/
Текст
Шеренга
великих
матема-
тиков
Шеренга
великих
матема-
тиков
Наша Ксенгарня Варшава 1970
ГРАФИЧЕСКОЕ ОФОРМЛЕНИЕ ПЕРЕПЛЕТА — МАТЕУШ ГАВРЫСЬ
ИЛЛЮСТРАЦИИ — МЕЧИСЛАВ КВАЧ
ПЕРЕВОД С ПОЛЬСКОГО — ШПАК Е. К.
РЕДАКТОР РУССКОГО ИЗДАНИЯ Е. В. БРОВЦЫНА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ И С ПРЕДИСЛОВИЕМ ПРОФЕССОРА ДОКТОРА ВЛОД-
ЗИМЕЖА КРЫСИЦКОГО
БИОГРАФИИ УЧЕНЫХ, ПОМЕЩЕННЫЕ В ЭТОЙ КНИГЕ, РАЗРАБОТАЛИ:
Д-р Ежи Бартос: Якоб Штейнер, Марий Софус Ли, Рихард Юлиус
Вильгельм Дедекинд, Эрик Ивар Фредгольм, Юлиуш Шаудер, Казимеж Жо-
равский.
Магистр Мариуш Василевский: Пьер Симон Лаплас, Симеон Дени
Пуассон.
Д-р Шимон Векслер: Фалес, Пифагор, Эвклид, Архимед, Аполлоний
Пергский, Герои из Александрии, Диофант, Папп Александрийский.
Магистр Стефан Гилер: — Джероламо (Джеронимо) Кардано, Гаспар
Монж, Джордж Грин, Янош Больяй, Герман Минковски, Камиль Жордан,
Александр Михайлович Ляпунов, Эмиль Борель.
Д-р Вацлав Дычка: Блез Паскаль, Готфрид Лейбниц, Якоб Бернулли,
Иоганн Бернулли, Юзеф Гёне-Вронский, Карл Фридрих Гаусс, Огюстен Луи
Коши, Зигмунт Янишевский, Юзеф Марцинкевич, Станислав Заремба, Стефан
Банах, Мечислав Бернацкий.
Д-р Эва Ханкевич: Франсуа Виет, Нильс Генрих Абель, Эварист Галуа,
Давид Гильберт.
Магистр Мария Гилер: Рене Декарт (Картезий), Исаак Ньютон, Лео-
нард Эйлер, Бернхард Риман, София Васильевна Ковалевская, Рональд Фишер.
Магистр Хелена Писаревская: Мухамед бен Муса Хорезми, Феликс
Хаусдорф, Эли Жозеф Картан, Герман Вейль.
Доцент д-р Данута Садовская: Витольд Погожельский.
Доцент д-р Тадеуш Свионтковский: Георгий Феодосьевцч Во-
роной, Владимир Андреевич Стеклов, Павел Самуилович Урысон, Станислав
Сакс, Николай Николаевич Лузин, Лейтцен Эгберт Ян Брауэр, Вацлав Сер-
пинский.
Магистр Владислав Терликовский: Пьер Ферма, Абрахам де
Муавр, Шарль Эрмит, Анри Жюль Пуанкаре, Джон фон Нейманн.
Магистр ин ж. Ежи Ханкевич: Жозеф Луи Лагранж, Николай
Иванович Лобачевский, Михаил Васильевич Остроградский, Пафнутий Льво-
вич Чебышев, Георг Кантор, Андрей Андреевич Марков, Анри Луи Лебег,
Александр Яковлевич Хинчин.
Магистр А л и ц и я Шидловская: Эразм Витело, Жан Батист Жо-
зеф Фурье, Карл Пирсон, Всеволод Иванович Романовский, Фридьеш Рис.
Магистр Хелена Якушенков: Адриен Мари Лежандр, Карл
Густав Якоби, Карл Вейерштрасс, Жак Саломон Адамар.
Магистр Януш Яскула: Жан Лерон Д’Аламбер, Петер Густав Лежён
Дирихле, Норберт Винер.
Уменьшала страдания непостижимая в своей красоте
прелесть математического познания, простота ясных
и прозрачных, как воздух, правд, которых не замечают
несчастные люди, лежащие, как пьяницы, у дорог жизни
и не видящие своими мертвыми глазами неба.
СТЕФАН ЖЕРОМСКИЙ
„КРАСОТА ЖИЗНИ”
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге „Шеренга великих математиков” приведены биографии
83 выдающихся ученых разных национальностей, деятельность ко-
торых протекала в различные исторические периоды. Приводятся
также сведения об их важнейших математических трудах. Редактор
сборника отдает себе отчет в том, что выбор тех или иных мате-
матиков, биографии которых помещены в этой книге, довольно
субъективен и может оспариваться.
Совершенно естественно, что мы старались по возможности подроб-
нее ознакомить читателей с жизнью выдающихся математиков
и с их непрерывно возрастающим, особенно начиная с двадцатых
годов текущего столетия, вкладом в общую сокровипщицу науки.
Отдавая себе отчет в недостатках, неизбежных в издании этого
рода, мы питаем надежду, что благосклонные читатели после озна-
комления с содержанием книги последуют пожеланию, высказан-
ному 3. Янишевским, чтобы „математика стала постоянной [их] ду-
ховной потребностью, все более всеобъемлющей и все более необхо-
5 димой”!
ФАЛЕС ИЗ МИЛЕТА
(640—546 до н. э.)
Фалес из Милета — первый древнегреческий 'мы-
слитель, имя которого дошло до нас. О его жизни
мы знаем очень немного. По-видимому, он жил
в 640—546 годах до нашего летоисчисления. Древ-
ние писатели считали его „первым” философом,
„первым” физиком, математиком, астрономом. Фа-
лес жил в бурной атмосфере греческих малоазиат-
ских колоний, в которых греческое население
играло роль посредника в торговле между Восто-
ком и Элладой, между Востоком и Западом.
Заметное влияние вавилонской и египетской куль-
туры на малоазиатских греков объсняется, по всей
вероятности, их оживленными торговыми сноше-
ниями с этими странами.
Платон упоминает, что Фалес, наблюдая звезды,
оступился и упал в колодец. Свидетельница это-
го случая, некая прекрасная рабыня, сказала
в шутку, что Фалес хотел увидеть происходящее
на небесах, но не заметил того, что находится у не-
го под ногами. Но шутка эта не характерна для
мировоззрения Фалеса. Он отнюдь не был мысли-
телем, оторванным от реальных проявлений жиз-
ни. Совсем наоборот, он был человеком практики,
умевшим использовать научные знания даже
в торговых сделках.
Комментатор первой книги „Начала” Эвклида,
греческий философ Прокл, на основании не до-
шедшей до нас „Истории геометрии Евдема”, сви-
детельствует, что Фалес является автором следую-
щих теорем и их доказательств:
1. Диаметр делит круг пополам.
2. Углы у основания равнобедренного треуголь-
ника равны.
3. Вертикальные углы равны, и
4. треугольники равны между собой, если равны
одна из сторон и прилегающие к ней два угла.
Считают также, что Фалес — автор теоремы, гово-
рящей, что угол вписанный в полукруг — прямой. 6
Имя Фалеса присвоено теореме о пропорциональ-
ности отрезков двух сторон угла, пересеченных
параллельнымипрямыми.
В сравнении с Достигнутым во времена Фалеса
уровнем развития египетской и вавилонской мате-
матики, теоремы Фалеса вовсе нельзя считать
чем-то выдающимся. Величие Фалеса как мате-
матика сказывается скорее в том, что он первый
применил доказательство теорем и ввел их в оби-
ход математики. Египетские и вавилонские мате-
матики интересовались ответом на вопрос „как”,
а Фалес, по свидетельству древних, первый за-
дался вопросом „почему”.
В настоящее время мы не можем установить, какие
доказательства своих теорем приводил Фалес. Вы-
дающийся историк древнегреческой математики
Т. Хейм считает, что столь очевидный факт, как
теорема о делении круга пополам, не требовал до-
казательства даже у Эвклида; Евдем, современ-
ник Эвклида, по-видимому, знал понятие доказа-
тельства, и нет оснований считать неверным его
утверждение, что Фалес из Милета приводил до-
казательства теорем.
Таким образом, Фалеса можно считать математи-
ком, объединившим теорию с практикой, постро-
ившим основы геометрии, как умозрительной нау-
ки, завершением которой были „Начала” Эвклида.
Теорема Фалеса ОА:АВ=ОС:СО
если AC IIBD
В истории развития математических идей древней
Греции Пифагор занимает почетное место. Прав-
да, древние писатели упоминают о Пифагоре ско-
рее как о политическом деятеле, пророке, чудо-
творце и мистике. Ксенофан, упоминая о вере
Пифагора в переселение душ, приписывает по-
7 следнему слова, сказанные им при виде битого
ПИФАГОР
(570—496 г. до и. э.)
пса: „Перестань его бить, у этого пса душа моего
ДРУ™, я узнал его по голосу”.
О самом Пифагоре мы располагаем скудными све-
дениями. По-видимому, жил он в 570—496 годах
до н. э. Философско-мистическое течение, связан-
ное с именем Пифагора, существовало около двух
веков, но установить теперь, что в этом учении
принадлежит Пифагору, а что добавлено и разра-
ботано его учениками, невозможно. Поэтому можно .
говорить не о Пифагоре, а о пифагореизме, как
философском течении. Элементами пифагореизма
являются: музыка, гармония и числа, которые рас-
сматриваются как воспитательные факторы, на-
правленные на внутреннее совершенствование
человека. Математика и мистика в пифагореизме
составляли удивительную смесь, из которой одна-
ко выросло точное математическое знание поздних
пифагорейцев, ценивших только то, что можно
было доказать путем умозаключений.
В геометрии пифагорейцы разработали теорию па-
раллельных прямых, доказали теорему о сумме
углов в треугольнике, четырехугольнике и в пра-
вильных многоугольниках; они исследовали круг,
правильные многогранники и шар. Открыли пра-
вильный пятиугольник, установили, что плоскость
можно покрыть только следующими правильны-
ми многоугольниками: треугольниками, четырех-
угольниками или шестиугольниками. Они доказали
так называемую теорему Пифагора. В их среде
решались крупнейшие задачи древнегреческой ма-
тематики: удвоение куба, деление угла на три
равные части и квадратура круга при помощи цир-
куля и линейки.
Пифагорейцы занимались и арифметикой, вернее
теорией чисел, которую они отличали от „низкой”
науки арифметического счета. Пифагорейцы вос-
принимали числа довольно конкретно, как точки,
расположенные по геометрическим фигурам. Что- 8
бы отличать друг от друга единицы, то есть точки,
каждая из них в их понимании окружалась пло-
скостью. Поэтому числа у них выражались либо
при помощи точек, либо квадратов. Такое пони-
мание чисел привело их к исследованию чисел
треугольных, квадратных, пятиугольных. Это та-
кие числа, из которых можно построить перечи-
сленные фигуры, если представить их в виде со-
ответственно расположенных точек. Эти цифры
представляют собой суммы арифметических про-
грессий:
1 + 2 + 3+ ... + п — п (п + 1)/2 треугольные
числа
1 + 3 + 5 + ... + (2п — 1) = п2 + квадратные
числа
1 + 4 + 7 + (Зп — 2) = п (Зп — 1)/2 пятиуголь-
ные числа
В связи с квадратными числами они рассматрива-
ли числа порядка 2п + 1, называемые „гномиче-
скими”, которые, будучи добавлены к квадрату
числа п, дают квадрат следующего по порядку
числа. Они занимались также совершенными чи-
слами, то есть такими, у которых сумма делителей,
(включая единицу), меньших чем данное число,
равна данному числу. Например 6,28,496,8128. Они
занимались поисками „содружественных” чисел, то
есть таких, у которых сумма делителей одного
числа равна другому, например, 220 и 284. Пифаго-
рейцы интересовались также пропорциями. Осо-
бое значение для последующего развития мате-
матики имело обнаружение несоизмеримости от-
резков. Это открытие выявило противоречие
в философской системе пифагорейцев, согласно
которой „все сущее — есть число”, понимаемое
как натуральное число.
Легенда гласит, что это открытие содержалось
в строжайшей тайне, а сметрь пифагорейца Гиппа-
9 са (он утонул в море) объяснялась тем, что он пы-
a 't Ьг-С
Теорема Пифагора
ЭВКЛИД
(около 300 г. до я. э.)
тался раскрыть эту тайну другим, за что и был
обречен на вечное исчезновение. По-видимому,
в основу легенды положен исторический факт
раскола пифагореизма на две взаимно исключаю-
щие себя ветви: научную и религиозно-мистиче-
скую. Представители первой из них стремились
к обмену знаниями и открытиями и не допускали
утаивания достижений, вторые, в соответствии
с действующим внутри секты ритуалом, требовали
тайны и изоляции ученых друг от друга. Дей-
ствительно, уже после смерти Пифагора его уче-
ние разбилось на два противоположные направ-
ления: научное и религиозно-мистическое. Сто-
ронников первого направления называли матема-
тиками, второго — „акузматиками”. По всей веро-
ятности, Гиппас сам склонялся к математикам, за
что его исключили из пифагорейского союза, при-
чем его трагическая смерть была использована
„акузматиками” в борьбе против математиков.
Научные заслуги этих математиков весьма ве-
лики.
Начала” Эвклида, пожалуй, самое распространен-
ное научное сочинение в мире. Число изданий
этой книги, только лишь со времени изобретения
книгопечатания, превысило тысячу, а ранние ру-
кописные копии были единственным учебником
геометрии, по которому учились поколения лю-
дей.
„Начала” состоят из тринадцати книг. Четырнад-
цатая и пятнадцатая — это позднейшие дополне-
ния. Автором четырнадцатой книги был Гипсикл
из Александрии (около 200 т. до н. э.). Пятнадцатая
книга появилась только в шестом столетии нашего
летоисчисления. 10
Первые четыре и шестая книги посвящены плани-
метрии, то есть геометрии на плоскости, три по-
следние — стереометрии, они включают блестя-
щие рассуждения Эвклида о пяти правильных мно-
гогранниках. Пятая книга содержит геометри-
ческое истолкование теории пропорций, авторство
которой, по свидетельству Прокла, принадлежит
Евдоксу. В VII, VIII и XI книгах изложена ариф-
метика, собственно говоря, теория чисел, научно
разработанная пифагорейцами, но без присущего
им мистицизма. В книге X содержится изложение
несоизмеримости, обосновываются некоторые пра-
вила её образования с использованием наследия,
оставленного Феодором Киренейским и Теэтетом
из Афин.
Если сопоставить содержание „Начал” с матема-
тическими знаниями предшественников Эвклида,
то, возможно, в „Началах” ничего нового обнару-
жить не удастся, тем более, что работы, подобные
„Началам”, существовали еще до Эвклида, хотя
они известны нам только по заглавиям и име-
нам их авторов. К Эвклиду можно смело отнести
слова Паскаля: „Пусть не говорят, что я не дал
ничего нового; расположение предмета у меня но-
вое”.
И правда. Новое расположение содержания в Эв-
клидовых „Началах” до сегодняшнего дня пора-
жает ученых своей целесообразностью. В своем
произведении Эвклид дал образец дедуктивного
метода, правила и теоремы которого, если не учи-
тывать мелких погрешностей, доказаны путем чи-
сто логических умозаключений при помощи си-
стемы определений, постулатов и аксиом.
В средней школе проходят теорему, которая так
и называется теоремой Эвклида: „Площадь ква-
драта, построенного на высоте прямоугольного
Треугольника, опущенной из вершины прямого
угла на гипотенузу, равна площади прямоуголь-
ника со сторонами равными отрезкам гипотенузы,
полученными от пересечения ее высотой”.
О самом авторе „Начал” мы знаем немного, и све-
дения наши отрывочны и не достоверны. О произ-
ведениях Эвклида древние писали много, об авторе
же „Начал” — ничего. Его жизнь протекала в эпо-
ху Птолемея I (323—283), то есть в начале элли-
нистической эпохи, когда влияние греческой куль-
туры распространилось далеко за пределы Элла-
ды, но сама эта культура, в свою очередь,
подверглась мистицизму восточных культур. По-
кровительство, оказываемое царями, в особенности
Птолемеями, создавшими в Александрии условия,
благоприятствующие развитию наук, в частности,
организовавшими огромную библиотеку, привело
к бурному расцвету науки и появлению плеяды
профессиональных ученых. Одним из них, к тому
же, положившим начало целой школе выдающих-
ся математиков этой эпохи, был Эвклид.
Прокл приводит не очень достоверное, но весьма
существенное для характеристики того времени
сообщение, будто бы Эвклид на вопрос Птолемея,
нет ли проще пути к изучению геометрии, чем
„Начала”, гордо ответил, что в геометрии нет от-
дельной дороги для царей.
Впрочем, существуют данные, что Эвклид нахо-
дился под влиянием Платоновской философии. Об
этом, в частности, свидетельствуют такие черты
„Начал”, как тщательный, столь -характерный для
Платона и его последователей, обход всех вопро-
сов, связанных с практикой.
Об этом говорит и Стобай: „Однажды молодой
человек, изучавший «Начала» под руководством
Эвклида, якобы задал ему вопрос, что может дать
изучение геометрии, для чего это нужно?
В ответ Эвклид будто бы обратился к своему рабу
со словами: «дай ему три обола, этот человек стре-
мится получить материальную пользу от науки»”. 12
Архимед родился в Сиракузах в 287 году до н. э.
и там же занимался научной деятельностью.
Учился сначала у своего отца, астронома Фидия,
потом в Александрии, где познакомился с учени-
ками Эвклида, с которыми всю жизнь поддержи-
вал оживленную переписку. Известно также, что
Гераклид написал биографию Архимеда, не дошед-
шую до нас.
Архимед — автор ряда необыкновенно глубоких
и оригинальных работ по математике и этим отли-
чается от Эвклида, который стал известен скорее
как систематик знаний, существовавших до него.
Работы Архимеда состоят из расчетов площадей
фигур, ограниченных кривыми, и объемов тел,
ограниченных произвольными плоскостями — поэ-
тому Архимед может по справедливости считаться
отцом интегрального исчисления, возникшего на
два тысячелетия позже. Говорят, будто важней-
шим своим открытием Архимед считал доказа-
тельство, что объем шара и описанного вокруг не-
го циливдра относятся между собой как 2:3.
Архимед просил своих друзей поместить это до-
казательство на его могильной плите. Архимед пы-
тался решить проблему квадратуры круга и до-
стиг в этом выдающихся результатов:
1. Площадь круга равна площади прямоугольно-
го треугольника с катетами, равными длине
и радиусу окружности (Z7r2).
2. Площадь круга так относится к площади опи-
санного вокруг него квадрата, как 11 :14.
3. Отношение длины окружности к диаметру
больше З1/? и меньше З10/?!.
Перечисленные научные находки — это только
небольшая часть творчества Архимеда.
Его произведения отличаются сложностью изло-
жения он не заботился о доступности, писал сжа-
то, пропуская звенья, по его мнению, легкие для
13 понимания, по-видимому считал, что читатель бу-
АРХИМЕД
(287—212 г. до н. Э.)
дет обладать определенным уровнем подготовки.
Те, кто подобно Плутарху, восхваляли ясность из-
ложения Архимеда, по-видимому, не читали его
произведений, а вот известный французский ма-
тематик Франсуа Виет признавал, что не все в них
ему понятно. Несмотря на это, Архимед оказал ог-
диаметр
ромное влияние на развитие математики. Его
усердно переводили и комментировали арабы, а по-
том западноевропейские ученые.
На основании сохранившихся биографических
сведений, достоверность которых, к сожалению, не
может быть подтверждена, можно составить себе
некоторое представление об Архимеде, как о че-
ловеке и ученом. В частности, Архимед по этим
данным несколько напоминает классический тип
„рассеянного ученого”. По преданию, Архимед
долго размышлял над способом решения задачи,
порученной ему царем Героном, о количестве
примеси серебра в его золотой короне. Когда од-
нажды Архимед вошел в ванну и увидел, как вы-
текает вытесненная его телом вода, ему внезапно
пришла идея, что по объему вытесненной воды
можно определить объем любого тела, а значит
и короны. Пораженный открытием, он выскочил
из ванны и, как был нагим, побежал по улице,
крича „эврика”, то есть — нашел. Архимеду при-
писывают также известное выражение: „дайте мне
точку опоры (или дайте мне место, на котором
я мог бы стать), и я сдвину землю”. По-видимому,
оно было высказано в связи со спуском корабля
на воду. Рабочие были не в силах сдвинуть с места
этот корабль. Им помог Архимед, создавший систе-
му блоков (полиспаст), при помощи которой один
человек, то есть сам царь, совершил эту работу.
Плутарх восславил Архимеда за его участие в за-
щите родного города Сиракуз от римлян. При по-
мощи изобретенных Архимедом катапульт осаж-
денные поражали врагов крупными камнями 14
и свинцом, а особые краны позволяли им топить
вражеские корабли. Эти и другие, похожие на них,
предания свидетельствуют о том, что Архимед
отказался от платоновской традиции полного от-
рыва науки от практики, хотя не сохранилась,
а может быть и вообще не существовала, работа
Архимеда по прикладной математике.
Архимед был убит в 212 г. до н. э. римским солда-
том во время занятий любимой наукой. Последние
его слова, обращенные к своему убийце, содержа-
ли якобы просьбу не уничтожать чертеж, над ко-
торым он размышлял. Сто лет спустя Цицерон на-
шел могилу Архимеда по шару, вписанному в ци-
линдр, изображенному на могильном камне.
Столетие с 300 до 200 года до н. э. носит название
века Эвклида. В конце этого периода жил Апол-
лоний Пергский, называемый современниками Ве-
ликим Геометром. Точное время его рождения
и смерти не известны. Самый бурный период его
творчества приходится, по-видимому, на последнее
десятилетие третьего столетия до н. э. Мало из-
вестна и жизнь Аполлония. В Александрию, тог-
дашний мировой научный центр, он прибыл моло-
дым человеком, там он обучался наукам у после-
дователей Эвклида. Ни один учитель Аполлония
в источниках не указан. Возможно, что Аполлоний
в это время был известен по прозванию Эпсилон
и стал знаменит благодаря своим работам по аст-
рономии, использованным впоследствии Птоле-
меем. Позднее Аполлоний работал в Пергаме, из-
вестном тогда центре греческой культуры. Здесь
он подружился с Эвдемием Пергамским, которому
и посвятил свое основное произведение „Конои-
15 ка”, то есть конусные. Из восьми книг Аполлония
АПОЛЛОНИЙ
ПЕРГСКИЙ
[262—(?) до н. э.[
до нас дошли четыре на греческом языке, три
других сохранились в арабском переводе, послед-
няя утеряна и известна только по реконструкции,
произведенной Э. Галлеем (1656—1742) на осно-
вании обнаруженных комментариев и содержания
известных семи книг.
Тема конусных сечений, рассматриваемая в „Ко-
ноике”, не была новой во времена Аполлония. Ис-
следованием фигур, возникающих при пересече-
нии конуса плоскостями, уже занимались и Эв-
клид, и Архимед, и многие другие мыслители
и ученые. Это обстоятельство послужило пово-
дом для обвинения Аполлония в плагиате, выдви-
нутом биографом Архимеда. Он утверждал, что
содержание „Колонки” состоит будто бы из
неопубликованных работ Архимеда. Это обвине-
ние совершенно не подтверждено какими-либо
историческими источниками, тем более, что в те
времена понятие плагиата было неизвестно, и мно-
гие авторы пользовались трудами современников
и предшественников совершенно свободно. Кро-
ме того, одно лишь сравнение написанного Апол-
лонием с работами других древних математиков
полностью лишает почвы эти обвинения.
Дело в том, что предшественники Аполлония рас-
сматривали сечения конусов при условии перпен-
дикулярности плоскостей сечения к образующей
конуса, получая для случая прямоугольного кону-
са параболу, остроугольного — эллипс, и тупоу-
гольного — ветвь гиперболы. Аполлоний же пошел
на большое обобщение и стал рассматривать кони-
ческие сечения, получаемые при пересечении ко-
нуса плоскостями под любым углом к образующей,
причем исследования свои он проводил с огромной
тщательностью. Полезно отметить, что именно
Аполлоний впервые ввел в математическую прак-
тику названия: парабола, эллипс, гипербола.
При отсутствии общего метода исследования ко-
нических сечений, Аполлоний был вынужден за-
ниматься множеством частных случаев, что
объясняет обширность его произведения. В извест-
ных нам семи книгах приведены 387 теорем с до-
казательствами. Поразительно, как автору удалось
справиться со столь обширным материалом. Ре-
зультаты, полученные Аполлонием при затрате
огромного труда, можно получить значительно про-
ще путем использования методов аналитической
геометрии, т. е. путем исследования геометриче-
ских фигур по их уравнениям в определенной си-
стеме координат. Но эти методы были найдены
через две тысячи лет после смерти Аполлония,
причем не без влияния его работ.
Аполлоний занимался также вопросами движения
Луны и теорией эпициклов.
В семнадцатом столетии ряд книг Аполлония был
переведен на современные языки. Итак, Виет из-
дал работу „О касании”, содержание которой со-
стоит в рассуждениях о касании трех окружно-
стей, а Галлей — „О пространственных сечениях”.
Воссозданием трудов Аполлония занимались так-
же Ферма, Гетальди и Симпсон. Гейльберг, один из
•лучших знатоков древнегреческой математики,
упоминает о малоизвестной работе, посвященной
основам геометрии; из сохранившихся остатков
этой работы можно заключить, что автор ее стре-
мился найти связь между математическими поня-
тиями и действительностью. Это был еще один шаг
на пути к освобождению математики от платонов-
ской философии.
На Аполлонии кончается плеяда великих создате-
лей древней математики. Это не значит, что древ-
няя наука прекратила свое существование со смер-
тью Аполлония. К сожалению, почти все научные
произведения второго столетия до н. э. утеряны.
Скудные сведения о них сохранились только в тру-
17 дах позднейших комментаторов.
ГЕРОИ
ИЗ АЛЕКСАНДРИИ
(около 80 г. до я. э.)
В результате длительных и опустошительных
войн мир древних во втором и первом веке до
нашей эры попал под господство Рима. Материаль-
ный и культурный уровень населения стран, за-
воеванных римлянами, изнуряемого поборами, на-
логами и прямым грабежом римских чиновников,
непрерывно снижался. Крупные греческие шко-
лы в Александрии, Пергаме, Антиохии и на Родосе
пришли в упадок, а вместе с ними и античная ма-
тематика. Римляне относились к науке с равноду-
шием настоящих варваров, и в области мате-
матики в те времена не выдвинули из своей сре-
ды ни одного сколько-нибудь значительного уче-
ного.
Глубокое падение математики объясняется также
характером и традициями греческой математиче-
ской школы, ее чисто геометрическим подходом
и полным отсутствием расчетов и алгебраических
выкладок. Это сделало невозможным решение но-
вых проблем, а старые в объеме применяемых ме-
тодов были уже исчерпаны. Поэтому, как только
математики римского периода выходили из рамок
простого комментирования древних текстов, они
начинали встречаться с уже новыми идеями, чуж-
дыми греко-платоновской традиции, но относя-
щимися к опыту древнего Египта и Вавилона.
Герои из Александрии был выдающимся предста-
вителем этой новой эпохи. Точное время его жизни
остается неизвестным. Одни ученые считают, что
Герои из Александрии, называемый также Теро-
ном Механиком, жил в первом веке до и. э., дру-
гие — в третьем веке уже нашего летоисчисле-
ния. Надо отметить то, что ученые расходятся
в определении времени, к которому относятся со-
чинения Герона, на целых 400 лет, а это с доста-
точной яркостью свидетельствует об окостенении
и упадке математических идей в те времена. Вы-
дающийся современный историк древней матема- 18
тики Отто Нёйгебауэр относит описание затмения
Луны, содержащееся в книге Герона „О диоптре”,
к 62 году до н. э. и предполагает, что автор сам
наблюдал это затмение.
На основании приписываемого Герону сборника
математических определений и комментария
к книге или работам Эвклида, можно заключить,
что Герои был учителем. Он знал работы класси-
ков греческой математики, часто их цитировал, но
абстрактный мир умозаключений оставался ему
чужд. Он обращается к классикам, чтобы восполь-
зоваться их трудами для достижения чисто прак-
тических целей. Его труды рассчитаны на инже-
неров-практиков.
Основное' произведение Герона „Метрика” состоит
из трех книг. Первая из них содержит правила
измерения площадей. Именно здесь приведена зна-
менитая формула Герона о площади треугольни-
ка с весьма убедительным и простым доказатель-
ством. Здесь же приводятся многочисленные циф-
ровые примеры, требующие умения извлекать
квадратный корень из рациональных чисел, что
Герои делает, используя приблизительные, вави-
лонские методы. Первая книга заканчивается рас-
суждениями о приблизительном определении пло-
щадей плоских фигур, ограниченных кривыми,
и площадей „неправильных фигур”. Вторая кни-
га содержит методы определения объемов геоме-
трических фигур, и заканчивается сообщением,
что Архимед измерял объем „неправильных” фи-
гур по количеству вытесненной жидкости. В по-
следней книге рассматриваются проблемы деления
плоских фигур и объемных тел на части в опреде-
ленном количественном отношении между ними.
Автор использует здесь труды Эвклида, Аполло-
ния и Архимеда, Но высказывает ряд оригиналь-
ных идей и дает способ приблизительного извлече-
19 ния корня второй и третьей степени.
<5= \/в(р-а)(р-Ь)(п-с)
Герон является также автором „Геометрии”. По
содержанию она похожа на „Метрику”, но из-
ложена совершенно элементарно. В „Геометрии”
отсутствуют какие-либо выводы формул, они
иллюстрируются многочисленными примерами.
Форма этого труда во многом соответствует
традиционным древнеегипетским и древневавилон-
ским математическим трудам. Выбор проблем и за-
дач, рисунки и фразеология, по мнению некоторых
историков, напоминают папирус Ахмеса, относя-
щийся примерно ко второму тысячелетию до н. э.
Работы Герона по прикладной механике и оптике
ставят его в ряд выдающихся учителей этих ди-
сциплин и имеют крупное значение в истории есте-
ственных наук. В сохранившемся труде Герона
о пневматике достойно внимания описание ряда
„волшебных фокусов”. Герон является изобрета-
телем механизма, автоматически распахивающего
дверь храма, при возжигании жертвенного огня на
алтаре.
Известны интересные труды Герона по геодезии,
например, описание первообразца теодолита, и по
военному делу — описание метательной машины.
В математике Герон не был создателем новых
идей. Но он способствовал важнейшему условию
прогресса. Герон поставил математику на службу
человечеству и .свел ее с вершин платоновских
идей на землю.
ДИОФАНТ
(КоИец III века н. э.)
Греческий монах XIV века Максим Планудий
в своей антологии поместил эпитафию, содержа-
нием которой является алгебраическая задача. Из
эпитафии можно узнать .Некоторые второстепен-
ные подробности о жизни Диофанта из Алексан-
дрии. Какие-либо другие данные из биографии 20
этого выдающегося математика и представителя
греческой культуры не известны. По-видимому,
Диофант жил в четвертом веке нашей эры, хотя
некоторые факты позволяют считать, что его дея-
тельность приходится на третий век.
Диофант отошел от традиционных в греческой ма-
тематике геометрических проблем и занялся ал-
геброй. Основное его произведение „Арифметика”.
Сохранилось шесть томов из предполагаемых три-
надцати; в них содержится 189 уравнений с реше-
ниями. В большинстве случаев — это неопределен-
ные уравнения, то есть, имеющие несколько ре-
шений. Автор интересуется только одним реше-
нием: положительным и рациональным. Диофант
не применял общих методов решения уравнений:
методы у него меняются от одного к другому. При
выборе коэффициентов уравнений, чтобы полу-
чить желаемое рациональное и положительное
решение, Диофант применяет много остроумных
цриемов. Вот пример Диофантового уравнения и его
решения. Следует найти два таких числа, сумма
произведения которых с одним из этих чисел
является кубом известного числа. Чтобы решить
задачу, Диофант придает одному из искомых чи-
сел форму произведения числа s на куб числа 2,
то есть 8 s; второе искомое число он обозначает
как sa — 1 и отмечает, что первому условию за-
дачи будет отвечать выражение:
8s (s2 — 1) + 8s — (2s)3
Чтобы уравнение отвечало второму условию, вы-
ражение:
8s (s2 — 1) + (s2 —1)
тоже должно быть кубом какого-то числа, обоз-
21 каченного Диофантом 2s — 1. Благодаря такому
л3 1 - лг 13 л 5
lax записывал Диорам вырол ение
л3- 13лг-г 5л
подбору чисел, первое выражение превращается
в тождественность, а во втором кубическом урав-
нении члены третьей степени сокращаются, и по-
лучается решение:
s = 14/13
В Диофантовом сборнике находится ряд полных
уравнений второй степени с одним неизвестным,
но автор не приводит общего метода их реше-
ния; есть там и одно уравнение третьей степени
вида
гс3 + х — 4х2 + 4
с решением х = 4; метод решения тоже не указан.
Возможно, что общие методы решения уравне-
ний были даны в утерянных книгах Диофанта.
При решении уравнений Диофант старался при-
вести их к простейшему виду с помощью „шагов”,
которые теперь называются переносом выраже-
ния, сокращением подобных и делением на коэф-
фициент при неизвестном.
Диофант уверенно применяет алгебраические сим-
волы. Числовые коэффициенты он пишет после
неизвестного, показатели степеней обозначает пер-
выми буквами названия соответствующих чисел
на греческом языке, применяет обозначения для
числа обратного неизвестному и для степеней это-
го числа. Не применяет знаков арифметических
действий, то есть сложения, умножения и деления.
Слагаемые сумм записывает рядом; применяет
отдельный знак вычитания. Для обозначения не-
известного Диофант применял только один знак,
поэтому в уравнениях со многими неизвестными
для их выражения одним символом ему прихо-
дилось находить остроумные приемы. Обозначе-
ния, которые применял Диофант, не были еще 22
равнозначны с современными алгебраическими
обозначениями, но можно их воспринимать как
шаг на пути от так называемой риторической ал-
гебры к современной.
В настоящее время уравнения, которыми интере-
совался Диофант, называются неопределенными.
Некоторые их виды так и называются уравнения-
ми Диофанта. Простейшим из Диофантовых урав-
нений является:
ах + Ъу = с
(а, Ъ, с целые числа), в нем требуется найти реше-
ние в целых числах.
В древнем мире у Диофанта Не нашлись Последо-
ватели, которые взяли бы на себя дальнейшее со-
вершенствование алгебры. В средние века мате-
матические выводы Диофанта были восприняты
арабскими математиками. Произведения Диофан-
та известны были в Индии, но полные и обильные
плоды они принесли только в XVH столетии и поз-
же, когда они стали отцравной точкой исследо-
ваний Пьера Ферма, Эйлера и Гаусса в области
теории чисел.
В комментарии к известному под арабским загла-
вием „Альмагест” труду великого астроно-
ма, математика и географа древности Птолемея
Клавдия, жившего во втором столетии н. э., Папп
дал описание затмения Солнца, которое он наблю-
дал 18 октября 320 года. Благодаря этой случайно-
сти Нам известно время его жизни. Папп работал
в Александрии еще до уничтожения знаменитой
библиотеки, которой мог пользоваться. Папп за-
23 служил известность в основном как комментатор
ПЛПП
АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ
III—IV век н. э.
древних математиков и астрономов, хотя его соб-
ственный вклад в науку отнюдь не мал. Благодаря
Паппу нам известны фамилии авторов, заглавия
и отрывки многих утерянных трудов древних ма-
тематиков. Из собственных работ Паппа сохра-
нился обширный трактат „Synagoge” („Математи-
ческое собрание”). В трактате приведены выдерж- 1
ки из трудов предшествовавших ему авторов.
Папп дополнил трудные теоремы своих предшест-
венников своими леммами; он цитирует около
тридцати авторов, благодаря чему его произведе-
ние стало ценным источником сведений из исто-
рии математики.
„Математическое собрание” состоит из восьми
книг. Первая из них и частично вторая были уни-
чтожены. Третья книга содержит историю вопро-
са удвоения куба и трисекции угла с оригиналь-
ным решением первой задачи. Здесь же даны при-
меры построения треугольников и параллелограм-
мов со сторонами большими, чем стороны данных
фигур, но меньшими по площади, в заключение
приводится построение пяти правильных фигур,
вписанных в данный шар.
В четвертой книге можно найти интересное, по
определению самого Паппа, обобщение теоремы
Пифагора:
Если на сторонах АВ и АС треугольника АВС по-
строить произвольные параллелограммы ABDE
и ACFG, продлить стороны DE и FG до их пересе-
чения в точке К, соединить точки К и А, провести
линии ВН и CJ, параллельные КА, то площадь по-
лученного параллелограмма BCJH будет равна сум-
ме площадей параллелограммов ABDE и ACFG.
Пятая книга посвящена проблемам изометрических
фигур, то есть фигур с равными периметрами. Во
вступлении к этой книге, написанном прекрасным
литературным языком, автор, наряду с формули-
ровкой проблем, приводит господствовавшие в его 24
время наивные философские представления. Итак,
„пчелы не складывают мед куда придется, но,
собрав нектар с красивейших цветков, сначала
строят сосуды, все равные между собой и взаимно
прилегающие. Однако только три правильные фи-
гуры: треугольник, квадрат и шестиугольник, мо-
гут отвечать этим условиям. Пчелы избрали фи-
гуру с наибольшим количеством углов, так как
пришли к выводу, что в них поместится больше
меду, чем в других, при равном расходовании ма-
териала. Мы же, отличаясь большим умом, чем
пчелы, займемся общим доказательством того, что
из всех фигур на плоскости, имеющих одинако-
вый периметр, наибольшую площадь имеет фигура
с наибольшим количеством углов, а из всех фигур
на плоскости, Наибольшую площадь имеет круг...”
Папп отмечает также, что философы считали
Землю шаром, „великолепнейшим” и наибольшим
телом из всех других тел с равной площадью, но
не доказали, что объем шара больше всякого пра-
вильного многогранника с площадью, одинаковой
с шаром.
Шестая книга содержит астрономические пробле-
мы, связанные с геометрией. С исторической точ-
ки зрения важнейшей является седьмая книга,
в которой Папп занимается, в частности, анализом
и синтезом учения древних и иллюстрирует при-
меняемые методы примерами из утерянных тру-
дов древних математиков. Папп дал начало алгеб-
раическим обозначениям.
