра-
отображению по мере того, как радиус \Sz\ стремится к 0. Если производная
выражена в полярной форме, как
тогда г — масштабный множитель этого предельного отобралсения,
и a — угол вращения. Риман A851), по-видимому, первый принял свой-
свойство конформного отобралсения в качестве основы теории комплекс-
комплексных функций. Его самым глубоким результатом в этом направлении
была теорема отображения Римана, которая утверждает, что любую
область плоскости, ограниченную простой замкнутой кривой, молено
отобразить на единичный диск конформно, и, следовательно, при по-
помощи комплексной функции. Доказательство этой теоремы у Римана
A851) зависит от свойств потенциальных функций, которые Риман ча-
частично обосновал, обратившись к физической интуиции, так называе-
16.106. Теорема Коши
293
мому принципу Дирихле. Такое рассуждение шло вразрез с растущей
тенденцией к строгому анализу в девятнадцатом веке, и более строгие
доказательства были даны Шварцем A870) и Нейманом A870). Однако
вера Римана в физические корни теории комплексной функции, в ко-
конечном итоге, подтвердилась, когда Гильберт A900b) поставил прин-
принцип Дирихле на твердую основу.
Упражнения
Утверждение, что дифференцируемость f(z) означает, что / —
конформное отображение, следует ограничить условием f'(z) ф 0,
потому что, если масштабный множитель стремится к 0, то об /
нельзя сказать, что она является масштабным отображением. В точках,
где f'(z) = 0, можно обнаружить, что углы изменились. Вот пример.
16.2.1 Покажите, что f(z) = z2 определяет конформное отображение,
исключая z = 0, где она удваивает углы.
Это неудивительно, если мы рассмотрим гиг2 как двулистное
покрытие плоскости С (сравните с разделом 15.4).
16.2.2 Покажите, что отображение z^z2 — двукратное, исключая точ-
точку z = 0, и свяжите угол, удваивающийся в z = 0, с точкой ветв-
ветвления покрытия.
16.2.3 Подобным же образом опишите поведение отображения z ь-> z2
в z = 0.
16.106. Теорема Коши
Мы видели, что результатом интегрирования являются интерес-
интересные комплексные функции. Например, эллиптические функции появ-
появляются из обращения эллиптических интегралов (раздел 12.3). Одна-
Однако, сначала не ясно, что означает интеграл f* f(i)dt, когда zq, z —
комплексные числа. Естественно, и технически нетрудно, опреде-
определить f* /(?) dt как jv /(?) dt, интеграл / вдоль кривой <€ от zq до z;
проблема в том, что J^,f(t)dt, по-видимому, зависит от ^ и, следо-
следовательно, может не быть сколько-нибудь похожим на функцию z, как
хотелось бы.
Первым, кто осознал и разрешил эту проблему, по-видимому, был
Гаусс. В письме к Бесселю Гаусс A811) поднял эту проблему и заявил
о ее разрешении следующим образом:
294 Глава 16
Как следует ныне думать о / Ф(-г) dz для z = a + ib? Очевидно,
если захочется начать с четких понятий, то следует допустить,
что z изменяется бесконечно малыми приращениями (каждое
вида а + г/3) от того значения, для которого интеграл должен
быть 0, до с = а + ib, и затем суммировать все Ф(-г) dz. ... Но
сейчас... непрерывный переход от одного значения z к дру-
другому а + ib имеет место вдоль кривой и, следовательно, воз-
возможен бесконечно многими способами. Сейчас я предполагаю,
что интеграл f? Ф(-г) dz всегда будет иметь одно и то лее значе-
значение после двух различных переходов, если z никогда не станет
бесконечной в пределах области, окруженной двумя кривыми,
представляющими эти переходы.
[Перевод Гаусса A811) у Биркгофа A973)]
В том же письме Гаусс также заметил, что, если Ф(г) действитель-
действительно становится бесконечной в области, тогда /Qc Ф(г) dz, вообще, примет
различные значения, если интегрировать вдоль различных кривых. Он,
в частности, увидел, что бесконечное множество значений log с соответ-
соответствовало различным путям, которыми могла виться траектория от 1
до с вокруг z = 0, точки, где Ф(г) = 1/z становится бесконечной.
Теорема, что f* fit) dt независим от пути через область, где / ко-
конечна (и дифференцируема, что для Гаусса было само собой разумею-
разумеющимся) , известна как теорема Кохии, поскольку Коши первым предло-
предложил ее доказательство и вывел следствия из теоремы. Эквивалентная
и более удобная формулировка: J^, f(t) dt = О для любой замкнутой
кривой ^ в области, где / дифференцируема. Коши представил до-
доказательство Парижской Академии в 1814 году, но впервые опубли-
опубликовал его позже [Коши A825)]. В Коши A846) он представил более
прозрачное доказательство, основанное на уравнениях Коши-Римана
и теореме Грина A825) и Остроградского A828), которая связывает
линейный интеграл с поверхностным интегралом. Последняя теорема,
обычно известна как теорема Грина, является обобщением основной
теоремы исчисления на действительные функции f(x,y) двух перемен-
переменных, и может быть сформулирована следующим образом: если ff —
простая замкнутая кривая, ограничивающая область М, и / — подхо-
16.106. Теорема Коши
295
дяще гладкая, тогда
fdx =
fdy=-
t дУ
дх
dx dy,
dx dy,
где ffgg обозначает поверхностный интеграл над 8%, и J^, обозначает
линейный интеграл вокруг <€ в направлении против часовой стрелки.
(Разница в знаке в двух формулах отражает различный смысл *€, ко-
когда х та у взаимозаменяемы.)
Теорема Коши следует из теоремы Грина по простому вычислению.
Если
f(t) = u(t) + iv(t)
— разложение / на действительную и мнимую части, и, если мы запи-
запишем
dt = dx + i dy,
то
f(t) dt =
iv)(dx + idy)
поскольку
f f
= / iudx — v dy) + i / (v dx -\- и dy)
ду дх ду дх
= 0
по уравнениям Коши-Римана. Это доказательство требует, чтобы /
имела непрерывную первую производную для того, чтобы молено было
применить теорему Грина. Ограничение на непрерывность f'(t) в дока-
доказательстве устранил Гурса A900). Оказывается, если /' существует, она
не только будет иметь непрерывность, она также будет иметь производ-
производные всех порядков. Это следует из одного из замечательных следствий,
которое Коши A837) вывел из предположения J~, fit) dt = 0, а имен-
именно, что / имеет разложение в степенной ряд. По Гурса A900), в таком
296
Глава 16
случае, дифференцируемости комплексной функции достаточно, чтобы
гарантировать разложение в степенной ряд. Обобщение этого резуль-
результата до /, которая становится бесконечной в изолированных точках,
сделано Лораном A843) (/ тогда имеет разложение, включающее от-
отрицательные степени; это лорановское разложение), и до «многознач-
«многозначной» / с точками ветвления — Пюизе A850) (/ тогда имеет разложение
в дробные степени, разложение Пъютона-Пюизе).
Упражнения
Уравнения Коши-Римана естественно следуют из существова-
существования f'(z), то есть, из условия, что
lira
Sz)-f(z)
Sz
имеет то лее значение, независимо от пути, вдоль которого Sz —» 0.
16.3.1 Предположим, что f(z) = и(х,у) + iv(x,y) и Sz = 6х + iSy. До-
Допуская, что Sz —!¦ 0 вдоль ж-оси (Sy = 0) и вдоль у-оси (Sx = 0),
и, приравнивания результирующие значения f'(z), покажите, что
ди _ dv_ ди _ ду
дх ду' ду дх
Эти уравнения дают удобный критерий, чтобы функция и(х, у) +
+ iv(x, у) была дифференцируемой функцией z = х + гу.
16.3.2 Проверьте, что и(х,у) = х2 — у2 и v(x,y) = Ixy удовлетворяют
уравнениям Коши-Римана.
16.3.3 Выразите х2 — у2 + 1гху как функцию z = х + гу.
16.107. Двойная периодичность эллиптических
функций
Представление об интегрировании комплексной функции, обеспе-
обеспеченное теоремой Коши, — шаг к пониманию эллиптических интегралов,
16.107. Двойная периодичность эллиптических функций 297
таких как JQZ dt/' \/t(t — a)(t — /3). Другой важный шаг — идея о рима-
новой поверхности (раздел 15.4), которая дает нам возможность мыс-
мысленно представить возможные пути интегрирования от 0 до z. «Функ-
«Функция» 1/у tit — a)(t — /3), конечно, двузначная, и по аргументации, по-
похожей на аргументацию раздела 15.4, представлена двулистным по-
покрытием сферы t с точками ветвления в 0, а, [3, оо. Поэтому пути инте-
интегрирования, правильно изображенные, — кривые на этой поверхности,
которая топологически является тором (опять, как в разделе 15.4).
Теперь тор содержит некоторые замкнутые кривые, которые не
ограничивают участок поверхности, например, кривые ^i тл С4>2, пока-
показанные на рисунке 16.1. Области М, ограниченной ^i или Ч? — 2, нет;
следовательно, теорема Грина не применяется, и мы, по существу, по-
получаем ненулевые значения
dt
dt
Следовательно, интеграл
dt
о y/t{t-a){t-p)
будет неопределенным: для каждого значения Ф 1 (z) = w, полученного
для некоторого пути ^ от 0 до г, мы также получаем значения w +
+ muii + пи>2, добавив к ff виток, который обвивается m раз вокруг ^i
и п раз вокруг ^2- (По топологическим причинам это, по существу,
наиболее общий путь интегрирования.)
Отсюда следует, что обратное отношение Ф^1(г) = w, эллиптиче-
эллиптическая функция, соответствующая интегралу, удовлетворяет
для любых целых m,n. To есть, Ф двоякопериодическая, с периода-
периодами ш\, и>ч. Это интуитивное объяснение двойной периодичности появи-
появилось благодаря Риману A851), который позже [Риман A858а)] с этой
точки зрения развил теорию эллиптических функций.
Рисунок 16.1.: Неограничивающие кривые на торе
298
Глава 16
Замечательные разложения в ряд эллиптических функций, кото-
которые аналитически показывают двойную периодичность, был откры-
открыты Эйзенштейном A847). Предшественниками рядов Эйзенштейна, как
указал сам Эйзенштейн, были разложения на простые дроби круговых
функций, открытые Эйлером, например,
7Г Ctg ПХ = У
1
X + П
[Эйлер A748а), с. 191]. Очевидно (по крайней мере, формально, хотя
следует быть немного осторожным со значением этого суммирования,
чтобы обеспечить сходимость), что сумма не изменяется, когда х за-
заменяется на х + 1; следовательно, период 1 Trctgvra; непосредственно
показывается ее разложением в ряд. Эйзенштейн показал, что двояко-
периодические функции молено получить с помощью аналогичных вы-
выражений, таких как
7^
1
"\2 '
которое снова (с подходящей интерпретацией для обеспечения сходи-
сходимости) очевидным образом не изменяется, когда г заменяется наг +
+ uji или г + 0J2- Следовательно, мы получаем функцию с пери-
периодами uii,ui2- Приведенная выше функция, фактически, идентична
(вплоть до константы) р-функции Вейерштрасса, о которой говорилось
в разделе 12.5, как обратная интегралу / dt/^At3 — д$ — дз- Вейер-
штрасс A863), с. 121 нашел отношения между д2, дз и периодами ш\, Ш2'-
1
ff2=60^
дз = 140 J2
где суммы над всеми парами (т,п) ф @,0). Элегантные современные
объяснения теорий Эйзенштейна и Вейерштрасса можно найти у Вейля
A976) и Роберта A973).
1
16.108. Эллиптические кривые
Упражнения
Точное определение р-функции Вейерштрасса следующее
299
= i+ E
772,71^0,0
1
1
(г + ти)\
Этот ряд имеет лучшую сходимость, чем ряд Эйзенштейна, приведен-
приведенный выше, но его двойная периодичность не совсем столь очевидна.
Мы можем установить двойную периодичность следующим дифферен-
дифференцированием и интегрированием (которое верно вследствие свойств схо-
сходимости ряда Вейерштрасса).
16.4.1 С помощью почленного дифференцирования покажите, что
оо
p'(z) = -2 Y. Т^ h V»'
771,тг=— оо v J- ^/
и сделайте вывод, что p'(z + ш{) = p'(z) и p'(z + 0J2) = p'(z).
16.4.2 Интегрируя только что полученные уравнения, покажите, что
p(z + uii) — p(z) = с и p(z + Ш2) — p(z) = d,
для некоторых постоянных си d.
16.4.3 Выведите из упражнения 16.4.2, что
р
2
Р
16.4.4 Но p(z) = p(—z) (почему?); отсюда сделайте вывод, что р двояко-
периодическая .
16.108. Эллиптические кривые
Мы видели, что несингулярные кубические кривые вида
у2 = ах3 + bx2 + cx + d A)
важны не только среди самих кубических кривых (см. классификацию
Ньютона, разделы 7.4 и 8.4), но также в теории чисел (раздел 11.6)
300
Глава 16
и теории эллиптических функций (раздел 12.2). Одним из значитель-
значительных достилсений математики девятнадцатого века был синтез единой
точки зрения на все эти проявления кубических кривых. Единая точ-
точка зрения впервые промелькнула у Якоби A834) и яснее выдвинулась
в центр внимания с развитием комплексного анализа от Римана A851)
до Пуанкаре A901). Теория эллиптических кривых, в качестве которой
получила известность единая точка зрения, продоллсает вдохновлять
исследователей и сегодня, так как она, видимо, охватывает некоторые
из самых очаровательных задач теории чисел. Мы теперь, например,
знаем, как вывести последнюю теорему Ферма из свойств эллиптиче-
эллиптических кривых (см. раздел 11.3).
Якоби увидел, по крайней мере в неявном виде, что кривую A)
молено параметризовать как B)
x = f(z), y = f(z),
B)
где / и ее производная /' — эллиптические функции. Зная, что / и /'
двояко-периодические, с одинаковыми периодами, скажем, uii,ui2, он,
наверное, увидел, что это давало отображение z плоскости С на кри-
кривую A), для которого прообраз заданной точки на A) — множество
точек в С вида
z + Л = {z
nu>2 '¦ т, n
где
Л = {mu>i + пи>2 '¦ тп, п ? Z}
называется решеткой периодов /. Числа z + muii + пи>2 в z + А так-
также называются «эквивалентными относительно Л». Один такой класс
эквивалентности показан звездочками на рисунке 16.2.
Рисунок 16.2: Решетчато-эквивалентные точки
Параметризация B) означает, что между точками (f(z), f'{z)) кри-
кривой и классами эквивалентности z + Л имеется взаимно однозначное
соответствие. Сегодня мы выражаем эту зависимость, говоря, что кри-
кривая — изоморфна пространству С/Л этих классов эквивалентности.
Якоби мог увидеть, хотя, вероятно, это не представляло для него ин-
интереса, что С/Л — тор. Это видно, если взять один параллелограмм
в С, который включает представителя каждого класса эквивалентно-
эквивалентности, и идентифицировать эквивалентные точки на его границе (то есть,
склеить друг с другом противоположные стороны, как на рисунке 16.3).
Конечно, форма тора A) обнаружилась при помощи построения рима-
новой поверхности, приведенного в главе 15.4.
16.108. Эллиптические кривые
301
Рисунок 16.3: Построение тора склеиванием
Элегантный способ демонстрации как двойной периодичности эл-
эллиптических функций, так и параметризации кубических кривых был
дан Вейерштрассом A863). Начиная с функции
Е
'-^ (z + muii + nu>2)
которая, как говорилось в разделе 16.4, делает двойную периодичность
очевидной, Вейерштрасс определил функцию
= i+ Е
которая имеет лучшие свойства сходимости, и, которая также двояко-
периодическая. Затем он показал при помощи простых вычислений
с рядом,что
p'(zf = Ap{zf - g2p(z) - g3,
где (?2,5з — постоянные, зависящие от uii,ui2, которые были определены
в разделе 16.4. Отсюда следует, что точка (p(z), p'{z)) лежит на кривой
у = Ах - д2х - д3,
C)
и дальнейшая небольшая проверка показывает, что C), в сущности,
изоморфна С/Л, где Л — решетка периодов р. Параметризация всех
кривых A) с помощью эллиптических функций следует за проведением
линейного преобразования.
Как только кривая A) параметризована как
x = f9(z), y = f'(z),
видно естественное «сложение» точек на кривой, вызванное сложени-
сложением значений их параметров. Из-за двойной периодичности / и /', это
«сложение» является просто обыкновенным сложением в С, по моду-
модулю Л. В частности, непосредственно следует, что «сложение точек»
имеет некоторые свойства обыкновенного сложения, такие как комму-
коммутативность и ассоциативность. Однако, как указывалось в разделе 11.6,
сложение значений параметра z также отралсается в геометрии кривой.
Самая сжатая формулировка зависимости, благодаря Клебшу A864),
302
следующая: если z\,z2, z%
точек, тогда
Z\ -\- Z2
Глава 16
значения параметров трех коллинеарных
zr, = 0 mod (шл. шо)
(или ^1 + ^2 + ^3 G Л). Это означает, что «сложение точек» также име-
имеет элементарную геометрическую интерпретацию, для которой, между
прочим, алгебраические свойства гораздо менее очевидны.
С другой стороны, прямолинейная интерпретация «сложения» да-
дает простейшее объяснение теорем сложения для эллиптических функ-
функций. Как мы видели в разделе 11.6, значение /(^з) легко вычислить как
рациональную функцию /(zi), f'(z1),f(z2), f'(z2), когда zx,z2,z3— зна-
значения параметров коллинеарных точек. Первоначально, конечно, фор-
формула была получена Эйлером, со значительными трудностями, с помо-
помощью манипуляций с интегралом, обратным / (см. раздел 12.5).
Еще одна причина принять С/Л как «правильное» представление
кривой состоит в том, что оно дает ответ на казалось бы несвязанный
вопрос классификации при помощи проективной эквивалентности. На-
Напомним из раздела 8.4, что Ньютон сократил кубические кривые до
типов: с точкой возврата, двойной точкой и тремя несингулярными, ис-
используя действительные проективные преобразования. Все кубические
кривые с точкой возврата, в сущности, эквивалентны у2 = ж3, а все
с двойной точкой эквивалентны у2 = х2(х + 1), тогда как различие
между несингулярными типами исчезает над комплексными числами,
где, как мы сегодня знаем, все они эквивалентны торам С/Л. Зада-
Задача, которая остается: принять решение о проективной эквивалентности
среди несингулярных кубических кривых. Салмон A851) показал, что
это определяется некоторым комплексным числом т, которое следует
вычислять из уравнения кривой. Он определил т геометрически, так
что его проективная инвариантность была очевидной, без мысли об эл-
эллиптических функциях. Но т оказалось ничем иным, как ш\/ш2, что
означает, что две несингулярные кубические кривые проективно экви-
эквивалентны тогда и только тогда, когда решетки их периодов Л имеют
одинаковый вид.
Упражнения
Строго говоря, отношение т = ш\/ш2 определяет только вид парал-
параллелограмма с вершинами 0,u>i,u>2 и ш\ + ш2.
16.5.1 Объясните, каким образом и угол между двумя смежными сто-
16.108. Эллиптические кривые
303
ронами этого параллелограмма, и отношение между их длинами,
молено извлечь из г =
Решетку периодов
Л = {muJi + пи>2 '¦ тп,п ? Z}
можно рассматривать как множество вершин в мозаичном покрытии
плоскости копиями этого параллелограмма, как на рисунке 16.2. Од-
Однако бесконечное множество параллелограммов различного вида дает
ту же Л. Таким образом, не следует принимать только одно число т,
чтобы охарактеризовать вид Л.
16.5.2 Покажите, что Л также молено покрыть копиями параллелограмма
с видом, заданным г + 1.
16.5.3 В более общем смысле, покажите, что Л молено генерировать лю-
любыми двумя ее элементами ш[ = aui\ + Ъи)ч и ш2 = cui\ + а\)ч при
условии, что ad—be = ±1. Подсказка: Запишите произведение мат-
матриц, преобразующих вектор-столбец {ш\,ш2) в (ш^ш^) и обратно
в (ш\,ш2), и возьмите его детерминант.
16.5.4 Выведите из упражнения 16.5.3, что решетка Л = {muji + nui^ :
m,n G Z} имеет вид, который характеризуется целым семейством
комплексных чисел
ст + а
, где т = — и а, о, с, а — целые числа при аа — be = ±1.
Имеются функции комплексной переменной г, которые зависят
только от решетки Л, и, следовательно, принимают то же самое значе-
значение для каждого числа (аг+6)/(сг+с?) характеризующего вид решетки.
16.5.5 Рассмотрите д2 и дз из раздела 16.4, которые очевидным обра-
образом являются функциями д2(А) и дз(А) решетки Л. Покажите, что
как дЦд1, так и дЦ{д\ - 27gf) — функции г.
Последняя функция есть ничто иное как известная модулярная
функция, упомянутая в разделе 6.7 в связи с решением уравнения пятой
степени. Более подробную информацию об ее удивительных свойствах
см. МакКин и Молл A997).
304
Глава 16
16.109. Униформизация
Характеристика несингулярных кубических кривых, которая до-
допускает их параметризацию эллиптическими функциями, — это их то-
топологическая форма. Оба периода соответствуют обоим по существу
различным контурам вокруг тора (рисунок 16.1).
Представление значений хну на кривой одновременными функци-
функциями единственного параметра z иногда называется равномерным пред-
представлением, и поэтому задача параметризации всех алгебраических
кривых таким образом получила известность как задача униформиза-
униформизации. Как только был понят эллиптический случай, стало ясно, что ре-
решение задачи униформизации для произвольных алгебраических кри-
кривых будет зависеть от лучшего понимания поверхностей: их топологии,
периодичностей, связанных с их замкнутыми кривыми, и способа, ко-
которым эти периодичности молено отразить в С. К решению этих задач
первыми приступили Пуанкаре и Клейн в 1880-х гг., и их труд привел
к окончательному положительному решению задачи униформизации
Пуанкаре A907) и Кебе A907).
Однако еще более важной, чем решение этой единой задачи, бы-
была удивительная сходимость идей в предварительной работе Пуанка-
Пуанкаре и Клейна. Они открыли, что кратные периодичности отражались
в С группами преобразований, и, что рассматриваемые преобразования
были простого типа z ь-» {az + b)/cz + d), который называется дробно-
линейным. Дробно-линейные преобразования обобщают линейные пре-
преобразования z ь-!¦ z + u>i, z ь-!¦ z + и>2, естественным образом связан-
связанные с периодами эллиптических функций. Однако, хотя преобразова-
преобразования z ь-» z+uji, z ь-» z-\-ul>2 алгебраически и геометрически прозрачны, —
они коммутируют, и они порождают общие преобразования z ь-» z +
+ тош1 -\-nuJ2, которые просто являются переносами плоскости, — более
общие дробно-линейные преобразования понять не так легко. Дробно-
линейные преобразования обычно не коммутируют, и овладение ими
требует осознания алгебраических, геометрических и топологических
аспектов.
Оказалось, что одновременное представление чрезвычайно плодо-
плодотворно в развитии теории групп и топологии, как мы увидим в гла-
главах 19 и 22. Геометрии также придали новое дыхание, когда Пуанкаре
A882) открыл, что дробно-линейные преобразования дают естествен-
естественную интерпретацию неевклидовой геометрии, области, которая до тех
пор была диковинкой на окраинах математики. В следующих двух гла-
16.110. Биографические заметки: Лагранж и Коши
305
вах мы посмотрим на истоки неевклидовой геометрии и увидим, как
с помощью открытия Пуанкаре преобразился предмет.
Упражнения
Первый пример периодичности в условиях дробно-линейных пре-
преобразований за пределами эллиптических функций виден в модулярной
функции, выведенной в предыдущем наборе упражнений. Оказывает-
Оказывается, что периодичность модулярной функции может порождаться двумя
преобразованиями: гиг+1иги —1/z.
16.6.1 Проверьте, что
ваний
az + с
г^ —1
сг + а
— 1/z находятся среди преобразо-
преобразо, где a, b,c,d — целые числа при ad — be = ±1.
16.6.2 Покажите, что преобразования
руют.
- 1/z не коммути-
коммути16.6.3 Покажите, что игнг+^иги ~^-/z отображают полуплос-
полуплоскость {1тг > 0} на себя, и, что z ь-» —1/z перестанавливает вну-
внутреннюю и внешнюю части единичного круга.
16.110. Биографические заметки: Лагранж и Коши
Жозеф Луи Лагранж (рисунок 16.4) родился в Турине в 1736 году
и умер в Париже в 1813 году. Он был старшим из 11 детей Джузеппе
Лагранжа, казначея Канцелярии Общественных работ в Турине, и Те-
Терезы Гроссо, дочери врача, члена богатой семьи Конти. Несмотря на
происхождение, семья Лагранжа была малообеспеченной, так как его
отец совершил несколько неразумных финансовых спекуляций. В ко-
конечном итоге, Лагранж оценил потерю шанса стать богатым бездель-
бездельником, сказав: «Если бы я унаследовал состояние, я, вероятно, не раз-
разделил бы свою судьбу с математикой».
Рисунок 16.4: Жозеф Луи Лагранж
Его доблесть в математике развивалась с удивительной скоростью,
после того как он впервые в 1753 году, в возрасте 17 лет, столкнул-
столкнулся с исчислением. К 1754 году он писал Эйлеру о своих открытиях,
и в 1755 году его назначили профессором в Королевскую артиллерий-
артиллерийскую школу в Турине. Уже в 1756 году ему предложили превосходную
306
Глава 16
должность в Пруссии, но он был слишком застенчив, или ему не хоте-
хотелось покидать дом, чтобы ее принять. По мере роста своей репутации,
он также завоевал поддержку Даламбера. Когда в 1766 году Эйлер
уехал из Берлина, Даламбер договорился, чтобы Лагранж занял место
Эйлера. В 1767 году, возможно скучая по обществу своей семьи в Ту-
Турине, Лагранж женился на своей кузине Виттории Конти. В письме
к Даламберу в 1769 году он сказал, что выбрал жену, «которая была
одной из моих милых кузин, и, которая даже жила долгое время с мо-
моей семьей, она очень хорошая хозяйка, и совсем не имеет претензий»,
добавив, что у них нет детей, и они не хотят их иметь.
Вопреки такому неблестящему началу, и плохому здоровью как Ла-
гранжа, так и его жены, с годами брак укрепился. Лагранж ухаживал
за Витторией, когда ее здоровье ухудшилось, и был убит горем, когда
в 1783 году она умерла. Он впал в глубокую депрессию по поводу своей
работы и будущего самой математики, написав Даламберу: «Я не могу
сказать, что я по-прежнему буду заниматься математикой еще 10 лет.
Мне также кажется, что моя уже слишком глубока, и если не откро-
откроются новые жилы, ее следует оставить». Незадолго до этого Лагранж
завершил один из своих величайших трудов Mecanigue analytigue, но
когда из типографии ему принесли экземпляр этой книги, он оставил
его на столе, не открыв.
В 1786 году умер Фридрих II, и положение Лагранжа в Берлине
стало менее надежным. Получив несколько предложений из Италии
и Франции, в 1787 году он принял должность в Парижской Академии.
Перемена обстановки ощутимо не оживила его дух или энтузиазм к ма-
математике. Хотя всегда желанный гость на общественных и научных со-
собраниях, он всегда был вежливо невозмутимым, симпатичным, но ни
во что не вмешивался. По крайней мере, о его невозмутимости молено
сказать, что она дала ему возможность выжить во время революции
1789 года, которая отняла лсизни у его более вовлеченных в политику
друзей, Кондорсе и Лавуазье. Революция, на самом деле, разбудила
в Лагранже некоторую активность. В 1790 году он стал членом ко-
комиссии по мерам и весам, которая ввела метрическую систему, ныне
повсеместно используемую в науке. Интересный взгляд на математи-
математику во время революции, в форме «дискуссии группы специалистов»,
Лагранжа, Лапласа и представителей студенческой аудитории, можно
найти у Дедрона и Итара A973), стр. 302-310.
В 1792 году Лагранж женился на Рене-Франсуазе-Аделаиде Лемо-
нье, молодой дочери своего коллеги-астронома. Оживился его интерес
к лсизни и математике, и далее после семидесяти лет он сделал несколь-
16.110. Биографические заметки: Лагранж и Коши
307
ко блестящих вкладов в небесную механику, которую он включил во
второе издание Mecanigue analytigue. Когда в 1813 году он умер, его
похоронили в Пантеоне, в Париже.
Лагранж известен бескомпромиссно формальным подходом к ана-
анализу и механике. Он рассматривал все функции как степенные ряды
и пытался свести всю механику к анализу таких функций, без исполь-
использования геометрии. Он гордился тем, что Mecanigue analytigue не со-
содержала графиков. Его страх, что математику следовало бы оставить,
«если не будут открыты новые жилы», был, конечно, необоснован, но
понятен, как признание ограничений его собственного подхода. Вели-
Великие успехи анализа девятнадцатого века обязаны, больше, чем чему-
нибудь другому, воскрешению геометрии. В частности, собственный
взгляд Лагранлса на функции как на степенные ряды стал доступен для
понимания только в области комплексных функций, когда она возник-
возникла из геометрической теории комплексного интегрирования, открытого
Гауссом и Коши.
Огюстен-Луи Коши (рисунок 16.5) родился в Париже в 1789 году,
через несколько недель после штурма Бастилии, но он был всем, чем
угодно, но только не дитем революции. Его отец, Луи-Франсуа, был
юристом и правительственным чиновником, который вместе со своей
лсеной, Марией-Мадаленой Дезестр, спасся бегством из Парилса во вре-
время террора. Огюстен-Луи был первым из их шести детей. На протяже-
протяжении всей лсизни Коши был вынужден придерлсиваться крайних антире-
антиреволюционных и пророялистских взглядов. Семья поселилась в деревне
Аркюей, и Коши получил свое первое образование у отца. Он также
извлек пользу из общения с известными учеными, которые приезжа-
приезжали навестить Лапласа, который был их соседом. Говорят, что Лагранж
предсказал, будто Коши станет научным гением, но посоветовал его
отцу не показывать ему книги по математике, пока ему не исполнится
17 лет.
Рисунок 16.5: Огюстен-Луи Коши
В конце восемнадцатого века к власти пришел Наполеон, отец Ко-
Коши вернулся на правительственную службу, и семья переехала обрат-
обратно в Париж. В средней школе, которую он закончил в 1804 году, Ко-
Коши сосредоточился на классических дисциплинах, но затем устремился
к научной карьере. В 1805 году он поступил в Политехническую шко-
школу, в 1807 году перевелся в Школу Мостов и около 1809 года начал
работать инженером. В 1810 году он поехал в Шербур помочь в строи-
строительстве военно-морской базы Наполеона, увозя с собой, как говорили,
Mecanigue celeste Лапласа и Traite des functions analytigue Лагранжа.
308
Глава 16
Его первой значительной математической работой было решение
задачи, поставленной перед ним Лагранжем: показать, что любой вы-
выпуклый многогранник — неизгибаем. (Точнее, показать, что двугран-
двугранные углы выпуклого многогранника однозначно определяются его гра-
гранями.) Доступное доказательство этого результата, который заслужи-
заслуживает большей известности, есть у Люстерника A966). Теорема Коши
частично разрешила догадку Эйлера, что любая замкнутая поверх-
поверхность — неизгибаема, и была, фактически, лучшим полученным поло-
положительным результатом, так как Коннелли A977) нашел невыпуклый
многогранник, который не был неизгибаемым. Второе важное откры-
открытие Коши — его доказательство, в 1812 году, гипотезы Ферма, что вся-
всякое целое число — это сумма, самое большее, п n-угольных чисел (см.
раздел 3.2).
Интегральная теорема Коши, представленная во Французскую
Академию в 1814 году, перенесла его в основное течение математики.
Ему также удалось захватить политический прилив, который опять
становился роялистским, и он стал членом Академии, когда в 1816 го-
году оттуда изгнали несколько республиканцев. В то лее время он стал
профессором в Политехнической школе, где в 1820-х гг. увидел публи-
публикацию своих классических текстов по анализу, а также одного из своих
самых важных творений, теории упругости. Он также добился допол-
дополнительных кафедр в Сорбонне и Коллелс де Франс. Он и Алоиз де Бюр
поженились в 1818 году, и у них было две дочери.
Бархатная революция 1830 года, которая заменила Карла X Бурбо-
Бурбона королем Луи-Филлипом Орлеанским, была с точки зрения Коши ка-
катастрофой. Из принципов, которые были странными, хотя непременно
твердо соблюдались, Коши отказался присягнуть на верность новому
королю. Это означало, что он должен был отказаться от своих кафедр,
но Коши пошел еще дальше — он оставил свою семью и последовал
за прежним королем в изгнание. Он не возвращался в Париж до 1838
года, и прошло еще 10 лет, прежде чем он снова получил одну из своих
прежних кафедр. Нелепо, но за это ему следует благодарить револю-
революцию, потому что она аннулировала присягу на верность. Он вернулся
в Сорбонну, и устойчивый поток математических статей не прекращал-
прекращался до самой смерти в 1857 году.
Глава 17
Дифференциальная геометрия
17.111. Трансцендентные кривые
В главе 9 мы видели, что развитию исчисления в семнадцатом
веке значительно способствовали задачи в геометрии кривых. Диф-
Дифференцирование выросло из методов построения касательных, а инте-
интегрирование выросло из попыток найти площади и длины дуг. Исчисле-
Исчисление не только открыло секреты классических кривых и алгебраических
кривых, определенных Декартом; оно также расширило понятие самой
кривой. Как только появилась возможность с точностью оперировать
наклонами, длинами и площадями, также появилась возможность ис-
использовать эти величины для определения новых, неалгебраических
кривых. Именно эти кривые Декарт назвал «механическими» (разде-
(разделы 7.3 и 13.3), а Лейбниц «трансцендентными». В противоположность
алгебраическим кривым, которые молено было изучать в некоторой
глубине чисто алгебраическими методами, трансцендентные кривые
были неотделимы от методов исчисления. Поэтому неудивительно, что
новая совокупность геометрических идей, идей «бесконечно малых»
или дифференциальной геометрии, сначала возникла из исследования
трансцендентных кривых.
Еще более удивительным побочным продуктом трансцендентных
кривых было первое решение старой задачи о длине дуги. Задачу впер-
впервые поставили для алгебраической кривой, круга, греки, и в этом слу-
случае она эквивалентна задаче о площади («квадратуре круга»), посколь-
поскольку и площадь, и длина дуги круга зависят от оценки числа тг. Как
мы знаем, тг — это трансцендентное число (раздел 2.3), поэтому зада-
задача о длине дуги круга не имеет решения посредством элементарных
средств, которые признавали греки. Первая кривая, длину дуги ко-
которой смогли найти с помощью элементарных средств, была открыта
Гарриотом около 1590 года. Эта кривая, определенная полярным урав-
уравнением
кв
310
Глава 17
17.111. Трансцендентные кривые
311
известна как логарифмическая или равноугольная спираль.
Гарриот не знал показательной функции, а кривую знал лишь по
ее свойству равноугольности, которое заключается в том, что касатель-
касательная образует постоянный угол ф (зависящий от к) с радиус-вектором.
[Спираль появилась в его исследованиях по навигации и картографи-
картографическим проекциям (раздел 16.2) как проекция локсодромы на сферу
(рисунок 17.1). Локсодрома — это кривая, которая пересекает мери-
меридианы с постоянным углом; на практическом языке, она представляет
курс корабля, плывущего в заданном компасом направлении.]
Рисунок 17.1: Локсодрома и ее проекция
Не имея инструментов исчисления, Гарриот вынужден был пола-
полагаться на остроумную геометрию и простую аргументацию о пределах.
Его построение проиллюстрировано на рисунке 17.2 [из Лоне A979),
с. 273]. Спираль с углом 55° аппроксимируется многоугольником со сто-
сторонами si, S2, S3, ¦ ¦., которые дают треугольники Т\, Т2, Тз,..., если их
связать с началом отсчета р. Т\, Т2, Тз,... можно снова собрать, чтобы
образовать треугольник АВТ, площадь которого, поэтому, равняется
площади спирали (когда складываются друг с другом площади пере-
перекрывающихся витков). К тому же
ВТ + ТА = Si + S2 + S3
= длине спирали.
Когда выполняется аппроксимация с более короткими сторонами s[ ,s'2,s'3,...,
но в остальном таким же образом, в результате имеем mom же са-
самый треугольник АВТ: равнобедренный треугольник с основанием а
и углами при основании 55°. Следовательно, мы также нашли длину
и площадь гладкой кривой.
Рисунок 17.2: Построение площади спирали
Работа Гарриота не была опубликована, и длину дуги равноуголь-
равноугольной спирали заново открыл Торричелли A645). Постепенно задачу о
длине дуги стали понимать более систематически, как задачу инте-
интегрирования, хотя, как правило, довольно трудно разрешимую. Первым
решением для алгебраической кривой было решение для «полукуби-
«полукубической параболы» у2 = х3 Нейла и Гейрэта в 1657 году. Вскоре после
этого Рен решил задачу для циклоиды, и его решение было приведено
Валлисом A659). Замечательная особенность результата Рена заклю-
заключалась в том, что длина одной дуги циклоиды — рациональное кратное
(а именно, 4) диаметра образующего круга.
Как говорилось в разделе 13.3, другие необычные свойства цикло-
циклоиды связаны с механикой, одно из них будет вновь интерпретировано
геометрически в следующем разделе. Одна трансцендентная кривая,
которую мы не обсуждали в связи с механикой, — трактриса Нью-
Ньютона A676b). Ньютон определил эту кривую по свойству, что длина
ее касательной от точки касания до ж-оси постоянна (рисунок 17.3).
Отсюда следует, что кривая удовлетворяет
ds
dy2, молено ре-
где s обозначает длину дуги. Используя ds = у dx2
шить это дифференциальное уравнение, чтобы дать
= a loo
уравнение для данной кривой Гюйгенса A693b) на более геометри-
геометрическом языке. Гюйгенс указал, что кривую молено интерпретировать
как траекторию камня, пущенного тетивой длины а (отсюда название
«трактриса»). Поэтому трактриса тоже имеет некоторое механическое
значение. Действительно, ее молено построить на основе известной ме-
механической кривой, цепной линии, методом, который мы рассмотрим
в следующем разделе. Однако, ее важнейшая роль заключалась в об-
образовании псевдосферы, поверхности, обсуждаемой в разделе 17.4.
Рисунок 17.3: Трактриса
Упражнения
Длина дуги у2 = х3 сегодня — довольно рутинное упражнение
г L (dy\2 J
с интегралом длины дуги / \ /1 + — ах.
J у \dxJ
17.1.1 Покажите, что длина дуги у = х3/2 между О и х = а есть
Таким лее образом, нам легко вывести свойства логарифмической
спирали из ее полярного уравнения и знания показательной функции.
312
Глава 17
17.1.2 Покажите, что логарифмическая спираль самоподобна. То есть,
увеличение г = екв на множитель то до г = текв дает кривую,
которая конгруэнта исходной (действительно, она получается в ре-
результате вращения исходной).
Якоб Бернулли был столь поражен этим свойством логарифмиче-
логарифмической спирали, что он завещал выгравировать спираль на своем надгро-
надгробии с девизом: Eadem mutata resurgo («Хотя измененная, воскресаю
вновь такая же»). [См. Якоб Бернулли A692), с. 213.]
17.1.3 Выведите свойство равноугольности логарифмической спирали из
ее самоподобия.
Уравнение трактрисы, приведенное выше, можно вывести следую-
следующим образом.
17.1.4 Объясните, почему свойство постоянства касательной означа-
dv у _. Js
ет -j- = ^, затем умножьте обе части этого уравнения на ^р =
и сделайте вывод, что
dx
dy
fa2-у2
17.1.5 Проверьте с помощью дифференцирования, что х = a log
У
— у2 удовлетворяет дифференциальному уравнению, най-
найденному в упражнении 17.1.4, а также покажите, что х имеет под-
подходящее значение, когда у = а.
17.112. Кривизна плоских кривых
Одна из самых важных идей в дифференциальной геометрии —
идея о кривизне. Развитие этой идеи от кривых до поверхностей, за-
затем до пространств более высокой размерности, имело много важ-
важных последствий для математики и физики, среди них внесение ясно-
ясности как в математическое, так и физическое значение «пространства»,
«пространства-времени» и «гравитации». В этом разделе мы бросим
17.112. Кривизна плоских кривых
313
взгляд на начала теории кривизны в теории кривых семнадцатого века.
Та теория, которая здесь обсуждается, касается только плоских кри-
кривых; пространственные кривые предполагают дополнительное рассмот-
рассмотрение кручения (скручивания), которым мы не будем заниматься.
Точно так лее, как направление кривой С в точке Р определяется
аппроксимацией ее прямой линии, то есть, касательной, в Р, кривиз-
кривизна С в Р определяется аппроксимирующим кругом. Ньютон A665с)
первым выделил круг, который определяет кривизну: круг, проходя-
проходящий через Р, центр которого, R, является предельным положением пе-
пересечения нормали, проходящей через Р, и нормали, проходящей через
близкую точку Q на кривой (рисунок 17.4). R называется центром кри-
кривизны, RP = р — радиусом кривизны и 1/р = к — кривизной. Отсюда
следует, что круг радиуса г имеет постоянную кривизну 1/г. Еще одна
кривая постоянной кривизны — прямая линия, которая имеет кривиз-
кривизну 0. Это следствие формулы кривизны, открытой Ньютоном A671):
Р =
jdy/dxJ}3/2
d2/dx2
Рисунок 17.4: Нормали, проходящие через близкие точки на кри-
кривой
Между кривой С и геометрическим местом С" центра кривизны С
есть интересная зависимость. С — это так называемая эвольвента С,
которая, интуитивно говоря, является путем конца участка струны, ко-
когда ее раскручивают от С" (рисунок 17.5). Интуитивно понятно, что Q,
конец струны, незамедлительно движется в круге с центром в Р, точке,
где струна касательна к С".
Рисунок 17.5: Построение эвольвенты
Геометрическое свойство циклоиды, которое Гюйгенс A673) ис-
использовал для разработки циклоидального маятника (раздел 13.3), те-
теперь молено понимать просто: эвольвента циклоиды является еще од-
одной циклоидой. Два других ошеломляющих результата об эвольвенте
получены братьями Бернулли. Якоб Бернулли A692) нашел, что эволь-
эвольвентой логарифмической спирали является еще одна логарифмическая
спираль, а Иоганн Бернулли A691) нашел, что трактриса является
эвольвентой цепной линии.
Еще одно полезное и интуитивное определение кривизны, которое
оказывается эквивалентным предыдущему, дано Кэстнером A761). Он
определил кривизну как скорость, с которой поворачивается касатель-
касательная, то есть, dO/ds = lira^x^o(Ae/As), где А.6 — угол мелсду каса-
314
Глава 17
тельными в точках, разделенных дугой кривой длины As. Из этого
определения следует, что /^ nds = 2тг для простой замкнутой кри-
кривой "ё', поскольку касательная делает один полный поворот на контуре
вокруг "ё'. В разделе 17.6 мы увидим, что этот результат имеет очень
интересное обобщение для кривых на неплоских поверхностях.
Упражнения
Несмотря на сложность формулы кривизны Ньютона, она доста-
достаточно легка, чтобы ее решить для у, когда кривизна нулевая.
17.2.1 Используйте формулу, чтобы показать, что к = 0 означает: у —
линейная функция х.
17.2.2 Покажите, что dd/ds = 1/г для круга радиуса г и сделайте вывод,
что dd/ds = к для любой кривой.
Описание трактрисы как эвольвенты цепной линии удобно для изу-
изучения псевосферы. Поэтому в следующих упражнениях мы определяем
несколько шагов в этом подходе. Теперь считается, что кривая С" на
рисунке 17.5 — цепная линия у = chx, которая пересекает у-ось в точ-
точке S, где у = 1.
17.2.3 Используя интеграл длины дуги на цепной линии у = chx меж-
между 5* = @,1) и Р = (<т, chcr) покажите, что
длина дуги PS = sha = PQ.
17.2.4 Найдите также уравнение касательной Р и используйте его, чтобы
показать, что R = (а — ether, 0). Затем используйте значение PQ,
чтобы показать, что
QR =
1
1
shcr PQ'
17.2.5 Наконец, снова используйте длину PQ, чтобы показать, что Q =
= (а — th a, sech a), и показать, что параметрические уравнения
трактрисы С,
х = а — th а, у = sech а,
имеют следствием декартово уравнение трактрисы (при а = 1)
х = log ¦
17.113. Кривизна поверхностей
315
17.113. Кривизна поверхностей
Первый подход к определению кривизны в точке Р поверхности S
в трехмерном пространстве должен был выражать ее на основе кри-
кривизны плоских кривых, рассматривая сечения S плоскостями, прохо-
проходящими через нормаль в Р. Конечно, другие плоскости, нормальные
поверхности в Р, могли разрезать поверхность совершенно другими
кривыми, с другой кривизной, как показывает пример цилиндра (ри-
(рисунок 17.6).
Рисунок 17.6: Сечения цилиндра
Однако среди этих кривых одна будет максимальной кривизны
и одна минимальной кривизны (которая может быть отрицательной,
поскольку мы присваиваем кривизне знак соответственно стороне, на
которой лежит центр кривизны). Эйлер A760) показал, что эти две
кривизны «1 и «2, которые называются главные кривизны, встречают-
встречаются в перпендикулярных сечениях, и, что вместе они определяют кри-
кривизну к в сечении под углом а к одному из главных сечений через
к = к\ cos2 a + «2 sin2 a.
Вот как далеко можно дойти до тех пор, пока кривизна поверхно-
поверхностей подчинена кривизне плоских кривых. Более глубокая идея при-
пришла Гауссу в процессе его работы в геодезии (съемка и составление
карт): кривизна поверхности может быть определима внутренне, то
есть, с помощью измерений, которые полностью происходят на поверх-
поверхности. Кривизна Земли, например, был известна на основе измерений,
сделанных исследователями и геодезистами, а не (во времена Гаусса)
осмотром ее из космоса. Гаусс A827) сделал выдающееся открытие,
что величину «i«2 можно определить внутренне, и, следовательно, она
может служить внутренней мерой кривизны. Он был так горд этим
результатом, что назвал его theorema egregium (отличной теоремой).
Отсюда следует, в частности, что на «i«2, которая называется гауссо-
гауссовой кривизной, не влияет изгибание (без сминаемости и растягивания).
Плоскость, например, имеет «i = «2 = 0 и, поэтому, нулевую гаус-
гауссову кривизну. Следовательно, любая поверхность, полученная изги-
изгибанием плоскости, такая как цилиндр, тоже. В этом случае мы можем
проверить theorema egregium потому что одна из главных кривизн ци-
цилиндра явно нулевая.
О поверхностях 5*1, 5*2, полученных друг из друга с помощью изги-
изгибания, говорят, что они изометричны. Точнее, 5*1 и 5*2 изометричны,
316
Глава 17
если между точками Pi в 5*1 и точками Рг в 5*2 есть взаимно однознач-
однозначное соответствие, так что
расстояние между Pi и Р[ в 5*1 = расстоянию между Рг и Р^ в 5*2,
где расстояния измеряются внутри соответствующих поверхностей.
Тогда более точная формулировка theorema egregium: если 5*1, 5*2 изо-
метричны, то 5*1, 5*2 имеют одинаковую гауссову кривизну в соответ-
соответствующих точках. Обратное утверждение неверно: существуют поверх-
поверхности 5*1, 5*2, которые не изометричны, даже если между ними есть вза-
взаимно однозначное (и непрерывное) соответствие, при котором гауссова
кривизна одинакова в соответствующих точках. Пример дан у Штру-
бекера A964, т. 3, с. 121), включая поверхности непостоянной гауссовой
кривизны.
Для поверхностей постоянной гауссовой кривизны между изомет-
рией и кривизной есть лучшее согласие, как мы увидим в следующем
разделе. С этого момента, если не задано иное, «кривизна» будет озна-
означать гауссову кривизну.
17.114. Поверхности постоянной кривизны
Простейшая поверхность постоянной положительной кривизны —
это сфера радиуса г, которая во всех точках имеет кривизну 1/г2. Дру-
Другие поверхности кривизны 1/г2 можно получить изгибанием частей
сферы; однако все такие поверхности имеют либо края, либо точки,
которые не являются гладкими, как доказано Гильбертом A901). Плос-
Плоскость, как мы наблюдали, имеет нулевую кривизну, и все поверхности,
полученные изгибанием плоскости или ее частей, тоже.
Остается исследовать, есть ли поверхности постоянной отрица-
отрицательной кривизны. В обыкновенном пространстве такая поверхность
имеет главные кривизны противоположного знака в каждой точке, ко-
которые придают ей внешний вид седла (рисунок 17.7). Число поверх-
поверхностей постоянной отрицательной кривизны дано Миндингом A839).
Самая известная из них — псевдосфера, поверхность вращения, полу-
полученная вращением трактрисы вокруг ж-оси (рисунок 17.8). Эту поверх-
поверхность исследовал еще в 1693 году Гюйгенс, который нашел площадь ее
поверхности, которая конечна, а также объем и центр массы твердого
тела, которое она окружает; он также конечен [Гюйгенс A693а)].
Рисунок 17.7: Седло
Рисунок 17.8: Псевдосфера
17.114. Поверхности постоянной кривизны
317
Псевдосфера в некоторых отношениях — двойник цилиндра отри-
отрицательной кривизны, и, следовательно, молено поинтересоваться, есть
ли поверхность постоянной отрицательной кривизны, которая больше
похолса на плоскость. Гильберт A901) доказал, что в обыкновенном
пространстве гладкой неограниченной поверхности постоянной отри-
отрицательной кривизны нет, поэтому это исключает плоскообразные по-
поверхности, а также объясняет «край» на псевдосфере. Молено, одна-
однако, получить «плоскость» отрицательной кривизны, введя в евклидо-
евклидову плоскость нестандартное понятие длины. Это открытие Бельтрами
A868а) обсуждается в следующей главе, наряду с другими следствиями
отрицательной кривизны для неевклидовой геометрии.
Некоторое представление об этих геометрических следствиях моле-
молено также получить, если мы вернемся к вопросу, изометричны ли по-
поверхности 5*1, 5*2 равной кривизны. Далее при постоянной кривизне, это
все лее неверно, поскольку плоскость не изометрична цилиндру. Истина
есть, тем не менее, в том, что любую достаточно малую часть плос-
плоскости молено изометрично отобразить в любую часть цилиндра. Мин-
динг A839) показал, что аналогичный результат верен для любых двух
поверхностей 5*1, 5*2 одинаковой постоянной кривизны. Полагая 5*1 =
= 5*2, этот результат молено интерпретировать как: в пределах 5*1 воз-
возможно движение твердого тела; тело внутри 5*1 можно переместить,
без какого-либо слеатия или растялеения, в любую часть Si, достаточ-
достаточно большую, чтобы его вместить. Последнее ограничение обязательно,
например, для псевдосферы, поскольку она становится неопределенно
узкой по мере того, как х —» оо.
Возмоленость двилеения твердого тела была фундаментальной в ев-
евклидовой геометрии поверхности, и с открытием кривых поверхностей,
которые поддерживали возмоленость двилеения твердого тела, евклидо-
евклидову геометрию молено было считать частным случаем, — случаем нуле-
нулевой кривизны, — чего-то большего. Более широкое понятие геометрии
на поверхности начинает принимать определенную форму, как только
получаешь понятие подходящей «прямой линии». Это становится оче-
очевидным в следующей главе.
Упражнения
Построение трактрисы как эвольвенты цепной линии в разделе 17.2
дает замечательное постилеение двух главных кривизн псевдосферы.
17.4.1 Интерпретируя PQ на рисунке 17.5 как радиус кривизны трактри-
318 Глава 17
сы, и, следовательно, как кривизну сечения псевдосферы, предло-
предложите интерпретацию QR как радиуса кривизны.
17.4.2 Допуская, что PQ и QR, фактически, являются главными радиу-
радиусами кривизны, выведите из упражнения 17.2.4, что
гауссова кривизна псевдосферы в любой точке = — 1.
17.115. Геодезические линии
«Прямую линию», или геодезическую, как ее называют, можно
определить эквивалентно свойству кратчайшего расстояния или свой-
свойству нулевой кривизны. Определение кратчайшего расстояния исто-
исторически было первым, даже если оно математически глубже, и при
условии неудобства, что геодезическая линия не обязательно кратчай-
кратчайший путь между двумя точками. На сфере, например, между двумя
близкими точками Pi, Р^ есть две геодезические линии: меньшая часть
и бблыная часть большого круга, проходящие через Р\,Р2- Мы мо-
можем охватить обе, сказав, что геодезическая дает кратчайшее расстоя-
расстояние между любыми двумя ее точками, которые находятся достаточно
близко друг от друга. Говоря о кратчайшем расстоянии, даже между
близкими точками Pi,Pj, по-прежнему имеем задачу вариационного
исчисления: какая кривая от Р; к Pj имеет минимальную длину. Тем
не менее, именно так впервые были определены геодезические линии,
Якобом и Иоганном Бернулли; и Эйлер A728а), исходя из этого подхо-
подхода, нашел дифференциальное уравнение для геодезических линий.
Более элементарный подход — определить геодезическую кривиз-
кривизну Kg в Р кривой С на поверхности S как обыкновенную кривизну ор-
ортогональной проекции С на касательную плоскость к S в Р. Как можно
ожидать, геодезическую кривизну также молено определить внутренне,
и этим путем Гаусс A825) ввел кд. Тогда геодезическая — это кривая
нулевой геодезической кривизны. Это определение Бонне A848).
Последнее определение непосредственно показывает, что большие
круги на сфере являются геодезическими линиями, поскольку их про-
проекции на касательные плоскости — прямые линии. Другие примеры —
горизонтальные линии, вертикальные круги и спирали на цилиндре
(рисунок 17.9). Все они получаются из прямых линий на плоскости, ко-
которая свертывается, чтобы образовать цилиндр. Не все геодезические
на псевдосфере и других поверхностях отрицательной кривизны столь
просты для описания. Однако, следующая глава показывает, что они
17.116. Теорема Гаусса-Вонне
319
становятся простыми, когда соответственно отображаешь поверхность
постоянной отрицательной кривизны на плоскость.
Рисунок 17.9: Геодезические на цилиндре
Упражнения
17.5.1 Являются ли круги на псевдосфере, в плоскостях, перпендикуляр-
перпендикулярным ее осям, геодезическими? Приведите качественную аргумен-
аргументацию, чтобы обосновать свой ответ.
Может быть, ответить на этот вопрос легче, если сначала рассмот-
рассмотреть конус, поверхность, которая также получается изгибанием плос-
плоскости. Во избежание беспокойства по поводу вершины, где конус не
гладкий, мы опускаем эту точку.
17.5.2 Покажите, что круги на конусе, в плоскостях, перпендикулярных
его осям, не являются геодезическими.
17.5.3 Покажите, что на конусе имеются негладкие геодезические, то
есть, кривые нулевой геодезической кривизны, кроме определен-
определенных точек, где они не имеют касательной.
17.116. Теорема Гаусса-Бонне
В разделе 17.2 мы заметили, что
к ds = 2тг
для простой замкнутой кривой ff в плоскости. Этот результат имеет
глубокое обобщение до кривых поверхностей, которое известно как те-
теорема Гаусса-Вонне. На кривой поверхности к должна быть заменена
геодезической кривизной кд, и теорема утверждает, что
кд ds = 2тг —
где А обозначает площади, и М — область, окруженную ^ [Бонне
A848)]. Сам Гаусс опубликовал только частный случай, или скорее пре-
предел частного случая, в котором ^ — геодезический треугольник. В этом
320
Глава 17
случае, конечно, кд = 0 вдоль сторон ^, и кд становится бесконечной
в углах. Округляя углы малыми дугами ds, видно (рисунок 17.10), что
Kgds^a' +/3' + 7',
где а',/3',У — внешние углы треугольника, и с&* — округленное при-
приближение к треугольнику <€.
Рисунок 17.10: Округление геодезического треугольника
Затем, допустив, что сторона округленных углов стремится к ну-
нулю, получаем
г
Kgds = a' + /3' + 7'
= Зтг- (а + C + -у),
где а, /3,7 — внутренние углы треугольника. Введя величину
(а + /3 + 7) -тг,
называемую угловым избытком треугольника (потому что обыкновен-
обыкновенный треугольник имеет сумму углов тг), мы имеем
кд ds = 2тг — угловой избыток,
и результат Гаусса A827) заключался в том, что
угловой избыток =
Мы видим, что интеграл гауссовой кривизны имеет более элемен-
элементарный геометрический смысл, чем кривизна «i, «2- Из этого ясно, что,
в сущности, Гаусс сначала подумал об угловом избытке, затем об ин-
интеграле кривизны, и только в последнюю очередь о самой кривизне.
Разложение на главные кривизны, вероятно, пришло позже, когда он
переработал свои геометрические идеи в аналитической форме, изме-
изменив в процессе этого порядок открытия на обратный. Домбровский
A979) сделал достоверную реконструкцию первоначального подхода,
используя ключи из неопубликованной работы Гаусса.
Роль углового избытка молено яснее увидеть в случае постоянной
кривизны «i«2 = с. В этом случае
угловой избыток = с х площадь М,
17.116. Теорема Гаусса-Вонне
321
поэтому угловой избыток дает меру площади, результат, о котором
Гаусс заявил в письме A846а), стал известен в 1794 году. Фактиче-
Фактически, частный случай этого результата для сферы был известен Томасу
Гарриоту в 1603 году [см. Лоне A979)]. Элегантное доказательство Гар-
риота протекает как следует ниже (см. рисунок 17.11).
Рисунок 17.11: Площадь сферического треугольника
Продолжение сторон треугольника ABC дает разбиение сферы
на четыре пары конгруэнтных, диаметрально противоположных тре-
треугольников (рисунок 17.11а). Мы обозначаем площадь ABC и диамет-
диаметрально ей противоположную А В'С за Да/з7. Три другие пары пред-
представляют площади Д„,Д/з,Д7, которые дополняют Аар1 в «слоях»
сферы углов а, [3,7; соответственно (рисунок 17.lib).
Поскольку площадь слоя — 2г2 умножить на угол, где г — радиус
сферы, мы имеем
Да/37 + Д« = 2г2а,
Да/37 + Ар = 2г2/9,
АаЛ1 + Д7 = 2г27,
откуда, сложением
ЗДа/37 + (Д« + Ар + Д7) = 2г2(а + /3 + 7).
С другой стороны,
2(Да/з7 + Аа + Ар + Д7) = площадь сферы = 4тгг2,
и подстановка этого в A) дает
A)
что и требовалось, поскольку 1/г2 = кривизне сферы.
Гаусса интересовала соответствующая величина этого результата
для отрицательной кривизны, в этом случае сумма углов треугольника
меньше тг, и мы скорее имеем угловой дефект, чем угловой избыток.
Его исследования в этом случае привели его не только к гауссовой кри-
кривизне, но также к неевклидовой геометрии.
Упражнения
На первых порах удивляет, что площадь сферы следует измерять
скорее углами, чем длинами. Однако, есть общие причины (не говоря
322
Глава 17
уже о теореме Гаусса-Бонне), почему площадь следует измерять угло-
угловым избытком, и эта идея подводит лишь тогда, когда угловой избыток
нулевой, то есть, в евклидовой плоскости.
17.7.1 Рассмотрим треугольник Д, расщепленный на два треугольни-
треугольника Дх и Дг линией, проходящей через вершину. Покажите, что
избыток(Д) = избыток(Д1) + избыток(Д2).
17.7.2 Выведите из упражнения 17.7.1, что если любой многоугольник П
расщеплен на треугольники Д;, то
избыток(П) = избыток(Д1) + избыток(Д2) + ...
Таким образом, функция углового избытка имеет то же свойство
аддитивности, что и функция площади. Можно показать, что любая
аддитивная функция, при условии, что она непрерывна, — постоянное
кратное площади [см. Бонола A912), с. 46].
17.117. Биографические заметки: Гарриот и Гаусс
Открытия Томаса Гарриота, описанные в этой главе, и последнее
из них, по-видимому, дают ему право на прочное место в истории ма-
математики, возможно, рядом с другими, кто сделал несколько сильных
вкладов, как, например с Дезаргом и Паскалем. К сожалению, место
Гарриота все еще не ясно. Оно было затемнено преувеличенными за-
заявлениями, сделанными почитателями семнадцатого и восемнадцато-
восемнадцатого века, и до недавних пор беспорядок и недоступность его бумаг за-
затрудняли проверку каких-либо утверждений. Кроме того, Гарриот был
очень скрытным человеком, и о его жизни известно немного. Он жил
в мире сэра Уолтера Рэлея, Кристофера Марлоу и Гая Фокса, зловещем
и пленительном мире, и, вероятно, считал, что скрытность была необ-
необходима ради выживания. В результате, наше современное понимание
Гарриота [см. биографию Шерли A983)] основано на скудном наборе
фактов о нем и на значительной экстраполяции из знаний его менее
осмотрительных современников.
