Текст
                    .А. РЫБНИКОВ
ИСТОРИЯ
МАТЕМАТИКИ

К.А. РЫБ НИКОВ ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1974
УДК 510(091) (071.1) Первое издание настоящей книги осуществлено Издательством МГУ в двух томах: т. 1, 1960; т. 2, 1963. В настоящем издании пре- следуются те же цели, что и в первом: помочь студентам универ- ситетов и педагогических институтов, а также широким кругам ма- тематиков-специалистов (как преподавателям, так и исследователям), испытывающим необходимость осмыслить с позиций марксизма-ле- нинизма исторический опыт развития своей науки, тенденции и пути формирования современной математики. Общий объем книги не увеличен. В ней тщательно отобран и подвергнут анализу тот материал, на котором наиболее наглядно проявляются закономерности развития математики. Структура книги унифицирована, текст переработан в ряде мест с учетом современ- ных научных достижений в истории науки. Подвергся изменениям и список рекомендованной литературы. Книга рассчитана на студентов университетов и институтов, аспирантов и преподавателей математических специальностей, а также на широкий круг лиц, интересующихся историей науки. Рецензенты: проф. Б. Л. ЛАПТЕВ, проф. А. Б. ШИДЛОВСКИЙ, проф. И. Г. БАШМАКОВА (6) Издательство Московского университета, 1974 г. Р ..20201-039 131_74 077(02)—74
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие .......................................................... 5 Глава 1 Предмет и метод истории математики 1.1. Предмет истории математики....................................... 6 1.2. О материалистическом понимании предмета математики............... 8 1.3. Роль практики в развитии математики.............................. 9 1.4. Связь математики с другими науками................................Ю 1.5. О диалектическом характере законов развития математики .... 12 1.6. О воздействии социально-экономического строя общества на развитие математики............................................................13 1.7. Главнейшие периоды в истории математики..........................14 1.8. Роль истории математики в системе подготовки математиков-специа- листов ...............................................................16 Глава 2 Процесс формирования математических представлений 2.1. Возникновение первых математических понятий( и методов ... 18 2.2. Математика древнего Египта ......................................21 2.3. Математика древнего Вавилона .................................. 25 2.4. Математика древнего Китая........................................28 2.5. Математика древней Индии.........................................40 Глава 3 Формирование первых математических теорий 3.1. Первые математические теории в древней Греции ...... 46 3.2. Аксиоматическое построение математики в эпоху эллинизма ... 59 3.3. Инфинитезимальные методы в древней Греции •......................67 3.4. Математические теории и методы поздней античности .... 80 Г л а в а 4 Развитие элементарной математики 4.1. Общие замечания о периоде элементарной математики .... 96 4.2. О математике народов Средней Азии и Ближнего Востока .... 97 4.3. Математика в Европе в средние века и в эпоху Возрождения . . 106 4.4. Дальнейшее развитие элементарной математики.....................125 Глава 5 Процесс создания математики переменных величин 5.1. Начало периода математики переменных величин....................138 5.2. Возникновение аналитической геометрии...........................140 5.3. Накопление интеграционных и дифференциальных методов . . . 151 5.4. Появление анализа бесконечно малых..............................171 Глава 6 Развитие основных частей математики в XVIII веке 6.1. Об условиях и особенностях развития математики в XVIII в. . . 187 6.2. Преобразование основ анализа бесконечно малых...................198
6.3. Развитие аппарата математического анализа........................221 6.4. Создание вариационного исчисления................................247 6.5. Развитие геометрии...............................................261 6.6. Создание предпосылок современной алгебры и теории чисел . . 283 6.7. Развитие теории вероятностей и комбинаторного анализа .... 306 Г л а в а 7 Начало периода современной математики 7.1. О характере развития математики в XIX в........................309 7.2. Возникновение основных понятий современной алгебры . . . . 311 7.3. Перестройка основ математического анализа......................327 7.4. Развитие аппарата и приложений математического анализа . . . 344 7.5. Создание теории функций комплексного переменного...............367 7.6. Преобразование геометрии.......................................393 Глава 8 Математика в России ..........................410 Заключение.......................................................... 444 Список литературы . •.................................................446 Именной указатель.....................................................450
ПРЕДИСЛОВИЕ Изучение истории науки, ее методологических основ составляет важную часть подготовки специалистов в высших учебных заведе- ниях. Общепризнано, что незнание опыта развития науки, неуме- ние его анализировать делают исследователя беспомощным перед задачами будущего. Эти соображения определяют задачу настоящей книги: помочь студентам математических.специальностей универси- тетов и педагогических институтов, а также широким кругам мате- матиков-специалистов, осмыслить с марксистско-ленинских позиций исторический опыт своей науки, движущие силы и пути ее развития. Первое издание книги опубликовано в Издательстве МГУ в двух томах. При подготовке к настоящему изданию оба тома сведены в один, а структура и изложение унифицированы. В книге тщатель- но отобран и кратко проанализирован тот материал, на примере которого наиболее наглядно проявляются закономерности развития математики. Необходимые изменения внесены в текст и список ре- комендованной литературы. Автор надеется, что указанные усовер- шенствования сделали книгу еще более полезной делу идейного воспитания математиков-специалистов и повышению уровня их науч- ной подготовки. Профессор Казанского государственного университета Б. Л. Лап- тев прочитал рукопись этого издания и своими замечаниями ока- зал автору неоценимую услугу. Дружеское участие коллег, работающих вместе с автором в научно-исследовательском семи- наре МГУ по истории математики и механики, принесло несом- ненную пользу при подготовке книги к печати. Автор благодарен 3. А. Кузичевой за активное участие и большую помощь в издании книги.
Глава 1 ПРЕДМЕТ И МЕТОД ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Настоящая глава'— вводная. Ее цель — разъяснить ряд ис- ходных положений, необходимых для лучшего понимания научных проблем истории математики. Опыт показывает, что когда изложе- ние начинается с четкой постановки вопросов принципиального характера, легче составить целостное представление о математику, ее современном состоянии, путях развития и о месте математики в системе научного знания человечества. Разумеется, подлинное понимание предмета истории математики, равно как и предмета другой науки, не исчерпывается знанием соответствующих опреде- лений. Оно пополняется и совершенствуется по мере обогащения фактического состава знания. Из-за ограниченности объема книги мы рассматриваем срав- нительно неширокий круг вопросов, а связанные с. этим разъясне- ния делаем по возможности краткими. Формулируемые при этом утверждения не претендуют на полноту аргументации. 1.1. ПРЕДМЕТ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Все отрасли математики, какими бы разными они ни каза- лись, объединены общностью предмета. Этим предметом являются, по определению Ф. Энгельса, количественные отношения и прост- ранственные формы действительного мира. Различные математи- ческие науки имеют дело с частными, отдельными видами этих 6
количественных отношений и пространственных форм или же вы- деляются своеобразием своих методов. Состав математики, как и всякой другой науки, следующий: а) факты, накопленные в ходе ее развития; . б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предпо- ложения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом; в) результаты обобщения фактического материала, выражен-. ные в математических, в данном случае, теориях и законах; г) методология математики, т. е. общетеоретические истолкования математических законов и теорий, характеризующие общий подход к изучению предмета математики. Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в раз- витии. Выяснение того, как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет, и является предметом истории математики, одной из математических дисциплин. История математики есть наука об объективных законах развития математики. В соответствии с этим на историю математики возлагается решение большого круга задач. Нет возможности и необходимости их перечислять. Целесообразнее здесь дать лишь суммарные ха- рактеристики направлений историко-математических исследований. Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как возникли математи- ческие методы, понятия и идеи, как исторически складывались отдельные математические теории. Выясняются характер и особен- ности развития математики у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад, внесенный в математику великими учеными прошлого, и в первую очередь отечественными учеными. Во-вторых, историко-математические работы раскрывают мно- гообразные связи математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной структуры об- щества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) на содержание и характер развития математики, роль народа, лич- ности ученых и коллективов ученых и т. п. В-третьих, историко-математические исследования вскрывают историческую обусловленность логической структуры современной математики, диалектику ее развития, помогают правильно понять соотношение частей математики и до известной степени ее перс- пективы. Разумеется, изучение истории математики может быть плодо- творным, только если исследования проводятся на основе марк- систско-ленинской науки методом диалектического материализма, с полным знанием специального содержания изучаемых вопросов. История математики, как это следует из данного выше опре- деления ее предмета, имеет дело со всем составом данной науки, 7
со всеми областями математики и с большим количеством других наук. Это обстоятельство подчеркивает трудность задач истории математики и своеобразие методов историко-научного исследо- вания. 1.2. О МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОМ ПОНИМАНИИ ПРЕДМЕТА МАТЕМАТИКИ Как мы указали выше, объектами математического исследова1 ния являются количественные отношения и пространственные фор- мы действительного мира. Эти объекты математики не представ- ляют непосредственно данной реальности. Они являются плодом • абстракции. Чтобы исследовать средствами математики какой- либо предмет или явление, необходимо отвлечься от всех качест- венных особенностей его, кроме тех, которые непосредственно характеризуют количество или форму. В ходе развития математики рассматриваются все более абст- рактные объекты, входящие в класс количественных отношении и пространственных форм. В современных математических теориях эти формы и отношения часто предстают в весьма рафинирован- ном, отвлеченном виде. В них говорится о множествах элементов, свойства которых и правила оперирования с которыми задаются с помощью системы аксиом. Абстрактность предмета математики иногда воспринимается как исходный, самодовлеющий элемент в ее содержании. В таких случаях элементы исследуемых множеств представляются прин- ципиально отделенными от вещей действительного мира, а си- стемы аксиом, определений и операций оказываются вводимыми по произволу. Это ведет к различным разновидностям идеали- стических заблуждений, отрицательно влияющих на развитие математики. Необходимо научиться избегать подобных заблуждений. «Честно-наивного», основанного на интуиции, причисления себя к материалистам недостаточно. В. И. Ленин писал, что «...без солидного философского обоснования никакие естественные науки, никакой материализм не может выдержать борьбы против натиска буржуазных идей и восстановления буржуазного миросозер- цания» Ч Знание истории науки способствует выработке материалисти- ческого мировоззрения ученых. История показывает, что главным, определяющим в развитии даже такой абстрактной науки, как ма- тематика, являются запросы материальной действительности. ' Абстрактность предмета математики лишь затушевывает проис- хождение (зачастую сложное, многоступенчатое, опосредованное) всех понятий математики из материальной действительности, не ни в коем случае не отменяет его. История показывает, что запас 1 В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т. 45, стр. 29—30. 8
количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, постоянно расширяется в неразрывной связи с за- просами техники и естествознания, наполняя все более богатым содержанием общее определение математики. Правильное материалистическое понимание предмета матема- тики и знание ее истории — необходимое условие глубокого пони- мания подлинного места этой науки в трудовой и общественной деятельности людей, залог умения находить свое место в общей работе, понимать связь содержания своей работы с общими зада- чами, мировоззрением Коммунистической партии Советского Сою- за и борьбой за построение коммунизма. 1.3. РОЛЬ ПРАКТИКИ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ Математика — одна из самых древних наук. Математические * познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии раз- вития под влиянием даже самой несовершенной трудовой дея- тельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и разрасталась совокупность факторов, влияющих на развитие ма- тематики. Со времени возникновения математики, как особой науки со своим собственным предметом наибольшее влияние на формиро- вание новых понятий и методов математики оказывало математи- ческое естествознание. Под математическим естествознанием мы понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной сту- пени развития оказывается возможным приложение математиче- ских методов. На прогресс математики ранее других наук оказали влияние астрономия, механика, физика. Непосредственное воздействие задач математического естест- вознания на развитие математики можно проследить на протяже- нии всей ее истории. Так, например, дифференциальное и интег- ральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полино- мов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским академиком П. Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими геодезическими работами, проводившимися под руководством К. Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственньпм влияни- ем запросов новых областей техники получают бурное развитие многие области математики: комбинаторный анализ, методы при- ближенного решения дифференциальных и интегральных урав- нений, теория конечных групп и т. д. Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно в отношении любой области математики. Все они показывают, что математика возникла из трудовой деятельности людей и форму- лировала новые понятия и методы в основном под влиянием мате- матического естествознания. 9
Выход математики в естествознание происходит в результате приложения существующих математических теорий к практиче- ским проблемам и разработки новых методов их решения. Вопрос о приложимости к практике той или иной математической теории не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его решения проходят зачастую годы и десятилетия. В качестве при- мера возьмем теорию групп. Теория групп ведет свое начало от рассмотрения Лагранжем групп подстановок корней алгебраических уравнений в связи с проблемой разрешимости их в радикалах. Э. Галуа при помощи теории групп подстановок дал ответ на вопрос об условиях раз- решимости в радикалах алгебраического уравнения любой степени. В дальнейшем, в середине XIX в., в трудах А. Кэли сформирова- лось общее абстрактное определение группы. Позднее С. Ли раз- работал теорию непрерывных групп. Однако практическое приме- нение теория групп начала получать только с конца XIX в. В 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров приложил теорию групп к кристаллографии: он решил с помощью этой теории задачу классификации всевозможных кристаллических пространственных решеток. Позднее теория групп стала мощным средством исследо- вания в квантовой физике. В свою очередь практика, и в частности техника, входит в математику как незаменимое вспомогательное средство научного исследования, во многом меняющее лицо математики. Электрон- ные вычислительные устройства открыли неограниченные возмож- ности для расширения класса задач, решаемых средствами мате- матики, и изменили соотношение между методами нахождения точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспо- могательный характер. Никакая, даже самая совершенная вычис- лительная электронная машина не может приобрести всех свойств мыслящей материи — человеческого мозга, и существенно заме- нить его. Утверждения, в изобилии встречающиеся в иностранной литературе определенного профиля, об изобретении различных «электронных мозгов», способных якобы полностью заменить труд так называемых «интеллигентных рабочих», используются для устрашения трудящихся и эксплуатируемых людей и еще большего подчинения их. 1.4. СВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ С ДРУГИМИ НАУКАМИ Область приложений математики постоянно расширяется. Это- * му расширению невозможно установить предел. Рост приложений есть одно из свидетельств наличия и укрепления связей матема- тики с другими науками. Математика не только развивается под воздействием других наук. Она в свою очередь внедряет в другие науки математические методы исследования. Это обстоятельство дало повод некоторым 10
иностранным ученым называть математику «королевой и служан- кой всех наук», оттеняя тем самым своеобразное положение ма- тематики среди других наук. Применение математических методов в естествознании имеет две стороны: а) выделение математической задачи, приближенно соответ- ствующей явлению или процессу, т. е. модели, и нахождение мето- да ее решения; б) разработку новых математических форм, так как неизбеж- но выявляется несовершенство, приблизительность построенной математической модели. _ История математики изобилует примерами поисков универ- сальных математических методов, дающих возможность решать все или большинство поставленных задач. Едва ли не каждый крупный успех математики порождал подобные стремления. Фак- ты истории убеждают в отсутствии такого универсального метода и учат правильному применению математических методов в соот- ветствии с качественным своеобразием изучаемых явлений и про- цессов. Наиболее полно математические методы применяются в меха- нике и в небесной механике — науках, предмет которых в высокой степени абстрагирован от совокупности факторов, определяющих изучаемое явление. Широкие применения находят математические методы в физике, где нередко наибольшие трудности представля- ют правильная постановка задачи и интерпретация полученных результатов. Биологические науки еще существенно ограничивают возможности приложения математических методов из-за большого качественного своеобразия и невыясненности объектов изучения. Наименьшую приложимость методы математики имеют сейчас в общественных науках, где в основном кроме элементарных упот- ребляются вероятностно-статистические методы. За последние годы достигнуты значительные успехи в разви- тии кибернетики, вычислительной техники и в служащей для них теоретической основой дискретной математике. Вследствие этого возросла роль математики в экономике, системах управления, пси- хологии и во многих других областях науки, традиционно считав- шихся далеко отстоявшими от математики. С каждым годом расширяется область применения математи- ческих методов в науке и практической деятельности людей. Однако неравномерный характер проникновения математики в различные области науки и в практику остается неизменным. Как и во все времена, прогресс в этом зависит от возможностей абст- рагирования объекта изучения, от выделения логической схемы абстрактных понятий, более или менее точно отражающих реаль- ное содержание рассматриваемых процессов и явлений. Следует отметить, что в США и других капиталистических странах нередки случаи псевдонаучного использования математи- ки в целях «доказательства» незыблемости буржуазно-капитали- 11
стических порядков, правомерности и извечности системы угнете- ния трудящихся. 1.5. О ДИАЛЕКТИЧЕСКОМ ХАРАКТЕРЕ ЗАКОНОВ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ Студенты высших учебных заведений нашей страны изучают диалектический материализм — философское учение марксизма- ленинизма, дающее метод- наиболее правильного и полного пони- мания законов действительности. История науки обнаруживает на конкретном материале данной науки проявления общих законов развития и их Диалектический характер. При условии тесного со- трудничества и координации деятельности в коллективе высшего учебного заведения создаются благоприятные условия для одно- временной работы в двух направлениях: а) в ходе занятий математикой и ее историей прослеживать законы диалектического развития этой науки; б) при изучении диалектического материализма находить своеобразные конкретные формы общих законов, давать интерпре- тации, приводить примеры и упражнения математического харак- тера. Математика как наука является одной из форм общественного сознания людей. Поэтому, несмотря на известное качественное своеобразие, законы, управляющие ее развитием, в основном — общие для всех форм общественного сознания. Представляется неуместным пытаться охватить в настоящей главе все или большую часть проблем, которые ставит диалекти- ческий материализм. Ограничимся лишь тем, что приведем неко- торые соображения в поддержку тезиса о диалектическом харак- тере развития нашей науки. Развитие математики не есть плавный процесс постепенного и непрерывного развития математических истин; развитие в действительности происходит в ожесточенной борьбе нового со старым. История математики изобилует приме- рами, когда эта борьба проявляется особенно сильно, когда новое неодолимо побеждает, несмотря на неудачи и даже гибель творцов науки. Приведем несколько примеров. Наука о природе, в том числе математика, всегда испытывала противодействие религиозно на- строенных кругов. Это противодействие было иногда настолько сильным, что значительно затрудняло и задерживало рост науки. Наука многим обязана героизму известных и безвестных ученых времен Римской империи и средних веков, продвигавших науку * вперед ценой собственной жизни. В XVII в. анализ бесконечно малых, едва появившись в тру- дах Лейбница и Ньютона и их последователей, подвергся ожесто- ченной критике, тон которой задал известный епископ Беркли. Борьба вокруг основных понятий математического анализа, в част- ности вокруг понятия предела, происходила в течение всей истории 12
этой научной дисциплины. Эта борьба не утихла, как принято ду- мать, с появлением работ Коши в первой трети, XIX в., а разгоре- лась с новой силой. Построение основ анализа на базе теории пределов получило всеобщее признание только к самому концу прошлого века. Основы неевклидовой геометрии стали известны с 1826 г. бла- годаря трудам гениального русского ученого Н. И. Лобачевского. Однако признание и дальнейшее развитие эта наука получила лишь к концу XIX в. после длительной борьбы. По существу соз- данные неевклидовы геометрии смогли развиваться лишь тогда, когда после возникновения теории относительности они сделались частью математической основы физических исследований о реаль- ной природе пространственно-временного континуума. Геометриче- ские методы исследования абстрактных многомерных и бесконеч- номерных пространств, использующие выражения процессов в фазовых пространствах, стали необходимыми в физике. И в наше время во всех областях математики происходит борьба передовых и реакционных тенденций. В условиях социали- стического общества математика развивается в атмосфере борьбы мнений, научной критики, которые всемерно поощряются. 1.6. О ВОЗДЕЙСТВИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО СТРОЯ ОБЩЕСТВА НА РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ Математика как система знаний о количественных отношени- ях и пространственных формах действительного мира склады- вается на основе общественной практики людей. В числе проблем, изучаемых историей математики, видное место занимают пробле- мы воздействия социального строя общества на развитие матема- тики, отношения к ней различных классов и т. п. В истории математики эти вопросы рассматриваются примени- тельно к различным общественным формациям. Здесь же мы остановимся на характеристике своеобразия развития математики, обусловливаемого особенностями социальной структуры современ- ного общества. Мы живем в эпоху, когда социализм, ставший мировой систе- мой самого прогрессивного и справедливого способа производства и общественных отношений, продолжает свое победоносное раз- витие. Ему противостоит лагерь стран, где интересы производства и общества подчинены интересам групп собственников-капи- талистов. Научно-исследовательские учреждения и лаборатории капита- листических стран в массе своей представляют типичные капита- листические предприятия, целиком стоящие под контролем моно- полий. Над этими учреждениями властвуют интересы получения собственниками наибольшей прибыли, требования агрессивных кругов разрабатывать средства борьбы против сил мира и социа- лизма. Это предопределяет односторонний, уродливый характер 13
развития наук, в том числе и математики. Последней в таком слу- чае навязывается роль служанки капитала, орудия капиталисти- ческой эксплуатации, орудия агрессии. Научная мысль при этом периодически испытывает кризисы, проистекающие из несоответствия между объективными законо- мерностями науки и идеалистическими предпосылками мышления. В числе математических работ, зачастую весьма ценных и значи- тельных по содержанию, встречается и большое число таких, ко- торые имеют своей целью апологетику капиталистических отно- шений и идеализма. Математика капиталистического мира как бы обволакивается слоем идеалистических измышлений, складываю- щихся в многочисленные направления и школы (конвенционализм, номинализм и т. д.), имеющих целью доказать, что законы разви- тия математики не имеют объективного характера. В Советском Союзе и в других странах социалистического лагеря математика, как и все другие науки, развивается на нача- лах плановости, в соответствии с развитием производительных сил общества. Социалистические производственные отношения обеспечивают возможность всенародного доступа к математическо- му образованию и научным исследованиям. Исследования прово- дятся на базе идей марксизма-ленинизма под руководством Ком- мунистической партии Советского Союза. Все это создает исклю- чительно благоприятные условия для быстрого и гармоничного роста математики в СССР. В короткий срок советские математики внесли большой и оригинальный вклад во все отделы математики, добились ведущей роли советской математики во многих основ- ных разделах. Достижения математики в СССР, имеющие прак- тическое применение, используются на благо народа. 1.7. ГЛАВНЕЙШИЕ ПЕРИОДЫ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В истории математики можно различить отдельные периоды, отличающиеся друг от друга рядом характерных особенностей. Периодизация необходима, чтобы легче было разобраться во всем богатстве фактов исторического развития математики. Существу- ет много попыток периодизации истории математики. Периодиза- ция проводится по странам, по социально-экономическим форма- циям, по выдающимся открытиям, определившим на известное время характер развития математики, и т. п. Споры о периодиза- ции нескончаемы. Однако, по нашему мнению, роль периодизации чисто вспомогательная и определяется нуждами основной цели: раскрытия законов объективного развития математики. В настоящей книге мы придерживаемся периодизации, уста- новленной А. Н. Колмогоровым4. Эта периодизация представляет- ся нам наиболее точной потому, что в ее основу положена оценка содержания математики: ее важнейших методов, идей и резуль- 1 См. А. Н. Колмогоров. Математика. БСЭ, т. 26. 14
татов. В истории математики А. Н. Колмогоров различает следую- щие периоды: а) Зарождение математики. Этот период продолжает- ся до VI—V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный пред- мет и методы. Начало периода теряется в глубине истории перво- бытного человечества. Характерным для этого периода является накопление фактического материала математики в рамках общей неразделенной науки. б) Период элементарной математики продол- жается от VI—V вв. до н. э. до XVI в. н. э. включительно. В этот период были достигнуты успехи в изучении постоянных величин. Некоторое представление об этих достижениях может дать мате- матика, изучаемая ныне в средней школе. Период заканчивается, когда главным объектом задач математики делаются процессы, движения и начинают развиваться аналитическая геометрия и анализ бесконечно малых. Понятие элементарной математики спорно, и в настоящее время не существует его общепризнанного определения, однако выделение во времени такого периода пред- ставляется вполне оправданным. в) Период создания математики переменных величин. Начало этого периода знаменуется введением пере- менных величин в аналитической геометрии Декарта и созданием дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Нью- тона и Г. В. Лейбница. Конец периода относится к середине XIX в., когда в математике произошли те изменения, которые привели к современному ее состоянию. В течение этого бурного и богатого событиями периода сложились почти все научные дис- циплины, известные сейчас как классические основы современной математики. _ г) Период современной м а т е м а тй к и. Понятие со- временности в математике, очевидно, постоянно смещается. Веро- ятно, между периодом создания математики переменных величин и современностью уже .можно выделить новый период (или периоды). В историко-математическйх работах это еще не сделано, хотя необходимость в этом, по нашему мнению, уже стала настоя- тельной. В XIX и XX вв. объем пространственных форм и количе- ственных отношений, охватываемых методами математики, чрез- вычайно расширился. Появилось много новых математических теорий, невиданно расширились приложения математики. Содер- жание предмета математики настолько обогатилось, что это при- вело к перестройке и замене совокупности ее важнейших проблем. Наряду с другими первостепенными проблемами необычайное значение приобрели проблемы оснований математики. Под осно- ваниями математики понимается система исторических, логиче- ских и философских проблем и теорий математики. В частности, речь идет о критическом пересмотре системы аксиом математики и совокупности логических приемов математических доказательств. 15
Критический пересмотр имеет целью построение строгой системы оснований математики, соответствующей накопленному передово- му опыту человеческой мысли. С последним, т. е. с накопленным опытом человеческой математической мысли, и знакомит история математики. 1.8. РОЛЬ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ ПОДГОТОВКИ МАТЕМАТИКОВ-СПЕЦИАЛИСТОВ Марксизм-ленинизм учит нас, что весь логический строй лю- бой науки, ее структура, взаимосвязь и даже существование от- дельных областей науки не представляют собой чего-то неизмен- ного. Они являются плодом исторического развития. Больше того, сам логический ход мыслей о науке представляет собой не что иное, как отражение исторического процесса в абстрактной и тео- ретически последовательной форме. Наличие этой особенности развития науки классики марксиз- ма-ленинизма продемонстрировали на конкретных примерах ряда общественных и ёстественных наук, в том числе математики. К. Маркс, например, в своих рукописях по математике близко по- дошел к решению задачи обоснования дифференциального исчис- ления, выявив элементарно-математические корни этого исчисле- ния, прообразы его.понятий и неразвитые формы его зарождаю- щихся методов. Одним из элементов, характеризующих начало научной зре- лости, является стремление охватить изучаемую науку в целом, понять логическую структуру и взаимосвязанность отдельных ма- тематических дисциплин — стремление дополнить знание усвоен- ных научных фактов-знанием законов развития науки и, насколько возможно, ее перспектив. Осознание нер азделимости логического и исторического в ма- тематике вызывает потребность в знании основных фактов исто- рии математики и классических работ, в понимании законов раз- вития математических наук, и исторически сложившегося соответ- ствия отдельных математических дисциплин. Эту потребность возбуждает и поддерживает также пример ведущих ученых мате- матиков. Их деятельность в конкретных областях математики, как правило, сочетается с исследованиями исторических проблем^ . В качестве примера можно указать статью А. Н. Колмогорова «Математика» в 26-м томе Большой Советской Энциклопедии, где самый предмет математики рассматривается в историческом пла- не. Ценные исследования по истории математики опубликовали ’ многие советские; ученые: П. С. Александров, А. Д. Александров, Б. В. Гнеденко, В. В. Голубев, А. И. Маркушевич и др. По суще- ству, нет ни одного творчески работающего ученого, который не занимался бы историей своей науки. Большое внимание уделяется истории математики за рубежом. Ей посвящено множество книг и статей. Не все в них, разумеется, 16
верно. Нередко авторы сочинений по истории науки'"подчиняют свою работу целям, далеким от объективности и научности, и вы- полняют определенные идеологические заказы правящих кругов буржуазного общества. Необходимо уметь отличать такие сочинения, в которых исто- рия науки преподносится в искаженном виде, и судить о них пра- вильно. Необходимо уметь различать, например, в разнообразных формах отрицания объективных закономерностей развития науки вообще, в том числе математики, их идеалистическую и реакци- онную направленность, разгадывать методы дискредитации про- грессивных научных направлений и деятельности прогрессивных ученых. Необходимо научиться бороться со всеми такими явле- ниями. Борьба передовых и реакционных сил в математической науке, являющаяся одной из форм классовой борьбы, наиболее ярко про- является в исторических и философских вопросах математики. Здесь проходит передовая линия одного из участков борьбы за прогресс, за науку, необходимую коммунистическому обществу. Таким образом, изучение истории математики представляется нам важнейшей частью . подготовки математиков-специалистов, необходимой для правильного понимания сущности данной науки и для верного выбора направления и форм своей личной деятель- ности. ' Опыт, в частности опыт Московского университета, показыва- ет, что преподавание истории науки, ее методологических основ, не может быть пущено на самотек. Оно должно быть хорошо орга- низовано как часть идейного воспитания студенчества и научных работников.
Глава 2 ПРОЦЕСС ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 2.1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ И МЕТОДОВ Процесс формирования математических понятий и регулярных приемов решения определенных классов элементарных задач охва- тывает огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероят- ности, относится к далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот' период с появлением качественно новых форм математического мышления, т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содер- жание делаются достаточно богатыми, чтобы образовать логически связанные системы — начальные формы математических теорий. Последние возникают в математике около VI—V вв. до н. э. Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот самый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны. Исследователю приходится привлекать факты общей ис- тории культуры человечества, по преимуществу археологические материалы и историю языка. История математики периода ее за- рождения практически неотделима от общей истории челове- чества. 18
Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей развития общим для всех народов является то, что все основные понятия математики: понятие числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающегося натурального ряда и т. д. — возникли из прак- тики и прошли длинный путь совершенствования. Например, понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т. д. Следы этого сохранились в названии математических исчислений: напри- мер, calculus в переводе с латинского означает счет камешками. Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел был конечен и удлинялся лишь постепенно. Сознание неограниченной продолжимости натурально- го ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры. Наряду с употреблением все больших и больших чисел возни- кали и развивались их символы, а сами числа образовывали систе- мы. Для ранних периодов истории материальной культуры харак- терно разнообразие числовых систем. Постепенно совершенствова- лись и унифицировались системы счисления. Употребляемая ныне во всех странах десятичная* позиционная система нумерации — итог длительного исторического развития. Ей предшествовали: 1. Различные иероглифические непозиционные системы. В каж- дой из них строится система так называемых узловых чисел (чаще всего 1, 10, 100, 1000,...). Каждое такое число имеет индивидуаль- ный символ — иероглиф. Остальные числа (их называют алгорит- мическими) образуются приписыванием с той или другой стороны, узлового числа других узловых чисел и повторением их. Примера- ми таких систем являются египетская, финикийская, пальмирская, критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитай- ская, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М, построенную по десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы. 2. Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы ал- фавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличи- тельный знак, указывающий, что она используется как число. В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются допол- нительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной систе- мы — греческая ионическая (древнейшая сохранившаяся запись, сделанная по этой системе, относится к V в. до н. э.): а р Y $ 8 g £т]9 (дигамма) 1 2 3 4 5 6 i х X р, v ? 10 20 30 40 50 60 7 8 9 о л q (коппа) 70 80 90 19
роттэфХ i|> <в Э (сампи) НЮ 200 300 400 500 600 700 800 900 Запись чисел по этой системе ясна из примера: и|лб = 444. Что- бы записать числа, большие тысячи, необходимо усложнять знаки, например: ,0=1000, ,0=2000 и т. д. Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако они малопригодны для оперирования с большими числами и тре- буют больших усилий для запоминания. Примерами алфавитной системы кроме приведенной являются древнеславянская (кирил- лица и глаголица), еврейская; арабская, грузинская,. армянская и др. 3. Позиционные недесятичные, а затем десятичная система. К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская, индейская (племени майя на полуострове Юкатан), индийская, современная двоичная. Записи в позиционной десятичной системе с нулем впервые появились около 500 г. до н. э. в Индии. В результате длительного исторического развития из повсе- дневной практической деятельности людей сформировались другие математические понятия: площади, объемы и другие абстракции пространственных свойств предметов. Накопление знаний как численно-арифметического, так и гео- метрического характера создало следующие предпосылки для формирования математических теорий: а) возможность предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изобра- жениями и наименованиями (символами). На более поздней сту- пени это привело к развитию числовых систем и геометрических построений; б) умение заменять конкретную задачу канонической задачей более общего вида, решаемой по определенным правилам, охва- тывающим целую совокупность частных случаев. Речь идет о пер- вичных формах создания общих алгоритмов и связанных с ними математических исчислений. Когда указанные предпосылки оказываются действующими в заметных масштабах, а в обществе образуется прослойка людей, умеющих пользоваться определенной совокупностью математиче- ских приемов, тогда появляются основания говорить о начале су- ществования математики как науки, о наличии ее элементов. Рассмотрим конкретно ранние стадии формирования матема- тики на примере сохранившихся памятников математической куль- туры древних египтян, вавилонян, китайцев и индийцев. 20
2.2. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА Наши познания о древнеегипетской математике основаны .главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших отрывках. Один из больших папирусов называется математическим папирусом Ринда (по име- ни обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он при- близительно 5,5 м длины и 0,32 м ширины. Другой большой папи- рус, почти такой же длины и 8 см ширины, находится в Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерг но к 2000 г. до н. э. Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, тре- / ( 8 Л2 угольника, трапеции и круга (последняя равна 1 — a j • что с00т‘ ветствует грубому приближению л=3,1605...), объемы параллеле- пипеда; цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находит- ся сумма геометрической прогрессии. В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большин- ство их такого же типа, как и в папирусе Ринда. Кроме того, в одной из задач (№ 14) правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) со- держится самый ранний в математике пример определения площа- ди кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания. При изучении содержания математических папирусов обнару- живается следующий уровень математических знаний древних египтян. Ко времени написания этих документов уже сложилась опре- деленная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида 10fe (6=0, 1, 2, ..., 7) установлены индивиду- альные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комби- нациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справ- лялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли еди- ницы. В силу этого представления употреблялись лишь дроби аликвотные Гвида —и некоторые индивидуальные, как, напри- \ nJ 2 3 мер, — и —. Все результаты, которые должны были выражать- ся дробями вида выражались суммой аликвотных дробей. Для облегчения этих операций были составлены специальные таб- лицы, например таблица чисел вида — (п = 3, ... , 101). Инте- п 21
Папирус Ринда (Британский музей: факсимиле листов X, XI, XIII, XIV, XV)
ресно отметить, что в этой таблице подбор слагаемых неоднозна- чен. Таблицы, по-видимому, составлялись в течение долгого времени, складывались постепенно и в дошедшем до нас виде представляют просто сводку достигнутых результатов. Кстати, 2 1 ‘ 1 «тривиальное» разложение — =-------1--никогда не встречается, п п п вероятно, из-за своей очевидности или устойчивой традиции. Сложились также определенные приемы производства мате- матических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является ее аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению. Совместно с примитивным пониманием дроби только как части единицы эта особенность обусловила своеобразный характер вычислений. При умножении, например, преимущественно используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и склады- вания подходящих частных произведений (отмечены звездочкой) (12-12) 1 12 2 24 *4 48 *8 96 ' Вместе 144 A_L_L.i(A . 3 5 30 / 1 JL_L з 5 зо *2 1 А 1 1 3 10 30 4 3 А — 2 10 *8 7 А ____________5 о о 2 1 1 1_п Вместе 8--------------или 9. з 5 ю зо При делении также используется процедура удвоения и после- довательного деления пополам. Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблю- дается самое большое разнообразие приемов. Так, иногда в каче- стве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т. п.: 23
(19:8) 1 8 (16:3) *1 3 (4:15) 1 15 *2 16 2 6 1 1 1 1 1 10 2 4 *4 12 2 * —L 3 *_L 2 — 2 5 4 3 * L 1 1 1 15 * _ 1 * 1 8 3 т. е. 19:8 = 2 1 1 т. е. 16:3 = 5 — т. е. 4:15 = 1 1 4 8 ’ 3 5 15 * Кроме этих примеров приведем еще пример одной из задач: «Сало. Годовой сбор 10 беша. Какой ежегодный сбор? Обрати 10 беша в ро. Это будет 3200. Обрати год в дни. Это будет 365. Раздели 3200 на 365. Это 8 —5--------------—. Обрати. Это 3 10 2190 F 1 2 1 1 л — беша и 81± 1 — ро. Делай, как делается»: 10 3 2190 64 3 10 2190 1 365 2 243 — 3 3 2 730 1 36 — 10 2 4 1460 1 1 2190 6 8 2920 1 2190' 9 1 Вместе 8--------- 3 ю постепенно подбирается частное. Первый В левом столбце результат: 8 дает разницу между истинным и частичным делимым: 3200—2920 = 280. Сомножитель — дает: 365--|-= 243Еще 3 3 3 2 1 до 280 не хватает 36 — . Очередной подбор — дает уже разницу о 10 1 / 2 1 1 \ в — ( так как 36 — — 36— = — ). Остается только подобрать 6 \ 3 2 6/ число, которое, будучи умножено на 365, дало бы —. Это . Таким образом, частное отыскивается постепенным подбором, для которого еще нет единого метода. Часто встречается операция, называемая хау («куча»), соот- ветствующая решению линейного уравнения вида ах + Ьх + ... + сх = а. 24
При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтя- не использовали умножение их на вспомогательные числа. Спосо- бы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приеме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом еще спорны и не подтверждены доста- точным количеством фактов. Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверж- дать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы еще только начи- нают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы реше- ния задач не единообразны. Однако материалов, которые позво- ляли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще не- достаточно. Мы использовали их поэтому лишь как один из при- меров того, в какое время и в какой форме начинает складывать- ся математическая наука. 2.3. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВАВИЛОНА Другим примером того же рода может служить математиче- ское наследие древнего Вавилона. Это название обычно распрост- раняется на совокупность государств, располагавшихся в между- речье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до 200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек с клинописными записями. Однако табличек с текстами математи- ческого содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста — около 200. Вавилонская система математических символов имеет два основных элемента: клин V с числовым значением 1 и крючок <] с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно запи- сать числа от 1 до 59. Любое число записывается слева направо по принципу W—ao6Oo+ai6O1+a26O2+.... Таким образом система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Однако эта систе- ма не имеет нуля, а один и тот же знак «клина» может обозначать не только единицу, но любое число вида 60±ft (k — натуральное число). Различать числа, написанные в такой системе (она назы- вается неабсолютной), можно лишь исходя из условий задачи. Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметичееких действий как с целыми числами, так и с дробями. Для облегче- ния действий существовали таблицы умножения (от Ы до 60-60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений (так как b: а = b • —. \ а ) 25
Древневавилонский клинописный текст ВМ 85194. Изобра- женная сторона таблицы содержит 16 задач с решениями. Задачи относятся к плотинам, валам, колодцам, водяным часам и земельным работам. Четвертая задача, снабженная чертежом, относится к круговому валу. 14-я задача рас- сматривает усеченный конус. Объем его определяется ум- ножением высоты на полусумму площадей верхнего и ниж- него оснований
Кроме указанных таблиц вавилоняне использовали таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (таблицы квадратных корней), таблицы чисел вида п3+п2 и т. д. В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов за долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов, посвященных решению задач, которые с со- временной точки зрения сводятся к уравне- , ниям 1-й, и 2-й и даже 3-й степени. ---%— Б. Л. ван дер Варден в своей книге / /X «Пробуждающаяся наука» классифициро- / Г вал все приемы решения задач в вавилон- / ь / / ских табличках. Он пришел к выводу, что / г—i------\ / эти приемы эквивалентны приемам решения // А \ / следующих десяти видов уравнений и их у । \/ систем: а ' а) уравнения с одним неизвестным: ах=&, х2 = а; х2±ах=Ь\ х3=а; х2(х+ Рис- 1 +1) = d; б) системы уравнений с двумя неизвестными: х±у = а, ху = Ь\ х±у = а, х2+у2 = Ь. Кроме того, вавилонянам были известны: суммирование ариф- метических прогрессий; суммы вида Наконец, в 1945 г. Нейгебауер и Сакс опубликовали расшифровку чрезвычайно интересной таблички, хранящейся в библиотеке Ко- лумбийского университета (США). В ней оказался перечень пря- моугольных треугольников с рациональными сторонами, т. е. троек пифагоровых чисел x2 + y2 = z2. Реконструкция метода их под- бора приводит, по-видимому, к формулам: х=р2—q2\ y = 2p'q\ z = p2+q2, известным в теории чисел как диофантовы. Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встреча- ются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений. В основном, впрочем, они тоже состояли из вычислений площадей и объемов прямолинейных фигур, обычных для элементарной гео- метрии. Площадь круга вычислялась по формуле S = —- (с — длина окружности), откуда получалось плохое еще приближение: л = 3. Имелись также и способы приблизительного вычисления объемов, основанные на своеобразном усреднении размеров 27
(см. рис. 1). Например, объем неравностороннего вала вычис- ляется по формуле у = — ( Д~Ь । giЧ~\ e /j-fr-fei 2 \ 2 ' 2 J’ 2 Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгорит- мичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Ва- вилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкрет- ных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки матема- тических достижений вавилонян. Вавилонские математические традиции распространились на сопредельные государства Ближнего Востока и могут быть про- слежены в них вплоть до эпохи эллинизма (ок. 330 г. — ок. 30 г. до н. э.). Итак, к середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились такие условия, что мате- матика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, были выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее основные понятия и предложения, и форма этого выделения оказа- лась достаточно общей и абстрактной для введения логических доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наи- большей- силой определилась в античной Греции к VI—V вв. до н. э. Приведенные примеры показывают, как в разных странах происходил процесс накопления большого конкретного математи- ческого материала в виде приемов арифметических действий, спо- собов определения площадей и объемов, методы решения некото- ~рых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно такой же процесс накопления математических знаний происходил в Китае и в Индии. 2.4. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО КИТАЯ Развитие научных знаний в Китае имеет многовековую бога- тую историю; установлено также и раннее оригинальное развитие китайской математики. Однако до сих пор не преодолена разроз- ненность и скудность достоверной научной информации о матема- тических познаниях китайцев в древности. По утверждению китайского историка математика Ли Яня, математические познания китайцев восходят к XIV в. до н. э. В истории математики древнего Китая имеются сведения о деся- тичной системе счета, специальной иероглифической символике чисел, об оперировании большими числами, наличии вспомогатель- ных счетных устройств (узелки, счетная доска), об оперировании циркулем, линейкой и угольником и т. д. 28
Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата о чжоу-би (солнечных часах), является «Математика в девяти книгах», иногда называемая «Математикой в девяти гла- вах», или разделах. Это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Есть сведения, что оно было составлено выдающимся государственным деятелем и ученым Чжан Цаном (152 г. до н. э.), собравшим и си- стематизировавшим все известные к его времени математические знания. «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась переработкам и дополнениям: в I в. до н. э. (Гэн Чоу-чан), в III в. н. э. (Лю Хуэй), в VI в. (Чжень Луань), в VII в. (Ли Чунь-фен) и др. В результате этих переработок «Математика в девяти книгах» приобрела вид своеобразной математической энциклопедии. со сравнительно неоднородным содержанием. В VII—X вв. н. э. она сделалась основным учебником для поступающих на государствен- ную службу и классическим сочинением, от которого отправлялись ученые-математики в своих исследованиях. Текст его стал известен в СССР сравнительно недавно; в 1957 г. Э. И. Березкина сделала первый перевод «Математики в девяти книгах» на русский язык с обстоятельными комментариями. Книги, составляющие это сочинение, имеют вид отдельных свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно прак- тического характера. Различие обусловлено, по-видимому, тем, что различные книги предназначались для чиновников различных ведомств: землемеров, инженеров, астрономов, сборщиков налогов и т. п. Позднейшие дополнения вносились в книги по признаку не математической общности, а единства темы. Изложение — догматическое: формулируются условия задач (всего 246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотип- ных задач формулируется алгоритм их решения. Этот алгоритм состоит или из общей формулировки правила или из указаний последовательных операций над конкретными числами. Выводов этих правил, объяснений, определений, доказательств нет. Книга I называется «Измерение полей». Единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (т. е. шагов, при- близительно равных 133 см). Площади прямолинейных фигур вы- числяются верно. При вычислении площадей круга, сектора и кольца принимается, что л = 3. Площадь сегмента вычисляется как площадь трапеции, большее основание которой совпадает с осно- ванием сегмента, а меньшее основание и высота — каждое равно высоте сегмента. - Используемая при этом система счисления — десятичная иероглифическая. Числа делятся на классы по четыре разряда в каждом. Особого знака, нуля при такой системе записи, очевид- но, не требуется. Нуль, действительно, появился значительно позд- нее, только в XII в., и был, видимо, заимствован из математики Индии. Чтобы придать большую общность постановке основной 29
задачи об измерении площадей, в первой книге введены простые дроби и арифметические действия над ними. Правила действий — обычные: особенностью является только то, что при делении дробей требуется предварительное приведение их к общему зна- менателю. Употребляемое в первой книге значение л = 3, видимо, сохра- нилось с очень давнего'времени. Китайские математики того вре- мени умели и более точно вычислять значение л. Например, в I в. до н. э. у Лю Синя мы встречаем л —3,1547, во II в. н. э. у Чжан Хэна л = 1/Ю. (Чжан Хэн считал, что квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного квадрата как 5:8). В III в. н. э. при вычислении сторон вписанных многоугольников Лю Хуэй нашел, что л = 3,14. Он исходил из предложения, что площадь круга аппроксимируется снизу площадями вписанных многоугольников. Для аппроксимации свёрху площади этих мно- гоугольников увеличиваются на сумму площадей прямоугольников, описанных вокруг остаточных сегментов. Отсюда: S2n<Sp‘<Sn + + 2(S2n—Sn). Дойдя до 192-угольника, Лю Хуэй получил (при /?= 10): S96 = 313 и S192 = 314 откуда заключил, что л = 3,14. Некоторые авторы утверждают, что Лю Хуэй продолжил вычисления далее до 3072-угольника и получил л = 3,14159. В V -в. н. э. Цзу Чун-чжи (430—501), как явствует из Вей Ши (643 г.), ' „ 22 385 дал для л два значения подходящих дробей: -у- и -уу, и оценку значения л до седьмого знака: 3,1415926<л<3,1415927. Книга 2 «Соотношение между различными видами зерновых культур» отражает старинную практику взимания налогов зерном, измеряемых в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, — это за- дачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стои- мости предметов, число которых может быть как целым, так и дробным. Задачи на пропорциональное деление, деление пропорциональ- но обратным значениям чисел, а также простое и сложное тройное правило составляют содержание и следующей, третьей, книги «Деление по ступеням». Правил суммирования арифметических прогрессий здесь еще нет; они встречаются, по-видимому, впервые в математическом трактате Чжан Цяю-цзяня (VI в.). В четвертой книге «Шао-гуан»1 вначале речь идет об опреде- лении стороны прямоугольника по данным значениям площади и ♦ другой стороны. Затем излагаются правила извлечения квадрат- ных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его пло- щади. Правила сформулированы специально для счетной доски; подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или 3 1 Адекватного перевода на русский язык не существует. 30
знака, затем последовательно подбирается очередное значение корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске. При решении задач, связанных с вычислением элементов круга или сферы, принимается л = 3. Только в последней задаче, где Ушара = = 1644 866 437 500 чи и требуется найти диаметр по формуле d = -у- V , принято л «= -у- (d = 143000 чи). В книге 5 «Оценка работ» собраны задачи, связанные с рас- четами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях. Книга 6 «Пропорциональное распределение» начинается груп- пой задач о справедливом (пропорциональном) распределении на- логов. Математические методы здесь те же, что в книге 3, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, —пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на сум- мирование отдельных арифметических прогрессий и задач на сов- местную работу с разной производительностью. «Избыток-недостаток» — так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводившиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накап- ливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного ха- рактера. Приведем примеры. В задаче № 18 утверждается, что 9 слитков золота весят столько же, сколько И слитков серебра. Если же поменять места- ми по одному слитку, то вес золота и серебра будет различаться на 13 ланов (16 ланов равны 1 цзиню). Задача определения весов слитка сводится к решению системы уравнений: 9х = 11#; 8х + у 4~ 13 = \9у + х, которая решается с помощью правила двух ложных Именно, принимается: Xi=3 цзиня, х2 = 2 цзиня. Тогда 7 цзиня, у2 = 1 -ур цзиня. Подстановка этих значений положении. у Г = 2 — н во второе уравнение (в котором все члены перенесены в одну сторону, до- пустим в левую) дает соответственно недостаток: =----------- цзи- 11 • 16 , I 15 ня и избыток Z. = Н--------- 2 11.16 цзиня. Действительное значение х находится по правилу 31
X = *1*2 — *2*1 и равно 2 цзиня. Соответственно у = х = 1 цзиня. 64 w 11 64 В задаче № 16 указывается, что из яшмы (удельный вес=а) и камня (удельный вес Ь=а—1) составлен куб, общий вес которо- го Pq и объем Vo известны. Веса Р\ и Р2 и объемы Vi и V2 соот- ветственно яшмы и камня находятся из системы: Vr + V^V., aVx + bVt = P9, которая решается подстановкой двух значений: Vi = Vo и У2 = ¥о. Усовершенствование складывающихся в седьмой, книге правил решения систем линейных уравнений, и распространение их на си- стемы с большим числом неизвестных изложены в правиле «фан- чэн», которому'посвящена вся восьмая книга. Задачи этой книги приводят к системам до пяти линейных уравнений с положитель- ными корнями. Для всех систем установлен единый алгоритм вычисления корней — упомянутый «фан-чэн», состоящий в сле- дующем. Пусть дана система линейных уравнений: а11Х1 + а12х2 + • • • + а1пХп = ^1’ o2i*i + o22x2 + ••• +о2л*п = 62, ani*i + o„2x2+ ••• +апп*„ = &„. В соответствии с китайским способом письма (справа налево по столбцам сверху вниз) составляется расширенная матрица си- стемы: (о,д..........о21 ап \ оЛ2..........о22 О12 I Одл О2л О1„ ] Ьп .........."2 Ьх / . Эту матрицу преобразовывают так, чтобы все_ числа левее и выше главной диагонали коэффициентов были нулями: гО ......... О ап 1 о ..............022 Oja Одл.............О2д О2л Ьп .............bi bx j 32
Преобразование проводят обычным для теории детерминантов путем, но при этом оперируют только со столбцами; столбцы и строки матрицы здесь еще неравноправны. Преобразованная матрица с нулями соответствует ступенчатой системе уравнений: а11Х1 + + . •. + ^1пХп = 022 *2+ ••• + a2nxn = b2 ..................................0ДЛ Хп = Ьп , откуда последовательно определяются корни системы уравнений. В процессе преобразований матрицы системы китайские уче- ные ввели отрицательные числа. Для их сложения и вычитания было введено специальное правило «чжэн-фу», которое можно пе- ревести как правило «плюс-минус». Так как все вычисления, в том числе и преобразования матрицы, проводились на счетной доске, то для обозначения отрицательных чисел применялись счетные палочки другого цвета или формы, а в случае записи применялись иероглифы разных цветов. Расширение понятия числа, которое мы отметили выше, яв- ляется характерной особенностью развития математики. Те же стремления обеспечить общность решения в радикалах уравнений 2—4-й степеней в XVI в. в Италии привели к введению мнимых чисел. Что же касается приоритета китайских математиков отно- сительно правила «фан-чэн», то он бесспорен. Достаточно указать, что в Европе идея создания подобного детерминанта впервые была высказана только Лейбницем в конце XVII в. Отрицательные числа в явном виде появились несколько раньше — в конце XV в. в сочинениях Н. Шюке. Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных тре- угольников. Математически эта книга особенно интересна общей, алгебраической формулировкой правил. Помимо элементарных способов применения теоремы Пифагора в ней имеется способ на- хождения пифагорейских троек, т. е. целочисленных решений уравнения x2+y2 = z2: а2 —~ а2 + Р2 х = оф, у =---2 = --------2~ Некоторые задачи приводят к полным квадратным уравнени- ям, а правила их решения эквивалентны общеупотребительным и сейчас формулам. Например, задача № 11 о размерах двери с известными диа- гональю и разностью между длиной и шириной сводится к двум уравнениям: х2+у2 = с2; у—x = k или к полному квадратному урав- нению 2x2+2kx + k2—с2 = 0. Сформулированное в тексте правило, если переписать символически, будет 2 К. А. Рыбников 33
2 *1,2 = Выводов и доказательств, как уже было упомянуто, в рассматри- ваемом трактате нет. Э. И. Березкина1, по-видимому, правильно предполагает, что правило получено следующим элементарным способом: пусть *1,2 = 2 ± —, тогда Х1 + X2 = 2z2 + 2(-|-)2 = c2’ откуда Мы остановились подробно на обзоре содержания «Мате- матики в девяти книгах», так как это сочинение является самым значительным и, пожалуй, единственным крупным ‘ памятником древней китайской математики, имеющим к тому же энциклопеди- ческий характер. Оно показывает, что в течение многих веков математика Китая развивалась по преимуществу в вычислительно- алгоритмическом направлении и создала существенные элементы алгебраического подхода к решению задач. Причины того, что математика Китая (а как мы увидим ниже, и Индии) приобрела такие особенности, коренятся в общественно- экономических условиях жизни общества. Последние были таковы, что эти государства в качестве одной из основных функций вы- нуждены были принять на себя организацию общественных работ в области ирригации, транспорта и оборонительных сооружений. Постоянные заботы о календаре и об общности и строгости рели- гиозных установлений усугубляли эту направленность научных занятий. Феодальный гнет и давление религии определили мед- ленный, застойный характер развития всех наук, в том числе и математики. Вычислительно-алгоритмическую направленность китайская математика сохранила и в последующий период, вплоть до середи- ны XIV в. Наибольшие успехи были опять достигнуты ц области алгебры и арифметико-вычислительных методов. Вслед за реше- нием квадратных уравнений мы встречаем у Ван Сяо-туна в VII в. сведение задачи к кубическому уравнению. В прямоугольном тре- 1 См. статью Э. И. Березкиной в сб.: «Историко-математические исследо- вания», вып,- 10. М.; Гостехиздат, 1957, стр. 425—586. 34
угольнике даны: произведение катетов ху — Р =706 —— и раз- ____________________________________________________50 ность между гипотенузой и одним из катетов У*2 + у3 — х = Q = g = 36-^-.Требуется найти стороны треугольника. Ван Сяо-тун для Q Р2 решения уравнения х3 Н—х3--------— = 0 ссылается (как на об- щеизвестный) на метод, который используется и для извлечения корня. Ссылки на этот метод имеются и в «Математике в девяти книгах», и в позднейших математических книгах. Но подробное разъяснение метода встречается только в рукописи математика XIII в. Цинь Цзю-шао, известной под ставшим традиционным за- главием: «Девять отделов математики». Существо этого метода, получившего в китайской математике название метода «небесного элемента» (так называлось неизвест- ное), состоит в следующем. Нужно решить уравнение Рп(х)=0; для определенности принять Рп(х) =aixi+a3)fi+a2x2+alx+ao. Первую цифру р корня отыскивают подбором. Производят под- становку: х — у+р. Получается вспомогательное уравнение Ф (У) = А<У* + &зУ* + Агу3 + Агу + Ло. Последовательность операций нахождения коэффициентов этого вспомогательного уравнения может быть выражена схемой: + а4 а3 \а3 ах а0 азр ацр dip а4 а'з 02 at во = Ао ' н п а±р азр Огр । а4 аз аз а\ — Лх а4р азр а4 аз 02 = Л2 ajp а3 = Л4 аз = А3 Путем подбора опять находят первую цифру корня вспомога- тельного уравнения ф(у) =0;или, что то же самое, вторую цифру корня уравнения Рп(х)=0. Пусть это будет q. Подстановка y=z+q приводит к уравнению ф(з)=0, коэффициенты которого находят вновь по вышеуказанной схеме, и т. д. Цинь Цзю-шао демонстрирует этот метод на примере уравне- ния —х4+763200х2—40642560000=0, корень которого х=840. Этот же метод без изменений применяется к извлечению корней 2* 35
любой степени. При этом решается уравнение хп—а = 0. Таким способом, например, находятся у 17576 , 1336336 и т. д. Метод небесного элемента был крупным достижением, завер- шившим развитие алгебры в Китае в средние века. Китайские ма- тематики использовали его с большим искусством. Например, около 1300 г. Чжу Ши-цзе находил этим методом не только целые, но и рациональные корни. Например, в уравнении 576х4—2640х3+. + 1729х2+3960х—1695 252=0 он подбирает целую часть корня, равную 8, проделывает подстановку х=у+8 и получает 576у4+ +15792у3+159 553г/2 +704 392г/—545300=0.-Затем, чтобы привести коэффициент при высшей степени неизвестного к единице, он де- z 576 лает подстановку z = 384, заключает, что и, определив в новом уравнении, что 384 2 о 2 у = , а, следовательно, х=8 —. Метод небесного элемента по своей математической сущности эквивалентен методу Руффини—Горнера, открытому в Европе на рубеже XIX в. В средние века в математике Китая все больше выявлялись и формировались алгебраические элементы как в области создания общих алгебраических методов, так и в формировании и усовер- шенствовании символики. В «Драгоценном зеркале четырех эле- ментов» (1303 г.; четыре элемента — это четыре неизвестных, образно называемые: небеса, земли, мужчины, вещи) Чжу Ши-цзе решал задачи, приводящиеся к системам четырех уравнений с че- тырьмя неизвестными путем последовательного исключения неиз- вестных. Обращает на себя внимание оригинальная символика этого автора. Так, например, у него ax+by+cz+du обозначается а полином х2 + 2ху + у2 + 2yz + z2 + 2zu + и2 + 2их 2 0 2 Свободный член размещается в центре этой фигуры. 36
Другим крупным достижением математиков средневекового Китая было регулярно применяемое суммирование прогрессий п а k = n(»+>) k2 = n(n+D(2n+l) fe=l k=\ 6 известное из сочинений Шэнь Ко (XI в.) и Ян Хуэя (XIII в.). Своеобразие приемов вычисления сумм прогрессий данного вида можно проиллюстрировать на задаче вычисления числа ядер, сло- женных в пирамиду с квадратным основанием. Пусть для опреде- ленности в пирамиде насчитывается 5 слоев: ооооо + ооооо 00000 + 00000 00000 + 00000 ооооо + ооооо ооооо + ооооо 0000 + + + 000 0 0000 + + + 0000 оооо+++0000 0000 + + + 0000 000 + + + + + 000 ооо + + + + + 000 о о о + + + + + о о о о.о + + + + + + + о о о о + + + + + + + о о о + + + + + + + + + о Тогда количество ядер: 5= 12+22+32+42+52. Из соотношений: 12= 1 22 = 1 + 3 З2 = 1 + 3 + 5 42=1+3 + 5 + 7 52=1+3 + 5 + 7 + 9 следует, что S=5-1+4-3 + 3-5+2-7+1-9, или в общем виде S=n-l + (n— 1)-3+(п—2)-5+... + 1-(2n— 1), что иллюстрируется частью фигуры, отмеченной крестиками. Прибавив еще 23 = 2п2 + 2(п—1)2 + 2(п —2)2+ ... + 2-13, получим 37
3S'= (2n + 1) n + (2n + 1) (n— 1) + . • • + (2n + i)-l = = (2n + l)-— Наконец S=4«(« + 1)(2n+l). Наряду с арифметико-алгебраическими задачами в Китае раз- вивались элементы комбинаторики; был найден треугольник бино- миальных коэффициентов, известный теперь под названием тре- угольника Паскаля. По-видимому, как одно из обобщений задач арифметики появились теоретико-числовые задачи. Типичные при- меры таких задач приведены у Сунь-цзы (III в. н. э.), решавшего задачу нахождения числа, которое при делении на 3, 5, 7 дает соответственно остатки 2, 3, 2. Это задача на решение линейной системы сравнений с попарно взаимно-простыми модулями^ х гз Г], (mod x—r2 (mod q2), (r± = 2; r2 = 3; r, 2; ft = 3; ft = 5; ft = 7) x = r3(mod?8), Сунь-цзы находит вспомогательные числа Nit N2, N3, для ко- торых: A\ftft = 1 (m°d ft)> 35 sb 1 (mod 3), 2NX ал 1 (mod 3), = 1 (m°d т- е- 21 Na = 1 (mod 5), или Аа в 1 (mod 5), N^hq2 = 1 (mod ft), 15 N3 = 1 (mod 7), N3 = 1 (mod 7). Тогда: Alt = 2; N2 = 1; Na = 1; A\ftft = 70; A2ftft = 21; N^qa = 15; x s (Niq^i + ATaftft + N^qJ (mod ftftf); x e= (140 + 63 + 30) (mod 105); x = 233 (mod 105); x = 233 — 105 t. При t = 2 наименьшее значение x будет 23. Аналогичные задачи решались и в более поздние времена. Так, Цинь Цзю-шао (XIII в.) решал задачу, сводящуюся к следующей системе сравнений: х = 32 (mod 83), х = 70 (mod НО), xs32(mod 135). Практический подход к задачам геометрии, наблюдавшийся в «Математике в девяти книгах», сохранялся в китайской матема- тике на протяжении всего рассматриваемого периода времени. 38
В геометрическом наследии древнего и средневекового Китая вид- ное место занимает сочинение Лю Хуэя (III в. н. э.) «Математика морского острова», имевшее вначале характер комментария и до- бавления к последней части «Математики в девяти книгах». В окончательном виде в «Математику морского острова» входят задачи на определение размеров недоступных предметов и рас- стояний до них. Решаются они по преимуществу применением тео- ремы Пифагора или подобия треугольников. Попыток системати- ческого дедуктивного построения математики в Китае не отмечено. Все известные нам источники утверждают, что с XIV в. в Ки- тае начинается длительный период застоя в развитии наук. Добы- тые ранее знания не развиваются и даже забываются; математика развивается преимущественно за счет усвоения иностранных зна- ний. В 1583 г. в Китай проник иезуит-миссионер М. Риччи, вслед за которым Китай наводнила целая армия священнослужителей и монахов. Видимо, не без их содействия в 1606 г. в Китае впервые появились издания «Начал» Евклида, в 1650 г. — таблицы лога- рифмов Влакка. Оригинальное же развитие китайской науки под давлением колонизаторов и законсервировавшихся феодальных форм правления прекратилось. Китайские математики-специалисты подготавливались к научной деятельности за границей, в большин- стве там же и работали. Математика в Китае получила новый стимул к развитию толь- ко в XX в. под влиянием народно-освободительного движения, а затем народной революции и руководства Коммунистической пар- тии Китая. В 1928 г. в Нанкине была образована центральная научно-исследовательская академия, среди 13 институтов которой был и институт математики. Собравшиеся в этом институте уче- ные вели работу по многим направлениям одновременно. Они по- лучили результаты в области рядов Фурье, аналитической теории чисел, топологии, дифференциальной геометрии, теории вероятнос- тей и математической статистики, алгебры, теории конечных групп. После 1949 г. в Китае началось быстрое развитие математики в тесном содружестве с математиками СССР. Особенно тесно уче- ные сотрудничали в области аналитической теории чисел, где Хуа Ло-кэн и другие вели работы методом тригонометрических сумм, изобретенным академиком И. М. Виноградовым. К работам Д. Е. Меньшова об ортогональных рядах примыкают работы Чень Цзян-гуана и Ван Фу-чуна. Исследования Су Бо-цина и других связаны с работами советских математиков школы С. П. Финикова по линейным комплексам. Даже в теории вероятностей, где осо- бенно сильное влияние оказывали английские и американские ма- тематики, сказалось сближение с советскими специалистами шко- лы А. Н. Колмогорова. Сотрудничество китайских математиков с советскими коллегами всегда было плодотворным, обогащало их в научном отношении и способствовало развитию прогрессив- ного мировоззрения и практических успехов в приложениях мате- матики. 39
2.5. МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕЙ ИНДИИ В древней и средневековой математике народов Индии много общего с китайской математикой. В Индии математика тоже яв- ляется очень древней наукой, издавна составляющей часть куль- туры. В ней тоже преобладали вычислительно-алгоритмические методы и отсутствовали попытки построения дедуктивных систем; геометрия индийцев — также практическая. Эта общность характера науки и путей ее развития не случай- на и отражает сходность путей исторического развития обеих вели- ких стран и давние экономические и культурные связи между ними. В Индии к началу нашей эры уже сложилась развитая фео- дальная система организации общества. Длительная консервация феодальных отношений усугублялась кастовым расслоением со- циальных групп населения, что определило, несмотря на бурное временами течение политических событий, весьма медленный темп развития производства и науки. Английские, французские, португальские колонизаторы в тече- ние нескольких столетий насильственно задерживали естественное развитие производства, науки и культуры индийского народа. Только в наше время происходит процесс национального освобож- дения и подъема производительных сил Индии. Самыми ранними памятниками математической культуры ин- дийцев являются религиозные книги: сутры и веды. Их происхож- дение относят к VIII—VII вв. до н. э. Написаны они на давно уже умершем языке — санскритском. В них мы находим геометриче- ские построения, составляющие важную часть ритуалов при постройке культовых сооружений: храмов, алтарей и т. д. В них можно найти первые способы квадрирования кругов, применение теоремы Пифагора. Видимо, вследствие требований архитектуры решалась и арифметическая задача о нахождении пифагоровых троек натуральных чисел. Числовая система с древних времен определилась как деся- тичная. Столь же рано определилась склонность к оперированию большими числами, нашедшая отражение в легендах. Будда, на- пример, отличался феноменальным умением считать; он строил числовые десятичные системы до 1054, давая наименования каждо- му разряду. Женихи прекрасной богини Земли, добиваясь ее руки, обязаны были соревноваться в письме, арифметике, борьбе и стрельбе из лука. Победитель соревнования Сарватасидда приду- мал, в частности, шкалу чисел, идущих в геометрической прогрес- сии со знаменателем 100, до 107+'9'46, т. е. до числа с 421 нулем. Пристрастие к операциям с большими числами сохранялось в течение всей истории математики в Индии. Наиболее яркий период развития, оставивший самые значи- тельные образцы математической литературы, — это V—XII вв. н. э. В это время трудились выдающиеся индийские ученые — ма- тематики и астрономы: Ариабхатта (конец V в.), Брахмагупта 40
(род. 598 г.), Магавира (IX в.), Бхаскара Акарья (род. 1114 г.). От Ариабхатты, жившего в северо-восточной Индии, осталось сочинение в стихах астрономического и математического содер- жания. В нем сформулированы правила элементарной математи- ки: арифметики, геометрии и тригонометрии. Брахмагупта также в стихотворной форме написал огромное сочинение в 20 книгах «Усовершенствованная наука Брамы», в котором 12-я книга посвя- щена арифметике и геометрии, а 18-я — алгебре и неопределен- ным уравнениям. Значительное математическое содержание имеют две книги Бхаскары: «Лилавати» и «Виджаганита». «Лилавати» (что значит «прекрасная») Бхаскара посвятил своей дочери. В поэтической манере в 13 отделах книги излагаются: 1) метроло- гия; 2) действия над целыми числами и дробями и извлечение корней; 3) способ обращения, способ ложного положения и другие частные приемы решения задач; 4) задачи на бассейны и смеси; 5) суммирование рядов; 6) планиметрия; 7—11) вычисление раз- личных объемов; 12) задачи неопределенного анализа; 13) задачи комбинаторики. Другое сочинение Бхаскары — «Виджаганита» — состоит из восьми отделов: 1) действия над положительными и отрицатель- ными числами; 2—3) неопределенные уравнения 1-й и 2-й степени; 4) линейные алгебраические уравнения; 5) квадратные уравнения; 6) системы линейных уравнений; 7—8) неопределенные уравнения 2-й степени. Мы не ставим себе здесь целью описание всех источников, заслуг и роли отдельных лиц. Нашей целью является оценка уров- ня достижений математиков Индии, особенностей форм и методов математического исследования и путей развития индийской мате- матики. Поэтому здесь мы дадим лишь общие характеристики. Как было уже сказано, главной особенностью индийской мате- матики является преобладание вычислительных приемов, препод- носимых учащимся или читателям в догматической форме. Среди арифметических правил обращает на себя внимание широкое рас- пространение правила обращения, которое состоит в следующем: задумывается число, но учащемуся или противнику сообщаются лишь последовательность операций с задуманным числом и конеч- ный результат. Решение задачи состоит в последовательном про- ведении всех операций в обратном порядке. Например, в сочине- нии Бхаскары «Лилавати» перед неизвестной красавицей ста- вится задача: назвать число, которое, будучи умножено на три, увеличено затем на три четверти произведения, разделено на 7, уменьшено на — частного, умножено само на себя и уменьшено з на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деле- ния на 10, даст 2. Среди других правил вычислительной техники индийцев есть правило извлечения корней и действий с иррацио- нальностями. Оперирование большими числами (в качестве еще одного при- 41
мера приведем задачу определения числа членов геометрической прогрессии, если tfi = 3, <? = 5, 5 = 22 888 183593), помимо отработки единой числовой десятичной системы с нулем и числовой симво- лики, привело к введению в математику представлений о беско- нечно больших числах. Бхаскара вводил это представление, рас- а сматривая выражения вида — и поясняя, что это есть тоже число, но не претерпевающее изменений, приращения или ущерба, какое бы большое число мы к нему ни прибавляли или от него ни отни- мали; его, по выражению Бхаскары, можно уподобить вечному времени бесконечной цепи существований. Индийские математики ввели и правильно трактовали и по- нятие отрицательного числа. Так, Брахмагупта разъясняет, что числа могут трактоваться либо как имущество, либо как долг. Правила операций с числами тогда таковы: сумма двух имуществ есть имущество, двух долгов — долг, имущества и долга — их разность, а если они равны — нуль. Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество. Произведение двух имуществ или двух неимуществ есть имущество; результат произведения иму- щества на долг представляет убыток/ То же правило справедливо и при делении. Квадрат имущества, или долга, есть имущество; имущество имеет два корня: один составляет прибыль, другой — долг. Корня убытка не существует, ибо таковой не может быть квадратом. Однако, вводя отрицательные числа, индийские мате- матики не использовали их как равноправные элементы матема- тики, считая их только чем-то вроде логических возможностей, потому что, по выражению Бхаскары, люди с ними не согласны. Кроме правил и задач арифметики в индийскую математику входили также решения ряда задач алгебры, неопределенного анализа, комбинаторных задач. К алгебре относятся в первую очередь правила решения линейных уравнений, их систем и квад- ратных уравнений. Например, Ариабхатта формулирует задачу: капитал 100 (мы обозначим его р) отдан в рост. Прирост за месяц ( = х) отдан снова в рост на 6 (=/) месяцев. Общий прирост 16 ( = q). Каков прирост за месяц? Соответствующего уравнения: tx2+px=qp Ариабхатта, разу- меется, не пишет, но правило, даваемое им для решения этой за- дачи, есть не что иное, как общее правило для квадратного урав- нения. В самом деле, он дает предписание: умножь сумму прирос- та и прироста прироста (т. е. q) на время (/) и капитал (р), при- f Р2 \ • бавь квадрат половины -капитала ( — ), извлеки квадратный \ 4 J корень, затем вычти половину капитала и раздели остаток на вре- мя. Соответствующая формула, очевидно, будет t 42
Развитие методов решения задач неопределенного, или диофанто- ва, анализа представляет одно из высших достижений индийской математики. Появление подобных методов—общее явление для всех древних математических культур. Причина того, что математики Индии, Греции, Китая и других стран интересовались решением подобных задач, лежит, по-видимому, в необходимости изучения периодически повторяющихся явлений, например в астрономии. В самом деле, вопрос о периоде времени, состоящем одновре- менно из целого числа дней (х) и целого числа лет (у), приводит к неопределенному уравнению: 10960 у=30х. Другие вопросы, например о периоде повторения некоторых явлений, приводят к полным неопределенным уравнениям. Индийские ученые умели на- ходить целочисленные решения различных видов неопределенных уравнений 1-й и 2-й степени. Мы уже упоминали о характерной форме изложения, при ко- торой не воспроизводится ни ход рассуждений, ни доказательство, что не дает возможности судить о теоретико-числовых методах индийских математиков. Однако то немногое, что известно, пока- зывает наличие ряда теоретико-числовых методов. Например, из- вестно, что корни неопределенного уравнения 1-й степени ах—by— = с получаются умножением на с корней уравнения ах—Ьу—1. Пусть а > 6; а — bq + г; qx + — х — у = —; b ь 2х__1 У = qx Н--------= qx + z. О Чтобы решение у было целым, необходимо, чтобы z было це- лым, т. е. задача сводится к решению уравнения гх—bz—\, коэф- фициенты которого меньше коэффициентов заданного уравнения (г<Ь, Ь<а), а вид уравнения не изменяется. Продолжая эту опе- рацию, мы в конечное число шагов дойдем до уравнения и—rnv = l. Возвращаясь к исходному уравнению, х и у выражаем через V. Метод этот, возможно, был найден по аналогии с проце- дурой нахождения общего наибольшего делителя или с алгорит- мом непрерывных дробей. Приведем еще один пример решения неопределенных уравне- ний. Уравнение ху = ах+Ьу+с преобразовывалось к виду (х—Ь) (у—a)=c+ab с помощью следующей геометрической интер- претации. Площадь всего начерченного здесь прямоугольника S=xy. Площадь гномона равна ах+Ьу—ab. Оставшаяся неза- штрихованной часть прямоугольника Si=(x—6) (у—а) (рис. 2) и в то же время S\=xy—ах—by+ab = c+ab (по условию), (х—Ь) (у—a)=c+ab. После этого правую часть представляют в виде произведения двух целых сомножителей. В качестве еще одного примера рассмотрим циклический ме- тод Бхаскары решения уравнений вида у2 = ах2+1. Вначале проба- 43
ми подбирают числа Xi, yi, Ьь чтобы они удовлетворяли уравнению ах* + и при этом Xi и bi были взаимно-просты, a bi — воз- можно меньше. Это можно сделать, хотя бы положив === У а . Теперь составляют Х12~'У1 = х2, т. е. x\z+yi = biX2. Из него по- bi а ~У Рис. 2 лучают целочисленные значения Хг и z, выбирая их так, чтобы z2—а было как можно меньше. Тогда----------------= Ь2— целое, а X1Z+&2 равно квадратному числу у% т. е. ах&-\- Ь2 = уЧ. Повто- рением получают убывающую последовательность целых чисел: 61, 62, ...» 1 и, наконец, aXfe + 1 == гД. Разумеется, доказательства не было дано; впервые доказательство нашел Лагранж. Имя Пел- ля было присвоено последнему уравнению в XVIII в. просто по недоразумению. Рациональные решения уравнения Пелля индийские ученые получали следующим образом: для произвольных у\ и %2, Уч и соответственных Ьх и 62 составляли уравнения: ах\ —у1 = Ь1, bj. = (хх У а — yt) (хх У а + t/J; ох* — yl = Ь2, Ь2 = (х2 У а —z/2) (х2 У а + у2); = (аххх2 ± г/х1/2)2 — а (хгу2 ± х2ух). Полагая, что известен корень х0, у0: охо — уо = Ь, из выражения для^ Ь2 получали: х — 2хоув; у — ах* + yl, или (2 । 2\ 2 а*°, °) • о / К области алгебры и теории чисел в индийской математике отнесем, наконец, элементарные комбинаторные сведения, знание Jn п сумм k2, треугольник Паскаля и другие сведения. fe=l к=1 44
Индийская геометрия носит все черты прикладной науки. Есть чертежи, есть правила, иногда даже правил нет, под чертежом написано только: «смотри!». Некоторый интерес представляют тригонометрические таблицы, в которых хорды заменены полухор- дами. При этом вводятся в рассмотрение по существу тригономет- рические функции: синусы, косинусы и синусы-версусы (sinvers а= = 1—cosa). В истории Индии имеется достаточно фактов, свидетельствую- щих о наличии экономических и политических связей с греческими, египетскими, арабскими государствами и с Китаем. В математике считается бесспорным индийское происхождение десятичной систе- мы счисления с нулем и правил счета. Можно проследить заимст- вование индусами у греков некоторых геометрических сведений и т. д. Но количество этих фактов невелико. Вопрос о связях и взаимных влияниях математики Индии, Греции, Китая и арабских стран еще остается недостаточно выясненным. В заключение еще раз отметим, что относительно математики в Китае и в Индии мы располагаем очень ограниченным запасом сведений. Либо исчезли, либо еще не найдены многие ма- териальные свидетельства возникновения и накопления математи- ческих знаний как части древних культур. Помимо разрушитель- ного влияния времени, в этом виноваты колонизаторы, которые уничтожили целые народы. Где последнее оказалось невозможным, как это было в Китае и в Индии, были приложены все усилия для фальсификации истории, для превознесения заслуг капиталистиче- ских «цивилизаторов» и «просветителей», несущих якобы свет «темным» народам. В более завуалированной форме эти тенденции выражены в теориях о едином научном источнике, о распростра- нений по всему миру знаний одного избранного народа и т. п. История учит, что развитие всех форм деятельности человече- ского общества происходит под влиянием единых мотивов эконо- мического развития. Это влияние сказывается, в частности, в об- ласти математики во множественности источников ее возникнове- ния. Математика возникла и формировалась как наука во многих местах, нередко весьма удаленных друг от друга и между собой, казалось бы, не связанных. При этом всегда действовали и проявлялись общие законо- мерности: происхождение математики из практической деятель- ности людей, выделение числовых и геометрических абстракций в качестве отдельной области человеческих знаний, образование логически последовательной системы этих абстракций, применение последних к практическим задачам и т. п. Однако форма осу- ществления общих закономерностей, характер математической науки, соотношение ее элементов имели много различий и особен- ностей, которые необходимо принимать во внимание, чтобы соста- вить правильное представление о путях и перспективах развития математических наук.
Глава 3 ФОРМИРОВАНИЕ ПЕРВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ 3.1. ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ Теоретическая часть математики имеет истоки в научных и философских школах древней Греции. Вклад этих школ в развитие науки настолько значителен, что даже в наше время «теоретиче- ское естествознание, если оно хочет проследить историю возник- новения и развития своих теперешних общих положений, вынуж- дено возвращаться к грекам»1. В период VI—IV вв. до н. э., который мы здесь рассматриваем, Греция представляла собой совокупность рабовладельческих госу- дарств-полисов (городов), ведущих оживленную торговлю как между собой, так и с другими государствами Средиземноморского бассейна; Египтом, Финикией, Персией и т. д. В государствах ан- тичной Греции техника, наука и культура достигли высокого уровня, о чем свидетельствуют с большой убедительностью сохра- нившиеся прекрасные исторические памятники. Дошедшие до нас естественнонаучные и философские труды античных ученых и све- дения о них показали, что в древней Греции сложились основные типы мировоззрений, действовали различные естественнонаучные школы. Ведущее место среди греческих натурфилософских школ последовательно занимали: ионийская (VII—VI вв. до н. э.), пи- фагорейская (VI—V вв. до н. э.) и афинская (со второй половины 1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М., Политиздат, 1970, стр. 340—341. 46
V в. до н. э.). В этих школах с большой полнотой и обстоятель- ностью разрабатывались и математические вопросы. В математике этого времени практические задачи, связанные с необходимостью арифметических вычислений и геометрических измерений и построений, продолжали играть большую роль. Одна- ко новым было то, что эти задачи постепенно выделились в отдель- ную область математики, получившую наименование логистики. К логистике были отнесены: операции с целыми числами, числен- ное извлечение корней, счет с помощью вспомогательных уст- ройств, вроде абака, вычисления с дробями, численное решение задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические вычислительные и конструктивные задачи архитектуры, землеме- рия и т. д. В то же время уже в школе Пифагора заметен процесс на- копления абстрактных математических фактов и соединения их в теоретические системы. Так, например, из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел, т. е. совокупность математических знаний, относящихся к общим свойствам операций с натуральными числами. В это время уже стали известными спо- собы суммирования простейших арифметических прогрессий и ре- п зультатов вроде £ (2k— 1) = п2. Рассматривались вопросы де- *=i лимости чисел, введены арифметическая, геометрическая и гармо- ническая пропорции1 и различные средние: л 2 ak арифметическое------------, геометрическое — у аг ... ап и гармо- ническое------------. Наряду с геометрическим доказательст- вом теоремы Пифагора был найден способ отыскания не- ограниченного ряда троек «пифагоровых» чисел, т. е. троек чи- сел, удовлетворяющих соотношению а2+Ь2=с2 и. имеющих вид п,-у(п2 — 1), где п —нечетное. Другое правило: / п \2 - / П \2 , - и, 1 — 1 —1, I — I +1, где п — четное, находим у Платона, т. е. в более позднее время. Было открыто много математических зако- 1 Последняя имела вид-— =---—, а название получила от abed того факта математической теории музыки, что интервалы между полными то- нами обратно пропорциональны высоте тона. 47
номерностей теории музыки. Особенностью школы Пифагора яв- ляется то, что отдельным числам и числовым соотношениям при- писывались таинственные, магические свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел «избранных» и «посвя- щенных». Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется, имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхож- дение. В тот же период происходили абстрагирование и систематиза- ция геометрических сведений. Были написаны специальные книги, в которых излагалась сложившаяся к тому времени система гео- метрии. Таковы, например, «Начала» Гиппократа Хиосского. В геометрических работах вводились и совершенствовались прие- мы геометрического доказательства. Рассматривались, в частности, теорема Пифагора, задачи о квадратуре круга, трисекции угла, удвоение куба, квадрирование ряда площадей, в том числе огра- ниченных кривыми линиями. Одной из причин создания математических теорий явилось открытие иррациональности, вначале в виде установления геомет- рического факта несоизмеримости двух отрезков. Значение этого шага в развитии математики трудно переоценить. В математику вошло такое понятие, которое представляет собой по существу сложную математическую абстракцию, не имеющую достаточно прочной опоры в донаучном общечеловеческом опыте. ___ Едва ли не первой открытой иррациональностью явился У2. Можно предполагать, что исходным пунктом этого открытия были попытки найти общую меру с помощью алгоритма последователь- ного вычитания, известного сейчас как алгоритм Евклида. Воз- можно, что некоторую роль сыграла задача математической тео- рии музыки: деление октавы, приводящей к решению пропорции 1:п = п:2. Не последнюю роль, по-видимому, сыграл и характер- ный для пифагорейской школы общий интерес к проблемам теории чисел. Древним грекам стало известно очень рано логически строгое доказательство иррациональности У2 путем сведения к противо- речию. Пусть У2 = где т и п — взаимно-простые числа. п Тогда гаг2=2п2, откуда следует, что /га2 — четное, следовательно, т — четное. Тогда п является нечетным. Однако если т — четное, то т2 делится на 4 и, следовательно, га2 — четное. Четно, следо- вательно, и п. Получающееся формальное противоречие (га не мо- жет быть одновременно и четным и нечетным) указывает на невер- ность посылки о рациональности J/2. Для исследования вновь открываемых квадратичных иррацио- нальностей сразу же оказалось необходимым разработать теорию делимости. В самом деле, пусть ~\^п — —, где р и q — взаимно- Я просты, а га есть произведение только первых степеней сомножи- 48
телей. Отсюда p2=nq2. Если t — простой делитель п, то р2 (а, зна- чит, и р) делится на t. Следовательно, р2 делится на /2. Но в п содержится только первая степень А Значит, q2 (равно как и ty) делится на t. Но этот результат формально противоречит предпо- ложению, что р и q взаимно-просты. Вслед за иррациональностью 1/2 были открыты многие дру- гие иррациональности. Так, Архит (конец V в. до н. э.) доказал иррациональность чисел вида У п (и + 1). Теодор из Кирены уста- новил иррациональность квадратного корня из чисел 3, 5, 6, ..., 17. Теэтет (начало IV в. до н. э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. С появлением иррациональностей в неокрепшей греческой математике возникли серьезные трудности как в теоретико-число- вом, так и в геометрическом плане. Была фактически поставлена под удар вся- теория метрической геометрии и теория подобия. Необходимость научного осмысления сущности открытого явления и его сочетания со сложившимися представлениями вызвала дальнейшее развитие математических теорий. Этот следующий этап ознаменован попыткой создать для нужд научного исследования общую математическую теорию, при- годную как для рациональных чисел, так и для иррациональных величин. Коль скоро после открытия иррациональности оказалось, что совокупность геометрических величин (например, отрезков) более полна, чем множество рациональных чисел, то представи- лось целесообразным это более общее исчисление строить в гео- метрической форме. Это исчисление было создано. Оно получило название геометрической алгебры. Первичными элементами геометрической алгебры являлись отрезки прямой. С ними были определены все операции исчисле- ния. Сложение интерпретировалось приставлением отрезков, вычи- тание — отбрасыванием от отрезка части, равной вычитаемому отрезку. Умножение отрезков приводило к построению двумерного образа; произведением отрезков а и Ь считался прямоугольник со сторонами а и Ъ. Произведение трех отрезков давало паралле- лепипед, а произведение большего,числа сомножителей в геомет- рической алгебре не могло рассматриваться. Деление оказывалось возможным лишь при условии, что размерность делимого больше размерности делителя. Оно интерпретировалось эквивалентной задачей приложения площадей: Приложить к отрезку с прямоугольник, равновеликий дан- ному (ab). Решение задачи, как видно из рис. 3, состоит в прикла- дывании друг к другу прямоугольников ab и Ьс и в построении нового прямоугольника, диагональю которого является диагональ прямоугольника Ьс, продолженная до пересечения с продолже- нием стороны Ь. Тогда прямоугольники ab = cx оказываются рав- новеликими, и задача решена. Метод приложения площадей, описанный здесь, позволял решать задачи, сводящиеся к линейным уравнениям, и носил назва- 49
ние параболического (ларароХт/ и означает по-гречески прило- жение площадей). В геометрическую алгебру входила и совокупность геометри- ческих предложений, интерпретирующих алгебраические тождест- Рис. 3 Рис. 4 ©а. Например, рис. 4 дает геометрическую интерпретацию тождества (а+&)2=а2+2а&+62. Метод приложения площадей был распространен и на случаи решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Примерами Рис. 6 таких задач являются: определение сторон правильных вписан- ных многоугольников; так называемое «золотое сечение» отрезка, т. е. деление отрезка а на две части: х и а—х, удовлетворяющие хоотношению — = ——выражение ребер правильных много- гранников через диаметр описанного шара и т. д. Решение этого класса задач проводилось с помощью единообразного канониче- ского метода, имеющего следующие разновидности в зависимости от вида квадратного уравнения. а) Построить квадрат, равновеликий заданному прямоуголь- нику ab. Существо метода заключается в замене прямоугольника < ,/а4-Ь\2/а — b V разностью квадратов ab = (—±—\ —I—-—\ и в последую- щем применении теоремы Пифагора (рис. 5): 50
AD ‘DG =гномону CLGD1B1B = CB?— LG2, ' или ab \2___fa — b \2 2 ) ~ К 2 J ’ Построение искомого отрезка x ясно из рис. 6. Это построение также было положено в основу построения среднего геометриче- ского: а : х=х: Ь. б) Приложить к данному отрезку (ЛВ=а) прямоугольник (AG), равный заданной площади (S=b2), так, чтобы часть площа- ди, недостающей до полного прямоугольника (ЛК), была квадра- том (DK=x2) (рис. 7). По условию задачи Ь2= (а—х) -х, но (а—х)х — гномону CLGDJ31B = ( — (-2— xj. С помощью теоремы Пифагора отыскивается отрезок --------х, а затем х. Этот случай приложения площадей называется эллипти- ческим (от греческого eXXeupig — недостаток). в) Приложить к данному отрезку (ЛВ<=а) (рис. 8) прямо- угольник (ЛК), равный заданной площади (S=Z>2), так, чтобы избыток над прямоугольником (Лб) был квадратом (ВК=х2). Ь2= = (а+х) х; но (а+х) -х=гномону CLGB^D = (-2- 4-х) —I—-) ; (л \ 2 ‘ Z d \ 2 ---Н х \ — ( — ) , откуда с помощью теоре- 2 J \. 2 J а । мы Пифагора находится построением отрезок — + х, а затем и х. Этот тип приложения площадей называется гиперболическим (от греческого олерроМ — превышение, избыток). 51
Очевидно, что подобный метод давал только один положитель- ный, корень квадратного уравнения. Древние математики понима- ли необходимость так формулировать условия задач геометриче- ской алгебры, чтобы они заведомо имели положительное решение. Поэтому на условия задачи они в необходимых случаях наклады- вали ограничения (диоризмы, бюрктцбд). Это обстоятельство выявляло ограниченность области приме- нения методов геометрической алгебры. Еще больше возможности геометрической алгебры ограничивались из-за того, что ее объек- тами были образы размерности не выше второй. Средствами построения были только циркуль и линейка. Можно было предста- вить себе в рамках геометрической алгебры операции с трехмер- ными образами. Этого, однако, не делалось, потому что даже та- кая простая, казалось бы, задача, как построение куба, имеющего объем вдвое больше данного, не поддавалась решению с помощью циркуля и линейки. Задачи же, приводящиеся к уравнениям сте- пени выше третьей, как было указано, были в геометрической алгебре древних просто невозможными. Недостаточность геометрической алгебры как общей матема- тической теории была особенно подчеркнута выделением класса задач, не поддающихся решению с помощью циркуля и линейки. Среди этих задач наиболее известны: проблема удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Задача об удвоении куба, т. е. о построении куба с неизвест- ным ребром х, но имеющего объем вдвое больше заданного, сво- дится к решению кубического уравнения: х3=2а3. Равносильной задачей является задача построения отрезка у^2. Задача была чрезвычайно популярной, о чем говорит дошедшая до нас легенда о требовании оракула на острове Делос увеличить вдвое объем стоящего перед ним кубического жертвенника. Многочисленные попытки решить эту задачу с помощью вычислений в поле рацио- нальных чисел или средствами геометрической алгебры оказались, разумеется, неудачными. Первого успеха в решении этой задачи добился Гиппократ Хиосский (середина V в. до н. э.). Он свел ее (точнее говоря, не- сколько более общую задачу преобразования параллелепипеда в куб). к задаче о нахождении двух средних пропорциональных. В самом деле, пусть параллелепипед V=aibiCi преобразован в другой с квадратным основанием V=azb, что осуществимо средст- вами геометрической алгебры. Его нужно преобразовать в куб: х3=а2Ь. Ребро искомого куба определяется, по Гиппократу, из пропорций: а: х=х: у=у: Ь. Возможно, что проблема удвоения куба воспринималась как пространственный аналог задачи квадри- рования плоских фигур. В таком случае постановка задачи Гиппо- кратом является обобщением соответствующей плоской задачи о вставке одной средней пропорциональной: а : х=х: Ь. Для решения задачи Гиппократа о вставке двух средних про- порциональных были разработаны новые методы. В большинстве 52
они сводились к исследованию геометрических мест: х2=ау, ху= . =ab, у2=Ьх. Две средние пропорциональные между а и b опреде- лялись как координаты точки пересечения двух из этих геометри- ческих мест. Последние в свою очередь получили стереометриче- скую интерпретацию как сечения конусов вращения. История задачи об удвоении куба является одним из примёров того, как происходит обогащение математических методов. Воздей- ствие этой задачи было одной из при- чин того, что конические сечения во- шли в математику, что они стали в ан- тичной математике средством решения ----------------------.С таких задач, которые невозможно ре- шить с помощью циркуля и линейки. —\---------------------- Впрочем, для решения задачи удвое- /\ ния куба применялись и другие спо- _ / \__________________ собы. Эратосфен, например, построил / /\ прибор (мезолабий),удобный для при- |___________'ш - ближенного удвоения куба. Однако ни /7 G- U один из методов не влиял так сильно на развитие античной математики, как ₽ис- 9 метод конических сечений. Дальнейшая судьба рассматриваемой задачи связана с проб- лемой: возможно ли принципиально решить ее построениями с помощью циркуля и линейки. Вместе с развитием алгебры поста- новка задачи приобрела алгебраическую форму: может ли опера- ция извлечения кубического корня из рационального числа быть сведена к конечному числу извлечений квадратного корня? Сом- нение в возможности такого решения задачи высказал впервые в 1637 г. Декарт. Но только еще через 200 лет задача удвоения куба получила окончательное разрешение. В 1837 г. Ванцель дока- зал, что кубические иррациональности не принадлежат ни полю рациональных чисел, ни его расширению посредством присоеди- нения квадратичных иррациональностей. Второй знаменитой задачей античной древности, не поддавав- шейся решению средствами геометрической алгебры, была задача о трисекции угла, т. е. о разделении произвольного угла на три равные части. Эта задача, как и предыдущая, сводится к решению кубического уравнения, что очевидно из следующего тригономет- рического соотношения: сое<р = 4 cos3-у-— 3cos-^-, или а=4х3—Зх. Мы понимаем, что многочисленные попытки произвести трисекцию угла с помощью только циркуля и линейки не могли быть успеш- ными и приводили в лучшем случае к сознанию необходимости введения новых методов. Уже в V в. до н. э. Гиппий из Элиды применил для решения задачи о трисекции угла трансцендентную кривую — квадратрису, определенную следующим образом. Пусть в прямоугольнике ABCD (см. рис. 9) сторона ВС равномерно смещается параллель- 53
