Титульный лист
Оригинальное издание и выходные данные
От редакторов русского перевода
Предисловие автора
ЧАСТЬ 1
Глава 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 2. Первоначальные понятия и аксиомы
§ 3. Pons asinorum
§ 4. Медианы и центроид
§ 5. Вписанная и описанная окружности
§ 6. Прямая Эйлера и ортоцентр
§ 7. Окружность девяти точек
§ 8. Две задачи о наименьших значениях
§ 9. Теорема Морлея
Глава 2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 2. Трисекция угла
§ 3. Движение
§ 4. Симметрия
§ 5. Группы
§ 6. Произведение двух осевых симметрий
§ 7. Калейдоскоп
§ 8. Звездчатые многоугольники
Глава 3. ДВИЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ плоскости
§ 2. Параллельный перенос
§ 3. Скользящая симметрия
§ 4. Осевые и центральные симметрии
§ 5. Сводка результатов, относящихся к движениям
§ 6. Теорема Хьельмслева
§ 7. Узоры на полосе
Глава 4. ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
§ 2. Группа симметрии общей решетки
§ 3. Искусство М. К. Эшера
§ 4, Шесть узоров из кирпичей
§ 5. Кристаллографические ограничения
§ 6. Правильные мозаики
§ 7. Задача Сильвестера о коллинеарных точках
Глава 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 2. Центры подобия двух окружностей
§ 3. Центр окружности девяти точек
§ 4. Центрально-подобное вращение и центрально-подобная симметрия
§ 5. Собственное преобразование подобия
§ 6. Зеркальное преобразование подобия
Глава б. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
§ 2. Ортогональные окружности
§ 3. Образы прямых и окружностей при инверсии
§ 4. Круговая плоскость
§ 5. Пучки окружностей
§ 6. Окружность Аполлония
§ 7. Круговые преобразования
§ 8. Инверсия в пространстве
§ 9. Эллиптическая плоскость
Глава 7. ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 2. Центральная симметрия
§ 3. Вращение и параллельный перенос
§ 4. Произведение трех симметрии относительно плоскостей
§ 5. Винтовое перемещение
§ 6. Центрально-подобное вращение
§ 7. Круговые преобразования в пространстве
ЧАСТЬ 2
Глава 8. КООРДИНАТЫ
§ 2. Полярные координаты
§ 3. Окружность
§ 4. Конические сечения
§ 5. Касательная, длина дуги и площадь
§ 6. Гиперболические функции
§ 7. Равноугольная спираль
§ 8. Трехмерное пространство
Глава 9. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 2. Действительные числа
§ 3. Диаграмма Аргана
§ 4. Модуль и аргумент
§ 5. Формула $е^{\pi i}+1=0$
§ 6. Корни уравнений
§ 7. Конформные преобразования
Глава 10. ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
§ 2. Чертежи и модели
§ 3. Формула Эйлера
§ 4. Радиусы и углы
§ 5. Взаимные многогранники
Глава 11. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ФИЛЛОТАКСИС
§ 2. De divina proportione
§ 3. Золотая спираль
§ 4. Числа Фибоначчи
§ 5. Филлотаксис
ЧАСТЬ 3
Глава 12. ГЕОМЕТРИЯ ПОРЯДКА
§ 2. Промежуточность
§ 3. Задача Сильвестера о коллинеарных точках
§ 4. Плоскости и гиперплоскости
§ 5. Непрерывность
§ 6. Параллельность
Глава 13. АФФИННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. Гомотетии
§ 3. Аффинные координаты
§ 4, Площадь
§ 5. Двумерные решетки
§ 6. Векторы и центроиды
§ 7. Барицентрические координаты
§ 8. Аффинное пространство
§ 9. Трехмерные решетки
Глава 14. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. Проективные координаты
§ 3. Теорема Дезарга
§ 4. Четырехугольные и гармонические множества
§ 5. Проективные соответствия
§ 6. Коллинеации и корреляции
§ 7. Конические сечения
§ 8. Проективное пространство
§ 9. Евклидово пространство
Глава 15. АБСОЛЮТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. Параллельность
§ 3. Движение
§ 4. Конечные группы вращений
§ 5. Конечные группы движений
§ 6. Геометрическая кристаллография
§ 7. Трехмерный калейдоскоп
§ 8. Дискретные группы, порождаемые инверсиями
Глава 16. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. Непротиворечивость гиперболической геометрии
§ 3. Угол параллельности
§ 4. Конечность площади треугольников
§ 5. Площадь и угловой дефект
§ 6. Окружности, орициклы и эквидистанты
§ 7. Модель Пуанкаре на полуплоскости
§ 8. Орисфера и евклидова плоскость
ЧАСТЬ 4
Глава 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
§ 2. Векторные функции и их дифференцирование
§ 3. Кривизна, эволюты и эвольвенты
§ 4. Цепная линия
§ 5. Трактриса
§ 6. Пространственные кривые
§ 7. Винтовая линия
§ 8. Линия откоса
§ 9. Конхо-спираль
Глава 18. ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 2. Фундаментальный тензор
§ 3. Взаимные решетки
§ 4. Критические решетки на сфере
§ 5. Общие координаты
§ 6. Альтернирующие символы
Глава 19. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 2. Направления на поверхности
§ 3. Нормальная кривизна
§ 4. Главные кривизны
§ 5. Главные направления и линии кривизны
§ 6. Омбилические точки
§ 7. Теорема Дюпена и теорема Лиувилля
§ 8. Индикатриса Дюпена
Глава 20. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Дифференциальные уравнения геодезических линий
§ 3. Полная кривизна геодезического треугольника
§ 4. Характеристика Эйлера—Пуанкаре
§ 5. Поверхности постоянной кривизны
§ 6. Угол параллельности
§ 7. Псевдосфера
Глава 21. ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 2. Неориентируемые поверхности
§ 3. Правильные карты
§ 4. Проблема четырех красок
§ 5. Теорема шести красок
§ 6. Достаточное число красок для раскраски произвольной поверхности
§ 7. Поверхности, для раскраски которых необходимо полное число красок
Глава 22. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 2. Необходимое условие существования политопа ${р,q,r}$
§ 3. Построение правильных политопов
§ 4. Плотная упаковка равных сфер
§ 5. Статистические соты
Ответы к упражнениям
Литература
ОГЛАВЛЕНИЕ
Обложка
Текст
                    ВВЕДЕНИЕ
ГЕОМЕТРИЮ
Г. С. М. КОКСТЕР
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. Б. КАТКА и С. Б. КАТОК
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬДА и И. М. ЯГЛОМА
Ifflf
ИЗДАТЕЛЬСТВО сНАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966


513 К59 УДК 513.0 INTRODUCTION ТО GEOMETRY Н. S. М. COXETER, F. R. S. Professor of Mathematics, University of Toronto NEW YORK • LONDON, JOHN WILEY & SONS, INC. 1961 Гарольд Скотт Макдональд Кокетеp ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ М., 1966 г., 648 стр. с илл. Редактор Л. П. Баева Техн. редактор С. Я» Шкляр Корректор Н. В. Гераськина Сдано в набор 30/VI 1966 г. Подписано к печати 2/ХП 1966 г. Бумага 84х108,/32. Физ. печ. л. 20,25. Условн. печ. л. 34,02. Уч.-изд. л. 33,53. Тираж 10 000 экз. Цена книги 2 р. 49 к. Заказ № 254. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29. 2-2-3 «6-66
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Автор этой книги Гарольд Скотт Макдональд Кок- стер (Harold Scott Macdonald Coxeter) *) — один из крупнейших современных геометров, член английского Королевского общества, профессор университета в Торонто (Канада). Кроме этой книги и переведенной не так давно на русский язык «Действительной проективной плоскости» (М., Физматгиз, 1959), Г. С. М. Кокстер является также автором «Проективной геометрии» (Projective Geometry, New York, 1964) и неоднократно переиздававшихся «Неевклидовой геометрии» (Non- Euclidean Geometry, 4-е изд., Toronto, 1961), «Правильных многогранников» (Regular polytopes, 2-е издм New York, 1963) и посвященной теории кристаллографических групп книги «Образующие и соотношения для дискретных групп» (Generators and relations for discrete groups, 2-е изд., Berlin, 1965), совместной с Мозером (W. О. J. Moser). Для всех этих шести книг характерно мастерское сочетание аналитических и синтетических методов; однако наибольшей симпатией автора явно пользуются синтетические методы, благодаря чему все книги Г. С. М. Кокстера могут служить школой геометрического мышления. *) Более правильной является русская транскрипция «Коксе- тер», противоречащая, однако, уже установившейся в нашей литературе традиции.
4 ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Последнее особенно важно теперь, когда во всем мире, в том числе и в нашей стране, идут активные дискуссии о судьбах геометрического образования в средней и в высшей школе, причем традиционная система изложения подвергается ожесточенной критике, а пути модернизации преподавания во многом еще не ясны. В предисловии к настоящей книге автор жалуется на то, что за последние годы «многие американцы как-то потеряли интерес к геометрии», и эти слова вполне можно повторить в применении к нашей стране. В США имеются активные приверженцы той точки зрения, что геометрия вообще должна быть исключена из курса математики в старших классах средней школы; у нас аналогичная идея находит меньше поддержки, хотя и она высказывалась некоторыми учеными во время недавних обсуждений содержания математического образования в средней школе. Много недовольства вызывает традиционное построение курса геометрии в системе подготовки будущих учителей — в наших педагогических институтах или в американских учительских колледжах (teachers colleges), при котором этот курс разбивается на ряд отдельных учебных предметов, в значительной степени независимых между собой, что сильно затрудняет восприятие геометрии как единой науки. Настоящая книга представляет собой существенный вклад в эти дискуссии, сделанный выдающимся геометром и видным педагогом. Автор рассматривает свою книгу как единый учебник геометрии, который должен дать представление читателю о разнообразии используемых в геометрии идей и методов, об основных направлениях геометрической науки и стоящих Ьеред геометрами задачах и в то же время показать все то общее в этих задачах и методах, что, собственно, и понимается под термином «геометрия». Общие установки автора лучше
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 5 всего передает заглавие немецкого перевода этой книги — Unvergangliche Geometrie, т. е. «непрерывающаяся геометрия», «геометрия как единое целое». Автор писал нам, что и в русском переводе своей книги он охотнее всего сохранил бы немецкое название; однако ввиду отсутствия подходящего русского термина, способного выразить мысль, которую несет немецкий заголовок книги, нам пришлось сохранить в переводе название английского оригинала книги. «Введение в геометрию» представляет собой популярное изложение основ почти всех разделов геометрии. Книга состоит из четырех частей, отражающих содержание основных курсов, читающихся в наших педагогических институтах: элементарной геометрии; аналитической геометрии; так называемой высшей геометрии (в том смысле, который придается этому названию, скажем, известным учебником Ефимова [1]*)), включающей в себя элементы оснований геометрии, аффинной, проективной и неевклидовой геометрий; дифференциальной геометрии, к которой отнесены также начала топологии и первые понятия простейшей многомерной геометрии — геометрии четырех измерений. Для обработки своих педагогических воззрений Г. С. М. Кокстер неоднократно выступал с лекциями в США перед учителями математики и будущими учителями; содержание этих лекций и излагает настоящая книга. Украшением книги являются яркие и интересные задачи, доставляющие читателю возможность самоконтроля и удачно дополняющие материал, изложенный в основном тексте. Стержнем, связывающим всю книгу воедино, являются геометрические преобразования — симметрии, движения общего вида, подобия, инверсии, аффинные и *) Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы, помешенному в конце книги.
6 ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА проективные преобразования. Много внимания уделяется приложениям геометрии к механике, кристаллографии, биологии и архитектуре. «Введение в геометрию» является весьма ценным пособием по геометрии для студентов математических отделений университетов и педагогических институтов, и мы надеемся, что преподаватели геометрических дисциплин в нашей высшей школе не пройдут мимо интересного опыта замечательного канадского геометра. Эта книга несет на себе слишком явную печать яркой личности автора (см., в частности, главы 4, 10 или 11, включение которых в настоящий элементарный учебник было подсказано Г. С. М. Кокстеру его научными интересами), чтобы ее можно было принять в качестве основного учебника для какого угодно из наших вузов; некоторые частности ее структуры можно критиковать с точки зрения ощущающегося в последние десятилетия стремления к разрушению границ между отдельными ветвями математики — алгеброй, геометрией и анализом (так, аналитическую геометрию, видимо, нецелесообразно излагать в отрыве от линейной алгебры, а основания геометрии — в отрыве от оснований арифметики или анализа). Однако стремление автора к объединению всего комплекса геометрических дисциплин в единый учебный предмет представляется нам весьма актуальным и чисто методические достоинства этой интересной книги — совершенно бесспорными. При переводе книги наибольшие затруднения у переводчиков и редакторов вызвал вопрос о выборе наиболее рациональной системы наименований. Г. С. М. Кок- стер относится к этому вопросу с большим вниманием; им разработана глубоко продуманная геометрическая терминология, которой он придерживается во всех своих книгах. Однако принятая автором терминология зачастую довольно далека от применяемой в русской лите-
ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 7 ратуре; ее использование способствовало бы еще большему увеличению терминологического разнобоя, от которого и так страдают наши читатели. Эти соображения заставили нас заменить терминологию Г. С. М. Кокете- ра более привычной русскому читателю; в нескольких местах это обстоятельство повлекло за собой необходимость внесения редакционных изменений в изложение автора. При этом в основу нами была положена терминология книги Яглома [1] (подобно тому как в английском переводе названной книги по инициативе Г,СМ. Кокстера терминология была заменена терминологией английского оригинала книги «Введение в геометрию»). Одно существенное отступление от привычной русскому читателю терминологии заслуживает того, чтобы быть отмеченным специально. В книге «Введение в геометрию», как и в большинстве зарубежных книг, термин «гомотетия» означает точечное преобразование, переводящее каждую прямую в параллельную ей прямую, т. е. то преобразование, которое называется гомотетией и в русской литературе, или параллельный перенос. В противоположность этому в русской литературе параллельный перенос не принято относить к числу преобразований геометрии. Это словоупотребление представляется нам столь же неудачным, как, например (также бытующее в русской литературе!), исключение параллелограммов из множества всех трапеций; оно лишает нас возможности говорить о группе гомотетий, так как произведение двух «центральных» гомотетий может представлять собой параллельный перенос» В настоящем переводе слово «гомотетия» употребляется в том смысле, который придается этому термину в английском оригинале книги.
8 ОТ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Автор «Введения в геометрию» с большим вниманием следил за подготовкой к печати русского издания его книги. Он прислал нам полный комплект чертежей, а также 12 писем с поправками, учитывающими все изменения, внесенные в немецкое издание книги, и содержащими ряд новых усовершенствований изложения. Нам приятно выразить здесь Г. С. М. Кокстеру искреннюю благодарность за это внимание. В русском переводе ссылки на популярные английские учебные пособия пополнены (а частично заменены) ссылками на русские учебники. Все немногочисленные дополнения переводчиков и редакторов книги в тексте отмечены угловыми скобками ( ); принадлежащие редакторам и переводчикам подстрочные примечания отмечены звездочками, в отличие от нумерованных сносок автора. Звездочками же отмечены в списке литературы книги, включенные в этот список редакторами. Часть эпиграфов к отдельным разделам книги переведена Ю. М. Гельпериным. «Введение в геометрию» рассчитано на учителей математики средней школы и лиц, готовящихся к профессии учителя. Эта книга будет также интересна всем любителям математики, пожелавшим составить представление о предмете геометрии и свойственных ей идеях и методах; первые разделы книги смело можно рекомендовать и интересующимся математикой учащимся старших классов средней школы. Б. А. Розенфельд Я. М. Яглом
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА Рьен, без терпеливой помощи которой эта книга никогда не была бы закончена За последние 30—40 лет многие американцы как-то потеряли интерес к геометрии. Эта книга представляет собой попытку оживить этот предмет, находящийся в досадном пренебрежении. Четыре части примерно соответствуют четырем курсам колледжа. Однако многое из II части можно читать до I части, а многое из IV части можно читать до III части. Первые одиннадцать глав (т. е. I и II части) предназначены для студентов, знакомых с началами евклидовой геометрии и элементами аналитической геометрии*), но не решившихся еще специализироваться по математике, или для активных учителей старших классов школы, желающих знать, что стоит за тем материалом, который они излагают своим ученикам. III часть трактует об основаниях геометрии, включая проективную геометрию и гиперболическую неевклидову геометрию. IV часть содержит введение в дифференциальную геометрию, комбинаторную топологию и геометрию евклидова четырехмерного пространства. Несмотря на большое число перекрестных ссылок, каждая из двадцати двух глав книги является более или менее самостоятельной. Многие из них можно опустить *) Элементы аналитической геометрии в США и в Канаде входят в курс математики, изучаемый в средней школе.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА при первом чтении без ущерба для усвоения других глав. Например, 1, 3, 6, 8, 13 и 17 главы могли бы составить хороший краткий курс. В конце почти каждого параграфа приведены относящиеся к нему упражнения; наиболее сложные из этих упражнений снабжены указаниями для решения. Ответы к некоторым упражнениям приведены в конце книги. Ответы к большинству оставшихся упражнений собраны в отдельной книжке*). Красной нитью, объединяющей всю книгу, является идея группы преобразований, или, короче, идея симметрии. Обычное преимущественное внимание к аналитической геометрии создает у учащихся впечатление, что геометрия — это только часть алгебры или анализа. Это можно подкрепить тем, что имеются важные примеры (такие, как диаграмма Аргана, описанная в 9 главе), в которых геометрические идеи используются как существенное орудие для развития этих других ветвей математики. Область геометрии была значительно расширена Клейном в его «Эрлангенской программе» 1872 года, подчеркнувшим тот факт, что помимо плоской и пространственной геометрии Евклида имеется много других геометрий, заслуживающих внимания в равной степени. Например, многие предложения самого Евклида относятся к более широкой области аффинной геометрии, которая справедлива не только в обычном пространстве, но и в пространстве-времени Минковского, столь успешно использованном Эйнштейном в его специальной теории относительности. Геометрия применяется не только в алгебре, анализе и космологии, но и в кинематике и кристаллографии (где она сочетается с теорией групп) и даже в ботанике. Топология (21 глава) получила столь широкое развитие, что теперь стоит на своих собственных ногах *) В русском переводе эти ответы приведены в конце книги.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА II и более не рассматривается как часть геометрии. Но она охватывается идеями Эрлангенской программы, и ранние этапы ее развития получили дополнительный стимул благодаря знаменитой не решенной до сих пор задаче о том, возможно ли правильно*) раскрасить любую мыслимую карту с помощью четырех красок. Материал этой книги вырос из курсов лекций, читанных автором в летних институтах для школьных учителей в Стилуотере (Оклахома), Луненбурге (Новая Шотландия), Энн Арборе (Мичиган), Станфорде (Калифорния) и Фредериктоне (Новый Брауншвейг), а также из нескольких публичных лекций, организованных журналом «Scripta malhematica» в Нью-Йорке по инициативе его покойного редактора И. Гинзбурга. Наиболее по* пулярной из этих лекций была лекция о золотом сечении и филлотаксисе, включенная в 11 главу книги. Помимо общей идеи преобразования и выделения в качестве самостоятельных объектов изучения таких необычных пространств, как аффинное и абсолютное пространства, главными новинками этой книги являются: простая трактовка понятия ортоцентра (§6 гл. 1), использование домино для иллюстрации шести из семнадцати плоских кристаллографических групп (§4 гл. 4), построение неподвижной точки центрально-подобной симметрии (§ б гл. 5), описание общего кругового преобразования (§7 гл. 6) и центрально-подобного вращения (§ 6 гл 7), разъяснение филлотаксиса (§5 гл. И), трактовка проблемы Сильвестера с точки зрения геометрии порядка (§ 3 гл. 12), экономная система аксиом аффинной геометрии (§ 1 гл. 13), «абсолютная» трактовка групп вращений (§ 4 гл. 15), элементарная трактовка орисферы (§ 8 гл. 16) и экстремальной тернарной квадратичной формы *) То есть так, что никакие две соседние страны не будут закрашены одной краской.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА (§4 гл. 18), исправление распространенной ошибки о форме обезьяньего седла (§ 8 гл. 19), применение геодезических полярных координат к обоснованию гиперболической геометрии на плоскости (§ 6 гл. 20), классификация регулярных отображений на сферу, проективную плоскость, тор и бутылку Клейна (§ 3 гл. 21) и обзор исследований статистических сот (§ 5 гл. 22). Я приношу искреннюю благодарность М. В. ад-Да- риру, И. И. Буркхардту, Вернеру Фенхелю, Л. М. Кел- ли, Петеру Шерку и Ф. А. Шерк за критическое чтение различных глав, X. Г. Фордеру, Мартину Гарднеру и С. Дж. Скрибс за их помощь в чтении корректур, С. X. Гоулду, Дж. Э. Литтлвуду и Дж. Л. Сайнджу за разрешение процитировать некоторые места из их опубликованных работ, М. К. Эшеру, И. Китроссеру и канадскому Королевскому обществу за разрешение заимствовать для этой книги некоторые иллюстративные материалы. Торонто, Канада, март 1961 г. Г. С. М. Кокс тер
Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой—красотой холодной и суровой, подобной красоте скульптуры, не обращающейся ни к чему в нашей слабой натуре,... возвышенно ни- стая, способная к такому строгому совершенству, которое доступно только величайшему искусству. Бертран Рассел (род. 1872)
ЧАСТЬ ГЛАВА 1 ТРЕУГОЛЬНИКИ Содержание этой главы составляет обзор некоторых хорошо известных предложений элементарной геометрии; при этом мы особо подчеркиваем роль симметрии. Для предложений Евклида мы сохраняем принятую в его «Началах» нумерацию, знакомую всему миру вот уже более двух тысяч лет. Со времен Ф. Коммандино (1509—1575), который переводил работы Архимеда, Аполлония и Паппа, было открыто много других теорем такого же типа. Эти результаты служили объектом пристального внимания ученых в девятнадцатом столетии. Так как современная тенденция настаивает на отказе от них в пользу других областей математики, то мы упомянем лишь о нескольких предложениях из числа тех, которые кажутся нам наиболее интересными. § 1. ЕВКЛИД Труд Евклида будет жить еще долго после того, как все учебники наших дней будут заменены другими и забыты. Это один из самых замечательных памятников античности. Томас Л. Хизс (1861-1940) [1], стр. VL Около 300 года до н. э. Евклид из Александрии написал трактат из тринадцати книг, озаглавленный «Начала». Об авторе (которого иногда путают с жившим несколько раньше философом Евклидом из Мегары) мы знаем очень мало. Прокл (410—485 гг. н. э.) говорит,
16 ТРЕУГОЛЬНИКИ 1ГЛЧ1 что он «составил „Начала", собрав много теорем Евдокса, усовершенствовав многое, принадлежащее Теэ- тету, а также дав неопровержимые доказательства предложений, которые не были полностью доказаны его предшественниками. Этот муж жил во времена первого Птолемея, [который] однажды спросил его, нет ли более короткого пути в геометрию, чем путь „Начал", на что Евклид ответил, что в геометрию нет царского пути». Хизс цитирует рассказ Стобея о том, как кто-то, начав изучать геометрию у Евклида, спросил его: «Что я получу, изучая эти вещи?» Евклид подозвал своего раба и сказал: «Дай ему динарий, потому что он хочет иметь выгоду от того, что он изучает». Из тринадцати книг первые шесть можно очень кратко охарактеризовать как трактующие о треугольниках, прямоугольниках, кругах, многоугольниках, пропорциях и подобии. Следующие четыре.книги посвящены теории чисел и содержат два замечательных достижения: (IX. 2) и (X. 9), где доказано, что имеется бесконечно много простых чисел и что число У 2 иррационально (см. Харди [2], стр. 32—36). Книга XI содержит введение в стереометрию, книга XII трактует о пирамидах, конусах и цилиндрах, а книга XIII — о пяти правильных многогранниках. Согласно Проклу, Евклид считал венцом всего своего сочинения построение так называемых Платоновых тел, т. е. правильных многогранников*). Это понимание основной установки сочинения Евклида поддерживалось теорией Платона о мистическом соответствии между кубом, [ землей, тетраэдром, и четырьмя ] огнем, октаэдром, «элементами» J воздухом, икосаэдром { водой *) Известный английский естествоиспытатель и геометр д'Арси Томпсон шутливо заметил как-то, что Евклид, видимо, вовсе и не собирался писать систематический учебник геометрии. Он задался целью написать сочинение о правильных многогранниках, рассчитанное на начинающих, в силу чего ему пришлось подробно изложить все необходимые сведения. четырьмя телами
* 2] ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ 17 (ср. Ко к с тер [1], стр. 18). Доводом против такого толкования целей Евклида является включение в его «Начала» чисто арифметических книг VII—X, которое, безусловно, произведено из-за их внутренних достоинств, из-за интереса и значения развиваемых в них теорий, а вовсе не из-за приложения изложенных в них результатов к стереометрии *). § 2. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ «Когда я употребляю какое-нибудь слово, — сказал Шалтай-Болтай довольно презрительно, — оно обозначает только то, что я хочу, чтобы оно обозначало, — ни больше, ни меньше»**). Льюис Кэррол (1832—1898) [2], гл. 6, стр. 72. При строго логическом построении любой ветви математики определение каждого понятия или отношения содержит другие понятия и отношения. Поэтому единственная возможность для того, чтобы избегнуть порочного круга, состоит в том, чтобы принять некоторые понятия и отношения (число которых, как правило, стараются свести к минимуму) за первоначальные и оставить их неопределяемыми (С а й н дж [1],стр.32—34; (Рашевский [1], стр. 82—83)). Подобно этому доказательство любого предложения использует другие предложения, называемые постулатами или аксиома- м и, которые должны остаться недоказанными. Евклид не останавливался подробно на используемых им пер* воначальных понятиях и отношениях, довольствуясь тем, что определял их в терминах, которые должны *) Впрочем, классификация иррациональностей, которые можно построить циркулем и линейкой, проведенная в X книге «Начал», существенно применяется в посвященной правильным многогранникам XIII книге, где ребра правильных многогранников выражаются через диаметр описанной сферы в соответствии с этой классификацией. **) Шуточное имя Humpty-Dumpty передано здесь как «Шалтай-Болтай», подобно тому, как переводил это имя С. Я. Маршак* а не как «Ванька-Встанька», как это сделано в русском переводе В. А. Азова книги К э р р о л а [2].
18 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I были быть понятными каждому. Его пять постулатов таковы: 1.21. Из всякой точки к другой точке можно провести прямую линию. 1.22. Конечную прямую линию можно продолжить непрерывно по прямой линии. 1.23. Из всякого центра и всяким радиусом можно описать окружность. 1.24. Все прямые углы равны между собой. 1.25. Если прямая линия встречает две другие прямые линии таким образом, что с одной стороны они образуют два внутренних односторонних угла, в сумме меньших двух прямых углов, то эти прямые линии, если продолжить их неопределенно, пересекутся с той стороны, с которой односторонние углы составляют меньше двух прямых углов 1). Совершенно естественно, что теперь, по прошествий почти 2250 лет, видно, что некоторые детали здесь могут быть усовершенствованы. [Например, в предложении Евклида (1.1) строится равносторонний треугольник с помощью пересечения двух окружностей, но откуда мы знаем, что эти окружности пересекутся?] Удивительно не это, а то, что так много из труда Евклида сохраняет до сих пор свою ценность. В современном изложении его геометрии (см., например, Кокстер [3], стр. 161 —187; (Рашевский [1])) обычно принимают за первоначальное понятие точку, а за первоначальные отношения — между (здесь имеется в виду идея о том, что точка может находиться между двумя другими точками) и конгруэнтность или равенство (идея о том, что два прямолинейных отрезка могут быть равны, т. е. могут иметь одну и ту же длину). Имеются также различные варианты аксиомы непрерывности, один из которых гласит, что всякая сходящаяся последовательность точек имеет предел. Евклидов «принцип наложения», применяемый в доказательстве его предложения (1.4), поднимает вопрос о том, может ли фигура двигаться, не меняя при этом *) В гл. 15 мы увидим, как далеко можно продвинуться, не употребляя этого слишком сложного V постулата,
$ 2) ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ 19 своих внутренних свойств*). Этот принцип в настоящее время заменяют более точным предположением, например таким, как аксиома о «жесткости треугольника с хвостом»: 1.26. Если ABC— треугольник и точка D лежит на продолжении стороны ВС, а точка D' аналогично С Л Л' С Рис. 1. расположена по отношению к треугольнику А'В'С (рис. 1), то из того, что ВС^В'С, СА = С'А\ АВ=А'В\ BD = B'D\ следует, что AD=A'D'. Аксиому 1.26 можно использовать для распространения понятия равенства отрезков на более сложные фигуры, как, например, углы, что позволяет указать точный смысл отношения L АВС = £ А'В'С'. После этого нам уже не понадобится сомнительный принцип наложения для того, чтобы можно было доказать предложение Евклида (1.4): Если два треугольника имеют две соответственно равные стороны и равные углы, содержащиеся между равными сторонами, то они должны иметь равные третьи стороны и соответственно равные оставшиеся углы, т. е% они должны быть равными треугольниками. *) Возможно, что странный постулат 1.24 Евклида, который легко доказывается с помощью «принципа наложения», связан с неосознанным стремлением уточнения «степени произвола» допускаемых движений.
2а ТРЕУГОЛЬНИКИ 1ГЛ. I § 3. PONS ASINORUM *) М ино с: Предлагается доказать /. 5 (теорему о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника) таким образом: равнобедренный треугольник поднимается, переворачивается и опускается сам на себя. Евклид: В таком доказательстве слишком много нелепицы, чтобы его можно было поме" стить в строго философском трактате; не напо* минает ли оно о том человеке, который спускался вниз по собственной глотке? М ино с: Я полагаю, защитники этого доказательства могут сказать, что треугольник остав* ляет после себя след и, будучи поднят и пере" вернут, опускается именно на этот след. Ч. Л. Додж с он (Льюис Кэррол **), 1832-1898) [3], стр. 48, (I. 5) Углы при основании равнобедренного треуголь* пика равны. Название этой знаменитой теоремы Pons asinorum, вероятно, происходит от того, что чертеж Евклида (вместе с дополнительными линиями, требуемыми в его несколько усложненном доказательстве) напоминает мост, и от мнения, что тот, кто не способен перейти через этот мост, должен быть ослом. Значительно более простое, чем у Евклида, доказательство было предложено Паппом из Александрии около 340 года н. э« (рис. 2). Пусть ABC — равнобедренный треугольник, так что сторона АВ равна АС. Будем рассматривать этот треугольник, как два сов* падающих друг с другом треугольника ABC и АСВ, и рассуждать таким образом: так как АВ=*АС и АС=АВ, то две стороны АВ и АС равны двум сторонам АС и АВ. Также угол ВАС равен углу CAB, так как это тот же самый угол. Поэтому все соответственные элементы треугольников ABC и АСВ равны. В частности, £ ABC^Z. лев. Педагогическую трудность, возникающую из-за необходимости сравнивать равнобедренный треугольник *) Мост для ослов (лат.) **) Английский математик и педагог Чарльз Доджсон более известен как «Льюис Кэррол»; под этим псевдонимом он выпустил замечательные сказки «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье», принесшие автору мировую известность.
S3] PONS ASINORUM 21 с самим собой, иногда обходят, соединяя вершину А с точкой D, серединой основания ВС. Медиану AD можно рассматривать, как зеркало, отражение от которого переводит точку В в точку С. Таким образом, мы Рис. 2. можем сказать, что равнобедренный треугольник симметричен относительно оси AD или что он обладает зеркальной или осевой симметрией. [Конечно, идеализированное зеркало, употребляемое в геометрии, не имеет толщины и посеребрено с обеих сторон, так что не только точка В переходит при от- л ражении в точку С, но точка С также переходит в точку В.] Из любой сколь угодно неправильной фигуры можно получить симметричную фигуру, если мы поместим ее рядом с зеркалом и будем рассматривать фигуру вместе с ее образом. Осевая симметрия характерна для внешнего вида большинства животных. Пусть дана точка Р, лежащая по одну сторону от геометрического зеркала. Для того чтобы построить ее зеркальный образ Р' (т. е. точку, симметричную Р относительно данной прямой — зеркала), нужно опустить перпендикуляр из точки Р на зеркало и продолжить этот перпендику* ляр на равное расстояние по другую сторону. Таким образом, зеркало делит пополам отрезок РР\ Если на плоскости (рис, 3) провести две окружности с центрами В Рис. 3.
22 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ.4 в точках А и В и радиусами АР и ВР, то точки, в которых пересекутся эти окружности, симметричны относительно прямой АВ. Мы обнаружим, что многие геометрические доказательства сокращаются и делаются более наглядными при применении симметрии ((ср. Б о л тя не к и й и Яг- лом [1])). Но нужно помнить, что эта операция — только сокращение: всякое доказательство такого рода можно заменить довольно многословными рассуждениями с использованием цепочки равных треугольников. Например, симметричность точек Р и Р' рис. 3 вытекает из равенства треугольников АВР и АВР' *). «Pons asinorum» имеет много полезных следствий; например, отсюда вытекает пять следующих предложений: (III. 3) Диаметр круга, который делит пополам хорду, не проходящую через центр, перпендикулярен к ней; обратно, если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам. (III. 20) В круге центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же самую дугу. (III. 21) Вписанные углы, стягиваемые одной и той же хордой и лежащие по одну сторону от этой хорды, равны между собой. (III. 22) Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна двум прямым углам. (III. 32) Угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, стягиваемому хордой, с вершиной в точке, лежащей на внешней по отношению к первому углу части окружности (например, на рис. 4 ZOTP'=ZTPP'). Нам понадобятся также две известные теоремы о подобных треугольниках: (VI. 2) Если прямая линия проведена параллельно одной стороне треугольника, то она рассечет другие стороны пропорционально; обратно, если две стороны треугольника рассечены пропорцио- *) В нашей школьной практике в соответствии с традициями Евклида долго считалось, что предпочтительнее обходиться без использования соображений симметрии; это зачастую делало доказательства весьма громоздкими. В качестве примера мы рекомендуем читателю доказать с помощью рассмотрения ряда пар равных треугольников, скажем, следующую очевидную из соображений симметрии теорему: если треугольник ABC — равнобедренный и Е, F — такие точки на равных сторонах АВ и АС, что AE — AF, то отрезки СЕ и BF пересекаются на медиане AD,
S3 PONS ASINORUM 23 нально, то прямая, соединяющая точки деления, будет параллель* на третьей стороне треугольника. (VI. 4) Если соответствующие углы двух треугольников равны, то соответствующие стороны пропорциональны. Рис. 4. Объединяя эти последние результаты с предложениями (III.21) и (III.32), мы выведем два замечательных свойства секущих круга (рис. 4): - (III. 35) Если в круге две прямые пересекаются, то прямо* игольник, построенный на отрезках одной из них, равен прямо* дголвнику, построенному на отрезках другой (т. е. OPxOP'=OQxOQ'). А (HI.36) Если из точки вне круга г проведены касательная и секущая, то прямоугольник, построенный на всей секущей и на ее части, находящейся вне круга, равен квадрату касательной (например, ОРхОР'^ОТ*). Книга VI содержит также важные свойства площадей: (VI. 19) Подобные треугольники ^ис- 5. находятся друг с другом в отношении соответственных сторон в квадрате (например, если треугольники ABC И А'В'С подобны, то их площади относятся как АВ2:А'В'2). Этот результат дает следующее простое доказательство теоремы Пифагора (см. Е в к л и д[Ц стр. 58): (1.47) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов обоих катетов.
24 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ.1 В треугольнике ABC с прямым углом С опустим перпендикуляр CF на гипотенузу АВ, как показано на рис. 5. Тогда мы получим три подобных прямоугольных треугольника ABC, ACF и CBF с гипотенузами АВУ АС и СВ. В силу (VI. 19), их площади удовлетворяют условию ABC _ ACF _ CBF АВ2 ~ АС2 — СВ2 # * Очевидно, ABC^ACF+CBF. Поэтому АВ2=АС2+СВК УПРАЖНЕНИЯ 1. Применяя прямоугольные декартовы координаты, показать» что симметрия относительно у оси (т. е. прямой *=0) изменяет знак координаты х. Что произойдет при симметрии относительно прямой *=*/? 2. Вывести (1.47) из (III.36) (применяя эту теорему к кругу с центром А и радиусом АС). 3. Внутри квадрата ABDE взята точка С так, чтобы треугольник CDE был равнобедренным с углами 15° при вершинах D и Е. Треугольником какого вида является ABC? [Указание: внутри треугольника BCD возьмите такую точку Ft что треугольник FBD равен треугольнику CDE] 4. Доказать теорему Эрдеш а-М о р д е л л а: если О — произвольная точка внутри треугольника ABC и Р, Q и R —-основания перпендикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, СА и АВ, то ОА + ОВ + ОС^2(ОР+ OQ+ OR). [Указание1): пусть Pi и Рг — основания перпендикуляров, опущенных из точек R и Q на ВС. Определите аналогично Qi и Q2, Ri и /?2 на других сторонах. Используя подобие треугольников PRPi и OBR, выразите РХР через RPt OR и ОВ. После подстановки этих выражений в OA + OB+OC>OA(Pi + PP>) + , OB(QiQ + QQ2) , OC(RlR + RR2) ^ PR ^ QP соберите члены, содержащие соответственно OP, OQ и OR.] l) Leon Bankoff, American Mathematical Monthly 65, 1958, стр. 521. [Другие доказательства см.: G. R. Veldkamp and Н. Bra 1 ant, Nieuw Tijdschrift vorWiskunde 45, 1958, стр. 193—196; 46, 1959, стр. 87; (3. А. Скопец, Мат. просвещениех вып. 5, I960, стр. 151—152; Ф е й е ш Тот [1], стр. 32—35} ].
§4] МЕДИАНЫ И ЦЕНТРОИД 25 5. При каких условиях в упр. 4 знак !> можно заменить на знак =? в. В обозначениях упр. 4 OA-OB.OC^>(OQ-\-OR) (OR + OP) (OP + OQ). [А. О п п e н г e й м (A. Oppenheim) J § 4. МЕДИАНЫ И ЦЕНТРОИД Возможно, что восточная математика — это интересная диковинка, но греческая математика — это серьезная вещь. Греки, как выразился однажды Литтлвуд, это не способные школьники или хорошие студенты, но скорее «коллеги из другого колледжа». Греческая математика «вечна», даже более вечна, чем греческая литература. Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, так как языки умирают, а математические идеи — нет. Г. X. X а р д и (1877-1947) [2], стр. 21. Прямая, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой. Пусть две из трех медиан треугольника, например, ВВ' и СС пересекаются в точке G (рис. 6), L и М — середины отрезков GB и ОС. В силу предложений (VI. 2) и (VI. 4) Евклида (приведенных на стр. 22— 23), С В' и LM параллельны ВС и по длине равны ее половине. Поэтому B'C'LM — параллелограмм. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то £'G = GL = LB, C'G=zGM = MC. Таким образом, медианы ВВГ и СС отсекают в G треть одна от другой. Иными словами, точка G, лежащая на одной из медиан на расстоянии двух третей от вершины, лежит также на второй медиане на таком же расстоянии от вершины, а следовательно и на третьей медиане!
2$ ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. t Таким образом мы доказали (тем же методом, какой используется в книге Курт [2], стр. 65 (или в учебнике Киселева [1])) следующую теорему: 1.41. Три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения трех медиан треугольника называется его центроидом (или центром тяжести). Архимед (около 287—212 гг. до н.э.) пришел к понятию центроида, рассматривая центр тяжести однородной треугольной пластинки. УПРАЖНЕНИЯ 1. Если две медианы треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный ]). 2. Сумма медиан треугольника заключена между -к Р н 2р, где 2р — периметр треугольника. S 5. ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ Один по вечерам Я больше библию читаю, чем Евклида. Роберт Бьюкенен (R. Buchanan, 1841—1901). История старого учителя Евклид в предложении (III. 3) говорит, что круг симметричен относительно каждого диаметра (в то время как эллипс симметричен только относительно двух определенных диаметров — большой и малой осей). Отсюда следует, что угол между двумя пересекающимися касательными делится пополам диаметром, проходящим через их точку пересечения. Рассматривая геометрические места точек, равноотстоящих от пар сторон треугольника ABC, мы видим, что внутренние и внешние биссектрисы трех углов треугольника пересекаются по три в четырех точках /, /а, /& и /с, как показано на рис. 7. Эти точки являются центрами четырех окружностей, касающихся трех прямых ВС, СА и АВ. Та из этих четырех точек, которая лежит внутри треугольника, — 1) Если формулировка упражнения имеет вид теоремы, то это упражнение состоит в доказательстве сформулированной теоремы. Для экономии места слова «Доказать, что» или «Показать, что» в упражнениях опускаются.