Все, что мы знаем о ранней жизни Гарриота вытекает из записи
о его поступлении в Оксфордский университет в декабре 1577 года, где
утверждается, что тогда ему было 17 лет, и, что его отец был «плебе-
«плебеем». Единственная дополнительная информация о его семье встреча-
встречается в его завещании от 1621 года, где упоминаются сестра и кузина.
17.117. Биографические заметки: Гарриот и Гаусс
323
Представляется вероятным, что у него никогда не было детей, и он ни-
никогда не был женат. В Оксфорде Гарриот получил обычную степень
бакалавра в классических науках, но он, должно быть, отчасти позна-
познакомился с Евклидом и астрономией, которые предлагались кандидатам
на получение степени магистра. Он, наверное, слышал также о Ричарде
Гаклуите, авторе известных Voyages, который тогда как раз начинал
читать лекции о географии Нового Света, открытого мореплавателями
шестнадцатого века.
Вероятно, именно Гаклуит вдохновил Гарриота поехать в Лондон
в начале 1580-х гг. и разыскать сэра Уолтера Рэли. Рэли было тогда
около 30 лет, и он был самым влиятельным членом близкого круга ко-
королевы Елизаветы, исполненным грандиозными мечтами о богатстве
при помощи исследования. Гарриот, должно быть, произвел впечат-
впечатление на Рэлея своим пониманием математических задач навигации,
ибо около 1583 года он присоединился к домочадцам Рэли в качестве
наставника, при этом имел значительную свободу проводить свои соб-
собственные исследования. Гарриот проводил занятия по навигации как
часть подготовки Рэли к путешествию в Вирджинию в 1585 году, во
главе с сэром Ричардом Гренвиллем; это была первая попытка бри-
британского поселения в Новом Свете. Несмотря на то, что попытка была
безуспешной, она оказалась самым большим приключением в жизни
Гарриота. Он изучал языки и обычаи индейцев и написал книгу о по-
поселении под названием A Brief and True Report of the New Found Land
of Virginia (Краткий и истинный отчет о вновь найденной земле Вир-
Виргиния) A588), единственную из трудов Гарриота, опубликованную при
его жизни.
Имея Рэли в качестве покровителя, Гарриот был финансово защи-
защищен, и он оставался таковым в течение всей своей жизни. Однако, он
также был во власти политической удачи Рэли. К 1592 году, 40-летний
Рэли находил свою роль фаворита при почти 60-летней королеве все
в большей и большей степени утомительной, и он тайно женился на
одной из служанок королевы, Елизавете Трокмортон. Может быть, он
женился на ней еще в 1588 году, но, во всяком случае, тайна раскры-
раскрылась, когда леди Рэли в 1592 году родила сына, и Рэли был заклю-
заключен в лондонский Тауэр. Гарриот не пострадал из-за своего близкого
сотрудничества с Рэли, но через него он был связан с Кристофером
Марлоу, на сенсационном процессе последнего по обвинению в атеизме
в 1593 году.
Марлоу, драматург, вел тайную жизнь, занимаясь шпионажем
и другой неблаговидной деятельностью, и против него молено было
324
Глава 17
выдвинуть любое количество обвинений, хотя, какие из них истинные,
сейчас сказать невозможно. К несчастью для Гарриота, во втором об-
обвинении Марлоу против религии говорилось, что «Он утверждает, что
Моисей был никем иным как Фокусником, и, что некий Гериотс, буду-
будучи человеком сэра У. Рэли, может сделать больше, чем он». Вышло так,
что судебное преследование было прекращено из-за убийства Марлоу
во время ссоры в трактире, и Гарриота не вызывали давать показания,
но публично он остался под подозрением.
Гарриот не покинул Рэли, но он был достаточно благоразумен, что-
чтобы поискать другого покровителя, и он нашел такового в Генри Пер-
Перси, девятом графе Нортумберлендском. Генри, известный как «Граф-
Чародей», был другом Рэли, и, как и он, интересовался наукой и фи-
философией. В 1593 году он предоставил Гарриоту стипендию, которая
позлее должна была стать ежегодной пенсией в 80 фунтов. Эта сумма
вдвое превышала леалованье лучше всех оплачиваемых учителей того
времени, и она дала возможность Гарриоту содержать дом и слуг в соб-
собственности графа на Темзе вблизи Лондона. Этот дом, известный как
Сайон Хаус, оставался домом Гарриота и его лабораторией до конца
жизни.
Но Гарриот еще раз потерпел неудачу в выборе друзей. Кузен гра-
графа, Томас Перси, был тем человеком, который сдал подвалы под Па-
Палатами парламента в известном заговоре 5 ноября 1605 года с целью
взорвать черным порохом короля Якова I. Гарриота привлекли к след-
следствию и на короткое время заключили в тюрьму по подозрению, что он
тайно составил гороскоп короля. Черная магия вселяла ужас в Якова I,
и он огульно считал всех математиков астрологами и магами. В конце
концов, хотя против Гарриота свидетельств найдено не было, постра-
пострадал больше именно граф, который просидел в Тауэре с 1605 по 1621
год.
Тем временем, Рэли пришлось еще хуже. После нескольких сроков
в Тауэре, в 1616 году его освободили, чтобы он возглавил экспедицию
по поиску мифического города золота, Эльдорадо. После неудачного
завершения экспедиции Рэли вновь арестовали и казнили по старому
обвинению в измене от 1603 года. Один из немногих личных докумен-
документов, сохраненных Гарриотом, изложение речи Рэли, произнесенной пе-
перед казнью в 1618 году [см. Шерли A983), с.447].
Месяц спустя после смерти Рэли на небе появилась яркая комета,
и наблюдения Гарриота за ней были его последним значительным науч-
научным подвигом. В течение нескольких лет он страдал от мучительного
рака носа и, наконец, умер от него при поездке в Лондон в 1621 го-
17.117. Биографические заметки: Гарриот и Гаусс
325
ду. Его похоронили в церкви Святого Кристофера на Треднидл-стрит,
позлее уничтоженной во время великого пожара 1666 года. Это место
теперь — часть Банка Англии, где 2 июля 1971 года установлена точ-
точная копия оригинального памятника Гарриоту, в трехсотпятидесятую
годовщину его смерти.
Карл Фридрих Гаусс родился в Брауншвейге в 1777 году и умер
в Геттингене в 1855 году. Он был единственным ребенком Гебхарда
Гаусса и Доротеи Бенце, хотя у его отца был еще один сын от предыду-
предыдущего брака. Гебхард зарабатывал на жизнь, главным образом, трудом,
но он также немного занимался счетоводством, и говорят, что Гаусс
исправил ошибку в арифметике отца, когда ему было три года. (Здесь
следует иметь в виду, что истории о юности Гаусса рассказаны самим
Гауссом в зрелом возрасте, и в нескольких случаях есть основания пола-
полагать, что он был склонен преувеличивать свое раннее развитие.) Гаусс
не был близок со своим отцом, и считал, что свой гений унаследовал от
матери. Он пошел в школу в 1784 году, и его учитель Бюттнер вскоре
признал его способности и достал для него более сложные книги. По-
Помощник Бюттнера, Мартель Бартельс A769-1836), также уделял Гаус-
Гауссу особое внимание. Бартельс сам был начинающим математиком, ко-
который позлее стал профессором Казанского университета и учителем
Лобачевского (см. следующую главу).
Гаусс поступил в среднюю школу в 1788 году, и в 1791 году он
выиграл ежегодную субсидию от герцога Брауншвейгского, нечто вро-
вроде правительственной стипендии. Его также избрали для поступления
в Коллегиум Каролинум, новую научную академию для выдающихся
учащихся средней школы. В проведенные там годы, 1792-1795, Гаусс
изучил труды Ньютона, Эйлера и Лагранжа и начал свои собствен-
собственные исследования, в основном, численные эксперименты по таким ве-
вещам, как арифметически-геометрическое среднее. В 1795 году он уехал
из Брауншвейга, чтобы учиться в Геттингене, в соседнем государстве
Ганновер, которым тогда управлял король Англии Георг III. Герцог
предпочел бы, чтобы Гаусс остался в Брауншвейге и местном Хельм-
штедском университете, но, тем не менее, не прекратил финансовой
поддержки. Гаусс действительно выбрал Геттинген из-за его лучшей
библиотеки и позлее очень пренебрелеительно говорил о его профессоре
математики, Кэстнере. Это правда, что лучшие студенческие достиже-
достижения Гаусса, которые начались с построения им правильного 17-угольни-
ка (раздел 2.3) и достигли вершины в доказательстве основной теоремы
алгебры (раздел 14.7), затмевали достижения его учителей. Тем не ме-
менее, интересно, могло ли оказаться полезным Гауссу, когда он позлее
326
Глава 17
занялся дифференциальной геометрией, определение кривизны Кэст-
нера (раздел 17.2).
Гаусс вернулся в Брауншвейг в 1798 году и жил там до 1807 года.
Рисунок 17.12 — его портрет той поры, которая была самым счаст-
счастливым и плодотворным периодом его жизни. В 1801 году Гаусс опуб-
опубликовал свой великий труд о теории чисел, Disquisitiones arithmeticae
(Арифметические исследования), в том же году сделал ошеломляющее
вторжение в астрономию, предсказав положение малой планеты Цере-
Цереры, и в 1805 году женился на Иоганне Остгоф. В письме к своему другу
Фаркашу Бойяи в 1804 году, Гаусс был необычайно сердечен и открыт,
когда оно касалось Иоганны:
Прекрасное лицо мадонны, отражение спокойствия духа и здо-
здоровья, неясные, отчасти причудливые глаза, безупречная фи-
фигура — это одна сторона; яркий ум и развитой язык, это —
другая; но спокойная, безмятежная, скромная и чистая душа
ангела, который не может причинить вреда ни одному суще-
существу, — это лучшее.
[Перевод Кауфмана-Бюлера A981), с. 49]
Если бы только Иоганна прожила дольше, Гаусс мог бы стать со-
совершенно другим человеком. Но в 1809 году она умерла, вскоре после
того, как родила третьего ребенка. Этот удар опустошил Гаусса, и он
никогда не восстановил равновесия.
Менее чем через год после смерти Иоганны он женился на Минне
Вальдек, дочери профессора из Геттингена. В отличие от Иоганны,
которая была дочерью дубильщика, Минна имела общественное поло-
положение и претензии, которые вызывали у Гаусса беспокойство и смуще-
смущение. Например, вскоре после их помолвки, он вынужден был попросить
Минну не писать его матери, поскольку его мать не умела читать. У
Минны также было плохое здоровье, и после того, как у пары появи-
появилось трое детей с 1811 по 1816 годы, она фактически стала полным
инвалидом. Гаусс посчитал, что это бремя слишком тяжело нести, и
улаживал свои проблемы плохим обращением с детьми. Семейная дра-
драма достигла решающей стадии в 1830 году, когда их старший сын, Ев-
Евгений, эмигрировал в Америку после ссоры с отцом. На следующий год
Минна умерла от туберкулеза.
В течение этой несчастливой поры Гаусс был менее плодотворен
математически, но это произошло не столько вследствие семейных
17.117. Биографические заметки: Гарриот и Гаусс
327
трудностей, сколько благодаря выбору карьеры. В 1807 году он стал
директором Геттингенской обсерватории, и в 1811 году подменил неко-
некоторые свои астрономические обязанности геодезией, выполняя трудные
полевые работы каждое лето с 1818 по 1825 годы ради составления гео-
геодезической съемки Ганновера. Гаусс, видимо, редко сожалел о выборе
карьеры, он не любил преподавать и полагал, что другие математи-
математики могли научить его немногому, но нельзя сказать, что его вклады
в астрономию и геодезию были так лее велики, как его вклады в ма-
математику. Несомненно, лучшее, что вышло из его геодезической рабо-
работы — теория конформных отображений и комплексных функций (раз-
(раздел 16.2) и внутреннее понятие кривизны (раздел 17.3).
В 1830-х гг. Гаусс испытал нечто вроде второго рождения с при-
приездом в Геттинген молодого физика Вильгельма Вебера. Они оба с эн-
энтузиазмом сотрудничали в исследовании магнетизма, при этом Гаусс
сделал вклады и в теорию, и в практику (электрический телеграф).
Однако их партнерство прекратилось в 1837 году, когда Вебера вы-
выгнали с работы за его мулсественный отказ принести клятву верности
новому королю Ганновера.
Среди немногих ярких моментов последних лет Гаусса были его
студенты, Эйзенштейн и Дедекинд, а также лекция Римана об основах
геометрии 1854 года. Проведя бблыную часть жизни вдали от других
математиков, Гаусс, должно быть, наконец, утешился, узнав, что были
студенты, способные понимать его идеи и нести их дальше. Мы можем
только удивляться, что могло бы случиться, если бы он сделал это
открытие раньше.
Глава 18
Неевклидова геометрия
18.118. Аксиома о параллельных
До девятнадцатого века геометрия Евклида пользовалась абсолют-
абсолютным авторитетом, и как аксиоматическая система, и как описание фи-
физического пространства. Доказательства Евклида считались моделями
логической строгости, и его аксиомы принимались как верные утвер-
утверждения о физическом пространстве. Далее сегодня геометрия Евкли-
Евклида — простейший тип геометрии, и она завершает простейшее описание
физического пространства для повседневных целей. За пределами по-
повседневного мира, однако, лежит обширная Вселенная, которую можно
понять лишь с помощью расширенной геометрии. Расширение геомет-
геометрических понятий первоначально выросло из неудовлетворенности од-
одной из аксиом Евклида, аксиомой о параллельных.
Для наших целей самая удобная формулировка аксиомы о парал-
параллельных следующая:
Аксиома Р1. Для всякой прямой линии L и точки Р за предела-
пределами L существует как раз одна линия, проходящая через Р, которая не
пересекает L.
Есть много других эквивалентных формулировок Аксиомы Pi,
некоторые, очевидно, довольно близки ей, например, собственно евкли-
евклидова:
Так, если прямая линия, падающая на две прямые линии, об-
образует внутренние углы с одной и той лее стороны меньше, чем
два прямых угла, то две прямые линии, если продолженные
неограниченно, встретятся на той стороне, на которой углы
меньше, чем оба прямых угла.
[Хит A925), с.202]
Другие формулировки Аксиомы Pi, очевидно, менее ей эквива-
эквивалентны. Например,
18.118. Аксиома о параллельных
1) Сумма углов треугольника = тг (Евклид).
329
2) Геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой линии
есть прямая линия. (аль-Хайсам, около 1000 г. н. э.)
3) Подобные треугольники различной размеров существуют [Валлис
A663); см. Фовел и Грей A988), с.510].
Таким образом, отказ от аксиомы о параллельных влечет за собой
отказ от 1), 2), 3). Отказ от 3) означает, в частности, что геометри-
геометрически подобные модели невозможны, поскольку три точки в исходном
объекте и три соответствующие точки геометрически подобной модели
определяли бы подобные треугольники различных размеров.
Такие маловероятные последствия убедили многих людей, что ак-
аксиома о параллельных была логически необходимым свойством пря-
прямых линий, которое уже подразумевалось другими аксиомами Евкли-
Евклида, и поэтому предпринимались усилия полностью доказать ее.
Самая упорная попытка, озаглавленная Euclides ab omni naevo
vindicatus (Евлид, очищенный от всякого изъяна) была предпринята
Саккери A733). План наступления Саккери начался с деления отказа
от аксиомы о параллельных на две альтернативы:
Аксиома Ро. Линии, проходящей через Р, которая не пересека-
пересекает L, нет.
Аксиома Р2. Есть, по крайней мере, две линии, проходящие че-
через Р, которые не пересекают L.
Следующий шаг заключался в разрушении каждой альтернативы,
путем вывода из нее противоречия. Он успешно вывел противоречие из
Аксиомы Ро, используя другие аксиомы Евклида, как, например, акси-
аксиому, что прямую линию можно продолжить бесконечно. (Такие допол-
дополнительные допущения, без сомнения, необходимы, поскольку большие
круги на сфере имеют некоторые свойства прямых линий, кроме тех
случаев, когда они конечны по длине.)
Саккери меньше преуспел с Аксиомой Р2. Следствия, которые он
вывел из нее, надеясь получить противоречие, были следующими. Сре-
Среди линий М, проходящих через Р, которые не пересекают L, есть две
крайние, М+ или М~, которые называются параллелями или асим-
асимптотическими линиями (рисунок 18.1); любая из этих линий М, стро-
строго между М+ и М~, имеет общий перпендикуляр с L и, более того,
положение этого перпендикуляра стремится к бесконечности по мере
того, как М стремится к М+ или М~. Хотя и любопытные, эти след-
следствия Аксиомы Р2 не были противоречивыми, и Саккери, чувствуя,
330
Глава 18
что противоречие ускользает от него, попытался догнать его, перейдя
к бесконечности.
Рисунок 18.1: Асимптотические линии
Он утверждал, что асимптотическая линия М+ пересечет L в бес-
бесконечности и будет иметь там общий перпендикуляр с ней. Возможно,
это было правдоподобно, при наличии похожих аргументов в проектив-
проективной геометрии, хотя Евклид, несомненно, этого бы не принял. Но это
все же не было противоречием. Саккери лишь заявил, что такой вывод
был «несовместим с природой прямой линии» [Саккери A733), с. 173],
возможно, мысленно представив пересечение, как на рисунке 18.2. Но
почему асимптотические линии не доллсны быть касательными в беско-
бесконечности? История должна была показать, что это было подходящим
разрешением «противоречия» Саккери (см. раздел 18.5). Поэтому ре-
результаты Саккери не были, как он думал, шагами к доказательству
аксиомы о параллельных; они были первыми теоремами неевклидовой
геометрии, в которой Аксиома Рч заменяет аксиому о параллельных.
Рисунок 18.2: Гипотетическое пересечение в бесконечности
Упражнения
Связь между аксиомой о параллельных и суммой углов треуголь-
треугольника весьма непосредственна и элегантна.
18.1.1 Выведите из евклидовой версии аксиомы о параллельных, что ли-
линия, попадающая на две параллельные линии, образует сумму вну-
внутренних углов до тг.
18.1.2 Используйте упражнение 18.1.1 и построение на рисунке 18.3 (в ко-
котором CD параллельна АВ), чтобы показать, что а + /3 + 7 = тг.
18.1.3 Выведите из упражнения 18.1.2, что сумма углов любого четырех-
четырехугольника равна 2тг, и, в частности, что квадрат существует.
Таким образом, теоремы, в которых говорится о квадратах, как
например, в теореме Пифагора, могут выполняться, когда принимается
евклидова аксиома о параллельных.
Рисунок 18.3: Сумма углов треугольника
18.119. Сферическая геометрия
Отвергая Pq из-за ее несовместимости с бесконечными линиями,
Саккери избежал необходимости рассмотреть самую естественную гео-
18.119. Сферическая геометрия
331
метрию, в которой Ро выполняется, геометрию сферы с большими кру-
кругами в качестве «линий». Сферическая геометрия развивалась со вре-
времен античности, отвечая потребностям астрономов и мореплавателей,
и формулы длин сторон и площадей сферических треугольников были
хорошо известны. Но сфера считалась частью евклидовой простран-
пространственной геометрии, поэтому аксиоматическое значение сферической
геометрии вначале игнорировалось. Тем не менее, случилось так, что
первые исследования Аксиомы Р^ направлялись аналогией со сферой.
Ламберт A766) сделал потрясающее открытие, что Аксиома Р^
означает, что площадь треугольника с углами а,/3,7 пропорциональ-
пропорциональна тг — (а + /3 + 7), его угловому дефекту. Другими словами,
площадь = —R2(a + /3 + 7 — тг)
для некоторого положительного постоянного R2. Заново открыв теоре-
теорему Гарриота, что
площадь = R2(a + /3 + 7 — тг)
для треугольника на сфере радиуса R, Ламберт задумался, что «можно
было почти прийти к выводу, что новая геометрия будет истинной на
сфере мнимого радиуса». Какой могла бы быть сфера радиуса iR ни-
никогда не объяснялось, но идея использования комплексных чисел для
создания формул гипотетической геометрии оказалась плодотворной.
Установили, что формулы, выведенные из Аксиомы Рч молено бы-
было также получить, заменив R на iR в соответствующих формулах
сферической геометрии. Например, Гаусс A831) из Аксиомы Рч сде-
сделал вывод, что окружность круга радиуса г есть 2TrRshr/R. Тот лее
результат следует из замены R на iR в 2i:Rsinr/ R, которая является
окружностью круга радиуса г на сфере (где г, конечно, измеряется на
сферической поверхности. См. упражнение 18.2.1).
Геометрию Аксиомы Р^ Клейн A871) назвал гиперболической. Од-
Одна из причин этого состоит в том, что ее формулы включают гипербо-
гиперболические функции, тогда как формулы сферической геометрии вклю-
включают круговые функции. Ламберт A766) ввел гиперболические функ-
функции и заметил их аналогию с круговыми функциями, но он не завершил
полный перевод сферических формул в гиперболические формулы. Это
впервые сделал Тауринус A826), один из членов небольшого кружка,
который переписывался с Гауссом по геометрическим вопросам.
Это придало гиперболической геометрии вторую опору, но у нее
под ногами, по-прежнему, не было ничего прочного. Ни Гаусс, ни Та-
332
Глава 18
уринус, по-видимому, не были уверены, что нашли убедительную ин-
интерпретацию гиперболической геометрии, несмотря на то, что Гаусс
A827) подошел удивительно близко к теореме «Гаусса-Бонне». Как
говорилось в разделе 17.6, эта теорема показывает, что поверхности
постоянной отрицательной кривизны дают геометрию, в которой угло-
угловой дефект пропорционален площади, и Гаусс знал, что псевдосфера
была такой поверхностью. Студент Гаусса, Миндинг A840), далее по-
показал, что гиперболические формулы для треугольников выполняют-
выполняются на псевдосфере, но никто в то время не комментировал вероятную
важность этого результата для гиперболической геометрии. Возможно,
было ясно, что псевдосфера не может служить «плоскостью», потому
что она бесконечна только в одном направлении. Лишь в 1868 году,
когда Бельтрами расширил псевдосферу до истинной гиперболической
плоскости, — поверхности локально похожей на псевдосферу, но беско-
бесконечной во всех направлениях, — гиперболическая геометрия, наконец,
была поставлена на прочную основу.
Упражнения
18.2.1 Докажите, что окружность круга С радиуса г на сфере радиуса R
(рисунок 18.4) равна 2nRsm(r/R).
18.2.2 Покажите, что и 2irRsin(r/R), и 2irRsh(r/R) стремятся к 2тгг по
мере того, как R —» оо.
Рисунок 18.4: Радиус и окружность на сфере
Эти результаты иллюстрируют, что даже неевклидова геомет-
геометрия — «евклидова в малом», ее формулы стремятся к евклидовым по
мере того, как размер (в этом случае, размер относительно радиуса
кривизны) стремится к нулю.
18.2.3 Выведите из формулы площади Гарриота, что сумма углов сфери-
сферического треугольника стремится к тг по мере того, как его размер
стремится к нулю.
18.120. Геометрия Бойяи и Лобачевского
Самые важные вклады в гиперболическую геометрию между Гаус-
Гауссом и Бельтрами сделали Лобачевский и Бойяи, которые опубликова-
опубликовали независимые открытия этого предмета: Лобачевский A829) и Янош
18.121. Проективная модель Вельтрами
333
Бойяи A832b). Благодаря своей храбрости в отстаивании нетрадици-
нетрадиционной геометрии, Бойяи и Лобачевский завоевали восхищение многих
историков. Тем не менее, историческое значение их работы спорно.
Бблыная часть их результатов уже была известна Гауссу и его кру-
кругу, и их можно было найти, по крайней мере, в неопределенной фор-
форме, в существующих публикациях и личных контактах. Ламберт A766)
и Тауринус A826) были в печати, а отец Бойяи, Ф. Бойяи, всю жизнь
дружил с Гауссом, как и учитель Лобачевского, Бартельс. В любом
случае, их работа, несмотря на то, что была более систематизирова-
систематизирована, чем предыдущие попытки, и выражена намного убедительнее, на
первых порах привлекла мало внимания. Мы видели, как возможность
использования дифференциальной геометрии ради обоснования гипер-
гиперболической геометрии упускали из виду до 1868 года. Вплоть до того
времени, казалось не было причины воспринимать серьезно гиперболи-
гиперболическую геометрию.
Ретроспективно, конечно, молено считать, что теоремы Бойяи
и Лобачевского весьма тонко объединили фрагментарные результаты
их предшественников. Они охватывают основные зависимости между
сторонами и углами треугольников (гиперболическая тригонометрия),
измерение площадей многоугольников при помощи углового дефекта
и формул окружности и площади кругов. Лобачевский A836) открыл
новый предмет, найдя объемы многогранников, которые оказались да-
далеки от элементарных, включая функцию /0 log2 sint dt.
И Бойяи, и Лобачевский рассматривали трехмерное пространство,
удовлетворяющее Аксиоме Р^, и широко использовали поверхность,
свойственную этому пространству, орисферу. Орисфера — это «сфера
с центром в бесконечности», и это не гиперболическая плоскость. Вах-
Вахтер, студент Гаусса, в письме 1816 года заметил [опубликовано Ште-
келем A901)], что геометрия орисферы, фактически, евклидова. Этот
удивительный результат был вновь открыт Бойяи и Лобачевским, и они
предчувствовали, что он подчинит евклидову геометрию гиперболиче-
гиперболической. В разделе 18.5 мы увидим, как эта точка зрения была доказана
в работе Бельтрами.
18.121. Проективная модель Бельтрами
Интерес к гиперболической геометрии вновь разгорелся в 1860-
х гг., когда вышла в свет неопубликованная работа Гаусса, который
умер в 1855 году. Узнав, что Гаусс серьезно воспринял гиперболиче-
334
Глава 18
скую геометрию, математики стали более восприимчивы к неевклидо-
неевклидовым идеям. Труды Бойяи и Лобачевского извлекли из забвения, и, под-
подходя к ним с точки зрения дифференциальной геометрии, Бельтрами
A868а) смог дать им конкретное объяснение, которое ускользало от его
предшественников.
Бельтрами интересовался геометрией поверхностей, и он нашел по-
поверхности, которые молено было отобразить на плоскость таким об-
образом, что их геодезические тянулись до прямых линий [Бельтрами
A865)]. Именно они оказались поверхностями постоянной кривизны.
В случае положительной кривизны, сферы, такое отображение явля-
является центральной проекцией на касательную плоскость (рисунок 18.5),
хотя, конечно, это отображает только половину сферы на всю плос-
плоскость.
Отображения поверхностей постоянной отрицательной кривизны,
с другой стороны, занимают всю поверхность только на части плоско-
плоскости. Рисунок 18.6, переделанный из Клейна A928), показывает некото-
некоторые из этих отображений (среднее является псевдосферой).
Рисунок 18.5: Центральная проекция
Рисунок 18.6: Отображения, сохраняющие геодезические
Всякая отрицательно искривленная поверхность S отображается
на часть единичного диска. Бельтрами A868а) осознал, что диск тогда
молено рассматривать как естественное расширение S до «бесконечной
плоскости», обходя таким образом проблему построения «плоскообраз-
«плоскообразных» поверхностей постоянной отрицательной кривизны в обыкновен-
обыкновенном пространстве. Вместо этого, считаем диск «плоскостью», отрез-
отрезки линий внутри него «линиями» и «расстояние» мелсду двумя точка-
точками диска — расстоянием мелсду их точками-прообразами на поверхно-
поверхности S. Функция d(P,Q), задающая таким образом «расстояние» мелс-
мелсду точками Р, Q диска, оказывается значащей для всех точек внутри
единичного круга, поэтому понятие «расстояния» распространяется на
весь открытый диск. По мере того, как Q приближается к единичному
кругу, d(P, Q) стремится к бесконечности, поэтому «плоскость», и, сле-
следовательно, «линии» в ней, действительно, бесконечны относительно
этого нестандартного «расстояния».
Отсюда следует, что все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о па-
параллельных, удовлетворяются новой интерпретацией «плоскости», «ли-
«линии» и «расстояния». Вместо аксиомы о параллельных, имеем, конеч-
конечно, Аксиому Рг; поскольку через точку Р вне заданной «линии» L,
проходит больше одной «линии» (рисунок 18.7).
Рисунок 18.7: Несостоятельность аксиомы о параллельных
18.121. Проективная модель Вельтрами
335
Бельтрами также заметил, что движения твердого тела «плоско-
«плоскости», поскольку они сохраняют прямые линии, обязательно являются
проективными преобразованиями. Это как раз те проективные преоб-
преобразования плоскости, которые отображают единичный круг на себя.
Поэтому эта модель гиперболической плоскости часто называется про-
проективной моделью. Кэли A859) уже заметил, что эти проективные
преобразования молено было использовать для определения «рассто-
«расстояния» d(P,Q) в единичном диске, сказав, что d(P,Q) = d(P',Q'), если
преобразование, сохраняющее единичный круг, посылает Р в Р' и Q
в Q', но он не осознал, что полученная геометрия была геометрией
Бойяи и Лобачевского.
Проективная модель не полностью заменяет псевдосферу, посколь-
поскольку она остается источником «действительных» расстояний и углов, то-
тогда как в проективной модели они обязательно искажаются. Одна из
отличительных кривых гиперболической плоскости, орицикл, или круг
с центром в бесконечности, особенно ясно показана на псевдосфере.
Если представить, вслед за Бельтрами A868а), псевдосферу, оберну-
обернутую бесконечно многими витками бесконечно тонкого покрытия, то
край этого покрытия (вдоль кромки псевдосферы) является орицик-
орициклом. Средняя картинка рисунка 18.6 показывает образ одного витка
покрытия псевдосферы, нарисованного сплошной линией, а орициклы,
получающиеся в результате длительной распаковки, показаны пунк-
пунктирными линиями.
Упражнения
Три картинки Клейна иллюстрируют три типа движения твердого
тела гиперболической плоскости.
1. Вращение, в котором одна точка плоскости неподвижна, а все дру-
другие точки движутся в гиперболических кругах вокруг нее. (Гипер-
(Гиперболический круг — это геометрическое место точки, движущейся
на постоянном «расстоянии» от неподвижной точки.)
2. Предельное вращение, в котором точка в бесконечности неподвиж-
неподвижна, а все точки плоскости движутся в орициклах с центром в непо-
неподвижной точке в бесконечности.
3. Перенос, в котором «линия» движется вдоль самой себя, а другие
точки плоскости движутся вдоль эквидистантных кривых. (Эк-
(Эквидистантная кривая — это геометрический центр точки, движу-
движущейся на постоянном «расстоянии» от «линии».)
336
Глава 18
18.4.1 Выберете гиперболические круги и эквидистантные кривые на
верхней и нижней картинках рисунка 18.6.
18.4.2 Если бы центр вращения на верхней картинке не находился в цен-
центре диска, считаете ли вы, что гиперболические круги были бы
евклидовыми кругами?
18.4.3 Заметьте, что эквидистантные кривые на ненулевом «расстоянии»
от инвариантной «линии» не являются «линиями». Перемещает ли
перенос точку на эквидистантной кривой дальше точки на инва-
инвариантной линии?
18.4.4 Приведите пример трех точек в гиперболической плоскости, но не
в «линии», которые не лежат на гиперболическом круге. (Если эта
задача окажется трудной, попытайтесь решить ее снова, прочитав
следующей раздел.)
18.122. Конформные модели Бельтрами
Проективная модель гиперболической плоскости искажает углы,
также как и длины. Это можно увидеть при помощи асимптотиче-
асимптотических геодезических на псевдосфере, которые, несомненно, стремятся
к касательной в бесконечности, тем не менее отображаются на линии,
пересекающиеся в ненулевом угле на границе единичного диска (рису-
(рисунок 18.6). Бельтрами A868b) нашел, что модели с истинными значени-
значениями углов, — так называемые конформные модели — можно получить,
принеся в жертву прямоту «линий». Его базисная конформная модель
является, фактически, не частью плоскости, а частью полусферы. Она
построена над проективной моделью, и ее «линии» — вертикальные
сечения полусферы (следовательно, полукруги) над «линиями» проек-
проективной модели (рисунок 18.8). «Расстояние» между точками на полу-
полусфере равно «расстоянию» между точками ниже их в проективной мо-
модели. Позлее мы увидим, что «расстояние» на полусфере также имеет
простое прямое определение.
Рисунок 18.8: Полусфера и проективная модель
Из модели полусферы получены две плоские конформные моде-
модели при помощи стереографической проекции, которая, как мы знаем
из раздела 16.2, сохраняет углы и посылает круги в круги. Первая из
них — диск (рисунок 18.9), который, изменяя масштаб, молено опять
принять за единичный диск. Вторая (рисунок 18.10) — полуплоскость,
18.122. Конформные модели Вельтрами
337
которая, мы полагаем, является верхней полуплоскостью, у > 0. По-
Поскольку «линии» в модели полусферы — круговые и ортогональны эк-
экватору, «линии» в плоских конформных моделях опять круговые, орто-
ортогональны границе диска и полуплоскости, соответственно, или в исклю-
исключительных случаях прямым линиям. Во избелсание постоянного упоми-
упоминания этих исключительных случаев, а именно, отрезков линий, про-
проходящих через центр диска, и линий х = constant в полуплоскости, мы
считаем, что линии являются кругами бесконечного радиуса.
Рисунок 18.9: Конформная модель диска
Рисунок 18.10: Конформная модель полуплоскости
Одна из прелестей конформных моделей заключается в том, что
другие важные кривые — гиперболические «круги», орициклы и эк-
эквидистантные кривые — также являются действительными кругами.
Всякая кривая, эквидистантная от заданной «линии» L, — это круг,
проходящий через конечные точки L на границе. Орициклы — это кру-
круги, касательные к границе, и, к тому лее, в модели полуплоскости, ли-
линии у = constant. Круг, который не пересекает границу, является гипер-
гиперболическим «кругом», но его «центр», на равном «расстоянии» от всех
его точек, находится не в евклидовом центре. На рисунке 18.11 показа-
показаны некоторые из этих кривых. Отметьте также, что асимптотические
«линии» касательны в «бесконечности» (границе), и, что границей яв-
является их общий перпендикуляр, разрешая таким образом ситуацию,
которую Саккери (раздел 18.1) считал противоречивой.
Рисунок 18.11: Некоторые кривые в модели полуплоскости
«линии»
«круг»
орициклы
эквидистантные кривые
«Расстояние» особенно легко выразить в модели полуплоскости.
«Расстояние» ds между бесконечно мало близкими точками (ж, у) и
+ dx, у + dy) следующее:
ds =
\J dx1 + dy2
У
то есть, евклидово расстояние, деленное на у. Поэтому «расстояние» —>
оо по мере того, как точка приближается к границе у = 0 полуплоско-
полуплоскости, как ожидалось. Сохраняя х постоянным, мы находим при помощи
интегрирования, что «расстояние» вдоль вертикальной линии увеличи-
увеличивается экспоненциально относительно евклидова расстояния по мере
338
Глава 18
того, как у уменьшается. Например, «расстояния» между последова-
последовательными точками, в которых х = О и у = 1, -,-,..., равны. Формула
для ds впервые была получена Лиувиллем A850) при помощи непо-
непосредственного отображения псевдосферы на полуплоскость, при этом
он проводил упрощающие изменения переменной. Однако, Лиувилль не
осознал, что полуплоскость с его формулой «расстояния» была моде-
моделью гиперболической геометрии. Формула «расстояния» для конформ-
конформного диска также была получена до Бельтрами, Риманом A854b), но
он опять не заметил гиперболической геометрии.
Бельтрами A868b) не только получил эти модели единым мето-
методом, но он также распространил идею на п измерений. Например, он
дал модель трехмерного пространства, которое Бойяи и Лобачевский
считали верхней половиной, г > 0, обыкновенного (х,у, ^-простран-
^-пространства, с «расстоянием»
ds =
+ dy2 + dz2
«Линии», в таком случае, являются полукругами, ортогональными z =
= 0, а «плоскости» — полусферами, ортогональными z = 0. Оказыва-
Оказывается, что ограничение функции «расстояния» такой полусферой дает
модель полусферы Бельтрами. Поэтому модель полусферы молено рас-
рассматривать как гиперболическую плоскость, лежащую в гиперболиче-
гиперболическом 3-мерном пространстве. Орисферы модели полупространства —
это сферы, касательные к z = 0, наряду с плоскостями z = constant.
Бельтрами A868b) указал, что на z = constant мы имеем
ds =
dy2 + dz2
constant
то есть, «расстояние» пропорционально евклидову расстоянию. Таким
образом, он имел непосредственное доказательство прекрасной теоре-
теоремы Вахтера, что геометрия орисферы — евклидова.
Упражнения
Отображение псевдосферы в полуплоскости молено выполнить сле-
следующим образом, используя параметрические уравнения для трактри-
трактрисы, найденные в упражнении 17.5.2:
18.122. Конформные модели Вельтрами 339
Сначала мы заменим параметр а на длину дуги г вдоль трактрисы.
18.5.1 Покажите, что т = J^ -t/l + I — ) dx = logchcr, и, следователь-
da;
но, у = е .
Теперь возьмем г и угол X вращения, как координаты на псевдо-
псевдосфере, полученные вращением трактрисы вокруг ж-оси.
18.5.2 Покажите, что длина, стянутая углом dX на круговом поперечном
сечении псевдосферы:
ydX = e-TdX,
и, следовательно, расстояние мелсду близкими точками (X, т)
и (X + dX, т + dr) на псевдосфере задано
18.5.3 Наконец, введем переменную Y = ет и сделаем вывод, что ds =
Y
Поэтому псевдосфера отобралсается в (X, У)-плоскость с сохране-
сохранением расстояния, при условии, что расстояние в плоскости (X, Y) опре-
определяется
ds =
л/dX2 + dY2
х = а — th cr,
у = sechcr.
Из того, что сказано выше, следует, что геодезические на псевдосфере
соответствуют полукругам с центрами на Х-оси. Это проливает неко-
некоторый свет на проблему, поднятую в разделе 17.5, — описание геодези-
геодезических на псевдосфере.
18.5.4 Объясните, почему область (X, У)-плоскости, соответствующая
псевдосфере, ограничена X = 0 и X = 2тг, и лежит выше неко-
некоторой Y = constant > 0.
18.5.5 Рассматривая полукруг, пересекающий область, описанную в упраж-
упражнении 18.5.4, покажите, что на псевдосфере нет гладкой замкнутой
геодезической.
340
Глава 18
18.123. Комплексные интерпретации
Одной из характеристик евклидовой плоскости является существо-
существование правильных мозаик: покрытий плоскости правильными много-
многоугольниками. Имеются, конечно, три таких покрытия, основанные на
квадрате, равностороннем треугольнике и правильном шестиугольни-
шестиугольнике (рисунок 18.12). С каждым покрытием связана группа движений
твердого тела плоскости, которая отображает узор покрытия на себя.
Например, узор из единичных квадратов отображается на себя единич-
единичными переносами, параллельными осям ж и у, и вращением тг/2 вокруг
начала координат, и эти три движения порождают все движения мо-
мозаики на себя. Если мы запишем z = х + iy, то эти порождающиеся
движения задаются преобразованиями
Рисунок 18.12: Мозаики евклидовой плоскости
Мозаики треугольника и шестиугольника имеют похожую группу
движений, порожденную
¦z+1,
Z + T,
Z I—» ZT,
где т = ег7Т'3 — третья вершина равностороннего треугольника, дру-
другие вершины которого находятся в 0,1 (рисунок 18.13). В более общем
смысле, всякое движение евклидовой плоскости молено составить из
переносов znz + аи вращений z ь-» гегв.
Рисунок 18.13: Зависимость между мозаиками треугольника и ше-
шестиугольника
Сфера также допускает конечное множество правильных мозаик,
полученных центральными проекциями правильных многогранников
(раздел 2.2). На рисунке 18.14 показана сферическая мозаика, соответ-
соответствующая икосаэдру. (Каждая грань далее разделена на шесть конгру-
конгруэнтных треугольников.) Движения, которые отображают такую моза-
мозаику на себя, также молено выразить как комплексные преобразования,
интерпретируя сферу как Си{оо} через стереографическую проекцию
(раздел 16.2). Гаусс A819) нашел, что любое движение сферы можно
выразить преобразованием вида
— bz + a
где a, b ? С, и черта сверху обозначает комплексную сопряженную.
18.123. Комплексные интерпретации
341
Рисунок 18.14: Икосаэдрическая мозаика сферы
Конформные модели гиперболической плоскости молено считать
частями С: единичного диска {z : \z\ < 1} и полуплоскости {z : lra(z) >
0}. Их движения твердого тела, будучи конформными преобразовани-
преобразованиями, являются комплексными функциями, и Пуанкаре сделал прекрас-
прекрасное открытие, что они имеют вид
az + Ъ
bz + a
(для диска) и
JZ+S'
где а,/9,7,5 G R (для полуплоскости). Возможно бесконечное мно-
множество правильных мозаик, поскольку углы правильного п-угольника
можно сделать произвольно малыми, увеличивая его площадь. Напри-
Например, существуют мозаики равносторонних треугольников, в которых п
треугольников пересекается в каждой вершине, при всяком п ^ 7,
и похожее разнообразие возможно для других многоугольников (см.
упражнения).
Некоторые из этих мозаик были известны прежде, чем Пуанкаре
A882) дал комплексную интерпретацию гиперболической геометрии,
и даже прежде, чем вообще была известна какая-нибудь модель гипер-
гиперболической геометрии. На рисунке 18.15 показана мозаика равносто-
равносторонними треугольниками с углом тг/4, найденная в неопубликованной,
и, к сожалению, без даты, работе Гаусса (Соч., т. VIII, с. 104).
Рисунок 18.15: Мозаика Гаусса
Другие являются результатом так называемого гипергеометриче-
гипергеометрического дифференциального уравнения, и они были вновь открыты в том
же самом контексте Риманом A858b) и Шварцем A872) (первый опуб-
опубликованный пример, рисунок 18.16). Объясняя эти мозаики в поняти-
понятиях гиперболической геометрии, Пуанкаре A882) впервые показал, что
гиперболическая геометрия была частью существовавшей до этого ма-
математики, геометрическую природу которой ранее не понимали.
Рисунок 18.16: Мозаика Шварца
В следующей статье Пуанкаре A883) объяснил геометрическую
природу дробно-линейных преобразований,
az + 6
cz + a"
342
Глава 18
частный случай которых, как мы видели, выражает движения твер-
твердого тела двумерной евклидовой, сферической и гиперболической гео-
геометрий. Он показал, что всякое дробно-линейное преобразование плос-
плоскости С вызвано гиперболическим движением трехмерного полупро-
полупространства с граничной плоскостью С; таким образом, теорема Пуанкаре
охватывает теоремы Вахтера и Бельтрами о представлении двумерной
евклидовой, сферической и гиперболической геометрии в трехмерной
гиперболической геометрии.
Упражнения
18.6.1 Покажите, что треугольник в гиперболической плоскости может
иметь любую сумму углов < тт.
18.6.2 Выведите, что существуют равносторонние треугольники с уг-
углом 2тт/п для всякого п ^ 7.
18.6.3 Выведите также, что существуют треугольники, в некотором смыс-
смысле, с нулевым углом, и, что их площадь конечна.
18.6.4 Найдите соответствующие результаты для правильных п-угольни-
ков.
18.124. Биографические заметки: Бойяи
и Лобачевский
Янош Бойяи родился в 1802 году в Коложваре, бывшим тогда ча-
частью венгерской Трансильвании (ныне Клуж, Румыния), и умер в Ма-
рошвашархейе в Венгрии (ныне Тыргу-Муреш, Румыния) в 1860 го-
году. Его отец, Фаркаш (известен также под немецким именем, Вольф-
Вольфганг), был профессором математики, физики и химии, а его мать, Сю-
Сюзанна фон Аркош, была дочерью хирурга. Янош получил свое пер-
первое образование у своего отца, а также с 1815 по 1818 годы учил-
учился в Евангелическо-реформатском колледже, где преподавал его отец.
Фаркаш был сокурсником Гаусса в Геттингене, и надеялся, что Янош
сменит его там, но вместо этого молодой Бойяи выбрал военную ка-
карьеру. С 1818 по 1822 годы он учился в Венской инженерной академии
и затем поступил в армию.
В армии Янош получил известность непобедимого дуэлянта, но
он страдал от приступов лихорадки и, в конце концов, в 1833 году
его уволили на пенсию. Он вернулся в Марошвашархейе, чтобы жить
18.124. Биографические заметки: Войяи и Лобачевский 343
со своим отцом, но они не ладили друг с другом, и в 1834 году он
переехал в небольшое семейное поместье. Он создал домашний очаг
вместе со своей любовницей Розали фон Орбан; у них было трое детей.
Это могло стать началом математической карьеры, в духе Декарта,
в качестве праздного сельского джентльмена. Но, печально говорить,
в 1833 году математическая карьера Бойяи уже закончилась, и только
после его смерти мир узнал, что он что-то совершил.
Янош унаследовал страсть к основам геометрии от своего отца, до
такой степени, что в 1820 году Фаркаш попытался почти безнадежно
отвлечь его от задачи о параллельных: «Тебе не следует испытывать
параллели таким образом, я знаю этот путь до конца — я также из-
измерял этой беспросветной ночью, я потерял в ней всякий свет, всякую
радость жизни» [Штекель A913), стр. 76-77]. Конечно, Янош игнори-
игнорировал это предупреждение, но, в конечном счете, он нашел способ, ко-
который упустил Фаркаш. После неудачных попыток доказать евклидову
аксиому о параллельных, он отказался от нее и приступил к выведе-
выведению следствий из Аксиомы Р^. К 1823 году его результаты, видимо,
были столь полны и элегантны, что они так или иначе должны были
быть реальными, и он с триумфом написал своему отцу: «Из ничего
я создал другой, совершенно новый мир».
Фаркаш не желал принимать новую геометрию, но в июне 1831
года он согласился послать результаты своего сына Гауссу, который
не отвечал в течение шести месяцев (надо признаться, как раз в это
время умерла его жена). Когда Гаусс ответил, его ответ был выдержан
в наиболее вообразимой манере самоподачи:
Теперь несколько слов о работе Вашего сына. Вероятно, Вы
будете на мгновенье шокированы, когда я начинаю с выска-
высказывания, что я не могу похвалить ее, но я не могу сделать
ничего иного, поскольку похвалить, означало бы похвалить са-
самого себя. Все содержание статьи, путь, на который встал Ваш
сын, и результаты, к которым он привел, почти везде согласу-
согласуются с моими собственными размышлениями, которые частью
занимали меня в течение 30-35 лет.
[Гаусс A823b)]
Позлее в письме Гаусс предложил Бойяи те лее сомнительные компли-
комплименты, которые он предложил Абелю (см. раздел 12.6) за то, что тот
«освободил его от бремени» восхвалять результаты в печати самому,
344
Глава 18
и он поставил вопрос об объеме тетраэдра в качестве задачи дальней-
дальнейших исследований.
Как мы сейчас знаем, у Гаусса к этому времени на самом деле бы-
были многие результаты неевклидовой геометрии, включая ответ на за-
задачу об объеме, которую он поставил, чтобы испытать своего молодого
соперника [см. Гаусс A832а)]. Тем не менее, Гаусс почти непременно
ошибался, когда намекал, что его пониманию неевклидовой геометрии
улсе 35 лет. Еще в 1804 году, когда Фаркаш Бойяи писал ему о проблеме
параллельных, Гаусс не мог предложить помощи, кроме надежды, что
однажды задача разрешиться [см. Кауфман-Бюлер A981), с. 100].
Янош Бойяи был разочарован и раздражен ответом Гаусса, но
сразу не сдался. Он опубликовал свою работу в качестве приложения
к книге отца Tentamen [Ф.Бойяи A832а)]. Однако, когда другие ма-
математики не откликнулись, он пришел в уныние и больше никогда не
печатался снова. Его также беспокоила возможность, что, в конце кон-
концов, в его геометрии могли быть противоречия. Как мы знаем, эта воз-
возможность не исключалась до 1868 года, а к тому времени Гаусс, Бойяи
и Лобачевский улсе умерли.
Николай Иванович Лобачевский (рисунок 18.17) родился в Ниж-
Нижнем Новгороде в 1792 году и умер в Казани в 1856 году. Он был сыном
Ивана Максимовича Лобачевского и Прасковьи Александровны. Его
отец умер, когда Николаю было пять лет, и мать с тремя сыновья-
сыновьями переехала в Казань. Настойчивыми усилиями она смогла добиться
стипендий для их образования, и в 1807 году Николай поступил в Ка-
Казанский университет, который был основан двумя годами ранее. Его
наставником был Мартин Бартельс, бывший учитель Гаусса, но связь
с геометрическими идеями Гаусса представляется еще менее вероят-
вероятной, чем в случае с Бойяи, поскольку Бартельс мало контактировал
с Гауссом после того, как тот закончил школу.
Рисунок 18.17: Николай Иванович Лобачевский
Остаток жизни Лобачевский провел в Казани, став в 1814 году про-
профессором и много поспособствовав росту университета. В 1832 году он
женился на богатой даме, Варваре Алексеевне Моисеевой, в 1837 году
ему полсаловали дворянство в знак признания его заслуг в образовании.
У пары было семеро детей.
Исследования параллельных Лобачевским начались в 1816 году,
когда он читал лекции по геометрии, и вначале он думал, что мог до-
доказать евклидову аксиому. Постепенно он осознал способ, которым па-
параллели регулируют другие геометрические свойства, такие как площа-
площади, и в 1832 году он написал Геометрию, в которой отделил теоремы,
18.124. Биографические заметки: Войяи и Лобачевский 345
не требующие предположения о параллельных, от теорем, которые его
требовали. Однако он, по-прежнему, верил в евклидову аксиому, поэто-
поэтому на этом этапе Бойяи был впереди него. Публикации Лобачевского
о неевклидовой геометрии начались в 1829 году, но сначала они не
привлекли внимания, поскольку были на русском языке, а Казанский
университет был мало известен. Он получил более широкую аудиторию
с публикацией статьи на французском языке в лсурнале Крелля в 1837
году, но, видимо, Гаусс был единственным, кто признал ее важность.
Гаусс, на самом деле, был столь впечатлен, что собрал неизвестные
казанские публикации Лобачевского и изучал русский язык, чтобы чи-
читать их, но он опять не был склонен признаться другим, как он был
поражен. По-видимому, он вообще никогда не контактировал с Лоба-
Лобачевским, и только из письма A846b), опубликованного после его смер-
смерти, его мнение стало известным. Как обычно, первой мыслью Гаусса
было защитить свой приоритет, и его память относительно того, когда
он открыл неевклидову геометрию, видимо, с возрастом улучшилась:
Лобачевский называет ее мнимой геометрией. Вы знаете, что
я был убелсден в этом лее в течение 54 лет (с 1792 года), с неко-
некоторым более поздним расширением, в которое я не хочу здесь
вдаваться. В статье Лобачевского для мене не было ничего ма-
материально нового, но он объясняет свою теорию в некотором
отношении иначе, чем я, и делает это мастерским образом,
в поистине геометрическом духе.
[Кауфман-Бюлер A981), с. 150]
Возможно, Лобачевскому повезло не слышать тот род похвал, ко-
который Гаусс расточал на своих соперников, хотя его, несомненно, было
труднее обескуражить, чем Бойяи. Несмотря на молчание зарубежных
математиков, противодействие математиков в России и наступившую
слепоту в зрелые годы, он продоллсал совершенствовать и расширять
свою теорию. Окончательный вариант его труда, Пангеометрия, опуб-
опубликован в 1855-56 гг., последнем году его жизни.
Глава 19
Теория групп
19.125. Понятие группы
Понятие группы — одна из самых важных объединяющих идей
в математике. Она собирает воедино широкий круг математических
структур, для которых существует понятие комбинации или «произве-
«произведения». Такие произведения включают обыкновенное арифметическое
произведение чисел, но более типичный пример, — произведение или
композиция функций. Если / и д функции, то gf — функции, значение
аргумента х которых — f{g{x)). [Причина написания f{g{x)) как gf
заключается в том, что ее значение — «примени д, затем /». Мы выну-
вынуждены обратить внимание на порядок, потому что, вообще, gf ф fg.]
Формально определяется, что группа G — множество с операци-
операцией, которая называется произведением и обозначается записью рядом,
особым элементом, который называется единичным и записывается 1,
и, для каждой g ? G, элементом, который называется обратным g и за-
записывается д^1 со следующими свойствами:
1) 51E253) = E152M3 для всех 5ъ525з € G. (ассоциативное свой-
свойство)
2) д\ = \д = д для всех д G G. (единичное свойство)
3) дд^1 = 5 19 = 1 Для всех д ? G. (обратное свойство)
Эти аксиомы развивались на протяжении более ста лет работы с осо-
особыми группами, в течение которого их основные свойства выяснялись
лишь постепенно. Мы взглянем на некоторые группы, которые сыграли
важную роль в этом процессе в других разделах этой главы. На прак-
практике, свойства 1) и 2), как правило, очевидны, и важнее гарантировать,
что операция произведения действительно определена для всех элемен-
элементов G. В ответ на это желание были созданы многие математические
понятия, сначала неосознанно, ради существования произведений.
19.125. Понятие группы
347
Например, в разделе 8.2 мы видели, что перспективный вид пер-
перспективного вида, вообще, не является перспективным видом. Поэто-
Поэтому, если мы примем, что «произведение» перспективного преобразова-
преобразования g и перспективного преобразования / является результатом вы-
выполнения д, затем /, то gf не всегда принадлежит множеству перспек-
перспективных преобразований. Множество проективных преобразований —
простейшее возможное расширение множества перспективных преоб-
преобразований до множества, на котором произведение всегда определено,
а именно, множество конечных произведений перспективных преобра-
преобразований.
В других случаях, понятия появились в результате желания иметь
обратные величины. Отрицательные числа, например, молено рассмат-
рассматривать как результат расширения множества {0,1, 2,3,...} до множе-
множества, в котором каждый элемент имеет обратную величину в процессе
операции +. Еще один пример — расширение плоскости точками в бес-
бесконечности, которое гарантирует, что каждое проективное преобразо-
преобразование имеет обратное, потому что оно дает возможность точкам, кото-
которые проектируются в бесконечность, снова быть спроектированными
обратно.
Возможно, самое раннее нетривиальное использование обращения
встречается в операции «умножения по модулю р», которую Эйлер
A758) (и, может быть, Ферма до него) использовали, чтобы дать, по
существу, теоретико-групповое доказательство малой теоремы Ферма.
Напомним из раздела 5.1, что целые тип называются конгруэнт-
конгруэнтными по модулю р, если они отличаются по целому кратному р, и из
раздела 5.2, что Ъ — обратная величина а относительно умножения
mod p, если ab конгруэнтно 1 по модулю р, то есть, если ab + кр = 1
для некоторого целого к. Если р — простое число, и а — не кратное р,
то такое 6 существует по применению евклидова алгоритма к взаимно
простым числам а,р (разделы 3.3 и 5.2). Эйлер в своем доказательстве
не определил группу, но нам легко это сделать (и, соответственно, ина-
иначе выразить его доказательство; см. упражнения). Элементы группы —
ненулевые классы вычетов mod p:
1 mod p={...,-p+l,l,p+l,2p+l,...},
2 modp= {...,-p+2,2,p+2,2p + 2,...},
3 modp= {...,-p+3,3,p+3,2p + 3,...},
(р - 1) mod р ={..., -1,р - 1, 2р - 1, Зр - 1,...},
348
Глава 19
с произведением, определенным
(a modp) F mod p) = (а • 6) mod р,
где а • 6 — обычное арифметическое произведение. Групповые свой-
свойства 1) и 2) следуют из обычной арифметики; 3), как мы видели, сле-
следует из евклидова алгоритма.
Предыдущие примеры иллюстрируют влияние геометрии и тео-
теории чисел на понятие группы. Еще более решающее влияние оказала
теория уравнений, на которую мы кратко взглянем в следующем разде-
разделе. Более подробное описание развития понятия группы можно найти
у Вуссинга A984).
Упражнения
Вот доказательство малой теоремы Ферма с использованием обрат-
обратных элементов mod p. Начинайте с ненулевых классов вычетов
1 mod р, 2 mod р, ..., (р — 1) mod p
и умножьте их все на ненулевой класс (a mod p).
19.1.1 Заметьте, что если мы снова умножим на обратную величину (а
mod p), мы опять получим классы
1 mod р, 2 mod р,..., (р — 1) mod p.
Почему это показывает, что классы
(a mod p)(l mod р), (а modp)B modp), ...,
(а mod p)((p — 1) mod p)
отличны и ненулевые:
19.1.2 Выведите из упражнения 19.1.1, что если (a mod p) — ненулевой
класс вычетов, то
{(a mod p)(l mod p), (а mod p)B mod р), ...,
(а mod р)((р — 1) mod p)}
— такое лее множество, как
{1 mod р, 2 mod р, ..., (р — 1) mod p}.
19.126. Перестановки и теория уравнений 349
19.1.3 Выведите из упражнения 19.1.2, что
OP'1 ¦ 1 -2...(р- 1) modp= 1 • 2 ... (р - 1) modp.
19.1.3 Наконец, выведите, что
ap~l mod р = 1 mod p,
то есть,
аР-1 = 1 ( mod p)
(малая теорема Ферма).
19.126. Перестановки и теория уравнений
В разделе 11.1 мы видели, что еще в 1321 году Леви бен Гершон на-
нашел, что существует п\ перестановок п предметов. Эти перестановки —
обратимые функции, которые образуют группу Sn в процессе компо-
композиции, хотя их поведение в процессе композиции не рассматривалось
до восемнадцатого века. Именно тогда, когда Вандермонд A771) и Ла-
гранж A771) применили идею перестановки к корням полиномиальных
уравнений, были открыты первые поистине теоретико-групповые свой-
свойства перестановок. В то лее время Вандермонд и Лагранж открыли
ключ к пониманию решения уравнений в радикалах.
Они начали с наблюдения, что если уравнение
X
а\х
.п-1
+ . . . + ап_хх + ап = О
A)
имеет корни xi,x2, ¦ ¦ ¦, хп, то
хп + aix71^1 + . . . + ап_\х + ап = (х — х{){х — х2) ... (ж - хп), B),
и перемнолсая правую часть и сравнивая коэффициенты, находим,
что щ — некоторые функции xi,x2, . . ., хп. Например,
ап = (-1)пх1х2 ...хп,
а\ = -(xi +х2 + ... + хп).
Эти функции симметричны, то есть, неизменяемы какой-либо пере-
перестановкой Ж1,Ж2, ..., хп, поскольку правая часть B) не изменяется
такими перестановками. Следовательно, любая рациональная функ-
функция ai,a,2, • • •, ап — симметрична как функция х\,х2, ..., хп. Сейчас
350
Глава 19
объект решения в радикалах — применение рациональных операций
и радикалов ка\,а2, ..., ап, с тем чтобы получить корни, то есть, пол-
полностью асимметричные функции ж;.
Радикалы, поэтому, должны некоторым образом уменьшать сим-
симметрию, и молено видеть, что они делают в квадратичном случае. Кор-
Корни
х + а\х + а2 = (х — х\)(х — х2) = О
равны
Х\,Х2 =
х2) ± \Jx\ -
2
и мы замечаем, что симметричные функции х\ + х2 и х\ — 2х\х2 = х\
дают две асимметричные функции х\,х2, когда вводится двузначный
радикал J. Вообще, введение радикалов v умножает число значений
функции на р и делит симметрию на р, в том смысле, что группа пе-
перестановок, оставляющая функцию неизменной, уменьшается до 1/р
своей предыдущей величины.
Вандермонд и Лагранж нашли, что они могут объяснить пред-
предшествующие решения кубических и квадратных уравнений на основе
уменьшения такой симметрии в соответствующих группах подстановок
5*з и 5*4. Они также нашли некоторые свойства подгрупп. Например,
Лагранж, по существу, нашел результат ныне известный как «теорема
Лагранжа»: порядок подгруппы делит порядок группы. Однако, они
не смогли добиться достаточного понимания зависимости между ра-
радикалами и подгруппами Sn, чтобы решить уравнения степени Jj 5.