но самой себе до совладения с AD. За это же время сторона АВ вращается вокруг А по часовой стрелке до совпадения с AD. Гео- метрическое место пересечений этих двух сторон образует кри- вую — квадратрису, наличие которой позволяет свести задачу деления угла на любое число равных частей к задаче деления (2г \ Лб ------] пере- ведения квадратрисы со стороной AD доопределялась по непре- рывности умозаключениями, которые могут быть примером одной из первоначальных форм метода пределов. Другим методом реше- ния задачи о трисекции угла был метод вставок. Под вставкой понимается построение отрезка прямой, концы которого находятся на заданных линиях и который (или его продолжение) проходит через'данную точку. Примеры вставок, применявшихся для три- секции угла (Z.ABC) (рис. 10, 11): Вставка: DE = 2АВ Вставка: FE = АВ (DF = FE = АВ-, ^DEF = -^^BFC = ^ABF= ^AFB=2 AEF= 2 CBD; = — FCB = — ЛВС\ .2 3 } ^CBD=—^ABC\ 3 J Вставки осуществлялись механически с помощью скользящей линейки, на которой заранее намечен размер вставки. Линейку вращали вокруг неподвижной точки, заботясь, чтобы одна метка двигалась по одной из заданных линий до тех пор, пока другая метка попадала на другую линию. Трисекция угла имеет столь же долгую историю, как и удвое- ние куба. Сведение ее к кубическому уравнению было осознано только к IX—X вв. н. э. Строгое же доказательство невозможности точной трисекции угла циркулем и линейкой есть простое следствие из упомянутого выше результата Ванцеля. 54
Третьей знаменитой задачей древности является квадратура круга, т. е. задача об отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Эту задачу в античной Греции рассматривали в обоих ас- пектах: точном и приближенном. Последний подход к'задаче при- вел к введению приближения площади круга вписанными, или описанными многоугольниками и к приближенным вычислениям числа л. Огромное же количество попыток точно квадрировать круг не могло привести к успеху вследствие трансцендентной при- роды этой задачи. В самом деле, пусть отрезок г0 — радиус данного круга; тогда сторона равновеликого квадрата х = г0 Ул. Задача сведена к гра- фическому -умножению отрезка Го на число У л. Это умножение можно выполнить лишь если это число будет корнем алгебраиче- ского уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квад- ратных радикалах. Следовательно, строгую и полную трактовку задача квадратуры круга может получить только в результате выяснения арифметической природы числа л. Решение же этой проблемы растянулось на много веков. Только в конце XVIII в. И. Ламберт и А. Лежандр сумели доказать, что л не является рациональным числом. Трансцендент- ность же этого числа, т. е. тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 г. Линдеманом. Кстати, в геометрии Лоба- чевского для некоторых значений радиуса кривизны пространства квадратура круга разрешима в квадратичных иррациональностях. Античные математики, стремившиеся теоретически точно ре- шить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли развитию математики большую пользу, обога- тив ее новыми фактами и методами. Так, был разработан метод исчерпывания, являющийся предшественником метода пределов. Были введены различные трансцендентные кривые, в первую оче- редь квадратриса. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемые фигуры, ограниченные кривыми линиями. Мы имеем здесь в виду луночки (мениски) Гиппократа Хиосского, образованные дугами окружностей. Исследования Гиппократа опираются на теорему, что в кругах площади подобных сегментов пропорциональны квадратам диа- метров. Первая из квадрируемых луночек вырезана из полукруга — дугой радиуса г 1/2, опирающейся-на диаметр. Луночка оказы- вается равной площади равнобедренного прямоугольного тре- угольника АС В, гипотенузой которого служит диаметр круга (рис. 12). Разновидностью этого результата является теорема о том, что если на сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружности, то сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника, т. е. квадрируема (рис. 13). 55
Другой вид луночек получается, когда вокруг трапеции со сторонами 1, 1, 1/3 описывают окружность, а на хорде /3 строят сегмент, подобный сегментам, отсекаемым остальными хордами. Площадь полученной луночки равна площади исходной трапеции. Наконец, внешняя дуга третьей луночки1 меньше полу- окружности. Появление квадрируемых луночек вызвало естественные воп- росы: как велик класс квадрируемых луночек? Все ли их виды найдены? Существуют ли другие луночки, площади которых тоже выражаются с помощью квадратичных иррациональностей через входящие в их построение линейные элементы? Однако ответ на эти вопросы тоже был получен спустя много веков. Только в 1840 г. немецкий математик Клаузен нашел еще две квадрируе- мые луночки. Вопрос о луночках был полностью исследован толь- ко в XX в., когда советские математики Н. Г. Чеботарев и А. В. Дороднов, пользуясь методами теории Галуа, показали, что если угловые меры внешней и внутренней дуг луночек соизмеримы, то других квадрируемых луночек, кроме найденных, не существует. К слову сказать, отношения угловых мер найденных упомянутых . 2 3 3 5 5 выше луночек: —, —, —, —, —. J 1 1 2 1 3 Открытие несоизмеримостей, как мы уже указывали, постави- ло в тяжелое положение всю метрическую часть геометрии, теорию подобия и те разделы математики, где приходилось пользоваться начальными формами понятий непрерывности, предельного пере- хода и т. п. Теория рациональных чисел уже не могла служить основой этих разделов математики. Так, появление иррациональ- ностей обусловило необходимость создания общей теории отноше- ний, способной дать определения и ввести операции, применимые как для рациональных, так и для иррациональных величин. 1 О ней см. Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. М,—Л., ГТТИ, 1938, стр. 60—61. 56
Первоначальной основой теории отношений античной древнос- ти являлся алгоритм попеременного вычитания, известный под названием алгоритма Евклида. Пусть даны два отношения: а: b и с: d. Поиски общей меры величин, участвующих в отношениях, приводят к следующей цепочке соотношений: а: Ь ' с: d а— nQb = b± с — mod = dr b — — b2 d — = d2 П2^2 == ^3 ПХ2б/2 == d3 В случае, если члены отношения соизмеримы, эта цепочка обрывается; несоизмеримость не дает конечного алгоритма. Алгоритм попеременного вычитания эквивалентен представ- лениям с помощью непрерывных дробей. Например: а , Ьл । 1 , 1 — =я0+-г=«о + -г=«о +----------------:---• О о о ,1 --- 4----:--- Ьг «2 + • • • Сравнение последовательностей n0, пь Пг, ... и /п0, /пь /п2, ... позволяет установить между отношениями понятия равенства и неравенства, а также сравнивать их по величине. Пусть k—1 эле- ментов обеих последовательностей совпадают. Тогда, если nk>mk, то a:b<c:d, если k — нечетно, и a:fe>c:d, если k — четно; если же то а: b<c: d в случае четности k и a\b>c\d в случае его нечетности. Однако попытка ввести операции над отношениями, опреде- ленными таким образом, сразу натолкнулась на серьезные матема- тические трудности. Например, чтобы ввести умножение отноше- ний, надо было найти способ определения неполных частных непрерывной дроби — произведения через неполные частные непрерывных дробей-сомножителей. Для этого и в наше время не существует никакой сколько-нибудь элементарной формулы. На- конец, в то время не существовало еще общего понятия величины. В силу этих обстоятельств алгоритм Евклида не сделался основой теории отношений. Следующая концепция античной общей теории отношений связана с именем Евдокса (ок. 408 г. — ок. 355 г. до н. э.). Ему же приписывается создание теории пропорций. В теории отноше- ний Евдокса: а) произведено обобщение понятия величины посредством подчинения его системе пяти аксиом: 1. Если а = Ь и с = Ь, то а = с; а если а = с, то 2. a+b = c + b. 3. а—Ь = с—Ь. 4. Совмещающиеся равны. 5. Целое больше части; б) введена аксиома однородности: а и b могут иметь отноше- ние, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга, т. е. для любых конечных а и b существуют /пип такие, что па>Ь и mb>a. Эта аксиома была введена для того, чтобы исключить так называемые неархимедсвы величины, например роговидные углы. 57
Отношения введены в теорию Евдокса через определение их равенства. Именно, равенство двух отношений a:b = c:d счи- тается установленным, если из трех условии ma^nb соответствен- но вытекают три следствия mc^nd для любой пары натуральных чисел тип. Существует предположение, что подобное определе- ние возникло как абстракция процедуры измерения и сравнения отрезков посредством их рациональных приближений. Это под- тверждается в отношениях порядка между отношениями в теории Евдокса. Именно a:b>c:d, если существует пара натуральных чисел тип такая, что ma>nb и mc^nd. Отсюда следует, что с: d < — < а: т. е. что между двумя неравными отношениями п можно вставить рациональное число. Можно полагать, что совре- менная идея рациональных Приближений действительных чисел произошла из теории отношений Евдокса. В этой теории введена только одна операция составления от- ношений, соответствующая опе'рации умножения действительных чисел. Если существуют два отношения а: b и b : с, то из них мож- но составить отношение а: с. Это отношение называется двойным. Возможно составление и более сложных отношений, например тройного. В случае, если надо составить отношения а: b и с id, необходимо преобразовать одно из них, например второе, предва- рительно отыскав четвертую пропорциональную: c:d=&:x. Введение только одной операции объясняется тем, что теория Евдокса применялась лишь в учении о подобии, где служила ос- новой теории пропорций, и при определении площадей и объемов. Мы уже упоминали о некоторых аналогиях между античной теорией отношений и современными теориями действительного числа. Наибольшее основание для подобных аналогий дает теория сечений Дедекинда. В самом деле, каждая пара архимедовых ве- личин а и &, участвующих в отношении а: Ь, по теории Евдокса,, производит разбиение пар целых чисел т, п на классы. Те пары, для которых справедливо ma>nb, могут быть включены в один класс, те же, для которых справедливо обратное: ma<nbr — в другой класс. Пару /и, п, осуществляющую тоа = ПоЬ9 можно от- нести в один из предыдущих классов. Сам Дедекинд не отрицал возможности подобной аналогии, указывая лишь на то, что в тео-., рии Евдокса не учтен фактор непрерывности. Однако различия между теорией отношений Евдокса и тео- рией сечений Дедекинда этим замечанием не исчерпываются. Дело в том, что первая из них осуществляет разбиение пар целых чисел на классы, но не доказывает обратного. Именно, не доказывается, что любому такому разбиению соответствует некоторая пара архи- медовых величин, определяющих это разбиение. Кроме того, не определяются условия, которым должны удовлетворять множест- ва пар целых чисел, чтобы быть классами разбиения, т. е. не быть 58
пустыми, не пересекаться и обладать свойством односторонности любого элемента одного множества по отношению к любому эле- менту другого множества. Наконец, у Дедекинда предварительно определены все четыре действия арифметики, тогда как у Евдокса введена только одна операция, а множество пар целых чисел осталось неупорядочен- ным. Иначе говоря, вещественные числа Дедекинда образуют поле, тогда как отношения Евдокса образуют группу. Дальнейшее развитие античной теории отношений пошло по пути трактования отношений как обобщенных чисел и отождеств- ления их с дробями. Так поступали Архит, Архимед, Герои и мно- гие другие ученые. В этом сказалось влияние практики, требовав- шей развития вычислительно-алгоритмических методов и распрост- ранения их на все более широкие классы чисел. Мы остановились на этом примере для того, чтобы показать, что математические теории античности имеют зачастую много об- щего с современными математическими теориями. Однако надо всегда уметь выделять* специфику их исторического развития, что- бы не впадать в одну из двух ошибок: отождествления прошлого с настоящим или нигилистического отрыва настоящего от прошло- го, того отрыва, который делает исследователя слепым перед бу- дущим. 3.2. АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ЭПОХУ ЭЛЛИНИЗМА Первые математические теории, абстрагированные из конкрет- ных задач или из совокупностей однотипных задач, создали необ- ходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятель- ности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило у античных математиков стремление систематизировать факты математики и логически последовательно изложить ее основы. По- добная работа — необходимый закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом для ее дальнейшего развития. В античной математике процесс систематизации и обобщения дал значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое выражение в философских взглядах Аристотеля (384—322 гг. до н. э.). Огром- ное влияние на математику того времени оказали и успехи логи- ки. Сложившиеся основные формы мышления уже были система- тизированы и исследованы, были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала рассматриваться как логи- ческая усложняющаяся система, покоящаяся на первых началах— аксиомах. Абстрактность предмета математики и установившиеся прие- мы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука» 59
представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений. Геометрическая форма системы математики в античной Греции, как мы уже указывали, ведет свое происхождение в основном от установления факта большей полноты множества отрезков по сравнению с множеством рациональных чисел. Сочинения, в кото- рых в то время излагались первые системы математики, называ- лись «Началами». Первые «Начала», о которых дошли до нас сведения, были написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются упоминания и о «Началах», принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как появились «Начала» Евклида. Последние получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая строгость которой оставалась непревзойденной в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду. Его «Начала» до сих пор лежат в основе всех систематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в очень большой степени опираются на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения. Об авторе «Начал» Евклиде сохранилось очень мало сведе- ний. Известно, что он жил около 300 г. до н. э. в Александрии, входившей в то время в состав египетского царства. Последнее образовалось в результате распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и центра технических усовершенствований побудило прави- телей Египта Птоломеев к организации научно-учебного центра — Музейона (что означает прибежище муз). В Музейоне было собра- но свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную работу в Музейоне на условиях государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые элли- нистической эпохи, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на развитие науки сохранялось около 700 лет; оно стало падать в начале на- шей эры в результате завоевательных войн римлян, а затем пре- кратилось, когда под влиянием реакционного христианства «языческие» ученые были изгнаны или убиты, а сам Музейон разорен. При написании «Начал» Евклид, по-видимому, не руководст- вовался целью составить энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился изложить только основы математики в виде логически совершенной математической теории, исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле «Начала» являются ранним предшественником современного спо- соба аксиоматического построения математических наук. «Начала» состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близ- 60
кие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других книгах (2—7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах «Начал» нет. Определения — это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия, поясняя их. Например, «точка есть то, что не имеет частей», «куб есть телесная фигура, заклю- чающаяся между шестью равными, квадратами», и т. п. Эти пред- ложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике с точки зрения их полноты и логической определенности. Однако равноценной или более совершенной системы определений предло- жено не было. Дело свелось к тому, что в наше время при аксио- матическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъ- ясняемые сущности. Что же касается определений Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его време- ни абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это — не такой уж редкий, если не сказать наиболее часто встречающийся в истории, способ введения мате- матических определений. Аксиомы, или общие понятия, у Евклида — это предложения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом в «Началах» пять: 1. Равные одному и тому же, равны и между собой; 2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны; 3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны; 4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой; 5. Целое больше части. В число исходных положений «Начал» входят постулаты, т. е. утверждения о возможности геометрических построений. С их по- мощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов тоже пять: 1. Через две точки можно провести прямую; 2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно; 3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность; 4. Все прямые углы равны между собой; 5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место. В различных изданиях «Начал», а ранее того переписчиками и комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизме- нялась и дополнялась, причем чаще всего неудачно. Разумеется, критика постепенно вскрывала логические пробелы системы исход- ных положений Евклида: логическую перегруженность определе- 61
ний, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев пересечений окружностей и прямых (теорем существо- вания) и другие более мелкие недостатки. * Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом геометрии, более соответствующей возрастающим требованиям математической строгости, были достигнуты только к концу XIX в. в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в со- чинении «Основания геометрии». Позднее Гильберт внес в свою систему немало дополнений и усовершенствований. В наше время юна состоит из следующих пяти групп аксиом: а) восемь аксиом соединения или принадлежности; б) четыре аксиомы порядка; в) пять аксиом конгруэнтности или движения; г) аксиома параллельности; д) две аксиомы непрерывности: Архимеда и линейной пол- ноты. Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и плоскость, и отношения между объектами, выра- жаемыми словами: принадлежит, между и конгруэнтен. Определе- ний и постулатов система современных основных положений не имеет. Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая гео- метрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых объектов и исследует лишь возможные виды логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обо- значали в течение всей истории, но и объекты совсем негеометри- ческой, казалось бы, природы. «Начала» Евклида далеки от такой постановки задач геометрии. В них рассматриваются более низ- кие, первые, ступени абстракции пространственных и количествен- ных свойств предметов материального мира. Перейдем к обзору содержания евклидовых «Начал». Первые шесть книг — планиметрические, из них книги 1—4 содержат ту часть планиметрии, которая не требует применения теории про- порций. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема. Некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы изложения Евклида видны уже из первой книги: а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо спра- ведливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систе- му основных положений. Из этого последнего он развивает после- довательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь рассуждений: приняв искомую теорему за доказан- 62
ную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того,, как будет получено заведомо верное утверждение — в «Началах» в качестве доказательств не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом. б) Доказательства строятся по единой схеме, состоящей ив следующих частей: формулировка задачи, или теоремы (лрбта- 01$ — предложение); введение чертежа для формулировки данных задачи (ex'&eoig — изложение); формулировка по чертежу иско- мого (бюрцгцбд — определение); введение вспомогательных линий (хатаохеу^ — построение); доказательство в собственном смысле. (djt66etgtg — доказательство); объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу или адекватно поставленной теоре- ме (avpirepaopa — заключение). В несколько упрощенной форме эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как класси- ческий образец математического рассуждения, в известном смысле обязательный для математиков. в) Средства. геометрического построения — циркуль и линей- ка — принципиально не употребляются как средства измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в «Началах» не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов тел,, а лишь об их отношениях. Во второй книге рассматриваются соотношения между площа- дями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом,, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации ал- гебраических тождеств и для решения задал, сводящихся к квад- ратным уравнениям, т. е. геометрическая алгебра. Третья книга трактует свойства круга и окружности, хорд и касательных, цент- ральных и вписанных углов. Четвертая книга посвящена свойствам правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также построению правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников. В пятой книге «Начал» развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа в форме, соответствующей дедекиндовым сечениям. Мы уже упоми- нали об этой теории как о теории Евдокса, введенной в античную- математику в качестве общей теории, равно пригодной как для чисел, так и для отрезков прямой. В пятой книге «Начал» после введения отношений, их равенств и неравенств доказываются Дру- » а с а а+с гие элементарные свойства, вроде: если — , то ~у" = та тс а также ---= и т. д. В последующих предложениях разви- nb nd вается теория пропорций, в том числе производных (т. е. образо- ванных допустимыми перестановками и другими преобразования- ми членов пропорции) и сложных (т. е. образованных иэ «, a d Ь нескольких данных пропорции, например: если — = — и — — b е с е ad Д -----, ТО -= — И Т. П. ). i с i / 63
Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур и т. п. Здесь же находится группа тео- рем об эллиптическом и гиперболическом приложении площадей, обобщенном на параллелограммы. Она дает метод геометрическо- го решения задач, которые можно привести к уравнениям вида ях ± — х2 = S (где а, Ь, с — данные отрезки, S — данная пло- с щадь, х — неизвестный отрезок), и представляет собой известное обобщение результатов геометрической алгебры. Следующая группа книг (книги 7—9) содержит некоторый эквивалент теории рациональных чисел. Казалось бы, в этих кни- гах следовало излагать систему пространственных представле- ний — стереометрию. Однако непоследовательность только кажу- щаяся. Дело в том, что в конце «Начал» Евклид исследует правильные многогранники и определяет отношения их ребер к диаметру описанного шара. Эти отношения выражаются, как из- вестно, квадратичными и биквадратичными иррациональностями. Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть построе- ние и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выпол- нить эту задачу, он опирался на ряд предложений из теории ра- циональных чисел (соизмеримых отрезков). Рациональные числа в свою очередь, Евклид представляет как отношения целых чисел; последние он понимает *как собрание единиц. Поэтому так назы- ваемые арифметические книги «Начал» (книга 7—9) содержат учение о целых числах и их отношениях, взятое в основном из пи- фагорейской математики. Сохранение принципиально различного смысла понятий числа и общей величины послужило причиной повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел, уже полученных в пятой книге «Начал». Первая из арифметических книг — седьмая — начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит тео- рию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжает- ся в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые / а0 аг ап—2 ап—\ X пропорции (т. е. пропорции вида — = — -----=------), а2 ап_{ ап / и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вво- дятся геометрические целочисленные прогрессии, показывается, что отношение членов непрерывной пропорции является древней формой степеней чисел, находится среднее пропорциональное, дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии. Значительную часть девятой книги составляет учение о прос- тых числах, причем доказывается, что простых чисел бесконечно 64
много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас: предположение конечности числа простых чисел опровергается построением еще одного числа, на единицу превышающего произ- ведение всех простых чисел. В ряде теорем рассматриваются свойства четности и нечетности чисел. Книга заканчивается заме- п нательной теоремой, что если число S вида JP 2k является прос- в=о тым, то число Si=S-2n — совершенное (совершенным называется число, равное сумме своих делителей, включая единицу и исклю- чая самого себя). Вопрос о том, исчерпывают ли числа данного вида все множество совершенных чисел, остается нерешенным и в нашещремя. Десятая книга «Начал» интересна в первую очередь громозд- кой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквад- ратичных иррациональностей (т. е. выражений вида ±VЬ. где а и b — соизмеримые отрезки), воспроизводить которую здесь мы не считаем целесообразным. В десятой книге в качестве лемм выведены различные, сами по себе важные, предложения. Прежде всего, это основная лемма метода исчерпывания о том, что если от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остат- ком повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе шагов можно получить величину, меньшую любой заданной. Кроме того, в десятой книге даны: способ нахождения неограниченного числа «пифагоровых троек» целых чисел, критерий соизмеримости двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания, отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных чисел (соизмеримых величин) и др. Последние три книги (11—13) «Начал» — стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стерео- метрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмот- рение отношений объемов параллелепипедов и призм. Исследование объемов других элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров) требует обязательного выполнения предельного по существу перехода. В двенадцатой книге «Начал» отношения объемов всех этих тел найдены с помощью метода, по- лучившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпыва- ния. Идея этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов, состоит в следующем: Евклид устанавли- вает, что подобные правильные многоугольники, вписанные в кру- ги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги «исчерпыва- ются» последовательностями правильных вписанных 2п-угольников (п = 2, 3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются неизменными. После неявного перехода к пределу дока- 3 К. А. Рыбников 65
зывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Аналогичные суждения предельного характера проводятся во всех случаях отыскания отношений упо- мянутых выше тел. Более подробно этот метод будет охарактери- зован ниже. Последняя, тринадцатая книга «Начал» содержит построение пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гекса- эдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гран- ника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся отношения объемов шаров. В заключение доказывается, что других правиль- ных многогранников не существует. Обзор содержания «Начал» показывает, что это сочинение представляет собой систему основ античной математики. В нее входят: элементарная геометрия, основы теории рациональных чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных ирра- циональностей, элементы алгебры в геометрической форме и метод исчерпывания. Самое характерное в «Началах» то, что дана систе- ма, позволяющая видеть в них античного предшественника совре- менного аксиоматического построения математических теорий. В то же время логическая структура «Начал» отражает истори- ческий путь формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до более Сложных: теории отноше- ний, метода исчерпывания, классификации 'иррациональностей. Мы уже упоминали, что «Начала» Евклида оставили неизгла- димый след в истории математики и в течение многих веков слу- жили классическим образцом математической строгости и последо- вательности. Однако некоторые особенности «Начал» отражают ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики усло- вий, сложившихся ко времени их написания. Изложение — гео- метрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только цир- кулем и линейкой. Поэтому в «Началах» нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в «Началах» совершенно отсутствуют вычислительные методы. Все эти недостатки «Начал» можно было бы до известной сте- пени оправдать специфическими целями составителя. Однако в условиях античности этот первый опыт аксиоматического изло- жения математики мог иметь столь резко выраженные ограничи- тельные тенденции только под влиянием общих ограничительных тенденций идеалистической философии. Поэтому можно сказать, что «Начала» Евклида отражают как высокий уровень теоретиче- ского развития математики, так и неблагоприятную для ее даль- нейшего развития общественно-экономическую и идеологическую обстановку конца греческой античности. В течение всей многовековой истории математики «Начала» являются фундаментом всех геометрических изысканий. Даже ре- шающее изменение всей системы геометрии, вызванное введением 66
в начале XIX в. в работах Н. И. Лобачевского неевклидовой гео- метрии, в значительной степени связано с попытками усовершен- ствования «Начал». «Начала» Евклида до нашего времени составляют основу школьных учебников геометрии, число их изданий огромно. Неод- нократно они были изданы в России и в СССР. Первое издание «Начал» на русском языкё появилось в 1739 г. Последнее издание вышло в трех томах в течение 1948—1950 гг. Оно обстоятельно комментировано. Знакомство с «Началами» Евклида полезно вся- кому математику и в наши дни. 3.3. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ При построении математических теорий в античной Греции рано выделился специфический класс проблем, для решения которых оказалось необходимым исследовать предельные пере- ходы, бесконечные процессы, непрерывность и т. п. Уже одно из первых открытий теоретического характера — обнаружение несо- измеримости величин — поставило задачу рационального объяс- нения подобных проблем. В данном случае они связаны: а) с не- ограниченной продолжимостью процесса нахождения общей меры; б) с бесконечной малостью последней и в) с тем, что она должна содержаться бесконечное множество раз в сравниваемых величи- нах. С этой группой проблем вскоре были сближены геометриче- ские, решение которых приводило к аналогичным затруднениям (определение большинства длин, площадей и объемов). Некоторые группы античных ученых искали выход из этих затруднений в применении к математике атомистических философ- ских воззрений. Примером наиболее яркого выражения подобного подхода является натурфилософская школа Демокрита (ок. 460— 370 гг. до н. э.). Демокрит считал, что все тела состоят из малых атомов — первовеличин. Тела различаются • между собой по форме, положению и способу соединения составляющих их ато- мов. Некоторые его высказывания о математических бесконечно малых и о применении их к определению некоторых геометриче- ских величин отражают его атомистические взгляды. Однако о математической стороне подобных высказываний и исследований известно слишком мало. Гораздо больше известно о возражениях их научных противников. Мы имеем здесь в виду апории Зенона (род. ок. 500 г. до н. э.), т. е. логические парадок- сы, к которым приводят попытки получать непрерывные величины из бесконечного множества бесконечно малых частиц. Среди апорий наиболее известны: а) дихотомия, т. е. невоз- можность осуществить движение, так как путь может быть делим до бесконечности (пополам, еще раз пополам и т. д.) и поэтому надо последовательно преодолевать бесконечное множество участ- ков пути (математически это сводится к отрицанию факта, что 3* 67
оо = б) Ахиллес, который не может догнать черепаху, k—\ так как ему надо последовательно достигать тех мест, где только что находилась черепаха, т. е. исчерпывать бесконечную по- следовательность отрезков пути (математически это оказа- лось возражением против уже известного тогда факта что V 1 « \ ч // ), в) полет стрелы делается невозможным, если fe=0 время считать суммой дискретных мгновений, а пространство — суммой дискретных точек. Апории Зенона убедительно показали, что если искать точные доказательства и логически исчерпывающие решения за- дач, нельзя пользоваться бесконечностью, опираясь на наивные атомистические соображения. Для подобных целей необходимо разрабатывать и привлекать методы, содержащие наряду с разно- видностями суждений о бесконечно малых элементы предельного перехода. Одним из самых ранних методов такого рода является метод исчерпывания. Изобретение его приписывают Евдоксу. Примеры его употребления приведены в двенадцатой книге «Начал» Евкли- да и в ряде сочинений Архимеда.- Метод исчерпывания применял- ся при вычислении площадей фигур, объемов тел, длин кривых линий, нахождении подкасательных к кривым и т. п. Математи- ческая сущность метода (разумеется, в форме, несколько отлич- ной от формы изложения древних греков), состоит в последова- тельности следующих операций: а) если необходимо, например, квадрировать фигуру В (рис. 14), то в качестве первого шага в эту фигуру вписывается последовательность других фигур Ль Л2, Л3,..., Лп,..., площади которых монотонно возрастают и для каждой фигуры из этой последовательности они могут быть определены; 68
б) фигуры Ah(k=\, 2, 3,...) выбираются таким образом, чтобы положительная разность В—могла быть сделана сколь угодно малой; в) из факта существования и построения описанных фигур делается вывод об ограниченности сверху последовательности «исчерпывающих» вписанных фигур; г) неявно, обычно с помощью других теоретических и практи- ческих соображений, отыскивается А — предел последовательности вписанных фигур; д) доказывается, для всякой задачи отдельно, что А=В, т. е. что предел последовательности вписанных фигур равен площа- ди В. Доказательство ведется, как правило, от противного. Пусть А=^В. Тогда В>А или В<А. Допустив, что В>А, выберем такой элемент последовательности Ап, чтобы В—Ап<В—А. Это возмож- но для любой фиксированной разности В—А. Но тогда должно быть Ап>А, что невозможно ввиду того, что в действительности А>Ап для любого конечного п. Противоположное допущение (В<А) тоже приводит к противоречию, потому что можно подо- брать такое Лп, чтобы А—Ап<А—В, Но тогда должно получить- ся, что ЛП>В, что невозможно. Методом исчерпывания доказывается, таким образом, единст- венность предела. В сочетании с другими методами он полезен для нахождения предела. Однако решения вопроса о существова- нии предела этот метод не может дать. В качестве примера метода исчерпывания приведем нахожде- ние квадратуры параболы у Архимеда. Требуется найти площадь косого параболического сегмента ЛВС, отсекаемого хордой АС. Касательная к точке В диаметра ВО, сопряженного с данной хордой, параллельна последней: АТВА^НЛС (рис. 15). Первой фигурой последовательности «исчерпывающих» фигур Л1 является ДЛВС. Вторая фигура Л2 получается добавлением к ДЛВС двух треугольников: ДЛОВ и &ВСЕ. Для построения последних делят Л С на 4 равные части и проводят FD\\OB й.СЕ||ОВ. Аналогично строятся фигуры Л3, Л4,..., Ап. Из свойств параболы получается: ДЛВС = 4(ДЛ£>В + ДВЕС). В са- мом деле, примем ОВ и MN соответственно за оси х и у косо- угольной системы координат1. Координаты точки Е^у X) удовлетворяют условию Y = откуда g = К 2 J 4т т 4т 4 т 4 4 Так как GK = -^-ОВ, то КВ = ОВ и GK = 2КВ. Теперь уже можно' сравнивать площади треугольников: 1 Мы применили здесь координаты, чтобы сделать изложение метода ком- пактным. ’ 69
A CKG = 2 Д КСЕ = ДВСЕ; &ОВС = 4 Д GKC = 4 А ВСЕ. Аналогичные рассуждения приводят к соотношению АЛОВ = 4ДАВ£>, и упомянутое свойство параболы доказано. Итак, если Д = Д, то Л2 = Д + — ; А3 = Д + ; 4 4 42 Ап = Д + — + ••• + • Теперь требуется доказать, что указан- ная последовательность фигур действительно «исчерпывает» парабо- лический сегмент, т. е. что S — Ап<е, где /г = п(е). Для этого описывается параллелограмм AMNC, у которого АА4||М2||ВО. Лх = -^-Samnc, но S<ZSamnc; значит, Лх> —5и 2 2 S — Лх<—S. Фигура А «исчерпала» больше половины площади S, а последующие фигуры будут исчерпывать больше половины соответствующих остатков площади S. Удовлетворена основная лемма метода исчерпывания: если от данной величины отнять часть, большую ее половины, затем отнимать снова и снова, то остаток может быть сделан сколь угодно малым. Следующим шагом должно быть нахождение предела последо- вательности вписываемых фигур. В сочинениях древних авторов обычно этот шаг не разъясняется. Однако данный случай составля- п—1 ет исключение. Архимед доказывает, что Ап /г=0 4 1 Д = —Д-----— . — ---— ; а раз ^вычитаемое может быть сделано сколь угодно малым, то он утверждает, что S = — Д. При этом Архимед опирается на следующую любопытную теорему: Пусть S = А + -[-B + C + D + E, причем А: В = В:С = С: D = D: Е = 4:1. Тогда 5 = — А-----—Е. В самом деле, образуем: 3 3 Л5 = А(Л + в + с + о + Е) = АЛ + 2_(Л + В + + c+d + £)-4-£; — S = — А + — S— E, 3 3 3 3 или S = -у- A--~E. Теорему можно распространить на любое число слагаемых. Решение задачи завершается доказательством от противного О 4 А единственности результата о = — А. з 70
Метод исчерпывания был одним из распространенных мето- дов античной математики. Им широко пользовался Архимед. Ранее этот метод включил в «Начала» Евклид, сделав его основой двенадцатой книги. Предельные переходы, совершавшиеся ранее часто в силу интуитивных или эмпирических соображений, полу- чили в методе исчерпывания первое теоретическое оформление, исторически первую форму метода пределов. Логическая строгость метода исчерпывания оставалась не- превзойденной в течение многих веков. По существу только в XIX в. были поставлены и начали получать разрешение проблемы, непосредственно вытекающие из логической сущности античного метода исчерпывания. Однако форма последнего была еще весьма несовершенной. Метод развивался только в связи с конкретными задачами: он не стал абстрактным методом с развитой системой исходных понятий и с единообразными алгоритмами. Единствен- ность предела доказывалась для всякой задачи заново. Этот не- достаток не был случайным, частном. Дело в том, что всякая попытка ввести это доказательство раз навсегда для определен- ного достаточно широкого класса задач неизбежно влекла за собой необходимость объяснить ряд понятий инфинитезимальной природы. Потребовалось бы дать рациональное объяснение поня- тия бесконечно близкого приближения, бесконечно малой величи- ны и т. п. Трудностей, связанных с этим, древние математики не могли преодолеть. Тем не менее метод исчерпывания лежал в основе многих инфинитезимальных методов и выдающихся конкретных дости- жений античных математиков, в первую очередь Архимеда (ок. 287—212 гг. до н. э.), которому принадлежит приведенный выше пример квадрирования параболического сегмента. Этот за- мечательный ученый был уроженцем Сиракуз (южная часть Си- цилии), сыном астронома и математика Фидия. Для усовершенст- вования своих знаний он некоторое время работал в Александрии в сотрудничестве с другими крупнейшими математиками. Возвра- тившись в Сиракузы, Архимед продолжал усиленные научные занятия. В последний период жизни он участвовал в обороне род- ного города от римских завоевателей, руководя постройкой слож- ных технических сооружений и изобретая военные орудия. Во время штурма и взятия Сиракуз Архимед был убит, а его биб- лиотека и инструменты разграблены. Сочинения Архимеда написаны преимущественно в виде писем. До нас дошли десять крупных и несколько более мелких сочинений математического характера. Основной особенностью математических сочинений Архимеда является применение строгих математических методов в механике и физике. Такая особенность делает труды Архимеда едва ли не наи- более ярким образцом развития прикладных математических зна- ний, техники вычислений и новых математических методов, в осо- бенности инфинитезимальных, в эпоху поздней античности. 71
Мы не ставим задачу дать полную характеристику сочинений Архимеда. Здесь мы рассмотрим вопросы о взаимопроникновении методов математики и механики в трудах Архимеда, о разработке им метода интегральных сумм и о его так называемых дифферен- циальных методах. Многочисленные механические изобретения и открытия Архи- принадлежат: архимедов винт, систе- мы рычагов, блоков и винтов для поднятия и передвижения больших тяжестей, определение состава спла- вов взвешиванием их в воде, плане- тарий, метательные машины и т. д. Известны и теоретические работы Архимеда по механике «О равнове- сии плоских фигур», где изложен закон рычага, «О плавающих те- лах», «Книга опор» и т. д. В творчестве Архимеда работы по механике занимали настолько большое место, что механические приемы и аналогии проникли даже в математические методы. До недав- него времени о таком проникнове- нии нельзя было судить достоверно. Вопрос окончательно прояс- нился после того, как в 1906 г. было найдено сочинение Архимеда «Послание к Эратосфену (Эфод)» о механическом методе решения геометрических задач. Метод состоял в следующем. Пусть необходимо, например, вычислить объем шара. Одно- временно с шаром строятся конус и цилиндр, радиус основания и высота которых равны диаметру шара. Затем через все эти тела проводится сечение, параллельное основаниям, на некотором произвольном фиксированном расстоянии от них (рис. 16) AK2=OK2+OA2 = OK2 + OL2; в то же время АК2=АВ-ОА. Следовательно, OK2 + OL2=AB-OA. Такое же соотношение между величинами, пропорциональными слагаемым: (лАВ2) -ОА = = (лОК2)АВ+ (n-OL2) -АВ, представляет собой соотношение между горизонтальными сечениями шара, цилиндра и конуса. Архимед дает этому соотношению механическую интерпрета- цию, основанную на правиле рычага, или, что то же самое, дву- плечных весов. Именно, если принять точку А за точку опоры рычага, то элемент цилиндра, закрепленный в О, уравновесит эле- менты шара и конуса, закрепленные в Т (АТ=АВ). Переходя к объемам тел, как к суммам всех произвольных сечений, парал- лельных друг другу, он получает: Уиил-ЛС = (Vmap + VKOH)-АТ = (Ушар + КОН)-2ДС; отсюда 72
V =—V —V v шар g v ЦИл У кон* Но так как Vkoh “ ~ Уцил> ТО Ущар = “7“ ^цил> И,ЛИ о О Ишар = -^л(2гГ.2 = Алг3. Тот же способ механической аналогии Архимед применил в сочинении- «О квадратуре параболы». Параболическая пластинка представляется подвешенной к одному плечу неравноплечного рычага и разделенной на элементы, каждый из которых уравнове- шен соответственной нагрузкой на другом плече. В соответствии с научной традицией своего времени Архимед переводил доказательства, полученные методом механической аналогии, на общепринятый язык метода исчерпывания с обяза- тельным завершением последнего в каждом отдельном случае доказательством от противного. Механические и физические аналогии и в последующие века часто с успехом применялись для решения трудных математиче- ских задач. Например, в середине XVIII в. петербургский акаде- мик Д. Бернулли из физических соображений нашел общее реше- ние уравнения колебания струны °° д2у » д2у VI . kitx в виде . 1 Д. Бернулли исходил из того, что звук, издаваемый колеблю- щейся струной длины I с закрепленными концами, равен сумме основного тона и обертонов. Отклонение (ордината) стру- ны в каждой точке в любой момент равно алгебраической сумме ординат, соответствующих основному тону и обертонам для дан- ного момента времени. Можно также указать в качестве примера на Б. Римана, который в середине XIX в. доказал, исходя из пред- ставления о данной поверхности как об однородном заряженном проводнике электричества и рассматривая потенциальное поле, что на каждой замкнутой римановой поверхности существует алгеб- раическая функция, отличная от постоянной. Следующей разновидностью инфинитезимальных методов античной древности является метод, который можно охарактери- зовать как метод интегральных сумм. Наиболее яркие примеры применения этого метода находятся в сочинениях Архимеда «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сфероидах». Существо этого метода в применении, например, к вычислению объемов тел вращения состоит в следующем: тело вращения разбивается на части, и каждая часть аппроксимируется описан- ным и вписанным телами, объемы которых можно вычислить. 73
Сумма объемов описанных тел будет больше, а сумма вписан- ных тел — меньше объема тела вращения. Теперь остается выбрать аппроксимирующие сверху и снизу тела таким образом, чтобы разность' их объемов могла быть сделана сколь угодно малой. Это достигается выбором в качестве указанных тел соот- ветствующих цилиндриков (рис. 17). В виде примера метода интегральных сумм приведем решение Архимеда задачи вычисления объема эллипсоида вращения в со- чинениях «О коноидах и сферои- j дах». Так он называет тела, образо- F ванные вращением конических сече- I ний вокруг большой оси: коноиды— пг---------b=nh это параболоиды и гиперболоиды Г вращения, сфероиды — эллипсоиды /--------------1 вращения. Конкретному решению L.-------------1 задачи предпослана лемма: если .---------------1 дан сегмент коноида, отсеченный --------L плоскостью, перпендикулярной оси, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Li или сегмент сфероида, отсеченный -----------------------------------------------------------~2а J тем же способом, то можно вписать ‘ ’-в него и описать около него фигу- рис 17 ры, состоящие из цилиндров равной высоты, таким образом, чтобы опи- санная фигура превосходила впи- санную меньше, чем на любую телесную (объемную) величину. Итак, дано тело вращения АВС и телесная (объемная) вели- чина е>0. Архимед делит ВО на п равных частей и строит опи- санные и вписанные цилиндры, суммы объемов которых соответ- ственно обозначает VOn и VBn- Их разность равна объему цилинд- рика ААЪ т. е. ла2- — , который подбором достаточно большо- го п может быть сделан сколь угодно малым. Теперь можно предположить, что на данном чертеже изобра- жен сегмент эллипсоида вращения и поставлена задача вычис- лить его объем. В таком случае п—1 ' Ven = nha.2 4- nhxj + nhxl + ... +ithxn-i = nh^xl (x0 = a). fe=0 Задача сведена к суммированию квадратов чисел. Далее Архимед производит геометрические преобразования, эквивалентные сле- дующим аналитическим преобразованиям: так жак----р — = 1, то х2 — — (Ь2 — у2) и для каждого се- * а2 Ь2 ь2 чения *1 = -£(62-^), 74
'X2 = -S(62-W)’ ь2 откуда П—1 Я—1 v.„= лЛ4 = ^Г^г-Л*£^], fe=0 v=l где v — последовательные натуральные числа. Для нахождения сумм квадратов последних Архимед применил геометрические оценки вида п—1 — с V(vW< з 7 з v=l данные им в сочинении «О спиралях». Фактически он производит геометрическую оценку вида п v=l откуда (так как nh = b) ь3 VI г t.x, I. ь3 . Ьа . Ь3 — < у (v/i)2 h<.---------—- Н-----—, 3 ZJ v 3 п п3 Зп3 v=l b что до известной степени эквивалентно оценке для J x2dx. Из этих оценок он получает Уоп>я h = / 1 \ 2 2 = л агЬ ( 1---) = — па2Ь. Аналогично Ув„< — ла2Ь. Но так как, X з J з вп з согласно лемме, Von — Увп <е, то искомый объем сегмента 2 V = — ла2Ь, т. е. равен удвоенному объему конуса с тем же ос- нованием и высотой, что и сегмент. Единственность предела Архи- мед доказывает, как и во всех других случаях, приведением к про- тиворечию. Приведенный пример показывает, что в античной математике сложился ряд элементов определенного интегрирования, в пер- вую очередь построение верхних и нижних интегральных сумм, аналогичных до известной степени суммам Дарбу. Другим примером метода интегральных сумм может служить определение площади первого витка архимедовой спирали: р = ср. Спираль вводится кинематически как траектория точки, подверг- 75
нутой двум равномерным движениям: вращению луча вокруг точ- ки и движению точки по лучу от центра (рис. 18). Для определе- ния площади первого витка окружность (г = а) делится на п час- тей. Вслед за тем строятся две последовательности вписанных и - а 2а. За описанных круговых секторов, радиусы которых —,--------, , ... , п п п лг2 ---= а. Их площади: Sk = —— , k = 1,2, ... , п. п---п Последовательности эти образуют вписанную и описанную фигу- ры, площади которых соответственно больше и меньше площади витка спирали: На основании оценок, приведенных в предыдущем примере, 17 яа2 д3 ’ ~3~ ла2 3 Т7 ЛЛ2 а также Von>—^—. 76
Но разность между аппроксимирующими суммами может быть сколь угодно малой. Следовательно, S= ——. Казалось бы, сходство метода интегральных сумм древних и определенного интегрирования полное. Такое впечатление усили- вается и тем, что мы модернизировали форму изложения. Поэтому необходимо отметить и их различие. Дело в том, что метод интег- ральных сумм древних опи- рается на интуитивное, строго не определенное понятие пло- щади и не использует арифме- тико-алгебраический аппарат. В нем не введены и не опреде- лены необходимые общие поня- тия: предела, интеграла, беско- нечной суммы и т. д, и не изучены условия применимости высказываемых теорем. Метод применяется для каждой кон- кретной задачи без выделения и оформления его общетеоре- тических основ. Наряду с методом инте- гральных сумм в античной математике были разработаны методы, которые ретроспективно могут быть оценены как дифференциаль- ные. Примером подобных методов может служить метод нахожде- ния касательной к спирали в сочинении Архимеда «О спиралях». Задача найти касательную к любой точке Р спирали решается обычным способом определения величины, соответствующей под- касательной ОТ (рис. 19). Предварительно доказывается лемма, ОРТ <—( ^РОТ = —, 2 \ 2 что по построению). Затем рассмат- ривается дифференциальный треугольник AFPR, по существу обра- зованный радиусом-вектором, близким к данному, дугой PR окружности радиуса ОР и продолжением касательной FP. Этот треугольник прямоугольный ^iPRF = -^-^ и приблизительно подобен треугольнику ОРТ, ибо ЛРТО= Z.FPR. Отсюда -----= ----, или, если перевести на более удобную для нас символику (0Р = р, PR = рДф, FR = Др), - = -2—, откуда рАф ОТ ОТ = р2 . Это общее соотношение в случае архимедовой спирали р = (р примет вид: ОТ = р2, или ОТ = рф. Таким образом, метод Архимеда заключается во введении практически достаточно малого треугольника, образованного при- ращением полярного радиуса-вектора касательной, соответ- 77
