АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Серия «История науки и техники»
В. А. НИКИФОРОВСКИЙ
ВЕЛИКИЕ
МАТЕМАТИКИ
БЕРНУЛЛИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1984
Scan: AAW;
DjVu: Dmitry7

Н-62
Никифоровский В. А. Великие математики Бернул-
ли. М.: Наука, 1984, 180 с.
Семья Бернулли дала миру много известных математи-
ков, особенно выдающимися были братья Якоб (1654—1705)
и Иоганн (1667—1748) и сын Иоганна Даниил (1700—1782).
В книге рассказывается о жизни и научной деятельности
этих трех великих математиков. Показан их вклад в клас-
сический анализ, теорию вероятностей, вариационное исчис-
ление и другие разделы математики.
Для читателей, интересующихся историей математики.
Ответственный редактор
доктор физико-математических наук
А. Т. ГРИГОРЬЯН
1602000000-561 л т
—Q42(02)-84 116-84—1 © Издательство «Наука», 1984 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
С минимальным риском ошибиться можно утверждать,
что в любой математической книге непременно встретит-
ся фамилия Бернулли. Но авторы зачастую забывают
указать, кого из многочисленных Бернулли они имеют в
виду. Пишется просто: уравнение Бернулли, интеграл
Бернулли, метод Бернулли, теорема Бернулли, числа Бер-
нулли и т. д. Автор предлагаемой книги поставил задачу
конкретно показать «кто есть кто», какими открытиями
в математике мы обязаны каждому из Бернулли.
История науки и культуры знает случаи, когда тот
или иной дар повторяется у членов одной семьи. Извест-
ны композиторы Штраусы, астрономы Кассини, архитек-
торы и живописцы крепостные Аргуновы, артисты Садов-
ские и др. Из всех таких семей самой выдающейся мож-
но считать семью Бернулли. Род Бернулли дал девять
крупных математиков, из них трех великих (Якоб, Иоганн,
Даниил). Помимо математиков, среди Бернулли были
историки, архитекторы, юристы, искусствоведы и т. д.
Не менее тридцати представителей Бернулли обладали вы-
дающимися талантами.
Кафедру математики Базельского университета Бер-
нулли возглавляли 105 лет практически без перерыва.
Профессорами того же университета (на разных кафед-
рах) Бернулли состояли более 200 лет. Кресло академика
Парижской академии наук было занято ими подряд
100 лет. Та же академия выдала десятки премий членам
этой семьи. Пятеро математиков Бернулли были членами
Петербургской академии наук, трое работали в Петер-
бурге.
Необыкновенно устойчивая одаренность Бернулли, пе-
реходящая из поколения в поколение, проявляется у них
в раннем развитии математического дарования, непреодо-
лимом стремлении к точным наукам, широте и глубине
знаний. Бернулли сделали значительный вклад в науку
па заре становления и оформления «новой» математики
(дифференциальное и интегральное исчисления, диффе-
ренциальные уравнения, ряды, вариационное исчисление,
теория вероятностей).
3

Разработка и совершенствование нового исчисления,
созданного Ньютоном и Лейбницем, поднимали математи-
ку на иной, более высокий уровень, позволяли решать
ранее недоступные задачи физики, а она, в свою очередь,
оказывала влияние на развитие математики. «Физика,—
писал А. Пуанкаре,— не может обойтись без математики,
которая предоставляет ей единственный язык, на кото-
ром она может говорить. Отсюда взаимные и беспрестан-
ные услуги, которые оказывают друг другу чистый ана-
лиз и физика» [22, с. 659].
Процесс становления исчисления вел к некоторого
рода «демократизации» математики: если раньше трудные
задачи поддавались лишь талантливым одиночкам, посвя-
тившим себя занятию математикой, то овладение основа-
ми дифференциального и интегрального исчислений по-
зволяло широкому кругу образованных людей справлять-
ся с задачами, казавшимися совсем недавно неразреши-
мыми. Это вело к развитию математики не только вглубь,
но и вширь.
В книге рассказывается о жизни и научной деятель-
ности трех великих Бернулли: братьев Якоба и Иоганна
и сына Иоганна Даниила. Открывается она главой о пред-
шественниках этих ученых, написанной с целью оттенить
и ярче показать вклад в математику, сделанный семьей
Бернулли.
При работе над книгой автор старался руководство-
ваться советом Б. Паскаля: «Предмет математики на-
столько серьезен, что полезно не упускать случая сделать
ею немного занимательным».

ПРЕДШЕСТВЕННИКИ И СОВРЕМЕННИКИ
1
Развитие науки XVII в. происходило одновременно
со становлением в передовых странах Европы новой об-
щественной формации — капитализма. Утверждение но-
вых форм производства и общественных отношений предъ-
являло определенные требования к науке. Энгельс писал:
«Буржуазии для развития ее промышленности нужна
была наука, которая исследовала бы свойства физических
тел и формы проявления сил природы. До того же време-
ни наука была смиренной служанкой церкви и ей не
позволено было выходить за рамки, установленные верой;
по этой причине она была чем угодно, только не наукой.
Теперь наука восстала против церкви; буржуазия нужда-
лась в науке и приняла участие в этом восстании» [18,
с. 307].
Развитие науки в XVI и XVII вв. вылилось в научную
революцию. Она характеризуется ломкой старых представ-
лений и понятий, ломкой установившегося метода мышле-
ния, коренным изменением взглядов на мир, разработ-
кой основ современного научного естествознания и мате-
матики как его рабочего инструмента. Вершиной научной
революции было создание Декартом и Ферма аналитиче-
ской геометрии, Ньютоном и Лейбницем — дифференциаль-
ного и интегрального исчислений и Ньютоном — механики.
В науке настоятельно выступали и проявлялись новые
тенденции: она все более откликалась на запросы прак-
тики, своими достижениями обслуживала практику; наука
опиралась на результаты эксперимента, представляла союз
теории и опыта; основу наукой составляли механические
к математические представления, это обусловило форми-
рование механистической концепции мира; наука испы-
тывала на себе влияние передовых идей века.
Производство ставило перед наукой сложные задачи.
«Такие задачи появлялись в промышленной, строитель-
ной, транспортной технике, в быстро прогрессировавшем
артиллерийском деле, в навигации, в связи с изобретением
и совершенствованием различных приборов и инструмен-
5

тов и т. д. Назовем несколько таких вопросов, правильная
постановка и решение которых требовали математическо-
го исследования, завершающегося числовым расчетом. Это
цикл проблем гидротехники (давление воды на плотины
и шлюзы; работа насосов; движение воды в каналах),
затем кораблестроения и навигации (устойчивость пла-
вающих тел; движение твердого тела в жидкости; чер-
чение географических карт; определение долготы корабля
к открытом море), артиллерии (прежде всего движение
брошенного тела в пустоте и в сопротивляющейся среде),
оптики (свойства линз и их систем), точного приборо-
строения (часы и колебания маятника)» [9, с. 10].
Как пример синтеза науки и практики можно приве-
С1и историю создания часов и связанных с этим исследо-
ваний. Бурное развитие мореплавания поставило вопрос
о точном вычислении географических координат. Если
широту места по высоте Солнца в полдень мореплаватели
определяли достаточно хорошо уже в XVI в., то для па-
хождения долготы нужно было иметь точно идущие часы.
Земля в течение часа поворачивается на 15°, поэтому
достаточно знать точное время порта, из которого вышел
корабль, чтобы найти долготу места. Но точных часов
не было. За решение задачи по определению долготы пред-
лагались большие суммы. В 1603 г. солидную премию
назначил король Франции Генрих IV; через год Филипп II
испанский предложил 100000 экю; в 1606 г. 100000 фло-
ринов — Генеральные Штаты Нидерландов; Людовик XIV
несколько позже — 100 000 французских ливров; 20 000 ан-
глийских фунтов — английский парламент.
С целью оказания помощи в решении задачи об опре-
делении долготы созданы первые субсидируемые государ-
ством научные учреждения — Парижская обсерватория в
1672 г. и Гринвичская обсерватория в 1675 г.
Исследованием колебаний маятника и конструирова-
нием точных часов занимался Галилей. Конструкцию
часов с циклоидальным маятником предложил Гюйгенс.
Ему также принадлежат различные изобретения и откры-
тия, связанные с часами.
Однако ошибочно думать, что развитие науки целиком
определялось практикой, ее нуждами и запросами. В каж-
дой науке есть свои внутренние стимулы, обусловливаю-
щие прогресс, есть вопросы, не разрешенные предыдущи-
ми поколениями исследователей. Необходимо иметь в виду
также и наличие обратной связи: сама развивающаяся
наука ставила перед практикой новые задачи.

Становление науки происходило в борьбе с догмами
средневековых схоластики и теологии. Начало активного
и научно обоснованного выступления против средневеко-
вых догм связано с выходом в свет основного труда Ко-
перника, содержащего изложение гелиоцентрической си-
стемы мира. Дж. Леопарди приписывает Копернику сло-
ва, что утверждение гелиоцентрической системы «не будет
таким простым делом, как могло бы показаться на первый
взгляд... Ее влияние не ограничится физикой. Она при-
ведет к переоценке ценностей и взаимоотношений различ-
ных категорий; она изменит взгляд на цели творения. Тем
самым она произведет переворот также и в метафизике
и вообще во всех областях, соприкасающихся с умозри-
тельной стороной знания. Отсюда следует, что люди, если
сумеют или захотят рассуждать здраво, окажутся совсем
в другом положении, чем они были до сих пор или вооб-
ражали, что были» [52, с. 314].
Поход против догм возглавили после Коперника
Дж. Бруно и Галилей. Эйнштейн подчеркивает, что Гали-
лей страстно выступал против любого вида догм, осно-
ванных на авторитете. Борьба с догмами пронизывает все
творчество Декарта.
Наука нового времени опиралась на прочную основу
опыта. «Наука, связывающая теорию и эксперимент, фак-
тически началась с работ Галилея»,—писал Эйнштейн
[34, с. 393]. Характерной особенностью экспериментов
нового времени было то, что они зачастую служили по-
воротными пунктами и отправными точками в развитии
науки. Достаточно назвать опыты Галилея с падением
тяжелых тел и колебаниями маятника, опыты Торричел-
ли, опрокинувшие тезис Аристотеля «природа боится
пустоты», опыты Паскаля с атмосферным давлением.
В XVII в. сложилось механическое толкование мира:
мир рассматривался как механизм, действующий в соот-
ветствии с незыблемыми законами. В связи с таким взгля-
дом ведущее значение приобрела механика, а вместе
с ней — математика.
В условиях нового времени формировался новый тип
ученого: ученые в большинстве своем были одновременно
механиками, инженерами, физиками, математиками, аст-
рономами и часто философами. Многие крупные ученые
занимались инженерной практикой. Галилей, Гюйгенс,
Ньютон строили зрительные трубы, Гюйгенс, кроме того,
прослыл выдающимся часовым мастером; Паскаль и Лейб-
ниц конструировали вычислительные машины; Стевин за-
7

нимался гидротехникой, Дезарг— фортификацией, Декарт
и Торричелли — шлифованием линз.
В связи с резким ростом исследований возникла на-
стоятельная необходимость общения ученых. Это привело
к большой научной переписке, появлению своего рода
центров научной информации, научных кружков, впослед-
ствии — академий. Во Франции вся переписка шла через
М. Мерсенна, в Англии — Г. Ольденбурга и Д» Коллинса,
в Италии — М. Риччи, в Германии — К. Шотта*
В большинстве стран Европы университеты не стали
научными центрами. Это связано с засильем в них схо-
ластики. Новые идеи в университетскую и школьную нау-
ку не проникали. Да и распространялись они крайне мед-
ленно. Говорят, что «Начала» Ньютона в первые годы
после издания прочитало всего четыре человека. Об отно-
шении к преподаванию математики можно судить по
тому, что во многих школах на преподавателей матема-
тики смотрели свысока, они не входили в коллегии пре-
подавателей, возникла даже пословица «mathematicus поп
est collega» (математик — не коллега).
Первые научные академии возникли в Италии по
опыту академий литературы. В 1560 г. в Неаполе органи-
зована Accademia secretorum naturae (Академия тайн при-
роды), просуществовавшая недолго.
В 1603 г. основана Accademia dei Lincei (Академия
«рысьеглазых», т. е. видящих очень хорошо), предназна-
ченная для изучения природы и распространения знаний
в области физики. Членом этой академии был Галилей;
она способствовала распространению его учения.
С 1654 г. в Англии начало функционировать Оксфорд-
ское научное общество («Невидимая коллегия»). Девиз
общества «Nullius in verba» («Ничего из слов») направ-
лен против схоластики. Общество официально было при-
знано королем и в 1662 г. преобразовано в Royal Society
for the Advancement of Learning (Королевское общест-
во для развития знания). С марта 1665 г. стал издавать-
ся научный журнал «Phylosophical Transactions».
Во Франции на базе научного кружка Мерсенна ми-
нистром Кольбером в 1666 г. организована Academie des
Sciences (Академия наук). Первым президентом ее был
Гюйгенс. «Journal des S^avans» («Журнал ученых») из-
дается с 1665 г. Лейпцигский журнал «Acta Eruditorum»,
издававшийся на латинском языке, основан в 1682 г.
Наука XVII в. формировалась под влиянием философ-
ских идей Ф. Бэкона и Декарта. Рационализм Декарта
8

вооружал науку уверенностью в торжестве разума, стал
идеологией революционной буржуазии, перестраивающей
производство.
2
Математика XVII в. резко отличается от предшествую-
щей. К XVII в. она включала в себя арифметику, алгеб-
ру, геометрию, тригонометрию и занималась преимущест-
венно постоянными величинами. В XVII в. возникли ка-
чественно новые разделы математики: аналитическая
геометрия, проективная геометрия, теория вероятностей,
исчисление бесконечно малых, содержащее зачатки важ-
нейших новых дисциплин — теории дифференциальных
уравнений, вариационного исчисления, теории рядов, диф-
ференциальной геометрии.
Задолго до создания анализа бесконечно малых мате-
матиков занимали два широких класса задач. Один из них
объединялся вокруг задачи о проведении касательной к
кривой. Чтобы провести касательную, надо знать ее на-
правление. Для окружности задача решается в элемен-
тарной геометрии: касательная перпендикулярна радиусу
в точке касания. В общем случае касательную рассматри-
вают как предельное положение секущей.
Задача сводится к нахождению предела отношения
&у/Ах при условии Д#-*0. Аналитически к необходимости
вычисления этого предела приходят при решении задачи
о проведении нормали к кривой (перпендикуляра к ка-
сательной), что представляет интерес в оптике, при опре-
делении отрезков подкасательной и поднормали. Точно
так же в механике определяется скорость. Отыскание мак-
симумов и минимумов (экстремумов) функций тоже свя-
зано с рассматриваемым пределом.
Второй класс задач составляли вычисление площади
(квадратуры) сложной фигуры с криволинейными гра-
ницами, объемов (кубатуры), координат центров тяжести,
давления, пути движущихся тел, спрямление кривых
и т. д. Эти задачи решались по единому плану. Квадра-
тура, например, осуществлялась так: фигура разбивалась
на конечное число площадок с легко вычислимыми пло-
щадями, подсчитывались эти площади, а затем число сла-
гаемых увеличивалось до бесконечности (при этом каж-
дая частичная площадь стремилась к нулю). Если уда-
валось найти точный результат такого предельного
процесса, то он и составлял искомое.
9

Частные задачи того и другого типа с помощью раз-
личного рода геометрических, алгебраических и механи-
ческих построений успешно решались математиками
XVII в. до Ньютона и Лейбница. Была установлена связь
между задачами обоих классов. Но все это не могло со-
ставить единого метода решения двух указанных проблем.
Это стало возможно с открытием новых аналитических
объектов — дифференциалов, интегралов, рядов и т. д.
Чтобы уяснить, насколько близко подошли предшест-
венники Ньютона и Лейбница к построению анализа бес-
конечно малых, необходимо обратиться к двум рассмотре-
ниям И. Барроу * — профессора Кембриджского универ-
ситета, учителя Ньютона.
Барроу усовершенствовал метод Ферма проведения ка-
сательной к кривой. Он учитывал приращение Ду коор-
динаты г/, а не только приращение Ах координаты х, как
делал Ферма, и это дало возможность в определенном
смысле автоматизировать расчет.
Важным достижением Барроу было установление вза-
имной обратности задач, решаемых теперь интегрирова-
нием и дифференцированием. Этот вопрос, как и предыду-
щий, изложен им в «Лекциях по геометрии» (1670).
Барроу применил теорему о взаимной обратности опе-
раций дифференцирования и интегрирования к решению
двух видов задач: по известным квадратурам он отыски-
вал способы определения касательных, а такя^е решал
обратные задачи на касательные, что означало интегри-
рование дифференциальных уравнений. В частности, он
рассмотрел задачу Дебона о квадратуре кривой, удовлет-
воряющей условию ylST=(x—y)la (ST —подкасательная),
т. е. в современных обозначениях уравнению dyjdx=*
= (х—у)/а. В свое время в связи с задачей Дебона Де-
карт высказал сомнение в существовании общего метода
решения подобных задач.
3
Как ни значительны достижения математиков — Ка-
вальери, Торричелли, Паскаля, Ферма, Декарта, Гюйген-
са, Валлиса, Меркатора, Барроу — в инфинитезимальных
исследованиях, они не могли составить единой системы
анализа бесконечно малых, в которой с помощью немно-
гих вычислительных алгоритмов решались бы самые раз-
личные задачи математики, механики, физики и других
наук. Создание такой системы выпало на долю Ньютона
и Лейбница.
10

Известный историк математики Г. Г. Цейтен удачно
сравнивает переход от отдельных исследований матема-
тиков к исследованиям по общим методам с переходом
от развитого ремесленного производства к фабричному.
И прежде всего он отмечает, что вместе с созданием об-
щих методов возрастает общекультурное значение мате-
матики. «Отныне она становится вполне доступной для
широкого круга людей, нуждающихся в ее помощи, но
не обладающих особыми математическими дарованиями...
Сверх того, растущее число применений все время выдви-
гает перед самой математикой новые проблемы сущест-
венного значения. Далее, многое во внутреннем развитии
математики происходит почти само собою: действительно,
общий метод дает возможность совершенствовать техни-
ческий аппарат данной дисциплины и находить новые
результаты, которые в виде легко остающихся в памяти
формул дают исходные пункты для новых механических
операций; благодаря существованию общего метода по-
лучают разрешение и те вопросы, которые сами собой
возникают по мере продвижения начатых исследований»
[31, с. 214].
Летом 1661 г. девятнадцатилетний Ньютон посту-
пил в Тринити-колледж Кембриджского университета.
В 1655 г. окончил университет со степенью бакалавра2,
в 1668 г. стал магистром3, а в 1669 г. по предложению
Барроу принял его кафедру.
Ньютон сделал свои открытия по анализу раньше
Лейбница, но своевременно не опубликовал их: все его
математические сочинения изданы после того, как он стал
знаменитым. Зимой 1664/65 г. Ньютон открыл общее раз-
ложение бинома с произвольным показателем степени.
Вспыхнувшая эпидемия чумы вынудила Ньютона поки-
нуть Кембридж и отправиться в деревню Вултсроп, где
он провел два «чумных» года. Считается, что в это время,
когда, по его словам, он «был в расцвете своих изобре-
тательских сил и думал о математике и о философии
больше, чем когда-либо», он обосновал свои математиче-
ские открытия: метод флюксий, широкое приложение ря-
дов, применение взаимной обратности дифференцирова-
ния и интегрирования к новому и систематическому
нахождению квадратур. Тогда же у него сложились идеи
механики и исходные положения теории всемирного тя-
готения. В эти годы Ньютон также интенсивно занимал-
ся оптикой.
11

В 1666 г. он подготовил рукопись «Следующие пред-
ложения достаточны, чтобы решать задачи с помощью
движения», содержащую основные открытия по матема-
тике. Рукопись осталась в черновом варианте и была
опубликована только через 300 лет.
В «Анализе с помощью уравнений с бесконечным чис-
лом членов», написанном в 1665 г., Ньютон дал изложе-
ние своих открытий в учении о бесконечно малых, рядах,
в приложении рядов к решению уравнений. Летом 1669 г.
он передал рукопись Барроу, который переправил ее Кол-
линсу в Лондон. Благодаря этому она получила некото-
рую известность.
В 1670—1671 гг. Ньютон стал готовить к изданию
более полную работу — «Метод флюксий и бесконечных
рядов». Издателя найти не удалось: в то время книги по
математике приносили убыток.
В «Методе флюксий» учение Ньютона выступает как
система: рассматривается исчисление флюксий (производ-
ных), приложение их к определению касательных, нахож-
дению экстремумов, кривизны, вычисление квадратур, ре-
шение уравнений с флюксиями, что соответствует совре-
менным дифференциальным уравнениям.
Раньше всех из трудов Ньютона по анализу издано
«Рассуждение о квадратуре кривых» (1704). «Анализ с
помощью уравнений с бесконечным числом членов» вы-
шел в 1711 г., а «Метод флюксий» — в 1736 г., после
смерти автора.
Столь поздняя публикация открытий, безусловно, не
способствовала своевременному ознакомлению с ними, осо-
бенно за пределами Англии. Однако многие математики
узнавали о них по рукописям, а также из переписки.
В 1676 г. Ньютон отправил два письма секретарю Ко-
ролевского общества Г. Ольденбургу для передачи Лейб-
ницу (по просьбе Лейбница). В письмах не сообщалось
о принципе и применениях метода флюксий, а отмечались
важные результаты и ход рассуждений, с помощью кото-
рого Ньютон пришел, например, к разложению степени
бинома.
О своем методе Ньютон сообщил двумя анаграммами
(как это принято было в то время для сохранения тайны),
состоящими из расположенных в порядке алфавита букв
трех фраз, написанных по-латыни. «По данному уравне-
нию, содержащему сколько-либо флюент (функций), най-
ти флюксии и обратно» [20, с. 262]. «Один метод состоит
в нахождении флюенты из уравнения, содержащего вместе
12

с ней и ее флюксию. Другой же заключается в употреб-
лении вместо какой-либо неизвестной величины ряда, из
которого можно удобно вывести остальные, и в сопостав-
лении однородных членов результирующего уравнения
для определения членов взятого ряда» [20, с. 259].
Первая анаграмма, например, выглядела так:
$accdael3eff7i3l9n4oAqrr4s9tl2vx. После выхода в свет
Статей Лебница по дифференциальному и интегральному
исчислениям Ньютон дал изложение своего метода в двух
письмах Валлису: от 27 августа и 17 сентября 1692 г.,
который поместил выдержки из них в издании своего
«Трактата по алгебре» (1693). Здесь же приведена и рас-
шифровка анаграмм.
Еще раньше ученый мир мог ознакомиться с прило-
жением теории пределов Ньютона по знаменитым «Мате-
матическим началам натуральной философии», вышедшим
в 1687 г. Этот труд был опубликован только по настоя-
нию друга Ньютона, молодого и энергичного Э. Галлея.
В 1699 г. вспыхнула полемика о приоритете открытия
исчисления бесконечно малых, в которую вскоре втяну-
лись Ньютон и Лейбниц, до этого высоко ценившие
заслуги друг друга. Спор привел к отказу английских
ученых от алгоритма Лейбница и к невниманию матема-
тиков континента Европы к достижениям школы Ньюто-
на. Деятельное участие в полемике принимал И. Бернул-
ли. Она продолжалась более ста лет.
4
После длительных размышлений Ньютон пришел к
исчислению бесконечно малых на основе концепции дви-
жения; математика для него не выступала как абстракт-
йый продукт человеческого ума. Он считал, что геометри-
ческие образы, линии, поверхности, тела, получаются в
результате движения: линия — при движении точки, по-
верхность — при движении линии, тело — при движении
поверхности. Эти движения осуществляются во времени,
и за сколь угодно малое время точка, например, пройдет
сколь угодно малый путь. Для нахождения мгновенной
скорости, скорости в данный момент, необходимо найти
отношение приращения пути (по современной терминоло-
гии) к приращению времени, а затем предел этого отно-
шения, т. е. взять «последнее отношение», когда при-
ращение времени стремится к нулю.
Так Ньютон ввел отыскание «последних отношений»,
производных (флюксий). Для отыскания производной
i3

функции у по аргументу х можно найти отношение про-
изводной у по времени к лрсщзводной х по времени.
Пользование теоремой о взаимной обратности опера-
ций дифференцирования и интегрирования и знание про-
изводных многих функций дало Ньютону возможность
получать флюенты. Если интегралы непосредственно не
вычислялись^ Ньютон разлагал подынтегральную функ-
цию в степенной ряд и интегрировал его почленно. Вве-
дение такого приема — заслуга Ньютона. Для разложения
функций в ряды он чаще всего пользовался открытым им
разложением степени бинома, а также применял и эле-
ментарные методы: деление числителя на знаменатель,
извлечение корня и т. д.
Ко времени создания основного труда своей жизни —
«Математических начал натуральной философии» — Нью-
тон свободно владел новым математическим аппаратом:
дифференцированием, интегрированием, разложением в
ряд, интегрированием дифференциальных уравнений, ин-
терполированием.
При выводе формулы степени бинома Ньютон поль-
зовался способом Декарта записи степеней с помощью
показателей и распространением его на дробные и отри-
цательные показатели, а также интерполяционным прие-
мом Валлиса, примененным при вычислении интеграла
$/*■
• х2 dx.
Биномиальный ряд Ньютона впервые опубликован в
«Алгебре» Валлиса в 1685 г. Он имел вид
(Р + PQ)mm = рт/п + JUL AQ + т~п BQ +
п ^ 2п
-3
т — 2и пГк . т — 3/г ^гъ
Н oz CQ -Ь —r—DQ + и т.д.,
Где А = Рт'\ B^-^-AQ, C= -^_ BQ и т. д.
Этот ряд Ньютон привел в письме Ольденбургу для
Лейбница.
В «Анализе с помощью уравнений с бесконечным числом
членов» Ньютон ввел прием вычисления интегралов раз-
ложением f(x) в стеценной ряд и почленным интегриро-
ванием ряда, а также получил разложения некоторых
функций.
14

Во втором письме Ньютон отвечает на вопросы Лейб-
ница. Он приводит результаты, входящие в «Анализ»,
с которым Лейбниц ознакомился ранее. Ньютон пишет
о том, как он получил биномиальную формулу. Он делает
замечание о рядах для ех и е~х, а также относительно
сообщенного ему Лейбницем ряда для я/4. Ньютон при-
водит существенные результаты о квадратурах, особенно
о некоторых случаях интегрируемости дифференциальных
биномов4.
В «Анализе» высказаны три правила исчисления бес-
конечно малых: о квадратуре простых кривых (если
an x(m+n)/n \
у=ахт/п, то «площадь» будет (m + n) /,o квадрату-
рах сложных кривых с помощью простых, о квадратурах
иных алгебраических кривых. Далее разработанный ме-
тод переносится на трансцендентные кривые.
Ньютон применял свой метод не только к вычислению
площадей, но и к спрямлению кривых, кубатурам, вычис-
лению координат центров тяжести и ясно представлял,
что все эти операции осуществляются по одному общему
методу.
Необходимо отметить, что ни у Ньютона, ни у Лейб-
ница не было формулы
ь
\j{x)dx = F (Ъ) - F (a), F' (x) = /(*),
d
называемой сейчас формулой Ньютона—Лейбница. Но
это правило они знали. Так, Ньютон писал: «Для полу-
чения должного значения площади, прилежащей к неко-
торой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать
равной разности значений z, соответствующих частям аб-
сцисс, ограниченным началом и концом площади» [20,
с. 121].
В «Методе флюксий и бесконечных рядов» основные
понятия и задачи анализа формулируются на основе ме-
ханической концепции в механических терминах. Различ-
ные задачи анализа Ньютон сводит к двум:
«I. Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каж-
дый момент времени) дана; требуется найти скорость дви-
жения в предложенное время.
П. Скорость движения постоянно дана; требуется най-
тп длину пройденного в предложенное время пути»
[20, с. 45].
Все величины Ньютон рассматривает в процессе роста
п убывания и называет их флюентами, меняющимися с
15

изменением «времени», причем под «временем» понимает-
ся любая величина, изменение которой выражает и из-
меряет время. Скорости изменения флюент — флюксии. Это
два центральных понятия анализа, в современной терми-
нологии — взаимно обратные первообразная и производная.
Ньютон обозначал флюксии теми же буквами, что и
флюенты, с точками, так что, например,
x=dx/dt, y=dy/dt, z=dz/dt.
Здесь t— «время».
Если у=х2, где i/— пройденный к определенному вре-
мени путь, а время х меняется со скоростью я, то, по
Ньютону, 2хх представляет скорость, с которой проходит-
ся путь у в данный момент. Обратно, если дана скорость
у=2хх, с которой проходится путь, то длина пути будет
у=х2, что находится интегрированием. Здесь, как и ранее,
Ньютон не ставит вопрос о многозначности операции
отыскания флюенты по флюксии, т. е. о том, что в ре-
зультате интегрирования получится не F(x), a F(x)+C.
Об этом он указал в «Рассуждении о квадратуре кривых»,
написанном позднее: «Всякую флюенту, получаемую по
первой флюксии, можно увеличить или уменьшить па те-
кущую величину» [20, с. 192].
На языке метода флюксий основные задачи анализа
формулируются Ньютоном так:
«1. По данному соотношению между флюентами опре-
делить соотношение между флюксиями.
2. По данному уравнению, содержащему флюксии, най-
ти соотношение между флюентами» [20, с. 46, 51].
Очевидно, первая задача — дифференцирование функ-
ции нескольких переменных, зависящих от «времени»,
вторая — интегрирование дифференциального уравнения
первого порядка.
Решение обеих задач Ньютон применил к нахождению
экстремумов, центров кривизны и радиусов кривизны, про-
ведению касательных, к вычислению площадей.
Для приложения инфинитезимальных методов Ньютон
разработал теорию пределов, изложенную в двенадцати
леммах, вошедших в знаменитые «Математические нача-
ла натуральной философии».
5
Краткое рассмотрение вклада Ньютона в построение
анализа показывает, что он в «чумные» годы (1655—
1666 гг.) владел всеми своими достижениями. Но, хотя
16

Лейбниц пришел к открытиям в области бвекозечно ма-
лых примерно на десять лет позже, а первую фундамен-
тальную работу опубликовал лишь в 1684 г., десятилетний
разрыв не играл существенной роли в судьбах открытий:
работы Ньютона оставались в рукописях и были известны
узкому кругу английских математиков. Когда же они
стали публиковаться, уже вышли в свет не только основ-
ные мемуары Лейбница, но и статьи его учеников —
Я. и И. Бернулли, а также первый учебник анализа Ло-
питаля.
В отличие от Ньютона, прослушавшего систематиче-
ский курс Барроу, Лейбниц в математике был самоучкой
и начал глубокие математические занятия после того, как
Гюйгенс во время одного из визитов Лейбница дал ему
экземпляр только что изданных «Маятниковых часов»
(1673).
Знакомство с Гюйгенсом, проживающим в то время
в Париже, сыграло важную роль в становлении Лейбница-
математика, вошедшего в геометрию, по его словам,
«с черного хода». (Лейбниц имел в виду, видимо, то, что
стал изучать «Геометрию» Декарта, не освоив предвари-
тельно Евклида).
Первые математические открытия Лейбница связаны
с суммированием числовых рядов. Осенью 1672 г. он при
встрече с Гюйгенсом показал ему найденный метод сум-
мирования некоторых рядов с помощью ряда из разностей
соответствующих членов. Гюйгенс обнаружил, что Лейбниц
не знаком со многими разделами математики, рекомендо-
вал изучить изданный в 40-х годах XVII в. «Геометри-
ческий труд» Григория Сен-Венсана и «Арифметику бес-
конечного» Валлиса. Он также предложил найти сум-
му ряда
1+1/3+1/6+1/10+1/15+1/21+1/28+...,
которую сам получил раньше.
Лейбниц, воспользовавшись своим методом, решил
задачу.
В начале 1673 г. Лейбниц в составе дипломатической
миссии посетил Лондон, где встречался с членами Коро-
левского общества, доложил обществу идею своей счет-
ной машины. В апреле, после отъезда Лейбница из Лон-
дона, он был избран в члены Королевского общества.
С весны 1673 г. Лейбниц по совету Гюйгенса энергич-
но берется за изучение математики. Он работает над «Гео-
17

метрией» Декарта (в двухтомном издании Схоотена), тру-
дами Паскаля, из переписки с Ольденбургом знакомится
с последними исследованиями английских математиков —
Ньютона, Грегори, Валлиса, Коллинса и др.
В письме Я. Бернулли Лейбниц сообщал: «Вот тогда
Гюйгенс, который, как я предполагаю, считал меня более
способньш, чем я был на самом деле, дал мне экземпляр
только что изданного „Маятника". Для меня это было
началом или поводом для более глубоких математических
занятий» [51, т. 3, с. 71-73].
И результаты вскоре появились. Там же Лейбниц про-
должает: «Но каково было мое удивление, когда я убе-
дился, что словно по велению судьбы глаза Паскаля были
закрыты: ибо я тотчас же увидел, что эта теорема прило-
жима вообще ко всем кривым, даже если бы перпендику-
ляры и не встречались в одном центре... я тотчас же
пошел к Гюйгенсу, которого с тех пор не видел, и сказал
ему, что, следуя его советам, я уже узнал кое-что такое,
что Паскалю было неизвестно, и изложил ему мою общую
теорему о движении кривых. Он был весьма удивлен и
сказал мне, что это в точности та теорема, на которой
основаны его построения для того, чтобы найти поверх-
ности параболических, эллиптических и гиперболических
тел вращений».
Таков один из источников открытия Лейбницем диф-
ференциального и интегрального исчислений — метод ха-
рактеристического треугольника.
Суть дела в следующем. Паскаль определял статиче-
ский момент (в современной терминологии и символике)
относительно оси Ох (рис. 1) четверти окружности ра-
диуса а, т. е.
а
о
Он заменил элемент дуги отрезком касательной, про-
вел радиус окружности ВА в точку касания А и восполь-
зовался подобием треугольников ВАС и ЬАс\ это дало
As : а—Ах : г/, yks=aAx.
После замены y&s в интегральной сумме и перехода
к пределу он получил результат
а а
yds — \ adx = a2,
о о
18

Лейбниц обобщил прием Паскаля на любые кривые:
необходимо из точки касания А провести нормаль к кри-
вой до пересечения с осью Ох; образованный нормалью,
поднормалью и ординатой треугольник будет подобен «ха-
рактеристическому треугольнику» из сколь угодно малых
отрезков Да?, Дг/, As.
Дальше Лейбниц рассказывает: «Поощренный этим
успехом и тем, какое множе-
ство предметов возникло передо
мною, я в том же году запол-
нил несколько сот страниц,
разделив свой труд на две ча-
сти, об определимых и неопре-
делимых... Вскоре после того
в мои руки попала «Всеобщая
геометрия» шотландца Грегори.
Я увидел в ней то же самое ис-
кусство (хотя затемненное до- Рис- *
казательствами на античный
лад), и по тому же пути шел Барроу в своих «Лекциях»,
где я увидел набросок большей части моих теорем. Это
меня мало огорчило, ибо я понимал, что даже новичок, раз
он усвоил такие понятия, может сделать это играючи.
И затем я хорошо понимал, что есть еще более высокие
предметы, но чтобы в них разобраться, нужен новый метод
исчисления. Вот тогда я получил мою арифметическую
квадратуру и другие подобные вещи, которые были встре-
чены французами и англичанами с энтузиазмом, но я не
считал этот труд достойным быть изданным. Ибо мне на-
скучило заниматься мелочами, когда передо мной открыл-
ся Океан. Вы знаете, как дальше шло дело» [45,
с. 8, 408].
Здесь определимые Лейбниц связывает с задачами ин-
тегрирования (он указывает на источники таких задач —
работы Кавальери, Гульдина, Торричелли, Григория
Сенс-Венсана, Паскаля). Неопределимыми он называет
бесконечно малые, дифференциальные величины и соот-
ношения. С помощью характеристического треугольника
Лейбницу удалось получить много известных ранее и
новых фактов и теорем. И все это произошло «в первый
год моего математического ученичества». Позже он достиг
больших результатов, которые старыми методами не могли
быть получены.
Осенью 1675 г. Лейбниц в основном сформулировал
основные понятия дифференциального и интегрального
Д1
19

исчислений. Он дал общие правила решения:* задач на
квадратуры и касательные, установил связь между зада-
чами дифференцирования и интегрирования, ввел симво-
лику обеих операций, сохранившуюся поныне. Созданные
Лейбницем исчисления, вскоре объединенные общим на-
званивхм анализа бесконечно малых, давали возможность
более просто решать рассматриваемые ранее задачи, а так-
же получать новые результаты.
Решение задач анализа бесконечно малых привело
Лейбница к уточнению и расширению важнейшего поня-
тия математики — функции. Слово функция введено в нау-
ку Лейбницем как понятие, объединяющее многие от-
дельные и разобщенные виды функциональных зависи-
мостей, изучаемых ранее.
Лейбниц также устранил один недостаток предшест-
вующей математики, обусловленный своего рода догма-
тичностью Декарта. Декарт считал, что математика долж-
на заниматься только изучением алгебраических зависи-
мостей. Он назвал механическими кривые, которые не
могут быть описаны уравнениями в алгебраической форме
(например, графики тригонометрических функций), счи-
тал их негеометрическими, механическими, и утверждал,
что они не должны быть предметом чистой математики.
С открытием анализа бесконечно малых ограничение
математики только алгебраическими функциями потеря-
ло смысл. Потеряла смысл и введенная Декартом терми-
нология. Лейбниц заменил термин «геометрический» на
«алгебраический», а «механический» на «трансцендент-
ный», что сохранилось до сих пор.
В своем первом письме Ньютону (1676 г.) Лейбниц
ставит перед ним вопросы обоснования биномиальной фор-
мулы и в связи с приемом разложения в ряд алгебраиче-
ских функций и обращения рядов. Он сообщает получен-
ный им ряд для е*, а также разложение arctg# и приме-
нение его к вычислению я:
arctg 1—я/4=1—1/3+1/5—1/7+...5
Второе письмо Лейбница Ньютону (1677 г.) содержит
полное разъяснение применения установленных им пра-
вил дифференцирования. Он определяет дифференциалы
dx и dy как бесконечно малые разности между последо-
вательными значениями х и у, дает правило нахождения
дифференциала степени и произведения, дифференциро-
вания целой рациональной функции от х и у. Он замеча-
ет, что его метод применим и при наличии более чем
20

двух переменных и радикалов. Тут же Лейбниц излагает
решение проблемы проведения касательной с помощью
нового исчисления и отмечает возможность квадратуры
любой фигуры, которая приводится к «дифференциально-
му уравнению». Это следует понимать так, что кривая
x=f(y) будет квадрируемой, если известно, что
fiy)-dF(y)ldy.
К сожалению, на этом содержательная переписка двух
великих математиков оборвалась.
6
В «Истории математики» отмечаются две важнейшие
даты развития математики в XVII в. Первая связана с
выходом в свет «Геометрии» Декарта (1637 г.), вторая —
с опубликованием основополагающей работы Лейбница.
Полное название мемуара Лейбница таково: «Новый
метод максимумов и минимумов, для которого не служат
препятствием ни дробные, ни иррациональные величины,
и особый для этого род исчисления». Он характеризуется
крайне сжатым изложением: на семи страницах даны
основные понятия, приемы дифференцирования, приложе-
ния к отысканию экстремумов, точек перегиба и т. д.
И. Бернулли говорил, что это «скорее загадка, чем разъяс-
нение».
В начале мемуара определяется дифференциал функ-
ции, изображенной на рис. 2 кривой и (часть рисунка
Лейбница). Дифференциал независимой переменной пред-
ставлен отрезком произвольной длины dx. Дифференциал
функции вводится так, чтобы он относился к dx как ор-
дината кривой относится к подкасательной, т. е.
dv : dx=v : ВХ.
«Если это установить,— говорит Лейбниц,— то правила
исчисления будут следующими». И дает несколько правил
дифференцирования:
dc=0, d(ax)=adx d(z—y+w+x)=dz—dy+dw+dx,
d(ux)=vdx+xdv и т. д.
Правила приведены без доказательств; доказательства
выполнены значительно позже в «Анализе бесконечно
малых» Лопиталя (1696).
Лейбниц говорит о широте своего метода: «Если зпать,
так сказать, Алгоритм этого исчисления, которое я на-
зываю дифференциальным, то все прочие дифференциаль-
ные уравнения смогут быть получены при помощи общего
вычислительного приема, и можно будет находить мак-
21

л
Рис. 2. Рис. 3
ш
Iff1
0 а X
симумы и минимумы, а также касательные, не испытывая
притом необходимости в устранении дробей или иррацио-
нальностей или других сложных выражений, как это при-
ходилось, однако, делать, пользуясь доныне обнародован-
ными методами» [15, с. 169].
Он распространяет метод и на трансцендентные линии:
«Для этого нужно только всегда держаться того, что най-
ти касательную — значит провести прямую, соединяющую
две точки кривой, расстояние между которыми бесконечно
мало, или же провести продолженную сторону бесконеч-
ноугольного многоугольника, который для нас равнозна-
чен кривой. А такое бесконечно малое расстояние можно
всегда выразить с помощью какого-либо известного диф-
ференциала... или же с помощью отношения к нему,
т. е. с помощью некоторой известной касательной» [15,
с. 170].
После правил дифференцирования Лейбниц пишет об
исследовании функций и кривых: разъясняет признаки
возрастания и убывания, максимума и минимума, вы-
пуклости и вогнутости, точки перегиба. Он обращает вни-
мание на точку М на рис. 2, где функция не возрастает
и не убывает; в этой точке dv=0 и касательная парал-
лельна оси абсцисс. Если где-либо dv/dx=<*>, то касатель-
ная в этой точке перпендикулярна оси абсцисс.
В качестве одного из примеров приложения метода
Лейбниц решает задачу Дебона. В общем виде задача
Дебона формулируется так: найти кривую, подкасательная
которой представляет собой заданную функцию. Она сво-
дится к интегрированию дифференциального уравнения
22

первого порядка /(ж, у, у')=0. (Термин «дифференциаль-
ное уравнение» принадлежит Лейбницу.)
Итак, Лейбниц решал задачу: найти линию шш, обла-
дающую тем свойством, что если wc есть проведенная ка-
сательная, что Хс всегда равно постоянному отрезку а.
Вот решение ее. Из чертежа (рис. 3) можно записать
w/a=dwfdx.
Такие уравнения в настоящее время решаются раз-
делением переменных:
dw/w=dx/a,
откуда
1п|ш| =x/a+lnС, ln\wlC\=x/af w/C=ex/\ w=Cex/a -
общее решение уравнения.
Лейбниц рассуждал так. Он считал дифференциал не-
зависимой переменной постоянным, dx = b = const, и за-
писал, что
w=adw/b.
Так как w пропорционально dw, то w образует геометри-
ческую прогрессию, когда х — арифметическую, поэтому х
есть логарифм w, т. е. ww — логарифмическая кривая.
После рассмотрения задачи Ферма об определении
пути, по которому свет из точки одной среды в кратчай-
шее время достигает точки другой среды, отделенной от
первой прямой линией, Лейбниц замечает: «То, что че-
ловек, сведущий в этом исчислении, может получить пря-
мо в трех строках, другие ученейшие мужи принуждены
были искать, следуя сложными обходными путями».
В «Новом методе» Лейбниц не приводит полученных
им результатов в интегральном исчислении. Только в кон-
це мемуара он отметил, что дал «лишь начало некоей
более высокой геометрии, которая распространяется на
труднейшие и прекраснейшие задачи прикладной мате-
матики» [15, с. 173].
Уже в следующей публикации (1686 г.) Лейбниц ввел
знак интеграла и характеристический треугольник со сто-
ронами dx, dy, dsy установил различие между алгебраиче-
скими и трансцендентными кривыми, применил свое ис-
числение к трансцендентным кривым. Здесь он употребил
выражение «анализ бесконечных» и «исчисление беско-
нечно малых».
В 1692 г. Лейбниц рассмотрел возникновение огибаю-
щей семейства кривых и указал метод нахождения оги-
23

бающей дифференцированием по параметру. В работе
1693 г. он установил взаимосвязь не только между инте^
тралом и дифференциалом, но и между интегралом и про-
изводной (наклоном касательной), а также дал правило
вычисления определенного интеграла. В то же время он
привел примеры интегрирования дифференциальных урав-
нений с помощью рядов и пришел к рассмотрению второй
производной d2y/dx2. В переписке у него встречаются и
частные производные.
В 1694 г. Лейбниц ввел аддитивную произвольную по-
стоянную при вычислении неопределенного интеграла и
указал, что получается бесчисленное множество кривых,
из которых можно выбрать проходящую через данную
точку. Это означает на современном языке нахождение
частного решения дифференциального уравнения t/'=/(z),
удовлетворяющего начальному условию х=х0, у==г/0.
Лейбниц успешно применял свое исчисление, участвуя
в конкурсах на решение трудных задач, например задачи
Галилея о цепной линии и И. Бернулли о брахистохроне.
Большое внимание он уделял проблеме обоснования ана-
лиза бесконечно малых, что частично вызывалось крити-
кой его методов.
Так завершилось величайшее открытие в математике,
вернее, не только в математике, а во всем естествозна-
нии — создание алгоритма анализа бесконечно малых.
Вслед за тем перед математиками возникли новые про-
блемы. Пуанкаре писал: «Как только принципы исчисле-
ния бесконечно малых были установлены, аналитик ока-
зался перед лицом трех проблем: решение алгебраических
уравнений, интегрирование алгебраических функций, ин-
тегрирование дифференциальных уравнений» [22, с. 580].
7
Значительное место в творчестве математиков Бернул-
ли занимали проблемы теории вероятностей. С работ
Я. Бернулли начался новый этап ее развития.
Задачи теории вероятностей решались с помощью ком-
бинаторики, которая разрабатывалась в трудах Тартальи,
Паскаля, Валлиса, Лейбница и нашла наиболее полное
изложение в «Искусстве предположений» Я. Бернулли.
Можно считать, что теория вероятностей не как наука,
а как собрание эмпирических наблюдений, сведений су-
ществует издавна, столько, сколько существует игра в
кости. Действительно, опытный игрок знал и, вероятно,
учитывал в игре, что разные выпадения числа очков
U

имеют разную частоту появления» При метании трех ко-
стей, например, три очка могут выпасть только одним
способом (по очку на каждой кости), а четыре очка г-
тремя способами: 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2. Элементарные
понятия теории вероятностей возникли, как уже было
сказано, в связи с задачами азартных игр6, обработки ре-
зультатов астрономических наблюдений, задачами ста-
тистики, практики страховых обществ. Страхование по-
лучило широкое распространение вместе с развитием мо-
реплавания и морской торговли.
Видные математики XVI в.< Тарталья и Кардано обра-
тились к задачам теории вероятностей в связи с игрой
в кости и подсчитали различные варианты выпадения
очков. Тарталья составил таблицу. Ее впоследствии по-
вторил (в другой форме) Паскаль, он придал таблице
форму треугольника и обнародовал ее («Трактат об ариф-
метическом треугольнике», ок. 1654 г.).
Кардано в работе «Об азартной игре» (опубликована
только в 1663 г.) привел расчеты, близкие к полученным
математиками позднее, когда теория вероятностей утвер-
дилась как наука.
Кардано подсчитал, сколькими способами даст метание
двух или трех костей то или иное число очков. Он опре-
делил полное число возможных выпадений, т. е. вычис-
лил, по сути дела, вероятности тех или иных выпадений
(событий, по позднейшей терминологии). Но все таблицы
и вычисления Тартальи и Кардано были не наукой, а лишь
материалом для будущей науки. «Исчисление вероятно-
стей, всецело построенное на точных заключениях, мы
находим впервые только у Паскаля и Ферма»,—утвержда-
ет Цейтен [31, с. 169].
Некоторую роль в развитии этой науки приписывают
кавалеру де Мере, страстному игроку. Будучи знаком
с Паскалем, он обратился к нему с предложением решить
несколько задач. Одна из задач де Мере состояла в сле-
дующем: два игрока не закончили игру. Требуется ука-
зать, как следует разделить между ними ставку, если
выигравшим считается тот, кто первый выиграл опреде-
ленное число партий, а к моменту прекращения игры оба
выиграли различное число партий, меньше условленного.
Другая задача де Мере: что происходит чаще — выпаде-
ние шестерки хотя бы один раз или непоявление ее
ни разу?
О первой задаче де Мере Паскаль написал Ферма,
между ними завязалась переписка; задача была решена
25

обоими совершенно самостоятельно и различными спосо-
бами. Получен один и тот же ответ. Решение Паскаля
основывается на его «арифметическом треугольнике» и
отличается от решения Ферма, о чем говорит сам Паскаль
в одном из писем, адресованных Ферма.
Результаты Паскаля и Ферма представляют собой от-
ношения числа случаев, благоприятствующих выигрышу
того и другого игрока, к общему числу случаев. Таким
образом, Ферма и Паскаль пользовались понятием веро-
ятности, сформулированным впоследствии.
Конечно, Ферма и Паскаль понимали, что сами по себе
азартные игры не представляют существенного интереса
для научных исследований, но это был прекрасный объект,
на котором легко строились модели различных вариантов
событий, имеющих ту или иную вероятность. Надо отме-
тить, что «оба ученые дали ясные и простые примеры и
других более существенных приложений теории вероят-
ностей» [31, с. 169].
Немного позже Паскаля и Ферма к теории вероятно-
стей обратился Гюйгенс, до которого дошли сведения о
том, что эти ученые добились существенных успехов
в новой области математики. Работа Гюйгенса «О расче-
тах в азартной игре», впервые вышедшая как приложение
к «Математическим этюдам» его учителя Схоотена в
1657 г., была единственным руководством по теории ве-
роятностей до начала XVIII в. и оказала большое влия-
ние на многих математиков, в том числе и на Я. Бернулли.
В письме Схоотену Гюйгенс писал: «Я полагаю, что
при внимательном изучении предмета читатель заметит,
что имеет дело не только с игрой, но что здесь закла-
дываются основы очень интересной и глубокой теории»
[48, с. 58]. Эти слова показывают, что Гюйгенс глубоко
понимал существо рассматриваемого предмета.
Гюйгенс ввел понятие математического ожидания и
приложил его к решению задачи о разделении ставки при
разном числе игроков и разном количестве недостающих
партий и к задачам, связанным с бросанием игральных
костей. Математическое ожидание было первым основным
теоретико-вероятностным понятием. Гюйгенс определил
его так: «Если число случаев, в которых получается сум-
ма а, равно р и число случаев, в которых получается
сумма &, равно q и все случаи могут получиться одина-
ково легко, то стоимость моего ожидания равна (pa+qb)/
Нр+q)» Г 48, с. 66]. Гюйгенс, так же как Ферма и Пас-
26

каль, пользовался теоремами сложения и умножения ве*
роятностей, хотя они еще не были сформулированы.
В XVII в. появляются первые работы по статистике,
посвященные подсчету распределения рождений мальчи-
ков и девочек, смертности людей различных возрастов,
необходимого количества людей разных профессий, величи-
ны налогов, народного богатства, доходов и т. д. Приме-
нявшиеся при этом методы были связаны с теорией веро-
ятностей и способствовали ее развитию.
Ньютон в «Исправленной хронологии древних царств»,
над которой он работал до самой смерти, высказал идеи,
лежащие в основе открытого впоследствии Я. Бернулли
закона больших чисел.
Галлей при составлении таблицы смертности (1694 г.)
осреднял данные наблюдений по возрастным группам и
указал, что имеющиеся отклонения «видимо, вызваны
случаем», что данные не имели бы резких отклонений при
«намного большем» числе лет наблюдений.
Выдающуюся роль в решении новых проблем матема-
тики сыграли представители рода Бернулли. К рассмотре-
нию их вклада в науку и культуру мы и переходим.
РОД БЕРНУЛЛИ
1
К началу XVI в. Габсбургская династия сосредото-
чила в своих руках огромные владения. Испанский король
Карлос I в 1591 г. был избран (под именем Карла V)
императором Священной Римской империи. Эта империя,
не имевшая, кстати сказать, к Риму никакого отношения,
включала Германию, Нидерланды, северо-восточную часть
нынешней Франции, некоторые итальянские земли и т.д.
В то время как большинство западноевропейских стран
были заняты внутренними феодальными междоусобицами
и внешними войнами, Нидерланды уже прошли немалый
путь капиталистического развития. Иностранцев поража-
ло в Нидерландах цветущее состояние городов, отсутствие
феодальных форм отношений между различными слоями
населения, высокий уровень жизни, расцвет науки и куль-
туры. Эта сравнительно небольшая страна давала казне
львиную долю доходов. Годовой сбор налогов, например,
27

достигал двух миллионов флоринов, в то время как вся
Испания давала один миллион. Карл V называл Нидер-
ланды жемчужиной своей короны.
Протестантство появилось в Нидерландах вскоре после
известного выступления Лютера 1517 г., направленного
против продажи индульгенций. Борьба против испанско-
го ига переплелась с борьбой за свободу вероисповедания.
Народное движение приняло религиозную окраску и раз-
ливалось шире и шире по стране.
В 1550 г. Карл V издал указ против еретиков, по-
ставивший фактически всех протестантов вне закона и
объявивший неограниченный террор на всей территории
Нидерландов.
Пришел конец элементарной законности. С безгранич-
ным цинизмом без суда уничтожались целые семьи и
даже роды. Вместе с казнями состоятельных граждан
отторгалось принадлежавшее им имущество, изымались
деньги и ценности. Началась эмиграция. Она достигла
таких размеров, что многие местечки обезлюдели, а в го-
родах численность населения заметно уменьшилась.
Купеческая протестантская семья Бернулли жила в
Антверпене. Свой род она вела из Фландрии, где Бер-
пулли, в XV в. носившие еще фамилию Бернуйла (Вег-
nuilla), не избегали и военных дел. Семья держалась на-
сиженного места, пока можно было рассчитывать на то,
что все как-то устроится. Надежды связывались с успе-
хами освободительного движения: несмотря на зверства
Альбы, северные провинции Нидерландов, объединенные
вокруг Вильгельма Оранского, вынудили Филиппа при-
знать их право на самоопределение. По договору 1579 г.
семь северных провинций, образовавших ядро будущей
Голландии, освобождались от испанского владычества.
Однако остальные провинции — и город Антверпен в том
числе — оставались под испанской короной.
Тем самым все надежды рушились. Под угрозой фи-
зического уничтожения приходилось покидать родной го-
род. Большинство эмигрантов направлялось в прирейнские
провинции Германии, потому что еще при жизни Карла V
Германия добилась свободы вероисповедания (Аугсбург-
ский мир 1555 г.). Казалось, волнения там улеглись и
можно будет отдохнуть от десятилетий террора. Семья
Бернулли решает ехать во Франкфурт-на-Майне. Рефор-
мация в этом городе прошла еще в 1533 г., господствую-
щая религия — протестантская. Выбор кажется удачным.
В 1582 г. семья трогается в путь. Нелегко было порывать
28

с родными местами. Глава семьи, Якоб Бернулли, скон-
чался во Франкфурте в следующем же году.
Расчеты эмигрантов на то, что удастся обосноваться
на новом месте, не оправдались: и в Германии вражда
между католиками и протестантами не угасала. С начала
XVII в. атмосфера непрерывно сгущалась; в 1618 г. на-
чалась Тридцатилетняя война, принесшая с собой неслы-
ханные бедствия и расстройство хозяйственных связей.
Решено было искать спокойного пристанища. Выбор
остановился на Швейцарии, а именно на Базеле. Поло-
жение в Швейцарии казалось- относительно спокойным:
реформация там утвердилась в 20-е годы XVI столетия,
религиозные волнения за протекшие сто лет улеглись.
В 1622 г. другой Якоб, внук первого Якоба, переехал
в Базель и принял гражданство Базельской республики.
На этот раз эмиграция завершается удачно. Сын Якоба
Николай уже видное лицо в городе, пользующийся ува-
жением купец, глава семьи, состоящей из одиннадцати
детей. Среди его детей и находятся те, с кого начинается
династия выдающихся математиков.
Чем вызвано переселение Бернулли именно в Базель,
трудно сказать. Единственно, что можно утверждать с
полной уверенностью, это то, что наличие в городе уни-
верситета * не играло в выборе никакой роли: семья Бер-
нулли из поколения в поколение старалась отвлечь свою
молодежь от науки и обратить ее дарования на коммер-
ческую деятельность или адвокатуру. К счастью, моло-
дежь сама выбирала свои пути, не очень считаясь с же-
ланиями старших.
2
Среди Бернулли некоторые имена повторяются из по-
коления в поколение, поэтому их различают, как королей,
присоединив к имени соответствующую цифру. Вот родо-
словная Бернулли.
Якоб (1598—1634). Уроженец Фрадкфурта-на-Майне.
В 1622 г. переехал на постоянное жительство в Базель.
Николай (1623—1708). Сын Якоба. Уроженец Базеля.
Торговец аптекарскими товарами и лекарственными тра-
вами. Член Большого совета Базеля и член суда. Имел
11 детей.
Якоб I (1654—1705). Сын Николая. По образованию
богослов. С 1687 г. профессор математики Базельского
университета. Учениками Якоба I были: его младший брат
Иоганн I, племянник Николай I, член Петербургской ака-
29

демии наук, механик и математик Я. Герман, отец вели-
кого Л. Эйлера — Пауль Эйлер.
Николай (1662-1716). Брат Якоба I. Живописец.
Член суда.
Иоганн I (1667—1748). Брат Якобд I. Десятый ре-
бенок в семье Николая. По образованию врач. С 1695 г.
профессор математики Гронингенского университета (Гол-
ландия). С 1705 г. профессор математики Базельского
университета. Почетный член Петербургской акаде-
мии наук.
Жером (1669—1760). Брат Иоганна I. Торговец апте-
карскими товарами.
Николай. Единственный сын Якоба I, имевшего еще
дочь. Вопреки желанию отца, уклонился от научной
карьеры и стал живописцем. По словам современников,
весьма посредственным.
Николай I (1687—1759). Сын Николая. По образова-
нию юрист. Профессор математики в Падуе, профессор
логики и права в Базеле.
Николай II (1695—1726), сын Иоганна I. По образова-
нию юрист. Профессор права в Берне, профессор матема-
тики в Петербурге.
Даниил I (1700—1782). Уроженец Гронингена. Сын
Иоганна I. По образованию врач. В 1725—1733 гг. рабо-
тал на кафедрах физиологии и механики в Петербургской
академии наук. С 1733 г. профессор по кафедре физиоло-
гии, с 1750 г. профессор по кафедре механики в Базеле.
Почетный член Петербургской академии наук.
Иоганн II (1710-1790). Сын Иоганна I. По образо-
ванию юрист. Профессор элоквенции (красноречия), про-
фессор математики в Базеле.
Иоганн III (1744—1807). Старший сын Иоганна II.
По образованию юрист. Астроном Берлинской академии
паук, там же директор математического класса.
Даниил II (1751 — 1834). Второй сын Иоганна II.
По образованию врач, профессор красноречия в Базеле.
Якоб II (1759-1789). Третий сын Иоганна П. По об-
разованию юрист. Математик Петербургской академии
наук. Утонул в Неве.
Кристоф (1782—1863). Сын Даниила II. Профессор
технологии в Базеле.
Иоганн-Густав (1811—1863). Сын Кристофа. Профес-
сор технологии в Базеле.
Представители рода Бернулли живут в Базеле и в па-
стоящее время.
30

3
Якоб I. Родился 27 декабря 1654 г. ст. ст. По желанию
отца готовился к званию протестантского священника.
Окончил Базельский университет, где изучал философию,
богословие и языки. Владел немецким, французским, анг-
лийским, итальянским, латинским и греческим языками.
Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал
ё& тайком от отца. В 1671 г. получил степень магистра
философии. С большим успехом читал проповеди на не-
мецком и французском языках. В то же время продолжал
пополнять свои знания по математике без учителя, почти
без учебников.
В Швейцарии того времени занятие математикой не
обещало никаких выгод, так как соответствующих долж-
ностей было мало, и даже университетские преподавате-
ли математики оплачивались крайне скудно. Несмотря на
это, Якоб решил посвятить себя целиком математике.
В восемнадцать лет успешно занимался довольно труд-
ной хронологической задачей об определении года юли-
анского календаря по данным солнечного периода и ин-
диктиона2.
20 августа 1676 г. Якоб отправился в длительное пу-
тешествие по Швейцарии, Франции, Италии, из которого
возвратился в Базель лишь 20 мая 1680 г. В Генуе Якоб
прожил 20 месяцев. Здесь он был домашним учителем
в семье Вальдкирхов. Дочь Вальдкирхов Елизавета по-
теряла зрение через несколько месяцев после рождения.
Она обладала редкими способностями, свободно говорила
на нескольких языках. Под руководством Якоба Елизаве-
та изучала логику, историю, физику и т. д.
По возвращении в Базель Якоб публикует первую на-
учную работу, посвященную теории комет. Здесь он вы-
сказался против общепринятого мнения, согласно кото-
рому комета — некий «воздушный феномен». Он утвер-
ждал, что кометы — небесные тела с определенными траек-
ториями движения.
Статья вызвала критику богословов. По официальной
версии, кометы представляли собой знаки божьего гнева.
Низводить их до степени небесного тела, подчиненного
земным законам, значило идти наперекор божественным
установлениям. Бернулли вышел из затруднения следую-
щим образом. Действительно, говорит он, кометы движут-
ся по определенным траекториям. Но траектории распо-
ложены таким образом и законы движения таковы, что
31

кометы являются жителям Земли как раз тогда, когда
господу угодно проявить свое неудовольствие. Надо по-
лагать, что объяснение не было признано убедительным.
Во втором издании статьи дается иное объяснение: о со-
гласовании движения комет с периодом господнего гнева
не говорится ничего; ядро кометы рассматривается как
обычное небесное тело, но хвост — это, действительно, знак
того, что господь гневается; размер хвоста находится в
согласии с силой этого гнева. Так, опытный в богословии,
но, видимо, не очень ревностный приверженец религии,
Бернулли согласовал свой научный взгляд с богословской
догмой.
В 1682 г. Якоб отправляется в новое путешествие, на
этот раз по Нидерландам и Англии. Он завязывает науч-
ные знакомства: с X. Гюйгенсом в Амстердаме, с королев-
ским астрономом Фламстидом в Гринвиче и др. В октябре
1682 г. возвращается в Базель и больше уже не выезжает
никуда, если не считать лечения на курортах.
В 1682 г. Якоб получает приглашение на должность
проповедника в Страсбурге, но отклоняет его, так как
собирается посвятить себя целиком естественным наукам.
В 1683 г. начинает читать цикл лекций по эксперимен-
тальной физике в Базельском университете. В 1684 г. по-
ступает новое предложение, на этот раз из Гейдельберга,
занять кафедру математики университета. Это предло-
жение также отвергнуто: из-за предстоящей женитьбы
Якоб не хотел оставлять родной город.
В октябре 1686 г. оказывается вакантной должность
профессора математики в Базельском университете. Ус-
пехи Якоба в математике хорошо известны, и Сенат уни-
верситета единодушно выдвинул на вакантную должность
Якоба Бернулли. Вступление в должность состоялось
15 февраля 1687 г. Вряд ли присутствовавшие при этом
скромном акте представляли, что они являются свидете-
лями начала беспримерного в истории математики собы-
тия: отныне кафедру будут занимать Бернулли на
протяжении ста лет. Члены же этой семьи будут профес-
сорами родного университета в течение четверти тысяче-
летия, вплоть до второй половины XX в.
В том же году Якоб Бернулли прочитал в «Acta Eru-
ditorum» за 1684 г. «Новый метод» Лейбница и, обнару-
жив трудные места, письменно обратился к Лейбницу за
разъяснением. Лейбниц, находившийся в длительной слу-
жебной поездке., получил письмо только через три года,
когда надобность в консультации отпала: Якоб совместно
32

с Иоганном овладели дифференциальным и интегральным
исчислениями настолько, что вскоре смогли приступить
к систематическому развитию метода. Образовавшийся три-
умвират — Лейбниц, Якоб и Иоганн Бернулли — менее чем
за двадцать лет чрезвычайно обогатил анализ бесконечно
малых.
В 1690 г., когда Лейбниц вернулся из поездки в Ган-
новер и смог прочитать ждавшее его письмо, Якоб поме-
стил в «Act,a Eruditorum» статью, содержавшую решение
задачи Лейбница об изохроне. Уже по этой работе мож-
но судить, как хорошо овладел Якоб новым исчислением.
И Лейбниц увидел, что ни в какой консультации Якоб
>же не нуждается.
В 1692 г. сравнительно молодой ученый серьезно за-
болел. Судя по описанию болезни, можно заключить, что
Якоб сильно простудился. Организм не справился с за-
болеванием, развился туберкулез. К этому прибавились
тяжелые переживания, вызванные ссорой с братом. Од-
нако плодотворная научная деятельность не прекраща-
лась и слава ученого все росла. В 1699 г. Парижская ака-
демия наук впервые избрала восемь иностранных членов.
В их числе наряду с Ньютоном, Лейбницем, О. Рёмером
были и братья Якоб и Иоганн Бернулли. В 1701 г. братья
были избраны иностранными членами Берлинской акаде-
мии наук (по представлению Лейбница).
Основные научные интересы Якоба были сосредото-
чены на развитии и приложениях анализа. Освоив алго-
ритм Лейбница, он применил его й исследованию свойств
кривых. Совместно с Иоганном Якоб заложил основы
вариационного исчисления. Важную роль здесь сыграло
решение задачи о брахистохроне и выдвинутой им изо-
периметрической задачи. При отыскании суммы одина-
ковых степеней натуральных чисел Якоб открыл числа,
названные впоследствии его именем и встречающиеся в
различных вопросах анализа и теории чисел. Он выпол-
нил значительные исследования в области числовых ря-
дов. Пять его мемуаров под общим названием «Арифме-
тические предложения о бесконечных рядах и их ко-
нечных суммах» (1689—1704) были первым руководством
но теории числовых рядов.
Основополагающий вклад сделал Якоб в теорию веро-
ятностей. Якоб Бернулли занимался также физическими
задачами, определением центра качания тел, вычислени-
ем сопротивления тел различной формы, движущихся в
жидкости. Он первый определил упругую линию для за-
2 В. А. Никифоровский
за

щемленной одним концом и нагруженной сосредотрчен-
пым весом балки.
Спор между братьями возник в 1694—1695 гг. в связи
с недостаточно обоснованным подчеркиванием младшим
братом своих заслуг за счет заслуг старшего.
Самомнение Иоганна и зависть внушили ему мысль о
том, что Якоб ему уступает по уму, что его не следует
считать значительным математиком. Видимые поводы для
этого были: решения Иоганна блистали изяществом и про-
стотой. Но он не мог не заметить, что за внешней гро-
моздкостью работ брата кроется их фундаментальность,
глубина.
Якоб был глубоко обижен нападками брата. Его раз-
дражительность усиливалась тяжелым заболеванием.
Спор велся в резких тонах, сопровождался взаимными
насмешками, оскорблениями. В 1695 г. Якоб предал спор
гласности в «Acta Eruditorum», выступив против брата
с нападками. В 1697 г. он решил задачу о брахистохроне
и с новыми издевательствами над братом поставил изо-
периметрическую задачу. Иоганн, объявил, что ему доста-
точно трех минут для преодоления трудностей. На это
Якоб ответил, что: 1) разгадает метод решения, 2) ука-
жет ошибку в нем, 3) опубликует правильное решение.
За неисполнение указанного он обязался выплатить 50,
100 и 150 империалов. Спор изнурял как ту, так и другую
сторону;
Через четыре года редакция журнала заявила, что от-
казывается предоставлять место для продолжения дис-
куссии. Но и это не остановило братьев: конец спора на-
ступил со смертью Якоба. Только много лет спустя Иоганн
признал свои ошибки.
Соревнование между братьями, а также другими ма-
тематиками в постановке и решении задач анализа спо-
собствовало развитию математики. Даже ожесточенный
спор между Якобом и Иоганном, не имевший никакой
основы и отравлявший тому и другому жизнь, способство-
вал постановке новых проблем.
Последние годы жизни Якоба омрачались «изнури-
тельной лихорадкой, высасывающей здоровье по каплям»»,
Этими словами один из биографов Бернулли выразитель-
но описывает состояние туберкулезного больного. 16 ав-
густа 1705 г. Якоб Бернулли скончался. По желанию по-
койного на его памятнике высечено изображение спирали
с надписью: eadem mutata resurgo (измененная, я возрож-
даюсь прежней) 3.
№

Собрание сочинений Якоба Бернулли вышло в 1744 г.
Его «Искусство предположений» (Ars conjectandi) издал
племянник Николай I в Базеле в 1713 г.; четвертая часть
«Искусства предположений», содержащая теорему Бернул-
ли, переведена на русский язык (СПб., 1913).
4
Иоганн I. Родился 27 июля 1667 г. Третий сын и
десятый ребенок в семье. Пошел в школу шести лет.
Окончил ее в 1682 г., после чего послан отцом в Невша-
тель для торговой практики и совершенствования во
французском языке. Через год возвратился в Базель и
стал заниматься в университете. Вскоре защитил диссер-
тацию, написанную латинскими стихами, и получил сте-
пень бакалавра. В 1685 г. защитил еще одну диссертацию,
написанную греческими стихами, получил степень ма-
гистра искусств (доктора философии, как пишет Иоганн
в автобиографии). В это же время по совету Якоба начал
заниматься математикой и медициной. Легкость, с кото-
рой Иоганн овладевал материалом, поразительна. За два
года были изучены все известные в то время труды древ-
них и новых математиков, включая «Геометрию» Декарта.
Как уже упоминалось выше, в 1687 г. братья ознако-
мились с «Новым методом» Лейбница. Им удалось раз-
гадать основы метода, воссоздать то, что было опущено
Лейбницем в его сжатой публикации, и значительно раз-
вить новое исчисление4.
Братья с увлечением работают в новой области мате-
матики, но Иоганн не оставляет и медицину. В сентябре
1690 г. он защищает диссертацию, получает звание ли-
ценциата5 медицины и отправляется в длительное путе-
шествие, около года живет в Женеве, затем переезжает
в Париж. Приезд Иоганна в Париж сыграл решающую
роль в приобщении французских математиков к школе
Лейбница.
В литературно-философском салоне Мальбранша
Иоганн познакомился с механиком и математиком Ва-
рйньоном и Лопиталем, имевшим репутацию одного из
крупнейших французских математиков. В беседах с
Иоганном выяснилось, что задачи, которые Лопиталь счи-
тал очень трудными, а некоторые — даже неразрешаемы-
ми, решаются Иоганном быстро и легко. Лопиталь был
поражен знаниями Иоганна и, не посчитавшись ни с воз-
растом (он был старше будущего своего учителя на шесть
лет), ни с общественным положением (Лопиталь — мар-
2* $5

киз, владелец богатейшего майората), попросил Иоганна
дать ему несколько уроков. Сначала уроки проходили в
виде бесед, но вскоре Лопиталь предложил Иоганну пе-
редавать ему заранее написанные лекции. Возможно, сам
Иоганн думал воспользоваться ими для создания курса
нового исчисления: он не только принял столь обреме-
нительное предложение6, но и снимал копии с лекций.
Однако Лопиталь, как известно, опередил учителя и издал
свой учебник «Анализа» в 1696 г. Курс же И. Бернулли
увидел свет не скоро: в третьем томе его сочинений (1742)
напечатаны «Математические лекции о методе интегралов
и других вопросах, написанные для маркиза Лопиталя»,
а «Лекции по исчислению дифференциалов» обнаружены
в рукописях библиотеки Базельского университета в на-
шем столетии и изданы в 1922 г. Несмотря на то что курс
был прочитан одному слушателю, он сыграл большую роль
в становлении анализа.
В Париже Иоганн познакомился с астрономами Кас-
сини, математиком Лагиром. Дружба и переписка Иоган-
на с Вариньоном продолжалась до самой смерти Варинь-
она (1722); с Лопиталем Иоганн вел научную перепис-
ку с ноября 1692 г. в течение десяти лет.
В ноябре 1692 г. по настоянию родных Иоганн воз-
вратился домой и продолжал изучать медицину. В 1694 г.
он получил степень доктора медицины после защиты дис-
сертации «О движении мускулов», которая была больше
математической, чем медицинской: задачи о форме и дви-
жении мускулов решались с помощью анализа бесконечно
малых.
Вскоре после защиты докторской диссертации Иоганн
женился и вошел в наиболее влиятельные круги Базеля:
в течение нескольких сотен лет члены семьи его жены
(семьи Фалькнер) неизменно были представлены в выс-
ших органах республики.
В Базеле, где университетская кафедра математики
была занята старшим братом, Иоганн не смог найти места,
соответствующего его выдающимся данным. Лейбниц, с
которым в то время братья Бернулли вели регулярную на-
учную переписку, предложил Иоганну место в одном из
университетов Германии, но семья жены настояла на том,
чтобы Иоганн отклонил предложение. Затем пришло при-
глашение из Гронингена (северо-запад Голландии), и
Иоганн в 1695 г. переезжает туда с семьей (первенцу
Николаю было семь месяцев). Не лишено интереса, что
путешествие из Базеля в Гронинген заняло 52 дня,
36

В Гронингене Иоганн прожил десять лет. Кроме курса
математики, он читал еще экспериментальную физику.
Популярность нового профессора в Гронингене была очень
велика. Сам Иоганн пишет, что на лекциях, диспутах и
у него дома неизменно бывало много народа. Универси-
тет небольшого провинциального городка с математиком
такого масштаба выдвинулся на одно из первых мест в
Европе. И добрая память о профессоре сохранилась в Гро-
нингене надолго. Его сыновья Даниил I и Иоганн II,
приехавшие в Гронинген через 25 лет после отъезда
оттуда Иоганна, писали домой, что -их отец там известен
так же, как и в Базеле. И знали его не только в универ-
ситетских кругах, а и люди, далекие от науки и даже
появившиеся на свет значительно позже.
По настоянию родственников7 в 1705 г. Иоганн поки-
дает Гронинген и, отвергая настойчивые и выгодные пред-
ложения Лейденского, Утрехтского и других университе-
тов, направляется в Базель. В Амстердаме он узнает о
смерти брата. Во Франкфурте пересаживается в дилижанс-
экспресс и через семь дней прибывает в родной город.
Университеты разных городов не оставляют его в покое
и приглашают к себе. Иоганн на всякий случай продол-
жает переговоры. Но вот колебаниям с выбором места
приходит конец. Произошло небывалое в истории Базель-
ского университета: весь университетский сенат явился
к Иоганну на дом просить его занять место, освободившееся
после смерти брата.,Отменяется обязательный диспут, от-
меняется баллотировка. Городской магистрат назначает
надбавку к жалованью руководителя кафедры на то вре-
мя, пока ее занимает Иоганн. Он прекращает переговоры
с другими университетами п 17 ноября 1705 г. вступает в
должность. Первая лекция его «О новых фактах анализа
и высшей геометрии» собирает огромную аудиторию.
Иоганн занимал кафедру математики Базельского уни-
верситета 42 года. Его лекции слушали студенты профес-
сора, доктора, академики из Англии, Франции, Италии,
Швеции и других стран.
Иоганн вел чрезвычайно деятельную жизнь: читал лек-
ции в университете, руководил кафедрой, председательст-
вовал и выступал на диспутах, руководил факультетом
ц университетом (был восемь раз деканом философского
факультета и два раза ректором университета), перепи-
сывался с математиками, физиками, академиями, членом
которых состоял, никогда не прекращал интенсивную на-
учную работу. Кроме того, регулярно проводил «приват-
37

ные коллегии», т. е. читал лекции у себя на дому. На эти
лекции собирались близкие ему люди: сыновья Николай II,
Даниил I, Иоганн II, два брата Гесснеры, Мопертюи и др.
Он выполнил громадную работу по улучшению поста-
новки среднего образования в Базеле. Общепризнанный
выдающийся математик, «Архимед нашего века», как его
называли современники, член многих академий, Иоганн,
при всей своей занятости, находил время для выполнения
поручения городского магистрата: в течение целого года
ежедневно проводил несколько часов в школах города.
Следует учесть, что ему тогда было 58 лет.
Как многие великие люди, Иоганн был счастлив в уче-
никах. В молодости он обучал Лопиталя, Вариньона, Кле-
ро, в университете его слушали Эйлер, сыновья8, Крамер,
Кениг и другие выдающиеся математики. Особое вни-
мание Иоганн уделял будущему великому математику
Леонарду Эйлеру, с ним он встречался и проводил занятия
отдельно, каждую субботу.
Иоганн был избран членом академий: Парижской —в
1699 г., Берлинской —в 1701 г., Лондонского королевско-
го общества — в 1712 г., Петербургской — в 1725 г.
Заслуги Иоганна Бернулли в науке чрезвычайно ве-
сомы. Он вместе с Якобом утвердил и развил дифферен-
циальное и интегральное исчисления как основу инфи-
нитезимальных исчислений и открыл применимость их к
большому кругу явлений. Цейтен писал: «Это мощное
орудие открывало новую эру в истории математики, сде-
лав возможным решение множества новых задач; с одной
стороны, его твердые правила привлекали к математиче-
ской работе все возраставший круг ученых, с другой —
дальнейшее развитие относящихся сюда методов по-но-
вому направляло работу наиболее выдающихся матема-
тиков» [31, с. 86].
Иоганн Бернулли дал первое систематическое изложе-
ние дифференциального и интегрального исчислений, на-
шел новые методы решения обыкновенных дифференци-
альных уравнений, впервые поставил и решил задачу о
геодезических линиях. Выше говорилось о роли Иоганна
Бернулли в создании основ вариационного исчисления.
Он успешно решал механические задачи: в теории коле-
баний маятника, теории удара, гидравлике. В одном из
писем Вариньону (26 января 1717 г.) Иоганн Бернулли
дал первую строгую формулировку принципа возможных
перемещений. Велика заслуга Иоганна в защите (в споре
зь

С картезианцами) введенного Лейбницем понятия живой
силы как меры движения.
Многогранная педагогическая деятельность Иоганна
Бернулли привела к созданию школы выдающихся мате-
матиков, которой суждено было в следующем поколении
еще более развить новую математику.
Биографы пишут, что Иоганн Бернулли обладал дур-
ным характером: он тщеславен, мнителен, завистлив.
О вызывающей сожаление ссоре его со старшим братом
сказано выше. Со смертью Якоба вопрос о первенстве в
математике отпал сам собой. Но вот разгорелся спор с
англичанами о приоритете в открытии анализа. Иоганн
энергично включился в него. И это естественно: ведь речь
идет не только о Лейбнице, а и о том, что сделано обоими
братьями; не зря же Лейбниц подчеркивал совместное
авторство всего триумвирата. Но форма спора опять ока-
залась крайне угловатой.
После смерти Лейбница (1716) Иоганн возглавил
борьбу с англичанами о приоритете. В «Автобиографии»
он писал: «После смерти Лейбница мне пришлось выдер-
жать натиск всей английской армии: Кейля, Робинса,
Пембертона, Тейлора и других». И нужно отметить, что
под воздействием математического и полемического та-
лантов Иоганна вся эта «армия» молчала.
Параллельно Иоганн вел локальный спор с Тейлором
о приоритете в решении задачи об определении центра
колебаний. Он решил эту задачу вслед за Якобом (сорев-
нуясь с ним), но опубликовал решение лишь в 1714 г.
Тогда же с аналогичным решением вышла книга Тейлора.
Иоганн обвинил Тейлора в плагиате, после чего началась
публикация писем со взаимными обвинениями и опровер-
жениями.
Иоганн предъявлял претензии и к Лопиталю. Безус-
ловно, он оказал Лопиталю огромную помощь в подготов-
ке «Анализа». Но делал это не безвозмездно. Как раз
после помолвки Иоганна с будущей женой (январь 1694 г.)
Лопиталь в письме Иоганну (17 марта 1694 г.) предло-
жил ему ежегодную пенсию в 300 ливров с обещанием
повысить ее, лишь бы Иоганн сообщал только ему свои
открытия, согласился разрабатывать интересующие его
вопросы и не давал никому копии читанных ему лекций.
Этот договор выполнялся вплоть до выхода в свет «Ана-
лиза» Лопиталя. После этого, сначала в письмах, а потом
и в печати, Иоганн настоятельно высказывал свои права
на авторство «Анализа». Вот выдержка из письма Иоган-
39

на Лейбницу от 8 февраля 1698 г.: «За исключением не-
многих страниц (скажу на ухо), все остальное он частью
получил от меня в письменном виде, частью написал под
мою диктовку, часть же, после того как я покинул Париж,
получил в письмах, многочисленные свидетельства чего
я сохранил и смог бы в подходящий момент опублико-
вать... кроме того, я располагаю письмами Лопиталя ко
мне, показывающими, сколь многим он мне обязан. Глав-
ная заслуга его состоит в том, что он все привел в поря-
док и отделал по-французски аккуратно то, что я беспо-
рядочно изложил ему частью по-французски, частью по-
латыни. Как я сказал, собственно своего он добавил не
более чем на 3 или 4 страницы. Но, пожалуйста, не со-
общи ему того, что я рассказал тебе в уверенности в тво-
ем молчании; иначе его дружеское отношение ко мне
изменится, без сомнения, на противоположное» [51. т. 3,
с. 480].
Понятно, почему так опасался гласности Иоганн Бер-
нулли: в это время он конфликтовал со старшим братом
и хотел держать Лопиталя союзником. После смерти Ло-
питаля (1704) Иоганн стал высказывать свои обоснован-
ные претензии более энергично. Справедливости ради во-
шедшее во все учебники анализа «правило Лопиталя» сле-
дует называть правилом Бернулли—Лопиталя.
В 1743 г. вышла в свет «Гидравлика, впервые откры-
тая и доказанная на чисто, механических основаниях»
Иоганна Бернулли, построенная на принципе живых сил.
В 1738 г. была издана знаменитая «Гидродинамика» его
сына Даниила, где применяется тот же принцип. Раз-
горелся спор о приоритете отца и сына. Эйлер, выступая
арбитром в этом споре, в письмах и в предисловии к «Гид-
равлике» отмечал достоинства и недостатки спорящих сто-
рон. Он высоко оценил труд Иоганна и отметил, что в
течение более десяти последних лет Иоганн не публико-
вал никаких результатов своих давних размышлений по
гидравлике. Эйлер подчеркнул важность впервые решен-
ной Иоганном и его сыном задачи вычисления давления
жидкости на стенку сосуда, через который она протекает,
и указал на то, что Даниил решил задачу только для ус-
тановившегося режима^ а Иоганн рассмотрел более об-
щий случай и пользовался «более прямым методом».
Иной точки зрения придерживались некоторые другие
ученые и сам Даниил. Академик Петербургской академии
наук II. Фусс, хорошо осведомленный в обстоятельствах
дела, писал: «Непомерная ревность Иоганна Бернулли..,
40

проявилась в потрясающем, можно сказать, противоестест-
венном виде, против собственного сына. Не в силах со-
стязаться с противником столь юным и могучим, он кон-
чил плагиатом».
Только Л. Эйлеру, кажется, Иоганн I не осмеливался
завидовать. Насколько высоко ценил учитель своего уче-
ника, показывают его письма. К двадцатилетнему Эйлеру
он обращается слегка покровительственно: «Ученейшему
и способнейшему молодому человеку». В последние годы,
когда Иоганну было около 75, а Эйлеру около 35 лет,
он выражается так: «Несравненному мужу, князю ма-
тематиков».
Вот еще одна деталь, характеризующая Иоганна Бер-
нулли. В письме Лейбницу, содержащем нападки на Нью-
тона, он говорит, что не хотел бы опубликования этого
письма, «потому что Ньютон осыпает меня милостями» 9.
Когда Лейбниц опубликовал его анонимно, Иоганн отпра-
вил Ньютону (уже после смерти Лейбница) послание
(5 июля 1719 г.), в котором писал: «Заклинаю Вас и беру
все святое для человечества в свидетели, что все, опубли-
кованное без имени, приписывается мне неправильно».
Жизнь Иоганна в науке была заполнена интенсивным
трудом и непрерывными сражениями. А внешними собы-
тиями она небогата. Достаточно попутешествовав смолоду,
Иоганн безвыездно прожил в родном городе с 1705 г. по
день смерти — 1 января 1748 г.
Последним важным деянием его было издание пере-
писки с Лейбницем — сокровищницы идей нового метода
в период его развития10.
Необыкновенно крепкое здоровье Иоганна заметно по-
шатнулось лишь в последние недели 1747 г., но такова
была привычка к труду, что он продолжал ежедневно тру-
диться до полуночи. Иоганн Бернулли скончался восьми-
десяти лет, оставив после себя четырех сыновей, двух до-
черей, восьмерых внуков и двух правнуков.
Вольтер написал к портрету Иоганна I четверостишие,
в котором, по обычаю того времени, не скупился на ком-
плименты:
Его ум увидел истину,
Его сердце познало справедливость,
Он — гордость Швейцарии
И всего человечества.
Собрание сочинений Иоганна Бернулли, так же как и
собрание сочинений Якоба, подготовлено к изданию Кра-
мером. Хотя собрание Иоганна и называется полным, в
41

него не вошли переданные Лопиталю лекции, а также,
например, довольно резкий ответ на нападки богословов
по поводу того, что в медицинских работах он применял
методы математики и физики, в то время как жизнь —
дело исключительно воли творца, В русском переводе из-»
даны «Избранные сочинения по механике» (М.; Л., 1937)*
5
Николай I. Родился 10 октября 1687 г. Отец, живопи-
сец, хотел, чтобы Николай пошел по его стопам. Однако
влечение к математике взяло верх: он стал заниматься с
дядей Якобом I. В 1704 г. защитил диссертацию «О беско-
нечных рядах и их применении к квадратурам площадей
и спрямлению кривых» и получил степень магистра. Изу-
чал также юридические науки. В 1710 г. ездил в Париж,
3 большое путешествие — в Голландию, Бельгию, Фран-
цию, Англию — отправился летом 1712 г. В Лондоне за-
вязал знакомства с Ньютоном, Галлеей, Муавром и дру-
гими видными учеными. Молодой математик, по-видимому,
достойно представлял знаменитую фамилию: Ньютон по-
дарил ему свою книгу — честь, которую он оказывал да-
леко не всем знакомым. (Книга хранится в Базельской
библиотеке.)
В 1716 г. занял место профессора математики в Паду-
анском университете (после уехавшего оттуда Я. Герма-
на). В 1722 г. переехал в Базель и работал на кафедре
логики, а с 1731 г. до самой смерти— на кафедре права.
Умер 29 ноября 1759 г. от апоплексического удара.
Николай I — член Берлинской академии наук (избран
17 мая 1713 г.). Оставил после себя многочисленные ру-
кописи по математике, механике, астрономии.
Большая заслуга Николая I состояла в издании книги
дяди Якоба I «Искусство предположений». Он присоединил
к ней свою работу «О бесконечных рядах», в большой
части базирующуюся на идеях Якоба I.
В 1709 г. Николай выпустил сочинение «Примеры
искусства предположений в приложении к правовым во-
просам», где применил исчисление вероятностей к вопро-
сам об определении виновности обвиняемого, об объяв-
лении умершими лиц, пропавших без вести, к выборам
по жребию, страховым задачам, генуэзской игре11. В те
же годы Николай I занимался вычислением пожизненных
рент. Многими идеями Николая I воспользовался де Мон-
мор во втором издании «Опыта азартных игр» (1713 г.).
В «Комментариях Петербургской академии наук»
*2

(1713 г.) Николай I сформулировал так называемую пе-
тербургскую игру12.
Вот постановка задачи. Два игрока, Петр и Павел, уго-
вариваются сыграть несколько партий в орла и решку или
другую игру, в которой шансы партнеров одинаковы, на
условиях: если Петр выиграет первую партию, то Па-
вел выплачивает ему два рубля и игра прекращается;
если Петр первую партию проигрывает, а выиграет вто-
рую, то Павел выплачивает ему четыре рубля и игра
прекращается, ...если Петр проиграет п—1 первых партий
и выиграет гс-ю, то Павел выплачивает ему 2п рублей и
игра прекращается.
Задача состоит в определении ставки Петра, т. е. той
суммы, которую он должен до начала игры выплатить
Павлу как возмещение за взятые Павлом на себя обя-
зательства. Удивительно, что эта ставка является беско-
нечно большой, т. е. игра для Петра выгодна. Парадокс
заключается в том, что ни один из имеющих опыт игроков
на месте Петра не согласится поставить и 100 рублей
против обязательств Павла.
Сформулированная задача вызвала много споров^ ей
посвящены статьи видных математиков. В связи с ней
Д. Бернулли ввел в теорию вероятностей так называемое
нравственное ожидание (выигрыша), учитывающее
имущественное положение игроков, в противовес матема-
тическому ожиданию. (Математическим ожиданием в дан-
ном случае будет сумма произведений выигрышей на со-
ответствующие вероятности. Оно как раз и оказалось бес-
конечно большим.) Однако понятие нравственности ожи-
дания в науке не прижилось.
В письме Лейбницу (1709 г.) Николай I обосновал
способ нахождения делителей многочлена, введенный Нью-
тоном в «Арифметике». Еще в 1721 г. он знал теорему о
независимости частных производных от порядка диффе-
ренцирования, доказанную значительно позднее Эйлером
(1734 г.). В письме Эйлеру (1743 г.) Николай I высказал
утверждение, что всякий мнимый корень уравнения и вся-
кое выражение, содержащее мнимые величины, могут быть
представлены в виде p+qi. Он занимался исследованием
дифференциального уравнения Риккати, но чего-либо су-
щественно нового не получил.
Теория рядов в XVIII в. испытала мощный подъем,
что в большой степени связано с творчеством Эйлера. Но
Эйлер обращался с расходящимися рядами так же, как
со сходящимися *\ Николай I предостерегал Эйлера от
43

возможных ошибок при таком вольном обращении с,рас-
ходящимися рядами.
Достойно тщательного изучения эпистолярное наслед-
ство Николая I Бернулли. Он переписывался с крупней-
шими математиками — Лейбницем, Эйлером и др.
6
Николай II. Родился 27 января 1695 г. Когда ему
было семь месяцев, семья переехала в Гронинген, где про-
жила десять лет. Необыкновенные способности ребенка
проявились очень рано: восьми лет он свободно изъяснял-
ся на немецком, французском, голландском языках и не-
плохо владел латынью. Родители делали все возможное,
чтобы дать ему наилучшее образование.
В тринадцать лет поступил в университет. Отец на-
стоял, чтобы Николай выбрал профессию юриста, хотя не
мог отказать себе в удовольствии заниматься со способным
мальчиком любимым предметом — математикой. Так по-
лучилось, что в 15—16 лет Николай обладал двумя спе-
циальностями — юриста и математика.
Об успехах его можно судить по тому, что он решал
задачи, которые отец считал трудными. Между прочими
делами он выполнял еще две семейные обязанности: обу-
чал математике младшего брата Даниила и помогал отцу
вести обширную научную переписку.
В шестнадцать лет Николай II окончил университет
и защитил диссертацию на степень доктора философии.
Рукописи, оставшиеся от этого времени, свидетельствуют
о превосходном знании им дифференциального и инте-
грального исчислений.
После окончания университета занимался правом и
математикой, но считал себя больше юристом, почему и
выбрал для докторского диспута тему из области права.
Получил ученую степень доктора прав (1715 г.) и сразу
же отправился в длительное путешествие по Италии и
Франции. В Италии познакомился с Риккати. Знакомство
оказало влияние на математическое творчество Нико-
лая II: он заинтересовался дифференциальным уравнени-
ем Риккати и произвел некоторые исследования его.
Во Франции его любезно принял Вариньон — друг отца.
В Париже внезапно заболел и в 1718 г. возвратился в
Базель. 1720—1722 гг. провел в Венеции, где давал уроки
математики. В 1722 г. отец вызвал его в Базель, так каи-
на кафедре права появилась вакансия. По правилам Ба-
зельского университета на вакантную должпость подби-
44

рались три приблизительно равных кандидата, которые
подвергались жеребьевке. Результаты для Николая ока-
зались неблагоприятными. Он переехал в Берн, где с
1723 по 1725 г. преподавал в университете право.
1725 год стал знаменательным для семьи Бернулли:
пришло приглашение на работу в только что организован-
ную Петербургскую академию наук14. Это приглашение
не могло относиться к Иоганну I, а только к его сыновь-
ям. Когда Бернулли запросили Блюментроста, кого он
подразумевает, Николая или Даниила, Блюментрост при-
гласил обоих.
В сентябре 1725 гг братья выехали в Петербург и
прибыли туда 27 октября. Николай занял кафедру мате-
матики. К несчастью, он прожил в Петербурге всего де-
вять месяцев и умер (29 июля 1726 г.) «от лихорадки»
(по другим сведениям —от язвы кишок или от нарыва,
как показало вскрытие). Некролог «Жизнь Николая Бер-
нулли, сына Иоганна» помещен в «Комментариях Пе-
тербургской академии наук» за 1727 г. (т. II вышел из
печати в 1729 г.). Автор некролога —X. Гольдбах. В тех
же «Комментариях» (т. I) вышли две статьи Николая:
«О движении тел после удара» и «Анализ уравнений...».
Николай применил также метод интегрирующего мно-
жителя к решению дифференциальных уравнений в неко-
торых случаях.
7
Даниил I. Родился 29 января 1700 г. в Гронингене.
Выдающиеся математические способности Даниила обна-
ружились очень рано, однако Иоганн категорически воз-
ражал против того, чтобы он выбрал своей профессией
математику. Напрашивается вопрос: почему старшие Бер-
нулли так упорно стремились отстранить молодое поколе-
ние от профессионального занятия любимой ими матема-
тикой? Ответ, видимо, состоит в том, что она по сравне-
нию с правом, коммерцией, медициной не могла тогда обе-
спечить высокий жизненный уровень семьи15.
В 1716—1717 гг. Даниил изучал медицину в Базеле,
в 1718 г. для продолжения образования переехал в Гей-
дельберг, а в 1719 г. учился в Страсбурге. Степень лицен-
циата медицины получил в 1720 г.
1721 и 1722 гг. Даниил провел в Базеле, а в 1723 г.,
согласно семейной традиции, отправился путешествовать.
На длительный срок задержался в Венеции (1723—
1725 гг.). Здесь занимался практической медициной под
45

руководством известного врача Микелотти. Не оставлял
и математику. Микелотти сам увлекался математикой,
поэтому склонность его практиканта к науке, имеющей
так мало общего с медициной, нашла у патрона полную
поддержку. В 1724 г. Даниил на средства одного из дру-
зей издал результаты своих исследований по математике
(«Математические упражнения»), В том же году на про-
тяжении шести месяцев тяжело болел.
К этому времени его научная репутация настолько
укрепилась, что ему предложили пост президента вновь
учрежденной академии в Генуе. Однако высокая честь
не соблазнила молодого ученого: тогда уже завязалась
переписка с Петербургской академией наук, и Даниил от-
клонил генуэзское предложение.
В сентябре 1725 г. братья Николай и Даниил отпра-
вились в далекий Петербург. Первое выступление Даниила
состоялось на заседании академии 4 декабря 1725 г. Был
прочитан доклад «О секреции жидкостей в теле животно-
го». (Научная деятельность академии началась за не-
сколько недель до выступления Даниила, заседанием
13 ноября 1725 г.)
Даниил по договору должен был работать в Петербург-
ской академии в течение пяти лет — с 1725 по 1730 г.—
на кафедре физиологии. В 1730 г. ему было сделано пред-
ложение остаться в Петербурге. Даниил, не ладивший с
Шумахером и Бильфингером, неохотно продолжал пере-
говоры. Однако исключительные условия, предложенные
ему, побудили задержаться в Петербурге еще на три года.
Вот эти условия: повышение оклада, звание академика,
пожизненная пенсия после окончания контракта.
Ошибочно думать, что жизнь в Петербурге братьев Бер-
нулли, выходцев из обеспеченной базельской семьи, была
неким раем. Петербург тех времен не представлял еще
собой красавца-города с архитектурными шедеврами.
В «Арапе Петра Великого» Пушкин писал: «Во всем го-
роде не было ничего великолепного, кроме Невы, не ук-
рашенной еще гранитною рамою...». Ганнибал, вернувший-
ся из Парижа, увидел мрачную картину: «Обнаженные
плотины, каналы без набережной, деревянные мосты по-
всюду являли недавнюю победу человеческой воли над
супротивлением стихий». Да и петербургский климат
швейцарцам был жестковат. Поэтому понятны привиле-
гии, которыми пользовались выдающиеся иностранные
ученые, приглашенные для работы в академии наук.
К тому же затраты окупались сторицей: братья Бернулли
т

и прибывший вскоре за ними Эйлер создали великую сла-
ву Петербургской академии наук в период ее становления.
Неоценимую услугу оказал Даниил I Бернулли Петер-
бургской академии наук: он пригласил для работы в ака-
демии Леонарда Эйлера. В сентябре 1726 г. он писал Эйле-
ру: «Милостивый государь! Прошло несколько месяцев,
как я написал Вам по распоряжению нашего Президента,
г-на Блументроста, и пригласил Вас от его имени занять
место адъюнкта (помощник профессора или его замести-
тель— В. //.) в нашей Академии...
Вас ожидают с большим нетерпением. Приезжайте
поэтому как можно скорее и, если это возможно, отправ-
ляйтесь еще этой зимой. Но если Вас пугает время года,
советую Вам использовать то немногое время, которое у
Вас осталось, для упражнения в анатомии и для чтения
книг... в которых физиология рассматривается на основа-
нии принципов геометрии.
Пока же не упустите послать в ближайшее время ка-
кое-либо исследование в Вашем стиле в Академию и пока-
жите им там, что, как бы хорошо я ни отзывался о Вас,
я говорил о Вас еще недостаточно». (Эйлер приехал в
Петербург 24 мая 1727 г.; в этот день умерла Екатери-
на I.)
Как известно, в Петербурге Даниил написал бессмерт-
ную «Гидродинамику». Случилось так, что с этим трудом,
который должен был служить лишь источником творче-
ского удовлетворения, связаны наиболее тяжелые пере-
живания автора. Причиной их оказался отец.
Даниил писал Эйлеру 4 сентября 1743 г.: «Я потерял
плоды десяти лет трудов. Меня полностью обокрали. Все
,. Предложения" взяты из моей „Гидродинамики4*, отец же
включил их в свою „Гидравлику1* и датирует будто бы
П32 годом (моя же „Гидродинамика" вышла в 1738 г.).
Все это вызвало у меня такое отвращение к труду, что я,
кажется, охотнее бы стал сапожником».
21 июня 1733 г. Даниил и младший брат Иоганн II
выехали из северной столицы и через Голландию, Фран-
цию направились домой. По пути они посетили родину Да-
ниила — Гронинген.
В Базеле Даниил занял кафедру ботаники и анатомии.
В 1750 г. стал заведовать кафедрой экспериментальной
физики (без баллотировки и жеребьевки). В общей слож-
ности Даниил возглавлял кафедры Базельского универ-
ситета 49 лет. С 1776 г. в связи с преклонным возрастом
ему приходилось привлекать к руководству кафедрами пле-
47

мянников — Даниила II и Якоба И. За время работы в
университете Даниил I два раза был ректором.
17 марта 1782 г. слуга нашел Даниила I Бернулли за-
снувшим навсегда. По свидетельству современников, этот
великий ученый обладал замечательными личностными
качествами, располагающими к себе. Он был добр: жерт-
вовал родному университету значительные суммы, осно-
вал гостиницу для бедных студентов, совершающих тради-
ционное путешествие пешком, и т. д.
Научный авторитет Даниила I был чрезвычайно вы-
соким. Его избрали в члены многих академий и ученых
обществ: в Берлинскую академию —в 1746 г., в Париж-
скую (на место, освободившееся после смерти отца)—• в
1748 г., в Лондонское королевское общество — в 1750 г.,
Берлинское экономическое общество — в 1762 г., Физиче-
ское общество в Цюрихе — в 1763 г. Он состоял также
почетным академиком Петербургской академии наук, чле-
ном Туринской академии, Института в Болонье и т. д.
Даниил I десять раз получал премии Парижской ака-
демии наук (только Эйлер превзошел его в количестве
премий, полученных от этой академии). Первую премию
он получил еще в 1725 г. Несколько премий ему пришлось
разделить с отцом, с Эйлером, Маклореном, Иоганном II
и др.
В изданиях Петербургской академии наук Даниил I
Бернулли опубликовал 47 работ. Оценка Даниилом I роли
Петербургской академии наук в его работе видна, напри-
мер, из того, что он в предисловии к «Гидродинамике»
пишет: «Я охотно объявляю, что главнейшая часть этой
работы обязана руководству, замыслам и поддержке со
стороны Петербургской академии наук» [1, с. 9].
Круг научных интересов Даниила I и охваченных в
его работах проблем математики и механики достаточно
широк. Он предложил метод численного решения алгебра-
ических уравнений, который в форме, приданной Лагран-
жем, сохранился до нашего времени. Его работы дали
значительный толчок развитию теории вероятностей. Он
занимался нахождением закона распределения вероятно-
стей ошибок наблюдений, ввел понятие «нравственного
ожидания». Выдающимся событием в развитии теории ве-
роятностей было применение Даниилом Бернулли мето-
дов анализа бесконечно малых к решению вероятностных
ироблем. Благодаря этому стали доступными исследова-
нию и решению задачи, не поддающиеся аппарату комби-
наторики. В нескольких работах Даниил 1 применил тео-
48

рию вероятностей к вопросам длительности человеческой
жизни, смертности от оспы и действия прививок, средней
продолжительности браков. Одна оригинальная по замыслу
конкурсная работа Даниила I посвящена вопросу, следует
ли приписывать каким-либо определенным причинам раз-
личия наклонения планетных орбит к эклиптике.
Даниил I нашел предельное значение переменной
(1-И//г)п с помощью числового ряда, занимался исследова-
нием дифференциального уравнения Риккати, линейных
однородных дифференциальных уравнений га-го порядка
с постоянными коэффициентами, рассмотрел частный слу-
чай функции Бесселя, в одном из писем Эйлеру поставил
задачу о колебаниях пластины. Он рассматривал задачу
о колебаниях струны, представил общее решение диф-
ференциального уравнения колебаний струны в виде три-
гонометрического ряда, нашел несколько разложений
функций в тригонометрические ряды. В связи с введением
тригонометрических рядов возникла проблема исследова-
ния их на сходимость. Развернулась полемика, в которой
Даниил I принял деятельное участие.
Даниил I исследовал поперечные колебания упругих
стержней, вывел дифференциальное уравнение колебаний,
нашел общее решение его, рассмотрел граничные условия,
соответствующие свободному, опертому и защемленному
концам стержня. Полученные результаты он сравнил с
опытом.
Даниил I Бернулли разрабатывал кинетическую тео-
рию газов.
8
Иоганн II. Родился 18 мая 1710 г. Получил юриди?
ческое образование. С детства выделялся своими способ-
ностями даже в семье Бернулли. В 1721 г., т. е. одиннад-
цати лет, стал слушать лекции в университете. Получил
степень магистра философии четырнадцати лет. Диспут
состоялся 8 июня 1724 г. Одновременно с Иоганном II
получил степень магистра и Эйлер, который, однако, был
старше на три года. Оба они учились математике у отца
Иоганна II — Иоганна I.
Слушать лекции Иоганна I в 1729 г. приезжал Мопер-
тюи, автор первой редакции принципа наименьшего дей-
ствия. Несмотря на значительную разницу в возрасте, он
сблизился с Иоганном II. Тесная дружба продолжалась
до смерти Мопертюи, последовавшей в 1759 г.
Я)

Как и другие выдающиеся члены семьи Бернулли,
Иоганн делил свое время между навязанной родителями
профессией юриста и математикой. Успехи в области точ-
ных наук были большими.
27 марта 1732 г. Иоганн II получил степень доктора
прав, после чего поехал к брату в Петербург. Ему были
сделаны выгодные предложения, однако Иоганн отказался
и 21 июня 1733 г. вместе с Даниилом выехал в Базель.
Вакантные должности в Базельском университете за-
мещались по результатам жеребьевки. Эта процедура да-
вала каждый раз неблагоприятные для Иоганна II ре-
зультаты: он пытался занять юридическую кафедру в
1731, 1734, 1736 гг.— и все неудачно.
В 1739 г. Иоганн II вместе с Мопертюи отправился
путешествовать. Мопертюи познакомил его с маркизой
Дюшатле (переводчицей «Начал» Ньютона на француз-
ский язык). Здесь Иоганн II задержался на продолжи-
тельное время, «чтобы помочь маркизе усовершенствовать
свои знания в математике».
В 1743 г. жребий, наконец, оказался благосклонным
к Иоганну II: ему удалось занять кафедру элоквенции
(красноречия), что, конечно, ни в малой мере не соот-
ветствовало его творческим интересам.
Научная деятельность Иоганна в эти годы была осо-
бенно высока. Как раз в 1743 г. Даниил писал Эйлеру,
что если бы не лень, то Иоганн II превзошел своими ус-
пехами в математике всех Бернулли.
На кафедре элоквенции Иоганн оставался до 1748 г.
Против ожидания, он не участвовал в конкурсе на заме-
щение должности руководителя кафедры математики, ос-
вободившейся после смерти Иоганна I. Эта должность
досталась по жребию другому соискателю, который по-
чувствовал неловкость создавшегося положения и сам
предложил Иоганну II обменяться кафедрами. Большой
совет Базеля не только одобрил и утвердил этот обмен,
но и сохранил для Иоганна II «чрезвычайную надбавку»
к жалованью, установленную в свое время для Иоганна I.
На этой кафедре Иоганн II оставался до самой смерти.
Он руководил кафедрой в университете 48 лет, из них
42 года — кафедрой математики.
Иоганн II был членом нескольких академий: Берлин-
ской — с 1746 г., Нанси — с 1755 г., Парижской — с 1782 г.,
заместив умершего брата Даниила, Стокгольмской и -др.
Парижская академия присуждала ему премии четыре
раза: в 1736 г. за работу «Распространение света», в
50

1737 г. за исследование «О форме якоря», в 1741 г. за
сочинение «О кабестане» 16, в 1746 г. за работу «Теория
магнита».
По отзывам современников, Иоганн обладал мягким
характером, пользовался всеобщей симпатией. Свойства
его дарования таковы, что он писал лучше, чем говорил.
Иоганн II скончался 17 июля 1790 г.
9
Иоганн III. Родился 4 ноября 1744 г. Выдающиеся спо-
собности проявились необыкновенно рано. В четырнад-
цать лет получил степень магистра философии. Изучал
в университете юридические науки, одновременно учился
математике у отца, впоследствии — у дяди Даниила I.
Юридическое образование завершил в 1763 г., когда по-
лучил степень лиценциата прав. В том же году Фридрих II
пригласил Иоганна III на работу в Берлинскую академию
наук. Иоганн приглашение принял. Избрание в академи-
ки (по математике) состоялось 5 января 1764 г., когда
новому академику едва исполнилось 19 лет. Иоганн III
переселился в Берлин.
Вскоре после переезда в Берлин Иоганн III отправил-
ся в длительное путешествие по Германии, Нидерландам,
Англии, Франции, Швейцарии. В 1767 г. молодой акаде-
мик назначается директором академии.
Болезненное состояние вынудило Иоганна III пред-
принять новое путешествие по Франции, Швейцарии, Ита-
лии. Путешествия, по-видимому, действовали на него
благоприятно. Свидетельство тому — путевые заметки, ра-
боты по математике, физике. Иоганн III был в Варшаве,
Петербурге (1778 г.) и в других местах Восточной Европы.
С 20 октября 1771 г. он совмещал должность главного ас-
тронома с постом директора математического класса
Берлинской академии наук.
Умер Иоганн III 13 июля 1807 г. в Берлине. Он удо-
стоен звания академика Стокгольмской академии наук —
с 1774 г., Петербургской академии наук —с 1777 г. Ос-
тавил много сочинений по математике, астрономии, гео-
графии, экономике, истории и др. Иоганн III перевел на
французский язык «Алгебру» Эйлера.
10
Даниил II. Родился 31 января 1751 г. Окончил Ба-
зельский университет. Удостоен ученой степени доктора
медицины. Занимал кафедру элоквенции. Как и все Бер-
51

нулли-ученые, знал математику и физику, причем на-
столько основательно, что Даниил I доверял ему ведение
своей кафедры физики.
Написал книгу «Жизнь Даниила Бернулли». Был дол-
гое время секретарем Базельского общества естествоиспы-
тателей. Скончался 21 октября 1834 г.
11
Якоб II. Родился 17 октября 1759 г. Изучал в уни-
верситете юридические науки, у отца — математику, у дяди
Даниила — математику и физику. Получил степень лицен-
циата в 1778 г., но прямой своей специальностью не ин-
тересовался и не занимался. С согласия руководства уни-
верситета в 1780 г. замещал Даниила I—-читал лекции по
экспериментальной физике.
Участвовал в конкурсах: на кафедру кодекса и лен-
ного права — в 1779 г., на кафедру риторики — в 1780 г.
и на кафедру физики (вакантную после смерти Да-
ниила I)—в 1782 г. Все жеребьевки были неудачными.
После этого покинул Базель и переехал в Италию, приняв
предложение одного дипломата занять у него должность
секретаря. Был в Венеции, Турине. За это время полу-
чил известность среди математиков и физиков. Был избран
в Туринскую академию, печатался в ее «Мемуарах» и в
«Трудах Берлинской академии наук». Однако он не был
удовлетворен своими успехами и не скрывал этого от
семьи. Его старший брат Иоганн III обратился к ученику
Даниила I по Базельскому университету Н. Фуссу, кото-
рый с 1773 г. работал в Петербургской академии наук
и успел приобрести видное положение, с просьбой устроить
брата. Фусс доложил княгине Е. Дашковой, бывшей в эти^
годы (1788—1796) директором Академии наук, о возмож-
ности привлечь еще одного Бернулли к работе в академии.
Е. Дашкова пригласила Якоба II в Петербургскую ака-
демию наук на должность адъюнкта; в 1787 г. он был
уже ординарным академиком. Академики того времени
обязывались, сверх основных занятий, выполнять отдель-
ные поручения. Якоб II участвовал в различных комис-
сиях, экспедициях, был временно прикомандирован к
военно-морскому флоту в качестве астронома.
Весной 1789 г. Якоб II женился на внучке Эйлера.
Через два месяца, 3 июля 1789 г., он утонул в Неве.
В последующих поколениях Бернулли было немало
одаренных историков, музыкантов, техников, архитекто-
52

ров и других деятелей науки и культуры, но математиков
больше не было.
Теперь рассмотрим более детально вклад в науку каж-
дого из трех великих Бернулли — Якоба I, Иоганна I и
Даниила I. Начнем, естественно, с Якоба.
ЯКОБ I БЕРНУЛЛИ
1
С 1677 г. Я. Бернулли стал вести записные книжки,
куда вносил различного рода заметки научного содержа-
ния. Первые записи посвящены теологии, сделаны под
влиянием распространенного в то время в Базеле сбор-
ника спорных теологических вопросов.
Основное место в записных книжках занимает реше-
ние задач. Уже по ранним записям можно судить о про-
явленном Я. Бернулли интересе к прикладной матема-
тике. Математические заметки показывают, как постепен-
но Я. Бернулли овладевал методами Валлиса, Декарта,
инфинитезимальными методами, как развивал и совер-
шенствовал их. Решенные им задачи служили отправны-
ми пунктами для дальнейших более глубоких исследова-
ний. Свои результаты с 1683 г. Я. Бернулли стал поме-
щать в «Acta Eruditorum» и «Journal des Sgavans».
В январе 1684 г. Я. Бернулли провел в Базельском
университете открытый диспут, на котором защищал
100 тезисов, из них 34 логических, 18 диалектических и
48 смешанных. Некоторые тезисы крайне любопытны.
Вот примеры.
«78. Иногда существует несколько кратчайших путей
из точки в точку.
83. Среди изопериметрических фигур одна может быть
в бесконечное число раз больше другой.
85. Не в каждом треугольнике сумма внутренних углов
равна двум прямым.
89. Квадратура круга еще не найдена, но не потому,
что между искривленным и прямолинейным нет никакой
связи; в действительности кривую можно спрямить, а кри-
волинейную фигуру квадрировать» [47, с. 11—12].
В мае 1690 г. Я. Бернулли опубликовал в «Acta Erudi-
torum» первую работу, связанную с исчислением беско-»
печно малых. В ней он дал решение поставленной Лейб-
53

ницем в 1687 г. задачи о парацентрической изохроне.
Необходимо было найти кривую, по которой материаль-
ная точка опускалась бы в равные промежутки времени
на равные высоты. Я. Бернулли вывел дифференциальное
уравнение кривой и проинтегрировал его. При этом он
впервые употребил в печати термин «интеграл», указав,
что из равенства двух выражений, связывающих диффе-
Рис. 4
ренциалы, следует равенство интегралов.
В лекциях, читанных Лопиталю, И. Бернулли ход ре-
шения излагает так. Пусть искомой кривой будет ADC
(рис. 4). Материальная точка за время Д£ перемещается
из точки D в точку d и из точки С в точку с. По условию
задачи проекции дуг Dd и Сс на вертикаль одинаковы.
Проведем через D и С касательные к кривой до пересе-
чения с продолжением AF. Отрезки касательных будут
DK и CL. Напишем тождество
Dd/Cc=Dd/Hc*HclCc.
Дуги Dd и Сс малы, поэтому фигуры GDd и ИСс можно
считать треугольниками.
Из подобия треугольников GDd и DEK, НСс и CFL
получим
Dd/DG=DK/DE, CclHc=CLICF.
С помощью этих пропорций найдем
Dd/Cc=DG/Hc. DK/DE • CF/CL.
По условиям задачи dG/Hc=l, поэтому
DdlCc=DK/DE-CF/CL.
Проведем через точку С прямую СМ, параллельную
DK. Тогда
54

DKJDE^CMICF, Dd/Cc=CM/CL.
Но отношение Dd/Cc равно отношению скоростей (интер-
вал At один и тот же), квадраты же скоростей, по най-
денному Галилеем закону, относятся как пройденные вы-
соты; это дает
Dd2/Cc2=CM2/CL2=DElCF, CM2fCL2=DE/CF.
Последнее равенство означает, что если через две про-
извольные точки кривой провести касательные CL и DK
и через точку С провести СМ параллельно DK, то должна
выполняться указанная пропорция. Таким свойством обла-
дает искомая кривая.
Задача оказалась сведенной к классу обратных задач
на касательные: найти кривую, касательные к которой
удовлетворяют некоторому требованию. Подобную задачу
впервые предложил Декарту Дебон, и Декарт с ней не
справился. Разработанный Лейбницем метод позволяет
решать и обратные задачи на касательные.
Выберем начало координат в точке А. Обозначим
АЕ=х, ED=y. Тогда GD=dx, Gd=dy. Обозначим также
CF=a, CL=b. Треугольники FCM и GdD подобны, отсюда
Gd/Dd=FC/CM.
Но Dd=Vdx2+dy2y поэтому
dy/Ydx2 -f dy2 = а/СМу
откуда
CM2=(a2dx2+a2dy2)/dy\
Подставим найденное выражение в пропорцию CL2jCM2~
=CF/CE и получим дифференциальное уравнение
b2dy2/ (a2dx2+a2dy2) =a/y, Vydyz-a4y2=a4x2,
ф2у — a3) dy2 = аЧх2, уь2у-~аъ dy = /а3 dx.
В уравнении переменные разделены, интегрирование
его дает искомую кривую
2Ь2у — 2а8/362 -\[Ъ2у — а* = х Ya*.
Парацентрическая изохрона оказалась полукубической
параболой. Вид кривой раньше Я. Бернулли определили
55

Лейбниц и Гюйгенс, но лишь Я. Бернуллй дал решение
средствами анализа бесконечно малых.
Рассмотренная задача позволяет уяснить методические
особенности разработанного Лейбницем исчисления, уста-
новить его общность: по условиям задачи составляется
дифференциальное уравнение, связывающее элементы кри-
вой, касательной к ней, нормали или иных отрезков, ре-
шение которого дает уравнение кривой.
В конце статьи Я. Бернуллй поставил задачу о форме
кривой, по которой расположится подвешенная за концы
однородная гибкая нить под действием собственного веса*
Ее упоминал еще Жирар в 1634 г., указавший, что кри-
вая будет параболой. Галилей в «Беседах и математиче-
ских доказательствах» (1638) отмечает, что кривая близ-
ка к параболе.
Задача представляет особый интерес, ее решили Лейб-
ниц, И. Бернуллй и Гюйгенс. Гюйгенс решил ее геомет-
рически, а И. Бернуллй и Лейбниц — с помощью исчисле-
ния бесконечно малых. И все они получили один и тот
же результат. Задача стала пробным камнем, на котором
испытывался новый метод в математике.
Гюйгенс назвал кривую цепной линией. Все решения
напечатаны в «Acta Eruditorum» за 1691 г. Естественно,
авторы не привели уравнение цепной линии (показатель-
ная функция тогда еще не была введена), но геометриче-
ское построение кривой в точности соответствует ему.
В том же году Я. Бернуллй опубликовал работу, по-
священную исследованию введенной им параболической
спирали. Здесь он ввел также полярные координаты. Он
деформировал ось параболы в окружность, принял за ор-
динаты «перпендикуляры к окружности», а за абсциссы —
дуги ее и связал координаты той же зависимостью, что
и для параболы, т. е. yz=bx.
Если положить #=а0, г/==а—р, у2=2рх, то получим
уравнение спирали в полярных координатах:
(р-а)8=2арв.
Форма кривой меняется с изменением отношения акр.
Я, Бернуллй изучил случай а/р=4я. Он построил каса-
тельные к кривой, нашел квадратуру, точку перегиба,
рассмотрел вопрос о радиусах кривизны и эволюте. По-
пытка спрямить дугу спирали привела Я. Бернуллй к
первому в истории математики эллиптическому интегра-
лу. Он выразил в виде эллиптического дифференциала
56

элемент дуги спирали, что дало возможность сравнивать
различные части дуги.
Таким образом, и эта работа содержала существенное
усовершенствование алгоритма Лейбница. Я. Бернулли
отметил, что метод Лейбница по существу представляет
удобную для вычисления переработку методов Барроу,
изложенных им в «Геометрических лекциях». Это заявле-
ние послужило впоследствии исходным пунктом для спо-
ров между сторонниками Ньютона и Лейбница по приори-
тетным вопросам.
В публикации за июль 1691 г. Я. Бернулли продол-
жил начатые ранее исследования логарифмической спи-
рали (спрямление, вычисление площади сектора), а так-
же связанных с вопросами навигации локсодромических
кривых1, уравнения которых он записывал в интеграль-
ной форме. Я. Бернулли вычислил площадь сферического
треугольника интегрированием его ортогональной проек-
ции на плоскость экватора.
В конце заметки он рассмотрел формы кривой, кото-
рую принимает упругая полоса с одним защемленным
концом под действием силы, перпендикулярной оси. В ус-
ловиях применимости закона Гука он нашел результат
xz=a2 sin т, который зашифровал в виде анаграммы.
В этой заметке Я. Бернулли опять отмечает Барроу
как автора новых методов, но подчеркивает, что не сле-
дует забывать и заслуг Лейбница.
Постепенно Я. Бернулли приходит к разложению в
ряд трансцендентных интегралов. Начал он с квадрату-
ры гиперболы. Затем дал биномиальное разложение
(al(a—b))n по степеням а/b для случая, когда 2п — целое
положительное число, разложение интегралов для упру-
X X
г* x2dx г» a2dx
гой линии у = ^ у^Т7 • s = ) V^=^ ■
о о
Он поставил задачу найти абсциссу #, соответствую-
щую ординате у=Ь логарифмической кривой у=а\пх,
которую определяет словесно.
На наш взгляд, выкладки Я. Бернулли совершенно
недопустимы, но результат получается верный. Он за-
писывает:-^- = In |/"ж, затем полагает a (}fx — 1) —d,
осу —
м=1 + а/а, и возвышает левую и правую части в сте-
пень п:
x=l+nd/a+n2d2I2a2+n3d3l2 За3+..,
57

Если обозначить nd=b, то найдем, что
x=l+b/a+b2/2a2+b3/2 • За3+ ...
Также некорректно получены ряды для синуса и ко-
синуса с помощью биномиальной теоремы [47, с. 19—20].
Это было большим открытием. Но судьба оказалась не-
благосклонной к Я. Бернулли: почти сразу после завер-
шения исследования он увидел в «Acta Eruditorum»
(апрель 1691 г.) статью Лейбница о квадратуре кониче-
ского сечения, где указаны ряды для экспоненты, коси-
нуса и синуса.
Я. Бернулли неоднократно занимался исследованием
различных кривых, их кривизной. Особый интерес у него
вызывала логарифмическая спираль (уравнение в поляр-
ных координатах р=е°е). Он установил многие свойства
спирали, в частности, что эволютой и каустикой ее также
является логарифмическая спираль (Acta Eruditorum,
июнь 1691 г., май 1692 г.).
Кульминацией исследования свойств кривых был вы-
вод формулы для радиуса кривизны
p=ds3/dyddx,
которую Я. Бернулли называл «золотой» теоремой.
В 1692 г. Я. Бернулли заинтересовался вопросом, в ка-
ких случаях можно квадрировать площадь, ограниченную
х
алгебраической кривой, т. е. при каких условиях J ydx
о
будет алгебраической функцией х, если у — неявная функ-
ция, определяемая полиномом n-й степени: f(x;y)=0.
Еще в 1683 г. Чирнгауз по этому поводу сформулировал
два неправильных утверждения. Между Чирнгаузом и
Лейбницем возник спор, в котором прав оказался Лейб-
ниц. Я. Бернулли высказал неверную теорему о том, что
не существует замкнутой алгебраической кривой, кото-
рую можно алгебраически спрямить. После контрпримера
Лейбница он признал теорему ошибочной.
Я. Бернулли привел интересный пример, связанный с
этим кругом вопросов: трансцендентная кривая у=1п -.
допускает квадрирование
X
\ydz = x*(l.2 + *»/2-3 + *»/3-4 + ...
О
58

Хотя эта квадратура при произвольном допустимом х не-
1
определенна, но «в целом» рациональна, так как^Лг=1.
о
В том же году Я. Бернулли выполнил исследования
о пути света в слоистой среде различной оптической тол-
щины, по проблемам навигации, о сопротивлении движу-
щегося в жидкости тела, по упругости. Он предположил,
что напряжение t как функция х пропорционально кри-
визне упругой линии, t=a2: р. Затем воспользовался «зо-
лотой» теоремой и получил
X X
„2 dV
ds
о о
ИЛИ
х = \ tdx = а2 \ -т-|- ds = а2
dy = tdx : Ya* ~~ %2-
Здесь же он дал представления в виде рядов
г» dx \ 1#3 1«3«5
J VT^~& = + 1ПГ + 2-4-9 + 2.4-6.13 + '• "'
о
Г Д^Ддр _ 1 . 1 1»3 L3.5
) Yi _Ж4 — 3 + 2-7 + 2.4-11 + 2-4-6.15 + • •''
о
которые получил сравнением с известным
С *zdx _ 1 . 1 . 1-3 1.3.5 _i_
)у1 — а*~ 4 + 2-8 + 2.4-12 + 2.4-6.16 + * " * ~ 2 #
о
Между этими исследованиями вклинилась исключи-
тельно красивая задача: из полусферы вырезать четыре
конгруэнтных окна так, чтобы оставшаяся часть была
квадрируемой. Я. Бернулли дал несколько решений ее.
В приложении к другой работе о рядах (1694 г.)
Я. Бернулли сформулировал несколько тезисов.
1. Существуют спирали, которые совершают бесконеч-
ное число витков вокруг полюса, но имеют конечную
длину.
2. Существуют кривые, которые, подобно эллипсу, зам-
кнуты и, подобно параболе, уходят в бесконечность, на-
пример ау2=х2(Ь+х).
3. Существуют кривые, состоящие из двух ветвей, на-
пример ау2=х (а2—х2),
59

4. Существуют неограниченные поверхности с конеч-
ной площадью.
5. Существуют неограниченные поверхности с беско-
нечной площадью, но такие, что соответствующие им тела
вращения обладают конечным объемом.
Весной 1694 г. Я. Бернулли поместил в «Acta Erudi-
torum» большую работу об упругих линиях. Особое вни-
х »л
г» х-ах
мание он уделил вопросу, можно ли кривую */=Л у 4 _ т4"
о
представить с помощью квадратуры или свести к спрям-
лению кривой второго порядка.
Он рассмотрел также элемент дуги кривой, заданной
параметрически в виде x2=btp+ctq, y2=btp—ciq, получил
соотношение 2t2x2y2ds2=btp[b2p2t2p+c2q(q-2p)t2<i]dt2, поло-
жил в нем q=2p и свел задачу к рассмотрению элемента
дуги лемнискаты x2+y2=al/x2—y2 2.
Он рассмотрел три случая: 1) если положить x2+y2=t2,
то длина дуги будет равна \^a2dt: ]fa* — £4, 2) если
f+jW : f, то J a4t: 1Л4 — a4, 3) если x2+y2=2at,
то \a4t: /2a*(a4-4*2).
Эллиптические интегралы Я. Бернулли вычислял с
помощью квадратур кривой шестого порядка (a4—xk)y2=
=altb2 и кривой пятого порядка 2яг/2(а2—4я2)==а5. Резуль-
таты опубликованы в «Acta Eruditorum» (сентябрь
1694 г.). В конце статьи сделано важное замечание о
классификации интегралов.
В нескольких публикациях 1695 г. рассмотрена задача
о форме нити, находящейся под действием сосредоточен-
ных нагрузок, найдена огибающая семейства парабол,
приведено дифференциальное уравнение y'—py+qy1*, к ко-
торому Я. Бернулли пришел, обобщая задачу Дебона.
С осени 1696 г. Я. Бернулли начал заниматься зада-
чей о брахистохроне (кривой наискорейшего спуска; от
греческих слов (Jpaxiaxos — кратчайший и XP^V0* —
время).
В июньском номере «Acta Eruditorum» за 1696 г.
И. Бернулли опубликовал заметку «Новая задача, к раз-
решению которой приглашаются математики». Значимость
ее состояла в том, что она послужила толчком в исследо-
вании проблем, составивших содержание новой отрасли
математики — вариационного исчисления.
60

Вот ее формулировка. Даны не лежащие на одной
вертикали точки А и 5. Из всех кривых, соединяющих
эти точки, найти ту, двигаясь по которой тяжелая мате-
риальная точка затратит на прохождение пути от А к В
наименьшее время.
Галилей сравнил движение материальной точки из
состояния покоя в положении А по наклонной плоскости
до В с движением по дуге окружности, проходящей через
А и В, и установил, что более быстрым будет спуск по
дуге окружности. И. Бернуллл рассматривал произволь-
ные кривые, проведенные через А и В, и искал ту, кото-
рая даст минимальное время спуска. Такую кривую на-
звали брахистохроной, и, хотя она оказалась достаточно
знакомой математикам того времени циклоидой, новизна
задачи очевидна: находится не экстремум функции, сама
неизвестная функция должна быть экстремальной.
Эту, по словам Лейбница, «столь прекрасную и до сих
пор неслыханную задачу» решили И. Бернулли, Лейбниц,
Ньютон, Лопиталь и Я. Бернулли.
На решение «новой задачи» отводилось полгода; за это
время справился с ней лишь Лейбниц. По обычаю того
времени, он сообщил свое решение И. Бернулли в письме.
И. Бернулли вынужден был продлить срок до пасхи
1697 г.
Ньютон опубликовал результат в январском номере
«Philosophical Transactions» за 1697 г. (№ 224, с. 384)
без подписи. И. Бернулли не составило труда установить
имя таинственного автора. Он узнал «почерк» Ньютона,
«как по когтям узнают льва». Решения И. Бернулли, Ло-
ииталя и Я. Бернулли были напечатаны в майском номе-
ре «Acta Eruditorum» за 1697 г.
Решение Я. Бернулли из всех представленных в «Acta
Eruditorum» было наиболее значительным, так как бази-
ровалось на общем принципе, применимом в некоторых
других случаях. И хотя впоследствии было установлено,
что принцип этот не обладает достаточной общностью,
попытки распространить его на подобные задачи способ-
ствовали становлению вариационного исчисления.
Я. Бернулли решал задачу так3. Он исходил из того,
что если кривая обладает каким-либо свойством, то тем
же свойством должна обладать и любая ее часть. Это
позволило ему заменить одну сложную задачу многими
элементарными, Он разделил расстояние между точками
А и В по вертикали на большое число равных частей и
61

представил себе параллельные горизонтальные прямые,
проведенные через точки деления (рис. 5).
Обозначим расстояние между двумя параллелями че-
рез с; тогда разность высот между А и В будет h=nc
(л — число слоев). Условимся считать, что скорость точки
меняется не непрерывно, а скачками, при переходе от
слоя к слою. Тогда в первом слое скорость будет vl=V2gc1
Рис. 5
т. е. совпадает со скоростью падения с высоты с; во вто-
ром, третьем и т. д. она будет
и2 = Y2g-2c, vz = i/"2g.3c, .. ., va = Y2g-nc
При таком движении частица перемещается по лома-
аой. Необходимо определить ее углы.
Пусть <х{ (i — номер слоя) — угол между звеном лома-
ной и вертикалью. Тогда из требования наименьшего вре-
мени для прохождения пути в i-u и 0+1)-м слоях следу-
ет, что отношения синусов указанных углов равны отно-
шениям скоростей точки в этих слоях. Этот результат
был известен математикам в связи с решенной ранее
задачей Ферма об отыскании пути луча света из точки А
в точку В в кратчайшее время с переходом через границу
двух сред различной плотности.
Отсюда получаем
sinai
sina2
sina3
sina*
_ *i _ V2gc _ Vc
"2 /2J7& YTc f
YBc si& «i sin «2
" yr5P,tM Vc ™ VTc*
sin a* VZc
sina3 ~ yi£f
sina2 sina3
VTc e V3c~
Эти равенства означают, что для каждого слоя отно-
шение синуса угла между звеном ломаной и вертикалью
52

к квадратному корню из расстояния слоя от верхней го-
ризонтали постоянно. Таким образом, ломаная оказывает-
ся вполне определенной.
Теперь осталось сделать один шаг. Если число слоев
увеличивать безгранично (при этом толщина слоев будет
стремиться к нулю), то полученная ломаная перейдет
в пределе в брахистохрону. Очевидно, в этом процессе
каждое звено ломаной займет свое предельное положе-
ние — совпадет с касательной к искомой кривой.
Но математикам того времени было известно, что си-
нус угла между касательной к циклоиде в некоторой
точке и вертикалью пропорционален квадратному корню
из высоты точки, и известно была также, что если кривая
обладает таким свойством, то она является циклоидой.
Я. Бернулли пришел к хорошо изученной кривой —
циклоиде; оказалось, что знакомая кривая обладает не
только свойством таутохроны (кривой равных времен) \
но и является кривой наискорейшего спуска. Не случай-
но она привлекла к себе такое внимательное отношение
математиков XVII в. И не только математиков. Дж. Свифт,
например, в «Путешествиях Гулливера» упоминает о ней:
«На второе был подан пирог в форме циклоиды».
Работа Я. Бернулли с изложением решения задачи о
брахистохроне примечательна также и тем, что в ней
поставлены две новые задачи, также сыгравшие большую
роль в развитии вариационного исчисления. Первая из
них: найти кривую, по которой материальная точка в
кратчайшее время из данной точки достигнет данной вер-
тикальной прямой. Решения ее Я. Бернулли не дал. Вто-
рая — изопериметрическая задача: среди всех, кривых BFN
равной длины найти ту, произвольные степени или корни
ординат PF или дуг BF которой образуют другую кривую
BZN, для которой площадь BPNZB будет наибольшей
или наименьшей (рис. 6).
Изопериметрические задачи известны давно. Древней-
шая из них — задача легендарной основательницы Кар-
фагена и его первой царицы Дидоны. Легенда такова.
Дидона бежала от отца, тирского царя, и достигла Афри-
ки, где купила у туземцев участок земли на берегу моря
«не больше, чем можно окружить воловьей шкурой». Она
разрезала шкуру на узкие полоски и связала из них
длинную ленту. Спрашивается, какой формы должна быть
фигура, оцепленная лентой данной длины, чтобы площадь
фигуры была наибольшей?
63

Ван-дер-Варден пишет [5, с. 363—364], что Зецодор,
живший вскоре после Архимеда, высказал 14 предложе-
ний относительно изопериметрических фигур. Он утвер-
ждал, что из всех фигур (кругов и многоугольников),
имеющих одинаковый периметр, круг будет наибольшим,
а также и то, что из всех пространственных тел с одина-
ковой поверхностью наибольшим будет шар.
Решение задачи содер-
жится в записных книж-
ках Я. Бернулли и поме-
щено в майском номере
«Acta Eruditorum» за
1701 г. Оно громоздко,
цлинно, и нет смысла его
приводить. Я. Бернулли и
здесь применил высказан-
f ный ранее принцип: по-
скольку площадь должна
Рис* 6 быть экстремальной, этим
же свойством должна об-
ладать и любая ее элементарная часть. Он получил диффе-
ренциальное уравнение третьего порядка и впоследствии
проинтегрировал его.
К. А^ Рыбников пишет: «Таким образом, решение изо-
периметрической задачи означало очень важный, прин-
ципиально новый этап в истории вариационного исчисле-
ния; оно дало возможность решать более сложные вариа-
ционные задачи, им был сделан важный шаг на пути ре-
шения вариационных задач» [25, с. 428].
К вариационной проблеме относятся также задачи,
связанные с нахождением кратчайшей линии между дву-
мя точками на выпуклой поверхности. Одну из них, в слу-
чае поверхностей вращения второго порядка, геометриче-
ски решил Я. Бернулли (Acta Ruditorum, 1698).
2
По теории рядов Я. Бернулли в период с 1689 по
1704 г. написал пять работ, оформленных в виде диссер-
таций, которые защищали его ученики, в том числе
Якоб II Бернулли (третью диссертацию в 1696 г.) и
племянник Якоба Николай I Бернулли (пятую диссер-
тацию в 1704 г.). Все они вышли под общим названием
«Арифметические предложения о бесконечных рядах и
их конечной сумме» (Базель, 1689—1704).
Первая работа содержит несколько доказательств рас-
о
64

ходимости гармонического ряда5, а также неравенства
Бернулли (1+х)п>1+пху x>—i. При доказательстве это-
го неравенства Я. Бернулли пользовался самостоятельно
открытым им методом математической индукции.
Одно из доказательств расходимости гармонического
ряда принадлежало И. Бернулли, установившему этот
факт раньше Якоба, одно — самому Якобу.
Во второй работе находятся суммы некоторых рядов.
Например,
со со
ИЛИ
V 2fe + l , V Г * * 1 /
Zjrnfe + i)y=4Zj[^-(fc+iFJ=4-
Первое из равенств можно доказать так:
со со со
(*_1) (* + !) + !
(А + 1)! 2h (* + 1)! — 2j" W+i)\ ~
fc=i fc=i fr=i
_ ун)И1),г i _\j**-i,
~ Z-l № + 1)! "*" Zj (* + 1)! — ZL h\ "r
CO CO CO CO
fr=l fc=l fc=l 71=2
OO / CO \ CO
fr=l \ fe=2 / 71=2
со со со
-JMr-'-E-Jr+L-i—«■
?г=0 fc~2 n=2
При суммировании второго ряда Я. Бернулли, видимо,
интуитивно пользовался современным определением сум-
мы ряда как предела последовательности частичных сумм
S = lim Sk,
к-+оо
представлял все слагаемые /с-й частичной суммы в виде
разностей и переходил к пределу при к-+°°.
3 В. А. Никифоровский
65

Я. Бернулли формальными операциями над рядами
получал иногда неверные результаты. Из известного пра-
вильного соотношения
ос оо
справедливого при натуральном /?>2, он находил
оо оо оо оо
2j2*^:2y"2F=1:1'2yy!*=rf:2y"vir=:3
= 1^2 — 1,
что сам считал парадоксальным.
Суть дела здесь состоит в том, что ряды
оо ос оо ос
2/с _ 1 ' 2-J 2/c »2j У2к~> 2-1 УТк
расходятся, и указанные операции над ними незаконны.
Оперируя с расходящимися рядами, математики того
времени приходили и совсем к фантастическим выводам.
Известно например, разложение
1/(1+ж)=1-я+*2-*я+...,
в котором ряд сходится к данной функции при |#|<1.
Профессор математики Пизанского университета Гвидо
Гранди в «Геометрически изложенной квадратуре круга
и гиперболы при помощи бесчисленных квадрируемых
гипербол и парабол» (Пиза, 1703) привел этот ряд, по-
ложил х=1 и получил
1/2=1-1+1-1+...
Он группировал члены в правой части по два и при-
шел к равенству 0+0+0+.. .=1/2, которое истолковал как
символ творения мира из ничего [10, с. 300].
Рассматривая исходное соотношение между рядами
для /?^2, следует помнить, что ни Я. Бернулли, ни другие
математики еще не умели находить даже сумму ряда
обратных квадратов (р=2); результат же получался чи-
сто формально. Это можно представить так:
№ 2_\(2к)Р~ / i"
I (2Л — i)p La w> La№)p~ La №
fe=l k=>i fr=i k=*i
1 yy 1 .
2P
66

ос оо
fc=l ' fe=l
/ °° оо \ оо
Отмеченные опгибки снижали качество работ Я. Бер-
нулли по теории рядов, но они не дают повода отрицать
значимость их в развитии математики.
Третья работа Я. Бернулли посвящена применению
степенных рядов к квадратурам и спрямлению кривых.
В предисловии к ней отмечены основатели теории рядов
Меркатор, Грегори, Ньютон, Лейбниц. Приведено разло-
жение функции а/(Ь±#)п, изучено почленное интегриро-
вание степенных рядов, дана квадратура гиперболы по
Меркатору—Валлису, вычислена площадь под логарифми-
ческой кривой I \ In i_x dx I разбиением ее на полоски.
Разложением подынтегральной функции в ряд получены
интегралы
х ас
$1п(1-а04-. 51п{1+ж)"^-;
О О
при #=1 дана геометрическая интерпретация рядов
Приведены другие квадратуры.
И здесь не обошлось без странностей. Я. Бернулли
разделил I на т+п, положил т—п и получил
l/2m=llm—l/m+l/m—...
Он отметил изящный парадокс, состоящий в том, что
остаток от деления не уменьшается, а остается равным
+1 или —Z.
После подобных примеров, которые в современной тер-
минологии следует отнести к некорректным, у критически
настроенного читателя, обладающего элементарными зна-
ниями математики, может возникнуть мысль, что многие
работы Я. Бернулли по теории рядов крайне примитив-
ны. Но такая мысль ошибочна. Правильнее будет ска-
3* 67

зать, что они показывают, насколько извилист путь к
истине, даже для гениев, видящих ее раньше других и
более рельефно.
В четвертой работе продолжено рассмотрение прило-
жения рядов к квадратурам и спрямлению кривых. При-
ведены разложения In (!+#) и In Vl—х2. Рационализирую-
щей подстановкой llx2— l=t—x вычислен интеграл
С dx
Рассмотрены некоторые другие вопросы; здесь же
ведется спор с И. Бернулли по поводу задачи о деле-
нии угла.
В пятой работе речь идет о квадратурах и спрямле-
ниях при помощи рядов. Дано биномиальное разложение
с дробным показателем. Для медленно сходящегося ряда
\п(а+х), О^х^а, предложена подстановка у=ах/(а+х)ч
переводящая его в ряд In а2/(а—г/), сходящийся гораздо
быстрее.- В качестве примера приведен ряд
In2-ln (1+1) =ln 1/(1-1/2) =1/1 • 2+1/2-22+1/3-23+
+1/4-24k..
вместо медленно сходящегося
In 2=1-1/2+1/3-1/4+...6
В начале 1705 г. Я. Герман сообщил Лейбницу, что
ряд для вычисления я
я/4=1-1/3+1/5-1/7+...
можно преобразовать в сходящийся быстрее:
я/4=1/2+1/2-3+1/3-5+1/5-7+4/5-7-9+4-5/5-7-9-11+...
Он привел преобразования:
3^5 7^ 2 + 2 г з /~
_JL(±_,±\ + _L/J L\_ _JL 4-
2 V 3 5 / ^ 2 \ 5 1 J 2 ^
+ 1^3" +"У (ТУ ~ Т3~) ~ ~2~ ("зТВ 5Т/ +
,i/J i_\ _JL_i__I__ . i i-2 .
"*" 2 V 5-7 7.9/ 2 "*■ 2-3 "*" 2 375 +
. 1/1-2 1-2 \ 1 / 1-2 1-2 \ , _
+ 2 \l-3-5 3.5.7/ 2 \3-5.7 5.7.9/ +
= Чц 1 , 1-2 , 1-2.3 1-2.3.4 , \
2 \ ^ 3 ^ 3.5 "f" 3.5.7 "T" 3.5.7.9 "Г" ' # Vе
Этот же прием Я. Герман применил к ряду In 2 и по-
лучил результат, найденный Я. Бернулли иным способом.
68

3
Проблемами теории вероятностей Я. Бернулли зани-
мался в течение последних двадцати лет жизни. Он на-
меревался написать трактат, который мог .бы служите
учебником по этой новой ветви математики, и воздержи-
вался от публикации полученных результатов. Но замы-
сел осуществить не удалось, и «Искусство предположе-
ний» в незавершенном виде7 вышло в свет после смерти
автора, в 1713 г. Издававший трактат племянник Якоба
Николай I Бернулли в предисловии обратился к мате-
матикам с приглашением продолжить начатую работу, на
что вскоре откликнулись Муавр и Монмор. К изданию
Николай I присоединил также посвященную теории ве-
роятностей написанную Якобом на французском языке
записку об игре в мячи, известную как Jeu de paume.
«Искусство предположений» состоит из четырех ча-
стей, из которых основная, четвертая, посвящена фунда-
ментальным понятиям теории и первому доказательству
закона больших чисел8. Она издана на русском языке
в 1913 г. в связи с 200-летием появления в свет «Искусства
предположений» в переводе В. Я. Успенского, с преди-
словием А. А. Маркова.
Первая часть содержит уже упоминавшееся сочине-
ние Гюйгенса «О расчетах в азартной игре». Предложе-
ния Гюйгенса Бернулли сопровождает примечаниями,
дающими общие методы решения рассмотренных Гюй-
генсом частных задач или доказательства некоторых ут-
верждений. В дополнении к сочинению Гюйгенса изла-
гаются также общие методы решения задач й все отно-
сящееся к ним.
Вторая часть посвящена аппарату теории вероятно-
стей — теории соединений, или комбинаторике. Здесь рас-
смотрены перестановки, сочетания, размещения. Бернул-
ли упоминает своих предшественников по теории соеди-
нений: Схоотена, Лейбница, Валлиса и др. В. В. Бобынин
[4] выдвинул предположение, что Бернулли не был зна-
ком с работами Паскаля в этом направлении и само-
стоятельно пришел к открытию сформулированного ранее
Паскалем метода полной индукции, которым в «Искусстве
предположений» пользуется неоднократно.
Во второй части Я. Бернулли ввел числа, получившие
впоследствии название чисел Бернулли, и рассмотрел их
свойства.
СЭ

В третьей части «Искусства предположений» Я. Вер-
нулли приводит решение вероятностных задач с помощью
комбинаторики.
Четвертая часть сочинения посвящена приложению
теории вероятностей к задачам, связанным с граждански-
ми, нравственными и хозяйственными отношениями.
Глава I содержит понятия достоверности, вероятности,
необходимости и случайности. Я. Бернулли пишет: «До-
стоверность какой-либо вещи рассматривается объектив-
но и сама по себе и обозначает не что иное, как действи-
тельное ее существование в настоящем или будущем; или
субъективно, в зависимости от нас, и заключается в сте-
пени нашего знания об этом существовании. Все, что под
Солнцем существует или возникает,— прошедшее, настоя-
щее или будущее,— само по себе и объективно всегда
имеет высшую степень достоверности. Относительно со-
бытий настоящего или прошедшего это ясно; ибо тем
самым, что они существуют или существовали, они не мо-
гут быть несуществующими или несуществовавшими. Но
нельзя сомневаться и относительно событий будущего,
которые, равным образом, если и не по некоторой неизбеж-
ной необходимости, то в силу божественного предвидения
или предопределения, не могут не осуществиться в буду-
щем; ибо если не наверно случится то, чему определено слу-
читься, то непонятно, как может остаться непоколеблен-
ной хвала всеведению и всемогуществу величайшего Твор-
ца. Каким образом, однако, эта достоверность будущего
может быть согласована со случайностью или свободой
вторичных причин,—об этом пусть спорят другие; мы же
не будем касаться чуждого нашим целям» [3, с. 1].
Здесь уместно сделать одно замечание. Основатели
теории вероятностей понимали, что эта область матема-
тики имеет прямое соприкосновение с теорией познания,
связана с категориями случайности и необходимости. Всем
известен продолжавшийся долгие годы спор Эйнштейна
с Бором о характере физических законов.
Я. Бернулли стоял на позиции детерминизма и отри-
цал объективную случайность. И понятна его попытка
прибегнуть к авторитету «величайшего Творца» при объ-
яснении того, что должно случиться; заслуживает внима-
ния и последняя фраза приведенной цитаты: богословский
спор не может быть предметом науки, и не только пото-
му, что чужд поставленным автором целям.
Интересно сравнить высказывание Я. Бернулли с точ-
кой зрения виднейшего русского математика А. А. Мар-
70

кова в период, когда русская школа теории вероятностей
после основополагающих работ Чебыпюва заняла ведущее
место. Марков 12 февраля 1912 г. обратился к Синоду
с просьбой отлучить его от церкви. Текст прошения край-
не интересен:
«Честь имею покорнейше просить Святейший Синод
об отлучении меня от церкви.
Надеюсь, что достаточным основанием для отлучения
может служить ссылка на мою книгу „Исчисление вероят-
ностей", где ясно выражено мое отрицательное отношение
к сказаниям, лежащим в основании еврейской и христи-
анской религии.
Вот выдержка из этой книги (с. 213—214): „Незави-
симо от математических формул, на которых мы не оста-
новимся, не придавая им большого значения, ясно, что
к рассказам о невероятных событиях, будто бы происшед-
ших в давно минувшее время, следует относиться с край-
ним сомнением. И мы никак не можем согласиться с
акад. Буняковским („Основания математической теории
вероятностей*4, с. 326), что необходимо выделить извест-
ный класс рассказов, сомневаться в которых он считает
предосудительным".
Чтобы не оставалось никаких сомнений, о чем здесь
идет речь, приведу соответствующую выдержку из книги
Буняковского: „Некоторые философы, в видах предосу-
дительных, пытались применять формулы, относящиеся
к ослаблению вероятности свидетельств и преданий, к ве-
рованиям религиозным и тем поколебать их".
Если приведенной выдержки недостаточно, то покор-
нейше прошу принять во внимание, что я не усматриваю
существенной разницы между иконами и идолами, кото-
рые, конечно, не боги, а их изображения, и не сочувствую
всем религиям, которые, подобно православию, поддер-
живаются огнем и мечом и сами служат им» 9.
Вероятность определяется Я. Вернулли как степень
достоверности «и отличается от нее, как часть от целого.
Именно, если полная и безусловная достоверность, обозна-
чаемая нами буквой а или 1, будет, для примера, пред-
положена состоящей из пяти вероятностей, как бы частей,
из которых три благоприятствуют существованию или
осуществлению какого-либо события, остальные же не
благоприятствуют, то будет говориться, что это событие
имеет За/5 или 3/5 достоверности» [3, с. 2].
Из нескольких событий Бернулли называет более ве-
роятным то, которое имеет большую степень достоверно-
71

сти; возможным то, что имеет хоть какую-либо степень
достоверности. Он вводит также понятие нравственно до-
стоверного и называет нравственно достоверным то, «чего
вероятность почти равна полной достоверности, так что
разница неощутима».
Необходимое Я. Бернулли определяет как то, «что не
может не быть в настоящем, будущем или прошедшем...».
Различается необходимость физическая (огонь должен
жечь, треугольник должен иметь три угла, сумма кото-
рых равна двум прямым, и т. д), гипотетическая (если
я знаю, что Петр пишет, то он и в самом деле должен
писать), необходимость условия или соглашения (если
игроки в кости условились, что выиграет тот, кто выбро-
сит шесть очков, то считается выигравшим игрок, выбро-
сивший шесть очков).
Случайное определяется так: «случайное (как свобод-
нов, зависящее от произвола разумного создания, так и
случайное, зависящее от судьбы или случая) есть то, что
может быть или не быть в настоящем, прошедшем или
будущем,—понятно, вследствие сил скрытых, не ближай-
ших. Ибо и случайность не всегда исключает всякую не-
обходимость до причин вторичных» [3, с. 3]. Я. Бернулли
связывает случайное с недостаточностью наших знаний.
Это положение он иллюстрирует примерами: выпадение
определенного числа очков на игральной кости, будущая
погода — случайны, затмения — необходимы, хотя первые
два «явления из своих ближайших причин следуют с не
меньшей необходимостью, чем затмения — из движения
светил» [3, с. 4]. Суть дела в том, что «предполагаемое
данным для определения доследующих действий и тако-
вое на самом деле в природе нам недостаточно известно.
И если бы даже это было известно, то недостаточно раз-
виты математические и физические знания, чтобы, исходя
из данных причин, подвергнуть такие явления вычисле-
нию, подобно тому как из совершенных принципов астро-
номии могут быть предвычисляемы и предсказываемы за^
тмения» [3, с. 4]. И сами затмения, когда астрономия
не была развита в достаточной степени, «должны были
причисляться к случайным».
«Так что,— резюмирует Я. Бернулли,— случайность
главным образом зависит от нашего знания, поскольку
мы не видим никакого противоречия к небытию события
теперь или в будущем, хотя здесь и теперь, в силу бли-
жайшей причины, нам не известнойэ оно или осуществля-
72

ется с необходимостью или должно осуществляться»
[3, с..4].
Далее Я. Бернулли определяет счастье и несчастье.
«Счастьем или несчастьем называется не все, что нам
приносит благо или зло, но только то, что с большей или,
по крайней мере, с равной вероятностью могло бы тако-
вых не принести. И потому счастье или несчастье тем
больше, чем менее было вероятным случившееся благо
или зло» [3, с. 4]. Исключительно счастливым он считает
нашедшего при раскопках земли клад, потому что и при
тысячах раскопок такое не случается. «Если двадцать
дезертиров,— пишет он дальше,— из которых один в при-
мер другим должен быть казнен через повешение, бро-
сают жребий, кому остаться в живых, то собственно счаст-
ливыми не называются те девятнадцать, которым выпал
более благоприятный жребий, но тот двадцатый несчаст-
нейшим, которому выпал черный жребий. Равным обра-
зом не должен называться счастливым твой друг, кото-
рый ушел невредимым из сражения, где погибла малая
часть сражавшихся, если, может быть, ты не сочтешь
нужным так называть его вследствие особенности блага,
состоящего в сохранении жизни» [3, с. 5].
В главе II речь идет о знании и предположении, об
искусстве предположений, об основаниях для предполо-
жений, определяются задачи теории вероятностей, а так-
же формулируются правила, назначение которых очевид-
но — служить делу судейской практики.
«Относительно того, что твердо известно и не подле-
жит сомнению, мы говорим, что знаем или понимаем,
относительно всего прочего,— что только догадываемся
или предполагаем.
Делать о какой-либо вещи предположения — все равно,
что измерять ее вероятность. Поэтому искусство предпо-
ложений (Ars conjectandi) у нас определяется как ис-
кусство возможно точнее измерять вероятности вещей
затем, чтобы в наших суждениях или действиях мы могли
всегда выбирать или следовать тому, что будет найдено
лучшим, более удовлетворительным, спокойным и разум-
ным. В этом единственно заключается вся мудрость фило-
софа и благоразумие политика» [3, с. 6].
Вероятности оцениваются не только по числу, но и по
весу доводов, под которым понимается «сила» доводов.
Доводы рассматриваются внутренние, вытекающие из «об-
щих соображений причины, действия, лица, связи, при-
знака или иных обстоятельств, которые кажутся имею-
73

щими какое-либо отношение к доказываемому предмету»,
а также внешние, «извлекаемые из авторитета и действия
людей».
Основную часть главы II составляют общие правила,
или аксиомы, которыми следует руководствоваться в прак-
тике «и которые в общежитии всегда соблюдаются более
разумными». Правила таковы.
«1) Догадкам не место в тех вещах, где можно до-
стигнуть полной достоверности...
2) Недостаточно взвешивать один или другой довод;
но нужно добыть все, которые могут дойти до нашего
сведения и которые покажутся годными в каком-либо от-
ношении для доказательства предположения...
3) Следует не только рассматривать доводы, приводя-
щие к утверждению, но и все те, которые могут привести
к противоположному заключению, дабы после должного
обсуждения тех и других стало ясно, которые перевеши-
вают...
4) Для суждения о вещах общих достаточны доводы
отдаленные и общие; но для суждения о частных вещах
следует присоединять также доводы более близкие и спе-
циальные, если только такие имеются...
5) В обстоятельствах неясных и сомнительных наши
действия должны приостанавливаться, пока не прольется
больший свет; но если необходимость действия не терпит
отлагательства, из двух исходов нужно всегда избирать
тот, который кажется наиболее подходящим, безопасным,
разумным или надежным, хотя бы ни один таковым на
деле не был...
6) В суждениях наших следует остерегаться, чтобы
не приписывать вещам более, чем следует, и не считать
самим, а равно и не навязывать другим за безусловно
достоверное нечто такое, что только вероятнее другого.
Ибо необходимо, чтобы придаваемая вещам вера сообра-
зовалась со степенью достоверности, которую имеет каж-
дая вещь, и была в том же отношении меньше, в каком
меньше сама достоверность ее.
7) Однако так как только в редких случаях можно
достичь полной достоверности, то необходимость и обы-
чай требуют, чтобы нравственно лишь достоверное счи-
талось безусловно достоверным» [3, с. 7—11].
Правила Я. Бернулли поясняет примерами из жизни.
Обсуждаются вопросы, кто проживет дольше из двух че-
ловек различных возрастов; который из трех вышедших
из порта кораблей мог погибнуть в результате корабле*
74

крушения; можно ли считать умершим человека, уехав-
шего и долго отсутствующего, и др.
Из рассмотренного содержания части IV сочинения
Я. Бернулли можно сделать вывод, что он поставил перед
собой цель дать приложение теории к юридическим вопро-
сам, вопросам страхования, статистики народонаселения;
им сформулированы общие правила, или аксиомы, для при-
нятия решения, введены и классифицированы доводы
обоснования предположений. Но как получить количест-
венные оценки, которыми только и должна заниматься
математическая теория?
В главе III Я. Бернулли осуществляет первый шаг,
позволяющий произвести стыковку анализа новых явле-
ний с анализом азартных игр. Он пишет: «Из сказанного
до сих пор ясно, что сила доказательности, свойствен-
ная какому-либо доводу, зависит от числа случаев, при
которых он может существовать или не существовать,
доказывать или не доказывать или даже доказывать про-
тивное. Поэтому и степень достоверности или вероятность,
обусловленная этим доводом, может быть выведена из тех
случаев совершенно так же, как высчитывается судьба
игроков в играх, зависящих от случая» [3, с. 14].
Вслед за этим Я. Бернулли производит подсчет того,
какую часть достоверности (вероятность, по Я. Бернулли)
доказывают доводы в различных комбинациях.
Обозначим: Ъ — число случаев, при которых довод мо-
жет существовать, с — число случаев, при которых он
может не существовать; общее число случаев будет
а=Ь+с. Обозначим также (} — число случаев, при которых
довод может доказывать, «у — число случаев, при которых
он может не доказывать или доказывать обратное; число
тех и других а=^+'у. Пусть все случаи одинаково воз-
можны «или могут иметь место одинаково легко».
Тогда, например, для довода, не обязательно сущест-
вующего и обязательно доказывающего, по одной из фор-
мул первой части «вес» довода будет
(Ь-1+с-0)/а=Ь/а.
«Такой довод доказывает b/а вещи или такую часть
ее достоверности»,—говорит Я. Бернулли.
«Сила доказательности» чистого довода, не обязатель-
но существующего и не обязательно доказывающего,
аа
75

а смешанного
а аа
Эти и другие формулы Я. Бернулли можно легко по-
лучить (теперь!), если воспользоваться хорошо извест-
ными нам теоремами теории вероятностей.
Фундаментальные достижения Я. Бернулли в теории
вероятностей состоят в разработке вероятностной моде-
ли — схемы Бернулли, постулировании наравне с вероят-
ностями a priori вероятностей a posteriori и установлении
эквивалентности их, что, по существу, и дает закон боль-
ших чисел в форме Бернулли, и в строгом доказательстве
закона больших чисел.
Схема Бернулли — одна из основных математических
моделей; применяется она при описании независимых по-
вторных испытаний.
Испытанием в теории вероятностей называют осущест-
вление некоторой совокупности условий 5; событие А —
результат испытания (опыта). Рассмотрим несколько по-
вторных испытаний, в результате каждого из которых
событие А может произойти (появиться) с определенной
вероятностью. Если вероятность появления события А
в каждом испытании не зависит от исходов других испы-
таний, то такие испытания называются независимыми
относительно события А.
Одинаковые независимые испытания, в каждом из ко-
торых событие А может появиться с постоянной вероят-
ностью р, называются испытаниями Бернулли. Примера-
ми испытаний Бернулли могут быть: многократное бро-
сание симметричной игральной кости, бросание симметрич-
ной монеты, извлечение из урны одинаковых разноцвет-
ных шаров с возвращением извлеченного шара и т. д.
Вероятность появления события А в серии из п испы-
таний Бернулли ровно к раз (/с^тг) вычисляется по фор-
муле Бернулли Pn(k)=Cnhphqhn~k, где Р — вероятность,
Cnh — число сочетаний из п по к: Cnh=n\/k\ (п—к)!, р — ве-
роятность появления события А в каждом испытании,
q — вероятность противоположного события (непоявления
события А), причем p+q=l.
Правая часть формулы Я. Бернулли представляет со-
бой любой член разложения бинома (/>+#); этим он и
воспользовался при доказательстве основной теоремы.
Если в повторных испытаниях каждый последующий
76

опыт зависит только от предыдущего, то имеет место
другая важнейшая модель теории вероятностей — цепи
Маркова.
В главе IV Я. Бернулли делает второй шаг в расши-
рении применимости разработанного аппарата к явлениям,
отличным от азартных игр. Он пишет о том, что в пре-
дыдущей главе показано, как по числу случаев для раз-
личных доводов можно вычислить «доказательные силы»
их и соответствующие вероятности. Нужно знать числа
случаев и насколько одни из них могут «легче встре-
титься, чем другие». Но появляются новые трудности,
«так как только крайне редко это возможно сделать, и по-
чти нигде не удается, кроме игр, зависящих от случая,
которые первые изобретатели, постаравшись сделать без-
обидными, устроили так, чтобы были совершенно извест-
ны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш,
а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко.
В большинстве же других явлений, >зависящих или от дей-
ствий сил естественных, или от свободной воли людей,
не имеет места ни то ни другое» [3, с. 21].
Известно число случаев при игре в кости, при извле-
чении из урны белых и черных билетиков (с возвраще-
нием в урну и последующим перемешиванием). Но ни-
чего нельзя сказать о числе случаев, связанном с числом
болезней, «которые во всяком возрасте поражают бес-
численное множество частей человеческого тела и могут
нам причинить смерть; и насколько одна болезнь легче
погубит человека, чем другая: например, чума, чем водо-
боязнь, водобоязнь, чем лихорадка, чтобы отсюда можно
было составить предположение о жизни или смерти в
будущем» [3, с. 22]. То же самое относится и к предска-
занию погоды или выигрыша в играх, связанных с ин-
теллектуальными или физическими качествами игроков.
Но выход найден. Я. Бернулли пишет: «Так как это
и подобное зависит от причин совершенно скрытых и,
сверх того, вследствие бесконечного разнообразия их со-
четаний, всегда ускользающих от нашего познания, то
было бы совершенно безумно желать что-либо узнать
таким путем. Но здесь нам открывается другая дорога
для достижения искомого. И что не дано вывести a priori,
то по крайней мере можно получить a posteriori, т. е. из
многократного наблюдения результатов в подобных при-
мерах. Потому что должно предполагать, что некоторое
явление в стольких же случаях может случиться или
не случиться, в скольких при подобном же положении
77

вещей раньше оно было отмечено случившимся или не-
случившимся» [3, с. 22—23].
Этот способ, отмечает Я. Бернулли, не нов и не необы-
чен. О нем писал Кардано, «муж большого ума и прони-
цательности»; этого способа придерживаются все в по-
стоянной практике. Мало того, «даже самый ограничен-
ный человек» без «предварительного обучения (что очень
удивительно) знает», что увеличение числа опытов дает
лучшие результаты. И хотя отмеченный факт известен
всем, доказательство его никем не было предпринято».
Но, продолжает Я. Бернулли, он считал бы малой за-
слугой доказательство широко известного факта. Необхо-
димо двинуться дальше, рассмотреть то, о чем никто
даже и не думал: определить, будет ли при увеличении
числа опытов вероятность расти или она не может прев-
зойти, например, «2/3 или 3/4 достоверности», т. е., как
пишет Я. Бернулли, задача имеет свою асимптоту. Он
предлагает пример: в урне «без твоего ведома скрыты
три тысячи белых и две тысячи черных камешков»,
т. е. отношение белых к черным равно 3:2. Камешки
извлекаются один за другим, причем каждый раз возвра-
щаются обратно в урну и тщательно перемешиваются.
Можно ли проделать опыт столько раз, чтобы в десять,
сто, тысячу и т. д. раз было вероятнее, что отношение
белых к черным будет 3:2, чем какое-либо другое? Ока-
зывается, да, поэтому «находим числа случаев a posteriori
почти с тою же точностью, как если бы они были извест-
ны a priori».
Разумеется, отношение «числа случаев», определяемое
опытом, следует понимать не точно, а приближенно,
«в двух границах, которые можно взять сколь угодно
тесными».
Сказанное означает, что, приняв любую вероятность,
«можно сделать более вероятным, что найденное из мно-
гих наблюдений отношение будет заключено в этих пре-
делах полуторного отношения, а не вне их.
Вот, следовательно, какова задача, которую я здесь
решил обнародовать, после того как уже в течение двад-
цати лет владел ее решением. Новизна этой задачи и
величайшая польза, сопряженная с такою же трудностью,
могут придать вес и цену всем другим главам этого уче-
ния» [3, с. 37].
Решение поставленной задачи, доказательство «глав-
ного предложения» содержится в главе V «Искусства пред-
78

положений». Формулировка теорему для тех, кто знаком
с теорией вероятностей, кажется необычной.
«Пусть число благоприятных случаев относится к чис-
лу неблагоприятных точно или приближенно, как г к s,
или к числу всех случаев, как г к r+s или г к t, каковое
отношение заключается в пределах (r+l)/t и (r—l)/t.
Требуется доказать, что можно взять столько опытов,
чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было ве-
роятнее, , что число благоприятных наблюдений попадет
в эти пределы, а не вне их, т. е. что отношение числа
благоприятных наблюдений к числу всех будет не более,
чем (г+1)/£, и не менее, чем (r—i)/t» [3, с. 37].
Современная формулировка теоремы Бернулли тако-
ва: если производится п независимых испытаний, в каж-
дом из которых событие А может появиться с постоянной
вероятностью р, то вероятность того, что относительная
частота т/п появления события удовлетворяет неравен-
ству | т/п—р | <е становится сколь угодно близкой к 1 при
достаточно большом числе испытаний.
Я. Бернулли доказал теорему средствами «чистой ма-
тематики», предпослав ей пять лемм, устанавливающих
необходимые для доказательства теоремы свойства членов
разложения бинома и воспользовавшись приведенной ранее
формулой для Рп(к).
Нет смысла приводить здесь доказательство Я. Бер-
нулли: оно громоздко и заняло бы много места. Кроме
того, это доказательство чрезвычайно упрощается, если
воспользоваться другой формой закона больших чисел —
теоремой Чебышева («Элементарное доказательство одно-
го общего предложения теории вероятностей», 1846).
Вероятность выполнения неравенства \т/п—р\<г про-
сто оценивается с помощью неравенства Чебышева
Р{\т/п-р\<г}>1-р(1-р)/г2.
Я. Бернулли заканчивает главу (и книгу) словами:
«...если бы наблюдения над всеми событиями продолжать
всю вечность (причем вероятность, наконец, перешла бы
в полную достоверность), то было бы замечено, что все
в мире управляется точными отношениями и постоянным
законом изменений, так что даже в вещах, в высшей сте-
пени случайных, мы принуждены были бы признать как
бы некоторую необходимость и, скажу я, рок. Не знаю,
не это ли имел в виду уже сам Платон в своем учении
о восстановлении всех вещей, согласно которому все по
79

истечении несметного числа веков возвратится в прежнее
состояние» [3, с. 40].
В приложенной издателем записке Я. Бернулли об
игре в мячи выигрыш становится в зависимость от лов-
кости игроков. Ловкость, натренированность игроков счи-
таются известными по предварительным многочисленным
испытаниям, т. е. опять рассматривается вероятность
a posteriori. Такая вероятность устанавливается в опыте
поочередного извлечения (с возвращением) белых и чер-
ных билетов из мешка, содержащего неизвестную по свое-
му составу смесь. Я. Бернулли утверждает: можно было
бы доказать, что отношение разноцветных билетов, уста-
новленное извлечением их из мешка, не будет отличаться
от действительно существующего, так что равенство дей-
ствительно существующего отношения и установленного
опытом становится нравственной достоверностью.
Закон больших чисел определяет связь между отно-
сительной частотой появления события в массовых испы-
таниях и его вероятностью и имеет важное значение в
теории вероятностей. Обычно на практике вероятность
изучаемого явления заранее неизвестна; о ней можно су-
дить по относительной частоте, наблюдаемой при много-
кратных повторениях опыта. На законе больших чисел
основаны многочисленные приложения теории вероят-
ностей.
Пуассон при изучении вопросов теории стрельб рас-
ширил применимость закона больших чисел на случаи,
когда вероятность появления события меняется от опыта
к опыту.
Другое основное положение теории вероятностей — так
называемая центральная предельная теорема, подтвер-
ждающая широкое распространение в природе нормаль-
ного закона распределения вероятностей.
Для постоянной вероятности р=1/2 центральную пре-
дельную теорему в 1730 г. рассмотрел Муавр, для любого
значения р в 1812 г. доказал Лаплас.
Теорема Муавра—Лапласа позволяет оценить отклоне-
ние относительной частоты т/п от вероятности события р
в п независимых испытаниях: вероятность неравенства
а^(т—пр) IM npq^b
при п-+°° стремится к
ь
а
80

Открытие закона больших чисел и теоремы Муавра—
Лапласа было главным достижением теории вероятностей
за два века после первоначальных шагов ее в середине
XVII столетия. Методы теории вероятностей нашли при-
ложение в статистике, страховом деле, артиллерии, астро-
номии и т. д., но все же ее развитие к середине XIX в.
значительно отставало от других разделов математики.
Это объясняется в первую очередь недостаточным обосно-
ванием предельных теорем, выяснением границ их при-
менимости, возможностей дальнейших обобщений.
Во многих работах по теории вероятностей допуска-
лись принципиальные ошибки. Особенно это наблюдалось
в применении ее методов к оценке свидетельских показа-
ний, правильности судейских решений и другим вопросам
общественных отношений. Этим темам посвящалось боль-
шое количество работ, отводилось значительное место в
учебниках.
В процессе преобразования теории вероятностей в
строгую математическую науку большую роль сыграли
работы Чебышева.
4
При изучении свойств сочетаний и фигурных чисел
Я. Бернулли встретился с суммированием степеней нату-
п
ральных чисел Sm= S кт («Искусство предположений»,
ч. II). Эти вопросы интересовали математиков и ранее.
Я. Бернулли составил таблицу фигурных чисел, ука-
зал их свойства и на основании отмеченных свойств на-
шел формулы для сумм степеней натуральных чисел.
Он привел формулы сумм от S(n) до S(ni0):
Ц

j(n») - ^ «•+4-»'+-^rf-i »•+■£■»»«.
5(/г10) = ^-и» +^-nw + JLn*-.\.n' + l.n5-
1 3 i 5
—г» + ж*-
Затем Я. Бернулли указал общую формулу
^c> = TTTre<+1 + 4-nC + -Hic)^c-x +
Здесь d), (3)» (5)» •• . — числа сочетаний; показатели сте-
пени п убывают, последний член в правой части содержит
п или гс2. Числа А, В, С, D,...— коэффициенты при /г
в выражениях S(n2), S(n^), S(n6),... Именно: 4=1/6,
#=-1/30, C=l/42, Z)=-l/30,... Бернулли формулирует
общее правило для вычисления этих чисел: сумма коэф-
фициентов в выражениях S(n), S(n2), S(n3),... равна
единице. Например, 1/9+1/2+2/3-7/15+2/9+0=1. Отсю-
да D=-l/30.
Я. Бернулли подчеркивает удобство таблицы фигур-
ных чисел и заявляет, что с ее помощью в течение «по-
ловины четверти часа» нашел сумму десятых степеней
первой тысячи натуральных чисел10. Она оказалась
равной
91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.
Изучением чисел А, В, С, Д..., введенных Бернулли,
занимался Муавр (1730). Он назвал их числами Бернул-
ли; это название затем утвердил Эйлер11. Муавр дал ре-
куррентную формулу12, связывающую числа Бернулли:
Ml
£(- l)0^ *) Be + m - 1/2 = 0, m = 1, 2, 3, ...
a=i
Здесь вместо 4, 2?, С, Д... записаны В{, —В2, Z?3, —Z?4, • • •
Числа Бернулли впоследствии вводили различными
путями. Один из элементарных следующий13. Легко до-
казать (по индукции), что сумма' к-х степеней первых п
82

натуральных чисел является многочленом степени к+1
относительно п.
Пусть теперь
1* + 2к + ... + пк = bQn*+i + bin* + M*-1 + ... Ф М .
(1)
причем б», зависит от к, но не зависит от га. Заменим
га на га—1:
1" + 2* + • • • + (» — 1)* = *о (» — 1)ш -Hi (п — 1)* +
+ ... + Мп-1). • (2)
Вычтем почленно из (1) равенство (2):
пк = Ь6 [п*« - (n - 1)*+1] + h [га* - (га - 1)к] +
+ h К"1 - (га - l)*-i] + ... + Ък[п - (п - 1)].
(3)
Это можно записать в виде
пк = bo (к + 1) пк + ill**-* + Л2и*-2 + ... + Ак.
Отсюда получим
1 =fco (А + 1) + Ailn + А2/п2 +... + Ак]пк.
Если в этой формуле перейти к пределу при ?i-><»f
то найдем
1=Ь0(*+1), Ь0=1/(Л+1). (4)
Коэффициенты bu b2,.,.,bh также зависят от к. Введем
обозначения
fc(fc-l)...[fc-(fe-2)] n д
О* = 1.2-3...Ус ^ * = °к'
Подставим (4) и (5) в равенство (1):
s*=ттт пШ - в^к + -ш в*п*~1 +
+ к{м] в^м+... + ви. (6)
83

Положим в равенстве (1) п-=1, &=1; найдем
l = feo+fei,
но Ь0=1/(Л+1)=1/2,
поэтому
1=1/2+Ь1, Ь1=1/2, ^=-1/2.
Запишем формулу (6) иначе. При д=1 будет &=1;
перенесем единицу в правую часть равенства (6):
... + в*. (6')
Но Bi=—1/2, поэтому
-(B1+1)=-1/2=S1.
С учетом этого формула (6') примет вид
fe + 1 ' ' г 1-2 •= ^ 1-2-3
, k(k-i){k-2) D , fc(fc-l)(fc-2)(fc-3) p ,
+ Г2^4 ^4 Н 1-2-3-4.5 Cs +
+ ... + В, = 0. (7)
Равенство (7) представляет собой приведенную выше
формулу Муавра.
Укажем еще один метод нахождения чисел Бернул-
ли14. Обратимся к функции15
<p(x) = xl(e*-l). (8)
Подставим в (8) известное разложение
**=l+s+s72!+*73!+...
Получим
х + ^/2! + я3/3! + . . . = 1 + я/2! + *2/3! + . . . ' ™
Таким образом, у(х) допускает разложению в степен-
ной ряд, который запишем в виде
^г==£-!г*п- (10)
Как будет видно из дальнейшего, коэффициенты ($п
в ряде (10) —числа A, В, С, D,... в формулах Бернулди*
Очевидно, р0=ф(0)=1. Для нахождения остальных рп
84

(tt=l, 2, 3,...) запишем тождество, следующее из ра-
венства (9):
(1+£+4+---)(1+it*+t*2+---H-
Перемножим по известному правилу ряды, приравня-
ем коэффициенты одинаковых степеней переменной х
д получим бесконечную систему линейных уравнений
Т[нГ Рп + (п _ i)i-2fPn-i + ... + liSfPi + (П + 1)! = °»
11=1,2,3,...
Умножим все выражение на (п+1)! и учтем, что
<п+1)1/(п-к)\(к + 1)\ = С%£, Л = 0, 1 л+1.
Тогда будет
Ci+1p„ + CLiPn-i + ... + СЙ+iPi + 1 = 0. (И)
Формулу (И) обычно записывают более компактно
в символическом виде, положив условно рь=(}Л:
ф + l)n+i_piH.i = o, д = 1, 2, 3,...
Если заменить п+1 на /г, то символическое равенство
примет вид
(р + 1)п_Р» = 0. (12
Полагая в (12) гс=2, 3, 4,..., найдем бесконечную
систему уравнений
2^ + 1 = 0,
ЗРа + ЗР! + 1=0,
4Рз + бра + 4р1 + 1 = 0, (13)
5р4 + ЮЭз + Юр2 + 5pL + 1 = 0
Отсюда последовательно определим:
Pl=-
р»=о,
р9=о,
Pl3 = 0,
Рп = 0,
Р20=-
1/2,
р2 = 1/6, р3 = 0,
Ре = 1/42, р7 = 0,
рю = 5/66, р11 = 0,
Ри = 7/6, р15 = 0,
ри = 43 867/798,
17 461/330 и т. д.и
Р*
Ре
Pl2
Pl6
Pl»:
83
= -1/30,
= -1/30,
= — 691/2730,
= -3617/510,
= 0,

Коэффициенты сиетемы (13) —целые числа, поэтому
определяемые из нее числа (J являются рациональными.
Легко доказать, что все числа (} с нечетными индексами,
кроме ^, равны нулю. Докажем это. Известно, что (50=1,
f$i=—1/2. Запишем
Ф(*)-Р1*-^Г=Т + Т- = 1 + £, ^Л <14>
П=2
Преобразуем левую часть:
X X
я; . ж = ж(еН1) х__ е2 + е 2 _ ж , ж
е*_1 "Г 2 2(вх —1) — 2 "~Т jT~- TctnY'
е2 _в 2
Но -ij-cth-g- —функция четная, поэтому ее разложение
п=>2
должно содержать только четные степени х; следователь-
но, [5„=0 при п=3, 5, 7,...
Обозначим p2n=(—l)n-1#n. Отсюда
Bt=l/6, В2=1/30, В,=1/42, £4=1/30, В5=5/66, #6=
-691/2730, S7=7/6, S8=3617/510, #9=43867/798 и т. д.
Эти числа, вслед за Эйлером, называют числами Бернул-
лп 17. Доказано, что все они положительны и с ростом п
возрастают бесконечно.
Исследованием свойств и приложений чисел Бернулли,
а также появившихся позднее функций Бернулли после
Муавра и Эйлера занимались многие математики. Напри-
мер, Адаме высказал без доказательства несколько ут-
верждений относительно чисел Бернулли, а также при-
вел таблицу их до (562; числитель последнего из этих чи-
сел—целое число, содержащее НО цифр. Таблицу Адам-
са до 90 чисел [*„ продолжил Серебренников (1905 г.).
Фундаментальные исследования чисел и функций Бер-
нулли выполнили русские математики Имшенецкии
(1870), Сонин (1888), Вороной (1890).
Числа Бернулли встречаются во многих важных соот-
ношениях: при разложении некоторых функций в ряд,
в известной формуле суммирования Эйлера—Маклорена
и т. д.18
Числа Бернулли приобрели особенное значение в ра-
ботах Куммера, связанных с не доказанной до сих пор
86

в общем виде великой теоремой Ферма. Куммер доказал,
что если при некотором простом р числители у чисел Бер-
нулли Ви Вг,.. .,gp-3 не делятся на р, то уравнение
2
xn+yn=zn, ri>2, неразрешимо в целых числах19.
Эйлер получил формулу для некоторых значений
^-функции Римана20, в которую входят числа Бернулли:
™ = (2„)! 2"*2П-
Как уже упоминалось, значительное место в творчест-
ве математиков Бернулли занимали проблемы механики.
Это объясняется не только тем, что развитие механики
происходило при постоянном участии ведущих математи-
ков всех времен: с открытием новых математических ме-
тодов возникла потребность расширения области прило-
жения инфйнитезимального исчисления.
Я. Бернулли рассмотрел решенную Гюйгенсом задачу
об определении центра колебаний маятника [11, с. 110—
112]. Гюйгенс при решении ее воспользовался энергети-
ческим принципом, равносильным теореме живых сил в
поле земного притяжения. Бернулли впервые свел дина-
мическую задачу о движении системы к статической за-
даче о равновесии и решил ее.
Для уяснения рассуждений Я. Бернулли рассмотрим
задачу [11, с. 139—140]. В точках а^ и а2 жесткого неве-
сомого стержня Аа сосредоточены массы mA и т2. Требу-
ется найти плечо U точки а0, т. е. длину математического
маятника, имеющего тот же период колебаний, что и маят-
ник Adi (рис. 7).
Пусть стержень имеет возможность свободно повора-
чиваться под действием сил тяжести, приложенных в точ-
ках ах и я2, и отрезки aiO=aQN=a2Q пропорциональны
ускорению свободного падения. Положение стержня AN
соответствует малому промежутку времени Д£, дуга
flebo — ускорению свободного падения. Пройденное точкой
at расстояние а&\ больше расстояния а0Ь0, а пройденное
точкой а2 — меньше расстояния свободного падения а2с2.
Все точки «падают» свободно, пока точка ах не достигла
положения ct. С этого момента (<Д£), когда «действие
веса точки а4 истощилось», эта точка будет двигаться под
воздействием веса точки а2. При решении задачи необ-
ходимо в точке ах приложить к стержню силу инерции
87

против направления яращетая. За время, в течение кото-
рого точка at проходит дугу dbu точка а2 пройдет дугу
с/Ь2. Точка at действует на а2 замедляюще. В точке и2
следует приложить к стержню силу инерции в сторону
его вращения. Точка а0 не влияет на движение точек at
и а2, потому что она прошла путь, соответствующий сво-
бодному падению. Ее в расчет можно не принимать.
к
//
£*
f<?
с Ь ,1
а2 еев ,ceg\
U/ 4J&&F
*<5
*0т*о 4 с2
Рис. 7
Стержень с приложенными силами инерции рассматри-
вается как рычаг второго рода с точкой опоры А. Найдем
плечо U математического маятника. Обозначим Si и s2
малые дуги, тогда условие равновесия рычага запишется
в виде
Но
miliSi=m2hs2^
Si=h (а0—at), s2=l2 (a2—a0).
Эти три равенства дают соотношение для углов
тг1\
а0
(•+-£)-
ах + а2 •
'•i*i
Углы а0, ai, a2 малы, поэтому можно считать
ai«tgai=g//,, a0^g/lo, a2^g/l2.
После простых преобразований получим известную
формулу для длины математического маятника, соответ-
ствующего физическому рассмотренного типа: Z0= {md*^.
+m2l22) I (rriili+mzk).
Существенно в решении Я. Бернуллй то, что под дей-
ствием сил инерции рычаг находится в равновесии. Это
позволило в динамике применять методы статики. Сво*
бодные движения по отрезкам aft и а20 Я. Бернуллй
88

разлагает на движения по отрезкам а^О и Oci ш a%Q и
Qc2. Приложенные силы он разлагает в соответствии с
разложением движений и считает, что реакции в точ-
ке А уравновешивают составляющие сил вдоль стержня.
В задаче об определении центра колебаний Я. Бернул-
ли заложил основу «петербургского принципа» в механи-
ке, связанного с понятием «сил инерции» и получившего
развитие в трудах петербургских академиков Я. Германа
и Эйлера.
Я. Бернулли посвятил несколько работ теории изгиба
(1691—1705 гг.). В них он следовал за Галилеем и Ма-
риоттом, но в отличие от своих предшественников, изучав-
ших прочность балок, он занимался также и вычислением
их прогибов, что определяло формы кривых изгиба. Этим
он «положил начало одному из важных разделов механи-
ки упругого тела» [28, с. 38]. Правда, Я. Бернулли от-
мечает, что его внимание на эту проблему обратил «зна-
менитейший Лейбниц».
В одной из работ (1694 г.) попытка построить упру-
гую линию с помощью алгебраической кривой и найти ее
длину привела к открытию кривой, известной теперь в
математике под названием лемнискаты Бернулли.
При исследовании прочности балок Я. Бернулли со-
вершил ту же ошибку, что и Мариотт. Он учитывал на-
личие сжатых волокон на вогнутой стороне балки, но до-
казал неверную теорему, из которой следовало, что поло-
жение нулевой точки линейной эпюры сил сопротивления
не влияет на прочность балки. Ошибку Мариотта и Я. Бер-
нулли исправил в нескольких работах, оставшихся неза-
меченными, Паран (1713 г.).
Некоторые исследователи считают, что ошибочный ре-
зультат Я. Бернулли, подкрепленный его авторитетом, на-
долго затормозил развитие учения об изгибе. Но ведь
чего не скажешь через 250 лет!
В мемуаре «Метод нахождения кривых, обладающих
свойствами максимума и минимума» (1744), Эйлер дал
вывод уравнения упругой линии прямым методом, т. е.
так, как это делал Я. Бернулли, а также методами раз-
работанного им вариационного исчисления. Он получил
уравнение
ЯАУ7(1+/*)*=Р(*+с),
где Екг — «абсолютная упругость», зависящая от «приро-
пы вещества».
89

И даже великий Эйлер здесь допустил ошибку,, ука-
зав, что в случае прямоугольной балки «абсолютная
жесткость» пропорциональна ширине сечения и квадрату
высоты h, а не кубу, как должно быть. Это ввело в за-
блуждение многих экспериментаторов.
Элементарная теория изгиба Я. Бернулли обладает
достаточной точностью, когда высота сечения балки мала
по сравнению с ее длиной.
ИОГАНН I БЕРНУЛЛИ
1
Младший брат Якоба Иоганн I Бернулли был не менее
гениальным; он внес значительный вклад в бурно раз-
вивавшиеся в ту эпоху классические разделы математи-
ки — дифференциальное и интегральное исчисления, ва-
риационное исчисление, теорию дифференциальных урав-
нений, а также в механику. Переводчик и комментатор
«Интегрального исчисления» Г. Ковалевский называет
И. Бернулли одним из гениальнейших математиков лейб-
ницевской школы и отмечает, что ему и Я. Бернулли мь!
обязаны тем, что лейбницево исчисление так быстро во-
шло в жизнь [42, с. 162].
Хотя все «именные» результаты Бернулли принадле-
жат Якобу I (числа Бернулли, испытания Бернулли, тео-
рема Бернулли в теории вероятностей) и Даниилу (ин-
теграл Бернулли в гидродинамике), многие «анонимные»
достижения, вошедшие в математический анализ, связа-
ны с именем И. Бернулли. Думается, не следует обвинять
современников И. Бернулли и потомков в умышленном
замалчивании великого математика: в период «бури и
натиска», который математический анализ переживал в
конце XVII —начале XVIII столетия, многие идеи, как
принято говорить, носились в воздухе и результаты, по-
лученные одним автором, часто лишь обозначениями от-
личались от найденных, другим. Установить в этих усло-
виях бесспорный приоритет зачастую не только затруд-
нительно, но и невозможно.
Роль И. Бернулли как одного из создателей, распро-
странителей * и, бесспорно, знатоков зарождавшегося тогда
математического анализа отражает современная термино-
логия: название «интегральное исчисление» (от латинско*
90

го integer — целый, откуда и старинное русское «целствен-
ный анализ») ввел И. Бернулли. Как известно, Лейбниц
предпочитал называть интеграл «суммой». Это впослед-
ствии породило знак интеграла /, который представляет
собой вытянутую букву 5 — первую букву латинского сло-
ва summa.
2
Одна из наиболее значимых заслуг И. Бернулли перед
наукой состоит в том, что он, как уже говорилось, по-
ставил и решил задачу о брахистохроне, тем самым по-
ложив начало вариационному исчислению.
Еще раньше задачу вариационного исчисления рас-
смотрел Ньютон в «Математических началах натураль-
ной философии». Она не привлекла к себе внимания
математиков того времени, затерявшись среди россыпи
задач, разбросанных по страницам великого творения
Ньютона. Не сопровождаемая решением или хотя бы на-
меком на то, как его найти, она не оказала влияния па
развитие вариационного исчисления. Возникновение его
принято датировать 1696 г., когда И. Бернулли бросил
вызов ученому миру, предложив всем математикам поме-
ряться с ним силами в решении задачи о брахистохроне.
В задаче Ньютона речь шла о том, чтобы найти тело
вращения, которое при движении в жидкости или газе
испытывало бы меньшее сопротивление, чем любое дру-
гое тело, описанное на тех же длине и наибольшей
ширине.
О том, как поступал Ньютон, приходится лишь до-
гадываться по решению, приведенному в качестве прило-
жения к первому английскому переводу «Начал». По сло-
вам переводчика Мотта, он получил его от друга, фами-
лию которого не указал. Оно приведено и в русском пере-
воде «Начал», выполненном в 1915 г. академиком
А. Н, Крыловым.
Задачу Ньютона решили впоследствии Лопиталь и
И. Бернулли и опубликовали результаты в майском и но-
ябрьском выпусках «Acta Eruditorum» за 1699 г.
Более известна другая вариационная задача, предло-
женная и решенная И. Бернулли в 1696 г., знаменитая
задача о брахистохроне. История событий, развернувших-
ся вскоре после опубликования «приглашения математи-
ков», весьма красочно описана самим И. Бернулли в так
называемой «Программе, изданной в Гронингене в 1697 г.»,
91

несомненно заслуживающей того, чтобы привести ее пол-
ностью.
Итак, вот она:
«Программа, изданная в Гронингене в 1697 г.
Тончайшим, славящимся во всем мире
математикам.
Как мы достоверно знаем, едва ли существует что-
либо иное, что могло бы в большей степени побудить бла-
городные умы к совершению дел, ведущих к умножению
знаний, чем предложение трудных, но в то же время
полезных вопросов; их разрешением с помощью того ила
иного метода они достигнут славы для своего имени и
воздвигнут себе вечный памятник у потомков. Я полагаю,
что для меня не будет ничего более приятного, чем если я,
подражая примеру таких людей, как Мерсенн, Паскаль,
Ферма и особенно известного недавнего флорентийского
анонимного автора загадок2, делавших то же до меня,
предложу превосходнейшим аналитикам нашего века не-
которую задачу, с помощью которой они, как с помощью
лидийского камня3, смогут проверить свои методы и ум-
ножить их мощь. Если они что-либо найдут, пусть сооб-
щат нам для того, чтобы каждый мог затем получить в
публичной форме заслуженные им похвалы.
Это и было сделано один семестр назад в лейпцигских
„Acta" (июнь, с. 269), где я предложил подобную зада-
чу, полезность которой, соединенную с удовольствием,
увидят многие, которые успешно займутся ею. Геометрам
был предоставлен срок в шесть месяцев со дня первой
публикации, по истечении которого, если никем не будет
объявлено никакого решения, я обещал опубликовать свое.
Но вот срок уже истек, и никакого решения не появилось,
если не считать того, что знаменитый Лейбниц, столь
известный открытиями в области геометрии, поставил
меня в известность, что он счастливо развязал узел этой,
как он выражается, прекраснейшей задачи, о которой
раньше никто не слышал; вместе с тем он учтиво просил
меня о том, чтобы истекающий срок был продлен до
ближайшей пасхи, с тем чтобы в течение этого времени
указанная задача могла быть опубликована среди фран-
цузов и итальянцев и чтобы совершенно была устранена
возможность каких-либо жалоб на недостаточность срока.
fi не только удовлетворил эту достойную просьбу, но и
сам решил объявить об указанной отсрочке. Ибо я хочу
знать, кто эти люди, которые, приступив к разрешению
92

этой прекрасной и трудной задачи, после длительного
промежутка времени станут, наконец, обладателями ре-
шения.
В интересах тех лиц, в руки которых лейпцигские
„Acta" не попадают, я здесь повторяю упомянутое выше
предложение.
Механико-геометрическая задача
о линии наиболее скорого спуска
Определить кривую линию, соединяющую две данные
точки, расположенные на различных расстояниях от го-
ризонта,-не лежащие на одной и той же вертикальной
линии, и обладающую тем свойством, что тело, движу-
щееся по ней под влиянием собственной тяжести и на-
чинающее свое движение из верхней точки, достигает
нижней точки в кратчайшее время.
Смысл этой задачи заключается в следующем. Из бес-
численного множества линий, которые соединяют две ука-
занные выше точки, т. е. которые могут быть проведены
от одной из этих точек до другой, следует избрать линию,
обладающую тем свойством, что если по ней изогнуть
лист, имеющий форму трубки или канала, и в трубке или
в канале поместить шарик, то последний, будучи свободно
опущен, пройдет свой путь от первой точки до второй
к кратчайшее время.
Во избежание какого-либо повода к недоразумению
считаем необходимым предупредить, что мы исходили
здесь из основного положения Галилея, в правильности
которого, если отвлечься от сопротивления, никто из здра-
вомыслящих геометров не сомневается, а именно что ско-
рости, приобретаемые падающими телами, пропЬрциональ-
ны корню квадратному из пройденных путей; хотя, с дру-
гой стороны, наш метод решения может быть распростра-
нен и на любое другое допущение.
Когда, таким образом, здесь уже не остается никакой
неясности, мы настоятельно просим всех геометров на-
шего века и каждого в отдельности взяться за это дело,
сделать попытку исследовать все, что они имеют сокры-
того в затаенных глубинах своих методов. Пусть всякий,
кто может, берет себе ту премию, которую мы заготовили
для решившего задачу,— конечно, не суммы золота или
серебра, приводящие в движение только низкие наемные
умы, от которых мы вообще не ожидаем ничего похваль-
ного и ничего полезного для наук. Так как добродетель
сама для себя представляет наилучшую награду, а слава
93

содержит в себе неизмеримое побуждение, то мы и пред-
лагаем премию, которая подходит мужу благородной кро-
ви,— премию, сплетенную из чести, похвалы и рукоплеска-
ний; мы будем и публично, и в частном порядке, и в пись-
менном виде, и устно увенчивать, и украшать, и восхва-
лять нашего великого Аполлона.
Если же праздник пасхи пройдет и будет установле-
но, что никто не разрешил нашей задачи, то мы откроем
публично то, что нашли сами. А именно, несравненный
Лейбниц, надеюсь, тотчас же опубликует решения как
свои, так и наши, которые ему были сообщены заблаго-
временно. Если геометры разберут эти изыскания, произ-
веденные на основании некоторого более глубокого ис-
точника, то нет никакого сомнения, что они познают тес-
ноту пределов обычной геометрии и тем выше оценят
наши открытия, чем меньше людей будет в состоянии
разрешить нашу замечательную задачу. И такую оценку
дадут даже те лица, которые прославились тем, что свои-
ми, столь сильно рекомендуемыми особыми методами не
только глубоко проникли в тайники собственно геометрии,
но с помощью своих золотых теорем, никому, по их мне-
нию, не известных, а в действительности уже давно опуб-
ликованных другими, захватили удивительным образом и
соседние области» [2, с. 21—25].
Всякий, кому доведется прочитать «Программу», ве-
роятно, поймет: здесь вызов, достойный благородного сред-
невекового рыцаря; в нем все —от восхваления возмож-
ного противника до бряцания оружием. Таков И. Бер-
нулли.
К установленному сроку, как уже говорилось, задачу
решили, кроме И. Бернулли, Ньютон, Лейбниц, Я. Бер-
нулли и Лопиталь. Метод решения И. Бернулли не обла-
дал общностью, но был самым оригинальным, поскольку
основывался на оптико-механической аналогии, нашедшей
свое развитие в XIX в. в трудах У. Р. Гамильтона. Само
по себе обращение к физике в эпоху, когда дифференциа-
ция науки не достигла достаточного уровня и еще встре-
чались ученые-универсалы, добивавшиеся выдающихся
результатов в различных областях науки, вряд ли может
вызвать удивление, но оно наглядно показывает еще
одну грань таланта И. Бернулли — физическую направлен-
ность его мышления.
По словам И. Бернулли, ситуация выглядела так:
«Даже столь знаменитые авторы, как Декарт, Ферма и
другие, которые когда-то так горячо отстаивали пюевос-
9?

ходство своих собственных методов,—как будто они боро-
лись за свои очаги и жертвенники,—или же их привер-
женцы, отстаивавшие их правоту, даже они откровенно
признают, что здесь следует применить не только те ме-
тоды, которые они внесли в науку.
В мою задачу не входит поносить открытия других,
п я не собираюсь это делать. Усердно стремясь к дости-
жению поставленных себе целей, они дали многое. Но в их
сочинениях не находится ничего, касающегося такого рода
исследований о максимумах и минимумах, и сами они
своим методам не приписывали способности разрешать
иные проблемы, чем задачи обычного характера.
Я, со своей стороны, тоже не обещаю дать общего
метода, которого было бы напрасно и искать; но я изложу
особые методы, с помощью которых я счастливо разрешил
настоящую задачу,—методы, подходящие не только для
данного, но и для многих других случаев» [2, с. 27—28].
Цепь рассуждений И. Бернулли такова. Поместим на-
чало системы координат в точку А, ось Ох направим
вправо, а Оу — вертикально вниз (рис. 8). Пусть мате-
риальная точка перемещается по кривой АВ и проходит
точку М (х, у) со скоростью v. Бернулли знал, что
v = Y2ey. (1)
Это означает, что скорость спуска не зависит от фор-
мы кривой, а зависит только от высоты. Проведем гори-
зонтальные прямые, которые разделят плоскость на узкие
горизонтальные полоски. Материальная точка, переме-
щающаяся по АВ, пересекает эти полоски, причем ее ско-
рость не зависит от проходимого пути, а меняется от слоя
к слою. Аналогичная ситуация наблюдалась в оптике:
солнечный луч пересекает в атмосфере слои различной
плотности, скорость света от слоя к слою меняется. Свет
распространяется по такому пути, что время распростра-
нения минимально. В этом состоит принцип Ферма, и это
известно было всем математикам, знакомым с полемикой
Декарта и Ферма в связи с обоснованием закона Снел-
лиуса.
Так возникает оптико-механическая аналогия. Бернул-
ли пишет: «...я укажу, что мною открыто удивительное
совпадение между кривизной луча света в непрерывно
изменяющейся среде и нашей брахистохронной кривой»
[2, с. 29].
На рис. 8 изображена оптически неоднородная среда;
скорость света в слое на глубине у равна l/2gy и меняется
95

от слоя к слою. Свет при прохождении от А к В может
распространяться по разйым кривым, но в силу принципа
Ферма распространяется по пути, дающему минимальное
время. Получается, что путь света в оптически неоднород-
ной расслоенной среде совпадает с брахистохроной.
Обнаружение оптико-механической аналогии дало
ключ к решению задачи, которая казалась совершенно
Рис. 8 Рис. 9
недоступной. И это было озарением гения.
В согласии с оптико-механической аналогией Бернул-
ли выделил часть среды FGD (рис. 9), ограниченную
линией FG с излучающей точкой А на ней. AD — ось абс-
цисс, F — ось ординат, кривая скоростей АНЕ такова, что
например, ордината ее НС определяет степень разрежен-
ности среды на высоте АС или скорости луча в точке М\
АМВ — искомый искривленный луч И. Бернулли ввел
обозначения: АС=х, CH=t, СМ=у, Cc=dx, nm=dyr
Mm=dz (dz в современных символах — это ds — диффе-
ренциал дуги). «Отрезочек Mm будет полным синусом,
тп будет синусом угла преломления4, т. е. угла наклона
кривой к вертикальной линии...»; синусы же углов пре-
ломления пропорциональны разреженности среды, поэто-
му отношение тп к НС постоянно, т. е.
dy/t=dz/a, ady=tdz, aady2=ttdz2=ttdx2+ttdy2.
Последнее дает уравнение кривой АМВ
dy = tdxj^faa —- tt.
Вывод уравнения И. Бернулли завершил словами:
«Я, таким образом, одновременно решил две замечатель-
ные задачи — одну оптическую, другую механическую,
т. е. я сделал больше того, чего требовал от других.
Я показал, что, хотя эти две задачи взяты из совершен-
96

но различных частей науки, тем не менее они имеют оди-
наковую природу» [2, с. 33].
Затем И. Бернулли обратился к специальному случаю,
когда скорости падающих тел относятся как квадратные
корни из пройденных высот. Тогда кривая АНЕ будет
параболой tt=ax, t=1ax. Общее уравнение кривой примет
вид -dy=dxl/x/(a—x). На основании этого уравнения
И. Бернулли сделал вывод, что брахистохронная кривая
является «обыкновенной циклоидой».
Он продолжил рассуждения. Пусть круг GLK диа-
метра а катится по AG от начальной точки А. При таком
качении точка К опишет циклоиду, дифференциальное
уравнение которой будет также dy=dxl/z/(a—x), если
АС=х, СМ=у.
Полученное выражение И. Бернулли представил в виде
разности двух легко интегрируемых дробей: dxT/x/(a—x) =
=*xdx/l/ax—xx=adxl21/ax—xx — (adx—2xdx) 12Уах—хх. Он
отметил, что выражение (adx—2xdx) /2Уах—хх является
дифференциалом 1/ах—хх, т. е. дифференциалом L0,
а adx/21/ах—хх — дифференциалом дуги GL; тогда «если
просуммировать5 уравнение dy=dxVx/(a—x), то мы буд^м
иметь: у, т. е. CM=GL-LO» [2, с. 35].
Поясним сказанное. Проведем хорду LG и запишем
LO=MLGz-GO\ Так как LG2=GKGO=ax, то LO=
~1/ах—х2. Это выражение получим также при вычисле-
нии интеграла
X
f adx — 2xdx
о
Выражение adxl2Vax—x2 представляет собой дифферен-
циал ds дуги GL. В самом деле, поскольку окружность
катится без скольжения, ордината ее центра будет равна
полуокружности, и уравнение окружности запишется
в виде
(х-а/2)2+(у-па/2)2=а214.
Найдем отсюда у=па/2±Уах—х2, ds=l/l+yf2=adxl2yах—х2.
Значит,
§ adxfcYax — х2 — 5 g = GL.
о
4 В. А, Никифорове! ий
97

С помощью выражений CM=GZ—ZO и МО=СО—СМ
И. Бернулли получил MO=CO—GZ+ZO; кроме того, так
как СО равняется полуокружности GLK, то CO—GZ=ZK
и MO=ZK+ZO. Если теперь вычесть из обеих частей ра-
венства ZO, то найдем MZ=ZK, а это и характеризует
кривую КМ А как циклоиду.
Решение найдено. Но И. Бернулли не останавливает-
ся на этом: «дабы разрешить задачу в наиболее полном
объеме», он указывает метод построения циклоиды, про-
ходящей через точки А и В.
После всего сказанного И. Бернулли выражает вос-
хищение тем, что брахистохрона совпала с таутохроной
Гюйгенса6, и видит причину этого в простоте действия
природы. В конце статьи он рассмотрел еще одну зада-
чу — о «синхронной» кривой7.
Д. Пойа называет решение И. Бернулли подлинным
произведением искусства. Он отмечает также, что оно
создано на стыке механики и оптики.
Э. Мах в той же связи писал: «Без всякого еще мето-
да, при помощи одной своей геометрической фантазии
Иоганн Бернулли решает задачу, умело пользуясь при
этом тем, что случайно уже известно,— картина поистине
замечательная и удивительно красивая! Мы должны при-
знать в И. Бернулли истинно художественную натуру,
действующую в области естествознания. Брат его Якоб
Бернулли был научным характером совсем другого рода.
Ему было уделено гораздо больше критики, но меньше
творческой фантазии. И он решил ту же задачу, но го-
раздо более тяжеловесным образом. Зато он не упустил
случая развить с большей основательностью общий метод
для решения задач этого рода. Таким образом, мы на-
ходим в обоих братьях разделенными те две стороны
научного таланта, которые в величайших исследователях
природы, каким был, например, Ньютон, бывают соеди-
нены с необычайной силой» [19, с. 362—363].
Заметим и вот что. Решение задачи о брахистохроне
появилось в 1697 г.; основополагающая статья Лейбница
«Новый метод максимумов и минимумов...», содержащая
алгоритм дифференциального исчисления, опубликована
з 1684 г. Прошло всего тринадцать лет. За эти годы уси-
лиями многих математиков, и не в последнюю очередь
братьев Я. и И. Бернулли, в разработке алгоритма диф-
ференциального и интегрального исчислений удалось про-
двинуться так далеко, что стали доступными для решения
задачи, аналогичные рассмотренной.
98

В письме Базнажу, относящемся к 1697 г., И. Бер-
нулли сообщал, что нашел еще один способ решения
задачи о брахистохроне, но опубликовал первый из-за
того, что в нем прослеживается связь между оптикой и
механикой. Однако второй способ «вел к важным след-
ствиям, которыми некоторые, привыкшие щеголять за
счет других, могли бы тонко воспользоваться, чтобы
извлечь из них какие-нибудь небольшие открытия, чего
было бы для них вполне достаточно, чтобы приписать
себе обладание и всю славу открытия» [40, т. 1, с. 194].
В 1718 г. в «Memoire de l'Academie Royale de Scien-
ces» (Paris, 1718, с 100) И. Бернулли опубликовал два
решения задачи о брахистохроне: аналитическое и син-
тетическое. Идея синтетического решения состояла в до-
казательстве того, что время движения по элементу ци-
клоиды будет минимальным в сравнении со временем
движения по элементу любой кривой, соединяющей дан-
ные точки А и В. Это как раз тот метод, о котором
И. Бернулли сообщал Базнажу. В том же письме он
утверждал, что необходимо доказать синтетически «на
манер древних, что существует только одна кривая, про-
веденная из одной точки в другую, по которой тяжелое
тело спускается в кратчайшее время, и что эта кривая
есть обыкновенная циклоида, или, как ее называют неко-
торые, рулетта, что полностью опровергает мысль одного
математика первого ранга (имеется в виду Э. Чирнгауз.—
В. #.), который думал, что существует несколько кри-
вых линий, могущий удовлетворять требуемому» 8.
Отсюда видно, что И. Бернулли ставил вопрос об един-
ственности решения задачи. Это опровергает мнение о том,
что до Лежандра этот вопрос математиков не интере-
совал.
В переписке И. Бернулли с Лейбницем обсуждалась
еще одна экстремальная задача — о геодезических лини-
ях. И. Бернулли опубликовал ее 26 августа 1697 г.
в «Journal des Savans» [40, т. 1, с. 20]: необходимо найти
кратчайшую линию между двумя точками на выпуклой
поверхности. Такие линии называются геодезическими.
На поверхности шара, например, геодезическими будут
дуги больших кругов. Важно заметить, что эта задача,
относящаяся к дифференциальной геометрии, возникла
по существу до создания аналитической геометрии трех
измерений.
В письме Лейбницу 4 декабря 1697 г. И. Бернулли
заявил, что «Лопиталь в ней отчаялся, но я свел к диф-
4* 99

ференциальному уравнению»; 24 декабря 1697 г. он на-
писал Лопиталю, что нашел дифференциальное уравне-
ние геодезических, которое не умеет пока решать.
В письме Лейбницу 26 августа 1698 г. И. Бернулли сооб-
щал, что «нашел другой метод, вполне общий, основываю-
щийся на том, что плоскость, проведенная через три со-
седние точки искомой кривой, перпендикулярна в этом
месте к касательной плоскости к поверхности»9. Таким
образом, И. Бернулли обнаружил основное свойство гео-
дезических линий: в любой точке геодезической сопри-
касающаяся плоскость перпендикулярна касательной
плоскости к поверхности в той же точке. 6 февраля 1715 г.
в письме Лейбницу И. Бернулли ввел понятия координат
в пространстве и уравнения поверхности: «Под данной
кривой поверхностью я разумею такую, отдельные точки
которой (подобно точкам данной кривой линии) опреде-
ляются тремя ординатами х, у, z, отношение между кото-
рыми выражается данным уравнением; эти же три коор-
динаты суть не что иное, как три перпендикулярных
отрезка, проведенных из какой-либо точки поверхности
к трем плоскостям, данным по положению и взаимно пе-
ресекающимся под прямыми углами» [51, т. 3, с. 938].
По неизвестным причинам И. Бернулли не опубликовал
найденных результатов. В 1728 г. он поставил задачу
о геодезических перед Эйлером. Получив- от него зимой
1729 г. дифференциальное уравнение геодезических в виде
(Qddx+Pddy) / (Qdx+Pdy) = (dxddx+dyddy) / (dt2+
+dx2+dyz)
(P и Q определяются из дифференциального уравнения
поверхности Pdx=Qdy+Rdt, t — одна из пространствен-
ных координат), в ответном письме 18 апреля 1829 г.
И. Бернулли привел полученное им уравнение
Tddy/(Tdzds-zds2) =ddz/(ds2+dz2)
(Г — подкасательная некоторой кривой на поверхности,
ds2=dx2+dy2).
Задачу о геодезических решил Эйлер в мемуаре 1728 г.,
опубликованном в «Записках) Петербургской академии
наук в 1732 г. Через десять лет, в 1742 г., И. Бернулли
опубликовал мемуар со своими результатами [40, т. 4,
с. 108]: он записал уравнение поверхности между тремя
координатами я, у, z, составил уравнение геодезических
в общем виде и применил его к различным частным видам
поверхностей. К. А. Рыбников полагает, что этот мемуар
100

может быть отнесен к 1729 г. Он пишет: «Если этот
метод совпадает с неизвестным методом И. Бернулли, от-
носящимся к 1697—1698 гг., то окажется, что значитель-
но раньше, чем принято думать обычно, у И. Бернулли
созрели идеи трехмерной аналитической геометрии: пред-
ставление поверхности уравнением с тремя переменными,
идея координатной тройки осей для пространства и т. д.
Этому хочется верить: И. Бернулли был оригинальным
мыслителем? блестящие идеи которого часто обгоняли
его век. Творчество его еще в должной мере не оценено;
представление о нем в умах многих исчерпывается све-
дениями о неблаговидном споре между братьями»
[25, с. 434].
3
Хотя автор начал рассмотрение творчества И. Бер-
нулли с его вклада в вариационное исчисление, основным
полем деятельности его было дифференциальное и ин-
тегральное исчисления, где он с братом и Лейбницем вел
глубокую «вспашку целины».
Но надо учесть следующее. «Работы Иоганна Бернул-
ли,—пишет Д. Я. Стройк,—тесно связаны с работами его
старшего брата, и не всегда легко различить их резуль-
таты» [27, с. 160]. Да тут еще и маркиз де Лопиталь.
Известно, например, что в 1692 г. в «Journal des Sgavans»
была опубликована статья «Решение одной задачи, пред-
ложенной некогда г. де-Боном г. Декарту» об отыскании
кривой, обладающей тем свойством, что отношение орди-
наты кривой к ее подкасательной должно равняться от-
ношению постоянного отрезка к отрезку ординаты между
кривой и прямой, проходящей через начало координат
под углом 45° к оси. В работе была найдена кривая,
определены соответствующая площадь и центр тяжести
фигуры, асимптоты кривой, объем и центр тяжести тела
вращения. Статья написана И. Бернулли и Лопиталем,
и оба автора приписывали ее себе. В примечании к соот-
ветствующему месту в собрании сочинений И. Бернулли
написано: «Эта статья была составлена маркизом Лопи-
талем и г. И. Бернулли сообща. Поэтому оба считали себя
вправе приписывать ее самому себе» [40, т. 1, с. 62—63].
В июне 1691 г. И. Бернулли выступил в «Acta Erudi-
torum» с цервой статьей, посвященной решению предло-
женной ранее Я. Бернулли задачи о цепной линии. Под-
робное изложение решения И. Бернулли дал только в
«Лекциях по интегральному исчислению».
101

Существенный прогресс математического анализа свя-
зан с понятием функции. Лейбниц в 1694 г. называл
функциями всякие части прямых линий — абсциссы, ор-
динаты, касательные, подкасательные, нормали, поднор-
мали и т. д. В 1694 г. в «Acta Eruditorum» И. Бернулли
писал, что под буквой п можно понимать любое количе-
ство, полученное из неопределенных и постоянных вели-
чин. С 1698 г. в переписке И. Бернулли и Лейбница
слово «функция» употребляется уже как аналитическое
выражение. Определение функции как аналитического
выражения И. Бернулли дал в статье, опубликованной в
«Memoires de FAcademie des Sciences de Paris» за 1718 г.:
«Определение. Функцией переменной величины здесь на-
зывается количество, составленное каким угодно способом
из этой переменной величины и постоянных» [40, т. 2,
с. 241]. Он предложил обозначать функцию буквой ф и
писал (рх. Скобки и символ / ввел Эйлер в 1734 г.
Одним из первых критиков анализа бесконечно малых
был голландский врач Б. Нивентейт, указавший, в част-
ности, на отсутствие правила для нахождения дифферен-
циала общей показательной функции. Лейбниц в 1695 г.
восполнил этот пробел и с помощью логарифмического
дифференцирования нашел дифференциал функции иг\
названной им показательной; независимо от него такой
же результат получил и опубликовал в 1697 г. И. Бер-
нулли.
Это было существенным вкладом в дифференциальное
исчисление.
И. Бернулли занимался приложением рядов к инте-
грированию и на этом пути открыл общую формулу раз-
ложения в ряд интеграла от функции n(z) по степеням
аргумента:
Г , ч j z* dn , z3 d2n
о
z* d3n
1.2.3-4 dz3 + •"
(Acta Eruditorum, 1694).
Такой же ряд получил Лейбниц, не опубликовавший свое-
го открытия. Ряд Бернулли может быть получен из ряда
Тейлора
t(z+h)=j{z)+hf(z)Il+hzf'{z)!12+hsj'''(z)ll 2-3+...f
102

если заменить ft на —z и обозначить f (z)=n(z). Тогда
будет
Z
/ (г) — / (0) = [ п (г) dz = zn (z) —
о
Большой раздел математического анализа составила
в XVIII в. .теория эллиптических интегралов. С ними ма-
тематики встретились при спрямлении длин дуг (в част-
ности, эллипса), в некоторых задачах механики и теории
упругости. Начало развитию этой теории положил Я. Бер-
нулли, установивший в 1691 г. равенство длин дуг пара-
болической спирали, не выражающихся в известных квад-
ратурах, а также И. Бернулли, поставивший в 1695 и
1698 гг. вопрос о нахождении кривых, сумма или раз-
ность длин дуг которых в точности равна дуге окруж-
ности или отрезку прямой. И. Бернулли указал, что по-
следним свойством обладают некоторые дуги кубической
параболы 3azy=x3. Дальнейшее развитие теория эллипти-
ческих интегралов получила у итальянского математика
ди Фаньяно.
В «Acta Eruditorum» за 1697 г. И. Бернулли, поставил
задачу о кривых, пересекающих некоторое плоское се-
мейство однопараметрических линий под данным углом
или под углом, меняющимся по определенному закону.
В первом случае траектории называются изогональными,
а если угол прямой, то ортогональными. И. Бернулли ука-
зал на возможность применения полученных закономер-
ностей в теории света Гюйгенса. Через год он показал,
что задача отыскания траекторий сводится к дифферен-
циальному уравнению первого порядка.
Николай II Бернулли, сын И. Бернулли, в 1720 г.
сформулировал задачу о взаимных траекториях, т. е. о
траекториях, относящихся к тому же семейству кривых,
что и кривые данного семейства. Этой задачей занимался
И. Бернулли. Он в 1727 г. в качестве семейства взаимных
траекторий назвал полукубические параболы у3=ах2.
Лейбниц и И. Бернулли нашли метод интегрирования
рациональных дробей, которые после выделения целой
части они представляли в виде суммы простейших дро-
бей. Осуществление этого метода стало возможным лишь
тогда, когда сформировалось понятие логарифмической
функции. В связи с интегрированием рациональных дро-
103

бей в анализ вошли комплексные числа и возник спор
о логарифмах отрицательных чисел.
Комплексные числа появились в математике при ре-
шении квадратных и кубических уравнений еще в XVI в.
Но сущность их оставалась для математиков неясной. Так,
в статье, где говорилось о разложении рациональной функ-
ции на простейшие при суммировании рядов и вычисле-
нии интегралов, Лейбниц писал о мнимых числах как
о «чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущ-
ности, находящейся почти между бытием и небытием» 10.
Найденный прием Лейбниц применил к случаям дей-
ствительных различных корней знаменателя рациональ-
ной дроби и основывался на тождествах вида
a/(x+l) (х+т) =a/(m—l) (х+1)+а/(1—т) (х+т),
a/(x+l) (x+m) (x+n)=a/(m—l) (n—l) (х+1)+а/(1—т) •
-(п—т) (х+т)+а/(1—т) (1—п) (х+т)
и других аналогичных этим, содержащих х в числителе
дроби. Лейбниц поставил вопрос о представимости мно-
гочлена с действительными коэффициентами в виде про-
изведения множителей первой и второй степеней. Поло-
жительное решение этого вопроса означало бы, что ин-
тегралы от рациональных функций выражались бы через
рациональные функции, логарифмы («квадратуры гипер-
болы») и круговые функции («квадратуры круга»). Лейб-
ниц считал, что интегралы вида /с£г/(#4+а4), !dx/(x8+a8)
дают новые трансцендентные функции. Это соответство-
вало его представлениям: природа многолика и не терпит
единообразия. Если бы такие интегралы сводились к ква-
дратуре гиперболы и квадратуре круга, то все было бы
единообразно. Лейбниц не заметил разложения xk+ak на
два действительных множителя: х^+а^=(х2+ах\2+а2) •
• (x2—axl/2+a2). Он заявил, что утверждение о возможно-
сти разложения многочлена с действительными коэффи-
циентами на множители первой и второй степеней невер-
но. «Я нашел,— писал он,— что тот, кто утверждал бы это,
ограничивал бы без оснований многообразие природы» и.
В подтверждение сказанного он привел разложение
х* + а4 *= (х2 + a2 j/"~l) (х2 — a2Y^A) =
= (* +a]fi/r^)(z~aY]/^)(x + aV-]f^-
.{x-a)V — |/"=I)
104

и утверждал, что никакая пара из множителей в правой
части не может дать в произведении многочлена с дей-
ствительными коэффициентами.
В письмах Лейбницу 1702 г. И. Бернулли заметил, что
рациональные дроби должны интегрироваться в рацио-
нальных, логарифмических и круговых функциях.
Представляет особый интерес работа «Решение одной
задачи интегрального исчисления», напечатанная в «Мё-
moires» Парижской академии наук за 1702 г. (1704)
и в «Acta Eruditorum» за 1703 г., в которой И. Бернулли
рассмотрел случай действительных различных корней зна-
менателя рациональной дроби и в отличие от Лейбница,
давшего готовые формулы, показал, как получать коэф-
фициенты, вначале полагаемые неопределенными. Здесь
же И. Бернулли заметил следующее важное качество.
Подобно тому как дифференциал dz/(l—z2) с помощью
подстановки z=(£—1)/(г+1) переходит в логарифмический
дифференциал dt/2t, так и дифференциал действительно-
го кругового сектора dz/(l+z2) с помощью мнимой под-
становки z = У"—-1 1 переходит в «мнимый диффе-
ренциал» —dtl2ll—lt. Кроме того, очевидно, что
dz J_ dz 1 dz
ТТ^"— 2 l + ./ZT +"2" l-zV=i '
т. е. дифференциал действительного кругового сектора
равен сумме дифференциалов мнимых логарифмов. От-
сюда И. Бернулли сделал вывод, что мнимые логарифмы
заменяют действительные круговые секторы.
Соотношением dz/(l+z2)=—dt/21/—lt по существу была
установлена связь между функциями Arctgz и Ln£=
=ln (1—zlf—l)/(l+zV—1). Но эту связь И. Бернулли не
получил, так как не стал интегрировать уравнение, а вы-
полнил еще одну подстановку
что дало выражение дифференциала арксинуса действи-
тельного аргумента через дифференциал мнимого ло-
гарифма.
Работа И. Бернулли, опубликованная в «Acta Erudi-
torum» за 1712 г., содержала продолжение того же иссле-
105

дования: в ней И. Бернулли проинтегрировал рациональ-
ную дробь с мнимым аргументом. Он решил дифферен-
циальное уравнение
ndxl{x2+l)=dyl{y2+i),
предварительно разложив дроби по указанному способу,
и получил {х-1^п{уЛ-1^^{х+1^)п{у-1::Л).
Продвижению вперед в применении мнимых чисел к
анализу препятствовали неясности, связанные с поняти-
ем логарифма. Свидетельство этому — развернувшаяся
между Лейбницем и И. Бернулли дискуссия о природе
логарифмов отрицательных чисел.
В 1712 г. Лейбниц выступил со статьей, где, обсуж-
дая парадокс Арно 1/—1=—1/1, сказал, что отрицатель-
ным отношениям не соответствуют никакие логарифмы,
поскольку положительным логарифмам соответствуют
числа больше единицы, а отрицательным — правильные
положительные дроби. Поэтому логарифм числа —1 не бу-
дет истинным, он мнимый. И еще: если бы этот логарифм
был действительным, то его половина стала бы также
действительной, т. е. действительным был бы логарифм
мнимого числа У—1, а это неверно.
И. Бернулли возражал Лейбницу; он считал, что ло-
логарифмы отрицательных чисел действительны, и пола-
гал lg (—a)=lga, так как lg (—1)=0. Он основывался на
том, что из тождества d(—x)/—x=:dx/x следует dig (—#) =
=dlgx, т. е. lg (—x)=lgx. Приводились и другие аргу-
менты.
Эйлер в 1728 г. указал, что из равенства dig (—я) =
=dlgx следует lg (—x)=lgx+C, где C==lg (—1). Он полу-
чил формулу, из которой установил, что In (—l)=jtV—4.
После публикации переписки Лейбница и И. Бернул-
ли в 1745 г. интерес к спору о логарифмах отрицатель-
ных чисел возобновился. В него включился Д'Аламбер,
обсуждавший проблему в переписке с Эйлером. Эйлер
разработал учение о логарифмической функции в ком-
плексной области, определив ее как обратную показатель-
ной. Он доказал, что логарифмы отрицательных чисел
мнимы, что существуют логарифмы любых комплексных
чисел (кроме нуля), что .комплексных значений логариф-
мов комплексного числа бесчисленное множество. Постро-
енная Эйлером в 1749 г. теория положила конец спору.
Но и после этого Д'Аламбер, принявший сторону И. Бер-
нулли, пытался приводить новые аргументы, чтобы дока-
зать, что In (—x) =1п х. Так вырабатывалась теория.
t06

Перечислим некоторые частные результаты И. Бер-
нулли. Он получил и опубликовал в 1701 г. разложения
sin да и cos га а по произведениям степеней sin а и cos а.
Он первый обнаружил и доказал расходимость гармони-
ческого ряда. До сих пор в учебной литературе находит
себе место парадокс И. Бернулли. Запишем таблицу
1/1-2 1/2-3 1/3-4 1/4-5...
1/2-3 1/3-4 1/4-5...
1/3-4 1/4-5...
Просуммируем по строкам; найдем
Si = l/1.2 + l/2.3 + 1/3-4 + 1/4-5 + = 1 — 1/2 +-
+ 1/2-1/3 + 1/3-1/4 + .. . = 1,
52 = 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ... = 1/2,
53 = 1/3 - 1/4 + 1/4 — 1/5 + ... = 1/3
Обозначим сумму строк буквой S:
S=S+S2+S3+ ... =1+1/2+1/3+...
Просуммируем теперь столбцы и сложим результаты; по-
лучим
о<=1/2, о2=1/3, о3=1/4,...;
0+02+03+ ... =1/2+1/3+1/4+ ... =5-1.
Получается парадокс: S=S— 1. Все объясняется просто:
мы оперируем с расходящимся гармоническим рядом,
не имеющим суммы.
Продолжим разговор о достижениях И. Бернулли. Он
вслед за Я. Бернулли получил формулу для радиуса кри-
визны в дифференциалах абсциссы и ординаты, которая
опубликована в «Анализе бесконечно малых» Лопиталя.
И. Бернулли занимался изучением свойств эволют, эволь-
вент, каустик 12, касательных, точек перегиба, огибающих,
кривизны. Он открыл точку возврата второго рода,
описанную Лопиталем. И. Бернулли выполнил многие
квадратуры, спрямления, кубатуры, в качестве приложе-
ния методов анализа решил много геометрических и ме-
ханических задач, в том числе задачу о парацентриче-
ской изохроне,
107

4
К середине девяностых годов XVII в., т. е. всего че-
рез десять лет после появления основополагающего труда
Лейбница, усилиями Лейбница и братьев Бернулли идеи
дифференциального и интегрального исчислений достигли
такого развития, что появились суждения о завершении
анализа в ближайшем будущем. Назрела необходимость
собрать воедино и систематизировать разработанные ме-
тоды с тем, чтобы ими мог пользоваться более широкий
круг людей. Эту задачу блестяще выполнил И. Бернулли,
написавший в 1691—1692 гг. «Лекции по исчислению
дифференциалов» и «Математические лекции о методе ин-
тегралов и других вопросах, написанные для маркиза Ло-
питаля».
Завершение лекций дало возможность писать И. Бер-
нулли в автобиографической заметке, что он «был пер-
вым, кто подумал об изобретении метода для перехода
от бесконечно малых количеств к конечным, элементами
которых эти бесконечно малые суть. Я назвал этот метод
интегральным исчислением, не найдя более подходящего
слова» [51, ч. 3, с. 115].
Хотя И. Бернулли лекции и не издал, они были до-
ступны французским математикам и сыграли важную
роль в прогрессе анализа. Как уже говорилось, лекции и
материалы, полученные Лопиталем в письмах И. Бернул-
ли (они переписывались с 1692 г. в течение десяти лет),
послужили Лопиталю основой при написании им «Анализа
бесконечно малых».
Лекции И. Бернулли, «Анализ» Лопиталя содержали
небольшой набор основных аналитических понятий, ил-
люстрируемых чертежами, теорем и правил и множество
задач геометрического, механического и физического ха-
рактера.
Лекции по дифференциальному исчислению начина-
ются следующими постулатами:
«1. Величина, уменьшенная или увеличенная на бес-
конечно меньшую величину, не уменьшается, не увели-
чивается.
2. Всякая кривая линия состоит из бесконечно мно-
гих прямых, которые сами бесконечно малы.
3. Фигура, заключенная между двумя ординатами,
разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой
кривой, рассматривается как параллелограмм» [41, с, 11],
108

Два первых постулата Лопиталь (в несколько иной
форме) включил в «Анализ бесконечно малых». Перед
ними он дал определение переменной величины и диф-
ференциала: «Бесконечно малая часть, на которую непре-
рывно увеличивается или уменьшается переменная вели-
чина, называется ее дифференциалом» [16, с. 62].
Затем в дифференциальном исчислении выводятся
основные правила для отыскания дифференциалов сум-
мы, произведения, дроби, степеней с произвольными по-
казателями. И на этом аппарате строятся все приложе-
ния: проведение касательных, нахождение максимумов и
минимумов, исследование точек перегиба и точек возвра-
та (в связи с этим вводится понятие дифференциала вто-
рого порядка), решение различных задач.
Первая лекция по интегральному исчислению — «О при-
роде и вычислении интегралов» — начинается словами:
«Выше мы видели, как находятся дифференциалы коли-
честв; теперь, наоборот, покажем, каким образом находят
интегралы дифференциалов, т. е. те количества, которых
дифференциалы даны». Слово «выше» снабжено сноской,
поясняющей, что автор имеет в виду лекции по диффе-
ренциальному исчислению, «которые он счел нужным вы-
бросить, так как все содержание их было включено зна-
менитым Логгиталем в пользующуюся всеобщим распро-
странением книгу...» [42, с. 3].
Сразу же за вступлением И. Бернулли пишет: «Из пре-
дыдущего известно, что dx есть дифференциал х, что xdx
есть дифференциал 7г#2 или1/г^2 плюс или минус постоян-
ная, x2dx — дифференциал 7з#3 плюс или минус постоян-
ная... также adx — дифференциал ах и т. д., axdx — диф-
ференциал i/2ax2 и т. д., ax2dx — дифференциал 1/3ах3 и т. д.,
axsdx — дифференциал iUaxi и т. д.» [42, с. 3]. После
этого дается общее правило: «ахр есть дифференциал ко-
личества —т~г яр+1. Иными словами: Sxvdx=xv+il{p+l) •
•(+С). И. Бернулли применяет это правило к случаю
р=—1 и получает \— =оо. Однако впоследствии он
исправляет ошибку.
Затем рассматриваются некоторые вариации общей
формулы: случаи, когда можно выделить дифференциал
подкоренного выражения, и т. д.
Вторая лекция посвящена вычислению площадей.
И в этом вопросе И. Бернулли развивал идеи Лейбница
109

и писал: «Площади рассматривают как разложенные на
части, каждую из которых можно считать дифференциа-
лом площади. Если имеют интеграл этого дифференциала,
т. е. сумму этих частей, то отсюда будет известна и иско-
мая квадратура» [42, с. 11—12].
После обсуждения различных способов разбиения фи-
гуры И. Бернулли делает заключение: когда частичные
площадки ограничены ординатами и кривой, дифферен-
циал каждой из них будет ydx. Если кривая задается,
то у выражается через х вполне определенно, и ydx будет
«полностью выражаться через х». Он приводит пример:
дана парабола уг=ах\ дифференциал площади будет
Уах dx, его интеграл 2/3х1/ах, или 2/3ху. С необычайной
простотой И. Бернулли нашел результат, считающийся
важнейшим достижением геометрии древних, состоящий
в том, что площадь сегмента параболы равна 2/3 площади
соответствующего прямоугольника ху.
Содержание следующих лекций весьма разнообразно:
квадратуры площадей, кривых, «обратные задачи», со-
прикасающиеся кривые и эволюты, каустики; завершают
книгу пять лекций, посвященных решению физико-меха-
нических задач, в том числе задачи и цепной линии —
одной из первых задач механики нити.
Поражает в тех и других лекциях, кроме содержания,
высочайшее методическое мастерство. Все в них как у
опытного лектора наших дней. А ведь тому лектору было
всего 24 года. И лекций по анализу бесконечно малых
до него не читал никто.
5
Мало займет места изложение широко известного пра-
вила Лопиталя, но следует его выделить среди общего
рассмотрения творчества И. Бернулли. В письме 22 июля
1694 г. И. Бернулли ответил Лопиталю на вопрос о том,
как следует поступать, когда необходимо найти значение
неопределенности вида 0/0. И сообщил геометрическое
доказательство высказанному правилу. Оно вошло в учеб-
ник Лопиталя «Анализ бесконечно малых».
Лопиталь формулирует задачу так: «Пусть величина
ординаты у кривой AMD (рис. 10) (АР=х, РМ=у, АВ=а)
вырао/сается дробью, числитель и знаменатель которой об-
ращаются в нуль при х=>а, т. е. когда точка Р совпадает
с данной точкой В. Спрашивается, какой должна быть при
этом величина ординаты BD» [16, с. 308].
1*0

Решение задачи выглядит так. На общей «оси» стро-
ятся кривые ANB и СОВ, причем ордината PN входит
в числитель, а РО — в знаменатель дроби для всех РМ,
так что
PM=AMPN/PO.
Обе кривые пересекаются в точке В, поскольку, по пред-
положению, величины PN и РО обращаются в нуль, когда
точка Р совпадает с В. Затем вводится ордината bd, близ*
кая к BD и пересекающая
кривые в точках / и g. Для
нее будет
bd=AB-bf/bg,
что не отличается от BD
в силу одного из основ-
ных допущений, выдвину-
тых автором в § 2 книги,
о том, что если имеются две
величины, отличающиеся
друг от друга на бесконечно ^
малую, то можно брать одну
из них вместо другой. Следо-
вательно, необходимо найти
отношение bg к bf. ^
Когда АР обращается в рис# ю
АВ, обе ординаты PN и РО
обращаются в нуль, «а когда
АР обращается в 46, ординаты обращаются в bf и bg».
Значит, ординаты bf и bg являются дифференциалами
кривых ANB и СОВ в точках В и Ъ. Поэтому для на-
хождения искомого значения bd или BD нужно диффе-
ренциал числителя разделить на дифференциал знамена-
теля, положив х=а=АЬ или АВ, «что и требовалось най-
ти»,— заключает Лопиталь.
В следующем параграфе правило применяется к на-
хождению предельного значения
V2a3x — х* — а у/ аах
у= v=F
а — у ах3
при х—а.
Лопиталь пишет: нужно дифференциал числителя раз-
делить на дифференциал знаменателя, положив х=а. По-
лучим число 16а/9 «для искомой величины BD».
111

В настоящее время одна из теорем, объединенных об-
щим названием правила Лопиталя, излагается так. Если:
1) функции f(x) и ф(#) определены в промежутке (а; в];
2) lim/(#)=lim/(#)==0; 3) в промежутке (а; в] сущест-
х-*а х->а
вуют конечные производные f (х) и ф'(#), причем
ф'(#)=0; 4) существует предел lim [/'(#)/ф'(#) ]• Тогда
х-*а
существует и предел lim/(#)//(#), при этом Нт/(#)/фОг) =
х->а х-*а
=lim/' (#)/ф'(#)- Доказывается эта теорема с помощью
х-*а
теоремы Коши.
Достойно крайнего удивления как открытие правила,
так и особенно его доказательство. Ведь тогда, не было
еще сформулировано даже понятия функции. Математики
обходились геометрией да входящими в обиход диффе-
ренциалами, с которыми иногда обращались не вполне
корректно. В «Примечаниях редактора» к «Анализу»
Лопиталя А. П. Юшкевич приводит пример из коммен-
тария к «Анализу» издания 1768 г. Речь идет о выводе
формулы дифференциала дроби. Пишется: «Благодаря
следующим выкладкам доказательство станет очевидным:
1) x/y^z по предположению, 2) x=yz, 3) dx=zdy+ydz>
4) ydz=dx—zdy, 5) dz=dx/y—zdy/y4 6) dz=dx/y—zd (это
в тексте называется отбрасыванием уничтожающих друг
друга букв.— В. #.), 7) dz=dx/y—xd/y, 8) dz=(ydx—
-xdy)/yy» [16, с. 377].
В августе 1704 г;, вскоре после смерти Лопиталя,
И. Бернулли выступил с первым печатным заявлением,
в котором предъявил претензии на описанные в «Анали-
зе» методы. Это была заметка «Усовершенствование мое-
го опубликованного в «Analyse des infiniment petits» § 163
метода для определения значения дроби, числитель и зна-
менатель которой иногда исчезают» [40, т. 1, с. 401].
Здесь И. Бернулли рассказал, что правило он сообщил
в письме Лопиталю лет 10 назад, а также решил пример,
помещенный в § 164, который французские математики и
Лопиталь решить не могли. В той же заметке И. Бернул-
ли, «движимый любовью к истине», отметил, что иногда
однократное применение правила к цели не приводит,
получается опять неопределенность вида 0/0, поэтому его
приходится применять еще один или несколько раз.
112

6
Одновременно с развитием дифференциального и ин-
тегрального исчислений шла разработка методов реше-
ния дифференциальных уравнений. В интегрировании
уравнений первого порядка были достигнуты значитель-
ные успехи. В «Математических лекциях о методе ин-
тегралов и о других вопросах, написанных для маркиза
Лопиталя» решено однородное уравнение dy/dx=f(y/x)
подстановкой y=xt. Там же изложен метод приведения
dy , ( ах-\- by + с \
к однородному уравнения ^ = f { aiX + biy + cJ подста-
новками x=\+h, y=t\+h; при этом не упомянут случай
abi—ajb=0. В «Лекциях» И. Бернулли применил интегри-
рующий множитель к уравнению axdy—ydx=0. Он умно-
жил члены уравнения на уа~1/х2 и получил d(ya/x)=0,
откуда уа=Ьх. Непосредственное разделение переменных
в этом уравнении И. Бернулли не выполнил, так как счи-
тал, что в соответствии с формулой Sxndx=xn+i/(n+l)
будет \ — = оо. (Как известно, впоследствии он выра-
жал этот интеграл через In x.)
В письме Лейбницу 4 сентября 1696 г. И. Бернулли
показал, что «уравнение Бернулли» dy/dx=p(x)y-\-q(x)yn
сводится заменой z/1~n=z к линейному. Из письма Лейб-
ницу в том же году следует, что И. Бернулли проинте-
грировал уравнение y=xq)(dy/dx)"\-ty(dy/dx), называемое
теперь уравнением Лагранжа. Около 1700 г. И. Бернулли
применил интегрирующий множитель xh для последова-
тельного понижения порядка уравнения Эйлера
a^xndnyldxn-\-aiXn-4n'-''y\dx1l''L-\'... +an-ixdyjdx+any=0.
Добавим к'этому еще то, что И. Бернулли занимался
уравнением Риккати и задачей о колебании струны.
Статья И. Бернулли «Общий способ построения всех
дифференциальных уравнений первого порядка» (Modus
generalis construendi omnes aequationes tlifferentiales pri-
mi grades) [36, 1693, c. 435] содержит идею метода изо-
клин, применяемого при графическом решении уравяежяй
первого порядка. Существо вопроса состоит в следующем.
Общему решению y=*f(z\C) дифференциального уравне-
ния первого порядка i/'=/(#; у) на плоскости соответ-
ствует семейство интегральных кривых. Само уравнение
определяет в каждой точке плоскости значение у\ т. е. уг-
ловой коэффициент касательной к интегральной кривой
в этой точке, Если всюду на плоскости задается значе-
на

ние некоторой величины, то говорят о поле этой вели-
чины. Значит, дифференциальное уравнение задает поле
управлений, и задача нахождения общего решения урав-
нения состоит в отыскании кривых, для которых направ-
ления касательных совпадают с направлениями поля.
Построить интегральные кривые можно с помощью
изоклин (равнонаклонных). Изоклина представляет собой
геометрическое место точек, в которых касательные к
интегральным кривым имеют одно и то же направление.
Иными словами, изоклины дифференциального уравнения
1//==/(л;; у) определяются уравнением /(#; у)=к. При изме-
нении параметра к получим сеть изоклин, а это предоста-
вит возможность построить интегральные кривые.
Уравнение /(#; у)=0 определяет изоклину, на которой
могут находиться максимумы и минимумы интегральных
кривых. Найдем по уравнению yr==:f(x]y) вторую произ-
водную у" и приравняем ее нулю, получим уравнение
df/dx+f(x; y)df/dy=0, определяющее возможное геометри-
ческое место точек перегиба интегральных кривых.
В начале упомянутой статьи И. Бернулли писал:
«Единственно возможным способом полного решения об-
ратной задачи на касательные до сих пор считается раз-
деление переменных в дифференциальных уравнениях
первого порядка, для чего я уже давно придумал много
частных правил. Однако вряд ли можно надеяться найти
общее правило, посредством которого можно было бы в
любом предложенном дифференциальном уравнении про-
извести разделение переменных. Тщательно поразмыслив
над этим, я некоторое время назад задался вопросом,
нельзя ли найти способ решения дифференциального
уравнения без приложения разделения переменных. Те-
перь я наконец преуспел в этом.
Среди многих открытых мною способов настоящий,
видимо, является лучшим; когда он будет обнародован,
то окажется подобным магическому якорю, к которому
следует прибегать в тех случаях, когда терпят крушение
все правила разделения переменных» 13.
Далее И. Бернулли определяет изоклины (называя их
директрисами) как линии f(x',y;k)=0, в точках которых
интегральные кривые имеют один и тот же угловой коэф-
фициент касательной. Интегральные кривые получаются
при смыканищ бесконечно малых отрезков касательных,
проводимых от одной изоклины к другой. Такое построе-
ние приводит к выводу о существовании бесчисленного
множества интегральных кривых. И. Бернулли здесь рас-
114

смотрел также вопрос о наличии точек перегиба инте-
гральных кривых.
В качестве одного из примеров И. Бернулли привел
уравнение x2dx+y2dx=a2dy, встречающееся в некоторых
учебных руководствах и теперь. Он заметил, что относи-
тельно этого уравнения «...еще не установил, может ли
оно быть решено посредством разделения переменных;
если же решить его описанным общим способом, то полу-
чится уравнение х2+у2=ат, из которого следует, что все
направляющие кривые — директрисы — суть концентриче-
ские окружности, общий центр которых расположен в
начале координат...» 14.
И. Бернулли закончил статью так: «Изложенную идею
общего решения дифференциального уравнения первого
порядка можно было бы распространить и на дифферен-
циальные уравнения второго и высшего порядков; тем,
кто располагает большим досугом, я оставляю честь за-
вершения этого» 15.
Таким образом, в статье дано геометрическое доказа-
тельство существования интегральных кривых; намечен
также способ приближенного построения интегральных
кривых, дальнейшее развитие каторого последовало в
письме И. Бернулли Лопиталю, где дано изображение изо-
клин х2-\-у2=к2, нескольких интегральных кривых, линия
точек перегиба интегральных кривых для уравнения
x2dx+y2dx=a2dy.
7
В конце XVII в. Лейбниц ввел в механику понятие
живой силы и выдвинул положение о сохранении живых
сил при механическом движении. Вскоре развернулся спор
о живой силе, продолжавшийся несколько десятилетий.
Спорили приверженцы Декарта, отстаивавшие в качест-
ве меры силы и сохраняющейся величины при движении
количество движения (mv), и сторонники Лейбница, ут-
верждавшие, что сохраняется живая сила (тогда обозна-
чалась ти2). Этот спор имел методологический, философ-
ский подтекст. В ходе него были получены важные ре-
зультаты, приведшие к формулировке закона сохранения
механической энергии.
Страстным, бескомпромиссным сторонником концеп-
ции Лейбница проявил себя в этом споре И. Бернулли.
В работах по механике он обосновал принцип живых
сил и арименил его к задачам о колебаниях физического
115

маятника, о движении тяжелой материальной точки,
об упругом ударе тел, о колебаниях струны, к задачам
гидравлики. Существенна роль И. Бернулли в математи-
зации механики, в переводе ее на язык быстро развиваю-
щегося математического анализа.
И. Бернулли переписывался со многими французски-
ми учеными, в том числе с математиком и механиком
П. Вариньоном. В одном из писем Вариньону, 26 января
1717 г., И. Бернулли сформулировал принцип возможных
перемещений. Он писал: «При всяком равновесии любых
сил, каким бы способом они ни были приложены и в ка-
ком бы направлении они ни действовали одна на другую,
посредственно или непосредственно, сумма энергий поло-
жительных будет равна сумме энергий отрицательных,
взятых с положительным знаком» [2, с. 264].
В «Рассуждении о законах передачи движения», о ко-
тором речь пойдет ниже, И. Бернулли сформулировал
принцип виртуальных скоростей и широко пользовался
им. «Виртуальной скоростью,— писал он,— я называю ту
скорость, которую приобретают две или несколько сил,
находящихся в равновесии, когда им сообщают неболь-
шое движение. Или если эти силы уже находятся в дви-
жении, то виртуальная скорость есть элемент скорости,
на который увеличивается или уменьшается скорость
каждого тела за бесконечно малое время, если считать
направление этого элемента совпадающим с направлени-
ем скорости» [2, с. 71—72]. Лагранж в «Аналитической
механике» положил принцип виртуальных скоростей в
основу статики.
Остановимся подробнее на двух сочинениях И. Бер-
нулли: «Рассуждение о законах передачи движения» и
«Об истинном значении живых сил и их применении в ди-
намике». «Рассуждение» И. Бернулли представил на кон-
курс Парижской академии наук в 1724 г., где было пред-
ложено изучить законы передачи движения применитель-
но к «совершенно твердым телам». И. Бернулли за
«совершенно твердые тела» принял совершенно упругие,
у которых отсутствуют остаточные деформации, а в Ака-
демии наук понятию твердости придавался как раз тот
смысл, который И. Бернулли отвергал, считая его не-
реальным. Поэтому сочинение И. Бернулли получило толь-
ко «похвалу». В 1726 г. Академия объявила новый кон-
курс, на лучшую работу о законах удара упругих тел.
с объяснением физической природы упругости. И. Бер-
нулли опять представил «Рассуждение» с написанным к
116

нему «Добавлением о природе упругости»; упругость в
нем трактовалась чисто механистически.
«Рассуждение» предваряет письмо членам Королевской
академии наук, где И. Бернулли указал, что «он добира-
ется до начала и, охватывая весь объем данной проблемы,
устанавливает из самых принципов механики общий за-
кон, из которого затем выводит как следствия частные
правила для каждого случая» [2, с. 43—44]. Письмо за-
канчивается девизом: «In magnis voluisse sat est» (До-
вольно и того, что хочешь быть среди великих).
В «Рассуждении» автор высказал свое понимание твер-
дости тел, сразу же вслед за этим решил некоторые зада-
чи, в том числе об определении «правильной длины»,
«которую нужно придавать артиллерийским орудиям п
ciволам мушкетов, чтобы они возможно дальше выбрасы-
вали ядро или пулю»; ввел понятие виртуальной скорости,
определил живую и мертвую силы, применил принцип
живых сил к взаимодействию двух тел, между которыми
находится сжатая или спущенная дружина, к удару упру-
гих тел, дал объяснение природы живой силы и установил
меру ее, привел результаты опытов, подтверждавших пра-
вильность найденной меры (mv2), сформулировал и обо-
сновал закон сохранения живых сил, рассмотрел удар
трех и большего числа тел, исследовал сопротивление
различных сред движению, дал способ определения цен-
тра качаний сложного маятника при помощи живых сил.
Работа «Об истинном значении живых сил и их при-
менении в динамике» опубликована в майском выпуске
«Acta Eruditorum» за 1735 г. Она тесно связана с «Рас-
суждением» и содержит дальнейшее развитие принципа
живых сил и обсуждение приложения его к решению
конкретных задач— о центре качания сложного маятни-
ка, об определении колебаний струн с помощью маятни-
ков, о колебаниях музыкальной струны.
Понятию живой силы И. Бернулли дал физическое
истолкование и резко критиковал Гюйгенса, который ввел
ее формально математически. Живая сила «является
чем-то реальным, субстанциальным... имеет свою опреде-
ленную величину, из которой ничего не может пропасть
без Toto, чтобы мы пе нашли снова эту потерю в произ-
веденном действии» [2, с. 221]. В природе никакое дей-
ствие не остается без последствий, «ничтожная часть по-
зитивной причины не может исчезнуть, не производя вза-
мен такого действия, при помощи которого эта потеря мо-
жет быть восстановлена» [2, с. 98J. И. Бернулли уверен,
117

что движение не может возникать из ничего и исчезать
бесследно; это значит, что живая сила сохраняется. Воз-
ражая по этому поводу Ньютону, он писал: «Этим самым
удивительно хорошо подтверждается закон сохранения
живых сил, и совершенно исчезает страх перед тем, что
когда-нибудь в природе исчезнет движение и весь мир
погрузится в страшный хаос. Будем же спать спокойно,
дело обстоит благополучно» [2, с. 247].
И. Бернулли считал живую силу центральным поня-
тием механики; «мертвой силе», т. е. давлению, тяжести,
усилию пружины, не связанным с движением, он отводил
второстепенную роль.
Обе обсуждаемые работы полемичны, полны похваль-
бы. Вот характерные слова И. Бернулли.
«9. В течение долгого времени держались убеждения,
что количество движения, т. е. произведение массы тела
на скорость, является мерой силы этого тела. Ошибочно
полагали, что во вселенной обязательно сохраняется всегда
одно и то же количество движения.
10. Происхождение этого заблуждения, как я уже на-
мекал, происходит от того, что смешивали природу мерт-
вых сил с природой живых сил...
11. И только лет тридцать или сорок тому назад не-
которые лица заметили, что эти две силы совершенно
различной природы... Первым, кто заметил, что эта сила
вовсе не равна произведению массы на скорость, а что
ее мерой является произведение массы на квадрат ско-
рости, был Лейбниц» [2, с. 98—99].
«15. В Англии незадолго до смерти Лейбница взгляд
его был совершенно отвергнут, и о нем даже говорили
с презрением... пытались поднять на смех мнение этого
великого человека о значении живой силы; это не может
не вызвать крайнего удивления со стороны тех, которые
признают истинность этого мнения.
16. Правда, число их еще крайне мало и в остальной
Европе; я, может быть, был первым примерно двадцать
восемь лет тому назад» [2, с. 101].
«Лейбниц первый открыл, что живые силы пропор-
циональны произведению массы на квадрат скорости, но,
как мы об этом уже упоминали, его рассуждения убедили
немногих. Мне думается, что я установил истину этого
положения столь очевидным способом, что отныне она
будет укрыта от каких бы то ни было нападок» [2, с. 129].
«Когда геометры познакомились с моим сочинением
„О движении", напечатанном на французском языке в
iiS

1726 г., и с данным там вразумительным объяснением
природы живых сил, то многие из них, отложивши пре-
дубеждения, тотчас же перешли на нашу сторону» [2,
с. 219].
И. Бернулли не беспокоил вопрос о том, как появи-
лась в некотором теле живая сила: «Unde habeat, quaerat
nemo; sed oportet habene» («Откуда взял,—никто не спро-
сит. Все дело в том, чтобы иметь») [2, с. 233].
«Но, может быть, даже теперь, несмотря на полную
очевидность приведенных доводов, нельзя будет достиг-
нуть того, чтобы те, которые до сих пор упорно отрицали
теорию живых сил, после этого стали относиться к ней
более благосклонно. Конечно, не в наших силах заставить
кого-либо признать, что начинается день, хотя бы было
видно, что над горизонтом поднимается солнце, и хотя
бы наш противник и сам чувствовал, что он должен при-
знать истину, должным образом доказанную. Свое вну-
треннее убеждение и признание можно скрывать, можно
перекрашивать. В особенности если кто считает для себя
дозором то, что этого он так долго не знал или что слава
первого открытия принадлежит не ему и не его сопле-
менникам, а должна быть приписана людям другой на-
циональности. Если бы эту теорию открыл великий Нью-
тон, то,— кто знает,— не рукоплескала бы ему уже давно
вся Великобритания?» [2, с. 244].
«Тем самым делается совершенно ясно, что движение
по природе вещей никогда не может исчезнуть, чего, по-
видимому, боялся Ньютон, напуганный ложными страха-
ми. Посмотри его «Оптику...» Там он рассуждает следую-
щим (если бы это не было написано таким мужем, я бы
сказал,—смешным) образом...» [2, с. 245].
И. Бернулли решил задачу о колебании струны, ко-
торую впервые поставил и рассмотрел Тейлор. И. Бер-
нулли писал: «И если бы Тейлор был теперь жив и имел
бы хоть каплю благородства, то, возможно, это совпадение
(решений.— В. Н.) побудило бы его принять теорию
живых сил» [2, с. 249].
В 1743 г. вышла «Гидравлика, впервые открытая и
доказанная на чисто механических основаниях». Это ис-
следование построено на принципе живых сил и сохра-
нения механической энергии.
В первой части «Гидравлики» И. Бернулли исследо-
вал движение жидкостей в сосудах и цилиндрических ка-
налах, состоящих из нескольких цилиндрических труб.
Вторая часть посвящена изучению движения жидкостей
119

в каналах произвольной формы. И. Бернулли определил
давление жидкости на стенки в состоянии равновесия и
движения, внутреннее давление слоев жидкости. Наряду
с энергетическим принципом он пользовался методом, опи-
рающимся на принцип ускоряющих сил, что равносильно
второму закону Ньютона. Этот метод впоследствии при-
менил Эйлер в исследованиях по гидродинамике.
Работы по механике содержали и общие воззрения
И. Бернулли на природу вещей. Его исследование «Опыт
новой небесной физики...», основанное на теории вихрей,
получило премию Парижской академии наук 1734 г. «До-
бавление к рассуждению о законах передачи движения»
содержало следующее объяснение причин упругости.
С поры, имеющиеся у всех тел, проникает находящаяся
в постоянном движении тонкая материя (эфир), которая
вовлекает в круговое движение различного рода корпус-
кулы (ротаторы), как бы плавающие в тонкой материи.
Эти ротаторы, вращающиеся по различным орбитам, обла-
дают определенной центробежной силой. Сжатие тела
должно сокращать поры, сжимать орбиты частиц, что уве-
личивает центробежную силу и сопротивление тела.
Легко понять, что такие воззрения не могли служить
прогрессу науки.
ДАНИИЛ I БЕРНУЛЛИ
1
Третий гениальный представитель рода Бернулли,
Даниил, занимает среди Бернулли и в науке особое место.
Особенность эта объясняется, во-первых, разносторон-
ностью его научных интересов и значительностью полу-
ченных им результатов практически во всех областях
точного естествознания своего времени, во-вторых, при-
кладной направленностью исследований. В книгах, в ка-
кой-либо мере связанных с историей науки, Даниила Бер-
нулли называют по-разному: физиологом, астрономом,
физиком, математиком^ механиком, гидродинамиком. И не
без основания: Д. Бернулли вместе с Л. Эйлером, И. Бер-
нулли, Ж. Д'Аламбером, Ж. Лагранжем и другими вы-
дающимися математиками и механиками XVIII в. созда-
вал основы классической науки.
В очерке о роде Бернулли говорилось, чго в 1723 г.
120

Д. Бернулли отправился в Венецию для занятии меди-
циной под руководством итальянского врача П. А. Ми-
келотти. За два года до приезда Д. Бернулли в Венеции
была опубликована «физико-механико-медицинская» дис-
сертация Микелотти «О разделении жидкостей в теле
животного» [55], в которой рассматривались вопросы
гидродинамики живых организмов. Она вышла в одном
переплете со вторым изданием медицинской диссертации
И. Бернулли «О движении мускулов» [43], что свидетель-
ствовало о научном авторитете Бернулли среди итальян-
ских ученых и благоприятствовало деятельности Д. Бер-
нулли в Венеции.
С помощью «одного знатного венецианца» Д. Бернул-
ли в 1724 г. издал «Математические упражнения» («Да-
ниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые ма-
тематические упражнения») [38], направленные в защи-
ту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских
ученых. Книга представляет как бы обзор научной дея-
тельности автора за предыдущие годы и содержит многие
идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые ре-
зультаты были опубликованы в «Acta Eruditorum» и ста-
ли достоянием более широкого круга ученых.
«Математические упражнения» состоят из четырех
разделов: три посвящены математике, один (второй) —
приложениям математики к гидравлике и медицине.
В части книги, связанной с математикой, Бернулли поли-
мезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти,
Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой
математике. Здесь содержится много ссылок на работы^
помещенные в разное время в «Acta Eruditorum»; это слу-
жит свидетельством того, что автор был в курсе новей-
ших открытий. Наиболее значима часть книги, посвящен-
ная исследованию дифференциального уравнения Риккати.
Развитие математики в первой половине XVIII в. ха-
рактеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотре-
нием различных классов функций наблюдалось дальней-
шее исследование дифференциальных уравнений и при-
менение их к задачам механики, дифференциальной
геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегри-
ровались как в конечном виде, так и с помощью рядов.
Ко времени опубликования «Математических упраж-
нений» в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были най-
дены способы интегрирования однородных и линейных
уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бер-
нулли.
121

Как известно, однородным уравнением первого поряд-
ка называется уравнение
y'=f(x; у),
в котором правая часть является функцией отношения у/х*
В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких урав-
нений к уравнениям с разделяющимися переменными
подстановкой у=их.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид
y'+P(x)y=Q(x).
Метод решения таких уравнений, когда функция у оты-
скивается в виде произведения двух новых функций
(y=uv), был разработан примерно в то же время и так-
же Лейбницем.
Уравнение вида
y'+P(x)y=Q(x)yn
предложил Я. Бернулли. Оно в 1696—1697 гг. было ре-
шено тем же методом, что и линейное, Лейбницем,
Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли
показали, что оно сводится к линейному подстановкой
К некоторым уравнениям применялся также интегри-
рующий множитель. Я. Бернулли предложил прием пони-
жения порядка к уравнению второго порядка, не содер-
жащему явно одной из переменных, заменой у'=р. Рабо-
та Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как
Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том
же методе.
В 1694 г. в «Acta Eruditorum» И. Бернулли поместил
небольшую статью, в которой упоминалось уравнение
типа Риккати. Он писал: «Я еще не выяснил, можно ли
разрешить дифференциальное уравнение x2dx+y2dx=>
d2dy» i. После этой публикации уравнением
заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его
письма Лейбницу в 1697—1704 гг. «Я бы хотел далее
от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dy=yydx+
+xxdx,— писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697 г.—
Я делал множество попыток, но решение этой задачи
постоянно ускользало от меня». «Кстати, я вспоминаю
другое уравнение dy=yydx+x2dx,— писал он Лейбницу
15 ноября 1702 г.,—в котором мне не удалось разделить
122

переменные так, чтобы уравнение осталось просто диф-
ференциальным; но я разделил их сведением к следую-
щему дифференциально-дифференциальному уравнению:
ddy : y=—x2dx2» 2.
Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в ко-
нечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь
в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к
«Acta Eruditorum» поставил задачу: для уравнения
у'=*ахп+Ъу2 (а и Ъ — постоянные) найти значения ?г, при
которых • оно допускает разделение переменных. Ею за-
нялись Иоганн I, Николай Г, Николай II и Даниил Бер-
нулли, но, кроме Даниила, существенных результатов
никто не получил.
Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении
выразил в виде анаграммы.
В том же выпуске «Acta Eruditorum» была помещена
заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравне-
ние axndx-\~uudx=bdu считается неразрешимым.
Бернулли приступил к исследованию уравнения и
вскоре опубликовал свои результаты в «Математических
упражнениях». Он установил, что уравнение Риккати до-
пускает интегрирование в конечном виде в случаях
n=—4k/(2k±i) (к — целое число). Этот результат пол>
чается посредством сравнительно несложных, но все же
тонких и громоздких выкладок, поэтому нет смысла их
здесь приводить3.
Случай п=—2 рассмотрел Эйлер4. В 1841 г. Лиувилль
доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бер-
нулли и Эйлером, решение уравнения Риккати не сво-
дится к квадратурам и не может быть выражено с по-
мощью конечного числа элементарных функций.
Уравнение
у'+а (х) у2+Ь (х) у+с (х) =0
теперь называют обобщенным уравнением Риккати. Его
исследовал Эйлер и установил, что если известно одно
частное решение У\{х) уравнения, то подстановка
y===yi(x)+l/u(x) приводит его к линейному. Если же из-
вестны два частных решения yi(x) и у2(х), то общий
интеграл уравнения находится одной квадратурой.
Интерес к уравнению Риккати объясняется тем, что
оно встречается при решении некоторых задач механики;
кроме того, к нему можно свести любое линейное урав-
нение второго порядка. И не только это двигало исследо-
вателями, а еще и желание преодолеть возникшую труд-
123

ность, да и честолюбие, надо думать, играло не послед-
нюю роль.
Чтобы показать разнообразие интересов Д. Бернулли
в эту пору и то, как молодой ум набрасывался на труд-
ные проблемы, приведем одну, может быть и несущест-
венную, деталь. Древняя неразрешимая задача квадра-
туры круга просуществовала многие века, будоража умы
математиков всех времен. Гиппо-
крат Хиосский (V в. до н. э.) пы~
yS**^ ^^Ч. тался справиться с квадратурой
f j^0000/\^ круга при помощи квадрируемых
I S^ / \ ФИГУР* ограниченных дугами двух
/ / / окружностей, названных гиппо-
I / / кратовыми луночками. Такую лу-
I / / ночку можно, например, постро-
чу / / ить следующим образом: возьмем
у\/ I четверть круга радиуса г и на хор-
д 0 де ЛС, соединяющей концы ради-
усов ОА и ОС, опишем как оа
Рис» 41 диаметре внешнюю по отношению
к_четверти круга полуокружность
(рис. 11). Тогда АС=гУ2 и площадь четверти большего
круга будет такой же, как площадь меньшего полукруга,
т. е. яг2/4.
Пусть S — площадь луночки, Si, «S2, S3, 54 — площади
соответственно меньшего полукруга, сегмента АС, четвер-
ти большего круга, треугольника О АС. Найдем
поэтому
S==nr2/4~(nr2/4-54)=54.
Итак, S=r2/2. Это значит —луночка квадрируема.
Гиппократ получил три квадрируемые луночки. Д. Бер-
нулли в «Математических упражнениях» указал условие,
которому должны удовлетворять алгебраически квадри-
руемые луночки, и привел уравнение, дающее четвертую
квадрируемую луночку.
Однако луночки Гиппократа задачу о квадратуре кру-
га вперед к решению не продвинули: в 30—40-х годах
XX в. Н. Г. Чеботаревым и А. В. Дородновым доказано,
что существует пять видов квадрируемых луночек, но
они не квадрируемы вместе с кругом.
Вторая часть «Математических упражнений», посвя-
124

щенная вопросам механики, по объему составляет почти
половину книги. Она называется «Вызов на диспут меж-
ду знатнейшим Дж. Риккати и автором». Дело в том,
что Риккати был одним из виднейших представителей
итальянских практиков-гидравликов. Он занимался про-
блемами строительства речных плотин, каналов и других
гидротехнических сооружений, а также теорией истече-
ния жидкостей из отверстий в сосудах — неразрывности
струи, определения скорости истечения, величины расхода,
влияния формы отверстия на скорость истечения и др.
Эти же вопросы занимали и Д. Бернулли: скорость дви-
жения крови в кровеносных сосудах, влияние кровяного
давления на это движение и т. д., что, естественно, при-
водило к задачам гидродинамики.
Д. Бернулли тщательно изучил «Математические на-
чала натуральной философии» Ньютона, во второй книге
которых Ньютон построил гидродинамическую теорию
истечения жидкости из отверстия в дне цилиндрического
сосуда.
В «Математических упражнениях» Бернулли приводит
подробный обзор состояния рассматриваемого вопроса,
а также два письма к нему Риккати от 1724 г. и при-
мечания к этим письмам.
Он упоминает И. Ньютона, Г. В. Лейбница, X. Гюй-
генса, И. I Бернулли, Дж. Джурина, П. Микелотти,
Дж. Полени, Дж. Риккати, исследовавших истечение жид-
костей из отверстий. Он усложнил задачу и рассматри-
вал также истечение через приставленную к боковому
отверстию трубку или насадок. Его интересовало в пер-
вую очередь определение сил давления в покоящихся и
движущихся жидкостях.
К истечению через присоединенную к сосуду горизон-
тальную трубку Бернулли применил принцип равновесия
двух цилиндрических объемов внутри жидкости, выдви-
нутый Гюйгенсом и Ньютоном при изучении равновесия
вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массы,
находящейся в поле силы тяжести. Его подход к явле-
пию означал шаг вперед от представления гидростатиче-
ского давления в духе Паскаля к толкованию внутрен-
него давления по Эйлеру. Он воспользовался гипотезой
Торричелли о разделении струи на капельки, а также
гипотезой Ньютона о движении струи как целого и ут-
верждал, что капелька находится под действием силы
давления вертикального столба жидкости над ней, а так-
же реакции вытекающей струи. Это объяснимо с точки
125

зрения принципа равенства действия и противодействия.
Обсуждая гипотезу Торричелли и другие вопросы,
Д. Бернулли часто обращался к упомянутой выше дис-
сертации Микелотти «О разделении жидкостей в теле
животного». Биографы Д. Бернулли считают, что изуче-
ние ее и общение с Микелотти определили его деятель-
ность на ближайшие десять — пятнадцать лет главным
образом в гидродинамике. Медицинские задачи станови-
лись для него гидродинамическими. Многие идеи, выска-
занные Д. Бернулли в «Математических упражнениях»,
найдут свое развитие в знаменитой «Гидродинамике»;
там будут помещены некоторые рисунки из «Математиче-
ских упражнений», рассуждение о капельках, будет при-
менен к явлению истечения принцип равенства действия
и противодействия и т. д.
В 1725 г. Д. Бернулли вместе с И. Бернулли получил
первую премию на объявленном Парижской академией
наук первом конкурсе на тему «О средствах сохранять
равномерность водяных или песочных часов на море».
Считается, что этот успех исследования по прикладной
механике определил постоянный интерес Д. Бернулли к
практическим задачам.
В конкурсном решении задачи о клепсидре (водяных
часах) Д. Бернулли применил принцип неразрывности
Gv=OoV0 (a — площадь снижающейся со скоростью v по-
верхности, о0 —площадь отверстия, соединяющего сосуды
клепсидры, и0 — скорость истечения из него) и формулу
Торричелли Uo=y2gy. Из этих соотношений он получил
уравнение образующей клепсидры, у которой обеспечи-
вается убывание уровня воды в верхнем сосуде с постоян-
ной скоростью. Такие задачи, в которых применяются
условие неразрывности и формула Торричелли, решал
Д. Бернулли в последующие десять лет в большинстве
своих работ по гидродинамике.
Известно, что 5 июля 1725 г. был подписан контракт,
по которому Д. Бернулли предоставлялось место профес-
сора физиологии Петербургской академии наук с жало-
ваньем 800 рублей в год; 27 октября 1725 г. он вместе
с братом Николаем II Бернулли, получившим профессуру
по кафедре математики с окладом 1000 рублей (самым
высоким из всех платившихся академикам — составлял 4%
от суммы, отпущенной Петром I на организацию акаде-
мии), прибыл в Петербург. В духе механистических воз-
зрений XVII—XVIII вв. Д. Бернулли на кафедре анато-
мии и физиологии намеревался с помощью механико-ма-
126

тематических методов изучать тайны живой природы. Он
хотел открыть «новую эдоху в физиологии» (из письма
Гольдбаху от 17 июня 1730 г.). Произошло же совсем
иное: открытия Д. Бернулли легли в основу гидродинами-
ки, гидравлики, физиологии; они применяются в геоло-
гии, при исследовании динамики звезд, в других областях
точного естествознания.
Уже упоминалось, что 4 декабря 1725 г. на собрании
академиков Д. Бернулли сделал сообщение «Возражение
Питкарну против его теории о выделении соков в теле
животного». На эту же тему через две недели он сделал
второй доклад. Впоследствии тематика исследований
Д. Бернулли изменилась: он стал изучать движение мышц
человека и животных.
В связи с этим встали чисто механические задачи,
одределившие сообщения Д. Бернулли: «О сложении и
разложении сил» (1 февраля 1726 г.), «Геометрические
доказательства к рассуждению о сложении сил» (14 июня
1726 г.) и первые публикации в первом томе «Коммен-
тариев» Петербургской академии наук (1728) — «Иссле-
дование принципов механики и геометрические доказа-
тельства относительно сложения и разложения сил»,
«Опыт новой теории движения мускулов». В этих рабо-
тах Д. Бернулли развивал идеиг изложенные И. Бернул-
ли в диссертации «О движении мускулов».
Смерть Николая Бернулли омрачила первые годы
жизни Д. Бернулли в Петербурге. На заседании Акаде-
мии наук 1 августа 1726 г. императрица Екатерина I
выразила Д. Бернулли свое соболезнование.
Вскоре умерла Екатерина I; пришедший на престол
Петр II переехал в Москву, куда отправился и президент
академии Блюментрост. Фактическим руководителем ака-
демии стал бывший библиотекарь Петра I И. Д. Шумахер,
и это не благоприятствовало работе академии.
По инициативе и настоянию Д. Бернулли в 1727 г.
в Петербург был приглашен великий Л. Эйлер. Он занял
место адъюнкта на кафедре анатомии и физиологии и
подготовил трактат «Основы движения крови по арте-
риям». Но интересы Эйлера лежали в другом русле: его
занимало как развитие самой математики, так и примене-
ния ее к механике, физике, астрономии, и в 1731 г. он
перешел на кафедру физики, в 1733 г.—на кафедру ма-
тематики.
По распоряжению президента Академии наук Блго-
меятроста каждый профессор обязан был написать какой-
127

либо трактат. К 1729 г. у Д. Бернулли созревает идея
написать книгу по физиологии, первой частью которой
должен быть большой трактат по гидравлике. Об этом
можно узнать из его писем своим корреспондентам. Так
возник план «Гидродинамики». Нужно сказать, что ис-
следования Д. Бернулли по механике, математике, физи-
ке мыслились как вспомогательные для решения задач
физиологии. Однако время распорядилось не так.
2
Приближенное решение уравнений интересовало ма-
тематиков пусть не во все времена, но, во всяком случае,
с давних пор. Ведь когда нет алгоритма точного реше-
ния, желательно решить уравнение хотя бы приблизи-
тельно, а если еще и с требуемой точностью, то совсем
хорошо.
В настоящее время математики располагают набором
методов приближенного решения любых типов уравне-
ний, методов простых и доступных даже для людей,
не располагающих специальной математической подготов-
кой. Таков, например, метод половинного деления: отре-
зок, содержащий действительный корень уравнения, де-
лится пополам, потом одна из половин (содержащая
корень) делится еще раз пополам и т. д., пока не будет
достигнута нужная точность. В качестве приближенного
значения корня тогда берется среднее арифметическое
абсцисс концов последнего отрезка. Очевидно, метод мало
пригоден для счета без технических средств; кроме того,
он груб.
Есть более тонкие методы, к которым относится метод
хорд, когда через концы содержащего корень отрезка
проводится хорда и находится точка пересечения ее с
осью Ох, затем на новом отрезке проводится новая хорда
и т. д. Абсциссы точек пересечения хорд с осью Ох и дают
приближенные значения корня.
Таков же метод касательных (метод Ньютона); здесь
проводится не хорда, а через соответствующий конец со-
держащего корень отрезка касательная к графику функ-
ции /(#), задаваемой уравнением /(я)=0, потом еще ка-
сательная, на новом интервале, и т. д. За значения кор-
ня берут абсциссы точек пересечения касательных с
осью Ох. Чаще всего комбинируют методы хорд и каса-
тельных и получают последовательные приближения к
корню уравнения с обеих сторон. Конечно же, есть и дру-
гие методы.
128

Перед пользованием любым из упомянутых методов
необходимо отделить действительные корни уравнения,
иными словами, найти интервалы, на каждом из которых
может находиться не более одного корня, чтобы потом
применять соответствующий алгоритм. Это достигается
просто: известно, что если непрерывная функция f(x)
монотонна на некотором интервале (только возрастает
или только убывает на нем) и на концах интервала
принимает значения разных знаков, то внутри его нахо-
дится единственный корень уравнения f(x)=0. Значит,
пробами легко найти такие интервалы.
Может показаться странным, что на ЭВМ реализует-
ся грубый, но удобный для машин метод половинного
деления. Объясняется это тем, что вычислитель не оза-
бочен заданием машине большого количества операций,
а программа до примитива прозрачна: дели все время ин-
тервалы пополам и наблюдай, получается ли желаемая
точность.
В 1732 г. Бернулли опубликовал работу «Замечания
о рекуррентных последовательностях» [44, 1732, т. 3],
где изложил метод решения алгебраических уравнений,
не нуждающийся в предварительном определении границ,
между которыми лежат положительные и отрицательные
корни.
Слово рекуррентный означает возвратный. Рекуррент-
ными формулами в математике называются такие, в ко-
торых какая-либо последующая величина вычисляется
через предыдущие. Таковы же и последовательности.
Именно: последовательность называется рекуррентной,
если ее п-й член выражается через некоторые предыду-
щие линейно: an=aian-i+a2an-2+ ••• +aftan-ft. К рекур-
рентным последовательностям относятся, например, из-
вестные геометрическая и арифметическая прогрессии,
для которых an=an-iq, an=an-i+d, где q — знаменатель
геометрической прогрессии, d — разность арифметической.
Могут быть и рекуррентные степенные ряды, т. е. ряды,
коэффициенты которых образуют рекуррентные последо-
вательности. Такие ряды рассматривал до Д. Бернулли
А. Муавр в «Philosophical Transactions» за 1722 г. А. Му-
авр пришел к ним при решении одной вероятностной
задачи.
Д. Бернулли предложил свой метод решения уравне-
ний без обоснования, которое дано было впоследствии
Л. Эйлером, в 17-й главе первого тома «Введения в ана-
лиз бесконечных» (1748). Эйлер исследовал также усло-
5 В. \. Никифоровский
129

вия применения метода при двух корнях вида ж4——x2l
кратных действительных корнях, мнимых корнях и др.
Ознакомимся с методом Д. Бернулли в терминах, упо-
требляемых теперь5.
Рассмотрим уравнение
а0хп + аххп~х + а2 хп~2 + ... + ап = О (1)
и предположим, что оно имеет действительные различ-
ные корни Xi, х2,..., хп. Составим конечно-разностное
уравнение
аоУпн + «ltfn+i-i + • • • + апуг = 0 (i = 0, 1, 2, ...),
(2)
в которое войдут коэффициенты ah (&=0; 1; 2;...) урав-
нения (1). Уравнение (2) представляет собой рекуррент-
ное соотношение для последовательности
Уоу Уи 2/2,. . .,Уи • •• (3)
Эта последовательность определяет решение конечно-раз-
ностного уравнения (2). Для нахождения решения у{
нужно задать п начальных значений y0j yi,...,yn-u
остальные ущ yn+i1... можно определить из уравнения (2).
В теории конечных разностей доказывается, что если
корни хи x2l...,xn уравнения (1) различны, то решения
конечно-разностного уравнения (2) имеют вид
ух=С1х\ + С2х\ -ь .. . + Спх\ (i = 0, 1,2,...), (4)
где Ci, С2,.. .,Сп — произвольные постоянные, которые
можно определить из начальных условий:
Уо = Сг+ С2 + • . . + Сп,
У\ = Сххг + С2х2 + . . . + Спхп, (5)
Уп-i = ^ i^i С2х2 +...-{- Спхп .
Докажем теорему: если алгебраическое уравнение (1)
имеет единственный наибольший по модулю корень хи
то отношение двух последовательных членов ylV\ и у{ ре-
шения конечно-разностного уравнения (2) стремится при
i-*oo к пределу, равному Xti
lim = хг.
i-oc У,
(Как раз это и утверждал Д. Бернулли в упомянутой
выше работе).
130

Предположим, что |#i|>|#2|^ ••• ^|#п|. Если корни
Хн (^=1, 2,..., п) различны, то из (4) получим
Ух = А [С1 + С* [Хъ\хх)% + . . . + Сп (xJXi)1],
yi+1 = 4+1 [Сг + С2 (sa/sx)*" + .Я. + Сп (Хп/ъГ1]-
Найдем теперь
У1+1 _ С\Сг (х./хгГ1 + . . . + Сп (хп/Х1)М
у{ —Xl С, + С2 (xjxj *+, . . + Сп (xjxtf #
Пусть Ci=0. Перейдем в последнем равенстве к пределу
при i->°° и учтем, что (#2/#i)l'-*0; (xJx2)i-*'0;...;
{xJxiY-^О. Получим то, что и требовалось доказать.
Может быть так, что С4=0, но С2=^0. Тогда указанный
предел будет равен другому, наибольшему по абсолютной
величине, корню уравнения.
В случае, когда отношение yi+Jyi колеблется и не стре-
мится к определенному пределу, предполагается, что у
уравнения есть наибольшие по модулю комплексные
корни.
Сделаем в уравнении замену x=>l/z. После этого по
методу Бернулли найдется наименьший по модулю от-
личный от нуля корень.
Реализация метода Бернулли производится так. Сна-
чала задаются произвольные числа у0; yi9..., yn-i, затем
по формуле
1
Уп+г = — — {<*>пУг + Ъп-\У\-\ + • • • +
"О
+ a1yn+i.1) (i = 0,l,2,. ..)
находятся числа уп, yn+i, i/„+2,... и отношения yjyn-u
yn+i/ущ*.. Если отношение уп+11уп+г^.при возрастании i
стремится к некоторому числу, то его принимают за наи-
больший по модулю корень уравнения (1). Если же отно-
шение с ростом i к пределу не стремится, то уравнение
может иметь несколько наибольших по модулю корней
или же это будет свидетельством того, что для выбранных
у о, у и ... значение Ci=0.
Начальные значения y0l i/i,..., yn-i выбираются про-
извольно; обычно полагают i/o=i/i= ... =г/п-2=0, yn-i=i-
Метод Бернулли применяют также для нахождения
комплексных корней уравнения (1).
5* 131

3
В публикации 1738 г. [44, 1738, т. 5] Д. Бернулли
распространил метод рекуррентных последовательностей
на случай рядов.
Здесь нужно сказать следующее. У человека, знакомо-
го с математикой поверхностно, может возникнуть вопрос:
как вдруг появились ряды? Дифференциальное и инте-
гральное исчисления возникли в связи с необходимостью
решать конкретные механические и геометрические за-
дачи, не поддававшиеся средневековой и античной мате-
матике. А ряды? Они на первый взгляд кажутся крайне
искусственными. Но это глубокое заблуждение. Ряды
возникли одновременно с дифференциальным и интеграль-
ным исчислениями, и теория их строилась Ньютоном,
Лейбницем, представителями семьи Бернулли и последую-
щими математиками. И при изучении их деятельности
рельефно выступают ее проблематика и методология.
С рядами дело обстояло так же естественно, как и с
другими важнейшими разделами математики, получивши-
ми бурное развитие в XVIII в.: они применялись там,
где другие средства исследования отказывали. Степенные
ряды давали возможность приближенно решать уравне-
ния, вычислять значения функций, вычислять интегралы,
не выражающиеся через конечное число элементарных
функций, решать дифференциальные уравнения, не ин-
тегрируемые в конечном виде.
Под влиянием отца Д. Бернулли занялся изучением
малых колебаний грузов, подвешенных на гибкой нити,
а также однородного тяжелого подвешенного каната. Ре-
зультаты исследований он изложил в двух статьях, опу-
бликованных в 1738 и 1740 гг. [44, 1738, т. 6; 1740, т. 7].
Обозначив через у отклонение точки каната от вер-
тикального положения равновесия и через x=l—s раз-
ность между длиной каната и длиной дуги s от точки
подвеса, Д. Бернулли составил линейное дифференциаль-
ное уравнение второго порядка
nxd2y/dx2+ndy/dx+y=0
и получил решение его в виде ряда
y=l-xln+x2/4n2-xsl4.9п3+хЧ4-9- 16га4- ...;
тем самым он открыл функцию6 1о(2Ух/п), названную
впоследствии бесселевой. В точке подвеса х=1 и у=0,
поэтому
l-Z/ra+Z2/4ra2-Z74-9/is+ ... «0.
132

Д. Бернулли высказал предположение, что это уравнение
имеет бесчисленное множество корней, и нашел первые
два из них.
Математики XVIII в. умели отличать сходящиеся ряды
щ+иг+щ+ ... +ик+ ..., у которых существует предел
п
последовательности частичных сумм Sn = 21 ик при
п-+оо, от расходящихся, хотя терминология и строгая тео-
рия только еще создавались.
В оценке расходящихся рядов мнения математиков
были различными. Николай I Бернулли, Вариньон, в мо-
лодости Д. Бернулли, Д'Аламбер, Лагранж не видели воз-
можности пользоваться ими. Некоторые же придержива-
лись другой точки зрения. Лейбниц, например, пытался
обосновать «равенство» 1—1+1—1+ =1/2, получаю-
щееся, если в ряде 1/(1+#)=1—х+х2—х3+ ... положить
#=1. Гольдбах в переписке 1724 г. с Д. Бернулли пытал-
ся объяснить «равенства» 1—2+4—8+.. .=1/(1+2) и
1+2+4+8+ =1/(1—2) тем, что нужно делать разли-
чие между 1/(1+2) и 1/3 и 1/(1-2) и -1.
Исследование расходящихся рядов диктовалось тем,
что при решении некоторых задач они оказывались по-
лезными. Так было в асимптотических представлениях
функций, примененных еще Ньютоном в 1669—1671 гг. для
вычисления частичных сумм общего гармонического ряда;
позднее они получили значительное распространение7.
Асимптотическими рядами пользовались Эйлер, Лагранж,
Маклорен, затем Лаплас, Лежандр и еще многие мате-
матики. Но и другие расходящиеся ряды, не только асим-
птотические, находили применение в анализе как для
приближенных вычислений, так и для различного рода
преобразований.
Предполагается, что Д. Бернулли изменил свое отно-
шение к расходящимся рядам под влиянием Эйлера, мно-
го занимавшегося ими. В «Дифференциальном исчисле-
нии» (1755) Эйлер исследовал ряд с остаточным членом
1/(1—х)=1+х+х2+ ... +xn+xn+i/(l—x) и указал, что,
когда —1<ж<1, остаток при тг-><» стремится к нулю, по-
этому сумма ряда в обычном смысле будет 1/(1—х). Когда
же значение х выходит из интервала (—1; 1), частичные
суммы не стремятся ни к какому пределу. Говорят, что
в таких случаях ряд не имеет суммы. Но, рассуждает
Эйлер, отказ от расходящихся рядов лишал бы математи-
ку некоторых интересных результатов, получаемых с их
133

применением. Эйлера поражало то, что с помощью лож-
ных средств находятся верные результаты.
Это противоречие он разрешает так: «И вот я говорю,
что вся трудность кроется в названии «сумма». Действи-
тельно, если под «суммой» ряда понимать, как это обычно
делается, результат сложения всех его членов, то нет
никакого сомнения, что суммы можно получить только
для тех бесконечных рядов, которые являются сходящи-
мися и дают результаты, тем более близкие к некоторому
значению, чем больше членов складывается. Расходящие-
ся же ряды, члены которых не убывают..., вообще не будут
иметь никаких определенных сумм, если только слово
«сумма» понимается в смысле результата сложения всех
членов.
Этих затруднений и кажущихся противоречий мы из-
бежим, если мы припишем слову «сумма» значение, от-
личное от обычного. А именно: мы скажем, что сумма
некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение,
из разложения которого возникает этот ряд. В этом смыс-
ле у бесконечного ряда 1+х+х2+ и т. д. истинная его
сумма будет равна 1/(1—х), ибо этот ряд происходит из
разложения этой дроби, какое бы число ни подставить
вместо х. При этом соглашении если ряд будет сходя-
щимся, то новое определение слова «сумма» совпадает
с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют ни-
какой суммы в собственном смысле слова, то из этого
нового определения не проистечет никаких неудобств.
Приняв это определение, мы сможем сохранить выгоды
пользования расходящимися рядами и в то же время за-
щититься от всяческих обвинений» [32, с. 101].
Таким образом, Эйлер ввел понятие обобщенной сум-
мы ряда, которая обладает тем свойством, что для сходя-
щихся рядов совпадает с суммой ряда в обычном смысле.
Сейчас говорят, что такой метод суммирования регулярен.
Однако в связи с основным принципом Эйлера,— сум-
ма всякого ряда будет значением того конечного выраже-
ния, из которого получен ряд,—возникла трудность, со-
стоящая в том, что один и тот же ряд может порождаться
двумя различными выражениями. На нее указал Эйлеру
Николай I Бернулли в переписке 1743 г. В письме Гольд-
баху в 1745 г. Эйлер сообщает: «Притом он не привел
никакого примера, я же совершенно уверен, что никогда
один й тот же ряд не может возникнуть из разложения
двух действительно конечных выражений» 8.
Ш

Через 50 лет Кайе привел такой пример: ряд 1—1+
+1— ... получается, когда в разложение (1+#+ ...
...+хт-*)/(1+х+ ...+*"-') = (1-хт)1(1-хп)=1-хт+хп-
—хп+т+х2п—... при любых т и п(т<п) подставляется
#=1. По принципу Эйлера тогда сумма ряда 1—1+1—...
может быть любой, т/п.
Лагранж объяснил этот парадокс: дробь (1—хт)1{1—хп)
порождает степенной ряд не вида
11(1+х)=1-х+х2-х3+...,
а ряд с пропусками, и противоречие оказывается кажу-
щимся.
Утверждение Эйлера, истолкованное надлежащим об-
разом, по словам Г. Харди, «верно ибо сходящийся сте-
пенной ряд обладает единственной порождающей его
функцией» [30, с. 29]. И все же для произвольных функ-
циональных рядов (не степенных) утверждение Эйлера
становится неверным; сам Эйлер видел недостаточную
обоснованность найденных им методов суммирования9.
В 1772 г. Д. Бернулли опубликовал работу «О сумми-
ровании парадоксально правильных рядов, их толковании
и применении» [57, 1772, т. 16], где привел соображения
в пользу употребления расходящихся рядов. В начале
работы он пишет: «Общим свойством рядов, главным об-
разом рекуррентных, является то, что они, будучи про-
должены до бесконечности, иногда показывают сумму,
явно неверную in concreto, хотя вовсе не абсурдную
in abstracto. В самом деле, только та сумма, которой нас
учит анализ, опирается на некое достаточное основание,
в силу которого она должна быть определена так, а не
иначе. Это достаточное основание, поскольку заключается
в истинной природе вопроса, не допускает, чтобы реше-
ние было неверным in abstracto; этим и объясняется то,
что если мы применим различные способы решения, то мы
всегда и постоянно будем получать одно и то же значе-
ние. Более того: если мы не применим это парадоксаль-
ное решение как промежуточное звено для определения
при помощи его других величин, значение которых не
подвергается никакому сомнению, то определенное нами
значение явно окажется правильным,— это будет совер-
шенно так же, как в тех случаях, когда вещественные
количества получаются при помощи мнимых количеств» 10.
Д. Бернулли рассматривает ряд 1/(1+#)=1—х+х2—
—#3+... при х=1 и отмечает, что почленное интегриро-
вание его и подстановка х=1 дает правильное значение:
135

In 2=1—1/2+1/3—1/4+... Но ведь правильный результат
нельзя получить из ложной предпосылки.
Бернулли обращается к предложенному Лейбницем
оо
ряду S (— 1)П» частичные суммы которого равны нулю
71=0
при четном числе слагаемых и единице при нечетном.
Бернулли вслед за Лейбницем утверждает, что сумма это-
го ряда равна 7г. «То, что в сущности эта сумма не
истинна и не ложна, во-первых, очевидно само по себе,
а, во-вторых, это ясно из того, что из ложного истинное
никогда не может быть получено при правильных мето-
дах решения, а, как мы увидим из изложенного ниже,
это может получиться» и.
Новый метод суммирования Д. Бернулли приложил к
оо
периодическим колеблющимся рядам S иь гДе ПРИ
fc=0
определенном р и произвольном п будет ип+р=ир и
ы0+&1+ •.. +ир-1=0. Обобщенная сумма такого рекур-
рентного ряда вычисляется как предел среднего арифме-
тического частичных сумм при п-+<х>;
lim —;
П-+ос
здесь 5о=Но; Л—Bo+Bi; £2=ио+и1+и2; 5„_i=h0+iii+...
. . . +B«-i.
Бернулли пишет так: «Если первый член периода бу-
дет а, сумма двух первых членов — 6, сумма трех первых
членов — с и т. д. до полного исчерпания всего периода
и если п будет число членов, образующих период, то наш
принцип дает сумму бесконечного рекуррентного ряда,
равную
(a+b+c+...)/n»i2.
Именно таким приемом воспользовался Лейбниц при
рассмотрении ряда 1—1+1—1+...
Бернулли применяет свой метод к тригонометрическим
рядам по синусам и косинусам кратных дуг и приводит
пример
оо
VI . sin я
> Sin ПХ я -и о •
^j 2 — 2 cos ж
Бернулли замечает, что не может привести обосно-
вание метода, который ему «ясен сам по себе», но «дру-
гие могут чувствовать иначе».
138

Лаплас оценивает метод Бернулли так: «Лейбниц, все
еще руководимый странной и очень развязной метафизи-
кой, считал, что ряд плюс единица, минус единица, плюс
единица и т. д. делается единицей или нулем в зависи-
мости от того, остановиться ли на нечетном или четном
числе членов; и ввиду того, что нет никакого повода
предпочитать четное число нечетному в бесконечности,
должно, согласно правилам вероятностей, взять половину
результатов, которые относятся к этим двум рядам чисел
и которые равны нулю и единице, что дает 7г для число-
вого значения ряда. Даниил Бернулли распространил за-
тем это рассуждение на суммирование рядов, составлен-
ных из периодических членов. Но все эти ряды, собст-
венно говоря, не имеют числового значения: они его по-
лучают только в том случае, когда их члены умножаются
на последовательные степени какой-либо переменной,
меньшей единицы. В этом случае эти ряды всегда явля-
ются сходящимися, как бы ни была мала предполагаемая
разница между переменной и единицей; и легко дока-
зать, что числовые значения, определенные Бернулли на
основе теории вероятностей, являются именно числовыми
значениями дробей, образующих ряды, когда переменная
в этих рядах предполагается равной единице. Эти число-
вые значения являются также пределами, к которым все
более и более приближаются ряды, по мере того как пе-
ременная приближается к единице. Но когда переменная
как раз равна единице, ряды перестают быть сходящи-
мися; они имеют числовое значение постольку, поскольку
их прерывают» [14, с. 160—161].
В этом высказывании можно усмотреть отголоски того,
что было в период создания математического анализа,
когда возник продолжительный спор по основаниям его,
вызванный нападками на методы исчисления бесконечно
малых со стороны известного философа-идеалиста еписко-
па Д. Беркли, выпустившего в 1734 г. направленный про-
тив математиков памфлет «Аналист».
А. П. Юшкевич в «Истории математики» [10, с. 311—
312] указывает, что Д. Бернулли не постулировал своим
методом определения суммы расходящегося ряда и что
нахождение условий применения обобщенных методов
суммирования превосходило возможности математики
XVIII в. Операции над расходящимися рядами проводи-
лись без достаточной осторожности и приводили иногда
даже выдающихся математиков к неправильным резуль-
татам.
137

Когда в XIX в. в трудах Больцано, Абеля, Коши раз-
рабатывалась строгая теория рядов, многие математики
стали пренебрегать расходящимися рядами. Но полного
забвения такие ряды все же не получили. И именно на
базе теории сходимости и созданной в XIX в. теории ана-
литических функций методы Эйлера и Д. Бернулли обрели
пробную основу. «В этот золотой век,— писал Ж. Ада-
мар,— математики часто пользовались в принципе идеей
аналитического продолжения, тогда как для того, чтобы
получить общее его определение, пришлось ждать Когпи
и Вейерштрасса» [29, с. 120].
В 1773 г. в 17-м томе «Новых комментариев Петер-
бургской академии наук» Д. Бернулли опубликовал ра-
боту «Об особенности бесконечных рядов, образованных
синусами или косинусами углов, следующих в арифмети-
ческой прогрессии, и об их суммировании и употребле-
нии» [57, 1773, т. 17]. Он показал, что тригонометриче-
ский ряд представляет некоторую функцию только на
конечном интервале. Он привел разложение
оо
Zsinnz л х
п — ~г~ У
71=1
справедливое в промежутке (0; 2я), и отметил скачок сум-
мы ряда от —я/2 до я/2 при переходе через значение
#=2я. Проинтегрировав ряд почленно в пределах от 0
до х, Бернулли получил новый ряд cos #+(cos2.z)/22+
+ (cos3^)/32=C—я#/2+#2/4. Постоянную С найти просто.
Подставим в ряд #=я/2, получим —1/22+1/42—1/62+. , *
... =С-я2/4+я2/16;
(—1+1/22—1/32+.. .)/4=С-Зя2/16.
Подставим теперь #=я, найдем
—1+1/22—1/32+1/42— ... =С-я2/2+я2/4=С-я1/4.
Обозначим -1+1/22-1/32+1/42- ... =4 13, тогда
Л/4-С-Зя*/16, Л=С-я2/4,
Л=4С-Зя2/4, Л=£-я2/4,
4С-Зя2/4~С-я2/4, С-я2/614.
Значит,
cos z+ (cos 2x) /22+ (cos Зх) /32+.. .=л76-яя/2+я2/4.
133

Таким же образом Д. Бернулли суммирует ряды
оо оо оо
V^ sinwx V^ со пх ^Г! sin nx
2j п3 ' 2-J n5"' 2j '^_"
Кроме того, он получил разложение
, cos 2х . cos Зг , 1 , 1
C03S + —g-+-— + •••= Т 1п 2(1-сов*)'
справедливое при 0<#<2я.
Последняя работа Д. Бернулли по рядам напечатана
в 1774 г. [57, т. 18, с. 3—23] и содержит возражения
аббату Ш. Боссю, опубликовавшему в 1769 г. работу о
вычислении конечных тригонометрических сумм. Бернул-
ли пишет: «После того как в упомянутых моих работах
я вывел и обстоятельно доказал, сколь несообразна сум-
ма, хотя и найденная надлежащим путем и надежно под-
твержденная многими методами, между собой весьма
различными, после этого я вспомнил подлинное объясне-
ние всей тайны, которую я некогда наблюдал, когда про-
живал в Петрополе, и, воспользовавшись этим случаем,
подробнее развернул этот метафизический вопрос, по мое-
му разумению недоказуемый геометрическим путем.
После же всего я обнаружил новые формулы Боссю,
упомянутые в § 1... и у меня появилось желание иссле-
довать, что же эти формулы укажут, если число членов
будет взято бесконечным, так, чтобы боссютово [реше-
ние] могло сойтись с моим» 15.
Упомянутая здесь работа содержала формулы для
сумм синусов и косинусов кратных дуг. Бернулли срав-
нивает одну свою формулу с соответствующей формулой
Боссю при тг-><*>, что дает
sin q[l—cos q—cos°°q—qos (°°+l)q]/(l—cos2g) =
=sin g/2(l—cosq).
По этому поводу он пишет, что его «формула, стоящая
справа, свободна от всякого кривотолка; боссютова же
загадка (слева от знака равенства.— В. Н.) с первого
взгляда кажется неразрешимой» 16.
И не только изложенным выше ограничиваются до-
стижения Бернулли в изучении рядов. Важнейшее из
них — представление решения волнового уравнения три-
гонометрическим рядом — будет обсуждаться ниже. Ука-
жем также, что Д. Бернулли был первым, кто близко
подошел к понятиям числа е и гамма-функции.
139

В письме Гольдбаху от 30 января 1729 г. Д. Бернулли
по существу получил число е как значение ж, при котором
функция xi/x достигает максимума. Он записал его в виде
/ А + 1 \А
(—2—) ПРИ ^==0°- Здесь же он выразил это значение
с помощью ряда
1+1/1+1/1 -2+1/1-2-3+...
Число е играет в математике (и других смежных
науках) безусловно выдающуюся роль, поэтому уместно
сказать о нем несколько слов.
Символ е появился вначале в письме Эйлера Гольдба-
ху от 25 ноября 1731 г. В печати же букву е впервые
употребил Эйлер во втором томе «Механики», изданном
в 1736 г. В работе 1743 г., напечатанной в «Miscellanea
Berolinensia». Эйлер указал, что ez=lim(l+z/n)n и этим
л -»оо
обобщил результат Д. Бернулли, который выразил пре-
дельное значение (1+1/дг)п с помощью приведенного выше
ряда при 2=1. Во «Введении в анализ» (1748) Эйлер
по ряду 1+1+1/1-2+1/1-2-3+... вычислил значение б
с 23 десятичными знаками. После «Введения в анализ»
обозначение е вошло в математику, сменив ранее упо-
треблявшуюся букву с.
Вышедшая в 1656 г. «Арифметика бесконечных»
(«Arithmetica infinitorum Oxoniae») Д. Валлиса содержа-
ла удивительное бесконечное произведение
4/я=3-3-5-5-7.7.9-9.../2-4-4.6-6-8-810...
Валлис получил его изящным интерполированием беско-
нечной последовательности в связи с решением задачи о
квадратуре круга.
В XVIII в. интерполирование последовательностей за-
интересовало математиков, потому что была подмечена
связь его с суммированием рядов. Гольдбах в письме
Николаю II Бернулли от 2 января 1722 г. сообщил, что
может представить в виде ряда промежуточные члены
последовательности, например средний между первым и
вторым для последовательности 1; 1-2; 1-2-3; ...; иными
словами факториал числа 3/2, т. е. (3/2)!
Полученные результаты Гольдбах изложил в статье
«Об общих членах рядов» (1732). К тем же вопросам он
обращался в 1728—1729 гг, в переписке с Д. Бернулли
(Гольдбах тогда находился в Москве). Д. Бернулли в
140

письме Гольдбаху от 17 октября 1729 г. привел выраже-
оо
ние для общего члена ряда 2j n\ в виде произведения
П=э1
{А +т)х1(тт^' т+7 • • • т=т+т)f
где А — «бесконечное число». Для величины (3/2)! он
получил значение 1,3005. Так был осуществлен подход
к открытию гамма-функции.
Вскоре решением этой задачи заинтересовался Эйлер,
живший в одном доме с Д. Ббрнулли и знавший содер-
жание его переписки с Гольдбахом. Эйлер получил ис-
черпывающие результаты в этой области математики.
Гамма-функция, или интеграл Эйлера второго рода,
является одной из важнейших функций (после элемен-
тарных) в математическом анализе и его приложениях.
Она определяется как бесконечное произведение
„=, 1 + -
где значение х отлично от нуля и от всех целых отрица-
тельных чисел. Она же определяется с помощью инте-
грала
оо
Г (а) = J za'1e^dx9
о
зависящего от параметра а.
Гамма-функция обладает следующим свойством:
Г(лг+1)=лг!
Это означает, что она является распространением на все
положительные значения аргумента факториала п\, вве-
денного лишь для натуральных чисел п.
4
Теорией вероятностей, как известно, занимались Якоб,
Николай I и Даниил Бернулли, но имя свое в этой науке
оставил лишь Якоб. Несмотря на это, работы Даниила
оказали значительное влияние на развитие теории веро-
ятностей. Достаточно сказать, что Лаплас в «Опыте фи-
лософии теории вероятностей» неоднократно упоминал
Д. Бернулли и включил введенное им понятие мораль-
141

ного ожидания в число десяти общих принципов теории
вероятностей.
За время с 1738 по 1778 г. Д. Бернулли опубликовал
семь мемуаров по теории вероятностей, из которых
шесть — в Петербурге. Первый — «Попытка новой теории
случайных величин» [44, 1738, т. 5]. В нем Д. Бернулли
напоминает определение математического ожидания как
суммы произведений значений случайной величины на
вероятности появления этих значений. Затем вводит по-
нятие морального ожидания. Это понятие Д. Бернулли
применил при решении ряда задач, в том числе «петер-
бургской игры», которая среди пяти задач была предло-
жена его дядей, Николаем Бернулли, П. Р. де Монмору,
опубликовавшему их в книге «Опыт анализа азартных
игр» (1713).
Еще раз повторим, что анализ азартных игр стиму-
лировал развитие теории вероятностей, ставшей в наши
дни одной из важнейших наук естествознания.
И еще раз напомним приведенное ранее замечание
Гюйгенса, в котором он подчеркивал, что в его книге
«О расчетах в азартной игре» речь идет об интересной
и глубокой теории, а не только об игре. Между прочим,
теория игр сейчас выросла в самостоятельную ветвь ма-
тематики.
Обратим внимание также на высказывание Лапласа в
«Опыте философии теории вероятностей», который писал:
«...теория вероятностей есть в сущности не что иное, как
здравый смысл, сведенный к исчислению: она застав-
ляет оценить с точностью то, что справедливые умы чувст-
вуют как бы инстинктом, часто не умея отдать себе
в этом отчета. Если принять во внимание аналитические
методы, которые возникли из этой теории, истинность
принципов, служащих ей основанием, утонченную и изящ-
ную логику, которая требуется для применения их к ре-
шению задач, учреждения общественной пользы, опираю-
щиеся на нее, и распространение, которое она получила
и может еще получить при применении ее к важнейшим
вопросам натуральной философии и нравственных наук;
если затем заметить, что даже в таких областях, которые
не могут быть подчинены исчислению, она дает самые
верные взгляды, которые могут руководить нами в наших
суждениях, и что она нас учит предохранять себя от
иллюзий, которые нас часто сбивают с пути,-— мы увидим,
что нет науки, более достойной наших размышлений, и что
142

было бы очень полезно ввести ее в систему народного
просвещения» [14, с. 205—206].
В азартных играх с нулевым математическим ожида-
нием моральное ожидание проигрыша превышает мораль-
ное ожидание выигрыша; в этом Д. Бернулли видел «от-
четливое указание природы» на то, чтобы уклоняться от
азартных игр. Более категорично об играх высказывался
Лаплас. Он писал: «В игре преимущественно случается,
что масса иллюзий питает надежду и поддерживает ее
против неблагоприятных шансов. Большинство людей,
играющих в лотерею, не знают, сколько шансов в их
пользу и сколько противоположных. Они принимают во
внимание только возможность выиграть на маленькую
ставку значительную сумму и предположения, которыми
их ребяческое воображение увеличивает в их глазах ве-
роятность получения этой суммы: бедняк в особенности,
воодушевленный стремлением к лучшей участи, подвер-
гает опасности этой игры свое необходимое, цепляясь
даже за самые неблагоприятные сочетания, обещающие
ему большую выгоду. Без сомнения, все испугались бы
огромного числа проигранных ставок, если бы могли его
знать; но прилагаются старания, наоборот, к тому, чтобы
придать наибольшей гласности выигрыш, гласности, ко-
торая становится новой причиной возбуждения к этой па-
губной игре» [14, с. 151—152].
Понятие морального ожидания в том же мемуаре
Д. Бернулли применил к такой задаче: некто имеет
4000 дукатов наличными и 8000 дукатов в товарах, на-
ходящихся в дальних странах. Предположим, что из де-
сяти кораблей, предназначенных для вывоза этих товаров,
один тонет. Как выгоднее перевозить эти товары?
Бернулли подсчитал моральные ожидания приобрете-
ния от перевозимых товаров, когда все товары перево-
зятся на одном корабле, на двух кораблях, установил, что
во втором случае моральное ожидание больше, и сделал
вывод, что увеличение числа кораблей увеличивает мо-
ральное ожидание приобретения, т. е. выгоду.
Моральным ожиданием впоследствии пользовались
Лаплас, Пуассон, Лакруа. Л. Бертран в курсе «Исчисле-
ние вероятностей» заметил, что «эту теорию изучали,
ей обучали, ее излагали в истинно знаменитых книгах.
Успех на этом и окончился, ею фактически не занима-
лись и из нее не смогли сделать никакого употребле-
ния» 17. И это верно: о моральном ожидании сейчас знают
143

разве лишь историки математики, да и то не все, а те,
кто занимается теорией вероятности.
Справедливости ради, отметим, что в современной тео-
рии информации пользуются функционалом, заданным на
вероятностном распределении с помощью логарифмиче-
ской функции и измеряющим прирост информации.
В дискретном случае таким функционалом служит эн-
тропия.
Несомненно и принципиально важным достижением
Д. Бернулли было введение в теорию вероятностей мето-
дов математического анализа. Этому посвящена «Попытка
применения алгоритма бесконечно малых в теории веро-
ятностей» [57, 1768, т. 12], вышедшая в 1768 г.
Существо вопроса состояло в том, что решение веро-
ятностных задач с применением аппарата комбинаторики
приводило к громоздким вычислениям; Бернулли пред-
ложил решать задачи с помощью дифференциального ис-
числения, считая единицу «бесконечно малой» в сравне-
нии с большими числами, встречающимися в задачах.
Такой подход позволял получать приближенные формулы
для наиболее существенных членов точных формул; ины-
ми словами — асимптотические выражения ответов при
больших значениях входящих в задачи параметров.
Теории в статье нет, идея поясняется на примерах
Упоминается задача, связанная с выниманием записок
из урны. Бернулли пишет: «...для совершения этого дела
с удобством могут быть применены исчисления бесконеч-
но малых, если только каждое изменение можно считать
как бы за бесконечно малое, а это возможно до тех пор,
пока число записок, остающихся в урне, весьма велико,
ибо тогда единица может приниматься как бы за беско-
нечно малую; это основано на той арифметической гипо-
тезе бесконечных, которой пользовались до открытия диф-
ференциального и интегрального исчислений. Впрочем,
я понимаю, что этот отвлеченно поставленный вопрос
нуждается в дальнейшем объяснении, и потому перехожу
к иллюстрации сути дела примерами, причем сперва поль-
зуюсь обычным анализом, а от него перехожу к примене-
нию алгоритма бесконечных» 18.
Далее формулируется конкретная задача: в урне име-
ется п пар записок, каждая пара занумерована одним и
тем же номером. Из урны извлекается несколько записок
так, что остается в ней г записок. Необходимо найти
математическое ожидание х числа оставшихся пар с оди-
наковыми номерами. Задача решается сначала алгебраи-
144

ч£ски, а затем с помощью дифференциального исчисле-
ния. Не различая математического ожидания записок и
количества их (эта ошибка встречается и в других ме-
муарах Д. Бернулли по теории вероятностей), первым
способом Бернулли находит
я=г(г-1)/(4тг-2),
что при больших г и п дает асимптотическое выражение
х=г2/4п.
Затем Бернулли рассуждает так: при уменьшении г
на единицу извлекается записка, либо входящая, либо
не входящая в пару; в первом случае будет dx=dr, а во
втором — dx=0. Вероятность первого случая считается
равной 2х/г. Тогда получается дифференциальное урав-
нение
dx—2xdr/r,
решение которого при условии, что г=2п, когда х—пл
будет
х=г*/4п.
Идеи применения дифференциального исчисления к за-
дачам теории вероятностей Бернулли развивал еще в двух
мемуарах, опубликованных в Петербурге в 1770 г. В «Ана-
литических исследованиях новой проблемы предположе-
ний» [57, 1770, т. 14] он решил следующую задачу:
в двух урнах имеется по п шаров, в одной белые, в дру-
гой черные. Из каждой урны в другую перекладывается
одновременно один шар> и операция повторяется г раз.
Требуется найти математическое ожидание числа белых
шаров в первой урне. Бернулли решает задачу также
двумя методами. Сначала комбинаторным методом он по-
лучает
что при больших п и г приводит к
Затем составляет дифференциальное уравнение так же,
как и в предыдущей работе: предполагается бесконечная
малость единицы по сравнению с участвующими в задаче
числами, поэтому dx=—1, когда из первой урны вынут
белый шар с вероятностью х/п, и d#=dr=l, когда выну!
6 В. А. йикифоровский
45

черный с вероятностью (п—х)/п. Тогда
dx/dr=—x/n-{- (n-x)fn.
Интегрирование уравнения с начальным условием х—п
при г=0 дает тот же асимптотический результат.
Мемуар Д. Бернулли «О средней продолжительности
браков при всяком возрасте супругов и о других смеж-
ных вопросах» [57, 1768, т. 12] является примером при-
менения вероятностных идей к статистике народонаселе-
ния. В нем Бернулли провел аналогию между решенной
ранее задачей об извлечении из урны парных записок и
продолжительностью браков; рассмотрел он также неко-
торые дополнительные вопросы, например случаи нерав-
номерной смертности мужчин и женщин (аналог — извле-
чение из урны непарных записок, разрушение пар).
Другой мемуар по статистике народонаселения — «Опыт
нового анализа смертности, вызванной оспой, и преиму-
щество предотвращающей ее инокуляции» [54, 1766] со-
держит исследование влияния прививок оспы на продол-
жительность жизни. Дело в том, что открытая Э. Джен-
нером, названным Лапласом одним из благодетелей чело-
вечества, прививка коровьей оспы встречала в народе
противодействие. Бернулли поставил перед собой цель
исчислением показать пользу прививок. Не располагая
статистическими данными о смертности от оспы, он пред-
положил, что опасность заболеть оспой и погибнуть от
нее одинакова для всех возрастов, и на основании про-
веденных предварительных расчетов пришел к выводу,
что прививки увеличивают среднюю продолжительность
жизни на 3 года 2 месяца, и это ставит вне всякого сомне-
ния их пользу. Как говорит Лаплас, «остается только
преодолеть естественную, косность народа, с которой при-
ходится бороться постоянно, даже в тех случаях, когда
дело касается его самых дорогих интересов» [14, с. 140].
Заметим, что впоследствии Д'Аламбер подверг резкой
критике мемуар Бернулли «Опыт нового анализа смерт-
ности...». Он оспаривал исходные предпосылки Бернулли
и утверждал также, что вывод о пользе прививок нельзя
делать только на основании удлинения среднего срока
жизни, хотя безусловно поддерживал оспопрививание.
Классическая проблема статистики народонаселения —
соотношение рождаемости мальчиков и девочек —была ис-
следована Бернулли в мемуаре, вышедшем в Петербурге
в 1771 г. В процессе решения задачи он применил аналог
интегральной теоремы Муавра—Лапласа. В мемуаре опуб-
146

линована первая таблица нормального распределения для
e-»t/iQ0 при ji-1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20, 25, 30.
В последующей работе по теории вероятностей— «Наи-
более вероятное значение среди нескольких расходящих-
ся между собой наблюдений и устанавливаемое отсюда
наиболее близкое к истине
заключение» [37]. Д» Бер-
нулли предложил в качестве
кривой распределения слу-
чайных ошибок полуокруж-
ность, радиус которой слу-
жит пределом значений их
(рис. 12): */=Уг2-(х2-х2),
К отысканию абсциссы х Рис- 12
кривой распределения он
применил принцип максимального правдоподобия, сохра-
нившийся в математической статистике до сих пор. Если
результаты измерения 0, а, Ь,... (а>0, Ь>0,.. .)L то со-
ставляется функция правдоподобия (г2—х2) [г2— (х— а)2] •
•[г2— (х—Ь)2] ... и находится значение х из требования
ее максимума. Решение уравнения правдоподобия оказа-
лось громоздким: при двух наблюдениях получается ку-
бическое уравнение, при трех — уравнение пятой степени
с 20 членами. Именно это неудобство вызвало критику
Эйлера, поместившего в том же выпуске «Комментариев»
«Замечания к предыдущей работе», где предложил дру-
гой метод, приводящий всегда к кубическому уравнению.
В письме Н. Фуссу от 18 марта 1778 г. Д. Бернулли
выразил свое удовлетворение тем, что его мемуар напе-
чатан в «Комментариях» и что Эйлер заинтересовался им.
Полуокружность как кривая распределения в теории
вероятностей не закрепилась, но считается, что идеи
Д. Бернулли оказали влияние на Гаусса, выдвинувшего
в 1809 г. принцип наименьших квадратов для обработки
результатов наблюдений.
Теории колебаний Д. Бернулли посвятил несколько
исследований и занимался ею в течение 50 лет (с 1727
по 1778 г.). На этом пути он стал вместе с Д'Аламбером,
Эйлером, Лагранжем основателем важнейшей области со-
временного естествознания — математической физики.
Элементарные представления о колебательных движе-
ниях были еще у древних: Аристотель, Евклид, Птолемей
6* Ш

считали, что звук обусловлен колебательными движения-
ми тел, что более высоким тонам соответствует большая
частота колебаний. А Пифагор будто бы установил, что
отношение высот основных тонов двух струн обратно
отношению их длин. Знали древние и явление резонанса*
Это явление описывали затем Леонардо да Винчи, Фра-»
касторо; Дж. Бенедетти в книге «О различных матема-*
тических и физических рассуждениях» (1585) писал,
в частности, о колебаниях струн и подчеркивал, что вы-
сота тона определяется его частотой и что скорость ко-»
лебаний струны обратно пропорциональна ее длине.
Таким образом, в течение многих веков были накоплен
ны разрозненные сведения по акустике. Существенный
этап в изучении колебательных движений начинается с
Галилея, который стал основателем теории колебаний,
развитой далее Гюйгенсом и Ньютоном. В это время, как
пишет в «Истории механики» И. Б. Погребысский [И,
с. 261], построена теория колебаний системы с одной сте-
пенью свободы, дана схема распространения волн сжатия
и разрежения в идеальной жидкости и выявлена зави-
симость скорости распространения волн от плотности
среды, предложена схема образования волн на поверхно-
сти тяжелой жидкости, найден принцип для построения
фронта распространяющейся волны. Но предстояло сде-
лать многие уточнения, обобщения, в частности распро-
странить теорию малых колебаний системы с одной сте-
пенью свободы на системы с любым числом степеней сво-
боды, дать теоретическое обоснование законам звучания
твердых тел.
М. Льоцци в «Истории физики» [17, с. 135—136]
отмечает большое значение для развития теории опытов
Ж. Савёра, выпустившего в период между первым и вто-
рым изданиями «Начал» Ньютона мемуары по акустике
(1700—1707 гг.), в которых описал явление, известное
конструкторам органов: когда две трубы органа издают
звуки, незначительно отличающиеся по частоте, то перио-
дически происходит усиление звуков, напоминающее ба-
рабанную дробь. Он объяснил это тем, что через некото*
рое количество колебаний наблюдается резонанс. Савёр
изучал также колебания струн; он ввел наименований
узлов и пучностей, отметил, что наряду с основными но-
тами звучат и ноты с длинами волн 1/2, 1/3, 1/4,... от
основной. Им выполнены и другие наблюдения. Ньютон
во втором издании «Начал» на основании опытов Савёра
дал первый расчет длины волны звука.
148

Изучение колебаний струны, предпринятое в первой
четверти XVIII в., ознаменовало новый этап в развитии
теории колебаний. Начало этому было положено учеником
Ньютона Б. Тейлором, который в мемуаре «О методе
приращений» [58] рассмотрел задачу о поперечных коле-
баниях струны. Задача ставилась так. Закрепленная свои-
ми концами натянутая струна длины I выводится из по-
ложения равновесия и предоставляется самой себе, в ре-
зультате чего совершает свободные колебания. Тейлор
предполагал, что все точки струны одновременно прохо-
дят через свои положения равновесия (это означает, что
рассматривались колебания, соответствующие основному
тону) и что действующая на точку струны сила пропор-
циональна расстоянию точки от оси (это означает, что
рассматривались малые колебания).
Тейлор установил, что струна должна иметь форму
синусоиды с зависящей от времени амплитудой, при этом
допускалось бесчисленное множество синусоидальных
форм струны, которые должны перейти в основную фор-
му, соответствующую общему периоду колебаний. Он на-
шел зависимость частоты колебаний от длины струны,
натяжения и ускорения силы тяжести в данном месте.
Эта задача вскоре привлекла внимание почти всех ма-
тематиков и вызвала длительную и плодотворную дискус-
сию. И. Бернулли в 1729 и 1732 гг. напечатал в «Ком-
ментариях Петербургской академии наук» две статьи,
посвященные этой проблеме. Ни Б. Тейлор, ни И. Бернул-
ли не записали уравнение колебаний струны и не при-
вели решения его.
В 1727 г. И. Бернулли отправил в Петербург Даниилу
два письма об исследовании Б. Тейлора и обратил его
внимание на важность задачи. Заинтересованности Д. Бер-
нулли этим вопросом способствовали первые доклады на
собраниях академиков приехавшего в Петербург Эйлера,
в которых он излагал результаты изучения колебаний.
О первых двух работах Д. Бернулли по теории коле-
баний уже говорилось, когда шла речь о рядах. Характер-
ная особенность решений Тейлора, И. и Д. Бернулли со-
стоит в том, что они заменяли сплошное тело системой
материальных точек (Тейлор — бесконечным числом,
И и Д. Бернулли — конечным числом точек).
Около 1747 г. Д'Аламбер вывел уравнение колебания
струны, записываемое в современной форме так
д2у1дг2=а2дгу1дхг
149

и называемое волновым уравнением. Здесь х и у — коорди-
наты точки струны, t — время, а — постоянная, определяе-
мая плотностью и натяжением струны. Д'Аламбер пер-
вым и решил уравнение, положив а=1 и задавая гранич-
ные условия
0(0; 0-0, »(/;*)-0
и начальные условия
у (от, 0) =/ (х), ду (*; 0) /0*=g (ж).
Через год после Д'Аламбера уравнение колебаний
струны вывел и решил Эйлер. Он получил решение урав-
нения
d2y/dx2=a2d2y/dt2
в виде
*/=Ф (x+at) +"ф (х-at).
Здесь, так же Как и у Д'Аламбера, функции ф и \[ на-
ходятся из граничных и начальных условий.
Впоследствии (1766 г.) Эйлер открыл новый способ
решения уравнения колебаний струны: после замены
u=x+at, v=x—at оно приводится к легко интегрируемо-
му уравнению d2y/dudv=0.
Эйлер установил, что уравнение колебаний струны опи-
сывает процесс распространения волн, причем слагаемое
ty(x--at) характеризует волну, распространяющуюся в по-
ложительном направлении оси Ох со скоростью а, сла-
гаемое q>(x+at) —волну, которая движется с той же ско-
ростью в противоположную сторону. Результирующее дви-
жение получается при сложении этих двух волн.
Появление в «Записках» Берлинской академии наук
первой статьи Эйлера «О колебании струн» (1750) откры-
ло начало длительного «спора о струне», в котором раз-
решались многие математические вопросы: о природе
функций, составляющих решение уравнения колебаний
струны, а также входящих в решения уравнений с част-
ными производными, вообще о природе функций, о пред-
ставлении функций в математическом анализе и т. д.
Эйлер не соглашался с Д'Аламбером относительно про-
извольных функций, входящих в решение уравнения. Ов
рассуждал так: начальная форма струны может быть
любой, представлять кривую, начерченную «свободным
влечением руки», поэтому можно задавать начальное по-
ложение струны не одним, а несколькими аналитическими
выражениями, «смешанной» и даже «разрывной» фуик-
150

идей. Впоследствии он допускал в качестве функций,
определяющих начальную форму струны, и вообще не-
аналитические функции. Вследствие возможности такого
произвольного задания начальной формы струны в реше-
ние уравнения входили также произвольные функции,
поэтому оно было более общим, чем решение Д'Аламбера.
Д'Аламбер же считал, что при произвольной началь-
ной форме струны решать задачу нельзя: требуется глад-
кость струны ввиду того, что решение должно быть дваж-
ды дифференцируемым; кроме того, в угловых точках
сила упругости не может быть конечной. Далее, поскольку
решение является периодической функцией, такое же тре-
бование предъявляется и к первоначальной форме.
Вот в общем аргументы сторон к тому времени, когда
в спор вошел Д. Бернулли.
В исследованиях колебаний начиная еще с 30-х годов
Д. Бернулли, основываясь на «бесконечной малости» их,
заключает о пропорциональности восстанавливающей силы
отклонению от положения равновесия, вводит понятие
простого гармонического колебания, т. е. считает, что все
точки системы колеблются синхронно с одинаковым пе-
риодом и различными амплитудами, что число гармониче-
ских колебаний растет с числом составляющих систему
точек (так как ошибочно полагает, что число основных
колебаний совпадает с числом этих точек). Он выдвинул
чрезвычайно важное положение о том, что общее колеба-
ние системы получается от одновременных доступных си-
стеме простых гармонических колебаний; это — получив-
ший впоследствии название принцип суперпозиции (на-
ложения) колебаний. Бернулли обосновал этот принцип
самой природой вещей.
Статьи Д. Бернулли «Размышления и разъяснения о
новых колебаниях струн, изложенных в «Записках» Ака-
демии за 1747 и 174S годы» и «О смешении различного
рода простых изохронных колебаний^ которые могут су-
ществовать в одной и той же системе тел», помещенные
в «Записках» Берлинской академии наук (1755), содер-
жали новые общие взгляды на колебательные процессы
и метод решения задачи о струне, получивший впослед-
ствии развитие в теории дифференциальных уравнений.
Общее решение уравнения колебаний струны Д. Бер-
нулли записал в виде
оо
S. ккх 2knt
% sin —cos-J- f
151

что при £=0 дает
О^
Zknx
a* sin-j— .
Он исходил из физических соображений: издаваемый стру-
ной звук состоит из главного тона и многих обертонов.
Каждый тон струны, как показал еще Б. Тейлор, задает-
ся синусоидой у=*А (t) sin nnx/l, поэтому форма колеблю-
щейся струны должна получаться за счет комбинаций
этих сппусоид.
Бернулли подчеркивал большую общность своего ме-
тода исследования колебаний струны по сравнению с ме-
тодом Д'Аламбера—Эйлера. В конце первой из упомяну-
тых статей он писал: «Я надеюсь, что сказанное мною
в этом мемуаре может пролить больше света на природу
новых колебаний струны, найденных с такой проницатель-
ностью Д'Аламбером и Эйлером; и в этом была вся моя
цель. Если метод, которым они пользовались для" решения
их проблем, гораздо более сложен, чем мой, то я могу
лишь удивляться превосходству их таланта. Что же ка-
сается вопроса о том, являются ли новые колебания дей-
ствительно простыми и синхронными колебаниями для
всех точек или они только смесь нескольких различных
колебаний, сосуществующих в одной и той же струне и
различных по продолжительности, то я говорил об этом
для того, чтобы лучше объяснить природу этих колеба-
ний, будучи далек от спора со столь великими людьми
о значении некоторых выражений» 19.
Д'Аламбер и Эйлер, хотя и не отрицали принципа су-
перпозиции, выдвигали возражения. Эйлер считал, что ряд
ОС
У = 2j ak Sin ~Г
не может задавать любую «свободно начерченную кри-
вую», и ссылался на то, что аналитические выражения
представляют собой не такой широкий класс функций,
как произвольно вычерченные кривые. Д'Аламбер под-
черкивал, что форма струны, получаемая в результате
решения, должна быть гладкой, иметь непрерывную кри-
визну, т. е. непрерывные производные первого и второго
порядков. Как пример, опровергающий общность метода
IX. Бернулли, Д'Аламбер задавал начальное отклонение
с i руны в виде треугольника.
Интересно, что Эйлер пятью годами рапьше Бернулли,
152

при исследовании одного частного случая колебаний стру-
ны, предложил решение в виде тригонометрического ряда,
Б о он не допускал возможности решения задачи о стру-
не в виде ряда
z/=ai sin (nx/l)+a2 sin (2nx/l) +a3 sin (Злх/l) +...,
поскольку этот ряд не допускает произвола относительно
начальной формы струны; функция z/, кроме того, должна
быть периодической и нечетной. При t=0 начальному
возмущению струны может быть подвержена только часть
ее, и это служило Эйлеру в качестве наглядного примера
в возражениях Бернулли.
В одном из писем Эйлеру Бернулли утверждал, что
задачу об определении колебаний струны при произволь-
ной начальной форме как раз и можно решить его мето-
дом, и указывал еще: «Но не в этого рода абстрактных
вопросах, как я утверждаю, моя новая теория может быть
полезной. Я больше удивляюсь тому сокровищу, которое
было сокрыто, а именно возможности привести движения,
которые существуют в природе и которые, как кажется,
не подчиняются никакому закону, к простым изохронным
движениям, которыми природа пользуется в большинстве
своих действий» z0. Гораздо позже, в 70-х годах, Д. Бер-
нулли писал Н. Фуссу: «Эскиз, который Вы мне сделали
из метода Эйлера, доставил мне удовольствие, но он ни
в чем не изменил моих идей об этом предмете. Я убежден
в том, что мой метод дает in abstracto все возможные
случаи. Но я признаюсь, что, с известных точек зрения,
метод Эйлера значительно предпочтительнее моего; но
имеются другие точки зрения для противного суждения,
так как мой метод может быть применен к произвольно-
му числу конечных тел, даже в тех случаях, когда нет
полного возвращения к прежнему положению или пе-
риоду» 21.
В. И. Смирнов существо -вопроса оценил так: «Надо
отметить, что пример колебаний натянутой струны не был
по существу выигрышным для Даниила Бернулли. Метод
Д'Аламбера—Эйлера не использует бесконечных рядов,
и при заданных начальных условиях он дает решение за-
дачи в известном смысле в конечном виде. Но круг задач,
при которых этот метод применим с такой простотой,
весьма ограничен, и Даниил Бернулли был вполне прав,
когда подчеркивал общность сроего метода по сравнению
с методом Д'Аламбера—Эйлера... Отметим, что теорети-
ческому исследованию применимости метода Даниила Бер-
153

вулли, который сейчас называется обычно методом Фурье^
посвящено большое количество работ. Они продолжают
появляться до последнего времени» [26, с. 482—483].
Четвертый участник спора о струне, Лагранж, выступ
пил со знаменитой статьей «Исследования о природе и
распространении звука» [50, 1875, т. 1].
Он строил исследование так: разбивал струну на ча-
стичные дуги одинаковой длины, массу дуг сосредоточи-
вал в центрах тяжести их, записывал систему дифферен-
циальных уравнений полученной системы материальных
точек и переходил затем к пределу. Вот заключение
Лагранжа к его результатам: «Я приступил к решению
этой задачи, анализ которой казался мне сам по себе
новым и интересным, так как одновременно надо решать
уравнения, число которых не является определенным.
К счастью, метод, которым я воспользовался, дал мне
формулы не слишком сложные, если учесть большое чис-
ло операций, которые пришлось проделать. Я рассматри-
ваю эти формулы сначала в том случае, когда число
движущихся тел (материальных точек.— В. Н.) конечно,
и я легко получаю всю теорию смешения простых и пра-
вильных колебаний, которую г-н Даниил Бернулли нашел
только с помощью частных и косвенных примеров. Я пе-
рехожу к случаю бесконечного числа движущихся тел,
и, показав недостаточность предыдущей теории в этом
случае, я извлекаю из моих формул то же построение для
решения проблемы колеблющихся струн, которое дал
г-н Эйлер и которое так энергично оспаривалось г-ном
Д'Аламбером» 22.
В отличие от Бернулли, Лагранж не обусловливал за-
ранее, что общее решение уравнения колебаний струны
должно быть суммой бесконечного числа частных реше-
ний, каждое из которых описывает движение материаль-
ной точки. Он характеризует решение Д. Бернулли та-
кими словами: «Так как в этом уравнении каждый член
соответствует, так сказать, движению каждой точки стру-
ны, то следовало бы сначала дать общее решение пробле-
мы колебаний струны, предполагая, что струна нагружена
неопределенно большим числом тел...»23. Решение этой
задачи дал Лагранж. Его решение приводило к тригоно-
метрическим рядам и к установлению формул для вычис-
ления коэффициентов этих рядов. Лагранж пришел к ре-
зультатам, полученным ранее Эйлером.
Задачей о колебаниях струны занимались и другие
математики XVIII в. Полную ясность в вопрос о при-
154

менимости тригонометрических рядов к исследованию мно-
гих задач внес Ж. Фурье в «Аналитической теории тепла»,
вышедшей в 1822 г. Он показал, что произвольную функ-
цию, удовлетворяющую некоторым условиям, можно пред-
ставить тригонометрическим рядом
ос
-§- + / {ап cos пх + ^n sin nx)>
Д. Я. Стройк приводит в связи с этим интересный
факт. Он пишет: «Несмотря на все то, что было указано
Эйлером и Бернулли, эта идея была настолько нова и
ошеломляюща во времена Фурье, что, согласно преданию,
когда он впервые в 1807 г. высказал свои соображения,
он встретил энергичную оппозицию со стороны не кого
иного, как Лагранжа» (27, с. 203].
Характерную особенность исследований Д. Бернулли
колебаний, как и многих других физических явлений, со-
ставляют широта охвата, стремление распространить най-
денные методы на иные явления, на первый взгляд да-
лекие от изучаемых. Так, в работе «О смешении различ-
ного вида простых изохронных колебаний, которые могут
существовать в одной и той же системе тел» он писал:
«То, что я только что сказал о природе колебаний тел,
связанных натянутой нитью, я не боюсь распространить
на все малые обратные движения, которые могут проис-
ходить в природе, если только эти малые обратные дви-
жения поддерживаются перл анентной причиной. Всякое
тело, которое немного отклоняют от его точки покоя, стре-
мится к этой точке с силою, пропорциональной малому
расстоянию от точки покоя; если взять при этом систему
каких-нибудь тел, то каждое тело может совершать столь-
ко простых регулярных колебаний, сколько имеется тел
к системе, и далее все эти простые колебания могут су-
ществовать одновременно в рассматриваемой системе...
Это рассмотрение окажет нам большую помощь для того,
чтобы понять, как может произойти, чтобы бесчисленное
множество лучей проходило через малое отверстие и пе-
ресекалось в темной комнате, не возмущая друг друга.
Масса световой системы есть система, ве возмущающая
друг друга, составленная из бесчисленного множества
частей или шариков (globule), и каждый шарик может
одновременно совершать бесчисленное множество простых
и изотропных регулярных колебаний, причем эти колеба-
ния не спутываются и не возмущают друг друга... Эта
155

идея кажется мне весьма удобной для объяснения раз-
личных преломляемостей, различных скоростей и всех
других явлений, указанных Ньютоном в отношении при-
митивных цветов» 2\
В статье «Общее физико-механическое рассуждение
относительно принципа сосуществования простых колеба-
ний, не нарушаемых в сложной системе» [57, 1775, т. 19]
повторяются основные рассуждения о главных синхрон-
ных колебаниях и их суперпозиции; говорится, в частно-
сти, что сформулированным принципам удовлетворяют
колебания струны, как угодно мало отличающиеся от лю-
бого истинного колебания; рассматриваются колебания
струны неравномерной толщины; приводится пример зву-
чащей струны; описываются явления, происходящие при
звучании подвешенных на нити стальных пластин; упо-
минается о разработанной Бернулли и Эйлером соответ-
ствующей теории, о проведенных экспериментах.
В «Новых комментариях Петербургской академии
наук» (1775) Д. Бернулли опубликовал статью «Специ-
альное физико-механическое рассуждение о сложных
взаимных движениях, многообразных и доныне не обсле-
дованных, каковые легко могут быть наблюдаемы в дву-
членных маятниках в подтверждение его (Д. Бернулли.—
В. Н.) принципа о существовании простых колебаний»
[57, 1775, т. 19], в которой провел качественное исследо-
вание колебаний двучленного маятника с равными звенья-
ми, а также обратил внимание на выполненные им на-
блюдения колебаний рычажных весов25.
Значимость всех этих работ Д. Бернулли В. И. Смир-
нов оценивает так: «Основной заслугой Даниила Бернул-
ли в указанном цикле работ о собственных линейных ко-
лебаниях различного ряда механических систем было вы-
деление главных колебаний и выяснение основной роли
принципа суперпозиции» [26, с. 488].
6
Непосредственно к рассмотренным примыкают другие
исследования Д. Бернулли, посвященные колебаниям кон-
кретных систем.
В разделе о рядах уже упоминалась задача о малых
колебаниях грузов и подвешенного каната, при решении
которой Д. Бернулли впервые получил функцию, назван-
ную впоследствии бесселевой.
Бернулли рассуждал так. Имеются грузы, связанные
с гибкой невесомой нитью; в пределе малые колебания
156

их аналогичны малым колебаниям однородного весомого
подвешенного каната. Считая, что действующие на грузы
рассчитанные на единицу массы силы пропорциональны
малым отклонениям их от вертикальной прямой, Бернул-
ли записывает дифференциальное уравнение колебаний и
получает алгебраическое уравнение для отыскания перио-
да колебаний и определения отношений амплитуд коле-
баний грузов соответственно каждому корню алгебраиче-
ского уравнения. Он подробно рассмотрел случаи одного
и двух грузов.
Если имеется п грузов- с массами ти т2,..., гпп и
«1, а2,..., ап — синусы углов (или углы) между первым
звеном и вертикальной осью, вторым звеном и первым
и т. д., то горизонтальные составляющие сил, действую-
щих на грузы (в расчете на единицу массы), будут
0&1 — (Х2, Cti -f- OC2 —
т9 + m4 + . . . + тп „ ш
55 «з,...,
«I + Ct2 > . . . + <Xn-i — -~- <xn; <ц + <X2 +■ . . . + <Xn.
Когда число грузов беспредельно увеличивается, силу, дей-
ствующую на элемент ds весомого однородного каната,
можно записать так:
где Z — длина каната, s — длина дуги от точки подвеса,
у — отклонение от положения равновесия. Чтобы найти
главные колебания, Бернулли приравнивает записанное
выражение величине, пропорциональной i/, и получает
dy/ds— (l—s) ddylds*—y/n.
С обозначением l—s~x уравнение принимает вид
—dyldx—xd2yldx2=yln.
Множитель 1/п соответствует квадрату частоты коле-
баний, разделенному на ускорение силы тяжести; значит,
он дает длину изохронного маятника.
Как уже говорилось, Бернулли интегрирует уравнение
и находит
у=1-х1п+хг/4п2-х'14 • 9>г3+ж4/4.9- 16гс4-
что и представляет собой бесселеву функцию J0(x):
y=J0(21/x/n). Воспользовавшись условием закрепления
157

каната (при х=1 у=0), Бернулли получил уравнение для
нахождения п:
i-l/n+P/4n2-l3f4 • 9«3+Z4/4 -9- 16/г4-... =0,
имеющее бесчисленное множество корней.
Д. Бернулли посвятил несколько мемуаров решению
задач о колебаниях стержней и пластин. Эти вопросы рас-
сматривались параллельно Бернулли и Эйлером. О воз-
никших основных идеях Бернулли сообщал Эйлеру в
письмах: 7 марта 1739 г., 27 января 1741 г., 20 октября
1742 г. В письме 20 октября 1742 г. он информировал,
что получил дифференциальное уравнение четвертого по-
рядка, а в последующих письмах указывал на возмож-
ность обобщения метода на случай неоднородной упругой
кривой и случай, когда упругая кривая в первоначальном
положении не прямолинейна.
Эти вопросы обсуждал Эйлер в специальном добавле-
нии к своей книге «Метод нахождения кривых линий,
обладающих свойствами максимума либо минимума»
(1744). Он писал: «...достославный и остроумнейший в
этой возвышенной области исследований природы Даниил
Бернулли сообщил мне, что он может представить всю
силу, заключающуюся в изогнутой упругой пластинке,
одной формулой, которую он называет потенциальной
силой, и что это выражение для упругой кривой должно
быть наименьшим». Если обозначить радиус кривизны
изогнутой пластины через R, а дугу AM — через $, то,
«согласно определению Бернулли, потенциальная сила в
части пластинки AM будет выражаться формулой Sds/R2,
если только пластинка будет повсюду одинаково толстая,
широкая и упругая и в естественном состоянии будет вы-
тянута прямолинейно» [33, с. 449—450].
Бернулли опубликовал свои результаты значительно
позже, в «Комментариях Петербургской академии наук»,
изданных в 1751 г. Это были «Физико-геометрическое
рассуждение о колебаниях и звучании упругих пластин»
[44, 1751, т. 13] и «Механико-геометрические исследова-
ния о многообразных звуках, различным образом изда-
ваемые упругими стержнями, иллюстрированные и под-
крепленные акустическими опытами» [44, 1751, т. 13].
В первом мемуаре Бернулли писал: «Наша тема пре-
изобилует множеством преизящнейших вопросов; посколь-
ку же одни и тот же метод достаточен для них всех, я не
считаю нужным излагать их все по отдельности. Чрез-
мерная длина проблем, которую столь любят многие,
158

чаще всего немало умаляет изящество доказательств и
отлюдь не прибавляет веса существу дела — притом не без
того, чтобы нанести налет чего-то несколько Смехотвор-
ного... ради этого я буду рассматривать стержни, располо-
женные горизонтально и колеблемые единственно собст-
венной упругостью; эти допущения я устанавливаю с
единственной целью упрощения расчета, ибо метод отнюдь
не отказал бы и при более запутанной постановке вопро-
сов» 26.
Бернулли рассмотрел гармонические колебания стерж-
ня. Он воспользовался найденной Я. Бернулли зависи-
мостью: сопротивление изгибу пропорционально кривиз-
не — и, отождествив кривизну с производной второго по-
рядка, получил известное в теории упругости уравнение
четвертого порядка */IV=#//\ где / — определяемая упру-
гими характеристиками константа.
Бернулли записал решение уравнения в конечном виде
и в рядах, причем заметил, что не собирался интегриро-
вать его в конечном виде, «если бы прежде не узнал от
проницательнейшего Эйлера, что он им владеет».
Записанным через элементарные функции общим ре-
шением Д. Берпулли воспользовался для рассмотрения
8адач с различными условиями: заделаянным, опертым
и свободным концами. В каждом случае он получал урав-
нения для определения частот колебаний. Расчеты срав-
нивались с результатами проведенных со стержнями
опытов.
Во второй работе изучались быстрые колебания, раз-
личимые только на слух; при этом удавалось фиксировать
одновременно несколько звучащих тонов.
Даниилом Бернулли, Эйлером и Лагранжем почти од-
новременно была создана первоначальная теория малых
колебаний воздуха в трубах.
Наиболее значимая из работ Д. Бернулли по этой
теме — «О звуке и тонах органных труб» [54, 1764] на-
печатана в «Мемуарах» Парижской академии наук. В ней
Д. Бернулли отмечает, что недавно Лагранж опубликовал
исследование о духовых инструментах, в котором колеба-
ния воздуха описываются точно так же, как и им. Бер-
нулли рассматривает цилиндрические трубы, воздух в ко-
торых совершает колебания различной частоты, и иссле-
дует влияние условий на высоту тона звука: закрытой
с обоих концов трубы, открытой и полуоткрытой. Снача-
ла описание относится к основному тану, затем указы-
вается на возможность наличия у трубы различных тонов*
159

Возникновение их объясняется тем, что труба как бы
подразделяется на равные части, издающие одинаковые
основные тоны, которые по аналогии с колеблющейся
струной могут сосуществовать и накладываться друг на
друга в соответствии с принципом суперпозиции. Бернул-
ли приводит опытные данные, подтверждающие созданную
раньше поставленных опытов теорию. Изменение тонов
в опытах достигалось различными мундштуками трубы.
Эту часть исследования Бернулли называет физиче-
ской, затем приступает к «механическому» исследованию
и «аналитическому» решению задачи. Основываясь на
законе Бойля—Мариотта, он записывает следующее диф-
ференциальное уравнение основных синхронных колеба-
ний: —Pd2a/dx2=a/r; здесь а(х) —кривая амплитуд для
отклонений поперечного слоя с абсциссой х в естествен-
ном состоянии, Р — постоянная, зависящая от упругости
воздуха, г — постоянная (длина синхронного маятника).
Бернулли проинтегрировал уравнение и получил фор-
мулу распределения плотности б вдоль трубы. Когда рас-
стояние между двумя соседними узловыми точками, в ко-
торых а=0, принимается за полную длину закрытой тру-
бы L, это распределение имеет вид
где d — плотность воздуха в естественном состоянии. Ана-
логичные результаты получаются для полуоткрытых и
открытых труб.
Затем исследуется влияние температуры на высоту
звучания труб, изучаются составные трубы с уступом,
строится обобщение дифференциального уравнения на
случай, когда труба имеет меняющееся по длине сечение.
Это уравнение для конической трубы оказывается инте-
грируемом.
В конце работы Д. Бернулли проводит вычисление
скорости звука, рассматривая ее как отношение расстоя-
ния между двумя пучностями к периоду колебаний, и по-
лучает результаты, совпадающие с найденными Ньютоном^
7
Общие вопросы и принципы механики, ее философское"
содержание интересовали Д. Бернулли в течение всей
жизни. Он обсуждал их в мемуарах, письмах, сообщениях
на ассамблеях Петербургской академии наук, в своей
«Гидродинамике»,
160

Первая его работа по механике, выполненная в Пе-
тербурге в 1726. г.,— «Исследование принципов механики
и геометрические доказательства относительно сложения
и разложения сил» [44, 1728, т. 1] — содержит анализ
различных подходов к механике. Бернулли уже тогда
сформулировал следующее «механическое начало», повто-
ренное им в «Гидродинамике»: «Если тело из состояния
покоя получит одну и ту
же скорость при посред-
стве прямых движущих
давлений, которые изме-
няются любым образом,
и если все давления ум-
ножить на соответствую-
щие им малые отрезки Л
времени, то сумма всех
этих приращений будет рис# 1з
всегда одинаковой, т. е.
если давление равно р,
малый отрезок времени равен dt, то Spdt будет постоян-
ным» [1, с. 391].
«Механическое начало» Д. Бернулли можно рассматри-
вать как частный случай второго закона Ньютона, когда
скорость тела постоянна.
В той же работе Бернулли показал, что и принцип
живых сил может быть сведен ко второму закону меха-
ники Ньютона. Бернулли рассмотрел движение тела А
под действием пружины BL (рис. 13). Он писал: «Пусть
LH=>x, #D=p, скорость в данный момент равна у, время,
за которое пружина стремится переместиться из J в Я,
равно t, и, следовательно, dv=pdt=pdx/v, или vv=2Spdx,
v=l2Spdx» [44, 1728, т. 1, с. 131].
В 40-х годах XVIII в. Д. Бернулли интересовался за-
дачами о движении тел на движущихся поверхностях:
движении точки по «движущейся горизонтально» кривой,
движении одного и нескольких шариков во вращающейся
трубе. При решении этих задач он искал общий принцип
и нашел его в виде закона площадей. Бернулли писал о
своих исследованиях Эйлеру. Эйлер предложил ему из-
ложить найденные результаты и представил его работу
Берлинской академии наук. Так появилась «Новая зада-
ча механики» [53, 1746], в которой изучается вращение
трубки с любым числом находящихся в ней масс вокруг
своей оси. Бернулли указал, что задачи механики не сле-
дует рассматривать сами по себе: они приводят к откры-
161

тию новых теорем и позволяют глубже познать законы
природы. В данном случае такой закон состоит в том,
что в отсутствие внешнего воздействия или препятствия
остается неизменной и не зависящей от взаимного дей-
ствия тел сумма произведений массы каждого тела на
скорость его вращения вокруг неподвижного центра и на
расстояние его от того же центра.
Велика роль, которую сыграл Д. Бернулли в развитии
принципа сохранения энергии. Лагранж по этому поводу
писал: «...Даниил Бернулли расширил этот принцип и
вывел из него законы движения жидких тел, заключен-
ных в сосуды; до него эта проблема всегда исследовалась
довольно поверхностно и произвольно. Наконец, в «Me-
mories de Berlin» за 1748 г. он обобщил этот принцип,
показав, как его можно применить к движению тел, на-
ходящихся под действием произвольных сил взаимного
притяжения или притягиваемых к неподвижным центрам
силами, пропорциональными любым функциям расстоя-
ния» [13, т. 1, с. 315-316].
Обратимся к берлинскому мемуару «Замечания отно-
сительно обобщенной формы принципа сохранения живых
сил» [53, 1750], где Д. Бернулли для рассматриваемых
задач сформулировал закон сохранения живых сил в та-
кой форме, в какой он записывается и сейчас.
Бернулли рассуждал так: «Пусть имеется несколько
тел, образующих систему, так что никакое тело не может
двигаться независимо от других. Если каждое тело на-
ходится под действием какого-либо переменного притя-
жения, то я утверждаю, что сохранение живых сил уста-
навливается следующим образом. Обозначим массы тел
через т, т\... и их скорости через и, и\... и будем рас-
сматривать каждое тело изолированным от системы и по-
ложим, что оно, подверженное притяжению, выходит из
начальной точки и приходит в конечную точку, описывая
какой угодно путь; легко определить скорость, которую
должно будет иметь это тело, изолированное от си-
стемы» 2'.
Бернулли применил закон сохранения живых сил к
решению некоторых конкретных задач. Вот одна из них.
Пусть Е — притягивающий неподвижный центр, Ко-
сила притяжения, А — начальное положение тела, С—ко-
нечное положение. Тело переходит из Л в С так: сначала
вдоль прямой АЕ из точки А в точку D, затем по окруж-
ности с центром в Е из точки D в точку С. При движении
по окружности скорость не меняется, поэтому нужно учи-
162

тывать движение только вдоль прямой АЕ. Закон сохра-
нения живых сил будет
mv2=—27n/|(r)dr,
куда к правой части надо добавить постоянную, учиты-
вающую начальную живую силу. Если движение начина-
ется из покоя и £(r)=fe2/r2, то для нескольких точек, при-
тягивающихся к неподвижному центру Е, закон живых
сил примет вид
mv2+m'v'2+... =2m (b2lx-b2/a) +2m' (b2/x'-b2/a) +...,
в котором а, а',..., х, х\ ... — начальные и конечные рас-
стояния точек от Е.
Затем Бернулли решает задачу о взаимном притяже-
нии двух тел. Он обозначает через а и х начальное и
конечное расстояния между телами. Считая, что живая
сила сохраняется при любом перемещении от расстоя-
ния а до расстояния х, Бернулли для случая одного тела
неподвижного, а второго движущегося по прямой запи-
сывает закон живых сил, когда движение осуществляется
из состояния покоя
9. / /2 2тт' ( р2 р2 \
пшг4-ти = (-Чг ц- ,
(.1 \ ж2 a1 J 1
где [х и р — некоторые постоянные. Этот же закон он рас-
пространяет и на п тел.
В конце работы Бернулли подчеркнул, что указанное
рассуждение применимо и к законам притяжения в иных
формах центральных сил: закон Ньютона выбран лишь
для простоты. Д. Бернулли писал: «Общий закон спра-
ведлив для любого гравитационного закона. Только с целью
облегчения формул... я ограничился законом обратной про-
порциональности квадратам расстояния. Но природа ни-
когда не отказывается от великого закона сохранения
живых сил, это я и хотел показать» 28.
Лагранж указанную работу охарактеризовал так:
«...работа, которая блистает методом исследования, изящ-
ным по форме и простым по результатам». К. Г. Якоби
в «Лекциях по динамике» [35] отметил, что Эйлер в
1744 г. еще пользовался неудобными выражениями для
уравнений движения взаимно притягивающихся тел и что
только Д. Бернулли в рассмотренной работе показал зна-
чение принципа сохранения живых сил. Лагранж затем
применил соображения Д. Бернулли к изучаемым Эйле-
ром задачам и «на этом пути пришел к своим главным
результатам».
163

8
В предыдущих разделах охарактеризованы основные^
достижения Д. Бернулли в математике и механике; остал*
ся в стороне от главной магистрали труд всей его жиз-
ни—«Гидродинамика». В этом кратком очерке поставим
перед собой скромную задачу — нарисовать общую карти-»
ну этого основополагающего исследования, отсылая же-
лающих ознакомиться подробнее к самому грандиозному
творению или же к достаточно подробной книге А. Т. Гри-
горьяна и Б. Д. Ковалева [8].
Структура «Гидродинамики» такова. Книга состоит из
предисловия и тринадцати частей, в которых формули-
руются и доказываются некоторые теоремы, выводятся
следствия из них, решаются различные задачи: «анали-
тические, физические, механические, как теоретические,
так и практические, некоторые геометрические, мореход-
ные, астроно ические и иные»; вводятся новые понятия,
описываются опыты, подтверждающие излагаемую теорию.
В начале предисловия говорится: «Наконец, выходит
в свет наша „Гидродинамика", после того как были пре-
одолены все препятствия, задержавшие ее напечатание в
течение почти восьми лет; возможно, что ей и не приве-
лось бы увидеть света, если бы вся эта работа пришлась
исключительно на мою долю. Я охотно объявляю, что глав-
нейшая часть этой работы обязана руководству, замыслам
и поддержке со стороны Петербургской академии наук»
[1, с. 9].
Первая часть «Гидродинамики» заполнена описапием
состояния теории жидкостей, кратким изложением содер-
жания остальных частей, а также основных принципов,
на которых построено исследование. Начало ее таково:
«§ 1. Так как теория жидкостей состоит из двух частей,
из которых одна, гидростатика, рассматривает давление
и различные случаи равновесия покоящихся жидкостей,
а другая, гидравлика, рассматривает движения щвдко-
стей, то обычно писатели трактуют их отдельно; но я на-
шел, что они связаны между собой столь тесной связью,
что каждая из них очень нуждается в помощи со стороны
другой, и я не усумнился их соединить, поскольку этого
требует порядок вещей, под более общим названием гидро-
динамики» [1, с. 11].
После того как Бернулли ознакомил читателя с содер-
жанием книги, он пишет:
«§ 18. Наконец, следует еще изложить те начала, о ко-
торых мы столько раз упоминали. Важнейшим началом
164

является сохранение живых сил, или, как я вы-
ражаюсь, равенство между действительным
опусканием и потенциальным подъемом.
Я буду пользоваться последним выражением, так как оно
обозначает то же, что и первое, но оно, быть может, будет
более приемлемым для некоторых философов, которых
смущает самое название живая сила» [1, с. 27].
Второй принцип, также положенный в основание тео-
рии, Д. Бернулли определяет так: «...оказалось необходи-
мым ввести еще одно допущение, а именно следующее:
после того как, конечно мысленно, мы представим себе
жидкость разбитой на слои, перпендикулярные к направ-
лению движения, мы допускаем, что частицы жидкости
одного и того же слоя движутся с равной скоростью, так
что скорость жидкости оказывается повсюду обратно про-
порциональной соответствующему сечению сосуда»
Г1, с 30].
Таким образом, исследование Д. Бернулли построено
на законе сохранения механической энергии (или живых
сил), а также гипотезе сечений и принципе неразрывно-
сти движения, разработку которого осуществил Эйлер.
Заслуживает цитирования и еще одно важное замеча-
ние Д. Бернулли в конце первой части.
«§ 25. Наконец, здесь будет уместно напомнить, что я
рассматриваю настоящий трактат скорее как физический,
чем как математический. Поэтому я решил не слишком
гнаться за геометрическим методом в предварительном
изложении допущений, определений и прочих подготови-
тельных соображений и не придерживаюсь повсюду по-
рядка изложения геометров, которые обычно всякий во-
прос начинают с самого начала, строят ряд предложений
и обрабатывают все в таком порядке, чтобы из первых
предпосылок все в отдельности правильно вытекало, и не
оставляют ничего недоказанным, хотя бы это было дока-
зано многими другими... Однако я доказываю все, что
является новым, а в первой части даже привожу дока-
зательства таких теорем, которые были в разных местах
доказаны другими» [1, с. 34].
Во второй части рассматриваются теоремы, связанные
с равновесием покоящихся жидкостей. Вот, например,
теорема 1. «Поверхность покоящейся жидкости параллель-
на горизонту». Доказательство проводится так. Пусть со-
суд содержит жидкость, поверхность которой EGF не па-
раллельна горизонту (рис. 14). Рассмотрим каплю а
в более высоком месте поверхности. Эта капля находится
165

под действием силы ас, направленной вертикально вниз.
Ее можно разложить на две составляющие: перпендику-
лярную поверхности ad и касательную к ней аЪ. Тогда
касательная сила аЪ будет увлекать каплю а в направ-
лении к более низкой точке Е части поверхности жидко-
сти, а это противоречит тому, что жидкость покоится.
Третья часть содержит вопросы нахождения скоростей
жидкостей, вытекающих
Л из различных сосудов че-
рез отверстия. В четвертой
/- части определяются вре-
мена, в течение которых
жидкость вытекает из со-
судов. Пятая часть посвя-
щена движению жидко-
стей из постоянно напол-
£ £ ненных сосудов. В шестой
исследуются движения
Рис* *4 жидкостей в бесконечно
длинных трубах и колеба-
тельные движения в них. Седьмая часть отведена про-
блеме движения жидкостей в погруженных в жидкости
же сосудах, имеющих отверстия в дне. В восьмой части
исследуются движения однородных и неоднородных жид-
костей в сосудах с внутренними перегородками и отвер-
стиями. Девятая содержит исследование гидравлических
машин. В десятой части излагаются свойства и теория
движения упругих жидкостей, в частности воздуха. Один-
надцатая содержит исследование вихревых движений жид-
костей и жидкостей, находящихся в движущихся сосудах.
В двенадцатой части излагается статика движущихся
жидкостей, которую Бернулли называет тидравлико-стати-
кой. Тринадцатая часть посвящена исследованию реакции
вытекающих из сосудов жидкостей и определению давле-
ния их на плоскости, на которые они падают после истече-
ния. Здесь Бернулли говорит о возможности использова-
ния силы реакции вытекающей струи для приведения
в движение кораблей.
Один из комментаторов «Гидродинамики», А. Н. Не-
красов, отмечает особую, значимость девятой, десятой и
двенадцатой частей трактата.
В девятой части вводится понятие работы, которую
Бернулли именует «абсолютной мощью». Он применяет
его при исследовании гидравлических машин. Для уста-
новления преимуществ одних машин перед другими
166

Д. Бернулли пользуется понятием коэффициента полез-
ного действия, правда явно не формулируя его.
Десятая часть должна быть выделена особо, потому
адго в ней Д. Бернулли сформулировал основы кинетиче-
ской теории газов, которая была создана более века спу-
стя. Несколько позднее Д. Бернулли к тем же взглядам
пришел М. В. Ломоносов. Но ни Бернулли, ни Ломоносов
не нашли последователей. Высказывания Д. Бернулли о
кинетической теории газов в «Гидродинамике» более чем
через 100 лет были переведены на немецкий язык, изда-
ны отдельной брошюрой, а затем напечатаны в журнале
«Poggendorfs Annalen» (1857, т. 99, с. 315). Д. Бернулли
в десятой части делает попытку определения упругой силы
воздуха, обсуждает вопросы о движущих силах, получаю-
щихся при сжатии воздуха в цилиндре поршнем в «огне-
вых» (паровых) машинах, а также о силах, высвобождаю-
щихся при превращении в газ «огненного порошка» (по-
роха) во время его сгорания.
Одной важнейшей идее, изложенной в двенадца-
той части, суждено было увековечить имя Д. Бернулли.
Здесь он из физико-математических соображений вывел
соотношение, вошедшее под названием закона, теоремы,
уравнения, интеграла Бернулли во все последующие кур-
сы гидродинамики и гидравлики.
Пусть U=gz — потенциал внешних сил. Обозначим v
скорость частицы жидкости, р — давление, р — плотность.
Тогда уравнение Бернулли запишется так:
v2/2g+p/(>g-z=H,
где Н — некоторая константа.
Результат, полученный Бернулли, в XVIII в. считали
парадоксальным, и даже Эйлер назвал его «великим па-
радоксом», поскольку «от большей скорости получается
меньшее сопротивление, а от меньшей скорости большее
сопротивление» [46, с. 220].
На основании интеграла Бернулли движущееся по
воде тело образует гидродинамическое поле. Гидродина-
мическое поле корабля содержит зоны разрежения. В кон-
це последней войны немцы воспользовались этим эффек-
том и сконструировали взрыватели для гидродинамических
мин огромной разрушительной силы.
9
В конце очерка о Д. Бернулли необходимо сделать не-
которые замечания общего характера, привести автори-
тетные высказывания, оценки.
167

Несколько слов о работах, за которые Д. Бернулли по-
лучил премии Парижской академии наук. Уже упомина*
лась премия за исследование о сохранении хода водяных
или песочных часов. В 1732 г. Парижской академией был
объявлен конкурс с удвоенной премией на тему «О вза-
имном наклонении планет». Премию получили Д. и И. Бер-
нулли. Премированы также сочинения Д. Бернулли:
«О лучшем способе устройства якорей» (1738), «О мор-
ском приливе и отливе» (1740), «О наилучшем способе
устройства магнитных стрелок наклонения» (1743),
«О лучшем способе определения времени в море» (1745—
1746), «Теория магнита» (1742, 1744, 1746), «О теории
течений и о лучшем способе их наблюдать» (1751, удвоен-
ная премия), «О наиболее выгодном способе замены
действия ветра на больших судах» (1753), «О наилучшем
способе уменьшения боковой и килевой качки судна»
(1757).
Как видим, и здесь те же особенности творчества
Д. Бернулли: широта- охвата проблем, практическая на-
правленность.
А. Кондорсе в речи, посвященной памяти Д. Бернул-
ли, характеризует его творчество так: «...его вкусы влек-
ли его преимущественно к исследованию вопросов, кото-
рые представляют больше трудностей в приведении их
к математическому аппарату, чем в решении, когда это
приведение уже сделано. В задачах, которыми он зани-
мался, он старался в самой их природе найти средства
к их упрощению к простейшей форме, оставляя за вы-
числениями только то, что от них не может быть отнято.
Он имел склонность пользоваться теорией для того, чтобы
проникнуть глубже в познание природы, прилагая мате-
матику не только к умозрительной механике, к абстракт-
ным законам тел, но также и к физике, к явлениям при-
роды в ее реальном состоянии и к тем явлениям, которые
нам доставляют наблюдения. Никто лучше его не умел
находить в анализе средства для того, чтобы подвергнуть
вычислениям все детали явления; никто лучше его не мог
поставить опыт так, чтобы он мог дать или подтверждение
результатов теории или чтобы ов мог служить основой
вычислений. В полной мере он и философ и физик...»89.
Та же тема обсуждается и В. И. Смирновым: «Даниил
Бернулли был типичным представителем того направле-
ния, для которого математика является лишь вспомога-
тельным средством для изучения природы, и он мало ин-
тересовался специально математическими вопросами. Он
№

любил подчеркивать, что он не математик, и иногда вы-
сказывал недовольство тем, что в механических или фи-
зических работах слишком много используется матема-
тика. Если сравнить даже с внешней стороны работы
Даниила Бернулли с работами Эйлера, то мы увидим
громадную разницу: работы Эйлера обычно полны разно-
образным и иногда весьма сложным математическим ап-
паратом, а работы Даниила Бернулли содержат этот ап-
парат в минимальной степени. Вместо этого мы имеем
в его работах общие рассуждения о той проблеме, которой
он занимается, и попытку построить простую схему явле-
ния, которая не требовала бы сложного математического
аппарата» [26, с. 450]. В. И. Смирнов отмечает, что
Д. Бернулли подчеркивал свое пренебрежительное отно-
шение к пользованию математическим аппаратом. Он
писал, например, Эйлеру 26 января 1750 г.: «Для реальной
физики было бы лучше, если бы математики вовсе не
существовало па свете»30. Резкость этого суждения не-
сколько смягчится, если учесть, что он сказал так в связи
со своей оценкой Д'Аламбера, работы которого по физике
он зачастую не признавал.
Д. Бернулли в основном был ньютонианцем и иногда
упрекал Эйлера в недостаточном почитании Ньютона.
Кондорсе в упомянутой выше речи говорил: «Признание
Даниила Бернулли было последним триумфом, который
еще отсутствовал в славе Ньютона, с которым его отец
имел несчастье сражаться всю жизнь» 31

ПРИМЕЧАНИЯ
К главе «Предшественники и современники»
1 Барроу еще в юности поставил перед собой цель быть хорошим
богословом. Усиленные занятия математикой объяснял тем, что
богослов должен знать хронологию, это требует знания астроно-
мии, что невозможно без математики. С 1663 г. был профессо-
ром люкасовской кафедры математики Кембриджского универ-
ситета. В 1669 г. ушел, передав кафедру Ньютону.
2 Первая ученая степень в иностранных университетах.
8 Ученая степень, присваиваемая выпускникам философских фа-
культетов. Давала право на занятие университетской кафедры.
4 Дифференциальным биномом называется выражение хт(а+
+ bxn)Pdx, где а, Ь, т, п, р — постоянные.
5 Во втором письме Ньютон заметил, что потребуется 1000 лет,
чтобы с помощью этого ряда вычислить 20 знаков. Сейчас гово-
рят, что подобные ряды сходятся медленно.
в Слово «азартный» происходит от французского hasard — случай,
удача, риск.
К главе «Род Бернулли»
1 Университет основан в 1460 г. Базель — издавна один из круп-
нейших центров культуры в Швейцарии. Здесь жил Эразм Рот-
тердамский. В Базеле была открыта первая в Швейцарии типо-
графия.
2 Индиктионы — пятнадцатилетние циклы. Исчисление индиктио-
нов начинается до нашей эры. Трудность задачи состояла в не-
которой неопределенности начала первого индиктиона.
3 В ранние годы занятий математикой Якоб открыл многие свой-
ства логарифмической спирали, в том числе и то, что эволюта
(геометрическое место центров кривизны) ее — тоже логариф-
мическая спираль. Именно поэтому на надгробном камне была
изображена спираль.
4 Сам Лейбниц высоко ценил роль братьев Бернулли в разработ-
ке анализа бесконечно малых. Он писал им, например,
21.9.1694 г.: «Эта метода не менее ваша, чем моя».
5 Ученая степень, промежуточная между бакалавром и доктором,
дающая право чтения лекций в университете.
в Иоганн умолчивает в «Автобиографии», что он получил от Ло-
питаля значительный гонорар.
7 Особенно настаивал тесть. Будучи влиятельным лицом в Базе-
ле, он добился того, что университет обещал Иоганну кафедру
греческого языка (!). В то время были случаи, когда профессор
занимал любую кафедру, ничего не делал и только ждал, ког-
да откроется вакансия по его специальности. Надо думать, что
Иоганн в такой ситуации не сидел бы сложа руки.
8 Всего у Иоганна было пять сыновей и четыре дочери. Два млад-
ших сына наукой не занимались.
9 Ньютон прислал Иоганну экземпляр «Начал» с надписью на ла-
170

тыни: «Умнейшему доктору Иоганну Бернулли посылает со мно-
гими приветами Ис. Ньютон».
10 Переписка И. Бернулли и Лейбница началась в 1693 г. и про-
должалась до самой смерти Лейбница.
11 Генуэзская игра, или генуэзская лотерея, была распространена
в прошлые века и сохранилась в некоторых странах до настоя-
щего времени. Она проводилась так. Продавались билеты с на-
писанными на них числами от 1 до 90. Могли быть билеты и с
двумя, тремя, четырьмя и пятью числами. В определенный день
из барабана, содержащего жетоны с числами от 1 до 90, науда-
чу извлекали 5 жетонов. В случае билета с одним совпавшим
числом выплачивалась сумма в 15 раз больше стоимости биле-
та, при выигрыше по двум числам (амбо) — в 270 раз больше,
по трем (терн) — в 5500 раз больше, по четырем (катерн) —
в 75 000 раз больше, по пяти (квин) — в 1 000 000 раз больше.
Однако лотерея рассчитана так, что ее организаторы всегда
были в выигрыше. Вероятность выигрыша, например, по пяти
числам составляет 1/(44106), т. е. в среднем выигрывает один
из 44 миллионов билетов.
О переживаниях участников лотереи писала Матильда Се-
рао в новелле «Розыгрыш лотереи» («Итальянские новеллы
1860-1914 гг.» ГИХЛ, 1960, с. 226—250).
12 Ее же называют «петербургским парадоксом», «петербургской
задачей». См., например: Борелъ Э. Вероятность и достоверность.
М.: Наука, 1964, с. 18—80.
13 Творцы анализа и их ближайшие последователи не очень были
озабочены обоснованием применяемых методов: они открывали
«новые земли» и действовали по принципу, сформулированному
Д'Аламбером: «Шагай вперед, уверенность потом придет».
Но еще Ньютон и Лейбниц уделили некоторое внимание обосно-
ванию основных понятий, особенно в связи с критикой этих
понятий (Ролль, Нивентейт, Беркли и др.).
14 От президента только что организованной академии Блю-
ментроста. Направлено через дипломата гр. Г. И. Головкина.
15 Хорошо обеспеченный отец фон Неймана в XX в. также считал
профессию математика непадежной и отправил сына, будущего
знаменитого математика, учиться в Цюрихский политехниче-
ский институт.
16 Кабестан — вертикальный ворот на барках и судах, на который
навивается канат.
К главе «Якеб I Бернулли»
1 Локсодромические кривые образуют постоянный угол с меридиа-
ном.
2 Слово «лемниската» происходит от латинского слова «лента».
Лемниската имеет форму написанной горизонтально восьмер-
ки. Ее уравнение в декартовой системе координат (я2+у2)2-»
—а2(хг—#2)=0, в полярной p=aVcos 29.
3 См., иа пример: Берман Г. Н. Циклоида. М.: Гостехиздат, 1954,
с. 112-114.
4 Если ценгр тяжести маятника описывает циклоиду, то период
его колебания не зависит от амплитуды. Это свойство циклоиды
Гюйгенс применил в маятниковых часах.
6 Термин «гармонический ряд» введен в 1669 г. Броункером,
€ Для получения по этому ряду In 2 с точностью, положим, до
одной тысячной необходимо удержать в ряде тысячу членов.
171

7 Я. Бернулли предполагал дать приложение теории вероятностей
«к гражданским, моральным и экономическим вопросам». Из
переписки с Лейбницем видно, что его интересовала также тео-
рия ошибок.
8 Этот термин введен в 1835 г. Пуассоном.
9 Цит. по биографии А. А. Маркова, написанной его сыном, совет-
ским математиком: Марков А. А. Избр. тр. М.: Изд-во All СССР,
1951, с. 510.
Как курьез приведем такой пример. Дж. Крег в «Математи-
ческих началах богословия» (1699) из предположения, что до-
верие убывает обратно пропорционально квадрату расстояния,
подсчитал, что вера в христианскую религию к 3150 г. сохра-
ниться не сможет. Но светопреставление должно наступить ра-
нее, и этого, по Крегу, следует ожидать до 3150 г.
10 Относительно затраченного на этот счет времени можно вы-
сказать сомнение. Вероятно, и эта похвальба — издержки спора
между Якобом и Иоганном.
11 Эйлер именовал числами Бернулли числа А, В, С, D,..., взятые
по абсолютной величине.
12 Рекуррентными называются зависимости, из которых вычис-
ляются значения последующих величин по предыдущим.
13 См.: Кудрявцев В. А. Суммирование степеней чисел натураль-
ного ряда и числа Бернулли. М.; Л.: Объед. науч.-техн. изд-во
НКТП СССР, 1936.
14 См.: Фихтенголъц Г, М. Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления. М.: Физматгиз, 1962, т. 2, с. 497—498.
15 В рассматриваемом случае эта функция называется произво-
дящей. Введение производящих функций в науку связано с
именами Н. Бернулли (1728), Стирлинга (1730) и Эйлера (1741),
систематически применявшего их в ряде исследований по тео-
рии чисел.
16 Числа Рт генерируются также формулой
(15+1)™—pm=m; m=l, 2, 3,..., р0=1.
17 Следует заметить, что в математической литературе нет едино-
образия в вопросе о числах Бернулли: называют числами Бер-
нулли как числа (*п, так и Вп* То же самое наблюдается и в таб-
лицах, содержащих их. Например, в вышедшей в 1976 г. книге
(см. след. сноску) Д. Кнут приводит числа Бернулли f*n от р0
ДО ?25.
18 См. об этом, например: Фихтенголъц Г. М. Указ. соч., с. 499—
501; Демидович В. П., Марон И. А. Основы вычислительной ма-
тематики. М.: Физматгиз, 1963, с. 611—618; Маркушевич А. И.
Краткий курс теории аналитических функций. М.: Наука, 1966,
с. 211—212; Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.:
Мир, 1976, т. 1, с. 144—149.
19 Великая теорема Ферма как раз и состоит в утверждении не-
разрешимости указанного уравнения. В дальнейшем Куммер
и другие математики усилили этот результат, что позволило
доказать теорему для всех п от 3 до 4002.
20 Дзета-функцией Римана называется широко распространенная
со
в математике функция £ (п) = 2j 1/&п> гс^> 1.
К главе «Иоганн I Бернулли»
1 Известно высказывание Д'Аламбера о том что если он зпает
что-либо из математики, то этим обязан И. Бернулли.
172

* Винченцо Вивиани предложил задачу о вырезании из полусфе-
ры четырех одинаковых отверстий так, чтобы оставшаяся часть
была соизмерима с площадью квадрата, построенного на радиу-
се сферы.
8 «Лидийский камень» — пробирный камень, которым определяли
драгоценность металла. В Лидии (в древности — государство в
Малой Азии) было развито изготовление изделий из бронзы
и золота.
4 До работ Эйлера синус угла определялся как длина перпендику-
ляра, опущенного из конца подвижного радиуса на неподвиж-
ный. В связи с этим «полным синусом» называли радиус круга.
5 Иногда автор термина «интегральное исчисление» вслед за Лейб-
ницем говорит «просуммируем» .вместо «проинтегрируем».
6 Гюйгенс установил, что если расположить циклоиду так, чтобы
основание было горизонтально и лежало выше производящего
круга, то из какой бы точки ее ни начало спускаться тело, оно
придет в низшую точку за одно и то же время. Свойством тау-
тохроны Гюйгенс воспользовался при конструировании часов.
7 Синхронной кривой И. Бернулли назвал геометрическое место
точек, достигаемых опускаемым из некоторой точки по различ-
ным циклоидам шариком за одинаковые интервалы времени.
8 Цит. по: Рыбников К, А. Первые этапы в развитии вариацион-
ного исчисления, Ист.-мат. исслед., 1949, т. 2, с. 402. (Далее:
Рыбников К. А.).
* Цит. по: Рыбников К, Л., с. 431.
10 Цит. по: Маркушевич А. И. Очерки по истории аналитических
функций. М.; Л.: Гостехиздат, 1951, с. 7. (Далее: Маркушевич
А. И.).
11 Цит. по: Маркушевич А. #., с. 8.
12 Каустики представляют собой огибающие семейства отражен-
ных или преломленных лучей. И. Бернулли назвал первый тип
каустик катакаустиками, а второй — диакаустиками. Каустики
изучал с 1682 г. Э. Чирнгауз, после бесед на эту тему с Гюйген-
сом. Исследование соприкасающихся кривых, эволют и каустик
Лопиталь включил в свой «Анализ».
13 Цит. по: Штыкан А. Б. Идея метода изоклин в одной из работ
И. Бернулли.—Тр. Ин-та истории естествознания и техники,
1960, т. 34, с. 355—357. (Далее: Штыкан А. Б.).
14 Цит. по: Штыкан А. В., с. 358.
15 Цит. по: Штыкан А. £., с. 359.
К главе «Даниил I Бернулли»
* Цит. по: Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд-во
иностр. лит., 1949, т. 1, с. 9. (Далее: Ватсон Г. Н.).
2 Цит. по: Ватсон Г. Я., с. 9.
8 Желающие подробнее узнать об этом могут обратиться к кни-
1ам: Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.:
Физматгиз, 1958; Ватсон Г. Н. Указ. соч.
4 Это значение п может быть получено из п«*~4ft / (2/c±l) при
8 См., например: Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычисли*
тельной математики. М.: Физматгиз, 1963, с. 195—198.
6 Бесселевы (цилиндрические) функции — распространенные в
математике специальные функции. Бесселевой функцией ]р
р-то порядка первого рода называется одно из частных реше-
ний дифференциального уравнения Бесселя х2у"+ху'+(х2—
173

—p2)y=Q (p=const), умноженное на некоторую постоянную*
При р=0 будет у"+у' I х+у^О и
/0(*) = 1___(TJ +——{-] ___(_-J 4--.
* Функция f(x) будет асимптотически представимой функцией
у(х) при х-+хо (или #-►«>), если lim [f(x) /q>(s)]=i или
lim {[/(ж)— ц>(х)] /<р(х)}=0. В таких случаях пишут f(x)~y(x)<
Например, 1—cos х~х2 / 2 при ж-*-0, х3 /2+х~х3 /2 при ж-*<»«
Функция /(л:) называется асимптотически представимой при
х-»х0 (вли я->«>) рядом 2ф&(#)> если Ит {[/(*}—Scpnf*)]/
fr=>0 °
/ф„(я)}=0. Асимптотический ряд для данной функции может
быть расходящимся.
8 Цит. по: Харди Г. Расходящиеся ряды/Пер. Д. Я. Райкова. М.5
Изд-во иностр. лит., 1951, с. 29.
9 См. об этом, например: История математики. М.: Наука, 1971,
т. 3, с. 309—312.
10 Цит. по: Смирнов В. Л. Даниил Бернуллн (1700—1782).—В кн.з
Бернулли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движени-
ях жидкостей / Пер. В. С. Гохмана; Коммент. и ред. А. И. Некра-
сова и К. К. Баумгарта; Вступ. ст. В. И. Смирнова. Л.: Изд-во
АН СССР, 1959, с. 475. (Далее: Смирнов В. И.).
11 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 475.
12 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 476.
13 Известно, что ряд обратных квадратов сходится.
14 В упомянутой книге А. Т. Григорьяна и Б. Д. Ковалева на с. 282
приводится неправильное значение С=я2 /12. Эта же элементар-
ная ошибка вкралась и в цитируемую статью В. И. Смирнова на
с. 477. Рассматриваемый ряд при ж=0 дает ряд обратных квад-
ратов, сумма которого л2 / 6, а никак не я2 /12.
15 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 478—479.
16 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 479.
17 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 466.
18 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 465—466.
19 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 483—484.
20 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 484.
21 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 484.
22 Цит. по: История механики с древнейшпх времен до конца
XVIII века. М.: Наука, 1971, с. 268.
23 Цит. по: История механики..., с. 269.
24 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 485.
25 Вскоре после этой публикации появились две статьи Эйлера,
где рассматривались колебания весов.
26 Цит. по: Смирнов В, Л., с. 491—492.
27 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 471.
28 Цит. по: Спасский Б. И. История физики. М.: Высш. шк., 1977,
ч. 1, с. 189—190.
29 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 455—456.
30 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 452.
31 Цит. по: Смирнов В. Л., с. 453.

ЛИТЕРАТУРА
1. Бернулли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движе-
ниях жидкостей / Пер. В. С. Гохмана; Коммент. и ред. А. И. Не-
красова и К. К. Баумгарта; Вступ. ст. В. И. Смирнова. Л.: Изд-во
АН СССР, 1959.
2. Берну лли И. Избранные сочинения по механике / Пер. под ред.
В. П. Егорпшна. М.; Л.: Гостехиздат, 1937.
3. Бернулли Я. Четвертая часть «Ars conjectandi» / Пер. В. Я. Ус-
пенского. СПб., 1913.
4. Бобынин В. В. Яков I Бернулли и теория вероятностей: По по-
воду исполнившегося 200-летия со дня появления в свет книги
«Ars conjectandi».— Мат. образование, 1914, № 4.
5. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука: Математики древне-
го Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959.
6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. М.: Физматгиз, 1960.
7. Гегель. Сочинения. М.; Л., 1929. Т. 1.
8. Григорьян А. Т., Ковалев Б. Д. Д. Бернулли. М.: Наука, 1981.
9. История математики. М.: Наука, 1970. Т. 2.
10. История математики. М.: Наука, 1971. Т. 3.
11. История механики с древнейших времен до конца XVIII века.
М.: Наука, 1971.
12. Курно О. Основы теории шансов и вероятностей. М.: Наука,
1970.
13. Лагранж Ж. Л. Аналитическая механика. М.; Л.: Гостехиздат,
1950.
14. Лаплас П. С. Опыт философии теории вероятностей: Популяр-
ное изложения теории вероятностей и ее приложений / Под.
ред. А. К. Власова. М„ 1908.
15. Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочине-
ний.— Успехи мат. наук, 1948, т. 3, вып. 1(13).
16. Лопиталь Г. Ф. Анализ бесконечно.малых/Пер. с-фр. Н. В. Ло-
ви ; Под ред. и со вступ. ст. А. П. Юшкевича. М.; Л.: Гостехиз-
дат, 1935.
17. Льоцци М. История физики. М.: Мир, 1970.
18. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд., т. 22.
19. Мах Э. Механика. СПб., 1909.
20. Ньютон И. Математические работы/Пер., ввод. ст. и коммент.
Д. Д. Мордухай-Болтовского. М/, Л., 1934.
21. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.; Л.:
Гостехиздат, 1975.
22. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1974. Т. 3.
23. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. СПб., 1909.
24. Рамсей У., Оствальд В. Популярно-научные очерки. Пг., 1920.
25. Рыбников К. А. Первые этапы в развитии вариационного ис-
числения,— Ист.-мат. исслед., 1949, т. 2.
26. Смирнов В. И. Даниил Бернулли (1700-1782).—В кн.: Бернул-
ли Д. Гидродинамика, или Записки о силах и движениях
жидкостей. Л.: Изд-во АН СССР, 1959,
m

27. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука,
1948.
28. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов«
М.: Гостехиздат, 1957.
29. Труды Первого Всесоюзного съезда математиков (1930). М.; Л.,
1936.
30. Харди Г. Расходящиеся ряды/Пер. Д. Я. Райкова. М.: Изд-во
иностр. лит., 1951.
31 Цейтен Г. История математики в XVI и XVII веках. М.; Л.: Гос-
техиздат, 1933.
32. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление / Пер., ст. и примеч.
М. Я. Выгодского. М.; Л., 1949.
33. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свой-
ством максимума либо минимума. М,: Гостехиздат, 1934.
34. Эйнштейн А. Собрание научных трудов. М.: Наука, 1967. Т. IV«
35. Якоби К. Г. Лекции по динамике / Под ред. Н. С. Кошлякова.
М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит., 1936.
36. Acta Eruditorum, 1682—1697.
37. Acta Petropolitanae, 1778, ч. 1.
38. Bernoulli D. Exercitations quaedam mathematical Venetiis, 1724.
39. Bernoulli Jac. Opera omnia. Genevae, 1744. Vol. 1, 2.
40. Bernoulli Joh. Opera omnia. Lausannae; Genevae, 1742. Vol. 1—4.
41. Bernoulli Joh. Die Differenzialrechnung. Leipzig, 1924.
42. Bernoulli Joh, Die erste Integralrechnung. Leipzig; Berlin, 1914.
43. Bernoulli Joh. De motu musculorum, de effervescentia et fer-
mentatione. Venetiis, 1721.
44. Comm. Petropolitanea, 1728. Vol. 1; 1732. Vol. 3; 1738. Vol. 5; 1740.
Vol. 7; 1751. Vol. 13.
45. Der Briefwechsel von G. W. Leibniz mit Mathematikern. Bd. ï,
В.: Hrsg. v. С. J. Gerchardt, 1898.
46. Eiler L. Opera omnia. Ser. II, 1954. Vol. 12.
47. Hoffman /. E, Über Jakob Bernoullis Beiträge zur Infinitesimal-
Mathematik. Geneve, 1956.
48. Huygens C. Oeuvres complètes. Vol. 14. Hague, 1920.
49. Kant 7. Sämtliche Werke, 1838—1839 (Hartenstein), Bd. III.
50. Lagrange J. L. Oeuvres. P., 1867—1892. Vol. 1—14.
51. Leibniz G. W. Mathematische Schriften. Berlin; Halle: Hrsg.
С. J. Gerhardt, 1849-1863. Bd. 1—7.
52. Leopardi G. Le opérette morali. Livorno, 1870.
53. Mém. В., 1746, 1750.
54. Mém. P., 1764; 1766.
55. Michelotti P. Л. De separatione fluidorum in corpre animali. Diss,
physico-mechanico-medica. Venetiis, 1721.
56. Newton /. The chronology of ancient kingdoms amended. LM 1728.
57. Novi comm. Petrop., 1768. Vol. 12; 1770. Vol. 14; 1772. Vol. 16;
1773. Vol. 17; 1774. Vol. 18; 1775. Vol. 19.
58. Tylor B, De metodo incrementorum,.. L., 1715.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Предшественники и современники ... 5
Род Бернулли 27
Якоб I Бернулли 53
Иоганн I Бернулли 90
Даниил I Бернулли 120
Примечания 170
Литература , 175
Виктор Арсеньевич Никифоровский
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ БЕРНУЛЛИ
Утверждено к печати Редколлегией серии нлучно-
популярной литературы АН СССР
Редактор издательств* В. п. .Лишевский
Художественный редактор Н. а. Фильчагина
Технические редакторы С. Г. Тихомирова,
Т. А. Калинина
Корректоры Н. Г. Васильева,
Н. М. Вселюбская
И Б № 27397
Сдано в наоор 19.08.83. Подписано к печати 20.10.83.
Т-17762. Формат 84х108Уа2 Бумага книжно-журнальная
Гарнитура обыкновенная. Печать высокая
Усл. печ. л. 9,24. Уч-изд. л. 10,2. У<*л. кр. отт. 9,55
Тираж 33 500 экз. Тип. зак. 3120
Цена 60 коп.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва В-485
Профсоюзная ул., 90.
2-я типография издательства «Наука»
121099. Москва, Г-99, ШуГинский пер., 10

ЯКОБ I БЕРНУЛЛИ
(1654—1705)
ИОГАНН I БЕРНУЛЛИ
(1667—1748)
ДАНИИЛ I БЕРНУЛЛИ
(1700-1782)

DAMELIS BERNOULLI Job* Fiu
Med, P&qf, Basil,
ACAD, SCIEKT, IMP1R. PETROPGUTANJE, PRIUS MATHESEOS
SUJ3LIMIOEIS PROF.ORD.NUHC MEMBRI £T PROF. HONOR.
HYDRODYN AMIGA,
SIVE
DE YIRIBUS ET MOTIBUS FLUIDQRUM
COMMENTARY
OPUS ACADEMICUM
AB AUCTOEE, DUM PETK020LI AQEKET,
COHGESTUM^
Staptibttf JOHANNIS &EIHHOLDI DULSECfCERf*
Anno M D CCXXXW&.
Typk Job. Hehr. Drnmu, TypognspW Bafiliasfe
Титульный лист «Гидродинамика» Д. Бернулли, 1738 г.

В.А.НИНИФОРОВСНИЙ
ВЕЛИКИЕ
МАТЕМАТИКИ
БЕРНУЛЛИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО НАУКА-

60 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКА»
ГОТОВИТСЯ
К ПЕЧАТИ
КНИГА:
ВИЛЕНКИН Н. Я.
В поисках бесконечности.
10 л. 65 к.
В книге в популярной форме
излагаются основные понятия
и результаты теории множеств
и, в частности, теории беско-
нечных множеств, созданной
Г. Кантором в 70-х годах XIX в.
Понятие теории множеств от-
ражает наиболее общие свой-
ства математических объектов.
Для читателей, интересующих-
ся математикой, а также —
всем, желающим узнать, что
такое теория множеств.
Заказы просим направлять по одному
из перечисленных адресов магазинов
«Книга—почтой» «Академкнига»:
480091 Алма-Ата, 91, ул. Фурманова,
91/97; 370005 Баку, 5, ул. Джапаридзе.
13; 320093 Днепропетровск, проспект
Ю. Гагарина, 24; 734001 Душанбе,
проспект Ленина, 95; 252030 Кие»,
ул. Пирогова, 4; 277012 Кишинев,
проспект Ленина, 148; 443002 Куйбы-
шев, проспект Ленина, 2; 197345
Ленинград, Петрозаводская ул., 7;
220012 Минск, Ленинский проспект, 72;
117192 Москва, В-192, Мичуринский
проспект, 12; 630090 Новосибирск,
Академгородок, Морской проспект, 22;
620151 Свердловск, ул. Мамина-Сиби-
ряка, 137; 700187 Ташкент, ул. Друж-
бы народов, 6; 450059 Уфа, 59, ул.
Р. Зорге, 10; 720001 Фрунзе, бульвар
Дзержинского, 42; 310078 Харьков,
ул, Чернышевского, 87.