Последняя книга „Математического собрания”
Паппа посвящена вопросам механики.
Другие работы Паппа, как например „Chorogra-
phia mathemathike”, утеряны.
Папп принадлежит к числу последних великих
греческих геометров. После его трудов, в Алексан-
дрии уже не появлялись сколько-нибудь значи-
тельные математические труды, а лишь коммен-
ХОРЕЗМИ МУХАМЕД
БЕН МУСА
(около 800 года н. э.)
тарии к прежним трудам. Среди комментаторов
почетное место принадлежит Гипатии, героине
многих повестей, философу, математику, астро-
ному и врачу. Она является автором утерянных
комментариев к произведениям Диофанта и Апол-
лония. Гипатия была профессором платоновской
философии в Александрии, где имела широкие
связи в избранном обществе. Епископ Синеский
называл ее „матерью, сестрой и уважаемым учи-
телем”. Несмотря на это, будучи язычницей, Гипа-
тия погибла как жертва фанатизма христиан.
Уничтожена была и известная Александрийская
академия, являвшаяся наследием языческой гре-
ческой культуры. Еще некоторое время работала
Платоновская академия в Афинах, откуда вышел
Прокл, автор комментариев к Эвклиду и Евде-
му, он же оставил сообщение о работах Гиппокра-
та. Но и эта Академия, последний форпост древ-
негреческой культуры, была закрыта в 529 году
по приказу императора Юстиниана.
В период с IX по XV век мировым центром
наук стала Средняя Азия, подарившая миру
многочисленных ученых, писавших на арабском
языке, поскольку Средняя Азия входила тогда
в состав арабского халифата. Их труды оказали
большое влияние на развитие европейской науки
и науки Ближнего и Среднего Востока.
К числу знаменитых ученых того времени при-
надлежит Хорезми Мухамед бен Муса. Родился
он на территории нынешнего Узбекистана в Хорез-
ме, нынешней Хиве, около 800 года н. э. Значи-
тельную часть своей жизни Хорезми Мухамед бен
Муса провел при дворе багдадского калифа Аль
Мамуна, крупного покровителя наук. Здесь Муха- 26
мед написал многочисленные труды по астрономии
и математике.
В мировой науке Мухамед бен Муса известен
в особенности своим трактатом по математике
„О числах и действиях с ними”, переведенном
с арабского на латинский язык в XII веке. Благо-
даря этому переводу, европейские ученые впервые
познакомились с индийско-арабским способом сче-
та, так называемым десятичным позиционным.
С этого времени „арабские” цифры навсегда вошли
в европейскую и мировую математику.
Второй трактат бен Муса — учебник математики,
выпущенный им под заглавием „Китаб аль-джебр
валь мукабала” около 830 года, посвящен в основ-
ном решению уравнений первой и второй степени.
В этом трактате Мухамед бен Муса широко поль-
зуется примерами из повседневной жизни того
времени, то есть проводит купеческие счета, де-
ление наследства и т. д.
Метод решения уравнений, которым пользуется
Мухамед бен Муса, заключается в двух операциях.
Первая операция, которую он называет „аль-
джебр”, то есть восстановление, состоит в устра-
нении из уравнения отрицательных величин,
путем добавления по обеим сторонам уравнения
выражений, противоположных данным отрица-
тельным величинам. Вторая операция, носящая
название „валь-мукабала”, то есть противопостав-
ление, сводится к сокращению подобных членов,
но так, чтобы не появлялись отрицательные вели-
чины. Благодаря указанным операциям, любое
уравнение первой и второй степени можно приве-
сти к одному из шести видов уравнений, указан-
ных автором.
Мухамед бен-Муса дал описательные методы ре-
шения всех уравнений от 1 до 6, которые, если их
изобразить современными методами алгебраиче-
ской символики, дают всем известные формулы
корней уравнений.
Мухамед бен Муса, кроме чисто алгебраических
методов решения уравнений, часто пользовался
геометрическим методом, который заключается
в сравнении площадей, являющихся геометриче-
ским соответствием членов уравнения. Поясним
это на примере решения уравнения а?2 + ах = Ъ.
Обозначим площадь квадрата буквой S, который
делим, как это показано рядом на чертеже. Из чер-
тежа видно, что
/ fj\2 fl fT^
S = х2 + 4I-) + 4-х = (х2 + ах) + —
Но по условию х2 + ах = Ъ, значит
S = ь + 4
Но S равно площади квадрата со стороной х -|- 2—
[ . а\2
Отсюда S = ^х -f- 2^}
Таким образом lx j = 6 ~
Отсюда х 2 * | ' 4
(следует учитывать, что отрицательные величи-
ны в то время не были известны, и поэтому в ре-
шении приведен только один корень). 28
Имя Хорезми, в его латинизированной форме Ал-
хорезми, увековечено в повсеместно известном ма-
тематическом термине алгоритм. Алгоритм — это
несколько измененная форма имени Алхорезми,
под влиянием греческого слова „аритмос” — число.
Первоначально словом алгоритм называли пра-
вила четырех арифметических действий, при де-
сятичной системе исчисления. Позднее понятие
алгоритма было расширено. Теперь алгоритмом на-
зываем правила решения данной типичной ма-
тематической задачи, например, алгоритм извлече-
ния квадратного корня. .
С именем Хорезми бен Мусы связано и другое
важнейшее математическое понятие — алгебра.
Алгебра — это латинизированное название опера-
ции „аль-джебр”, применявшейся Хорезми Муха-
мед бен Мусой при решении уравнений.
В своих математических трудах Хорезми бен Муса
дал начало новому разделу математики — алгебре.
Научное наследие Хорезми оказало большое влия-
ние на развитие математики и других наук и проч-
но вошло в сокровищницу человеческой куль-
туры.
Зразм Витело принадлежит к числу интересней-
ших, окруженных легендой ученых. Это пер-
вый математик и вообще первый ученый, родив-
шийся на польской земле. Точная дата его рожде-
ния и смерти не известна, но есть основания су-
дить, что родился Витело между 1220—1230 го-
дами около Вроцлава. Витело был сыном польки
и выходца из Германии, туринга, поселившегося
в Польше во времена Болеслава Стыдливого.
Учился Витело в иностранных университетах.
29 Около 1253 года он обучался в Париже. После
ЭРАЗМ ВИТЕЛО
[1225 (?) — 1290 (?)]
возвращения в Силезию, он несколько лет работал
учителем, вероятно в Легницкой школе.
В течение 1262—1268 годов Витело находился
в Падуе, где изучал каноническое право, филосо-
фию и точные науки. В письме из Падуи Витело
подписался Витело Плебанус — отсюда предпо-
ложение, что он готовился стать духовным лицом.
Около 1269 года Витело познакомился с папским
исповедником и выехал в Рим, где находился при
дворе папы Климента IV. В Риме Витело зани-
мался в основном математикой.
Сведения о Витело, дощедшие до нас, чрезвы-
чайно скудны, в них полно домыслов и противоре-
чивых данных, которые трудно проверить. Напри-
мер, в 1810 году профессор Краковского универ-
ситета Юзеф Солтыкевич высказал предположе-
ние, что фамилия Витело происходит от латинизи-
рованной формы его настоящей фамилии Циолек
(телок, теленок — по-латыни „Вителлус”). Это
предположение получило столь широкое распро-
странение, что его можно найти даже во многих
энциклопедиях, хотя нет никаких данных, под-
тверждающих его справедливость. Трудно также
проверить (есть только догадки); вернулся ли Ви-
тело после окончания обучения в Польшу, или нет.
Отсюда можно было бы сделать вывод, что связи
Витело с Польшей довольно слабы. Но сам Витело
считал себя поляком, о чем ясно сказал в X книге
„Оптики”:
„На нашей земле, а именно в Польше, которая на-
ходится на 50 градусе широты”.
Нет точных данных и о месте смерти Витело. Умер
он, вероятно, около 1290 года.
Витело во время пребывания в Риме написал по-
латыни две книги, из которых первая „Выводы
из Начал Эвклида”, содержавшая все геометриче-
ские теоремы, открытые после Эвклида, к сожале-
нию, утеряна. 30
Второе произведение Витело — это трактат об
оптике в десяти книгах, полное заглавие которого
можно перевести так: „Ученого математика Вите-
ло рассуждения об оптике, то есть о существе, при-
чине и падении лучей зрения, света, красок
и форм, обыкновенно называемой перспективой,
десять книг”. Трактат был издан в 1272 году в Ба-
зеле.
Первая книга содержит теоремы и математические
доказательства их (в том числе оригинальные
теоремы Витело), нашедшие затем применение
в трактате Витело об оптике. В истории науки
трактат Витело сыграл крупную роль; с него мно-
го раз снимали копии, переписывали и переиздава-
ли, часто под кратким заглавием „Оптика” или
„Перспектива”. Достойно внимания то, что, хотя
трактат и не содержал каких-либо новых идей, он
все же стал основным трудом по оптике — учеб-
ным пособием, которым пользовались многие вы-
дающиеся ученые, такие например, как Коперник,
Кеплер, Региомонтан.
Кеплер, четыреста лет после выхода в свет „Опти-
ки” Витело, один из своих трактатов по оптике
скромно назвал „Ad Vitellonem Paralipomena”, то
есть „Дополнения к Витело”. Заслуги Витело в об-
ласти оптики настолько известны, что один из
лунных кратеров назван его именем.
Несмотря на то, что достижения Витело в мате-
матике не так велики, как в оптике, они все же
заслуживают внимания.
Витело принадлежал к тому небольшому кругу
ученых, которые в его время занимались линиями
второго и высшего порядков. Для их вычерчива-
ния Витело изобрел даже соответствующий при-
бор. Витело прекрасно знал тригонометрию и при-
менял ее в своих исследованиях по оптике. Сле-
дует обратить внимание на то, что деятельность
31 Витело приходится на вторую половину ХШ века,
когда в польских школах обучение математике
сводилось только к пониманию календаря и основ-
ных небесных явлений. И только лишь в уни-
верситетах студенты учили наизусть, без вся-
ких доказательств, теоремы из эвклидовых „На-
чал”.
ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО
(1501—1576)
С тех пор как центр итальянской научной мы-
сли переместился в северные города Италии:
Геную, Пизу, Венецию, Милан и Болонью, кото-
рые к тому времени стали крупными торговыми
центрами, в истории математики стали происхо-
дить события, позволившие ей выйти из заколдо-
ванного круга понятий и идей, стоявших в центре
внимания греков и арабов. События эти связаны
с творчеством математиков Болонского универси-
тета, ставшего в XVI веке одним из крупнейших
и самых знаменитых университетов Европы,
а именно Сципиона Даль Ферро, Никколо Тарталия
и Джероламо (Джеронимо) Кардано. Одним из
таких событий следует считать решение кубиче-
ского уравнения. Вопреки пессимистическим пред-
сказаниям, Сципиону Даль Ферро удалось после
многих трудов найти общее решение этого уравне-
ния, что вскоре было подтверждено работами Тар-
талио. Они, однако, не опубликовали результатов
своих трудов. Сделал это врач, физик и математик
Джероламо Кардано.
Кардано родился в 1501 году в Павии в семье вы-
дающегося врача и юриста Бонифация Кардано.
До двенадцатилетнего возраста Джероламо учился
под руководством своего отца, после чего посту-
пил в университет, сначала в Павии, потом в Па-
дуе. В 1524 году в Падуе Джероламо получил
степень доктора медицины. 32
Вскоре Кардано стал пользоваться большой изве-
стностью как врач. Слава его была столь
велика, что шотландский епископ Гамильтон
пригласил Кардано в Англию, чтобы пройти у него
курс лечения. С 1534 года Кардано начал чтение
лекций по математике и медицине в Миланском
университете. Одиннадцать лет спустя он издал
свой значительный труд по математике, озаглавь
ленный „Artis тадпае sive de regulis algebraicis
liber unus”. В этой книге Кардано поместил ре-
шение кубического уравнения, что стало предме-
~~ том спора с Тарталио, который оспаривал свое пер-
венство и обвинял Кардано в плагиате. Кроме то-
го, в этой работе Кардано поместил найденный его
учеником Лодовико Феррари метод преобразова-
ния уравнения четвертой степени в кубическое
уравнение. Именно этот труд обусловил выдающе-
еся место Кардано в истории развития математики.
Но это был не единственный труд Кардано. Его кни-
га „Liber de ludo aleae” посвящена азартным играм,
и в ней Кардано дал первый систематический
подсчет вероятности, притом на столетие раньше
Паскаля и Ферма! Кроме того, Кардано опублико-
вал несколько трудов по физике и философии.
Наиболее известный из них „De subtilitate rerum-
является собранием сведений о физических опы-
тах, изобилует остроумными анекдотами, благо-
даря чему пользовался большим успехом. На скло-
не лет на Кардано обрушилось много несчастий.
В 1546 году он овдовел. В 1560 году его любимый
сын, 26-летний Джованни, тоже врач, был казнен
за отравление своей жены. Наконец в 1570 году сам
Кардано был арестован по обвинению в ереси. Хо-
тя ему и удалось доказать свою невиновность, но
восстановить свое положение в обществе он не
смог.
Кардано, после написания автобиографии, умер
33 в Риме в 1576 году.
9
формула Кардано x3+p.xtq=O
ФРАНСУА ВИЕТ
(1540^-1603)
Несмотря на то, что Франсуа Виет был по обра-
зованию и специальности юристом, он отличался
любовью к точным наукам и способностями к ма-
тематике. Будучи совсем молодым офицером, он
путем математических рассуждений нашел ключ
к шифру, которым пользовался испанский король
Филипп П при переписке. Благодаря этому фран-
4цузы могли расшифровать все секретные испан-
ские документы.
Шифр состоял из 500 символов, и король Филипп
II был совершенно уверен, что никто в мире не
сумеет его прочесть. Поэтому, когда он узнал,
что французы читают его переписку, он обратился
к римскому папе с жалобой на то, что францу-
зы прибегают к колдовским ухищрениям в борь-
бе с ним. 5
Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Пуа-
тоне близ Фонтеней-ле-Конт. Окончив юридиче-
ский факультет, он некоторое время работал ад-
вокатом в , родном городе. После восшествия на
престол Генриха IV, Виет в 1589 году стал совет-
ником парламента в Тур, а позднее был назначен
первым советником короля.
Заинтересовавшись астрономией, Виет был вы-
нужден заняться тригонометрией и алгеброй.
Правда, еще до него в алгебре уже получила не-
которое развитие символика, и были известны
способы решения уравнений третьей и четвертой
степени в радикалах, но именно Виет дал в своих
трудах основы общей теории алгебраических урав-
нений, почему и получил почетное имя отца совре-
менной алгебры. Виет первый ввел буквенные
обозначения не только для неизвестных (что
иногда делали его предшественники), но и для
данных величин, то есть для коэффициентов
уравнений.
Поэтому, благодаря трудам Виета открылась
возможность выражения свойств уравнений и их
корней общими формулами. Виет нашел общие
методы решений уравнений второй, третьей и чет-
вертой степени, унифицировал методы, найденные
раннее Ферро и Феррари, а также вывел общеиз-
вестные теперь формулы суммы и произведе-
ния корней квадратного уравнения (формулы
Виета).
Все свои математические труды Виет опублико-
вал в 1591 году в книге „Isagoge in artem analiti-
cam”.
Второе сочинение Виета „Recensio сапопгса effec-
tionum geometricarum” стало основанием для той
отрасли математики, которую теперь называют
аналитической геометрией. В тригонометрии Виет
нашел полное решение плоского и сферического
треугольников по трем данным элементам. Нашел
также очень важное разложение величин cos пх
и sin пх в ряд по степеням cos х и sin х. Виет
первый из математиков рассмотрел бесконечное
произведение и показал, что пределом следующе-
го бесконечного произведения:
+ с s=0
b
С
'^2- —
z а
является 2/П.
Виет за свой счет опубликовал множество трудов,
свидетельствующих о всесторонности его знаний,
и рассылал их в университеты почти всех евро-
пейских стран. Однако его работы были написаны
столь трудным для понимания математическим
языком, что не нашли такого распространения, ко-
торого заслуживали.
Спустя 40 лет после смерти Франсуа Виета его про-
изведения были изданы Ф. ван Схотеном под об-
щим заглавием „Opera mathematica”.
35
РЕНЕ ДЕКАРТ
(1596—1650)
Рене Декарт больше известен как великий фило-
соф, чем математик. Но именно он был пионером
современной математики, и его заслуги в этой об-
ласти столь велики, что он по справедливости вхо-
дит в число великих математиков современности.
О жизни Декарта, известного также под латинизи-
рованным именем Картезия (отсюда картезиан-
ство), мы знаем немного.
Родился Декарт во Франции, в небольшом городке
Лаэ, в департаменте Турень. После окончания
иезуитского коллежа для сыновой аристократиче-
ских семейств, он по примеру своего брата стал
изучать правоведение. В 22-летнем возрасте
уехал из Франции и в качестве офицера-добро-
вольца служил в войсках разных военачальников,
участвовавших в тринадцатилетней войне. Во вре-
мя войны ему приходилось бывать в Австрии, Вен-
грии и на территории нынешней Чехословакии.
Декарт в своем философском учении развивал
идею о всемогуществе человеческого разума, и по-
этому преследовался католической церковью.
Желая найти убежище для спокойной работы по
философии и математике, которыми он интересо-
вался с детства, Декарт в 1629 году поселился
в Голландии, где прожил почти до конца жизни.
В одном из писем Декарт так описывал свое пре-
бывание в Голландии: „Здесь все, кроме меня, так
заняты своими делами и доходами, что можно
прожить всю жизнь, и никто вами не заинтересу-
ется... В какой другой стране можно пользоваться
большей свободой, где можно спать с большим
спокойствием, чем здесь, где яд, предательство,
клевета распространены значительно меньше, чем
В других странах...”
Все крупные произведения Декарта по философии,
математике, физике, космологии и физиологии
написаны им в Голландии.
Математические труды Декарта собраны в его 36
книге „Геометрия” (1637). В „Геометрии” Декарт
дал основы аналитической геометрии и алгебры.
Декарт первый ввел в математику понятие пере-
менной функции. Он обратил внимание на то, что
кривая на плоскости характеризуется уравнением,
обладающим тем свойством, что координаты лю-
бой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют
данному уравнению. Он разделил кривые, задан-
ные алгебраическим уравнением, на классы в за-
висимости от наибольшей степени неизвестной ве-
личины в уравнении. Декарт ввел в математику
знаки плюс и минус для обозначения положитель-
ных и отрицательных величин, обозначение сте-
пени (а? • а?) = х2 и знак оо для обозначения беско-
нечно большой величины. Для переменных и не-
известных величин Декарт принял обозначения
х, у, z,..., а для величин известных и постоянных —
а, Ъ, с,...; как известно, эти обозначения применя-
ются в математике до сегодняшнего дня.
Декарт положил начало исследованию алгебраиче-
ских уравнений. В частности, он установил, что
число действительных и мнимых корней алгебраи-
ческого уравнения равняется степени неизвестно-
го. Это является важнейшей теоремой алгебры,
доказанной значительно позднее Гауссом. Извест-
но также правило Декарта относительно числа
положительных корней уравнения с действитель-
ными коэффициентами, согласно которому это
число равно (или меньше на четное число)
количеству изменения знаков в последова-
тельности коэффициентов ao,ai,..., щ уравнения
а0т4 4- а^~14- — 4" а4-1 х 4- а4 = 0 (а0 4= 0, ап =£0).
Позднее, на основе математических достижений
Декарта, благодаря Лейбницу и Ньютону, были
разработаны принципы дифференциального исчи-
3» сления.
Прямоугольная система ноордина!
Декарта
у ‘‘
I
I
I
Несмотря на то, что в области аналитической гео-
метрии Декарт продвинулся не очень далеко, его
труды оказали решающее влияние на дальнейшее
развитие математики. На протяжении 150 лет ма-
тематика развивалась путями, предначертанными
Декартом.
ПЬЕР ФЕРМА
(1601—1665)
Французский математик, юрист по профессии,
Пьер Ферма родился в Бомон-де-Ломань близ
Бомон в 1601 году, в мещанской семье. Окончил
юридический факультет университета в Тулузе,
после чего, начиная с 1631 года, был советником
парламента в этом городе. Хотя Ферма посвящал
математике только свободное от остальных заня-
тий время, он превосходно изучил не только совре-
менную ему математику, но и творения древних.
Ферма получил известность благодаря своим тру-
дам по теории чисел. В 1638 году открыл метод
нахождения экстремумов алгебраических функ-
ций. Ферма — один из видных предшественников
Ньютона и Лейбница в области дифференциаль-
ного и интегрального исчислений. Повсеместно
считают, что творцом аналитической геометрии,
метод которой заключается в введении понятия
систем координат и применении алгебраических
уравнений для исследования свойств геометриче-
ских фигур, был Рене Декарт. Оказывается, что
еще в 1636 году Ферма в своей работе, которую он
не напечатал, так как не любил это делать, ввел
прямоугольную систему координат и доказал, что
уравнения первой степени соответствуют прямым,
а второй — эллипсам, гиперболам, параболам
и другим кривым, получаемым при сечении кону-
са плоскостями (так называемые конические сече-
38
ния). Чтобы облегчить анализ алгебраических
уравнений первой и второй степеней, Ферма ши-
роко пользовался методом переноса и поворота
осей координат, что позволило получать простей-
шие, так называемые канонические формы урав-
нений кривых, геометрические свойства которых
он изучал.
Труды Ферма по аналитической геометрии бы-
ли следствием интереса, проявленного Ферма
к работам древних математиков, в частности,
к работам Аполлония о геометрическом месте
точек.
В 1621 году были переведены на латинский язык
труды Диофанта, одного из творцов древнегрече-
ской теории чисел. Ферма, как утверждают, зани-
мался чтением математических книг для развле-
чения и привык писать свои замечания на полях.
Он поместил на полях многих книг ряд своих соб-
ственных теорем, не заботясь об их доказатель-
стве. Так возникла известная теорема Ферма, от-
носящаяся к пифагорейским числам (3, 4, 5);
(6, 8, 10); (9, 12, 15) и т. д., отвечающих уравнению
а2 + Ь2 = с2. Ферма задался вопросом, можно ли
решить уравнение хп + уп = zn в натуральных
числах для п = 3, 4, 5. На полях одной из книг
Ферма написал, что никакое натуральное число
п > 2 не удовлетворяет этому уравнению и что он,
Ферма, нашел удивительное доказательство, ко-
торое однако слишком длинно и не умещается на
полях. После смерти Ферма, его сын напечатал
в 1670 году заметки и письма своего отца, в том
числе заметку об уравнении ап + Ъп = сп. Многие
математики пытались найти доказательство спра-
ведливости утверждения Ферма, но безуспешно.
Пауль Волфскел, врач и математик из Дарм-
штадта, завещал в 1907 году Королевской Акаде-
мии Наук в Геттингене 100 000 марок в качестве
39 премии тому из участников конкурса, расписанно-
Имеег ли уравнение л"^у',°г”
для п=3,4,5... решение
в натуральные числах?
го Академией, который найдет доказательство
правильности теоремы Ферма. К сожалению, пра-
вильность этого утверждения Ферма не доказана
до сегодняшнего дня для всех п > 2, хотя для не-
которых величин п такие доказательства уже най-
дены. Тем временем девальвация германской мар-
ки после первой мировой войны совершенно обе-
сценила награду, но сама постановка задачи и по-
пытки ее решения во многих отношениях продви-
нули вперед теорию чисел.
Важнейшие результаты были получены Кумме-
ром и Вандивером; этот последний доказал вели-
кую теорему Ферма длй п < 4003.
Широкую известность получила и малая теорема
Ферма: если р — простое число и а — целое число,
не делящееся на р, то аР~1 при делении на р дает
в остатке 1. .
Свою малую теорию Ферма привел в письме, на-
писанном в 1640 году. Ферма наряду с Паскалем
положил начало математической теории вероят-
ностей. Этому помог, в частности, некий Шевалье
Де-Мере, посвятивший множество времени азарт-
ным играм; желая найти лучший метод игры, Ше-
валье Де-Мере обратился за помощью к Паскалю
по вопросу „probleme des pointes”. В корреспон-
денции с Ферма Паскаль затронул этот вопрос,
и, таким образом, началось сотрудничество двух
великих ученых в развитии теории вероятностей,
закончившееся установлением в 1654 году ее
основ.
Ферма интересовался применением дифферен-
циального исчисления для решения задач по опти-
ке. Известен принцип Ферма, согласно которому
действительный путь распространения света из
одной точки, например, А в другую В есть тот
путь» для прохождения которого свету требуется
минимальное время. Этот принцип имеет большое
значение при подборе системы линз. Этим вопро- 40
сом занимался полторы тысячи лет тому назад Ге-
рон из Александрии, но Ферма дополнил его ис-
следования и привел доказательства.
Кроме того, Ферма занимался воцросом нахожде-
ния некоего общего принципа, объединяющего
законы Вселенной.
Умер Ферма в Кастре в 1665 году.
Знаменитый французский математик, физик
и философ Блез Паскаль родился 19 июня
1623 года в городе Клермон-Ферран. Уже в дет-
стве Паскаль отличался необыкновенными спо-
собностями. Поэтому его отец, человек образован-
ный, желая облегчить сыну учение, переехал в Па-
риж. Нет .Никакого сомнения, что интерес молодого
Паскаля к точным наукам возник под влиянием
присутствия его на ученых собраниях, организуе-
мых его отцом. В частности, на этих собраниях
неоднократно рассматривались математические
проблемы. Несмотря на то, что спустя некоторое
время отец, опасаясь вредного влияния умствен-
ной перегрузки на способности сына, запретил
ему посещать эти собрания и пользоваться ли-
тературой по математике, двенадцатилетний Блез
Паскаль стал автором многих теорем эвклидовой
геометрии. С этого времени он получил возмож-
ность беспрепятственно заниматься математикой.
Результатов долго ждать не пришлось. Всего лишь
в возрасте шестнадцати лет Паскаль Написал
трактат „Опыт теории конических сечений”. Тогда
же он изобрел автоматические счеты для выполне-
ния четырех арифметических действий. Паскаль
интересовался не только геометрией, он написал
41 ряд работ по теоретической арифметике и алгебре.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
(1623—1662)
п-0 1
п-1 11
п-2 12 1
п-3 13 3 1
п-4 1 4 6 4 1
п-5 1 5 10 Ю 5 1
Треугольник Паскаля позволяющий
легко и просто найти коэффициенты
разложения выражения (а+Ь)п
Паскаль нашел способ вычисления биноминаль-
ных коэффициентов, заключающийся в следую-
щем: при разложении бинома Ньютона n-ой степе-
ни коэффициенты располагаются внутри так на-
зываемого арифметического треугольника, в кото-
ром каждое число является суммой двух чисел, на-
ходящихся непосредственно над ним, с обеих его
сторон. Этому вопросу Паскаль посвятил спе-
циальный труд, появившийся в свет уже после
его смерти. Арифметический треугольник этого
типа часто называют треугольником Паскаля. Сле-
дует заметить, что этот треугольник был изве-
стен (начальные строки) в Китае уже в начале
XIV века. Паскаль работал также над созданием
основ теории вероятностей и, частично, дифферен-
циального исчисления. Паскаль известен не только
как корифей математических знаний; ему при-
надлежат также важные труды по физике и фи-
лософии. В своих работах по физике Паскаль
подтвердил предположение Э. Торричелли о том,
что давление воздуха на вершинах гор мень-
ше, чем у подножия. Это предположение было
практически проверено его шурином. Открытие
этого факта имело большое значение для метеоро-
логии.
Кроме того, Паскаль открыл закон, получивший
его имя (закон Паскаля), о том, что давление на
поверхность жидкости передается равномерно вну-
три жидкости во всех направлениях.
В философии Паскаль был сторонником янсениз-
ма — реформаторского философского течения
среди французских католиков, направленного,
в основном, против ордена иезуитов. Из философ-
ских произведений Паскаля наибольшую извест-
ность получил трактат „Мысли”, который до сих
пор, наряду с „Откровениями святого Августина”,
считается классическим произведением религиоз-
ной литературы. 42
Паскаль был человеком слабого здоровья, почти,
всю свою жизнь он болел. В 1646 году его разбил
паралич, он потерял способность ходить и жил
в уединении. Вел аскетический образ жизни.
Блез Паскаль умер 19 августа 1662 года в возрасте
39 лет.
Великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм
Лейбниц родился 1 июля 1646 года в городе
Лейпциге. Его отец — юрист и профессор фило-
софии Лейпцигского университета, умер тогда,
когда Готфриду было всего лишь шесть лет. Сре-
да, в которой родился и рос Лейбниц, оказала
большое влияние на развитие интереса к науке
у молодого человека. Он обучался в Йенском
и Лейпцигском университетах, причем в первом из
них он слушал лекции по философии и математи-
ке профессора Вейгля.
Первоначально Лейбниц интересовался только
лишь юриспруденцией и философией. В 1666 году
он получил звание доктора юридических наук. По-
лезно отметить, что труды Лейбница, написанные
в 1664, 1665 и 1666 годах, были совершенно доста-
точны для того, чтобы присвоить Лейбницу доктор-
ское звание, но ему в этом было отказано по мо-
лодости лет. Лейбниц не принял предложения
руководить кафедрой, так как не интересовался
педагогической деятельностью. Зато он с удоволь-
ствием посвящал свое время политической дея-
тельности. Во время своих многочисленных поез-
док в столицы различных европейских государств,
он знакомился с выдающимися политическими
и научными деятелями, что делал охотно, так как
наряду с дипломатической деятельностью усилен-
но занимался наукой.
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ
ЛЕЙБНИЦ
(1646—1716)
В учебниках по истории философии нередко мож-
но встретить утверждение, что Лейбниц был преж-
де всего философом, но с таким же правом можно
утверждать, что он был математиком. Первые его
математические труды были написаны в 1668
и 1671 годах. Математическое образование Лейбниц
получил в Париже и Лондоне. В Париже Лейбниц
встречался и дискутировал с Гюйгенсом и скон-
струировал счетную машину, что обратило на
Лейбница внимание ученых. Однако, в это время
Лейбниц занимался прежде всего изучением до-
стижений современной ему математики, что по его
мнению было необходимо, так как он считал, что
в 27 лет его математические сведения были со-
вершенно ничтожны. Это не помешало Лейбницу
в ближайшее время стать соавтором создателя
дифференциального и интегрального исчислений.
Пожалуй, нет нужды обосновывать важность от-
крытий Лейбница в этой области для развития ма-
тематики и естествознания. Создание дифферен-
циального и интегрального исчислений является
крупнейшей заслугой Лейбница и самым большим
достижением в его жизни. Некоторые отрывочные
элементы дифференциального исчисления были
известны еше до Лейбница, например, нахождение
экстремумов или проведение касательных. Заслу-
гой Лейбница было создание полной системы поня-
тий и теорем математического анализа.
Первая работа Лейбница по дифференциальному
исчислению, насчитывавшая всего лишь 6 страниц
текста, была опубликована в 1684 году в журнале,
основанном Лейбницом, „Acta Eruditorum”. В этой
работе Лейбниц дал понятие и обозначение произ-
водной и привел (правда, без доказательств) пра-
вила дифференцирования суммы, частного, произ-
ведения, сложной функции, а также указал спосо-
бы определения экстремумов и точек перегиба.
В 1686 году он сформулировал понятие и дал 44
обозначение интеграла, а в 1695 году дал извест-
ную формулу определения производной п-го
порядка произведения.
Дифференциальное исчисление, созданное Лейб-
ницем, было практически проверено и применено
при решении многих проблем механики (например
проблемы брахистохроны). Несмотря на то, что
в трудах Лейбница были неясности и непоследо-
вательности, они положили начало плодотворному
периоду математического творчества. Учение Лейб-
ница восприняли и распространили братья Бер-
нулли и Лопиталь. Характерно, что Лейбниц не
оставил после себя работ, достойных его способно-
стей. Результаты своих исследований он печатал
в мелких статьях и сообщал в многочисленных
письмах. В частности, в письме он поместил свой
знаменитый признак сходимости знакочередую-
щихся рядов. Известный ряд Лейбница
Производная flxg) функции y=f(x)
в точке <х0
— = 1 — - I)"1—-—h .
4 3'5 7 “Г --TV V 2п— Г'
открыт им в 1673 году. Это первый ряд, дающий
точное разложение числа П. Заслуживают вни-
мания и достижения Лейбница в области логики;
он предвосхитил некоторые моменты математиче-
ской логики. В XIX веке идеи Лейбница стали ис-
ходной точкой современной математической ло-
гики.
В научном наследии Лейбница важным элемен-
том была его математическая символика. Именно
Лейбниц является создателем современной симво-
лики дифференциального и интегрального исчи-
слений. Делу символики Лейбниц придавал очень
большое значение и применял определенные сим-
волы вполне сознательно. „Следует озаботиться
тем, — писал Лейбниц, — чтобы математические
45 знаки были удобными для открытий”. Лейбниц дал
символы дифференциала dx, d2 х, d3 х, интеграла
равенства =; Лейбницу принадлежат также тер-
мины „функция”, „координаты” и введение двой-
ных индексов при записи коэффициентов неизве-
стных в уравнении из системы уравнений. (Писал
ЗС, т. е. Сз, 1С, т. е. Cj, 10 + 11х + 12?/ = 0,
т. е. Лю + Ацх + = 0). Удачный выбор сим-
волов особенно ясно виден на примере символа для
операции интегрирования: fydx; в этом символе
не только отражена подынтегральная функция
и переменная интегрирования, но и сам процесс
операции интегрирования.
Судьба сыграла с этим великим человеком злую
шутку. Несмотря на огромное миролюбие Лейбни-
ца и его постоянное стремление к согласованию
спорных взглядов, в последние годы своей жизни
он был вовлечен в спор с Ньютоном о первенстве
в деле создания дифференциального исчисления.
Этот спор был чрезвычайно раздут сторонниками
обоих ученых. А правда состояла, пожалуй, в том,
что первые результаты получил действительно
Ньютон, а Лейбниц пришел к открытию собствен-
ным путем и совершенно самостоятельно при ре-
шении вопроса о нахождении касательной к кри-
вой. Кроме того, результаты Лейбница стали из-
вестны ученым раньше, так как были раньше
опубликованы.
Дифференциальное исчисление по Лейбницу от-
личалось более удачной символикой и составило
самостоятельный раздел математики; тогда как
у Ньютона оно было только средством решения
задач по механике. Следует однако отметить, что
в 1663 и в 1666 годах Лейбниц был в Лондоне
и познакомился там с Ньютоном.
У помяну тыц спор с Ньютоном отравил остаток
жизни Лейбница. Умер он 14 ноября 1716 года
в Гановере. За его гробом шел только один его
верный друг. 46
Берлинская Академия Наук (основателем которой
в 1700 году был Лейбниц) и Королевское обще-
ство в Лондоне (членом которого Лейбниц состоял
с 1673 года) тенденциозно умолчали о смерти вели-
кого ученого.
Восемь братьев Бернулли вписали свое имя в ис-
торию математики, но самыми известными из
них стали три брата: Якоб, Иоганн и Даниил.
Якоб родился в Базеле, куда семья Бернулли
приехала из Голландии в XVI веке. Значительное
влияние на развитие науки в Базеле оказывали
в то время представители купечества, к которому
принадлежала также семья Бернулли. По жела-
нию отца Якоб изучал теологию, но интересовался
он математикой, изучению которой посвящал мно-
го времени. Свое математическое образование он
дополнил впоследствии в Голландии, Англии
и Франции. После возвращения из путешествия
в эти страны он полностью посвятил себя матема-
тике и астрономии. Два трактата по астрономии,
опубликованные им, не принесли ему, однако,
ожидаемой славы.
В жизни Якоба 1687 год стал переломным; именно
в этом году он возглавил кафедру математики Ба-
зельского университета и начал плодотворную
корреспонденцию с Лейбницом. Как известно, пер-
вая работа Лейбница, посвященная дифферен-
циальному исчислению, появилась в 1684 году;
Якоб Бернулли ознакомился с ней в 1687 году;
известно также, что работа эта была написана мало
понятным языком и содержала множество типо-
графских опечаток. Поэтому Якоб написал автору
письмо с просьбой о разъяснении неточностей.
47 Лейбниц получил это письмо только лишь в 1690
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ
(1654—1705)
году. По этой причине Якобу пришдось почти са-
мостоятельно освоить дифференциальное Исчисле-
ние Лейбница. Тем более ценным следует счи-
тать решение им в 1690 году изопериметрической
задачи Лейбница, поставленной в 1687 году. (Задача
состоит в нахождении кривой, по которой свобод-
но падающее тело в равные отрезки времени про-
ходит равную высоту). Изометрическая кривая
оказалась полукубической параболой. Одновре-
менно Якоб впервые употребил термин „интеграл”
для символа Лейбница J". Лейбниц очень быстро
ознакомился с решением Якоба Бернулли, по-
скольку оно было опубликовано в „Acta Erudito-
гит”, где, как известно, Лейбниц печатал и свои
труды. Поэтому нет ничего удивительного, что,
отвечая на письмо Якоба от 1687 года, Лейбниц
предложил Бернулли сотрудничество. Вариацион-
ное исчисление (так называют способы определе-
ния наименьших и наибольших значений функ-
ционалов, т. е. переменных величин, зависящих
от выбора одной или нескольких функций, а зна-
чениями этих функций суть действительные чи-
сла) является важной частью математического
анализа. Повсеместно и справедливо считают, что
творцом вариационного исчисления был Эйлер.
Несмотря на это, следует указать, что Бернулли
сделал большой шаг вперед в развитии вариацион-
ного исчисления, так как его работа была первой
попыткой применить дифференциальное исчисле-
ние к решению вариационных задач.
Якоб Бернулли не только решал задачи, но и сам
их ставил. (Например, задача о цепной линии). Он
очень интересовался специальными кривыми, при
их изучении он пользовался полярными координа-
тами. Особый интерес он проявил к логарифмиче-
ской спирали и открыл интересные ее свойства.
По его завещанию эта спираль начертана на над-
гробии его могилы и снабжена надписью: „Так 48
возникаю, хотя и меняюсь”. Его имя носит кривая,
известная как „лемниската Бернулли”, которая
является геометрическим местом точек (х, у),
произведение расстояния которых от двух дан-
ных точек Fi (с, о) и F2 (— с, о) есть величина по-
стоянная, равная с2. Изучая суммы вида
1™ + 2™ + Зто + ... + п™
Бернулли открыл величины, которые ныне полу-
чили название Бернуллиевых чисел.