Руффини A799) и Абель A826) добились достаточных успехов с 5*5,
чтобы суметь доказать неразрешимость уравнения пятой степени, но
никто из этих авторов не имел достаточно твердого понимания зависи-
зависимости между радикалами и перестановками, чтобы оперировать про-
произвольными уравнениями. Они, действительно, не осознавали понятия
группы, и мы можем интерпретировать их результаты в теоретико-
групповых терминах лишь ретроспективно.
Понятие, и, несомненно, слово «группа», впервые встречается у Га-
луа A831b) Вместе с ним — понятие нормальной подгруппы, которое,
наконец, открывает секрет разрешимости в радикалах. Подгруппа Н =
= {hi,h2, ..., hk} группы G называется нормальной, если
{ghi,gh2, ..., ghk} = {hig,h2g, ..., hkg}
19.126. Перестановки и теория уравнений
351
для каждой g e G. Галуа показал, что всякое уравнение Е имеет груп-
группу Ge, состоящую из перестановок корней, которые оставляют рацио-
рациональные функции корней неизменными, и, что уменьшение симметрии,
сопровождаемое введением радикала, соответствует образованию нор-
нормальной подгруппы. Тогда решение Е в радикалах возможно только,
если Ge молено привести к тождественной перестановке цепочкой нор-
нормальных подгрупп (вложенных некоторым образом). Если Е — общее
уравнение степени п, то Ge = Sn, и теорема Руффини и Абеля восста-
восстанавливается, если показать, что Sn не имеет такой цепочки нормальных
подгрупп [см., например, Диксон A903)].
Этот краткий набросок идей Галуа охватывает лишь часть его те-
теории. Другая часть — его теория полей, которая необходима, чтобы
внести ясность в понятие рациональной функции. Теория групп и тео-
теория полей составляют то, что в настоящее время известно как «теория
Галуа» [см., например, Эдуарде A984)]. То, что можно посчитать вер-
вершиной теории Галуа, поднимающееся выше пределов алгебры, в насто-
настоящее время забыто. Это решение уравнений с помощью эллиптических
и родственных функций, о котором следует справляться в более ста-
старых книгах, таких как книги Жордана A870) и Клейна A884). Вели-
Величайший триумф этой теории заключался в решении общего уравнения
пятой степени при помощи эллиптических модулярных функций Эр-
митом A858), который последовал за указанием Галуа A831а).
Упражнения
Простейший тип перестановки — транспозиция, которая меняет
местами два предмета, а другие оставляет без изменений.
19.2.1 Покажите, что любая перестановка — это произведение транспо-
транспозиций, то есть, любого расположения п предметов молено достичь
многократными перегруппировками.
Группа Sn всех перестановок п предметов имеет важную под-
подгруппу Ап, состоящую из перестановок, которые четные в следующем
смысле.
Четная перестановка / множества {1,2, ..., п} — перестановка
с четным количеством инверсий, то есть, пар (i,j) для которых i < j
и /(г) > f(j) [Крамер A750), с. 658]. Это можно представить, разместив
числа 1,2, ..., п в две строки, одну над другой, и прочертив линию от к
в верхней строке до f(k) в нижней строке. Рисунок 19.1 иллюстрирует
перестановку /A) = 2, /B) = 3, /C) = 1 этим способом.
352 Глава 19
Рисунок 19.1: Схема перестановки
19.2.2 Объясните, почему перестановка четная тогда и только тогда, ко-
когда ее схема имеет четное число пересечений.
19.2.3 Покажите, что пересечение четных перестановок четное, и, сле-
следовательно, что четные перестановки {1,2, ..., п\ образуют груп-
группу Ап.
19.2.4 Покажите, что четность не зависит от того, как присвоены п пред-
предметам числа 1,2, ..., п. (Подсказка: если числа переставляются д,
покажите, что перестановка / заменяется на перестановку д~х fg.)
19.2.5 Если д — нечетная перестановка, то есть, д е Sn — Ап, покажите,
что множество дАп = {gf : / ? Ап} — все нечетные перестановки
в Sn, следовательно, Ап содержит как раз половину членов Sn.
19.127. Группы подстановок
Галуа понимал «группу» в смысле группы подстановок конечного
множества, поэтому его определение только устанавливало, что произ-
произведение двух перестановок в группе доллсно опять быть членом группы.
Ассоциативность, единичность и обратные элементы были следствиями
его допущений, и, несомненно, слишком очевидными, чтобы считаться
важными с его точки зрения. Работа Галуа была опубликована лишь
в 1846 году, и к тому времени теория конечных групп подстановок была
подхвачена и систематизирована Коши A844). Коши в своем определе-
определении группы так лее требовал только замыкания под действием произ-
произведения, но он осознал важность единичности и обратных элементов,
введя обозначение 1 для единичности и f^1 для обратного элемента /.
Кэли A854) первым рассмотрел возможность более абстрактных
элементов группы, и вместе с ней необходимость постулировать ассоци-
ассоциативность. (Мелсду прочим, одна из немногих групп, для которых ассо-
ассоциативность неочевидна, — группа, определяемая построением хорды
на кубической кривой: см. разделы 11.6 и 16.5). Он положил, что эле-
элементами группы являются просто «символы», с символическим произ-
произведением Аи В, записанным А-В, и при соблюдении закона А-(В-С) =
= (А ¦ В) ¦ С, а также однозначный элемент 1, при соблюдении зако-
законов А-1 = 1-А = А. Он по-прежнему допускал, что всякая группа была
конечна, однако это значило, что существование обратных элементов
не нужно было постулировать, только справедливость сокращения.
19.127. Группы подстановок
353
Существование обратных элементов в конечной группе G, как
определено Кэли, следует из аргумента, который использовал Коши
A815) и более полно развил в Коши A844). Если A G G, то все степе-
степени А2, А3,... принадлелсат G, и, следовательно, они, в конечном итоге,
включают рекурсию одного и того лее элемента
Ат =АГ
где т < п.
Тогда, допуская, что справедливо сокращение Ат с обеих сторон, Ап т -
единичный элемент 1, и Ап~т~1 — обратный элемент А.
Необходимость сначала постулировать обратные элементы возни-
возникает с бесконечными группами, где этот аргумент больше не прием-
приемлем. Геометрия исторически была важнейшим источником бесконеч-
бесконечных групп, как мы увидим в разделе 19.5. Именно в расширении тео-
теории абстрактных групп Кэли, которая охватывает группы симметрии
бесконечных мозаик, Дик A883) впервые упомянул об обратных эле-
элементах в определении группы. Мы вернемся к понятию группы Дика
в разделе 19.6.
Теорема Кэли A878) показывает, что абстрактность понятия груп-
группы, в некотором смысле, пуста, потому что всякая группа, по существу,
та же, что и группа подстановок. Кэли доказал теорему только для
конечных групп, где она более ценна, но доказательство легко распро-
распространяется на произвольные группы (см. упражнения).
Упражнения
Доказательство теоремы Кэли идет следующим образом. При на-
наличии любой группы G, свяжите любой д в G с функцией хд, которая
передает каждый h e G в hg.
19.3.1 Покажите, что функция хд — перестановка G, показывая, что ее
влияние можно аннулировать функцией хд^1.
19.3.2 Покажите, что различные элементы группы gi,g2 дают различ-
различные функции xgi, xg2, и, следовательно, что мелсду элементами д
в G та перестановками хд группы G имеется взаимно однозначное
соответствие.
19.3.3 Покажите, что перестановка G получена применением хд\, то-
тогда хд2 — перестановка, полученная применением
354
Глава 19
Поэтому группа подстановок хд изоморфна группе G, в том смыс-
смысле, что между их элементами имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие, которое сохраняет произведения. Это точный способ высказать,
что G — «по существу, такая лее», как и группа подстановок.
19.128. Группы многогранников
Прекрасную иллюстрацию теоремы Кэли, что всякая группа яв-
является группой подстановок, обеспечивают правильные многогранни-
многогранники, группы симметрии которых оказываются важными подгруппами 5*4
и 5*5. Правильные многогранники также показывают нам более бук-
буквальное, геометрическое, значение «симметрии». Если мы представим
многогранник Р, занимающий область R в пространстве, то симмет-
симметрии Р можно рассматривать как различные пути подбора Р в R. Всякая
симметрия получена вращением из исходного положения, и произведе-
произведение симметрии есть произведение вращений.
Мы начинаем с симметрии тетраэдра Т: Т имеет четыре верши-
вершины, У1,У>,Уз,У4, поэтому всякая симметрия Т определяется переста-
перестановкой четырех предметов V\, Уз, Уз, У а- Здесь 4x3 = 12 симметрии,
потому что У\ можно поместить на любую из четырех вершин R, по-
после чего для остающегося треугольника вершин У>, Уз, Уа остаются три
выбора. Молено проверить (используя тот факт, что перестановка, ко-
которая оставляет один элемент неподвижным и вращает три других, —
четная), что все симметрии Т — четные перестановки У, У2, Уз, У*- Но
подгруппа Aj всех четных перестановок в 5*4 имеет - х 4! = 12 элемен-
элементов по упражнениям в разделе 19.2, поэтому группа симметрии Т —
именно А^.
Полную группу подстановок 5*4 молено реализовать симметриями
куба. Четыре элемента куба, которые переставляются, — длинные диа-
диагонали АА', В В', СС, DD' (рисунок 19.2). Сначала следует проверить,
что каждая перестановка диагоналей действительно реализуема. Во
время выполнения этого станет очевидно, что положение диагоналей
(имея в виду, что конечные точки молено поменять местами), действи-
действительно, определяет пололеение куба (упраленение 19.5.1). 5*4 — также
группа симметрии октаэдра, вследствие двойственного отношения меж-
между кубом и октаэдром, которое видно на рисунке 19.3. Каледая симмет-
симметрия куба, несомненно, является симметрией его двойственного октаэд-
октаэдра, и обратно.
Рисунок 19.2: Куб и его диагонали
19.128. Группы многогранников
355
Таким же образом, двойственное отношение между додекаэдром
и икосаэдром (рисунок 19.3) показывает, что они имеют одинаковую
группу симметрии. Этой группой оказывается А$, подгруппа четных
перестановок в 5*5. Пять элементов додекаэдра, четные перестановки
которых определяют эти симметрии, — это тетраэдры, образованные
из мнолееств четырех диагоналей [см. рисунок 19.4, который взят из
Коксетера и Мозера A980), с. 35].
Рисунок 19.3: Двойственные многогранники
Рисунок 19.4: Тетраэдры в додекаэдре
Более подробную информацию о группах многогранников см.
Клейн A884). Эта книга связывает теорию уравнений с симметрия-
симметриями правильных многогранников и функциями комплексной перемен-
переменной. Комплексная переменная появляется, когда правильные много-
многогранники заменяются правильными мозаиками сферы С U {оо}, и их
симметрии дробно-линейными преобразованиями, как в разделе 18.6.
Клейн A876) показал, что, с тривиальными исключениями, все конеч-
конечные группы дробно-линейных преобразований возникают из симметрии
правильных многогранников этим способом.
Правильные многогранники также являются источником другого
подхода к группам: представлению порождающими элементами и со-
соотношениями. Гамильтон A856) показал, что группа икосаэдра может
пороледаться тремя элементами л, х, А в зависимости от отношений
= х3 = А5 = 1,
А = ьХ-
A)
Это означает, что каждый элемент группы икосаэдра является произ-
произведением (возможно, с повторениями) л, х, А, и, что любое соотношение
между л,х, А следует из отношений A). Дик A882) дал похожие пред-
представления групп куба и тетраэдра и для групп некоторых конечных
мозаик, как часть первого общего обсуждения порождающих элемен-
элементов и соотношений. Мы вернемся к этому в разделе 19.6.
Упражнения
19.4.1 Покажите, что каждый элемент диагоналей куба реализуем, на-
например, показав, что реализуема каждая транспозиция.
19.4.2 Покажите, что перестановка диагоналей однозначно определяет
положение куба.
356
Глава 19
19.129. Группы и геометрии
Как показывают правильные многогранники, геометрическая сим-
симметрия — фундаментально теоретико-групповое понятие. В более об-
общем смысле, многие понятия «эквивалентности» в геометрии молено
объяснить как свойства, которые сохраняются определенными груп-
группами преобразований. Однако, необходим был некоторый пересмотр
классических понятий, прежде чем геометрия могла извлечь пользу из
теоретико-групповых идей.
Старейшее понятие геометрической эквивалентности — это поня-
понятие конгруэнтности. Греки понимали, что фигуры F\ и F^ конгру-
конгруэнтны, если имелось движение твердого тела F\, которое выносило его
в F2. Недостаток этой идеи заключался в том, что движение имело зна-
значение только для отдельной фигуры. «Произведение» движений раз-
различных фигур не имело значения, и, следовательно, групп движений
не имелось.
Шаг, который проложил путь к введению теории групп в геомет-
геометрию, заключался в распространении Мёбиусом A827) идеи движения
на всю плоскость; он придал смысл произведению движений. Факти-
Фактически, Мёбиус рассмотрел все непрерывные преобразования плоско-
плоскости, которые сохраняют прямоту линий и уделил отдельное внимание
нескольким подклассам этих преобразований: тем, которые сохраня-
сохраняют длину (конгруэнтностям), виду (подобиям) и параллелизму (аф-
финностям). Он показал, что самые общие непрерывные преобразова-
преобразования, которые сохраняют прямоту, — как раз проективные преобразова-
преобразования. Таким образом, одним ударом Мёбиус определил понятия конгру-
конгруэнтности, подобия, аффинности и проективной эквивалентности как
свойства, которые инвариантны под действием определенных классов
преобразований плоскости. То, что рассматриваемыми классами были
группы, стало очевидно, как только признали понятие группы. Имен-
Именно признак медлительности, с которой было признано понятие группы,
обусловило переформулировку идей Мёбиуса в понятиях групп только
у Клейна A872).
Формулировка Клейна получила известность как Эрлангенская
программа, потому что он объявил о ней в Эрлангенском университете.
Его идея заключалась в том, чтобы связать каждую геометрию с груп-
группой преобразований, которые сохраняют ее характеристические свой-
свойства. Например, евклидова геометрия плоскости ассоциируется с груп-
группой преобразований плоскости, которые сохраняют евклидово рассто-
расстояние у/(х2 - xiJ + (у2 -yiJ между точками (xi,yi) и (х2,у2). Про-
19.129. Группы и геометрии
357
ективная геометрия плоскости ассоциируется с группой проективных
преобразований. Гиперболическая геометрия плоскости, принимая во
внимание проективную модель, может ассоциироваться с группой про-
проективных преобразований, которые отображают единичный круг на се-
себя. Важное влияние на Эрлангенскую программу, несомненно, оказали
Кэли A859), где эта группа была впервые показана для определения
геометрии, и последующее осознание Клейном A871), что элементы
этой группы — движения твердого тела гиперболической геометрии.
Когда геометрия была заново сформулирована таким образом,
определенные геометрические вопросы стали вопросами о группах.
Правильная мозаика, например, соответствует подгруппе полной груп-
группы движений, состоящей из тех движений, которые отображают моза-
мозаику на себя. В случае гиперболической геометрии, где задача класси-
классификации мозаик представляет большую сложность, взаимосвязь меж-
между геометрией и теоретико-групповыми идеями оказалась очень пло-
плодотворной. В работе Пуанкаре A882,1883) и Клейна A882b) теория
групп явилась катализатором нового синтеза геометрических, топо-
топологических и комбинаторных идей, которые описаны в разделах 19.6
и 22.7.
Упражнения
Если мы рассматриваем геометрические объекты (точки, линии,
кривые и т. п.) как подмножества X пространства S, то отношения,
такие как конгруэнтность, возникают из групп преобразований S сле-
следующим образом. Имеется группа G отображений д : S —> S, и каждый
геометрический объект X имеет G-орбиту {д(Х) : д G G}, состоящую
из объектов, на которые отображается X элементами G.
Например, если Д — треугольник в плоскости R2 и G состоит из
всех преобразований R2, которые сохраняют длину, то {д(Д) : д(? G}
состоит из всех треугольников, конгруэнтных Д. Этот пример показы-
показывает, что члены одной и той же G-орбиты «эквивалентны» в извест-
известном смысле, который зависит от G. Действительно, этим способом мы
всегда получаем отношение эквивалентности из группы. Вот другой
пример.
19.5.1 Если G = {подобия R2}, то что такое {д(Д) : д G G} для треуголь-
треугольника Д?
Для любой группы G преобразований мы определяем отноше-
отношение X =а Y («X — G-эквивалентно Y») между подмножествами X, Y
358
пространства S через
Глава 19
X находится на G-орбите Y.
Тогда групповые свойства G означают следующие свойства отноше-
отношения =G.
19.5.2 Покажите, что отношение =g имеет свойства
X =G X, (рефлексивность)
X =а Y <^^> Y =а X, (симметричность)
X ^GYnY ^G Z ^^- X ^G Z. (транзитивность)
19.5.3 В каких моментах ваше решение упражнения 19.5.2 включает
существование единичности, существование обратных элементов
и существование произведений в G?
Свойства в упражнении 19.5.2 показывают, что =<з — отношение
эквивалентности, согласно определению в упражнениях к разделу 2.1.
Там также замечено, что свойства рефлексивности и транзитивности
фактически означают симметрию, при условии, что транзитивность
формулируется в стиле Общего понятия 1 Евклида: «Вещи, которые
эквивалентны одной и той же вещи, эквивалентны друг другу».
19.5.4 Докажите Общее понятие 1 для =G:
^а Z.
Вы заметите, что это доказательство включает обратные величи-
величины, которые ранее были необходимы только для доказательства сим-
симметрии. Это подтверждает, что евклидово Общее понятие 1 в некото-
некотором смысле является комбинацией и транзитивности, и симметрии.
19.130. Комбинаторная теория групп
Как говорилось в разделе 19.4, группы правильных многогранни-
многогранников были первыми, которые определили на основе порождающих эле-
элементов и соотношений. Однако, с конечными группами, такими как эти,
занимаешься, главным образом, простотой и элегантностью представ-
представления; вопрос о существовании не возникает. Что касается любой ко-
конечной группы G, молено тривиально получить конечное множество по-
порождающих элементов (а именно, всех элементов дг, ..., дп группы G)
19.130. Комбинаторная теория групп
359
и определяющих соотношений (а именно, всех уравнений gigj = g^, вы-
выполняющихся среди порождающих элементов). Конечно, тот лее аргу-
аргумент дает бесконечное множество порождающих элементов и опреде-
определяющих соотношений для бесконечной группы, но это также неинте-
неинтересно. Реальная проблема заключается в том, чтобы найти конечные
множества порождающих элементов и определяющих соотношений для
бесконечных групп, где возможно.
Впервые эта задача была решена для групп симметрии некоторых
правильных мозаик студентом Клейна, Диком, и такие примеры были
основой первого систематического изучения порождающих элементов
и соотношений. Статьи Дика A882,1883) заложили основы этого подхо-
подхода к теории групп, который сейчас называется комбинаторным. Боль-
Больше специальной информации, а также подробную историю развития
комбинаторной теории групп, см. Чандлер и Магнус A982).
Рисунок 19.5 иллюстрирует, как поролсдающие элементы и соотно-
соотношения естественным образом возникают из мозаик. Эта мозаика осно-
основана на правильной мозаике евклидовой плоскости из единичных квад-
квадратов, но каждый квадрат был разделен на черные и белые треугольни-
треугольники, чтобы исключить симметрии вращения и отражения. Симметрии,
которые остаются, поролсдаются
1. горизонтальным переносом длины 1
2. вертикальным переносом длины 1
Эти порождающие элементы подчинены очевидному соотношению
ab = Ьа,
которое означает, что любой элемент группы молсет быть записан в ви-
виде ambn. Если д = amibni и h = а7™2б™2, то д = h только, если mi = тч
ип[ = П2, то есть, только, если д = h — следствие соотношения ab =
= Ьа. Поэтому все соотношения g = h в группе вытекают из ab = Ьа,
которое означает, что последнее соотношение — определяющее соотно-
соотношение группы.
Рисунок 19.15: Мозаика плоскости
Очевидность определяющего соотношения в этом случае затмевает
от нас тот факт, который становится яснее с мозаиками гиперболиче-
гиперболической плоскости: порождающие элементы и соотношения можно чи-
читать с мозаики. Элементы группы соответствуют клеткам в мозаике,
в настоящем примере квадратам. Если мы задаем квадрат, соответ-
соответствующий единичному элементу 1, то квадрат, на который посылается
360
Глава 19
квадрат 1 элементом группы д, молено назвать квадратом д. Порожда-
Порождающие элементы а±х, 6±х — это элементы, которые посылают квадрат 1
на смежные квадраты. Они порождают группу, потому что квадрат 1
можно послать на любой другой квадрат рядом перемещений от квад-
квадрата на смелсный квадрат. Соотношения соответствуют равным после-
последовательностям перемещений и, что означает то лее самое, последова-
последовательностям перемещений, которые возвращают квадрат 1 на его исход-
исходную позицию. Все эти последовательности молено вывести из контура
вокруг вершины (рисунок 19.6), то есть, последовательности aba~1b~1.
Поэтому все соотношения выводятся из аЪа~1Ъ~1 = 1 или, что то лее
самое, ab = Ьа.
Рисунок 19.6: Контур вокруг вершины
Обобщая эти идеи, Пуанкаре A882) показал, что группы симмет-
симметрии всех правильных мозаик, будь то сферы, евклидовой плоскости или
гиперболической плоскости, молено представить конечным числом по-
роледающих элементов и соотношений. Пороледающие элементы соот-
соответствуют перемещениям основной клетки на смежные клетки, и, сле-
следовательно, сторонам основной клетки; определяющие соотношения со-
соответствуют своим вершинам. Эти результаты также были важны для
топологии, как мы увидим в главе 22.
Понятие группы, абстрагированное от таких примеров, было вы-
выражено отчасти специальным образом, включающим нормальные под-
подгруппы, Диком A882). Следующий, более простой подход, был разра-
разработан Деном и использовался студентом Дена, Магнусом A930). Груп-
Группа G определяется множеством {а\,а2, ¦¦¦,} порождающих элемен-
элементов и множеством {W=W{, W^ = W2, ..., } определяющих соотноше-
соотношений. Каждый порождающий элемент сц называется буквой; сц имеет
обратный элемент аГ1 и произвольные конечные последовательности
(«произведения») букв и обратных букв называются словами.
Слова W\, W называются эквивалентными, если W = W — след-
следствие определяющих соотношений, то есть, если W молено обратить
в W последовательностью замен подслов W; на W/ (или наоборот) и со-
сокращением (или вставкой) подслов сца^1, а^сц. Элементы G — классы
эквивалентности
[W] ={W :W эквивалентно W},
и произведение элементов [U], [V] определяется
V] = [UV],
19.131. Биографические заметки: Галуа
361
где UV обозначает результат соединения в цепь слов U, V. Следует
проверить, что это произведение вполне определено, но как только это
сделано, свойства группы 1), 2) и 3) раздела 19.1 вытекают естественно.
Упражнения
Вот как проверяется, что классы [W] имеют групповые свойства.
19.6.1 Если U эквивалентно U', покажите, что UV эквивалентно U'V.
Сделайте вывод, используя этот и похожий результат для V,
что произведение [f"][V] независимо от выбора представителей
для [U][V].
19.6.2 [U]([V][W]) = ([U][V])[W] тривиально. Почему?
19.6.3 Покажите, что 1 = классу эквивалентности пустого слова.
19.6.4 Покажите, что
, где W^1 — результат записи W
в обратном направлении и изменения знака каждого показателя
степени.
19.131. Биографические заметки: Галуа
Эварист Галуа (рисунок 19.7) родился в городе Бур-ла-Рен близ
Парилеа в 1811 году и умер от ран, полученных на дуэли, в Парилее
в 1832 году. Трагедия и тайна его короткой леизни сделали его самой
романтической фигурой в математике, и несколько биографов подда-
поддались искушению дать Галуа роль непонятого гения и жертвы истэ-
истэблишмента. Однако Ротманом A982) на основании многих документов
подтверледено, что Галуа с трудом подходит на эту роль. Хотя извест-
известные факты из его леизни должны удовлетворить леаледу драмы кого
бы то ни было, его трагедия имеет более классическую природу, корни
которой лелеат в характере самой жертвы.
Рисунок 19.7: Эварист Галуа в возрасте 15 лет
Галуа был вторым из трех детей Николя-Габриеля Галуа, дирек-
директора пансиона и позлее мэра Бур-ла-Рен, и Аделаиды-Мари Демант,
которая происходила из семьи юристов. Оба родителя были хорошо об-
образованы, и у Галуа, по-видимому, было счастливое, пусть необычное
детство. До 12 лет его всецело обучала мать, ярая поклонница клас-
классического образования, которая исподволь внушала ему знание латы-
латыни и греческого и увалеение к морали стоиков. Его отец был гораздо
362
Глава 19
меньшим стоиком, но отличался иным образом, будучи республикан-
республиканцем в том время, когда Франция возвращалась к монархии. В октябре
1823 года Эварист поступил в лицей Луи-ле-Гран, известную школу,
в числе учеников которой были Робеспьер и Виктор Гюго, и позлее
математик Шарль Эрмит, который нашел трансцендентное решение
уравнения пятой степени. По-видимому, в истории семьи Галуа вообще
не было математиков, и он начал изучать ее в школе лишь в февра-
феврале 1827 года. Для того чтобы делать такие успехи, какие делал он, он
должен был поглощать математику с большей скоростью, чем кто-либо
еще в истории, за исключением, возможно, Ньютона в 1665-66 гг., по-
поэтому не удивительно, что впервые в его школьных отчетах отмечались
неудовлетворительные успехи по другим предметам. Его характеру да-
давали отрицательную оценку «странный» и «замкнутый», но также на-
начали говорить «незаурядный». На этом этапе Галуа изучал Геометрию
Лежандра и труды Лагранжа по теории уравнений и аналитических
функций. Он считал, что готов к поступлению в Политехническую шко-
школу, но из-за недостатка подготовки по обычной программе провалил
вступительный экзамен.
В 1828 году ему повезло изучать математику у учителя, который
признал его гений, Луи-Поля-Эмиля Ришара. Это привело к первой
публикации Галуа, статьи о непрерывных дробях, которая появилась
в Annales Жергона в марте 1829 года. Благодаря Ришару многие от-
отрывки из ранней работы Галуа все еще сохранились и были опубликова-
опубликованы Бурнем и Азра A962). Они включают школьные работы, спасенные
Ришаром и позлее сохраненные для потомства Эрмитом. Один фраг-
фрагмент из публикации 1828 года показывает, что Галуа, как Абель, на
первых порах считал, что он мог решить уравнение пятой степени.
Молено подумать, что публикация в уважаемом журнале была зна-
значительным поощрением для 17-летнего математика, но для Галуа этого
было недостаточно. Он имел зуб против экзаменаторов Политехниче-
Политехнической школы, за то, что его провалили, и его поддержал Ришар, который
заявил, что его следует принять без экзамена. Нет нулсды говорить, что
этого не произошло, но должны были последовать еще худшие разоча-
разочарования.
Галуа уже начал работать над своей теорией уравнений и предста-
представил свою первую статью по этому предмету в Парижскую Академию
в мае 1829 года. Рецензентом был Коши, и работа, видимо, даже про-
произвела на него благоприятное впечатление [см. Ротман A982), с. 89], но
месяц проходил за месяцем, а статье так и не удалось выйти. Затем,
в июле 1829 года, покончил лсизнь самоубийством отец Галуа. Причина
19.131. Биографические заметки: Галуа
363
была банальной, далее ребяческой — злобные нападки на него священ-
священника из Бур-ла-Рен — но они развязали политические страсти, с кото-
которыми Галуа-старший не мог совладать. Эварист также не смог совла-
совладать с потерей отца. Его недоверие к политическим и образователь-
образовательным институтам перешло в паранойю, и пожертвование собственной
жизнью, должно быть, внезапно показалось реальной возможностью.
Возможно, что последней соломинкой явилось то, что через несколь-
несколько дней после смерти отца он провалился на вступительном экзамене
в Политехническую школу во второй раз.
Несмотря на эти сокрушительные удары, Галуа упорно продол-
продолжал сдавать экзамены, и в ноябре 1829 ему удалось поступить в менее
престижную Нормальную школу. В начале 1830 года он увидел свою
теорию уравнений в печати (хотя не через Академию) с публикацией
трех статей. Однако более решающим событием 1830 года оказалась
Июльская революция против монархии Бурбонов. Она дала Галуа иде-
идеальный очаг для гнева касательно смерти отца и его собственных уни-
унижений, и он вышел из нее как смутьян-республиканец. Он подружился
с лидерами республиканцев Бланки и Распайем и начал политическую
агитацию в Нормальной школе, пока его не исключили в декабре 1830
года за статью, которую он написал против директора. В том лее месяце
Бурбоны белсали из Франции и, как говорилось в разделе 16.7, Коши
белсал с ними.
Сразу после исключения из Нормальной школы Галуа поступил
в Артиллерию Национальной гвардии, оплот республиканцев, чтобы
сосредоточиться на революционной деятельности. На банкете респуб-
республиканцев 9 мая 1831 года он предложил тост с ножом в руке, под-
подразумевавший угрозу против жизни нового короля, Луи-Филиппа. Га-
Галуа арестовали на следующий день и держали в заключении в тюрьме
Сент-Пелажи до 15 июня. Затем его судили за то, что угролсал жизни
короля, но его почти сразу же оправдали, очевидно, на том основании,
что он был молод и глуп. Оправдание было актом большой снисходи-
снисходительности, поскольку во время процесса Галуа дал волю своим взгля-
взглядам. Он признал, что, по-прежнему, намерен убить короля, «если он
предаст», и дополнил свою точку зрения, что «король скоро окажется
предателем, если уже не оказался таковым».
Второй раз Галуа арестовали в День взятия Бастилии в 1831 го-
году за незаконное хранение оружия и ношение формы Артиллерийской
гвардии (которую расформировали в конце 1830 года). Его содержали
в тюрьме Сент-Пелажи до октября и затем приговорили еще к ше-
шести месяцам. Галуа пришел в уныние, и однажды, думая о своем отце,
364
Глава 19
попытался покончить жизнь самоубийством. Поэтому он не был в вос-
восприимчивом настроении, когда он, наконец, услышал от Академии, что
они возвращают его рукопись, хотя его попросили представить более
полное описание своей теории. Галуа, действительно, начал переделы-
переделывать свою работу, но он излил большую часть своей энергии в преди-
предисловии, жестоком обвинении научного истэблишмента и академиков,
в особенности, тех, «у кого уже на совести смерть Абеля». Последние
шесть недель заключения он провел в частной лечебнице. Некоторых
заключенных перевели туда в качестве меры против холеры, эпидемия
которой разразилась тогда в Париже. В этом относительно приятном
окружении Галуа возобновил свои исследования, и ему удалось напи-
написать несколько философских очерков.
Его освободили 29 апреля 1832 года. Разочаровывающе мало из-
известно о следующем, последнем, месяце его жизни. Он написал своему
другу Шевалье 25 мая, выражая полное освобождение от иллюзий жиз-
жизни и намекая, что причиной была несчастная любовь. Этой женщиной,
видимо, была Стефани Дюмотель, дочь врача, живущего при частной
лечебнице. Сохранились два ее письма к Галуа, хотя они вымараны
(предположительно, самим Галуа), поэтому читаемы лишь частично.
В одном, датированным 14 мая, говорится: «Пожалуйста, давай разо-
разорвем наши отношения». В другом говорится о горе, которое ей при-
причинил кто-то еще, в такой манере, что Галуа мог почувствовать себя
обязанным встать на ее защиту. В этом ли заключалась причина роко-
роковой дуэли, мы не знаем. Возможно также, что Галуа чувствовал, что
дуэль нависает над его головой в течение длительного времени. Когда
его впервые посадили в тюрьму в 1831 году, одним из его товарищей
был Распай, который, в письме из тюрьмы 25 июля того лее года, при-
привел следующие слова Галуа: «И я говорю вам, я умру на дуэли из-за
какой-нибудь кокетки низшего сословия. Почему? Потому что она по-
попросит меня отомстить за ее честь, которую другой скомпрометировал»
[Распай A839), с. 89]. В письмах, которые он написал друзьям в ночь
накануне дуэли, Галуа снова говорит о «неизвестной кокетке».
Он также написал: «Простите тех, кто убьет меня, ибо они доброй
веры». Его противником, действительно, был товарищ-республиканец,
Пеше Дэрбенвиль. Авторы, которые любят теории заговора, с тех пор
предположили, что Дэрбенвиль на самом деле был агентом полиции,
но свидетельств в пользу этого не существует. Его революционные ве-
верительные грамоты были такие лее хорошие как у Галуа. Теория об
агенте полиции, по-видимому, скорее отражает недоумение двадцатого
века касательно дуэлей, того, что мы больше не понимаем или чему
19.131. Биографические заметки: Галуа
365
не симпатизируем (хотя мы, по-прежнему, аплодируем успешным дуэ-
дуэлянтам, таким как Бойяи и Вейерштрасс). Может быть, рационального
объяснения дуэли нет, но, без сомнения, самоубийство его отца и соб-
собственные саморазрушительные стремления Галуа были в числе усло-
условий, которые сделали ее возможной. Галуа был убежден, что он умрет
из-за чего-то незначительного и презренного, и трагедия состоит в том,
что он позволил этому случиться.
Трагедией для математики явилась неполнота работы Галуа на
время его смерти. В ночь накануне дуэли он написал длинное письмо
Шевалье, где обрисовал свои открытия и выразил надежду, что «неко-
«некоторые люди сочтут полезным разобраться в этом беспорядке». Шевалье
и Альфред Галуа (младший брат Галуа) позже скопировали математи-
математические статьи и послали их Гауссу и Якоби, но ответа не было. Первым,
кто добросовестно их изучил, был Лиувилль, который убедился в их
важности в 1843 году и договорился об их публикации. В 1846 году они,
наконец, появились, и к 1850-м гг. алгебраическая часть теории начала
проникать в учебники. Но, как говорилось в разделе 19.2, в ней было
нечто большее. Галуа также говорил о связях между алгебраическими
уравнениями и трансцендентными функциями и сделал таинственный
намек на «теорию неоднозначности». Последний, возможно, касался
многозначности алгебраических функций, и мы можем быть в извест-
известной степени уверены, что, что бы ни имел в виду Галуа, позднее было
заменено Риманом. Что касается трансцендентных функций, мы так-
также знаем, что Эрмит A858) успешно завершил одно из исследований
Галуа в решении уравнений пятой степени с помощью эллиптических
модулярных функций, и, что Жордан A870) выступил с теорией групп,
управляющей поведением таких функций. Однако эти результаты толь-
только царапают поверхность, и, по-прежнему возможно, что остается от-
открыть бблыную «теорию Галуа».
Глава 20
Гиперкомплексные числа
20.132. Взгляд на прошлое комплексных чисел
В главе 14 мы видели как в шестнадцатом веке при решении куби-
кубических уравнений впервые была осознана потребность в комплексных
числах. Математики вынуждены были включить \^—1 в ряды чисел
для того, чтобы согласовать очевидные действительные решения куби-
кубических уравнений с решениями, данными формулой Кардано. С тече-
течением времени комплексные числа также оказались необходимы в гео-
геометрии и анализе, как мы видели в главах 15 и 16. Оглядываясь на про-
прошлое, осознаешь, что в комплексных числах нет ничего «невозможно-
«невозможного» или «мнимого». Они такие же действительные, как так называемые
«действительные» числа, потому что два измерения такие же действи-
действительные, как одно. И они заслуживают такого же права называться
«числами», потому что у них такое же арифметическое поведение, как
и у действительных чисел.
Но если комплексные числа столь действительны, — и не просто
удачное побочное следствие формулы Кардано — их следовало заме-
заметить независимо, и ранее, в истории математики. В истории астрономии
есть похожая ситуация, которая может помочь доказать это положение.
Планета Нептун была открыта при помощи вычислений Адамса и Ле-
верьера в 1846 году, как мы знаем из раздела 13.2. Но, конечно, Нептун
уже был там, поэтому его могли наблюдать раньше, прежде, чем стало
понятным его особое значение. Это действительно произошло! Провер-
Проверка записей Галилея показала, что он наблюдал Нептун в 1612 году, не
понимая, что это планета.
Диофант провел аналогичное «наблюдение» комплексных чисел,
не понимания всех их свойств. Он не задумывался о г = \^—1, которое
мы сегодня склонны считать отправной точкой комплексных чисел, но
он сделал нечто еще, что в равной степени явилось решающим — он
оперировал парами обыкновенных чисел. Это происходит в его труде
20.133. Арифметика пар
367
о сумме двух квадратов, и это валено, потому что похожие наблюде-
наблюдения о суммах четырех и восьми квадратов предвещали открытие четы-
четырехмерных и восьмимерных «чисел», которые являются главной темой
этой главы. Из-за того, что эти «числа» имеет более высокую размер-
размерность, чем комплексные числа, их называют гиперкомплексными. Мы
увидим, насколько они заслуживают называться «числами», но сначала
полезно подготовить место действия, подробнее рассказав об открытии
Диофанта.
20.133. Арифметика пар
В Книге III, задаче 19 своей Арифметики Диофант отмечает
65 естественно делится на два квадрата двумя способами,
а именно, на 72 + 42 и 82 + I2, что происходит благодаря тому,
что 65 — произведение 13 и 5, каждое из которых — сумма
двух квадратов.
Видимо, он знает, что произведение сумм двух квадратов само является
суммой двух квадратов вследствие тождества
(а2 + b\){a22 + Ь\) = (aia2 =F bxb2J f
Как обычно, Диофант просто иллюстрирует общий результат, в этом
случае, принимая а\ = 3, &i = 2, а2 = 2 и Ъ2 = 1- Но позлее ма-
математики осознали, к чему он клонил: общее тождество наблюдалось
аль-Хазином около 950 г. н.э., комментировавшего как раз эту задачу
у Диофанта, и оно было доказано в Книге квадратов Фибоначчи в 1225
году.
Хотя Диофант говорит на языке произведений сумм квадра-
квадратов а? + б2, он, на самом деле, оперирует парами (а, 6), потому что он
считает а2 + Ь2 квадратом гипотенузы прямоугольного треугольника
с парой сторон а, Ь. Беря верхние знаки в своем тождестве, он опи-
описывает правило выбора двух треугольников (ai, 61), (а2, Ъ2) и создания
третьего треугольника {а\а2 — bi,b2,b\a2 + aib2), гипотенуза которого
является произведением гипотенуз двух треугольников, заданных пер-
первоначально.
Теперь, если мы интерпретируем (а, 6) как a+ib вместо треугольни-
треугольника, правило Диофанта является ничем иным, как правилом умножения
комплексных чисел, потому что
ih)(a2 + ib2) =
— 61 b2) + i(bia2 + aib2).
368
Глава 20
Его гипотенуза
б2 — это то, что мы называем абсолютным зна-
значением
а + ib\ числа а + ib, и его тождество (с верхними знаками) —
мультипликативное свойство абсолютного значения:
Таким образом, Диофант «наблюдал», в некотором роде, правило пе-
перемножения комплексных чисел, а также мультипликативное свойство,
которое оно подразумевает для абсолютного значения. Правда, здесь
нет правила сложения, которое берет пары (ai,6i),(аг, 6г) и создает
пару (ai + а,2, b\ + 62), поэтому у Диофанта нет реальной арифметики
пар — но это могло подождать.
Понятие комплексного числа должно было возникнуть в алгебре
и принять бремя геометрии и анализа, прежде чем математики почув-
почувствовали необходимость задать вопрос: что такое комплексное число?
Окончательный ответ был дан Гамильтоном A835): комплексное чис-
число — это упорядоченная пара (а, Ь) действительных чисел, и эти пары
складываются и умножаются в соответствии с правилами:
(abbi) + @2,62) =
(ai, 61) X (a2, 62) =
a2,6i + 62),
— 6162, 61GS2 + 0162).
Причина замены а + ib парой действительных чисел (a, 6), конечно,
заключается в удалении спорного объекта г = \/—Т. Как только это
сделано, легко найти правила сложения и умножения (ai, 61) и (аг, 6г).
Просто перепишите правила сложения и умножения а\ + ib\ и аг + г&г
в понятиях пар. Кажется, что это похоже на ловкий трюк — исполь-
использовать t2 = — 1, чтобы найти правило умножения, затем удалить г, —
пока мы не вспомним, что Диофант нашел правило умножения без
какой-либо помощи л/—Т-
Гамильтон осознал, что умножение пар действительных чисел са-
само по себе было важным вопросом. На самом деле, его интересовал
более важный вопрос умножения троек, четверок и т.д. Есть очевид-
очевидный способ сложения троек, например, сложение векторов
(ab6i,ci) + (a2,62,c2) =
a2,6i + 62,ci + c2),
которое обобщает n-кратные для любого п. Но что оно могло означать
для умножения троек? Правило умножения пар не обобщает никаким
очевидным образом. Гамильтона годами мучила эта проблема, и долгое
время его арифметика пар была единственным успехом, о котором он
20.133. Арифметика пар
369
вынужден был сообщать. Как мы увидим, она сыграла важную роль
в выяснении, что такое арифметика в одном и двух измерениях, и какой
ей следует быть в более высоких измерениях.
Упражнения
В случае, если есть какие-то сомнения, что умножение комплекс-
комплексных чисел молено было наблюдать, прежде чем были признаны сами
числа, вот еще одно мнение, Виета, в его Genesis triangolorum от при-
примерно 1590 года.
Виет независимо открыл правило Диофанта, которое берет два
треугольника и создает третий, но Виет использовал его ради совер-
совершенно иной цели. Вместо умножения гипотенуз, он захотел складывать
углы.
20.2.1 Предположим, что прямоугольный треугольник со сторонами а\, &i
имеет угол 9\, противоположный стороне Ь\, и прямоугольный тре-
треугольник со сторонами аг, 6г имеет угол $2 > противоположный сто-
стороне 02. Запишите tg6*i, tg6*2 и tgF*i + 62).
20.2.2 Выведите из вопроса 20.2.1, что прямоугольный треугольник со
сторонами а\п2 — 61&2, 6ict2 + ai&2 имеет угол 9\ +6*2. (Противопо-
(Противоположный какой стороне?)
20.2.3 Интерпретируйте результаты Диофанта и Виета в понятиях поляр-
полярной формы r(cos 9 + i sin 9) комплексного числа а + ib.
Делались даже предположения, что умножение комплексных чисел, по
крайней мере, «умножение пар» лежит в основе таинственной совокуп-
совокупности пифагоровых троек на Табличке 322 (раздел 1.2).
Для того чтобы полностью исследовать эти предположения, необ-
необходимо иметь полные тройки (а, 6, с) из упражнения 1.2.1. Оказывает-
Оказывается, что каждая пара (а, 6) имеет форму (aia,2 — 6162,6102 + 0162) для
некоторых меньших пар целых чисел (ai,6i) и (а2,&г)- То есть, а +
+ ib = (ai + ib{){a2 + гбг). Еще удивительнее, за исключением кратно-
кратного D5,60,75) тройки C,4,5), каждое а + ib — совершенный квадрат,
вплоть до множителя ±г. Вот некоторые из них, для которых это не
трудно проверить.
20.2.4 При (а, с) = A19,169) покажите, что 6 = 120, и, что 119 + 120г —
совершенный квадрат. Подсказка: Заметьте, что 169 = 132 =
= гипотенузе2.
370
Глава 20
20.2.5 Покажите, что аналогичный результат выполняется для (а, с) =
= A61,289).
20.134. Свойства + и X
В 1830-е гг. Гамильтон и его коллеги Пикок, Де Морган и Джон
Грейвс занимались идеей расширения понятия числа. Существующее
понятие числа уже было результатом ряда расширений — от натураль-
натуральных и рациональных чисел до действительных и комплексных чисел, —
и Пикок заметил, что здесь содержался некоторый принцип постоян-
постоянства. Молчаливо сходились во мнении, что некоторые свойства сло-
сложения и умножения следует продолжить, чтобы расширение понятия
числа было приемлемым.
«Постоянные» свойства в то время были не вполне ясны, но
бблыная их часть вылилась в определение поля, данное Дедекиндом
A871). У этого понятия был независимый источник, также около 1830
года, в работе Галуа о теории уравнений. Поэтому ради удобства мы
начнем с определения поля, и затем объясним его роль в поисках ариф-
арифметических п-кратных Гамильтоном.
Поле — это множество объектов, на которых определены опера-
операции + и — с некоторыми свойствами или «законами». Для того, что-
чтобы сформулировать кратко эти свойства, мы также используем опе-
операцию —. Заметьте, что — интерпретируется как оператор, который
превращает натуральное число а в отрицательную или аддитивную
обратную величину —а. Отрицание отрицания определяется так, что
всегда а = а, и считается, что разность а — Ъ будет а + (—6). Тогда
свойства + и — следующие:
а + F + с) = (а + 6) + с (ассоциативный закон)
а + 6 = 6 + а (коммутативный закон)
а + (—а) = 0 (свойство аддитивной обратной величины)
а + 0 = а (свойство 0)
Имеется похожий набор свойств, описывающий поведение х.
а х (Ь х с) = (а х Ь) х с (ассоциативный закон)
а х b = b х а (коммутативный закон)
а X 1 = а (свойство 1)
а х 0 = 0 (свойство 0)
20.135. Арифметические тройки и четверки 371
и правило для взаимодействия + и х:
ах (b + c) = axb + axc (дистрибутивный закон)
Свойства пока определяют то, что называется коммутативным
кольцом с единицей, типичный пример которого — множество Z целых
чисел.
Определяющие свойства поля — свойства, приведенные выше, на-
наряду с существованием мультипликативной инверсии а^1, которая
определяется для каждого а^Ои удовлетворяет
ах а 1 = 1.
(свойство мультипликативной инверсии)
Типичные примеры полей — системы рациональных чисел Q, действи-
действительных чисел R и комплексных чисел С.
Пытаясь узнать за пределами этих систем, Гамильтон руковод-
руководствовался еще одним свойством, которое у всех у них было общим:
существованием мультипликативного абсолютного значения, функ-
функции с действительными значениями 11, имеющей свойства
0,
ab\ = \а
Как мы видели в разделе 20.2, мультипликативное абсолютное значе-
значение для комплексных чисел, по существу, было открыто Диофантом,
задолго до открытия самих комплексных чисел. Гамильтон не подо-
подозревал об этом, потому что он не изучал теорию чисел, и он находился
в блаженном неведении относительно того, что должна была сообщить
теория чисел о мультипликативном абсолютном значении для троек.
Последующая история гиперкомплексных чисел могла бы быть совер-
совершенно иной, если бы он знал с чем он имеет дело.
20.135. Арифметические тройки и четверки
Диофантова Арифметика содержит многие результаты о суммах
двух квадратов. Это естественно, благодаря долгой истории пифагоро-
пифагоровых троек и собственному вкладу Диофанта в предмет, показавшего,
что суммы двух квадратов молено «перемножать». В ней также есть
несколько результатов о суммах четырех квадратов, которые приве-
привели Баше де Мезириака A621) к предположению, что всякое положи-
положительное число есть сумма четырех квадратов, и окончательному дока-
доказательству этого предположения Лагранжем A770). Однако Диофант
372
Глава 20
совсем немного говорит о суммах трех квадратов, и для него, вероят-
вероятно, было очевидным, что суммы трех квадратов нельзя перемножать.
Например, как 3 = I2 + I2 +I2, так и 5 = О2 + I2 + 22 — суммы трех
квадратов, но их произведение, 15, нет. Отсюда следует, что не может
быть быть тождества вида
Ь\
Ь\
с2,) =А2
С2
где А, В и С — комбинации ат,Ът и ст с целыми коэффициентами.
Это, в свою очередь, означает, что не может быть произведения троек
с мультипликативным абсолютным значением, по крайней мере, ес-
если А, В и С — такие комбинации ат,Ьт и ст.
В одной из самых необычайных оплошностей в истории матема-
математики Гамильтону не удалось заметить этот или какой-нибудь другой
факт, и он настойчиво продолжал поиск произведения троек в тече-
течение, по крайней мере, 13 лет (с 1830 по 1843 год). Большую часть этого
времени он надеялся достичь всех свойств поля, перечисленных выше,
наряду с мультипликативным абсолютным значением.
Следуя образцу комплексных чисел, он записал тройку (а, 6, с)
как a+ib+jc, сведя таким образом проблему мультипликации к опреде-
определению произведений i2,j2 и ij. Он хотел г2 = j2 = — 1, поэтому остава-
оставалось только найти действительные коэффициенты а, /3,7, так что ij =
= а + i/3 + J7- Но ничего не работало. В частности, казалось невоз-
невозможным примирить дистрибутивный закон с коммутативным законом
для умножения. В 1843 году он кратко рассмотрел построение ij = 0
(которое нарушило бы мультипликативное абсолютное значение), но
затем
создал то, что казалось мне менее строгим предположением,
а именно, предположение..., что
tj =
или что
ij = -\-k,ji = —к,
значение произведения к при этом по-прежнему остается
неопределенным... Это привело меня к пониманию, что, воз-
возможно, вместо того, чтобы придерживаться поиска троек,
таких как а + ib + jc или (a, b, с), нам следует рассмотреть
их только как несовершенные формы кватернионов, таких
как a-\-ib-\- jc-\- kd или (a, b, c, d), символ к при этом является
каким-то новым видом единичного оператора.
20.135. Арифметические тройки и четверки 373
[Гамильтон A853), стр. 143-144]
Поэтому Гамильтон отказался от коммутативного умножения, но
все остальное встало на место. Вот как он позже описал это, в письме
к сыну:
Но шестнадцатого числа месяца [а именно, октября 1843 го-
года], которое пришлось на понедельник и совещательный день
Королевской Ирландской академии — я пошел пешком по
Ройал-Кэнел, чтобы занять председательское место, и вме-
вместе со мной шла твоя мать,..., и хотя иногда она говорила
со мной, все же в моей голове шевелилась смутная мысль,
которая, наконец, дала результат... Электрический ток, по-
видимому, замкнулся, и произошла вспышка, вестник (как
я сразу предвидел) многих долгих лет направленной мысли
и работы в будущем... Я сразу достал записную книжку, ко-
которая по-прежнему существует, и тотчас же сделал запись.
Я не мог устоять перед желанием — может быть, оно был
нефилософским, — вырезать ножом на камне Бругэм Бридж
основную формулу с символами i,j, k:
i2=j2 = k2 = ijk = -l,
которая содержит решение Задачи, но, конечно, эта надпись
уже давно после того стерлась.
[Гамильтон A865)]
Записная книжка содержит не только значения ij,ji,jk,kj,ki,ik,
которые следуют из основной формулы, но также четыре составляю-
составляющих общего произведения кватернионов:
(a + ib + jc + kd)(a + iC + jj + kS) =(aa - bC - cj - dS)
+ i(aC + ba + cS - dj)
+ j(aj- bS + ca + dp)
+ k(aS + 67 - c/3+ da).
Как все его предыдущие попытки, отправной точкой Гамильто-
Гамильтона для его основной формулы была мультипликативность абсолютно-
абсолютного значения, или как он выразился: «модуль произведения равен про-
произведению модулей множителей». Это обобщает мультипликативность
374
Глава 20
абсолютного значения для комплексных чисел и показывает, что про-
произведение двух ненулевых кватернионов — ненулевое.
Квадрат абсолютного значения кватерниона а + /3i + jj + Sk есть
а2 + /З2 + 72 + 52, поэтому формула произведения для кватернионов
дает следующее тождество, которое показывает, что произведение сумм
четырех квадратов — это сумма четырех квадратов:
(а2 + Ь2 + с2 + d2)(a2 + /З2 + 72 + S2) =(аа + 6/3 - с7 - d6J
+ (а/3 + ba + c6- d7J
+ (aj -bS + ca + dCJ
+ (aS + Ъ~1 - ф + daJ.
Если бы Гамильтон изучал теорию чисел, он бы это знал, потому что
тождество было открыто Эйлером A748с) и использовалось Эйлером
и Лагранжем в доказательстве, что всякое натуральное число — сумма
четырех квадратов.
Гамильтон сначала думал, что его тождество четырех квадратов
было оригинальным, но в месяцы, последовавшие за открытием ква-
кватернионов, он и его друг Джон Грейвс подхватили новости о трех и че-
четырех квадратах. Для Грейвса стало ясным, что им никогда не следует
ожидать тождества трех квадратов, потому что 3=12 + 12 + 12и21 =
= I2 + 22 + 42 — суммы трех квадратов, но их произведение — нет.
Затем он справился в литературе и
В прошлую пятницу я заглянул в Theorie des Nombres (Тео-
(Теорию чисел) Лагранжа [он имел в виду Лежандра] и впервые
обнаружил, что в последнее время я шел по следу моих пред-
предшественников. Например, метод, который меня удовлетворил,
что общая теорема
{х\ +х22+ xl){yl + yl+ у\) = z\ + 4 + 4
была невозможна, именно тот метод, о котором упоминает Ле-
жандр, давая тот же пример, что пришел на ум мне, а имен-
именно, 3 х 21 = 63, невозможно составить 63 из трех квадратов.
Затем я узнал, что теорема
(х2 +х2
х2+ х2)(у2
была теоремой Эйлера.
у2 +у2 + у2) = z2 + z2
20.135. Арифметические тройки и четверки 375
[Грейвс A844), письмо к Гамильтону]
Соблазнительно думать, что Гамильтон мог бы открыть кватер-
кватернионы гораздо легче, если бы он знал о существовании тождества для
сумм четырех квадратов и его отсутствии для сумм трех квадратов.
Но процесс математического открытия редко такой гладкий. Возмож-
Возможно, безнадежная борьба с тройками была хороша для него, потому что
он не хотел, чтобы она была напрасной, или же, может быть, он не
желал оставить коммутативное умножение.
Упражнения
Молено проверить, что 15 не является суммой трех (целых) квад-
квадратов, попрбовав все возможные суммы квадратов 0,1,4,9, которые
меньше 15. Однако возможен гораздо более общий результат. Как пока-
показывают упражнения 3.2.1 и 3.2.2, ни одно натуральное число вида 8п+7
не является суммой трех квадратов.
Если бесконечно предоставлять находящиеся под рукой примеры
таких чисел, будет легко понять, как и Лелсандр, и Грейвс споткнулись
на примере 3 х 21.
20.4.1 Найдите наименьшее число вида 8п + 7 (следовательно, не сумму
трех квадратов), которое является произведением сумм трех нену-
ненулевых квадратов.
Мы также можем улучшить результат упражнения 3.2.2 до резуль-
результата о суммах рациональных квадратов (который был бы интереснее
Диофанту).
20.4.2 Покажите, что если есть рациональные х, у и z, так что х2 + у2 +
+ z2 = 7, то 7s2 — сумма трех целых квадратов для некоторого
целого s. Покажите, что последнее невозможно.
20.4.3 Обобщите аргументацию вопроса 20.4.2, чтобы показать, что 8п +
+ 7 не является суммой трех рациональных квадратов для любого
целого п.
Интересно, что Диофант действительно отметил (в Книге VI, за-
задаче 14), что 15 не является суммой двух рациональных квадратов.
Вопрос 20.4.3 показывает, что 15 даже не является суммой трех рацио-
рациональных квадратов, результат, который, возможно, также был известен
376
Глава 20
Диофанту, поскольку самые очевидные доказательства двух результа-
результатов похожи. (Для того чтобы доказать, что 15 не является суммой двух
рациональных квадратов, достаточно использовать остатки при деле-
делении на 4. Попробуйте!)
20.136. Кватернионы, геометрия и физика
Может быть, в момент открытия Гамильтон увидел, что кватерни-
кватернионы будут заслуживать его внимание всю его жизнь, но сначала даже
его лучшие друзья были настроены скептически. 26 октября 1843 года
Джон Грейвс написал ему:
Должно быть, вы были очень дерзко настроены, чтобы дать
начало счастливой идее, что ij может быть отлично от ji... Есть
ли у вас какой-нибудь представление о существовании в при-
природе процессов, или операций, или явлений, или концепций,
аналогичных кругообороту
ij = —ji = к
jk = -kj = i
ki = —ik = j?
И получив письмо от Гамильтона, где он дал понять о возможности
применения в физике и заявил, что кватернионы, несомненно, моле-
молено использовать, чтобы вывести теоремы сферической тригонометрии,
Грейвс ответил:
Все же в системе есть нечто, что приводит меня в замешатель-
замешательство. У меня до сих пор нет каких-либо ясных взглядов отно-
относительно меры, до которой мы вправе произвольно создавать
мнимые числа и наделять их сверхъестественными свойства-
свойствами... Но предположим, что ваши символы имеют свои физиче-
физические антитипы, которые могли привести вас к кватернионам,
какое право имеете вы на такую удачу, получив свою систему
таким изобретательным методом как ваш?
[Другие письма см. в биографии Гамильтона, написанной братом Грей-
вса, Робертом: Грейвс A975), т.3, с.443.]
Конечно, вопрос Грейвса об удаче был ироническим, но это все лее
хороший вопрос. Многие математики и физики поражались правомер-
правомерности применения чистой математики, чтобы теория чисел и алгебра
20.136. Кватернионы, геометрия и физика
377
стали геометрией и физикой. В случае кватернионов будущее сулило
еще больше сюрпризов.
Правда заключалась не только в том, что кватернионы имели
скрытый смысл для сферической геометрии, их геометрический аспект
улсе был открыт дважды раньше! Первом открытием была неопублико-
неопубликованная работа Гаусса A819) о вращениях сферы, о которой Гамильтон
мог не знать; вторым была публикация Родригеса A840), которая (ти-
(типично) ускользнула от его внимания.
Результат Гаусса объяснить легче всего, потому что мы улсе го-
говорили о нем в разделе 18.6: всякое вращение сферы молено выразить
комплексной функцией вида
/(*) =
-bz
Любую такую функцию можно представить матрицей ее коэффициен-
коэффициентов
\-Ь а
и легко проверить, что матрица /, /2 — произведение матриц для /i
и /г. Поэтому вращения сферы молено изучать через произведения мат-
матриц указанного выше типа, включая пары комплексных чисел а, Ь. Та-
Такую матрицу также можно записать в виде четырех действительных
параметров а,C,у,5, если мы пололеим
а = а + г/3 6 = у + iS.
И тогда результирующую матрицу мы можем записать как линейную
комбинацию четырех особых матриц с коэффициентами a,/3,j,S:
a b\ _ I a + iC j + i
—b a) \—"/ + iS a — i/3
0 1 +/Mo -i
= a\ n -,l+/3(n ", ]+7
0 1
-1 0
0 i
1 0
= al = /3i + 7J + 6k.
Четыре особые матрицы l,i,j,k играют роль l,i,j,k в кватернионах,
потому что
i2=j2 = k2=ijk = -l.
378
Глава 20
Действительно, те лее матрицы были открыты Кэли A858), который
предложил их как новую реализацию кватернионов. Сегодня, они часто
известны как матрицы Паули, особенно, в физике. Они вновь были
открыты в квантовой теории, где вращения сферы также валены.
Упражнения
Матрицы Кэли
0 1
г 0
0 -г
i=l- _„¦ J , J = I 1 п I , k = ( ,
0 1
-1 0
0 г
0
облегчают доказательство основных свойств кватернионов.
20.5.1 Покажите, что i2 = j2 = k2 = ijk = —1, а также, что ij = k и т. д.
Отсюда следует, что произвольный кватернион а + /Зг + jj + 6к
представлен комплексной матрицей
а + г/3 j + гё
—7 + г'8 а — г/3 I
Приятная особенность этого представления состоит в том, что квадрат
абсолютного значения кватерниона является просто детерминантом со-
соответствующей матрицы. Поскольку квадрат абсолютного значения на-
находится столь часто, ему также дали имя: норма.
20.5.2 Покажите, что
—7 +
Мультипликативность нормы следует тогда из мультипликативно-
мультипликативности детерминантов: det^B = det^4det?? для любых 2x2 матриц А
и В. Другие алгебраические свойства кватернионов также следуют
из свойств матриц, которые сегодня известны: сложение ассоциативно
и коммутативно; умножение ассоциативно, но не коммутативно; выпол-
выполняется дистрибутивный закон, и всякая матрица с ненулевым детерми-
детерминантом имеет мультипликативно обратную.
Кватернионы имеют операцию сопряжения, аналогичную сопря-
сопряжению в С. Определяется, что сопряженный элемент q = a+/3i+ji+6k
равен q = а — /3i — jj — Sk.
20.5.3 Покажите, что qq = a2+f32+y2 + 52 (норма \q\2 q) и, следовательно,
выразите мультипликативную инверсию q в обозначениях q и q \.