ствующей малой дугой окружности и отрезком касательной. Он играет роль дифференциального треугольника, что дает основание лричислить метод к разряду инфинитезимальных. Наряду с другими задачами и методами древности дифферен- циальный треугольник Архимеда явился предметом настойчивого исследования ряда выдающихся математиков XVI—XVII вв. Па- скаль и Барроу явно ввели его в мате- матику: первый — в составе своих инте- грационных методов, второй — при про- ведении касательных и при доказатель- стве взаимно-обратной зависимости меж- ду квадратурами и касательными. Лейб- ниц использовал этот треугольник как один из отправных пунктов при создании своего исчисления дифференциалов. К инфинитезимальным методам можно отнести и ряд других приемов и методов древних. Прежде всего отметим прием Динострата (IV в. до н. э.), кото- рый, отыскивая точку пересечения квад- нашел по существу значения пределов с осью абсцисс, = 1, lim = 1. ф—>0 ф ратрисы lim^L ф->0 ф Ординаты точек квадратрисы, как известно, пропорциональны соответствующим углам. Отсюда, обозначив ОА=г, получим л H(HL = yy. — =—> откуда У ф у является линией синуса для для некоторой произвольной точки = — (рис. 20). Учитывая, что л ф круга радиуса ОН и линией тангенса для круга радиуса OL, полу- чим = ОН . sin(P Л ф = OL-^* Ф При и OL-+OK. 1. 2г ф = 11Ш---- . — Ф-^О л tgф ср->0 ОН-* ОК Следовательно, ОК — . —— Ф->о л sin ф 2/* Тот факт, что ОК =-------, Динострат доказывает от противно- л го, опираясь на непрерывность квадратрисы и неравенство sin <р < <р < tg ф, доказывая тем самым оба замечательных предела. 2г Пусть ОК <------. На квадратрисе найдется точка Н, для л 2/* которой ОН =-------- для соответствующего угла ф. Тогда ордината л 78
этой точки у= <р и одновременно у = из свойства квад- л л/2 ратрисы. Из этого должно вытекать, что sin <р = <р, что невозможно. Предположение, что ОК> таким же образом приводит к невозможному заключению: <р= tg<p. Инфинитезимальные методы разрабатывались и для решения класса экстремальных задач. В сочинении Архимеда «О шаре и цилиндре» (кн. 2, пр. 4) поставлена задача разбиения шара (радиуса а) на два сегмента, объемы которых находились бы в заданном отношении т : п. Показано, что высота большего сегмента х удовлетворяет пропорции 4а2:х2 = (3а— х):—— а. т-\-п Показано также, что эта задача может быть обобщена: разде- лить отрезок а на две части х и а—х так, чтобы S : х2= (а—х) : с, где S — заданная площадь, ас — заданный отрезок. Чтобы эта последняя задача имела неотрицательные решения, надо нало- жить ограничения на область значений 5 и с. Из более поздней рукописи известно, что Архимед, отыски- вая геометрическое решение уравнения х2(а—x)=Sc, правильно находил, что максимум его левой части в области 0<х<а дости- 2 гается при х=~ а> тем самым он решал экстремальную задачу. Наконец, в античной математике рассматривались и так на- зываемые вариационные задачи. У Архимеда подобная задача встречается только один раз — в заключительном предложении сочинения «О шаре и цилиндре». Здесь рассматриваются изопо- верхностные сегменты различных шаров и доказывается, что сег- мент, имеющий форму полушара, имеет наибольший объем. Нем- ного позднее вышло сочинение Зенодора, в котором теория изо- периметрических фигур была строго и полно развита для мно- гоугольников, кругов и в некоторой степени для многогранников, простейших тел вращения и для сферы. Предложения экстре- мального характера были широко распространены в то время, под- час нося не чисто математический, а механический или даже на- турфилософский характер. Инфинитезимальные методы древней Греции послужили исходным пунктом многих исследований ученых-математиков XVI и XVII вв. Особенно часто изучались методы Архимеда. Лейбниц, один из основателей математического анализа, по этому поводу писал о том, что, изучая труды Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков. Инфинитезимальные методы образуют ту часть античной ма- тематики, которая формировалась под непосредственным давле- нием научно-практических запросов. Они выходили за рамки обра- зуемых в то время замкнутых математических систем, построен- ных на основе минимального числа основных положений. В ин- 79
финитезимальных методах получили первое выражение элементы новых математических средств, которые привели к созданию ана- лиза бесконечно малых. Отношения противоречия между совокуп- ностью подобных методов и замкнутыми логико-математическими системами в древней Греции представляют один из исторических примеров противоречий, являющихся движущей силой развития математических наук. 3.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ И МЕТОДЫ ПОЗДНЕЙ АНТИЧНОСТИ В сложном и многообразном научном наследии ученых древ- ности мы выделяем в качестве объекта изучения преимущественно те его стороны, которые ведут к созданию математических теорий. Последнее является наиболее характерной чертой математическо- го творчества в эпоху грече- ской античности. В то же вре- Г мя математические теории древних греков составляют х? классическую основу многих / £> важных проблем, относящихся / \ \ к основаниям современной ма- G /__________\Р х/у тематики, делая их особенно У х. ценны ми. --—J------X----Со (времени Евклида и Архимеда античная математи- Рис. 21 ка сильно изменяется как по форме, так и по содержанию. В силу причин, которые мы охарактеризуем ниже, процесс формирования математических тео- рий замедляется и наконец прекращается. Однако этот процесс был длительным и обозначился не сразу. Младшие современники Архимеда и ученые более поздней, античности оставили в своих сочинениях примеры теоретических исследований и даже развитых математических теорий. Среди них первое место по уровню теоре- тического развития и полноте рассматриваемых фактов занимает теория конических сечений. Ранее мы указывали, что конические сечения вошли в антич- ную математику как средство решения задач, не поддающихся ре- шению средствами геометрической алгебры, т. е. построениям с помощью циркуля и линейки. Для их получения пользовались геометрическими местами точек пересечения поверхности конуса (соответственно остро-, тупо- или прямоугольного) плоскостью, перпендикулярной одной из образующих конуса. При помощи этих кривых Менехм (IV в. до н. э.) дал решение задачи об удвоении куба. Не сохранилось сведений о том, как были впервые найдены свойства конических сечений, представляющие геометрический эквивалент их алгебраических уравнений. Однако задача обнару- 80
жения этих свойств разрешима элементарными средствами, в чем убеждают имеющиеся исторические реконструкции. Пусть, например, дан прямоугольный конус с вершиной в Т (рис. 21). Сечение его вдоль оси — КТ С, след кругового сечения, параллельного основанию — GH, след сечения, перпендикулярного образующей—АР. Перпендикуляр к сечению КТ С в точке Р пересечения с поверхность^ конуса обозначим у. Тогда y2 = PG-PH = V2 AP-AB = 2AP-AL. Если обозначить АР = х, AL = p, то получим уравнение параболы: у2 = 2рх. В случае, если конус не прямоугольный, то в чертеже добав- ляется только точка Ai пересечения со второй образующей или с ее продолжением. Обозначая в этом случае АР = х, А\Р = Х\, отрезок до оси AL = p (полупараметр), ЛЛ1 = 2аь получим у2 = 'АР-А^, или у2 = — хх±. ААХ а Эта реконструкция принадлежит Г. Цейтену. Она убедитель- но демонстрирует возможность вывода свойств конических сечений методами элементарной геометрии. При этом получается уравне- ние, отнесенное к осям, причем параметр 2р получает удобную геометрическую интерпретацию (полупараметр р равен отрезку AL от конической поверхности до оси). Интерес к коническим сечениям возрастал по мере того, как увеличивалось количество решаемых с их помощью задач. Свойст- ва конических сечений стали предметом специального теоретиче- ского исследования. Коническим сечениям был посвящен ряд сочи- нений. Однако, подобно тому как это имело место после появления «Начал» Евклида, все эти сочинения были забыты, когда появился труд Аполлония о конических сечениях. Он не имеет себе равных по полноте, общности и систематичности изложения теории кони- ческих сечений. Аполлоний (около 200 г. до н. э.) — младший современник и научный соперник Архимеда. Продолжительное время он жил и работал в Александрии. Затем возвратился на родину в г. Пергам (в Малой Азии), где был главой математической школы. Из многочисленных математических сочинений Аполлония до нас дошли в основном только 7 из 8 книг «Конических сечений». Пер- вые четыре книги дошли до нас на греческом языке — на языке оригинала, книги 5—7 сохранились только в переводе на арабский язык; предполагаемое содержание восьмой книги восстановил английский астроном и физик Э. Галлей (1656—1742) исходя из содержания первых семи книг и сведений, сообщенных коммента- торами Аполлония. Теория конических сечений развивается Аполлонием на основе достаточно общих исходных посылок. Он сразу вводит обе полости произвольного. конуса с круговым основанием и рассматривает произвольные плоские его сечения (рис. 22). Каждую из получаю- 81
щихся при этом кривых он рассматривает по отношению к некото- рому диаметру и семейству сопряженных с ним хорд. Из образую- щегося класса кривых выделяет канонические формы, в которых диаметры перпендикулярны к сопряженным с ними хордам. Аполлоний указывает, что эти канонические формы есть сечения конусов вращения. При таком способе рассмотрения обеспечивается единообра- зие подхода ко всем видам конических сечений. При этом в рас- смотрение включаются сразу обе ветви гиперболы. Отнесение к диаметрам и сопряженным с ни- ми хордам содержит в себе идею метода координат, хотя и в несовершенной форме. Свойство кривых, являющее- ся геометрическим эквивалентом их уравнения, формулируется с применением средств геометриче- ской алгебры. Пусть даны конические сечения: эллипс и гипербола (рис. 23 и 24). Диаметр у обоих обозначим АВ, Если из конца А оси опустить перпендикуляры АЕ = 2р и CF, то квадрат, построен- ный на CD, будет равен прямоугольнику AF: CD2 = CF*AC. Но CF = — Св( из и поэтому а \ 2р 2а J CD2 =—АС-СВ. а Положив АС=х, СВ=2а—х, получим соответственно урав- нения: у2 = — (2а — х) х и у2 = — (2а + х) х. а а 82
В первом случае прямоугольник CF используется с недо- статком, во втором — с избытком. Если нет ни недостатка, ни избытка, то имеет место парабола — простое равенство квадрата прямоугольнику со стороной 2р. Геометрическая алгебра, в терминах которой выражен гео- метрический эквивалент уравнений конических сечений, играет здесь примерно такую же роль, какую играет алгебра в аналити- ческой геометрии. Разумеется, при таких заключениях об исполь- зовании алгебры и координатного метода в теории конических сечений Аполлония не следует забывать, что, во-первых, системы координат Аполлония неотделимы от своих индивидуальных кри- вых; во-вторых, не введены еще координаты для всех точек плос- кости, как принадлежащих, так и не принадлежащих данной кри- вой; в-третьих, здесь нет еще и речи о сведении задачи соотне- сения точек осям координат к вычислениям, так как нет вообще стремления сводить геометрические задачи к алгебраическим. В качестве примера стиля рассуждений Аполлония приведем его определение параболы у2 = 2рх: «Если конус пересечен 8.3
плоскостью по оси и пересечен также другой плоскостью, которая пересекает основание конуса по прямой, перпендикулярной к основанию треугольника по оси, и если, кроме того, диаметр сече- ния параллелен той или другой из двух сторон треугольника по оси, то всякая прямая, которая проводится от сечения конуса па- раллельно общему сечению текущей плоскости и основанию кону- са до диаметра, взятая в квадрате, будет равна прямоугольнику, заключенному прямо из диаметра, отрезанного от нее до вершины сечения и некоторой другой прямой, которая имеет к прямой, взятой между углом конуса и вершиной сечения, такое отношение, какое квадрат основания треугольника по оси к прямоугольнику, заключенному остальными двумя сторонами треугольника. Такое сечение называется «параболой» L Первая книга «Конических сечений», помимо указанных выше основ теории, включает в себя теоремы о проведении касатель- ных. Речь идет о проведении опорной прямой, т. е. прямой через точку (хо#о), конического сечения у1 2 = 2рх±х2 таким образом, чтобы для всех других точек (ху) прямой удовлетворялось нера- венство у2 > Уо 2рх Т — х2 2рх0 Т — xi а а и Во второй книге содержится теория главных осей, асимптот и сопряженных диаметров. Доказывается, в частности, что у эл- липса, гиперболы или параболы имеется только одна пара взаим- но перпендикулярных осей, что если соединить прямой точку пе- ресечения двух касательных с серединой хорды, соединяющей точки касания, то эта прямая будет диаметром и т. п. Наконец, сообщаются способы построения центров и осей данного кони- ческого сечения и др. Третья книга начинается группой теорем о площадях фигур, образуемых секущими, асимптотами и касательными. Среди них такая, например, широко известная теорема: Если из точки про- ведем две касательные к коническому сечению и проведем парал- лельно им две секущие до их пересечения, то отношение квадра- тов, построенных на касательных, будет равно отношению прямо- угольников, построенных на секущих и их внешних отрезках. В этой же книге находятся теоремы о полюсах и полярах и о по- лучении конических сечений с помощью двух проективных или томографических пучков. Наконец, через свойства соответствую- щих площадей рассматриваются простейшие случаи проведения касательных, без использования точек касания, а также теория фокусов эллипса и гиперболы. 1 «Конические сечения», кн. 1, предл. 11; см. «Изв. Сев.-Кавк. гос. ун-та», 1928, т. 3 (15), стр. 141. 84
Первая группа предложений четвертой книги относится к гар- моническому делению прямых. Затем подробно разбирается воп- рос о наибольшем числе точек пересечения и соприкосновения двух конических сечений. , Книги 1—4 часто характеризуют как содержащие изложение основных свойств конических сечений. Следующие же книги счи- тают относящимися к специальным вопросам теории конических сечений. В пятой книге впервые решаются экстремальные задачи вроде задачи о кратчайшем расстоянии от данной точки до конического сечения. Здесь появляются элементы теории разверток в виде определения геометрического места центров кривизны. Шестая книга содержит разбор проблемы подобия конических сечений и обобщения задачи о построении семейства конусов, про- ходящих через данное коническое сечение. В последней из извест- ных, седьмой, книге исследуются вопросы, связанные с функциями длин сопряженных диаметров, параметров и т. п. Например, дока- зывается, что для эллипса (соответственно гиперболы) сумма (соответственно разность) квадратов сопряженных диаметров равна сумме (соответственно разности) квадратов осей. Или дру- гой пример: площадь треугольника, образованного двумя сопря- женными диаметрами и хордой, соединяющей их концы, — по- стоянна. Разработка диоризмов (ограничений, налагаемых на условия задач) в конце седьмой книги указывает, что восьмая книга, возможно, содержит задачи, примыкающие к теоретическо- му материалу седьмой книги. Так и трактовал восьмую книгу Э. Галлей, работая над воссозданием ее утерянного текста. Мы уделили сравнительно много места этой аннотации от- дельных книг «Конических сечений» Аполлония, чтобы показать, какого высокого уровня достигла теория конических сечений ан- тичной древности. Результатами этойг теории позднее воспользо- вались математики при создании аналитической геометрии. Из изложенного здесь и ранее видно, что большинство матема- тических теорий имело своим предметом геометрические объекты. Геометричность формы математической теории стала с течением времени ее непременным атрибутом. При этом геометричность идентифицировалась с общезначимостью математической теории,, ибо представлялось, что геометрические величины имеют преиму- щество наибольшей общности в классе математических величин. Нет, разумеется, оснований утверждать, что геометрические формы исчерпывали всю совокупность форм математической дея- тельности. Древние греки в практической области применяли большой комплекс арифметико-вычислительных методов. Эти методы проникали и в теоретические работы, дополняя теорию арифметико-алгебраическими и теоретико-числовыми элементами. Неудобства алфавитной системы счисления и неразработан- ность символов являлись серьезным препятствием для вычисли- тельных операций. В течение некоторого времени и требования 85
практики в этом отношении не были достаточными, чтобы стиму- лировать операции с большими числами. Вслед за сравнительно ограниченным набором чисел, имеющих названия, наступал порог, после которого число элементов представлялось неисчислимым. Чтобы устранить подобное несовершенство и показать неогра- ниченную продолжаемость натурального ряда чисел, Архимед написал специальное сочинение под названием «Псаммит» (исчис- ление песка). В нем строится система чисел, показывается, что она может быть продолжена сколь угодно далеко и служить для пере- счета любого конечного множества предметов. Система чисел Архимеда построена по десятичному принципу: единицы (монады), десятки (декады), сотни (гекады), тысячи (хилиа- ды), десятки тысяч (мириады) и т. д. Мириада затем рассматривается как основа счета до числа мириады мириад (108). Числа от 1 до 108 образуют первую октаду (от слова окто—восемь), а числа, в нее вхо- дящие, называются первыми. Далее следуют: вторая октада {108— 108 2), третья (108*2— 108’3) и т. д. до октады чисел октад- ных (1081°8), замыкающей первый период. Она является исходной единицей второго периода. Октада единиц этого периода (1081°8+8) будет единицей вторых чисел второго периода и т. д. Далее сле- дуют единицы чисел третьего периода (102 8108), четвертого (Ю3 8108) и т. д. до октады чисел октадных октадного периода (10l02*8 l°8). Получающиеся огромные числа воспринимались как своеоб- разные трансфиниты древности, шкала роста которых могла быть неограниченно продолжаема. Их с избытком хватало даже для такой задачи, как определение порядка числа песчинок, которые могут заполнить полностью всю вселенную. Чтобы сделать задачу возможно более определенной, Архимед, исходя из гелиоцентрических воззрений Аристарха Самосского, представляет вселенную как шар, в центре которого находится Солнце. Радиус шара Считается от Солнца до неподвижных звезд. Для дальнейшего уточнения задачи принимается, что диаметр вселенной во столько же раз больше диаметра солнечной системы, во сколько раз этот последний больше диаметра Земли. Архимед использует экспериментальные данные астрономов, округляя их в сторону увеличения. Единица измерения вселенной — песчинка принята за 0,0001 зернышка мака, которых требуется 40 штук, чтобы сравняться с шириной человеческого пальца. Подсчеты Архимеда показали, что искомое число песчинок будет не больше чем 1063, или тысячи (103) мириад (104) чисел восьмых (1078) первого периода. Архимеду приписывают и другую задачу, в которой требуется оперировать с чрезвычайно большими числами, — так называемую задачу о быках Гелиоса (бога Солнца). Для сокращения обозна- чим буквами б, ч, р, п — число быков соответственно белой, чер- ной, рыжей и пестрой масти, а буквами б', ч', р', п'— число коров тех же соответственно мастей. В стихотворной форме, ставится за- 86
дача определения численности стада, исходя из следующих ус- ловий: I. б = (4’ + _г')ч + р: 4. б< = (Ц- + т)‘ (ч + ч'); 2. Ч =(-1-_|__0Л + р; 5. Ч> = (-L + _L) . (п + п'У, 3- п = (б 4- р; 6. п' — (— + —'j • (р 4- р'); 7. P'=f4+vY <б+б'); \ 6 7 J 8. б-\-ч— есть точный квадрат; 9. п+ р— есть треугольное число; 10. б + ч + п+ р — есть тоже треугольное число. Первые 7 условий составляют систему семи уравнений-с во- семью неизвестными. Наименьшие численные решения дают об- щую численность стада 50 389 073 головы. Условия же 8, 9, 10 приводят, по позднейшим вычислениям, к нахождению наимень- шего, целочисленного решения неопределенного уравнения х2—4 729494z/2= 1, которое выражается только 206545-значным числом. Вычисление значений чисел, иррациональных или трансцен- дентных, вызвало к жизни идею приближения их рациональными числами. Например, в работе Архимеда «Измерение круга» число- л вычисляется с помощью вписанных и описанных многоугольни- ков и дает приближения 3< л<3—--. Оценки сверху и снизу вводятся также и для вычисления 780 и других квадратичных иррациональностей. В большинстве лишь существуют исторические реконструкции способов нахождения этих оценок; в античных источниках сведения об этом совершенно- недостаточны. Однако уровень вычислительно-практических приложений многих развитых математических теорий оставался все же сравни- тельно низким. Это объясняется преимущественно характером со- держания и формы‘Этих теорий: оторванностью от практики, при- нудительностью геометрической формы, ограничением совокуп- ности применяемых методов, отсутствием тригонометрии. Требо- вания астрономии к математике с достаточной силой сказались позже. Вслед за временем жизни и деятельности Евклида, Архимеда и Аполлония наступило время быстрого и коренного изменения античной математики как по содержанию, так и по форме. Эти 87
изменения в основном были обусловлены происходящими в то время грандиозными переменами в экономической, общественно- политической и культурной жизни народов. Главным процессом экономического характера был распад рабовладельческого способа производства, который привел к громадным революционным преобразованиям и к установлению феодального строя. Ф. Энгельс так характеризовал этот процесс в применении к Римской империи: «Античное рабство пережило себя. Ни в крупном сельском хозяйстве, ни в городских мануфактурах оно уже не приносило дохода, оправдывавшего затраченный труд, — рынок для его про- дуктов исчез. А в мелком земледелии и в мелком ремесле, до раз- меров которых сркратилось огромное производство времен рас- цвета империи, не могло найти применение большое число рабов. Только для рабов, обслуживавших домашнее хозяйство и роскош- ную жизнь богачей, оставалось еще место в обществе. Но отми- рающее рабство все еще было в состоянии поддерживать пред- ставление о всяком производительном труде, как о рабском деле, недостойном свободных римлян, а таковыми теперь были все граждане. Результатом было, с одной стороны, — увеличение числа отпускаемых на волю рабов, излишних и ставших обузой, а с другой стороны, — увеличение числа колонов и обнищавших свободных... Рабство перестало окупать себя и потому отмерло. Но умирающее рабство оставило свое ядовитое жало в виде пре- зрения свободных к производительному труду. То был безвыход- ный тупик, в который попал римский мир: рабство сделалось не- возможным экономически, труд свободных считался презренным с точки зрения морали. Первое уже не могло, второй еще не мог быть основной формой общественного производства. Вывести из этого состояния могла только коренная революция» L Коренные изменения экономической структуры общества сопровождались большими политическими событиями. Этй собы- тия, как правило, происходили в обстановке разрушительных войн, губительно влиявших на науку и культуру. Мировая импе- рия римлян в ходе завоевательных войн разрушила все научные центры и не создала условий для их восстановления и развития. Последующее крушение Рима тоже протекало в обстановке войн и разрушений. Феодальные государства Европы,-появившиеся в результате всех этих событий, были вначале, как правило, мелки- ми, хозяйство их — натуральным, образование и просвещение, а также научный и культурный обмен — ничтожными. Значение Александрии как основного научного центра в это время падает. Некоторое время там еще ведутся научные исследо- вания. Однако ряд неблагоприятных событий сводит эту работу на нет. Пожары Музейона нанесли непоправимый ущерб библио- теке. В начале нашей эры ученые были лишены государственной 1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 21, стр. 148—149. 88
материальной поддержки. Под давлением реакционного духо- венства закрывались нехристианские храмы и находящиеся при них школы. В 412 г. последняя группа александрийских ученых была разогнана, их руководитель, первая известная в истории женщина-математик Гипатия, растерзана по наущению христиан- ских священников, библиотека уничтожена. Оставшиеся в живых Рис. 26 ученые собрались в Афинах, где работали до 529 г., когда их дея- тельность была запрещена официальным указом. О тех изменениях, которые произошли в математике за этот период времени, мы можем судить по дошедшим до нас матема- тическим сочинениям. Последние прежде всего - показывают, что резко замедлился, а затем совсем прекратился процесс образова- ния математических теорий. Результаты, подчас очень важные по существу и красивые по выполнению, делаются все более част- ными, специальными. Приведем два примера. Так, Никомед (II в. до н. э.) исследовал частный вид конхоиды — плоской кри- вой, получающейся при увеличении или уменьшении радиусов-век- торов данной прямой (общий случай — данной кривой) на одну и ту же величину (рис. 25). Кривую эту Никомед получил, исследуя проблему образования вставок для решения задач о трисекции 89
угла и удвоения куба. К исследованиям подобного рода относится изучение циссоиды Диоклесом как геометрического места точек пучка прямых с центром в А, таких, что AM = PQ (см. рис. 26). Эти и другие исследования, отдельные результаты (вроде изопери- метрических проблем Зенодора) надолго вошли в математику. Однако они представляли собой только отдельные, размельченные результаты, уже не ведущие к созданию новых классических на- правлений, новых классических теорий. В математике поздней античности и эпохи владычества Рима все большее место занимают практические вычислительные методы и задачи. Образцом работ подобного направления являются математические работы Герора из Александрии (I—II вв. н. э.), в особенности его «Метрика». Стиль последней — рецептурный: для определенных классов задач формулируются правила, справедливость которых подкрепляется примерами. В «Метрике» содержатся: правила для точного и приближенного определения площадей геометрических фигур и объемов тел, пра- вила численного решения квадратных уравнений и извлечения (преимущественно приближенного) квадратных и кубических корней. В частности, в ней приводится известная формула Герона для вычисления площади треугольника по трем его сторонам «$д = Vр (р — а)(р — Ь) (р— с) (а, &, с — стороны, р = Наконец, значительную часть содержания «Метрики» состав- ляет описание приемов землемерия и геодезических инструментов. В других сочинениях Герона: «Механика», «Пневматика», «Диоптрика» — систематически излагаются основные достижения античных ученых в области прикладной механики. «Метрика» в этом ряду сочинений играет вспомогательную роль математиче- ской (в прикладном смысле) энциклопедии. Значение прикладной вычислительной математики еще более подчеркивается той большой работой, которую математики вы- нуждены были вести в связи с составлением астрономических таблиц. Среди последних значительное место занимают таблицы хорд (что эквивалентно таблице синусов) Птолемея (II в. н. э.), где данные приведены через каждые 30' от 0 до 180°. На основе преимущественного роста вычислительной стороны математики, а возможно и под другими дополнительными влия- ниями, в математике поздней античности зародились элементы алгебры и начальные формы алгебраической символики. На это обстоятельство указывают методы и результаты Диофанта. Из математических сочинений Диофанта, жившего и работав- шего в Александрии (вероятно, в III в. н. э.), сохранилось 6 книг «Арифметики» и отрывки книги о многоугольных числах. Понятие многоугольных чисел возникло в пифагорейской математике как следствие геометрической интерпретации теоретико-числовых соот- ношений. Если обозначать числа точками и располагать их в виде каких-либо фигур, то частные суммы арифметических прогрессий 90
(вида ai = l, d=^n—2) могут быть изображены в виде семейства подобных многоугольников (см. рис. 27 для гъ=3, 4, 5), а соответ- ствующие числовые значения могут называться (и называются) многоугольными. Ко времени Диофанта эту идею распространяли также на пространство. При этом получались пространственные числа, изображаемые семейством подобных параллелепипедов, (в частном случае—кубов), пирамидальные числа (частные сум- мы последовательностей многоугольных чисел) и т. д. Операции с числами, точ- нее говоря, с рациональными числами, исследуются в «Ариф- метике» Диофанта. В первой книге он вводит основные арифметические понятия, пра- вило знаков при умножении, правила оперирования с много- членами, решает линейные уравнения. В последующих книгах со- держатся многочисленные задачи, приводящиеся к уравнениям с рациональными коэффициентами, имеющими рациональные корни. Диофант во всех задачах пользуется специальными число- выми значениями и производит только операции с числами, нигде не приводя общих теорем. Для обозначения неизвестного коли- чества в уравнении и для записи функций от него он был вынуж- ден разработать систему символов. Символика Диофанта основана на сокращении слов. В исто- рии развития алгебраической символики она знаменует переход от словесных выражений алгебраических зависимостей («ритори- ческая» алгебра) к сокращениям этих выражений («синкопиче- ская» алгебра). Следующей ступенью развития уже является чисто символическая алгебра. Неизвестная величина х в уравнениях Диофанта представлена специальным символом. Переписчики, впрочем, пользовались раз- ными символами, что не изменяет принципиально существа дела. Если неизвестное, которое мы обозначим |, входит в уравнение с коэффициентом, то оно обозначается что соответствует множественному числу. Для степеней х применяются символы: для х2—Sr (от слова S6(vapig — степень), х3—xv (от xofJoc;), х4—SS\ х5—6xv и т. д. Знак сложения не употребляется, для вычитания введен специальный знак—Равенство записывается словом Lcrog (равный), реже — буквой С Свободные члены уравнения имеют специальное обозначение ц° (от p.6va$ — единица). Систе- ма счисления — алфавитная. Символика, впрочем, не строго единообразная, имеет модификации. Об употреблении символики Диофанта лучше всего могут дать представление примеры: а) E|ioai|a означает х3 + 8х—(5х24-1) =х; б) i|apaip02iiooieio,tvii°Zs ta povaoi is означает 10x4-30=11x4-15. 91
С помощью подобной символики в книгах 2—6 «Арифметики» Диофант решает (т. е. находит одно из их рациональных реше- ний) многочисленные задачи, приводящиеся в большинстве к не- определенным уравнениям второй степени. Он нашел рациональ- ные решения около 130 неопределенных уравнений, принадлежа- щих более'чем к 50 различным классам. В каждом случае Дио- фант ограничивается нахождением одного корня. Общих методов решения неопределенных уравнений или классификации последних у Диофанта нет. Нет также доказательств; справедливость полу- ченного результата подтверждается только тем, что он при под- становке удовлетворяет условиям задачи. Общая теория диофантовых уравнений первой степени: ах + Ьу=1, где а и b — взаимно-простые целые числа, была построена в XVII в. французским математиком Баше де Мезириа- ком (1587—1638). Он также издал в 1621 г. сочинения Диофанта на греческом и латинском языках со своими комментариями. Над созданием общей теории диофантовых уравнений 2-й степени трудились многие выдающиеся ученые: П. Ферма, Дж. Валлис, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Гаусс. В результате их усилий к на- чалу XIX в. было в основном исследовано общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными и с целыми коэф- фициентами: ах2 + Ьху + су2 + dx + еу + f = 0^ Диофантовы уравнения являются предметом исследования и в современной математике. Так называются неопределенные алге- браические уравнения, или их системы, с целыми коэффициен- тами, у которых разыскиваются целые или рациональные реше- ния. Более широкая точка зрения на диофантовы уравнения состоит в том, что решения- этих уравнений разыскиваются в ал- гебраических числах. Фундаментальные исследования по теории диофантовых уравнений проведены советскими учеными А. О. Гельфондом, Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеевым и В. А. Тар- таковским. Имя Диофанта прочно закрепилось и в той части теории чи- сел, которая изучает приближения действительных чисел рацио- нальными числами. Эти приближения называются диофантовыми. К теории диофантовых приближений относят также вопросы, относящиеся к решению в целых числах неравенств .(или их систем) с действительными коэффициентами, и вопросы теории трансцендентных чисел. Центральное место в теории диофантовых приближений занимают методы и результаты академика И. М. Виноградова. Таким образом, сочинения Диофанта послужили по существу отправной точкой многих теоретико-числовых и алгебраических исследований. По отношению же к античной математике они ха- рактеризовали усиление алгебраических тенденций, расцвету ко- торых помешали (как и развитию всех отраслей математики) 92
упомянутые выше неблагоприятные общественно-экономические условия. К основным характерным чертам математики поздней антич- ности относится также большое распространение сочинений, являющихся комментариями классических сочинений. Преобла- дание комментариев является, несомненно, признаком упадка математического творчества. Однако сочинения комментаторов принесли большую пользу истории математики, сохранив в от- рывках или в пересказе многие классические и важные сочинения. Иногда комментарии являются единственным источником сведе- ний об утерянных сочинениях или забытых достижениях античных математиков. Одним из ранних комментаторов является t Гемин Родосский (около 100 г. до н. э.). По свидетельству. Прокла (V в. н. э.), Гемин излагал историю высших кривых: спирали, конхоиды, циссоиды и др. Ему принадлежит также одно из первых делений наук на теоретические (геометрия и арифметика) и практические (астрономия, механика, оптика, геодезия, правила счета). Другой крупный комментатор Теон из Александрии (IV в.) составил комментарии к «Началам» Евклида и к астрономическо- му трактату «Альмагест» Птолемея. Его дочь Гипатия коммен- тировала произведения Архимеда, Аполлония и Диофанта. Особое место в ряду комментаторов занимает Папп из Алек- сандрии (IV в. н. э.). Кроме комментариев .к сочинениям Евклида и Птолемея он написал большое сочинение «Математические кол- лекции», в котором подробно и со знанием дела изложил, со своими замечаниями, многие замечательные открытия своих пред- шественников. Из восьми книг «Математической коллекции» до нас дошли только шесть (книги 3—8). Пропавшие книги, по-ви- димому, содержали обзор греческой арифметики, на что указы- вают сохранившиеся отрывки. Третья книга посвящена истории решения задач удвоения куба и трисекции угла. Папп дает и свое решение первой из них, сводящееся к построению двух средних пропорциональных. Зада- чи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны и по- верхностей, составили четвертую книгу. Описание учения Зенодора об изопериметрических свойствах плоских фигур и поверхностей занимает первую половину пятой книги; учение о правильных телах вошло во вторую ее половину. Астрономии Папп посвятил шестую книгу. В ней содержатся комментарии к «Оптике» и «Феноменам» Евклида, к «О величинах и расстояниях» Аристарха, ж «Сферике» Феодосия и др. Седьмая книга — самая большая и разнохарактерная. Вначале в ней разъясняются методы анализа и синтеза древних и приводятся примеры. Затем следует знаменитая задача Паппа: пусть на плоскости задано п прямых. Найти геометрическое место точек, для которых произведение отрезков, проведенных из иско- мых точек под одинаковыми углами к п/2 данных прямых, имело 93
бы данное отношение к произведению отрезков, проведенных таким же образом к оставшимся прямым. Для значительного класса случаев Папп доказал, что искомым геометрическим мес- том являются конические сечения. Декарт в XVII в. решил зада- чу Паппа средствами своей аналитической геометрии. Вслед за задачей Паппа в седьмой книге разбирается теоре- ма, известная ныне как теорема Гюльдена: объемы тел, образо- ванных вращением линии или поверхности, относятся как произ- ведения площадей образующих фигур на длину окружности, описываемой их центрами тяжести. Остальное место в седьмой книге занимают комментарии к трудам Аполлония о трансверса- лях и ангармоническом отношении. Последняя, восьмая, книга посвящена практической механике и связанным с ней геометрическим задачам и теоремам. Среди последних имеется, например, следующая теорема: если три мате- риальные точки, находящиеся в вершинах треугольника, двигают- ся одновременно в одном направлении по периметру со скоростя- ми, пропорциональными длинам сторон, то положение центра тяжести не меняется. Последние из наиболее значительных комментаторов — Прокл (V в.) и Евтокий (VI в.)—принадлежат к афинской школе, существовавшей некоторое время после разгрома научного центра в Александрии. Прокл интересен тем, что в, сочинениях нематема- тического (комментарии к сочинениям Платона) и математическо- го (комментарии к «Началам» Евклида) характера воспроизвел много фактов из истории античной математики. Евтокий написал обстоятельные комментарии к сочинениям Архимеда и Аполлония. Он в большем объеме, нежели Прокл, приводил отрывки из сочи- нений предшественников. Особенно много отрывков он подобрал к знаменитым задачам древности. В частности, он воспроизвел 11 решений задач об удвоении куба, принадлежащих разным уче- ным от Архимеда до Паппа. Деятельность комментаторов прекратилась в VI в., после закрытия афинской школы. В бассейне Средиземноморья в разви- тии математики наступил длительный перерыв. Наш обзор античйой математики является, естественно, не- полным. Трудно в данной книге уделить ему больше места. Однако, по нашему мнению, приведенных материалов достаточно» чтобы сделать выводы о характере развития математики в рас- сматриваемый период. Математика древней Греции представляет собой один из самых ранних примеров становления математики как науки и образования в ней всех ее составных частей. Главными особен- ностями античной математики являются возникновение, бурный рост и приостановка развития ряда математических теорий. В рамках математических теорий античной древности воз- никали и развивались элементы более поздних математических наук: алгебры, анализа бесконечно малых, аналитической геомет- 94
рии, теоретической механики, аксиоматического метода в матема- тике. Однако оторванность результатов математических теорий от практики, узость их геометрической формы предопределили огра- ниченность области и времени их развития. Ограничительные тен- денции в выборе объектов и методов математического исследова- ния, привнесенные в математику под давлением господствующей идеалистической философии, только усугубляли эти трудности раз- вития теории. Внутренние противоречия развития математики в период их усиления совпали с неблагоприятными общественно-политически- ми условиями эпохи распада рабовладельческого строя, сложив- шимися в силу изменения способа производства. Так, экономиче- ские факторы конца рабовладельческой экономической формации оказались в конечном счете определяющей причиной временной приостановки теоретического и практического развития матема- тики. Для нового подъема математической науки был нужен новый подъем производительных сил человеческого общества. В Европе и в районе Средиземноморского бассейна этот принципиально новый подъем наступил только спустя много веков — начиная с эпохи так называемого Возрождения, эпохи конца феодализма и начала развития капиталистического способа производства. При этом одним из главных источников новых математических идей было освоение классического наследия математиков античной Греции — Евклида, Архимеда и др.
Глава 4 РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ 4.1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПЕРИОДЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ По установившейся периодизации истории математических наук к периоду элементарной математики относят, как было упомянуто в первой главе, огромный промежуток времени — около 1000 лет (от VI—V вв. до н. э. и до XVI в.). Столь длительные периоды не редкость в истории науки. Они, как правило, относятся к ранним этапам ее развития. Это объяс- няется либо тем, что удалось найти некоторое единство в разви- тии науки в рассматриваемый период, либо неполнотой наших знаний о нем. Что касается названия рассматриваемого периода, то следует сказать, что попытка определить содержание понятия элементар- ности является совсем не элементарной задачей. Более того, само это понятие не может быть определено логически строго раз и навсегда. В разные исторические периоды его наполняли и на- полняют различным содержанием. В наши дни, когда называют какое-либо математическое суждение элементарным, с этим связы- вают в большинстве случаев представление о чем-то укладываю- щемся в рамки программы по математике общеобразовательной средней школы. Рассмотрим конкретно содержание и пути основных потоков развития математики в этот период. Это в основном математика постоянных величин, уровень ее в самом деле мало в чем превос- 96
ходит уровень знаний, определенных программой средней школы, и по существу имеет с ней много общего. В этом проявляется еще раз связь между историческим и логическим в развитии матема- тики, связь, подтверждающая известный марксистский тезис, что логическое в науке есть историческое, но лишь переосмыслен- ное и приведенное в некоторый порядок. 4.2. О МАТЕМАТИКЕ НАРОДОВ СРЕДНЕЙ АЗИИ И БЛИЖНЕГО ВОСТОКА На обширных территориях, от северо-запада. Индийского по- луострова до северного побережья Африки и юга Испании, с давних времен существовали многочисленные восточные империи. Созданные нередко путем завоеваний, огромные, но не связанные в единый хозяйственный организм, они не обладали политической устойчивостью и имели сложную, полную превратностей судьбу. Научные и культурные традиции населяющих их народов развива- лись в таких условиях сравнительно медленно. Начиная с VII в. по всем этим землям прокатилась волна завоевательных войн, начатых племенами, населявшими Аравий- ский полуостров, под давлением острого хозяйственного кризиса. Эти войны приняли форму борьбы за господство новой религии — ислама (или, как ее иначе называют, магометанства). В течение ряда веков образовалась колоссальная область торгового обмена и экономических связей. Возникли большие города — центры тор- говли, ремесел и административного управления. Господствующее положение заняла магометанская религия, а арабский язык стал языком официальных документов, религиозных книг, научных трактатов и художественно-поэтических сочинений. Сложившиеся условия хозяйственной и политической жизни благоприятствовали развитию математики. Знания математики требовали нужды государственного управления, ирригации, строи- тельства, торговли и ремесел. Международные связи, осущест- вляемые с помощью длительных путешествий по морям, горам и неизведанным местностям, способствовали развитию матема- тики, географии и астрономии.' Поэтому многие восточные правители и целые .династии про- водили политику государственного покровительства наукам. В ап- парате государственного управления появились специально опла- чиваемые ученые. Для них строили обсерватории, собирали библиотеки из древних сочинений, которые разыскивали всюду и переводили на арабский язык. В результате сложилась своеобразная система математиче- ских знаний. Преобладающее место в ней заняло создание разно- образных вычислительных методов и измерительных средств для нужд торговли, административного управления, землемерных работ, картографии, астрономии, для составления календаря и т. д. В эту систему влились в то же время данные античной греческой 4 К- А. Рыбников 97
науки, классические трактаты Евклида, Архимеда, Аполлония и др. В ней вместе с тем получили развитие сведения из матема- тики народов Индии и Китая, а также коренного населения стран Ближнего и Среднего Востока. Освоение и переработка многочисленных источников и подготовка квалифицированных ма- тематиков потребовали, разумеется, немало времени. Поэтому для арабской математики (как мы будем ее иногда называть для краткости, несмотря на необоснованность этого термина) харак- терна некоторая многоплановость, пестрота в постановке задач, в методах их решения и даже в символике. Складывающаяся под столь многообразными влияниями система математики получила так много оригинальных черт, что сделалась качественно отлич- ной от своих источников. Рассмотрим подробнее вопросы о ха- рактерных особенностях математики средневекового Востока и о достигнутом уровне развития математических наук. Вопрос о дифференциации математики по отдельным странам и о взаимных влияниях ввиду его специфичности и неразработанности затраги- вать здесь не будем. В вычислительной практике арабоязычных народов равно- правно действовали обе системы счисления: десятичная абсолют- ная и 60-ричная. Первая была заимствована из Индии не позднее VII в. н. э. и быстро получила широкое распространение. Из ариф- метического трактата Хорезми (IX в.) «Об индийских числах», переведенного в XII в. на латинский язык, десятичная система стала известна в Европе. Параллельно с десятичной сохранялась и регулярно употреблялась в астрономических обсерваториях унаследованная от вавилонян 60-ричная система счисления. В духе математиков древнего Вавилона составлялись и использовались вспомогательные таблицы наподобие таблицы умножения (от 1-1 до 59-59). Даже в сравнительно позднее время (ок. 1427 г.) в об- серватории узбекского хана астронома Улуг-бека под г. Самар- кандом находились в употреблении как десятичная, так и 60-рич- ная системы. Для удобства вычислений были разработаны прави- ла перевода из одной системы в другую. Регулярные правила существовали для вычислений с дробями: простыми и десятич- ными. (В Западной Европе десятичные дроби были введены только около 1585 г. фламандским математиком и инженером С. Стевином). В арсенале арабских математиков накопилось много вычис- лительных приемов и специальных алгоритмов. Приведем неко- торые из них, чтобы продемонстрировать уровень вычислитель- ной техники. а) Получение до 17 верных знаков числа л с помощью впи- * санных в окружность и описанных правильных многоугольни- ков. Вычисления были проведены в первой половине XV в. Каши и были доведены до определения сторон правильного 3 ^^-уголь- ника. Более чем через 150 лет, в 1593 г., в Европе Ф. Виет нашел лишь 9 правильных десятичных знаков л с помощью 98
3-217-угольников. Только на рубеже XVI и XVII вв. (ван Роу- мен, 1597) результат Каши был повторен, а затем превзойден. б) Вычисление корней способом, известным ныне как метод Руффини — Горнера. Можно предположить, что этот метод вос- принят в результате тесных связей с китайскими математиками. В развитии метода было учтено, что последовательное вычисление знаков корня у q = а, Ьс ... связано с отысканием последова- тельных разностей q — an, q — (a+ —Y, q— (a + — H-------------— Y, ... v V io J 4 V io loo J При этом обнаружен и сформулирован ряд биномиальных разло- жений вида: (а + 1)" — ап = С1пап~1 + С2пап~2 + ... + С%~'а + 1; (а + Ь)п — ап = Cxnan~xb + С2пап~2Ь2 + ... + + 6"; высказано правило образования биномиальных коэффициентов Ст _________________________' f>m । 1 п з—Л» л—1 ~г '-'П—-1 • В Европе таблица биномиальных коэффициентов (для п^17) опубликована лишь в 1544 г. (Штифель), а описанный метод перекрыт Руффини (1804) и Горнером (1819). в) Приближенное извлечение корней. Известный в древности прием Vq = VT* + r^T + *гДе ? — целое, был распро- странен к XV в. (Каши) на случай любого натурального показа- теля корня. Основой этого приема было линейное интерполиро- вание, т. е. рассуждения типа: \ положим rt<- (х1 = Тп; У1 = Т ) у = у х; при ( 1 х = х, 4- г. (х2 = (7 + 1)"; у2 = Т + 1) Тогда у = у! + ~^~У1 (х — хх) = Т Н-------------. воспринято в десятичной ха — от индийцев было применявшееся как (z=60ft) системах. По-видимому, П г— 1 П V q = — у qzn, z так и в 60-ричной Распространение подобных приемов ния корней отмечено в Европе лишь с середины XVI в. г) Суммирование арифметических и геометрических £ ak(k = 1,2,3, 4). приближенного правило (z=10ft), извлече- г) Суммирование арифметических сий, включая нахождение сумм вида прогрес- На- пример: 99
Г п "1 п _ п П 2 а — 1 а=1 а=1 La=l J Преобладающее влияние вычислительной части математики оказало влияние на трактовку многих теоретических вопросов. Особенно интересен вопрос о понимании алгебраических ирра- циональностей. Стремление к производству операций над ними характерно для всей арабской ^математики. Например, в со- чинениях Хорезми (IX в.) уже встречаются операции над квад- ратичными иррациональностями. Аль-Кархи (XI в.) ввел многие преобразования иррациональностей, в том числе YVa±Vb = 1 / а + Уа^-Ь^ ± а — Уаг—& f 2 f 2 Аль-Баки (ок. 1100 г.), как и Аль-Кархи, комментировал де- сятую книгу «Начал» Евклида, поясняя ее теоремы числовыми примерами. В силу такого подхода и частого применения вычислений иррациональностей грань между рациональными числами и ир- рациональностями начинает стираться. К представлению о числе как о собрании единиц прибавились представления об отноше- ниях непрерывных величин. Была установлена адекватность геометрической несоизмеримости с арифметической иррациональ- ностью. Последние вошли в класс чисел на основе разработан- ных для них правил оперирования. В математике вместо двух обособленных понятий — числа и отношения — возникла новая, более широкая концепция действительного положительного числа. Уже в XIII в. (Насирэддин, 1201—1274) этот факт был констати- рован с полной определенностью: «Каждое из отношений может быть названо числом, измеряемым единицей, так же, как пред- шествующий член отношения измеряется последующим членом» *. Идея создания единой концепции действительного числа пу- тем объединения рациональных чисел и отношений, появившаяся у математиков поздней античности, получила на Ближнем Востоке некоторое завершение. В Европе подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI в. в связи с бурным развитием вычислительных средств ученые начали ее сознавать. Однако с равносильной сте- пенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х го- дах XVII в., а опубликована еще позднее (1707) в его «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу. Число * Мухаммед Насирэддин Туси. Трактат о полном четырехстороннике. Баку, Изд-во АН Азерб. ССР, 1952, стр. 22. 100
бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное—кратной долей еди- ницы; иррациональное число несоизмеримо с единицей» Ч Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось й на ее структуре. В ней срав- нительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве само- стоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов, например: геометрическая алгеб- ра древних греков, группировка однотипных задач и попытка вы- работать для каждой группы единый алгоритм в древнем Вавило- не, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени, и т. д. В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраи- ческие элементы были впервые выделены и собраны в новый спе- циальный отдел математики, был сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая теория. В ка- честве примера такого подхода приведем высказывание средне- азиатского математика О. Хайяма (ок. 1040 — ок. 1123 гг.): «Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это абсолют- ное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно опре- делить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, ана- лизируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, свя- зывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершен- ство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных... Алгебраиче- ские решения, как это хорошо известно, производятся лишь с по- мощью уравнения, т. е. приравниванием одних степеней другим»1 2. Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале XII в. Источником их сведений об алгебре явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса аль-Хо- резми (далее сокращенно Хорезми), жившего в первой половине IX в. Название в переводе означает: книга об операциях джебр (восстановления) и кабала (приведения). Первая из операций, имя которой послужило названием для алгебры и служит до настоящего времени, состоит в переносе членов уравнения из одной стороны в другую. Вторая — операция приведения подоб- ных членов уравнения. Решение уравнений рассматривается как 1 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М., Изд-во АН СССР, 1948, стр^ 8. 2 F. Woepcke. L’algebre d’Omar Alkhayamae. Paris, 1851, p. 5. Математические трактаты О. Хайяма впервые были опубликованы на русском яз. в 1953 г. в сб.: («Историко-математические исследования», вып. 6. М., Физматгиз, 1953, стр. 15—172, с примечаниями А. П. Юшкевича и Б. А. Ро- зенфельда. 101
самостоятельная наука. В книге содержатся систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени вида ах = Ь; х2 + Ьх = а; ах2 = 6; х2 + а = Ьх\ ах2 = Ьх\ Ьх-\- а = х2. Хорезми приводит как арифметические, так и геометрические ре- шения приведенных уравнений. Метод нахождения геометриче- ских решений состоит в приравнивании площадей, специально подобранных для геометрической интерпретации уравнения. На- пример, дано уравнение х2+ах=Ь. На рис. 28 площадь S = x2 + 4(^Y + 4.^x = (^ + ax) + 4/-^Y==6+4. \ 4 J 4 \ 4 J 4 В то же время 2 а2 4 ’ откуда а2 4 ’ Хорезми пользовалась большой известностью. Термин укоренился х = Книга «алгебра» в математике. Осталось в этой науке и имя автора (аль-Хорезми) в латинизиро- ванном виде: алгоритм. Вначале это слово обозначало фамилию, затем нумерацию по позиционной системе, а теперь — всякую систему вычислений, производимых по стро- го определенным правилам и заведомо при- водящих к решению поставленной задачи. В ходе развития науки изменялось содержа- ние понятий, вложенных в эти термины, но термины сохранились. Хорезми не высказы- вал мысли о своем приоритете в алгебре. Видимо, оба приема — джебр и кабала — были уже широко распространены в его время. Алгебраические арабские трактаты IX—XV вв. помимо реше- уравнений 1-й и 2-й степени включали в себя и кубические ния уравнения. К последним приводили разнообразные задачи: а) рас- сечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание сторо- ны правильного 9-угольника; г) отыскание стороны правильного 7-угольника и др. Одна из задач оптики: найти на данной окруж- ности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки А, от- разился в другую заданную точку В, — приводила к уравнению 4-й степени. 102
В методах решения кубических уравнений отразилось много- образие средств, присущее математике арабских ученых. Ряд трактатов содержит попытки численного решения этих уравнений; другие трактаты отражают античное влияние. В них строится теория решения кубических уравнений с помощью пересечения конических сечений. Численные решения этих уравнений развивались начиная от способа проб (Бируни, 972—1048) до изящного итерационного быстро сходящегося, метода Каши (ок. 1420 г.). Рассмотрим последний метод подробнее. В самаркандской обсерватории Улуг- бека, оснащенной совершенными инструментами, составлялись, как мы упоминали выше, таблицы синусов с частотой через Гис точностью до девятого знака. Решающую роль в этой работе играла, как известно, точность вычисления синусов малых дуг, скажем sin Г. Исходя из sin 72° и sin 60°, Каши нашел sin 3°. Для нахождения отсюда sin 1° он получил (созср = 4 cos8 -------- — 3 cos кубическое уравнение х3+0,785 039 343 364 4006=45 х. Возьмем для удобства пояснения метода уравнение в общем виде: q I г-, п "4“ Q х3 + D — Рх, или х = — Первое приближение, в силу малости х, а следовательно и х3, принимается xt — = а. Результат вычисляется приближен- ный, с условием, чтобы остаток от деления R был такого же по- рядка малости, что и а3. Второй этап: положим х = а + у, а + у = у= . Г г R имеет порядок а3; он велик по сравнению с а3у. Новое прибли- жение получается, если пренебречь в числителе членами, содер- жащими у: У Р Р Третий этап: y=b+z, и операции повторяются в том же порядке, как во втором этапе. По этому способу получаются следующие последовательные приближения:. Q х, — а — — 1 Р , aS-bQ х2 = а 4- b = — 103
Xs = a + 6 + c = (£±^±£; Процесс сходится при Зх2<г<1, что в данном случае ввиду малости х име,ет место. • Этим способом было найдено 17 верных знаков sin 1° в де- сятичной системе (результат вначале был получен в 60-ричной системе). ‘ Такая степень точности позволила вычислять таблицы тригонометрических функций с точностью до девятого знака. Такой уровень техники приближенных вычислений в Европе был достигнут лишь к концу XVI в. Другое направление в решении кубических уравнений осно- вывалось на получении геометрического образа "положительного корня путем пересечения подходящим образом подобранных конических сечений. В сочинениях подобного типа авторы отчет- ливо выделяли алгебру как особую математическую дисциплину, систематизировали все виды уравнений первых трех степеней по расположению членов по обе стороны знака равенства, находили условия существования положительных корней уравнений — сло- вом, создавали элементы общей теории уравнений. Большим не- достатком алгебры в это время было отсутствие символики, сло- весное описание операций. Это задерживало развитие алгебры. Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы древних, в особенности результаты Птолемея и Менелая, операции с линия- ми синуса и косинуса у древних индийцев, накопленный опыт астрономических измерений. На основе этого разнородного материала математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригоно- метрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и вы- сокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических тре- угольников, способы их решений. Получилась богатая фактами стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической. Такую систему представляет, например, сочинение Насирэддина (1201—1274) «Трактат о полном четырехстороннике», где: I) раз- вита теория отношений; 2) изложена теория фигур, состоящих из четырех попарно пересекающихся прямых; 3) собраны способы решения плоских и сферических треугольников; 4) решена задача об определении сторон сферического треугольника по трем углам. Вместе с выяснением практического значения тригонометрии 104
последняя изменила свой облик. В ней стал преобладать материал об алгебраических зависимостях тригонометрических функций и о вычислительных средствах и возможностях тригонометрии. Из-за отсутствия удобной символики еще задерживалось чисто анали- тическое построение тригонометрии. Итак, тригонометрия в математике средневекового Востока стала отдельной математической наукой. Из совокупности вспомо- гательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треуголь- никах и о способах решения этих треугольников. Алгоритмически- вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специфической симво- лики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналити- ческий облик. Однако для этого шага понадобилось еще много времени. В дальнейшем тригонометрия стала развиваться со вто- рой половины XVI в. в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания и астрономии. В конце XVI в. начало входить в употребление и название науки — «тригонометрия». В настоящей главе мы уделили мало внимания геометрии. Это понятно: не геометрические интересы были главными, опре- деляющими в общем потоке математических достижений. Но до- шедшие до нас математические сочинения среднеазиатских и ближневосточных математиков неоспоримо свидетельствуют о вы- соком уровне геометрических знаний. Математическая литература того времени богата переводами сочинений Евклида, Архимеда, Аполлония и других авторов античной Греции и комментариями этих сочинений. В арабских рукописях сохранились многие дости- жения древности. Нередко эти рукописи являются единственным источником многих немаловажных сведений о предшествующем развитии математики и научной основой математического творче- ства европейских ученых Возрождения. В ряду геометрических сочинений обращают на себя внима- ние глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочине- ниях Хайяма (XI в.) й Насирэддина (XIII в.) мы находим попыт- ки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом могут быть поставлены в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии, подвергавших логическому анализу систему аксиом и постулатов геометрии Евклида. Примерно в середине XV в. развитие математических наук в описываемых нами здесь районах замедляется и прекращается. Причины этого явления коренятся в наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше. Народы Средней Азии, Ближнего Востока и Северной Африки в силу исторически сложившихся условий оказались задержанны- ми на феодальной стадии развития, жили в обстановке войн и политических неурядиц, подвергались возраставшему колониаль- 105
ному нажиму сильных капиталистических стран. Прогресс науки, в том числе и математики, оказался приостановленным на не- сколько столетий. 4.3. МАТЕМАТИКА В ЕВРОПЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА И В ЭПОХУ ВОЗРОЖДЕНИЯ На европейском континенте математика имеет не столь древ- нее происхождение, как во многих странах Ближнего и Дальнего Востока. Если не считать математики римлян (о которых мы не будем специально говорить из-за недостатка места, а также из-за слабого уровня научно-теоретического развития и влияния на последующее развитие математики), то заметных успехов в Европе математика достигла только в эпоху развитого средне- вековья и особенно Возрождения. Наступление эпохи средних веков в Европе, или эпохи феодализма, относят к V в. н. э., к тому времени, когда пала западная Римская империя. В течение V—X вв. происходит длительный процесс становления феодаль- ных отношений в Европе, раздробленной на множество владений. Экономика этих владений имеет натуральный характер, обмен весьма слаб. На XI—XIV вв. падает пора расцвета феодализма. В это время происходит разделение труда между городом и де- ревней, ремеслом и земледелием. Растут города и развиваются товарно-денежные отношения. В XII—XV вв. в борьбе и войнах складываются национальные государства. В XIV в. феодальный мир потрясают крестьянские войны, в которых за религиозной окраской нетрудно разглядеть их антифеодальную сущность. В XV—XVIII вв. происходит созревание в недрах феодализма капиталистических отношений и разложение феодального уклада. Начало этого последнего периода, т. е. XV и XVI вв., в культур- ном и идеологическом развитии ряда стран Западной и Централь- ной Европы известно под именем Возрождения. Техника средневековой Европы, вначале примитивная и разобщенная, приобретает к концу этого периода массовый ха- рактер, а уровень технических достижений быстро повышается. Вот несколько примеров. Добыча руд и металлургия, начатая в VIII в., набирала силу в течение четырех веков и в XII в. превра- тилась в заметную область европейской промышленности. В том же веке были открыты свойства магнитной стрелки. Около 1000 г. появилось стекло, но шлифовка и амальгамирование стекла для изготовления очков, зеркал, подзорных труб были введены лишь в XIV в. Около. 1100 г. изобретены часы с колесным, позднее с колесно-пружинным механизмом, а через 100 лет — часы с боем. Бумага стала входить в обиход в Европе с XII в., а книгопечата- ние было изобретено лишь в середине XV в. В период XIII— XIV вв. все шире стал применяться порох- Эти примеры показы- вают, что технические достижения европейских народов, вначале слабые и редкие, накапливаются и создают условия для ускоре- 106
ния технического прогресса и для смены всей системы экономиче- ских, политических, научных и культурных отношений и воз- зрений. Аналогичную картину вначале очень замедленного, затем все более ускоряющегося развития и, наконец, коренного, рево- люционного преобразования представляют естествознание и мате- матика в средневековой Европе. Действительно, в V—XI вв. уровень математических знаний в Европе был весьма низким. Сколько-нибудь крупных матема- тических открытий или сочинений не обнаружено. Даже образо- ванные люди редки. По-видимому, единственными хранителями математических знаний, превышавших обычные бытовые запросы, были немногочисленные ученые-монахи, хранившие, изучавшие и переписывавшие естественнонаучные и математические сочинения древних. Церковь накладывала сильнейший отпечаток схоластики и на эти островки знания. Основной организационной предпосылкой развития матема- тики в Европе было открытие учебных заведений. Одно из пер- вых подобных заведений организовал в г. Реймсе (Франция) Гер- берт (940—1003), позднее ставший римским папой под именем Сильвестра II. В школе Герберта кроме прочих наук учили счету с приме- нением счетной доски — абака, усовершенствованного путем заме- ны пустых жетонов, каждый из которых имел значение единицы, на жетоны с написанными на них цифрами. В то время существо- вало много способов счета. Среди приверженцев сложившихся разнообразных традиций счета основное место занимали две враждующие партии: абакистов и алгоритмиков. Первые в основном отличались требованием обязательного использования абака й 12-ричной римской нумерации. Алгоритмики пользова- лись письменным обозначением индусских цифр, некоторые из них вводили знак нуля, счет вели на бумаге, применяли 60-рич- ные дроби. В спорах формировались системы счисления и приемы арифметического счета, все более близкие к привычным нам сис- темам и приемам. Через столетие, в XII—XIII вв., появились в Европе первые университеты. Самыми первыми университетами были итальянские в Болонье, Салерно и других городах. Вслед за ними были от- крыты университеты в Оксфорде и Париже (1167), Кембридже (1209), Неаполе (1224), Праге (1347), Вене (1367) и т. д. Это были учебные заведения, безраздельно подчиненные церкви. Во главе университетов стояли отцы-настоятели (ректоры),' во главе факультетов — деканы. Студенты сначала обучались на подгото- вительном факультете искусств (артистическом), затем переходи- ли на один из основных факультетов: богословский, юридический или медицинский. Математика входила составной частью в семь свободных искусств (artis liberalis), изучавшихся на факультете искусств. 107
Весь цикл этих искусств распадался на два концентра. Первый составлял тривиум: грамматика, риторика, т. е. искусство устно выражать мысли, и диалектика, или умение вести спор. Второй концентр — квадривиум включал в себя арифметику, геометрию, астрономию и музыку, т. е. теорию гармонических интервалов. Уровень математических познаний выпускников университетов был низок; во многих европейских университетах вплоть до XVI в. от лиц, претендовавших на звание магистра, по математике требова- лась только... клятва, что он знает шесть книг евклидовых «На- чал». Так как университеты были подчинены реакционным устрем- лениям церкви, то школьная наука (схоластика) вырождалась в бесплодные умствования и споры, оправдывая тот смысл, который вкладывается сейчас в слово «схоластика». Система средневеко- вого образования в течение нескольких веков была необходимой, но недостаточной предпосылкой развития математической науки. При таком положении дел, естественно, математические зна- ния не совершенствовались в европейских учебных заведениях. Они привносились извне. Это были сохраненные остатки матема- тики римлян или греческо-византийских государств. В большей же части научные знания приобретались путем перевода сочине- ний с арабского языка на латинский. Таким путем европейцы познакомились с «Началами» Евклида, «Альмагестом» Птолемея и другими трудами античных математиков, с рядом сочинений математиков Средней Азии и Ближнего Востока. Деятельность переводчиков иногда бывала очень активной. Так, Жерар (1114— 1187) из Кремоны перевел с арабского более 80 сочинений. Одна- ко, поскольку книги существовали только в рукописном виде в ограниченном числе экземпляров, а число достаточно подготовлен- ных для их понимания людей было незначительным, то переоцени- вать значение этой работы не приходится. Некоторое оживление в математике наступило в XIII в. в • связи с двумя факторами: борьбой против схоластики и богосло- вия, начатой Роджером Бэконом (1214—1294), и математическими трудами Леонардо Пизанского (ок. 1200 г.). Первый из них в своей резкой критике противопоставлял догматам, основанным на вере, опыт как единственный источник научного познания. В центре всей опытной науки находятся, по Бэкону, физико-математические Знания. Вообще все науки основаны на математике и их истины имеют ценность лишь постольку, поскольку они выражены числом и мерой, т. е. в математической форме. Математика в философ- ских воззрениях Бэкона является азбукой всей натуральной фи- лософии, т. е. всего естествознания. Роль математики повышалась в связи с ростом прогрессивных сил в философии. Заслуги Леонардо в математике были совсем другого рода. Он получил хорошее математическое образование в Алжире, где жил его отец — один из торговых представителей богатого и , сильного итальянского города Пизы. По торговым делам Леонар- до объездил Сирию, Северную Африку, Испанию, Сицилию, по- 108
полняя свои знания при любой возможности. Около 1202 г. он написал «Книгу об абаке». Эта книга является подлинной энцик- лопедией математических знаний народов, живших на берегах Средиземного моря. Более 200 лет она была непревзойденным образцом математических сочинений для европейцёв и подготови- ла новые успехи математики в эпоху Возрождения. В «Книге об абаке» 15 отделов. В первых семи изложены исчисление целых чисел по позиционной десятичной системе и операции с обыкновенными дробями. Отделы 8—11 содержат при- ложения к коммерческим расчетам: простое и сложное тройное правило, пропорциональное деление, задачи на определение мо- нетных проб. Разнообразный набор задач, решаемых с помощью простого и двойного ложных положений, суммированием ариф- метических прогрессий и квадратов натуральных чисел, нахожде- нием целочисленных решений неопределенных уравнений первой степени, составляет отделы 12 и 13. Предпоследний, 14-й отдел посвящен вычислению квадратных и кубических корней и опе- рациям с «биномиями», т. е. с выражениями вида а±]/Ь. Завер- шается «Книга об абаке» 15-м отделом, содержащим краткое из- ложение алгебры и альмукабалы, близкое к алгебре Хорезми, а также задачи на непрерывные числовые пропорции и геометри- ческие задачи, сводящиеся к приложению теоремы Пифагора. Другое сочинение Леонардо «Практическая геометрия», написанное около 1220 г., посвящено измерению площадей много- угольников и объемов тел вплоть до объема шара. Доказатель- ства теорем взяты йз работ Евклида и Архимеда; встречаются за- дачи, свидетельствующие о знании Леонардо начал тригономет- рии. Известно еще одно сочинение Леонардо — по теории чисел. В нем идет речь о свойствах чисел, суммах вида п п п £(2*+1), fe=l fe=l fe=0 а также об отыскании рациональных решений уравнений у2=х2+а; z2=x2—а. Наконец, сохранились сведения об участии Леонардо в публичных состязаниях по математике и о решении им трудных задач. В наши дни его имя носят возвратные последова- тельности 1. Время, протекшее после работ Леонардо вплоть до эпохи Возрождения (XV—XVI вв.), в историю математики не внесло как будто ярких идей, больших открытий, коренных преобразова- ний. Их не любят математики, мало на них останавливаются. Однако в эти «вспомогательные» столетия в математике происхо- дил интересный и малоизученный процесс накапливания предпо- сылок. Математические знания распространялись среди все более 1 См. А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. М., Гостех- издат, 1950. 109
широких кругов ученых. Идеи и результаты, накопленные в сочи- нениях Леонардо и других математиков, содержание переводимых книг античных авторов, наличие большого числа поставленных и осознанных, но еще не решенных теоретических и практических задач — все это вело к новому научному подъему. Духовный гнет — естественное следствие гнета экономического и политиче- ского. Государи и князья, светские и церковные, задерживали прогрессивные стремления всеми средствами: угрозами, преда- нием анафеме и физическим уничтожением своих идейных про- тивников. В этих условиях наметились два главных направления разви- тия математики, в которых последняя достигла наибольших успе- хов. Это были: серьезное усовершенствование алгебраической сим- волики и формирование тригонометрии как особой науки. Еще современник Леонардо генерал доминиканского монаше- ского ордена Иордан Неморарий i( род. 1237 г.) изображал с по- мощью букв произвольные числа. Впрочем, буквенного исчисления из этого не получилось, так как результат любой операции над двумя буквами обязательно обозначался третьей буквой (а+Ь = с, a-b=d и т. д.). Профессор Парижского университета Николай Орезм (1328— 1382) обобщил понятие степени, введя дробные показатели степе- ни, правила производства операций над ними, и специальную сим- волику, предваряя фактически идею логарифма. Например: 1 • Р 2 • 27 1 = 27 2 2- Р 3-8 2 = 8 3 и т. д. Кстати заметим, что в одном из своих сочинений Орезм вводит долготу и широту в плоском прямоугольнике и использует введен- ные таким образом ранние формы прямоугольных координат для графического изображения интенсивности физических явлений в зависимости от времени. При этом он отмечал, что изменение по- близости от экстремумов самое медленное. В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке помимо дробного показателя степени ввел также отрицательные и нулевые показатели, отрицательные числа, а также внес усовер- шенствования в алгебраическую символику. В этой символике нет еще специального символа для неизвестного, а большинство сим- волов образовано путем сокращения _слов (синкопическая_алгеб- раическая символика). Например: 53 т_обозначает 5 х~3 (т — со- кращение слова minus), а вообще akm обозначает ax~h. Знаком корня служит Rx (от слова radix — корень), знаком сложения — р. Так что выражение у/~24 + 1^37— 20х~2, взятое нами-наугад, в символике Шюке имело бы вид Rx 24р Rx 37 т 202 т. Большой вклад в формально-символическое усовершенствова- ние алгебры внесли в XV и XVI вв. коссисты — математики Юж- 110
ной Германии, воспринявшие эти идеи из Италии. Название кос- систов происходит от итальянского слова cosa, т. е. вещь, как обозначалось неизвестное в уравнениях. Они разработали несколь- ко систем символов, удобных для записи математических действий, а некоторые из них высказали в своих сочинениях идеи, близкие к понятию логарифма. Какое бы, однако, большое значение ни имела сложившаяся в средние века тенденция совершенствования формы, решающей роли в дальнейшем развитии алгебры и вообще математики она иметь не могла. Новый шаг был связан с успехами в алгоритми- чески-оперативной части, связанной с решением нового класса ал- гебраических уравнений — кубического, о чем речь будет идти ниже. Успехи тригонометрии, о которых мы выше упоминали, яви- лись следствием развития астрономии. Тригонометрия по суще- ству почти все средние века являлась частью астрономии, куль- тивировавшейся не столько в силу своего естественнонаучного значения, сколько в силу необходимости составления астрологи- ческих гороскопов. Факты тригонометрии были восприняты, как и другие факты математики, в большинстве при переводе научных трактатов с арабского языка. При этом в поле зрения европей- ских математиков оказывались достижения астрономов и матема- тиков как античной Греции, так и более поздней арабской науки. В XV в., когда дальние плавания стали возможны, когда изу- ченный мир стал расширяться и знания о нем быстро изменялись, ломая застывшие схоластические представления, резко возрос ин- терес к астрономии. Это была пора, непосредственно предшествую- щая открытию Америки (1492), первому плаванию вокруг Афри- ки ((1498), первому кругосветному плаванию (1519), открытию и доказательству гелиоцентрической теории Коперника (1473— 11543). Для тригонометрии наступили счастливые времена, И вот, наконец, в 1461 г. появилось сочинение «Пять книг о треугольни- ках всякого рода», в котором впервые тригонометрия была отде- лена от астрономии и трактована как самостоятельная часть ма- тематики. Написал его немецкий математик Иоганн Мюллер (1436—1476), более известный под именем Региомонтан (латини- зированная производная от названия города Кенигсберга, где он родился). В этой книге систематически рассмотрены все задачи на оп- ределение треугольников, плоских и сферических, по заданным эле- ментам. При этом Региомонтан расширил понятие числа, включив в него иррациональность, возникающую в случае геометрических несоизмеримостей, и приложил алгебру к решению геометричес- ких задач. Тем самым была существенно нарушена античная тра- диция и открыто новое понимание предмета тригонометрии и ее задач. Региомонтан продолжил ранее начатую другими учеными ра- боту по составлению таблиц тригонометрических функций. Его таб- 111
лица синусов имела частоту через каждую минуту и точность до седьмого знака. Для этого величину радиуса образующей окруж- ности он брал равной 107, так как десятичные дроби еще не были известны. Он ввел в практику тригонометрические функции, по- лучившие в XVII в. названия тангенса и котангенса, составив таблицу их значений. Подведем итоги, не увеличивая количества примеров. В тече- ние V—XV вв. в Европе постепенно сложилась система обучения, включавшая в себя математику, — система, через которую регу- лярно пополнялся слой образованных людей. Ученые, интересо- вавшиеся математикой, и студенты университетов усваивали до- стижения античной Греции, Византии, арабоязычных народов Ближнего Востока и Средней Азии. Была широко распростране- на практика перевода арабских рукописей научного содержания на латинский язык — универсальный язык науки средневековья. Математика развивалась в связи с практическими запросами тех- ники и мореплавания, поэтому вначале медленный темп научной жизни к концу рассматриваемого периода заметно ускорился. Большое стимулирующее воздействие на развитие математики оказали прогрессивные течения средневековой философии, идео- логическая борьба против засилья церкви, феодалов, против за- стывших схоластических догм, освящаемых авторитетами и поли- тикой светских и духовных репрессий. Определение места мате- матики в системе наук как азбуки естествознания, или, как послед- нее иначе называли, натуральной философии, стабилизировало ее положение и ускорило процесс создания в математике фундамен- та основных знаний, накопления предпосылок для новых успехов. Совокупность воздействующих на математику факторов оказалась такой, что в ней определились наибольшие успехи в создании фор- мально-символической стороны алгебры и в тригонометрии. Был также высказан и пущен в научный обиход, особенно в XV— XVI вв., ряд мыслей, имеющих большое значение для последую- щего: обобщение понятия числа, обобщение понятия степени, пред- вестники систем логарифмов. Необходим был практический успех, хотя бы небольшой, чтобы вся масса накопленных предпосылок пришла в движение. Своеобразная линия развития научных знаний сложилась на территории Восточной Европы, особенно в средневековой Руси. Своеобразие это состояло в том, что научное наследие усваи- валось на основе византийской науки. Кстати, в сочинениях по истории науки эта линия развития математики осрещена весьма недостаточно. Термином средневековая Русь мы здесь будем обозначать весь комплекс русских княжеств, ведущую роль в котором иг- рали: Киевская Русь (X—XII вв.), Владимиро-Суздальское кня- жество (XII—XIII вв.), Новгород ।(XIII—XV вв.). Тяжелая исто- рическая судьба русского народа привела к тому, что число не- посредственных свидетельств состояния наук в эти времена на Ру- 112
си резко уменьшилось. Задача пополнения источников исследова- ния и детального изучения уже добытых археологами, этнографа- ми и историками данных является актуальной и еще не решенной. Наличные материалы позволяют дать следующую общую харак- теристику первых этапов развития математики у нас на Родине. Уже в начале X в. на Руси существовала письменность. Тес- ные связи с Византией способствовали ускоренному приобретению знаний. Математическое, в частности, образование было на уровне европейского. При дворе киевского князя Владимира Святослави- ча (род. 1015) было налажено обязательное книжное учение еп> приближенных. При Ярославе Мудром (978—1054) действовала школа. От того времени до нас дошли замечательные литератур- ные и общекультурные памятники: «Русская правда», «Повесть временных лет», '«Слово о полку Игореве», разнообразные лето- писи. Архитектурные памятники и археологические раскопки да- ют все новые подтверждения высокого уровня техники и культуры в русских княжествах. Практические хозяйственно-технические математические све- дения и расчеты записывались с помощью десятичной алфавитной системы нумерации, сходной с греческой алфавитной системой. К слову заметим, что эта старославянская нумерация использует- ся и в наши дни в церковных книгах. Эта система практически не ограничивала величины чисел. В документах встречаются иногда и очень большие числа, для которых существуют особые названия. В обычном, «малом», счете 104 называлось неведием, позднее — тьмой, 105 — легионом, 106 — леодром. По другой системе, «вели- кого» счета, тьмой называли 106, легион — 1012, леодр — 1024, во- рон — 1048, колода — 1096 или 1049, после чего простодушный ле- тописец заявлял: «Сего же числа несть больше». Помимо вычислений практического характера очень рано на- чинают встречаться теоретические вопросы и задачи, составленное числолюбцами. Древнейшей сохранившейся специально математи- ческой рукописью являются записи Кирика, новгородского дьяко- на, датируемые точно 1134 г. Примерами таких задач, собранных из разных рукописей, являются: а) вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов про- текло от сотворения мира (по православным верованиям, к 1134 г. истекло 6642 года); б) задачи на вычисление прогрессий, образуемых с помощью соображений о прогрессирующем приплоде стад; в) вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным измерений Эратосфена (III в. до н. э.) и связанное с этим при- ближенное вычисление числа л="3,125; г) трудная теоретико-числовая задача о вычислении дат ре- лигиозного праздника пасхи. Последний наступает, как известно, в первое воскресенье после весеннего полнолуния. Весенним счи- тается полнолуние между 21 марта и 18 апреля. Задача состоит в сравнении периодических шкал солнечных лет, лунных месяцев, 113
с учетом Метонова цикла (19 солнечных лет=235 лунным меся- цам), семидневных периодов недели, периодов обращения Земли и.Луны вокруг Солнца. Получается сложная периодичность дат праздника и связанных с ним постов длительностью в 532 года (великий индиктион). Мы ее здесь освещать не будем; отошлем интересующихся к обстоятельному сочинению Л. В. Черепнина «Русская хронология» (М., изд. Историко-архивного института, 1944). Общий со всеми государствами ход развития науки и культу- ры на Руси был насильственно прерван в первой половине XIII в. из-за нашествия монголов (Батый —1240) и крестоносцев (1242— битва на Чудском озере). Русский народ истекал кровью, но от- стоял свою государственную и национальную самостоятельность. Битва на Куликовом поле в 1380 г. была началом конца татаро- монгольского ига; оно окончательно было свергнуто к 1480 г. Од- нако нападения иностранных интервентов и болезненный процесс ломки феодального уклада и становления многонационального государства в период с XVI до XVIII в., т. е. до времени царст- вования Петра I, еще сильно задерживали рост хозяйства, куль- туры и науки. Определилось длительное отставание России от ев- ропейских стран и в области математики. В конце средних веков (XV—XVI вв.) в странах Западной Европы математика и естествознание вообще развивались в об- становке бурных изменений, связанных в своей экономической ос- нове с начавшимся разложением феодального общества и уста- новлением буржуазно-капиталистических отношений. Изменения происходили в промышленности, где возникали мануфактуры с характерным для них разделением труда и введением машин и технических усовершенствований. Невиданное ранее развитие ста- ли получать торговые связи и мореплавание, сопровождаемые ве- ликими географическими открытиями. В политическом отношении основные изменения состояли в том, что мощь и влияние феодаль- ного дворянства были сломлены под напором королевской власти при поддержке горожан и образованы крупные, по существу на- циональные, монархии. Наконец, расцвет культуры и искусства в Италии, Франции и других странах, изобретение книгопечатания (середина XV в.) определили совершенно новый уровень умствен- ных запросов и занятий все распространяющегося круга людей. «И исследование природы совершалось тогда в обстановке всеобщей революции, будучи само насквозь революционно: ведь оно должно было еще завоевать себе право на существование»,— замечал Ф. Энгельс *. В это же время определились серьезные ус- пехи в математике и астрономии, позднее в механике. Как мы показали выше, важнейшие достижения математи- ков средневековой Европы относились к области алгебры, к усо- вершенствованию ее аппарата и символики. Региомонтан обога- * К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 347. 114
тил при этом понятие числа, введя радикалы и операции над ни- ми. Это позволяло ставить - проблему решения возможно более широкого класса уравнений в радикалах. И в этой именно обла- сти были достигнуты первые успехи — решены в радикалах урав- нения 3-й и 4-й степени. Ход событий, связанных с этим открытием, освещается в ли- тературе разноречиво. В основном он был таков: профессор (с 1496 по 1526 г.) университета в Болонье ।(Италия) Сципион дель Ферро нашел формулу для нахождения положительного корня конкретных уравнений вида х3+рх=д (р>0, <?>0). Он держал ее втайне, приберегая как оружие против своих противни- ков в научных диспутах. К концу своих дней он сообщил эту тайну своему родственнику и преемнику по должности Аннибалу делла Наве и своему ученику Фиоре. В начале 1535 г. должен был состояться научный поединок Фиоре с Николо Тарталья (1500—1557). Последний был талант- ливым ученым, выходцем из бедной семьи, зарабатывавшим себе на жизнь преподаванием математики и механики в городах Се- верной Италии. Узнав, что Фиоре владеет формулой Ферро и го- товит своему противнику задачи на решение кубических уравне- ний, Тарталья сумел заново открыть эту формулу, что обеспечило ему победу в диспуте, состоявшемся 12 февраля 1535 г. Метод Тартальи, как, по-вцдимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей формы алгебраической иррациональности для выражения корня уравнений указанного выше вида: x?-\-px=q (р>, ?>0). Предположив, что х = и —у/v, подставив это вы- ражение в уравнение и положив р = 3 y^uv, он получил системуз и — v = q; Интерпретируя и и v как корни квадратного уравнения, Тар- талья нашел Вскоре Тарталья смог решать уравнения вида х3=рх+<7 (р>0, <7>0) подстановкой х — иJ-|- f/v. Наконец, он сообщил, что уравнения вида x3-f-g=px сводятся к предыдущему виду, но не дал способа сведения. Тарталья долго не публиковал своего ре- зультата по двум причинам: во-первых, та же причина, которая останавливала и Ферро; во-вторых, невозможность справиться с неприводимым случаем. Последний состоит в том, что есть урав- 115
нения х3=рх+<7, которые имеют действительный положительный корень независимо от того, имеет место неравенство или нет. Однако формула Тартальи не давала решения во втором случае, так как не было возможности правильно трактовать мни- мые числа, получающиеся при этом. Неприводимый случай появ- лялся у Тартальи и в уравнениях вида x3-\-q=px. Однако труд Тартальи не пропал даром. Значительные резуль- таты математики, когда созревают необходимые и достаточные условия для их появления, начинают буквально «носиться в воз- духе» й" служить предметом занятий многих ученых. С 1539 г. кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501— 1576). Человек странной и бурной судьбы, наполненной противо- речивыми и нередко трудно объяснимыми поступками, богатый, образованный и талантливый, он страстно любил научные заня- тия. Философия и математика, медицина и астрология являлись предметом необузданных увлечений Кардано. Услышав об от- крытии Тартальи, он приложил много усилий, чтобы выманить тайну у осторожного и недоверчивого Тартальи и украсить этим результатом задуманную книгу i«Ars magna...», т. е. «Великое ис- кусство, или о правилах алгебры». В конце концов это удалось; затем Кардано собственными усилиями устранил неполноту сооб- щенных сведений, и книга появилась в 1545 г. Это большое сочинение (40 глав) содержит не только пра- вила алгебраических операций и приемы нахождения уравнений первых трех степеней, но и элементы общей теории алгебраичес- ких уравнений. Так, Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения ax3+6x2+cx-}-d=0 к виду, в ко- тором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью под- становки x=xi-|-/i и распространил его на уравнения 4-й степе- , ни. В «Ars magna...» высказано много теорем о взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных («фиктивных») корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень. Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Рп (х) на х—Xi, где Xi — корень уравнения Рп (х) =0. Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений - 4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте, от- крытый его учеником Л. Феррари <(1522—1565). Поясним этот ме- тод на примере задачи, которую решал Феррари. Она была зада- на Кардано итальянским математиком Д. Колла. Задача гласила: «Разделить число 10 на три части так, чтобы они составляли гео- метрическую прогрессию и произведение первых двух частей рав- с гт 6 Xs 6 . . X3 . п нялось 6». По условию: —:х = х: —,------рхН-----= 10, откуда х 6 х 6 получаем уравнение х4+6х2+36=60х. Дополним обе части, доби- 116
ваясь, чтобы левая часть стала полным квадратом: (х24-6)2= =60х-|-6х2. Добавим к обеим частям по 2(х24-6)/4-/2, где t еще предстоит определить. Получим (х2 + 6 + /)2 ^бОх + бх2 + 2(х® 4-6)/ И-/2, или (X2 4- 6 4- /)2 = (2/ 4- 6) X2 4- 60х 4- (/2 + 12/). Условием того, что правая сторона является полным квадратом, является, как известно, равенство нулю дискриминанта. Это Фер- рари записывает так: 302=i(2/4-6) (/24-12/), сводя задачу к реше- нию кубической резольвенты. Прием, очевидно, является общим для уравнений 4-й степени. Кардано приводил к этому виду урав- нение, не содержащее члена с неизвестным в 1-й степени, подста- k НОВКОЙ X = ---. У Мы не будем останавливаться на тягостном споре Тартальи и Кардано о приоритете открытия. Спор этот породил огромную литературу. Многие авторы до наших дней возвращаются к нему, вновь и вновь выдвигаются оценки Тартальи, Кардано, обстоя- тельств открытия и их связей с широким кругом современных им исторических событий. К этой литературе и относится целиком замечание, сделанное выше, о разноречивости изложений этого вопроса. Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед матема- тиками проблему отыскания решений уравнений любых степе- ней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не при- носили успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и стала трактоваться как задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени n^s5 в радикалах. В поисках решения этой проблемы протекло около 300 лет. Толь- ко в XIX в. Н.-Г. Абель доказал, что уравнения степени п>4, во- обще говоря, в радикалах не решаются. Галуа связал с каждым уравнением специальную группу подстановок его корней — группу Галуа и свел проблему к исследованию структуры этой группы, ее разрешимости. В дальнейшем мы остановимся подробнее на этом вопросе, так же как и на более общей постановке задач тео- рии Галуа: выразить рационально корни заданного уравнения че- рез корни другого, более простого уравнения. На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения стояли еще два препятствия: сложность, не- удобство получаемых формул и неразъясненность неприводимого случая. Первое составляло чисто практическое неудобство. Кар- дано устраняет его, предлагая находить корни уравнений прибли- женно с помощью правила двух ложных положений, известного еще от египтян и по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной, интерполяции. Второе препятствие имеет 117
более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма важным следствиям. Уже Кардано упоминает о мнимых корнях, именуя их софи- стическими; показывает на примере х+у=10, ху=40, что эти корни встречаются попарно, т. е. xi,2=5±]/—15, но решить та- кого рода уравнения считает невозможным. Плодотворная и смелая попытка справиться с неприводимым случаем принадлежит итальянскому математику и инженеру Р. Бомбелли из Болоньи. В сочинении «Алгебра» (1572) он ввел формально правила действий над мнимыми и комплексными чис- лами, опирающиеся на правила: ±i-±i=—1, ±i-=Fi=l, уста- новил, что все выражения, содержащие „софистические минусы** Кардано, преобразуются к виду a-j-fti. На конкретном примере х3=15х-|-4 Бомбелли показал, что в неприводимом случае ве- щественный корень получается как сумма двух комплексных чи- сел вида а-\-Ы и а—Ы. Метод Бомбелли состоит в следующем: пусть дано уравнение x3=ax-f-fe и имеет место (-7Л —(~г ) <0» следовательно формула неприменима. Бомбелли исходит из того, что выражения вида •j/ а±]/р, входящие в эту формулу, тоже могут быть преобразова- ны к виду р + Vq. Положив у а ± 1/р = р ± он для опреде- ления р и q получил два уравнения: р3 + Spq == а; р2 — <7 = j/a2 — 0 = у. Для определения р из этой системы получается уравнение 4р3 = = Зур + а. В частности, если положить а = P = f-yY_6т)3’ то Y = v и x = p + Vq+ р — Vq = 2p. Однако это объяснение Бомбелли — всего только объясне- ние, оно не облегчает решения неприводимого случая, ибо урав- нение 4 р3=3ур+а то же, что уравнение искомое. Но введение для частных целей общих операций с комплексными числами вы- двигает «Алгебру» Бомбелли в число ближайших предшественни- ков работ Гаусса пр этому вопросу. Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием математической символики. Последняя, когда она до- статочно хорошо отражает реальную сущность математических операций, активно воздействует на математику и сама приобре- тает оперативные свойства. В истории математики историю сим- 118
волов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно многое восстановить и понять. В рассматриваемое нами время происходил быстрый переход от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения (синкопирования) слов, а затем введения сим- волов. Уже у Кардано переход этот очень заметен. Например, ко- рень уравнения «cubus р 6 rebus aequalis 20» (х3+6х=20) нахо- дится по формуле Rxu cuRx\Q8plQ\tnRx и cuRx108ml0 (у^ /108+16 — /108—ю) • Читатель уже успел, наверное, понять значение символов, остается добавить, что Rx — знак корня, Rx и си — это radix uni- versalis cubica, т. е. общий кубический корень из всего выражения, расположенного до вертикальной черты или до конца выражения. Символы пока еще очень разнообразны, не всегда составляют стройную систему даже внутри одной книги. Но потребности мате- матики заставляли искать все более совершенную систему симво- лов. Бомбелли, например, для последовательных степеней неиз- вестногах употреблял символы: 1, 2, 3 .... С. Стевин (1548—1620), фламандский математик и инженер, известный, в частности, вве- дением в европейскую математику аппарата десятичных дробей, в тех же целях, что и Бомбелли, использовал соответственно зна- ки (1), (2), (3), ..., а в случае второго и третьего неизвестного: sec(l), sec(2), sec(3), ... ter(l), ter (2), ter (3)... Единую систему алгебраических символов, последовательно проведенную, первым дал, по-видимому, Виета. Появление буквенного алгебраического исчисления являлось одной из сторон более общего и глубокого явления в истории ма- тематики — возникновения алгебры как общей науки об алгебраи- ческих уравнениях. Сочинения и взгляды Виеты хорошо передают этот переломный момент. Франсуа Виета (1540—1603) — французский математик, юрист по образованию и роду деятельности. Во время педагоги- ческих занятий в одной влиятельной семье у него возник план новой астрономической системы, долженствующей заменить не- точную, по его мнению, систему Коперника. В связи с этим замыс- лом Виета положил много сил на усовершенствование тригономет- рии и достиг замечательных успехов. Блестяще образованный, Виета быстро продвигался по служебной лестнице-и наконец сде- лался близким советником и придворным ученым французских короле# Генрихов III и IV. Будучи с 1584 по 1589 г. отстраненным от придворных дел вследствие происков политических противни- 119
Ф. Виета (1540—1603) ков, он употребил свой досуг на написание главного труда своей жизни «Введение в искусство анализа» — огромного и чрезвычай- но обстоятельно написанного сочинения по новой алгебре. Труд этот выходил с 1591 г. частями, в значительной части после смер- ти автора и не был полностью завершен. Замысел Виеты определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраи- 120
ческих приемов. Но число отдельных видов алгебраических урав- нений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов требовал' особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать эффективность алгебраических прие- мов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виете и представлявших, по его мнению, образцы под- линно научного анализа. Исчислению Виеты предшествует арифметика, оперирующая с числами: logistica numeralis. Исчисление букв получает на- звание logistica speciosa от слова species — член математического выражения. Исчисление распадается на зететику — искусство решения уравнений; пористику — искусство доказательства пра- вильности полученных решений; экзегетику — общую теорию уравнений. Все величины обозначены буквами: неизвестные — гласными, известные — согласными. Числа — безразмерны, по- ложительны, рациональны i(b случаях иррациональностей Виета переходит на язык геометрии), величины же имеют размерность. Это геометрическое влияние на концепцию величины усиливает- ся специальной терминологией: первая степень величины назы- вается latis (сторона), вторая — planum (площадь), третья — so- lidum (тело). Далее следуют Плоско-плоские, плоско-объемные, объемно-объемные и т. д. величины. Сложение и вычитание производятся над одноразмерными величинами. Последние, впрочем, допускается подравнивать в размерности путем умно- жения на единицу длины. Умножение и деление вызывают изме- нение размерности. Эти идеи Виеты в его время отражали нали- чие непреодоленного еще разрыва между числами и величинами. Позднее выяснилось, что они явились предтечей ряда математи- ческих исчислений: векторного, тензорного, грассмановой ал- гебры. Символика Виеты также отягощена еще грузом геометриче- ских привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Вот примеры: a) A cubus + В planum in A3aequaturDsolido (А3 + ЗВ А = D, или х* + ЗВх = D). б) В parabola in Agradutn — A potestate aequatur Z homogenae (BAn — A?+n = Z). Тем не менее благодаря этой символике стало впервые возмож- ным выражение уравнений, их свойств > общими формулами. Объ- ектами математических операций стали не числовые задачи, а сами алгебраические выражения. Именно этот смысл вкладывал Виета в характеристику своего исчисления как «искусства, позволяю- 121
щего хорошо делать математические открытия». Кстати, символы Виеты были вскоре усовершенствованы его младшими современ- никами, особенно Гэрриотом((1560—1621). В сочинениях Виеты подводится своеобразный итог матема- тики эпохи Возрождения. Особенно отчетливо эта особенность проявляется в его алгебраических трудах. В них подробно и об- стоятельно изложены сведения об уравнениях 1—4-й степеней. Общий характер записи позволяет Виете строить все изложение не как собрание рецептов, а как общую теорию уравнений. Для этого он использует богатый арсенал алгебраических преобразо- ваний, опирающийся на подстановки: x=y-\-k (чтобы исключить член, имеющий неизвестное во второй по величине степени), х (для исключения члена, содержащего х), x—ky (с целью устране- ния дробных коэффициентов), х = -2-у (чтобы придать коэффи- ь циенту при хп-1 данное значение) и др. От радикалов он освобож- дался путем отъединения одного члена и возведения обеих сторон уравнения в степень. Например, всякое кубическое уравнение он преобразует к виду х3+Зах=Ь и применяет затем подстановку a—t2-\-tx, чтобы прийти к уравнению Xs + 3/х2 + 3/2х = Ь. Из последних двух уравнений, преобразованных к виду: (х + /)з_/з = 6> t9 (t x)s == а3, в» он получает квадратное относительно t3 уравнение: (t3)2-^bt3=a3. м a—t2 Можно и непосредственно подставить х = —-— в уравнение, чтобы получить тот же результат. Неприводимый случай кубического уравнения Виета свел к задаче о трисекции угла. Он показал, что всякое неприводимое уравнение может быть преобразовано к виду х3—Зх=а. Сопостав- ляя его с тригонометрическим соотношением (2cos<p)3—3(2cosq>) = =2cos3<p, Виета демонстрирует такое сведение. Задачу о трисек- ции угла он решает известным ему из античных источников ме- тодом вставок. При решении уравнений Виета разыскивает положительные корни. С помощью преобразования х=—у он подходит к проб- леме нахождения отрицательных корней. Развивая результаты Кардано, Виета высказывает ряд теорем о взаимозависимости корней уравнений и их коэффициентов, включающих частные случаи теоремы, известной ныне под его именем. В связи с этим он рассматривает, в указанных выше границах, образование урав- 122
п нений произведением биномов: Рп (х) = (* — хк)(п <5, xfc<0). fe=i Полностью предложение о зависимости коэффициентов и корней уравнений было сформулировано Гэрриотом и А. Жираром и опубликовано последним в 1629 г. Алгебра Виеты была еще несовершенной и имела крупные недостатки. Ее очень утяжеляла видовая трактовка величин, об- ладающих размерностью. В ней нет общей трактовки степеней, все степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и алгеб- раических величин не позволяло ему употреблять радикалы для величин, а лишь для чисел и т. п. Ее скоро вытеснила алгебра Декарта, о которой речь будет идти ниже. Однако известно, чдо Ферма, например, изучив алгебру Виеты, придерживался ее фор- мы, когда строил аналитическую геометрию. К тому же нам пред- ставляется оправданным предположение, что параллелизм между свойствами уравнений и геометрическими построениями, регулярно проводимый Виетой, сыграл свою роль в формировании идей ана- литической геометрии в XVII в. То, что представляло геометриче- ский рудимент в формирующейся алгебре Виеты и других мате- матиков XVI в., послужило исходные пунктом развития новой науки — аналитической геометрии — в руках ученых XVII в. Сопоставление алгебраической и тригонометрической задачи, отмеченное при решении кубического уравнения, не было для Виеты случайной находкой, эпизодом. Виета, как было уже ска- зано, проявил интерес к алгебре именно в силу ее пригодности и даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии. В дальнейшем тригонометрические и алгебраические труды и ре- зультаты следуют одновременно, нередко переплетаясь. Виета не ограничился определением всех элементов плоского или сфери- ческого треугольника по трем данным элементам. Ему принадле- жат разложения тригонометрических функций кратных дуг посред- ством последовательного применения формул для синуса и коси- нуса суммы двух углов. cos та = cos'" а — cos'"-2 a- sin2 а + ... 1-2 sin та = /«cos'"-1 а-sin а-)S4Lzr.?L cos'"-3а• sin8 а + ... 1-2-3 После смерти Виеты стали известны многие его рекуррентные формулы cos та = 2cosa.cos(m—1)а — cos (т— 2) а, sin та = 2 cos а. sin (га— 1)а—sin (т — 2) а, sin та = 2 sin a-cos (га— 1) а + sin (т — 2) а, cos та = — 2 sin a-sin (га— 1) а cos (га— 2) а. 123