Велики заслуги Бернулли в теории рядов. Его тру-
ды периода 1689—1704 годов стали первым руко-
водством в этой отрасли математики.
Второй раздел математики (кроме дифферен-
циального исчисления), в котором заслуги Бернул-
ли несомненны, это — теория вероятностей. Для
нужд этой теории Бернулли развил комбинатор-
ный анализ, он впервые и совершенно сознательно
наравне с вероятностью a priori, т. е. вычисленной,
применил вероятность a posteriori, т. е. вероятность
причин, вычисленную после испытаний.
В области теории вероятностей основным достиже-
нием Бернулли является доказательство закона
больших чисел, известного и теперь как „закон
Бернулли”.
Дифференциальное исчисление — трудная и утон-
ченная отрасль высшей математики. В учении
Лейбница, по которому Якоб Бернулли знакомился
с этой отраслью, она была довольно запутана и от-
личалась новизной. Поэтому необходимо было раз-
вить это учение и привлечь к нему внимание ма-
тематиков. Это можно было сделать только пу-
тем использования дифференциального исчисле-
штя для решения некоторых проблем механики
и самой математики.
Из математиков, которые первыми приступили
к выполнению этой задачи, первое место следует
49 признать Якобу Бернулли.
Лемниската Бернулли
(м2+у2)2=2с2(л2-у2)
PFpPF2=c2
•х
ИСААК НЬЮТОН
(1642—1727)
О Ньютоне, пожалуй, слышали все, и все знают,
что он был великим физиком. Действительно,
значительное развитие современной физики начи-
нается с Ньютона. О Ньютоне, как математике,
знают немногие, несмотря на то, что достижения
его в этой области столь же эпохальны, как в фи-
зике.
Ньютон родился в семье бедного фермера в Вул-
сторпе, 75 км. от Кембриджа в Англии. После окон-
чания школы он поступил в Тринити Колледж
(один из колледжей Кембриджского университета).
Там он получил степень магистра (1668). Вскоре
Ньютон получил кафедру математики и физики
в Кембриджском университете, которой руководил
тридцать два года. Первые лекции он посвятил
оптике. По словам самого Ньютона, наиболее пло-
дотворными в его научной работе были 1665
и 1666 годы.
В истории науки, пожалуй, не найти достижений,
достойных сравнения с трудами Ньютона в эти
два золотые года. Он первый (одновременно
с Лейбницем) создал основы дифференциального
и интегрального исчислений, начал работу над
своим крупным произведением об оптике „New
Theory about Light and Colours” („Новая теория
света и цветов”), создал основы теории всемирного
тяготения. Ньютон первый указал на то, что луч
белого света после прохождения через призму
расщепляется на лучи разных цветов. Его труд
по оптике вызвал горячие споры в научном мире
на тему о природе света.
Все эти гениальные идеи зародились в уме Нью-
тона во время его пребывания в родной деревне,
куда он выехал, скрываясь от эпидемии, господст-
вовавшей в Кембридже.
Крупнейшим произведением Ньютона было „Phi-
losophiae naturdlis principia mathematica” („Матема-
тические начала натуральной философии”), вы- 50
шедшее из печати в 1687 году. Ньютон дал в нем
определение трех основных принципов классиче-
ской механики и открыл закон тяготения, на осно-
ве которого разработал теорию движения планет
и объяснил много других проблем астрономии
(в частности, причину морских приливов и отли-
вов на Земле, вызываемых притяжением Луны).
Все эти достижения в физике были бы невозмо-
жны без одновременного развития математиче-
ских методов. Мы уже знаем, что Ньютон был од-
ним из создателей дифференциального и инте-
грального исчислений, принципы которых были
опубликованы в двух его трудах „De quadratlira
curvarum” („Рассуждения о квадратуре кривых”,
1704) и „The Metod of Fluxions and Infinite Series”
(„Метод флюксии и бесконечных рядов”, 1736).
В этих трудах Ньютон разработал основы мате-
матического анализа, т. е. дал решение таких во-
просов, как нахождение экстремумов функций, то-
чек перегиба, уравнений касательных к кривым,
вычисление длины кривых, площадей, ограничен-
ных кривыми, и дал методы решения простых
дифференциальных уравнений. В частности, Нью-
тон создал метод приблизительного решения урав-
нений, так называемый метод касательных (ме-
тод Ньютона). Кроме того, здесь же Ньютон дал
свою известную формулу (бином Ньютона), в ко-
торой приводится решение выражения (а + Ь)”
при любой натуральной степени п, а также много
других математических правил и теорий. В 1672
году Ньютон был избран членом Королевского
научного общества в Лондоне (Royal Society),
став позднее его председателем.
В девяностых годах XVII века Ньютон серьезно
заболел, что вызвало большую тревогу в научном
мире. Об этом свидетельствует, например, обмен
письмами таких выдающихся математиков, как
51 Лейбниц и Гюйгенс. Однако болезнь вскоре про-
шла, и в том же году Ньютон был избран членом
Академии Наук (Academie des Sciences) в Париже.
Годом позже Иоганн Бернулли разослал наибо-
лее выдающимся математикам две задачи, требу-
ющие решения, и дал для этого срок шесть месяцев.
К своему удивлению, очень скоро Бернулли полу-
чил анонимное решение. Но он догадался, что авто-
ром его мог быть только Ньютон.
К сожалению, довольно трудно определить влия-
ние научных достижений Ньютона на его современ-
ников, так как он очень поздно печатал свои труды.
Например, закон всемирного тяготения, открытый
им в 1665—1666 годах, он опубликовал спустя
двадцать лет. Трактат „Arithmetica universalis”
(„Всеобщая арифметика”), содержащий лекции по
алгебре, прочитанные им в 1663—1683 годах, он
напечатал только в 1707 году.
То же самое получилось с основами дифферен-
циального исчисления, разработанными Ньютоном.
Основы были опубликованы уже после выхода
в свет подобного труда Лейбница, несмотря на то,
что Ньютон написал свою работу на десять лет
раньше Лейбница.
Великий ученый умер в 1727 году.
Как велика была страсть Ньютона к творчеству,
его стремление к непрерывной борьбе на научном
поприще, свидетельствуют его шутливые слова:
„Наука подобна красивой, но сварливой женщи-
не. Если хочешь общаться с ней, надо беспрестан-
но ссориться”.
Выдающимся учеником и активным сотрудником
Лейбница был брат Якоба Бернулли — Иоганн.
Жил он в 1667—1748 годах. Ему была уготована
торговая карьера, но его увлечение пошло в со- 52
вершение ином направлении. Он увлекся матема-
тикой, которую стал изучать под руководством
брата Якоба, старше его на 13 лет. В 1691—1692 го-
дах Иоганн находился в Париже, где в это время
идеи Лейбница были почти совершенно неизвест-
ны. В Париже Иоганн познакомился с французским
математиком маркизом Лопиталем, для которого
он составил записку с данными об интегральном
исчислении. Эта записка представляет собой пер-
вый систематический учебник интегрального ис-
числения. Однако, записка была опубликована
только лишь в 1742 году. В своих рассуждениях
Иоганн Бернулли понимал интеграл почти по — со-
временному. В нем содержалась произвольная по-
стоянная величина; операция интегрирования бы-
ла в понимании Иоганна Бернулли операцией, об-
ратной дифференцированию.
В 1662 году Бернулли возвратился в Базель. Два
года спустя он получил здесь ученую степень
доктора медицины на основе диссертации, в кото-
рой для объяснения механического движения му-
скулатуры применил дифференциальное исчисле-
ние. Начиная с 1693 года, стал вести переписку
с Лейбницем, которая, подобно, как и коррес-
понденция его брата, послужила развитию мате-
матики. В 1695 году Иоганн Бернулли был назна-
чен профессором математики университета в Гро-
нинген в Голландии, а в 1705 году принял кафедру
математики Базельского университета, после смер-
ти своего брата Якоба.
Иоганн Бернулли был членом Петербургской Ака-
демии Наук. Достижения Иоганна Бернулли
в дифференциальном и интегральном исчисле-
ниях весьма велики и тесно связаны с работами
Якоба Бернулли и Лейбница. Важнейшим трудом
Иоганна Бернулли следует считать упомянутую
уже работу по интегральному исчислению. Совме-
53 стно с Лейбницем, Иоганн Бернулли разработал
ИОГАНН БЕРНУЛЛИ
(1667—1748)
Метод интегрирования рациональных функций
(путем разложения на простые дроби), причем он
свободно пользовался комплексными переменны-
ми. Иоганн Бернулли первым в 1718 году дал опре-
деление термина функций, хотя этот термин он
употреблял значительно раньше.
Всякий, кто знаком с математическим анализом,
знает так называемое правило Лопиталя для ра-
зыскания предела отношения двух дифференци-
рующихся функций f(x) / д(х) при Нулевых преде-
лах обеих функций, стоящих в числителе и в зна-
менателе. Метод разыскания предела этого отно-
шения разработал Бернулли, поэтому это правило
носит имя Лопиталя незаслуженно.
В 1706 году Иоганн Бернулли поставил следую-
щую задачу: на всех кривых, лежащих на верти-
кальной плоскости между точками А и В, не рас-
положенными на вертикали, найти такую, для
которой материальная точка, скользящая по ней
под влиянием силы тяжести и обладающая в на-
чальной точке А скоростью, равной С, дойдет до
точки В в кратчайшее время.
Эту кривую кратчайшего прохождения материаль-
ной точки по кривой искал уже Галилей, но назва-
ние брахистохроны дано Иоганном Бернулли. Бра-
хистохрона оказалась дугой циклоиды. Постанов-
ка этой задачи тогда, когда уже были разработаны
некоторые элементы дифференциального исчисле-
ния, имела большое значение для развития вариа-
ционного исчисления. Первое решение, данное Ио-
ганном Бернулли, базировалось на аналогии, взя-
той из оптики. В решении Якоба Бернулли
свойства, относящиеся к бесконечно малой дуге
брахистохроны, которую Иоганн взял из оптики,
были доказаны. Якоб обвинил Иоганна в неточно-
сти, с этого времени между братьями разгорелся
спор, закончившийся только со смертью Якоба.
(Спор этот касался и других вопросов, например, 54
\ изопериметрической проблемы, то есть задачи о на-
\ хождении из всех замкнутых кривых данной дли-
\ ны и без многократных точек такой, которая огра-
\ ничивает максимальную площадь. Такой кривой
\ оказался круг; в настоящее время эта проблема по-
1 нимается в более широком смысле. Вообще иссле-
дования братьев проходили в атмосфере постоян-
ного соревнования, что значительно увеличивало
Интенсивность и напряженность их работы. Это
&ыла выгодная сторона спора. Братья ставили
и решали задачи. К числу важнейших задач, с точ-
ки зрения развития математического анализа, при-
надлежит решение Иоганном Бернулли задачи
о цепной линии, поставленной его братом. Задачу
эту решили также Лейбниц и Гюйгенс. Иоганн
Бернулли и Лейбниц решили эту задачу при по-
мощи дифференциального исчисления, а Гюйгенс,
незнакомый с принципами этого исчисления, ре-
шил ее прежними методами.
Однако результат был тот же. Это стало прекра-
сным доказательством правильности и полезно-
сти новых методов.
Весьма велики заслуги Иоганна Бернулли в раз-
работке методов решения дифференциальных ура-
внений. Одно из таких уравнений носит имя Бер-
нулли. Уравнение это, поставленное Якобом, было
решено Иоганном. При интегрировании диффе-
ренциальных уравнений Бернулли применял ме-
тод интегрирующего множителя и разложения
на степенные ряды. К числу учеников Иоганна
Бернулли, кроме Лопиталя, принадлежали сын
Бернулли Даниил и гениальный математик Эй-
лер.
Достойно внимания то, что исследования и дости-
жения Иоганна Бернулли носили практический
характер, в соответствии с его тезисом, что уче-
ный должен всегда находиться „в пределах при-
55 роды”.
Дифференциальное уравнение Бернулли
~-ьрШу-щЫул=0
где а -произвольное действительное
число
АБРАХАМ ДЕ МУ АВР
(1667—1754)
8брахам де Муавр родился в 1667 году в Витри
• •во Франции. Принадлежал к семейству мелкого
французского дворянства, был протестантом.
Начиная с 1631 года приступил к изучению фи-
лософии. После упразднения Нантского эдикта
(1685 г.), желая избегнуть преследований, выехал
в Англию и здесь работал в качестве гувернера.
Был близко знаком с Ньютоном.
Де Муавр находился в Англии до конца жизни,
свои научные труды писал по-английски и считал-
ся английским математиком французского про-
исхождения. В своих трудах пользовался „Алгеб-
рой” Джона Валлиса (1685 г.) и „Основами” Ньюто-
на (1687 г.). Некоторое время он занимался флюк-
сиями Ньютона. Исследовал степенные ряды и пер-
вый пользовался возведением в степень бесконеч-
ных рядов. Занимался комбинаторным исчисле-
нием и вопросами теории вероятностей, в которых
применяется число п! (факториал обозначает про-
изведение очередных действительных чисел от 1
до п). Число п! быстро растет при увеличении п.
Уже 10! равно 3 628 800. Расчет становится тру-
доемким. Муавр нашел удобный способ расчета
приблизительной величины п!. Теперь для этой
цели используют формулу Стирлинга. В 1733 году
Муавр опубликовал работу, в которой доказал, что
для большого числа п испытаний функция нор-
мального распределения вероятности является
приближением биноминального закона (распреде-
ление Бернулли). К числу основных правил теории
вероятности причисляется правило Муавра — Ла-
пласа. В школьных учебниках алгебры приводится
знаменитая формула Муавра и ее применение:
формула Муавра
rrlcosa + isma)]n- r"[cosra t isinna]
[r (cos a + isin «)]” = rn (cos nu J- ism no.)
где i — | — 1 , т. e. мнимое число. По этой фор- 56
муле легко разложить sin па и cos па на степени
sin а и cos а, если п целое число.
Формула Муавра позволяет вычислить все вели-
чины п корней n-ой степени числа а.
Например, для числа 1 существуют четыре корня
четвертой степени, то есть: 1, — 1, г, — г, и две-
надцать корней двенадцатой степени, из которых
первый равняется 1, остальные имеют вид:
cos
360° k
~~Т2~
+ zsin
360° k
12
где к — 1, 2, ..11.
Это связано с делением круга на п равных частей
и требует решения циклотомического уравнения.
Современная запись формулы Муавра принадле-
жит Эйлеру. Муавр состоял членом Лондонского
Королевского научного общества с 1697 года. Был
также членом Парижской и Берлинской Академий
Наук. Умер в Лондоне в 1754 году.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(1707—1783)
Несомненно Эйлер принадлежит к числу гениаль-
нейших математиков всех времен. В истории
точных наук его имя ставят рядом с именами Нью-
тона, Декарта, Галилея. Он был не только мате-
матиком, но и физиком, и астрономом. Его труды
оказали огромное влияние на развитие этих наук.
Эйлер родился в Швейцарии в городе Базеле, слу-
шал лекции великого математика Иоганна Бер-
нулли, который взялся лично руководить разви-
тием таланта молодого математика. Ученую сте-
пень магистра Эйлер получил в возрасте 16 лет;
Спустя четыре года он, по приглашению Петер-
бургской Академии Наук, выехал в Россию, где
стал членом Академии и руководил кафедрой фи-
зиологии. С этого времени начинается быстрое
57 развитие его научной деятельности. Стимулом
в развитии тех или других отраслей математики
становились для Эйлера в значительной мере есте-
ственные науки, в особенности механика и техни-
ка. Первые его труды касались навигации, но
позднее он целиком посвятил себя математике.
Журнал Академии („Комментарии”) из номера
в номер печатает его математические работы.
Эйлер известен необыкновенным трудолюбием,
что в конце концов привело его к потере зрения
в одном глазу. Это, однако, не помешало его твор-
честву. Он работал над составлением карты Рос-
сии, написал теорию музыки, позднее издал боль-
шой труд о навигации, за который получил
6 тысяч фунтов премии от французского прави-
тельства. Мировое признание принесли Эйлеру
его труды по механике (1736 г.). Вскоре после это-
го вместе с Даниилом Бернулли и Маклореном он
получил премию от Парижской Академии Наук
за работу о морских прилива.х и отливах. К сожа-
лению, напряженный Научный труд ухудшил со-
стояние его здоровья, что потребовало изменения
климата. Поэтому Эйлер выехал в Берлин. Из года
в год Эйлер печатает новые труды о движении
планет и комет, о теории магнетизма, по балли-
стике. В 1748 году в Лозанне он издал свое главное
произведение в трех томах „Введение в анализ
бесконечно малых”, в котором он собрал все свои
прежние математические труды и статьи, написан-
ные на протяжении многих лет. Это произведение
укрепило позицию Эйлера как наиболее выдаю-
щегося математика. Почти все, что в настоящее
время изучается по высшей алгебре и математи-
ческому анализу, включено в этот труд. Эйлер
ввел в математику обозначение чисел „е” и
обобщенные координаты, удобные для описания
вращательного движения, комплексные функции,
комплексные переменные в частности, известна
формула Эйлера (е''1 = cos ?-|-i sin to), примене- 58
Ние комплексных чисел при расчете интегра-
лов, часто встречающиеся специальные функ-
ции гамма и бета, теорию дифференциальных
уравнений.
Эйлер является также автором известной теоремы
о том, что число ребер многогранника на 2 меньше
числа его вершин и граней.
Знаменитую задачу, о мостах в Кенигсберге тоже
поставил Эйлер. Он занялся вопросом, можно ли
пройти через 7 мостов, соединяющих районы горо-
да Кенигсберга с 2 островами на реке Преголе, так,
чтобы не проходить по какому-либо из них два
раза, проходя последовательно через все мосты,
причем большой остров был соединен с каждым
из берегов двумя мостами, а малый остров — од-
ним мостом, оба острова были соединены между
собой тоже одним мостом. Попытки, которые мы
советуем сделать читателю, покажут, что решить
эту задачу невозможно.
В 1766 году Эйлер возвратился в Россию. Екатери-
на Вторая назначила ему постоянное жалование
из собственных средств. „Я надеюсь, — сказала
она, — что моя Академия возродится из пепла,
когда к ней вернулся великий человек”. К сожа-
лению, вскоре после приезда в Петербург Эйлер
заболел и потерял второй глаз. Но его матема-
тический гений и великолепная память позволили
ему продолжать работу. Формулы он писал мелом
на доске, а своим друзьям диктовал новые работы.
Таким образом, появилась алгебра Эйлера, затем
плод его тридцатилетнего труда — произведение
на тему диоптрики и много других. Характерно,
что гений и творчество Эйлера развивались вплоть
до поздней старости, о чем свидетельствует не-
прерывно растущее количество написанных им
тРУД°в. Эйлер написал свыше 800 работ, в т. ч.
60u/s по математике. Еще в день своей смерти он
59 вел оживленный спор со своими сотрудниками.
Число граней S= 6
Число вершин W= 8
Число ребер К=12
ЖАН ЛЕРОН
Д’АЛАМБЕР
(1717—1783)
Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище
в Петербурге, ныне его прах перенесен в Ленин-
градский Некрополь.
Один из сотрудников Эйлера говорил:
„Математические формулы у Эйлера жили своей/
собственной жизнью и рассказывали ему важные I
и существенные данные о природе вещей. Ему'
было достаточно только коснуться их, как они из
немых букв преображались в красноречивые фра-
зы, дающие глубокий и значительный ответ на
различные вопросы”.
Великий французский математик Лаплас сказал
о работах Эйлера:
„Читайте, читайте Эйлера — он наш великий учи-
тель”.
Один из всестороннейших и влиятельнейших
умов XVIII века Жан Лерон Д’Аламбер родился
в Париже в 1717 году. Он был побочным сыном
поэта Дестонта. Его родители подбросили ребенка
в церкви св. Жана Лерон. Полиция отдала его на
воспитание жене бедного ремесленника. Благодаря
материнской опеке приемной матери, Д’Аламбер
вырос сильным и здоровым мальчиком. В возрасте
двенадцати лет его определили в Коллеж Мазарен,
где он неоднократно получал награды за хорошие
результаты учения и недюжинные способности.
Д’Аламбер интересовался многими отраслями нау-
ки, но самый большой интерес возбуждала у него
математика.
Первые труды Д’Аламбера по математике и физи-
ке были посвящены движению твердых тел в жид-
костях и интегральному исчислению. Академия
Наук оценила эти работы столь высоко, что
в 1741 году избрала Д’Аламбера сйЬим членом. 60
К числу замечательных трудов Д’Аламбера при-
надлежат: „Traite de dynamique” (Париж, 1743 г.),
„Traite des fluides” (1744 г.) и „Reflexions sur la
cause des vents” (Париж, 1747 г.); за эту последнюю
работу Д’Аламбера получил награду Берлинской
Академии Наук и был избран ее членом.
Трудно перечислить все труды Д’Аламбера. Не-
обходимо, однако, обратить внимание на важней-
шие из них: „Трактат о чистом анализе” (1746
и 1749), „О колебании струн” (1748 г.) и работы по
астрономии о возмущениях в движении планет
вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, а так-
же „Теория предварения равнодействий и нута-
ций”. Много труда вложил Д’Аламбера в „Энцик-
лопедию” Дидро, для которой он написал всю фи-
зико-математическую часть.
В „Предисловии к Энциклопедии” он развил кон-
цепцию классификации наук, данную Бэконом,
и принял, что принцип классификации зависит
от человеческого ума. О всесторонности Д’Аламбе-
ра могут свидетельствовать его труды по музыке
и эстетике („De la liberte еп musique”, 1759 г.).
В механике получил известность классический
принцип Д’Аламбера, согласно которому движение
твердого тела сводится к вопросам статики. Вы-
соко расценивая свою независимость, Д’Аламбера
не принял почетных званий и наград, присвоен-
ных ему Фридрихом Великим и императрицей
Екатериной.
Признак Д’Аламбера
Если ряд Дак с полохительными
К-1
членами удовлетворяет условию
существует предел у последователь-
ности и g<1, то ряд схо-
дится, если хе у> 1, то ряд расхо-
дится.
№озеф Лагранж родился в 1736 году в Турине,
в семье банковского чиновника. Будучи самым
младшим сыном многочисленной семьи, он вынуж-
ден был сделать все, чтобы как можно скорее на-
61 чать самостоятельную жизнь. Сначала он интере-
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
(1736—1813)
совался филологией, но когда в его руки случайно
попал трактат по математической оптике, он по-
чувствовал свое настоящее призвание. Все свои
силы он посвятил изучению математики и в сем-
надцатилетнем возрасте был назначен преподава-
телем математики в Королевской артиллерийской
школе в Турине. Несмотря на то, что Лагранж был
моложе многих своих учеников, он пользовался
славой прекрасного преподавателя.
В 1757 году Лагранж вместе со своими бывшими
учениками основал Туринскую Академию, которая
первоначально носила характер частного науч-
ного общества. В этой Академии Лагранж был
председателем физико-математической секции.
В 1759 году вышел в свет первый том трудов Ака-
демии „Actes de la Societe privee”. В этом томе
были напечатаны многие труды двадцатитрехлет-
него ученого, в основном по вариационному исчи-
слению в его связи с механикой. На основе работ
Эйлера, Лагранж дал основные понятия вариа-
ционного исчисления и предложил метод решения
вариационных проблем. После ознакомления с эти-
ми трудами Эйлер в письме к Лагранжу напи-
сал так: „ ... Ваше решение изопериметрических
проблем безукоризненно, и я рад, что тема, кото-
рой я давно занимаюсь, доведена Вами до близкого
конца...”
В том же 1759 году Лагранж был избран членом
Берлинской Академии Наук. Вследствие переу-
томления Лагранж уже в двадцатипятилетием воз-
расте тяжело заболел. К сожалению, единствен-
ное средство, известное тогдашней медицине, т. е.
кровопускание, приносило ему вред. А процедура
эта повторялась двадцать девять раз. Нет
.ничего удивительного, что он постепенно терял
силы.
В 1766 году ученый переехал в Берлин, где полу-
чил должность председателя Берлинской Акаде- 62
мии Наук, в которой он оставался бессменно на
протяжении двадцати лет. Это был необыкновен-
но плодотворный период жизни Лагранжа. Он поч-
ти ежемесячно опубликовывал новую работу. Из
его берлинских работ важнейшей является теория
частных дифференциальных уравнений.
В 1772 году Лагранж был избран членом Академии
Наук в Париже, куда переехал в 1787 году и стал
преподавать в высших учебных заведениях.
В 1788 году в классическом трактате „Аналитиче-
ская механика” Лагранж расширил основы стати-
ки и механики, установив „общую формулу”,
известную теперь как принцип возможных пере-
мещений. •
На протяжении своей жизни Лагранж опублико-
вал много трудов по математическому анализу
теорема Лагранжа и вытекающие из нее выводы
стали основой для исследования так называемого
хода изменяемости функций (остаточный член
формулы Тейлора).
В своих трудах Лагранж коснулся теории чисел,
алгебры, интерполяции (интерполяционная фор-
мула Лагранжа), математической картографии
и астрономии.
Кроме теоретических работ, следует упомянуть
участие Лагранжа в трудах комиссии по выбору
новой единицы длины (метр) и разработке на этой
основе метрической системы мер.
Умер Лагранж в 1813 году после длительной бо-
лезни, в результате полного истощения сил. Вы-
дающийся ученый Лаплас в речи над могилой
Лагранжа дал такую характеристику деятельно-
сти покойного: „ ... среДи тех, кто самым эффек-
тивным образом раздвинул пределы наших зна-
ний, Ньютон и Лагранж в самой высокой степени
владели счастливым искусством открывания но-
вых данных, представляющих собой самое суще-
63 ство знаний...”
//с дуге АВ существует по крайней
мере одна точка И, касательная
в которой параллельна хорде АВ
ГАСПАР МОНЖ
(1746—1818)
Мз целой плеяды знаменитых математиков, от-
чизной которых является Франция, Гаспар
Монж по справедливости считается одним из луч-
ших, а в области геометрии — одним из самых вы-
дающихся ученых всех времен.
Творчество Монжа совпало с бурным развитием
высшего образования во Франции, а основание
военных училищ и академий в последние десяти-
летия XVIII века послужило стимулом к развитию
французской математики.
Свою карьеру Монж начал в качестве инструкто-
ра Военной академии в Мезьере.
Родился Монж в 1746 году в Бон, маленьком го-
родке Бургундии. Ето отец, торговец и шлифовщик
стекла, проявлял большую заботу об образовании
своих трех сыновей, из которых Гаспар был са-
мым старшим и самым способным. В школе Гас-
пар был первым учеником. В четырнадцатилет-
ием возрасте Монж разработал конструкцию по-
жарного брандспойта, а позднее составил подроб-
ный план своего города, проявив при этом крупный
конструкторский талант.
Живая заинтересованность практическими вопро-
сами с особой ясностью проявилась у Монжа во
время его обучения в Мезьерской военной акаде-
мии, где он был талантливым учеником.
Именно здесь Гаспар Монж создал основы нового
геометрического метода, известного теперь как на-
чертательная геометрия. Предание гласит, что
идея начертательной геометрии возникла у Мон-
жа при разработке планов фортификаций по зара-
нее известным данным. Каково же было изумле-
ние профессора, наблюдавшего за работами уче-
ников, когда Гаспар в самый кратчайший срок
заявил об окончании работы. Оказалось, что вме-
сто длительных и трудоемких расчетов, Монж
применил метод начертательной геометрии, кото-
рый превосходно облегчил его работу. В скором 64
времени он развил новый метод так, что тот
превратился в самостоятельную отрасль гео-
метрии.
Французские власти объявили начертательную
геометрию военной тайной.
В 1768 году Монж был назначен профессором ма-
тематики, а в 1771 году — профессором физики
в Мезьер. Кроме упомянутых открытий, опубли-
кованных в „Geometric descriptive” (1795—1799),
Монж заинтересовался дифференциальным и ин-
тегральным исчислениями, которые применил для
исследования кривых и площадей. Его труды на
эту тему были позднее (в 1809 г.) опубликованы
в „Application de I’andlyse a la geometrie” — пер-
вом учебнике дифференциальной геометрии.
С этой отраслью математики связаны основные
открытия Монжа. В 1780 году Монж был избран
членом Французской Академии Наук и в 1783 году
поселился в Париже. Будучи по своим политиче-
ским убеждениям республиканцем, Монж в проти-
воположность Лапласу сумел остаться лояльным
по отношению к Наполеону, и хотя ему было труд-
но примириться с падением Республики, он был
всей душой предан Наполеону, считая его вопло-
тителем идей революции. Известие о поражении
Наполеона в России вызвало апоплексию у Мон-
жа, а во время „Ста дней” он снова стал его пла-
менным сторонником.
После окончательного поражения Наполеона но-
вое правительство исключило в 1816 году Монжа
из Академии.
Последние годы своей жизни Монж был директо-
ром Политехнической школы, которую сам же ор-
ганизовал.
Начертательная геометрия, творцом которой был
Монж, ныне является одним из основных пред-
метов, изучаемых в технических учебных заведе-
ниях.
Прямая Lu ее проекции: горизонталь-
ная L'u вертикальная L" при проекции:
а) параллельной
б) Монжа
ПЬЕР СИМОН ЛАПЛАС
(1749—1827)
Лаплас родился 23 марта 1749 года в Бомон в Нор-
мандии. Учился в Бомон в школе монашеского
ордена бенедиктинцев. В 1766 году приехал в Па-
риж, где, благодаря помощи Д’Аламбера, получил
назначение профессором в Парижскую военную
школу. В 1779—1784 годах Лаплас совместно с Ла-
вуазье занимался физическими вопросами, в ча-
стности, теплотой плавления тел.
Великая французская революция прервала рабо-
ты Лапласа в этой области. Ему поручили реорга-
низацию новых высших учебных заведений —
Ecole Normale и Ecole Polytechnique.
В 1790 году Лаплас был избран председателем Па-
латы мер и весов, и занялся внедрением в жизнь
метрической системы мер. В 1795 году Лаплас
был назначен руководителем Бюро Долгот, кото-
рое занималось измерением длины земного мери-
диана.
В 1799—1825 годах Лаплас разработал и опублико-
вал пятитомный труд „Механика неба” и „Анали-
тическая теория вероятностей” (1812 г.). В обоих
трудах Лаплас поместил не только свои рабо-
ты, но и все тогдашние сведения в затронутых
областях знания. Кроме астрономии, Лаплас зани-
мался некоторыми вопросами математики и мате-
матической физики. В этой области достаточно
указать на его труды по интегрированию уравне-
ний с частными производными и на теорему о пред-
ставлении определителей суммой произведений
дополнительных миноров на последовательные
элементы произвольного столбца или строки,
а также на интегральное преобразование, полу-,
чившее его имя. Несмотря на то, что до Лапласа
теорией вероятностей занимались, в частности,
Ферма и Бернулли, именно Лаплас является в зна-
чительной мере автором математической теории
вероятностей, причем ему принадлежит усовер-
шенствование методов доказательства. Он разрабо- 66
тал теорию ошибок и способ наименьших квадра-
тов, доказал теорему о предеДах, получившую его
имя, которая до сих пор имеет большое значение
в теории вероятностей. Его „Аналитическая теория
вероятностей” выдержала три прижизненных из-
дания.
Всю свою жизнь Лаплас интересовался астроно-
мией, математикой и физикой. В 1806 году опубли-
ковал труд по теории капиллярности, в 1809 году
вывел формулу для скорости распространения
звука в воздухе и барометрическую формулу для
определения плотности воздуха, в зависимости
от высоты над уровнем моря, выдвинул теорию
истечения света. Деятельность его в области фи-
зики привела к значительному развитию экспери-
ментальной физики.
В астрономии Лаплас доказал, что закон всемир-
ного тяготения полностью объясняет движение
планет. В 1780 году он представил труд, в котором
разработал методы расчета орбит небесных тел,
а позднее выдвинул гипотезу, что кольца Сатурна
не однородны, а сам Сатурн должен быть сжат
у полюсов. В 1789 году разработал теорию движе-
ния спутников Юпитера, полностью подтвержден-
ную позднейшими наблюдениями. В 1787 году от-
крыл причины ускорения движения Луны и опре-
делил величину сжатия Земли. В 1788 году
опубликовал труд по динамической теории при-
ливов. Все свои научные открытия в этой обла-
сти знания он опубликовал в книге „Механика
неба”.
Следует отметить, что космогоническая теория
Лапласа, так называемая гипотеза Канта-Ла-
пласа, получила огромное философское значе-
ние. Гипотеза была опубликована Лапласом в тру-
де „Изложение системы мира” (1796 г.).
По своим философским взглядам Лаплас скло-
67 нялся к материализму. Несмотря на то, что перво-
д2и(ху) д2и (лу)
дх2 ду2
Это выражение известно в математике
как „Лпласса оператор"
АДРИЕН МАРИ
ЛЕЖАНДР
(1752—1833)
начальное образование получил в монастырской
школе, он всю жизнь был атеистом. Что касается
политических убеждений, то они менялись у него
так, как менялись формы правления во Франции.
В период революции Лаплас получил много почет-
ных наград. Во время Консулата состоял мини-
стром внутренних дел, а позднее стал сенатором.
В 1811 году Наполеон присвоил ему звание графа
де Лаплас, за что ученый посвятил императору
третий том своего „Трактата о небесной меха-
нике”.
Говорят, что на вопрос Наполеона, почему в его
„Трактате” нет упоминания о боге, Лаплас отве-
тил: „Ваше величество, эта гипотеза оказалась
не нужной”.
Благорасположение императора не помешало Ла-
пласу проголосовать в 1814 году за низложение
Наполеона. Знаменательно и то, что после 1814 го-
да третий том своего „Трактата о небесной меха-
нике” он посвятил Людовику XVIII. В период ре-
ставрации Лаплас получил от Бурбонов титул мар-
киза и звание пэра Франции.
Адриен Мари Лежандр родился 18 сентября
1752 года в Париже. Детство и юность провел
в родном городе и закончил здесь Коллеж Маза-
рин. Интересоваться математикой стал очень рано.
Этому благоприятствовали многочисленные в то
время во Франции военные и инженерные учили-
ща, в которых математика была ведущим предме-
том. В 1775—1780 годах Лежандр был профессором
Военного училища в Париже, после чего препо-
давал в Ёсо1е Normale. В это время он разрабо-
тал несколько проблем баллистики, за что получил
в 1782 году премию Берлинской Академии. 68
\ В 1783 году Лежандр был избран членом Париж-
\ ской Академии Наук. В 1787—1789 годах Лежандр
особенно интересовался работами Монжа по диф-^
ференциальным уравнениям. Некоторые из этих4
работ он обобщил и развил. Занимался также тео-
рией чисел.
В своей книге „Теория чисел” он привел столь
большое количество материалов, касающихся раз-
личных теорем целых чисел, что его работа сохра—0,5
пила свою ценность до сих пор.
В 1794 году Лежандр написал учебник „Эле- Графическое изображение многочленов
ментарная геометрия”, в котором, подобно мно- Лежандра
гим современным ему математикам, старался
доказать аксиому Эвклида о параллельных
прямых.
В 1799 году во втором издании „Элементарной гео-
метрии” Лежандр привел доказательство, что
сумма углов треугольника не может быть мень-
ше 180°.
Лежандр занимался также эллиптическими функ-
циями, сферическими функциями (многочлены
Лежандра), вариационным исчислением (признак
наличия экстремума функции), вычислением ор-
бит комет, проблемами простых чисел. Экспери-
ментальным путем ему удалось найти формулу,
позволившую с довольно большой точностью вы-
числить сумму простых чисел до одного миллиона.
Однако, доказательства не привел.
Лежандр занимался многими проблемами, над ко-
торыми работал Гаусс, моложе его на 25 лет.
Вместе с Гауссом он в 1806 году открыл способ
наименьших квадратов. Самостоятельно разрабо-
тал основы теории геодезических измерений. Ле-
жандр решал также некоторые практические про-
блемы, например, занимался определением геогра-
фической широты между Дюнкерком и Булонью.
В 180.8 году Лежандр был пожизненно назначен
69 руководителем университета, а в 1816 году —
экзаменатором в Политехнической школе и гео-
дезическим инспектором.
В 1816 и 1825 годах Лежандр дополнил второе
издание „Теории чисел”. Умер Лежандр 10 января
1833 года.
4
ЖАН БАТИСТ
ЖОЗЕФ ФУРЬЕ
(1768—1830)
Жан Батист Жозеф Фурье, великий француз-
ский математик, родился 21 марта 1768 года
в городе Оксер в семье портного. Осиротел в возра-
сте восемнадцати лет. С помощью друзей он по-
ступил в военное училище в родном городе. Здесь
он вскоре отличился благодаря способностям,
в особенности, математическим. Из-за происхож-
дения и бедности Фурье был лишен возможности
выдвинуться на военной службе и поэтому после
окончания училища (1784 г.) остался в нем в каче-
стве преподавателя математики, истории и рито-
рики.
В 1796 году Фурье выехал в Париж и возглавил
кафедру анализа в Политехнической школе. Со-
путствовал Наполеону в 1798 году в его египет-
ской кампании и был назначен губернатором Ниж-
него Египта. В течение трех лет был секретарем
института, организованного Наполеоном в Каире.
Этот институт значительно расширился благодаря
Фурье. В 1801 году Фурье возвратился во Францию
и в следующем году получил должность префекта
департамента Изеры, получил одновременно титул
барона и орден Почетного Легиона. Префектом де-
партамента Изеры Фурье состоял на протяжении
четырнадцати лет. В это время он руководил из-
данием „Description de I’Egipte” и вел трудоемкие
и плодотворные исследования по теплопроводно-
сти. В 1815 году, после возвращения Наполеона
с острова Эльбы, Фурье опубликовал роялистскую 70
политическую прокламацию, за что был лишен
должности префекта в Изере и Родане. Начиная
с 1817 года, он целиком посвятил себя научной ра-
боте. Переехал в Париж, где был избран в Акаде-
мию, но ввиду протеста сторонников Людовика
XVIII членом Академии стал только лишь год
спустя.