$ 51 ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 27 точка / — является центром вписанной окружности. [Евклид (IV. 4).]. Три другие точки /а, /&, /с являются центрами вневписанных окружностей. Радиусы вписанной и вневписанных окружностей обозначаются через г, га, Стороны треугольника ABC обычно обозначают а = ВС, Ь = СА, с = АВУ полупериметр P = ~2(a-\-b-\-c\ углы —Л, В и С, а площадь — Л. Из того, что Л + В + С=180°, нетрудно вывести: 1.51 £ BIC = 90° +4 Л; мы воспользуемся этим в § 9. Так как IBC — треугольник с основанием а и высотой г, то его площадь равна -j^r. Складывая площади трех таких треугольников, мы получаем
28 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I Аналогично b = -j(b+c—a) га = (р — а)га. Поэтому 1.52 Д=рг = (/? — a)ra = (p~ b)r„ = (p — с)гс. 1)2 л. с2 а2 Из известной формулы собЛ = — 2fc мы нахо" дим также, что . А V— а4 — Ь4 — с4 + 2ЬЧ2 + 2с2а2 + 2а2Ь2 81ПЛ = Wc , откуда получим 1.53 A==.j6£Sin А=з = 1 У— а* — Ь* — с4 + 2Ь2с2 + 2с2а2 + 2а2Ь2 = = \У(а + Ь + с)(-а + Ь + с)(а — Ь + с)(а + Ь-с)=* = Ур(Р — а){р — Ь)(р — с). Эту замечательную формулу обычно приписывают Ге- рону из Александрии (около 60 г. н. э.); однако на самом деле она была открыта Архимедом (см. Б. Л. Ван дер Варден, Пробуждающаяся наука, М., Физмат- гиз, 1959, стр. 314). Другим следствием симметрии круга является тот факт, что перпендикуляры, восставленные к серединам трех сторон треугольника, проходят через точку О, которая является центром описанной окружности. [Евклид (IV. 5).] Это — единственная окружность, которая проходит через вершины Л, В и С. Ее радиус обозначается через R. Так как центральный угол ВОС (рис. 8) равен удвоенному углу Л, то у равных прямоугольных треугольников ОВА\ ОСА' углы при вершине О равны углу Л, откуда /?sin Л = 5Л' = ^-а и 1.54
ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 29 Проведем через точку А перпендикуляр AD к ВС и диаметр АК описанной окружности, как показано на Рис. 8. Рис. 9. рис. 9. В силу предложения Евклида (III. 21), прямоугольные треугольники ABD и АКС подобны; следовательно, AD АС AD = be АВ — АК ' '—— 2# • Так как Д = -^ fiC. AD, то отсюда следует, что 1.55 4b-R=abc = p(p — b)(p-c) + p(p-c)(p-a)+ + p(p — a)(p — b) — (p — a)(p — b)(p — c) = А2 А2 А2 А2 ■')• Следовательно, пять радиусов /?, г, га, гъ и гс связаны следующей зависимостью: 1.56 (Курт[1], стр. 73). В отрезках р — а, р — b н р — с, которые встречаются как в 1.52, так и в формуле Герона 1.53 для А, легко узнать радиусы трех взаимно касающихся окружностей с центрами в точках А, В и С. Фредерик Содди (Frederick Soddy, 1877—1956), который знаменит своими ос«
30 треугольники {ГЛ.? новополагающими трудами об изотопах и своим оригинальным подходом к экономике, начал изучать две окружности, которые касаются этих трех окружностей (рис. 10). Меньшая из этих окружностей окружена тремя данными окружностями, которые, как правило, лежат внутри большей окружности. [Эти окружности не удается построить, если треугольник «слишком тупоугольный».] Пусть эти две окружности имеют центры 5, S' и радиусы s, s\ так что SA = s+p — а, SB = s + p — b, SC = s -\-p-~c. Пусть Sa, Sb и Sc — углы при вершине 5 в треуголь- и SAB. Применяя к этим треуголь* формулы cos2 [^ Л] = Р ^а) • sin2 \j2 А\ = L ДЛЯ Угла ^ произвольного треугольника ЛВС, мы получаем iMc \ (s + a)s \2°«;— (S + p-b)(s + p-c) ' Рис. 10. никах SBC, SCA никам известные cosz sin [2\)~ {s + p_b)i (р-Ь)(р-~с) (s + p — c) и т. д. В силу 1.54, в формуле a2—b2—c2 + 2bccos Л = 0 вместо а, Ь и с мы можем написать sin Л, sin 5, sin С. Далее, мы можем заменить А, В и С любыми тремя углами, сумма которых равна 180°, например углами oSa> ost> ~9Sc- Тогда получаем 2 ~а» 2 ь> 2 (р-с)(р-а) (р-а)(р-Ь) {s + p-b)(s-r р-с) (s + p — c)(s-\-p — a) {s + p — a)(s + p — b) +'2|/ (р-с)(р-а) (р-а)(р-Ь) s(s + a) ($ + р-с)(* + Р-«) ($+/7-a)U + p-&) (-s-fp-*)(.y-f-p-0
§ 5] ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 31 откуда s + p — а s + p — b s + p — c 2 fsls + p—b+p—с) _ Q р — а р — b р — с V (р — Ь) (р — с) Деля на s и вводя сокращенные обозначения мы получаем а —р —Y—64-2 VrpY-+-Y6 + 6P = 0, откуда (a-P~Y-6)2 = 4(pY + Y6 + 6p), (a + p + Y + 6)2 = 4(ap + aV + a6 + PY + Y& + &p) = = 2(a + p + Y + 6)?-2(a2 + p2 + Y2 + 62), и, наконец, 1.57 2(a2+P2+Y2 + S2) = (a + P + Y + 6)2. Мы нашли симметричную формулу, связывающую четыре величины а, р, у и б, являющиеся обратными величинами радиусов четырех взаимно касающихся друг друга кругов. Величина, обратная радиусу круга, называется его кривизной. Содди предпочитал более простой термин изгиб, используемый в его поэме «The Kiss Precise» («точный поцелуй») 1) ,где есть такие стихи: Четыре круга встретились в поцелуе И тот, который меньше, тот больше изогнут. Изгиб — это обратная величина Для расстояния от центра. Хотя Евклид молчал об их интригах, Правило большого пальца теперь не нужно. Изгиб равен нулю у прямой линии И отрицателен у вогнутой, А сумма квадратов четырех изгибов — Это половина квадрата их суммы. Решая 1.57 как квадратное уравнение относительно б, мы получаем два корня fti,2 = « + P + Y±2VrPY + Ya + aP. l) Nature 137, 1936, стр. 1021.
32 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I Верхний знак дает больший изгиб, т. е. меньший круг. Таким образом, искомые радиусы равны1) 1.58 1 и 5 a + P + Y + 2/PY + Ya + ctP /_ 1 Это последнее выражение обычно отрицательно, что указывает на «вогнутый изгиб»: круг с центром S' заключает в себе круги с центрами Л, В и С, Подставляя в формулы 1.58 р_а , • b , ■ с- вместо a, р и y> мы находим 1.59 А 5 = Л ' А ' Л *.2Ур(р-а+р-Ь + р-с) р—а ' р—-b l р—с ~ ra + rb + re + 2p 4R + r + 2p * Аналогично s' = 4р_. r_2р • УПРАЖНЕНИЯ 1. Что представляет собой множество образов некоторой точки Р при отражениях от всевозможных прямых, проходящих через фиксированную точку О? 2. Для любого треугольника l.i.i 1 1 1 , 1 , L__,2 га^ гъ^ rc г s р — а 1 р — Ь р--с ' г 3. Длины касательных, проведенных из вершины А треугольника к вписанной и к трем вневписанным окружностям, соответственно равны р — я, /?, р — с, р — Ь. 4. Если у треугольника две внутренние биссектрисы равны (длину биссектрисы мы измеряем от вершины треугольника до противоположной стороны), то он равнобедренный. 1) Гобсон ([1], стр. 216, упр. 29) приводит эти выражения для s и s' с той лишь разницей, что у него а, Ь> с обратны на* шим а, р, Y- См- также J. S а 11 е г 1 у, Mathematics Teacher 53, 1960, стр. 90—95.
§5J ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ 33 [Указание: если углы В и С не равны, то из них один должен быть меньше, скажем В<С. Тогда, если равны биссектрисы ВМ и CN, то существует такая точка Р на AN, что < PCN = -^В, итгаиая точка Q на PN, что BQ = CP. Сравните углы Р и Q в равных треугольниках BMQ и CWP*).]. 5. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника. 6. Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? 7. Пусть I/, V и W — точки, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC, Перпендикуляры, восставленные к сторонам в этих точках, проходят через одну точку тогда и только тогда, когда AW* + BU2 + CV2 = WB* + U С2 + VAK 8. Дан треугольник ABC. При каком значении х существует точка, расстояния от которой до вершин А, В и С равны х — а, х — Ь,х-с? [Дж. Э. X. Хантер (J. А. Н. Hunter).] 9. Что произойдет с точкой S' рис. 10, если 2(a2 + P2 + Y2) = (« + P + Y)2? Рассмотреть, случай, когда a—8, & = с=5, так что а=1 и р—у~Т# 10. Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда 2#+г=*р. 11. Дана точка Р на окружности, описанной около треугольника; основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на три стороны треугольника, лежат на одной прямой. Эта прямая обычно называется прямой Симеона точки Р по отношению к треугольнику, хотя впервые она была указана В. Валлисом через 30 лет после смерти Симеона (см. Джонсон [1], стр. 138). 12. Дан треугольник ABC и точка Р в его плоскости (не принадлежащая ни стороне, ни описанной около треугольника окружности). Пусть А{ВХС\ — новый треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из Р на стороны ВС, С А к АВ. Пусть треугольник А2В2С2 получается аналогичным образом из А\В\С\ (с той же точкой Р), а треугольник А3ВЪС3— из А2В2С2. Тогда треугольник А3В$С3 собственно подобен **) треугольнику ABC (Кэзи [1], стр. 253). [Указание: Z.PBA = £РАХСХ= ZPC2B2= = ^РВзЛ3.] Этот результат был обобщен А. Оппенгеймом (А. Ор- penheim) на случай л-угольника, когда описанную выше операцию приходится повторять п раз. •) Другие решения см.: Шклярский, Ченцов, Яглом [1], решения задачи 111b). **) То есть переводится в треугольник ABC с помощью собственного подобия (см. § 1 гл. 3 и §§ 4—6 гл. 5).
34 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. I § 6. ПРЯМАЯ ЭЙЛЕРА И ОРТОЦЕНТР Наряду с геометрией греки плодотворно разрабатывали также и различнейшие другие области математики, но в настоящее время мы всюду> включая и геометрию, существенно перегнали их. Феликс Клейн ({849—1925) [2], стр 312. В дальнейшем мы будем в различных случаях упоминать имя Леонарда Эйлера (1707—1783), швейцарца, который большую часть своей жизни провел в России. Эйлер внес значительный вклад буквально во все области математики. Некоторые из его простейших открытий таковы, что можно представить себе дух Евклида, вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?». Если центроид G и центр описанной окружности О у некоторого треугольника совпадают, то каждая медиана перпендикулярна к стороне, которую она делит пополам, и треугольник «трижды равнобедренный», т. е. равносторонний. Сле- Jq довательно, если треуголь* >/у|\ ник ABC не равносторонний, у/ / \ то его центроид G и центр у/ / \ описанной окружности О за- у/ /^>?//\ дают единственную прямую jr О Г/С! \ * РассмотРим такую точ- у/ Т/ \ ку Н этой прямой, называе- &— \L & ъ мой прямой Эйлера, В А' Л С что Otf = 30G, т. е. GH = Рис п. = 20G (рис. 11). Так как, кроме того, GA = 2A'G, то из второй половины предложения (VI. 2) Евклида следует, что прямая АН параллельна прямой А'О, которая представляет собой перпендикуляр, восставленный к отрезку ВС в еТю середине. Таким образом, прямая АН перпендикулярна к ВС. Точно так же можно показать, что прямая ВН перпендикулярна к СЛ, а прямая СН—прямой АВ. Прямая, проходящая через вершину треугольника и перпендикулярная к противоположной стороне, называется высотой треугольника.
§ 7J ОКРУЖНОСТЬ девяти ТОЧЕК 35 Из сказанного выше следует, что Три высоты треугольника пересекаются в некоторой точке Н прямой Эйлера (Курт [2], стр. 101; (ср. Болтянский и Яглом [1], стр. 139)). Эта общая точка Я tpex высот называется ортоцентром треугольника. УПРАЖНЕНИЯ 1. Проведем через каждую вершину данного треугольника ABC прямую, параллельную противоположной стороне. Восставив в образовавшемся треугольнике перпендикуляры к сторонам в их серединах, мы получим другое доказательство теоремы о том, что три высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке. [К. Ф. Гаусс] 2. Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. 3. Где лежит ортоцентр прямоугольного треугольника? 4. Треугольник, у которого две высоты равны, равнобедренный. 5. Построить равнобедренный треугольник ABC (с основанием ВС) по данным высоте BE и медиане ВВ'. [Указание: центроид находится в два раза ближе к точке В', чем к точке В.] [Г. Ф р е й- денталь (Н. Freudenthal).] 6. Длина высоты AD треугольника ЛВС равна 2R sin В sin С. 7. Найти расстояние от центроида G до стороны ВС. 8. Если прямая Эйлера проходит через вершину, то треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный (либо и то и другое одновременно). 9. Если прямая Эйлера параллельна стороне ВС, то углы В и С треугольника удовлетворяют соотношению tgStgC = 3. § 7. ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК Эта окружность —перво? действительно волную- щее, с чем мы встречаемся в курсе элементарной геометрии. Даниель П и д о (род, 1910) [I]. стр. I. Основания высот (т. е. точки пересечения высот с противоположными сторонами, такие как точка D на рис. 11) образуют ортоцентрический треуголь* ник треугольника ABC. Окружность, описанная около ортоцентрического треугольника, называется окружностью девяти точек первоначального треугольника, потому что она со-
36 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 1 держит не только основания трех высот, но также шесть других замечательных точек. А именно, 1.71. Середины трех сторон, середины отрезков, со- единяющих ортоцентр с тремя вершинами и основания трех высот треугольника, лежат на одной окружности. Доказательство (Кокстер [2], 9.29)*). Пусть точки А\ В', С, А", В", С" соответственно середины отрезков ВС, СА, АВ, НА, НВ, НС, а точки D, Е, F — основания высот треугольника, как показано на рис. 12. В силу предложений (VI. 2) и (VI. 4) Евклида, отрезки С'В' и С"В" параллельны ВС, а отрезки В'С" и С В" параллельны АН. Так как, кроме того, прямая АН перпендикулярна к ВС, то четырехугольник В* С В" С" Рис. 12. —прямоугольник. Аналогичные рассуждения показывают что С А* С" А" — тоже прямоугольник. Следовательно, отрезки А'А", В'В" и С'С" все равны между собой и делятся в общей точке пересечения пополам, т. е. это три В В С Рис. 13. диаметра некоторой окружности. Так как эти диаметры стягивают прямые углы с вершинами в точках D, Е, F, то эта окружность проходит также через эти три точки. *) См. также Перепелкин [1J, стр. 104—105. Другие доказательства — в книгах: Шклярский, Ченцов, Яглом [1], ре* шение задачи 120, Яглом [1], решение задачи 51а.
§7] ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК 37 Если четыре точки на плоскости соединены попарно шестью различными прямыми, то их называют вершинами полного четырехугольника, а прямые — шестью его сторонами. Две стороны называют противолежащими, если у них нет общей вершины. Точки пересечения противолежащих сторон называются диагональными точками четырехугольника; таких точек может существовать не более трех (рис. 13). Если треугольник ABC не прямоугольный, то его вершины и ортоцентр образуют специальный случай полного четырехугольника, у которого противолежащие стороны перпендикулярны. В этих терминах конкурентность (пересечение в одной точке) трех высот треугольника можно выразить так: 1.72. Если две (не противоположные!) стороны полного четырехугольника перпендикулярны к противоположным сторонам, то последние две стороны также перпендикулярны. Такой четырехугольник АВСН называется орто- центрическим (полным) четырехугольником. Шестью его сторонами служат стороны и высоты треугольника ABC ВС, СД АВ, НА, ИВ, НС, а его диагональными точками являются основания высот этого треугольника — точки D, Е, F. Среди четырех вершин четырехугольника наши обозначения как будто выделяют точку //. Однако ясно, что 1.73. Каждая вершина ортоцентрического четырех* угольника является ортоцентром треугольника, образованного остальными тремя вершинами. Четыре треугольника (из которых ровно один остроугольный) имеют общий ортоцентрический треугольник и, следовательно, общую окружность девяти точек. В книгах по аффинной геометрии доказано (см., например, Ко к стер [2], 8.71), что середины шести сторон любого полного четырехугольника и три его диагональные точки лежат на одном коническом сечении. Предыдущие замечания показывают, что для ортоцентрического четырехугольника это «коническое сечение девяти точек» превращается в окружность.
38 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. ! УПРАЖНЕНИЯ !. Сколько из девяти точек, упоминаемых в теореме I. 71, совпадают, если треугольник а) равнобедренный, б) равносторонний? 2. Основания высот делят окружность девяти точек на три дуги. Если треугольник неравносторонний, остальные шесть точек распределяются по этим трем дугам следующим образом: одна дуга содержит ровно одну из шести точек, другая содержит две а третья — три. 3. На дуге A'D окружности девяти точек взлта точка X на одной трети расстояния от А' до D. Аналогичным образом взяты точки Y и Z на дугах В'Е и СТ. Доказать, что треугольник XYZ равносторонний. 4. Центры вписанной и вневписанных окружностей произвольного треугольника образуют ортоцентрический четырехугольник. [Кэзи [1], стр. 274.] 5. Для треугольника с вершинами в центрах вневписанных окружностей данного треугольника прямой Эйлера является прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей первоначального треугольника. 6. Радиусы описанных окружностей четырех треугольников, образующихся в ортоцентрическом четырехугольнике (треугольников АВН, АСН, ВСН, ABC), равны. § 8. ДВЕ ЗАДАЧИ О НАИМЕНЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ Большинство людей получают определенное удовольствие от математики, так же как большинство людей могут наслаждаться прекрасной мелодией; и, наверное, больше людей действительно интересуются математикой, чем музыкой. Г. X. X а р д и [2], стр 26. Если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым весьма многие под влиянием случай- ных школьных впечатлений сторонятся всего, связанного с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки. Ганс Радемахер (род. 1892) — см. Радемахер и Теплиц [I], стр. 7. Мы уделим задачам Фаньяно и Ферма так много внимания потому, что для нас представляют интерес методы, применяемые при их решении. Первая из этих задач была поставлена в 1775 году Джанфранческо де Тоски ди Фаньяно (J. F. Toschi di Fagnano), который разрешил ее средствами дифференциального исчисления.
§ 8] ДВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 39 Приводимый здесь метод предложен Л. Фейером (L. Fe- jer), нашедшим его еще в свои студенческие годы (Р а- демахер и Теплиц [1], стр. 40—44). Задача Фаньяно. В данный остроугольный треугольник ABC вписать треугольник UVW наименьшего возможного периметра. Рассмотрим сначала произвольный треугольник UVW, у которого вершина U лежит на стороне ВС, вершина V— на САУ а вершина W— на АВ. Пусть U' и V" — точки, симметричные точке U относительно прямых СА и А В. Тогда UV+VW+ WU=U'V+VW+ WU". Правая часть этого равенства представляет собой некоторый путь из точки V в точку U'\ который, вообще говоря, является ломаной с вершинами в точках V и W. Этот путь минимален, когда ломаная превращается в прямолинейный отрезок, как показано на рис. 14. А Следовательно, среди всех вписанных треугольников с данной вершиной U на стороне ВС треугольник наименьшего периметра получается, когда вершины V и W принадлежат прямой U'U". Таким образом, для каждого положения U на стороне ВС мы получим определенный треугольник UVW. Задача будет решена, когда мы выберем точку U так, чтобы отрезок U'U'\ равный периметру треугольника UU'U", имел наименьшую возможную длину. Так как отрезки AU' и AU" симметричны отрезку AU относительно прямых АС и АВ, то они равны и LU'AU"=*2A.
40 ТРЕУГОЛЬНИКИ (ГЛ. г Таким образом, AU'U" — равнобедренный треуголь* ник, у которого угол при вершине А не зависит от выбора точки U. Его основание U'U" минимально, когда минимальны боковые стороны А1)' и AU'\ т. е. когда минимален отрезок AU. Другими словами, отрезок AU должен быть кратчайшим расстоянием от данной точки А до данной прямой ВС. Так как гипотенуза прямоугольного треугольника длиннее, чем каждый катет, искомое положение точки U таково, что AU перпендикулярна ВС. Таким образом, AU — высота, проведенная из вершины А. Это положение U определяет единственный треугольник UVW, периметр которого меньше, чем у всех других вписанных треугольников. Так как мы могли с таким же успехом начать с точки В или С вместо Л, отрезки BV и CW также должны быть высотами, проведенными из точек В и С. Следовательно, Наименьший периметр из всех треугольников, вписанных в остроугольный треугольник ABC, имеет орто- центрический треугольник треугольника ABC. Тот же самый метод позволяет доказать аналогичное предложение и для сферических треугольников (Штейне р [2], стр. 45, № 7) *). В другой задаче, предложенной Пьером Ферма (P. Fermat, 1601 —1665), также требуется найти минимум суммы трех расстояний. Решение, которое приводится здесь, взято у И.Э. Гоф м а н a (J. Е. Hofmann) 1). Задача Ферма. В данном остроугольном треугольнике ABC найти точку Р, для которой сумма расстояний до вершин А, В и С минимальна. Выберем сначала некоторую точку Р внутри треугольника. Соединим ее с точками Л, В, С и повернем внутренний треугольник АРВ на 60° вокруг точки В. Он *) См. также В. Г. Болтянский и И. М. Яглом, Энциклопедия элементарной математики, кн. V, М., «Наука», 1966, стр. 321—329; Яглом [1], решения задач 996, 101. l) Elementare Losung einer Minimumsaufgabe, Zeitschrift fur mathematischen and naturwissenschaftlichen Unterricht 60, 1929, стр. 22—23. (См. также В. Г. Б о л т я н с к и й и И. М. Я г ля м. Энциклопедия элементарной математики, кн. V, стр. 307—313 и 318—319; Яглом [1], решения задач 103, 104, 105.)
ДВЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 41 займет такое положение С'Р'В, что ABC и РВЯ'— равносторонние треугольники, как это изображено на рис. 15. Тогда АР-\-РВ + СР = СР'+Р'Р+РС. Правая часть этого равенства представляет собой путь из точки С в точку С, который, вообще говоря, является ломаной линией, с вершинами в точках Р' и Р. Длина такой ломаной минимальна, когда она превращается в прямолинейный отрезок. В этом случае L ВРС = 180° —1_ ВРРГ = 120° и £ АРВ = £ СР'В = 180° — £ РРГВ = 120°. Таким образом, искомая точка Р, для которой сумма АР+ВР + СР минимальна, — это точка, из которой каждая сторона ВС, СЛ, Л В видна под углом 120°. "' - -"^ Эту «точку Ферма» проще всего построить как точку пересечения прямой СС и окружности ABC Рис. 15. Рис. 16. (т. е. окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC). Было замечено (см., например, Пидо [1], стр. 11 — 12), что требование остроугольности треугольника ABC слишком сильно. Приведенное выше решение остается в силе, когда все углы треугольника не превосходят 120°. Вместо равностороннего треугольника ABC, построенного на стороне ABt мы могли бы с таким же успехом построить равносторонний треугольник ВСА' на
42 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ г стороне ВС или CAB' на стороне С А, как показано на рис. 16. Таким образом, три прямых /ГЛ, В'В и С'С проходят через точку Ферма Р и любые две из них дают другое построение этой точки. Кроме того, отрезки АА\ ВВ' и СС равны АР + ВР + СР. Следовательно, Если на стороне некоторого треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ВСА\ САВ\ АВС\ то отрезки А А', ВВ\ СС равны, пересекаются в одной точке и образуют попарно углы в 60°*). УПРАЖНЕНИЯ 1. На рис. 14 прямые UV и VW образуют одинаковые углы с СЛ. Вывести отсюда, что ортоцентр треугольника является центром окружности, вписанной в его ортоцентрический треугольник. Другими словами, если ЛВС — треугольный биллиардный стол, то шар, пущенный из точки V в направлении UV, будет двигаться по треугольнику UVW неопределенно долго — пока его движение не прекратится из-за трения. 2. Как изменится постановка задачи Фаньяно, если попытаться распространить ее на случай треугольника, у которого угол А тупой? 3. Доказать, что окружности, описанные около трех равносторонних треугольников, изображенных на рис. 16, все проходят через точку Р и что их центры образуют четвертый равносторонний треугольник '). 4. В вершинах некоторого треугольника, нарисованного на поверхности стола, просверлены три отверстия в поверхности стола. Через каждое отверстие продета нить, к которой привязан груз, находящийся под столом. Сверху все нити связали и отпустили. Какое положение займет узел в случае равенства трех грузов? 5. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной в одну милю. Жители хотят соединить деревни системой дорог, но__имеющихся у них материалов достаточно для сооружения только 1^3+1 миль дорог. Как они должны поступить? 6. Решить задачу Ферма для треугольника ABC с углом Л>120° и для выпуклого четырехугольника ABCD. *) Ср. Шклярский, Ченцов, Я г л о м [1], решение задачи 716). х) Курт ([1], стр. 105—107). См. также журнал Mathesis, 1938, стр. 293 (подстрочное примечание, где эта теорема приписывается Наполеону), и Фор дер ([2], сгр. 40) с несколькими интересными обобщениями. (Ср. также Шклярский, Ченцов, Яглом [1], решение задачи 110а, Яглом [1], решение задачи 20а) >; Курант и Роббинс [1], стр. 470; (Г. Ш т е й н г а у з, Сто задач, М., Физматгиз, 1959, решение задачи 75.).
§9J ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ 43 7. Если две точки Р и Р' находятся внутри треугольника ABC и расположены так, что /.СВР= /.РВР'= ZP'BA, /.АСР'= = ^P'CP=ZPCB, то ZBP'P=ZPP'C. 8. Если на сторонах некоторого параллелограмма во внешнюю (или внутреннюю) сторону построены четыре квадрата, то их центры являются вершинами еще одного квадрата (Я г л о м [1], стр. 41, 161). 9. Пусть X, У, Z — центры квадратов, построенных во внешнюю сторону на сторонах ВС, С А, А В треугольника ABC. Тогда отрезок АХ равен и перпендикулярен к YZ (то же самое верно для пар BY и ZX, CZ и XY). [В. А. И. Люксембург (W. A. I. Luxemburg) .] 10. Пусть Z, X, I/, V — центры квадратов, построенных во внешнюю сторону на сторонах АВ} ВС, CD, DA некоторого четырехугольника (или «четырехсторонника») ABCD. Тогда отрезок ZU (соединяющий центры «противоположных» квадратов) равен и перпендикулярен к XV (Ф о р д е р [2], стр 40). § 9. ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ Многие доказательства в математике очень длин* ны и запутаны. Другие же, хотя и не длинны, построены в высшей степени остроумно. Э. Ч. Титчмарш (1899—1963) [1], стр. 23. Одна из самых неожиданных теорем элементарной геометрии была открыта в 1899 году Ф. Морлеем (Frank Morley; его сын Кристофер написал ряд романов, например «Гроза слева»). Он упомянул о ней своим друзьям, которые распространили ее по свету в виде математической сплетни. Десять лет спустя были опубликованы тригонометрическое доказательство М. Сатья- нараяны (М. Satyanarayana) и элементарное доказательство М. Т. Нараньенгара (М. Т. Naraniengar) *). l) Mathematical Questions and their solutions from the Educational Times (новая серия) 15, 1909, стр. 23—24, 47. См. также С. Н. С hep те 11 and R. F. Davis, Mathematical Gazette 11, 1923, стр. 85—86; F. Morley, American Journal of Mathematics 51, 1929, стр. 465—472; H. D. Grossman, American Mathematical Monthly 50, 1943, стр. 552, и L. В a n k о f f, Mathematics Magazine 35, 1962, стр. 223—224. Метод, излагаемый в этой книге, предложен Раулем Брикаром: Raoul В г i с а г d, Nouvelles Annates de Mathe- matiques (5), 1, 1922, стр. 254—258. Очень близкое доказательство было независимо предложено Боттемой ([1], стр. 34). (См. также Шклярский, Ченцов, Яглом [1], решения задачи 118.)
44 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. t Вслед за тем появилось много других доказательств, как элементарных, так и тригонометрических. Теорема Морлея. Три точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника обра* зуют равносторонний треугольник. Другими словами, произвольный треугольник ABC порождает равносторонний треугольник PQR, если углы Л, В, С разделены на три равные части прямыми AQ и AR, BR и ВР, СР и CQ, как показано на рис. 17. При Рис. 17. попытке непосредственного доказательства этой теоремы возникают большие трудности, которые исчезают, если действовать в обратном порядке: начать с равностороннего треугольника и затем строить некоторый треугольник общего вида, который впоследствии отождествляется с данным треугольником ABC. Построим на сторонах QR, RP, PQ данного равностороннего треугольника PQR равнобедренные треугольники P'QR, Q'RP> /?'PQ, у которых углы а, р, v при основаниях удовлетворяют равенству а+Р+у=120° и неравенствам ос<60°, р<60°, y<60°. Продолжим стороны равнобедренных треугольников за их основания, пока
§9] ТЕОРЕМА МОРЛЕЯ 45 они не пересекутся в точках Л, В, С (рис. 17). Так как a + p + Y + 60°=180°,' мы немедленно можем измерить не* которые другие углы, указанные на рис. 17. Например, треугольник AQR должен иметь при вершине Л угол 60° —а, так как его углы при вершинах Q и R равны a+Р и Y+a- Из формулы 1.51 мы знаем, что один из способов определения центра / окружности, вписанной в треугольник ЛВС, состоит в том, что он определяется как точка, лежащая на биссектрисе угла А и такая, что L В/С = 90°-f~ А. Применяя это правило к точке Р и треугольнику Р'ВС, мы устанавливаем, что прямая РР' (являющаяся медианой одновременно в равностороннем треугольнике PQR и в равнобедренном треугольнике P'QR) делит пополам угол при точке Р. Поэтому половина угла при точке Р равна 90° — а, а £5ЯС=180° — а = 90° + (90° — а). Точка Р — центр окружности, вписанной в треугольник Р'ВС. Точно так же точка Q является центром окружности, вписанной в треугольник Q'CA, а точка R —- центром окружности, вписанной в треугольник R АВ. Поэтому все три малых угла при точке С равны; то же самое можно сказать и об углах при точках А и В. Другими словами, углы треугольника ABC разделены на три равные части. Каждый из трех малых углов при точке А равен ~Л = 60° — а; точно так же определяются углы при точках В и С. Таким образом, а = 60° — уЛ, р = 60° — ~£, y = 60° —^С. Выбрав эти значения для углов при основаниях равнобедренных треугольников, мы видим, что описанное
46 ТРЕУГОЛЬНИКИ [ГЛ. f выше построение дает треугольник ABC, подобный данному произвольно заданному треугольнику. Это и завершает доказательство теоремы*). УПРАЖНЕНИЯ 1. Три прямые РР\ QQ\ RR' (рис. 17) пересекаются в одной точке. Другими словами, трисектрисы углов Л, В, С, встречаясь дальше, образуют другой треугольник P'Q'R\ перспективный**) равностороннему треугольнику PQR. [Треугольник P'Q'R', вообше гозоря, не равносторонний.] 2. При каких значениях а, р, у треугольник ABC будет а) равносторонним, б) равнобедренным прямоугольным? Сделать чертежи, отвечающие обоим случаям. 3. Пусть Pi и Р2 (на СА и АВ) —точки, симметричные точке Р относительно прямых СР' и ВР\ Тогда четыре точки Рь Q, R, Р2 лежат на окружности, проходящей также через точку Л, причем дуги PiQ, QR, RP2 равны. Если треугольник ABC равносторонний, то эти четыре точки находятся среди вершин правильного девяти- угольника, вершина А которого противолежит его стороне QR. *) Если называть «трисектрисами треугольника лишь прямые, делящие на три равные части его внутренние углы, то теорема Морлея утверждает, что три из шести отличных от вершин треугольника точек пересечения его шести трисектрис являются вершинами равностороннего треугольника. В 1914 г. эта теорема была обобщена следующим образом: если условиться называть также «трисектрисами» прямые, делящие на три равные части внешние углы треугольника, а также углы, дополняющие углы треугольника до 360°, то мы получим еще 18 трисектрис; среди точек их пересечения можно указать 78 точек, являющихся вершинами еще 26 равносторонних треугольников, стороны которых параллельны сторонам «основного» равностороннего треугольника Морлея (сторонам треугольника PQR на рис. 17). По этому поводу см., например, М.—В. Gambier, Ann. ScL Ecole Norm. Sup. (3) 71, 1954, стр. 191—212. **) Этот термин означает лишь, что прямые РР', QQ\ RR' сходятся в одной точке (конкуррентны). Ср. ниже, стр. 342 и след.
ГЛАВА 2 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Мы начнем эту главу с обсуждения (не сопровождаемого полными доказательствами) возможности построения некоторых правильных многоугольников с помощью инструментов, которые допускались Евклидом. Затем мы обсудим вопрос о таких многоугольниках с точки зрения их симметрии, не обращая внимания на возможность их построения. Наконец, мы расширим понятие правильного многоугольника таким образом, чтобы оно включало также и звездчатые многоугольники. § 1. ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА Раз и два! Раз и два1... Окровилась трава. Он пронзил Верлиоку мечом. Льюис Кэррол [2], гл 1, стр, 16. Постулаты Евклида налагают ограничения на инструменты, которые допускаются при выполнении геометрических построений, а именно ограничивают эти инструменты линейкой и циркулем. Евклид строит с помощью этих инструментов равносторонний треугольник (I. 1), квадрат (IV. 6), правильный пятиугольник (IV. 11), правильный шестиугольник (IV. 15) и правильный пятнад-» цатиугольник (IV. 16). Число сторон можно неограниченно удваивать путем последовательного деления углов пополам. Естественно спросить, какие еще правильные многоугольники могут быть построены теми же инструментами. Этот вопрос был полностью разрешен Гауссом (1777—1855) в возрасте девятнадцати лет (см. Смит [2], стр. 301—302; (Клейн [5], стр. 54)). Гаусс показал,
48 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 что правильный л-угольник — обозначим его {п} — может быть построен тогда и только тогда, когда в разложении числа п на простые множители все нечетные множители различны и являются простыми числами Ферма, Только о следующих числах такого вида известно, что они простые: /?з = 28+ 1=257, /^ = 216 +1=65 537. Так как 7 не является простым числом Ферма, то ин* струментов Евклида недостаточно для построения правильного семиугольника {7}. Так как простые множители девятки одинаковы, то же самое можно сказать и о правильном девятиугольнике {9}. Построения правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность, более простые, чем построение 1р> О /V; Рис. IS. N5FOE N3 Рис. 19. Евклида, были указаны Птолемеем и Ричмондом. Первое из этих построений приведено во многих учебниках. Построение Ричмонда1) выглядит так (рис. 18). Чтобы вписать правильный пятиугольник Р0ЛР2Р3Р4 в окружность с центром О, проведем радиус ОВ, перпендикулярный к 0РО; соединим точку Р0 с серединой D l) Н. W. Richmond, Quaterly Journal of Mathematics 26, 1893, стр. 296—297; см. также Н. 8. D u d е п с у, Amysements in Mathematics, London, 1917, стр. 38.
§n ЗАДАЧА ДЕЛЕНИЯ КРУГА 49 отрезка 0В\ разделив пополам угол ODP0, получим точку Ni на ОР0\ восставив в точке Ni перпендикуляр к ОР0, получим точку Р4 окружности. Тогда P0Pi — сторона искомого пятиугольника. Ричмонд дал также простое построение семнадцати- угольника {17} P0Pi... Pie (рис. 19): Соединим точку Р0 с точкой /, лежащей на радиусе ОВ на расстоянии *Д ОВ от центра. На диаметре, проходящем через точку Ро, выберем точки Е и F так, чтобы ZOJE был равен четверти угла О/Ро, a ZFJE был равен 45°. Пусть окружность, построенная на FP0, как на диаметре, пересекает ОВ в точке К и пусть окружность с центром Е и радиусом ЕК пересекает ОР0 в точках N3 (между О и Ро) и N5. Восставим перпендикуляры к ОР0 в этих двух точках до пересечения с первоначальной окружностью в точках Рз и Ps. Тогда дуга Р3Р5 (и равная ей дуга Р\Рз) равна 2/i7 окружности. [В доказательстве несколько раз используется тот факт, что корни уравнения x2 + 2xctg2C—1=0 равны tgC и -ctgC] Ришело (Richelot) и Швенденгейм (Schwendenheim) около 1898 года построили правильный 257-угольник. О. Гермес (О. Hermes) потратил десять лет жизни на построение правильного 65 537-угольника; свою рукопись он заключил в большой ящик, находящийся в Геттинген- ском университете, где она покоится и поныне. Следующее число вида Fk = 22* +1 — это Р5 = =4 294 967 297. Ферма ошибочно предполагал, что оно простое. Л. Эйлер доказал, что это число является составным. Дж. Т. Беннет (G. Т. Bennett) дал следующее изящное доказательство1) того, что число Р5 разлагается на множители (см. Харди и Райт [1] 1, стр. 14): число 641 =54 + 24 = 5- 27+1, является одновременно делителем двух чисел 54-228+232 и 54*228—1 и, следовательно, является также делителем их разности, которая равна числу jF5. С помощью *) Открыто снова Ре Kanagasabapathy, Mathematical Gazette 42, 1958, стр. 310.
50 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2, более сложных ухищрений было доказано, что числа F6, F7l F8, F9 также составные*), а это означает, что соответствующие /^-угольники нельзя построить циркулем и линейкой! УПРАЖНЕНИЯ 1. Проверить правильность ричмондовского построения правильного пятиугольника {5} (рис. 18). 2. Считая, что в окружность уже вписан правильный 17-уголь- ник {17}, вписать в ту же окружность правильный 51-угольник {51}. 3. Число 2"+ 1 составное, если п не является степенью 2. § 2. ТРИСЕКЦИЯ УГЛА Для того чтобы произвести трисекцию данного угла, мы можем первоначально найти его синус, равный, скажем, а; и тогда, если х — синус угла, равного одной трети данного угла, то мы имеем уравнение 4х3=3х — а. У. У. Рауз Болл (1350-1925) [1], стр. 327. Задача о трисекции произвольного угла циркулем и линейкой давала пищу для размышлений математикам профессионалам и любителям на протяжении двух тысячелетий (Болл [1], стр. 333—335). Конечно, трисекция легко осуществима для некоторых частных углов, например для прямого угла. Но любая конструкция для трисекции произвольного угла естественно должна быть применима и к углу в 60°, а в таком случае мы смогли бы построить правильный девятиугольник **). Так как 9 имеет двойной нечетный простой множитель 3, то этот многоугольник нельзя построить циркулем и линейкой. *) Доказано также, что составными являются числа Fn, F12, ^18» ^23, ^36, ^38, ^39, ^55, ^63, ^73, ^117, F\2b, ^144, ^150, ^207, F22b ^228» ^268, ^284, ^316, ^452 (большинство этих результатов получено с использованием современных электронных вычислительных машин). Число /Ч52=22452+ 1 — это, по-видимому, наибольшее число, которое когда-либо люди разлагали на множители; оно состоит не менее чем из 10135 цифр. **) Ибо центральный угол, отвечающий стороне всписанного в окружность правильного девятиугольника, очевидно, равен 360° __ 40° — 9 . ^- 9 ~*U ~~Z 3 '
§3] ДВИЖЕНИЕ 51 Принимая во внимание открытие Гаусса, мы можем сказать, что в 1796 году было установлено, что классическая задача о трисекции угла не может быть решена. Это, вероятно, является причиной того, что теорема Морлея (§ 9 гл. I) не была открыта до двадцатого столетия: люди чувствовали известную неловкость при упоминании о трисектрисах углов. Однако, хотя трисектрисы нельзя построить циркулем и линейкой, их можно построить другими средствами (Канди и Роллетт [1], стр. 208—211). Но даже если бы эти более удобные инструменты никогда не стали бы известны, теорема Морлея все равно имела бы смысл. Большинство математиков принимают существование вещей, которые они не могут построить. Так, например, в 1909 году было доказано, что числа Ферма F7 и F8 составные, но их наи-» меньшие простые множители до сих пор не вычислены. § 3. ДВИЖЕНИЕ Один путь описания структуры пространства, который предпочитали Ньютон и Гельмгольц, состоит в использовании понятия конгруэнтности. Конгруэнтными называются такие части про- странства V, V, которые можно заполнить одним и тем же твердым телом в двух положениях. Когда мы передвигаем тело из одного положения в другое, частица тела, которая занимала некоторую точку Р в V, попадет затем в некоторую точку Р' в V и, таким образом, результатом движения будет отображение Р -> Р', переводящее V в V. Мы можем расширить твердое тело фактически или в нашем воображении так, чтобы оно покрывало произвольно заданную точку Р пространства; следовательно, конгруэнтное отображение Р -> Р' можно распространить на все пространство. Герман В е й л ь (1833—1955) [1], стр. 43. Мы будем употреблять слово преобразование в специальном смысле — как термин, означающий взаимно однозначное соответствие Р —* Р' между всеми точками плоскости (или пространства), т. е. правило, таким образом составляющее пары точек, что каждая точка Р плоскости ровно в одной паре стоит на первом месте и ровно в одной паре — на втором. Может случиться, что
52 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 обе точки пары окажутся одинаковыми, т. е. что точка Р' совпадает с Р\ в этом случае точка* Р называется неподвижной (или «двойной») точкой преобразования. В частности, движение (или «конгруэнтное преобразование») — это преобразование, которое сохраняет длины. Таким образом, если (Р, Р') и (Q,Q')—пары соответствующих точек, то PQ=P'Q\ т. е. отрезки PQ и P'Q' равны. Например, вращение плоскости вокруг точки Р (или вокруг прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно к плоскости) является движением, имеющим, (если угол поворота не кратен 360°), одну неподвижную точку Р, а параллельный перенос (или «параллельное перемещение») не имеет неподвижных точек: при этом преобразовании сдвигается каждая точка плоскости. (Симметрия — это специальный вид движения, характеризующийся тем, что распределение точек на пары симметрично: другими словами, из существования пары (Р, Р') в этом случае вытекает, что и {Р\Р) —это тоже одна из пар точек. Неподвижные точки симметрии — это одна точка, или целая прямая, или целая плоскость. А именно,движение,сопоставляющее точке Р (плоскости или пространства) такую точку Р', что отрезок РР' делится фиксированной точкой О пополам (рис. 20, а), называется центральной симметрией 6 Р' а) б) в) Рис. 20. с центром О (или симметрией относительно точки О, или отражением от точки О); движение, сопоставляющее точке Р (плоскости или пространства!) такую точку Р', что РР'±.о и отрезок РР' делится фиксированной прямой о пополам (рис. 20,6), называется осевой симмет- О ч р'
5 3] ДВИЖЕНИЕ 53 рией с осью о (или симметрией относительно прямой о, или отражением от прямой о); наконец, движение, сопоставляющее точке Р пространства такую точку Р', что РР'±со и отрезок РР' делится фиксированной плоскостью ^'пополам (рис. 20,в), называется симметрией относи- тельно плоскости со (или отражением от плоскости со). При этом считают, что рассматриваемая симметрия переводит точку О, или все точки прямой о, или все точки плоскости о, в себя. [Слово «симметрия» имеет также и иной смысл; см. § 4 этой главы.]) Еще более простой вид движения (настолько простой, что сначала он может показаться слишком тривиальным, чтобы заслуживать упоминания)—это тождественное преобразование, которое оставляет каждую точку неподвижной (т. е. характеризуется парами (Р, Р), где Р — любая точка). Результат последовательного выполнения нескольких преобразований называется их произведением. Если про-» изведение двух преобразований является тождественным преобразованием, то каждое из них называется обратным к другому; при этом произведение этих преоб^ разований, взятых в обратном порядке, тоже является тождественным преобразованием. 2.31, Если движение плоскости имеет более одной неподвижной точки, то оно является или тождественным преобразованием, или осевой симметрией. Пусть А и В — две неподвижные точки, а Р — неко< торая точка, не лежащая на прямой АВ (см. рис. 3 на стр. 21). Соответствующая Р точка Р' удовлетворяет условиям АР'=АР, ВР'=ВР, и поэтому должна лежать на окружности с центром А и радиусом АР и одновременно на окружности с центром В и радиусом ВР. Так как точка Р не принадлежит АВ, эти окружности не касаются друг друга, а имеют две точки пересечения, одна из которых есть Р. Следовательно, точка Р' или совпадает с Р или является образом точки Р или отражении от прямой АВ *). *) Предоставляем читателю самостоятельно доказать, что рас* сматриваемое движение не может перевести часть точек Р плоскости, не принадлежащих прямой АВ, в симметричные им относительно А В точки, в другие точки Р перевести в себя.
54 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 § 4. СИММЕТРИЯ Тигр! О тигр! Светло горящий В глубине полночной чащи Кем задуман огневой, Симметричный облик твой? Вильям Б л е й к (1757—1827) (перев С. Маршака *)). Когда мы говорим, что фигура «симметрична», мы имеем в виду, что существуют некоторые движения, оставляющие на месте фигуру в целом, но меняющие местами отдельные ее части. Например, прописные буквы £ и Л (рис. 21) обладают осевой симметрией, т. е. переводятся в себя симметрией относительно некоторой -Б А N Рис. 21. Рис. 22 оси — горизонтальной в первом случае и вертикальной во втором. Буква N (рис. 22) обладает центральной симметрией, т. е. переводится в себя центральной симметрией (которую, кстати сказать, можно рассматривать как результат последовательного отражения — причем з любом порядке — от горизонтальной и от вертикальной прямых). Изображенная на рис. 23 фигура обладает симметрией четвертого порядка—это означает, что она переводится в себя вращением на угол 90°= —j- или на любой угол, кратный прямому. К числу движений, переводящих фигуру в себя, естественно отнести и тождественное преобразование; любая фигура имеет такую тривиальную «симметрию». Таким образом, фигура рис. 23 допускает четыре существенно *) В соответствии со смыслом этого параграфа английское слово «symmetry», выражающее соразмерность частей, мы передаем прилагательным «симметричный», имеющим, в частности, и этот смысл, а не прилагательным «соразмерный», употребленным С. Я. Маршаком.
§4] СИММЕТРИЯ 55 разных движения, переводящих ее в себя, а именно, вращения на 1, 2, 3 и 4 прямых угла. Последнее из них — тождественное преобразование. Первое и третье движения взаимно обратны, так как их произведение является тождественным преобразованием; второе движение обратно само себе. Использование слова «произведение» наводит на мысль о применении алгебраической символики; при <> Рис. 23. i Рис. 24. этом преобразования обозначаются прописными буквами, а тождественное преобразование обозначается символом 1 (часто также вместо 1 пишут Е или /). Обозначим через S поворот на прямой угол в направлении, обратном направлению вращения часовой стрелки; тогда четыре движения, переводящие в себя фигуру рис. 23, можно записать следующим образом: 5, S\ s3 = s- S4=l. Наименьшая степень, в которую нужно возвести данное преобразование, чтобы получить тождественное преобразование, называется порядком данного преобразования. Так, например, преобразование S имеет порядок 4, а центральная симметрия S2 имеет порядок 2. Единственным преобразованием порядка 1 является тождественное преобразование. Параллельный перенос вообще не имеет конечного порядка; иногда оказывается удобным говорить, что он имеет бесконечный порядок. Некоторые фигуры переводятся в себя одновременно и центральной, и осевой симметрией. Так, например, буква Н (рис. 24) имеет горизонтальную ось симметрии
56 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 (подобно букве Е), вертикальную ось симметрии (подоб* но букве Л), а также центр симметрии (подобно букве N); при этом центр симметрии совпадает с точкой пересечения осей симметрии. Таким образом, эта буква допускает четыре различных движения, переводящих ее в себя: тождественное преобразование 1, отражение i?i от горизонтальной прямой, отражение R2 от вертикальной прямой и центральную симметрию /?i/?2=/?2#i. УПРАЖНЕНИЯ 1. Каждое движение второго порядка является либо симметрией относительно прямой, либо симметрией относительно точки (Б ахм а н [1], стр. 2—3). 2. Записать а) вращение на 180° (центральную симметрию), б) вращение на 90° в 1) декартовых координатах, 2) полярных координатах. [Принять за начало координат центр вращения.] § 5. ГРУППЫ Симметрия, как бы широко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек в течение веков пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. Герман В е й л ь [I], стр. 5. Множество преобразований (Биркгоф и Мак Л е й н [1], стр. 119—122; (Александров [1])) образует группу, если оно вместе с каждым преобразованием содержит обратное к нему и вместе с каждыми двумя преобразованиями — их произведение (включая произведение любого преобразования на себя и на обратное ему). Число различных преобразований, входящих в группу, называется порядком группы. (Порядок группы может быть конечным или бесконечным.) Движения, переводящие в себя любую фигуру, очевидно, образуют группу. Это так называемая группа симметрии фигуры. В том крайнем случае, когда фигура не обладает никакой симметрией (как, например, цифра 6), ее группа симметрии имеет порядок один, т. е. состоит из одного только тождественного преобразования. Группа симметрии букв Е или А (рис. 21) называется диэдрической группой; порядок ее равен двум* Эта группа порождается единственной осевой симме-»
§51 ГРУППЫ 57 трией и обозначается £>ь Группа симметрии буквы N (рис. 22) тоже имеет порядок два; однако в этом случае образующей является не осевая, а центральная симметрия. Эта группа называется циклической группой второго порядка и обозначается символом С2. Две группы Di и С2 с абстрактной алгебраической точки зрения тождественны или изоморфны; они являются различными геометрическими интерпретациями единственно возможной абстрактной группы порядка 2, определяемой соотношением 2.51 R2=l или (Кокстер и Мозер [1], стр. 1). Группа симметрии фигуры рис. 23 порождается поворотом на прямой угол и абстрактно определяется соотношением 54=1. Эту группу называют циклической группой порядка 4 и обозначают символом С4. Группа симметрии буквы Н (рис. 24) порождается двумя осевыми симметриями i?i и ^ и абстрактно определяется соотношениями 2.52 $=1, #!=ь r1r2=r2r1. Это так называемая диэдрическая группа порядка 4; она обозначается символом D2. Хотя обе группы С4 и D2 имеют порядок 4, они не изоморфны; они имеют различную структуру, различные «таблицы умножения». Чтобы увидеть это, достаточно заметить, что группа С4 содержит два элемента порядка 4, тогда как все элементы группы D2 (кроме тождественного преобразования) имеют порядок 2; для образующих Ri и /?2 это ясно, а для их произведения следует из простой выкладки: (R{R2f = /u/fc/fc/u = RlR2R2Ri = RiRlRi = RiRi = /??=1. Это последнее замечание поясняет, что мы имеем в виду, говоря, что соотношения 2.52 являются абстрактным определением группы D2. Точнее это означает, что
58 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 каждое верное соотношение между образующими /?i и R2 является алгебраическим следствием этих простых соотношений. Другое абстрактное определение этой же группы таково: 2.53 /tf=l, /?22=1, (/?,/?2)2=1; из него легко вывести, что RiR2 = R2Ri. Общая циклическая группа Сп порядка п абстрактно определяется следующим единственным соотношением: 2.54 S"=l. Ее единственную образующую 5, имеющую порядок 360° я, удобно представлять себе как вращение на угол • Тогда Sk есть вращение на k таких углов и п элементов группы Сп соответствуют вращениям на углы, отвечающие значениям &, меняющимися от 1 до пу или от 0 до п — 1. В частности, группа С5 встречается в природе как группа симметрии пятилепестковых цветов (например, у цветов из рода барвинок). УПРАЖНЕНИЕ Записать вращение вокруг начала координат на угол а, а) в полярных координатах, б) в декартовых координатах. Если /(г, 0)=О — уравнение кривой в полярных координатах, то каково будет уравнение повернутой кривой? § 6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОСЕВЫХ СИММЕТРИИ Ты в озере своем свой созерцаешь лик. Ж М Л е г а р е (J М. Legare, 1823-1859), К лилии. В произвольной группе преобразований ассоциативный закон умножения (RS)T=R(ST) выполняется автоматически, но коммутативный закон RS = SR может и не иметь места и в произведении всегда надо помнить о порядке элементов; так, например, (RSyl = S-lR~\
§ 6] ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОСЕВЫХ СИММЕТРИИ 59 а не R~lS~l. (Это становится ясным, если мы представим себе R и S как операции одевания носков и ботинок.) Произведение симметрии относительно двух пересекающихся прямых (или плоскостей) представляет собой вращение на угол, равный удвоенному углу между прямыми (или плоскостями). В самом деле, пусть точки Л, В, С, D, ... расположены на равных расстояниях друг от друга на окружности с центром О, и пусть /?4 и /^—симметрии относительно прямых ОВ и ОС (рис. 25). Ясно, О Рис. 25. что симметрия Ri переводит треугольник ОАВ в треугольник ОСВ, а симметрия R2 — треугольник ОСВ в OCD\ поэтому преобразование R\R2 представляет собой вращение на Z.AOC или ZBOD, который вдвое больше, чем /.ВОС. Так как вращение полностью определяется центром и углом поворота, произведение RiR2 совпадает с произведением симметрии относительно любых двух прямых, пересекающихся в точке О и образующих такой же угол, как ОВ и ОС (например, симметрии относительно прямых ОА и ОВ можно записать в виде RiR2Ri и Ri и их произведение равно RiR2Rtiz=R[R2). В частности, симметрия относительно точки О представляет со* бой произведение симметрии относительно любых двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку О. Так как RiR2— вращение против часовой стрелки, RiR2 является вращением на такой же угол, но в направлении, совпадающем с направлением вращения часовой стрелки; в самом деле, /?2/?1 = /?2"1/?Г1=(/?1/?2)"\
60 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ ГГЛ. 2 Это выражение совпадет с /?i/?2, если две прямые (плоскости) образуют прямой угол. В этом случае преобразование /?i/?2 является центральной симметрией и (#i/?2)2=l. УПРАЖНЕНИЯ 1. Произведение вращений на прямой угол (в одну и ту же сторону) вокруг точек В и С есть симметрия относительно центра квадрата со стороной ВС. 2. Пусть ACPQ и BARS — квадраты, построенные на сторонах АС и В А треугольника ABC. Если точки В и С фиксированы, то при всех положениях точки А прямая PS проходит через фиксиро- ванную точку. §7. КАЛЕЙДОСКОП Группа D2 является частным случаем общей диэдри- ческой группы Dny которая при п>2 является группой симметрии правильного n-угольника {п} (рис. 26 иллюстрирует случаи п = 3, 4, 5). Эта группа, очевидно, имеет Рис. 26. порядок 2л и состоит из п вращений (на углы, кратные 360° ) и п осевых симметрии. Если п нечетно, то каждая из п осей симметрии проходит через вершину многоугольника и середину противоположной стороны; если п четно, то -J п осей проходят через пары противоположных вершин, а остальные -% п осей — через пары середин противолежащих сторон (см. Биркгоф и Мак Лейн [1], стр. 117—118, 135; (Александров [1], стр. 56—57), п вращений диэдрической группы являются
§71 КАЛЕЙДОСКОП 61 элементами циклической группы Сп. Таким образом, в число элементов группы Dn входят все элементы группы Сп; говорят, что группа Сп является подгруппой груп- 360° пы Dn. Вращение на угол —j—, порождающее группу Сп, представляет собой произведение S=R[R2 отражений от двух соседних осей симметрии (например, осей ОВ и ОС 180° на рис. 26), которые образуют угол —^~. Пусть через Ru R2, ..., Rn обозначены п входящих в группу Dn осевых симметрии, взятых в их естественном порядке. Тогда преобразование RiRk+i является произведением симметрии относительно двух осей, образую- щих угол k —^—>т. е. совпадает с вращением на угол к Зб0° • R\Rk+\ — S • Таким образом, Rk+i=RiSk и, следовательно, п симметрии можно записать так: Другими словами, группа Dn порождается осевой симметрией Ri и вращением 5. Заменяя 5 на RiR2, мы видим, что эта группа порождается также симметриями /?i и /?2; эти две осевые симметрии удовлетворяют соотношениям 2.71 /tf=l, /$=1, (Rxlb)* = l. (Первые два равенства взяты из 2.51, а третье — из 2.54.) Можно показать, что этих соотношений достаточно для абстрактного определения группы Dn (см. К о к - стер и Мозер [1], стр. 6, 36). Практические модели групп Dn можно получить следующим образом. Два обыкновенных зеркала соединяют шарниром и устанавливают их по прямым ОВу ОС, как на рис. 26, так чтобы они составляли угол —— • Любой предмет, помещенный между зеркалами, порождает 2п
62 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 видимых изображений (включая себя самого). Если этот предмет — ваша правая рука, п изображений будут иметь вид левых рук. Это иллюстрирует следующий принцип: так как осевая симметрия изменяет ориентацию на плоскости, произведение четного числа симметрии сохраняет ориентацию, а произведение нечетного числа симметрии ее изменяет ((ср. ниже, § 1 гл. 3)). Первое описание этого инструмента опубликовано, по-видимому, Атанасиусом Кирхером (A. Kircher) в 1646 году. Название калейдоскоп (от xaXog — красивый, еТбод — вид и axonetv — смотреть) придумал сэр Дэвид Брюстер, написавший трактат о его теории и истории. Он критикует Кирхера за то, что тот допускает в качестве 360° углов между зеркалами любые углы вида ——, вместо 180° того чтобы ограничиться углами вида —— (Брюстер [1], стр. 147). Случай я = 2, конечно, общеизвестен. Став между двумя перпендикулярными зеркалами (как в углу комнаты), вы видите ваши отражения в каждом из зеркал и отражение отражений в том виде, в котором вас видят другие люди. Решив применять символ Dn для диэдрической группы, порождаемой симметриями относительно двух пло- « * „ 180° скостеи, образующих двугранный угол ——, мы, есте* ственно, расширим это понятие так, чтобы оно включало и крайний случай /г=1. Таким образом, D{ — это группа порядка 2, порождаемая единственной симметрией относительно прямой или плоскости, т. е. группа букв Е и А. Изоморфная ей группа С2, порождаемая центральной симметрией, является группой симметрии буквы N. Согласно Вейлю ([1], стр. 66, 99), Леонардо да Винчи открыл, что все конечные группы движений плоскости исчерпываются группами Си С2, С3, ...; Dlt D2t D3, ... Этот вопрос интересовал его с точки зрения архитектурных планов. Конечно, преобладающими в архитектуре всегда были группы D\ и D2. Но египетские пирамиды дают пример группы £)4, а в новое время идеи Леонардо были развиты в нескольких напра-
§8] ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 63 влениях. Здание Пентагона в Вашингтоне*) имеет группу симметрии D$, а бехаистский храм под Чикаго имеет группу симметрии D9. В природе многие цветы имеют диэдрические группы симметрии, например D6. Снежинки, как правило, имеют группы симметрии £>6, но иногда только />з (Кеплер [1], т. 4, стр. 259—260), Если вы разрежете яблоко таким способом, как обычно разрезают апельсин, вы увидите, что сердцевина яблока имеет группу симметрии D5. Если провести через вершины пятиконечной звезды во внешнюю сторону прямые разрезы, делящие углы пополам, то яблоко будет разрезано на десять ломтей и из каждого из них можно будет вынуть сердцевину в виде двух тонких хлопьев. УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти группы симметрии: а) разностороннего треугольника, б) равнобедренного треугольника, в) параболы, г) параллелограмма, д) ромба, е) прямоугольника, ж) эллипса. 2. Опираясь на существование обратного элемента и на ассоциативный закон умножения, докажите «правило сокращения», которое гласит, что из соотношения RT = ST следует R—S. 3. Показать, что обычные соотношения, определяющие группу D3, т. е. соотношения 2.71 для п = 3, можно вывести с помощью алгебраических преобразований из соотношений /\] = I, /vj/^/vi ==: ^2^1 2* 4. Циклическая группа Ст является подгруппой группы Сп тогда и только тогда, когда число т является делителем п. В частности, если п простое число, подгруппами Сп являются только она сама и Сп. § 8. ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ Вместо того чтобы образовывать диэдрические группы Dn при помощи правильных многоугольников {п}, мы могли бы действовать наоборот: получать многоугольники из групп. В самом деле, вершины многоугольника {п} — это в точности п образов точки Р0 (точки С на *) И здание Центрального театра Советской Армии в Москве.
64 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ.2 рис. 26), лежащей на одном из зеркал калейдоскопа* В действительности для такого построения нет необходимости использовать всю группу Dn, вполне достаточно ее подгруппы Сп. Вершина Р& многоугольника P0Pi ... Pn_i получается из исходной вершины Р0 пово- и 360° ротом на угол k Более общим образом, вращения вокруг заданной точки О на углы 8, 28, 38, ... переводят точку Р0 (отличную от О) в другие точки Р4, Р2, Рз, ..., лежащие на окружности с центром О и радиусом OPQ. Вообще говоря, эти точки располагаются всюду плотно на окружности; но если угол 8 соизмерим с прямым углом, то среди этих точек будет только конечное число различных. В частности, если 0 = —тр» где п — натуральное число, большее 2, то эти точки будут точками Р&, причем отрезки, соединяющие соседние точки, являются сторонами обычного правильного я-угольника. Расширим теперь понятие правильного многоугольника, приняв, что п может быть любым большим 2 ра- циональным числом, другими словами, дробью p/d, где числа р и d взаимно просты. Мы назовем {обобщенным) правильным многоугольником {/г}, где п == -~ , фигуру с р вершинами, которые получаются из точки Р0 с по-* 360° мощью последовательных поворотов на угол , и р сторонами (обходящими центр d раз) Так как луч, выходящий из центра и не проходящий через вершину многоугольника, пересекает d из р сто-» рон многоугольника, этот знаменатель d называется плотностью многоугольника (К о к с т е р [1], стр. 93—■ 94). Если d=l, так что я=р, мы имеем обыкновенный правильный р-угольник {р}. Если d>l, стороны Пересе-» каются, но точки пересечения не считаются вершинами. Так как d может быть любым натуральным числом,
*8] ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 65 взаимно простым ери меньшим чем -j рУ существуют правильные многоугольники {п} для любого рационального числа /г>2. Иногда желательно включать в их число также двуугольник {2}, хотя две его стороны совпадают. Если я = 5, мы получаем пятиугольник {5} с плотностью 1 и пентаграмму (пятиугольную звезду) < у | с плотностью 2 — символ, пользовавшийся большим почтением у вавилонян и пифагорейцев. Аналогично окта- грамма < -^ > и декаграмма < -w- [ имеют плотность 3, а додекаграмма j-g-| имеет плотность 5 (рис. 27). Эти *&# m ш Рис. 27. частные виды многоугольников имеют наряду с символами специальные названия, так как с ними приходится встречаться как с гранями интересных многогранников и в мозаиках 1). Многоугольники, для которых d>l, называются звездчатыми многоугольниками. В форме таких многоугольников часто изготовляют ордена. Самое раннее математическое рассмотрение звездчатых многоугольников восходит к Томасу Брадвардину (Т. Bradwardine, 1290— 1349), который в последний месяц своей жизни стал архиепископом Кентерберийским. Они изучались также великим немецким ученым Кеплером (1571 —1630) (см. Кокете р [1], стр. 114). Швейцарский математик ]) Н. S. М. Coxeter, М. S. L о n gu е t-H i g g i n s and J. C. P. M \ 11 e r, Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society A246, 1954, стр. 401—450.
66 ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ [ГЛ. 2 Шлефли (L. Schlafli, 1814—1895) первым применил числовые символы l-j [. Это обозначение оправдывается тем, что числовые формулы, относящиеся к символу {я}, будут верны независимо от того, будет ли п целым или дробным. Например, произвольная сторона многоугольника {п} и его центр О образуют равнобедренный треугольник OP0Pi (рис. 28) с углом при вершине О, равным —. (Так как мы будем использовать аппарат тригонометрии, то нам естественно пользоваться радианной Рис. 28. мерой углов и писать 2я вместо 360°.) Основание равнобедренного треугольника, являющееся стороной многоугольника, удобно обозначать через 2/. Другие стороны треугольника равны радиусу R описанной вокруг многоугольника окружности. Высота или медиана, опущенная из точки О, равна апофеме г многоугольника. Следовательно, 2.81 R = I cosec ~, г = Z ctg ~-. г- Р Если n = -j» площадь многоугольника естественно определить как сумму площадей р равнобедренных треугольников, а именно, 2.82 Если rf=l, эта величина равна просто /?/2 ctg —-, в других случаях при нашем определении площади каждая
§8] ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ 67 внутренняя часть считается столько раз, какова ее «локальная плотность». Например, пятиугольная область в середине пентаграммы \-^> считается дважды. Угол PqP\P2 между двумя смежными сторонами многоугольника {я}, равный сумме углов при основаниях равнобедренных треугольников, является дополнитель- 2л ным к углу — , т. е. 2.83 Отрезок, соединяющий середины соседних сторон, называется вершинной фигурой многоугольника {п}. Его длина равна, очевидно, 2.84 2/cos —. п (Ко к ст е р [1], стр. 16, 94.) УПРАЖНЕНИЯ 1. Если стороны многоугольника, вписанного в окружность, равны между собой, то многоугольник правильный. 2. Если многоугольник может быть вписан в окружность, имеет нечетное число вершин и все его углы равны между собой, то он правильный. [Марсель Рисе (М. Riesz).] 3. Найти углы многоугольников .... {!). т. {!}. {!}• 4. Найти радиусы, апофемы и вершинные фигуры многоугольников «••• {!}• <■*>• т- 5. Определить полярные координаты &-й вершины Ръ. многоугольника {п} с радиусом описанной окружности 1, центром в полюсе и вершиной Р0 в точке (1,0). в. Квадратный пирог украшен по краям сахарной глазурью. Можно ли разрезать его на девять ломтиков так, чтобы каждый ломтик содержал одинаковое количество пирога и одинаковое количество глазури?
ГЛАВА 3 ДВИЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ плоскости При рассмотрении осевых симметрии, вращений и параллельных переносов, естественно возникает вопрос о том, почему вращение или параллельный перенос можно осуществить непрерывным перемещением плоскости, а осевую симметрию — нельзя. Также резонно спросить, существуют ли другие виды движений, сходные в этом отношении с осевой симметрией. Ответив на эти вопросы с использованием нового понятия «ориентации», мы применим затем полученные сведения для доказательства одной замечательной теоремы (§ 6) и для описания семи возможных видов повторяющихся узоров на бесконечной полосе (§ 7). § 1. СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ «Позаботьтесь о смысле (sense), а звуки позаботятся сами о себе». Льюис К э р р о л [1], гл. 9, стр. 104. Применяя несколько раз аксиому I. 26, можно доказать, что произвольной точке Р, лежащей в плоскости двух равных треугольников ЛВС, А'В'С, соответствует такая точка Р\ что АР=А'Р\ ВР = В'Р\ СР = С'Р'. Точно так же другой точке Q соответствует точка Q', причем PQ = P'Q'. Следовательно, 3.11. Любую пару равных треугольников можно со- вместить единственным движением. В § 3 гл. 1 мы видели, что папповское доказательство теоремы Pons asinorum запутано из-за сравнения двух совпадающих треугольников ABC, АСВ. Мы интуитивно чувствуем, что эти треугольники различаются ориента-
$ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 69 щей (по англ. — sense): один ориентирован против часовой стрелки, а другой — по часовой стрелке. Это различие может быть распространено с совпадающих треугольников на различные: любые два «направленных» треугольника ABC и А'В'С могут иметь одинаковую или противоположную ориентацию. Возможность такого распространения является «топологическим» свойством евклидовой плоскости. (По поводу более глубокого развития этой интуитивно ясной идеи см. Веблен и Юнг [2], стр. 61—62, или Денк и Гофман [1], стр. 56; (ср. также Болтянский и Ефремович [1], ч. 1 стр. 23 и след.).) Если треугольники ABC и А'В'С равны, движение, совмещающее первый из них со вторым, называется собственным или зеркальным, смотря по тому, сохраняет ли оно ориентацию, или меняет ее. Другими словами, движение является собственным, если треугольники ABC и А'В'С ориентированы одинаково, и зеркальным — в противном случае. Легко видеть, что это свойство движения не зависит от выбора треугольника ABC: если то же самое движение переводит треугольник DEF в D'E'F', где треугольник DEF ориентирован так же, как ЛВС, то и треугольник D'E'F' ориентирован так же, как А'В'С*). *) В основу доказательства этого фундаментального факта, определяющего возможность разбиения множества всех движений на два класса: собственных и зеркальных движений, можно положить то обстоятельство, что ориентация треугольников ЛВС и DBC А А Ф Рис. 29. является различной или одинаковой в зависимости от того, пересекает ли отрезок AD прямую ВС или нет (см. рис. 29,а, б). Но если движение переводит треугольники ЛВС и DBC в треугольники А'В'С и D'B'C\ то отрезок A'D' пересекает прямую В'С (т. е. A'D'>A'M\ где ЛГ—-точка пересечения A'D' и В'С) в том
70 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3 Ясно, что собственные и зеркальные движения перемножаются так же, как положительные и отрицательные числа (т. е. произведение двух зеркальных движений является собственным движением). Так как осевая симметрия является зеркальным движением, то вращение, А <$> ВС В> Рис. 30. т. е. произведение осевых симметрии, является собственным движением; в частности, собственным движением является тождественное преобразование. (Некоторые ав* торы называют собственные и зеркальные движения «движениями» и «отражениями» или «движениями 1-го рода» и «движениями 2-го рода».) и только в том случае, когда отрезок AD пересекает прямую ВС (т. е. когда AD>AM, где М — точка пересечения AD и ВС); поэтому если треугольники ABC и А'В'С ориентированы одинаково (различно), то и треугольники ВВС и D'B'C ориентированы одинаково (различно). Но в таком случае ориентированы одинаково (различно) и треугольники DEC и D'E'C и треугольники DEF и D.'E'F\ где Е' и F' — точки, в которые то же движение переводит точки Е и F. [Это доказательство требует лишь незначительных усовершенствований, если, скажем, точка D принадлежит прямой ВС] Проведенное здесь рассуждение полностью сохраняет силу и в том случае, если треугольники ABC и DEF переводятся в треугольники А'В'С и D'E'F' преобразованием подобия (см. ниже гл. 5) или аффинным преобразованием (см. гл. 12, в частности, стр. 292), что позволяет также говорить о собственных и зеркальных преобразованиях подобия или аффинных преобразованиях. Однако если треугольники (точнее, тройки точек) ABC и DEF переводятся в А'В'С' и D'E'F' проективным преобразованием (см. гл. 14), то рассуждение теряет силу (ибо проективное преобразование не обязано переводить отрезок AD в отрезок A'D'). И в самом деле, деление проективных преобразований на собственные и зеркальные является невозможным.
§ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 71 Теорему 2.31 можно обобщить следующим образом: 3.12. Любой данный отрезок {пару точек) АВ можно совместить с любым равным ему отрезком А'В' в точности двумя движениями: одним собственным и одним зеркальным. Чтобы доказать это, возьмем произвольную точку С вне прямой АВ и построим точку С так, чтобы треугольник А'В'С был равен треугольнику ABC. Два возможных положения точки С (обозначенные С и С" на рис. 30) и дают требуемые два движения. Так как одно из них равно произведению другого на симметрию относительно прямой А'В', то одно из движений является собственным, а другое— зеркальным. Для завершения наших рассмотрений воспользуемся следующей теоремой (Б а х м а н [1], стр. 3; (ср. Я г л о м [1], стр. 65—66)): 3.13. Каждое движение плоскости может быть представлено в виде произведения не более чем трех осевых симметрии. Если это движение ^имеет неподвижную точку, то максимальное число симметрии сокращается до двух. Мы докажем эту теорему в четыре этапа, используя теорему 3.11. Если треугольники ABC и А'В'С совпадают, то соответствующее движение, очевидно, представляет собой тождественное преобразование (которое является произведением произвольной осевой симметрии на себя; (можно также в этом случае говорить о произведении «0» симметрии)). Если точка А совпадает с А', а точка В с В\ но точки С и С различны, то треугольники симметричны относительно прямой АВ. Случай, когда точка А совпадает с Л', можно свести к одному из предыдущих случаев, отразив треугольник ABC от перпендикуляра т, восставленного в середине отрезка ВВ' (см. рис. 31). Наконец, общий случай может быть сведен к одному из трех рассмотренных ранее отражением треугольника ABC от перпендикуляра, восставленного в середине отрезка АА' (Ко к стер [1], стр. 35). Так как осевая симметрия изменяет ориентацию, движение будет собственным или зеркальным в зависимости от того, является ли оно произведением четного или нечетного числа осевых симметрии.
72 движения в ЕВКЛИДОВОЙ плоскости [ГЛ. 3 Так как тождественное преобразование является произведением двух осевых симметрии (а именно, произвольной симметрии на себя), мы можем сказать короче, Рис. 31. что любое движение является произведением двух или трех симметрии, в зависимости от того, собственное ли это движение или зеркальное. В частности, 3.14. Любое собственное движение, имеющее неподвижную точку, представляет собой вращение, а любое зеркальное движение — осевую симметрию. УПРАЖНЕНИЯ 1. Назовите два типа собственных движений. 2. Назовите одно зеркальное движение. Существуют ли какие- нибудь другие типы зеркальных движений? 3. Пусть отрезок АВ переводится в А'В' вращением. Как ♦построить центр этого вращения? [Указание; перпендикуляры к серединам отрезков АА' и ВВ' не обязательно различны.] 4. Произведение симметрии относительно трех прямых, проходящих через некоторую точку, является симметрией относительно некоторой прямой, проходящей через эту точку (Б а х м а н [1], стр. 5). § 2. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ перенос И ходил Енох пред богом; и не стало его, потому что бог взял его. Книга Бытия •) V, 24. Частные виды движений, которые рассматривались до сих пор, а именно, осевая симметрия (зеркальное движение) и вращение (собственное движение) имеют по *) Первая из пяти основных книг Ветхого Завета.
§2] ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС 73 крайней мере одну неподвижную точку. Общеизвестно также одно движение, которое не оставляет на месте ни одной точки, а именно, параллельный перенос (Бах- ман [1], стр. 7; (Яглом [1], стр. 19)), который можно определить как произведение двух симметрии относительно различных точек О и О' (см. левую часть рис. 32). 1*<ЕЖ^ р О /^ рн т О' РТ\ Рис. 32. Первая симметрия переводит произвольную точку Р в точку Рн, а вторая переводит Рн в Рг, причем окончательно получается, что отрезок РРТ параллелен отрезку 00' и в два раза длиннее его (Болтянский и Яглом [1], стр. 164). Таким образом, длина и направление отрезка РРТ постоянны, т. е. не зависят от положения точки Р. Так как параллельный перенос полностью определяется длиной и направлением отрезка РРТ, произведение симметрии относительно точек О и О' совпадает с произведением симметрии относительно точек Q и Q\ если только отрезок QQ' равен и параллелен отрезку 00'. [Это означает, что OO'Q'Q — параллелограмм, возможно вырождающийся в четверку точек одной прямой, как это показано на рис. 32.] Таким образом, если мы хотим представить данный параллельный перенос в виде произведения двух центральных симметрии, центр одной из симметрии можно выбрать произвольно. 3.21. Произведение двух параллельных переносов само является параллельным переносом. Учитывая предыдущее замечание, представим первый параллельный перенос в виде произведения симметрии относительно точек 04 и 02, а второй — симметрии относительно точек 02 и 03. При последовательном выполнении параллельных переносов произведение двух симметрии относительно точки 02 даст тождественное преобра-
74 движения В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3 зование и останется произведение симметрии относительно точек Oi и 03. Пусть шит7 (см. правую часть рис. 32) —две прямые, проходящие через точки О и О' и перпендикулярные к прямой 00'. Симметрии относительно точек О и О' можно заменить произведениями симметрии относительно прямых т и 00', соответственно ООг и гп'. При последовательном выполнении центральных симметрии произведение двух симметрии относительно прямой 00' даст тождественное преобразование и останется произведение симметрии относительно прямых т и т'. Следовательно, 3.22. Произведение симметрии относительно двух параллельных прямых представляет собой параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на расстояние, равное удвоенному расстоянию между прямыми. Если параллельный перенос Т переводит точку Р в Рг, а точку Q в Qr, то отрезок QQT равен и параллелен РРТ\ следовательно, PQQTPT — параллелограмм. Подобно этому, если другой перенос U переводит точку Р в Q, то он переводит также Рт в Qr. Поэтому TU = UT. [Подробнее: если Q = PU, то QT = PUT. Но параллельный перенос U переводит точку Рт в Рти. Значит, точки Рти- и Рит совпадают при всех положениях точки Р.] Другими словами, 3.23. Произведение параллельных переносов подчиняется коммутативному закону. Произведение центральной симметрии Н и параллельного переноса Т представляет собой некоторую другую центральную симметрию; в самом деле, мы можем представить параллельный перенос в виде произведения двух центральных симметрии, одной из которых является Я. Пусть Т=НН'. Тогда НТ = Н2Н' = Н'. 3.24. Произведение центральной симметрии и параллельного переноса представляет собой центральную симметрию.
§3] СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ 7о УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть Т — произведение симметрии относительно точек О и О'. Чему равно произведение симметрии относительно точек О' и О? 2. Насколько произвольно можно выбирать одну из двух осей симметрии при представлении параллельного переноса в виде произведения двух осевых симметрии? 3. Чему равно произведение вращений на противоположные углы (а и —а) вокруг двух различных точек? 4. Произведение симметрии относительно трех параллельных прямых является симметрией относительно прямой, параллельной этим прямым. 5. Произведение трех центральных симметрии является центральной симметрией (Бахман [1], стр. 7). 6. Если #ь //2, #з — центральные симметрии, то Н{Н2НЪ— = #3#2//j. 7. Представить параллельный перенос на расстояние а вдоль оси х как преобразование декартовых координат. Если уравнение кривой имеет вид /(*,*/) =0, то каково будет уравнение сдвинутой кривой? Рассмотреть для примера окружность х2-\-у2— 1=0. § 3. СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ Мы достаточно близко познакомились с тремя типами движений: осевой симметрией, вращением (в частности, центральной симметрией) и параллельным переносом. Однако пока мы еще не выяснили, что представляет собой произведение отражений от трех сторон треугольника. Мы покажем, что это преобразование является скользящей симметрией, т. е. произведением симметрии относительно прямой а и параллельного переноса вдоль этой прямой *). Ясно, что скользящая симметрия определяется своей осью а и величиной переноса. Так как осевая симметрия является зеркальным движением, а параллельный перенос — собственным движением, то их произведение будет зеркальным движением. Таким образом, скользящая симметрия — это зеркальное движение, не имеющее неподвижных точек (Ко к стер [1], стр. 36). Пусть скользящая симметрия G переводит некоторую точку Р в точку PG (рис. 33). Тогда точки Р и PG лежат *) Заметим, что скользящая симметрия не является симметрией в смысле приведенного на стр. 52 определения.
76 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3 с разных сторон оси а на равных расстояниях от нее. Следовательно, При любом положении точки Р середина отрезка PPG принадлежит оси скользящей симметрии. Пусть /?i и Т обозначают составляющие осевую симметрию и параллельный перенос. Они, очевидно, перестановочны, так что G^RJ^TR,. Мы видели (рис. 32), что перенос Т можно представ- вить в виде произведения двух центральных симметрии или двух осевых симметрии (отражений от двух параллельных прямых). Отождествим прямую а рис. 33 с а Рис. 33. р \ ° р" р" гл Рис. р^г 1/77' 34. Р7\ PG прямой 00' на рис. 34, и пусть R и /?' обозначают симметрии относительно прямых m и пг'. Тогда произведение двух центральных симметрии Н и #', равных Н = /?/?! = ад Н' = R'RX = RXR\ имеет вид T = HH' = RRXRXR'^RR', а скользящая симметрия может быть представлена следующим образом: G^RJ^^RR'^HR' или же Qz==zTRx = RR'Rx = RH'. Таким образом, скользящую симметрию можно представить в виде произведения трех осевых симметрии (причем оси двух симметрии перпендикулярны к оси третьей) или произведения центральной и осевой симметрии (или осевой и центральной симметрии). Обрат-
§3] СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ 77 но, произведение произвольной центральной симметрии и произвольной осевой симметрии (взятых в любом порядке) является скользящей симметрией, если только центр центральной симметрии не принадлежит оси осевой симметрии (Бахман [1], стр. 6). В 3.13 было показано, что любое собственное движение плоскости есть произведение двух осевых симметрии, причем параллельный перенос и вращение соответствуют случаям параллельных и пересекающихся осей. Кроме того, всякое зеркальное движение, имеющее неподвижную точку, является осевой симметрией. Единственная остающаяся возможность для пополнения спи-» ска движений — зеркальное движение без неподвижных точек. Пусть такое движение S переводит некоторую данную точку А в точку А'. Рассмотрим центральную симметрию Я, меняющую эти точки местами. Произвел дение HS является зеркальным движением и оставляет на месте точку А\ следовательно, оно может быть только осевой симметрией R. Поэтому данное зеркальное движение является скользящей симметрией S = H~lR = ///?, т. е. любое зеркальное движение, не имеющее неподвижных точек, является скользящей симметрией. Другими словами, 3.31. Любое произведение трех осевых симметрии является либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией. В частности, произведение RT произвольного параллельного переноса и произвольной осевой симметрии является скользящей симметрией, которая вырождается в осевую симметрию, если ось симметрии R перпендикулярна к направлению параллельного переноса Т. (В этом случае осевые симметрии R и RT можно использовать для представления переноса Т в виде произведения двух симметрии.) Но так как данная скользящая симметрия G имеет вполне определенную ось (геометрическое место середин отрезков PPG)y разложение ее в произведение осевой симметрии и переноса в направлении оси симме* трии единственно (в отличие от разложения в произве-» дение осевой и центральной симметрии, где можно
78 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3 выбирать в качестве оси симметрии любую прямую, пер- рендикулярную к оси скользящей симметрии, или выбрать за центр центральной симметрии любую точку оси). УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть точка В— середина отрезка АС. Какие движения преобразуют а) отрезок ЛВ в СВ, б) отрезок ЛВ в ВС? 2. Любое собственное движение является произведением двух осевых симметрии, а любое зеркальное движение — произведением осевой и центральной симметрии. 3. Что представляет собой произведение симметрии относительно прямой 00' и симметрии относительно точки О? 4. Что представляет собой произведение двух скользящих симметрии, оси которых перпендикулярны? 5. Любое произведение трех скользящих симметрии является скользящей симметрией. 6. Произведение трех осевых симметрии является осевой симметрией тогда и только тогда, когда три оси симметрии пересекаются в одной точке или параллельны. 7. Если /?ь /?2, Rz — осевые симметрии, то (/?1#2#з)2 — параллельный перенос (Радемахер и Теплиц [1], стр. 39). 8. Описать преобразование (х, у) -> (х 4- а, — у). Обосновать утверждение, что это преобразование переводит кривую /(*,*/)= О в кривую f(x — а, —*/)=0. § 4. ОСЕВЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИММЕТРИИ Томсен х) построил очень красивую теорию, в которой геометрические свойства точек О, Ои 02, ... и прямых m, ntu т2, ... выражаются соотношениями между соответствующими центральными симметриями Я, Ни #2, ... и осевыми симметриями /?, /?ь /?2, ... Читатель может легко убедиться сам, что следующие пары утверждений логически эквивалентны: RRx = RiR «-> прямые т и т4 перпендикулярны; HR = RH «-> точка О лежит на прямой т; RiRo.Rz="RzR2Ri*-> прямые т4, т2, т3 либо пересекаются в одной точке, либо параллельны; l) G. Thomsen, The treatment of elementary geometry by a group-calculus, Mathematical Gazette 17, 1933, стр. 232. Бахман посвятил развитию этой идеи целую книгу [1J.
§ 5] СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ, относящихся к движениям 79 UJi = #//2<->точка О — середина отрезка 0\02\ HiR = RH2 <-> прямая т — перпендикуляр к середине отрезка Oi02. УПРАЖНЕНИЕ Дайте геометрическую интерпретацию соотношений а) Я1Я2Я3Я4=1, б) R{R = RR2. § 5. СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ, ОТНОСЯЩИХСЯ К ДВИЖЕНИЯМ Еще спеша, едва дыша Из моря появлялись. Ль оис К э р р о л [2], гл. 4, стр 46. Некоторых читателей может смутить обилие специальных терминов, многие из которых являются общеизвестными словами, которым придан необычный для них точный смысл. Поэтому мы позволим себе повторить некоторые определения, подчеркивая одновременно аналогии и различия между ними. В нашей книге во всех случаях слово преобразование означает взаимно однозначное отображение всей плоскости (или пространства) на себя. Движение — спе« циальный тип преобразования, а именно, преобразовав ние, сохраняющее длины отрезков (расстояние между точками). Понятие группы симметрии относится скорее к данной фигуре, чем ко всей плоскости: группу симметрии образуют движения, переводящие фигуру в себя. На плоскости собственное (сохраняющее ориентацию) движение представляется в виде произведения двух осевых симметрии. Это движение является вращением, если оно имеет неподвижную точку, т. е. если оси симметрии пересекаются, и параллельным переносом, если оси параллельны. В последнем случае направление пере- носа перпендикулярно к осям симметрии, а его величина равна удвоенному расстоянию между осями; в первом случае угол вращения равен удвоенному углу между осями симметрии. В частности, произведение симметрии относительно двух взаимно перпендикулярных осей представляет собой центральную симметрию, т. е. вращение на угол я (180°). Произведение двух центральных симметрии является параллельным переносом.
80 движения В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3 Зеркальное (изменяющее ориентацию) движение, представляющее собой произведение трех осевых симметрии, является, вообще говоря, скользящей симметрией, т. е. произведением осевой симметрии и параллельного переноса в направлении оси симметрии. В частном случае, когда перенос вырождается в тождественное преобразование (т. е. перенос на нулевое расстояние), скользящая симметрия сводится к осевой симметрии, обладающей целой прямой инвариантных точек — эта прямая является осью преобразования. Подведем итог: 3.51. Каждое собственное движение есть либо параллельный перенос, либо вращение. Каждое зеркальное движение есть либо осевая симметрия, либо скользящая симметрия. УПРАЖНЕНИЯ 1. Если 5 — зеркальное движение, то S2 — параллельный перенос. 2. Если Ru /?2, #з — осевые симметрии, то (/?2#з#1#2#з)2— перенос вдоль оси первой симметрии. [Указание: так как RiR2Rs и R2RzRi — скользящие симметрии, их квадраты перестановочны согласно 3.23; таким образом, (Я1#2#з)2 (#2#3#l)2 = (#2#3#l)2 (#1#2#3)2, т. е. R\ и (/?2#3#i/?2#3)2 перестановочны (ср. Бахман [1], стр. 13).] § 6. ТЕОРЕМА ХЬЕЛЬМСЛЕВА ...Очень высокая степень неожиданности, в сочетании с неизбежностью и целесообразностью. X а р д и [2], стр. 53. В 3.12 мы видели, что два равных прямолинейных отрезка ЛВ, А'В' можно совместить в точности двумя движениями— одним собственным и одним зеркальным. Эти движения одинаково преобразуют точки, коллинеар- ные с Л и В, т. е. все точки бесконечной прямой АВ (это значит, например, что середина отрезка АВ в обоих случаях переходит в середину отрезка А'В'). Зеркальное движение представляет собой осевую симметрию или скользящую симметрию, причем в обоих случаях ось
§7] УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ 81 преобразования содержит все середины отрезков, соединяющих точки с их образами. Если середины двух таких отрезков совпадают, собственное движение является центральной симметрией и середины всех отрезков совпадают (К о к с т е р [3], стр. 267). Отсюда вытекает Теорема Хьельмслева. Если все точки Р некоторой прямой переходят при некотором движении во все точки Р' другой прямой, то середины отрезков РР/ либо различны и коллинеарны, либо совпадают. С Рис. 35. В частности, если точки Л, 5, С лежат на одной прямой, а точки А\ В', С—на другой, причем 3.61 АВ = А'В\ ВС=В'С\ АС=А'С (рис. 35), то середины отрезков АА\ ВВ\ СС или коллинеарны, или совпадают. [И. Т. Хьельмслев (I. Т. Hjelmslev), 1873—1950.] § 7. УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ Для того чтобы перевести одну окружность в другую, равную ей, можно использовать любой вид движения. Например, точку Р первой окружности на рис. 36 можно перевести в точку Рт параллельным переносом, в точку Рн — осевой симметрией, в точку Рн — центральной симметрией и в точку PG — скользящей симметрией. [Стрелки изображены для того, чтобы показать, что происходит с положительным направлением обхода первой окружности.] Эти четыре движения имеют одно важное общее
82 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ 3 свойство: они оставляют на месте (как целое) прямую, соединяющую центры двух окружностей. [В четвертом случае это есть единственная неподвижная прямая.] Рис 36 Мы видели (рис. 32), что произведение симметрии относительно двух параллельных прямых т, т' является параллельным переносом. Эту ситуацию можно рассматривать, как предельный случай вращения с очень удаленным центром; две параллельные прямые являются предельным случаем прямых, пересекающихся под очень малым углом. В соответствии с этим бесконечную группу, порождаемую единственным переносом, обозначают т гг/' Rff'R R'R R 1 R' RR' Рис. 37 Ceo, а бесконечная группа, порождаемая двумя симмет- риями относительно параллельных прямых (или плоскостей), обозначается через £>оо. С абстрактной точки зрения группа Ссо представляет собой «свободную группу с одной образующей». Если Т — образующий перенос, группа Ссо состоит из переносов т-\ Т\ I, т, г2,... Аналогично Д» порождается симметриями R, R' относительно параллельных осей т, т' (рис. 37) и состоит из
§7] УЗОРЫ НА ПОЛОСЕ 83 осевых симметрии и параллельных переносов ... /?/?'/?, /?'/?, /?, 1, /?'. /?/?', /?'/?/?',... (Ко кет ер [1], стр. 76); абстрактное определение этой группы чрезвычайно просто: /? = #*={. Эту группу можно наблюдать, если сидеть на стуле в парикмахерской между двумя параллельными зеркалами (ср. журнал New Yorker от 23 февраля 1957, стр. 39, где отражение RR'RR'R порождало злого духа). Другую геометрическую интерпретацию той же абстрактной группы А» можно получить, выбирая в качестве образующих R и R' центральные симметрии. Существует также смешанная интерпретация, в которой R представляется осевой, a R' центральной симметрией; однако в этом случае произведение RR' будет уже не параллельным переносом, а скользящей симметрией. Продолжая такие рассмотрения, мы можем вскоре получить полный список семи бесконечных «одномерных» групп симметрии: семи существенно различных способов образований повторяющегося узора на полосе или ленте (Шпейзер [1], стр. 81—82). Типичный узор a) L L L L б) L Г L Г 1 в) V V V V г) N NN N д) у Л V Л е) D D D D ж) Н Н Н Н Образующие 1 параллельный перенос 1 скользящая симметрия 2 осевые симметрии 2 центральные симметрии 1 осевая симметрия и 1 центральная симметрия 1 параллельный перенос и 1 осевая симметрия 3 осевые симметрии Абстрактная группа 1 с~ ] \ D I C00XD1 DmXD, В случае в) обе оси симметрии вертикальны, одна рассекает пополам букву V — соответствующая симметрия переводит эту букву в себя; вторая симметрия переводит эту букву V в одну из соседних букв. Таким
84 движения в ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. 3 образом, уже половина буквы V > расположенная между осями симметрии, порождает целый узор. В случаях е) и ж) имеется горизонтальная ось симметрии, а косой крест в последнем столбце означает «прямое произведение» (см. Ко кете р [1], стр. 42). Для всех этих групп, кроме а) и б), имеется некоторая свобода в выборе образующих; например, в случаях в) и г) одну из двух образующих можно заменить переносом. Строго говоря, эти семь групп не «одномерные», а «1 у мерные»; точнее говоря, это 2-мерные группы симметрии, включающие переносы в одном направлении. В чисто одномерном мире существуют только две бесконечные группы симметрии: группа С^, порождаемая одним переносом, и группа Д», порождаемая двумя отражениями от точечных зеркал, т. е. двумя центральные ми симметриями. УПРАЖНЕНИЯ 1. Определить группы симметрии следующих узоров: ... b b b b... ... b p b p ... ... b d b d ... ... b q b q ... ...b d p q b d p q... 2. Каковы группы симметрии а) циклоиды, б) синусоиды?
ГЛАВА 4 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ Математическая кристаллография составляет одно из наиболее важных применений элементарной геометрии к физике. Трехмерная теория весьма сложна, но ее двумерный аналог, не будучи тривиальным, поддается изучению гораздо легче. Узоры, полностью покрывающие плоскость, естественно возникают как расширение узоров на полосе, рассмотренных в § 7 гл. III. Однако полное описание всех групп симметрии даже и в двумерном случае ((см., например, Мальцев [1])) выходит за рамки этой книги. § 1. РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ Несколько минут Алиса стояла, не говоря ни слова, обозревая расстилающуюся у ее ног страну... — Это совсем как большая шахматная доска! ... на всем свете — если только это свет. Льюис К э р р о л [2], гл. 2, стр. 24. Бесконечные дискретные двумерные группы движений (группы симметрии повторяющихся узоров такого типа, как те, которые встречаются на обоях или на покрытых керамическими плитками полах) отличаются от бесконечных «одномерных» групп тем, чтб содержат два независимых параллельных переноса, т. е. переноса в неколлинеарных направлениях. Русский кристаллограф Е С. Федоров показал, что существует в точности семнадцать таких двумерных групп. Они были вновь открыты
86 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 в нашем столетии Пойя и Ниггли1). Символы, которыми мы будем обозначать эти группы (см. таблицу I), взяты из Международных таблиц рентгенокристалло- графии. Таблица I 17 двумерных кристаллографических групп Обозначение Образующие Pi Р2 рт Pg cm ртт pmg Pgg стт Р4 р4т p4g рЗ p3ml р31т Рб рбт Два параллельных переноса Три центральные симметрии Две осевые симметрии и параллельный перенос Две скользящие симметрии с параллельными осями Осевая и скользящая симметрии с параллельными осями Симметрии относительно четырех сторон прямоугольника Одна осевая и две центральные симметрии Две скользящие симметрии с перпендикулярными осями Две осевые симметрии с перпендикулярными осями и одна центральная симметрия Центральная симметрия и вращение на 90° Симметрии относительно трех сторон прямоугольного равнобедренного треугольника Осевая симметрия и вращение на 90° Два вращения на 120° Осевая симметрия и вращение на 120° Симметрии относительно трех сторон равностороннего треугольника Центральная симметрия и вращение на 120° Симметрии относительно трех сторон прямоугольного треугольника с углом 30° *) Е. С. Федоров, Записки императорского С.-Петербург- ского минералогического общества (2) 28, 1891, стр. 345—390; G. Р б 1 у a und Р. N i g g I i, Zeitschrift fur Kristallographie und Mineralogie 60, 1924, стр. 278—298. (См. также Фрикке и Клейн [1], стр. 227—233.) Таблица Федорова показывает, что 16 из 17 групп были описаны К. Жорданом (С. Jordsn) в 1869 г. Последняя была открыта Л. Зонке (L. Sohncke) в 1874 г., но он пропустил три других.
§ 1] РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ 87 Простейшей двумерной группой является группа pi, порождаемая двумя независимыми переносами X, Y. Так как преобразование, обратное параллельному переносу, и произведение двух переносов также являются переносами (3.21), эта группа состоит только из переносов. Так как XY=YXy все эти переносы могут быть представлены как ХхУу со всевозможными целыми х, у. Абстрактно эта группа является «прямым произведением» СооХСоо, которое определяется единственным соотношением XY = YX (Кокстер иМозер [1], стр. 40). Любая фигура, например цифра 6 на рис. 38, переводится группой pi в бесконечное множество таких же фигур, образующих 6 6 В 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 о 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Рис. 38. узор. Обратно pi есть полная группа симметрии такого узора при условии, что сама фигура «полностью несимметрична», т. е. ее группа симметрии состоит из одного лишь тождественного преобразования. Если фигура представляет собой простую точку, узор называется двумерной решеткой, которую можно представить как план бесконечного фруктового сада. Каждой точке решетки естественно сопоставить символ преобразования, с помощью которого исходная точка / переводится в эту точку (рис. 39). Тот, кто стоит в таком саду, заметит, что деревья выстраиваются в ряды по многим направлениям. Это указывает на характеристическое свойство решетки: прямая, соединяющая любые две точки решетки, содержит бесконечное множество других точек, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга, т. е.
88 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 «одномерную решетку». В самом деле, прямая, соединяющая точки / и ХхУу, проходит также через точки пх пу / х_ у\п X d У d =\X*Y*) , где d—наибольший общий делитель чисел х и у, а п пробегает любые целые значения. В частности, все степени параллельного переноса X лежат на одной прямой, о X'1 о г X о Х~1У г о у-7 7 о -Ту 2 о У о ; о ХУ'7 О о у? о X о о ХУ о О ХУ2 о ХгУ о хг о О х*уу о Рис. 39. степени переноса Y—на другой, а прямые, параллельные этим двум прямым и проходящие через остальные точки решетки, образуют мозаику из равных между собой параллелограммов, заполняющих всю плоскость без / / / / / / / / /У /ХУ А /, л / / / / /УТ /ХУТ А Ат / / / / / Рис. 40. просветов и двойных покрытий (рис. 40). [Мы применяем термин мозаика для обозначения любого расположения многоугольников, полностью покрывающих всю плоскость и не перекрывающихся между собой.] Типичный параллелограмм образован четырьмя точками /, X, XY, Y. Параллельный перенос Т=ХхУу переводит этот параллелограмм в некоторый другой парал-
§1} РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ 89 лелограмм, у которого «первой» вершиной является точка Т (вместо точки /). Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между ячейками мозаики и преобразованиями группы, обладающее тем свойством, что каждое преобразование группы переводит любую внутреннюю точку первоначального параллелограмма в точку, аналогичным образом расположенную относительно сторон нового параллелограмма. По этой причине типичный параллелограмм называют фундаментальной областью. Выбор фундаментальной области весьма неоднозначен. Фундаментальной областью может служить любой параллелограмм с вершинами с точках решетки, не содержащий других точек решетки внутри или на контуре (Харди и Райт [1], стр. 28). Это утверждение составляет геометрический эквивалент алгебраической теоремы, гласящей, что группа, порождаемая элементами X, У, порождается также элементами XaY , XCY , если только ad — be = ± 1. Чтобы выразить старые образующие через новые, заметим, что (xavb)d(xcrd)~* = xad-be, ayb\~c (Xcyd\a yad-bc Фундаментальная область также вовсе не обязательно должна быть параллелограммом. Например, мы можем заменить пары противоположных сторон параллелограмма парами кривых, совмещающихся параллельным переносом, как это изображено на рис. 41. Любая возможная фундаментальная область, независимо от того является ли она параллелограммом или любой другой фигурой, имеет ту же площадь, что единичный параллелограмм рис. 40. В самом деле, внутри достаточно большого круга находится столько же точек решетки, сколько повторений фундаментальной области (с незначительной ошибкой, вызванной тем, что окружность «разрезает» некоторые области); таким образом, любая допустимая фундаментальная область имеет площадь, равную одной и той же части площади этого (х
90 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ 4 круга1). Весьма интересно, что любая выпуклая фундаментальная область группы параллельных переносов является центрально-симметричным многоугольником (точнее, параллелограммом или центрально-симметричным шестиугольником) 2). Мы можем выделить среди всех параллелограммов, являющихся фундаментальными областями, стандартный Рис. 41. или приведенный параллелограмм, взяв за образующую X самый короткий (или один из самых коротких, если их несколько) перенос группы, а за образующую У равный ему или следующий по длине перенос, имеющий другое направление. Если угол между переносами X и У окажется тупым, мы изменим направление У. Таким образом, мы выделили из всех параллелограммов, могущих служить фундаментальной областью, приведенный параллелограмм, имеющий самые короткие стороны. Переносы вдоль этих сторон естественно называть приведенными образующими группы. Соединив вершины X, У приведенного параллелограмма и пары соответствующих вершин параллелограммов, получаемых из приведенного параллельными пере- 1) Гаусс использовал эту идею для оценки числа я (см. Гильберт и Ко н-Ф о с с е н [1], стр. 42—44). 2) А. М. М а с b е a t h, Canadian Journal of Mathematics 13, 1961, стр. 177.
§ 1] РЕШЕТКИ И ИХ ОБЛАСТИ ДИРИХЛЕ 91 носами группы, мы придем к мозаике конгруэнтных нетупоугольных треугольников с вершинами в точках ре* шетки. Каждая точка решетки принадлежит шести таким треугольникам; например, другими вершинами треугольников, прилегающих к точке /, служат пары соседних точек следующей циклической последовательности: X, v, х~1г, х-\ у-\ ХУ~\ X (рис. 42). Соединив центры окружностей, описанных около этих шести треугольников, мы получим область ГГУ У Х~'У У у-7 Ху-7 у-7 Ху-Т Рис. 42. Дирихле (или «многоугольник Вороного») данной решетки: многоугольник, внутренность которого состоит из точек, находящихся ближе к данной точке решетки (к точке / на рис. 42), чем ко всем остальным точкам решетки1)- Такие области, каждая из которых окружает определенную точку решетки, в совокупности заполнят всю плоскость; более того, область Дирихле является специальным видом фундаментальной области. Решетка симметрична относительно точки / (или любой другой своей точки). При такой симметрии пары точек ХХУУ, Аг~'гК~уменяются местами. [Используя специальный жаргон, можно сказать, что группа pi имеет автоморфизм второго порядка, который заменяет X и Y обратными им элементами.] Следовательно, область Дирихле центрально-симметрична. Ее точная фор- l) G. L. D i г i с h 1 е t, Journal fur reine und angewandte Ma- thematik 40, 1850, стр. 216—219, / X
92 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 ма зависит от отношения длин образующих параллельных переносов A", Y и угла между ними. Если этот угол — прямой, то область Дирихле — прямоугольник (или квадрат), так как центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы. Во всех остальных случаях область Дирихле — шестиугольник (необязательно правильный, но имеющий, в силу центральной симметрии, равные и параллельные противоположные стороны). Изменяя решетку таким образом, чтобы угол между переносами X и Y непрерывно увеличивался, стремясь к 90°, мы увидим, что две противоположные стороны шестиугольника стягиваются и стремятся выродиться в точки, а остальные четыре образовывают прямоугольник. Отражения от четырех или шести сторон области Дирихле переводят центральную точку / в четыре или шесть других точек, которые мы, естественно, назовем соседями точки 1. УПРАЖНЕНИЯ 1. Любые две противоположные стороны области Дирихле перпендикулярны к прямой, соединяющей их середины. 2. Начертите различные типы решеток, которые могут возникнуть, если X и У подчиняются следующим ограничениям: они имеют одинаковую длину, а угол между ними может быть равен 60 или 90°. Указать области Дирихле в каждом случае и выяснить, будут ли группы симметр-ий этих областей группами С2, D2y D* или £>£. § 2. ГРУППА СИММЕТРИИ ОБЩЕЙ РЕШЕТКИ Исследование симметрии данной математической структуры всегда приносило самые сильные результаты Э. Артин (1898-1962) fl], стр. 54. Любая данная решетка, как легко видеть, симметрична относительно середины отрезка, соединяющего любые две точки решетки (Гильберт и Кон-Фоссен [1], стр. 77). Середины таких отрезков образуют решетку с более мелкими клетками, у которой образующие переносы вдвое короче, чем переносы X и У (смотри «белые» точки на рис. 43).
§2] ГРУППА СИММЕТРИИ ОБЩЕЙ РЕШЕТКИ 93 Решетка является общей (т. е. не имеющей дополнительных симметрии), если длины приведенных образующих различны и угол между ними не равен ни 90°, ни 60°. о о о о о •У о »ху о *хгУ О о о •/Г о .х2 Рис. 43. В этом случае симметрии решетки исчерпываются переносами ХХУУ и только что указанными центральными симметриями. Другими словами, группа симметрии общей решетки образуется из группы pi добавлением центральной симметрии Н (с центром /). Эта группа обозначается р2 (Кокстер и Мозер [1], стр. 41—42). Она порождается центральной симметрией Н и параллельными переносами X и Y. Центральная симметрия, меняющая местами точки / и Т= ХХУУ, равна НТ. (Заметим, что сам перенос равен произведе- Рис. 44. нию центральных симметрии Н и НТ.) Эта группа порождается также тремя центральными симметриями НХ, Я, HY или этими тремя преобразованиями и их произведением НХ.Н-НУ = НХУ, представляющим собой симметрию относительно четвертой вершины изображенного на рис. 43 параллелограмма. Замечательно, что любой треугольник или любой не- самопересекающийся четырехугольник (не обязательно £7
94 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 выпуклый) может служить фундаментальной областью группы р2. Центральные симметрии с центрами в серединах сторон треугольника или четырехугольника можно отождествить в случае треугольника с центральными Рис. 45. симметриями НХ, Я, HY (рис. 44), а в случае четырехугольника— с центральными симметриями НХ, Я, ЯУ, HXY (рис. 45). УПРАЖНЕНИЯ 1. Почему вершины четырехугольников на рис. 44 образуют две налагающиеся решетки? 2. Начертить мозаику областей Дирихле для данной решетки. Разделить каждую область диагональю на две части. Получившаяся мозаика является частным случаем мозаики неравносторонних треугольников (рис. 44) или неправильных четырехугольников (рис. 45), смотря по тому, будут ли области Дирихле прямоугольными или шестиугольными. § 3. ИСКУССТВО М. К. ЭШЕРА Группы pi и р2 являются двумя простейшими из семнадцати дискретных групп изометрий, содержащих два независимых параллельных переноса. Некоторые другие из них будут упомянуты в этом и следующем параграфе. Наиболее удобные образующие всех групп перечислены в таблице I на стр. 86.
§3] ИСКУССТВО М. К ЭШЕРА 95 Искусство заполнения плоскости повторяющимися узорами достигло своего наивысшего расцвета в тринадцатом веке в Испании» где мавры использовали все Рис 46. Группа pq, порожденная двумя скользящими симметриями с параллельными осями семнадцать групп в затейливых украшениях Альгамбры*) (Джонс [1]). Предпочтение, которое они оказывали абстрактным узорам, было обусловлено строгим соблюдением второй заповеди**). Голландский художник *) Знаменитый дворец арабских султанов в Гренаде (Испания). **) «Не сотвори себе кумира». В силу этой библейской заповеди (соответствующее высказывание есть и в Коране) древнееврейское и арабское искусство не знало изображений птиц и зверей, а тем более человека.
96 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 М. К. Эшер*), свободный от таких запретов, находит остроумные применения этих групп, используя в качестве их фундаментальных областей очертания животных. Например, группа симметрии его узора, состоящего Рис. 47. Группа cm, порожденная симметрией и скользящей симметрией с параллельными осями. из рыцарей на конях (рис. 46), с первого взгляда кажется группой pi, порождаемой горизонтальным и вертикальным переносами. Однако, пренебрегая различием между темными и светлыми фигурами, мы обнаруживаем более интересную группу pq, которая порождается двумя скользящими симметриями G и G' с вертикаль- *) См. альбом М. С. Е s с h е г, Grafiek en tekeningen, Zwolle (Голландия), 1959 и след. (альбом многократно переиздавался), содержащий много интереснейших орнаментов чисто геометрического содержания.
I 4] ШЕСТЬ УЗОРОВ ИЗ КИРПИЧЕЙ 97 ными осями. Мы замечаем, что параллельный перенос в вертикальном направлении можно представить как G2 или G'2. Замечательно, что единственное соотношение G2=G' дает полное абстрактное определение этой группы (Кокстер и Мозер [1], стр. 43). Ясно, что рыцарь и лошадь (любого цвета) образуют фундаментальную область для группы pg, но фундаментальную область для группы pi образуют лишь темная и светлая фигуры вместе. Подобно этому создается впечатление, что эше- ровский узор из жуков (рис. 47) имеет группу симметрии рт, которая порождается отражениями от вертикальных осей и параллельным переносом в вертикальном направлении. Но приглядевшись повнимательнее, мы видим, что светлые и темные жуки совершенно одинаковы и что один из них можно совместить с другими с помощью скользящей симметрии. Полная группа симметрии узора —группа cm; фундаментальная область представляет собой правую или левую половину жука любого цвета. Она порождается скользящей симметрией и осевой симметрией с вертикальными осями. Чтобы получить фундаментальную область для «меньшей» группы рт, надо соединить правую половину жука одного цвета с левой половиной смежного жука другого цвета. Целый жук (любого цвета) является фундаментальной областью для группы pi (причем один из порождающих переносов — наклонный) или для группы pg. УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти оси скользящих симметрии, которые порождают группу pg на рис. 46 и 47. 2. Любые два параллелограмма с одинаковыми направлениями сторин могут в совокупности с помощью повторенных параллельных переносов покрыть всю плоскость без просветов и двойных покрытий. $ 4. ШЕСТЬ УЗОРОВ ИЗ КИРПИЧЕЙ На рис. 48 показано, как шесть из семнадцати двумерных групп возникают в виде групп симметрии общеизвестных узоров из прямоугольников, которые мы можем представлять себе в виде кирпичей или кафельных
ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 плиток. Образующие групп обозначены на чертеже следующим образом: пунктирная линия обозначает ось M=d 1 ^П^ | р2 Т==7р=Эр| 1 1 1 ртдг Щ- стт PSTff Рис. 48. Ill у 1 ' ' 1 ' • I 1 1 III 1 pmm i 1 ,.j 1 Р*9 симметрии, «линза» обозначает центр симметрии, маленький квадрат — центр вращения на 90°, а «полустрелка» — пару соответственных точек скользящей симметрии. В каждом случае удобная фундаментальная область заштрихована. Эта область может быть выбрана до некоторой степени произвольно, за исключением группы pmm, где она полностью определяется осями симметрии. Процесс исследования таких узоров состоит в следующем. Мы замечаем, что группа симметрии одного кирпича есть D2 (группа порядка 4); она имеет подгруппы С2 и Di. Если все симметрии кирпича являются в то же время симметриями всего узора, как в случае групп cmm и pmm, фундаментальная область представляет собой четверть кирпича, а две из образующих группы — отражения, порождающие группу Ь2. Все остальные образующие группы переводят первоначальный кирпич в соседние кирпичи. Если же только подгруппы С2 или Di принадлежат к группе симметрии всего узора (С2
§5] КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ 99 принадлежит группам р2 или pgg, a Dt — группам pmg или p4g), фундаментальная область представляет собой половину кирпича и образующие не вполне определены. УПРАЖНЕНИЕ Понятно, что во всех этих узорах под «кирпичом» подразумевается прямоугольник, у которого одна сторона вдвое длиннее другой. В каждом из этих случаев любой кирпич так же расположен относительно всего узора, как и все остальные. [Пользуясь специальными терминами, говорят, что группа симметрии транзитивна на кирпичах.] Являются ли эти шесть узоров единственными транзитивными узорами из кирпичей? § 5. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ Математик, так же как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. Г. X. X а р д и [2], стр. ?1. Полное описание семнадцати двумерных групп заняло бы слишком много места. Но представляется целесообразным дать предложенное Барлоу элегантное доказательство1) того, что единственно возможными циклическими подгруппами этих групп являются группы С2, 0\ Сг, Сь и Се. Другими ело- \ вами, \ Единственно возможные \ порядки вращений, входя- \&l щих в группу симметрии ре- У2 тетки равны 2, 3, 4 или 6. Пусть точка Р — произ- Рис. 49. вольный центр вращения порядка п. Остальные симметрии решетки переводят Р в бесконечное множество центров вращения с тем же порядком. Пусть точка Q будет самым близким к Р из этих центров (рис. 49). Третий центр Р' есть образ Р 2jt при вращении вокруг Q на угол — а четвертый, Q', -— ]) W. Barlow, Philosophical Magazine (6) 1, 1901, стр. 17. ж/
100 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 образ Q при вращении вокруг Р' на угол —. Отрезки PQ, QP\ P'Q\ конечно, равны между собой. Может случиться, что точки Р и Q' совпадут; тогда л = 6. В остальных случаях, так как точка Q выбрана на наименьшем возможном расстоянии от точки Р, должно быть PQ'^ > PQ\ следовательно, я<4. [Если п = 4, PQP'Q'— квадрат. Если п = 5, PQ\ очевидно, короче, чем PQ. Если дг>6, PQ пересечет P'Q', но в этом случае нет необходимости использовать точку Q': мы имеем PP'<PQ, что уже является противоречием.] УПРАЖНЕНИЯ 2я 1. Пусть 5 и Т — вращения на угол вокруг точек Р и Q. Что представляет собой преобразование T~lST} 2. Если дискретная группа движений включает два вращения вокруг различных центров, то она включает также два вращения с разными центрами и одинаковыми порядками, а следовательно, также и параллельный перенос. Если порядок вращений превосходит 2, то группа включает два независимых параллельных переноса. § 6. ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ Узоры математика, так же как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи, так же как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование, в мире нет места для некрасивой математики. Г X. X а р д и [2], стр 25. Первым, кто исследовал возможность заполнения плоскости равными правильными многоугольниками, был, по всей вероятности, Кеплер (1571 —1630). Нам будет удобно использовать символ Шлефли {/?, q} для обозначения мозаики из правильных /^-угольников, расположенных по q штук вокруг каждой вершины (Шлефли [1], стр. 213). Случаи {6,3}; {4,4}; {3,6} иллюстрирует рис. 50, на котором многоугольники, начерченные жирными линиями, представляют собой вершинные фигуры, т. е. <7-Угольники с вершинами в середине ребер, выходящих из данной вершины мозаики.
§61 ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ 101 [Так как мозаики до некоторой степени аналогичны правильным многогранникам, естественно применять слово ребро для обозначения общей стороны двух смежных 16,3} {4,4} {3,6} Рис. 50. многоугольников и слово грань для обозначения самих многоугольников.] Формальное определение правильной мозаики таково: мозаика называется правильной, если она имеет пра* вильные грани и правильные вершинные фигуры при каждой вершине. Мозаику {6,3} часто можно встретить в качестве узора плиток на полу ванной комнаты; другой ее пример доставляет любой улей (соты). Мозаика {4,4} широко распространена в виде бумаги в клетку; ее вершины — точки, у которых декартовы координаты х и у — целые Рис. 51. числа. Мозаика {3,6} двойственна мозаике {6,3} в следующем смысле. Двойственной к мозаике {р, q) называется мозаика, ребра которой являются перпендикулярами, восставленными в серединах ребер мозаики \р, q) (см. рис, 51). Таким образом, двойственной к мозаике {Р> Я] будет {q, р) и наоборот; вершины одной являются
102 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 центрами граней другой. В частности, двойственной мозаике {4,4} будет равная ей мозаика {4,4}. Допустимые значения р и q легко получить из условия, что q углов правильного р-угольника, равных V j)n' пРимыкают ДРУГ к Другу в вершине мозаики: Р^ q 2' (/>-2)(?-2) = 4. Возможны три способа разложения 4 на целые положительные множители, а именно, 4-1, 2-2, 1 -4. Эти решения нашего уравнения дают три уже описанных вида мозаик. Однако, прежде чем заявлять, что это единственные виды правильных мозаик, мы изучим дробные решения нашего уравнения, потому что им могут соответствовать «звездчатые» мозаики {/?, q], у которых грани {р} и вершинные фигуры {q} являются звездчатыми правильными многоугольниками, вроде тех, которые были рассмотрены в §8 гл. 2. Например, на рис. 52 показаны десять пра- Рис £>2 вильных пятиугольников, расположенных вокруг одной общей вершины. Хотя они и пересекаются, мы, может быть, смогли бы прибавлять последующие пятиугольники так, чтобы они образовали мозаику < 5, -j- J- (у которой вершинная фигура является десятиугольником), покрывающую плоскость некоторое число раз. Но в действительности, как мы сейчас увидим, это число оказывается бесконечным.
§61 ПРАВИЛЬНЫЕ МОЗАИКИ 101 Рассмотрим обобщенную правильную мозаику {р, q}y где Т7""^- Если она покрывает плоскость только конечное число раз, должно существовать наименьшее расстояние между центрами двух граней. Пусть Р, Q — два таких центра, расположенных на наименьшем расстоянии друг от друга. Так как они являются центрами вращений порядка /г, переводящих мозаику в себя, то соображения, использованные в § 5 гл. 4, доказывают, что единственно возможными значениями п являются значения 3, 4, 6. Таким образом, d=l, и эти три числа являются также единственно возможными значениями р. Следовательно, правильных звездчатых мозаик не существует (Кокстер [1], стр. 112). Однако сферу можно покрыть три раза двенадцатью «пятиугольниками», сторонами которых являются дуги больших кругов (Кокстер [1], стр. 111). Чтобы найти группу симметрии правильной мозаики, мы исследуем ее грань так же, как мы исследовали один кирпич в § 4 этой главы. Ясно, что группа симметрии мозаики {р, q} порождается группой симметрии Dp одной грани и отражениями от сторон этой грани. Таким образом, эта группа порождается отражениями от сторон треугольника с углами л/р (при центре грани), я/2 (при середине ребра), n/q (при вершине). Этот треугольник является фундаментальной областью, так как он преобразуется в соседние треугольники тремя образующими осевыми симметриями. Так как каждое из образующих преобразований оставляет на месте все точки одной из сторон, фундаментальная область единственна и ее нельзя изменить прибавлением и вычитанием каких-либо частей, подобно тому, как Эшер изменил фундаментальные области некоторых других групп. Сеть таких треугольников, покрывающих плоскость, образована всеми осями симметрии правильной мозаики. В число осей симметрии входят прямые, на которых лежат ребра мозаики {р, q] и двойственной ей мозаики {<7, р}. В случае мозаик {6,3} и {3,6} (рис. 51) этими прямыми исчерпываются все оси симметрии. В случае двух двойственных мозаик {4,4} необходимы, кроме того, еще и диагонали квадратов. На рис. 53 и 54 области попере-
104 ДВУМЕРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 менно оставлены белыми и заштрихованы так, чтобы показать одновременно полные группы симметрии рбт, р4т и «прямые» подгруппы рб, р4 (состоящие из вращений и параллельных переносов), которые сохраняют цвета (Брюстер [1], стр. 94; Бернсайд [1], стр. 416, 417). Вместо того чтобы строить сеть треугольников по данной правильной мозаике, можно, наоборот, строить рб и рбт р4 и р4т Рис. 53. Рис. 54. мозаику по данной сети. Для этой цели мы выберем точку на сетке, углы при которой равны зг/ду т. е. точку, где сходятся р заштрихованных и р белых треугольников. Объединение этих 2р треугольников образует грань мозаики {/?, q), УПРАЖНЕНИЯ 1. Обосновать формальное определение «правильности», данное на стр. 101. Это понятие подразумевает, что все грани мозаики одинаковы и что окрестности всех вершин устроены одинаковым образом. 2. Дать общий способ доказательства того, что середины ребер правильной мозаики принадлежат некоторой решетке. [Указание: рассмотреть группу р2, порождаемую симметриями относительно середин трех ребер.] 3. Выделить середины ребер мозаики {6,3}. Проверить, что они принадлежат некоторой решетке. Образуют ли они целую решетку? 4. Начертить части решеток с группами симметрии р2, pmm, cmm, p4m, рбт.
§7J ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ 105 § 7. ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ Reductio ad absurdum*), которое jclk любил Евклид, является едва ли не самым изящным оружием математика. Это намного более красивый прием, чем любой шахматный гамбит: шахматист, чтобы добиться успеха, может пожертвовать пешку или даже фигуру; математик же идет на риск проигрыша всей партии Г. X. X а р д и [2], стр. 34. Как мы видели в § 1 этой главы, решетка представляет собой дискретное множество точек, обладающих тем свойством, что прямая, соединяющая любые две из них, содержит не только эти две точки, но также бесконечно много других точек решетки. На рис. 55 изображен конечный «фруктовый сад», в котором девять точек расположены в десять рядов, по три точки в каждом (Б о л л [1], стр. 105). Вполне вероятно, что именно рассмотрение такой конфигурации привело в 1893 году Сильвестера*) к постановке следующей задачи: Доказать, что никакое конечное число точек нельзя расположить на плоскости так, чтобы прямая, проходящая через любые две из них, проходила бы также через третью, если только эти точки не лежат все на одной прямой. Ни Сильвестер, ни кто-либо из его современников не могли дать удовлетворительного доказательства этого утверждения. Затем об этой задаче забыли до 1933 года, *) Приведение к абсурду (лат.) — математический прием «доказательство от противного» *) J. J. Sylvester, Mathematical Question and solutions from the Educational Times 59, 1893, стр. 98 (вопрос 11851). См. также: R. Steinberg, American Mathematical Monthly 51, 1944, стр. 170; L. M. Kelly, там же 55, 1948, стр. 28; Т. М о t z k i n, Transactions of the American Mathematical Society 70, 1951, стр. 452; L. M. Kelly and W. O. J. Moser, Canadian Journal of Mathematics 10, 1958, стр. 213; (Хадвигер и Дебруннер [1], § 1; Яглом и Я г лом [1], задача 106; Шклярский, Ченцов и Яглом [1], задача 39).
106 ДЯУМГРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ [ГЛ. 4 когда Карамата и Эрдеш (Karamata, Erdos) вновь поставили ее, а Т. Галлай (-Грюнвальд, Т. Gallai или Grunwald) полностью разрешил с помощью несколько усложненных рассуждений. Сильвестеровское «отрицательное» утверждение было переформулировано в «положительной форме» Моцкиным: Если п точек плоскости не лежат на одной прямой, то существует прямая, проходящая в точности через две из этих точек. Приводимое ниже доказательство, которое до некоторой степени похоже на доказательство Барлоу теоремы о кристаллографических ограничениях (§ 5 этой главы), предложено Л. М. Келли. Данные п точек Ри .. ., Рп можно попарно соединить не более чем -^п{п—\) прямымиPiP2, PiPs, . • • Рассмотрим пары Ри PjPk, состоящие из точки Р{ и прямой, соединяющей точки Pj и Р&, не проходящей через точку Pi. Так как таких пар не больше, чему/г^—1)(#—2), должна существовать такая пара, скажем Ри Р2 Рз, для которой расстояние PiQ от точки до прямой наименьшее (или одно из наименьших) из всех таких же расстояний, определенных для всех пар. Покажем, что прямая Р2Рз не содержит других точек множества. Предположим противное, пусть Р4 О Рг ?з эта прямая содержит также точку Р4. Тогда по Рис- 56- крайней мере две из трех точек Р2, Рз, Pk лежат по одну сторону от перпендикуляра PiQ (или, возможно, одна из этих точек совпадает сточкой Q). Пусть точки обозначены таким образом, что эти две точки — Р2 и Р3, причем точка Р2 расположена ближе к точке Q, чем Р3 (или совпадает с Q*). Тогда расстояние от точки Р2 до прямой P3Pi меньше, чем PQ (рис. 56), что противоречит предположению минимальности расстояния PiQ.
$ Ч ЗАДАЧА СИЛЬВЕСТЕРА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧКАХ Ю7 Этим завершается доказательство того, что всегда существует прямая, содержащая ровно две точки множества. Конечно, таких прямых может быть больше одной; в самом деле, Келли и Мозер доказали, что число таких прямых не меньше чем -у- УПРАЖНЕНИЯ 1. Приведенное выше доказательство указывает прямую Р2Рз> содержащую только две точки из точек Р. Показать, что точка Q лежит между Р2 и Р3. 2. Если п точек не лежат на одной прямой, то, соединяя прямыми каждые две из них, мы получим по меньшей мере п различных прямых, (К о кете р [2], стр. 52). 3. Построить конфигурацию п точек, в которой существует ровно —=— прямых, проходящих через две точки. [Указание; n=7J
ГЛАВА 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТИ В последующих главах книги мы увидим, что евклидова геометрия отнюдь не является единственно возможной геометрией. В знаменитой Эрлангенской программе (речь, произнесенная Ф. Клейном при вступлении в должность профессора математики Эрлангенского университета в 1872 году) утверждается, что критерием, отличающим одну геометрию от другой, является группа преобразований, при которых предложения этой геометрии остаются в силе. В случае евклидовой геометрии мы могли сначала ожидать, что такой группой окажется группа всех движений плоскости. Но так как все предложения евклидовой геометрии сохраняют силу при изменении масштаба измерения, как, например, при увеличении чертежей подобно фотоснимкам, то «основная группа» евклидовой геометрии (Клейн [2], стр. 224) включает также «преобразования подобия» (т. е. преобразования, которые могут изменять расстояния, хотя, конечно, сохраняют углы; (ср. Яглом [1], ведение к второй части книги)). В настоящей главе мы дадим классификацию таких преобразований евклидовой плоскости. В частности, центрально-подобные преобразования играют важную роль в теории окружности девяти точек треугольника. Эти и другие собственные преобразования подобия рассматриваются в большинстве школьных учебников, но о зеркальных преобразованиях подобия (§ 6 этой главы) при этом часто незаслуженно забывают.
§1] ГОМОТЕТИЯ 109 § 1. ГОМОТЕТИЯ «Если я съем один из этих пирожков», — подумала она, — «наверное произойдет некоторое изменение в моем росте». Тут она проглотила один из пирожков и с радостью заметила, что немедленно начала уменьшаться. Льюис К э р р о л [I], гл. 4, стр 57. Удобно расширить обычное определение параллельности, считая параллельными также и совпадающие прямые. Мы скажем, что две прямые параллельны, если они не имеют ни одной общей точки, либо имеют две A9 Q' В' Рис. 57. такие точки. При таком понимании понятия параллельности можно утверждать, что во всех без исключений случаях 5.11. Для каждой точки А и прямой г существует в точности одна прямая, проходящая через А и параллельная г. Две фигуры называются гомотетичными, если они подобны и подобно расположены, т. е. если одну из них можно перевести в другую «гомотетией»*). Последнее преобразование можно определить следующим образом (Арти н [1], стр. 54): Гомотетией называется преобразование, которое сохраняет (или изменяет на противоположное) каждое направление; г. е. переводит каждую прямую в параллельную ей прямую. *) В этой книге термин «гомотетия» понимается в смысле, несколько отличном от принятого в русской литературе (см. ниже стр. 111).
по ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ [ГЛ. 5 5.12. Любую пару параллельных отрезков АВ и А'В' можно совместить единственной гомотетией АВ-+А'В'. Действительно, произвольная точка Р, не лежащая на прямой АВУ переводится в точку Р', которая лежит на пересечении прямой, проходящей через точку А' параллельно ЛР, и прямой, проходящей через точку В' параллельно ВР (рис. 57), а произвольная точка Q прямой АВ переводится в точку Q', лежащую на пересечен кии А'В' и прямой, проходящей через точку Р' и параллельной прямой PQ*). Другими словами, гомотетия полностью определяется указанием образов двух произвольно заданных точек (Кокстер [2], 8.51). Ясно, что преобразованием, обратным для АВ-+А'В\ является гомотетия А'В'-+АВ. Также ясно, что гомотетия АВ-+АВ представляет собой тождественное преобразование, гомотетия АВ-+ВА — центральную симметрию (с центром в середине отрезка АВ), и если ABB'А' — параллелограмм, то гомотетия АВ —► А'В' представляет собой параллельный перенос. Для любой гомотетии, за исключением тождественного преобразования, можно выбрать две точки Л, В о В В' В А' В В' Рис. 58. так, чтобы точка А не являлась неподвижной точкой, а прямая АВ — неподвижной прямой. Такая гомотетия АВ-*А'В' (рис. 58) переводит произвольную точку Р прямой АА' в точку Р', лежащую на параллельной АА* прямой, проходящей через точку А\ т. е. на той же пря- *) Эта конструкция определяет некоторое преобразование плоскости, ибо образ Q' точки Q рис. 57, как легко видеть, не зависит от выбора точки Р. Далее, нетрудно убедиться, что определенное таким образом преобразование действительно является гомотетией, т. е. любую прямую (PQ или PR на рис. 57) оно переводит в параллельную исходной прямую {P'Q\ соответственно P'R'),.
<П] ГОМОТЕТИЯ 111 мой АА'. Точно так же эта гомотетия переводит произвольную точку Q прямой ВВ/ в другую точку Q' той же прямой ВВ'. Если прямые АА/ и ВВ' не параллельны, то их точка пересечения — неподвижная точка (так как эти прямые — неподвижные). Следовательно*), 5.13. Каждая гомотетия, отличная от параллельного переноса, имеет неподвижную точку. Эта неподвижная точка О единственна. Гомотетия, имеющая две неподвижные точки 0\ и 02 (т. е. гомотетия 0[02—►OiC^), может быть только тождественным преобразованием, которое разумно рассматривать как частный вид переноса, а именно как перенос на нулевое расстояние. Ясно, что произвольная точка Р преобразуется в точку Р' прямой ОР. Пусть условимся еще считать число \х положительным или отрицательным, в зависимости от того, лежат ли точки Р иР'с одной стороны или с разных сторон от точки О. Рассмотрев несколько подобных треугольников (как на первых двух из рис. 58), можно убедиться, что число \х постоянно, т. е. не зависит от положения точки Р. Больше того, произвольный отрезок PQ преобразуется в отрезок P'Q', длина которого в ji раз больше. Точка О называется центром гомотетии, а положительное или отрицательное число \х — ее коэффициентом. Мы будем употреблять символ О (jli) для обозначения гомотетии с центром О и коэффициентом \х. Гомотетию 0(\х) мы будем называть «центральной гомотетией»**) или центрально-подобным преобразованием. В частности, гомотетия 0(1) представляет собой тождественное преобразование, а гомотетия 0(—1) — центральную симметрию. Ясно, что единственные гомотетии, являющиеся также движениями, — это центральные симметрии и параллельные переносы (включая *) Ясно, что если АА'\\ВВ' и АВ\\А'В' (см. третий из рис. 58), то ABB'А' — параллелограмм и гомотетия АВ-*А'В' есть параллельный перенос. **) В нашей литературе термин «гомотетия» обычно понимается как «центральная гомотетия».
112 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ [TJf. 5 сюда и «нулевой» параллельный перенос — тождественное преобразование). Единственные гомотетии, не являющиеся центральными, — это параллельные переносы, так что каждая гомотетия. представляет собой центрально-подобное преобразование (центральную гомотетию) или параллельный перенос. УПРАЖНЕНИЯ 1. Какое преобразование будет обратным к гомотетии 0(\х)? 2. Произведение гомотетий 0\(\i\) и 02(м<2) представляет собой гомотетию 0(fii|i2). Где находится точка О? 3. Записать гомотетию 0(\i) а) в полярных координатах, б) в декартовых координатах. 4. Объяснить действие пантографа (рис. 59). Этот инструмент был изобретен в 1630 году Кристофором Шейнером. Он предназначен для получения уменьшенных или увеличенных копий произ- , вольных фигур и состоит из J четырех стержней, которые со- У5^^,^ единены шарнирно в вершинах / ^S4s\4^ « параллелограмма АА'ВС, углы м / ^^^L которого могут изменяться. ./^^ / ^\. Три коллинеарные точки О, Р, др> -^Жч^——-+■ --^х/7' Р\ лежащие соответственно на / Р ^ч*чф стержнях АА\ АС, А'В, ос- / С таются коллинсарными при из- ' менении формы параллело- Рис. 59. грамма. Инструмент закрепляется на оси в точке О. Если поместить острие карандаша в точку Р\ а острие иголки в точку Р (или наоборот) и вести иголку по данной фигуре, конец карандаша будет чертить гомотетичную копию фигуры. Точки О и Р можно передвигать вдоль стержней, что дает возможность изменять отношение О А : О А''. [Мы должны, конечно, заботиться о том, чтобы точки О и Р оставались коллинеарными с точкой Р'.] 5. Как можно видоизменить пантограф, чтобы он мог производить гомотетию 0(\х) также и с отрицательным коэффициентом \i> § 2. ЦЕНТРЫ ПОДОБИЯ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ Гомотетия 0(|и), преобразующая точку С в точку С, очевидно, переводит окружность с центром С и радиусом г в окружность с центром С и радиусом fir (или —fir, если ji отрицательно). Обратно (рис. 60), если две окружности имеют раличные центры С и С и неравные радиусы а, а', то первую из них можно перевести во вторую любой из двух гомотетий О ( -^-j или Ох ( -J, с
§21 ЦЕНТРЫ ПОДОБИЯ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ ИЗ центрами О и Ои которые делят отрезок СС внутренним и внешним образом в отношении а\а' ((Болтянский и Яглом [1], § 43)). Точки О и Ot называют центрами подобия двух данных окружностей. Чтобы построить их, нужно начертить произвольный диаметр первой окружности PCPi и параллельный ему радиус второй окружности СР' (причем точка Pf лежит с той же стороны от Рис. 60. прямой СС, что и точка Р); тогда точка О лежит на пересечении прямых СС и РР\ а точка 0{ — на пересечении прямых СС и Р\Р'. Две равные или две концентрические окружности тоже можно перевести друг в друга двумя гомотетиями, но в этих случаях существует только один центр подобия. В случае концентрических окружностей это связано с тем, что две гомотетии имеют один и тот же центр. В случае равных окружностей одна гомотетия представляет собой параллельный перенос, который не имеет центра (другая гомотетия в этом случае — симметрия относительно точки О, совпадающей с серединой отрезка СС). УПРАЖНЕНИЯ 1. Если две равные окружности не имеют общих точек, они имеют две параллельные общие касательные и две другие, которые пересекаются в точке 0\ (середине отрезка, соединяющего центры окружностей). Если окружности касаются, то существуют только три общие касательные. Если они пересекаются, то существуют только две параллельные общие касательные.
114 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ (ГЛ. 5 2. Любая общая касательная двух неравных окружностей проходит через центр подобия. Нарисуйте расположение центров подобия и найдите число общих касательных для пяти существенно различных случаев расположений двух неравных окружностей. [Два из этих пяти случаев изображены на рис. 60.] 3. Найти для данных двух гомотетий О(ц), Oi(|Xi), где \i ф\*и единственную точку Си которую они переводят в одну и ту же точку плоскости. § 3. ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ДЕВЯТИ ТОЧЕК Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть центр его описанной окружности лежит в точке О, центроид — в точке G и ортоцентр — в точке Н. Пусть А\ Вг, С —середины его сторон, а Л" В", С" —середины отрезков НА, НВ, НС (как это изображено на рис. 12, стр. 36). Ясно, что оба треугольника А'В'С и А"В"С" подобны треугольнику ABC и получаются из него гомотетиями G( — -^j и^му)- Первый из этих фактов дает новое доказательство того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. Так как гомотетии 0( — -Л и //(-?>) переводят описанную окружность в окружность девяти точек (Яглом [1], задача 51а>, точки G и Я представляют собой центры тодобия этих окружностей, п прямая Эйлера проходит через центры обеих окружностей, т. е. не только через о о о о О G N Н Рис. 61. центр описанной окружности О, что мы уже знаем, но также и через центр окружности девяти точек N. Так как значения \х для этих гомотетий равны ± у, радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности и центры подобия Я, 6 делят отрезок ON внешним и внутренним образом в отношении 2: 1 (рис. 61). Таким образом, точка N является серединой отрезка ОН.
§41 ЦЕНТРАЛЬНО ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ И СИММЕТРИЯ 115 А. Вандеген (A. Wandegen) заметил, что центр вписанной окружности / является центром подобия двух окружностей Содди с центрами S, S' и радиусами s, s' (стр. 30). Более того, прямая SS\ которая таким образом проходит через точку О, либо совпадает с прямой Эйлера, либо пересекает ее в такой точке Z, что OZ = OH. УПРАЖНЕНИЯ 1. Используя декартовы координаты, найти ординаты у центров О, G, N, Н равнобедренного треугольника с вершинами (0, 10), (±6, -8). 2. Если АВСН— ортоцентрический четырехугольник (см. 1.72), то четыре прямые Эйлера треугольников ВСН, САН, ABH, ABC пересекаются в одной точке. § 4. ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ И ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНАЯ СИММЕТРИЯ Когда фигура увеличивается так, что она сохраняет свою форму, каждая прямая, принадлежа- щая ей, остается прямой и каждый угол остается равным самому себе. Все части фигуры увеличиваются одинаково. Если одна фигура является увеличенной копией другой, говорят, что эти фигуры подобны. Степень расширения, необходимая для того, чтобы сделать одну фигуру равной другой, называется коэффициентом подобия фигур. Отношение длин двух отрезков, принадлежащих одной из фигур, равно отношению двух соответствующих отрезков другой фигуры. У. К. Клиффорд (W. К- Clifford, 1845-1879), Mathematical Papers, стр. 631. Подобием (или преобразованием подобия) называют преобразование, которое сохраняет отношение длин отрезков. Другими словами, отрезок АВ переходит в отрезок А'В\ такой, что где \i — постоянное положительное число (одно и тоже для всех отрезков), которое называют коэффициентом подобия. Из этого определения следует, что треугольник переводится в подобный треугольник, а произвольный
116 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОВИЯ (ГЛ. 5 угол в равный (быть может, противоположно ориентированный) угол. Частным случаем подобия, соответствующим ц=1, является движение. Другим частным случаем является гомотетия 0(±\i). Менее известно центрально-подобное вращение (или поворотное расширение, рис. 62), представляющее собой произведение центральной гомотетии (центрально-подобного преобразования) 0{\л) и вращения вокруг точки О. А* Рис. 62. Рис. 6J. Еще один вид подобия — это центрально-подобная симметрия (рис. 63)—произведение гомотетии 0(\х) и симметрии относительно прямой, проходящей через точку О. В обоих случаях неподвижная точка О называется центром преобразования подобия. При этом без ограничения общности можно использовать лишь только гомотетию с положительным коэффициентом \х. В самом деле, произведение гомотетии O(ji) и вращения вокруг точки О на угол 0 совпадает с произведением гомотетии 0(—|i) и вращения вокруг точки О на угол 8 + я; произведение гомотетии 0((i) и симметрии относительно прямой т, проходящей через О, совпадает с произведением гомотетии 0(—\х) и симметрии относительно прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к прямой т. Центрально-подобная симметрия имеет две взаимно перпендикулярные неподвижные прямые, которые естественно называть ее осями. Ясно, что (ср. 3.11): 5.41. Произвольный треугольник ABC переводится в любой подобный ему треугольник А'В'С единственным преобразованием подобия, которое будет собственным
f 51 СОБСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 117 или зеркальным в зависимости от того, совпадают или не совпадают ориентации треугольников ABC и А'В'С\ Другими словами, преобразование подобия полностью определяется заданием образов любых трех данных не- коллинеарных точек. Например, треугольник СВР, используемый при доказательстве теоремы Пифагора (рис. 5, стр. 23), переводится в треугольник ACF центрально-подобным вращением, а именно, произведением (АС\ -Qg\ и вращения на 90° вокруг точки С; треугольник ABC переводится в треугольник ACF (на том же чертеже) центрально-подобной симметрией, осями которой являются биссектрисы внешнего и внутреннего углов в треугольнике при вершине А. Ту же мысль можно сформулировать по-другому: Произвольный отрезок А В переводится в любой другой отрезок А'В' в точности двумя преобразованиями по- добия: одним собственным и одним зеркальным. В §§ 5 и 6 этой главы мы докажем следующее утверждение, аналогичное 3.51: 5.42. Любое собственное преобразование подобия является либо параллельным переносом, либо центрально- подобным вращением. Любое зеркальное преобразование подобия является либо скользящей симметрией, либо центрально-подобной симметрией. § 5. СОБСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Мы приступаем к доказательству того, что любое собственное преобразование подобия, не являющееся параллельным переносом, имеет неподвижную точку. Случай гомотетии (которая во всех случаях, в частности при любом по знаку коэффициенте, является собственным подобием) рассмотрен в теореме 5.13. Если же собственное преобразование подобия отлично от гомотетии, то должна существовать по крайней мере одна прямая, которая преобразуется в непараллельную ей прямую. Пусть С — точка пересечения такой прямой АБ и ее образа А*В* (рис. 64), Пусть, далее, второй точкой пересечения окружностей А А'С и ВВГС является точка О (если С является точкой касания, то мы считаем
118 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ [ГЛ. 5 точку О совпадающей с С). Треугольники А ВО и А'В'О (которые могут вырождаться в тройки коллинеарных точек), как легко видеть, собственно подобны. Так как они имеют общую вершину О, их можно совместить с Рис. 64. помощью центрально-подобного вращения с центром в точке О (Кэзи [1], стр. 180; Ф ордер [3], стр. 16; (ср. Перепелкин [1], стр. 241; Я г л ом [1], стр. 111)). УПРАЖНЕНИЯ 1. Что представляет собой произведение двух центрально-подобных вращений? 2. Рассмотрим снова собственное подобие, которое переводит отрезок АВ в А'В'. Пусть D —-точка пересечения прямых АА' и ВВ'. Пусть второй точкой пересечения окружностей ABD. и A'B'D является точка О. Тогда треугольники АВО, А'В'О собственно подобны. Следовательно, все четыре окружности АА'С, ВВ'С, ABD и A'B'D, проходят через одну точку (Б экер [1], стр. 110). Как нужно видоизменить чертеж, если прямые АА' и ВВ' окажутся параллельными? § 6. ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ Прежде чем доказывать вторую половину теоремы 5.42, мы покажем, что Любое зеркальное преобразование подобия, отличное от скользящей симметрии, имеет неподвижную точку. Рассмотрим данное зеркальное подобие, имеющее отличный от единицы коэффициент \х. Это преобразование представляет собой произведение гомотетии P{\i) с центром в произвольной точке Р и некоторого зеркального движения. Согласно теореме 3.51, такое движение мож-
§6] ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 119 но представить в виде произведения осевой симметрии и параллельного переноса. Но, в силу теоремы 5.13, произведение гомотетии Р(\х) и параллельного переноса представляет собой некоторую новую гомотетию Q(m-). Таким образом, данное преобразование подобияпредста- вляет собой произведение гомотетии Q(fi) и симметрии Рис. 65. относительно некоторой прямой, скажем, относительно прямой га (рис. 65). Пусть О — некоторая точка перпендикуляра QN к прямой га; пусть, далее, QO = x и QN = c. Наше преобразование подобия переводит точку О в точку прямой QN, удаленную от точки Q на расстояние 2с — \хх. Приравнивая это выражение х, мы получаем, что при точка О будет неподвижной. Отсюда сразу следует, что данное преобразование подобия является центрально-подобной симметрией, так как его можно представить в виде произведения гомотетии О (pi) и симметрии относительно прямой, проходящей через точку О и параллельной прямой га, или в виде произведения гомотетии 0(—(л) и симметрии относительно прямой, проходящей через точку О и перпендикулярной к прямой га.
120 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ [ГЛ. 5 Этим завершается доказательство теоремы 5.42 (ср. Кэзи [1], стр. 186; Л а клан [1], стр. 134; Джонсон [1], стр. 27; (Перепел кин [1], стр. 243; Яглом [1], стр. 112)). Однако нам представляется интересным упомянуть об одном свойстве осей центрально-подобной симметрии. Пусть некоторая точка Л переводится этим преобразованием в точку Л', а точка А'—в точку А" (рис. 65). Прямая АА\ которая пересекает оси в точках At и Л2, преобразуется в прямую А'А", которая пересекает оси в точках А[ и А2. Из теоремы, обратной теореме pons asinorum (§ 3, гл. 1), следует, что A'Ai = A'Al = [iAAu А'А2 = А'А'2 = \аАА2. Так как первая ось пересекает прямую АА' между точками А и А\ мы можем сказать, что точка Л4 делит отрезок АА' внутренним образом, а точка Л2 — внешним Рис. 66. образом в отношении 1 : \i. Проделав такие же рассуждения для точки В, мы приходим к следующему простому построению (рис. 66): Пусть АВ, А'В' — два данных неравных отрезка, и пусть точки А{ и Л 2 делят отрезок А А' внутренним и внешним образом в отношении АВ : А'В\ а точки В4 \\ В2 делят таким же образом отрезок ВВ'. Тогда прямые AiBi и А2В2— оси центрально-подобной симметрии, которая переводит отрезок АВ в отрезок А'В'.
§ 61 ЗЕРКАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ 121 [Между прочим из этого следует, что прямые A{Bi и А2В2 перпендикулярны.] Объединяя теоремы 5.41 и 5.42, мы видим, что Произвольный треугольник ABC преобразуется в произвольный подобный, но не равный ему треугольник А'В'С единственным центрально-подобным вращением или центрально-подобной симметрией. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть две карты одной и той же страны в разных масштабах начерчены на кальке и наложены друг на друга. Тогда существует в точности один пункт страны, который на обеих картах изображается одной и той же точкой. [Конечно, одну из карт могли повернуть, прежде чем наложить на вторую.] (Лаклан [1], стр. 137, 139.) 2. Если все точки Р прямой АВ переходят при подобии во все точки Р' прямой А'В\ то точки, делящие отрезки РР' в отношении АВ : А'В' (внутренним или внешним образом), либо все различны и коллинеарны, либо все совпадают друг с другом. 3. Если S — зеркальное подобие, то S2 — гомотетия. 4. Что представляет собой произведение а) двух центрально- подобных симметрии, б) центрально-подобного вращения и центрально-подобной симметрии? 5. Описать преобразование, записываемое в полярных координатах следующим образом: (r,e)->0ir,e + a), и преобразование, записываемое в декартовых координатах так:
ГЛАВА 6 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ Эта глава показывает, как евклидову геометрию, в которой основную роль играют прямые и плоскости, можно расширить до круговой геометрии, в которой эта роль переходит к окружностям и сферам. Мы увидим, как достаточно понятное утверждение о том, что прямые и плоскости представляют собой «окружности и сферы бесконечного радиуса», можно заменить искусственным утверждением, утверждающим, что прямые и плоскости— это окружности и сферы, проходящие через некоторую «идеальную» точку, называемую «бесконечно удаленной точкой». В § 9 этой главы мы кратко рассмотрим еще более необычную эллиптическую геометрию, которая является одной из знаменитых «неевклидовых» геометрий. § 1. ИНВЕРСИЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ) Возможно ли, что все великие ученые прошлого в действительности лишь играли — играли в игру, правила которой составлены не людьми, а богом? ... Когда мы играем, мы не задаемся вопросом — почему мы играем? — мы просто играем. Игра не подчиняется никакому моральному кодексу, за исключением того странного кодекса, который составляют правила цгры... Бесполезно искать в научной литературе каких-либо намеков на мотивировку. А что касается странного морального кодекса, которого придерживаются ученые, то что может быть более странным, чем абстрактное представление об истине в мире, полном тайн, лжи и запретов... Предлагая вашему вниманию мысль о том, что человеческий ум достигает наибольших высот тогда, когда он играет — я сам играю, и это дает мне сознание того, что в моих словах есть доля истины. Дж. Л. Сайндж (J. L. Syndge, род. 1897), Hermathcna 19, 1958, стр. 40. Все рассмотренные нами преобразования являются подобиями, которые переводят прямые в прямые и углы
§ I] ИНВЕРСИЯ (СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ) 123 в равные им углы. Преобразование, называемое инверсией, которое впервые рассматривал Л. Дж Магнус в 1831 году*), в одном отношении сходно с преобразованиями подобия, по отличается от них в другом: оно переводит углы в равные им углы, но некоторые прямые преобразуются в окружности. Подобно симметриям относительно прямой или точки инверсия также является симметрией (т. е. имеет порядок 2). Подобно симметрии относительно прямой, инверсия имеет бесконечно много неподвижных точек, но эти точки заполняют не прямую, а окружность; поэтому инверсию часто называют «симметрией относительно окружности». Центр окружности неподвижных точек является особой точкой преобразования инверсии — он вовсе не имеет образа! Пусть Р — некоторая точка, не совпадающая с центром О данной окружности радиуса k. Инверсную Р точку Р' (т. е. образ точки Р при инверсии) мы определим следующим образом. Эта точка лежит на луче ОР, причем ее расстояние от центра О удовлетворяет соотношению OP-OP' = k2. Точку О называют центром инверсии, а данную окруж- -ность — окружноетью инверсии; квадрат k2 радиуса окружности инверсии называется степенью инверсии. Ясно, что инверсия полиостью определяется заданием окружности инверсии, или центра и степени инверсии. Из этого определения следует, что инверсной к точке Р' будет сама точка Р. Далее, всякая точка, лежащая вне окружности инверсии, преобразуется в точку, лежащую внутри окружности, а каждая внутренняя точка (за исключением ее центра О) — во внешнюю точку. Сама окружность инверсии неподвижна, причем даже точечно-неподвижна; последнее означает, что каждая ее точка неподвижна. Любая прямая, проходящая через точку О, неподвижна, но не точечно-неподвижна (Я г лом [2], стр. 177). *) Инверсия встречается еще в трактате Аполлония Пергского (Ш в. до н. э.) «О плоских геометрических местах» (см. Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt, изд. F. Hultsch, т. II, Berlin, 1878, стр. 663—665),
124 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [I7L 6 Построим инверсную точку к данной точке Р (отличной от О), лежащей внутри окружности инверсии. Пусть Т — один конец хорды окружности инверсии, проходящей через точку Р перпендикулярно к ОР, как это показано на рис. 67. Тогда касательная к окружности инверсии, проведенная в точке Г, пересекает прямую ОР вне окружности, в искомой т точке Р'. В самом деле, так как прямоугольные треугольники ОРТ, ОТР' подобны и ОГ=/г, то ОР к Рис. 67. k ~ ОР' ' Построим инверсную точку к данной точке Р', лежащей вне окружности инверсии. Пусть Т — одна из точек пересечения окружности инверсии с окружностью, построенной на ОРу как на диаметре (рис. 67). Тогда искомая точка Р является основанием перпендикуляра, опущенного из точки Т на ОР'. Если OP > y k, инверсную точку к точке Р легко построить одним циркулем, без использования линейки. Пусть окружность с центром Р и радиусом РО пересекает окружность инверсии в точках Q и Q'. Тогда Р' — вторая точка пересечения окружностей с центрами Q и Q\ проходящих через точку О. [Это легко увидеть из рассмотрения подобных треугольников POQ и QOP'.] 6.11*). Произведение инверсий с общим центром О и радиусами k и k' окружностей инверсии представляет I k' \2 собой гомотетию О (ji), где jli = 1-^-1 . Чтобы доказать это, заметим, что если применить данное произведение инверсий к точке Р, то она перейдет *) Для того чтобы сделать это утверждение точным, надо дополнительно еще условиться считать, что произведение инверсий переводит в себя центр инверсий (не имеющий образа ни при одной из инверсий); см. также § 4 этой главы
§2] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ J25 в точку Р" (на луче ОР), причем ОР X ОР' = £2, ОР' X ОЯ" = k'2 и, следовательно, OP" / k' \2 УПРАЖНЕНИЯ 1. Пользуясь одним циркулем, построить вершины правильного шестиугольника. 2. Пользуясь одним циркулем, построить такую точку В, что отрезок ОБ в два раза длиннее данного отрезка ОЛ. 3. Пользуясь одним циркулем, построить точку, инверсную точке, расположенной на расстоянии -тг k от центра О окружности инверсии. Как построить одним циркулем точку, инверсную точке, расположенной сколь угодно близко к точке О? 4. Пользуясь одним циркулем, разделить пополам данный отрезок. 5. Пользуясь одним циркулем, разделить данный отрезок на три равные части Как одним циркулем разделить отрезок на данное число равных частей? Замечание. Эти задачи относятся к геометрии циркуля, которую независимо друг от друга развивали Г. Мор в Дании (1672) и Л. Маскерони в Италии (1797). Более подробную историю этой геометрии см. у П и д о ([1], стр. 23—25) или у Куранта и Робби нса ([1], стр. 214—220). § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ОКРУЖНОСТИ Сколь счастлива окружности судьба, Когда, минуя перпендикуляр, Касательной лобзаньем пробужденный, Касается в восторженном порыве Центральной точки, воплощенья сути Моей, — о счастье! О сладкий миг! И чтобы определить меня, всего Трех точек хватит, сколь я ни прекрасна. Кристофер М о р л е й (род. 1890). Две окружности называют ортогональными, если они пересекаются под прямым углом, т. е. если в точках пересечения радиус одной окружности является касательной к другой (рис. 68). Из предложения Евклида (III. 36) (см. стр. 23) следует, что произвольная окружность, проходящая через
125 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. в пару инверсных точек относительно некоторой окружности, является неподвижной: окружность инверсии делит ее на две дуги, которые при инверсии переходят друг в друга. Более того, такая окружность ортогональна к окружности инверсии и каждая окружность, ортогональная к окружности инверсии, неподвижна в этом смысле. Через пару инверсных точек можно провести целый пучок окружностей (бесконечно много), и все они ортогональны к окружности инверсии. Следовательно, Рис. 68. 6.21. Точка, инверсная к данной точке Р, — это вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку Р и ортогональных к окружности инверсии. Из предыдущих замечаний вытекает простое решение задачи о проведении через данную точку Р окружности (или прямой), ортогональной к двум данным окружностям. Пусть Л и ?2 — точки, получаемые из точки Р инверсиями, порождаемыми двумя данными окружностями. Тогда окружность РР\Рг (или прямая, проходящая через эти три точки, если они окажутся коллинеар- ными) ортогональна к двум данным окружностям. Если точки О и С — центры двух ортогональных окружностей со и у»как на Рис- 68, то окружность, построенная на ОС, как на диаметре, проходит через точки пересечения окружностей со и у. Обозначим эти точки Т и U. Любая другая точка этой окружности лежит внутри одной из окружностей и вне другой. Из этого следует* что если а и b — две перпендикулярные прямые, прохо-
$ Щ ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ II ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ 127 дящие соответственно через точки О и С, то либо прямая а касается окружности у, а прямая Ь касается окружности со, либо а пересекает у, а Ь лежит вне со, либо а лежит вне уу а Ь пересекает со. § 3. ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ Мы видели, что инверсия переводит прямую, проходящую через точку О, в себя. А что происходит с другими прямыми? Пусть А — основание перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую, не проходящую через О. Пусть, далее, А' — точка, инверсная к точке Л, Рис. 69. а Р' — точка, инверсная некоторой другой точке Ру лежащей на рассматриваемой прямой (см. рис. 69, на котором для простоты не изображена окружность инверсии). Так как ОРX OP'^W-^OA X ОА\ то треугольники ОАРу OPfAr подобны и прямая АР переводится в окружность с диаметром ОА\ поскольку эта окружность представляет собой множество точек, из которых отрезок ОАг виден под прямым углом. Таким образом, любая прямая, не проходящая через точку О, переводится в окружность, проходящую через точку О, и наоборот. Наконец, выясним, что происходит с окружностями, не проходящими через точку О. Пусть Р — произвольная точка такой окружности с центром С, и пусть прямая ОР пересекает эту окружность также в точке Q.
128 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ.4 Согласно предложению Евклида (111.35), произведение P^OPXOQ не зависит от положения точки Р на окружности. Следуя Якобу Штейнеру (1796—1862), это произведение называют степенью точки О относительно окружности. Она положительна, когда точка О лежит вне окружности, равна нулю, когда точка О лежит на окружности, и ее естественно считать отрицательной, когда точка О лежит внутри окружности (так как отрезки ОР и OQ в «этом случае направлены в разные стороны). Пусть гомотетия О (—) преобразует данную окружность и ее радиус CQ в другую окружность (или может быть в ту Рис. 70. же самую) и ее радиус DP', который параллелен CQ (рис. 70; ср. с рис. 60 на стр. 113), так что OPf __ OP __ k2 OQ ~~ ОС ~ р # Поскольку OPxOQ = p, то мы получаем после перемножения OPXOP' = k\ Таким образом, точка Р' является инверсной к точке Р и данная окружность с центром С переходит при инверсии в окружность с центром D. [Точка D, вообще говоря, не является инверсной к точке С] Таким образом, мы доказали, что окружность, не проходящая через точку О, переходит при инверсии в другую окружность, также не проходящую через точ-
I 31 ОБРАЗЫ ПРЯМЫХ И ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ ИНВЕРСИИ 129 ку О, или, быть может, в ту же самую окружность. По* следняя возможность осуществляется в двух случаях: 1) когда данная окружность ортогональна к окружности инверсии, так что p = k2 и гомотетия является тождественным преобразованием; 2) когда данная окружность совпадает с окружностью инверсии, так что р = —k2 и гомотетия является центральной симметрией. Если число р положительно (см. левую половину рис. 70), т. е. точка О лежит вне окружности с центром С, эта окружность ортогональна к окружности с центром О и радиусом Yf> т- е- первая окружность остается неподвижной при инверсии, задаваемой второй окружностью. В итоге мы представим данную инверсию в виде произведения этой новой инверсии, которая переводит точку Р в точку Q и гомотетии Of—], которая переводит точку Q в точку Р'. Если число р отрицательно (см. правую половину рис. 70), точки Р и Q переводятся друг в друга при помощи «антиинверсии», т. е. произведения инверсии и симметрии относительно центра инверсии (Фордер [3], стр. 20) *). При рассмотрении движений и других преобразований подобия мы различали собственные и зеркальные преобразования по действию их на треугольники. Так как нас интересует только ориентация, треугольники можно заменить описанными вокруг них окружностями. В этом случае деление на собственные и зеркальные преобразования удастся распространить также и на инверсии (и произведения инверсий), которые переводят окружности в окружности. Вместо треугольников мы используем здесь окружности, причем не произвольные, а «малые», т. е. не содержащие внутри себя точки О, которые переходят при инверсии также в «малые» окружности. Обращаясь снова к левой половине рис. 70, мы замечаем, что точки Р и Q описывают окружности с центром С в противоположных направлениях, тогда как Q и Р' описывают две окружности в одном и том же *) «Антиинверсию» — произведение инверсии с центром О и степенью k2 и симметрии относительно О — чаще называют также инверсией с центром О и отрицательной степенью —k2\ окружности инверсии инверсия с отрицательной степенью не имеет*
130 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ.'6 направлении. Таким образом, точка Р и инверсная к ней точка Р' движутся в противоположных направлениях, т. е. Инверсия является зеркальным преобразованием. Из этого следует, что произведение четного числа инверсий будет собственным преобразованием. Один пример такого рода нам уже известен: произведение инверсий с общим центром является гомотетией. УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть даны две неравные непересекающиеся окружности. Эти окружности переходят друг в друга при некоторой инверсии с центром в одном из их центров подобия (§ 2 гл. 5). В случае двух неравных пересекающихся окружностей существуют две инверсии с центрами в обеих центрах подобия. Как обстоит дело в случае двух равных пересекающихся окружностей? 2. Объяснить действие инверсора Поселье (рис.71). Этот инструмент, изобретенный А. Поселье (A. Peaucellier) в 1864 году, предназначен для получения инверсного образа данной фигуры. Он состоит из четырех равных стержней, соединенных шарнирно в углах ромба АРВР' и двух равных (более длинных) стержней, соединяющих две противоположные вершины ромба А и В с закрепленной Рис. 71. Рис. 72. точкой О. Если поместить острие карандаша в точку Р\ а острие иголки в точку Р (или наоборот) и вести последнюю точку по данной фигуре, острие карандаша начертит ее инверсный образ1. В частности, если седьмое ребро и второй центр вращения соединены с инструментом так, что точка Р остается на окружности, проходящей через точку О, траектория точки Р' будет прямой линией. Это устройство дает точное решение важной механической задачи о преобразовании вращательного движения в поступательное (Л э м б [21, стр. 314; КурантиРоббинс [1], стр. 223—225). 3. Объяснить действие инверсора Гарта (рис. 72). Этот инструмент, изобретенный в 1874 году Г. Гартом (Н. Hart), преследует те же самые цели, что и инверсор Поселье. Для него требуется только четыре стержня, которые соединяются шарнирно в вершинах
§41 КРУГОВАЯ ПЛОСКОСТЬ 131 «самопересекающегося параллелограмма» ABCD (у которого AB=CD, BC=*DA). Три коллинеарные точки О, Р, Р\ лежащие соответственно на ребрах АВ, AD, ВС, остаются коллинеарными при изменении формы этого самопересекающегося параллелограмма. Этот инструмент, так же как и предыдущий, закреплен в точке О (Лэмб [2], стр. 315; Курант и Роббинс [1], стр. 225—226). 4. В любом треугольнике вписанная и три вневписанные окруж* ности касаются окружности девяти точек. [Эта теорема принадлежит Фейербаху (Feuerbach) *). Одно из многих известных доказательств приведено в книге Пидо [1], стр. 9—10.] § 4. КРУГОВАЯ ПЛОСКОСТЬ После этого Паяльщик сказал недовольным тоном: «Я предлагаю приступить прямо к бесконечности» Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 131. Мы видели, что образ данной точки Р при симметрии относительно прямой (см. рис. 3 на стр. 21) представляет собой вторую точку пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку Р и ортогональных к оси симметрии. Мы видели также, что точка, инверсная данной точке Р, представляет собой вторую точку пересечения любых двух окружностей, проходящих через Р и ортогональных к окружности инверсии. Из-за этой аналогии инверсию иногда называют «симметрией относительно окружности», а именно, относительно окружности инверсии (Бляшке [1], стр. 47; (Яглом [2], стр. 172)). При этом оказывается удобным расширительно трактовать понятие окружности с тем, чтобы оно включало также и прямую в качестве частного (или предельного) случая «как окружность бесконечного радиуса». В таком случае мы можем сказать, что любые три точки принадлежат единственной окружности и что инверсия переводит любую окружность снова в окружность**). *) Карл Вильгельм Фейербах (1800—1834) — брат известного философа Людвига Фейербаха. **) При таком расширительном понимании слова «окружность» осевая симметрия (симметрия относительно прямой) обратится в частный случай инверсии (симметрии относительно окружности); эта точка зрения целесообразна и в силу большой близости свойств осевой симметрии, и инверсии.
132 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. в В соответствии с новым определением окружности естественно расширить евклидову плоскость, добавив к ней «идеальную» бесконечно удаленную точку О', которая одновременно является общей точкой и общим центром всех прямых, рассматриваемых как окружности бесконечного радиуса. Две окружности, имеющие общую точку, либо касаются, либо имеют еще одну точку пересечения. Это остается верным, если одну из окружностей заменить прямой. Если две прямые параллельны, мы считаем, что они касаются в точке О'. Если же прямые пересекаются, то их второй точкой пересечения снова является точка О' (Гильберт и Кон-Фос- сен [1], стр. 255; (см. также Яглом и Атанасян [1], стр. 57)). Теперь мы можем утверждать, что для каждой точки существует единственная инверсная ей точка. Все прямые, проходящие через точку О, являются «окружностями», ортогональными к окружности инверсии. Второй точкой пересечения этих окружностей является точка (У, которую таким образом естественно считать инверсной к точке О. Когда центр О находится в самой точ« ке О', «окружность» инверсии превращается в прямую, а инверсия — в симметрию относительно этой прямой. Евклидова плоскость, дополненная точкой О', называется круговой (или «конформной») плоскостью1). На ней инверсия становится полноправным «преобразованием» (см. § 3, гл. 2), т. е. взаимно однозначным отображением множества всех точек (круговой!) плоскости на себя. Угол между двумя кривыми в точке их пересечения естественно определить как угол между касательными к кривым в этой точке. В этом смысле две пересекающиеся окружности в обоих точках пересечения образуют равные углы, так как обе окружности симметричны относительно их линии центров. Этот факт дает нам возможность доказать следующее. 1) М. В 6с he г, Bulletin of American Mathematical Society 20, 1914, стр. 194,
Ml круговая плоскость 133 6.41. Любой угол переводится инверсией в равный ему угол (или точнее, в равный и противоположно направленный угол *)). Мы рассмотрим сначала угол с вершиной в точке Я, не принадлежащей окружности инверсии. Через такую точку Р и инверсную ей точку Р' можно провести окружность так, чтобы направление касательной к этой окружности в точке Р было данным. Так как угол определяется двумя направлениями, проведем две окружности, отвечающие этим направлениям. Эти окружности являются неподвижными окружностями при инверсии, поэтому угол между направлениями касательных в точке Р перейдет при инверсии в угол между направлениями касательных в точке Р\ Если точка Р принадлежит окружности инверсии, используем теорему 6.11 и представим данную инверсию в виде произведения гомотетии и инверсии с окружностью инверсии, концентрической исходной и проходящей через точку Р. Так как оба эти преобразования сохраняют углы, то произведение их тоже обладает этим свойством. В частности, прямые углы преобразуются при инверсии в прямые углы, и, следовательно, 6.42. Ортогональные окружности (иу в частности, прямые) переходят при инверсии в ортогональные окружности. Согласно теореме 6.21, инверсию можно определить с помощью ортогональных окружностей. Следовательно, окружность инверсии и пара инверсных точек переходят при инверсии (с какой угодно другой окружностью инверсии) снова в окружность инверсии и пару инверсных точек. Точнее, если инверсия с окружностью инверсии у переводит точку Р в точку Q, а инверсия *) Все конформные преобразования (преобразования, сохраняющие величиьы углов) можно делить на собственные и зеркальные в зависимости от того, сохраняют ли они направления (направленных, т. е. рассматриваемых со знаком как в тригонометрии) углов или нет. Так как направление угла с вершиной в точке О задается направлением обхода окружающей О малой окружности, то все собственные движения и преобразования подобия будут в этом смысле собственными преобразованиями, а зеркальные движения и преобразования подобия, так же как и инверсия — зеркальными преобразованиями.
134 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. 6 с какой угодно окружностью инверсии со переводит у, Р, Q в у\ Р', Q', то инверсия с окружностью инверсии у' переводит точку Р' в точку Q'. Важный частный случай (рис. 73) мы получаем, когда точка Q совпадает с центром О окружности со, так что точка Q' совпадает с бесконечно удаленной точкой О'. Тогда Р симметрична точке О относительно окружности у, а точка Р' является центром окружности у'. Другими словами, ес- ^ли инверсия с окружностью инверсии у пе* реводит точку О в Р, а инверсия с окружностью инверсии со переводит у и Р в у' и Р\ V то точка Р' — центр окружности у'. Рис. 73. Две окружности либо касаются, либо пересекают друг друга в двух точках, либо вовсе не имеют общих точек. В этом последнем случае (когда каждая из окружностей лежит полностью вне другой, или же одна находится внутри другой) удобно говорить, что окружности пропускают друг друга. Если окружности ai и аг ортогональны к окружностям Pi и 02, мы можем произвести инверсию с центром в одной из точек пересечения окружностей ai и р4 и получить две ортогональные окружности и два перпендикулярных диаметра, подобно тому, как было отмечено в конце § 2. Следовательно, либо ai касается о&2 и Pi касается р2, либо оц пересекается с «2, а Pi пропускает р2, либо ai пропускает аг, a Pi пересекается с Рг. § 5. ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ *) В этом параграфе мы покинем круговую плоскость и вновь возвратимся к евклидовой плоскости, что позволит нам говорить о расстояниях между точками**). *) Ср. Яглом [2], § 3, гл. II, или Яглом [3], §§ 2—3. **) На круговой плоскости нельзя определить расстояние между точками — ведь никакого (конечного) расстояния между бесконечно удаленной точкой О' и любой другой точкой О не существует.
§5] пучки окружностей 135 Пусть Р и Р' — точки, симметричные относительно окружности со с центром О (рис. 74). При инверсии с окружности инверсии со (при симметрии относительно со) прямые, проходящие через точку Р\ переходят в окружности, проходящие через точки О и Р. Множество таких окружностей называется пучком пересекающихся Рис. 74. окружностей или «эллиптическим пучком». В состав этого пучка входит также прямая ОРР', рассматриваемая как «вырожденная» окружность или «окружность бесконечного радиуса». Семейство концентрических окружностей с центром в точке Р, состоящее из окружностей, ортогональных к проходящим через точку Р прямым, переходит при инверсии в пучок непересекающихся окружностей или гиперболический пучок (на рис. 74 принадлежащие этому пучку окружности обозначены пунктиром). Эти окружности пропускают друг друга и ортогональны ко всем окружностям описанного выше пучка пересекающихся окружностей. Одна из них вырождается в (вертикальную) прямую, которая является образом окружности с центром Р, проходящей через точку О. Своего рода предельным случаем является положение, когда точки О и Р совпадают (рис. 75). В этом
136 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. 6 случае мы получаем пучок касающихся окружностей или параболический пучок, который состоит из окружностей, касающихся некоторой фиксированной прямой в фиксированной точке О. Инверсия с центром в точке О переводит эти окружности в пучок прямых, параллельных общей касательной пучка. Множество прямых, ортогональных им, образует .другой пучок такого же типа, Рис. 75. который переходит при инверсии в ортогональный первому пучок касающихся окружностей; при этом снова каждая окружность первого пучка ортогональна к каждой окружности второго пучка (Яглом {21, сто, 215—220). Любые две данные окружности принадлежат к некоторому пучку окружностей одного из трех описанных типов. Этот пучок состоит из всех окружностей, ортогональных к произвольным двум окружностям, к которым ортогональны две данные окружности. (Другими словами, соответствующий пучок окружностей состоит из всех окружностей, ортогональных ко всем окружностям, к которым ортогональны данные окружности.) Две пересекающиеся окружности принадлежат к пучку пересекающихся окружностей (и могут быть переведены ин-
§6] ПУЧКИ ОКРУЖНОСТЕЙ 137 версией в пересекающиеся прямые); две касающиеся окружности принадлежат к пучку касающихся окружностей (и могут быть переведены инверсией в параллельные прямые); две окружности, пропускающие друг друга, принадлежат к пучку непересекающихся окружностей (см. замечание в конце § 4). Пучок каждого из трех типов содержит одну прямую (окружность бесконечного радиуса), которая называется радикальной осью пучка (или любых двух его окружностей) *). В случае пучка пересекающихся окружностей эта прямая соединяет две точки, общие всем окружностям пучка (прямая ОР для окружностей, изображенных сплошными линиями на рис. 74); в случае пучка касающихся окружностей эта прямая совпадает с общей касательной всех окружностей; наконец, в случае пучка непересекающихся окружностей эта прямая обращается в перпендикуляр к середине отрезка, соединяющего две предельные точки пучка (окружности пучка, имеющие нулевой радиус), являющиеся общими точками всех окружностей ортогонального к исходному пучку пересекающихся окружностей. Прямая центров каждого пучка является радикальной осью ортогонального ему пучка. Отсюда следует, что 6.51. Если из точки радикальной оси пучка окружностей можно провести касательные к окружностям пучка, то все такие касательные имеют одинаковую длину. Радикальную ось двух окружностей можно определить как множество точек, имеющих одинаковую степень (см. § 3) относительно этих окружностей. Эта степень равна квадрату касательной, проведенной из точки оси к любой из окружностей, за исключением того случая, когда окружности пересекаются< в точках О, Р и мы рассматриваем точку Л, принадлежащую отрезку ОР\ в этом случае степень есть отрицательное число, равное произведению (направленных) отрезков АОхАР. Из этого следует, что если центры трех окружностей образуют треугольник, три радикальных оси пар !) Louis Gaul tier, Journal de VEcole Poly technique 16, 1813, стр. 147.
138 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. в окружностей пересекаются в одной точке. Эту точку называют радикальным центром трех окружностей; она имеет одинаковые степени относительно всех трех окружностей. Если эта степень положительна, то квадратный корень из нее равен длине касательной, проведенной из радикального центра к любой из трех окружностей. В этом случае радикальный центр ^является центром окружности (с радиусом, равным Yp), ортогональной ко всем данным окружностям. Но если степень отрицательна, такой ортогональной окружности не существует. На возможность перевода с помощью инверсии двух произвольных непересекающихся окружностей в концентрические окружности (за точку О при этом берется одна из предельных точек определенного нашими двумя окружностями пучка) опирается замечательно простое доказательство поризма Штейнера1)* Пусть даны две (неконцентрические) окружности, одна из которых расположена внутри другой. Мы последовательно чертим окружности, касающиеся этих окружностей и друг друга, как на рис. 76. Может случиться, что кольцо касаю- Рис. 76. щихся окружностей замкнется, т. е. последняя из построенных окружностей коснется первой. Утверждение Штейнера состоит в том, что, независимо от положения первой окружности, кольцо либо всегда замыкается, либо не замыкается никогда. Для того чтобы доказать это, нужно только произвести инверсию, переводящую две данные окружности в концентрические, для которых утверждение Штейнера очевидно. 1) Фор дер [3], стр. 53. См. также Н. S. М. С о х е t е г, Interlocked rings of spheres, Scrlpta Mathematica 18, 1952, стр. 113—121. или Я г л о м [2], стр. 199,
§6] ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ ш УПРАЖНЕНИЯ 1. Если окружность инверсии принадлежит некоторому пучку, то соответствующая инверсия переводит каждую из остальных окружностей пучка в другую окружность того же пучка, а каждую окружность ортогонального пучка в себя. 2. Если окружность инверсии принадлежит пучку непересекающихся окружностей, то предельные точки этого пучка переходят друг в друга. 3. Если две окружности имеют две или четыре общие касательные, то радикальная ось этих окружностей делит пополам все касательные. Как построить радикальную ось двух окружностей, которые не имеют общих касательных (т. е. таких, что одна из окружностей целиком лежит внутри другой)? 4. В какие точки переходят предельные точки пучка непересекающихся окружностей при инверсии, которая переводит этот пучок в пучок концентрических окружностей? 5. В поризме Штейнера точки касания соседних окружностей кольца принадлежат одной окружности, причем симметрия относительно этой окружности переводит две первоначальные окружности друг в друга. Будут ли центры окружностей кольца принадлежать одной окружности? § 6. ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ Аналогия между осевой симметрией и инверсией подчеркивается решением следующей задачи: Задача. Найти множество всех таких точек, что расстояния от каждой из этих точек до двух фиксированных точек А, А' относятся как 1 : ji, т. е. таких то* чек Р, что A'P^iiAP. Если |я=1, это множество точек, очевидно, представляет собой перпендикуляр, восставленный к отрезку АА' в его середине. Симметрия относительно этой прямой переводит точку А в точку А'. Мы увидим, что для других значений jn искомое множество точек будет представлять собой некоторую окружность, причем окажется, что инверсия, для которой эта окружность является окружностью инверсии, также переводит точку А в точку А' (Аполлоний Пергский, 260—190 гг. до н. э.). Положим \хф\. Пусть Р — n-роизвольная точка, для которой А'Р = \ьАР, и пусть биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника АРА' при вершине Р пересекают прямую АА' в точках ЛА и Л2 (как это показано
140 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. 6 на рис. 77, где принято |i = 72). Выберем на прямой АР точки Е и F так, чтобы прямая А'Е была параллельна А\Р, а прямая A'F была параллельна Л2Р, т. е. перпендикулярна к AiP. Так как ЕР>=РА' = РЕ, то мы имеем AAi _ АР _ АР АА2 _ АР _ АР АХА' ~ РЕ ~~ РА' ' А'А2 — FP ~ РА' * [Первый результат представляет собой предложение (VI. 3) Евклида.] Таким образом, точки Ах и Л2 делят Рис. 77. отрезок А А' в отношении 1 : \х внутренним и внешним образом и положение этих точек не зависит от выбора точки Р. Так как ZA{PA2 — прямой, точка Р принадлежит окружности с диаметром /4И2. Обратно, пусть Ах и А2 — точки, делящие отрезок АА' в отношении 1 : \i, и Р — произвольная точка окружности с диаметром АхА%- Тогда мы имеем АР _ АА{ _ 1 _ АА2 АР РЕ — АХА' — \х ~ А'А2 ~~~ FP * Таким образом, FP — PE и точка Р является цент- тром окружности, описанной около прямоугольного
§6] ОКРУЖНОСТЬ АПОЛЛОНИЯ 141 треугольника EFA'. Следовательно, РА' — РЕ и АР _ АР _\ РА' ~~ РЕ ~ \i (Курт [2], стр. 15; (совсем другое доказательство, тесно связанное с инверсией — Я гл о м [2], задача 257)). Покажем, наконец, что симметрия относительно окружности Аполлония AiA2P переводит точку А в точку А\ Действительно, если О — центр этой окружности и k — ее радиус, расстояния а=АО и а'=А'0 удовлетворяют соотношению а — k АА\ АА2 a~\-k k — a'~~ ~ЩГ ~~~ "А/А^ ~ а' + k * откуда УПРАЖНЕНИЯ 1. Окружности Аполлония одних и тех же точек Л и Л' с различными значениями \i образуют пучок непересекающихся окружностей с предельными точками А и А'. 2. Дана прямая / и две точки Л и Л', не лежащие на ней. Найти на / точки Р, для которых А'Р отношение -jp- принимает наименьшее и наибольшее значения. [Указание: рассмотреть окружность, проходящую через точки Л и Л' с центром на прямой /. Эта задача предложена Н. С. Мендельсоном (N. S. Mendelsohn), а указание — Ричардом Блюмом (R. Blum).] 3. Выразить отношение k/AA' через ц. 4. Пусть на рис. 77 Е'— точка пересечения прямых А'Р и А2Е. Тогда прямая АЕ' параллельна прямым А'Е и Л1Р. [Указание: симметрия относительно прямой РА2 переводит ЕА в А'Е\ а А2А — в А2Е') 5. В обозначениях рис. 66 (который является частью рис. 78) окружности, построенные на отрезках А\А2 и В\В2 как на диаметрах, пересекаются в точках О и О, так что_треугольники ОАВ и ОА'В' подобны, так же как и треугольники ОАВ и ОА'В\ Из двух Рис. 78.
142 ОКРУЖНОСТИ И СФСРЫ [ГЛ. в преобразований подобия ОАВ->ОА'В' и ОАВ->ОА'В' одно является собственным, а другое —зеркальным. В самом деле, точкз О совпадает с точкой пересечения А\В\ и А2В2> а точка О принадлежит четырем окружностям АА'С, ВВ'С, ABDt A'B'D (ср. с упр. 2 в конце § 5 гл. 5; Кэзи [1], стр. 185). Если точка Л' совпадает с В, то точка О принадлежит прямой АВ' (см. рис. 78). 6. Любую окружность можно перевести # в любую другую не равную ей окружность бесконечным множеством центрально-подобных вращений и бесконечным множеством центрально-подобных симметрии. Множество неподвижных точек (в первом случае) представляет собой окружность, диаметром которой является отрезок, соединяющий центры подобия окружностей. [Это множество точек называется окружностью подобия двух данных окружностей.] Как обстоит дело в случае двух равных окружностей? 7. Точка, принадлежащая окружности подобия двух данных окружностей при симметриях относительно этих окружностей, переходит в две точки, которые симметричны относительно радикальной оси этих окружностей (Курт [1], стр. 190), § 7. КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Заметив, что инверсия является круговым (т. е. переводящим окружности в окружности) преобразованием круговой плоскости (включающей бесконечно удаленную точку), мы естественно задаемся вопросом, как будет выглядеть самое общее преобразование такого типа. Мы будем различать два случая, соответственно тому, является ли бесконечно удаленная точка неподвижной точкой рассматриваемого преобразования или нет. В первом случае не только окружности переходят в окружности, но также прямые переходят в прямые. Потому из предложения Евклида (III. 21) (см. стр. 22) можно вывести, что наше преобразование сохраняет равенство углов, и, следовательно, сохраняет величины углов, так что треугольник преобразуется в подобный ему треугольник. Таким образом, преобразование является подобием (§ 4 гл. 5). Пусть теперь данное преобразование Т переводит в бесконечно удаленную точку О7 обыкновенную точку О. Рассмотрим произведение АГ, где ]\ — инверсия с центром в точке О (и, скажем, степенью 1). Это произведение JiT оставляет точку & неподвижной, а следовательно, является преобразованием подобия. Пусть k2—*
§7] КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 143 коэффициент подобия, и пусть Л — инверсия с центром О и степенью k2. Так как, согласно 6.11, произведем ние JJk представляет собой гомотетию 0(k2)y то подобие J {Г можно представить в виде /i/^S, где S — уже движение. Таким образом, T = JkS, т. е. преобразование Т можно представить в виде произведения инверсии и движения. Объединяя полученные результаты, мы получаем, что 6.71. Любое круговое преобразование круговой плоскости является либо преобразованием подобия, либо произведением инверсии и движения. (Так как всякое движение представляет собой произведение не более чем трех осевых симметрии (см, § 2 гл. 3), а всякое преобразование подобия — произведение гомотетии (т. е. произведения двух инверсий) и одной или двух осевых симметрии (см. § 4 гл. 5)), то из этого следует, что всякое круговое преобразование представляет собой произведение не более чем четырех инверсий (при условии, что мы считаем осевую симметрию частным случаем инверсии; ср. Форд [1], стр. 23). Произведение двух инверсий (или инверсии и осевой симметрии) называют эллиптическим, параболическим или гиперболическим круговым преобразованием, если две окружности инверсии пересекаются, соответственно касаются или не имеют общих точек (т. е. в соответствии с тем, является ли пучок окружностей, ортогональных данным двум окружностям, пучком непересекающихся окружностей, пучком касающихся окружностей или же пучком пересекающихся окружностей). Частными случаями таких преобразований являются вращение, параллельный перенос и гомотетия. Самым важным видом эллиптического преобразования является симметрия (или инволюция) Мёбиуса, которая в круговой геометрии играет роль центральной симметрии — это преобразование представляет собой произведение симметрии относительно двух ортогональных окружностей (в частности, произведение симметрии относительно окружности и симметрии относительно ее диаметра). Любое произведение четырех инверсий, которое нельзя свести к произведению
144 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. S двух инверсий, называется локсодромическим круговым преобразованием (Форд [1], стр. 20). Согласно теоремам 5.42 и 3.31, это преобразование представляет собой либо центрально-подобное вращение, либо произведение инверсии и скользящей симметрии. УПРАЖНЕНИЕ Представление данного кругового преобразования в виде /5 (где J — инверсия, а 5 — движение) единственно. Существует также единственное представление этого преобразования в виде SJ\ где движение предшествует инверсии. Почему это измененное произведение содержит то же самое движение S? При каких условиях будет также /'=/? § 8. ИНВЕРСИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Теория инверсии легко переносится с окружностей на плоскости на сферы в пространстве; в этом нетрудно убедиться, если рассмотреть пространственные тела, получающиеся в результате вращения изображенных на рис. 67, 68, 69, 70 и 73 фигур вокруг линии центров [ОР или ОЛ, или ОС). Пусть дана сфера с центром О и радиусом k\ точку, инверсную к данной точке Р (отличной от О), мы определим как точку Р', принадлежащую лучу ОР и такую-, что расстояние ОР' удовлетворяет соотношению OPxOPr=^k\ Иначе говоря, Р' — вторая точка пересечения трех сфер, проходящих через точку Р и ортогональных к заданной сфере, называемой сферой инверсии; ее центр называется центром инверсии, а квадрат радиуса — степенью инверсии. Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только условиться считать плоскости «сферами бесконечно большого радиуса» (в плоскости преобразуются сферы, проходящие через центр инверсии О). Таким образом, инверсия представляет собой преобразование кругового (или «конформного») пространства, которое образуется из евклидова пространства добавлением к нему одной бесконечно удаленной точки, принадлежащей всем прямым и плоскостям. Вращая окружность Аполлония (рис. 77) вокруг прямой ЛЛ', мы получим сферу Аполлония, которую можно описать следующим образом:
§<Я ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ 145 6.81. Даны две точки Л, А' и положительное число \х. Пусть точки Ai и А2 делят отрезок АА' внутренним и внешним образом в отношении 1 : \х. Тогда сфера с диаметром А{А2 представляет собой множество всех точек Я, расстояния от которых до точек А и А' относятся как 1 : \i. УПРАЖНЕНИЯ 1. Если инверсия в пространстве с центром О переводит точку Л в А\ а точку В в В\ то треугольники ОАВ и О В'А' подобны. 2. Пусть в обозначениях упр. 1 О А —а и ОВ~Ь. Тогда A'Br = ^- АВ. аЪ 3. При инверсии сохраняется «двойное отношение» четырех точек АВ . АС _ A'Br m А'С BD Г CD "" B'D' : C'Dr (К э з и [1], стр. 100; (Я г л о м [2], стр. 236)). 4. Две сферы, касающиеся в центре инверсии О, преобразуются этой инверсией в параллельные плоскости. 5. Пусть а, р, у— три сферы, касающиеся друг друга. Пусть Oi, о~2, ... — множество сфер, которые касаются последовательно друг друга и все касаются а, р и у. Тогда сфера о~б касается сферы ai, так что мы получаем кольцо из шести сфер, окружающее первоначальное кольцо из трех сфер 1). [Указание: произвести инверсию с центром в точке касания сфер а и р.] § 9. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ Каким-то непонятным образом, покуда он (Дэвидсон) передвигался по Лондону, его взор в точном соответствии с этим передвигался по поверхности отдаленного острова... Когда я говорил..., что как-никак, а место видений Дэвидсона (остров Антиподов) отстоит от нас на восемь тысяч миль отсюда, он отвечал, что на бумажном листе две точки могут отстоять одна от другой на ярд и все-таки могут быть слиты в одну, если мы сложим лист вдвое. Г. Дж. Уэллс, Замечательный случай с глазами Дэвидсона. Фантастика, М., Гослитиздат, 1936, стр. 498. Пусть точка S — основание перпендикуляра, опущенного из точки N на плоскость а, как показано на рис. 79. М Frederick Soddy, The Hexlet, Nature, 138, 1936; стр. 958; 139, 1937, стр. 77.
146 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. 6 Инверсия (в пространстве) с центром N и степенью (NS)2 преобразует плоскость о в сферу а', построенную на NS как на диаметре. Мы видели, что при инверсии сферы переходят в сферы (или в плоскости); следовательно, окружности, которые являются линиями пересечения двух сфер, переходят при инверсии в окружности Рис. 79. Рис. 80. (или в прямые). В частности, окружности, принадлежащие плоскости а, перейдут в окружности, принадлежащие сфере а', а прямые плоскости а перейдут в окружности, проходящие через точку N. Каждой точке Р плоскости а соответствует некоторая точка Pf сферы g', а именно, вторая точка пересечения прямой NP со сферой о'. Обратно, каждой точке Р' сферы а\ за исключением точки N, соответствует точка Р, в которой прямая NP' пересекает плоскость а. [Исключение можно устранить, если считать плоскость о круговой плоскостью, бесконечно удаленная точка которой является инверсной к точке N.] Описанная конструкция, позволяющая с помощью инверсии установить взаимно однозначное соответствие между точками круговой плоскости и точками сферы, называется стереографической проекцией. Она служит одним из самых простых способов отображения изображающего земной шар глобуса на плоскость. Так как углы при этом сохраняются, малые острова переводятся на плоскость с сохранением формы, хотя масштаб изменяется в зависимости от широты.
§9] ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ 147 Другой способ состоит в использовании гномониче- ской (или центральной) проекции, в которой центр проектирования находится не в точке IV, а в точке О — центре сферы, как на рис. 80. Каждая точка Р плоскости а определяет прямую ОР, соединяющую ее с точкой О. Этот диаметр пересекает сферу в двух противоположных точках Pi и Р2, которые проектируются, таким образом, в одну и ту же точку Р. Каждая прямая m на плоскости а аналогичным образом определяет плоскость От. Эта диаметральная плоскость пересекает сферу по большому кругу. Обратно, каждому большому кругу на сфере (за исключением «экватора», плоскость которого параллельна а) соответствует прямая на плоскости а. Исключегие можно устранить, добавив к евклидовой плоскости бесконечно удаленную прямую (являющуюся образом экватора); все точки этой прямой называются бесконечно удаленными точками и представляют собой образы пар диаметрально противоположных точек экватора. Таким образом, все прямые, параллельные некоторой данной прямой, проходят через одну и ту же бесконечно удаленную точку, а прямые различных направлений проходят через различные бесконечно удаленные точки, лежащие на бесконечно удаленной прямой. [Эта идея принадлежит Кеплеру (Kepler) и Дезаргу (Desargues).] Если считать бесконечно удаленную прямую равноправной со всеми другими прямыми плоскости, то полученная при этом (расширенная добавлением одной бесконечно удаленной прямой) плоскость называется проективной плоскостью (Ко кете р [2]; (см. также Я г- лом [2], стр. 56; Яглом и Атанасян [1], стр. 112)). Две параллельные прямые на такой плоскости пересекаются в бесконечно удаленной точке и обычная прямая пересекается с бесконечно удаленной прямой в бесконечно удаленной точке. Следовательно, 6.91. Любые две прямые на проективной плоскости пересекаются в одной точке. Вместо того чтобы рассматривать сечения прямых и плоскостей,, проходящих через центр сферы, мы можем более симметрично (хотя и более абстрактно) определить точки и прямые проективной плоскости как сами
148 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ [ГЛ. а прямые и плоскости трехмерного евклидова пространства, проходящие через точку О. Тогда предложение 6.91 перестает казаться удивительным: оно просто утверждает, что любые две плоскости, проходящие через точку О, пересекаются по прямой, проходящей через О. Равносильным образом мы можем сказать, что, по определению, прямые проективной плоскости — это большие круги сферы, которые пересекаются в паре диаметрально противоположных точек. Тогда точки проективной плоскости представляют собой пары диаметрально Рис. 81. противоположных точек сферы, которые абстрактно отождествляются. Это абстрактное отождествление ярко описано Г. Дж. Уэллсом в его коротком рассказе «Замечательный случай с глазами Дэвидсона» (внезапная катастрофа исказила поле зрения Дэвидсона так, что вместо окружающих его предметов он видел вещи, находящиеся в диаметрально противоположном месте Земли). Если круговая плоскость получается из сферы с помощью стереографической проекции, расстояния неизбежно искажаются; но углы, под которыми пересекаются окружности, сохраняются. В этом смысле круговая плоскость обладает «частичной» метрикой: углы на ней измеряются обычным способом, но о расстояниях мы говорить не можем (Грауштейн [1], стр. 377, 388, 395). С другой стороны, гномоническая проекция дает возможность, если мы пожелаем, определить на проективной плоскости полную метрику: расстояние между точками Р и Q на плоскости а определяется как угол POQ (в радианной мере), а угол между прямыми тип
ьп ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ плоскость 149 определяется как угол между плоскостями От и On. [Это соответствует обычному измерению расстояний и углов на сфере, которое применяется в сферической тригонометрии.] Мы получим, таким образом, эллиптическую плоскость1), или, точнее, проективную плоскость с эллиптической метрикой (Ко к с тер [3], глава IV; Э. Т. Бэлл [2], стр. 302—311; Бахман [1], стр. 21; (ср. также Яглом [2], стр. 337)). Так как точки эллиптической плоскости сопоставлены парам точек сферы единичного радиуса, общая площадь которой равна 4я, общая площадь эллиптической плоскости (в соответствии с наиболее естественным определением «площади») равна 2я. Также общая длина прямой (представляемой «большим полукругом») равна я. Упрощение, которое получается в результате использования эллиптической плоскости вместо сферы, хорошо иллюстрируется задачей о вычислении площади сферического треугольника, стороны которого являются дугами больших кругов. Рис. 81 изображает эти круги, сначала в стереографической проекции, а затем в гно- монической проекции. Три прямые ВС, АС, АВ разбивают эллиптическую плоскость на четыре треугольные области. Одна из них представляет собой данный треугольник Д с углами Л, В, С; остальные три обозначены на рис. 81 буквами а, р, у. На сфере мы имеем, конечно, восемь областей. Две прямые СЛ, АВ разбивают плоскость на две лунки, площади которых пропорциональны смежным углам А и я — А и, следовательно, равны в точности 2Л и 2(я — А). Лунка с углом А разбивается третьей прямой на две области Д и а. Следовательно, Д+а=2А ') Название «эллиптическая» может ввести читателя в заблуждение. Оно не подразумевает никакой прямой связи с кривой, называемой эллипсом, а основано на некоторой отдаленной аналогии. Центральное коническое сечение называется гиперболой или эллипсом в соответствии с тем, имеет ли оно две «бесконечно удаленные точки» (отвечающие двум асимптотам) или не имеет таких «точек» (не имеет асимптот). Аналогично этому неевклидову плоскость называют гиперболической (гл. 16) или эллиптической, смотря по тому, содержат ли ее прямые по две бесконечно удаленные точки, или не содержат ни одной такой точки.
150 ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ 11 Л. 6 Аналогично Д+р = 2В и А + у = 2С. Складывая эти три равенства и вычитая из них тождество Д-f-a-f- P + y = 2h, мы получим формулу «сферического избытка» Жира- р а (Girard) *): 6.92 д = Л + £ + С — л, которая в равной мере справедлива для сферы и для эллиптической плоскости. УПРАЖНЕНИЯ 1. Две окружности на эллиптической плоскости могут иметь не более четырех точек пересечения. 2. Площадь р-угольника на эллиптической плоскости равна избытку суммы его углов над суммой углов р-угольника на евклидо* вой плоскости. *) Albert Girard, Invention nonvelle en I'algebre, Amsler* dami, 1629,
ГЛАВА 7 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Эта глава является повторением глав 3 и 5 для трехмерного случая ((ср. Перепелкин [2], гл. XVI и XVII, где, впрочем, терминология отличается от принятой здесь)). Предварительно мы должны были рассмотреть окружности и сферы, поскольку мы воспользуемся сферой Аполлония (6.81) для построения неподвижных точек произвольного подобия. В § 5 мы получим простое доказательство хорошо известной кинематической теоремы о том, что любое движение представляет собой винтовое перемещение. В § 6 мы увидим, что любое преобразование подобия (за исключением винтового перемещения и скользящей симметрии, которые не имеют неподвижных точек) можно рассматривать как частный случай центрально-подобного вращения в пространстве. Большинство пространственных движений хорошо нам известно из повседневной жизни. Когда Вы идете по прямой, Вы подвергаетесь параллельному переносу. Когда Вы поворачиваете за угол, Вы совершаете вращение, а когда Вы поднимаетесь по винтовой лестнице — бинтовое перемещение. Преобразование, которое сопоставляет Вам Ваше отражение в обычном зеркале, представляет собой симметрию относительно плоскости; соединяя его с вращением или с параллельным переносом, можно получить вращательную симметрию и скользящую симметрию.
152 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [гл. г § 1. СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ Конгруэнтность бывает либо собственной — она переводит левый винт в левый и правый в правый, либо несобственной или рефлексивной — такая конгруэнтность переводит левый винт в правый и наоборот. Собственные конгруэнтности — это такие преобразования, которые... связывают положения точек твердого тела до и после движения. Г. В ей ль [1], стр. 43—44. Аксиомы конгруэнтности, образец которых дает 1.26, могут быть естественным образом перенесены из планиметрии в стереометрию. В пространстве движение («конгруэнтность» Вейля) по-прежнему определяется как произвольное преобразование, сохраняющее длину, так что отрезок PQ преобразуется в равный ему отрезок P'Q\ Наиболее известными примерами движений являются вращение вокруг данной прямой на данный угол и параллельный перенос в данном направлении на данное расстояние. В первом случае все точки оси остаются неподвижными, а во втором неподвижных точек вовсе не существует, если отбросить случай параллельного переноса на нулевое расстояние, представляющего собой тождественное преобразование. Симметрия относительно плоскости (или отражение от плоскости) представляет собой специальный вид движения, который имеет целую плоскость неподвижных точек. Можно легко доказать следующий аналог теоремы 2.31; нам надо лишь вместо двух окружностей рассмотреть три сферы: 7.11. Если движение имеет три неколлинеарные неподвижные точки, то оно является либо тождественным преобразованием, либо симметрией относительно плоскости. Если два тетраэдра АВСР и АВСР' симметричны относительно их общей грани, мы можем «ломаную», образованную тремя ребрами АВ, ВС, СР, рассматривать как род простейшего винта, а ее образ, образованный ребрами АВ, ВС, СР', — как противоположно ориентированный винт: если один из них правый, то другой левый. Модель легко изготовить из двух кусков твердой проволоки с прямоугольными изгибами в точках В и С. Таким образом, идею «ориентации» можно перенести
§ 1] СОБСТВЕННЫЕ И ЗЕРКАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ШЗ из двумерного пространства в трехмерное: мы можем сказать, имеют ли два данных равных тетраэдра одинаковую или противоположную ориентацию. В дальнейшем мы увидим, что в первом случае один из тетраэдров может быть передвинут (наподобие винта в гайке) в положение, которое до этого занимал второй тетраэдр. Это различие возникает в аналитической геометрии, когда мы производим преобразование координат. Если О —начало координат, а точки Ху У, Z лежат на единичных расстояниях от него в положительных направлениях координатных осей, ориентация тетраэдра OXYZ определяет, будет ли система координат правой или левой. [Преобразование координат определяет движение, которое преобразует каждую точку (х, уу г) в точку с теми же координатами в новой системе.] Так как движение в пространстве полностью определяется образами четырех вершин произвольно заданного тетраэдра, то 7.12. Произвольный тетраэдр ABCD переводится в произвольный равный ему тетраэдр A'B'C'D' единственным движением ABCD -+A'B'C'D', которое будет собственным или зеркальным в зависимости от того, совпадают или нет ориентации тетраэдров ABCD и A'B'C'D'. [Некоторые авторы, например Вейль, говорят «собственное или несобственное» движение вместо «собственного и зеркального»; (другие предпочитают говорить о движениях «первого» и «второго» рода).] Трехмерным аналогом теоремы 3.12, как легко видеть, является следующее предложение: 7.13. В пространстве любой данный треугольник можно совместить с любым равным ему треугольником в точности двумя движениями — одним собственным и одним зеркальным. Аналогом теоремы 3.13 будет следующая теорема (Кокетер [1], стр. 36): 7.14. Каждое движение представляется в виде произведения не более чем четырех симметрии относительно плоскостей; если же движение имеет неподвижную точку, то максимальное число симметрии можно сократить до трех,
154 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 Так как симметрия относительно плоскости изменяет ориентацию тетраэдра, то движение будет собственным или зеркальным в соответствии с тем, является ли оно произведением четного или нечетного числа симметрии: 2 или 4 в первом случае, 1 или 3 — во втором. В частности, собственное движение, имеющее неподвижную точку, является произведением в точности двух симметрии относительно плоскостей, а так как две плоскости симметрии в этом случае должны иметь общую точку, то они имеют целую общую прямую. Следовательно, 7.15. Любое собственное движение, имеющее непод* важную точку, представляет собой вращение. Как показал Эйлер в 1776 году, имеет место также следующая теорема (очевидно, следующая из теоремы 7.15): 7.16. Произведение вращений вокруг двух прямых, проходящих через точку О, представляет собой вращение вокруг третьей прямой, проходящей через эту же точку. УПРАЖНЕНИЕ Произведение вращений на угол я вокруг двух прямых, пересекающихся под углом а, представляет собой вращение на угол 2а* § 2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Одним из самых важных зеркальных движений является центральная симметрия (или отражение от точки), которая переводит точку Р в такую точку Р\ что середина отрезка РР' совпадает с фиксированной точкой О. Это движение можно представить в виде произведения симметрии относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку О., Приняв эти плоскости за координатные, т. е. за плоскости х = 0, у = 0, z=0, мы видим, что центральная симметрия (с центром в начале координат) переводит точку (х, у, z) в точку (—х, —у, —z). (В кристаллографической литературе центральную симметрию принято называть «центральной инверсией», однако это название является довольно неудачным: все время приходится следить за тем, чтобы не спутать это
§ 3] ВРАЩЕНИЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС 155 преобразование с инверсией в пространстве в смысле § 8 гл. 6.) Центральная симметрия в пространстве во многом аналогична движению плоскости, имеющему то же название. Но мы должны помнить, что так как 3 — нечетное число, центральная симметрия в пространстве является зеркальным движением, а на плоскости — собственным движением. В некоторых отношениях в пространстве роль центральной симметрии на плоскости играет осевая симметрия или симметрия относительно прямой, т. е. вращение вокруг прямой на угол я {«отражение от прямой»), которое является собственным движением (Л э м б [1], стр. 9). УПРАЖНЕНИЕ Что представляет собой произведение симметрии относительно трех взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через одну точку? § 3. ВРАЩЕНИЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС Теорию параллельного переноса, построенную в § 2 гл. 3, нетрудно перенести на трехмерный случай, если определить параллельный перенос как произведение двух центральных симметрии. Мы видим далее, что один из двух центров симметрии можно выбирать произвольно и что вместо центральных симметрии можно брать осевые симметрии с параллельными осями или симметрии относительно параллельных плоскостей. Таким образом, произведение двух симметрии относительно плоскостей есть либо параллельный перенос, либо вращение. Последний случай осуществляется тогда, когда плоскости симметрии пересекаются по прямой, которая и является осью вращения. В частности, произведение симметрии относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей представляет собой осевую симметрию. Произведение симметрии относительно двух плоскостей, проходящих через прямую /, совпадает с произведением симметрии относительно любых двух других плоскостей, пересекающихся по той же прямой / и образующих такой же (по величине и направлению!)
156 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 двугранный угол, что и исходные плоскости. Аналогично произведение симметрии относительно двух параллельных плоскостей совпадает с произведением симметрии относительно двух других плоскостей, параллельных данным и находящихся на таком же расстоянии друг от друга. УПРАЖНЕНИЕ Что представляет собой произведение симметрии относительно трех параллельных плоскостей? § 4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ СИММЕТРИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ Три простейших вида движений, а именно, вращение, параллельный перенос и симметрия относительно плоскости, объединенные в коммутирующие пары движений, образуют винтовое перемещение, скользящую симметрию и вращательную симметрию. Винтовое перемещение представляет собой произведение вращения и параллельного переноса вдоль оси вращения. Скользя- щая симметрия — это произведение симметрии относительно плоскости и параллельного переноса вдоль прямой, принадлежащей плоскости симметрии, т. е. произведение симметрии относительно трех плоскостей, две из которых параллельны, а третья им перпендикулярна. Наконец, вращательная симметрия представляет собой произведение симметрии относительно плоскости и вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости симметрии. Если вращение представляет собой осевую симметрию, то вращательная симметрия обращается в центральную симметрию. Произвольную вращательную симметрию можно также представить в виде произведения центральной симметрии и вращения вокруг прямой, проходящей через центр симметрии. В самом деле, если в состав вращательной симметрии входит вращение на угол 9, то его можно рассматривать как произведение вращения на угол 0 + д (или 0 — я) и осевой симметрии. Произведение же осевой симметрии и симметрии относительно
*4J ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ СИММЕТРИИ 157 плоскости, перпендикулярной к оси первой симметрии, представляет собой центральную симметрию. Поэтому вращательная симметрия является не только произведением симметрии относительно плоскости и вращения вокруг перпендикулярной к этой плоскости прямой, но и произведением центральной симметрии и вращения вокруг проходящей через центр симметрии прямой. Центр входящей в состав вращательной симметрии центральной симметрии называется центром вращательной симметрии, а ось вращения — осью вращательной симметрии. Произвольное зеркальное движение 7\ имеющее неподвижную точку О, есть либо симметрия относительно проходящей через точку О плоскости, либо произведение трех симметрии относительно проходящих через точку О плоскостей. Произведение 77 этого движения и центральной симметрии / с центром О является собственным движением с неподвижной точкой О, т. е. просто вращением 5 вокруг некоторой проходящей через точку О прямой. Следовательно, данное зеркальное движение представляет собой вращательную симметрию: Г = 5Гг = 5/. Таким образом, 7.41. Любое зеркальное движение, обладающее не- подвижной точкой, представляет собой вращательную симметрию. Так как три плоскости, не имеющие общей точки, будут обязательно перпендикулярны к одной плоскости а, то все плоскости, параллельные а, будут неподвижными плоскостями для произведения симметрии относительно наших трех плоскостей и в каждой такой плоскости произведение симметрии относительно наших трех плоскостей совпадет с произведением симметрии относительно прямых, по которым наши плоскости пересекаются с данной плоскостью. Таким образом, мы можем применить теорему 3.31 и заключить, что 7.42. Любое зеркальное движение, не имеющее неподвижных точек, представляет собой скользящую симметрию.
о ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 УПРАЖНЕНИЯ 1. Что представляет собой произведение симметрии относительно трех плоскостей, проходящих через прямую? 2. Пусть ABC и А'В'С— два равных треугольника, лежащих в различных плоскостях. Рассмотрим плоскости, проходящие через середины отрезков AA't ВВ\ СС и перпендикулярные к этим отрезкам. Если эти три плоскости имеют в точности одну общую точку О, то треугольник ABC переводится в А'В'С вращательной симметрией с центром в точке О. [Указание: если ABC переводится в А'В'С, то три плоскости должны иметь общую прямую.] 3. Каждое зеркальное движение можно представить в виде произведения двух симметрии — относительно плоскости и относительно прямой. § 5. ВИНТОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ Единственным не рассмотренным пока случаем является собственное движение без неподвижных точек. Пусть S — любое собственное движение (имеющее неподвижные точки или не имеющее их), которое переводит произвольную точку А в точку А'\ пусть, далее, /?i — симметрия относительно плоскости, переводящая точку А в точку А/ и наоборот. Тогда произведение RiS — это зеркальное движение, для которого точка А' является неподвижной. Согласно 7.41, это есть вращательная симметрия 7?2#з#4, т. е. произведение вращения R2R3 и симметрии 7?4 относительно плоскости, причем плоскость симметрии /?4 перпендикулярна к оси вращения 7?2#з. Так как вращение можно представить в виде произведения двух симметрии относительно плоскостей многими различными способами (§ 3), мы можем выбрать плоскости симметрии R2 и R3 так, чтобы первая из них была перпендикулярна к плоскости симметрии /?i. Так как плоскости симметрии R2 и R3 обе перпендикулярны к плоскости симметрии Ru то имеем S ==: /?l^?2АЗА4» т. е. движение S — произведение двух вращений RiR2 и #з#4, каждое из которых является осевой симметрией (Веблен и Юнг [2], стр. 318):
§5] ВИНТОВОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ 159 7.51. Любое собственное движение представимо в виде произведения двух осевых симметрии. Если собственное движение имеет неподвижную точку, то оно является вращением, которое можно различными способами представить в виде произведения симметрии относительно двух пересекающихся прямых. Если же неподвижных точек нет, то либо оси симметрии параллельны и в этом случае произведение симметрии представляет собой параллельный перенос, либо оси скрещиваются наподобие двух противоположных ребер тетраэдра. Две скрещивающиеся прямые всегда принадлежат паре параллельных плоскостей, а именно, плоскостей, проходящих через одну из прямых параллельно другой. Так как осевая симметрия является произведением симметрии относительно произвольных двух взаимно перпендикулярных плоско- рИс. 82. стей, пересекающихся по ее оси, две осевые симметрии RiR2 и R3Rt со скрещивающимися осями можно заменить осевыми симметриями R[R'2 и R'3R'r где плоскости симметрии R'2 и R'A параллельны, а остальные две плоскости симметрии перпендикулярны к ним (рис. 82). Следовательно, R{R2R,R4 = R[R'2RsRl = R[RsR2RI причем перестановка двух средних симметрии возможна потому, что осевую симметрию ^^з можно также, представить в виде R'ZR2. Таким образом, мы записали произвольное собственное движение в виде винтового перемещения, а именно, выразили его как произведение вращения Rffi и параллельного переноса R'2RA в направлении оси вращения. [Эта ось пересекает обе скрещивающиеся прямые под прямым углом, и следовательно, по ней измеряется кратчайшее расстояние между прямыми.]
160 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 Другими словами, 7.52. Каждое перемещение (т. е. собственное движение) представляет собой вращение, или параллельный перенос, или винтовое перемещение. Другую трактовку этого вопроса см.: Том сон и Тэт [1], § 102. УПРАЖНЕНИЯ 1. Какое движение переводит каждую точку (х> уу г) пространства в точку а) (х, у, —z), б) (—у, х, г), в) (х, у, г-Н), г) (■—(/, ху г+1), д) (—*, у, z+1), е) (—у, х, —z)? 2. Произведение осевых симметрии со скрещивающимися осями, образующими прямой угол, является винтовым перемещением, а именно произведением симметрии относительно линии кратчайшего расстояния двух прямых и параллельного переноса вдоль этой линии на расстояние, в два раза больше кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми (Л э м б [I], стр. 11, упр. 6). § 6. ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ Можно очень просто доказать, что всякое евклидово преобразование подобия, отличное от дви- о/сения, имеет неподвижную точку. Д. Гильберт и С. Кон-Фоссен [I], стр. 336. Гомотетия в евклидовом пространстве определяется точно так же, как и на плоскости. В самом деле, результаты § 1 гл. 5 можно дословно перенести на случай трехмерного пространства. Также и результаты §2 гл. 5 применимы к сферам в такой же степени, как и к окружностям: рис. 60 можно рассматривать как плоское сечение двух неравных сфер с центрами С, С и центрами подобия О, Oi. Произвольная сфера переводится в равную ей сферу параллельным переносом и центральной симметрией. Однако при рассмотрении вопроса об ориентации появляется существенное различие между плоским и пространственным случаем. На плоскости любая гомотетия является собственным преобразованием подобия, а в пространстве (центральная) гомотетия О(ц) будет собственным или зеркальным преобразованием в зависимости от знака \х: если \i положительно, то гомотетия 0(\i) является собственным, а если \i отрицательно — зеркальным преобразованием подобия. [Например, центральная
§6] ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ 161 симметрия О (—1), как мы уже отмечали, является зеркальным преобразованием.] Таким образом, в пространстве знак \х играет весьма существенную роль, а не является просто вопросом соглашения. В пространстве, так же как и на плоскости, любая фигура переводится в подобную ей фигуру преобразованием подобия, частными случаями которого являются движение и гомотетия. Перенося естественным образом планиметрическую терминологию на случай геометрии в пространстве, мы можем теперь говорить о центрально- подобном вращении, понимая под этим произведение вращения вокруг прямой / (оси преобразования) и гомотетии с центром в точке О оси / (центре преобразования). Плоскость, проходящая через точку О перпендикулярно к прямой /, является неподвижной плоскостью центрально-подобного вращения, которое действует на ней как плоское «центрально-подобное вращение» § 4 гл. 5. В том частном случае, когда вращение представляет собой осевую симметрию, существует бесконечно много других неподвижных плоскостей, а именно, все плоскости, проходящие через прямую 1\ в любой такой плоскости наше преобразование действует как центрально-подобная симметрия (§ 4 гл. 5). Пусть центрально-подобное вращение представляет собой произведение вращения на угол а и гомотетии 0(jx), где точка О принадлежит оси вращения. Придавая аиц следующие значения, мы получим известные частные случаи центрально-подобного вращения: а 0 я а я 0 а 0 и Ц Подобие 1 Тождественное преобразование Симметрия относительно прямой Вращение Симметрия относительно плоскости Симметрия относительно точки Вращательная симметрия Гомотетия (центральная) Мы замечаем, что эта таблица включает все виды движений, как собственных, так и зеркальных, за
162 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 исключением винтового перемещения и скользящей симметрии (не имеющих неподвижных точек). Но еще более неожиданным оказывается то, что за этими двумя исключениями любое преобразование подобия является центрально-подобным вращением. Роль подобных треугольников играют теперь подобные тетраэдры. Очевидно, что 7.61. Произвольный тетраэдр ABCD переводится в любой подобный ему тетраэдр А'В*CD' единственным подобием ABCD-+A'B'C'D', которое будет собственным или зеркальным в зависимости от того, совпадают или не совпадают ориентации тетраэдров A BCD и А'В'CD'. Другими словами, преобразование подобия полностью определяется образами четырех произвольно заданных некомпланарных точек, и мы имеем следующее обобщение теоремы 7.13: 7.62. Произвольный треугольник ABC переводится в подобный ему треугольник A'B'Cf в точности двумя подобиями — одним собственным и одним зеркальным. Важным шагом в доказательстве того, что любое преобразование подобия, не являющееся движением, представляет собой центрально-подобное вращение, является следующая теорема: 7.63. Любое преобразование подобия, не являющееся движением, имеет в точности одну неподвижную точку. В двумерном случае мы сумели найти эту единственную неподвижную точку с помощью простого построения. Однако в трехмерном случае, по-видимому, легче всего воспользоваться соображениями непрерывности (которые можно применить и в случае плоскости). Так как неподвижная точка любого преобразования является также неподвижной точкой обратного преобразования, мы можем без ограничения общности рассматривать подобие ABCD-* A'B'C'D', где ABCD —-бол ьший из двух данных тетраэдров (если бы он был меньшим, мы изменили бы обозначения и рассматривали вместо данного обратное преобразование). Если точки А к А' совпадают, то мы уже имеем неподвижную точку. Если же они не совпадают, то пусть
§6] ЦЕНТРАЛЬНО-ПОДОБНОЕ ВРАЩЕНИЕ 163 наше подобие переводит точку Л' в точку А", А" в А"' и т. д.; пусть, далее, \л есть коэффициент подобия, так что A'B' = iiAB, где 0<|я<1. Тогда так как А'А' = \iAA', АГАШ = цА'А', то ЛЛ' + Л'Л"+Л'7Г + ... = и последовательность точек Л, Л', Л'', А'",... сходится к пределу О — предельной точке, обладающей тем свойством, что внутри любой сферы с центром О (и сколь угодно малым радиусом) содержится бесконечно много членов нашей последовательности точек. Так как рассматриваемое подобие преобразует последовательность Л, А', А",... в последовательность Л', А", А'",... с тем же самым пределом, оно переводит предел О в себя; следовательно, О — искомая неподвижная точка. Наконец, не может существовать более одной неподвижной точки, так как если бы их было две, отрезок между ними оставался бы неподвижным, в то время как он должен перейти в отрезок, длина которого получается из длины исходного отрезка умножением на меньшее единицы число \х. Установив существование неподвижной точки, мы можем построить ее как одну из двух точек пересечения трех сфер. Но если бы мы не доказали ее существование, то была бы не исключена возможность того, что эти сферы не пересекаются. Построение состоит в следующем. Рассмотрим два подобия, собственное и зеркальное, которые преобразуют данный треугольник ABC в подобный ему (но не равный) треугольник А'В'С. Пусть А'В'—)хАВ, где \х — положительное число, отличное от1. Пусть точки Ах и Л2 делят отрезок ААГ внутренним и энешним образом в отношении 1 : \ху а точки fli, В2 и Си С2 делят таким же образом отрезки ВВ' и СС Рассмотрим теперь три сферы с диаметрами AxAlyBJ$2 и CiC2. Это будут «сферы Аполлония» (теорема 6.81); напри-* мер, первая из них представляет собой множество
164 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 точек, расстояния от которых до точек А и А' находятся в отношении 1 : |л. Любая точка О, для которой OA' = ixOA, OB' = ixOB, OC' = \iOC, должна принадлежать всем трем сферам. Мы уже установили существование двух таких точек. Следовательно, сферы действительно пересекаются, что дает нам возможность определить неподвижные точки (центры) двух преобразований подобия. Рис. 83. Теперь мы подготовлены к доказательству нашей основной теоремы: 7.64. Любое преобразование подобия представляет собой либо винтовое перемещение, либо скользящую симметрию, либо центрально-подобное вращение. Случай движения уже рассмотрен; поэтому нам достаточна ограничиться преобразованиями подобия, отличными от движений. Пусть снова заданное преобразование подобия умножает все расстояния на положительное число ц, отличное от 1. Если О — неподвижная точка рассматриваемого преобразования, то подобие, очевидно, может быть представлено в виде произведения гомотетии 0(±\i) и движения, для которого
§ 71 КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 165 точка О также является неподвижной. Выбрав для ц знак + или — в соответствии с тем, является ли данное подобие собственным или зеркальным, мы можем быть уверены, что оставшееся движение будет собственным. По теореме 7.15 это должно быть вращение. Таким образом, наше подобие является произведением гомотетии с центром О и вращения вокруг прямой, проходящей через О, т. е. центрально-подобным вращением, что и требовалось доказать. В § 7 гл. 3 мы использовали параллельный перенос в качестве образующейся в геометрическом представлении циклической группы С*, (которая представляет собой свободную группу с одной образующей). Мы видим теперь, что та же самая абстрактная группа имеет более интересное представление, в котором образующей служит центрально-подобное вращение. Тридцать элементов этой группы можно увидеть в раковине моллюска Nautilus ((см. рис. 83, заимствованный из книги Томсо- на [2])). УПРАЖНЕНИЯ 1. В какую точку переходит точка (ху уу г) под действием общего центрально-подобного вращения, центр которого совпадает с началом координат, а ось — с осью г? 2. Найти ось и угол поворота для подобия (л\ //, z) -> (fi-г, \ixy jlu/). § 7. КРУГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Соображения, использованные в § 7 гл. 6, легко переносятся на трехмерный случай и дают следующий аналог1) теоремы 6.71: 7.71. Любое круговое преобразование в пространстве*) является либо преобразованием подобия, либо произведением инверсии (в пространстве) и движения. l) Rene Lagrange, Produits d'inversions et metrique confor- me, Cahiers scientifiques, 23, Gauthiers — Villars, Paris, 1957, стр.7. *) To есть преобразование кругового пространства, переводящее каждую окружность (к числу которых причислены также и прямые) снова в окружность, а сферу — в сферу.
166 ДВИЖЕНИЯ И ПОДОБИЯ [ГЛ. 7 (Имеет место также и следующая более сильная теорема. 7.72. Любое конформное преобразование в пространстве (т. е. преобразование, сохраняющее углы) является либо преобразованием подобия, либо произведением инверсии и движения (ср. ниже стр. 56). Теорема 7.72 следует из того неожиданного обстоятельства, что любое конформное преобразование в пространстве является круговым преобразованием (то, что любое круговое преобразование в пространстве является конформным, вытекает, например, из теоремы 7.71) *).) УПРАЖНЕНИЕ Любое круговое преобразование в пространстве представляется в виде произведения г симметрии относительно плоскости и s инверсий, где r<4, s<2, r + s<5. *) Теорема, аналогичная 7.72, имеет место также и в геометрии на плоскости (см. ниже стр. 220). Однако существует весьма примечательное различие между теоремой 7.72 и ее планиметрическим аналогом. В то время как в родственной 7.72 планиметрической теореме речь может идти лишь о конформных преобразованиях всей (круговой) плоскости, теорема 7.72 вытекает из того, что конформное преобразование любой (сколь угодно малой!) области трехмерного пространства, переводящее ее в другую область трехмерного пространства, обязательно является круговым (см. теорему Лиувилля на стр. 516 и ее доказательство).
ЧАСТЬ ГЛАВА 8 КООРДИНАТЫ Несколько фигурирующих в предыдущих главах упражнений использовали метод координат; они были предназначены для читателей, знакомых с аналитической геометрией. Другие читатели могли пропустить эти упражнения с тем, чтобы вернуться к ним после изучения настоящей главы. Помимо прямоугольных декартовых координат, мы рассмотрим здесь косоугольные и полярные координаты. (Полярное уравнение эллипса используется, в частности, в теории планетных орбит.) После краткого упоминания о некоторых специальных видах кривых мы изложим в общих чертах идущие еще от Ньютона приложения дифференциального и интегрального исчислений к задачам о вычислении длины дуги и о нахождении площади плоской фигуры. Наиболее интересным в параграфе, посвященном трехмерному пространству, является неожиданное свойство поверхности, имеющей форму баранки, — тора. § 1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ Хотя идеи, на которых основан метод аналитиче^ ской геометрии, детски просты, тем не менее этот метод настолько мощен, что, применяя его, рядовые семнадцатилетние мальчики могут решать задачи, которые поставили бы в тупик величайших из греческих геометров — Евклида, Архимеда и Аполлония. Э. Т. Бэл л (1883—1960) [11, стр. 2L Аналитическую геометрию можно охарактеризовать как представление точек я-мерного пространства упорядоченными системами п (или более) чисел — координатами 2
168 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 этих точек. Например, любую точку Земли можно полностью охарактеризовать широтой, долготой и высотой над уровнем моря. Хорошей иллюстрацией этой ситуации в одномерном случае является термометр. Пусть некоторой точке прямой ставится в соответствие число 0; положительные целые числа 1, 2, 3,... располагаются на равных рас- стояних друг от друга с одной стороны от 0, отрицательные целые числа —1, —2, —3,... — с противоположной стороны, а дробные числа вставляются между ними естественным образом. Смещение точки х' относительно другой точки х есть положительное или отрицательное число хг — х. В двумерном случае положение точки на плоскости может быть определено ее расстояниями до двух фиксированных перпендикулярных прямых — осей. Это понятие можно усмотреть уже у Архимеда Сиракузского и Аполлония Пергского, живших более двух тысяч лет назад, и даже у древних египтян; но впервые эта идея была систематически развита двумя французами: Пьером Ферма (его задачу о треугольниках мы решили в § 8 гл. 1) и Рене Декартом (1596—1650). В их формулировках расстояния могли быть только положительными числами или нулем. Важная идея о том, что одно или оба эти расстояния можно также считать и отрицательными, принадлежит сэру Исааку Ньютону (1642—1727). Г. В. Лейбниц (1646—1716) первым назвал эти расстояния «координатами». У У [Англичане пишут coordinates, немцы — Коог- (Х>У) dinaten, а французы — coordonnees] Для некоторых целей с таким же успехом можно использовать не- перпеидикулярные оси, наподобие тех, которые изображены на правой половине рис. 84. Мы можем получить произвольную точку (л:, у), исходя от начала координат О, где пересекаются оси, и откладывая расстояние х на оси ОХ, а затем откладывая рас-
§11 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ 169 стояние у на прямой, параллельной оси OY. Говорят, что ось х выражается уравнением у=0, потому что каждая точка (х, 0) оси х удовлетворяет этому уравнению; аналогично л; = 0 — уравнение оси у. Что касается любой другой прямой, проходящей через начало координат, то рассмотрение гомотетичных треугольников показывает, что отношение — постоянно для всех точек такой прямой; таким образом, любая прямая, проходящая через начало координат (0, 0), может быть выражена уравнением ax + by = 0. Чтобы получить уравнения прямой, не проходящей через начало координат, возьмем на ней точку (хи У\)- В новых координатах х', у\ полученных перенесением начала координат из точки (0, 0) в точку (хи */i), прямую можно представить уравнением ax'-\-by' = 0. Так как х'=х— х^ и у' = у — Уи то любая прямая в первоначальных координатах выражается уравнением а(х—х{) + + b(y—yi) =0 или 8.11 ax-\-by -f-£ = 0. Таким образом, каждая прямая определяется линейным уравнением и каждое линейное уравнение определяет прямую линию. В частности, прямая, которая отсекает на осях отрезки р к q, имеет уравнение. 8.12 в самом деле, это уравнение линейное, и ему удовлетворяют обе точки (р, 0) и (0, q). Две прямые, представленные в форме 8.11, параллельны, если они имеют одно и то же отношение а/b (включая случай, когда 6 = 0 для обеих прямых; в этом случае они параллельны оси у). Точка пересечения двух непараллельных прямых получается как решение системы двух уравнений относительно х и у. Если ЬфО, уравнение 8.11 можно разре- ДЛГ + С т? шить относительно у и получить у — т—. Более общо, точки, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) =0 или #=/(*)» можно построить, придавая
170 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 некоторые удобные для нас значения абсциссе х и вычисляя соответствующие значения ординаты у. Этот процесс дает особенно хорошие результаты, если уравнение кривой записано в форме y=f(x). В других случаях мы предпочитаем использовать параметрические уравнения, выражая х и у как функции одного переменного (или параметра) /. Например, если точка Pi имеет координаты (хи у{), то любая прямая, проходящая через Pi, имеет параметрические уравнения 8.13 x = xx + Xt; y = yx-\-Ytt где числа X r Y зависят от направления прямой. Иногда ради симметрии один параметр заменяют двумя, ti и /2, связанными вспомогательным уравнением. Например, произвольная точка Р= (*,*/) на прямой, проходящей через точки Р4 и Р%, задается системой X=tiXl + t2X2, # = *i«/i +/202» tl + t2—\. Эта точка Р, делящая Р\Р% в отношении /2: /t — центроид (или центр тяжести) системы, состоящей из массы ti, находящейся в точке Рь и массы /2, находящейся в точке Р2. Эта точка может находиться также вне интервала с концами Pi(/2 = 0) и P2(/i = 0). В этом случае одно из чисел /2 или /i будет отрицательно, но они по- прежнему удовлетворяют условию /4-/2=1; при этом естественнее называть их «электрическими зарядами», а не «массами». Для задач, включающих в себя расстояние между двумя точками или угол между двумя прямыми, как правило, рекомендуется использовать прямоугольные оси, в которых расстояние от начала координат до точки (л:, у) выражается квадратным корнем из х2+у2, а расстояние PiP2 равно квадратному корню из (х1—х2)2 + (у1—у2)2. Умножив выражение l=ax+by + c на соответствующее число, мы можем нормировать общее уравнение прямой /=0 так, чтобы было a2 + b2=l. Записывая равенство /=0 в виде (x-xl + 2atl)2+(y-yl + 2bll)2 = (x-xl)2 + (y-ylf,
§п ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАГЫ 171 где li = axi + byi + cy мы видим, что оно выражает геометрическое место точек, равноотстоящих от точек (х1 — 2alv уг — 2W0 и (хи ух)\ другими словами, прямая / = 0 служит осью симметрии этих двух точек. Отсюда следует, что основание перпендикуляра, опущенного из точки Pi на прямую / = 0, совпадает с точкой (*i — alu #i — bl\) и что расстояние от Р\ до прямой равно ±U (при условии, что а2+62=1), В частности, расстояние от начала координат до прямой /=0 равно ±с. Геометрическим местом точек, отстоящих от начала координат на расстояние единица, является окружность которая имеет параметрические уравнения jt = cos 0, t/ = sin0 или, если заменить 0 на / = tg-^ 0, х — 1 + *2 ' У— \+t2% УПРАЖНЕНИЯ 1. Используя общие декартовы координаты, точку (лг, у) мож« но перевести в точки (— х, — */) —центральной симметрией (§ 1 гл. 5), (fjur, \iy) — центральной гомотетией, (х-\-а, у) — параллельным переносом вдоль оси х. 2. Используя прямоугольные декартовы координаты, точку (х, у) можно перевести в точки (х, —У) — симметрией относительно оси х, (У* х) — симметрией относительно прямой х=у, (— У> х) — вращением на 90° вокруг начала координат, (лг + а, —у) — скользящей симметрией (осью которой служит ось х), ([хх, — \iy) — центрально-подобной симметрией (§ 6 гл. 5). 3. Пусть Mij — середина отрезка PiPj. Для любых четырех точек Pi, Рг, Рз, Pi середины отрезков М12М34, Mi3M24 и МцМ2г совпадают.
172 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 § 2. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ Выведение кратчайших путей из основных принципов охватывает некоторые из красивейших достижений величайших математиков. М. Г. А. Н ь ю м 9 н (М. Н. A. Newman, род. 1897). Mathematical Gazette 43, 1959, стр 170. В задачах, в которых фигурируют направления, выходящие из фиксированного начала координат (или «полюса») О, часто бывает удобным определять точку Рее полярными координатами (г, 0), где г — расстояние ОР и в — угол, который составляет ОР с начальной прямой ОХ, которую можно отождествить с осью х прямоугольных декартовых координат. Точка (л 6), конечно, совпадает с точкой (г, 0 + 2ял) для любого целого п. Иногда оказывается удобным использовать также отрицательные значения г, считая, что точка (г, В) совпадает с точкой (-—г, 0 + я). Если дано декартово уравнение кривой, мы можем вывести ее полярное уравнение, подставив 8.21 x = rcos8, t/=rsin0. Например, единичная окружность х2+*/2=1 имеет полярное уравнение (rcos0)2 + (rsin0)2=l, которое приводится к виду г=1. (Положительных значений г достаточно, если мы допускаем, что 0 принимает все значения от —я до я или от 0 до 2л.) Эта процедура используется в элементарной тригонометрии, где учащиеся часто испытывают некоторые трудности в нахождении (и запоминании) тригонометрических функций тупых и сверхтупых углов. Рассматривая угол ХОР и полагая ОР=1, мы можем просто определить его синус и косинус как абсциссу и ординату точки Я. Полярные координаты особенно удобны для описания тех движений и преобразований подобия, которые имеют неподвижную точку; начало координат в этом
§ 2] ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 173 случае выбирают именно в этой точке. Таким образом, точку (г, 6) можно перевести в точки (г, 0 + а) —вращением на угол а, (г, 0 + я)—центральной симметрией, (г,—0) —симметрией относительно прямой 0 = 0, (г, 2а—0) — симметрией относительно прямой 0 = а, (jir, 0) — центральной гомотетией O(jm), (\iry 0 + а) — центрально-подобным вращением с центром в точке О, (|ir, 2а—0) — центрально-подобной симметрией с центром О и осью 0 = а. Кроме того, инверсия с окружностью инверсии r = k (см. § 1 гл. 6) переводит точку (г, 0) в точку (* ■ •)• Выражения этих преобразований в декартовых координатах легко получить из выражений их в полярных координатах, используя формулы 8.21. Например, вращение на угол а вокруг точки О переводит точку (х, у) в (х/,(//), где, согласно 8.21, х' = г cos (0 + а) = г (cos 0 cos а — sin 0 sin а) = = л: cos а — i/sina, у' = г sin (0 -f- а) = г (cos 0 sin a -f- sin 0 cos a) = — x sin a -+- у cos a. В частности, вращение на 90° переводит точку (лг, у) в точку (—у,х) откуда следует, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы две точки (#, у) и (х\ уг) лежали на перпендикулярных прямых, проходящих через начало координат, является соотношение 8.22 хх' +- уу' — 0. Преобразование вида 8.23 х' — х cos a — у sin a, у' =Arsina + t/cosa
174 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 можно рассматривать с двух различных точек зрения — «активной» и «пассивной». При первом подходе мы считаем, что точка {х, у) сдвигается в новое положение (л/, */')» т- е- что наши равенства выражают преобразование плоскости; при втором — что точка, которую прежде называли (х, у), переименовывается в (*', */')» т- е- чт0 те же равенства выражают преобразование координат. Второй подход часто используют для упрощения уравнений кривых. Например, уравнение кривой ax2 + 2hxy + by2=l преобразуется в следующее выражение а (х cos а — у sin а)2 -f- 2h (х cos а — у sin а) (х sin а + + у cos а) + b (х sin a + #cosa)2 = 1, в котором коэффициент при ху уже равен не 2й, но 2А (cos2 а — sin2 а) — 2 (а — b) cos а sin а = = 2А cos 2а — (а — b) sin 2а. Так как это выражение обращается в нуль, когда tg2a = = ___ b , то первоначальное уравнение может быть упрощено поворотом осей на некоторый угол се, а именно, на угол Площадь треугольника OPiP2, где точка Рг- имеет полярные координаты (гг-, 9г), мы будем считать положительной, если 0i<02, и отрицательной, если 8i>82. Приняв это соглашение, можно найти следующее выражение для площади треугольника: у rxr2 sin (Э2 — 6i) == J r\r2 (s*n ^2 cos ^1 — cos ^2 $m 0i) или, используя декартовы координаты 8.24 "2 (*i</2 — *2</l) = 2" I *2 #2 Г Для нахождения площади произвольного треугольника Р^Рз выберем новые оси, параллельные ОХ и OY и проходящие через точку Р3. Так как новые координаты
S3] ОКРУЖНОСТЬ 175 ТОЧКИ Pi (/=1 ИЛИ 2) — (Xi — X3l i)i—yz)> такого треугольника Р1Р2Р3 равна 8.25 ' хх ух то площадь х\ — хг У\ — Уз х2 — хз У 2 — У г Х2 Уч Уъ Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы точки Рь Р2 и Рз принадлежали одной прямой, является равенство нулю этого определителя третьего порядка. Уравнение прямой РАР2 можно также получить из этого условия, если вместо (x3, уг) написать (х, у). УПРАЖНЕНИЯ 1. Используя известные тригонометрические формулы, получить выражение квадрата расстояния между двумя точками, имеющими полярные координаты (rb 0i), (гг, 62). 2. Найти полярные координаты середины отрезка, зная полярные координаты его концов. 3. Найти полярное уравнение прямой y=xiga. [Указание] ввести отрицательные значения г.] 4. Используя 8.22, получить условие aa'+bb'=0 перпендикулярности прямых ax+by+c=0 и а'х+Ь'у+с'=0. Показать, что прямые ах + Ьу + с = 0, Ъх—ау-\-с'~0 перпендикулярны при всех значениях я, Ъ, с, с'. 5. С помощью соответствующего поворота осей упростить уравнение кривой 4х* + 24ху+\\у2 = 5. § 3. ОКРУЖНОСТЬ Фигура универсальной привлекательности, д. п и д о [I], стр. VII. Окружность с центром (х',у') и радиусом &, являющаяся множеством точек (ху у), отстоящих от точки (*', у') на расстояние &, имеет уравнение (x-x'Y+{y-y'y = k\ Таким образом, уравнение 8 31
176 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 определяет окружность с центром в точке (— g, —/), если только g2+f2>c. Касательная к окружности в точке Л= (хи */i) задается уравнением XiX + y{y+g{x+Xi) +f(y + yi) + с = 0 или (Xi+g)x+ (yi+f)y+ (gxi+fyi + c) =0. Для этой прямой, проходящей через точку Рх и перпендикулярной к диаметру окружности, верно соотношение x+g_ У+f Xl+g У1+1 ' Окружность 8.31 ортогональна другой окружности х2+у2 + 2g'x + 2f'y 4- с' = 0, если для подходящей точки Pi центр каждой из этих окружностей лежит на касательной в точке Pi к другой. Прибавляя равенство (xi+g)g,+ (*/i-f/)/' = g*i+f*/i-K к аналогичному соотношению, в котором переставлены штрихованные и нештрихованные буквы, мы видим, что из ортогональности двух окружностей следует, что 2gg' + 2ff' = c + c'. Обратно, любые две окружности, которые удовлетворяют этому соотношению, ортогональны. В частности, ортогональны окружности 8.32 x* + y*-+2gx + c = 0, 8.33 x2 + y2 + 2fy-c^0, центры которых лежат соответственно на осях хну. Если мы зафиксируем с и будем придавать g и / различные значения, мы получим два ортогональных пучка окружностей. Радикальными осями этих пучков будут соответственно прямые х=0, */ = 0. Если положить с=0, то мы получим два ортогональных пучка, касающихся окружностей, причем каждая из окружностей касается одной из осей в начале координат. Если с>0, то окружности вида 8.32, с различными значениями g", образуют пучок непересекающихся окружностей, содержащий две
§3) ОКРУЖНОСТЬ 177 окружности нулевого радиуса (x + g)2 + y2 = 0, g=±V~c> являющиеся предельными точками пучка. Окружности вида 8.33, которые проходят через эти две точки, образуют ортогональный первому пучку пучок пересекающихся окружностей. УПРАЖНЕНИЯ 1. Точка (х, у) переводится инверсией с окружностью инверсии x2+y2 — k2 в точку / k*x k*y \ U2 + </2' х2 + У2)' Применить эту инверсию к прямой 8.11 и к окружности 8 31. 2. Найти множество точек (х, у), расстояния от которых до точек I —, О J и (\ik, 0) находятся в отношении 1 : \х (ср. с § 6 гл. 6). 3. Найти уравнение в декартовых координатах множества точек, произведение расстоянии от которых до точек (а, 0) и (—а, 0) равно а2. Вывести полярное уравнение этой «восьмерки», которая называется лемнискатой Якоба Бернулли. 4. Даны две равные касающиеся окружности. Найти геометрическое место вершин треугольников, для которых первая является окружностью девяти точек (см. § 7 гл. 1), а вторая — вневписан- ной окружностью (§ 5 гл. 1) (Ответ: лемниската) '). б. Окружность'радиуса b катится без скольжения по внешней стороне окружности радиуса nb. Траектория фиксированной точки катящейся окружности называется эпициклоидой (когда п — целое число, эпициклоида имеет п вершин). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды 8.34 х = (л-f-1) Ь cost— Ь cos (п-\- \)t, у » (п -f-1) Ь sin t — b sin (n + 1) t\ начертить график для случаев п=\ (кардиоида), л = 2 (нефроида), я=3 и п— -к- (См. Робсон [1], стр. 368.) 6. Перемещая начало координат в вершину (6, 0), получить полярное уравнение г = 26 (1 — cos 0) кардиоиды (8.34 при я=1). Показать, что хорда, проходящая через вершину, имеет постоянную длину. ') Richard Blum, Canadian Mathematical Bulletin 1, 1958, стр. 1—3.
178 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 7. Окружность радиуса Ь катится без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса nb, где п> 1. Траектория фиксированной точки катящейся окружности называется гипоциклоидой (когда п целое, гипоциклоида имеет п вершин). Найти параметрические уравнения гипоциклоиды. Начертить график для случаев п = 2 (в этом случае получается весьма неожиданный результат), л=-3 (дельтоида) и п=4 (астроида). В последних двух случаях исключить параметр; для астроиды получить уравнение 1 1 JL хг+уг=аг (а = 4Ь) (Л э м б [2], стр. 297—303.) Ш т е й н е р обнаружил, что все прямые Симеона ((см. упр. 11 на стр. 33)) для произвольного треугольника касаются некоторой дельтоиды. Три из них, а именно, те, которые параллельны сторонам равностороннего треугольника Морлея (§ 9 гл. 1), являются «апсидальными» касательными, общими для дельтоиды и окружности девяти точек. Их точки касания служат вершинами равностороннего треугольника XYZ, описанного в упр. 3 на стр. 38. Подробнее см. Б эк ер [1], стр. 330—349; особенно стр. 347. (Дельтоиду, подробно изученную Я. Штейнером, иногда называют гипоциклоидой Штейнера или даже кривой Штейнера. Самое замечательное свойство этой кривой состоит в том, что заключенные внутри кривой отрезки всех касательных дельтоиды имеют одну и ту же величину. Аналогично этому заключенные между осями симметрии астроиды (их удобно принять за оси координат) отрезки всех касательных астроиды имеют одну и ту же величину. Оба эти утверждения нетрудно доказать с помощью элементарного дифференциального исчисления (см. ниже § 5).) § 4. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Кроме прямых, окружностей, плоскостей и сфер, с которыми знаком каждый изучавший Евклида, греки знали свойства кривых, которые получаются при сечении конуса плоскостью — эллипса, параболы и гиперболы. Кеплер открыл, анализируя астрономические наблюдения, а Ньютон до- казал математически, на основе закона всемирного тяготения, что планеты движутся по эллипсам. Таким образом, геометрия древних греков стала краеугольным камнем новой астрономии. Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 32. Имеется несколько различных способов определения конических сечений. Один из наиболее непосредственных— следующий (ср. с § 6 гл. 6): коническим сечением называется геометрическое место точек /\ расстояние РО
§4] КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 179 от которых до фиксированной точки О в е раз больше расстояния РК до прямой НХ (рис. 85), где е — постоянное положительное число. Эквивалентность этому определению других определений конического сечения, предложенных Менехмом Рис. 85 около 340 года до н. э., была доказана Паппом Александрийским (IV в. н. э.) или, возможно, Евклидом (см. Кулидж [1], стр. 9—13). Коническое сечение называется эллипсом, если е<1, параболой, если е=1, гиперболой, если е>1. [Эти термины введены Аполлонием.] Точка О называется фокусом, а прямая НХ—директрисой конического сечения. Число е, называемое эксцентриситетом, иногда обозначается через е (но при этом приходится добавлять: «где е не есть основание системы натуральных логарифмов». Хорда LU, проходящая через фокус параллельно директрисе, называется фокальной хордой (latus rectum древних геометров); ее длина обозначается 21, так что В полярных координатах с полюсом О и начальной прямой ОХ, перпендикулярной к директрисе, мы имеем 8.41 г = ОР = гРК = е {LH — г cos 9) = I — ег cos 0, так что 8.42 l = l + ecos9.
180 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 (Это уравнение той части конического сечения, которая лежит по ту же сторону от директрисы, что и фокус. В случае e^Cl мы получаем, очевидно, все коническое сечение. Если же е>1, то уравнение 8.42 является уравнением ветви гиперболы.) Так как это уравнение не изменяется при замене 0 на —6, то коническое сечение симметрично относительно начальной прямой. Ясно, чтрг==г--г~£ при 0 = 0 и г = у~^ при 6 = я; поэтому, если е<1, коническое сечение пересекает начальную прямую дважды. Если е<1, из 8.42 следует, что г—конечное положительное число при всех значениях 0; поэтому эллипс— замкнутая (овальная) кривая. Если е=1, г конечно и положительно при всех 0 кроме 0 = я; поэтому парабола — незамкнутая кривая, неограниченная в одном направлении. Если е>1, г—положительно или отрицательно, в зависимости от того, что болыце cos0 или — 1/е; поэтому ветвь гиперболы лежит в угле—<х<0<а, где а = arc sec (—е). Возводя в квадрат выражение 8.41, мы получаем уравнение конического сечения в декартовых прямоугольных координатах (причем оказывается, что при е>1 это уравнение задает всю гиперболу) 8.43 х2 + у2 = (1 — ех)2 (оно показывает, что окружность можно рассматривать, как эллипс с эксцентриситетом, равным нулю). Если еф\, мы можем разделить уравнение 8.43 на 1 — е2, а затем обозначить 1__£2 через а и получить х2 + \!L& = /а — 2еах, или (х -+- еа)2 4- у у2 = (/ -+- г2а) а = а2, или (х + ва)* , у2 _, а2 "Т" 1а~1ш Перенося начало координат в точку (—еа, 0), мы можем привести это выражение к виду
$4] КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 181 8.44 а2 - Л2 — Ь где 62=|/а| = |1—е21а2, так что /а=±62, причем знак « + » ставится при е<1, а знак «—» при е>1. В последнем случае а оказывается отрицательным, но мы можем поменять его знак, сохраняя уравнение 8.44. Более важно то, что уравнение не изменяется, когда мы меняем знак у х или у. Эта инвариантность показывает, что эллипс и гипербола симметричны относительно каждой оси и поэтому симметричны относительно начала координат: они имеют группу симметрии D2 в обозначениях § 5 гл. 2. По этой причине начало координат называется центром, а эллипс и гипербола — центральными коническими сечениями. Геометрический смысл величин а и Ь проиллюстрирован рис. 86. Для эллипса 2а и 26 равны большой и (Эллипс) Рис. 86. малой осям; для гиперболы они равны действительной и мнимой осям. Две ветви гиперболы 8.441 а2 "2 J>L- 1 Ь2 — к лежат в противоположных углах, образованных двумя прямыми £-£=о, „л„ (i_f)fi+{)_a
182 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Если а = 6, они перпендикулярны, и гипербола называется прямоугольной (или равнобочной). Если 6=1, то выражение 8.43 приводится к виду :ле отражен 8.45 1 , или, после отражения от прямой х — -т1, у2 = 21х. Это — стандартное уравнение параболы (рис. 87). Наиболее удобными параметрическими уравнениями конических сечений являются следующие: для эллипса 8.46 х = a cos/, y = bsmt\ для параболы 8.47 x = 2lt2, y = 2lt и для гиперболы 8.48 x = acht, y = bsht, где Р«с «7. sh t = *^r± f ch / e j^' в [Эти функции будут изучены в § 6 настоящей главы.] УПРАЖНЕНИЯ 1. К какому типу относится кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид r«i-/sec2~G? 2. К какому типу относится кривая, уравнение которой в декартовых координатах имеет вид 4лг2 + 24лг</ +11*/2 = 5 (см. упр. 5 в конце § 2)? 3. Сумма (соответственно разность) расстояний от точки эл« липса (соответственно гиперболы) до двух фокусов постоянна.
§4] КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ 183 4. Выразить эксцентриситет центрального конического сечения через его полуоси а и Ъ. Чему равен эксцентриситет равнобочной гиперболы? 5. Даны точки В и С. Доказать, что геометрическим местом третьих вершин А треугольника ABC, прямая Эйлера которого параллельна ВС (как в упр. 9 в конце § 6 гл. 1), является эллипс с малой осью, равной ВС, и большой осью, равной удвоенной высоте равностороннего треугольника со стороной ВС. [Указание: пусть координаты точек А, В и С — соответственно (х, у) и (+1,0). Тогда координаты центра окружности, описанной около ABC, равны (О, -о"#), причем эта точка равноудалена от точек А и С] 6. Выражение вида F = ах2 -f- 2hxy -f- by2 называется бинарной квадратичной формой. Говорят, что она зна- коопределенная, если аЬ > h2, так что F имеет один и тот же знак при всех х и у, за исключением х = у = 0. Говорят, что она положительно-определенная, если этот знак положительный. Говорят, что она полуопределенная, если ab = h2, так что F равно а, умноженному на полный квадрат; положительно-полуопределенная, если при этом а >0, так что выражение F само является полным квадратом; знаконеопределенная, если аЬ < /г2, так что при некоторых значениях х и у число F положительно, при других — отрицательно. Уравнение F={ определяет эллипс, если форма F положительно- определенная, пару параллельных прямых, если F — положительно- полуопределенная, и гиперболу, если F — знаконеопределенная. 7. Как преобразуется уравнение равнобочной гиперболы *2— у2—а2 при повороте осей координат на угол -j- ? 8. Дайте геометрическую интерпретацию параметра / в уравнения 8.46. [Указание: выясните, как связаны между собой точки (a cos /, b sin /) и (a cos /, a sin t).] 9. В каком смысле гиперболу 8.44 лучше представлять уравнениями х = a sec и, у = b tg и, чем уравнениями 8.48? 10. При инверсии с окружностью инверсии г=/ коническое сечение 4.42 переходит в улитку Паскаля г = / (1 + е cos 9). Изобразить эту кривую для различных значений е. Когда £=1 (так что коническое сечение — парабола), эта кривая — кардиоида. 11. При инверсии с окружностью инверсии г=а равнобочная гипербола г2—a2 sec 20 переходит в лемнискату Бернулли г2 = a2 cos 29 (см. упр. 3 в конце § 3),
184 КОРДИНАТЫ [ГЛ 8 § 5. КАСАТЕЛЬНАЯ, ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ Я не знаю, кем я представляюсь миру, но са~ мому себе я представляюсь мальчиком, который играет на берегу моря и время от времени находит более гладкий камень или более красивую раковину, чем обычно, в то время как огромный океан истины лежит передо мною непознанный. Сэр Исаак Ньютон, Brewster's Memoirs of Newton, т. 2, гл. 27. Кривые, которые мы будем рассматривать, являются «спрямляемыми», т. е. для них определена длина s дуги, ограниченной любыми двумя точками Р и Q этой кривой. Обозначим временно Яо = Л Pn"=Q и разделим дугу PQ на п частей п — 1 точками Ри ^2, . • •, Pn-i- Рассмотрим точную верхнюю грань s = sup 2Л-А длин ломаных линии РР1 + Р1Р2+ ...+P«-,Q для всевозможных подразделений (т. е. всевозможных выборов точек Я?); ее называют длиной дуги. Рис. 88. Кривую часто полезно рассматривать как траекторию «движущейся» точки. Любые две точки Р и Р' кривой соединяются прямой, которую, называют секущей. Если точка Р фиксирована, а точка Р' приближается к ней, секущая обычно стремится к предельному положению, которое называют касательной. При использовании прямоугольных декартовых координат проводят Р'ЬЛ параллельно оси t/, как на рис. 88, а затем PN, где точка N —
§ 5] КАСАТЕЛЬНАЯ, ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ 185 основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на Р'М. Касательная имеет угол наклона if>, который равен пределу угла NPP'. (Чертеж очевидным образом видоизменяется в том случае, когда рассматриваемый угол — тупой или отрицательный.) Для того чтобы подсчитать угол г|), мы рассмотрим прямоугольный треугольник PP'N, стороны которого являются «приращениями» х, у и s (все они стремятся к нулю): Hx = PN, bj = NP', As = PP'. Таким образом, ,. PN *. kx dx cos« = hm15pr = lim^r = -3F, . . t. NP' t. /by dy . . t. NP' t. ^y dy Так как PP'2 = PN2 + NP'2 (или cos2^ + sin2i|) = 1), элемент длины дуги ds задается формулой 8.51 ds2 = dx2 -f- dy2, а длина дуги s от точки (xu У\) до точки (х2, #2), или от t=tx до t = t2, равна - j—fVTw**=i'vm+№«- Л", tx Если кривая задана полярным уравнением, направление касательной в точке Р определяется либо углом ф, который касательная составляет с «радиусом» ОР, либо углом г|) = 6 + ф, который она составляет с начальной прямой ОХ (рис. 89). Пусть, как и прежде, Р и Р' — две близкие точки кривой, так что касательная в точке Р есть предельное положение секущей РР\ Прове* дем PN перпендикулярно к ОР' (Лэмб [2], стр. 254),
185 КООРДИНАТЫ [ГЛ.8 Тогда 8.52 8.53 t. NP' t. Ar dr ds ,. NP t. rA9 dQ PP' NP PP' Так как PP'2=NP'2 + NP2 (или cos2 <p + sin2(p=l), эле. мент длины дуги ds задается формулой 8.54 ds2 = dr2+r2dQ2. Так как площадь треугольника ОРР' отличается на бесконечно малую второго порядка от равной —у7"2^ площади кругового сектора с радиусом г и углом А0, то площадь области, ограниченной замкнутой кривой, окружающей начало координат, равна 8.55 2Л I/ Г2^0.
§ 5] КАСАТЕЛЬНАЯ. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ 187 Эту формулу можно записать в декартовых координатах, для чего достаточно воспользоваться соотношениями 8.21, из которых следует 8.56 dx = dr cos 0 — г sin 0 dQ, dy = dr sin 0 + r cos 0 rf0, так что xdy — у dx = r cos Qdy — r sin 0 d^ = r2(cos20 + + sin20)d0 = r2d0 и 8.57 \\ r*dQ = ±j(xdy — ydx). В случае параметрического задания кривой эта формула примет вид 8.58 7 J (**-»#)*• где х и у представлены как функции параметра t, и интегрирование производится по значениям ^соответствующим обходу всей кривой. Ту же формулу можно использовать для подсчета площади «сектора» (рис. 90), ограниченного участком Рис. 90. кривой и прямыми 0 = 9i и 0 = 02. В полярных координатах дуге, начинающейся в точке 6 = 0i и кончающейся при 6 = 02, отвечает сектор, площадь которого равна 6i
188 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 Переводя это выражение в декартовы координаты, мы будем рассматривать границу сектора как замкнутую «кривую», состоящую из дуги и двух радиусов. Так как • х х dy — у dx У X2 ' то на радиусах (вдоль которых -~- остается постоянным) соответственные части интеграла, стоящего в правой части выражения 8.57, обращаются в нуль. Следовательно, если дуга выходит из точки, где t — tu и кончается в точке, где t—t2, то площадь сектора равна 8.59 т/(*3-»т)« (ср. Курант [1], стр. 232). УПРАЖНЕНИЯ 1. Прямая х — (/-И')*/-Ь2/#'=0— секущая параболы 8.47 — пересекает ее в точках, отвечающих значениям параметра t и t\ Устремив /' к /, вывести уравнение х — 2ty -f 2lt2 = О касательной к параболе в точке с параметром /, т. е. доказать, что касательная в точке (х\9 у\), принадлежащей параболе 8.45, имеет уравнение УхУ^1(х-\-хх). 2. Прямая ■* 1 У , о — cos а 4- -г- sin а = cos р а о является секущей эллипса 8 46, пересекающей его в точках, отвечающих значениям параметра /=а=Рр. Устремляя р к О, вывести уравнение — cos t 4- -— sin t = 1 a ' b касательной в точке со значением параметра / (Робсон [\]х стр. 274). Получить аналогичный результат для гиперболы 8.48. Показать, что касательная в точке (хи ух)у принадлежащей цен^ тральному коническому сечению 8 44, имеет уравнение *\х- ± УМ =1. 22 - Ь2
§ 61 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 189 3. Нормаль, проведенная в точке эллипса, отвечающей значению параметра t, перпендикулярно к касательной» определяется уравнением ах by cos t sin t : a2 — b2. Находя частную производную no ty а затем исключая t, получить уравнение огибающей нормалей в виде (Ф о р д е р [3], стр. 36—37; Л э м б [2], стр. 350). [У к а з а н и ез cos3/ = —5 гг> sin3b аг — ог by 1 a2 — b2'\ 4. Используя 8.56, дать новый вывод формул 8.51 и 8.54. § 6. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Гиперболические синус и косинус обладают по отношению к прямоугольной гиперболе в точности теми же свойствами, которыми обладают обыкновенные синус и косинус по отношению к окружности. В связи с этим первые функции называются гиперболическими по тем же причиг нам, по, которым последние называются круговыми. Э. У Гобсон (1856—1933) [1], стр. 329-330. В качестве очень простого приложения формулы 8.59 рассмотрим единичную окружность х2 + у2=1 или #=cos t, y = sm t (левый рис. 90). Так как dx . . dy . -jj- = — sin/ = — у и -^-= cos tf = л;, то площадь сектора, соответствующего дуге, начинающейся в точке /=0 и кончающейся в точке с любым другим значением параметра, равна Н(**-»*)*-т/«*ч-",>*-т/*-т'- 0 0 0 что мы, конечно, уже знаем. Более интересно то, что
190 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 для равнобочной гиперболы х2 — #2=1 или x=cht, y = sht (правая часть рис. 90), для которой H(**-»#)*-H'^-«*-tJ*-i'- и и и t т. е. площадь сектора снова равна -j. Сравнивая полученные выше результаты, мы ясно видим аналогию, существующую между круговыми и гиперболическими функциями. На рис. 90 изображены секторы АОР окружности и равнобочной гиперболы. В обоих случаях ОЛ = 1 и параметр t в два раза больше площади сектора. В первом случае OM = cos/ и PM = sin/; во втором случае OM=^oht и PM = sht*). УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти площадь эллипса х—a cost, y~bsint. 2. Найти площадь сектора гиперболы общего вида, х—а ch/, y = bsht, отвечающей дуге, концы которой отвечают значениям t=0 и произвольному /. § 7. РАВНОУГОЛЬНАЯ СПИРАЛЬ Завитки равноугольной спирали Наутилуса, раковины улитки или Глобигерины непрерывно расширяются, причем их радиусы находятся в одинаковом отношении друг к другу. Из этого следует, что секторы спирали, имеющие равные центральные углы, подобны во всех отношениях, и что, таким образом, эта фигура может постоянно расширяться, не меняя своей формы. Сэр Д'Арси У. Том сон (1860—1948) [2], стр. 753—754« Окружность г = а можно рассматривать как траекторию точки (а, 0) при непрерывном вращении, которое переводит каждую точку (г, 8) в точку (г, 8 + 0» где t — непрерывный параметр вращения. Подобно этому, луч *) Ср. В. Г. Ш е р в а т о в, Гиперболические функции, М, Физ- матгиз, 1958.
§7] РАВНОУГОЛЬНАЯ СПИРАЛЬ 191 (или полупрямая) 6 = 0 является траекторией точки (а, 0) при непрерывной (центральной) гомотетии, переводящей эту точку в точку (г, 0) со всевозможными положительными значениями г. При разумном сочетании этих двух преобразований мы получим непрерывное центрально-подобное вращение. Пусть \х обозначает коэффициент гомотетии, соответствующий вращению на 1 радиан. Тогда \х2 — коэффициент гомотетии для вращения на 2 радиана, р,3— для 3 радианов,..., \хл для я радианов,..., \хг для t радианов. Таким образом, центрально-подобное вращение переводит точку (г, 6) в (jli'a*, 6 + 0» гДе t изменяется непрерывно. Траектория точки (а, 0) называется в этом случае равноугольной спиралью (или «логарифмической спиралью»). Она имеет параметрические уравнения г = \л*аУ Q = t, из которых без труда выводится одно уравнение кривой в полярных координатах: 8.71 r = ajte. Эта кривая была впервые открыта Декартом, который писал о ней в 1638 году Мерсенну (Mersenne). Якоб Бернулли (Jacob Вег< noulli, 1654—1705) нашел ее такой очаровательной, что велел выгравировать эту спираль на своем надгробном камне (в Мюнстере около Базеля в Швейцарии) с надписью Eadem muiata resurgo*). Эти слова (которые Э. Т. Бэлл перевел, как «though changed, I shall arise the same» *) выражают замечательное следствие из существования способа, которым кривая может быть переведена в себя посредством центрально-подобного вращения, — всякая центральная гомотетия оказывает на спираль такое же действие, что и вращение, и наоборот. Действительно, вращение 6->6 + а, переводящее кривую г=а|л° в кривую яи.е+а = |Ааг, эквивалентно гомотетии 0(\\а). Штейнга у з ([1], стр. 97) описывает это свой- *) Измененная, я воскресаю той же самой (лат., англ.). (19
192 КООРДИНАТЫ I ГЛ. 8 ство как оптическую иллюзию. Нарисовав равноугольную спираль (рис. 91), он замечает: «Если мы повернем ее (вместе с книгой), нам кажется, что она увеличивается или уменьшается». Так как dr , формула 8.53 показывает, что угол ф между положением вектора ОР и касательной к спирали в точке Р задается следующим уравнением: i \ dr х т. е. этот угол постоянен: результат, который можно было предвидеть, так как преобразования подобия сохраняют углы. Пользуясь выражением этого постоянного угла ф, который на рис. 91 равен приблизительно 80°, мы можем записать jj,0 = ев ,02 & = ед ctg ф и получаем таким образом уравнение спирали в классической форме 8,72 г = aeQctsф(аиф~ постоянные). Согласно 8.52, dr так что разность г—s cos ф постоянна. Это показывает, что длина дуги от r = ri до г=г2 равна fo — rj)secq> и что длина дуги спирали от начала координат (г=0) до точки общего вида (заметим, что эта дуга содержит бесконечно много витков) равна г Бесф. УПРАЖНЕНИЯ 1. Спираль г=а|л переходит в себя при гомотетии 0(ц2я). Во что она переходит при инверсии с окружностью инверсии г—а? 2. Найти все точки пересечения спиралей (если они существуют): ъ)г = ау? и г = а\к~е, б)г = а/ и г = в|гв+я.
§8] ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 193 Нарисовать кривые в обоих случаях. [Для удобства взять |А = я = 1,1 или [I6 =1,05 и использовать таблицу сложных процентов.] § 8. ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Аналист Кестнер полагал, что приложение алгебры к геометрии освободит учащихся от строгой дисциплины Евклида и даст им возможность думать самостоятельно вместо того, чтобы глядеть в рот учителю. Одно изречение Кестнера следовало бы начертать на дверях каждой со- временной школы: «Величайшее удовлетворение, которое только может получить человек, дается самостоятельным познанием истины». Дж Л Сайндж [2], стр. 174. Для построения системы декартовых координат в пространстве мы используем три плоскости, пересекающиеся попарно по трем осям OX, OY, OZ. Чтобы попасть из начала координат О в точку (х, у, г), нужно отложить отрезок х на оси ОХ, из его конца отрезок у в направлении оси OY и, наконец, отрезок г в направлении оси OZ. Три основные плоскости задаются уравнениями * = 0, у = 0 и z = 0. Каждая пара этих уравнений задает координатную ось. Например, ось z, состоящая из точек вида (0, 0, z), задается двумя уравнениями х=у=0. Любая прямая, проходящая через начало координат (0, 0, 0), задается параметрическими уравнениями 8.81 x = XU y = Yt9 z = Zt. Отношения коэффициентов X, У, Z определяют направление прямой. Перенося начало координат в точку (хи уи 2i), мы получаем уравнения параллельной прямой, проходящей через точку (х\, У\, Zi): 8.82 х = хг-+- Xt, y = y\+Yt, z = zx-\-Zt. Исключая t, мы получаем два уравнения 8.83 х — хх У — У\ z—zx X ~~ У ~ Z '
194 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 если XYZ=Oy необходимо принять специальное соглашение о смысле, приписываемом этим уравнениям. Центр тяжести или центроид массы tu помещенной в точку (хи Ли £i), и массы /2, помещенной в точку (х2у у2, г2) при ti + t2=l, находится в точке \t\Xi -f- t2x2* t\D\ -f ^чУъ t\z\ ~Ь ^2)» Начало координат и точка (xiy уи zx) являются противоположными вершинами параллелепипеда, образованного тремя парами параллельных плоскостей х = 0, х = хх\ */ = 0, у = ух\ г = 0, z — zx\ как показано на рис. 92. В последующей части настоящего параграфа мы будем считать оси взаимно ортогональными, так что этот (<zr,t/j,zr) (4Q0) х7 Рис. 92. наш параллелепипед будет прямоугольным «ящиком». Трехмерный вариант теоремы Пифагора показывает, что длина диагонали прямоугольного параллелепипеда (0,0, ОН*!, yx,zx) 2 2 2 равна корню квадратному из Xi+yi+Zi. Из этой же теоремы следует, что расстояние между двумя точками (х, у, z) и (#', у', г') равно корню квадратному из (x-xy+(y-yy + (z-zy. Если параметр t в 8.81 подобран так, что 8.84
18] ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 195 то он измеряет расстояние от начала координат до точки общего вида (*,у, z), лежащей на прямой. Коэффициенты X, У и Z, удовлетворяющие соотношению 8.84, называются направляющими косинусами прямой, потому что они являются косинусами углов, которые прямая составляет с координатными осями. Точнее, эти числа являются направляющими косинусами одного из двух лучей, на которые начало координат разбивает прямую; противоположный луч имеет направляющие косинусы —X, —У, —Z. Два луча, образующие некоторый угол, пересекают единичную сферу в двух точках (X, У, Z) и (X', У, Z'), координаты которых равны направляющим косинусам этих лучей. «Решив» равнобедренный треугольник, который образуют эти точки и начало координат, мы получим для косинуса угла, образованного лучами, выражение XX' + YY' + ZZ'. В частности, лучи (а следовательно и прямые) перпендикулярны, если XX' + YY' + ZZf = 0\ отсюда следует, что плоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная к прямой 8.81, задается уравнением Xx + Yy + Zz = 0. Перенося начало координат, мы получаем уравнение параллельной плоскости, проходящей через точку (#i,{/i,2i): 8.85 Xx + Yy + Zz = Tt где T=Xxt + Yyi+Zzi. Полагая, что мы выводим, что косинусы двух смежных углов между плоскостями Xx + Yy + Zz=Tf X'x + Y'y + Z'z=:T' равны ±{XX' + YY' + ZZ').
196 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 Мы видим теперь, что каждая плоскость имеет линейное уравнение и каждое линейное уравнение определяет плоскость. В частности, плоскость, которая отсекает на осях координат отрезки р, q и г, имеет уравнение Две плоскости, представленные в форме 8.85, параллельны, если они отличаются только свободными членами 7\ Прямую, по которой пересекаются две непараллельные плоскости, можно привести к стандартному виду 8.82, исключая из уравнений этих плоскостей сначала г, а затем х. Уравнение, связывающее ху у, z (не обязательно линейное), обычно определяет поверхность; система двух таких уравнений определяет кривую, по которой пересекаются две поверхности. В частности, уравнение F(x,y) = 0, содержащее только х и у, определяет цилиндр—-геометрическое место прямых, проходящих через точку, перемещающуюся по кривой F(x, у) =<г=0, и параллельных оси z. Однородное уравнение f(x, у, z) = 0 (где f(xy уу z) умножается на некоторую степень числа [I при замене ху у, z на \ix, \ху, \xz) определяет конус— геометрическое место прямых, соединяющих начало координат с точкой, перемещающейся по кривой f(x,y, 1) = 0, г = 1. Важными примерами цилиндров и конусов являются цилиндры второго порядка ^r + !iF = l и у2 = 21х, частным случаем которых является обычный цилиндр вращения (или «прямой круговой цилиндр») x2+y2 = k29 и конусы второго порядка ах2 -f- by2 + cz2 = О,
§ й] ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 197 в том числе конус вращения (или «прямой круговой конус») x2-\-y2 = cz2. Уравнение x2 + y2 + z2=0, которому удовлетворяет только одна точка (0,0,0), можно рассматривать как некоторый вид конуса или как «сферу радиуса нуль». Сфера общего вида, имеющая центр в точке \х\ у\ zr) и радиус k, имеет уравнение (х - х')2 + (у- у J + (z — zj = k2. Заметим, что это уравнение второго порядка, не содержащее членов с yz, zxy ху и имеющее равные коэффициенты при х2, у2, z2. Точка (X, У, Z) переходит при инверсии с центром инверсии в начале координат и степенью инверсии k2 (инверсии со сферой инверсии x2+y2 + z2 = k2) в точку / k2X k2Y k2Z \ \X2 + Y2 + Z2 ' X2 + Y2 + Z2 ' X2+Y2 + Z2)' Плоскость, проходящая через эту инверсную точку и перпендикулярная к прямой 8.81, а именно, плоскость Xx + Yy + Zz = k\ называется полярной плоскостью точки (X, У, Z) относительно сферы x2 + y2-\-z2 = k2. Если точка (X, У, Z) лежит на сфере, то полярная плоскость является просто касательной плоскостью в этой точке. Трехмерными аналогами конических сечений являются поверхности второго порядка или квадрики, плоские сечения которых — конические сечения (или иногда пары прямых, которые можно рассматривать как вырожденные конические сечения). Эти поверхности задаются уравнениями второго порядка; они включают не только эллиптический и гиперболический цилиндры, конус второго порядка и сферу, но также и эллипсоид у2 ,,2 ?2 а2 "Г Ь2-Г С2 — Ь однополостный гиперболоид 8-86
198 КООРДИНАТЫ [ГЛ, 8 двуполостный гиперболоид *L — lL — i:—i а2 Ъ2 с2~ ь эллиптический параболоид ■£ + -£ = 2г а2-Г Ь2 — ** и гиперболический параболоид 8.861 (рисунки этих поверхностей есть в любом курсе аналитической геометрии; см., например, Делоне и Райков [2]). Строение квадрик можно изучить, рассматривая их сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Названия квадрик были введены Г. Монжем в 1805 году (см. Бляшке [1], стр. 131). Важными частными случаями квадрик являются квадрики вращения, образованные вращением конического сечения вокруг одной из его осей. Например, при вращении эллипса вокруг его большой и малой осей получаются соответственно вытянутый сфероид и сплю- щенный сфероид. Для исследования поверхностей вращения часто бывает удобно использовать цилиндрические координаты (г, 0, г), в которых первые две из трех декартовых координат заменяются полярными координатами r = yx* + y*t 9 = arctg-£, а координата г сохраняет свой обычный смысл. Чтобы получить уравнение поверхности вращения плоской кривой F(x, z)=0, у=0 вокруг оси г, мы просто заменяем в этом уравнении х на /*; таким образом, поверхность вращения имеет уравнение F(r, z)=0
§8) ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 199 или в декартовых координатах Р(У*2 + У2> *) = 0. Например, вращая гиперболу 8.441 вокруг мнимой оси, мы получим (однополостный гиперболоид вращения г2 z2 t *2 + У2 z2 л Заменяя *2+*/2 на (* cosa + ysina)2-f (у cos a—a: sin a)2, мы можем представить это уравнение в виде (л: cos a -\-у sin a)2 — (~) = — (у cos a — x sin a)2 + a2, откуда следует, что при каждом значении а каждая точка прямой , . az х cos a -f- у sin a = -т- , у cos a — x sin a = a принадлежит гиперболоиду. Изменяя a от 0 до 2я, мы получим непрерывное семейство образующих: прямых, целиком лежащих на поверхности. Производя симметрию относительно плоскости (х, у) и тем самым изменяя знак 2, мы получаем второе семейство образующих того же самого гиперболоида. Плоскость 8.87 х cos a -)- г/ sin a = -т- , проходящая через центр, касается асимптотического конуса по прямой и. пересекает гиперболоид по двум параллельным прямым: по одной в каждой из плоскостей у cos a — х sin a = ± a. * + y* a2 X a cos a a ?2 — = 0 b2 u У * sin a b
200 КООРДИНАТЫ 1ТЛ. 8 Другой интересной поверхностью вращения является кольцеобразный тор (r — a)2 + z2 = b2 (a>b), который получается вращением окружности с радиусом ft вокруг прямой, находящейся в ее плоскости, но не пересекающей ее и отстоящей на расстояние а от центра. Эта поверхность, очевидно, содержит два семейства окружностей: «меридианы» радиуса ft и «параллели» (в плоскостях, параллельных «г=0), радиусы которых изменяются между а — Ь и а + b. Менее очевидно, что тор содержит также два «косых» семейства окружностей радиуса а, таких, что две окружности разных семейств пересекаются в двух точках, а две окружности одного семейства не пересекаются !). Действительно, представим уравнение 8.88 {V^+y2 — a)2 + z2 = b2 в виде (x2 + y2 + z2 — a2+b2)2+4(a2 — b2)z2 = Ab2{x2 + у2) = = 4ft2 {(х cos a -f- у sin а)2 -f- (у cos а — х sin а)2} или (х2 + y2 + z2 — а2 -+ Ь2)2 — 4ft2 (у cos а — х sin а)2 = = 4ft2 (х cos а -f- у sin а)2 — 4 (а2 — ft2) z Мы видим, что для любых значений а тор содержит пересечение сферы x2+y2 + z2 — a2 + b2 = 2b(ycosa — xs\na) с плоскостью 8.89 ft (х cos a + #sina) = ]/а2 —b2z. 1) Чертежи торов, на которых указаны четыре семейства окружностей, см. в книге: Hermann Schmidt, Die Inversion und ihre Anwendungen (Oldenbourg, Munchen, 1950), стр. 82. См. также: Martin Gardner, Scientific American 203, 1960, стр. 194, 196. Эти окружности были открыты А. Ивоном-Вилларсо (A. Y v о п - V i 11 а г- се ах, Nonvelles Annates de Mathematiques (1) 7, 1848, стр. 345— 347.
§81 ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 201 Так как уравнение сферы можно представить в виде (х + b sin a)2 -f- (у — b cos а)2 -\-z2 = a2 и плоскость проходит через ее центр (—b sin а, b cos а, 0), сечение является большим кругом с радиусом а. Изменяя а от 0 до 2я, мы получаем непрерывное семейство таких окружностей и второе семейство с противоположным знаком е. Плоскость 8.89 пересекает тор по двум окружностям— по одной из каждого семейства (во втором семействе а заменяется на а + я). Так эти две окружности являются сечениями двух сфер х2 -\-y2-\-z2— а2 — b2— ± 2Ь (у cos а — xsina), их точки пересечения являются «противоположными» точками / I а2— Ь2 , а2 — Ь2 . , b лг~~5~~\—тъ\ ± cos а, ± sin а, ±—уа2-\-Ь2) (с соответствующими знаками). Так как каждая из них — точка касания, то плоскость 8.89 — дважды касательная плоскость (Бэлл [1], стр. 267). Сравнивая плоскости 8.89 и 8.87, мы видим, что «косые» окружности на торе лежат в тех же самых плоскостях (проходящих через центр), что и пары параллельных образующих гиперболоида вращения Х2 + У2 _£*_ . a2 — b2 b2 ~ [Это впервые заметил А. В. Т а ккер (A. W. Tucker).] УПРАЖНЕНИЯ 1. Плоскость, проходящая через три данные точки (*i, уи z{)% где 1=1, 2, 3, имеет уравнение I *\ У\ *\ 1 I \х2 уг zз 1 I ■*а Уз *з И I х у z 1
202 КООРДИНАТЫ [ГЛ. 8 Если условие прохождения плоскости через точку заменить (в одном или двух случаях) условием ее параллельности прямой с направляющими косинусами Xit Yit Zi, соответствующая строка определителя заменится на Xi Yi Zt 0. 2. При использовании общих декартовых координат точку (х, у, г) можно перевести в точки (— х, — у, — z) — центральной симметрией О (— 1), (\хх, усу, \xz)— гомотетией О(ц) (§ 6 гл. 7), (ху у, z-\-c)— параллельным переносом вдоль оси г. 3. При использовании прямоугольных координат точку (х, г/, г) можно перевести в точки (-*> У у —z)—симметрией относительно плоскости (х, у), (у} х, z)— симметрией относительно плоскости х = у, (—У, -х, z)—вращением на 90° вокруг оси г, (х, —уу z-\~ с) — скользящей симметрией (§ 4 гл. 7). 4. При использовании цилиндрических координат точку (г, 0, г) можно перевести в точки (г, 0 + а, z+c) — винтовым перемещением, (jir, 0 + а, |дг)~ общим центрально-подобным вращением (§ 6, гл. 7). 5. Вывести условие 2ии' + 2W + 2ww' = d + d' ортогональности двух сфер x2 + y2 + z2 + 2их + 2vy + Ъаг + d = 0, х<2 + у'2 + z'2 + 2и'х + 2v'y + Ъъ'г + d' = 0. 6. Если точка (X, К, Z) находится вне сферы x2+y2+z2=k2, то ее полярная плоскость содержит точки касания всех касательных плоскостей, проходящих через точку (X, К, Z). 7. Представив 8.86 в виде (Tcosa+Tsina)2 + (icosa-¥sina)2 = 1 + (7)2' найти два семейства образующих общего однополостного гиперболоида. Две образующие из различных семейств пересекаются (или, может быть, параллельны), но две различные образующие из одного семейства скрещиваются. То же самое справедливо для двух семейств образующих гиперболического параболоида 8.861.
ГЛАВА 9 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Дополнение евклидовой плоскости до круговой (§ 4 гл. 6) или эллиптической плоскости (§ 9 гл. 6) является геометрическим аналогом хорошо известной из алгебры процедуры расширения понятия числа. Начав с натуральных чисел, таких, как 1 и 2, мы переходим к целым, затем к рациональным, действительным и комплексным числам (а если бы мы имели время, то познакомились бы также и с гиперкомплексными числами1)). Каждый новый класс чисел появляется из-за отсутствия в предыдущем классе решений уравнений определенного вида. Древние греки замечательно понимали идею действительного числа. За много лет до того, как была построена строгая теория комплексных чисел, Р. Бомбел- ли (R. Bombelli, в книге «Алгебра», изданной в 1572 году в Болонье) и в особенности Эйлер свободно ими пользовались. Чтобы поставить на твердую основу понятие «корень квадратный из минус единицы», удобно (но вовсе не обязательно) воспользоваться геометрическим представлением комплексных чисел. Такая интерпретация была предложена Дж. Валлисом (J. Wallis, 1685), полностью сформулирована К. Весселем (С. Wessel, 1797), вновь открыта Ж. Р. Арганом (J. R. Argand, 1806) и еще раз открыта К. Ф. Гауссом2). Настоящая глава не предусматривает полного строго формального изложения всей теории; мы хотим лишь *) См., например, Н. S. М. Coxeter, Quaternious and reflections, American Mathematical Monthly 53, 1946, стр. 136—146. 2) См. превосходную статью о комплексных числах (Complex numbers) С. С. MacDuffee в Британской энциклопедии (Enciclo- paedia Britannica^ Чикагское издание).
204 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9 подчеркнуть роль геометрии в относящихся к нашей теме рассмотрениях. Более подробное изложение этого вопроса имеется в книге Робинсона [1], стр. 73—84 *). § 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА «Северный океан прекрасен, — сказал Орк, — и прекрасна нежная путаница снежных хлопьев, покуда они не растают и не исчезнут. Но что до этих красот тому, кто наслаждается числами, равным образом отвергая и безумную иррациональность жизни, и непреодолимую сложность за- конов природы». Дж. Л. С а й н д ж [2], стр. 101. Первыми числами, которые мы рассматриваем в арифметике, являются натуральные числа, образующие последовательность от 1 до бесконечности. Решение уравнения вида приводит к открытию целых чисел, куда включаются не только натуральные (или «положительные целые») числа, но также нуль и отрицательные целые числа. Последовательность целых чисел ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... бесконечная в обе стороны, удобно представляется точками, расположенными на равном расстоянии друг от друга вдоль бесконечной прямой, которую можно рассматривать как ось х аналитической геометрии на плоскости. В этом представлении сложение и вычитание выступают как параллельные переносы: преобразование х—>х+а сдвигает каждую точку на расстояние а вправо, если а положительно, и на расстояние а влево, если а отрицательно; другими словами, операция прибавления числа а является движением, которое переводит точку 0 в точку а. Решение уравнений вида 2х=\ *) См. также книгу: И. М. Я г лом, Комплексные числа и их применение в геометрии, М., Физматгиз, 1963.
in РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 205 приводит к открытию рациональных чисел |i = -y, где а — целое, а b — целое положительное число, куда включаются не только целые числа а = у, но также и дро* би, как, например, у и —-g-. Рациональные числа нельзя записать в естественном порядке, потому что между любыми двумя из них есть еще одно, а следовательно, и бесконечно много других рациональных чисел; например, между числами -у и -~ расположено число \\d • Соответствующие им точки расположены всюду плотно на оси х, и с первого взгляда может показаться, что они покрывают ее целиком. Умножение и деление выступают как (центральные) гомотетии: преобразование x-+\ix — это гомотетия 0(\х), где О — начало координат, соответствующее нулю; иными словами, умножение на ja — это гомотетия с центром О, переводящая точку / в JUX JU Рис. 93. точку fx. Разумеется, \х может быть как положительным (левая часть рис. 93), так и отрицательным (правая часть рис. 93) числом. В частности, умножение на —1 представляет собой симметрию относительно точки О. (Точка / соединена на рис. 93 с произвольной точкой оси у.) Рациональное число -у можно получить из целого числа а, применяя к нему гомотетию О (у), переводящую Ь в 1. (Рис. 94 иллюстрирует получение рациональ-
206 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ.9 ных чисел «2 и —2*. 1 Из этой конструкции ясно, почему знаменатель Ь не может быть нулем. Число Ь может быть отрицательным, но при этом мы, естественно, отождествляем числа —-г и ^т—• Точно так же мы О 7 # b a a R о / b а о Рис. 94 обычно записываем каждую дробь в ее «простейшей форме», при которой числитель и знаменатель не имеют общих множителей. УПРАЖНЕНИЕ Используя метод рис. 94, построить число -~-. § 2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА «Чему же вас учили?» — спросила Алиса. «Сначала чихать и плясать, конечно, — ответил Мок- Тартль, — затем четырем действиям арифметики: Служению, Почитанию, Угождению и Давлению». Льюис Кэррол [1], гл. 9, стр. ПО, Решение уравнения вида х2 = 2 приводит к открытию действительных чисел, куда включаются не только рациональные ^исла, но и иррацио* нальные числа (как, HanpnMept )/2 и д), которые не мо«
$2] ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 207 гут быть представлены в виде дробей. (На самом деле число я нельзя представить даже в виде корня алгебраического уравнения.) Пифагорово доказательство иррациональности V 2 рассмотренное X а р д и ([2], стр. 32— 36), являющееся одним из наиболее популярных образцов математики древних, «так же свежо и выразительно в наши дни, как и тогда, когда оно было открыто». По Кантору (Робинсон [1], стр. 79)*), иррациональное число можно определить, как предел сходящейся последовательности рациональных чисел, или, более точно, множества всех последовательностей «эквивалентных» (в определенном смысле) данной последовательности; например, действительное число является пределом последовательности 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ,.# или «эквивалентной» последовательности 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; ... Соответствующая точка на оси х является пределом сходящейся последовательности «рациональных» точек. Действительные числа, кроме того, можно подразделить на алгебраические числа (как, например, Y2 и F 2), каждое из которых можно представить в виде корня уравнения 9.21 а0хп + а{хп-1+ ••• +ап = 0 с целыми коэффициентами, и трансцендентные числа (как, например, к и е), которые нельзя представить таким образом. Среди алгебраических чисел иногда различают квадратичные иррациональности, как, например, У2 и У2 —"1/2, которые можно построить циркулем **). *) См. также, например, В. В. Н е м ы ц к и й, М. И. Слуцкая, А. Н. Черкасов, Курс математического анализа, т. I, II, М., Гостехиздат, 1957. **) См., например, Курант и Роббинс [1], гл. II или А. Н и в е н, Числа — рациональные и иррациональные, M.t «Мир», 1966.
208 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9 § 3. ДИАГРАММА АРГАНА Я недавно встретил человека, который сказал мне, что он не верит даже в существование минус единицы, так как из этого следует существование квадратного корня из нее. Это в некотором смысле последовательная позиция. Существует несколько болыиее число людей, которые рассматривают У 2 как нечто совершенно очевидное, но останавливаются перед V — /. Это происходит потому, что они думают, что первое из этих понятий можно изобразить в физическом пространстве, а второе нет. В действительности же V—1 представляет собой значительно более простое понятие. Э. Ч. Титчмарш (род. 1899) [1]. стр. 99). Задача о решении уравнения 9.31 jc*+1=0 привела к открытию комплексных чисел (названных так Гауссом), куда включаются не только действительные числа, но также и «мнимые» числа, как, например, квадратный корень из —1. Поскольку действительные числа представляются точками оси х, естественно попытаться представить комплексные числа точками плоскости (л:, у), т. е. представить их произвольными парами действительных чисел, для которых определены операции сложения и умножения (Сайндж[2], глава 9)*). В этих так называемых диаграммах Аргана (введенных Каспаром Весселем в 1797 г. несколькими годами раньше самого Аргана) точки складываются так же, как соответствующие им векторы, выходящие из начала координат О (которое изображает число 0): 9.32 (х, у) + (а, Ь) = (х + а, у + Ь) (рис. 95). Иными словами, для сложения с (а, Ь) мы применяем параллельный перенос, переводящий (0, 0) в (а, Ь). *) См. также любой курс высшей алгебры.
§8] ДИАГРАММА АРГАНА 209 Умножение на целое число по-прежнему выступает как гомотетия; так, например, 2 (х, у) = (х, у) + (х, у) = (2*. 2у) (рис. 96). В частности, умножение на —1—это симметрия относительно точки О. Что же представляет собой умножение на «квадратный корень из —1»? Это должно (х,у)+(а, Ь) (ЪУ) Рис. 95. (ZO) быть такое преобразование, «квадратом» которого является симметрия относительно О. Этому требованию, очевидно, удовлетворяет вращение на 90° (Харди [1], стр.83) *). Умножение на произвольное комплексное число должно быть преобразованием, для которого точка О является неподвижной; частными случаями этого преобразования должны быть вращение и центрально-подобное преобразование (центральная гомотетия). Таким преобразованием, очевидно, является центрально-подобное вращение (§ 4 гл. 5). Таким образом, операцию умножения точки общего вида (л:, у) на некоторую точку (а, Ь) можно определить как центрально-подобное вращение (с центром О), переводящее точку (1, 0) в (а, Ь) (Клейн [1], стр. 88). Рассмотрим подробнее, как действует это центрально-подобное вращение. Пусть точки (а, 6), (ху у) имеют полярные координаты (с, а), (г, Э), так что a = ccosa, b = c sin a, x = r cos Э, y = rs\n 0. Тогда центрально-подобное вращение (рис. 97) перемножает г *) Ср. И. В. Арнольд, Теоретическая арифметика, М., Уч.- педгиз, 1939, стр. 328, или Г. М. Шапиро, Высшая алгебра, М., Учпедгиз, 1938, стр. 38.
210 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9 и с и складывает а и в, т. е. преобразует г cos 6 = л: и г sin 6 = */ в cr cos (6 -f-а) = £/■ (cos в cos а — sin 8 sin а) = = {с cos а) (г cos Э) — (csin а) (г sin в) = ах — by и cr sin (9 + а) = cr (sin 0 cos а + cos 0 sin а) = = (с cos а) (rsin0) + (с sin а) (г cos 0) = ay+bx. Следовательно, правило умножения (в декартовых координатах) таково: 9.33 (а, Ь)(х, у) = (ах — by, ay + bx). Так как {ху у) + (а, 0) = (х + а, у) и (а, 0) (*, у) = *= (ах, а//), то естественно отождествить комплексное Прямоугольные координаты Лолярше коор&ияат/ Рис. 97. число (а, 0) с действительным числом а, так что fl(*. У) = (<**. АУ), (*• #) = (*, 0) + (0, */)=*+J/(0, 1). Вводя специальный символ Эйлера i, обозначающий комплексное число (0, 1), мы можем записать (*, y)=x + yi=x+iy
Ml МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ 211 и *2=(0, 1)(0, 1) = (—1, 0)==— 1. В этих обозначениях правила 9.32 и 9.33 приобретают вид (x + yi)-\-(a + bi) = (x + a) + (y + b)if (а + Ы) (х + yi) = (ах — by) 4- (ay + **) i, которые можно рассматривать как обычные правила сложения и умножения выражений, содержащих некоторый объект U такой, что i2=—1 (Биркгоф и Мак Лейн[1], стр. 102). УПРАЖНЕНИЯ 1. Решить уравнение г2 — 4г+5 = 0. 2. Из уравнения u+iv = Q следует, что « = 0 и у = 0. 3. Представить nr^ в виДе •* + У*. а + 01 4. Проделать изображенное на рис. 97 построение для случаев а) Ь=0 и б) а2+&2=1. § 4. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ Абрагам Демуавр (правильнее его фамилия пишется де Муавр) умер в Лондоне 27 ноября 1754 года. Незадолго до своей смерти он заявил, что ему необходимо каждый день спать на десять — пятнадцать минут больше, чем в предыду* щий. На следующий день после того, как он достиг в сумме двадцати трех с лишним часов, он проспал все двадцать четыре часа — и умер во сне. У. У. Руз Бол л [2], стр. 383-384, Заменяя декартовы координаты полярными, мы представляем комплексное число z=x + yi в виде r(cos 6 + fsin 0)« Расстояние г от начала координат до данной точки называют модулем (или «абсолютной величиной») числа z и обозначают |г|. Угол 0 называют аргументом (или «амплитудой») числа z и обозначают argz. Таким образом, \x+yi\ = V^T?. arg(*4-y0 = arctg^*). *) Или Jt+arctg—, в зависимости от знаков х и у.
212 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА [ГЛ. 9 Так как умножение на с = а + Ы изображается центрально-подобным вращением, которое является произведением центрально-подобного преобразования (гомотетии) с коэффициентом \с\ и вращения на угол arg с, мы имеем \cz\ = |c||z|, arg кг| =argc + arg£. Если |c|=l, то умножение на с изображается обыкновенным