Автор: Robert Fricke  

Теги: algebra  

Год: 1926

Текст
                    Robert Fricke
Lehrbuch der Algebra
verfaßt mit Benytzung
von Heinrich Webers glei<?hnamigem Buche
Zweiter Band:
Ausführungen über Gleichungen niederen Grades
Mit 33 in den Text gedruckten Figuren
Braunschweig
Druck und Verlag von Friedr. Vieweg & Sphn Akt.*Ges.
1926


/^BTT^LIOTHBCA^ IKEGIA ACADEIV GEOEGIAE AUG. c Alle Rechte vorbehalten ^
Vorwort. Einige kurze Angaben über den Gesa^itplaa meines Algebrawerkes findet man im Vorwort 2ram ersteji vor zwei Jahren erschienenen Bande. Diesem Plane entsprechend behandelt der zweite nun zur Ausgabe gelangende Band die niedersten nicht mehr metazyklischen und also nicht mehr algebraisch lösbaren Gleichungen. Es handelt sich um die in den letzten sieben Jahrzehnten entstandenen Theorien der Gleichungen fünften, secl^sten und siebenter^ Grades. Die hier gebotene Darstellung ist wesentlicji durch den Grundsatz beherrscht, die das Gebiet der Algebra übersteigenden, also transzendenten Hüfsmittel der Gleichui^gslösung klar von dem algebraischen Teile der einzelnen Theorie ziu sondern und die Notwendigkeit des transzendenten Teiles darzutun. Es ist nicht so, daß das Eingreifen der elliptischen Modulfunktioneu in den Lösungsprozeß der allgemeinen Gleichung fünften Grades als eine der Aigebrs- fremdartige, vereinzelt dastehende Entwicklung anzusehen ist. Vielmehr hat man allemal die „algebraische" ]Pntwicklu3ig biß zur Formuliening des einfachsten jeweils zugrunde liegenden „Normalproblem's" zu treiben, dieses letztere dann aber durch die naturgemäß dem Normalproblem als verwandt zugehörigen automoi-phen Funktionen auf „transzendentem" Wege zu lösen. Darüber hinaus Jiabe ich der transzendenten Theorie auch schon hei der „ßegründung" der algebraischen Entwicklungen eine Rolle zugewiesen. Kein anderer Weg eröffnet uns so schnell und tief den Eingang in die algebraische Seite der einzelnen Theorie; das Beispiel der Valentinergruppe dürfte in dieser Hiosicht überzeugend wirken. Auch beim vorliegenden zwßiten Bande ha]be ich Webers Namen mit in den Titel des Buches aufgenommen- Ich darf zuy Begründung dieses Vorgehens darauf hinweisen, da,ß der Gedankengang des letzten, zum Teil auch des vorletzten Kapitels, die beide freilich mit den übrigen Teilen des Bandes nur in losereni Zusammenhang stehen, entsprechend dem Vorbilde des Weber gehen Werkes gestaltet ist. Auch
bei eänigeaa Erörterungen im Kapitel über die allgemeine Gleichung fünften Grades habe ich das Webersche Werk benutzen können. In den beiden ersten Abschnitten aber habe ich in ausgedehntestem Maße die Grundgedanken der algebraischen Forschungen meines verewigten Lehrers und lieben Freundes Felix Klein zur Geltung gebracht. Ich habe ihm während der Entstehung des vorliegenden Bandes noch über die vielfältig neuen und überraschenden Wendungen, die die Entwicklung annahm, regelmäßig Bericht erstatten können. Stets unvergessen wird mir mein letztes Zusammensein mit ihm bleiben. Bei der Rückkehr von der Darmstädter Hochschultagung im Januar 1925 durfte ich eine Stunde an seinem Krankenbette weilen und konnte ihm über den Abschluß meiner Untersuchung über die allgemeine Gleichung sechsten Grades berichten. Voll Freude und mit dem lebhaftesten Interesse nahm er meinen Bericht entgegen, und sein lebendiger Geist ließ das Siechtum des Kö^^pers fast vöUig vergessen. Es war eine glückliche Fügung meines Lebens, daß ich in jungen Jahren in Feüx Klein den begeisternden Führer fand, und daß ich alle die Jahrzehnte lang ihm wissenschaftlich und persönlich so nahe treten durfte. Er ist mir stets ein leuchtendes Vorbild gewesen, und ich schließe mit dem Wunsche, daß auch dieses Buch Zeugnis von der Dankbarkeit ablegen möge, die ich stets für ihn empfunden habe. Bad Harzburg, den 25. April 1926. Robert Fricke.
Inhaltsverzeichnis. Seit^ Einleitung L Erster Ätfsclii^itt. Endliche Gruppen binärer Substitutionein und Gleichungen fünften tirades. Erstes Kapitel. Einleitende ^ätze über Gruppen linearer Substitutionen. § 1. Erklärung und Zusammensetzung linearer Subst;itutionen § 2. Pole und charakteristische Grleichung einer Substitution § 3. Normalgestalt einer linearen Substitution § 4. Endliche Gruppen linearer Substitutionen § 5. Invarianten endlicher Gruppen @^ § 6. Existenz und Darstellung der Invarianten einer @^ § 7. Pormenproblem einer endlichen Gruppe @^ Zweites Kapitel. Polyedergruppen. 5 1. Einteilung der linearen Substitutionen eiper Variablen '34 5 2. Veranschaulichung der linearen Substitutionen einer Variablen .... 26 5 3. Projektion der 2-Ebene auf eipe Kn.gelfläche 29 5 4. Diophantische Gleichung fur die Grupper^ @^ 32 5 5. Existenz der endlichen Gruppen @ 35 j 6. Normalgestalt der Ikosaedergruppe 41 j 7. Erweiterte Polyedergruppen ^3 j 8. Diskontinuitatsbereich einer Gruppe 47 j 9. Homogene Polyedergruppen 50 Drittes Kapitel. IkosaedergHeichi^ng ufld ihre Reisolveflten. 5 1. Invarianten der Ikosaedergruppe 52 5 2. Pormenproblem der Ikosaedergruppe 55 5 3. Eesolvente fünften Grades der Ikosaedergleichpng 58 5 4. Weitere Gestalten der Eesolvente fünftei^i Grades 62 5 5. Diskriminanten der Eesolventen fünften Grades 66 5 6. Eesolvente sechsten Grades der Ikosaedergleichung 69 17. Diskriminante der Eesolvente sechsten Grades 72 j 8. Beziehung zwischen den beiden Eesolventen fü^iften und sechsten Grades 74
fl Inhaltsverzeichnis. Seite Viertes Kapitel. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. \ 1. EiHführang der Modulgruppe ® 76 ; 2. Dreiecksnetz und DB der Modulgruppe 79 ; 3. ModHlfunktiou J(eo) 84 ( 4. ifodulformen g^, g^ und ^ 85 ) 5. Formenproblem der Modulgruppe 89 f 6. HauptkoHgruenzgruppe fünfter Stufe 91 ( 7. Modulfunktionen fünfter Stufe 94 ; 8. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung und ihrer Eesolventen 98 Fünftes Kapitel. Bring sehe Gleichung fünften Grades. \ 1. Einführung einer neuen unendlichen Gruppe 100 \ 2. Funktionen der Gruppe @<^^^ 103 5 3, Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe 107 \ 4. DB der Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe 109 } 5. Bringsche Gleichung fünften Grades 113 ; 6. Transzendente Lösung der Bringschen Gleichung 116 } 7. Galois scher Körper der Bringschen Gleichung 119 ; 8. Bringsehe Kurve in Tetraederkoordinaten 122 5 9. Parameterdarstellung der Bringschen Kurve 124 5 10. Eesolvente sechsten Grades der Bringschen Gleichung 127 5 11. Beziehung der Eesolvente sechsten Grad«s zur Bringschen Kurve . . 129 5 12. Beziehung der Bringschen Gleichung zur Eesolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung 132 5 13. Beziehung zwischen den beiden Eesolventen sechsten Grades .... 135 Sechstes Kapitel. Allgemeine Gleichung fünften Grades. 5 1. Allgemeine Gleichting und Hauptgleichnng fünften Grades 138 5 2. Zwei Scharen von Hauptgleichungen als Eesolventen 141 5 3. Bringsche Gleichung als Eesolvente der allgemeinen Gleichung fünften Grades ^ 146 5 4. Diagonalgleichnng fünften Grades mit einem Parameter 148 g 5. Allgemeine Gleichung fünften Grades und PartiaJresolventen der Ikosaedergleichung 152 § 6. Ikosaedergleichung als Eesolvente der allgemeinen Gleichung fünften Grades 153 § 7. Schar der Hauptresolventen 156 I 8. Zweiter Weg von der allgemeinen Gleichung zum Ikosaeder .... 159 § 9. Pormensystem der temäien Ikosaedergruppe 164 I 10. Jacobische Gleichung sechsten Grades 169 § 11. Aufstellung einiger Hilfssätze 171 § 12. Eesolventen mit einem Parameter 176 § 13. Satz von Kronecker 179 Zweiter Abschnitt, Endliche Gruppen ternärer Substitutionen und zugehörige Gleichungen. Erstes Kapitel. Klein sehe Gruppe und zugehörige invariante Formen. § 1, Kongruenzgruppen siebenter Stufe in der Modulgruppe 182 § 2. Erklärung der Kleiuschen Gruppe 188 § 3, Darstellung der Kleiuschen Gruppe in oktaedrischen Koordinaten, . 189
lahalt^verz^iehnis. VII Seite 4. Geometrische Sätze über die Kollineation^gruppe ©igg 194 5. Darstellung der Klein sehen Gruppe in Wendedjfeieckpkoordinatep . . 196 6. Zwei Systeme von quadratischen Oktaedeyfonn«n 201 7. System der Invarianten der Klein sehen Qruppe . . ' 203 8. Invarianten der Klein sehen Gruppe in oktaedrischen Koordinaten . . 208 9. System der acht Wendedreiecke 210 Zweites Kapitel. Formenprolflem der Kleins^hen Gruppe und Gleichungen siebenten Grades. 1. Ansatz des Formenproblems nnd Resolvente siebenten Grades .... 211 2. Spezielle Resolventen siebenteii Grawes 212 3. Eesolvente achten Grades 218 4. Allgemeine Gleichung siebenten Grades mit Galoisscjier Gruppe ©^gs ^22 5. Zurückführung der Gleichung siebenten Grades £),uJ d^s Formenproblem der Kleiaschen Gruppe 226 6. Lösung der speziellen Formenprobleme der Kleyi sehen Gruppe . . . 231 7. Lösung des allgemeinen Forme^probl^ems der Klein sehen Qmppe . . 235 Drittes Kapitel. Valentinergruppe un(d zugehörige invariante Formen. j 1. Einführung einer neuen unendlichen Substitutionsgruppe 241 j 2. Dreiecksnetz und DB der Gruppe @ 243 \ 3. Hauptkongruenzgruppe dritter Stufe in der Gruppe @ 246 j 4. Zyklische und verwandte Teiler der Gruppe ©ggo 249 \ 5. Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppen in der ©ggo 253 \ 6. Kongruenzgruppen vom Index 6 und zugejiörige Gleichungen sechsten Grades 255 j 7. Galois scher Körper der Gleichungen sechsten Grades 258 \ 8. Herstellung der Valentinergruppe 263 \ 9. Invariante sechsten Grades. Erweiterung der ©ggo 268 \ 10. Zwei Systeme von je sechs Ika^aederformen 271 \ 11. Zwei Systeme von je 15 Oktaederiormen 276 } 12. Formensystem der Valentinergruppe 279 } 13. Neue Auswahl des Formensystems der Valentinergruppe 284 \ 14. Gebrauch der ikosaedrischen Koordin3,ten 286 \ 15. Gebrauch der kanonischen Koordinaten 289 Viertes Kapitel. Formenproblem der Valentinergruppe und allgemeine Gleichung sechs^ten Grades, § 1. Formen problem der Valentinergruppe und Eesolvente sechsten Gifades 295 § 2. Spezielle Eesolventen sechsten Grades 298 § 3. Notizen über die allgemeine Gleichung sechsten Grades 299 § 4. Herstellung »einer Klein sehen Bilinearform 302 § 5. Zurückführung der allgemeineii Gleichung secjisten Grades auf das Formenproblem der Valentinergruppe 308 § 6. Lösung des Foxmenproblems der Valentinergruppe 311 § 7. Theorem von. Wiman 314 § 8. Quatemäre Kollineationsgruppe für di^ allgemeine Gleichung siebenten Grades 321 § 9. Bericht über weitere Untersuchungen 326
ITIJI Inhaltsv^rzeiclmis. Dritter Abschnitt. aeometrische Anwendungeii der Gnippentheorie. Erstes Kapitel. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Seite § 1. Kovarianten der ternären kubischen Form 330 § 2. Wendepunkte der ebenen Kurve dritten Grades 333 § 3. Das singulare Koordinatensystem der Kurve dritten Grades 335 § 4. Kollineationsgruppen bei der ebenen Kurve dritten Grades 337 § 5. Das kanonische Koordinatensystem bei der Kurve dritten Grades . . 340 § 6. Berechnung der Wendepunkte in kanonischen Koordinaten „ . . . . 343 § 7. Beziehung zu den elliptischen Funktionen 344 § 8. Begriff einer Tripelgleichung neunten Grades 347 § 9. Galoissehe Gruppe einer Tripelgleichung neunten Grades 349 § 10. Ordnung und Struktur der Galois sehen Gruppe einer Tripelgleichung neunten Grades 353 § 11. Notizen über reelle Tripelgleichungen 355 Zweites Kapitel. Doppelfangenten ebener Kurven vierten Grades. § 1. Anzahl der Doppeltangenten einer ebenen Kurve vierten Grades . . 357 § 2. Steiner sehe Komplexe von Doppeltangenten 363 § 3, Tripel und Quadrupel von Doppeltangenten 367 § 4. Paare und Tripel von Steiner sehen Komplexen 370 § 5. Aronholdsche Siebensysteme 373 § 6, Neue Bezeichnungen der Doppeltangenten nebst Folgerungen .... 375 § 7. Sätze von Aronhold 382 § 8, Galoissehe Gruppe der Doppeltangentengleichung 388 § 9. Erzeugung der Galois sehen Gruppe der Doppeltangentengleichung . . 392 § 10. Einfachheit der Gruppe der Doppeltangentengleichung 396 § 11. Transitivität der Gruppe der Doppeltangentengleichung 400 § 12. Eeaütät der Doppeltangenten bei reellen Kurven vierten Grades . . 4QI § 13. Existenzbeweis der vier Fälle reeller Doppeltangenten 409 Register 415
Einleitung. Zufolge der Gralois sehen Gleichungstljeorie besitzt eine algebra,isclie Gleichung mit einer Unbekannten in der Galdisschm Gruppe, die ihr bei Zugrundelegung eines bestit^mten Zaijen- oder Fui^ktionenkörperS zukommt, ein für den Auflösungsprozeß der Grleichung wichtiges Attribut [vgl. I, 372ff.*)]. Will man den|.nach ein Einteilungsprinzip für die mit der Auflösung der Grieichungen im Zusammenhang stehenden Probleme aufstellen, so erscheint es richtiger, statt nach dem Grrade n der (jrleichung, vielmehr nach der Ordnung m de;- Galois sehen Gruppe @^ anzuordnen. Unter dem ersten Hundert der Ordnimgen m findet sich nun nach I, 310 nur eine eiuzige Gruppe &^, 4ie nieht-metazyklisch ist, nä^nlich die Gruppe ©g^, die durch die 60 geraden Vertauschuagen von fünf Diagen gegeben ist. Diese „alternierende Permutationsgruppe fünften Grades", aixf die sich die Galoissche Gruppe der „allgemeinen Gleichung fünften Grades" nach AdjunktioijL der Quadratwurzel aus der Diskrimi- nante reduziert, ist nach I, 308 n^it der „Ikosaedergruppe" @gj, isomorph. Dieser Umstand liefert die Grundlage für die Behandjung der Gruppe @ ^ und der allgemeinen Gleichung vom fünften Grade, die im ersten Abschnitt gegeben werde. Die Darstellung wird sich nach einem ersten Kapitel über endliche Gruppen Hnearer Substitutionen insbesondere zvi den endlichen Gruppen binärer Substitutionen wenden, wobei dann eben die Ikosaedergruppe das Hauptinteresse in Anspruch nehmen wird. Die beiden weiter folgenden einfachen nicW^metazyklischeu Gruppen sind nach I, 310 eine @jgg und eine ©^gp, deren letztere als die ^.Iter- nierende Permutationsgruppe secbsten Grades erklärt werden kann und also zur Theorie der allgemeinen Gleichung secbsten Grades in derselben Beziehung steht, wie die Ikosaedergruppe zu derjenigen der allgemeinen Gleichung vom fünften Grade, ßeide Gruppen sind als solche teraärer linearer Substitutionen darstellbar, ein Umstand, den wir im zweiten Abschnitt wieder zur Grundlage für die Behaiidlung der algebraischen Theorie der Gruppen @jgg und ©ggo benutzen werden. Der dritte Abschnitt des vorliegenden zweiten Bandes wird einigen algebraischen Problemen gewidmet sein, die der analytischen Geometrie entstammen. =") I, 372 bedeutet Bd. I, S. 37^. Friclce, Algebra. II.
Erster Abschnitt. Endliche Gruppen binärer Substitutionen und Gleichungen S**'' Grades. Erstes Kapitel. Einleitende Sätze über Gruppen linearer Substitutionen. § 1. Erklärung und Zusammensetzung linearer Substitutionen, Die n koniplexen Variablen z^, z^, ■-•, s^ sollen einer durch S zu bezeichnenden 'homogenen linearen Substitution: unterworfen werden. Die Anzahl n der Variablen heißt die „Dimension- der Substitution S. In den niedersten Fällen w =: 1, 2, S und 4 spricht man von unären, Mnärcn, ternären und qiiaternären Substitutionen. Die Koeffizienten unc sind beliebige komplexe Zahlen, ihre durch a zu bezeichnende Matrix heißt die „Matrix'' der Substitution S und deren Determinante D die „Determinante^ von S. Ist I> = 0, so heißt S „Singular^, anderenfaüs „nicM-singulär''. Ist nichts weiter gesagt, so gilt die Substitution als nicht-singulär*). Sind nur die in der einen Diagonale der Matrix a stehenden Elemente «n, «23, ••-, Unn von 0 verschieden, hat also S die Gestalt: (2) z[ = «ij^i, 4 =^2-^3' •••' 4 = C!inn^n^ SO spricht man, von einer „miätiplikutiven Substitution^ und nennt Wj^j, <^3ä» * • •? ^nn die „MultipKJcatoren'' von yS. Sind dabei insbesondere alle Multiplikatoren einander gleich, so hat man eine „ÄhnlieMeitssuhstitution^: (3) ^^ = a^j, ^jf^ = «■2^2> •"> 4 = a^n- *) Ist jD = 0, so sind nach I, 72 die z'i, 4» • *' > .^^ linear abhängig.
Zusammensetzung linearer Substitutionen. 3 Ist hier endlich noch « = 1, so lieg^. die „identische Substitution- vor, die mit Rücksicht auf ihr Verhalten bei Zusammensetzung der Substitutionen durch das Symbol 1 bezeichnet wir^. Man übe jetzt auf die in (1) berechneten /^, z'^^ ■■•, z'j^ eine zweite Substitution 8' der Koeffizienten a[jc aus: (4) 4-' =: «;-i/^ + c^-s^ + i- Ckn^'n, i = 1, 2, • • •, » Dabei findet maa durch Eintragen der Aiisdröcke (1) der z'^, daJ3 auch die neuen Variablen z'^, z'^^ •••, z'^ mit den ursprüngliche^i s^, s^, •••, s^ durch eine lineare Substitution S'': (5) s'i = a'/i^i -f w'/o^2 -}-••■ -r %'«'^«> i = 1, 2, ..., 11 zusammenhängen, und zwar gilt dabei: (6) a'i'ic == Uii Uu + «»-2 Ciük~\ + taln Unk, i, k = 1, 2, ■■■, n Man sagt, die Substitution S" eatstejie aus S und S' durch „Zu- bammensetzung^ y und bezeichnet S" symbolisch als „ProduM-^ B' • S von S und S\ wobei wir bei Produkten von Gruppenelementen (s. I, 267) die Anordnung der Faktoren von rechts nach links zu lesen haben. Für die Matrizen a, a' und a" der drei Substitutionen S, S' und S" gilt das in I, 61 aufgestellte Multiplikationsgesetz des Pi'oduktes a" = a' -a. Die Determinante D" von S" = S' • S ist nach I, 63 gleich dem Pr(>duU D" = jD' -J) der Determinanten J)' und D von S' und 8. Danach, ist S" stets und nur daim nicht-singulär, wenn 8 mxi S' nicht-singulär sind. Da nach I, 62 für die Prodi^kte von Matrizen d^s kommutative Gesetz nicht gilt, so gilt dieses Gesetz auch für Produkte von Substitutionen nicht, d. h. die Substitutionen 8' • 8 und S • 8' t,ind m allgemßmen verschieden. Dies schließt nicht aus, daß in besonderen Fällert. 8' ■ 8 ^= 8 • 8' gelten kann. Die Substitutionen S im.d S" heißen dann „vertauscJtttar- oder „kommutatip". So ist z. B- jede Substitution (1) mit einer Ähnlichkeitssubstitution (3) vertauschbar, da man bei beiden Anordnxmgen der Substitutionen a^'i- = a-a^k als Koeffizienten eihält. Übrigens bezeichnet man alle Substitutionen, die aus ejner beliebigen Substitution 8 durch Zusammensetzang mit Ähnlichkeitssubstitutionen hervorgehen, als mit S „ähnliche Substitviionen^. Die Zusammensetzung der Substitutionen ist bereits in I, liSff. behandelt*). Insbesondere ist daselbsb unter (6) für mehyglie4rige sym- bolis(5he Produkte von Substitutionen das „assoziative Gesetz^: (7) 8"-{S'-S} = {8"-S')-S bewiesen. =«=) Die einzelne Substitution S ist daselbst jn derjenigen Gestalt geschrieben, die aus der hier vorgelegten Gestallt (1) durch Auflösung naßh ^j, z-i^ • ■ ■■> z^^ hervorgeht.
4 I, 1- Sätze über Gruppen linearer Substitutionen. Ist die durch (1) gegebene Substitution S nicht singular, so sind die Gleichungen (1) nach ^j, z^, •••, 2^ lösbar und liefern: ^g) I ^2 = ßxi^'x + ß^2^'i + ••• + /3„2%, 1^1 = ßn^\ +/32i^; -1 + /3^: ^7. = /5l24 + /5224 + • • • + ^n = ßm^'i -\- ßin^'i H \- ßnn^'n: wo: (9) ft'=^ gilt und Ä^j; das Komplement des Elements ccijc der Matrix a ist (vgl. I, 77). Die Substitution (8) heißt zu S „invers" und wird durch S~^ bezeichnet; auch diese Substitution S~^ ist nicht-singulär, da nach I, 66 ihre Determinante den Wert D~^ hat. Zu S~-' ist die ursprüngliche Substitution S wieder invers. Je zwei einander inverse Substitutionen geben, in jeder der beiden Anordnungen zusammengesetzt, stets die identische Substitution: s-s-i = 1, s-^-s = 1. Zu einer aus zwei nicht-singulären Substitutionen S, S' zusammengesetzten Substitution S' • S invers ist die Substitution S~ ^ • S'~ ^: (10) (S'.S)-i = S-i.S'-i. Xach dem assoziativen Gesetz gilt nämlich: (S'.S).(S-i.S'-i) = S'.(S.S-i).S'-i = S'-S'-' = 1. § 2. Pole und charakteristische Gleichung einer Substitution. Zur Erleichterung der Darstellung bedienen wir uns einer geometrischen Sprechweise, indem wir die ^^ z^, •••, % als homogene Koordinaten eines Raumes Bn—i von (n — 1) Dimensionen deuten*). Dem einzelnen System endlicher, nicht durchweg verschwindender Werte 2 gehört dann ein bestimmter „Punkt"* des Raumes Jin-i zu, den wir symbolisch durch (<^,, z^, •••, z^) bezeichnen. Die Koordinaten z des Punktes dürfen dabei noch mit einem beliebigen von 0 verschiedenen gemeinsamen Faktor ^ versehen werden, ohne daß sie aufhören, den gleichen Pimkt darzustellen. Alle Wertsysteme /,, ^g, •••, ^^, die aus einem ersten 2^, z^, •••, % durch Ähnlichkeitssubstitutionen hervorgehen, stellen demnach den gleichen Punkt im R^-i dar. Eine nicht-singuläre Substitution S ordnet einem beliebigen Punkte (^j, z^y ' ■ •, ^„) des Rn-\ umkehrbar eindeutig einen Punkt (/,, z'^^ • • •. z'j,) zu oder transformiert (^j, z^, •••, z^) in (/,, z'^, •••, z'^). Dabei werden *) Einen anschaulichen Sinn besitzt diese Sprechweise natürlich nur für die niedersten Fälle » < 4 und auch da nur für reelle Werte z.
Pole und charakteristische Crleichung einer Substitution. 5 entsprechend der eben gegebenen Ausfiihnpig alle mit iS ähnlichen Substitutionen die gleiche Zuordnung der Punkte zu Paaren darstellen. Ein Punkt (^j, s^, •••, z^, der durch die Substitution S in sich transformiert wird, heißt ein „FixpunM" oder „Pol" von S. Pie Koordinaten -^j, -^3, ••-, ^n des Poles werden also drp-ch S in v- Werte z[, z'^^ • ", z'^ transformiert, die den z^^ ifg, .. , % abgesehen von eiuem gemeinsamen Faktor ft gleich sind: Trägt man diese Werte der z\, z^, ••-, z'^ in den Ausdrucl^ (1), S. 2 der Substitution S ein, so folgeii für die JCoordinaten z^, z^, • • •, e,j des Poles die n linearen homogenen Gleichungen; («11 — t^)~i + «la^ä ^ + «i«^n = ^> ... f «äl^j -f («32 — ll)Z^ ^ -f Uin^n = 0» ^ ^ I i a,a ^1 + a»2 ^2 4- • • • H- (««« ~ ft) ^» = 0. Umgekehrt liefert jede Lösung dieses Gleichungssystems in n nicht durchweg verschwindenden z^, z^, •••, z^ eipen Pol fijr S. Nach I, 79 ff. gibt es stets und nur dann mindestens eiu solches Lösungssystem, wenn der Rang der Determinante der n Gfleichungen (1) kleiner als n ist. Dann verschwindet diese Determinante m Die mit (— 1)'^ multiplizierte linke Seite dieser Gleichung soll mit G- (jt) bezeichnet werden und liefere, nach abfallenden Potenzen von {i entwickelt, an Stelle von (2) die Gleichu:|ig: (3) aiti) = ii- + Ä,ii^^-' + A,ii^-' + ■■• ^ A^ =0. Sie heißt die „charaMeristisehe Gleichung'^ der Substitution S. Lidern wir auch weiter S als nicht-singulär vora,ussebzen, ist Ä^ dz 0. Die Gleichung (3) hat dann n von 0 verßchiedene Lösungen, die natürlich nicht alle verschieden zu sein braucheif. Hfit für eine einzelne Lösung ^u die Determinante (2) den Rang r, so haben die Gleichungen (1) nach I, 81 ff. im ganzen (n — r) Hnear-unabhängige Lösungen, in denen alle Lösungen nach den daselbst angegebenen Regein darstellbar sind. Im einfachsten Falle r = n — 1 hat S einen einzigen der fraglichen Losung ft entsprechenden Pol. Es soll jetzt die Wirkung eir^er Koordinatentransform^^tion im JR„_i auf die Gestalt der Substitutionen S festgestellt werden. Die neuen 5«11 — /^' ^21' «22 y^l, «»2 «12' ) ■ • •? •••, «,l «— /* i
6 . I, 1. Sätze über Gruppen linearer Snbstitutionen. Koordinaten mögen ^, F^, •••, ^ beißen und sollen aus den alten durch die nicht-singuläre Substitution: ^ == Tai ^, 4- Tää ^2 H + ^2« ^n, hervorgehen. Diese Substitution werde mit T bezeichnet, ihre Determinante habe den Wert ^. Reclmet maoQ nun eine beliebige Substitution S auf die neuen Koordinaten um, so gelangt man zur Substitution: (5) S = T-S-T-\ von der man sagt, sie gehe aus 8 durch Transformation mit der Substitution T hervor. Umgekehrt wird- 8 durch Transformation mit T- ^ wieder in S übergeführt. Da T-^ die Determinante ^-^ hat, so haben ewei ineinander transformierbare Substitutionen S und S stets gleiche Determinanten. Sie sind demnach immer zugleich nicht-singulär. Weiter stellen wir die Wirkung einer Transformation von S durch eine Substitution T auf die charakteristische Gleichung von S fest. Die Koeffizienten von S seien mit öj^fc bezeichnet. Ihre Matrix berechnet man, indem man die Matrizen von T, S und T~^ unter Zugrundelegung des Gesetzes (6) S. 3 für Substitutionenprodukte miteinander multipliziert. Eben dieselben Koeffizienten Uik stellen sich dann auch bei folgender Rechnung ein: Wir multiplizieren erstlich die Determinante zl von T mit der auf der linken Seite von (2) stehenden, durch D (ft) zi; bezeichnenden Determinante, in der wir ^ als unabhängige Variable fassen. Das Ergebnis ist: (6) ^•D(li)=i ^21~f''^2l' C«22 — ;iT22, • • •; «2« — /^ ^2^ [ unter ä^^ die Koeffizienten der Substitution T • S verstanden. Die Matrix von T-^ ist: J t,.-^-\ t,.'ZJ-\ ..., t^^.J-\ (7) wobei t^j. das Komplement von r^j^ in der Determinante zf ist. Setzt man als dritten Faktor in (6) die zugehörige Determinante ^~^ hinzu, so ergibt sich immer bei Benutzung der Multiplikationsregel (6) S. 3 und
lavariaaten und Koltiplikatoren einer Snbstitutioii. 7 Heranziehuag der Formeln (2) und (4) in I, 54, angewandt auf die Determinante A: (8) ^•D(^)-^-^ = H; W»2! *• "^ OLnn — ft) ( WO in den ^^ die Koeffizienten der transformierten Substitution B> erreicht sind. Diese bei variablem ^ gültige Gleichung hat rechts (— 1)* Gr (ft), wenn (r (ji) = 0 die charakteristische (xleichung der transformierten Substitution ist. Links aber steht nach Forthebung von /J gegen ^-^ einfach (— Vf-Gr {^. Es gilt demnach die Crleichung: G(^) = a{^) in ^ identisch. Hiermit ist der folgende wichtige Satz bewiesen: Die Koeffizienten ^j, A^^ • • •, A^ der charal^eri&ti&chen G-lepchtmg (3) sind n ,Jnvarianten'- der Substitution S, die ihren Wert unverändert erhalten gegenüber einer Transformation von S durch irgend eine nich(;-singulare Substitution T. Für das Absoli^tglied, das von der Determinante der Substitution geliefert wird, war die Invarianz oben schon festgestellt. Die n von 0 verschiedenen Wurzeln ^l der charakteristischen Gleichung unserer nicht-singulären Substitution S heißen die „Multi2'>liJcatoren" von S (wegen ihrer in § 3 hervortretenden Bedep.tung). Sie sind n „irrationale Invarianten" von jS, denen gegenüber die A gls die n ,^rationahn Invarianten" der Substitution bezeichnet werden. § 3. Normalgestalt einer linei^ren Substitution. Es sei fij eine erste Wurzel der charakteristischen Gleicliung einer vorgelegten nicht-singulären Substitution S. ]V][an setze ^^ für ^ in (1) S. 5 ein und kann dann ein System nicht durchgängig verschwindender Lösungen dieser Gleichungen angeben, die wir z^ '-= öj^^, ^^ = 6^^, - ■-, 2n = öin nennen. Diese Zahlen sollen zu Elementen der ersten Spalte der Matrix einer durch T""^ zu bezeichnenden Substitution gesetzt werden, deren übrige Elemente wir so wählen^ daß T"^ und dan^.it auch die zugehörige inverse Substitution T nicht-singulär ausfallen. Die Matrix von jS • T~ ^ hat dann zufolge (1) S. 5 in der ersten Spalte die Eleraente /ijöii, /iiöj2, •••, J^i^m- Andererseits hi^t die Substitution J' in ihrer ersten Zeile als Elemente die dui'ch die Determinante von T~^ geteilten Komplemente der Elemente öj^, 6-^^, •••, 6jn '^^V erst-en Spalte von T~^. Rechnen wir also die Matrix von T'(S-T~^) wie immer nach der Regel (6) S. 3 aus, so wird das erste Element nach (2) in I, 54 gleich [i^ Die weiteren Zeilen von T aber liefern nach Formel (4) in I, 55 fiir die übrigen Elemente der ersten Spalte der Matrix von T-(S-T~^) durch-
8 I, 1. ^aa« »be» ^Sms^^^ Jfeeacer Sabsfcitali«ttea. weg den Wert 0. Die äbrigen Etemente der traoisformierten Substitution nennen wir wieder Oij. und haben also lür die Matrix dieser Substitution die Gestalt: [ /^i> «12' f>hs> •••' ^in> I 0, «23, Was' •■•' «2«' (1) { [ 0, an2> «J13J •'•> f^nw Die {n — 1) übrigen Multiplikatoren \l<^, /ig, •••, (in der. ursprünglichen Substitution S werden wegen der Invarianz der charakteristischen Gleichung von der Gleichung (n— 1)*^» Grades: I «22 —/i, «23' •••' «2« (2) 1 «32' Ciss — (l, ■■-, CCsn : 0 I «Ji2, dns, '•', Cinn — tl geliefert. Wir wollen dann für eine zweite Transformation eine neue nicht-singuläre Substitution T heranziehen, welche sich nur noch auf die Veränderlichen 2^, z^, • • •, % bezieht und also insbesondere ^^ unverändert räßt Es wird somit T eine Matrix: ( 1, 0, 0, '■-, 0, /3\ ) 0> "^22' ''^23' '*■' '''^m [ 0, Xn2, tns, ■•', T^nn und demnach zufolge (7) S. 6 die inverse Substitution T"^ eine solche der Gestalt: !1, 0, 0, ..., 0, 0, *22-^~'' •••' tn2'^~', haben. Heißt die durch die erste Transformation erreichte Substitution der Matrix (1) gleich wieder S, so erzielt man die Matrix der Substitution T-S-T-^ durch Multiplikation der Matrizen (4), (1) und (3). Die Matrix von T • S hat die erste Zeile und die erste Spalte mit (1) gemein, und die übrigen Elemente ergeben sich durch Multiplikation der beiden (n— l)-reihigen Matrizen: "•» t2n, «32' «23' •••' «2w: (o) Der Zusatz des Faktors (4) ergibt für (T-S).T-i eine Mafeix, die mit (1) in der ersten Spalte übereinstimmt, während die außerhalb der
'Srss^otmaM.&B. eiaer SabstitaticBi aM eine Normalgestalt. Q ersten-^ieile und der ersten Spalte stehenden Elemente durch Multiplikation von: f kn-^~ ■zl-^ laait dem Produkt der Matrizen (o) erhalten werden. Die neue Substitution hat also, abgesehen von ihrer ersten Gleichung, die nur noch auf die ^3, ig, •••, z^ bezogene Gestalt: die aus der von ihrer ersten Gleichung befreiten ursprünglichen Substitution S einfach durch Transformg^tion mittels der Substitution, der Dimension (w — 1) und der ersten Matrix (5) entsteht. Diese Transformation kann nun unter Bevorzugung eines zweiten Multiplikators fig genau so vollzogen werden, wie die am Anfang des Paragraphen für ^, ausgeführte Transformation. "W^ir gelangen dabei zu einer transformierten Substitution, deren. Matrix die Gestalt: (6) f*,, 0, 0, 0, «12' f*2' 0, 0, «13' •• «23' •• «33' •• <^z^ ■■ , div , C^2n , Cisn ' Cinn hat, wobei die et natürlich in neuer Bedeutung gebraucht ßind. Diese Betrachtung ist entsprechei|d foi-tsetzbar. Wir transformieren drittens durch eine Substitution der Matrix: 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, rs3, 0, 0, Vns, '-, 0, ■; 0, ••, r^n • •? T^nn und finden leicht, daß in der transformierten Substitution wieder die- selhen beiden ersten Spalten wie in (6) vorliegen, wäiirend sich die außerhalb der beiden ersten Zeilen und beiden ersten Spalten stehenden Elemente genau so berechnen, als handelte es sich um Transformation
IQ I, X. Satze über Crrappen linearer Substitutionen. einer.Snbstitution der Dimension {n — 2). Insbesondere kann man also zu einer transformierten Substitution der folgenden Matrix gelangen: f^l' 0, 0, 0, 0, «12' f^S' 0, 0, 0, «13' «23' ^3' 0, 0, «14' • «24' • «34' • «44' • dm, ' •) «IW) •) «2wj •, dön, ; din, •j «M71- Transformiert man nacheinander mittels der Substitutionen T, T', T", •", so laßt sieb das Ergebnis auch durch eine einzige Transformation mittels ... T"-T'-T erzielen. Sind aber aKe T, T', T", -•■ nicht- singulär, so gilt dasselbe von •.• T"-T''T. Durch Zusammenfassung gewisser (n — 1) Transformationen gelangen wir zu dem Satze: Die vorgelegte nicht-singtüäre Substitution S kann mittels einer nicht-singulären Substitution in eine neue Gestalt der Matrix: (7) f^l' «12' 0, ii„ 0, 0, 0, 0, 0, Km, transformiert werden, wo die fi^, (i^, • • •, (in ^^^ Multiplikatoren von S in irgend einer Melhenfolge sind, und wo auf der eineti Seite der Diagonale lauter Nullen stehen. Kommen unter den Multiplikatoren einander gleiche vor, so wollen wir die Bestimmung treffen, daß gleiche Multiplikatoren in der Diagonale der Matrix (7) stets unmittelbar hintereinander angeordnet werden sollen. Sind nicht alle Multiplikatoren gleich, so läßt sich eine weitere Vereinfachung der Substitution durch Transformation erzielen. Man transformiere mittels einer Substitution T der folgenden Gestalt: (8) i i- -r%, wobei k ^ i gelte. Es soll also nur die i^^ Variable eine Änderung erfahren. Die zu T inverse Substitution T~^ ist: (9) = ^i+ij Man stellt mittels dieser Formeln leicht direkt die Matrix der transformierten Substitution T-S-T~^ her, unter S die Substitution der Matrix (7) verstanden. Es zeigt sich, daß sich gegenüber (7) nur die
Normalgestalt einer lineare];^ Substitution. IJ Elemente der i*«" Zeile vom ¥^^ bis zum letzten und d|e Element^e def ¥^^ Spalte vom ersten bis zum ^*^e" ändern. Die neuen Elemente sind: (10) «2i ~T«22, dik — T (^* — [ii). (^i,}:^i-\-tak,k^l- •••• Oiirt -fr f^kn Falls nun ft^ z^ fi;. gilt, können wir (\\e nqch verfügbare ^^ahl r aus der Gleichung: «*/: —T(fl» —/i/3 = 0 als endliche Zahl berechnen. Die Transformation durch die Substitution (8) führt zu einer neuen Gestalt unserer Substitution S, in der an Stelle des, bisherigen Elementes u^^ der Wert 0 getreten ist. Dabei bleiben alle Elemente einer späteren als i^^ Zeile und alle Eieipente einer früheren als Zj*^** Spalte unverändert. Man nehme nun an, daß die llultiplikatoren fin, fin — i? "'i ^i+i einander gleich seien, -Vt^ährend von ^i an neue Werte auftreten. Wir können danp huitereinander Transformai ion en ausführen, die nach und nach die Elemente uijj^i, ß^t + aj "-j «/,» der P^^ Zeile durch 0 ersetzen. Gilt dann etwa weiter (ii = fii^i = fi;_.> =::•..=: ^ff^j^i, während mit u^ wieder ein neuer Wert einsetzt, so können wir in gleicher Weise so transformieren, daß <Zj_i_ ;4-i? •••, «/_i,«, sodann «;—s, z + d "••, «z—2, •» us^., endlich a^^^i^ij^i, •••, «m + Lw durch 0 ersetzt werden, d. h. es sind immer die letzten (u — 7) Elemente dieser Zeilen durch 0 ersetzt. Da aber {i„i von allen folgenden Multiplikatoren verschieden ist, so können wir in der w^^" und in den voranfgehenden Zeilen sogar die letzten (n — m) Elemente auf 0 transformieren. Purch Fortsetzung dieses Verfahrens gel9,ngen wir zu der aufzustellenden Xormal- gestalt unserer Substitution S. Da alle zur Transformation benutzten Substitutionen T nicht-singulär sind, ßo ergibt sich der Satz: Eine nicht singulare Bubstitution S ist durch Trßnbformation )Mtteh einer gJeiclifälh nicM-singulären Substitution auf eine NormalgedaU von der Matru (7) überfuhrhar, in der die Multiplihatoren ^ in irgeti^d einer -Aft so angeordnet sind, daß gleiche Multiplikatoren stets um}%ittelhar hintereinander t^tehen, und in der auch oberhalb der Diagonale jedes Element «j /; verschwindet, so oft ^j dr fi^ gilt. In der Matrix (7) geigen also die nicht verschwindenden Elemente eine treppenförmige Anordnung. In dem gewonnenen Ergebnis ist als Spezialfall dec folgende Satz enthalten: Eine nieht-singuJäre Substitution S mit lauter vefschiedenen (nicM-verschwindenden) Multiplikatoren, ^^, ^.^j •••, ii« ist wi die Gestalt: (11) 4=^«j^^, 4 == ^2^2, ■•', s'^ — ^ri^n, d. h. in eine „inultiplihative Suhstitution^' tran»formierbar.
J 2 I, 1- Sätze über Gruppen linearer Substitutionen. § 4. Endliche Gruppen linearer Substitutionen. In I, 268 sind drei charakteristische Kennzeichen dafür angegeben, daß m Elemente eine „Gruppe" der endlichen Ordnung m bilden. Sind die Elemente insbesondere nicht-singuläre Substitutionen S der Dimension n, so ist bereits das erste Kennzeichen hinreichend: Ein System von m verschiedenen nicht-singular en Substitutionen der Dimension n bildet eine Gruppe @^ der Ordnung m, falls irgend zwei Substitutionen des Systems zusammengesetzt stets meder eine Substitution des Systems liefern. Das Gruppenkennzeichen II, das assoziative Gesetz betreffend, ist nach S. 3 bei den linearen Substitutionen stets vorhanden. Aber auch das Kennzeichen III trifft hier immer zu. Besteht nämlich z. B. für drei Substitutionen S, S' und S" des Systems die Gleichung S- S' = S- S", so folgt durch Zusatz des Faktors S~^, mag diese zu S inverse Substitution dem System angehören oder nicht, wegen des assoziativen Gesetzes: S~'''(S-S') = S~''-{S-S"), {S~^-S)'S' = iS~^-S)-S", S'=S". Die Substitutionen einer vorgelegten Gruppe @^ bezeichnen wir nun mit Sq = 1, Sj, Sg, ••-, S^-i, unter S^ die in der @^ sicher auftretende identische Substitution verstanden. Weiter aber tritt nach I, 271 mit der einzelnen Substitution stets auch ihre inverse Substitution in der @^ auf. Transformieren wir die m Substitutionen der @^ zugleich durch eine und dieselbe Substitution T, so bilden die m transformierten Substitutionen eine mit @^ isomorphe Gruppe, die wir durch T-@^-T~^ bezeichnen und auch wohl einfach als eine neue Gestalt der @^ auffassen. Wir transformieren nun so, daß eine beliebig aus der @^ herausgegriffene Substitution S die am Schluß von § 3 beschriebene Normalgestalt annimmt. Dabei mag ••• = fi^-_2 = ft^-i = (H gelten, wäiirend von fi^ + i an neue Multiplikatoren auftreten. Dann hat die Substitution S die Gestalt: •-•, z'i^j^ = fi^t-i -j-azi, z'i = (iZi, ••■, wo zur Abkürzung ^ für fi^^j z= ^- und u für cci-^i^i gesetzt ist. Die v^e Potenz S" von S wird also, wie man durch Induktion leicht zeigt, die Gleichungen enthalten: 4-1 = ^^^i~i -\- V fi"-^ aZi. s[ = fi* Zi. Xun ist die Periode von S nach I, 272 ein Teiler der Gruppenordnung m. Versteht man unter v die Periode, so gilt in den letzten Gleichungen: Somit verschwindet a, und ^ ist eine m*« Wurzel der Einheit. Nehi wir noch die (* — 2)*^ Gleichung von S hinzu, so ist: •^z-2 = li'^i-'i + cc2i^i -f- a ^i, zi_i = iiZi_i, z'i == ^Zi
Endliche Gruppen linearer Substitutionen. 13 ein Aussclmitt aus S, wo u und cf,' statt cci_^i_.j^ und Ui-^^j gesetzt ist, S" enthält somit die Gleichungen: Wie soeben ziehen wir den Sclüuß, daß a =^ 0, of' = 0 gelten muß. Durch Fortsetzung der Überlegung in gleicher Art gelangt man zu dem Ergebnis: In einer endlichen Q-ru^e @^ Uneßrer Suhstitutianen treten nur Substitutionen S auf, die auf die Normalgestali geh facht „muftipU- Jcativ" sind: (1) 2[ = fij ^j, 4 = fi2^2' '' •) 4 = ^%; die Multiplikatoren aber sind durchweg W« Wurzeln der Einheit. In der @^ mögen im ganzen X Älmlichkeitssubstitutioneii enthalten sein, unter ihnen die identische Substitution. Da eine Ähnliclik.eitsspbstitution nach S. 3 mit jeder Substitution vertauschbar ist, so Mlden jene X Ahn- Uchkeitssuhstitutionen einen Normalteiler @;i voti @^. Die eipzelne zugehörige Xebengruppe besteht jeweils aus den X Substiti(.tionen der ®m? die mit einer unter ihnen ähnlich siad. JDie Gruppe ©„,, reduziert sich demnach auf das Komplement @^ des Normalteüers %i, falls man je die X miteinander ähnlichen Substitutionen der ®m. als nicht voneinander ver- schieden ansieht. Ist ^ = e «* ein in der @;. auftretender Multiplikator, so ist dessen A*^ Potenz gleich 1, so daß ßX ein Vielfaches }cm von m ist. Es folgt also: ^ = p ^- , und da wir X verschiedene Multiplikatoren dieser Ait haben, so kommen aUe Zahlen Je = 0, 1, 2, "-, X — 1 zur Geltung. Der Teiler @;i ist somit zyMisch und aus der Substitution erzeugbar: ^^, (2) z\ = e ^ z^, 4 = Im Falle n = 1 hat jede in der @^ enthaltene Substitution die Gestalt: (3) z == e '» z, und da wir m verschiedene Substitutionen dieser Art haben müssen, sq müssen alle Zahlen ä; = 0, 1, 2, • •-, w— 1 zur Geltung kommen Es existiert also für jede natürliche Zahl m eine imd nur eine Gruppe @^, die die zyklische Bauart besitzt. Diese Gruppen ßind also noch sehr einfach; sie spielen in den folgenden Entvjdcklungen nur eine beiläufige Rolle.
14 I, 1. Satze über Gruppen linearer Substitutianen. §5. Invarianten endlicher Gruppen @^. Eine Form f {z^, ^g, •••, ^„)) ^- ^- ^^^ rationale ganze homogene Funktion mindestens ersten Grades*) der n unabhängigen Variablen ^j, ^2' ■") ^ni die bei Ausübung der Substitutionen S^ = 1, Sj, Sg, •••, S^-i einer vorgelegten Gruppe ®^, abgesehen von konstanten Faktoren, in sich selbst übergeht, heißt eine „Invariante"' der Gruppe ®^. Sind die m konstanten Faktoren alle gleich 1, so heißt f eine „absolute" Invariante, anderenfalls eine ^relative-. Wir bezeichnen die den m Substitutionen Sq=1, S„ Sg, •••, S«j_i entsprechenden Faktoren durch ö^ = 1. öj, ög, •••, 6^,-1 uöd nennen ihre Zusammenstellung das „FaUoren- system'- der Invariante f. Ist S^-S« = S^ so gilt für die zugehörigen Faktoren ö^. ö« = öc, eine Regel, die sich sofort auf mehrgUedrige Produkte überträgt. Hieraus folgt, da der identischen Substitution der Faktor 1 entspricht, leicht der Satz: Der zu einer Substitution S gehörende FaMor 6 einer Invariante f ist eine i/* Wurzel der Einheit, unter v die Periode von S verstanden. Alle Faktoren ö sind demnach m^^ Einheits- 2l7l wurzeln und als solche Potenzen der primitiven Einheitswurzel s = e '^ dieses Grades. Weiter besteht der Satz: Alle Stibditutionen der @^, die für eine Invariante f den FaUor 1 liefern, bilden einen Normalteiler ®i, dessen Komplement zyklisch ist. Es mögen im ganzen die ? Substitutionen Tq=1. Tj, T^, ..., T;_i den Faktor 1 liefern. Mit T« und T^ ergibt auch T^-Ta den Faktor 1, so daß die ? Substitutionen T einen Teiler ®i der @«, büden. Mit T liefert auch S'T'S~^ bei beliebigem der @^ entnommenen S den Faktor 1, so daß @; ein Normalteiler ist. Sind S und S' beliebige Substitutionen der @^, so gehört zu S~^ • S'~''- • S • S' der Faktor 1, so daß (3i die Kommutatorgruppe von ®^ als Teiler enthält. Xach I, 290 ist also das Komplement von ®i kommutativ. Die zyklische Struktur dieses Komplementes ergibt sich so: Man setze m-l~^ = t und bilde die zu @; gehörenden ]S[ebengruppen @;, Fj • @;, Fg • @;, • • •, Vt~i'(S>i, denen, wie man leicht zeigt, t verschiedene bei der vorliegenden Invariante f überhaupt auftretende Faktoren: (1) öq =1, Öj =r £^-1, ög ■= £^-2, ..., ö^_i = Eh~i entsprechen. Die Faktoren (und damit die Xebengruppen) seien so ge ordnet, daß die Zahlen A", die dem Intervall 0 <^Jo<^m angehören mögen, nach steigender Größe aufeinander folgen. Da inverse Substitutionen reziproke Multiplikatoren liefern, so kommt mit dem einzelnen Je auch (m — Ic) vor. Die Faktoren (1) reproduzieren sich gegenüber Multiplikation und geben dabei eine Darstellung des Komplementes @^ von @;. Die t Exponenten /.-^ == 0, 7.-^, Jc^, •••, 7^^_i reproduzieren sich also mod m genommen gegenüber Addition und wegen des Auftretens von *) Formen nullten Grades, d. h. von 0 verschiedene Konstante, sollen also ausgeschlossen sein.
Invarianten einer @^ und ihre Taktprensysteine io (m — k) mit Je auch gegenüber Subtraktion. Es kommen somit jedepfalls auch, die Vielfachen fcj, 2 fcj, 3>fcj, 4^;^, ••• des kleinsten positiven Exponenten Äj vor. Träte aber zwischen zwei aufeinander folgenden unter diesen Vielfachen noch ein weiterer Exponent Je auf, so gäbe es zufolge der voraufgehenden Ausführungen auch nqch einen zwischen 0 und 7.;^ gelegenen, so daß Zr^ nicht der kleinste positive Exponent wäre. Also sind die Je einfach die Vielfachea vop. Je^, womit die zyklisclie Bauart von ®i deutlich ist. Das System (1) der Faktoren aber lautet: (2) öo =1, 6, = s\ Ö2 = 8'\ ■■■, 6t-i = £^'~'^'- Ist andererseits ®i ein beliebiger Xormalteiler vop ^^ mit zyklischem Komplemente @^ = ®^, so ist nach I, 290 in ®i die Konimutatorgruppe T von @^ enthalten. Das System der t Einheitswurzeln des Grades t, wie es ja auch in (2) vorliegt, heiße dann ein ^ÜieordücJi mögjlclies FaJdoren- system^. Auf die Frage, inwie^^z-eit zu irgend eineip solchen Faktoren- system Invarianten wirklich vorkommen, gehen wir (inten ein. Entsprechend der Erklärung in I, 129 fassen wir den Begriff einer Kovariante bei n Variablen. Eine J'orm K{2^, z^, •-■, z^ heißt eine Kovariante irgend einer gegebeneii Form /'(s'j, z^, • • -, z^^, wenn K in den Koeffizienten von f rational, ganz und homogen aufgebaut ist, und wenn K bei Ausübung irgend einer nicht-singulären Substitutiop *), abgesehen von einer ganzzahligen Potenz der Substitittionsdeterminapte als Faktor, in den gleichgebauten Ausdruck .S''(^i, z'^, •••, :«) der transformierten z und der Koeffizienten der transformierten Form /"(^i, z'2^ •••, z'^i) übergeht. Ist nun f wieder eine Invariante unserer @^, und werden zur Transformation nur noch Substitutionen S der (^^ zugelassen, so sipd in jedem Falle die Koeffizienten der transformierten Form/''(^i, z'21 •••, -'n) bis auf einen gemeinsamen Faktor fi gleich den ursprünglichen Koeffizienten. Also hat auch K'(z'i, z'o, •••, z'„) nach Absonderung einer in allen Gliedern als gemeinsamer Faktor auftretenden Poten^j vo^. fi wieder die Koeffizienten von K(z^, z^, -r-, z„). Durch Bildung von Kocarlauten für irgend eine schon gewönnest; J[nvanaute f vor^ (3^^ findet man demnach neue Invarianten dieser Gruppe. § 6. Existenz und Darstellung der Invarianten einer (^m« Zur Herstellung von Invarianten für eine vorgelegte Gruppe C^),^, linearer Substitutionen der n unabhängigen Variablen z^, z^, .. , z^ bilde man irgend eine lineare Form: (1) Cp {Z) =z C^Z^-^C^Z^A r C,,Zn ^) Von der Gruppe @^ ist hier zunaphst r^cht die Rede.
Iß I, 1. Sätze über Gruppen linearer Substitutionen. und übe auf die z die m Substitutionen S^j = 1, S^, Sg, •••, S^_i der ®^ aus. Si möge die z^^ ^g, • • • in ^(^'), ^(g*), • • • überführen, wobei also die ^^), ^^2^), • • • einfach die z^^ z^^ • • • sind. Die m Ausdrücke: (2) 9? (^(0) 3= Cj ^(0 + C2^(f) + ... + c^^Jf), i = 0, 1, 2, ..., m - 1 sind dann vermöge der Substitutionen S der ®^ [vgl. (1) S. 2] ebenso viele lineare Formen der ^^, z^^ • • •, und es werden sich diese m Formen bei Ausübung irgend einer Substitution der Gruppe @^ nur untereinander permutieren. Ihr Produkt ist also eine Invariante der @^, und zwar vom m'^" Grade in den z. Diese Invariante ist absolut. Jedoch kann eine Erweiterung des Ansatzes gelegentlich auch zu relativen Invarianten führen. Es sei S die erzeugende Substitution eines zyklischen Teilers @y der Ordnung v von @^. Dann kann man durch Einführung geeigneter neuer Koordinaten ^^, ig? '"i ^n di^ Substitution S in die Gestalt (11) S. 11 transformieren, wo die Multiplikatoren ^ Einheits würz ein v^^^ Grades sind. Nimmt man einen der n Ausdrücke dieser neuen Koordinaten in den z^, z^, '" r Zn als Form q)(z), so ist diese Form (p(z) eine (relative) Invariante des Teilers ©,,, und die m Ausdrücke (2) werden, abgesehen von konstanten Faktoren, zu je v einander gleich. Somit ist das Produkt der m Formen (2) in diesem Falle die v^^ Potenz einer Form des Grades m v~ ^, die eine Invariante der @^ ist, Sie bleibt nämlich gegenüber den Substitutionen der @^ entweder unverändert oder nimmt als Faktor eine r*® Wurzel der Einheit an. Eine relative Invariante kann natürlich nur dann vorliegen, wenn @^ einen Normalteiler mit zyklischem Komplement einer in v aufgehenden Ordnung hat. Jedenfalls ist hiemach infolge der willkürlich wählbaren Koeffizienten c in (1) die Existenz unendlich ■ vieler absoluter Invarianten der Gruppe ®^ sichergestellt. Auch kann man aus bereits erhaltenen Invarianten durch Bildung rationaler ganzer Funktionen derselben, die in den z^^ ^g, ..., 0n homogen sind, neue absolute Invarianten herstellen. Hierbei besteht der wichtige Satz: Die gesamten absoluten Invarianten der Gruppe @^ sind in einer endlichen Anzahl unter ihnen als rationale ganze Funktionen darstellbar. Diese Aussage wird als der „Satz von der Endlichkeit des Invariantensystems" einer Gruppe @^ bezeichnet, womit also nicht etwa gemeint ist, daß die @|„ überhaupt nur endlich viele Invarianten besäße. Der erste Beweis des Satzes ist von Hilbert im Jahre 1890 gegeben*). Einen elementaren Beweis, der zugleich eine Vertiefung des Satzes brachte, fand Frln. E. Noether im Jahre 1915**). Dieser Beweis arbeitet mit der folgenden Überlegung. *) „Ober die Theorie der algebraischen Fornipn", Math. Ann. Bd. 41, S. 473 ff. Vgl. hierzu auch Weber, Lehrb. d. Algebr. ^2. Aufl.) Bd. 2, S. 231 ff. *♦) „Der Endlichkeitösatz der Invarianten endlicher Gruppen", Math. Ann. Bd. 77, S. 89 ff.
Endlichkeitssatz bei den Invarianten einer (5_. 17 Es sei eine beliebige absolute Invariante der Gruppe ®^: (3) f{^,, ^2, ..., ^n) = 2 C^«,/?,...^?4'--' « + /? + ... = r cc,ß, ... vorgelegt, deren Grad mit r bezeichnet wird. Durch die Substitution Sf der ®m mögen die ^1,^2' *' *> ^n ^^ ^^\ ^^fj '' *> ^^^^ übergeführt werden. Übt man auf die Gleichung (3) die (m — 1) Substitutionen S^, S^, • • •, Sjn—i aus und addiert die Ergebnisse zur Gleichung (3), so ergibt die Teilung der Summe durch m für die Invariante f die Darstellung: (4) Der rechts in der Klammer stehende Ausdruck bleibt für sich genommen bei allen Substitutionen der @^ unverändert. Schreiben wir somit: (5) Ja,ß,... = '^4---+4''4?---+4"-^2l'--- + --; so haben wir in diesem Ausdruck eine absolute Invariante des Grades r. und man kann f als lineare homogene Funktion solcher Invarianten (5): (6) f= ^ ^C«,^,...^.,^,... darstellen*). Wenn wir also für alle Invarianten Ja,ß,.., den „Endlichkeitssatz" zeigen können, so ist dieser Satz damit allgemein bewiesen. Man setze nun mit n unbestimmten Größen w,, ti^, • • •, u^ die Summe: an. die durch die m Substitutionen 1, S^, Sg, • • •, S^ —1 in die ftt Summen ^1^1 +^2^2 H \-^n^n, ^i^i' + ^2^2 H h^^nC^ (7) übergeführt wird. Die r*^ Potenzsumme Pr der m Größen (7): (8) i^r = K^l + ^2^2 H f- '^n^nY + K ^i + ^2^2 H h ^n4X + ' ' entwickle man dadurch, daß man rechts auf die einzelne r*^ Potenz den polynomischen Lehrsatz (5) in I, 27 anwendet und allemal die in den u gleichgebauten Glieder zusammenfaßt. Es ergibt sich so für j?^ die Darstellung : (9) p,= SL/ )ja,(i,...u-y-', r = « + /?+..., *) Die Frage des etwaigen identischen Verschwindens eines Ausdrucks (5) braucht nicht erörtert zu werden. Da nämlich f als nicht identisch verschwindend angenommen ist, so treten in (6) rechts sicher Glieder mit nicht identisch verschwindenden J„ f. auf. a, p, ... Fricke, Alaebra.. II. o
X8 I, 1. Sätze über Grruppen lineacer Substitutionen. wo sich die Summe auf alle Zerlegungen der Zahl r in Summen nichtnegativer ganzer Zahlen a, ß, • • • bezieht, die Klammersymbole die ganzzahligen Polynomialkoeffizienten sind und die J"«^ ^^... unsere Invarianten (5) bedeuten. Dabei treten die gesamten nicht identisch verschwindenden Invarianten (5) des Grades r als Koeffizienten der Entwicklung (9) wirklich auf. Nun sind die Potenzsummen j)^ + i, Pm + 2i ••• ^^ symmetrische Funktionen der m Größen.(7) rationale ganze Funktionen mit rationalen Zahlenkoeffizienten in den m symmetrischen Grundfunktionen dieser m Größen, also wegen (13) in I, 103 auch in den m ersten Potenzsummen i>j, i>2, '•', Pm, <56r m Größen (7): (10) Pr = (^r(Pv Pi, '' ; Pm), r = m + 1, m + 2, • ■ ■ Diese Gleichung ist in den Größen (7) und also auch in den 2 und u eine identische. Der rechts stehende Ausdruck ist demnach in den u homogen vom Grade r imd ergebe, in bezug auf die u geordnet: (11) Pr= ^ ^a,ß,...iJ,J','-')-1*1^2"'' « + i^^ = r, a,ß,... WO die Koeffizienten 0 ganze Funktionen der Invarianten (5) der m ersten Grade sind, deren Anzahl endlich ist. Wegen des identischen Bestehens dieser Gleichung in den u ergibt der Vergleich von (9) und (11) die Gleichimg; (12) {^^^[„)ja,ß,... = ^a,ß,...i'^,'^',-")- Damit ist der Endlichkeitssatz bewiesen und in folgender Art vertieft: Jede absolute Invariante f der Gruppe ®^ ist als rationale ganze FunJdion der endlich vielen Invarianten (5) der ersten m Grade darstellbar, ioobei insbesondere in den Darstellungen (12)^ nur- rationale ZulüenTcoef- fizienten auftreten. Für die Darstellung re lativer Invarianten f{z-^, z^, • • •, z,^) der @^ ist der zweite Satz von § 5, S. 14 zugrunde zu legen. Es gehöre f als absolute Invariante zum Normalteiler @; des Index t = 'm-l~\ und es seien ®i, Fj • ®i, V^ ®i, • • • die t zugehörigen Nebengruppen, denen die Multiplikatoren 1, s\ s^\ ••• wie S. 15 zugehören. Setzt man f wieder in der Gestalt (3) an und übt auf diese Gleichung die m Substitutionen der ®^ aus, so bleibt die linke Seite bei den l Substitutionen der ®i unverändert, bei den l Substitutionen von F, • ®i nimmt sie den Faktor £', bei denen von V^'®i den Faktor £^' usw. an. Hieraus folgt eine Darstellung : (13) f = l^^ ^«,ft...(i«,ft... + f-%ft... + £-^'i;>,...+ •••), '^0 ja,ß,... die Summe der Glieder ist, die aus z^-z^^--- durch die Substitutionen von ®i hervorgehen, und die j^ ft,.., i«,« ..., • • • aus ja- a^... durch
Herstellung relativer Invarianten einer Grfippe. 19 die Substitutionen Fj, Fg, ••• entstehen. Da die ®j ei)i Nonnalteüer der @^ ist, so folgt der Satz: Die u,ß,...> j'a,ß,..., ••• sind äbsolutß Invarianten der ®i und als solche rational tmd ganz darstellbar in einer endliehen Anzahl solcher Invarianten, deren Grade ^Z sind; in den ja,ß,..j j'a,ß,..., j'ä,ß,...t •••> <^^ß ö^^ß a«*s der ersten unter ihnen durcfi die Substitutionen 1, Vp V^, • • • hervorgehen, ist jede relative Invariante des in Rede stehenden FaMorensystems in der Gestalt (13) darstellbar. Auf der anderen Seite kann man in der Gestalt: (14) h,ß,... -f £-%ft... + £-'%ft... + •• ■ aus einer beliebigen absoluten Invariante j^^^^... von ®i einen Ausdruck herstellen, der, sofern er nicht i(3entisch verschwindet, eipe relative Invariante des Faktorensystems e'^ == l, e^ s^\ ••• darstellt. Aus den Entwicklungen des nächsten Pai'agraphen wird[ hervorgehen, daß für jedes theoretisch mögliche FaJctorensystem ßuf diese Weise relative Invarianten gebildet werden Jcönnen. § 7. Formenproblem einer endlichen Gruppe ®^. Unter den Invarianten (5) S 17 der ®^ mit Grader^ <w decken wir uns ein System: (1) J, J', J", -■■, J^P-^) derart ausgesucht, daß alle übrigen Invarianten rational und ganz in diesen Invarianten (1) darstellbar sind, daß aber in dieser Weise l^ehxe unter den p Invarianten (1) durch die übrigen dargestellt werden kann. Drücken wir alle GHeder der einzelnen Summe (5) S. 17 durch die ursprünglichen z^ z^, •••, z^ mittels der Substitutionen der ©^ aus, so erhalten wir für die J^Darstelluagen in z^ z^, •• •, z^ mit Koeffizienten eines Körpers, der aus dem rationalen Körper durch Adjunktion der in den Substitutionen auftretenden Koeffi^ientea hervorgeht. Dabei ist aber sehr wohl möglich, daß die Koeffizienten in ^en Darstellungen der / bereits in einem echten Teuer (Jieses Körpers, ja vielleicht sogar im rationalen Körper enthalten sind. Ist j)^ n, so bestehen zwischen den Invarianten (1) (p — n) algebraische Relationen: [ W^(J, r, J", ..., J(i'-i)) = Ü, (2) I W^(J, J', J", ..., J(i>-i)) = 0, die man durch Elimination der n unabhängigen Variablen z^^, z^, • • •, z^ aus den Darstellungen der jo absoluten Inv&rianten in iipien gewinnen kanu; und deren Koeffizienten demselben Körper angehören wie die 2*
20 I^ 1- Sätze über Gruppea linearer Sabstitutionen. Koeffizienten dieser DarsteUungen. Übrigen? denken wir diese Dar- steUun^en in. der Gestalt: wirklich gegeben, wo also die il) rationale ganze Funktionen mit Graden ^m in den z sind. Hieran schließt sich das folgende von Klein*) aufgestellte und für seine algebraischen Schöpfungen grundlegende „Formenproblem der Gruppe @«i": Es seien p die Melationen (2) 'befriedigende Werte der Invarianten (1) irgendwie gegeben; es soUen durch Zösmig der Gleichungen (3) die gesamten zugehörigen Wert&ysteme z^, z^j •••, ^„ gefunden werden. Mit einem Wertsystem gehören natürlich immer gleich m solche, die aus jenem ersten durch die Substitutionen der @^ hervorgehen, zu den gegebenen J, J\ •••, J"(^~^); denn gegenüber diesen Substitutionen sind ja die J-^J'-, •••, J^'^~^) invariant. Denkt man die absoluten Invarianten variabel, so ist das Problem so zu charakterisieren: Zu dem Zahlkörper ^, der durch die Koeffizienten in den Ausdrücken (3) rechts gegeben ist, adjungiere man die an die Relationen (2) gebundenen komplexen Variablen J, J', •••, J(P~^). Dann sollen die s^, z^, •••, z^ aus (3) als in hesug auf den Körper (Ä, J, J', •••, J(-P~^)) algebraische FunUionen berechnet werden. Zur Charakterisierung dieses Formenproblems diene zunächst seine ümformxmg in ein gewöhnliches Problem der Auflösung einer Gleichung. Wie S. 17 setzen wir mit zunächst unbestimmten Koeffizienten u die lineare Form an: (4) W = U^Z^ -^ U^Z^ -\ + U^^n- Durch Ausübung eiaer in (1) S. 2 gegebenen Substitution S von (^^ geht w über in: w' = U^z[ -{- U^z'^ -\- [- Unz'n oder wieder nach ^j, z^, ••-, z^ geordnet in: W = u[z^-\-u'^Z^-\ -f u'n 2n, *) Man vergleiche die Abhandlungen „Über die Auflösung gewisser Gleichungen vom siebenten und achten Grade", Math. Ann., Bd. 15 oder Ges. matb. Abb., Bd. 2, S. 390 und „Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades", Math. Ann., Bd. 28 oder Ges. math. Abb., Bd. 2, S. 439. Siehe auch Kleins „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade„ (Leipzig 1884), 'S. 126,
Formenproblem einer endlicfien Gruppe. 21 WO die u\, u^, ■'-, Un sieh in den u^, u^, *••, u^ durch die zn S gehörende „transponierte Substitution" 'S: ( u[=: «11 Wj 4- «2j M^ + i- Kni%r darstellen. Nun gut von vornherein als selbstverständli^ch, daß ieine zwei Substitutionen der @„j, also auch keine :?wei der transponierten Substitutionen identisch sind. Geht demr^ach die Form (4) durch die Substitutionen S« = 1, S,, S„ ••• in die m Formten: r w = u^z^ + %^2 + •■ W = U\Z^ -\- M'ä^'ä-f •■ •• -T t^n^n, ■■+<^n, (6) L,(m-i) __ ^^(m-l)^-^ ^ j^ ^^(»'-l)^„ über, so wird die Differenz keiner zwei dieser m Formen lauter in den u identisch verschwindende Koeffizienten erhalten. Xaph dem Satze in I, 96 können wir demnach für die u ein System vpn n ganzen Zahlen in der Art eintragen, daß keine zwei der m Formen (6) ia den s identisch werden. Aus den so gewonnenen durchweg vei schiedenen m formen bilden wir mittels einer Variablen Z die ganze Funktion m^'^^ Grades von Z: (7) ® (Z) = (Z — w){Z — w') {Z, — w") ■■ (Z — «;(^«-^)), die entwickelt und gleich 0 gesetzt die Gleichung m^^^ Grades mit den Lösungen w, w', w", ■ • • liefert: (8) @(Z) = Z»» + C.Z'«-^ 4- C^Z^'-^ + ... + C^, = 0. Bei Ausübung der Substitutionen der (3^ pe^'mutieren sich die m Formen (6), so daß ihre symmetrischen Fu^ktio^en und damit die Koeffizienten der Gleichung (8) g,bsoli(.te Invarianten sind und sich als solche rational und ganz ia den p Invarianten (1) darstellen. Pie Koeffizienten der linearen Formen (6) gehören dem Zahllcörper an, der aus dem rationalen Körper durch Adjunkiion der Substjtutioaskoeffizienten hervorgeht. Demnach werden auch die Koeffizienten in den Ausdrücken der G^, C^, •■• durch die /, /'. • • • diesem Körper angehören, köpnen aber auch schon in einem echtep Teiler dieses Körpers enthalten sein. Wir bezeichnen den durch die fraglichen Koeffizienten gegebenen Körper mit ^' und haben damit der Gleichung (8) den Körper: (9) (^', J, J", ■-., J(P~''^) zugrunde zu legen. Es besteht der Satz: Die Gleichung (8) ist im FtmUmienl^rj^er (9) irreduzihd und hJeiU auch dann irreduzibel, we^^n mun zum JS^Örper (9)
22 I, 1- Sätze über Gnippen linearer Substitutionen. irgendwelche „numerische" Irrationalitäten adjungiert. Würde nämlicli dieser Satz nickt gelten, so würde eine Gleiclmng: (10) g{Z) =^ D,Z^ -f D,Zi-' + ... -f D^ =;. 0 eiaes Grades l <I in mit Koeffizienten, die irgendwelche absolute Invarianten der @^ sind, angebbar sein, die durch die Form w der n unabhängigen Variablen z^, z-^, •••, % erfüllt würde. Die Darstellung der J} durch die ^j, z^^ .••, % und die Eintragung von w für Z würde zu einer in den z identischen Gleichung führen. Sie würde also auch gelten, wenn wir für ^j, z^., •.., z^ irgend eines der m Systeme z\, z'^, •••; z'[, z'^, ..•; •" einführten. Hierbei würden sich die Koeffizienten!) nicht ändern, während w in w', w", ••• überginge. Die Gleichung (10) müßte also durch die m „verschiedenen'* Formen w, w\ w\ ••• erfüllt werden, d. h. es wäre l~^m. Damit ist der Trreduzibüitätssatz bewiesen. Man verstehe wie in (l) S. 15 untex q> eine beliebige lineare Form etwa mit rationalen Koeffizienten. Durch die Substitutionen der @^ gehe 9) in g), g)', ••., g)^"*"^) über, wo alsdann in den Koeffizienten dieser linearen Formen auch die Substitutionskoeffizienten auftreten. Wie in I, 362 ff. wiederholt ausgeführt wurde, schließe man hieran den Amsatz: und hat in H{Z) eine Funktion {m — l)*^'* Grades, deren Koeffizienten absolute Invarianten und als solche rationale ganze Funktionen der J, J', ... sind. Diese Koeffizienten gehören also dem Funktionenkörper (9) an, zu dem nur nötigenfalls noch numerische Irrationalitäten zu adjungieren sind, die indessen dem Körper der Substitutionskoeffizienten angehören. Setzt man in (11) insbesondere Z = «;, so folgt: so daß die Form (p rational in einer ersten Lösung w der Grleichung (8) darstellbar ist. Für (p können wir insbesondere eine einzelne Variable ß^ wählen. Wir gelangen so zu dem Ergebnis: Jede der Variablen z^, z^, '•', % und damit jede der Formen (6) sowie überhaupt jede rationale FunMion der z ist nach AdjunJction einer einzigen beliebig wählbaren Lösung w der Gleichung (8) zum FunUionenWrper (9) rational beJcannt. Es sind dabei freilich nötigenfalls noch numerische Irrationalitäten zu adjungieren; für die Berechnung der z einzeln und der Formen (6) genügt jedenfalls die Adjunktion der Substitutionskoeffizienten. Aus diesen Darlegungen ergibt sich mit Benutzung der in I, 368 entwickelten Grundsätze: Die im Körper (9) irreduzibele Gleichung (8) ist eine „Norm^gleiehung" mit einer Qaloisschen Gruppe, die mit unserer Substitutionsgruppe @^ isomorph ist. In der Tat ist ja nach den nötigen
Algebraischer Ghaxalkter eines ipormenproblems. 2B numerischen Adjunktionen in dem durch Zusatz einer Lösung der Gleichung (8) zu (9) gewonnenen Körper bereits der Galois sehe Körper jener Gleichung gewonnen. Die m Transformationen dieses Körpeys in sich, bei denen etwa w der Reihe pach in w^ w', fv", ■ • • übergeht, werden aber gerade durch unsere m Substitutionen der @^ geliefert. Fassen wir die ©^ in ihrer eigentlichen Gestalt als die Galoi^sche Gruppe von (8), d. h. als Permutationsgruppe der «^, w', • • •, und weaden die in I, 378 entwickelten Prinzipien ß,n, so können wir z. B. für einen beliebigen Normalteiler (S>i mit zj^klischem Komplement (^j eine gegenüber der @; invariante Fimktion der w, w', ■■■ und also der ^j, z^, •■• bilden, die im eigentlichen Sinne der @; zugehört, d. h. gegenüber der gesamten @^ in t durchweg verschiedene Funktionen übergeht. Von hieraus erkennt man ohne Mühe die ßxistens von relativeM Iiß,varia/nten unserer Qnippe @^ für jedes theoretisch mögliche FaJdorenstfstem (vgl. S. 19). Die vorstehenden allgemeinen Entwipklungen finden später ihre Einzeldurchführung an wichtigen und friichtbaren Beispielen. Hier mögen vorerst nur noch folgende allgemeine Bemerkimgen über die Bedeutung der*^ Formenprobleme folgen. Ist bei der eben beendeten Überlegung das Formenproblem der Sphstitutior^sgruppe @^ umgewandelt in die Aufgabe der Lösung der Gleichung (8) mit einer zur @^ isomorphen Galoi&sch.en Gruppe, so kann man umgekehit versuchen, die Lösung einer Gleich.ung durch ein äquivalentes Formenproblem einer Substitutjons- gruppe @^ zu ersetzen, die mit der Galoisschep Gruppe der Gleichung isomorph, ist. In dieser Hinsicht mag zunächst erwähnt werden, d3,ß die Lösung der „allgemeinen" Gleichung n^^ Grades (vgl. t, 389): (13) ^ + a^0^~'' + a^z^~'' -] ^«^=0 unmittelbar als ein Formenproblem der Dimension n aufgefaßt werden kann, wobei die „Dimension des Formenproblems" natürlich die der Substitutionen <ist. Schreiben wir die Permutationen der symmetrischen Gruppe der n Lösungen ^^, z^, •••, z^. z\ = ^,^, z\ = Zi^, ..., 4 == Zi^, wo ij, ig, ••-, i„ die » Indizes 1, 2, •••, n in irgend einer Anordnung sind, so hat jene @„j die Gestalt einer Substitutionsgruppe. Ein System voneinander unabhängiger Invarianten, in denen alle Invg-rianten dieser Gruppe (d. h. alle rationalen ganzen symmetrischen Fnnktipnen der n Wurzeln z^^ z^, •••, z^) rational und gan:? darstellbar sind, ha|,t man in den n symmetri«eh.en Grundfunktionen der z^, z^, •••, z^, die gleich den — a^, «3, —«3, ••• sind. Die Vorlage der Gleichung (13) konnnt also auf die Angabe der n Werte jener.-InV9,rianten hinaus. Ifan sieM, daß das zugehörige Formenproblem unipittelbar die Auffiadnng der Gleichungswurzeln verlangt. Ist es möglich, die Lösung einer Gleichung ^uf verschiedene Formen- probleme zurückzuführen, so hat man dem mit der niedrigsten Dirnen-
24 I? 2. Polyedergrappenu sionenanzabl n den Vorzug zu geben. Dieser Auffassung entsprecbend sind die Gleicbungen als die einfaebsten anzuseben, die auf eindimensionale Formenprobleme oder auf solche mit tmärer Gruppe zurtickfübrbar siad. Nach S. 13 haben wir für jede Anzahl m eine und nur eine unäre Gruppe @^, die aus den m Substitutionen: z' = e'^ z, A; = 0, 1, 2, .. •, m — 1 besteht. Relative Invariante ist jede Potenz der einen Variablen z \ eine absolute Invariante ist ^, und jede absolute Invariante ist als Potenz von ^ darstellbar. Das Formenproblem fordert die Bestimmung von z bei gegebenem Werte von z"^ ==■ c. Die eindimensionalen FormenproUeme Jcommen demnach einfach auf die Aufgabe der Lösung der reinen Gleichungen z^ = c zurüek. Hieran schließen sich als nächste Fälle die Formenprobleme der endlichen Gruppen binärer Substitutionen, zu deren Untersuchimg wir uns jetzt wenden. Zweites Kapitel. Polyedergruppen *)• § 1. Einteilung der linearen Substitutionen einer Variablen. Die binären nicht - singulären Substitutionen schreiben wir fortan in der Gestalt: * (1) 4 = az^ + ßz^, z\ = yz^ + 8z^. In einer vorgelegten @^ solcher Substitutionen mögen X Ähnlichkeitssubstitutionen enthalten sein, die nach S. 13 einen Kormal teuer ®x bilden. Die @^ reduziert sich auf das zugehörige Komplement @^, falls man in ihr jeweils die X miteinander ähnlichen Substitutionen als nicht verschieden ansieht. Diese Auffassung läßt sich in der Art sehr einfach *) Die folgende Darstellung bezieht sich zwecks näherer Begründung und Weiterführung vielfach auf die Veröffentlichungen von P. Klein und diejenigen des Verfassers. Es handelt sich um folgende Werke: Klein, „Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungeoi vom fünften Grade" (Leipzig 1884), zitiert durch „Ikos."; Klein und Pricke, „Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen", 2 Bde. (Leipzig 1890 und 1892), zitiert durch „Modulfunkt."; Pricke und Klein, „Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen", 2 Bde. (Leipzig 1897 und 1912), zitiert durch „Autom. Funkt."; Fr icke, „Die eUiptischen Punktionen und ihre Anwendungen", bisher 2 Bde. (Leipzig 1916 und 1922), zitiert durch „Ellipt. Punkt."; Klein, „Gesammelte mathematische Abhandlungen", 3 Bde. (Berlin 1921, 1922 und 1923), zitiert durch „Ges. Abh.", stets unter Angabe der Band- und Seitenzahl. Die Entstehungszeit der Abhandlungen Kleins ist aus dem letzten Werke zu ersehen.
Invarianten und Pole linearer Substitutionen einer Variablen. 25 verwirkliclien, daß mau von den beiden Jwrnogey^n Variablen" ,e,, ^^ zu ihrem Quotienten z = s^: z^ übergeht und ^ di^ Stelle der homogenen binären Substitution (2) die gebrochene lineare Substitution der einen Variablen z treten läßt: (2) r^ + 5 Man sagt auch, die Substitution (1) sei hier in die „wicht - homogene Gestalt" gesetzt. In der Tat kann man in (2) die vier Koeffizienten um einen beliebigen, von 0 verschiedenen gemeinsamen Faktor ändern, ohne damit die „nicht-homogene Substitution" (2) selbst wesentlich z\\ ändern. Allen einander ähnlichen Substitutionen entspricht dernnach dieselbe Substitution (2). Die Unbestimmtheit der Koeffizienten der einzelnen Substitution (2) hebt man wenigstens teilweise dadurch fort, daß man: (3) ccd-ßy=l vorschreibt und damit, wie man sagt, die Substitution (2) „unimodular^ schreibt. Aber auch dann ist noch ein gemeinsamer Zeichenwechsel der Koeffizienten ohne wesentliche Änderung de^ Substitution möglich. Sehen wir von der Substitutionsdeterminante (B) des konstanten Wertes 1 ab, so hat die unimodulare Substitution (2) nur noch eine rationale Invariante (vgl. S. 7), die fortan di^reh j bezeichnet werden soll und gegeben ist durch: (4) j = oc-r8. Die charakteristische Gleichung (3) S. o hat die Gestalt: (5) ^2-j^4-l=0 und ergibt für die beiden Multiplikatoren die zueinander reziproken Werte: (6) fi=|(i±V?~4). Deutet man die komplexen Werte von z and z' in der gleichen Ebene, so wird diese durch eine einzelne Substitution (2) umkehrbar eindeutig und winkeltreu auf sich selbst bezogen. Dabe^. treten zwet sich selbst zugeordnete Pimkte oder „Pole" (,Fixpunkte") der Substitution auf (vgl. S. 5), die durch die Lösungen der (quadratischen Gleichang: (7) yz'-^(d~a)z~ß = 0 geliefert werden. Für y^O liegen dje Pole an den endlichen Stellen: (8) z===~(cc~dxiF^, für y = 0, cczjzd ist nur ein Pol im Ekidlichen, und ^iwar bei: (9) - =- Y^-
26 I, 2. Polyeder^raj^en. gelegen, während der andere im Punkte ^ = oc liegt, imd endlich für y = 0, cc = d, ß =t^-^ fallen ' beide Pole im' Punkte ^ = oo zu- Eine Klasseneinteilung der Substitutionen (2), deren Zweckmäßigkeit aus den folgenden Entwicklungen hervorgehen wird, hat J&lein*) durchgeführt. Die unimodulare Substitution heißt „loxodromisch^, falls ihre Invariante j nicht reell ist; die Substitutionen mit reellen Invarianten aber werden in die drei Klassen der „eTliptisehen^, der „parabolischen" und 4er „hyperbolischen Substitutionen" eingeteilt, je nachdem für die reelle Invaxiaate j die Bedänguag }i j <C 2, | j| = 2 oder j j j > 2 zutrifft. Die identische Substitution, die jj| = 2 und natürlich reelles j hat, soll jedoch für sich stehen, d. h. nidit etwa den paraboKschen Substitutionen zugerechnet werden. Aus den vorstehenden Angaben, insbesondere der Gleichung (8) folgt: Eine parabolische Substitution hat zusammenfallende Pole, bei einer Substitution der drei anderen Arten liegen die beiden Pole getrennt. Wir nehmen für die Substitutionen (2) die symbolischen Bezeichnungen S, T, -•' wieder auf Wd geben die einzelne Substitution durch bloße Nennung ihrer Koeffizienten etwa in- der Gestalt S = [st]' '^^' folge (6) sind, abgesehen von der identischen Substitution, nur bei einer parabolischen Substitution die beiden Multiplikatoren einander gleich, bei einer Substitution der übrigen Arten sind sie verschieden und einander reziprok. Aus dem Satze von S. 11 über die Normalgestalten der Substitutionen ergibt sich: Jede unserer unimodularen Substitutionen (2) Jcann durch Transformation mittels einer Substitution T in die erste oder sweite der nachfolgenden Gestalten: (10) s = (J;0. /^, 0 lo, fi- ubergeführt werden, je nachdem sie parabolisch ist oder nicht. Die beiden Pole einer paraboKschen Substitution (10) fallen im Punkte ^ = oo zusammen, diejenigen einßx nicht-parabolischen Substitution {10) Kegen bei z =z ö und z = oo. § 2. Veranschaulichung der linearen Substitutionen einer Variablen. Die durch eine Kneare Substitution S gegebene Abbildung der ^-Ebene auf sich selbst ist dadurch ausgezeichnet, daß Kreise der s-Ebene stets wieder in Kreise übergeführt werden. Dabei sind die Geraden der S-Ebene den Kreisen zuzurechnen, nämKch als solche des Radius oo. Die fragHche konforme Abbildung wird deshalb auch als eine „Kreis- *) Vgl. „Ges. Abb." III, 25 und 661 und etwa „Äutom. Punkt." I, 7 ff.
Elliptische, parabolisehe osw. Substitationen. 27 vermandischaft' > bezeichnet *). Man bestätigt dies unmittelbar an den beiden,eben unter (10) gewonnenen Substitutionen**): (1) z'==:2-\-ß, / =- {l^Z, deren zweite man unter Benutzung der Pqlard^rsteliung re**' für den Koeffizienten fi^ aus den beiden Substitutionen: (2) / = e^iz, z == TZ zusammensetzen kann. Die durch die-paraboKsche Substitution (1) yer- mittelte Abbildung wird durch eine Translation der ^-Ebene heygestellt, bei der der Nullpunkt in den Punkt ß rückt; die erste Substitution (2) bedeutet eine Drehtmg der ^-Ebene urp den Nullpunkt und die zweite eine ÄhnJicJikeitstransfor motion. Alle drei Transformationen erkennt man unmittelbar als Kreisverwandtschaften. Der gleiche Chaiakter kommt demnach auch der aus ihnen zusammensetzbaren beliebigen ganzen linearen Substitution zu: (3) z' = az^ß. Die zunächst wieder unimodular geschriebene beKebige Substitution (2) S. 25 mit 7^0 lä£t sich in die Gestalt: z' == ——1_ + « umrechnen und also aus folgender^ vier Substitutionen zusammensetzen: z =• Y^z. z = z -f- yO, z = , ^ = z A • ' ' * ' z y Drei von ihnen sind ganze Substitutionen, die dritte liefert unter Benutzung der Schreibweise z :=. x -^-iy für die rechtwinkligen Koordinaten a;, y\ (4) a;' = , y= -^—^, x^ + y^ a;2 -f 2/ woraus der Charakter dieser Substitution als einer Kreisverwandtschaft leicht folgt. Kleinf) veranschaulicht eine Substitution S durch eine stetige Umformung der ^-Ebene in sich, was hier für die weiterhin allein in Betracht kommenden nicht-loxodromischen Substitutionen ai^sgefiihrt werden soU. Es kommen also i^ur reelle Invarianten j ■= a,-{- 8 in Betracht. Die Substitution S liege zunächst in der Xormalgestalt (10) *) Vgl. Moebius, „Die Theorie der Kjeisverwandtschaft ^n rein geometrischer Darstellong", Abh. der Leipz. Ges. der Wiss., Bd. 2 (1855) oder Moebius, Ges. Werke, Bd. 2. Man vgl. auch „ülQdulfuukt.'- I, 82 und „Ellipt. Funkt." I, 66. **) An der unimodularen Gestalt der Substitutip^en ist bei den nächsten Rechnungen nicht durchweg festgehalten. t) Vgl. „Modnlfunkt." I, 165 ff.
28 I) 2. Polyedergruppen. S. 26 vor. 1st |ij<C'-^ THid also S elliptisch, so ist ^ eine komplexe Zahl des absoluten Betrages 1. Xan schreibe: (5) ^ =-{jJrif~4:) = cos- + ism~= e^ und gelangt zur ersten Substitution (2). Die Veranschauüchung von S ist einfach mittels einer Drehung der ^-Ebene um den Nullpunkt durch den Winkel %• gegeben. Die konzentrischen Kreise um den XuUpunkt, längs deren die einzelnen Punkte .der ^-Ebene laufen, heißen die „Bahnlinien'' von S, die zu ümen senkrecht verlaufenden Geraden durch den Nullpunkt werden ihre „Niveaulinien^ genannt. Ist |j|>.2 und also S hyperbolisch, so ist ^ reell und ^^ = r positiv, und man gelangt :^ur zweiten Substitution (2). Sie wird, der Ähnlichkeitstransformation ent- Fig. 1. sprechend, durch eine stetige Dehnung {V^ 1) oder Zusammenziehung (r << 1) der -3;-Ebene versinnlicht, bei der der einzelne Punkt z auf der durch den Nullpunkt ziehenden Geraden nach dem Punkte z = rz hinläuft. Die vom Nullpunkt ausstrahlenden Geraden sind jetzt die „Bahn- Imien" und die sie senkrecht schneidenden konzentrischen Kreise um den Nullpunkt die „Niveaulinien-'. Ist \j\ = 2, so haben wir die parabolische Substitution (1). Sie wird versinnlicht durch die Parallei- verschiebung der ^-Ebene, welche den Nullpunkt nach dem Punkte z = ß führt. „Bahnlinien- sind jetzt die Geraden, die die Verschiebungsrichtung haben, „Niveaulinien'' die zu ihnen senkrecht verlaufenden Geraden. Eine beliebige Substitution S mit reeller Invariante j wird durch Transformation mittels einer geeignet gewaMten Substituüon T in eine
Bahn- und Niveaulinien einer Substitution. 29 der drei besprochenen Xormalgestalten übergeführt. Indem man von der zu dieser Kormalgestalt gehörenden Bewegung der ^--Pbene in sich das durch die Substitution T~^ gegebene kreisver^andte Abbüd ninimt, gelangt man zur Veranschanlichung der Substitution S. Die im Falle |j]z^2 soeben bei z = 0 und z =z co gelegenen Pole werden dr^rch T~^ an die beiden durch (8) S. 25 gelegenen Stellen ^j, z^ verlegt. Die Bahn- und die Niveaulinien werden dann von der Schar der Kreise durch die Pole z^, z^ und der zugehörigen orthogonßlen Kreis$char geliefert. Fig. 1 versinnlicht den Fall einer hyperbolischen Substitution, wo die mit Pfeüen versehenen Kreise die Bahnlinien sind. Im elliptischen Falle sind sie die ISTiveaulinien, während die andere Kreisscjiar die Bahnlitiien darstellt. Die Versinnlichung einer parabolischen Substitution ([j| = 2) kann als Grenzfall der Fig. 1 für den Zusammepfall von z-^ und z^ angesehen werden: lAegt der Fol z^ der parabolischen Substitution S im Endlichen, so werden die Bahnlinien von einer gewissen Schar einander im PunMe z^ berührender Kreise geliefert, die Niveaulinien aber von der lörigen orthogonalen Kreisschar. § 3. Projektion der ^-Eben^ auf eine Kugelfläche. Neben der ^-Ebene benutzen wir eine Kugelfläche als Trägerin der Werte der komplexen Variablen z = x -\- iy. Pi« ^-Ebei^e denken wir horizontal und legen um ihren Xullpunkt eine Kugel d,es B^adius 1. Rechtwinklige Raumkoordinaten |, rj, t, i^ögen so eingeführt werden, daß die ^-Ebene die |, ij-Ebene wird und in ihr die positive reelle ^-Achse die positive |-Achse liefert. Die positive ^■-Achse weise n^ch oben. Die ^-Ebene wird nun stereographisch auf die Kugelfläche projiziert, wie dies Fig. 2 in irgend einer durch die ^-Achse laufenden, also vertikal Fig. 2. gedachten Diametralebene der Kugel darstellt. Das Projektionszentrum soll also der tiefste Punkt der Kugel sein. Der einzelne Punkt P der Ebene gehe in den Punkt P' der Kugel über. Insbesondere geht der Punkt ^ = 0 in den höchsten Punkt der Kugelfläche über, der Punkt oo aber in den tiefsten. Ist P der Bildpunkt von z = x -{-iy und hat P' die Koordinaten ^, ti, t„ so gilt erstKch: (1) r + V' + r = i- und die |, ?;, t, berechnen sich aus den x, y durch die Gleichungen: /ox 2 0^ _ 22/ _ . __ 1-^^-/ ^-^ ^-rr^MV' "^"i + ^^^ + f ^-l + o^M-/'
go I, 2. Polyedergruppen. Während umgekehrt: ^«> -ril' -i^' ^ = ^ + .-. = |±^ ist (vgl. Fig. 2). Es besteht der Satz: Die stereographische FrojeMion $teTlt eine winheHreue AhNldung der z-E'bene auf die EugelfläcJie dar, hei der die Kreise der Ebene (unter Einschluß der Geraden) die Kreise der Kugd- fläche liefern. Zum Beweis lege man die Tangentialebene im Punkte P' an die Kugel, die die Ebene der Fig. 2 in der Geraden P' Q schneidet. Dann gilt PQ = P^. Die Schenkel der Winkel des Scheitelpunktes P werden auf die Kugeloberfläche und damit auf die Tangentialebene mittels des Ebenenbüschels der Achse PP' projiziert. Wegen PQ=zP' Q ist die Projektion auf die Tangentialebene und damit auf die Kugeloberflache winkeltreu. Andererseits wird der Kreis der ^-Ebene von der Grleichung; a(x^+ f)-{-hx-\-cif-\r d — 0 zufolge (3) auf den Schnitt der Kugelfläche mit der durch: fe| + C7j + ((l-a)^ + (^ + a) = 0 gegebenen Ebene, d. i. also wieder auf einen Kreis abgebildet. Besonders anschaulich wird die Versinnlichung der nicht-loxodro- mischen Substitutionen 8. Ist j j [ z^ 2, so liegen die beiden Pole auf der Kugelfläche getrennt. Durch die sie verbindende Sehne imd ihre konjugierte Polare lege man die beiden Ebenenbüschel, die auf der Kugelfläche die Bahn- und Niveaulinien ausschneiden. Im paraboKschen Falle treten an Stelle der Sehne und ihrer Polare zwei einander senkrecht kreuzende Kugeltangenten. Sind die beiden Pole ^j, z^ insbesondere diametral auf der Kugel, und ist jjj < 2, d.h. ist S elliptisch, so sind die Niveaulinien die zu diesen beiden Polen gehörenden Meridiauhalb- kreise, imd die Bahnlinien werden von den Parallelkreisen geKefert. In diesem Falle wird S durch eine gewöhnliche Drehung der Kugel um einen Durchmesser versinnlicht: Die gesamten Drehungen der Kugd- oberfläche in sieh um Durchmesser stellen gerade die gesamten elliptischen Substitutionen S dar, deren Pole auf der Kugel fläche jeweils diametral liegen *). XJm diese besonderen elliptischen Substitutionen durch Formeln darzustellen, berechnen wir für irgend zwei diametrale Punkte (|, ri, ^) und (— I? — if}r — Dj ^i® ^^ 8ls Pole nehmen wollen, die Werte: (4.) z -^'+^'^ z ~ ^ + ^'?- 1+S 1-fg 1—§ l~%ifl *) Einer „loxodromisclien'' Substitution z' = re^^z entspricht eine stetige Umformung der Kugel in sich, bei der die „Bahnlinien" sogenannte „Loxo- dromen" sind.
Darstellung der Kugeldrehimgen d^rcli lineare Substitutipnen. 31 von denen jeder gleich dem negativ und reziprok genommenen konjugiert komplexen Werte des anderen ist. Die zugehörige Substitution habe die Invariante; (5) i = 2cös-, drehe also die Kugel um den Winkel Q: Durch Transformation mittels der Substitution : die die Pole 0^, z^ nach 'z^ = 0, <^a = oc» verlegt, gelangt pian zur Normalgestalt F = e^^^. Die Substitution kann also, in z geschrieben, in die Gestalt gesetzt werden: „. Z Z.. c^ Z—Z^ Trägt man für ^j, z^ die Werte (4) ein und löst nach z^ auf, so gelangt man bei-unimodularer Schreibweise ?:ur Substitution: n\ z' = (-4 + ^-^)^ + (C + ^i)) ^ ^ (—C + iByz + iÄ — iB)' wo Ä, B, C, JD die folgenden vier reellen Größen sind: (8) Ä = cos-, B = ^sin-, C = risin^, P = —^sin-, die in der Tat die Gleichung: (9) A^ + B^ + C'^ D^ = 1 befriedigen. Die Bauart der unimodularen eTlipUschen Substitution (7) ist also die, daß der erste und vierte Koeffi^ent ijconjugiert komjplex sind, und ebenso der zweite und der negativ genommene dritte. Ist umgekehrt eine beliebige von der identischen Substitution yer- schiedene unimodulare Substitution (7) gegeben, so berechne man d; sowie I, rj, t, aus: (10) bei beliebiger Auswahl des Vorzeichens der Quadratwurzel. Die beiden I*iiJikte (I, Yi, l) und (— I, — VI, — l) liegen auf der Kugelfläche, und zwar diametral. Erklären wir 2wei zugehörige Werte z^, z^ durch (4), so läßt sich die Substitution auf die Gestalt (6) umrechnen: Die gesamten Drehungen der Kugel um ifire Durchpiesser werden gerade genau von allen unim^duJaren elliptischen Substitutionen (7) geliefert. Die identische Substitution (7), die ^ = + 1, B = C ^ D = 0 h^t, wird
32 I> 2. Polyedergrappen. früherer Festsetzung entsprechend nicht zu den elliptischen Substitutionen gerechnet. Es besteht der Satz: Die unimodularen elliptischen Substitutionen (7) im Verein mit der identischen Substitution, d. h. alle unimodularen Substitutionen (7) mit reellen Ä, B, C, J) bilden eine Gruppe unendlicher Ordnung. Irgend zwei Substitutionen: nn Q — ( A + iB, C + iD \ ^, __ [ A' + iB', C' + iB' \ (11) S- (_c + iD^ A-iJßJ' ^ -[-C' + iD\A'--iB') liefern nämKch zusammengesetzt; (1^) ^ —^^—[-C" + iD",A"-iB"}' wo sich die A", B", C", D" wieder als reelle Größen durch: (A" = ÄA — B'B — G'G — D'D, B" = A'B + B'A-r- CD — D' C, C" = A'C-B'D-i- CA + D'B, [D" = ÄD-^B'C — CB ~\-D'A berechnen. Außerdem ist S" unimodular, da dies von S und S' gilt. Der aufgestellte Satz entspricht der Tatsache, daß die Verschiebungen der Kugelfläche iu sich in ihrer Gesamtheit eine Gruppe bilden. Jede solche Verschiebung ist nämlich eine Drehung um einen Kugel durch- messer *). § 4. Diophantische Gleichung für die Gruppen ®m' Entsprechend den Entwicklungen von S. 25ff. suchen wir jetzt zunächst alle endlichen Gruppen ®^ von unimodularen Substitutionen: « ^■ = ^' ««-^^ = ' zu bestimmen, für die wir die Bezeichnung z' = S{z) beibehalten. Der kleinste positive Exponent v, für den S" = l ist, heißt die „Periode^ von S (vgl. I. 272). Aus den Normalgestalten (10) S. 26 und (2) S. 27 folgt, daß eine paraboKsche, hyperbolische oder loxodromische Substitution keine endliche Periode hat **). In der @^ finden sich neben der identischen Siibstitutimi 8^=1 ausschließlich elliptische Substitutionen, deren Perioden v in der Gruppenordnung m aufgehen j). Zweitens gilt der Satz: Zwei elliptische Substitutionen S und S' der endlichen Gruppe @^ haben entweder beide Pole gemein oder keinen. Auch diese Eigenschaft ist von einer Transformation der Gruppe unab- *) Weitere Ausführungen über die letzten Eflitwicklungen findet man in „Ikos.". S. 36. **) Zwei ineinander transformierbare Substitutionen 8 und T- 8- T—i haben offenbar stets die gleiche Periode. t) Vgl. den an (1) S. 13 angeschlossenen Satz.
Formeln für die Zusammensetzung zweier Kugeldrehungen. 33 Mngig. Man nelime demnacli etwa an, daß S und S' den Pol oo gemein Laben, und da£ der zweite Pol ^on S bei ^ = 0 gelegen ist. Dann hat man: und berechnet für den Kommutator dieser Substitutionen (vgl. I, 289): s-.s'-.s.s'=(J; ('-*;>''■*'). Da parabolische Substitutionen in der (Srruppe nipht vorkommen, so gilt <1 —d^)ß'ö' = 0. Xun aber gjlt ^4=+ 1, ö'^zO, so da£ ß' = 0 folgt. S' hat also auch den zweiten Pol mit S gemein, woraus die Behauptung hervorgeht. Hieran reiht sich der weitere Satz: Alle S'ahstitutimien der @^ mit dem gemeinsamen Polpaare z = e, ^ = e bilden im Verein mit S^ =^ 1 ein&ii zyklischen Teiler @„. Haben S und S' die Pole e, e', so werden diese Punkte auch durch S' • S in sich transformiert, woraus die (rruppen- eigenschaft des fraglichen Systemgi von Substitutionen einleuchtend ist. Handelt es sich um einen Teiler (§„ der Ordnung ^, sp geht die Periode jeder zugehörigen Substitution in ^ auf. Bei Benutzung der Schreibweise (6) S. 31 kann man also die Substitutionen von @„ ßo schreiben: / — e ' z — e ' wo J: auf die Zahlen des Intervalls 0 ^ /^ <C f* beschränkt werden kann und für k = 0 die identische Substitution vorKegt. Da sich ^ verschiedene Substitutionen ergeben müssen, so kommen alU Zahlen k = 0, 1, 2, •••, fi— 1 zur Geltung. Also ist dip ©„ aus der zu Je = 1 gehörenden Substitution erzeugbar, womit sie als zyklisch erkannt ist. Die Gruppe ®a heißt ein „größter- z-yUischer Teiler von ®„^, da sie nicht in einem noch umfassenderen zykKschen Teiler der Ö)^^ enthalten sein kann. Zwei verschiedene grüßte .zyklische Teiler ®a und 03«' haben, abgesehen von S^ = 1, keine gemßin&a^ne Substitution. Z"v\^ei elliptische Substitutionen S, S' aus @,f und ®a' haben näinlich verschiedene Zwei Punkte der ^-Ebene, die durch Substitutionen der ©^ ineinander überführbar sind, heißen „bezüglich der Gruppe @^ äquivalent". Miteinander äquivalent sind also allemal die Punkte: (3) ^0, ^^ — Sj(^^), ^2=Sa(^o)' '■•' ^w-i = ^»-i(^o)- Die m äquivalenten Punkte (3) Kegen getrennt, so oft z^ nicht Pol einer elliptischen Substitution der ®^ ist. Ist indessen z,^ einer der beiden Pole eiaes größten zykKschen Teilers ®u des Index t = m- ^~^, so rücken die m Punkte (3) zu je fi ^ ^ verscl^iedene Stellen. Jede dieser Stellen ist dann'Pol für (fi— 1) elliptische Substitutio|ien, die ii^i Verein Fricke, Algebra H. 3
34 I» ^- Polyedergruppen. mit So = 1 einen mit @^ konjugierten Teiler bilden. Stellt man. nämlich die Nebengruppen: her, so transformieren die Substitutionen der einzelnen Nebengruppe 0^^ in einen und denselben Punkt. Vi und Fj; mit i zj:z Je liefern aber verschiedene Punkte Vi (2^) und Vjc{0q), weil sonst ^^ durch V^^ • Fj; in sich transformiert würde, während doch diese Substitution nicht dem Teiler @^ angehört. Wenn wir demnach sagen, daß die (m — 1) elliptischen Substitutionen der @^ im ganzen (2 m — 2) Pole liefern, so ist der einzelne Pol, falls er zu einem größten zyklischen Teiler (Ba gehört, dabei (fi—l)-fach gezählt, und die ^ eben betrachteten äquivalenten Pole erschöpfen von der Gesamtzahl aller (2 w — 2) Pole im ganzen: (4) t(ii—l) = mf-^{^ —l)^m\l \ Pole. Sind durch dieses System äquivalenter Pole noch nicht alle {2 m — 2) Pole erschöpft, so schreiben wir ^^ statt der eben mit /i bezeichneten Zahl und mögen durch ein zweites System äquivalenter Pole weitere mfi~i(fi2— 1) -^^^^ erschöpfen. Lassen sich alle (2 m— 2) Pole ia Je solche Systeme zerlegen, so gilt offenbar: 2 w — 2 = w« ft-i (^j — 1) -j- mfi-i (ftg — 1) -] \- m ^^^ Qi}. — 1) oder nach Division durch m: Hiermit haben wir eine diophantische (xleichung für die Anzahlen m, ^^, ftg' '"' f*Jk gewoimen. Da die Zahlen w = 1 und fx = l nicht in Betracht kommen, so gilt: (6) 1 < 2 - - < 2, 1 < 1 _ i < 1. ^ m 2 " ft Hieraus folgt für die rechte Seite der Gleichung (5): woraus sich wegen (5) und der ersten Formel (6): l<2l-?-<fc, |-<2-l<2 — m 2 = m ■
Diophantische Grleichong fur eine en4hclie Gruppe ®^^. 35 ergibt. Es bleiben also nur die beiden Möglichkeiten Jf = '2 un4 Jo =. 3. Man gelangt leicht zu folgendem Ergebnis: Es gibt im ganzen nitr die folgenden fünf Lösungen der diophßwtiscfien Gleiehimg (o): I. n. III. IV. V. fc =: 2, k = 3, }c = 3, h = 3, k = S, Uj = m, ii,r=% (ll == 2, ^^^2, 11, = 2, fig, = m, 11^ = % 11^ = 3, ^^ = 3, ."ä = ^: ;*3 = 1*^' (h = 3' ^3 = 4, ^3 = S' m := 12, w» == 24, m := 60, «jo&e'* im Falle I ^ie Za^Z w» > 3 isi ^<wä! übrigens helieUg wählbar ist, während im Falle II die Zahl m gerade und > 4 «s^. Im Falle k =- 2 folgt nämlich aus (o): (7) !?l + !^..2, . und da ^u^ und fig Teiler von m sind, so stehen hier links in beiden Gliedern ganze positive Zahlen, die demnach nui" gleich 1 sein können. Daraus ergibt sich I als einzige Lösung mit k = 2 Ist k = 3, so nimmt die diophantische Gleichung (5) die Gestallt an: (8) l^i + i=l+i. fi, ftg fig m Wären alle Zahlen /i > 3, so ware die linke Seite < 1, während die rechte ^ 1 ist. Also ist mindestens ein fi = 2, und wir setzen etwa fij = 2. Gleichung (8) ergibt dann weiter: ('> ^-,;^ = ¥ + |- Also können nicht beide Zahlen fig '^^.d ^^ größer ^Is 3 sein. Wir setzen demnach fi^ zuerst gleich 2 und d^nn gleich 3. Für fig = 2 gelangen wir zur Lösung II, in der m als gerade Zahl oberhalb 2 willkürlich wählbar bleibt. Für ^ = ^ folgt aus (9): 1=14-1, fig b m so daß nur noch die drei Werte ftg = 3, 4 und ^ brauchbar bleiben •==)- Wir gelangen zu den drei Lösunge^fi III; IV und V. § 5. Existenz der endlichen Gruppen (S»i. Es ist jetzt die Frage, ob den^ einzelnen der eben aufgestellten fünf Zahlensysteme I bis V eine Gruppe @„j voi| linearen Substitutionen S entspricht, und wie viele verschiedene Gruppen ihm etwa zugehöipen *) fi^ zz: 2 wurde zum Falle II mit pi z=z & und umgestellten fahlen fi zurückfuhren.
3ß I, 2. Polyedergruppen. mögen. Zwei Gruppen, die ineinander transformierbar sind, werden wir dabei nicht als wesentKch verschieden ansehen. Von vornherein ist einleuchtend, daß wir hier zu den in I, 266, 307, 335 und 344 wiederholt betrachteten Gruppen der Drehungen der regulären Polyeder in sich zurückgeführt werden müssen,- denn z. B. ein mit der ^-Kugel konzentrisches Ikosaeder liefert in seinen sechzig Drehungen in sich sechzig eine Gruppe @g(, bildende Substitutionen der Gestalt (7) S. 31. Es läßt sich nun aber zeigen, daß jeder der fünf Zahlenzusammenstellungen eine und im wesentlichen, d. h. von Transformation abgesehen, auch nm eine Gruppe @^ von Substitutionen S zugehört, wobei die letzten drei Fälle die Gruppen des Tetraeders, des OMaeders und des Ikosaeders liefern. Dies ist im einzelnen darzulegen und jedesmal eine zweckmäßige Normalgestalt der betreffenden Gruppe anzugeben. Wir halten dabei wenigstens nicht stets an der unimodularen Schreibweise der Substitutionen fest*). Im ersten Falle fi^ = m, fi^ = m haben wir nur zwei miteinander nicht äquivalente Pole, deren jeder bei der ganzen ©^^ festbleibt. Wir gelangen zur zyklischen Gruppe ®^, als deren Normalgestalt wir: (1) z' = e "^ z, 1 = 0, 1, 2, •-•, w—1 benutzen. Im Falle II ist m gerade und werde gleich 2 n gesetzt. Hier liefert fig = » zwei miteinander äquivalente Pole, deren jeder bei einer größten zyklischen @^ erhalten bleibt. Da wegen ^^ = 2, ^^ = 2 alle weiteren Pole zu größten zyklischen ®^ gehören, so sind jene beiden ersten Pole diejenigen eines zyklischen Teilers ©j^. Wir nehmen für die @,j die Noxmal- gestalt (1) in Anspruch. Alle n noch fehlenden Substitutionen der @2« sind wegen ^^ = 2, ^^=12 von der Periode 2. Eine einzelne von ihnen, S, tauscht die Pole 0 und oo der @^ aus, so daß S = ( '^] gilt. Da man noch mit einer beliebigen Substitution z = az transformieren kann, ohne die Pole 0 und oo von @„ zu ändern, so ist erreichbar, daß der eine Pol von S in den Punkt z = i rückt. S hat dann, unimodular geschrieben, die Gestalt | ' ^ ), so daß wir zu der aus den Substitutionen: (2) / = e « z, z ^ , l ^ 0, 1, 2, - •., n— 1 bestehenden ©2« gelangen. Um die der @2w entsprechenden Kugeldrehungen zu versinnlichen, denken wir die Kugel in der Anordnung von S. 29 mit den Werten z belegt. Der höchste und der tiefste Punkt liefern die Pole von @„, und der zugehörige , Äquator "^ trägt die z vom absoluten Betrage 1. Man beschreibe in den Äquator ein reguläres Polygon von n Seiten ein, dessen erste Ecke bei ^ = i liegt, und denke ^ie Fläche dieses Polygons *) Vgl. hier überall „Ikos.", Äbschn. I, Kap. 1 und 2.
Zyklische Gruppen und Diedergruppen. 37 doppelseitig, so daß man die Vorstellung eineß „ Zweiüäclmers" oder „Dieders" gewinnt. Die ©2« besteht q,us ajlen Drehiyagen der Kugel in sich, bei denen das Dieder in sich übergeführt wird: Die gewonnene Gruppe heißt dieserhalb „Diedergruppß"' @2w Sie enthält die @„ der n Drehungen um die Kugelachse als Normalteiler. Weiter ist zu unterscheiden, ob n ungerade oder gerade ist. ßei ifngeradem n hat man n konjugierte ©g, den Umklappungep des Polygons um geine fi äquivalepten Symmetrielinien entsprechend. Bei geradem n hat das Polygon zwei Systeme zu je | n äquivalenten Symmetrielinien, nämlich die | n Diagonalen und die ^n Mittellinien. Entsprechepd enthält hier die ®2n zwei Systeme zu je | » konjugierten ©g*). Für n = 2 erhält man die als „ Vierergruppe" bezeichnete Dieder- gruppe @4, die bei der gewähltea Normaldarstellung aus den Substitutionen : besteht**). Jede der drei letzten Substitutionen erzeugt einen Xormal- teiler %^\ in der Tat erweisen sich je zwei dieser Substitutionen als kommutativ. Das Zahlensystem III liefert wegen jw,i = 2, m == 12 zunächst sechs äquivalente Pole für größte zyklische ©g, und da alle weiteren Pole zu zyklischen ©3 gehören, so ergeben diese ßechs Pole die drei Polpaare für drei konjugierte ©g. Nach I, 289 hat die einzelr^e ©g als eine unter drei konjugierten Gruppen als Nprmajisator eine ©^, die auch die beiden anderen ©3 enthalten muß, da alle weiteren Substitutionen der ©j2 wegen ^i^ == 3, fig == 3 die Periode 3 haben. Aus dem gleichen Grunde ist die ©^ ein Normalteilef der ®^^ und stellt als nicht-zyklisch notwendig eine Vierergruppe dar. Wir nehnien die Gestalt (3) für diese Gruppe in Anspruch und schreibep ihre von S^, = 1 verscbiedepen Substitutionen unimodular: Die übrigen acht Permutationen, die sämtlich die Periode 3 haben, sind mit den Substitutionen (4) nicht komnmtativ. ßei Transformation mit einer unter ihnen, die T heiße, werden demnach die Substitutionen (4) zyklisch permutiert, etwa in der Anordnung: (5) T.S,.T-i = S3, T-Sa-y-i^S^, T-Sg-T-i^S^. T^ wird dann die inverse zyklische Permutation der S hervorbringen. Vier unter den acht Substitutionen de^ Periode 3 werden demnach die zyklische Permutation (5) der S bewirken. Übrigens ist wegen der Beziehungen Sj- Sj = S3, Sg • S3 =3 Si die dritte Gleichung (5) eiifie Folge *) Vgl. das Näkere in „Ikos.", S. 11. **) Vgl. „Ikos.", S. 12.
38 I, ^. Polyedergruppen. der beiden ersten. Diese beiden Gleichungen nehmen, wenn wir T nnimodular mit beKebigen Koeffizienten a, ß, y, ö ansetzen, die Ge- ^(a8 + ^y)i, -2aßi\ __ (0,-l\ ray + ß 8, - <.^-ß^\ ^ (0, i\ [2y8i, -(a8-\-ßy)il — [l, Op [y^ J^ S^, ~ ay—ßS) \i, O) Hieraus gewinnt man hinreichend viele Gleichungen zur Bestimmung der a, ß, y, ö. Es findet sich, daß es überhaupt nur die folgenden vier Substitutionen gibt, die die Bedingung (5) erfüllen: ^^^ (1^ i-jl' \_isil Izzif \i±i ÜJ/' \_i±i l±i Sie stellen die Drehungen der Kugel durch den Winkel ^ n um die vier Achsen der zum Koordinatenkreuz |, ij, t, gehörenden Raumoktanten dar. Man gewinnt im Falle III nur dine Gruppe ©jg, nämlich die Tetraeder- gruppe, für die wir in den Substitutionen (4) und (6) und den vier Quadraten der letzteren eine Xormaldarstellung besitzen. Im Falle IV hat man wegen ^3 ==: 4, m == 24 sechs äquivalente Pole für zyklische ®^, die, da sonst nur zyklische ©^ ^"^^ ®z aultreten, zu Paaren vereinigt, die Polpaare für drei konjugierte größte zyklische Teiler @^ liefern. Nach I, 289 hat die einzelne @^ als Kormalisator eine @g, die den Diedertypus haben muß. Die erste ®g bestehe aus den Substitutionen: f 1, S, S^ = T, S^ (7) wobei in der zweiten Zeile vier Substitutionen der Periode 2 stehen. Für die beiden mit @g konjugierten ®'g, ©§ benutzen wir die Bezeichnungen 1, S', ••• und 1, S" der Substitutionen. In der ®^^ kommen neben den drei konjugierten Substitutionen T, T' und T" der Periode 2 wegen /ij = 2, fi^ = B nur noch sechs weitere konjugierte Substitutionen der Periode 2 vor. Tritt weder T' noch T" in der zweiten Zeile (7) auf, setzen sich also die zweiten Zeilen der Gruppen @g, ®'s, ®8 nur aus den letzten sechs Substitutionen zusammen, so gibt es zwei dieser Substitutionen, die sowohl in der Reihe Z7, S • U, S^- U, S^-U als auch in U', S' • ü", S"^ • TJ', S'^ ■ ü" auftreten. Nun können wir unter II irgend eine der vier nicht in der zyklischen ®^ enthaltene Substitution der ^g verstehen. Im fraglichen Falle dürfen wir also U' =^ U setzen, worauf eine der Substitutionen S-U, S^ ■ U, S^-U auch in der Reihe S' ■ U, S'^ ■ U, S'^' TJ enthalten ist Dies ist aber nicht möglich, da sonst eine der Substitutionen S', S'^, S'^ zuwider einem S. 33 aufgestellten Satze in der ®^ enthalten wäre. Es findet sich also mindestens eine der Substitutionen T' und T", etwa T', in der zweiten Zeile (7). Somit ist T' im NormaJisator der ®^ enthalten, so daß T und T' konamutativ sind. Mit T und T' ist
Tetraedergrappe ©^g ^°<i Oktaedergruppe (5^- 39 auch T'T' = T'-T von der Periode 2, und da diese SubstitutioQ in der @24 ^^^ i^ <ii^ 'l^^i Substitutionen rp rpr rpf ^ rn rpf ^ rptf rpff rr\f rpff rp rp ^ rpf^ transformierbar ist, so haben wir hier notwendig wieder die drei Substitutionen T", T, T' vor uns: Pie drei konjugierteifi Substitutionea T, T\ T" der Periode 2 bilden in der ©24 einen Normaiteiler @^^ der den Vierertypus besitzen muß. Für diese ®^ nehmen wir dje Darstellung (3) in Anspruch- Dann erledigen sich zunächst sofort die deif Anzaiil ^2 = 3 entsprechenden acht Substitutionen der Periode 3. Eß sind die eben im Falle III berechneten Substitutionen (6) und ihre zweiten Poten?:en; die Tetraedergruppe in der oben festgestellten Normalgestalt fiaden wjj als Normal- teuer @j2 d^^ ®u- Die einzelne der noch fehlenden zwölf Substitutionea wiipd immer eine der drei Substitutionen: ^ = ß,_"J. r=(»;-).."=(».^) in sich transformieren und die beiden anderen permutieren. Um ?:. B. die in (7) dargestellte @g in allgemeinster Weise zu bilden, haben wir die unimodulare Substitution S mit den Polen 0 und 00, also in der Gestalt S = t ' _j I so zu bilden, daß: '"'«'=(o::-^)=(i-.) wird. Man findet nur die beiden einander inverßcn Substitutiopen *): V " ' TT/ \ " ■ IT Also gibt es nur eine einzige solche @g. Auch im Falle IV gelangen wir nur zu einer einzigen Gruppe ®^^, die demnach die sich hier einstellende OUaedergruppe ist; ihre Kormaldarstellung aber gewinnen wir durch Zusammensetzung der Tetr9,edergruppe (4), (6) mit der in (8) angegebenen Substitution S der Periode 4. In einer zu dem Zahlensysteme fi, = 2, 11^ = 3, fig := 5, m =■- 60 gehörenden Gruppe ®^^ findet man eben diesen Zahlen ^ entsprechend 15 konjugierte größte zyklische Teiler ©g, 10 ebensolche ©3 und 6 Teuer ®^. Nach I, 306 ist die ®^^^ einfach md i^ach 1, 308 mit der Iko- saedergrappe ®^^ isomorph. Eine einzelne der sechs l^onjugierten ®^ hat als Normalisator eine ®^^ vom Diedertypus. Für eine dieser ®^^ nehmen =*) Man vergesse nicht, daß gleichzeitiger Zeichgnwechsel der vier Koeffizienten einer Substitution statthaft ist.
40 I> 2. Polyedex^i^ppen. wir die Gestalt (2) der Diedergruppe in Anspruch und können diese ®^^ demnach aus den beiden nnimodular geschriebenen Substitutionen: erzeugen. Es sei nun T = i ' j irgend eine unimodular geschriebene Substitution der Periode 2 aus ©g^. Dann gehören auch die Substitutionen S'T, T'TJ und S-T-U der ©g^ an; ihre Invarianten, die sich zu: (10) j:^ui6'-6% j'=ß-y, j"=s'ß-E'y berechnen, sind demnach reell. Aus der Realität von j und j' folgt, daß a rein imaginär ist, und daß die imaginären Bestandteile von ß und y übereinstimmen: a — iB, ß=C-^iD, y = C + il). Aus der Gleichung: ^ 1^2 — ßy = B^ — C C + D^ — (C + C')i D = 1 folgt weiter, daß entweder D = 0 oder C + C =r 0 gilt. Ist D =^ 0, so benutze man die Realität von: j" = Cs^-C's^= (C- C)cos~ + i(C+ C) sin ~ und findet C + C = 0. Die Substitution T hat also die Gestalt (7> S. 31 einer Drehung der ^-Kugel um einen Durchmesser. Die Substitution U, deren Drehungsachse die ij-Achse des Koordinatensystems ist, hat als ISTormalisator eine Vierergruppe @^, die neben 1 und U die Substitutionen T und U • T enthalte. Die Drehungsachsen von TJ, T und TJ' T bilden ein rechtwinkliges Achsenkreuz, so daß insbesondere die Achsen von TJ-T und T in der |, ^-Ebene liegen und im Nullpunkt zueinander senkrecht stehen. In jedem der vier Quadranten des Achsenkreuzes der |, ^ - Ebene liegt demnach eine Halbachse, und in einem der beiden längs der positiven ^-Achse benachbarten Quadranten bildet die betreffende Halbachse mit der positiven ^-Achse einen Winkel < — • Sollte dies der auf Seiten der negativen |-Achse liegende Quadrant sein, so transformiere man noch durch ^ = — z, eine Substitution, die sowohl S als auch U in sich transformiert. Dann bildet die Halbachse mit der positiven ^-Achse auf Seiten der positiven |-Achse einen Winkel < — • Die dieser Halbachse zugehörige Substitution der Periode 2 sei T; sie hat zufolge elementarer Betrachtung die Gestalt: (11) T = (\^ *^J, -!.<£< 1, i) == _yrir^^. \tD,—tBJ 1/2
Ikosaedefgrappe ®qq. 41 Die Invariante j von S • T ist nun, (12) i = iBie^-s') = 2Bsin^=ßy^^~^—. o 1 2 Aber als von 0 verschiedene, positiv genommene Inv^xianten treten in der @g(, nur die drei auf: j = 1, j = 2cos~^ = ir^—, y = —2008--- = -^-. o 2 5 2 y^5 — Vö" i— bzw. gleich l/ -=^- Keiner dieser beiden Werte gehört dem in (11) für B angegebenen Intervalle an. Also ist j = 1 urjid man findet mit Benutzung der Beziehung: (13) £ _ £2 _ ^3 _|_ ^4 ^ y^ für i B und i D leicht die Darstell^ngen: iB = '-^, iD=~^'-'' Vo V5 Es gibt hiernach nur eine einzige brauchbare Substitution T und, da die @gQ aus S, T, TJ erzeugbar ist*), auch nur eine eiazige ©g^, nämlich die Ihosaedergru'ppe. Der am Anfang von § 5 aufgestellte Satz über die Existenz der Gruppen @^ ist hiermit im vollen Umfang bewiesen. Die gewönne pen Gruppen unter Einschluß der zyklischen und der Diedergnippeii mögen hinfort die ^Polyedergrappen- genannt werden. § 6. Normalgestalt der Ikos^edergruppe. Die Ikosaedergruppe möge ihrer größeren Bedeutung halber noch etwas genauer betrachtet werden. Die Festlegung der ersten soeben in (9) gegebenen Substitution S läuft darauf hinaus, das Ikosaeder der ^-Kugel so einzuschreiben, daß die beiden diametralen Punkte z =■- 0 und ^ :z3: oo, d. h. bei der S. 29 vereinbarten Lage der Kugel der höchste und der tiefste Kugelpunkt zwei liosaederecken tragen. Der horizontale größte Kugelkreis halbiert dann gerade 10 Ikosaederkanten**) und liefert in diesen 10 Kantenmitten die 5 Polpaare für die 5 Teiler ®^, die in der aus S und TJ zu erzeugenden Diedergruppe ©^g enthaltea sind- Das Ikosaeder ist um die Vertikalachse so gedreht, daß eines dieser fünf Pol- *) T und JJ erzeugen die Vierergruppe ®^, 8 isf von der Perio4e 5 und 8 • T von der Periode 3, so daß die aus S, T, U zu erzeugende Gruppe eine durch 3 • 4 • 5 teilbare Ordnung hat. Sie ist also die ©g^. *=") Man veranschauliche sich diese Angaben an einem Modell des Ikosaeders.
42 I, 2' Polyedergruppen. paare (zur Substitution U gehörig) von der ly-Achse ausgeschnitten wird. Diese Anordnung bleibt aber auch dann noch bestehen, wenn wir das Ikosaeder um seine Vertikalachse durch 180° drehen. Von den beiden so noch möglichen Lagen ist in § 5 diejenige bevorzugt, bei der sich am Punkte ^ = 0 (höchsten Punkte der Kugel) in Richtung der positiven reellen ^-Achse unmittelbar eine Ikosaederkante anreiht. Die Mitte dieser Kante ist der eine Pol der Substitution T. Es besteht nun der Satz: Die Ikosaedergruppe ©g^ ist bereits aus den leiden Substitutionen: (1) S = I V^ ' 1^ \ß ' 1/5 er^eiighar, so daß sich insbesondere TJ in S und T darstellen lassen muß. Da nämHch S, T und S-T die Perioden 5, 2 und 3 haben, so erzeugen S und T einen Teiler einer durch 30 teilbaren Ordnung. Der einzige solche Teuer ist die ©g^, selbst, da nach I, 308 kein Teuer ©^^ auftritt. Um U ia S und T darzustellen, berechne man unter Benutzung der Schreibweise (11) S. 40 für T die Substitutionen: I.b^l-b — (5J)(i_,3), 52_|_X>2,2J' L-b-l—{^ iBsMDs4 Trägt man die inzwischen berechneten Werte von B und D ein, so erweisen sich diese beiden Substitutionen als gleich. Hieraus folgt als Darstellung von f7 in S und T: (2) U = T-S^'T-S'-T-SK Durch Zusammensetzung der Substitutionen S, T und U findet man die folgende NormaldarsteUung der IJcosaedergruppe, wie sie der oben bezeichneten Anordnung des Ikosaeders in der ^-Kugel entspricht: . 0, s^' S^-T'S^- V^^^ 0/' \ -3(^+2) ^-g^ oy + 2X^^~^^j \ ]/^ IT/ wo X und A unabhängig voneinander die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 durchlaufen sollen. Es liegen hier in der Tat 60 verschiedene Substitutionen vor, die die Gruppe ®g^ erschöpfen. Man müßte also neben der identischen Substitution S" = 1 noch 15 Substitutionen der Periode 2, 20 solche der Periode 3 und 24 der Periode o nachweisen können. Die Substitutionen S, S^, S^, S* haben die Periode 5 und alle fünf Substitutionen U-S" die
Normalgestalt und Teiler der Ikosaedergruppe. 43 Periode 2. Von den 50 Substitutionen S^-T-S\ UtS^-T-S'- müssen also 20 die Periode o, ebenso viele die Periode 3 und 10 die Periode 2 haben. In der Tat haben die Invariant^ j ~- 0 und also die Periode 2 die 10 Substitutionen: S^'T-S-'; LT- S-'.T' S", ^ =.= 0, 1, 2, 3, 4, weiter liegt die Invariante j = + 1 und also die Periode 3 bei den 20 Substitutionen; S'T- S~''-\ U- S'' -T-B'-^-, >^ = 0, 1, u>, 3, 4 vor, während 10 von den 20 Substitutionen: S^ . T- S-'^-^, (7. S^'T.S'--\ y. ^ 0, 1, 2, 3, i die Invariante + (f + £*) und die 10 übrigen ~ (£" -^ £^) als Invariante, also alle 20 die Periode o haben. Neben den schon in I, 306 aufgezählte^ zyklischen Teilern der %^^ mögen hier auch die nicht-zyklischen Teiler der Ikosaedergr^ppe angegeben werden. Teiler ©g^ treten nach I, 3Q8 nicht auf. Ein Teiler %^^ würde nach dem Sylow sehen Satze (I, 294) nxys: eitjien z^^^küschen Teiler @g enthalten (da er nicht alle sechs ©^ entjialten ka^n) und müßte übrigens sein eigener J^ormalisator sein (da er sonst ein Xonnalieiler wäre). Also gäbe es drei konjugierte @2o ^^^ d£f,mit :(iur drei konjugierte (5)^, während es doch deren sechs gibt. Also kommt kein Teuer %^^ vor. In einem Teiler @j. wäre nach dem Satze von Frobenius (I, 295) ein ynd pur ein Teiler @g enthalten, was auf Grund der eben schon vollzogenen Überlegung zu einem Widerspruch fühi't. Ein Teiler @,2 kann weder zyklisch noch diedrisch sein, da ipi der ®g^ zyklische ©^^ und ©g nicht auftreten. Ein Teuer ©^^ stellt also notwendig eine Teiraedergruppe dar, und solcher Gruppen gibt es in der ©g^ nach \ 307 fünf konjugiei^e, aber auch nicht mehr; denn in der ©g^ sind aur fünf konjugierte Vierergruppen ©^ enthalten, zu denen die ©^g als Kormalisatoren gehören. Teiler @j^ und @g sind notwendig diedrisch. l[an stellt sofoft sechs konjugierte ©j^, und zehn konjugierte ©g fest, die die Xormaüsatoren der zyklischen ©5 und ©3 sind. Xehmen wir noch die fünf konjugierten Vierergruppen ©^ hinzu, so sind damit alle nicht-zykKschen Teiler der ©go aufgezählt. Wegen der späteren Verwendung merken wir noch den Satz an; Die Teuer der Ikosaedergru]^e vwi lieinstem Index, nämlich dem Index 5, sind die fünf "konjugierten Tetraedergruj}pen ®^^; darafi reihen sieh mit dem nächst höheren Index 6 die sechs TconjugieHen Dieder- gruppen ©j^, § 7. Erweiterte Polyedergruppen. Die unendliche Gruppe © aller Difehungen der ^-Xugel mpii ih|:en Mittelpunkt besteht nach S. 31ff. aus allen linearen Substitutionen:
44 Ti 2. Polyedergruppen. mit irgendwelchen reellen Zahlen A, B, C, D, die die unter (1) beigefügte Gleichung erMlen. Diese Gruppe ist einer wichtigen Erweiterung fähig, die zunächst ohne Bezugnahme auf die Polyedergruppen besprochen werden soll. Versteht man unter i fortan den zu z konjugiert komplexen Wert, so wird durch die weiterhin mit S^ zu bezeichnende Transformation des einzelnen Kugelpunktes z in den Punkt: (2) ^' = =i jeder Kugelpunkt in seinen diametralen übergeführt*). Die Transformation heiße deshalb kurz „Diameträlsymmetrie^. Durch eine einfache Rechnung zeigt man, daß die Biameträlsymmetrie mit jeder im Ansatz (1) enthaltenen Suhsiitution S vertauschhar ist. Die Gruppe ® wird demnach durch Zusatz von S^ zu einer Gruppe: (3) ® = ® + So . ® erweitert, in der ® ein Normalteiler des Index 2 ist. Neu hinzu kommen die Substitutionen: , _ (C + iD)z—(A~\^iB) (4) ' {A~iB)z-\-{G — iD) oder, wie wir zum besseren Anschluß an (1) unter Ersatz von A, B, C^ D durch — C, — D, A, B schreiben: Sie werden als „Substitutionen zweiter Art-' und ihnen gegenüber die Substitutionen (1) als solche der „ersten Art" bezeichnet. Als Symbole für die Substitutionen (5) benutzen wir S, T, •••. Soll S = Sß-S die Periode 2 haben, so muß: (6) S^ = {S,. S)2 = S^ S^ = S2 = 1 gelten, also S entweder die identische Substitution sein, was zu S = S^ führt, oder die Periode 2 besitzen, was in (4) das Verschwinden von A und also in (5) das von C fordert. Im letzteren Falle gelangt man zur Substitution: (7) ^,^iA+iB)z~l^iI) ^.^^._^^._1 ^^ iDz + {A~iBy ^i-^i-^— -i. die die Eigenschaft besitzt, daß sie jeden Punkt des Kreises: (8) D{x^ + i/)~2Bx-\-2Ay — D = 0 *) Die Transformation lauft auf einen gleichzeitigen Zeichenwechsel der drei Koordinaten |, jj, g hinaus, woraus mit Hilfe der Gleichungen (1) und (3) S. 29 ff. leicht die Darstellung durch die Substitution (2) gewonnen wird.
Erweiterte Polyedergruppen. 45 in sich selbst transformiert. Nach S. 30 wird dieser Kreis auf der Kugel durch die Ebene: (9) Bt-An+Dt = 0 ausgeschnitten und stellt also einen größiten I^ugeljireis dar. Map kann auch durch geeignete Auswahl von A, B, D zu jedem gewünschten größten Kugelkreis gelangen. Die Substitution (7) stellt einfach eine Spiegelung (im elementaren Sinne) der ^-E.ugel an der Djametralebeue (9) oder an dem von ihr ausgeschnittenen größten Kugelkreis (8) dar. Es ist dies aus der Zusammensetzung der Substitution (7) aus einer Substitution S der Periode 2 mit der Diametralsymmetrie S^ einleuchtend; der Kreis (8) ist der „Äquator-' zu den beidep Polen der Substitution S. In der ^-Ebene tauscht die Transfonpation (7) das Innere des Kreises (8) mit dem Äußeren aus; es handelt sich um die als „Inversion" oder „Transformation durch reziproke JRadie^i" oder kurz „Spiegelung" apa Kreise (8) bezeichnete Umformung der ^-I^bene in sich, und der Kreis (8) heißt der „Invsrsionskreis~ oder auch der „Symmetriekreis" der Spiegelung*). Die Substitutionen zweiter Art (5) der Periode 2 sind außer der Diametralsymmetrie S^ die Spiegelungen (7) an größten Kptgellcreisen. Da die Diametralsymmetrie S^ mit jeder Substitution (1) vertauschbar ist, so entsteht aus jeder Polyedergruppe @^ durcl^ Zusatz von S,, eine „ erweiterte Polyedergruppe" @2 m = ®m, "f" -^o ' ®m > ^ <ier die ursprüngliche Gruppe ®^ ein Normalteiler des Index 2 ist;. Die Erweiterungsfähigkeit der @^ ist auch anschaulich eitjileuchtend. Das Oktaeder und Ikosaeder werden durch die Diametralsympietrie in sich übergeführt, und in den erweiterten Gruppen @^g und ©^g^ siq.d demnach, wie wir sogleich am Beispiel des Ikosaeders ausfüjiren, die Spiegßlungen an allen Symmetrieebenen des Polyeders enthalte^. Anders liegen die Verhältnisse beim Tetraeder, das durch S,, in das Gfegenfcetraeder übergeführt wird; das letztere wird auch durch die Drehungen der ursprünglichen ®^^ in sich übergeführt. In der. erweiterten Tetraedergrappe ®^^ ifcreten deni.- nach an Spiegelungen nur diejenigen drei auf, die das Tetraeder mit dem Gegentetraeder austauschen**). Zur Erläuterung diene das für uns wichtigste Beispiel der Iko^aeder- gruppe. Die 15 Substitutionen der Periode 2 in der ®^^ ergeben nac|i der obigen Darlegung die 15 Spiegelungen der erweiterten Iko^aedei- grappe an den Symmetrieebenen des Ikosaeders. Die to zugehörigen größtem *) Man hat in (8) mit allen Kreisei^ der z-Ebe^ie zu tun, die den „Einheitskreis", d. h. den Kreis des Radius 1 upi den Nullpunkt, jeweils in zwei diametralen Punkten schneiden. Vgl. übrigens wegen weiterer Ausführungen „Modulfunkt.« I, 85 oder „Ellipt. Funkt." I, 73. __ **) Es gibt eine zweite erweiterte Tetraedergruppe ©34' ^^ der die sechs Spiegelungen an den sechs Symmetrieebenen dßs Tei,raeders _eni^halteifi smd; vgl. darüber „Modulfunkt." I, 104. Beide Grruppen ©.^^ und ©34 sind in der erweiterten Oktaedergruppe @^ enthalten.
46 I, 2. Polyedergruppen. Fig. 3. Flg. 4.
Ikosaedrisclie Kugelteilung. 47 Kugelkreise liefern dann, eine Zerlegung der Kugel fläcfie in 120 abwechselnd symmetrische und kongruente sphärische Dfeieche der Winkel --, —, -, die cäs die „ikosaedrische Kugelteilung" hegeiehnet wird und in Fig. 3 dargestellt ist. Man denke hier die ^-Kugel von qben angesehen, so daß der Mittelpunkt der Figur der Nullpunkt 2 = 0 ist. Die Ecken der Einteilung sind die Pole der Substitutionen der (S>^^. Den 10 um. ^ == 0 herumliegenden Dreiecken entspricht eine Fläche des Dodekaeders, 6 um einen Pol einer Substitution der Periode 3 herumliegende Dreiecke aber liefern eine Ikosaederüäche. In Fig. 4 ist die stereographische Projektion der ikosaedrischen Kugelteiiung auf die if-Ebene dargestellt*). In Fig. 3 und 4 si|id die Dreiecke, um sie als solche noch besser hervortreten zu lassen, abwechselnd schraffiert und frei gelassen. Eine Substitution erster Art der ®i2o transformiert dann ein schraffiertes Dreieck stets wieder in ein solches und ebenso ein freies Dreieck wieder in ein freies. Die Substitutionen zweiter Art dagegen tauschen die Dreiecke der beiden Arten aus. Man mache sich deutKch, daß pian zu der gesamten ikosaedrischen Kugelteiiung gelangt, wenn man an ein einzebies der 120 Dreiecke anknüpft, dies längs seiner Seiten spiegelt und den Spiegelungsprozßß mit den so neu zu gewinnenden Dreieckep weiter und weiter fortsetzt**). § 8. Diskontinuitätsbereich einer Gruppe. Es sei ® eine der ursprünglichep oder erweiterten Polyedergruppen. Unter Aufnahme einer S. 33 eingeführten Bezeichnung iiennen wir zw^ei Punkte z und z' bezüglich @ „äquivalent", falls es in @ eine Substitution gibt, die ^ in ^' überführt. Hieran reiht sich die Erklärung eines von Klein eingeführten grundlegenden Begriffes: Man bezeichnet; als „Dis- kontinuitäisbereich^ der Gruppe @ [abgekürzt „PB*" geschrieben j)] eirw(v Bereich der 2-Ebene oder s-Kugel, der für jeden Pmnkt z einen und nur einen bezüglich ® äquivalenten FunM aufweist ff). Zur Erläuterung diene zunächst die erweiterte Ikosaedergnippe ©^go- ^^^ einzeLaßs ai^s der ikosaedrischen Kugelteilung beliebig herausgegriffenes Dreieck, z- B. das *) Entsprechend der vorletzten Note wird Mer der Einlieitskre;s je m zwei diaxaetralen Punkten vom einzelnen der 15 Symmetriekreise geschnitten. Map suche in Fig. 4 insbesondere die auf depi Eiiiheits}ireis gelegenen 10 Pole der Substitutionen U • S"" auf. **) Siehe wegen aller weiteren Ausführungen ai^ch fur die übrigen Polyedei- gruppen „Modulfunkt." I, 75, 104 und 197 ff. t) Bereiche werden wie in I, 87 ff. durch Pettsclirift gekennzeichnet. tt) Klein bediente sich ursprünglich der Benennung „Fupdameifitalpolygon- einer Gruppe, vgl. „Ges. Abh." III, 35. per Begriff „Fundamentalbeieich'- wurde später in etwas allgemeinerer Bedeutung gebraucht, vgl. ,.Ges. Abh.'- III, 637 und „Ant. Punkt." 11, 4.
48 I, 2. Polyedergruppen. schraffierte Dreieck, das am Nullpunkt ^ = 0 zunächst sich an die positive reelle ^-Achse anlagert, und das die hei:. 0) .= 0, i + Vö 2 fs+Vs + I/54VI, i/isTsW gelegenen Pole der Substitutionen S, T und T • S zu Ecken hat, ist ein DB der ©jgo- ^ ^^^ "^^^ ^^^ keine zwei verschiedene Punkte dieses Dreiecks äquivalent, während andererseits irgend ein Punkt eines freien oder'schraffierten Dreiecks mit dem homologen Punkte des ausgewählten Dreiecks äquivalent ist. Einen DB für die ursprüngKche Ikosaedergruppe @g(, kann man dadurch bilden, daß man dem eben herausgegriffenen Dreieck sein Spiegelbild längs der reellen .sr-Achse anfügt. Als ein DB der ®^q entsteht so das Breieck&paar der ikosaedrischen Kugelteilung, das neben den Ecken (1) noch die zu 2^ konjugierte, den einen Pol der Substitution S • T bildende Ecke: (2) ,, = ,3(H^_|/iM_iV5) besitzt. Hierbei ist indessen ein Vorbehalt zu machen. Es sind n'ämlich je zwei homologe Randpunkte auf den Seiten z^^z^ und z^~z^ des Dreieckspaares äquivalent, indem der eine durch S m den anderen transformiert wird, und ebenso sind je zwei homologe Randpunkte auf den Seiten z^ z^ und .sr^ig äquivalent, indem sie durch T ineinander transformiert werden. Man begegnet diesem Hindernis dadurch, daß man etwa nur die auf den beiden Seiten z^z^ und z^z^ gelegenen Randpunkte, nicht jedoch die übrigen, als dem Dreieckspaar angehörig ansieht. Dann ist in der Tat jeder Punkt z mit einem und nur einem Punkte des Dreieckspaares bezüglich der Gruppe ©g^ äquivalent. Schneidet man von dem DB einer Gruppe @ ein beliebiges Stück ab und ersetzt dies durch ein äquivalentes Stück, so ist auch der in dieser Art abgeänderte Bereich noch ein DB der Gruppe. Man spricht in diesem Sinne von einer „erlaubten Abänderung^ eines DB. Bei einer unserer Polyedergruppen erster Art, d. h. einer solchen, die noch nicht durch Substitutionen zweiter Art erweitert ist, kann man insbesondere eine erlaubte Abänderung stets in der Art vornehmen, daß der DB ein zusammenhängender, d. h. aus einem Stücke bestehender Bereich bleibt. Mit Rücksicht auf die späteren Anwendungen möge dies erstlich am DB der Tetraedergruppe ®^^ -erläutert werden, die wir in der Normalgestalt (4), (6) S. 37ff. gegeben annehmen. Erweitem wir die ®^^ durch die Diametralsymmetrie zur ®^^, so finden sich in der ®^^ drei den Substitutionen (4) S. 37 entsprechende
Diskontinuitätsbereiche bei l'olye^ergruppen. 49 Spiegelungen, deren Symmetriekreise auf der Kugel durch die drei Ko- ordinatenebenen ^ = 0, rj = 0, ^ = 0 außgeschnitten werden. Es entsteht die Einteilung der Kugelfläche in acht Oktanten, die zu der durch die Diametralsymmetrie erweiterten Vierergruppe @g gehört. Fig. 5 zeigt die Projektion auf die ^-Ebene, ^o die Oktanten abwechselnd schraffiert und frei gelassen sind. Verbindet man den Mittelpunkt jedes Oktanten mit den drei Ecken durch die größte^ Kugelkreise*), so zerfällt jeder Oktant in drei bezüglich der ®^^ äquivalente Dreiecke Ein einzelnes dieser Dreiecke, z. B. das in Fig. 5 mit AJß G bezeichnete, ist ein DB der ©g^, und als einen DB der ®^^ kann man z. ]B. das Dreieckspaar AB CD benutzen. Dabei sind freilich die Jiandpunkte wieder zu Paaren äquivalent; es gehen nämlich die Seiten AB und Ap hx CB bzw. CD über durch die ia der ©^g enthaltenen Substitutionen: (3) l-r^• Ij- 2 ' i 2 ' 2 / Fig. 5. Fig. 6. Fig. 6 zeigt nun einen DB der (3^^, der durch eine erlaubte Ä.bänderung aus dem eben konstruierten DB hervorgeht, wobei der Deutlichkeit halber der Maßstab etwas größer gewählt wurde. Die Stücke AA'B und AA'B sind durch die äquivalenten Stücke C CB und GC"D ersetzt. Der DB der @j2 ist nun das Fünfeck Ä B C C" D, wobei die Seiten A' B ui^d A' JD wieder durch die Substitutionen (3) in C B bzw. C" I» übergehen und die beiden Hälften CG' und CG" de^ fünften Seite durch die erste Substitution (4) S. 37 ineinander transformiert werden. *) In Fig. 5 stark ausgezogen, ricke, Algebra. II.