С 1827 года занял место Пьера Лапласа в должно-
сти ректора Политехнической школы. Умер Фурье
16 мая 1830 года в Париже. Его труды и исследо-
вания обеспечили ему мировую известность. При-
меняемые им методы были совершенно оригиналь-
ными, он значительно усовершенствовал теорию
^равнений. Ряды, названные его именем (ряды
Фурье), сыграли большую роль в математике
й применяются часто и теперь. Фурье работал
Над теорией теплоты и занимался математическим
анализом, в особенности теорией функций, инте-
гральным исчислением и дифференциальными
уравнениями. Еще в 1807 и в 1811 годах он пред-
ставил Парижской Академии Наук свои первые
открытия, а в 1822 году издал труд „Аналитиче-
ская теория теплоты”. Этот труд стал исходной
точкой для создания теории тригонометрических
рядов и разработки некоторых проблем математи-
ческого анализа.
Рукопись Фурье по численному методу решения'
алгебраических уравнений была издана после его
смерти (1831 г.) под заглавием „Анализ определен-
ных уравнений”.
-Я
У“
0 51 2Я ЗЯ 43i
Разложение функции. (Ы=хг
в ряд Фурье (период 2 Я)
Р ыдающийся французский физик и математик
** Симеон Дени Пуассон родился 21 июня 1781 го-
да в Пифивье (департамент Луары). В 1798—
1800 годах обучался в Политехнической школе
СИМЕОН ДЕНИ
ПУАССОН
(1781—1840)
в Париже и там же начал работать в качестве
преподавателя.
В 1806 году Пуассон был назначен почетным про-
фессором Политехнической школы, а в 1809 го-
ду — профессором Парижского университета.
Пуассон в это время прочно вошел в ряды зна-
менитых математиков. Еще во время обучения
в Политехнической школе он интересовался неко-
торыми астрономическими вопросами, теоретиче-
ской механикой и применением математики к ме-
ханике и физике, что позднее привело его к круп-
ным открытиям в теоретической математике.
Первый значительный труд Пуассона в двух то-
мах „Трактат механики” появился в печати
в 1811 году. Долгое время этот „Трактат” считался
лучшим учебником механики. Несмотря на насы-.
щенность сложными задачами по физике, астро-
номии и баллистике, работа Пуассона отличается
ясностью и доступностью изложения.
В 1812 году Пуассон был избран членом Париж-
ской Академии Наук. Спустя год он опубликовал
работу под заглавием „Замечания об уравнении
теории притяжения”, в которой вывел уравнение,
получившее впоследствии его имя. Труды Пуас-
сона, а написал он свыше 300 работ, касались раз-
личных проблем, например, вопроса устойчивости
солнечной системы, теории упругости, гидромеха-
ники, электростатики и магнетизма.
До сегодняшнего дня не потеряли своего значения
работы Пуассона по теории определенного интегра-
ла, теории дифференциальных уравнений с част-
ными производными и по теории вероятностей.
В 1816 году Пуассон возглавил кафедру теорети-
ческой механики Парижского университета, где
проработал до 1837 года. В 1826 году был избран
членом Петербургской Академии Наук.
Из многих трудов, опубликованных Пуассоном, до-
стойны внимания: „Memoire sur la theorie des 72
ondes” („Теория волн”, 1826), „Theorie nouvelle
de faction capillaire” („Новая теория капилляр-
ности”, 1831), „Theorie du calcul de probabilites”
(„Теория вероятностей, 1833) и „Theorie mathe-
matique de la chaleur” („Математическая теория
распространения тепла”, 1835).
Будучи сторонником Наполеона, он получил от
него титул барона и множество отличий. Несмотря
на это, он усердно служил последующим прави-
тельствам Франции. Во времена Людовика Филип-
па в 1837 году стал членом палаты пэров.
Сороковые годы девятнадцатого века стали
в Англии началом долгожданного оживления
в математике. Деятельность в этой области Га-
мильтона, Грина, Кейли, Сильвестра, Салмона
и других принесла успехи, результаты которых
могли быть поставлены в один ряд с математи-
ческими трудами ученых континента. Многие из
работ английских математиков носили пионер-
ский характер. Это в особенности относится к до-
стижениям Грина. Джордж Грин родился в 1793
году в Снейтоне около Ноттингена. Он рано заинте-
ресовался математикой и первоначально учился
самостоятельно. Грин занимался физическими во-
просами, в особенности, электрическими и магне-
тическими явлениями, которые, если не считать
начальных работ Пуассона, еще не были теоре-
тически разработаны. Молодой Грин, увлекаясь
чтением „Трактата о небесной механике” Лапласа,
мечтал создать основы математической теории
электромагнитных явлений. Результатом самостоя-
тельной работы Грина был труд опубликованный
в 1828 году под заглавием „Опыты применения ма-
тематического анализа к теориям электричества
Закон Пуассона
Р(Ю = ^кГ~’ к = 0‘1’2-
Вероятность к благоприятных возмож-
ностей, среди большого п количества
испытаний, независимых с постоянной
вероятностью р; пр = Л.
ДЖОРДЖ ГРИН
(1793—1841)
jP(s,y)dj<4R(jWty=JJ(Rj -P'y)dLxdy
* D
(теорема Грина)
и магнетизма”. Таким образом, Грин положил на-
чало методам, которые мы теперь относим к раз-
делу математической физики. Кроме того, Грин
наряду с Гауссом создал основы теории потен-
циала, ставшие потом почти самостоятельной от-
раслью математики. Сам термин „потенциал”
впервые применен Грином.
Дальнейшие труды Грина, опубликованные уже
во время обучения в Кайус Колледже университе-
та в Кембридже (1833—1837), являются развитием
и теоретическим применением первого труда. К чи-
слу лучших работ Грина этого периода принадле-
жат: „Об отражении и преломлении звука” и „Об
отражении и преломлении света на общей поверх-
ности двух некристаллических тел” (1837 г.).
Несмотря на достигнутые результаты и славу,
Грин оставался человеком скромным и тактич-
ным. В 1839 году Грин был избран членом Кайус
Колледжа в Кембридже, но по слабости здоровья
вынужден был оставить колледж и уехать на роди-
ну в Снейтон, где умер в сорокасемилетнем воз-
расте.
Статья „О прохождении света через кристалличе-
ские тела”, появившаяся при жизни Грина, замы-
кает список трудов человека, который, как мате-
матик, во многом превышал своих коллег по уни-
верситету и вне его.
В конце девятнадцатого века в историю науки
вошли три польских ученых, внесшие значи-
тельный вклад в развитие мировой математики.
Это — Адам Коханский, Ян Снядецкий и Юзеф
Вронский.
Самым выдающимся из них был несомненно
Вронский. Этот ученый родился в 1776 году в го- 74
роде Волыптине в Великополыпе. Его отец Гене,
чех по происхождению, был образованным и бо-
гатым человеком.
Юзеф Гёне-Вронский окончил в Варшаве Кадет-
ский корпус и получил звание поручика нацио-
нальной артиллерии. Он отличился в боях против
прусских войск, осаждавших Варшаву. Принимал
участие в битве под Мацеевицами, во время кото-
рой попал в плен. В 1795 году поступил в царскую
армию, служил в ней два года в звании майора, за-
тем подполковника. Что склонило молодого Врон-
ского решиться на такой шаг — неизвестно. Изве-
стно, однако, что услышав об организации поль-
ских легионов, он вышел из русской армии и уехал
в Германию. Находясь в Германии в течение двух
лет, он близко познакомился с бурно развивав-
шейся в то время германской философией. И сно-
ва в 1800 году патриотический долг вынудил его
уехать во Францию, чтобы отдать свои знания
родной стране. После краткого пребывания в Па-
риже, Вронский выехал в Марсель и там поступил
в польский легион. Период жизни Вронского
в Марселе оказал на его судьбу большое влияние.
Гёне-Вронский окончательно оставил мысль
о военной или дипломатической карьере и решил
целиком посвятить себя научной работе.
Он занимался различными отраслями науки.
В Марселе он написал свои первые научные тру-
ды, здесь же возникли первые наметки его бу-
дущих, написанных исключительно по-француз-
ски, работ, направленных на реформу человече-
ских знаний. В математике Вронский стремился
связать воедино все ее отрасли, причем, в его ма-
тематических трудах можно усмотреть кое-какие
начала функционального анализа. Почести, с ко-
торыми встретился Вронский со стороны марсель-
ской общественности (он был избран членом-кор-
75 респондентом Научного общества в Марселе и гене-
ЮЗЕФ
ГЁНЕ-ВРОНСКИЙ
(1776—1853)
th У г Уп
yi Уг Уп
b-Vh-D tn-П
Ут Уг -—Уп
определителем Вронского,
ральным секретарем Общества врачей) не удов-
летворили честолюбия Вронского, он решил
расширить поле своей деятельности. С этой целью
во второй половине 1810 года он выехал в Париж,
где и поселился до конца жизни. С этого времени
он полностью посвятил себя работе. „Его желез-
ный организм, — пишет Дикштейн в биографии
Вронского, насчитывающей 300 страниц, — требо-
вал мало сна и питания; работу он начинал ранним
утром и только после нескольких часов занятий
принимался за скромный завтрак, говоря: свой
день я уже заработал”.
Вронский оставил после себя большое количество
работ по математике, философии, физике и тех-
ническим наукам. Группа его друзей пыталась
после смерти Вронского издать полное собрание
его сочинений (многие из них остались в руко-
писях), но оказалось, что такое издание состояло
бы из десяти томов по восемьсот страниц каждый.
Тринадцать лет после смерти Вронского, Польское
общество точных наук в Париже, целью которого
было объединение польских ученых-эмигрантов,
объявило конкурс на оценку работ Вронского. На
конкурс поступила только одна работа, по-видимо-
му потому, что кроме скромного числа поклонни-
ков Вронского, его труды не находили последова-
телей, вероятно из-за отсутствия ссылок на совре-
менных ему математиков и весьма трудного языка.
(Вронский применял огромное количество обобще-
ний и объединял в одно целое понятия философ-
ского и математического порядка). Кроме того, из-
ложение Вронского отличалось неприятным безу-
словным культом собственных тезисов, исклю-
чавшим всякую критику. Необходимо отметить,
что за свою жизнь Вронский не встретился с кри-
тиком, который, наряду с указанием на неясности
и неточности в его трудах, упомянул бы о его, дей-
ствительно, гениальных идеях. 76
Гёне-Вронский прочно вошел в историю разработ-
ки теории дифференциальных уравнений. Он пер-
вым обратил внимание на функциональный опре-
делитель, имеющий большое значение в теории
обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений. Этот определитель так и называется
определителем Вронского, или „вронскианом”.
Вронский прожил долгую (умер он 9 августа
1853 года в Париже), но трудную жизнь. Было та-
кое время, когда ему для спасения больной жены
пришлось продавать свои ботинки. Незадолго до
смерти он носился с планами дальнейших работ,
но за несколько дней до конца, в предчувствии
его приближения, сказал: „Боже... мне еще
столько нужно сказать!”
Ценность научного творчества бывает различна.
Для общего прогресса человечества наиболее
ценным является научное творчество, устанавли-
вающее новые пути исследований, новые направ-
ления, по которым идут последователи. К числу
ученых-новаторов принадлежит гениальный не-
мецкий 1цатематик.Карл Фридрих Гаусс.
Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге
в семье поденного рабочего. Учился в Геттинген-
ском университете в 1795—1798 годах. Доктор-
скую степень он получил в Хелмштедте в 1799 го-
ду за точное доказательство основной теоремы
алгебры о том, что всякое алгебраическое уравне-
ние тг-ой степени с действительными коэффициен-
тами имеет точно п корней. Позднее (в 1814
и 1850 годах) Гаусс привел еще два доказатель-
ства этой теоремы. Следует отметить, что доказа-
77 тельства этой теоремы, данные до Гаусса Д’Алам-
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС
(1777—1855)
бером, Эйлером, Лагранжем и Лапласом, не были
точными.
В 1807 году Гаусс был назначен заведующим
кафедрой математики Геттингенского университе-
та и одновременно директором астрономической
обсерватории в Геттингене. На этом посту он оста-
вался вплоть до самой смерти, которая последова-
ла 22 февраля 1855 года.
Гауссу пришлось жить в очень бурный историче-
ский период (наполеоновские войны, французская
буржуазная революция, Весна Народов 1848 года),,
но он пребывал вне социальных и политических
событий своего времени. Гаусс полностью посвятил
себя научному труду, результаты которого в мате-
матике и других родственных отраслях знаний
стали тем, чем были события его эпохи в историче-
ском развитии европейских наций.
Основная черта научных работ Гаусса — это их
исключительная разносторонность. Он занимался;
высшей алгеброй, теорией чисел, дифференциаль-;
ной геометрией, теорией вероятностей (т. н. нор-
мальное распределение Гаусса), теорией притяже-
ния, теорией электричества и магнетизма, вопро-'
сами капиллярности, геодезией и астрономией. Во
всех упомянутых отраслях знаний Гаусс дал свои,
оригинальные открытия.
Первый крупный труд Гаусса „Арифметические
исследования” содержит его работы по теории чи-
сел и высшей алгебре, включая интересную тео-
рию уравнения деления круга, то есть уравнения
хп = 1, и связь между этим уравнением и возмож-
ностью конструкций правильных многоугольников
с помощью циркуля и линейки. Гаусс показал, что
если число сторон правильного многоугольника
есть простое число вида (22п + 1), то такая кон-
струкция возможна. Сам Гаусс сконструировал
правильный семнадцатиугольник. Гаусс придавал
этому решению очень большое значение, что вид- 78
но из его завещания начертать на его могильном
памятнике чертеж правильного семнадцатиуголь-
ника, вписанного в окружность. Желание Гаусса
исполнено: на памятнике, поставленном в его честь
в Брауншвейге, изображен семнадцатиугольник.
Весьма ценные результаты получил Гаусс в диф-
ференциальной геометрии, рядах (гипергеометри-
ческий ряд Гаусса) и в эллиптических функциях.
Гаусс считается также одним из создателей не-
эвклидовой геометрии. Он применил теорию ком-
плексных чисел при решении различных задач.
Сам термин „комплексное число” принадлежит
Гауссу, причем плоскость комплексных чисел так
и называют плоскостью Гаусса.
Заслуги Гаусса в астрономии не меньше, чем в ма-
тематике. Основной его труд по астрономии „Тео-
рия движения небесных тел” содержит способ
определения орбит планет на основе наблюдений;
Гаусс с успехом применял способ наименьших
квадратов. Свои недюжинные астрономические зна-
ния Гаусс использовал при нахождении планетои-
ды Цереры, открытой астрономом Пиацци из Па-
лермо и затем утерянной. То, что не удалось дру-
гим математикам, удалось Гауссу: на основе
полученных результатов наблюдений Гаусс рассчи-
тал орбиту планетоиды, что позволило снова найти
утерянный объект.
Велики заслуги Гаусса и в физике, что, в частно-
сти, отражено в названии единицы магнетической
индукции „гаусс”. Кроме теоретических работ
Гаусса по физике, следует отметить изобретенные
им физические приборы. В области физики Гаусс
сотрудничал с В. Вебером. Результатом этого со-
трудничества явилось изобретение в 1833 году пер-
вого в Германии электромагнитного телеграфа.
Следует сказать, что Гаусс, несмотря на велико-|
лепные достижения в различных областях науки,;
79 был прежде всего математиком. В его жизни мож-‘
у
р
P-Pr(j(<j<) =
но отметить периоды, когда он работал в других
отраслях науки, но и тогда он не забывал о мате-
матике как теоретической, так и прикладной.
В индексах фамилий, обыкновенно помещаемых
в конце книг на математические темы, рядом с фа-
милией Гаусса можно найти большое количество
цифр, потому что Гаусс в своих работах коснулся
многих вопросов, рассматриваемых на страницах
книг. Теорему Гаусса-Остроградского знает любой
студент технического ВУЗ-а. Современники Гаус-
са называли, его „princeps mathematicorum” (ко-
роль математиков).
Р заключение приведем анекдот из детских лет
Гаусса о сумме натуральных чисел, рассказанный
Еленским, автором книг „По следам Пифагора”
и „Лилавати”.
„Как только Карлуше исполнилось 7 лет, его по
обычаю отдали в начальную школу. Учителем ма-
тематики в школе был пожилой человек, извест-
ный своей суровостью. Иногда, желая облегчить
себе работу по просмотру тетрадей учеников стар-
ших классов, он задавал младшим школьникам
трудную письменную работу, с тем, чтобы в классе
царило полное молчание. Ученик, закончивший ра-
боту, обязан был отнести ее учителю и положить
на кафедре. Однажды учитель дал ученикам сле-
дующую задачу: „Найти сумму всех чисел от од-
ного до сорока”. Он был уверен, что ученики боль-
шую часть урока будут заняты расчетами. Каково
же было удивление старого педагога, когда сразу
же после написания задачи на доске, он услы-
шал веселый крик: „У меня готово!”, и вслед за-
тем учителю была вручена тетрадь ученика Карла
Гаусса. Разгневанный учитель, считая, что Гаусс
вздумал подшутить над ним, пробормотал, не пре-
рывая своей работы: „Ну, подожди-ка, шалуниш-
ка, я тебя скоро отучу от подобных шуток!”
Стоит ли говорить, что решение Гаусса: 80
1 + 2 + ... + 39 + 40
40 + 39 + ... + 2 + 1
41 + 41 + ... + 41 + 41, т. е. 41 X 20 = 820
— как читатель легко заметит — было правильно*
и суровый учитель не только не отучил Гаусса
от шуток, но занялся серьезно его образованием.
1>оши родился 21 августа 1789 года в Париже
в семье юриста. День его рождения почти
совпал с началом Великой французской буржуаз-
ной революции. После окончания в 1807 году Поли-
технической школы ив 1810 году Школы строи-
тельства дорог и мостов он, по назначению прави-
тельства, работал в качестве инженера морских
портов. По-видимому, тогда он посвящал много
времени королеве наук — математике, так как
уже в 1811 году представил Академии Наук в Па-
риже работу по теории многогранников, обратив-
шую на него внимание парижских учёных. Коши
довольно быстро приобрел известность и до-
стиг высокого ученого звания члена Академии
Наук (1816 г.). Он преподавал в College de France,
в Сорбонне, в Ecole Polytechnique. Членом Акаде-
мии он стал на основе конкурсной работы „О рас-
пространении волн на поверхности жидкости”.
В 1830 году, после июльской революции, Коши от-
казался присягнуть новому правительству Фран-
ции и уехал вместе с семьей за границу. Сначала
он жил в Швейцарии, потом два года в Турине, где
возглавлял кафедру математической физики, ко-
торую сам же основал. В 1833 году выехал в Прагу
и в течение пяти лет занимался там воспитанием
сына императора Карла, за что получил в награду
титул барона. После возвращения во Францию
81 в 1838 году, ему вернули все прежние титулы. По
ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ
(1789—1857)
Определение Коши непрерывности фун-
кции fM в точке у.о значит-
отношению к Коши было сделано исключение: ему
разрешили вести педагогическую деятельность без
присяги на верность правительству.
Коши написал свыше 800 трудов. Этому благо-
приятствовала не только трудолюбивость Коши
и гениальность его ума, но и внимание к его рабо-
там со стороны современников.
В богатом научном наследии Коши есть работы
различного типа из разных отделов математики.
В них он представил результаты своих собствен-
ных исследований, отчеты о работах, присылаемых
в Академию, и результаты дидактической деятель-
ности — превосходные учебники математического
анализа, которые стали образцом научного мышле-
ния для последующих поколений математиков.
Работы Коши посвящены анализу, геометрии, тео-
рии чисел и математической физике. Например,
в алгебре Коши принадлежит прекрасное доказа-
тельство основной теоремы; в теории чисел Коши
доказал, что любое натуральное число является
n-угловым числом, или может быть представле-
но суммой не больше чем п чисел п-угловых;
в математической физике ему принадлежит об-
общенное математическое понятие деформации
и упругого напряжения.
Особым и доминирующим разделом научного твор-
чества Коши является математический анализ, в
частности, проблемы функций комплексного пере-
менного и теория дифференциальных уравнений.
Заслугой Коши является собрание и уточнение
богатого наследия математиков XVIII столетия. Он
последовательно пользовался понятием предела
и введенным им самим понятием непрерывности
функций. Еще и теперь математики всего мира
пользуются такими понятиями, как „предел функ-
ции Коши”, „непрерывность функции по Коши”,
„произведение рядов по Коши”, „признак сходимо-
сти рядов по Коши”, „метод Коши” (интегрирова- 82
ние дифференциальных уравнений), „остаток Ко-
ши”, „теорема Коши (и Пеано) о существовании
решения дифференциального уравнения «Коши
проблемы», т. е. одной из так называемых «крае-
вых задач»”, „Коши интегральная теорема”, „ин-
теграл Коши”, „неравенство Коши”.
В истории дифференциального и интегрального
исчисления (в их широком понимании), и тем са-
мым вообще в истории математики, Коши занял
выдающееся место. Коши жил в интересный исто-
рический период Франции, сам он был анархистом.
Был одновременно сторонником воспитания моло-
дежи в католическом духе.
Первым человеком, отважившимся выступить
с совершенно новой, отличной от Эвклидовой,
теорией геометрии, был русский математик Нико-
лай Иванович Лобачевский^ Тем самым он поло-
жил начало новой эпохе в этом разделе математи-
ки, завоевав себе почетное звание „Коперника гео-
метрии”.
"Точная дата его рождения неизвестна. В одних
источниках указывают 1792, в других — 1793 год.
Его отец, чиновник, живший в Нижнем Новгоро-
де (ныне город Горький), умер вскоре после рожде-
ния Николая. Лобачевский вместе со своими двумя
братьями закончил Казанскую гимназию только
* лишь благодаря беззаветной жертвенности своей
матери. После окончания гимназии он поступил
в новоорганизованный Казанский университет, где
в то время в большинстве случаев преподавателя-
ми состояли ученые, приглашенные из разных
стран Европы.
Еще будучи студентом первого курса, молодой Ло-
33 бачевский обратил на себя внимание профессора
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ
ЛОБАЧЕВСКИЙ
(1792—1856)
Бартельса, который взялся лично руководить обу-
чением необыкновенно способного студента^ Это
Лобачевскому было очень необходимо, тйк как
своим вольнодумством и многочисленными шало-
стями он часто вызывал неудовольствие универси-
тетских властей. Мнение Бартельса о том, что
„Лобачевский, как студент, отличается такими
способностями и имеет такие достижения, что
в любом из германских университетов он был бы
признан выдающимся студентом ...”, представлен-
ное Сенату университета, предотвратило исклю-
чение будущего ученого из университета. Лобачев-
ский закончил yHHBepcirsex B1811 году и-остался
в нем в качестве ассистента Бартбльса/Спустя три
года он был назначен адъюнктом. Он хотел в это
время издать свою первую работу под заглавием
„Геометрия”, однако работа пролежала а архиве
больше семидесяти лет, потому что никто из чле-
нов Академии не мог ее понятьдВ 181г6_году Лоба-€'! '
невскому присвоили звание профессора^
|На протяжении 1829—1840 годов НшпЯгай Ивано-
вич Лобачевский опубликовал несколько работ,
в частности, „Сжатое изложение основ геометрии
со строгим доказательством теоремы о параллель-
ных”. В этой работе он принял знаменитую аксио-
му, противоречащую аксиоме Эвклида, а именно:
через данную точку, лежащую на одной и той же
плоскости, что и данная прямая, можно провести
бесконечное количество прямых, параллельных
данной. Прямые входят в угол, стороны которого _
Лобачевский назвал прямыми параллельными
данной. Аксиома же Эвклида гласит, что через та-
кую точку можно провести только одну парал-
лельную прямую.
Геометрия Лобачевского представляет собой вёли*
чайшее открытие в математике. Он доказал, что
могут существовать различные теории геометрии,
Отличные от Эвклидовой и не противоречащие 84
друг другу. Однако, современные Лобачевскому
ученые не обратили внимания на эту выдающуюся
работу. Наоборот, Лобачевский встретился с кол-
костями со стороны лиц, не понимающих новой ма-
тематической теории. Не обескураженный неу-
дачей Лобачевский начал борьбу за триумф своих
идей и в ряде работ многократно и по-разному
обосновал неэвклидову геометрию, и показал при-
мер использования ее в интегральном исчислении.
И все же его идея нашла полное признание и при-
менение как в математике, так и в физике только
лишь через много лет после его смерти. В физике,
например, закон суммирования скоростей в теории
относительности основан на методе суммирования
отрезков, предложенном Лобачевским.
Лобачевский был избран деканом математическо-
физического факультета университета и нахо-
дился на этом посту в течение пяти лет. Кроме
того, на протяжении десяти лет он работал в каче-
стве университетского библиотекаря. Лобачевский
основал в университете физический кабинет*
и астрономическую обсерваторию. По его инициа-
тиве были изданы „Учебные записки Казанского
университета”. В 1827 году Лобачевский был
избран ректором университета и на этом посту на-
ходился непрерывно двадцать лет. Он организовал
университет и основал университетскую клинику.
Чтобы лично наблюдать за строительством здания
университета, он изучал архитектурное дело. Ло-
бачевский всю свою жизнь трудился над разработ-
кой своей теории геометрии, но занимался и други-
ми разделами математики. В частности, он раз-
работал метод приблизительного решения алгеб-
раических уравнений n-ого порядка. Занимался
Лобачевский также и теорией вероятностей.
В 1846 году исполнилось 30 лет работы Лобачев-
ского на посту руководителя кафедры, и, в соответ-
85 ствии с действовавшими тогда в России правилами,
Поверхность соответствующая
геометрии .Лобачевского
ой должен был уйти с этого поста. Но Сенат уни-
верситета, учитывая его заслуги, единогласно ре-
шил оставить его на кафедре. Спустя несколько
лет Лобачевский потерял зрение и свою послед-
нюю работу „Пангеометрия” диктовал.
Николай Иванович Лобачевский умер в 1856 году
с верой в то, что его работа будет понята и про-
должена учеными будущих поколений.
ЯКОБ ШТЕЙНЕР
(1796—1863)
Якоб Штейнер родился в 1796 году в семье кре-
стьянина в Утцендорфе около Солотурна в
Швейцарии. В математике он был самоучкой. Он
особенно полюбил геометрию после ознакомления
с идеями Песталоцци.
В 1815 году он переехал в Гейдельберг и стал рабо-
тать частным преподавателем, что дало ему воз-
можность учиться в Педагогическом институте.
В это время он давал репетиции сыну министра
фон Гумбольдта.
В 1834 году министр и его брат Александр,
в стремлении оживить идеи Песталоцци, пригла-
сили Штейнера в Берлин и организовали специаль-
но для него университетскую кафедру. Он был
также избран членом Академии Наук. В Берлине
Штейнер работал до самой смерти.
Штейнер был представителем так называемой
„чистой геометрии”. По его мнению, геометрию
лучше всего изучать умозрительно. Он утверждал,
что расчет заменяет мышление, а геометрия, на-
оборот, это мышление укрепляет. Заслуги Штей-
нера в геометрии огромны. Ему удалось обогатить
ее многими важными и часто весьма трудными
теоремами. Однако он часто не приводил доказа-
тельств, поэтому его математические труды стали
сокровищницей идей, требующих доказательств, 86
чем с удовольствием пользуются многие математи-
ки. При помощи одного из своих методов, так на-
зываемого четырехшарнирного метода, Штейнер
весьма остроумно доказал, что круг является гео-
метрической фигурой с наибольшей площадью из
всех фигур на плоскости, ограниченных замкну-
тыми кривыми одинакового периметра.
Штейнер занимался и элементарной геометрией,
причем доказал, что все фигуры геометрии Эвкли-
да можно начертить с помощью линейки, если
только в той же плоскости дана окружность и ее
центр. А вот интересная конструкция, так назы-
ваемое построение Штейнера, которое -заключа-
ется в том, чтобы при помощи одной только линей-
ки вычертить прямую, параллельную отрезку пря-
мой, с данной точкой ее центра.
Даны: отрезок АВ, середина отрезка S и точка Р,
не лежащая на прямой АВ. Провести прямую, па-
раллельную АВ, проходящую через точку Р.
Построение: проводим из точки А полупрямую че-
рез точку Р. На этой прямой выбираем точку С
так, чтобы она не лежала на отрезке АР, затем
соединяем точки С и S, Р и В, С и В. На пересече-
нии отрезков РВ и CS получаем точку М. Через
точки А и М проводим прямую, которая пересечет
отрезок СВ в точке D. Через точки PhD проводим
искомую прямую, параллельную АВ.
Нильс Генрих Абель, поощренный своим учите-
лем, пытался решить общее алгебраическое урав-
нение выше четвертой степени. Сначала ему по-
казалось, что он нашел правильное решение зада-
чи, издавна интересовавшей многих математиков.
Но когда он нашел в своих расчетах ошибку, ему
87 пришла в голову идея попытаться доказать, что
НИЛЬС ГЕНРИХ АБЕЛЬ
(1802—1829)
На теоремы Меля о рядах вытекает,
ЧП1-^ + ±-±+1-
где число Эйлера е-2,718281...
решение задачи невозможно. Попытка Абеля увен-
чалась успехом. Доказанная двадцатидвухлетним
математиком невозможность общего решения ал-
гебраического уравнения выше четвертой степени
оказалась новым этапом на пути развития совре-
менной алгебры.
Следует подчеркнуть, что сама проблема была по-
ставлена еще Лагранжем, что по пути, указанному
им, пытался идти итальянский математик Руф-
фини, но только Абелю удалось успешно решить
проблему.
Абель принадлежал к числу наиболее плодотвор-
ных математиков XIX века. Он родился в 1802 го-
ду в Финдё в Норвегии в семье пастора. Его корот-
кая и тяжелая жизнь проходила в крайней нужде,
его заслуги не были оценены, и он был не понят
математиками, находившимися в то время у вер-
шин славы. Даже знаменитый Гаусс, кото-
рому Абель послал доказательство своего зна-
менитого утверждения о неразрешимости в ради-
калах^ общего буквенного уравнения выше
четвертой степени, не обратил внимания на мно-
гообещающего молодого математика. С таким же
равнодушием и непониманием встретился Абель
во время своего пребывания в Париже в 1824 году
со стороны известных французских математиков.
Его работа, представленная Парижской Академии
Наук, была признана и опубликована только после
смерти Абеля. Некоторые свои труды Абель пе-
чатал в математическом журнале, издаваемом
в Германии Креллем.
Исследования, начатые в области алгебры, Абель
расширил на те разделы интегрального исчисле-
ния, которые были тесно связаны с алгеброй. Итак,
подобно тому, как это было с уравнением выше 4
степени, Абель доказал невозможность интегриро-
вания многих функций при помощи элементарных
функций. Исследования эти привели Абеля к от-
88
крытию эллиптических и гиперэллиптических
функций. Интегралы этих функций являются ча-
стным случаем так называемых Абелевых инте-
гралов (интегралы алгебраических функций). Эти
интегралы нашли широкое применение, например,
в современной теоретической физике. В теории
рядов известна теорема Абеля о равномерной схо-
димости ряда. К сожалению, все публикации
и представленные иностранным академиям труды
Абеля встретились с полным молчанием. После
возвращения на родину Абелю пришлось зараба-
тывать на хлеб репетиторской работой и содер-
жать за счет своего небольшого заработка овдо-
вевшую мать и младших братьев. Только лишь
в 1828 году он получил пост доцента в универси-
тете и инженерной школе в Осло. Плохие мате-
риальные условия сказались столь отрицательно
на его здоровье, что в 1829 году Абель в возрасте
всего двадцати семи лет умер от туберкулеза.
Письмо с предложением возглавить кафедру
в Берлинском университете в это время находи-
лось в пути и не попало в руки Абеля при его
жизни.
ЭВАРИСТ ГАЛУА
(1811—1832)
К. 1830 году на научном небосклоне загорелась
звезда необыкновенной яркости: Эварист Га-
луа”. Такими словами встретил известный немец-
кий математик Феликс Клейн появление матема-
тического гения, который, несмотря на необыкно-
венную молодость (трагически погиб не достигнув
21 года), получил в математике результаты, обес-
печившие ему достойное место среди создателей
основ современной алгебры.
Галуа родился в Бург-ла-Рейн около Парижа. Его
89 отец был учителем в начальной школе. В 1823 го-
ду молодой Галуа оставил родной дом и поступил
в четвертый класс лицея имени Людовика Велико-
го. В 15-летнем возрасте он случайно заинтересо-
вался необязательной в классе риторикой мате-
матики и уже через несколько недель после
ознакомления с геометрией Лежандра стал форму-
лировать собственные взгляды.
Еще будучи учеником лицея, он напечатал науч-
ную статью в математическом журнале и затем
написал большую работу с результатами своих
исследований, которую послал в Академию Наук.
К сожалению, рукопись Галуа, содержащая не-
сомненно гениальные идеи столетия, утеряна.
Трудно себе представить, что Галуа два раза не
выдержал экзамен по математике в Ecole Poly-
technique. В ответах на слишком легкие по его
мнению вопросы он ограничивался только сжаты-
ми, логическими, совершенно понятными ему ут-
верждениями и отказывался давать более обшир-
ные пояснения.
В 1830 году Галуа поступил в Ecole Normale, но
уже год спустя был исключен за разоблачение
в печати двуличной роли директора школы во
время июльского переворота.
После вступления на трон Людовика Филиппа, Га-
луа принимал активное участие в политической
борьбе в рядах левой республиканской партии
„Друзей народа”.-За публичное выступление про-
тив королевской власти его два раза аресто-
вали. Находясь в тюрьме, он получил письмо из
Академии Наук — ответ на вторично высланную
рукопись. Выдающийся математик Пуассон, рефе-
рировавший работу, дал следующее заключе-
ние: „... мы даже не в состоянии понять основную
мысль автора”.
Сразу же после выхода из тюрьмы Галуа погиб
на дуэли, спровоцированной его политическими
противниками. 90
Основные работы Галуа посвяще гы разрешимости
алгебраических уравнений. Он доказал невозмож-
ность решения в радикалах произвольных алгеб-
раических уравнений выше 4 степени. Значитель-
ным достижением Галуа было нахождение необхо-
димого и достаточного условия, которому удовлет-
воряют уравнения данной степени, разрешимые
в радикалах. Чтобы получить этот результат,
Галуа создал совершенно новую теорию (теория
групп, известна также под названием „теория
Галуа”), где он ввел ряд фундаментальных поня-
тий, например, алгебраического тела и алгебраи-
ческой группы. Теория групп оказала влияние не
только на развитие алгебры, но и всей математи-
ки XIX века, а идеи и методы теории групп нахо-
Лят постоянно новые применения, например, в со-
временной. квантовой механике и кристаллогра-
фии.
Галуа занимался тоже функциями комплексного
переменного.
Перед смертью, в письме своему приятелю мате-
матику А. Шевалье, он полностью изложил свою
теорию алгебраических уравнений. Просил своего
друга, чтобы он представил эти открытия Гауссу
и Якоби и попросил, чтобы они высказали своё
мнение об его работе.
Труды Галуа были опубликованы спустя 14 лет
после его смерти.
Циклические изменения: цифра 1 пе-
реходит в 2, цифра 2 в3...и послед-
няя цифра (на черт.) переходит в пер -
вую, то есть в 1.
Карл Густав Якоб Якоби родился в Потсдаме
в семье берлинского банкира. Его старший брат
был известным и уважаемым физиком, профес-
сором в Петербурге. Много внимания любимой
науке он посвятил в средней школе. После окон-
91 чания школы он начал изучать математику в Бер-
КАРЛ ГУСТАВ
ЯКОБ ЯКОБИ
(1804—1851)
Поверхность соответствующая одной из
двупериодической функции Якойт
лине. Его научная карьера была прямо-таки мол-
ниеносной. В возрасте всего лишь 21 года, осенью
1825 года, Якоби была присвоена ученая степень
доктора. Весной следующего года он уехал в Ке-
нигсберг и поступил на работу в университет. По
общему мнению, Якоби был прекрасным педагогом.
Работая в университете, Якоби углублял свои ма-
тематические знания. В Кенигсберге ему было
присвоено звание доцента, а годом позже (1827 г.)
звание экстраординарного профессора, в 1836 году
он был членом Берлинской Академии Наук.
Якоби принадлежит к числу создателей теории
эллиптических функций. Он открыл ряд правил
по теории чисел, линейной алгебре, исследовал
дифференциальные уравнения динамики, зани-
мался уравнениями первого порядка с частными
производными. Работал над многими математиче-
скими проблемами. Трудно найти отрасль совре-
менной математики, в которой не работал бы Якоби.
Основное его произведение „Fundamenta novae
theoriae functionum ellipticarum”. Несмотря на мо-
лодость, был известным и ценимым педагогом.
Якоби интересовался и политикой. Первоначально
входил в число сторонников короля, потом, однако,
стал, хотя и не очень решительно, на сторону ре-
волюционеров.
В своей научной работе Якоби вновь занялся ря-
дом проблем, оставленных Гауссом и Лагранжем.
Он закончил, например, таблицы уравнения
Хп = А, которые Гаусс разработал только для
чисел до 89. Якоби расширил их на все числа
до 1000. Якоби продолжил начатые Лагранжем ра-
боты по уравнению деления окружности и работы
Гаусса по теории чисел.
В 1829 году Якоби начал работу в области теории
аналитических функций. В 1834 году он напечатал
свои труды относительно квадратичных форм. Он
интересовался также закономерностями во множе- 92
стве целых чисел. Он высказал идею представле-
ния любого целого числа в качестве суммы ква-
дратов целых чисел, он пытался применить теорию
эллиптических функции в аналитической геомет-
рии, например, при помощи эллиптического интег-
рала осуществил конформное преображение эл-
липсоида в плоскость. Весьма интенсивная научная
работа быстро истощила молодой организм. В 1843
году Якоби оставил Кенигсберг и уехал лечиться
в Италию. Оттуда вернулся в Берлин, где работал
еще несколько лет. Умер Якоби в Берлине 18 фе-
враля 1851 года от оспы.
Полное собрание сочинений Якоби издано в 1881—
1891 годах Берлинской Академией в 8 томах.
Одно из почетных мест в истории математики
принадлежит русскому ученому Михаилу Ва-
сильевичу Остроградскому. Большие способности,
прекрасное математическое и естественное обра-
зование . позволили ему добиться великолепных
и значительных результатов в различных от-
раслях математики и. механики. Остроградский
был широко известным ученым и за пределами
своей страны. Об этом красноречиво свидетель-
ствует то, что он был членом Туринской, Петербург-
ской (1830 г.), Римской, Американской и Фран-
цузской Академий Наук. Слава этого ученого
в России была столь велика, что родители, желая
поощрить молодых людей к учению, убеждали их
словами: „учись, и будешь, как Остроградский”.
‘Михаил Остроградский родился в 1801 году в се-
мье богатого помещика Полтавской губернии. Ему
не удалось окончить гимназию, потому что отец
вообразил себе, что столь атлетически сложенный
93 молодой человек должен обязательно посвятить
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ
ОСТРОГРАДСКИЙ
(1801—1861)
себя военному делу. В 15-летнем возрасте молодой
Остроградский выехал с отцом в Петербург, чтобы
записаться в гвардейский полк. В дороге, под влия-
нием усиленных просьб семьи, отец Остроградско-
го изменил намерение. Молодой Михаил поступил
в Харьковский университет.
Сначала Михаил учился посредственно, потому
что сам мечтал о карьере офицера. И только тог-
да, когда он поселился на квартире у профессора
математики Павловского, то под его влиянием
заинтересовался наукой и вскоре оказался одним
из лучших студентов, в особенности, по матема-
тике.
В 1820 году, после того как он сдал все экзамены
с великолепным результатом, университетские
власти отказались выдать Остроградскому диплом,
мотивируя свое решение неблагонадежностью мо-
лодого студента. Остроградский выехал в Париж
и там посещал лекции Ампера, Коши, Лапласа,
Пуассона и других. Вскоре он сам стал испытывать
свои силы в математике и за вычисление особо
трудных интегралов получил от Коши специаль-
ную похвалу.
В 1825 году Остроградский представил Француз-
ской Академии работу о распространении волн на
поверхности жидкости. В этом же году он начал
свою педагогическую работу в Коллеже имени Ген-
риха IV. В 1828 году Остроградский вернулся
в Россию. Здесь он стал преподавать математику
в Главном педагогическом институте, Морском
корпусе и в Михайловском артиллерийском учи-
лище.
Лекции Остроградского всегда были тщательно
подготовлены. Для подготовки к чтению лекций
он пользовался новейшими достижениями фран-
цузских математиков, еще не известных в Рос-
сии.
Остроградский был одним из основателей Петера 94
бтргской школы математиков. Он напечатал много
работ по теоретической механике, математической
физике, теории чисел, алгебре и теории вероятно-
стей. Получил дифференциальное уравнение рас-
пространения тепла в жидкостях и твердых телах,
нашел формулу преобразования интеграла по
объему в интеграл по поверхности, известного всем
студентам как интеграл Гаусса-Остроградского.
Ввел понятие сопряженного дифференциального
оператора. В работе „О преобразовании перемен-
ных в кратных интегралах” доказал формулу
преобразования переменных интегрирования в
двойных и тройных интегралах. Доказательства
Остроградского приводятся теперь во всех учеб-
никах высшей математики. Критерием важности
математических работ Остроградский считал воз-
можность их практического применения. Он за-
нимался статистическими методами вычисления
браковки, с целью облегчить работы по проверке
товаров, поставляемых армии. Умер Остроградский
внезапно в 1861 году в Полтаве, по пути из дома
в Петербург.
Две тысячи лет — это период, в течение которого
погибли многие древние цивилизации и возник-
ли новые, но на протяжении этих двух тысяч лет
многие поколения математиков интересовались
известной аксиомой Эвклида, что в результате ро-
дило новые геометрические идеи, совершенно про-
тивоположные идеям Эвклида. Математики пы-
тались дать ответ на следующий вопрос: зависит
ли аксиома Эвклида от остальных аксиом геоме-
трии, или нет, и можно ли получить и доказать эту
аксиому как теорему? От ответа на этот вопрос
95 зависела возможность построения новой геоме-
ЯНОШ БОЛЬЯЙ
(1802—1860)
трии, отличной от геометрии Эвклида и содержа-
щей в качестве аксиомы отрицание аксиомы
Эвклида^ Решить этот вопрос положительно для
развития геометрии удалось только лишь в конце
этого двухтысячелетия. Решение пришло одно-
временно с трех сторон: из России — от Лобачев-
ского, из Германии — от Гаусса, и из Венгрии —
от Больяя.
Судьба этого венгра представляет особый интерес.
Это драма человека, глубоко заинтересованного
в развитии новых революционных идей.
Янош Больяй родился в 1802 году в городе Колош-
варе. Его отец Фаркаш, профессор математики,
значительную часть своей жизни посвятил упомя-
нутым нами вопросам, однако, не достиг сколько-
нибудь значительных результатов. Поэтому он
убеждал сына отказаться от решения этих про-
блем.
Однако Янош не послушал совета отца и уже во
время обучения в Королевской инженерной ака-
демии в Вене начал искать правильное решение.
Чертежи, сохранившиеся с того времени, свиде-
тельствуют о том, что молодой Больяй нашел пра-
вильный путь.
Упомянутая выше Академия воспитывала членов
военного инженерного корпуса, и Больяй в возра-
сте двадцати лет поступил на военную службу.
В армии молодой офицер, кроме прямых обязан-
ностей и дуэлей, посвящал свое время игре на
скрипке и математике. Продолжая свои поиски, он
еще в 1825 году нашел основные понятия и теоре-
мы неэвклидовой геометрии. Однако попытки дать
точные доказательства заняли у него еще шесть
лет труда. В конце концов он поместил получен-
ные результаты в виде приложения к книге своего
отца, изданной в 1832 году. Содержание этого при-
ложения, носящего заглавие „Appendix scientiam
spatii dbsolutu veram exhibens”, отличалось чрез- 96
вычайной сжатостью и схематичностью, но по про-
думанности каждого слова и обозначения — при-
надлежит к числу прекраснейших произведений
математической литературы.
Несмотря на важность работы Больяя, его мате-
матический труд ни у кого не возбудил интереса,
кроме Гаусса, который воспринял работу молодого
венгра с энтузиазмом. Однако, утверждение Гаус-
са, будто бы он сам добился подобных результатов,
огорчило Больяя больше, чем отсутствие интереса
к его трудам со стороны других математиков.
С этого времени Больяй стал подозревать Гаусса
в том, что тот использовал его идеи. Эти подозре-
ния' были совершенно безосновательны, доказа-
тельством чему является одно из писем Гаусса,
в котором он выражает мнение об „Appendix
scientiam”: „Я считаю молодого геометра фон
Больяя гением первой величины”.
Неуспех в конкурсе, проводившемся в Лейпциге
в 1837 году, сильно сказался на умонастроении
молодого венгра. Больяй выслал на конкурс вели-
колепную работу, предвосхитившую конструкцию
Гамильтона. Однако эта работа не получила при-
знания со стороны жюри. Несмотря на состояние
глубокой депрессии, Больяй поставил перед собой
задачу построить геометрию, свободную от любых
умозрительных заключений, опирающуюся толь-
ко на логические предпосылки общей геометрии.
Такая задача в то время еще не могла быть ре-
шена. Потребовалось еще 50 лет упорного труда
многих ученых для ее решения. После ознаком-
ления с работой Лобачевского, озаглавленной „Гео-
метрические исследования по теории параллель-
ных прямых”, вышедшей в свет в 1840 году на не-
мецком языке, угнетенное состояние духа у Больяя
дошЛо до предела.
Больяй вообразил, что Лобачевский вообще не
97 существует, что под его именем скрывается Гаусс.
Сумма углов криволинейного треугаль-
ника мохет быть больше двух прямых
углов
С этого времени талантливый венгр, перестал пу-
бликовать свои работы по математике и умер
в 1860 году, за пять лет до того, как его идеи полу-
чили всеобщее признание.
Дирихле (правильнее Дерихле),
немецкий математик, родился 13
ПЕТЕР ГУСТАВ
ЛЕЖЁН ДИРИХЛЕ
(1805—1859)
Петер Густав
крупнейший
февраля 1805 года в Дюрене, Рейнской провинции.
В молодости (1822 г.) он переехал в Париж, где
поселился в доме генерала Фуа. Здесь ему предста-
вился удобный случай познакомиться со многими
, знаменитыми учеными, философами и математи-
ками. В это же время он посещал лекции в College
de France и глубоко изучил труд Гаусса: „Disquisi-
tiones arithmeticae”, что дало направление его ис-
следовательским устремлениям. В1826 году Дирих-
ле возвратился в Германию, где получил должность
приват-доцента в Бреславльском университете
(ныне Вроцлавском), а потом переехал в Берлин.
Здесь он был сначала приват-доцентом (1829 г.), за-
тем ординарным профессором (1831 г.) в универси-
тете. Одновременно он стал преподавателем воен-
ного училища. В 1855 году Дирихле был приглашен
в Геттингенский университет в качестве замести-
теля Гаусса. Оригинальное творчество Дирихле ка-
сается, в основном, теории чисел,теории рядов, ин-
тегрального исчисления и некоторых проблем ма-
тематической физики. В 1825 году Дирихле
написал труд „Метогге sur I’impossibilite”, кото-
рый, будучи представлен Парижской Академии,
обратил на него внимание ученых и обеспечил ему
славу прекрасного математика. В этой работе Ди-
рихле рассмотрел случай так называемой вели-
кой теоремы Ферма для п — 5 (Эйлер и Лагранж 98
рассматривали случай п = 3 и п — 4). После это-
го Дирихле дал доказательство теоремы Гаусса
для двуквадратичных остатков. Дирихле показал
большую роль анализа и теории аналитических
функций для решения проблем теории чисел. Из-
вестна доказанная им теорема о существовании
бесконечно большого числа простых чисел во
всякой бесконечной арифметической прогрессии
из целых чисел, первый член и разность которой
— числа взаимно простые. До Дирихле эта пробле-
ма представляла для математиков непреодолимые
трудности. Дирихле первый дал точное доказа-
тельство сходимости рядов Фурье, известное
повсеместно как признак Дирихле, а в вариацион-
ном исчислении привел так называемый прин-
цип Дирихле. Эти работы дали повод другим
математикам, Например, Риману и Кантору, углу-
бить исследования, что привело их к новым откры-
тиям. Свои исследования и трактаты Дирихле пе-
чатал в математическом журнале Крелла и в тру-
дах Академии. Он не написал крупного произве-
дения, но его научное наследие и его лекции
значительно продвинули вперед развитие матема-
тических знаний в Германии. После смерти
Дирихле его лекции по теории чисел в обработке
Дедекинда стали классическим трудом. Дирихле
умер 5 мая 1859 года в Геттингене.
i ‘-’I*.?
Арифметические прогрессии с беско-
нечным числом простых чисел.
Пути развития современной математики в значи-
тельной мере были предопределены трудами
немецкого ученого XIX века Георга Фридриха
Бернхарда Римана.
Риман родился в семье деревенского пастора. По
настоянию отца он первоначально поступил на
99 теологический факультет Геттингенского универ-
ГЕОРГ ФРИДРИХ
БЕРНХАРД РИМАН
(1826—1866)
ситета, но вскоре его наклонности и интерес к точ-
ным наукам взяли верх, и молодой студент полно-
стью посвятил себя изучению математики. Риман
слушал лекции Гаусса, а потом, уже в Берлинском
университете, таких превосходных математиков,
как: Дирихле, Якоби, Штейнер. Его воспитателем,
учителем и другом стал Дирихле. Это весьма бла-
готворно сказалось на развитии творческих спо-
собностей Римана. В 1851 году он защитил в Гет-
тингене диссертацию, посвященную теории ком-
плексных функций, и получил степень доктора
математики, через три года после представления
двух работ: „О возможности представления функ-
ции посредством тригонометрического ряда” и
„О гипотезах, лежащих в основании геометрии”
он был назначен приват-доцентом.
Первая из этих работ была посвящена исследова-
нию условий Дирихле о разложимости функции
в ряд Фурье. В этой работе Риман обобщил и до-
полнил результаты, полученные его учителем.
Вторая его работа по геометрии оказала чрезвы-
чайно большое влияние на развитие математиче-
ских и физических идей. Дело в том, что Риман
дал классификацию всех существующих видов
геометрии, включая найденные уже неэвклидовы
геометрии, и показал возможность создания любо-
го числа новых пространств. Эта работа открыла
Эйнштейну путь к разработке общей теории отно-
сительности.
С течением времени Риман стал преподавать
в Геттингенском университете. На его первую лек-
цию, говорят, пришло всего лишь восемь человек,
а на следующую и того меньше. Дело в том, что
Риман ощущал сначала известные трудности при
чтении лекций. Но спустя некоторое время он
писал: „... Моя первоначальная застенчивость уже
несколько прошла: я привыкаю больше думать
о слушателях, чем о себе, и научился читать по 100
их лицам, могу ли продолжать лекцию или дол-
жен еще раз вернуться к рассматриваемой про-
блеме ..
Застенчивость РимаНа вскоре совершенно про-
шла, и, благодаря его тщательной подготовке
к лекциям, он стал добиваться хороших резуль-
татов в обучении студентов.
В своих лекциях он использовал часто нигде не
опубликованные материалы. После его смерти слу-
шатели тщательно собрали свои записки, и таким
образом было создано дополнение к собранию тру-
дов Римана, изданное почти через сорок лет после
его смерти. Некоторое понятие о том, как много
сделал Риман для развития математики, может
дать перечень методов, теорем и проблем, носящих
его имя: теорема Римана-Роха об алгебраических
функциях, пространства Римана, интеграл Ри-
мана, лемма Римана-Лебега о тригонометрических
интегралах, геометрия Римана, гипотеза Римана,
Римановы матрицы в теории Абелевых функций,
зета-функция Римана, метод Римана решения ча-
стных дифференциальных уравнений гиперболи-
ческого типа и много, много других. И несмотря на
то, что он написал очень немного работ, а напеча-
тал еще меньше, любая из них отличалась огром-
ной важностью и множеством новых идей. К со-
жалению, туберкулез преждевременно прекратил
жизнь великого ученого.
Поверхность Римана для функции.
z= \!<z-zj(z-z2)(z-z3T
Карл Вейерштрасс родился 31 октября 1815 года
в деревне Остфельд в Вестфалии, в округе
Мюнстер. В противоположность многим другим
выдающимся немецким математикам, Вейерштрасс
происходил из католического семейства. В воз-
расте 14 лет, т. е. в 1829 году, родители определи-
101
КАРЛ ТЕОДОР
ВИЛЬГЕЛЬМ
ВЕЙЕРШТРАСС
(1815—1897)
ли его в гимназию в городе Падерборн. Вейер-
штрасс учился хорошо, хотя и не выделялся осо-
бенно из числа других учеников даже по матема-
тике. В 1834 году Вейерштрасс окончил гимназию
и выехал в Бонн, где поступил на юридический
факультет университета. Здесь он начал интересо-
ваться математикой, стал ее тщательно изучать,
посещал лекции профессора Гудерманна. В 1839
году он переехал в Мюнстер, где продолжал уче-
ние. Однако материальные условия вынудили
Вейерштрасса поступить на работу в среднюю
школу. Математический факультет университета
Вейерштрасс окончил в 1841 году. Для своей дис-
сертации ученый избрал тему по эллиптическим
функциям, которую профессор Гудерманн опре-
делил как „слишком трудную”. Профессор Гу-
дерманн, однако, Не разочаровался в своем ученике.
В отзыве, представленном Экзаменационной ко-
миссии, он дал Вейерштрассу восторженную ха-
рактеристику, а когда узнал результаты работы
Вейерштрасса, дописал следующие слова: „Вейер-
штрасс как равноправный вошел в ряды изобрета-
телей, покрытых славой”. Это выражение пока-
залось председателю Комиссии излишней лестью
и он, абсолютно не зная результатов работы Вейер-
штрасса, вычеркнул эту фразу из отзыва профес-
сора.
Профессор Гудерманн убеждал Вейерштрасса на-
печатать работу, но он отдал ее в печать вместе
с другими своими работами только через 54 года,
уже как известный мастер в своей области. Соб-
ственно говоря, с этого времени начинается са-
мостоятельная работа Вейерштрасса над многими
проблемами математики.
В своей научной деятельности Вейерштрасс, в ча-
стности, занимался теорией аналитических функ-
ций, в основу которой положены степенные ряды,
линейной алгеброй. Вейерштрасс до такой степени 102
разработал теорию функций комплексного пере-
менного, что дал, собственно, совершенно новые
основы этой области. Известна его теорема о схо-
димости рядов. Он был сторонником так называе-
мой арифметизации алгебры, то есть исключения
геометрии из всех доказательств по алгебре. Сна-
чала он пытался осуществить это, но позже вре-
менно оставил эту идею.
Вейерштрасс никогда не пытался найти примене-
ния своим открытиям в механике. Эту работу он
рекомендовал своим ученикам и сотрудникам,
в частности, Ковалевской, Шварцу, Миттаг-Леф-
леру.
Получив университетский диплом, Вейерштрасс не
бросил свою работу в средней школе. Некоторое
время он оставался в Мюнстере, потом переехал
в Дейч-Кроне (ныне Валч в Польше) и прожил
там с 1842 по 1848 год. В 1848 году он уехал из
Дейч Кроне в Браунсберг, где семь лет работал
в средней школе, то есть до 1855 года. На сороко-
вом году жизни Вейерштрасс был удостоен звания
экстраординарного профессора и поселился в Бер-
лине. Здесь он начал работать в университете и че-
• рез восемь лет упорного труда был назначен орди-
нарным профессором университета. Лекции Вейер-
штрасса пользовались огромной популярностью
у студентов. Будучи поглощен научной и педагоги-
ческой работой, Вейерштрасс нигде не публико-
вал свои труды. Поэтому многие теоремы, доказан-
ные Вейерштрассом, были впоследствии повторены
другими учеными.
Всю свою долгую жизнь Вейерштрасс посвятил
научной работе по математике. В Берлине Вейер-
штрасс работал более 30 лет и умер 19 февраля
1897 года так и не дождавшись публикации своих
работ.
Блестящие труды Вейерштрасса были впервые
103 опубликованы в 1898 году.
_____
\/<л3-ал-Ь
Эллиптический интеграл
Вейерштрасса
ЛЬВОВИЧ
ЧЕБЫШЕВ
(1821—1894)
В док ладе, прочитанном в декабре 1894 года на
заседании Российской Академии Наук через
несколько дней после смерти Чебышева, академик
А. А. Марков сказал: „ ... двадцать шестого нояб-
ря неожиданно умер П. Л. Чебышев. Это нево-
сполнимая потеря для нашей Академии... Имя
Чебышева известно в Париже также как и в Пе-
тербурге. Он уже много лет состоит членом вось-
ми иностранных Академий Наук, что свидетель-
ствует о нем, как о выдающемся геометре, извест-
ном всей Европе ...”
В этих словах нет преувеличения, так как Чебы-
шев оказал огромное влияние на развитие мировой
науки.
Несмотря на то, что со дня смерти Чебышева
прошло уже более полувека, его труды все еще
остаются актуальными. Разработанными темами
и способом решения поставленных задач Чебышев
создал новую математическую школу, известную
в научном мире как школа Чебышева, или пе-
тербургская математическая школа.
К числу наиболее выдающихся представителей
этой школы принадлежали Марков, Ляпунов,
Золотарев и многие другие. Математики из шко-
лы Чебышева разрабатывали проблемы матема-
тического анализа, теории чисел, теории вероят-
ностей.
Юные годы Чебышева мало известны. Он родился
26 мая 1821 года в имении своего отца в селе Ока-
тове Калужской губернии. Семья его принадле-
жала к старинному дворянскому роду. Получив
начальное образование, Чебышев выехал в Мо-
скву, где поступил в гимназию. Его учитель ма-
тематики Погорельский заметил выдающиеся ма-
тематические способности Чебышева и убедил его
поступить на математический факультет. Во вре-
мя обучения в Московском университете Наиболь-
шее влияние на формирование мировоззрения мо- 104
лодого Чебышева оказали профессора Брашман
и Ершов. После четырехлетнего обучения Чебы-
шев закончил университет со степенью кандидата
наук. В 1846 году он получил степень магистра
и переехал в Петербург, где поступил на должность
адъюнкта кафедры теории уравнений Петербург-
ского университета. В 1849 году, после защиты
диссертации на тему „Теория сравнений”, Чебы-
шев получил научную степень доктора, а три-года
спустя был назначен экстраординарным профес-
сором; в I860 году ему присвоили звание ординар-
ного профессора, а в 1872 году — заслуженного
профессора. Начиная с 1856 года Чебышев состоял
членом Петербургской Академии Наук, в 1859 го-
ду получил звание действительного члена Акаде-
мии. В последующие годы Чебышев был избран
членом многих иностранных академий и научных
обществ, как, например, Парижской Академии
Наук (1860 г.), Королевского научного общества
в Лондоне (1877 г.) и т. д.
Чебышев опубликовал много научных работ. Он
занимался теорией интерполяции и приближения-
ми функций, применяя при решении этих проблем
многочлены, получившие название многочленов
Чебышева. Его труды по теории чисел положили
начало деятельности петербургской математиче-
ской школы. В области теории вероятностей Че-
бышев опубликовал свой знаменитый труд, касаю-
щийся неравенства, до сих пор называемого нера-
венством Чебышева. В своих дальнейших трудах
он открыл закон больших чисел, то есть одну из
так называемых предельных теорем в теории ве-
роятностей.
Большинство проблем, которыми занимался Че-
бышев, отличается большой практической ценно-
стью., Он решил много задач по механике, сопро-
тивлению материалов и картографии. В частности,
он написал работы: „и шестернях”, „О построении
Неравенство Чебышева, позволяет
например, определить вероятность
того, что на 10 тысяч бросков монеты,
количество выпавших гербов будет
находится между 4900 и 5100, по
крайней мере в 75%
Р[4900 <х < 5100]> 75%
географических карт” и „О кройке одежды”. Ка-
залось бы, работы эти имеют мало общего с так
называемой чистой математикой, но Чебышев ра-
ботая, например, над вопросом кройки одежды,
обосновал практическое применение закона
о функциях. Именно практическая ценность его
работ принесла Чебышеву мировую славу. Умер
Чеоышев 8 декабря 1894 года в Петербурге. Пол-
ное собрание его сочинений собрано и издано Ака-
демией Наук СССР в 5 томах.
ШАРЛЬ ЭРМИТ
(1822—1901)
Шарль Эрмит, французский математик, родился
24 декабря 1822 года в городе Дьец (департа-
мент Мёрт). Еще будучи студентом Политехниче-
ской школы в Париже, он написал работу об Абе-
левых функциях, и в 1848 году был назначен
помощником преподавателя математического ана-
лиза и экзаменатором этой школы. В 185$ году за
выдающиеся научные труды Эрмит был избран
членом Академии Наук в Париже, а в 1869 году
назначен профессором Политехнической школы.
Начиная с 1870 года, Эрмит состоял профессором
точных наук в Сорбонне. После смерти Коши
в 1857 году Эрмит считался передовым аналити-
ком Франции.
Работы Эрмита касались, в основном, теории чисел,
эллиптических функций, тэта функций, теории
инвариантов и модулярных функций. Он решил
уравнение 5 степени при помощи эллиптических
функций. В своих письмах Эрмит называл созда-
телей теории инвариантов, то есть Кейли, Силь-
вестра и себя, „тройцей инвариантов”.
В 1873 году Эрмит доказал, что число е явля-
ется не только иррациональным, но и трансцен- 106
дентным* числом. Используя метод, аналогичный
методу Эрмита, Линденманн в 1882 году доказал
трансцендентность числа П.
Известны математические термины: „числа Эрми-
та”, „формы Эрмита” и „многочлены Эрмита”.
К числу работ Эрмита принадлежит также реше-
ние в целых числах системы линейных уравнений
с целыми коэффициентами. Эта проблема была
обобщена другими математиками.
Эрмит был убежден, что числа и аналитические
функции не являются произвольным плодом че-
ловеческого разума, а реально существуют вне
нас и независимо от нас, подобно предметам реаль-
ного мира, и что математики открывают их и ис-
следуют так, как это делают ученые других отра-
слей науки, например физики, химики или зооло-
ги. Поэтому нет ничего удивительного, что в одном
из писем нидерландскому математику Стильтье-
су, его другу, Эрмит написал: „Я с отвращением
отвергаю это, достойное сожаления, болото функ-
ций без производных”. Дело в том, что исследова-
ния основ анализа привели к необходимости зани-
маться некоторыми функциями с неожиданными
и странными по тем временам свойствами. Пуан-
каре неодобрительно отзывается о новых функ-
циях, не имеющих практической цели. Как видно
из высказываний Эрмита, он был тоже ярым про-
тивником исследования этих функций. На самом
деле эти исследования привели к возникновению
в середине XIX века новой отрасли математики,
которая ныне известна как теория функций дей-
ствительных переменных.
В обширной корреспонденции со Стильтьесом, из-
данной в 1905 году в 4 томах, содержится ряд ра-
* Трансцендентными числами называются действительные
или мнимые числа, не удовлетворяющие никакому алгеб-
107 раическому уравнению с целыми коэффициентами.
Гермипвские многочлены
Н1{2}=2
Нг1г)=2г-1
Н3(г)=г3-32
общ ий вид которых представлен при
помощи формулы;
H„(z) = l-1fe^-^ е~~Ч
<12 ' '
бот Эрмита по функции комплексного перемен-
ного.
В жизни Эрмит отличался большой скромностью,
примером чего является факт, что в письме
к Стильтьесу относительно математических проб-
лем он часто признавал правоту Стильтьеса. Эрмит
умер в Париже 14 января 1901 года.
СОФИЯ ВАСИЛЬЕВНА
КОВАЛЕВСКАЯ
(1850—1891)
В числе сотни наиболее выдающихся математи-
ков последних веков почетное место принадле-
жит женщине. Это — София Ковалевская, рож-
денная КорвингКруковская, русская. София Ко-
валевская родилась 15 января 1850 года.
Женщины в царской России были лишены права
получать высшее образование, они не могли посту-
пать в высшие учебные заведения. Поэтому Ко-
валевская встретила на своем пути к научной
карьере большие препятствия. Она не смогла по-
ступить в Московский университет и начала изу-
чать математику частным образом, так как именно
в этой отрасли знаний уже с ранних лет от-
личалась большими способностями. После этого
она выехала в Германию и только там, в Гейдель-
бергском университете, могла слушать курс мате-
матики и физики. Позднее она переехала в Берлин
и там обратила на себя внимание выдающегося
математика Вейерштрасса. Восхищенный ее спо-
собностями, Вейерштрасс стал давать ей частные
уроки. Они совместно обсуждали многие научные
проблемы, главным образом касающиеся неэвкли-
довой геометрии. Позже Вейерштрасс говорил, что
у него было очень немного учеников, которые
могли бы равняться способностями, прилежностью,
и любовью к науке с Ковалевской^ В это время Ко-
валевская написала три работы, из которых каж- 108
дая, по мнению Вейерштрасса, была вполне до-
статочна для присуждения Ковалевской доктор-
ской степени. Это работы: „Некоторые данные к
теории уравнений в частных производных”, „Не-
которые данные и замечания к исследованию
Лапласа о форме кольца Сатурна” и „О при-
ведении некоторых Абелевых интегралов к ин-
тегралам эллиптическим”. За эти работы Кова-
левской было присвоено звание доктора филосо-
фии с отличием. Еще и теперь результаты первого
из этих трудов приводятся в учебниках матема-
тического анализа под наименованием задачи Ко-
ши-Ковалевской. Она упростила доказательство
Коши и придала теореме окончательную форму
и, что важнее всего, обобщила результат на си-
стему дифференциальных частных уравнений.
После возвращения в Россию Ковалевская под-
держивала оживлённые контакты с учеными: Че-
бышевым, Менделеевым, Столетовым и финским
математиком Миттаг-Лефлером, благодаря кото-
рому в 1883 гоДу была назначена заведующей
кафедрой математики Стокгольмского универ-
ситета.* Она была очень рада этому назначению,
потому что, по ее собственным словам, „функции
профессора содержат в себе что-то благородное.
Не говоря уже о большом значении, какое мне
лично придают обязанности профессора, я была бы
очень счастлива, если бы могла пробить новую
дорогу для женщин...”
Назначение женщины профессором вызвало край-
нее возмущение среди консервативных универси-
тетских кругов. За Ковалевской отрицали какие-
либо научные заслуги и часто клеветали на нее.
Но были у нее и друзья. В одной из демократиче-
ских газет была помещена статья, в которой, в ча-
стности, было написано: „На нашу долю выпала
большая честь сообщить о приезде в наш город
109 не какого-либо обыкновенного принца крови. Нам
„Говори - что знаешь, делай - что
домен-пусть будет, что будет”
под таким девизом Ковалевская
представила работу в Парижскую
Академию Наук, за которую полу-
чила премию
МАРИЙ СОФУС ЛИ
(1842—1899)
оказала честь своим посещением принцесса науки,
госпожа Ковалевская, которая будет первым про-
фессором-женщиной в Швеции”.! В 1888 году она
написала свой основной научный труд „Задача
о вращении твердого тела вокруг неподвижной
точки”. За эту работу Ковалевская была удостое-
на первой премии на конкурсе, объявленном Па-
рижской Академией Наук. Вскоре Ковалевская
получила награду от Шведский Академии Наук
за свои научные достижения. Она сотрудничала
с великими французскими математиками, такими
как Пуанкаре, Эрмит. Она получила известность
во всех современных ей научных кругах. Пожа-
луй, не лишним будет упомянуть о ее больших
способностях к языкам и литературе' (она владела
пятью языками, писала научно-популярные ста-
тьи в газеты, театральные рецензии, рассказы, на-
писала несколько романов автобиографического
порядка, в частности, роман „Нигилистка”, запре-
щенный цензурой; роман был напечатан лишь
в 1928 году.).
-Ковалевская умерла от воспаления легких в пол-
ном расцвете сил и славы 10 февраля 1891 года
в Стокгольме.
Норвежский математик Марий Софус Ли родился
в 1842 году в Нордфиордейт около Бергена.
Сначала он учился в университете в Христиании
(ныне Осло), позднее, в 1869 году уехал в Берлин,
где подружился в Бонне с ассистентом Плюкера,
Клейном. В 1871 году Ли был принят в каче-
стве ассистента в университет в Христиании. Вско-
ре ему была присвоена докторская степень, и он
был назначен профессором этого университета.
В 1886 году, после смерти Клейна, он получил ка- 11Q
* федру в Лейпцигском университете. В 1898 году
вернулся в Христианию. Однако здоровье его бы-
ло подорвано, и в 1899 году он умер.
Ли систематически работал над исследованием не-
прерывных групп преобразований и их инвариан-
тами. Он показал огромное значение их во многих
отраслях математики и механики. При помощи ин-
вариантов он систематизировал принципы гео-
метрии, механики, обыкновенных и частных диф-
ференциальных уравнений. Он открыл касатель-
ные трансформации и вместе с тем дал ключ ко
всей механике Гамильтона, как части теории
групп.
Ли работал не только самостоятельно, он интере-
совался результатами, достигнутыми другими вы-
дающимися математиками. Эти результаты, часто
усовершенствовав, он использовал в своей рабо-
те. К примеру, он использовал результаты теории
пространства Римана и вместе с Гельмгольцем
открыл так называемую „проблему пространства
Ли-Гельмгольца”, которая имеет значение не толь-
ко в теории групп и теории относительности, но
и в физиологии.
Труды Ли в основном были собраны и изданы его
учениками после смерти ученого.
Работы Ли были дополнены французским мате-
матиком Картаном.
ГЕРМАН МИНКОВСКИ
(1864—1906)
В истории современной математики редко можно
встретить период, в котором бы отсутствовали
представители немецкой математики. И хотя бы-
вали, как и в любой отрасли человеческой дея-
тельности, периоды снижения активности и даже
временного ее падения, то все же вклад немецкой
111 математики в общую ее сокровищницу можно, по-
В четырехмерном пространстве
Минковского, кроме трех координат
(x,y,z) точки, существует еще четвер-
тая координата -время -1
жалуй, сравнить только лишь с вкладом француз-
ских математиков.
Герман Минковски не считается самым выдаю-
щимся представителем немецкой математической
школы на рубеже XIX и XX столетия. Но все же
его научное наследие очень велико, а некоторые
его достижения, например геометрическая теория
чисел, послужили отправной точкой для работ
других математиков, в частности, Гильберта.
Минковски родился в 1864 году в местечке Алексо-
ты, Минской губернии. Еще ребенком родители
увезли его в Германию, где он окончил гимназию
и университет. В 1881 году семнадцатилетний юно-
ша принял участие в конкурсе на тему теории
представления натурального числа, как суммы
квадратов пяти других натуральных чисел; кон-
курс был объявлен Парижской Академией, и Мин-
ковски получил награду за свою работу.
Последующие работы Минковски были посвяще-
ны геометрической теории чисел, поэтому он
и считается основателем этой отрасли математики.
Правда, Дирихле и Эрмит тоже пользовались гео-
метрией в теории чисел, но только Минковски за-
нялся систематическим внедрением этой теории
во все отрасли математики и при помощи нового
метода дал общую теорему из области анализа
непрерывных величин. Полезно отметить, что кро-
ме многочисленных новых, часто очень глубоких
результатов в теории чисел, геометрическая тео-
рия чисел сама по себе отличается стройностью
и изяществом.
Неисключено, что метод этот подсказал Гильберту
идею геометризации анализа, что привело к таким
важным открытиям, как пространство Гильберта
и другие. Другие труды Минковски относятся
к геометрии, в частности, к геометрии выпуклых
тел.
В конце своей сравнительно короткой жизни 112
(Минковски умер в возрасте 45 лет) он занялся
геометризацией еще одной теории, на этот раз фи-
зической теории относительности. Эта последняя
работа принесла ему известность, и именно в связи
с ней чаще всего упоминают фамилию Минков-
ски. Четырехмерное пространство, входящее в эту
теорию, носит название пространства Минковски-
Пуанкаре-Эйнштейна.
Минковски руководил кафедрой в Геттингенском
университете и вместе с Гильбертом добился того,
что это старинное немецкое учебное заведение
снова обратило на себя внимание математиков
всего мира, с честью продолжая традиции велико-
го Гаусса.
Среди математиков, занимавшихся теорией чисел,
значительное место занимает русский математик
Георгий Феодосьевич Вороной. Георгий Феодосье-
вич Вороной родился в 1868 году. В 1889 году он
закончил Петербургский университет и стал в нем
вести научную работу.
В 1894 году он защитил магистерскую работу
„О целых алгебраических числах, зависящих от
корня неприводимого уравнения 3 степени”, по-
сле чего стал читать лекции в Варшавском универ-
ситете. В 1897 году, после защиты диссертации на
тему „Об одном обобщении алгоритма непрерыв-
ных дробей”, ему была присвоена докторская сте-
пень. Обобщение алгоритмов непрерывных дробей,
полученное Вороным, коренным образом отлича-
ется от работ Якоби; более того, Вороной доказал,
что путь, избранный Якоби, был неправильным.
Из позднейших работ Вороного следует упомят-
нуть „Sur ип probleme du calcul des fonections
113 asymptotique” („Об одной задаче из теории асимп-
ГЕОРГИЙ
ФЕОДОСЬЕВИЧ
ВОРОНОЙ
(1868—1908)
тотических функций”, 1903 г.), которая оказала
большое влияние на развитие аналитической тео-
рии чисел. В этой работе Вороной дополнил иссле-
дования Дирихле по расчету суммы:
У Е~’,
Z—i п
п— 1
(большое Еа означает здесь целую часть числа
а). В то время, когда Дирихле свел расчет этой
суммы к определению не больше чем у'т слагае-
мых, и полученный им результат долго не был
подтвержден, Вороной дал формулу, по которой
расчет этой суммы сводится к определению не
з _
больше чем | х слагаемых.
Из результатов Вороного в теории чисел можно
указать на обобщенную суммирующую формулу
для рядов вида:
2* (n) f (п)
где х и f числовые функции, из которых f —
аналитическая функция.
Научные труды Вороного так же, как и основное
направление его работ — теория чисел — отлича-
ются большой точностью доказательств и ясно-
стью изложения.
При описании научной деятельности Вороного
нельзя ограничиться перечислением его достиже-
ний только в теории чисел. Кроме этой теории,
он с большим успехом занимался алгеброй и гео-
метрией. Важнейшие результаты, полученные им
в этих отраслях, содержатся в его докторской
диссертации и в работах: „Свойства положитель-
ных совершенных квадратичных форм” (1907 г.)
и в написанных незадолго до смерти „Исследова-
ниях о примитивных параллелоэдрах”.
Следует сказать, что эта последняя работа тесно 114
связана с исследованиями выдающегося кристал-
лографа Е. С. Федорова.
Кроме научной работы, Вороной уделял большое
внимание воспитанию молодых математиков. По-
сле его смерти в 1908 году, начатые им исследова-
ния с успехом продолжили его ученики И. В. Ви-
ноградов, Б. А. Венков, Б. Н. Делоне и другие. Его
учеником был также нестор польских математи-
ков Вацлав Серпински.
Выдающийся немецкий математик Рихард Де-
декинд родился в Брауншвейге. Закончил зна-
менитый Геттингенский университет, где слушал
лекции таких выдающихся математиков, как Гаусс
и Дирихле. Уже в возрасте 23 лет получил звание
доцента в Геттингене, а в 1858 году был назначен
профессором в Политехническом институте в Цю-
рихе. С 1862 года по 1894 год читал лекции в Выс-
шем техническом училище в Брауншвейге. Со-
стоял членом Берлинской, Парижской и Римской
Академий Наук.
Основной проблемой, которой занимался Дедекинд,
была теория чисел. Результаты, полученные им
в этой области, он собрал в специальный „Одиннад-
цатый” том дополнений к трудам Дирихле. Он
первый точно и по-современному разработал тео-
рию действительных чисел. Ему принадлежит ряд
идей в теории чисел, в которую он ввел много
совершенно новых понятий, таких, например, как
кольцо, группа и структура, что создало основы
современной алгебры (в частности, Дедекинд обо-
сновал алгебраическую теорию чисел). Понятия,
введенные Дедекиндом в современную алгебру,
создали прочные основы для исследований во мно-
гих отраслях математики.
РИХАРД ЮЛИУС
ВИЛЬГЕЛЬМ ДЕДЕКИНД
(1831—1916)
Ьесконечные ряды
ач = 1
аг = 1,7
а3 = 1.73
= 1,733
2=Ь,
1,8 = Ь£
1,74 = Ь3
1,733 = Ь<
имеют общий предел Ь'З
ГЕОРГ КАНТОР
(1845—1918)
Кроме теории чисел, Дедекинд занимался ариф-
метикой и теорией множеств. Дедекинд был одним
из первых математиков, давшим теории множеств
логические основы и превратившим ее в дедуктив-
ную. Исследования Дедекинда позволили объеди-
нить различные отрасли математики в стройную
систему, так как носили чрезвычайно общий ха-
рактер. Благодаря работам Дедекинда, а также
Бейерштрасса и Кантора (они тоже занимались по-
добными проблемами), такие основные понятия,
как предел, производная и интеграл были объеди-
нены в логическое целое и получили точное выра-
жение. Несмотря на то, что Дедекинд умер почти
пятьдесят лет тому назад, его работы вошли
в современную математику без всяких изменений
и исправлений.
Дедекиндово сечение и аксиома непрерывности Де-
декинда хорошо известны любому студенту, изу-
чающему математику, поэтому Дедекинд справед-
ливо считается одним из создателей методов со-
временных математических исследований.
О ыдающийся немецкий математик Георг Кантор
Й родился в Петербурге в 1845 году в семье чи-
новника дипломатического представительства Гер-
мании. Гимназию закончил в Берлине. Математику
изучал в Цюрихе, Геттингене и в Берлине, где
в 1867 году получил магистерскую степень. После
этого он поселился в Галле и работал там в дол-
жности ассистента университета.
В 1869 году Кантор получил докторскую степень
и три года спустя был назначен экстраординарным
профессором. Б 1879 году был назначен ординар-
ным профессором и заведующим кафедрой ма- 116
тематики университета в Галле, где проработал
до 1913 года.
Первые годы работы Кантора касались рядов
Фурье и теории иррациональных чисел. В 1874—
1895 годах Кантор опубликовал труд, в котором
дал основы созданной им теории множеств. Эта
отрасль математики рассматривает свойства мно-
жеств в отрыве от признаков элементов, из ко-
торых они состоят. Несколько последующих лет
своего творчества Кантор посвятил дальнейшему
развитию теории множеств. Он доказал сущест-
вование неэквивалентных (т. е. отличающихся раз-
ной мощностью) бесконечных множеств, дал точное
понятие мощности множества и доказал, что мно-
жество действительных чисел „многочисленнее”
(отличается большей мощностью), чем множество
рациональных чисел.
Кантор дал также основы теории точечных мно-
жеств и доказал эквивалентность точек линейного
отрезка и точек n-мерного пространства.
Кантор опубликовал много интересных работ по
теории множеств, так что все их трудно перечи-
слить.
Полное собрание сочинений Кантора под назва-
нием „Теория множеств”, изданное Германской
Академией Наук, состоит из трех толстых томов.
Необыкновенно плодотворное творчество Кантора
прекратилось в 1897 году. Он тяжело заболел,
непрерывные приступы болезни мешали ему за-
ниматься творческим трудом. В это время он опу-
бликовал только несколько работ по основам ма-
тематики и математической логики. Идеи Кантора
первоначально встретились с непониманием и су-
ровой критикой со стороны современных ему уче-
ных. И только лишь спустя несколько десятков
лет после их публикации, они были признаны
и оказали огромное влияние на дальнейшее раз-
117 витие математики.
Хо
Анри Жюль Пуанкаре, выдающийся французский
математик, физик и астроном-теоретик, родился
29 апреля 1854 года в Нанси.
В 1873 году поступил в Политехническую школу
в Париже, которую закончил в 1879 году, получив
звание горного инженера и .научную степень док-
тора математических наук. В 1879—1881 годах чи-
тал лекции на факультете точных наук универ-
ситета в Кан. В 1881 году был приглашен читать
лекции, а в 1886 году был назначен профессором
Сорбонны. Пуанкаре принадлежит к числу круп-
нейших французских математиков второй поло-
вины XIX века. Его лекции касались широкого
круга вопросов, и тематика их ежегодно менялась.
Лекции издавались слушателями. Пуанкаре пре-
подавал механическую и экспериментальную фи-
зику, математическую физику, теорию вероятно-
стей и механику неба.
Отличительной чертой научных работ Пуанкаре
по математике было их классическое направле-
ние, но он также указал пути для развития совре-
менной математики. В своих трудах Пуанкаре
много места отвел теории дифференциальных
уравнений с буквенными коэффициентами, что
привело его к проблемам нового класса трансцен-
дентных функций, то есть автоморфичных функ-
ций. В этой работе он, в частности, пользовался гео-
метрией Лобачевского. Наряду с этим Пуанкаре за-
нимался топологией и основами математики.
Ученый-теоретик, автор превосходных произве-
дений „Свобода науки” (1905 г.), „Наука и гипоте-
за” (1906 г.), Пуанкаре умел с большим мастерст-
вом использовать достижения теоретической ма-
тематики для прикладных целей.
В области математической физики Пуанкаре рабо-
тал над проблемой равновесия вращающегося
жидкого тела (1885 г.). В 1889 году Пуанкаре полу-
чил премию шведского короля Оскара за решение 118
„задачи трех тел”. В 1892—1893 годах Пуанкаре
напечатал трехтомный труд под заглавием „Me-
thodes nouvelles de mecanique celeste” („Новые ме-
тоды механики неба”), в котором он разделяет
взгляды Лапласа на возникновение Вселенной.
Пуанкаре, подобно Лапласу, работал также над
теорией вероятностей.
Как велики были научные достижения Пуанкаре
свидетельствует то, что в 1887 году он был избран
членом Парижской Академии Наук, и, кроме того,
состоял членом 22 Академий и почетным доктором
8 университетов.
По своим философским воззрениям Пуанкаре был
сторонником махизма, он находился под влиянием
прагматизма и неокантианства. Он не признавал
объективного существования материи и в своих
работах восхвалял взгляды агностиков. Пуанкаре
считал, что ценность научной теории заключается
не в ее правильности отражения действительно-
сти, но в выгоде и целесообразности ее примене-
ния. Ленин в книге „Материализм и эмпириокри-
тицизм” (1908 г.) подверг эти философские взгля-
ды резкой критике.
Умер Пуанкаре в Париже 17 июля 1912 года.
Шорданова форма матриц, кривая Жордана —
вот некоторые понятия, встречающиеся в кур-
се математического анализа. Фамилия Жордана
встречается также и в других отраслях матема-
тики, например, в теории функций, в алгебре
и, в основном, в теории групп.
Жордан родился в 1838 году в городе Круа-Русс,
близ Лиона, но вся его жизнь была связана с Па-
рижской политехнической школой, которую Жор-
119 дан окончил, и в которой потом преподавал в те-
КАМИЛЬ ЖОРДАН
(1838—1922)
Пера Жордана внешняя и внутренняя
(заштрихована) плоской фигуры (огра-
ниченной замкнутой кривой.)
чение сорока лет. Это было уже после зарожде-
ния новой, получившей огромное значение для
развития математики идеи, разработанной несча-
стливым гением математики Эваристом Галуа —
теории групп. Жордан глубоко и полностью вос-
принял эту идею и вместе с Клейном и Ли стал
ее активным сторонником, систематизируя и раз-
вивая, связанные с ней, методы. Именно такой ха-
рактер носило глубоко и прекрасно написанное
сочинение Жордана „Traite des subtitutions et des
equations algebriques” (1870 г.), в котором он раз-
вил метод Галуа в теории алгебраических уравне-
ний. Этот труд, как, впрочем, и все другие работы
Жордана, отличался присущей ему враждебно-
стью к вербализму и многословию. Например, вто-
рой лучший его трехтомный труд по математиче-
скому анализу „Курс анализа” (1883—1887 гг.)
может служить примером сжатости, большой точ-
ности и внутренней дисциплины. Однако, эти
необыкновенно ценные черты представляли мно-
жество трудностей для читателей его работ
и слушателей лекций. По мнению некоторых ма-
тематиков, огромная ценность идей, содержащихся
в работах Жордана, соответствовала трудности их
понимания.
Многие труды Жордана печатались во француз-
ских и итальянских математических журналах.
В них рассматривались группы движений мно-
гогранников, линейные дифференциальные урав-
нения, многомерная геометрия, арифметическая
теория квадратичных форм и теория групп.
Аскетизм, присущий Жордану в математике, был
также отличительной чертой и в его частной жи-
зни. Несмотря на то, что Жордан был владельцем
гостиницы в предместье Парижа, он занимал в ней
только один кабинет. Здесь он собрал необходи-
мейшие для работы предметы: скромную и немно-
гочисленную мебель, книги и ... черную доску.
120
Жордан не любил посещений и поэтому своих го-
стей принимал весьма неласково. Умер Камиль
Жордан в Милане в 1922 году. По мнению Силь-
вестра, выдающегося английского математика,
Жордан занимался самыми трудными, требующи-
ми больших усилий и самоотверженности мате-
матическими проблемами.
Многие современные Жордану математики счита-
ли его выдающимся представителем французской
математической школы.
Творчество Александра Михайловича Ляпунова
приходится на тот период развития математики,
когда большинство математических проблем не
относилось к чистой математике, а вытекало из
необходимости решения разнообразных техниче-
ских и физических задач. Это обстоятельство на-
ложило свой отпечаток на творчество Ляпунова.
Александр Михайлович Ляпунов родился в 1857
году в Ярославле. После смерти отца, известного
астронома, Александр в 1870 году поступил в Ни-
жегородскую гимназию, которую окончил в 1876
году с золотой медалью. В этом же году он посту-
пил в Петербургский университет на факультет
естествознания, но спустя месяц перешел на мате-
матический факультет. Здесь он слушал лекции
знаменитого профессора Чебышева и, в частности,
принял участие в конкурсе, в котором за пред-
ставленную им работу получил золотую медаль.
После окончания университета в 1880 году Ляпу-
нов получил степень кандидата наук и остался
работать в университете на кафедре механики.
Труды Ляпунова, в основном, связаны с этой ка-
федрой, и по математике касаются теории систем
121 обыкновенных дифференциальных уравнений, за-
АЛЕКСАНДР
МИХАЙЛОВИЧ
ЛЯПУНОВ
(1857—1918)
Неравенство Ляпунова
для любых результатов наблюдений.
дачи Дирихле и теории потенциала. Кроме того,
Ляпунов занимался теорией вероятностей, причем
доказал теорему, известную теперь под его именем,
прочно вошедшую в эту отрасль математики
в качестве одной из важнейших предельных тео-
рем.
Большое влияние на научное творчество Ляпу-
нова оказал его учитель и воспитатель Чебышев.
Задача Чебышева, поставленная перед молодым
ученым, занимала Ляпунова всю жизнь, он посвя-
тил ей множество работ, но в конце концов полно-
стью ее решил только на исходе жизни. Первая
попытка найти требуемое решение была сделана
в его магистерской работе, которую Ляпунов за-
щитил в 1885 году.
Осенью того же года Ляпунов был назначен доцен-
том на кафедре прикладной математики Харь-
ковского университета. Ляпунов предъявлял к се-
бе столь высокие требования, что многократно
отказывался от получения докторской степени,
хотя многие из его работ были для этЪго совер-
шенно достаточны. Докторскую диссертацию он
защитил только после тщательной подготовки
своего знаменитого труда, появившегося в свет
в 1892 году под Названием „Общая задача непре-
рывности движения”, в издании Российской Ака-
демии Наук. В этой работе автор, решил большое
количество задач, относящихся к проблемам обык-
новенных дифференциальных уравнений. В пе-
риод русской революции 1917 года Ляпунов очу-
тился в Одессе. Оторванный от любимой работы,
подавленный смертью жены Ляпунов в конце
•1918 года покончил жизнь самоубийством.
Достижения Ляпунова в математике были столь
велики, что многие русские и иностранные учеб-
ные заведения, многие академии, в том числе
Французская Академия Наук, присвоили ему
звание члена-корреспондента. 122
Из русского алфавита (36 букв) взяты случайно
6 букв и поставлены в таком порядке, в каком
были взяты. Два свидетеля подтверждают, что из
этих букв сложилось слово МОСКВА. Спрашива-
ется, какова вероятность, что показания свидете-
лей точны, если их склонность говорить правду
выражается дробью 9/10 ... Подсчитано, впрочем,
ошибочно, что эта вероятность меньше 1/300_
Приведенный пример свидетельствует о том, на-
сколько мала возможность такого события, а ведь
при этом не учтены все случайности в 50 000 слов
из шести букв, существующих в русском языке,
и большая возможность ошибки свидетелей...”
Мы привели одну из множества задач теории ве-
роятностей. Правильное решение указанной за-
дачи дал А. А. Марков в своем труде „Исчисление
вероятностей”. Этот выдающийся русский мате-
матик занимался, в основном, теорией вероятно-
стей. Его труды далеко продвинули вперед эту
отрасль математики. Благодаря работам Маркова,
теперь можно с успехом решать многие статисти-
ческие задачи по физике, химии, математике и пр.
Андрей Андреевич Марков родился в 1856 году
в Рязанской губернии в семье мелкого чиновника.
Молодой Марков стал интересоваться математи-
кой еще в гимназии, после окончания которой он
поступил На математический факультет Петер-
бургского университета. В 1878 году Марков за-
кончил университет и получил степень кандидата
наук. В этом же году ему была присвоена золотая
медаль за работу по дифференциальным уравне-
ниям, после чего он получил должность в Петер-
бургском университете. В 1880 году Марков полу-
чил звание доцента, спустя шесть лет — профес-
сора, а в 1905 году — титул заслуженного профес-
сора. Одновременно Марков работал в Академии
Наук, членом которой он стал в 1896 году.
123 Все работы Маркова тесно связаны со школой
АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ
МАРКОВ
(1856—1922}
Ру(2) = P;iPb *P,2pij ♦. - + P,kP^
Это формула Маркова вероятности пе-
рехода из состояния Ei в состояние Ej
в двух „шагах”
Чебышева. Он занимался теорией чисел, матема-
тическим анализом и теорией вероятностей. Мно-
гие доказательства Маркова теперь известны во
всем мире в качестве основных математических
правд, в частности, широко известны зависимости,
названные его именем. Важнейшие из них — это
многочлены Маркова и цепи Маркова. При рас-
четах с экспериментальными данными различ-
ных отраслей науки эти зависимости оказывают
бесценные услуги; они же положены в основу
многих новых теоретических работ по математи-
ческому анализу и теории вероятностей.
Марков известен не только как великий матема-
тик, но и как смелый прогрессивный человек.
Например, когда Лев Толстой за свою деятель-
ность был отлучен от православной церкви, Мар-
ков в письме церковным властям тоже отрекся
от церкви. Когда Горькому отказали в звании чле-
на Академии Наук, Марков тоже отказался от всех
титулов и отличий, присвоенных Академией. Всю
свою жизнь Марков посвятил науке. Последняя
его работа появилась за несколько месяцев до его
смерти, последовавшей 20 июля 1922 года.
Редко бывает так, что ученый-математик объе-
диняет стремление к точности и обобщению для
того, чтобы использовать свои труды для разви-
тия другой отрасли науки. К таким исключитель-
ным ученым принадлежит советский математик
и механик В. А. Стеклов.
Владимир Андреевич Стеклов родился 28 декабря
1863 года в Нижнем Новгороде. В 1887 году он
окончил Харьковский университет, где слушал
лекции А. М. Ляпунова. 124
Интерес Ляпунова к теории тригонометрических
рядов несомненно оказал влияние на математиче-
ское творчество Стеклова.
В 1889—1906 годах Стеклов работал на кафедре
механики Харьковского университета, где в 1896
году был назначен профессором. Почти все это
время он преподавал теоретическую механику так-
же и в Харьковском технологическом институте.
За это же время он защитил докторскую диссер-
тацию по теме „Общие методы решения основных
задач математической физики” (вышла из печати
в 1901 году), в которой ясно определились пути ис-
следований ученого. Начиная с 1896 года и до са-
мой смерти, последовавшей 30 мая 1926 года,
Стеклов работал в Петербургском (Ленинград-
ском) университете, где, кроме научной работы,
занимался оживленной общественной и организа-
торской деятельностью. В особенности это отно-
сится к послереволюционному периоду. В 1921 го-
ду по инициативе В. А. Стеклова был организован
Физико-математический институт Академии Наук
СССР.
Стеклов занимался, главным образом, примене-
нием математических методов в естествознании,
в основном, в математической физике. В. А. Стек-
лов — последователь петербургской математиче-
ской школы и верный ученик А. М. Ляпунова —
предъявляет к методам математической физики
требования такой же ясности и точности, как
и к так называемой чистой математике. Поэтому
нет ничего удивительного в том, что среди науч-
ных результатов, полученных Стекловым в ме-
ханике, есть такие, которые относятся к выдаю-
щимся достижениям математики. Следует, напри-
мер, отметить внедрение и использование впервые
Стекловым понятия замкнутости ортогональной
системы, одного из основных понятий теории
S25 функций. Стеклов ввел в математику также спе-
ВЛАДИМИР
СТЕКЛОВ
(1863—1926)
циальный метод „сглаживания” функций, заклю-
чающийся в замене данной функции функцией,
полученной как средняя интегральная. Этот метод
был разработан исследованиями других матема-
тиков, а „сглаженные” функции известны в ма-
тематике под названием „функций Стеклова”.
Стеклов известен также как автор многих работ
по математическому анализу, из которых самые
ценные относятся к теории механических квадра-
тур.
За выдающиеся научные достижения в математи-
ке и, главным образом, в механике, Стеклов в 1912
году был избран действительным членом Акаде-
мии Наук (с 1902 года Стеклов был членом-кор-
респондентом). В период с 1919 по 1926 год Стеклов
был вице-председателем Академии Наук СССР.
О том, что, несмотря на разносторонность научной
деятельности, Стеклов был прежде всего выдаю-
щимся математиком, свидетельствует присвоение
его имени Математическому институту Академии
Наук СССР, созданному в результате разделе-
ния Института физики и математики.
ЭРИК ИВАР
ФРЕДГОЛЬМ
(1866—1927)
Шведский математик Эрик Ивар Фредгольм ро-
дился в 1866 году. В 1885 году поступил в Сток-
гольмский политехнический институт, в котором
учился только год. В следующем году он перешел
в университет в Упсале, а в 1888 году снова
в Стокгольм, где закончил университет в 1893 го-
ду. В 1898 году защитил докторскую диссертацию,
был назначен доцентом, а в 1906 году профессором
Стокгольмского университета.
Первоначально Фредгольм занимался дифферен-
циальными уравнениями и добился ряда важных
результатов. Однако позднее он заинтересовался 126
интегральными уравнениями, >то есть уравнениями
с неизвестной функцией под знаком интеграла.
Фредгольм первый приступил к исследованию этих
уравнений и разработал общие методы решения
некоторых видов интегральных уравнений, полу-
чивших название уравнений Фредгольма.
Известен так называемый определитель Фред-
гольма и три теоремы, которые он доказал в тео-
рии интегральных уравнений.
Значение результатов, полученных Фредгольмом,
особенно важно для решения ряда физиче-
ских проблем. Это значение заключается в том,
что большинство дифференциальных уравнений
с краевыми условиями сводится к равноценным
единичным интегральным уравнениям. Если эти
интегральные уравнения имеют решения, то ма-
тематические трудности не увеличиваются даже
при возрастании числа независимых переменных,
тогда как дифференциальные уравнения оказы-
ваются значительно сложнее в трех измерениях,
чем в двух. Таким образом, несмотря на то, что
труды Фредгольма в принципе ограничиваются ин-
тегральными уравнениями, они все же далеко
продвинули вперед наши знания о дифферен-
циальных уравнениях и привели к их значитель-
ной унификации. Нетрудно убедиться в возможно-
сти непосредственного применения проблем, разра-
ботанных Фредгольмом, в новейшей технике, о чем
свидетельствуют многочисленные труды по физи-
ке, химии и механике.
е
•fp(s) AjKls.tlylDdt =f(s)
О
(a-cs. t~gbt
Интегральное уравнение Фредгольма
Зигмунт ЯНишевский родился 12 июля 1888 го-
да в Варшаве. В 1907 году окончил Львовскую
гимназию. Математику и философию изучал за
127 рубежом. Докторскую диссертацию писал в 1911
ЗИГМУНТ
ЯНИШЕВСКИЙ
(1888—1920)
году под руководством Лебега и защитил ее в 1913
году во Львовском университете, где Янишевский
читал лекции вплоть до начала первой мировой
войны. Во время войны он служил в армии, затем
скрывался в районе Радома из-за отказа присяг-
нуть австрийскому правительству.
В 1918 году Янишевский был назначен профес-
сором Варшавского университета. Умер 3 января
1920 года во Львове в полном расцвете творческих
сил.
Янишевский отличался большой силой характера
и независимостью ума. Жизнь, науку и свои обя-
занности он воспринимал очень серьезно. Он не
признавал поверхностной работы. Вся короткая
жизнь этого ученого была заполнена научным,
преподавательским и организационным трудом.
Янишевский является автором многих теорем по
топологии, известных теперь как теоремы Яни-
шевского; они вошли в математику и повсеместно
известны.
Кроме топологии, в которой Янишевский сделал
важные открытия, он основательно занимался ма-
тематической логикой, применяя ее с успехом при
обнаружении недостатков и неясностей в струк-
туре математических понятий. Но не в этом только
дело — математическая логика была нужна ему
при подготовке лекций. К числу педагогических
трудов молодого профессора следует отнести ряд
статей, опубликованных в „Пособии для самоу-
чек”. Достаточно заглянуть в первый том „Посо-
бия”, чтобы определить, что Янишевский был так-
же философом.
Организаторская деятельность Янишевского тесно
связана с положением, в котором находилась
Польша и польская наука в то время.
Это были первые годы независимости после мно-
голетнего чужестранного владычества. В большин-
стве случаев, польские ученые работали за преде- 128
лами страны. Следует также признать, что тог-
дашнее развитие польской математики отставало
от мирового уровня. Янишевский на страницах
журнала „Наука польска” решительно высказы-
вался за создание в Польше атмосферы творче-
ского труда, организацию собственного научного
журнала, посвященного „исключительно тому раз-
делу математики, в котором у нас имеются выдаю-
щиеся, действительно творческие и многочислен-
ные ученые. Такой журнал необходим любому
ученому, работающему в данной отрасли матема-
тики, он бы везде нашел читателей и вскором вре-
мени получил бы крупных сотрудников за рубе-
жом. Таким образом, мы заняли бы в европейской
науке достойное место, потому что не только мно-
гие польские работы, публикуемые в польских
журналах, были бы показаны миру, но мы стали
бы известными не только как единицы неизвест-
ной национальности, но как сплоченная группа
поляков. Само существование и распространение
такого журнала, издаваемого в Варшаве, было бы
свидетельством нашей научной жизни.”
Такой журнал — „Fundamenta Mathematicae” был
организован по инициативе Янишевского, Вацлава
Серпинского и С. Мазуркевича. К сожалению,
первая книга журнала содержала некролог Яни-
шевского. Журнал в значительной степени способ-
ствовал созданию самостоятельной школы поль-
ской математики. К настоящему времени появи-
лось в свет свыше 50 томов этого известного те-
перь всему миру журнала.
Приводим несколько моментов из жизни профес-
сора Янишевского, хорошо характеризующих его
моральный облик.
Еще в школе он роздал свою одежду неимущим
коллегам. В 1916 году, служа в армии, он отка-
зался принять офицерское звание и присягу на
129 верность австрийскому правительству. Скрываясь
/ fan/ ж
Шатошл?/Я?0
вблизи Радома, он на собственные средства органи-
зовал приют для бездомных детей и содержал его
самостоятельно до конца войны. Чтобы „быть по-
лезным и после смерти”, он завещал свое тело уни-
верситетской клинике.
ПАВЕЛ САМУИЛОВИЧ
УРЫСОН
(1898—1924)
Павел Самуилович Урысон принадлежит к числу
талантливейших советских математиков. Несмо-
тря на недолгую жизнь, он сумел прочно войти
в историю математики в качестве одного из круп-
нейших ученых.
Родился Урысон 3 февраля 1898 года в Одессе.
Еще в школьные годы Урысон стал интересо-
ваться естественными науками (физикой и хи-
мией), математикой, языками и литературой, про-
являя большие способности. В 1915 году поступил
в Московский университет на физико-математи-
ческий факультет, намереваясь посвятить себя
физике. В том же 1915 году он закончил научно-
экспериментальную работу: „О радиации трубки
Кулиджа”.
Однако вскоре, под влиянием лекций Д. Ф. Егоро-
ва и Н. Н. Лузина, он стал все больше интересо-
ваться математикой. В результате, после оконча-
ния университета, Урысон был оставлен аспиран-
том, а его научным руководителем стал Лузин.
Еще аспирантом Урысон поражал и увлекал сту-
дентов своими лекциями. В каждой его лекции со-
держались сведения о новом научном достижении,
либо уточнение или упрощение доказательств.
Урысон великолепно овладел многими разделами
математики. В историю математики он вошел, в ос-
новном как выдающийся тополог, создатель теории
меры множества. Эту теорию — одно из важней-
ших достижений математики первых десятилетий
двадцатого века — выдвинул Урысон (тогда уже 130
, доцент) в 1921—1922 годах. По воспоминаниям вы-
дающегося математика П. С. Александрова, летом
1921 года Урысон получил от Д. Ф. Егорова задачу:
получить внутреннее топологическое определение
линии, которое, в частности, содержало бы извест-
ное определение кривой на плоскости, как част-
ный случай. Размышления над этой задачей при-
вели Урысона к общей теории меры множества.
Расширенная таким образом задача была успешно
решена, и весной 1922 года теория меры множества
была готова.
Говоря о теории меры множества, нельзя не упомя-
нуть и о других важных работах Урысона. Он до-
бился ценных результатов в топологических про-
странствах (т. н. метризационные теоремы), погру-
жении пространств в пространстве Гильберта и др.
Работая над новыми проблемами математики,
Урысон не оставлял педагогической деятельности.
Представляет интерес сама тематика его лекций.
Наряду с основным курсом анализа, Урысон пер-
вый в Московском университете читал лекции по
топологии, а зимой 1923/24 года — по теории отно-
сительности.
Научная деятельность Урысона, столь плодотвор-
ная и изобилующая выдающимися достижениями,
продолжалась всего лишь четыре года. Спустя три
дня после окончания известной работы о „Мощно-
сти связных множеств” Урысон 17 августа 1924 го-
да утонул во время купания в городе Ба в Брета-
ни (Франция).
В пространстве отрезки прямых обо-
значенные буквами не пересекаются.
На плоскости, отрезок DE должен пе
ресечь одно из ребер пирамиды
Известный математик-статистик, биолог и фило-
соф, видный представитель идеалистической
философии, родился 27 марта 1857 года в семье
выдающегося адвоката и королевского советни-
131
ка Уильяма Пирсона.
КАРЛ ПИРСОН
(1857—1966)
Среднее и высшее образование получил Пирсон
в Университетском колледже в Лондоне и в од-
ном из колледжей Кембриджского университета,
куда поступил в 1875 году, окончив его в 1879 го-
ду со степенью магистра.
Сначала Пирсон намеревался пойти по следам от-
ца, то есть стать юристом, но вскоре он отказался
от этой мысли и всецело предался удовольствиям
студенческой жизни.
Все же через некоторое время Пирсон уехал
в Германию, где в Гейдельбергском университете
слушал лекции по физике, а в Берлинском —
лекции по римскому праву и по теории Дарвина.
Интересно, что Пирсон с большим усердием зна-
комился с обычаями и культурой немцев. Он охот-
но общался с простыми людьми, с которыми вел
диспуты столь же легко, как и с выдающимися
учеными.
Взгляды Пирсона и его научные интересы во мно-
гом складывались под влиянием профессора
Кембриджского университета Джона Рутса. По-
видимому, это был крупнейший математик, когда-
либо работавший в Кембридже.
Почти всю свою жизнь Пирсон был связан с Лон-
донским университетом. После возвращения из
Германии, всего лишь в двадцатисемилетнем воз-
расте Пирсон был назначен профессорем при-
кладной математики и механики в этом универси-
тете. С этого времени.и до самой смерти, последо-
вавшей внезапно 27 апреля 1936 года, Пирсон бес-
сменно работал в стенах Лондонского универси-
тета.
Короткие летние каникулы, которые Пирсон про-
водил в деревенском домике, он тоже посвящал
любимой науке, и работал там столь же интен-
сивно, как и в своем городском кабинете. Во время
летних каникул он написал свой монументальный
ТРУД „Жизнь, письма и работы Френсиса Гальто-
132
на”. В области математической статистики круп-
нейшие заслуги Пирсона состоят в разработке
следующих проблем:
1) развитие теории корреляции и применение ее
в проблемах наследственности и эволюции ви-
дов;
2) введение в науку критерия „хи-квадрат”, при-
меняемого, в частности, для сравнения резуль-
татов эксперимента с результатами предусмо-
тренными теоретически. Этот критерий нашел
широкое применение в математической стати-
стике;
3) введение системы кривых частоты (называемой
системой кривых Пирсона) в качестве инстру-
мента для математического описания явлений
природы;
4) применение впервые в математической стати-
стике метода моментов;
5) издание таблиц для биометриков и статисти-
ков с подробными объяснениями относительно
их применения.
Пирсон считается крупным авторитетом в области
так называемой евгеники. Он был профессором
Лондонского университета по этой дисциплине
и директором Международной лаборатории евге-
ники Ф. Гальтона.
За многочисленные труды по математической тео-
рии эволюции и наследственности Пирсону была
присвоена медаль им. Дарвина Королевского об-
щества евгеники, членом которого Пирсон стал
в 1896 году. Большой заслугой этого ученого явля-
ется основание журнала „Биометрика”, изданием
которого Пирсон руководил в течение 36 лет
вплоть до самой смерти. В 1925—1926 годах Пир-
сон издавал „Ежегодник евгеники”.
Пирсон был выдающимся педагогом: он обладал
редким даром ясной передачи своих знаний
•33 другим.
• dy -
dx bofbfj< *Ьгхг
Обидев дифференциальное уравнение
так называемых кривых Пирсона
ФЕЛИКС ХАУСДОРФ
(1868—1942)
rhe лике Хаусдорф родился 8 ноября 1868 года
Фв Бреславле (ныне Вроцлав). Работал во многих
отраслях математики, но самые большие его до-
стижения относятся к проблемам топологии мно-
жеств. Был профессором математики во многих
немецких высших учебных заведениях, в частно-
сти, в Лейпциге, Грейфсвальде и Бонн. В 1914 году
Хаусдорф напечатал обширную монографию
„Grilndzuge der Mengenlehre”, положив тем самым
начало развитию топологии множеств как са-
мостоятельной отрасли математики. В этой работе
Хаусдорф определил общие топологические про-
странства, названные по его имени „пространства-
ми Хаусдорфа”. Хаусдорф много работал в обла-
сти математического анализа, занимался также
теорией непрерывных групп. В 1935 году издал
книгу под заглавием „Mengenlehre”.
В период второй мировой войны подвергался пре-
следованиям гитлеровцев из-за своего происхож-
дения, что и стало причиной его самоубийства
в Бонн 26 января 1942 года. Семидесятичетырех-
летний ученый вынужден был расстаться с жиз-
нью. Он оставил потомству богатое научное насле-
дие.
•Греф Марцинкевич — один из многообещающих
Ш польских математиков 20—30 годов нашего ве-
ка. Родился он 20 марта 1910 года в Сокулце Бе-
лостокского воеводства, в крестьянской семье.
В 1930 году Марцинкевич поступил на математи-
ческий факультет Виленского университета. Уже
на втором году обучения он начал сотрудничать
с профессором А. Зыгмундом, который дал ему
такую характеристику: „Когда я вспоминаю Мар-
цинкевича, перед моим взором встает высо-
кий, красивый парень, живой, впечатлитель- 134
ный, добродушный, честолюбивый, обладающий
большим чувством юмора. Он отличался общитель-
ностью, не сторонился удовольствий, в особенно-
сти любил танцы и игру в бридж. Здоровье у него
было не в блестящем состоянии: — у него были сла-
бые легкие, и ему приходилось беречь себя от про-
студы. Он интересовался спортом (возможно из-за
состояния здоровья), хорошо плавал и ходил на
лыжах. Кроме математики, он интересовался мно-
гими предметами. Однажды он мне сказал, что
поступая в университет, он долго колебался, ре-
шая, что выбрать: математику или польскую ли-
тературу”.
В 1933 году Марцинкевич получил степень маги-
стра математики. Прослужив на военной службе
год, Марцинкевич вернулся в Вильно, где работал
в должности младшего ассистента на кафедре ма-
тематики. В 1935 году успешно защитил доктор-
скую диссертацию, тема которой была расшире-
нием его магистерской работы. В 1935/36 учебном
ГОДУ работал в университете во Львове, плодо-
творно сотрудничая с Качмаром и Шаудером. Ре-
зультатом этого сотрудничества была работа
о мультипликаторах рядов Фурье, а также работа
по общим ортогональным рядам.
Осенью 1936 года Марцинкевич вернулся в Вильно
и стал работать в должности старшего ассистента.
Докторская степень была ему присвоена в 1937
году. Весной 1939 года получил стипендию
и выехал в Париж. С начала нового 1939/1940 учеб-
ного года он должен был возглавить кафедру ма-
тематики Познанского университета. К сожале-
нию, этому помешала война.
Работы Марцинкевича относятся, в основном, к сле-
дующим разделам математики: теории функций
действительного переменного, теории функций
комплексного переменного, тригонометрических
135 рядов, функционального анализа и теории вероят-
ЮЗЕФ МАРЦИНКЕВИЧ
(1910—1940)
АНРИ ЛУИ ЛЕБЕГ
(1875—1941)
ностей. Впрочем, трудно было бы здесь подробно
перечислить все достижения Марцинкевича в ма-
тематике. Они носят весьма специальный харак-
тер. Он ввел, например, новый тип пространства,
который ныне носит название пространства „М”,
являющийся обобщением простраства Вр почти
периодических функций Безиковича; в теории ве-
роятностей часто цитируют так называемую тео-
рему Марцинкевича о том, что показательная
функция с основанием „е” и показателем в виде
многочлена высшей степени чем 2 не является
характеристической функцией какого-либо слу-
чайного переменного.
Юзеф Марцинкевич был не только ученым, но
и пламенным патриотом. Узнав о приближении
войны и о мобилизации в Польше, он немедленно
вернулся на родину. После сентябрьского пораже-
ния, попал в плен и из него не вернулся. Точный
день его смерти не известен. Предполагается, что
он умер весной 1940 года. Преждевременная смерть
Марцинкевича была большим ударом для поль-
ской математики.
В новой Польше в память Марцинкевича молодым
математикам ежегодно присуждается премия его
имени за лучшую работу.
Один из выдающихся математиков нашего вре-
мени, француз Лебег родился в Сове, департа-
мент Уазы, в 1875 году. Гимназию закончил в род-
ном городе и поступил в Ecole Normale Superieure.
Высшую школу он закончил, получив звание ма-
гистра математики, и поступил На кафедру мате-
матики Парижского университета на должность
ассистента. В 1902 году он защитил докторскую
диссертацию на тему: „Линейные интегралы и по- 136
верхностные интегралы”. Спустя некоторое время,
он получил должность профессора на кафедре
точных наук университета в Пуатье. В 1912 году
Лебег вернулся в Париж и стал работать в College
de France. Работая в Париже, Лебег опубликовал
большую часть своих знаменитых доказательств.
В 1922 году он был избран членом Парижской
Академи Наук, а два года спустя ему было присвое-
но звание почетного члена Лондонского научного
общества. В 1930 году он стал действительным чле-
ном Королевского научного общества в Лондоне.
Первоначально Лебег занимался рядами Фурье
и опубликовал ряд работ на эту тему. По желанию
университетских властей, он занялся вопросами
интегрирования и добился больших успехов.
В 1931 году Лебег опубликовал свое знаменитое
решение определенного интеграла, известное те-
перь как „интеграл Лебега”. Благодаря этому ре-
шению, можно интегрировать многочисленные
виды функций. Интеграл Лебега является од-
ним из крупнейших достижений современного
математического анализа. Ценность открытия Ле-
бега заключается в теории дифференцирования,
построенной одновременно с теорией интеграла.
Благодаря этому, его открытие нашло широкое
применение в различных отраслях анализа, а с ме-
тодологической точки зрения сблизило две основ-
ные идеи интеграла — определенный интеграл
и первоначальную функцию, которые были разде-
лены, после входа за интегрирование непрерыв-
ных функций.
Одной из интереснейших идей Лебега является
идея о расширении меры множества, при котором
сумма множества всех рациональных чисел равна
нулю так как может быть сделана меньше, чем
любое малое положительное число Е. Большой за-
слугой Лебега было то, что он в своих исследова-
137 ниях пошел дальше изучения непрерывных функ-
ций, которыми до него, в основном, занимались ма-
тематики.
В 1917 году за выдающиеся достижения Лебег по-
лучил орден Почетного Легиона. Умер в Париже
26 июля 1941 года, оставив необыкновенно боль-
шое количество научных работ.
СТАНИСЛАВ ЗАРЕМБА
(1863—1942)
Говоря о краковской математической школе
и о вкладе ее членов в развитие польской мате-
матики, следует, прежде всего, упомянуть Стани-
слава Зарембу. Этот ученый родился 3 октября
1863 года в Романувке. В 1886 году, после оконча-
ния Петербургского технологического института,
он выехал в Париж для усовершенствования
своих знаний по математике. Докторская степень
была ему присвоена в 1889 году в Парижском уни-
верситете. Его докторская диссертация свидетель-
ствует о большом математическом таланте автора.
За три года до рождения Зарембы Парижская Ака-
демия Наук объявила конкурс на решение одной
из проблем математической физики (оценка тепло-
вого состояния неограниченной среды). Трактат
на эту тему, представленный гениальным матема-
тиком Риманом, не был принят, поскольку его
доказательства считались неубедительными. Спу-
стя 30 лет эта тема стала предметом докторской
диссертации Зарембы, который наряду с решения-
ми, представленными Риманом, дал новые реше-
ния и безупречные полные доказательства для
случаев, рассмотренных Риманом.
Удача первой научной работы Зарембы облегчила
ему общение с французскими математиками и тем
самым ускорила его научное развитие. В Париже
Заремба работал до 1900 года. В 1900 году по при-
глашению Ягеллонского университета он вернулся 128
на родину. Здесь он установил, что уровень поль-
ской математики значительно отстает от француз-
ского. Одной из причин такого положения вещей
Заремба считал недостаточную подготовку учени-
ков в средней школе. Чтобы улучшить постанов-
ку обучения математике в средней школе, следо-
вало, по мнению Зарембы, увеличить численность
педагогических кадров.
„Я считаю, — пишет Заремба в 1 томе «Пособия
для самоучек», — первоочередной задачей воспи-
тание соответствующего количества учителей для
средних школ____”
Он предлагает искать будущих научных работни-
ков в среде молодых учителей средних школ:
„Среда молодых преподавателей средних школ
и семинарий является источником воспитания бу-
дущих ученых; тот, кто из учительской молодежи
окажется способным, может совершенствоваться
в иностранных учебных заведениях, лучших, чем
наши высшие школы, и впоследствии стать
профессором у нас”. Как видно, мнение о том, что
ученых-математиков следует воспитывать за ру-
бежом, характерно для Зарембы. Это, впрочем,
вполне понятно, если принять во внимание соб-
ственный опыт Зарембы и упомянутый уже уро-
вень современной ему польской математики.
Над повышением уровня польской математики
и начал работать Заремба. Для начала он написал
несколько учебников. Вот их заглавия: „Очерки
основ теории целых чисел”, „Теория определи-
телей и линейных уравнений”, „Теоретическая
арифметика”, „Введение в анализ” (две части),
„Очерки теоретической механики” (два тома).
Лекции Зарембы и его учебники, в особенности
в первоначальной стадии их изучения, отличались
трудностью из-за необыкновенной точности рас-
суждений и употребления длинных фраз. Однако
39 они служили средством воспитания точности на
пороге создания современной польской математи-
ки. Тем, кто сомневался в необходимости такой
точности, например, в физических рассуждениях,
Заремба отвечал (и обосновывал), что „точность не
только не препятствует ясности, но принадлежит
к непременному ее условию”.
Педагогическая деятельность не препятствовала
исследовательской работе Зарембы. Он напечатал
свыше ста работ, в основном, по классическому ма-
тематическому анализу, в них содержится много
новых результатов. Ценность их заключается не
только в том, что они были вкладом в развитие
науки, но и в том, что их новаторство побуждало
его учеников к дальнейшим поискам и, таким об-
разом, к обогащению науки.
Научная, педагогическая и организационная дея-
тельность Зарембы была по достоинству оценена
как его современниками, так и последующими по-
колениями. Одна из научных премий Польского
математического общества носит имя Станислава
Зарембы, что выражает признание его заслуг.
Этот ученый был награжден многими государст-
венными отличиями, состоял почетным доктором
Краковского университета.
„Научная активность Зарембы, — писал Лебег, —
коснулась столь большого круга исследований,
что его фамилия не может быть неизвестна тем,
кто интересуется математикой”.
Наряду с французским математиком Пуанкаре,
Давид Гильберт принадлежит к числу самых
выдающихся математиков своего времени. Родился
он 23 января 1862 года в Кенигсберге. За достиже-
ния в области теории алгебраических инвариан-
тов ему присвоено звание члена Академии. В 1895 140
году Гильберт был назначен профессором в Гет-
тингене, где он и работал до конца жизни. Харак-
терной чертой творчества Гильберта была много-
летняя и упорная работа над одним избранным
узким вопросом, и надо сказать, что этот велико-
лепный мастер достигал больших успехов в лю-
бой отрасли математики. После первого успеха в об-
ласти теории инвариантов (1885—1893) Гильберт за-
нялся теорией алгебраических чисел (1893—1898).
После этого Гильберт заинтересовался основами
геометрии. Оказалось, что система аксиом как
Эвклида, так и Лобачевского, не была полной и до-
статочной; геометрия этих ученых содержала мно-
го лишних аксиом, вытекающих из предыдущих.
Увлечение Гильберта геометрией привело к созда-
нию полной, независимой системы аксиом. Гиль-
берт опубликовал эту систему в труде „Основы
геометрии” (1898 г.). Создание системы аксиом
считается крупнейшим достижением этого мате-
матика.
В элементарной геометрии, которая преподается
в средней школе, мы пользуемся не системой
Гильберта, а системой близкой к Эвклидовой, так
как точное применение системы Гильберта было
бы слишком трудным.
В 1900 году на Международном конгрессе матема-
тиков в Париже Гильберт поставил 23 проблемы,
которые до сегодняшнего дня занимают матема-
тиков всего мира.
В течение нескольких лет Гильберт работал над
разрешением ряда проблем вариационного исчи-
сления и теорией дифференциальных уравнений.
В истории теоремы Баринга, которая гласит, что
для всякого натурального числа п можно подо-
брать такое натуральное число „к”, что любое
натуральное число N будет суммой n-ых степеней
„к” целых положительных чисел, последнее слово
141 осталось снова за Гильбертом. Эта теорема была
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ
(1862—1943)
1Ав)=^(ап-Ьп)г
Расстояние между двумя точками
A(ai,al...),B(b1, Ьг...) пространства.
Гильберта
СТАНИСЛАВ САКС
(1897—1942)
поставлена в 1782 году и по своему содержанию
является элементарной. Несмотря на это, не
была доказана в течение свыше ста лет. И только
в 1909 году Давид Гильберт дал доказательство,
используя труднейшие выводы высшей мате-
матики.
Некоторые достижения математиков в теории ин-
тегральных уравнений вызвали интерес к этому
вопросу со стороны Гильберта, что привело его
к новому, отмеченному на страницах истории ма-
тематики, достижению.
Дополнительным результатом этой работы яви-
лось создание и введение в математику понятия,
известного теперь как „пространство Гильберта”.
Оставив интегральные уравнения, Гильберт вер-
нулся к проблеме, которую считал важнейшей для
современной математики, а именно к созданию ло-
гических основ математики. Этой проблеме Гиль-
берт посвятил последние несколько лет своей жи-
зни, доказав тем самым, что он до конца остался
на трудном посту и упорно, шаг за шагом, стре-
мился к развитию и унификации прекрасной нау-
ки: математики. Умер Гильберт 14 февраля
1943 года в Геттингене.
В качестве основы для оценки деятельности уче-
ного, как правило, принимают его работы, на-
печатанные в научных журналах. Бывают однако
исключения, когда ученый-математик входит
в историю математики в качестве автора моногра-
фии. К таким исключениям принадлежит поль-
ский математик Станислав Сакс.
Станислав Сакс родился в Калише 30 декабря
1897 года. В 1915 году, после окончания гимназии 142
он поступил на математический факультет Вар-
шавского университета. В 1922 году ему была при-
своена докторская степень с почетным отличием
„Сит maxima laude”. В 1931 году он получил сти-
пендию Рокфеллера и на один год выехал в Соеди-
ненные Штаты.
Поверхностный обзор научной карьеры Станисла-
ва Сакса, конечно, не отражает полностью его
научных достижений, которые, в основном, содер-
жатся в трудах, печатавшихся чаще всего в жур-
нале „Fundamenta Mathematicae”. Кроме того, ста-
тьи Сакса можно найти в журнале „Trans, of Ameri-
can Mathematical Society”. Заглавия некоторых ра-
бот Сакса, например: „Sur les nombres derives des
fauctions” (1924 r), „On the functions of Besicowitch
in the space of continuous functions” (1933 r.), „On
some functionals” (1933 г.), говорят о том, что ис-
следования Сакса были, в основном, посвящены
теории функции в широком объеме. Но в матема-
тике он известен, главным образом, как автор мо-
нографии, посвященной особой отрасли функ-
ций действительного переменного — теории ин-
теграла.
Книга Сакса под заглавием „Очерк теории инте-
грала” была издана в 1930 году. Вскоре появились
ее дополненные и исправленные издания на ино-
странных языках, в том числе на русском („Теория
интеграла”), уже после смерти автора. Хотя книга
в основном посвящена теории функции, в ней
содержится такое большое количество сведений,
что, несмотря на наличие хороших учебников,
многочисленные крути математиков в Польше и за
рубежом воспитываются и обучаются по этой кни-
ге до сих пор. Этот университетский учебник со-
держит столь большое число оригинальных ре-
зультатов и формулировок, что часто цитируется
в математической литературе наравне с другими
источниками. Следует добавить, что Сакс был со-
автором (вместе с Антони Зыгмундом) монографии
„Теория аналитических функций”, которая отли-
чается большой точностью изложения и ориги-
нальностью идей.
Книги Сакса свидетельствуют о том, что он был
не только выдающимся исследователем, но и учи-
телем многих математиков. Несмотря на это, ему
не было присвоено звание профессора, хотя он'
читал лекции студентам Варшавского политехни-
ческого института и университетов в Варшаве,
Вильно и Львове. По всей вероятности, это обстоя-
тельство имело связь с общественно-политической
деятельностью ученого. Следует отметить, что он
работал в редакции газеты „Роботник” (1919—
1926 гг.), участвовал в организации „Зажеве”
и позднее в „Союзе независимой социалистической
молодежи”, принимал участие в Силезском вос-
стании, за что в 1931 году получил Медаль неза-
висимости.
Во время второй мировой войны Сакс принимал
участие в движении сопротивления. В 1942 году
был арестован и 23 ноября того же года расстрелян
гитлеровцами.
Смерть польского патриота Станислава Сакса ста-
ла неоценимой жертвой, положенной мировой ма-
тематикой на алтарь войны.
ЮЛИУШ ПАВЕЛ
ШАУДЕР
(1898—1943)
Первая половина нашего века отличается быст-
рым развитием польской математики. Крупней-
шими очагами математических знаний в то время
были Варшава и Львов.
К числу выдающихся представителей львовской
школы польской математики принадлежал Юлиуш
Павел Шаудер. Львовские математики оказали
большое влияние на творчество Шаудера, но самое 144
145
большое влияние на его научную деятельность
оказал Стефан Банах, с которым впоследствии
Шаудер тесно сотрудничал. Кроме того, Шаудер
оставался под влиянием таких ученых, как Сергей
Бернштейн и Адамар, исследованиями которых он
увлекался, обобщая их выводы и совершенствуя
применяемые ими методы.
Работы Шаудера относятся, в основном, к четырем
отраслям математики, которые, как правило, из-
учаются независимо друг от друга. Несмотря на
столь широкий круг исследований, творчество
Шаудера отличается последовательностью и цель-
ностью. Он всегда стремился, несмотря на наличие
барьеров, классифицирующих знания, добраться
до корня проблем и применял при этом методы,
отличающиеся от общепринятых. Необыкновен-
ные способности Шаудера сочетались с прекрас-
ными чертами характера: трудолюбием и акку-
ратностью. Он никогда не придумывал задачи, ис-
следовал те, на которые он наталкивался в ходе
своих работ.
Первые его труды были посвящены теории инте-
грала. В них он начал с расширения и обобщения
уже известных ранее результатов, в частности, он
расширил объем применения формулы Стокса,
выражающей поверхностный интеграл путем ин-
теграла по объему. В этой работе он использовал
понятие из совершенно отдельной отрасли матема-
тики — топологии.
Именно топология и является той отраслью ма-
тематики, в которой Шаудер получил наиболее
выдающиеся результаты. Особенно известна его
теорема о постоянной точке. Рассмотрим ее на сле-
дующем примере: возьмем окружность и спросим,
можно ли преобразовать ее непрерывным образом
(то есть, например, растягивая, но не разрывая)
на себя так, чтобы все точки круга изменили пер-
воначальное положение. Конечно, сделать это
При любом непрерывном преобразо-
вании фигуры И/ на себя всегда
существует такая точка А которая
остается неизменной (так называемая
неизменная точка)
можно: достаточно повернуть окружность на не-
который угол вокруг центра. Но если поставить
аналогичную задачу по отношению к кругу, то этот
способ не дал бы результатов, так как одна точка
круга, а именно его центр не изменил бы своего по-
ложения. Оказывается, что это имеет место не толь-
ко при повороте круга, но и при любом непре-
рывном преобразовании круга на себя должна су-
ществовать такая точка, которая не изменит поло-
жения.
То же самое относится к шару (хотя бы и дефор-
мированному) в трехмерном и многомерном про-
странстве.
Эту теорему доказал один из крупнейших совре-
менных математиков, голландец Л. Е. И. Брауэр,
но обобщил это доказательство Шаудер в случае
пространства Банаха для выпуклых множеств.
Кроме того, Шаудер получил в топологии большое
количество результатов мирового значения.
В 1938 году за работу, выполненную совместно
с французским математиком Жаном Леруа, Шау-
дер получил большой международный приз Ма-
лакса.
Свои открытия в топологии Шаудер сделал не на
основе абстрактных исследований, а учитывая воз-
можность применения их в теории частных диф-
ференциальных уравнений.
Поэтому в последующих трудах он обратился
к другим вопросам, а именно к частным диффе-
ренциальным уравнениям второго порядка эллип-
тического и гиперболического типа. И в этой обла-
сти, несмотря на барьеры, разграничивающие то-
пологию и уравнения, он с успехом использовал
топологию, благодаря чему он получил необыкно-
венно важные результаты.
Наследие этого ученого состоит из 33 опублико-
ванных работ, прочно вошедших в историю миро-
вой математики. 146
В 1943 году Шаудер'трагически йогиб в застенках
гестапо. Математика потеряла в нем гениального
и оригинального ученого, создателя метода, совер-
шенство которого раскрывало пути дальнейшего
развития науки.
Стефан Банах жил в то время, когда, в противо-
положность предшествовавшему периоду, жили
и творили многие знаменитые польские математики.
Достижения Банаха тесно связаны с польской ма-
тематической школой, справедливо завоевавшей
себе международное признание.
Стефан Банах родился 20 марта 1892 года в Кра-
кове и там провел детство, о котором, однако,
сохранились только весьма скупые сведенйя. Из-
вестно только то, что настоящая фамилия Банаха
была Гречек, а Банах — это фамилия прачки, к ко-
торой он был отдан на воспитание отцом, чинов-
ником краковского железнодорожного управления,
происходившим из семьи горцев. Банах часто под-
черкивал свое происхождение. Мать и отец совер-
шенно не интересовались им. Когда он подрос, то
содержал себя сам, давая уроки. Учился в Ягел-
лонском университете и во Львовском политехни-
ческом институте, но не окончил ни одного из них.
После начала первой мировой войны вернулся из
Львова в Краков.
Один из заслуженных польских математиков
Хуго Штейнхаус открыл Банаха как выдающегося
ученого. Он так вспоминает о своей встрече с Ба-
нахом и о знакомстве с его первой научной рабо-
той: «Прогуливаясь летним вечером 1916 года на
краковских „Плантах”, я услышал беседу, вер-
нее ее отрывок; выражение „интеграл Лебега” бы-
ло столь неожиданно, что я подошел к скамейке
147 и познакомился с беседующими: Стефан Банах
СТЕФАН БАНАХ
(1892—1945)
и Отто Никодым беседовали о математике. Они
сказали мне, что третьим в их компании явля-
ется Вилькош ... Проблема (речь идет о средней
сходимости частных сумм разложений Фурье) бы-
ла поставлена мной перед Банахом именно в 1916
году, когда я познакомился с ним на краковских
„Плантах”. Я уже длительное время пытался ре-
шить эту проблему сам, и к немалому моему удив-
лению именно Банах нашел отрицательный ответ,
который и сообщил мне с некоторой оговоркой.
Оговорка касалась незнакомства с примером Дю-
буа-Реймонда».
Педагогическая деятельность Банаха началась
в 1920 году, когда он занял должность ассистента
Львовского политехнического института. С этого
времени началась его блестящая научная карьера.
В том же 1920 году Банах представил во Львов-
ском университете работу под названием „Sur les
operations dans les ensembles abstraits et leur appli-
cation aux equations integrates”. („Об операциях
с абстрактными множествами и их применение для
решения интегральных уравнений”). Для функцио-
нального анализа эта работа имела первоклассное
значение. Несмотря на то, что автор не окончил
высшего учебного заведения, ему на основе этой
работы была присвоена докторская степень. В 1922
году Банах защитил диссертацию и был назначен
экстраординарным, а в 1927 году ординарным про-
фессором. В 1939 году он получил большую пре-
мию Польской Академии Наук и был избран де-
каном Львовского университета и председателем
Польского математического общества. В том же
1939 году Банах был избран членом-корреспонден-
том Академии Наук Украинской ССР. Хотя Ба-
нах был, по сути дела, самоучкой, он вписал свое
имя в историю математики как основной создатель
функционального анализа, называемого также
теорией операции (он занимался также и другими 148
отраслями математики). В этой математической
дисциплине основным понятием является „про-
странство Банаха” (это название присвоено фран-
цузским математиком Фреше), а к числу фунда-
ментальных работ в этой области относится круп-
ное произведение Банаха „Теория операций”, из-
данное первоначально на польском (1931 год), по-
том на французском (1932 г.) под заглавием „Theorie
des operations lineaires” и, наконец, в 1948 году на
украинском языках. В мировой математической
литературе книга Банаха прекрасно известна.
В ней содержатся, в основном, достижения автора
и его учеников.
Вот выдержка из предисловия к этой книге о роли
теории операции в математике:
«Теория операций, созданная В. Вольтерра, зани-
мается исследованием определенных функций
в пространствах бесконечно большого размера.
Почти нет такой отрасли математики, куда не про-
никала бы теория операций. Достаточно напом-
нить, что. вариационное исчисление и теория ин-
тегральных уравнений оказались частными слу-
чаями общих положений теории операций. Строй-
ность теории операций заключается, главным
образом, в том, что в ней объединены в гармони-
ческое целое методы классической математики
и методы современной науки. Существуют такие
отрасли математики, глубокое понимание которых
возможно только при знакомстве с теорией опе-
раций. К таким отраслям принадлежат: теория
функции действительного переменного, вариацион-
ное исчисление и т. п.
Если обратить внимание на стройность теории опе-
рации, то, кроме ее применения, мы может спра-
ведливо считать ее самой красивой отраслью ма-
тематики».
Как была принята „теория операций” за рубежом,
прекрасно свидетельствуют слова советского Мя-
S. ВАНАСН
OPERACJE
LINIOWE
тематика Соболева в речи, посвященной пятнад-
цатилетию со дня смерти Банаха:
«Я помню, как в начале тридцатых годов в Москве
и Ленинграде, когда появилась книга „Теория
операций”, около книжных магазинов образова-
лись длинные очереди людей, ожидающих пер-
вые редкие экземпляры этой книги. Книгу чита-
ли с восхищением и энтузиазмом. Все мы, тогда
еще молодые, начинающие советские ученые, по-
чувствовали на с₽бе огромное влияние львовской
математической школы, самого Банаха и его бли-
жайших друзей и учеников».
Следует добавить, что в настоящее время крупней-
шие центры функционального анализа находятся
в СССР (а также в США, Франции и Польше).
Одной из наиболее плодотворно развивающихся
в настоящее время отраслей функционального ана-
лиза является так называемая „алгебра Банаха”,
так назвал М. Цорна нормированное кольцо (про-
странство), понятие, введеное в 1941 году совет-
ским математиком И. М. Гельфандом (под этим
понятием разумеется пространство Банаха, в ко-
торое дополнительно введено умножение элемен-
тов так, что оно становится кольцом, и норма про-
изведения двух его элементов не превышает про-
изведения норм этих элементов).
И, наконец, чтобы показать образ Банаха, как че-
ловека, и стиль его работы, приведем свидетель-
ство Хуго Штейнхауса — друга и сотрудника
Банаха.
«Банах стал ординарным профессором в 1927 году,
но ни раньше, ни после он не был профессором
в обыкновенном понимании этого слова. Препода-
вал он превосходно, никогда не терялся в подробно-
стях и никогда не испещрял доску множеством
сложных математических знаков. Он не заботился
о совершенстве словесного изложения, ему была
чужда всякая полировка и украшательство, и он 150
на всю жизнь сохранил в речи и поведении неко-
торые черты краковского мальчишки. С трудом
формулировал свои мысли на бумаге. Он пи-
сал свои манускрипты на листах бумаги, выр-
ванных из тетради, если требовалось заменить
часть текста, он вырезал ненужные места и под-
клеивал чистую бумагу, на которой писал новые
строки. Если бы не помощь со стороны друзей
и ассистентов, то первые работы Банаха .никогда
бы не появились на свет. Писем он почти совсем
не писал и на письменные вопросы не отвечал.
Не любил заниматься логическими исследования-
ми, хотя понимал их в совершенстве, его не увлека-
ли также вопросы практического применения ма-
тематики, хотя, конечно, он мог бы ими занимать-
ся, если бы хотел. Ведь уже, спустя год после
присвоения ему докторского звания, он преподавал
механику в Политехническом институте. Банах
умел работать всегда и всюду. Он не был при-
вычен к удобствам, и в комфорте не нуждался,
поэтому профессорского жалования ему должно
было хватать с избытком. Но его любовь к жизни
богемы и полное отсутствие мещанской экономии
и порядка в повседневных делах вовлекли его
в долги и в конце концов в тяжелое материальное
положение. Желая как-то избавиться от этих
трудностей, Банах решил заняться изданием учеб-
ных пособий. Он написал учебник под заглавием
„Дифференциальное и интегральное исчисление”
в двух томах (есть русский перевод), из которых
первый том издал Институт Оссолинских (1929 г.),
а второй — издательство „Ксионжница Атлас”
(1930 г.). Учебник, написанный сжато и понятно,
пользовался и пользуется до сих пор большим ус-
пехом среди студентов высших учебных заведений
на первых курсах. Больше всего времени и силы
потратил Банах .На составление учебников
арифметики, алгебры и геометрии для средних
школ. Он писал их сам, а также вместе
с Серпинским и Стожеком. Это не были копии
уже существующих школьных учебников. Благо-
даря своему опыту репетитора, Банах превосходно
отдавал себе отчет в том, что любое определение,
любое доказательство и даже любая фраза стано-
вятся проблемой для автора школьного учебника,
желающего, чтобы его книга обладала ценностью
дидактического пособия. По моему мнению, у Ба-
наха отсутствовал только один талант, необходи-
мый автору школьных учебников: способность
к пространственному изображению.
Плодом многолетних лекций, которые читал Банах
в Политехническом институте, стал учебник „Ме-
ханика в высшем учебном заведении” (Математи-
ческие монографии 8,9), этот курс в двух томах,
изданный в 1938 году, был повторен в 1947 году,
а несколько лет тому назад вышел его английский
перевод.
Чтобы подчеркнуть значение Банаха для науки
вообще и для польской науки, в частности, необ-
ходимо перечислить фамилии его учеников. Мазур
и Орлич — это ученики Банаха*. Они теперь рабо-
тают в Польше над теорией операций, их статьи
в журнале „Studium Mathematicae” непосредствен-
но продолжают научную программу Банаха, что
ясно видно на страницах этого журнала. Станислав
Улям, который, благодаря Куратовскому, стал ма-
тематиком, после получения докторской степени
тоже вошел в круг последователей Банаха.
Банах, Мазур и Улям были завсегдатаями Шот-
ландского кафе во Львове. Там они устраивали
свои заседания, о которых Улям писал; что „ ... it
was hard to outlast or outdrink Banach during these
sessions” (трудно было выседеть дольше или вы-
пить больше, чем Банах, во время этих заседаний),
*Его учеником был также Юлиуш Шаудер.
152
а ведь было такое заседание, которое продолжа-
лось без перерыва 17 часов. Результатом оказа-
лось доказательство важной теоремы по простран-
ству Банаха, но, к сожалению, никто его не запи-
сал, и теперь никто не сможет его восстановить...
По-видимому, оно было написано химическим ка-
рандашом на крышке стола и, как обыкновенно,
после такого заседания, было смыто уборщицей
кафе.
Такова судьба многих теорем, доказанных Бана-
хом и его учениками. Поэтому велика заслуга Лу-
ции Банах, которая теперь покоится на Вроцлав-
ском кладбище, купившей толстую тетрадь
в твердой обложке для кассы Шотландского кафе,
чтобы записывать задачи и возможные ответы на
них на свободных страницах, рядом с текстом за-
дач. Оригинальная „шотландская книга” предо-
ставлялась в распоряжение любого математика,
потребовавшего ее у кассира кафе; некоторые про-
блемы вписывались туда с обещанием награды
за решение, а награды эти колебались от чашки
кофе до живого гуся. Кто теперь улыбается,
пусть поймет, что в соответствии с мнением
Гильберта, формулировка проблемы является по-
ловиной ее решения, а перечень нерешенных и по-
ставленных проблем требует ответа и являе-
тся призывом ко всем, кто пожелает попы-
таться приложить свои силы. Такое состояние ум-
ственной готовности создает научную атмосферу...
Печальное влияние на судьбу Банаха оказала вто-
рая мировая война. После занятия немцами Львова
(в конце июня 1941 года), ему пришлось кор-
мить вшей в Бактериологическом институте
профессора Вейгля; несколько недель он провел
в тюрьме, так как в его квартире оказались лица,
занимавшиеся контрабандной перевозкой герман-
ских марок; пока выяснилось дело, он сумел
в тюрьме доказать новую теорему...
ЭЛИ ЖОЗЕФ КАРТАН
(1869—1951)
Банах был, прежде всего, математиком. Он мало
интересовался политическими вопросами, хотя
прекрасно понимал положение, в котором он очу-
тился. Красота природы не волновала его, искус-
ство, литература, театр были для него второсте-
пенными развлечениями, которые лишь иногда
заполняли ему, и то очень редко, краткий досуг.
Но он очень любил хорошо подобранное общество
друзей... Тот, кто воображает себе Банаха мечта-
телем, чудаком, апостолом, или аскетом, тот глу-
боко ошибается. Это был реалист, даже чисто вне-
шне не напоминавший кандидата в святые или
хотя бы в святоши... Это был здоровый и сильный
человек, реалист вплоть до цинизма, но он дал
польской науке и, в частности, польской матема-
тике больше, чем кто-либо другой».
Шизнь знаменитого французского математика
Эли Жозефа Картана протекала во второй по-
ловине XIX и первой половине XX века. Картан
был свидетелем бурного расцвета точных наук
и техники. Он оказал значительное влияние на
развитие современной математики.
Эли Жозеф Картан родился 9 апреля 1869 года
в Доломье (департамент Изеры) во Франции. На
43 году жизни стал ординарным профессором уни-
верситета в Париже. С 1931 года Картан состоял
членом Парижской Академии Наук.
В возрасте 25 лет Картан стал известным благо-
даря своей работе, касающейся основ алгебраиче-
ской теории групп Ли. Этому вопросу он посвятил
длительный период времени в своей разнообразной
научной работе. В 1913 году он разработал теорию
полупростых групп Ли, которую позднее объеди-
нил с дифференциальной геометрией и топологией. 154
Вторая важная проблема, разработанная Карта-
ном, это „метод внешних форм”. Этот метод он
применил к исследованию дифференциальных
уравнений с частными производными Пфаффа.
Благодаря этому методу ему удалось решить мно-
го проблем дифференциальной геометрии. Совре-
менная проблематика дифференциальной геоме-
трии в основном определена Картаном.
Эли Картан умер в Париже 6 мая 1951 года в воз-
расте 82 лет; вся жизнь Картана целиком была
наполнена трудом, посвященным развитию новых
отраслей математики. Успехи этой науки на рубе-
же XIX и XX столетий в значительной степени
определяют научные достижения Картана.
Николай Николаевич Лузин занимает одно из са-
мых почетных мест среди советских математиков.
Лузин родился 9 декабря 1883 года. Свое место в
плеяде выдающихся математиков он завоевал док-
торской диссертацией „Интеграл и тригонометри-
ческий ряд”, написанной в 1915 году. В этой работе
содержится ряд основных положений, касающихся
структуры измеримых множеств и измеримых
функций, сходимости тригонометрических рядов,
разложения функции в тригонометрический ряд
и тому подобное. Результаты этого труда опреде-
лили пути развития метрической теории функций.
Следует отметить, что математики, ссылаясь в бе-
седах на указанную работу, чаще употребляют
формулировку „докторский тезис Лузина”, чем
название труда.
- В дальнейшей научной работе Лузин, назначен-
ный в 1917 году профессором Московского универ-
ситета, занимается, главным образом, теорией
155 функций и теми отраслями математики, в которых
НИКОЛАЙ
НИКОЛАЕВИЧ
(1883—1950)
О а е/4 cJ4 b
Аля измеримой функции fix) и с>0
существует такая непрерывная функция
уМ, которая удовлетворяет неравенству
/Ы*трСх) во множестве меры <е
применяются методы теории функций. Дело в том,
что Лузин поставил перед собой задачу исследо-
вать пределы применяемости методов, типичных
для теории функций. В числе результатов этих
исследований следует отметить гипотезу Лузина
относительно проективных множеств. Лузин пред-
усмотрел, и это позднее подтвердилось в логике,
что ряд проблем, таких как проблема измеримо-
сти, не может решаться для этих множеств класси-
ческими методами. Основные результаты, полу-
ченные Лузиным и его учениками в этой области
исследований, изложены в монографии „Лекции
об аналитических множествах и их приложениях”,
изданной в 1930 году.
Кроме теории функций, основного направления
работы Лузина, он с большим успехом занимался
другими разделами математики, например, мате-
матическим анализом, теорией дифференциаль-
ных уравнений, дифференциальной геометрией.
Его творчество, кроме разнообразия научных ин-
тересов, характеризуется тем, что все его работы
тай или иначе были связаны с теорией функций.
Кроме того, он умел придавать геометрическую
ясность наиболее абстрактным понятиям.
Выдающиеся математические работы, благодаря
которым Лузин был принят в число членов Ака-
демии Наук СССР (член-корреспондент с 1923 г.,
действительный член с 1927 г.), не исчерпывают
достижений этого ученого. Благодаря своему пе-
дагогическому таланту и умению втянуть моло-
дежь в русло научных исследований, Лузин, по
справедливости, может считаться создателем зна-
менитой теперь московской математической шко-
лы.
Многие выдающиеся ученые стали последователя- •
ми этой школы. Достаточно только перечислить
фамилии этих ученых: Александров, Меньшов,
Лаврентьев, Колмогоров. За свои заслуги в науч- 156
ной, организационной и педагогической деятель-
ности Лузин награжден орденом Трудового Крас-
ного Знамени.
Следует упомянуть, что Лузин состоял почетным
доктором (honoris causa) Варшавского университе-
та и иностранным членом Польской Академии
Наук.
Н. Н. Лузин умер 28 февраля 1950 года. Его ис-
следования продолжили ученики. Длительное вюе-
мя гипотезы, выдвинутые Лузиным, приковывали
внимание многих ученых, причем, как правило,
правдивость их была подтверждена, что свиде-
тельствует о крупных способностях покойного
ученого.
оравский родился 23 июня 1866 года в Щучине
около Цеханова. В 1884 году, после окончания
гимназии, он поступил на математический факуль-
тет Варшавского университета и закончил его
в 1888 году с дипломом магистра математических
паук, полученном за разработку астрономического
тезиса, основанного на собственных наблюдениях.
Последующие три года Жоравский совершенство-
вал свои математические знания в Германии:
в Лейпцигском и Геттингенском университетах.
Пребывание в Германии, в особенности в Лейпци-
ге, определило дальнейшее направление работы
ученого. В то время в Лейпциге преподавал Ли,
основатель теории непрерывных групп, который
оказал большое влияние на Жоравского.
Первые научные труды Жоравского были напи-
саны на темы, подсказанные знаменитым норвеж-
цем, и за эти труды Жоравскому в 1891 году была
присвоена докторская степень.
КАЗИМЕЖ
ЖОРАВСКИЙ
(1866—1953)
Сразу же после этого, уже в 1892 году, Жоравский
начал работу во Львовском политехническом ин-
ституте в качестве доцента.
В 1895 году был назначен экстраординарным
профессором Ягеллонского университета в Кра-
кове. Через три года назначается ординарным
профессором и получает пост декана фило-
софского факультета, а позднее — ректора
(1917—1918 г.).
Жоравский вернулся в Варшаву в 1919 году и чи-
тал лекции в Политехническом институте и уни-
верситете, вплоть до выхода на пенсию в 1936 го-
ду. В этом же году он был назначен почетным про-
фессором Варшавского университета.
Жоравский умер 23 января 1953 года, оставив
после себя множество ценных рукописей.
Жоравский состоял членом многих научных об-
ществ, в частности, он был членом Польской
Академии Знаний, Чешского королевского об-
щества науки и литературы, а в 1951 году был
назначен почетным членом Польской Академии
Наук.
Научное наследие Жоравского собрано приблизи-
тельно в 70 работах- и представляет собой зна-
чительный вклад в мировую математику. К сожа-
лению, его произведения мало известны потому,
что он занимался чрезвычайно трудной отраслью
математики: инвариантами непрерывных групп
преобразования.
Однако важнейшим достижением Жоравского яв-
ляются не абстрактные исследования с непрерыв-
ными группами преобразований, а их примене-
ние в разных областях математики, в основном при
решении дифференциальных уравнений, а также
в геометрии и физике.
Жоравский был одним из первых ученых, ожи-
вивших творчество представителей краковской
математической школы. 158
Известный советский математик Всеволод Рома-
новский был в 1911—1915 годах доцентом, позд-
нее профессором Варшавского университета. По-
следующие три года (1915—1918) он преподавал
в Ростовском, а начиная с 1919 года — в Ташкент-
ском университетах. В 1943 году Романовский
стал, членом Академии Наук Узбекской ССР. Важ-
нейшие труды Романовского посвящены теории
вероятностей и математической статистике. Он до-
бился существенных результатов в теории цепей
Маркова и написал учебник на эту тему. Он зани-
мался также математическим анализом, в частно-
сти, интегрированием дифференциальных уравне-
ний.
В своих трудах Романовский разрабатывал клас-
сические методы теории вероятностей и матема-
тической статистики и привел много примеров
применения математической статистики в различ-
ных отраслях знаний и в практической деятель-
ности.
На польский язык переведены две работы Рома-
новского: „Применение математической статисти-
ки при постановке опытов” и „Основные про-
блемы теории ошибок”.
Романовский отдавал себе отчет в том, что практи-
ческие проблемы бывают часто источником поста-
новки новых задач математической статистики,
таких, которые теоретически еще не решены или
требуют сложных и трудных способов решения.
Поэтому в предисловиях к своим учебникам он
предлагал свои услуги и услуги своих учеников
и просил обращаться к нему за советами.
После смерти Романовского осталось много его
ТРУДОВ по статистике в рукописях с большим
количеством зачеркнутых мест. Его ученики, со-
трудники отделения теории вероятностей и мате-
матической статистики Математического институ-
159 та имени Романовского Академии Наук Узбекской
ВСЕВОЛОД ИВАНОВИЧ
РОМАНОВСКИЙ
(1879—1954)
График линейной, корреляционной
зависимости
ССР, приложили много труда для подготовки этих
рукописей к печати.
Таким образом, в 1961 году вышел в свет первый
том монографии трудов Романовского „Математи-
ческая статистика”. Второй том этой монографии
был издан в 1963 году. Эта монография предна-
значена для специалистов-статистиков, студентов,
а также широкого круга лиц, работающих теорети-
чески и практически в этой отрасли знания. Сле-
дует подчеркнуть огромные заслуги Романовского
в деле воспитания новых научных кадров в Узбек-
ской Социалистической Советской Республике.
ЭМИЛЬ БОРЕЛЬ
(1871—1956)
, иография Эмиля Бореля, как правило, начина-
ется со слов: „Французский математик и поли-
тик”. Действительно, хотя Борель был, прежде
всего, математиком, он с большим успехом высту-
пил на политической арене.
Борель до конца жизни оставался мэром Сен
Африк (департамент Авейрон), где он родился
в 1871 году. Он состоял также генеральным совет-
ником департамента Авейрон. Его отец, пастор, дал
ему хорошее образование. Эмиль учился в Ь’Ёсо-
le Normale Superieure, потом слушал лекции Га-
стона Дабру и Анри Пуанкаре в College de France
и одновременно обучался в Сорбонне, где в 1884 го-
ду получил докторскую степень. Его математи-
ческие работы относятся в основном к теории ве-
роятностей и теории функций. Большинство своих
работ Борель посвятил именно этим отраслям ма-
тематики. Достаточно здесь упомянуть такие ра-
боты, как ,,Le hasard”, „Traite du calcul des pro-
bdbilites” и „Monographies sur la theorie des Fon-
ctions”, но его книга ,,1’Espace et Temps” свидетель-
ствует, что по примеру многих современных ему
160
математиков Борель интересовался также физи-
ко-философскими проблемами. Особенно большой
вклад внес Борель в философию точных наук.
Кроме научного таланта, Борель отличался педаго-
гическими и организаторскими способностями. Чи-
тая лекции в Лилле, в Ёсо1е Normale Superieure
и Сорбонне, он одновременно состоял директором
школы, а после основания Института имени Анри
Пуанкаре, с 1927 года стал также директором это-
го Института. Работая с 1911 года почти исключи-
тельно над проблемами теории вероятностей, он
ввел в эту отрасль математики новые и плодотвор-
ные понятия, получил многочисленные и важные
результаты (например, прочный закон больших
чисел); Борель стал создателем современной фран-
цузской школы теории вероятностей.
Достижения Бореля были высоко оценены как во
Франции, так и за ее рубежами. Он был избран
на пост председателя Французской Академии Наук
и стал членом многочисленных иностранных ака-
демий, а также почетным доктором многих уни-
верситетов.
Интерес к политике у Бореля появился в годы
первой мировой войны. Борель состоял министром
морского флота в двух правительствах Пенлеве.
Жизнь этого человека, изобилующая событиями,
умевшего объединить научную деятельность с дея-
тельностью педагога и политика, закончилась
в 1956 году.
BOREL
TRAITE au CALCUL
des
PROBABILITES
С молодых лет Фридьеш Рис интересовался ма-
тематикой. По требованию родителей, которые
считали, что у математика нет больших шансов
сделать карьеру, Рис после окончания средней
161 школы поступил в Политехнический институт
ФРИДЬЕШ РИС
(1880—1956)
в Цюрихе. Однако любовь к математике победила,
и Рис закончил сначала университет в Будапеште,
а потом в Геттингене.
Докторскую степень он получил за научный труд
по начертательной геометрии; несмотря на многие
важные результаты, эта работа не привлекла вни-
мания ученых. Рис получил диплом учителя и стал
работать преподавателем сначала в провинциаль-
ной гимназии, а потом в Будапеште. Одновремен-
но он упорно изучал научную литературу, зна-
комился с новыми отраслями математики и издал
ряд трудов по различным математическим вопро-
сам. Рис получил известность благодаря работе,
изданной в 1907 году, в которой он дал основ-
ные тезисы новой теории, открытой позднее,
назависимо от Риса, Эрнестом Фишером,
получившей теперь название теории Риса-Фи-
шера.
В 1911 году Рис был назначен экстраординарным
профессором университета в Клуже. В это время
он разрабатывал труд о системах уравнений с бес-
конечным числом неизвестных (книга издана
в 1913 г.). В этом же году ему было присвоено
звание ординарного профессора, а три года спустя
Рис был избран членом-корреспондентом Венгер-
ской Академии Наук.
В это же время Рис занялся трудным делом орга-
низации Математического института в Шегеде, не-
большом городке, лишенном научных традиций.
Он организовал также издание математического
журнала „Акта”, отличающегося высоким науч-
ным уровнем. Журнал издавался на венгерском
и на многих иностранных языках.
Рис мечтал о работе в Будапештском универси-
тете, но в тогдашних политических условиях этот
ученый, пользующийся мировой славой, не мог
этого достигнуть. Его кандидатура в действитель-
ные члены Венгерской Академии Наук была при- 162
нята только в 1936 году после вторичного пред-
ставления.
После окончания войны Рис одним из первых стал
читать лекции в университете в Шегеде, где он
был избран ректором и где. возродил научную
жизнь, нарушенную военными действиями. В 1946
году Рис принял приглашение Будапештского уни-
верситета на пост профессора. Университет в Ше-
геде присвоил ему звание почетного доктора.
В день семидесятилетнего юбилея такое же зва-
ние присвоил ему Будапештский университет.
В 1949 году Рис получил „Золотую премию Ко-
шута”. Четыре гора спустя за издание в 1952 году
книги „Лекции по функциональному анализу”,
в которой подведены итоги его жизненных дости-
жений, он получил крупнейшую в Венгрии награ-
ду „Большую премию Кошута”. О значении книги
Риса может свидетельствовать то, что она была
переведена на русский, французский, немецкий,
английский и китайский языки. Несмотря на ста-
рость и болезнь, Рис не перестал работать. Лекции
он читал сидя, а формулы на доске писали асси-
стенты. Рис руководил научной жизнью Венгрии
вплоть до 1955 года: он работал на посту председа-
теля Секции математики и физики Венгерской
Академии Наук. Многолетняя, чрезвычайно актив-
ная научная деятельность Риса закончилась вес-
ной 1955 года на заседании Математическо-физи-
ко-химической секции Будапештского университе-
та. С этого времени его жизнь превратилась в борь-
бу со смертью.
О трудолюбии Риса могут свидетельствовать 96
написанных им работ, в основном по функциональ-
ному анализу и теории топологии.
Велики заслуги Риса в деле воспитания многочи-
сленного поколения молодых венгерских ученых,
которым он передал свои идеи и любовь к науч-
163 ному труду.
ГЕРМАН ВЕЙЛЬ
(1885—1955)
Глазированные сфинксы из дворца Дария
в Сузах
Известный немецкий математик, физик и фило-
соф Герман Вейль жил на рубеже XIX и XX
столетий. Родился он 9 ноября 1885 года в Эльмс-
хорме в провинции Щлезвик-Голыптейн. На 28 го-
ду жизни он был назначен профессором Политех-
нического института в Цюрихе, потом в Геттин-
генском университете. В 1933 году он эмигрировал
в Соединенные Штаты Америки. В течение всего
пребывания в США он состоял профессором Прин-
стонского университета. Был членом Академии
Наук США.
Математические работы Вейля касаются многих
отраслей математики. Первоначально он зани-
мался тригонометрическими рядами, дифферен-
циальными и интегральными уравнениями. В тео-
рии функции комплексного переменного разра-
ботал основы тех отраслей, которые базируются
на понятии поверхности Римана. В математике
известны такие понятия, как: пространство Вейля,
конексия и суммы Вейля (1914 г.). Они нашли при-
менение в теории чисел. Подобно своему современ-
нику Эли Картану, Вейль занимался в основном
теорией непрерывных групп, для которых нашел
применение в дифференциальной геометрии, фи-
зике и в особенности в теории относительности. Он
ввел в математику понятие пространства афинной
связности, играющее значительную роль в диф-
ференциальной геометрии и физике.
За четыре года до своей смерти он, кроме много-
численных и новаторских работ по разным разде-
лам математики, прочел цикл лекций на тему
„Симметрия” в Принстонском университете. Лек-
ции носили научно-популярный характер и сам
Вейль, уходя из Institute for Advanced Study,
назвал их „лебединой песней”.
На основании текста этих лекций можно вырабо-
тать некоторое суждение о Вейле, как о человеке.
Этот выдающийся ученый-математик отличался 164
удивительно широким кругозором знаний в ряде
других наук, а также в искусстве, литературе,
биологии. Учитывая, что Вейль много труда посвя-
тил философии, можно составить себе полный
образ выдающегося человека.
Не все научные работы Вейля закончились успе-
хом. Например, попытка разработать так назы-
ваемую „единую теорию поля” потерпела фиаско.
Вейль не достиг значительных результатов
и в философии: он представлял идеалистическое
направление в философии (субъективизм).
Отношение Вейля-немца к германскому фа-
шизму полностью характеризуется его высказа-
нием о свастике в Вене в 1937 году: „В наше время
свастика стала ужаснейшим символом террора,
более ужасным, чем окруженная змеями голова
Медузы”.
Умер Вейль в Цюрихе в декабре 1955 года в возра-
сте 70 лет. Вся его жизнь была заполнена науч-
ным трудом, благодаря которому Вейль внес
в общую сокровищницу мировой науки немалый
вклад.
Джон фон Нейманн, инициатор строительства со-
временных вычислительных машин, родился
28 декабря 1903 года в Будапеште. Фон Нейманн
отличался чрезвычайной памятью. В ранней мо-
лодости проявлял необыкновенные способности
и любовь к точным наукам. Учился в Берлинском
университете, где изучал сначала химию, потом
математику. Закончил также Technische Hoch-
schule в Цюрихе и Будапештский университет.
Будучи еще молодым, а именно в 1927 году, стал
приват-доцентом в Берлинском университете, за-
тем читал лекции в Гамбургском университете.
ДЖОН ФОН НЕЙМАНН
(1903—1957)
В 1930 году по приглашению Принстонского уни-
верситета выехал в Соединенные Штаты Амери-
ки, где и остался навсегда.
Нейманн работал во многих отраслях математики,
но его работы первоначально носили теоретиче-
ский характер. Он занимался теорией функций
действительного переменного, математической ло-
гикой, теорией мер, непрерывной геометрией, об-
щей топологией, эргодической теорией, проблема-
ми колец операторов, теорией квантов. Работая .
в области теории вероятностей, он ицтересовался
развитием теории игр и экономической математи-
ки. В конце тридцатых годов занялся проблемами
теоретической гидродинамики и много времени
посвятил решению частных дифференциальных
уравнений аналитическим методом.
В период нарастания угрозы мировой войны Ней-
манн начал работу по применению математики
к физике, в частности, много времени он посвятил
вопросу взаимодействия ударных волн, что имело
важное значение для военных целей. Эта проблема
потребовала огромной вычислительной работы,
что и стало основной причиной интереса Нейманна
к вычислительным машинам. Он стал ведущим зна-
током и пропагандистом использования электрон-
ных вычислительных машин при решении различ-
ных научных проблем. Нейманн модернизировал
и усовершенствовал машину ЭНИАК, построенную
в Филадельфии для Ballistic Research Laborato-
ries of Army Ordnance. Нейманн работал в Ва-
шингтоне, Лос Аламос и в других городах Соеди-
ненных Штатов, участвовал во многих научных
конференциях. После войны сотрудничал с груп-
пой математиков и инженеров и построил экспе-
риментальный электронный вычислитель в Инсти-
туте for Advanced Study, под наименованием
ДЖАНИАК. Следует заметить, что разработка
проекта машины была основана на некоторых фак- 166
торах работы человеческого мозга. Нейманн спе-
циально изучил неврологию и психиатрию и при-
шел к убеждению, что электронные машины могут
строиться, как упрощенные модели человеческого
мозга. Нейманн пытался решить ряд проблем по
метеорологии при помощи вычислительных ма-
шин, которыми он пользовался также при реше-
нии многих задач ядерной физики.
Нейманн тесно сотрудничал с лабораториями Ко-
миссии по делам атомной энергии, а в 1952 году
был назначен членом Общего консультативного
АЕС.
После принятия 15 марта 1955 года присяги Ней-
манн был назначен членом Комиссии по делам
атомной энергии и в мае этого же года вместе
со своей женой Кларой поселился в Вашингтоне.
Перегруженность работой и недостаток времени
привели к тому, что ученый вынужден был писать
свои научные труды только по ночам, или ранним
утром. В августе этого же года у него появились
первые признаки рака кости.
В начале 1955 года руководители Фонда Силлимана
пригласили Нейманна прочесть несколько лекций
в Йельском университете на весеннем семестре
1956 года. В Соединенных Штатах Америки при-
глашение подобного рода считается большим
отличием потому, что получить его могут только
ученые, пользующиеся мировой известностью. По
традиции, лекции издаются в виде книги на сред-
ства Йельского университета. Нейманн со всем
усердием взялся за разработку темы лекции и на-
писал свой последний труд: „Вычислительная
машина и человеческий мозг”. С января 1956 года
он вынужден был пользоваться инвалидной коляс-
кой и, несмотря на это, работал в своей кан-
целярии и участвовал в научных собраниях. В на-
чале апреля Нейманна поместили в больницу
167 Уолтера Рида, где он, несмотря на упадок сил,
продолжал работу над рукописью, которую,
к сожалению, не закончил.
Нейманн умер 8 февраля 1957 года. Йельский уни-
верситет в честь знаменитого ученого издал его
рукопись в серии „Лекций Силлимана”. Работа
Нейманна переведена на польский язык.
МЕЧИСЛАВ
БЕРНАЦКИЙ
(1891—1959)
Смерть Мечислава Бернацкого, последовавшая
21 ноября 1959 года в Люблине, стала большой
утратой для польской науки, чувствительно отра-
зившейся на работах Люблинского математиче-
ского центра. Жизнь, научная и педагогическая
деятельность Бернацкого была тесно связана
с двумя университетскими городами: Люблином
и Познанью.
Бернацкий родился в Люблине 30 марта 1891 года в
интеллигентной семье (его отец был ырачом и жур-
налистом). Во время революции 1905 года, будучи
учеником гимназии им. Станислава Сташица, уча-
ствовал в школьной забастовке. Гимназию он за-
кончил в 1909 году и в этом же году поступил на
химическое отделение философского факультета
Ягеллонского университета. Это был период, когда
молодежь всецело предавалась идейно-организа-
ционному движению. Политическая атмосфера
оказала большое влияние на Мечислава Бернац-
кого. За участие в протесте против лекций священ-
ника Циммермана он был вынужден в 1911 году
оставить университет. Спустя некоторое время он
выехал в Париж. Но и здесь он не мог окончить
высшее учебное заведение. Этому помешала пер-
вая мировая война. Бернацкий добровольно всту-
пил во французскую армию., Был ранен два раза.
В Польшу вернулся вместе с армией Галлера.
В 1923 году он получил первое французское науч-
ное звание, так называемый лиценциат (степень 168
несколько ниже докторской, часто более ценимая
чем докторская степень многих университетов
других государств). Этот лиценциат он получил на
математическом отделении Сорбонны. Докторскую
диссертацию он защитил в 1928 году и вернулся
на родину. В течение года он работал ассистентом
в Виленском университете, после чего был назна-
чен экстраординарным профессором математики
Познанского университета, где и работал до начала
второй мировой войны. Годы оккупации он провел
в Люблине. После освобождения принимал актив-
ное участие в организации Университета имени
Марии Кюри-Склодовской в Люблине, где возгла-
вил кафедру математики. В 1946 году был избран
членом-корреспондентом Польской Академии
Наук. Среди его учеников можно перечислить
многих ныне творчески работающих польских ма-
тематиков.
Научные исследования Бернацкого относятся в ос-
новном к теории аналитических функций; по этой
теории он опубликовал много ценных работ. Из
них следует упомянуть работы по теории одно-
кратных и р-кратных функций и внедрение в ма-
тематику понятия средней р-кратной функции.
Далее, известны работы Бернацкого по функциям
р-кратным по площади и соответственных функ-
ции.
Часть работ Бернацкого была посвящена класси-
ческой теории многочленов. Бернацкий занимался
также другими разделами математического анали-
за, в том числе теорией дифференциальных урав-
нений. Бернацкий написал учебник дифферен-
циальной геометрии в двух томах, который до
недавнего времени был единственным в польской
математической литературе. Разностороннее науч-
ное наследие Бернацкого изобилует достижения-
ми, которые оказали большое влияние на творче-
ство других математиков.
АЛЕКСАНДР
ЯКОВЛЕВИЧ ХЙНЧИН
(1894—1959)
Труды советского математика Александра Хинчи-
на в таких отраслях, как теория вероятностей,
теория функций, метрическая теория чисел и ста-
тическая физика, принесли ему мировую славу.
Работы Хинчина тесно связаны с развитием совет-
ской плколы теории вероятностей.
Александр Яковлевич Хинчин родился в 1894 году
в селе Кондрово Медынское Калужской губернии,
где его отец работал инженером на бумажной фаб-
рике. В 1911 году Хинчин поступил на физико-
математический факультет Московского универ-
ситета. Еще будучи студентом, он начал научную
работу в Кружке молодых математиков, где занял-
ся теорией функций действительного перемен-
ного. Университет он закончил в 1916 году и спустя
два года стал в этом же университете преподава-
телем. Его лекции отличались большой научной
ценностью, необыкновенной ясностью и хорошей
литературной обработкой, поэтому пользовались
большим успехом среди жаждущих знаний совет-
ских студентов.
В 1922 году в системе Московского университета
был организован Механико-математический инсти-
тут. Хинчин стал одним из первых сотрудников
нового научного учреждения. В 1927 году Хинчин
был назначен профессором, и с этого времени его
научная деятельность была постоянно связана
с Московским университетом. Он руководил ка-
федрой теории вероятностей и кафедрой мате-
матического анализа. В 1932—1934 годах был ди-
ректором Механико-математического института.
В 1939 году был избран членом Академии Наук
СССР и начал работу в Математическом институте
имени Стеклова. За выдающиеся научные дости-
жения получил Сталинскую премию (1940 г.),
орден Ленина, два ордена Трудового Красного Зна-
мени и много других отличий и медалей. По-
сле организации Академии педагогических наук 170
РСФСР (1943 г.) начал работу в этом научном уч-
реждении и длительное время состоял членом ее
президиума.
Александр Яковлевич Хинчин опубликовал свыше
150 научных работ, в том числе 12 монографий
и учебников. Первый его труд по теории вероятно-
стей был напечатан в 1924 году. Хинчин разрабо-
тал закон итерационного логарифма для схемы
Бернулли. Через несколько лет он опубликовал
чрезвычайно интересные работы по сходимости
рядов, закону больших чисел и статистике. В двух
работах, напечатанных в последние годы его дея-
тельности, он дал логическое определение понятий
и основ теории информации. Необыкновенно важ-
ные для ряда практических вычислений, эти рабо-
ты были в том же году переведены и изданы во
многих странах.
В последние годы жизни Хинчин вернулся к ма-
тематическим методам теории массового обслужи-
вания. Его первые труды в этой области датиру-
ются еще 1930 годом, когда ему, как члену Совета
депутатов, была поручена работа в отделе связи.
Эта работа общественного характера дала возмож-
ность Хинчину прийти к чрезвычайно интересным
результатам с математической и практической то-
чек зрения. В то время Московская телефонная
станция перестраивалась и полностью автомати-
зировалась. Вычисления Хинчина значительно
сократили время перестройки, позволили снизить
стоимость работ и дали возможность ввести много
технических усовершенствований.
В это время Хинчин написал и опубликовал две
работы. Одна из них: „О наиболее экономич-
ном обслуживании одним работником несколь-
ких рабочих мест АТС”, вторая посвящена
теории стационарного процесса о постоянных
очередях.
171 Все свои труды по теории массового обслужива-
ния Хинчин издал в 1955 году в виде монографии,
которая теперь, в век автоматизации, находит
большое практическое применение.
Умер Хинчин в 1959 году.
РОНАЛЬД
ЭЙЛЬМЕР ФИШЕР
(1890—1962)
Сравнительно недавно, а именно 29 июля 1962 го-
да, в городе Аделаиде неожиданно умер один из
создателей современной математической статис-
тики Рональд Эйльмер Фишер. Этот ученый
внес крупнейший вклад в эту отрасль математики
за последние 50 лет. Фишер родился в Лон-
доне.
После окончания обучения в 1913 году несколько
лет работал учителем физики и математики. Через
некоторое время ему поручили разработку резуль-
татов экспериментов, проведенных в Институте
сельскохозяйственных исследований в Ротанстед,
так как до него .никто не смог этого сделать. В 1933
году Фишер был назначен профессором Лондон-
ского университета, а спустя 10 лет — профессо-
ром генетики в Кембридже. Последние три года
жизни он провел в Австралии, в Аделаиде, рабо-
тая там в университете и в Commonwealth Scien-
tific and Industrial Research Organization (Обще-
ство научных и промышленных исследований).
Работы Фишера в области математической стати-
стики отличаются широким диапазоном. В несколь-
ких словах и в популярном изложении трудно их
перечислить и охарактеризовать их важность для
современной математики. Все же мы попытаемся
рассказать о нескольких его важнейших трудах.
Одним из часто применяемых в статистике при-
знаков для проверки соответствия результатов
экспериментов с результатами, полученными на
172
основе принятой гипотезы (так называемые теоре-
тические результаты), является критерий хи-квад-
рат, творцом которого был предшественник Фише-
ра — Пирсон. Первоначально этот признак при-
меняли неправильно, и только Фишер показал,
когда его можно применять и при каких условиях.
Отсюда, как правило, этот признак называют
„хи-квадрат-Пирсона-Фишера”. Госсе (псевдоним
„Стьюдент”) показал, каким образом при наличии
нескольких измерений одной и той же неизвест-
ной величины можно оценить разницу между сред-
ней этих измерений х и этой величиной. Фишер
же доказал правильность теории Госсе (отсюда
наименование — распределение Стьюдента-Фише-
ра). Работа Фишера „О математических основах
теоретической статистики” была напечатана в 1921
году, а в 1925 году появилась другая — „Стати-
стические методы исследователей” (в переводе на
русский язык в 1958 году). В этой работе бы-
ли собраны все результаты исследований, полу-
ченные Фишером, и она много раз переиздава-
лась на разных языках. Следующая работа
Фишера — „Проектирование экспериментов”.
Идеи, высказанные в этом труде, полностью изме-
нили способ обработки результатов испытаний
в биологии и в сельском хозяйстве, а в настоящее
время все чаще находят применение в промышлен-
ности и в медицине. Нам известно из биографии
Фишера, что он интересовался генетикой. Его кни-
га „Генетическая теория естественного отбора”,
изданная в 1930 году, является выдающимся про-
изведением в этой отрасли науки. Впрочем, Фишер
был не только гениальным ученым в указанных
научных дисциплинах, но и человеком необыкно-
венно широкого кругозора и глубоких общих зна-
ний.
Фишер был известен своей близорукостью. Но, как
173 это присуще великим людям, он сумел обратить
flz)u
р=0 р>=0.8
Кривые плотности для коэффициента
корреляции г при испытаниях количе-
ством п = 10 взятых из нормальной
популяции
а) непреобразованные
<5) после преобразования фишера
ЖАК САЛОМОН
АДАМАР
(1865—1963)
этот недостаток в достоинство. В молодости один
из его учителей математики преподавал ему вече-
рами геометрию, а так как Фишер не мог ни чи-
тать, ни писать при искусственном освещении, он
учился без книг и без доски. Таким образом, моло-
дой ученый выработал себе математическую ин-
туицию, способность предусматривать результаты
и делать выводы без карандаша и бумаги. В ста-
тистике он добивался определенных результатов,
давая им математическое обоснование значительно
позднее.
Вообще можно сказать, что работы Фишера в зна-
чительной степени определяют пути развития
современной математической статистики. Что ка-
сается Фишера, то основная цель его работы со-
стояла в практическом применении статистики,
служащей человеку.
Высшее образование Адамар получил в Париже.
В 1892 году ему была присвоена степень докто-
ра философии. Математикой он занимался зна-
чительно раньше. В 1896 году он дал полное до-
казательство закона распределения простых чи-
сел, на основе которого можно было с большой
точностью определить количество простых чисел
в любом промежутке. В 1893—1897 годах Адамар
работал в университете в Бордо.
В 1897 году Адамар был приглашен на работу
в Сорбонну, где оставался до 1901 года, после чего
стал преподавать в College de France. В 1912 году
Адамар был избран членом Французской Акаде-
мии Наук и в том же году, не бросая предыдущей
работы, стал читать лекции в Ecole Polytechnique
вплоть до 1937 года. 174
Адамар был решительным противником всякого
рода ограничений в выборе предмета исследова-
ний и методов математического действия. Он на-
писал обширный и очень ценный учебник гео-
метрии для средних школ. Занимался теорией чи-
сел, дифференциальными уравнениями, теорией
аналитических функций, уравнениями математи-
ческой физики. Адамар был одним из основате-
лей функционального анализа. В курсе матема-
тического анализа известна теорема о радиусе
сходимости степенного ряда, носящая название
теоремы Адамара-Коши, а в теории определите-
лей — неравенства для абсолютной величины
определителя. Адамар поддерживал многочислен-
ные научные связи с выдающимися польскими
математиками, в частности, с профессором Вацла-
вом Серпинским.
После второй мировой войны Адамар получил зва-
ние заграничного члена Польской Академии Наук.
Умер Адамар в октябре 1963 года.
Неравенство Адамара
IDK ^(£la!1fi---l£la,nll)
где D=
.........ain
a2i>a22 ........a2n
an1» an2.......O-nn
В Варшаве 3 января 1963 года умер, Витольд По-
гожельский, профессор математики, заведую-
щий кафедрой математики Варшавского политех-
нического института, отделения интегральных
уравнений Института математики ПАН в Вар-
шаве, председатель Варшавского отделения Поль-
ского математического общества, почетный доктор
Лодзинского политехнического института, член
Лодзинского научного общества.
Витольд Погожельский родился 13 сентября
1895 года в Варшаве. Высшее образование полу-
чил в университетах в Нанси и Париже. Доктор-
175 скую степень получил в 1919 году; в 1920 году
ВИТОЛЬД
ПОГОЖЕЛЬСКИЙ
(1895—1963)
защитил диссертацию на звание доцента в Крако-
ве, в 1921 году был назначен профессором Вар-
шавского политехнического института, а в 1938 го-
ду был избран членом Польской Академии техни-
ческих наук. Профессор Погожельский, начиная
с 1920 года и до конца жизни, непрерывно рабо-
тал на педагогическом поприще: до войны в Вар-
шавском политехническом институте, во время
фашистской оккупации — в подпольных группах
Варшавского университета, после освобождения
организовал ц поставил на высокий уровень ка-
федры математики ЛодзиНского политехнического
института и Военной технической академии в Вар-
шаве. Научную деятельность начал Погожельский
в 1915 году. Его научное наследие состоит из
98 работ по интегральным уравнениям, уравне-
ниям с частными' производными, аналитическим
функциям, математической физике и теории
вероятностей.
Важнейшие достижения профессора Погожель-
ского относятся к интегральным уравнениям. Он
впервые в математической литературе поставил
некоторые проблемы интегральных уравне-
ний и решил их современными методами на
основе теорем топологии и функционального
анализа.
Научные труды профессора Погожельского собра-
ны в его монографии „Интегральные уравнения
и их применение”, отражающей его собственные
исследования и достижения в руководимой им ма-
тематической школе. Это, в частности, относится
к третьему тому, который по своему содержанию
и новаторству не имеет себе равных в отечествен-
ной и иностранной литературе.
В области уравнений с частными производными
Погожельский взялся за исследование трудней-
ших проблем, которые ему удалось ^решить точно
и систематически. В своей исследовательской рабо- 176
те он отличается изяществом анализа и умением
оперировать различными отраслями матема-
тики, а также постоянным и упорным поиском
в тех разделах математики, которые лежат
в основе развития технических и математи-
ческих наук.
В числе работ по математической физике и теории
вероятностей можно указать на следующие: „Тео-
ретический расчет количества тепла, получаемого
землей”, „Из теории движения воздуха”, „О тео-
рии электропроводности”. „О теории стратосфе-
ры”, „Теория излучения и квантов энергии”, „Урав-
нение движения излучающего газа”, „Вероят-
ность прочности конструкции” и прочие.
Работы профессора Погожельского печатались
в крупных математических польских, советских,
итальянских, американских, французских и швед-
ских журналах.
Кроме того, профессор Погожельский написал
шесть учебников для студентов высших учебных
заведений (9 томов), которые много раз переизда-
вались.
Научной заслугой профессора Погожельского не-
сомненно является создание новой математической
школы в области интегральных уравнений.
Руководя с 1951 года отделением интегральных
уравнений Математического института ПАН, Пого-
жельский окружил заботой около 30 научных ра-
ботников.
Профессор очень радовался любому новому успе-
ху своих учеников, помогал развивать любую
идею, совершенствовал ее, подсказывал новые. Он
был рад помочь советом и не щадил ни времени,
ни усилий, будучи всегда готов рассмотреть воз-
никшее препятствие.
Как человек — Витольд Погожельский отличался
необыкновенной скромностью, любовью к правде
и непреклонным чувством долга.
НОРБЕРТ ВИНЕР
(1894—1964)
18 марта 1964 г. в Стокгольме внезапно умер про-
фессор Норберт Винер, выдающийся американ-
ский математик, создатель новой отрасли науки —
кибернетики.
Норберт Винер родился 26 ноября 1894 года в Ко-
лумбии, штат Миссури. Его отец, знаток славян-
ских языков, происходил из Польши. После окон-
чания в 1909 году Tufus College Винер поступил
на математическое отделение Гарвардского уни-
верситета и получил там в 1913 году степень докто-
ра философии. После этого он учился в Кембрид-
же и в Геттингене. Начиная с 1932 года, работал
профессором математики в Технологическом ин-
ституте в Массачузет.
Винер опубликовал множество ценных работ по
математике, но важнейшие его достижения связа-
ны с возникновением новой науки, известной те-
перь под названием кибернетики. Кибернетика
появилась в результате математических трудов
Винера и его тесного сотрудничества с учеными
других отраслей знания, в особенности с его дру-
гом, мексиканским физиологом Артуром Розен-
блютом.
Занимаясь во время войны проблемами проти-
вовоздушной обороны, Винер встретился со
многими задачами по передаче информации
и управлению, аналогичными физиологическим
задачам.
После второй мировой войны кибернетика офор-
милась полностью как самостоятельная отрасль
науки.
Само слово кибернетика происходит от Ампера,
который так назвал в 1834 году науку об управле-
нии человеческим обществом.
Главным трудом Норберта Винера является книга:
„Cybernetics or control and communication in the
animal and the machine” („Кибернетика, или упра-
вление и связь в живом организве и машине”), из-
178
данная в 1947 году. Второй важный его труд
„The human use of human beings” издан в Поль-
ше под заглавием „Кибернетика и общество”
(1950 г.).
Кибернетика объединяет в себе достижения мно-
гих наук: математической логики, электроники,
физиологии и общественных наук.
Объединение в одно целое новейших достижений
в столь многих отраслях науки имело не только
большое теоретическое значение, но и нашло круп-
ное практическое применение. Достаточно упомя-
нуть о вычислительных машинах, радаре, энцефа-
лографии, а также вопрос точности попаданий зе-
нитной артиллерии.
Книги Норберта Винера, переведенные на многие
языки, везде встречаются с признанием со сторо-
ны специалистов и пользуются успехом у широ-
ких масс читателей. Дело в том, что кибернетика
как наука показала свои огромные возможности,
стала необходимой во многих отраслях науки
и техники.
Возникает вопрос, в чем будет состоять роль чело-
века в новом мире, в котором машины с огромны-
ми „интеллектуальными” возможностями будут
играть все большую роль, и где находится предел
этих возможностей? Вот ответ на этот вопрос, дан-
ный создателем кибернетики Винером: „Если че-
ловек окажется менее способным, чем машина,
то это закончится очень плохо. Но нельзя в этом
обвинять машину. Такое положение нужно будет
расценить как поражение человека по его собст-
венной вине... Чтобы поставить машине задачу,
нужно очень- много знать. Ценность вычисли-
тельной машины зависит только от того, каким
разумным способом будет ее использовать чело-
век”.
Смерть Норберта Винера — крупная потеря для
179 мировой науки.
ЛЕЙТЦЕН ЭГБЕРТ
ЯН БРАУЭР
(1881—1966)
Неразрешимый континуум брауэра
Выдающийся математик и логик Лейтцен Эгберт
Ян Брауэр родился в Голландии, отчизне вели-
кого философа Б. Спинозы. Не исключено, что под
влиянием изучения произведений своего великого
соотечественника Брауэр в своих философских
взглядах пошел по пути интуиционизма. Впрочем,
он является создателем этого философского на-
правления.
Родился Брауэр 27 февраля 1881 года в городе
Оверши. В 1897 году он поступил в Амстердамский
университет, который окончил в 1907 году со сте-
пенью доктора. В 1909 году он защитил диссер-
тацию и в 1912 году был назначен экстраорди-
нарным, а год спустя — ординарным профессо-
ром Амстердамского университета, в котором он
проработал без перерыва до 1951 года.
Одновременно, профессор Брауэр был избран чле-
ном Королевской Академии Наук.
Выдающиеся достижения Брауэра в области
топологии обеспечили ему быструю научную
карьеру. Перечислим важнейшие из его дости-
жений:
1. Теорема об инвариантности числа измерений —
как доказал Брауэр, два Эвклидовы простран-
ства нельзя отразить однозначно и взаимно не-
прерывно друг на друга, если пространства эти
разного числа измерений.
2. Теорема о неподвижной точке — всякое непре-
рывное отражение замкнутого шара в себе
оставляет неподвижной хотя бы одну точку;
эта теорема, будучи перенесена на общий слу-
чай, является основой многих теорем, касаю-
щихся существования решений уравнений раз-
ного типа (например, дифференциальных, или
интегральных).
3. Брауэр, первый из математиков, дал пример
неразложимого континуума. 180
Упомянутый выше интуиционизм, хотя и встре-
тился с серьезной критикой в философии, в ма-
тематике имеет свое положительное значение.
Прежде всего имеет значение анализ доказатель-
ства теорем о существовании с точки зрения воз-
можности конструкции объекта, существование
которого доказывается. Во многих трудах других
математиков часто ощущается стремление к так
называемой эффективности конструкции, что не-
сомененно является восприятием взглядов Брау-
эра.
Впрочем, как это вытекает из исследований
А. М. Колмогорова, принципы так называемой ин-
туиционистской логики находят свое выражение
в логике конструктивного решения математиче-
ских проблем.
За научные достижения университеты в Осло
и Кембридже присвоили Брауэру звание почетного
доктора.
Умер Брауэр в Бларикуме 2 декабря 1966 года.
ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ
(1882-1969)
На страницах этой книги не раз упоминалась
варшавская математическая школа. Во время
подготовки книги к печати умер человек, кото-
рый был одним из творцов этой школы и круп-
нейшим ее авторитетом на протяжении полу-
века.
Вацлав Серпинский — это о нем идет здесь речь —
родился 14 марта 1882 года в Варшаве и здесь
же изучал математику. Его учителем, о котором
Серпинский неоднократно вспоминал, был Г. Ф.
Вороной. В 1906 году Серпинский защитил доктор-
скую диссертацию в Кракове и стал преподавать
181 во Львовском университете, куда был назначен
v приглашения кривой. заполняющей
квадрат (ток назе&зРНиС Козер Серг'-^ого/
профессором в 1910 году. С 1918 по 1960 год был
профессором Варшавского университета. Выйдя
на пенсию, Серпинский продолжал творческий
труд.
Хотя творчество Серпинского неразрывно связано
с варшавской математической школой, его фа-
милия известна математикам всего мира. Об этом
свидетельствует то, что Серпинский является чле-
ном Международной академии философии наук
и членом Академии двенадцати стран, а также
обладателем двенадцати титулов „почетного
доктора”. В 1917 году Серпинский был принят
в члены Польской Академии Знаний, а с
1952 года состоял членом Польской Академии
Наук и в течение пяти лет был ее вице-пред-
седателем.
Большое число почетных отличий, из которых мы
упомянули только часть, связано, несомненно, с ог-
ромным количеством (свыше 700) трудов Серпин-
ского, напечатанных в журналах многих стран
и даже континентов. Стало традицией, что каж-
дый том основанного В. Серпинским, совместно
с 3. Янишевским и С. Мазуркевичем, журнала
„Fundamenta Mathematicae” открывался статьей
Серпинского.
В числе работ Серпинского находится 15 научных
и 13 популярно-научных книг.
Нет возможности кратко рассказать о трудах Сер-
пинского, можно только перечислить отрасли ма-
тематики, получившие особое развитие в его тру-
дах, на которых воспитывались многие математи-
ки и которые были посвящены решениям многих
проблем. К ним принадлежат: теория множеств
(„Legons sur les Hombres transfinites — 1928, „Alge-
bre des ensembles” — 1951 и др.), топология, теория
действительных функций („Funkcje przedstawial-
пе analitycznie”, „Wstqp do teorii funkcji”), теории
чисел („Elementary Theory of Numbers — 1964). 182
Упомянутая выше книга, посвященная теории чи-
сел, появилась на свет, когда ее автору исполнилось
82 года, причем его научные труды находятся
в печати, несмотря на то, что Серпинский умер
в возрасте 87 лет.
Необыкновенное трудолюбие и творческий накал
сопутствовали Серпинскому до конца жизни.
ПРЕДИСЛОВИЕ........................ 5
ФАЛЕС.............................. 6
ПИФАГОР.......................... 7
ЭВКЛИД.............................10
АРХИМЕД............................13
АПОЛЛОНИЙ ПЕРГСКИЙ ....... 15
ГЕРОН ИЗ АЛЕКСАНДРИИ...............18
ДИОФАНТ............................20
ПАПП АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ...............23
ХОРЕЗМИ МУХАМЕД БЕН МУСА...........26
ЭРАЗМ ВИТЕЛО.......................29
ДЖЕРОЛАМО КАРДАНО................ .32
ФРАНСУА ВИЕТ ......................34
РЕНЕ ДЕКАРТ........................36
ПЬЕР ФЕРМА.........................38
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ..................... 41
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ .... 43
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ..................... 47
ИСААК НЬЮТОН . 50
ИОГАНН БЕРНУЛЛИ....................52
АБРАХАМ ДЕ МУАВР...................56
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР......................57
ЖАН ЛЕРОН Д’АЛАМБЕР................60
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ..................61
ГАСПАР МОНЖ........................64
ПЬЕР СИМОН ЛАПЛАС..................66
АДРИЕН МАРИ ЛЕЖАНДР . . ... 68
ЖАН БАТИСТ ЖОЗЕФ ФУРЬЕ ............70
СЦМЕОН ДЕНИ ПУАССОН................71
ДЖОРДЖ ГРИН................... .... 73
ЮЗЕФ ГЁНЕ-ВРОНСКИЙ.................74
КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС.................77
ОГЛАВЛЕНИЕ
185
ОГЮСТЕН ЛУИ КОШИ.......................81
НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ ... 83
ЯКОБ ШТЕЙНЕР...........................86
НИЛЬС ГЕНРИХ АБЕЛЬ.....................87
ЭВАРИСТ ГАЛУА..........................89
КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБ ЯКОБИ.................91
МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ . . 93
ЯНОШ БОЛЬЯЙ............................95
ПЕТЕР ГУСТАВ ЛЕЖЕН ДИРИХЛЕ .... 98
ГЕОРГ ФРИДРИХ БЕРНХАРД РИМАН .... 99
КАРЛ ТЕОДОР ВИЛЬГЕЛЬМ ВЕЙЕРШТРАСС . . 101
ПАФНУТИЙ ЛЬВОВИЧ ЧЕБЫШЕВ..............104
ШАРЛЬ ЭРМИТ...........................106
СОФИЯ ВАСИЛЬЕВНА КОВАЛЕВСКАЯ .... 108
МАРИЙ СОФУС ЛИ........................110
ГЕРМАН МИНКОВСКИ......................111
ГЕОРГИЙ ФЕОДОСЬЕВИЧ ВОРОНОЙ .... 113
РИХАРД ЮЛИУС ВИЛЬГЕЛЬМ ДЕДЕКИНД . . . 115
ГЕОРГ КАНТОР..........................116
АНРИ ЖЮЛЬ ПУАНКАРЕ....................118
КАМИЛЬ ЖОРДАН.........................119
АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ ЛЯПУНОВ . . . 121
АНДРЕЙ АНДРЕЕВИЧ МАРКОВ...............123
ВЛАДИМИР АНДРЕЕВИЧ СТЕКЛОВ............124
ЭРИК ИВАР ФРЕДГОЛЬМ...................126
ЗИГМУНТ ЯНИШЕВСКИЙ....................127
ПАВЕЛ САМУИЛОВИЧ УРЫСОН...............130
КАРЛ ПИРСОН...........................131
ФЕЛИКС ХАУСДОРФ.......................134
ЮЗЕФ МАРЦИНКЕВИЧ......................134
АНРИ ЛУИ ЛЕБЕГ........................136
СТАНИСЛАВ ЗАРЕМБА......................138 186 ;
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ . 140
СТАНИСЛАВ САКС......................142
ЮЛИУШ ПАВЕЛ ШАУДЕР..................144
СТЕФАН БАНАХ................... . 147
ЭЛИ ЖОЗЕФ КАРТАН....................154
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН............155
КАЗИМЕЖ ЖОРАВСКИЙ...................157
ВСЕВОЛОД ИВАНОВИЧ РОМАНОВСКИЙ ... 159
ЭМИЛЬ БОРЕЛЬ........................160
ФРИДЬЕШ РИС.........................161
ГЕРМАН ВЕЙЛЬ........................164
ДЖОН ФОН НЕЙМАНН....................165
МЕЧИСЛАВ БЕРНАЦКИЙ . 168
АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН . . . . 170
РОНАЛЬД ЭЙЛЬМЕР ФИШЕР...............172
ЖАК САЛОМОН АДАМАР..................174
ВИТОЛЬД ПОГОЖЕЛЬСКИЙ................175
НОРБЕРТ ВИНЕР.......................17в
ЛЕЙТЦЕН ЭГБЕРТ ЯН БРАУЭР............180
ВАЦЛАВ СЕРПИНСКИЙ ..................181