20.137. Октонионы
379
20.137. Октонионы
Гамильтон и его друг Джон Грейвс долго обсуждали проблему
определения умножения для троек и других n-кратных действитель-
действительных чисел. Открытие кватернионов явно катализировало собственные
размышления Грейвса об n-кратных, потому что к декабрю 1843 го-
года он смог сообщить Гамильтону о собственном интересном открытии:
системе восьмикратных с мультипликативным абсолютным значением,
которые он назвал октавами. Гамильтон поздравил Грейвса с откры-
открытием, но указал, что октавы были не столь приятны, как кватерионы,
потому что их умножение не только было некоммутативным, но так-
также неассоциативным. Он согласился устроить публикацию открытия
Грейвса, но ему не удалось довести ее до конца, в результате октавы
были заново открыты Кэли A845), прежде чем общеизвестным стал
приоритет Грейвса. Как следствие, их часто называют числами Кэли
или числами Кэли -Грейвса. Сегодня их обычно называют октониона-
ми, а их множество называется О.
Октонионы являются восьмикратными действительных чисел с обыч-
обычным сложением векторов и скалярным умножением. Стандартные ба-
базисные векторы A, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), @,1, 0, 0, 0, 0, 0, 0),..., @, 0, 0,0, 0, 0,1)
называются l,i,j,k,l,m,n,o, соответственно, поэтому любой октони-
он молено записать в виде
а + /3i + jj + Sk + el + Qm + цп + во.
Они удовлетворяют аксиоме о дистрибутивности, поэтому значение лю-
любого произведения октиниона определяется произведениями «мнимых
единиц» l,i,j,k,l,m,n,o. Квадрат каждой мнимой единицы состав-
составляет — 1, и на рисунке 20.1 дается описание всех произведений раз-
различных базисных векторов. Произведение любых двух базисных век-
векторов — третий вектор в «линии», их содерлеащей, со знаком плюс или
минус, определенный стрелкой и положением двух векторов в произ-
произведении. «Линии» включают круг, проходящий через i,j и к, и, фак-
фактически, предполагается, что все «линии» похожи на него, вам следует
представить прибавление третьего отрезка к калсдой из них, соединя-
соединяющего две конечные точки.
Рисунок 20.1: Произведения базисных векторов октониона
Гораздо более простое описание умножения октинионов дано Дик-
Диксоном A914), с. 15. Описание Диксона является обобщением определе-
определения умножения пар Гамильтона, оно фактически показывает, что одно
и то же построение создает С из R, Н из С и О из Н. Каждая система
380
Глава 20
состоит из упорядоченных пар (а, 6) из предыдущей системы, и пары
перемножаются по правилу
(ai,6i) X @2,62) =
— b2a2,b2ai + 61
где ~ обозначает операцию сопряжения, которая изменяет знак всех
мнимых единиц. (Это сопряжение не влияет на действительное число.)
В частности, октонионы можно рассматривать как пары (а, 6) кватер-
кватернионов а и 6. В этом случае важно отметить точный порядок произве-
произведений в определении, потому что произведение кватернионов обычно
не коммутативно.
Октонион р = а + /3i + 7J + Sk + el + С,т + rjn + во имеет квадрат
абсолютного значения, равный рр = а2 + /З2 + 72 + S2 + е2 + B + rj2 + в2,
поэтому мультипликативность абсолютного значения дает тождество,
выражающее произведение двух сумм восьми квадратов как суммы
восьми квадратов. Сделав это открытие, Грейвс поискал литературу
о таких тождествах и обнаружил тождество четырех квадратов Эйле-
Эйлера 1748 года (хотя, на самом деле, более позднюю его запись), а также
свое собственное тождество в статье Дегена A822). Таким образом, ок-
октонионы, как комплексные числа и кватернионы, дали первое указание
на свое существование в теории сумм квадратов.
Упражнения
Формулу Диксона
(ai, 61) X (а2, 62) = {а\а2 — 6261, &2CS1 + 6102")
можно взять как определение умножения октонионов, но сначала нам
следует проверить, что формула дает верное определение умножения
кватернионов. Это молено сделать, используя представление кватерни-
кватернионов Кэли при помощи 2x2 матриц комплексных чисел (упражне-
(упражнения 20.5.1 и 20.5.2). Калсдый кватернион а + /Зг + "/j + Sk представлен
комплексной матрицей
a + i/3 j + i/3
—7 + iS a — i/3
которую мы можем назвать M(a+i/3, j+iS), потому что она определена
парой комплексных чисел а + г/3,7 + iS. Тогда, если мы запишем эту
20.137. Октонионы
381
пару проще, как
а = а
Ъ = 7
г/3,
id,
она достаточна для доказательства, что произведение согласно Диксо-
Диксону: _ ^
(ai, 61) X (a2, 62) = (aia2 - 626i, 62ai + 61 a2)
соответствует произведению согласно матрицам Кэли. То есть, нам сле-
следует показать, что
M(a1,b1
20.6.1 Покажите, что
, 62) =
М(а,6) =
\, Ь2а\
а Ь
— b a
Откуда вычислите М{а\, bi)M(a2, b2) для любых комплексных чи-
чисел ai, 6i, a2, Ь2 и покажите, что она равняется М{а\а2 — Ь2Ь\, b2ai +
+ 6102").
Рисунком 20.1 для произведений октонионных единиц мы обяза-
обязаны Фрейденталю A951), и он показывает ij = к, как мы в самом деле
ожидали, потому что эти i,j,k ведут себя так лее, как кватернионные
единицы. Поскольку «линия» г —* j —* к замкнута стрелкой от к до г,
она также показывает kj = г, и таким лее образом (используя невиди-
невидимую стрелку от то до о) jm = о и то = j.
20.6.2 Проверьте, что те лее самые произведения вытекают из формулы
умнолеения Диксона, когда i,j,k,l,m,n,o определены на основе
кватернионных единиц i,j,k через
I = @,1),
* = (i, 0), то = @, Г),
o =
382
Глава 20
20.138. Почему
и О особенные
Ранее установленная гармония между тождествами двух квадра-
квадратов, четырех квадратов и восьми квадратов и нормами на С, И и тО
предполагает, что С, И и О не просто случайные странности, но дей-
действительно весьма особые структуры. Фактически, они уникальны. Ес-
Если мы определяем, что система гиперкомплексных чисел состоит из
n-кратных действительных чисел (п Ji 2) со сложением векторов, дис-
дистрибутивным умнолсением и мультипликативным абсолютным значе-
значением, то
• С — единственная система гиперкомплексных чисел, для которой
умножение коммутативно и ассоциативно. Это доказано Вейер-
штрассом A884).
• И — другая единственная система гиперкомлексных чисел, для ко-
которой умножение ассоциативно. Это доказано Фробениусом A878).
• О — другая единственная система гиперкомплексных чисел. Это
доказано Гуревичем A898). (В процессе этого, Гуревич доказал,
что n-квадратных тождеств, кроме как для п = 1, 2,4, 8, нет.)
С этого времени установлено, что С,Н и О имеют связи со мно-
многими другими «исключительными» структурами в математике. Одна
из самых замечательных — их связь с проективной геометрией через
теоремы Паппа и Дезарга.
Теорема Паппа — это теорема классической геометрии, которая
относится к проективной геометрии, по-видимому, случайно. Как ука-
указывалось в упражнениях к разделу 8.7, в ней утверждается, что, ес-
если вершины шестиугольника ABCDEF лежат попеременно на двух
прямых линиях, то пересечения противоположных сторон шести-
шестиугольника лежат на одной линии (рисунок 20.2).
Рисунок 20.2: Теорема Паппа
Эта теорема имеет смысл в проективной геометрии, потому что
она включает лишь точки и линии, и пересекаются ли они или нет, тем
не менее, ее доказательство содержит понятие расстояния. Теорема
Дезарга в плоскости тоже похожа на нее, как говорилось в разделе
8.3; это проективная теорема без проективного доказательства, и это
озадачивает еще больше, потому что теорема Дезарга в пространстве
имеет проективное доказательство.
20.138. Почему С.Н и О особенные
383
Удивительное объяснение этих явлений было раскрыто в работе
фон Штаудта A847) и Гильберта A899). В 1847 году фон Штаудт дал
геометрические построения знаков + и х, допуская, что калсдая проек-
проективная плоскость должна быть «координатизирована» гиперкомплекс-
гиперкомплексными числами. Затем в 1899 году Гильберт сделал удивительное от-
открытие, что геометрия проективной плоскости связана с алгеброй со-
соответствующей системы гиперкомплексных чисел:
• Выполняется теорема Паппа <?4> система коммутативна.
• Выполняется теорема Дезарга <?4> система ассоциативна.
Обратно, любая система гиперкомплексных чисел R дает проек-
проективную плоскость RP2 при помощи построения однородных координат,
по существу, как в разделе 8.5. Тогда по теореме Гильберта
• RP2 и СР2 удовлетворяют Паппа,
• HP2 удовлетворяет Дезарга, но не Паппа, и
• ОР2 не удовлетворяет ни то, ни другое.
Результаты Гильберта объясняют, почему теоремы Паппа и Дезар-
Дезарга не имеют проективных доказательств. Это происходит потому, что
эти теоремы не выполняются для всех проективных плоскостей, толь-
только для плоскостей с достаточной алгебраической структурой. Это за-
замечательный вклад алгебры в геометрию, но он также позволяет про-
проникнуть в противоположном направлении. Молено серьезно сказать,
что теорема Паппа «объясняет», почему Ей С имеют коммутативное
умножение, потому что проще (принятие меньшего количества акси-
аксиом) описать проективную плоскость, удовлетворяющую теореме Паппа,
чем описать поле. Это, возможно, самый замечательный аспект труда
Гильберта об основах геометрии. Он показывает, что долгая истори-
историческая тенденция превратить геометрию в алгебру, которая началась
с Ферма и Декарта, вероятно, может подойти к концу.
Упражнения
Сама схема октонионовых единиц Фрейденталя (рисунок 20.1) име-
имеет структуру проективной плоскости, вот почему мы воспользовались
названием «линии» для коллинеарных (или ко-круговых) троек точек
в ней.
384
Глава 20
20.7.1 Проверьте, что семь «точек» (октонионовых единиц) и семь «ли-
«линий» схемы Фрейденталя имеют следующие свойства.
• Через любые две «точки» проходит как раз одна «линия».
• Любые две «линии» имеют как раз одну общую «точку».
Такая структура называется конечной проективной плоскостью,
и она часто называется плоскостью Фано, в честь своего первооткры-
первооткрывателя. Схема облегчает доказательство того, что О не ассоциативна.
20.7.2 Найдите тройку октонионовых единиц а, Ь, с, так что a(bc) ф (ab)c.
Слабость мультипликативной структуры, когда мы строим систе-
системы гиперкомплексных чисел большей размерности (теряя коммутатив-
коммутативность с Н и ассоциативность с О) — указание, что мы не можем продол-
продолжать строить гиперкомплексные системы бесконечно. Действительно,
16-мерная система пар октонионов, с правилом умножения Диксона,
не имеет мультипликативного абсолютного значения. Это происходит
потому, что она включает «нулевые делители», ненулевые элементы,
произведение которых является нулевым элементом @, 0).
20.7.3 Покажите, что ненулевые пары (г, п), (к, I) октонионовых единиц
имеют произведение Диксона @,0). Кроме того, найдите другую
пару (а, 6) октонионовых единиц, так что (г, п.)(а, 6) = @, 0).
20.7.4 Покажите, что в любой системе с мультипликативным абсолютным
значением |, х ф 0 и у ф 0 означают ху ф 0. (Следовательно, си-
система пар октонионов не имеет мультипликативного абсолютного
значения.)
20.139. Биографические заметки: Гамильтон
Мир математики — мир логики и порядка, поэтому математики
стремятся искать порядок в своей личной жизни. Обычно они его нахо-
находят (иначе трудно заниматься математикой!), далее если человеческий
мир не очень организован. Но иногда они его не находят, и результатом
может быть и математическая, и человеческая трагедия. Один такой
пример — Галуа; другой — Гамильтон.
Уильям Роуан Гамильтон (рисунок 20.3) родился в Дублине в пол-
полночь, с 3 на 4 августа 1805 года. Его отец Арчибальд, юрист, и его
мать Сара заботились о нем до трех лет, но затем у них наступили
20.139. Биографические заметки: Гамильтон
385
финансовые трудности, и молодого Уильяма отослали жить с братом
Арчибальда, Джеймсом, и его женой Сидни. Дядя Джеймс Гамильтон
был англиканским викарием и школьным учителем в Триме, около 40
миль от Дублина, неясным исполнителем роли отца и воспитателем, но
с крайне эксцентричными методами обучения. Вот как он учил Уилья-
Уильяма писать в возрасте трех лет:
Джеймс напечатал на карточках каждое слово, которое он уже
писал, он начал со всякого односложного слова, в котором А —
заглавная буква, и т. д. по алфавиту, никогда не начиная с но-
новой группы, до тех пор пока он не мог произнести их по буквам
из книги и по книге; поиск осуществлялся в любой записной
книжке и словаре... поэтому сейчас он полностью обучен осно-
основам слов, которых недостает большинству детей, и, несомнен-
несомненно, многим взрослым людям... он собирается сейчас пройти их
в последний раз, и Джеймс теперь готовит слова из двух сло-
слогов. [Письмо Сидни к Саре Гамильтон, 17 октября 1808 года,
см. Грейвс A975), т. 1, с.31.]
Рисунок 20.3: Сэр Уильям Роуан Гамильтон
В это время Уильяма также обучали сложению, вычитанию и
умножению чисел до 10, но математика не играла большой роли в его
детстве. Дядя Джеймс, прежде всего, был поклонником классического
образования, интересовавшимся азиатскими языками, и Уильям был
идеальным учеником. В три года он начал изучать иврит, затем к пя-
пяти годам — латынь и греческий, в восемь итальянский и французский,
и к десяти годами — арабский, санскрит и персидский. И мы снова
слышим о математике только тогда, когда в письме к сестре Грейс
Уильям сообщает, что «я справился почти с половиной первой книги
Евклида с помощью дяди», прекрасное обычное достижение согласно
стандартам времени.
Гамильтон достиг поворотного момента своей интеллектуальной
жизни в 13 лет. Видимо, он решил, что знал достаточно языков, по-
потому что он прекратил знакомиться с новыми и написал небольшую
книжку о сирийской грамматике на благо других учащихся. В то лее
время он встретил другого мальчика, который мог победить его в ин-
интеллектуальном состязании, американского вундеркинда в счете Зира
Колберна. Подвиги Колберна постоянно оставляли Гамильтона дале-
далеко позади, как например, вычисление количества минут в 1811 году,
и разложение на множители чисел в миллиардах. Но далеко не обес-
обескураженный опытом, он хотел знать больше. Когда Колберн ушел из
386
Глава 20
умственной арифметической игры и вернулся двумя годами позлее как
актер, Гамильтон спросил его об его вычислительных методах, и обна-
обнаружил, что мог их упростить. Вероятно, это было его первым матема-
математическим исследованием.
В 1823 году Гамильтон поступил в Тринити-колледж в Дублине,
начав академическую карьеру необычайного разделения как в науке,
так и в классическом образовании. В течение следующих трех лет он
заложил основы своей блестящей математической жизни, но также,
увы, своей несчастной личной жизни. Гамильтон был романтиком, он
любил Ромео и Джулъету и поэзию Водсворта, и 17 августа 1824 года
он встретил девушку своей мечты, Катарину Дисней.
Ее семья дружила с его дядей Джеймсом, и некоторые из ее бра-
братьев на самом деле стали друзьями Гамильтона в Тринити-колледж.
Гамильтон влюбился в Катарину с первого взгляда, и она, видимо,
отвечала взаимностью на его чувство; но мальчик, который знал все
слова на всех языках, не смог выразить свою любовь к ней. Возможно,
он считал неуместным высказывать такие чувства, прелсде чем у него
появились перспективы для женитьбы, или прелсде, чем он был уверен
в ее чувствах; но, в любом случае, его колебание оказалось роковым.
В феврале 1825 года Катарина была помолвлена с более старшим и бо-
богатым поклонником, одобренным ее семьей, и 25 мая они поженились.
В отчаянии Гамильтон дошел почти до самоубийства и никогда полно-
полностью не оправился. Не был сокрушен лишь его математический дух.
По этому случаю он вернулся к своей первой важной математи-
математической статье, Theory of Systems of Rays (Теория систем лучей) бы-
была представлена в Королевскую Ирландскую академию в 1827 году. За
этой статьей об оптике последовало его назначение профессором астро-
астрономии и директором Дансинкской обсерватории, удивительное дости-
достижение в 22 года. Его слава росла, и в течение следующих нескольких
лет он подружился с несколькими людьми, которые оказали влияние
на его интеллектуальную жизнь: поэтами Водсвортом и Колбриджем,
математиками Джоном и Чарльзом Грейвсами, и их братом Робертом,
который, со временем, написал биографию Гамильтона.
Была также подготовлена сцена для следующего сердечного несча-
несчастья. В числе студентов Гамильтона в обсерватории в 1830 году был
молодой аристократ и астроном-энтузиаст по имени лорд Адар. Время
от времени он приглашал Гамильтона в фамильное поместье, Адар-
Мэнор в графстве Лаймрик. Там в 1831 году Гамильтон встретил вто-
вторую любовь своей жизни, Эллен де Вер, красивую и интеллигентную
20.139. Биографические заметки: Гамильтон
387
18-летнюю девушку, оценка которой романтической поэзии превосхо-
превосходила его собственную.
Видимо, они прекрасно подходили друг другу, и в это время у него
были деньги, положение и поддерлжа ее семьи. Как он мог потерпеть
неудачу? Только уступив перед первым признаком трудности! Эллен
опустила случайное замечание, что «она нигде не могла бы жить счаст-
счастливо, кроме как Каррафе» (ее доме). Гамильтон воспринял это как
вежливый, но твердый отказ, и это был конец ухаживаний. Он вновь
удалился залечивать свое раненное сердце, написав мучительный сонет
под названием К Э. де В. О том, как она сказала, что нигде не мог-
могла бы жить счастливо, кроме Каррафа. В свое время Эллен вышла
замуж за другого и, конечно, оставила Карраф.
Гамильтон вернулся к математике, чтобы облегчить боль, и в 1832
году поднял свою теорию оптики на новый уровень. Дополнение к его
Теории систем лучей в 1832 году представило сенсационное и беспре-
беспрецедентное открытие: новое физическое явление, предсказанное чистой
математикой. Им оказалось прежде незамечаемое коническое прелом-
преломление, в котором единственный луч света, входящий в пластину под-
подходящего кристаллического материала расходится как полый конус.
Предсказание Гамильтона было проверено экспериментально Гэмфри
Ллойдом в Тринити-колледж, и оно было первым из многих предска-
предсказаний. Два самые известные — предсказание электромагнитных волн
из уравнений Максвелла 1864 года, и изгибание света, предсказанное
общей теорией относительности Эйнштейна в 1915 году. Как в двух по-
последних случаях, успех Гамильтона не был счастливой случайностью.
Он был основан на глубокой и мощной математической теории, кото-
которая обобщена на другие ситуации, и теперь называется гамильтонова
динамика.
Вновь обретя некоторую веру в себя, в 1832 году Гамильтон на-
нашел то, что он назвал «туманной перспективой женитьбы» на Хелен
Бэйли, которая жила недалеко от него, и была на два года его старше.
Она была туманной, но на этот раз он ожесточился, чтобы сопротив-
сопротивляться любому противодействию. Несмотря на слабое здоровье Хелен
(о котором она сама его предупредила) и общее сопротивление своей
семьи, они поженились 9 апреля 1833 года. Они провели свой медовый
месяц в коттедже овдовевшей матери Хелен, где Гамильтон продолжил
работать над своими математическими статьями.
Когда они вернулись в его дом в Дансинкской лаборатории, се-
сестры Гамильтона, которые до этого вели хозяйство, уехали. Его бы-
бытовая жизнь превратилась в хаос, поскольку Хелен часто болела или
388
Глава 20
совсем отсутствовала, и в утешение Гамильтон стал зависеть от алкого-
алкоголя. Несмотря на это, его математическая работа не ослабевала. В 1835
году его возвели в рыцарское достоинство, в 1837 году избрали пре-
президентом Королевской Ирландской академии, и (как мы знаем) в 1843
году он открыл кватернионы.
Вероятно, верно, что Гамильтон потратил слишком много време-
времени на кватернионы. До своей смерти в 1865 году он сделал очень мало,
и немногие математики разделяли его энтузиазм. Тем не менее, кватер-
кватернионы изменили развитие математики, хотя и не так, как предполагал
Гамильтон. В 1880-х гг. Джозайя Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд
создали то, что мы знаем как векторный анализ, по существу, отде-
отделив действительную («скалярную») часть кватерниона от его мнимой
(«векторной») части. Последователи Гамильтона возмутились, увидев,
как от простых и элегантных кватернионов отрываются кусок за кус-
куском, но идея захватила физиков и инженеров, и, по-прежнему, власт-
властвует.
Есть, по крайней мере, три биографии Гамильтона, всех их сто-
стоит почитать. Три тома Грейвса [Грейвс A975)], по-прежнему, ценны,
пусть даже за большой объем переписки, который они содержат. Хан-
кинс A980) занимателен и авторитетен, с хорошим охватом матема-
математики. О'Доннелл проливает больше света на психологию Гамильтона
и занятно скептичен насчет его раннего развития в языках. Подробнее
о замечательном превращении кватернионов в векторный анализ см.
Кроу A967).
Глава 21
Алгебраическая теория чисел
21.140. Алгебраические числа
Целые числа — простейшие объекты в математике, но, как пока-
показывает история, их секреты глубоко скрыты. Для того чтобы внести
ясность в видимо простое понятие целого, аппелировали к широкому
кругу математических дисциплин, таких как геометрия, алгебра и ана-
анализ. В частности, по-видимому, полезно более широкое само понятие
числа. В разделе 5.4, например, мы видели, как можно вывести цело-
целочисленные решения уравнения Пелля х2 — Ny2 = 1 при помощи ир-
иррациональных чисел вида а + b^/N, и в разделе 10.6, как число A +
+ Vo)/2 помогает объяснить таинственную последовательность чисел
Фибоначчи. Это примеры способа, которым алгебраические числа по-
помогают пролить свет на поведение целых.
В девятнадцатом веке развилась мощная теория алгебраических
чисел, с целью пролить больше света на теорию обыкновенных чисел.
В этом отношении она была весьма успешной, но она также жила соб-
собственной жизнью, и в двадцатом веке ее понятия впитали абстракт-
абстрактные теории колец, полей и векторных пространств. Позлее в этой главе
мы кратко расскажем, как это произошло, но наша главная цель —
объяснить саму теорию алгебраических чисел, стимул для всего этого
развития.
Сначала нам следует сформулировать определение: алгебраическое
число — это число, которое удовлетворяет уравнению вида
а0 = 0, где o0loi, ...,aneZ.
Символ для целых чисел Z происходит от немецкого слова «Zahlen»,
означающего «числа». Мы иногда называем их «обыкновенными» или
рациональными, целыми, чтобы не смешивать с алгебраическими це-
целыми числами, определенными в разделе 21.3.
390
Глава 21
Алгебраические числа очевидно включают л/2 (решение х2 — 2 =
= 0), у/2 (решение х3 — 2 = 0) и менее очевидно л/2 + л/3 (см. упражне-
упражнение 21.1.1). Первыми математиками, которые систематически исполь-
использовали алгебраические числа в теории чисел, были Лагранж и Эйлер
приблизительно в 1770 году. Эффектный пример дан Эйлером A770),
когда он использовал алгебраическое число л/—2, чтобы доказать сле-
следующее утверждение Ферма: ж = 5иу = 3— единственное положи-
положительное решение в целых числах у3 = х2+2. (На самом деле, уравнение
восходит к Диофанту, который упомянул его решение в целых числах
в своей книге VI, задаче 17.)
Доказательство Эйлера неполное, но, по существу, правильное,
и позже мы завершим его при более близком изучении множе-
множества Z[a/—2] чисел а + 6л/—2, где a, 6 G Z. Оно проходит следующим
образом.
Предположим, что х и у — целые числа, так что у3 = х2 + 2. Тогда
Допуская, что числа вида а + 6л/—2 «ведут себя» как обыкновенные
целые числа, мы можем сделать вывод, что х + л/—2 и х — л/—2 — кубы
(поскольку их произведение — куб у3). То есть, имеются а, 6 ? Z, так
что
х + yf-2 = (а + бл/^гK
= а3 + За2Ьл/=2 + За62(-2) + 63(-2л/=2)
= а3 - баб2 + (За26 - 263)л/=2.
Уравнивая действительную и мнимую части, мы получаем
3 п 7,2
ж = а — оаб
1 = За26 - 263 = 6Cа2 - 262) для некоторых а, 6 ? Z.
Теперь единственные целые произведения, равные 1, — это 1 х 1 и (—
— 1)х(—1), следовательно, 6 = ±1, и, поэтому из второго уравнения а =
= ±1. Тогда единственное положительное решение для х имеет место
при а = —1, 6 = ±1, в этом случае х = 5, и, следовательно, у = 3. ¦
Этот удивительный полет фантазии, что числа а + 6л/^ «ведут
себя» как обыкновенные целые, можно действительно обосновать. Он
зависит от теории делимости в Z[\/^2], которая оказывается похожей
на делимость в Z, уже изученную в разделе 3.3.
21.141. Гауссовы целые числа
391
Упражнения
21.1.1 Покажите, что число л/2+ л/3 удовлетворяет уравнению ж4 — 10ж2 +
+ 1 = 0.
Прежде чем начинать изучение делимости в Z[л/—2] полезно воз-
возобновить наше знакомство с Z, особенно относительно поведения квад-
квадратов, кубов и их делителей.
21.1.2 Используйте однозначное разложение на простые множители, что-
чтобы показать, что положительное целое п является квадратом тогда
и только тогда, когда каждый простой множитель в разложении п
встречается в четной степени.
21.1.3 Если 1ит- положительные целые, не имеющие общего простого
делителя, и 1т — квадрат, используйте упражнение 21.1.2, чтобы
показать, что как I, так и т — квадраты.
21.1.4 Таким же образом покажите, что, если I тлт — целые, не имеющие
общего простого делителя, и, если 1т — куб, то как I, так и то —
кубы.
Таким образом, чтобы доказать такие результаты о числах ж+л/—2
и х — л/—2, нам необходимо сначала знать, что они не имеют общего
простого делителя. В следующем разделе мы введем понятие нормы,
которое приводит такие вопросы о делимости к вопросам о делимости
в целых числах.
21.141. Гауссовы целые числа
Кроме самого Z, простейшее множество чисел, которые «ведут се-
себя» как целые — Z[i], множество чисел вида а + Ы, где a, b ? Z. Они
называются гауссовы целые числа, потому что Гаусс A832с) первый
изучил их и доказал их основные свойства. Z[i] похоже на Z, оно за-
замкнуто при операциях +, —, и х, но также имеет простые числа и од-
однозначное разложение на простые множители.
Обыкновенное простое число можно определить как целое величи-
величины > 1, которая не является произведением целых меньшей величины.
Гауссово простое число можно определить таким же образом, при усло-
условии, что мы делаем разумное определение «величины». Обыкновенное
абсолютное значение \а + Ы\ = л/а2 + Ъ2 — подходящая мера, поэтому
392
Глава 21
мы говорим, что гауссово целое число а — это гауссово простое число,
если \а\ > 1, но а не является произведением гауссовых целых чисел
меньшего абсолютного значения.
Эквивалентным является определение гауссовых простых чисел на
основе квадрата абсолютного значения, известного как норма a, N(a).
То есть, а — гауссово простое число, если N(a) > 1 и а — не произве-
произведение гауссовых целых чисел меньшей нормы.
Преимущество нормы заключается в том, что N(a + ib) = а2 +
+ Ъ2 — обыкновенное положительное целое число, поэтому мы можем
использовать известные свойства целых чисел. Например, мы можем
сразу увидеть, почему всякое гауссово целое число имеет разложение
на гауссовы простые множители. А именно, если а — само не явля-
является гауссовым простым числом, то а = /З7, где ЛГ(/3),ЛГG) < N(a).
Если /3,7 — гауссовы простые числа, то мы имеем разложение а на
гауссовы простые множители; если нет, по крайней мере, одно из них
разлагается на гауссовы целые числа меньшей нормы, и т. д. Это про-
процесс должен закончиться, потому что нормы — это обыкновенные це-
целые числа, и, следовательно, они не смогут уменьшаться бесконечно
по величине. При завершении, мы имеем разложение а на гауссовы
простые множители.
Однозначность этого разложения на простые множители — более
глубокий результат, ради которого удобно возвратиться к мере абсо-
абсолютного значения величины и интерпретировать \а + ib\ как рассто-
расстояние а + ib от О. Это дает нам возможность доказать, что гауссовы
целые числа имеют «деление с остатком» удивительно геометрическим
образом.
Теорема Свойство деления Z[i]. Для любых а и /3 ф О в Z[i]
в Z[i] имеются ц и р, так что
а = /л/3 + р при \р\<\C\.
Доказательство. Кратные /г/3 для /j, e Z[i] — это суммы чле-
членов ±/3 и ±г/3. Отсюда следует, поскольку линии от О до /3 и г/3 пер-
перпендикулярны, что числа /г/3 лежат на углах решетки квадратов сто-
стороны |/3|, как на рисунке 21.1.
Теперь а лежит в одном из этих квадратов, и, если мы допустим
р = а — ближайший угол /г/3,
21.141. Гауссовы целые числа
393
отсюда следует, что перпендикуляры от а к ближайшим сторонам име-
имеют длину ^ |/31/2 (нарисуйте картинку). Поэтому, поскольку две сто-
стороны треугольника имеют общую длину больше, чем третья,
что и требовалось. ¦
Рисунок 21.1: Кратные /3 в Z[i]
Свойство деления Z[i] имеет следующие следствия, параллельные
следствиям для натуральных чисел, описанных в разделе 3.3.
1. Для Z[i] имеется евклидов алгоритм, который принимает лю-
любые а, C G Z[i] и многократно делит большую пару на меньшую,
сохраняя меньшее число и остаток. Он заканчивается нахождением
нод(а,/3), общего делителя а,/3, который наибольший в норме.
2. Есть /л, v G Z[i], так что нод(а, /3) = /ла + vC.
3. Если vj — гауссово простое число, которое делит а, /3, то vj делит а
или /3.
4. Разложение на гауссовы простые множители гауссова целого
числа однозначно, вплоть до порядка множителей и множителей
нормы 1 (то есть множителей ±1, ±г).
Упражнения
Из раздела 20.2 мы знаем, что абсолютное значение мультиплика-
мультипликативно, и, следовательно, норма N(af3) = N(a)N(f3) тоже. Несомненно,
это просто иная формулировка тождества Диофанта. Отсюда следует,
что если а делит 7 (то есть, если 7 = а/3 для некоторого /3), то N(a)
делит N(-y) [потому что N(-y) = N(a)N(f3)].
Таким образом, мы имеем критерий для делимости в гауссовых це-
целых числах, основанный на делимости в обыкновенных целых числах.
Помимо всего прочего, это дает нам возможность показать, что неко-
некоторые гауссовы целые числа являются гауссовыми простыми числами.
21.2.1 Рассматривая ND + г), покажите, что 4 + i — гауссово простое
число.
394
Глава 21
21.2.2 Покажите, что обыкновенное простое число вида а2 + Ъ2 не яв-
является гауссовым простым числом и найдите его разложение на
простые гауссовы множители.
Теперь мы изменим приведенную аргументацию для свойства де-
деления Z[i], чтобы показать, что Z[a/^2~] также его имеет. То есть, если а
и /3 принадлежат Ъ\\[—*2\, то в Ъ\\[—*2\ имеются ц и р, так что
а =/i/З + р при \р\ < \/3\.
21.2.3 Покажите, что кратные /л/3 любого /3 G Щу/—2] лежат в углах сетки
из прямоугольников, каждый из которых имеет стороны длиной /3
и >/2|/?|.
21.2.4 Выведите из упражнения 21.2.3 и теоремы Пифагора, что любое а
лежит на расстоянии < \[3\ от ближайшего кратного jjl[3 (/3^0),
и, следовательно, что Z[\/^2] имеет свойство деления.
Как в Z[i], свойство деления ведет к евклидову алгоритму для нод,
и, в конечном итоге, к однозначному разложению на простые множи-
множители в Z[\/—2]. Это дает нам возможность заполнить пробелы в дока-
доказательстве Эйлера из предыдущего раздела, как только мы проверим,
что нод(ж + л/-2; х - а/~2) = 1, когда у3 = х2 + 2.
21.2.5 Покажите, что, если х и у — обыкновенные целые числа при у3 =
= х2 + 2, то х — нечетное.
Наконец, мы активизируем норму в
N(a +
^2\2 = а2
262.
21.2.6 Покажите, что N(x + у/^2) — нечетная, тогда как NBy/^2) = 23
и, следовательно, что
= нод(ж
/-2) = нод(ж
^2, x - \/-
21.142. Алгебраические целые числа
Гауссовы целые числа — отличный пример алгебраических чисел,
которые «ведут себя» как целые, но все же непонятно, каким должно
быть общее понятие «целого». После периода исследований Дирихле,
21.142. Алгебраические целые числа
395
Куммера, Эйзенштейна, Эрмита и Кронекера в 1840-х и 1850-х гг. Де-
декиндом A871) предложено следующее определение: алгебраическое
целое число — это корень уравнения вида
а0 = 0, где а0,
аи_1 G Z.
Таким образом, определение алгебраического целого числа вытекает из
определения алгебраического числа (раздел 21.1) посредством ограни-
ограничения многочленов теми многочленами, которые имеют старший коэф-
коэффициент 1, или нормированными многочленами, как их часто называ-
называют.
Одна из причин, которая навела на это определение, — резуль-
результат, доказанный Эйзенштейном A850): числа, удовлетворяющие таким
уравнениям, — замкнуты при +,— и х. Отсюда следует (поскольку
алгебраические числа наследуют свойства +, — и х из С), что алге-
алгебраические целые числа образуют коммутативное кольцо с единицей,
как определено в разделе 20.3.
Еще одна причина ограничения нормированными многочленами
заключается в том, что рациональные алгебраические целые числа —
определенно обыкновенные целые числа. На это свойство нормирован-
нормированных многочленов указал Гаусс A801), статья 11, и его довольно легко
доказать. Предположим, что уравнение (*) имеет рациональное реше-
решение, которое не является обыкновенным целым числом. Тогда мы мо-
можем допустить, что решение имеет вид х = r/pq, где p,q,r — обыкно-
обыкновенные целые числа, ир- простое число, не делящее г. Подставив это
значение вместо х в (*) и перемножив на (pq)n, мы получаем
= -an_ir"
Однако, это невозможно, потому что р делит правую часть, но не ле-
левую.
На практике трудно работать в кольце всех алгебраических це-
целых, и мы предпочитаем работать с меньшими кольцами, такими
как Z[i] или Z[\/—2]. Упражнения в предыдущем разделе показыва-
показывают, что Z[\/^2] — идеальное окружение для доказательства Эйлера,
что у3 = х2 + 2 имеет только одно положительное решение в Z.
Преимущество колец, таких как Z[i] или Z[\/—2] состоит в том, что
они имеют понятие нормы, которое позволяет нам определить понятие
простого числа и показать, что каждый элемент кольца имеет разло-
разложение на простые множители. Однако однозначность разложения на
396
Глава 21
простые множители не гарантирована, и до известной степени нам по-
повезло, что мы нашли ее в Ъ[г\ и Z[\/—2].
Более типичное кольцо алгебраических целых чисел имеет вид
В этом кольце
Z[V-5] = {a + 6V^5 : a, b ? Z}.
а + Ь\/—5| = л/а? + 562, и, следовательно, норма равна
ЛГ(а + б/Ч5) = a2 + 5b2.
Как и раньше, мы определяем, что простое число — это число нор-
нормы > 1, которая не является произведением чисел меньшей нормы,
и отсюда следует, как в Ъ[г , что каждый член Z V—5] разлагает на
простые множители Z[a/^5].
Правда также, что, если /3 делит а в Z[a/^5], to N(/3) делит N(a)
в Z. Следовательно, а — простое число Z[a/^5], если N(a) неделимо
на любую меньшую норму ф 1, то есть, на любое меньшее целое число
вида а2 + ЪЬ2 ф 1. Примеры простых чисел в Z[a/^5] следующие:
2, потому что ЛГB) =4,
3, потому что Л^З) = 9,
1 + у/—Ъ, потому что 7VA + л/-5) = 6,
1 — л/—5, потому что ЛГA — \/—5) = 6.
Следовательно, отсюда следует, что 6 имеет два разных разложения на
простые множители в 1
6 = 2 • 3 = A + \/=
В 1840-х гг. Куммер отметил примеры отсутствия однозначного
разложения на простые множители, и он осознал, что это серьезная
проблема. Он писал:
Весьма прискорбно, что это достоинство действительных чи-
чисел [то есть обыкновенных целых чисел] разлагаться на про-
простые множители, всегда одинаковые для данного числа, не
относится также к комплексным числам [то есть, алгебраи-
алгебраическим целым числам]; если бы это было так, молено было
бы завершить всю теорию, которая, по-прежнему, продвигает-
продвигается вперед с такими трудностями. По этой причине, комплекс-
комплексные числа, которые мы рассматриваем, представляются несо-
несовершенными, и вполне молено задать вопрос, не следует ли
21.142. Алгебраические целые числа 397
поискать другой тип, который бы сохранил аналогию с дей-
действительными числами относительно такого фундаментально-
фундаментального свойства.
[Перевод Вейля A975) из Куммера A844)]
Куммер нашел «другой тип числа», который сохранял свойство
однозначного разложения на простые множители, и он назвал их «иде-
«идеальными числами». Сегодня они нам известны под названием «идеа-
«идеалы».
Упражнения
Хотя обыкновенные дроби, такие как ^ не являются алгебраиче-
алгебраическими целыми числами, некоторые «алгебраические дроби» являются.
21.3.1 Покажите, что золотое отношение A + л/Ъ)/2 является алгебраи-
алгебраическим целым числом.
21.3.2 Найдите три алгебраических целых числа, которые удовлетворяют
уравнению х3 — 1 = 0.
Теореме Эйзенштейна о том, что алгебраические целые числа за-
замкнуты при +, — и х, Дедекинд A871) дал новое доказательство, ис-
используя линейную алгебру.
21.3.3 Предположим, что а и [3 алгебраические целые числа, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям
аа +ра-1аа
= 0,
= 0.
Выведите из них, что любую степень аа можно записать как ли-
линейную комбинацию 1,а, а2, ..., аа~1 с обыкновенными целыми
коэффициентами, и любую степень (Зь как линейную комбина-
комбинацию 1, /3, /З2, ..., f3h~l с обыкновенными целыми коэффициентами.
21.3.4 Теперь пусть ш\,Ш2, ¦ ¦ ¦, шп обозначают п = аЪ произведения ви-
вида аа /Зь , где а' < а и Ъ' < Ъ. Покажите, что, если ш обозначает
398
Глава 21
любое из а + /3, а — /3 или а/3, то мы имеем п уравнений с обыкно-
обыкновенными целыми коэффициентами Щ .
к2ш2
21.3.5 Объясните, почему уравнения в упражнении 21.3.4 имеют ненуле-
ненулевое решение для ш\,oj2, ¦ ¦ ¦, ш„ и, следовательно, что
к[ -ш к'2
У
к1
k'2-LV
кп
У
... Кп —
= 0.
Объясните также, почему это нормированное уравнение с обыкно-
обыкновенными целыми коэффициентами для w = а + /3, а — /3 или а/3.
21.143. Идеалы
Куммер не определил в явном виде свои «идеальные числа». Ско-
Скорее он заметил, что простые алгебраические целые числа иногда ведут
себя как будто они нетривиальные произведения, и из их поведения
он сделал вывод о поведении их «идеальных множителей». Дедекинд
A871) показал, что «идеальные множители» молено реализовать мно-
множествами действительных чисел, и он назвал эти множества идеалами.
Для того чтобы проиллюстрировать свой метод, в своей A877) работе
он использовал числа в Z[\/^5], показав, что 2 и 3 ведут себя, как будто
они являются произведениями простых чисел — 2 = а2 и 3 = /3i/32, —
и затем показав, как a, /3i и /32 можно реализовать в качестве идеалов.
Здесь мы встанем на несколько другой путь к той лее цели; сна-
сначала используем идеалы, чтобы перезаписать теорию делимости и нод
в Z и Z[i], затем используем их, чтобы ввести нод в Z[\/—5]. Идеалы,
реализующие a, /3i и /32, оказываются нод алгебраических целых чисел.
21.143. Идеалы 399
Идеалы в Z
В Z мы имеем общеизвестные факты, что
2 делит 6, 3 делит 6, нодB,3) = 1.
Эти факты можно перезаписать в понятиях множеств
B) = {кратные 2}, C) = {кратные 3}, F) = {кратные 6},
которые являются примерами идеалов. Эквивалентами первых двух
фактов являются
B) содержит F), C) содержит F),
которые можно резюмировать девизом разделить, значит содержать.
Для того чтобы выразить третий факт, мы рассмотрим еще один идеал,
сумму B) и C):
B) + C) = {а + 6:ае B), бе C)}.
Ясно, что нодB, 3) делит любой член множества B) + C), и, действи-
действительно, не трудно показать, что
B) + C) = {кратные 1} = A) = (нодB, 3)).
Вообще, мы называем подмножество / кольца R идеалом, если
• а е I и Ь е I ¦<=> а + Ье I,
• a G / и т G R <$=> am G /.
Тогда для любого а е Z множество (а) = {кратные а} очевидно явля-
является идеалом, который называется главным идеалом, порожденным а.
Не трудно доказать (см. подраздел ниже и упражнения), что
• калсдый идеал в Z есть (а) для некоторого а,
• а делит 6 <^^> (а) содерлсит F)
. (а)+(Ь)=(нод(а,Ь)).
Поскольку идеалы в Z соответствуют числам в Z, язык идеалов не го-
говорит нам ничего о том, что мы уже не знаем. Однако понятие идеала
обобщается на другие кольца, где предположительно оно может дать
нам новое понимание.
400
Глава 21
Идеалы в Z[i]
Из раздела 21.2 мы знаем, что Z[i] имеет много подобий в Z, по-
потому что они оба обладают свойством деления. Эти подобия распро-
распространяются на свойства идеалов в Z[i], и свойство деления объясняет
почему. В частности, оно объясняет, почему каждый идеал в Z[i] имеет
вид (/3) = {кратные /3}.
Предположим, что / — идеал Z[i], и рассмотрим ненулевой эле-
элемент /3 ? / минимальной нормы. Тогда / содержит множество (/3) крат-
кратных /3, поскольку идеал содержит все кратные любого элемента. Кроме
того, / не может содержать любое а ^ (/3) по свойству деления: если
существует такое а, есть кратное /t/З при 0 < \а — /г/3 < |/3|. Но — /г/3 G /,
и, следовательно, также а — /t/3 G /, что противоречит выбору /3 как
ненулевого элемента / минимальной нормы.
Таким образом, любой идеал Z[i] состоит из всех кратных неко-
некоторого /3 G Z[i], которое, как мы видели в разделе 21.1, — множество
такой лее формы, как Z[i]. To лее самое верно для главных идеалов
в любом Щу/—п\: все они имеют одинаковую (прямоугольную) фор-
форму. Действительно, множество (/3) кратных /3 состоит из сумм эле-
элементов /3 и [Зл^—п, которые определяют прямоугольник такой лее фор-
формы, как прямоугольник, определенный поролсдающими элементами 1
и \/—п] в
—п].
Идеалы в Z[y/—5]
Z[\/—5] содержит идеал, который не имеет такую же форму, как
само Z[\/—5]. Мы ожидаем этого, поскольку однозначное разложение
на простые множители в Z[\/J3] не удается, и поэтому свойство деления
тоже не выполняется; однако сделать эту неудачу видимой доставляет
удовлетворение.
Один такой идеал — сумма / главных идеалов B) и A + л/—5])
B)-
Jo) = {2т +
^Щп :т,п?
часть которого показана на рисунке 21.2.
Из рисунка ясно, что / (состоящая из черных точек) — не прямо-
прямоугольна по форме, как Z[a/-5] (состоящее из черных и белых точек) —
черные соседи любой черной точки не включают любые две в перпен-
перпендикулярных направлениях.
Поэтому члены / не являются кратными любого /3 G Z[a/^5]. Они,
21.143. Идеалы
401
если вы предпочитаете, кратные «идеального числа» — число, которое
находится за пределами Z[a/-5].
Рисунок 21.2: Неглавный идеал B) + A + л/—5) в ^[V—Щ
Упражнения
В приведенном выше обсуждении неявно присутствует следующее
определение суммы идеалов: если А и В — идеалы, то
А + В =
Ъ:ае А,Ъе В}.
Следует также проверить, что А + В, определенная таким образом,
сама является идеалом.
21.4.1 Проверьте, что А + В имеет два определяющих свойства идеала.
Мы знаем, что в Z нод(а, 6) = та + пЬ для некоторых тип. Это
облегчает описание суммы главных идеалов (а) + F) на основе нод.
21.4.2 Покажите, что (а) + F) = (нод(а, 6)) в Z.
Мы вернемся к этой идее в следующем разделе, чтобы найти
нод любых идеалов. В настоящий момент мы продолжим исследовать
неглавные идеалы в Z[\/—5], возникающие как суммы главных идеалов.
21.4.3 Покажите, что векторы от О до 2 и 1 + \/—5 определяют парал-
параллелограмм такой лее формы, как векторы от О до 3 и 1 — \/—5.
Подсказка: Рассмотрите частные комплексных чисел и то, что они
говорят об отношении длин сторон, а также угол мелсду сторона-
сторонами. (Та лее мысль встречается в упражнениях к разделу 16.5).
21.4.4 Выведите из упражнения 21.4.1, что идеал C) + A — \J—5) имеет
такую же форму, как идеал B) + A + \/—5).
21.4.5 Покажите также, что идеал C) + A — л/~5) имеет такую же форму,
как идеал C) + A + л/—5)-
Таким образом, до сих пор мы нашли только две разные формы
идеалов в Ъ\\[^Ъ\. форму самого Z[a/-5], который является формой
всех главных идеалов, и форму неглавного идеала B) + A + л/—5).
Можно показать, что любой идеал в Z[a/^5] имеет одну из этих
двух форм, которые представляют то, что Дедекинд назвал классами
402
Глава 21
идеалов Z[a/^5]. Этот термин пришел из более старой теории квадра-
квадратичных форм, где формы ах2 + Ъху + су2 с одинаковым дискриминан-
дискриминантом Ъ2 — Аас были разделены на число классов эквивалентности, номер
которого назвали порядком класса. Лагранж A773а) показал, что лю-
любая форма с дискриминантом —20 была эквивалентна либо х2 + Ъу2
(норме х + y\J—5), либо 1х2 + 1ху + Зу2. Эти две формы соответствуют
двум классам идеалов Z[\/—5].
21.144. Разложение идеала
В Z мы видели, что «разделить, значит содержать», потому что
а делит 6 ¦<=>¦ (а) содержит F).
В Z[v^5] мы можем тогда сказать, что неглавный идеал B)
ведет себя как общий делитель 2 и 1 + л/-5; потому что
B) + A + \/-5) содержит B), B) + A + \/-5) содержит A + \/-5)-
Несомненно, мы можем ожидать, что B) + A + л/—5) ~~ наибольший
общий делитель 2 и 1 + л/—5 в Ъ[^/^-Ъ], поскольку в Z всегда верно,
что (а) + F) = (нод(а, 6)).
И не только потому, что мы можем ожидать, что B) + A + \/—5) —
простое число. В Z мы отмечаем, что р — простое число, если и толь-
только идеал (р) — максимален; то есть, единственный идеал, собственно
содержащий (р), само Z. Это происходит потому, что любое а е (р) —
взаимно простое число к р, следовательно, та + пр = 1 для некото-
некоторых тип, поэтому 1 есть в любом идеале, содержащем и а, и р.
Доказать, что B) + A + л/—5) ~~ максимально даже легче. Мы
предполагаем, что а = т + п\[^Ъ ^ B) + A + \/—5), что означает,
что т — четное. Но тогда а — 1 G B) + A + \/—5), следовательно, 1 есть
в любом идеале, содержащем и а, и B) + A + \/—5). Поэтому таким
идеалом является само Z[\/—5].
Подведем итог: если идеалы в 1\\J—5] имеют свойства делимости,
похожие на свойства в Z, то B) + A + \/—5) — нод 2 и 1 + \[^Ъ, и он —
простое число. Дедекинд A871) определил произведение идеалов, с тем
чтобы делимость вела себя как ожидается.
Определение. Если А и В — идеалы, то
АВ =
a2b2
akbk :
, . . ., ak G A, bib2, . . . , bk G B}.
21.144. Разложение идеала
403
Легко проверяется, что АВ — идеал и (с бблыней трудностью),
что включение понятия делимости согласуется с обычным понятием:
В делит А, если есть идеал С, так что А = ВС. Однако, радует именно
то, что произведение идеалов объясняет неоднозначное разложение 6
на простые множители в Z[a/^5]
6 = 2 • 3 = A + \/=5)A - V^),
разлагая обе стороны на одинаковые произведения идеалов. По суще-
существу, мы имеем
• B) — квадрат простого идеала B) + A + л/—5);
• C) — произведение идеалов C) + A + л/—5) и C) + A — л/—5),
которые — простые числа,
• A + л/—5) — произведение B) + A + л/—5) и C) + A + л/—5),
• A — л/—5) — произведение B) + A + л/—5) и C) + A — л/—5).
В качестве примера, мы докажем первое из этих утверждений.
Разложение идеала 2: B) = [B) + A + \/—5)}2.
Оно следует из определения произведения идеалов, что
4 = 2 х 2 е [B) + A-
2 + 2V^5 = 2 х A + V^5) e [B) + A -
/=5 = A + \^5J е [B) + A -
-4 + 2V^5 = A + V^5) [
Добавив элементы 4,2 + 2V^5 и -4 + 2V^5 из [B) + A + V^)]2, мы
находим 2 G [B) + A + л/~5)]2- Отсюда следует, что все кратные 2
находятся в [B) + A + л/-5)]2, то есть, [B) + A + л/~5)]2 содержит B).
Обратно, любой элемент [B) + A + л/^5)]2 есть сумма произведений
членов 1т и A + \/—Ъ)п. Любое произведение, включающее 2т, есть
кратное 2, и любое произведение, включающее A + л/—ЪJ = — 4 +
+ 2л/-5 тоже. Поэтому любой элемент [B) + A + л/^5)]2 есть кратное 2,
следовательно, [B) + A + л/~^)]2 содержит B), что и требовалось. ¦
Упражнения
Другие разложения идеалов, приведенные выше, и доказательства,
что множители являются максимальными идеалами, следуют тем лее
направлениям, что и примеры, только что проработанные.
404
Глава 21
21.5.1 Покажите по очереди, что 9,6 и, следовательно, 3 принадлежат
к произведению идеалов
[C) + A + л/=5)][C) + A - л/=5)],
поэтому [C) + A + \/—5)] [C) + A — л/—5)] содержится в идеале C).
21.5.2 Покажите, что элемент [C) + A + л/—5)] умноженный на эле-
элемент [C) + A — л/—5)] есть кратное 3, поэтому C) содержит [C) +
+ A + л/=5)][C) + A - л/=5)].
21.5.3 Рассмотрите идеал А, содержащий [C) + A + \/—5)] и элемент а
за пределами [C) + A + л/—5)]- Покажите, что А содержит либо 1,
либо 2, и в последнем случае А также содержит 1.
21.5.4 Выведите из упражнения 21.5.3, что [C) + A + л/^5)] — максималь-
максимальный идеал в Z[^/—5] и подобным лее образом покажите, что [C) +
+ A — л/—5)] — максимален.
21.145. Вновь суммы квадратов
Алгебраическая теория чисел имеет длинную родословную, кото-
которую можно проследить вплоть до открытия вавилонянами пифагоро-
пифагоровых троек около 1800 г. до н. э. По-прежнему непонятно, как вавило-
вавилоняне смогли создать тройки, по-видимому, как угодно, но метод созда-
создания можно четко распознать в труде Диофанта. Он лежит в тождестве
двух квадратов Диофанта из раздела 20.2:
(а2 + Ъ\)(а\ + Ъ\) = (aia2 - &i62J + (ai&2 + bia2J.
Это тождество позволяет нам «составить композицию» двух пифаго-
пифагоровых троек (ai,6i,ci) и (а2,Ь2,с2), чтобы получить третью {а\а2 —
- bib2,aib2 + bia2,cic2).
Но у Диофанта центр внимания перемещается с троек (а, 6, с) на
пары (а, 6) и, особенно, на суммы а2 + Ъ2. Как сказал Диофант (раз-
(раздел 20.2), 65 есть сумма двух квадратов, потому что 65 = 5 х 13,
и потому что 5 и 13 также являются суммами двух квадратов. Для то-
того чтобы понять, какие числа являются суммами двух квадратов, нам,
очевидно, нужно взглянуть на их множители, и, следовательно, зада-
задача сводится к знанию того, какие простые числа являются суммами
двух квадратов. По-видимому, Ферма первым увидел, что это конеч-
конечный вопрос о суммах двух квадратов. Во всяком случае, Ферма A640b)
21.145. Вновь суммы квадратов
405
первым ответил на него: нечетное простое число р есть сумма двух
квадратов тогда и только тогда, когда р имеет вид 4п + 1.
Ферма, в своей обычной манере, сформулировал эту теорему без
доказательства. Первое опубликованное доказательство было дано Эй-
Эйлером A749), ряд все более и более элегантных доказательств дан зна-
знаменитыми математиками, особенно, когда они должны были показать
в выгодном свете новые методы: например, Лагранжем A773b) (теория
квадратичных форм), Гауссом A832с) (гауссовы целые числа) и Деде-
киндом A877) (теория идеалов).
Теория квадратичных форм Лагранжа фактически была предте-
предтечей алгебраической теории чисел, ее появлению способствовали тройка
теорем, сформулированных Ферма и задача, которую Ферма решить не
смог. Три теоремы касаются нечетных простых чисел р видов х2 + у2
(мысль о нем заронил Диофант), х2 + 1у2 и х2 + Зу2, и их молено сфор-
сформулировать следующим образом.
р = х2 + у2
Р = х2 + 2у2
¦р=Ц mod 4), [Ферма( 16406)]
р = 1 или 3( mod 8), [ФермаA654)]
р= 1( mod 3). [ФермаA654)]
Задача, которую не смог решить Ферма, — это характеристика нечет-
нечетных простых чисел вида х2 + Ъу2. Здесь есть приводящее в затруднение
новое явление: простые числа не вида х2 + Ъу2, такие как 3 и 7, произ-
произведение которых имеет вид х2 + Ъу2.
Лагранж A773b) смог доказать три теоремы Ферма и объяснить
аномальное поведение х2 + Ъу2 с помощью своей теории эквивалентно-
эквивалентности квадратичных форм. Если нас интересуют числа, представленные
формой ах2 + Ьху + су2, то нам также необходимо обследовать фор-
формы а'х'2 + Ь'х'у' + с'у'2, которые можно получить из ах2 + Ьху + су2
изменением переменных
х = рх + qy, у' = rx + sy, где p,q,r,s ? Z и ps — qr = ±1,
потому что такое изменение переменных (х,у) ь-» (х'у1) является вза-
взаимно однозначным отображением Z x Z, и, следовательно, новая форма
представляет как раз те лее самые числа, что и старая.
Лагранж назвал такие формы эквивалентными и заметил, что они
имеют одинаковый дискриминант: Ь2 — 4ас = У2 — 4а'с1. Более того, он
406
Глава 21
нашел, что
все формы с дискриминантом — 4 эквивалентны х2 + у2
все формы с дискриминантом — 8 эквивалентны х + 1у ,
все формы с дискриминантом — 12 эквивалентны х2 + Зу2.
но имеется две неэквивалентные формы с дискриминантом —20:
а именно, формы х2 + Ъу2 и 2х2 + 2ху + Зу2. Выставляя «невидимого
компаньона» 2х2 + 2ху + Зу2 формы х2 + Ъу2, Лагранж объяснил пове-
поведение чисел формы х2 + 5у2. Их нельзя понять изолированно, но только
как класс, который взаимодействует с числами формы 2х2 + 2ху + Зу2.
Действительно, простые числа формы х2 + Ъу2 — это числа = 1 или 9(
mod 20), в то время как простые числа формы 2х2 + 2ху + Зу2 — чис-
числа = 3 или 7( mod 20). И произведения последних простых чисел — = 1
или 9( mod 20) и формы х2 + Ъу2.
По-видимому, Гаусс осознавал, что теорию квадратичных форм
можно заменить, по крайней мере, на тот момент, теорией «квадратич-
«квадратичных целых чисел». Его теория Z[i], несомненно, является заменой ла-
гранжевой теории квадратичной формы х2+у2. Но Гаусс также осозна-
осознавал, что в некоторых случаях соответствующим квадратичным целым
числам недоставало однозначного разложения на простые множители
(возможно, именно поэтому он первый признал важность однозначно-
однозначного разложения на простые множители в другом месте). Он не смог
увидеть способ обойти это препятствие, поэтому создание Куммером
идеальных чисел можно считать решением задачи, которая поставила
в тупик даже великого Гаусса.
Мы не знаем насколько Куммер развил теорию идеальных чисел
в кольцах квадратичных целых чисел, таких как Z у —5J, потому что
его фактически интересовали алгебраические целые числа более высо-
высокой степени, так называемые круговые целые числа. Как подсказыва-
подсказывает их название, они возникают из теории деления круга (разделы 2.3
и 14.5), где решения 1, С,п, С^, ..., С™ уравнения
хп - 1 = 0
представляют п равноотстоящих точек на единичном круге. Числа
а<з + ai(i +a2(l + ... + aK_iC™~\ где ao,ai, ..., aK_i G Z
образуют кольцо Z[?n] круговых целых чисел.
21.145. Вновь суммы квадратов
407
Во времена Куммера считали, что Z[?n] было ключом к последней
теореме Ферма, потому что, если а, Ь, с ? Z таковы, что ап + Ьп = с™,
то n-ая степень ап + Ьп разлагает на п линейных множителей в Z[?n].
В самом деле, это было основой ошибочного «доказательства» Ламе
A847). Однако Куммер заметил, что такие аргументы разрушаются,
именно потому, что однозначное разложение на простые множители
в Z[Cn] ne удается. Куммер показал, что это происходит для п Jj 23,
и он создал теорию идеальных чисел, пытаясь исправить недостаток.
В этом отношении, идеальные числа были успешны только частично
(это не имеет значения, раз мы имеем доказательство Уайлса послед-
последней теоремы Ферма), но они доказали свою ценность в другом месте.
Переработка идеи Куммера Дедекиндом дала нам понятие идеала, ко-
которое обязательно в современной алгебре.
О трактовке простых чисел формы х2 + Ъу2, используя идеалы,
см. Артин A991), и подробнее об истории х2 + пу2 см. введение в Деде-
кинд A877) и Кокс A989). В последнем собрана другая замечательная
нить в истории алгебраических чисел — модулярная функция. Как го-
говорилось в упражнениях к разделу 16.5, модулярная функция — это
функция видов решетки, и по этой причине ей есть что сказать об иде-
идеалах мнимых квадратичных целых чисел. Для того чтобы найти что,
см. книгу Кокса или МакКин и Молл A997).
Упражнения
Есть «легкое направление» теорем Ферма о х2 +у2,х2 + 2у2 и х2 +
+ Зу2, которое можно доказать с помощью конгруэнтностей. Это на-
направление показывает, что простые числа не представимы в данных
формах, если они имеют неверные остатки при делении на 4,8 и 3, со-
соответственно. (Сравните с упражнениями 1.5.2 и 3.2.1.)
21.6.1 Покажите, что
1. Нечетное простое число х2 + у2 ф 3( mod 4).
2. Нечетное простое число х2 + 2у2 ф 5 или 7( mod 8).
3. Нечетное простое число х2 + Зу2 ф 2( mod 3).
«Трудное направление» теорем Ферма, — найти х2 и у2, чтобы
представить простые числа с правильными остатками, — включает
больше, чем мы можем полностью охватить здесь. Однако для х2 + у2
и х2 + 2у2 оно включает однозначное разложение на простые множи-
множители в Z[i] и Z[\/—2], оба они обсуждались ранее в этой главе.
408
Глава 21
21.146. Кольца и поля
409
Что касается ж2 + 3у2, доказательство включает не столько Z[\/—3],
сколько большее кольцо
-n:m,n€Z>.
21.6.2 Покажите, что A+л/^3)/2 — алгебраическое целое число, и, что Z[(l+
+ л/—5)/2] содержит /
21.6.3 Покажите, что 2,1 + л/—^ и 1 — л/—^ — простые числа Z[y^3] и вы-
выведите, что 4 имеет два разных разложения на простые множители
21.6.4 При помощи геометрической аргументации, похожей на использо-
использованную для Ъ[г\ и Z[\/—2], покажите, что Z[(l + \/—3)/2] имеет
однозначное разложение на простые множители.