50 I, 2. Polyedergrappen. § 9. Homogene Polyedergruppen. Wir gehen jetzt von den nicht - homogenen Substitutionen zu den homogenen: (1) ^; =3 a^i + /3^ä, 4 =: y^^-fd^a, a8 — ßy=l zurück, die wir nach wie vor unimodular schreiben, und für die wir die symboKsche Bezeichnung S = /"' ^\ beibehalten. Von der einzelnen Substitution S = ("' J gilt also jetzt die etwa durch — S zu bezeichnende Substitution [~"' ~'; j als verschieden. S geht in — S durch Zusammensetzung mit der abgekürzt durch — 1 zu bezeichnenden Substitution ["" ' ) über. Auf Grund des Gesetzes (6) S. 3 der Zusammensetzung zweier Substitutionen oder auch durch Rückgang auf die Normalgestalt (11) S. 11 beweist man leicht den Satz: Die Periode 2 hat aUän die Substitution — 1, und weiter liegt die Periode 3, 4, 5, 6, 8, 10 vor, je nachdem die Invariante der Substitution bzw. den Wert hat: (2) i = -i,o, nl±VI,i,±y2,i±V5. Ist nun @^ [irgend eine unserer Polyedergruppen, so ordnen wir ihrer einzelnen (nicht-homogenen) Substitution S die beiden homogenen Substitutionen S und — S zu. Da die Substitution — 1 mit jeder Substitution S vertauschbar ist, so bilden die so zu geimnnenden homogenen Substitutionen eine im Sinne von I, 277 der @^ l-2-dezäig hom-omorphe Giruppe ®2rn ^^^ doppelten Ordnung 2 m, die als eine „homogene Polyeder- gruppe" bezeichnet werden soll. In der ©3^ liefern die beiden Substitutionen 1 und — 1 einen Normalteiler ©^t dessen Komplement natürlich wieder die „nicht-homogene Polyedergruppe" @^ ist. Was die Struktur dieser homogenen Polyedergruppen angeht, so stellen sie, abgesehen von den zyTdischen Grruppen, lauter neue Typen dar. Die homogene zyklische Gruppe ©ä^^, die bei der Normaldarstellung aus der Substitution: (3) z't^ z= e"^z^, z'^ = e "^z^ erzeugbar ist, ist wieder zyklisch. Die homogene Diedergruppe ©4^, die entsprechend der Normaldarstellung (2) S. 36 aus den beiden Substitutionen: (4) 1 4= e»^^,, 4 = e -^z^, yz[= — ^2, 4 = ^x erzeugbar ist, enthält einen zyklischen Normalteiler, der aus der ersten Substitution (4) erzeugt wird, und n Teiler ®^. Diese n ®^ sind bei
Homogene Polyedergruppen. 51 ungeradem n alle konjugiert, bei geradem n ergeben sie zwei Systeme zu je I w konjugierten Teilern. Für » = 2 gelangt man zuf homogenen Vierergruppe @g, die aus den beiden Substitutionen: erzeugbar ist. Diese @g enthält, ol^le kommutativ zu sein *), nur N'orn^al- teiler, nämlich drei @^ und ihnen gemeinsam einen Teiler ®^. Die @g wird wegen ihrer Beziehung zur Hapülton sehen Quateniionenrechnung**) als „ Quaternionengruppe^ bezeichnet. Sie ist das niederste Beispiel eipier „Hamiltonsehen G-ruppe"; so bezeichnet Dedekindf) jede Gruppe, die, ohne kommutativ zu sein, nur Normalteiler besitzt. Die homogene Tetraedergruppe ®^^ enthält als imifa,ssendste zyklische Teiler vier konjugierte @g und drei konjugierte @^, die als homogene Gruppen den umfassendsten zyklischen Teilern der nicht - ho]:pogenen Tetraedergruppe zugehören. Entsprechendes gilt bei den horp.ogenen Gruppen des Oktaeders und Ikosaeders. Allgemein hat man zwei Artexf. von Teilern bei den homogeaen Polyedergruppen zu unterscheiden, näifdich solche, die die Substitution — 1 enthalten und also 1-2-deutig homomorph auf entsprechende Teiler der nicht-homogenen Gruppen bezogen sind, und solci^e, dje — 1 nicht enthalten und also isomorph mit den entsprechenden nicht-homogenen Teilern sind. Gruppen der zweiten Art, die also keine iVhnlichkeitstraiisforma- tionen (natürlich von 1 abgesehen) enthalten, werden als „reine" Gruppen bezeichnet. Jeder Teiler @^ einer unserer Gruppen von gerader Ordnung ^ enthält nach dem Sylow sehen Sat2e (vgl, I, 291) einen Teiler ©g, und der einzige solche Teiler, den es gibt, besteht aus den Sybstitutionen — 1 und 1. Andererseits hat jeder Teuer ©„, der diese ®^ enthalt, gerade Ordnung fi. Also gehören zur ersten Art ^.Ue Teiler @^ gerader Ordnung fi, zur zweiten Art also zu <ien reinen Gruppen alle Teurer ungerader Ordnung (i. Die einzigen Teiler ungerader Ordnung, die bei den nicht-homogenen Polyedergruppen, auftreten, sind nmi die zyUisdie^ Tejler ®^ ungerader Ordnung fi. Die zugehörige homogene Gruppe ©a^^ ist entsprechend (3) aus der Substitution: ^. ^^ (6) z[ = ei^ z^, z'^ -j= e " z,^ erzeugbar. In dieser @2u weist man nun vß. der Tat sofort einen mit der nicht-homogenen ®^ isomorphen Teiler nacl^, deip einfach als erzeugende Substitution: ^. ^^. (7) z[ =:z —ei^ z^, Zo_ = ~ e ^'< z^ *) Es ist nämlich z. B. Ä'- T ^ T-S. **) Man vergleiche die Regeln der JZiisanvmensetzung der drei Substitutionen S, T, Z7 = Ä' • r mit den Regeln der Multipl^katiop der drei :p:inlieiten *', 3, Tc in der Quatemionenrechnung. t) „Über Gruppen, deren sämtliche Teiler Jformalteilersindt, Math. Ann. Bd. 48. 4*
52 I, 3. Ikosaedergleichung und ihre ßesoiventen. hat. Die in den homogenen Polpedergruppen @2w enthaltenen Teiler sind 1 - 2 - deutig homomorph auf die entsprechenden Teiler der nicht-homogenen Gruppen @m bezogen, mit alleiniger Ausnahme der gyMisehen Teiler tm- gerader Ordnung der @2«i- ^i^ den entspreeilenden zyMisehen Teilern der Qby^ isomorph sind. Um zu dem ursprünglichen Ansatz am Eingang dieses Kapitels (S. 24) zurückzukehren, würde jetzt noch übrigbleiben, die gewonnenen homogenen Gruppen mit zyklischen Crruppen @;. von Ähnlichkeitstransformationen : •2 i n •2 z 7g (8) z\ = e '"■ z^, z'i = e^ z^, Ä = 0, 1, 2, • •., X-1 zusammenzusetzen. Doch haben die so entstehenden Gruppen weiterhin kein besonderes Interesse. Drittes Kapitel. Ikosaedergleichung und ihre Resolventen. § 1. Invarianten der Ikosaedergruppe. Die Invarianten der homogenen Polyedergruppen ©^^ und die zugehörigen Formenprobleme sind leicht nach den allgemeinen Regeln von S. 15 ff. aufzustellen. Diese Formenprobleme sind aber für uns keineswegs alle von gleicher Bedeutung. Man erkannte nämlich leicht in den Polyedergruppen mit alleiniger Ausnahme der Ikosaedergruppe „metazyklische Gruppen-' (vgl. I, 284). Die nicht-homogene Ikosaedergruppe @gQ aber liefert uns gerade die erste derjenigen einfachen nicht-metazyklischen Gruppen, deren nähere algebraische Erforschung zufolge der Einleitung (S. 1) Gegenstaad unserer neuen Entwicklungen sein sollte. Wir wenden uns demnach sogleich zur Ikosaedergruppe*). Setzt man nach Vorschrift von S. 16 absolute Invarianten der Ikosaedergruppe @gQ als Produkte „äquivalenter" linearer Formen an, d. h. solcher Formen, die aus einer unter ihnen durch die Substitutionen der Gruppe hervorgehen, so gelangt man zu Formen <6Q^^^^ Grades, deren Xullpunkte 60 äquivalente Punkte z der ikosaedrischen Kugelteilung sind. Entsprechend den Ausführungen von S. 16 haben wir dabei drei besondere Fälle zu nennen. Rücken die 60 äquivalenten Punkte zu je dreien in die Mittelpunkte der 20 Ikosaederflächen zusammen, so ist die Form die dritte Potenz einer Form 20sten Grades, die (p{z^, z^ heiße und vielleicht erst eine relative Invariante darstellt. Entsprechend gelangen wir zu einer Invariante SO^ten (grades i^(^j, z^, deren Kulipunkte die 30 Kantenmitten des Ikosaeders sind, und endlich zu einer Form *) Siehe wegen der übrigen Gruppen ^Ikos.", S. 62ff.
Grundformen der Ikos^edergruppe. 53 12*«'^ Grades ^i^i, ^2), deren Kulipunkte die 12 Ikoßaederecken sipid. Diese drei Invarianten sollen als die „ Orzmäformen"- des Il^osaeders bezeichnet werden. Um zu prüfen, ob die Grundformen relß-tive oder absplute Invarianten sind, und um die Grundformen wdrklich aufzustellen, denken wir die Ikosaedergruppe in der Xormalgestalt von ß. 42 gegeben und behalten die Bezeichnung S, T und TJ für die daselbst so beaannten Substitutionen bei. Da T als homogene Substitution die Periode 4 hat, aber T^ = — 1 ist, so wird z. B. die Form ^^ {z^, z^ als solche geraden Grades gegenüber T höchstens Zeichenwechsel erfal^rea können. Indessen ist die fünfte Potenz von x{z^, z^ absolut invariant, so daß ti^v -i selbst gegenüber irgend einer Substitution der Gruppe höchstens eine fünfte Einheitswurzel als Faktor annehmen kana. Also bleibt %{ß^i 2^ gßg*'-^- über T absolut invariant. Ebenso findet maa, daß %{z^, z^) gegenüber S • T unverändert bleibt. Dann aber ist 4iese J'orm aucl^ invariant gegenüber S = (S • T) • T~ 1 und damit gegenüber allen Substitutionen d^ev Gruppe, die ja aus S und T erzeugbar ist. Ebenso verfährt man bei den beiden anderen Formen: Die drei Grundforrßen tp, (p, ^ des Ikosaeders bind absolute Invarianten der Ikosaedergn^ppe. Nach S. 15 ist jede Kovariante einer Grundform selbst wieder eine Invariante der ©g^. Zufolge I, 131 haben wir eine solche Kovariante in der Hesseschen Determinante der Grundform 12*^'* Gradps xi^^, 22)- Diese Hessesche Determinante ist \om 20^^^^*^ Grade und muß demnach zur Grundform (p (^^, z^) führen; denn diese ist die einzige Invariante 2 Osten Grades bis auf einen konstant;en Faktor, der hier zunächst überall bei unseren Formen noch zugesetzt werden mag. Wir haben ferner nach (11) in I, 131 eine Invariante 30^^^^* (lirades in der Funktionaldeterminante von (p (z^, ^2) ^"d X (^1 j '^2)- I^ißse muß dann zur Grundform i^i^i, ^.j) führen, die als einzige Invariante des Qrades 30 wieder bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Indem ^ir den Zusatz geeigneter Faktoren vorbehalten, merken wir den Satz an: i'^e Grundform op {z^, z^ ist die Hesse sehe Determinante von x {^i, z^, tvahrefiä die Grundform ti^i' ^2) ^*^ FunMionäldeternimante von (p{z^, 2^ u(id X{s^,z^)i§t. Zur wirkKchen Gewinnung der Form x {^i • ^2) beachte man, daß die „lineare Form'" z^ ihren Nullpunkt in einer Ikoßaederecke hat. Entsprechend geht sie, abgesehen von konstanten Faktoren, dufch die Substitutionen der homogenen Ikosaedergruppe in nur 12 verschiedene lineare Formen: z^, z^, {e—e^)s^-''z,--{e^ — e^)s'-''-z^, {s^ — E^)ß^'2,-^{a — s')s'''z^ mit X = 0, 1, 2, 3, 4 über, wie die S. 42 angegebene Normalgestalt der Ikosaedergruppe lehrt. Das Produkt dieser zwölf Formen kür2;en wir noch um den Faktor — 25 V^ nnd gewiimen damit die Grundform:
54 I, 3. Ikosaedergleichung und ihre Eesolventen. Zufolge des letzten Satzes stellen wir dann weiter die Formen (p (^^, 2^) und i^izj, 2^) so dar: \d (p d (p ■dh ^"X (2) cp{z„z,)-- -1 j dzf dz^dz ti^„^.2) = 20 d z^ d s^ dz^ Oz^ und gewinnen damit aus (1) leicht folgende Gestalten der beiden Grundformen (p und ip: (6) q> {z,, ^,) = (40 + 4«) - 228 {zf z\ - 15) -j- 4944040, (4) ti^i, ^2) '- r (40 + 40)+ 522(454- - 10005(4040 + 4040). Mittels zweier nicht zugleich verschwindender Parameter a, h stelle man aus (p und ^l; die Schar von Formen 60^*^^* Grades: (5) acpiz^, ^2)^ -^hi;{z^, z^y her. Man kann dann über das Verhältnis a: h der Parameter a, & in einer und nur einer Weise so verfügen, daß die Form (5) an einer beliebig vorgeschriebenen Stelle des DB der Ikosaedergruppe (vgl. S. 48) verschwindet, da diese Forderung für a, h eine Gleichung ersten Grades mit nicht zugleich verschwindenden Koeffizienten liefert. Die Form (5) als solche vom 60^*^^* Grade hat nun im ganzen 60 Nullpunkte auf der i^-Kugel, die, insofern wir in (5) eine Invariante vor uns haben, 60 bezüglich der @go äquivalente Punkte darstellen. Diese 60 Punkte, fallen für & = 0 zu je drei in die 20 Flächenmitten des Ikosaeders und für a =: 0 zu je zwei in die 30 Kantenmitten. Weiter ist dann zunächst festzustellen, wie wir a und h zu wählen haben, damit die 60 Nullpunkte zu je fünf in die 12 Ikosaederecken fallen. In diesem Falle liefert die Form (5) bis auf einen konstanten Faktor c die fünfte Potenz von ^ (z^, z^, so daß die Gleichung: identisch besteht. Da a z^ 0 ist, so darf a = 1 gesetzt werden. Dann gut weiter h = — 1, da ;^ mit ^ verschwindet und also der links stehende Ausdruck kein von z^ unabhängiges Glied aufweisen darf. Wir tragen endKch z^ = 1, z^ = l und also (p = 4:- 124, i^ =: — 8-2501, ;U = 11 ein, woraus sich c = — 12^ ergibt: Die eine nach S. 19 zwischen den drei Invarianten rp, i^ und ^ bestehende identische Belation ist somit gegeben durch: (6) (p'— t^ + 12^ x' = ^-
Formensystem der Ikosaedergruppe. 55 In Übereinstimmung mit den Ausfülirungen von S. 18 besteht femer der Satz: Jede Invariante J(z^, z^ der Ikosaedergruppe isi mittels der drei Grundformen cp, ip-, % in der Gestalt: (7) J{z„ z,) = ccp>''4,' yj^ f I (ö, g,3 ^ ^^ ^3) l' = l darstellbar. Die Invariante ist näinlich durch ihre Kullpunkte bis auf einen konstanten Faktor c bestimmt. D^s System dieser Kullpuntte geht aber bei allen Drehungen der Ikosaedergruppe in sich über. Der Darstellung (7) liegt die Annahme zugrunde, daß in den J'lächenmitten des Ikosaeders je ein fc-fach er Nullpunkt liegt, in den Kanten;nitte|i je ein Z-facher und in den Ecken je ein m-facl^er, während darüber hinaus im DB der ^^^ noch n einfache NuUpupkte p,uftreten, die aber auch zu Nullpunkten höherer Ordnung zusammenrücken dürfen. § 2. Formenproblemi der Ikosaedergruppe. Nach den Regeln von S. 20 ff. ist das Formenproblem der Ikosaedergruppe ®f^Q in folgender Art anzusetzen: Es werden drei an die Bedingung : (1) u^ — v^ + 12^w^ = 0 gebundene, im übrigen aber frei wählbare komplexe Zahlen (i, v, w vorgeschrieben, und es sollen dann die drei Gleichungen: (2) . (p(z^,z^) = u, ti^v^i) — ^, Xi^v ^i) = ^ nach z^, z^ gelöst werden. Der algebraische Charakter dieses Problepis ist bereits durch die allgemeinen Darlegungen von S. 21 ff. erschöpf end hezeichnet. Da die Koeffizienten der Grundformen rationale gar^ze Zahlen sind, so ist der zunächst zugrunde zu legende] Funktionenkörper: (3) {U, u, V, w), wo 9t der rationale Zahlkörper ist. Es besteht dann der Sat?: Das Formenproblem der Ikosaedergruppe ©j^o ^^^ ^^^ Lösungen z^, z^, die nach den nötigen AdjunMionen numeriscJißr Irrationalitäten aus einer unier ihnen rational, nämlich mittels der X20 Substitutionen der ©^g^^, berechenbar sind. Aus der Normalgestalt der (^^^^ geht hervor, daß bei Darstellung aller Lösungen durch eine die Adjunktion der primitiven fünften Wurzel der Einheit s als numerischer Irrationalität erforderlich und hin-' reichend isi. Im Funktionenkörper (dt, s, u, v, w) ist das ]Formenproblem gleichwertig mit der Aufgabe der Lösung einer Nomialgleichmig 120^*«'! Grades, deren Galoissche Gruppe mit der l^omogenen Ikosaedergruppe ®^^q isomorph ist. Die Kompositionsreihe dieser ®^^q ist nun durch ©jgo' ®v ®i gegeben, wo ®^ der aus den beiden Substitutionen 1 und — 1 bestehende Normalteiler ist. Irgend einem Nomialteiler der ©^go ^^^
5g I, 3. Ikosaedergleichung und Uire Eesolventen. nämlich bei der 1-2-deutigen Beziehung der ©jao ^^ ^^^ nicht-homogene @g^ wieder ein Normalteiler der ©g^ zugeordnet. Die ©g^ hat aber nur die Kormalteiler ©g^ und @j, von denen der letztere die genannte Gruppe @2 liefert. Das zugehörige Komplement ©g^ = ®i2o/®2 ^^^ ^^ ^^^ nicht-homogenen Ikosaedergruppe isomorph*). Nach den Grundsätzen der Galois sehen Theorie (I, 383 ff.) ist somit die Lösung des Formenproblems der Ikosaedergruppe oder die Lösung der gleichwertigen Xormalgleichung 120^*60 Grades in zwei Schritte zerlegbar: Nach Lösung einer Normal gleichung 60^^'^ Grades mit der einfachen Gcäois sehen Gruppe ©g^ hat man nur noch der ®^ entsprechend eine Quadratwurzel zu ziehen. Zur Herstellung der Gleichung ßO^ten Grades bilde man aus z^, z^ den Quotienten z :=z z^\ z^, der gegenüber der ®^ invariant ist. Man wird hierdurch zur nicht-homogenen ©g^ zurückgeführt. Entsprechend stelle man aus den Grundformen der Ikosaedergruppe die gebrochene Funktion: U\ Z = ^ = 1 — —^ W ^ j23;^5 12^;^^ nullter Dimension in den z^, z^ her, die demnach von z allein abhängt. In entwickelter Gestalt kann man die beiden in (4) gegebenen Darstellungen von Z in der Proportion zusammenfassen: '(5) Z: (Z — 1): 1 = ((^2ö + 1) — 228 (^^^ — z^) ■\- 494 z^'J : ((^sö + 1) + 522 (^25 _ ^5) _ 10005(^^0 + ^i"))2 : —12S(^(^"-f- 11 ^= — 1))^ Hier haben wir die „I}Mi,aedergleichung- vor uns, die im Mittelpunkte von Kleins Theorie des Ikosaeders steht**). Sie ist im FunJc- tionenJcörper (dt, s, Z) irredu,zibel und bleibt auch bei Adjunktion weiterer „numerischer" Irrationalitäten irreduzibel (vgl. S. 21 ff.). Sie ist eine Normalgleichung mit einer zur Ikosaeder-^g^ isomorphen Galois sehen Gruppe, und ihre sämtlichen Wurzeln berechnen sich aus einer ersten unter ihnen mittels der sechzig Substitutionen der nicht-homogenen Iko- Xach Lösung der Ikosaedergleichung (5) erfordert die Erledigung des Formenproblems nur noch das Ausziehen einer Quadratwurzel. Man kann zu diesem Zwecke an die Gleichung: *) Wahrend die ©gQ isomorph ist mit der alternierenden Permutationsgruppe fünften Grades, hat die ©130 niit der symmetrischen Permutationsgruppe dieses Grades, wie man sieht, nichts zu tun. **) Vgl. „Ikos.^ S. 60 ff.
Ikosaedergleich|ing. anknüpfen. Die fragliche Quadratw^rzel ist also: ''^ ^ ^.-.„.. ,y wo man für z eine Lösung der Ikosaedergleichung einzusetzen hat. Entsprechend den rationalen Koeffizienten der Ikosaedergleichung (5) hat man der algebraischen Behandlung dieser Gleichung zunächst den Funktionenkörper (9?, Z) zugrunde zu legen. Der GaLoissche ^örppr der Ikosaedergleichung enthält mit den beiden Wurzeln z und £^ dieser Gleichung auch ihren Quotienten £, 00 dß^ diß primitive fünfte Einheitswurzel E eine „natürliche- Irrationalität der Ikosaedergleichung id. Dßr Galois sehe Körper der Ikosaedergleichung ist dann einfach der Körper ($R, E, ä); denn dieser Körper enthält (9?, Z) als echten Teiler, and in ihm sind alle sechzig Lösungen der Ikosaedergleichung enthaltep. In hezug auf (9t, Z) id nun C^, e, 2) ein Körper deb Grades 4-60, und entsprechend hat die Ilco&aedergleichmig (o) vqt AdjunUion von e eine Galoissche Gruppe ©340 ^^*" Ordnung 240, in der die (^g^ ^^'^ JS(ormal- teiler des Index 4 ist. Man gewinnt die ©j^^, aus der als Permutationsgruppe hergestellten ®^^^ durch Zusatz der zyklischen Gruppe (^\, die man durch wiederholten Ersatz von e durch £^ erzeugt. Bei diesem Ersatz gehen die Ikosaedersubstitutionen (vgl. S. 42) ineinander über, öO daß in der Tat die ©g^ einen Xormalteiler darstellt. In diesem Zusammenhang kann man eine wichtige funktionen- th-eoretische Erklärung für die Gruppe ©^^ geben. Durch (5) ist Z als eine Funktion I^O^*^^ Grades von z gegeben in der Art, daß eiußm beliebig vorgeschriebenen komplexen Werte Z ein System von 60 bezüglich der ©g^ äquivalenten Punkten z der «--Kugel zugehört, in denen die fragliche rationale Funktion den vorgeschriebene]^ Wert Z annirpimt. Diese 60 Punkte sind im allgemeinen durchweg verschieden. Xur für Z =: 0 fallen die 60 äquivalenten Punkte 3 zu je B in die 20 Flächenmitten des Ikosaeders (Nullpunkte der Grundform (p), im Z = 1 fallen sie zu je 2 in die 30 Kantenhalbierungspunkte und für Z = 00 zu je o in die 12 Iko^a- ederecken. Bildet man demnach die -5-Kvigel mittels der Funktion Z auf die Z-Ebene ab, so gelangt man zu eiper öO-hlcittrigen Biemannsch.'u Fläche nher der Z-Ebene, deren einzelnes Blatt einem Dreieckspai^re der ikosaedrischen Kugelteilung entspricht, piese Fläche ist nur bei Z = 0. 1 und 00 verzweigt, und zwar finden sich bei Z = 0 zwanzig dreiblättrige Verzweignngspunkte, bei ^' = 1 dreißig zweijblättiige und hei Z = 00 zwölf fünf blättrige =*). Auf dieser Fläche ist nun die 60-deatige algebraische Funktion z von Z eine eindeutige Funktion des Ortes. Dabei stellen sich alle 60 Zweige in einem ersten, der z heiße, durch die 60 Substitutionen der *) Über derartige „regulär verzweigte Eiemami sehe Flachen"-vergleiche man Klein, „Ges. Äbh." Ill, 656 und 121 ff. sowie „M(?dulfu|xkt.- 1, 319 und 333.
58 I, 3. Ikösaedergleiclumg und ihre Eesolventen. nichit-Iiomogenen (S>^^ dar. Da die Fläche zusammenhängend ist, so ist es möglich, von einem ersten, den Zweig g tragenden Blatte durch Umläufe um die Verzweigungspunkte zu allen übrigen Blättern zu gelangen und damit auch z stetig in alle übrigen Zweige unserer algebraischen Funktion überzuführen. Man kann das Sachverhältnis auch so auffassen, daß man nur mit der einfachen ^-Ebene arbeitet und die 60 Wurzeln <0, ^', z", ' • - der Ikosaedergleichung in irgend einer Anordnung nebeneinander stellt. Bei irgend einem geschlossenen Umlauf von Z in seiner Ebene von eiaer Anfangsstelle Z aus- zu dieser Stelle zurück reproduzieren sich die Wurzeln in einer gewissen Reihenfolge d^, ^W^ d^, • • •. Damit die Wurzeln eindeutig fortsetzbar sind, wolle man bei den geschlossenen Umläufen nur die Verzweigungspunkte Z =: 0, 1 und oo vermeiden. Die auf diese Weise zu gewinnenden Permutationen der 60 Wurzeln der Ikosaedergleichung bilden dann gerade die mit der Ikosaeder-@ß(, isomorphe, einfach transitive Penmitationsgruppe (5)^^^, die die Galois sehe Gruppe der Ikosaedergleichung bei Zugrundelegung des Körpers (9t, s, Z) ist. Entsprechend ihrer Herstellung mittels der geschlossenen Umläufe des einen in der Ikosaedergleichung auftretenden „Parameters" Z in seiner Ebene heißt die fragliche Permutationsgruppe die „Monodromiegruppe^ der Gleichung (5)*). Wir haben also hier sowie weiterhin bei der Betrachtung von Gleichungen mit einem Parameter, d. h. bei der Untersuchung von algebraischen Funktionen eines Argumentes, zwischen der „Galoissehen Gruppe" und der „Monodromiegruppe" zu unterscheiden. Für unsere Ikosaedergleichung ist die Galoissche Gruppe bezüglich des Körpers (9i, Z) die oben bezeichnete ©g^o, und erst nach Adjunktion von s reduziert sich die Graloissche Gruppe auf die Monodromiegruppe ©g^^. § 3. Resolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung. Nach I, 381 ff. entspricht den umfassendsten echten Teilern der Ikosaeder-@go, nämlich den fünf konjugierten Tetraeder-@j2 ^^^ Resolvente niedersten, nämlich fünften Grades der Ikosaedergleichung. Zur AufsteRung dieser Resolvente benutzen wir eine von Klein erdachte funktionentheoretisch - geometrische Methode, die er mit großem Erfolg insbesondere bei der Untersuchung der Modulargleichungen der elliptischen Funktionen angewandt hat**). Die S. 42 mit T und U bezeichneten Substitutionen der ®^^ liefern in T, U, T'IT, 1 eine der fünf Vierergruppen @^. Die durch die Diametralsymmetrie erweiterte @g enthält drei Spiegelungen, deren Symmetriekreise die reeUe ^-Achse und die beiden aus Fig. 4 (S. 46) leicht herausfindbaren, zu dieser Achse senkrecht verlaufenden Symmetriekreise *) Die Monodromiegruppe ist von Hermite eingeführt; vgl. die Pariser Compt. ßend., Bd. 32, S. 458 (1851). **) Ygl. „Ges. Abh." HI, 35 ff. und insbesondere III, 81 ff.
Monodromiegnippe 4er Ikosaedergleichung. 59 der ikosaedrischen Teilung sind. Sie zerlegen die E^ugeloberfläche in acht bezüglich der &q äquivalente Oktanten. In z^ei benachbarten unter diesen acht Oktanten grenzen wir nun genau nach Vorschriift vop Fig. 6 (S. 49) einen DB für den KormaKsator der @^, Fig. 7, d. h. für die zugehörige Tetraeder-®^, in Gestalt eines Fünfecks ein. Das hiemeben in Fig. 7 gezeichnete Fünfeck trägt dieselben ]Eckenbezeich- nungen wie das Fünfeck der Fig. 6 *). Wie damals sind bezüglich der ©^^ die Seiten Ä' B imd C B äquivalent, ebenso die Seiten Ä'D wßd CD, sowie CG' und CG". Die jeweils zuerst genannten Seiten dieser drei Paare gehen in die äquivalenten bzw. durch die Substitutionen S-T-S^ S^-^-S^ T der @j2 über. Der gewonnene DB der ©^g ^^' steht aus fünf Dreieckspaaren der ikosaedrischen Kugelteilung, die sich rings um den NuUpaakt ^ = 0 heramlagern, und die aus dem oben (S. 48) ausgewählten DB der Ikosaeder-®^^ durch die fünf Substitutionen 1, S, S^, S^, S^ entstehen. Dei^ entspricht die Zerlegung: (1) ®,, =3®,, + ®,,.S + @,,.S2^®,,.3^ + @,,.S^ der ®gQ in fünf znr ©^^ gehörende Nebeagruppen. Bei der Tetraeder-®^^ kann man genau so, wie es oben bei der Ikosaedergruppe ausgeführt wurde, aus den Invarianten eine rationale Funktion ^ zwölften Grades von ^ herstellen, die einen beliebig vorgeschriebenen komplexen Wert in einem und nur einem Punkte des DB der ®j2 annimmt. Dabei wolle man beachten, daß diese Furiktioq ^ noch nicht eindeutig bestimmt ist; in der Tat hat auch jede lineare Funktion: (2) r = ^^^^ von ^ die eben von t, genannte Eigenschaft. Man kann von diespm Umstände in der Art Gebrauch machen, daß man für ^' an irgend drei verschiedenen Punkten des DB drei willkürlich gewählte verschiedene Werte vorschreibt**). Wir lassen den Index bei t,' gleich wieder fallen und schreiben etwa vor, daß t, iin Mittelpunkt £• == 0 des PB unendlich wird, im Punkte C versch\^?inde1: und in den drei äquivalenten Ecken A, C, C" des DB den Wert 3 annimmt. Der Ordnung 12 der ausgewähltea ®j2 entsprechend ist ^ eiae rationale Funktion lä*^'' Grades vop 2, and zwar wird sich zeigen, daß *) Der DB der Tetraeder-©!^ wir4 also von einer Flache des Dodekaeders geliefert. **) Daraus ergeben sich namlich drei lineare |iomo^ene Qleichungen für die vier Koeffizienten a, h, c, d.
ßf) I, 3. Ikosaedergleichung und ihre Eesolventen. diese Funktion dem Körper (^, 2) angehört. Sie ist eine unt-er fünf konjugierten Funktionen: (3) U^), ^(£*^), Us'^), U^'^), t{e^), die im Sinne der allgemeinen Grundsätze der Galois sehen Theorie (\gl I, 378 und 389ff.) zu den fünf Tetraedergruppen ©^g, S-'^-®^^-S, S~'^'(§>^^' S^, ■•■ gehören. Diese fünf Funktionen (3) sind, nun die Wurzeln der aufzustellenden Resolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung. Man würde diese Resolvente gewinnen können, indem man aus dem Ausdruck von ^ als rationale Funktion von z und der Ikosaedergleichung 2 eliminiert. Hier setzt nun aber die Methode von Klein zur Herstellung der Resolvente ein, die uns gestattet, diese Gleichung mit einem Mindestmaß von Rechnung herzustellen. Die algebraische Beziehung zwischen ^ und Z ist so, daß dem Einzelwert ^ (zwölf äquivalenten Stellen g) stets nur ein Wert Z zugehört, umgekehrt dem Einzelwert Z aber (fünf Systemen zu je zwölf bezügKch der ©^3 äquivalenten 2) immer fünf Werte (3). Somit ist einfach Z eine rationale Funktion fünften Grades von ^, und insbesondere eine ganze rationale Funktion, da Z nur mit ^ unendlich wird. Um diese Funktion anzusetzen, denke man den in Fig. 7 dargestellten DB der Tetraeder-@j2 durch die Funktion Z auf eine fünfblättrige geschlossene Riemannsche Fläche über der Z-Ebene abgebildet, wobei die Abbilder der durch die ®^^ aufeinander bezogenen Seiten Ä'B und C'B usw. zum Zusammenschluß zu bringen sind. Die Fläche ist wieder nur bei Z = 0, 1 und oc verzweigt, und zwar entnimmt man aus der Zuordnung der Seiten des DB leicht folgende Angaben: Bei Z = 0 laufen zwei Blätter isoliert (den Ecken B und D entsprechend), die übrigen bilden einen dreiblättrigen Verzweigungspunkt (den Ecken Ä', C\ C" entsprechend) ; bei Z = 1 verläuft ein Blatt isoliert (dem Punkte G entsprechend), und weiter liegen hier zwei zweiblättrige Verzweigungspunkte (den Mitten der Seiten Ä'B, C'B und A'D, C" D entsprechend); beiZ = cxs hat man (dem Punkte ^ === 0 entsprechend) einen fünfblättrigen Verzweigungspunkt. Diesen Angaben entsprechen die beiden Ansätze: (4) cZ=(^'-\-a^^b)(^- 3)^ ciZ--l) = ^(^^ + dt + ey für die zu gewinnende Funktion Z von ^. Man hat nur zu beachten, daß im dreiblättrigen Verzweigungspunkt bei Z = 0 vorschriftsgemäß ^ = 3 ist, und daß bei Z rrz 1 in dem hier isoKert verlaufenden Blatte ^ = 0 zutreffen sollte. Aus (4) folgt die in ^ identisch bestehende Gleichung: (5) (^'^a^ + h)(^-3y-c = ^(^2 -^ J^ + ef, die durch Differentiation nach ^ zu der weiteren identischen Gleichung: (5^2 ^ (4«_ 6)5 + 3(fc- 0)) (5-3)^ = (6t^^Bdt + e)(t' + d^^e)
Eesolvente faulten Grades der Ikosaedergleichung. hinführt. Da (f + d^-\-e) nicht durch (^ — 3) teüfear ist, sich diese Gleichung in die beiden: 5^ + 3^^ + . = o(r--6^T9), 5f -^ (4a - 6)^ + 3(6 - a) = 5(f + ^^ -f e). Der Vergleich der Koeffizienten ergibt: ' 3d = —30, e = 45, 4:ß — (} = od, 3(6—a) = 5e und damit a = — 11, 6 = 64, d—--m, e = 46. Trägt man diese "Werte in (5) ein imd setzt g = 3, so folgt: — c = 3 (9 — 10 . 3 + 45)2 ^ 3 .242 ^ 12^ = 1728. Die Besolvente fünften Grades der IkosaedergMchufig nimmt für die ausgewählte FunUion t, eine Gesteint an, die tcir wie die IkosaedergleicJpung (0) S. 56 seihst al$ Proportion schreiben: (6) Z:(Z-1):1 = (^2-11^4 64)(^-3)3 : —1728. Die Funktion g nimmt demnach in den Eckpunkten B und D des DB der ®,2 die Werte |(11 + 3iflE) an, in den Mittelpqnkten der Seiten Ä'B usw. aber die Werte (5 4:2*1/5). Die Darstellung von ^ als ,, na,türliche Lprationalität "^ dßr Ikosaedergleichung, d. h. als Funktion des Körpers (% s, z), gewinnt man so: Die zwölf Pole dieser rationalen Funktion sind die Ikosaed[erecken und also die Nullpunkte der Fimktion z{z^^ -f- 11 ^° — 1) uad der Punkt ^ == oc. Die zwölf Nullpunkte von t, sind die bezüglich der Tetraeder-®^^ mit der Stelle G der Fig. 7 äquivalenten Puiikte, d. h sie fallen zu Paaren in die sechs Schnittpunkte der Symmetriekreise der oben geaannten erweiterten Vierergruppe @g. Diese drei Kreise haben die Gleichungen: «/ = 0, {x^ + 2/^ — 1) cos -^ + a; = 0, {x^ + 2/^—1) cos— -Vx = 0, wo wie oben (S. 29 ff.) z =: x -{-iy gesetzt ist. Es handelt sich also um die vier reellen Nullpunkte der Funktion: {{z' - 1) + (1 ^ VS)^) {{z' _!) + (]- V5) ,) = ^* + 2^^ —6^2__2^+ 1
62 I, 3. Ikosaedergleichung und ihre Resolventen. und außerdem um die Pole ^ = +i der Substitution Z7. Von hieraus gewinnt man leicht den Satz: Die swr ausgeswMen Tdrwäer-%^^ ge- Mrende FtmUion.t, ist im Körper (9t, 2) enthalten und gegeben durch: ^'^^ ^~ ^(^lö-f 11^^—1) Xach den bisherigen Angaben ist ^ das Produkt einer Konstanten c und der hier rechts stehenden Funktion. Für Um 2 = 00 findet man dann unter Zuziehung von (6): ^ = C2, — 122Z=r f = C5^^ SO daß der Vergleich mit der Ikosaedergleichung (5) S. 56 die Folgerung c^ = 1 gestattet. Da nun für reelles z auch ^ reell sein muß, so gilt in der Tat c = 1. Die Eintragung des Ausdrucks (7) für ^ in (6) führt zur Ikosaedergleichung (5) S. 56 zurück. § 4. Weitere Gestalten der Resolyente fünften Grades. Die Einfachheit der eben gewonnenen Resolvente (6) gründet sich auf die günstige Auswahl der zur Tetraeder-@j2 gebörenden Funktion ^. Sie wird noch überboten, falls wir die homogenen Variablen z.^, z^ wieder einführen und damit auch „Formen" der Tetraedergruppe als Unbekannte von Resolventen zulassen. Wir verstehen erstlich unter f{z^, z^ die Form sechsten Grades: (1) f (^„ z^ = {z\ -f 4) + 2 ^1 ^, {z{ - 4) -oz\z\ (4 -f 4), deren Nullpunkte die sechs Schnittpunkte der drei Symmetriekreise der durch die Diametralsymmetrie erweiterten %^^ sind. Da f{z^^ z^ gegenüber der Substitution — 1 invariant ist, so werden die 16 Substitutionen der homogenen Tetraedergruppe, die den Perioden 3 und 6 angehören, die Form /"(^j, &^ bis auf multiplikative dritte Einheitswurzeln reproduzieren. Indessen ist nach der aus (7) § 3 folgenden Gleichung: (2) f{^r.^^^iliß)l{?,.^^ das Quadrat von f{z^^ z^ gegenüber jenen 16 Substitutionen absolut invariant, so daß die dritten Eiaheitswurzeln durchweg gleich 1 sind. Somit ist /*(^j, z^ gegenüber den 16 Substitutionen und also gegenüber allen 24 Substitutionen der homogenen Tetraedergruppe absolut invariant. Hiemach gewinnt man durch die Substitutionen der Ikosaeder-®j2o aus der Form (1) im ganzen fünf konjugierte Formen, die wir durch Ausübung der Substitutionen 1, S, S^ S^ S^ herstellen und: nennen, wo v = 0, 1, 2, 3, 4 zu setzen ist. Diese fünf Formen sind nun die WurzeLo einer Gleichung fünften Grades, deren Koeffizienten
Weitere Gestalten der Resolvente funftep Grades. 63 Invarianten der Ikosaeder-^^gjj und als solche durch die Grundformen cp, il}, X darstellbar sind. Diese Gleichung ergibt sicli aber sofort [aus der Resolvente (6) § 3 und der Ikpsaedergleichung. Man hat pämlich, falls man die Ikosaedergleichung in die abgekürzte Gestalt: (4) Z:(Z—1): 1 = cp^-.tj;^:—1728 x"" setzt, zunächst die Gleichung: r' e (^' - 10 ^ + 45)2 = - 1728 f (Z - 1) = f. Nach Einführung von f auf Grund von (2) und Ausziehen der Quadratwurzel folgt: f{r-iQxf-f^^i') = ±^- In dieser für z-^, z^ identischen Gleichung muß rechts das obere Zeichen gelten, wie man durch Eintragung vor^ z^ r=i 1, ^^ = 0 leicht zeigt. Die jResolvente fünften Grades in homogener Gestßlt alß solcher mit den fünf Lösungen (3) hat die Gestalt: (5) fö_io^f^ + zi,ox'f-t = 0. Man gelangt zu einer Gleichung fiinfte^ Grg,des, in der die vierte und die zweite Potenz der Unbekannten f ausfallen. Gleichungen fünft.en Grades dieser Gestalt bezeichnet Klein als „DiagonalgleicMmgen" *). Will man von (5) zu einer nicht-homogenen Resolvente, ohne zu quadrieren, zurückgelangen, so kann man die vom Quotienten z = Z-^:Zc^ allein abhängende Funktion: als Unbekannte einer Gleichung fünften Grades einführen. Für diese Gleichung berechnet man aus (5) leicht die Gestalt: (7) 4:8(Z—iyF^ + 40(Z—l)^^+ 16 F—A = 0. Als rationale Funktion von ^ ist F, wie man leicht feststellt, durch: (^^ ^ - F^"1Ö^ + 45 gegeben. Auch die Hessesche Determinante von f{Zj^, z^) ist eine Invariar^te der Tetraeder-®Jg. Sie ist vom achten Grade in den z-^^ £^, und m&n findet, wenn man: g'Y g2^ )zl ' dz^ dz^ d^f d^f : —A00h(z^, z^ 'bzJbz, ' d^ *) Vgl. wegen der Begründung dieser Bßnenn(ing „Ikos.", S. 166.
^4 I, 3. Ikosaedergleicliung und ihre Resolventen, setzt, für Ä(-^i, ^^ den Ausdruck: ^^^ i +7 44(4-4)- Ihirch die Substitutionen der Ikosaedergruppe geht die Form 'h{s^,g^ im ganzen in die fünf konjugierten Formen: über, die die Wurzeln einer weiteren Gestalt der Resolvente fünften Grades sind. Man könnte diese Resolvente gleichfalls leicht aus (6) S. 61 ableiten. Doch möge an diesem Beispiel eine andere Schlußweise erläutert werden. Die Koeffizienten der fraglichen Gleichung sind Invarianten der Ikosaeder-@j2Q der durch 8 teilbaren Grade 8, 16, 24, 32 und 40. Xaeh (7) S. 55 gibt es aber für diese Grade an nicht verschwindenden Invarianten der @j2(j bis auf konstante Faktoren nur die drei Invarianten y^, cpi und (p^ der Grade 24, 32 und 40. Für die Resolvente gilt somit der Ansatz: h^ -\-afh'' -l-h(pxh + c(p^ = 0, wo a, h, c konstante Faktoren sind. Kun muß diese Gleichung in ^^ und ^2 identisch bestehen. Ordnen wir aber unter Eintragung der Ausdrücke von h, (p und y i^ den ^j, z^ die linke Seite dieser Gleichung nach abfallenden Potenzen von ^j, so liefern die drei ersten Glieder die Gleichung: (^c + 1)4" + (p — o) ^f ^2 + (a — 6 + 45)^f 4 -^ = 0. Diese Gleichung soll also identisch bestehen, und also ist c = — 1, h = 5 und a = — 40. Die homogene jResoIvente fünften Grades mil den fünf Jionjugierten Formen (10) als Wurzdn ist: (11) }v> — Aöx'h^ + ocpx'h — cp^ = 0. Wir sind hier zu einer sogenannten „Hauptgleichung- fünften Grades im Sinne Kleins geführt, d. h. zu einer Gleichung, in der die vierte und die dritte Potenz der Unbekannten nicht auftreten*). WiU man die Gleichung (11) so umschreiben, daß sie nur vom Quotienten z der homogenen Variablen 0^, z^ abhängt, so führe man etwa die von z allein abhängende Funktion: (12^ TI{z\ = l^^C^i' ^2)z(^i' ^2) ein. Man findet dann unter Benutzung der Ikosaedergleichung (4): (13) ZJ?^ + 40irä—^60B^+144 = 0 *) Vgl. „Ikos.", S. 160.
Verschiedene Gestalten der ßesolvente fünften Grades. 65 als Gestalt der Resolvente fünften Grades. Die Darstellung von E als rationale Funktion von ^ erhält man d[urch folgende Überlegung: Die acht KuUpunkte von h{z^, z^ bilden ein |bezüg;lich der Tetr^eder-@iä invariantes Punktsystem. Hierbei kann es sich nur h^jideln um die vier Tetraederecken, je doppelt gezählt, oder um die vier doppelt gezählten Flächenmitten oder um das aus den Ecken und Flächenmittßn zusammengesetzte Punktsystem. Der letzte Fall trifft zu, da h nicht das Quadrat einer Form vierten Grades ist. Also sind die Nullpunkte von h die Punkte B und D des DB der Fig. 7 S. 59 und die mit ihjien bezüglich der @j2 äquivalenten Punkte. Somit ist h Teiler def Ikosaederform (p, und in der Tat bestätigt dies die Rechnung; man findet: (p{z^, z^) = g(z^, ^2)-Ä(^i, ^2^ wo die Form 12*^^* Grades g gegeben ist durch: (14) ] — 20 ^f 4 {4 — -^1) + 15 ^* 4 {z\ 4 4) — 24 4 z\ {z\ - 4) i +1144- Die rechte Seite der Gleichung (12) kürzt sich demnach so: (15) H(.) = l?li^^i>, so da£ E als Quotient zweier Tetrapderformen zwölften Grades eine lineare Funktion von ^ ist. Der Xullpunkt von E liegt iin Mittelpunkt ^ = 0 des DB (Fig. 7, S. 59), vo ^ = cxd ist, wäJirend der Pol von E sich in den äquivalenten Ecken A', C, C" findet, wo ^ = 3 ist. Die Darstellung von E als rationale Funktion von ^ ist hiemach: (16) E{z) := -i^, wobei man den im Zähler zugesetzten ]Faktor 12 leicht bestätigt. Für den auf der reellen ^-Achse gelegenen Punkt G des DB der Fig. 7, wo ^ = 0 und Z = 1 zutrifft, ist nämlich H reell. Die Gleich (ing (13) aber wird für Z = 1 reduzibel und liefert: {E+4:)(E^ — 2E+ ^y = 0, so daß nur der reeUe Wert B^=—4für^ = 0in Betracht kommt. Zur Bestätigung trage man den Wert (16) -von E in (13) ein: ^9^ 12^ 12 tt-3)'^ (5-3)» t woraus man sofort: - 12^Z = (^_ 3)^((g-3)ä- o(^ - 3) + 40)^ d. h. die Resolvente (6) S. 61 wieder gewinnt. Fricke, Algebra. H. £
(56 I, 3. Ikosaedergleiclmng und ihre ßesolventen. § 5. Diskriminanten der Resolventen fünften Grades. Die fünf Wurzeln einer einzelnen der aufgestellten Resolventen fünften Grades sind bei Ausübung der Substitution — 1 invariant; denn sie sind entweder nur von z abhängig oder Formen geraden Grades der ^j, z^. Die Substitution S permutiert die fünf Wurzeln zyklisch; diese Permutation ist gerade. Die Substitution T ist nur in einer Tetraedergruppe enthalten, so daß sie eine Wurzel unverändert läßt und die vier anderen paarweise austauscht; auch diese Permutation ist gerade. Aus S und T ist die ganze Ikosaedergruppe erzeugbar. Da die fünf Tetraedergruppen "nur die Substitution 1 gemeinsam enthalten, so liefert nur diese die identische Permutation der Wurzeln. Es besteht also der Satz: Die fünf Wurzeln der einzelnen JResolvente fünften G-rades erfahren hei Ausübung der Tkosaedersuhstituüonen die sechzig geraden Vertauschungen, so daß ihr DifferenzenproduM stets eine Invariante der Ikosaedergruppe darstellt. SoU die Resolvente (5) S. 63 eine Doppelwurzel f haben, so muß für diese Wurzel auch die durch Differentiation nach f entstehende Gleichung gelten: 5(r- 6;^/"' + 9f) = oif'-SxY = 0- Trägt man den hieraus folgenden Wert /" = i VS ;^ in die Resolvente ein, so ergibt sich: so daß wegen (6) S. 54 eine Doppelwurzel f nur für (p = 0 eintreten kann. Das Differenzenprodukt der fünf Wurzeln (3) S. 62: (1) Pfi^^,^,) = il(^-^') v<v' als Ikosaederform 60^*^^* Grades mit dem Faktor (p ist zufolge (7) S. 55, abgesehen von einem konstanten Faktor, notwendig die dritte Potenz von (p. Diesen Faktor bestimmt man durch Eintragen der Werte ^1 = 1, ^2 = 0, wobei das Differenzenprodukt die Gestalt annimmt: Pfih 0) =n («"'-'''') = 25 vs, v<v' wie man mit Hilfe der Gleichung (13) S. 41 leicht ausrechnet. Da (p(l, 0) = 1 ist, so folgt: Das DifferenzenproduM (1) der Besolvente fünften Grades (5) S. 63 ist: (2) Pf {z^. ^o) = n (^^ - f^) = 25 V5 9 {z^, ^,)^ r<r' woraus man mit Hilfe der Ikmaedergleichung (4) S. 56 für die Besolvente (7) S. 63 als DifferenzenproduM berechnet: (3) P.(.)=n(^.-^.0 = ^*1^,
Differenzen Produkte fur die ßesolveuten fünften Gra4es. 67 Das Differenzenprodukt der fünf Wurzeln (10) der Resolvente (11) S. 64 ist eine Invariante SO^ten Grades, die jedejifalls den Teiler cp hat, da die Resolvente für 9) = 0 die Doppelwurzel h = 0 h^t. Man kann die Resolvente nach Zusatz des Faktors 12^;^^ ir^i die Gestalt kleiden: (12h2y — 4:0-125 ^5 (j 2 h xf + 60-12^ f (p (12 h x) — 14A -12^ 2^ cp'^ == 0. Gilt 1^ = 0, so kann man hier zufolge (6) S. 54 für 12^;^° den Wert — (p^ eintragen und findet: (12 h yf + 40 9^ (12 /i yf — 60 ^* (12 h i)-\-\^^ 9=^ = 0, eine Gleichung, die reduzibel ist und zufolge ihrer Gestalt: (i2;i;K + 49)((i2^z)'-2(i2;ix)9-f 6g'T = o zwei Doppelwurzeln hat. Das gesuchte Differenzenprodukt J^hiß^^ ^2) muß also auch mit 7^ verschwinden und hat somit den Teiler (p ^. Der noch übrig bleibende Faktor ist vo|n 30^*^'^ Grade und muß demiiach, von einem konstanten Faktor abgesehen, notwendig wieder gleich -^ sein. Der konstante Faktor bestimmt sich gerade wie oben durch Einträgen der Werte ^^ = 1, ^^ = 0 zu 25 V5. Das BifferenzßnproduU der Besolvente (11) S. 64 gestattet als Invariante ßer Ikosaedergruppe die Darstellung: (4) Pa (^,, ^,) = n (^^ - ^'^') = 25 y5'^ (^„ ^2). ^ {z,, z,)\ woraus man mit Hilfe der IJcosaedergleichung (4) S. p6 f^r das Diffe- renzmproduM der fünf Wurzeln der Gleichung (13) S. 64 erhält: (5) Pj,iz) = n (^^ - ^^^') == si^^oo ys ^^^ • v<v' Endlich ergibt sich aus (16) S. 65: Das Produkt der fünf Funktionen H^ berechnet sich aber aus (18) S. 64 zu — 12^-Z—^ Auf Grund von (5) gelangt man demnach zu (^em Satze: Bas BifferemenproduU dßr fi^nf Wurzeln t, der Besolvente (6) S. 61 stellt sich in Z wie folgt dar: (6) P,^{z,, ^2) = n (^^ - ^^') == 12« • -S V5 Z (Z - 1). Wie es sein muß, ist die Diskri^iinante stets im Körper (9?, Z) bzw. (Ö?, cp, tl;, x) enthalten. Dagegen tritt in den jpi-fferenzenprod^ikten die numerische Irrationalität ys auf, die somit in jedem Fßlle eine natürliche Irrationalität der Besolvente fünften Grades ist. Der algebraische
68 • I, 3. Ikosaedergleicliung und ihre Eesolventen. Charakter der einzelnen Resolvente fünften Grades liegt hiemach am Tage. Sie ist im Körper (9t, Z) bzw. (^, (p, tj;, %) eine irreducible und aifeUlose Gleichung fünften Grades, indem ihre Galois sehe Gruppe die symmetrische Permutationsgruppe ©jgo ^^^- Entsprechend den Sätzen in I, 391 ff. reduziert sich die Galois sehe Gruppe nach Adjimktion der Wurzel der Diskriminante, d. h. hier der natürlichen Irrationalität \ 5 auf die alternierende ©g^? ^^^ zufolge des ersten Satzes im vorliegenden Paragraphen die Monodromiegrupjpe der Resolvente ist (vgl. S. 58). Im Sinne von I, 382 ist die Gleichung fünften Grades bei Zugrundelegung des Körpers (5R, Z) bzw. (9?, (p, ip, y) eine Partiairesolvente der Ikosaeder- gleichung. Die Galois sehe ©^go ^^^ Resolvente ist das Komplement eines Xormalteüers ©g ^^^ Galois sehen Gruppe ©^^^^ der Ikosaeder- gleichung. Dieser Xormalteiler ©^ ist leicht angebbar. Der Ersatz von B durch £^ liefere die Permutation F, die von den Wurzeln der Resolvente eine unverändert läßt (nämlich ^q, /"q, • • •) und die anderen vier zyklisch permutiert. F^ bewirkt dann dieselbe Permutation wie die Ikosaedersubstitution TJ, so daß die Operationen 1, V'^-TJ den fraglichen Teuer ©g bilden. Auch nach Adjunktion von yS bleibt die Gleichung fünften Grades eine Partialresolvente, dagegen wird sie nach Adjunktion von e eine Totalre&olvente der Ikosaedergleichung; denn jetzt sind die beiderseitigen Galois sehen Gruppen isomorphe ©g^. Auch die homogenen Gleichungen (o) S. 63 und (11) S. 64 sind für das Formen- prohlem der Ikosaedergruppe nur Fartialresolventen; denn die symmetrische @J2Q fünften Grades ist keineswegs mit der homogenen Ikosaeder-®^^^ isomorph. Xach Adjunktion von s muß zwar die Lösung z der Ikosaedergleichung nach Lösung einer Resolvente fünften Grades rational bekannt sein. Aber durch diese Lösung kann die letzte Quadratwurzel (S. 57) bei Lösung des Formenproblems, die zur Kenntnis von ^j, ^^ einzeln führt, noch nicht mit erledigt sein. Dies geht auch unmittelbar aus der Überlegung am Anfang des vorliegenden Paragraphen hervor. Die Rechnung bestätigt die hier gezogenen Schlüsse. Besonders einfach gestaltet sich die Berechnung von z nach Adjunktion von s aus den Wurzeln der Resolvente (11) S. 64. Aus der Gestalt (10) S. 64 der /«, (^j, ^2) findet man leicht die vier Gleichungen: l' = 0 2 s^'K (^1, ^2) = — 5 ^f ^2 (4 — 7 4), i = 0 2 «'^^'v (^1, ^2) = oz, s\ (7 £\ + 4), 2 £*''/^(^i, ^2) = 54(7^^ + 4), (7)
Algebraischer Charakter 4er ßesolventen fünften Grades. t)9 aus denen man für s die beiden Ausdrücke folgej-t: Die eine der beiden in (8) vereintep Gleichtuigen für z geht in die andere über, indem man die vorhin mit F^ • JJ bezeichnete Operation ausübt. Die Iriy bleiben dabei unverändert, £ ist durch £* zu ersetzeii und z dflrch — ^-1, da die Permutation F^ dey 60 Wurzeln der Ikosaedergleichuag z an seiner Stelle läßt. § 6. Resolvente sechsten Grades der Ikosaederglejchuiig. Weit leichter ist die Resolvente sechsten Grp^des zugänglich, die den sechs konjugierten Teüem ©^^ ^^^ Ikosaeder-@gp vom Diedertypus entspricht. Eine dieser ©^^ ist die aps den Ikpsaedersubstitutionen S ui^d V zu erzeugende Gruppe, der als Pimktion z. B. der Ausdruck {f-"—^~5) zugehört. Um besseren Anschluß an die Ikosaedergleichung zu gewinnen, wollen wir jedoch statt dieses Ausdrucks seine lineare Funktion: als Wurzel für eine zunächst aufzustellepde Gestalt der Resolvente sechsten Grades benutzen. Dann gilt umgekehrt,: Die Ikosaedergleichung (5) S. 56 lä£t sich in die Gestalt setzen: Z:(Z-\):\ = ((^3-^-5)2-228(5° = 5-5)^ 49(5)3 : {{f^ - z- 5)2 + 4) ((^5 - z~ 5)2 + 622 {f - ^- 5) _ 10 004)^ :-12^ ((^^-^-5) ^11)5 Trägt man für {z^ — zr^^ den Ausdruck (2) in | ein, so führt die Umrechnung der entstehenden Gleichung zu folgei^.dem Satze: Die Hesolvente sechsten Grades der Ikoßaedergleicftung, deren erste Wurzel die durch (1) erklärte Funktion | ist, kann in die Gestalt geklei^ä werden: rZ:(Z-1):1 = (f-10| + 5)^ (3) ..(|2_22| + 125)(f-4|-l)2 I :-l2^|. Eine zweite Gestalt der Resolvente sechsten Grades, die leicht aus (3) entnommen werden könnte, die aber auch auf anderem Wege herstellbar ist und damit einen neuen Beweis der Gleichung (3) liefert, gewinnt man in'folgender Art: Das Produkt z-^-z^ ist gegenüber der homogenen Substitution S (vgl. ß. 42) inxiariant und erfährt bei
70 I, 3. Ikosaedergleicliang und ihre ßesolventen. Ausübung von TI Zeichenwechsel. Somit geh9rt die biquadratische Form zl zl zur homogenen Diedergruppe ®2 - lo > ^^^ ^^s S und TJ erzeugt wird. Für die Rechnung ist es zweckmäßiger, ^z\zl einzuführen, eine Form der @2 • lo > die wir durch: (4) gooiß^, ^ä) = S^f4 bezeichnen *). Durch die fünf Substitutionen T, S ■ T, S^ -T, S^-T, S^-T geht die Form (4) zufolge (1) S. 42 über in die fünf untereinander und von g^ verschiedenen Formen: (5) g,(0^, 0^) = (s^^l + ^1^2 — £*''4)^ *' = 0, 1, 2, 3, 4, die demnach mit g^ sechs konjugierte Formen der Diedergruppen liefern. Setzen wir nun die Gleichung an, deren Lösungen diese Formen sind, so sind deren Koeffizienten Invarianten der Ikosaedergruppe, und da die Invarianten niedersten Grades, von konstanten Faktoren abgesehen, %' 9' X^ d^^ Grade 12, 20 und 24 sind, so hat man den Ansatz: (6) g^ + axg^ + hcpg + cx" = 0 für die Resolvente. Das Produkt c;^^ ist zufolge (4) und (5) gleich 5;^^, so daß c = 5 ist. Trägt man weiter: ein und hebt durch oz^zl, so folgt: 55^10^10 ^ a'IözUtx +icp + {z\'' + 11 zUl—ziy = 0 als eine in den r^, z^ identische Gleichung. Für z-^ = 1, z^ = 0 folgt 0+1=0, so daß h = — 1 ist. Weiter ergibt sich für ^^ = 1, z^ = 1: 5^ +11-25« —496 + 121 = 0, a = — 10. JDle Besolvente bechden Gradeb der IJcosaedergleichung, deren Lösmigen die sechs Formen g sind, hat die Gestalt: (7) g^-io^g^-cpg + 6x' = 0. Um hieraus eine nur vom Quotienten 0 = 0^^:z^ abhängende Resolvente herzustellen, setze man etwa: (8) a (A — g'(^i'^ä)y(gi>^2) Die Gleichung (7) geht dann in folgende Gleichung für Cr über: (9) (J« +lOZG-2 —12Z2(J +5Z2 = 0. Der Zusammenhang der Form g (z^, z^) mit der Funktion | (s) ist durch: (IQ) • 9(~^. ^,f = H^)% {^^, ^2) '') Die Wahl des Index 00 und weiterhin der Indizes 0, 1, 2, 3, 4 bei den biquadratischen Formen g rührt von der Bedeutung dieser Formen in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen her.
ßesolvente sechsten Grades der Ikosae4ergleicliung. 7] hergestellt. Die Gleichung (7) liefert dabei: (r-10|-|-5);K' = ^fe woraus man durch Erheben zur dritten Potenz unter Benutzung der Ikosa'edergleichung (4) S. 56 die Resolvente (3) wiedergewinnt Zufolge (4) und (5) sind auch noch die Qu^drat^vurzeln der Formen g rational in den z^, z^\ (11) y^ = y5^,^,, ig.^^^z\^2^z^-E^^z\, ^ = 0,1,..., 4; sie gehören zu den fünf konjugierten zyklisphen Teilern ©2-5 der homogenen Ikosaedergruppe. In den drei quadratischen Verbir^dungen: (12) u^^z^s^, u^ = z\. u^ = —4, die an die Beziehung: (13) UI + U,U,:=0 gebunden sind, stellen sich die Quadratwurzeln der Formen g so dar: (14) ig^ = VöWo, idv = % + £"«1 + £*"%• Die durch (11) eindeutig erklärten Quadratwurzeln der Formen g sind hiernach durch die folgenden Beziehungen aneinander gehunden: r - y5 v^ + v^, + y^, + ij, + ij, + n = o, (15) y^o + £' ii, + e' yj, -i- e y^3 +«' v^. = o, I v^o + ^'ü + £ v^2 + ^* v^3 + ^'il = 0- Gegenüber den binären lipearea Si;bstitq.tionpn der homogenen Ikosaedergruppe müssen sich die w^, u^, m, te:pnär linea:p substituieren. Da sie bei der Substitution — 1 einzeln unverändert bleiben, so gelangen wir nur zu einer ©g^ von sechzig ternären Substitutionen der ip, die mit der nicht-homogenen IJcosaeder-®^^^ isomorph ist und erzeugt wenden kann aus den heiden wieder mit S und T zu hesetchne^den Suhstitutio'mn: (S) u'q = U(^, ^[ =■ BU^, % = ^*%) ( ] ou'q = a^-\- u^~ u^, (T) y 5 2*; = 2 u, -^ (£2 + e') a^ + {8 -V £*) u,, ( ys % = 2 u, + (£ + £*) u, + (£' -f e') «2- Die Substitutionen dieser ternären ©g^ sind ummodular, und sie trans formieren die quadratische Form (Uq -f- u^ u^) in sich =*). Die Resolvente (7) wird als eine „JacoUsche Gleichung^ bezeichnet. Jacobi**) fand in den „Multiplikatorgleichungen-, die er für die Trans- *) Über die Theorie der temareii ©g^ bei unabhängig variablen u, ube^- ihre Invarianten und ihr Formenproblem vergleiche ^l^an „Ikos.", S. 211 ff. "'*) Vgl. dessen „Notices sur les foi\ctions elliptiques'- im Journ. f. >Iath., Bd. 3, S. 308 oder Jacobis Werke, Bd. 1, S. 261.
72 I, 3. Ikosaedergleichung und ihre Resolventen, formation der elliptischen Funktionen bei primzahligem Grade n aufstellte, Gleichungen (n -f- 1)*«" Grades, bei denen die Quadratwurzeln der (n + 1) Lösungen sich mittels der Einheitswurzeln »*^° Grades genau so in l(^ _j_ 1) Größen w^' ^i» %>•••) %—i darstellen lassen, wie dies für » = 5 in (14) vorliegt. Auch die Relationen (15) verallgemeinem sich dabei*). § 7. Diskriminante der Resolvente sechsten Grades. Die Form g^o wird durch die Substitution S in sich transformiert, die übrigen fünf Formen g^ aber werden durch S zyklisch permutiert, so daß alle sechs Formen g durch S eine gerade Permutation erfahren. Die Substitution T ist in zweien unter den sechs konjugierten Diedergruppen @2-io enthalten**). Es werden also zwei Formen g durch T in sich transformiert, und die übrigen vier werden, da alle g hei T^ = — 1 in sich selbst übergehen, durch Ausübung von T zu Paaren ausgetauscht. Damit ist wieder eine gerade Permutation aller sechs g gegeben. Wir notieren sogleich den Satz: Die Monodromiegruppe der Besolvente sechsten Grades hesteht aus 60, den IJcosaedersubstitutionen entsprechenden „geraden^ Permutationen der sechs Wurzeln. Hiernach ist das Differenzenprodukt: (1) P,(^„ z,) = n iß^-ga)- n i-9r-9.') u = 0 r<r' der sechs Wurzeln (4) und (5) S. 70 der Resolvente (7) S. 70 eine Invariante der Ikosaedergruppe, und zwar eine solche 60^^^^* Grades. Diese Invariante hat den Faktor i^(^j, ^2)) ^^^ ^^ nach Abtrennung desselben ein invarianter Faktor SO^*^"^ Grades übrig bleibt, so ist sie, abgesehen von einem konstanten Faktor, gleich dem Quadrat der Grundform ^. Es hat nämlich die Resolvente für i^ = 0 zwei Doppelwurzeln, was man am leichtesten an der Gleichung (9) S. 70 sieht, die für Z = 1 die Gestalt: (a^^ G —1)2 ((j2 _ 2 (j + 0) = 0 annimmt j). Den konstanten Faktor bestimmt man wie üblich durch Eintragung der Werte z^= 1, 3^==: 0. Das DifferensenproduU der sechs *) Über den allgemeinen Begriff der „Jacobischen Gleichungen" und insbesondere über diejenigen vom sechsten Grade vgl. „Ikos.", S. 148ff. und 223ff. **) In der nicht-homogenen Ikosaeder-@60 sind 15 konjugierte Substitutionen der Periode 2 enthalten, die sechs Dieder-@io enthalten aber im ganzen 30 solche Substitutionen, so daß jede derselben in der Tat in zwei Diedergruppen auftritt. t) Wegen der Beziehung (8) S. 70 hat dann auch die Gleichung (7) daselbst fur 1^ =: 0 zwei Boppelwurzeln.
Differenzenprodukte fur die Resolventen sechsten Grades. 73 Wurzeln der Besolvente (7) S. 70 ist dt= Invßriante der IJcQsaedergruppe ', durch: (2) Pg{z,,z,)== -2oV5^^(5„..,)^ woraus man mit Hilfe der IJcosaedergleichun9 (4) S. 06 als Differemen- produJd der Wurzeln der Besolvente (9) S. 70 herechnd: (3) Po {z) = - 12^. 25 VS'Z^ (Z - 1). Sind g und g zwei verschiedene Wurzeln dey Gleichung (7) S. 70, so besteht zufolge dieser Gleichung in den z^, z^ 4ie Gleichung: 9'-9"-l(i%i9' -9") = <p(9-9') identisch. Da g' nicht mit g identisch ist, so besteht auch: (g' + g' - 10x) (9' + 99 + 9") = g> identisch. Die Form achten Grades (ß^-\-99'-\-9"^) verschwindet also nur in Mittelpunkten von Ikosaederflächen. Xun Jiat man: 9^ — 9'^ = (9- 9) (9^ + 99 ^ 9'^) und findet hieraus für das Differ enzenprodukt der sechs Kuben der Formen g: n i9'^-9td n i9i - 9i) = -p, • n ^"+99 + 9'% WO rechts das dem links stehenden Produkt gleich gebildete Produlfvt der 1 o Faktoren {ff^ -\- 99 -\- 9^) gepieint ist. ^JsTach der vorg-ufgesandten Überlegung ist dies Produkt, abgesehen von einem konstanten Faktor, gleich der sechsten Potenz der Forn^ (p. Setzt man noch für Fg seinen Wert (2) ein, so hat man den Ansatz: (4) n (^- - 9'u) Yi {gl - 91') --=■ <^ cp' t', u = 0 v<v' wobei man c durch Eintragen der Werte z^ z=.-- 1, z^ = Q zu: c = - n ^"- n (a'^-fO^'-^sys berechnet. Die Gleichung (4) liefert nun zufolge (10) S. 70: p.(^).^i5 ^ 25 V5"y«y. Mit Benutzung der Ikosaedergleichu^g (4) S. 56 folgt: Das Differenzen- produM P^ (z) der sechs Wurzeln | der Besolvente sechsten Grawes (3) S. 69 stellt sich als rationale FunUimi von Z so dar: (5) • P| (z) = — 12^». 25 i&Z^ (Z - 1). Die Diskriminanten für die verschiedenen Gestalten der Resolvente sechsten Grades sind durch die FormeLi (2), (3) und (5) unmittelbar
74 I, 3. Ikosaedergleicliung und ihre ßesolventen. mitgegeben. Sie gehören, wie es sein muß, dem durch die Koeffizienten der Resolvente festgelegten Körper Qit, (p, i^, i) bzw. (9^, Z) an. Die AdjunJction der Quadratwurzel der Dishriminante läuft auch hier auf die AdjunJction von ^6 hinam, worin wieder eins natürliche Irrationalität der Besolvente gewonnen ist. Auch die übrigen algebraischen Folgerungen schließen sich denen bei der Resolvente fünften Grades genau an. Die Gäloibsche Gruppe der JResolvente sechsten Grades ist tvie die der jResol- vente fünften Grades das Komplement des aus den Operationen 1 und V^ • U hsstelienden Normalteüers ®^ der Galois sehen Gru/ppe ©^.eo ö!er Ikosaeder- glekhung. In der Tat bleiben zufolge (4) und (5) S. 70 die g einzeln bei Ausübung der Operation Y^ • TJ unverändert. Betreffs des Charakters unserer Gleichungen sechsten Grades als Partial- bzw. Totalresolventen der Ikosaedergleichung gelten unverändert die bei der Resolvente fünften Grades gemachten Angaben. Erst nach Adjunktion von e haben wir in den Gleichungen sechsten Grades Totalresolventen der Ikosaedergleichung. Entsprechend ist die Lösung z der Ikosaedergleichung nach Adjunktion von £ rational in den Wurzeln einer Resolvente sechsten Grades darstellbar. Aus (5) S. 70 leitet man z. B. leicht die Gleichungen ab: (6) ^B^^g. = 2zg^, 2^^^v= -2^-^^^, ^ = 0 v — o die wieder durch die Operation F^ • TJ ineinander überführbar sind. § 8. Beziehung zwischen den beiden Resolventen fünften und sechsten Grades. Die untersuchten Gleichungen fünften und sechsten Grades gehören als Partialresolventen der Ikosaedergleichung zu dem gleichen Xormal- teiler ©g ^^^ Galois sehen Gruppe ©^.go der Ikosaedergleichung. Hieraus ergibt sich, daß sich die einzelne Wurzel der einen unserer 'beiden jResol- venten stets als eine rationale FunJdion der Wurzeln der anderen Besolvente darstellen lassen muß, wobei in den Koeffizienten als einzige Irrationalität Vo auftreten darf, die ja fur beide Besolventen eine „natürliche'- ist. Die fragliche Darstellung z. B. der ersten Lösung | der Resolvente sechsten Grades in den fünf Wurzeln der Resolvente fünften Grades (5) S. 63 ist leicht angebbar. Wir entnehmen aus (3) S. 62 : 2 fVv = ~26z^zi, 2 «*V. = -25^*4, und folgern hieraus durch Multiplikation und Benutzung von (4) und (10) S.70: (2^V,)-(2^*Y.) = 625.M = 6|x{^^, ^,), wobei sich hier und in den nächsten Formeln die Summation stets auf die Zahlen v = 0. 1, 2, 3, 4 bezieht. Durch Entwicklung der linken Seite
Zusammenhang der ßesolventen fünften und sechsten Grades. 75 der letzten Gleichung gelangt man mit Benutzung des Umstandes, daß die beiden ersten Potenzsummen der f^ verschwindea, leicht zu dem Satze: Die erste WurM | der Besolvente sechsten Grades stellt sich in den Lösungen der BesoVoente fünften Grades (5) S. 63 so ßar: wo die Indizes der Lösungen f nötigenfalls mod 5 0U reduzieren sind. Die den Substitutionen T, S-T, S^-T, S^-T, S*-T entsprecheüden Permutationen der f^ führen zur Darstellung der übrigen Wurzeln der Resolvente (3) S. 69*). Um die umgekehrte Aufgabe zu lösen, knli-pfen wir an das Differenzenprodukt Pg der Resolvente sechsten Grades (7) S. 70 a|i. Aus der Darstellung (2) S. 73 von Fg geht hervor, daß die viey Nullpunkte der einzelnen der 15 konjugierten Formen (g — g') vierte^ Grades in vier Kantenhalbierungspunkten des Ikogaeders liegen. Insbesondere liegen die vier XuUpunkte von {g^ — ^q) auf de|- reellen ^-Achse an den Stellen: also in den vier auf diesem Symmetriejvreis der Ikosaederfceilung (vgl. Fig. 4, S. 46) gelegenen Kantenlialbierungspunkten. Die Form (g^o — g^) wird dementsprechend, vom Vorzeichen abgesehen, durch die Substitutionen T und T • U, also auch durch U in sich transformiert. Der Form {ß^ - g^) gehört hiernach eindeutig ein Symmetriekreis, nämlich die reelle i?-Achse, und gleichfalls eindeutig eine der 15 Substitutionen der Periode 2 an, nämlich U, deren Drehungsachse zur Diametralebene des Symmetriekreises senkrecht steht. Kun gehört zu der in (7) S. 62 gegebenen ersten Wurzßl ^ der Besolvente fünften Grades gerade die aus 1, T, U, T-TJ bestehende Vierergruppe @^. Durch Ausübung einer in der zugehörigen Tetraeder-(§>^2 enthaltenen Substitution der Periode 3 fiifidet man von (g^ — g^ aus ^% Formen, die den beiden anderen Sjn^imetriekreisen der Viereygruppe entsprechen, (^r^ — g^ und (^2 — g^. Das Produkt aller drei Formen hat demnach in den sechs Schnittpunkteii jÄier drei Sjnnmetriekreise je einen XuUpunkt zweiter Ordnung. Genaij diege Punkte, einfach gezählt, sind nun aber die Nullpunkte der in (1) S. 62 gegebenen Foym sechsten Grades /(^j, ^g). Also gilt der Ansatz: i9o. - g^) i9i - g^) {92 — 9s) == cfi^i, ^2^»'' w^o c eine Konstante ist. Indem man ^^ = 1, z^ = 0 einsetzt, folgt c = y 5. Dieses Ergebnis kann auch durch direkte Rechnung bestätigt werden, wenn man für die g ihre Ausdriicke (4) und (5) S. 70 einträgt. =<)-M-an vergleiche hiermit die EntM'icklungen pon Kronecker, über die j „Ikos.", S. 153ff. berichtet ist.
76 I, 4. Transzendente Lösnng der Ikosaedergleichnng. Mt Benutzung von (2) S. 62 gelangt man zu dem Ergebnis: Die erste Wurzel ^ der Besölvente fünften Grades (6) S. 61 siellt sich in den Wurzeln der Besolvente sechsten Grades (7) S. 70 so dar: (2) Vs" ^ Z = (^» - ^o) (^1 - 9d (^3 - 9z)- Zur Darstellung der übrigen Wurzeln t, hat man bei unverändertem g^ die fünf Größen g^^, g^, g^, g^, g^ zyklisch zu permutieren*). Viertes Kapitel. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. § 1. Einführung der Modulgruppe @. Die bei der Teilung und Transformation der elliptischen Funktionen auftretenden algebraischen Gleichungen haben verschiedentlich fördernd in die Entwicklung der Algebra des vorigen Jahrhunderts eingegriffen. Die sogenannten allgemeinen Teilungsgleichungen und der Prozeß ihrer Lösung haben für Abel das Vorbild abgegeben bei der Entwicklung der Lösung der späterhin nach ihm benannten Gleichungen. Die Modular- gleichungen für Transformation eines Primzahlgrades waren für Galois führend bei der Ausbildung seiner gruppentheoretischen Grundsätze. Die Auflösungsmethoden der Gleichung fünften Grades durch elliptische Funktionen, die Ende der fünfziger Jahre des vorigen Jahrhunderts durch Hermite, Kronecker und Brioschi entwickelt wurden, knüpfen an die Modular- und Multiplikatorgleichungen an, die bei Transformation fünften Grades der elliptischen Funktionen auftreten, und stehen in engstem Zusammenhang mit den Entwicklungen des vorigen Kapitels über die Resolventen der Ikosaedergleichung. Die eigentliche Grundlage zum Verständnis dieser Gegenstände gewinnt man in der transzendenten Lösung der Ikosaedergleichung durch elliptische Modulfunktionen. Um sie darzulegen, müssen wir uns uciit einigen Hauptsätzen über elliptische Modulfimktionen bekannt machen, die wir auch für andere spätere Untersuchungen zur Verfügung haben müssen. Wegen aller weiteren Ausführungen ist auf die Spezialwerke (vgl. die Xote S. 24) zu verweisen '^*). =") Mittels einer Transformation der Gestalt (2) hat bereits Hermite ans der Modnlargleichnng sechsten Grades für die Transformation der elliptischen Funktionen des Primzahlgrades 5 die in diesem Falle existierende Eesolvente fünften Grades hergestellt. Vergleiche die Abhandlung „Sur la resolution de l'eqnation dn cmqniöme degre", Compt. Eend., Bd. 46 (1859). =•*) Vergleiche hierzu die Vorbemerkungen, die Klein in Bd. 3, S. 3 der „Ges. Abh.** dem Wiederabdruck seiner Arbeiten über elliptische Modulfunktionen vorans- gesandt hat.
Einführung 4er Modnlgruppe. 77 Unter o = | -f * ^ wird eine komplexe Variable verstanden*), die einer ganssaMigen unimodularen Substitution: (1) -■=^^. aS-ßy=l unterworfen werden soll. Wir stellen die Sabstitutio^en (J(.) wipder abkürzend durch das Symbol /'"' A dar uifid bedienen uns füf sie der Bezeichnungen S, T usw. Wie S. 25 bei den damaligen nicht-hopiogepen Substitutionen kann man auch hier eir^en gleichzeitigen Zeichenwechsel der vier ganzzahligen Koeffizienten ohne Änderung der Substitution vornehmen. Durch Zusammensetzung z^veier Substitutionen: (2) s = f;;^,), s' = (;;;^;i nach der Regel (6) S. 3 gelangt m£^n zur Substitution: , ^a'a^-ß'y, a'ß ^ ß'd\ ^•^ — [y'a^S'y, y'ß + S'SJ' die wieder ganzzahlig und, wie man leicht feststellt, unimodular ist: pie Gesamtheit der ganzsiahligen unimodularen Suhstitutim^en (1) Mldet eine Gruppe @; die die Grundlage der Theoriß der elliptische^ MoßulfunUionen Mldet und als „Modulgruppe'- heeeichnet wird. Zwei durch eine Substitution (1) der Modulgruppe @) verbundene Punkte ö und o' heißen bezüglich @ „ äquivalent "•. A(is (1) folgt, wenn man co = ^ -{- i rj, co' = ^' -{- i rj' schreibt: .o. ,, _ ocrir^ + v')-^(oc8~\'ßr)^^ßö , n Ist demnach r} =j=: 0, so haben stets fj' und rj das gleiche Vorzeichen. Den durch ij ^ 0 charakterisierter^ Teil der o-J^bene nennen wir die positive (o-HaTbebene, den Bereich mit « <i 0 aber die negßtive co-Halb- ebene. Die mit einem Punkte der einzelnen Halbebene äquivalenten Punkte gehören dann zufolge (3) stets der gleichen B[albebene an, und ein Punkt der reellen o-Achse kann bezüglich @ stetß nu:p wieder piit einem reellen Punkte o äquivalent seir^. Dabei ist der Punkt oo den reellen Punkten zuzurechnen. Da die Invariante j = a -{- 8 von S eine g^nze Zahl ist, so ergibt sich aus S. 26ff.: Alle Substitutionen der Modmlgrupfe (§) sind nieU- loxodromisch, und zwar hat man für a ~\- 8 = 0 elliptische Substitutionen der Periode 2, für j a ~f «5 =1 ßben solche der Periode 3, fur a -\- 8\ = 2 neben der identischen Stibstitution parabolische Spob- stitutionen und endlich für | a + d I > 2 hyperbolische. Zufolge (8) S, 25 liegen die beiden Pole einer elliptischen Substitution in zwei zur reellen =") In der Theorie der elliptischen Punktionen ist (a der Quotient der Perioden des elliptischen Integrals erster Gattung. Z\^ecks leichterer Bezugnahme auf die SpezialWerke wird die Bezeichnung co hier bßibeha|,lten.
78 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleictung. Achse symmetrischen Punkten der o-Halbebenen, während die Pole der parabolischen und hyperbolischen Substitutionen auf der reellen o-Achse liegen, und zwar diejenigen der parabolischen in rationalen Punkten. Wie die Polyedergruppen (S. 50), so kann man auch die Modul- gnippe @ zu einer homogenen Gruppe ausgestalten. Man spaltet o in den Quotienten a^: ög zweier homogener Variablen ca^, a^ *) und läßt der nicht-homogenen Substitution (1) die beiden homogenen: iöi = -f a «1 -f- /3 öo, 0.2 = ~f 7 «1 ~f ^ ß^s' öi = — a «1 — /3 «2, 0-2 = — 7 «1 — 8 a.2 entsprechen, von denen die eine aus der anderen durch Zusammensetzung mit der symbolisch durch — 1 zu bezeichnenden Substitution ca\ = — ca^, 0.2 = — «2 hervorgeht/ Wenn wir hier auch mit Gruppen unendlicher Ordnung zu tun haben, so wird doch sofort folgender Satz verständlich sein: Die beiden Substitutionen 1 und — 1 bilden einen Normälteiler der homogenen Modulgruppe, und das zugehörige Komplement ist mit der nichthomogenen Modulgruppe isomorph. Während die Polyedergruppe (S. 43 ff.) mittels der Diametralsymmetrie der ^-Kugel durch Hinzunahme von , Substitutionen zweiter Art- erweitert wurde, ist bei der Modulgruppe @ eine andere Art der Erweiterung am Platze. Ist cö = | — irj der zu co konjugiert komplexe Wert, so hat der Übergang von co zu o' = — cö die Bedeutung einer Spiegelung der «-Ebene an der imaginären Achse, wobei wieder jede der beiden Halbebenen in sich selbst übergeführt wird. Diese Spiegelung transformiert die einzelne Substitution /«: S' = ^-\y,s) v-7, und also die nicht-homogene Modulgruppe ® in sich. Wenn wir demnach jene Spiegelung durch U bezeichnen, so gewinnen wir durch Zusammensetzung aller Substitutionen „erster'' Art (1) mit U ebenso viele gam zahlige unimodulare Substitutionen ,, zweiter- Art: (5) «' = -"^, a8-ßr^l, fca — 0 ^' die zusammen mit den Substitutionen (1) die „erweiterte- Modulgruppe ® bilden: (6) @ = @ -f ®. r. Wie bei den erweiterten Polyedergruppen sind auch hier die Spiegelungen unter den Substitutionen (5) wichtig. Die zweite Potenz der Substitution (5) ist: ,^{a' — ßy)co—ß{a — d) "^ Y(<^-S)co + {d'-ßy)' *) Es sind in der Theorie der elliptischen Funktionen die to^, einfach die beiden Perioden des elliptischen Integrals erster Gattung.
Homogene und erweiterte Modulgri^ppe. 79 Soll sie die identische Substitution sein, so ist hierzu die Bedingung d = a, hinreichend und notwendig. Die in der erweiterten Modulgruppe ® enthaltenen Substitutionen zweiter Art der Periode 2 sind die folgenden: (7) y CO — a die einzelne Substitution (7) steüt eine „Sjpiegelung'- von der S. 44 ff. näher charaUerisietien Art dar und hat als „Symmefirie-'' oder „InpersiansJcreis" den die reelle ca-Achse senkrecht schneidenden Kreis: (8) y(|3_|_^2)_2a|-f/3 = 0, a'-ßy=l. § 2. Dreiecksnetz und DB der Modulgrtfppe. Indem man in der einzelnen, etwa der positiven o-Ifalbebene die Symmetriehalbkreise (8) aller in @ enthaltenen Spiegelungen gezeichnet denkt, entsteht eine eigentümliche Figfir \j\ dieser B albebene, die zu einem äußerst wertvollen Hilfsmittel für die Entwicklung der Theorie der elliptischen Modulfunktionen geworden ist. Man kann diese Kreise leicht in eine übersichtliche Anordnung loringen. Zimächst hat jnan fur y = 0 unendlich viele gerade Linien: (1) 21 = ^, ^ = 0, + 1, ± -i, X 3, • • •, die zur reellen o-Achse senkrecht verlaufen und mit der imaginären Achse beginnend je im Abstand -| aufeinander folgen. Ist y r^ 0, so mag man, da ein gemeinsamer Zeichen^^echsel von a, /3, y statthaft ist, 7 >> 0 setzen. Aus (8) § 1 folgt dann als Gleichung des Synmietrie- kreises: und zwar haben wir hier alle positiven ganzen Zahlen y = 1, 2, 3, • •• zuzulassen, und für das einzelne y hat p; alle positiven und negativen, der Kongruenz: a- = 1 (mod y) genügenden ganzen Zahlen zu durchlaufen. Ifan hat also die Kreise des Radius 1 um die ganzzahligen Punkte o = 0, + 1, +2, • • •, sodann iie Kreise des Radius \ um die Punkte o == ±_\, +|, +|, •••, weiter die Kreise des Radius | um die Punkte o = 4:|, zi 3) 2:1' ZI §> "'■> ^'^^*^ Kreise des Radius \ um die Punkte o = 4:|, 2l|) ±f) ••' ^s"^"- Eine eingehende Untersuchung der durch die gesamten Synimetrie- kreise der in @ enthaltenen Spiegelungen entstehende Einteilung der positiven o-Halbebene findet man z. B. in „Ellipt. Funkt.'- I, 285 ff. Es
80 I» 4. Transzendente Losung der Ikosaedergleichung. entsteht eine lückenlose Überspannung der gesamten co-Hdlhehene durch ein Netz von unendlich vielen Kreisbogendreiecken mit den Win'keln -^y ~^y ^• Die nebenstehende Fig. 8, in welcher, einige Dreiecke dieses Netzes gezeichnet und zur Erleichterung der Anschauung abwechselnd schraffiert Fig. 8, sind, möge eine anschauliche Vorstellung dieses Ketzes vermitteln. Es sind einige Werte co eingetragen, wobei q die dritte Wurzel der Einheit ^^^^^——^^ bedeutet. Der Schlüssel zum Verständais dieser Figur ist durch den Satz gegeben, daß die einzelne Spiegelung (7) § 1 durch irgend eine Substitution der Gruppe @ wieder in eine Spiegelung transformiert wird, und daß demnach das System aller Halbkreise (8) § 1 durch jede Substitution der erweiterten Modulgruppe in sich übergeführt wird. Insbesondere wird also durch Spiegelung oder Transformation durch reziproke Radien an einem einzelnen der Halbkreise (8) die ganze Halbkreisfigur in sich übergeführt. Man betrachte speziell die drei Symmetriekreise: (3) 1 = 0, 2|+1 =0, r-f 12^ = 1, von denen zwei parallele Gerade sind, und deren Spiegelungen durch IT, T, S bezeichnet werden mögen: (4) cj' = S(cj) : 5,' = T(ö) = -CJ-1, : U{a)=-co. Sie grenzen das in der Fig. 8 schraffierte Dreieck mit den Ecken ca = q, i und i oo ein, das wir als das „erste Dreieck-' des ganzen Ketzes be-
Dreiecksnetz und Diskontinuitatsbereich der Modulgruppe. 81 zeichnen wollen*). Durch die Spiegelungen (4) geht das erste Dreieck in die drei benachbarten, in Fig. 8 frei gelassenen Dreiecke über. Wir wollen diesen Dreiecken, den Spiegelungen (4) entsprechend, die X^men S, T und U erteilen und belegen entspi-eche^d dg,s erste Dreieck mit dem Symbol 1 der identischen Substitution als N'amen. Pas Dreieck S, das mit seiner Ecke des Winkels 0 an den ]?unki o == 0 der reellen o-Achse heranreicht, geht durch die Spiegelungen an seinen drei Seiten wieder in drei benachbarte Dreiecke über, von denen eiaes das erste Dreieck 1 ist. Die beiden anderen würde man aus dem Dreieck 1 mittels der Substitutionen S • f7 und S-T herstellen könnea; sie mögen wieder diese Substitutionen als Xamen bekommen. Man kann nun das ganze Dreiecksnetz durch Fortsetzung des eingeleiteten Spiegelungsprozesses vom Dreieck 1 aus herstellen, wobei nach und nach die ganze co - Halhehene einfach und ohne Lücke von Kreishogendreiecken überspannt wird, die sich mß ihre im Innern der Halhehene gdegenen Ecken zu sechs hzw. vier glßU aneinanderreihen. Der Prozeß kommt nicht zum Abschluß, vielmehr folgen gegen die reelle «-Achse hin immer neue Dreiecke, die kleiner imd kleiner werden. Es besteht nun der leicht beweisbare Sat:?:: Für den Bereich der positiven co-Halhehene ist das Dreieck 1 ein DB der erweiterten Modulgruppe @**). Da nämlich die ganze c)-Hp,lbebene einfach und lückenlos von Dreiecken des Xetzes überspannt ist, ^o findet jeder Punkt dieser B albebene, als einem bestimmten Dre:|-eck angehörig, im homologen Pupkte des Dreiecks 1 einen äquivalenten. Es können aber im Dreieck 1 keine zwei verschiedene miteinander äquivalente punkte auftreten. JEs müßte nämlich sonst eine von 1 verschiedene Substitution in @ geben, die das Dreieck 1 in sich überführt. Aber diese Substitution, als eine „konforme'' Abbildung des Dreiecks 1 auf sich selbst darstellend, müßte jede der Ecken q, i und i oo einzeln in sich transforipieren. D^s tut indessen nur die identische Substitution 1, wie man leicht ausrechnet. Wir haben oben die ersten beim Spiegelungsprozeß \om Dreieck 1 aus hergestellten Dreiecke desXet2;es mit denjenigen Si^bstitiitionen, durch die sie aus dem Dreieck 1 hergestellt werden, als Xamen versehen. Dabei war das Dreieck 1 zunächst ^'on den Dreiecke^ S, T, U umgeben, das Dreieck S entsprechend von den Dreiecken S • S = 1, S-T, S-U. Ist man beim Spiegelungsprozeß bis zu e|nem Dreieck des Xetzes gelangt, das durch die Substitution erster oder zweiter Art F aus 1 entsteht, so sind die drei mit Funmittelbar benachbarteA Dreiecke durch V-S, V-T, F- f7 zu benennen, soweit sie nicht schon ihre Benennung gefunden haben. *) Ein eigentliches Dreieck liegt erst bei Projektion der Figur auf die ^fü-Kugel'' vor. **) Es wird leicht verstandlich sein, wenn hier der Begriff des DB nur auf einen Teil der ßj-Ebene, nämlich die positne ßj-Halbebene angewandt wird. Fr icke, Algebra. IL G
82 I, 4, Transzendente Lösung der Ikosaedergleichnng. d. h. dem bereits hergestellten Netze angehören. Der Fortschritt zu benachbarten Dreiecken läuft also immer nur darauf hinaus, den sym- boKschen Produkten, die bis dahin als Namen der Dreiecke Verwendung fanden, einen weiteren Faktor S oder T oder TJ vorzusetzen*). Alle Dreiecke des Netzes erhalten als Namen symboKsche Produkte der Faktoren S, T, TJ. Damit ist der Satz gewonnen: Aüe Substitutionen der erweiterten Modulgruppe sind als symbolische ProduMe der FaJctoren S, T, TJ darstellbar, d. h. die Modulgruppe @ ist aus den Substitutionen S, T, TJ erzeugbar. Da hierbei die Relationen: (5) S^ = 1, T^ = 1, fj^ = 1 zu beachten sind, so hat man nur solche symboKschen Produkte zuzulassen, in denen niemals zwei aufeinander folgende Faktoren gleich sind. Man wird nun bei den eben betrachteten Produkten zu einer Substitution erster oder zweiter Art geführt, je nachdem die Anzahl der Faktoren gerade oder ungerade ist. Fassen wir in einem Produkt mit gerader Faktorenanzahl, das also eine Substitution V der ursprünglichen Modulgruppe @ darstellt, die Faktoren zu Paaren zusammen, so läßt sich V als ein symbolisches Produkt von Faktoren fj- T, ^-TJ, T • S, T- TJ, TJ-S, S'T darstellen. Die drei ersten Substitutionen mögen durch S, T, TJ bezeichnet werden; die drei letzten sind zu ihnen invers: S=U-T, T=S-U, U=T-S, (6) - - - _ - - (S~^ = T-U, T-^=U-S, f7-i = S-T. Aus (4) folgt: (^) «=(J:1). ^=(roO. ^=(-::J). so daß S parabolisch mit dem Pole oo ist, T elliptisch, von der Periode 2 mit den Polen +« und TJ elliptisch von der Periode 3 mit den Polen q und Q^ ist: (8) T^ = 1, U^ = 1. Aus den drei letzten Gleichungen (6) folgt noch wegen (5): (9) S-i.T-i-f7-i =z 1, U=S~^-T-\ U-^=U^ = T-S. Da auch U~^ die Periode 3 hat, so besteht zwischen S und T die Beziehung : (10) T-S-T-S-T-S= 1. Für die letzten vier Substitutionen (6) findet man hiernach die Dar- (11) U=T-S-T'S, S-^= T-S'T-S-T, T-^ = T, U~-' = T'S *) Man beachte, daß die Faktoren der symbolischen Produkte von rechts nach links zu lesen sind.
Erzeugung und Diskontirfuitat^bereicli der Modulgruppe. 83 in S und T. Damit hat sich der Satz ergeben: Jede Substitution V der ursprünglichen Modulgruppe @ ist als symbolisches Produkt: (12) F = S»»!. T• Sf^r. T-S^^ ■'• T■ S"h darstellbar, wo die m ganze positive ZaJßen sind, von dene^ die erste und letzte auch verschwinden Tiann*); S und T sind fbiemach erzeugende Sub- btitutionen der ursprünglichen Modulgruppe. Zufolge (7) entspricht der Darstellung (12) die ,.KettenbruchentwicMung" der Substitution F: (13) a)' = m^ — - -- Durch die gesamten Substitutiopen F der ursprüngliche a Modul- gnippe @ wird das Dreieck 1 in alle schraffierten Dreiecke des Xetzes übergeführt, das zur rechten Seite der imaginären Achse liegepde Dreieck U aber in alle freien Dreiecke dieses ^N'etzes. Es möge nun das Dreieck 1 mit dem benachbarten Dreieck U, wie in Fjg. 9 angegeben ist, zu einem „ersten Dreieckspaar" zusammengefügt werden und entsprechend jedes weitere schraffierte Dreieck F mit seinem benachbarten Dreieck F- U, das nicht schraffiext ist, zu einem weiteren Dreieckspaare, dem wir den Kamen F verleihen. Das erste Dreieckspaar, mit dem Namen 1 der identischen Substitution belegt, geht dann di^rch die gesamten Substitutionen der Modulgruppe @ in alle Dreieckspaare über, die die o-Halbebene lückenlos und einfach mit einem Xetze von Dreieckspaa:fen bedecten. Diese Betrachtung führt uns zu deii^ Satze: Bei Beschränkung auf die positive co - Halbebene ist ßas in Fig. 9 dargestellte erste Dreieckspaar i ei» DB der ursprünglichen Modulgruppe @. Jeder Pi^nkt im Innern eines Dreieckspaares findet nämlich im homologen Punkte des Paares 1 einen äquivalenten. Zwei Ijanenpunkte des Paares 1, die vcipschieden sind, können aber nicht äquivalent sein, da der eine durch eine von 1 verschiedene Substitution F in einen In^enpunkt des Paares F übergeführt wird. Allein die Raadpunkte des Paares 1 erweisen sich zu Paaren als äquivalent. In der Tat ist der einzelne Punkt o des linken geradlinigen Randes des Bereiches der Fig. 9 mit depi homologen Punkte c)' == ö -f 1 der rechts liegenden Randgeraden äquivalent, und ebenso ist ein Puntt o =*) Wäre auch m^ = 0, so könnten wir die beiden aufeinanderfolgenden Faktoren T zu T^ =:: l zusammen ziehen.
34 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. des die Punkte q und i verbindenden Kreissegments mit dem symmetrisch liegenden Punkte ca' = des Kreissegments zwischen*—jO^ found i äquivalent. Man woUe demnach die Randpunkte des ersten Dreieckspaares nur insoweit dem Paare als angehörig ansehen, als sie dem in Fig. 9 stark ausgezogenen Randstücke angehören. Dann g-enügt das Dreieckspaar allen Anforderungen eines ©B der Modulgruppe <^ für die positive ö-Halbebene *). § 3. Modulfunktion J(g>). Wie bei einer endlichen Gruppe linearer Substitutionen können wir auch bei der homogenen Modulgruppe @ den Begriff einer zugehörigen Invariante bilden. Wir verstehen danmter eine homogene Funktion der beiden Argumente e?j, Og, die unverändert bleibt, wenn wir auf co^, co^ irgend eine Substitution der homogenen Modulgruppe ausüben. Wir nennen eine solche Invariante eine „Modulform^, falls ihre Dimension in den Oj, ög eine von 0 verschiedene ganze Zahl ist, und insbesondere eine ^ModtilfunMion^, wenn sie in Oj, Og von. der Dimension 0 ist und also nur vom Quotienten a der Oj, ca^ abhängt. Der wichtigste Zugang zur Theorie dieser Modulfunktionen und Modulformen ist die Theorie der doppeltperiodischen oder elliptischen Fimktionen in der von Weierstrass gegebenen Gestalt**). Man lernt hierbei nicht nur von vornherein die Bedeutung der Modulfunktionen für die elliptischen Funktionen kennen, sondern entnimmt umgekehrt aus der Theorie der letzteren Funktionen wichtige analytische Darstellungen der Modulfunktionen. Für den Zweck des vorliegenden Exkurses über Modulfunktionen ist ein anderer Weg vorteilhafter, d«r zuerst von Dedekind^-) eingeschlagen ist, und der späterhin von Klein ganz allgemein für den Existenz beweis automorpher Funktionen entwickelt wurde. Xach den Riemann sehen Grundsätzen über die Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche aufeinander gibt es eine Funktion /(«), die die Flache des ersten Dreiecks der Teilung der o-Halbebene auf die oberhalb der reellen /-Achse gelegene positive /-Halbebene abbildet. Eine beliebige gebrochene lineare Funktion von / mit reellen Koeffizienten leistet die gleiche Abbildung des Dreiecks 1. Unter den cc^ so zur Verfügung stehenden Funktionen J(co) wählen wir eine bestimmte dadurch aus, daß wir die Festsetzung treffen: (1) , J{q) = 0, J(i) = 1, J{i oo) == oc. *) Entsprechend ist der bezuglich der reellen «-Achse zum ersten Dreieckspaar symmetrische Bereich ein DB der Gnfppe @ fur die negative «w-HaWebeüe. **) Vgl. hierzu die Darstellung in „Ellipt. Funkt." I, insbesondere S. 279 ff. t) In dem „Schreiben an Herrn Borcbardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen-, Journ. f. Math., Bd. 83, S. 265 (1877).
Einführung der ModiilfunLtion J{ta). 85 Der Rand des Dreiecks 1 wird also in der Arit auf die reellp J-Achse abgebildet, daß die Ecken des Dreiepks die Punkte / =:= 0, 1 und oo liefern. An diesen Stellen hört die Abbildung auf, lvonfo|-m zu seiij, insofern sich die Dreieckswinkel —, —. 0 auf Winkel der Größe % in der J-Ebene übertragen. Setzt man nun die Funktiop J {(o) über den Rand des Dreiecks 1 hinaus in eines der drei benachbarten Dreiecke fort, so gelangt m^^n zu einem äußerst einfachen „Gesetze der Symmetrie-, das der Dedekindsehen Betrachtung implizite zugrunde liegt, mit aller Ausführlichkeit aber in den Arbeiten von H. A. Schwarz*) znr Benutzung kommt: Bildet eine analytische Funktion w = f(z) eitlen Kreisbogen der s-Ebene auf ein Stück der reellen w-Ächse ab, so tragen bei der Fortsetzung der Funldion zwei Punkte z, die durch Inversion oder Spiegelung am Kfeisbogen ineinander übergehen, konjugiert komplexe FunUionswerte w. Bieraus folgt sofort, daß die in eines der mit 1 benachbarten Dreiecke fortgesetzte Funktion /(ö) dieses Dreieck auf die negative J-Halbebene in der Art abbildet, daß in zwei bezügKch ® äquivalenten Punkten dieser beiden Dreiecke stets konjugiert komplexe Werte / stattfinden. Gehen wir aufs neue über den Rand des zweiten Dreiecks in ein weiteres schraffiertes Dreieck, so wird dieses durch /(«) wieder auf die positive /-Halbebene in der Art abgebildet, daß äquivalente Punkte des ersten und d|-itten Dreiecks gleiche Werte / tragen. Dieser Prozeß ist über das ganze Dreiecksnetz hin fortsetzbar und führt zu dem für die Theorie der Modulfanktionen grundlegenden Satze: Die Funktion J(ca) id eine im ganzen Bereich der positiven a-Halbebene existierende eindeutige Funfäion von co, (Me in den bezüglich @ äquivalenten PunUen gleiche Werte hßt: (2) j-(^^) = j,<„), \yco~rO/ und die einen einzelnen komplexen Wert im DB der Modulgrupjpe @ und damit überhaupt im einzelnen DreiecJcspaar des Netzes nur einmal annimmt **). § 4. Modulformen g^y g^ und ^» Die Modulfunktion /(«) nimmt gegenüber der Modulgruppe ® dieselbe Stellung ein wie die durch die Ikpsaedergleichung (5) S. 5b erklärte Funktion Z {z) gegenüber der Ikosaedergruppe ©g^. Z war eine eindeutige Funktion von z, die bei den 60 Substitutionen der ©g^ unverändert bleibt und im DB der ©g^ jeden vorgeschriebenen komplexefi Wert nur eiimial annimmt. Wie wir nun oben (S. 33 ff.) neben Z{z) die drei Grundformen =^) Vgl. die Abhandlung „Über einige Äbbüdungsaufgaben"', Joum. f. :\iath., Bd. 70, S. 105 (1869). Siehe auch „IVfodulfiinkt." I, 88 ff. *=*) Vgl. .Modulfunkt.'■ I, 113 ff. oder „EUipt- Funkt.'- [, 301 ff.
86 I, 4. Transzendente Losung der Ikosaedergleichung. (pi^i! ^2)' ti^i! ^2); X(.^i' ■^s) ^^^ Ikosaedergruppe hatten, deren Nullpunkte in den Ecken der bei der Ikosaederteilung der Kugel auftretenden Dreiecke liegen, so reihen sich an /(«) drei „Modulformen-: (1) ^2(01,03), g^ico^, co^), zl{(o^,G)^), welche die entsprechende Stellung bei der homogenen Modulgruppe @ einnehmen. Die natürlichste Einführung dieser Größen ist wieder die Theorie der elliptischen Funktionen, wo g^, g^ die Invarianten und zi die JDis- hriminante der biquadratischen „Verzweigungsform-' sind, die ein elliptisches Gebilde algebraisch begründet, und wo insbesondere g^ und g^ als Koeffizienten in der Weierstrass sehen Xormalgestalt des Integrals erster Gattung auftreten ='). Indessen ist es ein für den vorliegenden Zweck gangbarer Weg, die Modulformen (1) durch einen „Differentiationsprozeß" direkt aus /(«) herzustellen ='*). Ist eine beliebige Substitution von (^ durch: (■2) '»•=^^ gegeben, so findet man durch Differentiation nach co der Gleichung: Vy ö -+-0/ dJ(a') da' _ 1 dJ{(o') _ dJ{a) da' da (y o -j- d)^ da da und hieraus durch Division mit Og bei Einführung der zu (2) gehörenden homogenen Substitution: (3) «i = a «1 i" /3 ög, 0.2 =: 7 «1 4- d öo, dJ{a') dj{a) (4) öo^ • d a Für die hier auftretenden Nenner gilt folgende Rechnung. Aus (3) ergibt sich zunächst durch Differentiation: (5) da'i =z a da^-\- ß da^. da'^ = y da^-^ 8 da^- Aus (3) und (5) folgt, daß der symbolisch durch (o, da) zu bezeichnende zweigliedrige Differentialausdruck : (6) (ö, da) = «1 da^ — a^ da-^ = —alda gegenüber den Substitutionen der homogenen Gruppe ® invariant ist; («', da) = (o), da). Der Gleichung (4) geben wir nach Zusatz des Faktors — 1 die Gestalt: dj(a') dj(a) O) («', da) (a, da) *) Vgl. „EUipt. Funkt." I, 118. *) Vgl. die ausführliche Darstellung in „EUipt. Funkt.'- I, 313ff.
Herstellung der Modulformen g^, g^, z/. g7 und haben demnach in dem hier rechts stehenden Ausdruck eine erste Modulform der Dimension —J2 in den Oj, Og gewonnen. Es sollen nun die Kullpunkte und Pole dieser Modulform festgestellt werden, wobei man sich auf den DB der Gruppe @ beschränken kann. Wegen der Winkeltreue der Abbildung können Nullpunkte oder Pole nur in den Punkten q, i und i oo de^ DB auftreten. An dei^ beiden ersten Stellen der o-Halbebene haben / bzw. (/— 1) Nullpunkte der Ordnung 3 und 2, also die Form (7) solche der Ordnung 2 und 1. Um das Verhalten im Zipfel bei o = i oo des Dß festzustellen, bemerken wir, daß dieser Zipfel des DB durch das Quadrat der Exponentialfunktion: (8) q = e'^»"' = e~^ auf die einfach bedeckte geschlossene Urfigebifng des X^lp^iJiktes der g^-Ebene abgebildet wird. Wir haben hier die EntwickluQgsgröße g, die seit Jacobi in der Theorie der elliptische^ Fui^tionen apfs vielfältigste gebraucht ist und auch weiterhin oft Verwen4ung finden wird. Da J im Nullpunkt der g^-Ebene einen Pol erster Ordnung hat, so gilt eine Entwicklung der Gestalt: (9) J(Gy) = c_,q-'-^ c, + c, q^ + c, g* -f- . •.. Wir bringen die Sachlage dadurch zum Ausdri^ck, daß \^ir sagen, /(«) habe im Zipfel des DB feei o = f oo einen Pol erster Ordnung. Aus (9) ergibt sich nun leicht; .-./^x dJ(co) 2%i^ ^ 9 0 1 N (ö, dco) coi ^ Man berücksichtigt hier nur die in der Klammer stehende Entwicklung, indem man sagt, die Modulform (7) habe im Zipfpl des DB bei fo = i oo einen Pol erster Ordnung. Man kann nun aus Potenzen der Modi^lforni (7) durch Division mit geeigneten Potenzen von / und (/— 1) drei „gan^e-', d. h. polfrde Modulformen der Dimensionen —4, — 6 tmd — 12 herstellen, von denetp die erste einfache NuTlpunUe nur an den mit a = q, äquivalenten Stellen hat, die zweite ebensolche nur an den mt o = i äquivalenten Stellen, wäJi/rend die dritte je einen einfachen NuUpunM im Zipfel des DB bei ^ = i oo und in den Spitzen der übrigen DreiecJcspaare hat In der Tat stellt man diese Art des Verschwindens leicht an den folgenden drei Aasdrücken fest: g,{co„ CO,) -= - sT^TZTi) [-(c^^Ta,)) ' (11) jtH /dJ(G})\ g,ia>,, CO,) == -r 27J M^r^D ((^^j ^K, CO,) -= - ^fjT^j:.- 1)3 ^(«, dco))
88 I) 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. in denen wir die drei bereits unter (1) genannten Modulformen gewonnen haben. Die numerischen Faktoren sind hinzugesetzt, damit g^, g^ und ^ unmittelbar auf die oben schon genannten, aus den algebraischen Grundlagen der elliptischen Funktionen entspringenden Invarianten hinauskommen. Aus (11) ergibt sich: (12) ^ = gl-21 gl als ein Ausdruck für zJ in g^ und g^. Andererseits folgt als Darstellung der Modulfunktion / in den Modulformen: (13) /:(/-!):! =^|:27^|:^, die in dieser Gestalt genau der Ikosaedergleichung (4) S. 63 entspricht. Faßt man die g^, g^, zJ als Formen der Argumente o^, (o^, so hat man hier die Gleichung, die in „Modulfunkt." I, 125 als „ModulgJeichung^ eingeführt wurde. ■ Wir sind damit zu [den Formeln (12) und (14) in I, 141 zurückgeführt, wo man übrigens -ausführlich die algebraische Begründung der g^, g^ als der rationalen Invarianten der in I, 138 unter (1) gegebenen biquadratischen binären Form f(x, y) dargestellt findet. Jetzt ist die Abhängigkeit der g^, g^ und ^ von den Perioden o^, Og des elliptischen Integrals erster Gattung: C X dy — y dx hervorgekehrt, und es ist für unsere Zwecke vor allem wünschenswert, daß wir wenigstens eine analj^ische Darstellung der g^, g^ und zl in dieser Abhängigkeit von «^ und Og kennenlernen. Wir bevorzugen hierbei Potenzreihen nach der Jacobischen Entwicklungsgröße q, wie man sie z. B. in „Ellipt. Funkt." I, 271 ff. ausführlich behandelt findet. Für g^ und ^3 hat man die Reihen: f g, («„ «,) =: (^y (^ -f 20 2] Zs W 2-'). (14) wo ;Kfc(w) die ganzzahlige Summe der k^^ Potenzen aller Teiler von n (unter Einschluß von 1 und n) ist. Die Anfangsglieder sind: (15) (g, (co„G)^)=(^j(^ + 203^ + 180g* + 560g« + 1460 q^+ --X L / ^ /2^\V 1 ^ 2 ^'- 4 l'^OS « '^399 , \
Analytische Darstellungen der Mod|ilformen. 80 Die Reihen sind konvergent für j g | << 1, eine Bedingung, die für den ganzen Bereich der positiven o-ü^albebene und nur für diesea zutrifft. Für ^(öj, ög) ist am bekanntesten die Produktdarstellung: (16) ^ (CO,, CO,) = (~j' a'(U{i-a'") über die man „Ellipt. Funkt." I, 313 vergleichen wplle. glieder der Potenzreihe sind: (17) ^ (ö,, cjg) =: [~^\ {(f — 24 cf + 252 g« — L472 g« -[- • • •). Die Anfangsglieder der Potenzreihe für /(cp) siq.d: (18) ^(.)=;4,-.+|+!|?,.+..., Die von H. Weber mit j (o) bezeichnete Funktion 12^-/(o) hat eine Potenzreihe mit durchweg ganzzahligen Koeffizienten. Die ersten. Glieder sind: (19) j (ö) =: g-2 ^ 744 -t 19Ö 884 öV • • •- Die Konvergenzbedingung aller dieser Reilien ist | g <C 1"^)- Daß die g,, g^, J, J gegenüber allen Substitutionen der llodul- gruppe @ unveränderlich sind, geht freilich aus diesen Reihendarstellu|igen nicht unmittelbar hervor. Kur ihre Invarianz bei Ausübung der unter (7) S. 82 gegebenen Substitution S ist sofort einleuchtend, da bereits q- selbst diese Invarianz hat. § 5. Formenproblem der Alodulgruppe. Das S. 19 ff. für irgend eine endliche Gruppe linearer Substitutionen und S. 55 ff. insbesondere für die Ekosaedergruppp besprochene „Formen- problem^ kann auch auf die Modulgrappe @ übert^-agen werden. Es handelt sich dabei um die Aufgabe, aus drei heliehigen an die Bedingung (12) S. 88 gebundenen Jcomplexen Werten g,, g^, A die zuyeMrigen ca^, co, so, bestimmen. Man soll also einfach für ein durch seine rationalen Inyari- anten g,, g^ gegebenes elliptisches Integral erster Gattung die Perioden CO,, cOq bestimmen. Die Lösung der Aufgabe setzt sich aus einem transzendenten und einem algebraischen Teile zusammen. Der transzendente Teil besteht in *) Betreffs der Abbildung der ßj-Halbebene auf die g^.^bene vergleiche man Flg. 63 in „Ellipt. Funkt." I, 300. 4.us der Eigenari|; dieser Abbildung ergibt sich eine Folgerung über die Schnelfligkeit der Konvergenz der Potenzreihen nach q, falls to dem DB der Gruppe @ angehört, worüber d^s Nähere a. a. 0. m der ersten Xote S. 299 gesagt ist.
90 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. der Berechnung des Periodenquotienten a aus gegebenem Werte /*). Hierauf kommen wir sogleich zurück. Mit o gelten dann als bekannt auch: S,,(<i,, 1) = (2^)'(^+20 ä'+•••), ,,(«, l) = (2.)«(4-|ä>—•)• Die Berechnung von ca^ und ca^ einzeln ist dann nur noch durch eine I zu leisten [vgl. (6) S. 57]: (1) . _.,^ Die Berechnung von co aus gegebenem / stützt sich auf die Tat- 12 Sache, daß die mit dem Faktor y^ multiplizierten Perioden als Funktionen von / der hypergeometrischen Differentiälgleichimg: d^£i /7 2\dSl i (2) /(/-l)^ + (-/--)_ + _ß = 0 genügen *=*). Die hypergeometrische Differentialgleichung ist allgemein integrierbar durch die „hypergeometrische Reihe'": und die mit ihr nahe verwandte Reihe j): F, (a, ß, z) _ ^^(- + J-Ty + 1727172 Unter den verschiedenen Darstellungen, welche sich aus dieser Theorie für den Periodenquotienten o ergeben, notieren wir die folgende: ^.(^■-'-) (ö) 2!jrra = —Inj-—31ttl2+ '^ ''^' <rrrr-'7) =") Man kann sagen, es handele sich um die Lösung der .,Modulgleichung'-, in der wir J als gegeben und co als Unbekannte ansehen. **) Vgl. hierzu die ausfuhrliche Darstellung in „Ellipt. Funkt." I, 323 ff. f) Vgl. hierüber die aUgemeineu Erörterungen über die hypergeometnsche Differentialgleichung in „Ellipt. Funkt." I, 105 ff.
Hauptkongruenzgruppe n^ei Stufe. 91 Die benutzten Reiben konvergieren für J "^ 1. Nifmnt man den „Hauptwert" des natürKcben Logarithmus In/, so gebort die gewonnene Lösung CO dem DB der Modulgruppe @ an. Die übrigen Lösungen geben aus diesem co durcb die Substitutionen der Gruppe @ bervor*). § 6. Hauptkongrtjienzgruppe fünfter Stufe. Zwei nicbt-bomogene Substitutionen V = [^' ^j und V = l"^,^,) beißen modulo n kongruent, V' ^ V (mod n), fajls die Kongruenzen : (1) a =±a, ß' ^±ß, y' ^ ±y, 8' = ±8 (mod n) gelten, wo entweder nur die oberen oder nur die unteren Vorzpicben zutreffen. Aus dem S. 77 angegebenen Gesetz der Zusammensetzung zweier Substitutionen ergeben sieb leicbt die Folgerangen-. Ist Vi = F^ und Fa = Fg (mod n), so ist aucb Vi-V2^ F^ • V^ (mpd n). Ist eine der beiden Substitutionen F, F' mit dpr identischen Substitution 1 kongruent, so ist F' • F mit der anderen kongruent. Ist eine der Substitutionen F, F' mit der inversen Substitution der anderen kongruent, so gilt V -V ^ 1 (mod n). Hieran schließt sich der Satz: ^lle Substitutionen 4ef nicM- homogenen Modulgru^^e @, die mQd n mit 1 kongruent sind: (2) a^8^±l, ß = Y~(} (mod n), bilden einen Normalteiler der G-ruppe @. Daß sie einen Teiler bilden, geht aus den beiden ersten der di-ei vorausgesandten Sätze heryor. Daß dieser Teiler ein normaler ist, folgt aus den beiden letzten Sätzen. Der Teiler wird „Haux^tJcongruenzgru^pe n*^^ Stufe- genannt und soll durch ^n bezeichnet werden**). Die Substitutionen der einzelnen zu §„ gehörenden Xebengr^ippe sind mod n kongruent, zwei aus verschiedenen Xebeng^-uppen entnommene Substitutionen aber inkongruent. Reduziert man in den Substitutionen der einzelnen Xebengruppe die Koeffizienten n^od n auf ihre kleitjisten nicht-negativen Reste, so liefert die Xebengruppe ein Zahlenqu^druppl a, ß, y, 8, das die Kongruenz: (3) a8— ßf=l (mpd n) befriedigt. Andererseits gibt es zu jeder Lösung dieser Kongruenz in ganzen Zahlen a, ß, y, 8 aucb sicher mod n kongruente Substitutionen in der Modulgruppe @f). Da sich die Entwicklungen in I, 275 ff. über *) Darstellungen von co durch die ßeil^e i^(a, ß, y; z) allein, falls ' J < 1 oder jj—li<l gilt, findet man in den Formell^ (7) und (8) m „Ellipt. Funkt.« I, 334. ="*) Vgl. hier und weiterhin „Mpdulfuiikt.'- I, 387 ff. und „Ellipt. Fupkt.« II, 218 ff. t) Einen Beweis hierfür findet man in „Ellipt. Funkt." II, 223. In den weiterhin in Betracht kommenden Fallßn wird die Behauptung leicht nachträglich eingelost werden können.
'«(/-i)-i, ^ r/if~l), Sif-- ;(J2_l)^ -^)~.P 92 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. die Komplemente der Normalteüer endKcher Gruppen ohne wesentliche Änderung auf unendliche Gruppen übertragen, so ergibt sich der Satz: Der Index der Haupfkongruenzgrupj^e n*^"" Stufe ah Normalteiler der Modiügruppe und damit die Ordnung des zugehörigen Komplements ist gleich der Anzahl inkongruenter Lösungen der Kongruenz (3), wobei zwei Lösungen, die durch gleichzeitigen Zeichenwechsel der a, ß, y, 8 der einen Lösung einander kongruent werden, als nicht verschieden gelten *). Man trägt den bei der fraglichen komplementären Gruppe vorliegenden Verhältnissen dadurch Rechnung, daß man F= ( ' ^j(mod n) schreibt und bei der Zusammensetzung der Substitutionen die Koeffizienten der erzeugten Substitution stets wieder mod n reduziert. Man kann auch so verfahren, daß man mod n kongruente Substitutionen als nicht verschieden ansieht, wobei sich die unendliche Gruppe ®, mod n reduziert, auf das Komplement von ^^ zusammenzieht*^). Im Falle n = 6 knüpfen wir, unter j = a -^ 8 wie S. 77 die Invariante der einzelnen Substitution verstanden, an die Kongruenzen: zunächst den Satz: Im Komplement der Hauptkongruenzgruppe ^^ fünfter Stufe haben die Substitutionen V die Perioden 2, 3 oder 5, je nachdem j = 0, j = + 1 [oder j = + 2 (mod 5) ist, abgesehen davon, daß bei j = -±^2 au^h noch die identische Substitution hinzukommt. Die Fälle j = 0 und j = + 1 erledigen sich aus (5) sofort. Im dritten Falle zieht man aus a -p ^ = HZ 2 leicht die Folgerung, daß F^ mit der inversen Substitution von Y^ kongruent ist, woraus F^ = 1 folgt. Für j =0 ist nun die Anzahl wesentlich verschiedener, d. h. durch Zeichenwechsel der a, ß, y nicht ineinander überführbarer Lösungen der Kongruenz: ßy = — a^ — 1 (mod 5) abzuzählen. Ist a = 0, so darf man ß auf die „beiden- Werte 1, 2 beschränken, wobei in beiden Fällen y = — ß~~'^ (mod 5) eindeutig mitbestimmt ist. Ist a = 1, so ist ß auf die „vier-' Werte 1, 2, 3, 4 beschränkt und in jedem dieser vier Fälle y = — 2 ß-^ (mod 5) eindeutig mitbestimmt. Ist endlich a = 2, so gilt ßy=ö (mod 5), so daß eine der beiden Zahlen ß, y durch 5 teilbar ist und dann die andere willkürlich bleibt. Dies gibt „neun-' inkongruente Zahlen paare ß, y. Da *) Die fragliche Anzahl ist: wo ^j, _po, _P3, ••• die .,verschiedenen'- in n aufgebenden Primzahlen sind. ="*) Weber bezeichnet die so erklärte endliche Gruppe als eine „Kongruenz- gruppe-', eine Sprechweise, der wir m einem späteren Kapitel gelegentlich folgen werden.
Hauptkongruenzgruppe fiipfter ßtufe. 93 die Fälle a = 3 und 4 durch Zeichenweclisel auf die scl^on abgez^hltei^ Lösungen mit a = 2 und 1 zurückkompien, so haben wir 15 inkongruente Substitutionen mit j = 0 (mod 5). Da wir wegen des wiederholt genannten Zeichenwechsels nur noch die beiden Möglichkeiten j = 1 unci j = 2 (mod 5) zu verfolgen brai^chen, so gilt es npch, die Aiizahl der Lösungen der Kongruenzen: j=l, 8=1 — oc, —ßy^a^ — a 4-1 (mod 5) so\\äe weiter der Kongruenzen: j=2, 8 = 2—Di. —ßy=ia—lf (mod 5) abzuzählen. Die Zahl a hat beide Male alle Reste 0, 1, 2, 3, 4 zu durchlaufen. Da stets a^ — a -\- 1 ^E 0 gilt, so ist im Falle j = 1 für jedes a die Zahl ß auf die Reste 1, 2, 3, 4 zu besch^-änken, worauf dann y eindeutig aus: f = — ß~~'^{a? — « -f- 1) (mod 5) zu bestimmen ist. Also liefert j = 1 im gq,nzen 20 Lösungen. Bei j = 2 ergibt a= 1 wieder ßy=Q, also 9 Lösungen. Bei den übriger), vier Resten a ist /3^0 und y = —/3"K«—l)^ was im ganzen 16 Lösungen liefert. Unter diesen 25 Substitutionen ist die identische enthalten. Hiermit ist folgender Satz bewiesen: Das Kompfement det Hauptkongruen^grußpe fünfter Stufe ^»^ ist eine Gruppe (Sg^ mit 15 Substitutionen der Periode 2, 20 Substitutionen der Periode 3, 24 Substitutionen ■der Periode 5 und der identischen Substitution. Als Substitution der Periode 2 ist insbesondere T = ( ' j in der <SgQ enthalten. Eine Substitution F" = ( ' 'I j, die T in sich trapsfonniert, muß die Kongruenz befriedigen: C:'s)■Cd)-Cd)-CA) (-^«'- Man stellt leicht fest, daß dem im ganzen die folgenden vier Substitutionen: - ^' U, OJ' 1-2, OJ' lo, 3J genügen. T hat somit als Xormalisator eine ®^ vom Vierertypus, &o daß alle 15 Substitutionen der Periode 2 konjugiert sind. Dq,bei reihen sie sich zu fünf konjugierten Vierergrupper). zusammen. Damit steht der Satz fest: Das Komplement der Eaupfkongruenzgruppe fünfte^ Stufe ^^ ist isomorph mit der Ihobaedergruppa ©„^ *). Es ist jet?:t aucih eii^leucl^tend. daß man bei Reduktion der Hkfodulgruppe @ mod 5 alle 60 den 60 inkongruenten Lösungen der Kongruenz (3) S. 91 entsprechenden Sub- *) Hieran scMieJ3en sich die Satze: Die Modulgruppe reduziert sich mod 4 auf eine mit der Oktaedergruppe isomorphe ©gl' ^^^ '^ ^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^ Tetr3,eder- .gruppe isomorphe ©^g ^^^ endlich mod 2 auf ßine rfiit der Dietier-©^ isomorphe Gruppe. Vgl. darüber „"Modulfunkt.'- I, 353 ff.
94 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. stitutionen erhält. Anderenfalls würde sich die Modulgruppe ® mod 5 auf eine Gruppe reduzieren, die mit einem echten Teiler der Ikosaeder- Gßo isomorph wäre. Aber dieser Teiler enthielte, den Substitutionen S, T und U von @ entsprechend, zyklische Teiler ®^, ©^ und ©g, hätte also die Ordnung 30. Indessen gibt es in der Ikosaeder-@g(, keinen Teiler ©g^. Durch "Übertragung der Betrachtung von I, 277 ff. finden wir einen l-oo-deutigen Homomorphismus zwischen dem Komplement ©g^ der ^. und der Modulgruppe ®. Dabei entspricht jedem Teiler @„ der Ordnung fi und des Index 60-fi-^ der ©g^ ein „größter" Teiler der Modulgruppe @ des gleichen Index 60 • fi~ ^ Dieser Teiler besteht aus allen jenen Nebengruppen der ^^, die als Elemente der ©g^ den Teiler @„ bilden. Alle so zu gewinnenden Teiler der Modulgruppe ®, die offenbar die Hauptkongruenzgruppe ^^ als gemeinsamen Teiler enthalten, heißen gleichfalls „Kongruenzgruppen fünfter Stufe-'; sie sind ja sämtlich durch Angabe von Kongruenzen, denen die Substitutionskoeffizienten genügen sollen, erklärbar. So entspricht den fünf konjugierten Teilern ©^^ der @gQ ein System von fünf konjugierten Kongruenzgruppen fünfter Stufe vom Index 5, ebenso den sechs konjugierten Teilern ®^^ sechs Kongruenzgruppen fünfter Stufe des Index 6 usw. ==). § 7. Modulfunktionen fünfter Stufe. In der eben betrachteten ©g^, dem Komplement der §., ist ein zyklischer Teiler ©^ enthalten, der aus der Substitution S= ( ' ) erzeugt wird. Ihm entspricht eine etwa durch @(i2) zu bezeichnende Kongruenzgruppe fünfter Stufe vom Index 12, die durch die Kongruenzen: a=d = + l; y = 0 (modo) zu erklären ist**}. Die Überlegung von S. 78 zeigt, daß ®(i2) durch Zusatz der Spiegelung U zu einem Teiler des Index 12: ®(12) = ®(l2)~f®(l2}-C^ der Modulgruppe ® erweiterungsfähig ist. Dieser ©(^g) gehören alle Spiegelungen (7) S. 79 mit y = 0 (mod 5) an; denn aus (8) S. 79 folgt: (1) a^ = 1 (mod y), so daß u mod 5 auf die Zahlklassen ^ 1, wie zu fordern ist, beschränkt erscheint. Unter diesen Spiegelungen treten zunächst für y = 0 alle ==) Allgemeine Angaben über das von Klein aufgestellte „Prinzip der Stufenteilung" findet man in „Ellipt. Funkt." I, 374; es ist für die gesamte Theorie der elliptischen Funktionen im höchsten Grade aufklärend und fordernd gewesen. Das Werk „EUipt. Punkt." ist ganz auf dem Stufenprinzip aufgebaut und entwickelt ausfuhrlich die Theorie der elliptischen Punktionen erster Stufe (Weierstrass) sowie der zweiten Stufe (Jacobi). **) Damit der Index 12 nicht als Gruppenordnung gelesen wird, ist er an der Bezeichnung @(i2) in Klammem gesetzt.
Diskontinuitätsbereich der Hauptkcaigri;enzgruppe fünfter Stufe. 95 Geraden (1) S. 79 der Dreiecksteüung der «-Halbebene auf. Weiter hat man y = 6, 10, 15, 20, >• • zu setzen, die der Kongruenz (1) genügendei^ ganzen Zahlen a zu bestimmen*) und für jedes Paar a, y den Halbkreis zu zeichnen, der die reelle o-Acl^se in den beiden Punkten unter rechtem Winkel erreicht y Man zeichne nun insbesondere die beiden Halbkreise, die den Zahlenpaaren a == 1, y = 5 und a = 9, y = 20 zugehören. Sie sind in Fig. 10 gezeichnet und bilden mit zwei Geraden des Dreiecksnetzes den Rand eines Kreisboger|.vierecks der Ecken 0, |, -|, i oo, in das, wie man leicht zeigt, keiner der übrigen Symmetriehalbkreise der ®(i2) eindringt**). Wie bei der Ges^mtgjnippe @ gelangt man demnach hier zu dem Satze: Das Viereck der Fig. 10 stellt einen DB der @(i2) <^ß^ und säzt sich dem Index 12 entsprechend, wie die Figur zeigt, aus zwölf Dreiecken der ursprünglichen Teilung zusammen. Nun gilt: )+®( '(12) l^, ®(12) = ®(12) - Man wolle demnach das Viereck dei- Fig. 10 durch Anfügung seines Spiegelbildes an der itnaginären Achse 2;u einem Doppelviereck ausgestalten und dem letzten die vier durch die Substitiitionen S-^, S--^ zu erzielenden äquivalenten Doppelyierecke anfügen. So entsteht der 120 DreiecJce des ursprünglichen Netzes umspannende Ißereicfi der Fig. 11 (S. 96), in dem man einen DB der Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe ^^ erkennt. Die Randkurven dieses DB sind zu Paaren bezüglich der Gruppe ^^ äquivalent. Es geht nämlich die Koke gerade Seite durch die Substitution S^ in die rechte über. Im übrigen aber ist die 21usammen- ordnung der Seiten durch Pfeije angedeutet; es kommen dabei die fünf parabolischen Substitutionen der fole 0, 3; !> i 2- /l, 0^ / 4, If 5\ / 9, + 20A U, 1/' l±o, — 6/' l±5, — 11/ zur Geltung, femer die vier parabolischen Substitutionen der Pole -}z\r ±|-- / 9, + q\ / 29, If 45\ l±20, —11/' l±20, —31/ *) Vgl. wegen der Anzahl inkongruenter Losungen dieser Kongruenis die Angaben bei „DiricUet-Dedekind" (s. die Jfote ip I, 266) S. 87. **) Man braucht natürlich nur die ^em Viereck angehörenden ßymmetrie- kreise des gesamten Dreiecksnetzes daraufhin zu prüfen, ob sie der @(is) zu- gehören.
96 '^I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung. endlich die hyperbolische Substitution (t^' ^'^A. In der Tat gehören alle diese Substitutionen der Hauptkongnienzgruppe fünfter Stufe ^^ an. Wir haben nun auf folgende wichtige Eigenschaft des DB der ^^ aufmerksam zu machen: Denkt man sich diesen in Fig. 11 dargestellten Bereich aus der to-Halbebene herausgeschnitten und sodann die aufeinander bezogenen Randkurven durch Zusammenbiegen um die Spitzen herum bis Fig. 11. zum Zusammenfall gebracht, so erhält man einen geschlossenen „einfach zusammenhängenden-' Bereich, d. h. einen Bereich vom Zusammenhang der Kugel. Man bilde nun den DB der ^^ mittels der Funktion J(ci) auf die J-Ebene ab. Die 60 Dreieckspaare des DB ergeben 60 übereinander liegende und miteinander verzweigte Blätter über der J-Ebene. Denken wir dabei die Bilder je zweier einander zugeordneter Randkurven, die Stücke der Ufer der positiven und der negativen J-Halbebene werden, wie vorhin miteinander verklebt, so entsteht eine 60-Uättrige geschlossene Biemann sehe Fläche über der J-Ebene, die wieder einen einfach zusammenhängenden Bereich darstellt, also im Sinne Biemann^ das Geschlecht p = 0 hat. Diese Fläche heiße kurz Fg^. Die mit dem DB der ^^ bezüglich dieser Gruppe äquivalenten Bereiche von je 60 Dreieckspaaren des Netzes bedecken nun, dem Betriff des DB entsprechend, die to-Halbebene lückenlos und einfach. Jeder ^eser Bereiche wird durch J{c3) auf die gleiche Fgo abgebildet. Es be- steU also zwischen der Biemann sehen Mäche Fg^ und der a-Ralbebene eine l-oo-deutige Beziehung, wobei einem PunJcte der a-Halbebene ein PunU
Herstellung von Modulfuiiktionen fünfter Stufe. 97 der Flache zugeordnet ist, einem Punlie der Fläche ßher ein System unendlich vieler bezüglich der ^5 äquivalenter Punkte der a-Halbebene. Auf dieser Grundlage fülirt Klein*) den Existenzbßweis der „ModulfunUionen fünfter Stufe'-, d. h. solcher eindeutiger Funktionell von CO, die bei den Substitutionen der §. miveräadert bleiben und im DB der ^5 frei von wesentlich singulären P]inkten sind**), Eine solche Funktion wird, ia Abhängigkeit von / aufgefaßt, zu einer Funktion, die auf der Fg^ eindeutig und frei von wesentlich singulären Punkteii ist, also eine „algebraische Funktion der Fg^" darstellt; denn sie ist ia allen bezüglich der ^^ äquivalenten Punkten co vo^q glejcheni Weite. Umgekehrt liefert jede algebraische Funktion der Fg^, in Abhängigkeit von co aufgefaßt, eine eindeutige Modulfunktion fünfter Stufe; denn die „übereinander- liegenden Blatter der Fg^, die den verschiedenen Zweigen der Funktion entsprechen, liefern „aebeneinander'- liegende Dreieckspaare der to-Halbebene, und dem einzelnen Pwikte der Fg^ entsprechen bezüglich der ^5 äquivalente Punkte a. Et, werden hiernach gerade die gesamten ModulfunMionen fünfter Stufe von allen algebraischen FanMionen der Fgo geliefert. Xun aber hatte die Fg^ das Greschlechi j) = 0. Auf einer solchen Fläche gibt es 00^ sogenannte einwertige Funktionen, d. h. Funktionen, die einen beliebig vorgeschriebenen komplexen Wert nur einmal auf der Fläche annehmen, und sie sind ^lle linear-gebrochene Funktionen piner einzelnen unter ihnen j). In Abhängigkeit von co bezeichnen wir eine solche einwertige Funktion als eip-e „Maiqjtfunliion fünfter Stufe'-. Wir wählen sogleich eine geeignete HauptfunL tion aus, die s (co) gekannt werde, und in der alsdann jede weitere Hauptfunktion / (co) in der Gestalt : , a^ -r- Z> darstellbar ist. Es seien nun 1, F^, V.^, ••• F.g die 60 Substitutionen der Modulgruppe @, die das Dreieckspaar l in alle 60 Paare des DB der Fig. 11 iiberführen, und die also den 60 Xebengruppen von ^^ ziigehören. Ist V eine beliebige unter jenen Substitutionen, so gehört s' (co) = z (V(co)) als Modulfunktion zur Gruppe ^'^ = F~ ^ • §5 • V- Aber die ^^ ist ein Xormalteiler, so daß auch s'(co) eine Mod]ilfunktion fünfter Stufe, und zwar eine „Hauptfunktion'- ist: Also ist / in der Gestalt (2) durch ^ darstellbar: Die SauptfunTdion s (eo) erfahrt gegeri,über allen Substitutionen von @ im ganzen nur 60, von dm 1, V^, V^, ••-, F^g bereitb gelieferte lineare Substitutionen, die nach S 35 ff. eine Ikosaeder-®^^ bilden. Wir *) Vgl. hierzu „Modulfunkt.'- I, 574 ff. **) Siehe die allgemeine Begriffsbestipimung einer automorphen Funktion „Äutom. Funkt." II, 5. t) Vgl. hierzu auch „Ellipt. Funkt." ], 94. Fncke, Algebra. IL 7
98 I, 4. Transzendente Lösung der Ikosaedergleicliung. wählen die Hauptfunktion g {ci) so aus, daJ3 wir hier unmittelbar die Normalgestalt der Ikosaeder-@g(, von S. 42 wiedergewinnen, und daß insbesondere den beiden erzeugenden Substitutionen S und T der Modulgruppe (S. 82) die unter (1) S. 42 genannten erzeugenden Substitutionen der Ikosaeder-®gQ entsprechen *). bn übrigen mag dann noch der Satz genannt werden, daß jede Modulfunktion fünfter Stufe als rationale Funktion von z darstellbar ist, und daß umgekehrt jede solche rationale Funktion eine Modulfunktion fünfter Stufe liefert. Transzendente Lösung der Ikosaedergleichung und ihrer Resolventen. Bildet man in der Hauptfunktion z{Gi) die rationale Funktion Z ßQsten (Jrades (5) S. 56, so entsteht eine einwertige Modulfunktion erster Stufe, d. h. eine solche, die im DB der Gruppe ® einen vorgeschriebenen Wert nur einmal annimmt. Da Z in den Ecken des DB bei p, * und i oo die Werte 0, 1 und oo annimmt, so ist unmittelbar Z = J(g)), so daß zwischen J{g)) und z(c}) die Ikosaedergleichung: (1) J:(J~1):1 = cp (z, ly : t (^, 1)^ ■- - 1728 ;k (^> ^f besteht. Die gegebene Variable Z der IJcosaedergJeichung und ihre Wurzel z sich also als eindeutige ModulfunJctionen von co darstellen oder es wie man nagt, co eine ,,uniformislerende Variable^ der Ikosaeder- Eine uniformisierende Variable der Ikosaedergleichung ist natürlich bereits 0 selbst. Dujch die Einführung von oj als unabhängiger Variablen gewinnt indessen die Behandlung der Ikosaedergleichung sowie weiterhin auch ihrer Resolventen Anschluß an die ausgedehnten und bekannten Entwicklungen der Theorie der elliptischen Funktionen und ihrer Modulfunktionen, und es Jcönnen insbesondere die anal^ischen Darstellungen dieser FunUionen für eine transzendente Lösung der Ikosaedergleichung und ihrer Jßesolventen verwertet werden. Um dies zunächst für die Ikosaedergleichung selbst näher darzulegen, so wird man erstlich aus dem gegebenen Werte Z = J((jo) durch hypergeometrische Reihen [vgl. die Formel (5) S. 90] das zugehörige co des DB der Modulgruppe ® bestimmen. Damit ist dann zugleich die durch (8) S.87 erklärte Jacobische Entwicklungsgröße ihrem Werte nach festgelegt. Zur Lösung der Ikosaedergleichung gut es dann, eine geeignete Darstellung von z (co) in q der Theorie der Modulfunktionen zu entnehmen. Am nächsten liegt eine Darstellung durch die Jacobische ^^-Funktionr 19^ 25 (2) d-i{v,q) = 2 gi sin n: ^ — 2qismB xv -\- 2 qi sino^v . *) Die Abbildung des DB der ^5 mittels dieser Hauptfunktion z (<») auf die z-Ebene liefert dann unmittelbar die ikosaedrische Teilung der Fig. 4, S. 46.
Lösung der Ikosaedergleichung durch elliptische Funktionen. 99 Nach Klein*) gilt nämlich für s die Da:fStellung: (3) ' ^1 (2 CJ, ö')" 2 (-l)-r»^-^'^ 2 i-iYr^'^- Aus der ersten damit gewonnenen Lösung z der Ilcosaedergleichung ergeben sich die übrigen 59 Lösungen durch die Ikosaedersubstitutioneii. Die Resolventen der Ikosaedergleichung sind m:|t der letzteren natürlich zugleich als gelöst anzusehen, ijasofe:fn die Wurzeln der Resolventen bekannte rationale Funktionen von z sind. Bemerkenswert ist in dieser Hinsicht nur, daß K^lei^ für die Wurzel | der Resolvente sechsten Grades (3) S. 69 auch unjuittelbar einen besonders eiijifachen Ausdruck durch die Diskriminante zJ (fOj, a^ aufstellte *"•==) JEs gut nämUeh (4) wo im Zähler de^ BadiJcanden diß durch „'J'rani,formation fünften Grades-' am ^ (öj, «a) entstehende Modulforn} fünfter Stufe steht. M^-n hs^i also in der Resolvente eine beim fünften Grade auftretende ., Transformationsgleichung" vor sichf). Für die numerische Durchfiihrung der Lösung unserer Crleichungep mittels ModuHunktionen ist die außerordentlich schnelle Konvergenz der Potenzreüien in q, sobald o dem DB der Modulgruppe angehört, wertvoll. Dagegen sind die hypergeometrischen Reihen, die der Berechnung von co dienen, keineswegs schnell konvergent. Man kann überhaupt der Heranziehung von CO als „uniformisierender Vaiiableii" den Vorwurf machen, daß sie einen weiten Umweg bedeute. In der Tat ist ja schon z selbst als „uniformisierende Variable-' der Ikosaedergleicliung brauchbar, und wenn man schon analytische Hilfsmittel zulassen ^ill, so kann man z direkt in Z mittels der hypergeometrischen Reit.e odpr def Riepiann sehen P-Funktion darstellen ff). Gleichwojil ist der Wert der transzendenten Entwicklungen für die Algebra sehr hoch einzusehätzen. Es kommt ihnen eine wichtige heuristische Bedeutung zu, indem sie uns ip be- *) Vgl. „Ges. Äbh." III, 186 oder „Modulfunkt.- II, 383. **) Vgl. hierzu „Ges. Äbh." III, 49 und „Ellipt. Funkt.'- II, 390ff. t) Vgl. allgemein über die bei Transformation der elliptischen Funktionen auftretenden Gleichungen (Modular- und Multip] ikatorgleichungen) „Ellipt. Funkt.'- n, 335ff. tt) Vgl. „Ikos.«, S.78ff.
IQO I, 5. Bringsclie Gleichung fünften Grades. sonders zugänglicher Weise neue und wertvolle algebraische Entwicklungen aufdecken werden. Schon das nächste Kapitel liefert hierzu ein interessantes Beispiel. Fünftes Kapitel. Bring sehe Gleiehung fünften Grades. § 1. Einführung einer neuen unendlichen Gruppe. Man bilde für eine komplexe Variable ^ die unimodularen Substitutionen der beiden Typen: mit ganzen Zahlen a, ß, y, d, die bzw. den Gleichungen genügen: (2) 2ad — ßy=l, a8 — 2ßy=l. Die Rechnung lehrt dann, daß zwei Substitutionen gleicher Typen zu- sarDmengesetzt eine Substitution des zweiten Typus liefern, zwei Substitutionen ungleicher Typen aber eine solche des ersten. Daraus ergibt sich der Satz: Die gesamten Suhstitiitionen (1) bilden eine Gruppe unendlicher Ordnung, in der die SuhsÜtutimien des zweiten Typus einen Normdlteiler des Index 2 liefern. Die G-ruppe werde wieder durch ® bezeichnet; liegt eine Verwechslung mit der Modulgruppe nahe, so werde sie durch ®(^) und die Modulgruppe ihr gegenüber durch ©(">) bezeichnet. Soll eine Substitution (1) elliptisch sein, so muß ihre Invariante j = (a -j- ö) \2 bzw. j = a -\- 8 absolut <[ 2 sein. Substitutionen mit j = 0 kommen bei beiden Typen (1) vor. Soll \j\ = 1 sein, so würde der zweite Typus vorliegen, und es müßte eine der Zahlen u, 8 gerade sein, was der zweiten Gleichung (2) widerstreitet. Dagegen treten Substitutionen mit I j { = \2 beim ersten Typus wirklich auf: Die Gruppe ® enthält elliptische Substitutionen der Perioden 2 und 4, sowie weiter nur parabolische tmd hyperbolische Substitutionen. Wir verstehen unter t, die zu ^ konjugiert komplexe Zahl und stellen fest, daß die Gruppe @ durch die Spiegelung ^' = — ^ an der imaginären ^-Achse zu einer Gruppe @ erweitert werden kann, in der @ ein Iformalteiler des Index 2 ist*). Die in dieser Gruppe @ enthaltenen Spiegelungen: (3) t = ^^iLlI r ^ dul^ yt-ui2' yf2l~a *) Man vergleiche die entsprechende Überlegung bei der ilodulgruppe S. 78.
Xetz der Dreiecke mit den Winkehi jr/4, 7r/2, 0. 1()1 haben die Symmetriekreise der Gleichungen; (4) rCr +f)-2V2c«| + ^ = 0, 2a'-ßy=l, (5) y(t'+n')- i2a^-rß = 0, a'^-2ßy=l. Xur im Falle (5) treten Gerade auf, nämlich für a = 1, y ■.= 0 (6) y2|=-^, ß = 0, ±1, ±2, .-.. Im übrigen haben wir nur eigentliche Kreise: Wir entnehmen nun den Ansätzen (6) \ir\.d (7) die beiden Geraden und den Kreis: (9) I = 0, V21 -1 == 0, r - >j^- = 1, l ^ die das in Fig. 12 mit den Ecken t = = , i und ioo verseherfie V2 schraffierte Dreieck eingrenzen. De;- Kreis (8) mit a -= — 1. y = 1 läuft gerade noch durch die Epke =.— dieses Dreiecks hindurch, ebenso der zua= — 1. y = 1 gehörende Kreis (7). Aber keinem de^ übrigen Kreise (7), (8) hat einen Punit mit dem Dreieck gemein. Übt man nun auf dies Kreisbogendreieck der Winkel —, —, 0 als „erstes Dreieck- ienT^xozeQ \/ 4 2 \J fortgesetzter Spiegelung aus, der ^ns pben zum Dreiecksnetz der Modulgruppe ®H führte, so ergibt sich eine lückenlose und einfache Ißedeckung der ^-Halbebene mit Kreisbogendreiecken de;- Winkel —, —, 0. Es gilt dann wieder der Satz: E^n einzelnes DreiecJ:, z. B- das m Ficr. 12 diirch die EcJcen f=^, i, l oo bestimmte, ist ei\i DB V2 der Gruppe ®(^),- das aus diesem Dräech und seinem Spiegelbild be- Miglioh der imaginären Achse bestehende Breiedcspaar aber liefert ein&t DB der ursprünglichen Gruppe @>(-), i4;obä etwa wieder die auf der i echten Seite der imaginären Achse gelegenen BandpunUe alt, nicht dev^i Breieckspaar angehörig angesehen werden sollen. Der Beweis gestaltet sich genau so wie bei der Modiilgruppe. Jeder Punkt der positiven ^-Halbebene, auf die wir uns hier wieder beschränken.