Несколько странное впечатление оставляет то, что подобные круп- ные .результаты гониометрии достигнуты при недостаточно общем, определении тригонометрических функций как отношений сторон прямоугольного треугольника без намека на введение производя- щей окружности.. Однако так часто бывает в истории; результаты сначала появляются, а потом осмысливаются и получают удовлет- ворительную общую трактовку. Значительным достижением Виеты является введение им впер- вые в математику задачи о нахождении бесконечного произведе- ния. Если около правильного n-угольника площади Sn описать круг радиуса г и вписать в него круг радиуса рп, то после удвое- ния сторон n-угольника получим Sn :S2„ = ря: г = cos —. Начнемг п с вписанного квадрата: n=4, S4=2r2. Последовательно полагая п=4, 8, 16, ..., получим: S \S8= COS—, 4 8 4 * sle = cos —, Теперь Виета «переходит к пределу». Он говорит, что для» п=оо получится круг, площадь которого Soa—2nr2. Перемножив-, всю цепочку равенств, он находит: или Разумеется, Виета не доказывает сходимости полученного беско- нечного произведения, будучи интуитивно уверенным в справедли- вости своего предельного утверждения. На примере работ Виеты мы показали, что в европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений. Последняя содержала полный запас мето- дов решения уравнений первых четырех степеней. Алгебраисты, завершили символическое оформление своей науки и пробовали формулировать и решать проблемы общей теории алгебраических уравнений. Тригонометрия отделилась от астрономии, ее резуль- 124
тэты получили достаточную степень общности. Полностью ос- воено учеными геометрическое наследие древних. Математика по- стоянных' величин к концу XVI в. завершала цикл своего форми- рования. 4.4. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ Математика развивается широким фронтом. При этом подвер- гаются изменению все элементы её структуры: развиваются новые теории, выдвигаются и проверяются новые гипотезы, накаплива- ются факты, пополняющие состав уже сформировавшихся матема- тических наук, расширяется сфера применения математических ме- тодов, меняются общие взгляды на природу математики и ее воз- можности. Процесс изменения охватывает не только те части ма- тематики, которые в данный исторический период представляют вершину ее творческих достижений. Развивается и видоизменяет- ся также та ее область, которую принято называть элементарной математикой, — термином, который еще не нашел однозначного определения и истолкования, — и которая играет такую большую роль в системе образования и массовой практической деятельно- сти людей. Разделение математики на высшую и элементарную, употребляемое в наше время, носит условный, исторически огра- ниченный характер и не может претендовать на научность. Между элементарной и высшей математикой нет определенного разгра- ничения: элементарно-математические идеи перерастают в выс- шие области математики; в свою очередь элементарная математи- ка пополняется новыми фактами и идеями из так называемой выс- шей математики. Приведем несколько примеров, иллюстрирующих эти особен- ности исторического развития математики. Математики XVI и на- чала XVII в. испытывали огромные трудности вычислительно- практического характера. Прежде всего эти трудности концентри- ровались вокруг задачи составления таблиц тригонометрических функций и связанной с этим задачи определений значения л. Дру- гой задачей являлось отыскание простых и надежных алгоритмов численного определения корней уравнений с данными числовыми коэффициентами. Арифметические средства вычислений ограничи- вались операциями с целыми числами и простыми дробями; де- сятичные дроби только пробивали себе дорогу. Впервые в Европе они были введены в 1.585 г. С. Стевином в сочинении «La Disme» («Десятая»), Вычисления делались только вручную. Составление тригонометрических таблиц играло в то время большую роль. Поэтому в конце XVI и в начале XVII в. героиче- скими усилиями ученых было составлено и издано несколько та- ких таблиц. Над вычислением таблиц работали, например, Копер- ник (1473—1543), Кеплер (1571—1630) и их ученики и сотрудни- ки. Через 20 лет после смерти Ретикуса (1514"—1576), ученика Ко- перника, появились законченные уже третьим поколением вычис- 125
лителей большие таблицы «Opus Palatinum», где величины всех шести тригонометрических функций были вычислены с частотой Ю" для производящей окружности радиусом г=1010. Обширные таблицы оставил в огромном сочинении «Canonus mathematicus» Виета. Бюрги, сотрудник Кеплера, много лет потратил на состав- ление таблицы синусов дуг через каждые 2". Количество примеров можно было бы умножить. Мореплаватели и астрономы, строите- ли и конструкторы всех стран остро нуждались в этих таблицах, и они появлялись в разных странах и в разных вариантах. Особенностью таблиц была громадная величина избранного для отсчета радиуса производящей окружности. Объяснялось это отсутствием десятичных дробей, в силу чего результаты приходи- лось получать в целых числах, и необходимостью обеспечить до- статочно высокую точность вычислений. Главные заботы вызывало определение с особенно высокой точностью синусов (или хорд) малых дуг, чтобы на вычислениях не сказалось накопление оши- бок. Для этого использовали унаследованный от древних прием последовательного удвоения сторон правильного вписанного мно- гоугольника. Виета, например, для определения sin Г довел вы- числения до отыскания сторон правильного вписанного многоуголь- ника с 3-211 сторонами, а описанного — с 3-212 сторонами. При этом в качестве сопутствующего результата отыскивались прибли- женные значения числа я с большой точностью. Так, в это время голландский математик и фортификатор Лудольф ван Цейлен (1539—1610) определил сначала 20, а затем 35 десятичных знаков числа я, первым превзойдя результаты среднеазиатского матема- тика Каши. К слову сказать, дальнейшие уточнения этого числа, вплоть до вычислений Шенкса, отыскавшего свыше 700 десятич- ных знаков я, практическими потребностями не вызывались. По- будительной причиной их было, по-видимому, или тщеславное стремление продемонстрировать свое вычислительное мастерство, или же наивная попытка «взять в лоб» непосредственными под- счетами проблему определения арифметической природы числа я. Для облегчения вычислений таблиц математики придумывали частные приемы, в которых главную роль играли отдельные три- гонометрические соотношения, а также разности различных поряд- ков. Их основной целью было сведение, по возможности, вычисле- ний к наиболее простым операциям: сложению и вычитанию. Та же цель преследовалась и при вычислениях с тригонометрически- ми функциями с использованием таблиц. Вычислители, естествен- но, стремились избежать-непосредственного умножения и деления многозначных чисел, сводя их к сложению и вычитанию приема- ми, вроде sin х • sin у = fcos (x — у) — cos (x !/)[, COS X • cos у — [cos (x — y) + cos (x + y)]. 126
Подобные методы столь часто применялись, что получили специ- альное название «простаферетических» i (от соединения двух гре- ческих слов: простезис — прибавление, афайрезис — вычисление). Ими пользовались математики Ближнего Востока, Виета, Тихо- Браге, Виттих, Бюрги и многие другие. Эти методы находили при- менение некоторое время и после того, как были изобретены ло- гарифмы и вошел в употребление обратный им путь приведения тригонометрических выражений к виду, удобному для логариф- мирования. Логарифмы были изобретены в начале XVII в. Их теоретиче- ские основы стали формироваться очень давно. Речь идет об идее сравнения двух прогрессий — геометрической и арифметической, и о достаточном обобщении понятия степени. Еще у Архимеда в «Псаммите» встречается запись последовательных степеней одно- го основания: а°, а1, а2, а3...,по поводу чего высказано утвержде- ние, эквивалентное: ат-ап=ат+п. Аналогичные мысли высказывал Диофант. Орезм исходил из идеи сравнения геометрической про- грессии и арифметической, когда вставлял в последней дробные числа между натуральными и обобщил тем самым понятие пока- зателя степени на дробные величины. Штифель систематически сравнил действия над членами обеих сопоставленных Прогрессий и ввел дробные и отрицательные показатели степени. Чтобы воспользоваться этиьш идеями для целей сведения опе- раций к более простым, нужно было только составить таблицы, где сопоставляется последовательность степеней чисел с последо- вательностью их показателей. Чтобы таблицы были достаточно- густыми, их единое основание следует выбирать близким к едини- це. Подобные таблицы в начале XVII в. уже существовали. Их составил Стевин. Это были таблицы сложных процентов, т. е. значений чисел (1+г)” при различной процентной таксе г: г=0,05, г=0,04 и т. д. Чем меньше г, тем меньше разрыв между получаемыми значе- ниями. Аналогичная таблица была положена в основу одной из- первых таблиц логарифмов, составленной И. Бюрги. И. Бюрги (1552—1632) родился в Швейцарии. Он был ма- стером по ремонту часов и астрономических инструментов; вначале работал в Касселе, а затем в Праге на астрономической обсерва- тории вместе с И. Кеплером и помогал ему в наблюдениях и вычис- лениях. Здесь для облегчения вычислений в течение восьми лет (1603—1611) он составил свою таблицу логарифмов на основании таблиц типа Стевина: а(1 +r)п. Чтобы получить достаточно малый шаг в таблице, Бюрги при- 1 1 нял Г = СтРемление возможно дольше не встречаться с дробями заставило его ввести дополнительный множитель а=108. Значениям получаемой геометрической прогрессии gk = Ю8 (1 4- 127
"^"То4/ (^ОЛДЗ,...) Бюрги ставил в соответствие члены ариф- метической прогрессии: 0, 10, 20, 30, ... Получилось два ряда зна- чений: 108, 108 (1 + 10-4), 108 (1 + 10-4)2, 108 (1 + 10-4)3 ... 0, 10, 20, 30 Числа нижнего ряда были напечатаны красной краской и на- зывались красными; числа верхнего ряда — черной краской и назывались черными. Таким образом, в таблице Бюрги красные числа представляют собой логарифмы черных, разделенных на 108 при основании |Л1,0001. Так как Бюрги ориентирует свою таб- лицу на красные числа, то она является по существу таблицей антилогарифмов, что принципиально существа дела не меняет. Вычисления (благодаря наличию множителя 108) черных чисел доводились до девятого знака. Они были доведены до так назы- ваемого полного черного числа, равного 109. Соответствующее ему полное красное число было найдено с применением интерполяции и оказалось равным 230 270 022, т. е. 1,000 1 230 270 022 • 108 = 109. Из этого видно, какое громадное количество последовательных вычис- лений пришлось проделать Бюрги при составлении своей таблицы, потратившему на эту работу, как было сказано выше, около вось- ми лет. Бюрги долго не решался публиковать таблицы, несмотря на •очевидную их полезность при вычислениях. Только в 1620 г., по настоянию Кеплера, он издал книгу «Таблица арифметической и геометрической прогрессии с обстоятельным наставлением, как пользоваться ими при всякого рода вычислениях». Оригинал этих таблиц, вместе с другими материалами архива Кеплера, хранится в СССР в Пулковской обсерватории. «Обстоятельное наставление», не опубликованное в свое время вместе с таблицами, было обна- ружено позднее и увидело свет в 1856 г. Медлительность Бюрги стоила ему приоритета. В 1614 г., на 6 лет ранее его книги, в Англии появилось «Описание удивитель- ных таблиц логарифмов» («Canonis mirifici logarithmorum descrip- tio»). Автором этого сочинения был Джон Непер (1550—1617), шотландский барон, занимавшийся различными науками, в осо- бенности астрономией и математикой, а таблицы были 8-значны- ми таблицами логарифмов тригонометрических функций для зна- чений аргументов от 0 до 90° через 1'. Принцип составления этих таблиц, которым Непер владел, по- видимому (как это можно заключить из его переписки), с 1594 г., был для своего времени новым. Метод сравнения прогрессий, как было показано, дает последовательность дискретных значений. Их Можно, не испытывая принципиальных трудностей, сгустить, но их дискретный характер не изменится. Неотъемлемой частью этого 128
Дж. Непер (1550—1617) метода является интерполяция. Непер, напротив, исходил из ло- гарифмической функциональной зависимости, выразив ее в виде двух непрерывных шкал. Его идея состояла в следующем. Пусть из точек А и Д1 (рис. 29) одновременно в направлении, указанном стрелками, начинают двигаться две точки Мит, про- ходя последовательно положения соответственно Мо, Mi9 М2, М3, ... и /По, /Hi, /и2, /и3, .... Начальная скорость обеих точек оди- накова (для простоты положим и0=1). Точка т движется с по- стоянной скоростью uw=const, а точка М движется замедленно; ее скорость пропорциональна оставшемуся расстоянию до точки В (для простоты положим ДВ=1). Такое определение (если обоз- 5 К. А. Рыбников 129
начить Aitnk=x, М&В=у) в переводе на современный язык экви- валентно дифференциальному уравнению — —у, откуда х = dx = —In у, или х—log 1 у. Неперова система логарифмов оказалась е системой с основанием —. Введение логарифмической функции объективно хранило в себе большие возможности для применения в будущем в системе математического анализа. Но Непер еще не владел в 1614 г. идеей лога- ___________!___t t В рифмической функции. Ему Мо Mt Mz М3 - были нужны таблицы. Поэтому он делил АВ на 107 этапов ее , ।________——_ прохождения, проходимых за то т, тг т3......... 107 моментов времени. Тогда в первый момент времени ско- Рис. 29 рость=1, и последовательно: BMi = 1——; = —— (1 —J-Y м2в = мгв—= 10’ 1 а 10’ \ 10’ / 2 1 2 Л 1 \ 1 Л 1 \ Л 1 \2 = ( 1----)-----( 1----) = ( 1----1 ; ... и т. д. \ 107 / io7 \ ю7 J \ ю7 J Образуются две последовательности значений: М kB 1 1---------— k 107 1 * ю7 Непер легко избегал операций с дробями, принимая ДВ=107, а не ЛВ=1, как это сделали мы здесь; не меняло существа дела и то, что начальная скорость и0¥=1. Нижние числа в таблице Не- пер назвал логарифмами верхних, что означало буквально «числа отношения» i(ot соединения греческих слов: Хоуод — отношение, арс'О’цо^ — число). Название это он выбрал, чтобы подчеркнуть, что логарифмы являются вспомогательными числами, измеряю- щими отношения соответственных чисел. Логарифмы Непера, не- смотря на плодотворную общую идею непрерывной числовой шка- лы, все еще были таблицами сравнения значений двух прогрес- сий: арифметической и геометрической. Как уже было указано, таблицу Непера составляли логариф- мы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колон- ку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбран- ных с интервалом V. Они, таким образом, давали и значения ло- гарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). Во из- бежание дробей принято, что sin 90°= 108. В специальной колон- 130
ке под названием «разности» (differentiae) приведены разности логарифмов синусов дополнительных углов, т. е. логарифмы тан- генсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригоно- метрических функций получаются просто изменением знака. Мы опускаем технические подробности арифметического подсчета этих таблиц. Правила логарифмирования по Неперу отличаются от обычных. Они более громоздки, так как в них присутствует log 1=0=0 (было принято, что log 108= 1). Например, рассмотрим правило логарифмирования произведения y=ab. Перепишем его в виде — = -у-. Равенство отношений влечет равенство разностей «чисел отношений» (логарифмов): log г/— log а = logfe — log 1; log у = loga + logfe — log 1. Кроме того, что во всех правилах Непера присутствует log 1=х, v 1 А 1 \х определяемый из равенства 1 = v0 ( 1-----, существенное ос- \ J ложнение при вычислениях вносит тот (факт, что log 10=# 1. Поэто- му приходилось заново вычислять и мантиссу и характеристику логарифмов чисел, отличающихся друг от друга только множите- лем 10±ft (k — натуральное число). Эти затруднения привели Не- пера к идее десятичных логарифмов, т. е. к тому, чтобы первона- чально полагать log 1=0, log 10= 1010. Та же идея десятичной системы возникла после ознакомления с таблицами Непера у профессора лондонского колледжа Генри Бригга (1561—1630), с 1619 г. профессора математики в Оксфор- де, а затем в Лондоне. Он дважды ездил к Неперу в Шотландию, сдружился с ним и в совместных занятиях они разработали но- вую, практически более удобную десятичную систему, основанную на сравнейии прогрессий: ...0,01 0,1 1 10 100... ... —2—10 1 2 Бригг взялся за разработку большой таблицы десятичных лога- рифмов. Уже в 1617 г. он опубликовал 8-значные таблицы лога- рифмов чисел от 1 до 103. Через 7 лет, в 1624 г., Бригг сумел из- дать «Логарифмическую арифметику», содержащую 14-значные таблицы логарифмов для чисел 1—20000 и 90000—100 000. Для пропаганды нового вычислительного средства он выпустил не- сколько статей, разъясняющих методы вычисления таблиц и упот- ребления логарифмов. Один из методов Бригга представляет осо- бенно большой интерес. Бригг исходит из того, что если из любого числа, например из 10. последовательно извлекать квадратный корень, то после доста- точно большого числа извлечений (т = 2") получится результат, достаточно близкий к единице. В таком случае результат следую- 131
9n+l щего извлечения квадратного корня можно записать: у 10 = 1 + а, . 2П _ где а — мало. Возведем обе части равенства в квадрат: -^10 = 1 + + 2а + а2. Для п достаточно большого а2 таково, что его можно отбросить и это не скажется на принятой точности вычислений. 2п,- 2ГЖ 1/10-1 /10-1= —— Умножим обе части на 2Л+1: т. е. выражение, практически не меняющееся при дальнейшем воз- растании п. Если обозначить /То = х, то „ 2. ( /ТО - 1) = (И). То же значение х можно получить, подставляя вместо 10 любое 2^___________________________ 1 другое конечное число: у а ^х. Тогда log10х Подста- новка в (Д) даст: откуда / 2т г— \ 2'М у а — 1 logio а -----Н----------- Вычисление десятичного логарифма любого числа сведено та- ким образом к последовательному извлечению квадратного корня из этого числа. Значения степеней 2 и последовательного извлече- ния квадратных корней из 10 вычисляются предварительно. Чтобы избежать накопления ошибок, Бригг произвел 54-кратное извле- чение квадратного корня с точностью до 32 десятичных знаков: 2^ЛТ0 = 1,000 000000000 000 127 819 149 320 032 35. Работами Непера и Бригга вычислительные трудности, о ко- торых мы здесь смогли дать лишь неполное представление из-за 132
их громоздкости, были преодолены. Логарифмы вошли в вычисли- тельную практику и быстро распространились по всему миру. В 1628 г. голландец А. Влакк, книготорговец по роду занятий, закончил труд Бригга, составил и издал 10-значные таблицы де- сятичных логарифмов чисел 1—105. Он же довел до конца состав- ление 10-значных таблиц десятичных логарифмов тригонометри- ческих функций с частотой через каждые 10". Лед был сломан. Английский преподаватель математики Джон Спейдель вычислил к 1620 г. таблицы натуральных логарифмов, сразу завоевавшие громадную популярность. В то же время (1620) лондонский про- фессор Эдмунд Гюнтер разработал логарифмическую шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной ло- гарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометри- ческих функций, как десятичные, так и натуральные, и широко использовал их в астрономии. Таблицы логарифмов быстро, в течение менее чем столетия, распространились по всему миру и сделались незаменимым вспо- могательным орудием при вычислениях. В 1650 г. они были заве- зены иезуитами-миссионерами в Китай. В России регулярные из- дания таблиц логарифмов датируют с 1703 г., когда появились таблицы Влакка. Логарифмическая шкала была описана в рус- ской научной и учебной литературе впервые в 1730 г. под назва- нием гунтерской (по имени уже упомянутого выше проф. Э. Гюн- тера). Мы уже отмечали, что в процессе решения чисто вычислитель- ной задачи составления таблиц возникли элементы анализа пере- менных величин. Это были: идея логарифмической функции, выс- казанная Непером, и отбрасывание несущественно малых вели- чин, например у Бригга. Можно предположить, что последний прием послужил одной из причин того, что Кеплер стал занимать- ся исчислением актуальных бесконечно малых величин. В свою очередь применение элементов анализа бесконечно малых дало новый более удобный способ вычисления логарифмов. Его разработал в 1667 г. член Лондонского королевского общест- ва голштинец Кауфман (1620—1687), известный под именем Н. Меркатора. Последний исходил из замечательного соотноше- ния, доказанного в 1647 г. Сен-Винсентом: если абсциссы точек Л и В на гиперболе у = — (рис. 30) соответственно пропорцио- нальны абсциссам точек Ai и Bi на той же кривой, то площади криволинейных четырехугольников, расположенных под отрезками АВ и AiBi, равны. Эквивалентным ему является предложение: площадь S под гиперболой У = ~ наД отрезком (1, х) оси абсцисс равна Inx в системе, основанием которой является число е такое, что S (1, е) = 1. 133
Меркатор перенес ось ординат вправо на единицу. Уравне- ние гиперболы стало у — . Заштрихованная площадь S(0, х) = 1п(14-х). Разложив у — в ряд, он получил у= = 1—х+х2—х3-!-... Остаток при |х|<1 может быть сделан при достаточном продолжении ряда как угодно малым. Далее Меркатор использует методы квадрирования площадей, ограниченных кривой вида у=хп, абсциссой и двумя ординатами. Эти ранние методы интегрирования были к тому времени уже хорошо разработаны Кавальери, Ферма, Паскалем и др. Интег- рирование дает: о /л \ . х* х* , , Хп S(0,x) = x-—+ ±—. т. е. возможность вычислять значения функции In(l-f-x) с по- мощью степенного ряда. Теория логарифмических функций полу- 134
чила завершение в трудах Л. Эйлера. Ему принадлежит общее определение логарифмической и показательной функций как вза- имно-обратных, распространение понятия логарифма на случай комплексного аргумента, введение символа е для основания нату- ральных логарифмов и т. д. (см. его «Введение в анализ беско- нечно малых», т. I). Ученые-математики XVII в. искали также и другие пути пре- разных городах Европы одоления вычислительных трудностей. В стали возникать счетные машины. По- видимому, самой ранней машиной бы- ла машина немецкого профессора Вильгельма Шиккарда (1623), препо- дававшего в г. Тюбингене математику и астрономию. Сведения об этой маши- не появились только в 1958 г. Ее схе- ма и объяснения к этой схеме были обнаружены в архиве Кеплера, а за- тем в архивных фондах библиотеки Штутгарта. Машина В, Шиккарда состояла из трех частей: суммирующее устройство, множительное устройство и механизм для записывания промежуточных ре- зультатов. Первое из них представляло арифмометра, построенного на принципе / 1 3 4 5 6 1 8 9 0 2 4 6 8 72 /2 V. У У 0 3 6 9 /2 7 у 22 0 ц 8 72 X Л X % 3/ Ув 0 5 '/о X 22 Я S’ 7о У 0 6 У 72 й 52 % ч/в % 0 7 % Я у Я ^2 ^2 У 7 0 в у % $2 % Уб У 7/г 0 9 /2 7? % X 7 бУ 7Л 7 0 Рис. 31 раннюю разновидность использования зубчатых передач. На параллельных осях (их было шесть) насаживалось по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок, поворачивающий ее на 0,1 оборота, после того как предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление маши- ны позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результа- ты, вплоть до итогового. Вычисление не представляло при этом затруднений. Для деления рекомендовалось повторное вычитание делителя из делимого. Оригинально разрешена в машине Шиккарда задача умноже- ния чисел. На параллельных осях (их тоже было 6) насажива- лись цилиндры, на каждый из которых была навернута таблица умножения. На рис. 31 показана эта таблица в развернутом виде. Перед цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек (по 6 штук в каждом ряду, по числу цилиндров); каждый ряд откры- вается и закрывается специальной фигурной задвижкой. Пусть необходимо сосчитать, чему равно произведение 387-27. Все ци- линдры устанавливаются вращением в такое положение, чтобы в верхнем ряду окошек появилось множимое: 000387. Частич- ное произведение 387-7 получается простым открыванием окошек седьмого ряда; в них появится 0002/15/64/9, что означает после несложного подсчета в уме: 2709 (0 0 0 215649). Второе частичное 135"
произведение (387-20) получается открыванием второго ряда око- шек, что дает 000 61/6 1/4, или 774, к которому справа приписы- вается нуль. Оба частичных произведения 2709 и 7740 складыва- ются на суммирующем устройстве. Последнее в своих окошках покажет сумму 10449. Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с на- несенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из па- нели с шестью окошками. Поворотом барабанов в окошках фик- сировалось число, которое вычислите- лю надо запомнить. Конструктивное решение машины Шиккарда изображе- но на рис. 32 (1 — множительное устройство, 2 — суммирующее, 3 — записывающее устройство для памя- ти). Машина Шиккарда была изобре- тена и построена в 1623 г. О ней ниче- г© не было известно, по-видимому, ни- кому, кроме Кеплера и узкого круга друзей изобретателя. Поэтому до по- следнего времени считалось, что пер- вый арифмометр изобрел в 1642 г. Блез Паскаль (1623—1662). Арифмо- метр Паскаля, построенный на принци- пе десятичных зубчатых передач, позд- нее (1673—1674) был усовершенство- ван Лейбницем. Счетные устройства были еще долгое время несовершенны- ми и не имели широкого распростра- нения и практического применения вплоть до 1874 г., когда инженер Однер (Петербург) изобрел спе- циальное установочное устройство — колесо Однера, употребляю- щееся в простейших вычислительных машинах и в наше время. Многие вычислительные методы были разработаны в связи с численным решением алгебраических уравнений, переплетены с ним. С особенной силой эта связь проявилась в сочинениях И. Ньютона и его предшественников и современников. Еще в молодости (ок. 1676 г.) Ньютон разработал способ приближенно- го нахождения корней уравнений, применяемый до сих пор. В на- ши дни продолжается исследование многоугольника Ньютона, изобретенного им для разложения в ряд по дробным степеням ар- гумента х решения у уравнения f(x, у)=0. В связи с задачами вычислительного характера Ньютон вывел формулу бинома и распространил ее на случаи дробного и отрицательного показате- ля степени бинома. В 1673—1683 гг. Ньютон читал в Кембриджском универси- тете лекции по алгебре. Его преемник по кафедре издал в 1707 г. эти лекции под названием «Универсальная арифметика». Они 136
замечательны как своеобразный итог развития алгебры XVII в., как пример неразрывности арифметики и алгебры в то время и ведущей роли в алгебре вычислительных методов: «Все действия арифметики столь необходимы в алгебре, что они лишь совместно образуют полную науку вычислений, и поэтому я буду излагать их обе вместе», — писал Ньютон 1. Подготовительный аппарат алгебры — основные понятия и правила действий — содержит разделы, посвященные операциям над арифметическими дробями. Геометрические способы построе- ния корней уравнений трактуются как вспомогательные для при- ближенной оценки величины корней. Материал* общей теории уравнений также подчинен задаче численного решения задач, при- водящихся к алгебраическим уравнениям. Практические цели, стоящие перед математиками XVII в., привели к расширению арсенала вычислительных средств и прие- мов численного решения задач. Главными достижениями в этом плане являлись: изобретение логарифмов и методов точного или приближенного (если точное оказывается невозможным) вычис- ления корней алгебраических уравнений. Все эти нововведения обогатили элементарную математику. В то же время каждое из этих открытий несло в себе элементы, получившие развитие в не- элементарных ее частях: в математическом анализе и в высшей алгебре. В этом проявилась особенность неразделяемого массово- го развития всего состава математики и относительность, искус- ственность ее деления на элементарную и высшую, на различные дисциплины и т. д. Не надо никогда забывать, что выделение од- ной из сторон, ветвей математики хотя и облегчает ее изучение, но обедняет, огрубляет общую картину развития всей совокупности математических знаний. Вопрос о связях и взаимодействиях как внутри, так и вне математики остается коренным вопросом всей математики, особенно в случаях, когда речь идет о ее логической структуре или об ее истории. 1 И. Ньютон. Всеобщая арифметика. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1948, стр. 7.
Глава 5 ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН 5.1. НАЧАЛО ПЕРИОДА МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН В истории науки математика XVII в. занимает особое, весьма значительное место. XVII в. открывает новый период — период математики переменных величин. К концу предыдущего, XVI, столетия алгебра, тригонометрия, геометрия, а также приемы вычислений накопили достаточно мно- го фактов и достигли такого состояния, что стали существенной частью технического и общенаучного прогресса. В течение XVII в. математические методы продолжали весьма энергично внедряться в естествознание, прежде всего в механику. Так, в 1632 и 1638 гг. Галилей дал математическое выражение законов падения тел, несколько ранее (1609—1619) Кеплер открыл и математически сформулировал свои знаменитые законы движения планет. К 1686 г. Ньютон смог сформулировать и убедительно продемон- стрировать закон всемирного тяготения: законы движения планет объясняются притяжением их к Солнцу с силой, обратно пропор- циональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной их массам. Законы притяжения оказались универсальными для лю- бых тел, массу которых можно представить сосредоточенной в центре. Большинство ученых работали во многих областях науки, они пытливо изучали природу, отыскивали ее законы и не особен- но заботились о разграничении наук. 138
Успехи в выявлении и математическом оформлении столь многих естественнонаучных закономерностей привели к созданию системы наук о природе — математического естествознания. По- следнее представлялось в виде общей науки, которая объясняла отдельные явления действием общих, математически сформулиро- ванных законов природы. Философская идея универсальности "ма- тематического метода, отражающая быстрое развитие техники и математики, довлела над умами крупнейших ученых и философов XVII в. (Декарт, Спиноза, Лейбниц, Ньютон). Каждый новый успех математического естествознания вызы- вал резкое повышение спроса на приложения математической тео- рии. Математика во все времена развивалась под определяющим влиянием практики и в конечном счете технического, материаль- ного прогресса. В XVII в. математическое творчество ученых про- текало в атмосфере высокого давления практических обстоя- тельств. В течение этого столетия изменились формы существования математики. На смену энтузиастам-одиночкам пришли научные организации. С 1662 г. начало свою деятельность Лондонское ко- ролевское общество, играющее и ныне роль национальной Акаде- мии наук. В 1666 г. организована Парижская академия. Тем было положено начало эпохе организации научных учреждений и об- ществ, ставших плодотворной формой коллективного труда ученых при государственном покровительстве наукам. Переписка ученых и появлявшиеся изредка книги не удовлет- воряли требованиям научного общения. В XVII в. было положено начало периодике. С 1665 г. в Лондоне выходят «Philosophical Transactions»; одновременно в Париже появился «Journal des S?a- vans» (существовал до 1792 г.); в 1682 г. в Лейпциге был основан Лейбницем журнал «Acta Eruditorum» (существовал до 1731 г.). Изменение практического положения, идейных основ и орга- низационной структуры и роли математики происходило наряду с глубокими качественными изменениями в ее содержании. Изу- чение’ чисел, постоянных величин, фигур дополняется изучением движений и преобразований, функциональных зависимостей. Ме- няется внутреннее содержание математики, все более приобретаю- щей облик математики переменных величин. Об этом перевороте в математике Ф. Энгельс говорил: ^Пово- ротным пунктом в математике была Декартова переменная вели- чина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем са- мым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необхо- димым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тот- час и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем»1. В XVII в. берут начало все, или почти все, математические дисциплины, входящие ныне в классический фонд современного высшего математического образования. В трудах Декарта и Фер- 1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Собр. соч., т. 20, стр. 573. 139
ма начала формироваться аналитическая геометрия как метод вы- ражения числовыми соотношениями размеров, форм и свойств гео- метрических объектов, существенно использующих метод коорди- нат. В разнообразных формах стал возникать математический ана- лиз. Вначале это было дифференциальное и интегральное исчисле- ние, принявшее в 1665—1666 гг. в сочинениях И. Ньютона (опуб- ликованных, однако, лишь в XVIII в.) вид теории флюксий, а в сочинениях Лейбница (опубликованных в 1682—1686 гг. и позд- нее) вид исчисления дифференциалов. Тотчас после возникнове- ния математического анализа механические и физические задачи стали записываться в виде дифференциальных уравнений, реше- ние которых стало с тех пор едва ли не самой главной задачей всей математики. Почти в то же самое время в математическом анализе появились первые задачи, вводящие в его высшие обла- сти. В частности, речь идет о вариационных задачах, попытки ре- шения которых привели впоследствии к появлению вариационно- го исчисления — самой ранней части функционального анализа. В неразрывной связи с анализом формировались в отдельную область математики его геометрические приложения. Еще в на- чале столетия, в 1604 г., Кеплер вывел формулу радиуса кривиз- ны. Позднее, в 1673 г., Гюйгенс дал математическое выражение эволют и эвольвент. Многие дифференциально-геометрические факты, открытые и доказанные в XVII в., послужили надежной основой для выделения и обоснования новой области матема- тики — дифференциальной геометрии. В XVII в. было положено начало учению о перспективе и про- ективной геометрии в сочинениях Ж. Дезарга (1593—1662) и Б. Паскаля (1623—1662). Первую научную форму приобрела тео- рия вероятностей, особенно благодаря открытию Я. Бернулли (1654—1705) простейшей формы закона больших чисел. Наконец, элементарная математика приобрела завершенную форму благодаря замене риторической алгебры символической, а также изобретению логарифмов. Столетие в жизни науки — большой срок, в течение которого происходит множество событий. Как и всюду в настоящей книге, мы постараемся выделить главные линии развития и отметить за- кономерности. Именно, мы постараемся показать, как в XVII в. математика преобразовывалась, превращаясь преимущественно в математику переменных величин, как происходило расширение предмета математики за счет включения в него движения и выра- ботки новых средств его математического отображения. 5.2. ВОЗНИКНОВЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Мы отметили глубокую мысль Ф. Энгельса о том, что пово- ротным пунктом в математике XVII в. была декартова перемен- ная величина. Рассмотрим эту мысль подробнее. Рене Декарт 140
Р. Декарт (1596—1650) (1596—1650) был выдающимся французским ученым: философом, физиком, математиком, физиологом. Образование он получил в иезуитском колледже, славившемся постановкой обучения. Всю жизнь Декарт продолжал совершенствоваться в науках. Целью естественнонаучных занятий Декарта была разработка общего де- 141
дуктивно-математического метода изучения всех вопросов есте* ствознания. При этом, по справедливому замечанию К. Маркса, Декарт совершенно отделил этот род своих занятий от метафизи- ческих рассуждений идеалистического характера. В границах фи- зики Декарта единственную субстанцию, единственное основание бытия и познания представляет материя. Рационализм идей Декарта, признающего прежде всего ра- зум, строгую дедукцию, был направлен против церковной схолас- тики. Напряженные отношения с католической церковью заста- вили его в 1629 г. переехать в Нидерланды. Враждебное отно- шение протестантских богословов побудило Декарта в 1649 г. предпринять новый переезд в Швецию, где через год он скон- чался. В нашу задачу не входит анализ философских воззрений Де- карта. Мы будем их привлекать к рассмотрению лишь в той мере, в какой это может помочь понять его математические идеи и ре- зультаты. Речь пойдет прежде всего о месте математики в его естественнонаучных занятиях. Природой материи, утверждал Декарт, является ее трехмер- ная объемность; важнейшими свойствами ее — делимость и под- вижность. Эти же свойства материи должна отображать мате- матика. Последняя не может быть либо численной, либо геометри- ческой. Она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. Все содержание матема- тики должно рассматриваться с единых позиций, изучаться еди- ным методом; само название науки должно отражать эту ее все- общность. Декарт предложил назвать ее универсальной матема- тикой (Mathesis universalis). Эти общие идеи получили конкретное преломление к 1637 г., когда вышло в свет знаменитое декартово «Рассуждение о мето- де». В этом сочинении помимо общей характеристики метода ес- тественнонаучных исследований выделены в отдельные части при- ложения этого метода к диоптрике, метеорам и к математике. По- следняя часть, которую Декарт назвал «Геометрия», представляет для нас наибольший интерес. Связь буквенной алгебры с геометрией кривых, необходимая для универсальной математики Декарта, обнаружилась тотчас, как был установлен изоморфизм поля вещественных чисел и поля отрезков прямых. Потребовалось только определить операции над отрезками так, чтобы отрезки действительно образовали поле. Суммы и разности отрезков, очевидно, — отрезки, т. е. элементы поля отрезков. Затруднения с умножением и делением отрезков, заставившие Виета ввести видовую алгебру, были преодолены Декартом введением единичного отрезка и. построением четверто- го пропорционального отрезка. Последнее он осуществлял так же, как это делают ныне соответствующим откладыванием отрезков на сторонах произвольного угла (см. рис. 33) и проведением па- раллельных сечений. 142
'Геометрическими образами алгебраических корней являются построения 1, 2 ... средних пропорциональных. Еще последователь- нее, чем в «Геометрии», эта идея проведена в маленьком сочине- нии «Исчисление господина Декарта». В основу всей «Геометрии» Декарта положены две идеи: вве- дение переменной величины и использование прямолинейных (де- картовых) координат. В согласии с его унифицирующей тенден- цией переменная величина вводится в двоякой форме: в виде те- кущей координаты точки, движущейся по кривой, и в виде пере- менного элемента множества чисел, соответствующих точкам дан- ного координатного отрезка. «Геометрия» состоит из трех книг. Первая книга «О задачах, которые можно построить, пользуясь только кругами и прямыми линиями» начинается с кратких разъяснений только что изложен- ных общих принципов. Затем следуют правила составления урав- нений геометрических кривых. Чтобы решить какую-либо задачу, нужно сначала считать ее как бы решенной, и обозначить буквами все как данные, так и искомые линии. Затем, не делая никакого различия между дан- ными и искомыми линиями, Заметить зависимость между ними так, чтобы получить два выражения для одной и той же величины; это и приводит к уравнению, служащему для решения задачи, ибо можно приравнять одно выражение другому. Доказывается, что все геометрические задачи, решаемые с помощью циркуля и ли- нейки, сводятся к решению уравнений не выше 2-й степени. Об- щие правила своей аналитической геометрии Декарт не излагает подробно в общем виде, а демонстрирует их при решении трудных задач. В качестве такой задачи он выбрал задачу Паппа: на плос- кости даны несколько (п) прямых, например: MN, NK, ML, DA (рис. 34). Найти геометрическое место точек, для которых произ- ведение отрезков, проведенных из них под одинаковыми углами 143
к прямых, находились бы в данном отношении к произведе- нию отрезков, проведенных тем же способом к другой половине и СВ-CD 1 прямых. Например, -------= —. CF-CH 2 Одна из данных линий (ML) и одна из искомых (ВС) при- нимаются за главные. Обозначим АВ=х и ВС=у. Так как углы &.ABR известны, то известно и отношение сторон: = — и х п Ьх CR = У + ----• Рассуждая так же относительно Д DRC и считая п CR:CD = n:ct получим CD = CR- — = ——|—Таким же лил2 образом выразим через х и у линии СТ7, СН, подставим в условие CF-CH=2BC-CD и получим уравнение искомого геометрическо- го места F(x, z/)=0. Декарт скупо поясняет, что геометрическое место в случае трех и четырех прямых представляет собой коническое сечение. В случае, когда число прямых п>4, Декарт устанавливает, что для 2п или 2п—1 прямых уравнение геометрического места имеет степень=п относительно двух переменных х и у. Задача Паппа относительно пяти прямых оказывается разрешимой циркулем и линейкой, или, по терминологии Декарта, плоской задачей. Такой же задача оказывается и для шести прямых, но Декарт этого не отметил L Вторая книга «Геометрии» названа: «О природе кривых ли- ний». Она посвящена более подробному рассмотрению кривых 1 См. Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках. М., ГТТИ, 1933, стр. 204. 144
различных порядков, их классификации и выявлению их свойств. Все кривые Декарт делит на два класса в зависимости от того, возможно ли провести их исследование средствами, которыми рас- полагал Декарт. В соответствии с этим в математику оказалось возможным допускать лишь такие кривые, которые описываются непрерывным движением (циркулем или линейкой) или же не- сколькими такими последовательными движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими. Осталь- ныё кривые получили название меха- нических (позднее у Лейбница транс- цендентных) -и были исключены из ( класса допустимых кривых. Их свой- i ства могут быть открыты лишь слу- F д 'с В Н чайно благодаря специфическим прие- fy-------- мам, не носящим систематического ха- । рактера. I Все допустимые кривые, таким х I образом, могут быть построены с по- I мощью некоторого шарнирного меха- 1 низма. Относительно них без доказа- [ тельства высказано утверждение, что £ Е И Д и они выразимы алгебраическими урав- нениями. Тем самым Декарт предвос- Рис- 35 хитил одну из главных теорем кинема- тики механизмов (доказанную в 1876 г. Кемпе), гласящую, что с помощью плоских шарнирных механизмов, в которых движение первых звеньев полностью определяет движение остальных, можно описывать дуги любых алгебраических кривых и нельзя описать ни одной трансцендентной. Декарт мимоходом бросает замечание, что степень уравнения кривой инвариантна относительно выбора системы прямолиней- ных координат. Но гипноз принципа построения кривых только с помощью шарнирных механизмов слишком владеет Декартом. Поэтому в основу классификации кривых он кладет не порядок уравнения, а число звеньев шарнирного механизма. В силу этого принципа кривые оказываются разделенными по родам (genre), причем к n-му роду относятся кривые порядка 2п—1 и 2п. Этот неудобный принцип был заменен только Ньютоном, который ввел классификацию кривых по степеням уравнений. Декарт еще не в силах построить общую теорию кривых рода п^2. Но для демонстрации силы и универсальности своего мето- да он вновь возвращается к задаче Паппа, исследуя частные ее случаи. Например, пусть задача Паппа поставлена для пяти пря- мых (см. рис. 35): четыре — параллельны и эквидистантны (FG, DE, В A, HJ), пятая перпендикулярна к ним (GA). Найти С такую, что CF-CD- СН= СВ • CM-AL Положим: СМ = х; тогда CF = 2а — у, 145
СВ = у\ CD = а — у, АЕ = EG = AJ = а\ СН = а + у. Уравнение искомого геометрического места (2а — у) (а — у) (а + у) = аху, или у3 — 2ау1 2 — а2у + 2а3 = аху., Для фактического построения данной кривой Декарт приме- няет специальный прием, рассматривая точки пересечения движу- щихся параболы и прямой L Значительную часть второй книги составляют теоремы о про- ведении нормалей и касательных к алгебраическим кривым. Свой метод («метод нормалей») Декарт распространил на конические сечения и на так называемые декартовы овалы. Он подчеркивал значение высказанных теорем для оптики. Мы рассмотрим этот «метод нормалей» ниже. Книгу замыкает предложение о возможности распростране- ния метода Декарта на трехмерный случай. Высказывается при этом идея представления пространственной кривой с помощью проектирования ее на две взаимно перпендикулярные плоскости, общая прямая которых является одной из осей координат. Однако эта идея оказалась у Декарта одиночной, неразвитой; к тому же в его рассуждения вкралась ошибка. Он, в этом единственном предложении аналитической геометрии в пространстве, утвержда- ет, что проекции нормали к пространственной кривой являются нормалями к проекции кривой, что неверно даже для плоской кривой, не говоря уже о наличии в общем случае целой нормаль- ной плоскости. Нет у Декарта и речи о трех координатах точки в пространстве и об уравнениях поверхностей. Задача третьей книги: «О построении телесных, или превос- ходящих телесные, задач» — построение общей теории решения уравнений и использование для этого наряду с алгебраическими средствами геометрических мест. Алгебраическая символика Де- карта уже несущественно отличается от современной. Всякое уравнение мыслится приведенным к виду Рп(х)=0, где Рп(х) — полином с целыми коэффициентами, расположенный по убываю- щим степеням неизвестного х. Из рассмотрения проблемы делимо- сти Рп(х) на х—а, где а — корень уравнения, Декарт делает глу- бокий вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в 'наивысшем показателе степени х2. Он при этом учитывает корни действительные (положительные), ложные (отрицательные) и те,' которые можно вообразить (мнимые и комплексные). Доказа- тельства этого вывода он дать еще не может. Еще много лет не могли дать доказательства и другие ученые. Только в 1797 г. это смог сделать Гаусс. 1 См. Г. Г. Ц е й т е н. Ук. соч., стр. 206. 2 Аналогичные идеи несколько раньше Декарта высказал А. Жирар в со сочинении «Invention nouvelle en 1’Algebre». Amsterdam, 1629. 146
Декарт' показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько отрицательных — сколько повторений знака. Он ввел также прие- мы преобразования коэффициентов уравнения, чтобы добиться необходимого изменения его корней: увеличения, уменьшения или изменения знака. Замечательной по глубине замысла является постановка проб- лемы приводимости, т. е. представления целой рациональной функ- ции с рациональными-коэффициентами в виде произведения та- ких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени ре- шается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки), лишь если оно приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о приводимости его кубической резоль- венты. Если дано уравнение х4+рх2+<7х+г=0, то его можно за- писать в виде (^-»* + Ty’ + T', + ir)x где вспомогательное у определяется из уравнения у?-}-2ру*-\- + (р2—4г) у2—<?2=0, кубического относительно у2. Декарт не дает этому утверждению доказательства. Из ком- ментариев к «Геометрии», составленных Ф. Скоутеном '(1615— 1660), профессором математики в Лейдене, горячим привержен- цем Декарта, можно сделать вывод, что при этом применялся метод неопределенных коэффициентов. Скоутен рассматривает уравнение х4—рх2—qx-\-r=Q и записывает его в виде (x2+yx-j- +z) (х2—yx-f-v) =0. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степёнях х, он< для определения у, z, v, получает уравнения z — y2 + v = — р; — zy + vy = —q; vz = r, ув — 2ру* + (р2 — 4г) y2 — q2 = 0. Решение уравнений 3-й и 4-й степени геометрическими средст- вами у Декарта сводится к задачам о построении (вставке) двух средних пропорциональных и о трисекции угла. Подобно арабским математикам, но, по-видимому, совершенно самостоятельно, Де- карт практически решает эти уравнения с помощью пересечения двух конических сечений. Затем он распространил этот метод на уравнения третьего рода (5-й и 6-й степени), подбирая пересече- ния окружности и движущейся специальным образом подобранной 147
П. Ферма (1601—1665) кривой. Замечания Декарта о решении подобным методом уравне- ний степени п>6 не оказались достаточно ясными, чтобы о них говорить определенно. Таково содержание «Геометрии» Декарта — первого сочине- ния по аналитической геометрии, сыгравшего огромную роль в дальнейшем развитии математики XVII в. Аналитическая геомет- рия Декарта имела еще много недостатков. Прежде всего, область этой науки была еще чрезмерно сужена априорными требования- ми, проистекающими скорее из философских источников, чем из потребностей метода, ограничена только алгебраическими кривы- ми. Неудачной оказалась классификация алгебраических кривых по жанрам (родам), а не по степеням уравнений, их выражающих. 148
Декарт не довершил проникновения в геометрию алгебраического аппарата, не распространил свой метод на изучение свойств кри- вых по свойствам соответствующих уравнений. Координатные оси в «Геометрии» еще неравноправны; проводится только одна ось, а другая координата восстанавливается по мере необходимости. Поведение кривой изучается только в первом квадранте, осталь- ные квадранты не учитываются. Однако («Геометрия» Декарта оз- начала шаг принципиального значения в перестройке математи- ки, что сделало это сочинение классическим. Переворот во взаимоотношении алгебры и геометрии и взаим- ное проникновение их методов с помощью метода координат пред- ставляли в математике явление революционное. Подобные пере- вороты никогда в истории не делаются одним человеком. Так и появление аналитической геометрии не было заслугой одного Де- карта. При этом речь идет не только о тех современниках, в ра- ботах которых в неразвитом виде содержались те или иные идеи, подхваченные и переработанные Декартом. Таких современников было много. Мы имеем в виду то, что одновременно с Декартом аналогичную систему взглядов развил в специальном сочинении французский математик П. Ферма (1601—1665). Ферма происходил из семьи торговца, проживавшей на юге Франции. Окончил университет в г. Тулузе по юридическому фа- культету. С 1631 г. до конца жизни занимался в Тулузе юри- дической деятельностью, будучи советником местных органов уп- равления. Математикой занимался в свободное время. Был зна- током современной математики и классических сочинений древних. Получил выдающиеся результаты в теории чисел, геометрии, ме- тодах оперирования с бесконечно малыми, оптике. Ферма не лю- бил печатать свои сочинения, а сообщал о своих достижениях в научной переписке и при личном общении и дискуссиях со мно- гими выдающимися учеными. Поэтому подавляющее число работ Ферма было опубликовано лишь после его смерти, в 1679 г., и позднее. Идеи аналитической геометрии, т. е. введение прямолинейных координат и приложение к геометрии алгебраических методов, со- средоточены в небольшом сочинении Ферма «Введение в теорию плоских и пространственных мест», ставшем известным с 1636 г., но напечатанном вместе с другими сочинениями в 1679 г. Исход- ными пунктами этой работы явились сочинения древних, особенно Аполлония, по изучению геометрических мест. Те геометрические места, которые представлялись прямыми или окружностями, на- зывались плоскими, а представляемые коническими сечениями — пространственными. Задачей Ферма было показать, что уравнени- ям 1-й степени соответствуют прямые, а коническим сечениям — уравнения 2-й степени. Метод координат вводится так же, как у Декарта: задается одна ось — ось абсцисс, на ней откладываются от выбранного 149
начала отрезки, соответствующие значениям одной переменной. Значения другой переменной, также изображаемые отрезками, восстанавливаются из конца первого отрезка под выбранным для данной задачи углом (чаще всего прямым). Затем Ферма выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений. Вначале он доказывает, что уравнение прямой, проходящей через начало координат, будет иметь вид ах=Ьу. Затем последо- вательно выводятся: уравнение окружности в прямоугольных ко- ординатах с центром в начале координат; гиперболы, отнесен- ной к асимптотам; параболы, отнесенной к диаметру и касатель- ной в конце его; эллипса (гиперболы) в случае, когда осями будут сопряженные диаметры. Замечательно, что Ферма рассматривает задачу и с другой стороны. Он исследует общие виды уравнений 1-й и 2-й степени, преобразованием координат (перенос начала и поворот оси) при- водит их к каноническим формам, облегчая тем самым их геомет- рическое толкование. Например, пусть дано уравнение 2х24-2хг/+ +у2=а2. Перепишем его в виде (х+у)2+*2=а2. Выберем_новые оси: х+у=0, х=0. Новые координаты будут: хх = х]/2 ; у\ — 2а2 —х2 =х+у. Новое уравнение----------= 2. По Аполлонию, замечает 01 Ферма, эта кривая — эллипс, отнесенный к сопряженным диа- метрам. Распространение аналитической геометрии на изучение про- странственных геометрических мест Ферма проводит путем изуче- ния пересечений поверхностей плоскостями. Однако пространст- венные координаты и у него еще отсутствуют, а аналитическая геометрия в пространстве остается незавершенной. «Введение» Ферма показывает, что он, по-видимому, после- довательнее Декарта внедрял координатный метод, особенно при- емы преобразования координат, и не был стеснен априорными соображениями, ограничивающими возможности его методов. Од- нако это сочинение не оказало на математику столь значительного влияния, как декартова «Геометрия». Причин этому было две. Во- первых, «Введение» было напечатано очень поздно, а до этого времени было известно лишь узкому кругу корреспондентов Фер- ма. Во-вторых, оно было изложено тяжеловесным, затруднитель- ным для понимания языком алгебры Виета. Ферма понимал, что он находится только в самом начале ис- следований новой математической дисциплины. Но он добавлял: «И все же мы не раскаиваемся в написании этого преждевремен- ного и не вполне зрелого сочинения. Действительно, для науки представляет некоторый интерес не утаивать от последующих по- колений еще неоформившиеся плоды разума; и благодаря новым открытиям науки первоначально грубые и простые идеи как укреп- ляются, так и множатся. И в интересах самих изучающих соста- 150
вить себе полное представление как о сокращенных путях разума, так и о самопроизвольно развивающемся искусстве» Ч Дальнейшее развитие аналитической геометрии показало, что идея Декарта о едином методе, в котором соединятся методы алгебры и геометрии, осуществилась не так, как это ему представ- лялось. Аналитическая геометрия вошла в систему математиче- ских дисциплин, не поглотив алгебру. Последняя продолжала са- мостоятельное развитие, превращаясь в общую теорию уравне- ний. Что же касается аналитической геометрии, то в первые 50— 70 лет после появления она только переживала период утверж- дения и признания в обстановке горячих споров о правомерности, удобствах ,и возможностях ее методов. Факты этой науки накап- ливались вначале медленно. К 1658 г. был решен вопрос о полуку- бической параболе, в чем приняли участие В. Нейль (1637—1670), Г. ван Гейрат (род. 1633 г.) и Ферма. В 1679 г. Ф. Лагир <(1640— 1718) впервые нашел способ писать уравнения поверхностей. Тем не менее только к 1700 г. А. Паран (1666—1716) смог вывести уравнение сферической поверхности и касательной плоскости к ней. В систематической форме использовал и несколько развил аналитическую геометрию И. Ньютон в сочинении ^Перечисление кривых 3-го порядка» (1704). Облик, близкий современному, придал аналитической геомет- рии Л. Эйлер, посвятив этому второй том «Введения в анализ» (1748). Ему предшествовал только Клеро (1713—1765), распро- странивший аналитическую геометрию на трехмерное прострайст- во с помощью введения трехосной прямолинейной системы коор- динат. Название — аналитическая геометрия — впервые ввел французский математик академик С. Ф. Лакруа (1764—1848) в конце XVIII в. Появление в математике аналитической геометрии существен- но облегчило формирование анализа бесконечно малых. С другой стороны, она стала необходимым средством построения механики у Ньютона, Лагранжа и Эйлера, весьма эффективным при реше- нии многих задач математического естествознания. В математике XVII в. возникновение аналитической геометрии знаменовало по- явление возможностей для создания анализа переменных величин. Эти возможности вскоре были реализованы, так как наиболее важные задачи были (как мы увидим ниже) таковы, что вызывали острую необходимость срочного перехода к открытию методов и общих теорий математического анализа. 5.3. НАКОПЛЕНИЕ ИНТЕГРАЦИОННЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МЕТОДОВ Появление анализа бесконечно малых было завершением дли- тельного процесса, внутриматематическая сущность которого со- 1 П. Ферма. Введение в изучение плоских и телесных мест. В кн.: Р. Декарт. Геометрия. М.—Л., ОНТИ—ГТТИ, 1938, Приложение, стр. 147. 151 j
стояла в накоплении и теоретическом осмысливании элементов дифференциального и интегрального исчисления и теории рядов. Для развития этого процесса к XVII в. сложились существенные предпосылки: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и коорди- натного метода; усвоение инфинитезимальных идей древних, осо- бенно Архимеда; накопление методов решения задач на вычисле- ние квадратур, кубатур, определения центров тяжести, нахожде- ние касательных, экстремалей и т. д. Побудительными причинами этого процесса были в первую очередь запросы механики, астрономии, физики. Эти науки не только предъявляли к математике требования решения того или иного класса задач. Они обогатили ее представления о непрерыв- ных величинах и непрерывных движениях, о существе и видах функциональных зависимостей. В тесном взаимодействии матема- тики и смежных наук вырабатывались инфинитезимальные ме- тоды — основа математики переменных величин. В решении задач такого рода, в поисках общих методов их решения, а следовательно и в создании анализа бесконечно малых, принимали участие многие ученые: Кеплер, Галилей, Кавальери, Торричелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Барроу и многие другие. Создание элементов математического анализа представляло собой многосторонний творческий труд большого числа ученых. Для удобства изучения этого сложного процесса разделим методы, содержащие крупицы анализа бесконечно малых, на две группы: сначала рассмотрим те из них, в которых проявляются элементы позднейшего интегрального исчисления; их мы назовем интеграционными. Затем речь пойдет о дифференциальных мето- дах, т. е. методах решения задач на определение касательных и т. п., — тех, что решались позднее средствами дифференциаль- ного исчисления. Открытие связей интеграционных и дифферен- циальных методов оказалось тем решающим этапом, после которо- го сразу началось формирование математического анализа. Интеграционные методы. Вначале эти методы вырабатыва- лись, накапливались и выделялись в ходе решения задач на вы- числение объемов, площадей,, центров тяжестей и т. п. Задачи Ар- химеда пересматривались вновь и вновь, изучались его инфините- зимальные методы, выяснялись их математические возможности. Интеграционные методы слагались в то время как методы опреде- ленного интегрирования. Процесс формирования и внедрения в- математику этих методов был очень бурным и быстрым; уже череэ 50—60 лет со времени появления первой работы он привел к об- разованию интегрального исчисления. Самым ранним по времени опубликования методом этого ти- па был метод непосредственного оперирования с актуальными бес- конечно малыми величинами. Появился он в 1615 г. в сочинениях Кеплера. 152
И. Кеплер (1571—1630) Иоганн Кеплер (1571—1630), уроженец Вюртемберга — одно- го из многочисленных в ту пору немецких государств, — выдаю- щийся астроном и математик. Он посвятил практически всю свою жизнь изучению, развитию и пропаганде гелиоцентрической си- стемы Коперника. Анализируя огромный материал астрономичес- ких наблюдений, он в 1609—1619 гг. открыл законы движения пла- нет, носящие его имя: 1) планеты движутся по эллипсам; Солнце находится в одном из его фокусов; 2) радиусы-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные секториальные площади (см. рис. 36); 3) квадраты времен обращения планет 153
вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца. Формулировка этих законов показывает, что для математиче- ского доказательства их справедливости недостаточно владения известной в то время вычислительной техникой, знания коничес- ких сечений и алгебраиче- ских средств. Задача вычис- ления секториальных площа- дей требовала умения поль- зоваться бесконечно малыми величинами. Этого умения требовали и другие задачи пр актического хар актер а. И вот по поводу одной из таких практических задач Кеплер изложил свой метод использования бесконечно малых величин. Речь идет об отыскании наиболее целесообразной формы бо- чек и о способах измерения их вместимости. Сочинение, посвящен- ное этой проблеме, так и называется: «Новая стереометрия вин- ных бочек, преимущественно австрийских, как имеющих самую вы- годную форму и исключительно удобное употребление для них ку- бической линейки с присоединением дополнения к архимедовой стереометрии» (Линц, 1615). Состоит оно, не считая предваритель- ных замечаний, из трех частей: часть теоретическая, специальная стереометрия австрийской бочки, правила для измерения вмести- мости бочек.-Для нас наибольший интерес представляет теоретиче- ская часть. Начинается она со «Стереометрии правильных кривых тел». Это — просто пересказ сочинения Архимеда «О шаре и ци- линдре». Кеплер принимает античный метод исчерпывания, ко- торым пользовался Архимед, называет его глубоким, но отбрасыва- ет заключительный этап приведения к противоречию. Он хочет разгадать замысел Архимеда, который привел того к получению столь замечательных результатов, освободить его от наслоений, вы- званных формальными требованиями строгости. Этот замысел, по мнению Кеплера, состоит в том, что любая фигура или тело пред- ставляется в виде суммы множества бесконечно малых частей. Круг, например, состоит из бесконечно большого числа бесконечно узких секторов, каждый из которых может рассматриваться как равнобедренный треугольник. Все треугольники имеют одинако- вую высоту (радиус круга), а сумма их оснований равна длине окружности. Таким же образом шар оказывается составленным из бесконечного множества конусов, вершины которых сходятся в центре шара, а основания образуют поверхность шара. Метод суммирования актуально бесконечно малых Кеплер рас- пространяет и на другие несложные геометрические фигуры и те- ла (конусы и цилиндры) и их части, рассмотренные Архимедом. 154
В некоторых случаях он еще дальше отходит от строгости изло- жения, вводя интуитивные соображения. Например, доказано, что боковая поверхность вписанного конуса_ относится к площади ос- нования (большому кругу шара) как V2 : 1; эта поверхность вдвое меньше боковой поверхности описанного конуса. И вдруг Кеплер пишет: «Весьма правдоподобно, что поверхность полусферы есть среднее пропорциональное между поверхностями (боковыми. — К. Р.) обоих конусов»1. Справедливости ради заметим, что в боль- шинстве высказываний об интуитивной прав- доподобности результата или других рассуж- дений Кеплер отсылает к Архимеду, который «это доказывает со всей строгостью». От правильных кривых тел Архимеда Кеп- лер переходит к изучению тел, образованных вращением круга около прямой, не проходя- щей через его центр, а также вращением дру- гих конических сечений (рис. 37). Всего он рассмотрел 92 вида тел вращения, называя их по внешнему виду лимонами, яблоками, виш- нями, турецкими чалмами и т. п. и даже во- обще желваками. Метод вычисления объемов тел вращения Рис. 38 Рис. 37 и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело де- лилось на бесконечное число единиц, «ломтей», занимающих рав- ноправные положения в теле. Эти части перегруппировывались, образуя другое тело, объем которого можно вычислить. Если ока- зывалось невозможным провести непосредственное суммирование, то они предварительно заменялись другими частями, эквивалент- ными данным. Разъясним этот метод на двух примерах. В теореме 18 Кеплер доказал, что всякое кольцо кругового или эллиптического сечения равновелико цилиндру, высота кото- рого равна длине окружности, описываемой центром сечения, а 1 И. Кеплер. Стереометрия винных бочек. М., ОНТИ—ГТТИ, 1935. стр. 123. 155
основание — сечению кольца. Метод доказательства: кольцо (тор) рассекается на доли плоскостями, проходящими через центр тора перпендикулярно поверхности. Каждый разновысокий ломтик за- меняется цилиндриком с тем же основанием и с высотой, равной среднему арифметическому наибольшей и наименьшей высоты. Столбик из этих цилиндриков дает наглядное доказательство тео- ремы. Далее Кеплер обсуждает возможные обобщения, связанные с формой сечения кольца, приходя к выводу, что теорема верна для всех сечений, симметричных относительно вертикали, проведенной через центр сечения. Второй пример более сложен. В нем речь идет об определе- нии объема яблока, т. е. тела, образованного вращением вокруг хорды сегмента, большего, нежели полукруг, а также частей яб- лока. Кеплер представляет яблоко состоящим из долек, образован- ных меридиональными сечениями и имеющих общий отрезок MN /(рис. 38). Развернув экватор яблока в прямую DS, Кеплер перераспределяет ломтики, деформируя их без изменения объема. Образуется цилиндрическое тело MNSD, которое можно предста- вить отсеченным от цилиндра, основанием которого является круг, образующий яблоко, а высота равна длине окружности радиуса AD. Объем этого тела равен объему яблока. Тот же результат получается, если яблоко представляется раз- деленным не на элементарные меридиональные дольки, а на кон- центрические цилиндрические слои, имеющие осью MN — своеоб- разные ^«стружки». Развернув каждую стружку перпендикулярно плоскости DMN, Кеплер получил совокупность бесконечно тонких прямоугольников, составляющих упомянутое цилиндрическое тело (например, прямоугольник JKad). Теперь можно перейти к определению объема пояса яблока — той его части, которая остается после извлечения из него сердце- вины, т. е. цилиндрической части, имёющей MN своей осью. Если пояс образован, например, сегментом JKD, то он равновелик ча- сти LSDO цилиндрического тела. Эта часть в свою очередь состо- ит из двух частей: цилиндрического сегмента VTDO и тела VLST. Последнее Кеплер рассматривает как разность двух тел: VLST= = GLST—GLV. Так как точка G является центром круга, тело GLST оказы- вается равновеликим шару того же радиуса, что и заданный.* По- этому тело VLST трактуется как шаровой пояс, образованный тем же сегментом JKD. Эти соображения и лежат в основе теоремы 20: 1«Пояс яблока составляется из пояса сферы и прямой части цилиндра, основани- ем которой служит сегмент, недостающий (до полного круга) на вращающейся фигуре, образующей яблоко, а высотой — длина окружности, описанной центром большого сегмента». В конце доказательства Кеплер поместил в качестве добавле- ния правило для вычисления объема яблока и его сферического 156
пояса. Методы Кеплера в определении объемов тел вращения, ра- зумеется, были нестрогими. Это было ясно и ему самому и его современникам. Вокруг кеплеровских суммирований актуально бесконечно малых разгорались споры. Как и во все эпохи, не бы- ло недостатка в придирчивых критиках. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон выпустил даже специальное сочинение «В защиту Архимеда» (1616, через год после выхода в свет рассматриваемо- го сочинения Кеплера), где обвинял Кеплера в оскорблении памя- ти Архимеда. Тем не менее плодотворность суммирования элементов, вычи- танная у Архимеда Кеплером, была очевидной. Первая же попыт- ка создать регулярный алгоритм оперирования с бесконечно ма- лыми стала весьма популярной. Многие ученые посвятили свои работы усовершенствованию оперативной стороны этого предприя- тия и рациональному разъяснению возникающих при этом поня- тий. Наибольшую известность приобрела геометрия неделимых, изобретенная Кавальери. Бонавентура Кавальери (1598—1647), ученик Г. Галилея, про- исходил из знатного рода. Монашеская карьера сочеталась в его Жизни с научной и преподавательской деятельностью по матема- тике. С 1629 г., по рекомендации Галилея, он занял кафедру мате- матики в Болонье, будучи одновременно настоятелем католиче- ского монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток античных авторов, он в то же время глубоко изучал высказанные Галилеем и Кеплером идеи создания исчисления неделимых. Кавальери написал ряд сочинений по астрономии, технике вычислений, кони- ческим сечениям, тригонометрии. В 1632 г. он опубликовал 11-знач- ные таблицы логарифмов тригонометрических функций. Но делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математи- ки, был метод неделимых, задуманный как универсальный метод геометрии. Идея общего метода неделимых была впервые высказана Б. Кавальери в 1621 г. В рукописи, представленной им при заня- тии профессорской должности в 1629 г., уже имеет место система- тическое применение неделимых. Итогом многолетнего усовершенствования метода неделимых явилась книга «Геометрия, изложенная новым способом при по- мощи неделимых непрерывного» (1635, 2 изд., 1653). Этому же предмету была посвящена книга Кавальери «Шесть геометриче- ских опытов» (1647). Метод неделимых был изобретен для определения размеров плоских фигур и тел. Как фигуры, так и тела представляются со- ставленными из элементов, имеющих размерность на единицу меньше. Так, фигуры состоят из отрезков прямых, проведенных параллельно некоей направляющей прямой, называемой регула. Этих воображаемых отрезков бесконечно много. Они заключены между двумя касательными, имеющими название парных. Каса- 157
Б. Кавальери (1598—1647) Памятник Кавальери, поставленный в Ми- лане в 1844 г. в память двухсотлетия вы- хода в свет его «Геометрии» тельные параллельны регуле; за регулу может быть принята одна из них. В геометрических телах неделимыми являются плоскости, па- раллельные некоторой плоскости, избранной в качестве регулы. 158
Их тоже бесконечно много; границами их совокупности служат две парные касательные плоскости, параллельные регуле. Часто одна из них избирается в качестве регулы. Идею своего метода Кавальери образно выражал, предлагая читателям представить паука, непрерывно ткущего геометрию из неделимых. Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по суще- ству вводит понятие определенного интеграла. Однако логические трудности, связанные с пониманием неделимого, составления пло- щадей из линий, не имеющих ширины, и тел из бесконечно тонких плоскостей и т. п. не дают еще возможности судить о совокупно- стях всех неделимых. Поэтому Кавальери вынужден рассматри- вать отношения тел и фигур, ограничиваясь случаями, когда отно- шения неделимых постоянны. Таким образом, сущность геометрии неделимых Кавальери можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вме- сте; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел) равно этому отношению. Эти утверждения практически эквивалентны современным умо- заключениям типа: даны две фигуры, ограниченные на нашем чер- теже (рис. 39) осью х, прямыми х = а и х=Ь и соответственно #i=A(x )и У2=?2(х). Отношение площадей S У Ik f fl (х) dx а S2 ~ ~ = ~Ь • 2 S'»* f /а W dx fc=l а Если — а = const для любого k, то и = k. 159
Кавальери рассматривал и отношения степеней неделимых. Например, он ввел совокупность квадратов неделимых и доказал теорему: сумма квадратов неделимых параллелограмма втрое больше суммы квадратов неделимых треугольника, образованно- го в результате проведения диагонали. Введем для краткости обо- значения: АС=а, RT=x, TV=y, RS = -^- = b, ST=z. Тогда x=b+z, y=b—z и сумма квадратов частей неделимых х2 + у2 = =2b2+2z2. Суммируем все неделимые, обозначив сумму квадратов неделимых символом [ ] (рис. 40): [ЛЕС] + [CGEJ = 2 [ЛВЕЕ] + 2 [ВСМ] + 2 [ЕЕМ]. Заметим, что [ЛЕС] = [CGE] [ЛВЕЕ] = -i- [ЛСОЕ]; [BCM J = [ЕЕМ] = — [ЛСЕ], 8 что нетрудно понять, вообразив над каждым линейным элементом квадрат и рассматривая их совокупности. Следовательно, [ЛСЕ] = -L [ЛСОЕ] + -^-[ЛСЕ] + [ЛСЕ]; [ЛСЕ] = у[ЛСОЕ]. В переводе на язык интегрального исчисления Кавальери до- казал, что а а § х2 dx = -i- J a2 dx о о или иначе: f—Y(l2 + 22+---+«2) S*2 . lim -------------------------= lim -£=!-----= —. И—>o® ПС1% fi—>qo 3 Эту теорему Кавальери сумел, обобщить на случай суммирования более высоких степеней неделимых, вплоть до 9-й, решив таким образом группу задач, эквивалентных вычислению определенных а интегралов вида J xndx для п = 1, 2, ... ,9. То, что у Кавальери о рассматриваются не выражения, эквивалентные интегралам, а их отношения, дела принципиально не меняет. Достаточно выбрать 160
в качестве единого знаменателя интеграл, соответствующий сумме неделимых. Другим обобщением метода являлось введение криволинейных • неделимых. Метод неделимых позволил решить множество трудных задач, ранее не поддававшихся решению. У него появились горячие при- верженцы. Один из них, Е. Торричелли, писал, что новая геомет- рия неделимых переходит из рук одних учёных к другим, как чудо науки; она, по мнению Торричелли, убедила мир, что века Архимеда и Евклида были годами детства ныне взрослой геометриче- ской науки. Торричелли, активно работав- ший методами Кавальери, первый сумел определить объем тела, образованного вра- щением ветви гиперболы вокруг одной из своих осей. Однако у этого метода были свои недо- статки. Во-первых, он был непригоден для измерения длин кривых, так как соответ- ствующие неделимые (точки) оказывались безразмерными. Во-вторых, невыясненность понятия неделимого, невозможность его рационального объяснения создавала для всей теории атмосферу необоснованности. В-третьих, развитие метода сильно задерживалось из-за того, что Кавальери, в соответствии со сложившимися в его время представлениями о научной строгости, избегал применять символику и приемы алгебры. Тем не менее определенное интегрирование в форме геометри- ческих квадратур в первой половине XVII в. уже зарекомендовало себя. Все усилия отныне были направлены на уточнение его и на достижение возможно более общих результатов. Паскаль (1623—1662), например, рассматривал квадратуры в форме, близкой той, которая употребляется Кавальери. Попытка уточнения состоит в том, что сумму всех неделимых он понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близ- кими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограничен- ными отрезком оси абсцисс и кривой (т. е. сумму вида 2 ydx). В ряде задач он вводил сумму всех синусов, определяя ее как сум- му произведений ординат на элементы дуги (2yds), которая в слу- чае окружности единичного радиуса оправдывает свое название (2sin<pd<p). При помощи этого геометрического эквивалента опре- деленного интегрирования Паскаль сумел решить много задач на определение площадей, объемов, статических моментов и т. д. В случае, когда речь идет о сумме синусов, Паскаль высказал мысль, сыгравшую впоследствии большую роль в истории матема- тики. Он ввел вспомогательный треугольник ЕКЕ, подобный £±ADI (рис. 41), и сохранил его в своих рассуждениях даже тогда, когда расстояние между двумя соседними ординатами бесконечно мало: в к. А. Рыбников 161
&EKE-&ADI-, ЕЕ KE AD . ID ’ DhEE — AD-KE, или в более привычных нам обозначениях: yds—rdx. Последующая теорема Паскаля: сумма синусов какой-нибудь дуги четверти круга равна отрезку основания между крайними синусами, умноженному на радиус, легко переводится на язык интегрального исчисления. S X В самом деле: J yds =r^dx. Так как y=r coscp, x=rsin<p, $=Гф, о о то ф ф J г cos (р d (г <р) = г J d (г sin ф), о о или J cos ф йф = yd (sin ф) = sin ф. о о По признанию Лейбница, треугольник Паскаля послужил ему прообразом дифференциального треугольника, составленного из дифференциалов dx, dy9 ds. Важное усовершенствование геометрических квадратур было проделано Ферма, который ввел деления квадрируемой площади ординатами, отстоящими друг от друга на неравных расстояниях. Это дало ему возможность распространить способы вычисления а выражений, эквивалентных ^xndx, на случай, когда п — дробное 6 и отрицательное. с — Пусть, например, речь идет о вычислении интеграла I х я dx, о где р>0, q>0. В формулировке Ферма речь идет о квадрировании площади, образованной отрезком оси абсцисс [0, х], двумя крайни- ми ординатами и кривой, уравнение которой хя=уя. Интервал интегрирования делится на отрезки точками с координатами: х, ах а2х, ..., где а<1. Последующие операции состоят в вычис- лении последовательно: Дх, у, у Ах, Ъу&х и переходе к случаю, когда ширина полосок бесконечно уменьшается. Приведем эти вы- кладки в виде таблицы: Дх (1 —а)х, р У хя , р+ч у Ах (1 —а)х я t а(1 —а)х, р р а я х я , р+ч р+ч (1 —а) а я х я t а2(1 —а)х, ... 2р Р а q х я , . „р+ч р+ч (1 — а) а я х я ( ... 162
Суммирование, как видим, свелось к суммированию геометрической прогрессии, сумма которой р+я '-£-x ’ 1—а ’ рЧ" д Чтобы избежать того, что коэффициент при делается неопределенным, когда полоски уменьшаются, Ферма делает под- становку а = Рд. Тогда 1-а = 1-Р* = (l-P)(l+P + Pa+-->+P^i) р+д 1—p^+tf (1 — р) (1 + Р4-р2 + ... 4-p^-i\ ‘ 1 — а q В предельном случае а = 1, следовательно р = 1 и ^Дх = р+я X Я • ___я р + я СО Аналогичные вычисления позволяют получить J dx. Ферма х делит интервал интеграции точками с абсциссами х, ах, а2х, где а>1. Последовательно вычисляя, по образцу, данному выше, Дх, у, у Ах, ZyAx, и переходя к предельному случаю, когда а=1, Ферма получает результат: уАх = (0=1) 1 (и — 1) Х71”1 • По-видимому, Ферма изобрел этот метод под влиянием сочинений Непера, потому что он сам назвал его логарифмическим. Математики первой половины XVII в. с большим удивлением и энтузиазмом убеждались, какое большое количество, казалось бы, разнородных задач геометрии и механики приводилось к квад- ратурам. С каждым годом, с каждым новым результатом все более выявлялась общность операций, которые приходилось применять при решении этих задач. Геометрический эквивалент определенного интегрирования, возникший как специфический метод геометрии, частично воспринятый от Архимеда, постепенно приобретал черты общего метода математики. В нем все больший удельный вес при- обретали численные методы и-элементы грядущего анализа беско- нечно малых. В этом отношении характерным примером являлись работы Дж. Валлиса (1616—1703), английского математика, профессора Оксфордского университета (с 1649 г.), одного из основателей (с 1663 г.) Лондонского королевского общества. В 1655 г. им была 6* 163
издана «Арифметика бесконечного». Используя метод Кавальери, он перевел на арифметический язык отношения сумм неделимых. Так, отношение степеней неделимых, которые мы интерпретировали как интегрирование степенной функции fxndx, он представил как отношение сумм чисел. Отношение суммы неделимых треуголь- ника к сумме неделимых параллелограмма с тем же основанием и ~ 0 + 1 +2+ ... +п высотой сводится Валлисом к отношению - ~ ~--!---!--, КОТО- n+n+«+ . . . +п рое при безгранично возрастающем п равно Отношение сумм 2, 3,..., т степеней неделимых истолковано как 0* +1 + ... + rd* nk + nk + nk + . . . + nk (k = 2, 3,..., tri) для n неограниченно возрастающего. Значения этих отношений до k=9 получены Кавальери; они равны —-—. k +1 Валлис, пользуясь неполной математической индукцией, рас- пространяет этот результат на случай любого целого k. Так, им получена была формула, эквивалентная 1 { xmdx =----—. J m+1 о Валлис- знал из сочинений Архимеда, что площадь параболи- 2 ческого сегмента равна — площади описанного параллелограм- з ма. Он и его перевел на язык отношений указанных выше сумм; отношение /г + /Г+/г + ... + /Г /г + yv + ут + ... + Уп~ при неограниченно возрастающем п равно —. Та же неполная индукция приводит Валлиса к обобщению этого результата на все дробные, а затем и на отрицательные показатели степени. Идеи, включающие элементы определенного интегрирования, широко распространились среди математиков западноевропейских стран. Методы интегрирования охватывали к 60-м годам XVII в. обширные классы алгебраических и тригонометрических функций. Было решено огромное число задач, осветить которые в настоящей книге невозможно. Нужен был только один толчок — рассмотре- ние всей совокупности методов с единой точки зрения, чтобы пере- вернуть всю интеграционную проблематику и создать интегральное исчисление. Дифференциальные методы. В математике XVII в. наряду с интеграционными методами складывались и методы дифференци- 164
альные. К дифференциальным методам мы отнесем, по образцу определения интегральных методов, те, в которых содержатся эле- менты будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время ре- шаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскание условий сущест- вования кратных корней алгебраических уравнений. К этой группе тесно примыкают запросы механики, вытекающие из необходимо- сти определять скорость в любой точке траектории в случае нерав- номерных движений, не говоря о более сложных задачах. Научное наследие древних и средневековых авторов в этой области не было столь определенным и значительным, как в случае интегральных методов. Задачи о касательной рассматривались не систематически, единообразных приемов t выработано не было. Общим, по-видимому, было стремление понимать касательную как прямую, имеющую с кривой одну общую точку и обладающую свойствами локальной односторонности. В области экстремальных задач помимо фактов элементарной изопериметрии существовали лишь диоризмы, т. е. ограничения, накладываемые на условия за- дачи, чтобы она имела решение в области рациональных и дей- ствительных чисел или геометрических отрезков. Диоризмы часто содержат указания на экстремальные значения. Например, когда алгебраическое уравнение имеет кратные корни, кривые, пересе- чением которых уравнение решается, не пересекаются, а касаются друг друга. Таким образом, некоторая взаимосвязанность диффе- ренциальных задач к XVII в. уже была отмечена. В течение XVII в. дифференциальные задачи решались еще самыми различными методами. Как и всегда в науке, наряду с новым существует старое. Так происходило и в рассматриваемой нами области. Геометрические построения в духе античных мате- матиков, механические соображения, исследования в духе новой тогда аналитической геометрии Декарта, инфинитезимальные сооб- ражения — в их тесном сплетении вызревало дифференциальное исчисление. Приведем несколько примеров, характеризующих этот процесс. Уже в школе Галилея для нахождения касательных и норма- лей к кривым систематически применялись кинематические ме- тоды. При этом касательная появляется как диагональ параллело- грамма, сторонами которого являются горизонтальная и верти- кальная составляющие скорости. Например, пусть тяжелая материальная точка брошена с некоторой горизонтальной началь- ной скоростью (рио. 42). Перемещения точки по оси х будут про- порциональны отрезкам времени x=nt, по оси у (вертикальной) — квадратам этих отрезков у = f2. Траектория — парабола, пара- метр которой Галилей определял как учетверенную высоту паде- ния, которая была бы нужна, чтобы сообщить точке скорость, рав- 165
ную начальной горизонтальной скорости У == ~^Гх2' Обозначив 2иъ параметр через 2р, Торричелли нашел, что отношение вер- тикальной компоненты скорости gt к горизонтальной и равно или Отсюда Торричелли заключил, что касательная пере- секает ось параболы в точке, лежащей на отрезок 2у выше данной точки или на у выше вершины параболы. Этот кинематический метод дал начало рассмотрению различ- ных бросаний и сложных движе- ний и определению касательных в любой точке траектории. Систе- матическое изложение метода и его. главнейших применений дал в 1640 г. Роберваль. Несмотря на важность кинематического мето- да, он был очень неудобен, так как исходил из индивидуальных особенностей кривых и поэтому был недостаточно алгоритмичен. Поэтому больше перспектив для определения касательных и нор- малей в то время представлял метод нормалей Декарта, содер- жащийся во второй книге его «Геометрии». Пусть необходимо провести нормаль к алгебраической кривой в точке (а, Ь) и пусть это осуществлено. Нормаль пересечет ось абсцисс в точке, координаты которой (с, О). Семейство концентри- ческих окружностей с центром в (с, О) содержит одну окружность радиуса = — с)2 + Ь2 , которая имеет с кривой две общие точки, слившиеся в одну, именно точку (а, Ь), Одно из двух неиз- вестных, например у, может быть исключено из уравнений данной кривой и окружности. Так как х = а — двойной корень, то при этом должно получиться уравнение вида (х—а)2 Р(х)=0. Это дает воз- можность определить величину с с помощью метода неопределен- ных коэффициентов. Для этого Декарт приравнивает левую часть полученного уравнения произведению (х—а)2 на многочлен степени на две единицы меньше и с неопределенными коэффициентами. Сравнение коэффициентов при членах одинаковой степени дает уравнения, которыми определяется с. Связанная с методом Декарта проблема отыскания кратных корней алгебраических уравнений получила развитие у голланд- ского математика и инженера И. Гудде (1628—1704). Правило последнего, коротко говоря, состоит в отыскании общего наиболь- шего делителя уравнений f(x)=O и /'(х)=0; последнее уравнение получено умножением коэффициентов данного уравнения f(x)=O 166
У — х на члены произвольной арифметической прогрессии. Применяемый в наши дни способ, связанный с алгебраическим способом обра- зования последовательных производных левой части алгебраиче- ского уравнения, появился, по-видимому, впервые у Ролля в конце XVII в. Однако возвратимся к дифференциальным методам. Накопление методов дифференциального исчисления приняло наиболее явную форму у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений , t/ X ж — /(х) Л функции 'f(x). Ферма составлял уравнение — -1— ------= и и п после преобразований в левой части полагал h = 0. Вопреки мне- нию позднейших исследователей, которые видели в этом идеи исчисления бесконечно малых, в действительности Ферма нашел это условие и аналогичное-^-—= 0 еще алгебраически- ми путями. Рассуждения тут примерно такие: if(x)=O; найти экстремум. Пусть для некоторого х функция достигает максимума. Тогда f (x±h) <f(x), f(x)±Ph+Qh?±.. Вычитаем из обеих ча- стей по f(x) и делим на Л: ±P±Qh±.. .<0. Так как h можно выбрать любой малости, член Р будет больше по модулю суммы всех остальных членов. Неравенство поэтому возможно лишь при условии Р=0, что и дает условие Ферма. В случае минимума рас- суждения аналогичные. Ферма знал также, что знак Q определяет характер экстремума. Так же близок к дифференциальному исчислению метод Ферма отыскания касательных к алгебраическим кривым. На малой дуге MN алгебраической кривой f(x)=O (рис. 43) путем проведения секущей SMN строится характеристический тре- угольник MNP. AMNP~AMRS. Отсюда SR = MR MP..........., или B PN более привычных нам символах ST? =-----. Затем Фер- + — f(x) ма переходит от секущей к касательной, полагая Л=0, получая о У тем самым о* = — у Позднее он распространил этот метод определения касатель- ных на случай неявной функции f(x, z/)=0. Полученное им выра- жение легко переводится в привычное нам i+,.A=o. дх ду Все функций Ферма — алгебраические полиномиальные. В случа- ях, когда в исследуемых функциях попадались иррациональности, он освобождался от них возведением обеих частей уравнения в степень. Впрочем, в этом узком сравнительно классе функций ме- тод Ферма определения касательных и экстремальных значений общий, символика — единообразная. К сожалению, Ферма не стре- 167
милея публиковать свои работы, притом он пользовался трудно- доступными для понимания алгебраическими средствами Виеты с его громоздкой символикой. Видимо, поэтому он не сделал послед- него, уже небольшого, шага на пути к созданию дифференциаль- ного исчисления. К середине XVII в. накопился достаточно большой запас средств решения задач, ныне решаемых с помощью дифференциро- вания. Однако не было еще выделено особой операции дифференци- рования, понятии, равнознач- ных понятиям производной и дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и инте- грационных методов. Математи- ческий анализ формировался в рамках й в терминах алгебры, геометрии, механики — сложив- шихся уже к тому времени наук. Так всякое новое математическое исчисление всегда проходит пери- од формирования в пределах уже существующей системы матема- тических наук, используя их сред- ства. О связи дифференциальных и интеграционных методов. Последним этапом эмбрионального периода анализа бесконечно малых явилось установление связи и взаимообратности дифферен- циальных и интеграционных исследований. Побудительных причин для этого было много. Одними из важнейших были так называе- мые обратные задачи на касательные. Задачи этого типа состоят в определении кривых исходя из заданного общего свойства всех касательных к ним. Речь идет не о нахождении огибающих семей- ства прямых, а о таких свойствах касательных,, которые зависят от положения точки касания. В общей постановке задачи этого типа можно сформулировать так: найти y=f(x) из условия Л(х, У, У')=®- Таким образом, речь идет о необходимости решить дифференциальное уравнение первого порядка с двумя перемен- ными. Обратные задачи на касательные возникли в результате запро- сов практики. Например, мореплаватели еще в эпоху великих гео- графических открытий обратили внимание на кривую постоянного истинного курса корабля — локсодромию. Это кривая, касатель- ные к которой пересекают меридианы, проведенные в точках ка- сания, под постоянным углом. Различные обратные задачи на ка- сательные были поставлены также в геометрической оптике и в кинематике. Приближенные графические методы не могли считаться удов- летворительным средством решения этих задач. Попытку дать 168
общий метод первым предпринял Декарт. Он предложил класси- фицировать-все алгебраические кривые (неалгебраических кривых он, как было сказано, не рассматривал), расположить их в ряд, отыскивать их касательные и проверять, обладают ли они задан- ным свойством. Разумеется, первая же попытка использовать этот метод проб, предпринятая Декартом при решении задачи де Бона, показала практическую его непригодность. Задача де Бона заключалась в требовании квадрировать кри- « У х — У с вую, обладающую свойством —— =------------где — подкаса- Sf а тельная. Декарт испробовал кривые вида уп=ах2 + Ьх+с (п=1, 2,..., 1000), но безуспешно. Тогда он избрал другой путь: заменил систему координат на косоугольную, выбрав вместо оси х прямую у=х—а. В этой системе подкасательная оказалась посто- янной (=аУ 2). dy х — у В самом деле, уравнение —— =---------------— подстановкой dx а , < dy. у у\=у+а—х преобразуется в ~-------------~ и после подстановки Xi=x]/<2 получается уравнение = - ах± Бона оказалась неалгебраической. Декарт почти очевидный, факт ки- нематически. Именно он показал, что эта кривая образована двумя незави- симыми движениями: рав- номерным движением прямой х=0 и движением прямой #1 = 0 или у = х—а со скоростью, пропорцио- нальной пройденному рас- стоянию. Кривая пред- ставляет геометрическое место точек пересечения этих двух движущихся прямых. Как было сказа- но, Декарт относил такие кривые к разряду механи- ческих и из своей системы математики исключал. Задача де Бона, как и другие обратные задачи на касательные, указыва- ----Кривая де а У 2 доказал этот, для нас ла на взаимную обрат- ность задач о проведении касательных и других. Сущность этих других задач состояла в решении, говоря современными терминами, дифференциальных уравнений. Особенно хорошо удавались задачи, 169
которые можно было свести к интегрированию (~^~= Отдельных результатов здесь добились шотландец Д. Грегори (1638—1675) и англичанин Дж. Валлис (1616—1703). Не замедлил появиться и общий, хотя и сформулированный в терминах геомет- рии, результат о взаимно-обратной зависимости задач на квадра- туры и на проведение касательной. Принадлежит он И. Барроу (1630—1677), профессору Кембриджского университета, ученику Валлиса и другу И. Ньютона. Опубликован этот результат в 1669 г. в «Лекциях по геометрии и оптике». Состоит он в следующем. Заданы две кривые OF и ОЕ (рис. 44). Точки F и Е имеют об- щую абсциссу. Кривые связаны условием: DF-R = Sqde , или в на- X ших символах: R-y — ^vdx. Тогда подкасательная О пт, D DF П DF ъг, п dy DT = R------, или R-----= DE\ т. е. R = v. DE DT . dx Этой теореме Барроу дал два доказательства. а) Кинематическое. Кривая OF пусть будет траекторией движу- щейся точки F. Закон движения: проекция F на ось х постоянна, т. е. точка D движется с постоянной скоростью R, скорость возра- стания ординаты DF геометрически изображается отрезком DE, или v. Короче: = /?• = о. Касательная есть диагональ прямо- dt di угольника, составленного из этих скоростей. Тогда подкасательная = —, или То = R По Галилею, путь, пройденный точкой F dxt R dx X при равномерно ускоренном движении, равен ^vdx = R-y. О б) Более строгое, по методу древних. Проведена прямая FT, определяемая условием DT = R Нужно доказать, что это — DE касательная, т. е. опорная прямая, точки которой в локальной об- ласти лежат по одну сторону от кривой. Проведем в точке / кривой прямые LIK. и IK.L, параллельные оси Ох. По свойству кривых площадь Spd]eg = R-LF. Из чертежа -A*. = = Л_ откуда LK.-DE = R-LF = Spdeg. LF DF DE Но в силу монотонности кривой ОЕ Spdeg 2= IL*DE в зависимости от того, находится точка I правее или левее точки F. Отсюда соответственно LK^IL, что и доказывает расположение прямой по одну сторону от кривой, т. е. что она касательная. 170
Опираясь на этот результат, Барроу решил большое число обратных задач на касательные. С его сочинениями знакомились многие ученые, в том числе Ньютон и Лейбниц. Итак, к середине XVII в. математика находилась на грани открытия дифференциального и интегрального исчисления. Точнее сказать, это открытие совершалось. 5.4. ПОЯВЛЕНИЕ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Первым этапом существования анализа было формирование дифференциального и интегрального исчисления. Последнее возник- ло как самостоятельный отдел математики почти одновременно в двух разновидностях: в виде теории флюксий в трудах И. Ньютона и его английских последователей и в виде исчисления дифферен- циалов Г. В. Лейбница, получившего распространение прежде всего на европейском континенте. Развитие математических исчислений носит отчетливо выра- женный диалектический характер. В рамках уже существующих исчислений происходит процесс накопления предпосылок, элемен- тов и составных частей нового исчисления. Затем наступает мо- мент, когда происходит переворот в методе. Появляются матема- тические работы, в которых^накопившиеся в данной области факты пересматриваются с новой, единой точки зрения. Центр внимания перемещается с попыток решения отдельных задач на сам метод или группу методов, которые явно формулируются, совершенству- ются и применяются. Область применения появившегося таким путем исчисления, как правило, оказывается более широкой, не- жели область его возникновения. Работы И. Ньютона и Г. В. Лейб- ница по анализу бесконечно малых отражают именно такой по- воротный пункт в истории математического анализа. . Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является теория флюксий, открытие которой принадлежит И. Ньютону. Исаак Ньютон (1642—1727) родился в семье фермера в мес- течке Вулсторп близ г. Кембриджа (Англия). В 1655 г. он окончил Кембриджский университет со степенью бакалавра. Учителем его был И. Барроу. В 1668 г. И. Ньютон получил степень магистра, а через год, в 1669 г., Барроу, будучи в расцвете сил, уступил Ньютону свою кафедру в знак уважения к талантам и научным достижениям своего ученика. Профессором в Кембридже Ньютон был до 1701 г. В 1672 г. он был избран членом, а с 1703 г. — пре- зидентом Лондонского королевского общества. Наиболее значи- тельные работы по математике Ньютон написал во время пребы- вания в Кембридже. Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика, астрономия и математика. Ему принадле- жат в этих областях науки первоклассные достижения, в том чис- ле: вывод и формулировка основных законов классической меха- ники, открытие закона всемирного тяготения, законов спектраль- 171
И. Ньютон (1642—1727) ного разложения света, разработка дифференциального и инте- грального исчисления в форме метода флюксий. Математика в системе научных воззрений Ньютона была частью общей науки о природе — натуральной философии — и орудием физических исследований. В качестве математического ап- парата механики, который учитывал бы движение и охватывал связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разрабо- тал метод, названный им методом, или теорией, флюксий. 172
В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т. е. текущими, от латин- ского слова fluere — течь. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент — время. Точнее, речь идет о математическом абстрагированном аналоге времени — некоей воображаемой абстрактной равномерно текущей незави- симой величины, к которой отнесены все флюенты. Это, разумеется, не осложняет задачи Ньютона, так как не стесняет при соотнесе- нии переменных в задачах. Далее вводятся скорости течения флюент, т. е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет собой, переменную, то можно находить флюксию от флюксии и т. д. Символы первой, второй и т. д. флюксий, если флюенту обо- значить у, будут: у, у, у и. т д. Для вычисления мгновенных ско- ростей — флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные Ньютоном моментами. Символ момента вре- мени 0; момент флюенты у, следовательно, запишется: Оу, т. е. про- изведение мгновенной скорости на момент времени. По существу момент флюенты — это ее дифференциал. Иногда, когда рассуж- дения исходят из заданной флюксии, обозначенной, допустим, у, вводятся специальные символы флюент: 'у, или □«/ (символ, ука- зывающий на квадратуру). Символы Ньютона не так^добны, как символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейб- ница и распространенные в наше время. Однако они еще сохрани- лись, например, в механике. В теории флюксий решаются две главные задачи, сформули- рованные как в механических, так и в математических терминах: 1) определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюк- сиями из заданного соотношения между флюентами; 2) по заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями. Первая задача, так называемая прямая задача теории флюк- сий, представляет задачу дифференцирования неявной, в общей постановке, функции и получения дифференциального уравнения, выражающего элементарные закономерности природы. Вторая — обратная задача теории флюксий — есть задача интегрирования дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде. В частном виде в этой задаче речь идет о нахождении первообраз- ных функций. Таким образом, интегрирование в теории флюксий вводится вначале в виде неопределенного интегрирования. Для прямой задачи Ньютон ввел единообразное правило — алгоритм дифференцирования функций. Поясним его, вслед за Ньютоном, на примере. Дано соотношение между флюентами: 173
х3—ах1 2+аху—у^=0. Образуем то же соотношение для флюент, испытавших мгновенные изменения, т. е. когда к каждой флюенте добавлен ее момент: (х + хО)3 — а (х + х0)2+ а (х + хО) (у + i/О) — (у + i/О)3 = 0. В развернутом по формуле бинома виде: х3 +Зх2-хО +Зх-хх00 Н-хЮ3 — — ах2— 2ах-х0 —ахЮО + аху + ахуО + аух.0 +ах0'у0 — — У3 — Зу2у0 — ЗуЮОу — y3Q3 Первый столбец равен нулю по условию; остальные члены разделим на 0 и отбросим как бесконечно малые все те члены, в которых после этого сохранится бесконечно малый момент времени — 0. Получим соотношение между флюксиями: Зх2х— 2ах-х + ау-х + аху— Зу2-у = 0. Этот метод Ньютон формулирует в виде правила: 1) расположи по степеням переменных; 2) умножь на члены арифметической прогрессии и на -у и или — соответственно; У - 3) сумма произведений дает отношение между флюксиями 1. х3 — ах2 4- аух — у3 2. з 2L 2—, —, 0 XXX — У3 + 0 + аху — ах2 + х3 •з-£., о, , о У У 3. Зх2х — 2ахх + аху — Зу2у + аху Члены арифметической прогрессии можно заменить членами другой прогрессии вида 3+т, 2+тп, 1+т для целочисленных т. Дальнейшие усовершенствования дифференциального исчис- ления: дифференцирование неполиномиальных функций, отыскание экстремумов функций, геометрические и механические приложе- ния — принципиальных трудностей для Ньютона не представили. Флюксии от иррациональных функций получаются по правилу дифференцирования сложной функции: например, если z = Vox — у2, то г2 = ах — у2, 2zz = ax— 2уу-, z = а* ~~ 2уу = а* ~ 2уу 2z ах—у2 174
В более сложных случаях Ньютон прибегал- к представлению функций степенными рядами и к оперированию с этими рядами. Класс функций, которым располагал Ньютон, был еще сравнитель- но' ограниченным; внутри него подобное представление функций не вызывало сомнений. Тем не менее соображения о сходимости ряда и о правомерности представимости той или иной функции рядом постоянно были в поле зрения Ньютона. Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения между флюентами по известному соотношению между флюкси- ями— по своей постановке чрезвычайно обща. Она, как мы ука- зывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых дифференциальных уравнений. Подходы,Ньютона к решению столь общей проблемы и приемы решения складывались постепенно. Прежде всего простое обращение результатов нахождения флюксий дало ему огромное количество квадратур. Со временем он обнаружил необходимость дописывать при этом обращении аддитивную постоянную. Затем оказалось, что операция обраще- ния даже сравнительно простых уравнений вида Mx+Ny=0, получающихся при вычислении флюксий, не всегда возможна и не дает исходную функцию. Ньютон обнаружил это, рассматривая те случаи, где М=М(х, у) и N=N(x, у\ целые рациональные. Когда непосредственное обращение прямого метода не прино- сит успеха, Ньютон прибегает к разложению функций в степенные ряды как к универсальному средству теории флюксий. Данное уравнение он разрешает, например, относительно -Л- или (полагая х=1) относительно у и разлагает функцию, стоящую в правой части, в степенной ряд, а затем этот ряд почленно интегрирует. Для разложения функций в степенные ряды Ньютон исполь- зовал все результаты своих предшественников и накопил большой арсенал приемов. Среди них наиболее часто применялись: а) обобщение (индуктивное) теоремы о степени бинома (а + Ь)п на случай дробного и отрицательного показателя степени; б) деление (непосредственное) числителя дробно-рациональ- ной функции на знаменатель; в) метод неопределенных коэффициентов в различных моди- фикациях. Например, в уравнении у=1—Зх+у+х2+ху надо оты- скать разложение у в ряд по степеням х, подставить этот ряд в правую часть вместо у и затем решать уравнение почленным интегрированием. Члены разложения будем отыскивать последова- тельно: у—х+... Подставим вправую часть и получиму = 1—2х+..., откуда: у=х—х2+... Подставим снова уже два члена разложения у в правую часть уравнения: г/ = 1 — 2х + х2 + ... , откуда # = х-ха + 4 + ••• О 175
Вычисления по методу неопределенных коэффициентов Ньютон располагал в таблице У 1 — Зх + у + х2 + ху 1 — Зх + х2 У X— X2 +'— X3 — X4 — Xе + ... 3 6 30 ху X2 — X3 + — X4 —X5 + ... 3 6 Сумма 1 — 2х + х2 — х3 + — х4 — х6 + • • • 3 6 30 У х — х2 + — х3 — х4 4—— х5’ — х6 + ... 3 6 30 * 45 г) замена переменных, в силу чего в ряд раскладывается не функция у, а удачно подобранная функция от у, а также замена системы координат; д) обращение рядов, которое лучше, по-видимому, пояснить на примере. Вычисляя длину пути окружности (/?=1, центр в на- чале координат), Ньютон получил элемент дуги, в переводе на привычную нам. символику, ds = ; (s = arcsinx), или, ис- [1 2 ”1 , = (1 — х2) , в виде у 1 — ха J ряда: ds — dx Интегрируем почленно: dx Y1 — & 1 3 = arcsin х = х Н-------х3 Н------хъ + ... 6 40 Задача состоит в отыскании ряда для обратной функции, т. е. sin х. Оборачивание Ньютон проводит следующими этапами. Обрывает ряд: S = x + —х3Н-------х’Гн---------—х74-...]. (1) 2-3 1-2-4.5 L 1-2.4-6-7 J Полагает x;=s+p. Отсюда О = р + 4 (s3 + 3s2p +•••) + (S® +•• •). (2) О 4U Пробует: р=А, As2. Очевидно, Л=0 в этих случаях. 176
• Наконец, попытка p=Bs3 дает В + — -- 0, ~ В =------ 6 6 Значит, 1 3 X = S------S3. 6 Следующий шаг: р =---------- s3 4- q. Подстановка в (2) дает 6 откуда Значит, и т. д. Закон образования коэффициентов подмечается легко: , X3 , х« sin х = х-----И — — • • • • 31 5! Из обращенного ряда получается ряд для cosх(cosх = V1 — sin2x) . X3 . X4 COSX =1--------------------------------... 2! 4! Аппарат представления функций степенными рядами, в кото* .рый включаются кроме упомянутых много других частных приемов, является оперативной основой ньютоновой теории флюксий. Он позволяет проводить дифференцирование и интегрирование широ- кого класса аналитических функций, вычислять экстремумы функ- ций, получить много примеров приложения методов теории флюк- сий к геометрии, механике и другим наукам. Насколько далеко продвинулся Ньютон в труднейших вопросах теории флюксий, по- казывает одно его письмо 1676 г., в котором он сообщает об усло- виях интегрируемости биномиального дифференциала. Последний: y=az1i (e+fz’l)v интегрируется, если - или ^ + 1 —целое т] я положительное число. Ньютон получил большинство результатов теории флюксий в течение 60—70-х годов XVII в. Однако он не спешил с публика- цией написанных им на эту тему работ. Он неохотно давал согла- сие на публикацию даже тогда, когда вспыхнул спор о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления между 177
ним и Лейбницем. Более того, его знаменитые «Математические начала натуральной философии», появившиеся в 1686—1687 гг., оказались написанными без применения методов теории флюксий, хотя многие из приведенных в этой книге результатов первона- чально были получены средствами этой теории. Причиной такого положения дел была помимо несовершен- ства методов решения обратных задач недостаточная логическая обоснованность теории флюксий. Введение в математику перемен- ных величин, оперирование с бесконечно малыми приводит к не- обходимости рационального объяснения большого числа связанных между собой основных понятий и проблем. Ньютон это хорошо понимал, но справиться с подобными затруднениями не мог. Взгляды Ньютона на обоснование теории флюксий менялись. Выше мы указывали, что исходные позиции теории флюксий ле- жат в механике. Это позволяет перенести в механику противоре- чия, возникающие при толковании основных понятий этой теории. Однако оперативная сторона дела предполагает отбрасывание бес- конечно малых. Доказать законность такой операции, выявить таинственную сущность этих величин, не являющихся ни нулями, ни конечными величинами, — эта задача не решалась имевшимися в распоряжении Ньютона средствами. В поисках выхода Ньютон создал метод первых и последних отношений — раннюю форму теории пределов. Он изложил его в «Математических началах натуральной философии», первый от- дел.первой книги которых так и называется: «О методе первых и последних отношений, при помощи которого последующее дока- зывается». Метод состоит в рассмотрении предельных отношений «едва- едва зарождающихся» (первые отношения) или «только-только исчезающих» (последнее отношение) величин. Несмотря на не- удачную терминологию, Ньютон сумел изложить основные теоремы о пределах и бесконечно малых, лежащие в основании курсов ма- тематического анализа. Так, им доказаны теоремы о пределах отношений длины дуги непрерывной гладкой кривой к хорде и к касательной. Понятие предела, в каком бы оно виде ни появлялось, есть понятие неалгоритмическое. С ним невозможно связать последо- вательность операций, эффективно приводящих к его нахождению. От условно-оценочной трактовки предела (пусть задано е>0. Тогда найдем такое 6>0, что и т. д.) Ньютон тоже был далек; она при- обрела права гражданства лишь в самом конце XIX в. Разрыв между оперативно-алгоритмической стороной теории флюксий и ее логическими основами остался неустраненным. Теория флюксий знаменовала тот этап развития анализа бесконечно малых, когда он, по выражению К. Маркса, «существует, а затем разъясняется», а в своих основах является таинственным «мистическим». Дальней- шая судьба теории флюксий связана с острой борьбой, вспыхнув- шей сразу же после появления этой теории, именно вокруг ее основ. 178
Г. В. Лейбниц (1646—1716) Исчисление дифференциалов. Как было сказано выше, ана- лиз бесконечно малых возник почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга формах. Первой по времени изобрете- ния была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации по математическому аналиу были посвящены другому виду исчис- ления — исчислению дифференциалов. Автор нового исчисления Г. В. Лейбниц (1646—1716) родился в Лейпциге в семье профессора местного университета по кафедре 179
философии и морали. Образование получил в университетах Лейпцига и Иены. Всю жизнь состоял на службе у германских государей: майнцского курфюрста, а затем ганноверского герцога. Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж и Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными. За научные заслуги он был избран членом Лондонского королев- ского общества (1673) и Парижской академии наук (1700). Лейб- ниц основал Берлинскую академию, а также оказал положитель- ное влияние на развитие науки в России: он был знаком с Пет- ром I, переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты орга- низации Академии наук в Петербурге, развертывания научных исследований в России. Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным дипломатом, политиком и ученым. Так же разнообразны его науч- ные интересы: естественные науки, физика, философия, право, ли- тература и языкознание, математика были объектами его исследо- ваний, нередко весьма замечательных и предвосхитивших многие последующие открытия. Математические работы Лейбница, которые нас интересуют в первую очередь, тесно связаны с его философскими воззрениями. Мы не имеем возможности подробно описывать философские по- зиции Лейбница и их эволюцию от сочувствия механическому материализму до своеобразной разновидности метафизического объективного идеализма. - Отметим лишь, что во всех различных по содержанию математических занятиях он руководствовался одной целью. Цель эта философская: создание универсального метода научного познания, по терминологии Лейбница — всеоб- щей характеристики. Всеобщая характеристика должна заменить все логические суждения исчислением, производимым над словами и другими сим- волами, однозначно отражающими понятия. Она, таким образом, мыслится как некоторый общий логико-математический аппарат суждений. Математика при этом приобретает расширенное толко- вание как наука об отражении всевозможных видов связей и зави- симостей простейших элементов. Современная Лейбницу матема- тика должна была, по его замыслу, войти в будущую общую мате- матику. Он видел идеал, по его словам, в «подчинении алгебры комбинаторному искусству, или буквенной алгебры общей буквен- ной науке, или науке о формулах, выражающих вообще порядок, подобие, отношение и т. п., или общей науки о количестве — общей науке о качестве, так что наша буквенная математика ста- новится только замечательным образчиком комбинаторного искус- ства или общей буквенной науки». Установление всеобщей характеристики й открытие закономер- ностей новой математики решит проблему научного доказатель- ства и устранит разногласия, так как вместо споров понадобится лишь произвести вычисления. 180
Зерна новой математики хранятся в старой. Последнюю нуж- но изучить, выбрать и поставить проблемы, относящиеся к раз- работке бесконечных процессов, с которыми не может справиться алгебра, создать новые алгоритмы. Этим алгоритмам необходимо придать по возможности совершенную символику, отражающую сущность понятий или операций. Выбору символики Лейбниц при- давал огромное значение. Он указывал, что необходимо выбирать обозначения, удобные для открытий, т. е. необходимо, чтобы обо- значения коротко выражали сущность вещей. Тогда сокращается работа мысли. Оперативное значение новых алгоритмов возрастает, если они будут механизированы. д Таковы в основном были исходные установки Лейбница. Они определили направление и характер его математических занятий, которые привели к открытию дифференциального и интегрального исчисления. До 1673 г., до поездки в Париж, Лейбниц много занимался комбинаторными задачами, видя в них математическую основу ло- гикй. В Париже он встречался с Гюйгенсом и тот ввел его в курс инфинитезимальных проблем математики. Гюйгенс же поставил перед Лейбницем ряд задач, связывающих эти проблемы с ком- бинаторикой. Решив одну из задач Гюйгенса о нахождении сумм чисел вида —- , Лейбниц нашел также суммы некоторых ря- Л (« -j- 1) дов. При этом широко использовал паскалев арифметический тре- угольник и конечные разности высших порядков. В этот подгото- вительный период им были основательно проштудированы сочине- ния Декарта, Кавальери, Валлиса, Паскаля, Гюйгенса и др. Примерно с этого времени в бумагах Лейбница все чаще встречается применение характеристического треугольника Паска- ля для решения задачи о проведении касательной к кривой. При этом он постепенно приходит к мысли о возможности суммирова- ния разностей (dx и dy), образующих стороны характеристического треугольника. К суммам этих малых разностей приводят и задачи о квадратурах. Лейбниц, усмотрев это обстоятельство, высказал предположение, что решение обратных задач на касательные пол- ностью или в большей части можно свести к квадратурам. Таким путем, не зная работ Барроу и Ньютона, нО, как и они, исходя из обратных задач на касательные, Лейбниц открыл взаимо-обратную связь между методами проведения касательных (в последующем операции дифференцирования) и квадратурами (позднее интегри- рование). Тогда же он высказал мысль, что сводка результатов дифференцирования путем простого оборачивания может быть полезна при интегрировании функций (эквивалентными соображе- ниями пользовался и Ньютон). Так, в чисто математическом плане лейбницево исчисление складывалось в общих чертах из следующих посылок: а) задачи суммирования рядов (с 1673 г.) и привлечение си- стем конечных разностей; 181
б) решение задач о касательных, характеристический тре- угольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между ко- нечными элементами на произвольно, а затем бесконечно малые; в) обратные задачи на касательные, суммирование бесконеч- но малых разностей, открытие взаимообратности дифференциаль- ных и интеграционных задач (примерно к 1676 г.). Все эти годы Лейбниц предпринимал многочисленные попытки создать удобную символику. Он приходит к мысли о символе d (сокращение слова differentia — разность) для обозначения беско- нечно малой разности. Вслед за Кавальери и Паскалем он пред- ставлял интеграл как сумму «всех» ординат, которых бесконечно много, и записал его символом отпу или чаще omni. Позднее он заменил отп на J, исходя из начальной, буквы слова Summa. Взаимообратность задач он тоже старался отражать в сим- волах: если fl.=ax, то 1 = —у-. Вскоре он пришел к мысли, что х d ’ лучше писать d(ax); ведь «dx» это то же, что т. е. разность между ближайшими х. Но из f(ax)=l получается, что дифферен- циал d(ax) будто бы равен конечной величине I. Так постепенно выяснилась необходимость усовершенствовать символ интегра- ла, включив в него символ дифференциала аргумента: fydx. При помощи Ольденбурга (1615—1677), секретаря Лондон- ского королевского общества, Лейбниц завязал (1676—1677) пере- писку с Ньютоном. В письмах он сообщал свои результаты и стре- мился узнать больше о методах и результатах Ньютона. В основ- ном речь шла о способах разложения функций в ряды и о решении обратных задач на касательные. Корреспонденты хорошо понимали друг друга, осознавали близость своих целей и выводов. Без боль- шого труда они разгадывали сущность методов, применяемых со- перником. К сожалению, вскоре переписка прекратилась, так как Ньютон перестал отвечать на письма. Казалось бы, эта переписка должна была ускорить публика-. цию нового исчисления. Однако Лейбниц, как и Ньютон, не спешил с этим. Он работал над усовершенствованием методов исчисления и над обоснованием, стремясь оправдать его появление или логи- чески строгой дедукцией, или достаточно большим количеством новых результатов и практических достижений. Только в 1684 г. в лейпцигском журнале «Acta Eruditorum» Лейбниц опубликовал первый мемуар об анализе бесконечно малых «Новый метод мак- симумов, минимумов, а также касательных, для которого не слу- жат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины и осо- бый для этого род исчисления». Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет доказа- тельств. Но в нем впервые на страницах научного журнала появ- ляется дифференциальное исчисление как объект математического исследования в виде, во многом напоминающем современную его структуру. 182
Дифференциал аргумента dx принят за совершенно произволь- ную величину. Дифференциал функций dy определен равенством dy где st — подкасательная к кривой в точке (х, у). Введены символы: dx и dy. Сформулированы правила дифференцирования постоянной величины, суммы функций, разности, произведения, частного, степени, корня. Отмечена инвариантность вида первого дифференциала от выбора аргумента. Дифференциалы понимаются вначале как величины, пропорциональные мгновенным прираще- ниям величин. Правда, позднее дифференциалы вновь определя- ются как бесконечно малые разности. Мемуар *1684 г. был трактатом о дифференциальном исчисле- нии. Через два года, в 1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейб- ница «О глубокой геометрии», в котором сосредоточены правила интегрирования многих элементарных функций. Для обозначения операции интегрирования введен символ /, истолковываемый как сумма дифференциалов, а также подчеркнута его взаимообрат- ность с операцией дифференцирования. В том же году Лейбниц разрабатывает основы теории соприкосновения кривых, вводит соприкасающийся круг и применяет его к измерению кривизны. При этом он допустил ошибку, полагая, что в общем случае этот круг и кривая имеют четыре совпадающих точки. Ошибку эту исправил в 1692 г. его последователь Яков Бернулли, показав, что в общем случае таких точек только три. Анализ бесконечно малых вышел, таким образом, из стадии формирования и заявил о себе как о новой математической науке, сразу же продемонстрировав необычайную плодотворность. Актив- ная пропаганда нового исчисления Лейбницем и его учениками и последователями, среди которых сразу же выделились братья Бернулли: Яков (1654—1705) и Иоганн (1667—1748), способство- вала также его бурному распространению. А поток новых откры- тий Лейбница не иссякал. В 1693 г. он распространил новое исчисление на трансцен- дентные функции путем разложения их в ряды с помощью метода неопределенных коэффициентов. Эту группу результатов он изло- жил в статье с характерным для публикаций XVII и XVIII вв. длинным заголовком: «Дополнение практической геометрии, рас- пространяющееся на трансцендентные проблемы с помощью нового наиболее общего метода бесконечных рядов». В последующих работах Лейбница охвачены по существу все начальные отделы дифференциального и интегрального исчисления. Так, в 1695 г. он опубликовал правило дифференцирования общей показательной функции и формулу многократного дифференциро- вания произведения dm (ху) = dmx-d°y + -у- dm~1 x*dy 4—1) 2X.^ 4- ... 183
Тогда же ему удалось обобщить понятие дифференциала на случаи отрицательного и дробного показателя. В течение 1702—1703 гг. были разработаны приемы интегрирования рациональных дробей. С помощью нового исчисления математикам конца XVII — начала XVIII в. удавалось решать быстро возрастающее число трудных и практически важных задач. Лейбниц и в этом роде дея- тельности проложил дорогу. В 1691 г., например, он установил форму, которую принимает подвешенная за концы тяжелая гиб- кая однородная нить, и вывел уравнение цепной линии. С 1696 г. его занимают новые задачи — вариационные. Он решил задачу о брахистохроне — кривой кратчайшего спуска, нашел метод реше- ния задач о геодезических линиях. Символика и термины Лейбница оказались очень хорошо про- думанными; они были несложными и отражали существо дела, помогали пониманию и позволяли оперировать с ними по сравни- тельно простым правилам. Многие из них дошли до наших дней. Лейбниц ввел термины: дифференциал, дифференциальное исчис- ление, функция, координаты, дифференциальное уравнение, алго- ритм (в смысле, аналогичном современному пониманию) и многие другие, а также большую часть символов. Практические успехи и разработанность исчисления достигли такого уровня, что в конце века (1696) появился первый учебник дифференциального исчис- ления и его приложений к геометрии: «Анализ бесконечно малых» Г. Ф. Лопиталя. Практическая ценность исчисления Лейбница, оперативная простота привлекали к нему внимание ученых. Оно быстро дела- лось центром всей математики, основным орудием исследования в руках ученых. Но в этом исчислении было слабое место: оста- валось неясным, какое рациональное объяснение можно дать основным понятиям, опирающимся на бесконечную близости, бес- конечную малость или бесконечную протяженность процесса. В рукописях и в статьях Лейбниц постоянно возвращается к нере- шенной проблеме обоснования анализа бесконечно малых. Попы- ток он предпринял много, с самых разных исходных позиций. У него можно найти: трактовку бесконечно малых как неархиме- довых величин; привлечение интуитивно воспринимаемой потенци- альной бесконечной малости; ссылки на античный метод исчерпы- вания и сведение всех трудностей к нему; постулирование воз- можности замены отношения бесконечно малых отношением конеч- ных величин; неразвитые представления о пределе, стремлении к нему; введение в рассуждения в качестве опоры непрерывности, будто бы присущей природе всех вещей. Однако проблема обоснования анализа бесконечно малых оказалась не под силу Лейбницу, так же как и Ньютону. Основы этой важнейшей части математики, в которой следовали один за другим замечательные достижения, оставались невыясненными, таинственными. В области обоснования новый анализ в течение 184
XVII в. и значительной части XVIII в. пережил «мистический», по меткому выражению К. Маркса, период. Большое место в сочинениях по истории математики этого вре- мени занимает спор между последователями И. Ньютона и Г. В. Лейбница о приоритете открытия дифференциального и инте- грального исчисления. В свое время так оно и было; спор приобре- тал напряженный характер, разрастался до размеров националь- ного соперничества и ссоры, вовлекал огромное количество ученых и даже политических деятелей. Но не все, даже самые громкие споры, самые модные теории, защищаемые самыми фанатичными адептами, в истории долго существуют и имеют непреходящее зна- чение. Законы истории неумолимо отражают именно содержатель- ную сторону науки, ее соответствие экономическому строю челове- ческого общества, существенные связи. Поэтому мы вправе уде- лить упомянутому спору о приоритете лишь несколько фраз. По-видимому, Ньютон и Лейбниц открыли свои формы исчис- ления независимо друг от друга. Оба опирались на опыт многочис- ленных предшественников, в котором накопилось достаточно пред- посылок для их открытий. Оба отразили, исходя из разных посылок, общую потребность науки в анализе бесконечно малых. Ньютон, видимо, добился успеха раньше, Лейбниц — несколько позже. Однако приоритет в публикации, преимущества в удобстве алгоритмов и символов, заслуги в активной пропаганде нового исчисления принадлежат Лейбницу. Появление аналитической геометрии и анализа бесконечно малых создало к концу XVII в. новое положение в математике. Эти новые области привлекли самый большой интерес и именно в них были быстро достигнуты очень важные результаты. Роль этих областей, в особенности анализа бесконечно малых, сделалась на- столько значительной, что можно назвать математику этого перио- да математикой переменных величин. Однако всегда следует помнить, что рассмотрение главного, определяющего, не ’ исчерпывает всего содержания науки; в нем еще много сторон, много линий развития, не являвшихся в то вре- мя главными, но впоследствии оказавшихся весьма важным. По- этому представляется необходимым сделать несколько замечаний о математике XVII столетия. Алгебра в этом веке все более освобождалась от геометриче- ских элементов. В ней окреп символический буквенный аппарат. Определилась основная научная проблематика; общая теория урав- нений. В этой области можно отметить: а) Постановку и некоторое продвижение проблемы приводи- мости алгебраических уравнений/т. е. представления целых рацио- нальных функций с рациональными коэффициентами в виде про- изведения двух или большего числа аналогичных функции (см., например, И. Ньютон. «Всеобщая арифметика»). б) Введение Лейбницем в 1693 г. начал теории определителей и правила, известного теперь как «правило Крамера». Заметим, что 185
термин «детерминант» прослеживается только с 1815 г. (у Коши), а символ детерминанта — с 1841 г. (у Кэли). в) Непрекращающиеся (но, разумеется, безуспешные) попыт- ки найти решение в радикалах уравнений степени выше четвертой. г) Попытки доказать основную теорему алгебры о числе кор- ней алгебраического уравнения. Геометрия существенно расширила свой состав. В нее вошла, как было показано выше, новая аналитическая геометрия, связав- шая ее с алгеброй. Геометрические приложения анализа постепен- но формируются в будущую самостоятельную математическую дис- циплину — дифференциальную геометрию. Наконец, в XVII в. за- кладываются основы проективной геометрии. В 1636 г. Ж. Дезарг (1593—1662), французский инженер и архитектор, разрабатывая теорию перспективы, развил целую систему проективно-геометри- ческих представлений: бесконечно удаленных предметов, инволю- ции и т. д. Проективные представления внесли в теорию кониче- ских сечений кроме Дезарга Б. Паскаль (1640), Ф. Лагир (1685). Теория чисел обогатилась замечательными исследованиями Ферма, определившими, дальнейшее ее развитие. В частности, ему принадлежат сформулированные без доказательства две теоремы: а) Великая теорема Ферма: диофантово уравнение xn+yn=zn, п>2, целое, не имеет решения в натуральных числах. До сих пор она доказана только для небольших п; общего доказательства еще нет. б) Малая теорема Ферма: если р — простое, а — целое, не делящееся на р, то = l (modp), т. е. а?~1— 1 делится на р. Первым дал доказательство этой теоремы, лежащей в основе тео- рии сравнений, Л. Эйлер. В 1665 г. Б. Паскаль впервые сформулировал принцип мате- матической индукции. Он же, а также П. Ферма и Г. В. Лейбниц, о чем упоминалось выше, в ряде статей разработали основные понятия комбинаторики.. Теория вероятностей, в связи с задачами которой предприни- мались комбинаторные исследования, в середине XVII в. вступила в стадию формирования как науки. Вероятностные соображения, в которых интуитивные представления о степени логической воз- можности дополнялись подсчетами теоретических частот, начали появляться в XVLb., но только в сочинениях Паскаля, Ферма и Гюйгенса стало входить в обиход, в связи с задачей разделения ставки, понятие математического ожидания. По-видимому, в самом конце XVII в. Я. Бернулли открыл простейшую форму закона общих чисел (опубликовано в 1713 г.), завершив первый, по клас- сификации А. Н. Колмогорова, этап истории теории вероятностей. Из материала настоящей главы можно сделать общий вывод, что математические дисциплины, составляющие в наши дни клас- сическую основу высшего образования, начали формироваться именно на рубеже XVII и XVIII вв.
Глава 6 РАЗВИТИЕ ОСНОВНЫХ ЧАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ В XVIII ВЕКЕ 6.1. ОБ УСЛОВИЯХ И ОСОБЕННОСТЯХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ В XVIII в. Процесс развития математики в ходе ее истории становится все более и более сложным. К периоду, рассматриваемому в на- стоящей главе, эта сложность и многосторонность достигла высо- кой степени. Научная разработка математических проблем почти целиком сосредоточилась в странах Европы. В экономическом плане исто- рия Европы XVIII в. характеризуется решающей победой капита- листического способа производства. Вторая половина XVIII в. в странах Европы в основном уже может быть отнесена к эпохе промышленного капитализма. Развитие экономической и общест- венной жизни людей, связанное со становлением новой, капитали- стической формации, стало приводить к этому времени к пере- стройке социальных, научных, культурных и других идеологиче- ских концепций. Темпы развития науки в это время быстро нарастают. Про- мышленная революция, образование мирового рынка, связанные с этим нужды мореплавания, кораблестроения, военной техники, теплотехники, гидроэнергетики и т. п., практические нужды обще- ства ставят перед наукой быстро усложняющиеся задачи. Помимо задач механики и астрономии перед физико-математическим комп- 187
лексом наук встали проблемы создания математического аппарата исследования электромагнитных явлений и теплоты. Решение научно-технических и даже просто научных задач ста- новится делом государственной важности. Таблицы положений Луны, Солнца, звезд, проблема изобретения хронометра высокой точности, показания которого не зависели бы от качки корабля, нахождение методов отображения сферы на плоскость как важ- нейшая часть картографии и др. приобретают необычайную акту- альность, срочность. В то же время владение средствами нового анализа создает обстановку возможности решения подобных задач, их доступности усилиям ученых. Для научных исследований в крупнейших городах Европы создаются специальные учреждения — академии наук, субсиди- руемые государством. Постепенно возрастает роль высших учебных заведений, ставшая особенно заметной к концу XVIII в., в эпоху Великой французской буржуазной революции. В обществе появ- ляется заметная прослойка ученых-профессионалов, в том числе профессионалов-математиков, главным делом жизни которых явля- ются научные исследования и преподавание. В связи с этим проис- ходит заметная демократизация состава ученых. В самом деле, например, величайший математик XVIII в. Л. Эйлер был сыном сельского пастора, Ж. Л. Лагранж происходил из семьи офицера, П. С. Лаплас и М. В. Ломоносов — крестьянского происхождения, Ж. Даламбер не имел родной сем^ьи. Число подобных примеров можно значительно увеличить. В начале века математики в своих исследованиях могли исхо- дить уже из весьма значительного конкретного материала. Его основу и наиболее актуальную часть составлял анализ бесконеч- но малых, возникающий в Англии в виде ньютоновского исчисле- ния флюксий, а на% континенте Европы — в виде лейбницевского исчисления дифференциалов. Их общность, а во многих частях и совпадение, были уже осознаны. Совокупность методов решения прямых задач этих исчислений, составляющих ныне основную часть дифференциального исчисления, была в основном создана. Дифференциальное исчисление заняло место одной из частей клас- сической основы математического анализа. Появились первые учеб- ники, систематически излагающие его методы и результаты Ч В области обратных задач, т. е. интегрального исчисления, время подведения итогов еще не наступило, так как было сделано еще не так много. В области неопределенного интегрирования продолжалась разработка приемов интегрирования в элементар- ных функциях. Так, например, идея интегрирования дробно-рацио- нальных функций при помощи разложения их на простейшие дро- би была высказана Лейбницем лишь в начале XVIII в. (1702— 1703). О перестройке интегрального исчисления на базе понятия определенного интеграла еще не могло быть и речи. 1 См., например, Г. Ф. Л о п и т а л ь. Анализ бесконечно малых. М.—Л., Гостехиздат, 19351 Впервые опубликована в 1696 г. 188
По мере накопления приемов интегрирования усиливалась по- требность в исследовании простейших трасцендентных функций и в обогащении их класса. Геометрические методы исследования, основанные на изучении площадей и абсцисс, зависящих друг от друга определенным образом, оказывались недостаточными, негиб- кими. Их дополняли методы представления функций степенными рядами и усовершенствования символической формы их выраже- ния. Наряду с формированием основы математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления — к началу века появились результаты и в его высших областях: теории дифферен- циальных уравнений, вариационном исчислении. Интегрирование первых обыкновенных дифференциальных уравнений первого по- рядка, к которым приводили задачи математического естествозна- ния, пробовали осуществлять с помощью лишь алгебраических и элементарных трансцендентных функций. Отдельные результаты были достигнуты. Однако вскоре математики убедились, что на таком пути решить сколько-нибудь широкий круг уравнений не удается. Задача была трансформирована, и решение дифференци- альных уравнений стали отыскивать в квадратурах. Арсенал приемов интегрирования дифференциальных .уравне- ний был еще невелик. В него входили: разделение переменных, отдельные случаи нахождения интегрирующего множителя, реше- ние однородного уравнения первого порядка подстановкой y=xt. И. Бернулли в 1697 г. проинтегрировал уравнение, носящее теперь его имя, dy + Р (х) ydx = Q (х) yndx, преобразовав его в линейное дифференциальное уравнение перво- го порядка с помощью подстановки у = о1-". Этот способ был, впрочем, известен также Лейбницу и Я. Бернулли. На рубеже ве- ков И. Бернулли сумел дать решение линейного однородного диф- ференциального уравнения n-го порядка Qx«^-+ ...+Вх2^- +Ах-^-+г/ = °, dxn dx2 dx понижая его порядок с помощью интегрирующего множителя вида хр. Сколько-нибудь систематической разработки теории дифферен- циальных уравнений еще не было, но задача эта стояла как перво- очередная. В области вариационного исчисления математики сумели нако- пить некоторый запас задач особого рода — вариационных, — осознать их своеобразие, найти решения ряда элементарных задач. Задача создания общего метода выдвинулась на первый план и в этой части математического анализа. 189
В ходе энергичной работы в различных областях математиче- ского естествознания быстро росло число задач, решаемых с по- мощью методов еще нового тогда анализа бесконечно ^алых. Крепла уверенность, что дифференциальные уравнения отражают если не все, то во всяком случае главнейшие закономерности при- роды. Решение дифференциальных уравнений представлялось мно- гим ученым универсальным средством познания. Однако этот могу- чий арсенал приемов нес в своих основах неразрешенное противо- речие между растущими практическими успехами и логической несообразностью, необоснованностью приемов оперирования с бес- конечно малыми величинами и особенно необоснованностью отбра- сывания их. Этому противоречию суждено было в скором будущем проявиться, и притом в резкой форме. Алгебра, на которую опирался новый анализ, к концу XVII в. приобрела достаточно усовершенствованный буквенно-символиче- ский аппарат. Ее практические возможности кроме решения в ра- дикалах уравнений первых четырех степеней и некоторых прибли- женных методов существенно расширились за счет установления многих фактов общей теории алгебраических уравнений и элемен- тов теории определителей. Центральной проблемой алгебры сде- лалась проблема отыскания общего метода решения алгебраиче- ских уравнений любой степени. Понятие решения таких уравнений в значительной степени еще сливалось с задачей представления корней уравнений посредством той или иной комбинации ради- калов. Арифметические вычислительные методы к этому времени обо- гатились за счет использования логарифмов и соответствующих многочисленных таблиц. Начали появляться вспомогательные вычислительные устройства, среди которых наиболее совершенны- ными были арифмометры Шиккарда, Паскаля, Лейбница и др. и логарифмические шкалы. Пестрота и разнообразие, неравномер- ность развития, всегда присущие науке в любой момент времени, в арифметике проявились в отставании понятия отрицательного числа и даже в неравноправном положении десятичных дробей сравнительно с обыкновенными. В составе геометрии помимо элементарных частей и тригоно- метрии ученые XVIII в. могли использовать аналитическую гео- метрию, не очень еще совершенную, созданную в 30-е годы XVII в. Декартом и Ферма. К ней примыкала совокупность геометрических приложений дифференциального исчисления, впоследствии выде- лившаяся в особый вид геометрии — дифференциальную геомет- рию. К началу XVIII в. накопился 'значительный запас сравнитель- но еще элементарных представлений теоретико-вероятностного характера. Начальные соображения ряда ученых, например Кар- дано и Тартальи о числе способов получения желаемого количе- ства очков при игре в кости, Луки Пачиоли относительно задачи разделения ставки, позволяли предвидеть возможность математи- 190
ческого изучения случайных явлений. В последующем Паскаль, Ферма, Я. Бернулли и др. нащупали в хаосе случайных событий определенные количественные закономерности, из которых самой важной была простейшая форма 'закона больших чисел. Вынуж- денная узость конкретного материала (азартные игры, отдельные таблицы с результатами наблюдений) и элементарность методов (арифметико-комбинаторных) воспринимались как временное и преодолимое препятствие. Объем математических сведений, которыми должен был рас- полагать квалифицированный математик конца XVII — начала XVIII в., был, таким образом, довольно велик. Видимо, в силу именно этого обстоятельства начиная со второй половины XVII в. начали появляться многотомные сочинения, имеющие целью охва- тить всю математику, изложить ее в целом, систематически. На- пример, в 1661 г. в Вюрцбурге вышел в свет однотомный «Курс математики или полная энциклопедия всех математических дис- циплин» («Cursus mathematicus sive absolute omnium mathema- ticarum disciplinarum Encyclopaedia») К. Шотта. Через 13 лет, в 1674 г., «Курс или мир математики» («Cursus seu mundus mat- hematicus») лионца Дешаля потребовал уже трех томов. Через 20 лет, в 1693 г., «Курс математики» («Cours des mathematiques», Paris) Озанама появился в пяти томах. Тенденция к созданию единой системы математики не ослабе- вала и в последующие века, являясь непременным спутником даль- нейшего роста математики. В наши дни выразителем подобных устремлений является, например, многотомное (еще не завершен- ное) сочинение «Элементы математики», коллективный автор кото- рого (группа математиков, преимущественно французских) высту- пает под общим псевдонимом Никола Бурбаки. В течение XVIII в. существенно изменилась структура мате- матики, ее состав. Самые большие, коренные изменения произошли в математи- ческом анализе. Во много раз увеличилось количество входящих в него фактов. По своему содержанию анализ трансформировался. Из метода, придуманного для решения определенного класса за- дач, он преобразовался в анализ функций, приобрел структуру, близкую к современной. В течение XVIII в. от классического ана- лиза постепенно отпочковался ряд дисциплин, получивших само- стоятельное развитие. В первую очередь приобрела самостоятель- ность теория дифференциальных уравнений, наиболее интенсивно разрабатываемая в силу ее практической ценности. Теория обыкно- венных дифференциальных уравнений получила систематическое развитие, начиная с работ И. Бернулли и особенно Я. Риккати. В то же время ряд практических задач выдвинул проблему реше- ния уравнений с частными производными. Первые успехи были достигнуты в решении задач о колебаниях струны, мембраны, столба воздуха в трубе и т. п. Поэтому наиболее ранние теоретик 191
ческие успехи относятся к методам интегрирования уравнений ги- перболического типа. На базе расширения понятия функции ца область комплекс- ного аргумента, широкого применения разложения функций в ря- ды начала создаваться теория функций комплексного переменного. В ней был открыт ряд фактов, в том числе формулы Муавра и Эйлера, Открытие и применение конформного отображения суще- ственно продвинуло эту область анализа и еще больше подчерк- нуло ее своеобразие. Геометрические приложения анализа также выделились в са- мостоятельную дисциплину — дифференциальную геометрию. Крупнейшие ученые эпохи — Эйлер, Клеро, Монж, Менье и др.— работали в этой области, стремясь создать общую дифференциаль- но-геометрическую теорию, способную исследовать пространствен- ные объекты: пространственные кривые и поверхности. Из совокупности методов решения класса вариационных за- дач сложилось особое исчисление — вариационное. Вначале его составляли только так называемые прямые методы, созданные Эйлером. Во второй половине века было открыто исчисление, основанное на введении нового понятия — вариации. Кроме этих больших направлений в анализе получили серь- езное продвижение: теория рядов, исчисление конечных разностей, теория специальных функций и др. Структура математики, разумеется, не исчерпывалась в то время анализом бесконечно малых со всеми erQ ответвлениями. Настойчивые попытки исследования общей теории алгебраических уравнений привели к разработке теории детерминантов, теории делимости многочленов, линейной алгебры и др. В самом конце столетия, в 1799 г., появилась замечательная книга Руффини «Общая теория уравнений, в которой доказывается невозможность алгебраического решения общих уравнений выше четвертой сте- пени». Доказательство было не совсем строгим, но в нем были новые идеи, вводящие в современную нам алгебру. Руффини, в частности, ввел понятие группы операций и фактически связал не- которые свойства группы с проблемой разрешимости уравнений в радикалах. Весьма существенно пополнилась совокупность геометрических дисциплин. В нее уже входила аналитическая геометрия, приняв- шая к середине века облик, весьма близкий к современному как по символике, так и по объему. Вместе с учением о перспективе сло- жилась к концу века начертательная геометрия, ставшая тотчас же важнейшей частью высшего технического и математического образования. Привлекали интерес ряда ученых проективно-геоме- трические идеи Дезарга, что подготовило почву для исследований Понселе, который в начале XIX в. создал стройное здание проек- тивной геометрии. Весьма интересные исследования проводились в области тригонометрии и элементарной, или, точнее говоря, синте- тической геометрии. 192
В настоящем перечне составных частей комплекса математи- ческих наук XVIII столетия нельзя обойти молчанием теорию чи- сел. Несколько обособленное положение этой дисциплины не меша- ло тому, что она постоянно находилась в центре внимания крупней- ших ученых, прилагавших огромные усилия для решения ее труд- ных, но заманчиво просто сформулированных задач. Как мы пока- жем далее, XVIII в. многое дал теории чисел: найдено общее решение неопределенных уравнений второй степени, сформулиро- ван закон взаимности для квадратичных вычетов, доказана ирра- циональность л и е и т. д. Наконец, в XVIII в. было положено начало научной разработке теоретико-вероятностных проблем, тес- но сплетенных с задачами элементарного комбинаторного анализа. Из европейских государств наибольшую активность в матема- тике мы наблюдаем во Франции, где работали Даламбер, Лагранж, Лаплас, Монж, Лежандр и многие другие выдающиеся матема- тики. Мы будем также часто обращаться к работам английских математиков — Тейлора, Маклорена, Стирлинга, немецких — Лам- берта, Гаусса и др. Ведущее место в математике XVIII в. занима- ла и Россия благодаря деятельности Л. Эйлера, Д. Бернулли и других петербургских академиков. Для нашей Родины начало XVIII в. было временем энергич- ного преодоления исторически обусловленной многовековой отста- лости. Реформы Петра I были направлены на реорганизацию ар- мии и флота, создание промышленности, переделку государствен- ного аппарата, налаживание системы подготовки необходимых спе- циалистов. Эти реформы быстро и энергично проводились в жизнь. Так, например в 1701 г. была открыта навигацкая школа (морское училище), в 1711—1712 гг. — артиллерийская школа. С 1714 г. во многих крупных городах России были организованы так называемые цифирные школы, имеющие целью привить уча- щимся элементарную математическую грамотность. В следующем, 1715 г., начала работать Морская академия. Первое научное учреждение России — Петербургская акаде- мия наук — было создано в 1725 г. Как составная часть Академии существовали гимназия и университет, готовившие кадры, в кото- рых остро нуждалась страна. Для ведения научной работы и под- готовки отечественных специалистов были приглашены из других стран молодые талантливые профессора. В Петербург приехали и математики: сыновья И. Бернулли — Даниил и Николай (послед- ний вскоре, в 1726 г., скончался), ученик Я. Бернулли — Я. Гер- ман, бывший ранее профессором в Падуе, а затем во" Франкфурте- на-Одере. Немного времени спустя приехал совсем юный уроженец Швейцарии Л. Эйлер, нашедший в России вторую родину. Молодая Академия быстро завоевала международную извест- ность. В первом же выпуске научного журнала «Комментарии Петербургской академии наук» (за 1726 г.; опубликовано в 1728 г.) содержались важные статьи об интегрировании дифференциальных уравнений. Со второго тома в «Комментариях» начал публиковать 7 К. А. Рыбников 193
Л. Эйлер (1707—1783) свои работы Эйлер. В третьем томе был помещен важный мемуар Д. Бернулли о колебании струны, в котором решение было дано в виде тригонометрического ряда. В 15 томах этого научного журнала Академии наук, вышед- ших в период 1728—1802 гг., и в других ее изданиях этого же пе- риода было опубликовано более 700 научных статей и книг по теоретическим и прикладным вопросам математики. Многие из этих работ оказали большое влияние на развитие науки. «Не мо- гу Вам довольно объяснить, с какой жадностью повсюду спра- шивают о петербургских мемуарах», — писал Эйлеру в 1734 г. Д. Бернулли, который к тому времени уже возвратился на ро- дину. 194
Однако своеволие временщиков и царей, интриги и взаимная вражда царедворцев тяжело сказались на Академии. Внутри нее велась тяжелая неравная борьба за воспитание национальных научных кадров, проводимая М. В. Ломоносовым (1711 —1765). Были закрыты гимназия и университет при Академии. Большие трудности переживал и Московский университет, основанный в 1755 г. по инициативе Ломоносова. Славой и гордостью нашей отечественной науки в области математики являлся в то время Л. Эйлер. Он напечатал огром- ное число книг и статей, воспитал большое число учеников, став- ших позднее академиками. Его значение в истории математики исключительно велико. Леонард Эйлер (1707—1783) — уроженец г. Базеля (Швей- цария). Его отец, Пауль Эйлер, был небогатым пастором. В моло- дые годы он увлекся математикой, изучал ее под руководством Я. Бернулли. Своему сыну он прочил тоже духовную карьеру. Однако в Базельском университете Леонард увлекся математи- кой, слушал лекции И. Бернулли и регулярно занимался с ним. Он блестяще окончил университет, получил ученую степень ма- гистра, но работы найти не мог. Его друзья, сыновья И. Бернулли — Даниил и Николай, уехали в 1725 г. в Петербург. По их рекомендации получил при- глашение работать в Петербургской академии наук и Л. Эйлер. Вакантным, правда, было место на кафедре физиологии, но это не смущало молодого ученого. Все-таки работа! В мае 1727 г. он приехал в Россию и прожил здесь 14 лет (до 1741 г.). Физиологией заниматься не пришлось. Эйлеру представили возможность вести исследования в области физико-математиче- ских наук. Он с огромным рвением принялся за научную и педа- гогическую работу. За это время он опубликовал свыше 50 и под- готовил к печати 80 научных работ по анализу, теории чисел, диф- ференциальным уравнениям, астрономии. В том числе появилась в 1736 г. двухтомная «Механика», включающая механику точки. Эйлер выполнял многочисленные государственные задания. В 1738 г., во время напряженной работы над составлением геогра- фических карт •России, он частично потерял зрение. Но научная деятельность его разрасталась. У него появились талантливые уче- ники: Котельников, Румовский, Фусс, Головин, Сафронов и др. Авторитет Эйлера быстро рос, рос авторитет и Петербургской ака- демии. Однако в Петербурге работать было неспокойно. Тревожная политическая обстановка, о которой мы упоминали выше, пугала Эйлера. В 1741 г. он принял предложение переехать в Берлин во вновь организуемую Академию наук. В Берлине он проработал до 1766 г. в должности вице-президента и директора математического отделения. За это время он написал около 300 научных работ, книг и статей. Примерно половину их он отправлял для публикования в Петербург, где по-прежнему числился почетным академиком и 7* 195
откуда получал деньги. Эйлера тянуло обратно в Петербург. Он вел оживленную переписку с Россией, поддерживал Ломоносова, принимал у себя в доме и учил молодых ученых, приезжавших из Петербурга, закупал научные инструменты, давал отзывы. Наряду с огромным количеством статей Л. Эйлер в берлин- ский период жизни написал ряд монографий, в которых в систе- матическом виде излагал современное состояние математических наук. В 1744 г. он написал трактат о вариационном исчислении, новой, открытой им области математики. В 1748 г. вышло в свет «Введение в анализ бесконечно малых», а в 1755 г. — «Дифферен- циальное исчисление». Так было положено начало громадной ра- боте Эйлера по приведению в систему необычайно разросшегося математического анализа. Как продолжение написанной в Петер- бурге «Механики» в 1765 г. выходит «Механика», посвященная движению твердого тела. Наконец, Эйлер преодолел сопротивление прусского короля, преодолел сопротивление Шумахера — всемогущего в то время секретаря Петербургской академии — и стоящей за ним группы и в 1766 г. со всей семьей переехал в Петербург. Здесь он был окружен почетом и мог, казалось бы, спокойно жить, умеренно ра- ботая. К тому же преклонный возраст и почти полная потеря зре- ния вынуждали знаменитого математика к покою. Но необычайная научная активность Эйлера продолжалась. Во второй петербургский период он представил в Академию еще 416 книг и статей, диктуя их своим ученикам. Академия не успе- вала публиковать труды Эйлера. Они печатались в изданиях Ака- демии в течение 80 лет после его смерти (до 1862 г.). Среди работ этого периода особенно много больших монографий, в которых приводятся в систему различные области математики и смежных дисциплин. В течение 1768—1770 гг. вышли в свет три тома «Инте- грального исчисления», включающие в себя кроме, методов инте- грирования функций теорию дифференциальных уравнений обык- новенных и в частных производных, а также вариационное исчис- ление. В те же годы появились: двухтомный трактат об алгебре, трехтомное сочинение натурфилософского характера, написанное в форме «Писем о разных физических и филозофических материях, писанных к некоторой немецкой принцессе». Второй петербургский период жизни Эйлера дал науке и другие большие сочинения: диоптрику в трех томах, новую теорию исчисления лунной орбиты (1772), теорию кораблестроения и навигации (1778) и др. Научное наследие Эйлера огромно. Им написано свыше 850 сочинений, среди которых свыше 40 больших, нередко много- томных, монографий. На родине Эйлера, в Швейцарии, было пред- принято в 1909 г. издание полного собрания его сочинений. Было рассчитано, что оно должно составить 72 огромных тома большого формата. Однако в течение 50 лет вышло 42 тома, а материал, предназначенный для опубликования, убавился едва на половину. Кроме того, в Ленинграде, Берлине и в других городах хранится 196
свыше трех тысяч писем из научной переписки Эйлера; многие письма по существу являются научными работами. Опубликована же лишь небольшая часть этой переписки. Научные работы Эйлера охватывают практически всю совре- менную ему математику. Во всех областях математики он сделал выдающиеся открытия, ставившие его на первое место в.мире. Ему было доступно понимание математики как единого, хотя и огром- ного, целого. В нем он привел в систему главнейшие отрасли, и прежде всего анализ со всеми его ответвлениями. Лаплас указы- вал, что Эйлер был общим учителем для всех математиков второй половины XVIII в. Научная деятельность Эйлера в основном имела алгоритмиче- скую направленность. К построению общей теории он приходил, отправляясь от конкретных задач, имеющих практическое значение. В его научном наследии исключительно велик удельный вес прак- тики. Примерно 40% его работ посвящено прикладной матема- тике, физике, механике, в том числе небесной механике, гидроме- ханике, теории упругости, баллистике, кораблестроению, теории машин, оптике и др. Черты алгоритмичности присущи и его чисто, казалось бы, теоретическим работам. Особенно это заметно в тру- дах по анализу бесконечно малых, который по существу строился им как математический аппарат классической механики и физики. Нет возможности перечислить хотя бы главные открытия и научные достижения Эйлера. Их слишком много. Характеризовать их означало бы практически характеризовать всю математику XVIII в. В трудах Эйлера содержится ряд глубоких идей, получив- ших дальнейшее развитие лишь через несколько десятков лет. Например, он частично предварил исследования К. Ф. Гаусса во внутренней геометрии поверхностей. В 1758 г. он доказал теорему о топологической (эйлеровой) характеристике многогранников, положив начало накоплению фактов топологии. Ему принадлежит первое использование методов анализа в решении теоретико-чис- ловых задач и создание аналитической теории чисел. Теоремы и формулы, методы и символы, носящие имя Эйлера, часто встре- чаются в математике и в наши дни, занимая в ней важное место. Многие «открытия Эйлера переоткрывались после его смерти другими учеными. Особенно много таких переоткрытий встречается в теории дифференциальных уравнений. Например, задачу о коле- баниях круглой мембраны Эйлер свел еще в 1766 г. к линейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. Теперь это уравнение носит имя Бесселя, немец- кого математика и астронома XIX в. К слову, решение, данное Эйлером этому уравнению, представляет собой бесконечный ряд, выражающий цилиндрические функции первого рода и любого по- рядка (цилиндрические функции нулевого порядка появились в ме- муаре Д. Бернулли о колебаниях гибкой нити, подвешенной за один конец). Примеров подобного рода переоткрытий можно при- вести очень много. 197
Научные заслуги Эйлера и его учеников выдвинули Петер- бургскую академию наук на одно из первых мест в мире. Россия сделалась одним из центров математических исследований. Педа- гогическая деятельность Эйлера, его учеников, подготовка новых кадров в университетах: Петербургском академическом (сущест- вовал до 1783 г.) и особенно в Московском (организован в 1755 г.) — создали условия для широкого развертывания сети выс- ших учебных заведений России и роста математически образован- ных кадров в следующем, XIX столетии. Перейдем к характеристике развития отдельных математиче- ских наук. 6.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОСНОВ АНАЛИЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало очевид- ным, что недавно открытые исчисления флюксий и дифференциа- лов явились лишь преддверием новой области математики, ее эле- ментарной частью. Содержание анализа бесконечно малых (как стали называть эту область математики) фантастически быстро пополнялось новыми фактами. Операции дифференцирования и интегрирования оказывались применимыми ко все более широкому классу функций. Соответственно расширились возможности прило- жения анализа бесконечно малых. В свою очередь практические потребности вынуждали распространять операции анализа на быстро возрастающий класс функций. В сущности самой главной трудностью в развит