21.146. Кольца и поля
Кронекер известен высказыванием «Бог создал натуральные чис-
числа, остальное — работа человека». [Об этом сообщается, например, в его
некрологе Вебером A892).] Алгебраическая теория чисел была, без-
безусловно, тем, что он имел в виду, потому что Кронекер, как Дедекинд,
видел в теории чисел источник самых интересных задач и вдохновля-
вдохновляющую идею для всех математических понятий. Мы можем, по край-
крайней мере, согласиться, что теория чисел была источником вдохновения
двух самых важных алгебраических понятий: колец и полей.
Возможно, первым шагом к абстрактной алгебре было введение от-
отрицательных чисел, создающих кольцо Z целых чисел из натуральных
чисел. Видимо, это был очень трудный шаг, потому что математики
в течение многих веков (скажем, со времени Диофанта до Декарта)
жили в наполовину построенном доме, где отрицательные числа при-
признавались только частично, иногда они допускались в промежуточные
вычисления, но не разрешались в качестве ответов. Так же, прошло
много времени, прежде чем «отношения» греков стали полем Q раци-
рациональных чисел.
Таким образом, первый уровень абстракции, создание обратных
величин для сложения и умножения, непроизвольно происходил в тече-
течение тысяч лет. Следующий уровень, идентификация аксиом для колец
и полей, имел место в девятнадцатом веке, главным образом, под вли-
влиянием алгебраической теории чисел. Аксиомы о кольцах являются, по
существу, результатом записи свойств + и х, которые целые алгебраи-
алгебраические числа разделяют с обыкновенными целыми числами, и аксиомы
о полях являются свойствами, которые алгебраические числа разделя-
разделяют с рациональными числами.
Понятие поля неявно присутствовало в работе Абеля и Галуа по
теории уравнений, но оно стало явным, когда Дедекинд ввел число-
числовые поля конечной степени как окружение для алгебраической теории
чисел. Он увидел, что кольцо всех алгебраических целых чисел неудоб-
неудобно, потому что оно не имеет «простых чисел». Это происходит потому,
что /а — алгебраическое целое число, если таково а, следовательно,
всегда имеется нетривиальное разложение на множители а = /а/а
в кольце всех алгебраических целых чисел. С другой стороны, алге-
алгебраические целые числа в поле, порожденном из единственного алге-
алгебраического числа а степени п
Q(a) = {а0 + аха + . . . + an-ian~l : ao,ai, ..., aK_i G Q}
имеют лучшее поведение. Алгебраические целые числа /3 в Q(a) име-
имеют норму N(C), которая является обыкновенным целым числом, и это
гарантирует существование простых чисел, как мы видели в частных
случаях типа Ъ[г\ и Ъ[/—2], которые все являются алгебраическими
целыми числами в полях Q(i) и Q(\/—2) 2-й степени.
Привлекая внимание к полю Q(a) степени п, Дедекинд так-
также выяснил некоторую структуру векторного пространства: ба-
базис 1,а,а2, ..., a" Q[a], линейную независимость этих базисных
элементов над Q и размерность (равную степени) Q[a] над Q. Несмот-
Несмотря на долгую историю линейной алгебры, уходящую, по крайней мере,
на 2000 лет назад в Китай, опять именно более общее обобщение, ко-
которое позволила алгебраическая теория чисел, наконец, раскрыло ее
основные понятия.
Следующий уровень абстракции был достигнут в двадцатом ве-
веке и, фактически, был работой женщины, Эмми Нётер. В 1920-х гг.
она развивала концепции для обсуждения общих свойств различных
алгебраических структур, таких как группы и кольца. Одно из явле-
явлений, которое является общим для групп и колец, — гомоморфизмы или
сохраняющие структуру отображения. Отображение ip : G —» G" есть
гомоморфизм групп, если <p(gh) = <p(g)<p(h) для любых g,h G G. По-
Подобным лее образом, отображение ip : R —» R' есть гомоморфизм колец,
если cp(r + s) = (p{r) + (p{s) и ipirs) = ip(r)ip(s) для любых г, s G R.
410
Глава 21
С этой гораздо более выгодной точки зрения, нормальные подгруп-
подгруппы (раздел 19.2) и идеалы можно рассматривать как примеры одного
и того лее понятия. Каждое является ядром гомоморфизма ip: множе-
множества элементов, отображенных ip на единичный элемент A для группы,
О для кольца).
Упражнения
Не ясно, что Q(a) (как определено выше) является полем для лю-
любого алгебраического числа а. Самое трудное — доказать, что част-
частное любых двух его элементов также является элементом. Некоторое
представление о трудности можно получить, разработав частный слу-
случай Q(i).
21.7.1 Покажите, что, если ai, 6i, аг, Ь^ ? Q, то —-—%^- имеет вид а + ib,
где а, Ъ е Q.
Не очевидно также, что ядро гомоморфизма группы является нор-
нормальной подгруппой, частично потому, что определение нормальной
подгруппы в разделе 19.2 не самое удобное для этой цели. Легче до-
доказать, что ядро гомоморфизма кольца является идеалом, используя
определение идеала, данное в разделе 21.4.
21.7.2 Предположим, что R — кольцо, и <р отображает R в другое кольцо
таким образом, что ip(r + s) = ip(r) + ip(s) и ip(rs) = ip(s)ip(s) для
любых r,s G R. Покажите, что множество
{г : ip(r) = 0}
имеет два определяющих свойства идеала.
Эквивалентность ядер и идеалов можно проиллюстрировать в Z
с помощью идеала C) кратных 3.
21.7.3 Найдите гомоморфизм Z, ядро которого — C).
21.147. Биографические заметки: Дедекинд,
Гильберт и Нётер
Рихард Дедекинд (рисунок 21.3) родился в 1831 году в Брауншвей-
ге, родном городе Гаусса, в академической семье. Его отец, Юлиус, был
21.147. Биографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Н"етей11
профессором права в Коллегиум Каролинум, а его мать, Каролина Эм-
периус, была дочерью другого тамошнего профессора. Рихард был са-
самым младшим из четырех детей в связанной тесными узами семье. Они
прожили в Брауншвейге бблыную часть жизни, и Рихард жил со своей
сестрой Юлией (оба они не обзавелись собственной семьей) до 1914 го-
года. Звучит безрадостно, но эта, по-видимому, бедная событиями жизнь
была фоном революционной активности в математике, по-своему такой
же дерзкой, как работа Галуа.
Рисунок 21.3: Рихард Дедекинд
Дедекинд заинтересовался математикой в средней школе, когда
пришел к выводу, что химия и физика были недостаточно логичны-
логичными. Он посещал Коллегиум Каролинум, научное учебное заведение,
которое также посещал Гаусс, прежде чем в 1850 году поступить в Гет-
тингенский университет. Здесь он подружился с Риманом и быстро
добился научных успехов, завершив в 1852 году диссертацию под руко-
руководством Гаусса. После смерти Гаусса в 1855 году, на кафедру Гаусса
назначили Дирихле, и он стал третьим, кто оказал большое влияние
на карьеру Дедекинда. После короткого пребывания в Политехникуме
в Цюрихе (ныне известном как ЕТН), в должности, которую он вы-
выиграл в соревновании с Риманом, Дедекинд вернулся в Политехникум
в Брауншвейге, где он оставался всю свою жизнь. Это место не было
престижным, но домашний уют дал ему возможность сконцентриро-
сконцентрироваться на математике.
Дедекинд был последним студентом Гаусса, и теория чисел Гаус-
Гаусса явилась вдохновляющим источником многого в работе Дедекинда,
как это было у многих великих немецких математиков девятнадца-
девятнадцатого века. Когда начал Дедекинд, новое поколение, Эйзенштейн, Ди-
Дирихле и Кронекер, наконец, начало понимать идеи Гаусса, и делать
дальнейшие успехи. Дирихле, в частности, сделал Гаусса более доступ-
доступным при помощи своих элегантных и хорошо написанных Vorlesungen
uber Zahlentheorie [Лекций о теории чисел, Дирихле A863)], в которых
многое упростил в трудной теории квадратичных форм Гаусса и доба-
добавил собственные ошеломляющие новые результаты и доказательства.
Кульминация лекций Дирихле — формула порядка класса, дающая од-
однородное описание числа неэквивалентных квадратичных форм с за-
заданным дискриминантом. Лекции были изданы Дедекиндом и впервые
опубликованы в 1863 году, четыре года спустя после смерти Дирихле.
Дедекинд очень серьезно отнесся к проекту и поистине сделал его де-
делом своей жизни, выпустив следующие издания в 1871, 1879 и 1894 го-
годах, каждый раз добавляя дополнительный материал, пока дополнения
412
Глава 21
не превзошли саму книгу Дирихле. Теория идеалов впервые появилась
в издании 1871 года, и была расширена и углублена в 1879 и 1894 годах,
в конечном итоге, включив также многое из теории Галуа.
Однако Дедекинд был разочарован низким энтузиазмом, который
проявили другие математики относительно идеалов, и в 1877 году он
попробовал более доходчивый подход. Дедекинд A877) почти идеален
для современного читателя, — ясный, сжатый и хорошо обоснован-
обоснованный, — но, видимо, по-прежнему был слишком абстрактен для своих
современников. Теория идеалов действительно не упала на благодат-
благодатную почву, пока ей не дал новое изложение Гильберт A897), как мы
увидим ниже.
Тем временем, Дедекинд сделал несколько других важных вкладов
в математику, которые медленно пускали корни:
• теория действительных чисел как «дедекиндовы сечения»,
• теория римановых поверхностей как полей алгебраических функ-
функций,
• характеризация натуральных чисел как «индуктивного множе-
множества».
Что эти вклады имели общего, и что сделало их трудными для понима-
понимания современников, — так это идея трактовки бесконечных множеств
как математических объектов. Дедекинд фактически начал делать это
в 1857 году, когда он рассматривал конгруэнтность по модулю п как
арифметику классов вычетов
0 mod n= {0,±п, ±2п,...},
1 mod n= {1,1±п, 1±2п,...}
п — 1 mod п = {п — 1,п — 1 ± n, n — 1 ± 2тг, .. .},
которые складываются и перемножаются согласно правилам
(г mod n) + (j mod n) = (г + j) mod n,
(г mod n)(j mod n) = (г ¦ j) mod n.
[Мы упоминали умножение классов вычетов в разделе 19.1.] Идея
слолсения или умнолсения мнолсеств при помощи слолсения или умнолсе-
умнолсения представителей непосредственно переносит к дедекиндовым сече-
сечениям, и, с некоторым изменением, к идеалам и римановым поверхно-
поверхностям. Дедекинд надеялся, что этот рог изобилия приложений убедит
21.147. Биографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Н"етей13
его коллег в ценности идеи о том, что «множества являются матема-
математическими объектами», но эту идею было тяжело продать. Сначала
к нему присоединился лишь Кантор, который принял теорию беско-
бесконечных мнолсеств с таким лее энтузиазмом, с каким Дедекинд принял
приложения (см. главу 23).
Дедекинд вынужден был лсдать десятилетия, прежде чем его идеи
вошли в основное русло (и в некоторых случаях после того, как их
заново открыли другие, например, его теория натуральных чисел стала
«аксиомами Пеано»), но, к счастью, он прожил достаточно долго. Он
умер в 1916 году в возрасте 84 лет.
Давид Гильберт (рисунок 21.4) родился в 1862 году в Кенигсберге
и умер в Геттингене в 1943 году. Его отец, Отто, был судьей, и, быть мо-
может, Давид, унаследовал свои математические способности от матери,
о которой мы знаем очень мало, за исключением того, что ее деви-
девичья фамилия — Эрдман. Кенигсберг был удаленной восточной частью
Пруссии (ныне Калинград, небольшой анклав России), но с сильной
математической традицией, восходящей к Якоби. Когда Гильберт посе-
посещал здешний университет в 1880-х гг., он подружился с Германом Мин-
ковски, считавшимся в детстве математическим вундеркиндом, двумя
годами младше его, и Адольфом Гурвицем, который был на три года
его старше и профессором в Кенигсберге с 1884 года. Все трое при-
привыкли обсуждать математику во время долгих прогулок, и Гильберт,
видимо, получил основное математическое образование таким образом.
Позлее он сделал «математические прогулки» важной частью образо-
образования своих студентов.
Рисунок 21.4: Давид Гильберт
Первый исследовательский интерес Гильберта лежал в теории ин-
инвариантов, алгебраической теме, к которой относились тогда с большим
почтением. Элементарный пример инварианта — дискриминант Ь2 — Аас
квадратичной формы, который, как заметил Лагранж A773b), был ин-
инвариантом, когда форма преобразовывалась в эквивалентную форму
(раздел 21.6). Ко времени Гильберта, теория инвариантов стала джун-
джунглями, где успех зависел, главным образом, от способности продраться
через труднопреодолимые вычисления. «Король теории инвариантов»,
Пауль Гордан из Эрлангена, был печально известен статьями, состоя-
состоящими почти сплошь из уравнений; действительно, рассказывают, что
у него были ассистенты, чтобы вписывать туда слова, где необходимо.
В 1888 году Гильберт вымел все это прочь, решив главную задачу тео-
теории инвариантов, в простой и чисто концептуальной манере: основная
414
Глава 21
теорема Гильберта показала существование инвариантов выше квад-
квадратичного уровня, без необходимости их вычислять!
Гордан сначала не поверил и воскликнул: «Это не математика, это
теология!», но, со временем, идея Гильберта была развита дальше, до
вычисления инвариантов, и Гордан вынужден был признать, что, в кон-
конце концов, это математика. Гильберт, со своей стороны, пошел дальше
завоевывать новые миры. Действительно, это стало его образом дей-
действия в течение почти всей карьеры: исследовать тщательно тему в те-
течение нескольких лет, перевернуть ее вверх дном, затем делать нечто
совсем иное.
Триумф Гильберта в теории инвариантов обеспечил ему положе-
положение в Кенигсберге, и в 1892 году он женился на Кэти Иерош, очень спо-
способной женщине, которая работала секретарем и ассистентом во многих
его работах. В частности, она собрала библиографию к его огромному
Zahlbericht («Докладу о числах») 1897 года, труду, где алгебраическая
теория чисел достигла совершеннолетия. В 1893 году Немецкий со-
союз математиков доверил Гильберту написать отчет об алгебраической
теории чисел, и отчет превратился в 300-страничный труд [Гильберт
A897)], где вспоминались квадратичные формы и последняя теорема
Ферма и предвкушалась теория поля классов, важная тема двадцатого
века.
Математическая общественность, которая была не готова, когда
несколькими годами ранее алгебраическую теорию чисел представил
Дедекинд, теперь увидела суть, и Клейн пригласил Гильберта в Гет-
тинген, где он занимал кафедру математики с 1895 года и до конца
жизни.
После Zahlbericht Гильберт обратился к основам геометрии, кото-
которых мы касались в разделах 1.6, 19.5 и 20.7. Снова он засчитал себе
несколько триумфов, заполнив, наконец, пробелы у Евклида, открыв
алгебраическое значение теорем Паппа и Дезарга, но также оставив
несколько незавершенных дел. Гильберт осознал, что моделирование
евклидовой геометрии с помощью координат действительных чисел не
было, в сущности, доказательством, что геометрия непротиворечива;
по-прежнему необходимо было доказать, что теория действительных
чисел непротиворечива. Гильберт нашел это далеко не очевидным и по-
поставил эту задачу на второе место в своем списке математических за-
задач, представленном в Париже в 1900 году. Затем он оставил предмет
в пользу математической физики.
Однако доказательства непротиворечивости для теории действи-
действительных чисел никто не нашел, и к 1920-м гг. Гильберт почувствовал
21.147. Биографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Н"етей15
себя обязанным вернуться к предмету. Программа Гильберта, она из-
известна под этим названием, обратилась сначала к формальному языку
математики, в котором само понятие доказательства было математи-
математически определимо, по точным правилам манипулирования с формула-
формулами. Этот этап программы был действительно выполним и, по существу,
осуществлен Уайтсхедом и Расселом в Principia Mathematica 1910 года.
Трудная часть, однако, заключалась в доказательстве того, что прави-
правила доказательства не могли привести к противоречию. Именно здесь за-
застопорилась программа Гильберта, и в 1931 году Гёдель показал, что ее
невозможно завершить никогда. Его известные теоремы о неполноте
(глава 23) показали, что такого доказательства непротиворечивости не
существует, и что расширение формального языка новыми аксиомами
только ставит доказательство непротиворечивости далее вне пределов
досягаемости.
К своей чести, Гильберт одним из первых придал гласности труд
Гёделя. Первые полные доказательства теорем Гёделя содержатся
в книге Гильберта и Бернайса A938). Но бедой Гильберта было за-
закончить карьеру не только провалом одной своей математической меч-
мечты, но также разрушением всего математического сообщества. Упадок
Геттингена началось в 1933 году, когда в Германии пришли к власти
нацисты и начали изгонять профессоров-евреев. Через несколько лет
большинство математических талантов бежали из Германии, оставив
престарелого и слабого здоровьем Гильберта практически одного. Он
умер 14 февраля 1943 года.
Одним из математиков-евреев, вынужденном в 1933 году оставить
Геттинген, была Эмми Нётер (рисунок 21.5), которая во многих отно-
отношениях была естественным преемником Дедекинда и Гильберта. Эмми
Нётер родилась в 1882 году в Эрлангене и умерла в 1935 году в Брин-
Мор, Пенсильвания. Она была старшей из четырех детей математика
Макса Нётера и Иды Кауфман. Ребенком она любила музыку, танцы
и языки и намеревалась обучать языкам, готовясь стать в 1900 году
учителем английского и французского языков.
Рисунок 21.5: Эмми Нётер
В то время в Германии женщинам разрешали обучаться в универ-
университетах только неофициально, и очень немногие это делали, поскольку
также требовалось разрешение лектора. Однако нескольким учителям,
с целью «дальнейшего образования», разрешили его посещать, и в 1900
году Эмми Нётер стала одной из них, изучая математику в Эрланген-
ском университете. Здесь она встретила «короля инвариантов» Пауля
Гордана и в 1907 году под его руководством написала диссертацию. Она
416
Глава 21
была, естественно, по теории инвариантов, и Эмми позлее отозвалась
о ней как о «чепухе», но это не было полной потерей времени. Физики
сегодня восхищаются одним из ее ранних результатов, об инвариантах
механических систем.
В 1910 году Гордан вышел в отставку и произошло перераспреде-
перераспределение должностей, приведшее в 1911 году к назначению Эрнста Фи-
Фишера. Сегодня Фишер не очень хорошо известен, но, видимо, в про-
процессе работы с ним внезапно расцвел алгебраический талант Нётер.
Она оставила вычислительный подход Гордана и быстро овладела кон-
концептуальным подходом Дедекинда и Гильберта, до такой степени, что
в 1915 году Гильберт пригласил ее в Геттинген. Получение должности
было еще одной трудностью; говорят, что Гильберт высмеял исклю-
исключение женщин-профессоров в Геттингене, сказав: «это университет, а
не купальное заведение», но, со временем, в 1922 году она получила
неофициальную кафедру.
В 1920-х гг. Нётер была на пике своих возможностей, и она нашла
студентов, заслуживающих ее таланта. Среди них были Эмиль Артин,
который решил пару задач Гильберта, и В. Л. ван дер Варден, который
донес идеи Нётер до мира в своей Современной алгебре 1930 года. Сама
Нётер обычно скромно утверждала, что «es steht schon bei Dedekind»
(«это уже есть у Дедекинда»), и поощряла своих студентов убедиться
самим, читая все дополнения Дедекинда. Таким образом, несмотря на
чрезвычайно абстрактный характер алгебры Нётер, ее студенты выну-
вынуждены были осознавать ее непосредственное происхождение из теории
чисел Гаусса и Дирихле. В Алгебре ван дер Вардена эта связь, к сожа-
сожалению, нарушена, и многие из следующего поколения студентов вырос-
выросли, не осознавая ее. В последние годы происходит приятный перелом
этой тенденции; в частности, в Алгебре сына Эмиля Артина, Майкла,
теория чисел используется для иллюстрации теории идеалов [Артин
A991)].
Глава 22
Топология
22.148. Геометрия и топология
Топология касается тех свойств, которые остаются инвариантны-
инвариантными в процессе непрерывных преобразований. В контексте Эрлангенской
программы Клейна (где она кратко упоминается под своим старым на-
названием analysis situ) — это «геометрия» групп непрерывных обрати-
обратимых преобразований или гомеоморфизмов. «Пространство», к которо-
которому применяются преобразования, и, несомненно, значение «непрерыв-
«непрерывного» отчасти остаются открытыми. Когда эти термины интерпрети-
интерпретируются самым общим образом, в зависимости только от определенных
аксиом (которые мы не будем трудиться здесь формулировать), имеем
общую топологию. Теоремы общей топологии, важные в областях от
теории множеств до анализа, имеют не вполне геометрический отте-
оттенок. Геометрическая топология, которая интересует нас в этой главе,
получается, когда преобразования — это обыкновенные непрерывные
функции на R™ или на некоторых подмножествах R™.
Геометрическая топология больше распознаваема «геометриче-
«геометрически», чем общая топология, хотя «геометрия» обязательно дискретно-
дискретного и комбинаторного вида. Обычные геометрические величины, такие
как длина, угол и кривизна, допускают непрерывное изменение и, сле-
следовательно, не могут быть инвариантными в процессе непрерывных
преобразований. Тип величин, которые топологически инвариантны,
это такие вещи, как число «участков» фигуры или «число» дыр в ней.
Оказывается, тем не менее, что комбинаторные структуры топологии
можно часто отразить комбинаторными структурами в обычной гео-
геометрии, такими как многогранники и мозаики. В случае топологии по-
поверхности, это геометрическое моделирование топологической струк-
структуры столь полное, что топология, по существу, становится частью
обычной геометрии. «Обычная» здесь означает геометрию с понятиями
длины, угла и кривизны, не обязательно евклидову геометрию. Факти-
418
Глава 22
чески, естественные геометрические модели большинства поверхностей
гиперболичны.
Остается посмотреть, будет ли топология в целом когда-либо под-
подчинена обычной геометрии. Предполагается, что это случай в трех из-
измерениях, хотя ситуация до сих пор настолько осложнена, что ее труд-
трудно полностью разрешить [см. Терстон A997) или Уикс A985)]. Пред-
Представляется, что здесь тоже самая важная геометрия именно гипербо-
гиперболическая. В четырех и более измерениях делать предположения было
бы опрометчиво, хотя в недавних крупных достижениях геометриче-
геометрические методы были важны [например, Дональдсон A983)]. В этой главе
мы делаем вид, что добровольно ограничиваем свое обсуждение топо-
топологией поверхностей. Это единственная область, которая достаточно
понятна и уместна, когда сравнивается со сведениями остальной этой
книги. К счастью, эта область также достаточно богата, чтобы проил-
проиллюстрировать некоторые важные топологические идеи, по-прежнему
оставаясь математически разрешимой и наглядной.
Мы начинаем обсуждение топологии поверхностей с ее историче-
исторической отправной точки, теории многогранников.
22.149. Формулы многогранника Декарта и Эйлера
Первое топологическое свойство многогранников, по-видимому,
было открыто Декартом около 1630 года. Короткая статья Декарта на
эту тему утеряна, но ее содерлсание известно из копии, сделанной Лейб-
Лейбницем в 1676 году, которая найдена среди бумаг Лейбница в 1860 году
и опубликована Пруэ A860). Подробное изучение этой статьи, вклю-
включая перевод и факсимиле рукописи Лейбница опубликовано Федерико
A982).
Это же свойство было вновь открыто Эйлером A752), и оно сейчас
известно как эйлерова характеристика. Если многогранник имеет V
вершин, Е ребер и F граней, то эйлерова характеристика: V — Е +
+F. Эйлер показал, что эта величина имеет известную инвариантность,
показывая
V-E+F=2
для всех выпуклых многогранников, результат, который известен сей-
сейчас как эйлерова формула многогранника. У Декарта уже был тот же
самый результат в неявном виде, выраженный парой формул
P = 2F + 2V-4, Р = 2Е,
22.149. Формулы многогранника Декарта и Эйлера
419
где Р — число, которое Декарт назвал «плоскими углами»: углы гра-
граней, определенные парой смежных ребер. Отношение Р = IE тогда сле-
следует из наблюдения, что каждое ребро участвует в образовании двух
углов. Следует подчеркнуть, что «плоский угол» Декарта не имеет от-
отношения к угловой мере, и, следовательно, точно такое лее топологиче-
топологическое понятие, как «ребра» Эйлера. Поэтому результат Декарта принад-
принадлежит топологии столько лее, сколько результат Эйлера, далее если ему
не удается совершенно также обособить понятие эйлеровой характери-
характеристики. При попытке доказать, что Эйлер изобрел топологию, а Декарт
нет, проведены некоторые довольно незначительные различия меледу
Эйлером и Декартом [анализ других мнений см. Федерико A982)].
Действительно, никто из этих математиков не понимал формулу
многогранника вполне топологическим образом. В своих доказатель-
доказательствах они оба пользовались нетопологическими понятиями, такими как
угловая мера, и они не осознавали, что «вершины», «ребра» и «гра-
«грани» имеют смысл только на любой поверхности: ребра не обязательно
должны быть прямыми, и грани не обязательно должны быть плоски-
плоскими. Другие ранние доказательства эйлеровой формулы многогранника
также опираются на угловую меру и другие обычные геометрические
величины. Например, в доказательстве Лежандра A794) предполагает-
предполагается, что многогранник молено спроектировать на сферу, затем исполь-
используется отношение Гарриота меледу угловым избытком и площадью для
сферических многоугольников (упражнения 22.2.1 и 22.2.2).
Вероятно, первым, кто понял V — Е + F чисто топологически, был
Пуанкаре A895). Действительно, Пуанкаре обобщил эйлерову харак-
характеристику до n-мерных фигур, но в случае многогранников его суще-
существенное наблюдение заключалось в следующем: вершина делит ребро
на два ребра, и ребро делит грань на две грани. Отсюда следует, что
любое подразбиение ребер или граней многогранника оставляет V — E+
+ F без изменений: если на ребре вводится новая вершина, и V, и Е
возрастают на 1; если новое ребро вводится через грань, и Е, и F воз-
возрастают на 1. Обратные процессы амальгамирования, где они имеют
смысл, подобным же образом оставляют V — Е + F без изменений.
Тогда следует постоянство V — Е + F, скажем, по классу выпук-
выпуклых многогранников, если молено показать, что любой многогранник Pi
в классе можно преобразовать в другой, Рг, с помощью подразбиений
и амальгамирований. Правдоподобное доказательство этого [благода-
[благодаря Риману A851)] следующее: рассмотреть Pi и Р^ как подразбиения
одной и той же поверхности, скажем, сферы. При предположении, что
ребра Pi и Ръ пересекаются только конечно часто, наложение Pi на Р^
420
Глава 22
дает общее подразбиение Рз, значение V — Е + F которого поэтому та-
такое же, как Pi и Р^. Следовательно, V — Е + F значения Pi и Р^ равны.
Однако предположение о только конечном числе пересечений трудно
обосновать. Иной подход, который также дает значение V — Е + F для
несферических поверхностей, объясняется в следующем разделе.
Упражнения
Вот доказательство эйлеровой формулы многогранника, данное
Лежандром A794).
Рассмотрим проекцию выпуклого многогранника на сферу, грани
которого поэтому являются сферическими многоугольниками. Ис-
Используйте тот факт, что
площадь сферического п-угольника = сумма углов — [п — 2)тг,
чтобы сделать вывод, что
общая площадь = 4тг = (у всех углов) — тг(\^всех п) + 2nF.
22.2.2 Покажите, что
откуда
п = 2Е,
углов = 2тгУ
V -E
= 2.
Инвариантность эйлеровой характеристики дает простое топологиче-
топологическое доказательство, что имеется лишь пять правильных многогран-
многогранников. Действительно, оно показывает, что только пять многогран-
многогранников топологически правильны в следующем смысле: для некото-
некоторых то, п > 2 их «грани» являются топологическими то-угольниками
на топологической сфере, п из которых пересекаются в каждой вер-
вершине. Мы показываем следующее: V — Е + F допускает только пары
(то, п) = C, 3), C,4), C, 5), D, 3), E, 3),
соответствующие известным правильным многогранникам (раздел 2.2).
22.2.3 При условии, что имеется F граней, выведите, что Е = mF/2 и V =
= mF/n.
22.150. Классификация поверхностей
421
22.2.4 Примените формулу V — Е + F = 2, чтобы сделать вывод,
что An/Bт + 2п — тп) — положительное целое число.
22.2.5 Покажите, что 2то + 2п — тп > 0, то есть, 2Щ + 2 > то, только для
приведенных выше пар (т,п).
22.2.6 Проверьте также, что для этих пар 2то + 2п — тп делит 4гг.
22.150. Классификация поверхностей
Между 1850-ми и 1880-ми гг. несколько направлений исследова-
исследований привели к необходимости топологической классификации поверх-
поверхностей. Одно направление, идущее от Эйлера, — классификация мно-
многогранников. Другим было представление алгебраических кривых ри-
мановой поверхностью, начатое Риманом A851, 1857). С этим связана
задача классификации групп симметрии мозаик, рассмотренная Пуан-
Пуанкаре A882) и Клейном A882b) (раздел 22.6). Наконец, существовала за-
задача классификации гладких замкнутых поверхностей в обыкновенном
пространстве [Мёбиус A863)]. Эти различные направления исследова-
исследований сошлись, когда осознали, что в каждом случае поверхность молено
подразделить на грани с помощью ребер (конечно, не обязательно пря-
прямых), с тем чтобы она стала обобщенным многогранником. Обобщен-
Обобщенные многогранники — это то, что традиционно называли замкнутыми
поверхностями, теперь топологи их описывают как компактные и без
границы.
Доказательство с подразбиением для инвариантности эйлеровой
характеристики V — Е + F применяется к любому такому многогран-
многограннику, не только к гомеоморфным сфере и не только к имеющим пря-
прямые ребра и плоские грани. Разные математики [Риман A851), Жордан
A866)] пришли к заключению, что любая замкнутая поверхность опре-
определяется, вплоть до гомеоморфизма, ее эйлеровой характеристикой.
Выяснилось также, что другие возможные эйлеровы характеристики
были представлены поверхностями «нормальной формы», видимыми
на рисунке 22.1, которые были открыты Мёбиусом. Без сомнения, прав-
правдоподобно, что эти формы отличны, топологически, из-за различного
количества «дыр» в них. Главная часть доказательства — показать, что
любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них.
Предположения Римана (что поверхность — это риманова по-
поверхность) и Мёбиуса (что поверхность гладко вложена в R ) были
422
Глава 22
недостаточно специальными, чтобы дать чисто топологическое дока-
доказательство, и, вдобавок, они содержали скрытое допущение ориенти-
ориентируемости («двустороннее™»). Строгое доказательство, исходя из ак-
аксиоматического определения обобщенного многогранника, дано Деном
и Хегардом A907). Замкнутыми ориентируемыми поверхностями, несо-
несомненно, оказываются те, которые изображены на рисунке 21.1, но, кро-
кроме того, существуют неориентируемые поверхности, которые негомео-
морфны ориентируемым поверхностям.
Рисунок 22.1: Замкнутые ориентируемые поверхности
Неориентируемую поверхность молено определить как поверх-
поверхность, которая содержит лист Мёбиуса, незамкнутую поверхность, от-
открытую независимо Мёбиусом и Листингом в 1858 году (рисунок 22.2).
Замкнутые неориентируемые поверхности не могут встречаться ни
в качестве римановых поверхностей, ни лелсать в R без пересечения
самих себя; тем не менее, они включают некоторые важные поверхно-
поверхности, такие как проективная плоскость (упражнение 8.5.5). Неориенти-
Неориентируемые поверхности также определяются, вплоть до гомеоморфизма,
эйлеровой характеристикой.
Рисунок 22.2: Лист Мёбиуса
Формам замкнутых ориентируемых поверхностей Мёбиуса Клейн
A882b) придал стандартные многогранные структуры. Это «мини-
«минимальные» подразбиения как раз с одной гранью и, за исключением
сферы, как раз с одной вершиной. Когда подразбиение поверхности
Клейна разрезается вдоль краев, получаем фундаментальный много-
многоугольник, из которого молено реконструировать поверхность, иденти-
идентифицируя одинаково обозначенные края [рисунок 22.3, который взят из
работы Гильберта и Кон-Фоссена A932)].
Рисунок 22.3: Построение поверхности склеиванием краев
Часто удобнее работать скорее с многоугольником, чем с поверхно-
поверхностью или многогранной структурой. Например, после Брахана A921),
в большинстве доказательств теоремы о классификации использова-
использовались скорее многоугольники, чем многогранники, их «разрезали и скле-
склеивали» (вместо подразбиения и амальгамирования), пока не получали
фундаментальные многоугольники Клейна. Фундаментальный много-
многоугольник дает очень легкое вычисление эйлеровой характеристики х
и показывает, что она связана с родом g (количеством «дыр») по
X = 2 - 1д
(упражнение 22.3.1). Конечно, род определяет поверхность проще, чем
22.151. Декарт и Гаусс-Бонне
423
эйлерова характеристика, но мы увидим, что эйлерова характеристика
лучше отражает геометрические свойства.
Упражнения
22.3.1 Покажите, что эталонный многогранник для поверхности рода д ^
1 имеет V = 1, Е = 2д, F = 1, откуда х = 2 — 2д.
Эталонный многоугольник для поверхности рода д имеет граничный
путь вида aibia^ Ь^а^Ь^а^Ь^1... agbga^b^1, где последовательные
буквы обозначают последовательные края, и края с показателем сте-
степени — 1 имеют противоположно направленные стрелки. Края, обозна-
обозначенные одинаковыми буквами, склеивают друг с другом, стрелки при
этом приводятся в соответствие.
22.3.2 Каждая последовательность а^а^Ь^1 называется ручкой. Обос-
Обоснуйте этот термин, нарисовав поверхность, которая является ре-
результатом склеивания друг с другом соответствующих краев мно-
многоугольника, ограниченного а{Ь{а^ Ъ^ . Результатом должна быть
«ручкообразная» поверхность с граничной кривой с.
Еще один простой фундаментальный многоугольник — «2п-уголь-
ник со склеенными вместе противоположными краями», другими сло-
словами, многоугольник с граничным путем вида
22.3.3 Покажите, что как для п = 2, так и для п = 3 поверхность, полу-
полученная из многоугольника а\а^ ¦ ¦ ¦ ппп^а^1 ¦ ¦ ¦ а~х является тором.
22.3.4 Покажите, что если п четное, вершины многоугольника а\а^ ¦ ¦ ¦ cinCi
становятся после склеивания одной вершиной, и если п — нечет-
нечетное, их становится две. Следовательно, найдите эйлерову характе-
характеристику поверхности для любого п.
22.151. Декарт и Гаусс-Бонне
Первая теорема в рукописи Декарта — замечательное утверлсдение
об общей «кривизне» выпуклого многогранника, сначала не представ-
представляется имеющей какое-то топологическое значение. Это пространствен-
пространственный аналог очевидной теоремы о том, что сумма внешних углов выпук-
выпуклого многоугольника равна 2тг. Последнюю теорему молено интуитивно
424
Глава 22
увидеть, рассмотрев полный поворот линии, которая перемещается во-
вокруг многоугольника (рисунок 22.4).
Рисунок 22.4: Полный поворот вокруг многоугольника
На рисунке 22.5 показано другое доказательство, которое обобща-
обобщается до многогранников.
Рисунок 22.5: Сложение секторов, ограниченных нормалями
В каждой вершине построим сектор единичного круга, ограничен-
ограниченный нормалями к двум ребрам в этой вершине. Ясно, что угол сектора
равняется внешнему углу в этой вершине. К тому лее, смежные сто-
стороны смежных секторов перпендикулярны одному и тому лее ребру,
следовательно, параллельны, поэтому сектора молено совместить друг
с другом, чтобы образовать полный диск, с общим углом (окружно-
(окружностью) 2тг.
Для того чтобы обобщить это до многогранников, определим, что
внешний пространственный угол в каждой вершине Р есть (площадь)
сектор единичного шара, ограниченного плоскостями, нормальными
к ребрам в Р (рисунок 22.6). Как прелсде, смежные стороны смежных
секторов параллельны, следовательно, сектора можно совместить друг
с другом, чтобы образовать полный шар, с общим пространственным
углом (площадью) 4тг. Декарт только утверждал, что общий внешний
пространственный угол равен 4тг, далее не определяя внешний про-
пространственный угол. Упомянутое выше доказательство основывается
на реконструкции Пойя A954а).
Рисунок 22.6: Внешний пространственный угол
Теорема о многоугольниках имеет аналог для простых замкнутых
гладких кривых ff, а именно, /~, nds = 2тг (раздел 17.2). Это заставля-
заставляет нас поинтересоваться, имеет ли теорема Декарта аналог для глад-
гладких замкнутых выпуклых поверхностей 5?', скажем, //« ^1^2 dA = 4тг,
где «i«2 — гауссова кривизна. Это так, и, на самом деле, благодаря
Гауссу A827) имеется доказательство, похожее на доказательство для
многогранника, где, тем не менее, используется еще одна характери-
характеристика гауссовой кривизны.
Если мы возьмем небольшой геодезический многоугольник S1 на
поверхности 5?', то «полную кривизну» части 0* молено представить
«внешним пространственным углом» srf, ограниченным параллелями
к нормалям к У вдоль сторон S* (рисунок 22.7). Гаусс показал, что
мера srf — площадь, которую она вырезает из единичной сферы —
равна Ца К\К2 dA. Но также ясно, по параллелизму смежных сто-
сторон смежных внешних пространственных углов «е/, что углы «е/, со-
соответствующие разбиению 5? геодезическими многоугольниками ,0*,
22.152. Эйлерова характеристика и кривизна
425
совпадают друг с другом, чтобы образовать полный шар. Следователь-
Следовательно, Цу «i«2 dA = 4тг.
Рисунок 22.7: Пространственный угол полной кривизны
Это «глобальная» форма теоремы Гаусса-Бонне. Когда в 1860
году была впервые опубликована теорема Декарта, теорема Гаусса-
Бонне была улее известна, и аналогию меледу ними заметил Бертран
A860). Бертран, однако, сделал оговорку, что «прекрасную концепцию
Гаусса никоим образом нельзя рассматривать как следствие концепции
Декарта». Это молеет быть истинным в узком смысле; тем не менее, те-
теоремы Декарта и Гаусса-Бонне можно рассматривать как предельные
случаи друг друга. Гаусс-Бонне => Декарт, концентрируя кривизну по-
поверхности в вершинах, пока она не станет многогранником, в то время
как Декарт => Гаусс-Бонне, увеличивая количество вершин многогран-
многогранника, пока он не станет гладкой поверхностью. Интересно, хотя, вероят-
вероятно, случайно, что Декарт на самом деле использует слово «curvatura»
чтобы описать внешний пространственный угол.
22.152. Эйлерова характеристика и кривизна
Есть еще одно более «внутреннее» доказательство теоремы Декар-
Декарта, которое обнажает тот факт, что полный внешний пространствен-
пространственный угол действительно равен 2тг х эйлерова характеристика. Действи-
Действительно, знание полного внешнего угла дает доказательство эйлеровой
характеристики в формуле многогранника. Видимо, именно этим спо-
способом Декарт открыл свой вариант формулы.
Ключевой шаг — показать, что внешний пространственный угол
в вершине Р внутренне выразим как 2тг — {а\ + а2 + ... + а„),
где ai,a2, ¦ ¦ ¦, ап — плоские углы многогранного угла, которые пе-
пересекаются в Р. Это не углы а^а^, ¦ ¦ ¦, а'п между плоскостями, ко-
которые ограничивают внешний пространственный угол, но оказывается
(упражнение 23.5.1), что
оц + a'l = ty
для каждого г, откуда мера внешнего пространственного угла, которая
которая вытекает из а'1+а'2 + .. -+а'п по теореме Гарриота (раздел 17.6),
также вытекает из а\ + а2 + ... + ап.
Зная теперь, что внешний пространственный угол в Р равняет-
равняется 2тг — Y1 плоских углов в Р, мы получаем
полный внешний пространственный угол = 2пУ — у всех плоских углов,
426
Глава 22
22.152. Эйлерова характеристика и кривизна
427
где V — общее количество вершин. Группируя все плоские углы в со-
соответствии с типами граней, мы также находим (упражнение 22.5.2),
что
У всех плоских углов = пBЕ — 2F),
откуда
полный внешний пространственный угол = 2тг(У — Е + F)
= 2тг х эйлерова характеристика.
В случае выпуклых многогранников, где мы уже знаем, что полный
внешний пространственный угол = 4тг, это дает эйлерову характери-
характеристику = 2. Еще важнее, этот вывод верен для многогранников произ-
произвольной эйлеровой характеристики, показывая, что полный внешний
пространственный угол действительно такой же, как эйлерова харак-
характеристика, вплоть до постоянного кратного.
Существует похожее внутреннее доказательство теоремы Гаусса-
Бонне, опять справедливое для произвольной эйлеровой характеристи-
характеристики, которая показывает, что
полная кривизна =
dA = 2тг х эйлерова характеристика
(упражнение 22.5.3). Доказательство Лежандра A794) эйлеровой фор-
формулы многогранника — частный случай доказательства для постоянной
кривизны.
Таким образом, эйлерова характеристика регулирует полную кри-
кривизну поверхности. В частности, если кривизна постоянна, она долж-
должна иметь такой же знак, как эйлерова характеристика. Это, в свою
очередь, имеет следствия для геометрии поверхности. Как мы виде-
видели в разделе 17.4, поверхности постоянной положительной кривизны
имеют сферическую геометрию, поверхности нулевой кривизны имеют
евклидову геометрию, и поверхности отрицательной кривизны имеют
гиперболическую геометрию. В следующем разделе мы увидим, что
имеется естественный способ наложить постоянную кривизну на по-
поверхности произвольной эйлеровой характеристики. Тогда отсюда по-
последует, что естественная геометрия поверхности — сферическая, ев-
евклидова или гиперболическая, смотря по тому, какова ее эйлерова ха-
характеристика: положительная, отрицательная или нулевая. Более того,
если принимается, что абсолютное значение кривизны равно 1, то тео-
теорема Гаусса-Бонне дает
площадь = |2тг х эйлерова характеристика
Это делает поверхность топологически полностью подчиненной геомет-
геометрии, по крайней мере, для ориентируемых поверхностей, потому что
говорит о том, что топология поверхности полностью определяется зна-
знаком ее кривизны и площадью.
Эти результаты в неявном виде присутствуют в работе Пуанкаре
и Клейна в 1880-х гг. Возможно, Клейн первым ясно увидел, как гео-
геометрия поверхности определяет ее топологию [см., например, Клейн
A928), с.264].
Упражнения
На рисунке 22.8 показана область вокруг вершины Р многогранни-
многогранника и внешний пространственный угол Р с центром в О и ограниченный
плоскостями ОАВ, ОВС, ОСА, перпендикулярными ребрам, проходя-
проходящим через Р.
Рисунок 22.8: Область вершины многогранника
22.5.1 Покажите, что есть прямые углы, где они указаны, и, следователь-
следовательно, что
а + а' = тг, /3 + /3' = тг, j + 7' = тг.
Теперь, чтобы связать плоские углы с Е и F, полезно записать
где F% = числу 3-угольных граней, F± = числу 4-угольных граней
и т.д.
22.5.2 Покажите, что
и выведите, что в обыкновенном многограннике (то есть, с плос-
плоскими гранями)
У всех плоских углов = tyBE — 2F),
используя тот факт, что сумма углов n-угольника равна (п — 2)тг.
22.5.3 Докажите глобальную форму теоремы Гаусса-Бонне
«i«2 dA = 2тг х эйлерова характеристика
428 Глава 22
разбиением замкнутой поверхности 5? на геодезические много-
многоугольники и применением обычной формы теоремы Гаусса-Бонне
(раздел 17.6).
22.153. Поверхности и плоскости
В разделе 16.5 мы отметили, что эллиптическая функция опре-
определяет отображение плоскости на тор. Такие отображения также ин-
интересны в топологическом контексте, где они называются универсаль-
универсальными покрытиями. Вообще, отображение <р : S —> S поверхности S
на поверхность S называется покрытием, если оно локально является
гомеоморфизмом, то есть, когда оно ограничено достаточно малыми
участками S. Отображение плоскости на тор в разделе 16.5 является
покрытием, потому что оно — гомеоморфизм, когда ограничено любой
областью, меньшей, чем параллелограмм периода.
Еще один интересный пример покрытия, который мы уже встреча-
встречали, — отображение сферы на проективную плоскость, данное Клейном
A874) (раздел 8.5). Это отображает посылает каждую пару антипо-
дальных точек сферы в одну и ту же точку проективной плоскости,
и, следовательно, оно является гомеоморфизмом, когда ограничено лю-
любой частью сферы, меньшей, чем полусфера.
Еще один пример — покрытие псевдосферы сектором орицикла
(раздел 18.4) Бельтрами A868а). Топологически, это покрытие — такое
же, как покрытие полуцилиндра полуплоскостью (рисунок 22.9). Все
эти покрытия универсальны в том смысле, что поверхность покрытия S
(сферу или плоскость) молено покрыть только самой S.
Рисунок 22.9: Покрытие цилиндра
Пример неуниверсального покрытия — покрытие тора цилиндром,
интуитивно похоже на бесконечную змею, глотающую свой собствен-
собственный хвост (рисунок 22.10). Оно неуниверсально, потому что цилиндр
молено, в свою очередь, покрыть плоскостью, точно также как полу-
полуцилиндр покрыт полуплоскостью на рисунке 22.9. Действительно, со-
составляя композицию покрытий плоскость —» цилиндр —» тор, мы вос-
восстанавливаем наш первый пример, покрытие плоскость —» тор.
Рисунок 22.10: Покрытие тора
Поскольку сфера может быть покрыта только собой, первые инте-
интересные примеры покрытий — покрытия ориентируемых поверхностей
рода Ji 1 (то есть, эйлерова характеристика ^ 0). Все эти поверхности
молено покрыть плоскостями. Более того, всякую неориентируемую по-
22.153. Поверхности и плоскости
429
верхность молено дважды покрыть ориентируемой поверхностью таким
лее образом, каким проективная плоскость покрыта сферой, поэтому
главное, что нам нулено понять, — универсальное покрытие ориенти-
ориентируемых поверхностей рода Ji 1 плоскостями.
Основная идея появилась благодаря Шварцу, и стала общеизвест-
общеизвестной из письма Клейна Пуанкаре [Клейн A882а)]. Для того чтобы по-
построить универсальное покрытие поверхности S берем бесконечно мно-
много копий фундаментального многоугольника F для S и размещаем их
в плоскости, так что смежные копии F пересекаются таким лее обра-
образом, каким F пересекает себя на S. Например, тор Т на рисунке 22.11
имеет показанный квадратный фундаментальный многоугольник F,
который пересекает себя вдоль а и Ь в S (где стрелки указывают, что
края должны совпадать по направлению, также как метка).
Рисунок 22.11: Тор и его фундаментальный многоугольник
Если взамен мы возьмем бесконечно много отдельных копий F
и соединим смежные копии а с а и 6 с 6, то мы получим плоскость Т, мо-
мозаичную, как на рисунке 22.12. Универсальное покрытие Т —> Т опреде-
определяется тогда отобралеением каждой копии F в Т естественным образом
на F в Т.
Мозаику рисунка 22.12, конечно, молено реализовать квадратами
в евлидовой плоскости. Мы, поэтому, накладываем евклидову геомет-
геометрию на тор, определяя, что расстояние меледу (достаточно близкими)
точками на торе является евклидовым расстоянием меледу соответству-
соответствующими точками прообраза в плоскости. В частности, «прямые линии»
(геодезические) на торе являются образами прямых линий в евклидо-
евклидовой плоскости. Конечно, геометрия тора — не вполне геометрия плоско-
плоскости, поскольку есть замкнутые геодезические, такие как образы отрез-
отрезков линии а и 6. Однако она евклидова, когда ограничена достаточно
малыми областями. Например, сумма углов каждого треугольника на
торе равна тг.
Рисунок 22.12: Мозаика покрытия тора
Для поверхностей рода > 1, то есть, отрицательной эйлеровой ха-
характеристики, теорема Гаусса-Бонне предсказывает отрицательную
кривизну и, следовательно, естественная плоскость покрытия долж-
должна быть гиперболической. Это также молено увидеть непосредственно
из комбинаторной природы мозаики на универсальном покрытии. На-
Например, фундаментальный многоугольник F поверхности S 2-го рода
является восьмиугольником (рисунок 22.13).
430
Глава 22
Рисунок 22.13: Поверхность 2-го рода и ее фундаментальный мно-
многоугольник
В универсальном покрытии восемь из этих восьмиугольников
должны пересекаться в каждой вершине, как восемь углов единствен-
единственного F пересекаются на S. Такая мозаика невозможна по правильным
восьмиугольникам в евклидовой плоскости, но она существует в гипер-
гиперболической плоскости, как показывает рисунок 22.14.
Рисунок 22.14: Мозаика покрытия 2-го рода
Действительно, эта мозаика получена амальгамированием тре-
треугольников в мозаике Гаусса (рисунок 18.15). Мозаики для общего ро-
рода > 1 молено подобным образом реализовать геометрически в гипер-
гиперболической области, и они были среди гиперболических мозаик, рас-
рассмотренных Пуанкаре A882) и Клейном A882b). Функцию расстояния,
следовательно, кривизну и местную геометрию молено переместить из
плоскости покрытия на поверхность, как мы сделали выше для тора.
Упражнения
Когда поверхности рода > 1 реализуются как поверхности постоян-
постоянной отрицательной кривизны, их род может быть ясен из их площади.
22.6.1 Покажите, что фундаментальный многоугольник для ориентируе-
ориентируемой поверхности рода р является 4р-угольником с суммой углов 2тг.
22.6.2 Выведите, что его эйлерова характеристика пропорциональна его
угловому дефекту и, следовательно, его площади.
22.6.3 Сделайте вывод, используя упражнение 22.3.1, что площадь опре-
определяет род.
22.154. Фундаментальная группа
Еще один способ исследовать значение универсального покры-
покрытия S — использовать его, чтобы построить пути на поверхности S.
По мере того как точка Р движется на S, калсдый прообраз Р точки Р
движется на S аналогично. Единственная разница заключается в том,
что Р пересекает край фундаментального многоугольника на S, Р пе-
пересекает от одного фундаментального многоугольника до другого на S.
Поэтому Р не обязательно вернется к своей начальной точке, даже ко-
когда Р возвращается. Действительно, мы молсем видеть, что смещение Р
22.154. Фундаментальная группа
431
некоторым образом измеряет степень, до которой Р вьется вокруг по-
поверхности S. На рисунке 22.15 показан пример. Когда Р делает виток
вокруг тора один раз, более или менее в направлении а, Р блулсдает
из одного конца в другой отрезка а на S.
Рисунок 22.15: Построение поверхности покрытия
Мы говорим, что замкнутые пути р,р' с исходной точкой О на S
«вьются одинаковым образом» или гомотопны, если р можно дефор-
деформировать в р' с неподвижной О и не оставляя поверхности. Теперь,
если путь р точки Р деформируется в р' с неподвижной О, то путь р
точки Р деформируется в р с теми лее исходной и конечной точка-
точками, С^1) и О^2\ как р. Следовательно, каждый гомотопический класс
соответствует просто смещению универсального покрытия S, которое
движет СН1) к СН2). Разные прообразы Р будут, конечно, начинать
в разных прообразах О^ точки О, но единственное смещение S дви-
движет их все к конечным положениям О^'. Более того, смещение движет
всю мозаику S на себя: это движение твердого тела мозаики.
Поэтому исходя из топологического понятия гомотопических за-
замкнутых путей, мы еще раз пришли к обыкновенной геометрии. Мы
также подошли к группе, которая называется фундаментальной груп-
группой S. Геометрически, это группа движений S, которые отображают
мозаику на себя (которая включает отображение каждого края на оди-
одинаково обозначенный край). Топологически, это группа гомотопиче-
гомотопических классов замкнутых путей, с общей исходной точкой О на S. Произ-
Произведение гомотопических классов определяется последовательным про-
прохождением репрезентативных путей.
Фундаментальная группа впервые была определена топологически
Пуанкаре A895). Пуанкаре определил ее для гораздо более общих фи-
фигур, универсальные покрытия которых не столь очевидны, поэтому ин-
интерпретация как группы движений покрытия до последнего времени не
возникала. Как мы знаем, Пуанкаре уже изучал группы движений мо-
мозаик A882). Он заново рассмотрел эти ранние результаты с топологиче-
топологической точки зрения A904), придя к только что приведенной интерпрета-
интерпретации. Эта статья оказала значительное влияние на последующую работу
Дена A912) и Нильсена A927) и косвенно ответственна за недавнюю
вспышку интереса к гиперболической геометрии.
Более общее понятие фундаментальной группы у Пуанкаре A895)
также оказало влияние за пределами топологии. Оказывается, напри-
например, что для любой «достаточно описанной» фигуры & можно вычис-
вычислить порождающие элементы и определяющие соотношения для фун-
432
Глава 22
даментальной группы &. Определяющие соотношения фундаменталь-
фундаментальной группы могут быть вполне произвольными [действительно, полно-
полностью произвольными, как показали Ден A910) и Зейферт и Трельфаль
A934) с. 180]. Поэтому возникает вопрос: молено ли из этих определя-
определяющих соотношений определить свойства группы? Хотелось бы знать,
например, когда два различных множества соотношений определяют
одну и ту лее группу. Последний вопрос поставил Тице A908) в первой
статье, которая последовала за работой Пуанкаре. Тице сделал заме-
замечательную догадку, которую в то время не смогли далее точно сформу-
сформулировать, что задача неразрешима. Несомненно, Адьян A957) показал,
что задача об изоморфизме для групп, как ее стали называть, неразре-
неразрешима в том смысле, что ни один алгоритм не молеет разрешить вопрос
для всех конечных мнолееств определяющих соотношений. Результат
Адьяна основывался на разработке теории алгоритмов, которые в об-
общих чертах описаны в следующей главе.
Объединяя результат Адьяна с некоторыми результатами Тице
A908) и результат Зейферта и Трельфаля, упомянутый выше, Марков
A958) смог показать неразрешимость задачи о гомеоморфизме. Это за-
задача принятия решения, заданная «достаточно описанными» фигура-
фигурами J^i и #2, гомеоморфна ли &\ к #2- [Полное доказательство нераз-
неразрешимости задачи об изоморфизме и задачи о гомеоморфизме молено
найти у Стиллуэлла A993), и его историю молено найти у Стиллуэл-
ла A982).] Таким образом, построение фундаментальной группы Пу-
Пуанкаре привело, в конце концов, к совершенно неолеиданному выводу:
основная задача топологии неразрешима.
22.155. Биографические заметки: Пуанкаре
Анри Пуанкаре (рисунок 22.16) родился в Нанси в 1854 году и умер
в Париже в 1912 году. Его отец, Леон, был врачом и профессором ме-
медицины в университете Нанси, и Анри вырос в уютном академическом
окружении. Он и его младшая сестра, Алина, сначала учились у своей
матери, и позже Пуанкаре проследил свои математические способно-
способности до бабушки с материнской стороны. В пять лет он перенес при-
приступ дифтерии, который ослабил его здоровье и сделал невозможным
его участие в более шумных детских играх. Он возместил это, сочи-
сочиняя шарады и небольшие пьесы, и позже он стал хорошим танцором.
В томе, посвященном его столетию A955), который составляет вторую
22.155. Биографические заметки: Пуанкаре
433
половину тома 11 Oeuvres Пуанкаре, молено увидеть много фотографий
Пуанкаре и его семьи.
Рисунок 22.16: Анри Пуанкаре
Лишенный возмолености участвовать в большинстве игр, Пуанка-
Пуанкаре имел массу времени на чтение и занятия, и когда он начал посещать
школу, в восемь лет, он сделал быстрые успехи. Его способности сна-
сначала проявились в написании сочинений, но к концу обучения в школе
также стал очевиден его внушительный математический талант. Он
выиграл первую премию в общенациональном конкурсе по математике
и был первым на вступительном экзамене в Политехническую школу
в 1873 году. Это, между прочим, несмотря на франко-прусскую войну
A870-1871), во время которой родная провинция Пуанкаре, Лотарин-
Лотарингия, приняла на себя главный удар немецкого вторлеения. В это время
Пуанкаре сопровождал своей отца в обходах полевых госпиталей, став
в результате пламенным патриотом Франции. Однако он никогда не
возлагал на немецких математиков ответственности за леестокость их
соотечественников. Во время войны он изучил немецкий язык, чтобы
читать новости, и позлее он хорошо использовал это знание, общаясь
с немецкими коллегами Фуксом и Клейном.
В Политехнической школе Пуанкаре продоллеал хорошо занимать-
заниматься, хотя неуклюжесть в рисовании и экспериментальной работе стоили
ему первого места. [Его отметки по рисованию, хотя и средние, ни-
никогда не были нулевыми, несмотря на часто рассказываемые об этом
истории. Результаты Пуанкаре молено увидеть в томе, посвященном
его столетию A955)]. Любопытно, на этом этапе он намеревался стать
инлеенером и учился с 1875 по 1879 год в Горной школе, одновременно
работая над докторской диссертацией по математике. Он недолго рабо-
работал горным инлеенером, преледе чем стать преподавателем математики
Кайенского университета в 1879 году. Именно в Кайене Пуанкаре сде-
сделал свое первое важное открытие: вхоледение неевклидовой геометрии
в теорию комплексных функций. Он размышлял над периодичностью
относительно дробно-линейных преобразований, после того, как встре-
встретил функции с этим свойством в работе Лазаря Фукса. Рассматрива-
Рассматриваемые функции возникли из дифференциальных уравнений, и Пуанка-
Пуанкаре старался изо всех сил понять их аналитически, когда его поразило
неолеиданное геометрическое вдохновение:
Как раз в это время я уехал из Кайена, где я тогда жил, что-
чтобы отправиться в геологическую экспедицию при содействии
Горной школы. Эти изменения поездки заставили меня забыть
434 Глава 22
мою математическую работу. Добравшись до Кутанса, мы се-
сели в омнибус, чтобы отправиться в то или иное место. В тот
момент, когда я поставил свою ногу на ступеньку, мне пришла
идея, при этом ничто в моих предыдущих мыслях, видимо, не
подготавливало ей почву, что преобразования, которые я ис-
использовал для определения функций Фукса, были идентичны
преобразованиям неевклидовой геометрии.
[Пуанкаре A918): перевод Хальстеда, 1929, с.387]
Открытие лежащей в основе геометрии (и топологии, которое вскоре
последовало) выразило функции Фукса совершенно в новом свете, ско-
скорее как освещение эллиптических функций открытием Римана, что они
принадлежали тору. В течение следующих нескольких лет Пуанкаре
лихорадочно работал над развитием своих идей, в дружеском сорев-
соревновании с Клейном. Его стилю присущи были некоторые оговорки (не
хватало дисциплинированности и строгости, тем не менее, он весьма
удобочитаем), но его великолепие не оспаривалось. Его назначили на
кафедру в Париже в 1881 году, и он оставался там, заслуживая всегда
более высокие почести, до конца своей жизни. В 1881 году он женился
на Луизе Пулен; у них был сын и три дочери.
Труд Пуанкаре о функциях Фукса привел его в топологию, как мы
видели в разделах 22.6 и 22.7. Тоже сделало другое его великое откры-
открытие, качественная теория дифференциальных уравнений. Он использо-
использовал эту теорию, которая рассматривает такие вопросы как долгосроч-
долгосрочная устойчивость механических систем, в своих Les methodes nouvelles
de la mecanique celeste A892, 1893, 1899), вероятно, величайшем дости-
достижении в небесной механике со времен Ньютона. Топологические идеи
Пуанкаре не только вдохнули новую жизнь в комплексный анализ и
механику; они вылились в создание новой важной области, алгебра-
алгебраической топологии. В статьях с 1892 по 1904 год Пуанкаре построил
арсенал методов и понятий, которые должны были непрестанно поддер-
поддерживать движение топологов в течение следующих 30 лет. И лишь после
того, как в 1933 году Гурвич открыл аналоги фундаментальной груп-
группы более высокой размерности, к арсеналу Пуанкаре добавилось новое
важное оружие. Недавно, как говорилось в разделе 22.1, произошел
возврат к геометрическим методам в топологии. Он был бы уместен,
если бы эти методы, наконец, преуспели в разрешении главной нере-
нерешенной задачи, оставленной Пуанкаре, так называемой гипотезы Пу-
Пуанкаре. Гипотеза утверждает, что 3-сфера (пространство, полученное
22.155. Биографические заметки: Пуанкаре
435
завершением R точкой в бесконечности, как завершена плоскость до
обыкновенной сферы в разделе 15.5) — единственное замкнутое трех-
трехмерное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна.
Пуанкаре, возможно, был последним математиком, который имел
общее понимание всех разделов математики. Как Эйлер, он писал бег-
бегло и обильно о всех частях математики, и, фактически, он превзошел
Эйлера в написании популярных трудов. Он написал много томов о на-
науке и ее философии, которые были бестселлерами в начале этого века.
Пуанкаре, возможно, был бы также плодовит как Эйлер, если бы не
его плохое здоровье после пятидесяти лет. В 1911 году он предпринял
необычный шаг, опубликовав незаконченную статью о периодических
решениях задачи трех тел, считая он может не дожить, чтобы завер-
завершить доказательство. Последняя теорема Пуанкаре была на самом деле
по-прежнему открыта, когда он умер в 1912 году, но доказательство бы-
было завершено в 1913 году американским математиком Г. Д. Биркгофом.
Глава 23
Множества, логика и вычисление
23.156. Объяснение
В любом обзоре истории математики трудно игнорировать два-
двадцатый век. По меньшей мере, нам следует признать, что на наше
понимание классической математики оказывают влияние математиче-
математические идеи, которые модны сегодня. Несомненно, можно утверждать,
что большая часть классической математики становится яснее, если
она представлена современными терминами, и, что это лучший способ
сделать ее доступной математикам, которые не являются профессио-
профессиональными историками. Как будет очевидно теперь, именно эту точку
зрения я принял в этой книге.
В то же время математика двадцатого века — это гораздо больше,
чем просто инструмент для рассмотрения математики прошлого. Она
включает многие результаты, которые сами являются историческими
и, следовательно, желательно их включение в наш обзор. Некоторые
из них упоминались в предыдущих главах, особенно, когда они отве-
отвечают на классические вопросы. Проблема состоит в том, что матема-
математика двадцатого века столь обширна, что всю ее охватить не может
никто, и далее некоторые отдельные результаты основываются на тео-
теориях слишком широких для объяснения в книге такого объема. В этих
обстоятельствах, маловероятно, что глава о математике двадцатого ве-
века будет показательной, и читателю предоставлено право на авторское
объяснение выбора тем.
Я считаю, что выбор множеств, логики и вычисления уместен по
следующим причинам:
1. Три темы связаны, исторически и логически.
2. Они характерны для двадцатого века (или, в случае теории мно-
множеств после 1870 г.), развившись фактически в последнее время на
пустом месте.
23.157. Множества
437
3. Из-за этого они доступны любому, кто имеет поверхностное знание
математики, — безусловно, доступнее, чем любая другая современ-
современная тема сопоставимой важности.
4. Они представляют в совершенно новом свете вопрос «Что такое
математика?» Действительно, они являются результатом первых
серьезных попыток ответить на этот вопрос.
23.157. Множества
Множества утвердились в математике в конце девятнадцатого века
как результат попыток ответить на некоторые вопросы о действитель-
действительных числах. Первый, что есть действительное число? Около 1870 г.
были даны несколько эквивалентных ответов, все они включали беско-
бесконечные множества или последовательности. Простейший принадлежал
Дедекинду A872), который определил, что действительное число есть
разбиение (или «разрез») рациональных чисел на два множества, L
и U, так что каждый элемент L меньше всех членов U. Если есть зара-
заранее сложившееся понятие действительного числа, такое как точка х на
оси, то L и U однозначно определены х как множества рациональных
точек слева и справа от нее, соответственно. Поэтому, если х заранее
сложившееся понятие, то L и U не более, чем вспомогательные понятия,
которые дают возможность оперировать х на основе рациональных
чисел, как делал Евдокс (раздел 4.2). Прорыв Дедекинда заключался
в осознании того, что нет необходимости в заранее сложившемся х: х
можно определить как пару (L,U). Поэтому понятие множеств раци-
рациональных чисел было основой для понятия действительного числа.
Дедекиндовы сечения дали точную модель для непрерывной чи-
числовой оси R, поскольку они заполнили все пробелы в рациональных
числах. Несомненно, где бы ни был пробел в рациональных числах, дей-
действительное число, которое заполняет его, по существу, само является
пробелом: парой множеств L, U слева и справа от него. Другие фор-
формулировки этого свойства полноты R также являются непосредствен-
непосредственными следствиями определения Дедекинда. Например, всякое ограни-
ограниченное множество действительных чисел (Li,U~i) имеет наименьшую
верхнюю границу (L,U). L — просто объединение множеств L;.
Дедекинд, видимо, разрешил древнюю задачу объяснения непре-
непрерывного на основе дискретного, но проникнув настолько далеко, на-
насколько проникнул он, он также раскрыл более глубокие задачи. Цен-
Центральная проблема состоит в том, что полнота R влечет за собой его
438
Глава 23
несчетность, явление, открытое Кантором A894). Счетные множе-
множества — это множества, которые молено поставить во взаимно однознач-
однозначное соответствие с N = {0,1, 2,...}, и они включают множество рацио-
рациональных чисел и множество алгебраических чисел, что также открыто
Кантором. Но если R — счетное, это означает, что все действитель-
действительные числа молено включить в последовательность хо,х\,х2, ¦ ¦ ¦ Кан-
Кантор A874) показал, что это невозможно, выбрав из каждой последова-
последовательности {хт} различных действительных чисел подпоследователь-
подпоследовательность ао, bo, а\,Ь\, а,2, &2, • • •! так что
UQ < а\ < GS2 < . . . < &2 < Ъ\ < Ьо,
и с каждым хт за пределами одного из вложенных интервалов (ао, Ьо) Э
(ai,bi) э (а2,Ьг) D ... Отсюда следует, что любой общий элемент
всех (ап,Ьп) — это действительное х ф каждому хт. Общий элемент,
очевидно, существует, если последовательность интервалов конечна,
и, если последовательность бесконечна, она существует по полноте, как
наименьшая верхняя граница ап. Общий элемент х — это «пробел»
в данной последовательности {хт}.
Несчетность R была сложной задачей для специалистов по теории
множеств и логиков с тех пор как ее открыли. Самым успешным от-
ответом на эту задачу была теория порядковых чисел, которая выросла
из исследования ряда Фурье Кантором A872) (см. раздел 13.4). Суще-
Существование ряда Фурье для функции / в значительной степени зависит
от структуры множества разрывностей /, и поэтому приводит к зада-
задаче анализа сложности точечных множеств. Кантор измерял сложность
количеством итераций операций со штрихом (') принятия предельных
точек множества. Например, если S = {О,1/2, 2/4, 7/8, ..., 1}, то опе-
операцию со штрихом молено применить один раз, и S' = {1}. Может
случиться так, что само S' имеет предельные точки, поэтому также су-
существует S". Действительно, молено найти мнолеество S, для которого
существуют S',S", ..., S^',... для всех конечных п, поэтому молено
предусмотреть процесс итерации операции со штрихом бесконечное ко-
количество раз. В случае, когда существуют все S^n\ Кантор A880) взял
их пересечение, определяя в связи с этим
Он рассмотрел оо как первое бесконечное порядковое число. Для то-
того чтобы избелеать смешения с бесконечными числами более высокого
порядка, которые вскоре появятся, я буду использовать современное
обозначение ш для первого бесконечного порядкового числа.
23.157. Множества
439
Перескочив к ш, легко идти дальше.
= S^+2',, ¦ ¦ ¦, и пересечение этой новой бесконечной последователь-
последовательности равно 5*ш 2, где и> ¦ 2 — первое бесконечное порядковое число по-
после и), ш + 1, ш + 2,... После ш ¦ 2 имеем
ш -2+1,ш -2 + 2, ..., и> ¦ 3, ..., и ¦ А, ..., ... ,и> ¦ ui,...
Всех их фактически можно реализовать как количества итераций опе-
операции со штрихом на множествах действительных чисел. Мы можем
также исследовать порядковые числа независимо от этого понимания,
как расширение понятия натурального числа.
Кантор A883) рассматривал порядковые числа как порожденные
двумя операциями:
1) Последующий элемент, который для каждого порядкового а дает
следующее порядковое а + 1.
2) Наименьшая верхняя граница, которая для каждого мнолеества {oti}
порядковых чисел дает наименьшее порядковое ^ каждого оц.
Самая элегантная формализация этих понятий дана фон Ней-
Нейманом A923). Принимается, что пустое мнолеество 0 (не рассмотрен-
рассмотренное Кантором) — это порядковое число 0, последующий элемент а —
это a U {а}, и наименьшая верхняя граница {oti} — просто объедине-
объединение оц. Поэтому
0 = 0,
1 = W,
2 = {0,1},
w = {0,1,2, ...,п,...},
ш + 1 = {0,1,2, ..., п, ..., ш}
и т. д. Естественное упорядочение порядковых чисел задается тогда
принадлежностью мнолееству, ?, и, в частности, члены порядково-
порядкового a — все порядковые числа меньше а.
Принцип Кантора 2) пороледает порядковые числа поразительной
величины, поскольку он дает возмоленость выйти за пределы любого
улее определенного мнолеества порядковых чисел. В частности, поряд-
порядковое число несчетной величины находится на горизонте, как только
подумаешь о понятии счетного порядкового числа, как Кантор A883).
440
Глава 23
Он определил, что порядковое а является счетным (или, как позже он
это выразил, имеет мощность или кардинальное число No), если можно
поставить а во взаимно однозначное соответствие с N. Например,
-2 = {0,1,2, ...,
2,...}
счетное из-за своего очевидного соответствия
N= {0,2,4, ..., 1,3,5,...}.
Наименьшая верхняя граница счетных порядковых чисел — наимень-
наименьшее несчетное порядковое ш\. Множества во взаимно однозначном со-
соответствии с wi имеют следующую мощность Ni. Порядковые числа
мощности Ni имеют наименьшую верхнюю границу Ш2 мощности ^2
и т.д.
Найдя этот упорядоченный способ порождения последовательных
несчетных мощностей, Кантор вновь рассмотрел несчетное множе-
множество R. Хотя ни один метод порождения членов R в образе порядковых
чисел не был ясен, Кантор предположил, что мощность R равнялась Ni.
Это предположение с тех пор известно как гипотеза о континууме.
К 1900 году ее признали как выдающуюся открытую задачу теории
множеств, и Гильберт A900а) поставил ее на первое место в знамени-
знаменитом списке задач, который он представил математическому сообществу.
С 1900 года в задаче о континууме появилось два выдающихся резуль-
результата, но они, по-видимому, уменьшают вероятность того, что мы когда-
нибудь узнаем, верна ли гипотеза о континууме. Гёдель A938) показал,
что гипотеза о континууме не противоречит стандартным аксиомам
теории множеств, но Коуэн A963) показал, что ее отрицание также не
противоречит. Поэтому гипотеза о континууме независима от стандарт-
стандартной теории множеств, таким же образом, как постулат о параллельных
независим от других постулатов Евклида. Означает ли это, что поня-
понятие «множества» открыто для различных естественных интерпретаций,
как понятие «прямой линии», по-прежнему не ясно.
Упражнения
Доказательство Кантора 1874 года несчетности R основано на сле-
следующем построении. При заданной последовательности хо,х\,х2, ¦ ¦ ¦
различных действительных чисел, он нашел в них «пробел», выби-
23.157. Множества
рая ао, bo,ai,bi,... следующим образом.
441
Ьо = первое хт при а0 < хт,
а\ = первое хт после &о при ао < хт < Ьо,
61 = первое хт после а\ при а\ < хт < bo,
Gt2 = первое хт после Ь\ при а\ < хт < 6i.
23.2.1 Объясните, почему последовательность ао, bo, a\,b\, a^, b^, ¦ ¦ ¦ имеет
свойство «пробела», описанное выше: каждое хт находится вне
одного из вложенных интервалов (ао, 6о) D (а\, 6i) D (а2, 62) D ...
Теперь мы выясняем, насколько мы можем увеличить множество
натуральных чисел и по-прежнему иметь счетное множество.
23.2.2 Приведите правило для продолжения последовательности
12132143
1' 1' 2' 1' 2' 3' 1' 2' •••'
с тем чтобы включить все положительные рациональные числа.
23.2.3 Как в таком случае можно сделать вывод, что множество всех ра-
рациональных чисел счетное?
23.2.4 Слова на постоянном конечном алфавите можно точно подсчи-
подсчитать, составив список сначала односложных слов, затем двуслож-
двусложных слов и т. д. Используйте это наблюдение, чтобы показать, что
множество полиномиальных уравнений с целочисленными коэф-
коэффициентами счетное, и, следовательно, что множество алгебраи-
алгебраических чисел счетное.
Кантор использовал последний результат, чтобы доказать существова-
существование трансцендентных чисел. А именно, пусть {хт} — последователь-
последовательность алгебраических чисел; мы знаем, что это не все действительные
числа, поэтому любое другое действительное число является трансцен-
трансцендентным.
442
Глава 23
23.158. Мера
Причиной исследования множеств разрывностей в теории ряда Фу-
Фурье было открытие Фурье A822), что эти ряды зависят от интегралов.
Предполагая, что
оо
f(x) = -ао + у ^(an cos тога + Ъп sin тога),
Фурье вывел формулы
Г1 Г1
ап = I f(x) cosnnx dx, bn = I f(x)smnnx dx.
J-i J-1
Таким образом, существование рядов зависит от существования
интегралов для ап и Ьп, и это, в свою очередь, зависит от того, насколь-
насколько разрывна /. Известно (хотя не строго доказано), что всякая непре-
непрерывная функция имеет интеграл, поэтому следующий вопрос, как ин-
интеграл должен быть, или может быть, определен для разрывных функ-
функций. Первым точным ответом было понятие интеграла Римана A854а),
знакомое всем студентам, изучающим исчисление, и основанное на ап-
аппроксимации подынтегрального выражения ступенчатыми функция-
функциями. Любая функция с конечным количеством разрывностей имеет ин-
интеграл Римана, и, несомненно, некоторые функции с бесконечным чис-
числом разрывностей тоже, но не все. Классическая функция, для которой
не существует интеграл Римана, — функция Дирихле A829):
1, если х — рационально,
О, если х — рационально.
Со временем, чтобы охватить такие функции был введен более об-
общий интеграл, интеграл Лебега, но лишь тогда, когда центр внима-
внимания переместился с задачи интегрирования на более фундаментальную
проблему меры. Мера обобщает понятие длины (на оси R), площади
(в плоскости R ) и т. д. до вполне общих точечных множеств. Посколь-
Поскольку интеграл можно рассматривать как площадь под графом, его неза-
независимость от понятия меры ясна, хотя сразу не осознали, что сначала
следует внести ясность в меру множеств на оси.
Необходимость внести ясность выросла из открытия Гарнака
A885), что любое счетное подмножество {хо,х\,х2, ¦ ¦ •} множества R
23.158. Мера
443
можно охватить совокупностью интервалов произвольно малой общей
длины (охватить xq интервалом длины е/2, х\ — интервалом дли-
длины е/4, Х2 — интервалом длины е/8, ..., с тем чтобы общая длина
использованных интервалов равнялась ^ е). Казалось, что это пока-
показывает, что счетные множества были «малыми» (нулевой меры, как
мы сейчас говорим), но математики неохотно говорили это о плотных
счетных множествах, типа рациональных чисел. Первой реакцией было
определение меры аналогично интегралу Римана, используя конечные
объединения интервалов до приближенных подмножеств R [Жордан
A892)]. По этому определению, «разреженные» счетные множества ти-
типа {0,1/2, 3/4, 7/8,...} действительно имеют нулевую меру, но плотные
множества, как множества рациональных чисел, были вообще не изме-
измеримы.
Первым, кто увидел в результате Гарнака намек на то, что счетные
объединения интервалов следует использовать для измерения подмно-
подмножеств R, был Борель A898). Он определил, что мера любого счетного
объединения интервалов составляет его общую длину, и он распростра-
распространил измеримость на все более и более сложные множества образованием
дополнения и сложных несвязных объединений. То есть, если множе-
множество S, содержавшееся в интервале /, имеет меру f-i(S), то
fi(I-S) = fi(I)-fi(S),
и, если S — несвязное объединение множеств Sn с мерами fj>(S), то
Множества, которые можно образовать из интервалов образованием
дополнения и счетных объединений, сейчас называются борелевскими
множествами. Идею Бореля развил до логического завершения Лебег
A902), который присвоил нулевую меру любому подмножеству боре-
левского множества нулевой меры. Поскольку не все такие множества
борелевские, это распространило измеримость на более широкий класс
множеств: те, которые отличаются от борелевских множествами нуле-
нулевой меры. Являются ли измеримые множества всеми подмножества-
подмножествами R интересный вопрос, к которому мы вскоре вернемся.
Отличительным свойством меры Бореля-Лебега является счет-
счетная аддитивность: если So, S\, 5*2,... — несвязанные измеримые мно-
множества, то
fj,(S0 U Si U S2 U ...) =
444
Глава 23
Лебег показал, что это дает понятие интеграла, который лучше
ведет себя относительно пределов, чем интеграл Римана. Например,
имеется свойство монотонной сходимости: если /о, /i, /2, • • • — возрас-
возрастающая последовательность полоясительных интегрируемых функций,
и /п —*¦ / по мере того, как п —> оо, то / /„ dx —> J / dx для интеграла
Лебега, тогда как это не полностью верно для интеграла Римана (см.
упражнение 23.3.1).
Еще одной мотивацией счетной аддитивности, на которую указал
Борель, была теория вероятностей. Если «событие» Е формализуется
как множество S точек («благоприятных исходов»), то вероятность Е
можно определить как меру S. Некоторые вполне естественные собы-
события оказываются счетными объединениями, следовательно, необходи-
необходимо, чтобы мера вероятности была счетно аддитивна. В неформальной
теории вероятностей счетная аддитивность допускалась еще в 1690 го-
году, когда Якоб Бернулли ответил на следующий вопрос, который он
поставил в 1685 году:
Аи В играют в кости, тот, кто первый бросает очко, объявля-
объявляется победителем. А бросает один раз, тогда В бросает также
один раз. Затем А бросает дважды, и В делает то же самое,
и т. д. пока один не выиграет. Каково отношение их шансов на
успех?
Чтобы решить эту задачу, Якоб Бернулли A690) разложил событие
выигрыша для А (или В) на подсобытия выигрыша при А(В) будучи
первым, вторым, третьим..., преобразовал и суммировал вероятности
этих счетно многих подсобытий. Формальная теория вероятностей, ко-
которая была создана Колмогоровым A933), основывает все такие аргу-
аргументы на теории счетно аддитивных мер.
Можно сказать, что теория множеств проложила путь теории мер,
показав несчетность R, давая таким образом возможность рассматри-
рассматривать счетные подмножества R как «малые». С другой стороны, сама
теория мер показывает несчетность R (еще раз взгляните на резуль-
результат Гарнака), и, действительно, оценка «малости» счетных множеств
в теории мер значительно повлияла на позднейшее развитие теории
множеств.
Аксиомы «теоретически желаемой меры», такие как измеримость
всех подмножеств R, оказались в противоречии с аксиомами «теоре-
«теоретически желаемого множества», такими как гипотеза о континууме,
и усилия разрешить этот конфликт выявили более фундаментальные
23.159. Аксиома о выборе и большие кардинальные числа 445
вопросы о множествах. Эти вопросы не сводятся к определенным аль-
альтернативам — например, к способу, которым геометрические вопросы
сводятся к альтернативным аксиомам о параллельных — но они, види-
видимо, тяготеют к так называемому выбору и аксиомам о больших карди-
кардинальных числах, обсуждаемым в следующем разделе.
Упражнения
23.3.1 Покажите, что функция /и, которая нулевая во всех точках, кро-
кроме п, имеет нулевой интеграл Римана над любым интервалом,
и, что нериманова интегрируемая функция Дирихле является пре-
пределом, по мере того, как п —» оо, таких функций /„.
Сложность борелевских множеств можно приблизительно измерить
числом счетных объединений и дополнений, необходимых для их опре-
определения. Вот несколько наиболее простых.
23.3.2 Покажите, что единственная точка является дополнением счетно-
счетного объединения интервалов и, следовательно, что любое счетное
множество — борелевское множество.
23.3.3 Выведите, что множество иррациональных чисел является боре-
левским множеством.
23.3.4 Какова мера множества иррациональных чисел от 0 до 1?
23.159. Аксиома о выборе и большие кардинальные
числа
Обычная аксиома о выборе утверждает, что для любого множе-
множества S (множеств) имеется выбирающая функция f, так что f(x) G х
для каждого х G S. (Поэтому / «выбирает» элемент из каждого множе-
множества х в S.) Аксиома представляется столь правдоподобной, что первые
специалисты по теории множеств использовали ее почти неосознанно,
и она впервые привлекла внимание в доказательстве Цермело A904),
что любое множество S можно вполне упорядочить (то есть, приве-
привести его во взаимно однозначное соответствие с порядковым числом).
Это походило на движение вперед к гипотезе о континууме. Но до-
доказательство Цермело не дало ничего, кроме существования полного
упорядочения S, при наличии выбирающей функции для множества
446
Глава 23
подмножеств S. По-прежнему здесь не было признака полного упо-
упорядочения R. И, конечно, если сомневались в существовании полного
упорядочения R, это бросало тень на аксиому о выборе. Дальнейшие со-
сомнения возникли, когда было установлено, что аксиома о выборе имела
невероятные последствия в теории мер.
Первое из них, открытое Витали A905), состояло в том, что круг
можно разложить на счетное число непересекающихся конгруэнтных
мноясеств. Поскольку конгруэнтные множества имеют одинаковую ме-
меру Лебега, отсюда легко следует, что рассматриваемые множества неиз-
неизмеримы по Лебегу (по счетной аддитивности; см. упражнения 23.4.2
23.4.4).
Еще более парадоксальные декомпозиции были даны Хаусдорфом
A914) (для сферы) и Банахом и Тарским A924) (для шара). Теорема
Банаха Тарского утверждает, что единичный шар можно разложить
на конечное число мноясеств, которые при движении в пространстве
как твердые тела образуют два единичных шара! Это показывает, что
не все подмножества шара измеримы, даже если скорее требуется толь-
только конечная, чем счетная аддитивность. Отличное обсуясдение пара-
парадоксальных декомпозиций и их связей с другими частями математики,
см. Вейгон A985).
Теоретико-мерные следствия парадоксальных декомпозиций сле-
следуют из геометрически естественного допущения, что конгруэнтные
множества имеют одинаковую меру. Если отказаться от этого допу-
допущения и потребовать только счетной аддитивности и нетривиально-
нетривиальности (то есть, не все подмножества имеют нулевую меру), то конфликт
с аксиомой о выборе, видимо, исчезает. Из этих допущений еще не вы-
выведено ни одного противоречия, но Улам A930) показал, что любое
множество, обладающее такой мерой, должно быть необычайно боль-
большим, действительно, достаточно большим, чтобы быть моделью для
самой теории мноясеств, и, в частности, больше, чем кардинальные
числа ^1,^2, ..., Кш,... Поэтому, если R имеет нетривиальную счет-
счетно аддитивную меру, то R должно быть гораздо больше, чем Ni, и мы,
по-прежнему, имеем конфликт с гипотезой о континууме. (Подробнее
о «большой величине» моделей см. раздел 23.8).
Еще более желаемой аксиомой, чем измеримость, была бы изме-
измеримость по Лебегу всех подмножеств R. Это приходит в противоречие
с аксиомой о выборе, по теореме Витали, но, тем не менее, показано,
что не противоречит теории мноясеств Соловая A970), допуская суще-
существование большого кардинального числа. Шела A984) показал, что
допущение о большом кардинальном числе необходимо.
23.159. Аксиома о выборе и большие кардинальные числа 447
Таким образом, измеримость всех подмножеств R тесно связа-
связана с существованием мноясеств, достаточно больших, чтобы смодели-
смоделировать всю теорию мноясеств. Эта внушающая испуг концепция, по-
видимому, является ответом на многие фундаментальные вопросы. Мы
обратимся к ней опять в следующих разделах, когда будем исследовать
влияние теории мноясеств на логику. Между тем, тех, кто хотел бы по-
получить более подробное описание развития теории мноясеств и спорных
аксиом, в частности, мы отсылаем к ван Далену и Монна A972). По-
Последние разработки в теории больших кардинальных чисел, которые,
как считают некоторые, прольют новый свет на гипотезу о континууме,
см. Канамори A994) и Вудин A999).
Упражнения
Аксиома о выборе встречается даже в элементарном анализе, когда
пытаешься формализовать идею о непрерывной функции. Естествен-
Естественное определение в понятиях бесконечных последовательностей экви-
эквивалентно стандартному е-6 определению только, если мы допускаем
аксиому о выборе.
Назовем / последовательно непрерывной в х = а, если для любой
последовательности {а„}, так что ап —> а, мы имеем /(а„) —> /(а).
23.4.1 Покажите, допуская аксиому о выборе, что, если / не непрерывна
в а, то / последовательно не непрерывна в а. [Следствие Коуэ-
на A963) состоит в том, что этот результат нельзя доказать без
аксиомы о выборе.]
Декомпозиция круга Витали создается следующим образом. Для
каждого в между 0 и 2тг пусть S (в) будет множеством точек на единич-
единичном круге, угол которого отличается от в на рациональное кратное 2тг.
Поэтому S(9) = S(<f>), если в — ф = 2тгх рациональное, и S(9)r\S(<f>) = 0,
в ином случае.
23.4.2 Пусть S множество (существующее в силу аксиомы о выборе), ко-
которое содержит как раз один элемент из каждого отличного SF),
и пусть
S + 2тгг = {в + 2тгг : в G S} для каждого рационального г.
(Поэтому S + 2-кг — это S, вращаемое через рациональное крат-
кратное 2тгг угла 2тг.) Покажите, что любые два множества S + 2тгг
либо идентичны, либо не пересекаются.
448
Глава 23
23.4.3 Покажите, что круг — это счетное объединение множеств S-\-2irr.
23.4.4 Покажите, что оба допущения, fJ,(S) = 0 и fJ,(S) > 0, приводят
к противоречиям и, следовательно, сделайте вывод, что S неизме-
неизмеримо.
23.160. Диагональная аргументация
Несчетность R опять была показана поразительно простым спосо-
способом Кантором A891). Его аргументация почти непосредственно приме-
применяется к множеству 2N всех подмножеств N, но есть варианты, кото-
которые работают подобным же образом на множестве N целых функций
и на R (которое можно идентифицировать с множеством целых функ-
функций различными способами). Для того чтобы показать, что существует
несчетное число подмножеств N, показывают, что любая счетная сово-
совокупность 5*о, 5*1, 5*2 ... множеств Sn С N — неполная, построив новое
множество S, отличное от каждого Sn. S — это так называемое диаго-
диагональное множество {п : п ? Sn}, которое очевидным образом отлично
от Sn относительно числа п. Что и требовалось доказать!
«Диагональную» природу S можно увидеть, представив таблицу
0-й и 1-ц, в которой
то-и элемент в n-и строке =
если то <? Sn,
если то € Sn.
Другими словами, п-я строка состоит из значений характеристиче-
характеристической функции Sn. Характеристическая функция S — это просто диа-
диагональ таблицы, со всеми обращенными значениями. Последователь-
Последовательность xq, х\, Х2, • • • действительных чисел можно привести к диагональ-
диагональному виду, образовав таблицу, п-я строка которой состоит из десятич-
десятичных цифр хп. Подходящий способ «обратить» цифры на диагонали —
изменить любую 1 на 2 и любую другую цифру на 1. (Результирующая
последовательность 1-ц и 2-ек, после десятичной точки, определяет то-
тогда действительное число х, разложение на десятичные дроби которого
однозначно. Следовательно, х не только отлично от каждого хп в раз-
разложении на десятичные дроби, но определенно другое число.)
В более общем смысле, для любой таблицы строк целых чисел, то
есть, любой последовательности целых функций /„ можно построить
целую функцию /, неравную каждой /„, изменяя значения вдоль диа-
диагонали таблицы. Диагональная аргументация, фактически, была пер-
первой, данной в этом контексте дю Буа-Реймондом A875), для того чтобы
23.160. Диагональная аргументация
449
построить / с бблыней скоростью роста, чем все функции в последо-
последовательности /о, /i, /2, • • • (упражнение 23.5.1). Ретроспективно, можно
даже увидеть диагональное построение в первой аргументации Канто-
Кантора A874) для несчетности R (упражнение 23.5.2).
Диагональная аргументация важна в теории множеств, потому что
она без труда обобщает доказательство того, что любое множество име-
имеет больше подмножеств, чем элементов (упражнение 23.5.3), и, следо-
следовательно, что наибольшего множества не существует. Сначала не бы-
было замечено как раз то, что диагональная аргументация также имеет
следствия на более конкретном уровне. Это происходит потому, что
диагональ таблицы вычислима, если таблица в целом вычислима. Сле-
Следовательно, аргументация не просто показывает, как прибавлять но-
новую функцию / к списку /о, /i, /г, • • •: она показывает, как прибавить
новую вычислимую функцию к вычислимому списку. Другими слова-
словами, невозможно вычислить список всех вычислимых функций. И, ко-
конечно, то же самое относится к спискам вычислимых действительных
чисел. Этот замечательный результат прошел незамеченным в первое
время существования диагональной аргументации, потому что вычис-
вычислимость не считали тогда интересным понятием, или, в самом деле,
математическим понятием вообще. Споры об аксиоме о выборе, од-
однако, помогли обострить осознание разницы между конструктивными
и неконструктивными функциями. В 1920-х гг. логики начали исследо-
исследовать понятие вычислимости серьезнее, и «почти что чудом», как поз-
позже выразил это Гёдель A946), вычислимость оказалась математически
точным понятием.
Упражнения
Диагональное построение — вполне естественный способ построить
функцию или действительное число «больше», чем члены заданного
счетного множества.
23.5.1 При наличии целых функций /о, /i, /2, • • •, определите целую
функцию /, так что /(то)//„(то) —» оо по мере того, как то —» оо
для каждого п. Подсказка: Условьтесь, что /(то) Jj nfn(m) для
всех то Jj п.
23.5.2 Покажите, что если а$ < а\ < а^ < ... — ограниченная после-
последовательность действительных чисел, то а = наименьшей верхней
границе {ао, а\, аг, • • •} — «диагональное число» последовательно-
последовательности в следующем смысле. Имеются целые числа ко < к\ <к^ < ...,
450 Глава 23
так что десятичные цифры а превышают цифры ап после кп-го
разряда.
В последнем упражнении диагональное построение применяется
к любому множеству /, чтобы показать, что / имеет больше подмно-
подмножеств, чем членов.
23.5.3 Пусть / — любое множество, и пусть {Si} — совокупность под-
подмножеств / во взаимно однозначном соответствии с элементами i
в /. Покажите, что натуральное «диагональное» множество S этой
совокупности является подмножеством /, неравным каждому Si.
23.161. Вычислимость
Понятие вычислимости впервые было формализовано Тьюрингом
A936) и Постом A936), которые независимо пришли к определению
вычислительной машины, которая теперь называется машиной Тью-
Тьюринга. Машина Тьюринга М задана двумя конечными множества-
множествами {go, 9i, • • •, Чп} внутренних состояний и {so, si, ..., sn} симво-
символов, и функцией перехода Т, которая формализует поведение М для
пар (qi,Sj). Мысленно представляется, что М имеет бесконечную лен-
ленту, деленную на клетки, каждая из которых может нести один из сим-
символов sj . (Для большинства целей предполагается, что М начинает на
ленте со всех, кроме конечного числа пустых клеток; считается, что so
обозначает пустой символ.) В зависимости от внутреннего состояния д;,
М совершит переход: изменяя sj на sk, затем перемещаясь на один
квадрат вправо или влево и переходя в новое состояние qj. Таким об-
образом, функция перехода задана конечным числом уравнений:
T(qi,Sj) =)m,Sk,qi),
где m = ±1 указывает перемещение вправо или влево.
Для того чтобы использовать М в вычислении функции / : N —» N,
должно быть принято некоторое условное обозначение для исходных
данных (аргументов /) и результатов (значений /). Простейшее вид-
видно на рисунке 23.1. М начинает в состоянии до на крайней левой 1
блока п 1-ц, на противоположной пустой ленте, и останавливается на
крайней левой 1 блока f(n) 1-ц, на противоположной пустой ленте.
М останавливается посредством ввода состояния остановки, то есть,
23.161. Вычислимость
451
состояния qh, для которого М не имеет перехода от пары (д^, 1). Вы-
Вычислимая функция / — это функция, которую можно представить этим
способом при помощи машины Тьюринга М.
Рисунок 23.1: Вычисление функции при помощи машины Тьюрин-
Тьюринга
Отсюда следует, что имеется только счетное число вычислимых
функций / : N —» N, поскольку имеется только счетное число машин
Тьюринга. Действительно, мы можем вычислить список всех машин
Тьюринга, сначала составив список конечного числа машин с одним
переходом, затем машин с двумя переходами и т. д. Это может по-
показаться противоречием открытию предыдущего раздела о том, что
список всех вычислимых функций нельзя вычислить, но, как осознал
Тьюринг A936), это не так. Хитрость заключается в том, что не все
машины определяют функции, и невозможно выбрать те, которые
определяют. Конечно, можно исключить любую машину, которая оста-
останавливается в ситуации, непохожей на изображенную на рисунке 23.1;
трудность состоит в том, что неизвестно, случится ли остановка. Имен-
Именно эта трудность препятствует вычислению диагональной функции.
Если бы можно было принять решение, для каждой машины М
и каждого исходного элемента, остановится ли в конечном итоге М,
то мы могли бы найти первую машину, чтобы остановить на исходном
элементе 1, следующую после этого остановить на исходном элементе 2,
следующую после этого остановить на исходном элементе 3 и т. д. Из-
Изменяя соответствующие результаты согласно некоторому правилу (ска-
(скажем, добавляя 1, если результатом является число, и принимая значе-
значение 1 в ином случае), мы могли бы вычислить функцию, отличную от
каждой вычислимой функции.
Это противоречие показывает, что проблема принятия решения,
при наличии машины и исходного элемента, будет ли, в конце концов,
иметь место остановка, неразрешима. Эта проблема называется про-
проблемой остановки, и неразрешимость как раз означает, что ни одна
машина Тьюринга не может ее решить. То есть, если вопросы «Оста-
«Остановится ли, в конце концов, М на исходном элементе п?» формули-
формулируются на некотором постоянном конечном алфавите, то нет машины,
которая, при наличии этих вопросов в качестве исходных данных, даст
на них ответы в качестве результатов. Важность этого вывода заклю-
заключается в том, что, насколько нам известно, все возможные правила
или алгоритмы решения задач можно реализовать при помощи машин
Тьюринга. Это «почти что чудо», которое имел в виду Гёдель A946).
Теперь, когда компьютеры находятся повсюду, считается само со-
452
Глава 23
бой разумеющимся, что вычислимость имеет точное, абсолютное значе-
значение, синонимичное вычислимости машины Тьюринга. И даже привы-
привычен тот факт, что все вычисления можно выполнить на одной, доста-
достаточно мощной машине; это соответствует открытию Тьюрингом A936)
универсальной машины Тьюринга. Однако в 1930-х гг. эти утвержде-
утверждения вызывали удивление, особенно у Гёделя, который ранее показал
A931), что родственное понятие «доказуемости» не абсолютно. Его мы
обсудим дальше в следующем разделе. Кратко, причина этого различия
в том, что новые вычислимые функции нельзя создавать при помощи
приведения к диагональному виду, тогда как новые теоремы можно.
В 1936 году проблема остановки не имела очевидного математиче-
математического значения, но она казалась не труднее любой другой нерешенной
алгоритмической задачи в математике. Поэтому в первое время ло-
логично было предполагать, что были неразрешимы некоторые обычные
математические задачи. Более того, если можно было показать, что ре-
решение конкретной задачи Р влекло за собой решение проблемы оста-
остановки, то неразрешимость Р была бы строго установлена. Этот метод
использовали, чтобы продемонстрировать неразрешимость некоторых
задач в формальной логике, Тьюринг A936) и Черч A936). Черч также
выдвинул сильного кандидата на неразрешимость в обычной матема-
математике: проблему тождества групп.
Это задача принятия решения, при наличии конечного множества
определяющих соотношений для группы G (раздел 19.6) и слова w, w =
= 1 ли в G. Между проблемой тождества групп и проблемой останов-
остановки есть нечто большее, чем поверхностная аналогия. G соответствует
машине М, слова в G соответствуют выражению на ленте М, и w =
= 1 соответствует остановке. Определяющие соотношения G приблизи-
приблизительно соответствуют функции перехода М, но, к сожалению, не суще-
существует машины, эквивалентной сокращению обратных элементов в G.
Это создает сильные технические трудности, но их преодолел Новиков
A955). Он добился успеха, установив справедливость аналогии, и, сле-
следовательно, неразрешимости проблемы тождества групп. Это привело
к результатам о неразрешимости множества важных математических
задач, среди них задачи о гомеоморфизме, о которой говорилось в раз-
разделе 22.7. [Ссылки на литературу даны там, Стиллуэлл A993) включа-
включает также доказательство неразрешимости проблемы тождества.]
Глубокая доработка идей Новикова Хигманом A961) показыва-
показывает, что вычислимость является математически естественным поняти-
понятием в контексте групп. Хигман показал, что группа с конечным числом
образующих Н имеет вычислимое мноясество определяющих соотноше-
23.162. Логика и теорема Г'еделя
453
ний тогда и только тогда, когда Н является подгруппой группы с ко-
конечным числом образующих F с конечным множеством определяющих
соотношений. Поэтому «вычисление» есть то же, что «порождение»
в группе, которая «конечно определена» порождающими элементами
и соотношениями.
Упражнения
Тьюринг A936) фактически открыл неразрешимость проблемы
остановки, рассмотрев вычислимые действительные числа и приме-
применив к ним диагональную аргументацию. Аргументация похожа на опи-
описанную выше с использованием вычислимых функций, но немного бес-
беспорядочна. Определите, что действительное число х вычислимо, если
есть машина Тьюринга М, которая представляет х следующим обра-
образом:
• Начиная на пустой ленте, М печатает десятичные цифры х на по-
последующих клетках ленты, заполнив в итоге каждую клетку спра-
справа от клетки, первоначально сканированной (если необходимо, на-
напечатав все 0-ли выше некоторой точки).
• Могут использоваться, и вновь использоваться для предваритель-
предварительных вычислений клетки слева, но клетки справа, однажды напи-
написанные, нельзя перезаписать.
23.6.1 Покажите, что алгоритма распознавания машин Тьюринга, ко-
который определяет действительные числа таким образом, нет, по-
поскольку такой алгоритм дал бы способ вычислить число, отличное
от всякого вычислимого числа.
23.6.2 Объясните неформально, как всякую машину Тьюринга М можно
преобразовать в машину М', так что М определяет вычислимое
число тогда и только тогда, когда М' не останавливается.
23.6.3 Следовательно, докажите, что ни одна машина Тьюринга не может
решить проблему остановки.
23.162. Логика и теорема Гёделя
Со времен Лейбница и, возможно, ранее, предпринимались попыт-
попытки механизировать математическое рассуждение. До конца девятна-
454
Глава 23
дцатого века, когда в предмет математики была внесена ясность опре-
определением всех математических объектов в понятиях множеств, успе-
успехи были незначительны. Сведение многих понятий числа, простран-
пространства, функции и тому подобного к единому понятию множества при-
принесло с собой соответствующее уменьшение количества аксиом, кото-
которые представлялись необходимыми для математики. Примерно в то же
время исследование принципов логики Булем A847) и, особенно, Фре-
ге A879) привело к системе правил, по которым можно было вывести
все логические следствия заданного множества аксиом. Вместе эти два
направления исследований предложили возможность полной, строгой
и, в принципе, механической системы получения всей математики.
Самой тщательной попыткой реализовать эту возможность был
грандиозный труд Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела A910).
В Principia использовались аксиомы теории множеств, наряду с неболь-
небольшой совокупностью правил умозаключений, чтобы вывести существен-
существенную часть обычной математики на полностью формальном языке. Цель
формального языка — избежать неопределенности и двусмысленности
естественного языка, с тем чтобы доказательства можно было прове-
проверить механически. Механическая проверка доказательства тогда счи-
считалась не целью в себе, а скорее гарантией строгости. Когда Уайтсхед
и Рассел начали писать свои Principia в 1900 г., они считали, что уже
почти достигли цели девятнадцатого века, полной и абсолютно стро-
строгой математической системы. Они не осознавали, что строгость их
системы, возможность проверки доказательств механически, фактиче-
фактически, была несовместима с полнотой. Гёдель A931) показал, что есть
истинные предложения, которые можно выразить на языке Principia
Mathematica, но они не следуют из их аксиом. (Если Principia не про-
противоречивы, в этом случае все предложения следуют из их аксиом.
Допущение о противоречивости действительное веское, как мы увидим
к концу этого раздела.)
Теорема Гёделя, когда она впервые появилась, произвела сенса-
сенсацию. Она не только разрушила предшествующие концепции математи-
математики и логики, но ее доказательство было нового и смущающего рода.
Гёдель использовал механическую природу доказательства в Principia,
чтобы определить зависимость «n-е предложение Principia доказуемо»
на языке самих Principia. Используя это, он смог придумать предло-
предложение, которое, в сущности, говорит «Это предложение не доказуемо».
Предложение Гёделя, если оно истинно, поэтому не доказуемо. И ес-
если оно ложно, то доказуемо, и поэтому Principia доказывают ложное
23.162. Логика и теорема Г'еделя
455
предложение. И так, и этак, доказуемость в Principia не то же самое,
что истина.
Современникам было очень трудно понять доказательство Гёделя.
С новизной трактовки символов и предложений как математических
объектов соединились почти противоречивость предложения, которое
выражает свою собственную недоказуемость (предложение, которое го-
говорит «Это предложение не истинно» есть противоречие). Пост A944)
представил теорему Гёделя менее парадоксальным способом, выведя
ее из классической диагональной аргументации. Ключ к подходу По-
Поста — понятие рекурсивно перечислимого множества. Множество W
называется рекурсивно перечислимым, если список его членов можно
вычислить, скаясем, с помощью машины Тьюринга, которая напечатает
их на ленте. (Конечно, если W — бесконечно, вычисление продолжится
вечно.) Парадигма рекурсивно перечислимого множества — множество
теорем формальной системы, такой как Principia Mathematica. Для та-
такой системы можно вычислить список всех предложений, список всех
конечных последовательностей предложений и, выбрав те предложе-
предложения, которые являются доказательствами, список всех теорем, посколь-
поскольку теорема — это просто последняя строка доказательства.
Идея Поста заключалась в том, чтобы взглянуть на теоремы о ре-
рекурсивно перечислимых множествах в данной системе S и вычислить
из них «диагональное предложение». Поскольку рекурсивно перечис-
перечислимые множества связаны с машинами Тьюринга, можно точно под-
подсчитать рекурсивно перечислимые подмножества N как Wo, Wi, W2, ¦ ¦.,
допуская, что Wn — множество чисел, выводимое в результате n-й ма-
машиной, по некоторому приемлемому условию. (Между прочим, зада-
задачи выбора подходящей машины нет, как есть задача для вычислимых
функций, поскольку мы не возражаем, если Wn — пусто.) Диагональ-
Диагональное множество D, равное {п : п ф WK}, при этом будучи не равным
каждому Wn, конечно, не является рекурсивно перечислимым, но сле-
следующее множество является:
Pr(D) = {п : ? доказывает «п ф Wn-»}.
Эта «доказуемая часть» D — рекурсивно перечислима, потому что мы
можем составить список теорем ? и выбрать теоремы вида «п ф Wn-».
Pr(D) С D, предполагая, что ? доказывает только верные предложе-
предложения, но Pr(D) ф D, поскольку Pr(D) — рекурсивно перечислимое мно-
множество, a D — нет. Это сразу показывает, что в D есть по, которого нет
в Pr(D), то есть, по ф Wno, для которого «по ф Wno-» не доказуемо.
456
Глава 23
Все же лучше, определенное по с этим свойством — это индекс ре-
рекурсивно перечислимого множества Pr(D). Если Wno = Pr(D), то no ?
Wno эквивалентно по € Pr(D), которое означает, что «по ф Wno» до-
доказуемо. Но тогда истинно, что по ф Wno, предполагая, что ? дока-
доказывает только верные предложения, и мы имеем противоречие. Поэто-
Поэтому no ф Wno. Это, в свою очередь, эквивалентно no ф Pr(D), которое
означает, что «по ф Wno» не доказуемо. (Заметьте, между прочим, что
последняя часть этого аргумента раскрывает, что «no ^ Wno» — пред-
предложение, которое выражает свою собственную недоказуемость.)
По-видимому, Пост знал об этом подходе к теореме Гёделя в 1920-
х гг., прежде чем появилось собственное доказательство Гёделя. Одна-
Однако более общий взгляд Поста на неполноту как свойство произвольных
рекурсивно перечислимых систем останавливал его, пока он не убе-
убедился, что вычислимость была математически определимым понятием.
В декабре 1925 года Пост сформулировал план доказательства непол-
неполноты Principle, Mathematica, но, как позже он писал: «План, однако,
включал предыдущие упражнения на другой математической и логи-
логической работе, и не рассчитывал на появление Гёделя!» [Пост A945),
с. 418].
Теорема Гёделя возникает из размышления о природе доказа-
доказательств в обычной математике. Еще более разительная теорема, из-
известная как вторая теорема Гёделя, возникает из размышления о до-
доказательстве самой теоремы Гёделя. Последнее доказательство, хотя
и необычное, действительно, можно выразить на обыкновенном мате-
математическом языке.
Мы описали доказательство теоремы Гёделя Постом на нефор-
неформальном языке машин Тьюринга, но, с некоторыми усилиями, его мож-
можно выразить на малом языке теории чисел, который называется ариф-
арифметикой Пеано (РА). РА — это язык сложения и умножения на N
с основной логической и математической индукцией в качестве меха-
механизма доказательства. Машины Тьюринга можно обсудить на РА, ин-
интерпретируя последовательности символов на ленте как числительные,
с тем чтобы изменения, которые они испытывают в процессе вычисле-
вычисления, стали операциями на числах. По этой интерпретации «no ф Wno»
и «S не доказывает «по ф Wo» становятся предложениями РА.
В этот момент важно вспомнить гипотезу о S, использованную
в доказательстве теоремы Гёделя; ? доказывает только верные пред-
предложения. Это допущение нельзя опустить (поскольку одна неверная
теорема обычно позволяет вывести все предложения), но его можно
ослабить до допущения о совместимости, что S не доказывает предло-
23.162. Логика и теорема Г'еделя
457
жение «0 = 1». Поскольку последнее допущение говорит, что опреде-
определенный элемент (номер предложения «0 = 1») не принадлежит опреде-
определенному рекурсивно перечислимому мноясеству (мноясеству теорем S),
его можно выразить как предложение PA, Con(S). В частности, РА
может выразить свою собственную непротиворечивость предложени-
предложением Соп(РА). ((После этих модификаций теорема Гёделя для ? = РА
становится следующим предложением РА:
Соп(РА) => РА не доказывает «no ф Wno.-»
Эквивалентное предложение — просто
Wno,
поскольку, как мы видели, предложение «no ф Wno» эквивалентно сво-
своей собственной недоказуемости.
Теперь Гёдель заметил, что его доказательство можно выполнить
на РА. [Он не опубликовал детали, но довольно трудоемкая проверка
была выполнена Гильбертом и Бернайсом A936).] Следовательно, ес-
если Соп(РА) можно доказать на РА, то
Wno» тоже по основной
логике. Но, если РА непротиворечива, «по ф. Wno-» нельзя доказать на
ней, по теореме Гёделя, следовательно, Соп(РА) тоже нельзя. [Гёдель,
конечно, имел иное недоказуемое предложение, но его подобным же
образом подразумевало Соп(РА), и оно было эквивалентно своей соб-
собственной недоказуемости.].
Таким образом, утверждение Соп(РА), что аксиомы РА непроти-
непротиворечивы, в некотором отношении сильнее, чем сами аксиомы. Подоб-
Подобным же образом, если S — любая система, которая включает РА (та-
(такая как Principia Mathematica и другие системы теории множеств),
то Con(S) нельзя доказать в ?, если ? — непротиворечива. Это вторая
теорема Гёделя.
Упражнения
Поучительно разобрать, почему предложение «по ф Wno» выра-
выражает собственную недоказуемость, если это уже не очевидно.
23.7.1 Заполните пробел, с тем чтобы установить цепочку эквивалентно-
стей:
по ф Wno <=>...<=> ? не доказывает «n0 <? Wno».
458
Глава 23
23.163. Доказуемость и истина
В предыдущем разделе подчеркивалось, что теорема Гёделя — это
формулировка альтернатив: формальной системе S либо не удается
доказать истинное предложение, либо она доказывает ложное. Вторая
теорема Гёделя индентифицирует предложение Con(S), которое либо
истинно и недоказуемо, либо ложно и доказуемо, но доказательство не
говорит, какая альтернатива на самом деле выполняется для конкрет-
конкретной ?, такой как РА или Principle, Mathematica. Как оно могло бы, не
нарушая саму теорему Гёделя? Если ? на самом деле противоречива,
то не может быть формального доказательства, что Con(S) истинно!
Тем не менее, теорема Гёделя говорит нам, что нам нечего те-
терять, если добавить Con(S) к системе S. Если S противоречива, то
она уже бесполезна, и, добавив Con(S), мы не окажемся в более за-
затруднительном положении. И, если S непротиворечива, мы действи-
действительно выигрываем, потому что Con(S) — новая математическая исти-
истина, не доказуемая на основе одной ?. В этом случае, теорема Гёделя
дает способ выйти за пределы любой заданной формальной системы.
Знание, что Con(S) находится вне сферы действия S (если S непро-
непротиворечива), имеет практическое значение для математиков, так как
это означает, что момента, пытающегося доказать любое предложение,
которое подразумевает Con(S), нет. Если захочется использовать такое
предложение, то его следует принять как новую аксиому.
Таким способом действительно возникают вопросы, представляю-
представляющие математический интерес, наиболее просто в теории множеств, где
непротиворечивость вызвана существованием «большого множества».
Обычные аксиомы теории множеств (которые называются ZF) прибли-
приблизительно говорят, что
1) N — множество.
2) Последующие множества следуют из определенных операций, са-
самые важные из которых — мощность (принятие всех подмножеств
множества) и замена (принятие множества значений функции, об-
областью определения которой является множество).
Из-за этого, аксиомы ZF можно моделировать любым множеством, ко-
которое содержит N, и замкнуто по мощности и замене. Такое множество
должно быть очень большим, больше, чем любое множество, существо-
существование которого можно доказать на ZF — но, если оно существует, то ZF
23.163. Доказуемость и истина
459
должна быть непротиворечивой, поскольку два противоречивых пред-
предложения не могут быть истинными о фактически существующем объ-
объекте. Поэтому существование множества, которое большое в указанном
смысле, подразумевает Con(ZF).
Если ZF — непротиворечива, то ZF + Con(ZF) также непроти-
непротиворечива, но требуется еще большее множество, чтобы удовлетво-
удовлетворить расширенную систему аксиом. Существование этих больших мно-
множеств называется аксиомами о бесконечности. Поскольку они означа-
означают Con(ZF), их нельзя доказать на ZF. В частности, нельзя доказать
существование нетривиальной меры на всех подмножествах R, посколь-
поскольку, как говорилось в разделе 23.4, это означает существование большого
множества. Действительно, существование нетривиальной меры на R —
аксиома о бесконечности, которая намного сильнее, чем ранее упомя-
упомянутые аксиомы. Гёдель A946) сделал интересное предположение, что
любая истинная, но недоказуемая теорема является следствием какой-
нибудь аксиомы о бесконечности.
Позднее, найдены некоторые свойства «большой величины» в тео-
теории чисел, которые подразумевают Соп(РА). Первое из них было най-
найдено Парисом и Харрингтоном A977), с использованием модификации
комбинаторной теоремы Рамсея A929). Парис и Харрингтон нашли
предложение <т, которое говорит, что для каждого п ? N имеется то, так
что множества величины ^ то имеют некоторое комбинаторное свой-
свойство С in). Они показали, что а следует из теоремы Рамсея на беско-
бесконечных множествах, но, что функция
f(n) = наименьшее то, так что множества величины то имеют свойство С
растет быстрее, чем любая вычислимая функция, существование ко-
которой можно доказать на РА. Поэтому а в некотором смысле обосно-
обосновывает существование «большой» функции. Свойство С{п) таково, что
можно принять решение, имеет ли его конечное множество или нет,
следовательно, а означает (очень просто и определенно на РА), что /
— вычислима. Это сразу показывает, что а нельзя доказать на РА, но
Парис и Харрингтон фактически показали более сильный результат,
что а означает Соп(РА).
Теорема Гёделя показывает, что в чисто формальном взгляде на
математику что-то упущено, и аксиомы о бесконечности показывают,
что упущенные элементы могут быть математически интересны и важ-
важны. Несмотря на это, официальная точка зрения, видимо, по-прежнему
заключается в том, что математика состоит из формального вывода те-
460
Глава 23
орем из постоянных аксиом. Еще в 1941 году Пост протестовал против
такого мнения:
Непрерывное удивление автора вызывает то, что десять лет
спустя после замечательного достижения Гёделя современ-
современные взгляды на природу математики в связи с этим были
затронуты только до момента видения необходимости мно-
многих формальных систем, вместо одной универсальной. Скорее,
нам должно было показаться неизбежным, что эти разработки
приведут к изменению всей аксиоматической тенденции кон-
конца девятнадцатого и начала двадцатого века, к возвращению
к значению и истине.
[Пост A941), с. 345]
Я считаю, что Пост говорил о следующем. До Гёделя цель матема-
математической логики заключалась в том, чтобы выделить всю математику
во множество аксиом. Ожидалось, что, например, всю теорию чисел
можно восстановить формальной дедукцией из РА, то есть, забыв, что
аксиомы РА имеют какое-нибудь значение. Гёдель показал, что это
не так, и, в особенности, что предложение Соп(РА), которое выражает
непротиворечивость, нельзя восстановить подобным образом. Но имен-
именно зная в точности значение аксиом РА, знаешь, что они непротиворе-
непротиворечивы: противоречивые предложения нельзя выполнить в фактической
структуре N с + и х. Поэтому именно способность видеть значение на
РА, дает нам возможность увидеть истину Соп(РА) и, следовательно,
выйти за пределы мощности формального доказательства.
23.164. Биографические заметки: Гёдель
Курт Гёдель (рисунок 23.2) родился в 1906 году в Брюнне, Мора-
Моравия (ныне Брно, Чехословакия) и умер в Принстоне в 1978 году. Он был
вторым сыном Рудольфа Гёделя, управляющего текстильной фирмы,
и Марианны Хандшух. Оба родителя принадлежали к значительному
немецкоговорящему меньшинству, и его мать получила часть своего
образования во французской школе в Брюнне. Ее влияние, видимо, до-
доминировало в воспитании Курта, по крайней мере, в вопросах церкви
и школы. Он посещал лютеранские организации и не симпатизировал
католической церкви, к которой номинально принадлежал его отец.
Рисунок 23.2: Курт Гёдель
23.164. Биографические заметки: Г'едель
461
Вообще, у Гёделя было счастливое детство, и он обращал на се-
себя внимание своим любопытством, будучи известен в семье как Негг
Warum (мистер Почему). Семье повезло, что первая мировая война от-
относительно не коснулась Брюнна, и даже после войны поглощение Мо-
Моравии в новую нацию Чехословакии незначительно повлияло на семью
Гёделей. Самым беспокойным событием детства Гёделя был приступ
ревматической лихорадки в возрасте шести или семи лет, за которым
последовало знание, в возрасте восьми лет, что ревматическая лихорад-
лихорадка могла причинить вред сердцу. До конца жизни он был убежден, что
у него слабое сердце, и когда доктора не нашли этому доказательств,
у него также развилось недоверие к медицинской профессии. Это при-
привело к соприкосновению со смертью в 1940-х гг., когда он не лечил язву
двенадцатиперстной кишки, и он превратился в навязчиво осторожно-
осторожного и склонного к депрессии человека.
Закончив среднюю школу, Гёдель переехал в Вену (место рожде-
рождения своего отца), чтобы поступить в университет. Сначала он не опре-
определился между математикой и физикой, но выбрал математику после
того, как прослушал блестящий цикл лекций специалиста по теории
чисел Фюртванглера. С логикой и теорией множеств его познакомил
Ганс Хан, который интересовался проблемами точечных множеств в те-
теории действительных функций. Хан вовлек Гёделя в известный Вен-
Венский кружок философов 1926-1928 гг. и позже стал его научным ру-
руководителем. Цель Венского кружка заключалась в постановке науки
и философии на строгую основу посредством формальной логики и, без
сомнения, оказала сильное влияние на работу Гёделя. Однако его тео-
теорема о неполноте была, очевидно, ударом для Венского кружка, также
как для формалистов в математике. Фактически, Гёдель начал отхо-
отходить от Венского кружка задолго до того, как он открыл свою теорему,
так как его философская позиция приближалась к диаметрально про-
противоположной. Венский кружок основывал свою философию на стро-
строго материальных данных, тогда как Гёдель был метафизиком до такой
степени, что интересовался приведениями и демонами [см., например,
Крейзель A980), с. 155].
В 1927 году Гёдель повстречал свою будущую жену, Адель Ним-
бурски, танцовщицу в ночном клубе Вены. Его родители возражали
против нее, на том основании, что она была на шесть лет старше Гёделя
и уже была замужем раньше, и пара поженилась лишь в 1938 году.
Брак выдержал испытание временем, и друзья заметили, насколько
теплее стал Гёдель в ее обществе. У них не было детей, и Адель, ве-
462
Глава 23
роятно, была единственным человеком в жизни Гёделя, который мог
изредка опускать его на землю.
В 1929 году Гёдель стал австрийским гражданином и быстро заво-
завоевал славу, опубликовав в 1931 году теорему о неполноте. Его пригласи-
пригласили в Соединенные Штаты, и он три раза посещал Институт перспектив-
перспективных исследований в Принстоне. В промежутках между ними, однако,
он испытывал приступы депрессии и проводил некоторое время в пси-
психиатрических лечебницах. В 1938 году Гитлер аннексировал Австрию,
и атмосфера становилась все более и более угнетающей, хотя Гёдель,
видимо, не воспринимал угрозу нацизма. Он обвинял в ситуации ав-
австрийскую «небрежность» и решил уехать только, когда его посчитали
годным к военной службе, по его мнению, явно некомпетентное мнение.
В течение этого напряженного периода своей жизни A937-1940)
Гёдель взялся за решение задач теории множеств и доказал непроти-
непротиворечивость аксиомы о выборе и гипотезы о континууме. Таким обра-
образом, он приехал в 1940 году в Принстон на второй волне славы. Он
получил должность в Институте перспективных исследований, где он
вынужден был остаться до конца жизни. В начале 1940-х гг. он про-
продолжал упорно работать над теорией множеств. В 1942 году он нашел
доказательство независимости аксиомы о выборе, но не опубликовал
свою работу, когда обнаружил, что не мог сделать то же самое для ги-
гипотезы о континууме (а именно, показать, что, если теория множеств
непротиворечива, то можно непротиворечиво предположить, что ак-
аксиома о выборе истинна, но гипотеза о континууме — ложная). Эти
результаты, конечно, были со временем получены Коуэном A963).
С 1943 года Гёдель, в основном, посвятил себя философии. Несо-
Несомненно, Крейзель A980), с. 150 доказывает, что все открытия Гёделя
проистекали из его философской проницательности, в сочетании с со-
соответствующими, но, в целом, элементарными математическими ме-
методами. Теорема о неполноте, например, вытекает из наблюдения за
разницей между доказуемостью и истинностью. Гёдель A949) пред-
предпринял неожиданный набег на другую область математики, представ-
представляющую философский интерес, теорию относительности. Он показал,
что есть решения уравнений Эйнштейна, которые содержат замкнутые
времениподобные строки, теоретически допускающие возможность пу-
путешествия во времени. Позже Гёдель вычислил, что количество энер-
энергии, необходимое на путешествие в собственное прошлое, недопустимо
велико, но допустимость сигналов в прошлое и из прошлого остава-
оставалась открытой. Несомненно, он видимо, верил, что это было возможной
основой существования привидений [Крейзель A980), с. 155].
23.164. Биографические заметки: Г'едель
463
Понятно, что Гёдель был сдержан относительно выражения таких
взглядов публично. Даже в случае теоремы о неполноте, следствия ко-
которой для вопроса умов против машин широко дебатировались, он не
публиковал свои взгляды. Его частная точка зрения, что ум мощнее
машины, быть может, однако, была важна, поскольку дала ему воз-
возможность, в первую очередь, предвидеть теорему о неполноте. Несо-
Несомненно, быть может, не будет преувеличением сказать, что восприим-
восприимчивость Гёделя к научно нешаблонным идеям пролоясила путь к его
нешаблонным теоремам.
Литература
[1] Abel, N.H. A826).Demonstration de l'impossibilite de la resolution
algebrique des equations generates qui passent le quatrieme degre.
J. reine und angew. Math., 1, 65-84. Oeuvres Completes 1, 66-87.
[2] Abel, N.H. A827), Recherches sur les fonctions elliptiques. J. reine
und angew. Math., 2, 101-181. 3, 160-190. In his Oeuvres
Completes 1: 263-388.
[3] Adyan, S. I. A957). Unsolvability of some algorithmic problems in the
theory of groups (Russian). Trudy Moskov. Mat. Obshch., 6, 231-298.
[4] Alberti, L.B. A436), Trattato della pittura. Reprinted in II trattato
della pittura e i cinque ordine architettonici, R. Carabba, 1913.
[5] Apery, R. A981). Interpolation de fractions continues et irrationality
de certaines constantes. In Mathematics, pages 37-53. Bib. Nat.,
Paris.
[6] Argand, J.R. A806). Essai sur un maniere de representer les
quantites imaginaires dans les constructions geometriques. Paris.
[7] Artin, M. A991). Algebra. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ.
[8] Ayoub, R. A984). The lemniscate and Fagnano's contributions to
elliptic integrals. Arch. Hist. Exact Sci., 29B), 131-149.
[9] Bachet de Meziriac, C.G. A621). Diophanti Alexandrini libri sex.
Toulouse.
[10] Baillet, A. A991). La vie des Monsieur Des-Cartes. Daniel
Horthemels, Paris.
[11] Ball, W.W.R. A890). Newton's classification of cubic curves. Proc.
London Math. Soc, 22, 104-143.
[12] Baltrusaitis, J. A977). Anamorphic Art. Harry Abrams, New York.
Литература
465
[13] Banach, S. and Tarski, A. A924). Sur la decomposition des ensembles
de points en parties respectivement congruents. Fund. Math., 6, 244-
277.
[14] Banville, J. A981). Kepler: A Novel. Seeker and Warburg, London.
[15] Baron, M.E. A969). The Origins of the Infinitesimal Calculus.
Pergamon Press, Oxford.
[16] Bashmakova, I. G. A981). Arithmetic of algebraic curves from
Diophantus to Poincare. Historia Math., 8D), 393-416.
[17] Beeckman, I. A628). Journal. Beeckman A634), quoted in Oeuvres
de Descartes, volume 10, pp. 344-346.
[18] Beeckman, I. A634). Journal tenu par Isaac Beeckman de 1604 a
1634. Nijhoff, The Hague. Edited by С de Ward, 4 vols.
[19] Beltrami, E. A865). Risoluzione del problema: "Riportare di una
superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano
rappresentate da linee rette". Ann. Mat. pura appl., ser. 1, 7, 185-
204. In his Opere Matematiche 1: 262-280.
[20] Beltrami, E. A868a). Saggio di interpretazione della geometria non-
euclidea. Giorn. Mat., 6, 284-312. In his Opere Matematiche 1: 262-
280, English translation in Stillwell A996).
[21] Beltrami, E. A868b). Teoria fundamental degli spazii di curvatura
consante. Ann. Mat. pura appl., ser. 2, 2, 232-255. In his Opere
Matematiche 1: 406-429, English translation in Stillwell A996).
[22] Bernoulli, D. A743). Letter to Euler, 4 September 1743. In Enestrom
A906).
[23] Bernoulli, D. A753). Reflexions et eclaircissemens sur les nouvelles
vibrations des cordes exposees dans les memoires de l'academie de
1747 & 1748. Hist. Acad. Sci. Berlin, 9, 147-172.
[24] Bernoulli, Jacob A690). Quaestiones nonnullae de usuris cum
solutione problematis de sorte alearum propositi in Ephem. Gall. A.
1685. A eta Erud., 11, 219-233.
[25] Bernoulli, Jacob A692). Lineae cycloidales, evolutae, ant-
evolutae... Spira mirabilis. Ada Erud., 11, 207-213.
466
Литература
[26] Bernoulli, Jacob A694). Curvatura laminae elasticae. Ada Erud., 13,
262 276.
[27] Bernoulli, Jacob A697). Solutio problematis fraternorum. Ada
Erud., 16, 211-217.
[28] Bernoulli, Jacob A713). Ars conjectandi. Opera 3: 107-286.
[29] Bernoulli, Jacob and Johann A704). Uber unendlische Reihen.
Ostwald's Klassiker, vol. 171. Engelmann, Leipzig, 1909.
[30] Bernoulli, Johann A691). Solutio problematis funicularii. Ada Erud.,
10, 274-276. In his Opera Omnia 1: 48-51.
[31] Bernoulli, Johann A696). Problema novum ad cujus solutionem
mathematici invitantur. Ada Erud., 15, 270. In his Opera Omnia 1:
179-187.
[32] Bernoulli, Johann A697). Principia calculi exponentialum. Ada
Erud., 16, 125-133. In his Opera Omnia 1: 179-187.
[33] Bernoulli, Johann A699). Disputatio medico-physica de nutritione.
Groningen.
[34] Bernoulli, Johann A702). Solution d'un probleme concernant le calcul
integral, avec quelques abreges par raport a ce calcul. Mem. Acad.
Roy. Soc. Paris, pages 289-297. In his Opera Omnia 1: 393-400.
[35] Bernoulli, Johann A712). Angulorum arcuumque sectio indefinita.
Ada Erud., 31, 274-277. In his Opera Omnia 1: 511-514.
[36] Bertrand, J. A860). Remarque a l'occasion de la note precedent.
Сотр. Rend., 50, 781-782.
[37] Bezout, E. A779). Theorie generate des equations algebriques. Ph.-D.
Pierres, Paris.
[38] Birkhoff, G., editor A973). A Source Book in Classical Analysis.
Harvard University Press, Cambridge, MA. With the assistance of
Uta Merzbach.
[39] Boltyansky, V, G. A978). Hilbert's Third Problem. V.H.Winston &
Sons, Washington, DC. Translated from the Russian by Richard
A. Silverman, With a foreword by Albert B. J. Novikoff, Scripta Series
in Mathematics.
Литература
467
[40] Bolyai, F. A832a). Tentamen juventutem studiosam in elementa
matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva,
evidentiaque huic propria, introducendi. Marosvasarhely.
[41] Bolyai, J. A832b). Scientiam spatii absolute veram exhibens: a
veritate aut falsitate Axiomatis XI Euclidei (a priori haud unquam
decidanda) independentem. Appendix to Bolyai A832a), English
translation in Bonola A912).
[42] Bolzano, B. A817). Rein analystischer Beweis des Lehrsatzes
dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat
gewahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.
Ostwald's Klaasiker, vol. 153. Engelmann, Leipzig, 1905.
[43] Bombelli, R. A572). L'algebra. Prima edizione integrate.
Introduzione di U. Forti. Prefazione di E. Bortolotti. Reprint
by Biblioteca scientifica Feltrinelli. 13. Milano: Giangiacomo
Feltrinelli Editore. LXIII A966).
[44] Bonnet, O. A848). Memoire sur la theorie generate des surfaces. J. Ec.
Polytech., 19, 1-146.
[45] Bonola, R. A912). Noneuclidean Geometry. Open Court, Chicago.
Reprinted by Dover, New York, 1955.
[46] Boole, G. A847). Mathematical Analysis of Logic. Reprinted by Basil
Blackwell, London, 1948.
[47] Borel, E. A898). Legons sur la theorie des fondions. Gauthier-Villar,
Paris.
[48] Bos, H.J.M. A981). On the representation of curves in Descartes'
Geometie. Arch. Hist. Exact. Sci., 24D), 295-338.
[49] Bos, H. J. M. A984). Arguments on motivation in the rise and decline
of a mathematical theory; the "construction of equations," 1637-ca.
1750. Arch. Hist. Exact. Sci., 30C-4), 331-380.
[50] Bosse, A. A648). Maniere universelle de Mr Desargues. P.Des-
Hayes, Paris.
[51] Bourgne, R. and Azra, J.P. A962). Edrits et memoires
methematiques d'Evariste Galois: Edition critique integrate de ses
468 Литература
manuscripts et publications. Gauthier-Villard & Cie, Imprimeur-
Editeur-Libraire, Paris. Preface de J. Dieudonne.
[52] Boyer, C.B. A956). History of Analytic Geometry. Scripta
Mathematica, New York.
[53] Boyer, C.B. A959). The History of the Calculus and Its Conceptual
Development. Dover Publications Inc., New York.
[54] Boyer, C.B. A968). A History of Mathematics. John Wiley & Sons
Inc., New York.
[55] Brahana, H.R. A921). Systems of circuits on 2-dimensional
manifolds. Ann. Math., 23, 144-168.
[56] Brahmagupta F28). Brahma-sphuta-siddhanta. Partial English
translation in Colebrooke A817).
[57] Brieskorn, E. and Knorrer, H. A981). Ebene algebraische Kurven.
Birkhauser Verlag, Basel. English translation: Plane Algebraic
Curves. Birkhauser Verlag, 1986.
[58] Briggs, H. A624). Arithmetica Logarithmica. William Jones, London.
[59] Bring, E. S. A786). Meletemata quaedam mathematica circa
transformationem aequationum algebraicarum. Lund University.
Promotionschrift.
[60] Burton, D.M. A985). The History of Mathematics. Allyn and Bacon
Inc., Boston, MA.
[61] Cajori, F. A913). History of the exponential and logarithmic
concepts. Amer. Math. Monthly, 20, 5-14, 35-47, 75-84, 107-117,
148-151, 173-182, 205-210.
[62] Cantor, G. A872). Uber die Ausdehnung eines Satzes aus der
Theorie der trigonometrischen Reihen. Math. Ann., 5, 123-132. In
his Gesammelte Abhandlungen, 92-102.
[63] Cantor, G. A874). Uber eine Eigenschaft des Ingegriffes aler reellen
algebraischen Zahlen. J. reine und angew. Math., 77, 258-262. In his
Gesammelte Abhandlungen, 145-148.
Литература
469
[64] Cantor, G. A880). Uber unendlich lineare
Punktmannigfaltigkeiten, 2. Math. Ann., 17, 355-358. In his
Gesammelte Abhandlungen, 145-148.
[65] Cantor, G. A883). Grundlagen einer allgemeinen
Mannigfaltigkeitslehre. Teubner, Leipzig, In his Gesammelte
Abhandlungen, 165-204.
[66] Cantor, G. A891). Uber eine elementare Frage der
Mannigfaltigkeitslehre. Jahresber. deutsch. Math. Verein., 1,
75-78.
[67] Cardano, G. A545). Ars magna. 1968 translation The great art or the
rules of algebra by T.Richard Witmer, with a foreword by Oystein
Ore. The M. I. T. Press, Cambridge, MA-London.
[68] Cardano, G. A575). De Vita Propria Liber. English translation The
Book of My Life, Dover, New York 1962.
[69] Cauchy, A.-L. A813). Demonstration du theoreme general de Fermat
sur les nombres polygones. Mem. Sci. Math. Phys. Inst. France,
ser. 1, 14, 177-220. In his Oeuvres, ser. 2,6: 320-353.
[70] Cauchy, A.-L. A815). Memoire sur le nombre des valeurs qu'une
fonction peut acquerir, lorsqu'on у permute de toutes les manieres
possibles les quantites qu'elle renferme. J. Ec. Polytech., 18, 1-28.
In his Oeuvres, ser. 2,1:62-90.
[71] Cauchy, A.-L. A825). Memoire sur les integrates definies prises entre
des limites imaginaires. Paris.
[72] Cauchy, A.-L. A837). Letter to Coriolis, 29 January 1837. Сотр.
Rend., 4, 214-218. In his Oeuvres, ser. 1,4: 38-42.
[73] Cauchy, A.-L. A844). Memoire sur les arrangements que l'on
peut former avec des lettres donnees, et sur les permutations ou
substitutions a l'aide desquelles on passe d'un arrangement a un
autre. Ex. anal. phys. math., 3, 151-252. In his Oeuvres, ser. 2,13:
171-282.
[74] Cauchy, A.-L. A846). Sur les integrates qui s'etendent a tous les
points d'une courbe fermee. Сотр. Rend., 23, 251-255. In his
Oeuvres, ser. 1,10: 70-74.
470
Литература
[75] Cavalieri, В. A635). Geometria indivisibilibus continuorum nova
quadam ratione promota. Clement Ferroni, Bononi.
[76] Cayley, A. A845). On Jacobi's elliptic functions and on quaternions.
Phil. Mag., XXXVI, 208-211. The part relevant to octonions is in
Hamilton's Mathematical Papers 3: 650-651.
[77] Cayley, A. A854). On the theory of groups, as depending on the
symbolic equation 9n = 1. Phil. Mag., 7, 40-47. In his Collected
Mathematical Papers 2: 123-130.
[78] Cayley, A. A858). A memoir on the theory of matrices. Phil.
Trans. Roy. Soc. London, 148, 17-37. In his Collected Mathematical
Papers 2: 475-496.
[79] Cayley, A. A859). A sixth memoir on quantics. Phil. Trans. Roy.
Soc, 149, 61-90. In his Collected Mathematical Papers 2: 561-592.
[80] Cayley, A. A878). The theory of groups. Amer. J. Math., 1, 50-52.
In his Collected Mathematical Papers 10: 401-403.
[81] Chandler, B. and Magnus, W. A982). The History of Combinatorial
Group Theory. Springer-Verlag, New-York.
[82] Church, A. A936). An unsolvable problem in elementary number
theory. Amer. J. Math., 58, 345-363.
[83] Church, A. A938). J. Symb. Logic, 3, 46.
[84] Claggett, M. A959). The Science of Mechanics in the Middle
Ages. The University of Wisconsin Press, Madison. Publications in
Medieval Science, 4.
[85] Claggett, M. A968). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of
Qualities and Motions. The University of Wisconsin Press, Madison.
[86] Clairaut, A.-C. A740). Sur l'integration ou la construction des
equations differentialles du premier ordre. Mem. A cad. Sci. Paris,
page 294.
[87] Clairaut, A.-C. A743). Theorie de la figure del la Terre tiree des
principes de Vhydrodynamique. Durand, Paris.
Литература
471
[88] Clebsch, A. A864). Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte
der Theorie der Curven dritter Ordnung. J. reine und angew. Math.,
63, 94-121.
[89] Cohen, M.R. and Drabkin, I.E. A958). Source Book in Greek
Science. Harvard University Press, Cambridge, MA.
[90] Cohen, P. A963). The independence of the continuum hypothesis I,
II. Proc. Nat. Acad. Sci., 50,51, 1143-1148, 105-110.
[91] Colebrooke, H. T. A817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration,
from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhdscara. John Murray,
London. Reprinted by Martin Sandig, Wiesbaden, 1973.
[92] Connelly, R. A977). A counterexample to the rigidity conjecture for
polyhedra. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., D7), 333-338.
[93] Coolidge, J.L. A945). A History of the Conic Sections and Quadric
Surfaces. Oxford University Press.
[94] Copernicus, N. A543). De revolutionibus orbium coelestium. English
translation On the revolutions, Polish Science Publishers, Warsaw,
1978.
[95] Cotes, R. A714). Logometria. Phil. Trans., 29, 5-45.
[96] Cotes, R. A722). Harmonia mensurarum. Robert Smith, Cambridge.
[97] Cox, D. A. A984). The arithmetic-geometric mean of Gauss. Enseign.
Math. B), 30C-4), 275-330.
[98] Cox, D. A. A989). Primes of the Form x2+ny2. John Wiley & Sons
Inc., New York.
[99] Coxeter, H.S.M. and Moser, W. O.J. A980). Generators and
Relations for Discrete Groups. Springer-Verlag, Berlin, 4th edition.
[100] Cramer, G. A750). Introduction a I'analyse des lignes courbes
algebriques. Geneva.
[101] Crossley, J.N. A987). The Emergence of Number, 2nd ed. World
Scientific Publishing Co., Singapore.
[102] Crowe, M.J. A967). A History of Vector Analysis. University of
Notre Dame Press, Notre Dame, In.
472
Литература
[103] d'Alembert, J.le.R. A746). Recherches sur le calcul integral. Hist.
Acad. Sci. Berlin, 2, 182-224.
[104] d'Alembert, J.le.R. A747). Recherches sur la courbe que forme une
corde tendue mise en vibration. Hist. Acad. Sci. Berlin, 3, 214-219.
[105] d'Alembert, J.le.R. A752). Essai d'une nouvelle theorie de la
resistance des fluides. David, Paris.
[106] Davenport, J. H. A981). On the Integration of Algebraic Functions.
Springer-Verlag, Berlin.
[107] David, F.N. A962). Games, Gods and Gambling. Charles Griffin,
London.
[108] Davis, M., editor A965). The Undecidable. Basic papers on
undecidable propositions, unsolvable problems and computable
functions. Raven Press, Hewlett, Ny.
[109] Davis, M. A973). Hilbert's tenth problem is unsolvable. Amer. Math.
Monthly, 80, 233-269.
[110] de la Hire, P. A673). Nouvelle methode en geometrie. Paris.
[Ill] de Moivre, A. A698). A method of extracting the root of an infinite
equation. Phil, trans., 20, 190-193.
[112] de Moivre, A. A707). AEquationem quarundum potestatis tertiae,
quintae septimae, nonae & superiorum, ad infinitum usque pergendo,
in terminis finitis, ad instar regularum pro cubicus que vocantur
Cardani, resolutio analytica. Phil. Trans., 25, 2368-2371.
[113] de Moivre, A. A730). Miscellanea analytica de seriebus et
quadraturis. J.Tonson and J. Watts, London.
[114] Dedekind, R. A871). Supplement X. In Dirichlet's Vorlesungen uber
Zahlentheorie, 2nd ed., Vieweg 1871.
[115] Dedekind, R. A872). Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg und
Sohn, Braunschweig. English translation in: Esays on the Theory of
Numbers, Dover, New York, 1963.
[116] Dedekind, R. A876). Bernhard Riemann's Lebenslauf. In Riemann's
Werke, 2nd ed. pp.539-558.
Литература
473
[117] Dedekind, R. A877). Theory of Algebraic Integers. Cambridge
University Press, Cambridge. Translated from the 1877 French
original and with an introduction by John Stillwell.
[118] Dedron, P. and Itard, J. A973). Mathematics and Mathematicians,
Vol. 1. Opera University Press, Milton Keynes.
[119] Degen, C.F. A822). Adumbratio demonstrationis theorematis
arithmeticae maxime generalis. Mem. I'Acad. Imp. Sci. St.
Petersburg, VIII, 207-219.
[120] Dehn, M. A900). Uber raumgleiche Polyeder. Gott. Nachr. 1900,
345 354.
[121] Dehn, M. A910). Uber die Topologie des dreidimensional Raumes.
Math. Ann., 69, 137-168.
[122] Dehn, M. A912). Uber unendliche diskontinuierliche Gruppen. Math.
Ann., 71, 116-144.
[123] Dehn, M. and Heegaard, P. A907). Analysis situs. Enzyklopadie
der Mathematischen Wissenschaften, vol. IIAB3, 153-220, Teubner,
Leipzig.
[124] Desargues, G. A639) Brouillon projet d'une atteinte aux evenemens
des rencontres du cone avec un plan. In Taton A951), pp.99-180.
[125] Descartes, R. A637). The geometry of Rene Descartes. (With a
facsimile of the first edition, 1637.). Dover Publications Inc., New
York, N. Y. Translated by David Eugen Smith and Marcia L. Latham,
1954.
[126] Descartes, R. A638). Letter to Mersenne, 18 January 1638. Oeuvres
1, 490.
[127] Dickson, L.E. A903). Introduction to the Theory of Algebraic
Equations. Wiley, New York.
[128] Dickson, L.E. A914). Linear Algebras. Cambridge University Press,
Cambridge.
[129] Dickson, L.E. A920). History of the Theory of Numbers. Vol.11:
Diophantine Analysis. Chelsea Publishing Co., New York. 1966
reprint of Carnegie Institute, Washington, edition.
474
Литература
[130] Dirichlet, P. G.L. A829). Sur la convergence des series
trigonometriques qui servent a representer une fonction arbitraire
entre des limites donnees. J. reine und angew. Math., 4, 157-169. In
his Werke 1: 117-132.
[131] Dirichlet, P.G.L. A837). Beweis des Satzes, dass jede unbegrentze
arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differentz ganze
Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendliche viele
Primzahlen enthalt. Abh. Akad. Wiss. Berlin, pages 45-81. In his
Werke 1: 315-342.
[132] Dirichlet, P. G. L. A863). Vorlesungen uber Zahlentheorie. F.Vieweg
und Sohn, Braunschweig. English translation Lectures on Number
Theory, with Supplements by R. Dedekind, translated from the
German and with an introduction by John Stillwell, American
Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
[133] Dombrowski, P. A979). 150 Years after Gauss' "Disquisitiones
generates circa superficies curvas". Societe Mathematique de France,
Paris. With the original text of Gauss.
[134] Donaldson, S. K. A983). An application of gauge theory to four-
dimensional topology. J. Differential Geom., 18B), 279-315.
[135] Dostrovsky, S. A975). Early vibration theory: physics and music in
the seventeenth century. Arch. History Exact Sci., 14C), 169-218.
[136] du Bois-Reymond, P. A875). Uber asymptotische Werte, infinitare
Approximationen und infinitare Auflosung von Gleichungen. Math.
Ann., 8, 363-414.
[137] Dugas, R. A957). A History of mechanics. Editions du Griffon,
Neuchatel, Switzerland. Foreword by Louis de Broglie. Translated
into English by J. R. Maddox.
[138] Dugas, R. A958). Mechanics in the Seventeenth Century. Editions
du Griffon, Neuchatel, Switzerland.
[139] Durer, A. A525). Underweysung der Messung. Facsimile of 1525
edition by Collegium Graphicum, Portland, Oregon, 1972. Endlish
translation: The Painter's Manual, Albaris Books, New York, 1977.
[140] Dyck, W. A882). Gruppentheoretische Studien. Math. Ann., 20, 1-
44.
Литература
475
[141] Dyck, W. A883). Gruppentheoretische Studien II. Math. Ann., 22,
70-108.
[142] Edwards, Jr., C.H. A979). The Historical Development of the
Calculus. Springer-Verlag, New York.
[143] Edwards, H.M. A974). Riemann's Zeta Function. Academic Press,
New York-London. Pure and Applied Mathematics, Vol.58.
[144] Edwards, H.M. A977). Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag,
New York.
[145] Edwards, H.M. A984). Galois Theory. Springer-Verlag, New York.
[146] Eisenstein, G. A847). Beitrage zur Theorie der elliptische
Functionen. J. reine und angew. Math., 35, 137-274.
[147] Eisenstein, G. A850). Uber einige algemeine Eigenschaften der
Gleichung, von welcher die Theorie der ganzen Lemniscate abhangt.
J. reine und angew. Math., 39, 556-619.
[148] Enestrom, G. A906). Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und
Daniel Bernoulli. Bibl. Math. ser. 3,7, 126-156.
[149] Engelsman, S.B. A984). Families of Curves and the Origins of
Partial Differentiation. North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
[150] Euler, L. A728a). De linea brevissima in superficie quacunque duo
quaelibet puncta iungente. Comm. Acad. Sci. Petrop., 3, 110-124.
In his Opera Omnia, series 1,25: 1-12.
[151] Euler, L. A728b). Letter to John Bernoulli, 10 December 1728. Bibl.
Math., ser. 3, 4, 352-354.
[152] Euler, L. A734). De summis serierum reciprocarum. Comm. Acad.
Sci. Petrop., 7. In his Opera Omnia, ser. 1,14: 73-86.
[153] Euler, L. A736). Theoremathum quorundam ad numeros primos
spectantium demonstratio. Comm. Acad. Sci. Petrop., 8, 141-146.
In his Opera Omnia, ser. 1, 2: 33-37.
[154] Euler, L. A743). Addimentum I de curvis elasticis. Opera Omnia,
ser. 1, 24: 231-297, English translation in Isis 20 A933), 72-160.
476
Литература
[155] Euler, L. A746). Letter to Goldbach, 14 June 1746. Briefwechsel
Opera Omnia, ser. quarta A, 1, 52.
[156] Euler, L. A748a). Introductio in analysin infinitorum, I. Volume 8
of his Opera Omnia, series 1. English translation, Introduction to the
Analysis of the Infinite. Book I, Springer-Verlag, 1988.
[157] Euler, L. A748b). Introductio in analysin infinitorum, II. Volume 9
of his Opera Omnia, series 1. English translation, Introduction to the
Analysis of the Infinite. Book II, Springer-Verlag, 1988.
[158] Euler, L. A748c). Letter to Goldbach, 4 May 1748. In Fuss A968),
1, 450-455.
[159] Euler, L. A749). Letter to Goldbach, 12 April 1749. In Fuss A968),
1, 493 495.
[160] Euler, L. A750). Letter to Goldbach, 9 June 1750. In Fuss A968), 1,
521-524.
[161] Euler, L. A752). Elementa doctrinae solidorum. Novi Comm. Acad.
Sci. Petrop., 4, 109-140. In his Opera Omnia, ser. 1,26: 71-93.
[162] Euler, L. A758). Theoremata arithmetica nova methodo
demonstrata. Novi Comm. Acad. Sci. Petrop., 8, 74-104. In
his Opera Omnia, ser. 1,2: 531-555.
[163] Euler, L. A760). Recherches sur la courbure des durfaces. Mem.
Acad. Sci. Berlin, 16, 119-143. In his Opera Omnia, ser. 1,28: 1-
22.
[164] Euler, L. A768). Institutiones calculi integralis. Opera Omnia,
ser. 1,11.
[165] Euler, L. A770). Elements of Algebra. Translated from the German
by John Hewlett. Reprint of the 1840 edition, with an introduction
by C.Truesdell, Springer-Verlag, New York, 1984.
[166] Euler, L. A777). De repraesentatione superficiei sphaericae super
piano. Ada Acad. Sci. Imper. Petrop., 1, 107-132.
[167] Euler, L. A849). De numeris amicabilibus. Comm. Arith., 2, 627-636.
In his Opera Omnia, ser. 1,5: 353-365.
Литература
477
[168] Fagnano, G. С. Т. A718). Metodo per misurare la lemniscata. Giorn.
lett. d'ltalia, 29. In his Opere Matematiche, 2: 293-313.
[169] Faltings, G. A983). Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten iiber
Zahlkorpern. Invent. Math., 73C), 349-366.
[170] Fauvel, J. and Gray, J., editors A988). The History of Mathematics:
a Reader. Macmillan Press Ltd., Basingstoke. Reprint of the 1987
edition.
[171] Federico, P. J. A982). Descartes on Polyhedra. Springer-Verlag, New
York. A study of the De solidorum elementis.
[172] Fermat, P. A629). Ad locos pianos et solidos isagoge. Oeuvres 1:
92-103. English translation in Smith A959), 389-396.
[173] Fermat, P. A640a). Letter to Frenicle, 18 October 1640. Oeuvres 2:
209.
[174] Fermat, P. A640b). Letter to Mersenne, 25 December 1640.
Oeuvres 2: 212.
[175] Fermat, P. A654). Letter to Pascal, 25 September 1654. Oeuvres 2:
310 314.
[176] Fermat, P. A657). Letter to Frenicle, February 1657. Oeuvres 2:
333 334.
[177] Fermat, P. A670). Observations sur Diophante. Oeuvres 3: 241-276.
[178] Fibonacci A202). Liber abaci. In Scritti di Leonardo Pisano, edited
by Baltassarre Boncompagni, Rome 1857-1862.
[179] Fibonacci A225). Flos Leonardo Bigolli Pisani super solutionibus
quarundam quaestionum ad numerum et ad geometriam
pertinentium.
[180] Field, J.V. and Gray, J. J. A987). The Geometrical work of Girard
Desargues. Springer-Verlag, New York.
[181] Fourier, J. A822). La theorie analytique de la chaleur. didot, Paris.
English translation, The Analytical Theory of Heat, Dover, New
York, 1955.
478
Литература
[182] Fowler, D. H. A980). Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan
theory of ratio. Arch. Hist. Exact. Sci., 22A-2), 5-36.
[183] Fowler, D. H. A982). Book II of Euclid's Elements and a pre-Eudoxan
theory of ratio. II. Sides and diameters. Arch. Hist. Exact. Sci., 26C),
193 209.
[184] Frege, G. A879). Begriffschrift. English translation in van Heijenoort
A967).
[185] Freudenthal, H. A951). Oktaven, Ausnahmegruppen und
Oktavengeometrie. Mathematisch Instituut der Rijksuniversiteit
te Utrecht, Utrecht.
[186] Frey, G. A986). Links between stable elliptic curves and certain
Diophantine equations. Ann. Univ. Sarav. Ser. Math., 1A), iv+40.
[187] Fritsch, R. A984). The transcendence of тг has been known for about
a century— but who was the man who discovered it? Resultate Math.,
7B), 164-183.
[188] Frobenius, G. A878). Uber lineare Substitutionen und bilineare
Formen. J. reine und angew. Math., 84, 1-63. In his Gesammelte
Abhandlungen 1: 343-405.
[189] Fuss, P.-H. A968). Correspondance mathematique et physique
de quelques celebres geometres du XVIIIeme sie.de. Tomes I,
II. Johnson Reprint Corp., New York. Reprint of the Euler
correspondence originally published by l'Academie Imperiale des
Sciences de Saint-Petersbourg. The Sources of Science. No. 35.
[190] Galileo Galilei A604). Letter to Paolo Scarpi, 16 October 1604. In
the Works of Galileo 10: 115.
[191] Galileo Galilei A638). Dialogues Concerning Two New Sciences.
English translation reprinted by Dover, New York, 1952.
[192] Galois, E. A831a). Analyse d'un memoire sur la resolution algebrique
des equations. In Bourgne and Azra A962), pp. 163-165.
[193] Galois, E. A831b). Memoire sur les conditions de resolubilite des
equations par radicaux. In Bourgne and Azra A962), pp.43-71.
Литература
479
[194] Gauss, C.F. A799). Demonstratio nova theorematis omnem
functionem algebraicum rationalem integram unius variabilis in
factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt
dissertation, in his Werke 3: 1-30.
[195] Gauss, C. F. A801). Disquisitiones arithmeticae. Translated and with
a preface by Arthur A.Clarke. Revised by William C.Waterhouse,
Cornelius Greither and A. W. Grootendorst and with a preface by
Waterhouse, Springer-Verlag, New York, 1986.
[196] Gauss, С F. A811). Letter to Bessel, 18 December 1811. Briefwechsel
mit F. W. Bessel, Georg 01ms Verlag, Hildesheim, 1975, pp. 155-160.
English translation in Birkhoff A973).
[197] Gauss, C.F. A816). Demonstratio nova altera theorematis omnem
functionem algebraicum rationalem integram unius variabilis in
factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Comm.
Recentiores (Gottingae), 3, 107-142. In his Werke 3: 31-56.
[198] Gauss, C.F. A818). Determinatio attractionis quam in punctum
quodis positionis datae exerceret planeta si eius massa per
totam orbitam ratione temporis quo singulae partes describuntur
uniformiter esset dispertita. Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingensis Rec,
4, In his Werke 3: 331-355.
[199] Gauss, C.F. A819). Die Kugel. Werke 8: 351-356.
[200] Gauss, C.F. A822). Allgemeine Auflosung der Aufgabe; die Theile
einer gegebenen Flache so abzubilden, dass die Abbildung dem
abgebildeten in den kleinsten Theilen ahnlich wird. Astr. Abh., 3,
1-30. In his Werke 4: 189-216. English translation, Phil. Mag., new
ser., 4 A828), 104-113, 206-215.
[201] Gauss, C.F. A825). Die Seitenkriimmung. Werke 8: 386-395.
[202] Gauss, C.F. A827). Disquisitiones generates circa superficies curvas.
Konig. Ges. Wiss. Gottingen, Gottingen. English translation in
Dombrowski A979).
[203] Gauss, C.F. A828). Letter to Bessel, 30 March 1828. Briefwechsel
mit F. W. Bessel, Georg 01ms Verlag, Hildesheim, 1975, 477-478.
[204] Gauss, C.F. A831). Letter to Schumacher, 12 July 1831. Werke 8:
215-218.
480
Литература
[205] Gauss, C.F. A832a). Cubirung der Tetraeder. Werke 8: 228-229.
[206] Gauss, C.F. A832b). Letter to W.Bolyai, 6 March 1832. briefwechsel
zwischen C. F. Gauss und Wolfgang Bolyai, eds. F. Schmidt and
P.Stackel. Leipzig, 1899. Also in his Werke 8: 220-224.
[207] Gauss, C.F. A832c). Theoria residuorum biquadraticorum. Comm.
Soc. Reg. Sci. Gott. Rec, 4. In his Werke 2: 67-148.
[208] Gauss, С F. A846a). Letter to Gerling, 2 October 1846. Briefwechsel
rait Chr. L. Gerling, Georg 01ms Verlag, Hildesheim, 1975, pp. 738-
741.
[209] Gauss, C.F. A846b). Letter to Schumacher, 28 November 1846.
Excerpt translated in Kaufmann-Buhler A981), p. 50.
[210] Gelfond, A. O. A961). The Solution of Equations in Integers.
W. H. Freeman and Co., San Francisco, CA. Translated from the
Russian and edited by J.B.Roberts.
[211] Godel, K. A931). Uber formal unentscheidbare Satze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme. I. Monatsh. Math. Phys., 38,
173-198.
[212] Godel, K. A938). The consistency of the axiom of choice and the
generalized continuum hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sci., 25, 220-
224.
[213] Godel, K. A946). Remarks before the Princeton bicentennial
conference on problems in mathematics. In Davis A965).
[214] Godel, K. A949). An example of a new type of cosmological solutions
of Einstein's field equations of gravitation. Rev. Modern Physics, 21,
447-450.
[215] Goldstine, H.H. A977). A History of Numerical Analysis from the
16th through the 19th Century. Springer-Verlag, New York. Studies
in the History of Mathematics and Physical Sciences, vol. 2.
[216] Gomes Teixeira, F. A995a). Traite des courbes speciales
remarquables planes et gauches. Tome I. Editions Jaques Gabay,
Paris. Translated from the Spanish, revised and augmented. Reprint
of the 1908 translation.
Литература
481
[217] Gomes Teixeira, F. A995b). Traite des courbes speciales
remarquables planes et gauches. Tome II. Editions Jaques Gabay,
Paris. Translated from the Spanish, revised and augmented. Reprint
of the 1909 translation.
[218] Gomes Teixeira, F. A995c). Traite des courbes speciales
remarquables planes et gauches. Tome III. Editions Jaques Gabay,
Paris. Reprint of the 1915 original.
[219] Goursat, E. A900). Sur la definition generale des fonctions
analytiques, d'apres Cauchy. Trans. Amer. Math. Soc, 1, 14-16.
[220] Grandi, G. A723). Florum geometricorum manipulus. Phil. Trans.,
32, 355 371.
[221] Graves, J.T. A844). Letter to Hamilton, 22 January 1844. In
Hamilton's Mathematical Papers 3: 649.
[222] Graves, R.P. A975). Life of Sir William Rowan Hamilton. Arno
Press, New York. Reprint of the edition published by Hodges, Figgis,
Dublin, 1882-1889.
[223] Green, G. A828). An essay on the application of mathematical
analysis to the theories of electricity and magnetism. In his Papers,
1-115.
[224] Gregory, J. A667). Vera circuli et hyperbolae quadratura. Jacobus
de Cardorinius, Padua.
[225] Gregory, J. A668). Geometriae pars universalis. Paolo Frambotto,
Padua.
[226] Gregory, J. A670). Letter to Collins, 23 November 1670. In Turnbull
A939), pp. 118-133.
[227] Gregory, J. A671). Letter to Gideon Shaw, 29 January 1671. In
Turnbull A939), pp. 356-357.
[228] Grunbaum, B. A985). Geometry strikes again. Math. Mag. Math.,
58A), 12-17.
[229] Hall, Jr., M. A967). Combinatorial Theory. Blaisdell Publishing Co.
Ginn and Co., Waltham, MA-Toronto, Ont.-London.
482
Литература
[230] Hamilton, W.R. A835). Theory of conjugate functions, or algebraic
couples. Communicated to the Royal Irish Academy, 1 June 1835. In
his Mathematical Papers 3: 76-96.
[231] Hamilton, W.R. A853). Preface to Lectures on Quaternions. In his
Mathematical Papers 3: 117-155.
[232] Hamilton, W.R. A856). Memorandum respecting a new system of
roots of unity. Phil. Mag., 12, 496. In his Mathematical Papers 3:
610.
[233] Hamilton, W.R. A865). Letter to his son Archibald, 5 August 1865.
In Graves A975), vol.11, Ch.XXIX, 434-435.
[234] Hankins, T.L. A980). sir William Rowan Hamilton. Johns Hopkins
University Press, Baltimore, MD.
[235] Harnack, A. A885). Uber den Inhalt von Punktmengen. Math. Ann.,
25, 241-250.
[236] Hausdorff, F. A914). Grundzu'ge der Mengenlehre. Von Veit, Leipzig.
[237] Heath, T.L. A897). The Works of Archimedes. Cambridge
University Press, Cambridge. Reprinted by Dover, New York, 1953.
[238] Heath, T. L. A910). Diophantus of Alexandria: A Study in the History
of Greek Algebra. Dover Publications Inc., New York. 1964 reprint
of the Cambridge University Press 2nd ed.
[239] Heath, T.L. A921). A History of Greek Mathematics, clarendon
Press, Oxford. Reprinted by Dover, New York, 1956.
[240] Heath, T.L. A925). The Thirteen Books of Euclid's Elements.
Cambridge University Press, Cambridge. Reprinted by Dover, New
York, 1956.
[241] Hermite, C. A858). Sur la resolution de l'equation du cinquieme
degre. Сотр. Rend., 46, 508-515. In his Oeuvres, 2, 5-12.
[242] Hermite, С A873). Sur la fonction exponentielle. C. R. LXXVII. 18-
24, 74-49, 226-233, 285-293. In his Oeuvres, 3, 150-181.
[243] Higman, G. A961). Subgroups of finitely presented groups. Proc.
Roy. Soc. Lond., ser. A, 262, 455-475.
Литература
483
[244] Hilbert, D. A897). The Theory of Algebraic Number Fields.
translated from the German and with a preface by Iain T. Adamson.
With an introduction by Franz Lemmermeyer and Norbert
Schappacher. Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[245] Hilbert, D. A899). Grundlagen der Geometrie. Teubner, Leipzig.
English translation: Foundations of Geometry, Open Court, Chicago,
1971.
[246] Hilbert, D. A900a). Mathematische Probleme. Vortrag, gehalten auf
dem internationalen Mathematiker-Congress zu Paris 1900. Gott.
Nach. 1900, 253-297.
[247] Hilbert, D. A900b). Uber das Dirichlet'sche Princip. Deutsche Math.
Ver. 8i, 184-188.
[248] Hilbert, D. A901). Uber Flachen von constanter Gausscher
Krummung. Trans. Amer. Math. Soc, 2, 87-89. In his Gesammelte
Abhandlungen 2: 437-438.
[249] Hilbert, D. and Bernays, P. A936). Grundlagen der Mathematik I.
Springer, Berlin.
[250] Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. A932). Anschauliche Geometrie.
Julius Springer, Berlin. English translation: Geometry and
Imagination, Chelsea, New York, 1952.
[251] Hobbs, T. A656). Six lessons to the professors of mathematics. The
English works of Thomas Hobbes, vol. 7, 181-356, Scientia Aalen,
Aalen, West Germany, 1962.
[252] Hobbs, T. A672). Considerations upon the answer of Doctor Wallis.
The English works of Thomas Hobbes, vol. 7, 443-448, Scientia Aalen,
Aalen, West Germany, 1962.
[253] Hoe, J. A977). Les systeme d'equations polynbmes dans le Siyuan
yujian A303) par Chu Shih-chieh. Institut des Hautes Etudes
Chinoises, College de France, Paris. Memoires de l'lnstitut des Hautes
Etudes Chinoises, Vol. VI.
[254] Hofmann, J.E. A974). Leibniz in Paris, 1672-1676. Cambridge
university Press, London. His growth to mathematical maturity.
Revised and translated from the German with the assistance of
A. Prag and D. T. Whiteside.
484
Литература
[255] Holder, О. A896). Uber den Gasus Irreducibilis bei der Gleichung
dritten Grades. Math. Ann. 38, 307-312.
[256] Hooke, R. A675). A description of helioscopes, and some other
instruments. In R. T. Gunther, Early science in Oxford, vol. 8,
Oxford, 1931.
[257] Hurwitz, A. A898). Uber die komposition der quadratischen Formen
von beliebig vielen Variablen. Gbttinger Nachrichten, pages 309-316.
In his Mathematische Werke 2: 565-571.
[258] Huygens, С A646). Letters to Mersenne, November 1646. In hid
Oeuvres Completes 1: 34-40.
[259] Huygens, C. A659a). Fourth part of a treatise on quadrature. Oeuvres
Completes 14, 337.
[260] Huygens, С A659b). Piece on the cycloid. 1 December 1659. Oeuvres
Completes 16: 392-413.
[261] Huygens, С. A659с). Recherches sur la theorie des developpees.
Oeuvres Completes 14: 387-405.
[262] Huygens, С A671). Letter to Lodewijk Huygens, 29 October 1671.
Oeuvres Completes 7, 112-113.
[263] Huygens, C. A673). Horologium oscillatorium. In his Oeuvres
Completes 18: 69-368, English translation The Pendulum Clock, Iowa
State University Press, Ames, IA, 1986.
[264] Huygens, C. A691). Christianii Hugenii, dynastae in Ziilechem,
solutio ejusdem problematis. Ada Erud., 10, 281-282. In his Oeuvres
Completes 10: 95-98.
[265] Huygens, С A692). Letter to the Marquis de l'H6pital, 29 December
1692. Oeuvres Completes 10, 348-355.
[266] Huygens, С. A693а). Appendix to Huygens A693b). Oeuvres
Completes 10: 481-422.
[267] Huygens, С A693b). Letter to H.Basnage de Beauval, February
1693. Oeuvres Completes 10: 407-417.
[268] Jacobi, C.G.J. A829). Fundamenta nova theoriae functionum
ellipticarum. Borntrger, Konigsberg. In his Werke 1: 49-239.
Литература
485
[269] Jacobi, C.G.J. A834). De usu theoriae integralium ellipticorum et
integralium abelianorum in analysi diophantea. J. reine und angew.
Math., 13, 353-355. In his Werke 2: 53-55.
[270] Jones, J.P. and Matiyasevich, Y. V. A991). Proof of recursive
unsolvability of Hilbert's tenth problem. Amer. Math. Monthly,
98(8), 689-709.
[271] Jordan, C. A866). Sur la deformation des surfaces. J. Math. ser. 2,
11, 105 109.
[272] Jordan, С A870). Traite des substitutions et des equations
algebriques. Editions Jacques Gabay, Sceaux. 1989 reprint of the 1870
original.
[273] Jordan, C. A892). Remarques sur les integrates defines. J. Math,
ser. 4, 8, 69 99.
[274] Kac, M. A984). How I became a mathematician. American Scientist,
72, 498-499.
[275] Kaestner, A. G. A761). Anfangsgrunde der Analysis der
Unendlichen—Die Mathematischen Anfansru'nde. Gottingen. 3.
Teil, 2 Abteilung.
[276] Kahn, D. A967). The Codebreakers. Weidenfeld and Nicholson,
London.
[277] Kanamori, A. A994). The Higher Infinite. Springer-Verlag, Berlin,
[278] Kaufmann-Biiler, W. A981). Gauss. A Biographical Study. Springer-
Verlag, Berlin.
[279] Kepler, J. A596). Mysterium cosmographicum. English translation of
1621 edition, The Secret of the Universe, Abaris, New York, 1981.
[280] Kepler, J. A604). Ad vitellionem paralipomena, quibis astronomiae
pars optica traditur. Marnium & Aubrii, Frankfurt.
[281] Kepler, J. A609). Astronomia nova. English translation New
Astronomy, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
[282] Klein, F. A871). Uber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie.
Math. Ann., 4, 573-625. In his Gesammelte Mathematische
Abhandlungen 1: 254-305. English translation in Stillwell A996).
486
Литература
[283] Klein, F. A872). Vergleichende Betrachtungen uber neuere
geometrische Forschungen (Erlanger Program). Akademische
Verlagsgesellschaft, Leipzig. In his Gesammelte Mathematische
Abhandlungen 1: 460-497.
[284] Klein, F. A874). Bemerkungen uber den Zusammenhang der Flachen.
Math. Ann., 7, 549-557.
[285] Klein, F. A876). Uber binare Formen mit lineare Transformation
in sich selbst. Math. Ann., 9, 183-208. In his Gesammelte
Mathematischen Abhandlungen 2: 275-301.
[286] Klein, F. A882a). Letter to Poincare, 14 May 1882. Gesammelte
Mathematischen Abhandlungen 3: 615-616.
[287] Klein, F. A882b). Neue Beitrage zur Riemanschen
Funktionentheorie. Math. Ann., 21, 141-218. In his Gesammelte
Mathematischen Abhandlungen 3: 630-710.
[288] Klein, F. A884). Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflbsung
der Gleichungen vom funften Grade. Teubner, Stuttgard. Reprinted
in 1993 by Birkhauser verlag, with an introduction and commentary
by Peter Slodowy. English translation Lectures on the Icosahedron
by Dover, 1956.
[289] Klein, F. A924). Elementarmathematik vom hb'heren Standpunkte
aus. Erster Band: Arithmetik-Algebra-Analysis. Springer, Berlin.
English translation Elementary mathematics from an advanced
standpoint. Arithmetic-algebra-analysis. Reprinted by Dover
Publications Inc., New York, 1953.
[290] Klein, F. A925). Elementarmathematik vom hb'heren Standpunkte
aus. Zweiter Band: Geometrie. Springer, Berlin. English translation
Elementary mathematics from an advanced standpoint. Geometry.
Reprinted by Dover Publications Inc., New York, 1953.
[291] Klein, F. A928). Vorlesungen uber Nicht-Euklidische Geometrie.
Springer, Berlin.
[292] Kline, M. A972). Mathematical Thought from Ancient to Modern
Times. Oxford University Press, New York.
[293] Koblitz, N. A985). Introduction to Elliptic Curves and Modular-
Forms. Springer-Verlag, New York.
Литература
487
[294] Koebe, P. A907). Uber die Uniformisierung beliebiger analytischer
Kurven. Gbttinger Nachrichten, pages 191-210.
[295] Koestler, A. A959). The Sleepwalkers. Hutchinson, London.
[296] Kolmogorov, A.N. A933). Grundbegriffe der
Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, Berlin. English translation,
Foundations of the Theory of Probability, Chelsea, New York, 1956.
[297] Kreisel, G. A980). Kurt Godel. Biog. Mem. Felows Roy. Soc, 26,
149-224.
[298] Kronecker, L. A881). Zur Theorie der Elimination einer Variablen
aus zwei algebraischen Gleichungen. Monatsber. Kbnig. Preuss.
Akad. Wiss. Berlin, pages 535-600. In his Werke 2: 113-192.
[299] Krummbiegel, B. and Amthor, A. A880). Das Problema bovinum des
Archimedes. Schlbmilch Z.XXV.III.A. 121-136, 153-171.
[300] Kummer, E. E. A844). De numeris complexis, qui radicibus unitatis
et numeris realibus constant. Gratulationschrift der Univer. Breslau
zur Jubelfeier der Univ. Kbnigsberg. Also in Kummer 91975), vol. 1,
165 192.
[301] Kummer, E.E. A975). Collected Papers. Springer-Verlag, Berlin.
Volume I: Contributions to Number Theory, edited and with an
introduction by Andre Weil.
[302] Lagrange, J.L. A768). Solution d'un probleme d'arithmetique.
Miscellanea Taurinensia, 4, 19ff. In his Oeuvres 1: 671-731.
[303] Lagrange, J. L. A770). Demonstration d'un theoreme d'arithmetique.
Nouv. Mem. Acad. Berlin. In his Oeuvres 3: 189-201.
[304] Lagrange, J.L. A771). Reflexions sur la resolution algebrique des
equations. Nouv. Mem. Acad. Berlin. In his Oeuvres 3: 205-421.
[305] Lagrange, J. L. A772). Recherches sur la maniere de former des tables
des planetes d'apres les seul observations. Mem. Acad. Roy. Sci.
Paris. In his Oeuvres 6: 507-627.
[306] Lagrange, J.L. A773a). Recherches d'arithmetiques. Nouv. Mem.
Acad. Berlin, page 265ff. In his Oeuvres 3: 695-795.
488
Литература
[307] Lagrange, J.L. A773b). Solutions analitique de quelques problemes
sur les pyramides triangulaires. Nouv. Mem. Acad. Berlin. Also
Oeuvres 3, 658-692.
[308] Lagrange, J.L. A779). Sur la construction des cartes geographiques.
Nouv. Mem. Acad. Berlin. In his Oeuvres 4: 637-692.
[309] Lagrange, J.L. A785). Sur une nouvelle methode de calcul integral.
Mem. Acad. Roy. Soc. Turin, 2. In his Oeuvres 2: 253-312.
[310] Lam, L. Y. and Ang, T. S. A992). Fleeting Footsteps. World Scientific
Publishing Co. Inc., River Edge, NJ. With an English translation of
The Mathematical Classic of Sun Zi.
[311] Lambert, J.H. A766). die Theorie der Parallellinien. Mag. reine und
angew. Math. A786), pages 137-164, 325-358.
[312] Lambert, J.H. A772). Anmerkungen und Zusatze zur Entwerfung der
Land- und Himmelscharten. English translation by Waldo R. Tobler,
Michigan geographical Publication No. 8, Department of Geography,
University of Michigan, 1972.
[313] Lame, G. A847). Demonstration general du theoreme de Fermat.
Сотр. Rend., 24, 310-315.
[314] Laplace, P. S. A787). Memoire sur les inegalites seculaires des
planetes des satellites. Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, pages 1-50. In
his Oeuvres Completes 11: 49-92.
[315] Laurent, P.-A. A843). Extension du theoreme de M. Cauchy relatif
a la convergence du developpement d'une fonction suivant les
puissances ascendantes de la variable. Сотр. Rend., 17, 348-349.
[316] Lebesgue, H. A902). Integrate, longuer, aire. Ann. Math. ser. 3, 7,
231 359.
[317] Legendre, A.-M. A794). 'Elements de geometric F. Didot, Paris.
[318] Legendre, A.-M. A825). Traite des fonctions elliptiques. Huzard-
Courcier, Paris.
[319] Leibnitz, G. W. A666). Dissertatio de arte combinatoria. In Leibnitz'
Mathematische Schriften 5, 7-79.
Литература
489
[320] Leibnitz, G. W. A675). De bisectione laterum. See Schneider A968).
[321] Leibnitz, G. W. A684). Nova methodus pro maximis et minimis. Ada
Erud., 3, 467-473. In his Mathematische Schriften 5, 220-226. English
translation in Struik A969).
[322] Leibnitz, G.W. A686). De geometria recondita et analysi
indivisibilium atque infinitoru. Ada Erud., 5, 292-300. Also in
Leibnitz' Mathematische Schriften 5: 226-233.
[323] Leibnitz, G.W. A691). De linea in quam flexile se pondere proprio
curvat, ej usque usu insigni ad inveniendas quotcunque medias
proportionales et logarithmos. Ada Erud., 10, 277-281. In his
Mathematische Schriften 5: 243-247.
[324] Leibnitz, G.W. A697). Communicatio suae pariter duarumque
alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Joh. Bernoullio. Ada
End., 16, 205-210. In his Mathematische Schriften 5: 331-336.
[325] Leibnitz, G.W. A702). Specimen novum analyseos pro scientia
infiniti circa summas et quadraturas. Ada Erud., 21, 210-219. In
his Mathematische Schriften 5: 350-361.
[326] Levi ben Gershon A321). Maaser Hoshev. German translation by
Gerson Lange: Sefer Maasei Choscheb, Frankfurt, 1909.
[327] l'H6pital, G.F.A.d. A696). Analyse des infiniment petits. English
translation The Method of Fluxions both Direct and Inverse, William
Ynnis, London 1730.
[328] l'H6pital, G.F.A.d. A697). Solutio problematis de linea celerrimi
descensus. Ada Erud., 16, 217-220.
[329] Li, Y. and Du, S. R. A987). Chinese Mathematics: A Concise History.
The Clarendon Press Oxford University Press, New York. Translated
from the Chinese and with a preface by John N. Crossley and
Anthony W.-C.Lun. With a foreword by Joseph Needham.
[330] Libbrecht, U. A973). Chinese Mathematics in the Thirteenth
Century. M. I. T. Press, Cambridge, MA. The Shu-shu chiu-chang of
Ch'in Chiu-shao, MIT East Asian Science Series, 1.
[331] Lindemann, F. A882). Uber die Zahl тг. Math. Ann., 20, 213-225.
490
Литература
[332] Liouville, J. A833). Memoire sur les transcendantes elliptiques de
premiere et de seconde espece considerees comme fonctions de leur
amplitude. J. Ec. Polytech., 23, 37-83.
[333] Liouville, J. A850). Note IV to Monge's Application de I'analyse a la
geometrie, 5th ed. Bachelier, Paris.
[334] Lobachevsky, N.I. A829). On the Foundations of Geometry.
Kazansky Vestnik. (Russian).
[335] Lobachevsky, N.I. A836). Application of imaginary geometry to
some integrals. Zap. Kazan. Univ., 1, 3-166. (Russian).
[336] Lohne, J.A. A965). Thomas Harriot als Mathematiker. Centaurus,
11A), 19-45.
[337] Lohne, J.A. A979). Essays on Thomas Harriot. Arch. Hist. Exact
Sci., 20C-4), 189-312. I. Billiard balls and laws of collision, II.
Ballistic parabolas, III. A survey of Harriot's scientific writings.
[338] Lyusternik, L. A. A966). Convex Figures and Polyhedra. D. С Heath
and Co., Boston, MA. Translated and adapted from the Erst Rusian
edition A956) by Donald L.Barnett.
[339] Maclaurin, C. A720). Geometrica organiza sive descriptio linearum
curvarum universalis. G. and J. Innys, London.
[340] Magnus, W. A930). Uber diskontinuierliche Gruppen mit einer
definierenden Relation (der Freiheitssatz). J. reine und angew. Math.,
163, 141 165.
[341] Magnus, W. A974). Noneuclidean Tesselations and Their Groups.
Academic Press (a subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich,
Publishers), New York-London. Pure and Applied Mathematics,
Vol.61.
[342] Mahoney, M.J. A973). The Mathematical Career of Pierre de
Fermat. Princeton University Press, Princeton, NJ.
[343] Markov, A. A958). The insolubility of the problem of homeomorphy
(Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR, 121, 218-220.
[344] Masotti, A. A960). Sui "Cartelli di matematica disfida" scambiati fra
Lodovico Ferrari Niccolo Tartaglia. Inst. Lombardo Accad. Sci. Lett.
Rend. A, 94, 31-41. A plate).
Литература
491
[345] Matiyasevich, Y. V. A970). The Diophantineness of enumerable sets.
Dokl. Akad. Nauk SSSR, 191, 279-282.
[346] McKean, H. and Moll, V. A997). Elliptic Curves. Cambridge
University Press, Cambridge.
[347] Melzak, Z.A. A976). Companion to Concrete Mathematics. Vol.11.
Mathematical Ideas, Modelling and Applications. wiley-Interscience
(John Wiley & Sons), New York. Foreword by Wilhelm Magnus.
[348] Mengoli, P. A650). Novae quadraturae arithmeticae seu de additione
fractionem. Jacob Montij, Bononi.
[349] Mercator, N. A668). Logarithmotechnia. William Godbid and Moses
Pitt, London.
[350] Mersenne, M. A625). La verite des sciences. Toussainct du Bray,
Paris.
[351] Mersenne, M. A636). Harmonie Universelle. Facsimile published by
CNRS, Paris, 1963.
[352] Minding, F. A839) Wie sich entscheiden lasst, ob zwei gegebene
krumme Flachen auf einander abwickelbar sind oder nicht;
nebst Bemerkungen uber die Flachen von unveranderlichem
Kriimmungsmasse. J. reine und angew. Math., 19, 370-387.
[353] Minding, F. A840). Beitrage zur Theorie der kiirzesten Linien auf
krummen Flachen, J. reine und angew. Math., 20, 323-327.
[354] Mobius, A.F. A827). Der barycentrische Calcul. Werke 1, 1-388.
[355] Mobius, A.F. A863). Theorie der Elementaren Verwandtschaft.
Werke 2: 433-471.
[356] Moise, E.E. A963). Elementary Geometry from an Advanced
Standpoint. Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Ma-Palo
Alto, Ca-London.
[357] Mordell, L. J. A922). On the rational solutions of the indeterminate
equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc.
21, 179-192 A922).
[358] Nathanson, M.B. A987). A short proof of Cauchy's polygonal
number theorem. Proc. Amer. Math. Soc, 99A), 22-24.
492
Литература
[359] Neugebauer, О. and Sachs, A. A945). Mathematical Cuneiform
Texts. Yale University Press, New Haven, CT.
[360] Neumann, C. A895). Vorlesungen ilber Riemann's Theorie der
Abelschen Integralen. Teubner, Leipzig.
[361] Neumann, C. A870). Zur Theorie des logarithmeschen und des
Newtonschen Potentiales, zweite Mitteilung. Ber. Kbnig. Sachs. Ges.
Wiss., math.-phys. Cl, pages 264-321.
[362] Newton, I. A665a). Annotations on Wallis. Mathematical Papers 1,
96 111.
[363] Newton, I. A665b). The geometrical construction of equations.
Mathematical Papers 1, 492-516.
[364] Newton, I. A665c). Normals, curvature and the resolution of the
general problem of tangents. Mathematical Papers 1, 245-297.
[365] Newton, I. A667). Enumeratio curvatum trium dimensionum.
Mathematical Papers 12, 10-89.
[366] Newton, I. A669). De analysi. Mathematical Papers, 2, 206-247.
[367] Newton, I. A670s). De resolutione quaestionum circa numeros.
Mathematical Papers, 4, 110-115.
[368] Newton, I. A671). De methodis serierum et fluxionum. Mathematical
Papers, 3, 32 353.
[369] Newton, I. A676a). Letter to Oldenburg, 13 June 1676. In Turnbull
A960), pp. 20-47.
[370] Newton, I. A676b). Letter to Oldenburg, 24 October 1676. In
Turnbull A960), pp. 110-149.
[371] Newton, I. A687). Philosophiae naturalis principia mathematica.
William Dawson & Sons, Ltd., London, Facsimile of first edition of
1687.
[372] Newton, I. A695). Enumeratio linearum tertii ordinis. Mathematical
Papers, 7, 588-645.
Литература
493
[373] Newton, I. A697). The twin problems of Johann Bernoulli's
"Programma" solved. Phil. Trans., 17, 388-389. In his Mathematical
Papers 8: 72-79.
[374] Niceron, F. A638). La perspective curieuse. P.Billaine, Paris.
[375] Nielsen, J. A927). Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen
zweiseitigen Flachen. Ada Math., 50, 189-358.
[376] Novikov, P. S.A955). On the algorithmic unsolvability of the word
problem in group theory (Russian). Dokl. Akad. Nauk SSSR Mat.
Inst. Tr., 44. English translation in Amer. Math. soc. Transl. ser. 2,
9,1 222.
[377] O'Donnell, S. A983). William Rowan Hamilton. Boole Press, Dun
Laoghaire. Wih a foreword by A. J. McConnell.
[378] Ore, O. A953). Cardano, the gambling scholar. With a translation
from the Latin of Cardano's "Book on games of chance," by
S. H. Gould. Princeton University Press, Princeton, NJ.
[379] Ore, O. A957). Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary.
University of Minnesota Press, Minneapolis, MN.
[380] Oresme, N. A350a). Quaestiones super geometriam Euclidis. Edited
by H.L.L.Busard. Janus, suplemento, Vol. Ill, E.J. Brill, Leiden,
1961.
[381] Oresme, N. A350b). Tractatus de configurationibus qualitatum et
motuum. English translation in Clagett A968).
[382] Ostrogradsky, M. A828). Demonstration d'un theoreme du calcul
integral. Mem. Acad. Sci. St. Peterburg, ser. 6, 1, 39-53.
[383] Ostrowski, A. A920). Uber den ersten und vierten Gausschen Beweis
des Fundamentalsatzes der Algebra. Gauss Werke 10, part 2, 1-18.
[384] Pacioli, L. A509). De divina proportione. Paganius Paganius, Venice.
[385] Paris, J. and Harrington, L. A977). A mathematical incompleteness
in Peano arithmetic. In Handbook of Mathematical Logic, ed.
J. Barwise, North-Holland, Amsterdam.
[386] Pascal, B. A640). Essay pour les coniques. Paris.
494
Литература
[387] Pascal, В. A654). Traite du triangle arithmetique, avec quelques
autres petits traites sur la mane maniere. English translation in Great
Books of the Western World, Encyclopedia Britannica, London, 1952,
447-473.
[388] Pearson, K. A978). The History of Statistics in the 17th and 18th
Centuries. Macmillan Co., New York. Lectures given at University
College, London, during the academic sessions 1921-1933. Edited and
with a preface by Egon S.Pearson.
[389] Pierpont, J. A895). zur Geschichte der Gleichung des V. Grades (bis
1858). Monatsh. f. Math. VI. 15-68.
[390] Pliicker, J. A830). Uber eine neues Coordinatemsystem. J. reine und
angew. Math., 5, 1-36. Gesammelte Mathematische Abhandlungen
124-158.
[391] Pliicker, J. A847). Note sur le theoreme de Pascal. J. reine
und angew. Math., 34, 337-340. Gesammelte Mathematische
Abhandlungen 413-416.
[392] Poincare, H. A882). Theorie des groupes fuchsiens. Ada Math., 1, 1-
62. In his Oeuvres 2: 108-168. English translation in Poincare A985),
55-127.
[393] Poincare, H. A883). Memoire sur les groupes Kleineens. Ada Math.,
3, 49-92. English translation in Poincare A985), 255-304.
[394] Poincare, H. A892). New methods of Celestial Mechanics, Vol.1.
Periodic and asymptotic solutions, translated from the French,
revised reprint of the 1967 English translation, with endnotes by
V. I. Arnol'd, edited and with an introduction by Daniel L. Goroff,
American Institute of Physics, New York, 1993.
[395] Poincare, H. A893). New methods of Celestial Mechanics, Vol.2.
Approximation by series, translated from the French, revised reprint
of the 1967 English translation, with endnotes by V. M. Alekseev,
edited and with an introduction by Daniel L. Goroff, American
Institute of Physics, New York, 1993.
[396] Poincare, H. A895). Analysis situs. J. Ec. Polytech., ser. 2, 1, 1-123.
Литература
495
[397] Poincare, H. A899). New methods of Celestial Mechanics, Vol.3.
Integral invariants and asymptotic properties of certain solutions,
translated from the French, revised reprint of the 1967 English
translation, with endnotes by G. A. Merman, edited and with an
introduction by Daniel L. Goroff, American Institute of Physics, New
York, 1993.
[398] Poincare, H. A901). Sur les proprietes arithmetiques des courbes
algebriques. J. Math., 7, 161-233. In his Oeuvres 5: 483-548.
[399] Poincare, H. A904). Cinquieme complement a l'analysis situs.
Palermo Rend., 18, 45-110. In his Oeuvres 6: 435-498.
[400] Poincare, H. A907). Sur l'unisiformasition des fonctions analytiques.
Ada Math., 31, 1-63. In his Oeuvres 4: 70-139.
[401] Poincare, H. A918). Science et Methode. Flammarion, Paris. English
translation in The Foundations of Science, Science Press, New York,
1929, 357 553.
[402] Poincare, H. A955). Le Livre du Centenaire de la Naissance de Henri
Poincare. Oeuvres 11.
[403] Poincare, H. A985). Papers on Fuchsian Functions. Springer-Verlag,
New York. Translated from the French and with an introduction by
John Stillwell.
[404] P61ya, G. A954a). An elementary analogue to the gauss-Bonnet
theorem. Amer. Math. Monthly, 61, 601-603.
[405] Polya, G. A954b). Induction and Analogy in Mathematics.
Mathematics and Plausible Reasoning, Voll. Princeton University
Press, Princeton, NJ.
[406] Poncelet, J.V. A822). Traite des proprietes projedives des figures.
Bachelier, Paris.
[407] Post, E. L. A936). Finite combinatory processes. Formulation 1.
J. Symb. Logic, 1, 103-105.
[408] Post, E.L. A941). Absolutely unsolvable problems and relatively
undecidable propositions. Account of anticipation. In Davis A965),
pp. 340-433.
496
Литература
[409] Post, E.L. A944). Recursively enumerable sets of positive integers
and their decision problems. Bull. Amer. Math. Soc, 50, 284-316.
[410] Prouhet, E. A860). Remarques sur un passage des oeuvres inedits de
Descartes. Сотр. Rend., 50, 779-781.
[411] Puiseux, V.-A. A850). Recherches sur les fonctions algebraiques.
J. Math., 15, 365-480.
[412] Rabinovitch, N. L. A970). Rabbi Levi ben Gershon and the origins
of mathematical induction. Arch. Hist. Exact Set., 6, 237-248.
[413] Rajagopal, C.T. and Rangachari, M.S. A977). On an untapped
source of medieval Keralese mathematics. Arch. Hist. Exact Sci.,
18B), 89-102.
[414] Rajagopal, C.T. and Rangachari, M.S. A986). On medieval Kerala
mathematics. Arch. Hist. Exact Sci., 35B), 91-99.
[415] Ramsey, F.P. A929). On a problem of formal logic. Proc. bond.
Math. Soc, 30, 291-310.
[416] Raspail, F. V. A839). Letters sur les Prisons de Paris, Vol.2. Paris.
[417] Ribet, K. A. A990). On modular representations of Gal(Q/Q) arising
from modular forms. Invent. Math., 100B), 431-476.
[418] Riemann, G. F. B. A851). Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der
Functionen einer veranderlichen complexen Grosse. Werke, 2nd ed.,
3-48.
[419] Riemann, G.F.B. A854a). Uber die Darstellbarleit einer Function
durch eine Grunde liegen. Werke, 2nd ed., 227-264.
[420] Riemann, G.F.B. A854b). Uber die Hypothesen, welche der
Geometrie zu Grunde liegen. Werke, 2nd ed., 272-287.
[421] Riemann, G.F.B. A857). Theorie der Abel'schen Functionen.
J. reine und angew. Math., 54, 115-155. Werke, 2nd ed., 82-142.
[422] Riemann, G.F.B. A858a). Elliptische Functionen. Ed. H. Stahl,
Leipzig, 1899.
[423] Riemann, G.F.B. A858b). Vorlesungen uber hypergeometrische
Reihe. Werke, 2nd ed., Dover, New York, 1953.
Литература
497
[424] Riemann, G. F. B. A859). Uber die Anzahl der Primzahlen unter einer
gegebenen Grosse. Werke, 2nd ed., 145-153. English translation in
Edwards A974), 299-305.
[425] Robert, A. A973). Elliptic Curves. Springer-Verlag, Berlin. Notes
from postgraduate lectures given in Lausanne 1971/72, Lecture Notes
in Mathematics, Vol. 326.
[426] Robinson, A. A966). Non-standard Analysis. North-Holand
Publishing Co., Amsterdam.
[427] Rodrigues, O. A840). Des lois geometriques qui regissent les
deplacements d'un systeme solide dans l'espace, et de la variation des
cordinees provenant de ces deplacements considered independamment
des causes qui peuvent les produire. J. de Math. Pures et Appliques,
ser. 1, 5, 380-440.
[428] Rose, P.L. A976). The Italian Renaissance of Mathematics. Librairie
Droz, Geneva. Studies on humanists and mathematicians from
Petrarch to Galileo, Travaux de l'Humanisme et Renaissance, 145.
[429] Rosen, M. A981). Abel's theorem on the lemniscate. Amer. Math.
Monthly, 88F), 387-395.
[430] Rothman, T. A982). Genius and biographers: the fictionalization of
Evariste Galois. Amer. Math. Monthly, 89B), 84-106.
[431] Ruffini, P. A799). Teoria generate delle equazioni in cui si dimostra
impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generate di grande
superiore at quarto. Bologna.
[432] Saccheri, G. A733). Euclides ab omni naevo vindicatus. Pauli Antoni
Montani, Milan. English translation, Open court, chocago, 1920.
[433] Salmon, G. A851). Theoremes sur les courbes de troisieme degre.
J. reine und angew. Math., 42, 274-276.
[434] Schneider, I. A968). Der Methematiker Abraham de Moivre A667-
1754). Arch. Hist. Exact Sci., 5, 177-317.
[435] Schooten, F.v. A659). Geometria a Renato Des Cartes. Louis and
Daniel Elzevir, Amsterdam.
498
Литература
[436] Schwarz, H.A. A870). Uber einen Grenziibergang durch
alternirendes verfahren. Vierteljahrsch. Natur. Ges. Zurich, 15,
272-286. In his Mathematische Abhandlungen 2: 133-143.
[437] Schwarz, H. A. A872). Uber diejenigen Falle, in welchen die Gaussche
hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten
Elementen darstellt. J. reine und angew. Math., 75, 292-335. In his
Mathematische Abhandlungen 2: 211-259.
[438] Scott, JF. A952). The Scientific Work of Rene Descartes A596-
1650). Taylor and Francis, Ltd., London.
[439] Seifert, H. and Threlfall, W. A934). Lehrbuch der Topologie.
Teubner, Leipzig. English translation A Textbook of Topology,
Academic Press, New York, 1980.
[440] Shelah, S. A984). Can you take Solovay's inaccessible away? Israel
J. Math., 48A), 1-47.
[441] Shen, K.-S., Crossley, J.N., and Lun, W.-C. A999). The Nine
Chapters on the Mathematical Art. Companion and Commentary.
Oxford University Press, Oxford.
[442] Shirley, J.W. A983). Thomas Harriot: a Biography. The Clarendon
Press Oxford University Press, New York.
[443] Siegel, C.L. A969). Topics in Complex Function Theory. Vol.1:
Elliptic Functions and Uniformization Theory. Wiley-Interscience
(a Division of John Wiley & Sons), New York-London-Sydney.
Translated from the original German by A. Shenitzer and D. Solitar.
Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, no. 25.
[444] Sluse, R. F. A673). A method of drawing tangents to all geometrical
curves. Phil. Trans., 7, 5143-5147.
[445] Smith, D.E. A959). A Source Book in Mathematics. Dover
Publications Inc., New York. 2 vols.
[446] Solovay, R. M. A970). A model of set-theory in which every set of
reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. B), 92, 1-56.
[447] Srinivasiengar, C.N. A967). The History of Ancient Indian
Mathematics. The World Press Private, Ltd., Calcutta.
Литература
499
[448] Stackel, P. A901). Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie
durch Johann Bolyai. Mat.-natur. ber. Ungarn. Budapest, 17, 1-19.
[449] Stackel, P. A913). Wolfgang und Johann Bolyai. Geometrische
Untersuchungen. Teubner, Leipzig.
[450] Sternberg, S. A969). Celestial Mechanics. Part I. W.A.Benjamin,
Inc., New York-Amsterdam. Mathematics Lecture Note Series: XXII.
[451] Stevin, S. A586). Be Weeghdaet. Christoffel Plantijn, Leyden.
[452] Stillwell, J. A982). The word problem and the isomorphism problem
for groups. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 6A), 33-56.
[453] Stillwell, J. A993). Classical Topology and Combinatorial Group
Theory, 2nd ed. Springer-Verlag, New York.
[454] Stillwell, J. A996). Sources of Hyperbolic Geometry. American
Mathematical Society, Providence, RI.
[455] Stirling, J. A717). Lineae tertii ordinis Neutonianae. Edward
Whistler, Oxford.
[456] Strubecker, K. A964). Differentialgeometrie I, II, III. Walter de
Gruyter, Berlin.
[457] Struik, D. A969). A Source Book of Mathematics 1200-1800.
Harvard University Press, Cambridge.
[458] Szab6, I. A977). Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer
wichtigsten Anwendungen. Birkhauser Verlag, Basel, Wissenschaft
und Kultur, 32.
[459] Tartaglia, N. A546). Quaesti et Inventioni Diverse. Facsimile of 1554
edition, edited by A. Masotti, by Ateneo di Brescia, Brescia.
[460] Taton, R. A951). L'oeuvres methematique de G. Desargues. Presses
unversitaires de France, Paris.
[461] Taurinus, F. A. A826). Geometriae prima elementa. Cologne.
[462] Taylor, B. A713). De motu nervi tensi. Phil. Trans., 28, 26-32.
[463] Taylor, B. A715). Methodus incrementorum directa et inversa.
William Innys, London.
500
Литература
[464] Thurston, W.P. A997). Three-dimensional Geometry and Topology.
Vol. I. Princeton University Press, Princeton, NJ. Edited by Silvio
Levy.
[465] Tietze, H. A908). Uber die topologische Invarianten
mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys.,
19, 1-118.
[466] Torricelli, E. A643). Be solido hyperbolico acuto. Partial English
translation in Struik A969).
[467] Torricelli, E. A644). De dimensione parabolae.
[468] Torricelli, E. A645). De infinitis spirabilus. Reprint edited by
E. Carruccio, Domus Galiaeana, Pisa 1955.
[469] Truesdell, С A954). Rational fluid machanics, 1687-1765. Orell
Fiissli, Zurich. Leonhardi Euleri Opera Omnia, Series secunda,
Vol. XILIV CXXV.
[470] Truesdell, C. A960). The rational mechanics of flexible or elastic
bodies, 1638-1788. Orell Fiissli, Zurich. Leonhardi Euleri Opera
Omnia, Series secunda, Vol. XI, sectio secunda.
[471] Turing, A. A936). On computable numbers, with an application to
the Entscheidungsproblem. Proc. Lond. Math. Soc, ser. 2, 42, 230
265.
[472] Turnbull, H.W. A939). Games Gregory A638-1675). University of
St. Andrews James gregory tercentenary, St. Andrews, g. Bell and
Sons, London.
[473] Turnbull, H. W. A960). The correspondence of Isaac Newton, Vol. II:
1676 1687. Cambridge University Press, New York.
[474] Ulam, S. A930). Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre.
Fund. Math., 15, 140-150.
[475] van Dalen, D. and Monna, A. A972). Sets and Integration.
An Outline of the Development. Wolters-Noordhoff Publishing,
Groningen.
[476] van der Waerden, B.L. A976). Pell's equation in Greek and Hindu
mathematics. Russ. Math. Surveys, 31E), 210-225.
Литература
501
[477] van der Waerden, B.L. A949). Modern Algebra. Frederick Ungar,
New York.
[478] van der Waerden, B.L. A954). Science Awakening. P.Noordhoff
Ltd., Groningen. English translation by Arnold Dresden.
[479] van der Waerden, B.L. A983). Geometry and Algebra in Ancient
Civilizations. Springer-Verlag, Berlin.
[480] van Heijenoort, J. A967). From Frege to Godel. A source Book
in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press,
Cambridge, Mass.
[481] Vandermonde, A.-T. A771). Memoire sur la resolution des equations.
Hist. Acad. Roy. Sci.
[482] Viete, F. A579). Universalium inspectionium ad canonem
mathematicum liber singularis.
[483] Viete, F. A591). De aequationum recognitione et emendatione. In his
Opera, 82-162. English translation in Viete A983).
[484] Viete, F. A593). Variorum de rebus mathematicis responsorum libri
octo. In his Opera, 347-435.
[485] Viete, F. A615). Ad angularium sectionum analyticen theoremata.
In his Opera, 287-304.
[486] Viete, F. The Analytic Art. The Kent State University Press,
Kent, OH. Nine studies in algebra, geometry and trigonometry from
the Opus Restitutae Mathematicae Analyseos, seu Algebra Nova,
translated by T. Richard Witmer.
[487] Vitali, G. A905). Sul problema della misura dei gruppi di punti di
una retta. Bologna.
[488] von Neumann, J. A923). Zur Einfiihrung der transfiniten Zahlen.
Ada lit. acad. sci. Reg. U. Hungar. Fran. Jos. Sec. Sci., 1, 199-208.
English translation in van Heijenoort A967), 347-354.
[489] von Staudt, K. G. С A847). Geometrie der Lage. Bauer und Raspe,
Nurnberg.
[490] Vrooman, J.R. A970). Rene Descartes. A Biography. Putman, New
York.
502
Литература
[491] Wagon, S. A985). The Banach-Tarski Paradox. Cambridge
University Press, Cambridge. With a foreword by Jan Mycielski.
[492] Wallis, J. A655a). Arithmetica infinitorum. Opera 1, 355-478.
[493] Wallis, J. A655b). De sectionibus conicis. Opera 1, 291-354.
[494] Wallis, J. A657). Mathesis universalis. Opera 1, 11-228.
[495] Wallis, J. A659). Tractatus duo. Prior, de cycloide. Posterior, de
cissoid. Opera 1, 489-569.
[496] Wallis, J. A663). De postulate quinto; et definitione quinta Lib. 6
Euclidis. Opera 2, 669-678.
[497] Wallis, J. A673). On imaginary numbers, from his Algebra, Vol.2.
In Smith A959) 1: 46-54.
[498] Wallis, J. A696). Autobiography. Notes and Records, Roy. Soc.
London, 25, A970), 17-46.
[499] Wantzel, P.L. A837). Recherches sur les moyens de reconnaitre si
un probleme de geometrie peut se resoudre avec la regie et le compas.
J. Math., 2, 366-372.
[500] Weber, H. A892). Leopold von Kronecker. Jahresber. Deutsch. Math.
Verein., 2, 19.
[501] Weeks, J.R. A985). The Shape of Space. Marcel Dekker Inc., New
York.
[502] Weierstrass, K. A863). Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen
Funktionen.
[503] Weierstrass, K. A874). Einleitung in die Theorie der analytischen
Funktionen. Summer Semester 1874. Notes by G.Hettner.
Mathematische Institut der Unversitat Gottingen.
[504] Weierstrass, K. A884). Zur Theorie der aus n Haupteinheiten
gebildeten complexen Grossen. Gottingen Nachrichten, pages 395-
414. In his Mathematische Werke 2: 311-332.
[505] Weil, A. A975). Introduction to Kummer A975).
Литература
503
[506] Weil, A. A976). Elliptic Functions According to Eisenstein and
Kronecker. Springer-Verlag, Berlin. Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete, band 88.
[507] Weil, A. A984). Number Theory. An Approach through History, from
Hammurapi to Legendre. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA.
[508] Wessel, C. A797). Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog
anvendt fornemmelig til plane og sphaeriske Polygoners Oplosning.
Danske Selsk. Skr. N. Samml., 5. English translation in Smith A959),
vol. 1, 55-56.
[509] Westfall, R. S. A980). Never at Rest. Cambridge University Press,
Cambridge. A biography of Isaac Newton.
[510] Whitehead, A.N. and Russell, B. A910). Principia Mathematica.
Cambridge University Press, Cambridge, 3 vols. 1910, 1912, 1913.
[511] Whiteside, D.T. A961). Patterns of mathematical thought in the
later seventeenth century. Arch. History Exact Sci., 1, 179-388
A961).
[512] Whiteside, D.T. A964). Introduction to The Mathematical Works of
Isaac Newton. Vol.1. Johnson Reprint Corp., New York, 1964.
[513] Whiteside, D. T. A966). Newton's marvellous year: 1666 and all that.
Notes and Records, Roy, Soc. bond., 21, 32-41.
[514] Wiles, A. A995). Modular elliptic curves and Fermat's ladt theorem.
Ann. of Math. B), 141C), 443-551.
[515] Woodin, W.H. A999). The Axiom of Determinacy, Forcing Axioms,
and the Nonstationary Ideal. Walter de Gruyter & Co., Berlin.
[516] Wright, L. A983). Perspective in Perspective. Routledge and Kegan
Paul, London.
[517] Wussing, H. A984). The Genesis of the Abstract Group Concept.
MIT Press, Cambridge, MA. Translated from the German by Abe
Shenitzer.
[518] Yang Hui A261). Compendium of analyzed mathematical methods in
the "Nine Chapters".
504
Литература
[519] Zermelo, E. A904). Beweis dass jede Menge wohlgeordnet werden
kann. Math. Ann., 59, 514-516. English translation in van Heijenoort
A967).
[520] Zeuthen, H. G. A903). Geschichte der Mathematik im 16 und 17.
Jahrhundert. Teubner, leipzig. Johnson Reprint Corp., New York,
1977.
[521] Zhu Shijie A303). Siyuan yujian. French translation in Hoe A977).
Индекс
Абель, и эллиптические функции, и модулярные функции и урав-
уравнение пятой степени понятие рода ошибочное решение уравнения пятой
степени понятие поля теорема деления лемнискаты жизнеописание
Абеля теорема
ускорение
Адаме
сложение точек на эллиптической кривой
теорема сложения и сложение точек для интеграла арксинуса для
эллиптического интеграла для показательной функции для интеграла
лемнискаты для синуса лемнискаты для синуса
аддитивная инверсия свойство
Адьян
аффинность
аль-Хайсам
аль-Хазин
аль-Хорезми решение квадратного уравнения
аль-Куджи
Альберти
алгебра и аналитическая геометрия и полиномиальные уравнения
происхождение слова
алгебраический кривая действительная функция дробно-степенного
ряда степенного ряда геометрия возникновение целое рациональное те-
теория чисел числа образует счетное множество топология
алгоритм евклидов происхождение слова теория
analysis situ см. топология
аналитическая геометрия и алгебра и основы и проективная гео-
геометрия открытие
анаморфоза
деление угла и комплексные числа де Муавра формула Лейбница
формула Ньютона формула Виета формула
угловой дефект на псевдосфере
угловой избыток аддитивность измеряет площадь
506
Индекс
anthyphairesis и непрерывные дроби
антиподальная точка
Апери
Аполлоний и конические сечения эпициклы задача о четырех ли-
линиях теорема о додекаэдре теория конических сечений теория ирраци-
иррациональных чисел
длина дуги и эллиптические интегралы цепной линии циклоиды
лемнискаты логарифмической спирали полукубической параболы
Архимед и геометрический ряд и механика и Пелля уравнение и
объем шара площадь параболы задача о быках гидростатика жизне-
жизнеописание Метод и статика результаты на шаре на надгробии спираль
статика
площадь и угловой избыток круга циклического четырехугольника
гиперболы гиперболического круга логарифмической спирали парабо-
параболы многоугольников разбиением сферы треугольника Герона формула
пропорциональная квадрату
Арган
Аристотель Prior Analytics и движение текст Зенона
арифметически-геометрическое среднее и Гаусс и Лагранж
арифметизация
Артин Эмиль Мишель
Ариабхата
ассоциативный закон
аксиома о выборе и непрерывные функции непротиворечивость
влечет полное упорядочение в теории мер независимость формулиров-
формулировка
аксиомы о выборе для полей для групп для проективных плос-
плоскостей для колец в Началах Евклида большое кардинальное число о
бесконечности теории множеств о параллельных Пеано
Баше Диофант издание Диофанта сформулированная теорема о
четырех квадратах
Банах
Банаха-Тарски теорема
Барроу
Бартельс
Бекман и частота как он встретил Декарта
Бельтрами конформные модели модель полу-пространства гипер-
гиперболическая плоскость проективная модель
Беркли
Бернайс
Индекс
507
Бернулли Даниил вывел закон Бойля Гидродинамика жизнеопи-
жизнеописание решение волнового уравнения определение геодезической семья
Якоб и эллиптические интегралы и логарифмическая спираль Ars
conjectandi счетная аддитивность нашел брахистохрону ввел цепную
линию лемниската жизнеописание Иоганн и ^2 1/п2 и комплексные ло-
логарифмы и комплексные числа и трактриса нашел цепную линию ввел
брахистохрону жизнеописание украл гидродинамику Даниила учил
Эйлера учил Лопиталя Николай испытания
Бертран
Бессель
Бетти
Безу теорема и основная теорема алгебры однородная формули-
формулировка влечет за собой теорему Паскаля сформулированная Ньютоном
Бхаскара I ввел термин «пульверизатор»
Бхаскара II циклические процесс жизнеописание Lilavati
биномиальный коэффициент как число комбинаций свойство де-
делимости свойство сложения ряд теорема и малая теорема Ферма и ин-
интерполяция
Биркгоф
Бойяи Фаркаш отец Яноша учился с Гауссом Янош гиперболиче-
гиперболическая геометрия жизнеописание
Больцано теорема о промежуточном значении
Бомбелли
Бонне
Буль
Борель
Бос
Бойль закон
брахистрохрона
Брахана
Брахмагупта и Пелля уравнение площадь циклического четырех-
четырехугольника композиция определения математика тождество жизнеопи-
жизнеописание метод для Пелля уравнения квадратичная формула рациональ-
рациональные треугольники
точка ветвления Неймана картинка
Бриггс
Бринг
Браукнер и Пелля уравнение непрерывная дробь
Бренеллески
508
Индекс
исчисление и комбинаторика и дифференциальная геометрия и ин-
интерполяция и механика и метод исчерпывания и касательные основная
теорема Лейбница Ньютона спор о приоритете вариационное исчисле-
исчисление и брахистохрона и изопериметрическая задача
Кантор гипотеза о континууме определил No, N1, N2,, • • •, открыл
несчетность первое доказательство несчетности операция с предельной
точкой операции, порождающие порядковые числа теория множеств
трансцендентные числа
Кардано и комплексные числа криптография жизнеописание опуб-
опубликовал решение Тартальи ссора с Тартальей решения кубического
уравнения
мощность множества
кардинальные числа No, N1, N2,, ..., большие несчетные
кардиоида
Кассини
Кассини овал
цепная линия и трактриса длина дуга
задача о быках
Коши совет Лагранжа и группы подстановок теория комплексных
функций интегральная теорема жизнеописание сосед Лапласа обозна-
обозначение для единичного элемента обозначение для обратного элемента
теорема о количестве многоугольников теорема о многограннике изу-
изучал Лапласа и Лагранжа теория упругости
уравнения Коши-Римана
Кавальери и объем сферы интегрирования формула метод неде-
неделимых
Кэли абстрактное понятие группы и проективная геометрия мат-
матрицы для кватернионов числа теорема о группе подстановок проектив-
проективная модель вновь открыл октонионы
небесная механика названная Лапласом Пуанкаре
китайская теорема об остатках
выбирающая функция
хордово-касательное построение
Церковь
деление круга
круговые функции и комплексные логарифмы и комплексные чис-
числа и кубические уравнения и эллиптические функции и круг ряд эле-
элементарных дробей
радиусокруж
циссоида точка возврата
Индекс
509
Клеро
поля классов теория
порядок класса формула
классификация поверхностей
Клебш сложение точек
Коуэн
точки совпадения
Колберн
комбинаторика
общие понятия отношения эквивалентности
коммутативный закон
коммутативное кольцо
комплексные кривые и Ньютона Пюизе теория как римановы по-
поверхности топология
комплексные функции и дифференцируемость и интегрирование
как степенной ряд действительная и мнимая части
комплексные числа абсолютное значение мультипликативность и
сложение углов и деление угла и круговые функции и кубические урав-
уравнения и эллиптические функции и квадратные уравнения сопряженные
ранние наблюдения геометрические свойства геометрическое представ-
представление Абеля Котеса Весселя Гамильтона определение в алгебре умно-
умножение
композиция Брахмагупта Диофант сил функций пифагоровых
троек
вычислимость и диагональная аргументация Тьюринга машиной в
группах функций действительных чисел
вычисление
Кондильяк
Кондорсе
конформное отображение и составление карт
конформная модель как часть С диска полуплоскости расстояние
полусферы в полупространстве
конгруэнтность и группы движений по модулю п
конические сечения приписываемые Менехму инструмент для чер-
черчения проективный вид уравнения второй степени
сопряженные элементы кватернионов
Коннелли
допускающий построение число точки многоугольники
построение уравнений линейка и циркуль двойной дуги круга двой-
двойной дуги лемнискаты
510
Индекс
непрерывная дробь и Пелля уравнение определение для тг перио-
периодическая
непрерывность и аксиома о выборе и скорость
непрерывный величина определение Дедекинда процесс
гипотеза о континууме непротиворечивость независимость
координаты у Гиппарха у Орема
Коперник
construzione legittima
Котес и комплексные логарифмы и комплексные числа Нагтопга
menserarum теорема об п-угольниках
счетность
счетная аддитивность
счетная доска
покрытие ориентируемой поверхности проективной плоскости псев-
псевдосферы тора проективное отображение листы и интегрирование уни-
универсальное
Крамер и Безу теоремы и перестановки
Крамера правило
инвариантность двойного отношения у Дезарга Мёбиуса доказа-
доказательство инвариантности
криптография и малая теорема Ферма у Кардано у Виета Валлис
куб удвоение, см. удвоение куба группа симметрии
кубические кривые и последняя теорема Ферма как торы пять ти-
типов Ньютона классификация рода 0 параметризация проективная клас-
классификация проективный вид
кубические уравнения и круговые функции и комплексные функ-
функции и комплексные числа и трисекция имеют действительные корни у
Кардано у Виета решение
вихрь
кривизна и эйлерова характеристика центр постоянная поверх-
поверхность благодаря Ньютону гауссова и пространственный угол интеграл
геодезическая внутренняя Кэстнера определение отрицательная и неев-
неевклидова геометрия поверхность Ньютона формула плоских кривых
многогранника поверхностей главная радиус Риман
кривая алгебраическая поведение в бесконечности комплексная ку-
кубическая степень эквидистантная в конформной модели геометриче-
геометрическая механическая на проективной плоскости проективная проективное
завершение трансцендентная и дифференциальная геометрия
кривые и исключение
возврата точка циссоиды полукубической параболы
Индекс
511
циклоида длина дуги как брахистохрона как таутохрона своя соб-
собственная эвольвента
Даламебр и комплексные функции и сопряженные решения и Ла-
гранж и Лаплас и Энциклопедия основная теорема алгебры лемма жиз-
жизнеописание об алгебре в геометрии волновое уравнение
де ла Ир
де Муавр и производящие функции формула формула чисел Фи-
Фибоначчи формула обращения решение в радикалах
Де Морган
Дедекинд и иррациональные числа и аксиомы Пеано и римановы
поверхности сечение для иррационального числа для рационального
числа определил алгебраические целые числа определил идеалы опре-
определение л/2 определение непрерывности определение поля друг Римана
жизнеописание числовые поля произведение идеалов доказал теорему
о двух квадратах строгость студент Гаусса студент Римана дополнил
Дирихле
Деген тождество восьми квадратов
степень кривой поля
Ден и гиперболическая геометрия комбинаторная теория групп ре-
решил третью задачу Гильберта
Дезарг и инвариантное двойное отношение и проективные линии
Brouillon projet жизнеописание проективная геометрия теорема и ал-
алгебра и основы плоский случай формулировка использовал эпицикли-
эпициклические кривые
Декарт и аналитическая геометрия координат метод теорема о де-
делимости многочлена лист Геометрия в печи интегрирования формула
жизнеописание обозначение степеней многогранника формула и Гаус-
Гаусса Бонне
начертательная геометрия
детерминант
диагональная аргументация и вычислимость и Гёделя теорема и
скорость роста для действительных чисел для множеств
Дидро
дифференцируемость
дифференциальные уравнения и цепная линия и кривая упругих
деформаций и механика для геодезических в частных производных
дифференциальная геометрия и исчисление и кривизна и гипербо-
гиперболическая геометрия
дифференцирование
Диоклес
512
Индекс
диофантовы уравнения кубические линейные нет алгоритма квад-
квадратные рациональные решения задачи
Диофант Арифметика издание Баше в Алгебре Бомбелли и ком-
комплексные числа и диофантовы задачи и пифагоровы тройки и суммы
квадратов методы хорд и касательных метод хорд на листе композиция
тождество жизнеописание метод и эллиптические функции и Ферма и
Ньютон геометрическая интерпретация решение у3 = х2 + 2 метод ка-
касательных и Виет тождество двух квадратов
Дирихле и алгебраические целые числа и последняя теорема Фер-
Ферма порядка класса формула функция принцип и теорема отображения
Римана обоснована Гильбертом заменил Гаусса учил Римана теорема
о простых числах Vorlesungen
дискретный процесс
дискриминант инвариантность
расстояние и координаты и Пифагора теорема определение
расхождение гармонического ряда
делимость и пифагоровы тройки у Евклида
деление ставок
деления свойство
додекаэдр двойственный икосаэдру группа симметрии
Дональдсон
двойная периодичность и комплексное интегрирование и Риман
wp- функция Вейерштрасса
двойная точка
двойной корень
удвоение дуги круга лемнискаты
дю Буа-Реймонд
удвоение куба циссоидой пересекающимися коническими сечения-
сечениями Менехмом
Дюрер
Дик группы понятие группы и мозаики
е трансцендентность
Эйнштейн
Эйзенштейн и алгебраические целые числа ряд студент Гаусса
кривая упругих деформаций картинки
исключение и линейная алгебра и полиномиальные уравнения гаус-
гауссово
эллипс длина дуги как планетарная орбита в сопоставлении с ова-
овалом Кассини фокус неэллиптическая кривая построение с помощью
веревки
Индекс
513
эллиптический кривая сложение точек и последняя теорема Ферма
изоморфна С/Л параметризованная р, р' функции сложения теорема
и комплексные числа и кривая упругих деформаций и тор день ро-
рождения обращая интегралы двойная периодичность разложения в ряд
интегралы сложения теорема не элементарный
эллиптическая модулярная функция см. модулярные функции
пустое множество
эпициклы в астрономии использованные Дезаргом
уравнение кубическое решение линейное Пелля полиномиальное
квадратное Брахмагупты формула в Вавилоне у Евклида четвертой
степени пятой степени ван Ромена
отношение эквивалентности определенное группой
Евклид Начала Книга V общие понятия постулаты перевод Тарта-
льи жизнеописание теорема о совершенных числах и геометрический
ряд доказательств теоремы Пифагора пифагоровы тройки формула те-
теория делимости теория иррациональных чисел точка зрения на квад-
квадратные уравнения
Евклидов алгоритм как «пульверизатор» критерий иррациональ-
иррациональности для гауссовых целых чисел для многочленов в Азии геометрия
на орисфере на торе плоскости движения твердого тела мозаики
Евдокс определение равенства метод исчерпывания теория про-
пропорций
Эйлер теоремы сложения Алгебра и Безу теорема и китайская тео-
теорема об остатках и хордово-касательное построение и комплексные ло-
логарифмы и комплексные числа и конформное отображение и последняя
теорема Ферма характеристика и кривизна и род обобщение Пуанка-
Пуанкаре постоянная формула непрерывной дроби сходимость ряда формула
для егх тождество четырех квадратов дифференциальное уравнение
геодезической жизнеописание теорема о пятиугольном числе теорема
о совершенном числе картинки кривой упругих деформаций теорема о
многоугольнике доказательство Лежандра формула произведения до-
доказательство малой теоремы Ферма доказал теорему о двух квадратах
догадка о жесткой поверхности студент Иоганна Бернулли суммиро-
суммировал Y11/п2 теорема на у3 = х2 + 2 значения ((s) формула дзеты функ-
функции
исчерпывание, см. метод исчерпывания
показательная функция и формула сложения комплексная перио-
периодичность
теорема об экстремальном значении
теорема о делимости многочлена
514
Индекс
Фагнано теорема о сложении формула удвоения изученная Эйле-
Эйлером деление лемнискаты
Фолтингс
Фано плоскость
Ферма и аналитическая геометрия и Диофант и Диофанта метод
и рациональные правильные треугольники и пример Пелля уравне-
уравнения бесконечный спуск формула интегрирования последняя теорема
и циклотомические целые числа и эллиптические кривые и Фолтингс
попытка Ламе попытка Линдемана для п = 4 доказательство Вейля
частные случаи жизнеописане малая теорема доказательство, исполь-
использующее обратные элементы Наблюдения о Диофанте касательных ме-
метод примененный к листу теорема на у3 = х2 + 2 теоремы на суммах
квадратов теорема о двух квадратах
Феррари спор с Тартальей отравлен решение уравнения четвертой
степени
Фибоначчи и кубические иррациональные числа Книга квадратов
последовательность
поле определение конечной степени рациональных чисел теория
Фиор
Фишер
поток несжимаемый и расхождение невихревой и вихрь
фокус в астрономии
лист асимптота двойная точка нарисованный Гюйгенсом имеет род
О декартов параметризация касетельный
основы арифметические и теоретико-множественные геометриче-
геометрические геометрии
теорема о четырех квадратах
ряд Фурье и интегралы и теория теплопроводности
Фреге
Фрейденталь
Фрей
Фробениус
Фукс
функция алгебраическая выбора вычислимая Дирихле элементар-
элементарная эллиптическая гиперболическая многозначная модулярная рацио-
рациональная симметричная тета трансцендентная дзета
фундаментальная группа как группа движений определенная Пу-
Пуанкаре порождающие элементы и соотношения более высокой степени
фундаментальный многоугольник и универсальное покрытие для
рода 2 для тора
Индекс
515
основная теорема алгебры и Безу теорема и пересечения Далам-
бера доказательство Гаусса доказательства мотивированная интегри-
интегрированием действительный вариант арифметики исчисления и Грегори
обобщенная в формализме Лейбница
Фюртванглер
Галией и цепная линия и брошенное тело наблюдал Нептун прин-
принцип инерции
Галуа и уравнение пятой степени понятие поля ввел понятие груп-
группы жизнеописание изучал Геометрию Лежандра теория и задачи по-
построения и правильные многогранники у Дедекинда теория неодно-
неоднозначности теория полей
гамма-функция
Гаусс и алгебраические целые и китайская теорема об остат-
остатках и деление круга и комплексное интегрирование и конформ-
конформное отображение и эллиптические функции и деление лемниска-
лемнискаты и модулярные функции и квадратичные формы и agM и раз-
разложение на простые множители площадь гиперболического круга
арифметически-геометрическое среднее построение 17-угольника кри-
кривизна Disquisitiones arithemeticae формула для движения сферы основ-
основная теорема алгебры геодезическая кривизна геодезия жизнеописание
доказал теорему о двух квадратах сфера учил Дедекинда учил Эйзен-
Эйзенштейна theorema egregium мозаика треугольника
Гаусса-Бонне теорема форма многогранника
гауссов целое критерий делимости свойство деления евклидов ал-
алгоритм простое число деление на множители производящие функции
для комбинаций последовательности Фибоначчи
порождающие элементы и соотношения и топология считывание
мозаики
род и эйлерова характеристика и рациональные функции как число
дыр неявно у Абеля топологическое значение
геодезическая кривизна дифференциальное уравнение отображен-
отображенная на прямую линию на конусе на цилиндре на псевдосфере на сфере
геометрический ряд и площадь параболы и телесная субстанция и
объем тетраэдра у Евклида
геометрически-гармоническое среднее
геометрия алгебраическая аналитическая комплексная интерпре-
интерпретация начертательная дифференциальная основы гиперболическая
неевклидова поверхностей проективная сферическая
Гиббс
516
Индекс
Гёдель и аксиома о выборе и гипотеза о континууме и относитель-
относительности теория теорема о неполноте жизнеописание «чудо» вычислимо-
вычислимости вторая теорема у Гильберта и Бернайса
золотое отношение
золотой четырехугольник и возможность построения
Гордан
Гурса
Гранди
Грейвс Джон открыл октонионы прочитал литературу о квадратах
Роберт
большой круг и проективная линия
Грин
Грина теорема влечет за собой теорему Коши
Грегори и интерполяция и Тейлора теорема и трансцендентность
геометрически-гармоническое среднее жизнеописание Vera quadrature,
группа ассоциативность сокращение понятие Галуа определяю-
определяющие свойства фундаментальная единичный элемент обратный элемент
изоморфизм задача об изоморфизме движений подстановок движений
твердого тела преобразований на кубической кривой многогранника и
теория уравнений представление Sn симметрия задача о слове
групп теория и теория уравнений комбинаторная
Адамар
Хан
Гальке
Галлей
остановки задача
Гамильтон определил комплексные числа открыл кватернионы
динамика жизнеописание оптика предсказал коническое преломление
представил групп икосаэдра искал произведение троек
ручка
гармонический ряд
гармония и отношения целых чисел и Пифагор сфер
Гарнак
Гарриот и интерполяция и логарифмическая спираль и стереогра-
стереографическая проекция жизнеописание теорема на сферической площади
Хаусдорф
Хит
Хевисайд
Индекс
517
Эрмит и алгебраические целые числа последовал за указанием Га-
Галуа сохранил работы Галуа решение уравнения пятой степени транс-
трансцендентность е
Герон
Хейрэт
Хигман
Гильберт алгебра проективных плоскостей арифметика и гео-
геометрия основная теорема основы геометрии обосновал принцип Ди-
Дирихле жизнеописание задачи первая вторая третья программа испра-
исправил ошибки у Евклида теорема о постоянной кривизне Zahlbericht
Гиппарх
Гоббс осудил Коники Валлиса любовь к геометрии об Arithmetica
infinitorum о результате Торричелли
Хольбейн
Гёльдер
Холмбоу
гомеоморфизм задача
однородный координаты расширить декартову плоскость много-
многочлен
гомоморфизм
гомотопные пути
Гук и цепная линия
орицикл в конформной модели
орисфера в модели полупространства есть евклидова
Гудце
Гуревич
Гурвиц
Гюйгенс и цепная линия и псевдосфера описание трактрисы нари-
нарисовал лист нашел таутохрону об открытиях в геометрии маятниковые
часы
гидродинамика и комплексные функции
гидростатика
гипербола длина дуги площадь сегмента точки в бесконечности
квадратура
гиперболический круг в конформной модели функция геометрия
и дифференциальная геометрия комплексная интерпретация конформ-
конформные модели названная Клейном проективная модель плоскость как по-
покрытие движения твердого тела мозаики пространство движения твер-
твердого тела мозаика тригонометрия
гиперкомплексные числа алгебраические свойства
518
Индекс
гипергеометрический дифференциальное уравнение
икосаэдр возможность построения построение Пачоли группа сим-
симметрии мозаика
идеальные числа
идеалы как ядра классы содержание и деление определены Деде-
киндом разложение на множители нод в Z в Z[—5] в Z[i] максимальный
главный произведение вид сумма
единичный элемент
несоизмеримый, см. иррациональный
неделимые в Arithmetica infinitorum
индукция и бесконечный спуск характеризует натуральные числа
у Леви бен Гершона у Паскаля
инерция и Галилей и Ньютон
бесконечный завершенный и пределы и множеств теория спуск в
греческой математике потенциальная процессы для нахождения объ-
объема отрицаемая греками произведение рассуждение о последователь-
последовательность множество точек
бесконечный ряд для алгебраических функций для круговых
функций для логарифма для тг в греческой математике обращение по
де Муавру исчисление Ньютона
бесконечно малые Робинсона
бесконечность поведение кривых в перегиб в линия в точка в
бесконечность, см. бесконечный
перегиб
внрадиус
целое число алгебраическое круговое гауссово квадратичное раци-
рациональное
интеграл арксинуса эллиптический Лебега лемнискатный риманов
интегрирование и длина дуги и элементарные дроби комплексные
и римановы поверхности в «конечном виде» алгебраических функций
теорема о промежуточном значении
интерполяция и исчисление и Тейлора теорема Грегори - Ньютона
формула
пересечения и Безу теорема и основная теорема алгебры и корни
кратность действительных алгебраических кривых
инварианты король
инверсия аддитивная обозначение Коши функция в теории групп
mod p мультипликативная закон квадратов
эвольвента
иррациональный
Индекс
519
иррациональность л/2
иррациональные числа Дедекинда построение Евклида теория
квадратичные
изометрические поверхности
изоморфные группы
изопериметрическая задача
Якоби и хордово-касательное построение и эллиптические кривые
и эллиптические функции и модулярные функции Fundamenta nova
жизнеописание изучал Эйлера тета-функции пытался решить уравне-
уравнение пятой степени
Яшмовое зеркало
Цзя Сянь
Жордан мера
Как
Кэстнер
Кельвин
Кеплер и проективные линии Astronomia nova эллиптические ор-
орбиты ввел термин «фокус» планетарные сферы
ядро
Клейн и модулярные функции и уравнение пятой степени и уни-
формизация Эрлангенская программа гиперболические мозаики на-
назвал гиперболическую геометрию
Кёбе
Колмогоров
Кронекер и алгебраические целые и рациональные функции из-
известное высказывание
Куммер и алгебраические целые и последняя теорема Ферма и раз-
разложение на простые множители идеальные числа
Лагранж и алгебраические числа и конформное отображение и
эпициклы и agM и дискриминант небесная механика эквивалент-
эквивалентность форм теорема о четырех квадратах жизнеописание Mecanique
analytique протеже Даламбера доказал теорему о двух квадратах тео-
теорема об уравнении Пелля уравнений теория изучаемая Галуа квадра-
квадратичных форм теория
Ламе
Ламберт и конформное отображение мнимая сфера ввел гипербо-
гиперболические функции сферическая геометрия
Ландау
Лаплас объяснил вековое изменение Mecanique celeste протеже Да-
Даламбера
520
Индекс
большие кардинальные числа
решетка периодов вид
Лоран
Лавуазье
закон больших чисел
наименьшая верхняя граница порядковых чисел свойство R
Лебег
Лежандр и эллиптические интегралы и последняя теорема Ферма
и объем пирамиды
Лейбниц и Ada Eruditorum и формальная логика и понятие функ-
функции и интегральное исчисление и интерполяция и Паскаля треугольник
исчисление комбинаторика первая публикация об исчислении нашел
брахистохрону нашел цепную линию интеграла знак жизнеописание
логика доказательство малой теоремы Ферма решение в радикалах
Лейбница-де Муавра формула и логарифмы
лемниската и кривая упругой деформации длина дуги как спири-
ческое сечение деление Абеля теорема удвоение дуги Бернулли
лемнискатный интеграл теорема о сложении синус теорема о сло-
сложении производная период
Леонардо
Леверьер
Леви бен Гершон и перестановки
Лопиталь нашел брахистохрону учился у Иоганна Бернулли
улитка
предел и законченная бесконечность последовательности точка
вращение
Линдеман
линия в бесконечности как пары антиподальных точек
линейный уравнения китайский метод Крамера правило диофан-
товы гауссово исключение в Девяти книгах дробные преобразования
как движения твердого тела группы независимость рекуррентные со-
соотношения для рациональной функции
Лиувиль и эллиптические интегралы и модель полуплоскости
опубликовал работы Галуа
Листинг
Лю Хуэй
Лобачевский гиперболическая геометрия гиперболические объемы
жизнеописание под руководством Бартельса учился у Бартельса
логарифм основное свойство комплексный и круговые функции
бесконечное множество значений геометрическое определение таблицы
Индекс
521
логика
Маклорен
Магнус
Марков
математика
Матьясевич
Максвелл уравнения
мера и вероятность Борель счетная аддитивность Жордан Лебег
нулевая
механика и интегрирование до исчисления исчисление небесная у
Архимеда квантовая
Менехм и конические сечения построение у2 удвоение куба
Менголи
Меркатор степенной ряд для логарифма проекция
Мерсенн и Декарт простые числа колебания закон
Мертонская теорема об ускорении
исчерпывания метод и аппроксимация и площадь параболы избе-
избегает пределов обобщает теорию пропорций у Евклида
метод отыскания
метрика
Миндинг гиперболическая тригонометрия
Минковский
Мёбиус и двойное отношение и однородные координаты и тополо-
топология поверхности и преобразования полоса и неориентируемые поверх-
поверхности классификация поверхностей группы преобразований
модулярные функции и вид решетки и квадратичные целые числа
и уравнение пятой степени периодичность
Мордель теорема
полиномиальный коэффициент
полиномиальная теорема
мультипликативный обратный элемент
мултипликативность абсолютного значения для комплексных чи-
чисел для октонионов для кватернионов
нормы
кратность и Безу теорема
мистическая гексаграмма
Нейль
Нептун
Нейман и теорема отображения Римана
522
Индекс
Ньютон алгебра бесконечного ряда и Безу теорема и Диофанта
метод и дробный степенной ряд и интерполяция исчисление классифи-
классификация кубических кривых формула кривизны De analysi De methodis
De motu определил трактрису презирал вначале Евклида первый за-
закон формула для sin пв нашел брахистохрону впечатлен Декартом ввел
кривизну закон обратных квадратов закон охлаждения закон гравита-
гравитации жизнеописания Principle, доказал спирали трансцендетные второй
закон синусоидальный ряд изучение жидкостей
Ньютона Пюизе теория и алгебраические кривые и точки ветвле-
ветвления и комплексные функции
Ньютона-Пюизе теория
Нисерон стул
Нильсен
Девять книг
Нётер Эмми жизнеописание schon bei Dedekind студентка Гордана
теорема об инвариантах Макс
невозможность построения \pi благодаря Ванцелю Ландау дока-
доказательство
неевклидова геометрия и дробно-линейные преобразования и от-
отрицательная кривизна и псевдосфера у Саккери
немодулярность
норма и разложение на простые множители мультипликативность
алгебраических целых чисел гауссова целого числа
нормальная подгруппа
Новиков
число алгебраическое определение кардинальное, см. кардиналь-
кардинальные числа комплексное возможность построения гиперкомплексное
идеальное иррациональное и теория пропорций Дедекинда построение
отрицательное порядковое, см. порядковые числа пятиугольное совер-
совершенное многоугольное простое рациональное действительное тетраэд-
тетраэдральное трансцендентное треугольное
октаэдр м группа симметрии
октониноны как пары кватернионов схема для умножения форму-
формула Диксона для произведения открыты Грейвсом вновь открыты Кэли
орбита
упорядоченная пара
порядковые числа и вполне упорядоченные порождающие опера-
операции упорядочены ? несчетные фон Нейман
Орем и гармонический ряд координаты суммирование ряда
ориентируемость
Индекс
523
Остроградский
Островский
Паппа теорема и алгебра частный случай Паскаля
парабола и висячий мост площадь сегмента как траектория декар-
декартова точка в бесконечности полукубическая
аксиома о параллельных альтернативы и сумма углов и Пифагора
теорема эквиваленты Евклида вариант не выполняется в отрицатель-
отрицательной кривизне
параметризация круговыми функциями круга эллиптическими
функциями данная Клебшем известная Якоби кубических кривых ра-
рациональными функциями не выполняется для у2 = 1 — ж4 круга листа
кривых у2 = р(х)
Париса-Харрингтона теорема
Паскаль вычислительная машина Эссе о кониках Этьенн и улитка
жизнеописание научная работа поддержал Дезарга теорема обобщает
Паппа Плюкера доказательство треугольник в Китае у Лейбница
Паули матрицы
р-функция
Пикок
Пеано арифметика
Пеано аксиомы
Пелля уравнение и алгебраические числа и Архимед и Брахма-
гупта и Браункер и непрерывные дроби и Лагранж у Бхаскары II у
Брахмагупты в Индии
маятник часы циклоидальный и эвольвента обыкновенный
пятиугольник построение
периодичность двойная комплексной показательной функции мо-
модулярной функции
перестановка четная группа Кэли теорема
Перро
Персей
перспектива метод вуали Альберти изображение мозаичного пола
тг Браункера формула бесконечный ряд трансцендентность Виета
формула Валлиса формула
Платон
Табличка 322 и комплексные числа и пифагоровы тройки
Плюкер однородные координаты доказательство Паскаля теоремы
Плутарх
Пуанкаре и эллиптические кривые и эллиптические функции и эй-
эйлерова характеристика и неевклидова геометрия и рациональные точки
524
Индекс
и униформизация небесная механика гипотеза создал алгебраическую
топологию определил фундаментальную группу формулы для гипербо-
гиперболических движений групп теория гиперболические мозаики последняя
теорема жизнеописание теория дифференциальных уравнений
точка антиподальная как упорядоченная пара в бесконечности
принадлежащая кривой однородные координаты у Дезарга у Кеплера
на проективной линии
Пойя
многоугольник теорема о числах числа
многогранник формулы неизгибаемый правильный изгибаемый,
если выпуклый
многочлен однородный нормированный
полиномиальные уравнения и исключение пересечения кривых в
Яшмовом зеркале в нескольких переменных
Понселе
Пост о значении и истине вариант Гёделя теоремы до Гёделя
потенциал поля теория
степенной ряд и исчисление для алгебраических функций для ком-
комплексных функций Коши теоремы для косинуса для показательной
функции для логарифма для синуса дробный у Лагранжа Лоран
простое число свойство делителя разложение гауссово
простые числа и суммы квадратов в арифметических прогрессиях
бесконечное множество Мерсенн совершенные числа вида 22 + 1
Principia Ньютона, см. Ньютон Principia Уайтхеда и Рассела
спор о приоритете Ньютон-Лейбниц по гидродинамике по изопе-
риметрической задаче
вероятностей теория и производящие функции и мера и Паскаля
треугольник Кардано Колмогоров
брошенные тела
проективный завершение С R геометрия и аналитическая геомет-
геометрия линия и большой круг как бесконечный круг как проективное
завершение комплексная действительная модель плоскость и алгебра
кривые на конечная неориентируемая не сфера действительная модель
сферы преобразования
псевдосфера и угловой дефект и орициклы вращением трактри-
трактрисы постоянная отрицательная кривизна гауссова кривизна геодезиче-
геодезические имеет гиперболическую тригонометрию отображенная на полу-
полуплоскость главные кривизны
Птолемей Almagest эпициклы
Пюизе
Индекс
525
пульверизатор
Пифагор и гармония жизнеописание теорема
Пифагора теорема и определение расстояния и расстояние и Гоббс
и аксиома о параллельных обратная в Азии доказательство
Пифагоровы тройки и делимость композиция формула у Диофан-
Диофанта у Евклида в Вавилоне на Табличке 322 рациональных функций ра-
рациональные
пифагорейцы и «все есть число» колеблющаяся струна
Цинь Цзю-шао
квадратный (квадратичный) уравнения и комплексные числа у
аль-Хорезми в Вавилоне у Брахмагупты у Евклида формы порядок
класса эквивалентность Гаусса теория Лагранжа теория формула це-
целые числа иррациональные числа
квантовая теория
четвертой степени уравнения
кватернионы и вращения и сферическая тригонометрия и вектор-
векторный анализ сопряженный основная формула матричное представление
произведение
пятой степени уравнения и групп теория
R завершенности свойство наименьшей верхней границы свой-
свойство измеримость подмножеств означает большие кардинальные числа
несчетность доказательство теории меры полное упорядочение
радикал
Рэлей
Рамсей
рациональный блок поле функция параметризация числа поле об-
образуют счетное множество точки на кривой 2-й степени на кривой ро-
рода > 1 на кривой 0-го рода на кривой 1-го рода на круге пифагоровы
тройки прямоугольные треугольники решения треугольники Брахма-
Брахмагупты формула
рекуррентные соотношения и л/2 линейный
правильный многоугольник многогранники и конечные группы и
Галуа теория группы симметрии Тиэтета теория
относительность
класс вычетов
результант как детерминант
локсодрома
Рибе
Ричард
526
Индекс
Риман и двойная периодичность и эйлерова характеристика и осно-
основания геометрии комплексной функции теория расстояния формула
друг Дедекинда функциональное уравнение для ?(s) гипотеза инте-
интеграл жизнеописание отображения теорема читал Эйлера и Лежандра
поверхность и комплексное интегрирование ориентируемая учил Деде-
Дедекинда мозаики эллиптических функций теория дзета-функция
движения твердого тела как дробно-линейные преобразования
группа евлкидовой плоскости гиперболической плоскости гиперболи-
гиперболического пространства сферы мозаики
кольцо коммутативное с единицей целых чисел теория
Роберваль
Родригес
растягивание веревки
розы Гранди
вращение
Руссо
Руффини
построение с помощью линейки и циркуля точек правильного
17-гольника правильного пятиугольника квадратного корня
Рассел
Саккери
седло
Салмон
Шварц и риманова теорема отображения и универсальное покры-
покрытие мозаики
Сципионе дель Ферро
вековое изменение
Зейферт и Трельфаль
отделение переменных
множеств теория и завершенное бесконечное и ряд Фурье и боль-
большие кардинальные числа
множества и математические объекты и действительные числа Бо-
рель счетные неизмеряемые рекурсивно перечислимые несчетные
листы
боковые и диагональные числа
подобие
Слюз
пространственный угол
решение в радикалах
пространство п измерений
Индекс
527
сфера мозаики объем и площадь
сферическая геометрия мнимая треугольники
spira
спираль равноугольная трансцендентна логарифмическая пло-
площадь своя собственная эвольвента самоподобие Архимеда
спирические сечения
квадратура круга
статика и Архимед
Штейнер
стереографическая проекция и конформные модели конформность
благодаря Гарриоту благодаря Птолемею
Стевин
Стирлинг
Суизет (Суайнхед)
суммы квадратов и простые числа восемь четыре рациональный
три два
Сунь-цзы
поверхность замкнутая компактная покрытие кривизна неориен-
тируемая нормальная форма постоянной кривизны Гильберта теорема
ориентируемая риманова
висячий мост
симметрия и группы геометрическая в отношении эквивалентности
многогранника мозаик
касательной метод Диофанта Ферма Гудда и Слюза
Тарски
Тарталья и брошенные тела сообщение формулы Кардано жизне-
жизнеописание перевод Начал
Тауринус
таутохрона
Тейлор Брук вывел закон Мерсенна ряд теорема Ричард
мозаики группы евклидовой плоскости гиперболической плоскости
сферы
тетраэдр рассечение Евклида группа симметрии объем у Евклида
Фалес
Тиэтет
теория уравнений
теория пропорций и иррациональные числа у Евлида
тета-функции
задача трех тел
Терстон
528
Индекс
Тице
мозаичный пол
путешествие во времени
топология алгебраическая и двойная периодичность и групп те-
теория и правильные многогранники комбинаторные структуры общая
геометрическая в Эрлангенской программе комплексных кривых по-
поверхностей
Торричелли и логарифмическая спираль бесконечное твердое тело
кручение
тор и кубические кривые и эллиптические функции и спирические
сечения как пространство классов эквивалентности построенные скле-
склеиванием евклидова геометрия фундаментальный многоугольник инте-
интегрирование на неограничивающие кривые
трактриса свойство постоянной касательной эвольвента к цепной
линии параметрические уравнения
траектория
трансцендентность Кантора доказательство е тг
трансцендентный кривая функция число
преобразования у Мёбиуса проективные
перенос
транспозиция
тригонометрический ряд
трисекция и кубические уравнения
Тьюринг машина универсальная неразрешимость задачи об оста-
остановке
Учело
Улам
несчетность порядковых чисел
униформизация
однозначное разделение на простые множители и Гаусс и квадра-
квадраты не выполняется в 1\\[—5] не выполняется в 2[?гз] невыполнение,
увиденное Куммером гауссовых целых чисел
неразрешимость в диофантовых уравнениях в групп теории в ло-
логике в топологии
ван дер Варден
ван Гейрэт
ван Ромен
Вандермонд
точка схода
Индекс
529
вектор сложение и гиперкомплексные числа анализ и кватернионы
пространство базис размерность
колеблющаяся струна
Венский кружок
Виет и Диофант криптография формула для cos пв Genesis triangulon
жизнеописание произведения формула решение кубического уравнения
Витали
Витрувий
объем шара тетраэдра у Евклида
фон Нейман
фон Штаудт
Вахтер
Валлис и комплексные числа Arithmetica infinitorum арифметизи-
ровал геометрию криптография формула бесконечного произведения
жизнеописание произведение
Ванцель и \pi
волновое уравнение
Вебер
Вейерштрасс теорема об экстремальном значении теорема о проме-
промежуточном значении р-функция двойная периодичность строгость тео-
теорема комплексных чисел
полное упорядочение
Уайтхед
Уайлз
проблема тождества
Рен
Ксиландр
Ян Хуэй
Зенон и бесконечный ряд парадоксы
Цермело
нулевые делители
дзета-функция Эйлера формула функциональное уравнение Ри-
ман тривиальные нули значения, найденные Эйлером
Цейтен
Чжу Ши-цзе
Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через
наш Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,
тел.: 332^18-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).
2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414, тел. 135-54-37.
3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж).
4. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
«Виблиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г.Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Стиллвелл Джон
Математика и ее история
Дизайнер
Технический редактор
Компьютерный набор и верстка
Корректор
Подписано в печать 01.06.2004. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл.печ.л. ???. Уч. изд. л. ????.
Гарнитура ???. Бумага офсетная №1.
Тираж ???? экз. Заказ №
АНО «Институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.
http://rcd.ru E-mail: borisov@rcd.ru
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ОАО «Дом печати-Вятка».
610033, г. Киров, ул. Московская, 122.