102 I, 5. Bring sehe Gleichung fünften Grades. hat einen homologen im ersten Dreieck der Fig. 12, der also bezüglich der ® mit ihm äquivalent ist. Gäbe es innerhalb dieses Dreiecks aber zwei verschiedene bezüglich ® äquivalente Punkte, so würde die diese Äquivalenz vermittelnde Substitution, die doch das von den Kreisen (6), (7) und (8) gelieferte Dreiecksnetz in sich transformiert, insbesondere das erste Dreieck der Fig. 12 in sich transformieren. Sie hätte also die drei Ecken zu Polen und wäre also die Substitution 1. Der Übergang zum DB der ursprünglichen Gruppe @(Ö vollzieht sich gleichfalls wie bei der Modulgruppe. Wir notieren noch den Satz: Die Gruppe @(^) ist er- zeughar aus den leiden Substitutionen: (10) r = ^ + y2. ^' = ^- Transformiert man die Substitutionen (1) der Gruppe @(^) auf die Variable: (11) « = ^y2, so nehmen sie die Gestalt an: (12) V2 -8f2 J^CJ + ( Die Substitutionen (1) des zweiten Typus, die in @(^ einen Xormal- teiler des Index 2 bilden, gehören in der neuen Gestalt zugleich der Modulgruppe ©H an, wo sie, wenn wir zur Schreibweise (1) S. 77 der ®^'") zurückgehen, die durch /3 = 0 (mod 2) erklärte Kongruenzgruppe zweiter Stufe vom Index 3 bilden. Haben zwei unendliche Substitutionsgruppen einen gemeinsamen Teiler, der in jeder der beiden Gruppen endKchen Index hat, so heißen jene beiden Gruppen miteinander „Jcommensurahel'-. Es besteht somit der Satz: Die mittels der Glei- clmng (11) auf co transformierte Gruppe ©(^^ ist mit der Modulgruppe @H kommensurabel; der gemeinsame Teiler hat in der ©(^^ den Index 2 __ und in der ©('") den Index 3. Der DB des gemeinsamen Teilers ist in Fig. 13 dargestellt: er besteht aus vier Dreiecken der Gruppe @Ö, die in der Figur stark umrandet sind, und aus sechs durch Schraffierung hervorgehobenen Dreiecken der ©('"). Die Randkurven dieses Bereiches sind zu Paaren äqui valent; die bezügKchen Substitutionen sind: (13) ■- CO -\- 2, CO -CJ+ 1' aus denen der gemeinsame Teiler der beiden Gruppen erzeugbar ist. Wir halten für die Gruppe @(^) an dieser Bezeichnung fest, auch wenn sie
Kommensurabihtat der beiden Gruppei\ ®^'^ und ®^'"\ 103 auf OJ transformiert ist. Den in co da^-gestellten Durchschnitt beider Gruppen @0 und ©('") nennen wir T> (@(^), ©M) ode|- kufz S). Aus dem Normalteiler S) von @^^) eitsteht diese letztere Gruppe wieder durch Zusatz der ersten Substitution (12) rpit a = 8 = Q, ß = — 1, y = 1- § 2. Funktionen der Gruppe @^-->. Zur Bildung von Funktionen der Gruppe @^^ knüpfen wir an dje Modulform erster Stufe — 12*«' Dimension ^ (co-^, co^) an, die im Innern der ö-Halbebene überall endlich und von 0 verschieden ist, ur|.d schreiben zur Abkürzung: (1) ^ K, CO,) = zi, zl (^, CO, Vä) = J'. Die zweite dieser beiden Funktionen bleibt zwar nicht bei der gesamten Modulgruppe ©('") invariant, wohl aber gegenüber den Substitutionen des Durchschnitts 3), d. h. der durqh ß = 0 (mod 2) erklä?:ten Kongruenzgruppe zweiter Stufe, wie aus: = ^("^ + f-»V2, ■2,^-...,V2) = 4(^, .J2) hervorgeht. Somit ist der Quotient: eine Funktion von co allein, die zur Gruppe 3) gehört und im DB der Fig. 13 abgesehen von den beiden Spitzen bei o = * cx5 und co rrz 0 allenthalben endlich und von 0 verschieden ist. Aus (17) S. 89 folgt »un: ^' = ^ {^y {a - 24 g^ -r 252 g^ - • • •). so daß man für 64 Q (o) als Anfangsglied der Reihenentwicklung: 64^(a») = T'^--- findet. Q {co) hat demnach in der Spitze a» = « c« des Dß der Gruppe X einen Pol erster Ordnung und m^ß bei et) = 0 einen XuUpunkt dieser Ordnung im DB aufweisen, so daß in Q (to) eine einwertige Funktion der Gruppe S) vorliegt. Durch die Substitution: <3) «;=-V2«„ «^ = :^'
104 I' 5. BriAgsclie Gleichung fünften Grades. die den Durchschnitt D zur Gesamtgruppe ®(f> ergänzt, wird die Funktion Q (ca) zufolge (2) in ihren reziproken Wert transformiert. Somit ist: eine einwertige Funktion der ©(-), die ihren Pol erster Ordnung im Zipfel ö = ^ oo des DB hat. Im Pole co =^ i \2 der nicht-homogen geschriebenen Substitution (3) kann man Oj = ^ V2, Og = 1 setzen und findet ■ aus (2) mit Rücksicht auf die Dimension — 12 der Modulform erster Stufe ^(«i, ca^) leicht Q{i'^2) = 1. Durch diese Substitution werden auch die beiden Eckpunkte: + 1 + ^ (5) a> = :rl + l, ^ = =Sf=-- des DB der ©(^^ ineinander transformiert, die aber auch bezügKch D äquivalent sind. Somit liegt in diesen Ecken ein und derselbe Wert Q (co) vor, der zugleich seinem reziproken Werte gleich ist. Da ^ = 1 nicht mehr in Betracht kommt, so gilt: Q{l-^i) = Q{~l + i)= -1. Wir setzen demnach: und merken den Satz an: Die FimUion K(ca) nimmt in den Eclcen (+; 1-{-^), i\2 und ioo des in der co-JSälhehene gezeichneten DB der Gruppe @^ö die Werte 0, 1 und oo an und Mdet diesen DB in der Art eindeutig auf die K-Ebene ab, daß das in Fig. 12 schraffierte Dreiedc der — 1+i Ecken ——, i, i oo die positive K-Halhehene liefert und das- nicht- schraffierte die negative. Die Anfangsglieder der Reihenentwicklung dieser Funktion K (o) sind gegeben durch: (7) 256Jr(c)) = g-i + 104 + 4372 3 + 96 256^2 ^ . Mittels des oben (S. 86 ff.) bei der Modulgruppe @H angewandten Differentiationsprozesses gelingt es, auch für die Gruppe (S(^) drei „Formen^ herzustellen, die den Grundformen (p, i^, ^ der Ikosaedergruppe und den drei Modulformen g^, g^, zl entsprechen und wie diese Formen je nur in einem System äquivalenter Punkte einfache Nullpunkte aufweisen. Diese „Grundformeu" der Gruppe @(-) sind, in Abhängigkeit von öj, «2 geschrieben: }^K(K—l)\{(o,d(o) (8) yJK {K — 1) V(cj, T. r \ , ^* { dK \^
Funktionen und Formen der Gruppe @^-^- und sie hesit^en die folgenden JR^henentwicklungen: (9) h, K, «,) = (^)\l + 24g ^ 24g^ 4- 96 9^ + ■■'), - 2240 q^ + . h^ K, CJg) = (—) (1 — 80 q — 400 q^ \ K, CO,) = (^y (2- 82^ + 12,f + 64ä* + •.-)■ Das Symbol (o, ö!«) bedeutet den durch (6) S. 86 gegebenen zweigliedrigen dK Differentialausdnick. Der Differentialquotient hat nä,mlich einen (co, dco) Nullpunkt dritter Ordnung im Punkte (— 1 + «) und einen solchen erster Ordnung im Punkte co = i\2. Der Zusatz des Xenners ^ K(I\: — 1) hat zur Folge, daß \ (Oj, a^) einen Xullpiinkt erster Ordnung im Punkte CO = — 1 -f- * ^^^ damit in allen äquivalenten Punkten hat, während die^e Form im Punkte co = i^2 endlich und von 0 verschieden ist. Ebenso findet man, daß h^icOj^, co^) je einen Xullpunit erster Ordnung in dea mit CO = i\2 äquivalenten Punkten hat, wäh^-end h^(co^, co^) im Zipfel des DB bei a = i oo einen XuUpunkt erster Ordnun» hat. Als l)arstellung von JST in den Formen (8) findet man: (10 JT: (Ä" — 1) : 1 = J4 : hl : 256 \, eine Gleichung, die sich der „Mo4ulgleichung- (13) S 88 genau anscjiließl. Gegenüber der Substitution o' = o + 2 sind die drei Forpien h zufolge (9) invariant. Bei Ausübung de^^ Substitution (3) ist zwar h^ invariant, dagegen erfahren h^ und \ eptweder beide ZeicJienwechseL oder beide sind gleichfalls invariant, da bei ihrer Definition die Qu^,drat- wurzel \ K(K— 1) verwendet wurde. Um hierüber zu entscheiden, setze man in: (—12 «2, ^j = ± \ (to, . Qs) y2 öj = « y 2, «2 = 1 ein, für welches Argupaentj^aar h^ nicht verschwindet: \ (— y"2, i) = 2Z \ (« V^, !)• Da \ die Dimension — 2 in co^, co^ hat, so folgt: \ (— y2, i) = ±\ (i Y2, — i ■ 0 == - (—«T h (- V^,«). so daß das untere Zeichen gilt: G-egenüher der Substitution o' = c? -f 2 sind alle drei Formen h invariant; gegenüber der Substitution (3) erfahren h^ und h^ Zeichenwechsel, während h^ invariant ist. Zur Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe gehört als ., Hauptfunktion ^ der Legendre-Jacobische Integralmodul h-{co), worüber man etwa „Ellipt. Funkt.-' I, 433 vergleichen wolle. Bei Ausübung der zweiten Substitution (13) S. 102 wird F {co) in seinen reziprokeifi Wert transformiert,
106 I, 5. Bringsche Gleichung fünften Grades. so daß (Jc^ (ö) + Ä-2 (ö)) als einwertige Funktion zu der oben mit 3) bezeichneten Gruppe gehört und also mit der oben bereits ausgewählten einwertigen Funktion Q (o) linear zusammenhängt. Nun hat man als zusammengehörige Werte *): Q{i oo) = oo, P(ioo) = 0, ^ (- 1 + i) = - 1, ^2 (- 1 + i) = - 1, ^(0) = 0, JcHO)=l. Hieraus folgt für die lineare Beziehung zwischen Q und (k^-{-k~^): wo Ä;'^ = 1 — F der „komplementäre Integralmodul" ist. Mit Benutzung von (6) findet man den Satz: Die HauptfunUion K(a) der Gruppe @(^ hängt mit dem Integralmodul h^(ca) durch die Gleichung zusammen: Der Kommensurabilität der Gruppen @(^) und ©('") entspricht eine algebraische Beziehung zwischen Kia) und /(«), die leicht aufstellbar ist. Wir setzen die Gleichung (6) zunächst in die Gestalt: (13) ^:(^—1):1 = (^ + 1)2:(^_1)2.4^. Sie bringt zum Ausdruck, daß im DB der Fig. 13 die beiden Stellen mit JST = 0 bei Q = — 1 zusammenfallen, ebenso die beiden Stellen mit JST = 1 bei ^ = 1, während die beiden Pole von JST in den Zipfeln o = i oo und 0=0 des DB liegen, wo ^ = oo und ^ = 0 gilt. Die Funktion / ihrerseits ist als rationale Funktion dritten Grades von Q darstellbar, und aus der Werteverteilung von /in den durch Schraffierung hervorgehobenen Dreiecken der Fig. 13 liest man den Ansatz ab: (14) /:(/-l):l = {Q + af:{Q + 1){Q -^yf -.cQ. Im Zipfel a = i oo gilt demnach angenähert cJ= Q^, und da: 12^J=q~^-] , 43 ^ = ^-1^ die Anfangsglieder der Reihenentwicklungen sind, so folgt 64c = 27. Man wird demnach den Ansatz (14) besser in die Gestalt kleiden: /:(/__ 1):1 ^ (4:Q-^d)^:{Q-^l)(8QJref:2lQ, wobei d und e reell sein müssen, da Q auf dem Rande des DB und auf der imaginären «-Achse reell ist. Es muß nun die Gleichung: (4Q + d)^-27Q = (Q+1)(8Q + ef *) Vgl. hier und weiterhin „EUipt. Funkt." I, 440 ff. und II, 516 ff. Die Funktion ¥^{01) trägt dort auch die Bezeichnung X{to), und statt K{o}) ist L{ta) geschrieben.
Algebraische Beziehung zwischen den Ffinktipnen J'{co) und K{co), 107 in Q identisch bestehen. Man trage Q = — 1 ein und findet: {d — 4)3 = — 33 und also d == 1, woraus dann weiter sofort e = — 1 folgt. Die Darstellung von / in""^ ist somit: (15) /:(/-l):l = {AQ -^ ly -.{Q -\- 1){S Q -Vf -.2,1 Q. Zu einem gegebenen Werte ^gehören nun zwei Werte Q ]ind Q' =: Q''^, und also zwei Werte / und /', die zfifolge (15) durch: ri6^ j = (^ ^ + ^)' r ^ ('^Q' + ^y ^ iQ±_^ ^ ^ 27 Q ' 27 Q' 27 Q'^ gegeben sind. Die beiden symmetrischen Funktionell (J -{-J') und J-J' rechnet man mit Hilfe der Gleichung: Q -^-[ = 4:K -2 leicht in rationale Funktionen von K um. Die Relq,tion zwischen / und K ist die in J quadratische Gleiphung mit den beiden in (16) gegebenen Wurzeln / und /'. Daraus ergibt sich leicht der Satz: Die zwischen J und K bestehende algebraische Beziehung ist: (17) 729 /2 _ 54/(512 K^ — 414 K -f 27) -f (16 K -f- 9)^ = 0. § 3. Hauptkongruenzgruppe fünfter Stuf^. Zwei Substitutionen (1) S. 100 von gleichem Typus heißen rpiod 5 einander kongruent, wenn ihre Zahlen a, ß, y, d and a, ß', y', 8' die Kongruenzen: a=2ia, ß' = ±ß, y' = z:y^ 8'-=:^^ (modo) befriedigen, wo entweder nur dje oberen oder nur die (interen Zeichen gelten sollen. Heißen die Substitutionen V ]ind V. so soll ihre Kongruenz wieder durch V = V (mod 5) bezeichnet werden. Wie S. 91 bei der Modulgruppe @('"^, so folgert man auch für die QK^) ajis dem Gesetz der Zusammensetzung der Substitutionen die Sätze: Ist Vi = V, und F2 = Fg (mod 5), so gilt auch Vi -V^^V^-V^ (mod 5). Ist eine der beide^ Substitutionen V, V mit der identischen Substitution 1 kongruent, sq ist V. V mit der anderen kongruent. Ist eine der Substitutionen V, V^ mit der inversen Substitution der anderen kongruent, so gilt F'. F= 1 (mod 5). Genau wie S. 91 entnimmt man hieraus den Satz: Alle Substitutionen der ®^^K die mod 5 mit der identischen Substitution 1 kongruent sind und also dem zweiten Typus (1) S. 106 angehören, bilden einen Normalteüer der @(S), der „Hüuptkongruen0gruppe fünfter Stufe- genannt und durch ^O oder kurz ^^ bezeichnet werden soll. Zu der zugehörigen komplementären Gruppe gelangen wir, wenn wir einander mod 5 kongruente Substitut:|onen der ®(') als nicht ver-
IQQ I, 5. Bring sehe Gleichung fünften Grades. schieden ansehen. Für die Substitutionen dieses Komplements bedienen wir uns dann wieder der Schreibweise durch Kongruenzen: wo 2u8 — ßy =^ bzw. Cid — 2 ßy = 1 (mod 5) gilt. Im Komplement bilden die Substitutionen des zweiten Typus für sich einen Teiler, der zunächst näher betrachtet werden soll. Für die niedersten Potenzen einer einzelnen solchen Substitution findet man: (2\v^h^^ ^2^/«i-i,,^iy2\ -p.3^A(/-i)-i'^(/-i)V2\ unter j z=z a -\- 8 die Invariante von V verstanden. Man darf sich auf die Betrachtung der Fälle j = 0, 1 und 2 (mod 5) beschränken, da ein gleichzeitiger Zeichenwechsel der vier Koeffizienten statthaft ist. Aus (2) liest man nun ohne Mühe ab, daß V die Periode 2, 3 oder 5 hat, je nachdem j = 0, 1 oder 2 ist; nur gehört natürlich auch hier zu j = 2 die identische Substitution. Insbesondere zeigt man für j = 2 leicht V^ = V"^, woraus F° = 1 folgt. Die Anzahl der Lösungen der Kongruenz: (3) a8—2ßy=l (mod 5) zählt man in den drei Fällen j = 0, 1 und 2 leicht ab. Indem wir 2 ß = ß' schreiben, kommen wir sofort auf die 60 inkongruenten Lösungen der Kongruenz (3) S. 91 zurück, die wir S. 92ff. abzählten. Der aus den Substitutionen des zweiten Typus bestehende Teiler des Komplements der Gruppe ^W ist also wieder mit der Ikosaeder-^g^ isomorph*). Für eine Substitution des ersten Typus (1) S. 100 notieren wdr, unter j = (a -|- d) \2 die Invariante verstanden: Dabei können wir j auf die drei Werte 0, ]^2 und 2 ^2 beschranken. Man findet: V hat die Periode 2, 4 oder 6, je nachdem j = 0, ]'2 oder 2 \'2 zutrifft. Im ersten Falle ist nämlich V^ = 1, im zw^eiten und dritten Falle hat die Substitution des zweiten Typus F^ die Invariante: j' = (ci^8)]l2j-2=f--2, so daß j' = 0 bzw. = 1 (mod 5) gilt. V^ hat also die Periode 2 bzw. 3, so daß V die Periode -i bzw. 6 hat, da eine ungerade Periode bei V aus- *) Dem Zweifel, ob sich der aus den Substitutionen des zweiten Typus bestehende Teiler der &(.-) modo nicht vielleicht auf einen .lechten" Teiler der Ikosaeder-@60 reduziert, begegnet man durch Angabe der drei Substitutionen / 1, V2 \ /3, 2 \l2\ /l, ]l2\ \_\f^ W' I9 1/^ qj' In )' ^^^ ^^ ^^^ ®^"^ auftreten und mod 5 reduziert Substitutionen der Perioden 2, 3 und 5 liefern. Jener Teiler hatte also eine durch 30 teilbare Ordnung und ist demnach die ©g^ selbst.
Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe in (ier Gruppe @^'\ 109 geschlossen ist. Um die Anzahlen dieser Substitutionen der Perioden 3, 4 und 6 abzuzahlen, hat man die Anzahlen der zugehörigen Lösungen der Kongruenz : (5) 2a8 — ßy=l (mod 5) festzustellen. Ist erstlich j = 0 und also § = — a, so hat ma^ • — ßy = 2a^ ^ 1 (mod 5) zu lösen. Für a = 0 hat man zwei, für p« = 1 und a = 2 je vier verschiedene Lösungen, so daß man zehn Substitutionen der Periode 2 findet. Für j -=:r y2 und also 8=1 — a ist die Kong|?uenz: — ßy^2a^ — 2a-^l (mä 5) zu lösen. Für a = 2 und a = 4 findet man je neun, für die übrigep. drei Zahlen a je vier wesentlich verschiedene Lösungen: also ergeben sich 30 Substitutionen der Periode 4. Endlich führt j = 2 \2, also 8 = 2 — a zur Kongruenz: — ßy =2a- — 4ta -\- l (mod 5). Da rechts für kein, a eine durch 5 teilb£(.re Zahl steht, hat man beim einzelnen a je vier Zahlenpaare ß, y, so daß 20 Substitutionen der Periode 6 vorliegen. Diese Anzahlen stimmen genau überein mit den in I, 344 ff. festgestellten Anzahlen ungerader Permutationen der Perioden 2, 4 und 6 vor|. fünf Dingen. In der Tat besteht der Satz: Das Komplement der Haupt- Tiongruenzgruppe fünfter Stufe ^^p id eine G-rujjpe (§^20 ^^^ Ordnung 120, die isomorph mit der bymmetrischen Permuta(;lonsgnippe det, fünften Gtradcb ist. Die bereits im Kormalteiler (Sg^ enthaltenen Teiler ©^g vom Tetraedertypus bilden nämlich auch in der (§^20 ^^ System von fünf konjugierten Teilern ®^^, deren Durchschnitt nur aus der identischen Substitution 1 besteht. Daraus folgt die Behauptung nach einem bekannten in I, 38q aufgestellten Satze. § 4. DB der Hauptkongruenzgifuppe fünfter Stufe, Zur Gewinnung eines DB der Gruppe ^(-) \ erfahren y^n wie S. 94ff. bei der Gruppe ^C"*), indem \^dr zunächst die aus der Substitution ^' = ^ -j- V2 zu erzeugende zyklische ®- innerhalb dpr @^2o heranziehen. Ilir entspricht als Teiler der ®^^) eine Kongruenzgruppe fünfter Stufe ®(^i) des Index 24, deren Substitutionen dem zweiten Typus angeiiören und die Kongruenzen: a = 8 = ^l. j^=0 (mod 5) erfüllen. Die ®{^i) ist durch die Spiegelung D" an der imaginären ^-Achse zu einer Gruppe (^(24) erweiterungsfähig, der insbesondere als Spiegelungen
IIQ I, 5. Bringsche Gleichung fünften Grades. alle Substitutionen des zweiten Typus (3) S. 100 angehören, bei denen j; = 0 (mod 5) gilt. Die der zweiten Gleichung (5) S. 101 entspringende Kongruenz: (1) u^=l (mod 2 /) liefert nämlich für y = 0 (mod 5) nur Zahlen a, die = + 1 (mod 10) sind. Man stellt nun leicht die folgenden niedersten Lösungen dieser Kongruenz fest: u = 1 für j; =z 5, w = 9 für j; = 20, a =z 11 für j; == 20, a = 19 für j; =3 30, « = 11 für j; = 15 und endlich w = 9 für y = 10. Die zugehörigen Symmetriehalbkreise der betreffenden Spiegelungen in der positiven ^-RaXhehene bezeichnen wir durch Zusammenstellung je ihrer beiden Fnßpunkte auf der reellen ^-A.chse: lo V!\ lil Jl\ / J_ _^\ IJ- Vi\ /VI 2V2 \ /2V2 n \ ' 5/'\5'2y2M2V2'5V2M5V2' 3/' \ 3 ' 5 /' \ 5 '^2]' die Spiegelungen selbst sind gegeben durch: ,,^ J dl--2p__ IU-3V2 . 5V2e-l' 20V2^-9' 20V2^-ll' ,^ 19^--6V2 .,^ lll-4y2 ^,_ 9^_4V2 '30y2i;—19' 15y2^—11' 10V2^—9" Fügt man noch die beiden Spiegelungen ^' = — ^ und ^' = — ^ -j- y 2 mit den Symmetriegeraden der Gleichungen | = 0 und y2 | =z 1 hinzu, so bilden diese mit den sechs genannten Halbkreisen das in Fig. 14 gezeichnete Kreisbogenachteck, in dem wir den DB der ©(24) gewoimen haben; in der Tat stellt die Fläche dieses Achtecks, wie Fig. 14 zeigt, einen Komplex von 24 Dreiecken des zur @(?) gehörenden Netzes dar. Fügt man diesem Achteck sein Spiegelbild bezüglich der imaginären ^-Achse an, so entsteht ein DB der Gruppe ©(24). Dabei geht der linke gerade Rand in den rechten durch die Substitution ^' = ^ + y2 über, während der einzelne zur Linken von der imaginären Achse gelegene untere Halbkreis in den ihm symmetrisch rechts gelegenen Halbkreis durch eine Substitution der ©(2^) übergeht. Die betreffenden aus den Spiegelungen (2) sofort zu gewinnenden Substitutionen sind: ^, ^ 9^ + 2y2 ^, _ lU + 3y2 (3) 5y2^+l' 20y2^ + 9' 20y2^ + ll' ^ 19^4-6y2 lU_+4y2 9^ + 4y2 30y2^ + 19' 15y2^+ll' 10y2^ + 9' von denen die erste parabolisch ist, während die übrigen fünf hyperbolisch sind. Diese Substitutionen mögen durch die Symbole F^,, Fj,---, F5 bezeichnet werden, während die Substitution ^' •= ^ -\- '^2 kurz S heiße.
Diskontmuitatsbereich der Hauptkongruenzgruppe fünfter Sipufe. Man übe nun auf den DB der ( ) die vißr Substitutionen S-^ aus und füge ihm die vier entstehenden Bereiche ß.n. Von diesen S±2 füpf zusammengefügten Bereichen sind keine zwei bezüglich der ^^p äquivalent. Zusammengenommen liefern sie demnach einen DB der Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe Ajö. Dabei geht der linke gerade Rand ia den rechten durch die Substitution ^' — ^ + 5 "^2" über. Aus den sechs ia (3) gegebenen Substitutionen F^, Fj, • • •, Fg stellt man weiter durch Zusammensetzung mit geeigneten Potenzen von S die folgenden sechs ia der Gruppe ^p enthaltenen Substitutionen her, die, wie zugleich mit angegeben ist, die zwischen ^ = 0 und t = ;^ gelegenen sechs V2 Randkreise ia die bezüglich ^p äquivalenten überführen : Fig. 14. (4) S2. _ /89, 20 M / _ ^~ \20y2,9/' \ S^ • F, S-F = /91, 25^2' 1^20^2, 11^ 79, 25 1/2' 30^2, 19 41, 15^2 15 V2, 11 11, 5|/2 -lOl/^,-
U2 I) 5. Bring sehe Gleichung fünften Grades. Die erste und letzte dieser Substitutionen sind parabolisch, die übrigen hyperbolisch. Da die Substitution S den „Xormalteiler" ipp in sich transformiert, so ist die Randkurvenzuordnung gegenüber S invariant. Aus den vorstehenden Angaben ergänzt man demnach leicht die Zuordnung der noch nicht genannten Randkurven des DB der Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe. Schon aus diesen Angaben folgen einige vorläufige Sätze über die Funktionen der Hauptkongruenzgruppe ^p. Denken wir den DB der §p durch die Funktion K(^y'2) auf die JST-Ebene abgebildet*) und dabei die Bilder je zweier einander entsprechender Randkurven zusammengeschlossen, so entsteht eine 120-hJättrige Biemannsche Fläche F^g^) ^*e 30 vlerUättrige VersweigungspunUe hei K = 0 hat, 60 sweihlättrige hei K = l und 24 ftinfhldttrige hei K = oo und uhrigens unverzweigt ist. Das Geschlecht dieser Fläche ist p = 4t. Die letzte Angabe folgt aus der bekannten Gleichung *"*) : ^ V —1 (o) p= ^,n+i^ ^ ^__, mittels der man das Geschlecht einer m-blättrigen geschlossenen Riemann- schen Fläche mit Z Verzweigungspunkten bestimmt, in denen bzw. v^, •j/g, • • •, Vi Blätter zusammenhängen. Bei einer Riemann sehen Fläche eines Geschlechtes p'^'2 tritt als erste Frage die auf, ob sie hyperelliptisch ist oder nicht. Im ersteren Falle gestattet die Fläche eine eindeutig bestinmite Transformation der Periode 2 in sich mit {2 p -^ 2), also in unserem Falle mit zehn sich selbst entsprechenden Punkten. Diese zehn Punkte müßten bei allen sonstigen Transformationen der Fläche in sich nur untereinander permutiert werden. Aber bei unserer ©^go bilden die 24 Punkte mit K = <x> das kleinste System äquivalenter Punkte. Also id unsere Biemannsche Fläche F^oo mcht hypereUiptisch. Nach bekannten Sätzen aus der Theorie der algebraischen Funktionen j) hat man demnach bei Benutzung einer geometrischen Sprechweise den folgenden Satz: Es ist möglich, unsere Biemann sehen Flache F^go eindeutig auf eine irreduzihele Bamnkurve sechsten Grades ahsuhilden, die der ©^go entsprechend durch 120 Eollineationen in sich üherfuhrhar ist. Wir machen uns diese Verhältnisse dadurch zugänglich, daß wir mit der Untersuchung der niedersten Resolventen des „Formenproblems der ©jjo'" beginnen. =*) Die Funktion K wnrde dnrch (6) S. 104 als solche des Arguments (o mit der Bezeichnung K(o)) eingeführt und ist also als Funktion von ^ durch K(^\2) zu bezeichnen. =^*) Man vergleiche z. B. „Ellipt. Funkt.'- I, 88. t) Vgl. hierzu die Sätze über die Kormalkurve der Funktionen y einer Eiemannschen Flache des Geschlechtes p, wie man sie z. B. in „Modulfunkt.-' I, 545 ff. entwickelt findet.
ßiemannsche Flache F120 der Hauptkongruei^grnppe fünfter Stnfe. 113 § 5. Bringsche Gleichung fünften Grades. Die 15 Substitutionen der Periode 2 innerhalb des Normalteilers ©g^ •der ®j3Q ordnen sich zu je drei zusanmien und bilden so je im Verein mit der Substitution 1 auch innerhalb der ©j^^ fünf konjugierte Vierer- j^ruppen @^. Diese haben als Xormalisatoren fünf konjugierte ©„^ vom Oktaedertypus =*). Den ©24 entsprechen fünf konjugierte Kongraenzgfuppen fünfter Stufe ©(5) des Index 5 innerhalb der @(^T. Eine der Vierergruppen besteht aus den Substitutiopen: <^> ''--(o;:> ^-e/o> ^-r^:f) Diese @^ wird durch folgende vier Substitutionen: l 3 \i, _y2y' ' \i,-2]/2j in sich transformiert. Es genügt, um dies e:|.nzusehen, die vier Kongruenzen festzustellen: a (3) 1' 2 1 2 3' Irgend zwei unter den fünf Vierergruppen ©^ haben nämlich n^r die Substitution 1 gemein. Eine @^, die eine der Substitutionen F^, Fg, Fg enthält, ist also stets wieder die ®, der Substitutionen (1), so d^ß die Behauptung aus den Gleichungen (3) folgt. Ist S wie S. 110ff. die Substitution ^' = ^ -f- V^, so sind von den fünf, den Substitutionen 1, S-^, S-^ entsprechenden Dreieckspaarep. dos Dreiecksnetzes der ^-Halbebene keine zv^ei bezüglich der zur eben betrachteten @^ bzw. zum ]S[ormalisator ©34 gehörenden K^ongruenzgruppe ©(5) äquivalent, da die aus S zu erzeugende zyklische Gruppe ©^ keip. Teiler der zur ®^ gehörenden Oktaedergruppe @24 ^^^- Einep DB der Kongruenzgruppe ©(5) kann man entsprechend aus den füi^f Dreiecks- paaren des Netzes, die den Substitutionen 1, S-^, S-^ zugehören, aufjbauei^.. Dieser DB ist in Fig. 15 (S. 114) dargestellt, wobei die Zuordnung der Eandkurven sogleich in der Figur angedeutpt ist. Es handelt; sich zunächst um die drei elliptischen Substitutionen T^, T^, T^ def Periode 2 mit den Polen ^ = «', 4; V'S -j- l, die ausführlich unter (2) gegeben sind. *) Bei diesen ©g^ handelt es sich einfacl^ nm die funf konjugierten Permuta tionsgruppen ©4! vierten Grades, die in der symmetrischen Grnppe @5! auttreten (vgl. I, 336). Fricke, Algebra. II. S
114 Bringsche Gleichung fünften Grades. sodann um die hyperbolische Substitution T^, die unter (2) sich an letzter Stelle findet. Endlich ist noch die in Fig. 15 nicht weiter berücksichtigte Substitution ^' = ^ -f 5 y2 zu nennen, die den linken geradlinigen Rand des DB in den rechten überführt. Aus Fig. 15 folgert man nun sofort den wichtigen Satz: Der DB der ausgetvoMtm Kongruensgruppe ®(5) ergibt, mittels der FunUion K (^ '^2) ahgeUldet, eine fünfhlätterige Biemann sehe Fläche F5 über der K-Fhene, die hei K = 0 einen vierhlätterigen Ver- zmeigungbpunM hedtd, hei K = 1 einen sweihlätterigen, hei K = cx> einen fünfhlätterigen, ührigens unverzweigt id und also dab GrebChleoht j5 == Q hesitst. Zur Bestätigung aller dieser Angaben beachte man nur, daß, wie oben gezeigt wurde, die Tj, T^, T^, T^ die Vierergruppe @^ in sich transformieren und also als unimodulare Substitutionen der Kongruenzgruppe ®(5) angehören. Eine Hauptfunktion (einwertige Funl^tion) der Gruppe i^i^) werde durch ö (^) bezeichnet und durch die Festsetzung eindeutig bestimmt, :i + i ±3 + .- daß ö in den vier bezüglich (^^5) äquivalenten Punkten ~ gleich 0 werden soll, in den beiden äquivalentes V2 f2 Punkten =^ gleich 5 und im Zipfel t, = i 00 gleich 00. Dann gilt, da 0 =r 0 im vierblätterigen Verzweigungspunkt bei Z" = 0 stattfindet, ö = 5 bei ^ = 0 in dem daselbst isoliert verlaufenden Blatte und 0 = 00 im fünfblätterigen Verzweigungspunkte bei JST = 00, für K als rationale Funktion fünften Grades von 6 der Ansatz: ö*(ö —5) = cK, wo c eine nichtverschwindende Konstante ist. Bei JST = 1 liegt noch ein zweiblätteriger Verzweigungspunkt. Also hat die Gleichung: eine von 0 verschiedene Doppelwurzel, die sich aus der durch Differentiation der letzten Gleichung folgenden Gleichung 5 ö^ (ö — 4) = 0
Hauptfunktion der Kqngruenzgruppe fünfter Stufe ©(5). 115 zu ö = 4 berechnet. Zusammenfassend haben wir also die Werteverteilung : (4) ' ^ ' Ö (^—-^—j := 5, ö (i OC) = OC. Indem man K = 1 und ö = 4 in die zwischen ö upd Z" angesetzte Gleichung einträgt, folgt c = — 256, und man gelangt :^u dem wichtigen Ergebnis: Die algebraische Beziehung zwischen der erldärten HauptfunUion 6(t,) der Eo7igruenzgruppe ©(5) und der FanMion K laßt ■pich in die Gredalt Meiden: (5) Ä':(Ä"-1):1 = ö*(ö-5):(ö-4)2(öM-3ö^-i-8ö^ 16):-256. Bei gegebenem Werte K ist somit 6 die Lösang der besonders einfach gebauten Gleichung fünften Grades: (6) ö° — 5 <5* -f 256 K = 0. Xennen wir die besondere zum DB der Fig. 15 gehörende Funktion 6 (t) speziell ö^, so sind die fünf Wurzeln der Gleichung (6) gegeben durch: [ Öo = ö (D. Ö, = ö a + V2), 6, = 6 it T 2 ]%• 1 03 = 0(^ + 3^2), ö, = ö(e-r412). Aus (5) folgt bei Benutzung von (10) S. 105: 256 ^ == ^ = ö* (5 - ö). Demnach hat man in; (8) cp (oji, ojo) = — = V(5 — ö) h^ eine Form (—2)^^'' Dimension xß den ajj, co^, die gegenüber den Substitutionen der in den oji, a^ homogen geschriebenen Gnippe (^(5), vom Vorzeichen abgesehen (vgl. S. 105), invariant ist. Aus (6) aber ergibt sich: Die Form cp der Kongru£n0grußpe fünfter Stufe @(o) ist die Lösimg der Gleichung fünften Grrades: (9) (p^ — o h^ (p i- \ h^ == 0, deren fünf Lösungen aus einer erden unter ihnen entsprechend den Grleichungen (7) in den Gestalten: (10) [ ^0 = ^ ("^1' ^^2). ^1 = y («1 + 2 a>2, öo), i ^2 "= y («1 + 4 ^2' ^'2)' • • •' ^4 = y («1 -r 8 0^2' «2) gewonnen werden. Will man lieber den Gebrauch homogener Variablen OJi, ÜJ.2 vermeiden, so mag man die Funktion: 5 5 op
116 I, 5. Bringsche Gleichung fünften Grades, einführen, die zufolge (6) die Gleichung fünften Grades befriedigt: (12) ^^-2?^(/+l) = 0- Xahe mit diesen Gleichungen verwandt ist auch die von Hermite*) eingeführte Resolvente fünften Grades der Modulargleichung sechsten Grades, die bei Transformation fünften Grades der elliptischen Funktion auftritt. Man gelangt von (6) aus zu ihr, indem man in Übereinstimmung mit (12) S. 106: (13) ^^-4V5(1+^ K=^1^:J^ ^ ^ 6 16 äH-'^ setzt. In der Tat hat die Hermitesche Gleichung fünften Grades die Gestalt: (14) i,t — 2* • 53 }^ k'^ w — 2'- 52 VS Jc^ Jc'^ (1 + h^) = 0. Sie ist indessen weniger einfach als die vorstehenden Gleichungen, da ihre Wurzel erst eine Funktion derjenigen Gruppe ist, die der Durchschnitt unserer hier zugrunde gelegten Kongruenzgruppe fünfter Stufe mit der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe innerhalb der Modulgruppe ist. Die Gleichungen, zu denen wir gelangt sind, stehen im Mittelpunkt des vorliegenden Kapitels. Legen wir die Gestalten (9) und (12) zugrunde, so handelt es sich hierbei um Grleichungen fünften Grades, in denen die vierte, dritte und zweite Potenz der Unbekannten nicht auftreten. Mit Klein bezeichnen wir eine Gleichung fünften Grades dieser besonderen Gestalt als eine „Bringsche Gleichung'- und verweisen wegen der Begründung dieser Benennung auf die ausführliche Darstellung in „Ikos*-, S. 143. Eine Bring sehe Gleichung kann immer in eine Gleichung fünften Grades mit nur einem „Parameter'- transformiert werden. Hat die Gleichung die Gestalt: (15) z^ + a^z + a^ z= 0, so liegt, falls einer der Koeffizienten a^, a^ verschwindet, eine Gleichung fünften Grades mit nur einem „Parameter'" a- bzw. a^ vor. Sind aber beide Koeffizienten a,, a. von 0 verschieden, so setze man z :=: -^ v und fiadet die Gleichung: (16) ^-5 J^l{v-^1) = 0, & = 4- mit nur noch einem einzigen Parameter &. § 6. Transzendente Lösung der Bringschen Gleichung. Die bei Hermite vorliegende Darstellung der Wurzel w der Gleichung (14) in den transformierten Werten des Legendre-Jacobi sehen Integralmoduls 1^ findet man auch in „EUipt. Funkt *• 11, 518 ff. dar- *) „Sur la resolution de l'equation du cinquieme degre-, Pariser Compt. Rend., Bd. 46 (1859).
Hermitesche Resolvente fünften Grades. 117 gestellt. Mittelbar sind dadurch auch die üjbrigeii Gleichungen fünften Grades von § 5 durch elliptische Modulfuiiktionen gelöst. Der Wert dieser transzendenten Lösungen der Gleichupgen liegt in den Reihenentwicklungen nach Potenzen der Entwicklungsgröße q, die wir jenen Lösfingeii entnehmen. Diese Potenzreihen ermöglichen die Durchführuiig algebraischer Entwicklungen. Andererseits gestatten sie apgen'^herte nur^erische Lösungen der Gleichungen. Man hat dabei aus den „Parametern- der Gleichungen, d. h. aus K bzw. h^ und h^, den Wert ca bzw. ^ zu berechnen, was entweder ähnlich wie die Berechnung von co aus /durch hypergeometrische Reihen (vgl. S. 90) oder direkt duroh Vermittlung von / bei Lösung der für / quadratischen Gleichung (17) S. 107 gescjiehen kann. Aus co oder ^ ist dann der Wert der Entwicklungsgröße: herzustellen. Wir können übrigens eine ausreichepde Anzahl vori Anfangsgliedem der Potenzreihen für die Wurzeln unserer Gleichlingen fünften Grades auch ohne weitergehende Entwicklungen iiber Mod^lfunlvtionen auf folgendem Wege gewinnen. Die polfreie Form (— 2)*^'' Dirpension (p (cOj, o?.^) ist,entwicklungsfähig in eine Pptenzreihe der Gestalt: (1) (p («1, «2) = (^^ ) («1 g-" ~f a.^(f ~f «8 (f -I ), \02/ wie aus der Erklärung (8) S. 115 von tp und dem Verhalten voq 6 im DB der Gruppe ©(5) hervorgeht. Da (p polfrei ist, so ist die Reihe im ganzen DB der Hauptkongruen:?gruppe ^j'"^ kpnveigent'='). Man trage diese Entwicklung in die Gleichung (9) S. 115 für (p eip. und ersetze hi und \ durch ihre Potenzreihen (9) S. 105. Ent\yicke]t m^n dann die linke Seite der Gleichung nach ansteigenden Potenzen vpn q, so muß der Koeffizient jedes Gliedes verschwinden, da in ^ eine identische Gleichung vorliegt. Hieraus bestimmt sich a, bis auf eine mulriplikp^tive fünfte Einheitswurzel, während nach deren ßestimmuriig a^, a^, 1 • • sich eindeutig berechnen. Eine der Reihen hat reelle Koeffizienten. Sie liefert die Form cpQ {eo-^, (o^), da die Funktion ö^ zufolge ihrer ErJdäruQg upd der Symmetrie des DB der Fig. 15 bezüglich der imaginären o)-Achse auf dieser Achse reelle Werte besitzt. Man gelangt zu dem Ergebnis: jDfe transzendente Lösung der Bring sehen (xleichmig (9) S. 115 i,bt gegeben durck: { g), («1, ö,) = (-^ (— S^(f — E^-^'q-' + £^' (f — £*'3' (2) ' ^"^^' *") In den bis zur reellen Achse l^eranrßichenden Spitzen dieses DB verschwindet f {co^, «2).
118 I, 5. Bringsche Grleichung fünften Grades. WO die Sterne andeuten, daß alle Glieder mü gamsahligen Poten^exponenten ausfällen*). Für die Lösungen der Gleichungen (6) und (12) § 5 leitet man hieraus leicht auch transzendente Darstellungen ab. Wir merken etwa für die Funktionen 6 die Potenzreihen an: j... [ — 12 £*^ f/-H*— 4£'g=~f 13£2rg5_ 12£3^g5 ^ ^ WO wieder alle Glieder mit ganzzahligen Exponenten, abgesehen vom Absolutgliede, ausfallen **). Eine erste Verwendung mögen die vorstehenden Reihenentwicklungen bei der Berechnung der Differenzenprodukte der Gleichungen fünften Grades finden. Die Diskriminante Dg der Gleichung (6) S. 115 berechnet man am einfachsten auf Grund der Regel (15) in I, 111, die: -öo=n(5ö;(ö,-4)) = -5^(nö.)'n(4-ö.) 1=0 11 liefert. Zufolge (6) S. 115 aber ist: JJ ö, = — 256 K. n (^ ~ ^'') = -5^ (^ — ^) ■' man findet also als Dibkriminarde Do der genannten Gleichung: (4) Da= h^-2^^K\K—V). Das Differenzenprodukt P„ der 6 sei gegeben durch: und entsprechend seien die Differenzenprodukte P^ und Vf für die Gleichungen (9) und (12) S. 115 ff. erklärt. Dann gilt zufolge (8) S. 115: 11(0. -M ^'f = ^'\' "^ ^^ = ?i-Pa- und da man aus (4) mit Benutzung von (10) S. 105.- P. = ±25V5^ findet, so gilt für P^^i P^ =:^25V5'/*3/i|. *) Dies ist selbstverständlich, da die Summe aller fünf Formen f identisch verschwindet. =•*) Vgl. die Gleichung (9) in ,.Ellipt. Funkt.'- II, 524.
Diskriminanten und Differenzenprodukte der Bring Sßhen Gleichungen. 119 Zur Bestimmung des Vorzeichens berechne man auf Grund von (2) das Anfangsglied der Reihenentwicldung für P^, ^obei die Gleichung: (5) 2l (£" — £'') =—25]'^ zur Benutzung gelangt. Als Differensenpraduli P^p der )\^urzeln der Bring sehen Gleichung (9) S. 1 15 findet sich: (6) P,p = Jl(cp,- 9v) == - 25 V5/., hl Wir notieren endlich noch für die Gleichung (12) S. 116: § 7. Galoisscher Köyper der Bringßcheri Gleichung. Die S. 113 mit S und Tj bezeichneten Substitutionen mögen jetzt S und T genannt werden und als homogene Substitutiopen in den Variablen co^, co^ geschrieben werden: (S) a'i = o»! ~f 2 CO,, coo = «a! (^) '^'i = — V'^'t^'a) «2 '-= ^-• Aus diesen beiden Substitutionen läßt sich die Gruppe ®^3 erzeugen. Bei Ausübung von S erfahren die füaf Funktion (J die zyklische Permutation: (1) Öo = öl, öl = Ö2, Ö2 == Ö3, Ö3' = ö^, ö'i = öo, und ebenso permutieren sich die fünf Wurzeln f der Gleichung (12) S. 116 und die fünf Wurzeln (p von (9) S. 115. Aadererseits gehört die Substitution T den drei Gruppen von ö^, öi, ö^, nicht aber den Gruppen von ög und Ö3 an. Bei Ausübung dpr Substitution T erfahren die ö die Transposition: (2) öo = Öq, öl = öl, 02 = Ö3, öi = Ög, öl = Ö4, und die gleiche Permutation erfahre^ die f^, während dje tp^ infolge des in der Erklärung (8) S. 115 auftretenden Faktors \ das Verhalten zeigen: (3) 9o =-9o. 9^1 = -9i. 92 ==-^3. ^i =-^2' 9i =-94- Aus den beiden Permutationen (1) und (2) läßt sich die gesamte symmetrische Permutationsgruppe ©ig^ erzeugen ="). Bei den fünf Formen <p handelt es sich, wie man sieht, um eine ©120> <iie ^i^ 60 gera,den Permutationen enthält, während die 60 ungeraden Permutationpn je mit gleichzeitigem Zeichenwechsel aller fünf <p verbundep sind. *) Die aus den Permutationen (1) und (2) zu erzeugende Gruppe ist trfinsitiv, da sie die zyklische Permutation (1) enthalt, und kann n:|cht imprimitiv sein, da sie die Primzahl 5 zum Grade hat (vgl. I, 337). Sie ist also nach I, 345 die symmetrische ©1201 da sie die Transposition (2) enthalt.
120 Ii ^- Brmgsche Gleichung fünften Grades. In der S. 112 eingeführten 120-blätterigenRiemann sehen Fläche F^go» auf weiche der DB der Hauptkongruenzgruppe ^- durch die Funktion K abgebildet wird, entspricht der Substitution S ein Umlauf um den Punkt K = oo und der Substitution T ein solcher um den Punkt K = 1. Indem wir den S. 58 eingeführten Begriff der „Monodromiegruppe'- wieder aufnehmen, werden wir zu dem Satze geführt; Für die Gleichung (6) S. 115 und die Bring sehe Gleichung (12) S. 116 mit dem Parameter K ist die Monodromiegruppe die symmetrische Permutationsgruppe ©jgo- ^^ dieser Hinsicht unterscheiden sich also diese Gleichungen wesentlich von den im vorigen Kapitel gefundenen Gleichungen fünften Grades mit einem Parameter. Der Betrachtung des „Galoissehen Körpers'- unserer Gleichung legt man zweckmäßig die fünf Formen (pr((o^, co^) zugrunde. Sie sind, linearabhängig, da die Gleichung: (4) 2 9>K. «2) = 0 1 =0 identisch besteht. Aber es besieht keine wettere lineare homogene Begehung zwisclien ihnen, da sonst auch bereits zwischen den vier Größen 9i' 9^2' 93' 9^4 ^^^ Gleichung: «1 9l + «2 92 + «3 93 i- «4 94 = 0. mit nicht durchweg verschwindenden a bestände. Kach Eintragung der Reihen (2) S. 117 würde man zu den vier Gleichungen: «1 E^ -^ «2 ^^^ + '^3 ^^^ + «4 f*'^ = 0, ^ r= 1, 2, 3, 4, gelangen, aus denen indessen nach I, 79 ff. das Verschwinden aller a folgt. Man führe nun das Differential: (5) (co, dcö) = cOj dco^ — co^ da^ = — cof dco ein und setze: (6) 2Ö^ J ^' ^"'' "2^ ' ^"' da}) = w, (a). Dann fiadet man aus (2) S. 117 für v = 0, 1, 2, 3, 4; !J 2 _3 £ 0 w,((o) = s'qo 4-|£2rg5_l£3v^5 ~f| 5*^35 -f*—-ef'a^ Es besteht dann wieder die Relation: (8) •^w,{co) = 0, jedoch sind die vier Funktionen w^ (co), • • •, w^ia) linear-unabhängig. Wie die 9?^ (cjj, C3^ sind auch w^ (co) im DB der Hauptkongruenzgruppe §- tiberall endlich, ändern sich jedoch gegenüber den Substitutionen dieser Gruppe als Integrale um additive Konstante. Xun hat die dem DB
Br^ngsche Kurve. 121 entsprechende Riemann sehe Fläche F^go über der X-Eber^e das Geschlecht p = 4 und ist nicht hyperelliptisch. Wir gelangen zu dem Sat?e: Bie Wy (co) sind, in Abhängigkeit vor^ w aufgefaßt, Integrale erster Gattung der Biemann sehen Fläche Y^^^ des Geschlechtes p == 4, und insbesondere sipd IV ^, w^, u\, w^ vier linear-unabhängige Integrale, in denen ßlle weiteren linear darstellbar sind. Damit haben wir Anschluß gewopnen an bekaimte Sätze über algebraische Funktionen*). Wir füjiren die vier Größep (p^, (p^, (p^, <p^ als homogene Koordinaten im Räume ein oder behalten sogar, wie es Klein in „Ikos.-', S. 162ff. tufc, alle fünf durch die Relation: (9) 9o + 9i T 92 -f 93 -f 9* = 0 verbundenen Größen bei, die dann sogenannte „PentaedßrJcoofdinat:en'- im Räume B^ von drei Dimensionen liefern. Die Riemanri, sehe Fläche F^g^ wird dann durch die Formen (pr(fx}^, to^ auf eipe Baumkarve oechstßn Grades des Geschlechtes p = 4 abgebildet, die in der Theoiie der algebraischen Funktionen als die „Xormalkurve der Fori^en cp" bezeichnet wird. Im hier vorliegenden 2usai|imenhang nenpen wir diese Kur^e mit Klein („Ikos.", S. 167) die „Bringsehe Kurve-. Sie ist im B^ darstellbar als Schnitt einer Fläche zweiten und einer solchen dritten Grades, die durch die Gleichungen: I 9o T 91 + 9I + (pl + 9* = 0> \ <po 4- <pi +- <pl + 9I 4- (p! = 0 gegeben sind. Diese Gleichungen aber sind uni^ittelbare Folgen der Bring sehen Gestalt der Gleichung fünften Grades (9) S. 115. Den 120 mod 5 inkongruenten Substitutionen der @(-) entspreche^ 1^0 Kolll- neationen der Bring sehen Kurve in sieh. Sie werden von den 60 geraden Permutationen der (p gebildet, sowie den 60 ungeraden Permutationen, letztere je vereint mit einem gleichzeitigen Zeichenwechsel, aller fünf Koordinaten. Aus (9) S. 115 ergeben sich die Darstellungen ton h^ and h^ in den Formen (p^: [ 20 h, (CO,, «2) == 9o* ~f <pI i- <pl - 9I H- 9>l 1 h^{co^, co^)-h^((o^, «2) = — 9o-91 • 92-93-^r Mt Hilfe der Gleichung (10) S. 105 folgt weiter j^ls Bardellung von K durch die Formen (pr: (12) ^_.„^_2'^.5»i^^. *) Vgl. .Modulfunkt.'- I, 569ff.
122 Bring sehe Gleichung fünften Grades. Auf der Bringsciien Kurve wird hiernacli das einzelne System von 120 Punkten mit gegebenem K ausgeschnitten durch, die Fläche 20^*^" Grades: (13) 23 . 0' ■'(nvy-^(s9't);=o. Die Lösung der Galois sehen Resolvente der Bring sehen Gleichung läuft, geometrisch gesprochen, darauf hinaus, hei gegebenem K die Koordinaten eines der zugehörigen 120 PunUe auf der Bring sehen Kurve zu bestimmen.. Die übrigen 119 Punkte sind dann zugleich mit bekannt. Die Gleichwertigkeit des Problems mit der Aufgabe der vollständigen Auflösung der Bring scheu Gleichung ist einleuchtend. § 8. Bring sehe Kurve in Tetraederkoordinaten. Unter Adjimktion von s stelle man aus den fünf Formen (py,{(o-^, co^) jetzt vier linear-unabhängige Formen z^ (ca^, co^), • • •, ^^ («j, cOg) durch die den Lagrangeschen Solventen nachgebildeten Ausdrücke: (1) 5«;^ = 9o-r«*9i+«-''92 + ^^*93 + «'''94> /t = l, 2, 3, 4, her, in denen sich dann die g), ihrerseits so darstellen: (2) (p, = E-^z^ + 5-2^-^2 + £-3^^3 + f-*"^^, r = 0, 1, 2, 3, 4. Als Potenzreihen dieser Formen z findet man aus (2) S. 117: (3) z^icoi^ CO,) = z^((0^, «a) = ■ •)■ 2^(1-22 + ...), '•) mit durchweo; reellen Koeffizienten. Die (Sj^^o "^^^ Permutationen bzw. Substitutionen der (p transformiert sich auf eine Gruppe von 120 quater- nären Substitutionen der Äjt, die erzeugbar ist aus den beiden den Substitutionen S und T entsprechenden Substitutionen der Determinanten 1 bzw. — 1: (4) Z[ — S^Z^, S'2==E^Z^, 4 = 5^^3, s[ = 8S.. (5) yb , 1- ;J^ -_ 5^ ^ ^^ ^ _„ -V5. l^-f5 -V5 1 — Vs ]öz[ = l~-]h_ l-f V5_
Bringsche Kurre in Tetraederkpordinaten. 123 Man deute nun die z als „Tetraederkoordinaten" im Räume und stelle die Bring sehe Kurve in ihnen dar. Die in (10) S. 121 links stehenden Potenzsummen der cf gebßn auf die z^^ upigerechnet: 9o+9i +9l + --- = 10 (^,^,-^.-,„^3), 9o + 9i + 92 -^ • • • = 15 (^1 ^3 + ^l ~% T- ^l ~^2 - 4 ~^)- Die Bring igelte Kurve wird dem^acli in Tetraederhovirdmaten durch: (6) .-^.,^.^^3 = 0, ,u^ + 4h-4^,-4^^ = o dargedeJlt. Die zweite Gleichung liefert die vqn C leb seh als „Diagonal- fläche'- bezeichnete Fläche dritten Grades*). Bei den 120 quaternären Substitutionen bleibt die linke Seite der ersten Gleichung (6) absolut invariant, diejenige der zweiten blei|bt nur bei den 60 Substitutionen des Xormalteilers ©g^^ invariant und erfährt im übrige^. Zeichenwechsel. Soll das Problem der Lösung der Galois sehen Re^olvente der Bring sehen Gleichung mittels der Sj^ angesetzt >verden, so sind die Gleichungen (11) S. 121 auf die ^f. umzurechnen. Man gelangt, wepn man die Ergebnisse mittels der ersten Gleichung (6) kürzt, zu zwei Ausdrücken; f X (^~i, ^2, ^3, ^J = Zf Z^ ~f Zl Z^ ~f Zl ^3 -r ^l -^ - 3 ^1 ^2 ~3 -"*> (7) ^ 0(^1, ^,, ^3> ^J = ^1 + 4 + 4 -f 4 \ — 10 {zl ^3 z^ 4- 4 ^, ^^3 + zl z^_ z^ -r 4 ^i ^2), in denen sich die Formen h so darstellen: (8) - h,\ = ^{z,, z,, z^, ^J, Ä, = x(zp .2, ^3, z,). Weit umständlicher ist die Upirechnung der Gleichung (6) S. 119 fur das Differenzenprodukt P^^ auf die zj.. Man gelangt hier zu [dem Ausdruck zehnten Grades: ,,, [ ^(~^> ^2, ~^3> ~^.) = 2 (5) (~^^' -11 ^^- ^^'^- i-'^ß ^^^*'- l + 25 C| „-3i e,;^ — 50 4 4;i ^4;t — 75 -f ^Ifc^l;, — 150 4 ^Ifc 4/), wo Ä die Zahlen 1, 2, 3, 4 durchläuft und (^] das Legeiidre sehe Zeichen ist. An (8) reiht sieh dann die Gleichupg an: (10) \h!^Wiz,,z„z„ z^y Auf Grund von (10) S. 105 ergibt s^ch der Satz: Die Fanlilon K i^tcllt sich als rationale FunMion auf der Bring sehen Kurre daf in der Qe&talt;: (11) ^:(^—1): 1 = 0*:?F^:25ÜX=. ■*) Vgl. das Nähere m „Ikos.", S. :
124 I» ^- Bring sehe Gleichung fünften Grades. Die Lösung der Galois sehen Besolvente der Bring sehen Gleiehung läuft also darauf hinaus, bei gegebenem Werte -STdureh Lösung der Gleiehungen (6) und (11) die zugehörigen 120 Wertsysteme für die Verhältnisse der ^^, Zg.. g,, 0. ZU bestimmen. § 9. Parameterdarstellung der Bring sehen Kurve. Die dureh die Gleiehung: (1) ^j ^^ -4- ^2 -2^3 = 0 gegebene Fläehe zweiten Grades trägt zwei Seharen gerader Linien, deren eine mittels eines Parameters X darstellbar ist dureh: (2) z^-^Xz^ = 0, ^3 — ;l ^, = 0, während die zweite mit dem Parameter ^ angebbar ist dureh : (3) ^j — fi ^3 = 0, ^2 i" >" ^4 = ^• Dureh jeden Punkt der Fläehe läuft eine Gerade der ersten und eine solehe der zweiten Schar iiindureh*). Jedem Punkte der Fläehe (1) kommt demnaeh ein bestimmtes Wertepaar X, ^ zu, so daß man die beiden Parameter X, fi als „ Koordinaten "^ für die Punkte der Fläehe (1) benutzen kann. Man wird demnaeh aueh die auf der Fläehe (1) liegende Briagsehe Kurve mittels der Parameter X- ^ zur Darstellung bringen können. Zunächst möge das Verhalten der Parameter X, /i bei den 120 Raum- koUineationen unserer Gruppe ©^20 festgestellt werden. Wir setzen: (4) ;l^_1i_13, ^ = ?i=.-!i und bemerken erstlieh, daß bei der KoUineation (4) S. 122 jede der beiden Geradenseharen in sieh selbst übergeht. Die Parameter erfahren hierbei die Substitution: (5) X' = eX, ft' = E^ fi. Bei der KoUiaeation (0) S. 122 aber werden beide Seharen ausgetauscht; denn es geht z. B. die dureh ^^ === 0, ^3 = 0 gegebene Gerade der ersten Schar in die durch: ~< _ ^; _ - 1 -f Vs" ===) Man beachte, daJß die geometrische Sprechweise hier im übertragenen Sinne gebraucht ist, da sowohl die z als auch die Parameter A, /u. beliebige komplexe Großen sind.
"^ VS ^ |5 e^ — £^ £—£*' V5 " ys ..■ _ V5 "^ ys 15 Vö Parameterdarstellung der B^ngsclien Kurve. 125 gegebene Gerade über, die def zweiten Scliar angehört. Xach kurzer Zwischenrecbnung findet man aus (5) S. 122, daß dieser B^ollineation die Substitutionen: (6) der Determinanten 1 entsprechen. Aub den Substitutionen (5) Ufhd (6) erzeugt man eine Gruppe ©^20 '^^*" Ordnung 120 von Sutstitutionenpaareti, die eine neue Darstellung unserer bisherigen (S^^q abgibt. Der „ungeraden'• Permutation (ö^, 0.2, 6^, a^) der <5 entspricht als Substitution der Formen (p: (po = — cpo, (p'i = — <po, (po = — (p^, (p'i = — <P3' (p'i = — (pi, und diese liefert auf Grund von (1) S. 122 als Substitution der Z)/. Zi = Z„, ^3 = Z^, ~i = ■i^2' ~ 2 == ^1; sowie damit als entsprechende (Substitution der Pa^-ameter : (7) ;; =r —, a' = .1. /^ Die Zusammensetzung der Substitutionen (7) und (ti) in dieser üeilien- folge führt zu der Substitution V5 V5_ ft == 7 ^2-" "^ V5" '" Vs (8) J/i (5) «>^<^ (8) haben ivir fur h die erzeugenden Substitidionen S und T der nicht-homogenen Ihosaeder-(^^^ wiedergewonnen [vgl. (1) S. 421, während die Substitutionen von ^ aus denen von 1 durt^h Ersatz von s durch 8^ hervorgehen'-^). Aus fieser DarfStellung des Korm^lteilers 0)^^^, geht dann die ©^jo durch Zusatz der Substitutioa (7) der Periode i hervor. Zur Darstellung der Bring sehen Kurve benutzt man zweckmäßig statt l, a homogene Variable a^, ^.-> ur^d ^u^, fi„ indem man X =z -ll und ^ = ^^ setzt. Dabei genügt man den Gleichungen (4), indem man: llc, (9) z^ = 2.^^,, z^ = —Ki^i^ h = hH^ ^4 = hH =) Dabei wechselt Vs entsprecjiend der &].eichupg (13) S. 4I das Vorzeichen.
126 I, ». Eringsche Gleichung fünften Grades. vorschreibt. An Stelle von (5) und (6) aber treten die homogenen unimodularen Substitutionen: (10) l\^=zs^l^, A2 = £^A2, fti = £fti, ft2 = £*/^2- f V5';l;=3 ^(£-£*)ftj-(«'-«')^2> V5^; = ^(£-£*);L,-(£2-£3);t,_^ Zur Darstellung der Bring sehen Kurve ist nun einfach die zweite Gleichung (6) S. 123 mittels der Gleichungen (9) auf die l, fi umzurechnen. Äh Parameterdardettung der Bring sehen Kurve findet man: (12) Xf ^l ^2 + X! l^ {ii — Xi 11^ iil + Aj Xt ^f = 0. Der Ausdruck sechsten Grades auf der linken Seite dieser Gleichung ändert sich nicht bei Ausübung von (10), während er gegenüber der Substitution (11) Zeichenwechsel erfährt. Er ist also invariant gegenüber der Ikosaeder-@g(), die in der ®^^^ als Xormalteiler enthalten ist. Trägt man in die rechten Seiten der Gleichungen (7) S. 123 für die z die Ausdrücke (9) in den ^, ft ein, so gelangt man zu den beiden folgenden Ausdrücken achten und zehnten Grades in den ^, ft, die wir gleich wieder selbst durch X {X, (i) und $ (X, fi) bezeichnen wollen: (13) X(X, ft) = Xt ftj l4 - U fti fta ~ ■^i '^a f*i + ^i ^i ft| — 3 Xi Xo fti fi|, I ^ ß, fi) = ^f K + ^1 fi| — Ü ill + ll ill Ebenso rechnet sich die Gleichung (9) S. 123 um in die Gestalt: f wix, ii) = {XI' ~ iixtxl-xl')(ni' + n ii! ill - ill') — 625 Xt XI ftf nl + 25 [(/.', ^2 ~f 3 ^^^ ;L| ) Qi^ llI — 2 ft^i uj) (15) { - (A, ;i| - 3 X! XI) (ft? ftf -f 2 ft? ft|) — (Xt XI — 2Xf Xl) (ft, fi| — 3ftf fi|) — (X! XI T- AJ XI )(ii', ii, + 3 ft* ftl)]. In diesen Ausdrücken stellen sich die \, h^, h^ so dar: (16) — \ \ = 0 (X, ft), \ hl = W {X, ii), \ = X {X, ft). Die Darstellung der Funktion K als rationale Funktion auf der nunmehr durch die Gleichung (12) gegebenen Bring sehen Kurve aber ist wieder: (17) K:{E—1):1=0 {X, ft)* : W (X, ii)' : 256 X {X, iif. Hieran kann man eine neue Formulierung des Problems der Lösung der Galois sehen Resolvente der Bring sehen Gleichung reihen =*). *) Über die Invariantentlieorie der aus (5) und (6) zu erzeugenden ©j^o linearer Substitutionen vergleicbe man die Abhandlung von Gor dan „Über die Auflosung der Gleichungen vom fünften Grade'*, Math. Ann, Bd. 13 (1878), sowie die Angaben Kleins in .,Ges. Abh." II, 380.
Parameterdarstelliipag der Formen '?, W und X. § 10. Resolvente sechsten Grades der Bring ßchen Gleichung. In der (S^^^o ^^^^ sechs konjugierte Teiler ©^ enthalten, derpn einzelner als Xormalisator einen Teiler ©20 der Ordpung 20 besitzt. Geht man auf die ursprüngliche Erklärung dey ^^^^ als mod 5 reduzierte Ö*^^) zurück, so wird z. B. ei|ie der zyklischen Gruppen (S- aus der Substitution (^' ^^ a U 1) erzeugt. Der zugehörige Teiler ©^^ besteht Flg. 16. allen Substitutionen, die die Kongruenz y = 0 (mod 0) befriedigen. Durch die gleiche Kongruenz y ~ 0 (mod 5) ist dann^ die der Gruppe ©^o ^^^' sprechende Kongruenzgruppe fünfter Stufe erklärt, die ßinen Teiler ©,,,) des Index 6 innerhalb der ©Ö liefert. Um einen DB dieser Kongruenzgruppe ©(g) zu gewianeii, gelten wir auf die S. 109 mit ©(24.) bezeichnete Kongruenzgriippe fünfter Stufe dps Index 24 zurück, deren Substitutionen mod 5 i^itf ' '^"j und den Potenzen dieser Substitution kongruent siad. Der Zusatz der Spiegelung ^' = — ^ an der imaginären ^-Achse führte zu der daselbst mit ©(24) bezeichneten Gruppe, deren DB in Fig. 14 S. 111 dargestellt ist. Es handelt sich dabei um ein Achteck, dessen acht Randk|-eise durchweg Symmetriekreise vqn Spiegelungen der ©(24) waren. Dieses Achteck hat n]in in dem vqn acht Kreisbogendreiecken umlagerten Pol t == ^= der Substitution der Periode 4 • / 00 5y2 (1) r == -^-^—7- 5^-2y2 einen Mittelpunkt und wird durch diese der ©(6) angehörende Substitution und ihre Potenzen in sich transformiert. Dpr Zusatz der Substitution (1) zur ©(24) führt zu der durch die Spiegelung t' = — t er^^eiterten Gruppe ©(e), deren DB in Fig. 3-6 dargestellt ist. Die beiden durch einen Pfeil -verbundenen Seiten dieses Fünfecks sind v^ermöge der Substitution (1) äquivalent, wählend die drei anderen Seiten Symmetrjekreise von Spiegelungen der ©(g) sind. Lagert man nun diesem DB &ein Spiegelbild bezüglich der imaginären ^-Achse an, so gelangt man zu dem in Fig. 17 (S. 128) dargestellten DB unserer Kongruenzgruppe @(g). Aus der Zusammengehörigkeit der ßandkurven dies^es DB erkennt man, daß er vermöge der Funldion K auf eine sechsb^tterige Rjemann sehe Fläche Fg über der Ä-Ebene mit folgender Verzweigung abgebildet wird:
128 I, 5. Bring sehe Gleiehung fünften Grades. Bei K = 0 liegt ein vierblätteriger Verzweigungspunkt, den Bereichecken — jl^, — ^ _* entsprechend, während die beiden übrigen Blätter bei P 13V2 JS: = 0, den Ecken =—^~ entsprechend, isoliert verlaufen; bei ^ = 1 5V2 liegen drei zweiblätterige Verzweigungspunkte; bei Z" = oo findet sich ein fünfblätteriger Verzweigungspunkt, der Spitze ^ = 0 entsprechend, ^^^ ^^ während das letzte Blatt bei K = OD, der Spitze ^ = i <x> entsprechend, isoliert verläuft. Andere Verzweigungspunkte treten nicht auf. Daß diese Riemann sehe Fläche Fg dem Geschlecht j) = 0 angehört, ist bereits aus der Zusammengehörigkeit der Randkurven in Fig. 17 einleuchtend. Indem wir also eine geeignete einwertige Funktion r der Fläche aussuchen und K als rationale Funktion sechsten Grades von r darstellen, wird diese Darstellung, als Gleichung sechsten Grades für r bei gegebenem K aufgefaßt, eine jResolvente sechsten Grades der Bring sehen Gleichung liefern. Die Auswahl von r geschieht in der Weise, daß wir die Werte von r in irgend drei Punkten des DB vorschreiben. Es möge zu diesem Zwecke festgesetzt werden: (2) .(0)=oo. ,(.00) = 0, .(X|xij = ,^=li^)=-1, d. h. r soll in dem fünfblätterigen Verzweigungspunkte bei K = cx> selbst unendlich werden, im isoliert verlaufenden Blatte bei ^ = 00 verschwinden und im vierblätterigen Verzweigungspunkte bei E = 0 den Wert — 1 haben. Aus diesen Angaben sowie aus der eben beschriebenen Verzweigung der Fläche Fg lesen wir für die Darstellung von K als rationale Funktion sechsten Grades von r die beiden Ansätze ab: _ (r^ -f ar + &)(r-f 1)* ^ ^ __ (z' -t-«r^-r^r + yf (3) K— 1 : WO a, h, c, w, ß, y noch zu bestünmende Konstante sind. Indem man die aus diesen beiden Gleichungen für die Ableitung von K nach r folgenden Ausdrücke einander gleichsetzt, folgt nach kurzer Zwischen- rechnung als eine in r identisch geltende Gleichung: [ (T + iy{6z' + (4a + l)r' + Shz -h) \ = (r^ + ar^ + ßz i- y) (or^ + 3ar' -^ ßr - y). (4)
Resolvente sechsten Grades der Bringschen Gleichung. 129 Nun ist der erste Faktor rechter Hand zufolge der Ansätze (3) teilerfreipd gegen (r + 1)^- Die identische Gleichung (4) spaltet sich demnach in die zwei Gleichungen: ot^ + Sar^ + ßr — y —■ o{x-^ If, ör^ + (4a + l)T;2 + 3Z)r —b = 5(tS + «^2^ ^^4_y). Also ist a = o,- ß = 15, y =- — o, und die Eintragung dieser Werte in die zweite Gleichung liefert weiter « == 6, h = 25. Setzt man endlich in die zweite Gleichung (3) die zusammengehörigen Werte r = — 1, JST = 0 ein, so folgt: e = (y — ß-^a—iy- == 25ß. Damit ist folgendes Ergebnis gewopnen JDle aufzustellende Bepolvente seehbten Gradet. der Bringschen Gleichung hat als Gleichtmg mit der t>- heJcannten x und dem Parameter K die Gestalt ■ (5) ^:(^-l):l =.(r2-^6r~f25)(-p~f ])^ :(r^ + 5r'-}-loT—5)' : 256 r. In den beiden Ecken t = =—=— des PB wird ^ = 0. Die beiden 5]/2 zugehörigen Werte r sind die W^urzeln von (t^ -^ (ir -\- 25): (6) ./±l,±i)=-3 + 4. § 11. Beziehung der Resolvente sechsten Grades zur Bringschen jKurve. Der durch j; = 0 (mod 5) erklärte Teiler <>^2q stellt &ich bei Gebrauch der quaternären ^^-Substitutioi^en durch die 20 Substitutionen dar, die das Koordinatentetraeder in sich transformieren. In den Parametern, X und fi geschrieben, wird die ©gp ^^^ den beiden Substitutionen (5) und (7) S. 124ff. erzeugt, die sich bei homogener Schreibweise &o darstellen: Aus (6) S. 123 geht hervor, daß die gemeinsamen Punkte der Bringschen Kurve und der Koordinatenebeiien z^ = 0 allein die vier Tetraederecken sind. Die zum ausgewählten Teiler ©^o gehörende Lösung t der Resolveni'e sechsten Grades möge insbesondere x^ heißen^ die fünf übrigen aber x^, r^, •••, T^. Es gehe r^ durch die Substiüition | ' j iq. Tq, diese Wurzel aber durch ( ^' ''^ j in tj. über. Die 20 Nullpunkte der Funktion r» fallen zu je fünf an vier Stellen der Bringschen Kuive zusammen, die einfach Fnuke, Algebra. II. 9
130 Ii 5. Bringsche Gleichung fünften Grades, die vier Ecken des ^-Tetraeders sind. Es handelt sich hierbei um die vier Stellen, die von den Spitzen: V2 3 .2V2 5 5y2 o des DB der Fig. 14 S. 111 herrühren. Die Darstellung von r« als rationale Funktion auf der Bring sehen Kurve ist aus diesen Darlegungen leicht abzuleiten. Die Form ; (2) i^oo = — h X^X.2 ^Uj Ug reproduziert sich gegenüber den Substitutionen (1) bis auf das Vorzeichen. Das Quadrat dieser Form: (3) 1^^ = 2 51! H lil III = — 25 ^, ^2 ^3 ^4 liefert, gleich 0 gesetzt, im -e-j.-Raume die vier Ebenen des Koordinatentetraeders, die die Bring sehe Kurve in den vier Tetraederecken schneiden. Teilt man il)% durch die in (7) S. 123 gegebene biquadratische Form X, deren 24 Nullpunkte auf der Bring sehen Kurve die Punkte mit K = oo sind, so erhalt man eine zur Gruppe ®^^ und damit zum Diskontinuitätsbereiche der Fig. 17 gehörende Funktion, die nur in den beiden Spitzen ^ = i 00 und ^ = 0 des DB verschwinden oder unendlich werden kann. Die Anfangsglieder der Potenzreihen von i/;^ und X sind: so daß der Quotient dieser beiden Formen das Anfangsglied 25 g und also in der Spitze i^ =z i oa des DB einen einfachen Nullpunkt hat. In der Spitze bei ^ = 0 liegt demnach ein Pol erster Ordnung. Hiernach ist der Quotient bis auf einen konstanten Faktor mit der Funktion r gleich. Dieser Faktor aber ist selbst gleich 1, da man aus der Resolvente (5) fur lim r = 0 leicht abKest, daß die Reihenentwicklung von r gleichfalls mit 25 g beginnt. Die mit il;^ konjugierten Formen stellen wir dadurch her, daß wir zunächst die zweite Substitution (1) und sodann die Substitution (11) S. 126 ausüben. Dies führe zur Form t/;^, die dann durch wiederholte Anwendung der ersten Substitution (1) zu den Formen t/;^, il)^. ij;^, ij;^ hinführt. Die bechb konjugierten Formen tl^ sind gegeben durcli: \ T/;, = (an! -rl,l,~ 8'^ li) {8'^\a! + ^,^, - £2^>|), ^-^ 0,1, •-., 4, und in ihnen stellen sich die Wurzeln der BesoJvente (5) S. 129 so dar: _^^{i,iif _ ^,(1,117- ^ ^ ^ X (X, y) Xß, y) ' ' > Hierdurch sind die "Wurzeln der Resolvente als rationale Funktionen auf der durch (12) S. 126 dargestellten Bring sehen Kurve gegeben.
ßesolvente sechsten Grades und Bringsche K.xu-ve. JBI Aus der Resolvente sechster). Grades folgt durch Multiplikation mit hf: hl (,;3 _^ 5 ^2 ^ 15-^ _ 5)2 ^ 256 {K— 1) hl % = hl hl r. Setzt man hier für h^r = Xx entsprechend den letzten Glpichuagen il}^ ein, so folgt nach Ausziehen der Quadratwurzel; t/;« + o ;», T/;* + ihhl T/;2 — 5 hl = £ h^ hl t/;. Zur Bestimmung des Vorzeichens tj-age man: • -©'<« 2 71 K = (-A (i-80g + ---). ^. = (—) (2-&ä^ + ---) ein, worauf eine in q identisch bestehende Gleichung entstehen mi;ß. iJan findet, daß das obere Zeichen gilt: Bie bcchs honjugierten Formen il^ befriedigen die Gleichung sechsten Grades: (6) !/;<>+ o h^ T/;* + 15 hf T/;2 _ h^ hf i/; — 5 hf = 0. Legt man zur Darstellung des Galqis sehen Körpers der Bringschen Gleichung (9) S. llo unmittelbar die Wurzeln dieser Gleichung zugrunde, so findet sich aus (1) S. 122: — 5 ip^ = 25.0.^.0j^ — 2:^ g'v" 2— ^ ^' ^'+^ 2— ^'^' ^"^-' wo V die Werte 0, 1, 2, 3, 4 ^u durchlaufen hat und die Indizes der q) nötigenfalls mod 5 zu reduzieren sind. Da nxm in der letzten Glpichu^fig rechts die erste Summe verschwindet und die dritte gleich dem negativ genommenen Werte der zweiterji ist, so folgt a|s Darstellung von -^^ durch die Wurzeln der Bringschen Gleichung (9) S. llo: (7) — y 5 i/;^ == g)o g)i + g)i g), + g>2 (Pz ^ <Ps<Pi'T <Pi <Po- Da das Verhalten der g) gegenüber den erzeugenden Sfibstiiutior^en der ®j,Q bekannt ist, so gewinnt man leicht entsprechende Ausdrücke fur die übrigen Wuizeln der Resolvenie (6) in ^en tp. Aui Grund der Gleichungen von S. Hoff, leitet man aus (7) leicht auch noch die Darstellung der Wi^Tsel x^ der BeboJverde b<;chsten Gradet, (p) S. 129 als FunUion des Galßisbchsn KorßfiTb der Qleichung fünften Grades (o) S. llo al): 1280 Kx^ = fS<Jvö, + i(Jv+2f- Da die sechs konjugierten Teiler ©g^ als Durchschnitt die (^^ haben, so ist die Galois sehe Gruppe der Resolvente (o) S. 129 mit dpr Ö^gQ isomorph; sie ist zugleich die Monodromiegvuppe dieser Gleichung. 9=^
132 I, 5. Bringsche Gleichung fünften Grades. § 12. Beziehung der Bring sehen Gleichung zur Resolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung. Um die Beziehung der Bring sehen Gleichung zur Resolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung festzustellen, knüpfen wir an die Gleichung (o) S. 11 o an und verstehen unter 6 die daselbst für den DB der Fig. 15 erklärte einwertige Funktion. Die zugehörige Gruppe ©(g) werde vermöge der Transformation co = ^^2 auf co umgeschrieben. Sie ist alsdann kommensurabel mit der Modulgruppe, und zwar ist der Durchschnitt ein Teiler @{?o) ^es Index 10 der ®^^\ der als Teiler des Index 2 in der ©(g) enthalten ist. Der DB dieser Gruppe @S ist in Fig. 18 dargestellt, die man von Fig. 15 S. 114 aus leicht verstehen wird. Die Randkurven dieses DB hängen durch die in (2) S. 113 gegebenen Sub- Fig. 18. stitutionen Tj, T^, T^, T^ und die etwa T^ zu nennende Substitution ^' = ^ ~|- ^V- zusammen. Die drei in Fig. 18 angegebenen Substitutionen, die die unteren Randkurven ineinander überführen, sind dann einfach: (1) r, = T,-T^, r^ = T^-T„ rs = T,-t-^ Auf CO umgerechnet Kefem sie die Substitutionen: •^4- F, = (2) zu denen dann noch für die beiden Geraden des DB die auf co umgeschriebene Substitution T. = /l,10^ lo, 1; tritt. Alle vier Substitutionen sind in der Modulgruppe enthalten, so daß wir hier in der Tat den Durchschnitt der ©(g) mit der Modulgruppe @H vor uns haben. Die Zuordnung der Randkurven zeigt unmittelbar, daß der DB der Fig. 18 durch ö auf eine zweiblätterige Fläche des Geschlechts p = 1 über der ö-Ebene abgebildet wird. Man erkennt auch sofort, daß die vier Verzweigungspunkte dieser Fläche von den drei Polen der Substitutionen Tj, Tg, T3 und den beiden bezüglich der ©(g) äquivalenten Ecken 0) =:r -f- 5 -|- *■ herrühren. Zufolge (5) S. 115 liegen sie also in den drei Nullpunkten der ganzen Funktion (ö^ _|_ 3 <j2 _|_ g ^ _|_ j g^ ^^^^ ^^^^ ^ __ 5^ Auf Grund bekannter Sätze notieren wir sogleich das Ergebnis: Zur
Kongruenzgruppen fünfter Sl;ufe @[^L und ©[^g^. 133 Darstellung der FunMionen def Gruppe ^(lo) ^cä, man zu 6 die folgende Quadratwu/rzel zu adjungieren: (3) y(ö_5)(<53-f 30^^80 + 16). Die Gruppe ®(jo) liat als Teiler der Modulgruppe ( den Lidex 15 der Fig. 18 in das Dreiecksnetz der (3^'"\ sq gelangt man zu iem aus Fig. 19. 15 Dreieckspaaren zusammen »e setz ten E)B der Fig. 19. E^ ist nun die- @(^5) ein Teiler des Index 3 in einer von jepen fünf konjugiertem Kongruenzgruppen fünfter Stufe i^erhalb der ]^odulgruppe, die die Resolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung: (4) J: (J — 1) : 1 = (v^ — 11.' + 64) {V — 3)^ :v{v^ — 10v~\-4:6f :— 17l>8 liefern *). Wir suchen nun eine bestimmte ui^ter den fünf Wurzeln dieser Gleichung als Funktion v(co) von a aus, indem wir den ai;f der ikosa- edrisch geteilten Kugel gelegenen Berßicli der Fig. 7 S. 59 4uf (\eii Flg. 20. in Fig. 20 dargestellten DB einer der fünf konjugierten Kongruenx- gruppen @(^) übertragen, der Fig. 20 mit U^, U^, L\ zeichneten Substitutionen sind: (3) zu denen dann noch die in der Figu;- nicht näher angegebene Substitution TJ^ = ( ' ^] tritt. Man zeigt sofort das Bestehen der Gleichungen: (6) F, = U,- L\, Fa = U, ■ U^, V, = U,-U,- U„ T, = ^l die die Gruppe @j3) üi der Tat als Teiler der ®'l^] charakteiisieren. *) Es handelt sich um die (ileichung (6) S. 61. Die damalige Große Z is;t als Funktion von m die Modulfunition erster Stufe J(«), die Unbekannte ? der Gleichung werde als Modulfunktion durch v{ip) bezeichnet.
134 Ii 5. Bring sehe Gleichung fünften Grades. Wir haben nun in v eine dreiwertige und in 6 eine zweiwertige Funktion der Gruppe ©["s), so daß zwischen v und 6 eine algebraische Relation bestehen muß, in der v auf den zweiten und ö auf den dritten Grad ansteigt. Zur Aufstellung dieser Relation benutzen wir zunächst die Tatsache, daß v und ö nur zugleich unendKch werden, namKch in den Spitzen des DB. Schreiben wir die Relation als kubische Gleichung für ö, so ist der Koeffizient des Gliedes mit ö^ konstant und kann gleich 1 genommen werden. Ebenso ist, wenn wir die Relation als quadratische Gleichung für v schreiben, der Koeffizient des höchsten Gliedes konstant. Weiter benutze man die Tatsache, daß die beiden Stellen mit ö = 0 von den Punkten a =z -j^l ~^ i, C)=4;2-i-^ herrühren, denen die beiden Nullpunkte der Funktion {v^— 10«? -f 45) entsprechen. Diese Angaben liefern den Ansatz; (7) 6^ -^{avA^ ß) ö^ ~f (a«) -f &) 0 ~f c {v^ — 10«) + 45) = 0. Zur Bestimmung der fünf noch unbekannten Koeffizienten setze man die Reihenentwicklungen: f ö = -g~5-fl_2gö-f 4g5-7gf-12go-^ *-4g^-i , ^^^ _1 2 4 \ V =z -ci 5 -|_ 4 -f 6 gs _ 20 gö -j ein, deren erste aus (3) S. 118 bekannt ist. Die Reihe für v muß nach Potenzen von q^ fortschreiten und mit der (— l)*^'* Potenz beginnen. Man setze sie mit unbestimmten Koeffizienten an, trage sie in (4) ein und fordere, daß die Reihe für J{a) gewonnen wird [vgl. (18) S. 89]. So gewinnt man die in (8) angegebenen Anfangsglieder. Trägt man die Reihen (8) in (7) ein und ordnet nach ansteigenden Potenzen von g^, so muß, da eine in o identische Gleichung vorliegt, der Koeffizient jeder Potenz verschwinden. Hieraus ergeben sich lineare Gleichungen zur Bestimmung der unbekannten Koeffizienten «, ß^ a, h, c. Man gelangt zu folgendem Ergebnis: Zwischen den amgesueUen WurseJn 6 und v unserer beiden Gleichungen fünften Grades besteht die jRelatiou: (9) ö3 _ (.^ _ 1) ^2 ^ (3 ^. _ 21) ö _ (^.2 _ 10«, -f 45) = 0, oder hei Anordnung nach Potenzen von o: (10) v^ -!_ (ö2 _ 3ö _ 10)^. _ (ö3 ^ 02 _ 21 ö _ 45) 3= 0. Eine Bestätigung des Ergebnisses entnehmen wir aus dem Umstand, daß von den drei Stellen mit v = 0 eine bei o = + 5 -f- i liegt, wo ö = 5 gilt, während die beiden anderen bei co = i zusammenfallen. Der kubische Ausdruck in der letzten Klammer der Gleichung (10) muß also das Produkt von (ö — 5) mit einem Quadrat sein. In der Tat gilt: 6^ + d^ — 21 ö — 45 = (0 — 5) (ö -j- 3)2.
Bring sehe Gleichung und Resolveiite fünften Grades der Ikosaedergjeichung. 135 Eiae weitere Bestätigung Kefert die Lösung der Gleichung (10) naclfi v, bei der sich die IrrationaKtät (3) einfinden muß Man erhält -vp^irkljch: (11) 2 «) = — ö^ ~f a ö ~f 10 :^ V(ö -- o) (ö^Ts 0=^ ^ 8 (j + 16). Die Transformation (11) führt die mit der Bring sehen Gleichung nahe verwandte Gleichung (5) S. 115 in die ResoVvente fünften Grades (4) der IkosaedergJeichung über, wobei die beiden ^Parameter- K und J der Gleichungen durch die Relation (17) S. 107 verj:f^m^ft bind, die nach J ßuf- gelösi so laufet: (12) 3V = (2'K'- - 2 .3-^ • 23 £• -f 3^ ± (2' K-2- 3^) V^(X - 1). Die direkte Bestätigung dieser Angabe kann man auch in der A.rt vornehmen, daß man in (12) rechts der Gleichung (5) S. 115 entsprechend : einträgt. Das Ergebnis läßt sich dann nach der nötigen Zwischenrechnung in: — 2° • 1728 / = ((2 vf— 22 (2 v) + 256) (2 c — 6)^ umformen, unter "Iv den Ausdruck (11) in ö verstanden. Dß;mit ist aber die Gleichung (4) erreicht. § 13. Beziehung zwischen den beiden Resolveriten sechsten Grades. Es möge auch noch kurz die entsprechende Entwicklung für die Resolvente sechsten Grades (5) S. 129 der Bringschen Gleichifng und die Resolvente gleichen Grades (3) S. 69 der Jkosaedergleich^g angegeben werden. Schreibt man die in der letzten Gleichung auftretenden Größen Z und | als Modulfunktionen / (p) und w (ca), so lautet die fragliche Resolvente: (1) /: (/— 1) : 1 = (w^ — lOw^ of : (w' — 22 m: i- 125) (iv' —Apo— ly : —1728 m:. Der Aufstellung der Gleichung (5) S. 129 lag ein Teiler @(e) des Index 6 der Gruppe ©<-) zugrunde, dessen DB pi Fig. 17 S. 128 dargestellt war. Die in jener Figur durch die Bezeichn^ingen L\, U^, • • charakterisierten Substitutionen der ®(^ sind Die @(p) enthält ^-Substitutionen beider Typen (vgl S. 100) Ihre Substitutionen des zweiten Typus (1) S. 100 liefern einen Xormalteiler des
136 I, 5. Bringsche Gleiclimig fünften Grades. Index 2, der also als Teiler der @^'^ durch ®§) zu bezeichnen ist. Seinen DB gibt Fig. 21. Die durch die Pfeile näher bezeichneten Substitutionen Fj, Fg, ••• sind: : ü, = ('' f'\ Auf 0) umgerechnet haben wir hier die Substitutionen: ^U. _( 9, 4' , —37 -5, —3/ In dieser Gestalt liefert die ©(Jo) den Durchschnitt der @[g| mit der Modulgruppe @ und ist als deren Teiler ©[^g) zu nennen. Die Eintragung des Dreiecksnetzes der (^('") liefert den in Fig. 22 dargestellten DB der @(^8)- Sie ist zugleich ein Teiler des Index 3 der durch y = 0 (mod 5) charakterisierten Kongruenzgruppe fünfter Stufe, zu der die Resolvente (1) der Ikosaedergleichung gehört. Die zu den hier bevorzugten Gruppen gehörenden Wurzeln % und w der beiden Resolventen sind als Funktionen der ( ) zwei- bzw. dreiwertig und sind deshalb wieder durch eine algebraische Relation verbunden, in der r auf den dritten und w auf den zweiten Grad ansteigt. Hier genügen bereits die Anfangsglieder der Reihenentwicklungen und die Betrachtung der Werteverteilung unserer Funktionen im DB zur Ge-
Beziehung zwischen den beiden Resolventen sechsten Grades. 137 winnung der Relation. Wir notieren sogleich d^s Resultat: Die Ijeiden ausgewählten Wurzeln r uvtd w der Gtleichungen sechden O-rades sind dtifch die JRelation dritten G-rades: (2) T^ +t^W -^OTW ^ W^ = 0 aneinander gebunden. Die Verhältnisse gestalte;^ sich hier deshalb besonders einfach, weil der DB der Fig. 22, wie man sieht das GrescMecM p == 0 hat. In der Tat haben wir auch in (2) eine Relation des Geschlechtes 0. Deiften ^jpir T und w als rechtwinklige Koordinaten, so liefert die Grleichung (2) eine ebene Kurve dritten Grades wdt einem Doppelpunld inq. Xullpunl^t. jße- kanntlich gewinnt man in diesem Falle eine einwertige Funktion X mittels der Gleichung: (3) m; +- A T =r 0, d. h. geometrisch gesprochen, indem man die Kurve dritterji Grades rp.it dem Geradenbüschel durch den Doppelpunkt schneidet. In X müssen dann w und r rational darstellbar ^ein. In der Tat findet man aus (2) und (3) sofort: (4) w^ AHA-o) __Hl-o) l~l l — l Für die Überführung der einen Gleichung sechsten Grades in die andere vermöge der durch (2) gegebenen Transformation bedient man sich zweckmäßig der Vermittlung der Größe X, während man andererseits zwischen J und K die S. 103 eingeführte Funktion Q — ^ in der sich / und K nach S. 106ff. so darstellen: einschaltet. (5) / = 27 ö ' K =
138 ^, 6. Allgemeine Gleiclimig fünften Grades. Man kann dann nämlich die leicht feststellbare Darstellung sechsten Grades von Q in. k: (6) ^:(^ + l):l = ß- ly ß~ 6): ß' ~2l -i- 6){k^ ~ 4.k- If :Q4:k als Ausgangspunkt nehmen und aus ihr auf Grund von (4) und (5) die beiden Gleichungen sechsten Grades herstellen. Erstlich folgt aus (6) und (4): 16A(4^i- 1) == ß — lfß~6) + 16 A = A* (A - 5)2 + 10 AHA - 5) (A - 1) + 5 (A - l)^ 16A(4^+1) = (^iv'^10w-^o)ß — iy-, (16kf-27Q = 64.27AHA —1)'(A —5) = — 1728wß — l)\ womit durch Vermittlung der ersten Gleichung (5) die Resolvente (1) erreicht ist. Weiter folgt aus der zweiten Gleichung (4): ir'-r^t + 25) ß — lf = ß^~2X^ o)\ (r+ 1)(A —1) = k^ — 4:X — l, woraus man auf Grund von (6) weiter entnimmt: (64 A)H« + 1)' = (t'-^ 61 + 25) (r + 1)*(A - 1/. Teilt man diese Gleichung durch die wieder aus (6) und (4) folgende Gleichung: (64^)^4^ == 26Qtß — lf, so gelangt man zufolge der zweiten Gleichung (5) zur Resolvente sechsten Grades der Bring sehen Gleichung. Sechstes Kapitel. Allgemeine Gleichung fünften Grades. § 1. Allgemeine Gleichung und Hauptgleichung fünften Grades. Xach I, 391 ist das Ergebnis der Galois sehen Theorie für die allgemeine Gleichung fünften Grades in dem einfachen Satze enthalten, daß bei Zugrundelegung des Funktionenkörpers, der aus dem rationalen Körper durch Adjunktion der Gleichungskoeffizienten entsteht, die Galois- sche Gruppe der Gleichung die symmetrische Permutationsgruppe (^^^o ist, daß jedoch nach Adjunktion der Quadratwurzel der Diskriminante die Galoissche Gruppe sich auf die alternierende ©g^ reduziert. Es ist aber hiermit das Interesse an der allgemeinen Gleichung fünften Grades keineswegs erschöpft. Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln eine ganze Reihe von Gleichungen fünften Grades betrachtet, sowie ihre Beziehungen zueinander und zu ihren wichtigsten Resolventen untersucht. Das gemeinsame Kennzeichen aller dieser Gleichungen war, daß sie je
Hauptgleichung funftei^ Grades und Ha^iptflaohe. ] 39 nur einen einsigen willkürlich wäMbare^ Parameter enthalten. Die ^1- gemeine Gleichung fünften Grades hat, selbst weni^ wir den Koeffizienten des höchsten Gliedes gleich 1 nehmet^ und vermittelst der Transformation (1) in I, 165 den Koeffizienten des zweiten Gliedes verschwinden las&en, immer noch vier willMrliche Parameter. Wird es vielleicht möglich sein, die Anzahl dieser Parameter durch Tschirnhaustra^sformation weiter zu reduzieren und schließlich sog^r die allgemeine Gleichung auf die behandelten und durch transzendente Prozesse gelöstep Gleichungen der vorigen Kapitel zurückzuführen? Wir schreiben die allgepaeine Glejchung fünften Grades mit Bino- mialkoeffizienten: (1) x''i-lOax^-\-10hx^-i-6c.-j-d = 0, wobei der Koeffizient des höchsten Gliedes gleich 1 genonunen ist und das zweite Glied durch die eben schon genannte Transformation zum Ausfall gebracht wurde. Die ^Koeffizienten a, h, c, d gelten ajs willkürlich wählbare Parameter. Wir nehmen die S. ]21 bereits in Benutzung genommene, von Klein eingeführte geometrische Deutmig der fünf an die Bedingung: (2) x^ ~f x^ -f x^^ x^-\-x^ = 0 gebundenen Wurzeln X]^ von (J.) als homogene Pentaederkoordinaten des Raumes Rg von drei Dimensionen wieder auf. Die x-j^ sind algebraische Funktionen der vier Parameter ß, h, e, d. Dem einzelnen System von Werten dieser Parameter gehört alsdann ein bestimmter Punkt X;^ =:r «^ des Rg ZU oder vielmehr, da die Reilienfolge der Wurzeln irgepd- wie abgeändert werden mag, ein System von 120 Punkten des Rg, die durch die 120 Vertauschungen der ocjc, also durch 120 ßine ©jg^ bildende Kollineationen des Rg ineinander übergehen*). Ist insbesondere auch noch der Koeffizient a gleich 0, so liegen diese 120 Punkte auf der durch die Gleichung: (3) x'o + x! -h xl + xl -^x!=0 gegebenen Fläche zweiten Grades, die Klein ^,ls „HaajfAflaehe" bezeichnet, und die durch die 120 Kollineationen in sich transformiert wird. Entsprechend heißt eine Gleichimg fünfte^ Grades (1) mit verschwindendem a eine Haaptgleichung füniten Grades. Es wird sich nun zunächst darum handeln, die allgßmeii^e Gleichung (1) in eine Hauptgleichung zu transformieren. Damit in der transformierten Gleichung sich nicht wieder ein Glied mit der vierl^en Potenz der Unbekannten einfindet, hat man die Tschimhaustransformation nach I, 167 in der Gestalt: (4) x' = t, F, (x) -f t, F, (X) -t t, F, (x) -f t, F, {x) =^) Vgl. hier überall „Ikos.", S. 162 ff.
140 I> 6. Allgemeine G-leichung fünften G-rades. anzusetzen, wo die Bedeutung der Fq{x), F^(x), •-• aus (6) in I, 167 hervorgeht. Um zu einer Hauptgleichung zu gelangen, muß nach I, 180 die Bezoutiante verschwinden. Das ergibt eine quadratische Gleichung für die t. Von diesen vier Größen können dabei noch drei willkürlich, jedoch nicht durchweg verschwindend gewählt werden, woraus alsdann die vierte Größe noch wunschgemäß aus einer quadratischen Gleichung bestimmbar ist. Da nun die F^^ix), F^(x), ••• Funktionen steigender Grade sind, so wird man die einfachsten Verhältnisse erzielen, wenn man tf^ = 0, t^ = 0 setzt und t^ gleich einer von 0 verschiedenen Konstanten, etwa gleich dem Koeffizienten 10a wählt. Schreiben wir also: a, = t,F,{a,)-^10aF^{a,) oder ausführlich: (5) «^ = ^3 «i -f 10 a («1 -f 4 a), jt = 0, 1, • • ■, 4, so beschreibt, geometrisch gesprochen, der Punkt «^ bei gegebenem Punkte oCjc und noch willkürlichem ^3 eine durch den Punkt oci laufende Gerade, die die Hauptfläche in zwei Punkten schneidet. Sie entsprechen den beiden Werten ^3, die durch Lösung der vorhin genannten Gleichung zweiten Grades für die t gewonnen werden. Die zu lösende Gleichung zweiten Grades ist nun; 2 O3«i-+10«(«l + 4a))^ = 0 1 = 1 oder, wenn wir links die Quadrate entwickeln und die Potenzsummen der «j. durch die Koeffizienten der Gleichung (1) nach L 102 ausdrücken, sowie den überflüssigen Faktor — 20 a fortheben: (6) ^2+ 30 6^4-100a (c~6aä) = 0. Die beiden Lösungen, unter denen t frei wählbar ist, sind: (7) ^ =—156 + 5 V24a3—4ac + 9&^ Der Radikand der hier auftretenden Quadratwurzel ist bei unabhängigen Variablen a, h, c nicht das Quadrat eines rationalen Ausdrucks dieser .Größen. Wir haben also das folgende Ergebnis gewonnen: Die allgemeine Gleichung fünften Grades (1) ist nach AdjunJdion der Irrationalität: (8) V24a3 —4ac +96ä £um Körper (pi, a, h, c) mittels der Tschirnhaustransformation: (9) x' = tx-^10a{x^ -}-4:a), unter t eine der Größen (7) verstanden, in eine Hauptgleichung: (10) a;'^+ 10 6'a;'ä-f 5 c'»'-f (?' = 0 üherführhar. Es ist leicht zu zeigen, daß die Quadratwurzel (8) eine „akzessorische'- Irrationalität der Gleichung (1) ist (vgl. I, 380). Anderenfalls wäre sie
Akzessorische Quadratwursiel zur Gewinnung einer Hafiptgleichung. ]41 eine rationale Funktion der Wurzeln « und müßte als solche, da sie gegenüber den Permutationen der Wurzeln sich, abgesehen vom Vorzeichen, reproduziert, zu einem Xorm^lteilßr der @ ,q gehören. Der einzige solche Teiler aber ist die alternierende ©g^, und also w]irde die Wurzel (8) durch die Koeffizienten und die Quadratwurzel der Diskripii- nante rational darstellbar sein, und zwar insbesondere das Produkt der Wurzel der Diskriminante mit einer rationalep Funktion der Koeffizienten darstellen. Bei der Bauart der Warzel (8) ist dies ausgeschlossen, ^ie ein Vergleich mit der in § 2 anzugebenden Diskriminante der Hauptgleichung lehrt. Übrigens folgt aus (o): l[(.<^:-oc',) = l[{ci,-a,)- n (^+10a (c^,+ «,)), i<k Kk i<k WO das zweite Produkt rechter Hand eine symifnetrische Ifunktion (ier Wurzeln ist. Hieraus ergibt sich der Satz: Die Quadfatwurzel der Dh- kriminante der HauptgJeichmig (10) ibt, abgesehen von einem FaMor, der eine FmiMion des Körpers (9?, a, b, p, V24 a^ — 4 <? c -j- 9 6^) id, gleich ^er Quadratwurzel der Diskriminante der ursprünglichen Gleichung (1). Dies ist mit der Gleichung (37) in I, 172 in rbe:peüistimmimg. § 2. Zwei Scharen von Hat^ptgleichuitigen als Resolventen. Die erhaltene Hauptgleiohung fünften Grades schreiben w:|r unter Fortlassung der oberen Indizes: (1) »° 4-10Z>»2 ^-5cic-f f/= 0, die zugehörigen Funktionen Fj^{x) sind: (F,{x) =x, I F, {x) = »^ ^^^ ^ F^{x) =x^^&b, . F^{x) := »*-f 10 6» +4r. Wir fragen jetzt, ob es möglich ist, eine weitere Tschirnhaustransformation: (3) X = t, F, (X) ^ t, F, (X) -t-1^ F, (x) -f t, F, {x) in der Art auszuüben, daß die transformierte Gleichung eine Hauptgleichung bleibt. Die Bezoutiante liefert nach I, 180 den mit — 2 multiplizierten Koeffizienten 10 a' der dritten Potenz der Unbekannten in der transformierten Gleichung: (4) — 20a' = '^B^i.t^tj,, i, k = 0, 1, 2, 3, i,k wobei Bii = Bj^^ gegeben ist durch: (5) B,,= ^F,^^iui)F,^,{ai), z = 0, l, ...,4,
142 I' 6- Allgemeine Gleichung fünften G-rades. unter a^, w^, •••, a^ die Lösungen der Gleichung (1) verstanden. Als symmetrische Funktionen dieser Wurzeln drücken sich die Bi^ rational in den Koeffizienten &, c, d der Gleichung (1) aus: ( B,, = 20 (cä -hd), B,, = SOhc, B,, = ^33 = 0, (6^ I 5^3 = B^^ = —od, £„ = 120&^ [ ^13 = B,,= - 20c, B,, = - 80 6, so daß wir aus (4) für 2 a gewinnen: Xach (7) in I, 181 i&t die fünffache Diskriminante j JS^/, , 'der Bezoutiante gleich der Diskriminante der Gleichung (1). Es ergibt sich hieraus beiläufig der Satz: Die Dishriminante D der Hauptgleichung (1) ist gegeben durch: ( D = o^id"- -{- 360 Vcd^ — 640 hc^d^ 256 c^ -r 3456 l^ d ^ ^ \ — 2160 Z^* 6-2). Es ist nun leicht, zwei Scharen von Transformationen (3) vorschriftsgemäß herzustellen. Wir bedienen uns zum Verständnis der hierhin führenden Überlegung der S. 139 eingeführten geometrischen Deutung von fünf Größen einer verschwindenden Summe als „Pentaederkoordinaten" im Räume R3. Den einzelnen Punkt der Koordinaten x^, x^, x^, x^, x^ bezeichnen wir kurz durch das Symbol {xj^. Da x^ stets gleich der negativ genommenen Summe der vier ersten Koordinaten ist, so könnten wir uns auch auf diese beschränken, in denen wir dann gewöhnliche homogene Raumkoordinaten haben. Es ist nun zunächst einleuchtend, daß die vier Punkte {F^ {o''i)) =^ (^i-)' {F^ {a.])), (F^ (a^.)), (F^ («^5.)) nicht in einer Ebene liegen. Es wären sonst die vier Systeme zu je vier Zahlen: F,{a,), F,{a,), F,{a,), F,(a,), i = 0, 1, 2, 3, im Sinne von I, 69 linear abhängig, und also würde die Determinante Fl («i) gleich 0 sein. Dann aber wären auch die vier Systeme: ■Fo (cci), F^ («i-), F^ («;.), F^ («i-), k = 0, 1, 2, 3, linear-abhängig, d. h. es gäbe vier nicht durchweg verschwindende Zahlen c'q, c\, c'.2, C3, für die die Gleichungen: c; J'o («i-) + c;F^ («,) + c; F^ {a^) + c,F^ («,) = O, k = 0,l, 2, 3, gelten. Dieselbe Gleichung für /,; = 4 wäre eine Folge der drei vorstehenden Gleichungen*), und wir hätten in: c; F^ {x) -f 6-; F^ {x) -r 4 F^ ix) -f 4 F^ (X) = 0 '^) Dies folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (9) m I, 102 aus der allgemeinen Erklärung der, Funktionen F durch die Gleichungen (6) m I, 167.
Zwei Scharen von Ha^ptgieichungen. ]43 eine nicht identisch verschwindende Gleichung höchstens vierten Grades mit fünf Lösungen a^, a^, •••, a^, was. solange D zjn 0 gilt, ausgeschlossen erscheint. Wir nehmen demnach D d:: 0 au unci ziehen noch die Folgerung, daß von den vier Punkten (^^(ajr;)), • • •, (F^(oci)) keine drei in einer Geraden liegen. Wir schreiben nun für die vier unbestimmten Größen t in (8): ^3 =:: t, t^ = bZ^, tj^ = bZ^, t^^ := ^Zq und führen die Abkürzungen ein: (9) F, {X) = 0 (^), z, F, {X) -T- z,F, (X) -rv,F,ix)=r W {x\ indem wir uns die Verfügung über r,, r,, r^ vorbehalten. Die Tschirn- haustransformation ist dann: (10) x = t ^ {X)-^ bW {x). Sind die t bestimmt, während die t, b noch variable Parameter bind, so beschreibt der Punkt: (11) {x[) = {tQ{u,)--bW{u,)) eine durch den Punkt (0 (a^) = (cC]^ iiindurchlaufende Gerade. Diese Gerade muß, falls die Transformation (10) stets wieder zu einer Hauptgleichung hinführen soll, auf der Haupti'läche liegen. Durch den Punkt (ay) aber laufen zwei Gerade der Hauptflache, die durch die Tangentialebene des Berührungspunktes («jt) ausgeschnitten \v'erden. Es müßte aiso der Punkt (^Jf (a^)) ein von («jt) verschiedener Pupkt auf der einen oder der anderen dieser beiden Geraden sein. Xun beschreibt aber der Punkt: (12) (?jr («,)) = (r^ F^ («,) + z, F, («,) -r ToF, («,)) bei variablen Parametern r die durch die drei Punkte (J^'j («/:)), (Z'2 («/)), (J^3 («j;)) hindurchlaufende Ebene, die, wie \7ir wissen, den Punkt («;) nicht enthält. Diese Ebene schneidet die Hauptflache in einem Kegelschnitt, und auf diesem wird durch die Tangentialebene des Benihiungs- punktes (uf) ein Paar von Punkten ausgeschnitten, von denen ]eder als Punkt (W {ci];)) brauchbar ist. Wir bestimmen demng-ch die z derart, daß den beiden Bedingungen: (13) 2 ^ K) ^J^'K) = 0, S ?f {a,f = 0, A- :== 0, 1, .. -, 4, k k genügt wird, von denen die erste zum Ausdruck bringt, daß der Punkt (W («/,)) auf der genannten Tangentialebene der Hauptflache liegt, wahrend die zweite besagt, daß dieser Punkt der Hauptjlache angehört. Da ^ 0 {Ukf' = 0 gilt, so ist auch unmittelbar einleuchtend, daß die k zweite Potenzsumme der: unabhängig von 0 und i verschwindet, falls die beiden Bedingungen (18) erfüllt sind.
144 I> ö. Allgemeine Gleichung iunften Grades. Diese Bedingungen schreiben sich nun explizite: wo die Bii: die in (6) angegebene Bedeutung haben. Hieraus bestimmen sich die Verhältnisse der z mittels einer Quadratwurzel. ]klan gibt der Rechnung zweckmäßig die folgende Fassung: Zur Abkürzung setzt man: -^00^0 -r -^10^1 + -^20^2 = -^0' -Boi ^0 + ^11 ^1 ^ -^21 ^2 = -^1' -^02 ^0 + -^12 ^1 + -^22 ^2 =^ -^2' SO daß man die beiden Gleichungen (14) auch so schreiben kann: ( ^03-^0 + ^'13-^1 + ^23-^2 = ^. ^ ^^ \B,z, + B, z, -\-B,z,^ 0. Mittels einer zunächst noch unbestimmten Gröi3e z^ stellen wir hieraus die Gleichung her: (16) {B, + z,B,,)z, 4- {B, + z,B,,)z, -f (^2 + r,B,,)r, = 0 und dürfen die zweite Bedingung (15) durch die Gleichung (16) ersetzen. Diese Gleichung lösen wir durch die Annahme: (17) ^,4-r3^o. = 0. B^-\-r,B^^ = 6z,, B,-r z,B,, = - 6z„ die wegen der noch verfügbaren Gröi3e z^ statthaft ist, und in der 0 eine weitere noch zu bestimmende Gröi3e bedeutet. Die drei Gleichungen (17) und die noch rückständige er&te Gleichung (15) ergeben zur Bestimmung der z die Bedingungen: ( ^00 ^0 + ^lü T^i -t -B20 ^2 + -^30 ^3 = 0- n Q^ ^01 ^0 "^ ^11 ^1 ^ *^^'2i — ö) ^2 ^ J^3i ^3 = 0, .(lo) <j -^02^0 — (-^'12 — 6)ri -f -BaaTa -!- B^.^z^ = 0, l^^ostTo 4-^,3^, -i'23^2 = 0. Damit diese Gleichungen ein System nicht durchweg verschwindender Lösungen Zq, T■^, z.-,, z^ besitzen, ist das Verschwinden der vierreihigen Determinante erforderlich: (19) Hier haben wir eine quadratische Gleichung für ö, und zwar eine reine quadratische Gleichung, da nach Austausch der Zeilen und Spalten wegen ■Bit = -Btj ^ür — 6 dieselbe Gleichung gewonnen wird. Da für 0 = 0 ^00- ^01. -^02" i' , Ao> -^20- ^n- -Bai —ö, ^12+ ö- ^22- i.',,, 5,3 • J^3 i^3 ^3 0
Charakter der a djun gierten Irrationalitäten. 3 45 in (19) links die Diskrimiaspite der Bezoutiante vorliegt, so ist die quadratische Gleichung für 6: und wir (20) finden zufolge (6) -Sl6'-^\P=^ 0, als die beiden Werte '' = ^^5d- von ö: Xach Eintragung des ausgewählten Wertes von 6 in (18) lösen wir dies Gleichungssystem, indem wir r^, r^, z^ ^ß^ drpi richtig gewälilten Minoren der Determinante (19) gleich setzen. Die berechneten r gehören dem Körper (M, h, c, d, '^o D) an, während (; und s als verfügbare Parameter bestehen bleiben. Hiermit ist folgender wichtige Satz gewonnen: Nach Ädjmikt}on der Quadratwurzel aus der f'unffacJim DibJcriminante der Gleichung (1) oder der arsprünglichen Gleichung (1) S. 139=^) loann man mitteh der Transformation (10) zwei Scharen pon Tschirnhauprebolventew der Hauptgleichung (1) herstellen, die wieder Hauptgleichungen s^ind; hei ^eichen- wechsel von \ö D gehen diese lieiden Scharen ineincmder uher. Die erste oben adjungierte Quadratwui zel (8) S. 140 erwies s:tch als akzessorisch. Über die zweite nunmehr adjungierte Quadratwurzel \oD ist folgendes auszusagen* Wahrend der Faktor VD hehßnnfV^h eine „naturliche- Irrationalität ist, stellt Vo eine „nfimensche" Irrationalität dßr, die fur die ~allgemeine^ Gleichmig fünften Grades „ahzessoriSich" ^st. Wäre nämlich V5 im Galois sc hen Körppr (d^t, cc^, a^, ••, «J der Gleichung (1) enthalten, so würde diese Zahl zur alternierenden ^^^ gehören, und man würde nach dem Lagrangeschen Satze (vgl. I, 391) eine Darstellung : Vs" := B (h, c, d) y^ von \6 haben, unter B eine rationale Funktion pait rationalen Zahlenkoeffizienten verstanden. Der Vergleich mit Gleichung (8) zeigt, daß Vö btets und nur dann eine natürliche Irrationalität der I-Jauptgleichang (Ij ibt, wenn der Ausdruck: (21) d"" -^ SQOh^cd^ — e^Ohc^d + 256 6-^ -^ MßQh^d—21ß0h^c^ das Quadrat eines rationalen Ausdrucks dcf i>, c, d mit ratimialen ^ahlen- loeffizientm ist. Bei willkürlich variablen h. c, d ist dips niciht der Fall, womit der ausgesprochene Satz bestätigt; ist. Im übrigen ist die ebpn ausgesprochene Bedingung für die Natürlichkeit von ]/ 5 bei denjenigpn Hauptgleichungen erfüllt, die wir S. 64ff als Resolventen fünften Grades der Ikosaedergleichung kennenlernten. W^r erkannten ^uch bereits "=) Vgl. den Schlußsatz von § 1, S. 141. icke, .\lgebra. II.
146 I» 6- Aligemeine Gleichung fünften Grades. S. 67 in Vs eine natürliche Irrationalität jener Gleichungen. Setzen wir z. B. der Gleichung (11) S. 64 entsprechend: h = — 4:2^, c = (px, d = — (f^, so zieht sich der Ausdruck (21) in das folgende Quadrat zusammen: y« -f 2 .123 ^5 ^5 ^ 12« ^2 x'' = <P' (<P' + 12' ff- § 3. Bring sehe Gleichung als Resolvente der allgemeinen Gleichung fünften Grades. Die beiden Scharen von Hauptgleichungen, die wir als Resolventeu der allgemeinen Gleichung fünften Grades gefunden haben, entsprechen im Räume R3 den Punkten zweier auf der Hauptfläche gelegenen Geraden, die sich in demjenigen Punkte dieser Fläche überkreuzen, der durch die Wurzeln der Gleichung (1) S. 141 geliefert wird. Wollen wir dabei nur solche Hauptgleichungen zulassen, die keine neue Adjunktion nötig machen, so werden freilich die beiden Parameter s und t der Transformation (10) S. 143 dem bisher erreichten Körper entnehmen müssen. Dagegen ist über die beiden bisher adjungierten Quadratwurzeln hinaus eine weitere Adjunktion erforderlich, wenn wir eine Hauptgleichung aus der einzelnen Schar aussuchen wollen, bei der auch noch die dritte Potenzsumme der Wurzeln verschwindet. Diese Forderung liefert für das Verhältnis der Parameter t, s die kubische Gleichung: (1) 2(^^K-) + s^M' = o, k deren Koeffizienten nach der nötigen Ordnung Größen des Körpers (9?, ü), c, d, \oD) sind*). Diese kubische Gleichung hat, wie wir später sehen werden, eine Galois sehe Gruppe (^g. Zur Gewinnung einer Be- solvente der Gestali: (2) a;'^+ 5c'a;' + (^' = 0, d. h. also einer „Bringschen Gleichung-', ist die weitere AdjunUion einer Quadratwurzel und einer KuUkwurzel erforderlich. Geometrisch ist der Sinn dieser Entwicklung einleuchtend. Der durch die. Wurzeln einer Bringschen Gleichung gegebene Raumpunkt ist neben der Hauptfläche auch noch auf der „Diagonalfläche- (vgl. S. 123): (3) xl -h x't + xi ~f xl + a;| = 0 und also auf der „Bringschen Kurve^ (vgl. S. 121) gelegen. Diese Kurve wird in der Tat von jeder Geraden der Hauptfläche in drei Punkten geschnitten, wie sie in unserem Falle den drei Lösungen der kubischen Gleichung (1) entsprechen. =^) Man vergesse nicht, daß in den Koeffizienten b, c, d der Hauptgleicliung(l) S. 141 bereits die erste akzessorische Quadratwurzel enthalten ist.
Hennitesche Losung der Gleichung fünften Grades. 147 Die Resolvente (2) läßt sich durch die lineare Transformation: ^ ' 5c' ' 256c*^ in die unter (12) S. 116 gewonnene Normalgestalt: (5) ,;5_^(^^1^^, 0 der Bring sehen Gleichung mit einem einzigen „Parameter^ K überführpn. Wir haben hiermit eine erste Art der „Auflösung^ der allgemeinen Glei- chmig fünften Grades kennengelernt, wobei maq. beachteri wolle, daß nach L 164 ff. mit der Auflösung einer Tschimhausresolvente stets auch Wurzeln der ursprünglichen Gleichpug qls bekannt anzusehen sind. Die Auflösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades besteht in der algebraischen BeduMion dieser ursprünglichen Gleichung fünften Grades mit ihren fünf unbestimmten Koeffizienten auf die „einparametrpge^ GIeichmig(6); wegen der Auflösung dieser Gleichung (^) hßben wir uns dann auf die transzendenten Prozesse zu berufen, ße S-117 ff. beßprocfien sind. Zu diesem Ergebnis war bereits 1858 Hermite in seiner oft genannten Arbeit „Sur la resolution de l'equation du ciaquieme degre-'*) gelangt. Seine Resolvente ist f reilicli niclit unmittelbar die Gleichung (5), sondern baut sich als Bring sehe Gleichung etwas komplizierter aus dem Jacobischen Integralmodul F und dem komplementären Modi(.l k'^ auf**). Über W^ert und Bedeutung der bei Hermite zuerst a^ftretenden „Auflösung der Gleichung fünften Grades du:pch elliptische Funktionen-' vgl. man die Bemerkungen am Schluß des vierten Kapitels S. 99. An der vorstehenden Entwicklung bleibt unbefriedigend, daß die explizite Gestalt der kubischen Gleich^ng (1) bereit^ nicht mphr angegeben wurde. Sie ist zwar durch Cayley wirklich berechnetj), hat aber eine so umfängliche Gestalt, daß die ^veitere Verfolgung des allgemein bezeichneten Entwicklungsganges in die Elinzelheitep der Rechnung unersprießlich erscheint. Endlich finde hier noch ejne Bemerkung über die Galois sehe Gruppe der Gleichung (5) Platz. In den^ durch die bisherigen Adjunktionen erreichten Körper ist die Quadratwurzel der Diskrin^inante der Gleichung (5) nach (37) in I, 172 enthalten. Dagegen gehört diese Quadratwurzel noch nicht dem Körper (dt, K) an und kann auch nicht durch Adjunktion bloß numerischer Irrationalitäten erreicht werden, wie aus der ersten Gleichung (7) S. 119 hervorgeht. Dem entspricht es, daß 4ie Monodromiegruppe der Bring sehen Gleichung (5), wie schon S. 120 festgestellt wurde, die symmetrische ©jg^ ist. =^) In den Compt. Rend., Bd. 46. **) Vgl. „Ikos.", S. 148 oder „Ellipt, Funkt" II, 520. Vgl. auch oben Gleichung (14) S. 116. t) In der Abhandlung „On Tschirnh^usen's transforn^ation", Philosoph. Transactions von 1861 oder „Gesammelte Werke", ]ßd. 4. 10*
148 I' 6. Allgemeine Gleichung fünften Grades. § 4. Diagonalgleichung fünften Grades mit einem Parameter. Daß es möglich ist, ohne Lösung einer kubischen Hilfsgleichung, d.h. ohne über den Körper {% h, c, d, VoD) hinauszugehen, zu einer einparametrigen Resolvente zu gelangen, die gleichfalls enge mit den elliptischen Funktionen zusammenhängt, ist bereits von Kronecker bei seinen Untersuchungen über Gleichungen fünften Grades erkannt*). Dieser Gegenstand hat vielfache Behandlungen gefunden und soll hier zunächst nach einer Methode von Gordan**) dargestellt werden, die sich am besten an die voraufgehenden Rechnungen von § 2 anschließt f). Die fünf Systeme zu je fanf in § 2 betrachteten Größen: * (1) 0(Di^f, 0(«,)^K), ^(ci,f, 0(«,), W{a^), i == 0, 1, ..., 4, sind linear-abhängig (vgl. I, 7Iff.); denn die zugehörige fünfreihige Determinante verschwindet, da die Summe der Elemente jeder Spalte verschwindet [vgl. (13) S. 143]. Es gibt demnach fünf nicht durchgängig verschwindende Größen L, M. N, m, n, für die die folgenden fanf Gleichungen richtig sind: (2) X0 ip^f + M^ (aO ^ (a,) + NWia,;f = m0 (a,) -^ nW(«^). Zur Berechnung von X, M, N, m, n kann man aus dem entwickelten Ausdruck von (2) die Potenzen af, aj, of, a^ mittels der Hauptgleichung (1) S. 141 entfernen und gelangt so zu einer Gleichung vierten Grades für jede der fünf Wurzeln a^, in der also jeder Koeffizient verschwinden muß jj). Man findet auf diese Weise fünf Gleichungen, von denen zwei die folgenden sind: I Mr^ -f :V(3 crl + 12 b r^ r^ i- r|) — n r^ = 0, ^^'* I Mz^ -f X(— d xl — 2ez^r^^2h rf) — nr, = 0. Aus diesen Gleichungen bestimmt man M, JSf, n als Größen des Körpers Ä = (9^, h, c, d, VoZ>). Eine dritte der fünf Gleichungen erweist sich vermöge der Relationen (14) S. 144 von den Gleichungen (3) abhängig. Die beiden letzten Gleichungen drücken X und m in den schon berechneten Größen M, X, n und mithin gleichfalls als Größen des Körpers Ä aus. Wir betrachten nun vorübergehend den Ausdruck (4) L^'' -{-M^W -r NW *) Brief an Hermite vom Juni 1858, veröffentlicht in (ien Compt. Rend., Bd. 46 und „Algebraische Mitteilungen" in den Berliner Monatsberichten von 1861. =^*) „Über Gleichungen fünften Grades- (1886), Math. Ann., Bd. 28. t) Man vgl. auch die Rechnungen, die Kiepert in § 8 seiner Abhandlung „Auflosung der Gleichungen fünften Grades*', Joum. f. Math., Bd. 87 anstellt. Weitere Nachweise folgen unten. tt) Den Fall einer verschwindenden Diskriminante der Gleichung fünften Grades dürfen wir als elementar beiseite lassen.
Herstellung einer Ihagonalgleiphung nach Gordan. 149 als quadratische Form mit unabhängig variabel gedachten 0, W. Diese Form läßt sich auf vielfache Art als Aggregat zweier quadratischer Glieder darstellen (vgl. I, 155 ff.). Eine bestimmte unter diesen Dar- stellxmgen wird uns mit der auf die 3auptgleichung (1) S. I4I auszuübenden Tschirnhaustransfonpaation versehen. Cm diese Darstellung der Form (4) zu gewinnen, verstehen wir unter 0*, W zwei weitere unabhängige Variable und bilden die identische Gleichung; ' ^ I 4(i0'2-f ilf0'?F'~f-.Y»p-'')(X^^-r.M"0^^A^«p-^) unter 3 zi die Diskriminante ; (6) ■ 3^ = Jf2_4^^ der quadratischen Form (4) verstß-nden '•^). Man trage hier 0' = n, W' = — m ein und erkläre Jc^ 7 als zwei Größen des Körpers ^ durch: (7) Ä; = 2 X « — Mm, J = Mn — 2NyH. Die Determinante der vier Grqßen /.;, ?, m, n heiße ö: (8) hp — lm ~ 8. Aus (7) folgt dann für den ersten Klammerausdruck in (5) links: Ln^—Mnm-^ Nwfi =^\8, und man findet aus (5) als gewünschte Darstellung der Fon?i (4); (9) 2 Ö(X02 -h M^W -f NW^) == {h0 + IWf -~3^(m0^ nWf. Indem wir fortan unter 0 und W ^Jfieder unsere obiger^ Funktionen verstehen, bauen wir aus den Basep der beiden iri (9) rechts stehenden Quadrate die folgende Tschimhaustransformation auf: und nehmen die Determinante $ zunächst von 0 verschieden an=^*). Die Ausübung dieser Transformation auf die Jlauptgleichung (1) S. 141 liefere als transformierte Gleichung (11) x'^ -f oa'x'^ + 106'a/3 _^ iQc'x'^ -4- od'x' + ß' == 0. Ihre Wurzeln mögen durch a[ bezeichnet werden. Xeben (11) führen wir noch zwei weitere Gleichungen fünften Grades ein, deren Wurzeln durch: (1'2) &^ = p=-, i =- 0, 1, .. •, 4, *) Die Aufnahme des Faktors 3 hat den Zweck, die Schloßgleichung möglichst einfach zu gestalten. Übrigens ist die erklari;e Gro^e J mit der sp bezeichneten Modulform erster Stufe nahe verwandt. *=") Die rechte Seite von (10) ist entgegen dem sonstigen Bra?xche als „gebrochene" Funktion von x erklari,, wie dies übrigens in I, 164 bei Einfuhrung der Tschirnhanstransformation wenigstens zuerst gleichfalls angenompien wurde.
150 I) 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. erklärt seien, wobei für die erste Gleichung das obere und für die zweite das untere Vorzeichen gelten soll. Als Darstellung von ßi in der entsprechenden Wurzel Ki der Hauptgleichung hat man: Gibt man aber in (9) den 0, W wieder die Bedeutung 0(cc^, ^(«t), so läßt sich aus dieser Gleichung, falls man den links stehenden Klammerausdruck durch {m0(ui) -\- nW(o(j)), entsprechend der Gleichung (2), ersetzt und die rechts stehende Differenz der Quadrate in das Produkt zweier Linearfaktoren zerlegt, die Folgerung ziehen: Ä;0(a,) + lW{oO± V3^(w0K) + nW(u^)) ~ Für die Wurzeln ß^ der beiden fragKchen Gleichungen fünften Grades gelten demnach auch die Darstellungen: (14) 28 ßi = k0{a^) + Z?F(«,) + V3^(m0 {u^) + nW{ai)) in den entsprechenden Wurzeln a^ der gegebenen Hauptgleichung. Hieraus ergibt sich aber das Verschwinden der ersten und zweiten Potenzsummen der ß^ [vgl. (13) S. 143], so daß auch die beiden Gleichungen mit den Wurzeln ßj, Hauptgleichungen fünften Grades sind. Die Gleichung (11) muß also durch jede der beiden Transformationen: x' = ^^V3^ in eine Gleichung fünften Grades für z imigeformt werden: (^XV3^)5-^ oa'{zZfY3^Y^ Ho^X^ + VM + e' = 0, in der nach Ordnung die GKeder ersten und zweiten Grades ausfallen. Für die Koeffizienten a', h', • • • ergeben sich hieraus die vier Gleichungen.: ~3^V3^4- 9a'^ + 36'y3^4-c' = 0, die paarweise addiert und subtrahiert ergeben: I 9^2 + 186'^ 4-(?'= 0, 3a'^ + c' = 0, l ^ + &' = 0, 9a zi + c' = 0. Es sei nun erstKch ^ zfn 0. Dann Kefem die Gleichungen (15): a = 0, h' = — zf, c = 0, d' = 9^1 Indem wir uns den Kachweis vorbehalten, daß die beiden Annahmen 8 =^ 0, ^ =lz 0, abgesehen von speziellen Gleichungen fünften Grades, die als ausgeschlossen gelten dürfen, stets zutreffen, haben wir bei
Herstellung emer Diagonalgleichung nach Gordan. 151 Fortlassung der oberen Indizes folgendes Ergebnis gewonnen: Die Hauptgleichung fünften Grades (1) S. 141 wird nach 4djun]ition der Quadratwurzel VSD aus der fünffacher^ Disfiriminante du/roh die Tschirnhaustransformation (10) in die „Diagonalgleichung" (vgl. S. 63): (16) x^— lOzlx^-t4:6J^x-^e = 0 übergeführt, die ihrerseits durch die weitere Transformßtion: in die „einparametrige Diagonalgleichung" ühergeTd: (18) f — 10wy^-^4:6w^y-^Sw^ = 0. Man beachte, daß die Irrat:(,onalität y'äzi nichit adjfingiert würde und auch nicht in der Transformation (10) auftritt. Sie ist nur ein voriiber- gehend benutztes Mittel zur Erleichterung der Rechnupg gewesen. Es bleibt noch übrig, die Mögliehkeiien 6 = 0 und ^ = 0 zu prüfen. Ist 8 = 0, so verschwindet die quadratische Form (4) für 0 := n, W = — m, hat also den Linearfaktor (m0 --j- nW). Der andere Linearfaktor sei (fi0 -j- vW), wo auch fi, v Größen des Körpers ^ sind. Die Gleichung (2) liefert: (19) (m0 («,) + nW(u^)) {{10 (a;) + vW{u)) = m0{a^) + nW{a^). Da wir bereits die Gleichungen fünften Grades mit verschwindepder Diskriminante ausgeschlossen haben, so kann der rechts stehepde in «^ höchstens auf den vierten Qrad ansteigende Ausdruck*) nicht für alle fünf DCi verschwinden. Demnach gibt es mindestens ein «j, für das: [i0ia,)^vW{c>O = 1 gilt. Also ist unsere Gleichung fünften Grades im Ejlörper ^ yeduzibel, ein Fall, der gleichfalls ausgeschlossen werden d^rf. Damit erledigt sich die Möglichkeit ^ = 0. Ist zweitens 8^0, aber zi = 0, so übe man an Stelle von (10) die Transformation: x' = h0(x)-r1^'ix) aus, so daß die transformierte Gleichung wieder eine Bauptgleichung ist. Aus (2) und (9) folgt jetzt: 28{m0{a,) + nW(a^)) = (Ä0(«,) + Z?''(a,))l Man hat also die beiden Gleichungen: ak = Jc0(a,) -h lW(a,), a','- = 2S(w0(a,) -f nW(a,)), aus denen das Verschwinden auch der dritten ui^d vierten Potenzsurame der u'i folgt. Wir werden also zu einer reinen Gleichung fünften Grades geführt, ein Fall, der gleichfq,lls a^s ausgesclilossen gelten darf. *) m und n verschwinden nicht zugleich, da sonst m (2) alle fünf Koeffizienten Lt M, -•-, n gleich 0 waren.
152 I? 6. Allgemeine Gleichung fünften Grades. § 5. Allgemeine Gleichung fünften Grades und Partialresolventen der Ikosaedergleichung. Durch die eben gewonnene Diagonalgleichung (16) ist die allgemeine Gleichung fünften Grades an die Resolventen der Ikosaedergleichung angeschlossen. In der Tat ist die genannte Gleichung (16) genau so gebaut, wie die unter (5) S 63 gewonnene Resolvente der Ikosaedergleichung, in die sie, was die Koeffizienten anlangt, einfach dadurch übergeführt wird, daß man A und — e mit den Ikosaederformen y^ und t/; gleichsetzt: (1) ^ = Z> -e=i^. Die Abhängigkeit der Wurzeln unserer Grleichung: (2) x'' — lOzJx^ + 45^2^ + e = 0 von den beiden in der Gleichung noch enthaltenen Parametern ^ und — e ist eben dieselbe, die wir zwischen den S. 62 eingeführten Formen fy and den Ikosaederformen y, rf; im dritten Kapitel kennenlernten. Hiermit ist eine zweite Art der Auflösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades gewonnen. Sie besteht aus dem algebraischen Teile der Überführung der allgemeinen Gleichung fimften Grades durch wiederholte Tschirnhaustranbformation in die Gleichung (2) und damit in die jResolvente: (3) /■5_iO;^/-B + 45;KV-i^ = 0 der Ikosaedergleichung und aus dem transzendenten Teile der Lösung der Gleichung (3) durch Modulfunktionen (vgl. S. 98 ff.). Wir .haben hier im wesentlichen diejenige Resolvente erhalten, die Brioschi*) in noch etwas allgemeinerer Gestalt bei seinen ersten Untersuchungen über Gleichungen fünften Grades gewonnen hatte**). Die vorstehenden Bemerkungen sind an die zweiparametrigen Gleichungen angeschlossen. Man kann an ihrer Stelle auch die ein- parametrige Gleichung (18) S. 151 treten lassen, die durch die Transformation : (4) 4:y=-F, lQ2w=^-^ in die Resolvente (7) S. 63 der Ikosaedergleichung übergeht. *) Es kommen die ersten Arbeiten von Brioschi im ersten Bande der Annali di matematica (1858) in Betracht. Vgl. auch „Ikos.", S. 151, wo die mit den Gleichungen (2) und (3) des Textes im wesentlichen übereinkommende spezielle Brioschi sehe ßesolvente unter (26) angegeben ist. **) Vgl. auch die Abhandlung von Brioschi „Sul metodo di Kjronecker per la risoluzione delle equazioni di quinto grade'- von 1858 im ersten Bande der „Atti del Istituto Lombardo"
Losung der Gleichung fiinften Qrades nach Kronecker und Brioschi. 153 Die gewonnene zweite Auflösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades*) ist jedenfalls der erstep Lqsungsmethode dadurch überlegen, daß in ihrem algebraischen Teile außer den beider^ oft genannten Quadratwurzeln keine weiteren Irrationalitäten ad|ungiert werden. Die erste Methode erforderte demgegeniiber noch die liösung einer kubischen Hilfsgleichung, die wir übrigens wegeii übergroßer Kompliziertheit nicht einmal aufstellten. Dies Sachveihältnis kann ^uch dann nicht anders werden, wenn wir über die Diagoiialgleichui^g zur Bring sehen Crleichung vorzudringen versuchen. Indessen hat dißser letztere Weg doch den Vorzug, daß die fragliche kuhibclie HiJfsghichting alßdamp eine behr zagangliche Gestalt annimmt Es handelt sich dann nämliph einfach um die Relatioii (9) S. 134 dritten bzw. zweiten Grades zwischen der Lösung v der Rßsolvente fünften Grades (4)' S. 133 de|- Ikosaedergleichung und de|- zugehörigen Wurzel 6 der Bringschen Gleichung (5) S 115 **). Die Diskripiinante dieser kubischen Gleichung ist übrigens i^icht etwa das Quadrat eifier r^.tionalen Funktion von v, woraus eine Bemerkung von S. 146 über die Galois sehe Gruppe der kubischen Gleichung hervorgeht § 6. Ikosaedergleichung als Resolvente der allgemeinen Gleichung fünften Grades. Als einparametrige Resolvente hat Klein in der Theorie des Ikosa- eders und der Gleichungen fünften Grades die IJcosaedergletchung in den Mittelpunkt seiner Betrachtung gestellt. Dies setzt voraus, daß die fünfte Wurzel der Einheit s, die \yie \5 eii^e akzessorische Irrationalität der allgemeinen Gleichung fünften Grades ist, adjungiert wird. Insofern pnt- spricht die Klein sehe Theorie der beka:finten Kronecker sehen Forderung, überhaupt keine akzessorischen Irrationalitäten zum Gebrauch zuzulassen, noch weniger, als die im vorletzten Paragraphen vollzogene Transformation, die doch nur \'6 als numerische und für die allgemeine Gleichung akzessorische Irrationalität benutzt. Aber gerade die Ikosa- edertheorie, die in so hohem Grade zum Verständnis auch der gesandten früheren Entwicklungen über Gleichurjigen fünften Qrades beigetragen hat, zeigt uns, daß man beipi Festhalten an der Kronecl^ersehen Forderung in Unkenntnis über wertvolle und interessante Entwi(iklungen bleiben würde. Den Übergang von der allgepaeinen Gleichung fynften Grades zur Ikosaedergleichung hat Klein in ?wei Arten vollzogen. Die erste Methode knüpft an die Hauptgleichung : (1) X' + 106a;2 -^ ocsc + d = 0 *) Man konnte sie nach den Darlegungen von'Klem m „Ikos.", S. 151 als die „Brioschi-Kroneckersche Methode"' bezeichnen und ihr gegenüber die in § 3, S. 147 besprochene die „Hermitesche 4-'^flösungsmethode" nennen. **) Koch einfacher ist die kabische Gleichung (2) S. 137 zwischen entsprechenden Wurzeln der Resolvep.ten sechsten Grades.
154 I? 6. Allgemeine Gleichung fünften (trades. an, setzt also bereits die Adjunktion der ersten akzessorischen Quadratwurzel (8) S. 140 der ursprünglichen Gleichung (1) S. 139 voraus. Der ITbergang von (1) zur Ikosaedergleichung vollzieht sich dann einfach durch Wiederholung der Überlegung von S. 122 ff., wobei nur an einigen Stellen ein Vorzeichenwechsel in den Formeln einzutreten hat. Die in eine bestimmte Anordnung gebrachten Wurzeln x^, X-^, • • •, x^ der Hauptgleicbung (1) liefern einen gewissen Punkt auf der Hauptfläche, die wir zunächst in „Pentaederkoordinaten'' darstellten. Der erste Schritt ist, daß wir in Rg durch Benutzung der Lagrangesohen Solventen Tetraederkoordinaten Zjc einführen: (2) 5^fc = a^o -r s^x^ + f^^a^g + s^'^x^ + s^^x^ = (s^ x), h = i, 2,3,4-), in denen sich die Pentaederkoordinaten umgekehrt so darstellen: (3) a;^ = £-^^1 + £-2v^^^ £-3v^^ _j_ £-4v^^^ *. = 0, 1, •••, 4. Die symmetrische Permutationsgruppe der x liefert für die z eine quater- näre Substitutionsgruppe ®i20' ^^^ ^^^ ^^^ beiden Substitutionen: yo ^1 = —-— ^1 + ^2 ^ - -J (5) 1/- ' 1-V5 yo ^2 = •2'] Vo 4 = ■ 2 ^ ' l+Vö ^3 + -^ 1+V5 2 ^2~ 1—Vö" 2 2 + ^3 + ^ -■2^4) -^4'> ^3 + V5 ) erzeugbar sind **). Die Substitutionen der quatemären ©^g^ haben zur Hälfte die Determinante 1, zur Hälfte — 1; die unimodalaren Substitutionen liefern den Xormalteiler @g^. Die Gleichung der Hauptfläche in Tetraederkoordinaten ist: (6) ^^^^ + ^2^3 = 0. Die Einführung der Koordinaten X, (i auf der Hauptfläche geschieht genau wie S. 124 durch die Gleichungen: (7) ;L__^ = !i, ^_fl___fi. *) Bei Einhaltung der Bezeichnung (3) in I, 413 sollte die rechte Seite der Gleichung (2) eigentlich (e~k^ x) heißen. **) Hier liegt gegenüber den Formeln (5) S. 122 eine Vorzeichenabweichung vor. Der Grund ist, daJß die jener Substitution zugrunde liegende Permutation der Formen y noch mit einem gleichzeitigen Zeichenwechsel der y kombiniert wax. Für die weiteren Formeln ist diese Vorzeichenabweichung ohne Folge, da nur noch Quotienten der z zur Benutzung kommen.
Erste Klein sehe l^osung der Gleichung fünften Gr£(,(ies. 155 Die (Sjj2o setzt sich in eii^e Gipuppe von ^, ^i - Substitutionen um, die aus den beiden Substitutionen (5) und (6) S. l'24ff. erzei^gbar ist. Die Spaltung der ;L, fi in homogene Größen X^, X^ pnd ^^, fi^ gescMelifc wie S. 125. Setzt man in Übereinstimmung mit (7): (8) z^^X^ii^, z^=—X^ii^, ^^ = X^{i^, ^i==X^ii,^, so hat man als homogene erzeugende Subst:|tutioüen die unter (10) und (11) S. 126 angegebei^en. Der alternierenden Permutationsgrappe der Xic entspricht jetzt homomorph die homogene Ikosaedergru^e, der X^, X^ und fij, fig gleichzeitig unterworfen sipd. Die erzeugenden Substitutionen sind : (9) X[ = £^1, X^, X^ = V5';l; =-- i6X', 3== — Vs ii'i =-- 8^X„ + (£- -is' -Tis' ill = - £*)^1 — -s')k- -s')li,- Si^l, is'- -(£- -is'- H = -&^)K - «*)^2 -s)ii^ (10) — yS a.2 =: — (£* — £)fij — (£^ — £^)fi2- Die ^-Substitution geht in die gleichzeitige fi-Substitutipn durch Ersatz; von £ durch s^ über, wobei y5 Zeichenwechsel erfahrt. Um jetzt von der Hauptgleichung (1) zur Ikosaedergleichung zu gelangen, adjungieren wir auch noch die Quadratwyrzel '\[l) der in (8) S. 142 berechneten Diskrimjnante D, womit, d^ e bpreits adjungiert ist, auch y5i) rational bekannt ist. Die Gruppe der Gleichung (1) ist dann die alternierende ©g^. Ihre Wurzeln nennen wir in der gewählten Eeihenfolge jetzt wieder w^, «j, •••, a^ Dem Galois sehen Körper (9t, £, a^, a^, ••-, a^) entnelimen wir die Funktion: (11) '--tA is\ «) und bilden die ihr zugehörige Resolvente der Gleichupg (1) bei Zugrundelegung des Körpers (9?, 6, c, d, s, \D). Den sechzig geraden Permutationen der Uq, Kj, •••, w^ entsprechen die sechzig Ikosaeder- substitutionen von X. Dip aus (4) oder (5) S. 56 zu entnehniende rationale Funktion sechzigsten Graden von X: ist bei diesen 60 Substitutionen invarj|.ant und demnach als Fupktioia der Uq, a^, '--, ci^ eine zur alternierenden ©g^ gehörende, mithin im Körper (% h, c, d, s, Y^) enthaltene Funktion. Als solche_ 4er variabel zu denkenden Größen h, c, d, Yd heiße sie Ii(b, c, d, |/D). Dann id die zur gewählten FunUion (11) gehörende Besolvente der Gleichung (1); (13) 9(A, 1)^ + 1728 JS(6, c, d, iV)iiX, If = 0
156 I» 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. die Ikosaedergleichung sechzigsten Grades mit dem einen Parameter JR. Sie ist eine „Xormalgleichung'*, deren Galoissche Gruppe nach den vollzogenen Adjunktionen mit der Ikosaeder-@6o isomorph ist. Wir haben hiermit eine dritte Methode der Auflösung der allgemeinen Gleichmig fünften Grades gewonnen *). Der algehraibche Teil dieser Äuf- lösungsaH hedeht in der Transformation der allgemeinen Gleichung fünften Grades in die einparametrige Ikosaedergleichung (13)**); über die transzendente Lösung der Ikosaedergleichung durch Modulfunktionen ist bereits S. 98ff. das Weitere ausgeführt. Kleinf) stellt die „Ikosaedergleichung'* in Parallele zu den „reinen Gleichungen'*, wobei der Lösung jener Gleichung durch Modulfunktionen die transzendente Lösung der reinen Gleichungen durch den Logarithmus entspricht. Der Anteil der Algebra an der Lösung ist dann auf der einen Seite die Transformation der allgemeinen Gleichung fünften Grades aaf die Ikosaedergleichung, auf der anderen Seite die Reduktion allgemeiner zyklischer Gleichungen auf reine Gleichungen jf). § 7. Schar der Hauptresolventen. Über die letzten Sätze des § 6 hinaus ist nun die Ikosaedertheorie, wie schon angedeutet, für das Verständnis auch anderer, zum Teil schon gegebener Entwicklungen sehr wertvoll. Insbesondere gehen wir nochmals zurück auf die beiden Scharen von Hauptresolventen, die in § 2 S. 141 ff. entwickelt wurden. Bei bestimmter Anordnung der Wurzeln wurden uns diese beiden Scharen von Hauptresolventen durch die Punkte derjenigen beiden Geraden der Hauptfläche geliefert, die zu den „Parameter- werten'- : gehören, unter a^, a^, ■ • •, a^ die Wurzeln der zunächst erreichten Haupt- resolvente : (2) x'° + lOhx^ j^^cx ^d =z 0 verstanden, und zwar in der gewählten Anordnung. Um die beiden Scharen voneinander zu trennen, hatten wir \hl) zu adjungieren, wobei die Bevorzugung eines bestimmten Vorzeichens dieser Quadratwurzel auf die Auswahl einer bestimmten unter den beiden Scharen hinauslief. Wir denken dasjenige Vorzeichen gewählt, das zur Geraden des Parameters l hinführt. Es hat dann X den bestimmten Wert (1), während fi, um die ganze Gerade zu beschreiben, alle möglichen Werte durchlaufen muß. *) Will man auch hier eine Personalbenennung bevorzugen, so hat man die Methode als Klein sehe zu bezeichnen. **) Wegen der expliziten Darstellung von _g(&, c, d, ^D) vgl. man „Ikos.", S. 182 ff., insbesondere die Gleichungen (35) und (36) S. 193 daselbst, t) Vgl. „Ges. Äbh." II, 484. tt) Vgl, die Entwicklungen m I, 413 ff.
ßesolventen der Ikosaedergleichung in der Schar der H^uptreiolventen. I07 Es ist nun zunächst möglich, die Wurzeln der 3auptresolventen def ausgewählten Schar auf Grund der Formeln vqn § 6 in einfacher Weise darzustellen. Wir erklären etw^ die Werte X-^, 2.^ durch: (3) X, = (s, a), X^= — (£^ Di), die also mit der Gleichung (2) und der Anordnung ihrer Wurzeln bestimmt sind, und verstehen unter fi^, u^ zwei endliche und nicht zugleich verschwindende Variable. Dcm^ sind entsprecfiend den Gleichungen (3) und (8) § 6 die Wurzeln der Hauptresoheri,te gesehen diwch: (4) Xy ^= E-''X^ii^-E~^''X^yi^^ B-^^X^lf,.j +B~^''X^ii^, *' = 0, 1, •••, 4. Die Potenzsummen dieser Größen sind bereits, soweit wir sie hier nötig haben, in den Rechnuagen von S. 123 ff. festgestellt. Benutzen wir für die Potenzsummen die Bezeichnungen (1) in I, 101, so ergibt siph: ^i>4 = Xt^i^^l —XlX^ lit—S 11X1^1^4 +X^Xliio — Xt^i^i^, i j)^ = xliiil -f /ii) — io;LU2i^ii^l i- io;L?;Lli^ii^2 + loxlxiiitn^ -f lOX^Xt^lid— Xl{{ii — }iT). Der in der ersten Gleichung rechts stehendp Ausdruck möge durch B{X, fi) bezeichnet werden, da er, glpich 0 gesetzt, die auf der Baupt- fläche gelegene „Bringsehe Kurve'- dai-stellt. Füy die rechten Seiten der zweiten und dritten Gleichimg (p) nehmen wir die schon in (13) und (14) S. 126 eingeführten Be;zeichnungen X(X, fi) und 0{X, fi) wieder auf. Man gelangt zu dem Satze: Die aubgewählte Schar der Haiipt- resolventen ist dardeUhar in der Gedalt: (6) a;° —oB{X, ii)x^ — oX(l, ii)x — ^{X, ji) = 0, wo ^j, X2 durch (3) gegeben sind und ^j, ^g gwei endliche, nicht zugleich verschwindende variable Farameter bedeuten. Eine dieser Gleichungen :|st uns bereitb begegnet. Setzt man nämlich: (7) 11^ = XliXl — 7;Li), ft2 = XlOXl + XI), so ergibt sich: (8) X, = is^' Xl - s^^ XIX.) ßl - 7aD -h (f^U, Xl -r £' ^1) (7 Xl -j- X'^), und damit haben wir in et\»/^as veränderter Anordnung die in (10) S. 64 erklärten fünf Formen h^{X.^, X^) wiedergewonrjien: Fur die JParameter- werte (7) geht die Gleichung (6) ivi, die Uesolcente (11) S. 64 der Ilzosaeder- gleichung über. Multipliziert man die Form achtep Grades K{X^, X^ mit der in (3) S. 62 gegebepen Form sechsten Grades f.y,{X^, X^), die die Wurzel der Diagoualgleichuag (q) S. 63 war, so ergibt ^ich hei zweckmäßiger Anordnung als Produkt: (9) K{X„ X^) UX„ X^) = (£*' X, - a'^'X^)-Xi{2(iX\''— SdXUl - Xl') -t (e^' l, - £'K)' ^1 (^1" — 39 X\X\ - 26 XW
158 I) 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. A^tch diese fünf Formen sind die Wurzeln einer Besolvente fünften Grades der Ikosaedergleichung, die sich der Schar (6) einordnet, nämlich für: (10) \ ^ V i ^ ^ \ ^^^H ill'' - 39 mi - 26 ll\ wie man durch Vergleich von (4) und (9) sofort feststellt. Die drei Koeffizienten dieser Resolvente sind Ikosaederformen der Grade 42, 56 und 70, also abgesehen von konstanten Faktoren gleich i^;^, y;^^ und (p'"^. Man bestimmt diese Konstanten leicht und findet als Resolvente fünften Grades der Formen (9): (11) X^ —^0'^lX^—0'Ti(ffx—(^^'^ ~ ^. Die Gleichung (8) können wir auch in die Gestalt setzen: \{l^,l^ = (s^n^ —s^'l^)'ll{kl—7X1)-}-{£^'X,-}-sn^)'11(7X1-}-U). Durch Zusatz der Gleichung (9) finden wir ein System linearer Gleichungen für (£*^Aj — £^"^2) ^^^ (£^^^1 + £^^2)? dessen Determinante man leicht zu (p(X-^, X^) berechnet. Xach Lösung dieser Gleichungen in bezug auf (s*^ X^ — £^"^2)? (£'''^1 + £"^2) wolle man die gefundenen Ausdrücke in X, = (a^-X, — a^n^)ii^ ~f (a^n^ i- an,)ii^ eintragen und dabei statt der ^t^, fig neue Parameter m^, m^ einführen, die man erklärt durch: (XliXl''- SdXlXl-2QXl'')^,-Xl{2SXl''-S9 XUi-11")^^ = m^(pt, \ — Xl(yXl ^X^fi^ + Xl{Xl — 7Xl)ii^ = m^fff. Die lineare Schar der Wurzeln unserer Hauptresölvente (6) stellt sich dann in der Gestalt: (13) x,= m,{tK)^m,(x'fJt,) dar, wo m^, m^ zwei endliche, nicht zugleich verschwindende Parameter sind. Die Zusatzfaktoren tj; und 2^ bezwecken, die Ausdrücke rf;h^ und l^fvhy ZU Formen gleichen Grades in X^, X^ zu machen. Zu den beiden besonderen Resolventen wird man geführt, indem man erstens m^ = i^^S Wg =: 0 und zweitens m^ ^= 0, m^^ = i~~'^ setzt. Die Transformation der Hauptgleichung fünften Grades auf die ein- parametrige Diagonalgleichung, die in § 4 S. 148 ff. ausgeführt wurde, wird aus den letzten Darlegungen erst verständlich. Es ist nämlich die Wurzelschar (13) eben dieselbe, die wir S. 143 durch: x,^t^{a,)-^^W (av) darstellten. Die besonderen S. 149 dieser Schar entnommenen Wurzeln: (14) 'k^{a,)^lW{a,), m 0 (a,) ^-^ n W (a,)
Geometrische Deutupg dep Gordan sehen Transfprmatipn. 159 stellen sich in der Sohar (13) einfach ip den Gestalten /V^r, K dar, d. h. sie liefern unsere beiden vorhin besonders betrachteten Regolveisten. Für den Quotienten der Wurzeln (14) haben wir dann: so daJ3 die x[, die Wurzeln der Diagonalgleichung (3) S. 152 sind. § 8. Zweiter Weg von der allgemeinen Gleichung zum» Ikosaeder. Klein hat-noch eine zweite Methode entwicl^elt, von dßr allgemeinen Gleichung fünften Grades zum Ikosaeder überzugehen. Wir gehen auch auf diese Methode hier kurz ein, da sie einmal im folgenden Abschnitt auf die Gleichungen sechsten Gradßs übertragen v^erdep soll und andererseits mit den noch zu besprechenden Untersuchungen von Krqnecker und Brioschi über Gleichungen fünften Grades enge zusammenhangt. Die allgemeine Gleichung fünften Grades wird als gegeben vorausgesetzt, ihre Wurzeln werden wie bisher durch a,,, ol^, • • •, a^ bezeichnet. Adjungiert sei sogleich die Quadratwurzel der Diskriminante, plso eine natürliche Irrationalität, so daj3 die Gruppe der Gleichung die alternierende @gQ ist. Die neue Betrachtung beruht imn namentlich auf dem Gebrauch der Besolvente sechsten Q-radnü der Glßichufig fünften Grades, die zu den sechs konjugierten Teiler^ ©^^ vom Diedertypus gehört. Unter S, T und TJ verstehen wir folgende drei Pern^utationen der ßg^, die den gleichbenannten Ikosaedersubst:|.tutionen entsprechen: S =: -■2' "3? "4\ -3' «4' Hr , '^2' «0/ S und T erzeugen die ganze ©g^, und aus S und TJ entsteht eine erste unter den Diedergruppen ©j^- Die einfachsten Funktionen der ausgewählte^ ©j,, sind: 1 «0«! +aia2 + «2«3 + «3«4T-a4«f)' [ «0^2 ~|- 01.^0!.^ -r a^«! -}- a^Kg -f- c'3C'0) und es ist nach dem Lagrangeschen Safcze in einer unier ihnen und den Koeffizienten der Gleichung sowie der Wurzel ^JD jede andere Funktion der @jQ darstellbar. In den Arbeiten von J^ronecker und Brioschi sind indessen andere Funktionen zugrunde gelegt. Kronecker gibt in seiner ersten Mitteilung von 1858 nur kurz a^i, daß er mit dem Quadrat einer ziemlich komplizierten Funktion fünften Grades der aj, gearbeitet habe *) *) Die Funktion ist m „fkos.'-, S. 154, unter (29) angegeben.
160 I, 6. AUgememe Gleichung fünften Grades. und notiert dann nur noch die mit dieser Funktion erhaltenen Ergebnisse. Dabei macht Kronecker entgegen seinem später verfochtenen Prinzip Gebrauch von akzessorischen Irrationalitäten. Bei Brioschi findet sich die Funktion *): (2) v^ =: («0 — «i) (a^ — Kg) («2 — «3) («3 — «4) («4 — «0)' die nur erst bei S unverändert bleibt, aber bei Ausübung von V Zeichenwechsel erfährt. Dasselbe gilt von der Funktion: (3) w^ = («0 — a2)K — «4)K — «i)("i ~ «3)(c«3 — c<o)' die mit v^ multipliziert als Produkt ]I) liefert: (4) v^-w^^ iB. Es gehe nun die Funktion v^o durch die Permutation T in ^^ über. Vf^ aber durch S^ in v^; dann hat man ausführlich: =: («0 — «2) («2 — «1) («1 — «4) («4 — «3) («3 — «0)' — («1 — «3) («3 — Kg) («2 — Wo) («0 — aj (a^ — Kl), (5) { v^ =: («2 — aj (a^ — «3) («3 — Kl) (a^ — a^) («o — «2)' ^3 — («3 — «0) ("0 — "4) («4 — «2) ("2 — «1) («1 — «3)' v^ = (a^ — Kj) (Kj — a^) («0 — ^z) iP'-s — ^d iP'-z — ^i^- Entsprechend bezeichnen wir die aus w^a hervorgehenden Funktionen durch Wf^, u\. •••, w^. Aus (2) und (5) ergibt sich leicht: Die Wirkung der Permutationen S und T auf die sechs Funktionen v ist: g. I (S) v'^ = v^. v'(, = v^, v[ = v^, ^;; — v^, v'^ =: v^, r\ = v^, 1 (T) 'c'ao = Vf^, v'q = v^, v'i = v^, v'2 = —v^, v\ = —i\^ v\ = Vj^, und genau dieselben Substitutionen erfahren die sechs Funktionen w, wie aus (4) leicht hervorgeht. In: (7) ßoo = (nio^ — nw^)^, ß,, = (mv^ -p mi\Y, ?' = 0, 1, •••, 4 haben wir demnach sechs konjugierte Scharen von Funktionen unserer Diedergruppen ©^^ gewonnen, die sich bei Ausübung der Permutationen S und T selbst so permutieren: .3^ C ^ (ßoo, Ao> Al> /5-2> ^3. ßi] rp ^ /^oc, Ao> ßl^ ^2« Aa> ß^\ ^ ' ^ß^. ßl^ ßi. ß,, ßi, ßoJ' W ß^, ßi^ A2. ßä, ßj ' Dabei sind m^ n zwei Parameter, über die wir noch verfügen können. Die aufzustellende Resolvente sechsten Grades wird übrigens nicht unmittelbar die Funktionen (7) zu Wurzeln haben, wenn sie auch mit diesen Funktionen nahe verwandt ist. Wir kommen hierauf unten zurück und verweilen zunächst bei den Quadratwurzeln der ß, die wir als eindeutige Funktionen der Wurzeln a, so schreiben: (9) ] ßoo = mv^ ~f niv^, ^|ßy = mv^ -\- nu\, v = 0, 1, ■ ■■, 4. *) Die Indizes der Funktionen werden hier*wie S. 70 ff. gewählt.
Herstellung einer bihnearen Form ^ (s, t)- Kil Gegenüber den Permutationen S und T zeigen sie das Verhalten der Funktionen v und tv, d. b. ßie erfahrpn d^^e Permutationpn (8), wobei jedoch \ß^, Y/Sg gegenüber T noch einen Zeichen Wechsel erleidei^. Hieran schlieJ3en wir mit Klein"=) folgende Betracl^tung: Wir adjungieren die fünfte Einheitswurzel a und fuhren die beiden homogenen Variablen l^. X..^ ein, die den Ikosaedersubstitutionen unterworfen werden sollen. Aus ihnen berechnen wir nach (12) S. 71 die Verbindungen zweiten Grades: (10) u^ r= l^l^, u^ =: l\, n^ = —ll die nach S. 71 bei den Erzeugenden S und T die temg^ren Subst:(.tutionen: (S) u'o = Uq, h[ := aa^, lü = £*w-^, f V 5 «0 — '^o 4- W] -f '^ä' (T) yjha, =: 2a, ^ (a^ ~ a')u, ^ (a-^ a')u„ I ]'ö <4 = 2«Q -|- (f + £*)**! ~ (f^ + £^)«o erfahren. Die Quadratwurzeln (9) seien abgekürzt durch: (11) ■^J^ = t^, ]Jr = t,, ^ = 0,1,..., 4 bezeichnet. Aus den drei GröJ3en « stellen wir folgende sechs Ausdrücke : (12) s^ = ]öU(^, ö, =z U(^^ a'u^-r a-'u^, v=0,l,---,4 her. Gegenüber den erzeugenden Substitutionen S i4nd T der ternareu (^gQ der i(-Substitutionen zeigen die s das Verhalten: (b) ö^ = ö^, ÖQ = öj, öl =: ö,, öo = Ö3, ö,, = S^. S4 = ÖQ, d. h. die 0 zeigen genau dasselbe Verbalten wip die t bei den Peraiu- tationen S, T der Wurzeln oc. Hieraus folgt der Satz: Die hilif^eare Ve (13) ß(s, t) =: ..o^oc-r S ^^^v ) -=0 verhalt sich invariant, falls mau auf die Uk eine gerade Permutation and gleichzeitig auf X^, ^g ^wie der heideu ent^prechenden IJvßsaederöUhstitutioneu ausübt, die eine und dieselbe fernare a-Suhötitatioip liefern. Trägt man fur die 6 ihre Ausdrücke (12) in u^, w^, w^ ein und ordnet in bezug auf die u, so nin^mt £1 die Gestalt: (14) ß =: 2^o«o + ^i'h -r ^ä% =*) Vgl. insbesondere die kurze Skizzß des Gedankenganges in „Ges. Abb." II, 487 ff. Fncke. Algebra. II. H
162 J» 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. an, wo 2Af^, A.^, A^ gegeben sind durch: (15) A, = t^^at^ + a% + e%i-a%, Wir haben damit drei Funktionen fünften Grades der Wurzeln afc konstruiert, die sich gegenüber den geraden Permutationen der ajt ihrerseits linear und homogen substituieren. Gehen durch die einzelne Permutation die u in ii und die A m A' über, so gilt, wie wir wissen: Man sagt in diesem Falle, daJ3 sich '2A^, A^, A^ zu den m^, u^, a^ ^hontragredienf^ substituieren. Insbesondere entsprechen den beiden ternären w-Substitutionen S und T die beiden folgenden Substitutionen der J.Q, A^, A^: (S) A'o = Aq, A[ =r s^A^, A'2 = aA^, i\6A'(, =: ^o-r A + A, V5^; =: 2A, -}- (a' -^ a')A, ^ (^ + £*).!„ i^A', = 2A, ^ (6 + 6^)^, + (a' -r- e')Ä,. Wir gelangen damit zu einer ©g^ ternärer A-Substitutionen, die sich aus den entsprechenden Substitutionen der u einfach mittels des Ersatzes von e durch s~^ gewinnen lassen. Der tibergang zum Ikosaeder geschieht nun auf Grund bekannter projektiv geometrischer Entwicklungen*). Die quadratische Form: (16) zi = Al^A,A, der Af^, A^, A^ ist gegenüber den Substitutionen der ©g^ invariant. Deutet man A^, A^, A^ als homogene Koordinaten in der Ebene, so wird durch ^ = 0 ein Kegelschnitt dargestellt, der durch die 00 3 KoUineationen: ( A', = (ad -r ß y) Ä^- ß8 A^ ^ ay A,. (17) A[= -2y8A^i-8-'A^-yKi.^, { Ä2= i-2a ßA^ — ß^A^i-cc^A.^ in sich übergeführt wird. Es sei dabei ad — ßy = 1; dann ist auch die temäre Substitution (17) unimodular. Man kann die Punkte des Kegelschnitts bekanntlich durch einen Parameter ^ darstellen, indem man: (18) A,:A,:-A,^ f :^:1 *) Man findet diese ausführlich entwickelt m „Aut. Funkt." I, 12 ff.
Herstellung der ikosaedrisch substitmerten Große ^. 163 vorschreibt. Diese Parameterd^rstellung ist auf alle Punkte der projektiven Ebene übertragbar: Einem beliebigen Punkte A^, -4^, Ä.., der Ebene entsprechen als Parameter die beiden Werte: (19) 5 = =^5^, £ = =^^iF^, die im Sinne von (18) als Parameter den beiden Bert^hrungspunkten der von jenem Punkte an den Kegelschnitt laufendeii Tangenten zi4kommen. Bei Ausübung der Transformation (17) erfahren dann ^ und ^ kogredient die Substitutionen: (20) ^r^^lTß -, -^l±A. -8' yl-id Die in der ersten Grleichung (19) erklärte Grrcfße t, erfali^i gegeniiber der ©g^ der ternaren Ä-Siibditutionen eine ©g^ Unear-gehrochener Suhstittitianen, und zivar zeigt die Rechnung, daß wir zur tirbprußglichen Normalform der Ikosaeder-®gQ zurnckgefuhd werdeiß. Um die algebraische Bedeutung dieses Ergebnisses zu erme&sen, beachte man, daß zJ als Funktion der a;. gegenüber dep 60 geraden Permutationen unverändert bleibt und also :patiorial in den Koeffizienten der Gleichung fünften Grades und der Wurzel yjO darstellbar i&t*). Wir haben damit folgendes Ergebnis gewonnen; Nuch AdjunJdion der zweiten, and zwar akzessorischen'^'^) Quadratwurzel: (21) 1z/=VA'+A^ hcöitzt man in: (22) t = z:A±lA±AiÄ eine Fuuldion der Wurzeln a^i, die stclt, gegenüber den geraden Yertauschungen der cijc ikosaedrisch suhdituiert. Pie weitere Behandlung hat so zu geschehen, daß man den Ausdruck ^ in die Jkosaedergleichnng (5) S. 56 für z einträgt und daraufhin Z rational in den Koeffizienten der gegebenen Gleichung und den beiden adjungierte^i Quadratwurzeln ausdrückt. So ist auf eine zweite Art die allgemeine Gleichung fünften Grades auf die einparametrige Ikosaedergleiohung zurijckgeführt f)• *) An numerischen Irrationalitäten wurdep wir hier nur ^5 notig haben; übrigens sind naturlich die beiden ^n (7) eingeführten Parameter m, n noch verfugbar. **) Es geht dies aus dem unten zu behandelnden „Krpneckerschen Satze'- hervor. t) Wir haben damit eine „zweite Klein sehe Losungsmethode" der Gleicjiung fünften Grades gewonnen, bei der zum Unterschied gegen die erste die naturliche Irrationaütat |(d zuerst adjungiert ist und dann erst die a^izessorische Quadratwurzel. Über das gegenseitige Verhältnis beider Methoden spwie wegen der weiteren Durchfuhrung der zweiten Methode ist auf ,Ikos,~, Abschn. II, Kap. 4 und 5 zu verweisen.
I, 6. Allgemeine G-leichung- fünften Grades. § 9. Formensystem der ternären Ikosaedergruppe. Klein stellt in den Mittelpunkt seiner Entwicklung das „Formen- prohlem" der temären Gruppe ©g^ der unimodularen ^4-Substitutionen als „Problem der Ä". Die beiden in (19) S. 163 eingeführten variablen Größen ^ und ^ werden je in zwei homogene Variable ^i, ^^ und ^j, ^, gespalten, die kogredient die homogenen unimodularen Ikosaedersubsti- tutionen erfahren sollen. Setzt man dann: (1) Äo = l(^Jo + ^^^^)^ A^-U„ A = ^,f:. so erfahren die A^^, A^, A,^ entsprechend die homogenen unimodularen Substitutionen der temären Ikosaedergruppe ©g^, deren erzeugende Substitutionen S, T bereits S. 162 angegeben wurden =^). Eine erste invariante Form der ternären ©g^ ist die in (16) S. 162 eingeführte quadratische Form: (2) J^Al+A,A^. Deutet man die Aq, A-^, A^ als homogene Koordinaten in der Ebene, so stellt zl = 0 einen Kegelschnitt dar, der eindeutig auf die Oberfläche des Ikosaeders bezogen ist. Weitere invariante Formen bildet Klein, indem er bzw. die 6^^, 10*^ und 15*^ Polare "•='==) der Ikosaederformen i, cp und il; für ^^ ^^ ^^^ ursprüngliche und ^^, t,^ als neue Variable bildet und in den zu gewinnenden Ausdrücken statt der t, auf Grund von (1) die A einführt. Man gewinnt auf diese Weise drei invariante Formen der Grade 6, 10 und 15 in den A. Die erste dieser Formen mag noch durch Zusatz eines Gliedes a^^ vereinfacht werden, wo a eine Konstante ist; auch darf ein konstanter Faktor zugesetzt oder fortgehoben werden. Als besonders einfach findet man auf diese Weise die Form sechsten Grades: (3) Ä (A, ^j, ^,) =. 8 At A^A,-2 AI AI AI - A^ (A! + AI) +- A^^ Al Entsprechend darf die Form zehnten Grades vereinfacht werden, indem noch, ein Bestandteil (ßAzt'^-'ry /J°) mit geeignet gewählten Konstanten ß und y zugefügt vidrd. Hier ergibt sich als einfachste Form: i M{A^, A^. A^ = 320 Al Al Al - 128 AI {Al -f AI) (4) — 160 At AI AI -f 80 Al A, A., (A° + Al) + 20 A^ At AI 1 - 20 ^, A! AI (AI -f .4?) + {Al<^ ~\-Ar 4^6 A^ Al) *) Man beachte, daß diese ternare Gruppe m der homogenen Gestalt eine @go ist, während die homogene binare Ikosaedergruppe eine ©^go ist. **) Vgl. (6) in I, 130.
Formen sechsten und zel^nten Grades der ternaren ©^q. 105 oder bei Benutzmig von 2 Ä^ an Stelle von A^ als ei^t,ie Verarjiderliche: ( M{A,, A,, A,) = 5 (2 A,Y A! Al - 4 (2 A,y (Ai -f- AJ) (5) - 10i2A,yA!Ai + 10(2A,fA^A,(Al + A^,)^o(2A,fAtAl \ - 10 (2 .4,) Af A! (AI i- Ai) + {AI' - A]'+ 6 Al AI). Ein anderer rein algebraischer Wpg zur (Jewinnung fieser Fonnen, der zugleich ihre geometrische Bedeutung klarlegt, ist der folgende: Durch die Kurve sechsten Qrades A ^=^ 0 wird auf den^ Kegelschnitt ^ = 0 ein System von 12 nur untpr sich äquivalenten Pui.ikte ausgeschnitten, die also die 12 Ikosaederecken sind. X^^^ werden aber je zwei diametrale Ikosaederecken durch Xullse^izen der sechs linearen Formen: (6) g^ = y5A„ g, = A,^a-^A^ + a^A,. . =- 0. 1, '2, 3, 4, auf dem Ikosaeder ^ :=z 0 ausgeschnitten, deren erste 41«" bpiden auf dem Kegelschnitt zi = 0 gelegenen Pole (0, 0. 1) und (0, 1, 0) der Substitution S liefert. Bei Ausübung der Substitutionen S und T zeigen die linearen Formen (6) das Verhalten: (S) g'^ = g^, go = g,, g'i = g^, g^ = fh, g\ = g^, d'^ =--ffo^ (T) g'^ = g^, g'^ = g^, g[ = g^, g',_ = — g,. g\ = -- g^, g\ == g^. Hiernach liefert das Prodifkt der sechs Formen (6) eine invariante Form sechsten Grades. Wiß man leicht feststellt, gilt zwischen dieser Form sechsten Grades und der obigen Form A die Beziehung: 4 (7) .1,. II (A, ■+ £-> A, -f £> A,) = -A-T ^'. r = 0 Um eine ahnliche Erklärung für die invariap.te Form zehnten Giades zu gewinnen, bilden wir die fünf quadratischen formen: I Ä-, = 4 AI - 2 A, A, ^ (r/ -f 1) (f^' A'i - a'^ AJ) 1 -2irj-2)A,(a^^A,-^a'A,) für 0^ =r 0, 1, 2. 3, 4, wo r^ die folgende quadratische Irrationalität ist: 1 — / \ 15 (9) V = ^^ Gleich 0 gesetzt, liefern sie fünf Jfvegel schnitte, die den fünf konjugierten Teilern ©^g ^'om Tetraedertypus zugeordnet sind. Per einzelne dieser Kegelschnitte schneidet auf dem Ikosaeder ^ -= ö vier Flächenmitten aus. Gegenüber den erzeugenden Substitutionen S und T der ©g^ zeigen die Formen (8) das Verhalten: (S) 7/o = \, K = \, Ti\ = \, ks = /.„ /.•; = 7^0, (T) A-; = 7.„ 74 = 97.-,, 74=9^7.-,, k', = QH-^, JÜ = Qk„
I, 6. Allgemeine Gleichung fünften Grades, -l-f iV3 , - ist. Die fünf Formen (8) sind die Formen niedersten Grades, die gegenüber der^^^, abgesehen von multipWkativen dritten Einheits- wiirseln, die 60 geraden Permutationen erfahren'-^). Wie man sieht, ist das Produkt der fünf Formen (8) eine invariante Form zehnten Grades. Gleich 0 gesetzt, schneidet sie, wie auch die Gleichung M = 0, auf dem Ikosaeder ^ = 0 die 20 Flächenmitten aus. Die Darstellung des Produktes der Formen (8) durch die Formen ^, A, M ist: 4 (10) Jj7.\ {A^. A^.A^) = --9i{öri~l) M + 4:80(rj~ 2) Az/^ -f- 1024^°. Die 15 Substitutionen der Periode 2 stellen als Kollineationen sogenannte „Jiarmonisclie PerspeUivitaten" dar. Sich selbst entsprechende Punkte (Pole) einer solchen Kollineation sind erstens die gesamten Punkte einer Geraden, der „ Perspektivitätsachse" sowie weiter ein außerhalb der Achse gelegener Punkt, das „Perspektivifätszentrum". Die übrigen Punkte der Ebene permutieren sich zu Paaren in der Weise, daß zwei einander entsprechende Punkte mit dem Zentrum auf einer Geraden liegen und durch dies Zentrum sowie den Schnittpunkt ihrer Verbindungsgeraden mit der Achse harmonisch getrennt sind. In bezug auf den Kegelschnitt ^ = 0 ist die Achse die Polare des Zentrums. Die Perspektivitätsachsen der in der ©g^ enthaltenen Substitutionen der Periode 2 sind durch die 15 Gleichungen gegeben: (11) s''A,~e^A^ = 0, {l±]/5)A^-^e*^A^~^s'A, = 0, ^=o,l,---,4. Es besteht der Satz: Dcit, Prodald der Unken Seiten der 15Gleichungen(il): ( K(A^, A„ A^) = — (AI — A'i) (1024 A]' — 3840 A^ A^ A^ I + 3840 AI AI AI - 352 Al {Al ^ A^) - 1200 A^ Af Al I i- 160 AI A, A^ (AI ~f A'I) ^ 100 Al At AI [ - 10 ^ Af AI (A! + AI) - (AI -f Alf') oder hei Benutzung von 2 A^ als erster Veränderlichen: ( K(A,. A^, A,) = - (Ai - AI) ((2 A^' - 15 (2 AJ A, A, - ^0C2A,rA!Al-11 C2A,)-^(Al +.4|) - 75(2^,)Mf.4| ^ 20 (2 A,)^ A, A (A! ^ AI) + 25 (2 A^f- At A.f [ - 5 (2 A,) A! AI (AI + AI) - (Al -f Aiy-) ist Us auf einen konstanten Faktor die einzige existierende invariante Form 15^^'^ Grades. Eine (absolute oder relative) Invariante 15^^" Grades *) Erst die von Klein in „Ikos.-, S. •2-22 erklarten fünf kubischen Formen dr erfahren rein die 60 geraden Permutationen und geben zur Bildung der Bnoschisehen ßesolvente fünften Grades Anlaß.
Volles Formensystem der terparen Ikosaederginippe. 167 gibt nämlich, gleich 0 gesetzt, eine Kurve 15*^" Grades, die das Ikosaeder ^ = 0 in einem System von 30 nur unter sicji äquivalenten Punkten schneidet. Es gibt nur ein solches Punktsystem, nämlich die 30 Kanten- halbieningspunkte, die von den 15 Achsen (11) ausgeschnitten werden. Xun geht die Kurve lÖ*^'* Gerades durch die einzelne Perspektivität in sich über und muß demnach, falls sie die zugehörige Achse glicht als Bestandteil enthält, in jedem der beiden Schnittpunkte dieser Achse mit dem Kegelschnitt ^ = 0 den letzteren entweder berühren oder daselbst einen Doppelpunkt haben. In beiden Fällen zählt der Schratt der Kurve 15*^" Grades mit dem Kegelschnitt doppelt;, so daß wir 60 und nicht 30 Schnittpunkte erhalten würden. Die Kurve 15*^" Gfrades enthält demnach eine und also alle Perspektivifcätsachsen, woraus die Behauptung hervorgeht. Weiter folgt leicht, daß X eine absolute Invßriante ist Wir haben nämlich eine solche auch in der Funktionaldeterniinante von ^, A und M, und diese ist nach dem gerade bewiesenen Satze bis auf einen konstapten Faktor gleich N. Man zeigt in der Tat die Gültigkeit der Gleichi^ng: (14) ^, ^, ^ =-10 X(A„,A„A,). Es gilt nun der Satz: In /J, A, M and X hat man das volle System invarianter Formen der ternaren l}MMeder-(^^^, in denen alle invarianten Formen der ©g^ rational und ganz dafdelThar sind. Aus einer beliebig vorgelegten Form sondere man zunächst die höchste in ihr enthaltene Potenz von zJ ab. Der andere Faktor 0 ist dann gleichfalls eine Invariante, und zwar eine absolute*). Die Kurve 0 = 0 schr^eidet auf dem Ikosaeder ^ == 0 ein iiivariantes Punktsystem aus. Dieses bestehe aus den ^-fach gezählten Ikpsaederecken, den u-fach gezählten Flachenmitten, den v-fach gezählten Kantenmitten und wejter einer gewissen Anzahl von Systemen zu je 60 äqifivalenten Punkten, das e^nzelr^e System in einer gewissen MultipKzität %^ gezählt. Das einzelne dieser letzteren Systeme, einfach gezählt, können -^ir n^n durch eine K urve 30sten Grades, aA^Arß M^ = 0, bei zweckmäßiger Auswahl der Parameter a, ß ausschneiden. Es läßt sich daraufhin eine Gleichung: (15) A^- M" N' n {a^ Ä- + ß, MY' = 0 d^ ^A' dA oA^ dM C^o' dzl dj,' dA d4r dM dJ,' dJ ^A, dA dA^ dM dA., *) Gegenüber ,§ und T i^eigt namhch ^ das Verhalten <?' z=z a> 0 bzw. 4^' =1 i 0, und es muß ±_ s^ ei^e dritte Wurzel der Einheit sein, da Ä' • T von der Periode 3 ist. Also ist x«' = 1. woraus die Behauptung folgt.
Ißg I, 6. Allgememe Gleichung fünften Grades. aufbauen, mittels der wir auf dem Kegelschnitte ^ = 0 genau dasselbe Punktsystem ausschneiden wie durch 0 = 0. Ist nun 0 nicht bereits mit der linken Seite der Gleichung (15) bis auf einen konstanten Faktor identisch, so wählen wir irgend einen weiteren Punkt auf dem Ikosaeder .^ = 0, in dem alsdann die linke Seite der Gleichung (15) und die Form 0 von 0 verschiedene Werte haben. Darauf hia läßt sich eine von 0 verschiedene endliche Konstante G derart bestimmen, daß die Gleichung: (16) 0 — CA'- M" N' YL («. ^' - ßi ^T" = 0 für den gewählten Punkt zutrifft. Durch die nicht identisch verschwindende Gleichung (16) wird alsdann eine Kurve dargestellt, die einen ihrem Grade nach überzähligen Punkt, nämlich den eben gewählten^ auf dem Kegelschnitt ^ = 0 ausschneidet und also notwendig diesen Kegelschnitt als Bestandteil enthält. Es möge ^ im ganzen ö^-fach als Faktor in der liaken Seite der Gleichung (16) enthalten sein. Wir haben dann zu setzen: (17) 0=c Ä'- M" N' n ("' ^'+ß^ ^y ^ ^^-^x^ wo 0j eine invariante Form der ^^^ von geringerem Grade als 0 darstellt. Indem man dieselbe Überlegung auf 0^ anwendet sowie den Prozeß nötigenfalls wiederholt, gelangt man zum Beweise des aufgestellten Satzes. Die Kurve SO^ten Grades aA^-^ß M^ = 0 mit nicht verschwindenden a, ß schneidet den Kegelschnitt im allgemeinen in 60 verschiedenen Punkten. Xur für ein gewisses Verhältnis a: ß fallen diese 60 Punkte zu Paaren an den 30 Kantenmittelpunkten des Ikosaeders zusammen. Einer dieser Punkte hat die Koordinaten J.^ = «, Ä^^ = A^ = 1. Indem wir fordern, daß er auf der Kurve SO^ten Grrades liegt, ergibt sich^ daß die Koinzidenz der 60 Punkte zu Paaren für a = 12^, /3 = — 1 stattfindet. Die Kurve N^ = 0 liefert genau den gleichen Schnitt mit dem Kegelschnitt zf = 0. Da man weiter zeigt, daß die Gleichung: (18) iV^ + 1728^5 - M^ = 0 auch noch für den weiteren Punkt Ä^ = A^ =z 0, A^ = 1 des Kegelschnitts erfüUt ist, so steht in (18) links eine durch zi teilbare Form: (19) A^V l'^28^^ —M^= z/0^. Die Form 0^ stelle man nun im Formensystem zl, A, • ■ ■ dar, wobei sich zunächst ein Ansatz mit 11 Gliedern ergibt. Die Mehrzahl dieser Glieder aber fäUt aus, da in (19) links die Potenzen ^o^^ ^o^^ A^'^, A^^ nicht auftreten. Der Ansatz reduziert sich so auf: N^ + 1728^° — M^ = a AP zf''+ ß A^ Mzf' -f y A'zt^ + 6 A M"^'' -i- E A' MzJ.
Algebraische Beziehung zwischen (Jen ternarei^ Ikosaederformei^. 169 Die Koeffizienten a, ß, y, • • • bestimmt man sehr leicht durch Eintragung der Ausdrücke der A, M, ■• • in c|en Ä und Vergleicl^ der Koeffizienten rechts und links. Es ergibt sich der Sß,tz: Die zweite Potem der Forfn N laßt sich in den iibrlgen, Formen äßü Sydemt! in folgender Ad ilarbtelleii: (20) ^r-= — l728 A' + M^ -r 64 M^ ^^ — 640 A- Mzf' 4- UOOA^zi^—804 M^zl^^ 120d^Mzf. Will man sich auf das Ikosaeder ^ = 0 beschränken, so hat mg-n ^ = ^ zu setzen, so daß an Stelle der Gleichungen (1) die iolgeudeu treten: (21) ^io = t,t,> Ä^=-tl ^^2^tl Die drei Formen A, M und iV liefein dann die Ikosaederformen ^, (p und i/; wieder: (22) M(.lo, A> 4,) =- <p(t„t,), \ N{Ä„Ä„A,)= 1/^(^1-y. § 10. Jacob! sc]tie Gleichung sechsten Qradeß. Die Funktion fünften Grades -.4^ der Wurzeln a der vorgelegten allgemeinen Gleichung fünfien Grades bleibt bei cj^r Permutation S unverändert, wahrend die Permutation U Zeichenwechsel von J.^ bewirkt. In der Tat erfahren die in (11) S. 161 erklarten Ausdrücke t gegenüber V die Substitution; Also gehört Äq zur Dieder-Ö^^, die aus S und U erzeuget wird. Die aufzustellende Resolvente sechstel^ Grades ä^er Gleichung fünften Grades soll nun die sein, die: (1) 7oo = o.Io' zu einer ersten Wurzel hat, und deren übrige Wurzeln y^, j/p ■•■, y^ aus y^ durch die Permutationen T, ST, • • •, S^ T entstehen. Aus der Wirkung von S und T auf die Ä entspiingt dann der Satz: Dte Qiiadi'ut- warzeln der öecitö Losungen y de'' aufzuotellei'^den Beüolvente öecJ(öten G-rades la^^en sich in den drei Größen A öo darstellen. (2) ]'^ = \Ia„ ^'y; = 4^j^s^A^-^e-^A,, . == o, l, - ■., 4; die Resolvente ist demnach eine „Jakohische Gleichung" sechsten Gradeö-^-). Die Koeffizienten dieser Resolvente sechsten Grades sind Formen der ternären Gruppe ©g^^ und als solche i^ den zi, A, ••■ darstellbar. Wir setzen die Resolvente ii^ der Gestalt: (3) z^ -i- aj^z'° -[- a^z*" -\- a^z^ -^ a^z^ -\- a^z -^ a^ = 0 *) Vgl. die S. 71 ff. gegebene Erklärung der Jacobi sehen Gleichungen.
170 Ii 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. an und stellen die Potenzsummen ihrer Wurzeln; 4 als rationale ganze Funktionen der Formen Zl, A, M dar. Man findet für die ersten fünf Potenzsummen nach kurzer Rechnung: i), = 10 z/, i)2 = 30z/^ :P3 = 10(13z/^ —3^), p^ = 70z/(9z/^ —4^), p^ = 10z/H313z/^—190^)+5M. Die ersten fünf Koeffizienten der Gleichung (3) berechnet man jetzt nach den Formeln (9) in I, 102, das Absolutglied stelle man als Produkt der Wurzeln y und damit als fünffaches Quadrat der linken Seite der Gleichung (7) S. 165 dar. Es findet sich: a^=^-lQzl, a^ = S6zl^ a, == — ßO zi'-^ 10 A. a^ = oozl^ — SOziA, a3 = — 26 z/5 4_ 30 ^2 ^ _ jVf, a, = 6zf' — lOzl'A + oA-. Hieraus geht hervor, daß man die Resolvente in eine einfachere Form setzen kann, wenn man statt des bisherigen z in ihr (z — z/) als Unbekannte einführt. Man findet nämlich den Satz: Die su den erklärten Funktionen y gehörende Ite^olvente sechsten Grades der allgemeinen Gleichung fünften Grade» ist: ( {z — Af — ^/i (z — ziY+ 10 A (z — ziy — M{z — z/) ^ \ -r (o A^ — zi M) = 0, wo z/, A und M die invarianten Formen der ternäreu (^g^ i>ind, die sielt rational in den Koeffizienten der gegebenen Gleichung und der Wurzel \ D ausdrücken lassen. Da die beiden in (7) S. 160 eingeführten Größen m und n noch verfügbar sind, so haben wir hier mit einer Schar von Resolventen sechsten Grades zu tun. Entsprechend heißt die erhaltene Gleichung (4) bei unbestimmten m, n die allgemeine JakoUsche Gleichung sechsten Grades. Kronecker hat nun den wichtigen Schritt getan, von hier zu einer ,.speziellen'" Jacobischen Gleichung überzugehen, mit der er Anschluß gewann an die Jacobische Multiplikatorgleichung für die Transformation fünften Grades der elliptischen Funktionen*). Es handelt sich in unseren Bezeichnungen darum, m und n derart zu bestimmen, daß z/ ver- öCltwindä. Xun ist z/ eine Form zweiten Grades in m, n, deren =^) Der sich hier darbietende Weg stellt die eigentliche „Kronecker sehe Methode der Losung der allgemeinen Gleichung fünften Grades- dar, wie er sie bereits 1858 m seinem Briefe an Hermite andeutete. Brioschi hat nicht nur die „Kroneckersehe Methode" ausfuhrlich behandelt, sondern ist dann auch, Hermite folgend, zu der nachmals nach ihm benannten ßesolvente fünften Grades zurückgekehrt (vgl. S. 152).
Kroneckersche Losung (Jer Gleichung fünften Grades. 171 Koeffi^enten rational in den Koeffizienten der Gleichimg fünften Grades und VD darstellbar sind. Li ^ = 0 haben wir also eine Grleichung zweiten Grades für das Verhältnis nt:n. }lan gelangt zu dem Satze; Die allgemeine JacoUsche Gleichung (4) id nach AdjunUion einer zweiten Quadratwurzel, die nach dem schon S. 163 erwähnten Satze von Kronecher notwendig alsessoriöch ist, auf eine sj^ezielje Jacohische Gleichung mit ^ = 0, also auf die Gleichung: (o) z' + 10 4 z^ — Mz -^oA^^O reduzierhar, die ihrerseits sofort auf die jResolvente (7) S. 70 der Il-osaeder- gleichung zuriicMommt und also nach S. 98 ff. durch ModiilfunlÜQnen lööhar ist. § 11. Aufstellung einiger Hilfssätz^. Die Transformation der allgemeinen Gleichung fünften Grades auf eine Gleichung mit nur einem Parameter ^ar nach Adju|iktioQ zweier Quadratwurzeln möglich, voq denen eine ..ak:?essorisch- ist. Kronecker*) hat bereits 1861 die Behauptung aufgestellt, daß es nnmöglich id, die allgemeine Gleichung fünften Graßcb hei alleinigem Gehrauch „natürlicher- Irrationalitäten in eilte nur „einßarametrige- Gleichung zu tranb- formieren. Man gründet den Beweis dieses ,. Kronecker sehen Satzes- auf verschiedene Hilfssätze, von denep ein erster der folgepde Satz vpn Luroth=^=^) ist. Sind: sioel ratimiale FunMionen von s, wo (p^ (ö) und t/;^ (ö) und ebenbO (p^ (b), ^2 (b) teilerfrertide ganze FunMionen darbtellen, die nicht ztigleich vom Grade 0, d.h. }:onstant bind, bo l:ann mau eine lationßle FmtJdion X von x^, x^ ho)%struieren: (2) 2=: JS(»j. /,), ?M der x^ und x^ zugleich ratimial darstullhar bind: (3) x^ = BAI), ^, = J^äC/v). Zum Beweise dieses Satzes führen wir eine zweite von ö unabhängige Variable t ein und bezeichnen die Werte der Funktionen (1) fur das Argument t durch t/^, y^: ^1 (t) ^2 W "') Vgl. die „Algebraischen Mitteilungen" m den Monataber. ^er Bßrl. Akad. von 1861. '■'*) Vgl. dessen Abhandlung „Beweis eines Satzes ubef rationale Kurven-, Math. Ann. Bd. 9 (1875).
172 Ii 6. Allgemeine Gleichung fünften Grades, Man hat dann in: (5) (f, (s) ti (ß) - ^i (^) <Pi (i) = ^^ (^-^ tl ^ = 1' •^' zwei nicht identisch verschwindende ganze Funktionen der beiden Variablen s, t. Xach I, 44 denken wir diese Funktionen in ihre irreduziblen Faktoren zerlegt und nennen das Produkt aller gemeinsamen, einzeln sowohl ö als t enthaltenden Faktoren von X^ und X^ den ..größten gemeinsamen Divisor- von X^ und X^. Er werde durch D (ö, t) bezeichnet, und es werde: (6) X, (., t)=^D (., t) X, (s, t), X, {s, t) = D (., t) X, (^, t) gesetzt, wo Xii^j 0 ^^"^ X^i'^' 0 zwei ganze Funktionen sind, die keinen ö und t zugleich enthaltenden Faktor mehr gemein haben. D (s, t) ist nur erst bis auf einen von 0 verschiedenen konstanten Faktor erklärt; wir denken diesen der Bestimmtheit halber irgendwie ausgewählt. Bei Austausch von ö und f wechselt X^ (s, t) das Vorzeichen: X, (., t)= -D {t, .) x^ {i, ^), X, (^ t)== -D {t, .) X, (t, .). Demgemäß ist D (t, b) wieder ein gemeinsamer Divisor von X^, X^, und zwar ein größter gemeinsamer Divisor, da sonst Xi und Xi noch einen » und t enthaltenden Faktor gemein hätten. Hiemach ist JD (t, b) bis auf einen konstanten Faktor gleich D (b, t). Dieser Faktor kann nur gleich i:; 1 sein, da zweimaliger Austausch von ö und t zu D {s, t) zurückführt. Wäre aber D (t, b) = D (s, t), so würde daraus: folgen; also wäre Xi(ßj *) =^ *-*> ^- ^- Xti^j 0 würde als Funktion von t für t := b verschwinden und mithin durch (t — s) teilbar sein, entgegen dem Umstände, daß Xi (j>j 0 ^^d Xi (*) 0 keinen s und t enthaltenden Faktor gemeinsam haben. Es gilt hiernach: (7) D {t, s) = —D (s, 0- Die ganze Funktion D (b, t) enthält somit den Faktor (s — f) und hat in ö und t ein und denselben Grad jm > 1. Die wirkliche Berechnung des gemeinsamen Divisors D {s, t) kann nach dem bekannten ., Algorithmus des größten gemeinschaftlichen Faktors- (vgl. I, 13 ff.) ausgeführt werden. Man hat dabei eine der beiden Variablen, etwa t, zu bevorzugen und bei den Rechnungen auch gebrochene rationale Funktionen von s zuzulassen. Man schreibe also unter Bevorzugung von t: .g. ( ^1 (0 = %t>^ + a^t'-' + ••• + a„ wo die a, h ganze Funktionen von s sind. Ist etwa h'^ 1, so beginnt man mit der Division von X^ (t) durch X^ (t) und erhalte: X,(t)= Q{t)X,{t)+P(t),
Beweis fies Lurothsehen Satzes. 173 WO Q (t) der Quotient und P (t) der Divisionsrest ist. Es ist klar, daß JP{t), mit einer geeigneten ganzen Funktion von 0 allein muliipliz:(.ert, eine wieder durch D (s. t) teiJ^bare ganze Funktion vop s, t liefert. Bei Fortsetzung des Verfahrens e:phält man wie in I, 14 den größten gemeinsamen Divisor vom vorletzten Divisionsrest her, der hier freilich erst noch durch Multiplikation mit einer ganzen Funktion vor|. 0 allein von seinen Xennern befreit werden muß. Die letzte "Überlegung gestattet eine weitere wichtige Angabe über die Bauart des gemeinsamen Pivisprs D (s, t). Wenn man schon rationale gebrochene Funktionen von s bei der Rechnung zuläßt, mag man den Divisionsprozeß statt an die Funktionen (8) auch an die beiden Funktionen : anknüpfen. Der vorletzte Divisipnsrest ist dann eine ganze Funktion „^ten Q-rades von t, deren Koeffizienten rational in x^, x^ aufgebaut ^ind. Wir nennen diesen Rest f(t, x^, x^) und haben aus ihm durch Multiplikation mit einer gewissen ganzen Funktion g (0) von s allein den Divisor D (s, t) herzustellen: (9) D(.,t) = g{.)f(t,^„x,). Man verstehe jetzt unter a u^d ß irgend zwei rationale Zahlen, fur die die beiden Funktionen m^^^ Grades D (s, a) und D (0, ß) nicht identisch ausfallen. Dann gewinnt man im Quotienten: ('°> ' - IM^ - f(ß, .7;^,) ~ ^("'■ ''^ eine rationale Funktion von /j, a;^, deren Koeffizienten dem Körper der Koeffizienten der Funktionen (1) angehören. Wii' behaupten, daß hiermit die unter (2) angesetzte Funktion gewonnen ist. Um dies zu zeigen, setzen wir für 0 einen beliebigen Wert Sj ein und betrachten die Gleichung D (s^, ^) ^^ 0 d^s Grades m für t, die dann jedenfalls die Lösung t = b^ hat. Ihre gesamte^ Lösungen seipn: (11) t = s„ s„ ..., s,. Wir haben dann, da D {s, t) Teiler der beiden Fimktionen (5) ist: (P^ i&^) i>^ (Sv) - ^>^ (^,) ^^ ip^) = 0, ^ ^ ^ ^ ., . . . ,,^ ffi (Si) i>^ (S«) - ^>^ (ö„) ^i (Si) ==0, zwei Gleichungen, aus denen man leicht weiter: (12) I ^^ ^'^'* ^^' ^""-^ "^^ ^"'^ ~ ^' ^''^ "^^ ^'"-"^ "" ^' l ^z (Si) {(fz (S/.) ^^ (Sv) - (P^ (Sv) 1P^ (S^)) = 0
174 Ii 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. folgert. Da aber (p^ (s) und ip^ (0) als teilerfremde Funktionen für s = s^ nicht zugleich verschwinden, so ist der unter (12) in Ellammern stehende Ausdruck gleich 0: (13) (p, (S„) i;, (S,) — y, (ö,) T/;, (S„) = X, (Sa, Sr) = 0, i = 1, 2, so daß die beiden "Funktionen X^ (s, ^) und X^ (s, t) allemal verschwinden, wenn man die Argumente mit irgend zwei Wurzeln (11) der Gleichung D (s-^, t) = 0 gleichsetzt. Hieraus kann man den Schluß ziehen, daß der für s = s^, t = s^ verschwindende Bestandteil der beiden Funktionen Xj, notwendig der größte gemeinsame Divisor D{s, t) ist. Es würden nämlich sonst die beiden in (6) eingeführten teilerfremden Funktionen ;^^ (b, f) für Sil, Sv verschwinden müssen. Indessen gibt es zufolge (4) in I, 47 zwei ganze Funktionen F(s, t), 0 (s, t), die in: F(s, t)x,is, t) + 0(s, OZaCS' 0 = co(ß) eine ganze Funktion co (ö) von ö allein liefern. Sollten also die Funktionen 2i (s, i) für bu, öv zugleich verschwinden, so wäre s„ auf die endlich vielen Lösungen von co (s) = 0 beschränkt. Also könnte D (s„, s^) zh 0 höchstens für endlich viele Lösungssysteme (11) zutreffen*). Dies ist aber wegen der Stetigkeit von D (s, t) ausgeschlossen, so daß die Gleichung gilt: (14) D(.„, .,) = 0. u, .= 1,2,-.; m. Hiemach haben für unser Größensystem (11) die tu Gleichungen: D (.,, t) = 0, D (.2, 0 = 0, •. •, D (s«,, 0 = 0 j^ten grades mit der Unbekannten t alle ein und dasselbe Lösungssystem. Schreiben wir demnach: (15) D(., 0 = ^(0-J5,(s, 0, unter }i (s) den Koeffizienten von t^ in der Gleichung D (ö, 0 = 0 verstanden, so werden für das einzelne System (11) die m ganzen Funktionen Di(ö,, 0, I>i{h^ t), JD, (Ps, t), •••, I>i(s«i, 0 von t gleiche Koeffizienten aufweisen, also identisch sein. Man hat insbesondere für die beiden oben gewählten rationalen Zahlen a, ß: 1 D, («„ ß) = B, {s„ ß) = ... = D^ (s™, ß), woraus man auf Grund von (15) die Gleichungen gewinnt: B{s,,a) _I){s„a) D {b^, a) (1'^) D(s„ß) Dib„ß) D(s^,ß) *) Man beachte, daß Sj willkürlich wahlbar ist, daß aber mit Sj das Losungssystem (11) be^ttimmt ist.
Verallgemeinerter Lurothscher Satz. 175 Man schließt hieraus auf folgenden Satz: Auch die m Lösungen der Gleichung m'^^^ Grades für 0: (18) D{s, a) — lD{^, ß) = 0, mit dem Parameter X bilden ^.Uemal ein System (11) zusan^mengehör^ger Werte 0^, b^. •••, b„^. Für jedes solche Wertsystem (11) ergejben sich nun ans: X, (.„ b,) = 0, q>, (s,) ^, {s,) - tp, {s,) i,, (.,) =. 0 die Gleichungen: ^ ^ ^i (^i) ^ y» (^2) ^ ^ y» {^m) ■"* T/;,(s,) T/;,(52) ■" 1/;, (O' aus denen man weiter folgert: X, = — S ^^^ , ^ = 1, 2. Hiernach sind die x^, x^ S}.mmetrische Funktionen der Wurzeln der Gleichung m^^^ Grades (18), mithin i'ationale Funktionen der Koeffizienten dieser Gleichung, d. h. rationale Funktionen von X. wobei die Koeffizienten dieser rationalen Funktionen dem K örpe^- der Koeffizienten der Funktionen (1) angehören. Die in dem zu beweisenden Satze behaupteten Darstellungen (3) für x., x^ sind damit tatsächlich gewomien. Hieran schließt sich der „verallgemeinerte Lürothsche Satz'': Sind w > 2 rationale FauTdimien von b: vorgelegt, wo im einzelnen Quotienten ZaJder und X'enner teilerfretnde, nicJd zugleich dem Grade 0 angehörende ganze FunUiouen bind, bo Jcann ^oan eine rationale FunMion: (20) l = B{x^, x^, ■'-, xn) konstruieren, in der die x^, »g, •••, ä;„ zugleicji ratj,onal darbtellbar bind. Der Beweis gelingt durch den Schluß der vollständigen Induktion. Man nehme den Satz für {n— 1) Funktionen (19) als gültig an. Man kann also eine nicht-konstante rationale Funktion: (21) fi = ^{x^, x,_, ■■■, »^_i) angeben, in der die a;^, x^, •••, x^—i rational sind: (22) X, == P,(ji), X, =-. P,J^), ■■■, x«_, = P«_,(^). Man hat alsdann: ^23^ a — ^^'^ X — ^"^'^
176 !> 6. Allgemeine Gleichung funtten Grades. WO die erste Gleichung aus (21) durch Eintragung der Ausdrücke (19) für »j, »2, •••, Xn—i gewonnen wird. Xach dem für n = 2 bereits bewiesenen Satze gibt es nun eine rationale Funktion: /l = Qifi, Xn), in der ft, und x^ ihrerseits rational darstellbar sind: (1= Q^ (i), X,, = js« (;l). Aus den vorstehenden Gleichungen folgt weiter: X = Q{jP{x^^ Xg, •.., rx.^_i), »ji) = B{x^, Xg, •••, Xn), t^ = P, {Q^ {X)) = B^ {X), ■■; »«_! = P«_i {Q, (X)) = Itr^-i W, X,, = H^ iX), womit der verallgemeinerte Lürothsche Satz bewiesen ist. Auch hier gehören die Koeffizienten der Funktionen It dem durch die Koeffizienten der Funktionen (19) gelieferten Körper an. Leicht beweisbar ist der folgende zweite Hilfssatz: Id jede der leiden Großen x, y eine rationale FunMion der anderen, so bind sie lineare Funktionen voneinander. Es sei also: wo beide Male Zähler und Nenner teilerfremde ganze Funktionen sind. Die zweite Gleichung liefert (p (y) — xrf; (y) = 0 imd ergebe nach abfallenden Potenzen von y geordnet: % 2/™ -r «1 «z™"' + • • • + «m = 0, wo die Koeffizienten a lineare Funktionen von x sind. Trägt man den durch die er&te Gleichung (24) gelieferten Au&druck \on y in x ein, so folgt: als eine in x identisch bestehende Gleichung. Setzt man diese Gleichung in die Gestalt: — «o/"(^)™ = 5» (^)K/'(»)"'"'' + aj(x)^—^g (x) -i -f a^ g (xY'^-^). so erweist sich y (x) als Teiler von a^ f (x)™. Da aber f (x) und g (x) teilerfremd sind, so ist g (x) Teiler der linearen Funktion a^ und also selbst Knear oder konstant. Entsprechend folgt aus: -ar,g(xr = f(x){aJ(xr-^-^aJ(xr-^g(x)+.-.-^a^_,g{xr-^), daß auch f(x) linear oder konstant ist, womit der Satz bewiesen ist. § 12. Resolventen mit einem Parameter. Es sei die allgemeine Gleichung irgend eines Grades m > o vorgelegt: "" (1) ^™ + «, ^™-^ + a^z^-^ _|_ ... 4_ (j^ — 0,
Ansatz einer Eesolvente ii^it einem Parameter. 177 deren Wurzeln wir, um ihre unabhängige Veränderlichkeit besser zu kennzeichnen, durch s.^, z^, •••, s^ bezeichnen. Audi die Koeffiziepten ftj, Og, •••, a^ haben hier also als unabhängige Variable zi; gelten. Zum Funktionenkörper (M, a^, a^, •••, a^) möge noch die Quadratwurzel ]'D der Diskriminante der Gleichung adjangiert sein, wodurch sich die Galois sehe Gruppe der Gleichung (1) auf die alternierende (3i , reduziert. Bei der Frage nach der Existenz eii^er Resolvente: "^ (2) f(x, p) = 0 mit einem einzigen Parameter p, deren Koeffizienten also rational in p mit numerischen Koeffizienten aufgebaut &:(.nd, pehmen wir den Standpunkt ein, daß ,.numerische- Irrationalitäten ohne Einschränkung ad- jungierbar sind. Dagegen sollen, was die Abhp,ngigkeit von den Variablen ^j, z^, •••,£^ angeht, allein „natürliche- Irrationalitäten, d.h. rationale Funktionen der 5^, s^, •••, 2^,1 zugelassen werden. Es soll also eine erste Wurzel x der Resolvente (2) eine rationale Funktion: (3) x = g{z,, z,_, ••-, .-J mit irgendwelchen numerischen Koeffizienten sein. Diese Fmiktion soll noch nicht zur alternierenden (^j^ , gehören, da sonst in (2) eine „Partial- 2™- resolvente" ersten Grades vorläge, die kein mit der Lösung der Gleichung (1) gleichwertiges Problem darstellt. Durch die Permfitationen der ®i , gehe die Funktion (3) x^. n'^ 1 \erschiedene Fuipiktiopen über, 2™- die dann die Lösungen der Resolvente w*^» Grades (2) sind und durch x^ = X, »2' ^3' " *) ^n bezeichnet werden mögen. Der Parameter p ist nach Adjunktion von \D rational bekannt; als rationale Funktion der Wurzeln z schreiben wir: (4) i^ = Z(^n ^2' •••' ^m)- Es lassen sich nun aus diesen Vorraussetzungen mit Bfilfe der Sp,tze des vorigen Paragraphen verschiedene wichtige Folgeningen zieiien. Die Gleichung (3) gehe durch die Permutatioi^en der @i , in die n ver- schiedenen Gleichungen: (5) a?fc = </fc(-*'i, ^2' •••' ~rJ' i=l, 2, ..-,«, über, wo für fc = 1 die Gleichung (3) selbst vorliege. Es sei: (6) ^F{x^, x^, • • •, x^^) eine rationale Funktion der.^ und damit der z, die wjr dadurch zu einer rationalen Funktion einer eipzigefl Variablen 0 machen, daß wir für die ^ die folgenden rationalen Funktionen von 0: (7) z, = \ (s), ^a = K i^)' •■•■ -r^ = ^m (s) Fncke, Algebra. II. 12
178 I' 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. eintragen. Es soll die Tatsache bestehen, daß die Funktion (6) als rationale Funktion von s identisch verschwindet. Dagegen soll: (8) P = %{\i^yh(s), ■■; Kis)) eine nicht mit einer Konstanten identische rationale Funktion von s sein. Unter diesen Umständen kann man beweisen, daß die FunUion (6) auch bereits als solche der „unahMngigen- Variablen s^, z^, •••, x:^^ identisch verbchwinden muß. Um dies zu zeigen, ziehen wir die Monodromiegruppe der Gleichung (2) heran, auf die sich die Galois sehe Gruppe dieser Gleichung nötigenfalls nach Adjunktion geeigneter numerischer Irrationalitäten reduziert. Die Permutationen der Monodromiegruppe: /Xi, Xo , üben wir auf die Funktion (6) aus und bilden das Produkt aller Funktionen F (»jj^ ,%,,•••, »^ ), das eine rationale Funktion von _p ist: (10) n^K' ^'2' •••' x,^) = H{p). Setzen wir nun fiir die s^, z^, •••, ^^ die rationalen Funktionen (7) ein, so ist F{x^, »2, •••, Xrt) mit 0 identisch. Also verschwindet die linke und mithin auch die rechte Seite von (10) identisch. Da aber _p nicht konstant ist, so muß die im Zähler von H{p) stehende ganze Funktion von p identisch verschwinden, d. h. lauter Koeffizienten 0 haben. Hieraus folgt, daß das Produkt (10) auch schon vor der Eintragung der Ausdrücke (7) für die s identisch verschwindet, also mindestens einen verschwindenden Faktor hat. Ist aber einer gleich 0, so verschwinden sie alle, da sie bei den Permutationen (9) der Monodromiegruppe ihren Wert nicht ändern. Also verschwindet die Funktion (6) für die Wurzeln x^, »2, •••, Xn, d. h. bei unabhängig variablen z^, z^, •••, z^. Mittels des Lüroth sehen Satzes gelingt es nun, weiter folgende Tatsache festzustellen: Die Wurzeln x^, jü^, • • •, x^ der Besolvente f {x, j)) = 0 mit einem Parameter p lassen sich ah rationale FunUion einer einzigen Größe X darstellen, die selbbt eine rationale FunUion der x^, x^, • • •, x^ und also auch eine solche der m unabhängigen Variablen z^, z^, •••, z^, ist. Man setze nämlich für die z wieder die rationalen Funktionen (7) von ö- ein, die man, was keine Schwierigkeit hat, so gewählt denke, daß der in (8) berechnete Ausdruck von p in b eine nicht mit einer Konstanten identische rationale Funktion von ö wird. Dann werden auch die Xj^, »2) •••> Xn rationale Funktionen von s, und es läßt sich nach dem verallgemeinerten Lüroth sehen Satze eine rationale Funktion: (11) k = B{x^, x^, •••,^«) konstruieren, in der die rationalen Funktionen x^, x^, •••, x„ von s selbst rational darstellbar sind: (12) X, = B^ ß), X, = B, ß), ..., x,, = Bn ß).
Satz über Resol\enten mit einem Parameter. X79 Diese Gleichungen gelten in ö identisch Da p eip.e von einer Konstanten verschiedene rationale Funktion von s geworden ist, so bleiben sie nach dem eben bewiesenen ersten Satze a,uch dann noch gültig, wenn wir den x wieder die Bedeutung fier Funktionen (o) der unabhängigen Variablen z^, z^, • • •, s^^ verleihen. Die GröJ3e k wird dabei die ratioi^ale Funktion: (13) k = B{g,(z„ z,, .■■), g,{z^, z„ ...), ••■, g,,iz„ z„ ■.■)) der z;^, z^, •••, z^, wofür wir abkürzend schreiben: (14) X = B(z„z„ .■.,zj. llan übe jetzt auf die ~ die Permutationen der alternierenden (3i , aus. Ihr entspricht eine (^i , von Permutationeu (9) der Wurzeln der Resolvente. Die einzelne Permutation (9) führt die Gleirhungen (11) uud (12) über in: (15) ;/ = E(x,^, »,2> •••, \), (16) x,^ =r E^ß'), X,, = B.^{1'\ ■■•. ^,^^ = B,Al'). Tragen wir für die Xi^, -ii^- • ■ •, 'A in die ejrste dieser Gleichungen ihre Ausdrücke (12) in X ein, so erweist sich X' als eine rationale Funktion von l. Wenn wir andererseits in (11) für die x^. x^, •••, x,^ ihre Ausdrücke (16) in X' eintragen, so ervy^eist sich umgekehrt auch X ^Is eine rationale Funktion von /,'. Also hangen X und X' nach dem zweiten Hilfssatze von § 11 (S. 176) linmr voneinander ab. Den ^ »«' verschiedenen Permutationen (9) müssen \}n\ ver&chiedene lineare Substitutionen von a entsprechen. Damit haben ^pr endlich folgenden grundlegenden Satz gewonnen: Wenn die allgemeine Gleichung m^^'"- Grradeb (1) naclt Adjunl- tion der Quadratwurzel aas de» Dibl^rlminante eine rationale Rebolverde [2.) mit j.einem-' Parameter p hedtzt, bo laßt bich stetb eine rationale FmtMion X =^ B{z^, z^, ■••, z^) der m Wurzeln kondruiefen, die gegenüber den Sitbstitutionen der alternierenden Grrappe bellst eine (^i ^ linearer Suhsti- tatlonen: (17) r="'- + ^ erfahrt. yX-YS § 13. Satz von Kronecker. Wir sind jetzt imstande, den an^ Anfang von § 11, S. 171 aufgestellten Satz von Kronecker zu beweisen. Wir Löimen sogar allgemeiner zeigen, daß die allge^ieine Gletcliang eineb G-rade» in > 5 kein" rationale Bebolvente mit nur .,einer>f Parameter haben kann. Soll nämlich eine solche Resolvente existieren, so läßt sich eiiiß rationale Funktion X(Zj^, Zg, ••', z^) der rti unabhäi^gigen Variable a ^i- ~^, ■■■, z,„
X80 I» 6- Allgemeine Gleichung fünften Grades. konstruieren, die bei Ausübung der geraden Vertauschungen der s eine (^i linearer Substitutionen liefert. Es sind nun S. 3 5 ff. alle existieren- den endlichen Gruppen linearer Substitutionen einer Variablen aufgezählt. In Betracht kann überhaupt nur der niederste Grad m = 5 kommen, wo die ®i^j die Ikosaeder-@gQ ist. Man hat demnach nur noch folgende Frage zu beantworten: Ist es möglich, eine rationale Funktion X von fünf „unabhängigen'* Variablen z^, z^, •••, -^5 zu bilden, die bei den 60 geraden Vertauschungen der z sechzig eine Ikosaeder-@gQ bildende lineare Substitution erfährt? Wir stellen die rationale Funktion X als Quotienten zweier ganzer Funktionen dar: die wir abgekürzt X^ (^j), X^ (^jt) schreiben und als teüerfremd voraussetzen dürfen. Irgend eine der 60 Permutationen führe z^ in s'j^ über, so daß ^i, 4- •••) 4 die ^j, ^2' '"'' ■^s ^ "^^^ betreffenden Anordnung sind. Dann gilt, falls unsere Frage zu bejahen ist: ,.^. A,(4) ^ a X^{z^)-^ ß X^{z^) ^^^ Ki^'i) 7 Ki^i^) -¥ 8 X^{z,) Diese Gleichung besteht m den z identisch. Es ist demnach X^ {z'j^ bis auf einen konstanten Faktor gleich dem rechts stehenden Zähler und ^2 C"^^) gleich dem Produkt des gleichen Faktors mit dem rechts stehenden Xenner. Wir nehmen diesen gemeinsamen konstanten Faktor in die Koeffizienten a, /3, y, 8 auf. Dann entspricht jeder geraden Permutation der z eine homogene lineare Substitution: (3) X,(z'k) = ax,(z,) + ßh(^k), h(4) = rK(^k) -i-sx,(z,) der beiden Funktionen X^, X^. Xach S. 42 ist die Ikosaeder-©g^ aus zwei Substitutionen S und T erzeugbar, von denen S die Periode o und T die Periode 2 hat, während S T eine Substitution der Periode 3 ist. Eine Permutation der Periode v liefert eine Substitution (3), deren Determinante {a8 — ßy) eine v*« Einheitswurzel ist. Den Permutationen S und T entsprechen also Substitutionen, deren Determinanten eine fünfte und eine zweite Einheitswurzel sind. Da aber ihr Produkt eine dritte EinheitsWurzel ist, so sind alle diese Einheitswurzeln gleich -f 1. Alle 60 Substitutionen (3) sind demnach unimodular. Man betrachte nun speziell die der Permutation T der Periode 2 entsprechende Substitution: (4) 2.', = a X^ + ß X^, X'^ = fX,+8X^, Di8 — ßy=l. Da die zweimalige Ausübung dieser Substitution zur identischen Substitution führt, genügen die Koeffizienten den Bedingungen: (5) «2^/37=1, (Dc + 8)ß = 0, (cc + 8)y = 0, 8^-\-ßy= 1.
Beweis des Kronecker sehen Satzes. 181 Ist mindestens eine der Zahlen ß, y von 0 verschieden, so folgt 8 = — a. Dann liefert die letzte Gleichung (5) im AVidersprucJa zur letzten Gflei- chung (4) die Folgerung ad — ßY-=—l. Also ist ß = 0, y == 0, und man findet, da in (4) die identische Substitution nicht vorliegen kann, als der Permutation T entsprechend die Substitution Dann aber ist ST von der Periode 10 und Dficht, wie es doch zu fordern ist, von der Periode 3. Damit ist ein Widerspruch aufgedeckt. Die aufgeworfene Frage ist also zu vernei|ien, und der Kronecker bche Satz ist bewiesen. Erst nach Adji^nktion der akzßssorisclien Quadratwurzel (8) S. 140 ist die allgemeine Gleichung fünften Grades in eine Hajipt- gleichung transfomiierbar, und diese ist dann allerdings nach Adjunktion der ,.natürlichen- Irrationalität '\I) sowie der reinen Zahl \ 5 in eine Gleichung mit nur einem Parameter überführbar. Kronecker hat den fraglichen Satz, wie bereits S. 171 bemerkt wurde, schon im Jahre 1861 ausgesprochen, aber einen Bewßis nicht mitgeteilt. Den ersten Beweis des Satzes hat Klein veröffentlicht =^): auch Gordan ist dann weiter auf den Gegenstand zurückgekommen•^•^). Kroneckers eigene Erwäg-upgen konnten später aus hinterlassenen Papieren festgestellt werden, worüber Klein in .,Ges. Abh.'' 11, 503 ausführlich berichtet hatf). Die vorliegende Darstellupg schließt sich in der Hauptsache an Weber, Algebra II, an, für den seinerbcits im wesentlichen Gordan vorbildlich w^r. ") Vgl. „Ikos.% S. 258ff. und diß 1877 verotfentlichte Abhai^dlung „Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder-, „Ges. Abh." II, 379. '^") In der Abhandlung „Über biquadrati&che Gleichungen", Math. Ann. Bd. 29 (1887). Über die gegenseitige Beziehung de:f Beweise von Klein und Gordan vgl. man die Ausfuhrungen M. No et hers in seinem Bericht über Gordan, Math. Ann. Bd. 75, S. 24ff. t) Vgl. auch die Angaben Kleins in „Ges Abh.- II, 491.
Zweiter Abschnitt. Endliche Gruppen ternärer Substitutionen und zugehörige Gleichungen. Erstes Kapitel. Klein sehe Gruppe und zugehörige invariante Formen. § 1. Kongruenzgruppen siebenter Stufe in der Modulgruppe. Xach I. 310 reiht sich an die Ikosaedergruppe <3^f^ als nächste einfache nicht-metazykiische Gruppe eine @jgg der Ordnung 168 an. Es war eine der schönsten und folgenreichsten Entdeckungen Kleins, daß diese @jgg als eine G-rioßße ternärer linearer Soibstüufionen darstellbar ist*). Auch verdankt man Kleins eigenen Arbeiten, denen dann weiterhin Gor dan folgte, die reich entwickelte Theorie dieser temaren Gruppe so daß es wohl gerechtfertigt erscheint, sie mit Kleins Xamen zu belegen. Einen besonders einfachen Eingang in die Theorie der Klein sehen Gruppe gewinnt man über die Modulgruppe, indem man nach S. 91 ff innerhalb der nicht-homogenen Modulgruppe die Haupthongruenzgrupße biebenter Stufe ip^ bildet. Sie 1st nach (4) S. 92 ein Xormalteiler des Index 168. &o daß das Komplement von ^2>i ^^^ ®i6s ^^^- -^^^^ kann auch sagen, daß sich die nicht-homogene Modulgruppe ®, mod 7 reduziert, auf eine endliche Gruppe ©^gg zusammenzieht, und es ist daraufhin leicht möglich, über die Struktur dieser 03jgg einige Angaben zu machen. Wir bezeichnen die Substitutionen wieder wie in (5) S. 92, wobei sich hier die Kongruenzen natürlich auf den Modul 7 beziehen. Da beim Arbeiten mit der nicht-homogenen Modulgruppe ein gleichzeitiger Zeichenwechsel der vier Koeffizienten ohne Änderung der Substitution V erlaubt ist, so dürfen wir die Invariante j = a -)- d auf die vier Reste j = 0, 1, *) 0. Jordan hat im Journ. f. Math. Bd. 84, S. 89ff. (1878) den Versuch unternommen, alle endlichen Gruppen ternärer Substitutionen aufzustellen. Doch hat er dabei gerade die beiden interessantesten Gruppen, nämlich die Klein sehe Gruppe und die unten zu besprechende Valentmergruppe, übersehen.
Eeduktion der :y;odu|gruppe mod 7. 183 2, 3 beschränken. Wir ergänzen dann zunächst das Formelsystein (5) S. 92 durch. Berechnung von F*: (1) 7(?-l), 73 = -I -- -.- - .._.2J)-(/-^l)j• Hieraus ergibt sich als erster Satz: Im Komplement @j^g der Haupt- hongruenzgruppe siebenter Stufe ip„ Jiat man SuhsßtiitiGnen der Perioden 2, 3, 7 und 4, je nachdem j = 0, 1, 2 oder 3 (mod 7) </i?^, abgesehen davon, daß sich fur j = 2 auch die identische Subbtitution einstellt. Die Perioden 2 und 3 für j = 0 bzw. 1 stellt mai^. aus den Formeln (1) sofort fest. Für j = 3 hat F^ die Invariante 0, so daJ3 F die Periode 4 hat. Für j = 2 erweisen sich V^ und F* als inve^-s, so daJ3 F die Periode 7 hat oder die identische Substitution ist. Um die Anzahl der Substitationßn der verschiedenen Periodep zu bestimmen, haben wir nach S. 92 für den einzelnen Rest j =0, 1, 2, 3 die Anzahl inkongruenter Lösungen «, ß, y, d der Kongruenz: (2) (xd — ßy=l (mod 7) abzuzählen, wobei (wegen des erlaubten Zeichenwechsels der «, ß, y, d) für j = 0 die Zahl a auf die Reste 0, 1, 2, 3 beschränkt werden darf, sowie für j = 0, a = 0 die Zahl ß auf die Reste 1, 2, 3. Man gelangt ohne Mühe zu dem Satze: I)i der Gruppe (^^^^ treten 21 Subbtitutloneu der Periode 2 auf, 56 Subsiltwtio,t.eii, der Peuode 3, 48 bolche der Penode 7 nnd 42 der Periode 4, die s^bammen mit der Identität die c^^gg erbchopfen. 1st z. B. die Invariante j = a -j- ö = 1. so hat man an Stelle von (2): — ßy^fx^—oc-^l (mod 7). Für die beiden Reste a = 3 und 5 gilt also ßy = 0, eine jKongruenz, die 13 inkongruente Lösungen hat. Für die übrigen fünf Reste a hat flaan: — ßy =a^ —a-^ Iz^O (mqd 7) mit je sechs inkongruenten Iiösui|.gen. Al^o hat man in der Tat 2,13 + 5. tJ = 06 Substitutionen der Periode 3. Die übrigen Abzahlungen sind ebenso leicht. Infolge dieser Abzahlungen gibt es in der (3^^^ 21 zyklische Teiler (S^ und in ihnen ebenso viele zy|vlische Teiler C^g, ferner 28 zyklische Teiler (Sg und 8 zyklische Teiler C^^. E& ist die Frage, inwieweit die zyklischen Teiler gleicher Ordm^ng konjugiert sind. Zu;- Entscheidung hierüber knüpfen wir an die drei Substitutionen:
184 ■ 11, 1. Kleiasche Gruppe und zugehörige Formen. die den S. 82 eingeführten und durch die Beziehung U-T-S = 1 ver- Icnüpften erzeugenden Substitutionen der Modulgruppe entsprechen. Um nun zunächst den Xormalisator der aus T zu erzeugenden zyklischen (^5^ zu bestimmen, haben wir alle Substitutionen F zu sammeln, die mit T vertauschbar sind, also die Kongruenz V-T= T-V oder ausführlich: befri( w tt=;)-rr;) .(--> ;digen. Man gelangt zu folgenden acht Substitutionen: lu^i). (ro). fr?)' ii:% iftj). nt)- n^' (?;j)- die eine Diedergruppe (3^ bilden. Die in der ersten Zeile stehenden Substitutionen bilden einen T enthaltenden zyklischen Teiler ®^, der die Diedergruppe @g gleichfalls zum Xormalisator hat. Es ergibt sich der Satz: In der ©^gg siiid 21 'konjugierte zyiähche Teller @^ tmd in ihnen ebenso clele konjugierte Teller ©g enthalten, die als Normalisatoren 21 Jmu- jtigierte Teller &^ vom Diedertypiis hsbltzen. Lidern man eine entsprechende Entwicklung an die Substitution U anschließt, folgt weiter; In der 6>jgg bind 28 konjugierte zyhlibche Teiler ©3 enthalten, die als Normalisatoren 28 konjugierte Diedergruppen ®g besitzen. Um endlich den Normalisator der aus S zu erzeugenden zyklischen Gruppe ©^ zu gewinnen, haben wir die der Kongruenz F> kS • V~^ = S^ oder ausführlich: (") Ci;(\;lXJ;n (-^') genügenden Substitutionen V zu sammeln. Man gelangt zu den 21 Substitutionen mit j; = 0: <«) ilA)' (o;l)' (l:ih sie bilden einen Teiler ©^^ der Ordnung 21, der außer der @^ noch aus 14 Substitutionen der Periode 3 besteht: In der ©^gg sind acht konjugierte zyklische Teiler @^ und ihnen ah Normalisatoren zugehörig acht kortjagierte Teiler 05^^ der Ordnung 21 enthalten, vmi denen einer durch die Kongruenz j; = 0 (mod 7) charaUeribierf ist. In der durch (4) gegebenen Dieder-@g sind zwei Vierergruppen enthalten, denen die Substitution T gemein ist, und von denen eine aus: (^) Criy g J). r fO,—l\ /3, 2\ /—2, 3\ A^ 0\ ' lo, ij besteht. Dieselbe Vierergruppe ist auch noch in den Xormaüsatoren der zweiten und dritten Substitution (7) enthalten. Wir haben also nicht
Zyklische und sonstige Teiler de:(- Gruppe ( 185 zweimal 21, sondern nur zweimal 7 Vierergruppen ®^ Diese 14 Vierergruppen bilden nun entweder ein System konjugierter Teiler (3^ oder zwei Systeme von je 7 konjugierten TeEern @^. Im ersten Falle hat die einzelne ®^ als Xormalisaior eipe ©^g vom Tetraedertj^p^s. im zweiten Falle eine Oktaeder-®^^. Der letztere Fall muß zutreffen, da die Vierergruppe (7) Xormalteiler der Piedergruppe (4) ist und also im I^^ormali- sator der Vierergruppe ein zyklischer Teilpr ®^ auftritt, was von der Tetraedergruppe nicht gilt: Jn der @^^g sind zwßl Systeme von je sieben l'ongugierten Teilern ©34 enthßUen, die den QMaedertypub lesitzen. Dies sind die Teiler höchster Ordnung in der Gruppe @jgg. Es ist jetzt leicht zu zeigen, daß die gewonnene (^^^^ einfach ibt. Ein Xormalteiler muß vom einzelnen System konjugierter zyklischer Teiler entweder alle oder keinen enthalten. Die Ordnung eines Xormalteilers muß sich demnach in der Gestalt darstellen' (8) 1 -r 21 £, ^ 42 £2 - 48 £3 + 56 £^, wo die £ eine der Zahlen 0 oder 1 bedeuten, und übpgent» £3 nur dann gleich 1 sein kann, wenn auch s-^ = Summe (8) ein Teiler von 168 sejn, so müssen, wie man leicht feststellt, nur entweder alle £ gleich 0 oder alle gleich 1 sein, &o daß die (^^ und die (^^^g die einzigen Xormalteiler sind. Für die Herstellung eines DB der Hauptkongruenzgruppe ip^ siebenter Stufe ist die Entwicklung von S. 110 ff. vorbildlich. Dem aus der Substitution S zu erzeugenden zyklischen Teiler (3,^ der (^,gg entspricht innerhalb der nicht-homogenen Modulgruppe eine Kongruen:?gruppe siebenter Stufe (^(24) des Index 24, 1 gilt. Soll aber der "^Vert der deren Substitutionen Kongruenzen: (9) V durch die (mod 7) charakterisiert sind. Durch Zusatz der Spiegelung U an der imaginären cj-Achse wird (>)(.,^) zu einer Gruppe (^(24) erweitert, deren DB das in Fig. 23 dargestellte, von lauter Symmetrieh^bkreisen begrenzte Sechseck ist. Bezeichnen wir diese Halbkreise je durch Xebeneinanderstellung
186 II, 1. Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. der CO-Werte in ihren beiden Endpunkten, so gehören zu ihnen die folgenden Spiegelungen: — / 2 \ , ^ (ioo, 0), co' = —CO-, (0, -j, a = „-_ ^; /2 1\ ,_13ö —4 /l 3x ,_ 8ä —3 VT'T> "^ -42«-13' U'T> ''-21«-8' /3 1\ , 13ö —6 /l . \ , - ^ -, (yy)' " ^28^-13' U'^°°j' «=-«-!' die in der Tat alle der Gruppe ©(2*) angehören. Übrigens zählt man in Fig. 23 ab, daß dieses Sechseck sich wirklich aus 24 Kreisbogendreiecken der ö-Halbebene zusammensetzt. Fügt man dem Sechseck der Fig. 23 sein Spiegelbild bezüglich der imaginären co-Achse an, so entsteht ein DB der Gruppe (S\u). Von den zehn den Bereich berandenden Halbkreisen sind je zwei bezüglich der imaginären co-Achse symmetrische aufeinander bezogen. Die zugehörigen Substitutionen gewinnt man einfach, indem man die erste der sechs eben genannten Spiegelungen der Reihe nach mit den fünf übrigen kombiniert: («4> --^, 0 -^ V 3 l) 1 ¥" 3 y 2 ~y 1 ~T (-|,^oo) ^(|,ioo) 2 1 3"' 3 1 ^y t)' ^- i oo 7 CO -[- 1' 13ü3 + 4 42ü3^13' 8ü3 + 3 21ü3 + 8' 13ü3 + 6 28ü3 + 13' a+l. Die ersten vier Substitutionen, von denen eine parabolisch und drei hyperbolisch sind, mögen Y^, V^, Fg, V^ genannt werden. An letzter Stelle haben wir einfach die Substitution S. Man übe nun auf den gewonnenen DB der (a)(24) die sechs Substitutionen S-S S--, S-3 aus und füge ihm die sechs so entstehenden Bereiche an. Von den sieben so aneinander gereihten Bereichen sind keine zwei bezüglifh der Hauptkongruenzgruppe ^^ äquivalent. Zusammengenommen Uefem sie demnach einen DB der Hauptkongr\xenzgruppe ^^. Hier sind dann zunächst je die beiden in den Spitzen 0, +1, +2, j^S zusammenhängenden Halbkreise durch die konjugierten parabolischen Substitutionen:
Diskontmuitatsbereich der Hauptkongruenigruppe 9)^ 187 aufeinander bezogen. Ferner sind je die beiden in den sechs Punkten i|)Z:|> il zusammenstoßenden Halbkreise durch parabolische Substitutionen einander zugeordnet; es handelt sich dabei um die Substitutionen : '^ ^' ^ —\ -28, -28»'-^15 }' *-'^'-. •■' - Daran reihen sich für die beiden äußersten Halbkreise und die beiden geradlinigen Ränder die Substitutionen: / 7 24\ /24 lo, 1/ Fur die 14 noch übrigen Halbkreispaare hat man 2unach&t die Zusammeu- ordnungen: / 1 2 s /I'd 8\ _ / 113, 35 3 -■^ V 7 3/ - 1—42, -13;- (-T--^)- 3 1\ / ^ _ ^^'\ '-^ r / 55 2i\ Entsprechend sind die letzten 12 Halbkreispaare nach der Vorschrift: zusammenzuordnen, wobei jedoch für o^ = 4, 5, b die in den linken Klammern stehenden Halbkreisendpunkte, die in der angegebenen Gestalt dem DB nicht mehr angehören würden, je um den Betrag 7 zu \-er- mindern sind. Jedem Teiler ©„ der ('»^jg^ entspricht eine KougrucnzgiTippe des Index 168'^"S bestehend aus allen Substitutionen der ilodulgruppe, die mod 7 mit den Substitutionen von 63u kongruent sind. So haben wir als Gruppen von niederstem Index zwei Systeme von je sieben konjugierten Kongruenzgruppen siebenter Stufe vom Index; 7, die den Oktaedergruppen ^b^^ entsprechen. Es ist wichtig, zu bemerken, daij die heldeh S-i/bteme con je sieheit Kungruenzgnippeyi deb Index 7 innerhaJb der durch Spiegehingen era-eüertoi, Blodnlgrappe konjugiert bind. Die unter (4) angegebene Diedergruppe W^ enthält nämlich die beiden, wie oben festgestellt, innerhalb der 0\^,j, nicht konjugierten Vierergruppen: und: (") (r;)-(i:s)-ej)-fi;t)'
188 n, 1. Klein seh« Gruppe und zugehörige Formen. die durch die Spiegelung o' = — a ineinander transformieTt werden. Die beiden diesen Vierergruppen zugebörigen Normalisatoren waren aber zwei innerhalb der (^^gg noch nicht konjugierte Oktaeder-®^^. § 2. Erklärung der Klein sehen Gruppe. An die gruppentheoretischen Darlegungen von § 1 schließt nun Klein =^) die folgende grundlegende Überlegung an. Da die Hauptkongruenzgruppe ^.j ein Xormalteiler der Modulgruppe ist, so wird der DB der Gruppe ^^ durch alle 168 inkongruenten Substitutionen der Modulgruppe in sich übergeführt. Bilden wir diesen DB mittels der Funktion /(co) auf die /-Ebene ab, so entsteht eine 168-blättrige Fläche über dieser Ebene, die entsprechend durch 168 eindeutige Transformationen in sich übergeht. Ein einzelnes Blatt der Fläche geht dabei in alle 168 Blätter über, so daß die Fläche von jedem Blatte aus gerade so gebaut ist wie von jedem anderen**). Die Verzweigung der Fläche ist die folgende; Bei / = 0 liegen 56 dreiblättrige Verzweigungspunkte, bei J = 1 weiter 84 zweiblättrige und bei / = oo endlich 24 siebenblättrige. Weitere Verzweigungspunkte treten nicht auf. Auf Grund der Regel (5) S. 112 wird nun festgestellt, daß das Geschlecht der 168- hlattrigen Hache p = 3 ist. Die letzte Tatsache begründet weiter die folgende funktionentheoretische Überlegung: Auf unserer Fläche des Geschlechts 3 existieren drei linear-unabhängige Integrale erster Gattung, die eindeutige Funktionen von co werden und als solche durch u^ (co), u^ (o), u^ (co) bezeichnet seien. Gegenüber den 168 Transformationen der Fläche in sich substituieren sich diese drei Integrale linear und nicht - homogen. Bilden wir aus ihren Differentialen d^^■^, du^, du^ vermittelst des gegenüber allen unimodularen Substitutionen invarianten Differentials: (1) (co, d(o) = co^ -dco^ — co^-d(o^ = — cof -dco die drei Modulformen siebenter Stufe (—2)*^^ Dimension: diij^ du^ du^ ^'^^ ""^ ~ (^^' ■"'' ~ J^'a)' ""' ~ (CO, dco)' Sö werden diese gegemiber der homogenen Modulgruppe 168 homogene lineare Substitutimien bildenj), die eine mit der ©^gg des § 1 isomorphe G-ruppe bilden. Es ist dies diejenige temäre Gruppe, die wir ihrem Entdecker zu Ehren weiterhin als die „Kleinsehe Gruppe- bezeichnen. Aus bekannten funktionentheoretischen Sätzen folgerte Klein weiter die Existenz einer invarianten Form vierten Grades F{x^, x^, x^ der =") „Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann., Bd. 14 (1878) oder „Ges. Abb.- III, 90. =^==) Klein bezeichnet sie dieserhalb als eine „regular verzweigte ßiemann- sche Flache'-. f) Alan beachte, daß die Xi-, x^, x^ als Modulformen gerader Dimension bei der Substitution (a\ = — co,, co'o = — co« unverändert bleiben.
Einführung der Klein sehen Gruppe. ] 89 ternären (^^gg. Die 168-blättrige Eläche über der /-Ebene wird nänilich leicht als nicht-hyperelliptisch erkannt =^). Die x liefern, als Verhältnis- großen gesetzt, die sogenannten „Eormen y der Fläcjie und sirjid durch eine homogene Relation vierten Grades: (3) i^C»,, rr.^, »3) = 0, verbunden**). Deuten wir die »j, »g, x^ als homogene Koordinaten in der Ebene, so liefert die Gleichung (3) eine cloppelpunlptfreie Kurve vierten Grades, die der Klein^chen Gruppe entsprechend durch 168 Kolli- neationen ia sich übergeführt wird f). Es ist leicht zu sehen, äa^ die hiqitadratibcJie Form F{x^, x^, x^) eine absolute Invariante der Klein sehen (xruppe ibt. Den Erzeugenden (7) S. 82 der Modulgruppe entsprechend i^t näpilich die Kleiasche Gruppe aus zwei Substitutionen S und T erzeugbar, die die Beclingungen befriedigen ; (4) S'=l, T^==l. (S-Ty = l. Bei Ausübung von S nimmt demnach F eine siebente Einheitswurzßl « als Faktor an, und ebenso tritt bei T der Faktor + 1 auf. Da aber — a eine dritte Einheitswurzel seip. muß, so ist £ = L, und es gilt das obere Vorzeichen, woraus die Behai(.ptung hervorgeht. §3. Darstellung der Klein sehen Gruppe in oktaedrischen Koordinaten. In den Origüialarbeiten Kleins ist zur Darstellung der ternären @jgg ein ia § 5 näher zu untersuchendes synunetrisches Koordinatensystem zugrunde gelegt, das indessen die Adjunktion der siebenten Einheitswurzel £ = e 7 nötig macht. Demgegenüber gelingt es bei Autgabe der Symmetrie mit der quadratischen Irrationalität: (1) , + ,. + ,. = :^L±iVI auszukommen, was vom algebraischen Standpurjvt aas vorzuziehen ist. Die Unsymmetrie der hier zi^nächst befolgten Da,rstellung beruht auf der Bevorzugung einer der beiden Vie^ergr^pperfi (10), (11) S. 187 bzw. einer der beiden zugehörigen Oktaedergruppe ®^^ Das eipzuführendp Koordinatensystem soll entsprechend als ein „oktaedrisches- bezeichnet werden. =^) Vgl. „Ges. Abh.'- III, 100. Vgl. auch die entsprechende Überlegung oben S. 112 betreffend die damalige Riemannsche Flache Figo- **) Ausführliches über die Flachen des Geschlechts j) = 3 findet man bei Klein, ,.Ges. Abh.'- III, 435 ff. t) Es handelt sich hier 11m diß sogenannjie „Xprmalkurve der Formen y~, die bei j) = 3 dem vierten Grade angehört.
190 II, 1. Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. Die Oktaedergruppe besteht in ihrer projektiven Gestalt aus den Substitutionen, die die Figur des vollständigen Vierseits (vgl. Fig. 24) in sich überführen ==•'). Die in der Figur stark ausgezogenen Geraden mögen, wie angedeutet, die Seiten ^^o- ~^- des Koordinatendreiecks sein, und dem Punkte A mögen die Koordinaten erteilt werden. Die (>}^^ besteht dann einfach aus den 24 unimodularen temären Substitutionen, bei denen die Quadrate Xi, xi, xi die sechs möglichen Permutationen erfahren. Der einzelnen Permutation gehören wegen der Forderung, daß die Determinante der Substitution gleich 1 sein soll, stets 4 Substitutionen zu. Die biquadratische Form F(süj^. x^, x^) als absolute Invariante der ®^^ ist eine symmetrische ganze Funktion zweiten Grades der x'i, x|, x|, so daß wir den Ansatz gewinnen: (2) F(x^, ^2, ^3) = a (xt i- 4 + »3) -r ^ (4 4 + x| ^ - xl xl). Bevorzugen wir die andere der beiden Vierergruppen (10) und (11) S. 187, so gilt der entwickelte Ansatz unverändert. Wir wollen für die entsprechenden Koordinaten x'i, 0^2, x'^ schreiben und haben für die biquadratische Form in ihnen den Ansatz: (3) a' {x't^ -r x'i + al*) + V {x'i x'i" ~f xi x'i -^ x'i x:i). Die den beiden Vierergruppen gemeiasame Substitution der Periode 2 sei die harmonische Perspektivität ^■^) der Achse a;^ = 0 und des Poles r^ = .^Cg == 0. Dann ist das Koordinatendreieck des zweiten Systems i'x, x%, Xi im ersten durch die drei Geraden: rfj = 0, a;^ ~|- ^3 = 0, x^ — a^g = 0 dargestellt. ISTun ist aber die Spiegelung co' = —«, die die beiden Vierergruppen austauscht, eine symmetrische Umlegung der 168-blättrigen Fläche in sich. Es werden also die zu den x^, x'^, % konjugiert komplexen Werte S^, x'^, S3 linear mit den x^, x^, x^ zusammenhängen, und *) Vgl. „Äutom. Funkt.- I, 71. =*) Vgl. über harmonische Perspektivitaten S. 166.
B\quadratische Fonn F in oktaedrisclien Koordii^aten. 191 es wird der Übergang vom einen oktaedrisclien Koordinatensystem J5j, x^, Xg zum anderen a,{, x'^, x\ durch eine Substitution de?- Gestalt: (4) 7^ := ax^, ^2 = <3 (x^ -f x^), xä = y (/^ — x^) vermittelt werden. Dies ist aber eine Substitution der Periode 2, so daß ß = y gilt und also an Stelle von (4) auch, geschrieben vferde;p. kann: (5) <}X[ = (9Xj, (jxä = Xg -j- vig, 0X'^ = r^2 —-^S' unter ö und fi noch zu bestimmende Faktoren verstanden. Wir haben nun die Forderung zu stellen, daß durch diese Si^b- stitntion (5) die Formen (2) und (3) zusammenhängen. Die durch: (6) a' {x{' + I',' ^ 7,') ^ V {x'i xi 4- x'i r;^ ^ xr^i) == 0 dargestellte Kurve vierten Grades*) sol] also durch (5) in die Kurve F{x^, x.^, x^ = 0 übergehen. Man findet aber durch A^süb^ng cjer Substitution (o) aus (6): J «' {(i' 4 - 2 xl + 2 xl) + V (4 + 4) - 2 (B a' - l') x.| ^| *- ( ~f 2 6' Ö^ (a;| a;f -f r^f 4) == 0. Damit wir hier (bis auf einen konstanter^ Faktor) zur Form F(Xj, x^, x^) geführt werden, müssen die Gleichuagen bestehen: (8) ä'Ö* = 2ä' f h', 6ä' — 6' == 5'OK Durch Elimination von «' und V folgt für $ die Gleichung: (9) Ö« + Ö^ — 2 6' - 8 == 0. Die reelle Lösung 6^ = 2 dieser für B^ kubischen Gleichung ist imbrauchbar, da die Klein sehe G^-uppe nicht nur aus reellen Kollineationen bestehen kann *'"••). Welche von den beiden Lösungen: wir benutzen, ist gleichgültig, da ein Wechsel einfach au! ei^e Änderung der Auswahl der Viexergruppe (10) bzw. (11) S. 187 hinauslauft. Wir setzen: und sehreiben ß in (5) gleich y 2 , damit die Substitution : (11) V¥a = 6x^, \''2 7i = Xa + x„ V2"4 = ^\_ - ^., =^) Unter «', V werden wieder die zu a', V konjugiert komplexen Großen verstanden. **) Nach S. 6 ff. kann eine Substitution der Periocie 7 |iicht ausschließlich reelle rationale Invarianten haben.
192 II, 1. Kleinsclie Gruppe und zugehörige formen. die Periode 2 erhält. Indem wir ferner a' z= 1 setzen *), folgen aus (8) für a und h' die Werte: a' = 1, V = 3Ö. Die Gleichung (7) geht dann über in: (3 Ö -f 2) {xt -f a;| -f xl) - 6 (Ö - 2) (xl xl ~f xl xf ~f x! xl) = 0. Wir erklären nun die Form F{x^, x^, x^) endgültig als die mit dem Faktor ^ (3 ö ~f 2) multiplizierte linke Seite dieser Gleichung: (12) F {X,, x^, x^) = x{ -f xt -f .^3^ -f 3 Ö {x\ xl -f xl xl ~f xl xl). Zur Erzeugung der temären (S^gg genügt es jetzt, der ausgewählten 0324 irgend eine Substitution der zweiten ©g^ hinzuzufügen. Diese ®^ entsteht aus der ersten durch Transformation mittels der kurz durch U zu bezeichnenden Substitution (11). Die Substitutionen bezeichnen wir weiterhin kurz durch die in Klammem gesetzten Matrizen ihrer Koeffizienten. Diejenigen der bevorzugten ©34 schreiben wir wie bisher uni- modular, während sich die übrigen 144 Substitutionen am bequemsten ^oMomodular-, d.h. mit der Determinante 8 versehen, schreiben werden. Wir entnehmen der ersten @^, die drei Substitutionen: /O, 0, 1\ /— 1, 0, 0\ / 0, 0, —1\ (13) r=[0,-l,0\,V' = [ 0, - 1, 0 ), F" = ( 0,-1, 0 ) Vi, 0, 0/ \ 0, 0, 1/ V— 1, 0, 0/ und bilden die der ©^gg angehörende Substitution: /-ö, -1, 1\ (14) s = r"-(u-^'r-u)-r = 1 0,-i, i • V 0, 0.0/ Sie hat die Periode 7 und ihre Potenzen sind: (15). /—ö, — 1, 1\ /ö, 0, 0\ /-l, ö, — 1\ S = l ö,-1, 1, S^=- 1,-0,-1 , S'^= i,ö, 1, \ 0, 0,0/ \l, 0,-1/ \ 0.0,—öl /-i, 1, ö\ /ö, 1. i\ [-0. o,o\ S' = l 0,0, 0 , S^=3 o,-ö, ö , S«= -i,_i,ö . \- 1, 1, - 0/ \ö, -1.-1/ \ 1, 1, 0/ Die Klein sehe Gruppe @^gg setgt sich aus der ®24 w**^ ^ß** Potenzen von S nun einfach als Summe: (16) ®168 =- ®24 + S-®,4 + S2-@! + ••• -f- S«.@,4 zusammen. Die Substitutionen der einzelnen Nebengruppe S" • ®^^ lassen sich leicht näher beschreiben. Man hat die Spalten der Matrix S" auf alle sechs Arten zu permutieren. Dabei hat man, wenn es sich um eine gerade Permutation handelt, entweder keine oder zwei Spalten im Vor- *) Die biquadratische Form darf noch um einen konstanten Faktor geändert werden.
Kleinsche Gruppe m pktaedrischen Koordinaten. 193 zeichen zu ändern; handelt es sich indessea tu^ eine ungerade Permutation, so ist entweder eine oder es sind alle drei Spalten im Vorzeichen zu ändern. Dies gibt in beiden Fallen vier Möglichkeiten. Die Periode der einzelnen Substitution hängt von der Invariante j ab, die bei -pni- modularer Schreibweise von der Summe un4 bei oktomoduLarer Schreibweise von der halben Summe de|- Diagonalglieder geliefert wird. Es treten folgende Invarianten auf: (IV) i =: — 1, 0, 1, 0, 6. denen die Perioden 2, 3, 4, 7, 7 entsprechep. Es gilt der leicht feststellbare Satz: In der einzelnen Nßbengruppe S^ • ©24 ^^**^ ^^ts zwei Siib- stitutionen der Periode 2, acht der Periode 3, sechs der Periode 4 und endlich acht der Periode 7 efdhalten. Man hat beim Beweise nur zu beachten, wie sich bei dea S])alter)ipermutationen und Vorzeiclien- änderungen die Diagonalglieder der einzelnen Matrix ändern, und wiederholt von der Relation 6 -f- ö == — 1 Gebrauch zu machen. Upter Hinzunahme der Substitutionen der ®^^ finden sich 9 -r- 6 • "- = 21 Substitutionen der Periode ^wei, 8 -j-' ^ • 8 = 56 Substitutionen der Periode drei, 6 -4- 6 • 6 = 42 solche der Periode vier und 6 • 8 von der Periode sieben. Wir sind damit auf die schoa S. 183 festgestellte Anzahl zurückgeführt. Die Gruppeneigenschaft der 168 tßmären Substitutionen k^nn man natürlich jetzt auch durch direkte Rechnung bestätige q. Man hat dabei nur immer von den Relationen: (18) Ö'^ = - ö - 2 , Ö^ = — ö — 2, ö -r Ö = - 1, 6-6 = 2 Gebrauch zu machen. Außerdem hat r|ian, falls zwei Substitutionen aus Xebengruppen (16) kombiniert werden, die neurji Koeffizienten der entstehenden Substitution um dea gemeinsamen Fakifcor 2 oder 4 zi; kürzen, ie nachdem diese Substitution wieder einei Xebengr^ppe oder der ©g^ angehört. Auch ist es ein Leichtes, die absolute Invarianz der biquadratischen Form (12) zu bestätigen. Es ißt hierbei hinreichend, wenn man die Prüfung mittels einer einzigen Substiti^tion aus einer Xebengruppe vollzieht, da die Invarianz gegenüJDer der ©34 zutage liegt. Wir merken endlich noch den Satz an: Die Kleinbche Gruppe id aas den beiden Substitutionen: /— ö, — 1, 1\ /— 1, 0, 0' (19) S=i ö, -1, 1 , T = ( 0,-i, 0 ^ 0, ö, 0/ V 0' <^' 1 der Perioden 7 und 2 erseugbßr *). Da nämlich ,S • T die Periode 3 hat, so erzeugen S und T einen Teiler der Ordnung 42 • v. Es gibt abei' in *) Wir bezeichnen diese erzeugenden Substitutionen durch dieselben Symbole wie die erzeugenden Substitutionen der Modulg^-uppe. Doph soll damit nicht behauptet sein, daß die Substitutionen (19) die Wirkifng der Substitutionen (3) S. 183 auf die Modulformen (2) S. 188 darstellen. Fricke, Algebra. II. 13
194 II) 1- Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. der ®jgg weder Teiler ©g^ noch Teiler ©^g. Ein Teiler (S)^ wäre nämlich, da er kein Xormalteiler ist, sein eigener NormaJisator, so daß man zwei konjugierte Teiler ®g^, ©g^ hätte. Da ihr Durchschnitt ein Normal- teüer, also die ©^ ist,] so haben die beiden Teiler ©g^, ©§4 nur die identische Substitution gemeinsam. Xach dem Sylow sehen Satze enthalten die ©g^, ©84 zyklische Teiler ©2- ^^ müßten sich also die 21 konjugierten zyklischen ©^ in gleicher Anzahl auf die beiden Gruppen ®84' ®84 verteilen, was ein Widerspruch ist. Ebenso zeigt man, daß keine Teiler © . auftreten. § 4. Geometrische Sätze über die Kollineationsgruppe ©^^g. Der eiazelne Punkt (a;^, x^, x^) ist im allgemeinen einer unter 168 verschiedenen bezüglich der Kollineationsgruppe ©^gg äquivalenten Punkten. Eine Herabminderung dieser Anzahl tritt indessen für die Pole der Kolli- neationen ein, wie jetzt unter besonderer Berücksichtigung der durch Xuüsetzen der biquadratischen Form F{x^, x^, x^) dargestellten Kurve vierten Grades darzulegen ist. Abgekürzt möge diese Kurve weiterhin durch das Symbol F bezeichnet werden. Die 21 konjugierten Substitutionen der Periode 2 bedeuten „harmonische PerspeMivitäten^. Ihre Pole bilden ein System von 21 nur unter sich äquivalenten Punkten, die nicht auf der Kurve F liegen. Einer unter diesen Punkten, nämlich der Pol der Substitution T, ist (0, 0, 1); aus ihm stellt man die übrigen leicht durch die Substitutionen der ©jgg her. Unter diesen Punkten sind neun reell; es handelt sich um die Kreuzungspunkte zweier Geraden in Fig. 24 (S. 190) und um die drei Ecken des Koordinatendreiecks. Die 21 Perspektivitätsachsen, zu denen als reell die neun Geraden von Fig. 24 gehören, sind durch ^ullsetzen der folgenden 21 linearen Formen j) (a;,, x^, x^ dargestellt: p^ = '2x^, j5y=2»2, i5i4 = 2a;3, p^ = - Bx^-x^ + x^, :Pg - dx^-x^-x^, Pi-o=+6x^ + 6x^, P^=- dXj^-rdx^, p^ = X^-dx^-X^, p^^= -tX^-t dx^-X^, P^ = -X^ + Bx^-X^, P^f^= X^-rdx^ + X^, Pj^^ = ■i-'ßXj^-dx^, I>i- -x^ + x^ + dx^, Pii=dxi + 6x^, i^is = ■~^i + ^2~Öa;3, P-^=- ßx^-rX^-i-X^, p^^= -ßx^+Bx^, ßiQ = +dXj^-X^-X^, ^6 =-Ox^i-dx^, pj^^= - x^-x^ + dx^, J520 = + a^i-ra;2 + öa;3, wie man leicht aus (15) S. 192 folgert. Mit Rücksicht auf spätere Anwendungen stellen wir fest, daß sich gegenüber der Substitution S je die sieben untereinander angeordneten Formen p zyklisch permutieren: {Po=I>v I>'i=P^, ■•■, i>;=i5o, i5;=i58, I>'s=I>c„ ••• (1)
i^o i^s i^lo pu Kg = = = = = A JPo. . P'e Pie.^ Pi2' P Ps> Pi = I>u 16 = 1^20 --i>5. -A> = - = -i> = Pu JP?- i^'r -i'u» 0. t ■ = - P'l2 17 == -Prp --P7> = -Pl5> = — i>2 Perspektivitatsachsen und sextattische Punkte. 195 Während die Wirkung der zweiten przeugenden Substiifcution T die folgende ist: ' =ßä^ P'i == — Pi8> (^) ^Ko= —i^ie.» -Pu = —i^u, i^lS =.Pi5> i^is =i>2Q> -PU = Vli, Die Kurve vierten Grades F wird durch die 21 Achsen in 84 Punkten geschnitten, die nur unter sicli äquivalent sind. Die vier Schnittpunkte der einzelnen Achse werden durch die Substitutionen derjenigen Dieder-Og untereinander ausgetauscht, die zur fraglichep Perspektivitäit als S^ormali- sator gehört. Klein erkannte in jenen 84 Punkten sofort die sogenannten „sextaMischen PunMe-' der E^'urve F, d. h. diejenigen Punkte, in denen die Kurve von einepi Kegelschnitt sechspunktig berührt wird. Cayley zeigte*), daß eine doppelpunktfieie Kurve w*®'^ Grades 3n (4w--9) sextaktische Punkte hat, im Falle n = 4 also 84- Auf der 168-blätte- rigen Riemann sehen Fläche über der /-Ipbene handelt ps sich einfach um die 84 zweiblättrigen Verzweigungspunkte. Der fragliche Chara,kter der 84 Punkte wird unmittelbar anschaulich an dein reellen ^uge, den die Kurve vierten Grades bei dem in § 5 zu erklärenden Koordinatensysteme erhält. Hier werden drei Perspektivitatsachsen reell und stellen Symmetrielinien der Kurve d^r (vgl. Fig. 25^ S. 198), deren einzelne die Kurve in zwei reellen Punkiten schneidet. Ein Kegelschnitt, der die Kurve F in einem dieser Punkte mindestens fünfpunktig schneidet, ist eindeutig bestimmt. Er hat also die fragliche Achse gleichfalls zur Symmetrielinie und schneidet somit die Kurve F in einer gefaden Anzahl von Punkten, hier also in sechs Punkten. Als Beispiel eines unter den 28 konjngierten Teilern (3^ nehmen wir den ans der Substitution: (2) x[ = x^, x'2 ^:= x^, x's = x^ zu erzeugenden. Der eine Pol (1, 1, 1) Kefert ein Systen^ von 28 nur unter sich äquivalenten Punktpn, die nicht auf der Kurve F Kegen. Dagegen Kegen die beiden anderen Pple: (3) (1, (), ()^), (1, ()^ ()), Q = e~ auf der Kurve F und Kefern ein Systeni vqn 56 nur unter sich äquivalenten Punkten. Es handelt sich hier un^ die 56 dreiblättrigen Ver- zweigungspunkte der Riemamisehen Fläche über der /-Ebene oder in kurventheoretischer Sprechweise um die 56 BerührungspunUe der *) In den „Philosophical Transactions'*, Bd. 155, S. 545 (1854). 13*
X96 n, 1. Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. 28 Doppeltangenten der Kurve vierten Grades F. Der Beweis folgt einfach durch Angabe der zur Substitution (2) gehörenden Doppeltangente: (4) x^^x^ + Xs = 0. Mittels der Substitutionen der @^gg stellt man aus (4) ohne Mühe die 27 übrigen Doppeltangenten her. Die Lage der vier reellen unter ihnen wird man in Fig. 24 (S. 190) leicht nachtragen. Es bleiben jetzt auf der Kurve F als besondere Punkte nur noch die 24, die den siebenblättrigen Verzweigungspunkten der Riemann sehen Fläche entsprechen. Xun hat die Kurve vierten Grades F im System ihrer 24 Wendepunkte, die durch ]^ullsetzen ihrer Hesseschen Form*): i0{T^,x^, Xg) = 2 {xf -f- a;f -f «D — 5 6 {x^ «1 -f xf xt + «2 «! l -j- X2X3 -r x\ %l -j- x\ xl) -{- 4 (ö — o)x\ x\ xl ausgeschnitten werden, ein invariantes System von 24 Punkten. Da wir auf der Kurve F nur ein solches System von 24 Punkten antrafen, so entsprechen den 24 siebenblättrigen Verzweigungspunkten der Riemann- schen Fläche die 24, WendepunUe der Kurve F. Wir kommen auf die 24 Wendetangenten sogleich ausführlicher zurück **). Als nicht auf der Kurve F gelegen sind jetzt nur noch die 42 Pole der 21 zyklischen Teiler ©^ zu nennen, die zu je zwei auf den 21 Per- spektivitätsachsen liegen und zusammen mit den 21 Perspektivitäts- zentren die gesamten Pole der ©^ liefern. Als Beispiele für dieses letzte System zu 42 nur unter sich äquivalenten Punkten nennen wir die beiden Pole: (6) (e~, e~^, 0), (e"^, e^, 0) der aus der Substitution: (7) x'{ = — x^, x'.2 = x^, % = a-g zu erzeugenden zyklischen Gruppe (S^. Wir folgern aus diesen Angaben den später zu benutzenden Satz, daß die 42 fraglichen Pole der @^ auf der Kurve sechsten Gerades liegen, die durch Xullsetzen der Hesseschen Form (5) geliefert wird. § 5. Darstellung der Klein sehen Gruppe in Wendedreieckskoordinaten. Ad die 24 Wendepunkte der Kurve F hat Klein eine Betrachtung angeschlossen, die zu der von ihm benutzten Darstellung der @^gg'führt: Die einzelne Wendetangente schneidet die Kurve F neben dem Wendepunkt noch in. einem vierten Punkte. Alle 24 Wendetangenten liefern in diesen 24 vierten Schnittpunkten ein System nur miteinander äqui- *) Die Erklärung der Hesseschen Form ist in I, 152 durch Formel (21) gegeben. Jedoch ist bei der Berechnung der rechten Seite der obigen Gleichung (5) gegenüber jener Erklärung ein überflüssiger numerischer Faktor fortgelassen. =^*) Man vgl. hier überall die Originalarbeit von Klein, „Ges. Äbh.'- HI, 90ff.
Einführung der Wended^^eieckskoorclinatep. 197 valenter Punkte, die, wie wir wissen, nur wieder die 24 Wendepunkte selbst sein können: Der vierte SchnitipunJct einer Wendetangente mit der Kurve F ist demnach stets uieder ein Wendepunkt. Man reihe nun an eine erste Wendetangente in ihrem vierten Schr^ittpunkte mit p die zugehörige Tangente als zweite Wendetangente, iiji derem vierten Schnittpunkt die dritte Wendetangente usw. Die so entstehende Kette von Wendetangenten muß sich nach piner Gliederanzahl, die ein Teiler von 24 ist, schließen. Man beachifce nun, daß der erstp Wendepunkt Pol eines zyklischen Teilers ©^ ist, dessen Substitutionen die Wendetangente, mithin den zweiten Wendepunkt, und damit überhaupt die ganze Kette in sich überführen. Aber die ©^ hat drei Pole. jEs ergibt sich d^r Satz: Die GliederanzaM der einzelnen Kette der Wendetangenten ist dr^i, so daß bich die 24 Wendetangenten in add sogenannte „ Wendedreiecke^ anordnen. Wir legen nun etwa das zu unserer Substitution S gehörende Dreieck für ein neues Koordinatensystem 5,, s^, z^ zugrunde. Dann erscheint die Substitution S in der Xormalgestalt (11) S. 11, wo die Multiplikatoren fi siebente Wurzeln der Einheit sein müssen (vgl. S. 13). Die „charakteristische Gleichung- (3) S. 5 der Substitution S ist: (1) /i^ — Ö ,aM- Ö iii — 1 = 0. Sie hat die drei Lösungen: (-) \^x = «^ ."2 == «"' ."s = £^ f = e ^ , wo die Exponenten von £ dip drei quadratischen Xichtreste von 7 sind. Die Substitution S hat also die Gestali- (3) z\ = &^z^, z', = s'^'z^, z', = f^Jg. Im Jformalisator (.^^^ der @^ sind Substitutionen der Periode 3 enthalten, die die drei Seiten [des ausgewählten Wendedreiecks zyklisch permutieren. Man wähle die z so, daß eine dieser Permutationen durch. (4) 5l = ^2, 4j = ^3, Z'z = ^y gegeben ist*). Aus (3) und (4) erzeugt man sodann den fraglichen Teiler ©a^- Das von Klein beifiutztß Koordin^tensysten^ ist also dadurch charakterisiert, daß hei ihm einem der acht konjugierten Teiler ©^i eine bevorzugte Stellung eingeräumt ist. Man hat nur ein System von acht konjugierten Teilern ©g^, während maii zwei Systeme von je sieben kanjugierten oktaedrischen Teilerp ©g hat, die bei der synupetrischen Umformung U ineinander übergehen, ßei der Darstellung der Kleinsphen Gruppe in „Wendedreieckskoordinaten^ id demmich zwar die Symmetrie gewahrt, aber dies geht auf I^osten der AdjunUioß der debenten Einheitb- ivurzel Jf, während bei der oben befolgten Darbtellung die (juadratische Irrationalität 6 ausreichend war. Auch hat man bei Benutzung der =*) Durch Auswahl des Koprdin£f.tendreiecks smd die Koordinaten z selbst erst bis auf konstante Faktoren bestimmt.
198 II, 1. Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. oktaedrischen Koordinaten den Vorteil, daß 24 Substitutionen der ©^gg reell und besonders einfach ausfallen. Die einzigen Ausdrücke vierten Grades der Koordinaten z, die gegenüber der Substitution (3) absolut invariant sind, sind zfz^, ^i^^j zlz^. Die invariante Form vierten G-rades der ©jgg hat demnach, da sie auxih hei der Substitution (4) in sich übergehen muß, in dm WendedreiecJcs- koordinaten die Gestalt: (5) F(z^, z^, ^3) = zl z^ 4- zl ^3 + zl z^, woraus man, für die zugehörige Hessesche Form sechsten Grades (nach Fortlassung des Faktors 54) findet: (6) <P {z^, ^2, ^3) = 5 zl zl zl — z^zl— z^ zl — ^3 zl- Die Rationalität der Koeffizienten in (5) und (6) stellt natürlich einen Vorteil der Wendedreieckskoordinaten dar. Die Kurve F{z^, z^, z^) = 0 hat einen geschlossenen reellen Zug, den Klein in seiner Originalarbeit nur«rst schematisch skizzierte. Später ist diese reelle Kurve vonHaskell in seiner Dissertation*) genau untersucht und in der sich ergebenden Gestalt von Klein in „Ges. Abh." III, 134 aufgenommen. Fig. 25 gibt den fraglichen Kurvenzug wieder. Man bemerkt drei reelle Perspektivitätsachsen, die auf der Kurve die sechs reellen sextaktischen Punkte ausschneiden. Femer hat man drei reelle Doppeltangenten mit reellen Berührungspunkten (sechs Punkte b). Endlich erblickt man sechs reelle Wendepunkte c und zwei reelle Wendedreiecke, von denen das stark ausgezogene das Koordinatendreieck ist**). Die reelle Kurve geht durch sechs eine Diedergruppe @g bildende Substitutionen in sich über. Die in der @g enthaltene zyklische ©3 wird *) „Über die zur Kurve A^ fi-\-fi^ r-\-r^ A =z 0 im projektiven Sinne gehörige mehrfache Überdeckung der Ebene'-, Gottingen 1889. **) Klein hat diese Verhaltnisse in anschaulicher Weise dadurch verständlich gemacht, daß er den S. 186 ff. beschriebenen DB der Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe ^^ durch Zusammenbiegung aufeinander bezogener ßandkiirven zu einer im ßaume gelegenen geschlossenen Flache umwandelt, die dann eine „regulär-symmetrische" Einteüung in 2 • 168 Dreiecke tragt. Die Dreiecksseiten setzen sich dabei zu 28 geschlossenen Symmetrielinien der Flache zusammen, von denen eine bei den ausgewählten Koordinaten den reellen Kurvenzug der Fig. 25 Liefert. Die Abfolge der Eckpunkte der regulären Teüung auf der Symmetrielinie ist dabei in der Tat dieselbe wie die der Punkte a, b, c in Fig. 25. Man findet das Xahere in „Ges. Abh.'- IE. 129.
Erzeugende Substitutionen der ©^gg in Wende dreieckskoordinaten. 199 aus der Substitution (4) erzeugt, die kurz durcji TI bezeichnet werden möge. Die drei noch hinzutretenden harmonischen Pej-spektivif^ten, von denen wir eine mit T' bezeichnep wollen, sind dann sehr leicht feststellbar. Wir bemerken zui|ächsi,, daß entsprechend der Struktur der Dieder-@g die Gleichung T'-U = U^-T' gilt. Sie liefert für die Substitution T' den Ansatz: z'.2 = ß^i + y ^-2 +«•^■3; Die Bedeutung der Koeffizienten jst einfach die, daß (a, /3, y) einer der drei von den Ecken des Koordmatendreiecks verschiedepen reelle^. Werjide- punkte ist. Wir können ihn beliebig unter 4i6sen Punkten wählen, womit dann T' unter den drei reellen Perspektivit^ten eindeutig bestimmt ist. Xun zeigt eine ganz kurze Rechnung, daß der reelle Punkt: (£ — fS £2 — fS £^ — £3) die beiden Formen (5) und (6) -verschwinden läßt und also einen der fraglichen Wendepunkte liefert. Wir habep also für T' den weiteren Ansatz: Ö ^1 = (£ — £^) Z^ + (f^ — £°) ^2 -f (£* — E^) ^3, ö 4 = (£' — e') ^1 + (£' - £') ^.2 + (£ - £') ^„ Eine ternäre Substitution der Periode 2 hat aber bei unimodularer Schreibweise die Invariante j = — 1. Es gilt demnach: - ö = (£ - £«) -j- (£^ - b') -i- (t^ - a') =-. i ff, so daß die Substitution T' die Gestalt iiat: i-iij^[ = {e - £6)^^ + (£2 _ £5)^^ ^ (gi _ ^3)^^^ <^') -^■V7 4 = (£2 — £5)^^4_(,4_£3).^^_(£ -£')^3> [ - ^ V 7 4- = (£^ - £3) ^^ + (£ - f ß) ^.3 + (£^ - £^) ^3. Aus T' und der unter (3) gegebenen Sdbstiiution S tpird die Klein sehe Gruppe unter Zugrundelegung von WendedreiecJ^sJcoQrdinßten erzeugt *). -Per direkte Nachweis der Invarianz von F(z^, ^2, z^ gegenüber T ist etwas umständlicher zu führen als mit oktaedfischen Koordinaten. *) Man zeigt nämlich sofort, daß T' • S die Invariante j = 0 un4 also die Periode 3 hat. Die Jetzt erhaltenen Substitfitionen S, T' entsprechen genau den Erzeugenden (1) S. 42 der Ikos£f,edergruppe.' At^ch in „Mqdulfuiikt." I, 704 ff. Tverden die ternaren 2:-Substituti()nen 8 un4 T' benutzt. ]S,'ur sind die Koordinaten dort Zi, Zi, z^ (statt hier Zi, z^, z^) genannt, und die hier mit S bezeichnete Substitution entspricht der Substitution ca' = co — 1 der Modulgruppe und ist also zu der dort mit S bezeichneten Substitution invers.
200 n, 1. Kleinsche Gruppe und zugehörige Formen. Die Darstellung der gesamten ©^es ^ Wendedreieckskoordinaten führt zu einem Bildungsgesetz, das der S. 42 geleisteten Darstellung der Ikosaedergruppe genau entspricht. An die 7 Substitutionen: /£3-, 0, 0 \ (7) 5-* = 0, £5^,0 , 'X. = 0, 1, -.-, 6, \0, 0, £6^J reihen sich zunächst die weiteren 49 Substitutionen S''-T' -S^, d. h. ausführlich geschrieben; l-i^Yz[= E^'^ + ^^-is -S^)z^ + 8^'' + ^'is^-s'')Z^^s'''^^^(E^-S^)z^, (8) -iV7"4= s^" + ^'{e^ - s')z^-^ s^^- + ^\e' - s^)z^^ s^-'-r ^\e -b^)z^, U i fiz\ =z e'"- ^ ^\s' - &')z^ - s^'- + '\s - s')z^-r s^^' + '^{s^-e')z„ wo 5£ und l die Zahlen 0, 1, 2, •••, 6 durchlaufen. Der Rest besteht aus den 2 • 56 ähnlich gebauten Substitutionen: (9) T" • S^, U''-S^--T'- S^ ;« =: 1, 2, wo U die zyklische Permutation (4) der z ist. Die Transformationsformeln des einen der beiden Koordinatensysteme in das andere stellt man in der Art auf, daß man zunächst nach S. 4 ff. die Pole (x^, x^, x^) der durch (19) S. 193 gegebenen Substitution S berechnet. Man findet die drei Punkte: (S^, -1-8-8^ S+S^), (£^ -!-£*-£, £*-r£^), (8^, - 1-8^ - 8^, 8'- 8% Zwei dieser Tripel können auch durch diejenigen ersetzt werden, die aus dem dritten durch zyklische Vertauschungen der x hervorgehen. Die Gleichungen der Seiten des zugehörigen Poldreiecks sind daraufhin sofort angebbar. Die z^, z^, z^ sind dann so anzusetzen, daß der zyklischen Permutation der x die der z entspricht und die Substitution S in den z die Gestalt (3) annimmt: Dem Zusammenhange zwischen den oktaedrischen Koordinaten x^, x^, x^ und den Wendedreieckskoordinaten z^, z^, z^ kann man die Gestalt geben: { 2-^= -r »1 — (£^ + £* + £°)»2 + (£* -f 8^)x^, (10) ^2 = -r (£' + £')»! -I- -^2 - («' + «' + £')^3 > l ^3 = — («^ + «* + «^)^i -r («* + £^)»2 -r Lallan zeigt ohne Mühe, daß sich die unter (19) S. 193 gegebene Substitution T auf die Koordinaten z in die aus (8) zu entnehmende Substitution S^'T' -S^ umrechnet. Aus der Gestalt der Substitution S^-T'-S^ folgt nämlich leicht: z[ + z,= (8' + 8^) {/. + z,), 4 + ^2 =-(£' + £' -r eWs + ^z), sowie weiter unter Benutzung der Substitution (10): ^3 -p ^3 = 2 .^3 , Z[J^Z^=2 a-3 (8' + 8% Z', + Z, = — 2 T3 (f^ -^ 5^ -f f^).
Klein sehe Gruppe in Wendedreieckskoordinaten. 201 Aus (10) folgt somit für die der Substitution S^-T'-S^ entsprechende Substitution der x: (X[ 4- X^) — (£3 -^ E^ -j- £5) (4 + X^) -f (£* -r£^)(% — »s) == 0> (£^ + 8')(x[ + x^) -r (4 + X,) - (£3 4- s^ -I- £5)(^; _ ^^) ^ 0, — (£2 -p £^ -f- £°)(a?; -T- »i) + (£* + £')(»2 -f- »,) -r (% — %) = 0. Die Determinante dieser für die (x[ -\- x.^), (x\ -\- x^, (% — x^) linearen homogenen Gleichungen ist die der Substitution (10)^ also vor). 0 yer- schieden. Somit gilt: x[ ^ x^ = 0, 4 T- ^»2 = 0, x's — »3 == 0, so daß wir die Substitution T von S. 193 erhalten. § 6. Zwei Systeme vpn quadra^tischen Oktaei^erformen. Die bevorzugte Oktaedergruppe ©^^ hat; ^Is einfachste absolute Li- variante diejenige zweiten Grades {xf -j- x| -\- xi). Diese ist also gegenüber der gesamten Klein sehen Gruppe eine anter sieben konjugierten quadratischen Oktaederformen, die de'(i sieben i^onjugierten Teilern ©g^ des einen StfStems als Invarianten zugehören. Wir bezeichnen die mit 4 multiplizierte Form {Xi -\-xi -\-x^) durch ■4^^^{x■^, x^, x^) und stellen aus ihr die weiteren sechs Formep d^rch Ausübung der Substitutionen S, S^ •••, S' her: ^0 = 4:{x! ^ xi i- x!). ^,= - 2(Ö + 2)xl -f- (Ö + l){xl -h xh -f- 2{ß - B)x,x„ ^^= — 2(Ö + 2)xl + (Ö + l){xl -r xl) -r- W — ^)x.,x^, (1) ; ^3 = - 2(Ö + 2)0^1 -f (Ö -f l){xl - x!) - 2(6 - ^)x,x„ ^,= - 2(Ö -f 2)x! -^ (Ö T l){x! r ^!) i- 2(Ö - ^)x,x„ t,= - 2{ß -f 2)0^1^ -^(e~\- l)(xl 4- xl) - '^{6 - S)x,x„ t^g = - 2(Ö -f 2)xi -f (Ö ^ l)(x! i- xt) -2(0-- S)x,x,. Bei den erzeugenden Substitutionen S und T der @jgg erfahren diese Formen die Permutationen: (2) S = (i/;,, ip„ i,^., T/;3, T/.,, T/;,, t/;^), T = (i/;,, ^/;,)-(j^,, l/'s)- Gegenüber der zyklischen Pennutation der x^, x^, x^ pennutieren sich die drei Formen i/; zyklisch, deren Indizes die quadratischen Reste von 7 sind, und ebenso die drei Formen i/;^ mit den quadrat}.sch&n Nicht- resten v.
202 n» 1- Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. Die Ausübung der Substitution U (vgl. (11) S. 191) auf die Formen (1) führt zu den sieben konjugierten quadratischen OUaederformen, die dem zweiten System der sieben konjugierten Teiler ©g^ zugeMren: ^^ = (Ö -f l){x't -^r 4 -f xf) - (3Ö -f o){x^x^ -f 0^30;, -f x^x^), ^, = - (3Ö -f l){xl -f xl) + 2(6- l)xi, 'i,^= — (3Ö + l){xl -H xl) ~\-2{e — l)x!, (3) ^ ^3 = (Ö -f l)ix! -f xi -f xl) -f (3Ö -f o)ix,x, + 0^30;, -a^.a;^), ^^ = — (3Ö -f l)(a;| -f %^) -f 2 (Ö - l)a;|, ^^ = (Ö ~f l){oo! -}- xl ~f a;|) ~f (3Ö -f o)(a;2a;3 — a^gä^i ~f x^x^), ^g = (Ö + l)(%2~f a;|~f a;|)-(3Ö~f o)(—a;2a;3+-a;3a;i~f a^io;,). Diese Formen erfahren gegenüber den erzeugenden Substitutionen S und T die Permutationen: (4) S ;= (4},, -^„ ^2, ^3, %, ^5, p,), T = (^,, ^3) -(^5' ^e)- Bei den zyklischen Permutationen der x zeigen sie dasselbe Verhalten wie die Formen (1). Unter den Formen ^ des einzelnen Systems kommen sechs, aber natürlich auch nur sechs linear-unabhängige vor. Man hat nämlich überhaupt nur die sechs linear-unabhängigen quadratischen Ausdrücke ^ij 4, •••; ^1^2' ^^^' ^^^^ leicht in den i/; des einzelnen Systems darstellen lassen. Die Summe der Formen des einzelnen Systems verschwindet identisch: (5) 2 ^^ = 0' 2 ^^ = 0- Indem man die Ausdrücke der Xi, x^, ••-, x^x^ durch die Formen des einen Systems in die Darstellungen des anderen Systems einträgt, gewinnt man die folgenden wichtigen Beziehungen: (6) I f^^ = ^v + 3+^.+ 5+ ^. + «, ^^^^^^ ^^ ^ g^ vermöge deren sich die Formen jedes Systems in denen des anderen darstellen, hi (6) hat man rechts die Indizes nötigenfalls mod 7 zu reduzieren. Man überzeuge sich, daß zufolge (6) die Permutationen der Formen des einen Systems einfache Folgen der Permutationen der Formen des anderen Systems sind. Da die zyklische Permutation der x diejenige der z nach sich zieht, so sind die Formen t/;^ und 1/;^ auch in den z^, z^, z^ symmetrisch gebaut. Man hat also für ij;^ den Ansatz: ^0 = « C-^' + ^1 + ^1) + 6(^2^3 + ^3^1 + ^1^2)- Man findet aber aus (10) S. 200 nach kurzer Rechnung: 4-^4~\-4 = —ds'is'-8'>Y(x!+xi~\-xl~\-e{x,x,~\-x,x,-^x,x,)), ^i^3~\-^3^1~\-^1^2=—^^(^^—^^T(4~\'Xl-^xl — ^(X^X^-\-X^X^~\-X^X^))
Zwei Systeme von sieben Oktaßderformen. 203 Es wird weder die Permutatioaen (2) und (4) noch die Beziehungen (6) stören, wenn man die sämtlichen in den z geschriebene^. Okfcaederforn^en um einen gemeinsamen konstanten Faktor ändert. Wir erklären d[emn9,ch die Oktaederform tp(^{z^, z^, z^ durch: (7) ip^ = zl ~f zl + zl -f- Ö 1^2^3 + ^3^1 ~f s^z^ imd finden aus den beiden letzten Gleichungen die Beziehung: (8) - Ö y, {z^, z,, z,) = £« (£^ - sy ^, {X,, X,, X,) Man gelangt zu dem Ergebnis: Die OMaederformen der leiden Systeme schreiben sich in den z^, z^, z^: I yfy=z E^" Z^ -\- B^" zi ^ B^" zl -{-^ {e^'' Z^^Z^-^ E^" Z^Z^-^ E" Z^Z^, wo V die Werte 0, 1, •••, 6 durchläuft; die Permutationen (2) und (4) und ebenso die Beziehungen (5) und (6) bleiben in Kraft. Die Formen ly;, ergeben sich unmittelbar aus (7) durch wiederholte Aiisübnng der Substitution S. Aus ihnen berechnet man weiter die Formen ip^ am einfachsten mittels der Beziehungen (6). §7. System der Invaqantipn der Kleinschen Gruppe"^). Kach S. 189 ist die biquadratische Form F eine absolute Invariante der ©jgg- Die damalige Betrachtung zeigt, daß überhaupt jede invariante Form der Kleinschen Gruppe eine absolute Invariante derselben ist. Kach S. 18 lassen sich alle diese Formen in gewissen endlich vielep unter ihnen rational und ganz darstellen. Dieße endlich vielen Fprmen bilden das „volleFormensystem" der Gruppe @,^gg Klein hat gezeigt, daJ3 dieses System aus vier Formen besteht; zu den uns bereits bekamiten Formen F und ^ kommen nur noch zwei Formen liin2u, nämlich eine solche vom J4ten ^jjj^ ejjQ^e solche vom 21^*^^* Grade. Den Beweis dieser grundlegenden Tatsache führt Klein mittels geometrischer Überlegungen, die sich auf die Kurve vierten Grades ^ = 0 stützen. Irgend eine invariante Form der @jgg enthält entweder die Form F als Faktor, oder sie Kefert, unter n ihren Grad verstanden, gleich 0 gesetzt eine Kurve w*^" Grades, die die Kurve F = 0 in einepi invarianten System vpn 4w Punkten schneidet. Ein solches System stellt 4» nur untereinander äquivalente Punkte dar. Diese invarianten Punktsysteme der Kurve F =z 0 werden wir aber nach S. 194 ff. leicht charakterisieren können. ^) Bei der folgenden Unters(ichung ist der Gebrauch der Wendedreieckskoordinaten Zl-, z^i Zz zweckmäßig, so d^ fur die invarianten formen vierten und sechsten Grades die S. 198 eingefujirten, Bezeichnungen benutzt; werden.
204 III 1- Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. An invarianten Punktsystemen auf der Kurve vierten Grades haben wir nämlich erstlich die 24 Wendepunkte, die 56 Berührungspunkte der Doppeltangenten und die 84 sextaktischen Punkte, sodann weiter irgendwelche Systeme zu 168 äquivalenten Punkten, die von den eben genannten besonderen Punkten verschieden sind. Irgend ein beliebiges invariantes Punktsystem wird sich aus jenen besonderen Systemen in der Art aufbauen, daß es die 24 Wendepunkte a-fach enthält, die 56 Berührungspunkte der Doppeltangenten |3-fach usw. Ist also n der Grad irgend einer invarianten Form, die die Form F nicht als Faktor enthält, so gilt für 4 n eine Gleichung: (1) 4/^ =: 24« +56^~f 84j;—168d, wo a, ß, y, 8 nicht-negative ganze Zahlen sind. Zwei Formen, die nur um einen konstanten Faktor voneinander verschieden sind, sehen wir als nicht wesentlich verschieden an. Dann folgt aus (1) zunächst, daß es für w <^ 6 außer der Form: (2) F{^^, ^2, ^3) = ^1^2 + 4^3 -f ^1^1 selbst keine Invarianten der Klein sehen Gruppe geben kann. Weiter haben wir für n = ß nur die uns gleichfalls schon bekannte Form: (3) * (^j, ^2, ^3) =: 5 z^ 4 ^1 — ^14 — ^2 ~3 — ^z 4 ■ Gäbe es nämlich eine zweite invariante Form ^' dieses Grades, so würde sie, da für sie wieder «=1, |3 = 0, j; = 0, ^ = 0 zuträfe, gleichfalls die Wendepunkte der Kurve vierten Grades zu Nullpunkten haben. Dann aber ließe sich ein konstanter Faktor 1 so bestimmen, daß die Kurve sechsten Grades ^' — l^ =z 0 noch einen beliebigen weiteren Punkt mit der Kurve ^ = 0 gemein hätte. Also würde die Form (^' — 1 ^), ohne identisch zu verschwinden, F als Faktor aufweisen, und der andere Faktor wäre eine Invariante zweiten Grades, was nicht möglich ist. Für Formen der Grade » = 7, 8, • •-, 11 folgt aus (1) leicht, daß sie F als Faktor haben müssen. Man hat also nur die beiden Möglichkeiten F^ und ^. * für » =z 8 und » = 10. Für n = 12 reiht sich eine Schar von Formen {v.F'^ -r- l^'^) an, die gleich 0 gesetzt: (4) '^^« + 2*^ = 0 eine Schar invarianter Kurven zwölften Gradeb liefern, auf die wir unten zurückkommen. Jede dieser Kurven hat in den Wendepunkten der Kurve F rz=: 0 vierten Grades 24 Rückkehrpunkte; im übrigen bedeckt die Schar die Koordinat^enebene in der Art einfach, daß durch jeden Punkt der Ebene eine und nur eine Kurve der Schar hindurchläuft. Für » =z 14 haben wir eine wesentlich neue Lösung der dio- phantischen Gleichung (1), nämlich a = 0, /3 = 1, y := 8 =■ ^. Klein erklärte eine invariante Form dieses Grades durch die mit den
Volles Pormensystem der E lein sehen Gruppe. 205 ersten Ableitungen von ^ geränderte B esse gehe Determinante von J'*). Wir setzen: dz, d ^ d ^ (5) ^W{z^,z„z,) = d^F dzl' 0'F 'bz^öz. d'^F d z^ d z^ d^ £)e,' d'^F dz^dz^' d'F ' dzl ' d'F dz^ds^ g* dz^' c^F dz^dz^ d^F ?jz^dz. d^F ' d^r 8* a^^s' 0 Xach der Berechnung von Gordan *=^) ist die entwickelte Gestalt dieser Form: *^ M ^ ^loz^zlzliztzl -^..,) -^ 18 {zlzl -..•)-l2^zlzUI{^l4 -•••), wo in jeder Klaromer noch die aus dem ersten cfurch zyklische Permutation der z entstehenden Glieder hinzuzusetzen ^ind Offenbar enthalt ^ die Form F nicht als Faktor, so daß die Kurve 14*^" G^-ades !F= 0 die 56 Berührungspunkte der Doppelt^ngenten auf ^ea Kurve vierten Grades ausschneidet. Den gleichen Zweck erreicht paan übrigens mit den beiden zerfallenden Formen 14*^" Grades: 6 6 (7) Yiw^i'i^ 'v ^3)> ri¥v(^i> ^v ^3)^ wo tpy und -y/^ die Oktaedeiformen (9) [S. 203 sind Man überzeugt sich nun sehr leicht wie oben, daH alle invarianten Formen Ipen Q-raäeb der Gruppe ©^gg eine Schar UJden, die ifi der Gewalt: (8) ^W^lF'^ darstellbar ist. Speziell für die beiden Formen (7) stellt pan leicht die Darstellungen fest: (9) 13^"= ^+(70-62)^2^,1 n^>= 5»+(7 0-62)^2*. Auf die durch Xullsetzen der Form (8) entstehejade Schar von Kurven 14ten Grades kommen wir unten noch zjirück. Für die nächstfolgenden Grade » == 16, 18 und 20 erweisen sich die invarianten Formen wieder durphweg als durch F, ^ und W rational darstellbar. Die niederste in (1) zulässige unge|?ade Zahl n ist 21, mit der Lösung a = ß = 8=^0, y = l dieser diophantischen Gleichung. Es kann nur eine einzige inyariante Form 2lsten Grades X{Zj^, z^, z^) ^) Die Invarianteneigenschaft dieser Determiaante wird S. 332 ff. dargelegt. **) In der Arbeit „Über die typische Darstellung ief ternaren biqiadratischen Porm usw.^ Math. Ann. Bd. 17, S. 372 (1880).
en F, dF ^' d^ dz^' *, !F durch: 'dF dF 8^2' S^3 d^ d^ dz^' dz^ dW d^ "8^' J7s (11) 206 11? 1- Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. geben. Jede solche Form liefert nämKch, gleich 0 gesetzt, eine Kurve 2lsten Grades, die zufolge (1) die 84 sextaktischen Punkte auf der Kurve vierten Grades ausschneidet. Gäbe es nun zwei wesentlich verschiedene Formen X und X', so könnte man zufolge einer schon vorhin dargelegten Überlegung eine Form (X — l X') bilden, die nicht identisch verschwindet und F als Faktor hat. Es bliebe als zweiter Faktor eine invariante Form 17ten Grades, was nicht möglich ist. Klein erklärt die Form X als Funktionaldeterminante der Formen F, (10) — 14 X(^,, Xach den Rechnungen von Gor dan hat man explizite: [X{z,,z„z,)^zl'^zl'^zr-1 z,z,z,{zrz,^...)^2ll z,z,z,{,^zr^:.) - 308^f 4^1 {zl^zl + •..)- 37 {zl^zl 4-...)- 289 {zlzl^ + .••) -^ 4018 z^zi zi (z^ ^2' V ■ • •) -^ 6 3 7 ^f zi zl {z^ ^| + • • •) ^ im^z^z^z^izl'zl + ...)- Q279z!ziz!{ß^zl + .••) ^ 7007 zizizi (z^zi ^...)-10010^*^2'^1 (z;:zi ^...) -3432^/^.J^J, wo wieder in jeder Klammer die beiden Glieder zuzufügen sind, die aus dem ersten durch zyklische Permutation der z entstehen. Diese Form ist in das Produkt von 21 linearen Formen zerlegbar, die gleich 0 gesetzt die 21 PerspeJdivitätsachsen darstellen. Das Produkt dieser 21 Linear- formen ist nämlich eine invariante Form 21^*^" Grades, und wir haben im wesentlichen nur eine solche Form. Irgend ein System von 168 getrennt liegenden, bezüglich der ©^gg äquivalenten Punkten der Kurve vierten Grades kann man durch eine Kurve 42^"" Grades der Gleichung: (12) xW^ + 2.0'' = 0 ausschneiden. Man kann nämlich den Wert x.l so wählen, dai3 die in (12) links stehende Form an einer beliebig vorgeschriebenen Stelle der Kurve vierten Grades verschwindet. Sie verschwiadet dann eben auch an allen äquivalenten Stellen. Es ist jetzt leicht, den folgenden Hauptsatz zu zeigen: Das volle Formensystem der KJein sehen Gruppe besteht aus den Formen F^ #, ^ und X. Der Beweis gelingt durch den Schluß der vollständigen Induktion. Eine ia einer beliebig vorgelegten Form als Faktor auftretende Potenz von F denken wir fortgehoben. Die restierende Form f{z^, z^^ z^ habe den Grad % und Kefere eine Kurve n'^^ Grades f =i 0, die auf der Kurve
Volles Formensystem der Klein sehen Gruppe. 207 vierten Grades ein invariantes Punktsystem ai^sschneidet, das entsprechend der Gleichung (1) aus dem cc-fach gezpHten System der Wendepunkte, dem /3-fach. gezählten System der Berührungspunkte der Doppeltangenten, dem y-fach gezählten System der sextaktischen Punkte und aus d Systerfien zu je 168 unter sich verschiedenen äquivalenten Punkten besteht*). Es ist dann möglich, eine Form w*^" Grades: d (13) SB- Wß Xy. \\ (X, W^ ^ i, #0 Z —1 mit geeigneten Faktoren des Produktes aufzi|baue|i, die gleich 0 gesetzt eine Kurve w*^" Grades mit genau demselben Schrfiittpunktsj'-stem auf der Kurve ^ = 0 liefert. Man kann alsdann eine von 0 verschiedene Konstante c so bestimmen, daß die Form n^^'^ Grades: ä noch einen (4» -f ^Y^^ Nullpunkt auf der Kurve .F == 0 an beliebiger Stelle hat und also wegen dieses überzähligen JTullpunktes den Paktor F besitzt. Daraus folgt die Möglichkeit der Darstellung ä f=c^ W^Xr. Yli^^W + A,*0 -r Ff, der Form f, wo f, eine Form des Grades (w — 4) ist. Hiermit ist der Schluß der vollständigen Induktion begründet, da bis zi^m G^ade w == 21 alle invarianten Formen' der @jgg durch F, ^, W und X rational i;nd ganz darstellbar sind. Zwischen den vier Formen F, ^, ^ und X der drei Variablen s^, z^i ^3 muß nun eine algebraisphe Relation bestehen, (Jie wir noch aufzustellen haben. Die Kurve 42^*^^^ Grawes (12) schneidet auf de^" Kurve F =z Q ein System von 168 im allgemeinen getreimt liegenden Ipunkten aus. K'ur für ;< == 0 fallen diese Punkte zu je 7 ip die 24 Wendepunkte, für A = 0 zu je drei in die 56 Berührungspunkte der Doppeltangeni^en und für einen noch festzustellenden Quotienten '/,:X zu je zweien in die 84 sextaktischen Punkte. Diese letzteren Punkte werden, einfach gezählt, durch X ■=. 0 ausgeschnitten. Durch Wiederholung der eben an (13) angeschlossenen Uberlegupg gnlangen wir zu dem Ansatz: (14) X^ ^^W^^l^' + F.f, für die in Bede stehende Relation. Hier ist f^ eii^e Form 38»'^'! Grades, die wegen dieses Grades eine rationale ganze Funktion von F, ^ imd W allein sein muß. Der rationale Ausdruck von f^ in Fi ^ und W ist leicht mit unbestimmten Koeffizienten anzusetzen. Zur Bestimmung der Koeffizienten kann man den Umstand benutzen, daß die Eiijitragimg der *) Diese S Systeme brauchen naturlich nicht durchweg yerscMeden zu i
208 II) 1- KJemsche Gruppe und zugehörige Formen. Ausdrücke der Formen F^ ^, W, X durch die z^^, z^, z^ in (14) zu einer in den z identisch bestehenden Gleichung -führen muß. Hieraus entspringen lineare Gleichungen für die unbestimmten Koeffizienten^ aus denen diese eindeutig berechenbar sind; denn die Relation (14) ist selbst eindeutig bestimmt. Auf anderem Wege fand übrigens bereits Gor dan in der eben genannten Arbeit den fertigen Ausdruck der Relation (14) in der sogleich anzugebenden Gestalt: Zwischen den vier Formen des vollen Systems der Klein sehen Gruppe ©jgg besteht die Relation-^ durch die das Quadrat der Form X als rationale ganze FunMion der drei anderen Formen dargestellt ist. § 8. Invarianten der Klein sehen Gruppe in oictaedrischen Koordinaten. Bedient man sich der ursprünglichen oktaedrischen Koordinaten, so hatte die biquadratische Form nach S. 192 die Gestalt: (1) F{x^, x^, x^) == xt ~f a;,* ~f %* ~f Sd(xix! + xix^ + x^xi). Für die invariante Form sechsten Grades 0(x-^, x^, x^) gelte hier die folgende Erklärung durch die Hessesche Determinante von F: d^F d^F d^F (2) 216(6 —1)0(x^, x„ x^): Man berechnet dann leicht als entwickelte Gestalt von 0: i0 = 2 (x^ ~f xi ~f x!) - 5 6{x^xi + xtxl^ x-lxl^ x^xi+ x^x^+xi xi) ^ ^ 1 —20{0-^2)x^x.!xi. Die Formen" (1) und (3) sind symmetrische Funktionen von xf, a;|, xf und stellen sich in den symmetrischen Grundfunktionen Sj, s^, Sg dieser drei Größen (vgl. I, 100) in der folgenden einfachen Gestalt dar: [ F=s'}-(Se-^6)s„ l 0= 2s-'-f (5Ö —l)s,S2 —7(oÖ ~f 7)S3. Die Heranziehung dieser symmetrischen Grundfunktionen Sj, s^, s^ gestattet leicht auch die Bildung zweier Formen 14*^'! und 21^*^11 (^l-rades. Eine Form 14tea Grades gewinnt man am einfachsten in dem durch 4 geteilten Produkte der sieben Oktaederformen (1) S. 201: 6 (o) 4:W(x^, x^, x^) = Yl ^vi^i, x,_, »3) dx!' d-F dx^dx^ d^F dx^dx^ di ' ' Cj 8 ajg' d^F dx'i ' d'^F dx^dx, dx^dx^ d^F dx^dx^ d^F
Pormensystem der Klein selben Gruppe in oVtaednschen Koordinaten. 209 oder ausführlicher ge&ehrieben: (W== (x! + 4 -f xDllii (30 + 2) xt -r (B - 1) (xi -f- »/) 1 —Sßx^ (^1 + xl) -4- 30 (/9 - l) xl 'xl\ wo sich das Produkt auf die drei Faktoren bezieht, die aus de^i in der Klammer angegebenen Ausdri(.ck durch die zyklischen Permutatipnen der X hervorgehen. W ist eine symmetrische Funktion von xl, xl, xi, die in den drei Grundfunktionen vonq. Grade 7 und voip. Gewichte 7 ist. Da sie den Faktor s^ besitzt, so setzt man sie leicht siebengliedrig mit unbestimmten Koeffizienten an. Yier von den Koeffizienten bestimmen sich durch eine ganz kurze Rechnung, \^enn man x^= 0 setzt. Für die drei übrigen Koeffizienten setze map. einige spezielle Wßrte der a;f, x|, «f. wie z. B. xl = 1, ä;| = i, x? == — i oder x^ == 1, a;| =- q, x^ = q- «in. Als entwickelten Ausdruck der Fprm W gewinnt man: <7) +7^(53 0-3^.11)8,^1 +2.7^(421 ^y-3.883)ö^2Ö3 ( — 2'-.73(UÖ -23)ö,s| +7^(7. iUy +23.67)ö,ö|. Die Form 2lsten Grades köimte man als Funktionaldetermin^nte von F, 0, 3*" in bezug auf die .<;,, x^, x^ dar&teilen, die sich in das Produkt der Funktionaldetem^inante voifi F, 0, 3*" in bezug auf t^^, s^, Ö3. und derjenigen von s^, s^, Ö3 in bezug auf die x^, x^, x^ spaltet. Die letztere Determinante ist das Produkt von x^^x^x,^ und dem Differenzenprodukte der xl, xi, xf, also die Quadratwurzel aus D-b^, unter D die Diskriminante der kubischen Gleichung mit den Wurzeln x^, x'l^ /^ A-er- standen, die sich nach I, 110 in den Grundfunktionen so darstellt. <8) D = 4 4 — 4 ^i S3 + 18 ö, §2 S3 — 4 ö,^ — 27 5^ Man kann aber auch die Form 2P*^'i Grades X (a;,, x^, x^ miitels der Linearformen (1) S. 194 durch die Gleichung erklären. 20 <9) 8(Ö - 1)X(^,, X,, X,) = ]][^^(^i' ^2' ^3)- Man findet dann: r X = ~{^f) -\-l)x^x^x^ (xl — x?) (x.f — xf) {xl ~ li) ^^^^ \ -11(^^0 -r 2)xt + x| + xi + 2(0 + 2)xlixi + xf) - 2xix!) oder kürzer geschrieben: {X--=^~{Sd-rl)ivi, llisl -r 2(Ö i- 1).^ + (3Ö ^ 1):.,* 1 -2(S~r3)x:jxl), Fricke. Algebra. II. 14
210 II, 1. Klein sehe Gruppe und zugehörige Formen. WO sich die Produkte wieder auf die zyklischen Permutationen der x beziehen. Aus (11) ergibt sich durch Ausmultiplizieren der drei Klammerausdrücke folgender entwickelte Ausdruck von X: [ X == V^ (2*Si^ + 23 (3 Ö — 7)s* Sa + 2^. 3 (28 Ö + 3' • 5) s^s^ (12) __ (32.11 Ö+ 72) ,2 s|_ 2(5.19 Ö+3.151) s.s^Sg [ +22(3 0 + 17)4 + (457 0 + 3.11.l9)ö|). Den Ausdruck von X^ in den drei anderen Formen kann man mit neun unbestimmten Koeffizienten ansetzen. Diese Relation besteht in den Sj, Sg, Sg identisch. Indem man dies identische Bestehen fordert und der Reihe nach Sg = 0, s^ == 0, Sg == 0 einträgt, gelingt die Bestimmung der Koeffizienten. Die Rechnung ist indessen umständlich. § 9. System der acht Wendedreiecke. Den acht konjugierten Teilern ©gi "^^^ IQein sehen Gruppe @jgg gehören als Invarianten acht konjugierte kubische Formen zu, die gleich 0 gesetzt die acht Wendedreiecke darstellen. Da eines dieser Dreiecke das Koordinatendreieck der z ist, so erscheint hiei der Gebrauch der Wendedreieckskoordinaten am Platze. Die Bezeichnung der Indizes dieser acht Formen, die wir ^^, cp^^ (p^^, •••, ^g nennen, rührt aus der Theorie der Modulfunktionen siebenter Stufe her. Die erste Form <poc(^i, ^a, ^3) liefere das Koordinatendreieck und sei genauer durch: (1) cp^ = -7,,z,z, gegeben. Sie gehe durch die Substitution T' von S. 199 in (p^ über, und cpf^ werde durch die Substitution S^ von S. 197 in (p^ übergeführt. Eine einfache Rechnung liefert dann folgende Gestalt der (p^: i +2 8^-Z^zi + 2 8^-Z,4~\^2s^'Z,4, ^zz: 0, 1, 2, ..., 6. Gegenüber den Substitutionen der Klein sehen Gruppe bilden die acht kubischen Formen (p eine Gruppe ©^gg von 168 geraden Permutationen, und zwar entsprechen den beiden erzeugenden Substitutionen S und T\ wie man leicht feststellt, die Permutationen: .3s J ^ == (^Co» 9l' 92> 93> 94> 95' ^e)' [ T' == (cp^, 9o)-(9i' 96)-(92' 93)'(9i' 9-o)-
Formenproblem der ®jgg und ßesolventen ßiebei^ten Grades 211 Zweites Kapitel. Formenproblem der Klein sch^ifi Gruppe und Gleichungen siebenten Grades. § 1. Ansatz des Formenpioblems UQd Resolvente siebenten Grawes. Entsprechend den allge^ieinep Ansatzei^ von S. 19 ff. ist das „Formen- problem" der temären Klein selben Gruppe @jgg in folgender Art zu formulieren: Es sollen aus gegebenen Werten ßer vier inoarlaifden Formen F, 0, W X, die die zwischen diesen Formen besiehende Relation befriedigen müssen, die Argumente, d. h. also entweder die x^, x^, x^ oder die z^ s^, z^ berechnet werden. Es handelt sich hier um ein „Galoissches Problem" oder „Kormalproblem'- mit 168 Lösungen, insofern mit einer Lösung alle 168 Lösungen rational bekannt siijid. In der Tat stellen sich ja alle Lösungen in einer ersten durch die 168 Su|bstitiitionen unserer temären Gruppe @^gg dar. Arbeiten wir mit den x^, x^, x^, so ist an numerischen Irrationalitäten zum rationaleq Körper von vomheipein die ^aw^e algebraische Zahl zweiten Grades B zu adjungieren. Werden die z^, z^, z^ bevorzugt, so ist sogar die siebente Einheits,wurzel s, also eine ganze algebraische Zahl sechsten Grades zu adjungieren. Als „Totalresolventen- (vgl. I, 382) niedersten Grades hat man zwei Gleichungen siebenten Grades, die dei^ beiden Sj^stemen von sipben konjugierten oktaedrischen Teilern ®^^ zufgehören. Map stellt diese Gleichungen sehr leicht in der Weise auf, daß man die Potenzsummen der sieben Oktaederformen des einzelnen Systems in den Formen F, ^, W darstellt und dann auf Grund der Regeln von I, I02|f. die Koeffizienten der ßesolvente berechnet. ßei G-ebrauch der oktaedrischeß Koordinaten hat die eine JResolvente [Formensybiem (L) S. 201] die Gedalt: { T/;^ —14(0+1) i^T/;^ + 14(0 — 1)01/;^ ~f 7 (1U> — 7) F^/.^ (1) -r 14(9 0 ~f 19)F07/^2 _,. 7(4(^_^ 11)^3 _ (17^^ 4_ll^,^2)^ ( _ 4 jff = 0 und die zweite [Formensystem (3) S. 202] : [ ^^~f 7(Ö + 2)F^^—7(3ö-f 1)01^^7(130^15)^2-^3 (2) — 14(130 —l)Fa>^2^7((31Öfo)F^ — 8(Ö-r 3)02)^ ( — (4g«"-7(l3Ö~f 31)F2 0) .= 0, bei Gebrauch der Wendedreieckskoordinaten ist die erste Beoolvente [efdes Formensystem (9) S. 203]: die bei Ersatz von 6 durch 8 unmittelbar in die zweite Ecbolpentc übergeht. 14=^
212 11, 2. Formenproblem der ©jgg und Gleichungen siebentea Grades. Nach der vollständigen Lösung einer dieser Gleichungen siebenten Grades sind nur erst die Quadrate und die zweigliedrigen Produkte der x bzw. z rational bekannt. Die Berechnung dieser Größen selbst aus den tIj erfordert noch die Ausziehung einer Quadratwurzel *). Man findet nämlich, wenn man z. B. mit der Resolvente (1) arbeitet, aus (1) S. 201 leicht die folgenden Darstellungen der Quadrate und Produkte der x in den il)^: 56 x! = (Ö 4- 4) 1/;^ -f (3 «9 — 2) {^p, + i^,), _ 6ßxl ^ (ö + 4)T/;, + (3Ö-2)(^,-f i/;3), Qox, == (6 -t 4:) ^, -^ (SB - 2) (^p^ + i^,), (4) 6Qx,x,= -(Ö + 4)(t/;,-t/;.), 56 x,x,= -{8 ^ 4) (T/;^ - ^^), öQx^X,= - (Ö ^ 4) (i/;, - T/;g), woraus die gemachte Angabe hervorgeht. Die hinzutretende Quadratwurzel ist unentbehrlich, da bei gleichzeitigem Zeichen Wechsel der x die 1^^ unverändert bleiben. Arbeitet man mit der Resolvente (3), so ist, wie bemerkt, a zu adjungieren. Die Quadrate und Produkte der ^ werden dann von den „Lagrangeschen Solventen-' (vgl. I, 413) der Wurzeln der Gleichung (3) geliefert: (5) <; '^4=^e''y^r, 14:^,,^ = -(e^l)^a^^^yj,, wo V die Zahlen 0, 1, 2, - • •, 6 zu durchlaufen hat. Diese Gleichungen gehen unmittelbar aus (9) S. 203 hervor. § 2. Spezielle Resolventen siebenten Grades. Es gibt eine bemerkenswerte Art, die Resolventen siebenten Grades auf einem direkten algebraischen Wege aufzustellen, der allerdings einer transzendenten Begründung bedarf. Xach S. 187 (unten) entspricht dem einzelnen Teiler <>\ innerhalb der (S)^gg (aller mod 7 inkongruenten Substitutionen der Modulgruppe) eine Kongruenzgruppe siebenter Stufe des Index 168 ^-^ innerhalb der Modulgrappe. So haben wir den zwei Systemen von je sieben Oktaeder-®^^ entsprechend ^wei Systeme uon je sieben honjtigierten Kongruenzgruppen des Index 7. Der DB einer einzelnen dieser Gruppen muß aus den sieben zu den Substitutionen 1, S^^. S-^, S-3 gehörenden Dreieckspaaren des Dreiecksnetzes der Modul- *) Man beachte, daß durch die Angabe des Wertes der Form X ungeraden Grades die Quadratwurzel eindeutig bestimmt ist.
Diskontinuitatsbereiclie fur die speziellen Eesolventen siebenten Grades. 213 gruppe zusammensetzbar seip, unter S die erzeugende Substitution /I, 1\ der Modulgruppe verstanden; denn die zu dieser &ubstiti|tion gehö:pende zyklische ®^ ist in der Oktaeder-@24 nicht enthalten. Der fragliche DB ist in Fig. 26 wiedergegebea. Per Versuch zeigt aämlich, daß es im wesentlichen nur eine einzige Art gibt, die Randkurven dieses Bereiches zu Paaren einander zuzuordnen. In der Tat hat diese Zuoydnui^g so zu geschehen, daß man bei der Abbildung des Bereiches vermittelst der Modulfunktion erster Stufe J((o) zu e^ner sieber^blättrigen Riemann sehen Flache über der /-Ebene mit zulässiger Verzweiguag gelangt. Dabei sind aber Verzweigungspunkte nur bei / ^ 0, 1 und cx) zulässig, und zwar an den beiden ersten Stellen nur drei- bzw. zweiblattrige Verzweigungspunkte. Die Behauptuag, es gäbe ,im wesentlichen- nur die in Fig. 26 angegebene Zuordnung der Randkurven des DB, ist sp zu verstehen, daß die Zuordnung sowohl durch die Substitutionen S-^, S--, S-^ als auch durch die Spiegelung U an der imaginären co-Achse und endlich durch S-^ • ü, S-^ - U, S-^-U versetzt werden kann. Aut diese Art aber erhalt man gera,de die DB aller 2-7 ^n Frage ötehendeii Kongruenzgruppen. Ehe die algebraische Ausbeute dieses Absatzes entwickelt wird, gehen wir auf die mit der Modulgnippe kommensurable Gruppe (^(-) zurück, auf die wir S. 100 ff. die Theorie der Bring sehen Gleichung tupften Grades gründeten. Dieser Gruppe gehörte eine Einteilung der positiven Arithmetisch waren die Substitutionen dieser (jiruppe mittels der Irrationalität 12 zu erklären. Da 2 quadratischer Xichtrest von 5 i&t, so lieferte die Hauptkongruenzgruppe fünfter Stufe einen Xormalteiler. des Index 2-60 in der (^O. Hingegen ist 2 quadratischer Rest ^on 7, so daß die Hauptkongruenzgruppe sieber^ter Stufe einen Xormalteiler des Index 168 in der (5)^^ darstellt. Hter mubösn wir also auch wieder ~wet Sydeme von je sieben konjugierten ^ongrmusgruppen dei, Liciex 7 antreffen,. Mit K{^ werde die Funl^tion bezeichaet, die d^s Dreieckspaar des neuen ]S^etzes auf die volle ^-Ebene abbildet !vgl. S. 104ff.j-") In den *) Die damalige Funktion K{o}) mußte zufplge (11) S. 102 eigentlich durch K(Z,^2) bezeichnet werden.
214 n, 2. Formenproblem der @igg und Gleichungen siebenten Grades. drei Ecken der Winkel tj ?:, 0 nehme K die Werte 0, 1, oo an. Der 4' 2 ' DB der einzelnen der eben genannten Kt)ngruenzgruppen des Index 7 besteht dann wieder aus sieben nebeneinander gereihten Dreieckspaaren. Verzweigungspunkte über der JST-Ebene können wieder nur bei ^ == 0, 1 und oo auftreten, und zwar an den ersten beiden Stellen nur vier- und zweiblättrige bzw. zweiblättrige Verzweigungspxmkte. Der DB einer der Gruppen ist in Fig. 27 dargestellt, aus dem die DB der übrigen Gruppen Fig. 27. wieder wie im eben besprochenen Falle ableitbar sind. Es gibt zwar, wie der Versuch zeigt, noch drei weitere Zusammenordnungen der Randkurven, die zu siebenblättrigen Riemann sehen Flachen mit zulässiger Verzweigung über der jST-Ebene führen. Aber diese drei DB sind syrometrisch xmd können deshalb für uns nicht in Betracht kommen. Der DB der Fig. 26 wird durch die Funktion J{co) auf eine siebenblättrige Fläche über der /-Ebene abgebildet, die bei / = 0 zwei dreiblättrige Verzweigungspunkte trägt, bei / = 1 zwei zweiblätterige und bei / = oo einen siebenblättrigen. Auf Grund der Regel (5) S. 112 stellt man als Geschlecht dieser Fläche j5 = 0 fest. Eine etawertige Funktion der Fläche werde durch 6 bezeichnet und so gewählt, daß bei / = 0 in dem daselbst isoliert verlaufenden Blatte 6 verschwindet, und daß ö = oo im Punkte / = oo zutrifft. Eine dritte Bestimmung, die ö dann endgültig festlegt, bleibe vorbehalten. Die zwischen J und ö bestehende algebraische Relation, die / als rationale Funktion siebenten Grades von 6 darstellt, kann dann nach der von-Klein erdachten Methode*) aus der Verzweigung der Riemann sehen Fläche allein bestimmt werden. Aus der Lage der Punkte ö = 0 und oo und der fraglichen Verzweigung folgt nämlich für die Darstellung von J" in (j ein Ansatz, den wir wie früher (S. 60 und 128) in Gestalt der dreigliedrigen Proportion ansetzen: (1) /:(J"-1):1 = 6 {6'- ^ aö ^llf : (6^ ^C6- ' dö + e){6^ + f6 ^ gf -.K Im Absolutgliede der ersten Klammer rechts ist zur Kürzung der weiteren Rechnung der Faktor 7 aufgenommen. Zufolge (1) muß nun die identische Gleichung gelten: (2) ö (ö^ -r a ö 4- 7 hf — Ä = (^s ^ cö^ ^ ^ e) (ö2 + fö + 9)\ =^) Vgl. insbesondere wegen der vorliegenden Relation „Ges. Abb.'- III, S. 83ff.
Erste spezielle Eesolvente siebenten Grades. 215 Hieraus ergibt sich durch Differentiation nach c die weitere identische Gleichung : (ö^ + aö + 7 6)2 (7 ö^ + 4aö f 71)) == (ö^ -^ fö A- g){7 ö* - (6c + 6f)6' ^(5^-f 4e/'+3^)ö2-f (4e + 3^/"4-2cp)ö-+ C^ef^dg)). Da die beiden ersten Faktoren i^echts und linjis keinen Linearfaktor gemein haben können, so spaltet sich die vorstehende Gleichung in die beiden folgenden Identitäten: 7öV4aö + 7fe = 7 (ö^-^ fö ^ ^), Für die unbekannten Koeffizienten bestehen derpjiacb. die Beziehungen: 4:a = 7f, 'b = g, ßc-rof—lAa, od+ 4:cf+Sg = 7 a^ ~^8b, 4:6 + Sdf + 2cg = 98a&, 2ef+äg == 343 b^. Wäre nun a = 0, so würde /" == 0, c = 0, e = 0 folgen. Aus (1) würde also folgen, dai3 0 = 0 bei / ^- 1 stattfindet, was indessen nicht der Fall ist. Da hiernach a von 0 verschieden ist, können wir di^rck Auswahl irgend eines von 0 verschiedenen Wertes für a die Funktion ö endgültig festlegen. Es dient unseren Zwecken, wenn wir a :=^ 7 0 setzen. Man hat dann: a=7Ö, f = 4:d, c=13Ö, 19h — d'=27ü^o4. Sdd + e = Woßb, dh + 80e = S4Sh^ wo aus der vierten und fünften Gleichnng Ausdrücke von d und e in Z^ folgen. Trägt man diese Ausdrücke in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich für h die quadratische Gleichung: 4 i!)2 + 11 (<9 -- 2) ö + 8 (3 Ö -h 2) = 0, deren beide Lösungen uns zu zwei Gleichungen (1) hinführen. Sie entsprechen den beiden unsymmetrischen DB, also den beiden Systemen unserer konjugierten Kongruenzgruppen des Index 7. Wir wählen die Lösung h = — ß — 3 und finden damit folgende Werte der ^Koeffizienten: a =76, Z) = —(Ö + 3), c=13Ö, (^ = —(46 0-^111), e = — 27 (5 6» — ^), /■ = 4 0, während g mit l» gleich ist. Endlich ergibt sich h aus (2) für ö == 0: h =, —eg^ = 27(6 6— 2) (Ö -^ 3)^ = — 121 Die Darstellung von J als rational^ FunUion sieherden Gerades von 6 if^t geleistet durch die Grleichung: (3) /:(/-!): L = 6(6'--1-7 6 6-7(6 + S)Y : (ö^ -f 13 Ö ö'- (46 6 + 111)0-27 (5 Ö-2)) (ö'-r 4:0 6--(6 -r 3)f : — 12^
216 il, 2. Pormenproblem der ©^gg und Gleichungen siebenten Grades. Der DB der Fig. 27 wird durck KQ auf eine siebenblättrige Fläche über der Z-Ebene abgebildet mit folgender Verzweigung: Bei K =■ 0 liegt ein zweiblätteriger und ein vierblätteriger Verzweigungspunkt, bei K = 1 finden sicL zwei zweiblätterige Verzweigungspunkte und bei iT = CO ein siebenblätteriger. Auch hier liegt das Geschlecht p = 0 vor. Die zugehörige einwertige Funktion werde mit r bezeichnet und so gewählt, daß bei K = 0 im isolierten Blatte r = 0 und im vierblätterigen Verzweigungspunkte T==«V7 = 20~fl ist, und daß t bei K = CG selbst unendlich wird. Der Ansatz für die rationale Darstellung von K als Funktion siebenten Grades von x ist dann: E:(K-1):1 =t(r+ay{t-(26i-l)y:(T'+dx'-^cx+d)(x'+ex+ff:g. Die Bestimmung der Koeffizienten a, h, •••, g nach der Methode von Klein erfordert hier etwas mehr Aufwand von Rechnung. Die rationale Darstellung von K als FMiktion siebenten Grades von z hat die Gestalt: (4) K:{K--l):l = y(^_(3ö-2)f(r-(2Ö-f 1))' : (t3-2(4Ö - l)r^-(8ö-47)t + 16(30 - 1)) (r'- (3 ö ^ 1)t - (l9 - 2)f ■ 98. Fassen wir nun die Gleichung (3) als eine solche vom siebenten Grade für ö mit dem einen Parameter / auf, so hat diese eine Monodromie- gruppe (Sjgg der Ordnung 168. Der zugehörigen Galois sehen Resolvente des Grades 168 entspricht dann einfach jene regulär verzweigte Riemann- sche Fläche von 168 Blättern, zu der wir bereits S. 188 vom DB der Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe der Modulgruppe geführt wurden. Danach ist einleuchtend, daß die Galois sehe Bebolvente der Gleichung (3) einfach auf das Formenprohlem der Klein sehen Gruppe in dem besonderen Falle der Gültigkeit der Gleichung F{z^, z^, z^ == 0 zu/rücJcJcommt, sofern wir die Wendedreieckskoordinaten gebrauchen. In diesem Sinne nennen wir die Gleichung (3) eine „spezielle Besolvmte siebenten Grades'' des Formenproblems der Klein sehen Gruppe. Die nähere Betrachtung bestätigt dies. Gut F == 0, so folgt aus der Relation (15) S. 208: (5) X^ = !P"3 -f 123 ^7 Durch die Gleichung : (6) /: (J_ 1) : 1 = 5/3 .. X^ : -123 *^ erklären wir auf der Kurve vierten Grades F = 0 eine 168-wertige Funktion, die iu je 168 bezüglich der Klein sehen Gruppe äquivalenten Punkten der Kurve gleiche Werte annimmt, und die insbesondere in den 24 Wendepunkten unendlich wird, in den 56 Berührungspunkten der Doppeltangenten verschwindet und in den 84 sextaktischen Punkten
Herleitung der speziellen ßesolventen siebenten Grades fius der allgemeinen. 217 gleich 1 wird. Setzt man aber den Ausdruck (6) für J in (3) ein, so folgt: *^ ö (ö^ + 7 Ö ö — 7 (ö 4- 3))3 = !F3 oder nach Ausziehung der Kuhik^^nirze].: Setzen wir aber hier zur Abkürzung: (7) V^ö = y;, gen wir in der Tat zu der aus (3) S. 21J für ^==0 sich* ergebenden „speziellen Resolvente siebenten Grades" zurück: (8) tp' + 16^ T/;* -- 7 (6 + 3) ^-3 ip — W= 0. Eine entsprechende Beijachtung schließt sich an die Gleichung siebenten Grades (4) für r mit dem einen Parameter K an. Auch sie hat eine Monodromiegruppe der Ordnung 168, i^nd ihrer Galois sehen Resolvente gehört eine regulär verzweigte 168-blätterige Rierpann sehe Fläche über der jST-Ebene zu, die bei jST ^ 0, 1 und oo verzweigt ist. Man hat an diesen Stellen 42 vierblätterige bzw. 84 zwei blätterige und 24 siebenblätterige Verzweigxmgspunkte. Das Geschlecht dieser Flache berechnet sich demnach zu J5 = 10. Wie wir später noch ausführlicher dartun werden, Jcommt die Galois bche Besolvente der Grleic}t,i4,ng (4) einfach auf das Formenproblem der lilein bchen Grruppe fur den besonderen Fall der Gültigkeit der Gleichimg bcchsten Grades ^{z^, z^, z^ = 0 zunicli. In der Tat ist die hierdurch dargestellte EJ^urve sechsten Grades singularitätenfrei und also vpm Geschlechte p == 10. An besonderen Punkten haben wir aber auf dieser Kurve sechsten Grades einmal die 24 Schnittpunkte mit der Kurve vie^-ten Grades F = 0, sodann die 126 Schnittpunkte mit den 21 Pprspektivitätsachsen. Sie zerfallen in ein System von 42 Punkten, die Pole von Substitutionen der Periode 4 sind, und ein weiteres System von 84 ipunkfen. Auf der Kurve sechsten Grades wird unsere Funktion K durch die Proportion erklärt: (9) K:{K-1):1 ^W : X^ : 2«^^ F, wobei man zu beachten hat, daß die Relation (1 5) S 208 im Falle der Gültigkeit der Gleichung ^ i= 0 die Gestalt annimmt: (10) X^ = W^-2^F'W. Diese Angaben bestätigen wir einfach dadurph, daß die Eintragung des Ausdrucks (9) von K in die Gleichung (4) zu derienige^ „besonderen Resolvente siebenten Grades": (11) ip'' — 10Fip''—l{20 + o)F^'ip^ + l{^fi — 'l)F^ip — W= 0
218 II, 2. Formenproblem 'der ©jgs ^^^ Gleichungen siebenten Grades. führt, die aus der „allgemeinen E.esolvente'- (3) S. 211 für # = 0 hervorgeht. Wir finden nämlich aus der Gleichung (4) zunächst: Fr{Fr -(36 — 2)Ff{Fr -(26 + 1)^' = W\ Setzen wir hier zur Abkürzung: (12) V^ = ip und ziehen rechts und links die Quadratwurzel, so erscheint die Relation (11) wieder. § 3. Resolvetite achten Grades. Xächst den 2 • 7 Oktaedergruppen sind die acht konjugierten ©g^ der Ordnung 21 die umfassendsten Teiler der @jgg. Ihnen sind die acht konjugierten Wendedreiecke in der Art zugeordnet, da£ das einzelne durch die Substitutionen seiner ®^^ in sich transformiert wird und also eine invariante Form dritten Grades der ®^^ liefert. Es ist hier natürlich der Gebrauch der Wendedreieckskoordinaten ^j, z^, z^ am Platze. Wir bezeichnen die acht konjugierten kubischen Formen durch ^oo, 9>o' ^i» •••) 96' ^^ "^^^ Schreibweise der Indizes oo, 0, 1, •••, 6, wie schon S. 210 bemerkt wurde, einem in der Theorie der Modulfunktionen üblichen Brauche entspricht. Die entwickelte Gestalt der Formen ist bereits S. 210 berechnet: es fand sich: (1) (f^ = —7 ^,^2^3, (2) 9v = ^1 ^2 ^3 — «^' (^1 — ^2 ^3) — ^^ (4 — 4 ^1) ~ £*" (4 ~ 4 s^ + 2 8^" Z^zl + 2 £^''^3^1 + 2 8*^" Z^4, r = 0, 1, 2, •• ., 6. Die erste Form entspricht insbesondere dem Koordinatendreieck. Die acht Formen (1) und (2) sind die Wurzeln einer Gleichung achten Grades, deren Koeffizienten invariante Formen dritten, sechsten usw. Grades der Klein sehen Gruppe sind. Da es für die ungeraden Grade unterhalb 21 keiae invarianten Formen gibt, so fallen in der Gleichung achten Grades alle Glieder mit ungeraden Potenzen der Unbekannten bis auf das lineare Glied aus. Man hat für die Gleichung achten Grades den Ansatz: (3) <p^ -4- a^ (p^ -r (h ^^ + c F^) (p^ i- {d ^^ + e^ F^ + fWF) (p^ -i-gX(p + (h^^-^i^^F'-rlcF'i-IW^F) = 0, wo a, &, c, .. •, l elf noch zu bestimmende numerische Konstanten sind. Man berechnet sich nun sehr leicht die Darstellungen der Potenzsummen jJg, JJ^, j5g der (p in den Formen F, <P, ••• und findet dann mit Rücksicht auf das Verschwinden von jj^, p^, j5. aus (9) in I, 102 die Koeffizienten von (p^, (p^, (p^ in (3). Zur Berechnung von g bediene man sich des besonderen Wertsystems s^ = 1, z^ == z^ = 0, für das F~ 0, * == 0, X = 1, (p^ = 0, (p, == — £2v
Aufstellung der allgepieinefx ßesplvente achten Grades. 219 gilt. Aus (3) aber folgt in diesem Falle einfach q)^ -{- g (p -= 0, so daß g = 1 zutrifft. Das Absolutglied in (3) liefert, gleich 0 gesetzt, die 24 Wendetangenten. Die Forderung, daß dq,s Absolutglied mit ^3 verschwindet, führt auf Grund von (2), (3) und (6) S. 204 ff. auf: h =zz Ä; == l i == ISh, womit das AbsolutgKed bis auf einen konstanten Faktor bekaimt ist. Diesen letzteren berechnet qian zweckmäßig d^^ch Beiiutzu|ag des speziellen Wertsystems z-^ == ^^ = ^^ == 1. Man gelangt au dem Ergebnis: Die acht Jcubischen Formen (l) und (2) der acht Jconjugierten Teiler ©21 sind die Lösungen einer Jtesolvente achten Grades des Formen- i der Klein sehen Gruppe, die die Gestalt ha(:: (4) 9« - 14 * 9« + 21 (3 *2 _. 2 ^3) ^4 _ 7 (10 * V 14 * F^ - WF) g)2 4- Xg> - 7 (*^ + 18 *2 ^3 J^F'+W^F) == 0. Da die z ohne Änderung de|- cp noch upi eine geineinsa,me multipiikative Kubikwurzel der Einheit abgeändert werden können, so ßind die ^,, 3^, ^3 allein aus den Wurzeln cp der Resolvente (4) nur erst mit Hilfe einer Kubikwurzel berechenbar. Man findet zwar für die Quotienten der z die rationalen Ausdrücke: (5) f2 __ _ _v h ==, "1 £1 — 1 ^3 2 Cpoo ' ^i 2 <Poo ' '^2 2 Cpao wo V die Zahlen 0, 1, •••, 6 zu durchlaufen hat; dagegen erhält m^n erst für die Kuben der z die rationalen Darstellungen: .. 3__ S^ >' Gleichwohl ist die Gleichung (4) eine Toialresolvenie des Formenproblems der Klein sehen Gruppe, da mit Bekanntgabe des Werten der Foriq. F die zur Berechnung der s zunächst erforderliche Kubikwurzel eindeutig bestimmt ist. Von den beiden speziellen Resolventen achten Grades, die für F = 0 und für $ == 0 eintreten, ist die ej'ste auch einer direkten funktionea- theoretischen Betrachtung leicht z;ugänglich. Man hi^t hier mit der Transformation siebenten Grades der elliptischen Modulfunktioiien ?u tun*). Eine der acht konjugierten Kongruenzgrupp^n des Index 8 innerhalb der Modulgruppe, die den acht ©g^ entsprechen, hat den in Fig. 28 abgebildeten DB. Er besteht au^ sieben nebeneinander gereihten *) Vgl. „Ges. Äbhandl.'- III, 46 und 113 sowie „Modulfunkt." I, 741 ff.
220 II, 2. Fonnenproblem der ©^gs ^^^ Gleichungen siebenten Grades. Dreieckspaaren und einem unten angefügten*)- Durch die Funktion /(co) wird dieser DB auf eine achtblätterige Eiemannsche Fläche über der /-Ebene mit folgender Verzweigung abgebildet: Bei J == 0 verlaufen zwei Blätter isoliert, die anderen sechs hängen zu je dreien in zwei Verzweigungspunkten zusammen; bei J == 1 finden sich vier zweiblätterige Verzweigungspunkte und bei J == oo ein siebenblätteriger, während dort ein Blatt isoliert verläuft. Auch diese Fläche hat wieder das Geschlecht j5 == 0, so daß wir mit einer einwertigen Funktion arbeiten können. Wir nennen sie z und bestimmen, daß bei J" == oo im siebenblätterigen Verzweigungspunkte r == oo und im isolierten Blatte r == 0 vorliegen soll, während eine dritte Festsetzung vorbehalten bleibe. Für J als rationale Funktion achten Grades von T hat man dann den Ansatz: (7) J:(J—1):1 =: (t^ ^ar^ ß){r^^yr4-6f mit neun noch zu bestimmenden Zahlen a, /3, • • •, wie aus der beschriebenen Verzweigung hervorgeht. Es besteht nun die identische Gleichung: (8) (t- -f- a T -f |3) (t^ -f J' T -p ö)^ — e T = (r* + a T^ -f- 6 T^ -f c T -f äf- Man differenziere diese Gleichung nach r, multipliziere das Ergebnis mit X und bringe die vorstehende Gleichung in Abzug. Xach Ordnung gelangt man zur weiteren identischen Gleichung: (r^ -f- j^ T T ^)2 (7 r^ 4- (6 a + 4 j;) r^ -f (3 ^ + 3 a j; + ö) TV 2 ^ j^ T — ^^) = {x^ -^ ax^ -r hx^ -^ cX -]- d) {1 x^ -{- oax^ -\-^hx"^ t cx — d). Xun können die beiden in den ersten Klammern links und rechs stehenden Ausdrücke Linearfaktoren nicht gemeinsam haben. Die vorstehende Gleichung spaltet sich demnach in die beiden identischen Gleichungen: lx^'{&a^4.y)x^+{pß+^ay-8)x'^'-2ßyx-ß8=^l{x^ + ax^^hT^~cx + d), 7 r* -f- 5 a r^ -f 3 6 t'- + c T — (^ == 7 (r2 ^ j; r + 8f. '^) Es handelt sich hier einfach um die Kongruenzgruppe der Modulgruppe, die durch ^ = 0 (mod 7) erklärt ist.
Berechnung der speziellen ßesqlvente achten Grades. 221 Hieraus ergeben sich zur Bestimmung der a, 8 • • • die (jleichungen: ßa^4:y = 7 a, 5^ + 3aj;-L^==7 6, 2ßy =z7c, —ßd = 7d, ha =z lAy, 3 6 == 7/+ 14d, c = Uyd, d--=—7d^. Durch die bisherigen Festsetzimgen über x ist diese Funktion nur erst bis auf einen noch frei wählbaren konstanten Faktor bestimmt. A^ir können über diesen so verfügen, daß y = — 5 wird. Daim folgt ^us den acht vorstehenden Gleichungen: a == — 14, a = — 13. 3 & == 175 -t- 14^, c == — 70 6, d = —1 d', 3^ == 128 ^ L9^, ß == 49^. Es folgt also 8 = l,b = 63, c = — 70, d = — 1, ß = 49. Endlich findet sich e, indem man in der identischen Gleichung (8) rechts und links die Koeffizienten von t gleichsetzt zu e == — 1728. Man gelangt somit zu dem Satze: Die zu den acht Jconjugierten Jf^ongruenzgruppen siebenter Stufe des Index 8 gehörenden mit x Jconjugierterp FtmUiorpen bind die Wurzeln einer Gleichung ßchten Grades, die wir wie üblich in die Gestalt Meiden: (9) /:(/-l):l (^2 _ 13 ^ ^ 49) (^2 (^4 __ 14 ^ ^ 63 r^ - -1728r. -ör+1)' - 70 r — ly- Es ist dies diejenige Gleichung, die B^lein bei de:p Transformation siebenten Grades der elliptischen Funktionen als „Ersatz d^r i^odular- gleichung erster Stufe- benutzt =^). Aus ihi leitet Klein durch einen einfachen Übergang diejenige Gleichung ab, die er als „]klultiplikator- gleichung erster Stufe- für Transformation siebenten Grades bezeichnet =^-^). Es handelt sich hierbei einfach um den Vbergang von der Gleichung (9) zu der aus (4) für ^ == 0 folgenden speziellen Eesolvente: (10) ^8 _ 14 ^ ^6 ^ 63 ^2 ^4 __ 70 ^3 ^2 ^X(p — 1^' = 0. Die beiden letzten Glieder der Propqrtion (9) geben namlfch bei Benutzung der Gleichung (6) S. 216: Multipliziert man mit ^ und zieht die Quadratwurzel, so folgt: (*r)^—14 *(*r)3+63 *^(*r)'-70*3(^^)^X1 ^-7**== 0. ") VgU „Ges. Abh." III, 31 ff. und „Modulfunkt.-' II, 58ff. '^*') Über den Zusammenhang der Funktion r mit der S. 87 eingeführten Modulform erster Stufe ^(«i, Wg) sehe man „Ges. Abha^idl.'- III, 49 und „Modulfunkt.'- II, 64.
222 II, 2. Forme np rob lern der ©^^g ^^^ Gleichungen siebenten Grades. Der Vergleich mit (10) zeigt, daß wir: (11) i¥^=cp zu setzen haben, um von der Gleichung (9) aus zur speziellen Resolvente (10) zu gelangen*). "Über die besondere Resolvente (10) liegt noch eine weitere ausgedehnte Literatur vor. Man hat hier mit einer Jacobischen Grieichung zu tun, bei der die Quadratwurzeln der acht Lösungen sich in vier Größen A(^, A-^, A^, J.3 in folgender Gestalt darstellen lassen**): [ V^, ==A^ + e'^A,±s^'A,-rs"^'A,. Besonders leicht lassen sich diese Entwicklungen darstellen, wenn man die A(^, J-j, A^, A^ als Modulformen siebenter Stufe einführt und mit ihren nach Potenzen von g = e'^*"' fortschreitenden Reihen arbeitet. Jedoch gelang es Klein auch hier, eine von transzendenten Hilfsmitteln unabhängige rein algebraische Theorie zu schaffen, die mit den „Berührungskurven dritten Grades" der ebenen Kurve vierten Grades F = 0 arbeitet **=^). § 4. Allgemeine Gleichung siebenten Grades mit Galois scher Gruppe ©jg^. Wie oben S. 153 ff. die Behandlung der allgemeinen Gleichung fünften Grades auf die Ikosaedertheorie gegründet wurde, so hat Kleiny) frühzeitig das Problem behandelt, die von ihm entdeckte ternäre Gruppe @jgg für die Auflösung der allgemeinsten Gleichung siebenten Grades, deren Galois sehe Gruppe mit jener ternären ©^gg isomorph ist, zu verwerten. Es gelang ihm, die Lösung einer beliebigen Gleichung dieser Art rational auf das Formenproblem der ternären @jgg zurückzuführen. Die Reduktion auf ein spezielles Formenproblem mit F = 0 erforderte indessen die Lösung einer Hilfsgleichung vierten Grades. Li unmittelbarem Anschluß an Klein hat Gordan ff) diesem Gegenstande zwei Abhandlungen gewidmet und über die Affektfunktionen der fraglichen Gleichung ein weiterhin noch zu nennendes Theorem aufgestellt. *) Man kann eine entsprechende Theorie fur die im Falle 0 =: 0 aus (4) folgende spezielle Eesolvente achten Grades entwickeln. Nur ist diese Gleichung der funktionentheoretischen Betrachtung nicht mehr so leicht zugänglich, da man hier mit einer achtblattengen Eiemannsehen Flache „des Geschlechts _p = 1'- zu arbeiten hat. ==*) Vgl. über den Begriff der „Jacobischen Gleichungen'- oben S. 71ff. =•=*) Vgl. „Ges. Abhandl." III, 115ff. oder „Modulfunkt.'- I, 716ff. t) „Ges. Abhandl.'- II, 407. tt) nÜber Gleichungen siebenten Grades mit einer Gruppe von 168 Substitutionen'- I und II, Math. Ann., Bd. 20 und 25. Der Leser wird gut tun, zunächst das Referat Klems über die Gordanschen Arbeiten in „Ges. Abhandl.'- II, 426 zur Hand zu nehmen, da die Gordanschen Arbeiten infolge der Durchsetzung mit ungeheuren Eechnungen immer etwas umständlich zu lesen sind.
Einführung der allgemeinen G|eichung siebenten Grades Bjit eii^er ©.gg- 223 Wir setzen die Gleichung siebenten Grades mit ausfallendem Gliede sechsten Grades in der Gestalt an: (1) f (x) = x^ ^ a^x"" -Y- a^3ü^ -\- a^x^ ^ ß^x- ~\- a^x -\- a,^ = 0; ihre Wurzeln mögen mit a^^, a^^ a^, • ••, «g bezeichnet werden. Wir haben die @jgg als Permutatipnsgruppe auf zwei Arten aus zwei Peimu- tationen S und T erzeugen könnpn, nämlich aus dep beiden unter (2) S. 201 bzw. (4) S. 202 angegebenen Permi^tationen. Die ersten beiden Permutationen: (2) S = (a^, «1, «2, «3, «4, «5, «e)' ^ = K' «5)-(p«2' «3) mögen die Galois sehe Gruppe @jgg der Gleichung (1) erzeugen. Es tritt dann zunächst die Frage auf, wie der ,.Affekt- (vgl. I, 386) der Gleichung (1) zu charakterisieren ist.| Um hierauf zu antworten, beinerke man, daß die ©^gg &wei Systeme von je sieben konjugierten Teilern ©34 vom Oktaedertypus besitzt. Dem zweiten System entsprechend hat die Gleichung (1) eine Rpsolvente siebenten Grades, die wir in der Gestalt: (3) f{x) = x'' -\- a^x^ -r ^3^* " ^4^^ + ^'5^^ + a^x -j- c^^ = 0 anschreiben, und deren Wurzeln ^vir ä^, ä^, •••, äg r|.ennep. Wie wir diese Resolvente zu erklären haben, ist unmittelbar durch die Gleichungen (6) S. 202 angegebep; wir stellen die Wurzeln ccy der Regol- vente durch die a^ in der Gestalt: (4) ÖKv = «v + 6-^ a,+5 H-«v-t 3? *'= 0, 1, •••, ß, dar*). Dann fällt zunächst tatsächlich aych isi (3) das zweite Glied aus. Im übrigen aber permutieren be:| Ausübung von (2) auch die a^ sich nur untereinander, indem sie entsprechend die TJnjLstelliingen.: (5) S' == (Kq, a^, «2, «3, ä^, «5, «g), T' = (äo, ä^-iä^, a^ erfahren. Wir gelangen zur zweiten aus (4) S. 202 hervorgehenden Darstellung der Permutations-©^ gg. M^ kann diese zweite Darstellung auch auf folgendem Wege erhalten: Erzeugt i^an die erste Darstellung aus S~"^ und: S-'^-T-S = («0, «4)-(ai, «2). so gelangt man durch Transformation Tc\xi der Substitution; U = («,, Kg) • («2, a^) • («3, «4) zu den Permutationen; U-^-S-^'T-S-U = («0, c<3)-(c<5, «e)^ die formal mit (5) übereinstimmen. ^) Gordan schreibt links an Ste|le von ß 4en Faktor 2. Das geht auch, ist aber unzweckmäßig, weil dann nämliph neben der „naturlic|ien'- Jrratiqnalitat d der Kleinschen Gruppe im weiteren Verlaufe vermeidbare „akzessorische- Irra tionalitäten sich einfinden wurden
224 n, 2. Formenproblem der ©igs i^d Gleichungen siebenten Grades. Das Verhältnis der beiden Gleichungen (1) und (3) ist ein gegenseitiges. Man findet nämlich aus (4) wegen Verschwindens der Wurzelsummen umgekehrt: (6) ÖKv = av4-a -f ä, +2 + av + 4j ?' = o, l, • • •, 6. Es werden nun die symmetrischen Funktionen der Wurzeln der einen Gleichung, auf Grund von (6) bzw. (4) auf die Wurzeln der anderen Gleichung umgerechnet, Ausdrücke ergeben, die gegenüber der ©^gg invariant sind. Man wolle insbesondere die Potenzsummen der a^ berechnen und sie auf Grund der Formeln von I, 102 auf die Grundfunktionen umrechnen. Man hat zunächst: ö, = 0, 6, = 0, ds^ = ÖS2, so daß man hieraus noch keine Affektfunktion gewinnt. Demgegenüber gelangt man bei Berechnung der dritten Potenzsumme zu der Gleichung: (7) i2-e)s, = 2A„ wo A^ der folgende siebengliedrige Ausdruck ist: (8) y^g = a^ Kg Kg - «0 Kg a^ ^ a^ a^ a- - a^ a^ Wg -^ a^ a^ a^ - a^ a^ a^ - a^ a-^ a^. In A^ Itahen wir die einfachste ÄffeUfunJdion der Gleichung (1) gewonnen, in der nach dem Lag range sehen Satze in I, 378, alle iobrigen ÄffeU- fiinUionen mit Hilfe der symmetrischen GrundfunUionen rational darstellbar sind. In jedem Ausdruck zweiten Grades der a, der gegenüber der @^gg invariant ist, erkennt man nämlich eine symmetrische Funktion der Wurzeln. Andererseits ist die Funktion (8) der Wurzeln Uy gegenüber der symmetrischen Gruppe, wie man leicht feststellt, in der Tat 30-förmig. Aus (8) gewinnt man sogleich als eine Affektfunktion vierten Grades: (9) A^ = aoa^aga^ -^ oCyCC^a^a.^ -f- a^a^a^a^ 4- a^a^a^a-^ + a^a^cc^aQ + «0 ^2 ^h '^b + (^(yf^x «3 «6 ' WO sich die Glieder in (8) und (9) rechts als supplementär entsprechen. Durch Ausübung der Substitution: (10) «0 = «0, «j = Kg, a.2 = Kg, «3 = a^i a^ = a^, «- = Wg, Wg = a^ gelangt man zu den Affektfunktionen: A^ = «iWa^i + ^o^i^3 + c«gaoa2+asaßäj + a^agao + aga^ag^-agaaa -t- «2 ä^ Wo äj -j- Kj äo Kg a^ der Gleichung (3). Faßt man die Permutationsgruppe ©^gg der a^ als eine endliche Gruppe „septenärer" linearer Substitutionen auf, so gibt es nach dem Theorem von S. 18 eine endliche Anzahl zugehöriger invarianter Formen, in denen alle diese Formen rational und ganz darstellbar sind. Den näheren Aufschluß hierüber gibt ein Theorem von Gordan, dem im
Gordans Satz über die Äffektfunktionen der Gleichungen siebente^ Grades. 225 wesentliclien seine vorhin genannten Arbeiten gemdmet sind. Das Gordan sehe Theorem lautet: Die invarianten Formevif der Perrfiutations- @jgg der a^ sind rational und ganz darstellbar in d^n summarischen Grri^nd- funMionen der a^ und denjenigev^ ÄffeUfunJdio^en, die aus den sym- märischen G-rundfunMionen der a^, umgerechnet aii,f die a^, erhalten werden. Dabei sind die G-rundfunMionen Sg, s^ und die aus s,, s^ entstehenden AffeUfanUionen rational durch die übrigen darstellbar; zwischen den letzteren aber besteht noch eine Relation, in der s. und die „AffeU- funJdion'- Sg auf den sechsten Grad ansteigen. Betreffs des Beweises muß auf die Gordan sehe Darstellung selbst verwiesen werden. Die von b^ gelieferte Affektfu^ktio^ ist, abgesehen von pymnqietrischen Gliedern und dem Faktor 12: 2 (««V + 3 + «v + 5 ~f «V + e) a. + 3a,_5C«, + 6 Um daraufhin z. B. die Funktion A^ dem Gordan sehen Satze entspreehend darzustellen, zerlege man das Produkt s^^A^ in die beiden Summen; S j y^g = 2 (C'v + «v + 1 -4- Kr -r 2 + «V + 4) C'v + 3 C'v + 5 «v + 6 + 2 («V T 3 -j- P«v -r 5 + a. -i- e) «v + 3 Wv + 5 «v + 6- Die erste Summe erweist sieji als mit (»^ — AJ gleieh, sq daß wir, da Sj = 0 ist, die Darstellung: ^i — s^+ 2 («V + 3 + «V + 5 + «1. + e) Cv + 3 a. -r 5 f<v 4- 6 finden. Die Permutationen der Galoissehen @jgg lassen sieh mittels der Affekt- funktion A^ sehr leieht ehara,kterisiereri. Man b^aehte zunäehst, daß die Permutationen durehweg gerßde ^ind. Das einzelne Glied von A^ ynrd dann dureh drei Permutatiorjien der Periode 2 in sich übergeführt, die die anderen seehs Glieder unter sieh permutieren, So haben wir für das erste Glied die Permutationen: (11) («0' «1) • («2' «4)' («0' «?) • («i' «1)» («0' «4) • («1 > «2)- Insgesamt liefern alle sieben Glieder von A^ auf diese Weise die 21 jper- mutationen der Periode 2. ]Mfan bilde ferner aus den vier Faktoren des ersten Gliedes von A^ die vier Tripel. Jedes geht djireh zwei einander inverse zyklische Permutationen der Periode 3 in sieh über. Jeder dieser Permutationen hat man no eh eine zyklische Permutation der am ersten Gliede nicht beteiligten Wg, a^, Wg hinzuzufügen, und zwar nach folgender Regel: (12) fK, l(ao» 1 («0» l(«2> :e, Algebra «2» a4)-K' %> «3)' «4' «2)*K' «5> «^)' Kj, aj . (Wg, U-, Kg), «1. ao)-K' «5' «3)' . II. (a^, «2» '>^i)' (^'AJ '^bi ''^ß)- («2, «4, Ci(i)-{ciz, «5' «e) («4 , «1 , Kp) • (Wg , a- , Kg) ; («0, Mj, Ci^'(Di.j,, Kg, Kg) 15
226 n, 2. Formenproblem der ©igg ^^^ Gieichangen siebenten Grades. Die 56 von allen sieben Gliedern von A^ entsprechend gelieferten Permutationen sind die 56 Fermutationen der Periode 3 in der ©jgg. Das erste Glied geht durch sechs Permutationen der Periode 4 in sich über, die man (a^, a^, a^, cci) schreiben kann, wo a^, Uk, ai die sechs Anordnungen der a^, a^, a^ durchlaufen soll. Diese Permutationen sind nur erst ungerade. Man laat jeder noch eine Transposition zweier unter den c^S) c'ö) c'e anzufügen: Lx dieser Weise liefern die sieben Glieder von A^ die 42 Permutaüonen der Periode 4t unserer ®jgg. In jedem der acht zyklischen Teiler ©^ ist eine Permutation (a^^, a^, cti, afc, aj, a^, «„) enthalten, aus der der Teiler ©^ herstellbar ist. Jedenfalls ist einer dieser Teiler aus: (14) («0, «1, «2, «3, C4^, a^, Kg) erzeugbar. Die übrigen sieben Permutationen (Kq, Kj, «i, •••) kann man aus (14) vermöge der Transformation durch jene sieben Permutationen der ®jgg herstellen, die «^ und a^ entweder unverändert lassen oder austauschen. Es sind dies erstlich die drei Permutationen: die die Permutation (14) bzw. in: J(aO, «1, «3, «2, «6' "5' "4)' K' ^H «4' "6> "2' "ö' "3)' [ (a^, Kj, Kg, a^, Kg, a, a^ transformieren, sodann aber die vier Permutationen: («o- ai)-(a2, aj, (a^, «i)'(«3, «g), («2, «3, K^, a6)*('''o? '''l)' ('''2' ^t^ ^^4' "3)"(«0) «l)> die (14) bzw. in die inversen der folgenden vier Permutationen transformieren : a61 [^^^' "^' "®' "°' "^' '^^' '^*'^' ^"'" "^' "^' "°' "*' "*^' "^''' [ (Kq, Kj, 0^2) «5) C'e' '''i' '''s)' ('''o' ^1' '''l' '''o' '''s' ^^2' ^<i)' Aus den acht Permutationen (14), (15) und (16) entstehen durch Wiederholung öLie 48 Permutationen der Periode 7 in der ©^gg. § 5. Zurückführung der Gleichung siebenten Grades auf das Formenproblem der Klein sehen Gruppe. Wie schon bemerkt, hat Klein die Lösung der allgemeinen Gleichung siebenten Grades (1) S. 223 mit einer Galois sehen Gruppe @jgg rational auf das Formenproblem der ternären ©j^g zurückführen können*). Wir *) Vgl. „Ges. Äbhandl- II, 407.
Direkter Aufbau der Pei-muta^ions-^ j ipittels der Funktion A^- 227 beweisen diese Möglichkeit rjiach einem neigen ganz einfachen Verfahren und vermeiden hierbei den Gebrauch der siebenten Einheitswur;?el e, ad- jungieren vielmehr nur die quadratische Irrationalität 8. Man führe zunächst rieben den okt^edrischen Punktkoordinaten Xj, aJg, X3 die zugehörigen Linienkoordinaten u^, a.^, u^ ein. Sie transformieren sich zu den x „kontragredient", d. 1^. so, daß (m^ a;^ -)- u^ x^ -j- Wg x^) stets absolut invariant ist. Die den beiden Substitutionen (19) S. 193 entsprechenden erzeugenden Substitutionen der Klein sehen Gruppe in Linienkoordinaten sind dann: (S) (T) 2ii[ = — 8 ^^ — ^2 + ^'3' 2 «4 = H u^ — u^ -j- u^, : «^3, SO daß die in Linienkoordinaten geschriebenen Substitutionen einfach konjugiert komplex zu denen in Punktkoordinaten sind. Die 21 Perspektivitätszentren werden durch JS'ullsetzer^ ebenso vjeler linearer Formen ^^(ii^, n^, u^), P^{a-^^ u.^, u^), •••, F^^(u^, u^^ u^) dargestellt, die aus den Formen (1) S. 194 für dje Perspektivitp,tsachsen als ihnen konjugiert sofort abgeschrieben werden können: (1) A = '^'h^ Pj = - ÖMj- U^-U^, P2= da^^Ou^, P3 = - a^-liu^- u^. -P4 = — «*i -^ ^2 ^ ^■^ ^3' Pj. = ßu^^u^^ u^, Pg = -eu^'ßu^, A -2^,. Pg -- dUj~U^^U^, Pg = U^ - 8 tl^-U^, P]0 = U^^ 0 U^-U^, -^11 "= ß lii-rß li-2, Pl2-= -0^2-0^3, A3-= - tfi-'^<3-^^^3 P,,^2^3, JP^^=- ßu^ + 0 «(3, P^g = u^-ßu^~u^, P„ = ßu^-ßa^^ P18 = -u^-rii^—ß a.^, Pjg = ßU^~ U^-U^, , P2o = Mi-«*ä^Ö^3. Bei Ausübung von S und T verhaltep sich die Formen P(m,, u^, a^) genau so wie die Formen p (a;^, x^, x^), worüber S. 194ff. zu vergleichen ist: (S) (P„P,,P,,-..,Pe)-(Pp- •••A3)-(A.. ^,. ,J^2o)> {T) K = P'i = P's = P'n = Pi,=- Ko = -A. -As- -A9> A.- -Ao. As- P'i n p'ä p'i p\ = = = = = A' -A> P3, -^ 20) -A. i^; = ^6 = p;o = A.== i^;8 = -A>' -A. -A.. A,, -A. ^s P7 Pj p; p r= = 1 = 5== 9 = Pg, -A, -Ai A2 -A.
228 II, 2. Formenproblem der ©^gs ^^^ Gleichungen siebenten Grades. Das nächste Ziel soll nun sein, aus den sieben Wurzeln Uy der Gleichung /"(a;) = 0 ein System von 21 konjugierten Funktionen herzustellen, die sich gegenüber den erzeugenden Permutationen: S = («0, Kj, «2, Kg, a^, Kg, «5, Kg), T = (Kj, Kg) • (Wg, Kg) genau so verhalten wie die Formen P. Es ist leicht zu sehen, wie man Funktionen dieser Art bilden kann. Man überlege, daß das Zentrum P^ = 0 durch die Substitutionen einer diedrischen @g in sich transformiert wird, die aus den beiden Substitutionen: erzeugbar ist. Die erste liefert einen zyklischen Teiler (>\, bei dem P^ absolut invariant ist; bei den übrigen vier Substitutionen erleidet P^ Zeichenwechsel. Den Substitutionen (2) entsprechen die Permutationen: (3) (Kj, ci^)-(a^, Kg, «3, aj, («i, «5)-(«2' "3)' wie man durch Rückgang auf die Formen (1) S. 201, die ja die gleichen Permutationen erfahren, feststellt. Man hat nun aus den a^ eine gegenüber der @jgg von Zeichenwechseln abgesehen 2I-förmige Funktion herzustellen, die bei der ersten Permutation (3) unverändert bleibt und bei der zweiten Zeichenwechsel erfährt. Die einfachsten Funktionen, die diesen Anforderungen genügen, sind die zweiten Grades: (4) (a^ — a^) («2 ~ «3 — a^ — Wg) und die kubische Funktion: (5) (Kj — a-) («2 «3 — ci^ Kg). Man würde indessen mit diesen Funktionen unmittelbar noch nicht zum Ziele koromen, und zwar deshalb nicht, weil eine alsbald aufzustellende bilineare Form identisch verschwinden würde. Doch genügt es für unsere Zwecke, wenn wir in beiden Fällen den Faktor «o hinzufügen, der die von den Funktionen erfüllten Bedingungen nicht stört*). Indem wir etwa die Funktion (4) bevorzugen, fügen wir den Faktor Uo hinzu und stellen durch wiederholte Ausübung von S und T die 21 Funktionen her: (6) |a + 7 =a,^(a, + .2-a,+3)(a, + 4 + a^ + g-a, + i-a, + 5), ^ = 0, 1,2,...,6. l^v + u = a.^ («v -t- 4- «^ + e) («v + 1 -r «v + 5- «v + 2- «v + 3) 7 Schreibt man sich das System ganz aus, so erkennt man unmittelbar daß diese 21 Funktionen sich bei Ausübung der Permutationen S und T genau wie die Hnearen Formen P substituieren. *) Die Wurzel a^ tritt in den Permutationen (3) nicht auf.
(9) Bildung ternär substituierter Variablen x aus den Wurzeln a. 229 Man bilde nun die Supime der 21 Produkte Äji-P,,, die man als Funktion von u^, u^, u^ und von pc^, a^, •••, Wg durch }i{u\ci) bezeichne: 20 (7) h{u\a) = ^Jk{cc)P,(u). Dann besteht der Satz: Die FunUion h(u\oc) ist ahbolut inpariafit, so oft die u einer Substitution der Klein sehen Gruppe u^nterworfen werden und die oc die entsprechende Permutation erfahren. Mau ordne die Funktion (7) nach den u an und findet: (8) h (uIa) = u, x'i (a) + u-^x^ («) -r '«s-^z («)• wo die X (a) die drei folgenden Funktionen der Wurzeln a, sind: ( ^1 (a) = (2 A — -43 — A -f- A - Ao — -^13 -^ Ae " ^is + Ao) ^0(A,-Ä,-r ^11 -f Ai) -r- Ö (- A -r A 4- A + As). ^2 («) = (—^1 + -4, -f A + 2^7 — ^8 — As -r As — Aä + ^^20) -f 6 (^, -f ^4„ - A,, -f ^,,) + Ö (.43 -Ä,+ A,, ^ ^,g), ^3 («) = (^1 — -^3 + -^a + A — -^9 ^ ^,0 ^ 2 ^,, — ^,g — A^^) -f 6 (A -r ^12 -f A-o — A^) -T B (A + Az — ^18 T Ao)- Wir gelangen wegen der Inva^rianz von h(u\a) zy. dem wic^itigen Satze: Die drei FunMionen vierten Grades der Wurzeln a^, die in (9) geiomi^en bind, erfahren die Substitutionen der in Punliloordinaten gebchriebsnen ternären Kleinschen Gruppe ©jgst /"ö^^^* die a den Pemmtatimien der Galois sehen Gruppe der Gleichung f(x) = 0 unterwarfen werden. In der Tat substituieren sich ja die x (a) mit den h kontragredient, also kogredient mit den ursprünglichen Puaktkoordinaten Es bleibt nur noch übrig zu beweisen, daß die Ausdrücke (9) nicht identisch verschwinden. Würden sie aber identisch verschwinden, so würde dies auch dann zutreffen, wenn man «3 -= «^ = «5 == «g == 0 setzt. In diesem Falle findet man indessen: x^ (a) = «0 «j «2 (2 «0 — «j — «2 — 0 («j — «2)), ^2 ('^) =^ ^0 ^1 '^^ ^\ + «2 — 2 «0 — 6 («1 -— «,)) > ^3 ^ = c'o <^i '^i ('*i — c'2) ^ ' wobei von der Relation 6 -f ^ + 1 =0 Gebrauch gemacht wurde *). Die temäre Klein sehe Gruppe ®jgg ist bei diesen Rechnungen in ihrer oben neu eingeführten auf das oktaedrische JCoordinatensys^em bezogenen Gestalt benutzt. Dies ist in algebraischer Hinsicht wichtig, weil, wie schon hervorgehoben wurde, auf diese Weise der Gebrafich der *") Hatte man unmittelbar die Funktion (4) oder (5) genommen oder auch nur a^ hinzugesetzt, so ware map auf entsprechendem Wege zu identisch verschwindenden Ausdrucken x («) gelangt.
230 II) 2. Pormenproblem der ©jgg und Grleichungen siebenten Grades. siebenten Einheitswurzel a vermieden wird und nur die quadratische Irrationalität 6 zu adjungieren ist. Durch die Gleichungen (9) ist nun in der Tat die Aufgabe der Lösung unserer allgemeinen Gleichung siebenten Grades f(x) == 0 mit einer Galoisschen Gruppe ©jgg rational auf das Formenproblem der ternären Gruppe ©^gg zurückgeführt. Wir tragen für die x in die rechten Seiten der Gleichungen (4), (7) und (12) S. 208 ff. die Ausdrücke (9) in den Kv ein tmd erhalten dadurch vier rationale ganze Funktionen der a,, die gegenüber der @^gg invariant sind und sich demnach auf Grund des Gordan sehen Satzes (S. 225) rational und ganz in den Koeffizienten a^, ä^ der Gleichungen (1) und (3) S. 223 darstellen lassen =^). Die Aufgabe, bei gegebenen Werten dieser vier Funktionen die x^, x^^, x.^ zu berechnen, ist das „Formenproblem'^ der Klein sehen Gruppe: Nach ÄdjunMion der numerischen Irrationalität zweiten Grades 6 ist die Lösung der Gleichung siebenten Grades f(x) = 0 mit Galois scher ©^gg auf das Formenproblem der Klein sehen Gruppe ratioruü reduziert, welches letztere die Galois sehe JResolvente jener Gleichung vertritt und seinen „NormalcharaMer'' dadurch kennzeichnet, daß alle 168 Lösungen in einer unter ihnen mit Hilfe von 0 linear darstellbar sind. Klein hat noch das Problem behandelt, daß „allgemeine'- Formenproblem der ternären Gruppe ©^gg auf ein „spezielles'- mit F = 0 zu reduzieren, und findet, daß hierzu die Lösung einer akzessorischen biquadratischen Gleichung hinreichend und notwendig ist**). Es gilt dabei, einem beliebigen Punkte (x-^, x^, x^) der Koordinatenebene in kovarianter Weise einen Punkt (^j, y^, y^ auf der Kurve vierten Grades J' = 0 zuzuordnen. Dies kann z. B. in der Art geschehen, daß man die lineare Polare de& Punktes {oü^, x^, x^ in bezug auf die Kurve vierten Grades mit dieser Kurve zum Durchschnitt bringt, was die beiden Gleichungen liefert: X, (2 xl^Ü {xl ^ xl)) y, -f X, (2 xl + 3 ö {xl ~f xl)) y^ -^x,{2xl ^Ü{xl 4- xl))y, = 0, ^1 -r pI + ^3' + 3 Ö (yl yl + yl yl + yl yl) = 0. Zur Bestimmung eines der vier Schnittpunkte ist hier in der Tat eine Gleichung vierten Grades zu lösen. Diese Entwicklungen würden wichtiger sein, wenn man bei der transzendenten Lösung des Formenproblems der Klein sehen Gruppe allein auf elliptische Modulfunktionen (Fall F = 0) angewiesen wäre und dann allerdings eine „akzessorische- Gleichung in Kauf nehmen müßte. Dies ist indessen keineswegs der Fall. ==) Die Koeffizienten ä^ von (3) sind bei gegebener Gleichung (1) als deren Affektfunktionen „rational bekannt". **) Vgl. .,Ges. Abhandl." 11, 4-21.
Allgemeines über das Gren^kreistheorem der automorphßn Punktionen. 281 § 6. Lösung der speziellen Formenprobleme der Klein sehen Gruppe. Daß die Lösung des Formenproblems der Klein sehen Gruppe nicht im Gebiete der Algebra zu suchep. ist, ist aus dem nicht-metazyklisphen Charakter der ©^gg bekannt. Um die Abhängigkeit der x^, x^, x^ von den Werten der Formen JP, 0, W, X oder auch die der z^, z^, z^ von den Werten der F, fi?, W, X zu beschreiben, muß man demnach zu den Hilfsmitteln der die Algebra übersphreitendep Funktionentheorie seine Zuflucht nehmen. Der Grundgedanke ist dabei, daß man diß Abhängigkeit der x^, ajg, x^ von den F, 0, W, X nicht direkt betrachtet, sondern zwischen beide G-rößensysteme eine neue VerändefUche t, oder zwei fiomogene Veränderliche ^j, ^2, die aus F, 0, W, X zu berechnen sind, einschaltet, in denen alsdann sowohl die Formen F, 0, W, X wie auch insbesondere die x^, x^, x^ eindeutig darstellbar sind. Es handelt sich hier urq. eine sogenannte „uniformisierende Variable" ^, deren Existenz und Eigenart d]irch das „Grrenzkreistheorem-' der ^utorp.orphen Funktionen gegeben ist*). Dieses Theorem ist hier allerdings nur in den aUerniedersten Fällen heranzuziehen. Es sei eine Iliemannsche Fläche des Geschlechts ^ = 0, also etwa eine Ebene, gegeben, und auf ihr seien beliebige n Punkte ^1! 63; •••; ^n niarkiert, denen wir n gapze Zahlen Z^, /g, ••-, ?„, die > 2 sind, zuordnen. Man sagt, die Ebene (Rieman^ische Fläche) habe die „Signatur" (0, n; ?j, l.^, •••, l^), wobei die erste Zahl d^s Geschlecht darstellt. Dann existiert nach dem genannten Theorem auf der Ebene eine und im wesentlichen auch nur eine „linea^r-potymorphe F]inktion" ^**), die die geeignet zerschnittene Ebene auf den DB einer reellen Substitutionsgruppe, in Gestalt eines der „positiven ^- H^lbebene•' angehörenden Polygons mit n „festen Ecken" der Winkel ——, ——, ■••, —, abbildet. '] '2 ^n Man erteilt diesem DB gleichfalls die „Signatur" (0, n; I^, l^, •••, Z„). Das (2n — 6)-fache Kontinuumf) der signierten Ebenen ist urfikehrbar eindeutig auf das (2 n — 6)-fache Kontinuum der DB dieser Signatur bezogen ff). Es kommen weiterhin nur die beiden niedersten Fälle n = 3 und w 1= 4 zur Benutzung. Im ersten Falle hat m^ji stets einen symmetrischen DB. Beschreibt man durch die drei Punkte c^, e^, e^ einen Kreis, so wird das Innere (und ebenso das Äußere) (iieses Kreises auf ein Kreisbogendreieck der Winkel —, —, - der ^-Halbebene ab- '1 '2 '3 gebildet, und wir gelangen, der ganzen ^ubstitiitionsgruppe entsprechend, *) Vgl. „Ges. Abhandl.'- III, 627 und „Autom. Funkt.'- ß, 408ff. **) Im allgemeinen unendlich-vieldeutige Funktion, die sich bei umlaufen um die Punkte e linear gebrochen mit reellen Koefiiziepten substituiert. f) Drei von den n Punkten e ka^in man durch lineare Substitution an fest vorgeschriebene Stellen bringen. Es bleiben dann i^och (n — 3) „komplexe'- Werte e frei wahlbar, so daß tatsächlich ein 2 (n — 3)-faches Kont^nuum vorliegt. ■ft) Man vgl. wegen alles Nähere^ „Autom. Funkt'- I, 383ff. und II, 440ff.
232 III 2. Pormenproblem der ©^gs ^"id Gleichungen siebenten Grades. zu einer schlichten Bedeckung der ganzen ^-Halbebene mit einem Netze solcher Dreiecke*). Im'^Falle» = 4 ist indessen der symmetrische Fall ein besonderer. Liegt beim Formenproblem der Kleinschen Gruppe der besondere Fall F = 0 vor, so kann man entsprechend den Entwicklungen von S. 182 ff. das Formenproblem auch durch ModulfunUionen lösen. Doch ist das im Sinne der eben gegebenen Darlegungen als ein Umweg anzusehen. Indessen gelangen wir hier zu der einzigen Entwicklung, die bisher wirklich durchgeführt ist, und zwar unter Gebrauch der Wende- dreieckskoordinaten z-^, z^, z^. Es sollen hier nur die Ergebnisse zusammengestellt werden; wegen aller weiteren Ausführungen ist auf „Modulfunktionen" zu verweisen. Im Falle F := 0 berechnen sich zunächst die Modulformen erster Stufe g^, g^ und ^ (vgl. S. 86) aus den Formen fi?, W, JC der Kleinschen Gruppe auf Grund der Gleichungen **): (1) 0 = —^, W=12g,zl\ X=2ieg^zl^. Aus g^, g^ und zi berechnet man dann die Perioden Wj, Wg nach den Regeln von S. 89 ff., womit man die uniformisierenden Variablen sowie weiter die EntwicklungsgröJ3e q = e^^'" besitzt. Die Lösung des Formenproblems der Kleinschen Gruppe wird dann einfach dadurch geleistet, daJ3 man z^, z^, z^ als Modulfunktionen siebenter Stufe auffaßt und als solche analytisch darstellt. Dies geschieht durch die Reihenentwicklungen (vgl. „Modulf." II, 393): (2) \coJ ,, 2y(i_4ä2 + 3ä^ + 53«i--..), wo durch den Stern in der dritten Reihe darauf aufmerksam gemacht wird, daß das Glied mit q^ ausfällt f). Die Koeffizienten sind durchweg ganze Zahlen, die nach einem einfachen zahlentheoretischen Gesetz aus den Exponenten abgeleitet werden können (vgl. „Modulf." II, 588). Endlich findet man Darstellungen der z durch die ^^-Funktion in „Modulf." II, 394. *) Die wenigen niederen Falle, in denen das Xetz die ganze g-Ebene bedeckt, gelten im Texte als ausgeschlossen. **) Vgl. „Modulf.'- I, 737. t) Es liegt hier nur insofern eine kleine Unstimmigkeit vor, als der bisher stets mit 8 bezeichneten Substitution nicht die so bezeichnete erzeugende Substitution ci}[ = ßjj^ß>2, co'^ = C0.2 der ilodulgruppe entspricht, sondern deren inverse Substitution co', = co. — ca^, mL z=z lo».
Losung des speziellen Formenproblems dei ©jgß durch Modulfunktionen. 233 Würde man, der älteren Auff^issung folgend, nicht mit dem Galois- schen Problem arbeiten, sondern mit den niedersten Resolventen, nämlich denen achten und siebenten Grades, so \\äirde|i im Falle ^ == 0 an Stelle des Formenproblems die Modular- und ]M[ultiplikatorgleichungen für Transformation siebenten Grades der elliptischeifi Funktiopen und ihre Resolventen siebenten Grades treten. Man w]irde dann derei^ Wurzeln als Modulfunktionen bzw. -former), siehentef Stufe in Reihen nach g darzustellen haben. In den vorhin allgemein entwickelten Ansatz ordnet sich nun der Gebrauch der Modulfunktionen in folgender Art ein. Wir bilden zunächst vermöge der Gleichung (6) S. 216 aus den Formen 0, W, Xdie GröJ3e /. Über der J-Ebene war seinerzeit (S. 188) der Dß der Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe als 168-blättrige Fläche gelagert, die uns zu unserer Kurve vierten Grades ^ = 0 hinführte. Auf Grurjid des Grenz- kreistheorems ist diese Entwicklung uirdsehrbar. Wir markieren in der J-Ebene die drei Stellen e^ == 1, e^ —= 0, 63 = 00 und schreiben die Signatur (0, 3; 2, 3, 00) vor. Dann ist die 'zugehörige linear-pqly- morphe Funktion co (/), und unser Ansatz führt zuy Uniformisieriing durch Modulfunktionen. Hier versteht man nun den Upiweg, der beim Gebrauch der Modulfunktionen gemacht wird. Man erzielt nämlich die Uniformisieriing bereits mit der Signatur (0, 3; 2, 3, 7) und der zugehörigen polymorphen Funktion ^ (/). Wesentlich ist nur, daJ3 siph dje 168-bläfctrige Flache über der J-Ebene im K'etze der Kreisbogendreiecke der Winkel Vi -^j -^ 2 3/ auf einen dieses Xetz nur einfach bedeckenden Bereich abbildet. Man gelangt zu dem aus 168 Dreiecksp^aren zusammengeseiizten Bereich, den man in „Ges. Abhandl." Ill, 126 oder in „Modulfunkt.'- I, 370 dargestellt findet, und der bei eingehenderen geometrischen Untersuchungen der fraglichen Riemann sehen Fläche von jeher benutzt wurde *). Der fragliche Bereich ist einfach wieder der DB der Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe innerhalb der Gruppe der ^-Substitutionen, deren arithmetischer Charakter in „Autom. Fpnkt." I, 606 ff. erklärt ist**). Die Größe ^ ist eine eindeutige Funktion von a>, während umgekehrt co un- endKch vieldeutig von ^ abhängt. Dies begründet den Vprrang von ^ vor CO für unseren Zweck der Uniformisierung. Indessen sind die Darstellungen von s^, s^, s^m t, poch nicht näher untersucht. Der Fall 5? == 0 unseres Formenproblems besitzt eijie g^nz entsprechende transzendente Theorie, die indessep nur erst wenig entwickelt ist. Man stelle zunächst fest, daß auf der Kurve sechsten Grades gB =: 0 *) Des besseren Überblicks halber ist die £ Halbebene bei jener Figur auf die Flache eines Kreises linear transformiert. **) Vgl. auch die Abhandlung des Verfassers ,,Über den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2, 3, 7) und (2, 4, 7) gehore|iden Dreiecks- funktionen", Math. Ann., Bd. 41, S. 443.
234 II» 2. Formenproblem der ©igs ^^^ Gleichungen siebenten Grades. die 24 konjugierten Pole der zyklischen Teiler ©^ liegen, desgleichen die 42 S. 196 näher bezeichneten Pole der zyklischen Teiler @^. Indessen läuft die Kurve nicht durch die 21 restierenden Pole der @^ (21 Per- spektivitätszentren), auch durch keinen Pol eines zyklischen Teilers ©g. Dagegen wird die Kurve ^ = 0 außer in jenen 42 konjugierten Polen noch in 84 weiteren konjugierten Punkten von den 21 Perspektivitäts- achsen geschnitten. . Wir gehen nun auf die schon S. 217 erklärte Funktion K auf der Kurve gB = 0 zurück, die durch: (3) K: (K— 1) : 1 = W^ : X^ : 2^F' W gegeben ist. Sie ist 168-wertig und nimmt ihren einzelnen komplexen W'ert immer in 168 bezüglich der ©^gg äquivalenten Punkten an. Diese Punkte liegen im allgemeinen getrennt; jedoch fallen sie für JST == 1 zu je zweien in 84 getrennt liegenden Punkten zusammen, für JST = 0 zu je vier in 42 und für JST =:; oo zu je sieben in 24 getrennt liegenden Punkten. Wir folgern hieraus sofort: Mittels der Funktion E wird die Kurve sechsten Grades abgebildet auf eine 168-blättrige Riemannsche Fläche über der jST-Ebene, die 84 bei JST = 1 gelegene zweiblättrige Verzweigungspunkte, 42 vierblättrige bei K = 0 und 24 siebenblättrige bei K == oo hat, weitere Verzweigungspunkte aber nicht besitzt. Das Geschlecht dieser Fläche bestimmt sich in der Tat zu j) = 10 in Übereinstimmung mit dem Geschlecht der doppeltpunktfreien ebenen Kurve sechsten Grades. Wir markieren nun in der jST-Ebene wieder die Punkte e^ = 1, gg = 0, 63 =3 oo und führen die zur Signatur (0, 3; 2, 4, 7) gehörende polymorphe Funktion ^(K) ein und damit das Xetz der Kreisbogendreiecke der Winkel ~, —, —• Als Hauptergebnis gilt der Satz; Im Falle ^ = 0 wird die transzendente Lobung des Formenproblems der Klein sehen Gruppe durch automorphe FunMionen der Gruppe der Signatur (0, 3; 2, 4, 7) geliefert. Was in dieser Hinsicht bereits näher untersucht ist, findet man in „Autom. Funkt."' I, 606 ff. und der eben genannten Arbeit des Verfassers. Bekannt ist zunächst das arithmetische Gesetz der zugehörigen Gruppe der ^-Substitutionen. Auch konnte leicht gezeigt werden, daß ihre Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe wieder den Index 168 hat, und daß der zugehörige DB zur obigen 168-brättrigen Fläche über der iT-Ebene hinführt. Die z^, s^, s^ sind also auch im Falle gB = 0 wieder „automorphe Funktionen siebenter Stufe". Will man brauchbare analytische Darstellungen der z^, z^^ z^ haben, so kann man entsprechend den Erfahrungen beim Falle ^ =: 0 den Umweg gehen, daß man die polymorphe Funldion der Signatur (0, 3; 2, 4, 00) einführt. Die zugehörige, mit der Modulgruppe kommensurable Gruppe ist S. 100 ff. mit Hilfe der Irrationalität "fi dargesteUt. Die Grundformen dieser Gruppe h^, \, h^ konnten als Modulformen zweiter Stufe erklärt und in die Potenzreihen (9) S. 105 entwickelt werden. In ihnen
Transzendente Lösung des speziellen Pornienproblem^ mit ^ = 0. 235 stellen sich die Invarianten der Klein schea Gryppe im Falle 0 = 0 so dar: (4) F=\, W= }ilh!, X --= \ \ Jit ■ ih„ was ein Vergleich der Gleichung (3) mit dpr von S. 105 \ier bekannten Gleichung: E:{K— 1):1 = ht : h! : 2oÖ/i, bestätigt. Da 2 quadratischer Rest von 7 ist, so hat diß Hauptkongruenzgruppe siebenter Stufe innerhalb der Gruppe der Signatur (0, 3; 2, 4, oo) wieder den Index 168 wie :|nner]|ialb der Modulgruppe. In 2^, z^^ z^ haben wir das einfachste Fori^ensystem dieser Gruppe; als solche Forjnen sind sie von der (— 2)**^^* Diinension und üire Quotienten liefern sechs- wertige Funktionen. Die den Formeln (2) entsprechenden Reiken- darstellungen sind indessen noch nicht näher untersucht. § 7. Lösung des allgemeiner* Formenproblems der Klein sehen Gruppe. Wir sprechen vom „allgemeinen Formenproblem" der temären Gruppe @J68) wenn keiner dpr beiden eben behandelten Fälle ^ == 0, fi? = 0 vorliegt. Um jetzt die transzendente Lösmig dieses Formenproblems vorzubereiten, führen wir die '^cloar der JLurven zwölften Grawes,: (1) ;c*2_|_4_p3^'0 ein. deren jede durch die Substiti^tionen der ©^^g in sich transformiert wird. Für v,-=^0 liegt die dreifach gezg,hlte B^urve vierten Grades ^ == 0 vor und für ^,-=-00 die doppelt gezählte Kurve sechsten G^-ades fi? = 0. Mle übrigen Kurven (1) sind irreduzihel. Invariajite Faktoren der linken Seite von (1) eines Grades m <C^ 12 könnten nur JF*, fi?, F^ und F- 0 ^ein, die aber ausgeschlossen sind. Hätte also die linke Seite von (1) einen Faktor f eines Grades m <^ 12, so wiiide dieser Faktor einem Teiler der (^jgg eines Index /i ^ 1 angehören, und wir hatten als in der linken Seite von (1) enthalten [i konjugierte Faktoren fi == f, f^, f^j • • -j fu- Da /LI ^ 7 ist, so ware m = 1, und ipaan hätte die drei Möglichkeiten fi = 7, 8 und 12. Indessen gibt es bei der ©^gg kein System von 7 oder von 8 oder von 12 konjugierten Linearformen. Führt man statt der Wended^-eieckskoordinaten z^, z.^, z^ durch: x:i/:l = j:^:z^:Z2 gewöhnliche kartesische Koordinaten x, y eii^, so wird die (Ueichung (1). . 4:X^ -^Tiy^ -f ... z= 0, wo alle nicht angegebenen Glieder den Grad 3 übersteigei^. Es ergibt sich hieraus, daß die 24 Pole der ;^yklischen Teiler (^^, die die gemeinsamen Grandpunkte aller Kurven des Büschels (1) sind, für die irre- duziblen Kurven BiickTcehr^uuMe sind. Eine irrßduzible Ifurve (]), die
236 n, 2. Formenproblem der ©igs ^^^ Gleichungen siebenten Grades, weiter keine singulären Punkte aufweist, hat nach einer bekannten Regel das Geschlecht jp = 31. Soll ein weiterer singulärer Punkt auftreten, so sind sogleich alle bezüglich der ©^gg mit ihm äquivalenten Stellen singulare Punkte des gleichen Charakters. Wir haben also zu untersuchen, was aus der Kurve (1) wird, wenn wir den Parameter x so bestimmen, daß sie durch eines der weiteren Polsysteme der Ö^gg hindurchlauft*). Es können hierbei nur die 28 konjugierten Pole der zyklischen ©^ und die 21 Per- spektivitätszentren in Betracht kommen, da die übrigen Pole immer nur auf einer der beiden Kurven ^ == 0, $ = 0 liegen und also für die iireduziblen Kurven (1) nicht in Betracht kommen. Da 2j^ = 1, ^2=1, ^-g = 1 die Koordinaten eines der 28 Pole der @3 sind, so lauft die irxeduzible Kurve der Gleichung: (2) 4P_27*2„o durch die 28 Pole der ©g hindurch, ilan stellt leicht fest, daß die Kurve in den fraglichen 28 Polen DoppelpunUe aufweist, so daß ihr Geschlecht auf /> = 3 zurückgeht. Wir haben hier die der Kurve vierten Grades zwölfter Klasse ^ i= 0 nach dem Dualitätsprinzip entsprechende Kurve zwölften Grades vierter Klasse vor uns, die den 28 Doppeltangenten und 24 Wendepunkten jener Kurve entsprechend 28 Doppelpunkte und 24 Rifckkehrpunkte hat. Die durch die 21 Perspektivitätszentren hin durchlaufende irreduzible Kurve zwölften Grades untersucht man bequemer mit den oktaedrischen Koordinaten x^, x^, x^, wo man etwa das spezielle Zentrum x^ = 0, ajg = 0 benutzen kann. Es zeigt sich leicht, daß die Kurve wieder Boppelpunlie in den 21 Zentren hat, so daß das Geschlecht jetzt auf p =z 10 herabgeht. Um den zugehörigen Wert des Parameters % zu bestimmen, setze man: x^ = 0, x^ = 0, x^ = £* (fä J- fS _ £* _ £^) in die Transformationsformeln (10) S. 200 ein und findet: 2, = s'{8 -^8^-8^ — 8% Z,=: e{8'-j-8'-e-E% ^3 =: £* (f^ — £° £* 8^). Durch Ausübung der Substitution S^ gehe man von hier noch zum reellen Perspektivitätszentrnm über: ^2 = £^ + £^ — £ — £^ „-3 = £2 + £& _ £4 _ £3_ ^) Man beachte, daJJ 168 oder auch nur 84 weitere singulare Punkte nicht «n können. auftreten können.
Geometrische Grundlagen der Lösung des allgemeinen rormenproblems. 237 Eine kurze Rechnung zeigt dann, daß die durch diesen Punkt hindurchlaufende Kurve der Schar (1) die Gleichung hat: (3) ^'- 4- 4^^ = 0. Wir notieren also den Satz: Die irreduziUen Kurven der Schar (1) haben das Geschlecht p = 31 mit den heiden Äm^iahnißn (2) und (3), wo die Geschlechtssahlen auf j) =-. 3 und j5 = 10 zurücTcgehen. Man führe jetzt auch i^och die Schar der bezi^glich der ©^ g invarianten Kurvten 14ten Q-rades vo^i der Gleichung: (4) W—8lF^^=^0 ein, die sämtlich durch die 56 koi^jugierten Pole der zyklischen ©g and die 42 konjugierten Pole der zyklischen @^ (Beriihrungspunkte der Kurven 5? = 0 und W = 0) hiadurchlaufen. Abgesehen voa diesen Punkten, durch die keine der irreduziblen Kurven (1) Jiindurchl^uft, zieht durch den einzelnen Punkt der Ebene stets eine und pur eine Kurve der Schar (4) hindurch. Längs der einzelnen irreduziblen Kurve (1) wird nur|. X eine eindeutige 168-wertige Funktion, die den einzelnen komplexen Wert in 168 bezüglich der ©^gg äquivalenten Punkten annimmt. Piese Punkte sind im allgemeinen voneinander verschieden, jedoch mit folgenden Ausnahmen: Erstlich fallen für A = c« die 168 Punkte zu je 7 in den 24 Polen der ©^ [Grundpunkten der Schar (1)1 zusammen. Sehen wir weiterhin zunächst von den besonderen Kurvep (2) und (3) ab, so kommen nur noch die 12-21 Schnittstellen der Kurve (1) mit den Perspektivitäts- achsen in Betracht. Da die einzelne Achse durcii vier einen zyklischen Teiler ©^ bildende Substitutionen ===) ir|. sich übergeht, so liefern ijire Schnittstellen mit der Kurvte (1) drei Systeme vpn je vier äquivalenten Punkten. Im ganzen hat man alsp auf der irreduziblpn Kurvte (1) [abgesehen von den Fällen (2) und TB)] nur noch dreimal eip. Zusammenfallen der 168 äquivalenten Punkte zu je 2;weien an 84 Punkten festzustellen. Schließen wir die beiden speziellep Fälle (2) und (3) aus und nehmen wir an, daß die dreimal 84 eben gewonnenen Stellen durchweg getrennt liegen und zu den Werten A = ^;^, ^ = t^g und X = v^ führen, so ergibt sich der Satz: Die einzelne Irreduzlhle Kurve (1) wird durch die FunUion X auf eine 168-blättrige Flache ^her der X-Ehene abgebildet, die nur an den vier Stellen X == v^, v^, v^ und oo oerzweigt td; Ußd zwar liegen an jeder der ersten drei Stellen 84 zweihlattrige Verzweigdng'?,puAilie, bei X ^= CO aber 24 siebenblättrige. Man überzeuge sich, daß diese Fläche wie die Kurve (1) in der Tat das Geschlecht j) = 31 hat. Die Lage der VerzweigTingsstellen v^, v^^ v^ ist nu^ naher zu untersuchen. Für die in Frage kommenden Stellen der Koordinatenebene *) Außerdem wird die Achse durch vier weitere a^s der zyklischen ©^ und der eigenen Perspektivität zu erzeugende Substitutionen in sich übergeführt.
238 III 2. FormenprobleiD der ®i6g und Gleichungen siebenten Grades. der ^j, -^g, ^3 verschwindet die Form X, so daß zufolge (15) S. 208 die Gleichung gilt: W^ + 2^.3^*7 —2^.1 IF^^IF^ —2^-P71^4- 2ö.l7P^*2|pr + 2*. 32. 7 P** y — 2" P^ * + 2^. 43 P« *3 __ 2^. 7 . G7 P^ ^^ = 0. p]liminiert man F^ $ und W zwischen dieser Gleichung und den Gleichungen (1) und (4), so ergibt sich: (5) xU^— llx2A2 + x(x2+ 17 X —32. 7)A + (x^ + 43x2+ 7.67X +2.33) = 0 als kubische Gleichung für die drei Werte t\, Vc^^ v^. Wir spalten X in den Quotienten Aj: Ag zweier homogenen Variablen, fügen, um aucli den Verzweigungspunkt A = c» mit zu berücksichtigen, den Faktor Ag und, um Binomialkoeffizienten zu gewinnen, den Faktor 12 hinzu und erhalten so aus der linken Seite von (5): (G) 4.3x^^1^2 —6.22x2-Aim +4(3x3+ 5U2_ ig9^);^^;^8 + 12 (x^ + 43x2 + 469x + 54)^2^ als biquadratische „Verzweigungsform" unserer lG8-blättrigen Riemanii- schen Fläche über der A-Ebene. Die durch (7) in I, 139 erklärten Invarianten ^2, ^3 dieser Form stellen sich in x so dar: I g^ = —22.3x^(3x2 —2.5.7x —33.7), ^^^ \ ^8 = —23.x*(32.7x^ + 7.13x2 + 33.7.17X + 36), woraus man für die Diskriminante z/ findet: (8) z/ = — 2^. 3« x^ (x + 27)3 (^ _ 1)4^ Für die absolute rationale Invariante J der Verzweigungsform [vgl. Fon^iel (14) in I, 141] ergibt sich daraufhin: (9) J: (J— 1): 1 = X (3 x2 — 2 . 5 . 7 X — 33. 7)^ : — (32. 7 x3 + 7 . 13 x2 + 33. 7 . 17 X + 3«)^ :27(x + 27)3(x—1)*. Hieraus geht der wichtige Satz hervor: Bei den irreduziblcn Kurven (1) tritt eine Ausartung der Eiemann sehen Fläche infolge Ver- sehwindens der Dislcriminante z/ durch Zusammenrüclcen von VerzwcigungH- stellen nur für x = — 27 und x =n 1, d. h. in den beiden besonderen Fällen (2) und (3) ein. Für X = — 27 nimmt die Gleichung (5) nach Fortlassung des Faktors 27 die Gestalt an: (3A + 1)2 (3 A —35) = 0.
Transzendente Lösung des allgemeinen Formenprobleins. 239 Aus (jrleichung (4) aber geht hervor, daß 3 A = — 1 im Punkte ^^ = 1, ^2 = 1, 'S^a =^ 1 zutrifft. Wir werden zu den 28 konjugierten Polen der zyklischen Teiler ©g zurückgeführt, durch deren einzelnen die Kurve (2) zweimal hindurchläuft*). Die 168-blätterige Riemannsche Fläche über der A-Ebene hat nur noch die drei Verzweigungsstellen A=::^, A= — l, k = oc; und zwar finden sich an der ersten Stelle 84 zweiblätterige Verzweigungspunkte, an der zweiten 56 dreiblätterige und an der dritten 24 siebenblätterige. Wir sind damit zur Riemann- schen Fläche des Falles F :z=: 0 zurückgeführt. Für X = 1 nimmt die (ileichung (5) die Gestalt an: (A —9)2(A -h 7) = 0. Die Verhältnisse liegen hier ähnlich wie in dem gerade betrachteten Pralle. Durch das einzelne Perspektivitätszentrum ziehen vier Achsen hindurch (vgl. Fig. 24, S. 190). Jedes Zentrum ist Koinzidenzstelle von vier Paaren bisher getrennt liegender Schnittpunkte der Achsen mit der Kurve (1). Da die Kurve (3) aber zweimal durch jedes Zentrum hindurchläuft, so entstehen bei der jetzt in Frage kommenden Koinzidenz zw^ei- blätteriger Verzweigungspunkte 42 vierblätterige Verzweigungspunkte. Die Kurve (3) wird demnach mittels der Funktion X auf eine 168- blätterige Riemannsche Fläche mit den drei Verzweigungsstellen X = — 7, X =i \) und A =^ oo abgebildet; und zwar finden sich an der ersten Stelle 84 zweiblätterige Verzweigungspunkte, an der zweiten 42 vier- blätterige und an der dritten 24 siebenblätterige. Wir haben damit die Fläche des Falles $ = 0 wiedergewonnen. Indem wir die beiden besonderen Fälle (2) und (3) zunächst wieder ausschließen, führen wir für die mit den Punkten t\, v^, v^, oo signierte A-Ebene auf Grund des (ilrenzkreistheorems die polymorphe Funktion J .der Signatur (0. 4; 2, 2, 2, 7) ein. Sie bildet die geeignet zerschnittene A-Ebene auf den DB einer Grenzkreisgruppe der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 7) ab. Nach einem in „Autom. Funkt." I, 385 bewiesenen Satze bilden die gesamten Gruppen dieser Signatur ein zweidimensionales Kontinuum. das umkehrbar eindeutig auf das zweidimensionale **) Kontinuum der signierten A-Ebenen bezogen ist. Die Grenzkreisgruppen der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 7) sind alle isomorph und enthalten je einen Normalteiler des Index 168. Liegt keiner der Fälle (2) und (3) vor, so habe unser „allgemeines" Formenproblem die Lösung ^^, z^, z^. Der Punkt dieser Koordinaten lieo-t dann weder auf der Kurve F = 0 noch auf der Kurve # --. 0 *) Durch jeden Pol laufen drei Perspektivitätsachsen (vgl. Fig. 25, S. 198), so daß der Pol Koinzidenzstelle von drei Paaren bisher zweiblätteriger Verzweigungspunkte ist. Die bisher getrennt liegenden 84 Punktepaare ziehen sich in der Tat auf die 28 getrennt liegenden Pole zusammen. **) x ist ein „komplexer" Parameter.
240 n, 2. Formenproblem der ©j^g ^^^ Gleichungen siebenten Grades. noch auch auf einer der Kurven (2) und (3). Durch ihn zieht also eine und nur eine der irreduziblen Kurven (1) des Geschlechtes j) = 31 hindurch, auf der dann zugleich die gesamten 168 den Lösungen des Formenproblems entsprechenden Punkte liegen. In der sti dem betreffenden Parameterwerte y, gehörenden polymorphen FunUion t, von der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 7) hahen wir die uniformiderende Variable gewonnen, die die transzendente Lösung des Formenprohlems vermittelt; in t, sitid nicht nur die an die Gleichung (15) S. 208 und die Belation (1) gelutidenen Formen F, ^, W und X eindeutige FunUionen der Gesamtgruppe, sondern ebenso sind die z^, z^, z^ als eindeutige automorphe FunUionen von t, eines Normalteilers vom Itidex 168 dardelTbar. Dieser Ansatz ist bisher noch in keinem Falle zur wirklichen Durchführung gebracht. Auch ist diese Durchführung dadurch erschwert, daj3 man zur Darstellung der z^, z^, z^ als automorpher Funktionen von ^ nur die praktisch recht unbrauchbaren Poincar^ sehen Reihen zur Verfügung hat. Man wird sich auch hier damit helfen, daj3 man an Stelle der polymorphen Funktion der Signatur (0, 4; 2, 2, 2 ,7) diejenige der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, oo) treten läj3t, was natürlich theoretisch einen Umweg bedeutet. Der Vorteil aber ist, daJ3 man dann wieder Potenzreihen nach der Exponentialfunktion g besitzt, die gut konvergieren und überhaupt als „Potenzreihen'- brauchbarer sind als die Poiucaresehen Reihen. Doch ist auch iu dieser Richtung noch nichts weiter zur Durchführung gebracht. Man wird noch fragen, was aus unserem Ansatz in den beiden besonderen Fällen (2) und (3) wird. Die Antwort ist einfach: Es rücJcen in beiden Fallen zwei elliptische Eclcen des DB zu einer parabolischen zusammen, und man gelangt beide Male zur polymorphen FunUion der Signatur (0, 3; 2, oo, 7). Vermutlich führen innerhalb dieser Gruppe die Hauptkongruenzgruppen dritter und vierter Stufe zu unseren 168- blätterigen Flächen. Doch ist darüber noch nichts weiter festgestellt. Eine ausführliche Untersuchung über die symmetrischen Fälle der Grenzkreisgruppen der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 7), und zwar sowohl algebraisch wie transzendent, ist vom Verfasser ausgeführt*). *) In der Arbeit „Entwicklungen zur Transformation fünfter und siebenter Ordnung einiger speziellen automorphen Funktionen'-, Acta math., Bd. 17, S. 388ff.
(1) Arithmetische Erklärung ei^ier neuen Substitutionsgruppe. Drittes Kapitel. Valentinergruppe und zugehörige invariante Formen. 1. Einführung einer neijen unendliche^ Sulbstiti^tion^gruppe ( Wir verstehen weiterhin untey j und j die Lösungen: . _ — 1 -r y5 T _ — 1 — VS der ganzzahligen quadratischen Gleichung x- ~\- x — 1 = 0. Die „ganzen Zahlen-' des quadratischen Zahjkörpers (ß, j) sind dann die in der Gestalt (a -f- hj) mit irgendwelchen rationalen ganzen Zahlen ß, h darstellbaren Zahlen. Wir bilden mit ganzen Zahlen Ä, B, 0, D des Körpers {% j) und der Quadratwurzel \j lineare Substitutionen einer komplexen Variablen ^ = ^ -- irj von der Bauart: .,. ., _ (^ + i?Vi)^-(o-^vJ) Es sollen also hier der erste und vierte Koeffizient zwei afe „konjugiert" zu bezeichnende Zahlen {Az^B^j) seir^ und ebenso der zweite und der negativ genommene dritte. Diebe Bauart hleiht hei Zubammenbet^ung zweier Suhbtitutionen erhalten. Üben wir nan^lich auf ^' eine Substitution (2) mit den Zahlen Ä', B', C, I)' aus, so entspringt eine Sut)stitution der gleichen Bauart mit den ganzen Zahlen: ' A" = A'A-\-3 B'B — G'C ^jD'I), B" = A'B -i-B'A -^ G'D—irC, ^^^ * G" = A'G -tJß'D f G'A—jD'B, D" == A'D + B'G- C'B ^B'A des quadratischen Körpers (5Ä, j). Hieraus geht sofort hei-vor, dg.J3 alle unimodularen Substitutionen (2) eine Gruppe bilden. Es besieht ^.ber weiter der wiphtige Sat^: Alle quadrimodularen Substitutionen (2), d. h. alle Substitutionen (2) drr Determinante 4; (4) ^2 ^ C2 — j (B^ -f D^) = 4, zu denen inbbesondere alle mit 2 ertceiterten animodularen Suhbtitutionen geJiören, bilden gleichfalls eine Grrti,pße ©'. Es laßt sjch nämlich leicht zeigen, daJ3 für jede quadrimodulare Substitution (2): (5) A ~G, B = D (mod 2) Fricke, Algebra. II. 16
242 Ilf S- Valentinergruppe Tuid zugeliorige Formen. gilt. Sind also die beiden zusammenzusetzenden Substitutionen quadri- modular, so folgt aus (3), da£ A", B", G'\ B" durch 2 teubar sind. Kach Forthebung des Faktors 2 wird dann die zusammengesetzte Substitution wieder quadrimodular. Die Gültigkeit der Kongruenzen (5) zeigt man so: Es gibt mod 4 sechzehn Reste für die ganzen Zahlen des Körpers (9?, j). Für die Summe {B^ ~f D^) der Quadrate zweier Zahlen B, B gilt eine der vier Kongruenzen: (6) ßä _|_ 2)2 = 0, 2, 2 + 2i, 2i (mod 4), falls B = B (mod 2) ist, im Falle B ^B (mod 2) aber eine der sechs Kongruenzen: £2 _|_ 1)2 ^ 1, 3, 1 -|_ 3j, 3 ^i, 2 +i, 2 + Sj (mod 4). Im letzten Falle B ^D (mod 2) würde sich aus (4) beziehungsweise: Ä^~\-C^=j(B^+B')=j, 3i, 3 + 2i, l + 2j, 1+i, 3 + 3i (mod 4) ergeben. Das sind aber gerade die sechs rückständigen Reste, die nicht mit der Summe zweier Quadrate mod 4 kongruent sein können. Also ist B = D (mod 2), und aus (4) folgt, den Kongruenzen (6) entsprechend: ^2-f C2=i(j?2 + D2) = 0, 2i, 2, 2~f2j (mod 4), so daJ3 in der Tat auch die erste Kongruenz (5) gilt. Weiter, besteht der Satz: Alle quadrimodälaren Suhstittdionen (2) und aMe dimodularen, d. h. alle der Beterminante 2 : (7) Ä" -^rG^—3 (5^ -^ D2) = 2 Mlden eine G-ruppe, in der die gewonnene Gruppe @' der quadrimodularen Substitutionen einen Normalteiler des Index 2 liefert. Wir verstehen unter U die besondere dimodulare Substitution: (U) t' = -^-^ der Bauart (2). Bezeichnen wir zur Abkürzung die Substitution (2) durch das Symbol [-4, B, C, B], so zeigt man leicht: U-[A, B, G, B]'Ü-^ = [A, —B, C, B]. Hiemach ist U mit @' vertauschbar, und man hat in ® =: @' -f- ©' • f7 eine Gruppe, die @' als Xormalteiler des Index 2 enthält *). Es ist also nur noch zu zeigen, daß die Xebengruppe @' • U gerade aus allen dimodularen Substitutionen (2) besteht. Erstlich hat, wenn [A, B, C, B] eine beliebige Substitution aus @' ist, [A,B, 0, D].f7= [1(^ + 0,1(5-fD), _i(^_C), _|(i?-D)] zufolge (5) vier ganzzahlige Beträge ^{A-\- G), ... und ist dimodular. Ist andererseits V eine beliebige dimodulare Substitution, so ist *) Die Substitution 7/2 gehört der Gruppe ®' an.
Arithmetische Erklärung einer neuen ßubstitutionsgruppe. 243 V- TJ~'^ = y quadrimodular und also F= F'- f7 in der Kebengruppe @' • TJ enthalten. Als letzten Satz notieren wir: Diß G-rtf^ppe ® aller quadrimodularen .und dimodularen Substitutionen (2) J^at lavier reelle ^ubst^tutioßshoeffksienten und ist durch die Spiegelung S an der ipiagirf.ären l-Achse: {S) r == -1 wo t, zu t, Iconjugiert imaginär ist, zu einer 0-rup^e ® = ® -\- (3- S erweiterungsfähig, in der @ ein Normalteiler des Index 2 ist. Der Be\>feis geht unmittelbar aus der Gleichung hervor: S.[A 5, 0, D]'S = [A, B, — G, — D]. § 2. Dreiecksnietz und DB d^r Gruppe @. Es soll festgestellt werden, welche Perioden bei etwaigen elliptischen Substitutionen der Gruppe ® vorkommen können. Wechselt ^nan das Vorzeichen von yS, so mögen die ganzen Zahlen A, B, G, T) eiper Substitution [-4, B, G, D] in A^ B, G, D übergehen. Sie befriedigen die Gleichung: ^' +^' + i±l(^ (ßs _|_ ;^2) ^ 4 bzw. = 2, je nachdem die Substitution quadrimodular oder dimodular ist. Da die A, B, C, D reell sind, so folgt: (1) MI ^2 b?w. |1|<V2, wo im ersten Falle das Gleichheitszeichen aur für die identische Substitution zutrifft. Das Kennzeichen e|ner elliptischen Substiti(.tion ist aber \A\ <^ 2 bzw. |-4j < '^2, je nachdem eine q^adrimoduIare oder di- modulare Substitution vorliegt. Die gleichzeitigen Bedingungen j ^ [ <;; 2 und M I <^ 2 erfüllen nur die ganzen Zahlen: (2) ^ = 0, i 1, ±j, ±j und die gleichzeitigen Bedingungen \A\ << y2, \A\ <C ^2 ni^r die ganzen Zahlen: (3) ^ = 0 und ^ = + 1. Bei den quadrimodularen Substitutionen ist der Wert -4 = ^r 1 unbrauchbar. Man hätte hier G=l (mod 2) und also: A^-^G^ = 2, B2 _|_ 2)2 s 2 + 2 j (mod 4), woraus B = D =j (mod 2) folgt. Wir setzen demnach: (4) B = j -4- 2 &, D = j -f- 2 d,
244 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. WO h und d ganze ZaMen des Körpers (ß, j) sind. Xun folgt aus (4) S. 241 für -4 = + 1 nach Multiplikation mit (j -f 1): sowie wenn wir die Ausdrücke (4) von B und D eintragen: 2 - 2j T- 4i(& + d)~\^ 4.(1' + ^) = (i + 1){G' - 3). Setzt man h -^ d = x und reduziert mod 8, so ergibt sich, je nachdem C'^ = 1 oder = 5 (mod 8) gilt: 4tx^ ~\-4tjx = 4: bzw. = 4j (mod 8) und also nach Fortnahme der Faktoren 4: x^^jx-^l = 0 bzw. x^ ^jx -[-j = 0 (mod 2). Beide Kongruenzen sind irreduzibel, woraus die Unbrauchbarkeit von J. = + 1 hervorgeht. Für alle übrigen A aber werden wir Substitutionen in (3 finden: Unter den qaadrimodularen Substitutionen treten an Flg. 29. cllijjtibchen Suhdit at Ionen bolche der Perlode 2, nämlich fur A = 0, and weiter nar noch solche der Periode 5, nämlich fur A = tij und A = 4ii, auf; anter den dimodalaren Sahstitutionen fanden sich nar elliptische der Periode 2 fur A = 0 und bolche der Periode 4 für J. = — 1- Wir stellen nun die drei in der erweiterten Gruppe (^ enthaltenen Spiegelungen: -^-rl ,-. .._ l-fJ + Vi i.^) r -i {T) r iu) l'-- JtI ' ' " (i+i-Vi)e zusammen, deren Symmetriehalbkreise der positiven ^-Halbebene durch: (5) 1 = 0, 1^-4-^^21-1 =.0, r + 7?^ = (l+i)(l + VJ) gegeben sind und das in der Fig. 29 sichtbare Kreisbogendreieck der mit e,), ßj, ^2 bezeichneten und bei: («) ^ = (i+J -VJ)- y2
Spiegelungen in der nepen Gruppe @^. 245 gelegenen Ecken eingrenzen. Es handelt sich hier um ei^ Kreisbogendreieck der Winkel "ö" > t > ^ j ^"^ ^^-'^^ durch fortgesetzte Spiegelung eine lückenlose und einfache Bedeckupg dßr ganzen ^-Halbebene mit einem Xetze solcher Dreiecke entsteht (vgl. Fig. 29). Hiernach ist die Grren^kreibgruppe der Signatuf (0, 3; 2, 4, 5) ein Teiler unserer aritli- metiscJi erMärten G-ru^pe @. Wir behaupten weiter, daß ^ußer den in dieser Grejizkreisgruppe bereits vertretenen Spiegelungen weitere auch in der Gruppe @ nicht enthalten sind. Dies ist leicht geometrisch, zur Evidenz zu bringen. Ein Schnittpunkt zweier Symmetripkreise ist stets Pol einer elliptischen Substitution. Liegt andererseits ay.i einem Symmetriek reise der Pol einer elliptischen Substitution der Periode v, so laufen durch diesen Pol im ganzen v Symmetriekreise hindurch, die sich unter den Wickeln — schneiden. Enthält nun @ noch eine Spiegelung^ derpn Symmetriek|?eis dem Xetze der Fig. 29 nicht angehört, so zieht auch noch ein solcher Symmetriekreis durch das Innere des Dreiecks e^, e^, e^ hindurch. Dieser Kreis kann durch keine der Ecken e^ und e^ laufen, da hier bereits die kleinsten zulässigen W'inkel — und — vorliegen. Würde er d^rch e-^ er die Gegenseite e^, e^ im Imiern schneiden. Hiernach müßte der fragliche Kreis wenigstens eine der beiden Seiten e^p^ und e^e^ inj Innern schneiden. Soll nun ein Innenpunkt der Seite e^e^ Pol einer Substitution der Periode 5 sein, so liefe durch ihn ein Synunetriekreis, der mit e^e^ den Winkel 4r bilden würde*). Dieser Kreis würde dje Seite e,e^ unter einem Winkel 0" des Intervalls: erreichen. Diesem Intervall gehört aber überhaupt keiner der zulässigen W^inkel ^, ^ an, so daß der fragliche Pol nicht auftreten kanfi. Genau so zeigt man, daß dem Innern der Seite e^e^ kein Pol eiaer elliptischen Substitution der Periode 2 unserer Gruppe @ angehören kann. Es würde ein die Seite e^e^ senkrecht kreu^jendefr Symmetriekreis a-^if- treten, der e^ e^ unter einem Winkel d- des Intervalls (7) schneiden müßte. Eben deshalb kann auch keia Pol einef Substitution der Periode 4 auftreten, denn deren Quadrat wäre ja yon der Periode 2. Die Untersuchung etwaiger Pole zu den Perioden 5 und 4 im Innern von e^e^ *) Man denke diesen Symmetriekreis ai^s deifi Kreise ceae^d mittels einer hyperbolisclien Substitution hergestellt, die den Halbkreis aeoeih zur Bahnkurve liat und von a nacli b verschiebt.
246 Hl 3. Valentinergruppe und zugehörige Fonnen. erledigt sich in derselben Art und mit dem gleichen Erfolg, nur tritt an Stelle von (7) das Intervall: Würde aber e^e^ m einem Innenpunkte e von einem neuen Symmetriekreise senkrecht gekreuzt, so würde durch die zugehörige Spiegelung entweder der Pol e^ oder e^ in einen äquivalenten Pol e'^ transformiert, der der Dreiecksseite e^ßg angehört. Beides ist aber bereits als unmöglich erwiesen. Da in ® nur die Spiegelungen der Grenzkreisgruppe der Signatur (0, 3; 2, 4 5) und keine weiteren enthalten sind, so wird das Xetz der Fig. 29 durch alle Substitutionen von ® und also von @ in sich transformiert. Die einzelne Substitution von @ wird demnach das Dreieck 6^6^63 entweder in sich oder in ein anderes Dreieck unseres Ketzes transformieren. Das Dreieck wird indessen nur durch die identische Substitution in sich transformiert, da die Eckpunkte e^, e^. e^ notwendig je sich selbst entsprechen müssen. M&o ist das fragliche Kreisbogendreiech ein DB der Gruppe ®, und damit haben wir in der in § 1 arithmetisch erUärten Gruppe die GrenzJcreisgruppe der Signatur (0, 3; 2, 4, 5) er- hmmt. Ein Dreieckspaar des ]!^etzes liefert uns einen DB der ursprünglichen Gruppe ®. Diese Gruppe ist erzeugbar aus den Substitutionen: (8) S = T-TJ, T=^fl-S, U=^-T, die den Relationen genügen: (9) S^ = 1, T^ = 1, U^ = 1, S-T-U=l und entwickelt die Gestalten haben: (1(3) ) Vi^i-K^, i+i + VJ/' Wegen der vierten Belation (9) läßt sich @ au^h bereits aus den beiden Substitutionen S und T erzeugen, die die Relationen befriedigen: (11) S°=r 1, T^ = 1, {S-TY = 1. Man kann ® statt dessen natürlich auch aus T und TJ sowie auch aus TJ und S erzeugen. § 3. Hauptkongruenzgruppe dritter Stufe in der Gruppe ®. Zur Gewinnung von Teilern der Gruppe ® kann man das Prinzip der Kongruenzgruppen anwenden. Insbesondere bilden alle Substitutionen von ®, die die Kongruenzen: (1) i? = 0, C = 0, D = 0 (mod 3)
Diskontinuitatsbereicli und Dyeiecksnetz der neuen Grappe @oc. 247 befriedigen, einen als „HauptJcongruenzgru^pe dritter Stufe- zu bezeichnenden Normalteiler eines endlichen Index ^i. Daß dje Kongruenzen (1) einen Teiler erklären, geht aus der Zusammensetzungsregel (3) S. 241 hervor. Man hat hier nur nötigenfalls 2 A", 2 B", • • • an Stelle von A", B", • • • zu schreiben, was abey nicht stört, da 2 zu 3 teileriremd ist. Daß es sich um einen Xormalteiler handelt, geht aus den Gleichungen: U'-'-lA, B, C, D]'U == [A, D, G, — B], T-^-[A, B, G,D]-T= [A, -B,il+j)C-D, (l+j)(ö-D)] mit Rücksicht darauf hervor, daß @ aus T and U erzeugbar ist Die Bestimmung des Index ^ erfordert ejne etwas umständliche Abzahlung. Gilt von zwei Substitutioaen V und V: (2) A' ^öA, B' = 6B, C -=6C, B' = 6l) (mod 3), wo 6 eine ganze Zahl des J^örpers (^,3) ist, so gehört V-Y-^ der Hauptkongruenzgruppe dritte^ Stufe an Das zugehörige Komplement @a erhalten wir demnach durch Reduktion der Gruppe @ mod 3, wobei zwei Substitutionen, die die Kongruenzen (2) erfüllen, als nicht verschieden gelten. Bei der fragKchen Reduktion wird j eine „ GrßloisiiClie imaginäre Zahl-', die als Wurzel der irreduziblen Kongruenz: (3) f^j.^2=0 (mod 3) zu erklären ist. Es ist zunächst wegen: (4) A^ ^C^- j {B'' -f B^) = + 1 (mod 3) mit den Determinanten + 1 und — 1 zu ipechnen. Im letzteren Falle aber gelangen wir durch Erweiterung np.t dem die Kongruenz ö'-* ^ — 1 (mod 3) erfüllenden Faktor 6^1 —j zu einer Substitution der Determinante 1. Es sind also alle inkongruenten Lösungen der Kongruenz: (5) A^ + G^— j (B^ ^ Z>2) = 1 (mod 3) abzuzählen, wobei zwei Lösungen, die d^rch gleichzeitigen i^eichenwechsel von A, B, C, D ineinander übergehen, ßls njcht verschieden gelten*). Wegen des letzteren IJmstandes dürfep wif A auf die fünf Reste: (6) ^ = 0, 1, 1-i, i, 1-f-i (mod 3) einschränken. Xun ist aber A diejenige Invariante der Substitution [-4, B, C, D] der @^, die die Periode bestimmt. In der T^t gilt der folgende Satz: Sieht man von der identischen Substitution ah, so hat [A, B, C, D] die Periode 2, 3, 4 oder 6, je nachdem die erste, zweite, dritte oder eine der heiden letzten Kongruenzen (6) gilt. Man hat nämJich: (7) F^ = [A^ +1, AB, AG, AD], (8) F^ = [A' — A^—1, AB(A^+ l), A C (A^ + 1), 4D{Ä^ i- 1)]- *) Man beachte, daß die Kongruenz a^ = 1 (i^iod 3) nur die Lösungen E 1 und a ^ — 1 hat.
248 II> 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. Für ^ = 0 folgt also F^ = 1, okne daß F= 1 wäre. Für Ä^l-j gut ^2 ^ 1 = 0 und also F* = 1, ohne daß F^ = 1 wäre. Für A~l (oder besser = — 1) folgt: F^ = [A, —B, —C, —D] = F-i (mod 3), und also ist F entweder die identische Substitution, oder es liegt die Periode 3 vor. Ist A = j, so findet man: A^~A^—l=j^A, A^ + A^ — h so daß F^ = F-i wird, ohne daß F= 1 wäre. Also hat F die Periode 5. Dasselbe gilt, wenn A = 1 -{-j ist, da man hier für F^ die Invariante j und also die Periode 5 feststellt Um nun für die einzelne Periode die Anzahl der zugehörigen Substitutionen festzustellen, bemerken wir zunächst, daß die Zahl 3 die fünf quadratischen Reste hat: 0, 1, 1-i, -1+i, -1. Durch Bildung der Summen zweier quadratischer Reste findet man den Satz: Die Kongruenz: (9) B^ + D^ ^ a + hj (mod 3) ist durch 17 bzw. durch 8 inkongruente Zahlenpaare B, D zu befriedigen, je nachdem a -j- 6 j = 0 oder ^ 0 (mod 3) gilt. Ist nun erstlich -4^0 und also die Kongruenz; B^-^D^ = (l-fi)(C2_i) (j^od 3) zu lösen, so haben wir C auf die fünf Reste (6) zu beschränken. Für C = 1 haben wir 17 Lösungen, für die übrigen vier Werte C je 8; doch liefern die acht Lösungen für C = 0 nur vier verschiedene Substitutionen, da man hier noch einen gleichzeitigen Zeichenwechsel von B und D vornehmen kann. Die Anzahl der Substitutionen mit A = 0 ist also 45. Für J. s 1 ist die Kongruenz: B^+D^ ^(l+j)(P (mod 3) zu lösen. Für C = 0 hat man 17 Lösungen, für die übrigen acht Reste je 8. Man findet also neben der hierher gehörigen identischen Substitution noch weitere 80 mit A = 1. Für A ^ 1-j hat man die Anzahl inkongruenter Lösungen der Kongruenz: B' + D' ^ (1 -f i) (C^ ^ 1) (jnod 3) abzuzählen. In den beiden Fällen C = +(1 —j) hat man je 17 Lösungen und für die sieben anderen Reste C je 8, im ganzen also 90 Lösungen. In den beiden letzten Fällen A = j und A = 1 -f j sind die beiden Kongruenzen: B' + D'^{l+j)(G' + ^J), B' + D'^il+j){C^+l+j) (mod 3)
Komplement ©ggo der Hauptkopgruenzgnippe dritter Stufe in der @cc. 249 zu lösen. Da j und —l~j quadratische Mchtresfee sipd. so stehen rechts für alle neun inkongruenten Zahlen C glicht durch 3 teilbare Zahlen. Für jeden der neun inkongruenten Beste C hat m^n demnach in beiden Fällen acht inkongruerite Lösungen, im ganzen gomit 2 • 72 solche Lösungen. Die Gesamtzahl inkongruenter Substitutionen ißt: 45 + 1 + 80 + 90 -f- 2 • 72 = 360, und man gelangt zu dem Satze: Das Komplement der HauptJcongruenz- gruppe dritter Stufe in der Gruppe ® ist eine Gruppe ©gg^ der Ordnung 360, in der außer der identischen Suh^itution 45 Substitutionen der Periode 2, 80 Substitutionen dßr Periode 3, 90 Suhstitutionen der Periode 4 und 144 der Periode 5 enthalfen sind. § 4. Zyklische und verwi^ndte Teiler der Gruppe ©ggo« Die in der ©gg^, enthaltenen zj^klischen Teiler ergeben sich aus dem Schlußsatze von § 3. Die Frage, inwieweit sie konjugiert sind, entscheidet man durch Aufstellung der zugehörigen Xormalisatoren. IJrst- lich Kefert die Substitution [0, 0, 1, Q] ei^en Teiler <3^, dessen Xor- malisator aus allen Substitutionen V := [A, B, C, D] besteht, die die Bedingung: V'[0, 0, 1, 0] = [0, 0, 1, 0]- F (mod 3) oder entwickelt: [G, D, ~A, —B\ = [0, — A — A B] (mod 3) erfüllen. Es gilt also entweder B ^ D ~ 0 oder ^ s C = 0, so daß man zu den acht Substitutionen geführt wird: [ [1 -i, 0, 1 -i, 0], [0, 0, 1, 0], [1 -;, 0, - 1 +i, Ol, [1, 0, 0, 0], |[0, 3, 0, 1], [0, 1, 0, -ij, [0, i, 0, - 1], [0, 1, 0, i]. Diese Substitutionen bilden eine Biedergruppe ®^, die ersten vier aber den in der Diedergruppe @g enthaltenen zyMi&chen Teiler (3^. Jede mit [1 —j, 0, 1 —j, 0] vertauschbare Substitution muß auch mit [0, 0. 1, Oj vertauschbar sein, also der @g angehören. Man zeigt, daß [1 — j, 0, 1 —j, 0] die zyklische @^ zum Xormalisator hat, diese (5)^ aber di^ Dieder-^^. Es ergibt sich der erste Satz: Alle 45 Substitutionen der Perlode 2 i,lnd konjugiert, desgleichen alle 90 Sut>stittit;ionen der Periode 4,- man hat 45 konjugierte zyklische @^ nnd als ihre Norwiallmtoren 45 konjugierte diedrische Teiler @g. Der einzelne Teiler (Sj^ ist stets in fünf ®g enthalten, aber nur in einer Diedergruppe Ög als Xormalieiler Unter den 80 Substitutionen der Periode 3 sind speziell die beiden: (2) V, = [1. 1, 0, 1 - j], 7a = [1, 1, 0, - 1 -hj]
250 n, 3. Valentmergruppe und zugehörige Formen. enthalten, die nicht Jconjugiert sind. Es gäbe sonst eine Substitution V, die die Bedingung V-V^ = V-, -V (mod 3) oder ausführlich die Kongruenzen: Ä ~\-jB+-(i +jD) ~ ±{A -rjB — a +i)J5)^ A4- B-{l-j)C =±{Ä4-B -(l-i)O), OJ^j)B + G-jD =±({l+j)B + C+jD), -(l-j)^-C-fD =±{(]-j)Ä-^C^D) befriedigen würde. Die Annahme des unteren Zeichens führt zu der unbrauchbaren Folge Ä~B=C = D = 0. Gilt aber das obere Zeichen, so folgt: (1—j)^-fC = 0, D = 0, worauf sich aus (5) S. 247: —jB^ = 1, B- = 2j + 2 (mod 3) ergibt. Indessen ist (2 j -j- 2) quadratischer Xichtrest, so daß F^ und V^ nicht konjugiert sind. Aus der Kongruenz: [1,B, 0, (l-j)B]-[l,B', 0, {l-~j)B'] = [1,B-4B\ 0, (i-j) (£ + £')] ergibt sich der Satz: Die neun Substitutionen [1, B, 0, (1 —j)B] bilden einen kommutativen Teiler ©g, der außer der identischen Subditution acht Substitutionen der Periode 3, urüer ihnen Fj enthält. Ebenso bilden die neun Substitutionen [1, B, 0, (— 1 -\- j)B] einen lommutativen Teiler @g mit acht Substitutionen der Periode 3, unter ihnen V^. Diese beiden ©g sind die Xormalisatoren der Substitutionen V^ und V^; denn man findet für eine Substitution [Ä, B, C. D], die z. B. mit F^ vertauschbar sein soll, die Bedingungen (1 —j) B = D, C = 0, was zu den neun Substitutionen [1, B, 0, (1 —j)B] zurückführt. Man hat hiernach zwei Systeme von ^e 40 konjugierten Substitutionen der Periode 3, wobei das eine System F, und das andere V^ enthält. Es soll festgestellt werden, welche unter den Substitutionen der Gestalt [1, B', 0, (1 —j)B'] mit [1, 1, 0, 1 — j] konjugiert sind. Es ist also die Frage, ob es eine Substitution F = [Ä, B, G, D] gibt, die die F[l, 1, 0, 1 -j] ~ [1, B', 0, (1 -~j)B']-r oder ausführlich geschrieben die Kongruenzen: (Ä-^jB-{l+j)D =±{Ä + B'[jB-(l+j)D]), .3. ) Ä + B + {l-~j)C =±{B + B'[A-(l-j)C]), C -{{1 +j)B +jD) ^ ±{G + B'[(l +j)B +jD]), [(l-j)A-G + D =±{D+B' [(1 -j)A ^ C])
Teiler ®^, ©g, @^, @g und ©g in der Gruppe ©sgo- 251 befriedigt. Gelten die unteren Zeichen, so liefert die zweit;e und die mit (j — 1) multiplizierte vierte Kongruenz: Ä-^(l—j)C = B~B'{A-(l- j) C), Ä+ (1 ~-j) C = —(l -j)D -- B' (A - (} -j) C). Man findet also: ~B'~(1 -j)D und leitet daraus die vier Kongruenzeni ab: £ + (l-i)2) = 0, j^-(l+^-)D = 0, (1 +i)i?+i2) = 0, £2^-1)2 = 0. Die erste und dritte Kongruenz (3) ergeben damit A = 0, C = 0, während man im Widerspruch damit ^us der Kongrupnz (5) S. 247 die Folgerung A^ -{- G^ = 1 zieht. Also siad in (3) die unteren Zeichen nicht brauchbar. Gelten die oberen Zeichen, so liefern die mit (1 4- j) multiplizierte erste und die mit j multiplizierte dritte Kopgruenz (3): (B' - 1)(:B + (1 -j)D) = 0, (B' T- 1){B + (1 ^j)I)) = 0. Durch Subtraktion dieser Kongruenzen voneinander fplgt bei Benutzung von (5) S. 247: £ + (1 —i) D = 0, A^ ^ C^ = 1. Die mit ((1 —j) A — G) multiplizierte letzte Kongruenz (3) ergibt jetz-t: ((1 -3)A- Gf = B' ((1 -jf A' -G') = - B- {A^ + G^) - - B\ und da — l quadratischer Rest von 3 ist, so folgt, daß aifch B' quadratischer Rest von 3 sein muJ3. Wir gelangen zu dem Ergebnis: Unter den acU Substitutionen [1, B, 0, (t —j)-B] mit B ^ 0 sind die vier konjugiert, in denen B quadratibcher jR,esl pon 3 id, und weiter die vier mit quadratischen NicUresten B, so daß die kojfimutative ©g je vier Suhdltu- tionen aus den beiden Systemen von 40 Tconjagierten Subßtitutionen der Periode 3 enthalt. Jede Substitution der Periode 3 is'f mit ihrer inversen Substitution konjugiert. Wegen der letzten Angabe hat man nur zu berücksichtigen, daß — 1 qup^dratischei' Rest von 3 ist. übrigens wird man diese Entwicklung auf 4ie zweite Substitution (3) leicht Sphritt für Schritt mit dem gleichen Ergebnis übertragen. Da die einzelne kommutative ©g je vier Si;bstiti)itionen aus beiden Systemen von je 40 konjugierten Substitutionen der Periode 3 enthält und jede Substitution dieser Periode nur in einer Gruppe @g (i^rem Xormalisator) enthalten ist, so ergibt sich "v^eiter der Satz: Man hat in der ®3g(, zehn kommutative konjugierte Teiler ®^, die also als NormaU- satoren Teiler @3g der Ordnung 36 besitzen müssen*) Der zur @g der Substitutionen [1, B. 0, (1 ~ j) B] gehörende Xormalisator ist durch ) Dies ist m Übereinstimmung mit den Sy^owsehen Setzen in I, 294.
252 II, 3. Valentmergruppe und zugehörige Formen. 7) = (1 —j)B charakterisiert. Er enthält die neun Substitutionen der Periode 2: (4) [0,B,l,(l-3)B] und weiter die 18 Substitutionen der Periode 4: (o) [l-.j,B,\-j,{l-3)Bl [l-j. 5, -1+i, (1-i)^]- Die neun Substitutionen (4) bilden mit der ©g für sich einen Teiler @^g. In der ©gg^ finden sich demnach zehn konjugierte Teiler ©3g und in ihnen ebenso viele konjugierte Teiler ©,^g. Die einzelne zyklische ©^ tritt immer in zweien unter den zehn konjugierten ©3g auf. SoU die Substitution [j, 1 —j, 0, 0] der Periode 5 mit [Ä, B, C, D] vertauschbar sein, so muß: [jA-(l+j)B, (l-j)Ä + jB, jC-{l^j)D, (l-j)C+iD] ^[jA-(l+j)B, {l-j)Ä + jB, jC + {l+j)D, -{l-j)C+jD] zutreffen. Hieraus folgt C = 0, D = 0, und die einzigen Substitutionen, die diese Kongruenzen befriedigen, sind die fünf Potenzen von [j, 1 -j, 0, 0], wie man leicht durch die Aufsuchung aller Lösungen von A^ — jB^ = 1 feststellt. Die Substitution [j, 1 —j, 0, 0] ist also eine unter 72 konjugierten, so daß die gesamten 72 Substitutionen mit der Invariante j [vierter Fall (6) S. 247] konjugiert sind und insbesondere je zwei inverse unter ihnen konjugiert ausfallen. Genau die gleichen Aussagen gelten von den 72 Substitutionen mit der Invariante (1 -j- j), die als die zweiten Potenzen der Substitutionen mit A == j darstellbar sind. Übrigens wird [j, 1 —j, 0, 0] durch [0, 0, 1, 0] in die inverse Substitution [j, — 1 +i, 0, 0] transformiert, so daß aus diesen beiden Substitutionen eine Dieder- gruppe ©^0 erzeugt wird, die der Kormalisator des aus [j, 1 —j, 0, 0] entstehenden zyklischen Teilers ©^ ist. Wir haben damit das Ergebnis gewonnen: In der ©^g^^ sind 72 konjugierte Substitutionen der Periode 5 mit A = j und ebenso vi^le konjugierte Substitutionen der gleichen Periode mit A = 1 -4-j enthalten; sie bilden 36 konjugierte zyklische Teiler ®.^, denen als Xormalisatoren ebenso viele konjugierte Teiler ©j^^ vom Dieder- typus zugehören. Es läßt sich jetzt leicht zeigen, daß die G-ru^pe @3g^) „einfach" ist. Ein ISTormalteiler enthält nämlich vom einzelnen System konjugierter Substitutionen entweder keine oder alle Substitutionen. Dabei wird, faUs die Substitutionen der Periode 4 auftreten, auch das System der 45 Substitutionen der Periode 2 im Normalteiler enthalten sein. Ebenso werden entweder alle 144 Substitutionen der Periode 5 vorkommen oder keine. Die Ordnung ^ eines Normalteilers ist demnach in der Gestalt: ,tt = 1 + 45 £, + 90 s^ £2 + 40 £3 + 40 £, + 144 s^
Teiler ©^g' ®36. ®Sf, ®io «nd ®24 iQ der Grappe ©360- 253 darstellbar, wo die e gleich 0 oder gleich 1 sind. Füi einen ecjiten Teiler ist zunächst s^ = 0, sp daß ^ teilerfremd gegen 5 und also Teiler von 72 sein muß. Somit ist auch s^ -— 0, und man hätte e^, a^, £^ so zu bestimmen, daß: ja = H- 45 f j ^ 40 £3 + 40 £, in 72 aufgeht. Hieraus folgt s^ = 0, £3 = 0, s^ = 0, womit die Behauptung bewiesen ist. § 5. Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppen in der (Sgg^,. Die Forderung der Vertauschbaykeit der beiden Substitutiqnen [0, 0, 1, 0], [0, B, G, B] der Periode 2 führt zu den Kongruenzen: (1) C - 0, B- ^ 1)2 - — 1 — j (mod 3) oder zu i? = 0, D = 0. Während die beiden letzten Kongruenzen zur Substitution [0, 0, 1, 0] führen, werden die beiden Kongruenzen (1) von den weiteren vier Substitutionen: (2) [0, 1, 0, j], [0, 1, 0, - j], [0, J, 0, 1], [0, j, 0, - 11 und nur von diesen befriedigt. Es handelt sich um die vier Substitutionen der Periode 2, die neben [0, 0, L, 0] in der Dieder-Ö)g (1) S. 249 enthalten sind. Der Struktur der Dieder-@g entsprechend gelangen wir zu zwei jedenfalls in der @g nicht kon|^g•ierten Vierergruppen: (3) [0,0,1,0], [0, 1, 0, j], ^0. j, 0, -1], [1,0,0,0], (4) [0. 0, 1, 0], [0, 1, 0, -j], [0, j, 0, 1], [1, 0, 0, 0]. Da die einzelne Substitution der Periode 2 in zwei Yierergruppen auftritt, so haben wir im ganzen 2 • 45 : 3 = 30 Vierergruppen in 4er ^^f^^, die entweder alle konjugiert sind ode^ zwei Systeme zu je 15 konjugierten @^ liefern. Im ersten Falle hat die einzelne ©^ einen Xorm3,li- sator @j2> der bekanntlich den Tetraedertypns besitzt, im zweiten Falle einen Xormalisator ©3^ vom Oktaedertypus. Der zweite Fall liegt vor, da der lN[ormalisator, wie wir schon wissen, eine Dieder-Öjy enthalt: I)ie ^3go enthalt zwei Sydeme von je 15 Iconjuglerten Teilern ©g^ vom QMaeder- ty'ßus und in ihnen dann naturlieh auch zwei Systeme von je 15 honju- gierten Tetraedergruppen (5)^2 '^^ Vierergrappen &^. Die bisher befolgte Methode, von den zyklischen Teilern aus durch Herstellung von Xormalisatoren zu nichtzyklischen Teüern zu gelangen, versagt nun bei den wichtigsten Teilern unserer ©330, nämlich bei zwei Systemen von je sechs konjugierten Teilern (^^^ vo^n Ikosaedertypus. Um sie zu finden, knüpfen wir an die beiden Substitutionerf: (5) S - [1 +j, 1 +j, 0, 0], T - [0, 1, 0, -j]
254 II) 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. der Perioden 5 und 2 an *) und setzen diese Substitutionen in folgender Art in eine neue Gestalt: Die ganze algebraische Zahl: (6) £=-i + (l-i)Vi genügt mod 3 der Kongruenz: (7) £^ = 1, und für ihre Potenzen gilt: ^ l e^-j + a-i)yi ^' = (1 +i)-(1 +3)U ^^ [s'^(l^j) + (l-^j)fj, £^H -i-(l-j)Vi. Hieraus folgt weiter: J 8 + s^ = j, £-^ + £3 = — 1 —i, (9) £-£^-£^ + £' = 1 +2j =- Vö", sowie durch Multiplikation der ersten und vierten Kongruenz (9): £2 — £3 ^ — ys j Vi- Die beiden letzten Kongruenzen setzen wir in die Gestalten: (10) -^^-^'- -^^-'^'- Mit Hilfe der eingeführten Zahl e schreiben sich die Substitutionen (5) so: £ — £* (11) o _ /«=> ^\ ^ - I ^ ' \ ^5 V5 Hier sind wir zu den erzeugenden Substitutionen (1) S. 42 der Ikosaeder- gruppe zurückgeführt, wobei an Stelle der damaligen Gleichungen jetzt Kongruenzen mod 3 treten und £ mod 3 die Rolle einer fünften Einheitswurzel spielt. Eine entsprechende Betrachtung kann man an die beiden Substitutionen : (12) s = [l-^i, i+i, 0,0], r = [o, 1, o,j] anknüpfen, wobei £ im bisherigen Sinne gebraucht wird. Man gelangt wieder zu den Gestalten (11), nur daß in der zweiten Substitution der zweite und dritte Koeffizient entgegengesetzte Zeichen haben**). *) Sie liefern m S • T = [1, 1 -\-j, —j, — 1] eine Substitution der Periode 3. Hieraus wurde nach einem bekannten Satze der Gruppentheorie (vgl. „Modulfunkt.'- I, 456) bereits folgen, daß S und T eine Ikosaeder-@60 erzeugen. **) Bei der S. 42 betrachteten Ikosaeder-@go hatte man also auf die Sub- stitutionsvanable die Spiegelung an der imaginären Achse vorzunehmen, um die neue Gestalt der Gruppe zu erhalten.
Ikosaedrische Teiler ©go in der Gruppe ©^go- 255 Die beiden so erhaltenen Ikosae4ergnippen haben zwar die Substitution S gemein. Sie sind aber nicht identisch, da sonst jn ihnen a,uch die Substitution der Periode 4: T'.T-[l~i, 0, 1-j, 0] auftreten würde, was ausgeschlossep ist. Die einzelne @g^ ist ihr eigener J^ormalisator *) und gehört demnach einem System von sechs kopju- gierten Teilern ©g^ an. Da die ©g^ sechs zyklische ©^ enthält und im ganzen 36 konjugierte ©^ in der ©gg^ auftreten, so findet sich die einzelne ©- nur in einer unter den sechs konjugierten ©g^. Die beiden oben aufgestellten ©g^ sind demnacli nicht konjugiert: In der Gruppe ©gg^ treten swei Systeme von je sechs konjugierten Teilern ©g^ vom Ikosaeder- typus auf, die durch die beiden aus den Substitutionen (5) bzic. (12) su erzeugenden ©g^ repräsentiert iverde^. Indem man vom einzelnen echten Teiler nötigenfalls wiederholt zu seinem ^^Tormalisator aufsteigt, muß man, da 4ie ©ggo eijifach ist, La jedem Falle zu einem echten Teiler (^^ höchster Ordnung gelangen, der sein eigener J^ormalisator ist. Dieser ist dann einer unter t konjugierten echten Teilern, wo ^-t = 360 ist. Dje t Teiler ©^ haben, da die 0^^^^ einfach ist, als Durchschnitt nur d;e ©j. Zufolge des zweiten Satzes in I, 335 gelangt man von diesep Teilern 3,us zu einer Darstellung der ©gg^ als transitive Permutationsgrüppe des Grades t- Also ist ^ ^ 6, und man erkennt, daß die echten Teiler ©„ eine Ordnung a ^ 60 haben. Die Ikosaedergruppen ©g^ der beiden Systeme sind (lie echten ^eiZer höchder Ordnung der ©sgo? '>^d diese Gruppe ist als trandtive Perm^,tationsgruppe sechsten Grades darstellbar, d. h. sie ist isomorph mit der alternierenden Gruppe ©3go dieses Grades^*) Als solche werden ^h die ©gg^ bald unmittelbar darstellen. § 6. Kongruenzgruppen vom Index 6 und zugehörige (Jleichungen sechsten Grades. Den zwei Systemen von Ikosaedergruppen ©g^ ipnerhalb der (^^gg^ entsprechen zwei Systeme von je sechs konjugierten Kongfuenzgruppen dritter Stufe vom Index 6 innerhalb der in § 1, S. 241 ff., erklarten Gruppe ©, die wir ihrem Indes: entsprechend mit ©(g) bezeichnen wollen. *) Es wird sogleich bewiesen werden, daff die ©go die echten Teiler höchster Ordnung der ©330 sind. **) Die erste Erzeugende (10) S. 246 von der Periode 5 ist m einer und pur einer ©go des einzelnen Systems enthalten. Ihr entspricjit alsp einß Pennutation, bei der eine ©go sich selbst entspricht, wahrend die anderen fünf eine Permutation der Periode 5, d. h. eine zyklische, mithin gerade Permutation erfahren. Die Erzeugende T tritt in zwei Ikosaedergruppen ©go des einzelnen Systems auf. Sie transformiert also diese beiden ©go ip sich und permutiert die übrigen vier ©go zu Paaren, so daß wieder eine gerade Pennutation vorliegt. Die ©360 als Permutationsgruppe sechsten Grades ist also diejenige der geraden Permutationen.
256 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. Wir stellen zunächst fest, daß die beiden Systeme dieser ©(g) innerhalb der durch Spiegelungen erweiterten G-ruppe ® Jconjugiert werden. Transformieren wir nämlich durch die Spiegelung an der imaginären ^-Achse, so läuft dies darauf hinaus, da£ in der einzelnen ^-Substitution der zweite und der dritte Koeffizient Zeichenwech&el erfahren. Hierbei tauschen sich die Erzeugendenpaare (5) und (12) S. 253ff. zweier in ® noch nicht konjugierten ©g^ in der Tat aus. Wählen wir eine ©g^, die die unter (10) S. 246 gegebene erste erzeugende Substitution S der Gruppe ® nicht enthält, so sind die fünf den Punkt e^ in Fig. 29, S. 244, umgebenden Dreieckspaare bezüglich der @(6) inäquivalent. Wir fügen noch, wie in Fig. 30, das Dreieckspaar e'(, e^ e-i an und erhalten dann bei geeigneter Zusammenordnung der Randkurven den DB einer unserer ©(g). Jedenfalls gehören die Seiten 60^2 und 60 4 zusammen. Im übrigen muß die Zusammenordnung unsymmetrisch sein. Es zeigt sich, daß nur zwei Zusammenordnungen brauchbar sind, nämlich die in Fig. 30 angegebene und die bezüglich des Kreisbogens e^ e^ e'^ zu ihr symmetrische. Führen wir nämlich die Funktion L (^) ein, die das Doppeldreieck der ^-Halbebene auf die schlichte i-Ebene abbildet, und zwar derart, daß in denEckpunl^ten e^, ^i) ^o bzw. die Werte i r= 0, 1, 00 stattfinden, so wird der DB der Fig. 30 auf eine sechsblatterige Biemannbche Flache über der L-Ebene abgebildet, die folgende Verzweigung hat: Bei X = 0 liegen ei/t zweiblätteriger tmd ein vierblatterlger VerzweigungspunM, bei L = 1 hat man zwei zweiblätterige VerzweigungbpunUe und zicei isoliert verlaufende Blatter und bei L =: 00 einen ftinf blätterigen VerzweigungspunU und ein isoliert verlaufendes Blatt. Damit haben wir eine bei unserem Dreiecksnetze zulässige Verzweigung gewonnen. Man gewinnt die zur eben beschriebenen Fläche symmetrische Fläche, wenn man die durch Spiegelung am Kreise e^ e^ e'^ aus Fig. 30 entstehende Zuordnung zugrunde legt. Man wird leicht feststellen, daß alle anderen unsymmetrischen Zuordnungen der Randkurven des DB zu unzulässig verzweigten Riemann sehen Flächen hinführen. Man hat demnach in Fig. 30 den DB einer der zwölf Eongruenzgruppen ©(g) wirklich gewonnen. Grundlegend ist nun, daß die geioonnene sechsblatterige Biemannbche Flache das Geschlecht j5 = 0 hat. Es existiert demnach eine eindeutige automorphe Funktion x{^) der ausgesuchten Gruppe ©(g), die im DB derselben jeden komplexen Wert nur einmal annimmt. Diese Funktion r genügt als algebraische Funktion von L einer Gleichung sechsten Grades,
Berechnung der beiden ßesolventen sechsten Grades. 257 und umgekehrt ist L eiae rationale Funktion sechsten Grades von t. Die Funktion r aber wollen wir dadurch eindeutig festlegen, daß wir auf der Riemann sehen Fläche bei X = oo im isolierten Blatte r :^ 0 und ebenda im fünf blätterigen Verzweigungspunkte r = oo vorßchreiben, während bei X = 0 im vie^-blätterigen Verzweigungspunkte r = 1 zutreffe. In bekannter Weise leiten wir da^n aus der Verzweigung der Fläche für die rationale Darstellung von L durch, r den Ansatz ab: (J) X:(X-1):1 = (r-^dfix-iy-.iT^^ar ^ß){r^^yx + 8^):hx. Durch Differentiation nach r findet man aus (1) hr^~ ^ {rAra){z— If (5 r} ~f (3 a - 1) r + fl), 6 r^ ^ = (r^ -^ j^ r + ö) (5 r* + (4 a + 3 j;) ^3 -f (2 a j; + 3 ^ + ö) r" + ßfz- ß8) Die beiden rechts stehenden ganzen Funktionen sechsten Grades von r sind identisch. Da indessen (r^ -\- yr -^ 8) keinen der linearen Faktoren (r 4- a), (r — 1) enthalten kann, so galten die beiden identischen Gleichungen : 5 r^ + (3 a — t) r + a = 5 (r^ -f j; r -f- ö), oz^^{4.a^^y)r^^{2ay + ^ß^8)z^^ßyr-ß8 = 5(r~f «)(r- 1)^. Die Vergleichung der Koeff:tzienten gleich hoher Potenzen rechts und links liefert zur Bestimmung der unbekannten Konstanten a, a, ß, --i die Gleichungen: 3a — 1 = 5 j^, a = ö8, 4a-]-3j'=5a — 15, 2aj; 4-3^ +d = 15—15a, ßy=-.löß — 5, ß8=oa. Da a und 8 von 0 verschieden sind*), so folgt aus der zweiten und sechsten Gleichung ß = 25. Aus der ersten, dritten und fünften Gleichung folgt dann weiter; (2) a = l(2a — 9), j; r^ |(3 a — 1), ö = | a. Die Einführung dieser Ausdrücke und des Wertes ß in die vierte Gleichung ergibt für a die quadratische Gleichung: a^ -\-llß~\- H4 = 0. Wir erhalten, wie es sein mi;ß, zwei W'erte a: a = -i(ll±3iyT5), sowie dann weiter aus (2) die entsprechenden Werte a, y, 8. Den Koeffizienten h gewinnt man aus (]), indem paan -p = 1, X = 0 einträgt und die inzwischen berechneten Werte a. a, ß, •■- beputzt =^) Der Wert t = 0 findet bei L = oo statt, icke, Algebra. II.
258 II> 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. Auf diese Weise sind wir zu dem folgenden grundlegenden Ergebnis gelangt: Die zu den leiden Systemen von je sechs konjugierten Kongruenzgruppen dritter Stufe des Index 6 gehörenden automorphen FunUionen x (^) genügen als algebraische FunUionen von L den leiden Gleichungen sechsten Grades: (3) X:(X— 1): 1 = 53(2r—(ll±3iVr5))ä(r— 1)* :(5^2_(4o + 6iVT5)r~f 125) (10 r' - (35 + 9 i Vl5) r-(11 ± 3 i Vl5)f : + 2iO-3*-*Vl5r. Verstehen wir unter yi die quadratische Irrationalität: 1 - n^is (4) n = —^—, so läßt sich die Gleichung (3) für das obere Zeichen in die Gestalt setzen: (5) i:(i-l):l = 53(r-(3^-7)f (r-1)* :(5Tä+2(67;-23)r-rl2o)(5r^-f (9 7?-22)r :—12*(2 7;-l)r. Die zweite Gleichung (3) geht aus (5) hervor, wenn man ?^ durch die konjugierte Zahl ^ ersetzt. § 7. Galois scher Körper der Gleichungen sechsten Grades. Unter den beiden erhaltenen Gleichungen sechsten Grades arbeiten wir zunächst mit der Gleichung (5), der wir die Gestalt geben: (1) 53(r~f (3,?-7))^(r-l)*~f 12*(2,^-l)ir=0. Wegen der Bauart der Koeffizienten hat man hier zum rationalen Körper 9^ zunächst die quadratische Irrationalität yi zu adjungieren und nenne den entstehenden quadratischen Zahlkörper (9^, ti) kurz ^. Sodann ist ^ durch Adjunktion von L zum Funktionenkörper (^, L) auszugestalten. Der Durchschnitt der sechs Ikosaedergruppen des zur Gleichung (1) gehörenden Systems ist die @j, und entsprechend ist der Durchschnitt der sechs den ©g^ zugehörigen Kongruenzgruppen dritter Stufe des Index 6 die Hauptkongruenzgruppe dieser Stufe des Index 360. Bie Galois sehe Gruppe [Monodromiegruppe]*) der Gleichtmg (1) ist demnach die alternierende Permutationsgruppe ©gg^ sechsten Grades. *) Die Quadratwurzel der Diskriminante der Gleichung (1), d. h. ihr Differenzenprodukt ist als Funktion der Gesamtgruppe @ jedenfalls eine rationale Funktion von L. Nur ist die Frage, ob die Koeffizienten dieser rationalen Funktion dem Körper ^ angehören, oder ob noch eine numerische Quadratwurzel zu adjungieren ist.
ßiemannsehe Piaehe Fgso des Gresehleehts 10. 259 Wir nennen die sechs Wurzeln unserer Gleichung t-^, t^, •■ -, Tg. Der Galois sehe Körper dieser Gleichung entsteht durch Adjunktioii von r^, Tg, •••, Tg zu (^, L). Da indessen L rational in jedem t ist, so wird der Galois sehe Körper bereits als Körper (^, t^, t^, •••, Tg) gewon^ien. Man hat somit in t^ (g), t^ (g), • • •, Tg (£) ein Fuiiktionssystem für dje Hauptkongruenzgruppe dritter Stufe, die wir ihrem Ir|.dex entsprechend durch @(36o) bezeichnen. Auch ohne daß wir den DB dieses Xormalteilers wirklich zeichnen, ist einleuchtend, daß er durch die Funktion L (^) auf eine SQO-hlätterige Biemannsehe Fläehe über der L-Ehme abgebildet wird, die nur bei i = 0, 1, oo verzweigt ist, und zwar trägt s:|e bei i == 0 90 vierblätterige Verzweigu|agspi;nkte, 180 zweiblatterige bei i == 1 und 72 fünf blätterige bei i := cx:>. Hieraus folgt nach bekannter Regel (vgl. Gleichung (5) S. 112), daß cl,ie SBO-hldttertge Biemannsci^e Flache das Geschlecht p = 10 hat. Der DB des ^ormalteilers ©(seo) wird durch alle ^-3ubsiitutionen in sich transformiert. Demgemäß gpstatiet dip 360-blätterige Rieraannsche Fläche den mod 3 inkongruenten Substitutio^ien entsprechend 360 Transformationen in sich, für die wir zunächst die Darstellung durch die 360 geraden Permutationen der t^, Tg, •••, Tg besitzen. Das Ziel der nächsten Entwicklung ist, die Gruppe der 360 Trg,nsfoimationen der Riemann sehen Fläche in sich erhejblich einfacher darzustellen. Wir beweisen zunächst, daß d^e Flache nicht hyperelliptl,sch Sßin Jcann. Wäre sie nämlich hyperelliptisch, so würde auf ihr eine zweiwertige Funktion ^(g) existieren, die entsprechend den Transformationen der Fläche in sich entweder eine 'B^qq oder eine ©^g^ line£|,rer Substitutionen von z liefern würde. Gruppen ©^g^ oder ©gg^ linearer Substitutionen einer Veränderlichen ^ existieren indessen nicht (vgl. S. 35). Auf unserer 360-blätteiigen Rienc^ann ^chen Fläche, die wir kurz durch Fggo bezeichnen wollen, liefern ni(.n die „60-wertigen" t (^) keineswegs das einfachste Funktiopssysfcem. Die zehn Verhältaisgrpßen (p^^, ^3' *■•> 9io' ^^^ °^^^ ^ bekannter Art den zehn linear-unabhängigen Differentialen der ersten Gattung proportional setzt (vgl. „ Modidfunkt.'• I, 543 ff. und II, 493 ff.) liefern hc^ ihren Quotienten bereits nur noch 18-wertige Funktionen. Setzt man die (p^, (p^, •••, 9)5^ ^^^ homogene Koordinaten eines Raumes Rg von neui^ Dirpiensionen an, so wird (vgl. „Modulfunkt." I, 569ff.) die Fläche Fsg,, auf eine Kurve 18*^" Grades im Rg, die sogenannte „NormalJcurve der (p", abgebildet, die entsprechend den Transformationen der Fläche in sich 360 eine G-rußße Uldertde Kollineationen in sich erfährt. 4-ber selbst hiprmit haben wir noch nicht das einfachste Funktionssystem der Fgg^ erh^ten. Eine Verbesserung könnep wir zunächst auf folgende Art erzielen: Die in den sechs Ikosaedergruppen des bevorzugten Systems enthaltenen Tetraedergruppen sind alle konjugiert. Da in jeder Ikosaeder-^g^ fünf Tetraeder-@j3 auftreten, an solchen ©^^ a,ber zwei Systeme von je 15 konjugierten Teilern in der @3go auftreten, so ist die einzelne 17*
260 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. Tetraeder-@j2 stets in zwei ©g^,, und zwar als deren Durclisclinitt enthalten. Kombiniert man die sechs Jconjugierten Kongruenzgruppen dritter Stufe @(g) in den 15 möglichen Arten zu Paaren, so ist der Durchschnitt der teiden ®(g) des einzelnen Paares eine Kongruenzgruppe dritter Stufe @(3o) des Index 30, und es entsprechen die in dieser Art entstehenden 15 konjugierten Gruppen (S)(3o) den 15 Tetraeder-®^^ des einen in der ©gg^ enthaltenen Systems. Einen DB für eine dieser Gruppen ©(30) kann man in der in Fig. 31 gegebenen sternförmigen Gestalt annehmen*). Die ©(30) ist der Durclisclinitt zweier Gruppen ©(g) und ©(g), deren DB durch starkes Ausziehen bzw. Punktieren der Ränder und ihrer Zuordnungen hervorgehoben sind. Je fünf Dreieckspaare, die kranzförmig um den Mittelpunkt der Fig. 31 liegen, sind, bezüglich der ©(g) äquivalent, erweisen sich jedoch bezüglich der ©(g) als inäquivalent, so daß tatsächlich keine zwei unter den 80 Dreieckspaaren bezüglich .des Durchschnitts ©(30) äquivalent sind. Die Zuordnung der Randkreise ist zweimal durch Pfeile angedeutet, übrigens durch Buchstaben in der Art, daß a auf a', h auf h' usw. bezogen ist. Über der i-Ebene liefert dieser DB eine 30-blätterige Riemannsche Fläche, die bei i = 0 einen zweiblätterigen und sieben vierblätterige Verzweigungspunkte hat, bei i =z 1 vierzehn zweiblätterige und bei L = OD sechs fünfblätterige. Hieraus ergibt sich der wichtige Satz, *) Die Kreisbogendreiecke sind hier so gezeichnet, daß ihr gesamtes Netz die Flache eines Kreises, nicht die positive ^-Halbebene, überspannt.
Sechsfach unendliche Funki(;ionenschar auf 4er Fl^-che F^go- 261 daß das Gebchlecht dieser Fläche p ^ 1 id; es handelt sich hier um eine Grenzkreisgruppe der Signatar (0, 1; 2, 2, 2). Zu den Gruppen ©(g)» ®(6) mögen dieFunlrtionen z^ (g), t^{^) gehören. Die Funktionen haben ihre ISTullpunkte und Pole ausschlieJBlich in den mit e bezeichneten Punkten des Dß dei &(so,) ■ I^ ^i liegt ein l^^uUpunkt fünfter Ordnung von r^ (g) und ein Pol* erster Ordnung von r^{^), in e.^ umgekehrt ein XuUpunkt fünfter Ordnimg von r^ (^) und ein Pol erster Ordnung von r^ (g). In e^, e^, e^ und e^ aber liegen übpreinstimmend Pole erster Ordnung beider Punkt:|.onen, so daJ3 ihr Quotient dort endlich und von 0 verschieden ist. Hiernach ist dej Quotient von z^ und r^, für den man aus (1) die Darstellung: /ON :^ ^ (^2 + '^y — ")- (t^ — 1)' ableitet, eine sechswertige Funktion iip. PB der @(3o), die im Punkie e^ einen Pol sechster Ordnung und in e^ einen XuUpunkt dj|.eser Ordnung aufweist, im übrigen aber endlich und von 0 verschieden ist. Auch die Quadratwurzel des Quotienten (2) ist, wie 3,us der rechte^. Seite dieser Gleichung hervorgeht, eine Funktion dpr Gruppe ©(so)- Doch gilt dies nicht mehr von der sechsten Wurzel ur^seres Quotienten. Diese ist 2;war auf der aus dem DB entstehenden Rien^ann sehen Fläche deß Geschlechtes p =z 1 unverzweigt, aber nicht mehr eindeutig, da sie sonst pine einwertige Funktion auf dieser Fläche sein würde. ,Es handfelt sich um eine ,, WarzelfunUion' auf der Fläche, die sich gegenüber den Substitutionen der ©(30) erst bis auf multiplikative dritte Einheitswq.rzelü repi^oduziert. Unverändert bleibt die sechste Wurzel bei den Substitutionen desjenigen in der ©(30) enthaltenen Xoi-malteilers vom Index 3, der dem Xor^nal- teiler ©^ vom Vierertypus innerhalb der Tetraeder-©j2 entspricht. Sieht man zwei zueinander reziproke Quotienten als nicht wesentlich verschieden an, so ergibt sich der Satz: Die lo webenüich verscMedeneu Quotienten der sechs Verhaltnisgrbßen: (3) ' V^ fe V^ VpT 1h fe sind eindeutige automorphe FunMion^n derjenigen 15 };onjagierten Kongruenz- gruppen ©(90) des Index 90, die den 15 hoßjuglßrten Vierergruppen de» einen Systems entsprechen, und zwar dnd sie auf den zugeJwrigen DB dreiwertige Funktionen. DaJ3 die sechs Verhälti^isgröJBen (3) linear-uuäbihang^g sind, liann man ohne besondere Mühe aus ihrem Verhalten gegenüber den Substitutionen der ©3gQ entnehmen. Dagegen ist nur durchweine etwas weitergehende funktionentheoretische Untersuchupg beweisbar, daß jede FunMlon der Hauptlcongruenzgruppe ©(360)7 ^«"ß ^>^* DB dicber Gruppe zwölf wertig ist
262 III 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. 6 und ihre Pole in den zwölf NullpunUen von Vr^ Mt, in der sechsfach unendlichen Schar der Funktionen: 6 C 6 W 6 mit den Parametern % darsleühar ist*). Dies vorausgesezt kommen wir nun leicht durch Anwendung zweier bekannter Sätze der Theorie der algebraischen Funktionen**), nämlich des Riemann-Roch sehen Satzes und des Brill-Noether sehen Reziprozitätssatzes, zum einfachsten Funktionssystem der Hauptkongruenzgruppe ©(seo)- Xach dem ersten Satze gilt folgendes: Gibt man m Punkte auf einer Riemann sehen Fläche des Geschlechtes j5, so enthält die allgemeinste Funktion, die in jenen m Punkten Pole erster Ordnung hat, (m —J5 + ^ + 1) willkürliche Konstante homogen und linear, wo t die Anzahl linear-unabhängiger Verhältnisgröi3en (p ist, die in jenen m Punkten verschwinden. In unserem Falle gilt m = 12, j5 = 10 und ^ = 3; wir haben eine sechsfach unendliche Schar von zwölfwertigen Funktionen (4). Im Sinne der geometrisch eingekleideten Theorie der algebraischen Funktionen setzt man die sechs Gröi3en (3) zu homogenen Koordinaten eines Raumes von fünf Dimensionen. In diesem Baume erscheint dann die Biemann sehe Fläche Fgeo abgebildet auf eine irredudble Kurve zwölften Grades, die der @3gQ entsprechend durch 360 KoUineationen in sich übergeführt wird. Diese Kollineationsgruppe, die wir bald explizite darstellen werden, besteht aus den 360 geraden Permutationen der Koordinaten, die dabei in gewisser Art noch multiplikative dritte Einheitswurzeln annehmen. Gebrauchen wir m, p, t vcn. eben angegebenen allgemeinen Sinne, so hat der Brill-Xoethersche Satz folgenden Inhalt: Setzt man: m' ■=z '2 p — 2 — m. t' = m — p -\-1 -\- 1, so folgt aus dem Auftreten einer ^'-fach unendlichen Schar w-wertiger Funktionen stets die Existenz einer ^-fach unendlichen Schar w'-wertiger Funktionen, die zur ersteren Schar in einem Verhältnis der Reziprozität steht. In unserem Falle ist w' = 6 und ^ = 3. Es ergibt sich der grundlegende Satz: Auf der Biemann sehen Fläche Fggo existiert ein System von drei Yerhdltnisgrößen x^, x^, x^, deren Quotienten sechswertige *) Es handelt sich im Sinne der Theorie der algebraischen Funktionen um eine sechsfach unendliche Vollschar von Spezialfunktionen (vgl. die gleich folgenden Jv'^achweise). Die Richtigkeit des Satzes ergibt sich aus dem folgenden independenten Aufbau der Valentinergruppe. Die unten zu gewinnenden beiden „allgemeinen" Resolventen sechsten Grades des Formenproblems der Valentinergruppe werden uns in der Tat für einen gewissen Spezialfall zu unseren beiden Gleichungen sechsten Grades (3) S. 258 zurückfuhren. **) Vgl. „Modulfunkt." I, 549 und 553.
Erste Erklärung der Valenünerginippe. 263 FunMonen der Fläche sind; es besteht somit zwischen den x eine homogene irredudbele Belaiion sechsten Grades: (5) Fix^, sp^, x^) = 0, eine ebene Kurve sechsten Grades darstellend, die der ©gg^, entsprechend durch 360 Kollineationen in ßich übergeführt wird. Diese Kollineatjons- gruppe @3g(j ist 1889 auf anderem Wege von Valentiner gefunden*) und soll nach ihm benannt werden. Die spätere Literatur über diese Grappe wird noch genannt. Die sechs Yerhältnisgrößen (3) sind proportional zu gewissen sechs linear-unabhängigen homogenen linparen Verbindungen der Quadrate und Produkte xl, xl, a;|, x^x,_^, x^ap-^, x^x^ der x. Als, die zehn VerhältnisgröJ3en (p kann man die Verbindungen dj-itten Grades: xl, xi, xi, X1X2, Xi x^, xl x^i X2X1, xixi, a;|a;2, XiX^xi der X benutzen. Daß sowokl diese, wie aifch die eben genannten sechs quadratischen Verbindungen linear-unabhängig sind, geht aus der Tatsache hervor, daß die niederste zwischen den v bestehende Beziehung die irreduzibele Gleichung sechsten Grades (5) ist. § 8. Herstellung der Valentinergruppe. Bei der Aufstellung der Vajentir^ergruppe kann man verschiedene Koordinatensysteme benutzet^, je nachdem man beabsichtigt, 4en einen oder den anderen Teiler der Gruppe besonders einfach darzustellen. Wir benutzen zunächst iJcosaedrische Koordinaten s^, z^, 3^, bei deren Gebrauche einer der Teiler ©g^ sich in der Gestalt der S. 161 ff. aufgestellten tem^ren Ikosaeder-@g(j darstellt. Diese ©g^ enthielt insbesondere die drei nur durch ihre Koeffizienten charakterisierten Substiiutionen: /£, 0, 0 <1) S = ( 0, 1, 0 , 0, £^ 0, 0,- U =-- ( 0,-1. ■I, 0, V5 ' Vö' VS 1 1 1 \~^' Vs' ^I (unter £ die fünfte Wurzel der Einheit e « verstanden) und ist aus den beiden ersten unter ihner). erzeugbar. Die Herstellung der Va,lentinergnippe ist i^un ganz einfach. Wir suchen uns • einen der Teiler ©^3 vom Tetraedeiptypus aus der ©g^, aus und transformieren der Bequemlichkeit halber die z^, z^, z^ auf solche oUaedrische Koordinaten x^, ap^, x^, daß die Tet^aedergruppe die S. 190 *) Vgl. dessen Abhandlung „De endehge Tfransformationsgruppers-Theorie" in den Äbhandl. der Dänischen Akademie, sechste ßßihe, Bd. 5, S. 64. Jordan hatte in seiner S. 182 genannten Untersuchung die Valentinergruppe übersehen.
264 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. zugrunde gelegte Gestalt annimmt, bei der die daselbst gezeichnete Fig. 24 des vollständigen Vierseits in sich übergebt. Diese ternäre ©^^ ist nur in einer Weise zu einer ternären Oktaeder-@24 erweiterungsfähig. Die Oktaedergruppe ist innerhalb der Valentinergruppe der Xormalisator der Tetraeder-@j2. Der Ziibatz etwa einer Substitution der Periode 4 aus der (^2^ zur anfangliehen Ikosaedef-(^^^ gestattet die ganze Valentinergruppe her zustellen; denn die ©g^ ist ein umfassendster Teiler der ©gg^. Zur Durchführung dieses Ansatzes wählen wir die ©^2; ^i^ ^i^ Vierergnippe (^^ der Substitutionen: (2) 1, T, ü rnid T • ü : V5 V5 2 1 2 8^ -r- s^ 1 als Normalteiler enthält und in der sich weiter die folgende Substitution der Periode 3 findet: je je'- + £^) 2 £* £^(£ + £*) \ (3) S*-T-S^ = £^ (£-^ tl 1 w 2 s £* ^4- il |5 1^ V5 Die oktaedrischen Koordinaten ; Einheitswurzel e ^ verstanden, Substitution: \, aJg, x_^ führen wir, unter q die dritte durch die nicht-singulare (vgl. I, 149) -2(5^ -s')z,-z,) \öj^ = ^i^^-&"■){-Z^- (4) y^», = VS {z, - ^3), ' y 5 »3 = ()^ (£ — £*) {Z^ — 2 (£ ^ £*) ^2 ein, deren inverse die folgende Substitution ist: f 2 \1j^ = if - 53) p2 ^^ _ y 5 ^^ __ (^ (^) -^ V^^2 = (£ - £*) p' »X - (£^- £^) p »3, \ 2 Vo ^3 = (£2 - £3) ^2 ^^ _ y5 ^^ _ (^ _ ^,^ ^ ^^_ In den oktaedrischen Koordinaten stellen sich die Substitutionen T, U, T • U in den Gestalten dar: (b) T = (o,-1, 0), U = ( 0,1, 0), T.U = f 0,-1,0) 0.0, -1/ V 0, 0, 1/
Herstellung der VaJentinergruppe in oktaedrischen Koordinaten 2G5 während die Substitution (3) übergeht in: /O, 0, ^os (7) S* • T • S^ = ( eK 0, 0 \0, ^\ 0 Es ist für spater sehr folgenreich, daß hier der gemeinsaipae Faktor q^ in den Koeffizienten auftritt;. Kommt es uns eirjistweLlen nur auf KoJUneationen an, so spielt dieser gemeinsame Faktor kejne Rolle, so daß wir in (7) einfach eine zyklisc^ie Permutation der Koordinaten x vor uns haben. Wir haben also tatsächtich die von S. 190 her bekannte Gestalt der KoUiaeationsgruppe @^g vom Tetraedertypifs wieder erhalten. Man kann nun bei Hereinnal^me der Oktaeder-®34 von S. 190 her in zwei Weisen weitergehen. Entweder man entni^imt der &^^ etwa eine Substitution der Periode i, die sicher noch nicht in der @^, enthalten ist, rechnet sie auf die ikosaedrischen Koordinaten um und erzeugt aus ihr und der (3^^ die ganze Yalentinergruppe. Oder man behalt die oktaedrischen Koordinaten bei, lechnet auf Grund von (4) die erste Substitution (1) auf die oktaedrischen Koordinalen x., x^, x^ um, v^as: 1~V5^ 1 -1-V^ ,\ -^-' 2^' 4 ^ \ 1 , -i^V^ 1-V^ l-l-fV^ 1-rV^ 2 1 (8) liefert und erzeugt aus dieser Substitution ^nd der iq. ihrer einfachsten von S. 190 ff. her bekannten Gesialt erscheinenden Oktaeder-Öji die ganze Yalentinergruppe. Der zweite Weg, der den Gebrauch der oJdandrischen Koordinaten bedingt, ist in algehraischßr Hinsicht dec bessere, da man hier, wie sich zeigen wird, mit der AdjmiMion einer einzigen numerischeu Irrationalität vierien Grades auskommt, wählend man hei Gehrauch der ikobaedribchen Koordinaten a und q oder eine mit ihnetf. aqptivalente Irrationalität achten Grades adjungieren muß. Wir notieren demger^aß das Ergebnis: Die VaJentinergruppe kann erzeugt werßeri, aus der Substitution (8) und der ternaren OMaeder-®^^ in, ihrer einfachsten S. 190 ff. angegebenen Gestalt. Wir behalten uns vor, dif erzeugende Substitution S späterhin durch eine andere für die I^echnangen zweckmäßigere Substitution zu ersetzen. Da die Existenz der Yalentinergruppe pben durch eine nicht g^nz einfache funktionentheoretische Überlegung bewiesen wurde, so ist ein direkter Beweis erwünscht, daß die fraglichen Substitutionen wirklich eine KoUineationsgruppe ©gg^ der Ordnung 360 erzeugen, die mit der alternierenden Permutationsgruppe sechsten Grades isopaorpli ist. Damit
266 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen, wird dann die Existenz der Valentinergruppe unabhängig von der vorausgesandten transzendenten Theorie sichergestellt sein*). Unter dem eben schon gemachten Vorbehalte betreffs Ersatz von S benutzen wir als erzeugende Substitutionen der Valentinergrappe einstweilen die Substitutionen der Perioden 3, 2 und 5: /O, 1, 0\ /— 1, 0, 0\ (9) f7==( 0,0,1), V=i 0,0,1), S. \1, 0, 0/ V 0, 1, 0/ Die ersten beiden Substitutionen erzeugen die bevorzugte Oktaeder-Og^. Da diese ©^^ ein umfassendster echter Teiler der Valentinergruppe ist, so erzeugt der Zusatz von S die Gesamtgruppe. Die bevorzugte Ikosaeder-^g^j hatte als absolute Invariante die quadratische Form (z^ z^ -j" ^i): ^^^ abgesehen von eiaem konstanten Faktor sich in den oktaedrischen Koordiaaten a;^, x^, x^ auf die quadratische Form: (10) X!-^Q^XI-\~QXI umrechnet (mittels der Substitution (5)). Man hat den sechs konjugierten Ikosaeder-@gQ entsprechend sechs konjugierte Formen dieser Art. "Wir setzen ihnen noch die Faktoren 2 hinzu, nennen sie die „Ikosaederformen'- des einen der beiden Systeme und bezeichnen sie durch "(^(x-^, x^, x^) oder auch kurz durch ^ ohne Angabe der Argumente **). Man berechnet die Formen ^ einfach dadurch, daß man die erzeugenden Substitutionen (9) wiederholt auf die mit 2 multiplizierte Form (10) ausübt. Man findet das Ergebnis: Die sechs Jconjugierten JCkosaederformen des einen der beiden Systeme sind: '^1 = 2 (Xl -^ Q^ Xl + Q Xl), ^2 =: 2 (xl -T Qxi -j- Q^ X^), ^3 = — I ^ (^1 -r »I + «!) +- C^ — n) (+ »'2 a^3 + »S »1 ~ ^ 1^2)' 9i = —iv (4 + «I -r 4) + (2 — 1?) (~f x^ x^ — x^ x^ + x^ x.^), ^a = —^V (pl -\- ^l ± ^3) — (2 — ij) (-^ x^ »3 + i»3«1 -f x^ »2), . ^6 = — i J? («1 -f -4 4- ^1) + (2 — n) (— »2 ^3 + ^3 ^1 + «1 ^2)' wo iq die quadratische Irrationalität (4) S. 258 ist. Man wolle nun die Wirkung der drei erzeugenden Substitutionen (9) auf diese Formen explizite feststellen. Man findet: (11) {^) (7) (S) ^'l ^'l ^'l = Q9i = <P2> = ^1. 9)2 = Q-(P2, 9^3 = (Pä^ fp2=<Pl^ (P3-(P3, 9)0= ()>3, Cps = QCp, (fi 9>i Cpi = fps^ <P6 = (pö> cpe = fp4 = fPA' fph- (p^, cpe = cp^ = (p6> (p5- Q^cpe, (p'ä- Q *) Umgekehrt werden wir hernach von der algebraischen Theorie unserer Gruppe zur transzendenten leicht zurückgelangen. **) Die Bezeichnung y behalten wir auch fur die Ikosaederformen des anderen Systems bei, die weit übersichtlicher m den x gebaut sem werden.
Erstes System der sechß Ikosaederformep. 267 Wir betrachten jetzt zunächst nur „Kollineationpn'-, stellen durch XuU- setzen der sechs Formen (11) die secM konjugierten IJcosaeßerJcegelscJiniüe des einen Systems dar und sprechen kurz von einem Kegelschnitt ^. Gegenüber den erzeugenden Kollineationen (9) eipfahren die seclis Kegelschnitte ^ die folgenden drei geraden Permutatiqnen: [ S = (^2, ^3, ^^, ^., ^g). Die aus diesen Permutationen zu erzeugende Gruppe ist primitiv; denn zufolge der Permutation S kann der Kegelschnitt ^^ weder mit einem noch mit zwei weiteren Kegelschnitten zu einem System der Imprimi- tivität zusammengehören. Die Griippe ist transitiv; denn ^^ häpgt schon vermöge V und S mit allen übrigen ^ zusammen. Da in der Gruppe die dreigliedrige zyklische Permutation U auftritt, so enthält sie nach dem zweiten Satze in I, 347 die alternierende (ä^ggo sechsten Grades als Teiler, und da alle drei Permutationen gerade sind, so id sie mit der alternierenden Grruppe ©gg^ sechsten Grades identiüch. Es mögen nun in der aus den drei Kollineationen (9) zu erzpugerjiden Gruppe im ganzen v Kollineationen enthalten sein, die jeden einzelnen der sechs Kegelschnitte ^ in sich überführen. Die v Kollineationen permutieren dann insbesondere die vier Schnittpunkte: (1, 1, 1), (1, - 1, - 1), (- l, 1, - 1), (- 1, - 1, 1) der beiden ersten Kegelschnitte 9?^, ^2 untereinander. Man zeigt leicht durch Rechnung oder geometrisch, daß alle Kollineationen, die diese vier Punkte permutieren, unsere bevorzugt« Oktaeder-@24 bilden. U|ater ihnen transformiert nur die identische B^ollipeation alle Kegelschnitte ^ in sich. Hieraus folgt der Satz Die Kollineationen (9) erzeugen eine Kollineationsgruppe ©gg^ der Ordn%ng 360, die der alternierenden Per^u- tationsgruppe sechsten Grades isomorph ist. Jliermit ist die Existenz der Valentinergruppe unabhängig von der funktionentheoretischen Überlegung von S. 259 ff. sichergestellt. AUe drei Substitutionen (9) sind unirfiodular. Die aus ihnen zu erzeugende Gruppe temärer unimodularer Substitutionen hat an Ähnlichkeitssubstitutionen (vgl. S. 2) entvfeder nur die identische Substitution oder die drei Substitutionen: (13) x'^ — Q^x^, x'.2 = Q''x^, x^ = Q^x^, ^^ == 0, 1, 2. Nun rechnet man sich leicht aus: /«, 0, Cr (14) s'^'(U'r'Tr)^-s^'U^ = Iq, e,Q \0, 0, ^, Hieraus ergibt sich der Satz: Die Valentinergruppe ist als. die aus den Substitutionen (9) zu erzeugende Gruppe temärer unimodukarer Substitutionen
2(58 n, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. UMen in ihr einen Normcdteüer 6)3, dessen Komplement die KolUneations- grupße ©gg^ '^^^ Es soU noch untersucht werden, ob in der ®iqqq ein mit der KoUineationsgruppe (B^^q isomorpher Teiler existiert. Bezeichnet man die drei Ähnlichkeitssubstitutionen (13) kurz durch die Sjonbole 1, q, q^, so besteht die ©loso ^^^ ^^^ Tripeln einander ähnlicher Substitutionen W, Q • W, Q^ ■ W. Insbesondere hat man an Substitutionen der Perioden 5 und 15 im ganzen 144 solche Tripel, die 144 Substitutionen der Periode 5 und 2-144 der Periode 15 liefern. Die ersteren 144 Substitutionen der Periode 5 als einzige dieser Periode müßten alle im Teiler ©gg^ auftreten. Eine entsprechende Überlegung zeigt, daß im Teiler die Substitution V der Periode 2 und die Substitution U- V der Periode 4 auftritt. Also findet sich auch U in der ©gg^. Die drei Substitutionen U, V und S erzeugen aber zufolge (14) die Substitution q und damit bereits die gesamte ®io8o- ^^ besteht demnach der Satz: In der ternären unimodu- laren Valentinergruppe ©loso existiert kein mit der KoUineationsgrtippe <B^^^ isomorpher Teiler. § 9. Invariante sechsten Grades. Erweiterung der ©ggo« Die S. 239 eingeführte Riemannsche Flache Fgg^j wird durch die drei auf ihr existierenden Verhältnisgrößen x^, x^, x^ auf eine irreduzible ebene Kurve sechsten Grades abgebildet, die durch die Gleichung: (1) ^^(•^1) -^2' -^s) ^^^ *-* dargestellt werde. Die links stehende Form sechsten Grades ist dann gegenüber den Substitutionen der Valentinergruppe entweder relativ oder absolut invariant. Es kann nur eine solche Invariante sechsten Grades geben. Würde nämlich noch eine zweite existieren, so gäbe sie, gleich 0 gesetzt, eine Kurve sechsten Grades, die die irreduzible Kurve (1) in 36 Punkten schneiden würde, die gegenüber der ^^^^ nur unter sich äquivalent sind. ]S[un sind aber auf der Fggo die Punkte im allgemeinen zu je 360 äquivalent. Eine Verringerung dieser Anzahl findet nur bei den Verzweigungspunkten statt, und ein System von 36 Verzweigungspunkten tritt nicht auf (vgl. S. 259), Xun ist nach den Formeln (ll)ftS. 266 die dritte Potenzsumme der Formen ^ eine absolute Invariante der Valentinergruppe, die nicht identisch verschwindet, da in ihrem Ausdruck in den x das Glied mit xf einen von 0 verschiedenen Koeffizienten hat. Also haben wir in jener Potenzsumme die gesuchte invariante Form F{x^, x^, x^. Als absolute Invariante der bevorzugten Oktaeder-Og^ist J'eine symmetrische Funktion von x'l, x|, xl- Setzen wir noch eine multiplikative Konstante derart
Form sechsten Grades Fix-^, qs^, ccg) in ()ktae4rischen Koprdin^ten. 269 hinzu, daß der Koeffizient des nicht ausfallenden Gliedes mit xf gleich 1 wird, so gilt der Ansatz: F = xf -i- xl ~\-xl ~\- a (x^ xi ~f x^ x'^ ~f a;| x{ -^ a;| x^ -j- x^ x^ ~f a;| xl) -f- h xf xl a;|, den wir auch noch einfacher in die Gestalt: (2) F=(l-a) {xl -f xt -f xt) -f a (xt + xl ~\- xl) (x! ^ xl -f xl) -f- & ^1 xl xl setzen können. Zur Bestimmung von a und h kann man (statt die dritte Potenzsumme der ^ wirklich auszurechnen) auch so verfahren, daß man erstlich die beiden durch S äquivalenten Koordinateutripel: (0, - 2 ()-, 0), i^- 1, ~~y-()^ -™y^ Qj in (2) einträgt und die beiden entstehenden "^V'erte F gleichsetzt und dann entsprechend mit den beiden Tripeln: -V5 o -1 + V5^ ,,, (^Vö^.,,MJ^^^,) verfährt. Man gewinnt so für a und h die beiden Gleichimgen: 2B=19(l-a) + a^^:^"^^b, 3(l_a) + 6= I8(l_a)-f-—±^^^^, durch deren Lösung man die Werte: a = -|-(5-p^•VT5) = |(,^-3), ?> := 3 (5-^• VTö) = 6 (>;-^ 2) findet. Die invariante Form secMten Qradee, F(a\, x^, x^) der Valeutiner- gruppe hat hei Grehrauch der oMaedrisclien Koordinate^ die Gredalt: (3) F = xl -^ xl -f- xl -^ l {ti — 3) {x\ xl + ^1 a;| + xo x'l -f xl xl -^ xjxl -f xl xl) + 0 (?? -r 2) .^1^ xl xl; sie id eine ahsoJiite Invariante der Grrupjje. Das so gewonnene Ergebnis ist einer bemerkenswerten upd für die Weiterentwicklung wichtigen Bestätigung f'^hig. Die S. 241 ff. eingeführte Gruppe von ^-Substitutionen ist durch die Spiegelung an der imaginären ^-Achse zu einer Gruppe @ erweiterungsfähig, in der die H^uptl^ ongrüenz- gruppe dritter Stufe ein Teiler des Index 2 • 360 ist. Die ©gg^ der Transformationen der Kurvß sechsteu Grades F = 0 in sich ist entsprechend einer Erweiterung auf eine ©a.seo ^ähig, wobei 360 lineare Substitutionen von x^, x^, x^ in: x'k = UkiXi -j- ct/,2% + c^ksXä, k = 1, 2, 3,
270 II) 3. Valentmergruppe und zugehörige Fonnen. hinzukommen, unter Xi den zu Xi konjugiert komplexen Wert verstanden. Es soll zunächst unter den neu hinzukommenden Substitutionen eine geeignete „Spiegelang'' ausfindig gemacht werden. Diesem Ziele dient die folgende Überlegung: Der Xormalisator der unter (6) S. 264 gegebenen Substitution T ist eine Dieder-Og, die zwei noch nicht innerhalb der ©ggo) wohl aber innerhalb der ®2-36o konjugierte Vierer-®^ mit den gemeinsamen Substitutionen 1 und T enthält. Die eine ©^ enthält außerdem noch U und T-U mit den Perspektivitätsachsen x^ = 0, x^ = 0. Die andere Yierergruppe besteht neben 1 und T aus den Substitutionen: 1, 0, 0\ 0, 0, 1 j, 0, 1, oj /-^' 0, V 0, - 0, 0, -1, 0^ — 1 0. mit den Perspektivitätsachsen x^ -\- x^ := 0, x^ — x^ = 0. Durch die aufzustellende Spiegelung werden also diese beiden Paare von Achsen ausgetauscht, während die Achse a;^ = 0 von T in sich transformiert wird. Nimmt man noch hinzu, daß durch die Spiegelung die beiden Pole (0, 1, ihi) der in der obigen Dieder-Og enthaltenen zyklischen @^ aasgetauscht werden müssen, so gewinnt man für die Spiegelung den Ansatz: \2x'i = cix^, y2x'i = x^ -^ »3, \2x'. = ^2 — x^, wo a, eine komplexe Zahl *) des absoluten Betrages 2 sein muß. Es muß hiemach a derart bestimmbar sein, daß die für die x' gebildete Form F(x'i, x'j, x's) nach Eintragung der vorstehenden Ausdrücke für die x'i, X2, x'^, vielleicht von einer multiplikativen Konstanten abgesehen, in: xt + xl + ^3 -f-1 (^ — 3) (xt xl -p xt xl + xl x! ^ •. •) + 6(^ + 2)S|i|^| übergeht, unter ^ die zu rj konjugiert komplexe Zahl verstanden. Die Rechnung zeigt, daß dies in der Tat zutrifft, wenn icir oc als die Jcon- juglerte Zahl ß der folgenden ganzen algebraischen Zahl vierten G-raden: (4) e = ^t;^^ wählen, deren Quadrat unsere Irrationalität rj ist. Damit haben wir das folgende Ergebnis gewonnen: Die Erweiterung der Yalentinergruppe ©ggo zur Gruppe ©a-seo ^^t vollziehlar mittels des Zusatzes der Substitution der Periode 2; (5) V"2o;; = e\, 1/24 = ^, + S3, V2% = ^2-%> *■) Wäre a reell, so wäre die ganze Yalentinergruppe reell.
Endgültige erzeugende Substitutionen der Valent^nergruppe. 271 der man aueh die Grestalt verleihen Itann: (6) \'2\ =z B x[, y 2 ^2 = a;2 -f %) V ^ ^3 == ^2 — ^^• Eine erste Verwertung dieses Ergebnisses |^können wir daliiagejiend vollziehen, daß wir die bisherige erzeugende Substitution S der Valentjner- gruppe durch eine für die Rechnungen zweckmäJßigere Substitiftion ersetzen. Die beiden Substitutionen TJ und F unter (9) S. 266 erzeugen die bevorzugte ®^^. Der Zusatz irgead einer nicht in dieser @,^ enthaltenen dritten Substitution der ©3.330 genügt zur Erzeugufig dieser Gruppe. Wir transformieren zunächst die Substitution: X[ =0^2, % == äJj , X'-^ = iCg durch die Spiegelung (5) und erhalten: 2x[ = B {x.^ -j- x^, 2 x'^ =- B Xi — «2 -p .C3, 2 % = ö Äj -j- x^ — x^. Transformieren wir weiter durch U, so entsteht die dritte der folgei Substitutionen: /o, 1, ox ._-1,0,0. /-iiö, i, (7) f7= 0, 0, 1|, r=l 0,0,1, W=[lo, 0, \i, 0, 0/ V 0, 1, 0/ "^ i, iö, die imimodular ist und die Periode 2 hat. Die Valentinergru^pe ©,^.360 ist aus den drei unimodularen SuhstituHonerp TJ, F, W der Perioden 3, 2 und 2 erseughar, so daß zur Darstellung dieser Grruppe die AßjunMion der einen Mquadratischen Irrationalität 6 ziim rationale^ Körper ausreicht. Mit B sind natürlich sowohl die dritten Wurzeln der Einheit q und q^ als auch \ o rational bekannt, wie aus den (jleichungen: (8) 0-0 = 2, Ö-Ö = -^V3, B + ß=y5 hervorgeht ^). § 10. Zwei Systeme vofi je gech^ Ikosaederformen. Dem einen System der sechs il^osaedrischen Teiler ©g^ der V^lentiper- gruppe fanden wir die sechs konjugierten quadratischen Ikosaederformen (11) S. 266 zugeordnet. Ihr Verhalten gegenüber der erzeugenden Substitution W wird man leicht feststellen. Wir notieren gleich zu- *) Der Vergleich mit den Entwicklungen von 3. 192 fuhrt zu dem bemerkenswerten Satze: Aus den Substitutionen (7) \fird die EHemsehe Grippe ^jgg oder die Valentinergruppe @io80 erzeugt, je nachdem man unter B d|e quadratische Irrationalität 'X''' ■ oder die biquadra^ische i ~—'—- versteht. Man wolle nur beachten, daß die Verbindung der ii^ der ©^gg enthaltenen Substitution cci = ccg, x'^ = — Xi, x's = 3-3 mit der finter (15) S. 192 gegebenen Substitution S^ bei unimodularer Schreibweise genaii zur jetzigen Substitution W fuhrt, nur da£ ß die in (10) S. 191 angegebe^ie Bedeutung hat.
272 II) 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. sammenfassend, daß sich die Formen ^ gegenüber den drei erzeugenden Substitutionen U, V, W so verhalten: (U) (V) Cpi = QCp,, (P1 = (P2, (p2-Q^cp2, cp's^cp^, (p-2 = (Pi, fpi = (pzi (Pi = (P3, fpi = fpi^ 95 = 95' 95 = 9g' (p&=fpii ^>& = (ph^ <1) 91 92 93 = = = 71 Xt v^'i -^! (W) (p[ = Q''(p^, cp2=Qcpe, 93=99i' 9^ = 94' fp5 = <Pö' 96 = 9'92- Durch Ausübung der Substitution (5) § 9 auf die Form ^^ gewinnt man eine erste Form (p-^ des zweiten Systems konjugierter Ikosaeder- formen, aus der die übrigen fünf Formen am einfachsten durch geeignete Substitutionen der bevorzugten Oktaeder-Og^ abgeleitet werden. Das zweite System von sechs Jconjugierten Ikosaederformen ist: 4— xl + 2i}l'3x^x^, ^1 — ^3 — '2 ^■ y 3 x^ x^, r}xl— a;| + 2^• V3 0^3a^i, (p^ = — Xi -j- 7]xi — xi — 2i\Sx^x^, (pT, = — Xi — xi -\- rjxi -^ 2i'^ Sx-^x^, (pg = — iCi — xi -^ rj xi — 2i'^ Sx-^x^. Die sechs Formen jedes der beiden Systeme sind voneinander linear-unabhängig; denn es ist beide Male leicht möglich, die sechs quadratischen Verbindungen der X-^, x^, x^ linear in den Formen des Systems darzustellen. Es müssen demnach auch die Formen jedes Systems linear in denen des anderen darstellbar sein, was sich sofort bestätigt: Die Ikosaederformen (p stellen sich in den sechs Formen ^ deb anderen Systems so dar: (2 — fj)(p^ = (^^ ^-^^)^ ^ (^^ ^ ^j _^ p2 (-^ _^ -^^^^ (2 — rj)(p^ = (^^ + ^^) + p2 (-^ ^ ^j ^ ^ (^, ^ -^)^ (2 — '?)93 = 9 (9i + 93 + 96) + P' (92 + 94 + 95)' (2 — fj)(p^= Q (^^ + ^4 -I- 9.) + Q^ (92 + ^3 + ^e)' (2 — >?)95 = Q^(9i + 93 + 95) + 9 (92 -f 94 + 96)' (2 — '?)96 = 9' (9i -r 94 4- 96) + 9 (92 + 93 + 95)' bcchs Gleichungen, die sich in die folgenden sechs Darstellungen der ^ durch die Formen (p invertieren: ' (2 - ^) 9i = (9, + (p^) + ^2 (^^ ^ ^j ^ ^ (^^ ^ ^^)^ (2 - ^)^^ = (^^ + 92) + () (93 + 9J -h ()' (95 + ^e). (2 — ^) 93 = 9' (9i + 93 + 96) + 9 (92 + 94 + 95)' (2 — ^) ^, = Q^ {cp^ Arcp^-Y(p;^ + Q (^2 + 93 + 96)' (2 - 1?) 95 = 9 (9i + 93 + 9ö) -f- 9' (92 + 94 + 96)- (2 — ^) 96 = 9 (9i 4- 94 + 96) 4- Q^ (92 -r 93 + 9ö)- <2) <3)
Geometrisches über die I}s;osae4erkegelschiiitte. 273 Der Vorzug des Systems der Formen (p ist in ihrer übersichtlicheren Bauart in den x^, x^, x^ begründet. Ihr Verhalten gegenüber den erzeugenden Substitutionen J7, V, W kann man entweder direkt aus (1) bestimmen oder aus dem Verhalten der ^ auf Gnmd der Gleichungen (2) ablesen. Beide Wege führen zu folgendem Ergpbnis: (U) (p[ = (ps, (po = (Pi, fp'z= cp-^, cp[^ 93g, cp'^ = (p^, tjp;=cjp2, (F) (p[=Cp^, (p'o = (p^, ^3= 96' ¥i= (Pb> 95=934. <3P6=CJP3, (W) cp[ = cp^, <p2 = cp^, (p'z = Qfpi, <p'i=-Q-9z> 95 = 9i' 9b = f6- Einige einfache geometrisciie Folgerungeii mögen sich hier anschließen *). Durch NuUseti^en der Formen (p erhaltpn wir swßi Syßteme von je sechs konjugierten Ikosaederkegelschnitten, deren einzelner im Sinne von S. 164 als Abbild des Ikosaeders angesehen werden kann. Die beiden Systeme zu je 20 konjugierten zyklischen ©^ verteilen sic^i auf die Ikosaeder-@go in der Art, daß die einzelne Gruppe ©g imi^er in drei Gruppen ©g^ enthalten ist. Indem wpan die sechs IJyObaeder-&^Q de^ einzelnen Systems auf die 20 möglichen Arten su dreien kombiniert^ sind die Durchschnitte je dreier @go die 20 konjugierter^ ©3 dei> einet} Systems. Über die zugehörigen Kegelschmtte aber gilt der Satz: Zwei unter den drei Seiten des Poldreiecks der 6)3 sind Tßngenten des einzelnen l^^egel- schnitts, die dritte Seite id die zugehörige BerUhrpongssehne. Durch Rech- mmg bestätigt man dies sofort. M^n betrachte z. B. die drei durch "^j z= 0, ^2 == 0, ^. =r 0 gegebenen Kegelschnitte, die zu der a,us U zu erzeugenden Gruppe ©3 mit den drei Polen (L, 1, 1), (1, q, q^), {1, Q^, q) gehören. Wir notieren noch den Sat^: Die 2'QO Pole- der ©3 Mlden zwei Systeme von je 60 nur unter sich äquivalenten Punkten, die übrigens nicht auf der Kurve sechsten Grades F(x^, x^, x^) = 0 gelegen sind. Kombiniert man eine Ikosaeder-®gQ des einen Systen:is mit einer des anderen, was in 36 Arten paöglich ist, so ist der Purchschnitt zweier zusammengeordneter ©g^ eitjie Dißder-©^,), deren es in der Tat 36 konjugierte gibt. Von den drei Polen der zugehörigen ©. liegei). zwei auf dem einzelnen Kegelschnitt, der drittp ist der Pol der sie verbindenden Sehne in bezug auf den Kegelschnitt. Es folgt: Jeßer Kegehchnitt des einen Systems id mit jedem des anderen in doppelter Berührung; die beiden Berührungspunkte liefern zwei Pole der ©5, der dritte ist der SchnittpunJd der beiden gemeinsamen Tangenten. Man kann auch so sagen: Der einzelne Ikosaederkegelschnitt wird von den sechs Kegelschnitten des =^) "Wegen weiterer Ausfulirunge^ ist auf die Orjginalarbeiteu zu verweisen. Am ausführlichsten ist die Valentinergruppe von F. Gerbaldi (Palermo) \Lntev- sucht. Vgl. dessen in mehreren Fortsetzungen erschienene Arbeit „3m grappo semplice di 360 collineazioni piane" in den B4n. 12 ff. der ßendiconti del circ. mathem. di Palermo. Invariantentheo^etisch ist die Valentinergruppe schon früher mit größtem Erfolge von A. Wim an (Lui^d) in der .Abhandlung „Über eine einfache Gruppe von 360 ebenen KoUineationen", Math. Ann. Bd. 47, erforscht. Fncke, Algebra. II. 18
274 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. anderen Systems in zwölf den Ikosaederecken entsprechenden Punkten berührt. Da es auf dem Kegelschnitte nur ein System von 12 bezüglich der @gQ nur unter sich äquivalenten Punkten gibt, so handelt es sich hier um die zwölf von der invarianten Kurve sechsten Grades ausgeschnittenen Punkte. Auf dieser Kurve gelangen wir zu den 72 unter sich äquivalenten Punkten, die den fünfblättrigen Verzweigungspunkten der Fgg^ entsprechen. Damit folgt noch der Satz: Die 3 • 36 Pö?e der zyUiscJien @5 zerfallen in zwei Systeme von 72 und 36 je nur unter sich äquivalenten FunUen, von denen nur die ersteren auf der Kurve sechsten Grades liegen. Die Rechnung bestätigt dies leicht. Die Pole der Substition S der Periode 5 sind die Ecken des ikosaedrischen Koordinatendreiecks. Also haben sie zufolge (4) S. 264 die oktaedrischen Koordinaten: (4) {-Q{s'-s'), ±V¥, Q\e-e^)), {gia-a'), 0, q'(s'- b% und die Verbindungsgerade der beiden ersten Punkte (4) hat nach (5) S. 264 die Gleichung: (5) QHe-s')x, + Q(e'-e')x, = 0. Sie ist in der Tat die gemeinsame Polare des dritten Punktes (4) in bezug auf die beiden durch: iQx! + 4 + Q'^! = o, _ ^^ \ — x!^'rjxl — x! + 2iySx^x, = 0 gegebenen Kegelschnitte, die den Formen ^^ und (p^ zugehören. Beide Gleichungen (6) sind durch die beiden ersten Punkte (4) befriedigt und ebenfallg die Gleichung F(Xi, x^, x^) == 0. Das Quadrat der in (5) links stehenden Linearform stellt sich in den beiden quadratischen Ikosaederformen ^^ und ^3 in der Gestalt dar: (7) i V 3" {q^ (s - 8^) X^ + Q (£2 _ £3) x,Y == grj-^^-}/J ^3. Die für die Theorie der allgemeinen Gleichung sechsten Grades grundlegende Bedeutung der 36 mit dem Punkte (^ (e — s^), 0, q^ (e^- e^)) äquivalenten Punkte und der 36 mit der Geraden (o) äquivalenten Geraden besteht darin, daß wir hier die kleinste Anzahl „linearer^ GeMlde haben, die hezüglich der @3go nur unter sich äquivalent sind. Es ist hinreichend, wenn wir dies" zunächst nur für die 36 Geraden weiter verfolgen, da das Verhalten der 36 Punkte hernach aus dem der Geraden nach dem Dualitätsprinzip zu entnehmen ist. Vor allem müssen wir an Stelle der Geraden mit Linearformen arbeiten, die sich dann freilich gegenüber den Substitutionen der Valentinergruppe nur erst bis auf multiplikative sechste Einheitswurzeln permutieren. Durch Multiplikation der linken Seite von (5) mit einem geeigneten konstanten Faktor gelangen wir zur Linearform —Bx^ — {d — V)x^, die also dem Formenpaar (p^, (p^ zugeordnet ist. Die 36 konjugierten Linearformen sind dann unter Zusatz ihrer entsprechenden Formenpaare 'q>, (p durch folgende Tabelle gegeben:
(92' 9l). (92.93). (92.95). (9i. 92). (9i. 94). (9i. 96). (96. 9,). (94' 93)' (93. 95). (94. 92). (93. 94). (96.96). System der 36 kopjugierten Lmearfprmep.. 01 = ^x^^(6- 1)3-3, cj,_ = (6-l)x^ + 6x^, 93 = 6x^^(6-l)x.^, g,^(6-l)x,-6x„ 9t = -6x^^{6-l)x^ 275 (<P2. 92)' h =dx^_-(6-'i)x^, (92. 9i)' i/s = - (Ö - 1) ^1 + Ö ^3' (92. 9ß). ^9 =ÖXi-(Ö-l)a;2, (9i.9i). 9io=-(6-'^)x2-6xs, (9i. 93). 9,1 =-6 x^ -(6-l)x^, (9i' 95). ^12 = - (6 - 1) «I - ^^ ^2' ^13 = ^16 = Ö'l7 = 9l8 = (6-l)x^-dx,, (l-d)x^^x,-x^, ((^5,9,), 5',9 = (l-6)a;, - a:2-a;3, x^~(l-d)x^-x^, ((^5,93), ^2o = -^'i + (l-Ö)a:',-X3, •^l-^2 + (l ~^)^3. (95. 9o). ^'21 ="''^l~-^2~(l-^)-^3. (l-Ö)»i + X2-a;3, (93,92), ^22=(l-f^)a;i-»2^/3, -«l-(l-Ö)a?2-'^4- (96. 9i). 9-2B='^'l^('^-6)X2-^3r Xi-x^_~(l-e)x., (9,,9ß), fifo^^--^]^^2^(^-0)■^■3, (96 (94 (93 (94 (93 (96 (95 (95 (95 (93 (96 (94 92) 94) 96) 9i) 93) 95) 92) 94) 96) 9i) 93) 95) ^31 ■■ 932 ■■ 933 -- -V5 t-{^r-{^-6)x,+x,), ((l + /7)x, -■3). V5 V5 V5 V5 \5 ys {x,-rx,^-{l-^^j))x,), ((1+0)»,+ ^2--^'3). (-a;^ + (l+ö)a;2-r-^3). (a;, - J52 + (1 +6)4-3), ((l+Ö)x,-»,-r3), -(—«^ + (1 -rÖ)a?2 —X3), -(-^i-A-f (l+Ö)»3), -((1 -\-6)x^ — Xo_ + x^), yy 2—(^i4- (1 +0)3^2 —-^3). yy 18-
276 II, ä. Valenünergruppe imd zugehörige Formen. Die Permutationen der Linearformen g gegenüber den erzeugenden Substitutionen der Valentiner gruppe lassen sich ohne weiteres aus den Permutationen der Formen ^, cp ablesen. Indessen muß man wegen der hinzutretenden multipKkativen sechsten Einheitswurzeln doch die Substitutionen U, V, W auf die Formen g ausüben. Man findet als Permutationen der Indizes der Linearformen g] gleich unter Zusatz der in Betracht kommenden sechsten Einheitswurzel: / 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, [ 2, 3, 1, 0, 6, 4, 8, 9, 7, 11, 12, 10, 14, 15, 13, 17, 18, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, m\ 20, 21, 19, 23, 24, 22, 26, 27, 25, 29, 30, 28, 32, 33, 31, 35, 36, 34/ ' / 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, I-IO, -6, 5, -7, 3, -2, -4, -12, 11, -1, 9, -8, -19, 24, 17, -16, 15, 20, 19,20,21, 22,23,24, 25,26,27, 28,29,30, 31,32,33, 34, 35, 36\ -13,18,23,-22,21,14,-31,36,29,-28,27, 32,-25, 30, 35,-34, 33, 26/ ' u -- 1, -^ «2 30, -(/^ 13, 14, 3, ö26. 25, 26, sö7, «214, !, 3, 23, 13, 15, -10, 27, -ö6. 4, 22 16, -16, 28, 36, 5, 29, - 17, on, 29, 5, 6, «2-27, 18, -9. 30, ?1> 7, o2 25, 19, 21, 31, -31, 8, -35, - 20, -ö32. 32, -ö2 20 9, 10, 11, 18, -15, o2i7, _ 21, 22, 23, 19, 4, -o2. 33, 34, 35, ,-33, -^öl2, -8, 12, «2 34, 24, -24, 36^ 28; § 11. Zwei Systeme von je 15 Oktaederformen. Die zu den beiden Systemen von je 15 Oktaeder-©,^ gehörenden quadratischen Oktaederformen sind weiterhin gleichfalls zu benutzen, wenn sie auch nicht die Bedeutung der Ikosaederformen besitzen. Zwei erste Formen aus den beiden Systemen zu je 15 konjugierten quadratischen Oktaederformen haben wir in: (1) t,^4t (x! + xl -f xl), i;i = ^irix! + 2 xl + 2 xf). Die erste Form ist bekanntlich die absolute Invariante zweiten Grades der bevorzugten Oktaeder-@24, und die zweite geht aus der ersten durch die Transformation (5) S. 270 hervor. Mittels der Ikosaederformen stellen sich diese beiden Oktaederformen in der Gestalt: 1 — ^ 1^1 == 2 (^3 -^ y^ + ^^ -f ^g) dar. Die mit i^j bzw. -^^ konjugierten Formen gewinnt man am einfachsten, indem man auf die vorstehenden Gleichungen wiederholt die erzeugenden Substitutionen Z7, F, W ausübt. Man gelangt in den rechts-
Systeme der Oktaederformep. 277 seitigen Klammem beide Male zu den 15 ^nöglichen vieigliedrigen Summen der sechs Ikosae(ierformen, wobei jedoch zwölfmal in zwei Summengliedem noch die Koeffizienten q und q^ auftreten. Es ergibt sich dabei als ein weiterhiiji zu benutzender Satz: Die 15 Jconjugperten OMaederformen des einzelnen Sydems permutieren biclt, gegenüber den erzeugenden Substitutionen TI, V, W, abgesehen von gelegentlich aufträenden multipliliativen dritten Einheüswarzeln. Man braucht zum Beweise nur auf die S. 272 ff. angegebenen Permutationen der Fopnen ^, (p zurückzugreifen. Die Permutationen der Oktaederformen hier wirklich herzustellen, ist nicht erforderlich. Dagegen ist es für weitere Anwendungen erwünscht, explizite die Darstellungen der Oktaederformen i;, tj; in den X-^, x.^, x^ zu besitzen: Bei den Formen j/; treten folgende drei Typen auf: i 4.{xl^xl^xt), (3) 2rixl + {^-ri){xl^xl)~-l{l-^-ri)x,x^, \{n — ^) (»1 + Q'A + ()^ x\) — '^ in -T1) {x^_ -^3 -T- Q ^3 ^1 + q'^ -^1 -^2) > hei den Formen i^ aber nur die beiden Typen: ^^^ j 2irixl-r2xl~V'2xl), 11(3?; — 4) »? — !(?; — 4){ool + xl) -f ri i'\J^ x^ ix,_ + x^) -f Srjx^^x^. Die erste Form (3) steht für sich, die [zweite Form (3) repräsentiert sech^ gleichgebaute Formen, die durch die Substitutionen der bevorzugten Oktaeder-®,^ ineinander übergehen, die dritte Form (3) repräscfitieri. entsprechend acht Oktaederfprmen. Ebenso repräsentieren die Formen (4) drei bzw. 12 Oktaederformen. Bei der einfachen Bauart jener Oktaeder-Ög* wird es nicht nötig sein, die beiden Systeme von je ] 5 konjugierten Formen vollständig anzugeben. Da die ®^^ drei zyklische ©^ enthält un(i in. der ©gg^ im ganzen 45 konjugierte zyklische ©^ auftreten, ßo findet sich die einzelne zyklische Gruppe @4 jedesmal in. einer Oktaedergrjippe des einzelnen Systems. Hieraus ergibt sich folgender Satz Der einzelne OUaederkegehahniit befindet sich stets mit drei Kegelschnitten de$ anderen Systems in doppelter Berührung; die 45 BerühruAigssehnen sind die PerspeUivitatsachsen der In der Valentinergruppe enthßltencß 45 l^njugierten Kollineationen der Periode 2. Zu diesen 45 Achsen gehören zunächst die neun Ge^raden der Fig. 24, S. 190, die durch X^illsetzen der neun Linearformen: (5) 4»^, 4»2, 4»3, 2Ö(»2±»3), 2 Ö (»3X^1)) 2Ö(äiXÄ2) gegeben sind. Die zu den übrigen 36 Peispektivitatsachsen gehörenden Linearformen setzen sich auß den beiden Typen: (6) 2 (6 x,+x,_ + »3), 2 X, + (^ — 6) x, + (^ -f Ö) ^3
278 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. zusammen, wobei die erste Form (6) durch die Substitutionen der bevorzugten 0ktaeder-(§24 "^ ganzen in 12 ähnlich gebaute Formen übergeht, die zweite aber in 24*). Wir kommen nochmals auf ein Paar von Oktaederkegelschnitten in doppelter Berührung zurück, wobei die Berührungssehne eine der Per- spektivitätsachsen ist. So gehört z. B. zu den beiden Kegelschnitten: (7) Aix! -f xl + xl) = 0,2 (rjx! + 2x1 + 2x1) = 0 die durch x^ = 0 gegebene Achse, die auf den Kegelschnitten die beiden Pole (0, 1, +'*) der zugehörigen zyklischen ©^ ausschneidet. Der dritte Pol ist der Schnittpunkt der beiden Tangenten der Kegelschnitte (7) in ihren beiden Berührungspunkten. Er ist zugleich das Perspektivitäts- zentrum (1, 0, 0), das zur Achse x^ == 0 gehört. Auch die Kurve sechsten Grades F =^= 0 läuft durch die beiden Punkte (0, 1, +^■) hindurch. Da diese Kurve doppelpunktfrei ist und durch die fragliche Perspektivität in sich übergeht, so hat auch sie mit den beiden Kegelschnitten (7) in den Punkten (0, 1, +«) die Tangenten gemein. Man gelangt leicht zu dem Satze: Der einzelne OMaederJcegeUchnitt wird von der Kurve sechsten Grades F =^ 0 in zwölf zu Paaren zusammenfallenden PunUen geschnitten, und die sechs so entstehenden Berührungs^unUe bind die sechs OUaederecJcen. Umgekehrt folgt für die Kurve sechsten Grades der Satz: Indem man das Produkt der 15 OMaederformen des einen oder des anderen Systems gleich 0 setzt, gewinnt man eine 'bezüglich der ©gg^ invariante reduzihle Kurve 30^*^^^ Grades, die die Kurve sechsten Grades i^'riirO an 90 nur unter sich äquivalenten PunMen berührt; sie entsprechen den 90 vierblattrigen VerzweigungspunUen der Blemannsehen Flache Fgeo- Dem durch die beiden Kegelschnitte (7) festgelegten Büschel gehört auch der durch: (8) eiJx^-xi — xi = 0 gegebene Kegelschnitt an. Auch er berührt also die Kurve sechsten Grades F = 0 in den beiden Punkten (0, 1, + i). Berechnet man aber die gesamten zwölf Schnittpunkte des Kegelschnitts (8) mit der Kurve F = 0, so folgt durch Elimination von (xi + »D aus den Gleichungen (8) und F = 0 als Ergebnis Xi = 0. Alle zwölf Schnittpunkte koinzi- dieren also an den beiden Stellen (0, l, :^i), an denen der Kegelschnitt (8) von der geraden Linie X-^ = 0 geschnitten wird. Durch die Kollineation x[= — »j, »2 = %, x's= — »3, die die Punkte (0, 1, + i) austauscht, geht aber jede der beiden Kurven in sich über. Also fallen die zwölf *) Die m den Formen (5) und (6) hinzugefugten Faktoren haben den Zweck, daß sich die 45 Linearformen gegenüber den Substitutionen der Valentinergruppe bis auf multiplikative sechste Einheitswurzeln permutieren. Es ist nicht notig, dies weiter zu verfolgen.
Sextaktische Punkte der Kurve sechsten Grades F z= 0. 279 Schnittpunkte zu je sechs an den Stellen (0, 1, +i) zusammen. Hiernach sind die 90 den vierhldttrigen Versweigungspunkten der Fläche Fggp entsprechenden FunJcte der Kiirpe sechsten Grades SßcäaJdisch^'). Eine doppelpunktfreie Kurve seohsterji Grades hat 270 sextaktische Punkte. Es ist leicht einzusehen, d^ß der J^esi der 180 übrigen sextaJc- tischen Punkte der Kurve F =■ 0 von den 180 noch nicht genannten SchnittpunMen mit den 45 PerspeUivitdtsachsen geliefert poerden, die den 180 sweihlättrigen VersweigungspunMen der JRiemannsehen Fläche entsprechen. Der im einzelnen dieser Punkte mindestens fünfpunktig berührende Kegelschnitt geht nämlich, da er eindeutig bestimmt ist, wie die Kurve F = 0 selbst, durcji die beti^effende harmonische Perspek- tivität in sich über. Dieserhalb muß er die Kurve F = Q in einer geraden Anzahl von Punkten, alßo sechspi(.nktig, berührep. Übrigens gelangt man auch von den [kosaederfprmen sehr leicht zu den Perspektivitätsachsen. Diß Differenz der Kuben zweier konjugierter Ikosaederformen zerfällt in das Produkt von sechß Linearformen, die im System der 45 Formen (5), (6) enthalten sind. In der Tat findet man: [ q>i — ^1 = (»2 + ^) (»2—^3) (^3 + »1) C^a — «1) (»1 + »ä) (^1 — ^a)' (9) (p! — yl = 12 ^ V 3 »2 »3 (Ö »j + »2 ^ x^) (B x^ — », — »3) [ 0^1 IT ^2 — ^^3) (Ö ^1 — ^2 + %) und beachte, daß die 15 Kubendifferenzen sowohl beim Formensystem 'q, als auch beim System (p unterein^der äquivalent sind- Wir notieren den für später wichtigen Satz: Jedes der beiden BifferenzenproduUe: (10) Jl(^i-'<ff), Yli^i-^'i) k<l k<J. stellt Us auf einen konstanten FctMor das Qußdrat des ProduMes aller 45 Linearformen dar, die gleich 0 gesetzt, die Perspelftivitätsachsen hefern. § 12. Formensystem 4er Vftlentinergruppp. A. Wiman hat in einer sehr wertvollen Untersuchung**), die ;^uersl(; die allgemeine Aufmerksaip.keit auf die Valentinergruppe lenkte, das volle Formensystem dieser Gruppe aufgestellt. Er bediente sich hierbei, derjenigen invariantentheoretischen Hilfsmittel, die Klein bei der Untersuchung der temären GrupjDe ©jgg angewandt hat, und gelangte zu ganz analogen Ergebnissen wie iflein. =^) Vgl. die Note S. 195. **) „Über eine einfache Gruppe von 360 ebenen KoUmeationen'-, Math. Ann. Bd. 47, S. 531 (1895).
280 II, 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. Indem wir jetzt der Gleichförmigkeit wegen mit F unsere absolut invariante Form sechsten Grades (3) S. 269 bezeichnen, bilden wir zunächst deren Hessesche Form zwölften Grades und setzen: g2_p g2_p g2_p I (1) 3^.5^.., *(.„.„.,)=. g^-g-, g^. g^g^l. g2_p g2_p g2_p I Man hat dann in fi? eine absolut invariante Form zwölften Grades, deren entwickelte Gestalt die folgende ist: (2) *=. 2(i;,^-^~f ...)-6(^-3)(^/%^-i---.)-3(ll,? + 7)(»M~f ...) — 12 (:q - 2^)%lxlxl (;r« 4- .. •) + 4(3,; -f 7) {xlxl ^ • • •) -r 24 (3 ?; -— 4) »i^»|»| (»i*»| ^ ) — 60 (?; -f 16) »i*%*»|, wo in den Klammern symmetrische Funktionen der »j, »,, »3 der jedesmal angegebenen ,.Anfangsglieder'- oder „Leitglieder" stehen. Durch gB =- 0 wird eine Kurve zwölften Grades dargestellt, die auf der Kurve sechsten Grades .F = 0 ein invariantes System von 72 Punkten ausschneidet. Es handelt sich um die 72 auf der Kurve .F = 0 gelegenen Pole der zyklischen Teiler ©g, die die 72 Wenäe'^unUe unserer doppelpunktfreien Kurve sechsten Grades sind. Wir bilden ferner mit Wiman die mit den ersten Ableitungen von fi? geränderte Hessesche Determinante von F (vgl. S. 332) und setzen: g2_p g2_p g2_p g^ (3) — 2«.3^-5.^!F(»,,:r2,»3) : Durch Ausrechnung, wenigstens der Anfangsglieder: (4) !F= ;ri^O-f ;rf-f Ä;|«-f ..., zeigt man, daß hier eine nicht identisch verschwindende absolut invariante Form soften Grades vorliegt. Wir nehmen an, daß W die Form F nicht als Faktor besitzt*), und bringen die Kurve sechsten Grades mit der 'd%l' d'F dx^dXj^' d^F dx^dx^' d^ dx^' dx^dx^ d'F dx'i' d'-F dx^dx^ d^ dx^' dXj^dx^ d'F dx^dx^ d'-F dxl' ofiB dx^' dx^ d^ dx^ d^ dx^ 0 =) Diese Annahme wurde man m der Weise darzulegen versuchen, da£ man W fur einen geeignet auf der Kurve i^ = 0 gewählten Punkt als von 0 verschieden nachweist.
Herstellung neuer Formen dpjch anvariante Prozesse. 281 durch W = 0 gegebenen i^ivarianten Kurve 30***" Grades ziun Durchschnitt. Man gelangt zu einem invarianten System von 180 Punkten auf der Kurve sechsten Grades Es gibt miir z\^ei solche Systeme, nämlich erstens das doppelt gezählte System der 90 Pole der zyklischen Teiler ®^, die wir nach S. 279 als die sextaktischen Punkte „erster Arf bezeichnen und zweitens das System der übrigen 180 Sclmittpunktp dei" 45 Perspektivitätsachsen mit der Kurve F = 0, die dip sesiaktischen Punkte „zweiter Art" heißen mögen =^). "Clm die letzteren Punkte kani^ es sich nicht handeln. Durch die einzelne harmonische Perspektivitäi wird nämlich die Kurve ÜP" = 0 in siclfi transfoi-mierl:. Da sie als Kurve SO^*^'* Grades die 45 Perspektivitätsachsen nicht enthalten kann, so müßte sie, falls ein sextaktischer Pui^kt zweiter Art auf ihr liegt, daselbst entweder mit der Kurve F =^ 0 gleiche durch daß Perspek- tivitätszentrum laufende Tangente haben oder einen mehrfaclien funkt besitzen. Beide Male würde der Schnitt der B^urven ^ = 0, W := 0 im fraglichen Punkte doppelt zählen, so d^ß wir im ganzen 2-180 und nicht 180 Schnittpunkte erhieltpn. Die Kurve 30«^^''' Grades W =^ 0 schneidet die Kurve F = Q in den je doppelt gemhlten 90 sextaUibchen PunMen erster Art. Die unten wirklich zu benatzende (reduzible) Kurve 30sten Grades ^ = 0 wird die Kurve sechsten Grades an den fraglichen 90 Stellen berühren. Wir bilden endlich die nicht identisch verschwindende Funktional- determinante: (5) X(x der drei Formen F, 0, W^ die eine absolute Invariante 45**^", also ungeraden Grades ist. Es Jcann, hon eifern konstanten FaMqr ahgeseheß, nu/r „eine-^ invariante Form 45^^^ Grades geben; sie ist redusibel und liefert, gleich 0 gesetzt, die 45 Pers'peMiMtätsacit,t>en. Durch X^=iO w|rd nämlich auf der Kurve sechsten Grades ein invariantes Systpni vpn 270 Pimkten ausgeschnitten, das entweder aus den gesamten sextaktischen Pimkten oder aus den dreifach gezäi^lten sexta,ktisclien Punkten erster Art bpsteht. da es andere Systeme von »270 nur -(inter sich äquivalenten I'unkten aijf der Kurve sechsten Grades nicht gibt. Xun geht so^^ohl die Kurve X = 0 wie die Kurve ^ = 0 durch die einzelne .Perspektivität ip sich über. Enthält demnach die ersiere Kurve nicht die Perspektivitätsachse selbst, so wird sie, wo sie durch eipen sextalctischen Punkt der Kurve dF cx^' dx-^' oF dx^' 8* bx^' dx^' dF 8 »3 8 »3 oW =^) Auch die sextaktischea Punkte erster +irt liegen auf den Perspektivitats-
282 II> 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. F = 0 hindurchläuft, diese letztere Kurve entweder geradzahlig berühren oder einen mehrfachen Punkt geradzahliger Vielfachheit haben. In den beiden letzteren Fällen zählt der Schnittpunkt beider Kurven in geradzahliger Vielfachheit, was als nicht zutreffend erkannt wurde. Es enthält also X = Ö eine und damit alle Perspektivitätsachsen. Man kann auch algebraisch in folgender Art schließen. Es sei X zunächst irgend eine absolut invariante Form ungeraden Grades. Da X bei der in der Valentinergruppe enthaltenen Substitution: unverändert bleibt und von ungeradem Grade ist, so erfährt sie bei der Substitution ;ri = a?^, x'2 = x^, x'^ ■=^ x^, d. h. also bei Austausch von »2 und »3, Zeichenwechsel. Somit hat X den Linearfaktor {x^ — x^ und also alle 45 konjugierten Linearfaktoren (5), (6) S. 277. Die niederste invariante Form ungeraden Grades hat also den Grad 45 und stellt bis auf einen konstanten Faktor das Produkt jener 45 Linearfaktoren dar. Genau wie bei der Klein sehen Gruppe (vgl. S. 206 ff.) läßt sich nun der Satz beweisen: Dm volle Formensystem der Valentinergruppe hesteht aus den vier Formen F, 0, W, X der Grade 6, 12, 30 und 45. Zum Beweise betrachten wir die Schar der Kurven 60^^^^* Grades: (6) ^'^-^^W = 0 mit dem Parameter u. Durch geeignete Auswahl von ^ kann man mittels der Kurve (6) jedes beliebig auf der Kurve F = 0 gewählte System von 360 äquivalenten Punkten ausschneiden. Es treten dabei die drei besonderen Fälle ein, daß, für |u, = 0 die 360 Punkte zu je fünf in den 72 Wendepunkten zusammenfallen, für fi = 00 *) zu je vieren in den 90 sextaktischen Punkten erster Art und für einen später zu bestimmenden AVert (i zu je zweien in den 180 sextaktischen Punkten zweiter Art. Es sei nun irgend eine absolut invariante Form ü vorgelegt. Wir haben zu zeigen, daß Sl eine rationale ganze Funktion von F, 5?, W, X ist. Die höchste in Sl aufgehende Potenz von F denken wir fortgehoben, so daß die noch zu betrachtenden ü gegen F teilerfremd sind. Ist der Grad m von Sl ungerade, so enthält Sl, wie man aus der eben vollzogenen algebraischen Überlegung sofort folgert, die Form X in höchster ungerader Potenz. Indem wir also auch die höchste in Sl aufgehende Potenz von X fortheben, verbleibt nur noch eine gegen X teilerfremde Form Sl von geradem Grade m zu betrachten. Die zugehörige Kurve Sl = 0 schneidet auf der Kurve sechsten Grades die 180 .sextaktischen Punkte der zweiten Art entweder überhaupt nicht oder in geradzahliger Vielfachheit aus. Diejenigen durch einen sextaktischen Punkt hindurchlaufenden Zweige der Kurve Sl = 0, die die Kurve sechsten Grades daselbst ungeradzahlig schneiden, treten nämlich *) Wie wir in leicht verständlichem Sinne sagen dürfen.
Volles Formensystem der Valentinergi'uppe. 283 zu Paaren auf, indem die Zweige eiaes solchen Paares durch die zugehörige Perspektivität ausgetauscht werden. Der Ges3,mtschnitt der Kurven ü = 0 und ^==0 möge weiter die 72 Wendepunkte je a-fach. die 90 sextaktischen P;inkte erster Art ß'-iack und endlich noch eine Anzahl weiterer Systeme von je 360 Punkten enthalt;en. Da die Anzahl der in die sextakitischen Punkte zweiter Art fallenden Schnittpunkte gleichfalls ein Vielfaches von 360 ist, so gilt: 6 TO =: 72 u ~f 90 ß' -f 360 y. Somit ist wegen des geraden m anck ß' gerade und werde gleich 2 ß gesetzt. Wir können daraufhin ßine form : (7) ^'^w^YK^^^^.w^) k aufbauen, die gleich 0 gesetzt genau dasselbe Punktsystem auf der Kurve sechsten Grades ausschneidet wie ü == 0 imd also gleichfalls den Grad m hat*). Es ist nun möglich, eine endliche von 0 verschiedene Konstante c so zu bestimmen, daß die durch: (8) Sl-c *- Wß Yl (*'^ ^ ft, W) = 0 Je gegebene Kurve m^^ Grades die Kurve sechsten G^-ades noch in einem neuen (6 m -\- l)sten Punkte schneidet. Dann enthält die in (8) links stehende Form die irreduzible Funkt:).on JF mindestens iq. erst;er Potenz. Tritt die höchste Potenz F'^ auf, so gilt identisch: (9) £i = c ^-W^Hi^' + li,W-') -r-^'-ßi, k WO üj eine neue invariante Form des verminderten geraden Grades W2j == m — ßv ist. Hierdurch ist die Bß,sis für ein induktives Schlußverfahren gewonnen. Man hat, um 2;um Ziele zu kommen, nur noch zu berücksichtigen, daß F, abgesehen voifi einpm konstanten Faktor, die einzige invariante Form sechsten Grades ist, was übrigens auch in der obigen Schlußweise schon enthalten ist. Eine gewisse Kurve der Schar (6) schneidet auf der Kurve F == 0 die 180 sextaktischen Punkte der zweiten Art doppelt gezählt auÄ,. Setzen wir den Faktor W hinzu, so schneidet die reduzible Kurve 9 Osten G-rades: (10) W{^'^ i-^W^) =^ 0 alle 270 sextaktischen Punkte doppelt gezählt aus. Dies ist genau dasselbe Schnittsystem, das auch durch die Gleichung X^ = 0 geliefert "") Die Parameter fij, sind alle endlich und von 0 verschieden. Jeder Faktor im Produkt (7) muß so oft hingeschrieben werden, als es die Yielfachheit des betreffenden Schnittes erfordert. Die sextaktischen Punkte zweiter Art kommen nötigenfalls mit unter den k Faktoren des Produktes im Ausdruck (7) m Betracht.
284 II, 3. Valentmergrappe und zugehörige Formen. wird. Wie soeben schließen wir, daß es eine endliche von 0 verschiedene Konstante a gibt, für welche die Form: X^-aW{^-^ + aW') den Faktor F gewinat. Der andere Faktor vom Grade 84 ist unserem eben bewiesenen Satze zufolge eine rationale ganze Funktion von F, ^ und W. Es besteht somit der folgende Satz: Die vier Formen F, ^, W, X des vollen Systems sind durch eine algebraische Belation: (11) X' = a Wi^^ -4- ^ W) ^F-a (F, *, W) aneinander gebunden, in der das Quadrat der Form X als rationale ganze FunJdion der drei anderen Formen F, ^, W dargestellt wird. Wir kommen auf diese Relation unten zurück [vgl. (6) S. 297]. § 13. Neue Auswahl des Formensystems der Valentinergruppe. An Stelle der Bezeichnung F für die invariante Form sechsten Grades gebrauchen wir hinfort wieder die frühere F. Die Produkte : (1) 0(x^, x^, x^) = Y[^J^^ '^{o!!i, x^^, x^) = JJ-^k sind bei dem Verhalten der Formen q) gegenüber den erzeugenden Substitutionen IT, V, W(vgl. S. 272 ff.) absolut invariante (reduzible) Formen zwölften Grades der Valentinergruppe. Von ihnen steht von vornherein fest, daß sie die Form F nicht als Faktor enthalten. Es ist demnach möglich, jede dieser Formen an Stelle der Form ^ zu benutzen, ohne daß die in § 12 gezogenen Schlüsse Einbuße erfahren. Wir wollen uns weiterhin der sehr übersichtlich darstellbaren Form bedienen: (2) 0 == UiiV^" - ^' - ^ly ^ 124^1) (3) = (r]-4:)(xl^-r-) + Q(Sr]-8)(xl'xi + :.)^3(18fj-3o)(x!xi + -)~--, wo sich das Produkt auf die drei Faktoren bezieht, die aus dem wirklich angegebenen durch zyklische Permutation der x^, x^, x^ herstellbar sind*). Aus 0 und F können wir die Schar der invarianten Formen: (3) 71^ ^IF^ zwölften Grades bilden. In dieser Schar (3) ist jede absolut invariante Form zwölften Grades der Valentinergruppe enthalten. Eine beliebige invariante Form Sl dieses Grades ist nämlich, wenn sie 0 oder F als Teiler hat, in der Gestalt %0 bzw. XF^ darstellbar. Ist dies nicht der Fall, so bringe man die Kurve Sl == 0 mit der Kurve sechsten Grades zum Schnitt. Man gelangt zu einem invarianten System von 72 Punkten *) Durch die in Klammern unter das Produktzeichen gesetzte Zahl ist hier und weiterhin die Anzahl der Faktoren des Produktes angegeben.
Neues Formensystem de^ Valentinergruppe, 285 der Kurve jP = 0, also zu den Wendepunkten, die ^uch von der Kurve 0 = 0 ausgeschnitten werden. Man kann alsdann eine Konstante y, so bestimmen, daß die Kurve £1—^Q =zi 0 in einem beliebigen von den Wendepunkten verschiedenen Punkte die Kurve ^ = 0 schneidet. Dann hat notwendig (ü — y,^) den Faktor F und also die Gestalt IF^, woraus der Satz hervorgeht. Hiemach ist sowohl ^ als auc}i die in (2) S. 280 dargestellte Form ^ eine Form der Sch^r (3). So findet man z. B. leich-t für die Form ^ die Darstellung: (4) 18 * = - (^ 4- 7) ^ -f- 4(,; -^ l)f ^ aus der übrigens die Tatsache, daß ^ teilerfremd gegen F ist, u:fimittelbar hervorgeht. Reduzible invariante Formen SOs^^^^ Grades haben wir in den Produkten : 15 _ 1^ (5) w{x^, x„ X,) = n^'^' ^(^' «2. %) = n^fc der Oktaederformen beider Systeme. Kach einem S. 277 aufgestellten Satze können diese Formen gegenüber den Substitutionen der Valentinergruppe höchstens multiplikative dritte Eii|.heitswurzeln annehpien. Da indessen die Valentinergruppe a]is z^ei Substitutionen S und T der Perioden 5 und 2 erzengbar ist, bei denen die Formen (5) komplexe dritte Einheitswurzeln nicht annehmen, so sm4 die Formen W, W absolut invariant. Wir benutzen hinfort an Stelle der Fonn W die erste der Formen (5), für die wir aus (4) S. 277 die Darstellung ablesen: (6) ?F = 8n(ri^iM-2%^-l-2x|) (3) .n(^3^-4)xi2-|(,;-4)(»|-%2)-,;.-V3jr,(»,^^3)-.a^»^%), (12) wobei die Indizes an den Produktzeichen denselben Sinn haben, wie in (2). Daß diese Form W weder 0 noch F als Faktor hat, ist einleuchtend. Die Form W ist in der Gestalt: W = aW ^h^^F~\-c(pF^ +-dF' darstellbar; die Koeffizienten fertig zn berechnen, ist nicht erforderlich. Im Anschluß an (5) und (6) S. 277 schreiben wfr endlich die vierte Form des fortan zu benutzenden vollen Formensystems F, 0, W, X der Valentinergruppe in der Gestalt an: (7) X = x^x^ »3 {xi — »D (xl — x!) (x! — xi) • n (ö ^1 + ^. + ^3) (1-2) .Yl{2x,~\-(T]~e)x,-l-(^ + ß)x,).
286 IIj 3. Valentinergruppe und zugehörige Formen. WO sich die Produkte auf die 12 bzw. 24 Faktoren beziehen, die aus den angegebenen durch die Substitutionen der bevorzugten Oktaeder- gnippe hervorgehen. Xatürlich besteht auch zwischen den Formen des neuen Systems eine Relation der Gestalt: (8) X^ = aWi^'^ -f iiW^) +- F' a{F, 0, ?F), wo Gr eine rationale ganze Funktion der F, 0, W vom 84sten Grade in den »j, r»2, x^ ist. Die rechte Seite dieser Gleichung wird später in nahe Beziehung zur Resolvente sechsten Grades des Formenproblems der Valentinergruppe treten (vgl. S. 297). § 14. Gebrauch der ikosaedrischen Koordinaten. Wenngleich die bisher dargestellte Theorie der Valentinergruppe für die weiteren Entwicklungen eine ausreichende Grundlage liefern würde, so mögen doch hier noch einige ergänzende, auch an und für sich wertvolle Ausführungen über diese Gruppe folgen. Es soll zunächst gezeigt werden, wie man die Behandlung der Gruppe bei Gebrauch der schon S. 263 eingeführten ikosaedrischen Koordinaten 5^, s^, 2^ begründen kann. Die invarianten Formen der aus den Substitutionen S und T (vgl. (1) S. 263) zu erzeugenden temären Ikosaedergruppe sind in anderen Bezeichnungen S. 263 gegeben. Die beiden niedersten Formen sind vom zweiten und sechsten Grade und haben in den z^, z^, ^3 geschrieben die Gestalten: (1) ^,^3 -f-zl, z^sl — {s^ + 4)^2 — '^^i44 i- Q^^4h- Die irreduzible Form sechsten Grades der in ikosaedrischen Koordinaten 5j, ^2, ^3 geschriebenen Valentinergruppe muJ3, da diese Gruppe die aus S und T erzeugte Ikosaedergruppe ©g^ enthält, darstellbar sein als Summe der zweiten Form (1) und der mit einer noch zu bestimmenden Konstanten a multiplizierten dritten Potenz der ersten Form (1), also in der Gestalt: (2) (1 + a)zl3! - {zl - 4)h + (3« - 'i)zUlzl + (3« + 8)^,^2*^3 + azi. Es gibt in der Valentinergruppe GvaQ zweite mit der ersten ©g^ nicht konjugierte Ikosaeder-Ögo, die mit der ersten den aus S zu erzeugenden zyklischen Teiler ©5 gemein hat. Legen wir die zweite ©go i^ ü^^er temären Gestalt mit den zugehörigen Koordinaten z'-^, z'2, z'^ zugrunde, so konmien ihr die in den z'^, z'^, 4 geschriebenen Formen zu und die Invariante sechsten Grades (2) der Valentinergruppe hat dann, vielleicht abgesehen von einem konstanten Faktor, notwendig die Gestalt: (3) (1 4- a') z\' z'i - (z',' -f z',') 4 -f (3 «' - 2) z[' z',' z',' + {Sa' 4-8)^;4*4~f «'46.
Ansatz der Form sechsten Grades m ikosaedri^chen Koor4inaten. 287 Das Koordinatendreieck ist beiden Syßtemen gemeinscliaftlicli; denn es ist das Poldreieck der Substitution S. Es gibt demnach einß Substitution : (4) Z[ == a^j, 4 := ßz^, s'i =z yz^, die die Form (3) in die mit einer Konstanten h muHiplizierte Form (2) überführt. Dies aber trifft stets und nur dann zu, wenn die folgenden sechs Gleichungen gelten: {l~\^a')^'y' = h(l-ra), (5) \ (Sa- 2) «2 ^2 ,^2 ,^ 5 (3 ^ __ 2), (3a'-| 8)aß'y = &(3«-f 8), ß ß^ = ha. Aus diesen Gleichungen sind die a, a', h, a, ß, y zu berechnen. Keine der Konstanten a, a' \erscl^windet, d. h. die z\\^eite Form (1) ist nicht bereits eine Form der Valentine^gruppe *). Dje Elimination von 6 führt zu den Gleichungen: a {a ~f 1) «^ y^ = ß^ ß' (a -p 1), a{Sa'— 2)a^y- = ß^a'{Sa — 2), ^^^ ^ a(na'A-8)ay =r- ß^a'{^a-^8), aa^ = a y'" = a! ß'". Bezeichnet man die Zahl ay ■ ß~^ abkürzend durch d, so schreiben sich die ersten drei Gleichungen (6) so: (7) 3««' (d^ — 1) — 2ad^ 4- 2a = 0, [ naa'(d—l)-^8ad — 8a' = 0, woraus wegen Nichtverschwindens von a, a', aa' für ^ die Gleichung: ' ^3 — 1 , ^^ — 1 I I 3 (^2 _ Y)^ _ 2 ^^ 2 ! := 0 I 3(^ -1), 8^, —81 folgt, die entwickelt die Gestalt annimmt: (8) 10^(^- 1)2(4^2^7^ ^4) = 0. Da «, ]3, y nicht verschwinden, so ist ^uch ^ von 0 verscjiiede^. Auch die Lösung ^ =^ 1 ist unbraucl^bar. Da wir nän^lich das Aultreten eines Faktors & bei Ausübung der Substitution (4) vorsahpn, dürfen wir einen der Koeffizienten a, ß^ y frei wählen und setzen etwa j3 == 1. Da >=) Man bestätigt dies aus (5) leicht. Wäre eine der Zahlei^ a, a' gleich 0, so wurde auch die andere verschwinden, da weder ß noch h verschi^vinden. Aus (5) bestimmt sich dann die Substitution (4) leicht als eine Potenz von S.
288 III 3. Valentinergruppe und zugehörige Foritien. für Ä = 1 aus (7) die Gleichheit a =z a folgt, so ergibt sich aus (6) und d = 1: a^r==l, j;^=::l, o(j;=:l, «===: £', y = £~ ^ SO daß die Substitution (4) wieder eine Potenz von S sein würde. Es bleiben demnach für 8 nur noch die beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung: (9) 4 ö^ + 7 ö + 4 = 0. Es mußten sich 2 Werte 8 ergeben, da oben unentschieden blieb, welche unter den beiden S enthaltenden Ikosaedergruppen die vorangestellte Gruppe ®gQ sein sollte. Wir entscheiden hierüber, indem wir die Lösung: (10) ö = ^ =-rf auswählen. Die Auflösung der drei linearen Gleichungen (7) für aa\ a^ a liefert weiter: aa:a:a = 8d : 3(40 + ^^) • 3 ö (5 ö + 4), woraus man folgert: __ 8 _ brj—4: , _ 88 _ 5^ — 4 (11) a — Y^^s^r^) — —9 ^ ^ — 3^4^ + 5) — "T Wie schon bemerkt, können wir ß willkürlich wählen. Wir erklären ß durch die erste der folgenden Gleichungen, worauf sich die weiteren leicht ergeben: (12) ß^-lV' ay = ß'S = iri'.lij'=l. Mit Benutzung des Wertes a folgt weiter: „'«._ 5^-4 öv + 28 _bn-4_ <^P — ,) 3^— — - 9— — «' SO daß aus den letzten Gleichungen (6) und (12) sich : (13) a^ r= 1, y^ — 1, ay = 1, oc = f'', y = £-'' ergibt. Die Substitution (4) bleibt für unseren Zweck brauchbar, wenn wir sie noch mit S~*' multiplizieren. Es läuft dies darauf hinaus, daß wir a = 1, y = 1 setzen dürfen. Damit haben wir den Satz gewonnen: Mittels der beiden ikosaedrischenKoordinatensystemen z^, z^, z^ und z\, z^, ^3 haben wir die invariante Form sechsten G-rades^ der Valentinergruppe in den Gestalten: (14) + 15(^ - 2)^,^^1^1 + 15 (^ + A)z^zU, + {öri - A)zl, F' (0,, 4, 4) = 5 (^ + 1) e['i,',' - 9 (^1 + g',') 4 + 15 (i) — 2) /i^ii','z'i'.+ 15<^ + 4) ^;^2*4 .+ (6 ^ - 4) 4"
Symmetrische Ikosaederkoordinaten. 289 anzusetzen; beide Koordinatensysteme hängen durch die Transformation: (15) z[ — z^, 4 = —^rjz^, z'^ = z^ zusammen, die für die Formen (14) die Relation: (16) F'{z[, 4, 4) = -\riF{z,, z^, z,) nach sich zieht. Da die Koeffizienten in den beiden Formen (14) konjugiert komplex sind, so können wir die Kurve sechsten Grades F(z^, z^, e^) = 0 auch durch die Gleichung F'(z^, z^, z^) = 0 geben, unter i den zu z konjugiert komplexen Wert verstanden. Die linke Seite der letzten Gleichung transformiert sich durch die Substitution: (17) ^j = Z\, ^2 = — 1^-2, ^3 — ^nr die wir auch : (18) ^'; = ^j, 4 = _i^:^2, 4 = ^3 schreiben können, bis auf den Faktor —|iy wieder in die linke Seite der (Tleichung F{z^, z^, z^ = 0. In (17) oder (18) haben wir somit eine ,,Spiegelung^'' wiedergewonnen, die die Kurve sechsten Grades in sich überführt und die beiden Ikosaedergruppen ©g^ und @6o ineinander trans- formioi. Man kann übrigens ein symmetrisches ikosaedrisches Koordinatensystem dadurch erklären, daß man neue Koordinaten x, y, z durch die Transformation: (19) ^=—?:y3^,, y = Oz^, z=-iiSz^ einführt. Die Spiegelung (17) stellt sich dann nämlich einfach in der Gestalt: (20) X = — X, y' = — y, / = — z dar, woraus hervorgeht, daß die Form F in den x, y, z reelle Koeffizienten haben muß. In der Tat geht die mit dem konstanten Faktor d (rj — 2) multiplizierte Form. F, auf die symmetrischen Ikosaederkoordinaten X, y, z umgerechnet, in die Form sechsten Grades: (21) lOx^z^ _ 9 (^5 ^ ^6) ^ _ 45 ^2^2^2 _ 135 ^^4^ _^ 27 / mit reellen rationalen ganzen Koeffizienten über. Wir haben hier also ein Seitenstück zu den Wendedreieckskoordinaten bei der Klein sehen Gruppe, in denen die Form vierten Grades der ©^^g gleichfalls reelle ganzzahlige Koeffizienten hat. Dafür erfordert die Darstellung der Valentinergruppe in den ikosaedrischen Koordinaten noch die Adjunktion der fünften Einheitswurzel £. § 15. Gebrauch der kanonischen Koordinaten. Hatten wir soeben die ikosaedrischen Koordinaten zu einem neuen Wege benutzt, die Valentinergruppe und ihre Invariante sechsten Grades zu gewinnen, so gibt es einen nicht minder interessanten, zum gleichen Fricke, Algebra. II. 19
290 II, 3. Valentinergrappe und zugehörige Formen. Ziele führenden Weg, der art die konjugierten Teiler ©gg der Kollineations- gruppe ©3gQ anknüpft. Jeder dieser Teiler ©gg enthielt einen kommu- tativen Normalteiler @g, der aus vier zyklischen ©g (je zweien aus den beiden Systemen konjugierter ©g) zusammengesetzt war. Mit der ©gg gewinnen wir Anschluß an die bekannte Theorie des sysygetischen Büschels von Kurven dritten Grrades*) und der Hesseschen Kollineationsgruppe ©g^g, die dieses Büschel und seine neun Grundpunkte (die Wendepunkte der Kurven des Büschels) in sich transformiert. Die einzelne Kurve ist dabei gegenüber einer ©jg invariant und eine von 12 konjugierten Kurven, die gegenüber der ©g^g die Permutationen einer Tetraedergruppe bilden. Vier Kurven des Büschels zerfallen in die vier Wendedreiseite, und vier Kurven sind äquianharmonisch; sie entsprechen den vier Ecken und den vier Seitenmitten des Tetraeders. Sechs Kurven des Büschels sind harmonisch; diese entsprechen den sechs Kantenmitten des Tetraeders. Die einzelne harmonische Kurve des Büschels geht gerade durch eine Kollineations - ©gg der in der Valentinergruppe auftretenden Art in sich über und ist innerhalb der Hesse sehen Gruppe eine von sechs konjugierten**). Diese Angaben sind hier nur beiläufig gemacht. Will man sie etwa bei Gebrauch der oktaedrischen Koordinaten bestätigen, so gehe man von der @gg aus, die aus den beiden ersten der nachfolgenden Substitutionen: (1) /O, 1, 0. f7= 0, 0, 1 , W, 0. 0/ / !• U' = 1-V5 , U^o, / - ^ß -^ W=I-^J, 0, -i V-i P, 1 1 + V5 . i-Vs^ 1 i + Vö 1—y"5 1 , : ^ O A erzeugbar ist. Die erste und dritte Substitution sind von der Periode 3 und vertauschbar. Die zweite Substitution ist von der Periode 4, xmd es gut: Also ist W im Xormalisator der aus den Substitutionen U'^-U'^ bestehenden konmiutativen ©^ enthalten, so daß durch Zusatz von TT zur ©g *) Vgl. z. B. „Enzyklop. der math. "Wiss.~ Bd. 3, Teil 2, S. 493. Im ersten Kapitel des nächsten Abschnitts kommen wir auf das fragliche Büschel ausfuhrlicher zurück. **) Innerhalb der Valentiner-@ggo, die mit der Hesseschen Gruppe den? Durchschnitt @gg bildet, ist die harmonische Kurve naturlich eine von. zehn konjugierten.
Syzygetisches Büschel von Kurven dritten Grades. 29] der Teiler ©gg erzeugt wijrd. Die Poldreiecke vop U und P"' werden durch Nullsetzen der beider^ zerlegbaren kabischen Formen: (■^1 = ^f + xi + -i'l — Sx^i^x^, J^ = -71 (xl ~f xi -r «D - B {xl x^_ + xl x^^xlx^-\ p xjx.^) -|- 6 X^ »2 ^'3 dargestellt, aus denen die Gleichung des syzygetischen Büschels in def Gestalt: (3) '/z/, ^;l^^2 =-0 hervorgeht. Ohne besonderen Aufwand von Rechnung stellt man die beiden letzten Wendedreiseite des Büschels und damit die Poldreiecke der Substitutionen TJ-U' uiid If^-U' durch ^STullsetzen der Foniien 1^3 = - (2 t (1 - Vö) q) z/, - z/„ U, = - (2 + (1 + V5) 9'-) 4, - ^, dar. Wir verfolgen dies nicht weiter, wollen vielmehr aus den gegebenen Darlegungen einen neuen Absatz zur Gewiipiung der Valentiner- gnippe und ihrer invarianten Fprm sechsten Grades herleiten. Zur Darstellung der 18 Kollineationen, die jede ebene Kurve (Jrittep. Grades in sich zuläßt, benutzt Klein*) ein „kanonisches Koordinatensystem" ^j, ^2) ■^3) üi dem die Kurve die Gleichung gewinnt: (5) 4 ^3 — 4 4 4- 9^ ^2 ^l i- 93 4 = 0, wo g^ und g^ bis auf numerische Faktoren die beiden Arophold schep Invarianten sind, die in den Koeffizienten der ursprünglich beliebig angesetzten temären kubischen Fo^m vom v^.erten. und sechsten Grade sind. Liegt insbesondere der har^on^che Fall vor, so ist ^, == 0, so daß die Kurve dritten Grades durch: (6) ^2^^_4^s^^^^^^| ^0 gegeben ist. Ohne Änderung des Koordinatendreiecks führen wir zur Vereinfachung der Formeln noch die Transforip.ation aus ; (7) ^] = 2/3 V2 i VS g^ y</2, ^2 = -h \9o, ^i = Vi 2 i ys und behalten auch für die y den Namen der „kanonischen Koordinaten" bei. Die Gleichung (6) geht bei Fortlassung eincfe, konstanten Faktors, der allen Gliedern gemeinsam ist, über in : (8) yU-^y,yl-¥^y,d=^ 0. Wir werden unten einen sehr einfachen Übergang von der hier links stehenden temären Form: (9) f = yl + ^y^yl-^y,yl *) Vgl. alles Nähere in „Ges. Abh." III, S. 217 oder „Modulfunkt.'- II, 246 19-
292 II, 3, Valentinergruppe und zugehörige Formen. zur invarianten Form sechsten Grades der Valentinergruppe entwickeln. Im übrigen ist der Grund dafür, dajß wir diese Methode zur Herstellung der Valentinergruppe hier nur beiläufig behandeln, in dem Umstände zu suchen, daß bereits die Aufstellung der ganzen ©gg der Kollineationen der Kurve (8) in sich die Adjunktion neuer und umständlicher numerischer Irrationalitäten nötig macht. Legt man als Koordinatendreieck eines der vier Wendedreiseite zugrunde, so nimmt die Kurvengleichung die bekannte Hesse sehe Gestalt an, und dann allerdings ist die Kollineations-@jg außerordentlich einfach darstellbar*). Xun ist die durch 216 geteilte Hessesche Form li von f gegeben durch: j( 10) l = yl y^ — y^ yl — yl, so daß das syzygetische Büschel durch: (11) v,f^u,^ ^{yl-r^y,yt-\-^y^yl)-^ijfly,-yryl-yl) = o dargestellt ist. Die vier in die Wendedreiseite zerfallenden Kurven (11) bestimmt man leicht durch die Forderung, daß die linke Seite von (11) einen Linearfaktor {y^ — ^ y^ haben soll. Man gewinnt für ^ eine biquadratische Gleichung, die die vier durch den Wendepunkt (0, 0, 1) hindurchlaufenden Wendelinien liefert. Wir wählen eine Wurzel it und erhalten ein Wendedreieck, dessen Seiten durch: ( y_ 3 o-2 Vs" 2/1 + ^1/3 + 21^ ^2X1^^3 = 0 gegeben sind. In der Tat findet man durch Multiplikation dieser drei Gleichungen die sich dem Ansätze (11) einordnende Gleichung: t^{yl + ^y^yl ^^y,yl) + ^^^^^1^{yly,-y,yl-yi) = o. Die mit geeigneten Konstanten multipKzierten linken Seiten der Gleichungen (12) sind als neue Koordinaten einzuführen, um zur Hesseschen Gleichungsform der Kurve dritten Grades zu gelangen. Wie man sieht, sind für die wirkliche Aufstellung der ©^g neue Irrationalitäten zu adjungieren. Bei dieser Sachlage beschränken wir die weitere Entwicklung auf die Herleitung der invarianten Form sechsten Grades der Valentinergruppe. Die zunächst mit beKebigen Koeffizienten angesetzte ternäre kubische Form f hat eine Schar von Kovarianten sechsten Grades in den Variablen, und achten Grades in den Koeffizienten. Ist li die Hesse sehe Form und bezeichnet man mit g die mit den partiellen ersten '■^) Vgl. darüber das m „Modulfunkt.'- IL 251 ff., sowie unter S. 335ff.
Invanante Form sechsten Grades in kanonischen Koordinaten. 293 Ableitungen von h geränderte jHessesche Determinante der gegebenen Grundform /': (13) 8V ■dyl' d^f ^2/a ^2/1 _d'l d'f dy^dy^' d'f dyi' d'f d-f oh dy^^dy^' dy^ fS M j' ' S2/3 ^yi '^Vz'^y^ oyT dy^ dh dh oh S.9j' g«/^' 8.2/3' so haben wir in g eine e^ste Kovariante der genannten Grade. Die Schar der Kovarianten ergibt sich bei Heranziehung der Aronhold scheu Invariante S vierten Grades (in den ^Koeffizienten) in dei' Gestalt: (14) yicj^XSfJi. Im Falle unserer Form (9) mit numerischen Koeffizienten kommt die gleichfalls numerische Invariante S i^icht weiter in Betracht. Die Form g ist abgesehen von einem konstanten Faktor gegeben (Jurch: {g = yl-'^ yt y, y, - yl (8 yt - 30 ^/f yl — 6 yt) \ -y,y..{yt~^iylyl-^^iyl) Für die in der Schar (14) enthaltene ., irreduzible •' Form sechsten Grades F der Valentinergr^ippe darf ;c = 1 gesetzt werden. Schreibt man Jl S = — ^, so ergibt sich der nur noch eine unbekannte Größe /« enthaltende Ansatz: \F= yl T- (3 a - 9) yt y, y^ + 30 yl yl yl - (2 ^ - 6) yl yl I ~f2/l(C'^-8)^i' +(3ft+ 6)3/1)-.^!2/a(/*+1)2/1-(3/i-21).^t). Zur Bestimmung von u bea,chte man, daß in der ©gg die Substitution der Periode 4 enthalten ist: (17) y'x = iy^, i/2 == — *«/2. y'i = yy Die aus ihr zu erzeugende zyklische %^ hat innerhalb der @gg nuf sich selbst zum Xormalisator. Dagegen hat sie innerhalb der Valentiner- gruppe eine Dieder-®^ zum Xormalisa.tor, in dem noch vier Substitutionep der Periode 2 vorkommen, die die Substitution (17) in ihre ipverse transformieren. Sie werden also die Ecke (0, 0, 1) des Koordinatendreiecks in sich transformieren i^nd die beiden anderen Ecken austauschen, so daß sie bei unimodularer Schreib-v^eise die Gestajt: (18) y\^=ay^_., y'^^a~^y^, y'i ~ ys
294 Hi 3. Valentinergrappe und zugehörige Formen. haben. Gegenüber dieser Substitution müssen somit die beiden biquadratischen Formen: (19) (^-8)yt + ^(li-^^)yl, 0*+1)2/1-3(^-7)2/1 absolut invariant sein. Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen: (20) (^_8)a* = 3(^+2), (j,+1)^^ + 3(^-7)^0. Durch Elimination von cc erhält man für ^ die quadratische Gleichung: (ft +!)(/* + 2) -f (^ - 7) (^ - 8) = 0 mit den beiden Lösungen: (21) ^ = 3 + 2iy5. ilan kann hiernach das kanonische Koordinatensystem in zwei wesentKch verschiedenen Arten auswählen. Wir bevorzugen das obere Zeichen in (21) und bestimmen einen der vier zugehörigen "Werte a aus (20): (22) Es besteht hiernach der Satz: Bei G-eh'aiich der kanonischen Koordinaten btellt sich die invariante Form bechsten Grades der VaJentinergruppe in der Gestalt dar: iF=yl-^^iyli>y^y, yt + 30 yl yl yl — 4« Vo yf pi (23) +((-3 +2iV5)2/,* + 3(5 + 2iVö)2/|)2/| l ~-2/,^^,((4-r2iV5)^,*+5(4-2*V5)2^|), und die Valentinergrujo^e bclbd geht aiib der KolUneationsgruppe ©gg durch Zusatz der Substitution der Periode 2 hervor: 2/1= 1 2/2, 2/2 =-—7==^—2/1, 2/3 = 2/3- V3 V3|/^ Wegen weiterer Ausführungen über die Valentinergrappe sei auf die S. 279 genannte Arbeit von Wiman, auf die Darstellung des Verfassers in „Autom. Funkt.'" II, 617ff., sowie namentlich auf die 8,273 namhaft gemachten Untersuchungen von Gerbaldi verwiesen.
Eesolventen niederei^ Grades des Porpienproblems der ©ggo- 295 Viertes I^apitel. Formenproblem der Valentinergruppe und allgem^äine Gleichung sechsten Grades. § 1. Formenproblem der Valentinergruppe mid Resolvente sechsten Grades. Der Ansatz des Formenproblems der Valentinergruppe hat in üblicher Weise zu geschehen: Es seien etwa fur die Formen F, 0, W, X vier die Bdation (8) S. 286 befriedigende Werfe vorgeschriebe^, zu berechnen sind entweder die zugehörigen Werte r^, x^, x^ ßelbst oder auch nur ihre Verhältnisse X-^^:x^:Xy Das erste Problein hat 1080 Lösungen, die sich i^ einer unter ihnen durch die Substitutionen der Valentinergruppe ©i^gß darstellen. Das zweite Proble^i läuft darauf Jiinaus, eilten zu den gegebener). Werten F, 0, W, X gehörenden Punkt (a'^, x^, Xg) in der Koordinatenebene der X zu bestimmen. Dieses Problem hat 360 L,ösungen, wobei alle 360 Punkte aus einem unter ihnen durch die Kollineationen de;- Valentinergruppe ©gg^ hervorgehen. Ist dieses Problem gelöst, so erfordert die Lösung des umfassenderei^ Problems nur noch das Ausziehen einer Kubikwurzel. Die niedersten Resolventen des formulierten Problems sind erstlich zwei Besolventen sechsten Crradeß, die zu den beiden Systen^en von je sechs konjugierten Ikosaedergruppen gehören. Hipran reiht sich eine Besölvente zehnten Grades, die za derf zehp konjugierten Teilern (Sgg gehört. Endlich folgen zwei Besolventen 15^^ G-rades, die von den beideii Systemen der Oktaedergruppen geliefert werden. Über alle diese Resolventen hat Gerbaldi höchst ausgedehnte Rechmmgen angestellt. Es gelingt ihm, die Resolventen sechsten u^d zehntep. Grades in fertiger Gestalt anzugeben (in den §§ 44 und 55 seiner Abhandlungen). Der Fall F ^= ö erwies sich fimktionentheoretisch zugänglich und ist ausführlich und erschöpfend vom Verfasser untersucht und in „Auton^. Funkt." II, 553ff. dargestellt. Es handelt sich um die Transformatiori dritten G-rades derjenigen ßutoniorphen FunUlmien, die zur GrenzJcreis- grtipße der Signatur (0, 3; 2, 4, 5) gehören. Diese Gruppe T^ar es, die uns oben (S. 241 ff.) den Eingang in. die Theorie der Valentinergruppe eröffnete. Insbesondere liefert die Resolyente zehnten (grades im Falle F = 0 die „Transformationsgleichung" für den dritten Trangformations- grad, die als Resolventen niedersten Grades zwei solche vom sechsten Grade besitzt. Man findet ß. a. 0. nicht nur diese Gleichungen zehnten und sechsten Grades, sondern auch die beiden Resolventen ]^5ten Grades fertig berechaet. Daß die Aufstellung dieser Gleichungen ohne Benutzung transzendenter Hüfsnüttel allein du^ch algebraische Methoden gelangt, gründet sich auf den Umstand, daß man in allen drei Fällen mit Kongruenzgruppen des Geschlechtes _|> = 0 zu tun hatte.
296 III 4. Fonaenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. Die einfachsten Formen der Teiler ©g^ sind die beiden Systeme zu je sechs Ikosaederformen (p und ^. Nach S. 272 ff. permutieren sich aber erst die Kuben der Formen des einzelnen Systems gegenüber den Substitutionen der Valentinergruppe und bilden hierbei die alternierende @3go des sechsten Grades. Die beiden einfachsten Resolventen sechsten Grades werden demnach die Gleichungen für die dritten Potenzen der Ikosaederformen (p, ^ der beiden Systeme sein. Es mag genügen, wenn wir diejenige Gleichung aufstellen, die die Kuben der unter (1) S. 272 gegebenen Formen (p befriedigen. Man gehe so vor, daß man die Potenzsummen der sechs Formen (p mit durch 3 teilbaren Graden etwa in den Formen F, 0, W, die S. 284 ff. eingeführt wurden, zur Darstellung bringt. Aus den Potenzsummen der Kuben ^f, <pi, • • • berechnen sich dann nach I, 102 die Koeffizienten der Resolvente. Es ergibt sich der folgende Satz: Die eine der beiden JResolventen sechsten Gradeb deb FormenprohJems der Valentinergruppe, nämlich die Gleichung sechsten G-rades, der die Kuben der Ikosaederformen cp genügen, hat, wenn wir mit Z die Unbekannte bezeichnen, die Gestalt: (1) Z«-f6(,^-i-2)J'Z^+(|(,^-3)0 + 6(ll72~fl)J^')Z^-(3(7?-M5)0F - 4 (51 >j - 55)^^3) ^3 _ (^ (11 ^ _!_ 1) ^2 ^ I (29 ^ -!_ 39) 0 F^ - 3 (53 >j - 145) F') Z^ -f (i ?F -f il (123 ^i - 127) 0^ p -l^ (1 71-^ o) QF^) Z ~\r ^^ = 0. Bei dem nicht geringen Umfange der Rechnung, die zur Gewinnung dieser Resolvente aufgewandt werden mußte, ist ein Vergleich mit der schon früher von Gerbaldi berechneten Resolvente erwünscht. Wir führen zu diesem Zwecke an Stelle von 0 die Form ^ auf Grund der Gleichung (4) S. 285 ein und schreiben der Gleichförmigkeit wegen F statt F; dagegen wird W beibehalten. Die Resolvente (1) nimmt dann die Gestalt an: (2) Z« + 6(,^ + 2)^.Z5-(|(,^-2)*-66^^2)Z^-(f(2,^-31)^* -f(114r?-157)i?^S)Z^-(|l(2,;-f 3) *2_^(8^_|_ 17)^^2 -if (34,;-169)^*)Z2-f(i?Fn-1(31^-1) *2^ -f ^ (169,; -f 919) * ^3 -1 (835 yi - 207) F'^) Z Um die Bezeichnungen Gerbaldis zu erhalten, führen wir die Formen Ä und H sowie die Irrationalität c durch die Erklärungen: (3) A:=—2F, H=-l^, c:=^n ein. Die Gleichung (2) nimmt dann die Gestalt an: (4) Z'-Q(c + l)ÄZ-'~\-{{c-l)H~\-33cÄ')Z'-{j;(4c-31)ÄH + li228c-ro7)A')Z'-{i-^(4c~\^3)H'~\^^,{lQc~\^ll)Ä'H -|(68c-169)^^)Z2+-(i?F-^(62 6--l)^jy2 + j^(338c-^9l9)^äjy+^(1670c-207)^5)Z + (lie + 1) A' -^Jc-4:) HY = iL
Allgemeine Resolventen sechsten Grades. 297 Dies ist in der Tat die Re^olve^te, die Gerbaldi in § 44 seiner Abhandlung mitteilt. Es besteht ^ur der äi^ßerliche Unterschied gegenüber dey Gleichung (4), daß Gerbalcji den Koeffizienten des linearen Gliedes als selbständige invariante Form Gr des 30stei> Grades an Stelle von W benutzt. Es ist einleuchtend, daß man sich aus dem Gesamtsystem def invarianten Formen 30^*^^* Grades: (o) aW -^h^^F+c^^'"^ + dF'' je nach Umständen eine geeignete auswählen darf. Da die Gruppe der Gleichxmg (2) die alternierende ©gg^ ist, so ist die Quadratwurzel ihrer Diskriaiinante rational bekannt. Dies geht auch unmittelbar aus dem an (10) S. 279 angeschlossenen Satze hervor. Xach ihm ist nämlich das Difl'erenzenprodukt der sechs Lösungen unserer Gleichung sechsten Grades, abgesehen von einem konstanten Faktor, gleich dem Quadrate der Form 45^*^^ Grades X Die Diskriaiinante der allgemeinen Gleichung sechsten Grades ist bekannt ===). Es bestellt deinnach keine grundsätzliche Schwierigkeit, diesep Ausdruck der Diskriminante etwa in den Formen W, ^, F herzustellen. Es muß sich zeigen, daß er das Quadrat eines rationalen A^sdrucks ^.n diesen Formen ist. Dieser letztere Ausdruck ist dann bis auf einen konstanten Faktor gleich derA Quadrat der Form X Wir gelangen so zu der iJöglichkeit, die Relation (8) S. 286 oder auch (11) S. 284 wirklich herzustellen. Es ist nun ein besonderer Erfolg der Gerbaldischen Untersuch^ngen, daß sie bis zur fertigen Ausrechnung diese;- Relation wirklich \or- gedrungen sind. Es handelt sich um die Fori^el (194) in § 60 der Abhandlung von Gerbaldi. Wegen der Wichtigkeit dieser Formel soll sie hier mitgeteilt werden Dabei bedei^ten F und ^ unsere bisher so bezeichneten Formen, X jst alDgesehen von eineiA konstanten Eaktor unsere Form 4o^i^^ Grades, die, gleich 0 gesetzt, die 45 Perspektivitat&- achsen darstellt, und W ist eine für den vorliegenden Zweck besonders geeignete, aus dem Systen^ (5) gewählte Form 30^*^" Grades**). Die zwischen den Formen F, ^, W, X hsstehenfle Belatto^ id dann nach Ger bald is jRechwimgen die folgende: (6) X2 == !Fs + 3 (38 $° — 2^. 3' • o *^ F' ^ 2^ • 3-> • 5 • 31 ^^F' — 2^. 3^. 5 ,11 *2 _p6 ^ 2^0. 35. 5 ^ _p8 _ 210.31 F'^) W + 2^ • 3« ^(36. 0 *^ — 2^. 3^ • 0 *6 ._p2_2*. 33.773 ^F^ — 2^.3^o.31**F*'+2i2-32.5.7*3_p8_9i3.32.52^2_pio + 21«. 3^ • 5 * Fy^ ■— 21^ o F'% *") Ihr allerdings sehr umfänglicher Ausdruck ist z. B. mitgeteilt bei SalmonFicdler, .,Algebra 4er ImearenTransformatioaen", 2. Aufl., S. 344 (1877). *=^) W braucht also nicht gerade die oben so be/^eichnete Form (3) S. 280
298 n, 4. Formenproblem der Valentinergrappe und Gleichung 6ten Grades. § 2. Spezielle Resolventen sechsten Grades. Wir erinnern zunächst an die beiden Gleichungen (3) S. 258, die wir aus den damals betrachteten beiden Systemen konjugierter Kongruenzgruppen dritter Stufe vom Index 6 ableiteten. Im Anschluß an (1) S. 258 können wir die eine dieser Gleichungen in die Gestalt kleiden: 144 . (1) r2 + 3(r?-3)r2-3(2,^-5)r~f (37^-7)=z—=V(l-2,^)ir. Aus ihr geht die andere Gleichung einfach dadurch hervor, daß man r} durch rj ersetzt. Man findet, wenn man hernach rj wieder durch 1 — r} ersetzt: ]^4^ (2) T'-3(ri±2)t' + B{2n + S)t-(^n~\-4:)=—^)/(2r)-l)LT. ■ ovo Von einer dieser Gleichungen aus haben wir oben (S. 259 ff.) durch eine nicht ganz einfache funktionentheoretische Überlegung die Valentiner- gruppe eingeführt. Diese Überlegung soll jetzt dadurch sichergestellt werden, daß wir von der Resolvente (1) S. 296 aus umgekehrt zu einer der Gleichungen (1) oder (2) zurückgelangen können. Die S. 259 ff. vielfach genannte 360-blätterige Riemannsche Fläche entspricht der Kurve sechsten Grades jP = 0. Es handelt sich also hier um diejenige in der allgemeinen Gleichung (1) S. 296 enthaltene „spezielle Resolvente", die für JP = 0 eintritt und also die Gestalt hat: ^^^ l ~ (4 0)3 = 0. Die in (1) und (2) auftretende Größe L ist eine 360-wertige Funktion auf der Kurve sechsten Grades F = 0, deren Nullpunkte zu je vier in den 90 sextaktischen Punkten erster Art (vgl. S. 281) zusammenfallen, während die Pole zu je fünf in den 72 Wendepunkten liegen. Demnach ist die rationale Darstellung von L auf der Kurve sechsten Grades durch: (4) L = c-^ geleistet, wo o eine noch zu bestimmende Konstante ist. Um eine 60-wertige Funktion zu konstruieren, die zu einem ersten ikosaedrischen Teiler ®g^ gehört, bezeichnen wir die zugehörige Iko- saederform zweiten Grades mit (p^. Es handele sich etwa um die erste Form (1) S. 272. Zum gleichen Teiler gehört auch das Produkt der fünf übrigen Ikosaederformen tp^, cp^, ..., ^g. Wir erklären dann zunächst unabhängig von (1) und (2) eine gewünschte Funktion x der ©g^ durch: (ö) 4«"' '/ • VlL <Ps <Pi fi, <Pe
Rückkehr zur speziellen ße^olven|;e sechsten Grades. 299 Die 60 Nullpunkte von x fallen zu |e 5 in den 12 Weiidepunktep der Kurve sechsten Grades zusammen, die durch den Ikosaederkegelschnitt gjj =z 0 ausgeschnitten werden. Die 60 Pole liegen in den übrigen 60 Wendepunkten, die bezüglich der ®^^ r^ur u|iter sich äquivalent sind. Erweitern wir die rechte Seite der Gleichung (q) mit y^ und setzen, wie S. 296, (pl = Z, so folgt: (6) T;^t^, 2Z=— V^ 0^. Zufolge (3) befriedigt also die in (5) eii^geführte Funktion 'f der Iko- saeder-@g^ die Gleichung: ^3 ^3 ^3^ 6(7^ — 3)0 )j2 02^2 _ 3(11,; + l)02^0T-f (40)3 Man multipliziere diese Gleich^ng mit ff =^ — (^ ■»? -h 4) und teile hierauf durch (4 0)^, wodurch man gewinnt: x'-^in + 2)r2 -f 3(2,? -f 3)r-(3,? ^ ^^ = T^ ^(S^ + '^S)!^^- Schreiben wir demnach unter Bestimmmig der bishpr noch unbekannten Konstanten c an Stelle von (4) genauer: so geht die letzte Gleichung genau in die Gleichung (2) über, so daß wir tatsächlich zu der zweiten der S. 258 aufgestellten Gleichungen sechsten Grades zurückgelangen. Damit ist der Schlußstein der hier beabsichtigten Darstellung der Valentinergruppe gelegt. § 3. Notizen über die allgemeine Gleichung sechsten Grades. Bald nach Herausgabe der „Volles, über das Ikos.'- unternahm es Klein, die dort entwickelten Prinzipien auf die Auflösung der allgei^eineia Gleichungen sechsten und siebei^ten Grades zu übertragep ===). Es gelang in beiden Fällen, quatemärp Substitutionsgruppen dpr Ordnungen 6! und I 7! zu erklären, die der sy:aimetrischßn Permutationsgruppe des Grades 6 und der alternierenden deß Grades 7 isomorph, sind. Diesen Gruppep wurde dann die Rolle zugewiesen, die die Ikosaedergruppe bpi de^? Auflösung der allgemeinen Gleichung fünften Grades spielte. Diese Entwicklungen wurden, was die Glßichupigen sechsten Grades angeht, mit dem Bekanntwerden der Valentinergi-uppe übejUüssig, da es selbstverständlich vorzuziehen ist, an Stelle einer (][uatemären Gruppe für die allgemeine Gleichung sechster). Grades nach Adjunktion *) Vgl. die 1886 erschienene Abhandlung „Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades", üath. Apn. 3d. 28 oder „Ges. Abhandl." II, 439.
300 Hl 4- Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. der Quadratwurzel aus der Diskriminante die temäre Valentinergruppe zu benutzen. Klein hat dann auch in seiner 1905 erschienenen Arbeit „Über die Auflösung der allgemeinen Gleichungen fünften und sechsten Grades" („Ges. Abhandl.-' II, 481) die Behandlung der Gleichung sechsten Grades auf die Valentinergruppe gegründet. Er folgt hierbei seiner zweiten in der Ikosaedertheorie entwickelten Lösungsmethode der allgemeinen Gleichung fünften Grades, bei der die Ikosaedergnippe in Gestalt einer temären ©g^ zugrunde gelegt wird (vgl. oben S. 159 ff.). Die erste dabei zu lösende Aufgabe ist, aus fünf unabhängig veränderlichen Größen Kj, Wg, •••, «5, nämlich den fünf Wurzeln der allgemeinen Gleichung fünften Grades, durch eine Kette algebraischer Operationen möglichst einfachen Charakters, drei Größen ^^, 3^, z^ zu konstruieren, die die 60 Substitutionen der temären Ikosaedergmppe erfahren, falls die oc den 60 geraden Permutationen unterworfen werden. Die berechneten z^, ^2) ■2^3) in die invarianten Formen der temären ®^^ eingesetzt, liefern rational bekannte Größen. Die Aufgabe der Berechnung der ^j, ^2) ■^s ^ii'5 bekanntgegebenen Werten jener invarianten Formen ist das „Formenproblem der temären Ikosaeder-^g^". Das Ziel des algebraischen Teiles der Theorie der allgemeinen Gleichung fünften Grades war also die Reduktion dieser Gleichung auf das Formenproblem der temären Ikosaeder-^g^. Der transzendente Teil der Theorie lehrt dann weiter die Lösung des Formenproblems durch Modulfunktionen (vgl. S.98ff.). Für die "Übertragung dieser Theorie auf die allgemeine Gleichung sechsten Grades hat Klein in der zuletzt genannten Arbeit einen ersten Ansatz skizziert. Der eingeschlagene Weg führt indessen zu Schwierigkeiten, und zwar infolge beständigen störenden Auftretens von dritten Einheitswurzeln an unerwünschten Stellen. Dies liegi begründet in dem Umstände, daß die Valentinergmppe zwar als Kollineationsgmppe eine ©gg^, aber als temäre Substitutionsgruppe eine solche der Ordnung 8-360 ist, während die Ikosaedergruppe auch als temäre Substitutionsgruppe eine ©g^ verbleibt. Die Idee, wie man die fragliche Schwierigkeit überwinden kann, hat Klein ebenfalls gefaßt. Sie entsprang dem einfachen Gedanken, neben Punktkoordinaten .c^, x^, x^ m der Ebene (etwa den oktaedrischen) auch LinienJioordinaten u^, u^, u^ einzuführen und entsprechend mit Zwischenformen zu arbeiten. Diese Idee nahm Gordan auf und entwickelte sie in einer sehr ausgedehnten Arbeit*). Seiner Eigenart entsprechend ist er an den fraglichen Gegenstand mit den symbolischen Methoden der Invariantentheorie herangegangen, ohne indessen zu abschließenden Ergebnissen zu gelangen. Xach Gordan ist die Idee der „Kleinsehen Büinearformen- (die gleich 0 gesetzt „Klein sehe Konnexe" liefem) von Coble**) bearbeitet, =") „Über eine Kleinscbe Bilinearform", Math. Ann., Bd. 68 (1910). *=*) „The reduction of the sextic equation to the Valentiner form problem", Math. Ann., Bd. 70 (1910).
Geschichtliche Angaben über die Gleichung sechsten Grades. 301 und ihm gebührt das Verdienst, nach persönlichem Ideenaustausch mit Klein die algebraische Seite unseres Problems auf einem ersten "V^ege wirklich zur Durchführung gebracht zu haben. Auch Coble ist wesentlich invariantentheoretisch eingestellt; grappentheo^etisch und geometrisch dringt er noch nicht bis zur Erkenntnis der wahren Einfachheit des Gegenstandes durch. Die nachfolgende Darstellung erwuchs aus einer Untersuchung des Verfassers aus dem Winte^halbiahre 1924/"25, über die in den „Gott. Xachr." vpn 1925 (Sitzung vom 15. Mai) berichtet ist. Was endlich die transzendente Lösipig des Formenproblem& der Valentinergruppe und damit der allgemeinen Gleichung sechsten Grades angeht, so ist diese zunächst im besonderen Falle F = 0 durch unsere oben (S. 241 ff.) zur Einfü|irung in die Theorie der Valent^lerg^ppe gewählte Darstellung unmittelbar gegeben. Wir haben auf die automorphen Funktionen der Grenzkreisgruppe der Signatur (0, 3; 2, 4, 5) zurückzugehen und finden in ,.Autom. Funl^t'- II, 553ff. eine bereit^ ausführlich entwickelte Theorie. Wir besitzen in der auf den zehnten Grad ansteigenden ,.Transformatipnsgleichung- für Transformation „dritten'' Grades diejenige Resolvente, die für die allgemeine Gleichung sechstel^ Grades dieselbe Rolle spielt, wie bei der allgei^einep Gleichung fünfter^ Grades die Modulargleichung für Transformation fünften Qrades der elliptischen Funktionen. Liegt indessen der besondere Fall F = 0 nicht vor, so werden wir zur Gewipnung geeigneter uniforiAisierender Variabler Erwägungen anzustellen haben, die sich den Entwickl^nger|. von S. 235 ff. über die Kleip.sche Gruppe anschließen. Ohne Bezugnahme auf die g-ntoi^orphen Funktionen ist ein di^'ekter Ansatz zur transzendenten JLösuiig des Formenproblems der Valentinergruppe von Lachtin*) q.nd Gordan'^^*) entwickelt. Mai^ berechne etwa aus den oktaedrischen Koordinaten a^, x^, x^ äße d:pei Größen nullter Dimension: X-, X„ X., (1) Vi = 6-i:- ^2 == 6Z ' ^3=6^ \'f \'f Vf und stelle aus den Formen F, 0, W die gleichfalls diese:p Dimension angehörenden Quotienten: (2) P=pi- ^ = j,, her. Dann befriedigen die drei Größen (1) al& Funktionen der unabhängigen Variablen u, v drei partielle Differentialgleichungen, welche die ,,, ., ^^'?/ ^^</ d^y -.. . , dy dy zweiten Ableitimgen x—s, ?r^—•> k—ö) Ime^r in den ;—, ,;—. ^ au^- ö^ ovüw ow^ öv Oiv drücken. Lachtin zeigt, daß die Koeffizienten dieser Differentialgleicliungen ==) „Die Differential resolvente einer algebraischen Gleichung sechsten Grades allgemein.er Arf-, Math. Ann., Bd. 56. **) „Ü5>er die partiellen Differentialgleichungßn des Valentmerproblems", Math. Ann., Bd. 61.
302 n, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleicliung 6ten Grades. rationale ganze Funktionen von v und w sind, für deren Grade er obere Schranken angeben konnte. Gordan drang bis zur wirklichen Aufstellung der partiellen Differentialgleichungen durch. Damit war die Basis für die Gewinnung von Potenzreihen der y als Funktionen von v, w erreicht. Um nicht zu weitgehende transzendente Entwicklungen durchzuführen, begnügen wir uns unten damit, den Anschluß an die für die Uniformisierung in Betracht kommenden automorphen Funktionen zu entwickeln. Dieser Standpunkt entspricht der allgemeinen Tendenz unserer Darstellung, die auch bei den Gleichungen fünften und siebenten Grades befolgt wurde. § 4. Herstellung einer Klein sehen Bilinearf orm. Zur Gewinnung einer „Kleinsehen Bilinearform", die die Reduktion der allgemeinen Gleichung sechsten Grades auf das Formenproblem der Valentinergruppe vermitteln wird, bedürfen wir zunächst eines Systems konjugierter Linearformen der x^, x^, x^, die bezüglich der Valentinergruppe nur unter sich äquivalent sind. Eine beliebige Linearform, die durch keine von der identischen Substitution verschiedene Substitution der Valentinergruppe in sich übergeführt wird, ist nun abgesehen von multiplikativen dritten Einheits würz ein eine von 360 verschiedenen konjugierten Formen. Es liegt aber in unserem Interesse, die Anzahl verschiedener Formen möglichst herabzumindern. Würden wir z. B. die Form: zugrunde legen, die gleich 0 gesetzt eine Seite des Polardreiecks der Substitution U der Periode 3 liefert, so würden wir abgesehen von multiplikativen sechsten Einheits wurzeln zu nur 60 verschiedenen konjugierten Formen gelangen. Diese Formen liegen der Coble sehen Untersuchung zugrunde. Erheblich einfacher würde es schon sein, wenn wir die 45 Perspektivitätsachsen heranziehen würden. Doch gelangt man zimi einfachsten Ansätze bei Gebrauch der 36 Linearformen g, die S. 275 zusaromengestellt sind, und die gleich 0 gesetzt die Verbindungsgeraden je der beiden auf der Kurve sechsten Grades gelegenen Pole der zyklischen Teiler ©^ liefern. Das Verhalten dieser 36 Linearformen g{x^, x^, x^ gegenüber den erzeugenden Substitutionen f7, F, W ist S. 276 angegeben. Sie permutieren sich untereinander; aber es treten dabei noch Zeichenwechsel und multiplikative dritte Einheitswurzeln auf, und in diesem Umstände ist die vorhin (S. 3Ü0) erwäimte Erschwerung unserer Entwicklung begründet. Zur Überwindung dieser Schwierigkeit führen wir, der Idee Kleins folgend, neben den x^, x^, x^ die zu ihnen „kontragredienten" Variablen Mj, u^, W3 ein, die sich gleichzeitig mit den x so substituieren, daß der bilineare Ausdruck: (1^ (m, x) = u^x^-{- Mg x^ + M3 x^
Einführung der zu Xi, x^, % kontragradiepten Variablen Wj, u^, %• 803 absolut invariant bleibt. Geometrisch bedeuten die u^^ u^, u^ einfach die den Punktkoordinaten «j, x^, x^ entsprechende;! Linienkoordipaten. Aus der Gestalt der erzeugenden Subsiitutionen U, V^ W [vgl. (7) S. 271] ergibt sich zunächst der Satz: Wird auf die x irgend eine Substitutiv der VaJentinergruppe ausgeübt, so erfahren die u stets gleicfi^eitig die Substitution mit den konjugiert komplexen Koeffizienten. Die zu den S. 275 zusammengestellten 36 Linearformen ^ konjugiert komplexen Linearformen der kontragredienten Variablen u bezeichnen wir durch g: (2) g^ (u^, u^, M3) = ^9^2 + (ö — 1)%. g^ (Mj, Uq, M3) == (ö — 1) %! + ö %, 5-36 K> ^ä' %) = --IT^^ (— ^1 + ^2 + (1 -^ Ö) ^h)- Sie stellen gleich 0 gesetzt die 36 nicht auf der Kn,rve sechsten Qrades gelegenen Pole der zyklisphen Teiler (S) dar und erfahren gegenüber den erzeugenden Substitutionen U, jT, W der in den u geschriebenen Valentinergruppe genau dieselben Substituf-tionen wiß die g (vgl. S. 2' wobei nur jedesmal die Faitorei; q und q'^ auszutauschen sind. Hieraus geht hervor, daß sich die 36 ProduMe gv{x)gv{u), falls die x und a Jcontragrediente Variable die Substitutionen ^er Valentinergruppe erfahren, glatt permviieren, ohne daß noch Zeichenwechsel oder mulßpliJcative dritte Einheitswursdn auftreten. Wir geben die den erzeugende^ Substitutionen TJ, V, W entsprechenden Permutationen hier nochpaals ausftihrlich an, indem wir wie S. 276 der Kürze halber nur die Permuta,tioneQ der Indizes notieren: /l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, \1, 18, ~ \2, 3, 1, 0, 6, 4, 8, 9, 7, 11, 12, 10, 14, 15, 13, 17, 18, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36\ 20, 21, 19, 23, 24, 22, 26, 27, 25, 29, 30, 28, 32, 33, 31, 35, 36, 34/' V -- / 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. 14, 15, 16, 17, 18, ■ VlO, 6, 5, 7, 3, 2, 4, 12, 11, 1 9, 8, 19, 24, 17, 16, 15, 20, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36\ 13, 18, 23, 22, 21, 14, 31, 36, 29, 28, 27, 32, 25, 30, 35, 34, 33, 26/' / 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. 18, W=( \30, 23, 13, 22, 29, 27, 25, 35, 18, 15, 17, 34, 3, 26, 10, 16, 11, 9, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36'' 21, 32, 19, 4, 2, 24, 7, 14-, 6, 36, 5, 1, 3], 20, 33, 12, 8, 36\ 28/
304 II, 4. Formenproblem der Valentinergnippe und Gleichung 6ten Grades,. Wir führen nun die allgemeine Gleichung sechsten Grades in der Gestalt; (3) z^ + a^ ^^ + a^ s^ -^ a^r" -^ a^ ^^ ^ a^ ^ -f Og = 0 ein und nennen ihre Wurzeln a^, a^. a,^, a^, «-, «g. Die Quadratwurzel der Diskriminante sei zum Körper (dt, a^, a^, •■■, a^ adjungiert, so daß die Galois sehe Gruppe der Gleichung die alternierende Permutationsgruppe sechsten Grades ist, die mit der Valentiner-(5)3^o isomorph ist. Diese Permutationsgruppe @3go können wir aus drei Permutationen erzeugen, die wir gleich wieder U, F. W nennen; sie mögen nämlich die Permutationen der «j, «2, •••, «6 ^^^' die den S. 27 3 angegebenen Permutationen T, V, ^Y der sechs Ikosaederformen q?^. 95.2. •••, cp^, abgesehen von den bei ihnen gelegentlich auftretenden multiplikativen sechsten Einheitswurzeln, gleich- gebaut sind. Die erzeugenden Permutationen der Galois sehen Gruppe ©gg^ der Gleichung (3) bind dann, wenn ivir sie in, ihren aus ZyMen zusammengesetzten Gestalten angehen: ( ü = («j, «g. «-)•(«,. a^, «g), (4) r= («3, «6)-K> «ö)- I W= («j, «3) • («3, aj. Das erste Ziel des algebraischen Teiles der Theorie der allgemeinen Gleichung sechsten Grades ist nun, aus den als unabhängig variabel gedachten Wurzeln a^, a^, ■■•, «e "^^^i Größen zu konstruieren, die die Valentinersubstitutionen U, V, TT^erfahren, wenn die a den Permutationen (4) unterworfen werden. Zu diesem Ende stellen wir uns zunächst die Aufgabe, aus den a^, «.,. •••, «g in tunlichst einfacher Art 36 rationale ganze Funktionen aufzubauen, die gegenüber den Permutationen (4) die drei vorhin zusammengestellten Permutationen U, V, W der 36 Produkte </> (a) g^ (u) erfahren. Es handelt sich um 36 konjugierte Funktionen der 36 Teiler ©^^ vom Diedertypus. Es ist einleuchtend, wie man diese Funktionen zu bilden hat. Die einfachste zur zyklischen Substitution («2, «3, «4, «g, «g) gehörende Funktion, die gegenüber der Galois sehen Gruppe 36-förmig ist, gehört dem zweiten Grade an und hat die Gestalt: «2 «3 -f <^3 «4 "T <^4 «o "T «5 «6 + <^6 ^2- Aber wir würden aus einem noch näher zu besprechenden Grunde mit dieser Funktion noch nicht zum Ziele kommen. Indessen genügt es, den bei der genannten zyklischen Permutation nicht beteiligten Faktor «{ hinzuzusetzen, so daß wir also mit einer Funktion vierten Grades arbeiten werden. Es ist leicht, die 36 gegenüber (S)^^^ eintretenden Gestalten dieser Funktion herzustellen. Diese 36 Ausdrücke, die wir durch A^(a), •••, -43g («) bezeichnen wollen, hat man dann in rieh-
Funktionen der 36 Diedergruppen ^^o- 305 tiger Weise den 36rProdu](iten g,(x)g^(u) zuzuordnen, was jn folgender Art geschieht: Aj = «1 («2 «5 + P«2 ^6 + «3 «4 + «3 «0 + ^«4 «g), -lo = <^l («1 «4 ~r ^1 ''^ö + <^2 '''4 "^ ^2 ^ü ~r <^5 <^6)' Jg = «5 (a, «2 + «1 «3 + «0 «4 + «3 «6 + "4 "e)' -4^ = «2 («1 «3 + «1 «4 + «3 «6 -\- «4 «3 + «„ «e), -^5 ^^= «4 («1 «2 + <^1 <^6 T~ ^2 ^6 "f '''3 ''^o + % ''^e)' J.g r= a| («^ «^ -|- C4^ C4^ _4_ C4^ (^^ -j.. C4^ C4. _(_ „^ C4^)^ ^7 = «2 («1 «5 + «1 «6 "i" "5 "4 + "3 "0 + ^^4 «5)' ^Ig r= a| («^ pig _|_ Ci^ Cig _|_ (^^ (^^ -|- (^^ (^^ _j_ g^. (^J^ -4g ::= a| («j «2 + «1 <^4 + "a ^3 "^ <^3 <^5 "T ''^4 <^o)- ^10 "^ "1 ("2 % + «2 "4 + "3 "5 + "4 ^6 + '^o "e)' -4ii = «3 («] «2 + «1 «5 + «2 ^6 + "4 "5 + ^i "e)' -4j2 r= a| («^ pig _!_ (^^ Cig _|_ (^^ (^^ _|. (^^ (^g _|_ (^^ (^^^^ -4i3 ^^= «1 («2 ♦'^3 ~\~ ^2^5 ~r <^5 <^6 + "4 <^5 + ''^4 ^^e)' -4i4 = «I («1 «4 + «1 «6 ^ "a % "1"" "2 ^6 + "4 "0)' J^j. r= a| («^ «^ _|_ (^^ cig _|_ C4^ (^^ 4- C4^ ci^ 4- CC3 «g), ^4jg = a| («j «4 -|- «j «5 -|- «^ «5 -f- «3 «g -f- «4 «g), -4i7 ^= «4 («1 «3 + «j «5 -r «2 "5 "t" "a ^6 "T "3 "e)' -4jg r= a| («j fZg -|- «j «4 — «2 «4 ~\~ <^2 '''5 + '''3 %)' ^19 ^^^ ''^i (''^ä "4 ~r '''2 '^^6 i~ '''& '''5 "i"' ^3 ^6 ~l~ ^^4 '''5)' ^■^20 ^^^ "3 (''^i ^5 ~\~ (^1(^6 '^ ^2 ^i H~ '''2 "5 ^ "4 ''^e)' -4.21 ^^ "5 ("1 ^3 + «1 «4 i~ «2 «3 + «2 ^6 + ^i "ö)' -422 ^^^ "2 (''^i ^^3 + <^i ''^e "i" "3 ^ö "i~ '''4 ^5 ~l~ ^i ^e)^ J.23 = «1 («1 P«5 — «1 «g — «2 "3 + "2 ^6 "1" ^^3 "0)' -4,^ ^:= a| («j P63 -I- «j «5 + «2 «3 ~ «2 C<4 + «4 «5)) ^25 "= "2 («1 «3 -^ «1 «0 ^ «3 «4 — «4 c<g 4- «5 «e) J^g = «I («j «2 "^ <^1 <^3 + "') <^6 "1" '''3 ^0 "T ^'^o ''^e)' J.,^ r= a| («^ «2 "h «1 «5 -*- «2 ^i "T «3 C<4 -^ «3 '^o) -428 "^ "1 ("2 "4 + «2 "5 4~ "3 "4 " "3 ^6 "^ "0 "e) ^429 ^^= <^3 (<^l <^2 + <^1 '''4 "T «2 ^ö ^" '''4 "e ^~ ^0 ^6^1 A^(^ := a| («j «2 -i- «1 «4 -L «2 «6 ~" ^-3 "4 T" '^S ^b) A^^ = «1 («j a^ -|- «j «g -^ «3 «4 -|- «3 «5 -^ «/j «g), ^32 r= a| («^ a, ^ ci^ (^_^ _j_ C4^ (^^ _|- (^2 «g -1- (/_^ «g) YI33 ::= al («j «3 -|- «j «^ -f- «2 % + '''3 ^4 T «^'4 <^J' -4^4 ^^= «1 («2 '''3 "^ <^2 ^^«5 "T «3 «4 "1" <^4 «0 ~ ^0 ^6^> J3. r= a| (pc^ «2 + «1 «6 + '''2 '''4 ~1~ '''4 "0 ~r '^ö (^b)' ^36 = «5 («1 «2 + «1 «6 + "a "3 """ "3 "4 "^ "4 "e)' Wie man leicht zeigt, erfaToren diese 36 FunM^onen der Wurzeln hei Aus- ühung der drei Permutationm (4) in der Tat genau die ohpn fur die 36 Pro- duUe gy {x) g^ (m) angegehe^en Perm^U/tatimien TT, Y, W. Fncke, Algebra. II. 20
306 n, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. Ein Schritt von grundsätzlicher Bedeutung ist nun die Herstellung des folgenden 36-gliedrigen Aggregates: (5) ^A,(a)gA^)V>(^), das von Gordan als eine „Kleinsehe Bilinearform"^ bezeichnet wurde, da die Idee der Heranziehung solcher Formen in der Tat von Klein herrührt. Das Wesentliche an dieser Form ist, daß sie absolut invariant ist, wenn die x und u als kontragrediente Variable zugleich die Substitutionen der Valentinergruppe erfahren und gleichzeitig die sechs Größen a^, a^, ' • •, oc^ den diesen Substitutionen vermöge (4) zugeordneten Permutationen der alternierenden ©ggo unterworfen werden.. In der Tat permutieren sich ja bei den erzeugenden Operationen TJ, F, W einfach die 36 Glieder der Summe (5). Gordan und Coble haben die Klein sehen Bilinearformen dieser Art allgemein mit den symbolischen Methoden der Invariantentheorie zu bearbeiten unternommen. Coble gelangt zu abschließenden Sätzen über die Bildung aller Klein sehen Bilinearformen für die Valentinergruppe. Er zeigt insbesondere, daß diese Formen in den a mindestens den Grad 4 haben müssen. In der Tat ist für unsere weiteren Zweclx nur eine solche Klein sehe Bilinearform brauM)ar, die in den x und u weder identisch verschwindet noch auch auf dab ProduM einer FunMion der a und der bilinearen Form (1) S. 302 zuritcMommt. Um dieser Forderung zu genügen, haben wir oben in den Formeln für die Erklärung der Ä (a) vor die fünfgliedrigen Klammerausdrücke je noch das Quadrat einer Wurzel « gesetzt. Die fünfgliedrigen Klammerausdrücke hätten zwar gruppentheoretisch dasselbe geleistet wie die von uns gewählten -4(a); sie hätten indessen keine brauchbare Klein sehe Form (5) geliefert. Diejenige Klein sehe Form, auf welche Coble bei seinen invariantentheoretischen Entwicklungen geführt wird, ist von unseren Darlegungen aus leicht zu verstehen. An Stelle des Produktes </j (x) g^ (u) tritt bei ihm die Bilinearform: (X^ Wg -f X^ U^ -f {X^U^ -X- X^ Wg) -f {X^ 2*2 -r ^2 %) auf, die zu einer Dieder-@6 g^liört und also eine von 60 konjugierten Formen ist. Man kann diese Form auch in die Gestalt setzen: {x^ + a;2 + x^ (u^ -f 2*2 + %) — (^> ^)> so daß der Coble sehen Theorie die 60 Seiten der Poldreiecke der 20 konjugierten zyklischen Teiler ©3 des einen Systems zugrunde liegen*). An SteUe der Ä (a) gebraucht Coble eine auch schon früher aufgetretene 60-fÖrmige Funktion vierten Grades der Wurzeln, die sich durchweg aus Wurzeldifferenzen aufbaut. Der letztere Umstand hat eine noch zu nennende günstige Folge, die bei der hier vorliegenden Darstellung allerdings entbehrt werden muß. *) Das Symbol (u, x) ist in Gleichung (1) S. 302 erklärt.
Entwickelte Gestalt der benutzten Bihnearform. 307 Um die Brauchbarkeit der Form (5) da,rzuleg;en, ordnen wir sie nach den Produkten w^Xj: und setzen sie also ia die Gestalt: (6) i?ji (a) Wj x^ 4- £32 (a) u^x^^ \~ B^^ (a) n^ x.^-\ h -Bas («) "2 -^'s- Die hierbei auftretenden Koeffizienten haben folgende Bedeutung: (7) i?,, = 2 (^3 J^A^^A^i- ^„ f ^2, + ^28 -f ^zi -T Ai) + (^4j, +^,5 f ^,, + 4i8 -r -^20 f Al + ^3 + ^2*) + (3 - V5) {A,, + J, + A + A,, -f 4,3 f 4,, + A,, + 4,2) 3 —V'S H 2 *^"^26 + Al + ^2ö + ^30 + ^82 + -^33 + ^^3- + ^33), (8) B,^ = (^_ö)^-(^-6)A-(^-ö)43^(^-6)A2 ^(1-0)^3- (l-Ö)A.rA5-(i-Ö)4xe-(l-Ö)A,-.l,, - (1 - 6) A, - (1 - ö) ^20 + -^21 - (1 - 0)^22 - (1 - ^)^23 - -42, -(1 + Ö)43,-(1-Ö)432^^33-(1 -6)^3,^(1 -Ö)43e-^6)' (9) B,, = {^-B)A,-{n~e)A,~{^-6)A,^{n-H)A^, + (l-Ö)4,3-r4,, + (l-Ö)A5-(l-'5)A6-A7-(l--Ö)A, -(l-ÖMx9-A20-a-Ö)^2X -(1-0)42,-^3- a -0)^2, + ^^-((l-rÖ)4,.^42ö-(l'ÖM27-(l-'^M2s-A9-(l-Ö)4,o -(1 + 0)^31+432-(l-0)^33 ^-(1-^)^3,-^5-(i^ö)^3,)- Die Ausdrücke für B^^, B^^, B^^ und £33, B^^, B^^ gehe^ hieraus durch einmalige bzw. zweimalige Ausübung der Permatation U hervor, die je drei 43^,+ !. A^^j^^^ A^v + i zyklisch permutiert. Es zeigt sich, daß B^^ und i?2i konjugiert komple:?: aufgebaut siqd, ebenso B^^ und B^^ sowie 1?23 und i?32. Man stellt mm leicht fest, daß B^^ die Gestalt Jiat: 1 — Vs" -Bja = 2 ^'^ "^ ''"'* "^ "2 «3 («i — «^'2) H ' wo die nicht angegebenen Glieder mindestens einen der Faktoren a^, «^^ «g enthalten. Somit verschwindet B^.^ nicht identisch, so daß, wi^i bewiesen werden sollte, die Form (6) weder idei^tisch verschwindet, noch sich auf die Gestalt: B (a) (u^ x^ + '>^i ^2 + ^3 ^3) reduziert.
308 II, 4. Formenproblem der Valentmergruppe und Gleichung 6ten Grades. § 5. Zurückführung der allgemeinen Gleichung sechsten Grades auf das Formenproblem der Valentinergruppe. Das durch NuUsetzen einer Zwischenform dargestellte Gebilde bezeichnet man allgemein als einen „Konnex", wobei der Grad in den x die „Ordnung'' und der Grad der Zwischenform in den u die „Klasse" des Konnexes heißt *). Insbesondere bezeichnet Coble einen Konnex erster Ordnung und erster Klasse, der wie oben im Anschluß an die allgemeine Gleichung sechsten Grades aufgebaut und durch die S. 306 genannte invariante Eigenschaft ausgezeichnet ist, als einen „Kleinsehen Konnex". Ein Konnex erster Ordnung und erster Klasse stellt eine 1-1-deutige Punktkorrespondenz in der Ebene dar; dem einzelnen Punkte (x^, x^, x^) ist der Punkt zugeordnet, der in Linienkoordinaten durch die Gleichung des Konnexes gegeben ist. Gehen wir sogleich zur Kleinschen Bilinearform (6) S. 307, so ist natürlich die durch: (1) 2-Bifc («)%% = (^j i, k = h 2, -d dargestellte Punktkorrespondenz eben dieselbe, die man gewöhnlich durch die KoUineation: i^ 4 = -B21 ^1 + -B22 ^2 + -B23 ^3 ^ ^ % = i?3i x^ + -B32 ^2 + -B33 ^3 darstellt. Das Verschwinden der Determinante der Substitution (2) würde für die vorgelegte Gleichung sechsten Grades, wie wir noch sehen werden, eine gewisse Relation sechsten Grades zwischen den Koeffizienten a^, «2 ? • • • ? «6 ^^^^ ^^^^ ziehen. Entsprechendes gilt von der Forderung, daß in (2) eine harmonische Perspektivität vorliege. Insofern wir hier mit der „allgemeinen'- Gleichung sechsten Grades arbeiten, haben wir anzunehmen, daß in (2) und also auch in (1) eine KoUineation mit drei und nur drei sich seihst entsprechenden Punlien oder Polen vorliegt. Daß im übrigen in (1) nicht der „identische Konnex- : Wj x^ -f % % + % ^3 = 0 vorliegt, bei dem jeder Punkt sich selbst entspricht, ist bereits in § 4 gezeigt. Wir wählen unter den drei Polen des Kleinschen Konnexes (1) einen willkürlich aus und nennen seine Koordinaten |j, l^, I3. Es soll der Zusammenhang dieser drei Größen mit der Gleichung sechsten Grades festgestellt werden. Sie lassen sich, wie wir sogleich zeigen werden, nach Lösung einer kubischen Hilfsgleichung rational aus den Wurzeha a berechnen. Vor allem aber zeigen sie betreffs der @„,. ein Jcovariantcb *) Vgl. z.B. Clebsch-Lindemann „Vorlesungen über Geometrie'- (1. Aufl.), S. 9-24 ff.
Auswahl eines Poles des benutzten Klein sehen Konnexes. 309 Verhalten. Xehmen wir einen Wechsel des Koordinatensystems vor, indem wir irgend eine Valentinersubstitution ausüben, und wenden wir auf die Wurzeln a die zugehörige gerade Periputat^on 'an, so geht der Konnex in sich über, so daß die |j, Ig, I3 gleichfalls die betreffende Valentinersubstitution, für Punktkoordinaten geschrieben, erfahren In den |j, I2, I3 haben wir also die gesmUen FunUionen der sechß Wurzeln gewonnen, welche die Eigenschaft besitzen, die Yalentinersubstitutionen zu erfahren, falls wir die Wurzeln a^, a^, •••, «^ den geraden Perfnutatlonen unterwerfen. Xan beachte dabei wo|xl, daß siph die 1^, |,, I3 erst mit Bilfe gewisser noch näher zu beschreibender Irrationalitäten aus den Wurzeln berechnen. Es darf demnach nicht überrasphen, daß dei^ B60 geraden Permutationer^ der Wurzeln nicht eine ©3^0, sondern eine ®3-36o "^on Substitutionen der |j, 1^? I3 entspripht. Zur Berechnung der |j, |,, Ig hat man nun zunächst die in ^ kubische Gleichung: (3) B,„ {i~B,,, B,, 1 = 0 B,,, ß,„ (i-B,, zu lösen, deren Wurzeln nach g. 7 die „irrationalen ly^varißnten^ der Substitution (2) sind. In der entwickelten Gestalt der kubischen Gleichung sind die Koeffizienten die ^rationalen Invarianten^ der Substitution (2), die gegenübe:p einer Transformation der Substitution unveränderlich sind. Als Funktionen der a sind demnach jepe Koeffizienten unveränderlich gegenüber den Permutationen der alternierenden Gruppe; sie sind demnach sogar, da sie als ganze Funktionen vierten, achten und zwölften Grades der Wurzeln a.^, «g, • • •, «g den Grad 15 des Differenzenproduktes nicht erreichen, symmetrisch in den Wurzeln a und also rational und ganz in den Koeffizienten a^, «j? •••) <^6 ^^^ Gleichung- sechsten Grades. Die entwickelte Gestalt dieser Hilfsgleichung dritten Grades für [i ist: (i^ — S(6 — \J) (a, 03 — 4 «4) ^^ — '^ (3 — Vö") (20 a^ a^ — 12 af a| — 8 Ol «2 a^ -f 30 «1 a^ — 78 a^ a^ a^ -p 123 a^ ß^ a^ — 24 ai a^ — Ba^af —72a2ag-}-135a3a5 —288o|);[i —(16(7-3 VTiai^al + 72 (3 — fh^a^a^al + 216 (2 — Vi")«! 4- ..-) = 0, wobei die nicht mehr angegebenen Terme des A.bso]|.utgliedes mindestens einen der Faktoren a^, a., a^ enthalten*). Da zufolge (7)ff. S. 307 die Diagonalglieder JS^^, i?,,, B^^ reelle Koeffizienten haben, während *) Die Berechnung der n?.cht abgegebenen Glieder ist beschwerlich und sehr zeitraubend. Coble kann an der entsprechenden Stelle semer T^ieorie eine fertige, aber allerdings höchst umständliche und deshalb fur numerische Zwecke wenig brauchbare Hilfsgleich^ng dritten Gracjes angeben, da ihm sein Ansatz erlaubt, mit Semiinvarianten zu arbeiten. (4)
310 II- 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. übrigens B^t^ und Bjt^ konjugiert komplex gebaut sind, so hat die Glei chung (4) ausschKeßKch reelle numerische Koeffizienten, d. h. es tritt nur 2ioch y 5 , aber nicht mehr i yS in den Koeffizienten der kubischen Gleichung (4) auf. Die grundlegende Frage, ob die kubische Hilfsgleichung (4) eine Oaloissche Gruppe @g der Ordnung 6 hat, kann auch ohne fertige Berechnung des AbsolutgKedes bejaht werden. Wäre nämlich die Quadratwurzel der Diskriminante der Gleichung (4) „rational bekannt", so würde sie dies auch dann noch sein, wenn a^ = 0, a^ = 0, a^=z Q^ u^ = 0 gesetzt wird. In diesem Falle aber nimmt die kubische Gleichung (4) die Gestalt an: (5) ^3 ^ 18 (3 — yi") a^af yi — 216 (2 — y¥) at = 0 und ihre Diskriminante ist: — 2« • 3« (2 — y¥)2 al (4 al + 27 al\ Ihre QuadratwTirzel gehört also dem zunächst zugrunde zu legenden Körper (3^, ö, a^, «g, •••, a^ nicht an. Die Lösung der Gleichung (4) erfordert demnach das Ausziehen zweier Wurzeln zweiten und dritten Grades. Wir haben damit das wichtige Ergebnis gewonnen: 'Nach AdjunMion der ganzen algebraischen Zahl vierten G-rades ß als numerischer Irrationalität zum Körper (9?, a^, a^, • • •, a^), ferner einer nicht mehr numerischen Quadratwurzel und einer ebensolchen Kubikwurzel*) [die sich ~bei der Auflösung der Hilfsgleichung (4) einstellen] sind durch rationale Rechnungen, nämlich durch Auflösung linearer Gleichungen, aus den Wurzeln a^, a^, • • •, a^ der allgemeinen Gleichung sechsten Grades (3) S. 304 drei Größen |j (a), 1, (a), I3 (a) berechenbar, die bei den 360 geraden Permutationen der Wurzeln die Valentinersubstitutionen erfahren. Dieser Satz begründet die Zurückführung der allgemeinen Gleichung sechsten Grades auf das Formenproblem der Valentinergruppe. Setzt man die berechneten Ausdrücke |j (a), Ig (a), I3 (a) für die Argumente aJj, x^, »3 in die invarianten Formen F, 0, W, X der Valentinergruppe ein, so erhält man vier Ausdrücke in den Wurzeln a, die gegenüber den geraden Permutationen derselben unverändert bleiben und also nach Adjunktion der Quadratwurzel der Diskriminante der Gleichung sechsten Grades rational bekannt sind. Die Berechnung der |j, ^^, I3 aus den bekannten Werten F, 0, W, X löst das „Formenproblem der Valmtiner- grußpe"; dieses ist also das „Normalproblem" oder „Galoissehe Problem^, das an Stelle der „Galoissehen Besolvente" der allgemeinen Gleichung sechsten Grades tritt. Dem Normalcharakter entsprechend sind mit einer Lösung Ij, |,, I3 alle „rational bekannt", nämlich linear in der ersten Lösung darstellbar. Gegenüber der Galois sehen Resolvente liegt inso- *) Diese Wurzeln sind jedenfalls nicht beide „natürliche" Irrationalitäten der Gleichung sechsten Grades, da sonst die Valentinergruppe nicht auf die Ordnung 3 • 360 ansteigen könnte.
Gleichung 6ten (Grades und Formenproblem der Vfilentipergri^ppe. 311 fern ein Unterschied vor, als das Formenproblem nicht den Grad 360, sondern 3 -360 hat. Es entspricht dies dem Umstände, daß die Zurück- führung der Gleichung sechsten Grades auf da,s fragliche Formenproblem nicht rational vollzogen werden gönnte, sondern dip Lqsimg einer kubischen Hilfsgleichung nötig machte. § 6. Lösung des f ormenprobletns der Valentinergrvppe. Bei der transzendenten Lösung des Formenprqblems der Valentiner- gruppe könnte man zunächst, den Verhältnißsen bei den Grleicjiungen fünften Grades folgend, den Versuch machep, ein beliebiges Formenproblem durch Vollzug weiterer Adjunlitionen auf ein solches mit F = 0 zu reduzieren. Man hätte danii den transzendenten Teil des Auflösungsprozesses der allgemeinen Glei(ihung seclisten Grades in der in „ Autom. Funkt." II, 553 ff. entwickelten Theorie der Transformation dritten Graäeb der auto'tnorphen Funktionen der Gren^hrei^gruppe von der Signatar (0, 3; 2, 4, 5) unmittelbar zuy Hand. Die daselbst aufgestellte Trai^s- formationsgleichung zehntpn Grades und ihre beiden Resolventen sechsten Grades =^) (durchweg Gleichungen i^it nur einem Parapetei) wären (Jie einfachsten Gleichungen, auf die die allgemeine Gleichung sechsten Grades reduzierbar sein würde. Pieser Abschluß dey Theorie würde genau den Entwicklungen entsprechen, die Ilermite, Kronecker u|id Brioschi gegen Ende der fünfziger Jahre des vorigen Jahrhunderts über die allgemeine Gleichung fünften Grades gaben. Die Reduktion auf ein Problem mit F = 0 lauft geometrisch darauf hinaus, einem beliebigen Punkte (^j, Ig, I3) der Ebene einen Punkt der Kurve sechsten Grades F -= 0 kovariant zuzuordnen. Die einfachste Art, dies auszuführen, scheint' die zu sein, daß man einen der sechs Schnittpunkte der linearen Polare von (|j. Ig, I3) bezüglicl^ der Kurve sechsten Grades mit dieser Kurve auswählt und dem Punktp (|j, 1^, Ig) zuordnet. Aber hierbei würde selbst wieder eine Gleichung sechsten Grades zu lösen sein. Bpi dieser Sachlage wird ipan von der Reduktion auf ein Problem mit F -= 0 absehen müssen und einen Gedankengang einschlagen, der an den Darlegungen von S. 235 ff- über die transzendente Lösung des Formenproblems dpr Klein sehen Gruppe sein Vorbild hat. Wir benutzen etwa die in der Relq,tion (6) S. 297 miteinander verbundenen Formen F, ^, !P", X und legen die durch die Gleichung: (1) 0{x^, x^, X3) — lF(x^, x^, x^f = 0 dargestellte Schar von E^urven zwölften Grades zugrunde. Die Kufve zwölften Grades (1) ibt, abgebchen von gewissen drei Werten des Para- mäers l, irreduzilel; nur fiir A = 00 reduziert bie sich auf die doppelt gezählte Kurve bcchbten Grades F = 0, mid für gewibbC zwei endliche *) Letztere sind die beiden oben (S. 257ff.) betrachteten Gleichungen sechsten Grades.
312 II, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. Werte dcb Parameters k erhalten wir je die sechs Ikosaederkegelschnitte der beiden- Systeme. Invariante Formen eines Grades <; 12 gibt es nämlich, abgesehen von F, bei der Valentinergruppe nicht, und die kleinste Anzahl konjugierter Formen ist 6, die allein bei den beiden Systemen der Ikosaederkegelschnitte wirklich vorliegt. Die sechs Ikosaederkegelschnitte des einzelnen Systems überkreuzen sich in sechzig Punkten, die die sechzig [äquivalenten Pole der zwanzig zyklischen Teiler ©g des zugehörigen Systems sind. Allen Kurven der Schar (1) sind als Grundpunkte gemein die 72 auf der Kurve ^ = 0 gelegenen Pole der zyklischen Teiler @g, die auf der Kurve sechsten Grades die Wendepunkte sind. Im Übrigen lauft durch jeden PunM der Ebene eine und nur eine Kurve der Schar (1) hindurch. Jede Kurve der Schar (1) wird durch die 360 KoUineationen der Valentinergruppe in sich transformiert. Sie ist im allgemeinen singu- laritatenfrei und hat dann dab GrCbChlecM p = 55. Tritt ein mehrfacher Punkt auf, so sind sogleich alle mit ihm äquivalenten Stellen mehrfache Punkte des gleichen Charakters, Es kommen dabei, falls wir die redu- ziblen Kurven ausschließen, nur das System der 36 nicht auf der Kurve F =z ö gelegenen Pole der zyklischen Teiler ©^ und das System der 45 Perspektivitätszentren in Betracht. Die durch jene 36 Pole hiudurch- laufende Kurve (1) hat daselbst Doppelpunkte, so daß das Geschlecht auf j) = 19 herabgeht. Desgleichen hat die durch die 45 Perspektivitätszentren hindurchlaufende Kurve (1) daselbst Doppelpunkte und also das Geschlecht j) = 10. Wir führen nun neben der Schar (1) die durch die Gleichung: (2) W{x^, x^, x^) — MF(x^, »2, x^f — 0 gegebene Schar von Kurven SO^ten Grades ein, deren einzelne gleichfalls durch die 360 KoUineationen der Valentinergruppe in sich transformiert wird. Sie hat also mit der einzelnen durch (1) gegebenen Kurve 12ten Grrades 360 bezüglich der ©gg^ äquivalente Punkte gemein. Demgemäß wird: (3) M = Z^»ii_^2^_^ F(x„x„x,y auf der einzelnen Kurve (1) eine 360-wertige algebraische Funktion, die den einzelnen komplexen Wert in 360 bezüglich der ©gg^ äquivalenten Stellen annimmt. Diese 360 Stellen liegen im allgemeinen getrennt, jedoch mit folgenden Ausnahmen: Erstens fallen die 360 Punkte mit Jf = oo zu je fünf an den 72 Gnindpunkten des Büschels (1) zusammen. Zweitens liefern die 540 Schnittpunkte der ausgewählten Kurve (1) mit den 45 Perspektivitätsachsen drei Systeme zu je 180 äquivalenten Punkten*); wir haben also noch dreimal ein Zusammenfallen der '^) Man beachte, daß die einzelne Perspektivitätsachse durch acht eine Diedergruppe bildende KoUineationen in sich übergeht, in der jedoch die fragliche Perspektivität selbst enthalten ist.
Transzendente Lösung des Fprmenproblexns der Valentinergruppe. 313 360 Punkte zu Paaren an 180 Stellen zu konstatieren. Im üb:pigen liegen je 360 Punkte der Kurve (1) mit gleichem 31 getrennt, fallß die Kurve (1) irreduzibel ist und j) ^= 56 gilt, also keiner der beidep besonderen Fälle mit j) = 19 bzw. p =z= 10 vorliegt. Indem man in die. Relation (6) S. 297 den Perspektivitätsachgen entsprechend X := 0 einträgt und im übrigen 5? = XF^, W = MF'° setzt, ergibt sich nach Fortheben von F^° die in 3f kubische Gleichung: (4) ilfs -|_ 3 (38;L^ — 2^. 3'. 5 A* -r 2*. 3^. 5 . 31 ;L2 — 2^. 35. 5 .11 ;L^ ~f 210. 3^. 5 ;L ~f 210. 3 L) 31 + 22. 36 (3« • 5 r — 2^ • 3' • 5 2« ~f 2*. 33. 773 ;L^ — 26. 35. 5 .11 r + 2^2. 32. 5 . 7 ;^3 — 2^3.32.52;L2^ 2^6.36.5;L-2^8.5) ^ Q^ deren drei Lösungen Jf = e^, ^,, e,^ die Werte der Funktion 31 sind, bei denen Zusammenfall je der 360 Pu^te der Kurve (1) z.u Pa3,ren stattfindet. Wir notieren als flrgebnis: Ibt die J^urve (1) irreduzibel and liegt Jceiner der beiden Aa&nahmefaüe mit p =19 und p = 10 vor, sq wird die Kurve zwölften G-rades (1) dwreli die FunUion (3) auf eine 360- blätterige regular verzweigte BiemannscJie Fläche über der 3f-JEhene ab- gebildet, die nur an den vier Stellen 31 --=^ e^, e^, e^, qo verzweigt ist, und zwar liegen an. den ersten drei Stellen je 180 zwßiblatferige Ter- zweigungspunUe und 72 funfblatf,erige bei 3£ = 00; diese Flache hßt tatsächlich das Geschlecht j) == 55 und gestattet der Valentinergrußpe erd- bprecliend 360 eindeutige Transformationen in sich. Xach dem Grenzkreistheorem ist die einfachste „uAifo(misierendc Variable" für die algebraischen Funktionea deip gewonnenen 360-blätte- rigen Riemannschen Fläche diejenige polymorphe Funktion, die das einzelne Blatt der Fläche auf den „DB"' einer Gren^krei&gruppe von. der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 5) abbildet. Die Familie dieser Grenzkreisgruppen ist zweidimensional =*) entsprechend dem Umstände, daß der Faktor 2. in (1) ein Jcompleci(;er Parameter ist. In dey zugehörigen Grenzkreisgruppe ist ein Xormalteiler des Index 360 enthalten, dessen Quotientengruppe mit unserer (S^^q isomorph ist, und die voß sich aus mittels ihres „DB"' zur qbigen 360-blätterigen I^iemannsehen Fläche zurückführt. Die transzendente Lösung des Formenproblems der Yalentinergruppe hat nun aus folgenden Schritten zu geschehen: Die Werte (Jer Formen F, 5?, W, X gelten als rational bekannt. Der :5Ugehörige Wert des Parameters X ist aus (1) zu berechnen, womit die in Betracht kommende Kurve zwölften Grades (1) gewonnen ist. Durch Auflösung der Gleichung (4) gewinnt man die Verzweigungsstellen e^, e^^ e^ n^d 00 der Jf-Ebene. Es sind alsdann zweckpiäßig an Stelle der polymorphen Funktion ^ gleich zwei polymorphe Formen L, ^2 einzuführen, die man =^) Man vergleiche „Äutom. F^nkt." I,
314 II) 4. Fonnenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. als Lösungen einer gewissen linearen Differentialgleickung zweiter Ordnung zu erklären kat. Für diesen Teil der Theorie findet man die allgemeinen Grundlagen in „Autom. Funkt." II, 109ff. entwickelt. Die Größen |j, l^t Is» ^^^ ^^^ Lösung des Formenprohlems abgehen, sind dann eindeutige automorphe Formen der ^j, ^g» ^*"^ ^um Normalteiler des Index 360 in der zugehörigen Gruppe linearer ^-Substitutionen geMren, und man hätte 0U ihrer wirklichen Darstellung die Poincare sehen Beihen heranzuziehen. Will man dieses Programm wirklich durchführen, so wird man, den Erfahrungen bei den Gleichungen fünften Grades folgend, an Stelle der Grenzkreisgruppen der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 5) besser mit denen der Signatur (0, 4; 2, 2, 2, oo) arbeiten. Hier ändert sich grundsätzlich nichts; aber man hat den Vorteil, daß man bei der Darstellung der |^, lä' Is ^^ Stelle der Poincare sehen Reihen mit Potenzreihen der Entwicklungsgröße : arbeiten kann, die gut konvergent sind. Was die beiden besonderen Fälle irreduzibeler Kurven (1) mit den Geschlechtszahlen jö =19 und jö =10 anlangt, so artet die Signatur (0, 4; 2, 2, 2, 5) m beiden Fällen durch Zusammenrücken zweier elliptischer Ecken des ,.DB" in die Signatur (0, 3; 2, 5, oo) aus. Doch gelangt man dabei nicht zu den einfachsten polymorphen Funktionen, die man in jenen beiden Ausnahmefällen benutzen kann. Die letzteren führen vielmehr zu den beiden Signaturen (0, 3; 2, o, 5) und (0, 3; 2,4, 5). Jedoch sind diese Fälle, sowie auch die drei Fälle reduzibeler Kurven (1) noch nicht näher untersucht. § 7. Theorem von Wiman. Anhangsweise möge diesem Kapitel noch ein Bericht über sich hier anschließende Untersuchungen hinzugefügt werden. Die bisherigen algebraischen Entwicklungen ordnen sich, wie bereits wiederholt ausgeführt wurde, einer gemeinsamen von Klein herrührenden Auffassung unter. Die Aufgabe, eine reine Gleichung n"^^^ Grades »** = a zu lösen, kleidet sich in ein „unäres Formenproblem''. Dem letzteren Kegt eine „unäre Gruppe" zugrunde, nämlich die aus der Substitution»' = £ » zu erzeugende zyklische Gruppe ©«, unter s eine primitive w^« Wurzel der Einheit verstanden. Gegeben ist der Wert a der „invarianten Form" x'^ der @^. Bei der „transzendenten Lösung" des Formenproblems ist ^ = In a = w • In » die „uniformisierende Variable", in der x als „eindeutige automorphe Funktion" ;r ::= e« darstellbar ist. Hieran reiht sich die „allgemeine Gleichung fünften Grades", die auf das „binäre Formenproblem" des Tkosaeders zurückgeführt wird, sodann die „ allgemeine Gleichung sechsten
Ausspruch des Wimanschen Theorems. 315 Grades-, die auf das „tej-näre Forpaenprobleipa" der Valentinergruppß zurückkommt. In den beiden letzten Fällen jst die Quadratwurzel der Diskrimüiante jeweils adjurigiert gedacht. Es ist nun die Frage, wie diese Entwicklung fortzusetzen ist. Zunächst ist es Klein gelungen (worauf wir noch zunickkommen), die allgemeine Gleichung siebenten Grades nach Adjunktion de|- Quadrat^yrurzel der Diskriminante auf ein „qu^tem^res Formenpro jolem" zu reduijieren. Andererseits ist es stets möglich, die Aufgabe der Lqsung der allgeip.einea Gleichung w'^en Grades als ein Foripenprobleip. mit (n — 1) homogenen Variablen oder als ein solches in einem Baume von {n — 2) Dimensionen aufzufassen. Man hat einfach die Gleichung mit ausfß,llendem Gliede (n— 1)*^" Grades anzusetzen un.d die Wurzeln x^, x.^, ••-, »^, die wegen Ausfalls des zweiten Gliedes der Gleichung die Relation: x^ -\-x^-^ ••--{- Xn =^ 0 erfüllen, als überzählige Koordinatei). eines (n — 2)~dimensionalen ebenen Raumes anzusetzen. Die Frage ist dann aber, ob sich nicht, wie in den Anfangsfällen n = 5, 6, 7, auch weiterhin Reduktionen auf Fprmen- probleme mit niedrigerer Dimensionenan^ahl vollziehen lassen. K^lein hat in seinen 1893 in Evanston bei Chicago gehaltenen Vorlesungen ^) die Vermutung ausgesprochen, daß eine solche Reduktion bei n = 8 nicht mehr möglich sei. Diese Vern^iutung hat Wim an bestätigt "==*). Im Anschluß hieran ist es Wim an alsdann gelungen, das folgende grundlegende Theorem zu beweisen: Es gibt für n'^1 Jxine KoTlineationü- gruppe in einem Baume von weniger als ('^ — 2) Dimensionen, die mit der symmetrischen oder auch nur mit der alternierenden Permutßtion^gruppe des Grades n isomorph wdcef). Es soll hier wenigstens im niedersten Falle n = 8 ein Beweis dieses Wimanschen Theorems ausgeführt werden, der sich in der Hauptsache an die Darstellung Webers in Bd. II seiner Algebra, S. 373ff. anschließt. Es ist genug zu zeigen, daß es kßine pait der alternierenden Gruppe des Grades 8 isomorphe I^ollineationsgruppe in einem Rauipe von fünf Dimensionen (also bei sechs homogenen Variablen) geben kai^n. Dann gibt es daselbst auch keine mit der S3immetrischen Permutationsgruppe achten Grades isomorphe Kollineationsgruppe, und uni so ■\veniger werden solche Kollineationsgruppen in einem Räume mit noch geringerer Dimensionenanzahl vorkommen. Gibt es ^ber für die alternierende Gruppe des Grades 8 eine isomorphe Kollineationsgruppp bej sechs genen Variablen, so entspricht auch jedem Teiler der ersteren =^) Vgl. Klein, „Evanston Colloquium" (New York 1894), S. 74. **) „JsTote über die Vertauschungsgrappe von iicht Dingen'-, Gottmger Kachrichten von 1897, S. 55. t) Vgl. die Abhandlung von Wim an, „Über die Darstellung der symmetrischen und alternierenden Vertauschungsgruppen als Kollmeatipnsgruppen von möglichst geringer Dimensionenanzahl", lÜath. Ann. Bd. 52.
316 n, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. Gruppe ein isomorpher Teiler in der Kollineationsgruppe. Der zu erbringende Beweis des Wiman sehen Theorems beim Grade 8 beruht darauf, daß für einen gleich zu nennenden kommutativen Teiler @g der Permutationsgruppe die Annahme eines isomorphen Teilers der Kollineationsgruppe im Räume von fünf Dimensionen auf einen Widerspruch führt. Der fragliche kommutative Teiler @g enthält neben der identischen Permutation die sieben geraden Permutationen der Periode 2 der acht wieder durch oc^, «^, «3, • • •, «§ zu bezeichnenden Wurzeln *) : S, = (1, 2). (3, 4). (5, 6). (7, 8), S, = (l, 3). (2, 4). (5, 7). (6, 8), ^3 = (1, 4). (2, 3)-(5, 8). (6, 7), (1) <; S, = (1, 5)-(2, 6). (3, 7)-(4, 8), S, = (1, 6)-(2, 5)-(3, 8). (4, 7), S, = (1, 7). (2, 8) .(3, 5)-(4, 6), S, = (1, 8).(2, 7).(3, 6).(4, 5). Man stellt sofort das Bestehen der folgenden vier Beziehungen fest: I S,-S3 = S3.S, = S2, S^-S, = S,-S^ = S^, ^^■^ i S3 • s. = s, • S3 = s„ s, ■ S3- Sg = s„ aus denen hervorgeht, daß die Permutationen 8^=1, Sj, S^, •••, S„ in der Tat eine Abelscihe Gruppe @g bilden, für die die drei Substitutionen S^, S3, Sg eine „Basis'- bilden (vgl. I, 312). Ist 9"? der Durchschnitt des Xormalisators von @g mit der alternierenden Gruppe, so zeigt man leicht, daß alle sieben Substitutionen (1) innerhalb ))l konjugiert sind. Denn die sechs Permutationen: ( (2, 3).(6, 7), (2, 4).(6, 8), (2, 5)-(4, 7) 1 (2, 6).(4, 8). (2, 7). (4, 5), (2, 8) • (4, 6) gehören dem Teiler '^Jl an und transformieren S^ bzw. in S,, S3, •••, Sg, so daß alle mit S^ und also auch je zwei unter ihnen innerhalb dl konjugiert sind. Es gilt nun der folgende Hilfssatz: Sind S^, Si, Si irgend drei verschiedene Permutationen (1), so gibt es eine gerade Permiäation T, die S^ in sich und Sk in Si transformiert: (4) T.S,-T-i = S„ T-Sk-T-^ = Si. Dieser Satz gilt allgemein, wenn er für i = 1 gilt. Ist nämlich: (o) T-S,.T-i = S,, T-Sk-T~^ = Si *) Wir deuten hier und weiterhin die Permutationen der Wurzeln der Gleichung achten Grades nur durch die Permutationen der unteren Indizes 1, 2,
Beweis des Theorpms von W;man fur » == 8. 317 für jede der 30 Kombinationen 7^, l zweier Indizes aus der Ileihe 2, 3, •• •, 7, und ist ü die Permutation (3), die S^ in S^ transformiert, so setze mai}.: Durch Transformation der Gleichungen (5) mit U folgt dann: (6) T'-S,-T'~^ = S„ T'-Sjj-T'-^ = Sv. Die 30 Paare S^-, Sy haben h' '^i, V ^ i, li' ^ T, da 7^ imd I von 1 und voneinander verschieden sind. Keine zwei dieser Paare sind identisch, da dies die Identität der betreffenden Paare S'^-, Si zur folge hätte. Die Gleichungen (6) beziehen sich ^Iso in der Tal auf alle 30 Kombinationen 7/, V zweier Indizes aus der Reihß 1, 2, •••, i— 1, i -|- 1, •••, 7. Weiter läßt sich zeigen, d^ß, falls der S^tz für i = 1, ]: == 2 richtig ist, er auch für i = 1 und beliebige Je, 7, also allgemein besteht. Ist nämlich Z = 2, so fuhrt der Gebrauch von T~^ an Stelle von T sofort zum Falle h = 2 zurück. Gilt aber 7.; > 2, l >> 2, so gelten der Afi- nahme gemäß Gleichungen. T"-S^-T"~^ = S^, T"-S^-T"-^ = Si. Aus ihnen ergibt sich leicht: (T".T'-iVS,-(T'-T"-i) ^ S,, {T' ■T'~^)-S}r{T'-T"-^) ^=Si, so daß wir unseren Satz jetzt nur noch für i = 1, 7^ = 2 und beliebige^ / zu zeigen haben. Wir finden aber leicht: für 7 = 3, 4, 5, 6, 7, falls ^üx unter T bzw. die Permutation: (1,2).(5, 6), (3, 5).(4, G), (3, 6) • (4, 5), (3, 7).(4, 8), (3, 8).(4, 7) verstehen. Damit ist der Hilfssatz vollständig bewiesen. Übrigens gehören alle Permutationen T depi Teiler 3^ an. Wir nehmen nun an, daß eine piit der alternierenden Gruppe achten Grades isomorphe Kollineationsgruppe in sechs homogenen Variablen j\, ^Tg, •••, »g existiere. In ihr haben wir daan den 9^ und @g entsprechende Teiler, die gleich wieder 5)^ und ©§ heißen mögen; ebenso bezeichnen wir die in ihnen enthaltenen Kollineationen, wie die entsprechenden Permutationen, durch S^, T, ü. In der einzelnen der ^ugei^örigen Substitutionen der »j, x^, • • •, x^, die wir gleichfalls wieder S^, T, U nennen, sind dann nur erst die Quotienten der Koeffizienten eindeutig bestimmt; doch denken wir diese Substitutionen irg-endwie bestimmt angeschrieben. In den zwischen den Substitutionen bestehenden Eelationen, die den Gleichungen (4) ff. entsprechen, treten dann zfinacl^st immer noch Ähnlichkeitssubstitutionen auf, die wir durch A, A', • • • bezeichnen. Wir erinnern daran, daß eine solche Ähnlichkeitssubstitutiop der x mit jeder
318 II, 4. Pormenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. Substitution dieser Variablen vertauschbar ist (vgl. S. 3). Auch die Quadrate der S^ sind Ähnlichkeitssubstitutionen, da die Kollineationen S^ die Periode 2 haben. Es besteht nun die Tatsache, daß nicht nur je zwei Kollineationen S^, S)c, sondern auch die Substitutionen S^, Sjc vertauschhar sind. Zunächst haben wir für irgend drei verschiedene Indizes i, Ti, l aus der Reihe 1, 2, •••, 7 die Gleichungen: (7) S,-Sk = Ä-S,rS„ (8) T• S,• T-i = ^'. Si, T-Sk-T~^ = A"■ Si als für die Substitutionen gültig anzusetzen. Transformiert man die Substitution (7) mit T und benutzt das Produkt der Gleichungen (8), so folgt: T'S^Sk-T-^ = A-A'Ä"-SiS, = A'A"-S^Si. ^STach Zusatz der Faktoren A'—'^, A"~'^ findet man: (9) S,-Si = A-SrS, mit der schon in (7) aufgetretenen Ähnlichkeitssubstitution A. Übt man Sj, und dann die Substitution (7) aus, so folgt, da Sf als Ähnlichkeitssubstitution mit S). vertauschhar ist; (10) S,'Sk-S, = A-S!-Sj,. Beginnt man mit (7) und läßt dann S^ folgen, so gelangt man zu: Sf -Sk^ A-S^Sj,S, = A'- S! Sk. Hiernach ist A^ = 1 und also A entweder die identische Substitution oder die Substitution: In beiden Fällen folgt aus (7) und (9): (11) Sk-S, = A-S,-Sk, SrS,^A.S,-Si. An Stelle von Si möge jetzt die Substitution Sjc • Si treten, deren zugehörige Kollüieation gleichfalls in der @g enthalten ist. An die Stelle von (8) treten dann die zwei Gleichungen: (12) T'-S,-T'-^ = A"'-S„ T'-Sk-T'-^ = A"".S„Si. An die Gleichungen (7) und (12) kann man dieselbe "Überlegung anschließen wie oben an (7) und (8). An Stelle von (9) gelangt man zu dem Ergebnis: (13) S,.S,Si = A-S,SrS„ S^Si-S, = A-S,-S,Si mit der bisherigen Substitution A. Übt man jetzt die Substitution (9) und dann die erste Substitution (11) aus und beriicksichtigt, daß Sf eine Ähnlichkeitssubstitution ist, so folgt: SjrS!-Si = Sk-Si^S! = A'-S,Sk-SiS„ S,-SrS, = Si-S,-Sr,
Beweis des Theorems von Wiman fui n = 8. 319 und also liefert der Vergleich mjt der zweiten Gleiphung (13) endlich Ä == 1 und, wie zu beweisea war, S^-S^ = S^-S^, d. h. die Vertai^sch- barkeit auch der Substitutionen S. I^ach S. 13 können wir durch geeignete Auswahl des Koordinatensystems der X erreichen, daß etwa die Substitution S^ die „Xormal- gestalt" : (14) X[ =■ fl^X^, »2 = ^*2^2' »^ = f-s^t •••) »6 = ^6^6 annimmt. Hier sind die ft die irrationalen Invarianten oder ;,Multipli- katoren'- der Substitution (vgl. S. 7). Da S^ eine Ähnlichkeitssubstitution ist, so stimmen die ^, abgesehen vom Voi^zeichen, miteinander überein. Wir können jetzt über die Scl^reibweise von S^ als Substitution so verfügen, daß die Multiplikatoren gleich -j- 1 oder — 1 werden*). Es seien « Multiplikatoren gleich — 1 und (B — «) gleich ~\- 1, Man kann dann die x so angeordnet denken, daß die endgültige Gestalt von S^ als Substitution diese ist: (15) x'i = X^, •• ■, äo'a == —Xa, »«+ i = -f ^'ß + 1) * * ') ^6 == ^6' Da S^ von der identischen Substitution verschieden ist, gehört die Anzahl a dem Intervall 1 <; a <C 6 an. Die Substitution S^ schreiben wir in der Gestalt an: (16) xl = Cj,i x^ ~\- c^oX^ -\- • ■ ■ ~|- c^e ^^• Fordern wir aber die Gleichheit der Substitutionen S^-S^ und S^-S^, so ergibt, falls wir S^ in der vorläufigen Gestalt (14) benutzen, das Gesetz der Zusammensetzung zweier Substitutionen (vgl. S. 3): (17) iitCik = i^k-Ciic- Ist somit fij zf: jx,^., so verschwindet 6^^. Aus der endgültigen Gestalt (15) von S^ folgt somit, daß in der Matrix von S^ nur die «^ ünks oben und die (6 — a)2 rechts unten stehenden Koeffizienten von 0 verschieden sein können. Wenn wir demnach jetzt e|ne nur aifif die x^, x^, •••, x^ bezogene Transformation ausüben, die diesen Teil von S^ in die „Xormal- gestalt-* (S. 13) überführt, so verhp-lt siph dieser Transformg-tion gegenüber S^ wie eine Ähnüchkeitssubstjtution. behält also die Gestalt (15) bei. Ebenso können wir durch eine nur auf Xa + i, •••, x^ bezogene Transformation den Rest von S^ ohne Änderung von S^ auf die Xormalgestali bringen. Also ' hat Sg nun endgültig die Gestalt (14). Da man übrigens ohne Änderung von (15) die a ersten Koordinaten noch umordnen darf und ebenfalls die (6 —«) letzten, so dürfen wir S^ in der Gestalt (14) so annehmen, daß die ß ersten Multiplikatoren gleiph — 1, die dann folgenden (a — ß) gleich ~\-1, die weiter folgenden y Multiplikatoren gleich — 1 und die letzten (6 — « — y) gleich -}-- 1 sind. *) Es kann freüicli immer noch der gemeinsame Factor — 1 allen Koeffizienten zugefugt werden.
320 II) 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Grleicliung 6ten Grades. Xun werde S^ in der Gestalt (16) angesetzt. Wegen der Ver- tauschbarkeit mit S^ können wieder nur die «^ links oben sowie die (6 — aY rechts unten stehenden Koeffizienten von 0 verschieden sein. Nun kommt aber auch noch die Vertauschbarkeit mit S^ hinzu. ^ In der Matrix jener a^ Koeffizienten können erneut nur die ß^ links oben und die (a — ß)^ rechts unten stehenden Koeffizienten von 0 verschieden sein, und einen entsprechenden Schluß zieht man über die (6 — a)^ letzten Koeffizienten c. Es ist klar, daß wir jetzt hintereinander vier Transformationen, die sich einzeln auf ß, a — ß, y, 6 — a — y Variable beziehen, derart ausüben können, daß ohne Änderung von S^ und S3 schließlich auch S^ die Normalgestalt (14) gewinnt. Natürlich dürfen wir Sg wieder endgültig so schreiben, daß die Multiplikatoren durchweg gleich ~|- 1 oder — 1 sind. Erinnern wir uns endlich der Gleichungen (2), welche S^, S^, S^ und S^ aus S^, S3, S. aufbauen, so ergibt sich der Satz: Man hann die Variablen x so wählen, daß alle sieben Substitutionen S die G-estalt (14) haben, wo die Multiplikatoren ^ auf die Werte -{- 1 und — 1 beschranM sind. Man hat nun mehrere verschiedene Typen von Substitutionen S unserer Art je nach der Anzahl n der positiven und v der negativen Multiplikatoren. Bezeichnen wir den einzelnen Typus durch das Symbol {7t, v), SO sind diese Typen (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4) (1, 0). Arbeiten wir mit Kollineationen, so dürfen wir noch einen gemeinsamen Faktor — 1 in die sechs Koeffizienten der einzelnen Substitution S aufnehmen. Dann aber sind die Typen (5, 1) und (1, 0) nicht wesentlich verschieden und ebensowenig die Typen (4, 2) und (2, 4), so daß wir bei den Kollineationen nur drei wesentlich verschiedene Typen haben. Innerhalb der Gruppe 9*? sind die sieben Substitutionen S konjugiert; sie haben also nach S. 7 gleiche Systeme von Multiplikatoren (natürlich von deren Anordnung abgesehen). Also gehören die Kollineationen S alle einem und demselben Typus an. Es kann sich um keinen der Typen (5, 1), (3, 3) handeln; denn zwei Substitutionen aus einem dieser Typen geben zusammengesetzt eine Substitution des Typus (4, 2)*). Hiernach gehören alle sieben Substitutionen S dem Typus (4, 2) an. Man zählt leicht ab, daß es im ganzen 15 Substitutionen des Typus (4, 2) gibt, die mit der identischen Substitution eine kommutative KoUi- neationsgruppe @^g liefern. Irgend drei ihrer Substitutionen, die voneinander und von der identischen Substitution verschieden sind, ergeben die Basis für einen kommutativen Teiler ®g der ©^g. Wir greifen nun diejenige @g auf, die als Teiler in der als existierend angenommenen KoUineationsgruppe ^ enthalten ist Indem wir die einzelne Substitution S kurz durch Zusammenstellmig der Vorzeichen ihrer Koeffizienten bezeichnen, können wir die x so geordnet denken, daß die ©„ eine erste *) Bei den Typen (5, 1), (3, 3) ist die Substitutionsdeterininante — 1, bei (4, 2) aber gleich -f 1.
Beweis des Theorems von Wiman fur » = 8 321 Substitution S^ = (—, —, -f, -f, -j-, -f) enthält. Die (Sg hat dann sicher noch eine zweite Substitution mit gleichen zwei ersten Koeffizienten. Anderenfalls enthielten sie ja lauter Substitutionen, in denen die beiden ersten Koeffizienten jeweils entgegepgesetzt wären; und dann würde doch durch Zusammensetzung zweier solcher Substitutionen sofort eine Substitution S entstehen, in der die beiden ersten Koeffizienten gleich sind. Da wir ohne Änderung von Sj, die viey Variablen x^, ■•■, x^ noch umordnen können, so dürfen wir eine zweite Substitution Sh in der Gestalt (-}-, -j-, —, —, -\-, -j-) gegeben annehmen. Man gehe, unter Si irgend eine der übrigen fünf Substitutionen ve:p- standen, auf die Gleichungen (8) zurück. Kombiniej-t man die erste Gleichung (8) mit sich selbst, so folgt Ä'^ =- 1. Also ist A' entweder die identische Substitution oder sie \^rechselt gleichzeitig die Vorzeichen aller ic. Die letztere Möglichkeit ist ausgeschlossen, da das System der M]iltipli- katoren von Sj, bei Transformation mit J' unverändert bleibt. Es gilt also T ■ Si ==: Si- T, woraus wie oben folgt, daß in T nur die vier oben links stehenden Koeffizienten uifid die 16 rechts unten stehenden von 0 verschieden sein können. Danij. aber folgt sofort aus der zweiten Gleichung (8), daß auch in Si die beiden ersten Koeffizienten gleich sind- Also stimmen in jeder der sieben Substitutionen S die beiden ersten Koeffizienten überein. Man wolle nun dieselbe Betrachtung nur unter Austausch der Rollen von S^ und Sj. ausführen. Man findet, daß in jeder der sieben Substitutionen ß auch der dritte mit depa vierten Koeffizienten übereinstimmt. Dann aber haben wif überhaupt nur mehr die drei Substitutionen zur Verfügung: (-, -, +, +, +, +), ( + , +, - - +, +), (+. +. +, +. -. -). so daß es gar keine für ur|.s branchbare @g gibt. Damit ist endlich das Theorem von Wiman im Falle n = 8 bewiesen. § 8. Quaternäre Kollineationsgruppe für ()ie allgemeine Gleichung siebenten Grades. Soweit affektlose Gleichungen in Betracht kommen, ist dq,s Programm unserer bisherigen algebraischen Entwicklungep zufolge des ^iman sehen Satzes bereits mit dem Grade 7 erschöpfb. Darüber hinaus ist die algebraische Reduktion der allgemeinen Gleichung n^^^ Grades ^uf ein Formenproblem von weniger ^Is (^ — 2) Dimensionen unmöglich, man hätte vielmehr den transzendenten Lösungsprozeß direkt an die Gleichung n^^^ Grades selbst, die man als Formenproblem voi^ (»-- 2) Dimensionen aufzufassen hat, anzuschließen. Xur beim Grade 7 erscheint es noch möglich, die allgemeine Gleichung auf ein Iformenproblem von weniger als fünf Variablen zurückzufüliren. In der Tat ist es Kleir). gelungen, durch eine interessante liniengeometrische Betrachtung eine Kollineationsgruppe Fricke. Algebra. II. 21
322 n, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. im Räume von drei Dimensionen, also bei vier homogenen Variablen zu konstruieren, die der alternierenden Permutationsgruppe des Grades 7 isomorph ist*). Um wenigstens die Grundgedanken dieser Entwicklung hier kurz zu skizzieren, nehmen wir die allgemeine Gleichung siebenten Grades der „Hauptgleichung'- fünften Grades (vgl. S. 64) entsprechend sogleich in der Gestalt an: (1) z' ~f ttg^* -f a^z^ -^ a-^s^ -^ a^s -\- a,, = 0, d. h. wir denken von vornherein durch Tschimhaustransformation eine Gleichung hergestellt, in der das zweite und dritte Glied ausfällt. Die Wurzeln der Gleichung, die a^, a^. •••. «g lieiße^ mögen, genügen dann den beiden Gleichungen: (2) S«fc = 0. 2 «1 = 0. Mittels der siebenten Wurzel der Einheit s =^ e "^ bilden wir die sechs Lagrangeschen Solventen (vgl. I, 413): (3) ß,n= ao^s'^oi^^e^^a^^e^'^'a^^ r«^™«6' « = 1,2, •••,6, und finden unter Benutzung der ersten Gleichung (2) die Wurzeln a in den ß umgekehrt so ausgedrückt: (4) 7a„ = £-«^j + £-2«^2^£-3«^^ £~^''ß6, » = 0,1,.. .,6. Für die zweite Potenzsumme der Wurzeln a finden wir bei Umrechnung auf die Größen ß: (5) 7(al+a!^a!^---^al) = 'Hß^ße ^ ßoß, ~\-ß^ß,). Unter S und T mögen die beiden folgenden Permutationen der Wurzeln « verstanden werden: (6) S = («0, «j, «2) ■• •) «b)' ^ = («3) «4)- Nach dem ersten Satze von § 6 in I. 345 erzeugen diese Permutationen S und T die symmetrische Permutationsgruppe des siebenten Grades. Drückt man «^ nach (2) als negative Summe der übrigen Wurzeln aus, so kann man die Permutationen (6) als lineare ganzzahlige Substitutionen von «j, «2) •••■ «6 auffassen, und zwar hat dabei S die Determinante 1 und T die Determinante — 1. Sie erzeugen eine ©^^^g solcher Substitutionen, die der symmetrischen Permutationsgruppe siebenten Grades isomorph ist. Die unimodularen Substitutionen in dieser ©50^0 bilden einen Xormalteiler ®>2h20' ^^^ ^^^ alternierenden Permutationsgruppe siebenten Grades isomorph ist. *) „Zur Theorie der allgemeinen Gleichungen sechsten und siebenten Grades", Math. Ann., Bd. 28 (1886) oder „Ges. Abhandl.'- II, 439.
Quatemäje Gruppe fur die allgemeine Gleichi^ig siebenten Grades. 323 Man wolle nun diese Gruppe Ög^^o auf die ß^, ß^, "■, ß^ transformieren; die dieser Transformation dienende Substitution: (7) ß^ = (£- - 1) «, + (£^- _ 1) «.^ 4- . . . ^ (£6» _„ 1) ^^^ wo w = 1, 2, . • •, 6 zu nehinen ist, ist nicht-singuläi\ Die Substitution S rechnet sich einfach um auf die Gestalt: (8) , ^; = £-»^^, ^^^ ^ 1^ .,, ...^ 6; auch T ist nicht schwer anzugeben, wenn auch der Ausdruck etwas komplizierter ist. Wir gelangen zu e^ner @504o ^^^^eßfe^ Substitutionen def ßi> ß-2' ■"' ßö' ^^^ ^^^ ^^'^^'^ ^^^^^ ^^'' ^^^ ß verbindenden Gleichung: (9) ß,ß, + ß.ßo-Tß^ß,==Q zur absoluten Invariante haben und zur Hälfte unimodular sind, zur Hoäfte die Determinante — 1 haben. XatüTlich besteht de|- Isomorphismus zu den Permutationsgruppen siebenteii Grades fort. Die letzten Angaben gestatten nun eine sehr einfache geometrische Deutung im Räume von drei Dimensionen. Sind x^, x^, x^, x^ und Uli y%i y%i Ui ^^^ homogenen K'oordinaten zweier Punkte, so siijd die Plückersehen Linienkoordinaten jj^g, p^^, p^^, p„^, p^^, p^.^ der durch diese beiden Punkte hindurchlaufenden Geraden durch: (10) 9^): == J^iMk — -^icyi gegeben und durch die in den x, y identische Relation (11) Pi^lhi ^l'isPio^ -^PiiPo^ = 0 verbunden. Im übrigen sind die p^i,. alß hopioge^ie Linienjioordinaten willkürlich variabel. Wir köuAen 4enua^ch die an die Relation (9) gebundenen Größen ß-^, ß^, • • •, ßg als Linienkoordinaten ifti Räume deuten und setzen zu diesem Zwecke etwa: I ß, = A2> ^3 == PlZ' ß. = i^l4' 1 ßi = Psiy ßi = Pi2' ß-2 = P2%- Die Darstellung der Wurzeln a in den Liaienkoordinaten ist zufolge (4) die folgende: (13) 1 an = £''Pn — ^^''-Pis — £^''Pii — £^''J^34 - ^^''Pi2 '- ^''"'P-iz- Es besteht aber der Satz: Dem einzelnen Wertspstetn a^, «j, •••, (x.^ entspricht eindeutig eine Baumgerade, gegeben durch die berechneten Koordinaten Pjjc; den 5040 durch die Perfnutationen der a entstehenden Wertsystemen der Wurzeln aber entsprechen ebenso viele Bßumgerade, deren Koordinaten p^jc durch die 5040 Svihstitutionen der oben fur die ß und also p^]c gewonnenen ©jo^o au&, den Koordinaten einer ersten dieser Geraden
324 III 4. Formenproblem der Valentinergrappe und Gleichung 6ten Grades. Die Rückkehr zu den Punktkoordinaten macht es nötig, neben ihnen auch noch die ihnen entsprechenden Ebenenkoordinaten einzuführen. Bezeichnen wir durch m^, u^, u^, u^ und v.^, v^, v^, v^ die Koordinaten zweier Ebenen, so sind die Linienkoordinaten ihrer Sckoittgeraden ^12. äl3' äl4. 234' «42. «23 ^Urch: <14) ä« — «*«^fc —%^'z gegeben. Dabei gilt als Beziehung zu den Koordinaten p der gleichen Oeraden*): .^g I äl2 = -^34» äl3 = -^42- äl4 = -^23' 1 «34 = -Pia. «42 = -^13' «23 = -^U" Nach einem von Klein aufgestellten Satze**) entspricht nun einer linearen homogenen Transformation der Linienkoordinaten p, bei der die in (11) links stehende quadratische Form absolut invariant ist, entweder eine RaumkoUineation oder eine dualistische Transformation (Auswechselung der Punkte und Ebenen), und zwar das erste oder zweite, je nachdem die Determinante der Substitution der p, deren Quadrat gleich -j- 1 ist, selbst den Wert -j- 1 oder — 1 hat. Xtm lieferten die 7! Per- mutationen der Wurzeln a ebenso viele lineare Substitutionen der p^^, tind zwar die i 7! geraden Permutationen solche der Determinante 1 und der Rest solche der Determinante — 1. Damit erhalten wir das Hauptergebnis: Der alternierenden Permutationsgruppe der sielen Wurzeln cc entspricht eine isomorphe Gruppe ©3520 ^'^'^ JRaumJcoTlineationen, der symmetrischen Gruppe aber ebenso eine ©5040» ^^e neben jenen 2520 Kdüinea- tionen noch ebenso viele dualistische Umformungen des Baumes enthält. Die erzeugenden Operationen, die den Permutationen (6) entsprechen, mögen gleichfalls durch S und T bezeichnet werden. Die Permutation S ergibt zufolge (8) und (12) für die p^j, die Substitution: ; P'i% = sPn, P'i3 = £^Piz, P'ii = £^Pii, <1^> .0 . . -0 Pzi == e^Pzi, Pi2 = e'^Pio., P-2Z = s^Pis- Die ihr entsprechende Kollineation S ist eindeutig bestimmt. Schreiben wir sie als quatemäre »-Substitution, so ergibt sich: (17) +x'i = x^, +X2 = Ex^, +x'z = e^x^, -T_x\-=z e'^x^, wo entweder nur die oberen oder nur die unteren Zeichen gelten. Beide Vorzeichen aber sind brauchbar. Durch die Operation T, die «3 und «^ austauscht, wird die Gleichung «^ — «3 == 0 oder in den p^-f, geschrieben: (18) (£^-£^)(ff,, -1^3,) + (£ - fß) {p^^ -^^3) ^- if - £^) Op,3 -i),J = 0 *) Man vergleiche betreffs der Linienkoordinaten die Lehrbucher der ßaum- geometrie oder auch die Referate von E. MuUer, „Die verschiedenen Koordinatensysteme" in Bd. III, 1, 1 der Enzyklopädie, S. 722 ff. und von K. Zindler, .Algebraische Lmiengeometrie", ebenda in Bd. Ill, 2, 2, S. 973 ff. **) Vgl. „Ges. Abhandl." 11, 272.
Quaternäre Gruppe fur die allgemeine Q-leichung siebenten Gr^ides. 325 und damit der durch (18) dargestellte lineare Kopiplex in sich übergeführt. Vermöge dieses Komplexes entspricht jedem Pui^kte des R^-umes- eine Ebene (und umgekehrt) und diese dualistische Un^ormong liefert die gesuchte Gestalt der Operation T. Tragen wir die Ausdrücke (10) in (18) ein und ordnen nach den y, so ergibt sich: Vi (—(«* — «^) -^2 — («^ — f°) "f's — (f — «^) »4) ^ y^ ((£* — s^) x^ -^{i- — f6) ^3 — {a- — £=) x^ ■^ j/3 ((^^ — ^') ^'i — (^ — £') ^^2 ^ (f' — £^) ^4) + z/, ((£ - £«) «, ^ (^2 - £") r, - {a' - ^0 ^3) = 0 Unter Aufnahme eines Proportionalitatsfaktors 6 haben wir aLo die dualistische Umformung T des Raumes in der Gestalt abzusetzen: { (3U^ =z * -r (f* — B^) X.2 -}- (£^ — £'') 3:3 -t- (£ — £^) if^, ] 6U^= — (a^ — £") »^ -h - - (£ — £') »3 - (£' - £°) »,, I 0 M3 =z — (£^ — e"") a;^ -f- (£ — £^) ^2 — - — (£* — e^) x^, l 0 M^ = — (£ — £&) X^ — (^2 — £^) a;,_ + (£* — f 3) ^^ ^ ^ ^ wo durch die Sterne auf das Ausfallen der vier Diagonalglieder aufmerksam gemacht wird. Zur Bestimmung des Faktors 6 bezieht Kleip die Substitution T auf die durch 0^3 = 0, x^ = 0 gegebene Kante des Koordinatentetraederß- Sie kann als Verbindungsgerade der beiden Tetraederecken: ( X, = 6, .r, = 0, x^ == 0, X, = 0, (20) ' ' r. l «/i = 0, «/2 =. ö, y^ == 0' ^i ~ ^ angesehen werden und hat demnach die Linieiikoordinaten: (21) i>,2 = ö^ Pu = 0, P^, = 0, ß,,=--0, i>,2 = 0, J>23 = 0. Den beiden Systemen von Punktkoordinaten (20) entsprechen aber vermöge (19) die beiden Systeme von Ebenenkoordinaten: (22) I Für die Schnittgerade dieser beiden Ebenen findet man nach (15) die Koordinaten: [ -^12 = «34 = - 5 - £ - £^ Psi = äi2 = - 2 - s -- £^ (23) _pj3 = 2^2 = - £ f £2 ^ £^ - £6, _p^2 == q^^ = 8 - r - f' ^ £^ l Pii ^ «23 = - ^^ + ^^ 4- ^* - ^^ Piz = äu = £^ - f ^ - £* ~f a^. Die beiden Systeme von Ei^oordinaten (21) und (2B) werden also durch die Substitution T ausgetauscht. Gehen wir auf die Wurzeln a zurück, 0, a' - £^ ^2 =■ £^ — i*, ^2 = 0> «(3 = £^—£^ 6-3 = £ — £^ 'f^ ^■4
326 II, 4. Formenproblem der Valentinergrappe und Gleichung 6ten Grades. die wir auf Grund von (13) berechnen, und lassen wir den unter (21) gegebenen jo^ j^. die Werte «^, «^, • • •, «g entsprechen, den unter (23) gegebenen aber die Werte «ö> <^i> ' •'• «et so müssen die Gleichungen: «5 = «5, Ci'e = «(, gelten. Xun. folgt aber aus (13) leicht: 7 «, = (J^ 7 «, = £ (j2^ 7 «2 = £2^2^ 7 «3 = £3 ^2^ 7 «^ = £* 0-, 7 «, rrz £° a^, 7 Kg = £^ ()^, 7 «; = — 7, 7 «; = — 7 £, 7 «; = — 7 £2^ 7 «^ = — 7 £^ 7«; = — 7 £3, 7«; = — 7 £^ 7«; = — 7 £«. Wir finden, damit nicht nur den Faktor 6 == +^^7, sondern erhalten wenigstens für die betrachteten speziellen Geraden eine Bestätigung der auf den Ansatz (19) führenden Schluß weise. Als Ergebnis notieren wir: Die Gruppe ©go^o 'von KolUneationen und dualistischen Umformungen det, Baumes ist erzeugbar aus den leiden speziellen Operationen: (T) ±i)llu^= * + (£* - £3) X^ ~f (£2 — £^) 0^3 -i- (£ - £«) X^, 4:iyyM2 — — (£* — £3)j;^-f * _(£_£6)a;g _|_(£2 _££)^^, 4-iy7M3 = — (£2_£5)rCj -f (£ — £«)X2 ^ * — (£* — £^)j5^. -f i y7 M^ = — (£ — £^) x^ — (a^— £^) a?2 ~f (£* — £^) x^ -f V.- . Wegen des doppelten Vorzeichens entspricht der Kollineationsgruppe (^2520 zunächst eine ©2-2520 quaternärer a; - Substitutionen. Die Frage, ob in dieser ©2-2520 ^^ ^^ "^^^ Kollineationsgruppe isomorpher Teiler ©2520 von quatemären a?- Substitutionen enthalten ist, hat Klein gerade wie die entsprechende Frage bei der Ikosaedergruppe im negativen Sinne beantwortet. Eine genaue Untersuchung der Kollineationsgruppe ©2590 ^^'^ ihrer invarianten Formen ist noch nicht durchgeführt. Dagegen hat Klein im letzten Teile seiner S. 322 genannten Abhandlung Ausführungen über die Zurückführung der allgemeinen Gleichung siebenten Grades auf das Formenproblem der ©2520 gegeben. § 9. Bericht über weitere Untersuchungen. Wenn auch bei der allgemeinen Gleichung w*«" Grades für » >> 7, wie in § 7 ausgeführt wurde, eine Reduktion auf ein Formenproblem von weniger als (n — 2) Dimensionen unmöglich erscheint, so ist doch nicht ausgeschlossen, daß bei Gleichungen mit einem Affekt noch
Anthmetische Erklänpig der einfachei^ Grappe ©50^. 327 die bisherige Methode der Auflösung, d. h. die Zurückführung aaf ein Formenproblem möglichst geringer Dimension nebst transzendenter Lösung des letzteren Erfolg verspricht. Insbesopdere wird es interessieren, inwieweit hierbei die auf die Ordnung BQO nächstfolgenden beiden einfachen nicht-metazyklischen Gruppen ©^^^ und ©gg^ (vgl. I, 310) eine Rolle spielen mögen. Die erste dieser beiden Gruppen ist von Cole gefunden*). Mit ihr haben sich auch Wim an**) und der Verfasser f) beschäftigt. Jn der zuletzt genannten Arbeit ist eine transzendente Begründung der Gruppe @504 gegeben. Sie kpüpft an die Grenzkreisgruppe von der Signatur (0, 3; 2, 3, 7), dje arithmetisch erklärbar ist mittek desjenigen kubischen Körpers, der zuj' ganzen algebraischen Zahl: (1) n=:e^ ^e '' gehört. Diese Zahl rj genügt der kabisclien Ilesolvente: (2) >?3 _|_ ^2 _ 2 ^ _ 1 ^0 der Kreisteilungsgleichung für den siebenten Teijungsgrad. Die fragliche Grenzkreisgruppe baut sich dann aus den quadrimodularen Substitutionen: (3) ^ — , , , ' -C + Z)V': —1, A — Byv—'i-. auf. in denen Ä, B, G, D ganze Zahlen jenes kubischen Körpers sind, die jedoch noch gewissen Kongruenzen mod 2 genügen müssen. In (\er fraglichen Gruppe ist nun ein als Kongruenzgruppe zweiter 3tufe erklärbarer Xormalteiler des Index 504 enthalten, deßsen Quotientengruppe gerade unsere ©j^^ liefert. Es ergibt sich hierbei einmal eine sehr bequeme Art, die Struktur der (5)^^^ zu untersuchen, andererseits wird die @.Q^ auf dem fraglichen Wege funktionentheoretisch und algebraisch zugänglich. In letzterer Hinsiciit findet man leicht, daß das zur ©.^^ gehörende algebraische Problem als niederste Eesolvente eine solche vom neunten Grade besitzt, die sogar in den^. durch dip genannte Grenzkreisgruppe gegebenen Spezialfälle als (ileichung mit einein Parameter leicht =^) Vgl. neben den schon in I, 310 genannten Arbeiten die Mitteilung „List of the substitutiongroups of nine letters'-, Quarte^iy Joum., Bd. 26, wo die ©50* als Permutationsgruppe von neun Dingen erklart ist. **) Am Schlüsse der Xote „Über die Vertauschungßgnippe von acht Dingen'', Gott. Xachr. von 1897, S. 62. t) In der Abhandlung „Über eine einfache Gruppe von 504 Operationen", Math. Ann., Bd. 52. S. 321.
328 n, 4. Formenproblem der Valentinergruppe und Gleichung 6ten Grades. angebbar ist*). Wim an läßt a. a. 0. die Möglichkeit offen, daß jene Gleichung neunten Grades auf ein Formenproblem in einem Räume von sechs Dimensionen zurückführbar sei; eine weitere Herabminderung der Dimensionenanzahl aber erklärt er als unmöglich. Weit ausführlicher ist die Theorie der nächstfolgenden einfachen nicht - metazyklischen Gruppe ©gg^ entwickelt. Die Hauptkongruenz- gnippe elfter Stufe in der Modulgruppe hat den Index 660, und in der zugehörigen Quotientengrappe hat man eine erste Darstellung der ®ggß. Die Gleichungen niedersten Grades, die unsere ©gg^ zur Galois sehen Gruppe haben, sind demnach die Modulargleichung zwölften Grades für die Transformation elften Grades der elliptischen Funktionen und ihre beiden von Galois entdeckten Resolventen elften Grades. Klein hat diesem Gegenstande eine ausführliche Untersuchung gewidmet, die sich an seine Theorie der temären (S^gg anschließt und mit dem gleichen Erfolge trotz erheblich größerer Schwierigkeiten zu Ende geführt ist**).- Es gelingt ihm, die Resolventen elften Grades, an denen sich bereits Hermite ohne endgültigen Erfolg versucht hatte, in einfachster Gestalt fertig anzugeben, und er entwickelt vor allem die Zurückführung der fraglichen Gleichungen auf ein Formenproblem in fünf Variablen f). Für die dabei eintretende Kollineationsgruppe im Räume von vier Dimensionen kommt dann freilich nur ein „spezielles Formenproblem-' zur Geltung, dem bei der temären ©^gg das besondere Problem mit verschwindender Invariante vierten Grades F entspricht. Über das zugehörige allgemeine Formenproblem sind Untersuchungen bisher noch nicht angestellt. Seit langer Zeit sind diese Entwicklungen ausgedehnt auf die Transformation eines beliebigen Primzahlgrades der elliptischen Funktionen. Ist » >> 11, so ist die Modulargleichung des Grades {n ~|- 1) die niederste Resolvente. Ihre Galois sehe Gruppe hat die Ordnung \n(n'^— 1) und ist isomorph zur Quotientengruppe, die von der Hauptkongruenzgruppe n^^^ Stufe des Index \n{n'^ — 1) in der Modulgruppe geliefert wird. Die Darstellung der @jgg und ©gg^ durch Kollineationsgruppen verallgemeinert Klein in der Art, daß er eine mit der Galois sehen Gruppe der Modulargleichung isomorphe Kollineationsgruppe in \ {%—1) Variablen konstruiert ff). Überhaupt sind die Transformations- und Teilungsgleiehungen *) Es handelt sich um die Gleichung, mittels deren Goursat die Kommen- surabilität der beiden Grenzkreisgruppen der Signaturen (0, 3; 2, 3, 7) und (0, 3; 2, 7, 7) zum Ausdruck bringt; vgl. dessen „Eecherches sur l'equation de Kummer", Akten der Finnischen Akad. m Helsingfors von 1888, Bd. 15, S. 90ff. **) „Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Funktionen", Math. Ann., Bd. 15 oder „Ges. Abhandl." III, 140ff. t) Vgl. auch die noch weit ausfuhrlichere Darstellung in „Modulfunkt.-' II, 401 ff. tt) Es ist hierüber zu verweisen auf die Abhandlungen Kleins, „Über gewisse Teilwerte der i9'-Funktion'' und „Über die elliptischen ATormalkurven »ter Ordnung" in den „Ges. Abhandl.'- III, 179 und 198. Vgl. auch „Modulfunkt.'- II, 312 ff.
ilodulargleichupgen der elliptischen f'unktionen. 329 der elliptischen Funktionen, denen vop Anbeginii ab die Aufmerksamkeit der Funktionentheoretiker zugewandt w^r, nicht nur sehr wertvolle Beispiele zur Erläuterung der £t,llgemeinen Grundsätze der Gleichungstheorie, sondern es haben jene Gleichungen in der geschichtl:(.chen Entwicklung der Theorie der algebraischen Gleichungen insbesondere bei Abel und Galois eine wesentliche und sehr fördernde Rolle gespielt. Die nähere Behandlung dieser Gleichungen gehört indessen in die Theorie der elliptischen Funktionen hinejn*). *=) Es sei auf den zweiten Band vom Werke des Verfassers: „Die elliptischen Punktionen und ihre Anwendungen" (Leipzig 1922) verwiesen, wo mai| eine ausführliche Behandlung der fraglichen Gleichungen im Sinne der hier \er tretenen allgemeinen Grundauffassungen dpr Algebra findet.
Dritter Abschnitt. Geometrische Anwendungen der Gruppen? theorie. Erstes Kapitel. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. § 1. Kovarianten der ternären kubischen Form. Es sei eine temäre kubische Form: (1) F = a„j Xl + 0222 «2 ^ der drei Argumente x^, x^, x^ mit unbestimmten Koeffizienten a^^j, a^c^^^, ••• vorgelegt. Diese Form möge, wenn nur die Argumente hervorgehoben werden sollen, durch F(x-^, x^, x^) oder kürzer durch F(x). und wenn auch die Koeffizienten angedeutet werden sollen, durch F (x, a) bezeichnet werden. Eine beliebige nicht - singulare Substitution der drei homogenen Variablen x^, x^, x^ sei gegeben durch: (2) ^2 = «2. i- a,2 % + «13 «3, -f- OJ32 X'<i -j- «33 X'z; ihre Determinante werde durch s bezeichnet. Die Form (1) hat alsdarm gegenüber der Substitution (2) drei wichtige Kovarianten: Erstens die Hessesche Determinante von F: H{^, a) = d^F dxr 1 d^F ^^dx^ dx^' ^ d^F c^F dx^ dx^' d^F dxi ' d^F d'^F dx^ dx^ d^F cx^ dx^ d^F (3) dXc^ dx^' CXg dx^' dx^
Kovarianteijt der ternaren ki|bischßn Fo^.'ni. 33 [ zweitens die mit den ersten Ableitungen von H gerändert Hessßsohe Determinante von F: :4) iritte :-5) d^F d^F dx'l' dp^ci^' c^F d^F J(x, a) = „ c^F d^F dH dH d x^' dx^^ :ns die Funktionaldeterminante von F, . cF dF d X^' d X.^' TT, N dH dB E(x, a) = ~—, -—, ^ cx^ a^ä' 0 ajj' dx^' d'F dx-^ dx^' d^F c'F 6x^ ' du 8^; H und J: dF dx^ dx^'' dx^ dH dx^ dH 8^ dH dx^ 0 Die Grade der Ausdrucke H, J, K in den Argumenten sind 3, 6, 9 und in den Koeffizienten 3, 8, 12; ihre Gewichte sind 2, 6, 9, so dg-ß bei Ausübung der Substitution (2) die Ausdrücke H, J und K, gebildet für die neuen Variablen a:' unc(. die neuen Koeffizienten, a, mit den ursprünglichen Ausdrücken durch die Gleichungen verbunden sind: I H(x', a) = s^H(x, ä), Jix, a!) = s^J{x, d), I K(x', a) == b^K(x, a), wahrend für die kubische Grundform (1) die Gleichung: (7) F{x\ a) =F(j, a) gilt. Übrigens behalten wir uns vor, die rechten Seiten der Gleichungen (3), (4) und (5) noch um numerische Faktorep^ zu andern. Die Kovarianz der Ausdrücke (3), (4) und (5) wurde bereits oben bei den Formen F vierteil und sechsten Grades, die bei den ternaren (iiuppen ®jgg und ^^bo auftraten, benutz^;. Das wi^-kliche Bestehen die&er Eigenschaft zeigt man durch übertragijng der \ji I, 130 ausgeführten Betrachtung auf temäre Formen. Man führt hierbei |j, 1^, ^3 als ipit den X kogrediente Variable ein und knüpft an die aus (7) folgende Gleichung: (8) F{x ^t I', a) == F(x -i-11, a) an. wo t ein Parameter ist. Entwickelt man beiderseits nach Potenzen von t und setzt die Koeffizienten gleich hohe;- Potenzen von t rechts und
332 III: 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. links einander gleich, so ergeben sich insbesondere bei den Gliedern mit t und f die Gleichungen: (9) cF(x', a) dF{x, a) i-l. , dF{x', a) OXs dF(x, a) (10) ',.^d^F(x', a) d'F(x,a) 5i —^72 +2iu=?:.^;^+- ^ai^ls 8 a;^ d x'i d-F(x, a) Die Diskriminante der in (10) rechts stehenden quadratischen Form der li) I2' Is' "^^^ unmittelbar unsere Hessesche Form (3) liefert, ist nach I, 151 eine Invariante des Gewichts 2. Also sind die Kovarianz von H und die Gleichung (6) für // bewiesen. Entwickelt man die in der Gleichung: H(x' ~\-t^', a) = s'H{x + tl, a) rechts und links stehenden Ausdrücke nach Potenzen von t und setzt die Koeffizienten der in t linearen Glieder einander gleich, so ergibt sich: (11) , dH(x\ a) I ^21 f^H(x, a] [ ^ \ dx^ ■+|; ., dH(x', a) _ dx'z ~~ cH(x, a)\ ' Wx^) Aus (10) und (11) setzt man die Gleichung zusammen: c^F(x', a) (12) , d'Fjx, a) 5l c^^'2 1 2 d^F{x, a) cH{x, a') CX.2 OX^ + ' ••)= .21,1,4^:%^ + . dH{x, ä) dx wo X' eine neue Variable sein soll und: (13) ;l = .2a' gilt. Wir fügen nun X als vierte Variable den |^, Ig, I3 bei und haben dann in (12) rechts eine quaternäre quadratische Form der |j. Ig, I3, l- Diese Form geht in die in (12) links stehende Form durch diejenige
«n> «sp «31> 0, «12. «22. '^Vi.i 0, «13' «23' «3V 0, 0 0 0 S^ Kovanantei^ der temaren kubischen Fofm. 333 quatemäre Substitution über, die aus (2) durch Zusatz der Gleichung (18) entsteht, und deren Determinante: (14) ist. Die Diskriminante dey in (12) ^rechts stehenden Form i&t aber unmittelbar unser Ausdruck (4), dessen Kovarianz und Gewicht 6 damit eine Folge der Gleichung (16) in I, 151 ist. Die Kovarianz der Funktionaldeterminante und ihr Gewicht 9 sind nur durch eine einfache Rechnung beweisbar. § 2. Wendepunkte der ebepen K^ve dritten Grades. Deutet man a;^, x^^ x^ als homogene Kooi^dinaten in der Ebene, sq wird durch J" === 0 eine Kurve dritten Grades dargestellt, die wiy kurz als die Kurve F bezeichnen. E]ine solche Kurve hat entweder das Geschlecht j) rrz 1 oder 'j) =: 0. Der letztere besoi^dere Fall liegt vor, wenn die Kurve einen Doppelp'iinkt hat. Daipi verschwindet die durch Elimination der x aus den drei Gleichungen: (1) 1^ = 0, |Z=0, V- = ^ 0 X^ OX^ C % zu gewinnende Diskriminante von F. Die folgenden Entwicklungen sollen sich auf den „allgemeinen Fall" einer doppelpunktfreien Kurve dritten Grades beziehen. Durch XuUsetzen der zugehörioen Hesse sehen Forrp H von F wird eine zweite Kurve dritten Grades dargestellt, die die „Hessesche Kurve" der zugrunde gelegten Kijrve F gepannt wird und auch kurz als die Kurve K bezeichnet werden möge. Es soll zupächst kurz die Bedeutung dieser Kurve H für die Kjirve F in Erinnerui^g gebracht we?"den. Da die Kurve F doppelpunktfrei ist, sq hat sie in jeden^ ihrer Punkte eine bestimmte Tangente. Wir paachen durch Xeuwfihl der Koordinaten X einen beliebig gewählten Punkt der Kurve F zur Ecke a;^ rrz 0, a;2 = 0 des Koordinatendreiecks und wählen die Kurventangente in diesem Punkte zur Seite x^ = 0 dieses Dreiecks. Die Porm F hat dann die besondere Gestalt: (2) i'' = ex^Xz -\- (aXi ^- 2hx-^x^ -j- cxf)x^ — (a a?!^ ~f 3 /3 x^ x.^~ Sy x^ xl -p ö jo]), wo e =fz 0 ist. Die drei Schnittpunkte der Geraden x^ = 0 mit der Kurve F bestimmen sich aus der Gleichung: x| (8 »2 T" (^ ^s) = ö.
334 III« 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Wir schließen hieraus, daß im Punkte x^ = 0, x^ = 0 stets und nur dann ein Wendepunkt der Kurve F vorliegt, wenn c = 0 gut. Für die Hesse sehe Form H der Form (2) berechnet man: (3) —|ff= ce^x! + {(ace — h' e ~\- 3 e^y)x, ~\- S e^8x^)x! + .... Soll die Hessesche Kurve auch durch den Punkt x^ = 0, x.^ = 0 der Kurve F hindurchlaufen, so muß c e^ = 0 sein, also muß, da e =fz 0 ist. r verschwinden. Auch läuft sie, falls c = 0 zutrifft, sicher durch diesen Punkt x-^ = 0, x^ = 0 hindurch: Die Hessesche Kitrve H der gegebenen Kwrve F lauft ditrch jeden WendepunJd dieser Kurve hindurch, und umgekehrt ist jeder SchnittpunU der Kurve H mit der Kurve F ein Wende- punU der letzteren. Eine Berührung beider Kurven kann an der fraglichen Stelle nicht vorkommen. Es ist nämlich die Tangente der Kun-e // daselbst durch: {^ey — l'^)x^ + 3eda;2 = 0 gegeben. Soll sie also mit der Kurve F die Tangente gemein haben, so würde d = 0 sein müssen. Für c = 0, 8 =^ 0 aber würde die Form F reduzibel werden, was nicht zutreffen sollte. Beide Kurven haben also neun getrennte Punkte gemein. Hieraus ergibt sich, daß eine doppelpunJdfreie Kurve dritten Grades neun getrennt liegende Wende- punJcte hat. Man wähle jetzt ein neues Koordinatensystem in der Art aus, daß die Gleichungen x^ :=: 0 und x^ = 0 die Wendetangenten in zwei beliebigen Wendepunkten der Kurve F liefern, während die Gerade »3 = 0 die Verbindungslinie dieser Wendepunkte darstellt. Die Form F nimmt dann eine Gestalt an, die sich auf das einzige Glied mit a;| reduziert, sowohl wenn a;^ = 0 als auch wenn x^ = 0 gesetzt wird. Also gilt nunmehr: (4) F = x^x^(ax^~\-hx^~\-cx2) ^ exi, wo wieder e zf= 0 gilt. Wäre hier etwa a = 0, so würde sich der Punkt »2 = 0> ^3 = 0 als ein Doppelpunkt der Kurve herausstellen, dessen Koordinaten dann in der Tat den drei Gleichungen (1) genügen würden. Da ein solcher Punkt nicht auftreten sollte, so gilt a =j= 0; und ebenso findet man, daß auch h dz 0 ist. Der Schnittpunkt der Geraden: (0) ax^-^hx^ ~\-cx^ =z 0 mit der Seite x^ = 0 des Koordinatendreiecks ist also von den beiden auf dieser Seite gelegenen Ecken dieses Dreiecks verschieden. Aus (4) folgt, daß auch dieser Punkt ein Wendepunkt ist. Man gelang*t zu dem Satze: Die VerUnäungsgerade irgend zweier Wendepunkte der Kurve dritten Grades F schneidet auf dieser Kurve noch einen dritten Wendepunkt aus. Man bezeichnet eine solche, drei Wendepunkte auf der Kurve F ausschneidende Gerade als eine „Wendelinie-". Von jedem Wendepunkte gehen vier solche Wendelinien aus, so daß man im ganzen zwölf Wendelinien hat. Man kann die zwölf Wendelinien zu vier „ Wendedreiseiten~
Anzahl der Wendepunkte und der Wendel;nien. 335 in der Art subummen ordnen, daß die dt ei Seiten deb einzelnen dieser Wendedreiseite aUe neun WendepunUe tragen. Man greife näiplich eine erste Wendeünie L^ beliebig auf. Von einem nicht auf ihr gelegenen Wendepunkte W^ ziehen d^rei W^endelinien nach den aijf L^ gelegenen Wendepunkten. Die vierte von ihip. ausziehende Wendelinie sei L^. Man hat dann neun Wendejinien, die die Punkte von L^ mit denen von L^ verbinden. Außer L^ und L^ bleibt nur noch eine pinzige Wende- liaie L^, an der kein auf L und L^ gelegener Wendepunkt beteiligt ist. Auf X3 liegen also die drei letzten We^depijnkte, so daß m^n in X^, L^, X„ ein erstes Wendedreiseit hat. Pa jede Wendelinie an einem und nur einem Wendedreiseit teilnimmt, so iiat man in der Tat vier solche W end ed reiseite. § 3. Das singulare Koordinatensystem der Kurye dritten Gra()es. Der eben angegebenen Gestalt (4) der kubischen Form F liegt ein Koordinatendreieck zugrunde, dessen Seitp x^ j= 0 eine Wendelinie ist. Man kann leicht zu einem neue^ Dreieck übergehe^, bei deip. auch die beiden anderen Seiten Wendelinien sifid. Da a und 6 vop 0 A^^rschieden sind, haben wir in: (1) ' lx^ =z B^Xi -]^ sX.2 — iPXi, s = e ^ == [ x^ = x'2 eine nicht-singuläre Substitution, für die man: — (ax^ -}- hx^ ~\- cx^) = a'i -r A — jf^^'z, — ab.x^x^i^aXj^-j- hx^ + c^3) = j-'x -f- ^2^ — ^^^^3^ + c^i ^2^'. findet. Die kubische Form (4) § 2 ßchreibt sich also iti den neuen Kq- ordinaten so: — ul-F = x'-^ -^ x',^ — {ahe -{- ^c^) xi" -y- ca'ix'^x'.. Der im dritten Gliede rechts auftretende Klammera^sdruck gilt als von 0 verschieden, da die Kurve anderenfalls die Ecke .^^ = 0, a^ = 0 des Koordinatendreiecks zum Doppelpunkt haben würde. Die weitere Substitution : — ^abx'i = x[, — ]'ßhx2 =: x'i, S^ahx's == '^27 ahe-f-c^ x'. führt unsere kubische Form F bei Fortlassung der oberen Indizes an den neuen Variablen endlich in die sogenannte „Hei,bebche Notntalgestdlt~: (2) F = xl ^ it| + it| ~f 6 Ö Xj ^2 '^3 über, in der nur noch ein einziger durch die Gleichung; (3) _ _^-_ = 26
336 III, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. gegebener Parameter 6 auftritt. Mit Klein*) bezeichnen wir das hiermit erreichte Koordinatensystem x^, x^, x^ als das „singulare^. Das Koordinatendreieck ist, wie bemerkt, ein Wendedreiseit. Die Seite a^g = 0 ist die bisher schon benutzte Wendelinie, und aus der Symmetrie der Gleichung (2) in den a;^, x^, x^ geht hervor, daß auch die beiden anderen Seiten solche Linien sein müssen. Sieht man projektiv verwandte Kurven als nicht wesentlich verschieden an, so gibt es zufolge (2) nur einfach unendlich viele wesentlich verschiedene doppelpunJäfreie Ku/rven dritten Grades, die insgesamt als die Kurven des Büschels (2) mit dem Parameter 6 darstellbar sind. Diesem Büschel gehört mit der einzelnen Kurve stets auch deren Hessesche Kurve an, da sich die Hessesche Form der Form (2) nach Fortnahme des numerischen Faktors 216 zu: (4) H = — e^ (x! ~f xl -^ xl) + (2 6^ -f 1) x^ x^ x^ berechnet. Man kann demnach auch von einer partikulären Kurve (2) aus das ganze Büschel durch die Gleichung: (5) zF-j-XH = 0 mit dem Parameter oi:X darstellen**). Die neun Grundpunkte des Büschels sind die allen Kurven des Büschels gemeinsamen neun Wendepunkte unserer Kurven, deren Koordinaten die folgenden sind: no, 1, —1), ( 0. £, —8% ( 0, 8^, —8), (6) (—1, 0, 1), (—8^ 0, 8), (—£, 0, 8^), [ ( 1,-1, 0), ( 8, — £^ 0), ( 8^ —8, 0). Die zwölf Wendelinien haben die Gleichungen: ix-^ = 0, «2 = 0, x^ = 0, ^1+^2+^3 = 0, X^~\- 8X^~\'8^X^= 0, X^-j-8^X^~\- 8X^ = 0, 8X^~\'X^4- X^ = 0, X^ -{- 8X^~\- X^ = 0, X^~\- X^ -{- 8X^ = 0, 8^X-^-+- X^~\-X^ = 0, Xj^4-8^X^-^ X^ =0, a^i ~f X^ 4^8^X^:=:0. Je drei Wendelinien, deren Gleichungen hier in einer Zeile stehen, liefern ein Wendedreiseit. Die vier Wendedreiseite sind demnach durch Nullsetzen der folgenden vier reduzibelen kubischen Formen darstellbar: (8) A^=x^x^x^, z/v = a;i -j-a;.| ~f a;| — ^8''x^x^x^, »; — 0, l, 2. Die vier „Kurven"" zt = 0 sind im Kurvenbüschel F = 0 enthalten j), und zwar als die einzigen reduzibelen Kurven des Büschels, die man auch dadurch erklären kann, daß sie die einzigen Kurven des Büschels sind, *) Vgl. die Abhandlung „Über die elliptischen Xormalkurven der »ten Ordnung'-, Ges. Abhandl. III, 198, § 6. **) Man hat hier das sogenannte „syzygetische Büschel" von Kurven dritten Grades vor sich. t) Die Kurve zf^ — 0 fur den Wert ö := oo des Parameters.
Hessesche Qruppe @2i<i- 337 deren einzelne mit ihrer Hesseschen Kurve identibch id. Für die „Kurve" z/oo = 0 ist dies einleuchtend. Im übrigen findet man durch Nullsetzen der drei partiellen Ableitungen der form (2): (9) x! = —2dx^x^, x\ = — 2 Ö .^3 r^i, xl r= — 2 ö a^i x^- Sollen diese drei Grleichui^gen bei endlicliem f) und nicht zugleich verschwindenden 'jHj gelten, sq darf kein x verschwinden. Durch Multiplikation der drei Gleichungen (9) folgt alsp: (10) 8 ry^ := - 1, (^ = - 1 £", ^ ^ 0, 1, 2, womit wir die drei Formep /i^ gewinnen. Soli andererseits dje Hesse sehe Form H bis auf einen von den x unabhängigen Faktor mit der Form F identisch sein, so muß die Gleichung: (:> ^3 _ 1) ^ e ^3 ^ 0 bestehen, was wieder zu cien Wertep (10) von ö hinführt. § 4. Kollineationsgruppen bei der ebenem KMrve dritten Grades. Es ist einleuchtend, daß diejenigen KoUineationen, die die Figur cier \ier Wendedreiseite in sich überführen. In ih^-er Gesamtheit eine Gruppe bilden müssen. Man gelangt hierbei zu einer Kollineationsgrujj^e ©^jg der Ordnung 216, die von C. Jordan als die ,.Hesbebch€ Gruppe'- bezeichnet wurde'^). Die Hessepche (xriip^e enthalt neben anderen Teilern vier konjugierte Teiler ®.^^ mtd afs ihren Durchschnitt einen Normal- teiler @-,g. Die KoUineationen des Kormalteüers ®^g transformieren jedes Wendedreiseit einzeln in sich T^nd fijhren zugleich jpde Kurve des Büschels F = 0 in sich selbst über. Die einzelne Gruppe ©^ ist dadurch erklärbar, daß sie die KoUineaiionerf. der Hesseschen Gruppe enthält, die eines der vier Wendedreiseite invariant lassen. Diese Angaben sind mittels dpr sipgulären Koordinaten sehr leicht zu bestätigen. Soll eine Kollineation das Koordinatendreieck in sich transformieren und die drei W endedreiseite zJy = 0 bis auf die Reihenfolge reproduzieren, so kann man sie in die Gestalt setzen: (1) X[ := a,, 4 '— S^'-^k, % == £^ -fh a, ß = 0, 1, 2, wo.i, /.", 7 eine der sechs Ar^ordnungen der Indizes 1. 2, 3 isif;. Dies ergibt in der Tat 54 KolHneationen. Den Xorm3,lteüßr @^g erhält man für ß = — a (mod 3). Unter den KoUineationen (1) greifen wir insbesondere die folgende durch S zu bezeichnende: (S) x'i = x^, x'2 =■ x^, X3 = i- »3 *) Diese ©oie >m<i i^^e Teilpr warben die einzigen wesentlich neuen temaren Kollineationsgruppen, die Jordan bei semen Untersuchungen über endliche temäre Gruppen (vgl S. 182) auffand. Fncke, \igebra. 11. 22
338 III, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades, auf und reihen ihr die weitere Kollineation an, ( i^Sx'i = o;, + 0^3 + 5?3, l i^S x's = 5?j 4- f^ 5?2 -j- £ 5?3, die unimodular geschrieben ist. Man stellt leicht fest, daß S und T folgende gerade Permutationen der Wendedreiseite bewirken: (S) K. ^1. ^2). (T) (^^, ^o)-(^i.^2)- Aus S und T wird die gesamte alternierende Permutationsgruppe ©^^ der vier Wendedreiseite erzeugt. Es folgt: Der Normdlteüer ©^g der Hesseschen Gruppe liefert als Komplement eine ©^g, die mit der alternierenden Gruppe vierten Grades und also mit der Tetraedergruppe isomorph ist. Unmittelbar zur Tetraedergruppe wird man bei Rückgang auf die Form F geführt. Die Kurven F = 0 unseres Büschels permutieren sieh gegenüber der Hesseschen Gruppe ©^^g im allgemeinen zu je zwölf; dabei gehen die zwölf Parameterwerte 6 aus einem unter ihnen durch die zwölf linearen Substitutionen der Tetraedergruppe ©^^ hervor. Erzeugende Substitutionen dieser Tetraeder-©j2 sind die beiden: (S) e' = s6, (T) 6'= ~^ + \ die, wie man leicht feststellt, den eben mit S und T bezeichneten KoUi- neationen entsprechen*). Als besondere Fälle sind zu nennen erstlich die den vier Tetraederecken entsprechenden Parameterwerte: (2) 6 = ^, -i ~\e, -i£^ die die reduzibelen Kurven dritten Grades, d. h. die Wendedreiseite liefern. Daran reihen sich die den vier Flächenmitten des Tetraeders zugehörigen Werte: (3) ö = 0, 1, £, £^ die den sogenannten „harmonischen Fall- liefern**). In diesen beiden Fällen haben wir je nur vier bezüglich der Hesseschen Gruppe sich austauschende Kurven, deren einzelne bei 54 eine ©^^ bildenden KoUinea- tionen invariant bleibt. Endlich haben wir noch den besonderen Fall der den Kantenmitten des Tetraeders entsprechenden sechs Werte: (4) 6=-\±>^. --ipls, =lpls^ *) Man vergleiche auch die Angaben von S. 37 über die Tetraedergruppe. **) Das zur Kurve dritten Grades gehörende elliptische Gebilde läJßt sich dann auf eine zweiblattrige Eiemann sehe Fläche mit vier Verzweigungspunkten von harmonischem Doppelverhaltnis beziehen.
Harmonischer und äquianhaifmonischer Fall. Tetraedergleichung. 339 mit sechs bezüglich der Gruppe ©gie ^^^^ austauschenden Kuryen dritten Grades. Die einzelne dieser Kurven geht dann in sich über durch 3^ eine ©gg bildende Kolliaeationen; man spricht hier vqm .,äquian}ißrmo- niscJien Fälle-. Das Formensystem der Tetraedergruppe upd die Tetraedergleiphung sind aus den vorstehenden Angaben sofort zu entnehmen. Wir spalten ö in den Quotienten 6^ : ög zweier homogener Variablerji ß^, B^ und erklären die erste Grundform g^ der Tetraedergruppe, deren Xullpunkie die vie^" riächenmitten des Tetraeders sind, durch: (5) ^3 = V2e,{ei-ei) Daran reiht sich als zweite Grupdform h die durch: i der cd.dd, (6) 432 h = ' ^ dd^dO,' cdl \ zu erklärende Hessesche Form von ^^i sie hat entwickelt die Gestalt: (7) /^ == - 3 Ö2 (8 6! + Öl) und Kefert, gleich 0 gesetzt, die vier Tetraederecken. An dritter Stelle ist die Funktionaldeterminapte g^, von g^ und Ji zu nennen, gegeben durch: I dg.;, dj^ (8) — 144</3 = W^' äö~ dh dh ' dJ,' Wo 10 df Ol — 61, Kantenmitten des Tetraeders. Die ihre entwickelte Gestalt ist: (9) gs = 8e und ihre Nullpunkte sind die Formen g^, g^ und h bilden das volleForme^syde^ den Täraederc/ruppe(S)-^^; sie sind aneinander gebunden durch die jRelation: (10) }i^=^ gl--27 gl Ziehen wir die Gleichungen (5), (7) und (9) in die Proportion: (11) gl: 27 g! : h^ -.= H 6! (6! — dir :(8ß',-^20d!ßl-ßlf ■■ — Ol (8 6^ ~ Oir zusammen, so haben wir die Tetraedergleichung gewonnen. . Die in „Modulfunkt." I, 104 unter (1) in nichi -hoi^ogei^er Gestalt gegebene Tetraedergleichung geht aus (11) du:rch die Substitution. (12) Ö, : Ö, =- I: - 2 hervor.
340 III, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Wir notieren noch als besonderen Satz: Eine irreduzihele imd dopßelpunUfreie Kurve dritten Grades gedaüet, abgesehen von den beiden besonderen Fällen, die wir als harmonisch und aquianharmonisch bezeichneten, um ganzen 18 eine ®jg bildende Kollineationen in sich, und zwar hat man außer der identischen Kollineation acht solche der Periode 3 und neun von der Periode 2; die letzteren sind harmonische PerspeUivitäten, die die neun Wendepunkte zu Zentren und die zugehörigen neun harmonischen Polaren zu Achsen haben*). Die neun Perspektivitäten sind innerhalb der @^y konjugiert. Man beweise diese Angaben z. B. für den Wendepunkt der Koordinaten a:;^ =r 0, j.^ =: 1, x^ = — 1, wo die Wendetangente und die harmonische Polare durch die Gleichungen gegeben sind: (13) 2 Ö «, — x.^ — »3 ~ 0, iCa — ^3 = 0. § 5. Das kanonische Koordinatensystem bei der Kurve dritten Grades. Das bisher benutzte singulare Koordinatensystem x^, x^, x^ führt zu einer Gleichung für die Kurve dritten Grades, deren Parameter d als eine „irrationale Invariante- zu bezeichnen ist. Die zwölf konjugierten Werte von 0 sind, wie wir fanden, die Lösungen der Tetraedergieichung. Es soll ]etzt ein zweites Koordinatensystem eingeführt werden, das Klein**) als „icanonisch^- bezeichnet, und das uns zu einer Kurven- gleichnng mit rationalen Invarianten hinführen wird. Die neuen Koordinaten mögen zunächst in vorlaufiger Gestalt y^, y^, y^ heißen. Die Seite ;2/3 = 0 soll eine Wendetangente sein, die Seite y^ = 0 die zugehörige harmonische Polare und die Seite y^ = 0 des neuen Koordinatendreiecks eine noch näher zu bestimmende Gerade durch den Berührungspunkt der gewählten Wendetangente y^ z= 0. Indem wir den Wendepunkt der singulären Koordinaten :js^ = 0, x^ = 1, x^ = — 1 bevorzugen, schreiben wir, den vorstehenden Angaben entsprechend: (1) j ^2 = '^ 'J ^1 + ^2 -r -^.p ( .^3 = 2 6 ä;^ — x^ — a?3, wo ri noch zu wählen ist. Ebenso behalten wir uns die Änderung der y um geeignete konstante Faktoren zur endgültigen Fixierung der kanonischen Koordinaten vor. Die Ausdrücke der alten Koordinaten in den neuen sind: l6x^ = y^ ^^3, C^) \öx^^{e^7i)y, + dy^~yiy^, 0 =r 2 (6*-^ ??), ' \ö^z = —(ß + n)yi + By,_~riy^, *) Vom einzelnen Wendepunkte gehen außer der Wendetangente noch drei Tangenten an die Kurve. Die Berührungspunkte dieser Tangenten liegen auf einer Geraden, die die „harmonische Polare'- des Wendepunktes heißt. **) Vgl. die erste Note S. 336.
Einfahrung der kanonischen Koordinaten. 341 wo der Proportionalitätsfaktor 6 den rechts angegebenen Wert hat. Diß bisherige auf die singulären Koordinaten bezogene Gleichung unserer Kurve dritten Grades rechniet siph ai;f die y um in die Gestalt: 1 +(120^2- 12^2 rj Jr ^)y,yl + (6 Ö ^^^ - 2 ^^ ^ i)^|. Es soll nun tj so bestimmt werden, daß rechter Hand der Koeffizient des zweiten Gliedes verschwindet: (4) 6Ö^-l8r^~T-3 ==0, ^=A-^^i. Daraus ergeben sich für die Koeffizienten der Gleichung {S) in ß die Ausdrücke: 6 0^ ' — _ (8 B^ T 1) (^^' — 1) " 3Ö^ ' (8 Ö^ ^ 1) (8 ß' -T 20 /)3 — 1) 108 Ö6 und die Gleichung (3) geht nach Fortlassiing eines überflüssigen Faktors in die Gestalt über: I 3 (8 6^ -f 1)^ yl y, == 108 ß' y\ - 36 ß^ (Ö^ - 1) y^ y\ ^""^ \ ^(8ß'-^20ß^-l)yl. Wir Spalten jetzt wieder ß in ä,en Quotiepten der beiden homogenen Größen öj, ß^ und multiplizieren die Gleichp.ng (o) mit ß^; sie kann dann in die Gestalt gesetzt wej-den: ((8 ß! + Öl) i )/'^y,Y . (- y,) == 4 (3 ß^ y,f - 12 ö, (ß! - ß!) (3 ß! y,) (- y,f - (8 ßl -^ 20 ßl ö| - Ö|) (- y,f Wie man sieht, treten in den beiden letzten Gliedern die Tetraederformen g^ und g^ auf. Indem wir das endgültige kanonische Koordinatensystem z^, ^2, s^ durph die Festsetzung: (6) (8 ßl -f 61) i V3 j/, =z,, 3 Öi^ y^ = z^, _ ^^ =. ^^ . einfuhren, gewinnen wir als Gleichung der Kt^rve dritten Grades, bezogen auf die kanonischen Koordinaten: (7) zl ^3 = 4 zl — g,_ ^2 zl — </3 ^1, wo rechter Hand diejenige Xormalgestalt der binären kubischen Form gewonnen ist, die dem elliptischen Integral erster Gattung in der Weierstrass sehen Gestalt entspricht'^). *) Vgl. „Ellipt. Funkt.'' I, 123 und 153 sowie die unten folgenden Angaben über die Beziehung zu den elliptischen Funkiionen.
342 III, 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Aus (7) ergibt sich leicht die invariante Erklärung der zweiten Seite des kanonischen Koordinatendreiecks. Die drei Schnittpunkte der Kurve mit der harmonischen Polare z^ = 0, also die Berührungspunkte der drei außer der Wendetangente vom bevorzugten Wendepunkte an die Kurve laufenden Tangenten, sind durch die Nullpunkte der binären kubischen Form: (8) 9 (^2. ^3) = 4 4 — g^ z^ 4 — </3 zl gegeben. Wir bilden nach Vorschrift von I, 130 die lineare Polare dieser Form: (9) 1^ ^. + ^ ^B = (12zl - g,zl) l, - (2g,z,,,^^ g,zl) t„. dz^ 0^3 Tragen wir insbesondere dem Schnittpunkte der harmonischen Polare mit der Wendetangente entsprechend z. ^ 0 ein, so ist der Nullpunkt der linearen Polare durch ^2 = 0 gegeben, also auf der zweiten Seite gelegen. Zusammenfassend können wir folgenden Satz zum Ausdruck bringen: Bas 'kanonische Koordinatendreieck hat als Seite z^ = 0 eine Wendetangente und als Seite z^ =■ 0 die zugehörige harmonische Polare, während die Seite z^ = 0 als lineare Polare der Wendetangente in hezug auf die drei anderen vom Wendepunkte an die Kurve laufenden Tangenten bezeichnet werden darf. Die ternäre kubische Form hat zwei rationale Invarianten, die von A ronhold aufgestellt wurden und gewöhnlich mit S und T bezeichnet werden. Die erste ist in den unbestimmt angesetzten Koeffizienten der Form vom vierten Grade, die zweite vom sechsten Grade. Man findet die entwickelten Ausdrücke der Invarianten S und T in Salmon- Fiedlers „Analytischer Geometrie der höheren ebenen Kurven-''^), S. 232 ff. der ersten Auflage. Trägt man in die daselbst gegebenen Formeln insbesondere die Koeffizienten der Form (7) ein, so ergibt sich: (10) -S = -^^„ T = if^3. Hiermit bestätigt sich die oben gemachte Angabe, daß das kanonische Koordinatensystem zu 'einer Gleichung der Kurve dritten G-rades mit ^rationalen^ Invarianten als Koeffizienten führt. Es steht dies keineswegs im Widerspruch mit der Tatsache, daß das kanonische Koordinatendreieck selbst in neun Arten wählbar ist; denn diese neun Dreiecke sind konjugiert bezüglich der KoUineationsgruppe @jg der Kurve dritten Grades in sich, so daß der Übergang von einem, zu einem anderen Dreieck die Kurvengleichung unverändert läßt. Demgegenüber wurde das oben benutzte singulare Koordinatendreieck durch jene 18 KoUineationen in sich transformiert; dem Übergang zu einem anderen singulären Koordinatendreieck entsprach demnach eine von der identischen Substitution verschiedene Tetraedersubstitution des Parameters ß. *) Leipzig 1873.
Beziehung des 'WendepunktprobleHis zur Tetraedergleichupg. 343 § 6. Berechnung der Wenijeputifkte in kanonischen Koordinaten. Unter den beiden benutztea noimalep. Gleichungen der Kurve dritten Grades verdient die auf das kanonisclie Koordinatensystem bezogene algebraisch insofern den Vorrang, als die Koeffizienten g^ und g^ als rationale Invarianten der allgemeinen temären kubischen Form erkannt wurden. Das Problem der Berechnung der Koordinaten der Wendepunkte im kanonischen System kommt dann im wesentlichen a,uf den Übergang zum singulären Koordinatensystem hinaus und ist (ienm£(,ch bereits in den Formeln der letzten Paragraphen gelöst. Im Sinne der Galoi^ sehen Theorie kann man folgenden Satz aussprechen: Die Berechnung der kanonischen Koordinaten der neun Wendepunkte einer ebenm Kurve dritten Qrades ist gleichwertig mit der Lösung des Formenproblems der Tetraedergiruppe. Dieses Problem fordert die Berechnung von ö^, 6^ ai^s gegebenen ui^d durch die Relation (10) S. 339 verbundenen Werten der Tetraederf'ormen: (g, = 12 8,(8!-61), (1) </3 .= 8 8! + 20 ßf 81 - 81, { h = -3d,(88f + ßl). Führt man die absolute rationale Invariante / entsprechend der Gleichung : <2) /: (J_l): 1 =, gl,27 gl '.h^ ein, so kann man die Aufgabe auch so fassen, daß die „Tetraedergle^ehung'-; (3) /:(/_l):l = 64Ö^(Ö^- 1)2 : (8 8" + 20 8^ — If : - (8 8' + 1)' ^u lösen id, was bekanntlich das Ausziehen einer Kubikwurzel und zweier Quadratwurzeln erfordeti*), und außerdem noph die Quadraticurse]: ö.==±|/^ ausgezogen werden muß. Hat man 8 und ög berechnet, so ^ind ()^ und die in (4) S. 341 erklärte Größe ti rational beka^int. Man beachte weiter, daJ3 die dritte Einheitswurzel e eine natürliche Irrationalität der Tetraedergleichxmg ist. Führen wir nicht-homogene Koordin.aten x, y durch die Fest^etzupg : <5) z^:z^:z^ = y:x 1 ein, so wird die Kurvengleichung: (6) f = 4:x^ — g^x — gs. *) Vgl. „Ikos."', S. 97 oder die Ä.ngaben in. I, 343 ff. über die Tetraedergruppe.
344 m» 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. und es liegt einer der Wendepunkte im Unendlichen. Die acht übrigen Wendepunkte haben zu Paaren gleiche Abszisse x. Wir gewinnen nämlich durch Rückgang auf die singulären Koordinaten (6) S. 336 der Wendepunkte aus den Formeln (1) und (6) § 5 als die vier Wendepunktsabszissen : (7) a._3ö„ -30,2^—3, -3ö,2^Tj-^' ^^^2ö~f.^ Die beiden jeweils zugehörigen Ordinaten berechnen sich dann aus den Abszissen einfach durch die Quadratwurzeln: (8) 2/ = ±V4ä^ —</2» —ö's' die natürlich nach Lösung der Tetraedergleichung und Berechnung der Quadratwurzel (4) selbst „rational bekannt" sind. Statt mit der Tetraedergleichung zu arbeiten, kann man auch an die biquadratische Gleichung fur die vier endlichen WetideßunUsahszissen (7) anknüpfen. Die Koeffizienten dieser Gleichung müssen rationale Invarianten sein. In der Tat findet man durch Berechnung der symmetrischen Grundfunktionen der vier Ausdrücke (7) auf Grund der Formeln von § 4 als die fragliche biquadratische Gleichung: (9) x^^^g,i'-g,x-i^g! = 0. Nach Lösung dieser Gleichung, die die Tetraedergleichung zur Galois sehen Resolvente hat, sind dann wieder die Quadratwurzeln (8) zu berechnen*). § 7, Beziehung zu den elliptischen Funktionen. Die doppelpunktfreie ebene Kurve dritten Grades wird bekanntlich durch elliptische Funktionen uniformisiert. Wir gehen auf diesen Gegenstand hier nur beiläufig und ohne ausführliche Beweise ein, um die einfache Darstellung der in den voraufgehenden Entwicklungen aufgetretenen Gruppen mittels des elliptischen Integrals erster Gattung und seiner Perioden anzugeben. Die uniformi&ierende Variable für die Koordinaten der Punkte unserer Kurve dritten Grades ist das zu dieser Kurve gehörende algebraische Integral erster Gattung. Bei der funktionentheoretischen Sprechweise tritt an Stelle der Kurve als ihr eindeutiges Abbild die zweiblätterige Riemannsche Fläche über der Ebene der „ komplexen-^ Variablen x, die zur algebraischen Funktion : (1) y — y4:x^ — g^x — g^ gehört. Die Fläche hat vier Verzweigungspunkte, die bei x = 00 und in den drei endlichen Nullpunkten x = Cj^, e^, e^ des Radikanden in (1) *) Die Gleichung (9) ist die spezielle Teilungsgleichung der Weierstrass sehen jO-Funktion fur den dritten Teüungsgrad. Vgl. „Modulfunkt," II, 16 und „EUipt. Funkt." II, 245.
Unifortnisierung der Kurve d^-itten Grades durch elliptische Funktionen. 345 liegen. Die fragliche unifqrmisierende Variable id dann einfach in G-e- staJt des Weierstrasssehen JSformalintegraJs erster Gattung: X r dx (2) ..,_ das sich hei Gebrauch der lißnmiibchen Koordinaten einfindet, gegeben, uii4 die Koordinaten x, y sind in u die eindeutigen elliptischen Funfctimien, di'i Weierstraf>s einführte 'und durch. (3) X =- fp(u), ij ^ p'iu) bezeichnete'-^). Die Riemanq.sehe Fläche (Kurve dritten Grades) er&cheint umkehrbar eindeutig abgebildel auf ein „Periodenparaßelogramm- der M-Ebene, das wir geradlinig und mit den Ecken u =-- 0, lo^, ajj -t- ßjg, fii^ annehmen, unter Oj, co^ eiji „primitives Periodenpaar" des Integrals (2) verstanden**). Punkte der w-Ebene a und u', die durch eine Gleichung mit ganzen Zahlen m^, m^ zusammenhangen, liefern die gleichen Werte sowohl für X als y und ergeben also den gleichen Punkt der Kurve. Für die Verwendung der elliptischen Fiinktionen in der Theorie der Kurven dritten Grades sind nun das Abel sehe Theorem und das Additionstheorem der elliptisei).en Funktionen grundlegend. Xaeh dem Abelsehen Theorem (vgl. „Elli|)t. Funkt." I. 214ff.) liegen drei Punkte der Kurve dritten Grades mit den Integralwerten a^, ii^, u^ stets ur^d nur dann auf einer Geraden, wenn die Summe (ti^ -f- «, -t- u^) eii^ gan^- zahliges Multiplum (m^ «^ -j- m^ co^) der Periode ist, oder wenn (bei Gebrauch einer zahlentheoretischen Sprechweise) die Summe (u^ -^ a^ — ii^) kongruent 0 modulis Oj, co^ M' (4) Mj — '«2 -f li^s = 0 (mod Oj, cüi^. Sollen an einer dem Werte u entsprechenden Stelle der Kurve drei konsekutive Punkte auf einer Geraden liegen, d. h. soll die Stelle einpn Wendepunkt liefern, so maß 3 «* = Q (mod Oj, Og) sein Hierauf ergibt sieh sofort: Die neun Stellen: Ich. — liio^ (o) M = ^-^ -, /., f^ = 0,1, 2 des FeriodenparaJleJogran/yiis und nur diese liefern Wendejjurtl^e der Kurve. Wir können demnach die neun Wendepunkte symbolisch du;"ch die neun Restpaare (A, yi) mod 3 darstellen. Auch die Existenz der Wendelinien ist unmittelbar einleuchtend. Es liegt nämlich rait zwei verschiedenen *) Man vergleiche „Ellipt. Punkt." I, 152 und 19^. =^-) Vgl. „EUipt. Funkt." I, 195.
346 III, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Wendepunkten {k-^, (i^), (X^, (i^) immer derjenige dritte ß^, ^3) auf einer Geraden, für den: A3 = — Aj — lä, ^3 = — fij — fia (mod 3) • gilt. Infolge des Additionstheorems (vgl. „Ellipt. Funkt." I, 204) gelten für jeden komplexen Wert c die Gleichungen: I ^Oiu^c) =Ii,{p{u), p'iu), pic), p'(c)), ( p'iu^c) ^B,{piu), p'{u), p{c), p'ic)), wo rechts einfach gebaute rationale Funktionen der angegebenen Argumente stehen. Durch: I y' = Ii,{x,y, ^Oic), p'ic)) haben wir demnach eine umkehrbar eindeutige rationale Transformation der Kurve dritten Grades in sich gewonnen, die wir kurz durch die auf das Integral bezogene Gleichung u' = u -]- c darstellen können. Wir gewinnen bereits alle diese Transformationen, wenn wir c auf das Periodenparallelogramm einschränken; zu ihrer Darstellung werden wir also au < Stelle der eben angegebenen Gleichung die Kongruenz: (8) u = u ^ e (mod ca^, o,) benutzen können. Diese Transformationen bilden eine „kontinuierliche Gruppe- (unendlicher Ordnung). Sie ist auch noch erweiterungsfähig durch Zusatz der dem Zeichenwechsel von u entsprechenden Transformation x' = X, y' = — y. In transzendenter Gestalt haben wir diese erweiterte Gruppe durch: (9) w' = + w 4- f (mod «1, öo) darznstellen. Fragt man nun, ob in dieser erweiterten Gruppe auch „Kollineationen'- auftreten können, so liefert die transzendente Theorie auch hierauf eine sehr einfache Antwort: Der Substitution (9) entspricht stets und nur dann eine KolJineation der Kurve dritten Grades in sich, wenn c der dritte Teil eines Periodenmultipliims ist; wir erhalten also eine endliche Gruppe @jg von Kollineationen der Kurve dritten Grades in sich, die sich transzendent durch: (10) u =±u^ \y -^ (mod«1, öo) darstellt. Es ist nicht schwer, aus den Formeln des Additionstheorems die 18 Kollineationen unserer ©^g in kanonischen Koordinaten zu entwickeln; man findet die Rechnung in ,,Modulfunkt." II, 249 durchgeführt.
Wendepunkte und Dreiteilung der elliptischen Funktionen. 347 Die vier verschiedenen Wendepunktsabszissen x, die wir duroh Lösung der Gleichung (9) S. 344 finden, stellen sich jetzt mittels der ^-Funktion in den Gestalten: dar. Es handelt sich um die vier verschiedenen endlichen „I'eüwerte dßr p -Funktion-: (12) ,= ^^(^'^+ü^) vom dritten Teilungsgrade. Die Gleichung (9) S. 344 heißt entsprechend die ^spezielle Teilungsgleichung'■ der ^-Funktion des dritten Teilungsgrades. Die Teilwerte (11) sind „elliptische Modulformen- dritter Stufe, insofern sie unverändert bleibei^ gegenüber den Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe dritter Stufe in der Modulgrappe *). Diese Kongruenzgruppe ist ein Xormalteiler des Inde^ 12 in der gesamten ]\Iodul- gruppe, dessen Komplement (3^^ ^^^ ^^^ Tetraedergrappe isomorph ist**). Auf diese Weise werden wif zur Tetraedergruppe zurückgeführt, mit der wir schon oben die G^Ioissche Gruppe der Gleichung (9) S. 344 isomorph fanden. über die speziellen Teilungsgleichungen der elliptischen Funktionen und ihre wichtigsten Resolver|.ten, die Modulargleichupgen, die in der Entwicklung der Algebra seit Gauß' upd Abel^ Untersuchungen eine höchst wichtige Rolle gespielt haben, sei allgemein auf „Ellipfc. Funkt.'- 11 verwiesen, betreffs der Teilungsgleichungen insbesondere auf S. 211 ff., betreffs der Modulargleichungen (dqrt „Transformationsgleichungen- genannt) auf S. 342 ff. § 8. Begriff eifler Tripelgleichung neunten Grades. Das Problem der Berechnung der neun Wendepunkte einer Kurve dritten Grades ist in den bisherigen Entwicklungen nur erst in spezieller Gestalt gelöst. Die Besonderheit liegt darin, daß wir die Kurve dritten Grades sogleich in kanonischen Koordinaten gegeben annahn).en. Es soll jetzt untersucht werden, wie sich die Lösnng unseres Problems bei beliebig gegebener doppelpunktfrejer Kurve dritten Grades gestaltet, wohei sich herausstellen muß^ welche algebraischen Prozesse über die Lösung der Tetraedergleichung und die Auszjehung einer Quadratwurzel hinaus noch durchzuführen sind, um ziir E-enntpis der Wendepunktskoordinaten zu gelangen. Im Mittelpunkt dieser Betrachtung ^^ird der Begriff der „Tripelgleichung neunter^ Grades- stehen, der zunächst naher zu entwickeln ist. *) Vgl. „ Modulfunkt." U, 7 ff. '^) Vgl. „Modulfunkt.'- I, 354.
348 HI» 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Wir denken die Gleichung der Kurve dritten Grades mittels rechtwinkliger kartesischer Koordinaten x, y in der Gestalt F(a;, ^z) = 0 gegeben. Die Koeffizienten der Gleichung mögen zunächst nur der einen Bedingung unterworfen sein, daß die Diskriminante der Gleichung nicht verschwindet, damit kein Doppelpunkt auftritt. Durch Jlix, y) = 0 sei die Hesse sehe Kurve der gegebenen Kurve dargestellt. Die Koeffizienten von H sind in denen von F ganz und homogen vom dritten Grade. Durch Anordnung nach Potenzen von y mögen wir finden: F(x, y) = Ä,y' i- A/ - Ay ^^3 = 0. ^^^ ' H{x, y) = B,y' + B,y'^ B,y ^ B, =. 0, wo Aj; und Bj; ganze Funktionen Jc^^^ Grades von x sind, die in den Koeffizienten von F homogen vom ersten bzw. dritten Grade sind. iS'umerische Irrationalitäten treten in den Bj; nicht auf. Die Elimination von y aus den beiden Gleichungen (1) liefert uns nach den Sätzfen über Resultanten in I, 113 eine Gleichung, deren linke Seite als ganze ganzzahlige Funktion der A, B aufgebaut ist, und zwar homogen vom Grade 3 sowohl in den A als in den B. Dabei ist sie in den A und B zusammengenommen isobar vom Gewichte 9, so daß sie in X auf den neunten Grad ansteigt. Schreiben wir demnach das Ergebnis der Elimination von y in der Gestalt: (2) f(-i) = G^x' -^G^x^ -rG,= 0 an, so sind die Koeffizienten G ganze ganzzahlige homogene Ausdrücke zwölften Grades in den Koeffizienten von F. Die neun Lösungen der Gleichung (2) aber sind die Abszissen der neun Wendepunkte unserer Kurve dritten Grades. Wir nehmen an, daß diese neun Abszissen endlich und voneinander verschieden sind, wodurch eine gewisse Beschränkung in der freien Auswahl der Koeffizienten von F gegeben ist. Das Fundament der folgenden Überlegung ist nun die Tatsache, daß die Verbindungsgerade irgend zweier Wendepunkte der Kurve dritten Grades auf dieser einen bestimmten dritten Wendepunkt ausschneidet, woraus die Anordnung der neun Wendepunkte auf den zwölf Wendelinien unmittelbar folgte. Durch beliebige zwei Wendepunkte der einzelnen Wendelinie ist dabei jedesmal der dritte Wendepunkt dieser Linie eindeutig bestimmt. Es soll festgestellt werden, welche algebraische Eigenart der Gleichung (9) dieser Tatsache entspricht. Ist x^ irgend eine W^endepunktsabszisse, so liefert, da die neun W^endepunktsabszissen verschieden sind, die Eintragung von x^ in die Gleichungen (1) zwei kubische Gleichungen für y, die die Wendepunktsordinate y^ als einzige gemeinsame Lösung haben. Diese Lösung ist durch einen rationalen Divisionsprozeß berechenbar. Man gelangt dabei zu einer rationalen Darstellung: (3) yi~(p (x^
Begriff einer Tripelgleichpno;. 3^9 von y^ durch a^, wobei diß Koeffizienten dieser Funktion g) ip deuen von* F rational ohne numerische Irrationalitäten aufgebaut sind. Eß seien nun Xi, und y^, = ^ (xj) die ]voordinate4i irgend eines zweiten Wendepunktes. Dann ist die zu beiden gehörende Wendelinie durch die Gleichung: y = y, + ^j^'-{x-x,) dargestellt, die wir auch ^n die Gestalt setzei^ können. (4) , = ^(,,)..SP(-!^^«:)(_,,) Xi Xi Sind Xi, yi die Koordinaten des dritten von dieser Wendeliiiie ausgeschnittenen Wendepunktes, so wird die Eintragung des Ausdrucks (4) für y in die erste Gleichang (1) eine kubische Gleichung in x mit den drei Wurzeln x^, Xi, ii liefern. Entferrien wir also durch Division den quadratischen Faktor {x — a^{x — Xi) au& dei linken Seite dieser Gleichung, so verbleibt eine lineare Gleichung für j.i. Aup dteser Gleichung berechnen wir fur Xi einen rationalen Auüdnu Jr. (5) Xi = B{x^, xj.) in x^, Xi mit Koefflstetden, die am denen von F ruttonqJ ohne numeiiüche Irrationalitäten aufgebaut dnd; dahei bedeht diene Gleichung (5) hßi irgend zwei verschiedenen WendepunTdsäbszii>i.en x^,, cij. jedesmal für die dritte von der zageliorigen WendeUnie gelieferte Wendepunlisabi>dSh,e Xi. Hieran schließt sich folgende Erklärung Eine algehraiöclie (gleichang mit einer UnbeJcannten ohße gleiche Wurzeln, deren Koeffizienten eifern vorgegebenen Körper ^ angehoreff,, soll ah eme ,.Trip3lgleichting~ bezeicJtnet werden, wenn €ö eme rationale FunMion F^j zweier Vßnahlßn mä Koefft-sienten aus §, vmi folgender Art gibt: Sind x-i und x^ zwei beliebige voheina/f.der verschiedene Wurzeln der Gleichung, öo id Xi = F{x^, x^) deti. eine von x^ und %-j^ verschiedene dritte Wurzel der Gleichung, und zwar boll die Zusammenord'nung der Wurzeln zu Tripeln dabei eine solche sein, daß aut> zwei behebigen Wurzeln des einzelnen Tnpeh stets die dritte Wurzel dieses Tripels durch die Funlttßn B geliefert wird. Die Glejichung (2) ist eine solche Tripelgleichung neunten Grades. Indem wir also für diesen Qrad allgemeine Satze über die Auflösung der Tripelgleichungen entwickeln, ist damit die Auflö&ung der Gleichung (2) zugleich mitbehandelt. § 9. Galois sehe Grippe einer Tripelgleichujig neunten Grades. Es sei jetzt in der Gestalt: (1) f{x) ^ G,cc' ^ Cj x' -f- C;x' -r -■■-^G, = 0 eine beliebige Tripelgleichung neunten Grades vorgelegt, fur die wir an den Erklärungen und algebraischen Entwicklungen des § 8 festhalten. Die Gewinnung der Galois sehen Gruppe dieser Gleichung beruht auf einer sachgemäßen Bezeichnung ihrer neun Wurzeln. Es handelt sich
350 III» 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. 'dabei für die Unterscheidung der Wurzeln einfach um die Heranziehung der neun mod 3 inkongruenten Zaiilenpaare X, ^, die in § 7 bei den Teilwerten der Weierstrasssehen Funktionen p, p' auftraten, und die wir jetzt als Doppelindizes zur Bezeichnung der Wurzeln x =z axu. der Gleichung (1) benutzen wollen. Der Erfolg wird zeigen, da£ wir bei richtiger Verteilung der Doppelindizes auf die Wurzeln, die natürlich durch die Beziehung zu den elliptischen Funktionen nahegelegt wurde, zu einer ziemlich, einfachen Darstellung der Galois sehen Gruppe unserer Tripelgleichung hingeführt werden. Aus der Definition der Tripelgleichung folgt, daß jede der neun Wurzeln in vier Tripeln vorkommt, und daß daher im ganzen 4.9:3 = 12 Tripel von Wurzeln auftreten. Wir greifen ein beliebiges unter diesen zwölf Tripeln auf und bezeichnen seine drei Wurzeln durch a^o, a-^^, a^^^, das Tripel selbst aber durch das Klammersymbol: (2) («00, «12» «2l)- Eine beliebige vierte Wurzel a^^ bestimmt mit den drei Wurzeln des Tripels (2) drei weitere Tripel mit drei neu hinzukommenden, voneinander verschiedenen Wurzeln, die wir a^^, a^g, a^^ nennen. Diese Tripel sind also: (3) (a^j, «00, «22)' Kl' «12' «10)' Kl' «21' «Ol)- In der Tat können keine zwei dieser drei neuen W^urzeln gleich sein, da sonst zufolge der Erklärung der Tripelgleichung die beiden zugehörigen. Tripel (3) gleich sein müßten. Auch müssen sie von den drei Wurzeln (2) verschieden sein, da sonst unter (3) das Tripel (2) wieder vorkäme, während doch a^^ in (2) nicht auftritt. Es bleiben jetzt nur noch zwei Wurzeln übrig, die wir durch a^^ und «20 in einer noch vorbehaltenen Anordnung zu bezeichnen haben. Da die Wurzel a^^ bereits mit sechs Wurzeln zu den drei Tripeln (3) verbunden ist und a^^ noch in einem vierten Tripel vorkommt, so ist dieses vierte Tripel notwendig: (4) Kl' «20' «02)- Es gilt nun, die noch übrigen sieben Tripel festzustellen. Wir suchen zunächst zum Wurzelpaar k^q, k^q, das bisher noch in keinem Tripel auftritt, die dritte Wurzel zu bestimmen. Sie darf weder mit «oo noch mit a^^ in einem' der bisherigen Tripel verbunden sein. Ausgeschlossen sind also die Wurzeln Uj^^, a^^, a^^, a^^, a^^, so daß nur die Wurzeln a^^ und qc-^q in Betracht kommen. Dieselben beiden Wurzeln «oi, a^o bleiben auch nur übrig für das zum Paare «oo, «02 gehörende Tripel. Xun hatten wir die Verteilung der Bezeichnungen «02, «20 ^^^ ^^^' beiden zuletzt herangezogenen Wurzeln noch vorbehalten. Wir können demnach diese beiden Bezeichnungen auch noch austauschen und damit erreichen, daß zwei weitere Tripel gegeben sind durch: (O) Ko' «90' «10)' Ko' «02' «Ol)-
Zwölf Wurzeltripel bei einer Tnpelgleichung neupten Grade^. 351 Von den Tripeln, die a^Q enthaltßii, s|.nd bereits zwei bekannt und unter (3) und (5) gegeben. Die beiden noch zu bestiinmenden Tripel mit «10 müssen die Wurzeln a^i, a^a, a^i, «22 enthalten. Die Paare a^^, «21 und «oj, «02 führen aber zu ßcho^ gewonnenen Tripeln, so daß die beiden noch fehlenden Tripel mit a^^ die folgenden sind: (6) <.aio> «Ol' «22)' («10' «si' «02)- Für a^i fehlt noch ein einziges Tripel. D9, diese Wurzel schon mit a^, «21' So' «02' «10' «22 verbupden vorkommt, so ist das fehlende Tripel: C^) («OJ' «12' «2o)- EndKch stellt man durch Fortsetzung der Betrachtung die beiden folgenden noch fehlenden Tripel fest: (8) («02' «12' «22)' («20' «21' «22)- Damit ist der wichtige Satz gewonnen: ßel der geivahlten Bezeichnung der Wurzeln ci^u gehören zu einem Tripel älle^aJ drei Wurzeln ocx^^u^, a^a, tt,, «;.3, «3 zusammen, für deren Indizes ßie Kongruenzen gelten: (9) ^1+^2 + ^3 = 0, ^it,+ ^2 + ^3 = 0 (mod 3). Das bei den Teilwerten der elliptischen Funktionen geltende Gesetz gilt also allgemein für die Tripelgleichungen neunten Grades. Für die Permutationen der neun Wuraeln unserer Tripelgleichufig (1) führen wir jetzt eine Darstellung durch Kongruenzen mod 3 der Indizes X, ^ ein, die sich an die Entwicklungen in I, 44q anschließt ui^d aus den damaligen Ansätzen auf induktiven^ Wege abgeleitet werden könnte. Doch können wir auch bei den einfachen hier vorliegenden Verhältnissen eine direkte Überlegung einschlagen. Wir schreiben: (10) X' = g{l, ^), (i: = h{l, fi) (mod 3), wo g und h zwei ganze ganzzahlige Fmiktionen yon A, (i sind, die in keinem dieser beiden Argumente den zweiten Grad übersteigen*). Durch diese Kongruenzen ist dei' einzelnen Wurzel azu die Wurzßl U/j u' angeordnet. Es gilt der Satz: Man Jcann die ganzzahligen ICoeffizienteft, in g und h so bestimmen, daß durch (10) eiße leliebig vor geschriebene Permutation S = (axui o^-yj u<) ^er neun Wurzeln zur Darstellung kommf. Man schreibe nämlich die beiden Kongruenzen (10) ausführlich: ! '^'^ ("00 + '^0lif* + «02;t*^)-(«10^«ll.'*^«12|i')^-(«20-«2l/+^«22i^^)'^'' 1 fi' = (^00 -^ ^01 if* + ^02 f*^) ^ (^10 ' ^11 i^ + ^12 f*^) ^^ i\o "- ^21." ' ^22 ^"^) ^^ und betrachte sie einzeln. Die ganzen Zahlen a^j. der eisten Kongruenz sind so zu bestimmen, daß den neun Restpaaren X, a vorgeschriebene Zahlen X' entsprechen. Daraus ergeben si(;h für die neun zu bestimmenden *) Zufolge des Fermat sehen Lehrsatzes wurden Funktionen, die m / und /t den zweiten Grad übersteigen) nic^t mehr leisten als die Funktionen des Textes.
352 III, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. Zahlen a^j^ neun lineare Kongru.enzen. Die Determinante dieser neun Kongruenzen berechnet sich aber leicht als mod 3 mit — 1 kongruent. Es gibt also (natürlich mod 3 genommen) ein unserer Forderung genügendes Zahlensystem a^j^. Entsprechendes gilt von der zweiten Kongruenz (11), womit unser Satz bewiesen ist. Die Galois sehe Gruppe unserer Gleichung (1) besteht nun aus der Gesamtheit derjenigen Permutationen ihrer neun Wurzeln, die jede zwischen diesen Wurzeln bestehende Relation wieder in eine für sie gültige Beziehung überführen. Die Begriffserklärung der Tr'pelgleichung lehrt, daJ3 für jedes Wurzeltripel die Relation (5) S. 349 besteht, wo die Koeffizienten der rationalen Funktion B dem zugrunde liegenden Körper Ä angehören. Wesentlich neue Beziehungen aber bestehen zwischen den Wurzeln nicht. Die hier in Frage kommenden Relationen sind also: gebildet für alle Systeme von drei Wurzeln, die die Kongruenzen: (13) Aj -^ A, + Äs = 0, 11^-^11^ + 11^=0 (mod 3) befriedigen. Wir haben demnach alle Kongruenzen (11) heranzuziehen, die die zwölf Wurzeltripel untereinander permutieren, also aus drei den Kongruenzen (13) genügenden Restpaaren X^, ^i^; /I2. ;u,,; X^, ^i^ stets \^Heder drei Eestpaare X\, ^[^ Ag, /u.^; A3, ^^ mit: (14) ;i; 4- ;i; 4-;;, = 0, ;[*; + ^; -j- ^[i^ = 0 (mod 3) herstellen. Man setze nun erstlich in Übereinstimmung mit (13): Aj = 0, Ap = 1, A3 = 2, yi^ = yi^ = ^«3 = yi (mod 3), und findet aus (11) für die Bedingungen (14): «20 + «21 if* + «22 i^^ = 0> ^0 + hii^ + &22 i^^ = 0 (mod 3). Da diese Kongruenzen für alle drei Reste ^ gelten müssen, so sind die sechs Zahlen a^^, a^^, a^^, 6,^, \^, &,, mit 0 mod 3 kongruent. Indem man. zweitens wieder in Übereinstimmung mit (13) die besondere Auswahl: /Ij = ^2 = A3 = A, ;u,^ = 0, ^2=1) 1^3 = '^ (mod 3) trifft, zeigt sich entsprechend, daJ3 auch noch a^g, a^^, \^, h^^ = 0 (mod 3) sind. Es sind demnach höchstens die Kongruenzen: A' = «00 + «Ol ^ -^ «10 ^ + «11 ^ i^ ] , . ^, > (mod 3) ^ = ^0 - Vit^ + ^o^ + ^i^i^ I brauchbar. Wir setzen drittens entsprechend (13): k^ = H^ = 0, l^ = (i^ = 1, A3 = 1LI3 = 2 (mod 3) und finden für die Kongruenzen (14): 2rt,, = 0, 2\^ = 0 (mod 3),
Gruppe der Tripelgleicjimig aeunten Grades. 353 SO da£ auch a^^ und h^^ piit 0 kongruent sind. Unter Wechsel der Bezeichnungsweise der Koeffizienten haben wir fQr unßere Galoissche Gruppe der Tripelgleichung (1) den allgemeinen Ansatz (11) apf die •besondere Gestalt zu beschränken: <lo) , M (mod 3). Soll nun durch diese Substitution der Indizes 1, ^ eine Permi).tation der Wurzeln axfi wieder in allen neun Wurzelig dargestellt werden, so ist, wie man leicht feststellt, hierfür hinreichend und notwendig, d^j3 die Determinante {ad — ßy) der Substitution (15) nicht du|-ch 3 teilbar ist, daß also eine der Kongruenzen gilt: (16) ad-^y= + l (mpdS). Man beachte femer, daß dfei Zahlenpaare Aj, Uj; }.^, ii^; A3, ^3, die d:(.e Kongruenzen (13) erfüllen, durch ciie Substitution (15) in drei Paai'e J,j, ;u,j; X'.-^, 11^; A3, ;u,3 übergeführt werden, die dann auch stets die Kongruenzen (14) befriedigen. Die Galoibsche G-riippe der Tripelgleicimng neunten Grades (1) .besteht aus allen Permutationen ihreir nenn WurMß, die von den linearen Substitutionen (15) geliefert werden; dabei sind die f^i ß, 7) dj Aq, ^q ganze Zahlen, von denen die erden vier eine der beiden Kongruenzen (16) erfüllen. Die Gesamtheit der mod 3 inkongruenten Substitutionen (15) stellt offenbar eine Gruppe dar, die wjr als die binare nicht-liomßgene Konyrueng- gruppe dritter Stufe bezeicimen wollen*). Mit ihr ist unsere Galois sehe Gruppe isomorph; denn es ist leicht zu sehen, daJ3 zwei nicht-kongruente Substitutionen (15) stets auch zwei verschiedene Permutationen der neun Wurzeln der Tripelgleichung ergeben. In dieser Gestalt als Kongruenzgruppe wird sich unsere Gruppe der päheren Untersuchung sehr zugänglich erweisen. §10. Ordnung und Struktur der Galois sehen Gruppe einer Tripelgleichung neunten Grades^ Die Ordnung der soeben erklärten Kongruenzgruppe dritter Sti^fe ist gleich der Anzahl inkongruenter Substitutionen (15) §9 Um diese Ordnung zu bestimmen, beachte man, daß zum einzelnen Zahlquadrupel u, ß, y, 8, das eine der Kongruenzen (16) befriedigt, immer neun Substitutionen gehören, da A,,, fio unabhängig yoneinander und von den a, ß, y, d Kestsysteme modulo 3 zu durchlaufen haben. Von den 81 inkongruenten Zahlquadrupeln a, ß, y, & befriedigen, ^ie man ieicht abzählt, 33 die Kongruenz ad — ßy = 0. Die übrigen 48 Quadrupel befriedigen also die Kongruenzen (16) §9, und z^ar gilt für 24 Quadrupel das obere *) Der Begriff „Kongruenzgruppe'- ist also hier m anderem Sinne gebraucht, wie bei den Teilern der Modulgruppe. Fricke, Algebra. II. 23
354 ni? 1- Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. und für die übrigen 24 das untere Vorzeichen: Unsere Kongruenzgruppe imd damit die Galois sehe Gruppe der Tripelgleicliung (1) § 9 ist ein ©^g^ der Ordnung 432. Die Dekomposition dieser ^^33 in eine Kette größter Normalteiler ist sehr leicht zu leisten. Die zu (15) § 9 inverse Substitution ist: j 2:^' ^ S^ — ßi^ — (SK — ß."0)' [ + u' = — 7 A ~f a i[i ~f (y Ao — a^o)- Man stellt daraus leicht fest, daß die neun Substitutionen: (2) A' = A ~f Iq, ;[i' = fi ~f fig einen J^ytimutativen Normalteiler @g bilden. Auf der anderen Seite bilden die 48 Substitutionen: (3) l' ^ aX-^r ßii, ii' ^yk-^öyi, dc8 — ßy ^±1 einen nicM-normalen Teiler ®^g, der als die homogene Kongruenzgruppe dritter Stufe Ö)^g zu bezeichnen ist. Dieser Teiler @^g kann unmittelbar als Komplement des Normalteilers ©g benutzt werden. Wenn man demnach die @^8 dekomponiert und zu jedem zu gewinnenden größten Normalteiler die @g der Substitutionen (2) hinzufügt, gewinnt man die Reihe der Zusammensetzung (vgl. I, 280) für die Gesamtgruppe Ö^g^ wenigstens bis zum Kormalteiler ^g. In der homogenen Kongruenzgruppe ©^g ist nun zunächst ein Kormalteüer ©^4 ^^^ Index 2, bestehend aus den Substitutionen : (4) X'^aX-^ßii, ii: = yX + 8^, ad — ßy^l, enthalten, der als die unimodulare homogene Kongrmnzgruppe dritter Stufe zu bezeichnen ist. Auf diesen Teiler ©^4 ziebt sich die homogene Modulgruppe (vgl. S. 78) bei Reduktion modulo 3 zusammen. In der ©g^ hat man den (nicht größten) Kormalteiler ®^, bestehend aus den beiden Substitutionen: (0) ^' = i ^, ^' = ± i"- Das Komplement ist diejenige ©^g, auf die sich die nicht-homogene Modulgruppe bei Reduktion mod 3 zusammenzieht. An dieser ©^^ ^^^^ stellt man ohne Mühe den Tetraedertypus fest, so daß man sich weiterhin auf die Dekomposition der Tetraedergruppe ©^^ ^u stützen hat. Hiemach ist die Reihe der Zusammensetzung unserer Gruppe ©^33 leicht angebbar. Man hat zunächst einen Kormalteüer ©„^g des Index 2, der aus allen Substitutionen mit ad — ßy ^ 1 besteht. Entsprechend dem Übergang von der Tetraedergruppe zum Kormalteiler ©^ vom Vierertypus haben wir sodann einen Kormalteiler ©^g des Index 3 in der Gruppe ©216; bestehend aus allen Substitutionen (15) §9, deren Zahlquadrupel einer der acht Kongruenzen: («) (;,i)-±(ö;?). ±{Vo)' ±{tl)' ±{tl)
Zerlegung der Gruppe der Tripelgleichung neunten Grades. 355 genügen*). In der Vierergruppe hat man jetzt die Auswakl zwischen drei Normalteüern ®^. Wir wählen in der ®^^ etwa den ]S[orm^lteiler ©gg. dessen Substitutionen die beiden ersten Kongruenzen (6) befriedigen, und weiter in dieser ©gg den Xormalteile;- ©^g aller Substitutionen, die der ersten Kongruenz (6) genügßn. Hieran reiht sich weiter der schon genannte kommutative Xorpialteiler @g aDer Siabstitutionen (2), bei dem man dann endlich die Auswahl zwischen vjer zyklischen Normalteilern ©3 des Index 3 hat. Hiemach ist die Beße d^r Zusawimensetzung def Galois sehen Gruppe ©^3^ ßiner Tripelgleichung neunten Grqdes durch: (7) ®,^„ ®,,„ ©,„ ©3,, (k\„ ©„ ©3, @, und also die Indexreihe durch 2, 3^ 2, 2, 2, 3, 3 gegeben, so daß jedß Tripelgleichung neunten Grades eine mdazyJJische Gleichung (vgl 1,410) ibi. Lassen wir die Wurzeln ocia der T4pelgleichujig dßn in (5) S. 345 gegebenen transzendenten Arguqienten: der Wendepunkt der Kurve dritten Grades entsprechen, so liefert die Kollineationsgruppe ©^g der Kurve ip sich den Normalteiler ©^g |n der Reihe (7). Der Zusatz der unimodularen homogenen I^^ongruenzgruppe dritter Stufe (Tetraedergruppe) prgibt in der Eeihe (7) die ®^^^, die sich also mit der Hesseschen Gruppe ©g als isomprph erweist. Beim Festhalten einer Wurzel der Tripelgleichung, z. B- der Wurzel a^Q, gewinnt man einen nicht-normalen intransitiven Teiler ©^g der Galois sehen Gruppe ©^32 der Tripelgleichung, der sich mit der homogenen Kongruenz- gruppe aller Substitutionen (3) als isomorph erweist. Diese Gruppe ißt insbesondere bei der Kurve dritten Grades sehr bekannt: Wir gelangen swr Galois sehen Gruppe ©^^ der speziellen 'J'eölungsgleichung für den d^ittep Teilungsgrad, die sich nach ÄdjunUion der Kubikwurzel c|!er Hinheii,, d. Jp. der quadratiscJien Irrationalität \— 3, auf deren ,.Monodromiegruppe-' ©^^ reduziert. Diese ©3^ ist dann mit der homogenen mmiftodulßren Kongruena- gruppe dritter Stufe isomorph ===*). §11. Notizen über reelle Tripelgleichungen. Wir schließen noch pia paar Bemerkungen über den besonderen Fall an, da£ der zugrunde liegende Za,hlkörper und damit auch die Koeffizienten der Tripelgleichung reell sind. Auch die Gleichung: (1) ^h, ,"3 = ^ i^i-i, ^1 • "^2, ''2) *) Gemeint sind natürlich die Kongruenzen'• a S 1, ^ S 0, ^;/ s 0, ^ S 1, a ^ _ 1, ^ =. 0, |;/ = 0, ^ = — 1, **) Man vgl. das Nähere in „Bllipt. Funkt." II, 244 ff.
356 HI, 1. Wendepunkte ebener Kurven dritten Grades. zwischen den drei Wurzeln eines Tripels hat dann reelle Koeffizienten. Da die Wurzeln des Tripels hier in beliebiger Reihenfolge eingesetzt werden können, so folgt als erster Satz: Sind in einem Tripel zwei Wurzeln reell oder Jconjugiert komplex, so ist die dritte Wurzel reell. Sind nun nicht alle neun W^urzeln der Tripelgleichung reell, so treten mindestens zwei konjugiert komplexe Wurzeln auf. Sie liefern ein Tripel, dessen dritte Wurzel reell ist. Die einzelne der beiden komplexen Wurzeln kommt aber" noch in drei weiteren Tripeln vor, und in diesen Tripeln finden sich nach dem eben aufgestellten Satze mindestens noch drei weitere komplexe Lösungen. Da aber die Anzahl dey komplexen Wurzeln gerade ist, so treteii jetzt deren mindestens .sechs auf. Wir gelangen zu dem Satze: JEine reelle Tripelgleichung neunten Grades hat entweder nur eine oder nur drei oder lauter reelle Lösungen. Liegen eine reelle Lösung und vier Paare konjugiert komplexer Lösungen vor, so bilden diese vier Paare je vereint mit der reellen Wurzel die vier Tripel, an denen die reelle Wurzel beteiligt ist. Von besonderem Interesse ist der Fall von drei reellen und drei Paaren konjugiert komplexer Wurzeln, weil dieser Fall bei der Gleichung für die Wendepunkte einer reellen doppelptmktfreien Kurve dritten Grades vorliegt. Wir wollen hier die drei reellen Wurzeln, die ja zusammen eines der zwölf Tripel bilden, mit a^^Q, a^^, a^^ bezeichnen. Aus den sechs komplexen Wurzeln bilde man dann zunächst die beiden Tripel: (2) (a^j, «,2> «2o)' Ko' «21' ^^02)- Li keinem dieser beiden Tripel können zwei konjugierte Wurzeln vorkommen, da sonst die dritte Wurzel reell wäre. Es sind also die drei Wurzeln des ersten Tripels (2) in irgend e.iner Reihenfolge den drei Wurzeln des zweiten Tripels konjugiert. Hierbei zeigt sich noch der Satz: Die drei Paare Jconjagiert Jcomplexer Wurzeln sind den drei reellen Wurzeln zugeordnet in der Art, daß das einzelne Paar mit der zugeordneten reellen Wurzel ein Tripel UJdet. Es kommt z. B. die reelle Wurzel «oo außer im reeEen Tripel (a^o, «n, «22) ^^^^ ^^ ^^^ ^^^^ Tripeln: (3) (a^o, «12- «ai)» Ko' «Ol' «02)' («00' «jc «20) vor. Man nehme nun dem Satze entgegen an, da£ mindestens zwei unter den drei Paaren: (4) «12' «21' «Ol' «02' «10' «20 Paare konjugiert komplexer W^urzeln darstellen würden, dann würden für das dritte Paar auch nur zwei konjugiert komplexe Wurzeln übrigbleiben. Man bilde nun das Tripel (a^j, «^2' «20) ^^^^ erwäge, daß mit den drei Zahlen a^^, w^^, a^^ auch ihre konjugiert komplexen Zahlen a^^, a^^, «jo die mit reellen Koeffizienten ausgestattete Gleichung (1) befriedigen.
Sätze über reelle TripelgleichungeQ neunten Grs^des. 357 mithin ein Tripel bilden. Dies ist aber nicht def Fall, da die Beding^ng (9) S. 351 eines Tripels nicht erfüllt sein wiirde. Also fin4et siph ui^ter (4) höchstens ein Paar konjugiert komplexer Wurzejn. Indem m^ eine entsprechende Überlegung für die beiden anderen reellen Wurzeln a^^, a^^ durchführt, gelangt man Ißicht zum Beweise d^es Satzes. Zweites Kapitel. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. § 1. Anzahl der Doppelt^ngenten einer ebenen Kurve vierten Grades. Die bei der Klein sehen Gruppe auftretende ebei^e Kurve vierten Grades hatte 28 Doppeltangenten m^it 5Q getrennt liegenden Berührungspunkten, die wir auf der Kurve in zwei Arten durch je sieben Kegelschnitte ausschneiden konnten. Allgemein ist die Theorie der Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades in algebraischer Hinsioht beziehungsreich und interessant. Diese Theorie soll hier als letztes Beispiel gruppentheoretische^ Anwendungen im Gebiete der analytischen Geometrie behandelt werden. Wir setzen eine irreduzible und doppelpunktfreie ebene Kurve vierten Grades in homogeuen Koordinaten x^, x^, x^ di^rch: (1) F(sp^, x^, x^) = 0 als gegeben voraus und schreiben die linl^e Seite der Gleichung ku^z F{x). Ein einzelner Punkt der Kurve habe die Koordinaten x^, x^, x^. Die Kurventangente in diesem Punkte ist in variablen Koordinaten |^, 1^, Ig durch: (2) ^^Ki^)+^2K(^)^t^Ki^) =0 dargestellt, wo Fl die partielle Ableitimg von. J" in bezug auf Xk ist. Man wähle den Punkt (|^, ^^, I3) auf der T^agente beliebig, jedoch vom Berührungspunkte verschieden; darpi durchläpft der Punkt: (3) K + ^ii- ^2-^n„ ^3-^3)' unter t einen variablen Parameter verstanden, die fragliche Tangente. Um alle Schnittpunkte der Tangente (2) mit der Kurve vierten Grades zu berechnen, haben wif die Koordinaten (3) in die Kurvengleichung eiazutragen und die in t auf den vierten Grad ansteigende Gleichung: (4) Fix, +t^,,x,-^t^„x,^t^,) = 0 nach t zu lösen. Entwickelt man die Ipike 3eite der Gleichung (4) auf Grund von (8) in I, 41 nach P(^laren uAd damit zugleich nach Potenzen von t, so fallen wegen (1) und (2) das Absolutglied und das GKed mit t
358 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. aus, entsprechend dem Umstände, daß zwei von den vier Wurzeln t gleich 0 sind. Die dritte und vierte Wurzel genügen der quadratischen Gleichung: (5) P2(^II) + -Pb(^'1I)* + -P.(^II)^' == 0. wo P,, (a;j|) oder ausführlich P^ix^, Oi,^, »slli, I2' I3) ^^^ '^*^ Polare von F(x) in bezug auf den Punkt (|j, 1^, I3) ist. Benutzt man die Beziehung (9) in I, 42, so schreiben sich diese Polaren ausführlich so am einfachsten: 2-P2 = K(t)4±Ka)xi^----^2F';,{i)x,x,^), Pg = F[ (I) x^^-^ F', (I) X, 4- K (I) »3. Damit in der betrachteten Tangente eine Doppeltangente der Kurve vierten Grades vorliegt, ist hinreichend und notwendig, daß die Gleichung zweiten Grades (5) zusammenfallende Wurzeln hat, oder daß die Dis- kri min ante J {x^, x^, %lli, Ig, I3) dieser Gleichung verschwindet: (6) z/(^ II) = Pf ~ 4P2P, = 0. Diese Gleichung ist in den x vom zweiten und in den | vom sechsten Grade. Sie ist, falls der PunM (x-^^, x^, x^) auf der Kurve liegt [Gleichung(1)] und falls der PunM (|j, Ig, I3) ein vom Berührungspunkte verbcMedener PunM der Kurventangente im PmiMe (x-^, x^, x^) ist [CReichung (2)], die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß der PunM {x^, x^, x^ der BerilhrungspunM einer Doppeltangente der Kurve vierten Grades ist. Die Gleichung (6) ist in eine Bedingung für den Berührungspunkt (Xj^, x^, x^) eiaer Doppeltangente umzuwandeln, die frei ist von den |i, Ig, l^- Wir befriedigen zunächst die Gleichung (2) für die |j, 1^, 1^ in allgemeinster Art mittels dreier unbestimmter Größen 6^, h^, h^, indem wir: [ li = \F;ix)-\F;^(x), (7) l,::=\F[(x)-h,F;,(x), [% = \F'^{x)-\F[{x) setzen. Der geometrische Sinn dieser Lösung der Gleichung (2), die nach Eintragung der Ausdrücke (7) für die | in den x identisch erfüllt ist, ist offenbar der, daß wir auf der Tangente (2) den Punkt (|j. Ig, I3) auswählen, in dem sie von der Geraden: geschnitten wird. Die hier Hnks stehende Hneare Form, in den x statt in den | geschrieben, möge kurz durch B {x) bezeichnet werden: B {X) = fej «^ -p Ög ^ + &3 »3- *) Mit F'^j^ ist die zweite partielle Ableitung von F nach x^ und ir^ gemeint.
Berechnung der Anzaiü deif Doppeltangenten. 359 Die Auswahl der linearen Form B (x) unterliegt nur der einen Beschränkung, daß sie für die Koordinaten x^, x^, x^ des Berührungspunktes unserer Tangente nicht verschwinden darf: (8) BW^=0, da anderenfalls entgegen unsei^er Annahme der Punkt (| t ^) der Tangente der Berührungspunkt wäre. Trägt man die Ausdrücke (7) der | in unsere Bedingung (6) für den Berührungspunkt einer Doppeltangente ein, so nimmt diese Bedingung die Gestalt an: J (X^ , X^, X,,\\ F^ {X) — &3 F'^ (ä), ..)=:(}. Der hier links stehende Ausdruck, de^ in den x vom 20^^^" und in den unbestimmten Größen h voni sechsten Grade ist, möge kurz D^-Tj, a?2, ^sl^i, 6,' ^3) o^^er D {x V) genannt werden. Die Bedingung für den Berührungspunkt {x^, /^^ ^3) ^i^^r Doppeltangßnte lautet dan^T: (9) Bipo li) = 0, unter Hinzunahme der Ungleichung (8). Diese Ungleichung ist; wesentlich. In der Tat läuft nach Auswahl der })^. \, h^ die Kurve 20^^^" Grades (9) stets durch die vier Schnittpunkte der Gerade^ B (x) = 0 mit der Kurve vierten Grades hindurch. Ist nämlich (x^, a^, x^) ein solcher Schnittpunkt, so fallen die Punkte (|j. Ig, I3) und (^^, ^g, x^) zusammen, und es werden für diese Koordinaten x^, x^, x^ nach (10) in I, 42 alle Polaren P, gleich F{x), also gleich 0, so daß die Gleichung (6) und damit die Gleichung (9) erfüllt ist. Die eben gefundenen unserem Problem fremden Schnittpunkte der Kurve F = 0 mit der Kurve 20sten Grades D (x h) = 0 sind nun durch eine algebraische Weiterentwicklung dieser Gleichung (9) m entfernen. Der Punkt (|j. Ig, |g) kann für unsere Zwecke durch jedßn anderen vom Berührungspunkte (x^, x^, x^) verschiedenen Pifnkt: (10) (^^i + /^li. ^•«2 + /^l2- ^-^3 ^ ftls), 14=^ der Tangente ersetzt werden. Wir stellen zunächst fpst, wie sich d[ie Gleichung (7) bei diesem Ersatz veiphält. Entwickelt man die Gleichung: F{x-tt(kx + iil)) = F{(l+lt)x-^litl) = (l^XtyF(x-^j^^^^ rechts und links nach Polaren [Gleichung (8) in I, 41], ^0 folgt mit Rücksicht auf das Versch^;räiden dey nullten und ersten Polare: fP^{x\lx + ii^)-YfI\(x ^x^- (i^) -^t'p^(x\kx + ^^) = (1 -^ Xty iiH' P,(x'l) + (1 -^ 2.t)(iU^P^(a ^)^^H'P,(x |).
360 III) 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Ordnet man rechts nach Potenzen von t und setzt die Koeffizienten gleich hoher Potenzen von t rechts und links einander gleich, so folgt: P,(x\lx + ii^) = (i'P,(x\^) + 2Xii'P,(x\l), . was man n^t Rücksicht auf das Verschwinden von P^ und P^ für die vorliegenden Argumente auch aus den entwickelten Ausdrücken der Polaren entnehmen kann. Der in (6) gegebene Ausdruck zi gehorcht demnach für die hier in Betracht kommenden Argumente x, | dem Gesetze: (11) zl(x\Xx + iil) = ^«z^(a;i|). Wir bestimmen nun die Parameter k, ^ so, daß der Punkt (10) der Schnittpunkt der Tangente (2) mit der beliebigen, jedoch nicht durch den Berührungspunkt dieser Tangente laufenden Geraden: A (x) = a^x^-{-a^x^-{- a^x^^ 0 wird. Entsprechend den Gleichungen (7) haben wir zu setzen: ;L a;^ + /Lt li = a^F^ (x) — a^F^ (x), ;L ajg + fi I2 = ag F[ (x) — a^ F^ (x), ^ ^3 + f^ I3 = «1 ^2 (^) — «2 ^1 (^) und ziehen aus (11) die Folgerung: (12) D(x\a) = ^'D(x\h). Zur näheren Bestimmung von fi multipliziere man die soeben für die (2.x -\- III) angegebenen drei Ausdrücke mit a,, a^, a^ und addiere, woraus man: (13) kA(x) + ^Ä(l) = 0 folgert. Multiplizieren wir dagegen die drei Gleichungen für die (Xx-\- ^^) mit 6j, 62, feg und addieren sodann, so folgt wegen i? (|) = 0: ^' ^2. h I kB (x) =^ a^, a^, ttg Andererseits folgt aus (7): F;(x), F'^{x), F^(x) iF;(x), F^(x), F^(x) und da die beiden hier rechts stehenden Determinanten entgegengesetzt gleich sind, so folgert man mit Benutzung von (13): ^Ä(l) = — X fiB (x) == — X Ä (x), Ä(x) = ^B(x).
Berechnung der Anzahl der Doppeltangenten. 361 Teilt man die Gleichung (12) durch die sechste Potenz der letzten Gleichung, so folgt: ^ A(xy B{xf ' Der durch die sechste Potenz der linearen Form A (x) gdeiltß Ausdruck D(x\a) ist für die hier in Frßge kommenden Argumente x von den a,, Die Gleichung (14) ist unter der Voraussetzung bewiesen, daß der Punkt (x^, x^, x^) ein beliebiger Pfinkt der gegebenen Kurve yierten Grades ist. Die durch: B (xf D(x\a) — A (xf D(x\h) = 0 gegebene Kurve 26sten Grades enthält deipnach die Kurve vierten Grades als einen Bestandteil, so daß dip in der letzten Gleichung links stphendie Form die irreduzible Form F{x>) nach I, 43 ff. als Teiler besitzt. Setzen wir demnach : (15) B{pcfJ){x a)--A{xfI){x h) = F(x)0(x a, h), so haben wir in 0 (x\a, h) eine Form 22^*^^^ Grades der x, die sowohl in den a als den h vom sephste^i Grade ist. Um die Bauart dieser Form 0 leichter zu übersehen, nehmen wir an, daß sich die Geraden A (x) == 0 und B (x) = 0 nicht apf der Kurve F(a;) ==:; 0 schneiden, und wählen diese beiden Geraden <zur X- und Y-Achse eines vorübergehend zu benutzenden kartesischen I^oordinatep.- systems. Die Gleichung (15) besteht in den « identisch- Eechnen wir sie auf die neuen Koordinaten X, Y um, so stehen linkß lauter Glieder, die entweder durch Y^ oder durch X^ teilbß,r sind. Rechts stpht im ersten Faktor ein Ausdruck ii^it nicht yerschwindendem Absolutgliede. Würden, wenn wir im zweiten Faktor alle Glieder^ die nicht mindesteiis einen der Faktoren X^, Y*^ entlialten, fortlassen, überhaupt noch Gliedpr übrigbleiben, so würden von den Gliedern niedersten Grades beim Ausmultiplizieren mit F (wegen des i^icht verschwindenden Absolutgliedes) im Produkte nicht ausfallende Glieder herrühren, die keinen der Faktoren X^, Y^ haben. Das aber widerspricht dem identischen Bestehen der Gleichung. Hiemach ist es i^öglich, die Form 0 in die Gestalt zu kleiden: 0(x\a,h) = A (xf 0, (x\a,h) — B (xf 0^ (^ \ a, {*), wo 0j und 02 Formen Ißs^n Grades der x sind. Aus (15) ergibt sich nun als identische Gleichung: A(xf {D(x^h)-^F(x) 0, (x■ a, h)) = B {xf (D (x a) + F(x)0^(x'a, h)). Auf Grund der Sätze in I, 43 ff. findet paan, daß A (xf ein Teiler der rechts mit B (xf multiplizierten Fopn 20sten Grades ist. Man schreibe: D(x\a) + F(x) 02 (X a, h) = A {xf W (x , ß, h)
362 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurs'en vierten Grades. und hat in W eiae Form 14*«'» Grades in den x. Wir kleiden diese Gleichung in die Gestalt: D (x lO) , , 0« (a; I a, h) und tragen nunmehr ter die bisherigen unbestimmten Größen a, h spezielle, etwa rationale Zahlen a^, a^, a^ und /3,, ß^, ß^ ein, für die wir die beiden linearen Formen insbesondere A (x) und B (x) nennen *). Die Form 14*^^* Grades Wix' a, ß), die außer von den x nur noch von den Koeffizienten der Form F (x) abhängt, bezeichnen wir kurz durch X (x): Aixf " ^^-"^ "^^^ Aixf Durch Subtraktion der letzten Gleichung von der vorletzten folgt: A(xy A(xf ^ ^ ^ '\ Ä(xy A(xy / Schreibt man für die hier links stehende Differenz auf Grund von (15); D(x a) D(x a) __ 0(x\a, a) Ä(xy A(xy "" ^ \A{x)A{x)y' so folgt. W{x a,h)-Xix)-Fix)[^--^^^ AW~^P(^ÄW/ Durch Multiplikation dieser Gleichung mit der sechsten Potenz des Produktes der beiden linearen Formen A {x) und A {x) gelangen wir zu einer identischen Gleichung der Gestalt: A {xf A {xf {W (a;, a, &) — X (x)) = F (x) ^ (ä), wo Si(x) eine Form 22«^^^ Grades ist. Xun ist aber i^(ii:) teilerfremd gegen A (x) und A (x), so daß Sl (x) durch die sechste Potenz des Produktes dieser linearen Formen teilbar ist. Man findet; W(x a,h) — X (x) ^ F(x)H (x), wo H{x) eine Form zehnten Grades ist. Den hieraus sich ergebenden Ausdruck von ^ (./j a, h) tragen wir in die Gleichung (16) ein und erhalten bei Gebrauch der Abkürzung; A (xfH(x) —0^(x\a,h)=a (x) für die ganze Funktion 14*«^ Grades X{x) die Darstellung; (!') Xix)- ^^^^ , wo Cr(x) eine Form 16*^" Grades ist. *) Naturlich sind die rationalen Zahlen a. ß so zu wählen, daß sich die Geraden A (x) = 0 und B (a?) = 0 nicht auf der Kurve vierten Grades schneiden.
Anzahl der Doppeltangenten. 363 Durch die Kurve 20^*^" Grades D (x a) == 0 werden auf der Kur\.e vierten Grades F (x) = 0 alle Berhhrungspuiikte von Doppeltangenten ausgeschnitten. Wie wir saher)., wei'den aber auch noch fremde Punkte ausgeschnitten, nämlich die Schnittpunkte der Kurve vierten Grades mit der Geraden A {x) = 0, die wir sp gewählt denken können, daß sie durch keinen Berührungspunkt einer Doppeltangente hiadurchläuft. Zufolge (17) werden alle Berühruiigspupkte der Doppe^tangenten auch durch die Kurve 14*^" Grades X {x) =^ 0 atisgeschnitten. Jene fremden Schnittpunkte aber können jetzt nicht mehr hiazukommpn; denn die Kurve 14ti,n Grades Z (a?) = 0 ist von der Auswahl der Geraden A (x) = 0 unabhängig. Damit ist der folgende Satz bewiesen: Auf der Kurve vierten Grades F(x) = 0 liegen 56 BerührungsßunMe von DoppeUantjenterp; die Zahl der BoppeUangenten ißt alßo 28. 3k]an könnte hiergegen m^r noch einwenden, daß durch unsere Betrachtung die Zahl 28 pur erst a^s obere Grenze für die Anzahl der Doppeltangenten erwiesen sei; es könpe ja möglich sein, daß die Kurye F{x) == 0 allerp.al durch mehrfache Punkte der Kurve 14*^" Grades X {x) = 0 hindurchlaufe. Daß dies nicht zutrifft, lehrt das Beispiel der Kleinschep Kurve: (18) xl »g -j- a'l x^ --j- xl x^ == 0, die in der Tat 28 Doppelt^ngenten besitzt. §2. Steiner sehe Komplexe von Dpppeltangenten. Man wähle eine erste Doppeltangepte als Seite i^ = 0 des Ko- ordiaatendreiecks. Sondert man dann aus allen Gliedern dey biquadratischen Form jP, die x^ enthalten, diesen Ffiktor x^ ab, sq läßt sich F \n die Gestalt: (1) F =z X^(p (X^^, »2, ^3) 1^ (^2' ^3)^ setzen, wo tp eine kubische Form von x-^, x^, x^ jst und 1^ eine quadratische Form von »,, x^. Für x^ = 0 muß pämlich die biqpadratische Gleichung F = 0 für das Verhältnis x^: x^ zwei Doppelwurzeln haben. |jassen wir im letzten GKede auch noch x^ zu, so können wir die Gestalt (1) der biquadratischen Form in dreifach unendlich vielen Arten erzielen. Ist nämlich l (x^, x^, x^) eine lineare Form mjt drei beliebig wählbaren Koeffizienten, so können wir auch: (2) F=x,((pi-2li; + x^ ;;^) - (i^ -r Ä .,)^ schreiben, wo in der ersten Klamme;- wieder eine kubische Form ^nd in der zweiten eine quadratische i'orm steht, Irgend eine zweite Doppeltangente sei durch Kullset:?en der in den X linearen Form y.^ dargestellt. Wir fordern, daß der Kegelschnitt tl; ^ Xx-^ = 0 durch die beiden Berührungspunkte dieser zweiten Doppeltangente hindurchläuft, womit für die drei Koeffizienten von Ä zwei lineare Bedingungen vorgeschrieben sind. Wir wählen y^ = 0 zur zweiten Seite des Koordia^tendreieclcs und nennen der Gleichmäßigkeit
364 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. halber die dritte Koordinate z. Die erhaltene Gestalt der biquadratischen Form aber schreiben wir gleich wieder so: (3) F == x^(p{x^, y^, z) — ip(x^, y^, zf. Für die Koordinaten der beiden Berührungspunkte der Doppeltangente y^ = 0 verschwinden ip und F, also zufolge (3) auch (p. Da in diesen beiden Punkten die Tangente durch y^ :=: 0 gegeben ist, so verschwinden in beiden Punkten die partiellen Ableitungen von F nach x^ und z: dF , dtp ,^dt ^ dx^ ^ ^ ^dx^ ^dx^ —- = x^-~^— 2i;^~ = 0. dz dz öz Es folgt also, da an beiden Stellen cp und ip, nicht aber x^*), verschwinden: d x^ ' dz Demnach ist die Gerade «/^ = 0 auch eine Doppeltangente der Kurve dritten Grades g? = 0, so daß diese Kurve in die fragliche Gerade und einen Kegelschnitt zerfällt. Entsprechend setzen wir (p = y^^ ^^^ haben für die biquadratische Form nach Auswahl zweier beliebiger Doppeltangenten x^ = 0, y-^^ == 0 die Darstellung: (4) F=x^y,x-t', wo ;^ und tl; quadratische Formen sind. Diese Gestalt unserer biquadratischen Form ist noch in einfach unendlich vielen Arten erreichbar. Haben wir ein zweites Mal die Gestalt: (5) F= x^y^X — W^ erhalten, so folgt als identische Gleichung: (6) ^j^^y^(x-x)=. (W-t)(^ + '4')- Man nehme nun an. x^ gehe in dem einen Faktor, y.^ aber im anderen Faktor der rechten Seite dieser Gleichung auf. Dann verschwinden im Schnittpunkte der beiden Geraden x^ = 0, y-^ == 0 beide Faktoren {W +1^) und also auch ihre Differenz 21^, Infolge von (4) liegt dieser Schnittpunkt auf der Kurve vierten Grades und ist ein Doppelpunkt dieser Kurve. Da nun die Kurve als doppelpunktfrei vorausgesetzt wurde, so ist die Annahme unhaltbar, und also ist x^ y^ Teiler nur eines der beiden Faktoren in (6) rechts. Da wir über das Vorzeichen von W *) Wurde die Gerade cci = 0 durch eine dieser beiden Stellen hindurchlaufen, so wurden beide Gerade die Kurve daselbst zweipunktig schneiden. Die Kurve hätte dann hier einen Doppelpunkt, und die Geraden Xi =^ 0, yi =: 0 wären zwei Tangenten vom Doppelpunkt an die Kurve. Indessen sollte die Kurve doppelpunktfrei sein.
Doppeltangenten als Koordinatenachsen. 365 noch verfügen können, so dürfen w'ir annehmen, daß x^ y^ i|i (W — ip) aufgeht. Dann gilt, da (!*' — ■^) voin zweiten Grade ist, die identische Gleichung: wo ^ eine Konstante ist. Aus (6) folgt: und wir haben tatsächlich die einfach u^iendKch vielen Darstellungen: (7) i,' = a;, ^, (;U -i- 2 ;[i </; + jti^ x^ y^) — (t-j- pL x^ y^f unserer biquadratischen Fopn. Es soll nun die Konstante fi derart bpstimmt \ferden, daß die quadratische Form: (8) Z + '^^i^^+f^'^ii/i reduzibel wird und in zwei lineare Formen zerfällt, die alsdann durch »2 und y^ bezeichnet sein mögen. Füy diesen Zerfall ist d^s Verschwinden der Diskriminante der quadratischen Form (8) charakteristisch. Schreiben wir explizite: f9^ [ '^'^ ^" ^^ ^ "^^ ^' "^ ^^^ ^^ + 2 «1, x^ y^ 4- 2 a^^x^z-\^2 ß^^y^z, I ^ = &n '4 + &22 yl + \z ^^ + 2 I),2 », 2/i + 2 &ig a;, ^ -^ 2 633 y^ z. so liefert die Forderung verschw:|.ndender Diskriminp,nte für ^ die Gleichung fünften Grades: ^ a„ -[- 2 ill bji, fij, -4- 2 u &J2 -f i iti^, «13 -^ 2 ^i 6^3 (10) «21 + 2 ^a bgi -r I ^lt^ «32 + 2 i[i 6,2, «23 +- - ^ ^23 I = 0- «31 + 2 ^ 631' «32 + 2 ^ 6^2, «33 ~ 2 fi 633 Setzt man eine der fünf Wurzeln ^ dieser Gleichung in die Form (8) ein. so zerfällt diese in zwei lineare Faktoren, Die den fünf Wurzeln ^ entsprechenden Zerlegungen der Fprm (8) nehmen wir x^y^, x^y^, •■•, x^^y^, und die zugehörigen quadratischen Formen (i/; -|r ji x^ y^ mögen durch ^2' ^3' ■"' ^6 bezeichnet werden. Wir haben danüt dep folgenden Satz gewonnen: Nach Auswahl eines 'beliebigen JPaares von I)oppeUarj,gen,ten ^j = 0, y^ =:z=: 0 der Kwrpe vierten Gerades laßt sich die GJeichaßg der letzteren auf fünf Arten in die Gestalt: (11) a)^yxXkiji, — i>l=(}, /t = -j, 3, ■••, 6, Meiden, wo %., y^. fünf Paare II Mar er Formen und ipi. fimf Ihnen entsprechende quadratische Formen sind. Es ist aus (11) unmittelbar einle^chtelad, daß wir in x^^ = 0, yj. =:: 0 Wieder ein Paar von Doppeltangenten der Kurve vierten Grades dargestellt finden, deren vier Berührungspunkte gleiphfalls auf dem Kegelschnitt tjj^ = 0 liegen. Man kann demnach ^em gewonnenen Ergebnis auch folgende Gestalt verleihen: Nach Auswahl eines beliebigen Paares von Doppeltangenten x^ == 0, 2/1 = 0 9^^^ ^^ f^'>^f zugehörige
3ßg III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. weitere Paare u^^. = 0, ^jt = 0 pon der Art, daß die acht Berührungs- punUe des einzelnen der fünf Quadrupel auf der Kurve vierten Grades durch einen Kegelschnitt i/»^. = 0 ausgeschnitten werden*). Das System der sechs Doppeltangentenpaare % = 0, ^/^ = 0 heißt nach Weber ein „Steinerbcher Komplex" von Doppeltangenten**). Die frühere Sprechweise „Steinersehe Gruppe- ist wegen der anderen Bedeutung des Begriffs einer „Grappe- ia der Algebra unzweckmäßig. Durch x^ = 0, y^ = 0 und x^ ■= 0, y^ = 0 seien jetzt irgend zwei unter den fünf Paaren x^ = 0, yk = ^ ^on Doppeltangenten, die wir dem Paare a;^ = 0, t/i == 0 zugeordnet fanden, dargestellt. Aus den beiden Gestalten: F :== x^y^x^y.2 — il^l, F = x^y^x^y^ ~ tl^l der biquadratischen Form folgen die identischen Gleichungen: ■^1 l/i ^2 2/2 — tl = '^i y-i 'J^z Vz — ^f' ■^1 Z/i (^2 2/2 — *3 y%> = (^2 — "^s) (^2 + 1/^3)- Wie oben schließen wir, daß x-^ y^ als Divisor in einem der beiden rechts stehenden Faktoren enthalten ist, da die Kurve doppelpunktfrei sein sollte. Wir dürfen demnach, da das Vorzeichen von ^3 noch gewechselt werden darf, auf die weiteren identischen Gleichungen schließen: (12) u-f^tl^ — i)^ — %, ^i y^~x^y^ = a (^3 4- i^^, unter a eine von 0 verschiedene Konstante verstanden. Für die quadratische Form z^2 ergibt sich hieraus die Gleichung: 2 a ^2 = «2 ^^ y^ J^^^y^_ ^^ y^^ und die biquadratische Form F gestattet die Darstellung: (13) Aa^F =r 4:a^x^y^x^y^— (a^x^y^ + x^y^ ~ x^y^)\ =*) Die Forderung, daß von den zwölf hier in Frage kommenden Doppeltangenten irgend zwei identisch ausfallen, hat eine Relation zwischen den Koeffizienten a^^-, h^j. zur Folge. Man kann demnach zunächst die Koeffizienten so bestimmt denken, daß in keinem Falle ein solches Identischwerden auftritt. Aus funktionentheoretischen Erwägungen weiß man, daß die gesamten doppelpunkt- freien Kurven vierten Grades ein einziges Kontinuum bilden. Der Zusammenfall zweier Doppeltangenten bedingt aber (vgl. die voraufgehende Fußnote) das Auftreten zweier Doppelpunkte, Bei den doppelpunktfreien Kurven vierten Grades wird demnach das im Texte betrachtete System stets aus zwölf getrennten Doppeltangenten bestehen. **) Die ersten grandlegenden und weitreichenden Entdeckungen über das Problem der Doppeltangenten der Kurve vierten Grades machte Steiner im Jahre 1852; man vgl, dessen Abha,ndlung „Eigenschaften der Kurven vierten Grades rucksichtlich ihrer Doppeltangenten'-, Joum. f. Math., Bd, 49, S. 265. Unabhängig von Sterner hat zu der gleichen Zeit auch Hesse seine grundlegende Arbeit „Über die Doppeltangenten der Kurven vierter Ordnung", Journ. f. Math., Bd. 49, S. 279 verfaßt.
Sternerscke Komplexe von Doppeltangentenpaaren. 367 K'un dürfen wir die Knearen Formen x^^, x^, x. noch um konstante Faktoren ändern, ohne daß ihre Brauchbarkeit Einbuße erleidet. Statt ihrer führen wir x'i, x'i^ % durcii folgende Gleichungen ein: ax^^:= x-i, x^ ^= ax^, x^ = ax'^. Lassen wir dann nach Transformation der Gleichung (13) auf die x die oberen Indizes sogleich wieder fort, so ergibt sich nach Forthebung des Faktors a^ aus der Gleichung (13) für das Vierfache unserer biquadratischen Form F die Darstellung: 4i^= 4.x^y^x^^^ — {x^y^ -^ j^^y^- x^y.^f oder in entwickelter Gestalt: (14) l 4:F = 2 x^ y^ x^y^ + 2 x^y^ x^y^ + 2 x^ y^ x^ y^ I — «1 yl — A vi — A yl Die Symmetrie der rechten Seite in den drei Indizes 1, 2, 3 ist von grundlegender Bedeutung. Wir erkennen, dß-ß a,lle sechs Paare von Doppeltangenten % = 0, yy^ == 0 im Steiner sehen Komplex gleichberechtigt sind: Man wird immer wieder zu dem gleichen Steiner seh ,i, Komplex geführt, wenn man die vorstehende Entwicklung an irgend eines der fünf anderen Paare % = 0, «/j. = 0 statt an cp-^^ = 0, y^ = 0 anknüpft. Da sich aus den 28 Doppeltangepten im ganzen 378 Tangentenpaare bilden lassen, so folgt: Es gibt hei einer doppelpanktfreien Kurve vierten Grades im ganzen 63 Steiner sehe Komplexe; jedes Ta^gentenpaar gehört einem und nur einem dieser Komplexe an. § 3. Tripel und Quadrupel vqn Doppeltangenten, Die einzelne Doppeltangente, die durch eipe Gleichung X]. = 0 oder yf, = 0 dargestellt ist, wollen -yvir der Kürze halber durch bloße Angabe der linken Gleichungsseite % oder y^ charakterisieren. Die sechs Doppel- tangentenpaare des einzelnen Steiner schei|. Komplexes lassen sich wieder zu 15 Paaren kombinieren (1) %, yi] %, yj:, i, Ä z= 1, 2, .-•, 6 Das einzelne dieser 15 Tangenten quadrupel (1) ist dadurch charakterisiert, daß die acht Berührungspunkte dieser vier Tangenten auf einem Kegelschnitt gelegen sind und den vollen Schnitt der Kurve vierten Grades mit diesem Kegelschnitt darstellen. Das gleiche Quadrupel wird auch noch von zwei anderen Steiner^chen Kon^plexen geliefert, bei denen die folgenden Paare von Doppeltangenteiapaaren vorliegen: I «f, %; yi, yk, l x^, yk, %, yt- Im 'übrigen ist aus den Rechnungen des § 2 einleuchtend, daß man jedes Quadrupel von Doppeltangenten, bei dem die acht Berührungspunkte auf
368 ni, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. einem Kegelschnitt liegen, in den Steiner scken Komplexen, und zwar immer in drei solchen antrifft. Da wir 63 solclie Komplexe haben, so folgt der Satz: Es gilt im ganzen 315 Quadrupel von Doppeltangenten der Kurve vierten Grades von der Art, daß durch die acht Berührungs- punJcte der Tangenten des einzelnen Quadrupels ein Kegelschnitt hindurchläuft. Die Tripel von Doppeltangenten betreffend hat Frobenius*) im Anschluß an eine Untersuchung über Thetacharakteristiken folgende Bezeichnung eingeführt: Ein Tripel von Doppeltangenten der ebenen Kurve vierten Grades heißt ^syzygetisch^ oder „a^ygetisch-^, je nachdem die sechs Berührungspunkte der drei Tangenten des Tripels auf einem Kegelschnitt liegen oder nicht. Aus den bisherigen Darlegungen folgt ohne weiteres der Satz: Drei Doppeltangenten, die einem und demselben Steinersehen Komplex angehören, und zwar in der Art, daß zwei von ihnen ein Paar dieses Komplexcb bilden, une z. B. die drei Tangenten x^, y^, x^, bilden stets ein syzygetisches Tripel. Weiter laßt sich ohne besondere Mühe der folgende Satz zeigen: Drei Doppeltangenten, die einem und demselben Steiner sehen Komplex an- gelwren, ohne daß irgend zwei von ihnen ein Paar dieses Komplexes bilden, wie z. B. die Tangenten x^, x^, x^, liefern stets ein azygetisches Tripel. Zum Beweise beachte man, daß die diei Geraden x^, x^, Xg nicht durch einen Punkt laufen, da ein solcher Punkt zufolge (14) S. 367 der Kurve vierten Grades angehören würde, und zwar als mehrfacher Punkt, was jedoch ausgeschlossen ist. Wir dürfen demnach die fraglichen drei Tangenten als Seiten des Koordinatendreiecks benutzen und mögen für die Linearformen y^, y^, y^ in den x die Darstellungen finden: [ ^1 = «11 »1 + «12 % 4- «13 ^3' (3) I y^ = «21 Xj ~f «22 »2 + «23 »3' [ 2/3 = «31 ^1 + «32 »2 ~1~ «33 ^3- Aus der Kurvengleichung: I 2 x^y^ %y^ + 2 x^y^ «,y^ ~f 2 x^y^ x^y^ \ — zt y^ — %i yi — xl yl = 0 ===) läßt sich der Schluß ziehen, daß keiner der drei Koeffizienten a^^, a^^, «33 verschwinden kann. Wäre nämlich z. B. a^^ = 0, so würde die Tangente ^/^ durch den Schnittpunkt der Tangenten x^, x^ laufen, und dieser Punkt vriirde zufolge (4) der Kurve angehören, und zwar wieder als mehrfacher Punkt. Man berechne nun die Koordinaten der Berührungspunkte der *) Vgl. dessen Abhandlung „Über die Beziehungen zwischen den 28 Doppel- tajigenten einer ebenen Kurve vierter Ordnung'-, Journ. f. Math., Bd. 99, S. 275. =«=*) Man kleidet diese Gleichung auch vielfach in die irrationale Gestalt: V^^ + l'^^ + Vajgt/s ~ 0.
Syzygetische und azyget^sche Tnpe] von Doppeltangenten. 369 drei Tangenten x^, x^, %y Wir hahei^ zufolge (3) ui^d (4) die drei Paare von Grleichungen zu lösen: ^ iC^ = 0, »3 («23 ^2 4- «23 ^3) — ■^o («32 ^2 + «33 '^s) = ^^ (5) \ X^ = 0, »3 («gj itj -j- «33 iTg) — iCj («jj iCj 4- «13 ^3) = 0^ (»3 = 0, »1 («jj ;rj — «j2 -^2) ■^a (<'^21 ■^l ~r «22 ^s) =^ *^J von denen jedes Paar für eine der Tangenten die Berührimgspunkte liefert. Sollten diese sechs Punltte nun auf einem Kegelschnitte liegen, so sei dessen Gleichung: A^ Xl ~f J.2 «1 -f Ä^ Xl -j- 2 A,-,^ X^ X3 -4- 2 A^^ Xg X^ -^ 2 A^^ X^ X., =:: 0. Die drei unter (5) rechts stehenden Gleichungen zweiten Grades müßten also ersetzbar sein durch die drei Gleichungen: A^ xl -p -^3 X^ -f- 2 J.23 »2 Xg =: 0, A^ xl -^ A^xi -t- 2 j1j3 Xj x^ == 0, A^ xl 4- A, xl + 2 ^^2 «1 .^o = 0, woraus wir, unter Cj, c^ und Cg drei Konstanten verstanden, die Folgerungen ziehen: A.^ =Z 6"j «22 • A^ = fj «33 , A^ = ^'a^oä' '-■^1 = <"2«in ^1 ^^^-^ ^"3«]!' ^"^2 ~~^ ^3 «22" Da die «„, «22, «33 nicht verschwinden, so gilt: ^'l = ^'3) '^■3 = ~~ ^2' ''2 =^ '^1' SO daj3 die Konstanten c verschwenden und danait auch A^ = 0. A^ = 0, A^ = 0 gewonnen wird. Die Gleichung des fraglichen Kegelschnitts müßte demnach: ^23 ^2 ^3 -r -^31 ^3 X^-^A^, Äj X, == 0 sein. Dann aber würde der Kegelschnitt durch die Ecken des Koordi- natendreieoks laufen, während doch, wie wir wissen, diese Eckpunkte nicht die Tangentenberührungspunkte sind. Damit ist iiie Behauptung des letzten Satzes eingelöst. Weiterhin bezeichnen wir auch ein Qaadrapel von Doppeltangenten als .jbyzygdiseh^. wenn die acht Berührungspupkte der Doppeltangenten des Quadrupels auf einem I^egelschniite liegen. Andererseits ßoll irgend ein System von Doppeltangenten „aztjgetis^ch" heißen, wenn je drei aus dem System zu entnehmende Doppeltangenten ein azygetisches Tripel bilden. Irgend einen ersten Steiner sehen Komplex bezeichnen wir wie bisher durch: <6) x^,y^, x^,y,, Xg,^^, x^,«/^, x^,y^, j^,y^. Fricke, Algebra. II. -24
370 ni, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Aus der Kurvengleichung: ^"i Vi »2 ^2 — ^1 == 0 ergibt sich dann, daJ3 der zum Tangentenpaare »j, x^ gehörende Komplex auch das Paar y^, y^ enthalten muß, und daß im Komplex des Paares x-^, y^ auch das Paar %^^ y^ auftritt. Wir reihen dementsprechend an den Steiner sehen Komplex (6) die beiden folgenden Komplexe an: (7) Äi,Ä2' y^y^^ •••' (8) ■ ^1,2/2, ^2»^1' •••■ Aus den beiden letzten Sätzen ergibt sich, daß die Komplexe (6) und (7) außer x-^, y-^, x^, y^ keine Doppeltangente gemein haben. Käme nämlich z. B. die Doppeltangente oo^ auch im Komplex (7) vor, so wäre x-^, x^, x. nach dem ersten Satze ein syzygetisches Tripel, während doch aus dem zweiten Satze wegen der Stellung von x^, x^, %^ im Komplex (6) folgt, daß diese Doppeltangenten ein azygetisches Tripel bilden. Die gleiche Überlegung zeigt, daß überhaupt je zwei unter den drei Komplexen (6), (7) und (8) außer x^^ x^, y^, y^ keine Doppeltangente gemein haben. Da nun in jedem dieser Komplexe außer x^, y^, x^, y^ noch acht weitere Doppeltangenten auftreten, so folgt: In den drei Komplexen (6), (7) und (8) treten alle 28 Doppeltangenten auf, und zwar die Doppeltangenten ^i> 2^1 > ^2> 2/2 F dreimal, jede der übrigen aber einmal. Alle in (7) und (8) auftretenden Doppeltangenten außer x^ und ^.^ bilden nun mit x^, y^ azygetische Tripel. Da wir das Paar x^, y^ zu Anfang beliebig auswählten, so folgt: Mit einem helieMgen Paare von Doppettangenten x-^, y^ Mlden genau zelin weitere Dopßeltangenten sysy- gäibche Tripel, nämlich die sehn Doj)j)eItangenten, die dem ztim Paare x^, y^ gehörenden Steiner sehen Komplexe augeMren. Hiernach wird jedes syzy- getische Tripel durch eine bestimmte vierte Doppeltangente zu einem syzygetischen Quadrupel ergänzt. Der durch die sechs Berührungspunkte des Tripels laufende Kegelschnitt schneidet auf der Kurve vierten Grades auch noch die Berührungspunkte jener vierten Tangente aus. Jedes der 315 syzygetischen Quadrupel liefert uns somit vier syzygetische Tripel. Da wir im ganzen 3276 Tripel von Doppeltangenten haben, so folgt: Es gibt hei einer doppelpunUfreien Kurve vierten Grades 1260 t lind 2016 azygetische Tripel von Doppeltangeuten. § 4. Paare und Tripel von Steiner sehen Komplexen. Ein beliebiger unter den 63 Steiner sehen Komplexen, den wir symbolisch mit Kj^ bezeichnen wollen, setze sich aus den folgenden sechs Tangentenpaaren zusammen: TO »1,2/1, »2'2/2, ^,2/3, »4,2/4, »5'2/5, »6'2/6-
Anzahlen der syzygetischen und der azygetischen Tripel. 371 Aus JSTj stellen wir wie in § 3 die beiden we^tereii Komplexe: her, die im Verein mit K^, wie wir wissen, bereits alle 28 Doppeltangenten erschöpfen. Bei diesem Prozeß haben w d^s Pa^r: der Tangentenpaare bevorzugt. Xun können wir aber im ganzen 15 Paare von Tangentenpaaren aus dem Komplex K^ herausgreifen unci jedem Paar entsprechend ein Paar von Komplesf.en bilden TO *»>%. ViiVk^ •••> TO '-^iiVk^ ^^k,Pi: ■'■, die alle voneinander und von JST^ \erschieder|. sind. Sie erschöpfen insgesamt 31 von den 63 Komplexen. Um die übrigen Komplexe ^u gewinnen, durclilaufe z^ die 16 in Zg und K^ gegenüber K^ neu aufti'etenden Doppeltangenten. Die 32 Komplexe: TO yi^^i' ••• sind dann voneinander und von den 31 schon hergestellter). Komplexen verschieden, so daß wir in JST^, K.2, K^, K^ und K^ alle 63 Komplexe gewonnen haben. Es soll nun die Verteilung der Doppeltangenten auf die Komplexe K^ und K-^ näher untersucht werden. Eine beliebige unter den 16 Doppeltangenten ^^ werde herausgegriffen; sie gehöre, wie wir ojine Beschränkung der Allgemeingültigkeit der Überlegung annehmen dürfen, dem Komplex K^ an*) und bilde in ihm das Paar z^, s^. Die Komplexe K^ und Zg schreiben sich dann etwas ausführlicher so: TO ^l'^l' •^2>^2> ••■' TO 2/l'^l' 2/2>^2' ••^• Wir stellen nun die folgenden drei Komplexe nebeneinander: (ZJ »ii-s'i, "*'2)'^2' ■■'' TO »l'^2. ^^2'^1' ••^' die wie die Komplexe Z^, Z^, Z^ alle 28 Doppeltangenten enthalten. Demnach treten hier auch die beiden Tangenten x^, y^ ai(if, natürlich ==) Ist Zx m Z3 enthalten, so genügt der Austausch der Bezeichnungen x-^ und 2/1, um zur Annahme des Textes zu gelangen. 24*
372 III) 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. nicht als Tangentenpaar, da sie als solches nur in K-^ enthalten sind. In JSTg kann, wie wir schon wissen, weder x^ noch y^ vorkommen. Auch können diese Doppeltangenten nicht beide in K^ oder beide in JSTg enthalten sein; sonst wäre nämlich das Tripel x.^, %, y^ azygetisch, während es doch wegen K^ syzygetisch ist. Da wir übrigens die Bezeichnungen x^ und 2/3 auch noch austauschen dürfen, so beschränken wir die Allgemeingültigkeit der Betrachtung nicht, wenn wir annehmen, daß die Doppeltangente »3 in K^ und y^ in K^ enthalten ist. Insbesondere gehöre x^ in K^ dem Paare »3,-^3 an. Die zweite Doppeltangente ^3 dieses Paares kann nicht in iT^ enthalten sein; sonst wäre K^ wegen seines Paares x^, z^ unter den Komplexen Z^, K'^ enthalten. Also findet sich z^ in K^ oder K^. Käme aber z^ in K^ vor, so wäre z^^ z^, z^ ein syzygetisches Tripel, was wegen des Komplexes: ausgeschlossen ist. Also steckt z^ im Komplex K^. Man betrachte nun die beiden Komplexe: (JI7) »2' ^3' '*2''^3' *■■■ Da »2, x^, y^, 2/3 ein syzygetisches Quadrupel bilden, so enthält K,j auch das Paar y^, y^, so daß auch die Doppeltangenten y^, y^, z^, z^ ein syzygetisches Quadrupel bilden. Somit gehören die Paare y^, z^ und 2/3, ^3 dem gleichen Komplexe an. Man hat demnach genauer: {K^, x^,z^, x^,z.-,, Xs,z^, ■••, TO i/l>^"j> .^2' ^2' ^3' ^"3' •••■ Die gleiche Betrachtung, die wir soeben für das Paar x^, y^ ausführten, kann man mit demselben Erfolge auch an jedes der drei letzten Paare des Komplexes K.^ anschließen. Wir finden demnach als endgültige Gestalt der Komplexe K^ und Er^: (K^) X^,Z^. l^,Z^, %,^3) Ä^4)-4, -^öi^S) ^6f^6> TO 2/1. ^l> 2/2'^2; 2/3' ^3' .</4'~^4' y-.^^öi ^6'^6- Die sechs Doppeltangenten z^, z^. ••-, z^ bilden ein azygetisches System. Da dem Komplex K^ das Paar z^, z^ angehört, so müssen die weiteren vier Doppeltangenten z^, z^, z.^, z^ dem Komplex K^ angehören, und zwar ohne daß irgend zwei von ihnen in K^ gepaart wären. Man erinnere sich nun, daß der Komplex K^ irgend ein willkürlich herausgegriffener war. und daß sich die 62 übrigen Komplexe aus den 30 Komplexen K'^, K^ und den 32 Komplexen K^, K^ zusanunensetzen. Es ergibt sich somit der wichtige Satz: Irgend zwei Steiner sehe Komplexe haben entweder ein syzygetisches Quadrupel von Doppeltangenten gemein oder aber ein azygetisches System von sechs Doppeltangenten. Im ersten Falle, also dem eines Paares K^. K^ oder K^, K^, sprechen wir von einem „syzygetischen Komplexpaare ^. Zu jedem solchen Paare gibt es
Syzygetisciie und azygetische Kqmplextnpel. 373 noch einen bestimmten dritten Komplex, der dasselbe syzygetische Quadrupel enthält. Drei solclie Komplexe, wie K^, Ei, K'^, bilden ein „syzygetisches Komplextripel^. Zwei Steiner sehe Komplexe, die ein azy- getisches System von sechs Doppeltangenten gemein haben, mögen ein „a^ygetisches Komplexpaar'' bilden. Zu jedem solchen Komplexpaar gehört dann noch ein dritter Komplex, der mit jedem Komplexe des Paares selbst wieder ein azygetisches Paar bildet. lUfan spricht dann von einpm „azygetischen Komplextripel", -^vie ein solches z. B. von den drei Komplexen JSTj, K^, K^ gebildet wifd. In eii^em syzygßtiscl^en Komplpxtripel treten alle 28 Doppeltangenten ^uf, in einpm azyget:(.schen indessen nur 18. § 5. Aronhold sehe Siebeii|systeme. Aus der Existenz der Steiner sehen Komplexe ist einleuchtepd, daß es azygetische Systeme zu sechs Doppeltangenten gibt. Durch Aronhold ist die Aufmerksamkeit auf wicjitige azygäische Systeme pon sieben Doppeltangenten gelenkt, die man n^ch ihm als „Aronholdsehe Siehensysteme-' bezeichnet*). Die Existenz solcher Siebensysteme geht leicht aus den Betrachtungen von § 4 hervor. Es sei in: ,j. I X^,yi, »2' 2/2' -^'S'^/S' ^4'2/4' •*5'2/5' »6' ^6' irgend eia azygetisches Komplexpaa,r gegeben; dann haben wir z. B. in: (2) x^, x^, »3, x^, x^, yg, Äg ein Aronhold sches Siebensyslem. Die aus (2) herauszugreifenden Tan- gententripel, die entweder keipe der beiden Doppeltangenten y^, z^ oder nur eine von ihnen enth^ten, sind nämlich wegen (1) alle azygetisch. Der zum Paare y^, z^ gehörende Komplexe, de|- das Komplexpaar (1) zum azygetischen Komplextripel ergänzt (in § 4 durch K^ bezeichnet), enthalt aber keine der Doppeltangenten x, so da,ß auch die fünf Tripel %, y^, z^ azygetisch sind. Es besteht nun der folgende Sat?: Irgend sechs Doppeltang enten eines Aronhold sehen Siebensystems Jcommen in einem und nur in einem Steiner sehen Komplex vor. Haben wir ein beliebiges Siebensysteip: SO soll zunächst bewiesen werden, daß die sechs Tangenten: (4) X^, X^, »3, »4, "C-, »g nicht in zwei verschiedenen Steiner sehen Komplexen vorkompaen können. Würden zwei solche Koi^iplexe existieren, ^0 bezeichnen wir sie wie *) Vgl. die Aronhold sehe Abhandlung „Über den gegenseitigen Zusammenhang der 28 Doppeltangenten einer allgemeinen Kurve yierten Grades'-, Berliner Monatsberichte von 1864, S. 499.
374 III, 2.'^ Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. unter (1). Dieses Komplexpaar ist dann azygetisch. Wir ziehen nun auch noch den Komplex: (3) y^,^^, ^2'^2' Vz^h^ 2/4>^4> 2/5>^5' 2/6'^6 heran, der das Paar (1) zum azygetischen Komplextripel ergänzt, und bilden aus dem Komplex (5) das syzygetische Komplextripel: [ 2/i,^i> 2/o,^2' i/3'^3' •••' (6) y^,y^, ^,,^2, »i,»2> •••' ' 2/i-^2' 2/2' ^1' In diesem Tripel müßten die fünf Doppeltangenten x^, x^, x.^, x^, x^ auftreten, und zwar offenbar allein im letzten Komplex (6); würde nämlich im zweiten Komplex eines dieser % auftreten, so wäre das Tripel »j, x^, % syzygetisch. Im letzten Komplex (6) sind aber nur noch vier Tangentenpaare ungenannt. Sollen hier die fünf Tangenten x^, x^, •••, % untergebracht werden, so müssen miadestens zwei x^, x^ gepaart seia. Dann aber weist man sofort syzygetische Tripel x^, X)-, Xi nach, was dem azygetischen System (3) widerspricht. Das System (4) kann also höchstens in einem Komplex auftreten. Da die Bezeichnungen der sieben Tangenten (3) noch beliebig getauscht werden können, so ist einleuchtend, daß kein aus (3) entnehmbares System von sechs Doppeltangenten in mehr als einem Komplex auftreten kann. Um zu untersuchen, ob das aus (3) beliebig herausgegriffene System (4) auch wirklich immer in einem Steiner sehen Komplex auftritt, entnehmen wir dem System (4) zwei beliebige Doppeltangenten, etwa x-^ und x^, und bilden den zu diesem Paare gehörenden Komplex: »i,»2' 2/i'2/2' •••• Eines der fünf weiteren Paare dieses Komplexes sei y-^, y^. Wir bilden dann das syzygetische Komplextripel: (Kj) x^,x^, y^,y^, •••. (K^) x^,y^, x,,y^, •••. was auf fünf Arten geschehen kann, da wir für y^, y^, wie gesagt, fünf Tangentenpaare zur Verfügung haben. Im Tripel K-^, K^, K^ kommen die fünf übrigen Tangenten x^, x^, »., x^, x^ sicher vor. In K^ kann keine dieser Tangenten auftreten, da wir sonst ein syzygetisches Tripel x^, »2, xj. hätten. Aus dem gleichen Grunde können sie in K^ und K^ nicht gepaart auftreten. Hiemach müssen sich die x^, x^, x^, x^, »7 entweder zu 3 und 2 oder zu 4 und 1 ungepaart auf die Komplexe K^, K^ verteilen. Wir prüfen die erste dieser beiden Möglichkeiten und schreiben, da wir nötigenfalls noch die Bezeichnungen y^, y^ und damit auch K^, K^ austauschen können, den folgenden Ansatz: TO «^l'2/l) -^2'2/2' ^3'2/3' »4'2/4- »5'2/5' •••) (-£3) «^1.2/2' »2'2/l' ^6'2/6- »7'2/7>
Aronhold:sehe Siebei^systeme von Doppelta^genten. 375 bei dem also drei von den Tangente^ »3, x^, x^, x^, x., auf E^ und zwei auf K^ entfallen*). Nun setze man noch den Komplex: W ^6'-^7> .^yß>^7> ••• hinzu. E^ und K^ können kein azygetisches Komplexpaar bilden; denn die Doppeltangenten x-^ und y^ können in K^ nicht auftreten, da die Tripel x-^, Xq, »^ und y-^, y^^. y^ zufolge (3) und JSr3 ^zyge^isch sind. Also bilden K^ und K^ ein syzygetisches Komplexp^ar upd halben demzufolge ein syzygetisches Tangentenquadrupel gemein. Wie ma,n aber auch aus K^ ein Paar von Tangentenpaaren herausgreift, inpner wird in diesem Paare mindestens eine Tangente % aus der Reihe x^, x^, x^, x^, x^ enthalten sein. Diese Tangente % tritt dann auch in K^ auf, und alsQ wäre Xf:- Xq, Xri entgegen dem Siebensystem (3) ein syzygetisches Tripel. Die fünf Tangenten »3, •••, x^ verte:|len ^ich hiernach auf Zg und K^ sp, daj3 in einem Komplex vier u|id im anderen eine Tangente auftritt. Wir dürfen (wegen der Vertauschbarkeit -von ;?/,, y^ in K^ vier und in K^ eine annehmen. Es finde sich x;,^ in K^, während d,ie übrigen vier Tangenten x\. Xj^, Xi, x^ in JSTg enthalten sind: (^2) »1,^1, ^2-2/2- ^i>2/»> Hl Vi, xi,y^, Xm,y„^. TO »i>^2' -^a'^/r ^n^yn, •■-, Man erinnere sich nun, daß wir im ganzen fünf Komplexpaare dieser Art bilden können. Dabei können keine zwei Paare von Komplexen sich einstellen, bei denen in K^ die gleiche T^ngerjite x,^ auftritt. Es müßte ja sonst zwei Komplexe mitj dem System x^, x^, %, Xjc, Xi, x^ geber)., was, -wie wir schon wissen, nicht der Fall ist. Soipit tritt auch x,^ einpial in K^ auf; dann aber haben wir in: (■^2) »l'2/l' *^2'2/2' %'2/3' '-^i^Vv •^5'2/^' ^6'2/6 denjenigen Steiner sehen Komplex vor uns, dessen Existenz noch zu beweisen war. § 6. Neue Bezeichnungen der Doppelt^ngenten jiebst Folgerungen. Im Anschluß an Hesse (vgl. die Xote S. 366) hat Cayley**) eine neue Bezeichnung der Doppeltangenten eingeführt., die zu eine;- sehr brauchbaren Darstellung der Systeme vor; Doppeltangen^en durch figürliche Symbole f) geführt l^at. Dieser Entwicklung liegt die Aiisw'atl irgend eines Aronhold sehen Siebensyßtems: (1 ^ X, , Xn, X^, Xa^ , X^, Xq , d q *) Es ist fur die nachstfplgen4e Schlußweise glßichg^ltig, ob «g und .r^ oder zwei andere unter den fünf Tangenten cc^: a?3, • •-, ^C; in ^3 auftretßn. *=*) Vgl. dessen Abhandlung .,Xote sur l'algprithme des tangentes double d'une courbe du quatrifeme ordre*-, Journ. f. Math., Bd. 68, S. 176. t) Vgl. Salmon, „Treatise on the higher plane cuives" oder die deutsche Bearbeitung von Fiedler, .,4nalytische Geometrie der höheren ebenen Kurven", S. 285. Leipzig 1873.
376 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. zugrunde, dessen Tangenten wir noch kürzer auch kurz durch die sieben Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 bezeichnen. Es werde nun die Doppeltangente 1 zunächst abseits gestellt und der nach § 5 eindeutig bestimmte Komplex der übrigen sechs Tangenten (1) eingeführt: (2) x^,y^, »3,2/3, x^,y^, x.^,y.^, x^,y^, x^,y^. Die Tangente y^ ist durch die ausgesonderte Tangente x^ als die mit x^ gepaarte Tangente dieses Komplexes eindeutig bestimmt und kann demnach durch das Symbol [1, 2] eindeutig charakterisiert werden. Es ist klar, da£ wir in derselben Weise überhaupt die in (2) auftretenden Doppeltangenten y^ durch [1, a^] bezeichnen können. Sondern wir aus dem Siebensystem (1) die Tangente Xa aus, so können wir entsprecliend sechs Doppeltangenten [«,, v] mit den sechs von fi verschiedenen Ziffern v erklären. Da wir die sieben Tangenten im Systeme (1) noch beliebig austauschen können, so erscheinen alle Tangenten [fi, v] als gleichberechtigt. Diese Gleichberechtigung überträgt sich auch auf Tangentensysteme [fi, v], [fx, v'], ■••■ Ein Satz, bei dem keine Auszeichnung einer Tangente oder eines Tangentensystems vorliegt, überträgt sich vom System [fi, 0^], [fi'j v'], • ■ • sofort auf alle Systeme, die aus ihm durch irgend eine auf die Ziffern 1, 2, •••, 7 auszuübende Permutation entsteht. Wenn wir demnach z. B. zeigen können, daß die beiden Tangenten [1, 21 und [2, 1] identisch sind, so wird sich daraus sofort ergeben, daß überhaupt für jede Kombination ji, v die beiden Tangenten [^i, v\ und [v, ,u] miteinander identisch sind. Um aber die Identität von [1, 2] und [2, 1] darzutun, bilde man den zum System x^, x^, x^, x-, x^, x^ gehörenden Komplex, der mit dem Komplex (2) mehr als vier Tangenten gemeinsam enthält und also mit diesem Komplex ein azygetisches Paar bildet. Dieser Komplex hat notwendig die Gestalt: (3) a?j, 2/2, •^s, ~3, -1^4, -^4, -^i > ■^ö) -^6' ■^e' ■^T) ■2^7 ; denn er enthält neben den Paaren mit x^, x^, •••, x^ ein Paar mit x^ und einer der Tangenten des ersten Paares x^, y^ von (2), also mit y^, da »2 im Komplex (3) nicht auftreten kann. Es läßt sich demnach y^ auch als Tangente [2, 1] darstellen, womit unsere Behauptung bewiesen ist. Die sechs Tangenten [1,2], [1,3], [1,4], •••, [1,7] sind als Glieder des Komplexes (2) voneinander verschieden. Es sind demnach überhaupt je sechs Tangenten [fi, v] mit der gleichen Ziffer fx verschieden, und dasselbe gilt (wegen des Gesetzes [^, v] = [v, fij) von je sechs Tangenten mit derselben Ziffer v. Die beiden Komplexe (2), (3) enthalten, wie wir wissen, 18 verschiedene Doppeltangenten. Insbesondere ist also z. B. die Doppeltangente ^3 = [2, 3] von der Doppeltangente ^^ =: [1, 4] verschieden. Wir schließen hieraus sofort weiter auf den Satz: Irgend zwei DoppeJtangenten [^i, v] und [fi', v'] ohne
Xeue Bezeichnungen fur die Doppeltangentea. 377 gemeinsame Ziffer sind stets verschieden. Hiemach entsprechen 4en 21 Kombinationen der sipben Ziffern 1, 2, ••-, 7 zu Paaren 21 verschiedene Doppeltangenten, die mit den offenbar von ihpen verschiedenen Doppeltangenten 1, 2, •••, 7 alle 28 Doppeltangenten erschöpfen. Als eine erste Folgerung können wir jetzt dßn Satz beweisen, daß fo }vein azygetisches System von acht Dop^eltangenten gilt, also aucji Jximb •von mehr ah acht Doppeltangenten. Zum Beweise fügen wir dem beliebig gewählten azygetischen Systeme def Doppeltangenten (1) eine der 21 von ihnen verschiedenen Tangenten [f*, v] an und dürfen \yegen der Gleichberechtigung dieser Tangenten etw^ y^ = [1^ 2] wählen. Dann liegt in x^. y^, »3 zufolge (3) ein syzygetisches Tri])el vor, womit unser Satz bewiesen ist. Übrigens gestalten wir die Bezeichnungsweise noch gleichipäßiger, wenn wir auch noch die Ziffe;- 8 ip Gebrauch ne^imen und die Doppeltangenten 1, 2, •••.7 fortan durch [1, 8], [2, 8], •••, [7, 8] oder auch, unter Ausdehnung des Gesetzes [^, v] = [v, iij, durch [8, Ij, [8, 2], ••■. 8, 7j bezeichnen. Die 28 Doppeltangenten entsprechen dann den 28 Kombinationen der acht Ziffern 1, 2, ••-, 8 zu Paaren. Xur dürfen \vir dabei nicht übersehen, daß bei der Erklärung unserer Bezeichnungsweise die Ziffer 8 eine Sonderstellnng einnimmt. Das wiederholt benutzte Gesetz von der Gleichberechtigung der Tangenten [u, v\ darf den^nach bei solchen Systemen von Tangenten, bei denen die Ziffer 8 im Spiele ist, nicht unbeschränkt benutzt werden. Die neue Bezeichnung der Doppeltangenten wird nun besonders wertvoll, wenn wir sie :?u einer weiteren figürlichen Daistellimg der Doppeltangenten und der Systeme solcher fortentytrickeln. Die einzelne Doppeltangente [^i, v] deuten wir durch einen Strich I an, an dessen beiden Enden wir die Ziffern ^ und v angeschrieben denken- Ein Doppeltangentenpaar [fi, v]. [{i', v'] wird symbolisch duj-ch dßS Zeichen i i angedeutet, falls die vier Ziffe^-n fi, v, fi', v' verschieden sind, und durch das Symbol V, falls [ji, v] mit [^', v'\ eine Ziffer gemeinsam hat. IIan wird hiernach für die Tripel von Doppeltangenten sofort die folgenden fünf durch die Symbole: (4) ,!, V, ^, n, V darzustellenden Möglichkeiten unterscheiden. Ehe wir weitergehen, soll sogleich untersucht werden, wie sich rp.it Hilfe der Zeichen (4) die syzygetischen und die azygetischen Tripel darstellen mögen. Zu diesem Zwecke ergänzen ^vir die beiden Steinpr sehen Komplexe (2) und (3) zum azygetischen Komplextripel (5) »2'2^2' Xi,y^, X^.X^, »3-2/3> »3, ^3, 2/3>^3> ^iiVi^ »4,^4) y^r^i, Xg Xj 2/5 -2/0' ^^y > ■'5' •^6.2/6' •^6' ■^6' y,.^,, x,,y, x^,^^. y,,z,.
378 III^ 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Wir untersuchen nun die Zeichen (4) einzeln und beginnen mit \J/, wo wir wegen der Sonderstellung der Ziffer 8 drei Arten von Tripeln zu unterscheiden haben, je nachdem die Ziffer 8 in keiner, in einer oder in allen drei Doppeltangenten auftritt. Als Repräsentanten dieser drei Arten können wir die folgenden drei Tripel benutzen: I [1, 5], [1, 6], [1, 7] = 2/5> y,- y-r (6) [1, 6], [1, 7], [1, 8] = 2/6, y,. h- [ [1, 8], [2, 8], [3, 8] = X,. x^, T,. Xach dem dritten Satze in § 3 sind die beiden ersten Tripel wegen des dritten Komplexes (o) azygetisch. Das dritte Tripel (6) ist als Bestandteil des Siebensystems (1) azygetisch. Beim Zeichen V hat man vier Arten von Tripeln zu unterscheiden, die repräsentierbar sind durch: y.- I \A. Hl n. 41 [9 .qi r=z V. t, . (7) [3, 8], [4, 8], [1' 2], [1. 4]. [4, 8], [1, 4], [1, 3], [1, 5], [1, 2] = x^., [2, 3] = x,.^ [4, 8] = y,. [2, ^ = y,: Man erkennt das erste, dritte und vierte Tripel sofort wegen der Komplexe (5) als azygetisch. Ebenso ist das zweite Tripel azygetisch. da zwar das Paar c^, y^, aber nicht die Doppeltangente 0^ im ersten Komplex (5) auftritt. Für das Symbol \/ haben wir zwei Arten von Tripeln, repräsentiert durch: [ [1, 8], [2. 8], [1, 2] = x„ X,. y,. I [1. 2], [1, 3], [2, 3j =. 2/,, ^3, z,. Beide sind azygetisch, da zwar die Paare x^. x^ und ^3, s^ dem dritten Komplex (5) angehören, nicht aber die Doppeltangente y^. Auch für das Symbol | haben wir zwei Arten von Tripeln, die repräsentierbar sind durch: y. I [1- 31, [2, 4], [5, 8] = 2/3, z,, X,, 1 [1, 3], [2, 4], [5, 6] = ^3. z,, [5, 6]. Zur Entscheidung über die Katur dieser Tripel bilden wir das syzy- getische Komplextripel: 0-^) \ yz,yi, ^3,^4, %,»4, ■■•■ 1 ^3>^3, 2/4» ^4' in dem alle Doppeltangenten, also auch [5, 8] und [5, 6] auftreten. Doch können sie sich weder im zweiten noch im dritten Komplex (10) finden, da die beiden Tripel: //3, y^, [5, 8] = [1, 3]. [1, 4], [5, 8j, y,. ^3. 15, 8] = [1, 3], [2, 3], [5, 8],
Figürliche Bezeichnungen der Tripel und Quadrupel. 379 und ebenso die beiden Tripel: 2/3, y,, [5, 6] = [1, 3]. [1, 4], [5. 6]. y„ ^3, [5, 6] = [1, 3], [2. 3], [5, 6j übereinstimmend das Zeichen V besetzen und also a,zygetisch sind. Also sind die beiden Tangenten [5, 6] und [5. 8] im ersten Komplex (10) enthalten, so daß beide Tripel (9) syzygetisch sind. Bei dem noch übrigbleibenden Zeichen Fl hat man wieder (Jrei Arten von Trippln, die repräsentiert werden können durch: i [1, 2], [2, 3], [3, 4] == y„ z„ [3, 4]. (11) [1,2], [2, 3], [3. 8] =2/,, z,, ^3, [ [1, 8], [2, 8], [2. 3] == »,, %^, ^3. Die beiden letzten Tripel erkennt inan aus (5) spfort als syzygetisch. Wegen des ersten Tangententripels (11) bilde man das syzygetisch« Komplextripel: {y^,3^, ^1,^3, •••, 2/2, »p ^3,a;3.^ .... 2/2-»3, s^,x^, .... Die beiden letzten Komplexe könnpn dje Doppeltangente [3, 4] nicht enthalten; denn die beiden Tripel: y,, X,, [3, 4] = [1. 2], [1, 8], [3, 4], y„ ^3, [3, 4] := [1, 2], [3, 8], ^3, 4] haben das Zeichen VI und sind also azygetis(ih. Ä.lso ist die Tangente [3, 4] im ersten Komplex (12) enthalten, so daß auch das erste Tripel (Ij) syzygetisch ist. Unter Zusammenfassung der Ergebnisse finden wir den Satz: Alle Tripel von Doppeltangenteif mit den symbolischen Zeichen: IM, n öiml syzygetisch und alle Tfipel m,it (^m Zeichen: VI, \k' V sind azygetisch. Bemerkenswert ist, daß in diesem Ergebnis die Sonderstellung, die die Ziffer 8 im L,aufe der bisherigen Entwicklung spielte, nicht mehr hervortritt. Eine unmittelbare Folge hieraus ist der weitere Satz: Alle QiKidrapel von Doppeltangenten mit den heißen Zeichen: MM, G sind syzygetisch, wahrend ajle Quadrupel i^it den Zeichen- ^., VI, ^1. VV azygetisch bind. Wie man nämlich auch einen St^-ich fortnehmen mag, es bleibt stets das Zeichen eines syzygetißchen bzw azygetischen Tripels.
380 ni, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Alle übrigen Quadrupel sind weder syzygetisch noch azygetisch. In einem hierher gehörigen Quadrupel ist mindestens ein syzygetisches Tripel und mindestens ein azygetisches enthalten. Ein Beispiel ist das Quadrupel: [1, 2], [2, 3], [3, 1], [1, 4], dem das Zeichen \7_ zukommt*). Wir betrachten endlich die symbolischen Zeichen der Aronhold sehen Siebensysteme. Eine solche Figur besteht aus sieben Strichen, die so zusammenhängen müssen, daß nicht mehr als acht verschiedene Endpunkte von Strichen vorKegen; denn wir haben nur acht Ziffern zur Verfügung. Aus der Figur darf sich auf keine Weise durch Herausnahme von vier Strichen eine der beiden Figuren |||, Fl herstellen lassen; denn im Siebensystem tritt kein syzygetisches Tripel von Doppeltangenten auf. Die Figur kann demnach nur aus einem zusammenhängenden Strichsystem oder aus zwei solchen bestehen; denn kämen drei Strichsysteme vor, so könnten wir durch Fortnahme von vier Strichen stets die Figur III herauslösen. Wir wollen entsprechend die Figur des Siebensystems als .,einteilig" bzw. als „zweiteilig" bezeichnen. Als einer der Teile kann V auftreten. Im übrigen aber kann kein Teil mehr als einen Punkt aufweisen, von dem mindestens zwei Striche ausziehen, da man sonst die Figur Fl herausheben könnte. Ist die Figur des Siebensystems einteilig, so besteht sie aus einem siebenstrahligen Sterne -i^, wie aus den eben gegebenen Darlegungen hervorgeht. Da man jede der acht Ziffern in das Zentrum stellen kann, so haben wir acht Möglichkeiten, und unser anfängliches Siebensystem (1) : [1, 8], [2, 8], [B, 8], [4, 8], [5, 8J, [6, 8], [7, 8j, stellt eines der acht hierher gehörigen Systeme dar. Ist die Figur zweiteilig, so kann der eine Teil weder aus einem Striche, noch aus zwei Strichen, noch aus einem dreistrahligen Sterne bestehen. In diesen Fällen müßte nämlich der andere Teil ein Stern mit bzw. sechs, fünf oder vier Strahlen sein. Stets würde dabei die Zahl der verschiedenen Strichendpunkte größer als 8 sein. Es bleibt nur die eine MögKchkeit übrig, daß der eine Teil V und der andere Teil ein vierstrahliger Stern ~V- ist. In der Tat kann man auch aus der Figur: V ^A^ *) Wie bereits S. 368 festgestellt wurde, gibt es 315 syzygetische Quadrupel. Beiläufig bemerken wir, daß es 5040 aaygetische Quadrapel gibt, wahrend der Rest aus 15120 Quadrupeln besteht. Vgl. das S. 375 genannte Werk von Salmon- Fiedler, S. 285.
Pigurhche Bezeichnungen der Siebensysteme. 381 auf keine Weise durch Fortnahme yon yier strichen eines der beiden Bilder der syzygetischen Tripel herstellen. Ein Beispiel eines liierher gehörenden Aronholdsehen Sieli^ensystems ist: [1, 2], [1, 3], [2, 3], [4, 5j, [4, ö], [4, 7], [4, 8]. Nun haben wir (|) === 56 Tripel, die als sypibolisches Bild A haben. Il^ach Auswahl eines dieser Tripel bleiben fünf Ziffei-n zur Verfügui^g, von denen wir eine beliebige in das Zentram des vierstrc^hligen Sternes stellen können. Wir haben also 56-5 = 280 Siebensysteme der beschriebenen zweiteiligen Figur. Also bestejit der Satz: Es gibt insgesamt 288 Aron- Jioldsche SiehmsySterne, die sieh zu 8 hßw. 280 auf die beiden Figuren verteilen: Aus der Verschiedenheit dieser beiden Symbole darf keineswegs der Schluß auf die Existenz von zwei Typen Arpnholdschßr Siebensystei^e gezogen werden. Unsere ganze symbolische Bezeichniing hangt ja von der freien Auswahl des ersten Siebensystpms (1) ab- Ersetze^ wir dieses Siebensystem durch eine^ der 280 Siebensysteme, die wir eben beim Zeichen V -V- fanden, so erhält dies neu zugrunde gelegte System ^Is eines unter gewissen acht Systemen jetzt das Zeichen -^^. Die syzygetischen Quadrupel von Doppeltangentei^ sind, wie obpn bemerkt, durch zwei symbolische Figuren dargestellt, pämiich entweder durch vier getrennte Striphe oder durch ein Quadrat. Die sechs Tangentenpaare eines Steiner sehen Komplexes geben zu zweien kombiniert stets ein syzygetisches Quadrupel, ilan stellt daraufhin ziemlich leicht fest, daß es der Bezeichnung nach zwei Typen von Steiner sehen Komplexen gibt. Ein Komplex des ersten Typus ist: I [1, 2] [3, 4], [I, 3J [2, 4], [l, 4J [2, 3], ,5, 6] [7, 8]. 1 [5, 7] [6, 8], [5, 8] [6, 71. Das Charakteristische ist hier, daß in drei Pg-aren von Doppeltangenten- paaren vier unter den acht Ziffern l, 2, ••-, 8 auftreten, in den anderen drei Paaren aber der Eest der acht Ziffern. Ein Komplex des zweiten Typus aber liegt vor in: ( [1, 7] [1, 8], [2, 7] [2, 8], [3, 7] [S, 8], [4, 7] [4, 8^ 1 L5, 7| [5, 8], i6, 7] [6, 8]'. Hier kommen zwei unter den acht JZiffei^ in den beiden Tangenten jedes Paares vor; die übrigen sech^ Ziffern c^ber verteilen sich auf die sechs Paare des Komplexes.
382 III) 2- Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. § 7. Sätze von Aronhold. Grundlegend für die algebraische Behandlung des Doppeltangentenproblems ist folgender von Aronhold*) aufgestellte Satz: Ist bei einer Kurve vierten Grades irgend eines der 288 Siebensysteme von Doppeltangenten gegeben, so Jcönnen daraas alle übrigen Doppeltangenten rational berechnet werden. Zum Beweise dieses Satzes denken wir ein beliebiges Aronhold sches Siebensystem: (1) x^, »3, Xg, X,, x^, x^, x^ gegeben, was explizite in folgender Art geschehen kann. Die drei Doppeltangenten x-^^, x^, x^, die ein azygetisches Tripel bilden, laufen nach S. 368 nicht durch einen Punkt und können deshalb als Seiten eines Koordinatendreiecks benutzt werden. Wir wollen alsdann das Siebensystem (1) dadurch explizite gegeben denken, daß wir x^, a;., x^, x^ als lineare Formen der x^, x^, x^ bekanntgeben: ix^ = ttj»j ~|- a^x^ ~|- a^x^, X. rziz 6 X -4- 6 a;, -4- 6, a;,, 1 1 T 2 2 T 3 3> x^ = ä!j a;^ ~f d^ x^ ~f d^ x^ **). Wir heben nun aus dem Siebensystem (1) der Reihe nach die drei ersten Doppeltangenten heraus und bilden jeweils für die sechs zurückbleibenden Doppeltangenten den Steiner sehen Komplex. Kach (2) und (3) S. 376 sind diese Komplexe: f^ä'ls' «S'lä' ^4-l41- «S'löl' «e'lei' »7>l71' (3) «3-ll> ^1>I3' •^4>l42> ^5'l52> ^H^löä' «7>l72> [a;,,|,, a;^,^,, »,,|,3, a;.,|,3, x^,^^^, x^,tn^ wo wir die neu hinzutretenden Doppeltangenten allgemein durch | bezeichneten und durch untere Indizes unterscheiden. Xach den Bezeichnungen von § 6 gilt: I, = [2, 3], I, = [3, 1], |3 = [1, 2], I,, = [1, 4], .... Aus (3) ergibt sich noch als ein weiterer Steiner scher Komplex: (4) - x^,ti, «ä-lä' «3.l3> •••. der mit jedem der Komplexe (3) ein syzygetisches Paar bildet und also keine der vier Doppeltangenten x^, x^, x^, x^ enthält. ^) Vgl. die m der Note S. 373 genannte Abhandlung. =^*) Da keine drei unter den sieben Tangenten (1) durch einen Punkt laufen, so sind die zwölf Koeffizienten in (2) durchweg von 0 verschieden und es verschwindet auch keine der Matrix dieser Koeffizienten zu entnehmende zwei- oder dreireihige Determinante.
Berechnung aller Doppelt^ngenten aus einem gegebenen Siebensystem. 333 Unser Ziel soll nu^ sein, daß wjr die Doppelt^ngenten |j, I2, I3 berechnen, und zwar dadurch, daß wir l^j'^g, I3 als lineare Formen der x-^, x^, »3 angeben. Die drei Formen |j, l^, I3 werden dabei zunächst noch je um einen willkürlichen Faktor unbestimmt bleiben. Wir können die Willkür dieser Faktoren dadurch beschränken, daß wir die Rechnungen von S. 366ff., wie sie für die damaligen Tangenten a;^, ijy x^. y^. a;,, y^ durchgeführt wurden, auf unsere jetzigep Taiigentpn a;^, |j, x^, ^^. x^, ^. beziehen und insbesondere alsp die folgende Gleichung der Kurve vierten Grades fordern: f 2 »212 5^313 4- 2 ^313 a-j Ij + 2 x^ I, x^ I2 Doch werden auch dann die |j, l^, I3 ipn einen gemeinsamen konstanten Faktor unbestimmt bleiben, woran man sich unteii erinnern wolle. Die biquadratische Form kqnnen wir in folgende drei einander identisch gleiche Gestalten setzen: (6) F = 4 »212 x^ I3 — i,^ = 4 x^ I3 x^ I, — i^l = 4*, I, x^ |, — t//^ wobei die quadratischen Formen i/; durch: I T/;, = — a^ili ~f a^als-f a;3|3, (7) T/;^ = ---^i^i — X^t^ + ^sts, [ ^s= -T ^1 li ^ «2 I2 — «3 I3 gegeben sind*). Zufolge (3) haben wir auch in x^, I3, x^, |^j ein syzy- getisches Quadrupel. Wir können daher bej geeigneter Verfügung über einen in die Linearform |^j aufzunehmenden konstanten Faktor die biquadratische Form F auch in die Gestalt kleiden (8) F= 4x,tsXj^^-%', wo 2 *üiß bis auf das Vorzeichen bestimmte quadratische Form ist. Aus (8) und der ersten Darstellung (6) von F folgt die in den Xj^, x^, x^ identische Gle:|chung: 4 X, I3 (^312 - »4 L^) = (^1 - %) (^1 + X)- Genau wie S. 364 schließen wir, daß x^^^ nur in einem der beiden rechts stehenden Faktoren als JDivispr enthalten spin l^ann. Wir wählen das noch verfügbare Vorzeichen von 2 so, daß d:|es der ergte Faktor ist. Es gibt dann einen von 0 verscjiiedepen konstanten Faktor l^, derart, daß (^1 — %) ^^^ '^^i-^its identisch wird, worauf sirh dip letzte Gleichung in die beiden Gleichungen spaltet: ^1 - Z = 2 ;L, X, I3, X, (i;, -f x) = 2 (0^312 - -^4 Li)- Ersetzt man in der hieraus folgenden Gleich(ing: ^1 ^1 = ^4 -^2 I3 + «3 I2 — »4 Li *) Vgl. S. 366. Statt 4 F ist hier kurz JF geschrieben.
384 ni, 2. Doppeitangenten ebener Kurven vierten Grades, die quadratische Form tj;^ durch ihren Ausdruck (7), so folgt: ^i Li = «3 lä — ^1 (— «1 ll + ^2 lä + ^3 Is) + ^f «2 Is- Genau entsprechende Betrachtungen kann man an die beiden syzygetischen Quadrupel x^, |j, x^, l^^ und x^, ^^, x^, l^g unter Benutzung der zweiten und dritten quadratischen Form (7) anknüpfen. Wir erhalten auf diese Weise insgesamt drei Gleichungen, die bei zyklischer Vertauschung der drei Indizes 1, 2, 3 ineinander übergehen: I x^ I,, = 0^3 I2 — ^1 (»3 Is — ^1 li + «2 I2) + ^! «2 Is' (9) «4 I42 = «1 Is — ^2 («1 li — «2 I2 + «s Is) + ^1 «s li > l «4 I4S = »2 li — '^s («2 li — «s Is + «1 li) + ^1 «112- Es sollen nun die Konstanten l bestimmt werden. Wir teilen die zweite Gleichung (9) durch 2.^, die dritte durch 2.^ und addieren sie sodann. Es folgt als eine in den a;^, x^, x^ identisch bestehende Gleichung: Das Tripel der Doppeitangenten a;^, |j, x^ ist zufolge (3) azygetisch, so daß sich diese drei Tangenten nicht in einem Punkte schneiden (vgl. S. 368). Zufolge der letzten Gleichung läuft also die durch: ^2«s-i--r = 0 dargestellte Gerade durch den Schnittpunkt der Tangenten x^, x^. Umgekehrt wird sich denmach x^ als lineare Form der x^, x^, x^ so darstellen lassen: : a a?j ~f «' [l^ ajg -f ^ V Aber diese Darstellung ist uns unter (2) bekanntgegeben. Wir folgern, daß das Produkt l^ l^ mit dem Quotienten a^: a^ gleich ist. Unter Einführung einer neuen Konstante yi^ schreiben wir dementsprechend: (11) 1^=: yi^a^, — = ^^a^. Weiter folgt: ^2 *''s 4" -j^ = {^1 »4 — l^i ß] «1, und aus (10) berechnet man leicht die weitere in den x^, x^, x^ identisch bestehende Gleichung: a, X, ^^' ,t' + t-'''-^-) = <-''-<•' + '■■''■> «' + 1 + 1)-
Berechnung aller Doppeltangenten ai;s einem gegebenen Sißbensystem. 3So Da x^ und x^ verschiedene Doppeltangepten sind, so spaltet sich diese Gleichung in die beiden folgenden: y^x^=^ — (i^ (2 -f a, fi^) |j + ii -i- ii, (12) ^4ä j b43 . Wir hatten in (10) die zweite und dritte Gleichung (9) kon^biniert. Vereinigen wir entsprechend die dritte und erste und sodann die erste und zweite, so finden wir bei dem gleichen Vorgehen zwei weitere Gleichungspaare, die einfach aus (12) duych zyklische Vertauschung der drei Indizes 1, 2, 3 hervorgehen. So erscheint zunächst die ersfe Gleichung (12) als eine der folgenden drei Gleichungep: (13) - ^1 (2 ~f «1 fii) li • . ^ «0 a^ An Stelle der »j, x^, x^ kann man auch die |j, Ig, 1^ als Koordinalen gebrauchen. Die drei hier vorliegenden Darstellungen von x^ in cfen li) Is' Is i^üssen dann miteinander identisch sein, woraus wir die Folgerungen ziehen: -^(2-f a^^u,) 1 1 1 = -^(2^a,^. Es folgt o^j = 0^2 = '^3) ^0 daß ^vir bei dpn a^ die Indizps fortlassen können. Weiter folgt: — ttj ;u,j (2 ~|- <?j ;u,j) = 1, i«'i = , — «2 ;[i2 (2 ~f ^2 /ig) = ], ^«2 = — --, — ^3if*3(2 4-%^3) = ^> f*3=— --• "3 Die Gleichungen (13) nehmen übereinstipimend die Gestalt an: vx^ Fricke. Algebra. II. 25 Si , S2 I S3
386 ni, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. woraus wir mit Benutzung von (2) folgern: (14) V (a,x^ + a^oc^ + a,x^) = -^ -r ^ -r -^ ■ U}y t*q Ctg Durch Eintragung der berechneten Werte ^ in (il) und in eine entsprechend abzuleitende Gleichung für X^ erhält man als die gesuchten Werte der drei Konstanten X: Xun ist auch die zweite Gleichung (12) eine unter dreien, die durch zyklische Permutation der Indizes 1. 2, 3 ineinander übergehen. Ersetzen wir in diesen Gleichungen die u durch ihre inzwischen berechneten W^erte und lassen bei den v die Indizes fort, so finden wir bei Zeichenwechsel: Durch Addition dieser 1.1 1.1 ^1 «2 «3 Gleichungen folgt 543 = - V {a-^ X + ^ «3 -^2 bei Benutzung 1 + a, ^2 + «3 von h\ (14): und also gelten für |^^, l^^; l.s folgende Darstellungen: (16) «1 / §43 = — (^(«1 'l 4-02-^2) Hier ist nun noch die Konstante v unbekannt. Um weitere Angaben über sie machen zu können, bemerken wir, daß wir bei der auf das Formelsystem (7) folgenden Betrachtung das System der drei Tangentenpaare x^, 1^^; »^, 1^2; ^4) I43 bevorzugt haben. Wir können genau entsprechende Entwicklungen an die drei Systeme: (1'^) -i., |»i> ^-j, 1*2- •*». 1^8- i = 5, 6, 7, die wir den drei Komplexen (3) entnehmen, anschließen, wobei die drei letzten Gleichungen (2) zur Benutzung gelangen. Es kommen dann vier
Berechnung aller Doppeltangenten fius einem gegebenen Siebei^system. 387 Konstanten v in Betracht, die wir durch die Bezeichnungen v^, Vr,, v^, v,, unterscheiden. An Stelle von (14) tritt ein Systpm vpn vipr Relationen: (18) V^ («1 ^'i -f 0,2 -^2 + Öts ■^s) = V^ (&j X-j -]- &2 4^2 + ^3 "^s) = " Veic^^i +6-2^2 -i-Cs^s) = , I2 , I3 ^i^ + i^, ^2 ^'3 [ §2 i S3 Hier haben wir mer lineare Gleichungen zur Beistimi^ung der drei linearen Formen |j, ^^, I3. Eine dieser Gleichungen muß also eip.e Folge der drei anderen sein. Um die Bedingung für diese Abhängigkeit in symmetrischer Weise anzusetzen, führen wir vier Grpßen n^, jf,, '/g, 01,^ ein, die den drei Gleichungen: (19) a^ ' fe, ' c, ' d^ «2 \ c^ '^ d^ ^ 0, : 0 genügen sollen. Die Größen % sipid Merdurch bis a]if eipen allen gemeinsamen willkürlich bleibenden Faktor bestimpit. Die fragliche Abhängigkeit der Relationen (18) kommt dann durch das Bestehen der drei weiteren Gleichungen: [ Oj a^ v^ -r ^15^5 v^ -j- c^ sfg v^ -4- d^ '/^ v,^ = 0. (20) «2 n^ v^ -r &2 5*5 "^5 ~r ^^'2 5*6 "^e ~r ^2 5*71^7 == 0' [ 03 ^f^ 0^^ -j" &3 ^C^ 0^5 -t- C3 ;fg a^g -j- (^3 Tlrj Vr; == 0 zum Ausdruck. Aus diesen Gleichi(.ngen berechnen sich die v^. v^, Vq, Vj bis auf einen ihnen allen gemeinsamen willkijrlich bleibenden Faktor. Daß sich hier ein solcher unbestimmter Faktor einfinden ipauß, ist oben [gleich hinter der Gleichung (5)] bereits ai^sdrücklich betont. In der Tat tritt dieser Faktor als ein gemeinsamer in den Lösungen |j, ^^j I3 der Gleichungen (18) auf und stellt sich ebenso in den Darstellungen ein. die wir daraufhin füy |^j, ^^^, f^g aus (16) herleiten, ebenso endlich in den Darstellungen der neun Doppeltapigen ten l^i, |^,, l^a, die wir aus den drei weiteren sich an (16) anschließenden Gleichnngssystemen entnehmen. Die Berechnung der 15 Doppeltangenten: li) Sik f -- : 4, 5, 6, 7, k = 1, 2, 3
388 III> 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. selbst aus dem vorgelegten Aronhold sehen Siebensystem (1) aber ist wirklich geleistet. Es fehlen nur noch die sechs Doppeltangenten: [4, 5], [4, 6], [4, 7], [5, 6], [5, 7], [6, 7]. Wir gewinnen sie sämtlich, wenn wir bei Bildung dreier Steiner sehen Komplexe von der Art (3) nicht wie damals die drei Doppeltangenten x^, x^, »3, sondern x^, »g, »5 auszeichnen. Der aufgestellte Satz von Aronhold ist damit vollständig bewiesen. Ein zweiter Satz von Aronhold besagt: Für helieUge sieben Gerade in der Ebene Jcann man im allgemeinen, d. h. wenn gewisse rationale Funktionen der Koeffizienten in den Gleichungen der Geraden nicht verschwinden, durch rationale Bechnungeu die Gleichung einer doppeltpunUfreien Kurve vierten Grades herstellen, die jene sieben Geraden zu einem Siebensystem von Doppeltangenten besitzt Der Beweis folgt einfach durch IJmkehrung der durchlaufenen Entwicklung. Von den sieben Geraden dürfen keine drei durch einen Punkt laufen. Wir wählen drei von den Geraden zu Achsen x^ = 0, ^Tg = 0, »3 = 0 des Koordinatendreiecks und stellen die vier anderen durch Kullsetzen der vier unter (2) gegebenen linearen Formen x^, »5, x^, x^ dar. Dann darf keine der Matrix der zwölf Koeffizienten a, b, c, d zu entnehmende Determinante*) verschwinden. Im übrigen seien die a, h, c, d zunächst willkürliche Variable. Die |j, |,, I3 bestimmen sich jetzt aus (18), (19) und (20) rational als lineare Formen der x^, »2, x^, worauf man weiter gleichfalls rational die l^^, l^a, l^g aus (16) und den drei entsprechenden Gleichungssystemen für ^ = 5, 6, 7 berechnet. Die Eintragung der für |j, ^^, I3 gewonnenen Ausdrücke in die Gleichung (5) ergibt die auf rationalem Wege gewonnene Gleichung einer Kurve vierten Grades. Die Diskriminante dieser Gleichung kann nicht identisch verschwinden, da wir ja oben umgekehrt von unserer doppelt- punktfreien Kurve, die eine von 0 verschiedene Diskriminante hat, zu Gleichungssystemen (18), (19), (20) hingelangen konnten, die sich unserem jetzigen Ansatz (wegen der vorausgesetzten Willkür der a, b, c, d) notwendig einordnen müssen. Endlich kann man von den Gleichungen (18) und (16) zur Darstellung (8) von F und zu den entsprechenden Darstellungen gelangen, bei denen der Index 4 durch 5, 6 und 7 ersetzt erscheint. Diese Darstellungen gestatten den Schluß, daß x^, x^, so^, »^ mit »j, x^, »3 ein Aronhold sches Siebensystem für die gewonnene Kurve vierten Grades bilden. § 8. Galois sehe Gruppe der Doppeltangentengleichung. Es soU nun das Doppeltangentenproblem der ebenen Kurve vierten Grades im Sinne der Galois sehen Gleickungstheorie entwickelt werden. Es wird eine temäre biquadratische Form F vorgelegt, deren 15 Glieder *) Die Koeffizienten selbst gehören der Matrix als „einreihige" Determinanten an.
Herstellung der Doppeltangent engleichung. 389 unbestimmte Koeffizienten haben. Zugrunde zu legen ist der Körper ^, der aus dem rationalen Körper durch Adjunktion der 14 unabhängigen Quotienten jener 15 Koeffizienten entsteht Die 28 Doppeltangenten sind darstellbar durch Nullsetzen einer reduziblen. nänilich eben in 28 lineare Formen zerf9,Ubaren Kovarjante 28stpn Grades der Form F. Wir bringen diese Kovarianfce etwa zum Schnitt mit einer Seite des Koordinatendreiecks, die wir so gewählt denken, daß sich auf ihr keine zwei Doppeltangenten schneiden. Die 28 Schnittpuakte werden ciana durch eine Gleichung 28^*^^^ (jrades ohne mehrfache Wurzeln bestimmt, die wir kurz die „Doppeltangentengleichung" nennen wollen. Um diesen Ansatz aoch etwas genauer zu bezeichnen, gestalten wir das Koordinatensystem |n ein ge^^öhnliches kartesisches System x, y um und nehmen an, daß sich ai;f der »-Achse keine zwpi Doppeltangenten schneiden. Die Kurve viertea Grades sei djirch die Gleichung: (1) F{x, y) --= 0 gegeben. Eine einzelne der 28 Doppeltangenten, d\e diß x-Achse im Punkte der Abszisse | schneidet, stellen wir durch: (2) y = ß(x~^) dar. Wir haben alsdann in 6, | ein Wertepaar, für das die in x biquadratische Gleichung: (3) F{v, ß(x-^)) =-.0 zwei Doppelwurzeln hat. Aach wird umgekehrt jedes Wertepaar (I, |, für das die Gleichung (3) diese ^Eigenschaft hat, in (2) eine Doppeltangente liefern. Man ordne die biquadratische Gleichung (3) nach Potenzen von X und findet leicht, daß sie stets und nur dann zwei Doppelwurzeln hat, wenn gewisse zwei a^s den Koeffizieaten der biquadratischen Gleichung leicht herstellbare Relationen: (4) 9^(ft,|) = 0, 9,(6, l) = 0 zutreffen. Die Elimination von ß aus diesen beiden Gleic^iungen liefert uns die Doppeltangentengleicliung. Für die einzelne Lösung | berechnen wir den zugehörigen Wert ß ßls gemeinsame Lösung der Gleichimgen (4) in Gestalt einer rationalen Funktion von |: (5) Ö=-JS(|). Die Wurzeln | der Doppeltangentengleichung ordnen wir, wie die Doppeltangenten selbst, in syzygetische und ^.zygetischß Tripel und Quadrupel, in Steiner sehe Komplexe und in Aronholdsche Siebensysteme. Wir bezeichnen die Wurzeln auch, entsprechend den Doppeltangenten, d.^rch die Symbole [^i, v\, wo [i, v zwßi verschiedene Ziffern der Reihe 1, 2, 3, •••, 8 sind und stets [v, ff] = {{i, v] gilt. Sind nun t-^ (x, y) = 0 und t^ (x, y) == 0 die Gleichungen zweier Doppeltangenten, so können wir nach den Rechnungen von S. 364ff. auf
390 III. 2. Doppeltangenten ebener Kur%-en vierten Grades. rationalem Wege die Funktion vierten Grades F {x. y) in die Gestalt setzen: (6) F{x, y) = tJ,_cp-^\ wobei durch i/; = 0 ein Kegelschnitt durch die vier Berührungspunkte der beiden Doppeltangenten t^ = 0, t^ = 0 dargestellt ist. Unter der Kegelschnittschar: 9 + 2 ;. T/; + X- tJ^ = (J mit dem Parameter l gibt es alsdann fünf, den Werten Z^, Ag. • • •. /.g des Parameters entsprechend, die in Geradenpaare zerfallen. Bilden wir das Produkt: (7) 0 ='[[((pi-2k^1l^^A^tJ,). bezogen auf jene fünf Werte A, die die Wurzeln der Gleichung (10) S. 365 sind, so ist dies Produkt rational durch die Koeffizienten von F und die von t^ und t^ darstellbar. Dabei ist 0 eine Funktion zehnten Grades von X, y, die reduzibel ist. Die zehn linearen Faktoren, in die 0 spaltbar ist, stellen gleich 0 gesetzt die fünf Doppeltangentenpaare dar, die mit dem Paare t^ = ö, t^ = ö einen Steiner sehen Komplex bilden. Da die Werte 6 durch ihre zugehörigen Werte | in der Gestalt (5j rational darstellbar sind, so können die Koeffizienten \ on 0 auch rational durch die beiden zu t^ und t^ gehörenden Wurzeln |-^. f, der Doppeltangentengleichung im Körper ^ dargestellt werden. Setzt man sodann in der Gleichung 0 = 0 die Ordinate y = 0. so gewinnt man eine in | auf den zehnten Grad ansteigende Gleichung: (8) ^(1,, l2-l) = 0- deren Koeffizienten rationale Funktionen von |,. |, (im Körper Ä) sind, und deren zehn Lösungen | diejenigen zehn Wurzeln der Doppeltangentengleichung sind, die mit den beiden Wurzeln |j, |, die syzygetischen Tripel zusammensetzen. Hieraus geht folgender Satz hervor: Es gibt eine im Körper ü rationale Funktion ^d^. Ig, Ig) mit drei Argumenten, die stets und nur dann verschwindet, wenn |j, I2, I3 ein syzygetisches Tripel von Wurzeln der Doppeltangentengleichung bilden. Entsprechend den Sätzen von S. 382 ff. ist durch ein Aronhold sches Siebensystem von Wurzeln: (9) l.> I2, la. L, k- l6> I7 jede Wurzel der Doppeltangentengleichung rational ausdrückbar. Es folgt aus den damaligen Entwicklungen, daß wir z. B. für die Wurzelfi, 2r oder |j2 eine Darstellung: (10) I.. = ^(l.,l.lla>l.>l5. le. I7) haben, wo W eine rationale Funktion bedeutet, die sich nicht ändert, wenn man |j und 1, vertauscht, oder wenn man auf I3, |^, •••, |^ eine beliebige Permutation ausübt. Setzt man aber in (10) an Stelle von
Aufstellung der G-alois sehen Gruppe dep DoppeltaUfgeatengleichung. 391 |j, I2 ^^ ^Sisa: |u, |v, ^o geht 1^^ in die "Wurzel |„, odej- [a, v] über. Im übrigen erinnern wir noch da),ran, daß den Wurzeln (9) selbst die symbolischen Bezeichnungen [1, 8], [2. 81, •••, [7, 8] zukommen. Hiernach entspricht jeder Permutation der sieben Wurzeln de^ Siebensystems (9) eine bestimmte Permutation der gesamten 28 Wurzeln unserer Doppeltangentengleichung. Ersetzt man aber weiter das Aronliold sphe Siebensystem (9) durch irgend ein anderes unter den 2ö8 Siebensystemen, so zieht dies wiederum zufolge der Darstellungen (10) eine Permutation der 28 Wurzela unserer Doppeltangentengleichung ng^ch sich. Es gilt alsdann folgender Hauptsp.tz: Die Gäloi^sche Grruppe der Doppeltangente'n- gleichung wird erhalten, wenn )nan von, der Darstellung aller 28 Wurzeln Im durch das Siebensystem (9) zu den entsprechenden Darstellungen durch alle 288 Siebensysteme ühßrgeht und außerdem in jedem der 288 Falle die sämtlichen 71 Permutationen der 28 Wurzeln herstellt, die durch die gesamten Permutationen der sieben Ww^eln des Sdebefisystems eitstehen. Um dies zu zeigen, müssen wir an der fraglichen Gruppe der 288 ■ 7! Permutationen die notwendigen und hinreichenden Kennzeichen nachweisen, die in I, 372 ff. für die Galois sehe Gruppe einer Gleichung ent- mckelt sind. Erstlich ist zu beweisen, daß jede Permutation S der Wurzeln $, die alle zwischen den | bestehenden rationalen Relationei). wieder in solphe überführt, der Gruppe jei^er 288-71 Permutationen angehört. Aach jede Potenz von S, also auch S~K wird dann jede zwischen den Wurzeln gültige Relation wieder in eine solche umformen. Da nun die Gleichu|ig: (11) ^(ll. l.-l3) = 0 für jedes syzygetische Tripel, aber für kein azygetisches gilt, so wird durch S jedes syzygetische Tripel wieder in e|n solches übergeführt. Ajser auch jedes azygetische Tripel geht bei Ausübung von S nieder in ein azygetisches über: sonst würde ja durch S~^ ein syzygetisches Tripel in ein azygetisches übergeführt. Hiernach trß,nsformiert S das Siebeu- system (9) wieder in ein Siebensystem: (12) 1;. 1;, 1;, 1;. 1;, 1;. 1;, so daß es unter den 288 • 71 oben erklärten Perm^itationen eine, S', gibt, die auf die Wurzeln (9) die gleiche Änderung ausübt wie S. !Xun gßht aber auch die-Relation: "(13) |.>i = ^^(|., I.U«, I.. •••) durch S wieder in eine giiltige Gleichung über: 1;. = '4^(1:., i;.li:.. i;,---)- Rechts steht der Ausdruck derjenigen Wurzel, in die |^^ durch S" übergeführt wird. Also ist S, wie zu beweisen war, mit S' identisch und damit unter den 288 «7! Permutationen enthalten.
392 III? -■ Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades, Es ist zweitens zu zeigen, daß irgend eine zwischen den 28 Wurzeln der Doppeltangentengleichung wirklich bestehende rationale Relation mit Koeffizienten des Körpers ^ durch jede der 288-7! Permutationen wieder in eine wirklich gültige Relation übergeführt wird. Eine solche Relation sei in: (14) ß(lx.l2.'--.l7.ll2. ••'.«.•• 0 = 0 vorgelegt, wo a, ••• die Verhältnisse der Koeffizienten der Kurvengleichung sein sollen. Man kann nun zunächst die l^g, ••• nach (13) rational durch die |^, Ig, •••, 1^ im Körper ^ darstellen. Sodann lassen sich nach dem ersten Satze von § 7 S. 382 ff., nach welchem die Kurve aus einem vollständigen Siebensystem ihrer Doppeltangenten rational berechenbar ist, die Größen a, • • • rational mit numerischen Koeffizienten in den sieben (rrößenpaaren: (15) |„Ö„ I2.Ö2. I3.Ö3. •••. I7.Ö7 darstellen. Die dadurch entstehende Gleichung muß, da nach dem zweiten Satze von § 7 S. 388 zu irgend sieben Geraden als Doppeltangenten eine Kurve vierten Grades gehört, in den Größen (15) identisch bestehen. Sie wird also richtig bleiben, wenn man die sieben Größenpaare (15) beliebig permutiert oder auch dieselben durch die sieben Größenpaare irgend eines anderen der 288 Siebensysteme in beliebiger Anordnung ersetzt. Das aber läuft einfach darauf hinaus, daß die Gleichung (14) gültig bleibt, wenn man die Wurzeln | einer der 288 • 7! Permutationen unterwirft. Damit ist die ©288-7! ^Is die Galois sehe Gruppe der Doppeltangentengleichung erkannt. § 9. Erzeugung der Galois sehen Gruppe der Doppeltangentengleichung, Für die 28 Wurzeln der Doppeltangentengleichung benutzten wir die Bezeichnung 1^, l^t • *'> I7) I12) lis» "•) ^&t Daneben hatten wir die etwas mehr symmetrische Bezeichnung [u, v], wo ^u, v zwei verschiedene unter den Ziffern 1, 2, ••-, 8 sind und [v, yi] = [ft, v] gilt. Die Ordnung unserer Galois sehen Gruppe stellten wir bereits fest zu: 288-7! = 36-8! = 1451520. In dieser Gruppe ©288-7! haben wir einen Teiler ©7., der von den 7! Permutationen der Wurzeln |j, Ig> • ••-, I7 geliefert wird und also mit der symmetrischen Permutationsgruppe des Grades 7 isomorph ist. Die Wurzeln |^^ mit Doppelindex permutieren sich dabei entsprechend ihren Darstellungen: (1) |uv = ^(|u, l.jl.. Ia, -••)- Aus den Entwicklungen von S. 377 ff. ergab sich, daß bei der Anordnung der W^urzeln der Doppeltangentengleichung in syzygetische und azygetische Tripel und Quadrupel, in Steiner sehe Komplexe und in Aronholdsche Siebensysteme die Ziffer 8 als Index völlig gleichberechtigt mit den
Teiler ®g, m der Griippe der Doppeltangentengleichui^g. 393 Ziffern 1, 2, ■••, 7 auftritt. Allein auf diesen Anordnungen ^.ber beruhen die gesamten Folgerungen, die wir über die Relationen ^wischen den Wurzeln und über die Galois sehe Gruppe der Doppeltangentengleichung gezogen haben. Benutzen wir demnach die symmetrische Bezeichnung [^u, v] der Wurzeln, so ^^rerden jene Relationen ai^ch gegenüber jeder der 8! Permutatioaen der Ziffern 1, 2, •••,8 wieder in gültige Relationen jiibergehen. Die GaUis,sche Gruppe ©sg.g' ^oA demnaclt auch einen Teiler ©gi der Ordnung 8! und des Index 36, der ftiit rfer bym- metrischen Permutationsgfuppe des Grawes 8 isomorph ist v(,nd d/tirdi die fraglichen 81 Permutationen hergestellt wird. Beim Teiler ©^j geht das Siebensystem: (2) [1,81, [2,8], [3,8], •.., |7, 8] in sich selbst über. Gegenüber dem genau aten Teiler ©gi abei perpiu- tieren sich diejenigen acht Siebensysteme untereinander, denen da^ Syi^bol -i^ zukommt. Wollen wir also jetzfc durch Ilinzunahme der sieben Xebengruppen, die zum Teiler ©gi gehören, die Gesamtgruppe herstellen, so sind solche Permutationen herapzuziehen, bei denen ein Siebensystem des eben genannten Symbols in ein solches vom Syr^ibo'l V -^ übergeht. Xun kann ein Sieben^ysteip vom Symbol -i^, z. B. das» Siebensystem (2), gerade in 35 wesentlich verschiedenea Arten ia eii^ Siebensystem des zweiten Symbols übergeführt werden; denn wir köimen aus dem siebenstrahligen Stepie ajif (l) = 35 Arten ein Tripel von Strahlen herausgreifen und aus den drei Zahlen an den Spitzen dieser Strahlen das Dreieck V bilden. Diese 35 Arten des Übergangs vom Siebensystem (2) zu einem Siebensystem des zweiten Symbols sind wieder lait- einander gleichberechtigt, so daß uns eifi spezielles Beispiel eines solchen Übergangs allgemein über die Eigenart der zugehörigen Permutation der Wurzeln | unterrichten ^vird. Kehmen wir etwa als Beispiel die Perm^tatioa S, die für die Wurzeln des ersten Siebensystems (2) so lautet: .ON c _ (iU 8], [2, 8], ^3, 8], .[4, 8], [5, 8], [6, 8], [7, 8]\ ^^^ '^ — l[2, 3], [3,1], [1,2], [4,8], [5,8], [6,8], [7, 8]^ Bei dieser Permutation sind die Ziffern 1, 2, 3 gleichberechtigt ]ind ebenso die vier Ziffern 4, 5, 6, 7. Bier ist nun festzustellen, in welche Wurzel die einzelne Wurzel [{i, v], an der die Ziffer 8 nicht beteiligt ist, übergeht. Wegen der gerade genannten Gleichberechtigungen isfc es hinreichend, die drei Wurzeln [1, 2], [1, 4], [4, 5] zu betrachte^. Wir bilden zu diesem Zwecke erstlich den Steinersphen Komplex: (4) [2, 8] [1, 2], [3, 8] [1, 3], [4, 8] [1, 4], [p, 8] [1, 5], [6, 8] [1, 6], [7. 8] [1, 7], der den Typus (14) S. 381 hat. Aus (3) liest man ]inmittelbar ab, in welche Wurzeln die seclis Wurzeln [2, 8], [3, 8], •••, [7, 8] durch S übergeführt werden. Der aus (4) entstehende Koipaple^^ enthält jedenfalls die Wurzeln [4, 8], [5, 8], [6, 8], [7, 8] in den vier letzten Paaren von
394 HI, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Wurzeln. Mithin hat er wieder den Typus (14) S. 381, und man stellt daraufhia leicht fest, daß man zu: [3, 1] [3, 8], [2, 1] [2, 8], [4, 8] [1, 4], [5, 8] [5, 1], [6, 8] [6, 1], [7, 8] [7, 1] gelangt, also wieder zum Komplex (4) zurück. Somit transformiert die Permutation S die Wurzel [1, 2] in [3, 8] und die Wurzel i;i, 4] in sich selbst. Wir betrachten zweitens den Komplex: (o) [1, 8] [1, 4], [2, 8j [2, 4], [3, 8] [3, 4], [5, 8] [5, 4], [6, 8] [(5, 4], [7, 8] [7, 4], die den Typus (14) S. 381 besitzt. Wie soeben finden wir leicht, daß wir bei Ausübung der Permutation S aus (5) den folgenden Komplex: [2, 3] [1, 4], [3, 1] [2, 4], [1, 2] [3, 4], [5, 8] [6, 7], [6, 8] [5, 7], [7, 8] [5, 6] erhalten, der den Typus (13) S. 381 besitzt. Durch S wird hiemach die Wurzel [4, 5] in [6, 7] übergeführt. Unter Zusammenfassung haben wir für S die Darstellung: (OS e_ /[l'^L [1,4], [4,5], ...^ ^^ ~ U3, 8], [1, 4], [6, 7], ...;■ Das Ergebnis läßt sich unter Berücksichtigung der Gleichberechtigung der drei Ziffern 1, 2, 3 und derjenigen der vier Ziffern 4, 5, 6, 7 leicht allgemein aussprechen, wenn wir der Bezeichnung S zur besseren Charakteristik der Operation (3) in sofort verständlicher Weise die Zusammenstellung der vier Ziffern 4, 5, 6, 7 als Index anhängen. Durch die Bezeichnung Si^ 5^ 6,7 ist die fragliche Permutation dann eindeutig bestimmt. Die Reihenfolge der vier Indizes ist natürlich gleichgültig, und wir erhalten alle 35 Permutationen S, wenn wir aus der Ziffernreihe 1, 2, 3, ••-, 7 die 35 Kombinationen zu vieren herausgreifen. Wir lesen aus (3) und (6) gleich folgendes allgemeine Ergebnis ab: Durch eine Permutation Sa^, a^, a^, «^ w«^ö! die einzelne Wursel [^it, v] in sich selbst übergeführt, falls nur eine der Ziffern ^, v im Quadrupel a^, a^, Wg, «^ auftritt; finden sich beide Ziffern ^, v im Quadrupel a^, a,, «3, «^ oder Lvmmt in diesem keine der Ziffern a, v vor, so geht [(i, v] in [[i', v'] über, tco fi, V, fi', v' jenes Quadrupel ist oder die vier übrigen unter den acht Ziffern darstellen. Hieraus ergibt sich sogleich weiter: Alle 35 Permutationen S haben die Periode 2. Die Gesamtgruppe ®36-8! ^^^^ erzeugen wir nun einfach durch Hinzunahme der 35 Nebengmppen zum Teiler ©g»: (7) @,6.8! =r @g; + SW-@8,-f S(2)-@8!-i-... + S(35).@8!, WO wir die 35 Permutationen S der Kürze halber durch obere Indizes imterschieden haben. Um ein paar weitere noch zu benutzende Formeln aufzustellen, ist es zweckmäßig, die Permutation S4 5 g 7 auch durch S^ .3 3 g darzustellen, indem wir die anderen vier Ziffern als Indizes benutzen. Wir verfahren auch bei einer beKebigen Permutation Sß.^^ a^^ «3, «^ so, wobei dann also in der zweiten Darstellung der Permutation immer die Ziffer 8 als Index
Erzeugung der Gruppe deip DoppeltangenteAgleichung. 395 auftritt. Auch bei dieser neuen Darstellung ist die Reitienfolge der Ziffern im Index gleichgültig. Der eben aufgestellte Hauptsatz tiber die Wirkung der Permutationen S erleidet auch in der Form keipe Änderung bei Gebrauch der zweite^ Schreibweise unserer Permutationen. Nach dieser Verabredung köi^nen wir zwßi verschiedene Permutationen Sa^^ a^^ «3, a^i Sa\, c^, a'^. a' üni^er SO schrcibcfl, daß ihre beiden Indizes entweder zwei oder drei Ziffej-n gemein habpn. Es wäre ja auch möglich, daß die beiden Indizes nur einp Ziffer gemein haben. Pann genügt es aber, die eine Permutation durch die andere zur Verfügung stehende Bezeichnung zu belegen, um einen der beiden bezeichneten Fälle zu erhalten, nämlich den, daß die beiden Indizes drei Ziffern gemein haben. Bei der Verwendung unspres eben gewonnenen iiauptsatze& treten nun die Indizes 1, 2, 3, ••-. 8 wieder gleichberechtigt auf. Unter T verstehen wir die Permutation de» Teilers @^t. die der Permutation: (8) f^' •^' •^' ^' ^' ^' '• ^) \ a^. «o, ^'3. «i- «5, «6' "-' "8^ der acht Ziffern entsprich^t. Die Permutation, djie einer Transposition der beiden Ziffern ^. v zugehört, sei durclfi (it, v) bezeichnet. Wir notieren dann zunächst in Übereinstimmung mit dem z^j^^eitep der beiden obigen Sätze: (y) s.„.. ., ..-V.„«3-, == 1 Weiter merken wir die (rleichung an"-): (10) T-S,.,. , = K.^.c.,^arT, aus der hervorgeht, daß die 35 Permutationen S miteinander gleichberechtigt sind. Es ist nicht nötig, die Richtigkeit der Gleichupg (10) für alle 28 Wurzeln | durch2uprüfen. Es genügt wegen der Gleichberechtigung der acht Ziffern, allein die drei Wurzeln j"!, 2(, [1, oj und 1^5. 6] zu prüfen: das Symbol i^it. v\ der erstep Wurzel hat zwei Ziffern mit dem Quadrupel 1, 2, 3. 4 gemein, das der z^^eitei^ eine Ziffer und das der dritten keine. Wiederholt zu verwenden hg,t man hier und sogleich den vorhin aufgestellten Satz über die Transformation der Wurzeln [;u,, v] durch die Permutation S. Es wird nun in der Tat [1, 2' sowohl durch die in (10) links wie die rechts stehende Pern^utation in [wg. a^J transformiert. Desgleichen wiyd [1, 5 übereinstimmend in [Kj, a.] übergeführt ^nd ^p, 6j in [a., cCg]. Damit steht die Relation (10) fest. Bei der Kombination zweier Pern^utationen S brauchen wir, wie schon bemerkt, nur zu upterscheiden, ob die Indjzes der beiden S drei Ziffern oder zwei Ziffern gemeinsan^ habpn. In beiden Fällen genügt es. *) Man erinnere sich, ^aä in syiiit»olischen Prpduktßn vop Gruppenelementen die Faktorenfolge von rechts nach hnks zu lesen ist.
396 ni, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. ein Beispiel zu betrachten, da die übrigen Fälle als mit ihnen gleichberechtigt sich entsprechend erledigen. Wir merken die beiden Regeln an: (11) Si, 2, 3, 5 • Si, 2, 3, 4 = Si, 2, 3, 4 • (4, 5), (12) S,, 2,5,6 • S,, 2,3,4 = S,, 2,7,8 • 0, 8) • (5, 6) • (3, 4) • (1, 2). Bei der Regel (11) genügt es, die acht Wurzeln [1, 2], [1, 4], [1, 5], [1, 6], [4, 51. [4, 6], [5, 61. [6, 7] zu prüfen. Die einzelne unter ihnen wird in der Tat durch die in (11) einander gleich gesetzten Permutationen in ein und dieselbe Wurzel transformiert. Auch die letzte Regel (12) wird man leicht beweisen. § 10. Einfachheit der Gruppe der Doppeltangentengleichung. Um eine Kompositionsreihe der Galois sehen Gruppe ©sg.s! der Doppeltangentengleichung aufzustellen, gehen wir auf die Zerlegung: (1) @36.8! = ®Sl+SM.@sl 4-S(2).@3, -f ... ^S(35).@3j zurück, wo der Teiler ®g< mit der symmetrischen Permutationsgruppe des Grades 8 isomorph ist. Der Teiler ©gi ^^^ seinerseits einen und nur einen*) Xormalteuer ©4.71, der mit der alternierenden Permutationsgruppe des Grades 8 isomorph ist, und gestattet demnach die Zerlegung: (2) @g, = @,.,j^ f7-@4.7!, wo U eine Permutation ist, die von einer ungeraden Permutation der acht Ziffern, z. B. einer Transposition, geliefert wird. Es sei nun G9„ irgend ein Kormalteiler der Gesamtgruppe, dessen Ordnung ^a jedoch größer als 1 sein soll, der also nicht aus der identischen Permutation allein bestehen soll. Der Durchschnitt 1j(®u, ©gl) ist dann ein Xormalteiler der Gruppe ©gi, der entweder nur aus der identischen Permutation besteht oder den Teiler ©4.71 enthält. Wir notieren als ersten Satz: Hat der Normalteüer ©„ außer der identischen Permutation noch eine weitere Permutation mit ©gi gemein, so enthält er die Gruppe ©4.7;- Es liege nun der Fall vor, daß ©„ die Gruppe ©4 .7; enthält. Dann kommt in ©„ z. B. diejenige Permutation der Wurzeln | vor, die der dreigliedrigen zyklischen Permutation (6. 5, 4) entspricht. Diese Permutation der I möge selbst durch das Sjonbol (6, 5, 4) bezeichnet werden. ©„ enthält als Xormalteiler auch alle mit (6, 5, 4) konjugierten Permutationen, also z. B. auch: (3) Si,2,3,5-(6, 5, 4).S,,2,,,5, da die Permutation S^^ 2,3, 5 die Periode 2 hat. Xach der Regel (10) S. 395 aber gilt; Si, 2,3,5 • (6, o, 4). Si, 2,3,5 = Si, 2,3,5 • Si, 2,3,4 • (6, o, 4). *) NaturKch abgesehen von den Teilern ©^ und ©g! der Gruppe ©gN
Untersuchui^g etwaiger Norn^alteiler der @^g g, 397 Wenden wir auf das Produkt der beiden erste^ Faktoren rechts die Regel (11) S. 396 an, so weisen wir in @„ auch die Permutation ^1,2,3,4 • (4, 5) • (6, 5, 4) und also, da (6, 0, 4) in ®„ auftritt, a^ch ^1,2,3, 4 • (4, o) nach. Damit kommt in &,, jede Permutation des Systeips: Sl,2,3,4-(4, 5).®,.,!== S, .2,3,4-((4, 0).@,.,,) = Si,2,3,4-?'?4.7! vor, wenn wir der Kürze halber die im letzten Gliede def Formel (2) auftretende Xebengruppe durch das Symbol '^i.'ji bezeichnen. Dies Ergebnis gestattet eine wesentliche Verallgemeinerung. Wir verstehen unter T die der Penpautaiion: (4^ /l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\ der acht Ziffern entsprechende Permutation des Teilers ©§,. Dabei denken wir a^, Wg, «3, a^ willkürlich gewählt und können dann über die Anordnung a-, «g, a^, Wg des ^iffemrestes immer noch so verfugen, daß die Permutation (4) nach Wunsch gerade oder ungerade ausfällt, also T in ©4.7! bzw. 9^4.7! enthalten ist. Wahlen wir eine gerade Pen>iu- tation T, so gilt: r-i.9^4.7! = 9^4.7', und da Si^ 2,3, 4 • 9?4.7' ^^^ T in ©„ auftreten, so findet sich in @„ auch das ganze Permutationensystem: (5) T-S,,2,3,4-T-i.9^4.7. = S.,.,, .3, .,.9^4.7!. Die rechte Seite dieser Grleicbung entsteht aus der jinken auf Gri^nd der Regel (10) S. 395. Auch die Permutation: Sl,2,3,4-(4, 6)-(3, 5).S,,2,3,4 gehört als mit (4, 6) • (3, 5) konji^giert den). Xormaltßiler ©„ an. Auf Grund der Regel (10) S. 395 köi^nen wir diese Perpiutaiion ^uch so schreiben: Sl,2,3,4-Sl,2,^,6-(4. 6). (3, 5). Formen wir weiter mit der Regel (12) S. 396 um, so gelangen wir zu der Gestalt: Si, 2,7,8 • (7, 8). (3, 4). (5, 6). (1, 2) • (4, 6) - (3, 5) = Si,2,,,8-(1, 2)'(3, 6)-(4, 5)-(7. 8). Da die hier rechts mit Si^ 2,7, s multiplizierte Perm^tatiofi dei' | von einer geraden Permutation der acht puffern herrührt ur^d also dem Teiler @„ angehört, so finden sich auch Si, 2,7, s "^d damit alle Permutationen des Systems: (6) Si,,,7 8-®4.7! im Xormalteiler ®„. Wie wir nun yorhi^i aus de^i Auftreten von -Si, 2 3 4 •9'?4.7! in ®u sphlossen, daß sich überhaupt jedes System Sß^, ß2, ß3, a4"^^4-7! ^^ ®f' findet, so ergibt sich jetzt, daß mit dem
398 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven \ierten Grades. System (6) die gesamten Permutationen des Systems -S^^, ß,, «3, ß^ • ®4.7; in @ti vorkommen, wo a^, ag, %? «4 irgend ein Quadrupel von Ziffern der Reihe 1, 2, •••, 8 ist. Fügen wir das System (5) hinzu, so haben wir in @„ das System; also jede der Xebengruppen in (1) rechts nachgewiesen. Mit Si^ 2, s, 4 • ^s: kommt auch Si^ 2,3, 4 selbst und damit auch: K 2, 3, 4 ■ (Si, 2. 3, 4 • ®8!) = (Sl, 2, 3, 4 • ^i, 2, „, 4) ' ©8! = @8! vor; ®,t ist also die Gesamtgruppe. Unter Hinzunahme des ersten Satzes folgt als zweiter Satz: £m Normalteihr- @„, der mit dem Teiler ©gi aii^ßer der identischen Permutation noch mindestem eine weitere Permutation gemeinschaftlich hat, ist mit der Gesamtgruppe identisch. Soll ein von @^ und (^36.8' verschiedener Xormalteiler ©„ existieren, so müssen dessen Permutationen, abgesehen von der identischen, durchweg den 35 in (1) rechts stehenden Xebengruppen angehören. Irgend eine Permutation S^^, c.,, «3, «^ kann aber nicht in ©„ auftreten. Da nämlich diese 35 Permutationen zufolge (10) S. 395 alle untereinander konjugiert sind, so treten im Xormalteiler ©« mit einer alle 35 auf. Dann muß sich auch die Permutation: Si, 2,3,4 • ^1,2.3.5 • -^'1 2,3,4 = (4, 0) finden ivgl. (11) S. 396j. Diese aber gehört der Gruppe (^gj an, was im Widerspruch zu der jetzt gültigen Voraussetzung ist. Es müJßte demnach in @« eine Permutation: auftreten, wo V eine nicht identische Peimutation de& Teilers ©g! ist. Dann aber findet sich im Xormalteiler O^« auch jede mit (7) konjugierte Permutation: (8) {T-^-^a,.a,,a,,a,-T)-^T-^.V.T). Wir können nach (10) S. 395 die Permutation T aus dem Teiler @gi derart wählen, daß die in der ersten Klammer unter (8) stehende Permutation gleich Si^ 2^ .3^ 4 wird. Die zweite Klammer umschließt eine nicht identische Permutation des Teilers @gi. die U genannt werde und der nicht identischen Ziffernpermutation: ^9) /l, -2, 3, 4, 5, 6, 7, 8^ V«i, «2' "35 «4' «5' «6' «7' "■&' entspreche. In der oberen Reihe (9) findet sich mindestens eine Ziffer i, fur die a, nicht gleich i ist. Diese Ziffer / kommt in einem der beiden Quadrupel vor: (10) 1, 2, 3, -i, 5, 6, 7, 8. Im gleichen Quadrupel stehen noch drei Ziffern, von denen mindestens zwei von «j verschieden &ind. Eine von diesen beiden, die h genannt werde,
Eintachheit der Gruppe der Doppeltangentengleichuag. 399 wählen wir aus und halfen dann sicher in (/. Ti) und (a^, a^.) zwei verschiedene Permutationen, da a^ weder gleich i nocli gleich fc ist. Aus (9) folgern wir: (11) r,(i, ;o-r-i = (o,, a,.). Xeben S^^., 34- U gehören auch die Permutationen : dem Kormalteiler an, deren erste z|i S-^^ 2 3,i-'C invers ist. während die zweite mit dieser Substitution konjugiert ist. Iin Xormalteilei findet sich also auch: U-'-S^,,.s.,-(i, k)-S^,,,s,,-U.(i, k) und damit auch: (1-^) S,, 2.3, 4 • (^ k) • Si, a, 3, 4 • ^^- (^ ^^-) • U-\ Xach (10) S. 395 gilt: da die Ziffern t, 7. einem |ind demselben Quadrupel (10) angehören. Die Permutation (12). die in ©„ auftritt, läßt sicl^ also auch so schreiben: (*•. k) (Si, 2,3,,)' • V- {% f^ ■ ^J~' = (h k) • (U- (i, k). C-1) = (^ /.). («„ «,) und ist. da (i, k) z^ (a^, 0^^ gilt, e|ne n^icht identische Permutation des Teilers ©gi- Damit sind wir aufs neue zu einem "Wi4erspiuch geführt. Es gilt also der Satz: Es gibt in der Gialotsbchen Gruppe der TJoppßl- tangentengleicJiung keinen von der ®^ vert^cJüedßnen echten Normalteder, 00 daß diese Gruppe @36. gi einfacji ist. Die Grundsätze der Galois sehen Theorie (vgl. I, 383 ff.) liefern also hier keine Erleichterung von der Art. daß ^vir die Lößung der Poppel- tangentengleichung auf eine Kette von Lösungen mehrerer Resolventen mit Galois sehen Gruppen geringerer Ordnungen zurückführen könnten. Insbesondere ist also eine Lösung mit Hilfe zyklischer Gleichungen ai^s- Übrigens müssen die geraden Perrnjitationen der Wurzeln |, die in der Gruppe ©sb.g' enthalten sind, notwendig einen Xorm^lteiler derselben bilden. Da das Quadrat jeder Permutation eine gerade Permutation ist, und in der ©36.3' Permutationen mit Perioden, die ^ 2 sind, auftreten, so ist jener Xormalteiler mit der Gesamtgruppe gleich. Wir notieren also noch den Satz: Die Galoisbche Gruppe der DoppeJtangerden- gleidmng 28^^'"' Grades ist in der ßltern^erenden Fermutationsgruppe deb Grades 28 als Teiler mthalten, bo dßß die Diäkrimi,naMe jener Gleichung in dem zugrunde liegenden Korper ein reifies Quadrat darstellt.
400 III. 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. § 11. Transitivität der Gruppe der Doppeltangentengleichung. Die Galois sehe Gruppe der Doppeltangentengieichung ist sicher transitiv; denn es gibt bereits im Teiler ©gi ^^^^ Permutation, die die Wurzel [1, 2] in eine beliebig vorgeschriebene Wurzel [fi, v] überführt. Soll die Gruppe mindestens zweifach transitiv sein, so ist hierfür hinreichend und notwendig, daß es unter den Permutationen, die [1, 2] in sich überführen, eine gibt, die die Wurzel [1, 3] in eine beliebig vorgeschriebene von [1, 2] verschiedene Wurzel [fi, v] überführt. Nun geht [1, 3] durch die Permutation (1, 2), die [1, 2] in sich überführt, in die Wurzel [2, 3] über. In ©g' aber sind weiter Permutationen enthalten, die [1, 2] unverändert lassen und [1, 3] in [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8], die Wurzel [2, 3] aber in [2, 4], [2, o], [2, 6], [2, 7], [2, 8] überführen. Im Teiler, der [1, 2] unverändert läßt, ist also [1, 3] sicher mit allen Wurzeln [1, v] und [2, v], abgesehen von [1, 2], verbunden (vgl. I, 332). In diesem Teiler tritt auch eine Permutation auf, die das erste der beiden Siebensysteme: [1, 2j, [1. 3], [1, 4], [1. 5J, [1, 6], [1, 71, [1, 8], [1, 2], [4, 5J, [3, 4], [3, 5], [1, 6], [1, 7]. [1, 8] in das zweite überführt, so daß [1, 3] mit [4, o] verbunden ist. Endlich ist [4, oj bereits im Durchschnitt des fraglichen Teilers mit der Gruppe (^)8! mit allen [fi, v] verbunden, an denen die Ziffern 1 und 2 nicht beteiligt sind. Dreifach transitiv kann die ©se . g) nicht sein; denn es kann kein syzygetisches Wurzeltripel durch eine ihrer Permutationen in ein azygetisches übergeführt werden. Die G-aloissche Gruppe @36-8! ^ß»' Doppeltangentengieichung ist genau zweifach transitiv. Adjungiert man eine einzelne Wurzel der Doppeltangentengieichung, so genügen die 27 übrigen Wurzeln einer Gleichung, deren Koeffizienten dem erweiterten Körper angehören. Ihre Galois sehe Gruppe ® aber ist der Teiler der ©se.gi, der im Sinne von I, 378 ff. zur adjungierten Wurzel gehört, also aus allen Permutationen der ©^g - s! besteht, die die adjungierte Wurzel unverändert lassen. Diese Gruppe @ ist für die übrigen 27 Wurzeln, wie wir sahen, noch transitiv, so daß die Grleich/ang 2'ji-un G-yades im erweiterten Körper irredmihel ist [vgl. I, 373]*). *) C. F. Geiser hat in der Abhandlung „Über die Doppeltangenten einer ebenen Kurve vierten Grades", Math. Ann. Bd. 1, S. 129, den Satz aufgestellt, daß eine ebene Kurve vierten Grades stets als Schnitt eines Tangentenkegels aufgefaßt werden kann, der von einem Punkte einer Fläche dritten Grades an diese Flache laufe. Hieraus ergibt sich ein interessanter Zusammenhang zwischen den 28 Doppeltangenten der Kurve mit den 27 Geraden der Flache dritten Grades. Aus diesen Entwicklungen kann man den Schluß ziehen, daß die Gabis sehe Gruppe der Gleichung 27sten Grades, von der die Losung des Problems der 27 Geraden auf der Flache dritten Grades abhängt, isomorph ist mit der Gruppe der im Texte betrachteten Gleichung 27sten Grades.
Zweifache Transitivitat der Gruppe @36 b<- 401 Adjungiert man zwei Wurzpln, so gestalten sieb d^e Verhältnisse anders. Die Galois sehe Gruppe der übrigbleibenden Gleichung 26sten Grades ist in der Tat intransitiv, so dßß diese Gleichung redumhel wird. Es spaltet sich ein Faktor zehnten Grades ab, der gleich 0 gesetzt die schon unter (8) S. 390 gewonjiene Gleichung: (1) ^(|) = 0 zehnten Grades mit Koeffizienten des durch dip Adjunktion cfer beiden Wurzeln erweiterten Körpers liefert. Die zehn Lösungen geben diejenigen Wurzeln, die mit den beiden adjungierten Wurzein syzygetische Wurzeltripel bilden. Wir weisen endKcli noch auf die oft genannte Gruppe ©gi liin, die als Teiler der Galois sehen Gruppe ^ze ■ i,\ den Index 36 hat. Diese Gruppe ist einfach transitiv. Es ist nämlich die Wurzel [1, 2^ durch die ®8! noch mit allen Wurzeln [^. v] verbunden. Durch den zu ^1, 2^ gehörenden Teiler von ©g, ist aber z. B. die Wurzel [1, 3] nicht mit [4, 5] verbunden, so daß nur noch einfache Transifcivität vorliegt. Man verstehe nun unter a?^, x^, •••, x^ die acht Wurzelprodukte; ( x^ = [1, 21 -[1,3]. ^1, 4j. [I. 5] • :i. {\ ■ X 7] • [1, 8; (2) X., r= [2, 11. [2, 3]. [2, 4, - [2, 51. ^^2, 6] • 2. 7 • [2, 8j. Die symmetrischen Funktionen dieser ^cht Produkte sind Funktionen des Teilers ©gi- Als solche sincl sie nach dem Lagrangeschen Satze (I, 379) in einer zweckmäßig gewählten, zur ©g; gehörenden Funktion rational darstellbar, die ihrerseits die Lösung einer Gleichung 36^'«" Grades mit Koeffizienten des ursprünglich zugrunde gelegten l^örpers ist. Xach Adjunktion der fraglichen Wurzel dieser Gleichung werden die acht Größen (2) die Lösungen einer affektfreien Gleichung achten Grades mit Koeffizienten des eben erweiterten Körpers. § 12. Realität der Doppeltangenten bei reellen Kurven vierten Grades. Die Gleichung unserer doppelpunktfreien Kurve vierten Gr&des habe jetzt reelle Koeffizienten, so daß der zugrunde liegende Z^hlköj-per reell ist. Mit jeder komplexen IjösuE|:g | der Doppeltangentengleichung ist dann auch die zu | kopjugiert komplexe Zahl | eine Lösung der fraglichen Gleichung, so daß die nicht reellen Doppeltangenten eüiander zu Paaren konjugiert sind. Für drei syzygetische Doppeltangenten ist die Gleiehung (8) S. 390 charakteristisch, deren Koeffizienten jptzt reell sind. Es wird demnach irgend ein syzygetisches System von Doppeltangenten oder Wurzeln | der Doppeltangentengleichu^g wieder ein solches System liefern, wenn wir alle Wur:?eln ^ zugleich durch ihre konjugierten ersetzen. In derselben W>.ise folgt aus einem azygetischen System natür- lieh wieder ein azygetisphes. Fricke. Algebra. II. ' 26
402 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Um nicht bei Betrachtung von Steiner sehen Komplexen das Wort „komplex" in doppeltem Sinne zu gebrauchen, sprechen wir besser von „konjugiert imaginären" Doppeltangenten oder Wurzeln der Doppeltangentengleichung. Ein Steiner scher Komplex K liefert nun bei Ersatz aller seiner Wurzeln oder Doppeltangenten | durch ihre konjugiert imaginären I wieder einen Komplex, Ist dieser zweite Komplex mit dem ersten identisch, so bezeichnen wir K als einen „reellen Komplex^; im anderen Falle sprechen wir von einem Paar „Jconjugiert imaginärer Komplexe" und nennen den einzelnen einen „imaginären Komplex". In einem reellen Komplex kann niemals eiae reelle Tangente | mit einer nicht reellen rj gepaart vorkommen. Der Komplex würde sonst neben dem Paare |, rj das Paar |, rj enthalten, während doch zwei Paare eines Komplexes nie eine Doppeltangente gemein haben. In einem reellen Komplex sind also entweder zwei reelle Tangenten gepaart oder eine imaginäre I mit ihrer konjugierten |, oder drittens zwei nicht konjugierte imaginäre Tangenten |, rj. Im dritten Falle tritt in dem gleichen Komplex dann auch das zu |, r] konjugierte Paar der Doppeltangenten I, ^ auf. Auch eia Aronhold sches Siebensystem, das wir symbolisch durch A bezeichnen wollen, geht bei Ersatz aller sieben Doppeltangenten durch ihre konjugiert imaginären wieder in ein Siebensystem Ä über, das wir als zu A konjugiert bezeichnen. Gilt A = A, so heißt A „reell" anderenfalls „imaginär". In einem reellen Siebensystem ist immer eine ungerade Anzahl von reellen Doppeltangenten enthalten, mindestens also eine. Wir behandeln zunächst die Frage, ob alle 28 Doppeltangenten imaginär sein können. Trifft dies zu, so wählen wir irgend ein Paar konjugiert imaginärer Tangenten |, | und setzen eine dritte Doppeltangente rj hinzu, die mit dem Paare |, | ein azygetisches Tripel bildet, und die der Annahme gemäß gleichfalls imaginär ist. Der zum Paare |, jy gehörende Steiner sehe Komplex K kann | nicht enthalten (da sonst |, r], f ein syzygetisches Tripel darstellen würden) und ist demna,ch von seinem konjugierten Komplex K verschieden, also nicht reell. Wir schreiben : (^) 1.»?. tvVl^ l2''?2. l3.'?3. ti,Vi> lö.'^ö. (K) 1,^, li,^,, la,^, 13,^3, 1^,^^, \,%> wo, wie immer, f^ zu 1^ und 7}v zu rj^ konjugiert imaginär ist. Ein solches Paar ist nun entweder syzygetisch oder azygetisch (vgl. S. 372). Im ersten Falle haben K und K vier Doppeltangenten gemein, während die übrigen 16 Doppeltangesten durchweg verschieden sind. Die vier je zweimal auftretenden Tangenten bilden in K und ebenso in K zwei Paare; die beiden Paare von K gehen durch Austausch zweier Tangenten in die Paare von K über. Nun kommt aber, wie wir schon wissen,
Unmöglichkeit von lanter imaginären Doppeltangenten. 403 I nicht ia K und eben deshalb | nicht in K vpr. Also sind die Paare I, 71 und f, ^ nicht an den zweimal auftretenden Tangenten beteiligt Da die fünf letzten Paare in K noch belie]3ig umgeordnet werden können, so nehmen wir an, daß Id »^j, I3, Jjg ^ip zweimal auftretenden Tangenten sind. Wir fragen, ob eine dieser Tangenten, die wir etwa an die erste Stelle gesetzt denken ui^d also |^ nennen, i^nerhalb K in eiaem der drei letzten Paare stecken Ijönnte. Wir denken dann die Tangente sq geordnet, daJ3 I3 = |j zutrifft. Dann wäre aber auch I3 -= li, so daß auch das vierte Paar l^^ t}^ der Annahme entgegen ^n den doppelt auftretenden Tangenten beteiligt wäre. Hieniach müssen die Tangenten li' *?!) lä' '^a» ^^^ ^^^ Reihenfolge abgesehen, mit de|i Tangenten |j, ^j, I2, ^3 identisch sein. Es kann aber nicht |^ = \ seia, weil keine reelle Tangente vorkommen sollte. Es kann auch nicht |j = ^^ ^eia, weil sonst 7^1 = Ij, wäre, wqraus K = E folgen würde. Es kani^ drittens nicht 1^ = I2 sein, weil sonst da,s zweite ynd dritte Paar von K durch Austausch von |^ und 1^ in f^as zweite und dritte Paa,r voi^ E iiberginge, also 'jji = ^1 lind damit reell wäre. Zu dem gleichen Ergebnis würde die vierte Annahme |j = rj^ führen. Diese Überlegung zeigt, daß überhaupt das Auftreten zweier syzygetischer, einapder konjugierter Komplexe mit der Voraussetzung ausschließlich imaginärer Doppeltangeiiten unvereinbar ist. Es bleibt nur die Möglichkeit, das Paar iJT, K als azygetisch anzunehmen. Das einzelne Paar enthält dani]L eine Tangente, die auch im anderen Komplex auftritt, während die zweite Tangente dort sich nicht findet. Nun tritt aber | üqa zweiten Komplex K nicht auf. E^ ist nämKch | als imaginär von | versphieden; es ist femer | ::^ ^, da sonst K = K wäre; es ist endlich | in keinem der letzten fünf Paare vop K enthalten, da |, rj, | ein azygetisches Tripel ist. Also kommt rj iji K vor (natürlich nicht im ersten Paare), i^nd wir können die Anordnung so treffen, daß vj 7= rj^^ und dann anch rj^ = r} i^t. Yom dritten Paare I2, 7]^ nennen wir die auch in E auftretende Tangente rj^- Pa die beiden ersten Paare schon vergriffe^ sind ui|d r}^ offenbar wieder nicht im Paare Ig, ^3 vorkommen kann, so dürfefi wir 1^2 = Vs "^^ dann rj^ = j^g setzen. Unsere beiden J^ompiexe lauten also: W IV' li.i l2'%' lä)^. •••. (^) lv> lvV> la.^s. l3.'22. •••• Man bilde nun die beiden Koipplexe: m iv., •••• Diese Komplexe sind voneinander verschieden. Es ist nämKch rj weder gleich ri noch gleich rj2', auch kann 7} in keinem anderen Paare von K'
404 HI, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. vorkommen, da sonst das Tripel ij, rj, rj^ syzygetisch wäre, während doch diese Tangenten in drei verschiedenen Paaren von K auftreten und also nach S. 368 ein azvgetisches Tripel liefern. Auch rj^ kommt in K' nicht vor, da auch das Tripel rj, rj^, ^2 azygetisch ist. Hiemach bilden K' und K' ein Paar konjugierter „syzygetischer" Komplexe, und mit dem Auftreten eines solchen Paares ist, wie wir bereits wissen, die Annahme ausschließlich imaginärer Doppeltangeuten unvereinbar. Diese Annahme ist also unhaltbar. Da wir nicht eine ungerade Anzahl imaginärer Doppeltangenten haben können, so folgt als erster Satz: Unter den 28 Do^peltangenten sind immer mindestens zwei reell. Es soll nun bewiesen werden, daß immer mindestens vier reelle Doppeltangenten auftreten. Wir bezeichnen die beiden sicher existierenden reellen Doppeltangenten durch x und y^) und bilden den zum Paare X, y gehörenden reellen Komplex K. Die fünf übrigen Paare von K sind entweder reell, oder das einzelne dieser Paare ist sich selbst konjugiert wie I, I, oder sie sind einander zu zweien konjugiert wie |, rj und |, rj. Da die Anzahl 5 ungerade ist, so findet sich mindestens ein Paar, das entweder reell oder sich selbst konjugiert ist. Ist das Paar reell, so haben WT.r unter Hinzunahme von x, y ein syzygetisches System von vier reellen Doppeltangenten, und dann ist unsere Behauptung bereits bestätigt. Wir haben also anzunehmen, daß ein Paar |, | auftritt, und bilden dann das syzygetische Komplextripel: (A',) r,y. 1,1, .... Ä) ^,t, y-l li-^i, ••- Da K^ und K^ konjugiert sind und außer x, |, y, | gemeinsame Doppeltangenten nicht aufweisen, so sind alle weiteren in K^ und K^ auftretenden Doppeltangenten |^, ?^^, •.• imaginär. Man bilde weiter die beiden einander konjugierten Komplexe: (A's) ^.§\, Im- •••' (Jq ^,i„ 1,^1' •••• Die Doppeltangente y tritt nicht in Ä'g auf und damit auch nicht in K^, da sonst x, |, y nach S. 368 ein azygetisches Tripel bilden würden, was dem Komplex A', widerspricht. Aus demselben Grunde kann wegen K^ die Doppeltangente | nicht in iCg und | nicht in K^ auftreten. ^Sind nun erstlich die beiden Komplexe K^. K^ syzygetisch, so muß |j in iCg vorkommen und |^ in Z3; und zwar sind dabei nach der Bauart syzygetischer Komplexe |^ und |^ mit einer und derselben Doppeltangente *) Reelle Doppeltangenten mögen bei den nächstfolgenden Entwicklungen durch lateinische Buchstaben, imaginäre aber durch griechische gekennzeichnet werden.
Unmogliclikeit von nur zwei reellen Doppeltapgenten. 405 gepaart, die sich selbst konjugiert, also i-eell ist i^nd s heiße, piese Tangente s ist von x und 2/ verßchieden und piuß in K^ auf^reter)., da nach S. 373 die Komplexe K^, K^, K^ alle 28 Doppeltangenten enthalten und Zg, Zg außer x, y, wie wir wissea, ni^r imaginäre Doppeltangenten aufweisen. In K^ ist 2 mit einer reellen Doppeltangente t gepaart, so daß wir im fraglichen Falle zweier s^zygetischer Komplexe li^, K„ ein syzygetisches Quadrupel reejler Doppeltang enteil j,. //, z, ^ nachgewiesen haben. Nun können aber auch die l^omplexe K^, K. ein azj-getisches Paar bildeil. Dann tritt |^ nicht in ^3 a^f. Da a]ich, wie ^r schon feststellten, I in JSTg nicht vorkommt, so findet sictf tj^ in JST^. Die mit ?^^ in K^ gepaarte Doppeltangente tritt dann nicht in K^ auf und ist also imaginär; wir nennen sie ^^. Tritt nup in den drei letzten Paaren überhaupt noch eine reelle Tangente auf, so ist sje weder gleich x noch gleich y. Sie heiße z und führt genau wie oben z^ einem in K^ enthaltenen reellen syzygetischen Quadrupel. Kommen in d^n drei letzten Paaren von K^ aber nur imaginäre Tangenten vpr, so sei das vierte Paar von K^ durch I3, 7^3 bezeichnet. Da K^ nicht reell ist, so können |„ und 7^3 nicht konjugiert sein. Ist I3 die auch in K^ auftretende Doppeltangente, so haben wir: TO '^''li-' ^'»?i' ^2'^/i' Is.^js- l^n^- •••' Ä) ^li- Inv Lv,. h,vz- hrn.- •••• Die beiden letzten Paare 1^, '^. und I5, ^^ müsseii dar^n eine gemeinsame Doppeltangente haben. Es kann abe;- nicht |^ ==:: ^^ sein, \^reil sonst 1^ == ?^. folgen würde und K^ -— K.^ seir^ müßte. Also ist entweder I5 == I5 oder rj.^ == rj^. In beiden Fällen tritt also eine reelle Doppeltangente auf, die wir besser durch z bezeichnen und von der auß wir den Beweis wie oben zu Ende führen: Unter den 28 Doppeltange'nten Jconpmen immer mindestens vier reelle vor, die ein syz'ygdisches (Quadrupel bilden. Ist außer den vier jetzt als existierend erkannten reellen Doppeltangenten eines syzygetischen Quadrupels mindestens noch eine reelle Doppeltangente vorhanden, bo läßt sich zeigen, daß acht reelle Doppeltangenten existieren, die in einem Steine;-sehen Komplexe vier Paare bilden. Die vier zunächst festgestellten reellen Doppeltangenten des syzygetischen Quadrupels nepnen wir t, y, v, w und bilden (Jas syzy- getische Komplextripel: (K^) x,'t/, 'If- ii\ • ••, (Zg) x,v, y. w, ••-, (Z3) ip. w, y,v^ - • •. Der Beweis der aufgestellte^ Behauptung soll indirekt geführt werden. Wir nehmen an, daß keiner der drei Komplexe K^, K^, K^ vier reelle
406 III, 2. Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Taijgentenpaare enthalte. Sie sollen also höchstens drei oder nur die beiden angegebenen reellen Paare enthalten, woraus sich ein Widerspruch herleiten läßt. Jedenfalls hat einer der drei Komplexe noch ein weiteres reelles Paar; denn sie enthalten zusammen alle 28 Doppeltangenten, und eine fünfte reelle Tangente sollte auftreten. Wir dürfen annehmen, daß K, das dritte reelle Paar p, q aufweist. Dann bleiben in JST^ noch drei imaginäre Paare. Zwei unter ihnen können konjugiert imaginär sein; sicher aber tritt ein sich selbst konjugiertes Paar q, q auf, so daß wir K.^ ausführlich: (K^) X, y, V, w, p, q, q,q, ■•■ schreiben können. Ein beliebiges imaginäres Paar von K^ heiße |, rj: (K^ x,v. y,w, ^,r], •••. Dann läßt sich zeigen, daß | und r} nicht konjugiert sein können. Reihen wir nämlich den zu K^ syzygetischen und zu K^ azygetischen reellen Komplex: TO ^'l->' 2/. 2, ••• an, so kommt eine der Tangenten |, rj, etwa |, in K^ vor, die andere, rj aber nicht. Würde aber rj zn ^ konjugiert sein, so würde mit | auch rj im reellen Komplex K^ auftreten. Hiemach kann in K^ und, wie wir in derselben Art schließen, auch in K^ kein sich selbst konjugiertes imaginäres Paar auftreten. Die imaginären Paare in K^ und K^ sind also zu je zweien konjugiert, so daß sich in jedem dieser Komplexe nicht drei, sondern vier imaginäre Paare finden. Man hat demnach sechs reelle und 22 imaginäre Tangenten. Das azygetische Komplexpaar K^, K^ schreiben wir ausführlicher: (K^) x,v, y,w, ^.Tj, 1,7}, ••., (A',) x,p, y,q, H 1,1, ■•'. wo ^ nicht in Kc^ vorkommt, also auch nicht gleich | sein kann und, als mit der imaginären Tangente | im reellen Komplex K^ gepaart, eine neue imaginäre Tangente darstellt. Der Komplex: TO l.l. v^v^ ti ■■■ ist mit JTg und K^ syzygetisch und weist demnach keine der sechs reellen Doppeltangenten x, y, v, w, p, q auf. K^ und die konjugierten Komplexe: TO «,l, ^•.^, ]9,t, ■", TO ' x.l v,^, p,l, ... bilden ein azygetisches Tripel. Die drei reellen Doppeltangenten y, w, q treten in JSTg und K^ nicht auf; wir hätten sonst in x, y, p, desgleichen in V, w, X, endlich m p, q, x azygetische Tripel, was gegen K^ verstößt. Hiemach ist jeder der Komplexe K^, K^ azygetisch zu K-^. so daß von
Fall von acht reellen Dpppeltangenten. 407 dem in JSTj auftretenden Paare q, q eine Tangente, etwa q, in K^ auftritt,- die andere, q, findet sich dann in -Kg- Da reelle Tangenten nicht mehr zur Verfügung stehen, so ist ^ in JSTg i^it einer imaginärep von q verschiedenen Tangente gepaart, die durch ö bezeichnet werde. Man hat dann: TO a;,|. v,ri, p,^, q,6, 6,z, •••, TO ^'i' *'''^' P>i 9'^' <5'^' •••' wo r und r konjugiert imaginäre Tangenten sind. Jet:?t bleibt nur npch ein Paar imaginärer Tangenten %, l in iJTg und das konjugierte Paar jc, \ in JSTg. Damit aber tritt der Widerspruch zutage. Eine der beiden Tangenten %, l, etwa die an die erste Stelle gesetzte Tangente y,, muß auch im Paare ji, X auftreten. Da aber y, nicht gleich yc ist, sp würde y =1 A und also l =2 % folgen, d. h. es wäre JSTg entgegen dßn Tatsachen reell. Damit haben wir folgenden zweiten Satz gewonnen: Kommt außer dem sysygetischen Quadrupel reßller Doppeltangenter(> noch mindestenb eine fünfte reelle Do;ppeltangente vor, so treten mindestens acht reelle Doppeltangenten auf, die in einem Steiner sehen Komplexe vier reelle Paare bilden. Wir gehen wieder einen Schritt weiter und prüfen, welche Folgerungen gezogen werden können, wenn in einem Kpmplex: TO «i>2/i> «2'%' ^3>2/^> '^i^yii «^>2/5> ••• mindestens fünf reelle Paai'C Xy, y^ enthalten sind. Es läßt sich beweisen, daß dann alle 28 Doppeltangenten reell siad. Tritt zupächst, abgesehen vielleicht vom letzten Paare des Komplexes K^, nocl^ mindestens ein imaginäres Paar |, | auf, so ist der dijrch dieses Paar erldärte reelle Komplex K^ syzygetisch zu Z^; dßnn keine Tangente des Paayes |, | kommt in K^ vor. K^ und K^ haben demnach vier Tangenten, die sowohl in Zj wie in K^ zwei Paare bilden, gemeinsam. Hieran kann das letzte Paar von JST^ nicht beteiligt sein, weil son^t im reellen Komplex K^^ imaginäre Doppeltangenter). mit reellen gepaart wä,ren. Wir denken die Bezeichnungen der Doppeltangenter). x, y so verteilt, daß K^ gegeben ist durch: TO ^i>»2> Vi^y^i l>l---- Man ergänze K^ durch die beiden einander konjugierten Komplexe: (^3) ^rl> ^"2>l, •••> TO «i>l> »2>l. ••• zu einem syzygetischen Tripel. Außer den vier eben namhafip gemachten Tangenten x^, x^, |. | haben K^, K^ keiae Tangenten gemeinsam. Die 16 übrigen Doppeltangenten von K^ und K^ sind also imagiaär. Das ist aber nicht möglich, da Zg zu K^ azygetisch ist und also noch drei von den sechs reellen Tangenten x^, y^^, x^, y^, x^^ 2/5 enthalten muß.
408 ^^■> -• Doppeltangenten ebener Kurven vierten Grades. Die Annahme der Existenz aucli nur einer einzigen imaginären Tangente ^ außerhalb K-^ ist demnach unhaltW. Es könnte nun aber noch K^ die Gestalt haben: (K^) x^,y^, »2,2/2, ^^,^3, x^-y^, x.,y'o, n^n- Aber auch dies ist abzuweisen; denn der mit K^ syzygetische Komplex: könnte nicht reell sein und hätte doch vier reelle Paare, da nur noch reelle Doppeltangenten verfügbar sind. Es gilt also der dritte Satz: Kommen in einem Steiner sehen Komplexe fünf Paare reeller Doppeltangenten, cor, bo sind alle 28 Doppeltangenten reell. Wir nehmen endlich an, daß mehr als acht, aber nicht alle Doppeltangenten reell seien. Dann können wir von folgendem syzygetischea Komplextripel ausgehen; (-STi) ^1,2/1, »2,2/2, »3,2/3, »4,2/4, •••, (Z,) »^.»2, y^.y,, z^,^^_, Xach dem vorletzten Satze existiert nämKch ein Komplex K-^, der dann noch zwei imaginäre Paare enthält, da nicht alle 28 Doppeltangenten reell sein sollen. Da das Tripel JST^, K^, K^ alle 28 Tangenten enthält, so kommt die neunte reelle Tangente s^ in K^ oder K^, etwa in K^, vor und ist dort mit einer zehnten reellen Tangente 2^ gepaart. Man bilde den mit K^ syzygetischen Komplex: {K^) »,,^'j, »2,^2, ..., der mit K.^ azygetisch ist. da zwar »^, aber nicht z^ in K^ vorkommt. iQ muß also aus den Paaren »3, y^ und x^, y^ von K^ je eine Doppeltangente enthalten, etwa ». und »^, so daß wir zu schreiben haben: (K^ »1,5^1, »2,-'',, -i^z^^z, x^,^i, ••'• Die beiden Doppeltangenten 0^, z^ treten nicht in dem zu K^ azygetischen Komplex K^ auf. Sie kommen aber auch nicht in K^ vor, da K^ und K^ syzygetisch sind und schon die vier Tangenten »,, »g, ^j, z^ gemein haben. Also kommen ^3, ^^ in K^ vor. wo sie indessen kein Paar bilden. Es wäre ja sonst »j, ^3, z^, zuwider dem Komplex JST^, ein syzygetisches Tripel. Somit hat K^ die Gestalt: (A3) ^1-2/2, %,i/i, ^3-^3, -^4,^4, "■ mit zwei weiteren reellen Tangenten ig, t^. Die vier noch fehlenden aber sind gemäß der Voraussetzxmg imaginär. Wiederholen wir jetzt diese Überlegung für das Tripel: (^"1) -^i'i/i. *2>2/-2> ^3.^3> «4.^*> •••, (Z; = Z3) »j,2/2, »2,«/i, ^3,^3,
Vier mögliche Falle reeller Doppelt^ngenten. 409 so finden wir, daß auch K^ vier Paare reeller Dpppeltangenten aufweist. Also haben wir als vierten Saifcz: Sind r^ehr (üs aeht reelle Doppeltangentm vorhanden, ohne daß oTle 28 reell sind, so hat man 16 reelle Doppeltangenten, die in den drei Komplexen ßines byzygdiscfien 'J'ripels je vier reelle Paare ausmachen. Hiermit sind alle Möglichkeiten erschöpft. Wif fassen d:^e Ergebnisse nochmals zusammeifi: Betreffs der Bealität der Doppeltangenten einer b'mgularitätenfreien ebenen K'urve pierten G-rßdes sind allein folgende vi^r Falle möglich: I. Vier reelle Doppdtange/den eineb syzygetiscTten Quadrupel^. n. Acht reelle Doppeltangenten, die vier Paare eine^. Steiner sehen Xodi- plexes Mlden. III. Sechzehn reelle Doppeltangenten, die in den drei Komplexen einet, sysygelischen Tripels je vier reelle Paare Wden. IV. Alle 28 Doppeltangenten reell. § 13. Existenzbeweis der vi^r F^lle reeller Doppelt^ngenten. Wir prüfen nunmehr, ob die vier eben als allein zulässig erkannten Fälle reeller Doppeltangßnten auch wirklich auftreten. Dip Betrachtung gründen wir auf den Satz (vgl. § 7, S. 382 ff.), daß man fiir ein System von sieben gewählten Geraden der Ebene durch