/
Текст
Г.Е.Шилов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО)
части1 и 2
Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа.
Она не является учебником и не следует официальным программам курса
математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не
предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с
элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих
углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории
вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории
математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4
строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров
Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются
элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов—
числовых и функциональных. Гл. 7—8 посвящены собственно
дифференциальному исчислению, а гл. 9—интегральному исчислению. Гл. 10
вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в
частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Вещественные числа
§1.1. Первоначальные сведения о
множествах
§ 1.2. Аксиомы вещественных
чисел
§ 1.3. Следствия из аксиом
сложения
§ 1.4. Следствия из аксиом
умножения
§ 1.5. Следствия из аксиом
порядка
§ 1.6. Следствия из аксиомы о
верхней грани
§ 1.7. Принцип Архимеда и его
следствия
§ 1.8. Принцип вложенных
отрезков Кантора
§ 1.9. Расширенная область
вещественных чисел
Дополнение к главе 1. Логическая
символика
6
13
13
16
18
19
22
25
29
35
36
38
Задачи
Историческая справка
Глава 2. Элементы теории
множеств
§2.1. Операции над множествами
§ 2.2. Эквивалентность множеств
§ 2.3. Счетные множества
§ 2.4. Множества мощности
континуума
§ 2.5. Понятие о математической
структуре. Изоморфизм структур
§ 2.6. Пространство п измерений
§ 2.7. Комплексные числа
§ 2.8. Общее понятие функции.
График
Задачи
Историческая справка
Глава 3. Метрические
пространства
§3.1. Определения и примеры
§ 3.2. Открытые множества
§ 3.3. Сходящиеся
последовательности и
гомеоморфизм
39
40
41
41
43
46
49
50
55
60
65
67
68
70
70
78
81
§ 3.4. Предельные точки 91
§ 3.5. Замкнутые множества 95
§ 3.6. Всюду плотные множества и 97
замыкания
§ 3.7. Полные пространства 100
§ 3.8. Пополнение 107
§ 3.9. Компактность 111
Задачи 119
Историческая справка 121
Глава 4. Общая теория пределов 122
§ 4,1. Определение предела 122
§ 4.2. Общие теоремы о пределах 131
§ 4.3. Пределы числовых функций 132
§ 4.4. Предельные точки функции 139
§ 4.5. Функции, неубывающие по 141
направлению
§ 4.6. Основные теоремы о 144
числовых последовательностях
§ 4.7. Пределы векторных 148
функций
Задачи 151
Историческая справка 153
Глава 5. Непрерывные функции 154
§ 5.1. Непрерывные функции на 154
метрическом пространстве
§ 5.2. Непрерывные числовые 162
функции на числовой оси
§ 5.3. Монотонные функции 165
§ 5.4. Логарифм 169
§ 5.5. Экспонента 172
§ 5.6. Тригонометрические 181
функции
§ 5.7. Приложения 188
тригонометрических функций
§ 5.8. Векторные непрерывные 195
функции векторного переменного
§ 5.9. Последовательности 203
функций
Задачи 208
Историческая справка 210
Глава 6. Ряды 211
§ 6.1. Числовые ряды. 211
Знакоположительные ряды
§ 6.2. Ряды с любыми
вещественными членами
§ 6.3. Действия с рядами
§ 6.4. Ряды векторов
§ 6.5. Ряды функций
§ 6.6. Степенные ряды
Задачи
Историческая справка
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная
§ 7.1. Определение производной
§ 7.2. Второе определение
производной
§7.3. Дифференциал
§ 7.4. Теоремы о конечных
приращениях
§ 7.5. Расположение кривой
относительно своей касательной
§ 7.6. Правила Лопиталя
Задачи
Историческая справка
Глава 8. Высшие производные
§ 8.1. Определения и примеры
§ 8.2. Формула Тейлора
§ 8.3. Анализ поведения функции
в окрестности данной точки
§ 8.4. Высшие дифференциалы
§ 8.5. Ряд Тейлора
§ 8.6. Экспонента и
тригонометрические функция в
комплексной области
§ 8.7. Гиперболические функции
Задачи
Историческая справка
Глава 9. Интеграл Римана
§9.1. Определение интеграла и
теоремы существования
§ 9.2. Зачем нужен интеграл?
§ 9.3. Интеграл как функция
верхнего предела
§ 9.4. Техника неопределенного
интегрирования
§ 9.5. Вычисление определенных
интегралов
§ 9.6. Приложения интеграла
§ 9.7. Интегрирование и
дифференцирование
последовательности функций
§ 9.8. Интегрирование и
дифференцирование по параметру
§9.9. Криволинейные интегралы
Задачи
Историческая справка
338
348
373
379
385
393
396
Глава 10. Аналитические функции 397
§ 10.1. Определения и примеры 397
§ 10.2. Криволинейные интегралы
от комплексных функций
§ 10.3. Теорема Коши и ее
следствия
§ 10.4. Вычеты и изолированные
особые точки
406
414
428
Абель 122, 210
Абсолютная величина вещественного
числа 23
Автоморфизм п-мерного
пространства 58
тождественный 59
— структуры 51
Адамар 70, 451
Аналитическая функция 398
вещественная 427
целая 424
Аналитическое продолжение 288, 426
Арган 69
Аргумент комплексного числа 189
— функции 65
Ариабхата210
Арифметико-геометрическое среднее
152
Арифметическая степень
множества 40
— сумма множества 39
§ 10.5. Отображения и 440
элементарные функции
Задачи 450
Историческая справка 453
Глава 11. Несобственные 455
интегралы
§ 11.1. Несобственные интегралы 455
первого рода
§ 11.2. Несобственные интегралы 468
второго и третьего рода
§ 11.3. Вычисление несобственных 473
интегралов с помощью вычетов
§ 11.4. Несобственные интегралы, 483
содержащие параметр
§ 11.5. Гамма-функция и бета- 495
функция Эйлера
Задачи 508
Историческая справка 509
Указания и ответы к задачам 510
Алфавитный указатель 523
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Арифметическое произведение
множеств 39
Архимед 13, 29, 246, 349, 350, 395
Архимеда принцип 29
Асимптотическая единица 138
— принадлежность 131
Базис 57
Барроу 273
Бернулли И. 273, 453
Бернулли Я. 273
Бесконечно удаленная точка 436
Бесконечность 36
Бета-функция 497
Больцано 40, 121, 209, 210, 246, 273
Больцано - Вейерштрасса принцип 94
Бомбелли 69
Борель 121
Брус замкнутый 157
— открытый 157
Бурбаки 50, 68, 121,273
Бюрги210
Валле-Пуссен 509
Вейерштрасс 40, 209, 210, 273, 454
Вектор 55
— единичный 73
— нормированный 73
Верхний предел 139, 147
Верхняя грань 17
точная 18
Вессель 69
Вещественная часть 62
Взаимно однозначное соответствие
44
Включение 14
Вложенных промежутков система 35
Внутренняя точка 72
Высшие дифференциалы 285
Вычет 429
— логарифмический 431
Гамма-функция 495
—, асимптотическое выражение 503
— в комплексной области 506
—, формула дополнения 500
Гармоническая функция 405
Гаусс 40, 69, 210, 246, 453
Гёдель 40 Гейие 209
Гентцен 40
Гильберт 11, 40
Гиперболические функции 294
обратные 333
Гипергеометрический ряд 243
Гомеоморфизм 85
Гомеоморфные метрики 86
Гранди 211, 246
Граница множества 318
Грассман 69
График функции 66
Грегори 299
Группировка членов ряда 223
Грушни В. В. 67
Даламбер 211, 453
Дарбу 396
Двоичная система 34
Дедекинд40, 210
Десятичные знаки 32
Диаметр 72
Дирихле 69, 509
Дифференциал сложной функции 262
— функции 261,401
высшего порядка 285
Дифференцирование интеграла по
параметру 381
— несобственного интеграла по
параметру 486
— последовательности функций 377
Длина вектора 73
— дуги 320, 356
как функция параметра 361
эллипса 359
— окружности 359
Дополнение множества 42
Дробная часть 30
Дю-Буа-Раймон 396
Евдокс 40
Евклид 40
Единица 17
— асимптотическая 138
Единичный вектор 73
Зависимое переменное 65
Замкнутый контур 388
Замыкание 98
Зендель 210
Знаки включения 14
Значение функции 65
Изолированная точка 106
Изоморфизм структур 51
Индукции математической метод 20
Интеграл криволинейный 385
— Лапласа 480
— неопределенный 323
— несобственный абсолютно
сходящийся 462
второго рода 468
первого рода 455
расходящийся 456
сходящийся 456
третьего рода 470
условно сходящийся 462
определенный 323
— по замкнутому контуру 388
— РиманаЗО1
, его пределы 302
на брусе 318
на компакте 316
— Стилтьеса 346
криволинейный 385
— типа Коши 414
— Френеля 508
— Фурье 476
особый 481
Интегральная сумма 301
Интегрирование по параметру 379.
485
— по частям 326, 338, 467
многократное 394
— последовательности функций 373
— через подстановку 326, 343, 467
Интегрируемая мажоранта 489
— функция 302
Интервал 28
— смежный 96
— составляющий 80
Интрезок 29
Иррациональные числа 20
Казорати 454
Кантор 40, 41, 49, 68, 121, 210
Кантора принцип вложенных
отрезков 35, 37
КартанА. 153
Касательная 249
Катеноид 366
Кеплер 349
Клеро 396
Колебание функции 160
в точке 394
Компакт 111
— нагруженный 317
Компактное метрическое
пространство 111
Комплексно сопряженные числа 62
Комплексные числа 60
Конечные точки 436
— числа 37
Континуум 49
Конфниальные последовательности
Координаты вектора 55, 57
Корень аналитической функции 423
кратности к 423
— n-й степени 26
Коши 40, 121 122,153,154,209,210,
246, 273, 299. 396, 453, 455, 509
Коэн П. 68
Коэффициенты Лорана 434
— Тейлора 421
Кратность корня 201
Кривая кусочио-гладкая 356
Криволинейный интеграл 385
Критерий Дю-Буа-Раймона 394
— Лебега 394
— Коши для векторного ряда 229
для предела векторной
функции 151
для предела по направлению
130
для равномерной сходимости
206,488
сходимости несобственного
интеграла 457
числового ряда 212
числовой
последовательности 101, 145
— Римана 394
— Хаусдорфа 114
Круговые функции 297
Крылов А. Н. 292
Кэлн 69
Лагранж 453
Лебег 121, 396
Лейбниц 273, 298, 299, 302, 343, 396,
453,455
Лемма Жордана 479
— о замкнутых шарах 105
— о конечном покрытии 118
Линейная зависимость 56
Лниейно упорядоченное множество
51
Лобачевский 16, 69
Логарифм 169
— натуральный 179
Логарифмирование 174
Лопиталь 273
ЛузниН.Н. 455
Люилье 273
Люстерник Л. А. 115
Максимальное из двух чисел 23
Максимум локальный 260
Меиголн 246
Мера Жордана 318
Метод математической индукции 20
Метрика 70
Метрическое пространство 70
компактное 111
локально компактное 111
полное 101
предкомпактное 113
Минимальное из двух чисел 23
Минимум локальный 260
Мнимая часть 62
Многочлен Тейлора 277
Множества геометрически равные 78
Множество 13
— бесконечное 13
— вещественных чисел 16
— всюду плотное 97
— жорданово 318
— замкнутое 95
— конечное 13
— линейно упорядоченное 61
— мощности континуума 50
— несчетное 49
— ограниченное 28
в метрическом пространстве 71
сверху 17
снизу 25
— открытое 78
— пустое 13
— счетное 46
Модуль вещественного числа 23
— комплексного числа 189
Мощность множества 45
Мур153
Направление 122
Натуральные числа 19
Невозрастающая последовательность
145
Независимое переменное 65
Немировский А. С. 243
Неограниченное множество 72
Неопределенный интеграл 323
Неотрицательное число 23
Непер 210
Неположительное число 23
Непрерывность односторонняя 164
— равномерная 159
Неравенство Коши 75
— Коши - Буняковского 75
— треугольника 70
— четырехугольника 71
— Юнга 354
Несобственный интеграл второго
рода 468
первого рода 455
третьего рода 470
Несчетное множество 49
Неубывающая
последовательность145
Нижний предел 139, 147
Нижняя грань 25
точная 25
Новиков П. С. 40
Норма вектора 73
Нормированный вектор 73
Нуль 16
— аналитической функции 423
Нуль аналитической функции
кратности к 423
Ньютон 246, 273, 298, 299, 300, 396,
455
Область 78
— односвязная 414
— связная 398
Обратная функция 167
Обратное вещественное число 17
Обратные гиперболические функции
333
— тригонометрические функции 186
Объединение множеств 14, 41
Объем множества 318
— шара 372
Ограниченная последовательность
145
— сверху последовательность 145
— снизу последовательность 145
Односторонняя непрерывность 164
Окрестность точки 72
Определенный интеграл 323
Ортогональные векторы 192
Особая точка изолированная 435
устранимая 435
Особые точки кривой 361
Остаточный член формулы Тейлора в
интегральной форме 339
в форме Лагранжа 279
Отображение 195
— конформное 440
— непрерывное 195
Отражение 78
Отрезок 28
Отрицательное число 23
Оттервал 29
Паламодов В. П. 67
Пеано 40
Первообразная 322
Пересечение множеств 15, 41
Перестановка членов ряда 224
Периодическая функция 185, 292
Период функции 185, 292
Пик ар 439
Площадь криволинейной трапеции
314,348
— круга 350
— плоской фигуры 315, 389
в полярных координатах 355
— поверхности вращения 365
— эллипса 352
Поверхность сферы 366
Поворот 192
Подмножество 14
— истнииое 14
Позиционная запись вещественных
чисел 32
Показатель степени 21
Поле комплексных чисел 61
— числовое 17
Полна 397, 451
Полнота системы аксиом 51
Положительное число 23
Полукасательная левая 267
Полукасательная правая 257
Полюс n-го порядка 435
Полярные координаты 188
в пространстве 194
Полярный радиус 189
— угол 189
Пополнение 107
Последовательности конфниальные
107
Последовательность 65
— невозрастающая 145
— неубывающая 145
— ограниченная 145
сверху 145
снизу 145
— расходящаяся 81
— сходящаяся 81, 123
— фундаментальная 100
— функций 203
Постоянная Эйлера 462
Потенцирование 174
Правила Лопиталя 268
Предел по направлению 122
на подмножестве 125
Предельная точка подмножества 93
последовательности точек 91
чисел 147
функции 140
верхняя 139
нижняя 139
Предкомпактное метрическое
пространство 113
Преобразование Абеля 230
— подобия 60
Признак Абеля—Дирихле для рядов
230
для несобственных
интегралов 465
равномерной сходимости
интегралов 494
— Вейерштрасса 239
— Даламбера 214
— Коши214
— Лейбница 220
для интегралов 462
— Раабе218
— сравнения 213, 458
— сходимости интегральный 459
Пример Ван-дер-Вардена 271
Принцип аргумента 451
— максимума 450
Произведение бесконечное 244
— вещественных чисел 17
— множеств 41
прямое 65
— ряда на число 221
— рядов 222
Производная 249
— вторая 274
— левая 257
— логарифма 254
— обратной функции 253
— односторонняя 257
— по множеству 397
— порядка п 274
— правая 257
— сложной функции 252
— степеннйй функции 255
Производная тригонометрических
функций 255
— частная 402
Промежуток 29
Пространство вещественное п-мерное
55,73
— евклидово п-мерное 74
Противоположное число 17
Птолемей 210 Путь 385
Равномерная непрерывность 159
— сходимость 204
Равномощность множеств 45
Раднус сходимости 211
Разбиение 300
—, его параметр 300
— последующее 302
— с отмеченными точками 300
Разложение рациональной функции
на простейшие дроби 202
— целой функции на простейшие
дроби 452
Расстояние 70
— между подмножествами 120
— от точки до множества 120
Расходящаяся последовательность 81
Рациональные числа 20
Региомонтан 210
Рефлексивность 45
Риман396
Риманова поверхность 447
Ролль 273
Ряд абсолютно сходящийся 220
векторный 229
— векторов 227
— гармонический 217
— гипергеометрический 243
— двусторонний 233
, симметричное суммирование
235
— знаконеотрицательный 211
— знаконеположительный 211
— знакоотрицательный 211
— знакоположительный 211
— Лорана 434
, главная часть 434
, правильная часть 434
— сгруппированный 223
— степенной 240
, радиус сходимости 241
— Тейлора 287, 421
— условно сходящийся 220
— функций 236
, равномерная сходимость 239
, сумма 237
— числовой 211
, отрезок 211
, расходимость 211
, сходимость 211
, частные суммы 211
Свертка 491
Свертывание 493
Сдвиг 78
Сеге 397
Симметричность 45
Система двоичная 34
— троичная 34
Скалярное произведение 73
Сложная функция 157
Слой 66
Смежный интервал 96
Соприкасающаяся парабола 281
Составляющий интервал 80
Сохоцкий Ю. В. 454
Среднее интегральное 307
Средняя ордината 307
Стевни 13
Степенная функция 174
Степень арифметическая множества
40
— вещественного числа 20
Стилтьес 396
Стоке 210
Структура математическая 50
Сумма арифметическая множеств 39
— вещественных чисел 16
— множеств 4 1
— рядов 221
Сфера 72
Сходимость равномерная 204
внутри области 421
Сходящаяся последовательность 81,
123
, предел 81
Счетное множество 46
Тейлор 299 Теорема Абеля 241
— Абеля — Лиувилля 335
— Больцано 163
— Бэра 105
— Вейерштрасса 158
— Гение159
— Дирихле 225
— единственности аналитической
функции 425
— Коши262, 414
— Коши — Адамара 237
— Лагранжа 263
— Лиувилля 427
— о вычетах 431
— о среднем 307, 409
— Римана 226
— Ролля 262
— существования корня многочлена
197,452
— Фрагмена - Линделёфа 453
— Хаусдорфа 107
— Штейница 245
— Эрмита 146
Тождество Эйлера 245
Торричелли 273
Точка выпуклости вверх 265
вниз 265
— изолированная 106
—конденсации 119
— непрерывности 154
— перегиба 265
— разрыва 154
— существенно особая 436
Транзитивность 45
Трансцендентные числа 50
Тригонометрические функции 181
в комплексной области 290
обратные 186
Троичная система 34
Угол между векторами 191
Уравнение Лапласа 405
Условия Коши—Римана 403
Успенский В. А. 16
Фермн 249, 272
Флюента 396
Флюксия 300, 396
Формула Валлиса 394
— Дирихле 508
— Коши 417
— Лейбница 274
— Ньютона -Лейбница 323, 342, 409
— Тейлора 277
, остаточный член 279, 339
— Фруллани 508
Формулы Эйлера 291
Фреше 121
Фробениус 64, 69
Фундаментальная
последовательность 100
Функций, эквивалентные по
направлению 137
Функция 65
— аналитическая 398
вещественная 427
в точке 398
целая 424
— бесконечно большая 133
по сравнению 137
дифференцируемая 286
малая 133
по сравнению 137
— векторная 65
— вещественного переменного 65
— возрастающая 165
— выпуклая вверх 265, 271
вниз 265, 271
— гармоническая 405
— гладкая 274
n-го порядка 274
— Дирихле 312
— дифференцируемая в точке 249
по множеству 398
— дробно-линейная 442
— кусочио-гладкая 326
— кусочио-непрерывная 310
— кусочио-постоянная 311
— многозначная 66
— монотонная 165
— невозрастающая 165
по направлению 143
— неотрицательная по направлению
133
— непрерывная в точке 154
на множестве 155
слева 165
справа 165
— неубывающая 165
по направлению 141
— п-кратно-дифференцируемая 274
по множеству 400
—, область значений 65
—, — определения 65
— обратная 167
— ограниченная 132, 133, 149
по модулю 132
сверху 132
Функция ограниченная снизу 132
— однозначная 66
— однолистная 442
— отрицательная бесконечно
большая 133
— положительная бесконечно
большая 133
— положительная по направлению
133
— равномерно непрерывная 159
— Римана 208
— сложная 157
— степенная 174, 443, 445
— убывающая 165
— характеристическая 318
Харди 337
Хаусдорф41, 121
Целая аналитическая функция 424
— часть 30
Целое кратное 29
Целые числа 20
Частная производная 402
Частное вещественных чисел 19
Чеботарев Н. Г.335
Числа иррациональные 20
— комплексные 60
— конечные 37
— натуральные 19
— рациональные 20
Числа трансцендентные 50
— целые 20
Число е 146
— неотрицательное 23
— неположительное 23
— отрицательное 23
— тг 184
— положительное 23
Числовая ось 25
Числовое поле 17
Числовой ряд 211
, отрезок 211
, расходимость 211
, сумма 211
, сходимость 211
, частные суммы 211
Шар 72
— замкнутый 72
— открытый 72
Шварц Г. 450
Штифель 209
Эйлер 69, 210, 299, 453, 609
Эквивалентные множества 44
Экспонента 172, 444
— в комплексной области 289
Экстремум локальный 260
Эллиптические интегралы 335
Энгельс 247
Ячейка 316
—, ее мера 317
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математический анализ есть большая область математики,
связанная с понятиями функции, производной и интеграла.
К настоящему времени эта область обнимает большое ко-
количество меньших областей—дифференциальные уравнения
(обыкновенные и в частных производных), интегральные
уравнения, функции комплексного переменного, дифферен-
дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и другие.
Но если содержание математического анализа можно считать
установившимся, то во взглядах на его структуру происхо-
происходят значительные перемены. В классическом курсе 20-х годов
Э. Гурса весь анализ представлен как бы на огромной рав-
равнине— на едином уровне абстракции; в книгах нашего вре-
времени большое внимание уделяется выявлению в анализе
различных «этажей» абстракции, т. е. различных «структур»
(Бурбаки), характеризующих математико-логические основы
исходных построений. Обращение к основам приводит к яс-
ясности существа дела, освобождая математика от учета кон-
конкретной индивидуальности объекта, а понимание существа
дела позволяет немедленно включить в рассмотрение новые
объекты с иной индивидуальностью, но с тем же глубинным
устройством.
Так, было известно доказательство Пикара существования
и единственности решения дифференциального уравнения,
основанное на методе последовательных приближений искомой
функции на отрезке другими функциями, получающимися по
определенным правилам. А затем был сформулирован (Бана-
(Банахом и другими) «метод неподвижной точки», которым была
доказана та же теорема. Он обнаружил существенную часть
в доказательстве Пикара: наличие сжимающего оператора
в некотором метрическом пространстве. Вся же обстановка —
числовые функции на отрезке, дифференциальное уравнение —
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
оказалась несущественной. В результате «метод неподвижной
точки» не только сделал более прозрачным, «геометрическим»
доказательство теоремы Пнкара, но и дал возможность, раз-
развивая заложенную в нем идею, доказывать множество теорем
существования, где речь шла даже не о функциях на от-
отрезке и не о дифференциальных уравнениях. То же отно-
относится к геометрии гильбертова пространства, к исчислению
дифференцируемых функционалов и многому другому.
В этой книге мы излагаем основные концепции матема-
математического анализа применительно к функциям одного пере-
переменного. Однако «одно переменное» мы понимаем в несколько
расширенном смысле. Дело в том, что для таких основных
понятий анализа, как предел и непрерывность, разница между
классическими случаями одного и нескольких переменных
не столь существенна; в этих главах мы предпочитаем вести
изложение в оптимальной общности, понимая под «одним
переменным», например, точку метрического пространства.
Но когда дело доходит до дифференцирования и интегри-
интегрирования, разница между указанными классическими случаями
становится уже весьма ощутимой, и мы ограничиваемся там
функциями «на самом деле» от одного переменного—вначале
вещественного, а затем комплексного. Однако значения этих
функций лишь вначале числовые; далее они векторные, даже
принадлежащие к нормированному пространству, что откры-
открывает широкий круг приложении. Аналитические функции
составляют в нашем построении неотъемлемую часть анализа.
Мы не касаемся в этой книге всей обширной области диф-
дифференциального и интегрального исчисления функций не-
нескольких переменных, изложение которой требует по крайней
мере еще целого тома.
Мы не ввели в книгу интеграл Лебега, поскольку в рас-
рассматриваемых здесь задачах анализа встречаются лишь
непрерывные функции (или функции, обладающие конечным
числом точек разрыва), для интегрирования которых доста-
достаточно интеграла Римана. В более высоких задачах анализа,
например в теории интегральных уравнений, решающая роль
интеграла Лебега неоспорима. Но изложение теории интеграла
Лебега в данной книге могло бы переакцентировать внимание
читателя в специфические тонкости теории функций действи-
действительного переменного и теории меры. Поэтому мы оставили
за рамками книги интеграл Лебега и его приложения.
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
Хотя формально у читателя не предполагается знаний
сверх школьного курса, но все же было бы весьма полезным,
если бы он, читатель, был знаком с построением графиков,
с дифференцированием и интегрированием и их простейшими
геометрическими применениями*). Данная книга не пред-
предназначена служить элементарным учебником по курсу мате-
математического анализа; скорее ее нужно рассматривать как
пособие, предназначенное для самостоятельного чтения, про-
продумывания, сопоставления друг с другом различных аспек-
аспектов теории. Отдельные места лектор может использовать
в лекционном курсе и в семинаре повышенного типа. Этой же
цели служат - приведенные в книге задачи; среди них нет
задач, преследующих выработку технических навыков (таких
задач достаточно в распространенных задачниках), и приво-
приводимые задачи иллюстрируют и развивают излагаемую общую
теорию.
Книга состоит из трех частей. Первая часть «Введение
в анализ» и вторая часть «Дифференциальное и интеграль-
интегральное исчисление» лежат перед читателем; третья часть
«Избранные главы современного анализа» выйдет в свет не-
несколько позднее отдельно.
Систематическое изложение предмета начинается в первой
части с теории вещественных чисел (гл. 1). Под вещест-
вещественными числами мы понимаем набор' объектов, удовлетво-
удовлетворяющих некоторым определенным аксиомам. Существуют
и иные построения теории вещественных чисел, где то, что
мы принимаем за аксиомы, доказывают, исходя (в строгом
изложении — например в известном курсе Ландау) из аксиом
натуральных чисел и теории множеств. В обоих типах по-
*) Для начинающих я позволю себе рекомендовать свою брошюру
«Математический анализ в области рациональных функций» (готовится
к выпуску). В ней предмет анализа—функции, производные,
интегралы—описывается в применении к рациональным функциям
(частным двух многочленов). Работая над ней, я надеялся, что начи-
начинающий читатель будет заинтересован перспективой, открывающейся
при овладении методами дифференциального и интегрального исчис-
исчисления; с другой стороны, он убедится, что одних рациональных функ-
функций недостаточно, что в полную силу методы анализа будут действо-
действовать именно за пределами области рациональных функций; он будет
предупрежден об опасности формального, некритического использова-
использования этих методов и будет подготовлен к необходимости глубокого
изучения основ, предваряющих изучение дифференциального и инте-
интегрального исчисления в достаточно полной общности.
ПРЕДИСЛОВИЕ 9
строений отсутствует весьма существенный элемент—дока-
элемент—доказательство непротиворечивости аксиом. По-видимому, в со-
современной математике не существует построения теории
вещественных чисел, свободного от этого недостатка. Вопрос
здесь далеко ие технический, а упирающийся в самые основы
математического мышления. Во всяком случае, раз это так,
расположение начального пункта в общей схеме анализа
становится, в общем, не очень существенным, и мы выбираем
его по соображениям наибольшей возможной близости к соб-
собственно аналитическим построениям. В гл. 2 после небольшого
экскурса в теорию множеств вводятся понятия математи-
математической структуры и изоморфизма. В качестве иллюстрации
устанавливается единственность (с точностью до изомор-
изоморфизма) структуры вещественных чисел. Вводятся структуры
п-мерного пространства и поля комплексных чисел.
Гл. 3 посвящена теории метрических пространств.
В гл. 4 развивается общая теория предела. Основой теории
являются, с одной стороны, множество Е с выделенным в нем
направлением (упорядоченной системой подмножеств с пустым
пересечением—образованием, несколько более ограничитель-
ограничительным, чем фильтр А. Картана, но для анализа вполне доста-
достаточным), с другой,— функция, определенная на множестве Е
со значениями в метрическом пространстве. В такую схему
укладываются все пределы, рассматриваемые в анализе, от
предела числовой последовательности до производной и ин-
интеграла. В следующей гл. 5 после первоначальных теорем
о непрерывных числовых функциях на числовой оси вводятся,
с помощью функциональных уравнений, логарифм (из кото-
которого обращением получается экспонента) и тригонометри-
тригонометрические функции. Среди приложений рассматриваются алгебра
и топология комплексных чисел н теорема о существовании
кория у многочлена с комплексными коэффициентами.
В гл. 6 мы рассматриваем теорию рядов (числовых, сте-
степенных, функциональных).
Вторая часть книги открывается седьмой главой о произ-
производной. Главы 7 и 8 содержат собственно дифференциальное
исчисление. Формула и ряд Тейлора приводят к естественному
распространению вещественного анализа в комплексную об-
область. В гл. 9 содержатся наряду с общей теорией интеграла
Римана также и некоторые ее приложения. Для дальнейшего
развития анализа становится настоятельно необходимой
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
техника аналитических функций, которая излагается
в гл. 10. Теория аналитических функций оказывается,
в частности, весьма полезной при вычислении несобствен-
несобственных интегралов, которым посвящена следующая гл. 11.
Система нумерации ясна из примера: символ /0.37 б озна-
означает «глава 10, параграф 3, пункт 7, подпункт б». Номера пунк-
пунктов, указанные на колонтитулах, позволяют быстро найти не-
необходимое место. Аналогично формула 10.37 D) есть чет-
четвертая формула пункта 10.37. В пределах одного пункта
формулы обозначаются просто порядковыми номерами. Рисунки
и задачи нумеруются в пределах главы.
Пользуюсь случаем выразить благодарность коллегам,
с которыми я обсуждал различные вопросы, затронутые
в книге; в особенности это относится к Н. В. Ефимову,
М. А. Крейнесу, Е. В. Майкову, А. Д. Соловьеву, Л. А. Ту-
маркину, 3. Я. Шапиро (Москва), В. М. Борок, Я. И. Жи-
Житомирскому, Б. Я. Левину (Харьков). Неоценимую идейную
поддержку мне оказывал ныне покойный Б. Л. Гуревич.
Рядом весьма ценных улучшений я обязан М. С. Аграновичу
и Н. И. Плужниковой.
Автор
Математика есть единая симфония бескоиечиого.
Д. Гильберт
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
ГЛАВА 1
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Мы приходим к выводу, что не существует никаких аб-
абсурдных, непостижимых, неправильных, необъяснимых
илн глухих чисел, ио что среди чисел существует такое
совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни
и ночи над их удивительной законченностью.
Симон Стееин A634)
§ 1.1. Первоначальные сведения о множествах
1.11. Когда рассматривают несколько каких-нибудь объ-
объектов («элементов»), употребляют такие слова, как «сово-
«совокупность», «собрание», «множество». Например, можно го-
говорить о множестве студентов в аудитории, о множестве
песчинок на пляже, о множестве вершин многоугольника или
о множестве его сторон. Указанные примеры обладают тем
свойством, что к каждом из них соответствующее множество
состоит из определенного-числа элементов (которое можно
оценить, ограничить, хотя, может быть, практически и не-
нелегко установить точно*)). Такие множества мы будем на-
называть конечными.
В математике часто приходится иметь дело с совокуп-
совокупностями, состоящими не из конечного числа объектов; про-
простейшими примерами служат множество всех натуральных
чисел 1, 2, 3, ... и множество всех точек отрезка**). Та-
Такие множества мы будем называть бесконечными.
К числу множеств мы относим и пустое множество —
множество, не содержащее ни одного элемента.
Как правило, мы будем обозначать множества большими
буквами А, В, С, ., а нх элементы—- малыми буквами.
*) «Некоторые люди, о, царь Гелон, воображают, что число пес-
песчинок всей сушн бесконечно велико... Я, однако, приведу доказа-
доказательства, с которыми н ты согласишься, что я в состоянии назвать
некоторые числа, .. . превосходящие число песчинок в куче, равной
земному шару» (Архимед, Псаммит илн Исчисление песчинок).
**) Точные определения объектов, которые- рассматриваются в
§ 1.1 в качестве примеров, будут приведены ниже. Здесь они имеют
лишь иллюстративное значение.
14 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.12
Запись а?А (или А$а) означает, что а есть элемент мно-
множества А; запись а(?л, или а?А, или А 5 а, означает, что а
не есть элемент множества А. Запись АсВ (или В^зА) озна-
означает, что каждый элемент множества А является элемен-
элементом множества В; в этом случае множество А называют
подмножеством множества В. Наиболее широким из подмно-
подмножеств множества В является, очевидно, само множество В,
наиболее узким—пустое множество. Любое из остальных
подмножеств множества В непременно содержит элементы
из В, причем заведомо не все его элементы. Каждое из
таких подмножеств называется истинным подмножеством.
Знаки ?, Э > cr, z> называются знаками включения. Если
имеют место включения АсВ, ВсА, то это означает, что
каждый элемент множества А является элементом множе-
множества В и, обратно, каждый элемент множества В является
элементом множества А; таким образом, множества А к В
состоят в данном случае из одних и тех же элементов и,
значит, совпадают друг с другом. Этот факт записывается
равенством А —В. Аналогичная запись для элементов а = Ь
означает просто, что а и Ъ есть один и тот же элемент.
Существуют различные формы задания множеств. Наибо-
Наиболее простая состоит в указании всех элементов множества,
например: А = (\, 2, ..., п, ...). Иная часто употребляе-
употребляемая форма состоит в указании свойств элементов множества,
например: А = {х:х2— 1 < 0} есть множество всех х, для
которых выполняется указанное после двоеточия неравенство.
1.12. Рассмотрим две простые операции, которые можно
производить над множествами: объединение н пересечение.
Опишем сначала операцию объединения множеств. Пусть
даны множества А, В, С, ... Рассмотрим совокупность всех
элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы к од-
одному из множеств А, В, С, ... Эта совокупность есть
новое множество, которое и называют объединением мно-
множеств А, В, С, ...
Так, объединение множества А= {6, 7, 8, ...} (всех нату-
натуральных чисел, больших чем 5) и множества В= {3, 6, 9, ...}
(всех натуральных чисел, делящихся на 3) есть множество
S={3, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
(всех натуральных чисел, за исключением 1, 2, 4 и 5).
1-12] § 1.1. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ 15
Введем теперь операцию пересечения множеств. Пересе-
Пересечением множеств А, В, С, ... называется совокупность
элементов, входящих в каждое из указанных множеств.
Так, в предыдущем примере пересечением множеств
А = {6, 7, 8, 9, 10, ...},
?> = {3, 6, 9, 12, ...}
является множество
D={6, 9, 12, ...}.
Может оказаться, что множества А, В, С, ... не имеют
ни одного общего элемента. Тогда их пересечение есть пустое
множество; в этом случае говорят, что множества А, В, С, ...
не пересекаются. Например, три числовых множества
Л = {1, 2}, В={2, 3}, С={\, 3}
не пересекаются (хотя каждые два из них имеют общие
элементы).
Можно рассматривать объединение и пересечение как
конечной, так и бесконечной совокупности множеств. На-
Например, можно построить объединение множеств точек всех
прямых на плоскости, проходящих через заданную точку О.
Этим объединением будет, очевидно, множество всех точек
плоскости. Пересечением указанных множеств будет мно-
множество, состоящее из единственной точки О.
Для объединения множеств употребляются знаки ^ и Ц,
так что, например, запись
«S= 2 Л„ или 5= U Ai
V=l V=l
обозначает объединение множеств Alt А2, ..., Л„, ...
Для пересечения множеств употребляются знаки Ц и f|,
так что, например, запись
D = XI А> или ^ = П ^»
V=l V=l
обозначает пересечение множеств Av Аг, ..., Л„, .,-
16 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА П-2!
§ 1.2. Аксиомы вещественных чисел
Приводимое ниже определение исходит из простейших
свойств чисел, известных частично из повседневного опыта,
частично из школьного курса*). Мы не определяем отдель-
отдельное вещественное число—мы определяем сразу всю сово-
совокупность вещественных чисел как множество элементов
с некоторыми отношениями и действиями.
Свойства отношений и действий задаются системой
аксиом.
Аксиомы разбиты на четыре группы; в первую группу
входят аксиомы сложения, во вторую—аксиомы умножения,
в третью — аксиомы порядка, четвертая группа состоит из
одной-единственной аксиомы—аксиомы о верхней грани.
Определение. Множество элементов х, у, z, ...
называется совокупностью R вещественных (или действитель-
действительных) чисел, если для этих объектов установлены следующие
операции и отношения:
1.21. Операция сложения: каждой паре объектов
х, у поставлен в соответствие объект г, называемый суммой
х и у и обозначаемый х-{-у, так, что при этом выполняются
условия:
а. х+у=у + х для любых х и у из R.
б. (x+y) + z — x + (y->rz) для любых х, у, z из R;
поэтому выражение x-{-y-\-z имеет однозначный смысл.
в. Существует такой элемент в R, обозначаемый 0 (нуль),
что х-\-О — х для любого
*) Про аксиому о верхней грани A.24) лишь с большой натяж-
натяжкой можно сказать, что она известна «из повседневного опыта». Но и
аксиома Евклида о существовании единственной параллели, лежащая
в основе геометрии, находится в таком же положении. Опыт не дик-
диктует иам с полной однозначностью математические аксиомы; между
опытом и системой иауки лежит еще этап формирования аксиом, ко-
которые—в рамках одного и того же опыта—могут быть одними или
совсем другими. И как наряду с евклидовой геометрией существует
и неевклидова (геометрия Лобачевского) с аксиомой о существовании
многих прямых, параллельных данной, проходящих через заданную
точку,—так и наряду с приводимой теорией вещественных чисел
существуют иные, в которых не всякое ограниченное множество имеет
точную верхнюю грань (см., например, В. А. Успенский, Лек-
Лекции о вычислимых функциях, М., 1960, § 12).
1>24] § 1.2. АКСИОМЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 17
г. Для любого х ? R существует элемент у, называемый
противоположным к х, такой, что
1.22. Операция умножения: каждой паре объек-
объектов х, у поставлен в соответствие объект u?R, называемый
произведением х и у и обозначаемый х-у (или ху), так, что
при этом выполняются условия:
а. ху=ух для каждых х и у из R.
б. (ху) z = x (yz) для каждых х, у, z из /?; поэтому
выражение xyz имеет однозначный смысл.
в. Существует такой элемент в R, отличный от 0 и
обозначаемый 1 (единица), что х -1 = х для каждого х ? /?.
г. Для каждого х^О в R существует элемент и, назы-
называемый обратным к х, такой, что в-лс = 1.
д. Для каждых х, у, z из R справедливо равенство
Последняя аксиома связывает операцию умножения с вве-
введенной выше операцией сложения A.21).
Совокупность объектов х, у, ..., удовлетворяющих ак-
аксиомам 1.21—1.22, называется числовым полем, или просто
полем.
1.23. Отношение порядка: для каждых двух эле-
элементов х, у из R справедливо одно (или оба) из отношений
x^Ly (x меньше или равно у) или^^х со следующими
свойствами:
а. х ^ х для каждого х; из х ^.у, у^х следует х =у.
б. Из х ^.у, у^.г следует х ^ г.
в. Из x^j> для любого z из R следует х + z ^.у + г.
г. Из 0 ^ х, 0 ^^ следует 0 ^ ху.
Отношение х ^.у записывается также в виде у^х
(у больше или равно х). Отношение х^у при хфу записы-
записывается в виде х < у (х меньше у) или у > х (у больше х).
1.24. Множество AcR называется ограниченным сверху,
если существует такой элемент z?R, что х ^ z для каж-
каждого х ? А; это отношение записывается в форме A^.z.
Всякое число z, обладающее по отношению к множеству А
указанным свойством, называется верхней гранью множест-
множества А. Верхняя грань zQ множества А называется точной
18 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА П-31
верхней гранью множества А, если любая другая верхняя
грань z множества А больше или равна z0. Точная верхняя
грань множества А обозначается sup Л*). Теперь мы сфор-
сформулируем последнюю аксиому:
Аксиома о верхней грани. Всякое ограниченное
сверху множество AcR обладает точной верхней гранью.
Далее мы будем выводить логические следствия из при-
приведенных выше аксиом; совокупность этих следствий даст
полный набор тех свойств системы вещественных чисел,
которые используются при построении математического ана-
анализа.
§ 1.3. Следствия из аксиом сложения
1.31. В множестве R существует лишь единственный нуль.
Действительно, допустим, что в R имеются два нуля:
Oj и 02. Тогда, используя аксиомы 1.21а и в, мы получаем
1.32. В множестве R для каждого элемента X существ
вует лишь единственный противоположный элемент.
Допустим, что для элемента х нашлось два противопо-
противоположных элемента уг и у2, так что x-\-yv = х-\-у2 = 0. Тогда
по аксиомам 1.21а—в мы имеем
Уз = 0 +у2 = (х +ух) +у2 = х + {У1+у.,) = х + (у, +уг) =»
Элемент, противоположный элементу х, обозначается
через —х. Сумма х + (—у) записывается также в виде х—у
и называется разностью х и у. Элемент, противоположный
сумме, есть сумма элементов, противоположных каждому
слагаемому: действительно, —х—у-\-(х+у)=—х—у +
+ х+у= — х + х—у+у 0 + 0 0
1.33. Уравнение
а + х = Ь A)
имеет в R единственное решение, равное Ь—а.
*) Supremum—высшее (лат.).
1-43] § 1.4. следствия из аксиом умножения 19
Действительно, прибавляя к обеим частям равенства A)
число —а, находим, используя аксиомы 1.21а — в,
а-\-х— а=й — а-\-х = 0 + х = х = Ь— а,
так что если решение существует, то оно равно Ъ—а. Но
Ъ — а есть решение, так как
(Ь — а) =
§ 1.4. Следствия из аксиом умножения
1.41. а. В множестве R существует лишь единственная
единица.
Допустим, что в R имеются две единицы 1Х и 12. Тогда,
используя аксиому 1.22а, мы получаем
б. В множестве R для каждого элемента хфО существ
вует лишь единственный обратный элемент.
Допустим, что для элемента х имеются два обратных
элемента zx и 22, так что хгг=\, хгг=\. Тогда по аксио-
аксиомам 1.22а—в мы имеем
22 = 1 • 22 = (XZX) ZZ = X {Z&) = X {ZzZj = (XZ2) Z1=l-Z1= Zx.
1.42. Элемент, обратный к элементу х, обозначается
через —. Элемент —, обратный к произведению ху, равен
произведению элементов, обратных к х и у: действительно,
11 1 1 , 1 ,
XV = X • у= I- 1 = 1.
х у ' х I/
Произведение х— записывается также в виде — и на-
называется отношением (частным) х и z.
1.43. Определение. Числа 1,2=1 + 1,3 = 2+1,...
..., п = (п—1)+1, ... называются натуральными. Таким
образом, множество натуральных чисел может быть опреде-
определено как наименьшее числовое множество, содержащее число
1 и вместе с каждым числом п содержащее число л+ 1.
Во многих задачах требуется установить, что некоторое чис-
числовое множество А (например, множество тех натуральных
20 ГЛ. t. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1-44
чисел л, для которых верно предложение Тп, зависящее
от л) содержит все натуральные числа. Метод математиче-
математической индукции по натуральным числам, применяемый в таких
задачах, состоит в том, что проверяются условия:
1) А содержит число 1;
2) если А содержит некоторое натуральное я, то оно
содержит и л + 1.
Из сказанного выше ясно, что в этом случае А содер-
содержит все натуральные числа, что и требуется.
Мы видим, что обоснованность метода индукции выте-
вытекает из самого определения натуральных чисел.
1.44. а. Натуральные числа, им противоположные и нуль
называются целыми числами.
б. Частные — , где m, л — целые и и^О, называются
рациональными числами.
в. Все остальные вещественные числа называются ирра-
иррациональными.
1.45. Уравнение
ах = Ь (афО) A)
имеет в R единственное решение, равное —.
Действительно, умножая обе части равенства A) на —,
находим
так что если решение существует, оно равно — .Но —
есть решение, так как
Ь__(
а \ а
1.46. По определению при л= 1, 2, ...
X — X . . . X.
п раз
Очевидно, хп-хт = хп+т и (л;п)га = дспи при любых нату-
натуральных пит. Число л в выражении хп называется пока-
1.47J § 1.4. следствия из аксиом умножения 21
зателем степени. Распространим понятие показателя степени
на все целые числа. Положим для любого хфО
v-0 1 v~n
х — 1, х — хП.
Проверим, что формулы
xn-xm = xn+m, (xn)m = xnm A)
остаются справедливыми для любых целых л и /я. Пусть
п > О, т=—/><0, причем р^ л; тогда
X" . Хт = X" ¦ ^= Х"~Р • ХР • ~ = Хп~Р = Хп+т.
Если р > л, то по 1.42
Vn vm vn vn . * vn . _ . *
X xP ~
xnxP~n~~ x" xP-"~~xP-"
Если же m= —p < 0, л= —q < 0, то также по 1.42
vm vn
~~XP x9
Аналогично проверяется справедливость второй формулы A).
1.47, а. Для любого x?R имеет место равенство
Действительно,
откуда
в силу 1.33, 0-х = х—х = 0.
Отсюда следует, что 0 не имеет обратного, поскольку
равенство 0-х =1 невозможно. Таким образом получается
оправдание школьного правила: «на нуль делить нельзя».
б. С другой стороны, из ху = 0 и хфО следует, что
у=[ — х)у = — (ху) = — 0 = 0.' Таким образом, если про-
\ X J X X
изведение равно нулю, то (по меньшей мере) один из мно*
жителей равен нулю.
22 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.48
1.48. Всегда при ифО, ъфО
х . у _xv+yu
и v uv '
Действительно,
XV + уU 1 . , . 1 ,1 X , у
uv uvy * ' uv uv' и v
1.49. Для любого
Заметим, что обе части равенства определяются незави-
независимо, так что равенство требует доказательства. Мы имеем
по 1.47 а
откуда и следует требуемое.
Следствия §§ 1.3 —1.4 обеспечивают для вещественных
чисел выполнение всех тождеств элементарной алгебры (би-
(бином Ньютона, формулы суммирования прогрессий, свойства
детерминантов и т. п.).
§ 1.5. Следствия из аксиом порядка
1.51. Связи порядка с операцией сложения.
а. Если х^.у, y^.z и x = z, то x=y = z.
Действительно, y^.z=x, так что y^Lx, откуда по
аксиоме 1.23а у = х, что нам и требуется.
Из а непосредственно вытекает
б. Из х<.у, y<^z следует x<z. Аналогично из
у < z следует х < z.
в. Отношения х^.у, О^у — х, ~у^ — х, х—у
эквивалентны.
Действительно, прибавляя к обеим частям первого не-
неравенства —х и применяя 1.23 в, получаем второе; прибавляя
к обеим частям второго —у, получаем третье; прибавляя
к обеим частям третьего х, получаем четвертое и, прибавляя
к обеим частям четвертого у, возвращаемся к первому.
г. Из х<у следует x~{-z <_y-\-z для любого z?R.
Действительно, из х<_у заведомо следует, что х^.у и
x-\~z^.y-j-z. Но если бы имело место равенство x + z —
=y-\-z, то, прибавляя к обеим его частям —z, мы получили
1-531 § 1.5. следствия из аксиом порядка 23
бы х—у, что по условию не имеет места. Поэтому x-\-z<i
д. Если *!<>>!,..., хп^уп, то хх+... +*„<)>!+. • • +у«,
при этом если хотя бы для одной пары Xj, у j имеет место
неравенство xf<yf, то и хх + ... + х„ < уг + ... +у„.
Действительно, по аксиоме 1.23 в
причем если хотя бы для одной пары Xj, y}- имеет место
неравенство х,- < у^, то в силу г в соответствующем месте
преобразования появится знак <, который сохранится и в
дальнейших местах в силу г. Таким образом, одноименные
неравенства можно складывать. В частности, из х1 ^ 0, ...
..., х„ <! 0 следует s = хг + ... + хп ^ 0, причем если хотя
бы для одного j мы имеем Xj < 0, то и s < 0. Аналогичный
факт справедлив при замене всех знаков ^ на ^ и < на >.
е. Отношения х<у, 0<.у — х, —у <—х, х—у < 0
эквивалентны.
Это выводится из д так же, как в выводилось из аксиомы
1.23 в.
1.52. Определение. Если х~^0 (х > 0), число х
называется неотрицательным (положительным); если х ^ 0
(х < 0), число х называется неположительным (отрицатель-
(отрицательным). Число 0 одновременно неположительно и неотрица-
неотрицательно.
1.53. Определение. Пусть даны два вещественных
числа х и у и, например, х ^у. Тогда х называется мини-
минимальным из чисел х и у, что обозначается x = min{x, у),
а у называется максимальным из чисел х и у, что обозна-
обозначается д> = тах{л:, у). По индукции можно определить
min {хи . .., хп\ и max {xlt .. ., х„\ для любого (конечного)
набора чисел хъ ..., хп (например, max \xlt ..., х„} —
= max {max (хг, ..., xn_J, xn\).
Число |*| = max {x, —х\ называется модулем, или абсо-
абсолютной величиной, числа х. Таким образом, | а; | = лг, если
х~^0, и |л:|=—х, если х^О; для любого х число \х\
неотрицательно и |—jc| = |jc|.
24 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1-54
1.64. а. При а>0 неравенство \х\^.а равносильно
двум неравенствам х^.а, —х^а или же —а^х^а.
б. Для любых двух вещественных чисел х, у
A)
Действительно, если х, у оба неотрицательны или оба
неположительны, то неравенство выполняется по определе-
определению модуля. Если же, например, xZ^O, a y^.0, то
так что | х -{-у | = max {х -\-у, —х—^}^|^ | + |.у|, а это и
требуется.
в. Из A) по индукции следует, что
1.65. Связи порядка с операцией умножения.
а. Если х > 0, у > 0, то ху > 0.
б. Если х^.у, то для любого z > О
Утверждение а вытекает из аксиомы 1.23 г с учетом 1.47 б.
Утверждение б следует из неравенства
yz—xz = {y—
в силу 1.23 г.
в. Используя 7.47 б, в б можно заменить всюду ^ на <.
г. В частности, при х > 1 мы имеем х2 > х, а при
0 < х < 1 мы имеем х2 < х.
д. Если х^.у, 0<_z^.u, то xz*^.yz^Lyu, так что при
указанных условиях неравенства можно перемножать.
е. В частности, при 0<х <у всегда х2<_у2, .. .,х"<_у".
ж. Если х^.0, у^О, то ху^.0; если х^0, у^0,
то ху^О.
Действительно, в первом предположении —х^О и по
аксиоме 1.23 г и свойству 1.49 имеем (—х)у=—1-х-у =
= —(ху)^0, откуда Jcy<!0. Во втором предположении
—у^О и, используя первый результат, получаем —jcy<;0,
^О. Во всех случаях знаки ^ можно заменять на <С.
В частности, при любом х^О имеем х2 = х-х > 0.
Отсюда 1 = 1-1 > 0; далее, по 1.51 г 2= 1 + 1 > 1+0=1,
3 = 2+1 >2 и т. д.
il § 1.6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ 25
В. Для всех х, у справедливо равенство | х -у | =
1|М
1.56. Если *>0, то — >0; из 0<х<у следует
Первое утверждение следует из х — = 1 >0 и /.55 ж.
Умножая неравенство 0 < х < у на —, получаем второе.
В частности, все рациональные числа —, где р и g—на-
g—натуральные числа, положительны.
1.57. Следующий принцип часто используется в доказа-
доказательствах:
Если число z неотрицательно и меньше любого положи-
положительного числа, то z — 0.
Действительно, если z > О, то по условию мы должны
иметь z < z, что невозможно (см. 1.23).
§ 1.6. Следствия из аксиомы о верхней грани
Совокупность R всех вещественных чисел будем называть
также числовой осью, асами вещественные числа—ее точками.
1.61. В 1.24 дано определение множества, ограниченного
сверху. Рассмотрим теперь множество, ограниченное снизу.
Множество EcR называется ограниченным снизу, если су-
существует такой элемент z?R, что z ^ x для всякого х?Е;
это соотношение записывается в форме z <I Е. Всякое число z,
обладающее по отношению к множеству Е указанным свой-
свойством, называется нижней гранью множества Е. Если Е
ограничено сверху, т. е. если существует такое у, что
Е^ку, то множество —Е (множество всех чисел — х для
х?Е) ограничено снизу, поскольку из х^у следует
—х ^= —у; при этом —у есть нижняя грань множества —Е.
Обратно, если Е ограничено снизу, то по тем же сообра-
соображениям —Е ограничено сверху, и если х\ есть нижняя
грань множества Е, то —т\ есть верхняя грань множест-
множества —Е.
26 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1-62
Нижняя грань у0 множества Е, ограниченного снизу, на-
называется точной нижней гранью множества Е, если любая
другая нижняя грань множества Е меньше или равна у0. Точ-
Точная нижняя грань множества Е обозначается inf Е*).
Теорема. Всякое множество Е, ограниченное снизу,
имеет точную нижнюю грань, и она равна —sup (—Е).
Действительно, множество —Е ограничено сверху, и по
аксиоме 1.24 существует число | = sup(—Е). Покажем, что
—| = inf?. Мы имеем для х?Е всегда —¦*:<[?, откуда
—| <1 х; таким образом, —| есть нижняя грань множества Е.
Пусть ц есть любая другая нижняя грань множества Е.
Тогда —v\ есть верхняя грань множества —Е и согласно
определению, —i(i^sup(—Е) = \; отсюда г}<1—|, что и
требуется.
1.62. а. Если Е и F ограничены сверху и EczF, то
sup?<Isup/7; если Е и F ограничены снизу и EczF, то
Действительно, в первом случае sup F является верхней
гранью для F и тем более для EczF; поэтому sup ?<I sup .F.
Таким же образом во втором случае iniF является нижней
гранью для F и тем более для EczF, поэтому inf /="<; inf E.
б. Если для любых х?Е и y?F выполнено неравенство
У т0 Е ограничено сверху, F—снизу и sup ?<1 inf F.
Действительно, множество Е ограничено сверху любым
y?F, поэтому sup? существует и sup?<I_y для любого
у ?F. Отсюда следует, что F ограничено снизу числом sup E',
значит, sup?<;iniF.
1.63. Здесь будут доказаны существование и единствен-
единственность корня я-й степени из любого положительного числа.
Теорема. Для всякого вещественного х > 0 и целого
п > 0 существует и притом единственное вещественное у > О,
такое, что у" = х.
Это число обозначается %/х (корень п-й степени из х).
Доказательство**). Рассмотрим множество А всех
положительных z таких, что z"^.x. Это множество огра-
*) Infimum—низшее (лат).
**) По книге У. Рудин, Основы математического анализа,
«Мир», 1966, гл. 1.
1.63] § 1.6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМЫ О ВЕРХНЕЙ ГРАНИ 27
ничено сверху (числом 1, если x^Il, и числом х, если
х7^\). Положим
у = sup A. A)
Покажем, чтоу"~х. Пусть у"<.х, х—у" — е. Для любого
положительного A <I 1 мы имеем по формуле бинома Ньютона
(у + А)« =у"
" + h
=y»+h[{\+y)»—y].
Можно взять
h е
.. .J =
тогда мы получим (у -\~ h)" ^у" + е = х, что противоречит
определению A). Таким образом, уп~^х. Пусть у" > х,
у"—х = е. Для любого положительного /г^1 мы имеем
=jr»—А [A +jr)"—^»].
Можно снова взять
^0 +У)"-У"'
тогда мы получим
(у—А)" ~^уп—е = х,
что опять противоречит определению A). Таким образом,
уп — х, что и требовалось.
Единственность корня следует из неравенства у
при ух<Уъ A.55 е).
28 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА A,64
1.64. Для любых двух положительных х и у
A)
Пусть |= у х, г\—у у, х= у^ху. Мы имеем \п — х,
у у \у у уу
rf~y; тогда (?ii)" = ?"т]" = ху = х". В силу доказанной
единственности корня
что и требуется.
Аналогично доказывается, что для положительного х и
любых целых т, п > 1
и Г .— пт /
у ух= у х. B)
1.65. Поскольку (—л:)"=(—l)nxn, при п четном урав-
уравнение у" = х > О имеет, кроме положительного решения
_у1= {^'х, отрицательное решение _у2 =— {/л:; уравнение
же у" = х < 0 не имеет вещественных решений. При нечет-
нечетном п уравнение у" = х > 0 имеет в области вещественных
чисел единственное решение у= ух. В этом случае и урав-
уравнение уп = х < 0 также имеет (единственное) решение
Формулы 1.64 A), B) позволяют построить обычным
образом всю элементарную алгебру выражений, содержащих
корнн из вещественных чисел, в частности, формулы для
решения квадратных и более сложных алгебраических урав-
уравнений, которые рассматриваются в элементарной алгебре.
1.66. Множество Е, ограниченное сверху н снизу, назы-
называется ограниченным с обеих сторон, или просто ограниченным.
Всякое ограниченное множество имеет точную верхнюю
грань sup? и точную нижнюю грань Ы1Е.
Примерами ограниченных множеств служат отрезки и ин-
интервалы.
При а < b совокупность всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенству c^jc^Ifr, называется отрез-
отрезком с левым концом а и правым концом b и обозначается
через [а, Ь]. Совокупность всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенству а < х < Ь, называется интер-
интервалом с левым концом а и правым концом b и обозначается
(а, Ь). Концы отрезка принадлежат отрезку, концы интервала
1-71] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 29
йе принадлежат интервалу. Тем не менее
sup [a, b] = sup (a, b) = b, inf [a, b] = inf (a, b) — а.
Впрочем, терминологию нельзя считать установившейся.
Иногда отрезок называют замкнутым интервалом, а интер-
интервал—открытым отрезком. Встречаются также и «полузамк-
«полузамкнутые» или «полуоткрытые» отрезки и интервалы; так,
множество \х:а< x^b\ = (a, b] называют полуинтерва-
полуинтервалом, открытым слева и замкнутым справа, а множество
{х: а ^L х < Ь} = [а, Ь)—полуинтервалом, открытым справа
и замкнутым слева*). Отрезки, интервалы и полуинтервалы
мы будем называть промежутками.
Для единства терминологии иногда точку а также назы-
называют отрезком и пишут а=[а, а] = {x:}
§ 1.7. Принцип Архимеда и его следствия
1.71. Если х—вещественное число, а п—целое число,
т-о числа пх называются целыми кратными х.
Принцип Архимеда**). Если х > 0, а у—произ-
у—произвольное вещественное число, то существует такое целое крат-
кратное пх числа х, для которого (п — 1)х^_у, пх>у.
Доказательство. Предположим, что для всех целых
р выполняется неравенство рх^.у. Это значит, что множе-
множество А всех чисел {рх\ ограничено и имеет число у своей
верхней гранью. По аксиоме 1.24 существует точная верхняя
грань множества {рх}, ? = sup А Число |—х < | уже не яв-
является верхней гранью множества А; поэтому существует та-
такое/?, что рх > |—х. Отсюда (р-\- \)х > Ъ, и | не может быть
верхней гранью множества А. Полученное противоречие
доказывает существование целого числа р, для которого
рх >у. Аналогично существует целое число q, для которого
qx<y; очевидно, q<ip. Перебирая все пары (q, q+l),
(V+l, 9 + 2), ..., (р — 1, р), найдем среди них такую,
например (п—1, я), для которой (п—1)л:<1_у, а п^
*) Для таких множеств предлагались в свое время названия
«интрезок» и «оттервал», однако при всей их целесообразности в оби-
обиход они ие вошли.
**) В других современных аксиоматических теориях веществен-
вещественных чисел принцип Архимеда, наряду с принципом Кантора (§ 1.8),
входит в состав аксиом; при таком построении аксиома о верхней
грани A.24) становится теоремой.
30 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1-72
В частности, если х = 1, мы получаем, что для любого
y?R существует такое целое п, что п — 1 ^j/ < п. Число
п—1 называется целой частью числа у и обозначается [у].
Число у—[у] называется дробной частью числа у и обозна-
обозначается (у). Таким образом, всякое число у есть сумма своей
целой части и своей дробной части: у= \у] + (у)-
1.72. Заменяя всюду в 1.71 сложение умножением, полу-
получаем следующий мультипликативный*) вариант принципа
Архимеда:
Если х > 1, у > 0, то существует такой целый показа-
показатель п, что
х">у.
1.73. Если в условии принципа Архимеда число у также
положительно, то положительно и число п > — . Умножая
х
последнее неравенство на —, приходим к следующему за-
заключению:
Для любых х > 0 и у > 0 существует такое натуральное
число п, что — < х.
Как следствие получаем: при любом у > 0
-|-, я=1, 2, ...}=0. A)
Действительно, множество в скобках состоит из положи-
положительных чисел, поэтому его нижняя грань неотрицательна.
Но по • доказанному она не может быть положительной;
отсюда вытекает A).
1.74. Следствие. Каждая из систем полуоткрытых
промежутков
@, .у] = (о, -!¦]=>... з(о, -?]=>... Of >0), A)
(а, а+у] з (а, в + |-] з ... з (а, а + |-] з. .., B)
[а—у, а) з [в—I, в) з ... з [в—J-, в) => • • • C)
пустое пересечение.
*) От слова multiplicator—умножающий (лат.).
1.76] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 31
Действительно, если бы промежутки системы B) имели
общую точку |, то |—а была бы общей точкой системы A);
и если бы промежутки системы C) имели общую точку \\,
то а—г] была бы общей точкой системы A). Но промежутки
системы A) не могут иметь ни одной общей точки в силу
1.73, что и доказывает утверждение.
1.75. Теорема. Каждый интервал (а, Ь) содержит
рациональную точку.
Доказательство. Пусть h = b—с>0 и л —целое,
большее, чем -г (существующее по принципу Архимеда)', так
что — < h. По принципу Архимеда найдется такое т, что
— ^а < т . При этом —i с^ — <й—а, так что
п п п п
< b. Таким образом, а < ^±i < Ь, *—- € (а, Ь), что
и требовалось.
На самом деле между а и b существует даже бесконеч-
бесконечное множество рациональных чисел, поскольку, применяя
приведенное рассуждение к интервалу ( —— , b ), мы полу-
получим новое рациональное число —, т <; — < Ь, и про-
процесс можно продолжать неограниченно.
1.76. Для заданного вещественного числа % обозначим
через Л/? совокупность всех рациональных чисел s-.
и через 'А_ совокупность всех рациональных чисел
Множество'Л/, ограничено сверху (числом |), множество А
ограничено снизу (числом ?).
Теорема, supЛ/? = % = infA.
Доказательство. Пусть sup N. = а. Так как s<I|
для каждого s g Л/,, то по определению точной верхней грани
имеем а<1?. Предположим, что а<|. По 1.75 имеется
рациональная точка р?{а, |). Так как р < |, то p?N,,
откуда вытекает /?^supA/, = a, что противоречит включе-
включению р ? (а, ?). Следовательно, неравенство a < % невоз-
невозможно, откуда а = sup Nf = |. Аналогично доказывается, что
32
ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
1.77. Позиционная десятичная запись веще-
вещественных чисел. Мы проверим здесь, что с помощью
последовательности из знаков 0, 1, 2, ..., 9 можно запи-
записать любое вещественное число.
Положим 9+ 1 = 10.
Пусть | > 0. В силу 1.72 существует (и однозначно
определен) такой показатель р, что
Имея р, найдем число 80 (из набора 1, 2, ..,, 9) такое,
что
Число 60 также определено однозначно, так как промежутки
6-10Я<>:< (8 + !)• 10Я
при различных 6 = 0, 1, ..., 9 не пересекаются. Далее,
имея 60, найдем число 6Х (из набора О, 1, 2, ..., 9) такое,
что
Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим после-
последовательность символов (цифр от 0 до 9)
еде,... F0фо). A)
Для указания числа р поступаем так: если
8 В
у р^, ставим
запятую между символами 8^ и Вр+1; если р < 0, т. е.
р = —q, q > 0, перед последовательностью A) пишем до-
дополнительно q нулей и после первого из них ставим запя-
запятую. С учетом этого условия в записи отражено и число р.
Итак, каждому вещественному числу \ мы поставили
в соответствие по указанному правилу символ вида A), воз-
возможно, с несколькими нулями впереди и с запятой на неко-
некотором месте. Этот символ называется десятичной позицион-
позиционной записью числа |; цифры 60, 6Х, ... в их взаимных
положениях (позициях) в последовательности A) называются
десятичными знаками числа ?. Для числа 1 десятичная
запись имеет вид 1,000...; аналогичный вид имеет десятич-
десятичная запись для чисел 2, 3, ..., 9. Для числа 10 десятич-
десятичная запись имеет вид 10,000
Для
чисел вида ~ с не-
10*
1.77] § 1.7. ПРИНЦИП АРХИМЕДА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ 33
отрицательными целыми sat («десятично рациональных»)
и только для них в символе A) не более чем t цифр после
запятой отлично от 0.
Мы утверждаем, что в символе A) не может быть так,
что, начиная с некоторого места, все цифры являются
девятками. Действительно, наличие всех девяток, начиная
с номера п после запятой, означало бы, что число | лежит
в промежутках
-<?<Г + — — 1
^* ^ , 9 , 10
но все вместе эти промежутки не имеют ни одной общей
точки {1.74).
Обратно, пусть дана произвольная последовательность
цифр от 0 до 9
*,тя... B)
с запятой на некотором месте, причем не все xt суть нули
и как угодно далеко имеются цифры, отличные от 9. Пока-
Покажем,- что существует число |>0, для которого B) совпадает
с представляющим его символом A).
Пусть хт—первая отличная от 0 цифра в B). Запятая
находится или правее хт на q ^ 0 цифр (не считая хт), или
левее хт на t ^ 1 цифр (считая хт); во втором случае по-
положим q= —t.
Теперь положим
и покажем, что десятичное разложение этого числа | сов-
совпадает с B). Пусть фиксировано натуральное число s, затем
34 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА П-78
выбрано г > s так, чтобы хт+г <18, и пусть k > г произ-
произвольно. Тогда, суммируя геометрическую прогрессию,
найдем
... +9.10»"'"+ • • •
= 9- ——l-10-i Ю*~г< 10?-* —
Поэтому
l-sup
Итак, при любом s = 0, 1, 2, ...
Полагая здесь s = 0, 1, 2, ... и вспоминая определение
числа р и знаков 80, 8^ ... числа |, мы находим p^=q,
60 = Tffi, 61 = тт+1, ..... откуда н следует совпадение Деся-
Десятичного разложения числа | с символом B).
Если |< 0, то —\ > 0, и поэтому
как было показано выше; мы полагаем по определению
%=— гл...
Наконец, для | = 0 мы полагаем
1 = 0,0000...
Этим завершается построение позиционной десятичной
системы.
1.78. Вместо числа 10 можно взять какое-либо другое
целое число Р > 1. Соответствующая позиционная система
обозначений вещественных чисел называется Р-ичной пози-
позиционной системой. Наиболее часто, кроме десятичной, ветре-
1-81] § 1.8. принцип вложенных отрезков кантора 35
чаются двоичная и троичная системы, где Р есть соответ-
соответственно 2 илн 3. В двоичной системе для записи любого
вещественного числа используются лишь цифры 0 н 1,
а в троичной — цифры 0, 1 и 2.
§ 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора
1.81. Пусть на вещественной оси R указана некоторая
совокупность промежутков, обладающих тем свойством, что
из каждых двух промежутков этой совокупности один со-
содержится в другом. Такую совокупность будем называть
системой вложенных промежутков.
В 1.74 мы видели, что система вложенных промежутков
может не иметь в пересечении ни одной точки. Промежутки,
которые рассматривались в 1.74, были полуоткрытыми. Тем
более система вложенных открытых промежутков (интерва-
(интервалов) может не иметь ни одной общей точки. Однако если
рассматриваемые промежутки содержат оба своих конца, т. е.
являются отрезками, общая точка всегда имеется; этот факт
составляет содержание следующего важного предложения:
Принцип вложенных отрезков Кантора. Для
всякой системы Q вложенных отрезков [а, Ь] существует
точка, принадлежащая ко всем отрезкам этой системы. Точнее
говоря, существуют
Тогда |^т) н отрезок [?, г\] есть пересечение всех отрез-
отрезков системы Q.
Доказательство. Пусть ?={а: [a,b] ?Q) есть
множество левых и F— {b: [a, b] ? Q) множество правых концов
отрезков системы Q. Для любых двух отрезков [alt bt] с [а2, Ь2]
системы Qmh имеем а2^ Oi^by^b2, так что любое я??не
превосходит любого b?F. Из 1.626 следует, что числа ? и т),
указанные в формулировке теоремы, существуют и удовлетво-
удовлетворяют неравенству | ^^. Для любого [a, b]?Q мы имеем
«<?<*1<*. так что [я,?]з[?,г)], откуда и П[а,?]гэ[?,г)].
Нетрудно убедиться, что JJ [а, Ь] состоит только из точек
отрезка [?, т)]: для любой точки х, не входящей в отрезок
36 ГЛ. I. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА [1.82
[?, т)], например, по той причине, что х < ?, найдется
левый конец а, для которого х < а < ? = sup {а}, и, сле-
следовательно, х не принадлежит соответствующему отрезку
[а, Ь]. Если ? = г], то, говоря об отрезке [?,, т)], мы подра-
подразумеваем эту точку ? = г].
1.82. В каком случае пересечение системы вложенных
отрезков состоит из одной единственной точки? Ответ дается
следующей теоремой:
Теорема. Пересечение системы Q вложенных отрезков
состоит из одной единственной точки тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 в системе Q имеется отрезок [а, Ь\
длины b — а < е.
Доказательство. По принципу Кантора пересечением
отрезков системы Q является отрезок [?, т)], который сво-
сводится к одной точке, если т] = ?. Если т]=^=?, то длина
каждого отрезка [а, ?>]з[?, т)] системы Q не меньше, чем
т) — ?,; поэтому если в системе Q имеются отрезки произвольно
малой длины, то их пересечением является одна точка. Об-
Обратно, поскольку T)=inf {?:[с, b] €Q}. ? = sup {с: fa, b] ?Q},
в системе Q для заданного е>0 есть отрезок [alt bt], для
которого ax>|-—а/2, и отрезок [а2, ?2], для которого
^2<т) + е/2. Если, например, [аг, b^\n[a2, b\], то мы имеем
«2^ai>? — е/2, Ь2<ц + е/2. Если ? = т|, то Ь2—я2 < е,
так что в системе Q имеется отрезок длины < е, н теорема
доказана.
§ 1.9. Расширенная область вещественных чисел
1.91. Определение. Расширенная область R веще-
вещественных чисел состоит из совокупности R всех веществен-
вещественных чисел и двух символов, или точек, —оо и оо (точ-
(точнее, + оо) (минус бесконечность и плюс бесконечность).
На эти символы распространяются отношения порядка
по следующему правилу:
— оо < х для каждого х g R;
х < оо для каждого х ? R;
— оо < оо.
••94] § 1.9. РАСШИРЕННАЯ ОБЛАСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 37
В расширенной области сохраняются аксиомы порядка
1.23 а — г. Обычные вещественные числа в отличие от симво-
символов — оо и оо называют конечными.
1.92. Для каждого непустого множества EcR опреде-
определяются величины supf и inff по следующему правилу.
Если Е не содержит точки оо и ограничено сверху (см. 1.24),
то supf сохраняет смысл, указанный в 1.24; в остальных
случаях (т. е. если Е содержит оо или, хотя и не содер-
содержит оо, но не является ограниченным сверху) полагаем
sup?=oo. Аналогично, если Е не содержит точки —оо
и ограничено снизу, число inf E сохраняет смысл, указанный
в 1.61; в остальных случаях полагаем inf?=—оо. Таким
образом, в системе R всякое непустое множество имеет
точную верхнюю и точную нижнюю грани.
1.93. Если а^.Ь—две точки из R, то множество
называется отрезком с концами а и Ь, а множество
(о, b)={x?R:a<x<b}
называется интервалом с концами а и Ь.
1.94. Сформулируем обобщение принципа вложенных
отрезков на область R. Пусть на расширенной прямой R
указана некоторая совокупность Q вложенных (в том же
смысле, что и в 1.81) отрезков [а, Ь]. Утверждается, что
все они содержат некоторую точку х ? R. Действительно,
пусть Л есть множество всех левых концов отрезков си-
системы Q и В—множество всех правых концов отрезков этой
системы. Положим
|= sup .Л, r\ = inf В.
Так же как и в 1.81, доказывается, что ?^Т] и что пе-
пересечение всех отрезков [a, b] € Q совпадает с отрезком
[I. f]] и, следовательно, не пусто.
38 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Дополнение к главе 1
Логическая символика
При записи математических рассуждений целесообразно
использовать'экономную символику, уже давно применяемую
логиками. Мы укажем здесь лишь несколько самых простых
и употребительных логических^ символов*).
Если нас интересует не сущность некоторого предложе-
предложения, а взаимосвязь его с другими предложениями, мы можем
обозначить это предложение одной буквой. Тогда символ
а=>Р означает: «из предложения а следует предложение р».
Знак а<==>Р означает «предложения аир эквивалентны»,
т. е. из а следует р и из р следует а.
Запись удг^?:а означает: «для каждого х?Е выпол-
выполняется предложение а». Запись jy€F:f> означает: «суще-
«существует элемент у ?F, для которого имеет место предло-
предложение Р».
Например, предложение «число ? есть точная верхняя
грань множества А» A.24) можно записать следующим
образом:
(а) ух?А: х^.% (т. е. для каждого х?А имеет место
неравенство х ^ ?) и,
(б) yb^A: b~^\ (т. е. для каждого Ь, не меньшего,
чем любой элемент множества А, выполняется неравенство
Ъ>\).
Запись а означает «не а», т. е. отрицание предложения а.
Например,
), а =^> р <==ф (Р =^> а),
Построим отрицание утверждения у* 6 Е'-а (Для каждого х ? Е
имеет место свойство а). Если высказанное утверждение ие имеет
места, то, следовательно, свойство а имеет место не для каждого
х ? Е и, значит, существует элемент х ? Е, для которого свойство а
не имеет места: у* € ?:аФ==Фз* € ?;а-
Построим отрицание утверждения ЗУ € ^:Р (существует у ? Е,
обладающий свойством Р). Если это утверждение неверно, то указан-
указанного у ? Е не существует, т. е. для каждого у ? Е свойство Р
*) Подробнее см., например, в книге: В. А. Успенский,
Лекции о вычислимых функциях, гл. 2, Физматгиз, 1960.
ЗАДАЧИ 39
не выполнено:
Таким образом, черта над знаком у или g превращает его, соответ-
соответственно, в знак g или у и переносится на свойство, стоящее после
двоеточия.
Например, отрицание приведенного выше утверждения (б) имеет
вид
_
(б) yfcS= Л:&->|<==Ф3Ь^ -4:&г&?<==ФзЬЗг А:Ь <1
(существует Ь, не меньшее любого х ? А, не превосходящее |).
Подробнее, с расшифровкой знака Ь^А:
(б) 3«><!.V*€
Рассмотрим еще следующее предложение:
(в) уе>0:з*€<4, х > ?—е (для каждого е>0 существует
А, превосходящее |—е).
Построим отрицание этого предложения:
(в) зе >0:у* € Л. х- > ?—е<==фде > 0:у* g Л, *<?—e.
Заменяя здесь ?—е иа Ь, можно записать этот результат так:
(в) ЗЬ< |:ух-6 -4. x<fc.
Мы замечаем, что (в) совпадает с (б). Отсюда следует, что (в)
совпадает с (б), т. е. в определении точной верхней грани утвержде-
утверждение (б) можно заменить утверждением (в).
Мы видим, что, оперируя логическими символами, можно прихо-
приходить к содержательным теоремам. Разумеется, в данном случае цепь
рассуждений можно было бы провести и без употребления логических
символов. Но в дальнейшем во многих случаях указанная «логиче-
«логическая алгебра» будет полезна. Мы не будем ее применять в самом
тексте книги, поскольку не стремимся к максимальной экономии места,
но рекомендуем читателю использовать ее в самостоятельной работе.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что для любых вещественных чисел х и у выпол-
выполняется неравенство
I*- г/1-341*1-1 у II.
а для любых х, уи ..., уп—неравенство
| лс-Vi- ...—уп | Ss II х |-| У11-... -| уп ||.
2. Арифметической суммой А-\-В числовых множеств А к В
называется совокупность всех сумм х-\-у, где х ? А, у ? В. Дока-
Доказать, что если А к В ограничены сверху, то и А-\-В ограничено
сверху н
sup (,4+В) = sup /I -f-sup В.
3. Арифметическим произведением АВ числовых множеств А и В
называется совокупность всех произведений х-у, где х ? А, у ? В.
40 ГЛ. 1. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
Доказать, что если А и В ограничены сверху и состоят из положи-
положительных чисел, то и АВ ограничено сверху и
sup (AB) = sup Л-sup В.
4. Арифметической п-й степенью множества А называется сово-
совокупность всех чисел х", где х ? А. (Заметим, что, вообще говоря,
А2 Ф А-А.) Доказать, что если А состоит из положительных чисел н
ограничено сверху, то и А" ограничено сверху и
sup (A") = (sup A)".
5. Если вся совокупность вещественных чисел разбита на два
непустых и непересекающихся подмножества А и В, таких, что а < Ь
для всех а ? А, Ь ? В, то существует одно и только одно число у,
такое, что а < у < Ь для всех а ? А и Ь ? В («дедекиндово сечение»).
Историческая справка
По-видимому, первая теория, эквивалентная современной теории
вещественных чисел, была построена древнегреческим математиком
Евдоксом; она изложена в «Началах» Евклида (русское издание:
Гостехиздат, 1948, т. 1, кн. V). Преследуя в основном чисто логи-
логические цели, эта теория была мало приспособлена для вычислений и
алгебраических построений. Современные теории ведут начало скорее
от работ Гаусса A812), Больцано A817), в особенности от знаменитого
«Курса алгебраического анализа» Коши A821), где в качестве основа-
основания, считающегося очевидным, был принят принцип вложенных
отрезков. Следующий шаг был сделан Дедекиндом, Вейерштрассом и
Кантором (к 1872 г.), которые—разными путями—определили веще-
вещественные числа с их свойствами, исходя из рациональных чисел *).
Таким образом, определение системы вещественных чисел было при-
приведено к определению системы рациональных чисел и тем самым
к определению системы натуральных чисел. В связи с этим впервые
были сформулированы и аксиомы натуральных чисел, именно, Дедекин-
Дедекиндом в 1888 г. и Пеано в 1891 г. Разумеется, сразу же возник вопрос
о непротиворечивости арифметики натуральных чисел с ее аксиомами;
Д. Гильбертом A900) он был включен в число основных проблем
математики XX века. Гильберт указал и допустимые («финитные»)
средства' для такого доказательства; однако Гёдель A931) показал,
что этими средствами проблема в принципе не может быть решена.
«Трансфинитными» средствами непротиворечивость арифметики была
доказана Гентценом A936) и П. С. Новиковым A943). С законностью
применения таких средств далеко не все математики согласны. См.
П. С. Новиков, Элементы математической логики, Физматгиз, 1959.
*) С изложением теории Дедекинда («дедекиндовы сечения»)
можно познакомиться по книге П. С. Александров и А. Н.
Колмогоров, Введение в теорию функций действительного пере-
переменного, ГТТИ, 1938; с изложением теории Кантора («фундаменталь-
(«фундаментальные последовательности») по книге В. В. Немыцкий, М. И.
Слудская, А. И. Черкасов, Курс математического анализа,
т. I, Гостехиздат, 1944.
ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Бессмертная заслуга Георга Кантора в том, что он
отважился вступить в область бесконечного, не побояв-
побоявшись нн внутренней, ни внешней борьбы не только
с мнимыми парадоксами, широко распространенными
предрассудками, приговорами философов, но и с преду-
предубеждением, высказанным многими великими математи-
математиками. Этим самым он стал создателем новой иаукн —
теории множеств.
Ф. Хаусдорф, Теория множеств A927)
Математика (греч. mathema — зианне) — наука о ма-
математических структурах (множествах, между элементами
которых определены некоторые отношения).
Философский словарь (ИПЛ, 1968)
§ 2.1. Операции над множествами
2.11. Мы рассмотрим здесь несколько подробнее операции
над множествами, введенные в 1.12. Напомним определения
этих операций. Если имеются множества А, В, С, ..., то
совокупность всех тех элементов, которые принадлежат
хотя бы одному из этих множеств, называется объединением
множеств А, В, С, ... Совокупность всех тех элементов,
которые входят в каждое из множеств А, В, С, ..., назы-
называется пересечением множеств А, В, С, ...
Объединение 5 множеств А, В, С, ... называют иногда
суммой и записывают в форме 5 = /4 + В + С+...; пересе-
пересечение D называют произведением и обозначают D = ABC...*).
Некоторые основания для таких «арифметических» наимено-
наименований имеются. Например, для любых трех множеств А, В,
С справедливо равенство
Напомним, что два множества считаются равными, если
каждый элемент одного из них есть в то же время элемент
другого. Приведем доказательство написанного равенства
как простой, но типичный образец рассуждений о равенствах
множеств.
Мы должны показать, что каждый элемент х, входящий
в (Л + В)С (левая часть), входит в АС-\-ВС (правая часть)
и, обратно, каждый элементу, входяГций в АС-\-ВС, входит
*) Не путать с «арифметической суммой» и «арифметическим про-
произведением»," введенными р задачах к гл. 1.
42 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.12
и в (А-{-В)С. Пусть сначала х принадлежит (А-\-В)С.
Будучи элементом пересечения множеств А-\-ВкС, элемент х
должен входить в каждое из них; таким образом, мы имеем
х?А + В и х?С.
Так как х входит в объединение А и В, то х входит хотя
бы в одно из слагаемых, например в А. Но включения х?А,
х?С влекут за собой х?АС, откуда х^АС-^ВС. Если же
х входит не в А, а в В, то таким же образом получаем
х?ВС, х?АС-\- ВС, что и требовалось. Обратно, если у
принадлежит сумме АС-\-ВС, то у принадлежит одному из
слагаемых, например у?ВС. Но тогда у?В иу?С; далее,
нз у?В следует у?А-\-В и окончательно у?(А-\-В)С.
Случай у ? АС разбирается аналогично, чем доказательство
и завершается.
Следует, однако, заметить, что далеко не все арифме-
арифметические правила переносятся на операции с множествами.
Например, для множеств А, В, С имеют место формулы
А-А =
уже непохожие на обычные арифметические равенства. Мы
предлагаем читателю самостоятельно убедиться в справед-
справедливости этих формул.
2.12. Введем теперь новую операцию — операцию допол-
дополнения.
Если множество В является подмножеством множества А,
то совокупность всех элементов множества А, не принадле-
принадлежащих В, называется дополнением множества В до множе-
множества А и обозначается GB или А—В*).
Отметим очевидные формулы
С(СВ)~А~-(А—В) = В,
(А—В) + В = А.
Заметим, что для двух произвольных множеств А и В фор-
формула
*) С—начальная буква слова «complement»—дополнение (франц.)
2.12J § 2.2. эквивалентность множеств 43
вообще говоря, неверна; она верна только в случае, когда
Л и В не имеют общих элементов.
Из более сложных формул отметим следующую, которая
часто будет далее встречаться:
c2Bv = ncBv; О)
v v
прочитать ее можно так: дополнение к объединению неко-
некоторых множеств есть пересечение их дополнений.
Докажем справедливость этой формулы. Пусть jc^
V
тогда x^^Bv; это означает, что при любом v мы имеем
V
а; € Bv, т.е. х ? Cfiv; но тогда х ? XI C?v. Обратно, если
V
Bv, то x?CBv при любом v, т. е. x?Bv при любом
v
v; но тогда х ^^Bv, т. е. х^С^В^, что и требовалось.
V V
Применяя к обеим частям равенства A) еще раз операцию
С и полагая AV = CBV, мы получим формулу
т. е. дополнение к пересечению некоторых множеств есть
объединение их дополнений.
Приведенные результаты можно соединить в форме
общего правила: переставляя символ дополнения С со знаком
(или Ц), нужно заменить 5] нс П (соответственно JJ
§ 2.2. Эквивалентность множеств
Мы хотим теперь установить правила, по которым можно
было бы сравнивать различные множества по запасу эле-
элементов в них.
Для конечных множеств здесь никакой проблемы нет:
пересчитывая элементы каждого из двух конечных множеств
А и В, мы можем непосредственно выяснить, какое из этих
множеств более богато элементами по сравнению с другим.
Естественно называть конечные множества А к В экви-
эквивалентными, если число элементов в них одинаково. Это
44 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 12-21
определение эквивалентности, однако, непосредственно не.
переносится на случай бесконечных множеств. Мы сейчас
придадим ему другую форму, в которой перенесение на беско-
бесконечные множества уже станет возможным. Для этого заметим,
что при установлении эквивалентности или неэквивалентно-
неэквивалентности конечных множеств А и В на самом деле нет необхо-
необходимости в пересчете элементов того и другого множества.
Например, если множество А есть множество слушателей в
аудитории, а В есть множество стульев в этой же аудито-
аудитории, то, вместо того чтобы пересчитывать отдельно слуша-
слушателей и отдельно стулья, можно предложить каждому слу-
слушателю занять один из свободных стульев, и тогда станет
сразу ясно, без всяких подсчетов, эквивалентны указанные
множества или нет.
Процедура, которая производится в указанном примере,
описываемая абстрактным образом, есть установление вза-
взаимно однозначного соответствия между множествами А и В.
2.21. Определение. Если каждому элементу множе-
множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент
множества В и при этом всякий элемент множества В ока-
оказывается сопоставленным одному и только одному элементу
множества А, то говорят, что между множествами А к В
установлено взаимно однозначное соответствие. Множества
А и В в этом случае и называются эквивалентными.
Это новое определение эквивалентности годится для
любых множеств, не обязательно конечных; так, например,
бесконечное множество А натуральных чисел 1, 2, ... экви-
эквивалентно множеству В целых отрицательных чисел — 1;
— 2, ..., причем взаимно однозначное соответствие между
множествами А к В устанавливается посредством правила:
каждому числу п?А сопоставляется число —п?В.
Точно так же множество натуральных чисел 1, 2, ...
эквивалентно множеству всех четных положительных чисел
2, 4, ...: соответствие между ними осуществляется по
правилу /г—s- 2л.
На этом примере мы видим, что множество может быть
эквивалентно своему истинному подмножеству; ситуация
такого рода, разумеется, может иметь место лишь для бес-
бесконечных множеств. Соответствие между элементами
и у?В обозначается
2.22] § 2.2. эквивалентность множеств 45
Отношение эквивалентности обозначается знаком ~.
Легко видеть, что это отношение симметрично (т. е. А~А),
рефлексивно (если А~В, то В~А) и транзитивно (если А~В,
а В ~ С, то А ~ С). Если два множества эквивалентны, то
говорят также, что они раеномощны, имеют одну и ту же
мощность.
2.22. Примеры. Отрезок [0, а], а > 0, эквивалентен
отрезку [0, 1]: соответствие осуществляется по формуле
х € [0, 1] «->_)/ = ах? [0, а]. Любые два отрезка [а, Ь\ и
\a-\-h, b-\-h\ равной длины Ъ—а эквивалентны: соответст-
соответствие осуществляется по формуле х^[а, b] *-*y = x-\-h ?
?[а + /г, b-\-h\. Поэтому вообще любые два отрезка число-
числовой оси эквивалентны. Точно так же эквивалентны любые
два интервала числовой оси. Соответствие х++у = — уста-
устанавливает эквивалентность интервала 0 < х < 1 и полуоси
_у>1, соответствие х *-*у= . 2—эквивалентность всей
х
числовой оси и интервала (— 1, 1).
Докажем теперь, что отрезок [а, Ь\ эквивалентен интер-
интервалу (а, Ь). Рассмотрим произвольную последовательность
А точек отрезка [а, Ь], включающую два его конца:
хг=а, х2 = Ь, х3, ..., хп, ... Тогда х3, х4, ... ле-
лежат в интервале (а, Ь), так же как и остальные точки
отрезка [а, Ь], не попавшие в выбранную последователь-
последовательность. Установим соответствие между точками отрезка и
интервала по следующему правилу:
%1 <-> Xs,
4i * ^ 4*
Хп4-*Хп+2,
Это соответствие, очевидно, взаимно однозначно. Таким
образом, отрезок [а, Ь] и интервал (а, Ь) эквивалентны.
Используя полученные ранее соответствия, заключаем, что
любой интервал эквивалентен любому отрежу, полуоси и
всей числовой оси.
46 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.31
§ 2.3. Счетные множества
2.31. Определение. Множество, эквивалентное мно-
множеству всех натуральных чисел 1,2, ..., называют счетным
множеством.
Можно сказать иначе: множество счетно, если все его
элементы можно занумеровать всеми натуральными числами.
Приведем несколько простых теорем о счетных множествах.
2.32. Всякое бесконечное подмножество В счетного мно-
множества А также счетно. Действительно, элементы множества В
можно заново перенумеровать по порядку их следования
в А (причем, поскольку В бесконечно, придется для нуме-
нумерации использовать все натуральные числа).
2.33. Объединение конечной или счетной совокупности
счетных множеств есть счетное множество.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай двух
множеств. Пусть имеются счетные множества А = (а1, а2, ...)
и В=F1, Ь2, ...). Выпишем в одну строку все элементы
обоих этих множеств по следующему правилу:
аг, Ьъ с2, &8, а3, bz, ...
Теперь все эти элементы можно заново перенумеровать по
порядку следования в строке. Элемент, встречающийся два
раза (т. е. такой, который входит и в Л, и в В), естест-
естественно, приобретает номер в первый раз, а во второй раз
пропускается. В результате каждый элемент объединения
-множеств А и В получит свой номер, что и требуется.
Так, множество всех целых чисел 0, ± 1, ±2, ...
счетно, как объединение двух счетных множеств 1, 2, 3, ...
и 0, —1, —2, ...
Совершенно аналогичным образом теорема доказывается
в случае трех, четырех или вообще любого конечного числа
счетных множеств. В случае счетной совокупности счетных
множеств
А1 = Wl. fl18» ¦ ••> aln. • ••}'
Ak — iakl< ak2> • • ¦ > акп> • • •}»
изменение будет только в том, что правилр для записыва-
2-35] § 2.3. счетные множества 47
иия всех элементов всех этих множеств в одну строку при-
придется применить несколько иное, например по группам эле-
элементов с равной суммой индексов:
Gll! G21» п12> а31> С22> Й13! G41> G32> Й23> Й14! • • •»
в остальном же доказательство не изменяется.
2.34. Множество всех рациональных чисел (т. е. чисел
вида —, где р и q—целые числа) счетно.
Действительно, множество всех рациональных чисел есть
объединение следующих счетных множеств:
1) множества Ах всех целых чисел п = 0, ±1, +2, ...;
2) множества А2 всех дробей вида -«г, л = 0, ± 1, ± 2,... ;
3) множества А3 всех дробей вида -=-, л = 0, ±1, ±2, ...;
k) множества Ak всех дробей вида -т- , л = 0, ±1. ±2, ...;
Множества Аг, А2, ..., Ak, ... составляют счетную сово-
совокупность множеств; так как каждое из них счетно, то в силу
2.33 и их объединение счетно, что и утверждалось.
2.35. Если
А={аъ а2, ..., ak, ...) и В=(ЬХ, Ъг, ..., Ьп, ...)
— счетные множества, то множество всех пар (ak, Ь„)
(k, л = 1, 2, ...) также является счетным.
Действительно, множество всех этих пар можно пред-
представить в виде объединения счетной совокупности счетных
множеств
Л = {(%. *i). («1. b2), ..., К, bn), ...},
А = {(«2> Ьх), («2, b2), ...,(a2, bn), ...},
и в силу 2.33 оно является счетным множеством.
48 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.36
Этому примеру можно придать геометрический смысл:
паре (ak, bn) отвечает точка на плоскости с координата-
координатами ak, bn; мы видим, в частности, что множество всех
точек плоскости, обе координаты которых рациональны,
счетно.
2.36. Множество всех многочленов Р (х) = а0 + агх + ...
... -\- апх" (любых степеней) с рациональными коэффициен-
коэффициентами а0, аъ ..., ап счетно.
Множество всех многочленов указанного вида есть объеди-
объединение счетной совокупности множеств Ап(п — О, 1, 2, ...),
где Ап означает множество многочленов степени ^л. По-
Поэтому, имея в виду теорему 2.33, достаточно показать, что
каждое из множеств Ап счетно. При л = 0 речь идет о счет-
ности множества самих рациональных чисел, которая уста-
установлена в 2.34. Далее будем действовать по индукции:
предположим, что доказана счетность множества Ап, и до-
докажем счетность множества Ап+1.
Каждый элемент множества Ап+1 можно записать
в виде
где Q(x)—многочлен степени ^Сл с рациональными коэф-
коэффициентами, т. е. элемент множества Ап, и ап+1 — рацио-
рациональное число.
Множество многочленов Q(x) по предположению счетно,
и множество чисел ап+1 также счетно. Таким образом, каж-
каждому элементу множества Ап+1 можно сопоставить пару
(Q(x)> cn+i)i каждая из составляющих которой пробегает
счетное множество значений. В силу 2.35 множество Ап+1
также счетно, что и требовалось.
2.37. Множество всех алгебраических чисел (т. е. корней
многочленов с рациональными коэффициентами) счетно.
Согласно 2.36 все многочлены с рациональными коэффи-
коэффициентами мы можем занумеровать натуральными числами,
так что эти многочлены будут образовывать последователь-
последовательность
Рх(х), Р2(х) Рп(х), ...
Но каждый из указанных многочленов имеет некоторое ко-
2.42] § 2.4. МНОЖЕСТВА МОЩНОСТИ КОНТИНУУМА 49
нечное число корней (см. 5.87). Выписывая в одну строку
сначала все корни многочлена Р1 (х), затем все корни много-
многочлена Рг(х) и т. д., мы получаем возможность занумеровать
и все алгебраические числа, что и требовалось.
§ 2.4. Множества мощности континуума
Существуют бесконечные множества, элементы которых
нельзя перенумеровать натуральными числами. Такие множе-
множества называются несчетными. Типичным примером несчетного
множества является континуум—множество всех точек ка-
какого-либо отрезка.
2.41. Теорема (Г. Кантор, 1874). Множество всех то-,
чек отрезка 0 ^ х ^ 1 несчетно.
Доказательство. Допустим, что, напротив, множе-
множество всех точек отрезка [0, 1] счетно и все их можно рас-
расположить в последовательность xlf лг2, ...,хп, ... Имея
эту последовательность, построим следующим образом по-
последовательность вложенных друг в друга отрезков.
Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни
находилась точка хъ она не может принадлежать одновре-
одновременно всем трем отрезкам 0, -g- , np'g'.T'M'11
среди них можно указать такой, который не содержит точки хг
(ни внутри, ни на границе); этот отрезок мы обозначим через
Лх. Далее, обозначим через Д2 ту из трех равных частей
отрезка Дх, на которой не лежит точка х2. Когда таким
образом будут построены отрезки ДрДр ... гэД„, мы обо-
обозначим через Д„+1 ту из трех равных третей отрезка Д„,
на которой не лежит точка хп+1; и т. д. Бесконечная после-
последовательность отрезков AjDAjD... в силу теоремы 1.81
имеет общую точку |. .Эта точка ? принадлежит каждому
из отрезков Ап и, следовательно, не может совпадать ни
с одной из точек хп. Но это показывает, что последова-
последовательность х1г х2, ..., х„, ... не может исчерпывать всех
точек отрезка [0, 1], вопреки первоначальному предположе-
предположению. Теорема доказана.
2.42. Мы видели, что все рациональные числа отрезка
[О, 1] составляют счетное множество. Остальные числа от-
отрезка называются иррациональными. Мы видим теперь, что
50 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.43
иррациональных чисел «значительно больше», чем рацио-
рациональных: точнее говоря, иррациональные числа образуют
заведомо несчетное множество (иначе, если бы множество
иррациональных чисел было счетным, то было бы счетным
и множество всех чисел отрезка O^x^l, как объедине-
объединение двух счетных множеств). Более того, так как алгебраи-
алгебраические иррациональные числа (корни многочленов с рацио-
рациональными коэффициентами) образуют также счетное множе-
множество B.37), то несчетное множество составляют числа, не
являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффи-
коэффициентами, — трансцендентные чисЛсП
Между прочим, приведенное рассуждение доказывает и
само существование трансцендентных чисел, нисколько не
очевидное заранее.
2.43. Определение. Всякое множество, эквивалентное
множеству всех точек отрезка [0, 1], называется множест-
множеством мощности континуума.
Мы видели, что множества точек любого отрезка [а, Ь],
любого интервала (а, р) и, наконец, всей прямой —оо < х <С оо
эквивалентны множеству точек отрезка [0, 1]; следова-
следовательно, все они имеют мощность континуума.
§ 2.5. Понятие о математической структуре.
Изоморфизм структур
2.51. С некоторой общей точки зрения математика имеет
дело только с множествами. Но богатство той или иной
математической теории зависит от дальнейших связей между
элементами (и подмножествами) множеств, изучаемых в дан-
данной теории. Эти связи формулируются абстрактным образом
с помощью аксиом. Примером" служит система вещественных
чисел, рассмотренная в гл. 1: она представляет собой мно-
множество, элементы которого удовлетворяют некоторой опре-
определенной, достаточно сложной системе аксиом. Множество
с дальнейшими условиями (на элементы и подмножества) на-
называют математической структурой. Точное определение мате-
математической структуры должно было бы содержать общее оп-
определение таких «условий», и мы предпочитаем его не приво-
приводить *), ограничиваясь словесным описанием и рядом примеров.
*) См. Н. Б у р б а к и, Теория множеств, гл. IV, «Мир», 1965.
2.53] § 2.5, ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ 51
2.52. Две структуры с одинаковыми типами условий на-
называются изоморфными, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие так, что при
этом соответствии сохраняется выполнение или невыполне-
невыполнение условий, определяющих структуру. Всякая структура
изоморфна самой себе: тождественное отображение, очевидно,
взаимно однозначно, и при нем сохраняются все условия,
которым подчинены элементы и подмножества структуры.
Но возможны и нетождественные отображения структуры на
себя, сохраняющие описывающие структуру условия; такие
отображения называются автоморфизмами структуры.
Рассмотрим для примера структуру линейно упорядочен-
ного множества. Так называется множество Е элементов
х, у, ... с тем дополнительным условием, что для каждых
двух различных элементов х, у установлено одно из отно-
отношений х <Су («меньше») или у < х, причем если х<^у и
у < 2, то х < z. Примером может служить (расширенная)
числовая ось или любое подмножество числовой оси с обыч-
обычным отношением порядка. Два упорядоченных множества Еи
Е2 называются изоморфными, если между ними установлено
взаимно однозначное соответствие так, что из х1<?Е1,у1?Е1,
Хх<.Ух для соответствующих элементов х2?Е2 к у2?Е2
следует х2<Су2. В этом смысле вся числовая ось изоморфна
любому интервалу; но она не изоморфна отрезку (у отрезка
есть наименьший элемент, у оси—нет). Автоморфизмом ли-
линейно упорядоченного множества является любое его взаимно
однозначное отображение на себя, сохраняющее порядок:
если хг<Суъ хг соответствует х2, уг соответствует у2, то
х2 <у2. Для интервала (О, I) как линейно упорядоченного
множества формула у = хп при любом фиксированном п за-
задает автоморфизм.
Возможны структуры, система аксиом которых определяет
структуру с точностью до изоморфизма; иначе говоря, воз-
возможно, что всякие две структуры с данной системой аксиом
изоморфны. Говорят в таком случае, что система аксиом дан-
данной структуры полна и что сама данная структура единственна.
2.53. В качестве примера рассмотрим вопрос о единст-
единственности системы вещественных чисел. Мы назвали в гл. 1
системой вещественных чисел совокупность объектов, удов-
удовлетворяющих определенным аксиомам A.21 —1.24).
52 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.54
Поставим вопрос: единственна ли система объектов, удов-
удовлетворяющих всем этим аксиомам? Изоморфны ли две струк-
структуры вещественных чисел? Более точно: если имеется два
экземпляра системы вещественных чисел, можно ли устано-
установить между их элементами такое взаимно однозначное соот-
соответствие, при котором результатам сложения и умножения
чисел первой системы соответствуют результаты одноимен-
одноименных операций во второй системе, при котором сохраняется от-
отношение порядка между соответствующими элементами и
при котором точные границы соответствующих множеств
соответствуют друг другу? Ответ на этот вопрос положи-
положительный и дается следующей теоремой, доказательство ко-
которой проводится в 2.54—2.58.
Теорема. Пусть имеется два экземпляра Rt и R2 си-
системы вещественных чисел; числа первой системы будем снаб-
снабжать индексом 1, числа второй системы — индексом 2.
Утверждается, что между числами xt^Rt и Х2?R2 можно
установить взаимно однозначное соответствие, обозначаемое
знаком ~ так, что при этом будут выполняться следующие
свойства:
1) из хг~х2, ух~у2 следует хг + уг~х2 +у2;
2) из хг~х2, уг~у2 следует хгу2~ х^2,
3) из хг~х2, у^~у2, х1<у1 следует х2<у2;
4) если множество Aj^cRy ограничено сверху, то множе-
множество А2 соответствующих элементов из R2 также ограничено
сверху и
sup Ay ~ sup A2.
2.54. Приступая к доказательству теоремы 2.53, мы мо-
можем отметить, что теоретико-множественная эквивалентность
систем Ry и R2 следует уже из возможности представления
чисел каждой системы бесконечными десятичными дробями
A.77). Мы используем здесь иной подход, более приспособ-
приспособленный для проверки свойств 1)—4). Обозначим через Qx
и Q2 множества рациональных чисел из систем R± и R2.
Между Qi и Q2 устанавливается естественное взаимно одно-
однозначное соответствие по самой записи рациональных чисел
в форме —. При этом, очевидно, выполняются свойства
1) — 3), так как указанные операции выражаются непосред-
непосредственно через символы тип. Если теперь Ij^^i'—любое
2.56] § 2.5. ПОНЯТИЕ О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЕ 53
число, то по 1.76 мы имеем
где Nx (Ij) означает множество рациональных чисел гх ^ |1э
а Р1 (Si)— множество рациональных чис,ел ^^Si! при этом
всегда /^^Sj. Обозначим через N2 множество рациональ-
рациональных чисел системы R2, соответствующих рациональным чис-
числам из множества A/^Sx) (т. е. имеющих туже запись — j ,
и через Р2—множество рациональных чисел системы R2,
соответствующих числам из множества Pi(?i). Мы имеем
r2 ^ s2 для всяких r2 ? N2 и s2 ? Р2 и по 1.62 б sup N2 ^ inf P2.
Так как все рациональные числа в системе R2 попадают либо
в N2, либо в Р2, то между числами a2 = supN2 и p2 = infP2
нет рациональных чисел. А это значит, что а2 = (J2, иначе
по 1.75 между а2 и (J2 нашлась бы рациональная точка.
Теперь поставим в соответствие числу ^.1^R1 число ?2 =
= <х2 = Р2?./?2. Указанное соответствие, по симметрии, вза-
взаимно однозначно.
2.55. Проверим теперь выполнение свойств 3) и 4). Если
л:1<д'1, мы найдем, пользуясь 1.75, рациональное число rlt
хг < гх < у±, для соответствующих чисел х2, г2, у2 по са-
самому определению соответствия будем иметь х2 ¦< r2 <iy2,
так что 3) выполнено. Пусть Аг ограничено сверху и ^ =
= supi41; и пусть А2—множество, соответствующее Аг, и
|2—число, соответствующее |j. Мы имеем |1^л;1для лю-
любого хг^Аг, откуда \?~^х2 для любого х2?А2 и, следо-
следовательно, ^2^supi42. Если supi42<|2, то имеется число
(даже рациональное) у2 такое, что х2<у2<.Ъ,ъ для любого
х2^А2, откуда Х1<.у1<11 для любого х1^,А1 и для ylt
соответствующего у2. Но тогда sup Аг ^.уг < Si в противо-
противоречии с предположением. Таким образом, sup A2 = ?2, чем
доказано 4).
2.56. Для доказательства свойств 1) и 2) установим
две леммы.
а. Лемма. Пусть даны вещественные числа у и г и ра-
рациональное число r^>y-\-z; существуют рациональные числа
и^>У, v~>z такие, что
54 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 12.57
Доказательство. Пусть г—(yJrz) — h. В качестве и
возьмем любое рациональное число в интервале (у, y-\-h)n
положим v = r—и; очевидно, v > г—(y~\-h) = z, что и тре-
требуется.
б. Лемма. Пусть даны положительные числа у и z и
рациональное число г > yz; существуют рациональные числа
v~>z такие, что uv=r.
Доказательство. Пусть —=/г. В качестве и возь-
возьмем любое рациональное число в интервале (у, yh) и поло-
положим v — — ; очевидно, v>-r = z, что и требуется.
2.57. Теперь проверим выполнение свойства 1). Пусть
*i~*2. У1~У2> х1+у1~ггфха+у2 и пусть, например,
%2 > х2 -\-у2. Выберем рациональное число t2 € (х2 Ч-Д'г, z2).
По лемме 2.56а существуют рациональные числа и2 > х2,
v2 >_y2, u2-\-v2 — t2. Для соответствующих чисел гг, tlt иг, v1
мы имеем хг < их, уг < vlt x1-{-yl < и1 + г'1 = /1. Но так как
t2 < z2 ~- ^i+^i, то ^ < хг-\-уг в противоречии с предыду-
предыдущим. Предположение z2 < х2 -\-у% исключается аналогично.
2.58. Переходя к свойству 2), рассмотрим его вначале
для положительных хг и ylt которым по 3) соответствуют
положительные же х2 и у2. Пусть х1у1 ~- z2 =/= х2у2 и пусть,
например, z2 > х2у2. Выберем рациональное число t2 g (х2у2,
z2). По лемме 2.566 существуют рациональные числа и2 > х2,
V2>y2> u2v2 = t2. Для соответствующих чисел гг, tly u1,v1
мы имеем хх < alt уг < ©j, xtyt < й^ = ^. Но так как
t2<^z2~x^yx, то tx < Xj^ в противоречии с предыдущим.
Предположение z2 < x2y2 исключается аналогично. Случай,
когда один из множителей равен 0, очевиден.
Переходя к общему случаю и имея в виду правило знаков,
достаточно проверить, что —Ьл:1~ — 1-х2. Пусть —\-хг
соответствует элементу z2. По 1) равенство —\-х1-{-х1 = О
влечет z2-|-x2 = 0, откуда z2 = —\-х2, что и требовалось.
Тем самым наша теорема полностью доказана.
2.59. Мы показали, что существует единственная с точ-
точностью до изоморфизма система вещественных чисел. Оста-
Остановимся еще на вопросе о том, каковы автоморфизмы этой
2.62) § 2.6. пространство п измерений 55
системы. В соответствии с 2.52 автоморфизмом системы R
мы называем взаимно однозначное отображение /?—*/?, со-
сохраняющее результаты сложения и умножения, отношение
порядка и точную верхнюю грань. Покажем, что такое ото-
отображение R ¦—>R может быть только тождественным. Будем
обозначать через х' тот элемент из R, в который при рас-
рассматриваемом автоморфизме переходит элемент х. Элемент Г
есть единица в поле R, поскольку для любого х мы имеем
\'-х' = х'; в силу единственности единицы A.41а) мы имеем
= 1. Отсюда 2' = 1' + 1' = 2, ..., п' = (л — 1)' + 1' = л;
т\' т' т ...
— ] =—г =—. В силу единственности противоположного
элемента A.32) мы имеем (—— ] = — —. Таким образом,
наш автоморфизм оставляет на месте систему рациональных
чисел. Но тогда он оставляет на месте и каждое веществен-
вещественное число, поскольку в силу 1.76 для каждого
где N.— класс рациональных чисел, не превосходящих ?, а
наш автоморфизм сохраняет отношение порядка и верхнюю
грань. Итак, рассматриваемый автоморфизм есть тождествен-
тождественное отображение | —*¦ |.
§ 2.6. Пространство п измерений
2.61. Определение. Пусть дано натуральное число п\
обозначим через Rn совокупность всех комплексов («.векто-
(«.векторов») из п вещественных чисел
X = (Хг, ..., Хп).
Числа хх, ..., хп называются координатами вектора х.
Будем считать, что вектор х = (хг, ..., хп) равен вектору
у = (Ух, ¦ ¦ -, уп) в том и только в том случае, когда выпол-
выполняются равенства х1—уг, ..., хп=уп.
Совокупность /?п называется п-мерныи вещественным
пространством.
2.62. Введем в пространстве Rn операцию сложения по
формуле
..., хп+уп). A)
56 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.63
Покажем, что для операции сложения в /?„ выполнены
аксиомы сложения 1.21, в которых под символами х, у, ...
понимаются уже элементы пространства /?„. Пусть х =
= (*i, • - •, х„), у = (уг, ..., у„), г = {гг, ..., г„). Мы имеем:
а. х+у = (х1+у1, ..., хп+уп)=у + х.
б. (+) +
в. Для вектора 0 = @, 0, .. ., 0) («нуль-вектор») выпол-
выполняется равенство х-{-0 = (х1-{-0, ..., хп-\-0) — х.
г. Для каждого x?Rn существует противоположный эле-
элемент у такой, что х-{-у^=0; а именно, можно положить
у — ^ хх, ..., —хп).
Вместе с аксиомами а) — г) выполняются все следствия
из них, выраженные в предложениях § 1.3.
2.63. Введем в пространстве /?„ операцию умножения на
любое число a?R по формуле
Очевидно, что справедливы формулы:
, = ах + ау; B)
- ГУ V J_ ft V f4\
\-х = х; D)
афх) = (а$) х. E)
2.64. Векторы
пространства Rn называются линейно зависимыми, если
существуют такие постоянные Clt ..., Cm, среди которых
есть отличные от нуля, что
Если же равенство A) возможно только при Сг— .. . =Ст~0,
то векторы ха), ..., хШ) называются линейно независимыми.
Векторное равенство A) в силу 2.62 A) и 2,63 A) эквива-
2-68) § 2.6. пространство п измерений 57
лентно п числовым равенствам
Поэтому в силу известных теорем теории систем линейных
уравнений *) линейная зависимость векторов xA>, ..., хШ)
эквивалентна тому, что ранг матрицы || а:]*' || меньше т.
В частности, в Rn систему п линейно независимых векторов
можно задать с помощью любой квадратной матрицы || xf° \\
из п строк и столбцов с отличным от 0 определителем.
Всякие же п + 1 векторов пространства /?„ линейно зависимы.
2.65. Пусть /х, ..., /п—какая-либо система п линейно
независимых векторов пространства Rn. Тогда для любого
вектора g?Rn в силу линейной зависимости векторов fv ...
• • • 1 /«> ? существует линейная зависимость
Qs4-<Vi+¦¦•+?,/„=о, A)
причем заведомо С0ф0, иначе оказались бы линейно зави-
зависимыми векторы /1; ..., /„. Поэтому равенство A) можно
разрешить относительно g; мы получим равенство вида
g=aJf1+...+aJn. B)
Числа alt ..., а„ называются координатами вектора g отно-
относительно базиса flt ..., /„.
Так, выбирая в качестве векторов fv ...,/„ векторы
е1 = A,0, ...,0), .... е„ = @,0, ...,1), C)
получаем для любого вектора х = {х1г ..., хп) б Rn
x = xiei+...+xnen,
так что числа хъ ..., хп являются координатами вектора д;
относительно специального базиса elt ..., епC).
2.66. Пусть flt .. ., fn—фиксированный базис в простран-
пространстве /?„. Если g=a1f1+...+ а„/„ *h = $1f1+... + р„/„.
то по свойствам 2.63 B) — C)
g+ A.= (ttl + Pi)A + • • • + («„ + Р„)/„,
Cg=^ Саг/г + • • • + Canfn при любом числе С,
*) См., например, Г. Е. Шилов, Математический аналад, Ко-
Конечномерные линейные пространства, «Наука», 1969, 3.12. В даль-
дальнейшем обозначаем эту книгу КЛП.
58 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.67
так что сложению векторов и умножению вектора на число С
отвечают, при любом базисе, сложение соответствующих
координат и умножение их на это число С. Можно сказать,
что отображение, ставящее в соответствие любому вектору
х = (хи ...,хп) вектор а=(аь ..., а„), где ах, ...,а„ —
координаты вектора х относительно фиксированного базиса
Л, ••-./„! есть автоморфизм B.52) /т-мерного простран-
пространства Rn.
2.67. Вообще, в соответствии с определением автомор-
автоморфизма математической структуры B.52) автоморфизмом
п-мерного пространства Rn мы назовем такое взаимно одно-
однозначное отображение х' = А(х) пространства Rn на себя,
что выполняются условия:
а. А (ах) = аА (х) для любого х ? Rn и любого а ? R.
б. А (х-\-у) = А (х)-{-А (у) для любых х и у из /?„.
Из свойств а и б легко получить более общую формулу:
в. АI 2 акхк ) ~ 2 atA (¦**) для любых векторов xlt ...
..., хр и любых вещественных ах, ..., ар.
Найдем общее выражение автоморфизма А через коор-
координаты вектора х. -Пусть х = (хх, ..., хп) и х' =А(х) =
= (х\, ..., х'п). Пусть, далее, е~@, ..., 1, ..., 0) и «} =
= ^(е/) = (а/1, ...,aJn). Мы имеем
2 **()( 2
откуда
п
Xk-Zajkxj. A)
Таким образом, автоморфизм А задается в координатах
системой линейных соотношений A). Так как эти формулы
должны давать взаимно однозначное отображение простран-
пространства Rn на себя, то по основным теоремам линейной алгебры
(см. КЛП, 4.76) матрица ||оу-л|| невырождена:
det||a,ft
2.67]
§ 2.6. ПРОСТРАНСТВО Я ИЗМЕРЕНИЙ
59
Обратно, всякая невырожденная матрица || ajk || по фор-
формулам A) задает отображение пространства Rn в себя, удов-
удовлетворяющее условиям а, б и взаимно однозначное, т. е.
определяет автоморфизм пространства /?„. Итак, автомор-
автоморфизмы пространства Rn описываются посредством невырож-
денных матриц по формулам A).
Рассмотрим несколько примеров. Автоморфизм /, опреде-
определяемый матрицей
1 0 ... О
О 1 ... О
О 0 ... 1
переводит каждый вектор в себя самого; это—тождественный
автоморфизм. Автоморфизм Лу-, определяемый матрицей
f-> строка
1
О
о
1
(не выписанные элементы — нули) увеличивает в "Kj раз у-ю
координату каждого вектора; он называется растяжением
в "kj раз по у-й оси. Автоморфизм, определяемый матрицей
1 О
о
по каждой оси производит растяжение: по первой—в Кг раз,
по второй — в Яа раз и т. д. Если все числа %1г ...,Х„
совпадают, то соответствующий автоморфизм, определяемый
60 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
матрицей
0
12.71
О
каждый вектор х переводит в вектор кх. Такой автоморфизм
называют преобразованием подобия с коэффициентом подо-
подобия К.
§ 2.7. Комплексные числа
2.71. Естественно возникает вопрос, можно ли в /^мер-
/^мерном пространстве Rn ввести операцию умножения векторов
друг на друга так, чтобы в результате получался снова
вектор из /?„и были выполнены аксиомы умножения 1.22 а—д.
Оказывается, это можно сделать при /г = 2, например,, по
следующему правилу. Пусть е1 = {\, 0), е2 = @, 1); каждый
вектор z?R2 можно записать в виде z = (x,y) = xel-\-ye2,
где х к у—координаты вектора z относительно базиса е1г е2.
Положим
Распространим это умножение на все векторы z^=xe1-\-
~\~Уе2^^2 по линейному закону: если w = uel-\-ve2, то
zw = (хех -\-уе2) (иег -\- ve2) = хие\ + xve±e2 -\-yue2e1 -\-yve\ =
= (xu—yv) ex + (xv+yu) e2.
Короче, определение умножения в R2 таково:
zw = (х, у) (и, v) = (хи—yv, xv-\-yu). A)
При этом, очевидно,
а. wz = (их—vy, vx + иу) = zw.
б. Если у —(а, Р), то
(zw)у— (хиа—yva—xv§—кур, х«р—yvfy + xva-\-yua) =
= (х (иа—v$)—у (fa-f и|5), х (va 4- "Р) + V (иа—ч
— z(wy).
2.72] § 2.7. комплексные числа 61
в. Для точки е = A, 0) и любого z—(u, v) мы имеем
A, 0)(и, v) = {u,v).
г. Для любой точки (х, у) Ф @, 0) имеется обратный
элемент, именно
(". v)—[x*
Действительно,
(х, у) (и, tf)=(+ jq—з
д. Для любых трех точек z = (x,y), w = (u, v), -у = (а, Р)
(z -f w) у = zy
Действительно,
(z-\-w)y = (x + u, y + v)(a, P) =
= ((xa-yf>) + (ua—«P), (*p +^a) + («P +«*))
Таким образом, для введенного нами умножения в R2 выпол-
выполняются все аксиомы 1.22а — д. Вместе с ними выполняются
и все следствия из них, указанные в предложениях § 1.4.
2.72. Определение. Пространство R2 с операциями
сложения 2.62 A) и умножения 2.71 A) называется полем,
комплексных чисел и обозначается через С. Совокупность
вещественных чисел R вкладывается взаимно однозначно в С
по правилу
, 0),
причем сохраняются операции сложения и умножения, по-
поскольку
(*, 0) + (У, 0) = (х +у, 0), (*, 0) (у, 0) = (ху, 0).
Поэтому комплексные числа (х, 0) мы будем называть ве-
вещественными числами и писать (х, 0) = х.
Таким образом, базисный вектор е1 = A, 0) получает
обозначение 1. Второй базисный вектор еа = @, 1) обозначим
через /. Каждое комплексное число (х, у) можно теперь
62 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.73
записать в форме x-\-iy. По определению мы имеем /а = е|=
= —?]. = (—1,0) = —1, так что в области комплексных
чисел из числа —1 можно извлечь квадратный корень. Вто-
Вторым квадратным корнем из —1 является число —/, поскольку
(—/)а=(—1J?2 = —1. Других квадратных корней из -—1
(кроме i и —/) среди комплексных чисел нет: действительно,
если для некоторого z?C мы имеем 22 =—1, то z2-\-\ =
= (z-\-i)(z— i) = 0, откуда в силу 1.47 б (с учетом сказан-
сказанного в 2.71) z+i = 0 или z — / = 0, т. e. z — i или г = — i.
Правило умножения 2.71 A) можно записать в форме
(х + iy) (и + iv) = (xu —yv) + i (xv +yu),
что соответствует обычному правилу перемножения двучле-
двучленов с учетом равенства /я=—1.
Для данного z = х -\- iy число х называется вещественной
частью z, а число у называется мнимой частью z\ мы пишем
x — ^slz, y= Imz.
2.73. Комплексные числа z = x-\-iy и z — x—iy назы-
называются комплексно сопряженными.
Справедливы следующие утверждения:
а. Соотношение jz = z равнозначно тому, что z вещест-
вещественно.
-13" 2-И i ' 2 > для любых комплексных z1 и г„.
В. ZjZ2 = ZyZ2 J
Доказательство, (а) Соотношение x-\-iy = x — iy
равносильно ^ = 0, т. е. z = x-\-iy в этом и только в этом
случае вещественно.
(б) Пусть z1 = x1 + iy1, zz = x2 + iyz\ тогда
(в) Аналогично
В частности, из в следует, что справедливо соотношение
г. <xz=az для любого вещественного а.
2.75J § 2.7. комплексные числа 63
2.74. Единственность системы комплексных
чисел.
Теорема. Если в двумерном пространстве /?2 введено
умножение элементов друг на друга, удовлетворяющее акси-
аксиомам 1.22, то в R2 можно найти линейно независимые век-
векторы ft и ft такие, что ft2=ft, gl = —glt Sig2 = g2gi = g2-
Доказательство. В силу аксиомы 1.22 в в /?2 сущест-
существует элемент 1, отличный от 0; положим gi=l. Пусть,
далее,/!—любой вектор, линейно независимый с ft. Мы имеем
/i — ugi + P/i c некоторыми вещественными а и р. Для
вектора /2=/i + T5'i:7t 0 (у вещественно) мы имеем
(Л + ygi)*=f\ + 2Y/i + Y2?i = <*ft + PA + 2yA + Y^i, "если
взять y = — P/2, мы получим /l = (a + Ya)Si- Вещественное
число a-fY2 че может быть равным 0 по 1.47 а. Оно не
может быть также положительным, так как тогда мы полу-
получили бы
(Л - V^+? ft) (Л+K^Ty й) = о
в противоречии с 1.47 б. Итак, а-\- у2 = — б, б > 0. Заменяя
/2 на #8 = -4=/2, находим ft! = (a+^)gl = — ft. Равенства
—gzg\~gv вытекают из того, что ft есть единица.
Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что между любыми двумя дву-
двумерными пространствами с умножением, удовлетворяющим
аксиомам 1.22, можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие с сохранением операции умножения, т. е. соответ-
соответствующие структуры (двумерные пространства с умножением)
изоморфны.
2.75. Автоморфизмы системы комплексных
чисел. Мы видели в 2.59, что единственным автоморфизмом
системы вещественных чисел является тождественный авто-
автоморфизм!—->• ?. Определение автоморфизма области комплек-
комплексных чисел таково: взаимно однозначное отображение z —>- z'
плоскости С на себя называется автоморфизмом, если для
любых z1 и z2 из С и любого вещественного а выполнены
следующие условия:
2)
3) (az) — az[.
64 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ [2.76
Свойства 1) и 3) показывают, что рассматриваемый авто-
автоморфизм является автоморфизмом системы С как двумерного
пространства B.67). Свойство 2) говорит, что этот авто-
автоморфизм должен сохранять операцию .умножения.
Нетождественный автоморфизм системы С можно задать
правилом
+x—iy. A)
Покажем, что система С не имеет других нетождественных
автоморфизмов. Пусть (x-\-iy)' есть элемент, в который
переходит элемент х + iy при некотором автоморфизме.
Из 3) следует, что
так что Г есть единица системы С; в силу единственности
единицы имеем 1'=1. Для любого вещественного х по 2)
х' = (х-1)' = х- Г = х-1 = л", так что автоморфизм оставляет
на месте всю совокупность вещественных чисел. Далее, по 2)
откуда V есть либо i, либо —/ B.72). В первом случае
находим
а во втором
что и доказывает наше утверждение.
Изучение комплексных чисел будет продолжено в гл. 5
E.72 и далее).
2.76. Возможно ли при п >2 для векторов пространства Rn
ввести операцию умножения с выполнением аксиом 1.22 а—д?
Оказывается, нет: существует теорема Фробениуса, согласно
которой- -при п > 2 это сделать невозможно. Мы не будем
останавливаться на доказательстве этой интересной теоремы *).
*) См., например, А. Г. Курош, Лекции по общей алгебре,
гл. 5, § 8, стр. 277 и далее, «Наука», 1962.
2.82] § 2.8. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ГРАФИК 65
§ 2.8. Общее понятие функции. График
2.81. Пусть имеются множество X, состоящее из эле-
элементов х, и множество Y, состоящее из элементов у. Пусть
каким-то способом/каждому элементу х ? X поставлен в соот-
соответствие элемент y?Y; тогда соответствие х—>у (или
y=f(x)) называется функцией с областью определения X
и областью значений Y.
При этом х называется независимым переменным (или
аргументом) функции /(х); у называется зависимым пере-
переменным (или значением) функции.
Подчеркнем, что в определении функции нет надобности,
чтобы каждый y?Y был значением f(x) при некотором
х?Х, и не требуется, чтобы разным значениям х соответ-
соответствовали разные значения у. (Если оба эти условия выпол-
выполнены, то мы имеем дело с взаимно однозначным соответст-
соответствием B.21), которое есть частный случай функции.) Если
область значений Y функции f(x) есть числовая ось /?,
функция f(x) называется числовой функцией. Если Y есть
векторное пространство /?„ (§ 2.6), функция/(л:) называется
векторной функцией.
Если область определения X функции f(x) есть число-
числовая ось R, или расширенная числовая ось R A.91), или
множество Е с R, то f(x) называется функцией веществен-
вещественного переменного.
Если область определения функции f(x) есть множество
натуральных чисел 1, 2, 3, ..., то функция f(x)—иначе
обозначаемая через /(л) или /„—называется последова-
последовательностью точек множества Y. Заметим, что понятие после-
последовательности точек множества не сводится к понятию
подмножества (не более чем счетного): в последователь-
последовательности точки могут повторяться, а в подмножестве—нет.
Так, последовательность Д = а, /2 = а, /3= а, ... (а—фик-
(а—фиксированный элемент множества Y) вовсе не есть то же
самое, что один элемент с; последовательность fx = a,
/а = К* /з=°. Л=&2> Л=а> /в=&з. • • • вовсе не есть счетное
подмножество {a, blt bz, bs, ...} множества Y.
2.82. Введем понятие прямого произведения двух произ-
произвольных множеств. Прямым произведением множеств X и Y
мы назовем множество Р(Х, Y) всех пар (х, у), где
6Ь ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ |2.83
первый элемент взят из множества X, а второй — из множе-
множества Y. Равенство двух пар (х, у) и (х', у') определяется
условиями х' = х, у'=у. Так, вещественная плоскость (R2)
есть прямое произведение двух вещественных прямых.
Фиксируем в множестве Y элемент _у0 и рассмотрим под-
подмножество из всех точек (х,уо)?Р(Х, Y). Это подмножество,
очевидно, эквивалентное подмножеству X, называется слоем
в Р(Х, Y), отвечающим элементу х. Все прямое произведение
Р(Х, Y) является объединением различных слоев, эквивалент-
эквивалентных множеству X (и друг другу).
2.83. Если имеется функция у=/(х) с областью опре-
определения X и областью значений Y, мы назовем ее графиком
подмножество прямого произведения Р(Х, Y), состоящее из
тех пар (х, у), для которых у=/(х). Это определение
в случае ЛГ = /?1 и Y=Rt совпадает с обычным определе-
определением графика вещественной функции числового аргумента.
В практически важных случаях график числовой функции
вещественного переменного представляет собой некоторую
линию на плоскости (л:, у). Если область определения X
функции/(л:) есть плоскость x = (xlt х2), а область зна-
значений есть числовая ось, то график есть некоторое мно-
множество в /?3, которое часто можно представить себе в форме
некоторой поверхности. Если область определения X функ-
функции f(x) есть вещественная ось, а область значений Y есть
плоскость у = (уи у'), то график функции f(x) также есть
множество в Rs; но на этот раз его удобнее представлять
себе как линию (с каждой плоскостью х = const она пересе-
пересекается лишь в одной точке). Все рассмотренные примеры пред-
представляют собой важнейшие объекты математического анализа,
и в дальнейшем они будут систематически рассмотрены.
2.84. Замечание об «однозначных» и «много-
«многозначных» функциях. В силу самого определения 2.81
каждая функция сопоставляет каждому элементу х^Х один
элемент y?Y и в этом смысле «однозначна». Иногда встре-
встречается выражение «многозначная функция» в том смысле,
что каждому элементу х?Х поставлен в соответствие не
один элемент множества Y, а несколько элементов. Можно
было бы расширить определение функции в этом направле-
направлении; однако это привело бы к затруднениям при определе-
ЗАДАЧИ 67
нии действий с такими «функциями», и мы не будем произво-
производить такое расширение. Но кое-где термин «многозначная
функция» будет удобен. А именно, иногда в единой фор-
формуле (например, с целью сокращения записи) объединяют
несколько однозначных функций; такое объединение назы-
называют «многозначной» функцией. Например, «двузначная
функция»
есть просто объединение двух однозначных функций
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что указанные ниже множества являются счетными:
а) Множество всех интервалов а< х < Ь с рациональными кон-
концами.
б) Множество всех коиечно-звенных ломаных на плоскости
с вершинами в рациональных точках.
2. Доказать, что следующие множества или конечны, или счетны:
а) Множество попарно не пересекающихся интервалов, заданных
на оси.
б) Множество замкнутых самопересекающихся линий в форме
восьмерки (заданных на плоскости), не имеющих попарно общих
точек.
в) Множество М вещественных положительных чисел при усло-
условии, что все конечные суммы 2jXj, Xj ? М, ограничены фиксиро-
фиксированным числом А.
Замечание. В. В. Грушнн и В. П. Паламодов доказали
аналогичные утверждения для множества непересекающихся фигур
на плоскости, имеющих тройные точки (как у буквы Т), а также
для множества непересекающихся фигур в пространстве, содержащих
особые точки типа «кнопки» или участки типа «листа Мёбиуса»*).
3. Разложить множество натуральных чисел 1, 2, ... в счетную
совокупность попарно не пересекающихся счетных множеств.
4. (Задача-шутка.) I. Как рассказывал математик X, к нему
как-то в гости пришли его друзья братья N. В передней они сняли
шляпы и повесили их на вешалку. Когда они собрались уходить и
стали надевать шляпы, оказалось, к величайшему конфузу хозяина,
что одной шляпы не хватает. В переднюю за это время никто не
заходил.
II. Когда братья Л' снова пришли в гости к X (в шляпах), онн
опять повесили шляпы на вешалку в передней. Когда они стали,
*) См. Успехи математических наук 17, вып. 3 A05) A962)g
стр. 163—168.
68 ГЛ. 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
уходя, надевать шляпы, одна шляпа оказалась лишней. Хозяин и
гости твердо помнили, что до их прихода иа вешалке не было ни
одной шляпы.
III. В следующий раз гости надели шляпы н ушли, а хозяин,
проводив гостей иа улицу и вернувшись, обнаружил, что шляп на
вешалке оказалось столько же, сколько было до ухода гостей.
IV. Наконец, в четвертый раз гости пришли без шляп, а уходя,
воспользовались шляпами, оставшимися от прошлого посещения.
Проводив гостей, хозяин опять увидел шляпы на вешалке,— столько
же, сколько было до прихода гостей.
Как объяснить все эти парадоксальные события?
5. Если к бесконечному множеству А добавить конечное или
счетное множество J5, то в сумме получится множество, эквивалент-
эквивалентное исходному множеству А.
6. Доказать, что множество / иррациональных чисел и мно-
множество Т трансцендентных чисел имеют мощность континуума.
7. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и
единиц, имеет мощность континуума.
8. Множество всех возрастающих последовательностей ¦ натураль-
натуральных чисел
{Q<)h<h< ... <kn< ... A)
имеет мощность континуума.
9. Множество всех последовательностей натуральных чисел
щ, /п2, .... пгп, ... B)
меет мощ
овательн
Е».
(не обязательно возрастающих) имеет мощность континуума.
10. Множество всех последовательностей вещественных чисел
имеет мощность континуума.
11. Множество всех точек /г-мерного пространства /?„ при любом
я = 1, 2, ... имеет мощность континуума.
12. Множество Е всех функций y=f(x) на отрезке [0, 1] с об-
областью значений из двух различных точек имеет мощность, не рав-
равную мощности континуума.
13. Множество всех подмножеств множества А ие эквивалентно
самому А.
Историческая справка
Основные идеи теории множеств были сформулированы впервые
в конце XIX века в работах Г. Кантора и с тех пор проникли
в самые разные области математики, в значительной мере завершив
формирование ее языка. См. Ф. Хаусдорф, Теория множеств,
ОНТИ, 1937. На рубеже XIX и XX веков обнаружилось, что тради-
традиционная логика в теории множеств приводит к противоречиям. Воз-
Возникшая драматическая ситуация, поставившая под сомнение все
достижения математики, получила разрешение в создании аксиома-
аксиоматических систем теории множеств, где фиксировались не только свой-
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 69
ства объектов, но и допустимые логические средства. См. П. К о э н,
Теория множеств и континуум-гипотеза, «Мир», 1969.
Роль структур в математике подчеркнута Н. Бурбаки в статье
«Архитектура математики» A948)*). Многотомное сочинение Бур-
баки «Элементы математики» (начало выходить с 1939 г.) посвящено
представлению всей математики как системы структур. Но к на-
настоящему времени A969) издание еще далеко не закончено; а так
как, по-видимому, математика неисчерпаема, то оно вряд ли когда-
нибудь и будет закоичено на сколько-нибудь естественном месте.
¦ Многомерные координатные пространства были введены Кэли и
Грассманом A846). Комплексные числа появились значительио раньше,
еще в XVI веке, у итальянских алгебраистов при решении алгебраи-
алгебраических уравнений; в «Алгебре» Бомбелли A579) уже описаны пра-
правила действий с выражениями вида а-\-ЬУ—1. Поскольку в то вре-
время комплексным числам не могли приписать никакого реального
смысла, их называли «мнимыми», «абсурдными» и т. д. до тех пор, пока
Гаусс A797; независимо Вессель 1798, Аргаи 1806) не интерпрети-
интерпретировал их как точки плоскости с соответствующими координатами.
В 1903 г. Фробениус установил несуществование л-мерных прост-
пространств со сложением и умножением, удовлетворяющим всем аксио-
аксиомам 1.21—1.22 при л > 2.
В конце XIX века, с развитием теории множеств, стало ясно,
что и представление комплексного числа а+6 У—1 в виде фор-
формальной пары (а, Ь) ничем не хуже геометрического представления.
Общее определение функции B.81) было сформулировано (для
числовых функций) Н. И. Лобачевским A834) и Дирихле A837), а
«це ранее, но в менее определенной форме, Эйлером A751) и яви-
явилось итогом длительной работы математиков XVIII века; это опре-
определение отделило общее понятие функции от (все расширяющегося
с ходом развития математики) понятия аналитического представле-
представления. См. Н. Н. Лузин, Функция (Собрание сочинений, т. 3, изд.
АН СССР, М., 1959, стр. 319—344).
*) См. Н. Бурбаки, Очерки по истории математики, ИЛ, М.»
1963, стр. 245-259.
ГЛАВА 3
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Единственное, чего в настоящее время не хватает
теории множеств, чтобы занять должное место в ана-
анализе, это общей концепции предельного перехода
Ж. Адамар A900)
Метрические пространства представляют собой одну из
важнейших математических структур. В частности, она
лежит в основе общей теории пределов, излагаемой в гл. 4.
§ 3.1. Определения и примеры
§3.11. Определение. Произвольное множество М не-
некоторых элементов («точек») х, у, ... называется метриче-
метрическим пространством, если: имеется правило, которое позво-
позволяет для любых двух точек х, у указать число р (л:, у)
(«расстояние от х-*до у»), причем это правило удовлетво-
удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам):
а. р (х, у) > 0 при х Фу; р (л:, л:) = 0 для любого х.
б. р (у, х) = р (л:, у) для любых х и у (симметрия рас-
расстояния).
в. р(л:, г)^р(л:, у) + р(у, *) для любых х, у, z («не-
равенство треугольника»).
Неравенство треугольника имеет следующее геометри-
геометрическое происхождение: в элементарной геометрии сторона
xz треугольника xyz имеет длину, не превосходящую суммы
длин двух других сторон ху и yz.
Правило, которое позволяет по паре точек х, у про-
пространства М находить число р (л:, у), называют метрикой
пространства М.
Заметим, что любое подмножество М' с М метрического
пространства М само является метрическим пространством
с той метрикой, которая была задана во всем простран-
пространстве М.
Укажем сразу же некоторые простейшие следствия из
аксиом а—в:
3.12J § 3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 71
г. Для любых элементов хъ ..., хп метрического про-
пространства М имеет место неравенство
(обобщение известной теоремы элементарной геометрии:
замыкающая ломаной имеет длину, не большую, чем сумма
длин звеньев ломаной). Для доказательства последовательно
применяется аксиома в-.
2, xs)-j-...-j-p(xn_lt х„).
д. Для каждых четырех точек х, у, z, v метрического
пространства М имеет место «неравенство четырехугольника»
|Р(*, У)~РB> »)|<Р(«, z) + p(y, v) A)
Действительно, по г мы имеем
Р(х,у)^р(х, z) + p(z, v)-f р (v, у),
р (z, ф)< р (z, х) + р (х, у) + р (у, v),
или
Р(х, у) — р(z, ф)<р(х, zL-р(v, у),
p(z, v) — p(x,y)^p(z, x) + p{y, v).
Правые части этих неравенств совпадают по аксиоме б.
Левые части отличаются знаком; отсюда следует A).
е. Полагая в неравенстве A) v=y, получаем
|р(*. y)-p(z, y)\<p(x, z) B)
(в элементарной геометрии: разность двух сторон треуголь-
треугольника не больше третьей стороны).
3.12. а. Множество В в метрическом пространстве М
называется ограниченным, если расстояния от какой-либо
точки а?М до всех точек Ь?В ограничены фиксированной
постоянной. В этом случае ограничены фиксированной
постоянной и расстояния между любой другой фиксирован-
фиксированной точкой с и всеми точками множества В, а также рас-
расстояния между любыми двумя точками множества В. Все
это следует из неравенства треугольника
р(Ь, с)<р(&, а) + р(а, с).
72 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 13*12
Величина
diamZJ= sup p(x,y)
xtB.yeB
называется диаметром (ограниченного) множества В.
б. Для M — R± (вещественная ось) ограниченность мно-
множества В в смысле а равносильна его ограниченности
в обычном смысле A.66), поскольку в данном случае и
одна и другая означают, что множество В помещается на
некотором (конечном) отрезке.
в. Множество В в метрическом пространстве М назы-
называется неограниченным, если для любого вещественного С
в множестве В существует пара точек х, у с р (л:, у) > С.
В этом случае и для любой фиксированной точки а?М
при любом С можно найти точку х?В, для которой
р (а, х) > С; в противном случае множество В было бы
ограниченным и по доказанному (а) были бы ограничены
расстояния между любой парой его точек.
г. Определения ограниченного и неограниченного метри-
метрического пространства получаются соответственно из а и в
при В = М.
д. Совокупность всех точек х метрического простран-
пространства М, расстояния до которых от данной точки х0 меньше
заданной величины г > О, так что
Р(х, хо)<г,
называется шаром (точнее, открытым шаром) радиуса г;
точка х0 есть центр этого шара. Совокупность всех точек х,
удовлетворяющих неравенству
называется замкнутым шаром радиуса г с центром в л:0.
Наконец, точки, находящиеся точно на расстоянии г от точки
х0, так что
Р (л*. ¦*<))= ri
образуют сферу радиуса г с центром в л:0.
е. Любой шар с центром в точке л:0 называется окрест-
окрестностью этой точки. Точка х0 называется внутренней точкой
множества Е с М, если она входит в Е вместе с некото-
некоторой своей окрестностью.
3.14J § 3.1. определения и примеры 73
3.13. Примеры.
а. Любое множество М на вещественной прямой Rx
является метрическим пространством с расстоянием p(jc, v)=
=\х-у\.
Выполнение условий 3.11 а—в следует из обычных
свойств модуля A.54 б). Если М—вся прямая, то откры-
открытый шар радиуса г с центром в точке х0 есть интервал
\хо—х\<г;
замкнутый шар радиуса г с центром в точке л:0 есть отрезок
\х—хо\^г;
сфера радиуса г с центром в л:0 есть пара точек
б. Точно так же множество М в плоскости R2 или
в трехмерном пространстве Rs является метрическим про-
пространством, если считать расстоянием между точками (для
определенности —в R3) х=A1г |2, ls) и у = (г\и т]а, т]3)
обычное геометрическое расстояние:
Р(х. ^) = F(li-%)a + (Ea-Tla)a + (|3-r]3)a.
Неравенство треугольника (аксиома в) превращается здесь
в обычное геометрическое неравенство: третья сторона
треугольника не больше суммы двух других сторон. Более
общий пример рассматривается в следующем пункте.
3.14. а. Рассмотрим л-мерное вещественное простран-
пространство Rn B.61). Пусть х и у—два любых вектора из Rn,
х = (\х, ..., U, y = (i\i, ..-, т]„). Число
E
A)
называется скалярньш произведением векторов х и у. Число
называется длиной, или нормой, вектора х. Вектор х, для
которого |лг|=1, называется единичным, или нормирован-
нормированным. Наличие скалярного произведения, как мы увидим
74 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.14
далее, позволяет построить в пространстве Rn геометрию
с использованием длин и углов. Пространство Rn со ска-
скалярным произведением A) называют евклидовым п-мерным
пространством.
Определим расстояние между векторами х = (?l7 ..., ?„)
и у = (r\lt ..., т]„) как длину вектора х—у, т. е. по формуле
]*)a- B)
Покажем, что выполнены аксиомы 3.11 а—в. Выполнение
первых двух очевидно; несколько более сложной является
проверка выполнения аксиомы в. Она эквивалентна проверке
неравенства
C)
Действительно, C) получается из искомого неравенства
z) D)
заменой у на —у и г на 0; в свою очередь неравенство D)
получается из неравенства C) заменой х на х—z и у на
—y + z.
Чтобы доказать -C), несколько более подробно рассмот-
рассмотрим скалярное произведение A). Очевидно, оно обладает
следующими свойствами:
1) (х, У) = (у, х);
2) (ал:, у) = а(х, у) для любого вещественного а и лю-
любых х, у из /?„;
3) (х -j-y, z) = (х, z) + (у, z) для любых х, у, z из Rn;
4) (л:, х)^0 для каждого x?Rn.
Мы докажем неравенство C), исходя только из свойств
скалярного произведения 1) — 4). Для этого рассмотрим
выражение
где А = {х, х), В = (л:, у), С = (у, у). По 4) <р(Х)>0 при
всех К ? R. Таким образом, трехчлен <р (К) не может иметь
двух различных вещественных корней, поскольку при нали-
наличии таковых он принимал бы значения разных знаков. От-
Отсюда следует, что величина В2—АС=(х, _уJ—(х, х) (у, у)
3.14]
§ 3.1. определения и примеры
75
(находящаяся под радикалом в формуле решения квадрат-
квадратного уравнения) не может быть положительной. Следова-
Следовательно,
= \х\
откуда
-\у\',
E)
Это неравенство называется неравенством Коши— Буняков-
ского. Далее,
+ +) ( ) + 2х,
откуда следует C).
Таким образом, пространство Rn с введенным в нем
расстоянием A), а также и любое подмножество E<z.Rn с тем
же расстоянием являются метрическими пространствами. Нера-
Неравенство E) в координатах (х = Цг, ..., 1п),у = (%, ..., цп))
принимает 'следующий вид (неравенство Коши):
Аналогично неравенство C) в координатах принимает вид
G)
= (t>1, ..., ?„) принимает
Неравенство 3.11 B) при у = 0,
вид
:/$«.-!
(8)
Все неравенства F) — (8), справедливые при любых вещест-
вещественных 1и ..., |„, %, ..., Т]„, ti, •••. 1„, весьма часто
применяются в анализе в разного рода оценках, даже без
всякой связи с геометрическим источником этих неравенств —
теорией метрических пространств.
Отметим еще полезную цепь неравенств:
max
1 <fe<n
= 1/ 2(^-
У _ 1
<Кл- max |
max | ?ft—i
1 <ft< л
|. (9)
76 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.14
Для доказательства перейдем от очевидного неравенства
к его следствию A.55 е)
Переходя здесь в левой части к максимуму по k, получаем
первое из неравенств (9). С другой стороны, мы имеем
откуда следует и второе из неравенств (9).
б. Как описать в я-мерном пространстве /?„ ограничен-
ограниченные множества? Если множество Лс/?„ ограйичено, то
ограничены фиксированной постоянной расстояния всех то-
точек х = (|lf ..., |„) ? А от какой-либо точки пространства
Rn, например от нуля. Иными словами, существует такая
постоянная Ь, что для всех х € А
Но тогда при каждом k=\, 2, ..., л для х?А также
16* К*, (Ю)
т. е. каждая из координат точек х ? А ограничена на ве-
вещественной оси. Обратно, если множество AczRn таково,
что каждая из координат его точек ограничена на вещест-
вещественной оси, так что существует постоянная Ь, удовлетво-
удовлетворяющая неравенству A0) при всех к=\, ..., п и всех
х ? Л, то и
так что множество А ограничено в пространстве /?„. Итак,
множество AczRn ограничено тогда и только тогда, когда
множество значений всех координат точек х ? А ограничено
на числовой оси.
3-16J § 3.1. определения и примеры 77
3.15. Для метрических пространств как математических
структур можно в соответствии с 2.52 ввести определение
изоморфизма, которое в данном случае называется изомет-
рией. Два метрических пространства называются изометрич-
ными, если между элементами этих пространств можно
установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее
величину расстояния между соответствующими парами эле-
элементов.
Например, два отрезка равной длины на числовой оси
с ее естественной метрикой изометричны, два отрезка раз-
разной длины — не изометричны. Всякая фигура на плоскости
изометрична своему зеркальному отражению относительно
какой-нибудь прямой. Заметим, что в я-мерном пространстве
изометрия, переводящая сумму любых двух векторов х и у
в сумму их образов (линейная изометрия), сохраняет и ска-
скалярное произведение, что следует из равенства
(х+у, х+у) = (х, х) + 2(х, у) + {у, у).
Вот два простых примера изометрических отображений
в себя я-мерного евклидова пространства Rn:
а. Зеркальное отражение относительно плоскости хп = 0:
каждый вектор х = {%1г ..., ?„) переводится в вектор
х'— (?ь •••• ?п-1> —In)-
б. Сдвиг на вектор (J = фъ ..., Р„): каждый вектор
х = (|lt ..., |п) переводится в вектор
Заметим, что при (J ==? 0 это отображение не является
автоморфизмом пространства Rn B.67): оно не оставляет
на месте начало координат.
в. Вообще, если существует изометрическое преобразо-
преобразование л-мерного пространства /?„ в себя, при котором мно-
множество GczRn переходит в множество FczRn, эти множе-
множества Gи/7 называются геометрически равными, в соответствии
с терминологией элементарной геометрии (хотя и не в со-
соответствии с самим определением равенства, которое
в элементарной геометрии дается только для фигур специ-
специального вида).
3.16. Метризация прямого произведения
метрических пространств. Пусть Мг и М2—два
метрических пространства; индексами 1 и 2 будем снабжать
78 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.21
соответственно обозначения метрики и точек этих про-
пространств. Пусть М—МххМ2—прямое произведение мно-
множеств Мх вДB B.82), т. е. совокупность всех пар х = (хг, х2),
хх ? Мх, х2 ? М2. Введем в множестве М метрику по сле-
следующему правилу: если х = (х1, х2), y = (ylt у2), то
Р (х,У) = Р [(*i, *2), (УъУ>2)] = тах {Рх (ХъУг), Р2 (*2, У*)}- О)
Проверим выполнение аксиом 3.11 а—в. Если х=?=у, то
Х\ФУ\ или х2фу2, т. е. рг(хг, уг) > 0 или р2(х2, у2) > 0;
в обоих случаях в силу определения A) и р(х, у)^>0.
Если же х=у, то х1=у1, хг=у%, откуда рг(хг, ^ = 0,
р2 (х2, у2) = 0 и, следовательно, р (х, у) = 0. Таким обра-
образом, выполнена аксиома а. Далее, р(у, х) = тах{р1(у1,х1),
РаСУг. х2)} = тах{р1(х1, ух), pz(x2, ^2)} = p(^, у), так что
выполнена аксиома б. Наконец, пусть z = (zlt z2); оценим
р(х, z)i = max{px(xlt zx), p2{x2, z2)}. Пусть для опреде-
определенности р (х, z) — рг (хъ zx); тогда мы имеем
р (х, z) = рх {xlt «хХр! {xly yj + рг (уъ гх)<р {х,у) + р{у, z),
чем доказано выполнение аксиомы в.
Заметим, что метрика A) на каждом слое (х, z) с фикси-
фиксированным z €М2 B.82) совпадает с метрикой пространства^,
так что каждый слой (х, z) не только эквивалентен, но и
изометричен пространству Мг. При этом формула A)—не
единственный способ введения метрики в прямом произведе-
произведении пространств Мх и М2. Могли бы быть использованы
и другие формулы, например
Р (х, у) = Pi (*i, уд + р2 (х2, у2) B)
или
Р(х, у) = Vpl(xlt У1) + рЪ(х2, у2). C)
Мы предоставляем читателю проверку аксиом метрики
в случаях B) и C).
§ 3.2. Открытые множества
3.21. Множество U в метрическом пространстве М на-
называется открытым, множеством или областью, если каждая
точка д;0 множества U является внутренней точкой этого
множества, т. е. входит в это множество вместе с неко-
3.23] § 3.2. открытые множества 79
торым открытым шаром (радиус которого может зависеть
от точки д;0) с центром в точке д;0.
Так, открытый шар с центром в точке хх
U={x: р(х, хх)<г}
есть открытое множество. Действительно, пусть xo?U,
так что р(х0, х1) = 6<г. Рассмотрим шар Uo с центром
в точке д;0 радиуса г0 < г—0; мы утверждаем, что шар Uo
целиком входит в шар U. В самом деле, для любого x?U0
по неравенству треугольника
П I Y У \ «С~ П ( У У \ -4- Г» (У У \ ^ Г Л- 0 <? Г
что и требуется.
3.22. Теорема. Объединение любой совокупности откры-
открытых множеств и пересечение любой конечной совокупности
открытых множеств снова являются открытыми множествами.
Доказательство. То, что объединение открытых
множеств является открытым, ясно из самого определения
3.21. Остановимся на вопросе о пересечении конечного чи-
числа открытых множеств. Пусть точка х0 .принадлежит
открытым множествам Ux, U2, ..., Um и входит в первое
из них вместе с шаром радиуса гх (с центром в х0), во
второе — с шаром радиуса г2 и т. д.; тогда шар с центром
в д;0 радиуса min^, r2, ..., rm) содержится в каждом из
множеств Ux, ?/2, ..., LJm и, следовательно, содержится и
в их пересечении.
Для бесконечной совокупности открытых множеств при-
приведенное рассуждение не пройдет, так как минимум (вернее,
точная нижняя грань) бесконечного множества положитель-
положительных чисел может быть равным нулю. И действительно,
пересечение бесконечного числа открытых множеств
Un = {x: р(х, хо)<Ц (л=1, 2, ...)
содержит только те точки х, для которых р (х, х0) = О,
т. е., согласно аксиоме 3.11 а, только точку д;0; это пе-
пересечение не является, вообще говоря, открытым множеством.
3.23. На оси —оо < х < оо всякий интервал (а, Р)
(ограниченный или неограниченный) есть, очевидно, откры-
открытое множество. Открытым множеством является также
80 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.23
конечное или счетное объединение интервалов (av, (Js)
(v= 1, 2, ...). Покажем, что каждое открытое множество U
на оси есть конечное или счетное объединение интервалов
без общих точек.
Рассмотрим произвольную точку x?U. Согласно опре-
определению точка х входит в множество U вместе с некото-
некоторым шаром, т.е. вместе с некоторым интервалом оси, содержа-
содержащим точку х. Мы построим сейчас наибольший интервал, со-
содержащий точку х и содержащийся целиком в множестве LJ.
Обозначим через 5 множество точек, лежащих правее х
и не принадлежащих U. Если 5 пусто, то-вся полупрямая
(д:, оо) входит в U. Если множество 5 не пусто, то оно
обладает точной нижней гранью \. Эта точка | заведомо
не входит в U, так как у любой точки множества U есть
окрестность, целиком входящая в С/ и не содержащая тем
самым ни одной точки множества S, а точка |, как точная
нижняя грань множества S, в любой своей окрестности
содержит точки из S. В частности, Ъ,фх. Очевидно также,
что весь интервал (х, ?) входит в U.
Аналогичное построение произведем слева от точки х;
мы получим там содержащийся в U интервал (ц; х), левый
конец которого не входит в U (или этот интервал есть вся
полупрямая (— оо, х)).
Итак, по заданной точке х ? U мы построили интервал
(Л) ?)> принадлежащий множеству LJ и такой, что каждый
его конец, если он не лежит в бесконечности, уже не
входит в множество U. Такого рода интервалы называются
составляющими интервалами открытого множества LJ.
Если два составляющих интервала (%, |х) и (т]2, ?2)
имеют общую точку х0, то они целиком совпадают; дей-
действительно, неравенство, например, |х < |2 невозможно,
так как точка |х, с одной стороны, как внутренняя точка
интервала (д;0, |2) должна принадлежать множеству U,
а с другой стороны, как концевая точка интервала (х0, |j)
она не может входить в U. Поэтому все множество U есть
объединение составляющих интервалов, не имеющих попарно
общих точек. Такое объединение не может быть более чем
счетным, поскольку в каждом из составляющих интервалов
множества U можно выбрать по рациональной точке A.75),
а множество всех рациональных точек—счетное множество
{2.34). Тем самым наше утверждение полностью доказано.
3.32J § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 81
§ 3.3. Сходящиеся последовательности
и гомеоморфизм
3.31. Сходящиеся последовательности. Рас-
Рассмотрим последовательность {хп} = {х1, ..., хп, ...} то-
точек метрического пространства М. Будем говорить, что
эта последовательность сходится к точке х ? М (и обозна-
обозначать этот факт символом хп —+ я), если для любого е > О
можно указать такое натуральное N, что при каждом n^N
выполняется неравенство
р{х, хп)<г.
Иначе говоря, последовательность хп сходится к х,
если в любой шар с центром в точке х попадают все точ-
точки этой последовательности, начиная с некоторой (и тем
самым вне этого шара остается лишь конечное число ее
точек).
При этом точка х называется пределом последователь-
последовательности хп, что обозначается символом *)
х— lim xn.
п -*¦ да
Символ хп—+х читается «х„ сходится к ху> или, под-
подробнее, «при п—+оо последовательность х„ сходится к х
по метрике р». Если для данной последовательности х„ не
существует точки х, для которой было бы справедливо
соотношение хп —+¦ х, последовательность хп называется
расходящейся.
3.32. Примеры.
а. Если М есть числовая ось, M=R, с метрикой 3.13 а,
р(х, у) = \х—у\,
то определение 3.31 приобретает следующий вид: последо-
последовательность вещественных чисел xlt x2, ... сходится к
числу х, если для любого е > 0 можно указать такое N,
что при каждом я > N выполняется неравенство
\х — хп\<е.
*) limes—предел (лат.|
82 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА {3.32
Так, последовательность точек хп =— (я=1, 2, ...)
на числовой оси (с ее метрикой 3.13 а) сходится к точке
д: = 0: действительно, для заданного е>0 возьмем нату-
натуральное 7V> —; для каждого n~^N имеем 0 < х = — <1
^ -JT- < е, так что соответствующие точки хп попадают в
шар радиуса е с центром в точке д: = 0.
б. Покажем, что из соотношений д: = Итд:п, y — limyn
П -> СС П -> СО
в метрическом пространстве М следует соотношение р (х, у) =
= lim p (хп, уп) на числовой оси. (Это свойство называют
иногда «леммой о непрерывности расстояния».)
Для заданного б >• 0 найдем номер N так, чтобы при
п >• N выполнялись неравенства
Р (х, хп)< i, р (у, уп)< ±;
тогда по неравенству четырехугольника 3J/ A) при этих
же л>Л/
\р(х, у) — р(хп, уп)\<:Р{х, х„) + р(у, у„)<е,
что и требуется.
в. Хотя общая теория пределов рассматривается в гл. 4,
нам уже здесь понадобятся некоторые простые свойства
сходящихся числовых последовательностей. Прежде всего
покажем, что для числовых последовательностей хп, уп из
соотношений
x = \m\xn, y = \imym х„^уп (п=1, 2, ...)
следует неравенство
Действительно, допустим, что х >_у, и пусть е = х—у >0.
Найдем такой номер N, что при л > N выполняются нера-
неравенства
Тогда
хп> х — т=
в противоречии с предположением, и утверждение доказано.
3.32] § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 83
г. Проверим, что для числовых последовательностей хп, уп
из соотношений
у
следует, что
= lim(xn+yn).
Найдем для заданного е > 0 номер N так, чтобы при
выполнялись неравенства
\x—xn\<Y, \y—yn\<j-
Тогда при этих же я > N выполняется и неравенство
что и требуется.
д. Для трех числовых последовательностей х„, уп, zn из
соотношений
= limxn, y = limyn, z = limzn, xn+yn^zn (л=1,2, ...
П -»¦ OD Л -* СО П -»¦ СО
следует неравенство
этот факт непосредственно вытекает из в и г.
е. Пусть М есть /к-мерное вещественное пространство
с метрикой 3.14 B): если х = (\х, ..., |J, j; = (%, • • •. Чт),
то
Утверждается, что сходимость последовательности век-
векторов хп = Aп1, .... |ВЯ|) к еекгорг/ д; = (|lt ... , %m) рав-
равносильна сходимости m числовых последовательностей
Действительно, пусть выполнены предельные соотноше-
соотношения A). Для заданного е > 0 мы можем найти такой номер 7V,
что при каждом п^> N выполняются все неравенства
it е I s- e IF р | -^ Б
I Snl Si I \ у- > • • • i I SniB Sib I \ у— »
84 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.33
так что и
max
k
V т'
Для этих же я > N в силу второго из неравенств
3.14 (9) имеем
„,.*)=]/ Д(^-
Р (*„,.*)=]/ Д(^-Уг< K«max|inA-|ft|< в,
так что д;„—>д: по метрике пространства Rm.
Обратно, пусть хп—»¦ х по метрике пространства Rm.
Для заданного е > 0 найдем такой номер N, что при каж-
каждом я > N выполняется неравенство
Но тогда в силу первого из неравенств 3.14 (9)
так что каждая последовательность |nft сходится к числу
|Л(А=1, ... , /я), .что и требовалось.
3.33 а. Проверим, что если последовательность хп схо-
сходится, то только к одному единственному элементу простран-
пространства М. Пусть хп —*¦ х и вместе с тем хп —у у. Тогда для
заданного е > 0 мы найдем номер N, начиная с которого
выполняются оба неравенства
Р{х, хп)<е, р(у, хп)<г,
откуда по неравенству треугольника
Р (х, У)<Р (х, хп) + р (хп, у) < 2е.
Так как е>0 произвольно мало, то по 1.57 р(х, у) = 0,
откуда в силу аксиомы 3.116 х—у, что и требуется.
б. Покажем, что если последовательность xlt x2, ...
сходится, то она ограничена в пространстве М; иначе гово-
говоря, числа р (хп, Ь), где Ь — какой-нибудь элемент простран-
пространства М, образуют на числовой оси ограниченное множество
(ср. 3.12 а).
3.341 § 3.3. сходящиеся последовательности 85
Действительно, пусть р = 1\тхп; найдем для какого-ни-
будь е > 0, например для е = 1, такое число N, что при
я > N выполняется неравенство р (хп, /?)<е=1. Пусть,
далее, D = max{p(x1, р), .... p(xN, p)}. Тогда при лю-
любом л= 1, 2, ... мы имеем р (хп, /?)<[max{l, D), что и до-
доказывает ограниченность последовательности хг, дг2, ...
3.34. Гомеоморфизм метрических прост-
пространств. Во многих вопросах анализа играет роль не явное
выражение метрики пространства, а только то, какие после-
последовательности точек при данной метрике являются сходя-
сходящимися и какие—расходящимися. В связи с этим введем
следующее определение:
а. Два метрических пространства М и М" называются
гомеоморфными, если между их точками можно так устано-
установить взаимно однозначное соответствие, что из сходимости
Хп —»¦ х' в М следует сходимость соответствующих точек
х'п —»¦ х" в М" и, обратно, из сходимости х„ —*¦ х" в М"
следует сходимость соответствующих точек х'п —>- х' в М'.
Указанное взаимно однозначное соответствие называется
гомеоморфизмом.
б. Следующая теорема дает критерий того, что неко-
некоторое взаимно однозначное соответствие между точками
метрических пространств является гомеоморфизмом.
Теорема. Пусть ~ есть взаимно однозначное отображе-
отображение метрического пространства М с метрикой р' (л;', у') на
метрическое пространство М" с метрикой р"(х", у"). Отобра-
Отображение ~ тогда и только тогда есть гомеоморфизм, когда
для любого х' ? М и любого е' > 0 существует такое е" > О,
что отображение ~ переводит шар {у" ?М":р" (х", у") < е"\
в шар {у' ?М':р' (х', у') < е'}, и, наоборот, для любого
е" > 0 существует такое е' > 0, что отображение ~ пере-
переводит шар {у' ?М':р' (х1, у') < е'} в шар
Доказательство. Пусть отображение ~ есть гомео-
гомеоморфизм, так что для любой последовательности х'п—>-х'
мы имеем х'^ —¦¦ х" и обратно. Фиксируем точку х' € М'
и число е' > 0. Если не существует числа ё", о котором
говорится в формулировке теоремы, то для любого п= 1,2, ...
шар {у"?М":р" (х",у")<11/л} при отображении ~ переходит в
86 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3-34
множество, имеющее точки вне шара \у' ? М': р' (х', у') < е'}.
В частности, для любого я=1, 2, ... мы можем указать
точку yl g М", для которой р" (х", у'п) < — , р' (л:', ^) >е'.
Таким образом, у„—->х", но у'п не сходится к х', что про-
противоречит предположению о гомеоморфности отображения ~.
Следовательно, по данному е' > 0 можно найти е", о
котором говорится в формулировке, если отображение ~
есть гомеоморфизм. Меняя местами в этом _ рассуждении
ЛГ и М', по данному е" > 0 мы сможем найти требуемое е'.
Обратно, пусть для любого х' ? М' и любого е' > О
можно найти нужное е". Покажем, что из х"п ->- х" сле-
следует xjj-»-*'. Возьмем произвольно е' > 0, найдем соответ-
соответствующее е" и затем номер N такой, что при n^N выпол-
выполняется неравенство р" (х"п, х") < е". Применяя отображение ~
и пользуясь предположением, получаем р' (х'п, х') < е'. Таким
образом, х'п -*¦ х'. Проводя то же рассуждение от М" к М',
получим, что из х'п -* х' следует х"п -*¦ х". Теорема доказана.
в. Можно устанавливать различные метрики на одном и том
же множестве Е, превращая его тем самым в различные
метрические пространства. Будем называть две метрики р' (х, у)
и Р" (*! У) на одном и том же множестве Е гомеоморфными,
если тождественное отображение х~х является гомеомор-
гомеоморфизмом получающихся метрических пространств М' и М".
г. Применяя для ситуации, описанной в в, критерий б,
получаем следующую теорему:
Теорема. Две метрики р' и р", заданные на одном и
том же множестве Е, гомеоморфны тогда и только тогда,
когда для любого х?Е и любого е' > 0 существует такое е",
что шар {у: р" (х, у) < е"} содержится в шаре {у: р' (х, у) < е'},
и наоборот, для любого е" > 0 существует такое е', что шар
{У'-р'(х, У) < ъ'\ содержится в шаре {у:р" (х, у)<е"\.
д. В качестве примера рассмотрим три метрики на пря-
прямом произведении М метрических пространств М, и Л42 C.16):
(х, у)=р1{х1,
V
{x2, у2).
Все они гомеоморфны на М. Это вытекает из справедли-
справедливости неравенств
max {a, fc}< V а? + *>2< a-\-bs^2max{a,b\ A)
3.351
§ 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
87
для любых неотрицательных чисел а и Ъ. Более подробно:
пусть, например, а^.Ь; тогда
max {a, b\ = b = yF < У а? УЖ
= a +
откуда и вытекает A).
{с, Ь),
3.35. Мы введем, далее, метрику на расширенной число-
числовой оси R A.91), гомеоморфную на множестве — оо <я <оо
обычной метрике 3.13а. Для этого вначале рассмотрим одну
специальную функцию.
а. Рассмотрим функцию переменного х,— оо < х < оо:
Дополним ее определение условиями
/(_«>)=-1, /( + оо)=+1,
так что функция f(x) определена на расширенной вещест-
вещественной оси R. График функции/(jc) представлен на рис. 3.1.
У
1
-1
о
Рис. 3.1.
В б, в и г мы выведем некоторые нужные нам неравенства,
связанные с этой функцией.
б. Очевидно, что/(х) > 0 при х > 0 и/(х) < 0 при х<0,
а /@) = 0. Далее, при любом конечном х мы имеем
C)
( — x)=—f(x) и
в. Покажем, что для любых х и у из R
\f(x)-f(y)\<\x-y\.
При х j> 0, у j> 0 мы имеем
88 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.35
При я^О, у^О таким же образом
При дг^О, у^О мы имеем
наконец, при xj>0, у^О по предыдущему
что и требуется.
г. Пусть для некоторых хид>иО<6<1 мы имеем
Тогда
1*-у|<-р-|/(*)-/Ы1- D)
Для доказательства сначала разрешим A) относительно jc.
При х ^ 0, когда | д: [ = д:, мы имеем
v_
при д:^0, когда \х\=—х, мы имеем
r_
Таким образом, при
\х „1-1 /W
Если д: ^ 0, у ^ 0, то — .v ^ 0, —у ^ 0 и по преды-
предыдущему
3.35] § 3.3. СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 89
Если х^.0, у^О, то
«S id1/М I + /WJ = -jrl/M-
если а: ^ 0, у ^ 0, то по предыдущему
что и требуется.
д. Теперь рассмотрим на расширенной числовой оси R
A.91) следующую числовую функцию г(х, у) от пары точек
х, у:
r(x, y) = \f(x)-f(y)\. E)
Здесь f(x)—функция, введенная в а.
Теорема. Функция г(х, у) E) есть метрика на R; на
множестве R конечных точек — оо <¦ х •< с» она гомеоморфна
обычной метрике
р(х, у) = \х-у\. F)
Геометрический смысл метрики г (х, у) легко усмотреть
из,рис. 3.1. Именно, в качестве нового расстояния г(х, у)
между точками х и у горизонтальной оси принята длина
соответствующего отрезка вертикальной оси [/(*), /(у)].
Доказательство теоремы. Проверим выполнение
аксиом 3.11 а — в. Выполнение аксиомы б (аксиомы симмет-
симметрии) следует непосредственно из определения E). Выполне-
Выполнение аксиомы а (г(х, у) равно 0 при х=у и положительно
при хф-у) следует также из определения и из неравен-
неравенства C). Выполнение аксиомы в (аксиомы треугольника) сле-
следует из неравенства
= r(x, y)-\-r(y, z).
Проверим, что на множестве R конечных точек метрики
г(х, у) и р (лг, у) гомеоморфны.
Пусть хп -»- х по метрике F). Для заданного е > 0 най-
найдем такой номер N, что при п j>Довыполняется неравенство
90 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3-35
\хп—д:|<е. Тогда по неравенству C) для тех же n^N
Г{Х„, Х) = \/(ХП)-/(Х)\^\ХП-Х\<Е,
так что хп -> х и по метрике E).
Пусть теперь хп -*¦ х по метрике E). Мы имеем \f(x) | < 1;
положим |/(х)|=1—26, 0<6<-?-. Для заданного е>0
найдем номер N так, чтобы иметь при
r(xn, x)-|/(xn)-/(x)|<min(e, б)-82.
Тогда при этих же п
и так как также |/(jc)|=1—2б<1—б, можно применить
неравенство D):
Р(*„. *)=!*« — *К бг1/(*в)—/(*)|<и1п(в, 6)<е.
Следовательно, хп -*- х и по метрике F). Теорема доказана,
е. Что представляет собой в метрическом пространст-
пространстве R с метрикой E) шар радиуса с > 0 с центром в точке оо?
По определению это есть совокупность тех х € R, для ко-
которых выполнено неравенство
G)
Ограничимся наиболее важным случаем, когда с мало, с^1.
Тогда, поскольку для х < 0 значения f(x) отрицательны и
/(оо)—f(x) > 1, неравенству G) могут удовлетворять лишь
значения х ^ 0. Неравенство G) теперь принимает вид
1 х 1 ^
или, что то же,
.54-..
Итак, искомый шар {х:г(х, оо)^с} есть промежуток
l^.v^oo. Аналогично шар радиуса с^1 с центром
С
в точке —оо есть промежуток —oo^jc^ f-1.
3.411 § 3.4. предельные точки 91
В частности, последовательность точек 1, 2, 3, ... в про-
пространстве R попадает, начиная с некоторого номера, в любой
шар с центром в точке оо, так что в пространстве R мы
имеем
lim n= оо;
в то же время указанная последовательность в пространстве
R, очевидно, никакого предела не имеет.
ж. Следует отметить, что пространство R с метрикой
E) изометршно отрезку [—1, 1] с его обычной метрикой.
Соответствие R ~ [—1,1 ] осуществляется по правилу x~f(x);
оно по нашему построению взаимно однозначно, и расстояние
между точками х, y?R по метрике E) равно обычно-
обычному расстоянию между соответствующими точками f(x)
и /(у).
Отбрасывая здесь крайние точки (—оо и оо простран-
пространства R и —1, -\-1 отрезка [—1, 1]), получаем изометрич-
ность вещественной оси R с метрикой E) и интервала
(—1, 1) с его обычной метрикой. Используя д, получаем,
что метрическое пространство R с его обычной метрикой
гомеоморфно интервалу (—1, 1), — факт, который, впрочем,
легко проверить и непосредственно.
§ 3.4. Предельные точки
3.41. Пусть снова {хп) есть последовательность точек
метрического пространства М. Будем говорить, что точка
у?М есть предельная точка последовательности {хп\, если
для любого е>0 и любого натурального ./V можно найти
такой номер n^N, для которого
р(у, х„)<е.
Иначе говоря, точка у является предельной точкой по-
последовательности хп, если в любой шар с центром в у
попадают точки последовательности с произвольно большими
номерами, хотя, быть может, и не все точки с номерами
^Л/, как у сходящейся последовательности. Сходящаяся
последовательность хп—>х имеет, очевидно, точку х своей
предельной точкой, а других предельных точек уже не имеет
92 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.42
(доказательство аналогично приведенному в 3.33 а). Несхо-
Несходящаяся последовательность может не иметь предельных
точек, а может их иметь в любом количестве. Так, после'
довательность точек х„ = (—l)n(l-|—] на числовой оси
(с ее обычной метрикой) имеет две предельные точки —1
и -f 1 (и не сходится ни к одной из них); последователь-
последовательность хп = «(-»" имеет одну предельную точку у = 0, но не
сходится к ней; а если записать в единую последователь-
последовательность все рациональные точки оси B.34), то любая точка
оси будет предельной для этой последовательности.
3.42. При наличии у последовательности х1г ..., хп, ...
предельной точки у из последовательности хп всегда можно
выбрать подпоследовательность, сходящуюся к у. Именно,
еслид» есть предельная точка последовательности хп, то для
каждого т в последовательности хп существует точка
•xnm(/zm>wm-i). Для которой р (у, хПт)< — ; подпоследова-
тельность, составленная из точек хП1, хПг, ..., очевидно,
сходится к точке у. Обратно, если у некоторой последова-
тельностид:пимеетсяподпоследовательность хПт(т—\, 2,..,),
сходящаяся к какой-д-о точке у ? М, то эта точка у, оче-
очевидно, есть предельная точка для всей последовательности хп.
Таким образом, мы получаем второе определение предельной
точки: точка у есть предельная точка последовательности хп,
если у последовательности хп имеется подпоследователь-
подпоследовательность, сходящаяся к точке у.
3.43. Второе из приведенных определений предельной
точки опирается только на понятие сходящейся последова-
последовательности. Так как гомеоморфизм метрического простран-
пространства М в метрическое пространство М' сохраняет сходя-
сходящиеся последовательности, мы приходим к выводу: если
точка у?М является предельной для последовательности
хп?М, а пространство М' гомеоморфно пространству М, то
точка у' ?М', соответствующая точке у?М при рассматри-
рассматриваемом гомеоморфизме, является предельной для последова-
последовательности соответствующих точек х'п?М'.
В частности, если на одном и том же множестве М
введены две различные, но гомеоморфные метрики р и р'
3.44] § 3.4 предельные точки 93
и точка у? М является предельной точкой последователь-
последовательности хп по метрике р, то она является предельной точ-
точкой последовательности хп и по метрике р'.
3.44. а. Пусть А есть подмножество метрического про-
пространства М. Будем говорить, что точка у ?М есть пре-
предельная точка подмножества А, если в любой окрестности
Vr (_)>) = {х: р (х, у) < г} точки у можно указать точку х?А,
отличную от самой точки у.
Приведенное определение предельной точки подмножества
по форме несколько отличается от определения предельной
точки последовательности; это объясняется тем, что по-
последовательность точек множества есть иное понятие, чем
подмножество, поскольку в последовательности точки могут
повторяться, а в подмножестве—иет (ср. 2.81). Так, точки
О и 1 являются предельными точками последовательности
О, 1, 0, 1, ..., но не являются предельными точками мно-
множества из двух точек 0 и 1.
Однако выводы 3.42 и 3.43, относившиеся к предельным
тачкам последовательностей, справедливы и для предельных
точек подмножеств. Если у есть предельная точка множе-
множества АсМ, то из множества А можно выбрать последова-
последовательность различных точек, сходящуюся к у (тем же приемом,
что и в 3.42); и обратно, если из множества А можно
выбрать последовательность различных точек, сходящуюся
к некоторой точке у ? М, то эта точка у является предель-
предельной для множества А. Отсюда следует сохранение предель-
предельных точек множества А при гомеоморфизме метрического
пространства М (в силу 3.43).
б. Пример. Пусть множество А на вещественной оси
ограничено сверху (снизу), и пусть ? = sup.<4 (r\~\nlA) не
входит в множество А; покажем, что ? (ц) есть предельная
точка для множества А.
Проведем доказательство для точки ? = supA В силу
самого определения точной верхней грани для любого п =
= 1, 2, ... существует точка хп?А такая, что ? <
<лгп^?. Поскольку, по условию %,?А, мы имеем хпф\.
Число ?, таким образом, оказывается предельной точкой
множества А, что и требовалось.
94 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.45
3.45. Желательно иметь общие предложения, позволяющие
судить о существовании предельных точек у достаточно
широкого класса множеств или последовательностей. Полез-
Полезным предложением такого рода является следующая теорема:
Теорема («принцип Больцано—Вейерштрасса»). Каж-
Каждое бесконечное множество точек на отрезке [с, b]cR имеет
хотя бы одну предельную точку.
Доказательство. Если на некотором отрезке [с, d]
имеется бесконечное множество Е, то хотя бы на одной из
двух половин с, —|— и l-if-, d отрезка [с, d] имеется
бесконечное подмножество множества Е. Пользуясь этим
очевидным соображением, мы, отправляясь от отрезка
[а, Ь] = Аг с заданным на нем бесконечным множеством то-
точек А, построим последовательность вложенных отрезков
Д1зД2:э • • -1 гДе каждый последующий составляет половину
предыдущего и несет на себе бесконечное подмножество
множества А. По принципу Кантора 1.81 у этих отрезков
имеется общая точка д:0; покажем, что она является пре-
предельной для множества А. Возьмем любой интервал V с
центром в точке д:0, скажем, длины б > 0. Пусть л таково,
что длина отрезка Д„ меньше -^; включая в себя точку д;0|
он целиком содержится в интервале V. Вместе с отрезком А„
в интервал V попадает бесконечное число точек множества А;
следовательно, х0 есть предельная точка множества А, что
и требовалось.
3.46. Аналогичное предложение справедливо для после-
последовательностей:
Теорема (принцип Больцано—Вейерштрасса для после-
последовательностей). Каждая последовательность точек на от-
отрезке [а, Ъ\ имеет хотя бы одну предельную точку.
Доказательство повторяет приведенное в 3.45 с учетом
того факта, что в последовательности точки могут повто-
повторяться.
3.47. На всей вещественной оси R имеются бесконечные
множества без предельных точек (например, 1, 2, 3, ...).
Но на расширенной вещественной оси R, метризованной по
правилу 3.35 д, снова каждое бесконечное множество обла-
3.51] § 3.5. замкнутые множества 95
дает предельной точкой; это следует из того, что R изо-
метрично отрезку [—1, 1] с его обычной метрикой C.35 ж),
а свойство точки быть предельной сохраняется при изоме-
изометрическом отображении (и даже при гомеоморфизме, как мы
видели в 3.43).
3.48. Следующее утверждение дает достаточное условие
отсутствия предельных точек:
Последовательность хг, х2, ..., у которой все расстояния
р (хт, хп) ограничены снизу положительной постоянной С,
так что р (xm, xn) ^ С, не имеет ни одной предельной точки.
Действительно, пусть у есть предельная точка последо-
последовательности хп; в этой последовательности заведомо имеются
С С
такие точки хт и х„, тфп, что р (у, -О < у > Р (у, хп)< у ,
а тогда
Р (Хт> Хп) < Р (Хт, У) + Р (.У. Хп) < С
в противоречии с предположением.
§ 3.5. Замкнутые множества
3.51. Определение. Множество FcM называется
замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Примеры, а. Отрезок а^.х ^.Ь замкнут на вещест-
вещественной прямой, а полуинтервал а ^ х < b не замкнут, так
как его предельная точка b не принадлежит ему.
б. В любом метрическом пространстве шар
U={x:p(x, xo)<r}
есть замкнутое множество (поэтому он и называется замкну-
замкнутым шаром).
Действительно, возьмем любую точку xlt не принадле-
принадлежащую шару U, так что р (х0, х1) = г1 > г. Мы утверждаем,
что в шаре с центром в точке хг и радиусом у (гг — г) нет
точек шара U: если бы такая точка нашлась, то, обозна-
обозначив ее через z, мы имели бы
р(х0,хх)<р (ж0,г) + р {xlt0)<r + -i (rx—г) =
96 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3,52
в противоречии с равенством р (х0, хг) = rx. Поэтому точка
хг ие может быть предельной точкой для множества U.
3.62. Замкнутые множества в метрическом пространстве
М тесно связаны с открытыми множествами этого простран-
пространства. Именно, имеет место следующая теорема:
Теорема. Множество U, дополнительное в метрическом
пространстве М к замкнутому множеству F, всегда открыто.
Множество F, дополнительное к открытому множеству U,
всегда замкнуто.
Доказательство. Пусть F—замкнутое множество
и U—его дополнение; покажем, что U открыто. Рассмотрим
произвольную точку д;0 ? U-, мы должны показать, что имеет-
имеется шар, определяемый неравенством вида
р {х, х0) < г,
целиком входящий в множество U.
Допуская противное, мы должны предположить, что в
любом шаре с центром в точке х0 имеются точки множе-
множества F. Но тогда, согласно второму определению предель-
предельной точки, точка х0 является предельной для множества F.
Так как F замкнуто, то мы должны были бы иметь д;0 ? F,
что противоречит предположению xo?U. Итак, U открыто.
Переходим ко второй половине теоремы. Пусть множество U
открыто и F—его дополнение; покажем, что F замкнуто.
Любая точка х0, принадлежащая U, входит в U вместе с
некоторым шаром и поэтому не может быть предельной
точкой множества F. Таким образом, предельные точки
множества F могут быть только в самом F, и следовательно,
F замкнуто. Теорема доказана.
3.53. а. Вспоминая 3.23, мы получаем общее описание
всех замкнутых множеств на прямой —оо < х < оо: каждое
замкнутое множество на прямой получается удалением ко-
конечной или счетной совокупности интервалов без общих точек.
Выбрасываемые интервалы, которые служат составляющими
интервалами дополнительного открытого множества, назы-
называются смежными интервалами данного замкнутого множества.
б. Ограниченное сверху (снизу) замкнутое множество А
всегда содержит свою верхнюю (нижнюю) точную границу:
в предположении противного эта точная граница была бы
3.61J § 3.6. ВСЮДУ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ 97
предельной точкой для А C.446) и множество оказалось бы
незамкнутым.
3.54. Используя известные нам свойства открытых мно-
множеств в метрическом пространстве C.22) и указанную только
что связь между открытыми и замкнутыми множествами, мы
можем утверждать, что объединение конечного числа замк-
замкнутых множеств и пересечение любой совокупности замкну-
замкнутых множеств суть снова замкнутые множества.
Действительно, пусть даны замкнутые множества Fy
(v Пробегает некоторую совокупность индексов) и пусть
Uy—дополнительные открытые множества. По формуле 2.12A)
мы имеем
Множество 2^Ai открыто, поэтому дополнительное к нему
¦у
множество II Fv замкнуто.
V
Если v пробегает конечную совокупность индексов, то
Ц ?/v, согласно 3.22, есть открытое множество; по фор-
v
муле 2.12B)
V V V
поэтому 2Л> замкнуто, что и требовалось.
§ 3.6. Всюду плотные множества и замыкания
3.61. Всюду плотные множества. Множество А
в метрическом пространстве М, по определению, распола-
располагается всюду плотно по отношению к множеству В с М,
если всякая точка х?В или сама входит в А, или является
предельной точкой для А. Иными словами, А располагается
всюду плотно относительно В, если в любом шаре с цент-
центром в точке х ^ В имеется точка у ? А.
Если при этом АсВ, то говорят, что А всюду плотно
в В. Так, множество рациональных точек всюду плотно на
числовой оси —оо < л: < оо, множество точек (ги ..., г„)
с рациональными координатами всюду плотно в и-мерном
евклидовом пространстве.
98 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.62
3.62. Свойство «всюду плотности» обладает транзитив-
транзитивностью в следующем смысле: если множество А расположено
всюду плотно относительно множества В, а множество В,
в свою очередь, расположено всюду плотно относительно
множества С, то А расположено всюду плотно и относи-
относительно С. Действительно, для заданного е > 0 и заданной
точки z?C мы можем найти точку у?В такую, что
р{у, z) < тг; затем мы можем найти точку х?А такую, что
Р (*> УХ "§" > в итоге при любом е > 0 мы можем найти по
заданной точке z ? С такую точку х 6 А, что р (х, z) ^
<аР(*> У) т-р{у, z) < е. Это и означает, что А всюду плотно
относительно В.
3.63. Замыкания. Пусть А — множество в метриче-
метрическом пространстве М; обозначим через А множество, состоя-
состоящее из всех точек множества А и всех предельных точек
множества А. Множество А называется замыканием множе-
множества А. Если А — замкнутое множество, т. е. А содержит
все свои предельные точки, то А = А. В общем случае Az>A.
Если А —А, то это означает, что все предельные точки
множества А вхойят в А и, следовательно, А замкнуто.
Таким образом, высказывания «Л замкнуто» и «Л = Л» рав-
равносильны. Если известно, что AczA, то, учитывая, что всегда
AzjA, мы имеем А = А, так что А замкнуто.
3.64. Покажем, что замыкание любого множества А всегда
есть замкнутое множество. Заметим вначале, что в силу
самих определений всякое множество всюду плотно в своем
замыкании. В частности, А всюду плотно в А, А всюду
плотно в своем замыкании А. Но тогда, в силу транзитив-
транзитивности свойства всюду плотности, А всюду плотно в А, т. е.
каждая точка множества А есть или точка множества А,
или предельная точка множества А. Отсюда AczA, и, сле-
следовательно, А замкнуто.
Так, замыкание множества рациональных точек на оси
— оо < х < с» совпадает со всей осью.
3.66J § 3.6. ВСЮДУ ПЛОТНЫЕ МНОЖЕСТВА И ЗАМЫКАНИЯ 99
3.65. Покажем, что замыкание А ограниченного множе-
множества А есть ограниченное множество и diatn A = diam A.
Так как Ас А, то diam A ^ diatn А. Далее возьмем в мно-
множестве А произвольно точки х и у и для заданного е > О
найдем такие точки х?А, у?А, что р(х, хХ-%,
P^jKf Тогда
, х) + р(х, у) + р(у, у)< у
откуда
diam A = sup р (х, у) ^ е -f- diatn A,
и, поскольку е > 0 произвольно,
diam A ^ diam Л.
В соединении со сказанным выше получаем, diam A = diam A,
что и утверждалось.
3.66. Пусть F—замкнутое множество и Gz^F—область
в метрическом пространстве М. Покажем, что существует
такая область Н Z3 F, содержащаяся в области G вместе со
своим замыканием, что
FcHcHcG.
Для доказательства обозначим через d(x) расстояние от
точки х 6 G до внешности области G, т. е. величину
d{x)= ini p{x, у).
уеМ-0
Для каждого x^G величина d (x) положительна, поскольку
точка х входит в область G вместе со своей окрестностью.
Положим множество Н равным объединению всех открытых
шаров с центрами в точках х ? F и радиусами, равными
¦Tj-d(x). Очевидно, что FczH; по 3.22И—область. Покажем,
что замыкание Н множества Н содержится в области G.
Предположим противное: существует точка у ? И П (М—G),
100 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.67
Найдем последовательность zn?H, zn—>-y и последователь-
последовательность xn?F с р{хп, гп)^-?й(хп)- Мы имеем
Отсюда
d (*„) < 2р Bг„, .у), p (х„, у) < 2р {г„, у),
так что _у = litn х„ ? ¦fc G. Мы получаем противоречие с пред-
предположением у ? Ж— G. Итак, Л/с G, что и требовалось.
3.67. В частности, если F ограничено C.12а), то функ-
функция d(x) допускает оценку (х0—фиксированная точка F)
d(x)= inf p{x, jr)<
J6M-G
inf [р(д;, д;0) + р(д;0, .y^^diamF+rf^o). A)
MG
Поэтому множество Н, построенное в 3.66, ограничено вместе
с множеством F, так как из определения И и из A) сле-
следует, что
diam Я< diam F+ 2 sup rf (jc)< 3 diatn F+ 2d (x0).
F
§ 3.7. Полные пространства
3.71. а. Последовательность точек xt, x2, ... метриче-
метрического пространства М называется фундаментальной, если
для любого е существует номер Af такой, что для v^TV и
|x^7V выполняется неравенство р (xv, х^)^.е.
б. Любая сходящаяся последовательность xlt х2, ...—»- х
является фундаментальной: действительно, по неравенству
треугольника
P(*v» V^P^»- л;) + р(дг, xj,
н если jcv —*¦ х, то правая часть для достаточно больших
v и (J. становится меньше любого заданного е > 0.
в. Любая фундаментальная последовательность хг, х2, ...
ограничена. Для доказательства найдем номер N так, что
при v^Wh ji^sAf выполняется неравенство р (jcv,
Тогда для любого v=l, 2, ... мы имеем
max{p(xlt xN), ..., p(xN_lt xN)\
3.72J § 3.7. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 101
так что расстояния от точек xlt х2, ... до точки xN ограни-
ограничены фиксированной постоянной.
г. Определение. Метрическое пространство М назы-
называется полным, если в нем всякая фундаментальная после-
последовательность сходится к некоторому элементу этого
пространства.
3.72. Примеры.
а. Покажем, что вещественная числовая ось R с метрикой
Р{х, У) = \х—у\
является полным метрическим пространством.
Иначе говоря, числовая последовательность хг, х2, ...
является сходящейся тогда и только тогда, когда для любого
е > 0 существует такой номер N, что при любых п > N,
/и > N выполняется неравенство \хп — xm \ < е.
В этой форме теорема а имеет название «критерий
Кош и». Для доказательства будем рассуждать так:
Пусть хъ х2, ... —фундаментальная последовательность
вещественных чисел. В силу 3.71b она ограничена; для каж-
каждого т=\, 2, ... положим
e«= inf *я. *m= SUP *„•
Очевидно, что при любом т выполняются неравенства
fl»<fl»+i. *«>4»+i. откуда [ат, bm]=>[am+1, bm+1].
По принципу Кантора 1.81 имеется точка p?R, принад-
принадлежащая всем отрезкам [ат, Ьт], т — \, 2, ... Покажем,
что /?= iim xn. Для заданного е>0 найдем номер N так,
чтобы при n^N, m^N иметь
Р(*„> «¦) = !*„ —-ж» К в.
Фиксируем здесь m = N и будем полагать n = N-\-l,
N-}-2, ... Поскольку все значения хп при n>N отстоят
от xN не далее чем на б, то и числа aN и bN отстоят от
xN не далее чем на е. Число р лежит на отрезке [aN, bN],
поэтому для всех п > N мы имеем
\Р—хп 1 < bN—aN= (bN—xN) + (xN— a^X 2e.
Таким образом, хп—*р, что и требовалось.
102 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3-72
б. Интервал @, 1) представляет собой метрическое про-
пространство с обычной метрикой числовой оси. Последователь-
Последовательность -о-, -Q-, ••., —, ••• является фундаментальной в
этом метрическом пространстве, но не имеет в нем предела;
поэтому интервал @, 1) не есть полное пространство.
Этот пример, в частности, показывает, что свойство
полноты пространства существенно зависит от выбора мет-
метрики и может не сохраниться при переходе к гомеоморфной
метрике; действительно, метрические пространства в примерах
а и б гомеоморфны (З.Збж), но одно из них полно, а вто-
второе—неполно.
в. Покажем, что m-мерное вещественное пространство Rm
с метрикой 3.14 B) полно. Пусть хп = Aп1, ..., |„т)
(п=1, 2, ...) — фундаментальная последовательность век-
векторов пространства Rm. Для заданного е > 0 найдем номер TV
так, чтобы при р > N, q > N иметь
По неравенству 3.14 (9) для любого k и р, q > N имеем
%х ^pk-l^f < в.
Мы видим, что каждая числовая последовательность
| k (k= I, . . ., m) фундаментальна на числовой оси. Применяя
а, получаем существование пределов
Е*= I™ lPk (Ь=\, ..., m).
Р -> GO
Образуем вектор дг = (|1, ..., Ет). Снова по 3.14 (9)
/~~щ _
X ilk-lpkJ<Vmmax\lk-lpk\. A)
fe= i k
Теперь для заданного е > 0 найдем номер N так, чтобы
при р ^> N выполнялись все неравенства
3.74] § 3.7. полные пространства 103
Тогда для этих же значений р, как видно из A), и
Iх Хр\ <Св,
откуда следует, что последовательность векторов хп схо-
сходится к вектору х. Итак, пространство Rm полно, что и
утверждалось.
3.73. а. Пусть полное метрическое пространство М
является частью (с той же метрикой) метрического про-
пространства Р. Покажем, что М замкнуто в Р. Пусть у?Р—
предельная точка множества М и последовательность х„
точек М сходится к точке у. Так как последовательность
хп фундаментальна C.71 б) и пространство М полно, то
в М имеется предел z= lim xn. В силу единственности
П->00
предела C.33а)у = г 6М, что и требуется.
б. Обратно, замкнутое подмножество А полного метри-
метрического пространства М, рассматриваемое как самостоятель-
самостоятельное метрическое пространство (с метрикой, заимствованной
из М), является полным пространством. Действительно,
всякая фундаментальная последовательность yv ? А сходится
в М (поскольку М полно), и ее предел принадлежит мно-
множеству А в силу предположенной замкнутости этого мно-
множества.
в. В частности, любой отрезок [а, Ь] на числовой оси
как замкнутое подмножество C.51 а) полного метрического
пространства C.72 а) является полным пространством.
3.74. Для числовой прямой имеет место принцип вложен-
вложенных отрезков Кантора A.81): всякая система вложенных друг
в друга отрезков имеет общую точку. Для полного метриче-
метрического пространства можно указать различные аналоги этого
предложения.
а. Пусть в множестве М выделена некоторая совокуп-
совокупность Q непустых подмножеств А, В, ..., обладающих тем
свойством, что из каждых двух подмножеств этой совокуп-
совокупности одно содержится в .другом. Такую совокупность Q
будем называть системой вложенных подмножеств.
Лемма. Пусть в полном метрическом пространстве М
выделена система Q вложенных подмножеств А, В, ... Если
среди них имеются подмножества как угодно малого
104 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.74
диаметра C.12а), то существует такая точка р^М, что
для любой ее окрестности Vr (р) = {х:р (х, р) < г) можно ука-
указать множество A?Q, целиком содержащееся в Vr(p).
Доказательство. По условию, для любого т~\,
2, 3, ... имеется множество A = Am?Q с diam.<4m^C —.
Пусть хт — любая точка из Ат. Так как при п>/и или
АпсАт, или AmczAtt1 то заведомо р(хп, xj< ^, так что
последовательность xlt хг, ¦ • ¦ фундаментальна. Пусть
р= Нт хт; покажем, что эта точка р удовлетворяет тре-
т-+<х
бованиям леммы. Пусть е>0 произвольно; найдем такое я,
что р(р, хп)^.-^ и diam Д, <:у . Тогда для любого х?Ап
имеем
Р(Р, *Хр{р, х„) + р(х„, x)^y+Y = b>
так что AncVe(p), что и утверждалось.
б. Замечание. В условиях леммы а может существо-
существовать лишь единственная точка р, удовлетворяющая требова-
требованиям леммы. Действительно, если q—другая точка, также
удовлетворяющая требованиям леммы, так что р(р, q) =
= 2е>0, то шары Vs(p) и Ve(q) не пересекаются; вместе
с тем, по лемме а, существуют множества А к В в системе
Q такие, что AcV^(p), BcVB(q); но это противоречит
тому, что одно из множеств А, В должно быть вложено
в другое.
в. Лемма. Пусть в дополнение к условиям леммы а все
множества системы Q замкнуты. Тогда точка р, удовлетво-
удовлетворяющая требованиям леммы, входит в каждое из множеств
системы Q.
Доказательство. Пусть точка р не входит в неко-
некоторое множество В. Поскольку В замкнуто, существует
такое е > 0, что шар VB (p) не пересекается с множеством В.
По яемме а, существует множество A?Q, целиком содержа-
содержащееся в шаре Vt{p). Очевидно, это множество А не пере-
пересекается с множеством В, и мы снова получаем противоречие.
Лемма доказана.
г. Следующий частный случай леммы в часто употреб-
употребляется.
3.75J § 3.7. полные пространства 105
Лемма о замкнутых шарах. В полном метриче-
метрическом пространстве последовательность вложенных друг
в друга замкнутых шаров
{ , v=l, 2, ....
радиусы которых г„ монотонно стремятся к нулю при v—у сю,
имеет общую точку.
д. Замечание. Если на числовой оси имеется после-
последовательность вложенных друг в друга отрезков, то общая
точка у них существует всегда, независимо от того, стре-
стремятся их длины к нулю или нет. В метрическом простран-
пространстве, даже полном, может существовать последовательиость
вложенных друг в друга шаров без общей точки. В качестве
примера рассмотрим пространство, образованное из счетной
последовательности точек хг, х2, ... с расстоянием, опре-
определенным по формуле р (х„, х„+р) — 1 +—(п = 1,2, ...).
Это пространство удовлетворяет всем аксиомам метрического
пространства. Оно полно, так как в ием нет несходящихся
фундаментальных последовательностей (вообще нет фунда-
фундаментальных последовательностей из различных точек). Шар
Vn радиуса 1 -|— с центром в хп содержит точки хп,
хп+1, ... и не содержит никаких других точек. Очевидно,
00
VX3 Vaz>... и JJ Vn пусто.
1
3.75. а. Теорема (Бэр). Если полное метрическое про-
пространство М представлено в виде счетной суммы своих зам-
замкнутых подмножеств Аъ А2, ..., то по меньшей мере одно
из этих подмножеств содержит целиком некоторый шар
пространства М.
Доказательство. Допустим противное: ни одно из
множеств Аг, Аг, ... не содержит целиком никакого шара.
Пусть хх — точка, не входящая в множество Ац так как Ах
замкнуто, то существует шар Vr {xt) = {x:p(x, х^^г^},
свободный от точек множества Ах. Внутри шара Vrj2{xx) есть
точка д;2, не лежащая в множестве А2; вместе с ней в мно-
множество Д2 не входит некоторый шар Vr (x2). Можно считать,
что Vr.t(x1)z>Vr>{xz) и г%<С~. Продолжая таким же об-
106 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.75
разом далее, мы построим последовательность шаров
VTi (x-JziV^ix^Z)... так, что весь шар УГп(хп) не пере-
пересекается с множеством Ап (л=1,2, ...)• Общая точка х0
всех этих шаров, существующая по лемме 3.74 г, не при-
принадлежит ни к какому из множеств Аъ А2, ..., что проти-
00
воречит условию хо?М = \J An. Теорема доказана.
б. Пример. Покажем, что множество Z всех иррацио-
иррациональных точек отрезка М=[а,Ь] не может быть представ-
представлено в виде счетной суммы замкнутых подмножеств отрезка М.
00
Действительно, если бы мы имели Z= U Ап, где АпсМ —
п = 1
замкнутые множества, то и весь отрезок М был бы пред-
представлен в виде счетной суммы замкнутых подмножеств (счет-
(счетной совокупности множеств Ап и счетной совокупности
одноточечных множеств, содержащих по одной рациональной
точке). Так как отрезок М=[а, Ь] есть полное пространство
C.73 в), мы получили бы противоречие с теоремой
Бэра.
в. В 2.41, используя теорему о вложенных отрезках, мы
доказали, что множество точек отрезка [0, 1] несчетно.
Мы можем установить теперь справедливость аналогичного
утверждения и для широкого класса полных метрических
пространств.
Предварительно введем следующее определение: точка
х0 метрического пространства М называется изолированной,
если некоторый шар р (х, х0) < б не содержит ни одной
точки пространства М, кроме самой точки х0. Например,
пусть М есть некоторое множество точек оси —оо< х <оо
с обычной метрикой; тогдал;0^Ж есть изолированная точка,
если имеется интервал, содержащий точку х0 и не содер-
содержащий более ни одной точки множества М.
Лемм а. Полное метрическое пространство М, если оно
состоит лишь из счетного множества точек, содержит изоли-
изолированную точку.
Доказательство. Каждая точка есть замкнутое
подмножество метрического пространства. Применяя теорему
Бэра, получаем, что в данном случае некоторая точка х0
пространства М содержит некоторый шар Vr(xQ); это воз-
возможно, лишь если точка х0 изолирована.
3.82] § 3.8. пополнение 107
Отсюда получаем:
г. Всякое полное метрическое пространство М без изоли-
изолированных точек несчетно.
Замечание. Это утверждение перестанет быть спра-
справедливым, если отказаться от предположения, что в прост-
пространстве М нет изолированных точек. Соответствующим при-
примером может служить любое счетное замкнутое множество
(например, последовательность, сходящаяся к пределу, и ее
предел) на прямой, рассматриваемое как самостоятельное
метрическое пространство.
§ 3.8. Пополнение
3.81. Теоремы, доказанные в 3.73—3.75, используют
существенно'полноту метрического пространства Ж. И в даль-
дальнейшем полнота метрических пространств будет играть
важную роль. Что касается неполных пространств, то,
оказывается, каждое такое пространство можно включить
в некоторое полное пространство.
Теорема (Ф. Хаусдорф). Пусть М—метрическое
пространство (вообще говоря, неполное). Существует пол-
полное метрическое пространство М (называемое пополне-
пополнением пространства М), которое обладает следующими
свойствами:
1) М изометрично некоторой части М^М;
2) М1 плотно в М.
Всякие два пространства М, М, удовлетворяющие усло-
условиям 1) и 2), изометричны между собой.
Доказательство дается в 3.82—3.87.
3.82. Назовем две фундаментальные последовательности
{yv} и {zv} пространства М конфинальными, еслиИшр(з'11,г,) = 0.
Например, всякие две последовательности пространства М,
сходящиеся к одному и тому же пределу, являются конфи-
конфинальными, а сходящиеся к разным пределам не являются
конфинальными. Две фундаментальные последовательности,
конфинальные с третьей, конфинальны и между собой.
Поэтому все фундаментальные последовательности, которые
можно построить из элементов пространства М, можно раз-
разбить на классы так, что все последовательности, входящие
108 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.83
в один класс, конфинальны между собой и любая последо-
последовательность, не входящая в этот класс, не конфинальна ни
с одной последовательностью класса. Из таких классов — мы
будем обозначать их Y, Z, ... — мы и будем строить новое
пространство М. Подлежит определению лишь величина рас-
расстояния между классами Y и Z. Мы определяем ее по формуле
р(К, Z)=Iimp(yv, zv), A)
V->oo
где {yv}—любая фундаментальная последовательность из
класса Y, a {zv} —любая фундаментальная последовательность
из класса Z. Нужно, конечно, прежде всего проверить, что
указанный предел существует и не зависит от выбора после-
последовательностей {yv} и {zv} в классах Y и Z. По неравенству
четырехугольника C.1J (\))
откуда следует, что числа р (yv, zv) образуют последова-
последовательность, удовлетворяющую критерию Коши. Таким обра-
образом, limp(yv,zv) существует. Если {y'J и {z'v}—другие
фундаментальные последовательности в классах Y и Z, то,
снова применяя неравенство четырехугольника, находим, что
IP (yv, Zv)—p (yv. z'v) | < p (yv, y'v) + p (zv, zv) -> 0,
поэтому последовательность р (y'v, z'^ имеет тот же предел,
что и последовательность p(_yv, zv). Таким образом, опре-
определение расстояния между классами не зависит от выбора
фундаментальных последовательностей в этих классах.
3.83. Теперь мы должны проверить, что величина
р(К, Z)= limp(^v, zv)
V-*a>
удовлетворяет аксиомамметрическогопространства(З.УУ а—в).
Аксиома 3.11 а: р(К, Z) > 0 при Y^Z, p(K, К) = 0
проверяется следующим образом. Прежде всего по построе-
построению функции р мы имеем р(К, Y) = 0, ибо в формуле 3.82 A)
можно положитьyy = zv. Далее, предположим, чтор(К, Z)—0.
Это означает, что для любой фундаментальной последова-
последовательности {yv\ из класса Y и любой фундаментальной после-
последовательности {?„} из класса Z имеет место равенство
3.85J § 3.8. пополнение 109
Urn p(yv, ?v) = 0. Но тогда {yv\ и {zv\—конфинальные по-
д(—> CD
следовательности и класс Y должен совпадать с классом Z.
Таким образом, если р(К, Z) = 0, то K=Z; отсюда следует,
что при Y=f=Z имеем р(К, Z) > 0, что и требуется.
Аксиома 3.11 б: p(F, Z) = p(Z, Y) выполнена по построе-
построению.
Проверим аксиому 3.11 в: р(К, ?/)<р(К, Z)-(-p (Z, ?/).
Пусть {j/v}, {?„}, {и„}—фиксированные фундаментальные
последовательности из классов Y, Z, U соответственно.
Искомое неравенство получается в результате перехода
к пределу C.32 в—г) в неравенстве
Р (Уу, kv) < Р C4. *v) + Р (fv. «v)-
Проверим теперь для пространства М все утверждения,
сформулированные выше в теореме о пополнении.
3.84. Покажем, что М содержит подмножество М^, изо-
метричное пространству М. Каждому элементу у 6 М поста-
поставим в соответствие класс YcM, содержащий последователь-
последовательность у, у, у, ... (т. е. класс всех последовательностей,
сходящихся к у). Если по этому правилу точка у соответ-
соответствует классу Y и точка z—классу Z, то
р(К, Z) = limp(;>, z) = p(y, z).
Отсюда следует, что совокупность Мх соответствующих
классов Y есть часть пространства М, изометричная прост-
пространству М.
3.85. Проверим, что Мг плотно в М. Пусть Y—произ-
Y—произвольный класс нз М и {yv} —фундаментальная последова-
последовательность из класса Y. Рассмотрим последовательность
классов Ylt Kg, ..., Y^} ..., где ^определяется последо-
последовательностью Ур, Ур, ..., т. е. отвечает элементу у^ в соот-
соответствии М-+ Мх. Для заданного е > 0 найдем номер ц0 так,
чтобы при ц > ц0 иметь р (у^+р, у^) < е. Тогда
V->00
Но это означает, что класс Y есть предел классов Y^. Так
как класс Y^ принадлежит по построению множеству М1г то
тем самым доказано, что Л11 плотно в М.
110 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.86
3.86. Покажем, что М—полное пространство. Пусть
Yt, Yv ... —фундаментальная последовательность элементов
из М. Для каждого класса Fv найдем класс ZvczM1 так,
чтобы иметь p(Fv, Zv)<—, и пусть zv?M есть элемент,
соответствующий классу Zv. Мы утверждаем, что последо-
последовательность {zv} фундаментальна в пространстве М. Дейст-
Действительно,
Kv)+p(Fv,
*V)+^ + -^0 при v^oo, n-^oo.
Фундаментальная последовательность {zv} определяет неко-
некоторый класс ZcM; покажем, что класс Z является пределом
в М последовательности К„. Для заданного е > 0 при доста-
достаточно большом v^v0 имеем
p(Z, Fv)<p(Z, Zv)+p(Zv, Kv)= Hmp(^, zv) + l<e.
Таким образом, всякая фундаментальная последовательность
YvcM имеет в М предел, что и требовалось.
3.87. Наконец, покажем, что любое метрическое прост-
пространство М, обладающее свойствами 1) и 2), изометрично
пространству М.
Действительно, пусть Мх и Ж2 — подмножества прост-
пространств М и М, изометричные пространству М и, следова-
следовательно, изометричные друг другу. Мы должны продолжить
эту изометрию с множеств Мх и Ж2 на пространства М и М.
Возьмем любой элемент YdM и рассмотрим последователь-
последовательность элементов YvcMu сходящуюся к Y. Соответствующая
последовательность ZvcM2 во всяком случае фундамен-
фундаментальна, так как в силу изометрии между Мх и М2 взаимные
расстояния между элементами последовательности Zv такие
же, как между элементами последовательности Fv. Так как
М полно, то в Л имеется элемент Z= HmZv. Этот элемент
V-* со
ZczM поставим в соответствие взятому элементу FcrM.
Он определен однозначно, поскольку конфинальные после-
последовательности в М соответствуют конфинальным последо-
3.91J § 3.9. компактность 111
вательностям в Ж и замена последовательности Yv на конфи-
нальную приводит к замене последовательности Zv также на
конфинальную. Указанное сопоставление взаимно однозначно
и исчерпывает все элементы М и М. Нам остается показать,
что оно является изометрическим. Пусть элементы У и К'
пространства М соответствуют элементам Z и Z' простран-
пространства М и при этом
(Yv, Yv
из
Если, далее, Zv и Zv— элементы из Ж2, отвечающие эле-
элементам Yv и Yv, то р (Zv, Zv) = p(vv, Yv) и в силу леммы
о непрерывности расстояния 3.32 6
p(Z,Z') = limp(Zv, z;)=limp(FV) г;) = р(К, К').
что и требуется. Тем самым теорема 3.81 доказана пол-
полностью.
3.88. Предположим, что данное метрическое простран-
пространство М есть часть другого полного метрического простран-
пространства М*. Тогда в качестве пополнения М можно вэять за-
замыкание М множества М в пространстве М*. Действительно,
М как замкнутое подмножество полного пространства М*
есть полное пространство C.73 б); затем оно содержит
внутри себя М в качестве плотного подмножества. Оно удов-
удовлетворяет, таким образом, условиям доказанной теоремы и
в силу этой теоремы может служить пополнением простран-
пространства М.
§ 3.9. Компактность
3.91. а. Определение. Метрическое пространство М,
в котором каждая (бесконечная) последовательность точек
имеет предельную точку, называется компактным простран-
пространством, или компактом. Метрическое пространство М, в кото-
котором для каждой точки а?М имеется компактный шар
{х ?М:р(а, x)^Lc\, называется локально компактным про-
пространством.
112 ГЛ. 3- МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА И'91
Если метрическое пространство М компактно, то каждое
бесконечное подмножество ЕсМ имеет предельную точку.
Действительно, бесконечное подмножество в Е содержит бес-
бесконечную последовательность хх, хг, ... различных точек,
и ее предельная точка будет и предельной точкой множе-
множества Е. Обратно, пусть каждое бесконечное подмножество
метрического пространства М имеет предельную точку;
покажем, что М компактно. Пусть хг, хг, ... —любая после-
последовательность точек из М (не обязательно различных).
Если в этой последовательности фактически участвует лишь
конечное число различных точек пространства М, то заве-
заведомо хотя бы одна из них повторяется бесконечное число
раз, и тогда она и будет предельной точкой последователь-
последовательности xt, х2, ... Если же в этой последовательности уча-
участвует бесконечное множество различных точек М, то пре-
предельная точка этого бесконечного множества будет и пре-
предельной точкой всей последовательности. Таким образом,
данное выше определение компактного пространства экви-
эквивалентно следующему: метрическое пространство компактно,
если каждое его бесконечное подмножество содержит пре-
предельную точку.
б. Примеры. Отрезок й^лг^Ь на числовой оси яв-
является компактом {3.45). Вся числовая ось R не является
компактным пространством, так как, например, последова-
последовательность 1, 2, ..., п, ... не имеет в R не одной пре-
предельной точки. Но пространство R является локально ком-
компактным пространством. Расширенная числовая ось R с мет-
метрикой г (х, у) C.35 д) компактна. Множество рациональных
точек отрезка [а, Ь] с метрикой числовой оси не является
ии компактным, ни локально компактным.
в. В 3.43 мы отметили, что свойство данной точки быть
предельной для последовательности хп не нарушается при
переходе к новой метрике, гомеоморфной исходной. Так
как определения компактного и локально компактного про*
Странства опираются лишь на понятие предельной точки,
то мы делаем вывод, что свойство пространства быть ком-
компактным или локально компактным не нарушается при пере-
ходе к новой метрике, гомеоморфной исходной.
Так, вещественная ось R является локально компактным
пространством и в обычной метрике р (х, у) = | х —у J, и
в метрике г (х, у) C.35 д).
3.931 § 3.9. компактность 113
3.92. а. Теорема. Каждое компактное пространство
полно.
Доказательство. Пусть хъ х2, ... — фундамен-
фундаментальная последовательность точек компактного простран-
пространства Ж, и пусть Хо—предельная точка этой последователь-
последовательности. Покажем, что xo = l\mxn. Для заданного е>0 иай-
дем сначала номер N так, чтобы при m^> N, я > N иметь
Р (хп> хт) < е/2 , и затем номер р > N так, чтобы было
Р (ХР> хо) < е/2- Тогда для всех п > N
Р (*„. *о) < Р (*». хр)+Р(хР> хо) < е,
откуда и вытекает утверждение.
б. Теорема. Компактное подмножество М метриче-
метрического пространства Р замкнуто в Р.
Это следует из а и 3.73а.
в. Пусть М—компактное подмножество метрического
пространства Р, и GczP—открытое множество, содержащее
М. Образуем открытое множество Мъ, являющееся объеди-
объединением всех открытых шаров радиуса 6 с центрами в точ-
точках множества М. Утверждается, что существует такое
б > 0, при котором AfjCrG.
Для доказательства, допуская противное, для каждого
п= 1, 2, ... найдем две точки хп?М, уп?Р—G, для кото-
которых р (хп, уп) < — . Последовательность х„ лежит в ком-
компакте М, и из нее можно выбрать сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность; вводя новую нумерацию и отбрасывая ненуж-
ненужные точки, можно считать, что хп —>¦ х g M. Так как
Р(Уп,хХр(Уп,хп) + Р(хп>хХ-^ + Р(хп, х), то и .у„—>*.
Но множество Р— G замкнуто, поэтому х ? Р— С в про-
противоречии с предыдущим. Тем самым утверждение доказано.
3.93. а. Некоторым расширением класса компактных про-
пространств является класс предкомпактных пространств*).
Метрическое пространство М называется предкомпактным,
если в нем каждая последовательность точек содержит фун-
фундаментальную подпоследовательность. Если при этом М
*) В литературе нет единой терминологии. Иногда называют
предкомпактные пространства компактными, а компактные в нашем
смысле—компактами.
114 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.93
полно, то эта фундаментальная последовательность будет
и сходящейся, и пространство М оказывается компактным.
Таким образом, полное предкомпактное пространство явля-
является компактным. Обратно, компактное пространство явля-
является полным C.92 а) и, очевидно, предкомпактным. Интер-
Интервал (а, Ь) числовой оси дает простой пример предкомпакт-
ного, но не компактного пространства.
б. Теорема. Каждое предкомпактное пространство
ограничено.
Доказательство. Мы будем доказывать, что неог-
неограниченное пространство непредкомпактно. В неограничен-
неограниченном пространстве М расстояния от любой точки а до осталь-
остальных точек х ? М в совокупности не ограничены C.12 в).
Пользуясь этим, фиксируем произвольно точку хх^М и
затем индуктивно построим последовательность точек
х2, xs, ... так, чтобы выполнялись неравенства
P(*»+i. xn)> 2p(**+i. **)+! («=1.2, ...)•
k=i
Тогда по 3.11 г при п > m
Р (*„, х,п) >
>Р(Хп, JCB_l) — [p (*„_!, *„_2)+ ¦ •¦
Sp(fc+1, *)>,
так что из последовательности хп нельзя выбрать фунда-
фундаментальной подпоследовательности. Тем самым пространство М
не предкомпактно, что и утверждалось.
в. Критерий Хаусдорфа. Для проверки предком-
нактности метрическое пространство М иногда целесооб-
целесообразно включить изометрически в более широкое метрическое
пространство Р. В предположении изометричности включе-
включения МсР назовем множество ВсР е-сетью множества
МсР, если каждая точка х множества М отстоит не далее
чем на е от некоторой точки у?В. Таким образом, объеди-
объединение всех шаров радиуса е с центрами в точках множест-
множества В содержит все множество М.
Вообще, если объединение некоторых множеств Ua содер-
содержит множество М, говорят, что множества Ua в совокуп-
3.83] § 3.9. компактность 115
ности покрывают множество М, или же что они образуют
покрытие множества М. Таким образом, можно сказать, что
множество В есть е-сеть для множества М, если совокуп-
совокупность всех шаров радиуса е с центрами в точках множе-
множества В покрывает множество М*).
Теорема (Ф. Хаусдорф). Множество М, расположен-
расположенное в метрическом пространстве Р, предкомпактно (в мет-
метрике Р) тогда и только тогда, когда для любого е > О
в Р имеется конечная е-сеть для М.
Доказательство. Пусть М предкомпактно, и пусть
задано е > 0. Покажем, что существует конечная е-сеть для
множества М. Возьмем произвольную точку х1 ? М. Если
все остальные точки множества М находятся от точки х1
на расстоянии ^е, то сама точка х1 представляет е-сеть
для М и построение закончено. Если же среди точек мно-
множества М имеются такие, которые отстоят от х1 дальше
чем на е, то мы выберем среди них произвольную точку х2.
Если теперь каждая точка множества М отстоит не далее
чем на е или от точки хъ или от точки х2, то х-^ и х2
образуют конечную е-сеть для М и построение закончено;
в противном случае построение можно продолжить.
По построению каждая новая точка хп отстоит от каж-
каждой из предшествующих хъ х2, ..., хп_1 дальше чем на
е. Поэтому, если бы процесс можно было продолжать не-
неограниченно, мы получили бы бесконечное подмножество
хъ х2, ..., хп, ... множества М, заведомо не содержащее
ни одной фундаментальной последовательности, что проти-
противоречило бы предкомпактности М. Так как М предком-
предкомпактно, то процесс закончится после конечного числа шагов;
в результате мы получим конечную е-сеть для множества М.
Обратно, пусть в пространстве Р имеется при каждом
е > 0 конечная е-сеть для множества М; покажем, что М
предкомпактно. Рассмотрим произвольное бесконечное под-
подмножество АаМ; мы должны выбрать в А фундаменталь-
фундаментальную последовательность. В качестве первой точки этой по-
последовательности возьмем любую точку х0 ? А. Применяя
условие теоремы прие=1, мы можем покрыть множество Л
*) «Если в каждой точке множества В, являющегося е-сетью для
множества М, зажечь фонарь, освещающий шар радиуса е, то будет
освещено все множество М». (Из лекций Л. А. Люстерника.)
116 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.94
конечным числом шаров радиуса 1; среди них имеется
такой-—обозначим его через Ult—который содержит беско-
бесконечное подмножество А1сА, Выберем в А1 любую точку
х1^х0. Применяя условие теоремы при е = -^-, мы можем
покрыть множество Лх конечным числом шаров радиуса
-=-; среди них есть шар ?/2, который содержит бесконечное
подмножество А2аА1. Выберем любую точку х9?А2, не
совпадающую ни с л:0, ни с лгх. Продолжая таким же обра-
образом далее, мы построим цепочку бесконечных подмножеств
Лгэ/^э^э ... 3/4vzd ... [причем каждое из множеств Л„
содержится в шаре (/„ радиуса —1 и, кроме того, после-
последовательность различных точек лг0, х1г х2, ..., хч, ...,
где xv ? Ау. Мы утверждаем, что последовательность
хо, хи хъ> ¦ ¦ • фундаментальна. Действительно, при ц < v мы
имеем (/цЗЛ^зЛ,, поэтому р (х^, л:„)< —. Эта величина
стремится к нулю при ц —»-оо; значит, последовательность
л:0, х1г ... фундаментальна, что и требовалось.
3.94. В качестве применения этого признака покажем,
что любое ограниченное множество М в п-мерном евклидо-
евклидовом пространстве Р = /?„ предкомпактно. Действительно,
для любого m в том шаре пространства Р, который содер-
содержит ограниченное множество М C.14 б), существует лишь
конечное число точек, все координаты которых имеют вид
k .
¦yZ, к—целое, а множество всех таких точек, очевидно,
при достаточно большом m образует е-сеть для М.
3.96. Отметим еще следующий простой признак пред-
компактности: множество М в метрическом пространстве Р
предкомпактно, если для любого е > 0 можно указать в Р
предкомпактное множество Ве (может быть, и бесконечное),
являющееся е-сетью для М.
Доказательство этого признака весьма просто.Мы утвер-
утверждаем, что при заданном е конечная -^--сеть Z для множе-
ства Ве/2, существующая в силу предкомпактиости Ве/г,
звв] § 3.9. компактность 117
есть конечная е-сеть для множества М. Действительно, для
произвольной точки х?М по условию найдутся такая точка
У 6 Ве/г, что р (х, у) <-|-, и такая точка z € Z, что р (у, z) ^
^у; но тогда р(лг, z)<:р(л:,зО + р(.у. г)^ъ> чт0 и утвер-
утверждалось. Таким образом, при любом е > 0 множество М
обладает конечной е-сетью и, следовательно, предком-
пактно.
3.96. а. Пополнение М любого предкомпактного мно-
множества М есть компакт. В самом деле, множество М, по-
поскольку оно плотно в М, является е-сетыо для множества
М при любом е > 0. По условию М предкомпактно; отсюда
по 3.95 и Л! предкомпактно; а так как Ж полно, то оно есть
компакт, что и требовалось.
б. Замыкание М любого предкомпактного подмножества
М полного метрического пространства Р компактно. Это
следует из а и из замечания 3.88, в силу которого в каче-
качестве пополнения множества М можно взять его замыкание
в Р.
в. Предкомпактное подмножество М полного метриче-
метрического пространства Р является компактом тогда и только
тогда, когда оно замкнуто в Р.
Действительно, если подмножество М замкнуто в пол-
полном метрическом пространстве Р, то оно само является
полным метрическим пространством C.73 б). Если при этом
М предкомпактно, то, согласно 3.93 а, М есть компакт.
Обратное утверждение следует из 3.92 б.
г. Соединяя 3.93 в и 3.96 в, получаем:
Теорема. Множество М в полном метрическом про-
пространстве Р является компактом тогда и только тогда,
когда оно замкнуто в Р и для каждого г > 0 в Р имеется
конечная г-сеть для М.
д. Множество М в пространстве Rn является компактом
тогда и только тогда, когда М замкнуто и ограничено в Rn.
Действительно, если М—компакт, то мнвжество М замк-
замкнуто C.92 б) и ограничено C.93 б); если множество М огра-
ограничено в Rn, то оно предкомпактно C.94), а в силу пол-
полноты Rn {3.72 в) из замкнутости предкомпактного множества М
118 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [3.97
следует его компактность C.96 в). В частности, замкну-
замкнутый шар {х:|х — д:0|^г} есть замкнутое C.516) и огра-
ограниченное множество; поэтому в пространстве Rn всякий зам-
замкнутый шар компактен.
е. Каждое компактное множество М на числовой оси
ограничено и содержит свои точные границы.
Действительно, множество М ограничено и замкнуто (д);
остается применить 3.53 б, и утверждение доказано.
3.97. Часто используется следующее предложение отно-
относительно компактов:
Лемма о конечном покрытии. Если компактное
подмножество К метрического пространства Р покрыто семей-
семейством В = {??„} открытых подмножеств пространства Р, то
существует конечное подсемейство Въ ..., Вт семейства В,
также покрывающее компакт К.
Доказательство. Допустим противное: никакое ко-
конечное подсемейство семейства В не образует покрытия
компакта К.
Поскольку К—компакт, согласно 3.93 в для каждого
е>0 имеется конечное число шаров (замкнутых) Ult ..., Umi
радиуса е, покрывающих компакт К. Если бы для каж-
каждого из шаров Uj.(j=l, ..., тг) существовало конечное
подсемейство В,- семейства В, покрывающее шар U-, то,
объединяя эти подсемейства, мы смогли бы выделить из
семейства В конечное подсемейство, покрывающее весь ком-
компакт К. Поэтому хотя бы один из шаров Uj, например Ux,
не может быть покрыт никаким конечным подсемейством
семейства В.
Придадим числу е последовательность значений 1, ¦=¦ ,
у, ...; для каждого п у нас имеется шар U1/n (xn) радиуса
— с центром в точке хп, который не может быть покрыт
никаким конечным подсемейством семейства В. Пусть х —
предельная точка последовательности хп. Точка х входит
в некоторое множество Ва вместе с некоторым шаром U (х)
радиуса р. Начиная с некоторого номера, в шар U (х) попа-
попадают шары и1/п (хп) с как угодно большими номерами. По-
Поэтому указанные шары покрываются даже только одним
множеством Ва в противоречии с построением. Лемма доказана.
ЗАДАЧИ 119
3.98. Принцип вложенных отрезков A.81) с числовой
оси мы перенесли C.74) на полное метрическое пространство,
заменив в формулировке отрезки на замкнутые подмноже-
подмножества с произвольно малыми диаметрами. Если эти подмно-
подмножества компактны, никаких других предположений уже не
нужно:
Теорема. Всякая система Q вложенных непустых ком-
компактных подмножеств метрического пространства имеет об-
общую точку.
Доказательство. Фиксируем в системе Q один из
компактов Ко. Если теорема неверна, то для каждой точки
х?К0 найдется компакт Kx(tQ, не содержащий точки х.
Так как Кх есть замкнутое множество C.92 б), то сущест-
существует окрестность точки х, не пересекающаяся с Кх. Ука-
Указанные окрестности, построенные для каждой точки х ? Ко,
образуют покрытие компакта Ко; по 3.97 из этого покры-
покрытия можно выделить конечное покрытие. Обозначим окре-
окрестности, составляющие конечное покрытие, через Vlt , .., Vn.
Пусть Klt ..., Кп — компакты из системы Q, не пересекаю-
пересекающиеся соответственно с Vlt ..., Vn. Пересечение Kt ... Кп не
имеет общих точек ни с одной из окрестностей Vt, ..., Vn
и не пересекается поэтому с компактом Ко. Таким обра-
образом, пересечение К0Кх...Кп пусто. С другой стороны,
поскольку Q—система вложенных множеств, всякое конеч-
конечное пересечение множеств этой системы есть снова множе-
множество этой системы и, в частности, не может быть пустым.
Полученное противоречие доказывает справедливость тео-
теоремы.
ЗАДАЧИ
1. Множество предельных точек любого подмножества А метри-
метрического пространства М обозначим через А'. Далее, по индукции
определяется множество Aln) = (Ain~v)'. Для заданного п построить
на прямой множество А так, чтобы А{п) было непустым, а А1п+1)
пустым.
2. Доказать, что множество А' замкнуто, каково бы ни было
АсМ.
3. Дано множество AczRt, для которого при некотором п мно-
множество А{п) счетно. Доказать, что А счетно.
4. Точка х на прямой называется точкой конденсации несчетного
множества А, если в любой окрестности точки х имеется несчетное
множество точек множества А. Доказать, что у всякого несчетного
120 ГЛ. 3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
множества А имеются точки конденсации; более точно, почти все его
точки, кроме, может быть, счетного множества, являются точками
конденсации.
5. Если множество Е на прямой покрыто произвольной системой
интервалов, то из этой системы можно выделить не более чем счет-
счетную подсистему, также покрывающую Е.
6. Величина
р(х, А) = Мр(х, у)
А
называется расстоянием от точки х до множества А. Доказать, что
для замкнутого множества А соотношения
р(х, А)=0, х?А
эквивалентны; если же А не замкнуто, то они не эквивалентны.
7. Доказать, что для любого множества А в метрическом про-
пространстве М совокупность точек х, для которых р (х, А) < е, открыта,
а совокупность точек у, для которых р(у, Л)<е, замкнута.
8. Даны два непересекающихся замкнутых множества Fx и F2
в метрическом пространстве М. Построить непересекающиеся откры-
открытые множества Ux и ?/2 так, чтобы Uj^F-l, ?/2ZjFa и Ux и 1/2 не
пересекались.
9. Пусть М—ограниченное метрическое пространство. Определим
для любых двух подмножеств АсМ и ВсМ величину
р(Л, B) = sup{p(x, В), р(у,А)}.
хеА
Показать, что всевозможные замкнутые подмножества А, В, ... в М
образуют метрическое пространство, если определить расстояние
между двумя замкнутыми подмножествами по этой формуле. Пока-
Показать, что это пространство полно, если М полно, н компактно, если
М компактно.
10. Если метрическое пространство М состоит из п < 4 точек,
то существует метрическое пространство М', изометричное М и
расположенное в евклидовом пространстве Rn-!. Для я5*4 такое
утверждение уже, вообще говоря, неверно.
11. Пусть Rn означает евклидово пространство Rn с присоеди-
присоединенной точкой оо. Ввести на Rn метрику г так, чтобы на Rn она
была гомеоморфной обычной метрике р C.14) и чтобы всякая по-
последовательность xm^Rn, неограниченная в обычной метрике, имела
бы оо предельной точкой.
12. Решить задачу 11, заменив пространство Rn произвольным
неограниченным метрическим пространством М.
13. В задаче 11 вместо рассмотренных прямых (см. указание
к задаче 11) использовать прямые, проходящие через центр сферы Sn.
Какой набор «бесконечно удаленных» элементов обеспечит существо-
существование предельной точки (в новой метрике) для всякой последователь-
последовательности точек хт g Rn?
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 121
Историческая справка
Первое корректное определение предела числовой последователь-
последовательности было дано Больцано A817), а затем Коши A821) в его курсе
по алгебраическому анализу. В частности, Больцано впервые ясно
сформулировал «критерий Коши» и даже попытался его обосновать;
но его рассуждение «за полным отсутствием какого бы то ни было
определения действительных чисел, не было и не могло быть ничем
иным, кроме порочного круга» (Бурбаки). Сам Коши получил свой
критерий из принципа вложенных отрезков, который считал очевидным.
Понятие предельной точки открытого и замкнутого множества
(сначала на оси, затем в евклидовом n-мерном пространстве) и тео-
теоремы о структуре этих множеств на оси были даны Кантором в 70-х
годах XIX века. Теорема о выделении конечного покрытия была
впервые доказана (для отрезка) Борелем A895, для случая, когда
исходное покрытие счетно) и Лебегом A902, для любого исходного
покрытия). В 1906 г. Фреше ввел понятие метрического простран-
пространства, в рамках которого получили естественное обобщение понятия
предыдущего периода; кроме того, Фреше ввел понятия полноты и
компактности метрического пространства.
Еще более широкие возможности открыло понятие топологичес-
топологического пространства (Хаусдорф, 1914), о котором мы здесь только упо-
упомянем. См. Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ОНТИ, 1937.
ГЛАВА 4
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
Превосходное сочинение г. Коши «Курс анализа По-
Политехнической школы», которое должен прочесть всякий
аналист, любящий строгость в математических изыска-
изысканиях, служило мне проводником.
Нилъс Абель A826)
§4.1. Определение предела
4.11. Определение. Пусть дано произвольное мно-
множество Е; система 5 непустых подмножеств А, В, ... мно-
множества Е называется направлением, если для каждых двух
подмножеств А ? S, В ?S выполняется одно из включений
АсВ или ВсА и пересечение всех A?S пусто.
4.12. Определение. Пусть на множестве Е задана
функция у=/(х), значения которой принадлежат к метри-
метрическому пространству М с расстоянием р C.11). Будем го-
говорить, что функция-j; =/(х) имеет предел по направлению S,
если существует такая точка р ? М, что при любом е > О
можно найти множество A?S, во всех точках которого
выполняется неравенство
Р[Р,/(Х)]<Е. A)
В этом случае точка р называется пределом функции
f(x) по направлению S. Вся описанная ситуация обознача-
обозначается символом
p = \imf(x). B)
s
Пишут также f(x)—>-p или просто f(x)—>*p.
S
В 4.13—4.16 рассматриваются примеры.
4.13. Пусть Е—множество всех натуральных чисел
1, 2, ... Направление 5 определим как систему всех под-
подмножеств АпсЕ вида
Ап = {п, п+1, п + 2, ...} (я=1, 2, ...).
4.14] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 123
Очевидно, из всяких двух множеств Ап, Ат одно содер-
содержит другое; далее, пересечение всех множеств Ап \п = 1, 2, ...)
пусто. Таким образом, система 5 действительно есть направ-
направление. Это направление обозначается п—^оо. Функция
у=/(х) в данном случае есть последовательность точек
уъ у2, ..., уп, ... метрического пространства М. Согласно
нашему определению, последовательность уп имеет предел
по направлению 5, т. е. при п—> оо, если существует такая
точка р ? М, что для любого е > О можно найти такой
номер N, что для всех п~^N выполняется неравенство
Последовательность точек {уп}, имеющая предел р, называ-
называется сходящейся к р. Очевидно, это определение совпадает
с тем, которое было дано в 3.31. Обозначение 4.12 B) приоб-
приобретает видр= Нт _у„.
4.14. а. Пусть E = R^ есть вещественная полуось {д::й^ х).
Направление 5 определим как систему всех подмножеств
вида
Очевидно, что 5 есть направление в смысле 4.11. Это на-
направление обозначается х—>-+оо. Согласно нашему опре-
определению, функция f(x), определенная при х~^а (со значе-
значениями в метрическом пространстве М), имеет предел по
направлению S, т. е. при х—»--j-oo, если существует такая
точка р ? М, что для любого е > 0 можно найти такое
число |, что для всех х~^\ выполняется неравенство
Р(Р, /(*))<е.
Точка р называется пределом функции f(x) при х—»-оо;
соответствующая запись имеет вид
р= Нт/(дг).
х-* аз
б. Если M—R есть числовая прямая, мы получаем оп-
определение числовой функции, имеющей предел при х—*оо,
именно: числовая функция f(x), определенная при х^а,
имеет пределом число р при х—>-оо, если для любого е > О
существует такая точка |, что для всех х~^\ выполняется
неравенство
Г1
124 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.15
в. На вещественной полуоси R~а = {х: х ^ а} вводится
направление л:—»- — оо. Оно определяется как система всех
подмножеств В,с/?я вида
,
Согласно нашему определению, функция f{x), определенная
при х^.а, имеет предел р при х—+ — оо, если для любого
8 > 0 можно найти такое число %, что для всех х ^ | вы-
выполняется неравенство
или, для числовой функции f{x),
г. Аналогично на числовой оси вводится направление
х —>¦ ± оо, или, что то же, | х | —*¦ оо. Направление J х | —>¦ оо
образовано всеми множествами {л::|л;|^С}. Таким образом,
приобретает определенный смысл выражение
lim f(x).
4.15. а. Пусть Е есть метрическое пространство. Пред-
Предположим, что точка' а?Е не есть изолированная точка в Е,
иными словами, что любой шар (/г(а)= {х?Е:р(х, с)<г}
содержит, кроме точки а, еще некоторые точки из Е. Тогда
направление х —»- а определим как совокупность всех шаров
Ur{a) = {x?E :p (а, х)<г\, из которых выброшена цент-
центральная точка а. Предположение о том, что а не есть изо-
изолированная точка, означает, что каждое из множеств Ur (а) не
пусто; выполнение остальных свойств направления очевидно.
Согласно нашему определению, функция f{x), определенная
на Е (со значениями в метрическом пространстве М), имеет
предел при х —*¦ а, если существует точка р g M, для кото-
которой при любом е > 0 можно найти число б > 0 так, что
для всех x?Ub(a) (т. е. для всех хфа, удовлетворяющих
неравенству р (х, а) < б) выполняется неравенство
Обозначение 4.12 B) принимает вид
р= lim f(x). A)
х->а
4.16] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 125
Точка р, как и в других случаях, называется пределом
функции f(x) при х —»- а *).
б. В частности, если E=R, M=R, мы приходим к сле-
следующему определению:
Направление х —>- а есть совокупность всех интервалов
(а—б, а + б), из которых выброшена центральная точка а.
Числовая функция f(x), определенная на числовой оси R,
имеет в точке a?R предел р, если для любого е > 0 най-
найдется такое б > 0, что из соотношений \х—а\ < б,
вытекает неравенство
Обозначение A) сохраняется без изменения:
в. Примеры 4.13 и 4.14 а—в в действительности явля-
являются частными случаями определения 4.15 а. Проверим это
для примеров 4.14 а—в. На вещественной оси R можно
ввести метрику пространства R C.35 д); тогда направления
х—> — сю и х—»-+оо, описанные в 4.14 а, совпадут с на-
направлениями х—i—сю и х—»--)-сю D.15 а), где —сю и сю
рассматриваются как точки метрического пространства R
(если учесть 3.35 е).
4.16. Предел по направлению на подмноже-
подмножестве.
а. Пусть имеется множество Е с выделенным в нем на-
направлением 5. Фиксируем множество GczE и рассмотрим
семейство множеств GA, где А—любое множество из на-
направления 5. Предположим, что все множества GA не пусты.
Тогда, поскольку пересечение этих множеств пусто (вместе
с пересечением всех /lg«S), система их снова образует на-
направление, которое мы обозначим через GS. Пусть на мно-
множестве Е задана функция f(x) со значениями в метрическом
пространстве М. Если существует Шп/(л:), равный р, то,
s
очевидно, существует и limf(x), также равный р. Но если
GS
*) р этом определении значение функции f(x) при х—а не иг-
играет роли. Функция / (я) может даже и не быть определенной в точке
х=а.
126 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ Н-16
известно, что сущестнует limf(x), то Umf(x) может и
gs s
не существовать. Установим следующее предложение,
дающее услоние эквивалентности двух рассмотренных пре-
предел он:
Лемма. Если множество G содержит некоторое множе-
множество В из направления S, то из существования limf(x) сле-
OS
дует существование \\m f (x) ( = lim/(jc)). Если же множество G
S GS
не содержит целиком никакого B?S, а метрическое простран-
пространство М содержит хотябы две различные точки, положимр и q=^=p,
то существует функция f(x) со значениями в М, для которой
lim/(Ar)=jD, a lim/(>r) не существует,
os s
Доказательство. Пусть GzdB, B?S и limf(x)—p.
GS
Для заданного е > 0 найдем н направлении GS множество GA,
но всех точках которого выполняется нераненство
p(f(x), р) < е. Множество GA содержит множество ВА,
которое само есть или В, или А и потому нходит в направ-
направление 5. На множестве ВА также выполняется неравенство
р {f(x), p) < е. Отсюда следует, что limf(x) существует
s
(и равен р).
Пусть множество G не содержит целиком никакого B?S
и Н есть дополнение к G (до всего Е). Положим f(x)
равной р при х € G и равной q при х?Н. Возьмем
е<-;г-р(/з, q). Если бы сущестновал Нт/(л:) = ^, то для
1 s
некоторого A?S мы имели бы р (f(x), t) < е при нсех х g A.
Но оба множестна GA и НА по услонию не пусты; беря по
очереди х ? GA и х ? НА, получаем, что должны быть ны-
полнены оба неравенства р (р, t) < е, р (q, t) < e, откуда
р(jo, q)^p(p, 0 + P(<7i t) < 2е в противоречии с опреде-
определением е. Тем самым лемма полностью доказана.
б. Если функция f(x) определена только на множестве
G, то запись lim/(x) не имеет прямого смысла. В случае,
s
когда G содержит какое-либо из множеств направления S,
мы полагаем по определению lim/(j:) = lim/F(j:), где
S S
limfE(x) — произвольное продолжение функции f(x) с G
S
4.16J § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 127
на нее Е. По доказанному, результат имеет смысл и не
занисит от способа продолжения f(x) с G на Е.
В частности, предел последовательности^, у2, .. .,у„, ...
D.13) естественно определен не только тогда, когда по-
последовательность уъ у2, ... задана для всех индексов
1,2, ..., но и тогда, когда она задана лишь для всех ин-
индексов я, больших некоторого п0; при этом Пт_у„ не зави-
«->оо
сит от значений уъ ..., уПо, которые нам почему-либо за-
захотелось бы ввести в рассмотрение. Аналогично определение
limf(x) D.14) требует лишь знания значений функции f(x)
при х, больших какого-либо х0, и не зависит от значений
f(x) при х^х0. Таким же образом определение limf(x)
х-+а
D.15) требует лишь знания значений функции f(x), как
говорят, только «вблизи точки х = а», т. е. в некотором
шаре р (х, а) < г, хф а.
в. Вернемся к случаю, когда множество G, пересекаясь
с каждым из множеств А ? S, не содержит целиком ни од-
одного A?S. Как и выше, обозначим через //дополнение к G
до всего Е. Рассмотрим семейство MS множеств НА, где А
пробегает 5. Так как в рассматриваемом случае никакое НА
не пусто, система MS также образует направление и мы
можем говорить о существовании или несуществовании
limf(x). Если существует limf(x)=p, то существуют
hs s
limf(x) и livaf(x), также равные р. Однако пример, приве-
os hs
денный во второй части доказательства леммы а, показы-
показывает, что из существования lim f(x) и Нш/(д;) не следует
OS HS
существование lim/(x).
s
Теорема. Если существуют lim/(x) и lim/(x) и эти
GS HS
пределы совпадают, то существует и lim/(x).
s
Доказательство. Пусть p = lim/(x) = lim/(x). Для
GS HS
заданного е > 0 найдем А и В в S так, чтобы в точках
множеств GA и ИВ выполнялось неравенство
Р (/(*),/>)< е- A)
128 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.17
Из двух множеств А, В одно вложено в другое, напри-
например, АсВ. Тогда неравенство A) заведомо выполняется в
точках множества ОА и в точках множества НА, следова-
следовательно, и в точках множества A = GA-\-HA. Так как е>0
произвольно, то Нгп/(л:)=р, что и утверждалось,
s
4.17. Взаимно однозначные отображения
множества Е и соответствующие преобразо-
преобразования пределов.
а. Пусть множество Е отображено взаимно однозначно
на множество F, так что каждому х g E соответствует не-
некоторое у = со (х) ? F. Пусть на множестве Е задано на-
направление 5 из множеств АсЕ. Пусть BcF есть образ
множества А при отображении со. Совокупность Т всех мно-
множеств В образует направление на F, поскольку из свойств
взаимно однозначного отображения ш следует, что множе-
множества В, так же как и множества А, вложены друг в друга
и пересечение их пусто. Пусть, далее, на множестве Е
задана функция f{x) с значениями в метрическом простран-
пространстве М. Определим на множестве F функцию g{y) формулой
A)
Теорема. Функцияg{y) имеет предел по направлению Т
тогда и только тогда, когда функция f(x) имеет предел по
направлению S, и при этом
Доказательство. Пусть существует Wmg(y)=p.
Для заданного е >¦ 0 найдется множество В?Т, для кото-
которого p{g(y), p)<. e при у?В. На соответствующем мно-
множестве A?S мы имеем
так что jo = lira/(jt). В силу симметрии построения верно
s
и обратное, что и завершает доказательство.
б. Из соображений 4.16 б вытекает, что предыдущий
результат сохраняется, если взаимно однозначное отобра-
отображение со определено не на всем Е, а только на каком-либо
подмножестве
4.18] § 4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА 129
Рассмотрим два примера.
в. Пусть Е есть полуось \х:х>а\ и у ——х есть
отображение полуоси Е на полуось F={y:y < — а}. На Е
выберем направление х —>¦ оо. Соответствующее направление
на F, очевидно, есть направление у—>¦—оо. В силу а пре-
пределы limf(x) и lim/(—у) существуют или не существуют
Х-* OD $Г->—<ю
одновременно, и если они существуют, то равны:
lim/(jc)= ton /(—у).
х-*- <ю у-*¦ — оо
г. Пусть Е есть отрезок | х —х0 | ^ 1 с выброшенной
точкой х0 и F есть множество |у|^1. Формула у=
X—Xq
определяет взаимно однозначное отображение Е на F. На-
Направлению х —* х0 на отрезке Е отвечает направление
|_у|—»-сю на множестве F. В силу а пределы ton f(y) и
1г/|-»-<ю
lim/( ) существуют или не существуют одновременно
х-*х0 \х—хо/
и, если существуют, равны:
ton /Cy)= iim
4.18. Определение предела, данное в 4.12, зависит, есте-
естественно, от метрики, заданной на пространстве М. Однако
при замене метрики р (х, у) гомеоморфной метрикой г (х, у)
C.34 в) соотношение
р A)
сохраняется для метрики г (х, у), если оно было выполнено
для метрики р (х, у). Для доказательства мы используем
критерий гомеоморфности, указанный в 3.34 г. Пусть соот-
соотношение A) выполнено в метрике р и метрика г гомеоморфна
метрике р. Пусть задано е > 0; мы должны найти такое
Ag S, во всех точках которого выполняется неравенство
р)<е. B)
В силу критерия 3.34 г по заданному е>0 мы можем
найти такое 8 > 0, что из р(р, у) < б следует г(р, у)<е.
По найденному б возьмем A?S так, чтобы при х g А иметь
Р (/(*), Р)< 6-
130 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.19
Но тогда при х g А выполняется и B), что нам и нужно.
Очевидно, что верно и обратное: если соотношение B)
выполнено в метрике г, а метрика р гомеоморфна метрике г,
то соотношение A) выполнено и в метрике р.
4.19. Критерий Кош и. Критерий Коши существова-
существования предела числовой последовательности, приведенный
в 3.72 а, может быть перенесен на общий случай в пред-
предположении, что функция f(x) принимает свои значения
в полном пространстве.
Теорема. Функция f(x), определенная на множестве Е
с выделенным направлением S, принимающая свои значения
в полном метрическом пространстве М, имеет предел по
направлению S тогда и только тогда, когда выполняется
критерий Коши: для любого е > 0 существует такое множе-
множество B?S, что
Р [/(*'). /(*")]< в A)
для всех х' ?В, х"?В.
Доказательство. Пусть выполнено условие крите-
критерия Коши. Рассмотрим в пространстве М совокупность всех
множеств f(A), где A?S. (Множество/(Л) есть множество
всех значений функции f(x), принимаемых ею на множе-
множестве А.) Так как* множества A?S образуют вложенную
систему, то и множества f(A) образуют вложенную систему
(на М). Как видно из неравенства A), среди множеств f(A)
имеются множества как угодно малого диаметра. Поэтому,
в силу полноты пространства М и леммы 3.74 а, в М имеется
такая точка р, что в любом шаре Vt (р) = {у g M: р (у,р) < е}
содержится целиком одно из множеств f(B), B?S, так что
для всех х g В мы имеем
Р (/(*). Р)<е-
Но это и означает, что функция f(x) имеет по направ-
направлению 5 предел, равный р.
Обратное утверждение не требует предположения о пол-
полноте пространства М. Пусть f(x) имеет по направлению 5
предел, равный р. Найдем для заданного е > 0 множество
B^S, для всех точек которого выполнено неравенство
Р [Р./(*)]<!¦;
4.23] § 4.2. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ 131
тогда для любых х' и х" из В имеем
Р [/(*'), /(*")] <Р [Р, /(*')] +Р [Р, /(*")] <«.
что нам и требуется.
§ 4.2. Общие теоремы о пределах
Пусть Е— снова произвольное множество с выделенным
в нем направлением 5, и пусть /(х) — функция, заданная
на Е, со -значениями в метрическом пространстве М.
4.21. Если функция f(x) постоянна на Е, т. е. во всех
точках множества Е принимает одно и то же значение
р?М, то ее предел по направлению S существует и равен р.
Очевидно, требуемое неравенство 4.12 A) выполняется
в данном случае при любом е > 0 на каждом
4.22. Функция f(x) может иметь по направлению S лишь
единственный предел.
Действительно, пусть
f()M и q =
S S
Для заданного е > 0 найдем множество А с S, во всех точ-
точках которого выполняется неравенство
Р (/(*), Р)<е, A)
и множество BczS, во всех точках которого выполняется
неравенство
Р (/(*), <7)<е. B)
Пусть, например, Ad В. Тогда во всех точках множества А
выполняются оба неравенства A)иB). Пусть х?А — любая
точка, тогда из A) и B) следует, что
Р (Р, 0 <Р (/(*),/О+ Р (/(*), 9) <2е.
Поскольку е > 0 произвольно мало, мы имеем р(р, q) = О,
т. е. p = q, что и утверждалось.
4.23. Функция f(x) называется асимптотически принад-
принадлежащей множеству Gcz M, если существует множество
A^S, во всех точках которого f(x) принадлежит G.
132 ГЛ. 4. ОВЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ {4.31
Теорема. Если lim/(jc)=p и множество GaM содер-
s
жит некоторый открытый шар с центром в точке р, то функ-
функция f(x) асимптотически принадлежит G.
Доказательство. Пусть G содержит шар V =
— \У'Р(У' Р) < 8}- Найдем множество A?S, во всех точках
которого выполняется неравенство р (f(x), p) <С е. Это озна-
означает, что во всех точках множества А выполнено и включе-
включение f(x)?VczG, что и требуется.
§ 4.3. Пределы числовых функций
4.31. а. В §§ 4.3—4.6 мы будем строить теорию пре-
пределов для числовых функций, т. е. функций/(х), принима-
принимающих свои значения на числовой оси (расширенной или нет).
Специфика таких функций определяется наличием на число-
числовой оси метрики, порядка и арифметических операций. Соб-
Собственно, мы знаем там даже две разные метрики: обычную
метрику р (дг, у) = \х—у\, действующую в области R конеч-
конечных чисел, и метрику г(х,у) C.35 д), действующую в рас-
расширенной области R. Но в области R эти метрики гомео-
„морфны C.35 д); отсюда следует D.18), что существование
или несуществование конечного предела
не зависит от того, какая из метрик, р или г, использована
в определении этого предела.
б. Пусть на множестве Е заданы две функции: f(x) и
g(x) со значениями в R. Мы пишем f(x)^.g{x), если для
любого хо?Е выполняется неравенство f(x0) ^g(x0). Функ-
Функция f(x) называется ограниченной сверху на множестве Е,
если существует такое конечное число С, что для всех х ?Е
выполняется неравенство f(x) ^С. Функция/(л:) называется
ограниченной снизу на Е, если существует такое конечное
число С, что для всех х € Е выполняется неравенство / (х) ^ С.
Функция f(x) называется ограниченной с обеих сторон (или
ограниченной по модулю, или просто ограниченной), если су-
существует такое конечное число С, что для всех х g E выпол-
выполняется неравенство \f(x) | ^ С.
В каждой точке хо?Е, где обе функции f(x) и g(x)
конечны, мы определяем сумму f(x)-\-g(x) как результат
4.34] § 4.3. пределы числовых функций 133
сложения соответствующих значений f(x0) и g(x0). Анало-
Аналогично определяются вычитание, умножение и деление; по-
последнее (для данной точки х0) возможно, лишь если знаме-
знаменатель в этой точке отличен от нуля.
4.32. В развитие определения 4.23 будем называть чис-
числовую функцию f(x)
(а) неотрицательной (положительной) по направлению S,
(б) ограниченной (сверху, снизу) по направлению S,
(в) бесконечно малой по направлению S,
(г) положительной бесконечно большой по направлению S,
(д) отрицательной бесконечно большой по направлению S,
если, соответственно,
(а) существует множество А ? S, на котором функция
f(x) неотрицательна (положительна);
(б) существует множество B?S, на котором функция
f(x) ограничена (сверху, снизу); пишут f(x) — O(\);
(в) Нт/(д;) = 0 (т. е. для любого е>0 существует мно-
s
жество B?S, на котором |/(х)|<е); пишут f(x) = o(\);
(г) для любого C?R существует множество BQS, на
котором' f(x) > С; в этом случае будем писать lim/(x) = оо;
s
(д) для любого C?R существует множество B$S, на
котором/(х) < С; в этом случае будем писать Шп/(л:) = —сю.
s
4.33. Соотношение \\mf(x)—p равносильно соотношению
s
Это следует из определений предела и расстояния на чис-
числовой оси R:
р(а, Ь) = \а—Ь\.
4.34. а. Лемма. Пусть limf(x)—p; для любого е > О
s
существует такое A?S, во всех точках которого выполня-
выполняются неравенства
\f(x)—р|< 8, если р конечно,
f(x)> —, если р = + оо,
f(x) < , если р = — оо.
134 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.34
Утверждение леммы есть непосредственное следствие
теоремы 4.33 с учетом рассматриваемой метрики (на R и
на R).
б. Пусть рфО и конечно; тогда можно найти такое
е > О, что интервал (р—е, р + е) не содержит точки 0 и
состоит тем самым из чисел того же знака, что и само р.
Отсюда:
Если функция f(x) имеет по направлению S предел р > О,
то f(x) положительна по направлению S; если f(x) имеет
по направлению S предел р<С0, то f(x) отрицательна по
направлению S.
Результат верен также для р = оо и /з = —оо, что не-
непосредственно видно из а.
в. Следующее предложение представляет собой своего
рода обращение предложения б:
Если f(x) неотрицательна по направлению S и имеет
предел р, то р^О.
Действительно, если бы было р < 0, то по свойству а
существовало бы множество A?S, на котором f(x) <C 0.
С другой стороны, так как f(x) неотрицательна по направ-
направлению S, существует множество B?S, m котором / (х) ^ 0.
Поскольку АВ не пусто, получаем противоречие.
г. Подчеркнем, что при заключении «от предела» (б)
сохраняется знак > 0 (или < 0, но без равенства), а при
заключении «к пределу» (е) сохраняется знак ^ 0 (или ^ 0,
с равенством). Если известно только, что р ^ 0, то о знаке
функции /(х) на множествах A ?S нельзя делать никаких
заключений, она может принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Если известно, что /(х) > 0 на
некоторых А ? S, то предел р может быть положительным,
а может быть и нулем.
д. Будем говорить, что f(x)^.g(x)(f(x) < g(x)) no на-
направлению S, если разность g(x)—/(х) неотрицательна
(положительна) по направлению 5.
е. Если f(x) и g(x) имеют по направлению S соответ-
соответственно пределы р и q и f{x)^.g{x) no направлению S, то
р^д. (Следует из определения и из е.)
ж. Если f(x) и g(x) имеют пределы р и q и р < #, то
f(x)<.g(x) no направлению S. (Следует из б.)
4.36] § 4.3. пределы числовых функций 135
з. Если f(x)^.g(x)^.h(x) no направлению S и f{x) и
h(x) имеют одинаковый пределр = lim/(х) = limh(х), тоg(x)
S S
также имеет предел по направлению S, равный р.
Достаточно рассмотреть случай р — 0, заменив в против-
противном случае f(x) и g(x) на f(x)—р и g(x)—р D.33). Для
заданного е > 0 найдем множество А ? S, на котором
f(x) <e и |А(л:)|<е; очевидно, на множестве А также
g(x) < e, что и требуется.
4.35. а. Если f(x) и g(x) ограничены по направлению S,
то f(x)-\-g(x) и f(x)-g(x) также ограничены по направле-
направлению S.
Действительно, пусть на множестве A?S выполняется
неравенство
неравенство
и на множестве B?S выполняется
Если, например, А с В, то для всех
выполняются неравенства
и
что нам и требуется.
б. Если/(х) и g(x)—бесконечно малые по направлению S,
то f(x)-]-g(x) — также бесконечно малая по направлению S.
Пусть для заданного е > 0 мы нашли множества А? S
и B?S, на которых соответственно |/(#)| < "о"' 1^(ЛГI<~
< ~; если, например, АсВ, то для всех х?А
\f(X)+g{X)\<B,
что и требуется.
в. Если f(x) ограничена по направлению S, a g(x) —
бесконечно малая по направлению S, то f(x)g(x) — беско-
бесконечно малая по направлению S.
Действительно, пусть на множестве A?S выполняется
неравенство |/(л;)|^С и для заданного е > 0 мы нашли
множество B?S, на котором выполняется неравенство
\&(х) |^= т^"" На/45 выполняется неравенство |/(д:)^-(л;) |^е,
что нам и требуется.
4.36. а. Если \imf(x)=p, \img(x)—q, то функция
S S
f(x) i~g(x) имеет на S предел, равный p-\-q.
136 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.37
Действительно,
(S)—Я)> как сумма бесконечно малых, есть бесконечно
малая D.35 б).
б. Если lim/(x)=p, limg(x) = q, то функция f{x)g(x)
s s
имеет на S предел, равный pq.
Действительно, f{x)g(x) —pq=fg—fq+fq—pq=
~f(g—#) + *?(/—P)> каждое из слагаемых есть бесконечно
малая по 4.35в.
в. Если litnf(x)=p^0, го туг ограничена по направ-
s t (х)
лению S.
Действительно, найдем множество А ? 5, на котором
\/(х) I ^ •§¦ D-34 а)> Для х € А мы имеем :.. .-i ^ —, что и
требуется.
г. Если Ит/(х)—рфО, то гт-т имеет предел по направ-
S IVе)
лению S, равный —.
Действительно, - = '—^- = —-(/—р) есть бесконеч-
бесконечно малая по е, 4.33 и 4.35 в.
д. Если limg(x) — q, Ит/(х)=рфО, то ~Щ имеет пре-
s. s I (х)
дел по направлению S, равный —.
Это следствие б и г.
4.37. а. Если limf(x) = 0, то Шпг——:=оо, и обратно:
s s 1/WI
если lim I g(x)\ = оо то lim—j- =0.
s s 6W
Заключение вытекает из равносильности неравенств
б. Если Нт/(д:)==оо, то liraf—f(x)] ——оо. Если
S S
/() = oo и X\mg{x)=p >0, то lim/(x)^(x) = oo; если
S S S
же limg(x)=p < 0, то \imf(x)g(x) = — оо. Это—непосред-
s s
ственные следствия определений 4.32 (г), (д).
4.381 § 4.3. пределы числовых функций 137
4.38. Определение. Пусть/(х) и g(x)—две функции
на множестве Е с направлением S. Функция f(x) называется
бесконечно малой по сравнению с g(x) (или, если g(x) сама
есть бесконечно малая, бесконечно малой высшего порядка
по сравнению с g(x)), если
В этом случае пишут
f{x) = o{g(x)).
Функция f(x) называется бесконечно большой по сравнению
с g(x) (или, если g(x) сама есть бесконечно большая, бес-
бесконечно большой высшего порядка по сравнению с g(x)),
если
fix)
lim
s
= оо.
Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными (по на-
направлению S), если
s Six)
а. Из 4.37 а следует: если /(л)—бесконечно малая
по сравнению с g(x), то g{x)—бесконечно большая по
сравнению с f(x).
б. Если f(x) и g{x) эквивалентны и существует предел
s h(x)
где h(x)—некоторая функция на Е, то существует и предел
1Тш
который также равен L. Действительно,
h(x) h(x)g(x)
по 4.36 б. Таким образом, при вычислении предела отношений
числитель (а также, конечно, и знаменатель) можно заменять
эквивалентной функцией.
138 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.39
4.39. Символ Е.
а. Символ Е обозначает функцию, имеющую (по данному
направлению) предел 1. (Более правильным было бы обозна-
обозначение Е{х), но для сокращения аргумент х не пишут.)
Функцию Е, в соответствии с 4.23, будем называть асимп-
асимптотической единицей. Очевидно, произведение и частное двух
асимптотических единиц есть снова асимптотическая единица.
б. Лемма. Если Ига и (х) — 0, го при любом натураль-
s
ном р
(\+и(х))Р=\+рЕи(х). A)
Доказательство. По формуле Ньютона
A + и (х)У = 1 +ри (х) + ^=^ Ф (х) + ... + up (х) =
= 1 +Ри(х)
поскольку предел выражения в скобке равен 1 D.36 а, б).
в. Асимптотические единицы часто приносят пользу при
вычислении пределов. Пусть, например, надо найти
, Я, г, s-натуральные числа).
По определению и лемме б мы имеем
+ х* = х(\+х) = хЕг,
= 1 +дхЕ2Е3= 1 +дхЕА,
(\+2x)r=\+2xrEb, 2x—xs = 2x(\—~xA=
s = \ — 2xsEeE7 = 1 — 2xsEe;
{\+2xf—A—2x+x*y> (l+2xrEb)—(l—2xsEs)
_ pE1~qEi p—q
и вычисление закончено.
г. Предел рациональной функции R{x) при
X —»¦ + оо. Рассмотрим рациональную функцию
4-41] § 4.4. предельные точки функции 139
При | х | —> сю мы имеем
р I г\ \ "о х ао х ) <ЧХ t-i 0о vm-n F
Отсюда, в силу правил 4.36—4.57, если
( 0 при т < п,
)=< a0
lim R(x)< a0
| .г i -> ос, [ jt- при т = п.
При т > п функция R (х) имеет бесконечный предел того
или иного знака, в зависимости от выбранного направления
(х —?- + оо или —оо), от знака -^ и от четности или нечет-
нечетко
ности величины т—п. Мы предоставляем читателю разоб-
разобраться в возникающих здесь возможностях.
§ 4.4. Предельные точки функции
4.41. Рассмотрим предельное поведение числовой функ-
функции /(х) со значениями в расширенной области вещественных
чисел R (§ 1.9). Для каждого множества A?S положим
в области R обе указанные величины существуют и ад??С ЬА.
Так как всякие два множества А и В системы 5 вложены
друг в друга, то и всякие два отрезка [ад, bA], [aB, bB]
вложены один в другой. Положим
? = supa,,, r\=mibA; A)
AeS AeS
в силу обобщенного принципа Кантора A.94)
II,U B)
Число ? ? R называется нижней предельной точкой (или ниж-
нижним пределом) функции /(х) по направлению S, число т]?/?
называется верхней предельной точкой (или верхним пределом)
функции f(x) no направлению S; это записывается так:
140 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЙ ПРЕДЕЛОВ 14.42
4.42. Из равенства B) D.41) можно вывести следующий
результат: при любом е > 0 существует такое множество
A?S, что
а„ =inf {/(*):* €Л}>?—в,
bA = sup {/{х): х 6 А} < ц + е.
(Если | принадлежит R—R, то полагаем |—е = |; анало-
аналогично т]-|-е = т], если т]?/?— /?.)
4.43. Как следствие получаем: если% = ц, то функцияf (х)
имеет предел по направлению S, равный ? = г\; если ? м т]
конечны и | = т], то % = г\ есть конечный предел функции f(x)
по направлению S.
4.44. Обратно, если функция f(x) имеет предел по на-
направлению S, равный р, то отрезок [|, т)] = XI [аА> ^а\ пРи~
A?S
водится к единственной точке р, так что %, = г\=р.
4.45. Для выяснения смысла введенных понятий дадим
еще следующее определение (ср. определение 3.41):
Число y?R называется предельной точкой функции f{x)
по направлению S] если для любого е > 0 и для любого
А ? 5 существует такая точка х ? А, что
I/O*)—.yl< е> если з> конечно;
~,если^ = оо,
——, если-у = — оо.
Если функция /(х) имеет по направлению 5 предел р,
то р есть предельная точка функции f(x) по направлению S,
однако обратное, вообще говоря, не имеет места.
4.46. Покажем, что для любой предельной точки y?R
функции f(x) выполняются неравенства |^.у^т), где | и
г] определены в 4.41.
Действительно, если у есть предельная точка функции
f(x) по направлению S, то для любого AS
и, следовательно, з»еП[ад. ЬА'] = [I, г\].
4.51 J § 4.5. ФУНКЦИИ, НЕУБЫВАЮЩИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 141
С другой стороны, сами точки \иц всегда суть предель-
предельные точки функции f(x) no направлению S, так что опре-
определение 4.41 согласуется с 4.45. Проверим это утверждение
для точки ?. Если % есть конечное число, то для заданного
р
р
е > 0 существует такое Ао ? S, что 0 ^ \ — ад, < у , и,
следовательно, для каждого АсА0 мы имеем
откуда также 0^? — аА < -|-. Так как а^ = inf {f(x):x?A\,
то существует точка х?А, для которой 0^.f(x) — аА < -~-
и, следовательно,
Для каждого Bz>A0 также имеется такая точка х, которую
можно взять из множества Ао. Таким образом, ? есть пре-
предельная точка функции /(х) по направлению S. Доказатель-
Доказательство для случая, когда ??/? — R, а также доказательство
аналогичного утверждения для точки т] проводятся по той
же схеме.
4.47. Следствие. Множество всех предельных точек
функции f (x) на расширенной прямой не пусто, и его точными
границами являются точки ? = lim/(jt) и t] = limf(x).
~ s
4.48. Если функция f{x) имеет предел по направлению S,
равный р, то, как мы видели, ? = 11=р; в этом и только
в этом случае число р есть единственная предельная точка
функции f(x) по направлению S.
§ 4.5. Функции, неубывающие по направлению
Числовая последовательность уи уг, ..., уп, ... назы-
называется неубывающей, если у± *?^уг ^ ... ^^„ ^yn+i ^ • • •
Сформулируем аналогичное определение для числовой
функции y=f(x), заданной на произвольном множестве Е
с выделенным направлением S.
4.51. Определение. Числовая функция f(x) назы-
называется неубывающей по направлению S, если для любых
множеств А б S, В ? S из того, чтоБгэЛ, следует неравенство
sup {f(x):x?B-A\ <inf {f(x):x ?A). A)
142 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ D.52
4.52. Примеры.
а. Если ?={1, 2, ...}, то функция у=/(х) есть чис-
числовая последовательность ylt уг, ... Пусть, как обычно,
направление 5 на Е задано множествами Л„ = \п, п-\- 1, .. .},
п=\, 2, ... Покажем, что в этом случае определение 4.51
совпадает с нашим исходным определением неубывающей
последовательности.
Пусть последовательность /„—неубывающая в смысле
определения 4.51. Для множеств Ап= {п-\-\, ...} и Вп =
= {п, л+1, ...} мы имеем Вп— Ап={п), так что условие
4.51 A) влечет
Обратно, из выполнения неравенств ДД „^
следует для любого A = {fn, /n+1, ...}g5 и АсВ =
= {/*. Л+1. ¦••}€5, k<n, что sup{f(x):xeB-A\ =
,sup{/ft, ...,/„_!}=/„_!</„ = Ш{/(х):х?А}, так что
последовательность f(x) — неубывающая в смысле опреде-
определения 4.51.
б. Если E = R+ есть вещественная полуось а^.х с на-
направлением 5, определенным подмножествами Л, = {х б /??: х^
^|}, то функция f.(x) является неубывающей при х-~>-оо
тогйа и только тогда, когда из а ^.у < г следует f(y) ^f(z).
Действительно, пусть функция f(x) является неубываю-
неубывающей в смысле определения 4.51. Тогда для множеств А и
Az, Ay-r>Az, т. е. при y<.z, мы имеем
< г} <inf
Обратно, если для любых ^ < г из /?? мы имеем (з ^(,
то функция/(х) — неубывающая в смысле определения 4.51,
так как если х' ?А —Аг (т. е. у^.х' < z) и л;"^Лг (т. е.
") то/(*')</(х") и по Л62 6
sup ^ }
4.53. Теорема. ?слы функция f (x) не убывает и огра-
ограничена сверху по направлению S, то она обладает пределом
по направлению 5:lim/(x) = sup {f{x):x?A\, где A?S —
s
любое множество, на котором f(x) ограничена сверху.
4.54] § 4.5. ФУНКЦИИ, НЕУБЫВАЮЩИЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 143
Доказательство. Пусть/(х) ограничена сверху на
множестве Л^5. Положим p = sup {f(x):x? А}. Для задан-
заданного е > 0 найдем точку х0 ? А, для которой
Р — K/WO'
Так как пересечение всех множеств системы 5 пусто, то
существует множество В ? S, не содержащее точки х0. Оче-
Очевидно, из двух возможных включений А^В, В^А в данном
случае реализуется первое, ЛгэВ. Так как f(x) не убывает
по направлению S, то
inf {/(*):*GB}> sup {/(*):*?A-B}^f(x0) >р-е.
С другой стороны, из BczA следует
sup {/(*):* еВ}< sup {/(*):* е^}=,р
(см. /.52 а). Таким образом, всюду на В
что и завершает доказательство.
Для неубывающей функции f{x), имеющей предел р по
направлению S, используется запись f(x)/ p или просто
f(x)/p. s
4.54. Числовая функция f(x) называется невоэрастающей
по направлению S, если для любых множеств А ? S,
из того, что В^А, следует неравенство
Для невозрастающих функций справедлива теорема, анало-
аналогичная 4.53:
Теорема. Если функция f(x) не возрастает и ограни-
ограничена снизу по направлению S, то она обладает пределом
по направлению S:
где A?S — любое множество, на котором функция f(x)
ограничена снизу.
Эта теорема немедленно получается из теоремы 4.53,
если заметить, что в условиях нашей теоремы функция
—f{x) не убывает и ограничена сверху на направлении S
и что если p = inf {f(x):x?A}, то по 1.61
sup{— f{x):x?A) = — p.
144 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ I4-55
Для невозрастающей функции f(x), имеющей предел р,
используется запись f(x)\p или просто f(x)\p.
s
4.55. Теорема. Если функция f(x) на направлении S
не убывает и не ограничена сверху, то
limf(x) = оо
s
(см. 4.32 (г)).
Действительно, пусть задано число С; так как функция
f(x) по направлению S не ограничена сверху, то в любом
множестве В? S найдется точка хо?В, в которой f(x) > С.
Фиксируя В, найдем на направлении S множество АсВ, не'
содержащее точки х0. По условию
следовательно, во всех точках множества А выполняется
неравенство
f{x)>C,
и наша теорема доказана.
4.56. Аналогичный факт имеет место для функции f(x),
невозрастающей по направлению 5:
Теорема. Если числовая функция f{x) на направле-
направлении S не возрастает и не ограничена снизу, то \imf(x) = — оо.
s
Доказательство сводится к применению 4.55 к функции
§ 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях
.4.61. Мы применим здесь общую теорию §§ 4.3—4.5
к случаю числовых последовательностей. Определение пре-
предела числовой последовательности мы дали еще в 3.32 (а).
Напомним его здесь. Числовая последовательность {у„} =
= {.Уь • • ¦ > Ую • • ¦) (Уп€R) называется сходящейся к числу
p?R, если для каждого е > 0 существует такое натураль-
натуральное iV, что при всех n^N выполняется неравенство
\Р—Уп\<*-.
4.63] § 4.6. ТЕОРЕМЫ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 145
Число р в этом случае называется пределом последова-
последовательности уп, что записывается в форме
Если числа уп рассматривать как точки расширенного
пространства R, то определение конечного предела остается
таким же, но становятся возможными и бесконечные пре-
пределы. Последовательность ylt ..., уп, ..., сходящаяся
в пространстве R к Н-оо, является в пространстве R рас-
расходящейся; в отличие от других расходящихся последова-
последовательностей мы будем такую последовательность называть
расходящейся к +00. Аналогично определяется последова-
последовательность, расходящаяся к —оо.
4.62. Критерий Коши 4.19 для числовых последо-
последовательностей совпадает с приведенным в 3.72:
Последовательность чисел хг, .. ., хп, .. . имеет (конечный)
предел тогда и только тогда, когда для любого е > О суще-
существует такое число N, что при всех m^N, n^'N
\xm—xn\<e.
4.63. а. В соответствии с определением 4.32 (б) после-
последовательность хи ..., хп, ... называется ограниченной
сверху при п—>-оо (снизу, просто ограниченной), если суще-
существуют число С и такое число TV, что для всех п^ N вы-
выполняется неравенство хп-^С(хп~^С, \хп\^.С). Впрочем,
условию n^N не удовлетворяет только конечное число
натуральных чисел от 1 до ./V; поскольку множество чисел
х1г . .., xN ограничено, в условии ограниченности последо-
последовательности величину ./V можно не упоминать; можно опу-
опускать также слова «при п—»- оо».
б. Далее, в соответствии с определениями 4.51 и 4.54
последовательность xlt х2, ¦ ¦ ¦ называется неубывающей
(невозрастающей) при п—»-оо, если существует такое TV,
что при tC^Nвыполняется неравенство xn+1Z^xn(xn+1^.xn).
в. В силу теоремы 4.53 всякая ограниченная сверху
и неубывающая последовательность х1г хг, ... имеет при
п—+оо предел. Аналогично D.54) имеет предел последова-
последовательность х-,, хг, ..., ограниченная снизу и невозрастающая.
146 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ [4.63
Если же неубывающая (невозрастающая) последова-
последовательность не является ограниченной сверху (снизу), то она
стремится к оо (—оо) D.55, 4.56).
г. Пример. Рассмотрим последовательность чисел
«„=A4-1)" (я=1, 2, ...);
покажем, что эта последовательность имеет при п —* оо
конечный предел. Действительно, по формуле бинома Ньютона
' с возрастанием п в этой сумме увеличиваются и' число сла-
слагаемых, и каждое слагаемое, так что числа ип возрастают.
k
Далее, заменяя 1 на 1, получаем
1 I 1 2"+!
<\ + \+± + -+...+±=\+ ±—< 1+2 = 3,
2
так что последовательность ип ограничена сверху. Приме-
Применяя в, убеждаемся в существовании предела последователь-
последовательности и„. Этот предел обозначают буквой е:
e= lim
n-j-co
Из сказанного ясно, что 2<е^3. Более точное вычис-
вычисление показывает, что е = 2,71828... Можно доказать, что
число е иррационально (см. задачу 14 к гл. 8), и даже что
оно трансцендентно (теорема Эрмита *)).
*)См., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, п. 319, стр. 146, Гостехиз-
дат, 1966.
4.65] § 4.6. ТЕОРЕМЫ О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 147
4.64. Приведем еще определения и факты, относящиеся
к предельным точкам числовых последовательностей. В соот-
соответствии с определением 4.45 точка ??/? называется пре-
предельной точкой последовательности хп, если для любого
б > 0 и любого TV найдется номер n^N такой, что
| хп—11 < е, если | конечно,
хп > 1/е, если | = оо,
хп < — 1/е, если ? = —оо.
Для каждого п положим
bn = sup{xn, xn+1, ...
Согласно 4.41 отрезки [ап, Ьп] расширенной числовой оси
образуют вложенную последовательность с пересечением
[|, т)], где | = supan, ч] = ШЬ„. Все предельные точки по-
последовательности хп содержатся в отрезке [|, т)], причем
сами точки | и т] всегда являются предельными и назы-
называются нижним и верхним пределом последовательности;
это обозначают так:
| = litn хп, т) == lim xn.
п~-> со
Если | = т), последовательность хп имеет предел Е, = ц ( ? /?).
?слм ^ = т) м конечно, то последовательность хп имеет ко-
конечный предел | = т). Обратно, если последовательность хп
имеет предел р, то % = ц=р и последовательность хп
имеет число р своей единственной предельной точкой.
4.65. Предел последовательности и предел
функции. Если функция f(t), определенная при t~^tm
имеет при t —»- оо предел, скажем \\mf(t)=p, то последо-
t-* 00
вательность чисел
yn=f(n) (п—целые, большие ?0)
имеет тот же предел р D.16 а).
Обратное заключение о существовании предела функции
f(x), определенной при х^ х0, при наличии предела после-
последовательности f(n) уже несправедливо. Так, функция
148 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 14.66
f(x) — (x) (дробная часть х, 1.71) не имеет предела при
л:—*-со, хотя /(«) = («) —О имеет пределом 0.
4.66. Однако имеет место следующая теорема.
Теорема. Функция f(x), определенная при х^х0,
имеет предел при х —»- сю тогда и только тогда, когда каж-
каждая последовательность f(xn) (где хп~^х0—любая после-
последовательность, расходящаяся к со) имеет предел.
Доказательство. 1) Если f(x) имеет при х —»- сю
предел р, то этот же предел р имеет и любая последова-
последовательность f(xn), me xn—>-сю.
Это снова вытекает из 4.16 а.
2) Если f(x) не имеет предела прн х—»-со, то не вы-
выполняется критерий Коши 4.19. Поэтому при некотором
h > 0 для любого п можно найти такие точки х'п > п,
х"п>п, что
\f(x'n)-f(x"n)\>h. A)
Рассмотрим последовательность
Х^, Х^, A>2j л2, . . ¦ | Хп, Xп, . • •
Очевидно, она стремится к со, и последовательность
соответствующих значений функции f(x)
f(x\),f(x:),f(x'2),f(xl), ...
не имеет предела, так как A) показывает, что для этой
последовательности не выполняется критерии Коши.
Изложенные факты не исключают, однако, того что в спе-
специальных случаях, используя дополнительные свойства функ-
функции f(x), можно делать выводы о существовании ее предела
при х—»-со на основании существования Нт/(я).
§ 4.7. Пределы векторных функций
4.71. Рассмотрим здесь функции f(x) со значениями
в и-мерном пространстве /?„ B.61). Поскольку я-мерное
пространство является метрическим, определение предела
по направлению S применимо, и для такого предела спра-
справедливы свойства, указанные в § 4.2. Но и некоторые
свойства пределов для функций с числовыми значениями,
4.73] § 4.7. пределы векторных функций 149
перечисленные в §§ 4.3—4.5, сохраняются для функций со
значениями в /?„, именно те, которые связаны со свойствами
линейных операций и не связаны с использованием порядка.
Перечислим их вкратце.
4.72. Для функций со значениями в я-мерном простран-
пространстве Rn определены следующие операции:
а. Сложение: если функции f(x) и g{x) принимают
свои значения в пространстве /?„, то их сумма, т. е. функ-
функция, равная при каждом хо?Е сумме /(х0)-\-g(хо)Г также
есть функция со значениями в Rn.
б. Умножение на вещественную функцию:
если функция f(x) принимает значения в пространстве Rn,
а функция а(х) имеет вещественные значения, то их про-
произведение, т. е. функция, равная при каждом хо?Е произ-
произведению а(хо)/(хо), также есть функция со значениями
в пространстве /?„.
в. Для случая п = 2, когда векторные функции f(x),
g(x) можно истолковать как комплекснозначные, по прави-
правилам действий с комплексными числами определены произ-
f (х)
ведение f(x) • g(x) и частное -—ir (последнее — при
))
4.73. а. Соотношение \\mf(x)=p?Rn равносильно соот-
s
ношению litn[/(x)—р\= 0 и соотношению lim|/(jc)—р| = 0.
S о
б. Функция f(x) со значениями в Rn называется огра-
ограниченной по направлению S, если существует конечное
число с и множество А ? S, во всех точках которого вы-
выполняется неравенство |/(д;)|^с.
Если f(x) и g(x) ограничены по направлению S, то
функция f(x)-\-g(x) также ограничена по направлению S.
в. Если limf(x)=p€Rn, lim g (x) — q ? Rn, то функция
s s
f(x)-\-g(x) имеет по направлению S предел, равный p-\-q.
150 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ D.74
г. Если limf(x)=p?Rn, litn а (х) = / ? R, то функция
s s
a(x)~f(x) имеет по направлению S предел, равный 1р:
lim a (x)f(x) = litn а (х) • limf(x).
S S S
д. Для случая л = 2, когда векторные функции f(x),
g(x) можно истолковать как комплекснозначные, так что
имеет смысл операция умножения, имеем: если limf(x) =p ^ С,
s
limg(x)=q?C, то limf(x)-g(x) =pq и litn^ = -^-(послед-
нее при <7=5>^О).
е. Пример. Определим в плоскости С комплексных
чисел z = х + iy направление z —г- оо как совокупность всех
множеств Аг вида
Ar={z?C:\z\>r\.
Очевидно, свойства направления D.11) здесь выполнены, и
мы можем для функций f(z), определенных при \z\~^r0,
говорить о существовании или несуществовании предела
litn/ (z). В частности, для функции f(z) = —, определенной
г-* со z
при гфО, мы имее>1
litn -1 = 0,
г->сп *
поскольку при любом е > 0 на множестве
мы имеем \f{z) \ =¦.—- < е. Далее, для любого многочлена от
переменного—, т. е. многочлена вида
ao+af+...+afn
с комплексными коэффициентами а0, аъ ..., ап, в силу в и д
iitn
4.74. Функцию f(x) со значениями в я-мерном простран-
пространстве Rn можно записать в форме
(/iD -,/„D
ЗАДАЧИ 151
где fk(x) — координаты вектора f(x), представляющие собой
числовые функции. При этом имеет место неравенство
C.14 (9))
max |Д (х)-Д 0>) I < К S [/> (х)-/,
ln / i
< t I//(*)-//001- О)
Отсюда мы делаем следующий важный вывод:
Теорема. Функция f(x)?Rn тогда и только тогда
имеет предел по направлению S, когда каждая из числовых
функций ft(х), ..., /п(х) имеет предел по направлению S.
4.75. Сформулируем для пространства Rn критерий Коши
D.19), справедливый в силу полноты Rn E.72 в).
Теорема (критерий Коши в Rn). Функция f(x)
со значениями в Rn имеет предел по направлению S тогда
и только тогда, когда для любого е > О существует такое
множество A?S, что для любб1х двух точек х и у из А
|/(*)-/О0Ю. A)
ЗАДАЧИ
1. Доказать, что если сходится последовательность xn?R, то
сходится и последовательность | хп \. Верно ли обратное?
2. Для любых двух вещественных последовательностей ап и Ъп
lim an + lim Ь„ < lim (а„ -\-bn) ^ lim а„+Шп6„,
lim ап + Йт Ьг Зг lim (а„ + Ьп) ^Ш ап + lim 6„.
3. Если последовательность ап сходится, то и любая ее переста-
перестановка ащ, апз, ..., аПк, ... сходится к тому же пределу. Следует
ли сходимость последовательности из сходимости некоторой ее пере-
перестановки?
4. Если последовательность ап сходится, то для любой последо-
последовательности Ьп имеем
5. Если для некоторой последовательности ап и любой последо-
последовательности Ьп
Ш(ап+Ьп) = lim ап + ШЬп,
то последовательность ап сходится.
152 ГЛ. 4. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
6. Пустьх1 = а,х2=Мз=-2-(а+6)' •••> жя=у(ж
Найти limxn.
7. Пусть а > 0, х0 > 0 и
+?) («-0. ». 2, ...).
Доказать, что limxre = |/"a.
8. (Арифметико-геометрическое среднее Гаусса). Пусть а > О,
b >0; положим х1=а, «/!=6, .. .,xn+i=/^, УЯ+1 = *"^"У". ..;
доказать, что числа х„ и уп имеют общий предел.
9. Если max {plt .... pm\=Pi(Pi > 0, ..., рт> 0), то и
lim
п Г т
У S рК-йр
10. Прямая y=kx-\-b называется асимптотой кривой y=f(x) при
*• -f- оо, если
lim
Доказать, что кривая y=f(x) в том и только в том случае обла-
обладает при х—»- + <» асимптотой, если одновременно существуют пре-
пределы
Ш, lim [/(*)—* lim ^
l.
J
11. Пусть f{x)—функция, определенная на метрическом простран-
пространстве М, со значениями в метрическом пространстве Р. Будем говорить,
что точка р?Р есть «усиленный» предел функции f(x) при х->-а?М,
если для любого е >0 найдется такое 6 > 0, что для всех х?М
таких, что р(х, а) < 6 (не исключая и точки х=а), выпол-
выполняется неравенство р(/ (х), р) < е. «Усиленный» предел не входит
прямо в схему 4.12 предела по направлению. Показать, что точка
р?Р тогда и только тогда является «усиленным» пределом функции
/ (х) при х -*¦ а, когда р есть предел функции / (х) по направлению х-+а
и при этом f(a)—p.
12. Пусть у(х)—функция, определенная на множестве X с выде-
выделенным в нем направлением 5 = {ЛО}, со значениями в метрическом
пространстве Y; пусть г (у)—функция, определенная на F, со значе-
значениями в метрическом пространстве Z. Сложная функция г (х) = г [у (х)]
определена на множестве X и принимает свои значения в простран-
пространстве Z. Пусть существуют пределы
p = ]imy(x)?Y, <?= lim
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 153
Справедливо ли утверждение, что существует lim г (х)? Если он
s
существует, совпадает ли с <??
13. В условиях задачи 12 доказать следующие предложения:
а) Если существует множество Л^^, на котором у(х) не при-
принимает значения р, то г (я) имеет предел, равный q.
б) Если существует множество A?S, на котором у(х) тождест-
тождественно равна р, то г \х) имеет предел г (р).
в) Если на каждом множестве A^S функция у(х) принимает
и значение р, и значения, отличные от р, то функция г(х) имеет
предел тогда и только тогда, когда q = z(jp) (т. е. q есть «усиленный»
предел функции г (у) при у ->¦ р), и в этом случае
lim г (х) = д.
s
Историческая справка
Первое корректное определение предела числовой функции было
дано Коши в 1821 г. в его «Курсе алгебраического анализа». Коши
установил основные теоремы о существовании разного рода пределов,
в частности пределов монотонных функций и последовательностей.
Он же ввел понятия верхнего и нижнего пределов. Более общие
понятия предела были предложены Шатуновским A923), Муром и Сми-
Смитом A923). Сходимость «по направлению» есть частный случай схо-
сходимости «по фильтру» А. Картаиа A937). См. Н. Бурбакй, Общая
топология, Физматгиз, 1958.
ГЛАВА 5
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Моей главной целью было согласовать строгость,
которую я вменял себе в обязанность в изложении моего
курса анализа, с простотой, вытекающей из непосред-
непосредственного рассмотрения бесконечно малых количеств.
О. Коши A823)
§ 5.1. Непрерывные функции на метрическом
пространстве
5.11. Пусть задана функция f(x) на метрическом про-
пространстве М со значениями в метрическом пространстве Р.
Пусть а?М—фиксированная не изолированная точка D.15 а).
Рассмотрим направление х-^+а D.15 а), образованное ша-
шарами Ur(a)= {x:p(x, а)^.г\ с выброшенной точкой а.
а. Определение. Функция f(x) называется непре-
непрерывной при х = а (а точка а при этом называется точкой
непрерывности функции f(x)), если
Иначе говоря, функция f(x) непрерывна при л: = а, если
для любого е > 0 существует такое б > 0, что из р (х, а) < б
следует
р(/(х),/(а))<г. A)
Для числовой функции f(x) неравенство A), естественно,
записывается в виде
б. Из 4.66 следует второе определение непрерывности:
функция f(x) непрерывна при х=а, если для любой после-
последовательности хп —* а (в Л?) непременно f(xn)—*f(a) (в Р).
в. Каждая изолированная точка а?М, по определению,
считается точкой непрерывности функции f(x).
5.13] § 5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 155
г. Определение. Точка х0, не являющаяся точкой
непрерывности функции f(x), называется ее точкой разрыва.
д. Определение. Функция, непрерывная в каждой
точке пространства М, называется непрерывной на М.
е. Определение непрерывности функции f(x) в точке а
зависит, естественно, от метрики, заданной на пространст-
пространствах М и Р. Но так как это определение может быть сфор-
сформулировано в терминах сходящихся последовательностей (б),
то свойство функции быть непрерывной в точке а, а также
и на всем множестве М, не нарушается при замене мет-
метрики в пространствах М и Р на гомеоморфные C.34).
5.12. а. Очевидным примером непрерывной функции с об-
областью определения М и областью значений Р является
постоянная:
где у0 — фиксированная точка пространства Р D.2]).
б. В качестве второго примера рассмотрим расстояние
р (х, а) от фиксированной точки а. Это есть некоторая
числовая функция в метрическом пространстве М. Ее непре-
непрерывность в каждой точке х = х0 пространства М следует
из 3.32 6.
5.13. Дальнейшие предложения, относящиеся к случаю
числовых функций, дают возможность строить широкие
классы непрерывных функций.
а. Если числовые функции f(x) и g(x) непрерывны при
х = х0, то h (х) = f (х) + g (x) также непрерывна при х = х0.
Это—следствие из 4.36 а.
б. Если f(x) и g(x) непрерывны при х = х0, то р(ж)=
=f(x)-g(x) также непрерывна при х = х0.
Это — следствие из 4.36 б.
в. Если f(x) и g(x) непрерывны при х = ха и g (хЛ =j/= О,
fix)
то q (х) = . ' также непрерывна при х — х0.
Это — следствие из 4.36 д.
г. Числовая функция у = х, определенная на числовой
оси R, очевидно, непрерывна на R. Из предложений а, б к
в следует, что любой многочлен ао-\-агх-\-...-\-апхп не-
непрерывен на R всюду и что любая рациональная функция
156 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ F.14
. . ao-i-a1x-\-. ..-\-а„хп п .,
г(х)= . . . . ." непрерывна на R всюду, кроме
Oo+Dxx~r -\-отх
точек, где ее знаменатель обращается в 0.
д. Числовая функция у= gft (k-я координата вектора
Jf = (?i, •-., ?„)), очевидно, есть непрерывная функция
в /z-мерном пространстве /?„. Из предложений а—в следует,
что любой многочлен от координат вектора х непрерывен
всюду на Rn и любая рациональная функция от координат
вектора х непрерывна, на Rn всюду, кроме точек, где ее
знаменатель обращается в 0.
5.14. Пусть /(х) — непрерывная функция, определенная
на метрическом пространстве М, со значениями в метриче-
метрическом пространстве Р. Пусть, далее, G с Р—некоторое мно-
множество и H={x?M:f(x)?G}.
а. Если G открыто, то и Н открыто.
Действительно, пусть хо?Н, f(xo)?G и V=
= {у?Р'-р{у, /{хо))<в} есть шар с центром в точке f(x0),
лежащий в области G. Пусть найдено б > 0 так, что из
р(х, хо)<6 следует p(f{x), f(xo))< e. Тогда шар U=
= {х:р(х, х0) < 8} лежит в Н.
б. Если G замкнуто, то и Н замкнуто.
Действительно, дополнением в М множества {x:f(x)?G}
является множество {x:f(x)?P—G}, которое в данном
случае открыто в силу а.
в. Следствие. Если f(x)—числовая непрерывная
функция, то при любом вещественном с ? /? множества
{x?M:f(x)<c},
{x€M:f(x)>c\
открыты, а множества
{*:/(*)< с},
{*:/(*)> с},
{*:/(*) = <)
замкнуты.
г. Если /г{х), ..., fm(x)—непрерывные числовые функ-
функции, то при любых вещественных av ..., ап, Ьг, ..., bm
5.15] § 5.1. непрерывные числовые функции 157
(из R) множество
x)<b1, ..., am<fm(x)<bj A)
открыто, а множество
{х: d < А (х) < fti, ..., а„ </„ (*) < U B)
зшикш/го.
Это получается из в на основании теоремы о пересече-
пересечении открытых C.22) и замкнутых C.54) множеств.
д. В силу предложения г многие фигуры элементарной
геометрии, описываемые системами ¦неравенств A) или B),
оказываются соответственно открытыми или замкнутыми.
Так, в /г-мерном пространстве множество вида
{х:а1<х1<Ь1, ..., an<xn<bn\
открыто, а множество вида
замкнуто; первое называется, открытым брусом, а второе —
замкнутым брусом.
На плоскости хх, х2 /я-угольник, описываемый m нера-
неравенствами вида ayjCj + ftyjc2 < Су (/= 1, ..., /и), есть откры-
открытое множество — открытый /и-угольник; если же в этих
неравенствах заменить знаки < на знаки ^, то получится
замкнутый т-угольник. Аналогично в /г-мерном пространстве
выделяются открытые и замкнутые многогранники с по-
помощью неравенств, связывающих линейные функции от
координат.
Те из перечисленных фигур, которые замкнуты и при
Этом ограничены, являются компактами в силу 3.96 д.
5.15. Непрерывность сложной функции
а. Пусть М, N, Р—метрические пространства с рас-
расстояниями рм, pN, pp. Пусть y=f(x)—функция с областью
определения Ж и с областью значений TV, а z = tp(y)—функ-
tp(y)—функция с областью определения А/ и с областью значений Р.
Сложная функция z — qi[f(x)] B==h(x) определена в Ж и
принимает свои значения в Р.
Теорема. Если у=/(х) непрерывна при х = х0, а
z — (p(y) непрерывна при y=yo—f(xo), то функция z = h(x)
непрерывна при x — xQ.
158 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.16
Доказательство. Пусть задано е > 0. Из условия
lim 4>{у) = 4>{уо) найдем число т > 0 так, чтобы из
У-*Уо
РМУ> Уо) < т вытекало pP((f(y), Ц>(у0)) < е. Далее, из усло-
условия lim f(x)=f(x0) по имеющемуся т найдем такое б > О,
чтобы из рм(х, хо)<6 следовало pN(y, yo) = pN(f(x),
f(x0)) < т. Тогда при рЛ1 (х, х0) <б мы имеем рр (h (x), h(xo))=
= Рр(Ф(/(дг)), 4>(/(хо))) = рр(ц>(у), ф(^0))<е, что и тре-
требуется.
б. Если f(x)—непрерывная функция, определенная на
метрическом пространстве М, со значениями в метрическом
пространстве N и b?N—фиксированная точка, то числовая
функция
А (*) = Р (/(*), *),
есть непрерывная функция от х?М.
Это — следствие из а и 5.12 6.
В частности, если на метрическом пространстве М не-
непрерывна числовая функция f(x) (со значениями в R), то
непрерывна и функция |/(л;)| = р(/(х), 0).
5.16. Непрерывные функции на компакте.
На метрическом компакте М C.91 а) непрерывные функции
обладают некоторыми специальными свойствами, которые
мы рассмотрим здесь и в 5.17.
а. Теорема. Множество всех значений непрерывной
функции f(x), определенной на компакте М, само компактно.
Доказательство. Пусть /(хг), ..., f(xn), ...—
произвольная последовательность значений непрерывной
функции f(x), определенной на компакте М. Выберем из
последовательности точек хг, ..., хп, ... сходящуюся
последовательность xnk(k=\, 2, ...); пусть, например,
хПк—*¦ а. Так как функция f(x) непрерывна при х=а, то
f{xnk)—*-f{a). Таким образом, из последовательности f(xn)
выделена сходящаяся подпоследовательность, что и нужно.
б. Следствие (теорема Вейерштрасса). Не-
Непрерывная числовая функция (со значениями в R), опреде-
определенная на компакте М, ограничена и достигает на М своих
точных границ, т. е. если a=inf/(x), p = sup/(x), то
существуют такие точки q?M, p?M, что a = f(q), f>—f(p).
5.17] § 5.1. непрерывные числовые функции 159
Доказательство немедленно получается из а и свойств
компактного множества на числовой оси C.96 е).
в. Пусть в условиях б компакт М есть отрезок а ^ х ^ b
числовой оси, и пусть f(a)=f(b). Тогда можно утверждать,
что хотя бы одна из точек р, q, удовлетворяющая усло-
условиям теоремы Вейерштрасса, имеется в интервале (а, Ь).
Действительно, если функция f(x) постоянна и равна /(а),
то в качестве точки q—p можно взять любую точку интер-
интервала (с, Ь). Пусть f(x) непостоянна и, например, среди
ее значений имеются ббльшие, чем f(a). Тогда р=
=sup/(x) >/(a). По теореме Вейерштрасса существует
точка р? [а, Ь], в которой f(p)=f>- Но f(a)=f(b) < Р,
поэтому pg (с, Ь), что и требуется. Если f(x) принимает
значения меньшие, чем /(а), то аналогичное рассуждение
проводится для точки q, где достигается inf/(x).
5.17. Равномерная непрерывность.
а. Определение. Функция _у=/(х), определенная на
метрическом пространстве М, со значениями в метрическом
пространстве Р, называется равномерно непрерывной на М,
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что из
р(хг, х2) < б следует р[/{хг), /(х2)]<е, каковы бы ни
были точки х1 и х2 из М.
Очевидно, что всякая равномерно непрерывная функция
является непрерывной в каждой точке пространства М.
Однако в общем случае из непрерывности функции f(x)
на пространстве М не вытекает ее равномерная непрерыв-
непрерывность. Например, функция у= х2 непрерывна на полуоси
0^х<оо E.13 г), но не равномерно непрерывна на ней,
поскольку
*i — х\ = (хг—х2)(х1 + х2)
и из условия | хг — х2|<б заведомо не следует, что
| х\ — х\\ ограничено какой-либо постоянной.
б. Для случая, когда М есть метрический компакт, спра-
справедлива следующая теорема.
Теорема (Гейне). Непрерывная функция у=/(х),
определенная на метрическом компакте К, со значениями
в метрическом пространстве Р равномерно непрерывна
на К.
160 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ F.17
Доказательство. Допустим, что функция f(x) не
является равномерно непрерывной на К. Тогда для некото-
некоторого е > 0 и любого б > 0 существует пара точек х', х"
в К, для которой р(х', х")< б, но р (/(*'), /(лг"))^е.
Придадим числу б последовательно значения 6=1,
-5-, ..., —, ... Для каждого о = —¦ найдем соответству-
соответствующую пару точек х'п и х"п так, что р(х'п, х'п)<б = —, но
р[/(х'п), /(*'„)]>е. A)
Поскольку К—компакт, из последовательности х'п можно
извлечь сходящуюся подпоследовательность хпо х„г, ...
..., х„к, ...—»- л:0 С К. Так как р(хпк, х„к) < —-, то
Р D-х
так что также и х'^, х"п, • • ¦, *^ ... — *0. В точке
х = л:0 функция ,у = /(л:) определена и непрерывна; для
имеющегося е найдем б0 > 0 так, чтобы
при р (х, х0) < б0. Так как хПк —*• х0, хп/[ —»¦ х0, то послед-
последнему неравенству удовлетворяют все точки х„к, хПк, начи-
начиная с некоторого номера. Поэтому для этих точек
Р [/(*«*), /(*«)] < f , Р [(*»*), /(х0)] < |
и, следовательно,
что противоречит A). Теорема доказана.
в. Колебание функции. Пусть снова f(x) есть
функция, определенная на метрическом пространстве М, со
значениями в метрическом пространстве Р. Образуем число-
числовую функцию
©/F)= sup р{/(хг), /(х2)).
Ее аргументом является положительное число 6. Если
функция f(x) равномерно непрерывна на М, то ш^(б) ко-
конечна для всех достаточно малых б и, согласно определе-
5.18] § 5.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ 161
нию равномерной непрерывности,
Ню to, (б) = 0. B)
б*о '
В частности, если Месть компакт, этот факт всегда имеет
место в силу теоремы Гейне.
Обратно, если юДб) конечна при достаточно малых
б > 0 и выполняется равенство B), то функция f(x) равно-
равномерно непрерывна на пространстве М.
Функция to, F) называется колебанием функции f(x) на
пространстве М.
г. Для числовых функций f(x) (т. е. принимающих зна-
значения на числовой оси Rt с обычным определением расстоя-
расстояния р(/, g) = \f—g\) функция соДб) обладает следующими
свойствами:
1) ю/+г(б)<со/(б) + сог(б);
2) <oAf F) = Aa>f F) (А > 0—постоянная);
3) <ол (б) < sup \/(х) [• аж (б) + ш, F) sup | g(x) |.
Выполнение первых двух свойств следует непосредст-
непосредственно из определения. Для доказательства третьего свойства
нужно воспользоваться неравенством
5.18. Непрерывные функции двух перемен-
переменных. В анализе часто приходится иметь дело с непрерыв-
непрерывными функциями от двух (и более) переменных. Пусть
Мг и iW2—метрические пространства с метриками рг и р2.
Функцию f(xl3 Jt2), аргументы которой суть точки хг^М1г
*2 €^г» а значения—точки метрического пространства Р,
называют непрерывной по совокупности аргументов х1г хг
при хг = х\, хг — х\, если для любого в>0 можно найти
такое б > 0, что из pt (xlt x°x) < б, р2 (х2, х°) < б следует
P[/(*i, xz), f(x\, xl)]<e. Нетрудно убедиться, что это
определение, по сути дела, не является новым и совпадает
162 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ F.21
с определением непрерывности функции f(xlt х2) как функ-
функции одного аргумента x = (xlt х2)— точки произведения
М = М1хМ2 метрических пространств М1 и М%. Напом-
Напомним C.16), что в прямом произведении М метрика вводится
по правилу: если x = (xt, х2), y — (ylt у2), то полагают
Р(*. У) = max[pt(*i, Уг), Р2(*2. y2)]. Функцию двух аргу-
аргументов f(xx, х%) можно считать функцией f(x) от точки
х = {хг, дг2); ее непрерывность в точке x° — (xl, х") озна-
означает, что для любого е > О существует такое б > 0, что
из р(х, хй) = max [Pl (xlt х°), р2(х2, х°2)] < б следует
\f(x) — f(x°)\ < е. Так как неравенство р(х, дг°)< б рав-
равносильно двум неравенствам р^л^, xj)< б и р2(х2, х')<б,
то два приведенных определения непрерывности равносильны.
На произведении M = M1xMi мы указали еще две мет-
метрики C.16). Поскольку в 3.34 д мы убедились, что они
гомеоморфны метрике, использованной выше, нам нет нужды
их выписывать; из 5.11 е следует, что запас непрерывных
функций (со значениями в фиксированном пространстве Р)
будет одним и тем же для любой из этих трех метрик.
§ 5.2. Непрерывные числовые функции
на числовой оси
5.21. а. В §§'5.2—5.7 мы рассматриваем функции f(x)
переменного х, изменяющегося по множеству Е, лежащему
на расширенной числовой оси R, с метрикой г (х, у) про-
пространства R C.35 д). Значения функции f(x) предполагаются
лежащими также в пространстве R с той же метрикой.
Впрочем, если л:0 конечно или/(х0) конечно, то, поскольку
в конечной области метрика г(х, у) гомеоморфна обычной
метрике р(х, у) = \х—у\, в вопросах, связанных с непре-
непрерывностью функции f(x) при х = х0, можно (соответственно
для значений х или f(x)) использовать и обычную метрику
C.13 а).
б. Рассмотрим с этой точки зрения рациональную функцию
определенную при x?R, за исключением тех точек, где
знаменатель обращается в нуль. Если ее доопределить и в
5.22] § 5.2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ 163
точках + °° дополнительными условиями
/( —оо) = Шп f(x), /(oo) = lim/(x)
Х—> -~ 00 X—*¦ ОО
(существование этих пределов в R было доказано в 4.39 г),
то полученная функция, со значениями в R, будет сохранять
непрерывность и в точках ± оо.
в. Лемма. Если числовая функция f (x) ? R непрерывна
при x = a?R, то для любого е > О существует такой шар
Vi с центром в точке а, т. е. множество вида
\х — а | < б, если а конечно,
X > -г , если а = + °°>
. 1
х < — -г-, если а = — со,
во всех точках которого выполняется неравенство
\f(x)—/(а)|<е> если f(a) конечно,
-, еслм/(с)=—со.
В частности, шар Vt можно выбрать так, что во всех
его точках значения функции f (x) будут иметь тот же знак,
что и число /(а), если /(а)фО.
Это утверждение следует из 4.34 а, б, определения мет-
метрики в R (в частности, 3.35 е) и определения непрерывности.
5.22. Теорема (Больцано). Если числовая функция
f(x)€R непрерывна на отрезке [a, b]?R и на концах
отрезка принимает разные по знаку значения, то внутри
отрезка существует точка с, в которой /(с) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности
/(с) < 0, f(b) > 0. По 5.21 в неравенство f(x) < 0 сохра-
сохраняется при всех х, достаточно близких к а, неравенство
f(x) >0 сохраняется при всех х, достаточно близких к Ь.
Положим
с = sup{*€[«, Ь]:/{х)<0).
164 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5-23
В силу сказанного точка с не может совпадать ни с точ-
точкой а, ни с точкой Ь. Согласно определению точной верхней
грани, при х' > с мы имеем /(дг')^О, и для любого б > О
существует х" > с—б, для которого f(x") < 0. Таким обра-
образом, в любой окрестности точки с существуют такие точки х'
и х", что /(jc')^O, /(дг")<0. Но по 5.21 в это невоз-
невозможно, если/(с) =^0. Поэтому f(c)—O, что и требуется.
6.23. Следствие. Если функция f{x) непрерывна на
отрезке [а, Ь], А=/(а)Ф/(Ь) = В и число С заключено
между числами А и В, то существует такая точка с ? [с, Ь],
что f(c) = C.
Действительно, f(x)—С непрерывна вместе с функцией
f(x) и удовлетворяет условиям теоремы Больцано. Применяя
теорему, получаем требуемое.
6.24. Односторонняя и двусторонняя непре-
непрерывность. Для дальнейшего рассмотрим некоторые типы
направлений в области R конечных вещественных чисел.
В соответствии с определением 4.15 6 направление х—*¦ а
{Ф ±°°) определяется как совокупность всех интервалов
\a — h, a-\-h), 0 < h < h0, с исключенной точкой а. Направ-
Направление х У а мы определим как совокупность всех интервалов
(а — h, а), направление х \ а—как совокупность всех
интервалов (a, a + h)@<.h<C h0).
Если функция f(x) определена в интервале (с—h0, a),
можно ставить вопрос о существовании или несуществовании
предела \imf(x), который обозначается (если существует)
через f(a — 0). Если функция f(x) определена в интервале
(a, a-\-h0), можно ставить вопрос о существовании предела
Пт/(лг), который обозначается через /(а + 0). Если функция
f(x) определена в интервалах (а — h0, a-\-h0) (за исключе-
исключением, быть может, самой точки с), можно ставить вопрос о
существовании предела Нт/(лг). Поскольку при любом h,
0<h<h0,
(a—h, a)c(a — h, a + h) — {a\,
(a, a + h)c(a — h, a + h) — {a],
(a-h, a + h)-{a} = (a — h, a) \J (a, c
Б.31] § 5.3. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ 165
можно применить результаты 4.16, полагая
Q={x?R:x<a}, H={x?R:x > a).
В применении к рассматриваемому случаю эти результаты
приводят к следующему заключению: из существования
Нгп/(д;)=/з следует существование пределов lim/(jc) =
х-*а х/а
= \itnf(x)=p, и обратно, из существования и равенства
х\а
пределов lim/(#) = lim f(x)=p следует существование пре-
х/а х\а
дела limf(x)=zp.
х->а
Предположим, что функция f(x) определена и при
х — а. Равенство lim/(jc)=/(a), как мы знаем, определяет
х-*а
класс функций, непрерывных при х — а. Равенство /(о) =
= lim/(x) определяет класс фУнкЦий> непрерывных слева
х/*а
при х — а. Равенство f(a) = limf(x) определяет класс
х\а
функций, непрерывных справа при х—а. Функция f(x),
которая непрерывна в точке а и справа, и слева, непре-
непрерывна при дс = а.
§ 5.3. Монотонные функции
5.31. Пусть числовая функция f(x) со значениями в R
определена на множестве EczR. Если из х?Е, у?Е, х<у
всегда следует какое-нибудь (фиксированное) иа четырех
неравенств
(а) f(x)<f(y),
(б) /(*)</(у),
(в) f[x)>f{y),
(г) /(*)>/ДО,
функция f(x) соответственно называется: (а) возрастающей
на Е; (б) неубывающей на Е; (в) убывающей на Е; (г) не-
возрастающей на Е. Во всех четырех случаях функция /(х)
называется монотонной на Е.
166 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5-32
5.32. Если возрастающая {или убывающая) функция при-
принимает некоторое значение С, то только при одном значении
х. Невозрастающая {или неубывающая) функция может при-
принимать одно и то же значение во многих точках.
Результаты 5.55—5.36 формулируются и доказываются
для неубывающих функций; аналогичные формулировки для
невозрастающих функций мы предоставляем привести чита-
читателю.
5.33. Пусть хо?Е не есть левый конец отрезка Е =
= [а,Ь], на котором определена неубывающая функция f{x).
Функция f{x) является неубывающей по направлению
Е{х / х0) в смысле 4.51; так как при этом она ограничена
сверху на этом направлении (например, значением f(x0)),
по теореме 4.53 существует
/(*„—0)= Hm /(x) = sup{/(x):x<x0, х?Е).
Аналогично, рассматривая направление Е(х\ х0) и приме-
применяя теорему 4.54, мы приходим к существованию предела
= lnt{f(x):x>x0, x?E\
для любой точки х0, отличной от правого конца отрезка
[а, Ъ\. Для точек а и Ъ мы положим, по определению,
f(a-0)=f(a), f(b + O)=f{b).
5.34. Так как для любых x"^Zx0 и х'^х0 мы имеем
/(*") </(*<.)</(*'), то по 1.62 /(*„—0)</(х0)<
^/(jco + O). Если/(х0—0)=/(х0), функция f(x), согласно
сказанному выше, непрерывна слева при х = х0. Если
/(дго)=/(хо + О), функция f{x) непрерывна справа при
х = х0. Равенство f{x0—О)=/(хо + О) и вытекающее из
него равенство f(x0—0)=/(х0)—/(хо-| 0) являются необ-
необходимыми и достаточными условиями непрерывности неубы-
неубывающей функции f(x) при х = х0.
5.35. Рассмотрим случай f{x0 — О)</(лго + О). Такая
точка х0 есть заведомо точка разрыва функции f{x). Слева
от точки х0 значения функции f(x) не превосходят f(x0—0),
5.38J § 5.3. монотонные функции 167
справа от точки х0 значения функции f(x) не менее, чем
f(xo-{-O); значение f(x0) лежит в промежутке
'=[Л*о —0), /(*о + О)]-
Но это значит, что все числа в промежутке I, кроме,
быть может, одного, вообще не являются значениями
функции f(x). Отсюда следует часто используемое доста-
достаточное условие непрерывности неубывающей функции:
5.36. Если функция f{x), неубывающая на отрезке
[а, Ь], принимает при х?[а, Ь\ каждое значение из отрезка
[f(a), f{b)\, то f(x) непрерывна на [а, Ь\.
Действительно, в этом случае исключается неравенство
f(x0—0) < / (х0-)-0) в какой-либо точке х0 g [a, b]. По-
Поэтому в силу 5.34 функция f(x) непрерывна в каждой точке
[«, Ь].
Указанное условие и необходимо E.23).
5.37. Обратная функция.
Определение. Пусть функция y=f(x) определена
на некотором множестве Е и принимает на Е значения у
из множества F; пусть функция ц>{у) определена на мно-
множестве F и принимает значения на множестве Е. Функция
ф(у) называется обратной к функции/(х), если ф [/(х)] = х
всюду на ? и /[ф(_у)]=_у всюду на F.
5.38. а. Теорема. Пусть числовая функция y=f(x)?R
определена, непрерывна и возрастает на отрезке [а, Ъ\ с R.
Тогда на отрезке [/(a), f(b)\ существует функция <$(у), об-
обратная к функции f(x); эта функция ц>(у) также непрерыв-
непрерывная и возрастающая.
Доказательство. Для y=f(a) = A положим
Л) = а; для y—f(b) = B положим (f(B) = b, для любого
У~С?(/(а), f(b)) положим ц>(у) равной тому (единствен-
(единственному) значению с, для которого
Таким образом, функция ф(^) определена на [А, В], причем
для любых х 6 [а, Ь], у € [А, В]
168
ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
[6.39
Очевидно, что из Уг<У2 следует Xj.<>;2, т.е. фО^Х
< ф (у2), так что функция ф (у) возрастает. Ее непрерыв-
непрерывность следует из того, что она принимает все значения
в промежутке а^дс^б E.56). Теорема доказана.
б. Рассмотрим теперь случай, когда функция /(х) задана
не на отрезке, а на интервале, н покажем, что он приво-
приводится к предыдущему. Пусть функция y—f(x) определена,
непрерывна и возрастает на интервале (a, b) ? R. Положим
A~f(a)=*limf(x), В =/(b) = lim/(х) E.33); теперь функ-
х\а х/'Ь
ция f(x) определена уже на отрезке [а, Ь], причем и на
этом отрезке непрерывна и возрастает. Применяя доказанную
теорему, получаем: существует функция ф (у), определенная,
непрерывная и возрастающая на отрезке [А, В] cR, обратная
к функции f{x). Рассматривая f(x) только на интервале
(а, Ь), приходим к следующему результату:
Теорема. Для функции у =f(x), определенной, непре-
непрерывной и возрастающей на интервале (a, b)czR, существует
обратная функция ф (у), определенная, непрерывная и воз-
возрастающая на интервале
{A, B)?R, где
A=limf(x),B = limf(x).
х\а х/'Ь
5.39. График обрат-
обратной функции. Если имеет-
имеется график возрастающей чи-
числовой функции y—f(x) на
отрезке [а, Ь], то график обрат-
обратной функции, естественно,дол-
естественно,должен быть построен на отрезке
В * S [А,В], где А=/{а), В=/{Ъ).
Если эти отрезки отложить
на одной и той же оси, то
получается из графика
график обратной функции 0
функции у=/(х) отражением относительно биссектрисы
координатного угла: действительно, точка (х, у—/(х))
после отражения относительно биссектрисы переходит в
точку (у, х = у(у)) (рис. 5.1)
Б.41] § 5.4. логарифм 169
§ 5.4. Логарифм
5.41. Теорема. При х > О существует и единственна
функция .у=/(лО, удовлетворяющая следующим условиям:
1) f{kxy)=f(x)-\-f(y) для любых положительных х, у;
2) f(a)= 1 для заданного а > 1;
3) f(x)—возрастающая функция: если х<у, то
Доказательство*). Сначала, предполагая сущест-
существующей функцию f(x), найдем ее выражение. Из 1) следует
/A)=2/A), откуда /A) = 0. Далее, из 1) и 2) следует,
что f(an) — nf(a) = n при любом натуральном п. Согласно
1.72, для любого п~^\ можно найти такое /и, что am^L
^х"<а1Я+1. Поскольку f(x) возрастает, из неравенства
ат < хп < ат+1 следует f{am) = m^f(xn) = nf(x)<
</(am+1) = /»+ 1; таким образом, для любого л^1 можно
найти такое т, что
?</<*)< ^.
Тем самым число /(х) определено однозначно как общая
[т m+П _
— , —!— произвольно малой длины.
Теперь мы определим функцию f(x), используя приве-
приведенные соображения. Положим /^=1, п2=2, ..., лй = 2*
и для да-ниого k найдем mk так, чтобы иметь
Этим определяется отрезок —- , h . Покажем, что
следующий отрезок —Ы±. j k* лежит в предыдущем.
Действительно, из неравенства
следует, что
откуда mk+1^2mk, mk+1+ I ^2(/»ft+ 1),
nk+1 "^ 2nk nk
nk 2nk """ nk+l nk+l ~~~~ 2nk nk
*) По книге Ж. Дьедонне, Основы современного анализа,
«Мир», 1964, гл, 4.
170 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.42
Таким образом, отрезки — , т^'" образуют вложенную
последовательность и по принципу Кантора 1.81 имеют
общую точку; по 1.82 она единственна, так как длины
отрезков при k—>¦ оо стремятся к 0. Возьмем в качестве
значения f(x) число, отвечающее общей точке всех этих
отрезков.
Покажем теперь, что построенная функция /(х) удовлет-
удовлетворяет условиям 1)—3). Пусть заданы х и у; найдем для
заданного k такие тк и pk, что
так что
Отсюда
так что
mk+Pk
С другой стороны, из A) следует, что
Таким образом,
поскольку яй произвольно, мы применяем /.57 и приходим
к выполнению равенства 1).
Для х = а получаем очевидное равенство /(а) = 1. Для
любого х > 1 существует такое л, что а ^ х", и, следова-
следовательно, согласно определению функции f(x) мы имеем
/(x)S>—. В частности, для любого х > 1 мы имеем
/(х)>0. Поэтому /(ху)=/(х)+/СУ)>/(х) при любом
у > 1 и функция /(х) возрастающая; теорема доказана.
5.42. Функция /(х), удовлетворяющая условиям 1) — 3)
5.41, существование и единственность которой мы доказали,
называется логарифмом от х при основании а и обозначается
5.431 § 5.4. логарифм 171
через logax. Формулы 1) — 3 M.41 теперь можно записать так:
>; A)
B)
если х<у, то \ogax<logay. C)
Далее, из A) вытекают следующие формулы:
logaxn = nlogax при любом натуральном п; D)
logfl 1 = loga 1г = 2 logc I, откуда
logcl=0; E)
/ 1 \ 1
откуда
следовательно,
loga — = logex — logc_y. F)
Поэтому формула D) справедлива для любого целого п.
5.43. Покажем, что логарифм есть непрерывная функция
от х. Для заданного е>0 найдем л>— и положим А =
Б
= у а. Так как А" = а, то п\ogah = \ogahn = \ogaa= 1,
так что logcA = —, loga-r-= . Таким образом, в про-
1
межутке -т-^х^А выполняется неравенство
-e<-4<loge*<!<e,
что доказывает непрерывность функции logcx при х=1.
При любом у0 и у = ху0, -г < х < А, мы имеем \ogay =
= loga x -\- \ogay0, так что
\^gay—\ogay0\ = \\ogax\
Так как интервал GГ.У0, A_yoj включает в себя некоторый
интервал (у0—б, уо-\-&), то отсюда следует непрерывность
функции logox при х—у0.
172 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ E.44
5.44. Установим связь между логарифмами при разных
основаниях а и Ь. Рассмотрим функцию
Очевидно, она удовлетворяет условиям 5.41 1) и 3) опре-
определения логарифма и, кроме того, равенству
В силу установленной единственности логарифма мы имеем
f(x) = logbx. Таким образом, прн любых а>1, ?>1,
х > 0 справедлива формула
. A)
5.45. Отметим предельные соотношения
limlogajc = oo, limlogax=—оо.
Первое, в силу теоремы 4.55, следует из того, что при
х -> оо функция loga х возрастает и не ограничена (поскольку,
например, \oga{a^) = n для любого л). Второе приводится
к первому в силу равенства
loga (
- logo х + logc 1 = log. 1 = 0.
Указанные соотношения позволяют дополнить определение ло-
логарифма условиями logo0= —оо, logaoo = oo, причем logajc
оказывается функцией со значениями в R, непрерывной при
§ 5.5. Экспонента
5.51. Непрерывная возрастающая функция у = loga x по
теореме об обратной функции 5.38 допускает обратную
функцию, которая называется экспоненциальной функцией,
или экспонентой, и обозначается у = а*. Экспонента опреде-
определена при всех вещественных х, а значения ее—положитель-
ее—положительные числа. Таким образом,
*. A)
5.53] § 5.5. экспонента 173
С другой стороны, мы имеем при любом натуральном л
loga(a.. .a) = logaa + .. .+logaa = n.
(л раз)
Последнее равенство показывает, что обозначение а* согла-
согласуется с прежним обозначением ап — а...а для натураль-
натурального п.
Если х=1/я, мы получаем loga alfn = 1/я, откуда
п loga аV" = loga {а'/»)» = 1, (а '/")" = а,
т. е. а1/п есть корень л-й степени из а A.63).
5.52. Как и функция у = logc x, обратная функция у = а*
также возрастает и непрерывна при всех х. Имеют место
следующие равенства:
ах+У = ах-аУ, A)
(ах)г = ахг B)
для любых вещественных х, у, г. Действительно, пусть
* = loga?, .y = logar), тогда
ах+у = а'°8а 6+1°8а ч = а'оео 6ч = |г) = а* • а?;
аналогично доказывается B).
Заменяя в 5.44 A) дс на Ь*, получаем
log. (Ьх) = logab- logb bx = x \oga Ь. C)
5.53. Определения логарифма и экспоненты можно рас-
распространить на случай основания Ь?@, 1). А именно, по-
полагая Ь — —, с>1, мы имеем по определению (и учитывая
формулу 5.44 A))
1о&ьх=
Таким образом, функция log,,* убывает при увеличении х;
свойства же, аналогичные свойствам 5.41 1) и 2), сохраняют-
сохраняются. Далее,
таким образом, bl°ei>x = a~loei>x = alog«* = * и
174 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.54
так что сохраняются формулы 5.51 A), а также и следую-
следующие из них формулы 5.52 A) и B).
Переход от х к ах называется потенцированием, переход
от х к logax—логарифмированием.
5.54. С экспонентой тесно связана степенная функция с
произвольным вещественным показателем, определенная при
х > 0 согласно 5.51 с заменой а на х и х на а:
Эта функция выражается через экспоненциальную и логариф-
логарифмическую по формуле
при любом Ъ ]> 1, откуда следует ее непрерывность по тео-
теореме 5.15. Из этой же формулы после замены х на pq (p, q > 0)
и использования 5.42 A) и 5.52 A) следует равенство
(Pq)a=Pa-q°. B)
5.55. Предельные соотношения для лога-
логарифма и экспоненты. Имеют место следующие
предельные соотношения:
{оо, если Ъ > 1,
. ., A)
0, если fe< I; v
( 0, если а > 1,
Ншй*= B)
*-»_«, [ оо, если в< 1;
оо, если в "> 1,
— оо, если а < 1;
f —оо, если а > 1,
lim log.jc =n D)
*V> I +oo, если в<1; v ;
f оо, если b > 0,
iV={ 0, есл„„<0; <5>
f 0, если fc > 0,
Ilm*»=< F)
^ оо, если fc < 0. v '
5.55]
§ 5.5. ЭКСПОНЕНТА
175
Доказательство. Первое из соотношений A) сле-
следует из того, что Ь* при b > 1 и л: —¦ оо возрастает и не
ограничена (ее значения заполняют область определения
функции y = \ogax, т. е. всю числовую ось); второе вы-
выводится из первого заменой Ъ на -j. Соотношения B) полу-
получаются из A) заменой х на — х. Первое из соотношений
Рис. 5 2.
У
Крибые у~1одах
Рис. 5.3.
х
КриБыеу=хь
Рис. 5.4.
C) установлено в 5.45; второе получается из первого в силу
определения log0 х при а < 1. Из C) заменой х на — по-
получается D). Соотношения E) и F) получаются логариф-
логарифмированием с использованием A) —D).
Полученные соотношения позволяют нам представить
себе графики экспоненты, логарифма и общей степенной
функции (рис. 5.2—5.4).
176 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.56
Функция ах при а > 1, определенная при х 6 R, допу-
допускает доопределение в точках ±оо:
и после этого оказывается непрерывной на R (со значени-
значениями в R). Если с< 1, последнее утверждение будет спра-
справедливым, если мы положим
с-е0 = оо, с+ео=0.
5.56. Прежде чем переходить к дальнейшим предельным
соотношениям, докажем лемму.
ап
Лемма. Ит — = оо при любом а > 1 и любом вещест-
вещественном г.
Действительно, возьмем число Ь в промежутке A, а).
В силу свойства 5.54 B) имеет место равенство
A)
Правая часть равенства A) в силу непрерывности функции
хг в точке х =¦ 1 стремится при п —»- оо к а и поэтому,
начиная с некоторого номера n — N, становится больше,
чем Ъ. Тогда
aN+k
и равенство
lim bk=oo
(вытекающее из 5,55 A)) убеждает нас в справедливости
леммы.
5.58] § 5.5. экспонента 177
5.57. Укажем дальнейшие предельные соотношения для
логарифма и экспоненты, связанные с леммой 5.56.
Теорема. Справедливы предельные соотношения:
A)
B)
lim xp log0 д: = 0; C)
х\о
i; D)
l. E)
a > 1, г—любое вещественное число, р—любое поло-
положительное число.
Доказательство. Если для данного х > 0 мы най-
найдем п такое, что п^.х <л+1» то
ах ап 1 an+1
F ^ (л+ 1)г = ~а (п+ \у *
откуда, используя лемму 5.56, получаем A). Соотношение
B) получается из A) заменой д; на Iog0# и возведением
в степень р = —. Заменяя в B) д; на —, получаем C). На-
Т X
конец, D) получается из C) с помощью потенцирования,
а E) из D)—заменой х на —. Таким образом, экспонента
у —а*, с > 1, при дг—»-оо возрастает быстрее, чем любая
степенная функция хг. Логарифмическая функция
y = \ogbx{b>\),
наоборот, при д; —»- оо возрастает медленнее, чем любая
степенная функция д;Р(Р>0).
5.58. Учитывая связь между пределом функции f{x)
при д; —*-оо и пределом последовательности f{n) при л—>оо
178 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [6.59
D.65), мы можем написать следующие пределы последова-
последовательностей:
1- . 1°°, если ft > 1,
lim Ь" = <( ' A)
я->* @, если ft < 1
(следует из 5.55 A));
,. , [ оо, если а > 1,
Iimlog0/z={ ^ ' B)
„-а J—оо, если а<1
(следует из 5.55 C));
w Г», если ft > 0, C)
«->¦» @, если ft < О
(следует из 5.55 E));
lim-^oo (с>1, — оо<г<оо) D)
(следует из 5.57 A));
^ = 0 (c>l,p>0) E)
(следует из 5.57 B));
lim у/п = 1 F)
П->ео
(следует из 5.57 E) при р=1).
5.59. Экспоненциальная функция н число е.
Согласно 4.63 г,
lim fl + iy = e= 2,71828... A)
а. Рассмотрим функцию /(#)=( H—) . определенную
при лг^О. Оказывается, что также
lim (l+-!¦)* = «. B)
Подчеркнем, что непосредственно из соотношения A) это
еще не вытекает D.65), нужно использовать специфику
функции f(x). Для заданного д; > 1 найдем натуральное
я — п(х) так, чтобы иметь я^д: < я+1; тогда прн х—*-оо
5.59] § 5.5 экспонента 179
также и п—»-оо. Мы имеем
Правые части в этих двух неравенствах имеют один и тот
же предел е, когда п—»-оо. Для заданного е>0 найдем
такое N, что при каждом п> N обе правые части отли-
отличаются от е меньше чем на е. Тогда при л: > N-\-1 про-
межуточная величина ( 1 -|—) также будет отличаться от
е менее чем на е. А это и означает справедливость B).
б. Покажем, что также
lim (i+lYW C)
Действительно, при у —»- оо мы имеем
(\ lYy=(y-lYy= l =( у У=
V у) -[ у ) ~ fv-iy-[v-i) ~~
откуда, заменяя у на —д; и используя а и 4.17 в, полу-
получаем требуемое.
в. Из б, в частности, вытекает, что
— результат, который нетрудно было бы получить и прямо из
определения е A).
г. Теорема.
Щ±*. D)
Доказательство. Имеем ° „ = logc (I -\-z)z ;
нагая z = — , приходим на основг
X
логарифма к нужному результату.
полагая z = — , приходим на основании а, б к непрерывности
X
180 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Г5-5®
Формула D) выглядит особенно просто, если за основа-
основание а взять число е. Логарифмы с основанием е называются
натуральными логарифмами и обозначаются так:
loge х = log nat x = In дг.
Для натуральных логарифмов формула D) записывается
в виде
!E?±?> l. E)
Используя асимптотическую единицу Е D.39), можно
записать результат еще следующим образом:
\n(\-\-z) = zE (E-+\ при z->0). F)
д. Теорема.
Шп^р!-». G)
Доказательство. Положим с*—1=—; тогда сА=
-1+-J, * = log.
g. (
1
аА— 1 л:
откуда в силу а к б, непрерывности логарифма и соответ-
соответствия направлений h —»¦ 0 и х —»- ± оо и следует требуемое
D.17 а). Используя натуральные логарифмы, можно написать
проще;
lim^^-Ul. (8)
ft-* о "
Та же формула с асимптотической единицей Е:
eh=l+Eh, E—к1приЛ->0. (9)
е. Следующая теорема интересна тем, что хотя в ее фор-
формулировке число е отсутствует, однако ее было бы трудно
доказать без привлечения числа е и связанных с ним пределов.
Теорема. При любом вещественном р
5.61 J § 5.6. тригонометрические функции 181
Доказательство. Используя F) и (9), находим
\n{\+z) = zElt 1+г = егБ>;
= еР*Е* = 1 +pzE1E2 = I +pzE, A1)
что и требуется.
Между прочим, из соотношения A1) видно, что резуль-
результат 4.39 б, доказанный там для натуральных р, справедлив
для всех вещественных р.
ж. Отметим специально соотношение A1) для р=—1:
1**
Более общее и часто применяющееся соотношение: при
-,0). A3)
Оно получается из A2) простыми преобразованиями:
поскольку последняя скобка, очевидно, имеет пределом
a — Р, получаем окончательно A3).
§ 5.6. Тригонометрические функции
5.61. Определения тригонометрических функций, приня-
принятые в геометрии, опираются не на аксиомы вещественных
чисел, и мы эти определения не будем рассматривать. В
тригонометрии выводятся соотношения
sina* + cossx=l; A)
sin (х +у) — sin х ио&у -\- sin у cos x; B)
cos (х+у) — cos х cos^f—sin x sin у; C)
D)
при достаточно малом д; > 0, например при 0 < х < е0.
Мы определим sin д; и cos д; как функции, заданные при
всех вещественных х и удовлетворяющие соотношениям
182 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [6.62
A) — D). Позднее, в гл. 8, мы дадим доказательство суще-
существования и единственности таких функций; ближайшие рас-
рассмотрения, строго говоря, являются условными (если суще-
существуют функции sin л: и cos л:, удовлетворяющие A)—D),
то ...), хотя мы не будем этого специально оговаривать.
5.62. Полагая в 5.61 A)—C) х=у = 0, получаем сле-
следующие равенства:
sin2 0 + cos2 0=1; A)
sin 0 = 2 sin 0-cos 0; B)
cos 0 = cos2 0 — sin20. C)
Из B) следует: или sin 0 = 0, или cos 0 = -х- Но из A)
и C) мы получаем
1 + cos 0 = 2 cos2 0, D)
откуда видно, что равенство cos 0 = -к- невозможно. Поэтому
sin 0 = 0, и из A) следует, что cosO = ±l. Равенство D)
позволяет выбрать из этих двух значений cos 0 единственно
возможное cos 0=1. Итак,
sin 0 = 0, cos 0 = 1. E)
5.63. Заменяя в 5.61 B), C) у на —д: и используя 5.62 E),
имеем
0 = sin л: cos (— д;) + sin (— дг) cos д;,
1 = cos х cos (— дг)— sin д; sin (—дг).
Разрешая эту линейную систему относительно sin (—х)
и cos (—д;), получаем
sin (—д:) = — sin дг, cos (—д:) = cos х. A)
Вычитая из равенства 5.61 B) то же равенство, в котором
у заменено на —у, и используя A), находим
sin (д; -\-у) — sin (д; —у) = 2 sin у cos д;.
Совершая аналогичную процедуру с равенством 5.61 C),
получаем
cos(x+y)—cos(#—у)= —2 sin x siny.
5.64] § 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 183
Заменяя в полученных формулах х-\-у на а, а д;—у
на Р, так что д: = ^— , у = ^у^-, записываем эти фор-
эти формулы в виде
sin a— sinp = 2sin^=?cos^; B)
cos а—cosp=— 2 sin ^±? sin ^ . C)
5.64. а. Из 5.61 A) следует, что при всех д;
| sin х К 1, | cos х К 1.
б. Пользуясь а и 5.63 B), C), мы докажем непрерыв-
непрерывность функций sin л: и cos дг. Пусть х>у и разность
Л'—у достаточно мала. Тогда
| sin х — sin у | = 2 sin ^
откуда следует непрерывность функции sin д:. Аналогично
|cosx — cos .у | = 2
— у,
откуда следует непрерывность функции cos*.
в. Из соотношения 5.61 D) с учетом теоремы 4.34 з
следует, что
,. sin* , ,,.
lun—-=1, A)
х\о
X
поскольку 5.61 D) дает для 0 < х < е0
cos х
а крайние члены этого неравенства при х\0 имеют пре-
предел 1. Учитывая 5.53 A), мы имеем также
,. sin* ,. sin (—х) л /п.
lim = lim —S -—\. B)
/ч х )\ "~*
х
Объединяя формулы A) и B), получаем
lim ^H?=l. C)
х-+о х
184 гл. 5. непрерывные функции [5-65
5.65. а. Покажем теперь, что функция y = cosx при
л; > 0 обращается (в некоторых точках) в нуль. Положим
P = inf{cos*}. Если Р>0, то из 5.63 B) следует, что
при достаточно малом х и любом да=1, 2, ...
sin (т+\)х— sin/»A;^2p sin у >0;
поэтому величины sin mx неограниченно возрастают вместе
с т, что противоречит 5.64 а. Таким образом, Р = 0. По-
Покажем, что существует точка д;0, в которой cosjc0 = 0.
Если при х^О всюду cos x > 0, то из 5.63 B) следует,
что функция sin х возрастает и соответственно (в силу
5.61 A)) cos* убывает. Поскольку inf {cosjc} = 0, най-
Ж>0
дется такая точка г0, что cos х < у^ при д: > г0 и, сле-
довательно, sin д: = У 1 —cos2 х > -rz . При у = х > г0
формула 5.61 B) дает
j| < sin 2* = 2 sin * cos* < 2-1. ^ = ~ ,
что невозможно. Итак, имеются точки, где cos л; обращается
в нуль.
б. Положим
¦|- = inf{*>0:cos* = 0}. A)
Число л/180 называется градусом; таким образом, л/2 = 90
градусов (90°). Так как функция cos* непрерывна, то
cos-y-=0, sin — = 1. На отрезке 0, -у функция sin д; воз-
возрастает, a cos* убывает. Далее, формулы 5.61 B), C)
дают
sin (-y + ^j = sin y-cosA; +cos-y sin jc = cos.x:, B)
cos f-y + *) =cos -5-cos д; — sin 4r sinjc = — sin дг, C)
откуда
-|-)=— sin д:, D)
-yj= — cos*. E)
5.66]
§ 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
185
в. Далее,
sin (jc + 2я) = — sin (jc + я) = sin x,
cos (jc + 2я) = — cos (jc + it) == cos х.
F)
G)
Функция у—/(х), удовлетворяющая при некотором Т
и всех х уравнению f\x-\-T)—f(x), называется периоди-
периодической, число Т называется ее периодом. Мы видим, что
функции sinjc и cosjc—периодические функции с перио-
периодом 2я". На протяжении одного периода 2п знаки этих
функций, определенные по формулам B)—E), чередуются
следующим образом:
я
знак sin л
знак cos*
+
+
f
Ж л;<
Зл
Зя
-s- < х < 2л
(8)
Мы видим, что если при данном х sinJC^=O и cosjc^=0,
то по знакам sinjc и cosjc можно однозначно указать ту
четверть промежутка 0 < jc < 2я, где находится х.
На рис. 5.5 показаны графики функций sin x и cosjc.
(На данном этапе мы еще не можем обосновать указанную
У
Рис. 5.5.
на графиках выпуклость кривых; это будет сделано в даль-
дальнейшем, в 7.55.) Число я равно 3,14159... (задача 15 к
гл. 9).
5.66. Лемма. Если для некоторых х и и выполнены
равенства
sin (х -f и) = sin и,
cosi
0)
то x = 2kn, где k есть целое число.
186 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.67
Доказательство. Решая систему уравнений
sin (x + u)= sin х cos и -f- cos л; sin к = sin к,
cos (x-{-u) — cos x cos и— sin x sin и = cos и
относительно cos x н sin x, находим
cosjt=l, sinjt = O. B)
В промежутке 0<jjc<2ji эти уравнения, как следует
из 5.65, удовлетворяются лишь при х = 0. Вследствие су-
существования у функций cos л; и sin д; периода 2я уравнения
B) удовлетворяются при x = 2kn (k = 0, ±1, ±2, ...)
и не удовлетворяются ни при каких других значениях х.
Лемма доказана.
5.67. Мы видели, что функция sin л; возрастает на от-
отрезке [0, я/2]; в силу равенства sin (— х) = — sin д; она
возрастает даже на отрезке [—я/2, я/2], изменяясь от —1
до +1. По теореме об обратной функции 5.38 на отрезке
[—1, 1] определена обратная функция, которую обозначают
arcsinjc; эта функция возрастает, непрерывна и принимает
свои значения в промежутке [—л/2, я/2]. Функция
cosjc=sin (¦* + -o--) возрастает на отрезке [—я, 0], изме-
изменяясь от —1 до +1; поэтому на отрезке [—1, 1] опреде-
определена обратная к ней функция, которую обозначают arccos x.
Эта функция возрастает, непрерывна и принимает свои зна-
значения в промежутке [—я, 0].
Так как по 5.65 B)
sin ( д; + -g- J = cos jt,
то, обозначая общее значение этих величин через «, находим
х = arccos и, х -)- -^- = arc sin и
и, следовательно, при любом и? [—1, 1]
arccos и -\- -к- = arc sin и. A)
Можно определить и другую функцию arccos «, используя
убывающую ветвь функции cos* на отрезке [0, я]. Здесь
5.68] § 5.6. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 187
обратная функция будет также убывающей на отрезке
[—1, 1] и изменяющейся от л до 0. Вместо формулы
sin ( * + -=-) = cos*, связывающей
функции sin л; и cosjc на тех участках,
где мы строили обратную функцию,
на этот раз нужно использовать фор-
формулу sin (-^—am=cosa:, откуда вместо
формулы A) получается
arccos и = -g—arcsin к. B)
Для предупреждения возможной пута-
путаницы можно обозначать первую из введен-
введенных нами обратных функций к cos* —
возрастающую — через arccosB к, а вто- Рнс. 5.6.
рую—убывающую — через arccosy к.
Графики функций arcsin д;, arccosBjc, arccosyjc показаны на
рис. 5.6.
Имеются и другие функции на [—1, 1], которые с тем
же правом можно считать обратными к sin д: и cos jc, но
мы ограничимся приведенными.
5.68. Положим, далее,
, sin л:
tg х = .
а cos л;
Эта функция определена всюду, кроме точек, где cos д; = 0,
т. е. кроме точек x = -^--\-kn, k — 0, ± 1, ±2, ... При этом
lim tgjc= + oo, Hm tgjc =— oo.
X ' "F X » 2"
Из равенств 5.65 D), E) следует, что функция tgjc имеет
период п. Из поведения функций sin д; и cos д; на интер-
интервале ( —~, 4^-) следует, что tg д; в этом интервале воз-
возрастает, заполняя своими значениями всю числовую ось.
По теореме об обратной функции существует обратная
функция arctgjc, определенная на всей числовой оси,
188
ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
[5.71
возрастающая, непрерывная и изменяющаяся в интервале
"Г1 "ТУ" ^е гРаФик показан на Рис- 5.7.
У
Рис. 5.7.
Рассмотрение остальных тригонометрических функций
1 11
ctgx = j-^-, sec x
Ь tg X ' COS X '
предоставляем читателю.
cosec x -
sinx
и им обратных мы
§ 5.7. Приложения тригонометрических функций
5.71. Полярные координаты на плоскости.
Для каждой точки (я, у) в вещественной плоскости /?2 при
2\3фО выполняется равенство
Определим число б в промежутке 0.^ 6 < 2я из условий
cos 6 = -
sin 8 =
A)
5.72] § 5.7. приложения тригонометрических функций 189
Искомое 6 существует и единственно: при х > 0, у > 0 это
следует из формулы 5.61 A), непрерывности и монотон-
монотонности cos 6 и sin 6 при 0 < 6 < -д- и следствия из теоремы
Больцано 5.23; в остальных случаях—из формул 5.65 B)—E)
и правила знаков 5.65 (8). Число 6 называется полярным углом
точки (х, у). Для точек с х > 0, у = 0 полярный угол
равен 0, для точек с х = 0, у > 0 он равен -^- = 90°, для точек
cj/ = O, х < Оонравенп= 180° и для точек сдс = О, у <0 он
равен -?- п = 270°. Впрочем, иногда удобнее, воспользовавшись
периодичностью функций sin 6 и cos 6, под 6 понимать не
только решение системы A) в [0, 2я), но и любое веще-'
ственное число, отличающееся от этого решения на число,
кратное 2л. Число
r = Vxa+y* B)
называется полярным радиусом точки (jg, у). Формулы A)
можно записать в форме
.y=:r sin8. C)
Числа гиб называются полярными координатами точки
(х, у); они определены всюду, кроме точки jc = 0, у = 0,
где г=0, а величина 6 не имеет смысла. Координатная линия
г = const есть окружность
координатная линия 6 = const есть луч
X
5.72. Тригонометрическое представление
комплексных чисел. Пусть г = х-\-1уФ0—комплекс-
х-\-1уФ0—комплексное число (§ 2.7). Используя равенства 5.71 C), можно
это число представить в форме
z = r (cos 8-И sin 6), A)
где в к г определены по формулам 5.71 A), B). В этой
записи г называется модулем комплексного числа г, а 6 —
аргументом z*). Пишут г = |гj, 6 = argz.
*) Не надо путать с понятием аргумента функции B.81).
190 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.73
Если
гг = ri (cos 6i + * sin 0л),
то, перемножая эти равенства и используя 5.61 B), C),
получаем
ztz2 = rtr2 [(cos 0j cos 02 — sin вг sin 02) +
+I (cos 0X sin 02 -f- sin 0X cos 02)] =
= гЛ [cos @! + 02) +1 sin @Х + в,)]. B)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их
модули перемножаются, а аргументы складываются.
5.73. В частности, для любого гфО из 5.72 B) сле-
следует, что при любом натуральном т=\, 2, ...
2"' = r'B(cos/»0 + isinw0). (I)
Используя формулу A), мы решим уравнение
zm = w, B)
где w—заданное комплексное число. При ?е> = 0 имеется
очевидное (единственное) решение z = 0. Поэтому будем
считать ге"^=О,
w = R (cos to -f i sin to).
Будем искать z в форме 5.72 A), где г и 0 подлежат
определению. Равенство A) приводит к уравнению
rm (cos mQ -f- / sin /м0) = /? (cos to -f-1 sin to),
откуда
rm cos mQ = R cos to, rm sin mQ = R sin to. C)
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, находим
это уравнение в области положительных чисел имеет един-
единственное решение
Сокращая теперь равенства C) на rm = R, получаем
cos /»0 = cos со, sin mQ = sin со.
5.74] § 5.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 191
В силу 5.56", где положено к = со, x-\-u = mQ, так что
х = тЬ—со, мы имеем тВ—со = 2Ая, т. е.
т'т
= 0, ±1, ±2, ...)•
При k = 0, 1, ... , т—1 получается т различных ре-
решений уравнения B):
. 2кл\]
...
D)
Остальные значения k дают для 6 значения, отличаю-
отличающиеся на какое-либо кратное 2я от уже найденных, и
поэтому не дают новых корней
уравнения B).
Найденные корни D) распола-
располагаются в вершинах некоторого пра-
правильного m-угольника с центром в
начале координат (рис. 5.8).
5.74. Угол между век-
векторами в л-м ерном про-
пространстве. Имея векторы
^(Уг, ¦¦• . Уп)
Рис. 5.8.
т=6, Д=1, ш = 192о.
мы составляем их скалярное произведение C.14 A))
Учитывая неравенство Коши—Буняковского 3.14 E)
К*. зОКМ-М.
мы можем при хфО, уфО найти число со, 0^ш;
из условия
COS СО =
п,
к, у)
\х\-\У\ '
Число со называется углом между векторами х и у и обо-
обозначается (?,у)- Если со = 0, т. е.
192 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ Р-75
то векторы х и у линейно зависимы. Действительно,
в этом случае уравнение
0 = (*—Ху, jc—Ху) = (*. *)—2Х<*.
имеет решение Х = 4—|-; следовательно, при этом
Аналогично, если ?0 = л, т. е. (jc, _у) =— |х|*|^|> векторы
хну линейно зависимы; на этот раз связывающий их
множитель отрицателен.
Если to = n/2, т. е. (я, у) = 0, векторы х и у назы-
называются ортогональными. Это последнее определение есте-
естественно распространяется и на случай, когда один из век-
векторов х, у (или оба) есть 0:- нуль-вектор оказывается
ортогональным к любому вектору х.
Применим полученное определение к двум векторам на
плоскости. Пусть вектор x?R2 имеет полярные координаты
{р, ф}, а вектору—полярные координаты {г, г|з}. Соот-
Соответственно прямоугольные координаты векторов х = (хи дг2)
Л У — (Уи Уз) имеют вид
jCj = р cos«р, xs = р sin(р, Ух~г cosя|з, y^ — f S'n Ф-
Поэтому, согласно общему определению,
cos (хТу) = -^ = ^(«4>^у-1пу1в« = cos(ф _ ^
Отсюда угол (х, у) между векторами jc и у есть то из вы-
выражений (р—я|з-}-2Лл или гр—ф + 2Ая, которое заключено
между 0 и л.
5.75. П о в о р о т ы. а. В плоскости /?2 поворотом на угол 8
называется преобразование, оставляющее на месте начало
координат н переводящее каждый вектор х Ф 0 с поляр-
полярными координатами {р, <р} в вектор х' с полярными коор-
координатами {р, ф + 6}.
Запишем преобразование поворота в прямоугольных
координатах. Пусть в прямоугольных координатах х = (xv jca),
5.75] § 5.7. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 193
х' = (х[, х'2). Мы имеем
х\ = р cos (ф + 6) = р (cos ф cos 0— sin ф sin 6) =
= jc1cos0—jc2sin0,
x'2 = p sin (ф -f 6) = P (sin ф cos 6 + cos ф sin 0) =
= xx sin 0 + jc8 cos 0;
это и есть искомые формулы поворота в прямоугольных
координатах. По самому определению поворот не меняет
длины любого вектора. Покажем, что поворот не меняет
и угла между двумя векторами. Если ф и я|з—полярные
углы двух векторов д; и у, то полярные углы векторов
х' и у', получающихся после поворота, равны ф + 0 и Ц> + 6.
Угол to между векторами х и у определяется из уравне-
уравнения cos to = cos (ф — if>), угол to' между векторами х' к у' —
из уравнения cos w' = cos [(ф + 0)—(ф + 0)]; так как и ш
и со' заключены в пределах от 0 до л, то to = to', что и
требуется. Определитель из коэффициентов построенного
линейного преобразования, очевидно, равен 1.
б. Обобщим определение преобразования поворота на
n-мерное евклидово пространство. Поворотом, или ортого-
ортогональным преобразованием, называется такое линейное пре-
преобразование х' = и (х), или в координатах
;
*П = «„!*! + • ..+«„„*„,
при котором не меняются длины векторов и углы между ними,
и det||Uyjtj| = l.
Найдем условия на коэффициенты иу-й, обеспечивающие
выполнение поставленного требования. Пусть еу- =
= @, .... 1 ..., 0) (у=1, ..., п) и е} = и(еу). Век-
/
торы ех, ... , еп должны быть ортогональными и нормиро-
нормированными C.14 а) вместе с векторами elt ..., еп. Из A)
следует, что в/=(в1у, ... , unj), поэтому "мы должны иметь
при \ф1 B)
Мы утверждаем, что условия B) и достаточны для того,
чтобы преобразование A) было преобразованием поворота.
* e'l) = Ji в« В*У = { 0
194 ГЛ. 5 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.76
Действительно, пусть х' = и(х), у' = и(у) определены по
формулам A); тогда
J
откуда следует сохранение и длин векторов,и углов между
ними. Можно показать, что при п=2 приведенное опреде-
определение совпадает с определением а (задача 19).
5.76. Полярные координаты в пространстве.
Вычислим угол «у между вектором х = (х1, ..., д;„) и ба-
базисным вектором ^-=@, ..., 1, ..., 0) в л-мерном евкли-
евклидовом пространстве Rn. По общей формуле 5.74
(х, ej) xj
Отсюда прямоугольные координаты вектора д; можно запи-
записать в форме
Xj=\x\cas(x,ej), х = \ х \ (cos (д;, ех), ..., cos (x,en)). A)
Углы a,j=(x,ej) и \х\ называются полярными коорди-
координатами вектора х. Между величинами ах, ..., ап имеется
связь
Ti = L
Tip
Угол между векторами д; и у по их полярным углам
«!,..., ап и pif ..., Рп можно записать формулой
cos (aCj/) = j-^yyj- = cos «! • cosPi + ... + cos an ¦ cos р„.
Если «) = (%, ..., ton) есть единичный вектор, |to|=l,
то числа toy, как видно из A), суть косинусы углов между to
и соответствующими базисными векторами: toy.= cos(to, ey).
В частности, коэффициенты ujk преобразования поворота
5.75 A) как координаты единичных векторов е) имеют
прямой геометрический смысл: коэффициент и,-у. есть коси-
косинус угла между вектором е] и базисным вектором с,-.
5.82] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 195
§ 5.8. Векторные непрерывные функции векторного
переменного
5.81. Рассмотрим функцию у=/(х), областью опреде-
определения которой является множество О в я-мерном евклидо-
евклидовом пространстве Еп, а областью значений /я-мерное евкли-
евклидово пространство Ет. Такая функция называется отобра-
отображением множества GczEn в Ет. Поскольку Еп и Ет—ме-
Ет—метрические пространства C.14), результаты §5.1 применимы
к отображениям. В соответствии с общим определением
5.11 отображение y=f(x) называется непрерывным при
x — a?G, если lim f(x)=f{a), или, иначе говоря, если для
х-*а
любого е>0 существует такое 6 > 0, что из |jc — а|<6
следует
Через | | в данном случае обозначаются, естественно, рас-
расстояния в пространствах Еп и Ет.
5.82. Если записать функцию y=f(x) в координатах,
мы получим систему равенств вида
Ут = /т(Х1, ...,Xa)=sfm(X),
в которых участвуют т числовых функций переменного
л: = (дг1р ..., хп). Из 4.74 следует, что соотношение
lim f{x)=/(a)
x-f-a
равносильно т соотношениям для числовых функций
Пт/1(х)=/1(а),
lim fm(x)=fm(a).
х-*а
Поэтому ©тображение у=/(х) непрерывно при х — а тогда
и только тогда, когда при х — а непрерывны все т число-
числовых функций /г(х), ..., /„(*).
196 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.83
Б.83. На непрерывные отображения переносятся некото-
некоторые из доказанных нами в § 5.1 теорем о числовых непре-
непрерывных функциях. А именно:
а. Ecm.f(x) и g(x)-~векторные функции (отображения),
непрерывные при x = xo?G, то функция f(x)-\-g(x) также
непрерывна при х — х0.
б. Если <х(х)—числовая функция, определенная в О и
непрерывная при х = х0, a g(x)—отображение О в Rm,
непрерывное при х — х0, то a(x)g(x) есть отображение О
в Rm, также непрерывное при х = jc0.
в. Если у~/(х)—отображение, непрерывное в точке
х — х0, то )/(х)\ есть числовая функция, непрерывная при
х = х0.
5.84. Рассмотрим функцию w—f{z), определенную на
множестве Св евклидовой плоскости Е2, с областью зна-
значений также в плоскости ?2. При этом z = (x,y), w=(u, it)
можно считать комплексными числами. Функция is)—f(z)
называется комплексной функцией комплексного аргумента.
В соответствии с 5.8/ функция w=f(z) непрерывна в (не-
(неизолированной) точке 2=с^0, если lim/B)=/(а), или,
иначе говоря,если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое,
что из \z—а|<6 следует
\f(z)-/(a)\<e.
Согласно 5.82 функция w=/ (z) — и B) + iv (z) непрерывна
при z — а тогда и только тогда, когда обе вещественно-
значные функции и (z) и v(z) непрерывны при z = a.
Согласно 5.83а,б вместе с комплексными непрерывными
функциями f(z) и g(z) непрерывны при z = a их сумма
f\z)-\-g(z) и произведение функции f(z) на любую вещест-
вещественную функцию a (z), непрерывную при z = a. Используя
известные действия с комплексными числами, мы можем до-
добавить к этим сврйствам следующие:
а. Если f(z)ug (z)—две комплексные функции, непрерыв-
непрерывные при z — a, то произведение f(z)g(z) также непрерывно
при z=a.
б. Если f(z) — комплексная функция, непрерывная при
Z=a, причем /(а)^=0, то тт^ непрерывна при z=a.
5.86] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 197
в. Если f(z) и g(z)—две комплексные функции, непре-
непрерывные при z = a, причем g(a)=?0, то LM также непре-
непрерывна при z= a.
Эти утверждения вытекают из соответствующих свойств
пределов D.73 д).
5.85. Функция w = z, очевидно, непрерывна при каждом
z = x-\-iy. В силу 5.84 каждый многочлен w = P (z) — aozn +
-\-alzn~1 + ... -\-апс комплексными коэффициентами ао,...,ап
есть непрерывная функция от z и каждая рациональная
функция
„¦_-Р(г)__Дог+---+а„
Q(z) boz"+...+bm
непрерывна всюду, кроме тех значений z, для которых
Q(z) = 0.
5.86. Теорема о существовании корня. Чис-
Число z0, удовлетворяющее уравнению P(zo) = 0, называется
корнем многочлена P(z). В вещественной области имеются
многочлены, не имеющие корней (пример: Р(х) = хй-\-1).
«Основная теорема алгебры» состоит в том, что в комплексной
области каждый многочлен, отличный от постоянной, имеет по
крайней мере один корень. Здесь мы докажем эту теорему.
а. Лемма. Пусть P(z)—некоторый многочлен. Для лю-
любого положительного Л существует такое R, что при \\
выполняется неравенство \P(z)\^A.
Доказательство. Мы имеем при а0^= 0 и z =j?О
Так как предел скобки при z —>- оо равен 1 D.73 е), то
существует число Rt такое, что при | j2t |
и, следовательно,
198 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ I5-86
Если взять теперь |г|^/?>/?1, то неравенство
выполняется при R > 1/ 2 :—г, что и доказывает лемму.
б. Лемма. Пусть P(z)—некоторый многочлен степени
я 2? 1. Если Р (z0) Ф О и задано число 60 > 0, то сущест-
существует точка zy, \Zy—z0 | <; б0, для которой \P(z1)\<\P(z0)\.
Доказательство. Вначале рассмотрим случаи z0 — О,
Р@)=1. Пусть ak—первый из коэффициентов ап_г, ...,
а0, отличный от 0. Тогда
Р{г) = 1 +akzk+ ... +aoz"= I +akz"
где
Так как, очевидно, Н@) — 0, то в силу непрерывности мно-
многочлена Н (z) существует круг | z | ^ 6 <! 60, в котором
выполняются условия
1. A)
Определим % из уравнения
которое разрешимо E.73), причем, очевидно, | zx \ = б. Тогда
что и требуется.
В общем случае, пользуясь соотношением
Я B)= 2°**""*= 2e*[(«-«o)+2o]""*,
мы можем расположить многочлен Я B) по степеням z—z0:
5.86] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 199
Если мы заменим здесь z—z0 на ?, то получим
где
Так как \P(z)\ = \bo\-\Po(Z,)\, то задача сведена к преды-
предыдущей.
в. Мы можем теперь доказать основную теорему.
Теорема. Каждый многочлен Р (z) = а^п + .. . + ап
(п ^ 1, а0 =f= 0) в комплексной плоскости имеет по край-
крайней мере один корень.
Доказательство. Функция |Р(z)| неотрицательна;
положим
a = inf{|PB)|}.
zee
Далее, используя лемму а, можно найти такое R, что при
\ выполняется неравенство
Поэтому при вычислении а значения P(z) вне круга
уже не играют роли. Мы можем написать
о= inf {\P(z)\\.
Но круг V={|2|^/?} в отличие от всей плоскости С есть
уже компактное множество C.96 д). В силу теоремы 5.16 б
непрерывная функция (ЯB)| достигает в некоторой точке
z0 ? V своей нижней грани:
\P(zo)\ = a.
Если а = 0, то P(zo) = 0. Покажем, что предположение
^(^oJt^O ведет к противоречию.
Точка z0 лежит внутри круга V, так как на его грани-
границе, т. е. при |,г| = /?, уже выполняется неравенство
\P{z)\e^v--\-1- Таким образом, некоторый малый круг
\z—20|^60 лежит целиком в круге V. По лемме б в этом
круге можно найти такую точку zlt что IP^)! < |ЯB0) |.
Но это означает, что а=|ЯB0)| не является точной ниж-
нижней гранью функции |P(zo)| в круге V. Полученное проти-
противоречие показывает, что P(zo) = O, и теорема доказана.
200 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [S-8?
5.87. Из алгебры известно*), что для любых двух мно-
многочленов Р (z) и Q (z) Ф 0 можно найти путем деления и
выделения остатка два других многочлена S(z) и R(z) та-
таких, что
= Q(z)S(z) + R(z), A)
где или /?(#) = 0, или степень R (z) (остатка) ниже степени
многочлена Q{z); многочлен Р (z) при этом называется де-
делимым, Q(z)—делителем, a S (z)—частным. Сумма степеней
делителя и частного равна степени делимого. Здесь z есть
просто символ, не обязанный быть каким-либо числом, и
многочлен P(z) есть некоторое формальное выражение,
определяемое совокупностью коэффициентов а0, ..., ап,
с естественными правилами сложения и умножения. При
подстановке в равенство A) вместо z произвольного ком-
комплексного числа это равенство перейдет в равенство между
получающимися числами.
Пусть, в частности, Q(z) = z—zt. Тогда R(z) имеет
нулевую степень, т. е. является постоянной. Если при этом zr
есть корень многочлена P(z), то постоянная R(z) равна
нулю; действительно,
Разложение A) принимает вид
= S(z)(z-z1),
где многочлен S (z) имеет степень п—1.
Повторяя этот процесс в применении к мнргочлену
) = Sl(z), мы получаем
где z2 есть корень многочлена St (z) в тем самым и много-
многочлена P(z); степень многочлена S$(z) равная—2. Продол-
Продолжая таким образом далее, мы можем снизить степени
последовательных частных до нулевой, в результате чего
получится разложение
P(z) = S0(z-Zl)...(z-zn),
*) См. например, А. Г. К у р о ш. Курс высшей алгебры, М.,
1968, гд. 5.
5.88] § 5.8. ВЕКТОРНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 201
где So—постоянная, a zx, ..., zn — корни многочлена Р (г).
Они могут быть не все различными? объединяя скобки с оди-
одинаковыми корнями, мы получим окончательную форму разло-
разложения многочлеиа на множители
= S0(z—zxy*...(z —zkyk, B)
где числа zx, ..., zh уже все различны. Показатели r1,...,rk
называются кратностАми соответствующих корней. Раскры-
Раскрывая скобки, мы можем убедиться, что число So совпадает
со старшим коэффициентом многочлена P(z).
5.88. а. Разложение рациональных функций
на простейшие дроби. Для данных двух многочленов
Px(z) и P2(z) (например, с комплексными коэффициентами)
можно построить их общий наибольший делитель D(z) —
многочлен наибольшей степени, на который делятся без
остатка Рх (z) и Р2 (z) *). Доказывается, что существует
представление
D(z) = Px(z)Sx(z)+P2(z)S2(z),
где Sx{z) и S2(z) — новые многочлены от z.
Очевидно, всякий корень многочлена D (z) есть кбрень
обоих многочленов Px(z) и P2(z). Поэтому, если Px(z) и
Р2 (z) не имеют общих корней, их общий наибольший де-
делитель есть постоянная, которую можно считать равной 1.
б. Рассмотрим рациональную функцию
где Рг(г) и Ps(z) не имеют общих корней. Согласно ска-
сказанному, существуют такие многочлены Sx (z) и $2 (z), что
и, следовательно,
Q{z) = Q (z) Px (z) Sx (z) + Q (z) P2 (z) S2 (z).
Разделив обе части этого равенства на Px(z)P$(z), получим
Q(a) ^Q{z)St{z) Q\z)St(z)
*) См. А. Г. К у р о ш, там же.
202 гл. 5. непрерывные функции [589
Можно продолжить эту операцию, разлагая Рг{г) и P2(z)
далее на множители без общих корней. Используя для мно-
многочлена Р (z) представление 5.87 B), мы таким путем мо-
можем построить разложение рациональной функции jrrx в сумму
So (г-г1)" ... (г-г*)'*
Располагая каждый из числителей Qj(z) по степеням соот-
соответствующей разности z—Zj, мы можем, далее, от разло-
разложения A) перейти к разложению
где T(z)—многочлен, a Ajm—числа. Формула B) называется
разложением рациональной функции ^~ на многочлен и про-
простейшие дроби*).
5.89. Многочлены с вещественными коэф-
коэффициентами.
а. Если Р (z) = а„гп + an_lzn~1 -\- ... -f- a0 есть многочлен
с вещественными коэффициентами и z0 есть число, ком-
комплексно сопряженное с числом z0, то, согласно 2.73,
. A)
В частности, если z0—корень многочлена P{z), т. е. P{zo) = O,
то равенство A) показывает, что и P(zo) — O, т. е. что z0
также есть корень многочлена P(z).
б. Пусть zo = xo + iye, 20 = x0—iye; тогда (z—z0) X
XB — zo) = (z~x0—iy0) {z—xo+iyo)=(z—xoJ+yl Раз-
Разделив многочлен P{z) на трехчлен с вещественными
*) В алгебре доказывается и единственность такого разложения;
см. А. Г. К у р о ш, там же, гл. 5. На теореме единственности
основан «метод неопределенных коэффициентов» для фактического
построения разложения B), с которым можно познакомиться по книге
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференцильного и интегрального
исчисления, т. 2, гл. VIII, п. 262, Гостехиздат, 1948.
5.91] § 5.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 203
коэффициентами (z—хьJ-\-у1, получим
где Pi(z)—снова многочлен с вещественными коэффициен-
коэффициентами. Это позволяет преобразовать разложение 5.87 B)
к вещественной форме, объединив множители с комплексно
сопряженными корнями; при этом вместо 5.87 B) получается
разложение на множители с вещественными коэффициентами
P(z) = so[(z-Xl)z+ylY> ¦ ¦ ¦ Цг—ХнГ+ytY* Х
Х(г—хк+1ух+'...(г—хрур, B)
где jcx;? iylt ..., xk±iyk—невещественные корни много-
многочлена P(z), а хк+1, ..., х —вещественные его корни с
соответствующими кратностями rlt ..., гр. В частности,
невещественные корни Xj-\-iyj и х,—iyj имеют одну и ту
же кратность.
в. Аналогично разложение на простейшие дроби 5.88 B)
для многочленов Q(z) и Р (z) с вещественными коэффициен-
коэффициентами может быть преобразовано к виду
{ Ajm
соответствующая выкладка предоставляется читателю.
§ 5.9. Последовательности функций
5.91. Рассмотрим сначала последовательность функций
Л(*),/«(*), •••,-/„(*), •••¦ A)
заданных на произвольном множестве Е, со значениями
в метрическом пространстве М. Будем говорить., что после-
последовательность A) сходится на множестве Е, если каждая
последовательность вида
А (*о), Л (х0), -..,/„ (х0), ... (х0 С Е)
имеет в М предел. Этот предел, зависящий, естественно,
от точки jc0, мы обозначим через f{x0); тем самым мы
204 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
получаем функцию f(x), которая, по определению, является
пределом последовательности функций fn(x):
/ (ж) = 11m/„(*)• B)
f!-*-00
Таким образом, равенство B) означает, что для каждого
е > 0 и каждой точки хе ? Е найдется номер N (зависящий
от е и от точки х0) такой, что для всех п > N
C)
6.92. Примеры.
а. Последовательность числовых функций
/„(*)=— Я*)
сходится к нулю в области определения числовой функции
/(X).
б. Последовательность числовых функций /„ (jc) = х"
сходится в промежутке —1<дс^1. Ее предел f(x) есть
функция, равная 0 при х < 1 и 1 при х = 1.
в. Последовательность функций
при ^
при — ^ jc ^ я
сходится в каждой точке х ? [0, л] к 0. Заметим, что мак-
максимальное отклонение функции /„ (х) от предельной функции
/(jc), равное п, в этом примере не только не стремится
к 0, но даже неограниченно возрастает.
5.93. Вообще говоря, предельная функция последователь-
последовательности fn(x) может не обладать свойствами, которыми обла-
обладают сами функции /„(jc). Так, в примере 5.92 б функции
fn(x) непрерывны на [0, 1], а предельная функция разрывна.
Чтобы иметь возможность сказать что-то определенное от-
относительно предельной функции, обычно приходится налагать
условия на характер сходимости.
В следующем определении сформулировано одно из важ-
важнейших условий такого рода.
Определение. Последовательность функций 5.91 A)
называется равномерно сходящейся к предельной функ-
5.95] § 5.&. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 205
ции / (х) на Е, если для любого е > 0 можно найти номер /V
так, что для любой точки дг0 € Е при п > N выполняется
неравенство
Р[/(*о)> /„(*о>]<«- О)
Отличие от предыдущего определения 5.91 состоит в том,
что здесь одни и тот же номер N годится сразу для всех
точек хо?.Е, в то время как в определении 6.91 номер /V
зависел еще от выбора точки х0. Поэтому неравенство A)
следует заменить неравенством
sup P [/(*),/„(*>]<« B)
для всех п^З: N=N(e).
В примере 5.92 а сходимость последовательности fn(x)
к своему пределу была равномерной, а в примерах 5.92 б, в —
неравномерной.
Целесообразность введенного определения подтвержда-
подтверждается следующими теоремами.
5.94. Теорема. Если каждая из функций fn(x) огра-
ограничена, т. е. для фиксированной точки р?М выполняются
неравенства
(я=1, 2, ...),
и последовательность /п(х) сходится на Е равномерно, то
предельная функция f(x) также ограничена.
Доказательство. Найдем для заданного е > 0, на-
например е=1, номер TV так, чтобы иметь при n^N и каж-
каждом х?Е
Р[/„(*). /(*)J<e=l.
Отсюда при каждом
Р [/(*), Р]<Р [/( N
и мы видим, что функция f(x) ограничена.
5.95. Теорема. Если Е есть метрическое пространство
и каждая из функций последовательности fn(x) непрерывна
в точке хо?Е, то в случае равномерной сходимости после-
последовательности fn(x) предельная функция f(x) также непре-
непрерывна в точке х0.
206 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ [5.96
Доказательство. Для данного е > 0 найдем номер N
так, чтобы при всех n^N и всех х?Е иметь
Так как функция fN(x) непрерывна при х=х0, существует
такое б > 0, что при всех х в шаре V == -{р (лг, дг0) < 6}
выполняется неравенство
p[fN(x), fN(x0)]<j. B)
Запишем неравенства A) для точек x?V и х0 и n — N:
P[/jv(*o)> /(*„)]< 1. C)
Р [/*(*), /(*)]< |- D)
Из B)—D) следует, что при х € V
Р [/(*), /(*„)]< е,
что и означает непрерывность функции f(x) при х = х0.
5.96. Как следствие получаем:
Теорема. Предел равномерно сходящейся последова-
последовательности непрерывных функций /п(х) на метрическом про-
пространстве Е есть непрерывная функция на Е.
5.97. Если метрическое пространство М есть /и-мерное
вещественное пространство Rm, так что функции /„ (дг) суть
функции с векторными значениями, неравенства 5.93 A) и
5.53 B) принимают соответственно вид:
A)
при каждом лго€? и n~^N{e, x0);
B)
при каждом
5.98. В этом же случае (M=Rm) для равномерной сходи-
сходимости имеет место критерий, похожий на критерий Коши 4.75.
Критерий Коши для равномерной сходимо-
сходимости. Последовательность функций fn (x), определенных на
5.98J § 5.9. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ 207
множестве Е и принимающих значения в пространстве Rm,
сходится на множестве Е равномерно тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 существует номер N такой, что для
всех п~^ N,
Доказательство. Пусть функции /„(х) сходятся
равномерно на ? к функции f(x). Тогда для заданного е > 0
мы возьмем номер N так, чтобы при любом п~^&N к любом
иметь
В частности, и для номера р~^N при любом хEЕ
Отсюда при любом х?Е и указанных пир
!/„(*)-/,(*) К в.
Следовательно, и
Обратно, пусть выполнено условие теоремы. В частности,
прн фиксированном хо?Е для последовательности векторов
fi(x0), .. .,fn(x0), ... выполнен критерий Коши в Rm D.75).
Поэтому в силу теоремы 4.75 последовательность /п(х0)
сходится в Rm к некоторому вектору, который мы обозначим
через f(x0). При всевозможных х = хо?Е получаем функцию
f(x) со значениями в Rm. Покажем, что /п(х) сходится к
f{x) равномерно.
В неравенстве
перейдем к пределу при р—>-оо. В силу непрерывности
расстояния E.12 б) мы имеем при всех х?Е и n^N
|/„ (*)-/(*) |< е,
что и означает равномерную сходимость /п(х) к f(x).
Теорема доказана.
208 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Примечание. В условии и утверждении этой теоремы
можно заменить пространство Rm на любое полное метри-
метрическое пространство. Мы вернемся к этим вопросам в даль-
дальнейшем, в гл. 12.
ЗАДАЧИ
1. Дана числовая функция y=f(x), определенная в окрестности
точки хв. Известно, что для каждого б > 0 существует такое е > 0,
что из | х—ха1 < 6 следует | / (*)—f (*d) | < е. Непрерывна ли функция
f(x) при х=х0?
2. Пусть для каждого е > 0 существует такое 6 > 0, что из
\f (х) — /(*о)|<е следует |jt—xo\ < 6. Непрерывна ли функция
t(x) при х=х0?
3. Доказать непрерывность функции у=[х\.
4. Исследовать на непрерывность функции у~(х)(дробная часть*)
и у=[х] (целая часть х) A.71).
5. Доказать, что функция Римана
i \ m
| —, если х=— есть несократимая дробь4
|
0, если х иррационально,
непрерывна в иррациональных и разрывна в рациональных точках оси.
6. Если числовые функции / (х) и g (x) непрерывны, то и функции
max {/ (х), g(x)}, min {f (x), g(x)\
также непрерывны.
7. Если числовая функция f(x) непрерывна при х?\а, Ь] и хи ...
..., хп—любые точки этого отрезка, то существует точка хо?[а, Ь],
в которой
8. Если ограниченная монотонная функция f(x) непрерывна на
интервале (а, Ь), конечном или бесконечном, то она равномерно не-
непрерывна на (а, Ь).
9. Монотонная функция /(*), определенная на (—оо, оо), удо-
удовлетворяющая функциональному уравнению {(x-\-y) = f (x)-^-f (у),
имеет вид
f (x) = ax.
10. Указать на (—оо, а>) участки равномерной сходимости по-
последовательности функций
ЗАДАЧА
209
11. Доказать, что соотношение 5.61 D) не есть следствие соотно-
соотношений 5.61 A)—C), а соотношение 5.61 A) не есть следствие соотно-
соотношений 5.61 B)—D).
12. Функция f (х) определена при — ое < х < ое, и Для любых
двух точек Xi < х2 и любого c?[f (xt), f (х2)) имеется точка хс?(хъ хг),
в которой f(xc)=c. Непрерывна ли функция f(x)?
13. Проверить таблицу значений:
X
я
6
я
4
я
т
ИПх
1
2
2
V*
2
cos л
2
V2
2
1
2
tgx
VI
3
1
14.-Пусть f(x)—вещественная функция, определенная на отрезке
[а, Ь]. Доказать, что множество тех точек с?[а, Ь), для которых
litn f (x) существует и отличен от f (с), не более чем счетно.
х->-с
15. Пусть <=0, tt t2 ¦ ¦ ¦ tn ...—десятичная запись A.77) Веще-
Вещественного числа ?, 0<? < 1. Пусть, далее, пх < пг < ... < п^ <...—
некоторая подпоследовательность последовательности натуральных
чисел. Исследовать на непрерывность функцию
*Ю=°. '„Л,-•'„*•••
16. Доказать, что множество М точек в плоскости, расположен-
расположенных на единичной окружности Г с центром в начале координат и
имеющих полярные углы 1, 2, .... п всюду плотно на Г.
17. Функция f (x), определенная и непрерывная на множестве Р,
всюду плотном на некотором компакте М, обладает непрерывным
продолжением на все М (т. е. существует функция F (х), определенная
и непрерывная на М и совпадающая на Р с I (х)) Тогда и только
тогда, когда f (x) равномерно непрерывна на Р.
18. Доказать, что вещественная функция f(x), определенная и
неубывающая в промежутке (а, Ь), может иметь не более счетного
множества точек разрыва.
19. Показать, что поворот в n-мерном пространстве E.766) при
/1=2 есть поворот в плоскости на некоторый угол E.76 а).
20. Если в определении поворота в л-мерном пространстве
E.766) отбросить требование det||wy^ [|=1, то получающееся линей-
линейное преобразование, если оно не есть поворот, есть «поворот с от-
отражением», т. е. результат последовательно произведенных отраже-
отражения (?{=?,., .... l'n-i=ln-i< l'n = — ln) и поворота.
210 ГЛ. 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Историческая справка
Первое корректное определение непрерывности для функции ве-
вещественного переменного было дано Больцано A817), а затем Коши
A821). Оба они, используя «критерий Коши», получили теорему о про-
промежуточном значении E.22). Теорема 5.16 б об ограниченности не-
непрерывной функции и о достижении ею точных границ была (для
отрезка) найдена Вейерштрассом (около 1860). Определение равномер-
равномерной непрерывности и соответствующая теорема о непрерывных функ-
функциях E.17 б) (для отрезка) были получены Гейне A870).
Показательная функция с дробным показателем была известна
давно (Штифель, 1544); уже на этом раннем этапе было замечено,
что произведению степеней отвечает сумма показателей и что такое
свойство может быть использовано для вычислений. Первые таблицы
логарифмов были составлены Непером A617) и Бюрги A620). Полное
определение показательной функции и логарифма и доказательство
непрерывности этих функций были даны в середине XIX века, как
только появились достаточно разработанные теории вещественных
чисел
Тригонометрические функции (как отрезки в круге) были известны
в древности (первая таблица синусов составлена Птолемеем во II ве-
веке н. э.). Индийские математики знали формулу 5.61 A) (Ариабхата,
V век). Формулы 5.61 B) и C) получены немецким математиком
Региомонтаном (XV век). Современные обозначения тригонометриче-
тригонометрических функций были введены Эйлером (XVIII век).
Существует иное аксиоматическое построение теории тригономе-
тригонометрических функций, не требующее предположения о существовании
решений некоторых функциональных уравнений и основывающееся
на соображениях теории непрерывных групп (Н. Бурбаки, Общая
топология. Числа и связанные с ними группы и пространства, гл. VIII,
Физматгиз, 1959.)
Проблема существования комплексного корня у всякого много-
многочлена с комплексными коэффициентами была поставлена еще
в XVII веке; в XVIII веке было дано несколько ее решений, но все
они не были и не могли быть строгими до построения развитой теории
вещественных чисел и непрерывности. Первое строгое доказательство
с явным указанием роли непрерывности было дано Гауссом A799);
недостающие места здесь заполнились в результате работ Больцано
A817), Коши A821) и в конечном счете Дедекинда—Кантора—Вей-
ерштрасса A874).
Понятие равномерной сходимости последовательности функций
и роль этого понятия в сохранении непрерывности были указаны
Стоксом и Зейделем A847—1848) н затем Коши A853); впрочем, ранее
для частного случая аналогичная теорема была уже у Абеля A826).
ГЛАВА 6
РЯДЫ
По-разному расставляя скобки в выражении I — 1 +
+ 1 — 1+ ..., я могу по желанию получить 0 или 1.
Но тогда иет ничего невозможного в предположении о со-
сотворении мира нз ничего.
Гвидо Гранди A703)
Что касается меня, то признаюсь, что все рассуж-
рассуждения и вычисления, основанные на ие сходящихся ря-
рядах... всегда кажутся мие крайне подозрительными.
ЖанДаламбер A748)
§ 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды
6.11. а. Пусть аъ аа, ..., ап, ...— последовательность
вещественных чисел. Образуем частные суммы
Определение. Если последовательность чисел
slt s2, . .., sn, ... сходится к конечному пределу s, то мы
будем говорить, что числовой ряд
fl! + O2+ ... +О„+... A)
сходится и его сумма равна числу s = lim sn. Если же после-
довательность чисел slt s2, .. .,sn, ... расходится, будем
говорить, что ряд A) расходится, и не будем приписывать
ему никакой суммы.
Числа alt с2, ... называются членами ряда A). Всякая
конечная сумма am+l-\- ¦ ¦ ¦ +а„ называется отрезком ряда A).
Если все числа аг, ..., ап, ... положительны (неположи-
(неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд A) называется
знакоположительным (знаконеположительным, знаконеотри-
цательным, знакоотрицательным).
212 гл. 6. ряды [6.11
б. Пример. Рассмотрим числовой ряд
1+* + *2+...+*"-1+..., B)
где х — некоторое фиксированное число. Частные суммы
этого ряда вычисляются по формуле суммы геометрической
прогрессии
Если | х \ < 1, то при п —¦> оо мы имеем х" —*¦ 0, откуда
следует, что величины sn имеют предел
S = -T— • C)
Таким образом, при | х \ < 1 ряд B) сходится и его сумма
имеет значение C).
Если х=1, то, очевидно,
*„=1 + ... + 1=я
и, следовательно, ряд B) расходится. При л; = —1 имеем
так что последовательность sn, оставаясь ограниченной, не
имеет предела, и ряд B) также расходится. Наконец, при
| х|> 1 величина | sn \ с ростом п неограниченно возрастает,
так что ряд B) опять-таки расходится.
В итоге мы получаем: ряд B) сходится при \ х \ < 1
и имеет сумму C), а при | х \ ^ 1 расходится.
в. Критерий Коши для ряда. Применяя к после-
последовательности частных сумм sl7 s2,...,sn,... критерий Коши
C.72) и учитывая, что при m < п мы имеем sn—sm =
=cWi+ *'" +аш получаем критерий Коши для ряда:
Ряд A) сходится тогда и только тогда, когда для любого
е > 0 существует такое число N, что при всех m~^N, я > m
г. В частности, если ряд A) сходится, то для любого
е>0 существует такое N, что прн ^N
т. е. lim а„ = 0.
П-УО>
6.13J § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 213
Таким образом, у сходящегося ряда ах-}-... + ап+ ...
последовательность его членов а^ ..., а„, ... стремится
к нулю. Соотношение ап —> 0 является, следовательно, не-
необходимым условием сходимости ряда аг + ... + а„ + ...
Но имеются и расходящиеся ряды а1 +... +я„ + ..., у кото-
которых также ап —*¦ 0 (пример в 6.15 б), так что условие а„ —»¦ О
не является достаточным условием сходимости ряда.
д. Другое необходимое условие сходимости ряда выте-
вытекает из 3.33 б: всякая сходящаяся последовательность ограни-
ограничена. Поэтому у всякого сходящегося ряда аг -f-.. - + оп + ...
последовательность его частных сумм slt ..., sn, ... ограни-
ограничена. Это условие, являясь необходимым условием сходи-
сходимости, также не является достаточным. Так, частные суммы
ряда 1 —1 + 1 —1 + ... ограничены, однако он не является
сходящимся.
6.12. В дальнейших пунктах 6.13—6.17 мы рассмотрим
знаконеотрицательные ряды. У знаконеотрицательного ряда
суммы su s2, ... образуют неубывающую последователь-
последовательность. Поэтому если частные суммы slt s2, ... знаконеотри-
знаконеотрицательного ряда ограничены (при п —»• сю), то этот ряд яв-
является сходящимся. Мы видим, что для знаконеотрицатель-
знаконеотрицательного ряда необходимое условие 6.11 д является и доста-
достаточным.
6.13. а. На этом свойстве основан признак сравнения'.
Если знаконеотрицательныи ряд at -j~ c8 -f ¦ - • -f о„ + ...
сходится, то сходится и всякий знаконеотрщательный ряд
для которого существуют постоянная с и номер N такие,
что для всех n^N выполняются неравенства Ьп^.сап.
Действительно, пусть s — ах + «2 + ... и а„=&1+... +Ьп;
мы имеем при п > N
б. Пример. Если члены знаконеотрицательного ряда
bi ~r Ь2 + • • ¦ удовлетворяют неравенствам
6„<св« (n = N, N+l,...),
еде с>0 и 0^6<1, то ряд Ьг-\-Ь2-\-... сходится.
214 гл. 6. ряды [6.14
Действительно, можно применить признак сравнения, по-
полагая в нем сп = 6" и используя 6.11 б.
6.14. Следующие два признака основаны на рассмотре-
рассмотрениях 6.13.
а. Признак Даламбера. Если для знакоположи-
знакоположительного ряда
a1 + a2+...+an + an+1-)r... A)
выполняется неравенство
то ряд A) сходится. Если
1ш,е^±1>1> C)
то ряд A) расходится.
Доказательство. Если выполнено B), то для не-
некоторого 6 < 1, начиная с некоторого номера TV, выпол-
выполняется неравенство
Отсюда
aN+l < QaN' aN+2 < QaN+l
и сходимость ряда A) следует из 6.13. Если же выполнено
C), то, начиная с некоторого номера N, выполняется не-
неравенство
отсюда aN+1 > aN, aN+2 > aN+1, ..., так что члены ряда
не стремятся к 0; следовательно, в силу 6.11 г ряд A)
расходится.
Пример. Ряд
.1-2 1-2-3 1-2-3-4
+ 1-3 М-3.'5+1-3-5.7+""
сходится, поскольку
6.15] § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 215
б. Признак Кош и. Если для знакоположительного
ряда
.. +ап+... D)
выполняется неравенство
Шп У~^п<1, E)
П-»оо
го ряд D) сходится. Если же
шН{/^>1, F)
го ряд D) расходится.
Доказательство. Если выполнено E), то для не-
некоторого 6 < 1, начиная с некоторого номера N, выпол-
выполняется неравенство
откуда при
ап < в»,
и ряд D) сходится по 6.13. Если выполнено F), то для
любого номера TV найдется число п> N, для которого вы-
выполняется неравенство
откуда
таким образом, члены ряда D) не стремятся к 0 и в силу
6.11 г ряд расходится.
Пример. Ряд
сходится, так как
6.15. Укажем еще один полезный признак сходимости,
найденный Коши.
216 гл. 6. ряды {6.15
Если аг ^ а2 ^ ... ^ ап ^ ... ^ 0, то ряд >] а„ схо-
сходится или расходится вместе с рядом
^2\к. A)
m
Действительно, рассмотрим сумму У]а/ и возьмем число
k так, чтобы иметь 2к > /к. Тогда
(а,*-, + + я*) < % + 2а2 + + 2*-1
CD
2
Если ряд 22fto2fc сходится, то правая часть ие превосходит
суммы этого ряда. Следовательно, частные суммы ах-\-... -\-ат
00
ограничены и Уйл сходится. С другой стороны, если k та-
таково, что 2* < т, мы имеем
аг + ... + ат > aj + ... + ва* = ах + а2 + (а3 + й4) + ... +
и из расходимости ряда 2j2 aafc следует расходимость
00
ряда
Примеры, а. Ряд ^ -г- сходится при р > 1 и расхо-
расходится при 0^/5^1.
В самом деле, при р^О члены ряда не возрастают
и можно применить признак Коши. Соответствующий ряд A)
имеет вид
00 00 ОЭ
5ZA)Ln>где а=р-р,
и результат следует из примера 6.13 6 с учетом того, что
при р > 1 мы имеем 21-р < 1, а при /э^ 1 имеем 21-р;> 1.
6.16] § 6.1. ЧИСЛОВЫЕ РИДЫ. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ 217
Отметим, что
111 1 .
так что признак Даламбера в данном случае неприложим.
б. В частности, ряд ^ — расходится. Каждый член этого
ряда, начиная со второго, -есть среднее гармоническое двух
00
соседних членов *), поэтому ряд 2^ — называется гармони-
гармоническим.
оо
в. Ряд 2^ т~ сходится при р>1 и расходится при
~ nloggn
O^S/5^! (если основание а > 1). Здесь в силу неубывания
логарифма E.42) также можно применить признак Коши.
Соответствующий ряд A) имеет вид
2" _^у 1 1 у. 1
2" (logc2«)/' 2- (я1о&2)я Aо&2у 2-rn^ *
и вопрос о сходимости приводится к примеру а.
6.16. Используя для сравнения ряды 6.15 а к в, можно
устанавливать сходимость или расходимость многих типов
рядов, для которых признаки Даламбера 6.14 а или Коши
6.14 б не действуют.
Заметим вначале, что сравнивать можно не только члены
рядов, но и отношения соседних членов.
Об 00
Лемма. Если для знакоположительных рядов 2 ип кУф,
при всех достаточно больших п выполняется неравенство
ип+г ^vn+i /j\
00 00
и ряд y^vn сходится, то сходится и ряд
*) Число с называется средним гармоническим чисел бис, если
1 / 1 , 1\
218 гя. 6. ряды [6.17
Доказательство. Пусть неравенство A) выполняется
при « = Л/, Л/Ч-1, N-f2, ... Перемножая левые и правые
части неравенств A), написанные для n = N, Л/+1,...
..., N-\-p, находим
uN+p
или
поскольку неравенство B) справедливо при всех /5=1,2,...,
сходимость ряда У]и„ следует из б.УЗ.
6.17. а. Теорема (признак Раабе). Если для зна*
00
коположительного ряда 2И« отношение соседних членов
можно записать в виде
^±i=l—— (Е->1 при л-* оо, ср. 4.39),
ип п
то ряд 2ып сходится при а > 1 ы расходится при а. < 1.
Доказательство. Положим фв = -^ ; тогда по
5.59 е, яс
Если а>1, возьмем р€A, tx); тогда при достаточно
больших п
un n ^ n vn
Поскольку в данном случае ряд ^vn сходится F.15 а), из
00
6.16 вытекает сходимость ряда 2ип- Если о< 1, возьмем
6.21] § 6.2. РЯДЫ С ЛЮБЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ЧЛЕНАМИ 219
р?(сс, 1); тогда при достаточно больших п
л и„
и если бы ряд 2ип сходился, то по 6.16 сходился бы и ряд
со
"У„- Но последний в данном случае (р < 1) расходится,
со
следовательно, расходится и ряд У]и„.
б. Пример. Рассмотрим ряд (у и б не есть числа
О, —1, —2,..., —л,...)
В данном случае -s±i=±-j—== у-= 1 т-1^. По с ряд
A) сходится, если б—у> Ь и расходится, если б—у< !•
§ 6.2. Ряды с любыми вещественными членами
6.21. Для ряда
в1 + в,+ ...+в„+... A)
с любыми вещественными членами рассмотрим знаконеотри-
цательный ряд
--+|а»1+--. B)
Теорема. Если ряд B) сходится, то и ряд A) сходится.
Доказательство. Для заданного е > 0 найдем номер
N так, чтобы при « > m^N выполнялось неравенство
Для указанных man также
так что для ряда A) выполнен критерий Коши, и теорема
доказана.
220 гл. 6. ряды [6.22
6.22. Ряд A), для которого сходится ряд B), называется
абсолютно сходящимся.
Может оказаться, что ряд A) сходится, а ряд B) рас-
расходится (пример будет указан ниже); в этом случае ряд A)
называется условно сходящимся.
6.23. Признак Лейбница. Если a-i^ai~^ аъ ^ ...
и ап —*¦ 0, то знакочередующийся ряд
сходится.
Доказательство. Мы имеем
S2n + 1 — SZn-l а2п ~Г a2n+l ^s Sin-U
Sin + t = SZn ~f" atn+l a2n+2 s^ S2n>
так что последовательность s2, s4, ... не убывает, а после-
последовательность slt ss, ... не возрастает. При любом k и п
так что последовательность s2, s4, ... ограничена сверху
любым числом s2ft+1; таким образом, |== lim s2n^.s2k+1 при
п-ю>
любом k. Но в таком случае lim s2n служит нижней грани-
цей всех s2ft+1; поэтому существует lim s2n+i и
п-»-ос
lim s2n < lim 52n+1 = т].
Далее, имеем О^т] — i^^2n+i—szn~aun+v так как по
условию а2п+1 —»• 0, то ? = т] = lim sn D.64), что и требуется.
6.24. Примеры.
а. Ряд
1 2" i" 4* *** (а ^" 0),
согласно признаку Лейбница, сходится. При а > 1 он схо-
сходится абсолютно F.15 а). При 0<а^1 он сходится лишь
условно, так как соответствующий ряд из абсолютных величин
1-1. ±4-1 4-1-4-
1 т 2« Т~ за '4*
расходится F.15 а).
6.31] § 6.3. действия с рядами 221
б. В частности, сходится знакопеременный ряд
В дальнейшем (9.74) мы укажем величину его суммы.
в. Рассмотрим ряд
—1)'
, —1, —2,...
Этот ряд абсолютно сходится при 6>y+1 F.176).
Покажем, что он сходится (условно) и при б > у. Так как
F.17 6), то, если 6 > у, мы имеем ип+1 < и„, во всяком
случае при достаточно больших п. Для применения признака
Лейбница остается установить, что lim и„=0. По 5.59 г и
ж имеем
]nUn + l In f 1 ^ — ^ р\ $~Y d/ tpt л
ип \ n j и
11л 11л ' " " " ' U,
откуда вследствие расходимости гармонического
In к„+1 —*¦ — оо и, следовательно, к„+1 —»¦ 0, что
§ 6.3. Действия с рядами
при n—i
п
thik'
> оо);
ряда F.15 6)
и требуется.
6.31. Определения. Пусть имеются два числовых
а. Ряд
(a1 + bl) + (a2 + bi)+...+(an + bn) +
называется суммой рядов A) и B).
б. Если а—число, то ряд
ааг + аа2+ . ..+аа„+...
ряда
A)
B)
C)
D)
называется произведением ряда (\) на число Ct,
222 гл. 6. ряды 16.32
в. Ряд
а А + (а А + Ь1аг) + (а А + афг + asbj) + ... E)
называется произведением рядов A) и B).
Все эти определения, без каких-либо предположений
о сходимости рядов, носят формальный характер. Содержа-
Содержательный смысл они приобретают в следующей теореме.
6.32. Теорема.
00 00
а. Если ряды A) и B) сходятся и ^ак = А, ^Ьк — В,
00
то ряд C) также сходится и ^(ak-\-bk) — А-\-В.
00
б. Если ряд A) сходится и 2ай~Д то РЯД (*) также
1
00
СХОдитсЯ U 2 OCGft = Ot,A.
00 00
в. Если ряды A) ы B) сходятся, 2afc = A 2 ^fe= &
1 1
« хотя бы один из, этих рядов сходится абсолютно, то ряд E)
сходится и его сумма равна А-В.
п п
Доказательство, (а) Если Ап=^ ak, Bn—^bk,
п
то 2 (aft + ^ft) = /^n + ^n имеет пределом А-\-В.
п п
(б) Если Ап = 2 aft> TO 2 аак — °"^п имеет пределом аА.
п п п
(в) Положим А„ = 2 а*. В„ = 2 V с« = 2 аФп-н>
П 00
С„==2сй- Пусть сходится абсолютно ряд 2^> так что
00
D = 2|^*I<°°- Числа Ап ограничены, поскольку последо-
последовательность Аъ /42, ... сходится; пусть yW=sup|/4n|. Числа
\Ап—Ат | <! | Ап | + \Ат \ ограничены числом 2М. Для задан-
6-34] § 6.3. действия с рядами 223
ного е > в найдем номер N так, чтобы при п > m~^N иметь
в «о
* 2D и -2- I ^ft I ^== Ш • Тогда при
1ЛД,-С„| = |(в,+ ..
так что lim С„= Нт ЛпБп = у4-Б, и теорема доказана.
Если оба ряда A), B) сходятся неабсолютно, теорема в
перестает быть справедливой (см. задачу 5).
6.33. Группировка членов ряда. Пусть дан ряд
a1 + at+...+an+... A)
Пусть, далее, тг < /и2< ... —возрастающая последователь-
последовательность натуральных чисел. Положим
«2
Определение. Ряд
.. +«„+... B)
называется сгруппированным рядом A).
Теорема. ?слы ряй A) сходится, то и ряд B) сходится
к той же сумме.
Действительно, при любом п
и при я—> оо правая часть имеет пределом сумму ряда A).
6.34. Более интересен вопрос, при каких условиях из
сходимости ряда B) следует сходимость ряда A). В общем
224 гл. 6. ряды (€.35
случае это не имеет места; так, ряд 1 —1 + 1 — 1 + • • • не
сходится, в то время как сгруппированный ряд A — 1) +
+ A — l)-f---- сходится (к сумме 0). Сходимость ряда A)
есть следствие сходимости ряда B) при некоторых допол-
дополнительных условиях, формулируемых в теоремах а и б.
а. Теорема. Если ряд A) знакоположителен и ряд B)
сходится, то и ряд A) сходится.
Действительно, при любом п
так что частные суммы ряда A) ограничены; далее остается
применить 6.12.
б. Теорема. Если ап —>- 0 и число элементов каждой
группы ограничено постоянной (т. е. тп—тп_1^.М при
всех п), то из сходимости ряда B) следует сходимость
ряда A).
Действительно, для заданного п найдем mk и mk+1 так,
чтобы иметь
Тогда, если sn = ах +...-}- ап, ak = ах + ... + аь, мы имеем
/ > ГПк
при Аг-*оо, откуда следует, что числа sn имеют тот же пре-
предел, что и числа oft.
6.35. Перестановки членов ряда. Пусть
в1 + в1+...+а„+... A)
— некоторый ряд.
Определение. Если щ, тг, ... есть некоторая пе-
перестановка множества натуральных чисел, то ряд
Ь1 + ^+... +&„+..., B)
где Ьп = ат (я = 1, 2, ...), называется перестановкой
ряда A).
Теорема. Если ряд A) сходится и ап~^;0 (п= 1, 2, ...),
то ряд B) сходится и имеет ту же сумму.
6.36] § 6.3. ДЕЙСТВИЯ С РЯДАМИ 225
Доказательство. Для каждой частной суммы рядаB)
найдется частная сумма ряда A)
sm(n) = а1 + G2 + ¦ ¦ ¦ + G«<n» D)
которая включает в себя все члены суммы C). В свою оче-
очередь, мы можем найти частную сумму ряда B), которая
включает в себя все члены частной суммы D):
аЩп) = h+ ¦ ¦ ¦ +bn+ • • • +bN{nV
Поскольку с„^0 при любом п, мы имеем
an<smln)<Omn). E)
Первое из найденных неравенств дает
так что ряд B) сходится; пусть о—его сумма. Очевидно,
т(п) и N(n) не менее, чем я, и поэтому вместе с п неогра-
неограниченно возрастают. Переходя к пределу в E) при п —»- сю,
получаем
откуда о = s, и теорема доказана.
6.36. Теорема (Дирихле). Если ряд 6.35 A) сходится
абсолютно, то ряд 6.35 B) также сходится абсолютно и
имеет ту же сумму.
Доказательство. Абсолютная сходимость ряда B)
следует из 6.35. Для заданного е > 0 найдем номер /V та-
такой, что \sN—s|<-2" и при m^N выполняется неравен-
ство ^|fijsl^T* ^Усть Ро—такое число, что всякая
частная сумма ар ряда B) при р ~^р0 содержит первые /V
членов ряда A). Тогда при любом р~^р0 разность ар—sN
содержит лишь члены ряда A) с номерами, большими N;
поэтому \sN—Opl^-j' 0ТКУда и
\s—ap\^\s— s
Тем самым о„ —»- s, что и требуется.
226 гл. 6. ряды [6.37
6.37. Совершенно иная картина имеет место для условно
сходящегося ряда.
Теорема (Риман). Если ряд 6.35 A) сходится условно
и заданы произвольно числа о. ^ |5 (на расширенной веще-
вещественной оси), то существует такая перестановка 6.35 B)
ряда 6.35 A), что
lim аи = a, lim о„ = Р.
Доказательство. Поскольку ряд 6.35 A) сходится, его члены
стремятся к 0. Поэтому существует лишь конечное число номеров п,
для которых | ап | превосходит данное положительное число е. Это
позволяет выбирать из любой совокупности членов ряда 6.35 (Г)
наибольший (или наибольший по модулю). Отделяя в этом ряде по-
положительные и отрицательные слагаемые и выбирая последовательно
наибольшие (наибольшие по модулю) члены, мы можем составить два
ряда: ряд
Л+А+--•+?»+•¦-. A)
образованный из всех положительных слагаемых ряда 6.35 A), рас-
расположенных в порядке убывания, так что рх^р^^..., и ряд
91 + 92+--• +<?„+•••. B)
образованный из абсолютных величин всех отрицательных слагаемых
ряда 6.35 A) также в порядке убывания, так что q15zqi^s...
Мы утверждаем, что оба эти ряда расходятся.
В самом деле, если бы оба ряда A) и B) сходились, имея суммы
s и а, то ряд 6.35 A) сходился бы абсолютно, поскольку любая ко-
конечная сумма \аг |+ ... +|а„ | не преросходила бы суммы s-^-c.
Рассмотрим случай, когда один из рядов A), B) сходится, а другой
расходится. Предположим, например, что сходится ряд B), а расхо-
расходится ряд A). Частные суммы sn ряда 6.35 A) с возрастанием и
вбирают в себя все большее количество членов из ряда A) и ряда B);
члены из ряда A) дают как угодно большую сумму, в то время как
члены из ряда B) могут дать лишь ограниченную компенсацию.
Таким образом, sn—>¦ оо и ряд 6.35 A) не может быть сходящимся.
Аналогичная картина, с изменением знака, будет иметь место в случае
сходимости ряда A) и расходимости ряда B). Итак, оба ряда A) и
B) расходятся.
Теперь мы строим из членов рядов A) и B) новый ряд по сле-
следующему правилу (для случая, когда а. и C конечны). Частные
суммы Sn ряда A) неограниченно возрастают; найдем номер лг так,
чтобы иметь
(если уже pt > р, считаем пг = 1). Далее, найдем номер тг так, что-
чтобы иметь
• +РП1—01 — • • • — Ятг
6.41] § 6.4. ряды векторов 227
Затем—номер п2 так, чтобы иметь
Pi + ¦ ¦ ¦ +Рщ— 4i— ¦ ¦ ¦ — Qmt+Pm+i+ ¦ ¦ ¦ +Pn,-i < Р <
< Pi+ • • • +РП1—Яг— ¦ ¦ ¦ —Qml+Pn1+i+ • • ¦ +Рп,-
Затем—номер пц, так, чтобы иметь
Продолжим это построение иеограииченио. Мы получим ряд
6, + 62+...+6„+..., C)
представляющий собой некоторую перестановку ряда 6.35 A). Пока-
Покажем, что ряд C) удовлетворяет требуемому условию.
а. Точки а к р являются предельными точками последовательно-
последовательности частных сумм ряда C).
Действительно, частные суммы ряда C) с номерами nlt Щ-^-т^
+ п2, .... ni-f ma + n2+...+/?Jft_i+nft, ... отличаются от числа E
соответственно не более чем на рщ, р„2, ..., рп , ..., и эти вели-
чицы стремятся к 0; аналогично частные суммы ряда C) с номерами
n! + mi, n1 + m1+n2+m2, ..., п^т^+щ + т^ \-Щ+тк, ¦¦•
отличаются от числа а соответственно не более чем на qmi, qm2, ...
..., qm , и эти величины также стремятся к 0.
б. Вне отрезка [а, Р] нет предельных точек последовательности
частных сумм ряда C).
Действительно, если, например, v>P и V — Р = й>0, мы найдем
h
номер nfc так, чтобы иметь рп < -=-; тогда все частные суммы ряда
C) с номерами, большими, чем rti + ffti+ ... +mft_l4-"ft, не превос-
h h
ходят Р + Р„й < Р+-„- и не подходят к точке у ближе чем на —.
Очевидно, предложения а н б доказывают теорему в случае ко-
конечных а и р. Если одно, или оба, из чисел аир бесконечны,
построение должно быть несколько видоизменено; мы можем предо-
предоставить читателю его выполнение.
В частности, мы можем положить а = р = р, и тогда ряд C) будет
сходиться к числу р. Мы видим, что, переставляя должным образом
члены условно сходящегося ряда, можно добиться его сходимости к
наперед заданному значению суммы.
§ 6.4. Ряды векторов
6.41. Определение сходимости можно сформулировать
для ряда векторов из пространства Rn в полной аналогии
с определением 6,11 сходимости числового ряда, именно:
228 гл. 6. ряды [6.42
Пусть аи ..., ат, ...—последовательность векторов
пространства Rn. Образуем частные суммы
Если последовательность частных сумм slt ..., sm, ... схо-
сходится в пространстве Rn, то мы будем говорить, что век-
векторный ряд
+ ... A)
сходится и его сумма равна вектору s — lim sn. Если же
л-»сс
последовательность векторов slt ..., sm, ... расходится,
будем говорить, что ряд A) расходится.
6.42. Поскольку сходимость в пространстве /?„ приводится
к сходимости по каждой координате C.32 е), мы можем
сказать, что ряд из векторов
сходится тогда и только тогда, когда сходятся все числовые
ряды
при этом ct/лжа ряда ]?fim есть вектор р = (Р\, ..., р„),
каждая составляющая pk которого есть сумма соответствую-
щего числового ряда 2 amk.
6.43. Поскольку критерий Коши выполняется в примене-
применении к векторным функциям, в частности к векторным после-
последовательностям D.75), он справедлив и для векторных рядов:
6-46] § 6.4. ряды векторов 229
Критерий Коши для векторного ряда.
Векторный ряд ах -\- с2 + ... + от + • • • (ат € Rn) сходится
тогда и только тогда, когда для любого е > О существует
такое число N, что при всех л >
6.44. В частности, для всякого сходящегося векторного
00
ряда 2Gn всегда Нгас„ = 0.
1
- OD
6.45. Применяя критерий Коши, так же как и в 6.21,
получаем следующее достаточное условие сходимости:
Если сходится числовой ряд
Ы+Ы+...+К1+-.-, A)
го сходится и векторный ряд
. + am+... B)
Ряд B), для которого сходится числовой ряд A), назы-
называется абсолютно сходящимся. Если ряд A) расходится,
а ряд B) сходится, последний называется условно сходя-
сходящимся.
6.46. Для векторных рядов остаются в силе результаты
6.32 а и 6.32 б о почленном сложении рядов и умножении
на числа. Результат 6.32 в об умножении рядов, вообще
говоря, уже не имеет смысла, поскольку не определено
умножение векторов. Остаются в силе результаты 6.33 и
6.34 б, касающиеся группировки членов ряда, и 6.36 о пе-
перестановках членов ряда. Обратные теоремы, включая тео-
теорему Римана, получают своеобразные формулировки; они
указаны в задачах 17—22.
Ряды с комплексными слагаемыми, как векторные ряды
в /?2, укладываются в приведенную схему. Кроме приведен-
приведенных выше общих результатов, здесь сохраняется и теорема
об умножении рядов 6.32 в:
Если ряды из комплексных чисел
+ ... , A)
+ ... B)
230 гл. 6. ряды [6.47
сходятся и хотя бы один из этих рядов сходится абсолют-
абсолютно, то сходится и ряд
а А + (Gi*2 + аА) + (GA + аА + G А) + - • • C)
и его сумма равна произведению сумм рядов A) и B).
Доказательство полностью повторяет доказательство
теоремы 6.32 в.
6.47. Для неабсолютно сходящихся векторных рядов мо-
может принести пользу признак Абеля—Дирихле. Он осно-
основан на одном специальном преобразовании конечных вектор-
векторных сумм, которое называется преобразованием Абеля.
а. Пусть даны числа аъ ..., ат и векторы Ьи ..., Ьт.
Положим
а; = а2—аъ а'2 = а3—а2, ... , а'т^ = ат—ат_1г
Теорема (преобразование Абеля). Для любых чи-
чисел аъ ..., ат и векторов Ъх, ..., bm имеет место равенство
Sfcft mfflSfc («=2,3,...). A)
k=i fc=i
Доказательство будем вести по индукции. Для m = 2
равенство A), очевидно, выполняется:
«1*1 + «2*2 = «2 А + *2> — («2 —«!> h-
Допустим, что равенство A) выполнено для некоторого но-
номера ш; покажем, что оно выполняется и для следующего
номера т-\-\. По предположению индукции, мы имеем
т+1 т
2 «Л = 2 а
l fcl
2
k=l
m—1
k= 1
Мы хотим доказать, что справедливо равенство
т—1
«А — X a'kBk +°w A.+1 =
k=i
т—1
~ 2 o!kBk-amBm. B)
й1
6.47]
§ 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ
231
т—1
Сокращая в B) на 2 a'kBk> получаем
= ат+1Вт+1 — (ат+1 — ат)Вт-
Отбрасывая сначала атВт и сокращая затем на ат+1, при-
приходим к равенству Ьт+1 = Вт+1— Вт, очевидно, верному. Воз-
Возвращаясь по цепочке произведенных преобразований, получаем
B), что и требуется.
б. Отметим неравенство, вытекающее из A): если
и |?ft|<C (*=1, ... , п), то
k=i
< 2Саг.
C)
m—I
2 «*в*
Действительно, в данном случае | атВт \ ^ атС ^ а^С,
m—I
поэтому (З) вытекает из A).
в. Признак Абеля—Дирихле для векторных
рядов. Ряд
00
^ambm D)
сходится, если числа ат\0 и векторы Bm = b1-^-.. •Jtbm
ограничены, | Bm \ ^ С.
Доказательство. Применим оценку C) к отрезку
ряда D). Мы получим
где
Су= sup
...+br\= sup
232 гл. 6. ряды [6.47
Полученная величина стремится к нулю при р-юо и
любом q > />. Таким образом, для ряда D) выполнен крите-
критерий Коши 6.43, так что ряд сходится.
г. Признак Лейбница 6.23 является частным случаем
признака Абеля—Дирихле. Этот частный случай получается,
если считать я=1 и положить Bt=l, В$ =—1, Bs=\,
Bt = —1,... Но и при л=1 признак Абеля—Дирихле имеет
более широкое поле применения, чем признак Лейбница.
Рассмотрим вещественные ряды (и=1)
со
]!>]«», sin/»6, E)
О
JXcos/яв F)
о
и ряд из комплексных чисел
2 ат (cos /»9 + / sin /»8). G)
Выясним, при каких значениях 9 указанные ряды сходят-
сходятся. Положим z = cos9-\-1 sin 0; при этом E.72) \z\-\ и
zm = cos /ив 4- i sin т»в.
Далее,
2 (cos?8+ i sin ?6) = 2zft= 11^°+1 ,
ft=O fc=O * Z
- 2 2
= 11—z | 11—cose—i sine Г
2
—cose ¦ (8)
Мы видим, что величина
2(
fc=O
остается ограниченной при т -*¦ оо, если 0=^=0, ±2я, ±4я,...
Предположим теперь, что числа ат, убывая, стремятся к нулю.
Тогда к ряду G) применим признак Абеля—Дирихле; в силу
этого признака ряд G) сходится, если ат\0 и 9^0, ±2л,...
6.48]
§ 6.4. РЯДЫ ВЕКТОРОВ
233
При этих же условиях сходятся и ряды E) и F), посколь-
поскольку они представляют собой вещественную и мнимую части
ряда G). Ряд E) сходится и при 6 = 0, ±2я,..., так как
все его члены при этих значениях 9 обращаются в 0.
д. Из оценки (8) следуют аналогичные оценки в вещест-
вещественной области
(9)
k=0
m
sin&B
fc=o
Эти оценки часто используются в работе с признаком
Абеля — Дирихле.
е. Для частного случая am = rm(r<l) легко написать
явное выражение для суммы рядов E)—G). Именно, сумми-
суммируя геометрическую прогрессию, находим
о l-re№'
Отделяя здесь вещественную и мнимую части, получаем
1 1—ге~'ь 1—г cos 6+if sin 6
откуда
1—re'6 A— re'9)(l— re-ih) 1—2rcose+r2 '
00
T-i X m imb 1—rCOsG
о
oo
e —
6.48. Двусторонние ряды.
а. Пусть имеется «двусторонне бесконечная» последова-
последовательность векторов ..., й_П1 •••» fl_ii °o> Щ.> •••! ani •••
Мы определяем сумму «двустороинего ряда»
09
2 ч A)
234
гл. 6. ряды
[6.48
как предел частной суммы—выражения
при т, п, независимо стремящихся к бесконечности, при
условии, что этот предел существует. Иначе говоря, ряд A)
сходится и имеет сумму s, если для каждого е > 0 суще-
существует номер N такой, что при любых т, я > N выпол-
выполняется неравенство
*-2>ft
— m
B)
б. Следующая теорема приводит вопрос о сходимости
двустороннего ряда к вопросу о сходимости односторонних
рядов.
Теорема. Ряд A) сходится тогда и только тогда,
когда сходятся оба «односторонних» ряда
C)
если они сходятся и
то сумма s ряда A) равна А-\-В.
Доказательство. Пусть ряды C) сходятся. Для
любого е > 0 можно найти номер N такой, что при п > N,
±
2 '
Отсюда
о / \ l
это означает, что ряд A) сходится и имеет суммой число
6-49J § 6.4. ряды векторов 235
Обратно, если сходится ряд A), то из неравенства B)
следует, что при любых /> > N, q > О
Р+Ч \Г Р-1 \ / p+q
р
откуда вытекает по критерию Коши 6.43, что сходится
00 00
ряд 2 cik. Аналогично доказывается сходимость ряда 2 о_к,
О 1
и теорема доказана.
в. Пример. Двусторонний ряд
0
сходится всюду при t^Rx, если 21си1<°°» он сходится
— со
всюду, за возможным исключением точек t — О, ± 2я,
±4я, .... если с„\0, с_„\0 (л-^ + оо) (ср. 6.47 г).
6.49. а. Симметричное суммирование двусто-
двусторонних рядов. Двусторонний векторный ряд
называется симметрично суммируемым, если существует пре-
предел при п —* со его симметричных частных сумм
в этом случае предел s сумм B) называется симметричной
суммой ряда A).
Если ряд A) сходится в смысле 6.48, то, очевид-
очевидно, он симметрично суммируем и его симметричная сумма
совпадает с обычной суммой. Но не всякий симметрично
суммируемый ряд является сходящимся в смысле 6.48. На-
Например, двусторонний ряд из чисел ак, равных 1' при k > О,
О при k=0 и —1 при k < 0, является симметрично сумми-
суммируемым (и его симметричная сумма равна 0), но не является
сходящимся в смысле 6.48.
б. Симметричная суммируемость двусторонних рядов так-
также приводится к обычной сходимости:
236 гл. 6. ряды [6.51
Теорема. Двусторонний ряд A) симметрично суммируем
тогда и только тогда, когда сходится односторонний ряд
*о +2 («* + «-*>. C)
k=i
и в случае сходимости ряда C) его сумма совпадает с сим-
симметричной суммой ряда A).
Доказательство. Теорема вытекает из очевид-
очевидного совпадения и-й частной суммы ряда C) и и-й симмет-
симметричной частной суммы B) ряда A).
Симметричное суммирование используется, например,
в теории тригонометрических рядов вида
(часть III, гл. 14).
в. Пример. Двусторонний ряд
e-lnt е-Ш e-it git -pft
сходится при всех t Ф О, ± 2я, ± 4я, ... F.48 в), но при
/ = 0, ± 2я, ± 4я, .... не сходится, поскольку при этих t
не выполнены условия теоремы 6.48 б. Однако при всех
значениях t?Rx он является симметрично суммируемым, так
как всюду сходится ряд
k=l 1
{6.47 г).
§ 6.5. Ряды функций
6.51. Ряды функций уже встречались в нашем изложе-
изложении (§ 6.4 и др.). Приведем здесь общие определения и
теоремы, относящиеся к сходимости таких рядов. Рассмот-
Рассмотрим ряд
.. A)
из функций со значениями в Rm, определенных на произ-
произвольном множестве Е. В соответствии с 5.91 и 5.93 сфор-
6.54] § 6.5. ряды функций 237
мулируем определения сходимости и равномерной сходимости
ряда A).
а. Определение. Если последовательность частных
сумм ряда A)
... +ап(х),
сходится на множестве Е, мы говорим, что ряд A) схо-
сходится на множестве Е, и предел функций sn (x) называем
суммой ряда A).
б. Определение. Если последовательность sn(x)
сходится на множестве Е равномерно, мы говорим, что
ряд A) сходится на множестве Е равномерно.
6.52. Критерий Коши 5.98 для ряда из векторных функ-
функций формулируется следующим образом:
Ряд 6.51 A) является равномерно сходящимся на мно-
множестве Е тогда и только тогда, когда для любого е > 0 су-
существует такой номер N, что при всех и^N, р > п, х?Е
I eB+i (*)+¦•¦+М*)|<в-
6.53. Для ряда 6.51 A) можно сформулировать и простое
достаточное условие равномерной сходимости:
Признак Вейерштрасса. Если
K(| B
*€?
се
и ряд 2а« сходится, то ряд A) сходится равномерно.
Это предложение вытекает из 6.52, оценки
K+i(*) + • • • +M*)|<an+i+ • • • +ар
и критерия Коши для сходимости числового ряда F.11 в).
6.54. Следующие теоремы являются непосредственными
следствиями теорем 5.94—5.95.
238 гл. 6. ряды {6.62
а. Теорема. Если ряд 6.51 A) состоит из ограниченных
функций со значениями в Rm и сходится равномерно на Е,
то и его сумма s {x) ограничена на Е.
б. Теорема. Если ряд 6.51 A) состоит из непрерывных
функций на метрическом пространстве Е со значениями в Rm
и равномерно сходится на Е, то сумма ряда A) является
также непрерывной функцией на пространстве Е со значе-
значениями в Rm.
§ 6.6. Степенные ряды
6.61. В комплексной области особый интерес представ-
представляют степенные ряды.
Определение. Ряд вида
ao + a1{z—zo) + ai{z~zoJ+...+an(z—zo)»+..,, A)
где z — x-\-iy, zo=xo-i-iyo, а коэффициенты а0, alt ...—
комплексные числа, называется степенным рядом.
6.62. Представляет интерес выяснение области сходимо-
сходимости этого ряда—совокупности тех значений z, для которых
ряд 6.61 A) сходится. В этом направлении имеется следующая
Теорема (Коши — Адамар). Положим.
где верхний предел рассматривается в расширенной числовой
области. Ряд 6.61 A) сходится, притом абсолютно, во всякой
точке z с \z—zo|</? и расходится во всякой точке z
с \г—zo\>R. _n
Примечание. Если lim |/| ап\ = оо, считают R = 0.
Если lim {/|й„| = 0, считают /?=оо, и в этом случае
в теореме утверждается, что ряд 6.61 A) сходится при каж-
каждом z?C.
Доказательство. Рассмотрим случай конечного
/?==?0. Пусть
Это неравенство можно записать в форме
\г-г01 lim (/
6.63) § 6.6. стЕПЕиные ряды 239
откуда на основании признака Коши 6.14 б и 6.45 следует
сходимость ряда 6.61 A).
Если же
1
\г-га\> 1
lim \/ | а„ |
то таким же образом
|z-z01lim {/K| = lim У\а„(г-г0Г\ > 1,
и в силу того же признака 6.14 б и 6.44 ряд 6.61 A) рас-
расходится.
Доказательства для случаев /? = 0 и /?=оо мы предо-
предоставляем читателю.
6.63. Теорема 6.62 показывает, что область G?R2 схо-
сходимости степенного ряда 6.61 A) есть круг радиуса R, поэтому
число R называется радиусом сходимости ряда 6.61 A). То-
Точнее, область G содержит все внутренние, точки этого круга
(те z, для которых \z—zo|</?) и не содержит ни одной
внешней точки (где \z—zo|>/?). Что же касается точек
на самой окружности \z—zo\ — R, то здесь могут предста-
представиться различные возможности.
ее
Примеры, а. Ряд \\ — сходится при всех z, так как
1 ,. 1 1 ,. 1 „
-7г= lim —=== lim — = 0.
б. Ряд 2и"'г" сходится только при 2 = 0, так как
-5- = lim (//z" = lim/z = oe.
ее
в. Ряд ^nazn при любом фиксированном а имеет радиус
сходимости 1, поскольку по 5.58 F)
lim —-= = lim
П-»оэ j/ П п-+
Однако при а^ггО ряд не сходится ни в одной точке окруж-
окружности |г|=1, так как его члены не стремятся к 0. При
а< — 1 ряд сходится в каждой точке окружности |2|=1,
и притом абсолютно, в силу 6.15 а. Если —1<|а<0, то
ряд расходится при 2=1, но сходится при всех 2=^1,
И=1 (ср. 6.47 г).
240 гл. 6. ряды [6.65
6.64. Пусть степенной ряд 6.61 A) имеет радиус схо-
сходимости R. Поставим вопрос: является ли этот ряд равно-
равномерно сходящимся в круге \z — z0| < R7 Ответ, вообще
говоря, отрицателен; так, если бы ряд
1+*+*•+...
равномерно сходился в своем круге сходимости |г|< 1, то
его сумма была бы ограниченной F.54 а); но его сумма рав-
равна -j—- F.11 б) и не является ограниченной в круге \z\ < 1.
Тем не менее справедлива теорема:
а. Ряд 6.61 A) сходится равномерно в любом круге
\z—zo\ </?!</?.
Действительно, при \z — ^ol^^i справедлива оценка
а ряд из чисел |а„|#? сходится, как мы видели в доказа-
доказательстве теоремы Коши—Адамара 6.62. Тем самым в круге
|2|^/?! можно применить признак Вейерштрасса 6.53, ко-
который и приводит к нужному результату.
б. Как следствие из а и 6.54 а, б получаем:
Сумма s (z) ряда 6.61 A) есть ограниченная и непре-
непрерывная функция в любом круге | z—z01 ^ Яг.
Тем самым функция s(z) непрерывна во всем круге
\z—zo\ </?, так как каждая точка этого круга лежит и в не-
некотором меньшем круге \z—?0|<j#i. Но ограниченной во
всем круге | z—z01 < R она может и не . быть, как мы
только что видели.
6.65. Как мы знаем, на границе круга сходимости сте-
степенной ряд может сходиться, может и расходиться. Но если
ои сходится в граничной точке zv то оказывается, что
в область его равномерной сходимости можно включить весь
отрезок, идущий из центра круга в точку гг. Для доказа-
доказательства достаточно рассмотреть случай ?0=0, г1 = ^1>0.
со
Теорема Абеля. Если степенной ряд 2аг$п сходится
о
в точке tt >• 0, то он сходится равномерно на отрезке
Доказательство. Для заданного е>0 мы должны
найти такое N, что при p^N, q^N будет иметь место
6.66]
§ 6.6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
241
неравенство | >] anin < e при всех |<}^^. Применим пре-
преобразование Абеля 6.47 A), полагая a,k—(-r-) , bk = aktl
(k =/> + !, ..., q; p<iq пока произвольны):
p+l
p+1
Выбираем N так, чтобы из
следовало
р+1
ч
р+1
-д-; тогда мы получим оценку
что и требовалось.
6.66. Примеры.
а. Ряд
сходится при всех \г\— 1, г=/= 1 F.47 г). По теореме Абеля
6.65 он сходится равномерно иа каждом радиусе круга
| z | <| 1, ведущем в любую точку z0, где | г01 = 1, z0 Ф 1
(не следует думать, что он сходится равномерно на сово-
совокупности точек всех этих радиусов!).
б. Ряд
(а, р отличны от 0, —1, —2, ...),
если р>а+1, сходится при z = \ F.17 б), следовательно,
сходится при |z|< 1 и равномерно сходится на отрезке
242 гл. 6. ряды [6.67
1. Этот же ряд, если Р > а, сходится при z = — 1
F.24 в), следовательно, равномерно сходится на отрезке
6.67. Оказывается полезным следующий вывод из тео-
теоремы Абеля:
Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна при
х, а при 0<jx < хг справедливо равенство
Тогда если сходится ряд
то
се
j (Xi) = ^^n^l*
Доказательство. Положим для всех х? [0, JtJ
Iх —s\x)- \*)
Так как ряд A) сходится, то по теореме Абеля ряд B)
сходится равномерно на [0, Xj]. Поэтому в силу 6.65 б
функция s(x) непрерывна на [0, хг]. Так как по условию
f(x) также непрерывна на [0, хг] и f(x) = s(x) для
^ < хъ то
f(Xj)= Ит/(д;)=: Iims(x) =
X-*Xi X-*-Xt
что и требуется.
ЗАДАЧИ
1. Пусть а„>0 (п=1, 2, ...) и а->±±±=\-— + Ц, где числа
со
| р„ | ограничены, | Р„ | < С. Доказать, что ряд ^ ап расходится
(Гаусс).
ЗАДАЧИ 243
2. Гипергеометрический ряд Гаусса (ос, р, у отличны от чисел
О, —1, —2, ...)
F(* В V x)=
1-ia.p. Y. Ч
V
при | jc | < 1 абсолютно сходится, при |х| > 1 расходится; еслих=1,
то он сходится (абсолютно) при у > сс+р, расходится при у<^сс+Р;
если х=— 1, то он абсолютно сходится при у > а+р, условно схо-
сходится при — 1 < у—(а+Р)<0, расходится при у—(а+Р)^—1.
3. Если ап^а„+1 > О (п=1, 2, ...) и ряд 2а« сходится, то
1
а„ есть бесконечно малая величина сравнительно с —.
Примечание. Не существует функции ф(и), стремящейся к О
быстрее, чем — , которую можно было бы поставить в формулировке
вместо — (А. С. Немировский).
со
4. Пусть ряд ^ ап сходится (а„ > 0); доказать, что существует
последовательность б!<62<:...<?>„<..., Нт6и=оо, такая, что ряд
ос
2]а„Ьи также сходится.
1
5. Показать, что при умножении на себя сходящийся ряд
, L+_^ !_.
переходит в расходящийся.
6. Доказать, что для ряда Лейбница 6.23 разность между полной
суммой ряда и суммой я первых членов по модулю не превосходит
модуля (n-fl)-ro члена.
оо
7. Доказать, что радиус сходимости степенного ряда 2 °я (z—zi)"t
о
для которого существует lim -H±±=r, равен —.
и-юо ап г
00
8. Если anSs0 для всех п=1, 2, ... и f (t) = '?ant"^C
о
при 0 < / < 1, то у функции / (t) существует при / —> 1 предел,
со
равный 2е«*
244 гл. 6. ряды
9. Пусть числа апк^0 (в=1, 2, 3, ..., &=1, 2, ...) и 6„
(п=1, 2, ...) удовлетворяют условиям:
1) ank<bn при любых Л=1, 2, ... и_п=1, 2, ...,
п=1
3) lim апк = ап(п —1,2, ...).
ft-*»
со so
Положим 2 anft=s*(*==l> 2, ...) и 2 e*=s. Доказать, что
п=1 *=1
s= lim Sfc.
ft-* 00
10. Бесконечные произведения. Пусть zlt z2, ...
...i г„, ...—последовательность комплексных чисел. Говорят, что
бесконечное произведение
П гк = г1г2...гк...
д
сходится, если последовательность чисел •Pn = JJ z^ (n=l, 2, ...)
*=i
сходится к конечному пределу Р Ф 0; число Р называют величиной
оа
произведения JJ z^.
1
Доказать, что из сходимости бесконечного произведения следует
соотношение lim zn = l.
п-*- со
11. (Продолжение.) Пусть дсг > 0, х2 > 0, ...» х„ > 0, ...; про-
просе
изведеиие JJ х^ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
2 log(,*fc (при произвольном основании Ъ > 1).
*=1
12. (Продолжение.) Положим х^ = 1+со^. Если все сод одного
со
знака, то произведение JJ A -\- шА) сходится тогда и только тогда,
k=i
со
когда сходится ряд 2 ш*- (Если tofc изменяют знаки, результат не
k=i
будет иметь места; см. задачу 15 к гл. 8.)
задачи 245
13. Доказать, что при \х\ < 1 справедливо равенство
14. Доказать тождество Эйлера
ее ее
! V JL
И
к-I , 1?*
1 п=1
Рк
(х> 1, Pi, р2 Рп< •••—последовательность всех простых чисел).
°° 1
15. Доказать, что ряд \. — (Рк—простые числа) расходится.
16. Пусть {qk\—последовательность воех натуральных чисел,
десятичное представление которых A.77) не содержит ни одной де-
вятки. Сходится или расходится ряд \^—?
1 С)к
17. Рассматривается ряд
u1+ut+...+um+... A)
векторов евклидова пространства Rn. Вектор p?Rn называется век-
тором абсолютной сходимости ряда A), если ряд 2^' U/») сходится
абсолютно. Доказать, что ряд A) сходится абсолютно тогда и только
тогда, когда каждый вектор p?Rn есть вектор абсолютной сходимости
этого ряда.
18. (Продолжение.) Вектор q?Rn называется вектором абсолют-
абсолютной расходимости ряда A), если векторы ряда A), попадающие в лю-
любой телесный угол, содержащий вектор q, образуют абсолютно
расходящийся ряд. Доказать, что ряд A) абсолютно расходится тогда
и только тогда, когда у него есть хотя бы один вектор абсолютной
расходимости.
19. (Продолжение.) Пусть kx < h^, < ... —некоторая последова-
последовательность, состоящая из натуральных чисел, и /i </г < • • •—после-
•—последовательность остальных натуральных ЧИСеЛ. РЯДЫ Uft,+Ufta+-.- И
uj\-{-uj,-\- называются дополнительными частями ряда A). Дока-
Доказать, что если одна из дополнительных частей сходящегося ряда
сходится, то сходится и другая, и всякая перестановка членов ряда A),
не меняющая порядка следования членов в каждой из частей,' не
меняет суммы ряда.
20. (Продолжение.) Если ряд A) сходится условно и q есть
вектор абсолютной расходимости ряда A), то существует такая часть
wft,+ • - • РяДа (О- Для которой составляющие слагаемых по вектору q
образуют абсолютно расходящийся ряд, а ортогональные составляю-
составляющие—абсолютно сходящийся ряд.
246 гл. 6. ряды
21. (Продолжение.) Если каждый вектор е ф 0 есть вектор абсо-
абсолютной расходимости ряда A), то любой вектор f?Rn является
суммой ряда, получающегося некоторой перестановкой ряда A).
22. (Продолжение—теорема Штейница.) Для всякого условно
сходящегося ряда A) область сумм при всевозможных перестановках
членов есть линейное многообразие в Rn, ортогональное подпрост-
подпространству А всех векторов абсолютной сходимости и проходящее через
сумму проекций членов ряда A) на А (определенную однозначно).!
Историческая справка
Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаме-
знаменателем, меньшим 1, производилось уже в древности (Архимед).
Расходимость гармонического ряда была установлена итальянским
ученым Менголи в 1650 г. Степенные ряды появились у Ньютона
A665), который полагал, что степенным рядом можно представить
любую функцию. У ученых XVIII века ряды постоянно встречались
в вычислениях, но далеко не всегда уделялось внимание вопросу
о сходимости *). Точная теория рядов начинается с работ Гаусса
A812), Больцано A817) и, наконец, Коши A821), где впервые дано
современное определение суммы сходящегося ряда и установлены
основные теоремы.
*) Что не раз использовалось и для антинаучных спекуляций.
Так, в 1703 г. бенедиктинский монах и теолог Г. Гранда, манипули-
манипулируя с рядом 1 —1 + 1 — .... «доказывал» существование бога.
Из всех теоретических успехов знания вряд ли ка-
какой-нибудь считается столь высоким триумфом человече-
человеческого духа, как изобретение исчисления бесконечно
малых.
Ф. Энгельс
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 7
ПРОИЗВОДНАЯ
Чтобы отыскать максимум или минимум количества
f (х), надо составить выражение f(x-\-h)—f(x), где ft есть
неопределенное число. Затем, освободив это выражение
от дробей и радикалов и сделав приведение подобных
членов, нужно разделить полученное выражение на это
неопределенное ft. Полагая затем в оставшихся членах
ft=0,. мы имеем некоторое уравнение, содержащее бук-
букву х, кории которого и есть максимумы и минимумы.
П. Ферма A629)
Мы можем теперь перейти к определению одного из
основных понятий математического анализа—к определению
производной.
§ 7.1. Определение производной
7.11. Пусть имеется вещественная (конечная) функция
y=f{x), определенная в интервале (а, Ь). Пусть хо?(а, ?);
составим отношение
«, b)).
Если это отношение имеет (конечный) предел при h
говорим,.что функция/(л:) дифференци-
дифференцируема при х — х0, и полагаем "'
lim
= /' (*о) = [f(x)l=xe- B)
Число /' (д;0) называется производной Рис. 7.1.
функции f(x) при х = х0.
Геометрически отношение A) есть угловой коэффициент
хорды, пересекающей график функции y=f(x) в точках с
абсциссами д;0 и д;0 + А(рис. 7.1). Выражение B) есть угло-
угловой коэффициент некоторой прямой, проходящей через
точку (д;0) у0); мы назовем ее касательной к графику функ-
функции f(x) в точке с абсциссой х0.
250 гл. 7. производная [7.12
7.12. Если функция у —f{x) имеет производную при
х = х0, то отношение A) ограничено при h—*0, например,
постоянной с; отсюда при всех достаточно малых | h |
и, следовательно, функция f(x) непрерывна при л; = л;0.
7.13. Основные правила вычисления произ-
производной. Пусть функции f(x) и g(x) определены в интер-
интервале (а, Ь) и дифференцируемы при х = х0. Тогда функции
f(x)-\-g(x), o.f(x) (a—любое вещественное число),
f (х)
f(x)-g{x), —-дифференцируемы при х = х0 (последняя —
6 \Х)
в случае g{xo)=?O) и имеют место следующие равенства:
' (*о); О)
B)
(fix)-g(x))x=x.=f'(xo)g{xo)+fixo)g'{xo); C)
f/WV _
Доказательство. A) Имеем
+
и результат следует из 4.36 а.
B) Имеем
и результат следует из 4.36 б.
C) Имеем
K*o)g(*o+/»)--/(*o)g<Xo)
__/v I b^/(^o + ft)— f(Xp) , f,
— s\xo r n) ^ r/ ^o
и результат следует из 4.36 б и 4.36 а с учетом 7.12.
7.14] § 7.1. определение производной 251
Имея в виду C), для доказательства D) достаточно рас-
рассмотреть случай /(je)=l. Тогда
_ =
g(xB+h) g(xB) g(xo)g(xB+h) '
и результат следует из 4.36 д с учетом 7.12.
7.14. Примеры.
а. Постоянная /(jt) = c имеет, очевидно, производную,
равную 0.
б. Функция f(x)^E=x имеет производную, равную 1.
в. Учитывая 7.13, находим, что каждый многочлен
Р (*) = аох" + а^"'1 Н +ап
и каждая рациональная функция
Р(х) ^ cox" + cix"-1+---+g,,
имеет производную, во всяком случае в точках д;0, где
„
Производные рациональных функций можно вычислять,
используя формулы 7.13 A) — D) и формулу
{х")' = пх"-1, A)
получающуюся по индукции из 7.13 C).
г. Производная от произведения п множителей вычисля-
вычисляется по формуле
x) .../„(*)+...+Л
это доказывается по индукции на основании формулы 7.13 C).
д. Найдем производную от детерминанта, составленного
из дифференцируемых функций:
"ll \Л/ ul2 \Л/ * * • In 1Л/
w(*)= 1 _* 2/ ¦" " x
«„1 {X) «n2 (*) ... «„„ (*)
Согласно определению, детерминант W(x) есть алгебра-
алгебраическая сумма п\ слагаемых с определенными знаками, каждое
252
ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ
[7.15
из. которых есть произведение п множителей, взятых по
одному из каждого столбца и каждой строки детерминанта.
Дифференцируя каждое слагаемое по правилу г и собирая
сначала члены, в которых продифференцирован множитель
из первого столбца( затем члены, в которых продифферен-
продифференцирован множитель из второго столбца, и т. д., получаем
формулу
«и (х) «и (х) ... uln{x)
«21 (X) U22(X)
«m (X) «„а (X) ... Unn (Д
«11 (X) «12 (X) ... Uln (X)
«21 (*) «22 (^) ••• «2«(*)
ц;2и ••• «„„(*)
«11
»Щ|
«21 {X) «22 И ••• «2п(*)
ипАХ) Ч„АХ) ¦.¦ Ч'гт{х)
7.15. а. Производная сложной функции. Если
yz=f(x) дифференцируема при х = х0, a z = g(y) определена
в интервале, заключающем точку уо=/(хо), и дифференци-
дифференцируема при у=у0, то сложная функция z = g[f(x)] диф-
дифференцируема при х = х0, причем
z'(xo) = g'(yo)f (х0). A)
Доказательство. Согласно определению произ-
производной,
У-Уо=/(х)-/(хо)=(х-хо)[Г(хо) + е(х)],
е(х)—»-0 при х—>-д;0,
б {у)—*0 при у —*¦
Поэтому
= (Х-Х0) [/' (Х0) + 8 (*)] [? (у0) + б (J,)].
7-1в] § 7.1. определение производной 253
Когда х—»-дг0, как мы видели, е(х)—-0. Далее, в силу
непрерывности функции f(x) в точке х0 мы имеем также
у—*у0 и, следовательно, б (у)—*0. Переходя к пределу в
равенстве
J™ = [/' (*•) + е (*)] [е'Ы+б (у)\,
получаем требуемый результат из 4.36 б.
б. Пример. Производную от функции
A+jc2)99
можно было бы найти по правилам 7.14, развернув вначале
бином по формуле Ньютона. Однако в данном случае проще
представить функцию как сложную:
При этом
у' (и) = 99и98, и' (х) = 2х
и по A)
у' {х) = 99и98 • 2х = 99 A + *2)98 • 2х.
7.16. Производная от обратной функции.
Пусть дана функция, у =f(x), непрерывная.и возрастающая
в интервале (а, Ь}, и пусть . х = ф (у)—обратная функция,
определенная, во всяком случае, в окрестности точки
У=Уо:=/(хо), хо?(а, Ь). Тогда если функция y=f(x)
дифференцируема при х = х0 и f (х0) Ф 0, то функция
х — ц>(у) дифференцируема при у—у0 и
Доказательство. Рассмотрим отношение
)—Ф(Уо) nv
У—Уо "
Согласно определению обратной функции,
ф(^) = *. ФЛ) = хо. У=/(х), Уо=/(хо),
так что соотношение A) можно записать в виде
X—Х« 1
х—х0
254 гл. 7. производная [7.17
Так как взаимно обратные функции одновременно непрерывны
E.38), то из у—>у0 следует х—>х0, и так как f(x) по
условию дифференцируема при х —* х0, то
Ф (У)—Ф (Уо) ; 1
У—У в Г (*о) '
что и требуется.
7.17. Производная логарифма и связанных
с ним функций.
а. Пусть y=\ogax. При х0 > 0 имеем
% /г
в силу 5.59 г. Итак,
== Z
Особенно простой -вид эта формула имеет при а = е, когда
речь идет о натуральном логарифме {5.59 г):
о**)'=4- о)
б. Найдем производную от функции у = 1п{ — х), опре-
определенной при х < 0. По правилу 7.15 а дифференцирования
сложной функции мы получаем
[in(_*))' = _L.(_*)' = _!.(_i) = ±. B)
Формулы A) и B) можно объединить в одну формулу,
справедливую при всех хфО:
Aп|*|)' = 1. C)
в. Экспонента х = аУ есть обратная функция к функции
_y=logflje; поэтому, согласно 7.16, мы имеем
7-18] § 7.1. определение производной 255
Заменяя у0 на х, —оо < х < оо, получаем формулу
(а*)' = a* In a. D)
Особенно просто эта формула выглядит при а = е:
= е*. E)
г. Производная степенной функции с про-
произвольным показателем. Функция
определенная при х > 0 E.54), может быть записана в форме
у = еа 1п *.
Отсюда следует, что у нее имеется производная, которую
мы можем выписать по правилу 7.15, используя результа-
результаты а—в. Мы получаем
х
В частности, при а. натуральном, как и следовало ожидать,
получается формула 7.14 A).
д. По образцу этого примера может быть найдена про-
производная более сложной функции
у =/(х)е <*> = е& <*>ln f <*>;
вычисление мы предоставляем читателю.
7.18. Производные тригонометрических
функций и обратных к ним.
а. Для функции у = sin x мы имеем, согласно 5.63,
sin (х -\- И) — sin х = 2 sin — cos f x + у),
откуда
- / ¦ . \ • Sin -ТГ-
sin (x+ft)—sinx 2
= —_—. cos
2
Используя 5.64 в и непрерывность функции cosjc, находим
. . ., .. sin (x+ft)—sinx
(sinx)' = lim K-^-J- = cosx. A)
256 гл. 7. производная р. 18
б. Далее, используя формулы 5.65 B), C), получаем
)'= sin[-^- + jcj = cosf-^--!-*) =—sinx. B)
в. Наконец, по правилу 7.13 D) при хф—j±-—я, k — 0,
±1, ±2, ...
sin* V_ cos"*+sin"* _ 1 „
г. Если x = arc sin u, u= sin x, то, согласно правилу 7.16,
при — у < л: <-|-и — 1<и<1
(arc sin и)' = ,.\, =—— = ' = / D)
' (smx)' cos* + УЧ.—sin»* +]Al—«» v '
.—sin»*
д. Аналогично при —я <лг<0 и — 1<и<1
(arc cos и) '=^
sinx
1 s_ = + ,r~ • E)
Выражение E) можно было бы получить из D), используя
равенство 5.67 A)
arc cos и+-^ = arc sin и.
Точнее говоря, равенство E) относится к возрастающей
функций arc cos и, которую мы в 5.67 обозначили через
arccosBtt. Для убывающей функции arccosytt равенство E)
должно быть заменено на равенство
(arc cosv и)' = ,
Vl—и2
е. Наконец, при —^-<лг<-^-, — оо<и<оо
F)
Производные остальных тригонометрических функций и
обратных к ним мы предоставляем найти читателю.
7-Щ § 7.1. определение производной 257
7.19. Односторо ниие производные.
а. Пусть функция f(x) определена в промежутке
хо^х< Ь. По определению она обладает правой производ-
производной при х = хь, если существует
Величина/^ {х0) иначе обозначается через/'(лго + )
б. Аналогично, в том случае, когда функция f(x) опре-
определена в промежутке а < х^.х0, она обладает левой про-
производной при х = х0, если существует
f (х\- U
/лев (*о) -J»
Величина/лев (х0) иначе обозначается через /' (лг0 — 0).
в. Если функция f(x) определена в интервале (а, Ь),
содержащем точку лг0, можно говорить о левой и правой
производных в точке х0. При этом если существует про-
производная /' (х0), то, разумеется, существуют и производные
/пР (*о) и /лев (*о). причем /;р (х0) = fm (х0) = /' (x0). Но
может быть и так, что f'n (х0) и /лев (х0) существуют, а
/' (х0) не существует (рис. 7.2).
Если существуют fnp {х0) и /^ (ж0)
и имеет место равенство f'np (x0) =
=/лев (хо). то, как легко проверить,
существует и /'(*„) (ср. 4.16 в).
г. Луч, определяемый уравнением
называется правой полукасательной к кривой y=f(x) при
х=х0. Аналогично луч, определяемый уравнением
У=/(хо)+/'лев(хо){х—хо) (*<*,,)>
называется левой полукасательной к кривой у =f(x) при х=хо„
д. Следующее предложение обобщает на односторонние
производные теорему 7.16:
Пусть функция y=f(x) непрерывна и возрастает в интер-
интервале (а, Ь) и х = у(у) — обратная функция. Если функция
258 гл. 7. производная [7.2J
у —/ (х) имеет при х = xQ правую производную f (х0 + 0)=/=0,
то функция ff(y) имеет при yo=f(xo) правую производную
ф' (.Уо + 0) и при этом
Доказательство проходит по тому же пути, что и в 7.16,
с использованием только значений х ^ х0 и у ^5*у0.
§ 7.2. Второе определение производной
7.21. Мы обратимся теперь к анализу общих свойств
дифференцируемых функций. Прежде всего рассмотрим еще
один подход к определению производной, важный для даль-
дальнейшего. Будем строить линейные функции Ах-\-В, которые
при х = х0 имеют то же значение, что и данная функция
.у—/(¦*); их можно описать уравнением
уА = А(х—xo)+f(xo) = A-h+f(xo) (h = x—x0). A)
Две такие функции, скажем уА = А{х—xo)+f(xo) и ув =
= В(х—xo)-\-f(xo), отклоняются друг от друга на вели-
величину, пропорциональную х—лг0:
Попробуем иайти среди функций A) такую, которая имеет
отклонение от функции y=f(x), бесконечно малое выс-
высшего порядка D.38) сравнительно с h=x—х0, т. е. та-
такую, что
y-yA = *(h).h, B)
где е (Л) стремится к 0, когда h -*¦ 0.
Допустим, что искомое А найдено. Тогда из B) следует,
что
1 (x)-Ah-f(x0) _ f(xo+h)-f(*„) и_рШ^п
так что отношение
имеет при h -»¦ 0 предел, равный А. Таким образом, если
искомая линейная функция существует, то функция f(x)
дифференцируема при х—х0 и /' (х0) есть искомый коэффи-
коэффициент А.
7.23J § 7.2. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ 259
7.22. Обратно, если функция/(л:) дифференцируема при
х = х0, мы имеем
_f. {Хо)=
откуда
/(*о+ *)-[Г (*
так что линейная функция от h — x—х0
Y=f'{xo)h+/{xo)
удовлетворяет нашему условию: ее отклонение от функции
f(x) есть бесконечно малая величина высшего порядка
сравнительно с h—x—х0.
Прямая на плоскости (х, у), определенная уравнением
y=f'(x0)(x-x0)+f(x0),
согласно определению 7.11, является касательной к кривой
У=/{х) при х = х0. При любом е>0 найдется 8 > О, для
которого |&(А)|<е при |Л|<8;
поэтому при указанных h
-е*</(*)—/'(*„)*—/(*„)<
или
Рис. 7.3.
x0) + E]h. B)
Неравенство B) имеет следующий геометрический смысл:
график функции, дифференцируемой в точке х = х0, в доста-
достаточной близости к точке х0 проходит между двумя прямыми,
составляющими с касательной произвольно малый угол
(рис. 7.3).
7.23. Как следствие получаем:
а. Если /' (лг0) > 0, то существует такое б > 0, что при
0<А<8
/(*о-*Х/(*о)</(*о
б. Если же /' {х0) < 0, то соответственно при 0 < А < 8
260
ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ
[7.24
7.24. На этом свойстве основано правило для вычисле-
вычисления точек локального экстремума.
Определение. Будем говорить, что в точке с € (а, Ь)
функция f(x) имеет локальный максимум, если существует
такое h > 0, что при всех х? (с—h, c-^h)
(рис. 7.4). Аналогично будем говорить, что в точке с? {а, Ь)
функция f(x) имеет локаль-
локальный минимум, если существует
такое h > 0, что при всех
*€(с—А,
¦X
Рис. 7.4
(рис. 7.5). Точки локального
минимума или локального мак-
максимума называются точками
локального экстремума. Если
функция f(x) дифференцируема при х = с и /' {с)ф0, то
неравенства 7.23 A) и B) показывают, что точка с не мо-
может быть точкой локального экстремума. Отсюда следует,
что во всякой точке локально-
локального экстремума дифференцируемой
функции f(x) выполняется ра-
равенство
Г(с) = 0. A)
c-h
VLA
а
с b
Рис. 7.5.
Поэтому, чтобы найти точки
локального экстремума (всюду)
дифференцируемой функции, следует проанализировать урав-
уравнение A). Искомые точки заключены среди его решений.
Однако возможны и случаи, когда /'(с) = 0, но локального
экстремума нет; например, это имеет место для функции
f(x) = xs при с = 0. Подробнее анализ эстремумов прово-
проводится дальше, в § 7.5 и § 8.4.
§ 7.3. Дифференциал
7.31. Из равенства 7.22 A) видно, что приращение
функции f(x) при переходе независимого переменного х от
значения х = х0 к значению x = xQ + h складывается из
7.33) § 7.3. дифференциал 261
двух частей: первая, /' {xo)h, линейна относительно смеще-
смещения h переменного х, а вторая, e(h)h, бесконечно мала
сравнительно с А. Геометрически первая часть учитывает
приращение, измеряемое до касательной, а вторая часть —
приращение от касательной
до самого значения f(xo-{-h)
(рис. 7.6). Слагаемое /' (х0) к i _
называется главной линейной &У I ^^/ Л Ип—f'fx)./}
частью приращения функции. ¦ x--r i " О
Таким образом, из сущест-
существования производной вытека-
вытекает возможность выделения в х +h
приращении функции главной о о
линейной части. Обратно, как рис 7.6.
показывают приведенные рас-
рассуждения, возможность выделения главной линейной части
из приращения функции обеспечивает существование про-
производной.
7.32. Дифференциал. Пусть/(х) дифференцируема
при х~х0. Величина h = x—х0 обозначается иначе через
их, величина /' (xo)h = f (xo)dx обозначается через dy{x0)
или просто dy. Число dy называется дифференциалом функ-
функции f(x) в точке х — х0 при дифференциале независимого пе-
переменного dx. Таким образом, dy есть линейная функция от dx.
Имея dx и dy, мы можем записать /' (х0) в форме от-
отношения дифференциалов
7.33. Правила вычисления производных, описанные в § 7.1,
приводят к соответствующим правилам вычисления диффе-
дифференциалов. А именно, умножая на dx левые и правые части
формул 7.13 A)—D), находим
A)
B)
d[f-g]=fdg+dfg; C)
d\f\_R-df.-dg-f . D)
[g\~ ?*(*) ' D)
последнее равенство имеет место, как и 7.13 D), при ус-
условии, что g(xo)=?Q,
262 гл. 7. производная [7.34
7.34. Дифференциал сложной функции. Фор-
Формула 7.15 A) после умножения на dx дает
dz=g' (yo)y' (xo)dx = g' (yo)dy.
Но если бы у было независимым переменным, а не функцией
от х, то дифференциал функции z мы написали бы, согласно
определению, точно так же:
dz = g'(yo)dy.
Таким образом, дифференциал функции не зависит от того,
является ее аргумент независимым переменным или функцией
от нового переменного.
Этот факт можно использовать при практическом диф-
дифференцировании сложных функций. Например, производную
от (х2-{-\)" G.15 б) можно вычислить через дифференциал
d (х* + 1Г = 99 (х2 + 1 )98d (х2 + 1) = 99 • (хг + 1Г ¦ Ixdx,
откуда
((хг + 1)")' = ±1*+1У* = 99 (х2 + 1 )98 • 2х.
§ 7.4. Теоремы о конечных приращениях
7.41. Теорема Ролл я. Если (конечная) функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, Ь] (может быть, бесконечном),
причем f(a)=f(b), и дифференцируема во всех точках ин-
интервала (а, Ь), то существует точка с?(а, Ь), для которой
/'@ = о.
Доказательство. В силу 5.16 в существует точка
с^.(а,Ь), в которой выполняется равенство /(с) = sup {/(*)}
(или /(c) = inf {/(*)}). Таким образом, с есть точка локаль-
локального экстремума функции f(x). По 7.24 имеем /'(с) —0,
что и требуется.
7.42. Следствие. Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [а, Ь] и дифференцируема на интервале (а,Ь)и если всю-
всюду на (а, Ь) имеет место неравенство/' (х) Ф0,то f (b) ф/(а).
Доказывается от противного с применением 7.41.
7.43. Теорема Кош и. Если (конечные) функции f (х) и
g(x) непрерывны на отрезке а ^ х ^ b (может быть, бесконеч-
7.44J § 7.4. теоремы о конечных приращениях 263
ном) и дифференцируемы во всех внутренних точках отрезка,
причем g' (х) не обращается в нуль, то существует точка
с?(а, Ь), для которой
f(b)-f(a) Г (с) m
g(b)-g(a) g'(c)- * '
Доказательство. Заметим, что g(b)^g(a) в силу
7.42. Функция ф(лг)=/(лг)—Ag(x) с любой постоянной А
вместе с функциями f(x) и g(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь\ и дифференцируема во всех его внутренних точках.
Подберем А так, чтобы для функции ф(х) выполнялось ус-
условие теоремы Ролля ф (Ь) = ф (а). Для А мы получим урав-
уравнение
f(a)-Ag(a)=f(b)-Ag(b),
откуда
,f(b)-f(a)
g(b)-g(a) •
Применим теорему Ролля: существует точка с g (a, b), в
которой
Отсюда и следует A).
7.44. Следствие (теорема Лаграижа). Если
функция f(x) непрерывна на конечном отрезке [а, Ь\ и диф-
дифференцируема в его внутренних точках, то существует такая
точка с ? (а, Ь), что
Для доказательства нужно в 7.43
положить g{x) = x. Формулу A) мож-
можно записать в виде
f(b)=f{a)+f'(c)(b-a); B) \ "
Рис. 7.7.
в этом виде она называется формулой
конечного приращения. Геометрически с — такая точка на от-
отрезке [а, Ь], что касательная к кривой у=/(х) в соответ-
соответствующей точке (с, /(с)) параллельна хорде, соединяющей
точки (а, /(а)) и (Ь, f{b)) (рис. 7.7).
264 гл. 7. производная [7.45
7.4Б. Следствия.
а. Если /' (х) > 0 всюду е (а, Ь), то функция f(x) еоз-
растает на [а, Ь].
б. Если /'(лг)<0 всюду в {а, Ь), то функция f(x) убы-
убывает на [а, Ь].
в. Если /'(jc) = O, то f(x) постоянна.
Для доказательства заменим в 7.44 A) а на х', b на х",
где [*', х"] с [а, &].
Далее,
(а) если /' {х) > 0, мы получим
(б) если /' (х) < 0, то
(в) если же /' (х) = 0, то
+ (x"-X')f (с) ^
что и доказывает утверждение.
г. Пример. Пусть /(x) = sin>;, f'(x) — o.osx. В про-
межутках —^ -\-2kn < х < v ~Ь 2^^ функция cos лг положи-
положительна E.55), и мы" делаем вывод, что в этих промежутках
функция sin л: возрастает; в промежутках -5- + 2kn < х <
^ функция cos* отрицательна, и, следовательно,
функция sin х убывает. Аналогично, если положить f(x) =
= cosx, /' (x)=—sin л:, мы получим, что в промежутках
Bk—\)п <. х <.2kn функция cosx возрастает, а в проме-
промежутках 2kn < х < Bk-\- \)n—убывает. (Собственно говоря,
такого рода выводы мы делали и в 5.65, ио рассуждения
здесь более короткие.)
§ 7.5. Расположение кривой относительно
своей касательной
7.51. Пусть функция y = f(x) непрерывна на интервале
(а, Ь), содержащем точку лг0> и обладает в атом интервале
производной f'(x). Мы рассмотрим здесь взаимное распо-
расположение графика функции у=/(х) и ее касательной,
7.52)
§ 7.5. РАСПОЛОЖЕНИЕ КРИВОЙ
265
проведенной в точке с х = х0:
Y(x)=f(xo)+f'(xo)-(x-xo).
Введем следующие определения. Точка х0 называется
точкой выпуклости вверх функции /(х), если в окрестности
точки х0 (кроме самой этой точки) выполняется неравенство
f(x)<Y(x), или, иначе говоря, если график функции f(x)
в окрестности точки х0 располагается ниже касательной,
проведенной в точке х0. Аналогично точка х0 называется
Рис. 7.8.
точкой выпуклости вниз функции f{x), если в окрестности
точки х0 выполняется неравенство f{x)>Y(x), или, что
то же, если график функции распо-
располагается выше касательной. Если
каждая точка х?(а, Ь) есть точка
выпуклости вверх (вниз) для функции
y=f(x), то функция f{x) называет-
называется выпуклой вверх (вниз) на интервале
(а, Ь). Точка х0 называется точкой
перегиба функции f(x), если при
х< д;0 кривая/(jc) располагается по
одну сторону, а при х > х0—по
Рис. 7.10.
другую сторону от касательной, проведенной в точке х0.
Рис. 7.8—7.10 иллюстрируют указанные случаи.
Ниже даются достаточные (аналитические) условия осу-
осуществления того или иного из рассматриваемых случаев.
7.52. а. Если при всех т)€(д;0, Ь) выполняется неравен-
неравенство /' (ц) < /' (х0), то кривая f(x) располагается при x>xQ
ниже касательной, проведенной в точке х$.
266 ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ [7.53
б. Если при всех r\ ^ (хв, Ь) выполняется неравенство
f (Ч) > f (хо)> то кривая f{x) располагается при х > х0
выше этой касательной.
Действительно, в первом предположении для х > х0 по
формуле Лагранжа имеем
f(x)=f(xo)+f'(r])(x-xo)<f(x0)+f'(xo)(x-xo)=Y(x),
что и требуется; при втором предположении рассуждение
аналогичное.
7.53. Аналогично если при всех \ ? (а, х0) выполняется
неравенство /'(!)>/'(*„), то кривая f(x) располагается
при х <С х0 ниже касательной, проведенной в точке х0; если
при всех ?€(«; *o) выполняется неравенство /'(?)</' (*о)>
то кривая f (х) располагается при х < х0 выше этой каса-
касательной.
Доказательство получается, так же, как и в 7.52, при-
применением формулы Лагранжа к отрезку [х, х0].
7.64. Комбинируя возможности, описанные в 7.52 и 7.53,
приходим к следующим результатам:
Если при всех \ g (а, х0) и ц ? (х0, Ь) выполняется нера-
неравенство
/" <?)>/'(*„)>/'(ч>,
то х0 есть точка выпуклости вверх для функции f(x); если
при всех | g (а, х0) и г\ ? (х0, Ь) выполняется неравенство
то х0 есть точка выпуклости вниз для функции f(x). Нако-
Наконец, если для всех \ б (я, *о) и Ч € (*о> Ь) выполняются не-
неравенства
или неравенства
то х0 есть точка перегиба функции f(x).
7.55. Далее, непосредственно получается вывод:
Если функция f (х) возрастает при а < х < ft, то функ-
функция f(x) выпукла вниз в интервале (а, Ь); если f (x) убы-
7-57] § 7.5. расположение кривой 267
вает при а < х < Ь, то f(x) выпукла вверх в интервале
(а, Ь).
При мер.'Положим f(x)—smx, f (х) = cosх. Так как в про-
промежутках Bft—\)п < х < 2foi функция cosx возрастает G.45), то в
этих промежутках функция sinx выпукла вниз; так как в проме-
промежутках 2kn < х< B/г+0я Функция cos л: убывает, то в этих про-
промежутках функция sin х выпукла вверх. Аналогично в промежутках
<л:< l2fe + -^-jn функция cos л: выпукла вниз, а в про-
промежутках f 2ft—^" J п < х < f _2fe—|- -^- J at—выпукла вверх. (Этим
обоснован вид графиков функции sin* и cos л:, приведенных в 5.65.)
В 8.32—8.33 будут даны аналитические условия для выде-
выделения точек выпуклости и точек перегиба, основанные на
свойствах высших производных функции f(x).
7.56. Если /' (jc0) = 0, то Y(x)=zf(xQ) и касательная,
проведенная при х = х0, горизонтальна. Если при этом jc0
есть точка выпуклости вниз, т. е. кривая /(х) располага-
располагается над касательной, то в окрестности точки jc0 мы имеем
f(x) >/(je0) и, Следовательно, jc0 есть точка локального
минимума функции f(x). Аналогично если при /' (jc0) = О
точка х0 есть точка выпуклости вверх, то она является
точкой локального максимума. Мы получаем теперь из 7.54
следующие достаточные условия для минимума или макси-.
мума:
Теорема. Пусть f {хв) = 0. Если при этом для всех
\ ? (а, х0) и ц € (х0, Ь) выполняются неравенства
Г (IX о, Г(ц)>о,
то х0 есть точка локального минимума функции /(х). Если,
наоборот, для всех \ ? (а, х0) и ц ? (х0, Ь) выполняются
неравенства
/'(&)> о, /'(ч)<о,
то х0 есть точка локального максимума функции f(x).
7.57. Пусть, как и в 7.56, f'(xo) = O и при всех
\ € («, хв), г] g (jt0, b) выполняются неравенства
Г (IX о, Г(ц)<о.
268 гл. 7. производная 17-61
Тогда, согласно 7.53, точка х0 есть точка перегиба для
функции f(x): кривая y=f(x) переходит в точке х0 с одной
стороны касательной на другую сторону, так что в этом
случае точка х0 заведомо не является ни точкой минимума,
ни точкой максимума. Аналогичное положение имеет место
в случае, когда при всех | ? (а, х0), т] ? (х0, Ь) выполняются
неравенства
/' F) > О, Г (г]) > 0.
§ 7.6. Правила Лопиталя
Теоремы, приведенные в этом параграфе, часто бывают
полезны при вычислении пределов.
7.61. Первое правило Лопиталя. Пусть (конеч-
(конечные) функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [а, Ь]
(может быть, бесконечном) и дифференцируемы в интервале
(а, Ь), и пусть g' (х) Ф 0 всюду в (а, Ь). Пусть, далее,
известно, что
Тогда говорят, что отношение ~\ при х\а представ-
представит №)
ляет собой неопределенность вида ^г.
Теорема. Если при указанных условиях
(на расширенной числовой оси), то и
Нт Щ = А.
Доказател ьство. Сначала предположим, что
—оо < А < оо. Для заданного е > 0 выберем jc0 так, чтобы
в интервале (а, х0) выполнялось неравенство
7W—
Применим теорему Коши 7.43 к отрезку [а, х0],
где а < х < х0; в силу этой теоремы существует такая
7-62] § 7.6. правила лопиталя 269
точка с 6 (а, х0), что
g(x) g(xB)—g(a) g'(c)
и, следовательно, для всех x, a < x < x0,
f'(c)
g'(c)
Это и означает, что A = \im JJ^L
В случае, когда Л бесконечно, неравенство A) заме-
/' М 1 /' (х) 1
нится неравенством / ; > — или / ' < в зависи-
g кх) е 8 \х) е
мости от знака А, в остальном доказательство не меняется.
7.62. Второе правило Лопиталя. Пусть функции
f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в интервале
(a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается
в нуль в (с, Ь). Пусть известно, что g(а) = /(а) — оо; тогда
говорят, что отношение -^рг при х \ а представляет собой
g{x)
неопределенность вида —.
Теорема. Если при указанных условиях
(на расширенной числовой оси), то и
lim Щ
Доказательство. Пусть сначала А конечно. Для
заданного е >> 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, х0)
выполнялось неравенство
g'(x)
Определим функцию D(x, x0) из условия
f(x) __f(x)-f(xB) n
[7.62
B)
fix)
при х —»- а. Применяя к отрезку [л;, лг0] теорему Коши,
получаем, что для некоторой точки с €[х, х0]
270
Мы
имеем
D(x,
х0)
ГЛ. 7. ПРОИЗВОДНАЯ
gW-gW 1 е(х0)
S (*) S (х)
f(x)—f(x0) f{x0)
Отсюда для тех я, для которых \D(x, х0) — 1|<е, на-
находим
C)
Так как в произвольно мало, то lim '¦¦' • = А, что и тре-
дг -+ а & (Х'
бовалось.
В случае, когда Л=оо, неравенство A) заменяется не-
неравенством ,/\ > —, а неравенство C)—неравенством
имеющим место при х, достаточно близких к Л, в силу B).
В случае А=—оо проводится аналогичное рассуждение.
ЗАДАЧИ
I. Пусть f(x) определена при a«sx«s;b и при любых хг и х2 из
[a, b] удовлетворяет неравенству
Доказать, что f(x) постоянна,
2. Пусть f (х) определена и дифференцируема при х > с. Пусть,
далее, limf (х)=0. Тогда при любом А >0
lim [f(x+h)-f(.x)]=O.
Х-* се
3. Функция f(x), имеющая на отрезке [a, b] непрерывную про-
производную, равномерно дифференцируема на [а, Ь]; иными словами,
для любого е > 0 существует такое 6 > 0, что из | xt—*21 < 6,
ЗАДАЧИ 271
xi< *г€1а. Щ следует неравенство
< е.
4. Показать, что функция «/=x2sin— всюду дифференцируема
на [0, 1], но ее производная не является непрерывной.
5. У функции f{x), всюду дифференцируемой на [а, ft], произ-
производная принимает любое значение между f (а) и f (ft) (теорема Дарбу).
6. Если функция f(x) выпукла вниз на (а, 6) G.51), то для
любого х? (а, 6) имеет место неравенство
о—а
т. е. график функции f(x) лежит не выше хорды, соединяющей
точки с абсциссами а и 6.
7. Результат задачи 6 приводит к более общему (чем в 7.51)
определению выпуклости функции 7, ие опирающемуся на ее диф-
ференцируемость: функция y=f(x) называется выпуклой (вниз) на
[a, ft], если на любом интервале (а, Р) с [а, ft] ее график прохо-
проходит ие выше хорды, соединяющей точки с абсциссами аи р, т. е.
при любом х?(а, Р)
Доказать, что для любых точек xlt . . ., Хр отрезка [а, Ь] и любых
р
чисел Хъ . . ., Яр, таких, что 0<Я,у«?1 (/ = 1 р) и 2fy=l,
2 VyJ A
8. (Продолжение. В задачах 8—13 используется определение
выпуклости, введенное в задаче 7.) Показать, что функция / (х) вы-
выпукла на отрезке [с, Ь] тогда и только тогда, когда при х > а > а
наклон хорды
*—а
есть неубывающая функция от х при каждом фиксированном а.
9. (Продолжение.) Функция f(x), выпуклая на отрезке [а, Ь],
непрерывна в каждой точке х?(а, ft) н имеет конечную левую и пра-
правую производные, причем
10. (Продолжение.) Если f(x) выпукла на [a, ft], то функции
/лев (х) и fnv (х) ие убывают и для любых аи р, а < а < р < ft,
f
/пр
272 гл. 7. производная
11. (Продолжение.) Всякая выпуклая на [а, Ь] функция f (х)
имеет производную всюду на [а, Ь), кроме, возможно, счетного мно-
множества точек.
12. Пусть f(x) дифференцируема на [а, Ь] и для любой пары
точек а, р, где а «? а < Р «? Ь, существует единственная точка у
такая, что
Показать, что или f(x), или —f(x) выпукла на [а, ft].
13. Если функция y = f{x) выпукла вниз в окрестности точки
*о€(а> Ь)> то ее график лежит не ниже правой и левой полукаса-
полукасательных в точке х0, т. е.
f (х) 3== (х—х0) f'np (х0) + f (х0) (х > х0),
f (х) ^ (х—х0) /„ев (х0) + / (х0) (х < х0).
14. Дифференцируемая кривая y=f(x), определенная при
a«g;x<;oo, тогда и только тогда обладает асимптотой y=kx+b
(гл. 4, задача 10), когда существуют пределы
ft= lim f'(x), b= lim [f (x)—xf (x)J.
X-y a> x-+ oo
15. Если функция f (x) определена в отрезке [a, b] и в интервале
(а, Ь) существует производная f (х), имеющая при х \ а предел р,
то это число р есть правая производная функции ^(х) прн х=а.
16. Если функция fit) возрастает при 0«?/<6, а при 0 < <<Ь
обладает убывающей производной /' (t) (при t ->¦ 0 производная
может неограниченно возрастать), то
pi I — I <
/1=1
17. (Пример Ван-дер-Вардена.) Положим
x при - - -
Фо (*)=<"
1—х при 4-<х«? 1
и продолжим эту функцию затем на всю ось с периодом 1. Положим,
далее,
, . 1
Функция фп(х) имеет период 4~" и производную I всюду, кроме уг-
угловых точек с абсциссами ^1, равную+1 или—1. Пусть, наконец,
№= 2 ФпМ-
п= I
Показать, что f(x) непрерывна, но ни в одной точке не имеет про-
производной.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 273
Историческая справка
Дифференциальное исчисление (вместе с интегральным) появи-
появилось в XVII веке; рассмотренное вначале в частных случаях многими
учеными в геометрическом и кинематическом аспекте (Ферма, Тори-
Торичелли, Ролль, Барроу), оно было сформулировано общим образом
в конце века И. Ньютоном и Г. Лейбницем*). Лейбниц ввел символ
дифференциала и обозначение -р для производной. Ньютон, затем
Лейбниц и его ученики, в первую очередь братья Якоб и Иоганн
Бернулли, применили методы дифференциального исчисления к мно-
многочисленным проблемам геометрии, механики и физики. Для физиче-
физических применений центральиую роль сыграло истолкование скорости
движения как производной от пройденного пути по времени.
Первый трактат по дифференциальному исчислению «был напи-
саи в 1691—1692 г. Иоганном Бернулли в качестве пособия для одного
маркиза, который показал себя хорошим учеником» (Бурбаки). Этот
маркиз, Гийом Франсуа де Лопиталь, опубликовал в 1696 г. упомя-
упомянутый трактат, чем и составил себе имя в истории иауки. По-види-
По-видимому, исторически более правильно было бы называть «правила Ло-
питаля» правилами Бериулли. Точное определение производной, осно-
основанное на определении предела, дано лишь у Коши **); со времени
Коши «существование производной, в которое до тех пор можно
было только верить, становится вопросом, изучаемым обычными сред-
средствами анализа» (Бурбаки). Примеры непрерывных функций без про-
производных были указаны Больцано A830, опубликовано в 1930) и
Вейерштрассом A860, опубликовано в 1872). В обосновании анализа
лекции Вейерштрасса в Берлинском университете явились следующим
этапом после Коши.
*) По этим вопросам первая публикация Лейбница относится
к 1684 г., первая публикация Ньютона — к 1687 г.; но оба они,
как видно из переписки, владели методами нового исчисления и ра-
ранее этих лет.
**) Еще раньше Люилье A786); но работа последнего не приш-
пришлась ко времени н не имела продолжения, хотя и была увенчана
премией Берлинской Академии наук.
ГЛАВА 8
ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Если первая производная позволяет нам для данного
момента времени описать характер какого-либо движе-
движения, то вторая — помогает проникнуть в его скрытые
причины.
В. Томсон и В. Тэт. Введение в натуральную фи-
философию A867).
§ 8.1. Определения и примеры
8.11. Если числовая функция y—f(x) имеет производную
у' =/'{х) в интервале (а, Ь) и если функция /' (х), в свою
очередь, дифференцируема на (а, Ь), то производную функ-
функции /' (х) мы будем обозначать через y"=f"(x) и называть
второй производной от функции f(x). Продолжая таким об-
образом, мы получим на интервале (а, Ь) функции
/'(x),f"(x), ...,/<«>(дг)
причем Z4"* (дг) при любом п ^ 1 есть производная от
fin~ly(x). Функция /*в)(л;) называется я-й производной, или
производной порядка п от f(x); если существует функция
/(n)(jc), то* функция f(x) называется п-кратно дифференци-
дифференцируемой на (а, Ь). Если функция /' (д;) существует и непре-
непрерывна, функция /(х) называется гладкой; если функция
/(п) (х) существует и непрерывна, говорят, что функция /'(*)
имеет гладкость п-го порядка. Сама функция f(x) считается
своей производной нулевого порядка:
8.12. Действия с производными высших по-
порядков. В предположении я-кратной дифференцируемое™
функций f(x) и g(x) в интервале (а, Ь) имеют место сле-
следующие формулы:
if(x) + gW"> =/<«> (дг) + <г<«> (х); A)
(а/ (х)){п) = а/(п) (х) (а—любое вещественное число); B)
п
{f{x)-g(x)){n)= 2 С*/<*>(л;) #<«-*> (х) (формула Лейбница), C)
где С*= . ' .. —биномиальные коэффициенты.
/2! \fl—кI
8.14]
§ 8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
275
Доказательства равенств A) и B) получаются последо-
последовательным дифференцированием равенств 7.13 A), B). До-
Доказательство C) проведем по индукции. Если C) верно для
некоторого я, то, дифференцируя еще раз, находим
k-Q
= 2
п+\
n+l
*=0
на основании формулы С%+1 = С% + С%~1. Мы видим, что из
справедливости формулы C) для показателя я вытекает ее
справедливость для показателя п-\-\; так как она справед-
справедлива для я=1, то отсюда следует ее справедливость для
любого п.
8.13. Следующая таблица высших производных для часто
встречающихся функций будет полезна в дальнейшем:
ш
X*
еах
sin bx
cos bx
ae°x
1
X
b cos bx
—fcsinta
fix)
a(a— l)xa~2
a2e°x
1
—b2 sin bx
—b2 cos bx
V" W
a (a— 1)X
asea*
2
—6s cos 6*
+ 6» sin to
...
...
a (a—1)... X
X(a—n+l) x"-"
6nsinf 6л:+Пу J
b"cos 1 bx-\-n-z j
8.14. Производные многочлена и его разло-
разложение по степеням л: — а. При дифференцировании
многочлена каждый раз его степень снижается на единицу.
Если многочлен имеет степень п, то после я-кратного диф-
дифференцирования мы получим постоянную; производные же
порядка я -f-1 и выше обращаются в 0.
27б ГЛ. 8. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 18.14
Всякий многочлен Р(х) степени я можно расположить
по возрастающим степеням л:—а, где а—любое число,
с помощью замены л: = (л:—а)-\-а', именно, если
= 2 а**\
*о
2
то мы имеем
/>(*) = Р[(*-а)+а]=2 ak[(x—a) + a]*,
что можно записать в форме
P(x) = bo + b1(x-a) + b2(x-af+... + bn(x-ar. A)
Коэффнциенты Ьо, Ьх, ..., Ъп можно выразить через произ-
производные многочлена Р(х) в точке а. Полагая в A) х = а,
находим
Дифференцируя A) по л:, находим
Р' (х) = bt+2b2 (x-a)+3b3 (x-af+... +nbn (x—a)"-1. B)
Подставляя сюда х = а, получаем
Р'(а)*=Ь1.
Дифференцируя B), получаем
Р"(х) = 2Ь2 + 2.3Ь3(х — а)+... + п(п-\)Ьп(х-а)"~2.(Ъ)
Полагая здесь л: = а, находим
Р"(а) = 2Ь2.
Продолжая таким же образом далее, получаем при любом
* = 0, 1, ..., я
P™(a)=\-2...k-bk. D)
Таким образом, при k — 0, 1, .... я мы имеем
bk = i-P<h)(a)
(считая 0! = 1), и разложение A) можно записать в форме
ft=0
8.211 § 8.2. формула теЙлора 277
§ 8.2. Формула Тейлора
8.21. Если функция f{x) непрерывна на конечном отрезке
[а, Ь], а в интервале (а, Ь) обладает производными до
(п-\-\)-го порядка включительно и ее производные до п-го
порядка включительно имеют предельные значения flk)(a)*)
(/2 = 0, 1, ...,я), то существует точка с?(а, Ь) такая, что
Формула A) называется формулой Тейлора.
Для я = 0 эта формула превращается в формулу Лагранжа
7.44 B). Для многочлена л-й степени /1п+1)(х) = 0, и мы
получаем формулу 8.14 E).
Лемма. Если функции F(x) и G(x) непрерывны на
отрезке [а, Ь] и (п-\-\)-кратно дифференцируемы в интер-
интервале (а, Ь), причем Glk) (х) не обращается в нуль в (а, Ь) и
Flk> (x) и Glk)(x) имеют пределы при х—+а, равные 0
{k=0, 1, ..., я), го существует точка с?(а, Ь), в которой
F(b)
G(b) ~G
Действительно, по теореме Коши 7.43 имеется точка
сг ? (а, Ь), в которой
F(b)-F(a) _F(b) F'(Cl)
G{b)—G(a) G(b) G'(Cl) '
Применяя теорему Коши еще раз к промежутку (а, сг),
получаем существование точки с2?(а, сг), для которой
F (Ь) F' (cj F' (cj-f (a) F" (c2)
G{b) G'(Cl) G'(C
Продолжая таким образом дальше, найдем после я шагов
точку с ^ (а, сп), для которой
F ф) _ F(n) (с„) _ Я"> (с„)—F'"> (а) F("+»(с)
С~Щ — G<"> (с„)"" G«") (с„)—G<«» (а) ~" G("+ «(с) '
что нам и требуется.
*) Введенные здесь предельные значения f (*> (а) в действительности
являются соответствующими правыми производными (задача 15 к гл. 7),
но это обстоятельство для нас не играет роли.
278 гл. 8. высшие производные [8.22
Доказательство формулы Тейлора. Положим
в лемме
Функция F(x) имеет производные до порядка я + 1 вместе
с функцией f(x). Функция G(x) имеет производные всех
порядков, причем ее производные до порядка я положи-
положительны при л: > а. При этом, согласно 8.14D),
так что F(m)(a)=flBt)(a)— /(И!)(а) = 0 при/» = 0, 1, ...,п.
По той же формуле G(m)(a) = 0 при /и = 0, 1, ..., я. Таким
образом, выполнены все условия леммы, и можно ее при-
применить. При этом, очевидно,
рь+о (х)=/««+» (х),
Применяя лемму, получаем: существует точка с ? (a,
такая, что
)-!> (а) <*=^
что и дает искомую формулу A).
8.22. Замечание. Мы рассмотрели случай а < Ь. Но
доказательство формулы Тейлора можно провести точно
таким же образом и для случая b < а, так что положение
точки Ь^=а в действительности безразлично; в обоих слу-
случаях точка с лежит между а и Ь.
8.23. Формулу 8.21 A) часто пишут в форме
(с €(<*.*)). A)
8.24J § 8.2. формула тейлора 279
Многочлен степени п, стоящий в начале правой части,
называется многочленом Тейлора. Величина
называется остаточным членом формулы Тейлора (в форме
Лагранжа). Если/(п+1)(*) при х—>-а ограничена, то остаточ-
остаточный член Rn при л:—»¦ а есть бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с (л: — а)" D.38); в соответствии
с принятым в 4.38 обозначением мы можем написать
В частности, для х < О нли л: > 0, как нетрудно про-
проверить, имеют место следующие разложения:
C)
cosx=l-¦? + ?-...+(-l)«^ + o(*2n+1); D)
); E)
+X)= x-^+^-... + (-i)"-15+°(*"); F)
8.24. Роль формулы Тейлора состоит в том, что она
позволяет функцию f(x) — возможно, сложной природы —
заменить сравнительно простой функцией—многочленом —
с ошибкой 8.23B), которая в ряде случаев допускает
простую оценку н может быть сделана достаточно малой.
Если известно, что
sup \Гп)(х)\ = Мп(Н) (л=0, 1, 2, ...),
e<x<e+ft
то для остаточного члена 8.23B) мы получаем оценку
280 гл. 8. высшие производные [8.31
Величину справа мы обозначим со = со (я, Л). Можно поста-
поставить три естественные задачи, связанные с определением
одной из величин to, я, А через две остальные:
(а) Даны я и А, найти со (я, А); иными словами, найти
оценку сверху для ошибки, получающейся при замене функ-
функции f(x) на интервале (a, a-\-h) ее многочленом Тейлора
л-й степени.
(б) Даны я и со, найти h; иными словами, найти тот
интервал (a, a-\-h), на котором гарантируется, что ошибка
от замены функции f(x) ее многочленом Тейлора я-й сте-
степени не превзойдет данной величины со.
(в) Даны А и to, найти п; иными словами, найти степень
многочлена Тейлора, для которого ошибка от замены им
функции f(x) в данном интервале (а, а-\-И) не превзойдет
данной величины со.
В конкретных случаях все эти задачи решаются более
или менее элементарным счетом (см. задачу 10).
Те же задачи можно поставить и для интервала (а — А, а)
и решать их таким же путем.
§ 8.3. Анализ поведения функции в окрестности
данной точки
8.31. В § 7.5 мы изучали расположение кривой у=/(х)
относительно ее касательной, проведенной при х — х0.
Аналитическим аппаратом служили значения/'(х) при хфх0.
Мы вернемся здесь к этому же вопросу, но вместо исполь-
использования множества значений f'(x) используем лишь одно
значение f(x) при л: = л:0.
Теорема. Пусть функция y=f(x) имеет в интервале
(а, Ь), содержащем точку х0, первую производную /' (л:),
а в самой точке х0 и вторую производную f" (л:0). Если
f" (*o) > 0, то х0 есть точка выпуклости вниз для функции
f(x); если f" {xQ) < 0, то х0 есть точка выпуклости вверх
для этой функции.
Доказательство. Пусть /" (л:0) > 0; применяя
к функции /' (лг) результат 7.23 а, получаем, что существует
б > 0 такое, что при 0 < Л < б
/' (x9—h)<f («
8.34} § 8.3. анализ поведения функции 281
Это позволяет для интервала (л:0—б, л:0 + б) применить
результат 7.54, который и завершает доказательство. Слу-
Случай /" (х0) < 0 анализируется аналогично.
8.32. Полученный результат позволяет дать новые доста-
достаточные условия минимума и максимума:
а. Если в условиях 8.31 мы имеем f (л:0)=0 и /" (л:0) > О,
то точка х0 есть точка локального минимума функции f(x).
б. Если в условиях 8.31 мы имеем/' (jco)=O uf"(x0) < 0,
то точка х0 есть точка локального максимума функции f(x).
Оба результата следуют из 8.31 и 7.56.
8.33. Какую дополнительную информацию о свойствах
функции f(x) может дать знание значений f (х) не только
в точке х0, но и в окрестности этой точки? Оказывается,
зная f"(x), мы можем описать расположение кривой у^=/{х)
в окрестности точки х0 по отношению к «соприкасающейся
параболе»
V(x)=f(xo)+f'{xo)-(x-xo)+±f"(xo).(x-xoJ. A)
а. Теорема. Если при всех ц?(х0, Ь) выполняется
неравенство /" (т)) >/" (л:0), то кривая у=/(х) при х > л:0
располагается выше соприкасающейся параболы A). Если при
всех г\?(х0, Ь) выполняется неравенство /'"(tj) </"(л:0), то
при х > л:0 криваяу=/(х) располагается ниже параболы A).
Доказательство. В первом предположении при
л: > л:0 по формуле Тейлора с я = 2 имеем
/(х)=/(хо)+Г(хо)-(х-хо)+~Г{с)(х-хоУ>
> / (Хо) +/'(хо)(х- х0) + \f (х0) (x-xo)*=Y(x),
что и утверждается. Для второго предположения рассужде-
рассуждение аналогично.
б. Аналогично если при всех | ? (а, х0) выполняется
неравенство /" (|) >/"(-ко)> т0 кривая у=/(х) при х < xQ
располагается выше параболы A); если при всех |^(с, лг0)
выполняется неравенство f (!)</" (х0), то кривая у— f(x)
при х < х0 располагается ниже параболы A).
8.34. Рассмотрим, в условиях 8.33, случай, когда
/" (jc0) = 0. В этом случае соприкасающаяся парабола 8.33 A)
282 гл. 8. высшие производные 18.35
вырождается в пря.мую, касательную к кривой y—f(x)
в точке л:0:
*о)-(*—¦*»)•
Комбинируя результаты 8.33, мы приходим к следующим
выводам:
Теорема. Если в условиях 8.33 мы имеем f"(xo) — O
и при всех хфх0 выполняется неравенство f" (x) ~>f"(x0),
то для функции f(x) точка х0 есть точка выпуклости вниз.
Если приесех хфх0 выполняется неравенство /" (л:) < /" (л:0),
то для функции f(x) точка х0 есть точка выпуклости вверх.
Если при всех ? g (а, х0), т) €(х0, Ь) выполняются неравенства
/'(?)< о </'(ч)
или неравенства
> о
то точка х0 есть точка перегиба функции f(x).
Подчеркнем, что последние два предположения оказы-
оказываются достаточными условиями для того, чтобы точка х0
была точкой перегиба.
8.35. Как и выше по отношению к /' (л:), вместо исполь-
использования множества значений f"(x) мы можем использовать
одно значение /'" (л:) в самой точке л:0. Пусть функция f(x)
на интервале (а, Ь) 5 х0 обладает производными /' (л:) и
f"(x), а в самой точке х0—производной /'" (х0).
Теорема. Если /'" (х0) > 0, то кривая у=/(х) при
х > х0 располагается выше параболы 8.33 A), а при
х < х0—ниже этой параболы. Если же /"' (х0) < 0, го
картина. противоположная: при х <С х0 кривая располагается
выше параболы 8.33 A), а при х > л:0 — ниже этой параболы.
Доказательство. Пусть /'" (л:0) > 0. Применяя
к функции/" (л:) результат 7.23 а, получаем, что сущей*
вует такое б > 0, что при 0 < h < б выполняется неравен-
неравенство
f"(xo-h)<f"(xo) </'(*„ +А).
К интервалу (л:0—б, л:0 + б) теперь можно применить
теоремы 8.33 а, б, которые и приводят к нужным результ
татам.
8.37] § 8.3. АНАЛИЗ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ 283
8.36. Для случая /"(хо) = 0 получаем: если f"(xo) = 0,
f"'(xo)=?0, то хо есть точка перегиба функции f(x).
В случае /"' (хо) = О вопрос остается открытым (если
мы желаем использовать только значения функции и ее
производных в самой точке л:0). Можно привлечь значения
последующих производных (см. задачу 11).
8.37. В разного рода вопросах, связанных с изучением
поведения функции в окрестности данной точки, полезной
бывает еще одна форма записи формулы Тейлора, исполь-
использующая символ Е D.39). Пусть в окрестности точки а
функция f(x) обладает производными до порядка п-\-\,
причем /1п*(а)ф0, а /ш+и(х) ограничена. Тогда формулу
Тейлора 8.23 A) можно записать в следующей форме:
h)=f(a)+hf'{a)+...
где Е, как и раньше, означает величину, стремящуюся к 1
(при h—»-0). В данном случае, очевидно,
h Р+»(с)
С+п+1 f">(a) •
В частности, отметим формулы, вытекающие из A) (при
указанных ниже значениях я) и 8.13 (или 8.23 C)—G)):
е*=\+хЕ (л=1); B)
cosx=l— — Е (я = 2); C)
sinx = xE (я=1); D)
In A+*) = *?¦ (я=1); E)
A+лс)«=1+од:?1 (я=1); F)
последняя формула была получена нами еще в 5.59 е.
Более точные формулы, вытекающие снова из A) и
8.23 C)—G), таковы:
COS X = 1 5~
X3
sin л: = л:—~-j
(й- 2);
(я-=4);
(л= 3);
B')
C')
D')
284 гл. 8. высшие производные [8.38
? (в = 2); E')
(в=2). F')
8.38. Примеры,
а. Найти
lim
-> о sin х
Решение. Используя формулы 8.37 B)—D), находим
е*—cos* _ \ 2/2
sinx ~~ хЕ ~~ Е
(Можно было бы воспользоваться и правилом Лопнталя 7.61.)
б. Найти
lim c ~r
x -* о In |
Решение. Используя формулы 8.37 B), E), F), находим
х2—xs „\
Е —* 2 '
Здесь применение правила Лопиталя потребовало бы сложных вычис-
вычислений.
в. Каково расположение кривой
х—sin*
—-г—
в окрестности точки х = 0?
Решение. По формуле 8.37 D')
так что lim у — — Более точный ответ требует привлечения и более
о 6
точной формулы для sinx, именно
8.42] § 8.4. высшие дифференциалы 285
(вытекающей из 8.23 E)). Мы получаем здесь
V~ 6 120 '
так что в точке х=0 функция y=f(x) имеет локальный максимум.
§ 8.4. Высшие дифференциалы
8.41. Предположим, что функция y=f(x) определена
в интервале (а, Ь) и имеет в нем производные до я-го по-
порядка включительно. Дифференциалом п-го порядка функ-
функции f(x) называется функция от двух независимых пере-
переменных х и dx, определяемая равенством
йпу == dnf(x) =/<"> (х) (dx)n.
Если dx считать постоянным, то, очевидно, d"y=d(dn~1y).
При наличии d"y можно записать я-ю производную в форме
отношения
7 (Х}~
(dx)" ¦
В частности, для _у=/(*)=== л мы имеем
dy = dx, dPy = d*y — ... = 0.
8.42. Вычислим второй дифференциал от сложной функ»
ции у — /[<р(х)]. Согласно определению 8.41
d*y = {/[Ф (х)}}" (dxf = [/' [Ф] -ф' (х)]' (dx)*=
=f" [Ф (х)] ¦ [Ф' (х) dxf +/' (ф) • ф" (*) (d>:)a=
=/"{ф (^)]-(йфJ+/' (Ф)Ф"(х) (dx)\ A)
Если бы ф была независимой переменной, то мы имели бы
Мы видим, что в отличие от первого дифференциала вто-
второй (и высшие) меняются, если независимое переменное
становится зависимым, т. е. функцией от нового незави-
независимого переменного. Впрочем, для случая, когда независи-
независимое переменное подвергается лишь линейной замене, второй
и последующие дифференциалы сохраняют свое выражение.
В этом случае ф (х) = Ах + В (А и В—постоянные), поэтому
ф"(>;) = 0 и второе слагаемое в A) исчезает. Дифференцируя
286 ГЛ. 8. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ I**'43
далее, последовательно получаем
d*y=f" [ф (х)] [Ф' (х) dxY^f" [ф (х
d"y = /<«> [ф {X)] [ф' (X) d*]« = /<«> [ф (X)] (<*ф)»,
поскольку члены, содержащие высшие производные от <р,
обращаются в нуль.
8.43. Формула Тейлора 8.21 (I) в дифференциалах {а = х,
b—a = dx) приобретает следующий вид:
h
§ 8.5. Ряд Тейлора
8.61. Рассмотрим функцию y=f(x), имеющую в интервале
{а, Ь) производные всех порядков я = 0, 1, 2, ... Такие
функции будем называть в дальнейшем бесконечно диффе-
дифференцируемыми. Выберем точку хо?(а, Ь) и напишем формулу
Тейлора:
/(*)=/(*„)+/(*о) (*-*„) + • • •
Предположим, что для данного х с возрастанием п вели-
величина остаточного члена стремится к 0. Это означает, что
бесконечный ряд
0)
сходится и имеет своей суммой число f(x). Таким образом,
значение функции f(x) при данном х является суммой ряда
по степеням х — х0:
8.53J § 8.5. ряд тейлора 287
Ряд A) для бесконечно дифференцируемой функции f(x)—
вне зависимости от его сходимости и суммы—называется
рядом Тейлора функции f(x). Нам следует выяснить, для
каких функций fix) и в каких областях ряд Тейлора схо-
сходится н имеет суммой значение самой функции f(x); иными
словами, для каких функций и в каких областях остаточный
член формулы Тейлора стремится к 0.
8.52. Лемма. Если в интервале {а, Ь) при некоторых
В > 0 и С> 0 выполняется неравенство
¦г— sup |/«">(*)|<С (л = 0,1,2,...) A)
(т. е. последовательность чисел, стоящих слева, ограничена),
то остаточный член формулы Тейлора стремится к 0 во всех
точках х?(а, Ь), для которых \х — ло|<"с"-
Доказательство. Запишем формулу для остаточного
члена
(У /{п+1у(с) (с между х и *0).
Мы имеем в силу A)
что при \х—хо\<.~б стремится к 0, когда п—*оо.
8.53. Рассмотрим несколько примеров.
а. Для многочленаy=f(x) степени m неравенство 5.52A)
выполняется тривиальным образом, поскольку /<т+1> (х) и все
последующие производные равны 0. Таким образом, всякий
многочлен разлагается в ряд Тейлора; впрочем, этот ряд
сводится к конечной сумме, которую мы уже рассматривали
в 8.14.
б. Пусть f(x) = ex. Мы имеем fin)(x) = ex и в.проме-
в.промежутке [—Ь, Ь]
sup ех = еь.
Ь
Поэтому выражение
sup |f'">(*)| еь
п\вп
288 гл. 8. высшие производные [8.54
с возрастанием п стремится к 0 и, следовательно, при любом
фиксированном b является ограниченным при я—»-с». Таким
образом, ряд Тейлора для функции ех сходится к ех на
отрезке [—b, b] любой длины; иначе говоря, он сходится
к е* при всех вещественных х. Итак, для всех к
в. Пусть fix) = sin х. Мы имеем |/(п) (х) | ^ 1 ив любом
промежутке [—b, b]
B"-n\ ^Вп-п\'
Эта последовательность ограничена независимо от Ь. Таким
образом, функция sin л: также разлагается в ряд Тейлора,
сходящийся на всей вещественной оси:
уЗ у5 у?
smx~x 3!+5! 7! + -" [l?}
г. Точно таким же образом и функция cosx разлагается
в ряд Тейлора, сходящийся на всей вещественной оси:
Г2 у* ув
11 I /О\
OI —Г Л I л | —I— . а • \"/
8.54. Отметим, что наличие разложений 8.53 B) и C)
доказывает единственность функций sin x и cos x, которые
мы определили в 5.61 как решения некоторых функциональ-
функциональных уравнений. Для завершения их теории нам нужно, от-
отправляясь от разложений 8.53 B), C), показать, что вы-
выполняются указанные в 5.61 функциональные уравнения
и неравенства; это будет проведено в 8.68.
8.55. Аналитическое продолжение. Пусть
известно, что функция f{x), бесконечно дифференцируемая
в интервале (а, Ь), разлагается в нем в ряд Тейлора
^ A)
k=0
Рассмотрим этот ряд в комплексной области, заменив вещест-
8.62] § 8.6. ЭКСПОНЕНТА В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 289
венный аргумент х на комплексный z = x-\-iy:
iuck(z-xo)k. B)
Область сходимости этого ряда есть круг некоторого ра-
радиуса R с центром в точке х0 F.52). Число R во всяком
случае таково, что весь интервал (а, Ь), где сходится ряд A),
содержится в круге \z—хо]<#, поскольку нам известно,
что во всех точках вне круга сходимости степенной ряд
расходится. В точках z?(a, b) сумма ряда B) по условию
равна f(x). Сумма ряда B) в остальных точках круга .схо-
.сходимости есть некоторая функция от z; мы назовем ее ана-
аналитическим продолжением функции f(x) в комплексную
область и обозначим через f(z). J3 частности, если ряд A)
сходится для всех вещественных х, то ряд B) сходится для
всех комплексных z и аналитическое продолжение функции
f(x) оказывается определенным во всей комплексной пло-
плоскости.
§ 8.6. Экспонента и тригонометрические функции
в комплексной области
Применим общие результаты 8.55 к экспоненте и триго-
тригонометрическим функциям.
8.61. Ряд Тейлора для функции ех
сходится при всех вещественных х; следовательно, ряд
e*=l+z+?+. ..+?+... A)
сходится при всех комплексных z, определяя экспоненту ег
во всей плоскости переменного z.
8.62. Аналогично ряд Тейлора для функции sin x
д-З д;5 %1
sin х = х—gj- -f gj—ту + ...
290 гл. 8. высшие производные [8.63
и ряд Тейлора для функции cosx
СОЗЛ==1__ + _Г__+...
сходятся при всех вещественных х; следовательно, для всех
комплексных г определены функции
sinz = z-^ + ^—..., A)
cos*=l-g + J-..., B)
которые являются аналитическими продолжениями тригоно-
тригонометрических функций sin х и cos л:.
Как видно из формул A) и B), в комплексной плоскости
(как и на вещественной оси) справедливы равенства
sin (—z) = — sin z, C)
cos(—z) = cosz, D)
выражающие нечетность функции sin z и четность функции
cos г в комплексной плоскости.
8.63. Из разложений 8.61 A) и 8.62 A), B) вытекает
замечательная связь между экспонентой и тригонометри-
тригонометрическими функциями, существующая в комплексной области.
А именно, заменяя в разложении 8.61 A) z на iz, мы нахо-
находим, что при любом z
гг г* \ ./ г» z5
= cos 2 + / sin z. A)
Таким образом, экспонента линейно выражается через siii z
и cos г. Заменяя в A) г на —z, получаем также (с учетом
8.62 C) и D))
e~'* = cosz—/ sin z. B)
Из A) н B) следуют формулы
f C)
D)
8.64J § 8.6. ЭКСПОНЕНТА В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 29t
впрочем, их можно было получить и непосредственно из
формул 8.61 A) и 8.62 A), B). Формулы A)—D) называ-
называются формулами Эйлера.
Для вещественного z, равного 0, мы получаем из A)
<?'» = cos 6-W sin9. E)
Мы видим, что комплексное число е'ь при вещественном 6
имеет модуль, равный 1.
Для любого комплексного числа гфО ь 5.72 мы имели
тригонометрическое представление
х = г (cos 0 + i sin 0),
где г есть аргумент числа z, a 0—его модуль. Равенст-
Равенство E) позволяет этому же комплексному числу z дать «экс-
«экспоненциальное представление»
z = re">. F)
8.64. Дальнейшие свойства экспоненты основаны на сле-
следующем факте:
Л е м м а. Для любых комплексных гг и z2 имеет место
равенство
Действительно, мы имеем
е2' = 1 -4- z 4- — 4-
Так как эти ряды сходятся абсолютно, то применима теорема
об умножении F.46), которая дает
что и требуется.
292 гл. 8. высшие производные [8.65
8.65. В частности, для вещественных xnywz —x-j-iy
е* — ех+'У = ех -е'У = ех (cosy -f- i s\ny) =
= e* cosy +le* sinУ> A)
эта формула явно выделяет у функции ez вещественную
и мнимую части.
Равенство A) обнаруживает одну интересную особенность
функции ег в комплексной плоскости, а именно, ее перио-
периодичность; Вообще, функция f(z) называется периодической
функцией с {комплексным) периодом Т, если для всех z из
области определения функции f(z) выполнено соотношение
f(z+T)=f(z).
В частности, для f(z) = ez и T=2ni имеем по A)
gZ+SJtl _ eX+iy+Snl _ eX + Hy+271) —
= ех [cos (у + 2зг) 4-«sin (у 4- 2я)] = е* [cosy 4- i sin _y] = ег, B)
так что функция f(z) = ez оказывается периодической функ-
функцией с чисто мнимым периодом T=2ni. Поэтому и для лю-
любого k = 0, ±1, ±2, ...
Напротив, функции е'г и е~'г имеют в комплексной пло-
плоскости вещественный период Т=2п. Например, для/(г) = е'2
мы получаем из B), заменяя там z на iz,
/(* 4-2n) = e'te+«« = efc+«""=efe ==/(*).
Функции sin г и cos г, рассматриваемые во всей комп-
комплексной .плоскости, в силу формул 8.63 C), D) вместе с eiz
и е~'г также оказываются периодическими с вещественным
периодом 2зт.
Полагая в A)? = ш, получаем весьма интересную
формулу *):
*) «Эта замечательная формула Эйлера как бы символизирует
единство всей математики: в ней —1 представляет арифметику, i —
алгебру, л—геометрию и е—анализ» (А. Н. Крылов).
8.68J § 8.6. ЭКСПОНЕНТА В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 293
8.66. С другой стороны, перемножая равенства 8.63 A)
и B) и используя лемму 8.64, мы находим, что
/ sin z) (cosz—/ sinz) =
= cos2z-fsin2z. A)
Таким образом, функции cos г и sin г н в комплексной
области удовлетворяют первому из функциональных уравне-
уравнений, которыми мы в свое время определили эти функции
E.61 A)). Из уравнения A), однако, уже нельзя делать
вывода, который мы сделали в свое время в вещественной
области,—что функции sin г и cos г ограничены по модулю
числом 1,—поскольку их значения сами суть комплексные
числа. Более того, равенства 8.63 C), D), в которых z за-
заменено на iy, показывают, что функции cos (iy) и I sin (iy) (их
аргумент чисто мнимый, если у—вещественное число) нео-
неограниченно возрастают при у -*¦ ±оо.
8.67. Пусть гг и z2—произвольные комплексные числа.
Заменяя в разложениях 8.63 A) и B) z на гг и на za и
перемножая, находим
= cos ^ + z^ _j_ i sjn ^ _j_ z^ = eizt. eiz, =
= (cos zx + i sin гг) (cos z2 -\-1 sin z2) =
= (cos zx cos z2— sin z± sin z2) + i (cos zx sin z2 -f- sin zt cos za)
и аналогично
— / sin
—i sin гх) (cos^2—/ sin z2) =
= (cos zx cos г2 — sin z± sin г2)—/ (cos zx sin г2 -f- sin zr cos г2).
Складывая и вычитая полученные разложения, находим
cos (гг -f- гг) == cos ^! cos z2—sin zx sin z2, A)
sin (гг -f гг) = sin гх cos г2 -jr cos zx sin гг, B)
что дает нам распространение на комплексную область функ-
функциональных уравнений 5.61 B) и C).
8.68. В частности, если мы принимаем за определения
функций sin л: и cos л: ряды 8\62 A) и B), мы видим, что
294 гл. 8. высшие производные [8.71
при этом удовлетворяются функциональные уравнения 5.61
B) и C). Покажем, что при достаточно малых положительных х
выполняется и неравенство 5.61 D)
Из разложения 8.62 A) можно заключить, что
B)
где Е стремится к 1 при х —*¦ 0. Поэтому при достаточно
малых х мы имеем Е > ^- и скобка в B) меньше 1, откуда
н следует первое из неравенств A).
Далее, из разложения 8.62 B) следует представление
l-^E, C)
где Е —»- 1 при х —>- 0. Отсюда (с учетом 5.57 F))
cos л; V 6 / V /
)( f) (f) D)
здесь при достаточно малых х мы имеем ? > -^ и скобка
становится больше 1, что и доказывает наше утверждение.
Таким образом, функции, удовлетворяющие соотношениям
5.61 A)—D), могут быть определены рядами 8.62 A) и B).
Единственность решений этих уравнений была уже доказа-
доказана (8.54).
§ 8.7. Гиперболические функции
8.71. Определим функции комплексного переменного
l+||-f-g- + |l + ..., A)
, + ? + .jJ + ... B)
Указанные ряды сходятся при всех комплексных z. Первая
функция называется гиперболическим косинусом г, вторая —
8.73J
§ 8.7. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
295
гиперболическим синусом z. Они обозначаются cos hyp г и
sin hyp z или, короче, shz и chz.
8.72. Учитывая разложение 8.61 A)
и его же с заменой z на —z
_
е *_1_г +
2з
экспоненты ег и е~г мы можем выразить через полученные
функции chz и shz:
ez = ch z -\- sh z,
—shz.
Разрешая полученные уравнения относительно shz и chz,
находим:
-L(e* + e-*), A)
В частности, для действительных х
1
Графики этих функций даны на рис. 8.1. Рис. 8.1.
8.73. В комплексной области гиперболические функции
тесно связаны с тригонометрическими. Именно, заменяя
в 8.72 A) и B) z на iz, находим
cos z = у (е/г + е ~'г) = ch iz,
/ sin z — у (<?'г—е ~ &) = sh iz.
Снова заменяя iz на z, получаем
ch z = cos (—iz) = cos /г,
sh г = г sin (—/г) = —/ sin iz.
A)
B)
C)
D)
296 гл. 8. высшие производные [874
Таким образом, тригонометрические функции получаются из
гиперболических функций заменой аргумента z на iz (с точ-
точностью до множителя i у синуса). Геометрически умножение
аргумента на i означает поворот в плоскости на прямой
угол E.72).
Специально отметим формулы (хну вещественны)
sin (x -f- iy) = sin x • cos iy -f- cos x • sin iy =>
= sin x-zhy-\-i cosje-shj;, E)
cos (x + iy) = cos x • cos /y— sin a: • sin iy ~
= cosA:-chj; — i sin x-shy. F)
Эти формулы получаются из A) и B) и 8.67 A) и B).
8.74. Мы имеем, далее,
ch
sh
В
ch2z-
(гг -f- z2) = cos i
= ch2j
(Zt + zJ^—i
= —i
частности,
-sh22
(zt + .
Lch^2
sin i (z
[sin i2
L ch z2 -
ch!
sh
= cos2 (fe) 4~ sin
Z2) = COS /«! COS /
-(- sh zx sh z2;
\ + zJ =
t cos iz2 -f- cos i«i
-(- ch 2X sh г2.
22 = ch2 z -f- sh2;
22 = 2 sh z ch 2.
»(**)= i;
'г2—sin iz
sin t22] =
A)
г sin iz2 —
B)
C)
D)
E)
Далее, для вещественных х и у
sh (a: -f- iy) = sh x ch iy + ch jc sh ty =
= sh a: cos_y 4- i ch a- sin y, F)
ch (a: 4- iy) = ch a; ch ty 4- sh a- sh iy =
= ch a; cos^ 4-1 sh x siny. G)
8.75. Наконец, отметим формулы дифференцирования для
вещественных х:
(ch х)' = ~ (е* + е-*)' = \(е*-е-*) = shx,
задачи 297
Мы видим, что в некоторых отношениях гиперболические
функции устроены проще, чем тригонометрические. Название
«гиперболические функции» объясняется тем, что кривая на
плоскости (х, у) с параметрическим представлением
х = cht, y =
представляет собой гиперболу хг—у*=\. Для тригономе-
тригонометрических функций соответствующая кривая
х = cos t, y = sin t
есть окружность х^-\-уг=\, поэтому тригонометрические
функции иногда называют круговыми функциями.
ЗАДАЧИ
1. Показать, что функция е~1/х* имеет на отрезке [—а, а] произ-
производные всех порядков, но не представляется в форме ряда Тейлора
по степеням х.
2. Показать, что функция j/ = *3nsin— имеет при х—0 произ-
X
водные до n-го порядка включительно, a j/Cn+1)@) не существует.
3. Доказать, что если все корни многочлена Р(х) вещественны,
то и все корни многочленов Р'(х), Р"(х), .... Р'"-1'^) также веще-
вещественны.
4. Пусть f(x) ограничена и имеет непрерывные ограниченные
производные /'(х) и /"(*) на (— оо, оо). Пусть (/ = 0, 1, 2)
Mj= sup |/V(*I- Доказать, что
— 00 <Х< 00
5. Показать, что вторую производную f" (x) (если она существует)
можно получить предельным переходом из значений функции / (х)
в трех соседних точках, именно
= Urn .
ft-* о "
Написать аналогичную формулу для f(n)(x).
6. Если выпуклая вниз функция / (х) (гл. 7, задача 7) имеет при
х = х0 вторую производную, то /" (*о) S= 0.
7. Если всюду на [а, Ь] выполняется неравенство /" (х) > 0, то
кривая y — f(x) выпукла вниз на [а, Ь].
8. Доказать, что функция ba = sinz не имеет иных нулей в ком-
комплексной плоскости, кроме вещественных нулей 0, ± л, ± 2л, ...
9. Доказать, что функция w=sinz по модулю ограничена снизу
положительной постоянной на множестве точек всех окружностей
z|= (n+yjjt, n=0, 1,2, ...
298 гл. 8. высшие производные
10. (а) Оценить ошибку от замены функции ех в отрезке [0, 1]
ее многочленом Тейлора 10-й степени, (б) В каком отрезке [0, h]
многочлен Тейлора 10-и степени для функции е* отклоняется от нее
не больше чем на 10~7? (в) Какой степени многочлен Тейлора для
функции ех отклоняется от нее в отрезке [0, 1] не больше чем на
10-'?
11. В промежутке (а, Ь), содержащем точку х0, функция f(x)
обладает производными до порядка п, а в самой точке х0—производной
порядка п + 1. Известно, что /' (х0) = ...=/<">(х0) = 0, /|п+1)(*о)^0.
Описать расположение кривой y—f(x) относительно ее касательной
в точке хе в следующих предположениях:
(а) Р+1>(*о) >0. п четно;
(б) Р+1)(*о) > 0, и нечетно;
(в) /(п+1)(*о) <0, п четно;
(Г) fin + U(xB) < 0, п нечетно.
12. Если функция f{x) в окрестности точки а допускает пред-
представление
f(a+h)^f(a)+Ah+o(h),
то /' (а) существует и равна А G.21). Предположим, что функция / (*)
в окрестности точки а допускает представление
Верно ли, что существует /"(а)?
13. Доказать неравенство
п
14. Используя тот факт, что л! ^ti есть целое число, дока-
ft=o
зать, что е иррационально.
15. Результат задачи 12 гл. 6 становится неверным без
предположения о том, что все <s>k одного знака. Показать, что
при со/, = (— if—pr= произведение JJ(l+toft) расходится, хотя
* k k=i
ряд 2 (oft сходится. При toft=e yft_l обратная картина.
k
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 299
16. Показать, что при —2я < х < 2я, п = 1,2,.... *5*0 вы-
выполняются неравенства
<C0S*
^ 2! ^ 4! '"' T Dn)! '
17. Пользуясь неравенствами задачи 16 при я=1, получить для
числа я оценки
3,11 <я<3,18.
Историческая справка
Высшие производные появились вместе со всем аппаратом диф-
дифференциального исчисления и систематически применялись Ньютоном
и Лейбницем в конце XVII века к задачам геометрии, механики
и физики. В приложениях к задачам механики существенное зна-т
чение имело истолкование ускорения при движении как второй про-
производной от пути по времени; основной закон механики (второй за-
закон Ньютона) связывает силу, действующую на какое-либо тело, с
ускорением, вызванным ею, и массой этого тела.
Ряды для элементарных функций были еще раньше исследованы
Ньютоном и Дж. Грегори A660-е годы). На комплексную область эти
ряды были в следующем столетии распространены Эйлером. Работа
Тейлора, в которой появился «ряд Тейлора»,¦ относится к 1715 г.;
впрочем, эквивалентные построения ранее встречались и у Ньютона,
и у Лейбница. В течение всего XVIII века математики—явно или
неявно—считали, что «всякая функция» представляется своим рядом
Тейлора; лишь Коши впервые A823) устанавливает точные условия
сходимости ряда Тейлора к данной функции и проводит отчетливое
различие между сходимостью этого ряда вообще и сходимостью к
данной функции.
ГЛАВА 9
ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Площадь кривой есть непрестанно рождающееся ко-
количество, увеличивающееся непрерывной флюксией, про-
пропорциональной ординате кривой.
Исаак Ньютон, Математические начала
натуральной философии A687)
§9.1. Определение интеграла и теоремы
существования
Интеграл—наряду с производной—важнейшее понятие
классического математического анализа.
9.11. Разбиение с отмеченными точками.
Если на отрезке е<1л:^? указана система точек
х0, xlt ...,х„ такая, что
с—*o<*i<- • •<*» = *»
то мы говорим, что нам задано разбиение отрезка [а, Ь] на
промежутки [xk, xk+i\; сами точки д;0, хъ ..., х„ называются
точками деления отрезка [а, Ь]. Если, кроме того, в каждом
промежутке [xk, xk+l] выбрана точка ?ft,
то мы говорим, что нам задано разбиение с отмеченными
точками 10, |lf ..., !„_!• Разбиение обозначается буквой П,
или, подробнее,
= »]• A)
Разность xk+l — xk обозначим через Axk. Число й(П) =
= max Axk называется параметром разбиения П.
9.12. Интегральная сумма. Рассмотрим на от-
отрезке [а, Ь] (конечную) функцию у=/(х). По данному
9-13] § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 301
разбиению A) можно построить «интегральную сумму»—число
(Л21
9.13. Интеграл. Число / называется интегралом
(Римана) от функции f(x) no отрезку [а, Ь], если для любого
е > 0 найдется такое б > 0, что при любом разбиении П
I6 имеет место неравенство
e. A)
Это определение можно рассматривать в свете общего
определения предела, данного в 4.12. А именно, мы рас-
рассматриваем множество Е, элементами которого являются раз-
разбиения П с отмеченными точками. Для заданного р > 0
обозначим через Ер подмножество в Е, состоящее из всех
разбиений П, для которых d (П) < р. Очевидно, любые два
множества EPl и ЕРг вложены одно в другое, и пересечение
всех Е9 пусто. Поэтому множества Е определяют направле-
направление 5 на множестве Е, которое можно использовать для
построения предела функций, заданных на Е. Именно, опре-
определение 4.12 в применении к данному случаю формули-
формулируется так:
Число I есть предел функции S (П), заданной на множе-
множестве разбиений П с отмеченными точками, по направлению S,
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что из
d (П)< б следует неравенство
|/-5(П)|<8. B)
Предел по указанному направлению 5 на множестве всех
разбиений с отмеченными точками мы будем также называть
пределом при неограниченном измельчении разбиения.
Мы видим теперь, что если функция S (И) построена по
функции /(х), как указано в 9.12, то существование пре-
предела S (П) по направлению S, т. е. при неограниченном
измельчении разбиения П, равносильно существованию инте-
интеграла от функции f(x). Интеграл обозначается также сим-
символом
$/(*)«**, C)
302 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА {9.14
напоминающим исходную интегральную сумму. Однако в то
время как символ интегральной суммы содержит указание
на действия, приводящие к ее вычислению, символ интеграла
пока что «неразъемен», так что в нем не имеется в виду
умножать f(x) на dx и затем «интегрировать». Целесооб-
Целесообразность принятого обозначения интеграла (а, например,
ь
не \f (х)) будет ясна из дальнейшего*). С другой стороны,
а
ясно, что для величины интеграла не играет роли обозначе-
обозначение независимого переменного, так что, например,
ь к ь
$ f(x)dx = $/(?) dl = \f(t)dt=...
a a a
Числа а и b называются границами, или предалами инте-
интеграла C); а есть его нижний, Ь есть его верхний предел.
Для данной функции f(x) ее интеграл вовсе не обязан
всегда существовать. Далее мы докажем (9.14 и 9.16), что
всякая непрерывная функция и некоторые простые разрывные
функции обладают интегралом; напротив, сильно разрывные
функции (как, например, функция Дирихле (9.17)) не имеют
интеграла. Функция f(x), определенная на [а, Ь] и обладаю-
обладающая интегралом, называется интегрируемой на [а, Ь\.
9.14. Здесь мы докажем существование интеграла для
непрерывной функции у—/(х) на отрезке [а, Ь].
а. Обозначим через 0)^F) колебание функции f(x) на
отрезке [а, Ь\. <а.(Ь)= sup \f(x')—f(x")\. Напомним
E.17 в), что для непрерывной функции f(x) на отрезке [а, Ь]
всегда Шп оь(8) = 0.
6-> о
б. Разбиение П' = [й = лг|,<^С*i<Si<- ¦ -<*р = 6]
мы назовем последующим по отношению к разбиению П =
=[а = д:0^ ^0^ дг!^.. .^л;п = ^], если каждая из точек
х0, ..., х„ входит в число точек х'о, ..., х'р (так что набор
*) «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx—это
ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвиже-
продвижению вперед, так как тем самым лишают неделимые, как здесь dx, их
общности, ... из которой проистекают бесчисленные трансфигурации
и эквипотентности фигур» (Лейбниц, 1686).
9.141 § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 303
х'о, ..., х'р получается добавлением к набору х0, ..., хп
некоторых новых точек деления); при этом на отмеченные
точки ?ft, |'ft не налагается никаких новых условий. Теперь
установим две простые леммы.
в. Лемма. Если разбиение П удовлетворяет условию
d (П) ^ б, то для всякого последующего разбиения П'
\Swifl—Su (/)|<«/ F) (Ъ—а). A)
Доказательство. При переходе от разбиения П
к разбиению П' каждый отрезок [xk, xk+l] заполняется но-
новыми точками деления и новыми отмеченными точками; не-
несколько изменяя обозначения, их можно записать так:
Часть интегральной суммы Sn; приходящаяся на отрезок
mifc-i
[**. **+J. имеет вид ? f(l*j)Axkj №xkj = *k,j+i—xkj)-
J — 0
Слагаемое f(%k) Адгл интегральной суммы Sn мы можем
mic-i
также записать в виде суммы Д! /A*)А**у
/=о
Мы имеем
mj;-l mit-i mt-l
2 f&kj)***/- .2 /A»)Д**/= 2 [/(!*/)
/ = 0 1 = 0 /=0
и поскольку d (П) < 6,
/=e
Суммируя по индексу k, получаем
12 ?/(^ A*fcy-?/(!*) A* J < и, F) (ft-a),
и лемма доказана.
г. Л е м м а. Для двух (произвольных) разбиений IIj и Па
с d^Xfi, <*(П2)<6
2со/(в)(*-в). B)
304 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.15
Для доказательства построим новое разбиение П3, исполь-
используя все точки деления разбиений Пл и П3 в качестве точек
деления, а отмеченные точки взяв произвольно. Разбие-
Разбиение П3 является последующим по отношению и к разбие-
разбиению Пг, и к разбиению П2. По лемме в
>/(б) (Ь-а),
откуда и вытекает B).
. д. Теперь мы можем доказать основную теорему.
Теорема. Всякая непрерывная функция f(x), опреде-
определенная на отрезке [а, Ь], интегрируема на [а, Ь].
Доказательство. Имея в виду критерий Коши суще-
существования предела по направлению D.19), достаточно пока-
показать, что для любого е > 0 существует такое б > 0, что
из ^(П^^б, d(II2)^8 следует
|Sn,(/)—V(ЯК е.
Так как.функция f(x) непрерывна на [a, ft], то для задан-
ного е>0 можно найти гакое 8 > 0, что Ц>/ F) ^ olh_ •
Но тогда по лемме г для любых двух разбиений П1 и П2
с d (П) ^ б выполняется неравенство
Таким образом, критерий Коши удовлетворен, и теорема о
существовании интеграла для непрерывной функции доказана.
9.15. Мы будем иметь дело и с интегралами от более
широкого класса функций. Здесь мы приведем некоторые
общие свойства интеграла в предположении только его суще-
существования, не опираясь на какие-либо специальные свойства
функций, к которым он применен.
а. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] и
k — постоянная, то функция kf(x) также интегрируема на
[а, Ь] и
Ъ Ь
$*/(*)«** = *$/(*)<**, A)
а а
т. е. постоянную можно выносить за знак интеграла.
9.15] § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 305
В самом деле, для любого разбиения П
Sn (kf) = S kf Hj) Axj = k S /(lj) Ax,= kSn (/);
/=0 /=0
правая часть имеет предел при неограниченном измельчении
ь
разбиения П, равный k\jf(x)dx; отсюда следует, что и
а
левая часть имеет этот же предел, что и дает равенство A).
б. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке
[а, Ь], то и функция f(x)-{-g(x) интегрируема на [а, Ь] и
ь ь ь
g(x)dx, B)
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Действительно, для любого разбиения П
nif+g) = S [/(У +g(lk)] Axk =
k
= S /(Б*) A*fc + S g(lk) Axk = Sn (/) + Sn (g);
k=o ft=o
переходя к пределу при неограниченном измельчении раз-
разбиения П, получаем существование интеграла от функции
/(*)+ g{x) и равенство B).
в. Всякая интегрируемая функция f(x) ограничена.
Пусть функция f(x) не ограничена на [а, Ь]. Рассмот-
Рассмотрим произвольное разбиение П= {а = дг0^Xj^ ... ^
^ *„_1 ^ хп = Ь}. Хотя бы в одном из промежутков [дгу-, */+J
функция f(x) также не является ограниченной. Тогда, фик-
фиксируя отмеченные точки в остальных промежутках и меняя
|у в том промежутке, где f(x) не ограничена, мы можем по-
получать сколь угодно большие (по модулю) значения инте-
интегральной суммы. Поэтому суммы 9.12 не могут иметь предела.
г. Интегрирование неравенств. Если интегри-
интегрируемые на [а, Ь] функции f(x) и g(x) удовлетворяют
неравенству
f(x)<g(x).
306 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.15
ТО U
ь ь
\\ C)
Действительно, интегральные суммы Su (/) и Su (g) для
одного и того же разбиения П с одними и теми же отмечен-
отмеченными точками \j удовлетворяют неравенству
Sn{f)= ?/ у §yy
откуда C) получается переходом к пределу при d(П) —* 0.
д. В частности, если интегрируемая функция f(x) на от-
отрезке [а, Ь] ограничена сверху, скажем, числом М, то
ь ь
\f{x)dx<:\Mdx = M{b—a). D)
а а
е. Аналогично если интегрируемая функция f(x) на от-
отрезке [а, Ь] ограничена снизу числом т, то
x. E)
ж. В частности, если функция f(x) неотрицательна,
можно взять m — 0, и, следовательно, ее интеграл также
неотрицателен. Если функция f(x) неположительна, то
в D) можно положить уИ = О, и мы получаем, что и ее
интеграл неположителен.
з. Для функции f(x), ограниченной с обеих сторон,
»</(*)< А*,
получается двусторонняя оценка интеграла
ь
m(b—a)^^f(x)dx^M(b—a). F)
а
Величина
9.15]
§ 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
307
называется (интегральным) средним функции f(x). Из F)
вытекает следующее неравенство для среднего («теорема о
среднем»):
ь
G)
Если функция f(x) непрерывна на [а, Ь], то, взяв в ка-
качестве чисел m и М ее нижнюю и верхнюю точные грани
и воспользовавшись теоремой Больцано 5.22, мы заключаем,
что имеется точка | 6 [а, Ь] такая, что
ь
Число /(?) называется средней ординатой функции f(x) на
отрезке [а, Ь\.
и. Если интегрируемы функции/(х) и |/(х)|*), то,
интегрируя неравенство
находим
откуда
их < J \/{х) | <**,
\f(x)dx
к. ?сугы функция f(x) интегрируема на отрезке [а, с] и
на отрезке [с, Ь], то она интегрируема и на отрезке [а, Ь] и
ь с ь
\f{x)dx=\f{x)dx+\f{x)dx. (8).
а а с
Возьмем для доказательства любое разбиение П отрезка
[а, Ь\.
П = [а = дт0 < хх < ... < хт < с < хт+х < ... < хп = ft].
*) Из интегрируемости функции / (х) на самом деле следует ин-
интегрируемость функции | / (х) | (см. задачу 7).
308 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [в. 15
Соответствующая интегральная сумма с отмеченными точка-
точками |ft (k = 0,1, • • •, п— 1) преобразуется следующим образом:
л—1 т—\
2/№*fc 2
k=0 k=0
m-1
= S
fc = 0
+ 2
= 5щ (/)+ ^n. (/) + [/№«)-/И Axa, (9)
где Пх и П2—некоторые разбиения отрезков [а, с] и [с, Ь].
При неограниченном измельчении разбиения П разбиения
Иг и П2 также неограниченно измельчаются, а последнее
слагаемое в (9) стремится к нулю (так как интегрируемая
функция f(x) по в ограничена, а длина промежутка Ахт
стремится к нулю). Поэтому правая часть в (9) имеет пре-
предел, равный
с Ь
ь
Левая часть в (9), со своей стороны, имеет предел
]f(x)dx, откуда и следует (8).
а
л. Обратно, если функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, Ь], то она интегрируема на отрезках [а, с] и [с, Ь],
где а < с < 6. Мы ограничимся доказательством для отрезка
[а, с]; доказательство для отрезка [с, Ь] проводится ана-
аналогично. Любое разбиение отрезка [а, с]
П= [а = л
можно дополнить до разбиения П отрезка [а, Ь]:
Для второго разбиения
9.161 § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 309
возьмем то же самое дополнение:
Так как f(x) интегрируема на [а, Ь], то для заданного
е > 0 существует б > 0 такое, что из d (П) < 6, d (IT) < б
следует неравенство
!
Но в данном случае, очевидно,
Sn (/)-%' (/) = 5п (f)Sn' (/),
поэтому для всех разбиений П и П' с d (П)< б, d (П') < б
Таким образом, для интегральных сумм функции /(л) на
отрезке [а, с] выполнен критерий Коши для направления
d(H)—* 0. Отсюда следует интегрируемость функции/(дг)
на отрезке [а, с].
м. Несколько раз применяя предложение л и используя к,
приходим к следующему результату:
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [а, Ь] и
а= ?„<<:! < ... < сп = Ь, то f(x) интегрируема на каждом
из отрезков [ck_1, ck\ и
Ь с, с„
lf(x)dx=lf(x)dx+...+ J f{x)dx.
а с, с„_,
н. Наконец, отметим одну полезную оценку отклонения
интеграла от интегральной суммы.
Если функция f (дг) интегрируема на \а, Ь] и d (П) ^ 6,
го
ь
f(x)dx-Sn(f)
a
—а).
Это неравенство получается из неравенства 9.14 A) пре-
предельным переходом при d(H')—*0.
9.16. Теперь мы покажем, что интеграл существует и
для некоторых разрывных функций. Правда, класс разрывных
функций, которые мы здесь рассмотрим, еще невелик, но он
уже вполне достаточен для всех ближайших приложений.
310 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [8.1в
а. Пусть функция h {х) равна 0 при а < х < b и имеет
произвольные значения к (а) и h(b). Покажем, что h(x) ин-
интегрируема иа [а, Ь] и
ь
lh(x)dx = 0. A)
а
Действительно, интегральная сумма для функции h(x)
по любому разбиению П приводится к виду
где ЛA0) есть 0 или h(a) и h(!„_!> есть 0 или Л (ft).
Когда й(П)—>-0, это выражение, очевидно, стремится к 0,
что и требуется.
б. Пусть функция / (х) непрерывна при c^x^ft. Пусть
fi(x) совпадает с f(x) при а < х < b и имеет произвольные
значения /г («) и fx (b). Тогда функция /г (х) интегрируема
на [а, Ь] и
ь ь
dx. B)
Действительно, функция Л(дг)==/1(лг)—f(x) удовлетво-
удовлетворяет условиям а; поэтому она интегрируема и выполняется
равенство A). Тогда в силу 9.15 6 интегрируема и функция
fi(x)=f(x) + h(x), причем в силу 9.156 и A) имеет место
B), что и требуется.
в. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на
отрезке [а, Ь], если существует такое разбиение
с = д;о<д:1< ... < хп = Ь,
что f(x) непрерывна в каждом интервале хк < х < xk+1 и
имеет конечные пределы /(хо + О), /(хг—0), /(л*г + 0),
/(*2 — 0), ... , f(xn—0) (значения же в самих точках xk
может иметь какие угодно). Покажем, что каждая кусочно-
непрерывная функция f(x) на отрезке [а, Ь] интегрируема на
этом отрезке.
Обозначим через /к(х) функцию, определенную на от-
отрезке xk^.x^.xk+1, совпадающую внутри этого отрезка
с функцией f(x) и принимающую на концах отрезка соот-
соответствующие предельные значения f(xk-{-0) и f(xk+1—0).
9.16] § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 311
Функция fk{x) непрерывна на [хк, хк+1]; в силу б функция
/(х) интегрируема на [хк, хк+1] и
J f(x)dx= j fk(x)dx.
Применяя 9.15 к, получаем, что функция /(х) интегрируема
на всем отрезке [а, Ь], что и требовалось.
По 9.15 м мы имеем также
Ь л-1 xk+t „_, xk+t
$/(*)<**= 2 $ f(x)dx=Z J /»(*)<**.
с fe=° % k=0 xk
так что вычисление интеграла от кусочно-непрерывной
функции приводится к вычислению интегралов от непрерыв-
непрерывных функций.
г. В частности, интегрируема всякая кусочно-постоянная
функция
Ао — const при а = х0 < х < хъ
hx — const при хг < х < х2,
А„_1 = const при xn_1<x<xn=fr,
и ее интеграл равен
„_1 a;;j+, „_,
Между прочим, отсюда следует, что интегральная сумма
^п(/) E-^2) Для всякой функции /(.v) есть интеграл от
некоторой кусочно-постоянной функции Лд (х) — именно, при-
принимающей в промежутке хк < х < xft+1 постоянное значе-
значение hk=f(lk).
д. Теорема. Пусть g{x)^0 — кусочно-непрерывная
функция и
ь
5x = 0. C)
312 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.17
Тогда g(x) может быть отличной от нуля лишь в конечном
множестве точек.
Доказательство. Пусть сначала g(x) непрерывна;
покажем, что в этом случае из C) следует g(x) = 0. Дей-
Действительно, если g(x) ф. 0, то существует точка с, а ^ с^.Ь,
где g(x) > 0, и в силу непрерывности функции g(x) имеется
целый промежуток а^дг^Р, где g(x)"^go~> 0. Мы имеем
ь р
J
\ J
а хЩа, Р)
Р
>$*(*)*е>(р-а) *•„>(>,
что противоречит C). Таким образом, C) влечет ?"(.*:) = 0.
Пусть теперь g(x) — кусочно-непрерывная функция и
со = с < сг < ... < ср = Ь — ее точки разрыва. Тогда по в
Ь p_lcK + i
lg(x)dx= S J g(x)dx = 0,
а *=° ск
и так как каждое слагаемое неотрицательно, то
Функция g(x) непрерывна внутри промежутка (cft, ck+1),
поэтому во всех внутренних точках этого промежутка
g(x) = 0. Возможными точками, где g(x) > 0, могут быть
только точки с0, ..., ср, которых конечное число. Теорема
доказана.
9.17. Мы установили интегрируемость кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывных функций; такие функции имеют лишь конечное число
точек разрыва*). Как обстоит дело с интегрируемостью
функций, имеющих бесконечное число точек разрыва? Рас-
Рассмотрим функцию Дирихле %(х), равную 0 в каждой ирра-
иррациональной и 1 в каждой рациональной точке отрезка
*) Можно доказать, что всякая ограниченная функция с конеч-
конечным числом точек разрыва интегрируема. См. задачу 9,
9-18] § 9.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА 313
[О, 1]. Для любого разбиения П, если точки gft взять
рациональными, мы получим интегральную сумму 2 %(Z,k)&xk>
равную 1; если же точки |й (для того же разбиения П)
взять иррациональными, интегральная сумма ^%(?,k) &xk
будет равна 0. Значит, для функции Дирихле не существует
предела интегральных сумм при неограниченном измельчении
промежутка [0, 1], и, следовательно, она неинтегрируема.
Таким образом, граница между интегрируемыми и неин-
тегрируемыми функциями проходит где-то в области функ-
функций с бесконечным множеством точек разрыва. Существует
теорема, согласно которой функция f(x) интегрируема по
Риману тогда и только тогда, когда множество всех ее
точек разрыва при любом е > 0 может быть покрыто конеч-
конечной или счетной совокупностью промежутков с суммой длин
< е (задача 9). Но при необходимости интегрировать раз-
разрывные функции более целесообразно применять другую,
более общую, чем римановская, схему интеграла — интеграл
Лебега*).
9.18. Определенный интеграл в пределах
от Ь до а, где а^.Ь. Пусть f(x) интегрируема на
а ^ х <I b. По определению полагаем
а Ь
]f(x)dx=-\f(x)dx. A)
Ь а
Теперь уже для любых а, Р, Y € [о, Ь] оказывается спра-
справедливой формула
Р у
\ \dx B)
при любом взаимном расположении точек а, р, у на отрез-
отрезке [а, Ь]. Действительно, для а < Р < у эта формула была
доказана в 9.15 к. Возьмем какое-либо иное расположение
точек а, р, у, например у < р < а. Тогда по доказанному
Р
Р
*) См., например, Г. Е. Шилов и Б. Л. Гуревич, Ин-
Интеграл, мера и производная. Общая часть, М., 1967, гл. II.
314 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.21
Теперь, используя A), получаем
V V
Р V
j
Р
что и требуется; при любом другом расположении а, Р, у
рассуждение аналогичное.
Отметим, далее, равенство, немедленно следующее из A):
а ь ь
f(x)dx. C)
Используя для правой части C) оценку 9.15 G), получаем
inf/(x) = m <-^ J
ь
так что в оценке среднего безразлично, имеет ли место
неравенство а < Ъ или противоположное неравенство b < a.
§ 9.2. Зачем нужен интеграл?
Мы продемонстрируем здесь применение понятия интег-
интеграла в математическом анализе на двух геометрических
примерах (9.21 и 9.28), откладывая подробное изложение до
§9.6.
9.21. Площадь криволинейной трапеции.
Из элементарной геометрии известно понятие площади для
простых геометрических фигур, например, ограниченных от-
отрезками прямых. А что такое «площадь» фигуры, ограни-
ограниченной какими-нибудь иными линиями? Элементарная геометрия
не дает определения площади такой фигуры*).
*) Площадь круга в элементарной геометрии вычисляется на
самом деле не элементарными средствами (с привлечением пределов)
и поэтому не идет в счет.
9.21]
§ 9.2. ЗАЧЕМ НУЖЕН ИНТЕГРАЛ?
315
ф
Естественно исходить нз следующей аксиоматической пред-
предпосылки: площадь фигуры Ф есть число, которое не больше,
чем площадь S любой объемлющей элементарной фигуры
(например, составленной из многоугольников), и не меньше,
чем площадь s любой объемлемой
элементарной фигуры (рис. 9.1).
Поскольку (согласно теоремам
элементарной геометрии) всегда
s^S, мы имеем A.62 6)
su p s <: inf S,
где верхняя грань в левой части бе-
берется по всем элементарным фигурам, Рис. 9.1.
объемлемым фигурой Ф, а нижняя
грань в правой части — повеем элементарным фигурам, объем-
объемлющим фигуру Ф. Если sup s = inf 5, то для площади фигуры Ф
единственно возможным значением становится общая вели-
величина sups и inf 5. Применим это общее соображение к слу-
случаю криволинейной трапеции — фигуры Ф, ограниченной
снизу отрезком [а, Ь] оси х, сверху — графиком непрерывной
функции y=f(x)~^0, с боков — ординатами этого графика
при х = а и х = Ь. Рассмотрим разбиение П = \а = х0 <;
^go^*^ -¦• *^xn~b], причем точку gft€ [xk, xk+1]
выберем так, чтобы функция f(x) в этой точке достигала
максимального (на [xk, xk+1\) значения, которое мы обо-
обозначим через Mk. Соответствую-
Соответствующую интегральную сумму
можно истолковать как площадь
элементарной фигуры, образован-
образованной «выступающими прямоуголь-
прямоугольниками» и содержащей фигуру ф
(рис. 9.2). Если же выбрать точку
?*€ [**i xk+i] так> чтобыфункция/(л:) в этой точке достигала
минимального (на [xk, xk+1]) значения, которое мы обозна-
обозначим через тк, то соответствующую интегральную сумму
316
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.22
можно истолковать как площадь элементарной фигуры, об-
образованной «вложенными прямоугольниками» и содержащейся
в фигуре Ф (рис. 9.3). Поэтому всякое число S, которое могло
бы претендовать на звание «площади фигуры Ф», в соот-
соответствии с нашей посылкой долж-
должно удовлетворять неравенству
Рис. 9.3.
Но, с другой стороны, если у
функции f(x) есть интеграл (а
для непрерывной функции мы это
доказали в 9.14), то при неогра-
неограниченном измельчении разбиения
П суммы Sn (/) и 5П (/) имеют
общий предел /; таким образом, мы приходим к единствен-
единственно возможному определению площади фигуры Ф:
9.22. Для завершения построения следовало бы убедиться в том,
что приведенное определение площади криволинейной трапеции удов-
удовлетворяет выдвинутой выше аксиоматической предпосылке в приме-
применении ко всем элементарным фигурам, а не только к тем специальным,
которые участвовали в определении. Этот факт действительно верен,
но доказательство его кропотливо, и к тому же все рассуждение
является лишь частным случаем общих построений теории измерения
площадей и объемов. Поскольку указанный факт нам в этой книге
не понадобится, мы предпочитаем дать читателю общий очерк теории
измерения, отсылая за деталями к литературе *).
9.23. Мы начнем с описания определения интеграла Римана на
метрическом компакте. Пусть К—компакт C.91). Некоторые подмно-
подмножества компакта К будем называть ячейками; при этом предполага-
предполагается выполнение следующих свойств:
1) сам компакт К и пустое множество суть ячейки;
2) пересечение двух ячеек есть ячейка;
3) для любого б > 0 существует разбиение компакта К на ко-
конечное число взаимно не пересекающихся ячеек, диаметры которых-
C.12а) не превосходят б.
*) См., например, А. Я. Хинчин, Краткий курс математи-
математического анализа, М., 1953, гл. 27; Г. Е. Шилов, Математический
анализ, III.17—111.24, изд. МГУ, 1967, стр. 5 и далее.
9.24] § 9.2. зачем нужен интеграл? 317
Предположим, далее, что каждой ячейке Q поставлено в соответ-
соответствие неотрицательное число tnQ, называемое мерой ячейки Q, и при
этом всякий раз, когда ячейка Q есть объединение непересекающих-
непересекающихся ячеек Qlf ... , Qn, выполнено условие аддитивности
mQ=mQ1+...+mQn. A)
В дальнейшем компакт с системой ячеек и мерой будем называть
нагруженным компактом. На нагруженном компакте можно устано-
установить схему интегрирования по аналогии со схемой интеграла Римана
на отрезке, описанной в § 9.1.
Пусть дана функция f,(x), определенная на нагруженном ком-
компакте К. Рассмотрим разбиение П компакта К на конечное число
непересекающихся ячеек Qlt ... , Qp. Обозначим через d (П) макси-
максимальный из диаметров ячеек Qlt ... , Qp. Выберем в каждой ячей-
ячейке Qj произвольную точку |у и составим интегральную сумму
/ B)
7 = 1
Число II называется интегралом Римана от функции I (х) по
нагруженному компакту Kt если для любого е > 0 найдется такое
б > 0, что при любом разбиении П с d (П) < б имеет место нера-
неравенство
Иными словами, интеграл Римана от функции /j (х) есть предел
интегральных сумм B) при неограниченном измельчении разбиения П.
Это определение укладывается в общую схему предела по направле-
направлению, как и в случае отрезка (9.13). Можно доказать—так же, как
в 9.14 для отрезка,—что всякая непрерывная функция ft(x) интегри-
интегрируема на нагруженном компакте К.
9.24. Примеры.
а. Пусть К—отрезок [а, 6] с его обычной метрикой. Ячейками
будем называть всевозможные промежутки а<х<Р, а<х<Р,
а«?х<Р, а<х<Р, где а < Р; длину соответствующего промежутка
будем считать мерой ячейки. В этом случае мы приходим к обычному
интегралу Римана на отрезке (9.13).
б. Пусть К есть брус в n-мерном пространстве, выделяемый
неравенствами
с обычной метрикой евклидова пространства C.14). Ячейками будем
называть подбрусы Q бруса К, выделяемые неравенствами ос1<х1<
<:Pl ..., ап<х„<р„, а также неравенствами, получающимися
из написанных здесь заменой некоторых знаков < на <. Мерой
п
бруса Q будем называть его объем, т. е. число JJ(Pft—сс^). Легко
318 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМ AHA [9.25
проверить, что все требования, наложенные на систему ичеек и их
меру, здесь выполнены. Получающийся интеграл называется в данном
случае интегралом Римана по п-мерному брусу /(.
9.25. Будем говорить, что множество Z в нагруженном компакте К
имеет (жорданову) меру О, если при любом е > 0 оно может быть
S
покрыто конечным числом ячеек Qx, ..., Qs с 2 mQ/ < е> причем каж-
S
дая точка x?Z есть внутренняя точка C.21) множества U Qj- Имеет
место теорема (обобщающая теорему об интегрируемости кусочно-
непрерывной функции 9.16): каждая ограниченная функция f, (x) на
нагруженном компакте К, непрерывная вне некоторого множества
меры 0, интегрируема.
9.26. Каждому множеству ЕС К сопоставим характеристическую
функцию %е (*)• равную 1 на Б и 0 вие Е. Будем говорить, что
множество Е имеет объем {меру), если функция 1(х) интегрируема,
и в этом случае число mE = IyiE назовем объемом (мерой Жордана)
множества Е. Для каждого множества меры 0 его объем равен 0.
Из основных свойств интеграла вытекает, что из Е% с Е2 следует
тЕг^тЕъ (если эти объемы существуют), и если имеется разло-
разложение множества Е, имеющего объем, в конечное объединение мно-
множеств ?х> • • • » Es, также имеющих объемы и не пересекающихся,
то m? = mE1-f-. • ¦ -\-mEs (аддитивность объема).
Какие же множества Е с К имеют объем? Можно судить о на-
наличии объема у множества Е по свойствам его границы. Границей
множества Е называется множество точек х?К, предельных одно-
одновременно для Е и для его дополнения (т. е. точек, в любую окрест-
окрестность которых входят как точки Е, так и точки К—Е). Имеет место
следующая теорема: множество Е С К имеет объем тогда и только
тогда, когда мера его границы равна 0. Такие множества в даль-
дальнейшем будем называть жордановыми множествами. В частности,
для каждой жордановой ячейки ее объем есть ее исходная мера.
Для жордановых множеств свойство аддитивности объема можно
усилить следующим образом: если жорданоео множество Е есть ко-
конечное объединение жордановых множеств ?1( ... , Es, не имеющих
попарно общих внутренних точек, то mE = mEl-\-...-\-mEs-
9.27. В и-мерном брусе (9.246) можно указать простой и вместе
с тем достаточно богатый класс жордановых множеств. А именно,
жордановым является всякое ограниченное множество, граница ко-
которого есть объединение конечного числа поверхностей с уравнения-
уравнениями вида
... xn),
9-27] § 9.2. зачем нужен интеграл? 319
где фу—непрерывная функция (от точки (хх *у-ь */+ь ¦ • • • *«)>
пробегающей некоторую область в (и—1)-мерном пространстве).
В частности, всякий многогранник (множество, ограниченное конечным
числом плоскостей) является жордановым множеством.
Как мы говорили в 3.16 в, множества G и F в n-мерном евкли-
евклидовом пространстве Rn называются геометрически равными, если су-
существует изометрическое преобразование пространства Rn в себя, при
котором множество F переходит в множество G. Доказывается,. что
геометрически равные окордановы множества имеют и равные объемы.
Это имеет место, в частности, если G получается из F сдвигом C.16 6),
отражением относительно какой-либо плоскости C.16 а), поворотом
E.75). Далее, если жорданово множество G получается из жорданова
множества F растяжением вдоль некоторого направления в X раз B.67),
то mG = %mF. Если жорданово множество G получается из жорда-
жорданова множества F растяжением в >ч раз по оси хх, в Я2 раз по оси
х2 в кп раз по оси хп, то mG = Xi ... kn-mF. Наконец, если G
получается из F растяжением по всем направлениям в одно и то же
число раз, положим в К раз, т. е. G подобно F с коэффициентом
подобия К, то mG = X"mF.
На плоскости (п = 2) фигура, описанная в 9:21,—криволинейная
трапеция, ограниченная линиями х = а, х=6, y = f(x)^O,—является
жордановым множеством, если функция / (х) непрерывна, и по общей
теореме 9.26 имеет объем (который при п = 2 следует, конечно, на-
называть площадью). В силу указанных в 9.26 свойств объема он за-'
ключен между объемами элемен-
элементарных фигур, описанных в 9.21,
и, следовательно, равен приведен-
приведенному там выражению—интегралу
Рнмана от функции / (х) по отрез-
отрезку [а, 6].
В соответствии со сказанным
выше площадь фигуры, составлен-
составленной из конечного числа криволиней-
криволинейных трапеций (или геометрически
равных таким трапециям) (рис. 9.4),
также можно записать через рима-
ноиские интегралы.
Таким образом, теория измере- _ .
ния площадей на плоскости в зна- Сложная а>игура,РпСсешипЯНа4
чительной мере приводится к вычис- фиошшж трапВЦШ.
лению интегралов Римаиа. Следует рис_ д.4.
все же заметить, что эта теория не
на все естественные вопросы спо-
способна дать ответы; в частности, в ней только для конечного объеди-
объединения множеств, имеющих объемы, гарантируется существование объ-
объема. Более общая теория—лебеговская, допускающая и счетные
объединения,—более сложна*).
*) См., например, Г. Е. Шилов и Б. Л. Гуревич, Интеграл,
мера и производная, 2-е изд., «Наука», М., 1967.
320
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.28
9.28. Длина дуги кривой.В элементарной геометрии
известно понятие длины отрезка и длины ломаной, состав-
составленной из отрезков. Длина дуги окружности определяется
как предел длин вписанных и описанных ломаных. Не оста-
останавливаясь на уточнении этого
определения (необходимом по
причине недостаточной четко-
четкости школьного определения
предела), мы попробуем сразу
сформулировать аналогичное
определение для дуги произ-
произвольной кривой L, заданной на
отрезке [а, Ь] с помощью
функции у==/ (х). Рассмотрим
разбиение П= [а = л:0^|0^л:1^^1^л;2^ ... ^^„_i^
^a^n-l^a^n^^] С Не Фиксированными ПОКЭ ТОЧКЭМИ ?0, . . .
• • ¦ > ?n-i и построим ломаную Ьц с вершинами в точках
(*о> Jo). • • • . (*«. Уп), где ук=/(хк). Эта ломаная вписана
в кривую L (рис. 9.5). Длина s {Lu) ломаной Lu может быть
найдена по формуле (Axk = xk+1 — xk, кук=ук+1—ук)
k=0
Предположим, что функция f(x) имеет производную f'(x).
Тогда, используя теорему Лагранжа 7.44, можно выбрать
точку b,k?(xk, xk+1) так, чтобы иметь
Выражение длины ломаной Lu теперь приводится к виду
Ы]гД**. A)
Это выражение есть интегральная сумма для функции
= \r\J^-[f'(x)\2, составленная по разбиению П с ука-
указанными отмеченными точками |0, | ч ?n_i- Если функ-
функция g(x) интегрируема, то при неограниченном измельчении
разбиения П суммы A) имеют пределом величину
ъ
lV\+[f\x)fdx;
8-31J § 9.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 321
таким образом, мы приходим к определению длины s (I)
дуги L в форме
ь
9.29. В вычислительном плане сказанное здесь имело бы
малую цену, не слишком отличаясь от тавтологии, если бы
для вычисления интегралов не было никакого иного пути,
кроме прямого определения, данного в 9.13. В действитель-
действительности имеются эффективные средства вычисления интегралов,
они излагаются в §§ 9.4 и 9.5.
В § 9.3 производится некоторая предварительная под-
подготовка; при этом получаются результаты, важные сами по
себе.
§ 9.3. Интеграл как функция верхнего предела
9.31. Пусть f(x)—интегрируемая функция на отрезке
[а, Ь]. Интеграл
F{x)=\f{t)dt,
(мы обозначили здесь переменное под знаком интеграла че-
через /, чтобы не путать его с х, стоящим в верхнем пределе)
является функцией от числа х, которое может принимать
все значения от а до Ь. В силу оценки
\F{x')-F{x>)\ =
J f(*)dt
sup \f(x)\-(x"-x')
, 6]
функция F(x) непрерывна.
Попробуем найти производную от этой функции в ка-
какой-либо точке х — с. В силу свойства 9.18 B) мы имеем
ic+h
F(c+h)-F(c)_ I I r
ft ft | J
V a
322 гл. 9. интеграл римана [9.32
Полученная величина есть среднее от функции/(л:) по от-
отрезку [с,с + Л] *)• Положим mh= inf f(x), Mh— sup f(x);
x?[c,c+h] *e[c, c+h]
тогда по неравенству 9.15G) (см. также 9./8C)) мы имеем
Если функция f(x) непрерывна справа при лг = с-, то
при й\0 имеют место соотношения mh-*f(c) и МА-*/(с).
Таким образом, предел выражения A) существует и равен /(с).
Это означает, что у функции F(x) в точке х=^с имеется
правая производная, равная /(с). Аналогично, если f(x)
непрерывна слева при х — с, по тем же причинам при h/'O
выражение A) имеет предел /(с). В частности, у функции
F(х) в каждой точке х — с (двусторонней) непрерывности
функции f(x) имеется двусторонняя производная, или про-
сто производная, равная f (с). При х = а и л: = 6функция F(x),
опять-таки в предположении соответствующей односторон-
односторонней непрерывности f(x) в этих точках, обладает в них одно-
односторонней производной, левой при х — Ьп правой при х=а,
соответственно равной f(b) и /(о).
9.32. Вычислелие интегралов с помощью
первообразных функций. Пусть у=/(х)—кусочно-
непрерывная функция на отрезке [а,Ь]. Всякая непрерывная
функция G(x), определенная на отрезке [а, Ь\ и в каждой
точке непрерывности х функции f(x) обладающая произ-
производной, равной f(x), называется первообразной по отношению
к f(x) на [а,Ь]. Так, например, функция х" есть первооб-
первообразная по отношению к функции пхп г. Для любой ку-
кусочно-непрерывной функции f(x) мы построили первообраз-
первообразную в 9.31:
Вместе с какой-либо первообразной G(x) и всякая функция
б1(л;)= G(x) + C также есть первообразная по отношению
к f(x); таким образом, у функции f(x) оказывается беско-
бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от
*) ЕслиЛ <0,полагаемпо определению [c,
9.32J § 9.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 323
друга на постоянную. И обратно, всякая первообразная
Н(х) от функции f(x) имеет вид G(x) + C, где G(x) — какая-
то фиксированная первообразная. Действительно, в каждой
точке непрерывности функции / (х) мы имеем (Н (х) — G (х))' =
= /(х)—/(л:) = 0. Поэтому Н(х) — G(x) постоянна на каж-
каждом интервале непрерывности f(x) G.45 в); а так как
Н(х) — G(x) непрерывна на всем [а, Ь] вместе с Н(х) и
G(x), то Н(х) — G(x) постоянна на [а, Ь].
Этот факт открывает следующую возможность вычис-
вычисления интегралов с помощью первообразных функций. До-
Допустим, что мы знаем какую-то первообразную G(x) от функ-
функции f(x); тогда любая другая первообразная, и в частности
функция F(x), отличается от G(x) на постоянную, так что
х
F(x)=\f(t)dt=G(x) + C. B)
а
Чтобы найти постоянную С, положим х= а; тогда, очевид-
очевидно, F(a)=0, и, следовательно, С——G(a). Полагая в B)
х=Ь, находим
ь
\G(a). C)
Таким образом, для вычисления интеграла от (кусочно-
непрерывной) функции f(x) no отрезку [а, Ь] следует найти
какую-либо из первообразных G(x) функции f(x) и составить
разность G(b) — G(a).
Формула C), полученная, по существу, Ньютоном и Лейб-
Лейбницем, является важнейшей формулой анализа, связывающей
дифференциальное исчисление с интегральным.
Совокупность всех первообразных функций называется
также неопределенным интегралом от функции f(x) и обо-
обозначается через
(без указания пределов); в противоположность этому интег-
интеграл 9.13 называется определенным интегралом.
Равенство C) записывают также в форме
Ь
х=Ь
= G(x)
Ь
324 гл. 9. интеграл римана [9.33
запись справа указывает, что нужно в функцию G(x) под-
подставить значение х = Ь, затем в эту же функцию подставить
х~а и второе число вычесть из первого.
Так, например, согласно сказанному,
ь
\ nxn~xdx = x
о
Этот результат имеет следующий гео-
геометрический смысл: площадь, ограничен-
ограниченная дугой АС параболы (я—1)-й степени
yz^x"'1, участком АВ оси абсцисс 0^1
<С х ^ Ь и ординатой ВС в точке х = Ь,
В 1 „
х равна— -и части площади прямоугольни-
Рис. 9.6. ка ABCD (рис. 9.6).
9.33. d и \ как взаимно обратные операции.
Пусть f(x)—непрерывная функция, определенная на от-
отрезке [а, Ь], и F (х)—ее неопределенный интеграл, так что
F' (x)=f{x). Рассмотрим выражения d\f(x) и \dF(x).
По определению неопределенного интеграла
d J fix) dx = d[F(x) + C] = F' (x) dx =/(*) dx.
Таким образом, в комбинации d \ знак d сокращается со
знаком V. С другой стороны, по определению дифференци-
дифференциала и неопределенного интеграла
Таким образом, в комбинации \ d знак \ сокращается
со знаком d, но при этом следует в правую часть добавить
постоянную.
9.34. Общие правила неопределенного ин-
интегрирования. Применяя знак \ к известным правилам
9.37] § 9.3. ИНТЕГРАЛ КАК ФУНКЦИЯ ВЕРХНЕГО ПРЕДЕЛА 325
дифференцирования 7.55—7.34 и используя результат 9.33,
мы можем получить, соответствующие правила неопределен-
неопределенного интегрирования. Имеются в виду следующие правила
дифференцирования:
d(ku) = kdu (k—постоянная); A)
d(u + v) = du + dv; B)
d(uv) = udv-\-vdu. C)
Если u = u(t), то
dF(u) = F' (u)du=- F' (и) и' (t) dt D)
(дифференцирование сложной, функции).
9.36. Применяя знак \ к равенству 9.34 A) и переписы-
переписывая результат справа налево, находим при А^=0:
\ A)
(«постоянный множитель можно выносить за знак неопреде-
неопределенного интеграла»).
9.36. Применяя знак f к равенству 9.34 B), получаем
v A)
(«неопределенный интеграл суммы равен сумме неопределен-
неопределенных интегралов»).
9.37. Применяя знак \ к 9.34C) и используя 9.36A),
получаем
f (udv + vdu)= f udv+ [ vdu— \ d(uv) = u-'V-{-C.
Записанное в форме (С включена во второй интеграл).
\udv=uv — \ v du, A)
это равенство называется формулой интегрирования по час-
частям. Оно позволяет найти \tidv, если известен \ v du.
326 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [8-38
9.38. Формулу 9.34 D) мы используем следующим обра-
образом. Пусть u = u(t) — функция с непрерывной производной,
определенная на отрезке а^^^р и принимающая значения
в отрезке А^.и^.В; пусть, далее /(и) — непрерывная функ-
функция, определенная при А^.и^.В. Рассмотрим два неопре-
неопределенных интеграла
Первый есть функция от и, определенная на отрезке [А, В],
второй—функция от t, определенная на отрезке [а, |$]. По-
Покажем, что приа^^^р справедливо равенство
F[u(t)]~G{t) + C. A)
Для этого достаточно показать, что совпадают дифферен-
дифференциалы правой и левой частей. По формуле 9.34 D) мы имеем
dF [и (*)] = F' (и) и' (t) <Я=/ (в (*)) и' @ dt,
а по определению неопределенного интеграла
dG(t)=f(u(t))u'(t)dt.
Отсюда вытекает равенство A). Оно позволяет сформу-
сформулировать правило интегрирования через подстановку: в не-
неопределенном, интеграле S,fia) du можно заменить и на функ-
функцию от t, причем du заменяется на и' (t) dt, согласно пра-
правилу преобразования дифференциалов. Иными словами, свой-
свойство инвариантности дифференциала распространяется и на
дифференциалы, стоящие под знаком неопределенного интег-
интеграла.
В дальнейшем мы увидим, как работают все эти правила,
на многочисленных примерах.
9.39. В заключение этого параграфа мы докажем одно
простое, но важное предложение, обратное по отношению
к теореме 9.5/.
Функция F(x) называется кусочно-гладкой на отрезке
[а, Ь], если она непрерывна на [а, Ь\ и всюду, кроме конеч-
конечного числа точек, имеет производную, которая является ку-
кусочно-непрерывной функцией на отрезке [а, Ь].
9.41] § 9.4. техника неопределенного интегрирования 327
В 9.31 мы фактически установили, чго для кусочно-непре-
кусочно-непрерывной функции f(x) ее интеграл
является кусочно-гладкой функцией. Обратно, пусть имеется
кусочно-гладкая функция G (х) и f(x) — ее кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывная производная. Так как G(x) есть первообразная для f(x)
(9.32), то справедливо равенство 9.32 B)
Таким образом, всякая кусочно-гладкая функция G(x) с
точностью до постоянного слагаемого есть интеграл от неко-
некоторой кусочно-непрерывной функции с верхним пределом х.
§ 9.4. Техника неопределенного интегрирования
9.41. Интегрирование многочленов.
а. Применяя знак \ к формуле
d(x") = nx"-1dx («=1, 2, ...),
получаем после замены п—1 на m и деления на я = /я+1
'Мх = -|^- + С (« = 0, 1,2, ...),
где С—произвольная постоянная.
Отсюда по правилам 9.35—9.36 для любого многочлена
Р (х) = а0 -f- a±x -f • - - + апх" мы находим, что
ai^+...+an~ + C. A)
б. В некоторых случаях экономнее пользоваться другими
правилами. Например, для вычисления интеграла
нецелесообразно развертывать бином (л2 +1 M00 по формуле
Ньютона и применять затем общую формулу A); лучше
328 гл. 9. интеграл римана 19.42
ввести подстановку и = х2+1 и воспользоваться правилом
9.38, которое приводит к немедленному вычислению:
~~ 1002
В случае интеграла
уместно применить правило интегрирования по частям 9.37,
полагая и=х2, dv=x (xs-\- \)шdx; тогда, согласно преды-
предыдущему примеру, ©="Joo2" (^Ч-1M01. du= 2x dx и, следова-
следовательно,
Xs (х2+ IM00 dx = uv — ^vdu=
1002 ух ^~ ' J 1002
~ 1002 1002-502
9.42. Интегрирование рациональных функ-
ций. Требуется проинтегрировать функцию f(x)= д ¦ ^ ,
где /?(х) и Q(^)—многочлены с вещественными коэффи-
коэффициентами.
а. Если степень числителя больше или равна степени
знаменателя, то, произведя деление, можно преобразовать
f(x) к виду
q , , ,
где степень 5(х) уже меньше степени Q(x). Как интегри-
интегрировать многочлен Р(х), мы уже знаем {9.41), поэтому огра-
ограничимся правильной дробью ^~ .
б. Пусть xlt x2, ..., xk — вещественные корни много-
многочлена Q{x), zv zx, ..., zm, zm—комплексные невеществен-
невещественные корни (вместе с каждым корнем z=a + 'P по 5.89а
9.42J § 9.4. техника неопределенного интегрирования 329
комплексно сопряженная величина z = a—ф также явля-
является корнем той же кратности).
В силу 5.89 в рациональная функция ^^г может быть
разложена на простейшие рациональные функции (простей-
(простейшие дроби):
S(x) _ Ац . А12 . Alfi д21
Q (х) x-Xl "•" (х-xtf "•" • * • + (х-^уг + х-х2 "Т" • •'
¦ Вц+Сцх . . fiig,+ cig/ ¦
1 I I »
. | Bmqm+CmqmX
17 '"" [(J + P^]"»
и вопрос сводится к интегрированию простейших дробей.
в. Интеграл
dx
(X-Xj)P
при р Ф 1 можно найти из равенства
интегрируя обе его части, мы получаем
~Г С =/i_nW,_vio.i + С. A)
г. Прир=1 следует воспользоваться равенством 7.17 C),
которое после умножения на dx дает
отсюда
Заметим, что формулы A), B) имеют место -в проме-
промежутке [а, Ь], не содержащем точки Xj (иначе подынтеграль-
подынтегральная функция не будет кусочно-непрерывной и нельзя дей-
действовать по 9.32).
д. Интеграл
П Л ~ I D
330 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [8.42
подстановкой х— а=$и приводится к более простому виду:
СиЛ-D ,
TmdU.
Если здесь D = 0, то подстановкой и2 +1 = v интеграл
вычисляется до конца:
Cudu C Г dv
_
(u2+l)m~ 2 Jt^
С
2 A—т) и-1 + Cl = 2 A—т) («2+ II»-1
ln t/; + C ln^+lJ + Q
е. Остается рассмотреть интеграл
/ -Г du
т (a+i
Если /я = 1, то
как вытекает из формулы дифференцирования 7.18 е. Пусть
/и> 1. Применим к C) формулу интегрирования по частям,
1 . , 2mudu ,.
полагая (ца + 1),л = г>, так что dt>= -(ц8 + 1)И+1. Мы получим
—Г d» — . и . i 9m Г "
~ J («2 + 1)'л (ыя + 1)|В"Г J («2
("8+1)d" f
U2+1)»+J J
откуда
. 1 « . 2m—1 ,
m+1 ~ 2m («2 + l)m + 2m m*
Эта формула выражает /m+1 через /m и рациональную функ-
функцию. Используя ее для /и=1, находим значение /2 =
T(и« +1? + Тarctg ц + С Полагая т=2' на"
ходим значение /3, и т. д.
В итоге каждая рациональная функция обладает неопре-
неопределенным интегралом, выражающимся через рациональные
функции, логарифмы и арктангенсы.
9.43] § 9.4. техника неопределенного интегрирования 331
На практике для определенного интегрирования рацио-
рациональных функций имеется много вспомогательных приемов,
которые мы не излагаем*).
9.43. Интегралы, приводящиеся к интегра-
интегралам от рациональных функций. Интегралы некото-
некоторых типов приводятся к интегралам от рациональных функций
(или, как говорят, рационализируются) с помощью некото-
некоторых 'стандартных подстановок. В дальнейшем R означает
рациональную функцию от одного или двух аргументов.
а. Интеграл
рационализируется подстановкой ех = и, jc = lnu, dx ——.
б. Интеграл
рационализируется подстановкой tgx = a, х — arc tg и, dx =
= i I a - Рациональными от tgx, в частности, являются
функции
; sin2x=l— cos2*; cos2x = cos2x—sin2*:
sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tg x cos2 x.
Поэтому интеграл
\ 7?(sin 2x, co$2x)dx
также рационализируется подстановкой tgx = u.
Заметим, что функции sin x, cos x уже не являются
рациональными функциями от tg* (например, потому, что
tg х имеет период я, a sin * и cos x имеют период 2я).
X
Но они являются рациональными функциями от u=tg-^ :
sin x= ; cos.v = ;
*) См.. например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального
и интегрального исчисления, т. 2, «Наука», 1967.
332 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА. [0-44
а так как при этом их = . а , то интеграл
\ jR(sin х, cosx)dx
рационализируется подстановкой tg-g- = «.
9.44. Интегралы от иррациональных выраже-
выражений. Рассмотрим интеграл
(x,y)dx, A)
где у есть некоторая функция от х. Если хну можно
одновременно представить рациональными функциями от
нового переменного t, так что x = x(t), y=y(t), то инте-
интеграл A) очевидным образом рационализируется:
J R (х, у) их = J R (х (t), у (*)) х' (t) dt.
а. Пусть, например, у = }f ax -f- b; тогда рационализирую-
рационализирующую подстановку можно взять в форме ах + b == ^2, л; =
б. В случае у= у —-j-з действует тот же прием:
ах+Ь ,9 , Pd—b
1 fit \\ - f y -—
cx+d — 1'У — Т> х~ а—ct* •
в. Но квадратичная иррациональность y = ]/rax2-\-bx-{-c
уже не рационализируется подстановкой ах2 -\- Ьх + с = fi,
так как при этом х не является рациональной функцией от
t. Здесь будем поступать иначе. Выделяя под корнем пол-
полный квадрат (х—аJ и заменяя (х — а) на 0ц при надле-
надлежаще подобранном Р, приводим квадратный корень к одному
из трех видов:
г. В первом случае подстановка и = sin <p (или cos <p = и)
приводит интеграл A) к уже рассмотренному виду (9.43)
— u2)du= f /? (sin ф, cosijp) cos<pd(p.
9.44] § 9.4. ТЕХНИКА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 333
Примеры:
(подстановка и = sin <p);
B)
C)
(подстановка a = cos<jp).
Различие результатов, полученных разными подстанов-
подстановками, не должно нас смущать: согласно общей теории, ре-
результаты могут отличаться на постоянную, и, действительно,
имеется формула 5.67 A)
arc cos и -\- Ц- = arc sin и.
д. В случае у2 = \г1-\-и2
перболическая подстановка
a = sh6,l+H2=l-fsh2,e=
= ch2 6, так что
аналогичную роль играет ги-
ги= J ^ (sh 6, ch 6) ch 6 d!d.
Пример:
du
о
У
/ j
gj
1
Рис. 9.7.
(подстановка a = shB).
Функция arsha (рис. 9.7) есть обратная функция по
отношению к sh6. (В 9.61 ж мы увидим, каков ее геомет-
*) Область определения функции cos G в данном случае—отрезок
[—я, 0]. Мы имеем +У^~1—u2 = —sin 6 и используем обратную воз-
возрастающую функцию arc cosB и E.67). С обратной убывающей функ-
функцией arc cosy и была бы получена формула
du
¦ = —arc cosv ы+С.
\и* у
334
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.44
рический смысл, в частности, почему принято обозначение
аг; area означает по-латыни «площадь».) Эту функцию можно
записать и через известные нам функции, разрешив относи-
относительно 6 уравнение
е"—е~ь
Мы имеем при этом ее= u-^-l^l -\-u2 (так как ее > 0, то
знак минус нужно отбросить), откуда
6 = аг sh и = In (и -fjA+«2)-
е. Наконец, в случае ys = V^—1 пригодна гиперболи-
гиперболическая подстановка и = ch 6, и2 — 1 = ch2 6—1 = sh 2 6, так что
Пример:
du
(подстановка u = chQ).
Функция аг ch и (рис. 9.8) есть обратная функция по
отношению к ch6. Аналогично предыдущему, ее можно
получить, разрешив относитель-
относительно 6 уравнение
При этом ев = и+1^и2 —1
дятся оба знака), откуда
Рис. 9.8.
(го-
(го2-1).
Графики функций a=arsh6,
Ц = агсЬ6 получаются обычным путем, т. е. отражением гра-
графиков функций и = sh 6 и и = ch 6 относительно биссектрисы
координатного угла E.39). Они подтверждают однозначность
функции аг sh 6 и двузначность функции аг ch 6.
9.45] § 9.4. техника неопределенного интегрирования 335
9.45. Эллиптические интегралы. В том случае,
когда многочлен Р{х) имеет степень п > 2, интеграл
A)
вообще говоря, не выражается через элементарные функ-
функции*) (теорема Абеля — Лиувилля; доказательство можно
найти в статье Н. Г. Чеботарева, УМН 2, № 2 A947),
или в т. 1 Собрания сочинений Н. Г. Чеботарева,
изд-во АН СССР, 1950). При /г = 3 и /г = 4 интеграл A)
называется эллиптическим, при п > 4 — гиперэллиптическим.
Имеются два важнейших эллиптических интеграла A-я и
2-я нормальные формы Лежандра):
sin ф Ф \
о
8И1ф
С dt_ _
J Va—t*)(i—k2tB)..
(< = sin6) 0
При k=0 оба интеграла дают одну и ту же функцию:
0 О
При k=\ оба интеграла выражаются через элементарные
функции
sirup
J 1—t2 2 1—t о 2 1-
0
siiup
С/1 V Г ,, ,| М'ПФ
Е(\, ф)= J Л=*| о =5Шф.
Функции /^(А, ф) и E(k, ф) табулированы; таблицы этих
функций имеют два входа (для значения переменного ф и
*) То есть те, которые получаются из аргумента х и веществен-
вещественных параметров применением конечного числа алгебраических опера-
операций (сложение, вычитание, умножение, деление), логарифмирования,
потенцирования, взятия тригонометрических и им обратных функций.
336
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.45
параметра k = sin а). Краткая таблица значений этих функ-
функций приводится ниже:
\
ф\
0°
30°
46°
60°
90°
?(*, Ф)
90°
0
0,50
0,71
0,87
1
60°
0
0,61
0,73
0,92
1.21
45°
0
0,61
0,76
0,96
1,35
30°
0
0,62
0,77
1,01
1.48
F (ft, Ф)
0°
0
о.и=?
0,78 = ^
l,05 = f
l,57 = f
30°
0
0,63
0,80
1,09
1,69
45°
0
0,64
0,82
1,14
1,85
60°
0
0,64
0,86
1,21
2,16
90°
0
0,66
0,88
1,32
График на рис. 9.9 дает представление о ходе измене-
изменения функций F(k, ф) и E(k, ф) при разных значениях k.
Эллиптические функции появляются при вычислении дли-
длины дуги эллипса (9.63 в) откуда и возникло их название. Они
Рис. 9.9.
применяются во многих задачах анализа и изучены в настоящее
время не менее, чем круговые (тригонометрические) функции.
Можно показать, что общий эллиптический интеграл
$Я(*.
i + bxa + ex2 + ex +/) dx
9.46] § 9.4. ТЕХНИКА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 337
приводится элементарными преобразованиями к 1-й и 2-й
нормальным формам Лежандра, к элементарным функциям
и, возможно, к «нормальной форме 3-го рода» с двумя пара-
параметрами h и k:
dq>
A +h sin2 ф) У —fe2 sin2 ip
(см. цитированный выше курс Г. М. Фихтенгольца,
т. 2, гл. I).
9.46. Другие типы часто встречающихся ин-
интегралов.
а. Пусть Р(х) — многочлен. Интеграл
\)P(x)exdx
равен линейной комбинации интегралов вида
Интеграл 1т путем интегрирования по частям (и=хт,
exdx = dv; du = mxm~1dx, v=ex) приводится к виду
и, так как /0= \ех dx = ex-\-C, допускает полное вычисление
в элементарных функциях.
б. Аналогично допускают полное вычисление интегралы
С Р (х) In х dx, f P (x) cos x dx, \ P(x) sin xdx.
в. Напротив, не могут быть выражены через элементар-
элементарные функции интегралы
\ — dx = \ з— (интегральный логарифм);
J * (ех=и) J ' и
\ —¦— dx (интегральный синус);
J х
\ —— dx (интегральный косинус).
Доказательства последних утверждений имеются в книге:
Г. Харди, Интегрирование элементарных функций, М., 1935,
338 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА 19-51
§ 9.5. Вычисление определенных интегралов
9.51. Интегрирование по частям для опреде-
определенных интегралов.
а. Пусть и и v—кусочно-гладкие функции. Так как
uv есть первообразная для своей производной uv'-\-vu't
то по формуле Ньютона—Лейбница 9.32 B)
ь ь
\ (uv'-\-vu') dx = \ (и dv -j- vdu) = uv
a a
Иначе можно написать
ь ь ь
}udv — uv —}vdu.
a x=a a
Эта формула дает правило интегрирования по частям для
определенного интеграла.
Я,2
б. Пример. Вычислим интеграл /m= \ sin x dx. Интегрируя
о
по частям, находим
я/2
f sin1" xd(— cosx) =
о
[II Я/2
п
+(m—1) \ sinm~2x-cos2xdx.
о
Внеиитегральный член в результате двойной подстановки обращается
в нуль; поэтому мы получаем
я/2
О
откуда
я/2
Г я
Так как /0= \ dx=-^, то при четном т = 2п
о
Я/2
/
_ Г • аи а
an-Jsin xdx_
—1I! я
2nll
9-52] § 9.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 339
Я/2
Так как /j= \ ?in xdx=l, то при нечетном т = 2п-{-1
о
42 2« 2«-2 4 2 , Bи)!!
9.52. а. Формула Тейлора с остаточным чле-
членом в интегральной форме. Рассмотрим вначале
интеграл
Считая функцню f(x) кусочно-гладкой, применим интегри-
интегрирование по частям:
ъ
ъ ъ
а а
Ь
1
Используя равенство A) для функции/(л:), имеющей на
отрезке [а, Ь] непрерывные производные до порядка п и
кусочно-непрерывную производную /{п+1){х), последователь-
последовательно получаем
ь
f{b)—f{a)=lf{x)dx=f'{a){b-a) +
а
Ъ
+ J/" (х) (b-x) dx=f (a) (b-a)+±f" (a) (b-a)* +
а
Ь
+ j § Г" (х) (b-x)*dx= ... =f (a)(b-a) +
а
340 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА 19.52
Отсюда получается формула Тейлора
/Ф)=/[а) +Г(а) ф-а) + ^§(Ь-а)'+ ...
...+f-^(b-a)» + Rn, B)
где
ь
±§x)»dx C)
есть остаточный член в интегральной форме Коши.
б. Из неравенств
ь
#„ < -^- max/(n+ х> (х) ¦ J (b — х)" dx =
ь
#„ ^ -^ min /(n+1> (*) • J (fe—x)" dx =
_(b_a)«+i °
~ (n + l)! min/ W
можно получить it лагранжеву форму остаточного члена
(8.23 B))
7 ( '
в предположении, что функция /<п+1>(л:) непрерывна и, сле-
следовательно E.25), любое промежуточное значение между
минимальным и максимальным принимается ею в некоторой
промежуточной точке с.
в. В качестве приложения рассмотрим для функции
D)
вопрос об области сходимости к ней ее ряда Тейлора (8.5J).
В этом случае формула Тейлора B) имеет вид (при а = 0,
9-52] § 9.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 341
При | х | < 1 и t между 0 и л:
X X X ^
Поскольку х к х
и, следовательно,
Поэтому
X
О
—
t одного
x—t
X
X
\x-t\
l—t
знака,
—t
X
X
0
о
где С=С(х,а). Отсюда
Обозначим величину справа через шп. Мы имеем
щ±1=\а-п-1\ , ¦ 2г±1=Ь
поэтому, если |ж|<1, величины шп стремятся к 0. Таким
образом, остаточный член C) стремится к 0 при | х | < 1.
Следовательно, для — 1 < х < 1 имеет место разложение
= 1 + ах
Если а отлично от натурального числа (когда справа—много-
справа—многочлен), то ряд справа расходится при |л:|>1 и достаточно
больших л- (отношение последующего члена к предыдущему
больше 1), поэтому радиус сходимости ряда E) равен 1.
Заменяя в E) вещественное переменное х на комплекс-
комплексное z = x-\-iy, получаем аналитическое продолжение функ-
функции D) в круг ]z\ < 1:
{l+z)a=\+az
342 гл. 9. интеграл римана 19.53
Например, для а — — 1 получается известная уже фор-
формула суммирования убывающей геометрической прогрессии
F.11 б):
\
г. Ряд F) можно записать в форме
Применяя результаты 6.66 б, получаем: если 1 >—<
т. е. <х> 0, ряд F) сходится при —z=\, т. е. при z = — 1.
В силу 6.67 мы получаем интересное равенство
!)(«-2) , 0. ,7.
по доказанному, оно справедливо при всех а > 0.
Если 1>—а, т. е. а>—1, ряд F) сходится при
— z = — 1, т. е. цри z=\; в этом случае 6.67 приводит
к равенству
+^ +=2 (8)
справедливому при а > — 1.
Равенства G) и (8) обобщают на нецелые показатели
известные свойства чисел С^ = -гг-——ттг при натуральных
Аил:
=2",
9.53. Для а > Ь остается справедливой формула Нью-
Ньютона—Лейбница 9.32 B):
(F'(x)=f(x)).
9.54] § 9.5. вычисление определенных интегралов 343
Действительно, по 9.18 мы имеем
а ъ
9.54. Интегрирование при помощи подста-
подстановки в определенных интегралах. Предположим,
ь
ь
что нам задан интеграл ^f(u)du, где /"(и)—функция, не-
а
прерывная в отрезке [а, Ь]. Пусть u(t)—функция, опре-
определенная в некотором отрезке [a, (J], обладающая на нем
непрерывной производной, причем и(а) = а, и($) = Ь. Фор-
Формальная замена переменной и = и (t) приводит к равенству *)
ь Р
J f{u)du= J f[u(t)]u'(t)dt. A)
и=а t=a
Спрашивается, при каких условиях это равенство действи-
действительно имеет место. Естественной предпосылкой является
возрастание функции и(^) на отрезке [a, (J]. Но, оказы-
оказывается, формула A) справедлива и в более общем случае,
когда функция u(t) не является монотонной и даже когда
значения функции и (t) выходят за пределы отрезка [а, Ь],
в котором определена функция /(и), лишь бы только функ-
функция /(и) допускала непрерывное продолжение на тот более
широкий отрезок [Л, В] z) [a, b], в котором принимает свои
значения функция u(t) при t? [a, (J]. Именно, имеет место
следующая теорема:
Теорема. Если функция u(t) на отрезке [a, f>] при-
принимает значения в отрезке [А, В] Z3 [а, Ь] и имеет на [a, (J]
непрерывную производную, а функция /(и) непрерывна на
[А, В], то формула A) справедлива.
Доказательство. Пусть F(u) есть первообразная
для функции/(и) на отрезке [Л, В] и функция G(t) — перво-
первообразная для функции f(u(t))u'(t) на отрезке [a, (J]. По
9.38 имеет место равенство
F{u{t))=G{t)+C.
*) Поэтому-то Лейбниц и предостерегал от отбрасывания dx в обо-
обозначении интеграла (см. сноску на стр. 302). Вероятно, «трансфигу-
«трансфигурация» по Лейбницу н означает переход от f (и) к f(u(t)).
344 гл. 9. интеграл римана [9.55
Поэтому
а
Р
= lf(u(t))u'(t)dt,
а
и теорема доказана. Равенство A) выражает правило при-
применения подстановки в определенном интеграле; подчеркнем,
что вместе с заменой функции под знаком интеграла изме-
изменяются соответственно и пределы интеграла. Так как фор-
формула Ньютона — Лейбница справедлива и при а > (J (9.53),
то случай «>Р не исключен, и, применяя правило подста-
подстановки, мы можем не интересоваться, в естественном ли
порядке стоят пределы интеграла до и после подстановки.
9.55. Простейшие следствия и примеры.
а. Интеграл от «сдвинутой» функции. Пусть
f(x) определена на отрезке [а, Ь\; тогда «сдвинутая» функ-
функция f(x—h) определена на отрезке [a-\-h, b-\-h] и имеет
место равенство
64-ft ь
j
Для доказательства достаточно применить подстановку
х — h=u.
б. Покажем, что интеграл от периодической *) функции
/(и) имеет одно и то же значение на любом промежутке
длины Т периода функции /(и). Действительно, найдем
число mT (m—целое) между а и а-\~Т; запишем
а+Т mT а+Т
J f(u)du= 5 f(u)du+ J f(u)du;
a a mT
в первом из интегралов произведем подстановку и —
— (т—1O=^, а во втором — подстановку и — тТ—t; так
*) То есть удовлетворяющей соотношению f (х+Г) = f (*)
(ср. 5.65).
9.55] § 9.5. вычисление определенных интегралов 345
как в силу периодичности /(и) мы имеем f (и)^е=/(и-{-тТ}~=
=/(„ + («-1)Т), то
а+Т Т о-(т-1)Г Г
о о-(т-1)Г О О
что и требуется.
в. Пример. Покажем, что при любом f>0 и любом
натуральном k имеет место равенство
я я
sin" foe Же = J cosaTfocdje. A)
-я -я
Для доказательства, используя равенство sin а = cos (-^ — а]
и затем подстановку -5—kx = ku, находим, что
5 sin2* kx dx = J cos2T (-2— kx} dx= J cos2Y и du;
Я Я Я
1ft -*
применяя предложение б, получаем A), что и тре-
требуется.
Для 2у, равного целому числу т, значение интеграла A)
было найдено в 9.51 б. Для у=\ сразу получаем из
равенства
я я
-я
значение интегралов
я я
\ sin2 foe dx= \ со;
-я -я
г. Интеграл от «отраженной» функции. Имеет
место равенство
ь ь
lf(x)dx=Sif(b-x)dx.
346 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9-56
Действительно, подстановка и = Ь—х дает
ь о ь ь
\ f(b-x)dx = -\f{u)du=\f{u)du=\f(x)ux.
о ь о о
9.56. Мы закончим наши общие рассмотрения одним
важным общим понятием.
Интеграл Стилтьеса. Пусть в промежутке [а, Ь\
заданы две функции: f(x) и g(x). Рассмотрим разбиение
П = {а = х0 < ... < хп = Ь) промежутка [а, Ь] с отмеченными
точками ?,€[*/> x;+i]'> далее, как обычно, положим
й (П) = max (xJ+1—Xj). Интегральной суммой Стилтьеса на-
называется число
«-1
Sn (/, g) = S /F/) \g(xJ+1)-g(Xj)]. A)
Число / называется интегралом Стилтьеса от функции
f(x) no функции g(x) на отрезке [щ Ь], если для любого
е > 0 найдется такое б > 0, что при любом разбиении
П с й(П)<6 имеет место неравенство |/—5п(/, g) | < е.
Иначе говоря, интеграл Стилтьеса есть предел интег-
интегральных сумм A) при неограниченном измельчении раз-
разбиения П. Интеграл Стилтьеса обозначается символом
ь
\f{x)dg(x). B)
а
Например, всегда справедливо равенство
Мы не будем в этой книге заниматься интегралом
Стилтьеса с общих позиций*) и докажем только теорему
существования его в самом простом случае, когда /(х) не-
непрерывна на [a, b], a g{x) обладает на [а, Ь\ непрерывной
производной. В этом случае интеграл Стилтьеса, как мы
увидим, приводится к обычному интегралу.
Если функция g(x) дифференцируема, то ее приращение
на промежутке \Xj, xy+1] можно записать с помощью
*) См. Г. Е. Шилов и Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера
и производная, Общая часть, гл. 2, «Наука», М., 1967.
9.56] § 9.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 347
теоремы Лагранжа 7.44:
bg(Xj) = g(x/+1)—g(xf) = g' (cf)Axf, c;€(xf, xJ+1).
Поэтому
.2 /(I/) A^ (*у) = 2 /F/) g' (cj) b*j =
= / (c/) ^ (c7) A*y- + 2 [/(?;) -/M <?' (с,) Адгу.=
n-l n-1
= 2 / (cy) ^ (c7) Дху. + 2 eyg' (C/) Axy, C)
/=o y /=o
где все числа |еу| при достаточно мелком разбиении П не
превосходят заданного е > 0. При этом
п-\
max |§-' (х)|(& — а),
2 eg-' (с¦)Ax,
/=о
так что второе слагаемое справа в C) стремится к нулю
при неограниченном измельчении разбиения П. Первое сла-
слагаемое в C) есть интегральная сумма для функции f(x) g' (x)
и с измельчением разбиения П стремится к пределу, равному
ь
\f{x)g'(x)dx. D)
а
Мы видим, что при указанных предположениях (f(x) непре-
непрерывна, g(x) имеет непрерывную производную) интеграл
Стилтьеса существует и равен обычному интегралу D).
Можно получить формулу, аналогичную D), в предполо-
предположении, что f(x) только кусочно-непрерывна (при непрерыв-
непрерывности g' (x)) или что g' (x) только кусочно-непрерывна (при
непрерывности f(x)). Если функции f(x) и g' (x) одновре-
одновременно кусочно-непрерывны, то при совпадении точек их раз-
разрыва интеграл Стилтьеса перестает существовать.
В общем случае легко получаются следующие свойства
интеграла Стилтьеса, аналогично соответствующим свойст-
348
вам интеграла Римана (а,
ь
W +«2/2
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
числа):
[9.61
с
Ь
J/W dg(x) =f(x)g(x) Г - J g(x) df(x),
E)
F)
G)
(8)
если существуют интегралы в правых частях.
§ 9.6. Приложения интеграла
9.61. Вычисление площадей. Как мы видели
в 9.21, вычисление площадей достаточно простых фигур
на плоскости приводится к вычислению определенных инте-
интегралов. Если речь идет о вычислении площади криволинейной
трапеции, ограниченной снизу
отрезком [а, Ь] оси х, свер-
сверху — непрерывной кривой у =
= /(л;)^0, с боков — орди-
ординатами х = а, х = Ь, то эта
площадь выражается интегра-
—^Z лом (рис. 9.10)
Рис. 9.10.
I=\f(x)dx.
A)
Если фигура Ф не является криволинейной трапецией,
но может быть представлена как объединение криволинейных
трапеций без общих внутренних точек, то площадь фигуры
Ф есть сумма площадей этих трапеций. Более общим обра-
образом, площадь любой фигуры, представляющей собой объеди-
9.61]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
349
нение простых (жордановых) фигур без общих внутренних
точек, равна сумме площадей этих простых фигур.
Вернемся к определению площади в форме интеграла A).
Оно действует, если /(х)^0. Если/(х)^ О (рис. 9.11),
то 7^0 и величина /дает площадь, ограниченную участком
Рис. 9.11.
Рис. 9.12.
оси, двумя ординатами и кривой, со знаком минус. Если же
f(x) меняет знак в промежутке [а, Ь], то интеграл I дает
алгебраическую сумму площадей: со знаком плюс—отвечаю-
плюс—отвечающих тем участкам оси, где f(x)^0, и со знаком минус:—
отвечающих тем участкам, где f(x)^.O (рис. 9.12).
Примеры.
а. Как следует из 9.32, площадь, ограниченная кривой у=хъ
над участком оси 0 < х < Ь, равна -^- от площади соответствующего
прямоугольника (правило Архимеда). Выведем сейчас более общую
формулу Кеплера (из «Стереометрии винных бочек», 1615):
\f (x)dx= [f() + 4/ (Ф)+КЬ>]
\
эта формула справедлива, если f (x) есть многочлен не выше 3-й сте-
степени (рис. 9.13). Перенося начало координат в среднюю точку отрезка
[а, Ь], можно переписать ее в
форме
f(x)dx=
i— a
C) Рис. 9.13.
Заметим теперь, что если формула C) верна для некоторой функции
f(x), то она верна и для kf(x) при любом k, и если она верна для
некоторых функций f(x)vig (х), то она верна и для функции / (х) -\-g (x).
350
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.61
Это позволяет нам, если мы желаем установить ее справедливость
для функции вида f (х) = A -\-Bx-\-Cx* -\-Dx\ проверить ее только
для функций fo(x)—l, h(x)=x, f2(x)=x2, fa(x)=xs. Для функции
fo(x)s^l она, очевидно, справедлива. Для функций fi(x) и f3(x)
(нечетных) обе части равенства C) обращаются в 0, так что формула
также справедлива. Наконец, для функции f2(x) формула C) при-
приводится к правилу Архимеда; таким образом, она верна для всех
многочленов степени не выше 3.
б. Площадь круга х2 +_у2<1 г2. По соображениям
симметрии можно написать (рис. 9.14)
!—x2dx.
6 б
Полагая х — r cos 6, dx = — r sin 6 dQ, находим:
О Л/2 л/2
5 = _4г2 f sin26rfe = 4r2 [ sin^ d0 = 4/-2 f 1~co0s2erf6=
JT/2
j
о
л/2
s
о
л/2
= 2r2 \ dQ — 2r2 f cos 26 dG = яг2—r2 sin 201m = яг2.
Таким образом, число я/2, введенное нами ранее как
первый положительный корень функции у= cos л: E.65), по-
получает интерпретацию как половина площади круга радиуса 1.
*-JC
Рис. 9.14.
Рис. 9.15.
в. Для площади сектора круга хг+у2^.г2, или, в пара-
параметрической форме, x = rcosQ, y = r sin 6, ограниченного
лучами е = 0о, е = еъ О<ео<е1<у (рис. 9.15), имеет
место представление
9.61]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
351
так что достаточно сосчитать лишь 5" (О, 0О) при любом
0О? Го, -jl (рис. 9.16). Мы имеем
rcos60
5@, ео)= J xtgeQdx+
X2
r cos e0
rcos60
е.
f
2
_ r2 cos2 60
~ 2
r2
= -д- COS2 60 tg I
Таким образом, получаем
1 — cos 26
rf6==
о
г2 г. г2 sin !
¦ -к- On г-
0O
D)
Эта же формула, как нетрудно проверить, справедлива для
любого сектора с раствором 0^6г—0О < 2я.
г. При растяжении вдоль оси_у в k раз площадь 5 криво-
криволинейной трапеции (рис. 9.17) увеличивается в k раз. Это
вытекает из равенства .
ь ь
Sk=
(если не вспоминать общих сообра-
Рис. 9.16.
Рис. 9.17.
д. При растяжении вдоль оси х в k раз площадь 5" криво-
криволинейной трапеции (рис. 9.18) увеличивается в k раз. Для
352
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.61
доказательства производим подстановку хх— kx:
кь ь
ka
a. b кв.
kb
Рис. 9.18.
е. Площадь эллипса. Эллипс ^-+ р = 1 получается
из круга х2-\-у2 = 1 растяжением в а раз по оси х и в b раз
по оси у (рис. 9.19). Так как площадь круга радиуса 1
равна п, то, применяя результаты примеров г и д, находим
Эллипса
У\
Рис. 9.19.
Рис. 9.20.
ж. Геометрический смысл обратных гипер-
гиперболических функций. Рассмотрим гиперболу х2 —у2— 1
и найдем площадь сектора ABC (рис. 9.20). Эта площадь
задается интегралом
8.61]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
353
который мы вычислим, подстановкой и _= ch t:
к ar ch х
Так как ch2*=
отсюда
ar ch*
Заметим, что sh 2t—2 sh t ch t; поэтому sh 2t=2 ych2t — 1 ch t
и, следовательно,
1 ________,____».__¦ 1 .____________¦__--_. 1
/= -я- [д;|/ хг — 1 — ar ch д;] = -g- x у х% — 1 —--5- ar ch x.
Первое слагаемое есть площадь треугольника ОВС; таким
образом, у ar ch х есть площадь сектора ОАС и, следова-
следовательно, 5 = ar ch х есть площадь
сектора ОС АС (рис. 9.21). Обра-
Обращая эту формулу, получаем пара-
параметрическое представление гипер-
гиперболы
Собственно, мы уже и раньше от-
отмечали, что кривая с параметриче-
параметрическим представлением х = ch t,y = sh t
есть гипербола; но только теперь
мы обнаружили геометрический
смысл параметра t, который оказал-
оказался^ площадью сектора, определен- рис g2i.
ного данной точкой гиперболы.
Это представление полезно сопоставить с параметри-
параметрическим представлением окружности
х = cos 6, у — sin в.
Здесь 0 есть полярный угол АОС; но эта же величина
есть и площадь сектора ОС АС (рис. 9.22). Таким
354
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.61
образом, и для окружности, и для гиперболы площадь сектора
может быть взята в качестве основного параметра.
Рис. 9.22.
Рис. 9.23.
а. Неравенство Юнга. Пусть_у=/(дг) @^ х <оо) —
возрастающая непрерывная функция, причем /@) = 0,
/(оо)=оо. Пусть x=g(y)— обратная функция E.38), которая
в данном случае также непрерывна и возрастает от х = 0
до х = оо. Положим для х ^> 0, у
о 6
Утверждается, что для любых х > 0, у > 0 имеет место
E)
которое называется неравенством Юнга. Оно очевидно из
геометрических .соображений (рис. 9.23); мы не сомневаемся,
что читатель сможет построить и аналитическое доказа-
доказательство. Заметим еще, что неравенство E) обращается
в равенство лишь при y=f(x).
Неравенство Юнга служит основой для многих других
неравенств, важных в анализе. Отметим здесь частные случаи:
1
прлагая /(х) = хр~\ g(y)=yp~l, получаем неравенство
:^+у1 С±+—= 0. F)
Р Я \Р Ч J' V '
9.62]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
355
а полагая ^ = 1п(л:+1), х —
— 1, получаем неравенство
.у—1. G)
Оба неравенства F) и G) справедливы для любых
У>0.
9.62. Площадь в полярных координатах. Рассмотрим
уравнение кривой в полярных координатах (рис. 9.24) r = r(tp) и вы-
вычислим площадь сектора ОАВ, ограниченного двумя лучами
Ф = сс и ф = Р и дугой линии r = r(tp), заключенной между ними.
Сектор ОАВ есть жорданово множество и в
силу общей теории (9.27) имеет площадь,
которая заключена между площадью любого
жорданова множества, содержащего сектор
ОАВ, и площадью любого жорданова мно-
множества, содержащегося в секторе ОАВ. Пусть
есть разбиение участка [а,
ординаты ф и, как обычно,
A <Pfc. «*=
изменения ко-
коmin
о
Affc= max г (<р).
Обозначим через Рк точку (tpk,
961 D)
Рис. 9.24.
иа кривой /- = /-(ф). Нам из-
изй х
р к у (pk, (ф^)) р
вестно выражение 9.61 D) для площадей секторов, ограниченных
X
Рис. 9.25.
Рис. 9.26.
лучами 8 = фЛ н 6 = ф6+1 и дугами окружностей радиуса тк и Mk
(рис. 9.25). Используя эти выражения, мы замечаем, что величинэ S,
которую мы желаем определить, должна удовлетворять неравенствам
к-0
*=0
356 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.63
Но если функция л = л(ф) непрерывна, то при неограниченном из-
измельчении разбиения П обе суммы справа и слева стремятся
к одному и тому же пределу
таким образом, эта величина и есть площадь фигуры ОАВ.
Пример. Кривая r = asinпир (при т нечетном) называется
m-лепестковой розой (рис. 9.26). Соотношение
я/m
f
я/m я
If If
тг \ a? sin2 nvpdtp = „— \ aa
показывает, что площадь одного лепестка /п-лепестковой розы равна
A//п)-й части от площади лепестка «однолепестковои розы» r=a sin ф
(которая, между прочим, есть обычная окружность).
9.63. Длина дуги. Еще в 9.28, определяя длину
дуги как предел длин вписанных ломаных, мы получили для
длины дуги кривой у=/(х) между точками х = а и х = Ь
выражение (в предположении существования интеграла)
A)
В общем случае кривую у можно описывать параметри-
параметрическими уравнениями, задавая текущие координаты точки
кривой как функции от некоторого параметра t. Таким об-
образом, на плоскости мы будем иметь два уравнения: х = х (t),
У —У @;в трехмерном пространстве—три уравнения: х = х (t),
y—y(t), z= z(t); в л-мерном пространстве будем иметь
л уравнений:
Будем предполагать, что функции x}(t) определены на
отрезке o^^Jh имеют кусочно-непрерывные производные.
В этом случае кривую у будем называть кусочно-гладкой.
Пусть П — {с — ^0 < tx < ... < tp = b) — разбиение от-
отрезка [а, Ь]. Каждой точке tt соответствует точка М{ на
кривой у, имеющая координаты хгу(), ...,xn(tt). Соединяя
точки М( отрезками, получим ломаную М0Мг ... М , длина
9.63] § 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 357
которой может быть найдена .по формуле
Здесь мы имеем в силу кусочной гладкости функций Xj{t)
tt+г
x/{tl+1)-x/(ti)= $ x',(t)dt.
n
Запишем этот интеграл в виде х) (t{) А/,- + в,-/Д/;, где в слу-
случае, когда tt есть точка разрыва функции x)(t), под #(/)
мы понимаем x'j(tt-\-Q). Отсюда
II х, (ti+1) - х, {t г) \-\x'i it,) | Mi | < | et/\ At,.
В силу неравенства 3.14 (8)
[]/ Si^iw-^feii'-
2
и, далее,
S
-^1]/ SI
C)
Величина efy- допускает оценку
I 1 *?\ .
f
Сумму справа в C) разобьем на две части: в первую отне-
отнесем слагаемые, соответствующие промежуткам непрерывности
всех x)(t), во вторую—промежуткам, содержащим точки
разрыва хотя бы одной из xj (t). Так как в промежутках
непрерывности функции x)(t) равномерно непрерывны, то,
если (th ^,-+1) есть промежуток непрерывности x)(t), мц
имеем тах|х/.(/)—A;/(/f)|^co(d(n)), где ю(и)—бесконечно
малая величина вместе с и, a d (П), как обычно, есть max Д^-.
358 гл. 9. интеграл римаиа [9.63
Если в промежутке Att функция x)(t) терпит разрыв, то
правая часть в D) допускает оценку
max | х, (t)—
где М—некоторая постоянная. В итоге величина справа
в C) получит оценку
где 2' относится к промежуткам, содержащим точки раз-
разрыва хотя бы одной из x}(t). Так как этих точек фикси-
фиксированное число, то с измельчением разбиения П сумма 2'
стремится к 0; одновременно стремится к 0 и величина
со (d (П)). С другой стороны, функция
также кусочно-непрерывна и выражение
есть ее интегральная сумма, которая при й (П) —»¦ 0 имеет
предел
s—
Теперь из неравенства C) мы усматриваем, что при d (П) —*¦ О
и величина Lp имеет предел, равный интегралу E).
Итак, длина дуги кривой B) между значениями t = a и
t — b, определенная как предел вписанных ломаных, в пред-
предположений кусочной гладкости функций Xj(t) существует
и выражается интегралом E).
При л=2 получается формула (д;1=д;, х2—у)
ъ
s = S /[*'(<)]¦+[/(')]¦ dt• F)
а
Если здесь в качестве параметра / взята координата х, то
мы возвращаемся к формуле A).
9.63]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
359
Примеры.
а. Длина дуги цепной линии у — ch х между точками
с абсциссами х = 0 и х = Ь (рис. 9.27) равна
ь ь
* = $ ch л: d* = sh ?.
s *= J )Л—
б. Длина дуги окружности л: = г cos 8, _у = г sin 6, огра-
ограниченной лучами 6=0! и8=82, О^0
я, согласно F), равна
в.
/ siu2 6+г2 cos2 6 d6 =
J
В частности, при 6Х = 0, 82 = 2я, получа-
получаем, что длина полной окружности радиу-
радиуса г равна 2яг. Таким образом, число я по-
получает новую интерпретацию как отно-
отношение длины окружности к ее диаметру.
в. Длина дуги эллипса
х = a cos /, у = b sin t, b > а
с
с эксцентриситетом е = -г-
на участке
Т:
s = J ]/a2 sin2 / + б2 cos2 / d/ = JКа2 sin
о
о
T
5 2—F2—a2)sin2/ d*=-fc] Kl— 8
о о
где ?(e, 7)—эллиптическая функция Лежандра (9.45).
г. Длина одного витка у — sin x синусоиды также вы-
выражается эллиптическим интегралом
Я/2 Я/2
Я/2
У 1--i.
360 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.63
Впрочем, здесь нет ничего удивительного, так как эллипс,
получаемый косым сечением прямого кругового цилиндра,
становится синусоидой при разворачивании этого цилиндра
на плоскость.
д. В отличие от площади, при растяжении какой-либо
из осей длина дуги кривой не преобразуется, вообще говоря,
сколько-нибудь простым образом; даже для ломаной линии
при указанном растяжении длина каждого звена умножается
на свой коэффициент, зависящий от угла этого звена с на-
направлением растягиваемой осн.
Однако если растяжение в k раз производится сразу
по всем осям (т. е. мы имеем дело с преобразованием по-
подобия), то, очевидно, в k раз увеличивается длина каждого
отрезка, каждой ломаной и, как следствие, длина каждой
кусочно-гладкой дуги.
е. Пусть s0 обозначает длину хорды Yoi соединяющей
точки А=М0 и В=Мр кусочно-гладкой кривой у. Так как
в силу неравенства треугольника каждая ломаная Л^Л^ ... М
имеет длину sp^ s0, to и длина s самой кривой у удовлетворя-
удовлетворяет тому же неравенству
Таким образом,
С другой стороны, если хорду у0 стягивать в точку Мо
так, что точка В стремится к точке А, то отношение
V ^j(b)-Xj(a
Ф-Фу 2 цсецр
л
имеет пределом 1, если¦ 2) [¦*} (й) ]'
в.63] § 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА 361
Мы приходим к следующему важному результату:
Длина дуги кусочно-гладкой кривой у есть бесконечно
малая, эквивалентная длине стягивающей ее хорды, когда
соответствующее приращение параметра стремится к 0.
ж. Дуга как функция параметра и как пара-
параметр. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями
х1 = х1(т), ..., х„ — хп(х), а<т<6,
где дгу(т)—кусочно-гладкие функции. Длина кривой L от
значения х = а до значения x=-t
есть кусочно-гладкая функция от t. Ее производная по t
вие точек разрыва x)(t)
\[*'lW G)
непрерывна н неотрицательна, так что s (t) не убывает.
Если х[ (t), ..., х'п (/) нигде вместе не обращаются в нуль
(а в точке разрыва одновременно не обращаются в нуль ве-
величины x)(t-\-0) и величины x) (t—0)), то на каждом про-
промежутке одновременной непрерывности функций Xj(t) можно
применить теорему об обратной функции: в этом случае
существует обратная функция t = t (s), также непрерывная,
возрастающая и обладающая производной, которая, как видно
из формулы 7.16 B), кусочио-непрерывна вместе с s'(t). A
тогда и все функции Xj{t) можно представить в виде функ-
функций от s, причем также непрерывных и с кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывными производными. В частности, если t означает длину дуги,
то из G) следует, что
K(s)]!sl. (8)
Точки, в которых все функции х\ (t) обращаются в нуль,
называются особыми точками; параметрическое представление
с параметром—дугой, как мы видим, возможно на участках
кривой, не содержащих особых точек.
362
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.64
9.64. Площадь поверхности вращения. Дана
кривая L — {y =/(дг)>0, х?[а, Ь]}. При ее вращении
вокруг оси х образуется поверхность Р, площадь которой мы
желаем определить (рис. 9.28).
Пусть сначала функция
f(x) линейна, /(#) = kx-\-b^,
тогда поверхность Р называет-
ся конусом, (рис. 9.29); линия
у = kx + Ьг называется обра-
образующей конуса, точка А пересе-
пересечения образующей с осью —
вершиной конуса, окружность
V» полученная вращением точки
В,—направляющей окружно-
окружностью. Площадь поверхности конуса определяется следующим
образом. Выберем иа окружности y точки Вг, ..., Вт и
соединим их последовательно отрезками друг с другом и
с вершиной А; получится, во-первых, замкнутая ломаная
Рис. 9.28.
Рис. 9.29.
{Bt.. .В|ВВ1} = Я, во-вторых,—система равнобедренных тре-
треугольников ВХАВ2, ..., BmABlt образующих в совокупности
вписанную пирамиду П (рис. 9.30). Площадь поверхности
пирамиды П мы определим как сумму 5(П) площадей со-
составляющих ее треугольников. Положим BkBk+1 — 28h
{k=\, ..., m) и d(II) = max6fe. Рассмотрим произвольную
последовательность вписанных пирамид nlf..., П„,...
с d(П„) —"О; оказывается, что числа 5(П„) имеют предел,
который не зависит от специального выбора этих пирамид;
9.64]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
363
этот предел мы и будем по определению считать площадью
поверхности конуса Р.
Чтобы доказать существование предела последователь-
последовательности S (П„), найдем явное выражение чисел S (П). Пусть /
Рис. 9.30.
есть длина образующей конуса (от вершины до точки В).
Высота треугольника BkABk+1 равна
где Е имеет предел 1, когда 6ft—»0 E.59 е). Площадь
треугольника BkABk+1 равна 6Й|^/2—6| = 6ft/ ^—, а пло-
площадь поверхности вписанной пирамиды
^ (О
где Р(П) есть длина ломаной Я. При d(II)—»-0 длина ло-
ломаной р (П) стремится к длине окружности y (9.63 б),
равной 2ji/?, так что уменьшаемое в \ 1) имеет предел nlR.
Если все 6fe < е, то вычитаемое в A) оценивается сверху
величиной -кг • 2е8Р (П) (при достаточно малых 6fe), откуда
видно, что при й (П) —»¦ 0 оно стремится к 0. Таким обра-
образом, последовательность чисел 5(П„) имеет предел, равный
tiLR. Эту величину nLR, как было сказано, мы и прини-
принимаем за площадь поверхности конуса.
364
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.64
Площадь поверхности «усеченного конуса» (рис. 9.31),
получающегося при вращении вокруг оси х отрезка прямой
y = kx-\-b, мы определим как разность площадей поверх-
поверхностей двух конусов с образующими Lt и L2 и радиусами
оснований соответствен-
соответственно Rx и /?2. Мы получим
величину
n(L1R1—LiR2) =
поскольку
Рис. 9.31.
! — ?2#И
или, что то же, т^ = тГ|
как легко получить из
соображений подобия.
Величина Lx—12 есть
очевидно, длина отрезка образующей конуса.
Переходим теперь к общему случаю, причем вместо кривой
у=у(х) будем рассматривать кривую в параметрической
форме
L — {x — x(t), y=y{t)^sO, a<^<p, x(a) = a, хф) = Ь\.
Площадь поверхности вращения этой кривой вокруг оси х
определим, как предел площадей поверхностей,. полученных
вращением вокруг оси х ломаных, вписанных в кривую L.
Пусть П = {а=?0^/1^ ... ^^„= р}—разбиение проме-
промежутка [а, Р] и Ln—ломаная с вершинами в точках
(х (А>)> У (^о))» • • • 1 (* Wn)' УХ*п))' k'e звено этой ломаной
t = A:(^+i)—л(^),
где
имеет длину Д/А
Ay*==J'('*+i)—У Wit)' ^Ри вращении А-го звена этой ломаной
вокруг оси х получается усеченный конус, поверхность ко-
которого равна n(yk+yk+i) А1к; суммируя по всем звеньям,
получаем выражение площади поверхности вращения ломаной
п-1
Предположим теперь, что функции х (t) ny (t) обладают
непрерывными производными х' (t) и у' (t). Тогда выражения
кх% и Ау% можно преобразовать по формуле Лагранжа 7.44,
§ 9.6. приложения интеграла 365
и мы получим
рп = я Д [У (<*) +J (**+i)] К[*'($*>]' +[/(П*)]
где точки |ft и Tjft находятся в промежутке (tfft, *ft+i). На-
Наряду с выражением Рп рассмотрим величину
W &)]» + [у' С*)]2 АV
Величина Р*п есть интегральная сумма для непрерывной
функции 2яу (*) V[x' (*)]*¦{-\y'(t)]2 и при неограниченном
измельчении разбиения П имеет пределом число
Э
S = 2n\y(t) V[x'{t)Y+\y'{t)Y dt. B)
а
Покажем, что и величина Рп при неограниченном измельче-
измельчении разбиения П имеет этот же предел. Достаточно про-
проверить, что
lim [P*n-Pn]=O.
d (П) ->- О
Действительно, для заданного е > 0 можно найти S > 0 такое,
что из | ^'—11 < fi следуют неравенства | х' (t')-x' (t) | < 8,
Ь' (П—У' V) \<в,\у (t')-y (t) | < е. Если d (П) < S, то,
в частности,
так что
[у ('
k)+el8) К(^
= Bу (< /
где |64|<2тах[|л;'@|+|/@| + 8]. Для любых а, Ъ >О
имеют место неравенства*)
\Га—VT< Va + b^V~a+V"b;
*) Первое из них очевидно; второе есть неравенство треуголь-
треугольника в R2 для векторов (Уа, 0) н @, У~Ь).
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
366
поэтому
В нашем случае можно написать
[9.64
где 1651 ^ 1. Отсюда
л-1
р Р* == 2зт Т'
Bу (tk) + в1в) [К[л:'
л—l
очевидно, эта величина стремится к нулю вместе с е, что
нам и требуется.
Итак, формула B) дает выражение для искомой площади
поверхности вращения в предположении существования и
У
Рис. 9.32.
непрерывности у' (t) и х' [t). При
к виду
Рис. 9.33.
: она приводится
9.65] §. 9.6. приложения интеграла 367
Примеры.
а. Поверхность с фле р ы радиуса R. Сфера есть поверх-
поверхность вращения полуокружности x—R cos 6, у— R sin в, 0 s?6s?я
(рис. 9.32). Поэтому, согласно формуле B),
J R sin в VR* sin
о
я
б. Катеноид—поверхность вращения цепной линии относительно
оси х (рнс. 9.33). Мы имеем здесь у—сЪх, у'=shx, }^"l+'ah
9.65. Общая схема использования инте-
интеграла. Пусть нам нужно вычислить некоторую величину v.
Предположим, что эта величина есть одно из значений
функции v(x) переменного х, меняющегося в промежутке
[а, Ь], например v = v(b). Если мы сможем для каждого
х<?[а, Ь] указать главную линейную часть dv приращения
Av функции v(x) при переходе от х к x-{-dx в форме
dv=f(x)dx A)
и если мы знаем v(a), то задача в принципе сводится к вы-
вычислению интеграла
ь
B)
Действительно, коэффициент f(x) в главной линейной
части приращения функции есть производная от функции
v(x), поэтому наша задача сводится к проблеме восстанов-
восстановления первообразной, которая и решается с помощью ин-
интеграла B).
В некоторых случаях, когда составление равенства A)
встречает затруднения, но можно получить неравенство вида
368 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.65
мы, интегрируя его, получаем оценку величины v(b):
ь
а
Следует иметь в виду, что при составлении выражения dv
(в отличие от Av) можно пренебрегать малыми высшего по-
порядка по сравнению с dx. Это соображение часто упрощает
задачу.
Рассмотрим несколько простых примеров.
а. Какую работу нужно произвести, чтобы 1 кг массы поднять
с поверхности Земли за пределы земного тяготения?
Пусть W (А) означает работу, необходимую для поднятия 1 кг
на высоту h. Сила F'= F (h), с которой Земля притягивает массу 1 кг,
находящуюся на высоте h м над уровнем моря, по закону Ньютона
равна С- , nv,, где /?—раднус Земли. ПостояннуюС можно найти
из условия, что эта масса на уровне моря притягивается Землей
R2
с силой в 1 кг веса (= 9,8 кг ¦ м/сек2). Отсюда С = /?а, F (И) = .. р. „ кг.
Переместим нашу массу с высоты h на высоту h+Ah м. Считая на
этом участке силу F(h) постоянной, получаем работу
В действительности сила F не постоянна на промежутке [h, h+Ah],
но учет ее изменения на этом промежутке привел бы к появлению
в выражении dW малых высшего порядка (~ AF-Ah), в то время
как нам нужны только малые первого
порядка по сравнению с dh.
Теперь по формуле A) получаем ве-
величину работы, необходимой для под-
поднятия 1 кг на высоту Н:
н
С
ft0
ft=0
Рис. 9.34. При весьма большом И величина тггъ
становится пренебрежимо малой (в этом
случае и говорят «за пределами земного тяготения», так как для
дальнейшего удаления практически уже не приходится расходовать
работу против силы притяжения Земли). Поэтому истинный ответ
есть W= 6,4- 10е кг-м.
б. Воронка с верхним сечением S, нижним s и высотой Н на-
наполнена водой (рнс. 9.34). Известно, что скорость истечения из ниж-
9.66J § 9,6. приложения интеграла 369
него отверстия в тот момент, когда высота столба воды над ннм есть А,
равна
За сколько времени вся вода выльется из нижнего отверстия?
Обозначим через S(h) сечение воронки на уровне h=h(t) над
нижним отверстием и через о—о @ объем воды в воронке в мо-
момент времени t. За промежуток времени [t, t-\-bt\ через нижнее
отверстие воронки вытечет v-s-dt = \T2gh-s.-dt см3 воды (мы считаем,
что за это время скорость истечения остается постоянной, так как
учет ее изменения привел бы к появленню малых высшего порядка,
а нам нужны только малые первого порядка по сравнению с dt).
Эту же величину do мы получим, считая, что вытекающий объем
равен объему цилиндра с высотой dh и сечением S(h) (в действи-
действительности вытекающий объем есть объем усеченного конуса, но
разница составляет малую высшего порядка по сравнению с dh).
Получаем равенство
откуда
s(h) ь* dh s ЛГ» ..
Интегрируя по t от 0 до Т и учитывая 9.54, получаем
]fa]fc I
0 0 0
откуда
-f VIs-
в. Оценка площади р-о крести ости плоской
кривой. Геометрическое место Vf (L) точек всех кругов
радиуса р, центры которых лежат на заданной кривой I,
называется р-окрестностью кривой L (рис. 9.35). Кривую L
будем считать кусочно-гладкой; можно доказать, что при
этом множество Vf (I) имеет площадь. Мы покажем здесь,
что площадь Sf (L) множества Vf (L) допускает оценку
B)
где s (L) есть длина кривой L.
Для доказательства введем на кривой I в качестве па-
параметра длину дуги s, отсчитываемую от начальной точки
Л(в = 0) до конечной точки В (s = so) (9.63 ж). Пусть 5р(?.в)
есть площадь р-окрестности дуги кривой L, определяемой
370 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [•• в
промежутком O^ss^o изменения параметра s. Пусть Qp
есть круг радиуса р с центром в точке С (s — а). Возможные
положения точек С ? I, отвечающих значениям параметра s
в промежутке о ^ s ^ о + ds, заключены в круге радиуса ds
с центром в точке С (рис. 9.36). Возможные положения точек
Рис. 9.35. Рис. 9.36.
кругов радиуса р с центрами в точках С заключены в круге
Qf+as радиуса p-\-ds с центром в точке С. Поэтому полное
приращение величины 5р (Ls) при переходе параметра s от
значения о к значению a-^-ds не превосходит разности пло-
площадей кругов Qp+ds и Qp, т. е. величины
я (р + dsf—пр2 = 2яр ds + я (ds)\
Для главной линейной части этого приращения получаем
оценку
dSp (Ls) < 2яр ds.
Интегрируя nos в пределах от 0 до s0, находим
C)
Так как 5р (?.„) = яр2, из C) следует B).
г. Объем тела с известными горизонталь-
горизонтальными сечениями. Из общей теории измерения объемов
следует, что объем прямого цилиндра с жордановым основа-
основанием 5 и высотой Н равен SH (рис. 9.37). Пусть имеется
произвольное тело, у которого сечение Vh, проведенное
на высоте h, жорданово и имеет площадь S(h) (рис. 9.38).
Предположим, что контур сечения Vh меняется непрерывно
9.65]
§ 9.6. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
371
с изменением высоты h; это означает, что для любого 8 > О
найдется 6>0 такое, что при \h—Л'|<б проекция на
плоскость основания границы сечения W проходит в е-окре-
стности проекции на ту же плоскость границы сечения Vh
(в). Тем самым разница площадей сечений Vh и Vk не пре-
превосходит площади этой окрестности и, согласно в. оцени-
оценивается сверху числом CeL, где L—число, ограничивающее
сверху длины контуров всех горизонтальных сечений.
Рис. 9.37.
Рис. 9.38.
Обозначим через v (h) объем тела, ограниченного сверху
сечением Vh, При переходе от hv.h-\-dh главная линейная
часть приращения v (к) может быть записана в форме S (Л) dh,
как если бы в промежутке [Л, h + dh] тело представляло
собой цилиндр; действительное приращение объема от-
отличается от приведенной величины на малую высшего по-
порядка по отношению к dh. Итак,
dv = S(h)dh;
н
интегрируя, получаем
и
v=\s(K)dh. D) \
° i
д. Объем конуса К вы- Рнс 9 39
соты Н с площадью S верхнего
сечения (рис. 9.39). Сечение на высоте Л, по соображениям
подобия, имеет площадь S{h) = S-(-rj-j . Отсюда
372
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.65
е. Объем шара радиуса R. Площадь сечения на вы-
высоте h (над центром) равна я(/?2—Л2) (рис. 9.40). Отсюда
R
г» = 2 f я(R2—Л2)dh = 2я fR4 — ~\ I* =
ж. Для тела вращения формулу D) можно переписать
в виде
и
*(h)dh, E)
где г (Л) есть радиус сечения на высоте А.
Рис. 9.40.
Рис. 9.41.
з. Объем тела, вырезанного из шара радиуса R парабо-
параболоидом вращения с вершиной в центре шара (рис. 9.41).
Уравнение параболоида 2аг = л:2+_у2; отсюда площадь се-
сечения параболоида плоскостью на высоте h (над центром
шара) равна я-2вЛ. Площадь сечения шара на высоте h равна
я(/?2—Л2). Пересечение поверхности шара и поверхности
параболоида происходит на высоте z0, определяемой из
уравнения 2azo = Ri—z\; таким образом, zo=—а
и
v~)n-2ahdh+] я(/?2-гЛ2) dh.
о zQ
Полученные интегралы легко вычисляются; выкладку пре-
предоставляем читателю.
8.71] § 9.7. интегрирование последовательности 373
и. При растяжении тела в k раз вдоль какой-либо оси
его объем возрастает в k раз (доказательство такое же, как
в 9.61 г-д для плоского случая). Отсюда, например, полу-
4
чается, что объем эллипсоида с полуосями а, Ь, с равен -^ nabc,
4
поскольку шар радиуса 1 имеет объем -~-п, а наш эллип-
О
соид получается из шара растяжением в а раз по оси х,
в b раз по оси у и в с раз по оси z.
§ 9.7. Интегрирование и дифференцирование
последовательности функции
9.71. Рассмотрим последовательность интегрируемых
функций fx (х), /2 (х), ...,/„ (х), ... на отрезке а ^ х ^ Ь,
сходящуюся всюду на [а, Ь\ к некоторой функции f(x).
Поставим следующие вопросы:
(а) Будет ли функция f(x) также интегрируемой}
(б) Если ответ на (а) положительный, справедливо ли
равенство
ь ь
lim $/„(*) rf* =
Оказывается, что в общем случае ответ на оба поставлен-
поставленных вопроса отрицательный.
(а) Пусть fn(x) равна 1, если д:^[0, 1] имеет вид — ,
где q^.n, к равна 0 в противном случае. Таким образом,
функция /„ (х) отлична от 0 лишь в конечном числе точек,
и потому (9.16 в) интегрируема (с интегралом, равным 0).
Последовательность /а[х) имеет в каждой точке отрезка
[0, 1] при п—»¦ оо предел f{x), равный 1 в рациональных
точках и 0 в иррациональных точках. Функция f(x) не ин-
интегрируема (9.17).
(б) Пусть /„ (х) равна п sm пх при 0 ^ х ^ — и равна 0
при — ^ х «S я. Эта последовательность /„ (х) имеет предел
в каждой точке х?[0, я], равный 0. Предельная функция,
очевидно, интегрируема, и ее интеграл по отрезку [0, я]
Я/Й
374 гл. 9. интеграл римана [9.72
равен 0. Однако
yfn(x)dx = J
о о
и равенство A) заведомо не выполняется.
9.72. Положительного ответа на вопросы 9.71 (а), (б)
можно ожидать, если на сходимость последовательности /„ (х)
будут наложены дополнительные условия. Таким дополнитель-
дополнительным достаточным условием является равномерная сходимость
функций /„(.v) к своему пределу f(x), определенная нами
в 5.93. Напомним определение в применении к нашему слу-
случаю: последовательность /х (х), /2 (х), ... сходится к функ-
функции f(x) равномерно на [а, Ь], если для любого е > 0 най-
найдется такое N, что при всех х?[а, Ь] и п~^ N выполняется
неравенство \/(х)—/„ (х) | < е.
Теорема. Если последовательность интегрируемых
функций /х{х), /г(х), . .. сходится к функции f(x) равно-
равномерно на [а, Ь], то f(x) также интегрируема и имеет место
предельное соотношение
равномерно на [а, Ь]. В частности,
ь ь
я-*» а а
Доказательство. Для любых разбиений П и ЕР
отрезка [а, Ь\ и любого л=1,2, ... мы имеем
Sa (/) = 5п(/„) + 5п (/-/„), A)
Sn' (/) = Sn- (/„) + Sn-{f-fn). B)
Для заданного е > 0 найдем номер п так, чтобы всюду на
[а, Ь] выполнялось неравенство
тогда, очевидно,
|5п(/-/„)|<|, |5П. (/-/„)|<±.
9-73J § 9.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 375
Так как функция fn(x) интегрируема на \а, Ь], а следова-
следовательно, и на [а, х] (9.15 л), то существует б > 0 такое, что
для любых разбиений П и П' с й(П)< 6, d(IT)<6
Но тогда для этих же разбиений из A) и B) следует
Это означает, что для интегральных сумм функции f(x) вы-
выполнен критерий Коши, откуда по теореме 4.19, применен-
примененной к рассматриваемому направлению rf (П) —¦*¦(), и следует
существование интеграла.
Для доказательства второй части теоремы заметим, что
а
х
-в) C)
для всех номеров л, для которых при всех х выполняется
неравенство
!/(*)-/„(*) К в. D)
Так как последовательность/„ {х) равномерно сходится к/(х),
то неравенство D) выполняется при заданном е для всех
номеров п, начиная с некоторого N; отсюда и следует тре-
требуемое.
9.73. Теорема 9.72, доказанная для последовательности
функций, немедленно переносится на функциональный ряд:
Теорема. Если ряд интегрируемых функций
.. A)
376 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.74
сходится к сумме S (х) равномерно на [а, Ь], то S (х) также
интегрируема и имеет место предельное соотношение
ton S $cpft(i)<*i = $S(S)di B)
равномерно на [а, Ъ\. В частности,
ь ъ
C)
Доказательство получается немедленно из равно-
равномерной сходимости к S(x) частных сумм ряда A) и из тео-
теоремы 9.72.
9.74. Примеры. Ряды
1 =1—дг^ + д:*—дгв+ ... B)
сходятся равномерно на любом промежутке [—b, b],O<Cb<C 1.
Интегрируя их почленно от 0 до i, получаем новые ряды
<+ C)
также сходящиеся равномерно' на [—ft, 6], 0 < й < 1. Так как
ряды справа в C) и D) сходятся и при t= 1, а функции слева
в этих равенствах непрерывны при 0 ^ t ^ 1, то, используя
6.67 и 5.68, получаем
9.76. С помощью теоремы 9.73 можно разлагать в сте-
степенные ряды многие неэлементарные функции. Например, ин-
интегрируя разложение
sinf , f t* t*
t " 3! +5! 7!" + •••»
9.77] § 9.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 377
сходящееся равномерно на любом отрезке [—Т, У], получаем
разложение в степенной ряд интегрального синуса
J
о
также сходящееся равномерно на любом отрезке [—У, У].
9.76. Поставим вопросы, аналогичные вопросам 9.7/ (а),
(б), для операции дифференцирования. Пусть имеется по-
последовательность дифференцируемых функций на отрезке
А(х), /,(*), ..., /„(*)> ....
сходящаяся всюду на [а, Ь] к функции f(x). Спрашивается:
(а) Будет ли функция f(x) дифференцируемой?
(б) Если ответ на (а) положительный, справедливо ли
равенство
A)
Снова ответ на оба поставленных вопроса отрицатель-
отрицательный—даже при равномерной сходимости последовательности
(а) Последовательность дифференцируемых функций на
[-1.+Ч
/„(*) = !* Г"
равномерно на [— 1, +1] сходится к функции f(x)*=\x\,
уже не имеющей производной при je = O.
(б) Последовательность функций на [0, п]
fn(x) = -sinnx
равномерно сходится к 0. Предельная функция, очевидно,
дифференцируема. Но равенство A) не выполняется: после-
последовательность f'n (x) = cos nx не сходится ни в одной точке,
кроме х = 0.
9.77. Положение изменится, если мы предположим равно-
равномерную сходимость производных. При этом оказывается, что
378 гл. 9. интеграл римана [9-78
относительно последовательности самих функций хп (f) можно
предположить уже много меньше:
Теорема. Если последовательность кусочно-гладких
(9.39) функций xn(t) сходится хотя бы в одной точке t0
отрезка [а, Ь\, а последовательность их производных x'n(t)
сходится равномерно на [а, Ь\ к кусочно-непрерывной функ-
функции g(t), то последовательность функций хп (t) сходится
равномерно на [а, Ь\ к некоторой кусочно-гладкой функции
x(t) с производной х'{t)= lim x'n(t) = g(t) в точках непре-
рыености функции g(t).
Доказательство. Для функции хп(t) мы имеем, со-
согласно 9.32,
t
*„(/)-*„(/„)=$*» (Б) <* Б, A)
и по теореме 9.72 функции xn(t)—xn(t0) равномерно схо-
сходятся на отрезке [а, Ь\; а так как числа xn(t0) имеют предел,
то равномерно сходится сама последовательность xn(t).
Обозначим ее предел через х (t). Переходя к пределу в ра-
равенстве A) и снова используя теорему 9.72, получаем
Так как функция g(t) по предположению кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывна, то согласно 9.31, функция x(t) дифференцируема всюду,
кроме точек разрыва функции g(t), и при этом в точках
непрерывности g(t) имеем х' (t) = g(t) —lim x'n(t), что и тре-
требовалось.
9.78.. Сформулируем аналогичную теорему для ряда.
Теорема. Если ряд из кусочно-гладких функций
ui (х) + иа (*)+... сходится хотя бы в одной точке отрезка
[а, Ь], а ряд из производных и\ (х) -f-... сходится равно-
равномерно на [а, Ь] к кусочно-непрерывной сумме s(x), то ряд
из функций ип (х) сходится равномерно на [а, Ь] к некоторой
кусочно-гладкой функции g(x) с производной g'(х), равной
s(x) в точках непрерывности функции s(x).
Для доказательства к последовательности частных сумм
рассматриваемого ряда нужно применить теорему 9.77.
9.82] § 9.8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПАРАМЕТРУ 379
§ 9.8. Интегрирование и дифференцирование
по параметру
9.81. Пусть дана числовая функция f(x, f) от аргумента х,
пробегающего отрезок Д = {а <1 *<!&}, и аргумента t, про-
пробегающего метрическое пространство М. Пусть эта функция
f(x, t) равномерно непрерывна по совокупности аргументов
х, t или, что то же, равномерно непрерывна на метрическом
пространстве Q=AxM E.18 и 5.17а).
Теорема. При указанных условиях функция
ь
O(t)=\f(x,t)bx
равномерно непрерывна на пространстве М.
Доказательство. Обозначим через
©/F)= sup \f(x', t')-f(x", f)\
\x'-x"\<t
P <*'. П < 6
колебание функции f(x, t) на пространстве Q E,17 в). Для
заданного е > 0 существует такое 60 > 0, что при 6<60
имеем ©/F)<е. Пусть р(^', f) ^ 6 < б0; тогда
х, t')-f(x, f)\dx
с, t')-f(x,
а
откуда
(офF)= sup |Ф(^')—Ф(Г)|^©Дб)№—a)<e(ft—а),
р (г. п < е '
что доказывает равномерную непрерывность функции Ф@
на М.
9.82. Пусть вещественная функция f(x, t) определена
и непрерывна в прямоугольнике Q =
Тогда
A)
bid ^ d (Ь }
[\[f{x,t)dt\dx= S{J/(x, t)dx\dt.
380 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Доказательство. Положим
ф(*) = $/(*, t)dx (с
а
d
F (*)=$/(*, t)dt (a
[9.82
В силу 9.81 функции Ф@ и F(x)—непрерывные функции
своих аргументов. Далее, напомним, что разность между
интегралом от непрерывной функции G(t) по отрезку [с, d]
и ее интегральной суммой, построенной по разбиению П
с d(n)<l6, имеет оценку (9.15 н)
* т-Л
\ G(t)dt— 2 G(lj)Mj <©GF)(d—с). B)
с i~°
В частности, для разбиения П отрезка [с, d] с d(IIX6
имеем
S/(*. *>л-"]2 /(*>*/)**/
Интегрируя это неравенство по х, получаем (9.15з)
U]f(x, t)dt\dx-\\ 2 f(x,ij)Mj\dx
а \с ) а К 1=0 )
С другой стороны, в силу той же оценки B), примененной
к функции Ф@, мы имеем
^<!)(t)dt—
d 1Ъ
с, t)dx\
d~ с)
Так как, очевидно,
dt- 2
i=°
f F) (b — a)(d—c).
D)
(т-1 ) т-\ (Ь \
.2 fix, tj)Mj\ dx = 2 \\f(x, tj)dx\Atf,
9.84] § 9.8. интегрирование по параметру 381
то из C) и D) следует, что
Ъ (й \ й ( Ь
Ъ t& j & I Ь ^
\ S/^, t)dt\dx -5 j5f{x, t)dx\
a \c ) с \a )
и так как правая часть может быть сделана произвольно
малой, то справедливо равенство A), что и требуется.
9.83. Пример. Положим в теореме 9.82 fix, t) = xft
#€ [0, 1], t?[a, P] (а>0, Р>0); мы получим
а \0
Вычисляя внутренние интегралы, находим значение опре-
определенного интеграла
1
\
Это значение было бы затруднительно вычислить обыч-
обычными приемами, описанными в §§ 9.4—9.5, поскольку неопре-
деленный интеграл от -j не выражается в элементарных
функциях.
9.84. Теорема. Если функция fix, t) определена при
a^Lx^Lb, c^Lt^Ld и в окрестности точки to?(c, d)
обладает непрерывной производной по аргументу t:
то справедливо равенство
]l A)
при любом to?[c, d].
Доказательство. Поскольку функция f't(x, t) непре-
непрерывна в прямоугольнике а<1 х^Ь, t0—б^^^^ + б, к ней
382 гл. 9. интеграл римаиа [9-86
можно применить теорему 9.82; используя формулу Ньюто-
Ньютона—Лейбница (9.32), мы получаем, далее, при любом
^€[^о—б, rfo-{-6], что
t (Ь \ Ь ( t
' dx
\
a \t0
Ь
= $/(*, t)dx-[f(x,Qdx.
Левая часть равенства имеет производную по t, равную
подынтегральной функции (9.31). Следовательно, и правая
часть равенства имеет эту же производную. Но второе сла-
слагаемое в правой части не зависит от t, и его производная
по t равна 0. Приравнивая производные от правой и левой
части и полагая t = t0, приходим к равенству A). Теорема
доказана.
9.85. Пример. Интеграл
Я/2
/(*)= J \n{P—sin*x)dx (t>l)
о
не вычисляется приемами § 9.4. Однако в силу теоремы
9.84 (ее условие здесь, очевидно, выполнено) имеем
л/2
f
(здесь первообразная уже вычисляется—с помощью 9.4-36).
Отсюда, интегрируя по t, можно восстановить значение
интеграла /(/):
Чтобы найти значение С, в равенстве
я/2
С= §ln(f2—sin2jc)djc—nlnit + VP—1) =
о
Я/2
= j In f 1 p- J dx —n In —J-L-j ,
9.86] § 9.8. интегрирование по параметру 383
справедливом при всех t > 1, будем переходить к пределу
при t—t-oo, или при т = -у—9-0. Заметим, что функция
определена и непрерывна в прямоугольнике 0 0:^
О^т<:то<1, поэтому, в силу 9.81, функция
я/2
Ф(т)= $ln(l— x*smux)dx
о
непрерывна при 0<1т<1т0. Следовательно,
Я/2
0 = Ф@) = НтФ(т)= liifl \ 1пA — x2sm2x)dx.
Х-* 0 Х-*- 0
С другой стороны,
Нт я 1П
Окончательно получаем С——я1п2и
9.86. Рассмотрим несколько более сложный случай, когда
не только подынтегральная функция, но и пределы интеграла
зависят от параметра t.
а. Теорема. Пусть функция f(x, t) непрерывна при
a^.x^Lb, c^Lt^.d, а производная f't{x, t) существует
и непрерывна при a^.x^b, \t—<0|^б. Пусть, далее,
функция (f(t) определена, непрерывна и дифференцируема
при \t —10 | < б и принимает свои значения в отрезке а^^Ь
Тогда функция
дифференцируема при t — t0 и
Ф'(*о>= S Л(*. 'o>d*+/D>('o). 'o)-«p'ft>)- О)
384 гл. 9. интеграл римана |9.87
Доказательство. Положим Ф (t) == Ф%(t) + Ф4(*),
где
Ф(*о) Ф«)
Фг@= $ f(x,t)dx, Ф2(/)= J f(x,t)dx.
Функция Фх (*) по теореме 9.84 имеет при t — t0 производную
Ф('о>
Производную от Ф2 (^) найдем непосредственно. Мы имеем
в силу теоремы о среднем 9.15 з; число 0 заключено между
q>(t0) и ф(^0 + Д/). В силу сделанных предположений отно-
относительно функций f(x, t) и q>(t) полученное выражение при
Д< —* 0 имеет предел
). 'о)- C)
Из B) и C) следует A), и теорема доказана.
б. Пусть, в частности, с = а, d = b, q>(t)sst. Мы полу-
получаем формулу
А
*
аЛ/<*. №
a
t=tc
, to)dx+f(to, t0), D)
справедливую в предположении, что f(x, t) непрерывна при
а^х^.b, a^t^.bn что f't(x, t) существует и непрерывна
в окрестности точки t = t0.
9.87. Пример. Найдем производную по х от функции
' (л=1, 2, ...), A)
где f(x)—функция, непрерывная при
9.91] § 9.9. криволинейные интегралы
По формуле 9.86 D) (где t заменено на х, а х—на в)
х
При этом, очевидно, /„(«) = О, так что
Заметим, кроме того, что /х(х)= \f{u) du.
а
Отсюда следует, что 1„(х) есть результат л последо-
последовательных интегрирований функции /(х) в пределах от а
до х,— иначе говоря, результат операции, обратной к
л-кратному дифференцированию. Формула A) представляет
результат этой операции в виде однократного интеграла
с параметром.
§ 9.9. Криволинейные интегралы
9.91. Криволинейный интеграл Стилтьеса.
Рассмотрим кривую L в л-мерном пространстве Rn с урав-
уравнениями Xj=Xj(t) (/=1, 2, ..., л), где функции Xj(t)
определены на отрезке [а, Ь], непрерывны и обладают не-
непрерывными (или кусочно-непрерывными) производными. Кри-
Кривую с выбранным направлением на ней (определяемым по
направлению роста t от а к Ь) будем называть путем.
п п
Согласно 9.63 ж, если 2J[*J (i + О)]2 и 2J [*/(*—О)]2 не об-
обращаются в нуль, на пути L можно ввести в качестве пара-
параметра длину дуги s, отсчитываемую от некоторой фиксиро-
фиксированной точки А.
Рассмотрим участок пути L от точки A (s = 0) до точки
B(s=S). Обозначим через П разбиение дуги АВ последо-
последовательными точками А = Мо, Мх, ..., Мр = В. Соответст-
Соответствующие значения параметра s, именно
386 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА [9.91
образуют разбиение отрезка [О, S] вещественной оси.
Как обычно, полагаем
d(П) = max(S/^~-Sj) = maxAsy. (j= 1, ...,/)-l).
Пусть на пути АВ заданы вещественные функции f(M)
и g(M). Составим сумму
2o/W^y+i)-^y)], О)
где точка М) лежит на дуге MjMJ+1, так что s (М)) =
— s'j€[s/> s/+i]- Предел при d (П) —>- 0 суммы A), если он
существует, называется криволинейным интегралом Стилтьеса
по дуге АВ от функции f{M) no функции g(M) и обозна-
обозначается через
lf(M)dg(M). B)
АВ
Например, всегда имеет место равенство
АВ
Если функция g(M) на дуге АВ постоянна, то, очевидно,
АВ
Если существует один из написанных ниже интегралов,
то существует и второй и имеет место равенство
J f[M) dg(M) = — $ fW dS{M).
АВ ВА
Когда путь АВ задан параметрическими уравнениями
xk — xh(t) (k=l, ...,п), а<;*<;?, функции f(M) и g(M)
можно считать функциями от параметра t: f=f{t), g=g(t)',
тогда интегральная сумма A) может быть записана в форме
2 /if,) [g{t/+1)-g(tf)], tj< t)<t/+1. C)
/=o
При неограниченном измельчении разбиения пути АВ раз-
разбиение отрезка [а, Ь] изменения t также неограниченно
9.91J § 9.9. криволинейные интегралы 387
измельчается, поскольку в силу наших условий t есть диф-
дифференцируемая функция длины дуги s и по формуле Лагранжа
At,- = Г (lj) As,, sj < lt < sj+1.
Обратно, по тем же причинам неограниченному измель-
измельчению разбиения отрезка [а, Ь] отвечает неограниченное
измельчение разбиения пути АВ. Поэтому суммы A) и C)
имеют предел одновременно, и вопрос о существовании кри-
криволинейного интеграла Стилтьеса B) приводится к вопросу
о существовании обычного интеграла Стилтьеса (9.56):
ь
\f(t)dg(t), D)
а
который для гладкой g(t) есть интеграл Римана 9.56D).
Поэтому справедливы формулы, аналогичные 9.56 E)—(8):
J [«i/i
АВ
= o1J/1(Af)rf^(^ + oa \fu(M)dg(M); E)
АВ А~В
Лв
= Рх $ / (М) dgx (М) + р2 J f(M) dg2 (M); F)
Хв АВ
J f(M)dg(M) =
А~В
= \f(M)dg(M) + J /(М) dg(M) (АВЭ Q; G)
Тс ев
f(M)dg(M)=f(M)g(M)\l- J g(M)df(M), (8)
s AB
если существуют интегралы в правых частях.
Часто встречается комбинация криволинейных интегралов
по одному и тому же пути
S А № dgl(M) +...+ 1 fp(M)dgp (M);
АВ ХЬ
388
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.92
она записывается короче так:
\fi№dg.
АВ
= lfidg1+...+fpdgp
л~в
(без скобок). В предположении непрерывности функций fj(t)
и кусочной гладкости функций gj (t) она вычисляется по пра-
правилу 9.56D)
ь
[fi(t)gi(t)+---+fp{i)g'p(t)]dt. (9)
9.92. Примеры. Найдем криволинейные интегралы
/1== J (х2— y*)dx, /2= J (хг—у*)йу,
А~В АВ
где АВ—дуга параболы у = х2 между точками Л = (—1, 1)
и В = (\, 1) (рис. 9.42). В первом случае можно взять за
параметр х, и мы получаем
В
Во втором случае нельзя
брать за параметр у, так
как одному значению у отве-
отвечают две точки на дуге.
Поэтому снова возьмем за параметр х; по 9.56 D) на-
находим
= 0.
9.93. Интеграл по замкнутому контуру. Если
конечная точка В пути АВ совпадает с начальной точкой А,
9.94]
§ 9.9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
389
путь АВ называется замкнутым контуром. Интеграл по замк-
замкнутому контуру L часто обозначается через
§fdg. A)
L
Величина интеграла A) не зависит от выбора начальной
точки А, так как по 9.91G) для любой другой точки А'
fdg= I fdg+l fdg=*
AA'A
AA'
A'A
= J fdg+ ^fdg= ^ fdg.
aTa aa- a'aa'
Но интеграл A) зависит от выбора направления обхода
контура, так как при перемене направления обхода на про-
противоположное все разности g(Mj+1)—g(Mj) меняют знак,
то при такой перемене направления обхода меняет знак и
интеграл A). При желании указывают направление обхода
стрелкой
= -§fdg.
L
Впрочем, такое указание может принести пользу лишь на
плоскости (л = 2).
9.94. Вычисление площади плоской фигу-
фигуры с помощью криволинейного интеграла.
fdg
B)
Пусть имеется плоская фигура
(рис. 9.43), ограниченная кривыми
y = 4i(x) (сверху) и у=Ч>2(х)
(снизу). Ее площадь равна
ь ь
A)
у
В
*-х
рис_ 943.
Заметим теперь, что по само-
самому определению оба написанных
интеграла можно считать криволинейными интегралами, так
что
-\ydx.
390
ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
[9.94
Далее, можно написать
5= \ у d$ + J у dx (—Z.2 есть L2, проходимая от В к А),
затем добавить (равные 0) интегралы по боковым верти-
вертикальным отрезкам (если тако-
таковые имеются); объединение
всех этих интегралов даст
интеграл по замкнутому кон-
контуру
с
0
М
Б
—foydx. B)
Рис 9 44. Таким образом, площадь фи-
фигуры можно записать через
криволинейный интеграл по ее контуру L.
Можно установить и более симметричную формулу. Имен-
Именно, меняя ролями координаты х и у, находим аналогично
(рис. 9.44)
d d
= \ xdy— \ xdy = \ xdy+ \ xdy=Q>xdy. C)
Складывая C) и B) и умножая на 1/2, получаем
S = -TTA\xdy—ydx. D)
Формула D) может оказаться предпочтительнее фор-
формулы A) при удачном выборе параметра. Например, для
эллипса x=acostf, y=b sin t мы непосредственно получаем
2я
It 1 Г
S = -rrQ\xdy—ydx = -7r \ ab [cos2 i + sin21] = я ab.
Формулу D) полезно сопоставить с формулой
в в
9-95] § 9.9. криволинейные интегралы 391
для замкнутого контура Г мы получаем всегда
(ft xdy+ydx = 0.
г
Аналогично для любого замкнутого контура Г и непрерыв-
непрерывных f(x), у (у)
9.95. Аппроксимация интеграла по кривой
интегралами по ломаным. В этом пункте мы ограни-
ограничимся криволинейными интегралами вида
l-f1{M)dx1+...+fB{M)dxB. A)
L
Здесь предполагается, что L есть путь в л-мерном
пространстве, определяемый параметрическими уравнениями
Xj=Xj(i), а<;*<;?, у=1, -.., л, где функции x)(t) не-
п
прерывны и V [x'j (t)]2 > 0. (Впрочем, можно считать их
и кусочно-непрерывными; тогда мы разобьем путь L на ко-
конечное число дуг, где функции х] (t) будут непрерывными.)
Интегралы вида A) допускают следующую оценку через
длину s(L) пути L:
<maxl/Znm-HI-). B)
MeL
Действительно, если рассмотреть интегральную сумму,
составленную для некоторого разбиения П, мы получим,
применяя неравенство Коши C.14 F)),
ж fi
xff
max j/* Д
max j/ Д f% (M) -Д My,
392 гл. 9. интеграл римана [9.9S
где ДЛу. есть длина хорды MjMj+1. Поскольку сумма длин
этих хорд как длина ломаной МоМг ... М не превосходит
длины s(L) самой дуги L, переходя к пределу, получаем
неравенство B).
Далее, мы будем предполагать функции Д (М), ...,/„ (М)
определенными и непрерывными не только на самой кривой L,
но и в некоторой ее окрестности, в которую попадают все
ломаные с достаточно мелкими звеньями, вписанные в L.
Пусть II={a = fo^f1^ ... ^tp = b) — разбиение отрезка
[а, Ь], на котором меняется параметр t, и пусть ?п есть
ломаная с последовательными вершинами в точках А—Мо,
М1г ...,Мр = В кривойL, отвечающих значениям t0, tlt .. .,t
параметра t. Утверждается, что
lim n J Д(М)dxx+...+/a(M)dxn=
= J Д (M) dXl+... + Д (М) dxn. C)
L
Отсюда следует, что, зная интегралы по всем ломаным
в некоторой области пространства Rn, мы сможем найти
и интегралы по всем кривым, проходящим в этой области.
Соотношение C) достаточно доказать для одного сла-
слагаемого:
" fh(M)dxk=\fk(M)dxk. D)
В доказательстве индекс k будем подразумевать, не вы-
выписывая его явно. Пусть задано е > 0; найдем б > 0 так,
чтобы при d (П) < б
P^\ E)
и чтобы из р(М, Ж')<6 следовало \f(M)— f(M')\ < e.
Рассмотрим сначала одно звено ломаной ?п. например
MjMj+1. Здесь мы можем написать, используя оценку B),
9951 задачи 393
и
S f(M)dx-f(Mj)Axj\ =
f (M) dx— J / (Mj) dx j =
[/ (M) / (Mj)] dX <! 8 S (Mj Mj+j).
Суммируя по всем звеньям, получаем
/ (M) dx—^f (Mj) Axj I < 8 ?2 s (MfMj+1) = e s (?n).
| J
F)
Так как числа s(Z-n) — длины ломаных Z.n — ограничены (их
предел есть длина дуги ?), то неравенства E) и F) имеют
своим следствием соотношение D). Поэтому верно и C).
ЗАДАЧИ
1. Если f(x)—периодическая функция на (—оо, оо), то функция
может быть представлена как сумма периодической и линейной
функций.
2. Если f(x) и <p(x);=sO ограничены и интегрируемы на [а, Ь],
причем ф(х) не убывает, то существует точка |?(а> Ь] такая, что
б ь
г
Если ф(х)^0 не возрастает, то существует точка tig [а, Ь]
такая, что
ь ч
f (х) ф (х) dx=<p (fl+0) J f (x) dx.
0
3. Если f (x) и ф (х) ограничены и интегрируемы иа [а, Ь], причем
ф (х) монотонна, то существует точка ggffl, Ь] такая, что
ь g ь
J f (х) ф (х) dx=q> (а+ 0) J f (x) dx+q, (b-0) J / (x) dx
а 0 6
(«вторая теорема о среднем»).
394 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
4. Доказать формулу многократного интегрирования по частям
ь
Г ии(п+1> (*)<**=
при соответствующих предположениях о гладкости функций и и v.
5. Для данной (ограниченной) функции /(дг) и отрезка [a, f>]
полагаем
u>tf; а, Р]= sup \f(x')-f(x")\.
х', *"б[а, W
Доказать, что функция f (дг) интегрируема на [а, Ь] тогда и только
тогда, когда
lim 2 w(f; х,-, x/+i]-(x/+i— x/) = 0,
где П = {а = л;0<л1< ... <xn = b}, d(n) = max(xJ+1—x/) (критерий
Римана).
6. Доказать, что монотонная ограниченная функция интегрируема.
7. Если функция f (х) интегрируема, то н функция | f (x) | инте-
интегрируема.
8. Колебанием функции f (х) в точке с называется выражение
co[f; c]= inf co[f; a, P], a < с < p.
Доказать, что ограниченная функция / (дг) интегрируема на [а, Ь]
тогда и только тогда, когда для любых е > 0 и б > 0 множество то-
точек с?[а, Ь], в которых o[f; c]^e, можно заключить в конечное
число интервалов с суммой длин <б (критерий Дю-Буа-Раймона).
9. Доказать, что ограниченная функция f (x) интегрируема на
[а, 6] тогда и только тогда, когда для любого б > 0 множество всех
точек разрыва функции f (дг) можно заключить в конечное или счет-
счетное множество интервалов с суммой длин <б (критерий Лебега).
10. Пусть функция f (x) интегрируема. Доказать, что функция
также интегрируема, если она ограничена.
11. Интегрируя неравенство sin2n+1*< sinan*< sin2"-1* no
промежутку 0<дг<-^- и используя формулы 9.51 A), B), получить
формулу Валлиса A656)
л._ 2-2-4-4 ... 2п-2« уг 1_
2 ~ п™«, ЬЗ-3-5 ... Bп — 1)Bп + 1) ~"Ц , 1
задачи 395
12. Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [А, В], содержа-
содержащем точки а н Ъ (расположенные как угодно). Пусть, далее,
П = {с=л:0, x-i, ..., хп = Ъ)—любой набор точек отрезка [А, В]
(расположенных любым образом). Составим «обобщенную интеграль-
интегральную сумму»
Л-1
2
/=0
где точка |у расположена произвольно между точками ду и Xj+i.
л-1
Доказать, что при 2l*y+i—ху-| <С и d(II) = max | xy-+i—jcy |—»-0
/=о
величина A) имеет предел и
ь
lira sn(f) = \f(x)dx. B)
П)->-0 J
0
л-1
13. Если в задаче 12 снять условие 2l-*7+i—•*>• I < С или
/=о
допустить кусочную непрерывность функции f (х), величина A) уже
не будет иметь предела.
14. (Аксиоматическое определение интеграла.)
Допустим, что каждой кусочно-непрерывной функции f (x) на отрезке
[с, Ь] и каждому промежутку [a, pj с [а, Ь] поставлено в соответ-
соответствие число /^ (/), удовлетворяющее следующим условиям:
1) /Р (kf) = fe/P (/) при любой постоянной к;
2) ^а (/) +^а^)==^а(/"Ь^) для любых кусочно-непрерывных
4) ^(/) = ^ (/) + /?(/) при любых а < y < Р;
5) I /P (/) |<Csup | f (x)\ с фиксированной постоянной С.
Тогда для любой кусочно-непрерывной функции f (х)
Р
$ <*)<**. C)
15. Для точного вычисления числа л можно было бы использо-
использовать ряд 9.74F), но он сходится медленно. Показать, что справед-
справедливо разложение
6 = pf ('""зТз + з^б ~РТ+'
уже вполне пригодное для практического вычисления л.
396 ГЛ. 9. ИНТЕГРАЛ РИМАНА
Историческая справка
Геометрические задачи, которые в современных обозначениях
Ь ь
записываются через \ х их или \ х2 dx. рассматривал еще в древно-
о а
сти Архимед. Создание интегрального исчисления в нашем смысле
слова с его выходами в геометрию, механику и физику—дело XVII
века, и в основном Ньютона и Лейбница. Производную Ньютон
называл флюксией, первообразную—флюентой. Лейбницу принадле-
принадлежат обозначения d и \ и свод правил неопределенного интегриро-
интегрирования. Криволинейные интегралы появились впервые у Клеро A743).
Точное определение интеграла как предела интегральных сумм
дано впервые Коши A821). С этим определением, наконец, можно
было ставить вопрос о существовании интеграла для функций того
или иного класса. Коши предложил доказательство существования
интеграла для непрерывной функции; однако, за отсутствием поня-
понятия равномерной непрерывности, доказательство Коши не было
корректным. Первое корректное доказательство существования инте-
интеграла от непрерывной функции было дано Дарбу A875). Необходимые
и достаточные условия интегрируемости (разрывной) функции были
указаны в разных формах последовательно Риманом, Дю-Буа-Рай-
моном, Лебегом на протяжении второй половины XIX века. Стилтьес
Эвел свое новое понятие интеграла в 1894 г. в связи с некоторыми
специальными задачами; в XX веке это понятие стало широко при-
применяться и в общих вопросах. В 1902 г. новое более широкое
понятие интеграла ввел Лебег; в современной математике оно играет
решающую роль, во-первых, потому, что совокупность интегрируемых
по Лебегу функций может быть оформлена в полное нормированное
пространство (см. часть третья, гл. 12), во-вторых, потому что это
понятие сделало возможным описание класса всех первообразных
функций по их внутренним свойствам. См. Б. Г. Гуревич и
Г. Е. Шилов, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., «Наука»,
М., 1967, гл. 4.
ГЛАВА tO
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Мы можем, таким образом, сравнить аналитическую
функцию с организмом, отличительной особенностью
которого является как раз то, что воздействие на любую
его часть вызывает солидарную реакцию всего целого.
Г. Полиа и Г. Сегё
Задачи и теоремы из аиалнза A924)
§ 10.1. Определения я примеры
10.11. В этой главе мы будем рассматривать функции
/(г), определенные на множестве Е в плоскости Сг комплекс-
комплексного переменного z и принимающие значения на плоскости
С„, комплексного переменного да.
Определим сейчас производную по множеству ЕаСг от
функции f(x) в неизолированной точке zo?E.
а. Определение. Число А называется производной
по множеству ЕсСг от функции w—f{z) в неизолирован-
неизолированной точке z0 ? Е, если для любого в > 0 существует такое
б > 0, что из"| z — 201 < 6, z g E, гфг0 следует неравенство
\А — — —^|<е. Число Л обозначается при этом также
I z—г |
I 0 |
через f'B (z0). Число А, очевидно, есть предел отношения
f(z)-f(z0) (П
г—г0 к '
Е
по направлению z —> z0, которое определяется совокупно-
совокупностью пересечений с множеством Е всех кругов \z—20|^р
с выброшенной центральной точкой z0. Это определение по
форме напоминает определение производной от вещественной
функции в вещественной области G.//). Определение про-
производной от функции вещественного переменного G.11)
является частным случаем приведенного: чтобы получить 7.11,
в качестве Е нужно взять интервал вещественной оси, со-
содержащий точку zo= x0. Однако при внешнем сходстве между
производной в вещественной и в комплексной областях име-
имеется ряд существенных различий, которые будут ясны из
дальнейшего.
398 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.11
б. Если F есть часть множества Е и z0 — неизолирован-
неизолированная точка множества F (тем самым и неизолированная точка
множества Е), то из существования производной /е (z) сле-
следует существование f'F (z) и равенство
f'F[z)=f'E{z).
Таким образом, из дифференцируемое™ по большему мно-
множеству следует дифференцируемость по меньшему. Обратное,
конечно, несправедливо, что будет видно на простых примерах.
в. Если функция w=/(z) дифференцируема в точке
z?E по множеству Е, то отношение A) ограничено прн
z —+ 20, например, постоянной С; тогда при z g E и доста-
достаточно малых \z — zo\
и, следовательно, функция/(г) непрерывна на Е при z=z0.
г. Определение. Функция w=f(z), обладающая про-
изнодной по множеству Е в каждой точке множества Е,
называется дифференцируемой в Е.
д. Определение. В соответствии с определением 3.21
множество G в плоскости Сг, которое вместе с каждой точ-
точкой zQ содержит некоторый круг \z—го|<г (г может
зависеть от z0), называется открытым множеством, или
областью.
Область G называется связной, если любые две ее точ-
точки г0 и гг можно соединить друг с другом кусочно-глад-
кусочно-гладкой линией, лежащей целиком в G.
е. Определение. Если G есть открытое множество
в Сг, то функция f(z), дифференцируемая в G, называется
аналитической в G*). Производная аналитической функции
по открытому множеству G обозначается через /' (z) (без
указания области G). Аналитическая функция в каждой
точке 20 ? G дифференцируема по любому множеству Е, со-
содержащему 20 в качестве неизолированной точки, и при этом
ж. Определение. Функция f(z) называется анали-
аналитической в точке z0, если существует область G$zQ, в ко-
которой функция f(z) определена и аналитична.
*) Синонимы: голоморфная функция, регулярная функция.
•0.13] § Ю.1. определения и примеры 399
10.12. Примеры.
а. Функция f(z) = z является аналитической всюду на
плоскости Сг, поскольку в этом случае
1
г—г0 г—гв
и /' (z) при каждом 20 равна 1.
б. Функция f{z)= z = x — iy в любой точке z0 является
дифференцируемой по любому лучу Е, исходящему из точки z0,
так как
и, следовательно,
fE(*o) = — 2argB-20).
Но это же равенство показывает, что f(z)—z не может
быть дифференцируемой по множеству Е, содержащему два
разных луча, выходящих из точки z0. Тем более z не явля-
является аналитической функцией от г ни в какой точке z0 ? Cz.
10.13. Общие свойства производной. Формаль-
Формально теми же рассуждениями, что в 7.13 и 7.15, получаются
следующие правила действий с функциями, дифференцируе-
дифференцируемыми по множеству Е в точке z0.
а. Если функции/(г) и g(z) дифференцируемы при z = z0
по множеству Е, то функции <xf(z) (a — любое комплексное
число), f(z) + g(z), /(z)g(z), ti?L также дифференцируе-
дифференцируемы по множеству Е при z = z0 (в последнем случае предпо-
предполагается, что #(zo)=/=0). При этом имеют место формулы
(для z = z0):
(af(z))'B = afE(z); A)
{/(z) + g(z)YB=f'B(z)+gE(z); B)
if (г) g(*))'B =f'E {*)?(*) + /B) g'E (z); C)
/ /(z) V _ fE(z)gW—f (г>Be (z) ...
\UI*))b gHz) * W
б. Если функция w=f(z) дифференцируема по мно-
множеству Е при 2=20, а функция p = q>(w) определена
400 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.14
в множестве F, содержащем все точки w=f(z) для
достаточно близких к z0, и дифференцируема по F при
w = wo=f(zo), то сложная функция p(z) = (p(/(z)) диффе-
дифференцируема по Е при z=z0 и
в. Из правил A), C) и 10.12 а следует, что всякий мно-
многочлен P(z)=aozn+а1г"~1+.. .+а„является аналитической
функцией с производной
Р' (z)= (aoz« + ^z"-1 +...+ ап)' =
г. Далее, из правила D) следует, что и всякая рацио-
, Р(г)
нальная функция, т. е. отношение ^т двух многочленов
P(z) и Q(z), является аналитической всюду, кроме корней
знаменателя Q (z).
10.14. Высшие производные. Высшие производные
функции /(г) по множеству Е определяются, как и в случае
вещественного переменного, индуктивно:
в предположении, что эти производные существуют. Функ-
Функция/(г), имеющая по множеству Е производные до порядка п,
называется п-кратно дифференцируемой по множеству Е.
Для л-кратно дифференцируемых по множеству Е функ-
функций /(г) и g(z) справедливы формулы:
[а/ B)](е'' = а/(?} (z) (а—любое комплексное число); A)
%} № P (z); B)
ъ^щ к) (z). C)
Эти формулы доказываются так же, как доказывались соот-
соответствующие формулы для функций вещественного перемен-
переменного в 8.12.
10.15. Дифференциал.
а. Как и в случае вещественного переменного G.5/),
10.16J § 10.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 401
приращение функции w=/(z), дифференцируемой по мно-
множеству Е в точке z0, можно представить в форме
/(zo)=/'E(z0)(z-z0) + е(z, z0)(z-z0),
где e(z, z0) — величина, стремящаяся к нулю при z—*-z0.
Первое слагаемое есть главная линейная часть приращения
функции. Величина z—z0 обозначается через dEz или, ко-
короче, dz, величина fE (z0) • (z—z0) — через dw или dw(zb).
Таким образом, производную /е (z0) мы можем написать
в форме
.' . dw dw
б. Так же как и в 7.33—7.34, устанавливается справед-
справедливость следующих формул:
Для любой дифференцируемой по множеству Е функции
w=f(z) и любой комплексной постоянной а
d(aw) = adw; A)
для любых двух дифференцируемых по множеству Е
функций и»! и w2
d (w1 + wz) = dwt + dw2, B)
d (WiW2) = w1dw2 + dw1 • wa; C)
D)
в. Если w=f(z) дифференцируема по множеству Е при
z — z0, а функция p=(f(w) определена на множестве F,
содержащем все точки w=/(z), и дифференцируема по F
при w~wo=f(zo), то dp = <p'(w)dw=q> (w)w (z)dz, так
что дифференциал функции не зависит от того, является ее
аргумент независимым переменным или функцией другого
независимого переменного.
10.16*. Условия Коши—Римана. Вначале введем
определение частной производной.
Для функции F(x, у), определенной в области G плоско-
плоскости вещественных переменных х, у, выражение
F(xo+h, yo)-F(xe, Уо)
h >
402 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.16
если оно существует, называется частной производной от
функции F(x, у) по переменному х в точке (х0, yo)?G.
Аналогично выражение
jjm * w-o. wo i •") F(Xq< Уо)
ft-*o h
называется частной производной от функции F(x, у) по
переменному у в точке (х0, yQ) ? G. Первое из указанных
выражений обозначается через —*"' , второе — через
y , короче, через FX=FX (х0, у0) и Fy = Fy (xo,yo).
Пусть w=f(z)=u(z) + iv(z)=u(x, y) + iv(x, у) диф-
дифференцируема при z=zo= xo-\riyQ по множеству Е, содер-
содержащему точку 20 и некоторые отрезки, включающие эту
точку и параллельные вещественной и мнимой оси.
Положим z=zo-{-h?E, где h вещественно. Тогда z =
h , y0) и
—f(zB)_u(zB+h)—u(zB) .v(zB+h)—v(zB)
z—z0 ~ h "Г* h ¦ УЧ
Существование предела отношения A) приводит к сущест-
существованию пределов
. Уо)—Ц(*о.Уо) ди(*о. Уо)
h дх
Iim "^от"¦ Уо)—"fa. Уо) __д"(*Ь. Уо)
и равенству
/_w = __^i_ + /__^i_. B)
Положим z = zo-{-ih?E, где Л вещественно. Тогда
и
—f (z0) _ и (zB + ih)—u (z0) . v(zB + ih)— v (г0) _
г—г0 «ft ^ «ft
—и(^о. Уо) ¦ "fa. Уо + fa)— а(*о. Уо)
«А + h
10.17] § ЮЛ. определения и примеры 403
Существование производной/Е (z0) приводит к существованию
пределов
,. м(*о. Уо+h)—и(х0, у0) _ди(х0, ув)
11111 | -ч ' ¦
ft-*o A дУ
,,_. р (*о. Уо +h)—v (х„, ув) __ dv (хв, у„)
11111 .—' -.
ft->o h дУ
и равенству
/ _ ,.^fa, у0) ,
Сравнивая B) и C), находим, что в каждой точке z0, где
существует f'E(z0), выполняются равенства
ди (¦%, Ув) __ dv (х„, ув)
дх ду ' Dv
dv (хв, Ув) ди (х0, уд)
дх ду '
называемые условиями Коши — Ришта.
10.17*. В частности, если функция /(г) аналитична
в окрестности точки z0, то условия Коши—Римана выпол-
выполняются в каждой точке этой окрестности. Оказывается, что
и обратно, выполнение условий Коши—Римана в окрестности
точки 20 при дополнительном условии непрерывности функ-
функций ¦=-. s-. а-. =г- обеспечивает аналитичность функции/(г)
дх' ду' дх' ду VJ J '
в этой окрестности. В самом деле, пусть h=p-\-iq настолько
мало, что zo + h лежит в пределах указанной окрестности.
Составим разность
o + h)-f(zo) =
{x+p,y + q)]—[u {x,y) + iv{x, у)] =
[ y — u(x,y)]+i[v(x+p, y + q)—v(x,yj\.
A)
Преобразуем выражения в квадратных скобках следующим
образом. Мы имеем
= [в(х+р, y+q)u(x,y+q)] + [u(x,y + q) u{x,y)}
Применим к первой из разностей как функции от х формулу
Лагранжа 7.44; получим
и{х+р, y + q)—u(x,y + q) = ux(x + Q1p, y+q)p,
404 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.17
где иж означает производную по х, а вг—число между 0 и 1.
Аналогично, применяя формулу Лагранжа по переменной у,
находим
Аналогичные преобразования произведем со второй квадрат-
квадратной скобкой в A). В результате получим
y
+ i [vx (x + QsP, у + g)p + vy (x, у + etg) q].
Используя условия Коши—Римана, можно эту же разность
записать так:
y, y + q)p].
В силу предположенной непрерывности функций их и иу мы
имеем, далее,
где ех {р, д) и е2 (р, q\ стремятся к 0 вместе с р и q. По-
Поэтому
f(z+h)—f(z)_ . v\ — ;u (X v\ i 6i(P. g)P+MP. <7)<7 (n\
h "х\*,У) шу\х,У)-Г p+iq ¦ \ )
Оценим последнее слагаемое. Мы имеем ——- Ы&1,
1Р+«91
^ 1, откуда
Так как последняя величина стремится к 0 вместе с р и q,
то при h—*-0 величина B) имеет предел, равный их—iuy.
Это и означает существование производной у функции f(z)
при г = 20| равной ux(z0) — iuy(z0). Теорема доказана.
Можно сформулировать вариант условий Коши — Римана
в виде критерия, необходимого и достаточного для анали-
аналитичности, введя понятие дифференцируемой функции двух
переменных. (См. задачу 6).
10.18] § ЮЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 405
10.18*. В дальнейшем A0.34) мы увидим, что всякая
аналитическая функция f(z) имеет и производные второго
(и любого высшего) порядка. Посмотрим здесь же, какие
вытекают отсюда следствия для вещественной и мнимой
части функции f(z). Мы обозначим через q*z вторую
частную производную функции и(х, у) по переменному х
(т. е. вторую производную от функции и(х, у) по перемен-
переменному х в предположении, что второе переменное у не меняет-
меняется и поэтому функция и(х,у) есть функция только от х).
Аналогичный смысл имеет вторая частная производная
дги (х, у)
ду* ¦
Рассуждая так же, как в 10.16, мы получаем равенства
— i ду\ i ду + ду) ~ ду* 1 ду* *
Сравнивая вещественные и мнимые части, находим
дх* + ду* ~~ ' дх» ' ду* ~
Вообще, уравнение
д\(х,у) д\(х,у)
дх* ~*~ ду*
называют уравнением Лапласа; непрерывные вещественные
функции, удовлетворяющие ему в данной области G, называ-
называются гармоническими функциями в области G. Мы видим, что
мнимая и вещественная части аналитической функции в обла-
области G суть функции, гармонические в этой области.
Обратно, каждая гармоническая функция и(х, у) в об-
области G является вещественной частью некоторой аналити-
аналитической функции f(z) (и, разумеется, мнимой частью анали-
аналитической функции if(z)). Мы убедимся в этом в 14.49 в
(часть третья).
Две гармонические функции и (х, у) и v (x, у), являю-
являющиеся вещественной и мнимой частью одной аналитической
функции f(z), т. е. связанные условиями Коши—Римана
10.16, называются сопряженными гармоническими функциями.
406 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.21
§ 10.2. Криволинейные интегралы
от комплексных функций
10.21. Мы будем рассматривать криволинейные интегралы
по кусочно-гладким путям (9.91) в комплексной области.
В 9.91 были определены криволинейные интегралы
Стилтьеса вида
\f(M)dg{M),
L
где f[M(t)]—кусочно-непрерывная функция, a g\M(t)]—
функция с непрерывной производной, обе вещественные. Этот
интеграл приводится к обычному определенному интегралу
6 Ь
где [а, Ь] — отрезок изменения параметра t, которому отве-
отвечает путь L. Сейчас мы обобщим это определение на слу-
случай, когда функции /(Ж) и ?"(Ж) принимают комплексные
значения.
Если функция f(M) принимает комплексные значения
/(Ж)=Д(Л1) + //2(Ж), где Д(Ж) и /2(Ж) вещественны, то
криволинейный инте'грал Стилтьеса определяется по фор-
формуле
$ /(Ж) dg(M) = J Д (Ж) dg(M) + *$/, (Ж)dg(M)
L L L
(функция g(M) вещественна). Аналогично, если /(Ж) веще-
вещественна, a g(M) комплексна, так что /
то полагаем
$ \ \ dgi(M).
L L L
Когда обе функции /(Ж)=Д (Ж) + //2(М) и g(M) ==
= gi {Щ + igz (Ж) принимают комплексные значения, естест-
естественно получается определение
J /(Ж)
dg{M) = J Д (М) dft (Ж) —Д (Ж) rf^2 (Ж) +
-И $ Д (М) dg2 (Ж) +Д (Ж) dft (Ж).
10.21] § Ю.2. криволинейные интегралы 407
На плоскости (л = 2) для g(x,y) = z — x + iy nf{x,y) —
= и (х, у) + lv (х, у) получаем формулу
$ A)
L L L
В этом случае возможно дать и прямое определение ком-
комплексного интеграла A), именно
С m-i
\f(x,y)dz = Iim ^f(xJtyj)LzJt B)
где П—некоторое разбиение пути L, Zj=(Xj,y,) есть
у-я точка деления и Azj = zJ+1—Zj. Действительно,
m-i m—\ m—i
/=0 /=0 /=0
2 (jy,)yj 2{/,У/)/,
1=0 /=0
что при rf(II)—*0 имеет пределом как раз величину A). Из
представления B) легко получаются основные свойства инте-
интеграла: равенство
S КА (х,у) + «а/а (х, У)] dz =
=«1 $ Л (*, jO <fe+«. $ /«(*, .у) <fe C)
L L
для любых интегрируемых функций f±{x,y) и fz{x,y) и лю-
любых комплексных постоянных ах и а2; равенство
lf(x,y)dz=lf{x,y)dz+[f{x,y)dz, D)
где Z. — кусочно-гладкий путь, состоящий из двух примыкаю-
примыкающих друг к другу частей Ьг и Z,2 с тем же направлением
интегрирования; оценка
\i
f(x,y)dz
zeL
E)
где s(L)—длина пути L.
Иногда для уточнения какого-либо свойства пути интегри-
интегрирования или просто для большей наглядности используются
408 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.22
специализированные знаки интегралов, например
L L L L
L L L L L L
Здесь первое из обозначений указывает, что интеграл
вычисляется по замкнутому контуру L; второе и третье
уточняют направление интегрирования; четвертое и пятое
показывают, что интегралы берутся по некоторым прямым
в указанных направлениях; шестое—что интеграл берется
по замкнутому пути, представляющему собой полуокружность
с ее диаметром, в указанном направлении. Вообще смысл
того или иного специализированного обозначения становится
ясным из контекста или чертежа.
10.22. Рассмотрим последовательность функций fn(z),
определенных на множестве, представляющем собой кусочно-
гладкий путь LcCz. Пусть функции fn(z) равномерно на
этом пути сходятся к функции f(z). Если функции fn(z)
непрерывны на L, то и предельная функция f(z) непрерывна
на L E.96).
а. При сформулированных условиях имеет место равен-
равенство
j f(z) dz = lim j fn (z) dz.
L L
Действительно, из 10.21 E) получается оценка
f (*)-/„(*)]'
которая и приводит к нужному результату.
б. Если при этом функции fn(z) и f(z) зависят от неко-
некоторого параметра А, пробегающего множество А, так что
в более точной записи fn(z)=fn(z,X), f(z)^f(z,"k), и
сходимость fn(z,K) к f(z,K) равномерна относительной,
так что
sup\fn(z,X)-f(z,X)\-+O,
г, К
то и функции
10.23] § Ю.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходятся к функции
409
равномерно по К?А.
Это следствие той же оценки 10.21 E):
[f(z,K)-fn(z,K)]dz
z.K'
10.23. Теорема о среднем. Если f(z) кусочно-не-
кусочно-непрерывна на гладком пути L = {z:z = z(t), a^.t^.b} и
a f(z) непрерывна при z — zo = z(to), то
если z'
lim
г-»-г„
/(*>*=/<*.).
L (z
где L(z, z0)—участок пути L между точками z и z0.
Доказательство. Для случая f(p)==f(zo) = const
утверждение теоремы вытекает непосредственно из опреде-
определения интеграла. Поэтому в общем случае можно считать,
что /(?0) = 0, вычитая в противном случае постоянную вели-
величину f(z0) из функции f(z). Для заданного е>0 найдем
6 > 0 так, чтобы из z? L, \z—z01 < 6 следовало \f(z)| < е.
Тогда по 10.21 E)
f(z)dz
Поэтому
г—г„
A)
Но по предположению о гладкости пути L отношение длин
участка пути и стягивающей этот участок хорды стремится к 1
при z—>¦ z0 (9.63е). Поэтому при достаточно малых \z—zo\
оценку A) можно заменить оценкой
1
г—г0
f(z)dz
откуда и следует утверждение теоремы.
410 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.24
10.24. Рассмотрим функцию f(z, ?) двух комплексных
переменных; переменная z = x-\-iy пробегает в г-плоскости
кусочно-гладкий путь L, а переменная ? = ?-|-и) пробегает
в ^-плоскости кусочно-гладкий путь Л. Предполагается, что
функция f(z, ?,) непрерывна по совокупности аргументов,
т. е. для любого е > 0 можно указать 6 > 0 так, что
из |г—г'|<в, |?—?'|<в. *,*'€*-, ?,?'€Л следует
|/(г\?')—f(z, ?)|<е. Тогда каждый из интегралов
A)
представляет собой непрерывную функцию от соответствую-
соответствующего переменного и
J 1 1/[г, Qdt\dz=U If {г, l)dz \ dl. B)
(. 'л I Л l L I
Аналогичная теорема для функций вещественных пере-
переменных у нас была доказана в 9.82. Поскольку, как мы
видели выше, интеграл по компчексному пути линейно выра-
выражается через интегралы по вещественному переменному,
наше утверждение немедленно следует из теоремы 9.82.
10.25. а. Пусть w—f(z)—функция, дифференцируемая
по множеству Е, содержащему кусочно-гладкий путь L с нача-
началом в точке z0 и с концом в точке zx. Тогда справедлива
формула Ньютона — Лейбница
В самом деле, пусть z = z{t), /0^'^'i> — параметри-
параметрическое представление пути L с кусочно-гладкой функцией z(t),
и пусть F(t) = f(z(t)). Тогда, по теореме о производной
сложной функции 10.13 б,
fi(z)dz(t) =
откуда
U
\fL(z)dz=
i*
что и требуется.
10.26] § Ю.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 411
б. В частности, если w=f(z)—аналитическая функция
в области О, то мы имеем
для любого кусочно-гладкого пути L, соединяющего точки
zx и z0 (и проходящего целиком в области О). Отсюда сле-
следует, что интеграл от f (z) no всякому замкнутому кусочно-
гладкому пути LczG равен 0.
в. Так, интеграл по замкнутому пути L от всякого мно-
многочлена
+ ... +anzn
равен 0, поскольку многочлен P(z) есть производная от
многочлена
г2 гп+*
P(
10.26. Свойство 10.25 6 можно обратить. Пусть в связной
A0.11 д) области G задана функция q>(z), относительно
которой известно, что ее интеграл по всякому кусочно-глад-
кусочно-гладкому замкнутому пути L в области G
равен 0:
ср (z) dz = 0.
Утверждается, что существует функ-
функция f(z), определенная и аналитиче-
аналитическая в области G, такая, что /' (z) =
= Ф(*Ь Рис. 10.1.
Для доказательства фиксируем в
области G произвольно точку z0 и рассмотрим любую дру-
другую точку z и кусочно-гладкий путь Lz € G, соединяющий
z0 с z. Положим
Значение f(z) не зависит от выбора пути, ведущего из z0
в z. Действительно, из двух таких путей zopz и zoqz можно
образовать замкнутый путь zqzopz (рис. 10.1), интеграл по
412 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ A0.27
которому, по условию, равен 0; следовательно,
- $
zopz гсдг
Докажем, что f(z) — аналитическая функция.
Возьмем для данного z число р > 0 так, что круг ра-
радиуса р с центром в точке z лежит еще в области G.
Пусть, далее, h—комплексное число, [А|<р. Поскольку
путь из z0 в z-\-h можно выбирать в области G произвольно,
мы построим его присоединением к уже имеющемуся пути
из z0 в z отрезка, соединяющего z и z + h. Тогда
z-\-h г z+h
f(z+h)-f(z)= J ф(О<*С-$ф(О<*С= J
z0
z+h
f,(z+h)-fM_ 1
h h
z
Эта величина при h -*¦ 0 имеет предел, равный ср (z) в
силу 10.23, откуда и следует аналитичность f(z).
10.27. Рассмотрим функцию двух комплексных переменных
f(z, ?): переменная z = x + iy пробегает в z-плоскости об-
область G, переменная ? пробегает кусочно-гладкий путь Л.
"Предполагается, что функция f(z, t) при каждом ?€Лана-
литична в G и что ее производная f'z(z, ?,), как и сама
функция f(z, ?), непрерывна по совокупности аргументов z?G,
Образуем функцию
Ф W =$/(*.
Теорема. При указанных условиях функция Ф(г) ана-
литична в области G.
Доказательство. Рассмотрим функцию
ф (*)=$/«'(*,
10.28] § Ю.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 413
Мы утверждаем, что для любого замкнутого пути LcG
имеет место равенство
L
Действительно, по 10.24 и 10.25 б
$<р (г) Аг= $|$Л'(г,
В силу 10.26 существует функция Фо (z), аналитическая
в области G, для которой функция ф(г) есть производная,
причем снова по 10.24
Л V г„ '
Поскольку Ф0(г) отличается от Ф(г) на постоянную, мы
видим, что Ф(г) вместе с Ф0(г) есть аналитическая функ-
функция в области G.
10.28. Рассмотрим функцию, определенную выражением
^ A)
где /(?) непрерывна на кусочно-гладком пути Л, а точка z
лежит вне этого пути. Функция F(z), таким образом, опре-
определена в области О, дополняющей контур Л до всей пло-
плоскости Cz. Через Gp обозначим совокупность тех точек
области G, для которых sup|z — ?| > р. Любую наперед
заданную точку z € G область Ор включает в себя при до-
достаточно малом р. Заметим теперь, что функция
/К, *>--^г
аналитична по г в области G и, более того, обладает в G
производной любого порядка:
/г V*> W
414
ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
A0.31
Эти производные, очевидно, непрерывны по совокупности
аргументов ?6 Л, 2?Gp при любом р и аналитичны по z
в области G. Применив теорему 10.27, получаем:
Теорема. Функция F(z), определяемая выражением A),
аналитична в области G ы, более того, обладае! производ-
производными всех порядков, которые такэюе являются аналитичес-
аналитическими функциями. При этом
Интеграл A) называют обычно интегралом, типа Коши.
§ 10.3. Теорема Коши и ее следствия
В этом параграфе собраны центральные результаты те-
теории аналитических функций (открытые в основном Коши.)
10.31. Связная область G A0.11 д) называется односвяз-
ной, если любой многоуголь-
многоугольник, контур которого лежит
в области G, можно предста-
представить в виде конечного объе-
объединения треугольников, принад-
принадлежащих данной области вместе
со своей внутренностью. Так, от-
открытый круг и любая выпуклая
область (т. е. вместе с любыми
двумя точками содержащая сое-
соединяющий их отрезок) односвяз-
ны, а, например, круговая по-
полоса г у < | z | < г2 неодносвязна
(рис. 10.2).
Рис. 10.2.
10.32. ТеоремаКоши. Для
ции/(г) в односвязной области V
аналитической функ-
<ff(z)dz=0
по любому замкнутому пути L, целиком расположенному
в области V.
Доказательство. В 5.95 мы доказали, что интеграл
по кривой линии есть предел интегралов по ломаным; поэтому
10.32] § 10.3. ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
415
нам достаточно доказать теорему Коши для многоугольника.
Так как область V односвязна, то в пределах этой области
можно разбить многоугольник L на треугольники 7\, ..., Тт;
при этом (рис. 10.3)
(ff(z)dz=(ff(z)dz + ... +(ff(z)dz
L Г, Г,„
(интегралы по внутренним сторонам взаимно сокращаются,
так как эти стороны проходятся дважды и в противоположных
Рис. 10.3.
Рис. 10.4.
направлениях); поэтому достаточно доказать теорему Коши
для треугольника.
Рассмотрим произвольный треугольник Т в области V и
обозначим его периметр через р, а абсолютную величину
интеграла
§f(z)dz
через с. Разобьем треугольник 7 на четыре равных тре-
треугольника 7*!, Т2, Т3, Г4, соединяя отрезками середины его
сторон (рис. 10.4). Тогда
(ff(z)dz=(ff(z)dz+(pf(z)dz+(pf(z)dz+(pf(z)dz,
т т, т, т„ т,
и, следовательно, хотя бы для одного из них, например для
7",-, выполняется неравенство
\§f(z)dz
I \S
с
416
ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[10.82
Треугольник Т{ мы также разобьем на четыре равных
треугольника Тп, ..., Т1Л и найдем среди них такой, Поло-
Положим Ту, для которого
f{z) dz
Этот процесс будем продолжать неограниченно; мы полу-
получим последовательность вложенных друг в друга треуголь-
треугольников, положим Тх = Т{, Тг = Ту, ..., для которых
\(
f(z) dz
с
1»
A)
Каждый треугольник Тп (взятый с внутренностью) есть
компактное множество в плоскости CZ = R2 E.14 д), и в силу
3.98 на плоскости имеется точка г0, лежащая во всех этих
треугольниках.
В этой точке, как и во всех точках области V, функция
/(г) дифференцируема, и из определения производной мы
можем получить, что для любого е > 0 существует 6 > 0
такое, что при \z—zo|<6
f(z)=f(zo)+f(zo)(z~zo)+R1(z, z0), B)
где \Rx(z, 20)l<e|z—zo\ A0.15). Остаток /?x—во всяком
случае непрерывная (по z) функция вместе с другими частями
равенства B). Оценим теперь интеграл от f(z) по треуголь-
треугольнику Тп, содержащемуся в круге радиуса б с центром в z0,
используя соотношение B). Мы имеем
Первые два слагаемых в силу 10.25 в равны 0. Так как
периметр треугольника Тп равен ^, то в силу оценки B)
для /?!
I ? I I ? г» / ^ Р Р
I v || v 2t ?i
Сравнивая это неравенство с неравенством A), получаем
10.33]
§ 10.3. ТЕОРЕМА КОШ И И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
417
Так как е можно взять произвольно малым, то с = 0, и те-
теорема Коши доказана.
10.33. Формула Коши.
а. Круг \z — с|</? с исключенной точкой z = a являет-
является одним из примеров неодносвязной области. Функция
_ (m^l) аналитична в этой области (и неаналитична
во всем круге \z—е|</?). Вычислим интеграл
f (г—а
где L есть окружность радиуса г < /? с центром в точке а.
В качестве параметра возьмем полярный угол ср; тогда
z—е = ге'<*>, (z—a)m==rmeimf, йг = 1ге1ч>йк$, и мы получаем
2я
:A —m)|o
) = 2Ш*
A)
B)
При т = 1 наш интеграл равен 2я/ ф.О, что, между
прочим, показывает существенность условия односвязности
в теореме Коши.
б. Отметим, далее, следующее
важное общее свойство интегралов
по замкнутым путям в неодносвяз-
ных областях. Если в области V
(вообще говоря, неодносвязной) оп-
определена аналитическая функция
f(z) и заданы два замкнутых ку-
кусочно-гладких пути Z.J и L2, как
показано на рис. 10.5, которые
вместе с некоторой соединяющей их кусочно-гладкой ли-
линией Т ограничивают односвязную область, то
г. C)
Рис. 10.5.
418 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.33
Действительно, имея указанную односвязную область,
установим на ограничивающем ее сложном замкнутом кон-
контуре L следующее направление обхода: контур Lx будем
проходить в положительном направлении (против часовой
стрелки), контур /.2—в отрицательном направлении (по ча-
часовой стрелке), а соединяющую их линию Т—дважды в
противоположных направлениях (рис. 10.5). По теореме
Коши 10.32
L2
откуда и следует C), если учесть изменение знака криво-
криволинейного интеграла при перемене направления обхода
(9.5/).
На рис. 10.5 дан не самый общий случай взаимного рас-
расположения контуров Z-! и L2, но нам и этого случая будет
достаточно.
в. Этим соображением мы воспользуемся для вычисления
интеграла
т
по пути L, обходящему вокруг точки, а в положительном
направлении. Функция /(г) предполагается аналитической
в односвязной области V, содержащей точку а и контур L.
Функция __ , вообще говоря, имеет особенность при z~ a
(т. е. может в этой точке не быть дифференцируемой),
поэтому интеграл / может быть не равным нулю. Но так как
—- аналитична вне а вместе с функцией f(z), то по ска-
сказанному, выше интеграл / не изменится, если мы сожмем
контур L в окружность малого радиуса е с центром в точке а.
Положим
f(z)=f(a)
рывна вмест
а при z —>¦ а имеет предел /'(с), поэтому она ограничена в
Функция —^ непрерывна вместе с функцией f{z) при
10.34] § Ю.З. теорема коши и ее следствия 419
окрестности точки а; пусть, например,
г—а
<! М. Тогда
(z)dz_ X. f(z)dz_
г—a J г—a
[z-a|=e
ф —^ UZ. D)
\z-a]=eZ
Ф ^
Первое слагаемое, с учетом 10.33B), равно 2ni-/(a). Со-
Согласно оценке /0.2/ E) для второго слагаемого мы получаем
Ф
R(z)
г—a '
|z-e|=e
таким образом, второе слагаемое стремится к нулю вместе
с е. Но так как остальные два члена в равенстве D) посто-
постоянны, то второе слагаемое справа также постоянно; следо-
следовательно, оно равно нулю, и мы получаем ответ
или
f(a) = —.ф^2^2 . E)
Формула Коши E) является одной из важнейших формул
теории аналитических функций: она выражает значение ана-
аналитической функции внутри контура L в форме интеграла
по контуру L от ее граничных значений.
10.34. Теорема. Функция w=f(z), аналитическая в
области G, обладает в этой области производными любого
порядка, которые также являются аналитическими функциями.
При этом
где интеграл берется по любому пути L, обходящему в об-
области G вокруг точки z в положительном направлении.
Действительно, формула Коши 10.33E) показывает,
что f(z) представима в области G интегралом типа Коши,
и остается применить теорему 10.28.
420 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.35
10.35. а. Теорема. Всякая функция w=f(z), анали-
аналитическая внутри круга V = {z:\z—20|<Jr}, разлагается
в степенной ряд
*an(z~z0)", A)
сходящийся внутри круга V.
Доказательство. Мы исходим из формулы Коши
справедливой для контура Л={?:|?—zo\ = r—6} и любой
внутренней по отношению к Л точки z. При этом
_J_==_] 1 1 у (г-го\п
ъ—z ?—zo i z—z0 l,—z0 ^4 \?—Zo /
—g ; n=0
Полученный ряд сходится равномерно по ? на Л в силу
оценки
I z—z0
" г—е ^ *
и признака Вейерштрасса 6.53. В силу теоремы 10.22 б
л=0
/1=0 Л
что и дает искомое разложение. При этом мы получаем и
формулу для коэффициента ап:
B)
б. В силу 10.34 мы имеем
Это позволяет усилить формулировку теоремы а:
Теорема. Всякая функция w=f(z), аналитическая
внутри круга V = {z:\z—zo\ < г}, разлагается в этом круге
10.36] § Ю.З. ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 421
в степенной ряд
7ГГ
п=0
Ряд D) называется рядом Тейлора для аналитической
функции f(z) в круге V.
в. Следствие. Если функция /(z) аналитична в круге
V={z:\z-zo\<r} и /<«>B0) = 0 (л = 0, 1, 2, ...), то
f(z)==0 в круге V.
10.36. а. Будем говорить, что последовательность (ряд)
функций fn(z), определенных в области О, сходится равно-
равномерно внутри О, если сходимость этой последовательности
(этого ряда) равномерна на любом компакте Q, целиком
лежащем в области G.
Для дальнейшего заметим, что вокруг компакта Q, ле-
лежащего в области G, всегда можно обвести замкнутый
кусочно-гладкий контур, проходящий в области G. Действи-
Действительно, каждую точку zo?Q можно покрыть открытым
кругом V={z:|z—^о] <I P}» лежащим вместе с границей
в области G. Из полученного покрытия компакта Q в силу
3.97 можно выделить конечное покрытие Vlt ..., Vm. Гра-
Граница области V= Vx U • • • U Vm представляет собой замкну-
замкнутый кусочно-гладкий контур, состоящий из конечного числа
дуг окружностей; по построению он проходит в области
G—Q и обходит вокруг Q, что и требуется.
б. Теорема. Если последовательность аналитических
функций /j (z), f2(z), ... в области G сходится равномерно
внутри G к некоторой функции f(z), то f(z)—также ана-
аналитическая функция в G. Последовательность производных
любого порядка /•"» (z), Дт (z), ... сходится равномерно
внутри G к соответствующей производной ftm(z) функции
f{z).
Доказательство. Мы имеем по формуле Коши 10.33
для любого замкнутого пути Ac G, обходящего вокруг
данной точки z ? G. Переходя к пределу при п—*-ооц
422 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.37
пользуясь теоремой 10.22 а, находим
т. е. f(z) также представима интегралом типа Коши и потому
аналитична в G.
Для доказательства второй части теоремы напишем пред-
представление 10.34 для функций fim) (z) и /^m) (z):
где интегралы берутся по замкнутому кусочно-гладкому пути
LczG, обходящему в положительном направлении вокруг
заданного компакта Q с G. Так как функция ,<¦_ уя+1 при
? g /., г € Q ограничена по модулю величиной *m+i, где
d = inf|?—z\, и последовательность /„(?) на контуре Z.
равномерно сходится к/(^), то последовательность _ Jm+1
f (?)
на контуре L сходится к ' Zn+1 равномерно относительно
параметра z?Q и можно применить 10.22 6. Теорема дока-
доказана.
10.37. а. Здесь мы установим теорему, обратную к тео-
теореме 10.35:
Теорема. Сумма степенного ряда
^n(z-zor A)
аналитическая функция внутри круга G={z:\z—zo|<r}
сходимости этого ряда, и всюду внутри G справедлива
формула
Доказательство. По теореме 6.64 а степенной ряд
сходится равномерно в любом круге G', лежащем внутри
круга сходимости О и имеющем тот же центр.
Но любой компакт QdGлежит в таком круге G'. Действи-
Действительно, предполагая противное, мы смогли бы указать в
10.37] § Ю.З. ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 423
компакте Q последовательность точек zlt z2, z3, ... с
\zn—z0 | —» г, и в компакте Q содержалась бы любая предель-
предельная точка zm этой последовательности. Но для гш мы имели
бы \zw—zo\—r, что противоречило бы условию QcG.
Поэтому можно применить теорему 10.36 б. Так как функ-
функции (z—z0)" аналитические, то по 10.36 6 ряд A) представ-
представляет аналитическую функцию внутри G, что и утверждается.
Вторая часть теоремы следует из второй части 10.36 6.
6. В частности, мы имеем
z z
) _z + --ir+... = -Sin2( D)
—+•••) =1+2Г+4Г+--=сЬг' E>
г* \' z3 г3
ir+...) =Z+|r+ir + ...=shz. F)
Впрочем, формулы C)—F) можно было бы получить и из формулы
B), используя известные нам выражения тригонометрических и гипер-
гиперболических функций через экспоненту (8.63 и 8.72).
в. Радиус сходимости ряда (L) естественно связывается
со свойствами аналитичности функции f(z). Именно, круг
сходимости ряда A) есть наибольший круг с центром в z0,
в котором функция f(z) является аналитической, посколь-
поскольку во всяком круге аналитичности функции f(z) она пред-
представляется, по 10.35, своим рядом Тейлора.
Так, радиус сходимости ряда
fW = j~r=l-z* + z*-z°+... G)
равен 1, и ближайшие к точке го = 0 особенности функции f (г) нахо-
находятся в точках z= ± i, на расстоянии 1 от точки г0. Оставаясь в
вещественной области, нам было бы трудно объяснить по поведению
функции f (х) причины расходимости ряда G) при г=± 1.
г. Точка z = a называется нулем, или корнем, аналити-
аналитической функции w=/(z), определенной в области G$a,
если /(а) = 0. Эта точка точнее называется нулем (корнем)
кратности k, если/(а)=/'(а)=... =/<*-i>(a) = 0,/(*>(а)фО.
424 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 110.38
Таким образом, в окрестности нуля кратности k для
аналнтической функции / (z) справедливо разложение в ряд
Тейлора, начинающийся с (z—о)*:
Можно написать также
f(z) = (z—a)*g(z),
где
аналитична в окрестности точки а (как сумма сходящегося
степенного ряда), а следовательно, и во всей области G
(как частное аналитических функций f(z) и (z—й)*), и при
этом ?-(а) = —/<*> (а) =^0.
10.38. Функция, аналитическая во всей плоскости С,
называется целой аналитической функцией. По 10.35 целая
функция f(z) разлагается в ряд Тейлора
| (го=0), A)
сходящийся во всей плоскости.
Теорема (Лиувилль). Целая аналитическая функция
f(z), ограниченная по модулю во всей плоскости С, есть
постоянная.
Доказательство. Пусть при всех z ? С выполнено
неравенство
Напишем выражение 10.35 B) коэффициентов ряда, рассмат-
рассматривая в качестве контура Л окружность радиуса R с центром
в начале координат:
fit) К ,оч
л
В силу неравенства 10.21 E) мы имеем
10.39] § Ю.З. ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 425
Поскольку в этом неравенстве величину R можно взять
произвольно большой, мы получаем
ап = 0 при п=\, 2, ...
и, следовательно,
/B) = a0 = const,
что и требовалось.
10.39. а. Теорема (теорема единственности
аналитической функции). Если аналитическая функ-
функция ф (z) в связной области G равна 0 на последователь-
последовательности точек 2lf z2, ... , сходящейся к точке z0 ? G, то
ф (z) == 0 в области G.
Доказательство. В силу теоремы 10.35 функция
ф (z) в любом круге V={z:\z — zo|<r}c:G есть сумма
степенного ряда:
z-zo) + c2(z-zo)*+... A)
Сначала мы покажем, что ф(,г) = 0 в круге V. Для этого
достаточно показать, что все числа с0, съ с2, ... равны 0.
Вместе с рядом A) рассмотрим степенные ряды
Ф1 (г) = сх + с2 (z — z0) + с3 (г — zof + • • • ,
z — 20) + с4B—zo)z+... ,
Каждый последующий ряд получается из предыдущего вы-
вычитанием свободного члена и делением на z — z0. Поэтому
все эти ряды сходятся в том же круге, что и исходный
ряд (I), и функции q>m(z), согласно 6.64 б, непрерывны при
z = z0. Мы имеем, далее, по индукции
Ф (г„) = 0, с0 = ф(*0) = lim ф (г„) = 0;
П -> СО
Ф1 Ю = Ф(ггп)~ф(го) =0, сх = ф1(г0) = ton ф1 (zn) = 0;
В итоге все с,- = 0, что и утверждалось.
426 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.39
Мы доказали, что ф (z) ^ 0 в некотором круге V
с центром в z0. Пусть теперь z1 — любая точка области G.
Так как G— связная область, то существует кусочно-глад-
кусочно-гладкий путь L a G, соединяющий точки z0 и zx.
Положим d=mip(z), где p(z) — радиус наибольшего
круга с центром в точке z ? L, лежащего внутри G; вели-
величина d положительна в силу компактности L. По доказан-
доказанному ф(г)^=0 в круге V0 с центром в z0 и радиуса d.
Двигая центр круга радиуса d вдоль линии L, мы видим,
что ф (г) s= 0 внутри этого круга при любом положении
центра на линии L. Завершив путь в точке гъ мы получаем
равенство ф (z^ = 0. Теорема доказана.
б. Теорема. Если две аналитические функции f(z) и
g(z) в связной области G совпадают на последовательности
точек zly .. . , zn, ... , сходящейся к точке z0 ? G, то
f(z)^=g(z) в области G.
Доказательство. Положим f(z) — g(z) = (p(z);
функция ф (z) аналитична в G вместе с f(z) и ^(г) и удов-
удовлетворяет условиям теоремы а. Применяя а, получаем, что
ф(г) = 0 в области G, и, следовательно, f(z)=g(z) всюду
в области G. Теорема доказана.
в. На свойстве б основана идея аналитического продол-
продолжения функций. Пусть функция /j (z) аналитична в области
G1 и функция /2 (z) аналитична в области G2, имеющей
с Gx непустое связное пересечение Go. Пусть известно,
что в области Go имеется последовательность точек
гъ z2, ... , zn, .. . , сходящаяся к точке zo? Go, такая, что
fi(zn) — Л^п) (л=1. 2, ...). Тогда, по доказанному,
функции Д (z) и /2 (z) совпадают во всей области Go;
функция f(z), равная /х(г) в G1 и f2(z) в G2, определена
однозначно в области G=G1(jG2 и является аналитической
в области G. Говорят в таком случае, что функция f(z)
есть аналитическое продолжение функции Д (z) из G1 e G.
Из сказанного следует, что аналитическое продолжение
Д (z) из области Gx в область G может быть лишь единст-
единственным.
г. Пример. Функция Д (z) ¦-= 2 г" в круге \ z \ < 1 опре-
о
делена (как сумма ряда) и аналитинна. Функция f(z)=-. ,
10.39] § Ю.З. ТЕОРЕМА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 427
определенная всюду, кроме 2=1, дает аналитическое про-
продолжение функции /х (z) на всю плоскость С с выброшен-
выброшенной ТОЧКОЙ 2=1.
д. Теорема. Если в точке а все производные /(ft) (a)
функции f(z), аналитической в связной области G^a,
обращаются в нуль (k = 0, 1, 2, ...), то f(z) = 0 в G.
Доказательство. Рассмотрим круг V =
— {z:\z — fi|</"}, лежащий целиком в области G. В силу
теоремы 10.35 в функция f{z) в этом круге тождественно
равна нулю, и нам остается применить теорему 10.39 а.
е. Пример: вещественные аналитические
функции. Функция f(z), аналитическая в связной обла-
области G, содержащей точки вещественной оси, называется
вещественной аналитической функцией, если все ее значения
на вещественной оси сами вещественны.
Поскольку значения производной у аналитической функ-
функции f{z) на вещественной оси можно вычислить по значе-
значениям самой функции f(z) только на вещественной оси, мы
видим, что у вещественной аналитической функции ее
производная /' (z) — также вещественная аналитическая
функция. Таким же образом и все остальные ее производ-
производные/"(г), /"' (z), ...—также вещественные аналитические
функции. Разложение функции f(z) в ряд Тейлора с центром
разложения в точке z0 на вещественной оси
имеет вещественные коэффициенты an = -jfln)(z0). Поэтому
в пределах круга сходимости этого ряда мы имеем
/(*)= 2 an{z-z0Y= 2 an(z-z0)»=f(z).
о о
Теорема. Вещественная аналитическая функция f(z)
удовлетворяет условию
для любой точки z ? G, для которой также z?G.
Доказательство. Оставляя в области G только
те точки, которые входят в G вместе с комплексно со-
сопряженными, можно считать, что область G симметрична
428 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.41
относительно вещественной оси. Обозначим через О+ ту
часть области G, которая находится в верхней полупло-
полуплоскости, и через О~—ту, которая находится в нижней
полуплоскости. Определим в области G+ новую функцию
используя значения f(z) для z?G~. Для любой точки
z0 ? G+ из разложения в ряд Тейлора
/(J„(о
о
получается разложение функции Д (z) в степенной ряд
о о
откуда следует, что функция /х (z) — аналитическая в G+.
Но вблизи вещественной оси функция ft (z), как мы видели
выше, совпадает с функцией f(z). Применяя б, получаем,
что fi(z)==f(z) всюду в G+. Меняя ролями G+ и G~,
получаем, что f(z) ^/(z) и всюду в G~. На веществен-
вещественной оси, очевидно, f(z) =f(z). Таким образом, f(z)^f(z)
всюду в G, что и требовалось.
§ 10.4. Вычеты и изолированные особые точки
10.41. Вычеты. Если функция f{z) аналитична в области
G и в этой области взят замкнутый кусочно-гладкий путь L,
то по теореме Коши 10.32
Часто приходится иметь дело с интегралом
0)
L
взятым по замкнутому пути, внутри которого *) имеются
*) Более точно: внутри ограниченной области, границей кото-
которой является путь L.
I0.42J § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 429
особые точки функции f(z). Такой интеграл, вообще говоря,
отличен от нуля. Примером служит интеграл Коши 10,3В E):
где ф {z) аналитична в односвязной области G, содержащей
путь L. Рассмотрим случай, когда функция f(z) в A)
имеет в области G, содержащей контур L, единственную
особую точку z = a (особую в том смысле, что в этой
точке f{z) или не определена вовсе, или хотя и опре-
определена, но не является дифференцируемой по области G).
Значение интеграла A) в этом случае не зависит от выбора
пути L (при условии, что он обходит один раз вокруг
точки а в положительном направлении). Оно называется
вычетом функции f(z) в точке z=a и обозначается так:
10.42. Рассмотрим некоторые примеры.
а. Интеграл
где P{z) — многочлен, имеющий при z = a простой корень
(так что Р(а)=0, Р' (а)фО) и не имеющий других корней
в области G, a g(z) — функция, аналитическая в области G.
Можно написать
где Р1 (z) = b1-\-b2(z — а) + • • • — многочлен, равный при
z = а величине Ьг = Р' (а) Ф0 и не имеющий корней при
z?G. По формуле Коши 10.41 B)
= g(fl) = g(fl)
2л« Y Р (О b 2ni ^ (Z -a) Pi (О Pi (a) P' (а) '
и вычет функции f(z)=jai\ ПРИ z = a найден:
й=/=|^. A)
б. Интеграл
2nl Of P (С)
430 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.43
где многочлен P(z), в отличие от только что рассмотрен-
рассмотренного случая, имеет при z = a /я-кратный корень, так что
Можно написать
где
Разложим функцию „ t < в РЯД Тейлора по степеням z — а:
M2
Тогда
= __
Р{г) (z-a)
При интегрировании по L сохранится лишь член, содержа-
содержащий коэффициент ст_1 A0.33 а). По /0.35 б он имеет
значение
__ 1 (g(z)(z~a)m\(rn-i)
(m-l)\{ Pjz) )z=a •
Итак, в рассматриваемом случае, когда P(z) имеет те-кратный
корень при z = a,
P{z)\z=a-(m-l)\ [ P(z)
10.43. Если нам нужно вычислить интеграл 10.41 A) по
замкнутому пути, внутри которого находится не одна,
а несколько (конечное число, например т) особых точек
%, ... , ат функции f(z), то можно воспользоваться ра-
равенством
ф
A)
10.44] § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 431
где Lx, ..., Lm—замкнутые кусочно-гладкие пути, каждый
из которых обходит лишь одну особую точку. Доказатель-
Доказательство этого равенства (называемого основной теоремой о
вычетах) очевидно из теоремы Коши и из рис. 10.6, где
показан исходный путь L, пути Llt ... , Lm и соединяющие их
пути, проходимые дважды в противоположных направлениях.
Пример. Найдем
ф
|z|=l
г2—2рг+1 '
Из двух корней знаменателя, произведение которых равно 1,
один, zlt находится внутри, а другой, z2,— вне единичного
У
L
Рис. 10.6.
Рис. 10.7.
круга (рис. 10.7). Именно, в формуле для корня квадратного
трехчлена
при р > 1 знак минус отвечает корню гъ а знак плюс —¦
корню z2. В точке zx знаменатель имеет простой корень,
и по формуле 10.42 A)
1 I in
йг _о 1 I
zZ-2pz+\-~Zm2(z-p)\
= l |г=г,
10.44. Логарифмический вычет. Рассмотрим
интеграл вида
где функция f(z) аналитична в области G, содержащей
432
ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[10.45
замкнутый контур L, а на самом контуре не обращается
в 0. Если она и внутри контура L не обращается в нуль,
то по теореме Коши 10.32 интеграл A) равен нулю. Если
функция f(z) имеет нули внутри контура L, то по теореме
единственности 10.39 а этих нулей конечное множество;
обозначим их через
а их кратности — через
km. В соответствии с 10.43 интеграл N можно
представить в виде суммы аналогичных интегралов
где внутри контура Lj имеется уже только один нуль
кратности ki. Для сокращения записи положим гу-=а, k~
В окрестности точки а мы имеем
f(z) =ck(z-a)k + ck+1(z—a)k+1+..., скф0,
ф(г)
г—а
f(z) z—a' ck+ck+1(z—a)+...
где ф (z) — аналитическая функция в окрестности точки а,
принимающая в самой точке а значение <р(а)=&. Поэтому
В итоге
ч
m m
= 2 Nj= 2 kJt
т. е. интеграл N есть целое положительное число, равное
сумме кратностей всех нулей функ-
функции f(z), находящихся внутри конту-
контура L.
Интеграл N называется логариф-
логарифмическим вычетом функции f(z) от-
относительно контура L. Смысл этого
названия будет ясен из дальнейшего
A0.57).
10.45. Ближайшие пункты посвяща-
посвящаются «качественному анализу» поведе-
поведения функции в окрестности изолиро-
изолированной особой точки. Средством для этого анализа являет-
является разложение рассматриваемой функции в ряд по положц-
Рис. 10.8.
10.45] § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 433
тельным и отрицательным степеням z— а, называемый рядом
Лорана.
Рассмотрим функцию w=f(z), аналитическую в круго-
круговой полосе Q={ro<.\z — а|<#0}, где 0<^г0 </?„<;оо
(рис. 10.8). Выберем числа г и R так, чтобы иметь
г0 < г < # < Ro. Тогда по теореме Коши, примененной
к односвязной области, полученной разрезанием круговой
полосы Q вдоль радиуса, не проходящего через z, при
г <L\z — а|</? имеем
\z-a\=r
В первом интеграле используем разложение
11! V (г~~а\п
Во втором интеграле используем разложение
1 1 1_ 1 = У g-g>"
t-г (?-а)-(г-а) г-д' t С-о ^(г-а)п+1'
г—а
По признаку Вейерштрасса (ср. 10.35 а) оба разложения
равномерно сходятся на соответствующих контурах инте-
интегрирования. Поэтому, применяя 10.22 а, можно написать
OD 00
z) = 2jCn(z—а) -\-2jcn\z—а> > \ч
где
л7
|г-й|=г
Ф ж8
Впрочем, поскольку подынтегральная функция ..¦_ Н+1-
аналитична в круговой полосе Q, интегралы можно брать
по любой окружности \z — а|=р, р€(г$, Rq), и даже по
434 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.45
любому замкнутому кусочно-гладкому пути, обходящему в
пределах полосы Q один раз вокруг ее внутренней части
в положительном направлении.
В частности, если /"„=0, коэффициент с_1 есть как раз
вычет функции f(z) в точке z = a A0.41).
Сумма A) короче записывается в форме
f(z) = %cn(z-ar. B)
— 00
Полученное выражение можно рассматривать и как предел
суммы ^cn(z— а)п, когда р—*- — оо, q—* oo независимо
п=р
друг от друга, т. е. как сумму двустороннего ряда F.48 а);
это следует из сходимости обоих рядов-слагаемых в пра-
правой части A) и теоремы 6.486.
Ряд A), или B), называется рядом Лорана для функции
w=f(z) в полосе Q. Согласно теореме 10.22 6 он сходит-
сходится равномерно при /"<;|,г — а|^/?. По функции f(z) он
определяется единственным образом, поскольку для любого
т=0, ±1, +2, ... при г0 < р < /?0 из A) следует
J (z—a)
\г—fl[=p —а> | г—e|=p
= 2nlcm_l.
Слагаемое / + (г) =* 2 ся (г—й)" называется правильной
частью ряда Лорана, слагаемое /"(г)= У)с„(г — а)п—¦
главной частью ряда Лорана. Числа сп называются коэффи-
коэффициентами Лорана.
Правильная часть ряда Лорана есть ряд по положитель-
положительным степеням z — а, сходящийся при \z — a\ — R и, следо-
следовательно, сходящийся во всем круге \z—a\^.R0 F.62),
включая и всю внутреннюю часть \z — а|^/, не входя-
входящую в круговую полосу Q.
Главная часть ряда Лорана есть ряд по отрицательным
степеням z — а, сходящийся при \z — а\ = г. Если положит*
z — а = -=-, мы получим ряд по положительным степеням ?,
10.46] § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 435
сходящийся при |?| = — и> следовательно F.62), сходящий-
сходящийся при всех |?Х1 —; поэтому главная часть ряда Лорана
сходится при всех \z— с|>г0, включая и всю внешнюю
часть \z — a\^RQ, не входящую в круговую полосу Q.
10.46. Изолированные особые точки. Рассмот-
Рассмотрим случай функции w—f(z), аналитической в круге
\z — а| < RQ всюду, за исключением центральной точки а.
В области 0 < | z — а | < Ro функцию / (z) можно разложить
в ряд Лорана
/(*)= 2 *«(*-«)"• О)
— со
В зависимости от структуры этого ряда изолированная
особая точка а получает одно из следующих наименований:
а. Если все коэффициенты Лорана с„ с п < 0 равны 0,
точка а называется устранимой особой точкой функции f(z).
В этом случае в области 0 < \z — а\ < Ro функция f(z)
представима рядом
сумма которого есть аналитическая функция во всем круге
\z — а | < Ro, включая точку z—a, равная с0 при z = a.
Поэтому, если дополнительно положить f(a) = c0, мы полу-
получим аналитическую функцию в круге \z—«|</?0 без осо-
особенности в точке z = a. Этим объясняется название «устра-
«устранимая особая точка».
б. Если все коэффициенты Лорана сп с п <—т, где
т > 0, равны 0 и с_тф0, точка а называется полюсом
т-го порядка функции f(z).
в. Если имеются отличные от нуля коэффициенты Ло-
Лорана с„ с отрицательными номерами п, как угодно больши-
большими по модулю, точка а называется существенно особой
точкой функции f(z).
г. Для общности результатов мы дополним здесь комп-
комплексные плоскости переменных z и w символическими точ-
точками z=oo, w =оо («бесконечно удаленными точками»).
Символом z —* оо будем обозначать направление на плос-
плоскости z, образованное из множеств Ar— {z:\z\ > г], где
436 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.46
г пробегает все положительные числа (или хотя бы все
числа, большие некоторого г0); аналогичный смысл будет
иметь символ w —>¦ оо {4.73 е). Прежние точки гиш (отличные
от введенных z = oo и то=оо) будем называть конечными
точками. Пусть S есть какое-нибудь направление на плос-
плоскости z; будем говорить, что для данной функции w=f(z)
имеет место предельное соотношение Hm/(z)=oo, если для
любого г можно найти такое множество Ar?S, во всех
точках которого выполняется неравенство
\№ I >г.
Таким образом, приобретают точный смысл выражения
lim/(z)=oo, lim f(z) = b, li
(где а и Ъ — конечные точки). Например, имеют место ра-
равенства
= oo, если lim <p (z) = Ь ф 0, Hmf(z) = оо;
lim <р (г) = оо тогда и только тогда, когда lim -r-r = 0.
Ч1 'г'
г-»-о
Далее, аналогично 4.45, будем говорить, что точка то= оо
есть предельная точка для функции / (z) no направлению S,
если для любого г можно в каждом множестве Ar g S указать
точку zT, в которой выполняется неравенство
\f(zr)\>r.
Функция f(z), не являющаяся ограниченной по направ-
направлению S, необходимо имеет предельную точку то=оо.
д. Рассмотрим случай, когда функция/(г) определена
и аналитична в области G= {z:\z\> R}. В силу общей
теоремы 10.45 она разлагается в области G в ряд Лорана
10.48) § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 437
Преобразование %=¦-=¦ переводит область О в область
Я=< 1:0 <\?,\<-g > и функцию f(z) в функцию
Будем говорить, что функция f(z) имеет в точке оо
соответственно устранимую особую точку, полюс или су-
существенно особую точку, если одноименную особую точку
имеет функция <р (?) при ? = 0. Иначе говоря, точка z=oo
является для функции f(z) устранимой особой точкой, если
в разложении B) отсутствуют члены с положительными
показателями; полюсом порядка т, если в разложении B)
коэффициенты ат+1, am+2, • • • равны 0, а коэффициент
ат Ф 0; существенно особой точкой, если в разложении B)
имеются члены с произвольно большими показателями.
Далее мы изучим поведение функции f(z) вблизи изоли-
изолированной особой точки во всех указанных случаях.
10.47. Если в разложении 10.46 A) с„=0 при л < — т,
т > 0, так что
то мы можем положить
Ф (г) = (г-о)-/(*) =
Функция (f>(z) имеет при z=a устранимую особую точку
и при дополнительном условии <р(а)=с_т становится ана-
аналитической в круге \z — й|</?0, отличной от 0 при z = a.
Отсюда
fi~\-
Так как <р(а)=^О, при z—*¦ а функция /(z) стремится
к бесконечности A0.46 г).
К этому типу относятся подынтегральные функции в при-
примерах 10.42 а, б, где мы вычисляли вычеты.
10.48. Пусть теперь а есть существенно особая точка
функции f(z).
438 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.48
Прежде всего покажем, что функция f{z) не может быть
ограниченной в окрестности существенно особой точки z — a.
Так как правильная часть /+ (z) заведомо ограничена вблизи
точки z=«, то из ограниченности f(z) следовала бы огра-
ограниченность главной части / (z). Ряд
/"(*)= 5} «»
сходится при всех гфа A0.45). Поэтому, заменяя z — а
1
на -г-, мы получим ряд
Ф @=2 *-»?".
сходящийся во всей плоскости ?. Если функция /~ (z) ог-
ограничена при 0<|z — a|<Ie, то функция <р(?) ограничена
при \ХА~^ — • Но при |?| < — функция <р(?) также огра-
? ?
ничена (вследствие своей непрерывности), поэтому <р (?)
ограничена во всей плоскости ?. По теореме Лиувилля
A0.38) <р(?) есть постоянная, и так как <р@)=0, мы по-
получаем <р (?) == 0, откуда и сп = 0 при всех п < 0 в проти-
. воречии с предположением.' Итак, f(z) не является ограни-
ограниченной при z —>¦ а, т. е. точка оо есть предельная
точка функции f(z) при z —*-а . Пусть теперь А — любое
конечное комплексное число. Если значение А принимается
функцией /(z) в каждой окрестности точки а, то тем самым
А есть и предельное значение f(z) при z—»- а. Если же
в некоторой окрестности точки а функция f(z) не принимает
значения Л, то функция ф(г)=-ут~5—г~ не имеет иных
особых точек в указанной окрестности, кроме самой точки а.
Если точка а есть полюс или существенно особая точка
функции <р (z), то по доказанному существует последователь-
последовательность zn —*¦ а, для которой ф (zn) —»¦ оо, и, следовательно,
f(zn)—>A, так что А есть предельное значение функции
f(z) при z—i-a. Наконец, рассмотрим случай, когда точка
г=а есть устранимая особая точка функции <f>(z). В этом
случае по доказанному существует конечный предел
b— lim (p (z).
10.49) § Ю.4. ВЫЧЕТЫ И ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 439
Так как существует последовательность г„ —»¦ а, для кото-
которой f(zn) —* оо, то
b= lim<p(z)= lim ¦n—-—т = 0.
г-* a z-> at (гп) л
Можно положить
Ф (z) = (z — а)т ij) (z),
где яЬ (а) Ф- 0, w ^ 1. Функция —j-r аналитична в окрест-
ности точки а и допускает разложение в ряд Тейлора
1
z — а) + ..., где Ьа = тт-; •
'^ ° ip(a)
Таким образом,
и мы видим, что ряд Лорана для функции f(z) имеет лишь
конечное число слагаемых в главной части в противоречии
с предположением.
Итак, в существенно особой точке любое значение А
в расширенной плоскости z является предельным значением
функции f(z) при г—* а*).
10.49. С другой стороны, поведение функции f(z)
в окрестности изолированной особой точки можно описывать
независимо от предыдущего в следующей системе взаимно
исключающих характеристик:
A) функция f(z) ограничена в некоторой окрестности
точки а;
B) функция/(z) имеет при z —*¦ а предел оо;
C) функция f(z) имеет при г—?-а по крайней мере два
предельных значения, одно из которых есть оо.
*) Имеется более точная теорема Пикара. в силу которой в лю-
любой окрестности существенно особой точки функции / (г) каждое
значение А (кроме, возможно, одного) фактически принимается
функцией f (г), притом бесчисленное множество раз. См. И. И. П р и-
валов, Теория функций комплексного переменного, М., 1966.
440 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.51
Результаты 10.46—10.48 таковы:
t/странимая особая точка есть точка типа A);
полюс есть точка типа B);
существенно особая точка есть точка типа C).
Но так как и классификация 10.46, и классификация по
типам A)—C), каждая в своих терминах, описывает взаимно
исключающим образом все возможные типы поведения функ-
функции f(z) в окрестности изолированной особой точки, то
справедливы и обратные заключения:
точка типа A) есть устранимая особая точка;
точка типа B) есть полюс; -»
точка типа C) есть существенно особая точка.
Подчеркнем, что эти высказывания нетривиальны. Так, на-
например, первое из них утверждает, что функция, аналити-
аналитическая и ограниченная в окрестности точки а, на самом
деле имеет при z—•- а конечный предел; оно получает обо-
обоснование лишь в результате анализа поведения функции
в окрестности полюса и в окрестности существенно особой
точки, проведенного нами в 10.47—10.48.
С учетом 10.46 6 все эти выводы полностью переносятся
на случай изолированной особой точки в бесконечности.
В частности, если функция f(z) является аналитической
при всех z, | z | > я, мы приходим к следующим предло-
предложениям: если при этом функция w~f(z) имеет на беско-
бесконечности единственную предельную точку то=оо, то f(z)
есть многочлен; всякая целая функция f(z), не являю-
являющаяся многочленом, любое число w ? G имеет своим пре-
предельным значением при z—*¦ оо.
§ 10.5. Отображения и элементарные функции
10.51. Конформное отображение. Рассмотрим
линейную функцию
=f{z), A)
где г0, щ»0, Ь=?0 — некоторые комплексные числа. Очевидно,
f{zQ)=w0. Далее, w—wo=b(z — z0), откуда
\w-wo\=\b\-\z-zo\, B)
aTg(w-~wo)=&Tgb + aig{z—zo) C)
(с точностью до слагаемого, кратного 2^). Равенства
16.52] § 10.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 441
B), C) показывают, что отображение w=f(z) имеет сле-
следующую геометрическую природу: каждый круг \z — z01 <I p
растягивается в \Ь\ раз по всем направлениям, поворачивает-
поворачивается вокруг центра z0 на угол aigb и затем накладывается
центром на точку w0.
Пусть теперь w=f'(z)— произвольная аналитическая
функция, определенная в окрестности \z—?0|^p точки z0,
причем/' (го) — ЬфО, f(zo) — wo. Мы имеем в этом случае
в силу определения производной
w—wo-\-b(z—zo)-\-e(z, z0) (z — z0), D)
где в (z, z0) —*¦ 0 при z —»¦ z0.
Равенство D) показывает, что отображение w=f(z)
с точностью до малых второго порядка описывается фор-
формулой A), так что с указанной точностью оно представляет
собой результат последовательного поворота вокруг центра z0
на угол argb, растяжения в \Ь\ раз и наложения центром
на точку w0. Отображение такого рода называется кон-
конформным в точке z0 с характеристиками k= \ b | uQ=aigb.
Таким образом, аналитическая функция w = f(z) осущест-
осуществляет конформное отображение во всякой точке z0, в кото-
которой f (z0) Ф 0. В частности, при конформном отображении
линии, образующие в точке z0 угол а, переходят в линии,
образующие в точке w0 тот же угол а.
10.52. Теорема. При /' (z0) Ф 0 некоторая окрестность
точки z0 переходит в окрестность точки w0 взаимно одно-
однозначно.
Это утверждение, разумеется, очевидно в случае функции
10.51 A), когда можно прямо разрешить уравнение отно-
относительно z, но в общем случае требует доказательства.
Рассмотрим окрестность G точки z0, в которой функция
f(z) — w0 обращается в нуль лишь единственный раз, при
z = z0; поскольку нули аналитической функции f(z) — wu
изолированы A0.39 а), такая окрестность всегда существует.
Пусть L — контур, ограничивающий область G. Тогда в силу
10.44
так как единственный нуль функции f(z) — w0 имеет крат-
кратность 1.
442 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.53
Функция от w
определена при «у=«у0 (где она равна 1) и для близких
значений w, например при \w — wo|<e, поскольку знаме-
знаменатель не обращается в нуль на контуре L не только при
w = wu, но и для всех достаточно близких значений w.
Она непрерывно зависит от w по теореме 10.24. Но так
как эта функция принимает лишь целые значения A0.44),
она равна 1 и для всех близких значений w. А это озна-
означает, в силу 10.44, что внутри контура L функция f(z)— w
обращается в нуль один раз, т. е. для любого wlt ^ — тоо|<е,
имеется в окрестности G одна и только одна точка zlt где
f(z1)=wl. Теорема доказана.
10.53. Обратная функция. В условиях 10.52,
в силу взаимной однозначности отображения w—f(z),
имеется обратная функция z=y(w), осуществляющая обрат-
обратное отображение окрестности точки w0 в окрестность точ-
точки z0. Покажем, что z=<p(ze>) — также аналитическая функ-
функция. Для этого рассмотрим отношение
ФИ- ф(ц>о)_Аг .
w—wB Aw '
При та -^- то0 мы имеем z —* z0: если бы у функции <р (w)
при w —*¦ w0 нашлась вторая предельная точка zx, то мы
бы имели f(zo) = wo=f(zl), что по доказанному невозможно.
Поэтому существует предел отношения A), равный
что доказывает дифференцируемость функции <р (те») при
10.64. Однолистные функции. Функция w =
определенная и аналитическая в области G на плоскости z
и отображающая ее взаимно однозначно в область Н на
плоскости w, называется однолистной в G. Мы увидим
A0.596), что у однолистной функции всюду /'(г)=фО.
10.56] § Ю.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 443
По /0.52 однолистной является любая аналитическая функ-
функция w=/(z) в окрестности точки z0, где /'(го)ф0.
10.55. Дробно-линейная функция. Линейная
функция, рассмотренная в 10.51,
A)
очевидно, однолистна во всей плоскости z.
Функция w = — осуществляет взаимно однозначное и
конформное в конечных точках отображение расширенной
плоскости z на расширенную плоскость w,, причем
точка z=Q переходит в точку ¦да=оо и точка z= оо
переходит в точку то=0. Можно считать, что линейная
функция A) также отображает расширенную плоскость z
в расширенную плоскость w, переводя точку ?= оо в w= oo.
Общую дробно-линейную функцию
где
можно рассматривать как результат последовательного при-
применения линейной функции, функции вида — и еще одной
линейной функции: это следует из представления
а . be—ad
ее (cz+rf) '
Поэтому дробно-линейная функция также осуществляет
взаимно однозначное отображение расширенной плоскости z
на расширенную плоскость w. При этом точка z — пе-
— переходит в точку то=оо, а точка z=oo переходит в точку
а
w = — .
с
10.56. Степенная функция w— г", л> 1,и ей об-
обратная. Здесь мы имеем, во всяком случае при | argz | < — ,
Из формул A) видно, что функция w=zn отображает вза-
взаимно однозначно внутренность угла —а < argz < а<1— на
444 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.57
угол в плоскости w, выделяемый неравенствами
— па < arg w < /га.
Наибольший угол — а < arg z < а, в котором функция w=zn
остается еще однолистной, имеет раствор —2-; он ото-
отображается этой функцией на всю плоскость w, из которой
удалена вещественная отоицательная полуось.
Обратная функция, обозначаемая, естественно, z= \/w,
отображает взаимно однозначно указанную область в плоско-
плоскости w на внутренность угла < argz < — в плоскости z.
В точке z=0 функция w = z" определена и сохраняет
аналитичность, однако конформность отображения в этой
точке отсутствует; это связано с тем, что в точке 0 про-
производная функции zn равна 0, если п > 1.
10.57. Экспоненциальная функция w = e* и ей
обратная. Здесь мы имеем
ег — ex+iy _ ех
В частности, \ez\ — ex, atgez=y-\-2kn (k=0, ±1, ±2, ...).
Каждая горизонтальная прямая у=у0 в плоскости z пере-
переходит в плоскости.w в линию и—ехcosy0, v=exsiny0; это
есть луч, выходящий из начала координат в плоскости ~w
под углом у0 к положительному направлению оси и. Полоса
в плоскости z, выделяемая неравенствами —а<Су <а <я,
отображается функцией w—ez взаимно однозначно в угол
в плоскости w, выделяемый неравенствами
—а< argw < а.
Наибольшая полоса —а <Су <? а, в которой функция w= ez
остается еще однолистной, имеет ширину 2а = 2я (так что
а=я); она отображается функцией w = ez взаимно одно-
однозначно на область W в плоскости w, получаемую удале-
удалением из этой плоскости вещественной отрицательной полу-
полуоси. В этой области W определена и аналитична обратная
функция, которая, естественно, обозначается z=\nw. Для
действительных положительных w эта функция совпадает
с известной функцией In w, определенной в 5.41. Далее,
из равенства \ег\*=е* следует, что лг = 1п|ег|; учитывая,
10.58] § Ю.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 445
что одновременно у== atge", мы имеем
In w = z = х -f- iy = In [ ez | + / arg ex — In | w \ + i arg w,
что позволяет отделить в функции In та/ вещественную и
мнимую части. Из равенства eZl+Za = eZi-eZl обращением полу-
получается соответствующее свойство логарифма
In (w1 ¦ w2) = In w1 -f- In w2.
Найдем производную от логарифма. Поскольку (е2)' = ег
A0.37), мы имеем по формуле /0.55 B)
4 ' (ег) ez w
Отсюда следует, на основании теоремы о первообразной
A0.25), что функция z=\nw в области W может быть пред-
представлена в форме интеграла
ш.
где путь интегрирования есть любая кусочно-гладкая линия,
соединяющая в области W точку w0 с w. Проще всего взять
wo=\; тогда lnwo=O, и мы получаем
(О
Производная от сложной функции In w (z) равна ——^ , что
поясняет термин «логарифмический вычет» в 10.44.
Функция In w определена теперь для всех w, кроме веще-
вещественных отрицательных; отрицательные числа пока еще
не имеют логарифмов. Немного погодя мы укажем полную
область определения логарифма, включающую и отрица-
отрицательные числа.
10.58. Общая степенная функция ia=zx, где
Я,—положительное число. Эта функция определяется по фор-
формуле
при условии, что z не есть вещественное отрицательное
число. Угол —а< argz< «< min f n, — ] функцией
446 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [10.59
переводится в полосу —a<Imlnz<a; умножение на X
эту полосу переводит в полосу —ак < lmX\nz < aK, и по-
последующее потенцирование переводит полученную полосу
в угол в «/-плоскости, выделяемый неравенствами
—ак< argw <ак.
Наибольший угол —а < atgz < а, в котором функция w—
= zx остается еще однолистной, имеет (при Я,^ 1) раствор
2а = —=— ( а=="Т ) и отображается этой функцией во всю
плоскость w, из которой выброшена вещественная отрица-
отрицательная полуось.
Производная функции w=zx по общим правилам равна
Я,
(eKlnzy _ еКInz. ^ [п д.)' _ Л eMnz = Я^Х-1.
10.59. Не о дно ли с т нос т ь и римановы поверх-
поверхности.
а. Рассмотрим функцию
w=*(z—zo)n, я>1,
в окрестности |z—20|<p точки z0. Будучи однолистной
JT ЗХ
в пределах угла < arg(z—z0) < —, эта функция, хотя
и аналитическая, не.является однолистной во всей окрест-
окрестности точки z0. Окружность L = {\z—zo| = p} отображается
в плоскости w на окружность А. = •{[ те; J == р"}, но когда пе-
переменное z один раз пробегает окружность L, функция w—z"
пробегает соответствующую окружность Л уже я раз.
б. Аналогичная картина имеет место для окрестности
л-кратного нуля z0 любой аналитической функции
w=/(*)=cB(*—*0)»+св+1(г—*0)»+1+... , спф0,п>\.
Действительно, если G есть окрестность точки z0, в преде-
пределах которой нет других нулей функций f(z) и f'(z), и
LcG—замкнутый контур, обходящий вокруг точки z0, то
согласно 10.44 логарифмический вычет функции f(z) отно-
относительно контура L равен я:
_П_О_ J5- „
С
3
По соображениям непрерывности, как и в 10.52, для
10.59] § 10.5. ОТОБРАЖЕНИЯ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 447
любого w, достаточно малого по модулю, имеем также
1
Отсюда следует, по 10.44, что значение w принимается функ-
функцией f(z) в окрестности G, с учетом кратностей, п раз.
Но так как по условию /' (z) не имеет других нулей в об-
области G, кроме точки z0, мы видим, что любое значение
w=^0 принимается фактически функцией f(z) в п различ-
различных точках. В указанных случаях для восстановления вза-
взаимной однозначности отображения вводят понятие римановои
поверхности. Мы не будем здесь формулировать общее опре-
определение рнмановой поверхности, а ограничимся лишь двумя
характерными примерами.
в. Для случая функции w= (z—*z0)" риманова поверх-
поверхность строится следующим образом. Берутся п экземпляров
обычной плоскости w с отож-
отождествленной—для всех экземпля-
экземпляров— точкой w=0, разрезанных
вдоль вещественной отрицатель-
отрицательной полуоси. Далее листы склеи-
склеиваются (т. е. производится соот-
соответствующее отождествление)
следующим образом: верхний край
разреза на первом листе склеи-
склеивается с нижним краем разреза
на втором листе, верхний край
разреза на втором листе—с ниж-
нижним краем разреза на третьем
листе, и т. д. , верхний край
разреза на п-и листе — с ниж-
нижним краем разреза на первом листе (рис. 10.9). (Фактически
в трехмерном пространстве произвести такое склеивание, без
дальнейших самопересечений, невозможно, но это несущест-
несущественно.) При этом на каждом листе сохраняется первоначаль-
первоначальная комплексная координатная система. Теперь отображение
w=zn можно рассматривать как взаимно однозначное ото-
отображение полной плоскости z на построенную риманову по-
поверхность. А именно, поставим в соответствие точке z= p > 0
точку та/=р" на первом листе. При движении z по окруж-
окружности |г[=р в положительном направлении w = z" будет
'-и
Рис. 10.9.
448 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ f 10.59
двигаться в положительном направлении по первому листу
римановой поверхности и, когда точка z дойдет до границы
области однолистности, указанной в 10.56, т. е. до значения
zz argz = —, точка w будет иметь аргумент avgw=n,
т. е. будет находиться на луче, по которому первый лист
склеен со вторым. При дальнейшем движении точки z в том
же направлении точка w перейдет на второй лист, затем
на третий и т. д. и после полного оборота точки z вокруг
z—0 вернется к исходному положению иа первом листе. Мы
получили искомое взаимно однозначное отображение плоско-
плоскости z на построенную (вместо плоскости w) риманову по-
поверхность. На этой римановой поверхности определена об-
обратная функция, которую мы по-прежнему обозначаем z =
= \Tw; она отображает взаимно однозначно построенную
риманову поверхность на плоскость z.
Всем я различным точкам на построенной римановой по-
поверхности с одной и той же комплексной координатой w^O
отвечают я различных точек z0, ... , zn_x на плоскости г;
их модули равны yf \ w | , а аргументы определяются равен-
равенством
^ ? = 0, 1 л—I.
В частности, при я=2 и «/= —1 получаем
в полном соответствии с основным правилом алгебры комп-
комплексных чисел.
г. Чтобы построить риманову поверхность, восстанавли-
восстанавливающую взаимную однозначность для функции w = ez, сле-
следует взять бесконечное (счетное) количество экземпляров
да-плоскости, занумерованных всеми целыми числами от — оо
до +оо, и склеить их в точке г = 0и вдоль разреза по
вещественной отрицательной полуоси, приклеивая верхний
край разреза на k-м листе к нижнему краю на (Лг + 1)-м листе
(рис. 10.10). Указанная в 10.57 область однолистности функ-
функции и^ = ег, т. е. полоса —я<^»<я, отобразится взаимно
однозначно на нулевой лист (без разреза). Если точка z
будет двигаться по вертикали х=х0 от точки _у = 0 до
10.59] § 10 5. отображения и элементарные функции 449
точки у —я, точка w будет на нулевом листе описывать
полуокружность радиуса ех* до верхнего берега разреза.
Если точка z будет двигаться вверх дальше, через значение
у = п, то точка w перейдет через разрез, окажется на вто-
втором листе и будет описывать на
нем окружность того же радиу-
радиуса; когда точка г перейдет через
значение у = 3п, точка w еще
раз перейдет через разрез и ока-
окажется на третьем листе и т. д.
Обратная функция z = In w
дает взаимно однозначное отоб-
отображение построенной римановой
поверхности на полную плоскость
z. При этом значениям w на л-м
листе отвечают значения z в по-
полосе Bл— 1)п<у< Bп+\)п.
Таким образом, функция, обрат-
обратная к функции w = е2, есть функ-
функция бесконечнозначная, она обозначается через Ln«>; все
ее значения заключены в формуле
Ln w = In [ w | -f- i arg w,
где учитываются все возможные значения arg та/.
В частности, если w есть вещественное отрицательное
число w— —р, р > 0, мы получаем
(* = 0, ±1, ±2, ...),
г-и
Рис. 10.10.
причем нет никаких сколько-нибудь естественных соображе-
соображений, которые могли бы выделить из всех выписанных значе-
значений какое-либо одно.
д. Аналогично можно строить римановы поверхности для
других аналитических функций. При этом в общем случае
в отображении w=^f(z) участвуют римановы поверхности
как для переменного z, так и для функции w.
Для построения римановой поверхности функции f(z)
следует заготовить достаточное число идентичных между
собой листов, соответствующих области определения функ-
функции f(z), и провести на них разрезы, разделяющие эту
область на части, в которых функция f(z) однолистна; да-
далее следует склеить края разрезов на различных листах
450 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(подобно тому как это делалось в примерах в и г) с целью
обеспечить взаимную однозначность получающегося отобра-
отображения всей римановой поверхности для переменного z на
всю риманову поверхность для переменного w.
Точки, при обходе вокруг которых по окружности про-
произвольно малого радиуса значения функции f(z) переходят
на новый лист, играют особую роль в структуре римановой
поверхности; они называются точками разветвления функ-
функции f(z). Для любой точки z0, не являющейся точкой
разветвления функции f(z), существует окрестность, в ко-
которой функция f(z) приводится к набору однозначных
аналитических функций; у точки разветвления не существует
окрестности с таким свойством.
В примерах виг точками разветвления были точки 0 и сю.
Более подробно строение римановых поверхностей для
различных функций рассмотрено в книге А. И. Маркуше-
вича «Краткий курс теории аналитических функций», Гос-
техиздат, 1957. Современное состояние общей теории рн-
мановых поверхностей описано в книге Дж. Спрингера
«Введение в теорию римановых поверхностей», ИЛ, 1960.
ЗАДАЧИ
1. Если радиус сходимости ряда f (г) = ^апгп равен 1 и все ап
о
положительны, то г=1 есть особая точка.
2. Если ряд 2йлг" имеет радиус сходимости 1 и на окруж-
о
ности | г | = 1 единственной особой точкой является полдес порядка ш,
то \an\s^Anm~1, где А — постоянная.
3. (Принцип максимума.) Пусть /(г)—аналитическая функция
в области G, ограниченной контуром Г, и пусть
М= sup \f(z)\.
геГ
Тогда |/(z)|sSAf в области G. Если \f{zo)\ — M в некоторой внут-
внутренней точке zB?G, то f (г) постоянна в области G.
4. Если функция f(z), аналитическая внутри круга ||
удовлетворяет в нем неравенству \f(z)\^M и если f @) = 0, то
(Г. Шварц).
ЗАДАЧИ 451
5. Если функция f (г) аналитична в круге | г \ < R, то функция
In М (р), где М (р) = max | f (г) |, есть выпуклая функция от In p
|z|=p
(Ж; Адамар).
' в. Вещественная функция и (х, у) называется дифференцируемой
в точке (а;0, ув), если существуют числа Аи и Вп такие, что в неко-
некоторой окрестности точки хв, у0 справедливо представление
и (хв+h, yB+k)=u (хв, ув) + Aah+Bak+e (h, k),
e,(h k)
гДе ¦ , . .'. , . 5- 0 при h —*¦ 0, k —»- 0. Доказать, что комплексная
l«l + l«l
ll + ll
функция w=u(x, y)-\-iv(x, у) тогда и только тогда имеет производ-
производную w' (z0), когда функции и (х, у) и v (x, у) дифференцируемы в
точке zB=*x0 + iy0 и ЛЙ = ВО, А„=—Ва.
7. Доказать, что дробно-линейная функция w=—J-r перево-
переводит в себя семейство всех окружностей (включая и прямые, которые
можно считать окружностями с бесконечно удаленным центром).
8. Рост функции f (г) = 2 а„гп можно оценивать с помощью
о
функций
Ж(р)= max \f(z)\,
|z|=p
Очевидно, М (р) < Mi (p). Но Мг (р) не слишком быстро возрастает
сравнительно с М (р): при любом о > 0 имеет место неравенство
9. Пусть в области G, ограниченной контуром L, функция f (г)
аналитична, за исключением, возможно, конечного числа полюсов, и
на контуре L отлична от нуля. Когда г обходит L в положительном
направлении, точка w—f(z) описывает некоторую замкнутую кривую.
Ее число оборотов (вокруг точки ш=0) равно числу нулей функции
f (г) н области G за вычетом числа полюсов (принцип аргумента).
10. Известно, что последовательность аналитических функций
/п(г) (я = 1. 2, ...) сходится к функции f(z)^O равномерно внутри
области G A0.36 а). Пусть Z—множество всех нулей всех функций
/„ (г) н области G. Тогда множество нулей функции f (г) (считая
m-кратный нуль за т нулей) в области G совпадает с совокупностью
всех предельных точек множества Z внутри области G.
П. Если ряд 2^(и)(г) сходится хотя бы в одной точке г, где
о
функция g(z) аналитична, то g(z)—целая функция и указанный ряд
сходится при всех г равномерно в каждом круге (Г. Полна).
452 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
12. Указать области однолистности, построить римановы поверх-
поверхности и найти точки разветвления у функций w=-^-( г-) J ,
tt)=cosz и им обратных г — ш±УиJ—1, z=ArccosttJ.
13. Доказать равенство
«Arccosay=Ln(K)± Уг2 — 1).
14. Если функции ft (г), .... fn (г) аналитичны в области G, то
функция | fi (г) | + ¦ • • +1 fи (г) I не может достигать максимума
внутри G.
15. Аналитическая функция f(z), определенная во всей плос-
плоскости г, отображает всю плоскость в верхнюю полуплоскость. Дока-
Доказать, что f (г) есть постоянная.
16. Вывести теорему о существовании корня у алгебраического
многочлена Р (г) E.86) из теоремы Лиувилля 10.38.
17. Вывести теорему о существовании корня многочлена Р (г)
E.86) из теоремы в логарифмическом вычете A0.44).
18. Вывести теорему о существовании корня многочлена Р (г)
E.86) из принципа максимума (задача 3).
19. Аналитическая функция f (г) определена во всей плоскости,
•за исключением точек z1f z2, ... , zn, ... , в которых эта функция
имеет простые полюсы с вычетами blt ..., Ьп, Допустим, что
множество {г: |/4z)l<C} при некотором С содержит семейство ок-
окружностей Г„ с центром z=0 радиусов Rn—>¦ оо. Доказать, что
/(*)=
(разложение f (г) иа простейшие дроби).
20. Пусть g(z) аналитична во всей плоскЪсти и имеет простые
с' (г)
нули в точках гь г2, ... Допустим, что для функции f (г) = *
выполнены условия задачи 19. Показать, что
g'(Q) ? <» (
П fi--i
1 II z
f
21. Доказать, что справедливы разложения
г2
cos z = TT
ыг)
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 453
22* Пусть функция / (г) аналитична в области G =
— Jг: —a«?argz<a<-^> и удовлетворяет условиям
\f (z)| < Аев ' z ' в области G;
\f (г) I < 1 на лучах arg г = ± «•
Тогда | f (г) \ < 1 но всей области G (Фрагмен—Линделёф).
23. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости G
и удовлетворяет условиям
\f(x)\<c (—оо<а;<оо)
и при любом е > О
|/(z)|<V8|Zl ДЛЯ всех z?G.
Тогда |f(z)|<c при всех z?G.
24. Пусть f(z)—целая аналитическая функция, удовлетворяющая
условиям
|f(>:)|<c, inf|f(*)l=O (—оо<л;<оо)
и при любом е>0
|f(z)|<^ee8|z| для всех z?G.
Тогда f(z) = O.
Историческая справка
В конце XVII и в начале XVIII века накопилось уже много
фактов относительно свойств элементарных функций, в которых
вместо вещественного аргумента подставлен мнимый (комплексный).
Не имея геометрического представления комплексного числа (которое
было указано лишь Гауссом в 1799 г.) и рассуждая по аналогии,
математики той эпохи часто приходили к парадоксальным результа-
результатам. Так, Лейбниц и И. Бернулли спорили о том, каковы логарифмы
отрицательных чисел—мнимые или действительные, причем ни тот, ни
другой не имел какого бы то ни было определения логарифма в
комплексной области; такое определение, учитывающее многознач-
многозначность логарифма, было дано Эйлером в 1749 г. «Условия Коши —
Римана» для функций, заданных степенными рядами, были впервые
указаны Даламбером A752) и Эйлером A777). Термин «аналитическая
функция» идет от книги Лагранжа «Теория аналитических функций,
содержащая принципы дифференциального исчисления, освобожден-
освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых или умаляющихся,
пределов или флюксий и сведенные к алгебраическому анализу
конечных количеств» A797), где под аналитической функцией пони-
понимается сумма степенного ряда. Впрочем, Лаграиж даже не ставил
вопроса о сходимости своих рядов (иначе он неминуемо принужден
был бы апеллировать к изгнанному им понятию предела). Работы
454 ГЛ. 10. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Коши (начавшиеся с 1814 г.), в которых содержится ряд центральных
теорем теории аналитических функций, основаны на том же опреде-
определении, но с четким выявлением смысла сходимости рядов и с ясной
геометрической картиной комплексного переменного; также у Коши
впервые рассматривается криволинейный интеграл по комплексному
аргументу, определение которого он сводит к определению обычного
интеграла по вещественному переменному отделением вещественной
и мнимой части. Он указал способ вычисления интегралов аналити-
аналитических функций по замкнутому контуру с помощью вычетов. С другой
стороны, Коши связал аналитичность функции с ее дифференцируе-
мостью по комплексному переменному; это последнее свойство он
называл моногенностью. Анализ особых точек однозначной функции,
связанный с использованием ее ряда Лорана A843), был одновременно
произведен русским математиком Ю. В. Сохоцким и итальянцем
Казорати A868) и несколько позднее Вейерштрассом A876).
ГЛАВА 11
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ивтегральное исчисление немного бы стоило, если
бы первообразная не разыскивалась в конечном виде, но
всегда требовала бы тоже перехода к пределу; в этом
случае ие было бы никакого прогресса . . . Вся огромная
заслуга Ньютона н Лейбница состояла именно в конеч-
конечной выразимости результата фактически невыполнимой
операции ... С тех пор минуло более 250 лет и по пути
Ньютона и Лейбница прошло немало сильных людей.
Никто нз них не смог продолжить дела основоположни-
основоположников анализа бесконечно малых и ие мог указать другого
метода выражать в конечном виде результат суммирова-
суммирования бесконечно малых... Лишь на долю Коши, сильней-
сильнейшего аналитика XIX века, выпала честь дать особый
прием, названный им исчислением вычетов, с помощью
которого во многих случаях, там, где нам изменяет ис-
испытанный метод первообразных Ньютона и Лейбница,
можно выражать в конечном виде результат суммировав
иия бесконечно большого числа бесконечно малых сла-
слагаемых.
Н. Н. Лузин,
Исаак Ньютон, как математик н натуралист A943)
§ 11.1. Несобственные интегралы первого рода
11.11. Пусть функция у = /{х) определена при
§^7< оо и принимает комплексные значения. Определение ин-
интеграла от комплекснозначной функции можно считать из-
известным из 10.21; именно, если f(x)~u(x)Jrlv(x), где
и(х) и v (х) вещественны, мы полагаем по определению
6 6 6
\/{x)dx = J и (x)dx -f i\ v(x)dx.
а а а
Таким образом, интегрируемость функции/(х) по отрезку
[а, Ь\ равносильна одновременной интегрируемости по этому
отрезку функций и(х) и v (x).
Пусть функция f(x) интегрируема (например, кусочно-
непрерывна) на каждом конечном промежутке а ^ х ^ Ь < оо,
где а фиксировано, a b произвольно. Мы желаем придать
смысл «несобственному интегралу 1-го рода»
со
$/(*)<**. A)
а
Рассмотрим комплексную функцию от аргумента Х^а
х
I(X)=[f(x)dx. B)
456 ГЯ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.11
Определение. Если при ЛГ—* оо функция 1(Х) имеет
конечный предел 1?С, то мы называем несобственный инте-
интеграл A) сходящимся и полагаем по определению
\f(x)dx = Hm/(X)= lim [f(x)dx=I. C)
Если при X —* oo функция /(Л) не имеет конечного предела,
мы называем интеграл A) расходящимся и не приписываем
ему никакого значения.
со
Примеры, а. Несобственный интеграл V xadx.
Так как
при а= —1,
то интеграл сходится при а < — 1 и расходится при
б. Несобственный интеграл
о
Так как
х
f cos jc их = sin ЛГ
о
не имеет предела при X —>¦ оо, то интеграл расходится.
в. Несобственный интеграл V eix dx.
о
Так как
х
;„ . е'Я— 1
о
не имеет предела при X—»¦ оо,то интеграл расходится.
I1.12J § 11.1, интегралы первого рода 457
11.12. К рите рий Коши и эквивалентные ус-
условия сходимости. Утверждается, что следующие че-
четыре предложения эквивалентны:
а. Существует такое I, что для любого е > 0 найдется
Хо > а такое, что для каждого
б. Для любой последовательности Хп —> оо числа 1(Хп)
имеют (конечный) предел.
в. Для любой последовательности Хп —>¦ оо ряд
сходится.
г. Для любого е > 0 существует такое X > а, что при
)-i(X'>)\=\ $[
X'
(критерий Коши).
Предложение а есть просто определение предела функции
1(Х) на бесконечности. Предложение г есть критерий Коши
для существования этого предела. Предложение б представ-
представляет собой эквивалентное условие на языке последователь-
последовательностей D.66). Наконец, предложение в выражает обычную
связь между сходимостью ряда и сходимостью последова-
последовательности его частных сумм. Итак, предложения а—г эк-
эквивалентны.
В предложении б существенно, что речь идет о любой
последовательности Хп—>оо. Если известно, что для неко-
некоторой последовательности Хп—>- оо числа 1(Хп) имеют пре-
предел, то это еще не означает, что интеграл A) сходится.
Например,
znn
\ cosx dx — 0,
но интеграл 11.11 б расходится,
458 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.13
11.13. Случай неотрицательной подынтег-
подынтегральной функции.
а. Рассмотрим несобственный интеграл
f(x)dx A)
с неотрицательной функцией f(x). Тогда первообразная
х
1(Х) = f f(x)dx не убывает; если 1(Х) не ограничена на (а, оо),
а
то при X -у оо она стремится к + оо и мы говорим, что
интеграл A) расходится к +<х>; если 1(Х) ограничена на
(а, оо), то sup/(A) = lim I(X) D.53) и интеграл A)
сходится.
б. Признак сравнения формулируется следующим
образом: если на (а, оо) заданы две неотрицательные инте-
интегрируемые на каждом конечном промежутке функции ft (х)
и /2(х) и f1(x)^.cf2(x) при х^Х0, то из сходимости ин-
интеграла от /2 (х) следует сходимость интеграла от /х (х),
из расходимости интеграла от /х (х) следует расходимость
интеграла от /2(х).
Все эти выводы следуют из неравенства
х х
1Х (Х)-1Х (Хо) = J /х (x)dx< cj /2 {x)dx= с(/, (X)-ft (Xo)),
х0 хЛ
имеющего место для любого X > Хо, и из сходимости ин-
интеграла с ограниченной первообразной 1{Х) (а).
в. Пример. Интеграл от рациональной функции
где Р (х) и Q(x)=}f=O — многочлены (с комплексными коэф-
коэффициентами) степеней соответственно р и q, сходится,
если q~^p-\-2, и расходится, если
Действительно, если q~^p-\-2, то
с
-^, и инте-
интеQ(x)
грал B) сходится, поскольку для сравнения можно взять
функцию— A1.11 а). Пусть теперь q^p-\-\. Тогда у ра-
11.14J § Ц.1. интегралы первого рода 459
циональной функции х -q?x имеется ненулевая целая часть;
можно положить
где т^О, а0ф0, степень Рх(х) ниже степени Qi(x). Отсюда
X
X
Последнее слагаемое, по только что доказанному, имеет
конечный предел (степень знаменателя по крайней мере на
2 выше степени числителя), сумма же остальных слагаемых
заведомо не имеет предела, так как по модулю стремится
к оо . Поэтому в данном случае интеграл B) расходится.
г. Пример. Для многочлена Р(х)=аохт-\-... ~\-ат
с вещественными коэффициентами и о0>0 при больших х
справедлива двусторонняя оценка
С ^ 1 ^ *
^ У аохт+...+ат х
поэтому
dx
/71 ^ ^ ftl ^ л
сходится, если — > 1, и расходится, если — ^ 1 .
11.14. Интегральный признак сходимости
числового ряда. Пусть а^-^-а^-^- ... есть ряд с поло-
положительными невозрастающими членами, так что оп+1^оп
(л=1,2, ...), и пусть, далее, у=а(х) — положительная
невозрастающая функция, такая, что а(п) = ап. Из рис. 11.1
460 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ВИДНО, ЧТО
A1.14
. A)
i
Из неравенства A) вытекает: если сходится интеграл
V а (х) dx, то сходится ряд 2 am u есЛи расходится интег-
1 '
ю со
рал \ a(x)dx, то расходится и ряд 2 ап- Это— интеграль-
1 '
ный признак Коши сходимости числового ряда.
3 4 ... п-1 п
Рис. 11.1.
00
С dx
Примеры, а. Мы знаем, что \ -j сходится при а > 1
и расходится при а^С 1 A1.11 а). Отсюда заново получается
результат о сходимости ряда ^-^при а> 1 и его расхо-
i
димости при а^С1 F.15 а).
б. Равенство
dx
du
In a
показывает, что несобственный интеграл \ . , сходится
при а>1 и расходится при
00
. Соответственно ряд
. а сходится при а > 1 и расходится ари
F.15 в).
I1.14J
§ 11.1. ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
461
в. Используя геометрические соображения такого типа,
как в начале пункта, можно получать различные оценки для
п-1 п п+1
-х
Рис. 11.2.
остатков сходящихся рядов и для частных сумм как сходя-
сходящихся, так и расходящихся рядов. Например, из рис. 11.2
мы непосредственно получаем:
l
Из рис. 11.1 при а(х)= — имеем
i
Таким же образом из рис. 11.3 вытекает неравенство
I k+l
ак — \ °
>
причем величина слева возрастает при увеличении п.
Обозначая ее предел через С и производя суммирование,
462 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.15
получаем, что
п п+1
^ ак = \ a(x)dx + C—yn, yn \ 0. B)
k=i i
Для случая ряда ак— -г- постоянная С была вычислена впер-
впервые Эйлером A734): С= 0,5772... Постоянная Эйлера часто
встречается в анализе. Равенство B) в этом случае прини-
принимает вид
11.15. Абсолютная и неабсолютная сходи-
сходимость несобственных интегралов. Рассмотрим
несобственный интеграл
\f(x)dx, A)
а
где f(x)—кусочно-непрерывная комплексная функция. Если
сходится интеграл
со
S \f(x)\dx, B)
а
то сходится и интеграл A), поскольку при любых X' и X"
по 10.21 (б)
X"
\
X'
f(x)dx
X"
\f(x)\dx
X'
и можно применить критерий Коши. В этом случае интеграл
A) называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) —
абсолютно интегрируемой на (а, оо). Но интеграл A) мо-
может сходиться и при расходимости интеграла B); в этом
случае интеграл A) называется условно или неабсолютно
сходящимся. Существуют признаки сходимости, применимые
к неабсолютно сходящимся интегралам.
11.16. Признак Л ейбница. Рассмотрим несобствен-
несобственный интеграл
\f{x)dx,
11-161 § 11.1. ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 463
где функция f(x) вещественна. Пусть ах < а2 < . . . <
< ап < ... есть последовательность всех корней функции
f(x) на (а, оо), причем ап—>-оо, /(х)>0 при а2п-\ <х<
< о2п и f(x)< О при с2п < х < а2п+1 (рис. 11.4). Числа
fcn = J f(x)dx A)
образуют знакочередующуюся последовательность. Если для
них выполняются условия признака Лейбница для числового
Рис. 11.4.
ряда F.23), т. е. если для всех n — N, N~\-l, N~\-2, ...
выполняется неравенство \bn\^\bn+l\ и \bn\ \ 0, то интег-
интеграл A) сходится.
Для доказательства найдем при заданном X такое п,
что ап^.Х^.ап+1. Тогда
х а, х
Первое слагаемое справа постоянно. Сумма в квадратных
скобках при п —>¦ оо имеет предел в силу признака Лейб-
Лейбница для ряда. Последнее слагаемое по модулю не превосходит
\f(x)\dx=\bn\
о»
и в силу условия стремится к нулю при п-—>-оо. Отсюда
следует существование предела у левой части, что нам
и нужно.
Примеры, а. Рассмотрим интеграл
B)
464 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {11.16
где g{x)>0 и g(x) \ 0 при х —»¦ оо. Последовательные
корни функции g(x)sinx при х>а суть x=kn, А + 1)
Поскольку, очевидно,
g-(x) | sin x | >#(*-
мы имеем
mn
(m+I) я
тя
(т+2)я
далее,
(m+I) я
)
j g(x)\ sin x\dx^ng(mn)—>-0 при т—>-oo.
mn
Таким образом, условия признака Лейбница выполнены,
и интеграл B) сходится.
Если J g(x)dx < с», то интеграл B) сходится абсолют-
а
аз
но. Покажем, что при \ g(x)dx = оо интеграл
dx C)
расходится. В промежутке (т—1)зт +-^-^х ^.тп — ~ дли-
2 1
ны-т-я имеют место неравенства | sin х | ^ -д-, g" (x) ^ g" (аия);
поэтому
я
тя ~ 6
g(x)\smx\dx^ ^ g(x)| sin jc|rfjc^
(т-)я _я_
1 2
11.I7J § 11.1. ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 465
Но ряд из чисел g(mn) расходится, так как расходится
соответствующий интеграл
^g(u)du (u=nx).
а ал
Поэтому расходится и интеграл C) согласно 11.12 в.
б. Интеграл
CD
J sin (xi) dx, у > 0, D)
а
сводится подстановкой xt — u к интегралу
— \ sin и-и
у J
ь
который по предыдущему сходится при 1 < 0, т. е.
при у > 1 (можно применить признак Лейбница и непосредст-
непосредственно к интегралу D)).
Заметим, что в сходящемся интеграле D) подынтеграль-
подынтегральная функция sin (xTf) не стремится к нулю при х—»-оо, как
можно было бы ожидать на основании формальной аналогии
с рядами. На самом деле аналогом теоремы «общий член
сходящегося числового ряда стремится к нулю» является не
предложение «подынтегральная функция сходящегося несоб-
несобственного интеграла стремится к нулю при х—>¦ оо»,— как
мы видим, неверное,— а другое предложение: «интеграл от
подынтегральной функции сходящегося несобственного ин-
интеграла, взятый по интервалу фиксированной длины, уда-
удаляющемуся в бесконечность, стремится к нулю». Иными
словами, при любом h > О
x+h
lim
X -* OD
это вытекает немедленно из критерия Коши 11.12 г.
11.17. а. Призн ак Абеля—Дирихле. Рассмотрим
несобственный интеграл
lg(x)s(x)dx. A)
466 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.17
Если {комплексная) функция g(x) обладает кусочно-не-
кусочно-непрерывной абсолютно интегрируемой на (а, оо) производной и
стремится к О при х —*-оо, a s(x) имеет ограниченную
первообразную G{x), \G(x)\^.C, то интеграл A) сходится.
Для доказательства воспользуемся интегрированием по
частям:
\ig{x)s(x)dx=g(x)G(x)\;i-\O(x)g'{x)dx (p<q).
р ' р
Здесь внеинтегральный член допускает оценку
\g(q)G(q)-g(p)G(p)\^2Cmax{\g(p)\,\g(q)\}
и, следовательно, стремится к нулю при р, q —»- оо. Инте-
Интегральное слагаемое допускает следующую оценку:
\O(x)g'(x)dx
откуда следует, что оно также стремится к нулю при р —>- оо,
q—>-oo. Таким образом, для интеграла A) выполняется кри-
критерий Коши 11.12 г, и, следовательно, интеграл сходится.
б. Пример. Рассмотрим интеграл
00
l~Wrelaxdx (aeR' аф0)г B)
где Р(х) и Q(x) — многочлены от х (с комплексными коэф-
коэффициентами), причем степень многочлена Q(x) на единицу
выше степени многочлена Р(х) и Q(x) не имеет корней
Р(х)
в промежутке (а, оо). Положим g(x) = „ , . , g (x) = eiax.
v \х)
p'Q POr
Тогда g'(x) = — 2 есть рациональная функция, у кото-
которой числитель имеет степень по крайней мере на 2 ниже,
чем знаменатель. Поэтому g' {x) обладает абсолютно схо-
сходящимся интегралом A1.13 в). Функция s(x) = eiax имеет
giax
ограниченную первообразную -^— . Таким образом, условия
для применения признака а выполнены, и интеграл B) схо-
сходится.
11.18] § 11.1. ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 467
в. Для вещественной функции ^(л:) условие признака а
можно несколько видоизменить; именно, в этом случае до-
достаточно предположить, что g(x) стремится к нулю моно-
монотонно, обладая кусочно-непрерывной производной. Действи-
Действительно, в указанном предположении функция g' (х) не меняет
знака и
\\?(x)\dx= \g'(x)dx
= \g(X)~g{a)\
имеет конечный предел при Л'-^-оо, так что l^'Ml интег-
интегрируема.
Условия на функцию s (л:) остаются прежними.
11.18. Интегрирование по частям и через
подстановку в несобственном интеграле. Фак-
Фактически мы уже не раз пользовались этими приемами в кон-
конкретных случаях; выскажем теперь некоторые общие сооб-
соображения. Достаточно проверить, что возможно произвести
указанные действия на конечном промежутке (а, X), и затем
перейти к пределу при ЛГ->оо. Так, если интегрирование
по частям на промежутке (а, X) дает
х х
lf(x)g(x)dx=f(x)G(x)\Xa-\f'(x)G(x)dx,
а а
то можно написать и равенство
оэ со
lf(x)g(x)dx=/(x)a(x)\"-lf'(x)Q(x)dx
а а
в предположении, что по крайней мере два из написанных
трех предельных выражений существуют (тогда, очевидно,
будет существовать и третье). Здесь внеинтегральный член,
в частности, определен так:
= limJ(x)G(x)\* =
= lim [f(X)G(X)-f(a)G(a)].
Х
468 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ A1.21
Аналогично, если в результате подстановки х = х (и) мы
пришли к равенству
х и
\f{x)dx=\f{x{u))u'(x)dx
а Ь
и при этом из X ->¦ оо следует U ->- В ( ^ оо ) и обратно, то
справедливо равенство
оо В
^f(x)dx=lf(x(u))u'(x)dx,
а Ь
если существует хотя бы один из написанных интегралов
(тогда существует и второй).
§ 11.2. Несобственные интегралы второго
и третьего рода
11.21. Не собств е иные интегралы второго
рода.
а. Рассмотрим комплексную функцию /(х), заданную
в конечном промежутке [а, Ь], интегрируемую в каждом
промежутке [а + Е. Ь], но', возможно, не интегрируемую (на-
(например, не ограниченную) на всем отрезке [а, Ь]. Мы желаем
придать смысл «несобственному интегралу 2-го рода»
ь
$/(*)<**• A)
а
Для этого рассмотрим функцию от е
ь
7(в)= \/(x)dx.
а+в
Если при е -»¦ 0 это выражение имеет конечный предел,
положим /, то мы говорим, что несобственный интеграл 2-го
рода A) сходится, и приписываем ему значение
ь
/= lim/(e)= lim \ f(x)dx.
е* 0 Е^ОХ
11.21] § Ц.2. ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 469
Если при е -* О функция/(е) не имеет предела, мы говорим,
что несобственный интеграл A) расходится, и не приписы-
приписываем ему никакого значения.
б. Если интеграл
ь
I=\f(x)dx B)
а
существует как обычный определенный интеграл, то он
существует и в нашем новом определении и имеет то же
значение /. Действительно, если интеграл B) существует
в обычном смысле, то функция f(x) ограничена вместе с ее
вещественной и мнимой частью (9.15 в); пусть, например,
!/(•*)! < С. При любом е > 0 имеем
Ь а+е Ь
\ f{x) dx = j / (*) dx + J / (x) dx, C)
a a a+e
причем
a+e
¦ ¦ ' ix
$/(*)<**
a
Отсюда следует, что при е -»¦ 0 предел второго интеграла
в правой части C) существует и равен интегралу в левой
части, что и требуется.
в. Приведенное определение а очень похоже на опре-
определение несобственного интеграла 1-го рода (т. е. с беско-
бесконечным верхним пределом). И действительно, интеграл 2-го
рода прямо приводится к интегралу 1-го рода с помощью
подстановки х—а — —. Поэтому можно всю теорию несоб-
несобственных интегралов 2-го рода вывести из теории интегра-
интегралов 1-го рода. Можно теорию строить и параллельно, фор-
формулируя заново соответствующие теоремы. Мы предоставляем
читателю сформулировать для интеграла 2-го рода критерий
Коши, признаки сравнения, определение и теорему об абсо-
абсолютной сходимости, признак Лейбница и признак Абеля—•
Дирихле. Отметим только некоторые специфические для
интегралов 2-го рода конкретные факты, существенные в
приложениях.
470 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.22
11.22. а. Для применения признака сравнения, как всегда,
важно иметь широкий набор «эталонных» интегралов. Тако-
Таковыми для интегралов 2-го рода служат чаще всего интегралы
вида
ь
их
(х-а)Ь
а
Мы имеем
ь
С _dx_
J (*-")x
b~a
поэтому интеграл вида A) сходится при % < 1 и расходится
при %^\.
б. Применяя признак сравнения, получаем: если при х € {а,Ь)
выполняется неравенство
о
1-а
го интеграл 11.21 A) сходится при % < 1 и расходится
при %^\.
в. Рассмотрим, в частности, интеграл
B)
При малых х мы имеем | In х | ^ с | х \ а при любом а > О
E.57 C)). Можно взять а = -^-; сравнивая теперь интеграл
B) с интегралом
г - —
] х 2dx,
о
сходящимся в силу а, получаем, что и интеграл B) схо-
сходится при любом у.
11.23. Несобственные интегралы третьего
рода. Пусть комплексная функция /(х) задана в проме-
11.23] § 11.2. ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА 471
жутке (а, Ь), концы которого могут быть и в бесконечности
(т. е. значения я=—оо, Ь= + °° допускаются). По отно-
отношению к функции /(х) будем называть точку с особой
в следующих случаях:
а) точки с = — оо, +оо, если они являются концевыми
точками промежутка (а, Ь), всегда считаются особыми;
б) точка с, лежащая внутри (а, Ь), называется особой,
если функция f(x) не является интегрируемой в обычном
смысле ни в какой окрестности этой точки; концевая точка
с считается особой, если f(x) не интегрируема ни в какой
односторонней (со стороны промежутка (а, Ь)) окрестности
этой точки.
Будем предполагать, что функция f(x) обладает не бо-
более чем конечным числом особых точек и что вне этих
точек она непрерывна или кусочно-непрерывна. Мы хотим при-
придать смысл «несобственному интегралу 3-го рода»
ь
\f(x)dx. A)
Выбирая между каждыми двумя соседними особыми точ-
точками с,-, с,-+1 неособую точку ph мы получим совокупность
промежутков вида (с,-, р{) и (/?,-, с!+1), имеющих только по
одной особой точке на границе. Определим сначала интег-
интегралы от функции /(.*) по таким промежуткам, как несобст-
несобственные интегралы 1-го и 2-го рода:
Pi ci+l
dx= lim ^f(x)dx, ^f(x)dx= lim \f(x)dx.
X-^iX Pi X-*c,+ 1 p.
Только если все получающиеся несобственные интегралы
сходятся, мы будем приписывать смысл интегралу A); имен-
именно, положим
Ь I Pi Cj+i \
$/(*)<**= 2 <$/(*)<**+ J f(x)dx>. B)
с ^ о, Pi >
Нужно проверить, что результат не зависит от выбора
точек р(. Проверим это для одного из промежутков [с,-, с,-+1].
472 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 111.24
Пусть ct<pi<q;<cH1. Тогда
Р! cl + 1 р( Y
[f(x)dx + \f(x)dx= lim \+ lim f =
Pi iqi Y\ Pi У
Pi iqi \ 4i
= lim \+ lim U + (}= Hm \ + \+ lira \
/Pi «\ У 4i У
= lim П + Г1+ lim f= lim f+ lim f =
х-сДх i-i y-^c«+'« x^c'x y-c«+'«
rfx+ \f(x)dx,
4 qi
что и требуется. (В промежуточной выкладке мы не выпи-
выписывали подынтегральных выражений, поскольку они не ме-
менялись.)
11.24. Пример. Рассмотрим интеграл
с^^ l*-ql*" -°°<Ci<---<Cn<oo. A)
00
Особые точки: — оо, clf ..., с„, оо.
Интегралы V и f сходятся тогда и только тогда, когда
Ч Pi-i
а,- < 1 (остальные множители ограничены в окрестности точ-
Ро о»
ки с-). Интегралы f и V сходятся тогда и только тогда,
—да рп
когда аг + ... +а„ > 1- Итак, интеграл A) существует тогда
и только тогда, когда выполнены условия
ах<1, ..., а„<1,
Заметим, что интеграл
да
J |х-с|- '
11.31] § 11.3. вычисление с помощью вычетов 473
получающийся из A) при л=1, не сходится ни при
каком значении а. При всяком а расходятся и оба интег-
интеграла
С 00
Г dx С dx
J (с-х)" ' J (х-с)а •
§ 11.3. Вычисление несобственных интегралов
с помощью вычетов
11.31. Интеграл от рациональной функции.
Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функ-
функции— отношения двух многочленов Р(х) и Q(x) (с комп-
комплексными коэффициентами):
dx. A)
Он сходится, если знаменатель не имеет вещественных
корней и степень числителя по крайней мере на две едини-
единицы меньше, чем степень знаменателя A1.13 в).
Как вычислить значение этого интеграла?
Можно, разумеется, взять неопределенный интеграл от
Р(х)
рациональной функции -?^-\ по правилам 9.42 и подставить
пределы —оо и оо. Но, оказывается, иногда быстрее при-
применить методы, связанные с аналитической природой фуик-
Р(х)
ЦИИ ОМ'
Р (z)
^1
Функция комплексного переменного z, равная ^
аналитична всюду в плоскости переменного z, за исключени-
исключением конечного числа точек—корней знаменателя. Рассмот-
Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кусочно-гладкий
контур L, образованный отрезком [—R, R] вещественной
оси и полуокружностью
где R настолько велико, что вне полученного полукруга
уже нет в верхней полуплоскости ни одного корня знаменателя.
474
ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[11.31
Внутри этого полукруга имеется, вообще говоря, некоторое
число корней знаменателя, например ах, ... , ад (рис. 11.5).
В силу формулы 10.43 A) мы
получаем выражение
-Я
Рис. 11.5.
Устремим теперь R в оо.
Р (z)
в силУ
На полуокружности С% мы имеем
условия на степени многочленов Р (z) и Q(z), где А — некото-
некоторая постоянная; поэтому
Отсюда следует, что интеграл
R
1
-R
Q(x)
dx
C)
имеет пределом при R—>-оо величину B). Но так как ин-
интеграл A) сходится, то он должен совпадать с пределом
интеграла C). Итак,
D)
а. Если корни аг, ... , а простые, то по формуле 10.42 A)
w lz=a
и, следовательно,
E)
11.31] § П.З. вычисление с помощью вычетов 475
Пример:
б. Если корни alf .. . , ад кратные, так что корень aj
имеет кратность kj, то вместо формулы 10.42 A) мы должны
использовать более общую формулу 10.42 B)
так что
Пример:
—4л»
в. Замечание. Интеграл \ - . их мы привели к сум-
— 00
Р(г)
ме вычетов (умноженной на 2ni) функции * в верхней
полуплоскости, рассматривая контур L, составленный из отрез-
отрезка [—R, Щ и полуокружности Cj={2 = /?e'f, О^ф^я}.
Но таким же образом можно рассуждать и с контуром L~,
составленным из отрезка [R, —R\ (проходимого справа налево)
и полуокружности C^={z—Re'^, я^ф^2я} в нижней
полуплоскости; мы получим
г=ьк Д Q(z)
k=l
-Я
Q(x) "~ ' ^_ Q(z) —'
где &lf ... , &,— корни многочлена QB), лежащие в нижней
полуплоскости.
476 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {11.32
Переходя к пределу при /?—»-оо, найдем
я J^QM ^ L Q(г) J^^bfc
G)
Полученный результат по форме отличается от резуль-
результата D). В действительности они, конечно, совпадают, так
что разность этих результатов, т. е. умноженная на 2га
Р (z)
сумма вычетов функции •• во всех корнях Q(z), как в
верхней, так и в нижней полуплоскости, равна 0.
Это можно показать и непосредственно. Как мы знаем,
эта сумма вычетов совпадает с интегралом
(8)
|zf=«
по полной окружности радиуса R, достаточно большого,
чтобы она содержала внутри все корни Q(z). Этот интеграл
не зависит от R и в то же время допускает оценку
\dz < max
Таким образом, интеграл (8) равен 0. Отсюда
11.32. а. Интегралы Ф у р ь е. Часто встречаются ин-
интегралы вида
A)
^/(x)cosaxdx, B)
— 00
со
f f(x)sinaxdxf C)
— ее
содержащие вещественный параметр о; они называются
интегралами Фурье,
11.32} § Ц.З. ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ 477
Если выполнено условие
то все три интеграла Фурье абсолютно сходятся. Если при
|x| ->¦ оо функция f(x) вещественна и монотонно стремится
к нулю, интегралы B) и C) сходятся при афО (ср. 11.16а),
но, вообще говоря, неабсолютно. