Рав Матитьягу Глазерсон Д-р Зээв Маневич
Г еометрия Ивритского Алфавита
Издательство “Seferlsrael” Тель-Авив 2005


הגאומטריה של האלפבית
מאת
ר. מתתיהו גלזרסון דייר זאב מנביץי
Геометрия Ивритского
Алфавита
Рав Матитьягу Глазерсон д-р Зээв Маневич
Израиль 5765 год от Сотворения Мира


Abstract
The Geometry of the Hebrew Alphabet.
The “Hafets Hayim” is quoted as saying that even those portims of the Torah constrantly touched upon by everyone - are amenable to study which would induce its buds to swell and its flowers to blossom.
This book is a confirmation of the words of the great sage and further evidence of the exceptionality of the Hebrew alphabet as an instrument of the Creator separate from all other alphabets and languages of the world. l.If the realizations of the letters ( discussed in part in Rabbi M. Glazerson’s “Sod Hasimkhah” ) are interpreted in terms of straight lines, then the entire Hebrew alphabet can be encompassed by five such lines. Spiritual affinities of words are paralleled by projective relationships between planes.
2. The cross-ratio of a quadruple of collinear points A,B,C,D reads (ABCD) = AC/CB : AD/DB. If it equals -1, the quadruple is called “harmonic”. Such quadruples form the basis of the branch of mathematics called Projective Geometry. Computerised analysis brought out 24 harmonic quadruples of 22 letters of the Hebrew alphabet. One such quadruple consists of zayin, gimel, daleth and aleph, whose numerical values produce the cross-ratio
( 1,4,3,7 ) = (1 - 3)/(3 - 4): (1 - 7)/(7 - 4) = -1.
Thus, with three of the letters given as collinear points, the fourth can be constructed with the aid of a straightedge alone. The following general theorem is proved:
With three letters of the Hebrew alphabet can be reproduced all the alphabet with the aid of a straightedge alone.
3. Certain transforms of the Hebrew alphabet ( many of which are illuminated e.g. in Rabbi Glazerson’s books ) are piecewise-projective.


-6-
By means of these transforms it is possible to bring out spiritual affinities between words and create new interpretations for verses of the Holy Writ. For example, שבת : substituting the first and last letters via אב בי , we obtain מבל , which can be interpreted as “Sabbath from the Torah” (בל ) or “Sabbath from the heart” (לב ) .
4. 	All transforms, familiar or less familiar, appear in the “Sefer Yetsira” (the book of creating traditionally attributed to the Patriarch Abraham). This circumstance is discussed in the book. Besides the links between the Holy Alphabet and projective geometry, these are references to the Third Temple, to searches for key words and to many other topics.
The book is aimed at an audience acquainted with mathematics at the secondary-school level and interested in the “subsurface” features of the Holy Alphabet. It will prove of use to those interested in the structure of the alphabet, hence in that of our Universe Finally, it familiarizes its readers with the tools of scripture research .
Охраняется законом об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части воспрещается без письменного разрешения автора ши издателя.
Любые нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.
© copyright Matityahu Glazerson, Zeev Manevich, 2005, Israel All rights reserved
ISBN - 965 - 7197 - 36 - 8 מסת״ג
Издательство «Seferlsrael», Тель-Авив, 2005 Printed in Israel
http://www.seferisrael.co.il/ E-mail: info@seferisrael.co.il Тел. 03-537-91-45


המחברים מביעים את תודתם:
לרב יצחק שימונוב פלטבוש ניו-יורק ארה״ב ולחברים מהקהילה שלו, לרב משה אזולאי, לדניאל לחיאני, לרב אליהו אסאס, לזאב פינברג, ליוליוס טלסין, לאליעזר גולדברג, למרים ואברהם קלימובסקי, לרב יהושע לוי, לאלפס ספוזיניקוב,לרות ושרגאי מנביץ',
לפטר שטיבלמן, ליוסף יצחק אבוחצירא.
Авторы благодарят
раввина Ицхака Шимонова и его общину ( N.Y. USA ), раввина Моше Азулая, Даниэля Лехиани, раввина Элиягу Эссаса, Зээва Фаинберга, Юлиуса Телесина, раввина Иеошуа Леви, Алекса Сапожникова, Гольдберга Элиэзера, Мирьям и Авраама Климовски, Рут и Сергея Маневич , Иосифа-Ицхака Абухацира, Петра Штивельмана за помощь, оказанную при подготовке этой книги.


-8-
Обозначения.
[3] - 3־й номер в библиографии. [17] - 17־й номер в библиографии
( ссылка на литературу ).
(2) - номер формулы или выражения. (5) -5-я формула (для
ссылок на данное выражение ).
(4,6) = 2 ־ наибольший общий делитель чисел 4 и 6. (5,3) = 1 ־ числа взаимно простые.
А с ВС- точка А лежит на прямой ВС.
АВ П КС = М ־ точка пересечения прямых АВ и КС.
{ а,Ь,с, } ־ множество с элементами а,Ь,с, ... .
л - знак проективного соответствия.
л -знак перспективного соответствия.
(ABCD) ־ число, равное сложному отношению четырёх точек: АС/СВ : AD/DB.
а = b (mod т ) - это означает, что а и b при делении на т дают
одинаковые остатки.
/, : - знаки деления.
А = В - точка А совпадает с точкой В.
* , х - знаки умножения .


-9-
Предисловие.
дин наш знакомый поинтересовался: чем вы сейчас
занимаетесь ? - Работаем над книгой «Геометрия ивритского
алфавита» - ответили мы.
־ Что же вы насилуете одну и ту же тему ? - с пренебрежением заявил знакомый, на что мы ответили ему ( [16] стр.138 ) :
« Слова Торы, которую человек изучает, украшают корону Царя всего мира. В «Толковании на буквы рабби Акивы» говорится, что 22 буквы, составляющие алфавит Святого языка Торы, вырезаны на венце Святого, благословен Он, перед которым всё трепещет, и что именно эти буквы поддерживают небеса и землю».
«Даже в тех разделах Торы ( [16] стр. 116, 117 ) , которые все ощупывают постоянно, всё время находятся люди, помогающие набухнуть почкам и распуститься цветам Торы. Как в женской груди, когда бы ребёнок ни стал теребить её, всегда найдётся немного молока, таковы же слова Торы, ибо мудрости её нет предела.
Как только в устах человека звучит слово о чём-то новом в Торе, это слово возносится ввысь и предстаёт перед Святым, а Тот берёт это слово, целует его и увенчивает семьюдесятью чеканными венцами». Эти слова из книги Хафец Хаима подтверждаются содержанием настоящей книги.
В обычной гиматрии, имеющейся в любой Священной книге и почти в каждой книге «перушим», т.е. пояснений к Священному Писанию, мы увидели с Б־жьей помощью гармонические четвёрки ־ основу проективной геометрии.
Наверное, впервые общеизвестные преобразования «атбаш», «албам», «икбахар» и др. предстают перед читателем, как проективные


-10-
преобразования. Отсюда конические сечения, дезарговы конфигурации и другие образы проективной геометрии оказываются связанными с алфавитом иврита.
Построения с помощью одной линейки - характерная особенность проективной геометрии - позволили восстановить на прямой весь алфавит Священного языка по трём фиксированным его буквам. Исследованию преобразований ивритского алфавита посвящены труды известнейших мудрецов еврейского народа. Например, книга «Ореховый сад» [28] крупнейшего каббалиста Джикатилио. В ней, в частности, преобразования алфавита связываются с таблицами, похожими на таблицу Авраама Авину. В наше время эта тема нашла своё отражение в книге «Сефер Иецира» покойного ( ז.ל ) рава и профессора, математика Арие Каплана.
В настоящей книге исследуется возможность задания преобразования ивритского алфавита двумя элементами таблицы Авраама Авину.
В отличие от многих алфавитов других языков, каждая буква алфавита иврита обладает наполнением. У буквы «алеф» наполнение состоит из трёх букв: אלפ , а у буквы «каф» - только из двух: כפ . В алфавите иврита есть три буквы כפה , наполнения которых состоят только из двух букв. Почему так ? На этот вопрос может ответить только Всевышний, а мы разбираем лишь некоторые свойства, связанные с этим фактом. Например, треугольники ивритского алфавита. И нельзя не согласиться со словами рабейну Моше-Хаима Луцатто ( [31] стр. 117 ) : «Тот, кто углубится в мудрость, откроет, что все создания связаны друг с другом неразрывной связью».
В настоящей книге демонстрируются связи между наполнением букв, геометрией треугольника, преобразованием «икбахар» и др. Геометрическая интерпретация наполнения букв в виде трёх точек, лежащих на одной прямой, приводит к сравнению конфигураций слов, проективным преобразованиям между плоскостями ( коллинеациям ) , что подтверждает слова Моше Луцатто.
Исследования алфавита иврита являются одновременно и исследованиями Торы, которая есть самое главное создание Б־га, сотворённое прежде мира ( [31] стр. 150 ) .


-11 -
Человек рождён для труда, и объясняют мудрецы Талмуда, что речь идёт о труде изучения Торы ( [31] стр.129 ).
Пусть человек всегда видит Тору непаханным полем, вспашет его и получит с него плоды.
Книга нацелена на людей, обладающих знанием и пониманием математики в объёме средней школы , и желающих познакомиться со свойствами Священного алфавита, не лежащими на поверхности. Книга знакомит читателей с инструментами исследования Торы.


-12-
Оглавление.
!.Исследование стиха «Шмот» 25.8 13
2. 	П0иск ключевых слов 26
3. 	Буквы как прямые линии 30
4. 	Алфавит на проективной прямой 37
5. 	Плоская конфигурация слова 40
6.  Проективные координаты букв алфавита 45
7. 	Проективные соответствия ивритского алфавита 53
8. 	К0ллинеация между двумя словами 68
9. 	Ивритский алфавит и геометрия 73
10. Преобразование איק בכר и Маген Давид 77
П.Ивритский алфавит на коническом сечении 85
12. 	Шесть частей ивритского алфавита 94
13. 	Слова и марковские цепи с непрерывным временем 98
14. 	Интенсивности слов 106
15. 	Математические аспекты преобразований
אתבש , אלבמ 110
16 .איק בכר и обобщённая теорема Дезарга 122
17.Проективные соответствия в
естественном порядке букв 127
!^.Преобразования сдвига и таблица Авраама Авину 134
19. Преобразования алфавита и числовая
таблица Авраама Авину 145
20. 	Преобразования אט בח , אי בט на
коническом сечении 152
2!.Наполнения букв и треугольники
ивритского алфавита 157
22. 	Стихи Дварим 21.1-3 и диаграмма
Воронова 164
23. 	Квадраты слов 168
24. Расшифровка по Торе аббревиатур 176
Заключение 189
Библиография 191


-13-
Исследование стиха «Шмот» 25.8
ы начинаем книгу разделом о Храме Всевышнего в
Иерусалиме. Описание Храма в Торе насыщено геометрическими образами, но в этом разделе рассматриваются только числовые соотношения, намекающие на возникновение Третьего Храма и напоминающие читателям о гиматриях, используемых в дальнейшем.
В [ 1 ] Шмот 25.8 написано:
(1) ”ועשו לי מקדש ושכנתי בתוכם’,
что в переводе на русский язык звучит так: И построят мне
Храм и Я буду обитать среди них. Это предложение, очевидно, содержит много тайн.
Две из них закодированы в слове ושכנתי (вэ шаханти).
Речь идёт о времени существования Первого и Второго Храмов. Если слово ושכנתי преобразовать согласно принципам, изложенным в [ 2 ] стр. 60, то можно получить два слова:
(2) ושכן ת״י
что означает «будет обитать» 410. Другими словами, Первый Храм простоит 410 лет. Рассматриваемое нами слово можно представить иначе:
(3) ושני ת”כ
и интерпретировать так: Второй Храм простоит 420 лет.


-14-
Об этом читаем в [ 3 ] стр. 208 - 209, а также в Священном Писании [ 4 ].
В стихе «Шмот» 25.9 говорится о «мишкане»; ־ משכן т.е. временный Храм. В слове ושכנתי есть намёк ־ שכן корень слова משכן - на временный Храм, причём сказано, что в будущем стройте также, по той же форме, модели, которую показал Б-г Моше.
Намёк на время существования двух Храмов имеется в нескольких местах Торы, например: Шмот 27.20 ; Ваикра 24.2 ,где написано:
”שנלך זית זך כתית"
что в переводе на русский означает: чистое масло из маслин (оливковое масло ) раскрошенных ( разбитых ) для меноры ( семисвечника в Храме). Поскольку речь идёт о Храмовом светильнике, наши мудрецы обратили внимание на слово כתית. Если его разбить на два слова и читать в обратном порядке,
то получится ת״י ; ת"כ , т.е. 410 и 420. Это намёк на время существования Первого и Второго Храмов. Возможно, что в стихе ( 1 ) закодировано что-то, связанное с Третьим Храмом, поэтому представляет интерес исследовать этот стих. Этим мы и займёмся.
Прежде всего введём понятие обратной гиматрии, которой будем пользоваться в дальнейшем. Гиматрии или числовые значения букв алфавита и им обратные значения таковы:
Г
ף
ו
ם
א ב .... ת ך
900
800
700
600
500 400 ...2 1
1/900 1/800 1/700 1/600 1/500 1/400... 1/2 1
Сумма 1 + V2 + ... + 1/400 + ... + 1/900 ~ 3.14 .


-15-
Заметим, что гиматрия Имени ש־ד־י равна 314, а малая гиматрия 8. Число 8 , следующее за числом 7 ,
символизирует выход в бесконечность за пределы природы, т.е. намекает на вещи, не связанные с материей. Если просуммировать первые восемь обратных гиматрий, то получим:
1 + V2 + ... + 1/8 ~ 2.718 . Это - число е ,
имеющее огромное применение в математике и других науках: натуральные логарифмы, экспонента,
гиперболические функции и т.д. Приведённые два примера показывают особое значение обратной гиматрии. Естественно перенести это понятие от буквы к слову. Под обратной гиматрией слова будем понимать дробь, в числителе которой стоит число букв слова, а в знаменателе - гиматрия слова. Например,
אברהם - 5/248 ~ 0.02 יצחק- 4/208~ 0.02 יעקב - 4/182 ~ 0.02 אדם- 3/45 ~ 0.06
Отсюда вытекает равенство, о котором говорится в книге Зоар:
אדם = אברהם + יצחק + יעקב
Далее будет также использоваться понятие длины слова. Например, длина слова Сара равна:
שרה = (200 - 300) + ( 5 - 200) = 295
Третий Храм обычно связывают с приходом Машиаха. Некоторые мудрецы считали и считают, что Третий Храм должен возникнуть до прихода Машиаха. Другие думают, что


-16-
Храм и Машиах появятся одновременно. Существует также мнение, что Третий Храм будет воздвигнут при Машиахе.
По мнению некоторых мудрецов, в частности, Рамбама, нельзя заниматься определением сроков появления Храма или Машиаха. Возможно, это связано с 32-й запрещающей ( не делай ) заповедью [ 5 ] . Но мы знаем, что многие известные мудрецы, как סעדיה גאון, רמב״ן л и другие вычисляли эти сроки. В [ 6 ] (פרק ט״ו בירורים א ) задаётся
вопрос: как могло случиться, что такие мудрецы ошиблись? Ответ можно прочесть, например, в трактате Санэдрин [ 7 ] , где написано:
”אני הי בעתה אחישנה"
Эта фраза истолковывается в Талмуде так: если народ Израиля будет выполнять 613 заповедей Всевышнего, то Избавление ( Третий Храм и приход Машиаха ) наступят мгновенно. В противном случае оно произойдёт в своё время, т.е. в момент, известный только Б־гу.
В стихе ( 1) ־ пять слов, обычные гиматрии которых в порядке их следования указаны в таблице 1.
слова
5
4
3
2
1
гиматрия
468
786
444
40
382
мал. гим.
9
3
3
4
4
Таблица 1.
Гиматрия Стиха ( 1 ) 2120 = 2*2*2*5*53. В произведении
участвуют три различных простых числа: 2,5, 53 - намёк на три Храма.
Малая гиматрия стиха ( 1 ) равна 5-ти, т.е. числу слов в этом стихе.
Малая гиматрия слова מקדש равна 3 и намекает нам на три Храма. Если обычную гиматрию 444 слова «Микдаш»


-17-
разделить на число букв в этом слове, т.е. на 4, то получится 111 - гиматрия слова אלף
Три буквы этого слова также намекают на три Храма. Заметим, что малая гиматрия слова «алеф» равна 3. Буква א символизирует Всевышнего; ־12 — לя буква в алфавите, а ־17 — פя. Компьютерный анализ показал, что слово מקדש повторяется в Торе 12 раз, а с артиклем 5־־ ה раз, что в сумме 12 + 5 = 17. Гиматрия 5 ־־ ה, пять книг в Торе и пять раз слово המקדש встречается в Торе. Как много случайностей ! Заметим, что гиматрия слова «Микдаш» представляется так: 444 = 2*2*3*37, т.е. в произведении
участвуют три простых числа 37 ,3 ,2 ־־. В то же время
гиматрия
449 — המקדש , и это простое число, что намекает на единственный вечный Храм Ашема ( ה ).
Построим для стиха ( 1) базисное слово ( см. [2] стр. 59 ) .
(4) ועשלימקדכנתב
Оно содержит 12 букв, что намекает на количество слов «Микдаш» в Торе. Гиматрия слова ( 4 ) равна:
1032 = 2* 2*2*3*43 ( 5 )
В это равенство ( справа ) входят три простых числа 2,3,43 . И снова намёк на три Храма.
Применим к слову ( 4 ) преобразование расширения-сжатия (см. [8]стр. 39 )
(6) ואעינשלמדקפתכב
В слове ( 6 ) 14 букв; его обычная гиматрия 1113 = 3*7*53 - произведение 3־х простых чисел. Опять всплывает число 3. Применим к слову ( 6 ) преобразование расширения-сжатия и получим:
(7)
ואלפעינשמדתקהכב


-18-
Слово (7) состоит из 15-ти букв, которые остаются неизменными при последующих преобразованиях расширения-сжатия. Например, подвергнув (7) указанному преобразованию, получим:
(8) ואלפמדהעינשתקכב
Слова ( 7 ) и ( 8 ) отличаются лишь порядком букв. Согласно теореме 3 из книги [ 8 ] стр. 51 дальнейшие преобразования расширения-сжатия для слова ( 7 ) приведут к инвариантному слову:
(9) ואלפמדהיתענשקכב
Слова (7 ) и ( 9 ) отличаются только порядком букв.
Гиматрия слова ( 7 ) равна:
1118 = 2*13*43 (10)
Снова мы сталкиваемся с тремя простыми сомножителями. Итак, получены три слова (4), ( 6 ) и ( 7 ) или ( 9 ), причём последнее ( третье ) инвариантно ( неизменно ) по отношению к преобразованиям расширения-сжатия. В этом можно увидеть намёк на Третий Храм, который будет стоять ( неизменно ) вечно.
Исследование стиха ( 1 ) можно осуществить с помощью методов, изложенных в [2,8], т.е. определить
характеристическое слово для предложения; выявить в нём приоритетность слов, близость между словами и т.д. Однако эти методы требуют привлечения компьютера и использования специальных программ. Оставим эту работу для желающих попрактиковаться на конкретном примере по описанной в книгах [2,8] методике и , возможно, увидеть что-то новое. Мы же ограничимся помощью калькулятора.


-19-
В [ 8 ] в разделе «Обобщение понятия гиматрии» предложение рассматривается, как таблица значений случайной величины. Поясним это на примере стиха ( 1 ). В нём пять слов, следовательно, случайная величина имеет пять значений от 1 до 5-ти включительно. Сумма гиматрий всех слов этого стиха, как отмечалось выше, равна 2120. Значению 1 случайной величины отвечает вероятность, равная гиматрии первого слова 382 делённой на общую гиматрию стиха:
382/2120= 0.18.
Значению 2 случайной величины отвечает вероятность, равная гиматрии второго слова 40 делённой на общую гиматрию стиха:
40/ 2120 = 0.019 и т. д.
Итак, случайная величина задаётся таблицей 2.
X
1
2
3
4
5
р
0.18
0.019
0.209
0.371
0.221
Таблица 2
Математическое ожидание этой случайной величины равно:
т( X ) = xl*pl + х2* р2 + ... + х5*р5 = 3.434 ( 11)
Оно указывает на центр тяжести стиха ( 1), который находится между третьим и четвёртым словами.
с(Х)= л/[т(Х2 )-m2 (X)] =1.344 (12)
Следовательно слово מקדש находится в а ( X )־ окрестности математического ожидания , т.е. в интервале ( 2.09 ; 4.778 ).


-20-
В этом интервале находятся два значения случайной величины X : 3 и 4. Другими словами, наибольшую смысловую нагрузку несут на себе третье и четвёртое слово.
Теперь рассмотрим обратные гиматрии слов стиха ( 1) и выпишем их в таблицу 3:
Слова
1
2
3
4
5
Обр. гим.
0.01
0.05
0.009
0.00763
0.011
Таблица 3
С таблицей 3 можно связать случайную величину Y , заданную следующей таблицей:
Y
1
2
3
4
5
_д
0.115
0.577
0.104
0.088
0.116
Таблица 4
Значения q получены путём деления гиматрий в таблице 3 на их суммарную гиматрию 0.08663.
т ( Y ) = 2.513 ; a (Y) = 1.163 ( 13 )
Следовательно, «обратные гиматрии» показывают, что слово מקדש находится в о ( Y ) окрестности математического ожидания т( Y ), т.е. в интервале ( 1.35 ; 3.676 ). В этом интервале находятся два значения случайной величины Y : 2 и 3. Другими словами, наибольшую смысловую нагрузку несут на себе второе и третье слово стиха ( 1 ). Таким образом, с противоположных точек зрения (если так можно выразиться ) слово מקדש является центром тяжести стиха (1) .


-21 -
Из приведённого анализа случайных величин X и Y заключаем, что наибольшее внимание следует уделить трём словам:
(14) לי מקדש ושכנתי
Базисным словом для ( 14 ) будет:
(15) לימקדשוכנת
Применим к (15 ) дважды преобразование расширения- сжатия:
(16) למדיוקפתשנאכ
(17) למדיתואקפהשנכ
Последнее слово являеся инвариантным с точностью до перестановки букв. Следовательно, имеем три слова ( 15 ),
( 16 ) и (17 ) , намекающие на три Храма. Обычная гиматрия слова ( 15 ) равна 1270 = 2*5*127. В (14) три слова и им соответствуют три простых сомножителя.
Определим «длину» стиха ( 1) , т.е. вычислим гиматрию этого стиха по расстоянию между буквами ( см. [ 2 ] стр. 45 ) :
3586 = 2*11*163 (18)
Три простых числа ־ намёк на три Храма.
Базисное слово ( 7) имеет гиматрию по расстоянию между буквами:
(19)
1564 = 2*2*17*23


-22-
Таким образом, на протяжении всей этой заметки мы встречаемся с тройками чисел, намекающими на три Храма или на Третий Храм.
Вероятности случайных величин X и Y ( таблицы 2 и 4 ) содержатся в интервалах с концами, соответствующими словам с максимальной и минимальной гиматриями. Если же говорить о слове, определяющем случайную величину, то все вероятности содержатся в интервале с концами, соответствующими буквам с наименьшей и наибольшей гиматриями.
Каждое слово ( см. [ 2 ] стр. 60 ) с помощью элементарных операций ( идущих с горы Синай) сводится к двухбуквенному слову. Этими буквами могут быть буквы с наименьшей и наибольшей гиматриями. Например, если смотреть на стих ( 1) как на одно слово или воспользоваться его базисным словом ( 4 ) , то двухбуквенное слово, соответствующее ( 1) или ( 4 ) имеет вид:
(20) תב
Его гиматрия 402 = 2*3*67 представляется в виде
произведения трёх простых чисел, и в этом мы видим снова намёк на три Храма.
А теперь попытаемся построить геометрический образ стиха (1). Для этого каждое слово стиха заменим его двухбуквенным эквивалентом:
(21) וש לי דש ות בת
В [ 9 ] стр. 9 ( мишна 5 ) написано: «... каждое речение исходит из Таблицы Авраама Авину». Возможно, что речь идёт о представлении каждого слова парой букв. На таблице 5 изображена направленная ломаная для стиха ( 1 ) . Вначале кривая идёт на спуск, что символизирует разрушение Первого Храма; затем идёт подъём - намёк на постройку Второго Храма. Далее снова спад, указывающий на разрушение


־23־
Второго Храма, и подъём , говорящий о возникновении Третьего Храма.
Вопросам, связанным с Храмом Всевышнего , посвящено много Священных книг. Например, книга рава Моше Хаима Луцатто, Храм Всевышнего [35], где приведён чертёж Третьего Храма ( см. рис. 1. ).


-25-
א. התאים שלצד4 הסער
ב. כותל עזרת נשים
ג. שער עזרת בשים ר אולם השער ה רצפה ו עזרת נשים 1. לשכות במזרח ח. לשכות пупа ש. חגר קטורה י תאי עזרת ישראל יא שמנה מעלות יב אולם השער יג. שער עזרת ישראל יד. כותל עזרת ישראל סד. עזרת ישראל סז. לעגת המלבוש יז. פעלה וחק ידו. עזרת כמים יש. לשכת הערר ב. לשכתהמדיזדם כזב המזכה כב. כבש המזבח כג. בין icfrnci כד. כותל האולם כת פתח האולם כו. האולם כז. פתח ההיכל כת ההיכל
כע כותל קרש הקדשים ל. פתח קדש הקרשים לא. קדש הקדשים לב. כותל שאחרי קה״ק לג. תא לד. כותל התא לה.כודד, ההיכל לו. תאיזם בצדי ההיכל לז. כותל התאים לח בית החליפות לס.מונח ם. מסבה
פא.בית הורדת המים מא', כותל הור־זית המים מ׳. הותל המסכת מב. תאי עזרת ישראל מג-יא אמותמאז״זרי קהק מזי. י ב מעלות
הבית השלישי
מערב
Рис.1


-26-
Поиск ключевых слов.
[ 10 ] стр. 23 говорится об ориентации алфавита.
Направление возрастания гиматрии считается положительным, а противоположное - отрицательным. Вместо знака + будем писать 1, а вместо знака ־ будем писать 0. В этом случае ( см. [ 2 ] стр. 60 ) каждому слову ставится в соответствие кодовый вектор. Например, слову
אברהם
1011 (1)
В дальнейшем гиматрии софитов будут рассматриваться как гиматрии соответствующих обычных букв. Теорема ( [ 2 ] стр. 60 ) о приведении любого слова к двухбуквенному остаётся в силе. Эти две буквы имеют в слове наименьшую и наибольшую гиматрии. Так для слова ( 1) получаем слово
2) אי)
Слову שרה соответствует слово שה и т.д. Если начать читать Тору с начала, т.е. со слова בראשית и выписывать базисное слово прочитанного текста, то базисное слово для всей Торы будет иметь вид:
(3)
בראשיתלהמוצכעפנחטדקזגס
100101001101010010101


-27-
Это базисное слово возникает из первой и начала второй главы книги Берешит. Именно в этом отрывке Торы говорится о сотворении нашего мира. Здесь мы видим намёк на то, что мир был сотворён 22־я буквами Ивритского алфавита. Буквы алфавита с наименьшей и наибольшей гиматрией суть א и ת . В(3)их порядок точно установлен
4) את)
Это слово играет в Торе огромную роль. Для получения несократимого кодового вектора ( см. [ 2 ] стр. 49 ) в ( 3 ) следует убрать буквы ל, ע, פ, ז .
Общеизвестны 13 принципов, по которым выводятся некоторые положения из Торы ( см. например, молитвенник «Шомрей эмуна» стр. 15. ). Первый принцип «гзира шова». Этот принцип можно объяснить так: если в двух стихах Торы имеется некоторая общая группа слов ( и даже одно слово ) , то выводы, следующие из одного стиха, мудрецы могут перенести и на другой стих. Возможно, справедлива аналогия, при которой вместо двух стихов Торы берутся какие-то два слова Торы. Например:
אברהם אהרן
אר אר
Каждое из этих слов сводится к одному и тому же двухбуквенному слову, состоящему из букв с наименьшей и наиболыцей гиматрией. По аналогии с принципом «гзира шова» можно думать о наличии духовной связи между указанными двумя именами.
Каждый стих Торы можно заменить предложением, состоящим из двухбуквенных слов. Например, первый стих Торы ( Берешит 1.1) заменяем предложением:
(5)
את רא אט את הש את אר


-28-
Каждому двухбуквенному слову ставим в соответствие либо 1, либо 0 . При этом предложение ( 5 ) переходит в кодовый вектор ( справа налево ) :
1111101 (6)
Этот кодовый вектор преобразуется в несократимый:
101 (7)
Последнему вектору отвечают следующие три слова:
בראשית ברא אלהים
Их можно считать ключевыми словами первого стиха. Предложению (21 ) предыдущего параграфа отвечает следующий кодовый вектор:
11101 (8)
Для вектора ( 8 ) несократимый вектор имеет вид:
101 (9)
Ему отвечают следующие слова стиха Шмот 25.8 :
ועשו לי מקדש
Эти слова можно считать ключевыми.
Для стиха Дварим 6.4 имеем следующее предложение из двухбуквенных слов :
(10)
שם שא יה אב יה אח


-29-
Кодовый вектор, соответствующий этому предложению, имеет вид
101000 (11)
Несократимый вектор 1010 отвечает словам:
(12)
י-ה-ו-ה אלהינו י־ה־ו־ה אחד
которые, очевидно, являются ключевыми.
Выявим ключевые слова в стихе Шмот 4.22 . Предложение из двухбуквенных слов имеет вид:
(13) את אל רה כה אר יה בנ בר שא
Кодовый вектор
011010011 (14)
Несократимый вектор
010101 (15 )
Ему отвечают слова:
16) אל כה אמר י־ה־ו־ה בכרי ישראל)
Т.е. так сказал Г-сподь: Израиль ־ мой первенец.
Приведённые примеры указывают на возможность использования описанного метода для выявления ключевых слов.


-30-
Буквы как прямые линии.
[ 8 ] стр. 9-13 говорится о последовательном
графе буквы, а точнее её наполнения. Наполнением каждой буквы алфавита является слово, состоящее из двух, трёх или четырёх букв алфавита (см. например, [18], [43]).
Буквы одного наполнения ( соответствующие одной букве ) будем считать лежащими на одной прямой в определённом порядке без учёта направления ( сверху вниз или снизу вверх, слева направо или справа налево ) . Например, на рис. 1 изображены наполнения букв «алеф» и «гимл».
ל ל
Рис.1.
Таким образом, каждой букве ивритского алфавита соответствует определённая прямая.
Если буквы алфавита интерпретировать точками на плоскости, то каждой такой точке соответствует прямая, через неё проходящая. Например, точкам ב,ל,פ отвечают прямые, изображённые на рис. 2


-31 -
/
ד
/
Рис. 2
Теорема 1.
_Среди 22־х прямых, соответствующих 22־м буквам алфавита, 15 совпадают в одну прямую, а 4 в другую.
Доказательство.
Возьмём прямую, соответствующую букве «гимл». Эта буква имеет наполнения גמל или גימל ( см.
[!!ע•
Поэтому на прямой ג лежат четыре точки, см. рис. 3. Две прямые למד и גמל совпадают, т.к. имеют две общие различные точки «мэм» и «ламед» .Следовательно, на прямой ג лежит точка ד . Естественно, что на этой прямой будет лежать точка דלת ) ת ).
Прямая «гимл» имеет две общие точки «иуд» и «далет» с прямой יוד , поэтому точка «вав» лежит на прямой «гимл». Букве «цади» отвечают наполнения צדי , צדיק . Эта прямая имеет с прямой «гимл» ( на которой уже лежит ряд точек ) две общие точки ד , י . Следовательно, точки «цади» и «куф» также лежат на прямой «гимл». Прямая קוף имеет с прямой ג две общие точки ו, ק и потому פ лежит на прямой ג . Прямые בית , חית , טית совпадают с прямой «гимл» , т.к.


-32-
имеют с ней две общие точки י , ת . Прямая אלף имеет с прямой «гимл» две общие точки ל , פ и потому эти прямые совпадают. Букве ה отвечают два наполнения הא и הי . Т.к. каждой букве ( по нашей договорённости ) соответствует
ש
/
v п
זז—ק—я—ל מ י ־־ ה ~ ו ר ח רז ו ч ד v
Рис.З.
единственная прямая, то следует принять ה , лежащей вместе с буквами «иуд» и «алеф» на прямой «гимл». Таким образом, на прямой «гимл» лежат 15 точек ( букв ) :
1) אבגדהוחטילמפצקת)
Прямая נון , вообще говоря, не совпадает с прямой «гимл» поскольку имеет с ней только одну общую точку «вав» . Выбрав произвольно положение точки נ на плоскости, определим прямую ע , на которой должны лежать точки: שיו, עין , זין , ריש .В частности, эта прямая может совпадать с прямой «гимл». Трём буквам כ , נ , ס соответствуют прямые


-33-
.כפ נוב סמב . Итак, весь алфавит иврита располагается на пяти прямых, которые могут совмещаться ( по нашему желанию ) в одну прямую, оставаясь при этом независимыми друг от друга.
ת ק אלסמנריהבגזבחטעופדשצ
Рис. 4
На рис. 4 показано совмещённое положение всех пяти прямых. Точка «иуд» делит весь алфавит ( на этом рисунке ) в отношении 8:13 = 0.61... . Это число с точностью до
тысячных долей характеризует «золотое сечение»
( V5 2 / (1 ־.
А теперь поговорим о порядке расположения букв на рис. 3.
На прямой четырёх букв שעזר организация порядка ясна. Заметим только, что буквы «шин» и «рейш» , представленные своими наполнениями שין , ריש , имеют противоположную направленность. Действительно, נ и ר лежат по одну сторону от י - напротив ש .Этим объясняется их противоположная направленность на евклидовой прямой. Аналогично рассуждая, можно показать, что на прямой ג нельзя получить одно направление в прочтении наполнений букв. Действительно, буквы דלת и למד имеют противоположную направленность דל и לד . Буквы ת и ו должны лежать по разные стороны от צ . י и ד по отношению к ק лежат по разные стороны от צדיק) י) .
«вав» должна лежать по одну сторону от «иуд» вместе с «далет». На стороне «далет» должна располагаться и буква


-34-
«пэй». ח , ט , ב лежат на противоположной стороне от ת по отношению к י . «алеф» займёт место между ל и ת .Так возник рис. 3.
Если на евклидовой прямой две точки определяют единственный отрезок, концами которого они являются, то на проективной прямой дело обстоит иначе. В дальнейшем прямую, на которой лежат 15 точек, будем называть первой или прямой абсолюта . Прямую, на которой лежат четыре точки - второй; прямые для точек כ , ס , נ будем называть соответственно третьей, четвёртой и пятой.
Любые две буквы наполнения какой-либо буквы алфавита определяют прямую, на которой лежит третья буква ( если
такая имеется ). Из 15 букв прямой абсолюта можно составить
2
С =15x14/2=105
15
различных пар букв, определяющих первую прямую. Однако не каждая пара позволяет восстановить все буквы на прямой. Мы определили 15 таких пар. Если что-либо пропущено, то наш внимательный читатель внесёт свои исправления. Например, пара י ד или ח י определят все точки первой прямой. Действительно:
יוד תיו תאו הא,הי דלת למד יד-ו-ת-א-ה- ל-מ -....
חי - ת - ט-ו - א - ד - ל- מ -...
חית טית תיו תאו יוד דלת למד
Пара אב определяет первую прямую, но не позволяет восстановить остальные 13 её точек и т.д. В отличие от корней буквы ( см. [ 8 ] стр.182 ) , определяющих её, здесь
используются любые две буквы наполнения .


-35-
Первая прямая является «инвариантной» относительно преобразований расширение-сжатие. Если взять порядок букв ( справа налево ) имеющихся на этой прямой на рис. 3 и подвергнуть это 15-ти буквенное слово преобразованиям расширения-сжатия, то после трёх преобразований получится слово:
(2) תאולפמדהי קגבחטצ
Включающее в себя абсолют (см. [ 8 ] стр. 41, перестановка 9 ). В результате этих преобразований первая прямая на рис. 3 примет вид ( см. рис. 5 ) :
\
חאולחמדהיהגרחרז4
Рис. 5
Если эту прямую замкнуть на бесконечно удалённую точку, то на полученной ( проективной ) прямой порядок прочтения наполнений букв не изменится.
Теорема 2.
4 буквы алфавита восстанавливают весь алфавит. Доказательство.
Возьмём 4 буквы алфавита: י , ד , נ, כ .
Первые две י , ד восстанавливают прямую абсолюта и 13 её букв. Буквы י, נ определяют вторую прямую и точки на ней ש , ז, ע , ר . Точки כ , מ определяют третью прямую и точку


-36-
«самех» на ней. Точки נ ו , כ פ определяют две оставшиеся прямые.
Следствие.
Существует 30 вариантов выбора 4-х точек, определяющих весь алфавит.
Действительно, см. рис. 6.
п
15 —► 30
כ
Рис. 6.
Первая точка ־ נ постоянная. Вторая точка ס или כ . Третья и четвёртая точки - это 15 вариантов, указанных выше.


-37-
Алфавит на проективной прямой.
режде всего обратимся к рис. 1.
s
Точка S лежит вне оси Ох. Каждой точке М оси Ох соответствует единственная прямая т из пучка S , проходящая через эту точку М . Но не каждой прямой из пучка с центром S отвечает её точка пересечения с осью Ох. Взаимно-однозначное соответствие между прямыми пучка с центром S и точками оси Ох нарушает прямая, параллельная Ох и проходящая через S . Для того, чтобы устранить этот «непорядок», договоримся считать, что у двух параллельных прямых имеется единственная точка пересечения, обозначаемая символом 00 . Будем следить за
движением точки М оси Ох по вращению прямой т около точки S .


-38-
Когда М удаляется от О в положительном направлении оси Ох, луч т поворачивается против часовой стрелки. В момент, когда т становится параллельной Ох, точка М оказывается в бесконечно удалённой точке 00 . При
дальнейшем повороте прямой т против часовой стрелки точка М оказывается на отрицательной части оси Ох и начинает приближаться к точке О слева. Описанное явление намекает на замкнутость оси Ох. (см.рис.2)
о
1м
00
Рис. 2.
Если точку 00 одарить всеми «правами» , которыми обладают остальные точки оси Ох , то прямая на рис. 2 будет называться - проективной прямой. В частности, окружность является моделью проективной прямой. Рис. 3. является «отражением» рис. 3 предыдущего параграфа на проективную прямую. Заметим, что все буквы ( на рис. 3 ) как наполнения читаются в направлении против часовой стрелки.


-39-
כ ח
ט
Рис.З.


-40-
Плоская конфигурация слова.
связи с расположением букв алфавита на пяти
прямых, каждому слову можно поставить в соответствие определённую конфигурацию из прямых. Проиллюстрируем эту идею на примере: תברכך — благословила тебя.
כ ר
Рис. 1
Этому слову отвечает конфигурация из 4-х прямых. Первая - прямая абсолюта - определена двумя буквами ( точками) ת,ב , а вторая и третья прямые имеют, как бы, по одной степени свободы, т.к. каждая из них определена одной точкой (см. рис.1).
Рассмотрим в качестве примера два слова רכבו — колесница יאסר — запрягать.
Каждому из этих слов отвечает определённая конфигурация, изображённая на рис. 2 .


-41 -
יאסר
ח ר
Рис. 2.
В обеих конфигурациях участвуют одни и те же прямые ( пря- мая абсолюта, вторая и третья прямые ). Вторая и третья прямые обладают одной степенью свободы. На вторых прямых лежат представители буквы ר . Следовательно, есть определённая близость в этих конфинурациях, а потому и в словах. Действительно, колесницы созданы для того, чтобы в них запрягать лошадей.
На рис. 3 изображены конфигурации, соответствующие названиям пяти книг Торы. Все конфигурации состоят из одних и тех же первых двух прямых. Конфигурация בראשית - наиболее устойчивая, т.к. на каждой прямой имеется проективный репер.


-42-
שמות
כראשית
ר
Рис. 3.
Устойчивы также конфигурации для слов ויקרא ,דברים . Совпадение в некотором смысле конфигураций прямых для пяти названий Книг Торы говорит о духовной близости этих слов, что является естественным фактом. Усиливается ли эта близость для первой, третьей и пятой Книг Торы ? Этот вопрос остаётся для нас открытым. Но как нам кажется, Книга Ваикра содержит основные законы , а Книга Дварим - суммарное подведение итогов ־ Конституция Израиля. Конфигурации, изображённые на рисунках 1 и 3 не являются полными. Поясним понятие полноты конфигурации на примерах. Прежде всего отметим, что наиболее полной конфигурацией служит конфигурация всего алфавита, представленная на рис. 3 параграфа «Буквы как прямые линии». Рассмотрим конфигурацию слова שרה ( Сара ) на рис. 4.


-43-
ש
Рис. 4.
Вторая прямая определена двумя своими точками 1 , ש ,а прямая абсолюта задана с точностью до вращения ( одна степень свободы ) точкой ה . Эту конфигурацию можно дополнить: на второй прямой определяется точка י , т.к. две буквы наполнения ריש имеются ( см. рис. 5 ) .
ה
ר
נ
Рис. 5 .
Теперь определена прямая абсолюта, на которой должна лежать буква א , т.к. имеются наполнения הא , הי буквы ה . Однако восстановить 12 точек прямой абсолюта по буквам , י ה , א не представляется возможным. Конфигурацию на рис. 5 будем называть полной для слова שרה . На рис. 1 буквы ב , ת позволяют восстановить 13 остальных букв прямой абсолюта. Реализация этого процесса показана на рис. 6.


־44־
ת,ב~יחטואדל מס ק צ גה בית חית טית תיו תאו יוד דלת למד אלפ קופ צדי גמל הא
Рис. 6.
После появления букв י , מ однозначно восстанавливаются вторая и третья прямые и буквы на них ( см. рис. 7 ).
ר,י - ש נ ע ז ריש שיב עיב זיב
כ,מ - ס סמב
Рис. 7.
Таким образом, полная конфигурация для слова תברכך является наиболее полной или конфигурацией алфавита. На рис. 2 представленные конфигурации являются полными. Действительно, пара בו не даёт возможности получить какие- либо новые буквы. Пара יא также не порождает новых букв алфавита. На рис. 3 все конфигурации позволяют получить недостающие буквы прямой абсолюта и восстановить буквы на вторых прямых. Следовательно, названия Книг Торы обладают одной и той же полной конфигурацией, состоящей из двух первых прямых алфавита.


-45 -
Проективные координаты букв алфавита.
\
Рис. 1.
а горизонтальной декартовой оси координат ( рис.1) отметим точки ( 0,1,2,3 ,.... ).
На вертикальной прямой задана проективная система координат. S - центр проекций.
0(0) лт мт 00 s*
Рис. 2
В декартовой системе координат на прямой рис.2 координата х точки М может быть определена по формуле:
(!)
х = ( MAOS* ) = МО/ОА : MS*/ S*A


-46-
Меняя знак в каждом простом отношении, получим:
ОМ/ОА : MS */AS* ( 2 )
Очевидно, MS */AS* = 1 и потому декартова координата х = ОМ/ОА, т.е. величине (длине со знаком) отрезка ОМ, делённой на единичный отрезок ( масштаб ). Число (MAOS*) называется сложным отношением 4־х точек прямой. Сложное отношение 4-х точек прямой не меняется при центральном проектировании. В проективной системе координат ( см. рис. 3 ) проективная координата точки М вычисляется по формуле ( см. [54] ):
х = ( MAOS1 ) = МО/ОА : MS1 / S1 А ( 3 )
0 1 х 00
S1
О AM
Рис. 3.
В правой части равенства ( 3 ) стоят отношения длин отрезков, взятых со знаком + или ־ . Речь идёт об отношении векторов на прямой. В дальнейшем под точками мы будем понимать буквы ивритского алфавита, а под расстояниями между точками - разности гиматрий этих букв. Например, אח = 8-1 = 7; 7 - = 8 - 1 = חא и т.д. Здесь речь идёт о
«направленных гиматриях по расстоянию». Рассмотрение таких гиматрий оправдывается рядом примеров. Так
אדם - (אד) + ( דם ) = ( 1- 4) + (4 - 40) = 39


־47־
אברהם = ( 1 - 2) + (2 - 200) + (200 - 5) + (5 - 40) = 39
Духовная связь между этими людьми хорошо известна. Точки OAS* ( рис.2 ) или OAS1 ( рис.З ) образуют проективные реперы. Если в качестве проективного репера взять наполнение буквы «алеф» ( см. рис. 4 ), то проективная координата, например, буквы «иуд» относительно этого репера вычисляется по формуле:
(1)א (30)ל (80)פ
0
00
Рис. 4.
х = (4) לפ/פי: לא/אי = ( פאלי)
X = ( 10 - 1) /( 1 - 30 ) : ( 10 - 80 )/( 80 - 30 ) = 0.22167;
Здесь возникает интересная задача:
выяснить, существуют ли в алфавите иврита 4 буквы, образующие гармоническую четвёрку ( сложное отношение равно 1 ־).
Расположим 15 букв прямой абсолюта в порядке, соответствующем их гиматриям, рассматриваемым в качестве декартовых координат ( см. рис.5 )


-48-
/
ש
י /
ת
Точку נ выберем произвольно и ס на пряной ני . Рассмотрим четырехугольник נסמו . Одна диагональ этого четырехугольника מנ , а другая — סו .
-1.04 = (10אימו) = מא/או: מי/יו = (40 - 1 )/(1 - 6) :(10־40)/(6־ )
Ещё ближе подходит к гармонической четвёрке
1.005־ = ( טתיח)
Ответ на поставленный выше вопрос задачи - положительный. Компьютерный анализ, проведённый г-ом А. Сапожниковым, выявил 24 различных гармонических
четвёрки букв ивритского алфавита . Рассматривались 22 буквы ( без софитов ). Вот они:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
1
10
10
10
10
10
100
100
100
2
2
4
5
70
40
5
50
6
7
50
60
70
5
6
3
4
300
30
20
40
4
4
200
40
40
4
5
7
7
40
70
8
70
7
8
80
70
80
8
8


־49-
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2
20
20
20
20
20
3
3
30
30
70
40
9
50
60
80
90
90
6
7
60
70
4
700
30
40
50
30
30
300
5
6
50
60
40
70
6
80
80
5
6
60
9
9
90
90
400
7
Список 1.
При введении в рассмотрение софитов 500, 600, 700, 800, 900 выявляется только одна интересная четвёрка ( под номером 25 в списке 1 ). Все остальные гармонические четвёрки получаются путём умножения всех элементов четвёрки из ( 22-х букв) списка 1 на 10.
В таблицах списка 1 первые строки - это номера четвёрок. Остальные строки - гиматрии букв алфавита, например: четвёрка под номером 14 (2 9 30 6)-(= (ולטב
1־ = 28/21:4/3־ =; четвёрка под номером 1 — (1437)-- (1- = (ז ג ד א
Если на числовой оси отметить точки ( 4 )7 ,( 3 )א( 1 ), ג , то точку 7 ) ז ) можно получить с помощью одной линейки.


-50-
Делается это так: Через точку א проведём две произвольные прямые ( рис. 6 ) . Через точку ג проведём произвольную прямую, пересекающую прямые из א в точках А и С. Точки А и С соединяем с ד . Полученные две прямые пересекают прямые из א в точках В и Е. Прямая BE пересекает числовую ось в точке 7 )ז ) . Это известное из проективной геометрии свойство полного четырёхугольника АВСЕ [ 13 ] . Полным он называется потому, что содержит 6 прямых, соединяющих его вершины. Итак, построение четвёртой гармонической точки к трём данным сводится к построению ( одной линейкой ) полного четырёхугольника.
Пример 1.
Четыре буквы , например, מ, צ, פ, כ , взятых на одной прямой, позволяют построить весь алфавит иврита с помощью одной линейки.
Решение.
Выбранные буквы обладают следующими числовыми значениями:
20,40,80,90, (5 )
выписанными слева направо в порядке возрастания (צ,פ,מ,כ) . Из 15 в списке 1 строим четвёртую гармоническую к трём 20, 40, 80. Это число 50 или буква «нун». Теперь мы видим, что имеем дело с малыми гиматриями מןץףך . Из 16 ( Список 1) следует возможность построения ( по аналогии с рис. 6 ) с помощью одной линейки точки 60, т.е. буквы ס . В дальнейшем ограничимся краткой записью. Из 22 по трём точкам 50,60, 90 получаем 30. Из 23 по трём точкам 30, 60, 90 получаем 70. Из 19 по трём точкам 20, 90, 60 получаем 300. из 4 по трём точкам 40 , 70, 30 получаем 10. Из 18 получаем 6; из 10 - 100.
Итак, у нас сейчас имеются все гиматрии от 10 до 100 включительно. Из 3 получаем 1; из 17 - 5; из 9 - 200. Из 5 по трём точкам 10, 5, 20 получаем 8. Из 13 — 2; из 12 - 4; из 24 - 400; из 2 - 7; из 1 - 3, а из 21 - 9.


-51 -
Таким образом, алфавит построен.
Очевидно, имеются ещё четвёрки точек, дающие возможность построить весь алфавит, например, 20, 30, 90, 60; начинаем с номера 18 в списке 1.
Пример 2.
Пять букв י, ו, ד, כ, נ , взятых на одной прямой, позволяют построить весь алфавит иврита с помощью одной линейки. Решение.
Выбор указанных букв связан с пятью прямыми алфавита: прямая абсолюта, на которой лежат три точки י, ו, ד ; точка נ , через которую проходят две прямые נו и ני и точка כ , определяющая прямую מכ . Итак, имеются следующие пять чисел:
Гиматрия 4 6 10 20 50
Точки נ כ יוד
Таблица 1.
Процесс получения новых букв представим в виде таблицы 2.
№ списка 1. 7 8 5 12 2 1 20 14 17 15 6 24 16 23
Гиматрия 7 8 5 2 1 3 9 30 80 40 70 400 60 90
10 9 3
100 200 300
Таблица 2.


-52-
В мире цифр имеется шесть гармонических четвёрок:
1437 2548 3659
1437 2658 3769
Следовательно, в мире десятков и в мире сотен также имеется по шесть гармонических четвёрок.
Существует шесть гармонических четвёрок, «сшивающих» мир единиц и мир десятков.
10 5 20 8 10 6 4 7 10 7 4 8
20 80 30 5 20 90 30 6 2 9 30 6
Следовательно, имеется шесть гармонических четвёрок, «сшивающих» мир десятков и мир сотен.
Наконец, существует три гармонические четвёрки, сшивающие все три числовых мира:
1 	70 300 40 4 70 40 400 7 70 40 700


-53-
Проективные соответствия ивритского алфавита.
режде всего постараемся на элементарном уровне объяснить, что такое проективное соответствие.
s
На рис Л изображены два перспективных точечных прямолинейных ряда:
а ( ОАВС... ) и а1 ( О А1 В1 С1 S ־־ центр
перспективы.
Перспективность указанных точечных рядов записывается в виде:
а ( О А В С ... ) л а! (ОА! В! С! ...) (1)
При центральном проектировании изменяются длины отрезков и их простое отношение. Неизменным же является так называемое сложное отношение четырёх точек. Под


-54-
сложным отношением четырёх точек ( ОАВС ) понимается отношение двух отношений (об этом уже говорилось ранее):
( ОАВС ) = ОВ/ВА : ОС/СА ( 2 )
Следовательно, сложное отношение четырёх точек прямой является инвариантом центрального проектирования:
( ОАВС ) = ( О А! В! С1 ) ( 3 )
Рис. 2.
Два точечных ряда называются проективными, если переход от одного из них ко второму осуществляется с помощью нескольких центральных проекций. На рис. 2 ряды: а ( ABCD ... ) и а2 ( А2 В2 С2 D2 ... ) проективны, т.к. переход от первого из них ко второму осуществляется с помощью двух проектирований:
а ( ABCD ... ) л a1(A1B1C1D1...)Aa2(A2B2C2D2...) (4)


-55-
Проективное соответствие между двумя точечными рядами записывается так:
а(ABCD...) л a2(A2B2C2D2 ...) (5)
Очевидно, что
(ABCD) = (A2B2C2D2 ) (6)
Из равенства ( 6 ) следует соотношение (5 ).
В списке 1 ( предыдущего параграфа ) указаны 25 четвёрок букв ( гиматрий ) ивритского алфавита, проективных между собой, ибо их сложные отношения равны - 1 . Другими словами, в списке 1 приведены 25 четырёхбуквенных слов, проективных между собой. Например, первое и 12־е слова:
(זגדא )л (7) ( חדהב)
Читаем слева направо в связи с записью сложных отношений. Здесь естественно возникает вопрос: существуют ли в
ивритском алфавите более длинные слова, проективные между собой ? Для ответа на этот вопрос обратимся к рис. 3.


-56-
На этом рисунке прямые а!, а2 , аз параллельны, S ־ центр проекций. א , י, ק находятся на одном проектирующем луче; ב ,כ ,ר также лежат на одном проектирующем луче. Очевидно, что преобразование איק־בכר ( ик-бахар ), данное евреям на горе Синай ( [ 14 ] стр. 12 ) вместе с письменной Торой, является центральным проектированием. Подобие на рис. 3 хорошо объясняется М.Глазерсоном [ 14 ] в разделе «наука языка». Если на прямых а1, а!, аз введены декартовы координаты ( рис. 3 ) , то получаются следующие
перспективные ряды:
а!(ץףןםךתשרק...סנמ...כיט ...בא)л а2 (טחזוהדגבא...םךת...רקצ...כי)
л аз (8) (צפעסנמלכי...והד...באץ...רק)
Точечный ( буквенный ) ряд на прямой аз в перспективном преобразовании на параллельную прямую с коэффициентом подобия 10 даёт обновлённый ивритский алфавит в его естественном порядке:


-57-
а 3 (צפעסנמלכי...והד...באץ...רק)л а 4 (9) (ץףןםךת...סנמ...כיט...בא)
На множестве 22-х ивритских букв или на множестве их гиматрий:
1,2,9,10,20,... ,90,100,200,300,400 можно устанавливать различные проективные соответствия. Навример,
(ח ז ג...)л (ט ב א ...)
Возникает вопрос: существуют ли среди букв алфавита,
отличных от взятых, ещё пары букв, находящиеся в указанном соответствии ?
Возможно, что для некоторых троек буквенных пар новых пар вообще не существует.
Г-н А.Сапожников провёл компьютерный анализ всех возможных проективных соответствий на множестве 22-х букв ( их гиматрий ) . В результате этого анализа получена следующая Теорема:
Среди всех возможных проективных соответствий на прямой с 22-я точками ( гиматриями ивритских букв ) наибольшим числом соответствующих пар обладает преобразование «икбахар».
Описанный процесс красиво интерпретируется на коническом сечении ( см. рис. 4.) .


-58-
ב
Рис. 4.
Представьте себе ( не вдаваясь в детали ) , что на коническом сечении установлено проективное соответствие: точке א соответствует точка י , точка י переходит в ק , а точка ק в обновлённую точку א .
Получается треугольник ( тройка из «ик-бахар»).
Точке ב соответствует точка כ , точке כ - точка ר , а ר переходит в обновлённую точку ( букву ) ב . Снова треугольник и т.д. Такое соответствие называется циклическим преобразованием 3-го порядка. Оказывается, что все треугольники «ик־бахара» описаны около некоторого нового конического сечения. Подобная картина разобрана нами в [ 8 ] стр. 176. Тема эта довольно сложная; ей, например, посвящена частица докторской диссертации ( ныне покойного ) А.А.Глаголева, который являлся единственным проективным синтетическим геометром в бывшем СССР.
В [15] стр. 112 приведена теорема:
Если проективное соответствие на одном носителе является циклическим по отношению к какой-либо одной точке этого


-59-
носителя, то оно будет циклическим и по отношению ко всем другим точкам того же носителя.
Для точки א в проективном соответствии на рис. 4 цикл имеется, следовательно, и для остальных точек возникают циклы.
Прежде чем продолжить говорить об алфавите, изложим некоторые нужные для дальнейшего элементарные положения из проективной геометрии.
1. 	Проективное соответствие между двумя прямолинейными точечными рядами устанавливается с помощью трёх пар соответственных точек.
а в м с /
Рис. 5.
Все построения осуществляются только с помощью одной линейки.
(10)
а (АВС...) л а , (А, В, С, ...)


-60-
Через точку А1 проводим произвольную прямую т ( см. рис. 5). На прямой АА1 выбираем произвольную точку S и проектируем из неё точки прямой а на прямую т.
а ( АВС... ) * т ( А2 В2 С2...) (11)
Прямые B1 В2 и С1 С2 пересекаются в точке S1 .
ш ( А2 В2 С2 ... ) л 3.1 ( А1 В1 С1 ... ) ( 12 )
Из (11) и (12) следует, что
а ( АВС... ) " а! ( А! В! С! ... ) ( 13 )
Построим точку М1 на прямой а1 , соответствующую произвольной точке М на прямой а . Для этого спроектируем М из S на прямую т в точку М2 , а далее спроектируем точку М2 из S1 на прямую а1 в точку М1 . Мы рассмотрели проективное соответствие на двух разных носителях а иа! . Покажем теперь, как установить проективное соответствие на одном носителе. На рис. 6 проективное соответствие
а (АВС...) * а (А' В’ С ... ) (14)
задано тремя парами соответственных точек. Возьмём произвольную прямую т и точку S . Спроектируем из S на прямую т точки А' , В' , С (рис. 6 ).


-61 -
а
Теперь имеем проективные соответствия:
а (А'В'С'...)лт (А! В! С!...) (15)
т(А1В1С! ...) 7 а (А В С ... ) (16)
Построив соответствующую пару точек М —► М1 в(16) получаем точку М' в ( 15 ) .
2. 	Инволюция.
В проективном соответствии на одном носителе ( прямой ) может случиться ситуация, представленная на рис. 7 , т.е.
а ( АВС ... ) “ а ( ВАС’ ... ) ( 17 )
Известно, что в случае ( 17 ) любая пара соответственных точек, например, С —* С обладает тем же свойством, что и точки А , В , т.е. точке D = С отвечает точка D' = С ( см. [13] стр. 136 ). Такое проективное соответствие называется


-62-
инволюциеи или циклическим преобразованием второй степени.
А'
а
С С В'
В
А
Рис.7.
Среди проективных слов списка 1 ( предыдущего параграфа ) имеются инволюционные соответствия, например:
17. ( 20 90 300 60 ) в инволюции к 22. ( 30 60 50 90 ) , т.е.
( 20 90 300 60 30 50 ) *( 30 60 50 90 20 300 ) ( 18 )
4. ( 10 40 70 30 ) в инволюции к 11. ( 100 70 40 80 ) , т.е.
(10 40 70 30 100 80) * (100 70 40 80 10 30 ) (19)
14. ( 2 9 30 6 ) в инволюции к 20. (3659) т. е.
(29 30 635) *(36592 30) (20)
3. 	В [15] стр. 70 доказана теорема Штаудта:
В проективном соответствии, установленном между точками одной и той же прямой, не может существовать более двух двойных точек, если это соответствие не сводится к тождественному.
Покажем сейчас, как с помощью одной линейки построить вторую двойную точку проективного соответствия при наличии первой двойной точки.


-63-
Предположим, что проективное соответствие задано так ( см. рис. 8 ).
а ( О А В ... ) л а ( О А' В’... ) ( 21)
Т.е. О - двойная точка проективитета ( 21 ) . Она сама себе соответствует.
Рис. 8.
Через точку О проведём произвольную прямую а1 . Из произвольной точки S спроектируем на а1 точки А' и В' :
SA' П а! = А! ; SB’ П а! = В1 (22)
Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке S1 .
SS1 П а = Р ; SS1 П а! = Р1 .
а(ОАВР...)л а! ( ОА! В! Р! ... ) (23)
а 1 ( ОА1 В! Р!...)л а ( ОА' В’ Р...) (24)
Из ( 23 ) и ( 24 ) следует:


-64-
а ( ОАВР... ) л а ( ОА' В’ Р...)
Эта запись показывает, что Р - искомая двойная точка.
4. 	Решим следующую задачу:
Задача 1.
Три точки А , В и С лежат на одной прямой. Построить точки X и У, лежащие на той же прямой и обладающие свойством:
( АВХУ ) = 1־; (ХСУВ) = -1 (25)
Решение:
Через точку В проведём четыре произвольные прямые (отлич- ные от АВ)
D
1
Ь, Ь! ; d , di ( см. Рис. 9 ). Через точку С проведём произвольную прямую 1 . 1 П d = D; 1 П di = Е. Пусть У - произвольная точка прямой АВ. YE П d = N; YD П d! = М;


-65-
MN П АВ = X' . Итак, построен полный четырехугольник EMDN и как известно ( см., например, [13] ) (X' С Y В ) = 1־ - гармоническая четвёрка. Через точку А проведём произвольную прямую а : а П b = R; а П b 1 = S ;
RY П b! = К; АК П b = Т ; TS П АВ = X .
Задача сводится к нахождению такой точки Y , для которой X = X' . Предположим, что точка Y - переменная, тогда
АВ ( Y ) л d ( N )
АВ ( Y ) л d ! ( М ) (26)
Отсюда следует, что
d(N)Ad!(M), (27)
Но точка В у этих проективных рядов сама себе соответствует, и потому ряды ( 27 ) перспективны. Их центр перспективы Р
( PCED )= -1.
d ( N ) л АВ ( X’ ) ( 28 )
Из ( 26 ) и ( 28 ) следует, что
АВ ( Y ) А АВ ( X' ) ( 29 )
Так как ( ABYX ) = -1 ( рис. 9 ) , то
АВ ( Y ) А АВ ( X) (30)
Из ( 29 ) и ( 30 ) следует, что
АВ ( X ) ” АВ ( X' )
(31)


-66-
Если Y —► В , то X —» В, X' —► В , следовательно В - двойная точка проективитета ( 31 ) . Вторая двойная точка этого проективитета будет искомой X = X' точкой, построение которой с помощью одной линейки разобрано в пункте 3. Из построения на рис. 9 следует:
( ABXY ) = 1־; ( X' CYB ) = -1.
Двойная точка X = X' удовлетворяет требованию задачи 1. Теперь вернёмся к ивритскому алфавиту, точнее к списку 1 и докажем следующую теорему.
Теорема 1.
Три буквы ивритского алфавита י, ו , ד , отмеченные как точки на одной проективной прямой, позволяют воспроизвести весь алфавит с помощью одной линейки. Доказательство.
Из седьмого номера списка 1 :(10647) = -1 строим точку 7. Из номера 8 списка 1 получаем точку 8. Теперь обращаемся к 12-му и 13-му номерам списка 1, т.е. к (2548) =-1; (2658) =-1.
Точки 2 и 5 нам неизвестны, но по задаче 1 их можно воспроизвести с помощью одной линейки. В данном случае X = 2;Y = 5;A = 4;B = 8;C = 6. Теперь из номера 5 списка 1 получаем 20. Итак в данный момент мы имеем следующие числа: 4,6,7,8,10,2,5,20. Дальнейшее решение следует из таблицы 1.
№ списка 1 2 1 20 14 гиматрии 1 4 9 30
Таблица 1.
Появилась возможность установить проективное соответствие на одной прямой ( см. (8) ):


-67-
а (1 2 3 ...) л а( 10 20 30...)
и восстановить точки 40,50,60 ,70,80,90,100,200,300 , 400. Теорема доказана.
Заметим, что в качестве исходных трёх точек можно выбрать тройки из списка 1, отличные от יוד .


-68-
Коллинеация между двумя словами.
о сих пор мы говорили о проективном соответствии в
образах первой ступени, т.е. между прямолинейными рядами точек. Сейчас познакомимся с образами второй ступени, плоскими полями или с совокупностями всех точек и прямых, лежащих в одной плоскости ( см. [ 15 ] стр. 146 ).
Если между элементами двух плоских полей установлено взаимно-однозначное соответствие, при котором каждой точке первого поля соответствует единственная точка второго поля и каждой прямой первого поля - единственная прямая второго поля, причём, если точка и прямая первого поля инцидентны и соответствующие им точка и прямая второго поля также инцидентны, то соответствие этих полей называется коллинеацией ( или коллинеарным преобразованием ) . Пояснение: если точка лежит на прямой, то говорят, что точка и прямая инцидентны. Справедлива следующая теорема:
Коллинеарное соответствие двух полей будет вполне определено, если четырём независимым точкам первого поля задать соответствующие четыре независимых точки второго поля.
Четыре точки плоскости называются независимыми, если никакие три из них не лежат на одной прямой.
Заметим, что мы не пишем учебник по проективной геометрии и потому стараемся пояснить читателю, как говорят, на пальцах необходимые для дальнейшего понимания математические результаты.
В параграфе «Буквы как прямые линии» в теореме 2 рассматривались четыре независимые точки (буквы ),


-69-
определяющие пять прямых алфавита. На рис.5 указанного параграфа показана полная конфигурация для слова שרה . На рис. 1 приведена полная конфигурация слова אברהם .
Рис. 1
Буквы א , ב , ה , מ лежат на прямой абсолюта и позволяют восстановить остальные её 11 букв:
.... מ , ה ־־ י ת ו ד ל מים, הי בית תאו יוד למד...
Между конфигурациями שרה и אברהם можно установить коллинеарное соответствие:
(שרה(אהרש л (1) אברהם(א ה רש)
В этой коллинеации прямую абсолюта для שרה можно заполнить недостающими 12-ю буквами. Итак, Сара и Авраам духовно близки, поскольку их геометрические конфигурации представляются первыми и вторыми прямыми алфавита и после установления коллинеации совпадают. Это явление намекает не просто на духовную близость двух слов, как равноправных, а на некую зависимость одного слова от другого. Возможно, мудрость Авраама переходит к Саре и она становится пророчицей.
Читатель самостоятельно сравнит конфигурации слов


-70-
שדי и שלום и убедится в том, что эти слова равноценны духовно, хотя их обычные гиматрии, а также малые гиматрии различны.
Рассмотрим два слова יעקב , מצרים . Геометрические конфигурации для этих слов представлены на рис. 2.
ילוהר
לז
ס
מצריוז
ה
Рис. 2.
В каждой из конфигураций на прямой абсолюта возможно восстановить все 15 букв алфавита. На вторых прямых также возникают буквы ז, ע , ר , ש . Следовательно, конфигурации полные и тождественные, что говорит о духовной близости слов Иаков и Мицраим. Эту духовную связь можно объяснить например так: Иаков или Исраэль возник как народ в Египте. Построим геометрические конфигурации для имён רות и אסתר (см. рис. 3).
Рис. 3.
Очевидно, что на прямых абсолюта можно восстановить все их буквы:


- 71־
(2) ת,ו - א י ד הל
תאו תיו יוד דלת ...
(3) ת,א - ו י ד ל ....
תאו תיו יוד דלת ....
Поэтому восстанавливаются вторые прямые с имеющимися на них точками. В конфигурации אסתר есть прямая סמב , которая отсутствует в конфинурации для רות . Между конфигурациями на рис. 3 можно установить коллинеарное соответствие:
(רות(תארש л (4) אסתר( ת א ר ש)
В этом проективном соответствии прямой סמב конфигурации אסתר будет соответствовать סמב в конфигурации רות .
Другими словами, «Эстэр» индуцирует в полной конфигурации «Рут» третью прямую, дополняющую эту конфигурацию до наиболее полной конфигурации алфавита. Здесь можно видеть намёк на особую духовную связь рассматриваемых имён.
В [14] стр. 157 написано: «Во времена Рамбама мы видим поразительные примеры, какое значение имеют имена, приведённые в Торе, для истории еврейского народа.
Евреи Йемена подвергались тяжёлым преследованиям со стороны арабов и встали перед дилеммой: поднять восстание или продолжать терпеть. С этим вопросом они обратились к Рамбаму, который ответил им письмом «Послание в Тайман». Рамбам написал, что йеменские евреи не должны восставать против арабов ( ишмалитов ). Рамбам приходит к этому выводу на основании анализа имён сыновей Ишмаэля, перечисленных в Торе.
Совет Рамбама спас йеменских евреев от окончательного уничтожения».
Поэтому методы, позволяющие сравнивать между собой слова


-72-
( имена ) Торы, очень важны при проведении исследований Священного Писания.
В рассмотренных выше примерах мы говорили о совпадении или тождественности двух конфигураций. Эти слова следует понимать так: две плоские конфигурации считаются
тождественными, если между ними можно установить проективное соответствие.
Справедливо следующее утверждение :
Если в полной конфигурации слова имеется 4־е независимых точки, то это слово тождественно ( эквивалентно ) ивритскому алфавиту.


-73-
Ивритский алфавит и
геометрия.
бщеизвестным фактом для людей, стоящих на
позициях Торы, является сотворение Всевышним нашего материального мира с помощью 22-х букв ивритского алфавита. В частности, этими буквами сотворены все науки. Но сейчас нам бы хотелось конкретизировать это утверждение на примере математики и её ветви - геометрии.
Каждая буква Священного языка характеризуется тремя своими гранями: числом, формой и идеей. Поэтому
математика, которая в основном занимается числами и геометрическими формами, порождена 22־я буквами ивритского алфавита.
Вся планиметрия, т.е. геометрия на плоскости базируется на двух основных понятиях - точка и прямая, которые удовлетворяют ряду аксиом, в частности, аксиомам инцидентности. Например, две различные точки определяют единственную прямую, проходящую через них и т.д.
Здесь проявляется наличие связи геометрии с алфавитом иврита, где каждая буква построена с помощью двух его букв: иуд ( י ) и вав ( ו ) ( см. [10] стр. 87, рис. 4.3 ).
Часто в Священном Писании буква י ассоциируется с точкой, а ־ ו с прямой. При такой интерпретации буквы алфавита разделяются на 10 частей ( см. рис.1 ). Из рис. 1 видно, что мы имеем 21 прямую ( без учёта форм , составленных из одного и того же числа прямых ), т.е. в каждой букве алфавита, кроме י , присутствует, по крайней мере, одна прямая. Из рис. 1 видно, что имеется 7 точек ( букв


־74־
иуд без учёта форм , составленных из одного и того же числа прямых). Число 7 играет особую роль в иудаизме. Поскольку алфавит иврита был создан ещё до сотворения Вселенной, возможно, что семь точек на рис 1 намекают на семь понятий, жизненно важных для функционирования мира ( см. [49] стр. 19 ).
Рис. 1
1. Тора
2. Тешува (раскаяние)
3. Ган Эден
4. Геином
5. Кисэ акавод (Небесный Трон Славы)
6. Бейт Амикдаш (Иерусалимский Храм)
7. Имя Машиаха.


־75-
На основании интерпретации , данной на рис.1, можно выделить 12 проективно-неэквивалентных частей ивритского алфавита. Для этого следует из 6־го номера на рис.1 забрать букву ה , а из 7־го номера - букву ש . Тогда входящие в каждую из 12-ти частей алфавита буквы проективно эквивалентны между собой. Например: пятая часть состоит из букв ח , ר , נ , каждая из которых интерпретируется двумя прямыми. Между двумя парами прямых можно установить бесконечное множество проективных соответствий ( в частности афинных ); см. рис. 2, на котором приведены в перспективное расположение буквы Пи ר или נ .
s
Заметим, что имеется ровно пять букв, интерпретации которых отличны от интерпретаций остальных букв алфавита. Они представлены на рис. 3


-76-
Рис.З.
и хорошо запоминаются со словом «шгия» (ошибка) שגיאה. Проективная эквивалентность букв ивритского алфавита позволяет говорить о возможной духовной связи между различными словами. Например: ארץ ►־-» אחד , что намекает
на единственность Земли или на единственность земли Израиля. В этих словах ח и ר принадлежат пятой группе букв, а ד и צ или ץ принадлежат шестой группе букв ( см. рис.1).
הורמה נורמה ,שנה <-» שרה (разрушение, норма) ; נור ►-> הו ר שמע <-> שמך . Если заменить слово שמע в известном стихе Торы: ”שמע ישראל יהוה אלהינו יהרה אחד” (см. [50]) , то
получим: שמך ישראל , что можно трактовать так: Имя
твоё - Израиль, ־ י-ה-ו-ה Б־г наш, ־ י-ה-ו-ה Один. Или другими словами: Имя твоё - Израиль, а «Адонай» - Имя Б־га твоего и «Адонай» ־ Один.


-77-
Преобразование איק-בכר и Маген — Давид.
режде чем приступить к рассмотрению ивритского
алфавита поясним некоторые положения из проективной геометрии.
1.Пучок прямых 2-го порядка.
В предыдущих параграфах мы говорили о прямолинейных точечных рядах и пучках прямых первого порядка.
Рис. 1.
На рис.1 изображены два прямолинейных точечных ряда, между которыми установлено проективное соответствие:
а ( А,В,С,... ) л а 1 ( А1 ,В! , С!,...) ( 1)


-78-
Говорят, что прямые АА1 , ВВ1 , СС1 и т.д., т.е. прямые, соединяющие соответственные точки двух проективных рядов ( 1) , образуют пучок прямых 2־го порядка.
Из проективной геометрии известно (см., например, [51] ), что прямые пучка 2 -го порядка огибают коническое сечение ( кривую 2־го порядка ). Слово «огибают» означает, что прямые пучка 2-го порядка являются касательными к некоторому коническому сечению (см. рис. 1).
2. На кривой 2-го порядка можно установить проективное соответствие с помощью трёх пар соответственных точек.
На рис. 2 изображено коническое сечение с тремя парами соответственных точек:
а2 ( А , В , С ,... ) 7 а2 ( А! , В1 , С!,...) (2)
Говорят, что пучок прямых с центром А проективен точечному ряду а2 ( А! ,В! ,С! ,... ) на коническом сечении и
В1 С1
Рис.2.
А ( АА!,АВ1,АС1... )* а2 ( А! ,В! ,С!,... ) ( 3 )


-79-
Аналогично,
A1 ( A1 A, A1 В, A1 C ... ) л a2 ( A,B,C,...) ( 4 )
Из (2) , (3 ) и(4) следует, что
А ( АА1,АВ1,АС1,...) 7 А! ( А! А, А! В, А! С,...) (5 )
Но луч АА1 сам себе соответствует, и потому пучки ( 5 ) перспективны с осью перспективы а ( см. рис. 2 ) . Для того, чтобы построить на а2 точку М1 , соответствующую произвольной точке М, поступаем так: Соединяем М с А1
и получаем точку пересечения прямых МА1 с а. Через эту точку проводим луч пучка А до пересечения с кривой а2 в точке М . Из проективной геометрии известно, что прямые АА1 , ВВ1 , СС1 и т.д. ( см. рис. 3 ) являются лучами пучка 2-го порядка и потому огибают некоторое коническое сечение (см. рис. 3 ) .
п с
Рис. 3.
Возвращаемся к ивритскому алфавиту, точнее к преобразованию איק-בכר . В параграфе «Проективные


-80-
соответствия ивритского алфавита» мы упоминали в связи с преобразованием איק-בכר о проективном соответствии на коническом сечении. Поговорим об этом немного по- подробнее. В ивритском алфавите с включением софитов содержится 27 букв. Компьютерный анализ ( проведённый г-ом А.Сапожниковым ) показал, что среди всевозможных гармонических четвёрок букв есть только две различные четпёрки, включающие в себя тройки איק-בכר . Вот они:
( 70 4 40 400 ) и ( 40 700 70 7 ) ( 6 )
Запоминание этих четвёрок связано с буквой ע ( см. рис. 4 )
40
400
עז מן
Сила манна Небесного
Рис. 4.
На рис.5 четвёрка ( 6 ) изображена на окружности ( коническом сечении ). Поскольку треугольник ( 4 40 400 ) переходит в треугольник ( 7 70 700 ) путём вращения, то очевидно, что эти треугольники описаны около окружности концентрической данной ( рис. 5 ) . Фигуру на рис.5 в книге [8] стр. 176 мы назвали Маген Давидом.


-81 -
Т.к. четвёрки ( 6 ) ־ гармонические, то
( 70 4 40 400 ) * ( 40 700 70 7 ) ( 7 )
В этом проективном соответствии пара точек 70 и 40 сама себе соответствует: 70 —> 40 ; 40 —> 70. Последнее говорит о том, что проективное соответствие ( 7 ) является инволюцией. Мы упоминали об этом в параграфе «Проективные соответствия ивритского алфавита» .
Из проективной геометрии известно, что прямые,
соединяющие соответственные точки инволюции на кривой 2-го порядка ( коническом сечении ) пересекаются в одной точке (см. рис. 5).
На рис. 5 они параллельны. Рис. 5 иллюстрирует нам
действие так называемой
теоремы Дезарга ( см. [13] стр. 98):
Если прямые АА' , ВВ' , и СС , соединяющие соответственные вершины треугольников АВС и А' В' С ,


-82-
проходят через одну точку, то соответственные стороны этих треугольников пересекаются в трёх точках, лежащих на одной прямой.
В нашем случае ( рис. 5 ) в качестве треугольников
выступают тройки דמת , זען . Соответственные стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на прямой т. Опираясь ради наглядности на рис.5, покажем справедливость следующей теоремы:
Если на окружности а2 установлено проективное
соответствие: _
а2( ת, מ, ד,...) л а2 (8) (...,ד,ת,מ)
то точке ז соответствует точка ע .
Доказательство.
Прежде всего отметим, что ( 8 ) определяет циклический проективитет 3־го порядка. Предположим, что точке ז соответствует в ( 8 ) некоторая точка х на а2 Тогда следует равенство сложных отношений:
(זתמד ) = (Dmx) (9)
Четвёрка (עדתמ ) получается (рис. 5 ) из четвёрки (זתמד ) при повороте окружности а2 на 120° по часовой стрелке. Поэтому
(10) ( עדתמ) = ( זתמד)
Из(9)и(10) следует, что х совпадает с ע . Теорема доказана.
В преобразовании «ик-бахар» задействованы 9 троек букв алфавита. Говоря о циклическом проективитете 3-го порядка на коническом сечении, мы, как бы, рассматриваем обобщённый «ик-бахар». Например: «ик-бахар»
1-10 -100


-83-
ק -י -א
Обобщённый «ик-бахар» :
1 	- 10 - 100 - 1000 - 10000 -...
־ק -י -א -ק -י-א...
т.е. после каждых трёх шагов א обновляется.
Таким образом, интерпретацию обобщённого «ик־бахара» можно реализовать на коническом сечении следующим образом ( см. рис. 6 ) :
ב
На коническом сечении возьмём произвольно три точки א - י - ק и установим проективное соответствие, в котором указанные точки перейдут соответственно в י, ק , א .
Между точками י, א ( см. рис.6 ) отметим произвольно 8 точек и назовём их ... ב , ג , и т.д. Каждая из этих 8־ми точек определит треугольник ( цикл ). Все эти треугольники описаны около конического сечения, отличного от
исходного. Картинка ( рис. 6 ) намекает нам на циклический характер изменения алфавита, когда каждая


־84-
буква после трёх шагов обновляется. На самом деле обобщённый «ик־бахар» определяет на коническом сечении проективное соответствие, не являющееся циклическим ( см. рис. 7 ).
א
В заключение этого параграфа сформулируем теорему, которая, возможно, будет интересна для людей, занимающихся проективной геометрией.
Теорема.
Два треугольника АВС и МКЕ, вписанные в коническое сечение а2 , будут описывать некоторое коническое сечение р2 ( см. [8] стр. 176).
Если на а2 установить проективное соответствие
а2 ( АВС... ) ~ а2 (ВСА ... ) ,
то циклические тройки будут описывать коническое сечение, отличное от р2 (в общем случае ).


-85-
Ивритский алфавит на коническом сечении.
разделе «Проективные соответствия ивритского
алфавита» говорилось о построении букв алфавита на прямой линии с помощью одной линейки. Аналогичные построения букв алфавита можно осуществить на коническом сечении. Расположение ивритского алфавита на коническом сечении встречается в Священном Писании, см., например, [39]. Прежде всего поясним некоторые моменты из проективной геометрии.
Определение 1.
Пусть даны пучок прямых с центром М и произвольная прямая а , пересекающая лучи пучка в точках А, В, С, D ( рис. 1). Под сложным отношением четырёх лучей пучка ( МА, MB, МС, MD ) будем понимать сложное отношение четырёх точек ( A,B,C,D ).
м
Определение 2.
Пусть на кривой 2־го порядка (коническом сечении ) отмечены четыре точки А, В, С, D . Под сложным


-86-
отношением четырёх точек ( A,B,C,D ) , лежащих на кривой 2־го порядка ( рис.2 ), будем понимать сложное отношение четырёх прямых ( MA,MB,MC,MD ), где М - произвольная точка кривой а2 ( отличная от A,B,C,D ) .
Задача 1.
Найти геометрическое место точек М на плоскости, из которых данные четыре независимых точки А, В, С, D плоскости проектируются четырьмя лучами, образующими гармоническую четвёрку.
м
Решение. ( см. рис. 3 ) .
На прямой АВ возьмём произвольную точку X и построим точку Х1 такую, что (А В X Х1 ) = 1־;
АВ ( X) 7 АВ (X! ) (1)
Пучки первого порядка с центрами в точках Си D , проектирующие ряды (1), проективны, т.е.
(2)
С(Х)Л D(X 1)


־87־
М
Точка пересечения М = СХ П DX1 принадлежит кривой 2- го порядка, проходящей через точки А, В, С, D.
Определение 3. ( см. рис. 4)
Из произвольной точки S кривой а2 спроектируем точки A,B,C,D этой кривой на произвольную прямую а (не проходящую через S ) в точки А 1 , В 1 , G , D1 .Г оворят, что точечный ряд на а2 и точечный ряд на а перспективны и пишут:
a2 (ABCD ...) л а (А! В! С! D!...) (3)
Теперь вернёмся к ивритскому алфавиту.
Предположим, что мы построили 22 буквы алфавита на некоторой прямой а. Спроектировав эти 22 точки на коническое сечение из его произвольной точки S , получим ивритский алфавит на коническом сечении.


־88־
Обратимся к списку 1 соответствующего параграфа, где говорилось об инволюции. Из проективной геометрии ( [15] стр. 119 ) известно, что прямые, соединяющие
соответственные точки инволюции на кривой 2-го порядка , пересекаются в одной точке - центре инволюции.
Рассмотрим, например, 3־ю и 4-ю гармонические четвёрки из списка 1:
( 1 70 40 300 ) = ( 10 40 70 30 ) (4)
Рис.5.


-89-
Четвёрки (4) определяют на кривой а2 (рис.5) инволюционное соответствие, т.к. 70 —► 40; 40 —► 70 . Следовательно, пары соответственных точек 30 —► 300 и 1 —► 10 определяют прямые, проходящие через S 1 ( рис. 5 ). В списке 1 имеются ещё три четвёрки, в которых участвуют точки (70)מ(40), ע :
( 100 70 40 80 );( 4 70 40 400 ) и ( 700 40 70 7 ) (5)
Последнюю из этих четвёрок мы не будем рассматривать, т.к. в ней участвует «нун софит» ( 700). Перепишем вторую четвёрку в виде:
( 4 70 40 400 ) = ( 400 40 70 4 ).
Проективное соответствие между первой и второй четвёрками (5) будет:
( 100 70 40 80 ) * ( 400 40 70 4 )
На рис. 6 изображён вид этой инволюции.
Рис. 6.


-90-
Итак, две точки Si, S2 связали 10 точек ( букв ) алфавита: 1, 4, 10, 30, 40, 70, 80, 100, 300, 400. Рассмотрим 14־ю и 20־ю четвёрки из списка 1:
(2 9 30 6) = (3 6 5 9) (6)
Это инволюционное соответствие можно представить себе в виде рис. 7.
Рис.7.
Точка S4 «забирает» с собой из остатка алфавита пять букв: 2,3,5,6,9. Теперь остаток алфавита состоит из 7-ми букв. Возьмём 19־ю и 22־ю четвёрки из списка 1:
(20 90 300 60 ) = ( 30 60 50 90 ).
Эта инволюция представляется рисунком 8. Точка S5 забирает с собой из остатка алфавита четыре буквы: 20, 50, 60, 90.


-91 -
Рис. 8.
Остались три буквы: 7, 8, 200. Рассмотрим 1־ю и 8־ю четвёрки:
(1473) = ( Ю 748).
Эта инволюция, представленная на рис. 9 , позволяет изъять из остатка алфавита две буквы : 7 и 8.
Осталась буква ר ( рэйш) . Её пучок определится из двух четвёрок: 9 и 15 ( см. рис. 10 ) :
( 100 50 80 200) = (40 80 50 20).


-92-
Рис.9. Рис. 10.
Заметим, что во всех рассмотренных инволюциях соответственные пары не разделяют друг друга, и потому эти инволюции - гиперболические; их центры Si — S6 лежат вне конического сечения. Описанные факты ассоциируются со следующей картиной Творения: мир создан 22-я буквами
ивритского алфавита. Мир интерпретируется в виде конического сечения ( кривой 2־го порядка ) . На этом коническом сечении располагаются 22 Священные буквы. Мир создан за 6 дней Творения. Эти дни представляются точками Si — S6 . Т.к. наш мир строился не изнутри, а извне, то и точки Si - S6 , лежащие вне конического сечения, намекают на этот факт.
Для того, чтобы приблизительно представить себе расположение точек S 1 ־־ S6 ( рисунки 5 - 10 ) относительно конического сечения, сделаем независимый рисунок 11. В качестве конического сечения возьмём окружность и нанесём на неё 22 точки - гиматрии букв алфавита ( см. рис. 11).


-93-
Расположение точек Si — S6 напоминает Маген-Давид - два треугольника S! S2 S3 , S4 S5 S6.
S3 ►
S1
S6
* S5
Рис. 11.


-94-
Шесть частей ивритского алфавита.
является непосредственным
параграф
продолжением предыдущего раздела «Ивритский алфавит на коническом сечении».
Шесть инволюций, рассмотренных в предыдущем разделе, связаны с гармоническими четвёрками алфавита. Для большей наглядности представим эти инволюции в виде табличек, изображённых на рис. 1.
ד
פ
ק
ת
מ
ע
א
ר
ל
ש
מ
ע
א
ר
ג
ח
ד
ז
S2 S3
S!
כ
ל
נ
ש
ס
צ
ב
ג
ה
ל
ו
ט
נ
פ
כ
ר
מ
ק
S4 S5 S6
Рис. 1.
Под каждой табличкой указан центр инволюции.
Буквы Ли ל соответствуют друг другу в четвёртой инволюции, и потому мы будем считать их взаимозаменяемыми. Букве ל соответствует буква ש в


-95-
первой инволюции, а «шин» взаимосвязана с נ по пятой инволюции и т.д.
На основании рис.1 можно выписать шесть частей ивритского алфавита, не имеющих общих элементов ( т.е. не пересекающихся ) и составляющих вместе весь алфавит. Вот эти части:
ז«־> ד
1)
ש ►-> ל ►-> ה ר н כ
פ נ
2)
ע
►־־» מ
ת «־> ק
3)
ב
ח <-> ג <->
4)
א
י ►->
5)
ו
ט •<—>
6)
צ
ס <->
Говорят, что лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Поэтому указанные шесть частей алфавита представим в виде рисунка, не отвечающего требованиям геометрии ( только с целью наглядности ).


-96-
На рис.2 отсутствуют связи 4, 5 и 6 с целью уменьшения числа линий, затрудняющих обзор.
В связи с разбиением алфавита на шесть частей, каждое слово иврита также разделяется на части . Например:
אברהם
א ל ה י ם
שרה
אדם
2 113 4
24114
ill
2 14
Рис.З.
Числа, стоящие во второй строке таблички на рис.З, указывают номер части алфавита, к которой относится та или иная буква.
Слова אלהים и אדם ( см. рис.З ) имеют один и тот же «групповой номер» :12 4. Этот факт намекает на наличие


-97-
духовной связи между указанными словами. И действительно, такая связь существует, ибо Б-г создал человека по Своему образу и подобию ( см. [1] Берешит, 1. 26 ) .
Два слова:
אלול י-ה-ו-ה
1514 1514
имеют один и тот же групповой номер 14 5( даже с сохранением порядка ) . Эти слова теснейшим образом связаны между собой, о чём подробно рассказано в [38] стр. 103 -105.
Четвёртая часть алфавита (1) принадлежит преобразованию «ик-бахар», а пятая и шестая части относятся к преобразованию сдвига אד־בה ( на две позиции ).


-98-
Слова и марковские цепи с непрерывным временем.
вязи 1) ת <-> ק ־<-> מ ע)
ассоциируются в глазах математика с графами марковских цепей с непрерывным временем [42] ( с процессами гибели и размножения). Исследование ивритского алфавита на основе марковских цепей с дискретным временем было проведено в [2] . Речь идёт о вероятностных процессах.
Предположим, что читатель смотрит на вторую часть ивритского алфавита (1). Сначала его взгляд падает на букву ע, затем переходит на מ , далее на ק и на ת ,а потом в обратном порядке и т.д. Может возникнуть вопрос: на какую букву из четырёх рассматриваемых чаще всего падает взгляд читателя при длительном осмотре слова ? Здесь речь идёт не столько о физическом зрении, которое зависит от многих, в частности и субъективных причин, сколько о духовной стороне дела.
Для ответа на этот вопрос нужно прежде всего как-то охарактеризовать процесс перехода от одной буквы алфавита к другой.
С точки зрения человека , процесс обозрения того или иного слова является случайным. Математики говорят о функциях переходных вероятностей, зависящих от времени. Производные таких функций носят название интенсивностей переходов от одной буквы к другой. Известно, что интенсивности переходов - числа неотрицательные.


-99-
Какое число выбрать в качестве интенсивности перехода от одной буквы к другой ? Ниже предлагается один из вариантов определения интенсивности — отношение гиматрий рассматриваемых букв. Например:
מ ►— ע
40 : 70 = 4/7
Если это число умножить на гиматрию буквы ע , то получится гиматрия буквы מ . Для мира единиц имеем:
א ב כ ד ה ו ז ח ט
2 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6 8/7 9/8 10/9
- (2)
0.9 8/9 7/8 6/7 5/6 4/5 3/4 2/3 0.5
Для мира десятков и мира сотен повторяются те же интенсивности. Указанные интенсивности обладают следующими тремя свойствами:
1 . Интенсивность подъёма ( движение от א к ת ) больше интенсивности спуска. Например:
־ ד —> ה интенсивность 5/4;
־ ד <— ה интенсивность 4/5
2 . Интенсивность подъёма вначале больше интенсивности подъёма в конце. Например:
־ א —> ב интенсивность 2;
־ ח —> ט интенсивность 9/8 = 1.125;
3 . Интенсивность спуска в конце больше интенсивности спуска вначале. Например:
א ►—ב - интенсивность 0.5;


-100-
־ ח ►—טинтенсивность 8/9 ~0.8;
Эти свойства выбранной интенсивности перехода от буквы к букве намекают на жизненные ситуации.
Часто возникает вопрос: «Но причём здесь иврит ? Вы
говорите о числах, а их можно связать с алфавитом любого языка. Чем же в этом плане иврит отличается от других языков?». На этот вопрос имеется совершенно чёткий ответ. Мир создан 22־я буквами ивритского алфавита. Этот факт подтверждается всем Священным Писанием. Каждая буква ивритского алфавита имеет три характеристики: числовое
значение, форма ( изображение ) буквы и её духовный смысл. Следовательно, числа и вся математика, построенная на них, существовали ещё до Сотворения нашего мира. Они (числа) являются составной частью иврита. Поэтому в любом рассказе, любой книге на русском, английском и прочих языках, затрагивающим числа ( математику ), присутствует иврит. Следовательно, всякий сущий в нашем мире язык использует «Лашон Акодэш» ( Священный язык), но старается скрыть этот факт и говорит о происхождении чисел из Греции, Рима, Индии, Китая и прочих стран. Эти слова подтверждаются, например, равом Матитьягу Глазерсоном в его книге [43] (הקדמה стр. 5 ; הקבלה שבשפות стр. 2) с сылками на Священное Писание.
Сделав такое «лирическое отступление», вернёмся к марковским цепям.
Вторую часть ивритского алфавита (1) можно сейчас представить так:
4/7 Ю/4 4
На стрелках указаны интенсивности переходов от одной буквы к другой. Если заменить в (3) ивритские буквы на


-101 -
русские или английские, то ничего от этого не изменится, ибо мы работаем с числами, т.е. с ивритом.
Предположим, что в процессе долгих «прогулок» нашего взгляда по буквам (3), он ( взгляд) останавливается на букве ע с вероятностью qi ; на букве ־ מ с вероятностью q2; на букве ־ ק с вероятностью q3 и на букве Л ־ с вероятностью q4 . Поскольку наш взгляд в какой-то момент времени останавливается на одной из четырёх букв (3) , справедливо равенство:
q1+q2+q3 +q4 =1 (4)
Назовём произведение 4q! /7 потоком вероятности, исходящей из буквы ע , а произведение 7q2 /4 ־ потоком вероятности, входящим в букву У. Из теории марковских цепей известно, что
4q!/7 = 7q2/4 (5)
Аналогичные равенства запишем по отношению к остальным буквам (3).
(6)
Г q 2( 7/4 + 10/4 ) = 4q1/7 + 4q3/10 < q3(4/10 + 4 ) = 10q2 /4+ q4/4
q4 /4 = 4q3
(7)
q 1 = 49q 2 /16
Из (5) находим, что
Из последнего уравнения (6)
q 4 = 16 q 3 (8)
Из (5) и первого уравнения (6) следует
q 3 = 100q 2 /16 (9)


-102-
Подставляя (7) , (8), (9) в (4) , получим
q 2 ( 49/16 + 1 + 100/16 + 100 ) = 1 (10)
q 2 =0.0090651558
q 1 = 0.0277618 (11)
q 3 = 0.0566568 q 4 =0.80651558
Заметим, что вероятности (11) обладают следующим свойством: q i > q j , если гиматрия i -той буквы больше
гиматрии j -той буквы.
Этот факт справедлив для любого набора отличных друг от друга букв. Например, слову קבר отвечает следующая марковская цепь с непрерывным временем:
100 0 02
Рис. 5
Заметим, что одними и теми же интенсивностями переходов могут обладать различные слова. Например, слова ( наборы букв ):
(12) רדת , נאק , קבר
имеют одну и ту же марковскую цепь ( см. рис. 6 ).


-103-
то о לס
Рис. 6
Вероятности q 1 , q 2 , q 3 для марковской цепи на рис. 6
удовлетворяют следующим уравнениям:
Г 0.02 q 1 = 50 q 2
< 100 q 2 = 0.01 q 3 (13)
[ qi + q2 + q3 =1
Проверьте самостоятельно справедливость неравенств:
q2 < qi < q3 (14)
Читателям, увлекающимся математикой, предлагаем доказать справедливость следующей теоремы:
Теорема 1.
Вероятности q 1 , q 2 , ... , q״ марковской цепи, соответствующей слову, состоящему из п различных букв , обладают следующим свойством: q; > q נ , если гиматрия i - той буквы слова больше гиматрии j - той буквы этого слова.
Речь идёт о решении системы линейных уравнений типа (13). Ключём к доказательству теоремы 1 может послужить , например, следующее утверждение:
Теорема 2.
Если в слове осуществить перестановку букв, то система линейных уравнений для полученного слова эквивалентна системе линейных уравнений для исходного слова.


-104-
Например, один и тот же вектор Q ( qi , q2 , q3 ) отвечает словам בקר, קבר,רקב и т.д.
Вектор Q , о котором идёт речь , в математике называется «стационарным распределением вероятностей состояний». Можно доказать,что для слова, состоящего из первых 10־и букв ивритского алфавита, справедливы равенства:
q 1( V + 22 + ... + п2 ) =1; q. = i2 х q! ; (15)
Известно, что
I2 + 22 + ... + п2 = п (п+1)(2п+1)/6 (16)
На основании формулы (16) имеем для п=10: 10 х 11 х21 /6 =385. q 1 = 0.0025974026 ; q3=32 q! = 0.0233766. Стационарная вероятность, приписываемая той или иной букве, зависит от слова, в котором эта буква содержится. Например: א в словах אב , אז ( отец, тогда ) имеют разные стационарные вероятности : 0.2 и 0.02.
Сейчас мы попробуем убедить читателя в правильности выбора интенсивности перехода от буквы к букве, как отношения гиматрий этих букв.
Будем смотреть на алфавит иврита, как на некую систему, обладающую определённым иерархическим строением, диктуемым гиматриями букв алфавита.
Предположим,что лингвист, ничего не знающий о гиматриях ивритского алфавита, получил несколько ивритских слов с целью их исследования и представления выводов, относящихся к алфавиту в целом. Такой подход оправдан с позиций Священного Писания: Тору толкуют с помощью 13 - ти правил, одно из которых ( пятое ) связано с суждением по частному об общем ( см. [22] стр.15.).
Лингвист обладает знанием метода исследования ־־ теорией марковских цепей. Каждое данное лингвисту слово превращается в марковскую цепь с непрерывным временем,


-105-
определяемую интенсивностями переходов от одной буквы к другой. Такая марковская цепь обладает стационарным распределением вероятностей состояний (букв). Лингвист замечает, что стационарные распределения, полученные для всех данных ему слов, говорят о наличии определённого порядка в расположении букв ивритского алфавита. Лингвист выстраивает этот порядок и оказывается, что он отвечает реальному порядку, связанному с гиматриями букв. Следовательно, аппарат исследования, использованный лингвистом - хорош!


-106-
Интенсивности слов.
аждая пара букв ивритского алфавита обладает
интенсивностью. Интенсивность пар אא , בב , גג и т.д. равна 1 (единице). Если в таблице 5 первого раздела ( Исследование стиха Шмот 25.8 ) заменить буквенные пары их интенсивностями, то получится числовая таблица, которую мы будем называть «таблицей интенсивностей Авраама Авину».
אבגדהוזחטיכלמנסעפצקרשת
א 1 2 3 4 5 400
1/2 1 3/2 4/2 5/2 200
ב
ג 5/3 4/3 1 2/з 1/з 400/3
ד 1/21/4 3/4 1 5/4 100
ה 2/51/5 3/5 4/5 1 80
2/400 1/400
1
ת
Таблица 1.


-107-
Таблицу интенсивностей Авраама Авину удобно строить следующим образом. Сначала составляем таблицу 1. Для этого первую строку ( алфавит) умножаем на א и вместо пар אא, אב и т.д. вписываем их интенсивности во вторую строку (см. таблицу 1 ). Далее первую строку умножаем на ב и вместо пар בא , בב , בג и т.д. вписываем их интенсивности в третью строку и т.д.
Если таблицу 1 сдвинуть по строкам вправо так, что диагональ, состоящая из единиц, превратится в столбец из единиц, то сдвинутый верхний треугольник будет треугольником интенсивностей Авраама Авину, соответствующим верхнему треугольнику в таблице 5 первого раздела.
Поскольку в иврите каждое слово состоит минимум из двух букв, можно говорить об интенсивности слова. Сначала мы разберём это понятие на примере. Каждое слово можно представить в виде цепочки пар букв. Например:
1) אברהם —> אב-בר-רה-הם)
Об этом говорилось в [10] стр.127 140 ־. Каждая пара в (1) имеет свою интенсивность. Под интенсивностью слова אברהם будем понимать произведение интенсивностей пар , составляющих это слово, т.е.
In( 2) 40 = 2 * 200/2 * 5/200 * 40/5 = ( אברהם)
Определение 1
Под интенсивностью ивритского слова будем понимать произведение интенсивностей пар букв, на которые это слово разлагается в цепочку. Интенсивность слова будем обозначать символом In( ) .


-108-
Из (2) легко заметить, что интенсивность слова равна интенсивности пары, состоящей из первой и последней букв слова.
In( יעקב ) = In( 0.2 = ( יב ; In( רחל ) = in( 0.15 = 3/20 = ( רל.
In( לאה ) = In( 0.1666 = ( לה ; In( שרה ) = In( 1/60 = ( שה = 0.01666.
Слова
Интенсивности
Слова
Интенсивности
יצחק
10
רבקה
0.01
ישראל
3
בראשית
200
יהרה
0.5
שדי
0.03333
אלהים
40
אדם
40
חוה
0.625
ישמעאל
3
Таблица 2.
Предположим, что слово состоит из п букв. Существует п! Слов, образованных перестановками букв данного слова. Все эти п! Слов обладают одной и той же обычной гиматрией, одной и той же малой гиматрией и (по предыдущему разделу ) одним и тем же стационарным распределением вероятностей. Но многие из этих слов отличаются друг от друга своими интенсивностями. Слова, состоящие из п одних и тех же различных букв , могут иметь С2п различных
интенсивностей больше единицы и столько же интенсивностей меньше единицы. Например, для слова בקר имеем:
קר בר בק
2 100 50
Во второй строке (3) стоят интенсивности большие единицы.


-109-
רק רב קב
0.02 0.01 0.5 (4)
Во второй строке (4) стоят интенсивности меньшие единицы. Всего 2 х Сз = 6 интенсивностей.
Всевоможные интенсивности принадлежат интервалу 1/400 < In( ) < 400.
Например, In( 400 = ( את. Каждое слово с точностью до перестановок будет обладать определённым интервалом интенсивностей. Например, для слова בקר и всех слов, полученных из него путём перестановок, имеем:
0.01 < In( ) < 100. (5)
В дальнейшем, говоря об интервале интенсивностей для слова, будем подразумевать под словом множество слов, полученных из данного путём перестановок его букв.
Если два слова имеют по крайней мере одну пару общих букв, то конечные множества интенсивностей для данных слов имеют непустое пересечение. По аналогии с принципом «гзира шова» для двух стихов Торы, возможно существование духовной связи между упомянутыми выше словами. Например, интервалы интенсивностей для слов אברהם и שרה обладают общей интенсивностью In( 40 = ( הר. Поэтому между указанными именами можно предположить наличие духовной связи.


-110-
Математические аспекты преобразований את בש, אל במ.
п
-Ж- -■простейшие линейные зависимости, связанные с
преобразованиями букв, данными нам на горе Синай, рассмотрены в [11] стр. 182. В [29] показано, что соответственные буквы в преобразовании «атбаш» связаны с еврейским календарём.
תא - намекает на девятое ( תשע) ава а א на тот день недели, на который в этот год попадает первый (א ) день Песах.
ש ) ־ שב ) «Шавуот», а ב - день недели, на который выпал второй день Песах.
ר ) - רג ) - «Рош а шана» ־ голова года, а ג - день недели, на который выпал третий день Песах и т.д.
И хотя преобразования «атбаш» и «албам» рассматриваются в очень многих книгах, нельзя не согласиться со словами Хафец Хаима ( [16] стр. 116117־):
«Даже в тех разделах Торы, которые все ощупывают постоянно, всё время находятся люди, помогающие набухнуть почкам и распуститься цветам Торы. Как в женской груди, когда бы ребёнок ни стал теребить её, всегда найдётся немного молока, таковы же слова Торы, ибо мудрости её нет предела. Как только в устах человека звучит слово о чём-то новом в Торе, это слово возносится ввысь и предстаёт перед Святым, а Тот берёт это слово целует его и увенчивает семьюдесятью чеканными венцами».
На рис. 1 дано преобразование את בש :


- Ill -
אב ג דהוזחטיכלמנסעפצקרשת תשרקצפעסנמלב יטחזו הדג בא
Малая гиматрия пар 55 555555 555 55 5 55 555555
Рис.1
Общеизвестно, что в слове можно заменить одну букву ( или несколько входящих в него букв ) другой буквой ( или буквами ) , но не просто взятой с потолка ( по нашему желанию ), а в соответствии с преобразованием «атбаш», «албам» и другими, данными Всевышним на горе Синай. Такие преобразования даны в [20]. Ниже приведены две страницы из книги [21]. Читатель увидит на этих страницах, что, заменяя каждую букву в первом стихе Торы ( Берешит 1.1 ) с помощью того или иного преобразования ( данного на горе Синай), получается молитва ... אנא בכה (см. [22]), в которой выражены просьбы к Б־гу об укреплении и очищении Его народа. Каждая буква правого столбца переходит в букву левого столбца. Буквы левого столбца ־ начальные буквы слов молитвы:
אנא בכה גדלת ימינך
Приведём ещё один пример: отбросим первую и последнюю буквы в слове אברהם и получим слово ברה . Такого рода преобразования, связанные с отбрасыванием некоторых букв, можно найти, например, в [20]. Заменим в этом слове букву ב ей соответствующей (см. рис.1), т.е. ש и получим слово ( Сара) שרה . Это можно истолковать так: если ( אם )
посмотреть «внутрь» Авраама, то увидим там Сару. Эта мысль нашла своё отражение в [53] стр. 76, где говорится о женщине, как о внутренней сущности мужчины.
Т.к. малые гиматрии пар «атбаш» ( рис. 1) одинаковы ( равны 5 ) , то возникает мысль: нельзя ли заменять в словах одну


-112-
пару «атбаш» ( если такая имеется ) другой ? Например, Берешит 1,1 :
"בראשית ברא אלהים את השמים ואת הארץ"
Вместо את поставим כל и прочтём:
.בראשית ברא אלהים כל השמים ואת הארץ ( Вначале сотворил Б־г всё небо и Землю ) .


-113-
שער בא הוא שער סרטי השמות סרק יא יב
או שלשין ודין אין לחמויז עליה שסרי אין היודין ברוחרוסיהס שווה וק הווי׳׳ן ועכין זה בההיין וביודיץ וגורן שכשם כל אחד ואחד רמז אל מנין נפיע כמבואר בשערים הקודמים. והפה כשלם ונכלל המובן אלינו בפירוש שס בן עיב לעס סו ואין להאריך עוד. ונקע אל ביאור שם בן מ״ב הקדוש בעה״ו:
סי״ב הכוונה עסה לבאי שם מ׳׳ב ונקרא р לפי שבו מ״ב אומיוס כאשר נבאר וזהו השם בנקודו:
אבניהץ . קרע שסן. נגדיכש. לק־צתנ. חקל?ז3ע . על סזק. שקועית:
ע״כ. כמו שנקדנו אוהו מצאנוהו בהפלה ר׳ נחוניא. ובדברי מקובל ע״פ מנד כתוב וזיל. אבגיתץ סנקדהו בפח״ח ובשביא האל״ף והנייח והנימ״ל בפתיח ” :* והיו״ד בשב׳׳א והחי״ו בפסח ובדנש.
רןדע שטן הקוף בשב״א והל״״ש בפח״ח והשיץ נשב״א והכי׳ בקיק.
ננל יבש על הדרך הזה הנו״ן גשב״א הג׳ בפתה והד׳
בשניה היי׳ד ' י בפסה והכ״ף גי: • ב®" צתג הבי״ה כשגיא
הפייה בפתיח הצד״י נשב״א הסי״י בפסה. !’ ־” חהבמגע
החיית בפתה הקוף גשב״א הבי״ת נפח״ח ובדגש הנרית * ! ' !* גשביא ובדנש הנדן בפתח ועיין בלי נקודה. יגל פזק הידד בשב״א ובדגש הגימ״ל בפתיח בלי דגש הפיא דגושה' ־ 1’ וגשב״א הזי״ן
בפסח הקוף בלי שום נקודה. שקוצית תנקדהו על הדרך הזה השיץ בקמי׳ן והקדף בשנ״א והואיו т’ בקיק ג״כ הצדיי בחיריק זהו צירוף נקודו. ידוע כי קוד הפתיח היא שוד גדול לפסוח מלמעלה על פתחי הרחמים הגמורים יק כי הוא רחמים גמורים. וקמץ קודו קפץ באף רחמיו. ר״ל אס תנקדהו בקמן הוא קופץ באף והשמד לך שלא חנקדהו בקיק אלא לנקום נקם ובמקום השגיא חירייק ועמו תעשה ותשיג פלא* פלאות ובפתיח תשיג פעולות הרחמים ויפתח ברכות עד בלי די וזש״ה [מלאכי נ׳] אס לא אפחיח לכם אס אמבות השמים והריקותי וגד עכ״ל לענייננו. ונחזיר לענין פירוש השם והוא נרמז נשפי׳ הגבורה ומקום מוצאו מפשוק בראשית עד 3׳ ובהיו וק פי׳ הרשביי עיה בתיקונים במקק ד וזיל קם מש על רנלוי ואמר ך3ון עלמין אפסח עיר לאשחכלא בהון לעילא אנא ג״ס במ״ב אחוק דשמא מפרש למנדע כל את ואת על תקורה ואינק בראשית ברא אלדיס את השמים ואת האק והאק היסה סהו ובהו. בראשית ברא אלה ימאת הש מימואת הארצוה ארצהיס התהווב ואינון אברק קרע שק כגדיכש בטרצחג חקבענע יגלפזק שקוציח כל אח ואח איס ליה מאמר ואית ליה נתיב ״ אמיק איק
ול״ב שבילין וכולהו תליין ק אייה ודא איהו אבא ביס אודה י״ה
אייה בסשבן אודה יי ה (י״ה חכמה ובינה א׳ כתר עלאה) ואינק ז׳ שפיק כלילן בז׳ שיותן וכולהו כלילת לק בת שבע עכ״ל. ושיעור הכתוב הוא פתחו ני• שעמ צדק והיא השכינה כשהיא נקרא בת שבע על שהיא כלולי משנע שמות אלו שהם שנע השפירוס ואז היא נקראת צדק מעבר תנתיבות והמאמרים. אח׳כ אבוא נים שהם שנע שעות שבע קפירות יי ״ס נכללות מ״ב אותיות שהם י׳ מאמרים ול״ב
נסיבות וכל אוח וא י• ק לה כח א׳ מהמאמרים או ההנתיבוס אודה
י״ה הס ג׳ ראשונית נשאמס . הכה בפירוש שמוצא השם הזה הוא מפשוק בראשית עד 5 של ובה״ו ויש בזה קצת בלבול כאשר נכתוב. יש מי שחלק האור. * האלה לג׳ חלקים שהם נ׳ דוס т ימין v רמה ד־ החזקה וזה שדורו עם נקודו בראשית ברא א: г ים . ע״כיד הגדולה יורן.
I “ י * Т - ־ - •י ״
אתהש. מימואת׳־א. רצ. ע׳׳כ יד רמה הרחמים .
Т - Т- ** » » Т Т ׳. -
וסןו־^ך יףהתהו.;:.ע׳נז החזקה:
וכתב עוד כי מ׳׳ב אותיות אלה בקוף התורה בפסיק ולכל הד החזקה ולכל המורא וגו׳. ישם ג״כ ני •דות והס אלו ולכיהי דהחזקד, ול ע״כ היד האחת. כל המויאה גדול אש ע״ב היד הפרת. יעשה םשה לעיני כל. ע״כ הד הג׳ р מצאתי. ואפשר היות נקימה אלו כנקודות האותיות שט נקוד האותיות שמבראשית כאשר רמזנים לעיל ושמענו אומרים שדברים אלו הס דברי החשיד החכם ר׳ שלמה מלכו ז״ל. ונשס זה מלאכו בש׳ הקנה שמות שראשי תיבותס הוא שם р ידי נראה משם שהם לטש אל זה השם ואלו הן השמות כאשר כתב הוא בשפרו:
אדיריח׳ץ כהירירצץ נביךירון .יגכהיה תלקה צתדא קדקד, רכ!קה קנייתה ש3עי,ה מלקה ?הילה נ#ק־יה ;קריה דהריה ןפליה כקד, שנימיה כוקנליה קימה רקה צצקה תחגנרדד,
,קדושיה ןהאלאליה צעקה יתךזךוץד, תםתל:ה:
ע״כ. והכוונה כי מ״ג אותיות השם הם יד׳ב מאומת מאירות צורות רוחניות ושם כל א׳ כפי הנזכר לעיל ולרמוז אל אות השם שהוא מקורו בא בראש שמו שימן האוח לרמה כי הענף נעק בשיש והשיש בענף ולהורות שהוא אצילות נאצל ק המקור ההוא . עוד מצאתי באמתחת החכמים דק־ שר מ״ב שמות ראשי שמותם השש הקדוש ואלו הם . ארפרא״ל בוא׳יל נבריא״ל יופיא״ל תמרא׳׳ל צדקיא״ל. השש השני קבציא׳׳ל רנחיא׳׳ל עזחיא׳׳ל שמשיא׳׳ל נוופיא״ל ננדיא״ל. השם הג׳ נחליא״ל גבוריא״ל דרא׳׳ל יהודיאי׳ל כבשיא׳ל שפר־א׳׳ל. השם הד׳ ברכיא׳׳ל נופעיא״ל רחירא״ל צפוניא״ל סרוירא׳ל גרודא׳׳ל. השם הה׳ חזא״ל קומיא״ל ברקיאיל ניהריא״ל נוריא״ל עמיא׳׳ל. השם השש־ ישרא׳ל נדיא׳ג להביח׳׳ל פטא״ל זכריאיל קמשיא׳׳ל. השם השביעי שנגיא״ל קרטא׳ל וויאיל צוריא״ל ילפיא׳׳ל הבריאיל ע״כ . ואין ספק היות שמוח הקדומים מתעלמים ומתעלים על אלו חלק רב • יש עוד דדך נ׳ נזה כפי הנמצא בקפרי הקדמונים:
פי״ג אחר שכתנט זה השש раз הקודם כבאר עתה נפרק זה לכתוב
אופן מוצאו מהפסוקים :
ב תמורתה א מאבג״ד א
ר תמורתה ט מאלנ׳׳ם ותחת נו׳ ב׳ מאח״ס בנו׳׳ע ב
א תמורתה י מאי׳׳ק והחס י׳ ג׳ מאס״ס נגדע ג
ש תמורתה י מאלב׳׳ס י
י תמורתה א מאייק ותחת א׳ ת׳ בא׳׳ת נ׳׳ש ת
ת תמורתה כ מאלב׳׳ס ותחת כ׳ צ׳ מאחס בעע ץ
(זהו משם הראשק):
ב תמורתה П בא״ע ביח ותחת ח׳ ק׳ באלב״ס ל,
ר תמורתה ט באיל ב*ס ותחת נו׳ ר מאית ב׳׳ש ותחת נ׳ ר׳(* מאננ״ס ף א תמורתה ל באלניס ותחת ל׳ ע׳ נאנוב׳׳ס У
א תמורתה ת בא״ת ב״ש ותחת ת׳ ש׳ מאמיר ש
ל תמורתה באעב״ח ותחת פ, נף באיזיס נעע ט
ה תמורתה נ מאענ״ח f
(זהו השש השר):
י תמורתה ט מאמיר והחת נר כ׳ באית ביש J
מ תמורתה ב מאלניס ותחת בי נ׳ באמיר 4
א תמורתה ת נא״ס ביש ותחת ס׳ ק׳ באנונ״ח ותחת ק׳ ד׳ נאתניש ל
ת תמורתה א באחנ׳ש ותחת א׳ ״ מאייק
(* ואולי 0סלוצ*ל וחסה ג׳ נו׳ נאתכיס ותפס פ׳ ר׳ וכף ה


-114-
שער כא הוא שער פרטי השמות פדל, יג т מ
ה תמורתה ל מאח* ש בנו״ע וחמס ל׳ כ׳ באסניש כ
ש חמומזה ר מאטנ״ח ושחת י' ש׳ מאנניד ש
(זהי השם השלישי):
מ סמורסה כ מאלב*ם ב
י סמורחה ט מאנגיד ט
מ תמורתה ר מאחש בנוע ר
ו המורסה פ נאחנ״ש והחס פ׳ צ׳ נאבג*ד צ
א המורסה ת נאתניש ת
ת סמורהה ק נאנונ״ח וסחס ק׳ ר׳ באבנ״ד ושחה ר׳ נ׳ באהב׳׳ש ג
(זהו השם הרביעי):
ה המורסה ע נאלב״ם וסחס ע׳ ט׳ באחש בנוע וסחס נו׳ ח׳ באבג׳׳ד ח א המורסה ת באסב׳׳ש וסחס ה׳ ק׳ באנוב״ח ק
ד שמרחה ג נאחב״ש וסחס ג׳ ב׳ באנג״ד ב
צ שמורשה י באטב״ח ושחש י׳ נו׳ נאבג״ד ט
' שמרשה ד נאטב״ח ושחש ד׳:׳ נאנג׳׳ד יחסה ג׳ כ׳ באלב״ם ; ה המורסה ע באכב״ם ע
(זהו השם החמישי).
א המורסה י נאי״ק י
ר המורסה ג באחב״ש ג
f המורסה כ באחק בנוע וסחה כ׳ ל׳ באשב״ש ל
ד, הממיסה ץ נאתב״ש והחת צ׳ פ׳ נאבנ״ד פ
י המורסה צ באטב׳׳ח והחס ל׳ ז׳ באלב״ס ז
ת המורסה ק באנונ״ח ק
(זהו השם הששי);
ה חמורסה ל באי׳ש בעע ותחת ל׳ א׳ באלב״ס והחס א׳
ה׳ באחנ״ש וחחה ח׳ ש׳ נאבג״ד ש
־ המורסה ק באנוג״ח ק
Л חמורתה ו באנג״ד ו
ו תמרחה ה באבנ׳׳ד והחס ה׳ צ׳ נאשנ״ש צ
ב תמורתה כ באי״ק בכר והחס כ׳ י׳ באנג״ד י
ה המורסה ל באח״ש בנו״ע והחס ל׳ א׳ נאלנ׳׳ס ותחת א׳ ח׳ נאשג״ש Л (זהו השם השביעי):
זהו מצא שם מ*נ ע״פ אלפא ביתוח רשומה כי לא הוסר להמציאו
אם לא נרי א׳׳ח נ״ש ואח״ק בנו׳ע ואלנ״ס ואנניד אייק ואנוב״ח
שאל״כ בקל היה מצטרף ע׳׳י טב אלפא ביסוס. ומה שנמצא ט פעמי אות השם הוא אות הפקוק כגק ר׳ של ברא שהיא בעצמה ד של קריע וק ש׳ של השמם היא ג״כ ש, של יטש ועכ״ז אנו מליאץ
אותה ע״י תמורות אלפא ניסוח. לא על חנם הוא ט הולp השם להצטרף
ולעבור דרך האלפא ביתוש פעם אחר פעם ואס ירד ויעבור דרך האלפא ניתוח היורד יחזור דעלה דרך האלפא ביתוס העולה ט כל זה רמז לעליית מדרגות העולה והצרוף שנצטרף ונתלבש השם עד בואו בפסוק בראשית וכל הדברים האלה מקובלים אל הקדמניס קבלה אמחית אין בה פקפוק . אמנם מה שדלנו על ו׳ של ובהו וצירוף ה׳ של ובה׳׳ו הוא הפך דעת הרשנ׳׳י נרה כמבואר לעיל והס עצמם אמרו שקפק הוא להם ונשחכח קנלח העדן ובצירוף זה העסיקו כל המעסיקים. ובענק מקור השם הזה יש לו מקור ומקור על גני מקור וזיל הרשב״י נרה נחקור׳ [חקוכא ק*נו ד*ק נרב וזה] [לשונו ואיס שם p זרב בצורת חוסמאדשמה נכתב]: ואיה שם מ׳׳ב בציוד דיוקנא דמלכא יזקוק על חוחמא. ואיח שם ירב דאיהו דיוקנא [ממש. שם ט׳ב דאיהו דיוקנא]
איהו יהרה ירד ה׳׳א ואיו היא. ירד ואיו דנית היא אליף ואיו אלף ואיו ה״א אלף. שם מיב דאיהו חותמא איה• אידיה אשר אהייה. ציוד מ״ב נשעוה דא אבניחץ פטל. הנה צירוף שם מיב עם שם p ד׳ והוא מקוד העלית וממכה נובע אטה יק שר פנמדס אהיה עולה ורב וק ג״כ יצטרף שם אהיה כשם יהרה אלא שחקר א׳. ואפשר שהשם עצמ משליס סה אהי״ה אליף היא ירד טא. אליף למיד פיה היא אליף. ירד ואיו דלית. טא אליף הרי טא והשם עצמ משלים המרן וממט מגע דוני! שם ורב היוצא מבראשית אסר אט עוקקיס בו. מד להרשגיי נרה בשם זה ערירם נמלים ונוראים והרוצה להגץ ביאורם יעיין נחיקורם במקומו מד [נסקונא ט ד״קל] נשם זה ז׳ שמוח ממקדים כשמות האלו והז׳ ימים הס כנגד ז׳ קפימס ושם אחד מאלו בכל יום מששת ימי בראשית . אבגיח׳ק רום א׳ ושמו ידיה ונקודת• מצא מפקוק בראשית ברא אלקיס אס . סס השר נגד יום ב׳
והוא קטע שטין ושמו חדדה ונקידתו יוצא מפקוק ד^יי־ אלהים יה• רקיע. שש הג׳ כנד יום"יד,זג׳ והוא כגיל יטש ושמו ;ד*ד •נקתר.י יוצא מפקוק יאמר אלהיס •קיו המים. שם הד׳ נגד יי: י' ־־׳ ותא נטיר צס״ג ושמו *הוה ונקודתי •ונא מפקוק דאמר אנה : יהי מאורות. שם ה׳ נגד יום *” י ה׳ והוא חקיב טניע ושמו ;“*־ ינקודסו •וצא דאמר אלהים ישרצו המיס. שם הששי נגד •ים )%> והוא יגיל פז״ק ושמו יהוד. ונקודתי יוצא מפקוק ויאמר אלה•. תוצא האק: שם השביעי ״ נגד יום שביעי והוא שקוצי״ס ושי- ;היה ונקודתי יוצא מפקוק דאמר אלהיס הנה נתתי טכ מה קרא :י ״ т להעתיר! מדברי האלהי רשנ׳׳י גרה. עוד ביאר קצתם ולפי של ז נמצא כלו לא ראינו לכתנו וכאשר נדקדק בקודים שרקד אותם הק־יש נמצא נקיד ג׳ שהוא נגד ס״ס ורקוד שביעי שהיא נגד המלט ז נקודחס שרם לרמה ט החמה מאירה בלבנה. ואץ תימה ה־ות השם הזה כלו בגבורה !פרטיותיו בשפימת ט כנר קדס למ החשיבה על זה : , עי־ כת: הרשביי נרה [הקונא קט ד*ק]שבכלשס יש נו ר אמדי. :גד שש כנפיס שנשרפי׳ וטז נאמר שש כנפי׳ שש כנפים לאחד ואמר שדם זה טוב להזטדי קודם שינסו וכן האדם שמוך לעת פטירתו ט נרי כ: ־ ם האלה נשת־ם אתוק מכל שם הנשמה תכשה אנפהא כר ובשתים סע ׳ : הנשמה למעלה ותזכה להנצל ממלאט חבלה ומכל מזיקין ותזכה לחיי .־ י. יהנה גשלס ביאור מאמר שם р מ״ב:
פי״ד נשם בן כ״ב וקרא р מפר שיש בו טב דותייס רחשו רבי נחירא אל התפארת וכן השכימו המפרשים :הי:
4נקתם פסתם פסםסים דיויגגדם
I- - ו 1 Т • י Т -ין•• I
והוא יוצא מברכת כהרס חהי שדו־ .
א
א בא״ק
המורסה
י
•
J
ט נאחס בטע ותחת ט נ׳ נאתב:
המורסה
ב
?.
ק נאבג׳׳ד
המורסה
ר
ת באלב״ס
סמורהה
ב
D
ת נאלנ׳׳ס ותחת ח׳ ט באי׳׳ק
המורסה
ד
(השם השר).
פ
פ באח״ש נט׳׳ע
סמורהה
י
ס
ו באבג׳׳ד ותחת ר ש׳ נאי׳׳ק
המורמה
ד.
л
й נאחש נטע ותחת ט ת׳ באי״־,
המורמה
ו
D
ו באנג״ד ותחת ו׳ ט באחש בג ם
סמורהה
ה
(השם השלישי) .
ו


-115-
На рис.2 приведено преобразование «албам».
אבגדה וז חטי כלמנסעפצקרשת למנסעפצקרשתאבגדה וזחט יכ
Малая гиматрия по расстоянию между буквами: 2222222222222222222222
Рис.2.
Здесь по аналогии с «атбаш» (см. рис.2 ) приведём пример замены пары «албам» на другую пару того же преобразования, т.к. малые гиматрии пар по расстоянию между буквами равны. Так, из имени אמיאל , которое означает - народ и Б-г - ( [17] стр. 35 ) , заменяя последнюю пару букв на пару שי , получаем новое имя ־ אמישי народ и дар.
На рис. 3 изображены две параллельные прямые, на каждой из которых, как на декартовой координатной оси, нанесены буквы алфавита. За декартовы координаты букв приняты гиматрии букв.
ל
— ק¬
/
Рис. 3.


-116-
Между точечными рядами на параллельных прямых ( рис. 3 ) установлено перспективное соответствие с центром перспективы S:
(אבגדהוזח ) л (1) ( למנסעפצק)
Следовательно, указанные (1) восемь пар точек ( пар букв в «албам» ), взятые на прямых общего положения, проективны. На рис. 4 изображены две проективные оси. На одной из них 8 букв мира единиц ( от א до ח ) ; на второй - буквы мира десятков и ק . Точки «куф» и «алеф» попадают в точку пересечения осей. На основе (1) имеем:
(2) (למנסעפצק)* (אבגדהוזח)
Из проективной геометрии известно, что прямые, соединяющие соответственные точки двух проективных


-117-
рядов, огибают кривую 2-го порядка. Три оставшиеся пары «албам» טר; יש; כת
не входят в проективное соответствие (2).
По аналогии с «албам» будем рассматривать преобразование «атбаш» . На рис. 5 на двух параллельных прямых нанесены по аналогии с рис.З буквы алфавита.
ד
Рис. 5.
Из рис. 5 видно наличие следующих перспективных соответствий:
(תשרק)4׳ (אבגד)
(3)
(קצפעסנמ)4' (דהוזחטי)
(4)
В случае (3) имеем подобные треугольники ( см. рис.5 ) с коэффициентом подобия 1:100 ; соответствие (4) связано с подобными треугольниками, у которых коэффициент подобия 1:10.
На рис.6 изображены две проективные оси с установленным между ними проективным соответствием:


-118-
(5) (קצפעסנמ)74 (דהוזחטי)
Соответствие (5) следует из (4) . Прямые, соединяющие соответственные точки (5) двух проективных рядов, огибают кривую 2־го порядка. Вспомним список 1 и обратимся к рис.4. Мы говорили ранее, что на одной проективной оси лежат 8 букв мира единиц, т.е. буквы от א до ח . В списке 1 имеются 4 гармонические четвёрки, состоящие из букв мира единиц:
Рис.6.
(1437);(1547);(2548);(2658) (6)
Этим четвёркам в соответствии «албам» отвечают
гармонические четвёрки на второй проективной оси ( рис, 4) :


-119-
( 90 50 60 30 ) —־ (7 3 14)
(7 ) (90 60 70 30 ) (7 4 15)
( 100 60 70 40) (2548)
(2658) (40 80 70 100)
Заметим, что, складывая почленно две гармонические четвёрки, мы, вообще говоря, не получим гармоническую четвёрку. Достаточно привести один пример:
(1437) + (1547) = (29714) = (2-7 )/(7 - 9 ) :
( 8 ) .25/24־5/(12־):5/2=(9—14)/(2-14)
Но для четвёрок (7) , т.е. для гармонических четвёрок, соответствующих в преобразовании «албам», такое
равенство справедливо:
( 1 4 3 7 ) + ( 30 60 50 90 ) = ( 31 64 53 97 ) =
(31 - 53)/( 53 - 64 ):( 31 - 97)/( 97 - 64 )=1־;
( 1 5 4 7 ) + ( 30 70 60 90 ) = ( 31 75 64 97 ) =
(31-64 )/( 64 - 75) :( 31 - 97 )/( 97 - 75 ) = -1; (9)
( 2 5 4 8 ) + ( 40 70 60 100 ) = ( 42 75 64 108 ) =
(42-64 )/( 64 - 75 ) : ( 42 - 108 )/( 108 - 75 ) = -1;
( 2 6 5 8 ) + ( 40 80 70 100 ) = ( 42 86 75 108 ) =
(42-75 )/( 75 - 86 ) : ( 42 - 108 )/( 108 - 86 ) = 1־.
Пары «албам» в (7) , как то: אל, דס, הע и т.д. определяют касательные к коническому сечению ( рис. 4 ) . Припишем гиматрии этих пар: 31,64,75 , и т.д. точкам касания прямых סד,עה ,לא ... к коническому сечению. Такая мысль возникает в силу следующих соображений:
1) Из проективной геометрии известно, что касательные ( рис.7) к кривой 2-го порядка а2 высекают на произвольной касательной а к а2 точечный ряд, проективный точечному ряду на а2 , состоящему из точек касания, т.е.


-120-
а ( A1 B1 C1 D1 E1...) л a2 ( А В C D E ... ) (10)
Поэтому на рис. 4 точки касания касательных к коническому сечению, проведённых из точек א, ד, ג, ז гармонической четвёрки (14 3 7), образуют гармоническую четвёрку.
2) Гиматрии пар «албам» в (9) образуют гармонические четвёрки. Аналогичная ситуация имеет место для преобразования «атбаш». Действительно, на проективной оси (рис.6) лежат 7 точек мира единиц от ד до י включительно. Из этих букв в списке 1 имеется только две гармонические четвёрки:
( 10 647)и( 10 748) (11)
Рис.7.
В преобразовании «атбаш» этим четвёркам соответствуют ( см.рис. 6 ) :
(12)
(10 6 4 7) (40 80 100 70);
( 10 7 4 8) ( 40 70 100 60)


Проверим:
( 10 6 4 7) + ( 40 80 100 70 ) = ( 50 86 104 77) =
(50-104)/(104-86):(50-77)/(77-86)=-1;
(13)
( 10 7 4 8 ) + ( 40 70 100 60 ) = ( 50 77 104 68 ) =
.1־ = (77 - 68)/(68 - 50 ): (77 - 104)/(104 - 50)
Таким образом, получена интересная теорема проективной геометрии, относящаяся к преобразованиям «атбаш» и «албам».
Эту теорему мы сформулируем в краткой форме ( напоминаем, что эта книга не есть учебник или пособие по математике ).
Теорема. Сумма двух гармонических четвёрок в «атбаш» и «албам» есть четвёрка гармоническая.
Замечание.
Легко непосредственно проверить, что гармоничность четвёрки не изменится, если все её элементы умножить на одно и то же число и, если ко всем её элементам прибавить одно и то же число.


-122-
איק-גכר и обобщённая теорема Дезарга.
о многих книгах можно встретиться с понятием трёх
миров: единиц, десятков и сотен, например, в [14] стр.11. Уже в [11] говорилось о пространственной системе координат, где на одной оси откладываются единицы, т.е. представители букв от א до ט ; на другой оси - десятки, т.е. буквы от י до צ и на третьей оси - сотни или буквы ,ק ר,ש,ת, ך, ם, ן, ף, ץ . Спроектируем параллельно этот пространственный декартов репер ( координатные оси ) на плоскость ( см. рис. 1 ). На рис.1 видны тройки «ик־бахар»
...איק, בכר, גלש , представляющие собой подобные и подобно расположенные треугольники ( деление отрезка на
равные части ) . Соответственные стороны этих
треугольников ( параллельны ) пересекаются в трёх несобственных ( бесконечно удалённых ) точках, лежащих на несобственной прямой.
Любые два из указанных девяти подобных треугольников («ик-бахар») образуют дезаргову конфинурацию ( 10/3 ) в соответствии с [13]. Рис. 1 можно интерпретировать по- другому. Например, между осями х и у установим перспективное соответствие с центром перспективы в несобственной точке.
( 1, 2, 3,... ) л ( 10, 20, 30,...).
Между осями х и z , а также между осями у и z установим аналогичные перспективные соответствия с центрами


-123-
перспективы в несобственных точках. Докажем следующую теорему1 (см. рис.2 ).
Между четырьмя прямыми, исходящими из одной точки О , установлены перспективные соответствия с центрами перспективы, расположенными на одной прямой с:
а1 (О А1 В1 ...) л 3.2 ( О А2 В2 ...)
а2 ( О А2 В2 ...) л аз ( О Аз Вз ...) ( 1)
аз ( О Аз Вз ...) л За ( О А4 В4 ...)
Тогда соответственные стороны двух полных четырёхугольников пересекаются в точках, лежащих на с. Доказательство.
Рассмотрим прямые а 1, а 2, аз и два треугольника:
A1 А2 Аз , B1 В2 Вз .


-124-
О
Si
А1А2П B!B2 = S1 (ряды перспективны см.(1))
А2А3 П B2B3 = S2
Следовательно, по теореме Дезарга А! Аз и В! Вз должны пересекаться на прямой с = S. S2 . Обозначим их точку пересечения через Р. Рассмотрим прямые а ! , аз , 34 и два треугольника А! Аз А4 , В! Вз В4 . Соответственные


־125־
Аз А4 и Вз В4 пересекаются в точке S 3 .
A3 А4 П Вз В4 = S3 (3).
S3 лежит на с по условию теоремы. Следовательно по теореме Дезарга А1А4 пересекает В1В4 в некоторой точке Т, лежащей на прямой с.
.Рассмотрим прямые а 2, аз , а 4 и треугольники А2 Аз А4 и В2 Вз В4 . По теореме Дезарга А2А4 пересекает В2В4 в точке F cPS = с . Итак, шесть пар соответственных сторон полных четырехугольников А1А2А3А4 и В1В2В3В4
пересекаются в точках на прямой с . ч.т.д.
С теоремой Дезарга связана так называемая дезаргова конфигурация, состоящая
Из 10-ти прямых: шесть сторон треугольников, три прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников и прямая Дезарга - на которой пересекаются соответственные стороны исходных треугольников.
Из 10-ти точек : 6 вершин треугольников, центр перспективы и три точки пересечения соответственных сторон.
На каждой прямой лежат по три точки и через каждую точку проходят три прямые. Эту конфигурацию согласно [13] обозначают ( 10/3 ) . Заметим, что 9 треугольников «ик-
бахар» ( рис.1) с точностью до проективного преобразования позволяют получить 9x3 + 3 + 1 = 31 прямую и 9x3 + 1 + 3 = 31 точку. Однако, такая фигура не является конфигурацией с точки зрения определения в книге [13].
Теорему 1 можно сформулировать в общем виде так: Обобщённая теорема Дезарга.
Между п прямыми одного пучка установлены перспективные соответствия с центрами перспективы, расположенными на одной и той же прямой а следующим образом: точечный ряд на к-той прямой перспективен точечному ряду на к + 1 — й


-126-
прямой, где к = 1, п - 1. При этом, каждой точке М1 первой прямой отвечает п - угольник М1М2 ... Мп , образованный соответствующими точками в заданных перспективных соответствиях. Тогда соответственные стороны любых двух полных п - угольников М1 М2 ... Мп и Р1 Р2 ... Рп пересекаются в точках, лежащих на прямой а .


-127-
Проективные соответствия в естественном порядке букв.
параграфе «Математические аспекты преобразований
אל במ , את בש» было показано, что преобразования «атбаш» и «албам» ־ кусочно-проективные соответствия. Например, ( см. в указанном параграфе формулу (2) )
(אבגדהוזח )л( 1) (למנסעפצק)
При этом мы пользовались декартовыми координатами точек, совпадающими со стандартными гиматриями соответствующих этим точкам букв. Теперь в качестве декартовых координат букв алфавита на числовой прямой будем рассматривать их порядковые номера и записывать их по модулю 22 ( см. рис. 1.).
א — ת — ש —
Рис.1.
В этом случае любой сдвиг алфавита является преобразованием проективным. Соотношение (1) распространится на весь алфавит ( см. рис.2 ) .


-128-
Заметим, что везде в этой книге речь идёт об интерпретации букв ивритского алфавита. Ибо, что такое ивритская буква ?
- если с её помощью построен наш мир. У буквы есть тело
- это её форма; у буквы есть душа - это идея, заложенная в ней или мудрость Творца; буква характеризуется числами, представляющими собой аппарат связи души с телом. Перенесём алфавит на коническое сечение. Проективное соответствие (1) будет инволюционным, поскольку , ל►— א א ►— ל и т.д. Инволюция (1) является эллиптической, т.к. соответственные пары разделяют друг друга ( рис.З ) .
א
מ —
Рис.З.
Для «атбаш» справедлива, например, формула из параграфа «Математические аспекты...» :
(2)
( קצפעסנמ) л(דהוזחטי)


-129-
Т.к. ד <— ק , ק ►— ד , соответствие (2) является инволюционным. Инволюция эта - гиперболическая, поскольку соответственные пары не разделяют друг друга ( см. рис. 4 ) .
Желающие познакомиться с эллиптическими и гиперболическими инволюциями могут обратиться к учебникам [13] стр. 138 - 139, [15] стр. 117121 ־ и [51]. Центр 02 гиперболической инволюции находится вне кривой 2-го порядка, а центр О! инволюции эллиптической - внутри
א
Рис.4.
кривой 2-го порядка. На рис. 5 показаны соответствия (1) и (2) на коническом сечении а2.
Рис.5.


-130-
Преобразования (1) и (2) имеют одну общую пару соответственных точек ( букв ) ו - פ .В этом проявляется важнейшая теорема проективной геометрии: о наличии
общей пары соответственных точек в двух инволюциях, когда по крайней мере одна из них - эллиптическая. В инволюции с центром 01 ( рис.5 ) имеем:
(3) ( חזוהד )4׳(קצפעס)
В инволюции с центром О 2 имеем:
(חזוהד )л (4) ( סעפצק)
Из (3) и (4) следует, что
(5) ( סעפצק) 4׳(קצפעס)
Соответствие (5) является инволюцией ( ק►— ס; ס ►— ק ) с двойной точкой פ . Прямые, соединяющие соответственные точки инволюции (5) пересекаются в центре этой инволюции. Прямая, проходящая через этот центр и точку ־ פ касательная к коническому сечению. Аналогичная картина наблюдается с точками דהוזח . Вернёмся к рис. 5 и рассмотрим четырёхугольник חסקד . Стороны קס и חד пересекаются в точке Р ( см. рис. 6 ) .


-131 -
Из проективной геометрии известно, что треугольник 0102 Р - автополярный, т.е. каждая его вершина является полюсом противоположной стороны [15] стр. 125. DP и Р1 касательные к а2
. Следовательно, инволюция (5) имеет своим центром точку Р. Тот же центр имеет и инволюция
(דהוזח) л (6) (חזוהד)
Поэтому (5) и (6) принадлежат одной и той же инволюции с центром Р. Первые две инволюции связаны с преобразованиями «албам» и «атбаш», а Р - центр новой инволюции, порождающей преобразование:
אבגדהוזחטיכל מנסעפצק רשת (7) כיטחזוהדגבאתשרקצפעסנמל


-132-
Преобразование (7) приписывает каждой паре «атбаш» («албам» ) определённую пару «атбаш» ( «албам»). Например, את и כל - пары «атбаш», соответствующие друг другу в преобразовании (7) . Поэтому замена את на כל в первом стихе Торы оправдана с позиций преобразования (7).
Назовём это преобразование אב בי ( ахби), что в переводе на русский означает - только во мне. Три преобразования «атбаш», «албам», «ахби» позволяют каждой букве алфавита поставить в соответствие определённый треугольник (см. рис7).
В качестве примера применения преобразования «ахби» возьмём слово שבת. Преобразование (7) переводит буквы ש,ת соответственно в מ,ל и потому מבל - שבת . Это можно трактовать так:
Шабат от Торы, ибо בל - первая и последняя буквы Торы , а , если переставить буквы местами מלב , то Шабат от сердца ит. д.


-133-
כ
ט
ח
ו ח
ז
ה
ד
ג
ב
א
ת
כ* ו
ש ר
ק
צ
ע ס נ מל
Рис.7.


-134-
Преобразования сдвига и таблица Авраама Авину.
литературе, например, [14] , [15] , [21] , [23] часто
пользуются заменой букв в словах согласно преобразованиям сдвига. Например אם - בן После
«алеф» идёт «бэт», после «мэм» ( или «мэм софит» ) идёт «нун» ( или «нун софит» ). Это указывает на неразрывную связь матери и сына.
Пример взят из книги М.Глазерсона.
В данном случае речь идёт о преобразовании сдвига на одну букву אב בג . Здесь следует пояснить смысл слова «сдвиг» . Мы говорим о сдвиге в порядке букв: א
переходит в ב , «бэт» в «гимл» ,..., ט в י и т.д. Но такой сдвиг не является сдвигом, когда за координаты букв приняты их гиматрии. Действительно, при переходе א в ב ב , в ט ג в י их координаты изменяются на единицу. При этом «каф» займёт позицию , соответствующую числу 11, а не 20 - координате כ .
סל
10 9 ל 1
30
20
10
2 3


-135-
Рис. 1.
.Исследовать преобразования сдвига удобно на проективной
прямо; которой является, например, окружность
( см. рис. 2. ) . Алфавит в соответствии с порядком букв на окружности встречается во многих книгах Священного
На рис.2 имеется пять окружностей, определяющих четыре круговых пояса. В первых трёх поясах, начиная с наибольшего радиуса, буквы алфавита проставлены в направлении по часовой стрелке. В четвёртом поясе ( наименьшего радиуса ) буквы алфавита проставлены против часовой стрелки.
Первый и второй пояса определяют преобразование אג בד . Второе кольцо ( пояс ) сдвинуто по часовой стрелке на две позиции ( буквы ) . Первое и третье кольца определяют
Писания ( см. [21] ) .
Рис.2.


-136-
преобразование בא גב , ибо третье кольцо повёрнуто на одну позицию против часовой стрелки и т.д.
В связи с рис.2 возникает интересная ситуация. Рассмотрим первое кольцо и буквы, стоящие в нём, как железнодорожные станции. Предположим, что поезд движется по этому кольцу, останавливаясь через каждые две станции. Первая остановка א. Из א попадаем в ג ; из ג в Ли т.д. Остановки поезда образуют массив, который называется согласно [23] стр. 112 «первоначальный ( исходный ) массив, используемый в каббалистическом методе». Однако в этом массиве имеется только часть букв алфавита, связанная с преобразованием אג בד. Поэтому реализовать преобразование «агбад» путём движения по кругу ( рис.2 ) с интервалом между остановками, равным 2 = 3-1 = א -ג не представляется возможным. Возникает вопрос:
при каких интервалах между остановками поезда
коммивояжер побывает на каждой станции ( в каждой букве алфавита ) .
Эта математическая задача может быть обобщена и представит интерес для людей, занимающихся комбинаторикой. С точки зрения ивритского алфавита поставленная задача позволит выявить интервалы,
соответствующие известным и мало известным буквенным преобразованиям. Заметим, что при наличии 27 -и букв ( станций ) , т.е. 22+5 софитов, предбразование «агбад» реализуется:
א-ג-ה-ז־ט-כ־מ-ס-פ-ק־ש־ך-ן־ץ-ב-ד-ו־ח־י-ל-נ-ע-צ-ר-ת-ם-ף-א
Наверное, необходимым и достаточным условием пребывания коммивояжера на каждой остановке является взаимная простота числа станций и величины интервала.
Например, (22,3) = 1. Поэтому в 3־й строке таблицы Арие Каплана [23] присутствуют все 22־е буквы алфавита.


-137-
Известно, что между преобразованиями сдвига и таблицей Авраама Авину ( см. таблицу 5 в разделе «Исследование стиха Шмот 25.8» ) существует тесная связь. Эта связь исследуется, например, в [23] стр.108 - 117. Посмотрим на таблицу Авраама Авину. Первый её столбец характеризует преобразование אב בג
Второй столбец - это преобразование אג בד и т.д. 11־й столбец ( номера столбцов рассматриваем справа налево ) ־ это преобразование אל במ . Из таблицы Авраама Авину видно, что это соответствие носит инволюционный характер, т.е. שי ►— יש ;כת►— תב и т.д.
Все преобразования по столбцам таблицы Авраама Авину связаны с поясами ( рис.2 ) , где буквы записаны по часовой стрелке.
Преобразование את בש связано с двумя параллельными отрезками. Один идёт в верхнем треугольнике Авраама Авину, второй - в нижнем. Движемся слева направо от левого верхнего угла таблицы по порядку строк и через столбец: ־ את первая строка, 21-й столбец; בש - вторая строка, 19־й столбец и т.д. וס - шестая строка, 11־й столбец и далее до 11 - כל-я строка, 1-й столбец.
Параллельная прямая идёт от 21 - לב-й столбец, 12-я строка ( центральная симметрия ) до правого нижнего угла תא
. Очевидно, что 22-м буквам от א до ת отвечают 22-е буквы от ת до א включительно.
Преобразование אב בי реализуется на таблице Авраама Авину тремя параллельными отрезками. Средний проходит через центр симметрии таблицы. Угловой коэффициент прямых אב בי равен угловому коэффициенту прямых את בש . Верхняя прямая начинается от 1 : אב-я строка, 10-й столбец ( справа налево ) и кончается в точке וו нулевого столбца, который отсутствует на рисунке. Нижняя прямая центрально симметрична верхней. Преобразования אט בח ; אי בט


-138-
представляются прямыми, параллельными прямым «атбаш» и т.д.
В связи со сказанным возникает вопрос:
не будет ли каждая прямая, соединяющая две клетки таблицы Авраама Авину, определять преобразование ивритского алфавита ?
Прежде всего заметим, что под преобразованием ивритского алфавита мы будем подразумевать кусочно-линейное отображение ( 22-х букв ) алфавита на себя.
Не вдаваясь в строгость математической логики, скажем так: под линейным преобразованием мы понимаем такое, при котором прямая переходит в прямую.
Таблица Авраама Авину связана с квадратной матрицей 22x22, получаемой от произведения алфавита на себя ( см. [10] стр. 247 ) . Элементы этой квадратной матрицы
интерпретируются узлами целочисленной квадратной решётки ( см. рис. 3 ), которой можно покрыть весь первый квадрант плоскости ( рис. 3 ).
Для ответа на поставленный выше вопрос рассмотрим уравнение прямой, проходящей через две целочисленные точки решётки ( рис. 3 ) (a,b) , (c,d) . При этом
а Ф b ; с Ф d; а Ф с; b Ф d (1)
(x-a)/(c-a) = (y-b)/(d-b) (2)
Отсюда:
у — b=((d — b)/(c — а))х(х — а) (3)
Обозначим (d-b)/(c-a) = т/п. Будем считать, что ( т,п ) = 1, т.е. тип взаимно просты. Тогда уравнение (3) прямой примет вид:
(4)
у = (т/п) х (х-а) + Ь


-139-
Рис.З.
Поскольку на плоскости мы встречаемся только с числами от 1 до 22-х включительно, то для любого натурального х в расчётах будет участвовать
х = х ( mod 22 ) (5)
у = ( т/п )x(x-a) + b( mod 22 ) (6)
Элементарные сведения о сравнениях можно найти, например, в [40].
В [11] стр. 183 преобразование אל במ задано уравнением
у = х + 11. (7)


-140-
На рис. 3 эта прямая начинается в точке ( 1, 12 ) основной квадратной решётки, далее в точке (12,1) заходит в новую квадратную решётку и т.д. Сравнения (5) и (6) перепишутся для (7) в виде:
х = х ( mod 22 ) ; у = х + 11 ( mod 22 ) (8)
При х = 12 ; х = 12 и у = 12 + 11 ( mod 22 ) т.е. у = 1. Точка (12,1) отвечает паре לא ( рис. 3 ).
Сравнение (8) переводит прямую (7) в два параллельных отрезка в первоначальной решётке 22x22. Теперь поставленный выше вопрос можно сформулировать в виде следующей задачи 1.
При каких условиях, наложенных на т, п, а, Ь, сравнения (5) и (6) определят преобразование ивритского алфавита.
В качестве примера рассмотрим прямую, проходящую через точки
( 1,7) и ( 6, 10 ). т/п = (10 - 7 )/( 6 - 1 ) = 3/5. Сравнение (6) примет вид:
у =( 3/5 )(х-1) + 7( mod 22 ) (9)
Очевидно, что х - 1 должно делиться на 5, поэтому х - 1 = 5к или
(10)
х = 5к + 1
На основании (5) и (9) составим следующую таблицу:
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
1
6
11
16
21
26
31
36
41
46
51
X
1
6
11
16
21
4
9
14
19
2
7


-141-
У
7
10
13
16
19
22
3
6
9
12
15
к
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
X
56
61
66
71
76
81
86
91
96
101
106
X
12
17
22
5
10
15
20
3
8
13
18
У
18
21
2
5
8
11
14
17
20
1
4
Таблица 1.
Построенная таблица показывает, что прямая, проходящая через точки (1,7) , (6,10) определяет преобразование אז וי («азви») ивритского алфавита.
Наверное, ответом на задачу 1 будет выполнение условий ( т, 22 ) = 1 , ( п, 22 ) = 1, т.е. взаимная простота указанных чисел. В рассмотренном примере ( 3,22 ) = 1 ; (5,22) = 1. Оставляем читателям, интересующимся математикой , поиск решения задачи 1. А мы, о чём говорилось и раньше, не занимаемся разбором «шахматных партий» или решением специальных математических проблем.
В [21] стр.103 ( копия этого листа имеется в нашей книге ) перевод букв первого стиха Торы в буквы молитвы ... אנא בכה осуществляется разными преобразованиями. Например, переход
א ►— ג реализован двумя преобразованиями. Переход Л —► י - также произведён двумя преобразованиями Покажем, что вместо четырёх этих преобразований можно воспользоваться одним «агят» ( אג ית ) . Указанные пары букв имеют в квадратной решётке 22 х22 координаты (3,1) , (22,10).
т = 10 - 1 = 9 ; п = 22 - 3 = 19. Очевидно, что (9,22) = 1 и (19,22) = 1. Формула (6) примет вид:
у = (9/19 ) ( х - 3 ) +1 (mod22) (11)
Проверим, является ли «агят» преобразованием ивритского алфавита или нет. Равенство (10) в данном случае примет вид:


-142-
х - 3 = 19к или х = 19к + 3 (12)
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
X
3
22
41
60
79
98
117
136
155
174
193
212
231
250
X
3
22
19
16
13
10
7
4
1
20
17
14
11
8
_У_
1
10
19
6
15
2
11
20
7
16
3
12
21
8
Таблица 2.
Порядок заполнения этой таблицы довольно прост и поэтому выпишем до конца последние две строки.
к
14
15
16
17
18
19
20
21
X
5
2
21
18
15
12
9
6
У
17
4
13
22
9
18
5
14
Таблица 3.
Итак, אג ית - преобразование ивритского алфавита, упрощающее процедуру, описанную р. Моше Кордоверо. Заметим, что прямая у = (9/19) ( х - 3 ) +1 проходит в 20 -и матрицах 22x22, чтобы перебрать все буквы алфавита. Эти 20 матриц складываются в одну первоначальную по правилу, указанному ( сдвиги ) на рис. 3.
Всегда можно подобрать одно преобразование алфавита, переводящее заданную букву в заданную. Например, р. Моше Кордоверо переводит ר в ב двумя преобразованиями, но существует много преобразований, сразу переводящих ר в ב . Так, преобразование «ашбар» ־ это прямая, соединяющая две точки (2,20) и (1,21) . Для этих точек т = п = 1. Приведём ещё один пример.
В книге Берешит 17.19 написано:


-143-
, "ויאמר אלהים אבל שרה אשתך ילדת לך בן..."
что в переводе на русский означает - И сказал Всевышний : однако же Сара жена твоя родит тебе сына .. . Слово Сара можно заменить словом שמע : отбросим первые буквы «шин» и рассмотрим переход מע►—רה . Этот переход определяет преобразование ивритского алфавита רמ הע ( рамха ) . Проверим, справедливо ли это утверждение. ־ רמ это точка (13,20); הע - это точка (16,5).
т = 20 - 5 = 15; п = 13 - 16 = -3. Очевидно, что ( 15,22) = 1 ;
( 1 = (3,22־ и «рамха» - действительно есть преобразование ивритского алфавита.
х = х (mod22); у = -5 (х — 3) + 20( mod 22)
X
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
• • •
X
13
16
19
22
3
6
9
12
15
18
• • •
у
20
5
12
19
4
11
18
3
10
17
• • •
Таблица 4.
Произведя указанную замену, мы обнаруживаем под рассматриваемым стихом потайной смысл :
...ויאמר אלהים אבל שמע אשתך ילדת לך בן , т.е.
И сказал Всевышний - однако слушай : жена твоя родит тебе сына....
Поскольку Авраам скептически отнёсся к словам Всевышнего, Творец грозно заявил ему : « однако слушай !» . Слушай Б־га без улыбок и смеха !
Слово ישמעאל ( имя сына Авраама и Агари ) означает - да услышит Б־г. Слово יזרעאל ( название города ) означает ־ да посеет Б־г. Замена букв ש ־ ז, מ - ר в первом имени приводит ко второму имени ( [17] стр. 91, 97 ). Эту замену определяет преобразование שז מר ( «шазмар» ) .


-144-
Действительно, порядковые номера букв дают точки (20,13), (7,22) ; т = 22-13 = 9; п = 713- = 20־; т,п взаимно просты с 22. Преобразование «шазмар» порождает таблицу:
X
22
13
4
17
8
...
JL
7
20
11
2
15
...
Таблица 5.


-145-
Преобразования алфавита и числовая таблица Авраама Авину.
разделе «Преобразования сдвига и таблица Авраама
Авину» рассматривалась целочисленная решётка 22x22 с шагом 1. Каждый узел этой решётки ассоциировался с элементом таблицы Авраама Авину. Сейчас мы перейдём к рассмотрению целочисленной решётки . координатами узлов которой служат не порядковые номера букв алфавита, а их обычные (стандартные) гиматрии ( см. рис. 1 ) . В [10] стр. 203 рассматривалась таблица Авраама Авину , заданная гиматриями её элементов. Ниже мы постараемся дать некоторую геометрическую интерпретацию преобразованиям «атбаш» , «албам» и др. , связанную с числовой таблицей Авраама Авину или с целочисленной решёткой по гиматриям букв алфавита. Ранее отмечалось, что малая гиматрия соответственных в «атбаш» букв равна пяти. Следовательно, любая пара соответственных букв п «атбаш» удовлетворяет сравнению:
х + у = 5 ( mod 9 ) (1)
Это сравнение равносильно уравнению:
(2)
х + у = 5 + 9t,


-146-
Рис.1.
где х, у, t - натуральные числа. Уравнение (2) определяет однопараметрическое семейство прямых, зависящих от параметра t . Соответствующие в преобразовании «атбаш» пары букв алфавита располагаются на 10-ти параллельных прямых (2) :


-147-
t (3)
את תא
х + у = 401
44
בש שב
х + у = 302
33
גר רג
X + у = 203
22
דק קד
х + у = 104
11
הצ צה
х + у = 95
10
ופ פן
х + у = 86
9
זע עז
х + у = 77
8
חס סח
х + у = 68
7
טג נט
х + у = 59
6
ימ מי, כל לב
х + у = 50
5
Три последние прямые, а точнее отрезка прямых в квадрате 400x400 изображены на рис.1.
Любая пара соответственных букв в «албам» удовлетворяет сравнению:
| у - х | = 2 ( mod 9 ) (4)
Это сравнение равносильно уравнению:
| у- х| =2+ 9t (5)
Уравнение (5) без модулярных скобок записывается в виде:
у - х = 2 + 9t ( у - х > 0 )
x-y = 2 + 9t ( у - х < 0 ) (6)
Уравнения (2) и (6) определяют плоскости в трёхмерном евклидовом пространстве. В связи с этим возникает вопрос:
при каких условиях плоскость в трёхмерном евклидовом пространстве задаёт преобразование ивритского алфавита ?


־148־
Так плоскости, параллельные (2) :x + y= l + 9t,x + y = 2 + 9tn т.д. характеризуют преобразования אי בט, אט בח и т.д. Рассмотрим в качестве примера преобразование, определяемое плоскостью
2х + 5у = 3 + 9t (7)
Ниже приведена таблица узлов целочисленной решётки по гиматриям букв ивритского алфавита, лежащих на плоскости (7).
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
У
2
70
30
8
4
9
50
10
6
20
7
3
80
40
t
1
39
17
5
3
6
29
7
5
13
8
8
53
33
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
90
5
1
60
200
700
300
800
400
900
500
100
600
63
18
18
33
133
433
233
533
333
633
433
233
533
Таблица 1.
Для математиков поставленный вопрос сформулируем в виде следующей задачи.
Задача 1.
В трёхмерном евклидовом пространстве имеется бесконечное множество точек G , координаты х и у которых принадлежат множеству 27-и чисел:
1,2,3,...,9,10,20,...,90,100,200,...,900 называемых гиматриями букв ивритского алфавита, a z - множеству натуральных чисел. В G выбраны произвольно три точки А1, А2 ,A3 так, что Х1 ф Х2, Х1 Ф хз , Х2 Ф хз, у! Ф у2 ,у! ^уз , у2 фуъ ,
(Z1-Z2)2 + ( zi ־ Z3 У Ф 0. Каким условиям должны удовлетворять х; ,у! , z! ( i = 1,2,3 ) , чтобы плоскость


-149-
А1А2А3 прошла через 27 точек множества G , координаты х и у которых суть перестановки 27־и гиматрий.
Естественно, что эта задача связана с решением уравнений в целых числах [24] , [41]. Уравнение плоскости А 1А2А3 имеет вид (см. [25], [26] ).
= 0
X у Z 1
X 1 yi Z1 1
X 2 у2 Z2 1
Хз уз Z3 1
Одним из условий на координаты точек A1 ,А2 , Аз , при
котором задача 1 будет иметь решение, является равенство -1 коэффициента при z в уравнении (8). Например, плоскость
2х + 5у -3 = z (9)
определяет любое преобразование ивритского алфавита. Действительно, перестановке гиматрий:
(10)
1,2, ...,9,10,20,..., 90,100,200,..., 900
соответствует любая другая перестановка чисел (10) , например:
(11)
20,1,..., 40,70,..., 5,..., 10
Соответственные пары х,у перестановок (10) и (11) удовлетворяют уравнению (9) :
2x1 + 5x20 - 3 = z = 99; 2x9 + 5x40 - 3 = z = 215; 2x100 + 5x5 - 3 = z = 222;
и т.д. В общем случае, плоскость


-150-
z = ах + by + с, (12)
где все буквы определяют натуральные числа, отвечает на поставленный выше вопрос, но не исчерпывает его.
В связи со сказанным возникает мысль о проведении исследований на двумерной решётке, у которой координаты узлов (х,у) принадлежат множествам: х - множеству гиматрий
букв ивритского алфавита; у - натуральным числам по модулю 22 ( или 27). На такой решётке любая прямая у = ах + в , где все буквы определяют натуральные числа, частично задаёт преобразование ивритского алфавита при условии (а,22) = 1 или (а,27) = 1. Например:
у = Зх + 7 (mod 22 ) (13)
Сравнение (13) позволяет получить следующую таблицу:
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
У
10
13
16
19
22
3
6
9
12
15
1
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
17
11
5
21
Таблица 2.
В таблице 2 в строке для у имеется 7 пустых мест. Это связано с тем,
что при х = х (mod 22) ; у = у (mod 22), т.е. в строке для у появились бы одинаковые числа. В строке для у отсутствуют числа : 2,4,7,8,14,18,20. Мы можем пустые места в таблице 1 заполнить любой перестановкой из этих чисел и тем самым


-151-
получить преобразование ивритского алфавита. Заметим, что первые 10 пар (х,у) в таблице 2 принадлежат преобразованию אי במ , которое
определяется формулой (13) для натуральных значений х; х = х (mod 22) .
Непосредственная проверка показывает, что заполнение последних двух клеток в строке у таблицы 1 соответственно числами 4 и 7 даёт пары: תז , שד преобразования אי במ .
Поэтому пять оставшихся пустых клеток в таблице 1 могут быть заполнены любой перестановкой из пяти чисел: 2,8, 14, 18, 20. При этом преобразование, заданное таблицей 2 и אי במ совпадают по 12־и позициям.


-152-
Преобразования אי בט и אט בח на коническом сечении.
говорится о преобразовании בח אט . Естественно
рассмотреть и преобразование אי בט . Этим преобразованиям уделяется большое внимание в [28] стр. 137,313.
1 ל ר 10 1000 Q00 100 qo
1
20 10 9 8
200 100
1000
Рис. 1.
На рис.1 изображены две параллельные прямые, на которых, как на декартовых координатных осях, помечены точки, соответствующие буквам ивритского алфавита. В каждом «числовом мире» ־ мире единиц, мире десятков и мире сотен имеется перспективное соответствие с центрами перспективы Si , S2 ,S3 ( см. рис.1 ) . Рассмотрим перспективное
соответствие с центром S 1 . На одном носителе такое
соответствие превратится в проективное инволюционное соответствие: 1 —► 10, а 10 —► 1. Если перенести это


-153-
соответствие на коническое сечение, то получится картинка, изображённая на рис.2.
А
S1 ־ центр инволюции. Очевидно, что двойные точки А и В этой гиперболической инволюции не принадлежат алфавиту. Si А , S1 В - касательные к коническому сечению. Подобные картинки ( рис.2) имеют место для мира десятков и мира сотен. По аналогии с преобразованием אי בט («айбэт») представим преобразование אט בוז («атбах»).


-154-
qnn 1nn qo 1 סלn g 1 ל
100 90 80 10 9 8 1
900
Рис.З.
Рис.З выполнен по аналогии с рис.1. От рис.З переходим к рис.4 - коническому сечению , на котором задано проективное инволюционное соответствие:
Рис.4.
В этой гиперболической инволюции одна двойная точка совпадает с буквой алфавита - буквой ה . Аналогичные


-155-
рисунки имеют место для мира десятков и мира сотен. Между преобразованиями בט אי и בח אט устанавливается связь:
אב בג = איבט х אטבח (см. также [28] стр. 334)
До сих пор преобразования אט בח и אי בט рассматривались отдельно для мира единиц, десятков и сотен. Сейчас представим эти преобразования для всего алфавита вцелом. Возьмём преобразование אי בט .
א ר י כ ל מ נ
Рис.5.
На рис.5 даны две параллельные прямые а и а1
а( י,•••,ב,א ) л а, (1) (א,...,ם,י)
Будем считать, что прямые а и а 1 замкнуты на бесконечно удалённую точку и потому за точкой (буквой) א следует ...ש,л. На прямой כת возьмём точку S2 такую, что S2 כ / S2 Л = 1/10 . Тогда получим два перспективных ряда с центром перспективы S 2 :
(2)
а! (ר,ש,ת,Р)
А
( נ,מ,ל,כ) а


-156-
На прямой קב возьмём точку S 3 , делящую отрезок קב
пополам. Тогда с центром перспективы S3 имеем:
а (ק,צ,פ,ע,ס,נ ) л а г (3) (נ,ס,ע,פ,צ,ק )
Далее картина перспективных соответствий повторяется. Если перенести алфавит с прямой на коническое сечение, то получатся две гиперболические инволюции ( см. рис.6 ), соответствующие (1) и (3).
S2
Рис.6.


-157-
Наполнения букв и треугольники ивритского алфавита.
ак известно [11], [18], [20] наполнения 19-ти букв
ивритского алфавита могут быть представлены тремя буквами. Исключением из этого правила являются буквы слова כפה . Наполнения этих букв состоят только из двух букв, например,
(1) הא , כפ, פה
Эту запись из шести букв можно сократить так:
2) כפהא)
В этом слове «кипа алеф» сначала идёт наполнение כפ , затем наполнение פה и наполнение הא .
Слово (2) можно интерпретировать, как «Кипа Всевышнего». Эта интерпретация связана со словами Творца [27]
: (פרשת בהר)
"כפה עלהים הר כגיגית״
Если народ Израиля не возьмёт Тору, то Б-г накроет их (кипой) горой ( в виде лохани), и все они погибнут.
Слово «кипа» можно представить себе в виде выпуклой дуги ( см. рис. 1.).
На рис.1 буквы, как точки откладываются на горизонтальной оси справа налево, а гиматрии по вертикальной оси снизу вверх.


־158־
Если к слову (2) применить преобразование במ אל и заменить последнюю букву א на ל , то полученная четвёрка
כפהל
является гармонической:
( 30 5 80 20) = -50/75 : 10/15 = -1.
Гармоническая четвёрка не изменяется, если мы поменяем местами последние две буквы:
(4) כפלה
Слово (4) намекает на «складывание», и потому мы обращаемся к рассмотрению букв ה, כ, פ в естественном порядке 22-х натуральных чисел:
(5)
1, 2,3,4, 5,6,..., 10, 11,12,..., 16, 17,18,...,22
Предположим,что числа (5) нанесены на жестяной полоске, которую мы согнём в отмеченных точках 5,11,17 (см. рис. 2 )


-159-
и склеим или спаяем по линии АВ (рис.2). Получился
равнобедренный треугольник с основанием 10 и боковой стороной 6 единиц. Линия склейки или спайки делит основание треугольника (рис.2) приблизительно в золотом сечении:
4/6 ~ 0.66 (( V5 -1 ) : 2 - золотое сечение ). Более точный
результат даёт отношение отрезков 6/10.
Длины сторон треугольника на рис.2 являются гиматриями трёх букв алфавита:
(6) ויו
Эти три буквы образуют наполнение буквы «вав». В него входят две буквы: «иуд» и «вав», на которых построен весь ивритский алфавит ( [10] стр. 85-92 ). Поэтому треугольник на рис.2 будем называть «треугольником ивритского алфавита».
Слово (3) переходит в слово
(7)
כפול


-160-
(укладывать в смысле упаковки) с помощью преобразования אב בג . Таким образом, три буквы алфавита, имеющие наполнения, состоящие только из двух букв, являются вершинами треугольника ивритского алфавита.
С числами (5) связана следующая таблица:
1,2,3,4
6,...,10
12,...,16
18,...,22
Числа (5)
10
40
250
1090
^ гиматрий
10
40
70
100
Малая гимат
10
40
70
100
£ чисел
Таблица 1.
Вернёмся к рис.2. Отрежем от жестяной полоски четыре секции с номерами 19,20,21,22 и секцию с номером 18 подклеим к линии АВ. Получится следующая картинка:
10 11
Рис.З.


-161 -
На рис.З имеем равносторонний треугольник, каждая сторона которого состоит из шести секций. Гиматрии сторон этого треугольника равны:
5+6+7+8+9+10 = 45;
20+30+40+50+60+70 = 270;
80+90+1+2+3+4 = 180;
Малые гиматрии этих сторон равны 9 или малой гиматрии
.אמת
Теперь мы можем ивритский алфавит интерпретировать в виде треугольной пирамиды, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной в шесть единиц, а боковое ребро равно четырём единицам (см. рис. 4).
סל
Рис.4.
В каждый «узелок» на сторонах треугольника основания и на боковом ребре пирамиды поместим грузы, равные гиматриям соответствующих букв алфавита.


-162-
Любую пару узелков можно рассматривать, как нагруженные концы стержня, центр масс которого ( см. [25], [30] ) соответствует элементу таблицы Авраама Авину([10]стр.207 ). А теперь снова вернёмся к рис.2, к жестяной ленте с нанесёнными на неё числами.
Ленту согнём в точках 11 и 17, а второй конец ленты подклеим к номеру 5 (см. рис.5).
Получилась «кипа с козырьком». Треугольник כפה равносторонний. Малые гиматрии слов по его сторонам одинаковы и равны 9:
5+6+7+8+9+10 = 45 >9;
20+30+40+50+60+70 = 270 > 9;
80+90+100+200+300+400 = 1170 > 9.
Медианы ( высоты и биссектрисы ) равностороннего треугольника כפה (рис.5 ) образуют пары «икбахар»:


-163-
(8) (220)רכ , (55)נה , (88)חפ
Т.к. на рис.5 отсутствуют софиты, то на лицо только одна
тройка «икбахар» בכר 222< Ей соответствует
равнобедренный треугольник (рис.5) с основанием в 9 единиц. Малые гиматрии слов (8) являются членами арифметической прогрессии: 1, 4, 7 с разностью 3, что намекает на
треугольник алфавита. Сумма гиматрий слов (8) равна 363. С прибавлением гиматрии «бэт» получим 365 - число заповедей «не делай» в Торе.
Заметим, что элементы כפ , פה , הא таблицы Авраама Авину служат вершинами треугольника похожего ( мы говорим сейчас не с позиций математика, а с точки зрения художника ) на треугольник בכר на рис.5.


-164-
Стихи Дварим 21.1-3 и диаграмма Воронова.
Дварим 21.1-3 говорится:
«Если найден будет убитый на земле, которую господь Б־г твой даёт тебе для владения ею, лежащий на поле, и неизвестно кто убил его,
То пусть выйдут старейшины твои и судьи твои и измерят расстояния до городов, которые вокруг убитого.
И когда выкажется город, ближайший к убитому, пусть старейшины этого города...»
К этому тексту в Торе дано следующее пояснение:
«Если в мирное время найден будет на поле убитый, и принятые меры отыскать злодея окажутся неуспешными, то ближайший к трупу город, которому по большей вероятности принадлежит убийца, должен очистить свою совесть определённым ритуалом.
Эта ситуация приводит к постановке следующей математической задачи.
Задача 1.
Имеется конечное множество G точек на плоскости. Определить окрестности этих точек, обладающие следующим свойством: любая точка Р, принадлежащая окрестности точки М с G, удалена от М меньше, чем от остальных точек множества G.
Принцип решения этой задачи поясним на простом примере. Множество G состоит из трёх точек А, В , С ( см. рис. 1).


-165-
Рассмотрим две точки А и В. Ось симметрии для этих точек проходит через точку D . Точки, лежащие на оси симметрии, равноудалены от А и от В. Точки полуплоскости от оси симметрии ( см. рис.1 ) , где лежит точка А, удалены от А меньше, чем от В.
в
Рис.1.
По аналогии решаем поставленную задачу для точек А и С. Ось симметрии для этих точек проходит через F и делит плоскость на две полуплоскости. Точки полуплоскости, где лежит точка А , ближе к ней, чем к точке С.
Итак, окрестность точки А, удовлетворяющая условию задачи 1, представляет собой часть плоскости, ограниченной лучами OD, OF ( см. рис.1).
Аналогично строятся окрестности для точек В и С.


-166-
Разбиение плоскости на три выпуклые части лучами OD, OF, ОЕ называется диаграммой Воронова. Этой теме посвящено много работ в области математики.
Предположим, что мы изобразили города точками на плоской карте и построили для этих точек диаграмму Воронова. Тогда любой предмет ( в виде точки) на карте попадёт в одну из окрестностей данных городов, и мы знаем, к какому городу следует обратиться с различными вопросами, подобными описанным в начале параграфа.
Диаграмму Воронова, по-видимому, можно применять при исследованиях Священных текстов. Приведём один пример.
В разделе «Исследование стиха Шмот 25.8» дана таблица 5, на которой нанесены точки:
(1) וש לי דש ות בת
( (21) в первом параграфе ), определяющие стих Торы ( Шмот 25.8 ). Исследование, проведённое в первом параграфе, показало, что наибольшее внимание следует уделить трём словам:
(2) לי מקדש ושכנתי
Эти слова интерпретируются точками:
(3) לי דש ות
На таблице 5 из первого параграфа построим для этих точек диаграмму Воронова ( см. рис. 2 )


-167-
Эта диаграмма показывает, что слово ועשו наиболее близко к ושכנתי , а слово ־ בתוכם к слову מקדש . Такое рассуждение правдоподобно. Действительно, построю и буду там обитать - вполне логично; «там» и «микдаш» ־ слово «там» указывает на Храм ( микдаш ). Естественно, что эти слова связаны между собой. Заметим, что построение диаграммы Воронова требует времени, умения работать на компьютерах, умения программировать и т.п.
С текстом [32] связана обобщённая диаграмма Воронова для пар точек ( см., например, [33] ).
Остаётся пожелать читателям успешного продолжения исследований в этом направлении.


-168-
Квадраты слов.
некоторых книгах для объяснений Священных
текстов используется так называемая «квадратная гиматрия». Например, в [36] стр. 65 , [37] стр. 263, [55] стр. 122. Мысль, высказанная в начале восьмого раздела книги [10] стр. 143, позволяет построить треугольник, показанный на рис. 1 для слова יעקב.
Рис. 1.
Под квадратной гиматрией понимается сумма:
41) .2 ►— 452 = 2 + 200 + 210 + 40= ב + קא2 + עא3+יא)
Заметим, что малая гиматрия слова יעקב равна малой квадратной гиматрии ( рис. 1.) для этого слова.
В [36] из треугольника ( рис.1 ) для слова אלהים получен «квадрат» путём зеркальных отражений от катетов треугольника ( см. рис.2 ).


-169-
Квадрат, изображённый на рис. 2 будем называть «квадратом слова» יעקב . Предположим, что буквы какого-то слова, например, состоящего из 6-ти букв, занумерованы цифрами от 1 до 6-ти. Построение квадрата для этого слова ( 123456 ) можно осуществить так ( см. рис.З ) .
ר
ע
ר
ע
ק
ע
ר
ע
ק
ב
ק
ע
ר
ע
ק
ב
ק
ע
ר
ע
ק
ע
ר
ע
ר
Рис. 2.
Рис.З.
В одной из клеток квадратной таблицы ставим цифру 6. В столбце правее ставим три цифры 5 ( см. рис. 3 ) . В следующем стобце правее ставим пять цифр 4 и т.д. до столбца из единиц. Правая сторона квадрата осесимметрична левой. Очевидно, что число единиц в квадрате на рис. 3 равно:


-170-
2х(6-1) + 1 = 2х6-1 = 11 (2)
Число 2 встречается в квадрате на рис. 3
(З)
4х(6 — 2) + 2 = 4х6 — 6 = 18 раз.
Число 3 встречается
(4)
4х(6-3) + 2 = 4х6-10 = 14 раз и т.д.
(5)
1
2
3
Для слова, состоящего из п - букв имеем:
встречается
!?
2 х п - 1 4 х п - 6 4 х п - 10
2х (п — 1) + 1 4 х ( п - 2 ) + 2 4 х ( п - 3 ) + 2
п
4х (п-п) + 2 = 2
На основании равенств (5) строим таблицу 1, позволяющую подсчитывать гиматрии квадратов слов, состоящих из п букв.
2
3
4
5
6
7
8
3
5
7
9
11
13
15
2
6
10
14
18
22
26
2
6
10
14
18
22
2
6
10
14
18
2
6
10
14
2
6
10
2
6
2
Таблица 1.


-171 -
В верхней строке таблицы 1 указано число букв в слове. Во второй строке стоят числа, показывающие сколько раз первая буква встречается в квадрате слова и т. д.
Рассмотрим треугольники на рис 4.
1
2 	12 3 2 12 3 4 3 2 1 2 3 4 543212345
Рис.4.
Первый треугольник с боковой стороной 1,2 имеет основание, состоящее из трёх чисел: 2, 1, 2. Второй треугольник с
боковой стороной 1, 2, 3 имеет в основании пять чисел: 3, 2, 1, 2, 3 и т.д.
Основания рассматриваемых треугольников по числу элементов образуют арифметическую прогрессию с разностью 2:
1, 3, 5, 7,... (6)
Если взять треугольник с боковой стороной 1, 2, 3, ...., п , то в нём содержится
(7)
(1 + [1+2(п-1)]) х п / 2 = пг


-172-
чисел. Другими словами, если слово состоит из п букв, то его треугольник на рис. 4 содержит п2 букв. Возможно, по этой причине возникло понятие «квадратной гиматрии». Приведём пример подсчёта гиматрии квадрата слова. Возьмём слово בראשית . Оно состоит из 6-и букв. Обратимся к столбцу таблицы 1 под номером 6. Имеем:
2 + 18ר + 14א + 10ש + 6י + nil (8)
Малая гиматрия этого выражения равна:
4 	+ 5 + 3 + 6 + 8—► 8 (9)
Квадратная гиматрия этого слова равна:
6ב+5 ר+ 4א+ 3ש+ 2י+ ת (10) 12 +1000 +4 + 900+ 20+ 400 = 2336
Вопрос о квадрате слова можно осветить и с другой точки зрения. Для примера возьмём два слова אברהם , שרה и построим следующие квадратные таблички ( см. рис. 5 ).
Рис.5.
Каждая из табличек на рис.5 является квадратной матрицей соответственно 3־го и 5־го порядков и потому содержат З2 и 52 элементов (букв). В общем случае для слова, состоящего


-173-
из п букв, его квадратная матрица будет содержать п2 букв и называться квадратом слова.
Под второй диагональю матриц на рис.5 стоят треугольники, подобные изображённому на рис.1. Возможно, что понятие квадратной гиматрии возникло именно из этих соображений. Гиматрии треугольников под второй диагональю (рис.5) и над второй диагональю - различны. Нижний треугольник соответствует прочтению слова от начала к концу, а верхний от конца к началу.Например, для слова שרה имеем:
900 + 400 +5 = 1305 ► 9
-* 4
-* 15 + 400 + 300 = 715
Рис. 6.
Верхняя гиматрия ( 1305 ) на рис. 6 получается при умножении числовых значений букв ( см. рис. 7 ) первой строки на соответствующие числа второй строки и сложению результатов:
שרה
3 12
1 2 3
2 0 2
Рис.7.


-174-
Нижняя гиматрия (715 на рис.6 ) получается при умножении числовых значений букв первой строки ( рис. 7 ) на соответствующие числа третьей строки и сложении результатов.
Четвёртая строка на рис.7 состоит из модулей разностей соответствующих чисел во второй и третьей строках. Предлагаем рассмотреть в качестве гиматрии слова שרה величину
7 <— 610 = 10 + 600 = 11) 2ש + 0ר + 2ה)
По аналогии с рис 7 получаем рис. 8 для слова אברהם :
אברהם 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 4 2 0 2 4
4א + 2ב + 0ר + 2ה + 4ם = 4 + 4 + 10 + 160 = 178 —> 7
Рис.8.
Указанная гиматрия позволяет сделать вывод, что между Авраамом и Сарой существует духовная связь.
Назовём каждое из чисел 610 и 178 ( см. (11) и рис.8 ) «дефектом квадратной гиматрии» при прочтении слова в прямом и обратном порядках. В качестве примера определим дефекты квадратных гиматрий для слов יעקב , לאה , רחל (см. рис.9).


-175-
יעקב
113 3
30 + 70 + 100 + 6 = 206 —> 8
לאה 2 0 2
60 + 10 = 70 —> 7
רחל 2 0 2
400 + 60 = 460 -»1
8 = 7 + 1 т.е.
יעקב = לאה + רחל
Рис.9.
Если в треугольниках на рис. 6 заменить буквы их наполнениями, то получатся треугольники, указанные в [55] на стр. 117.


-176-
Расшифровка по Торе аббревиатур.
тот заключительный раздел книги представляет собой с
одной стороны самостоятельный интерес, поскольку знакомит читателя с одним из старейших методов исследования Священного Писания. С другой стороны мы хотели подтвердить с новых позиций справедливость выводов, приведённых и в этой , и в предыдущих наших книгах.
В [ 56 ] написано : «аббревиатура - слово, составленное путём сокращения двух или нескольких слов». Мы будем понимать под аббревиатурой слово, составленное из первых букв двух или нескольких слов. На иврите такое слово носит название ראשי תיבות (рошей тейвот), т.е. «главы слов» или первые буквы слов. Например, א״ב может означать אחד בתורה см. [57].
Каждое слово можно рассматривать как аббревиатуру каких-то слов. Будем искать расшифровку аббревиатуры в тексте Торы. На такую работу нацелена программа для компьютера, исходящая из университета Бар-Илан. Эта программа позволяет отыскивать расшифровки любых слов в тексте Танаха в доли секунды. Программа находит расшифровку аббревиатуры в виде «рошей тейвот», «софей тейвот» (конечных букв слов), а также для слов, являющихся перестановками букв исходной аббревиатуры. Например, имя משה (Моше) может быть расшифровано, как «рошей тейвот», словами стиха Берешит 23.19 :
"... כלערת שדה המכפלה..."
что в переводе на русский означает: пещера поля Амахпела, где Авраам похоронил Сарру. Здесь можно усмотреть намёк на то, что


-177-
ft
• ••
כלערת שלה המכפלה
• ••
ft


-178-
наши праотцы Авраам, Ицхак и Иаков, похороненные в этой пещере, дали новый росток - Моше-рабейну, который с Б־жьей помощью вывел Еврейский народ из Египта.
Пещера и поле «Амахпела» ־ место священное, о чём знал Авраам. Сдово המכפלה закодировано в Торе в шести местах: Шмот 15.3; Ваикра 14.24; Бамидбар 6.20; 16.21; 17.10 и в Дварим 9.25. Во всех перечисленных стихах речь идёт о величии Творца и тем самым подтверждается святость пещеры «Амахпела» . Например, в Шмот 15.3; 15.4 написано:
"...Пт יהוה שפ?ו: מרכבת פרעה וחילו..."
На русском языке эти стихи звучат так: ־ Г-сподь - муж брани,
Г-сподь - имя Ему. Колесницы Паро и войско его вверг Он в
море -. На фотографии запечатлена стена гробницы наших Праотцев, на которой видны мокрые пятна в виде двух человеческих силуэтов. Насколько нам известно, такое явление на фото появляется впервые (снимок сделан 11.02.2003 г.).
Имя דוד (Давид) зашифровано в Торе в трёх местах; Берешит 24.33; 25.3; Шмот 7.19. Аббревиатура דוד представляется в Шмот 7.19 в виде:
"...7ם והיה 7□..."
т.е кровь и будет кровь... Здесь можно усмотреть намёк на
появление иудейского царя Давида, который с Б-жьей помощью прольёт много крови врагов Еврейского народа.
Только в двух местах Торы : Шмот 35.24 и Бамидбар 26.36 зашифровано имя мудрейшего царя Еврейского народа - Шломо.
В Шмот 35.24 имя שלמה представляется так:
״... שטים לכל נללאכת העבדה ..."


-179-
В этом разделе Торы речь идёт о постройке переносного Храма и потому зашифрованное здесь имя Шломо намекает нам на то, что в будущем именно Шломо построит Первый Храм Всевышнему.
Нет в Торе и нет в Танахе расшифровок имён (рошей тейвот или софей тейвот) Авраама, Ицхака и Иакова. В Торе один раз в Шмот 11.9 встречается расшифровка имени רמב״ם (Рамбам).
Часто вместо слов: аббревиатура зашифрована в таком-то и таком- то месте — говорят : данное слово (аббревиатура) закодировано в Торе там-то. Например, слово (имя) Акива - עקיבא - закодировано в Торе 17 раз. Этот факт установлен благодаря компьютерной программе г-на А.Сапожникова. Так, в Берешит 21.12 сказано:
״... שמע בקלה כי ביצחק יקרא..."
т.е. - слушайся голосу (Сарры), ибо в Ицхаке наречётся род тебе (Аврааму). Возможно, здесь есть намёк на то, что раби Акива будет великим представителем Еврейского Народа.
О такого рода кодировании можно прочесть в [58] . Программа для компьютера, построенная г-ном Алексом Сапожниковым, позволила определить два места в Торе, где закодирован 5764 год по еврейскому календарю. Мы искали расшифровку слова:
(1) התשס״ד
Оказалось, что оно закодировано в Бамидбар 2.24 и в Дварим 33.16. В последнем случае читаем:
, "... סנה תבואתה לראש יו0ף ולקלקד..."
что в переводе на русский звучит так:
«И дарованием земли и всего, что на ней, и волею Обитавшего в кустарнике; да придут они на главу Иосифа и на темя
отличнейшего из братьев своих».


-180-
Этот стих, наверное, можно интерпретировать следующим образом: год 5764 по Еврейскому календарю принесёт
благословение Еврейскому народу.
Компьютерная программа университета Бар-Илан указала «софей тейвот» ( сокращение по последним буквам слов) слова (1) в виде перестановки:
2) ש ת ד ה ם)
в книге «Пророки» в разделе Ишаягу 55.13 ישעיהו , где написано: "...ברוש תחת הסרפל ויעלה חז־ס ...”
Весь стих в русском переводе звучит так:
«Вместо терновника поднимется кипарис, вместо крапивы мирт поднимется; и будет (это) Господу славой, знамением вечным, неистребимым». Этот стих можно рассматривать, как намёк на то, что 5764 год от Сотворения Мира будет годом очищения Еврейского Народа.
Компьютерная программа университета Бар-Илан показала, что четырёхбуквенное Имя Всевышнего י-ה־ו-ה закодировано в Торе в 4-х местах: Берешит 19.25; Шмот 4.14; Бамидбар 13.32 и в Дварим 11.2. В последнем стихе написано:
"... ידו החזקה וזרעו הנטויה..."
что в переводе на русский читается так: ...рука сильная и
десница простёртая ... . Это одно из качеств Всевышнего. Компьютерная программа г-на А.Сапожникова прибавила к полученному выше результату ещё 4 места в Торе, где закодировано четырёхбуквенное Имя Всевышнего. Вот эти адреса: Берешит 1.31; 38.24; Шмот 12.15 и Ваикра 9.9. В Берешит 1.31; 1.32 написано:
(З)
"... יום הששי: ויכלו השמים..."


-181 -
т.е. ... день шестой и совершены были небо... .
В отличие от компьютерной программы университета Бар-Илан, программа г-на А.Сапожникова позволяет получить «рошей тейвот» при переходе из одного стиха Торы в следующий. Словами (3) начинается молитва [59] стр. 214 : ״ קדוש ליל שבת ״ . Это доказывает, что расшифровки типа (3) , начинающиеся в одном стихе Торы и оканчивающиеся в другом, равноправны с расшифровками, принадлежащими одному и тому же стиху Торы. Слово «Тора» закодировано в Торе в виде «софей тейвот» шесть раз: в Шмот 27.4, в Ваикра 1.15; 15.33; 16.15 и в Дварим 4.43; 11.3. Так, в Дварим 11.3 написано:
, ״... ואת מעשיו אשר עשה ..."
что в переводе на русский означает: ....деяние Его , которое Он
сделал ... . Здесь виден намёк на то, что Тора есть деяние Творца. Заметим, что в двух стихах Торы Дварим 11.2 и 11.3, следующих один за другим, закодированы Имя Всевышнего и Его деяние - Тора. Имя Творца закодировано в виде «рошей тейвот», а Тора - в виде «софей тейвот» . Между этими двумя кодировками идут слова: ואת אתתיו, которые говорят о 22־х буквах ивритского
алфавита. Таким образом, мы получаем следующую картину: сначала Б־г, затем 22 буквы ивритского алфавита, а далее - Тора ! В [8] стр.58 рассматривались 5 опор алфавита. Это суть буквы:
(4) כ ל י ה ו
Определяющие Имя Творца. В момент выхода в свет книги [8] её составители не были знакомы с кодированием слов в Торе, описанным в [58] . Сегодня же можно сказать, что слово (4)
закодировано в Торе в виде «рошей тейвот» и только один раз в Шмот 33.20, где написано:


-182-
"...כי לא יראני האדם והי."
что в переводе на русский означает:
- ... ибо человек не может видеть Меня и остаться в живых.
Следовательно, слово (4) олицетворяет в нашем материальном мире духовную сущность одной из сторон Всевышнего. Этот факт даёт ещё одно подтверждение справедливости проведённого в [8] исследования и правильности сделанных там выводов.
Почти во всех наших книгах, вышедших в свет ранее, затрагивался вопрос о софитах. Слово
(5) מנצפב
( манцепах ) закодировано в Торе в двух местах и только в Книге Шмот 37.7; 40.22. Оба эти стиха относятся к построению переносного Храма (скинии). В стихах Шмот 37.7 и 37.8 написано:
"... אתם משני קצות הכפרת; כרוב..."
что в переводе на русский звучит так:
־ ...их (херувов) с обоих концов крышки... -
В стихах Шмот 40.22 и 40.23 сказано:
"...המשכן צפנה מחוץ לפרכת; ויערך..."
что в переводе на русский звучит так:
־.... скинии, к северу вне завесы; и разложил ...-
Оба эти стиха говорят о самых важных составляющих переносного Храма, которые намекают нам на то, что (5) есть одно из Имён Творца.
В [8] стр.52 говорилось о базисе ивритского алфавита, состоящего из 7 букв абсолюта:
(6)
א ה ו י ל מ פ


-183-
Это слово закодировано в Торе в четырёх местах: Берешит 36.40; 41.24; 49.33 и в Дварим 10.10. В Книге Берешит 41.24 и 41.25 написано:
(7) "...אל החרטמים ואין מגיד לי; ויאמר יוסף..."
Приведём перевод на русский всего стиха 41.24.
־ И поглотили колосья тонкие семь колосьев хороших . И рассказал это вещателям, но никто не разгадывает мне. И сказал Иосиф ...־ Попробуем истолковать фразу (7), являющуюся расшифровкой аббревиатуры (6). Речь идёт о семи колосьях, которые намекают нам на 7 букв (6), составляющих базис ивритского алфавита. Но поскольку мы не обладаем священным даром Иосифа, секрет этих букв, а вместе с ним и секрет абсолюта алфавита остаются пока не разгаданными.
В связи с появлением в рассмотренном примере числа 7 , хочется обратить внимание читателей на интереснейший факт. Слово אלף закодировано в Торе в виде «рошей тейвот» 12 раз. Заметим, что слово (Микдаш) מקדש закодировано в Торе также 12 раз. О связи между этими двумя словами говорится в первом разделе настоящей книги. Первый раз расшифровка слова אלף встречается в Берешит 1.22, где написано:
״... אלהים לאמר פרו..."
־ ... Всевышний сказал плодитесь ...־
Это первое ( א ) благословение , обращённое к пресмыкающимся, плавающим и летающим. Семь раз в книге Шмот 7.3; 9.12; 10.20; 10.27; 11.10; 14.4; 14.8 встречаются слова:
את לב פרעה


-184-
- сердце фараона ־ , являющиеся расшифровкой аббревиатуры אלף. Последние два примера могли бы достойно продлить статью [60].
В первом разделе настоящей книги говорится, что обычная гиматрия слова מקדש равна 444. Сумма трёх четвёрок даёт 12. Столько раз в Торе присутствует слово «микдаш»; столько же раз это слово закодировано в Торе:
Берешит 2.19;
Шмот 10.19; 30.24; 32.25; 40.10;
Ваикра5.15; 16.24;
Бамидбар 18.16; 26.9;
Дварим 1.17; 17.2; 29.27.
И только в трёх местах Торы: Берешит 2.19; Шмот 32.25; 40.10 закодировано слово המקדש. Сплошная цепь «случайностей» , которая подтверждает, сделанные в первом разделе этой книги намёки на построение Третьего Храма.
В книге Бамидбар 26.9 читаем:
״... ואבירם קרואי העלה אשר ..."
Весь этот стих на русском языке звучит так:
- И сыны Елиава: Немуэль и Датан и Авирам, те Датан и Авирам знатные (люди) общины, которые подстрекали против Моше и Аарона в сборище Кораха, возмутившемся против Господа -
Три имени Немуэль, Датан и Авирам намекают нам на три Храма, из которых Первый и Второй погибли из-за грехов Еврейского Народа, подобно грешникам Датану и Авираму. Третий же Храм, подразумеваемый под именем праведника Немуэля - Храм вечный
. המקדש -
В разделе «Ивритский алфавит и геометрия» говорилось о пяти буквах:
(8)
ש י א ה ג


-185-
интерпретации которых отличны от интерпретаций остальных букв алфавита. Эти пять букв характеризуют одну из сторон Всевышнего. Действительно, в Торе слово (8) расшифровано в виде «рошей тейвот» только один раз в Книге Дварим 32.3, где написано:
(9) ״... שם יהוה אקרא הבו גדל..."
Весь этот стих в переводе на русский звучит так:
־ Когда Имя Г־спода произносить буду, воздайте славу Б־гу нашему ־. Само слово (8) можно рассматривать как состоящее из двух слов:
(10) שיא הג
что в переводе на русский означает: Величие Всемогущего , а кодировка (9) подтверждает этот вывод.
В [10] стр. 105 рассматриваются шесть букв алфавита:
(11) א ל פ ב י נ
Которые выполняют функцию опор алфавита в книге [8]/
Буквы (11) появляются в результате исследования трёх координат (юд, вав, таг) букв ивритского алфавита. В [10] сказано, что базисом букв (11) служит слово אבן . Слово (11) закодировано в Торе в трёх местах: Берешит 29.8; Шмот 18.16 и в Ваикра 16.2. В Берешит 29.8 написано:
"... האבן מעל פי הבאר והשקינו הצאן."
Что в переводе на русский означает:
камня от устья колодца, тогда будем мы поить овец.־


-186-
Здесь мы видим намёк на то, что буквы (11) играют такую же ключевую роль для алфавита, что и камень, прикрывающий колодец - источник живительной влаги для скота.
В Шмот 18.16 написано:
"...בא אלי ושפטתי בין איש ובין...״
что в переводе на русский означает: - ...доходит оно до меня и я сужу между одним человеком и другим...־ здесь мы видим намёк на то, что буквы (11) занимают такое же важное место в алфавите, как и те вопросы, выделяемые из общей массы проблем, с которыми народ приходит к Моше-рабейну за ответом.
И , наконец, в Ваикра 16.2 и 16.3 написано:
"... אראה על הכפרת; בזות יבא אהרן..."
что в переводе на русский означает: -...являться буду Я над крышкою. Вот с чем входить должен Аарон...־ Здесь мы видим намёк на то, что буквы (11) выделяются из остальных букв алфавита подобно времени появления Аарона в Святилище, ибо это время - не любое время.
В разделе «Проективные координаты букв алфавита» приведён Список 1, состоящий из 25 гармонических четвёрок букв алфавита. Если в рассмотрение будут включены софиты, то 27 букв позволяют получить 33 гармонические четвёрки. Легко заметить, что среди гармонических четвёрок Списка 1 есть такие, которые получаются из других путём прибавления ко всем элементам четвёрки одного и того же числа или путём умножения всех элементов четвёрки на одно и то же число. Например первая и двенадцатая четвёрки:
(14 3 7) = (1+1 4+1 3+1 7+1) = (2548) (12)
или вторая и шестая:
(15 4 7) = (1*10 5*10 4*10 7*10) = (10 50 40 70) (13)


-187-
Будем называть четвёрки (12) и (13) зависимыми.
Непосредственной проверкой можно установить, что среди 33-х гармонических четвёрок существуют только 9 независимых:
1. (14 3 7) 4. (2 9 6 30) 7. (5 30 20 80)
2. (15 4 7) 5. (4 70 40 400) 8. (6 30 20 90) (14)
3. (170 40 300) 6. (5 10 8 20) 9. (7 70 40 700)
Будем называть четвёрки (14) ־ базисными.
Если не рассматривать софиты, то базисных четвёрок будет ровно 8; девятая четвёрка исключается из рассмотрения.
Четвёрка 3 определяет слово:
15) שמעא)
что в переводе на русский может означать ־ слушай Б־га ־ . Слово (15) закодировано в Торе в виде «рошей тейвот» только один раз в Книге Шмот 47.6, где написано:
(16) "... שרי מקנה על אשר..."
Указанный стих и его часть - фраза (16) намекают на то, что гармонические четвёрки представляют собой особые наборы букв в ивритском алфавите. Отметим один из удивительнейших фактов , связанных с Торой: малые гиматрии слов (16) образуют
гармоническую четвёрку -
( 6 1 6 6 ) = -1 (17)
Действительно, в проективном соответствии на прямой X л Y, установленном соотношением (6 1 х у ) = -1 , точки 6 и 1 - двойные. Отсюда следует, что четвёрка (17) - гармоническая
(предельный случай).


-188-
Этот замечательный факт можно рассматривать в качестве ещё одного подтверждения Священного Писания о том, что все народы преклонят головы перед Наукой Всевышнего - перед Торой.


-189-
Заключение.
исание криком кричит, что цель создания мира - это
«
Тора» ( [16] стр.120 ) .
Сама Тора в материальной форме - небольшая книга, а разъяснения ( «перушим») к ней занимают полки целых библиотек.
«Даже, если бы изучали Тору все евреи, посвящая этому все дни своей жизни, ־ в ней содержится такое множество различных оттенков мудрости, что хватит на каждого, и каждый сможет получить свой удел в Торе, тот в Писании, этот ־ в Мишне, третий - в Толкованиях - четвёртый в Законах» ( [16] стр.128 ).
Возможно, читатель увидел в нашей книге геометрию в Торе и некоторые свойства Священного языка через геометрию. Поэтому наш труд может послужить примером для физиков, химиков, биологов, людей разных профессий в отыскании своего удела в Торе, ибо только на этом пути возможно расширить и углубить знания в своей узкой специализации. «Но даже то малое, что доступно человеку из мудрости дел Всевышнего, можно постичь только путём учения. А тот, кто захочет проникнуть в эту область, не изучив всё, что необходимо - просто преступник и не может достичь успеха»
([31] стр.135 ).
Настоящая книга выросла на почве, подготовленной предыдущими книгами [ 14, 18, 38, 43, 45-48, 52,53, 11, 2, 8, 10] , а они в свою очередь возникли благодаря большому труду в постижении Славы Создателя при чтении многих трактатов пророков и мудрецов Еврейского Народа.


-190-
Каждый день мы просим Всевышнего: «Открой глаза мои, чтобы я увидел чудесное из Торы Твоей» [34]. А поскольку Тора и Б־г едины, любовь к Торе есть любовь к Творцу и будем надеяться, что она взаимна.


-191 -
Библиография.
תורה .1
2. В.Маневич, А.Сапожников, Новые методы исследования слов и стихов Торы, Израиль 1999.
3 	Б.Блех, Секреты еврейских слов ( The secrets of hebrew words ) B.Blech.
4. Пояснение (пируш ) к Шмот 25.8, сделанное р. Иаков бен Ашер ( Арбаа Турим )
5. Рамбам, Книга Заповедей.
אוצרות אחרית הימים .6 סנהדרין, דף צ״ח עמוד א .7
8. В.Маневич, А.Сапожников, 22-х мерное ивритское пространство. ו.מנביצי, א.ספוז'ניקוב, מרחב עברי 22־ מימדים, ישראל
2001
9. Сефер Иецира ( перевод с иврита А.Рыбалка ) 1996
10. Секреты букв, 2002. פלא האותיות
11. Закон жизни, Израиль 1997.
12. Г.С.М. Кокстер, Введение в геометрию, Москва 1996. Introduction to geometry, H.S.M. Coxeter, NY, London, 1961.
13. Н.Ф.Четверухин, Проективная геометрия, Москва, 1969, стр. 136.
14. р. М.Глазерсон, Огненные буквы, Иерусалим 1992.
15. Н.А.Глаголев, Проективная геометрия, Москва 1936.
16. Хафец Хаим, Открою уста свои в притче, Иерусалим, Москва 2003.
17. К. Певзнер , Еврейские имена.
ר. גלזרסון,סוד השמחה, המסתורין שבגימטריאות. .18
( נביאים) ירמיהו .19 הרב שמואל יניב, דברי חכמים וצפונותיהם . .20 פרדס להרמ״ק, עסיס רמונים פלח הרמון. .21 סידור שומרי אמונה, עמוד 12 .22
23. 	Aryeh Kaplan, Sefer Yetzirah.


-192-
24. В.Серпинский, О решении уравнений в целых числах, Варшава 1956, Москва 1961, стр. 1015־.
25. В.Маневич и др. , Аналитическая геометрия с теорией изображений, Москва 1969 стр. 123.
26. Б.Делоне и Д.Райков, Аналитическая геометрия, т.1, Москва 1948 . стр. 83.
מדרש תנחומא, פרשת נ״ח סימו ג, עמוד כ״ו. .27 ספר גנת אגוז לרבי יוסףגיקטליא .28 החלק השני, עמוד 132, מחלקי הספר והוא חלק כ״ב אותיות.
29. Encyclopedia of jewish concepts, p. 310 , by Philip Birnbaum, N.Y. 1964. (לוח השנה )
30. M. Hausner, A vector space approach to geometry, Prentice - Hall, 1965.
31. Даат Твунот - .דעת תבונות, רבנו משה חיים לוצטו
32. .משנה סוטה, פרק ט
33. Gill Barequet, ... «2-Point Siye Voronoi Diagrams”, Center for Geometric Computing, Johns Hopkins Universiti, Baltimore.
34. Теиллим 119.18 תהלים
35. .רבי משה היים לוצאטו, משכני עליון, על בית המקדש השלישי
36. הצב״ר, בחצצרות וקול שופר
37. הרב שמואל יניב, צפונות בתורה, חלקים ג ו-ד
38. р. Матитьягу Глазерсон, Астрология и каббала, Москва- Иерусалим 1998.
ספר הכוזרי, ר. יצחק הסנגרי, מאמר שני, עמוד 37 .39
40. М.М.Постников, Магические квадраты, Москва 1964, стр. 9-17.
41. А.О.Гельфонд, Решение уравнений в целых числах, Москва 1956.
42. Ф.И.Карпелевич, Элементы теорий марковских цепей и массового обслуживания и их применение в решении транспортных задач, Москва , 1980.
מתתיהו גלזרסון, הקבלה שבשפות, ישראל 2001. .43 ספר כללי התחלת החכמה, חכמת האמת, רבי משה חיים לוצאטו, עמ. כ-כא, .44
[פב].


-193-
45. р. Матитьягу Глазерсон, Тайны еврейских праздников.
46. р. Матитьягу Глазерсон, Музыка и каббала.
47. р. Матитьягу Глазерсон, Пасхальная агада - с комментарием «Тайны Пасхальной Агады».
48. р. Матитьягу Глазерсон, Башни-близнецы в кодах Торы.
49. р. Моше Вейсман, Мидраш рассказывает, Берешит, книга 1 ( русский перевод 1990 ) ; Rabbi Moshe Weissman, The Midrash Says, Beraishis v.l, 1980.
50. Поднимите глаза. Сборник «Шма Исраэль...», составитель Цви Патлас, Иерусалим-Москва 5756 (1996).
51. М.В. Васильева, Лекции по проективной геометрии, Москва 1973г.
52. р. Матитьягу Глазерсон, Медицина и каббала.
53. р. Матитьягу Глазерсон, Откровения о браке. הסוד שביסוד הנשואים , Иерусалим 1999.
54. М.В. Васильева, Методические рекомендации и указания по геометрии, ч.З, Проективная геометрия, Москва - 1981.
צבי חיים זאלב, גימטריא ונוטריקון, מעיר טורנטו _קנדה.55
56. С.И.Ожегов, Словарь русского языка, Москва, 1953.
ספר ראשי תיבות, מאת אברהם יצחק.57 ספר תקפו של נס, חביב חיים דוד סתהון, ירושלים 5654 ..58
לת בני ציוןתפ .59
60. Рав Моше Грилак, Путешествие в страну «7», Иерусалим - Еврейский Центр, № 1.


-194-
Книги рава М.ГлазерсОИа на русском языке: 1.0гненные буквы, 2. Астрология и каббала, З.Тайны еврейских праздников, 4. Музыка и каббала, 5. Пасхальная агада - с комментарием «Тайны Пасхальной Агады», б.Башни-близнецы в кодах Торы, 7. Медицина и каббала, 8.0ткровения о браке.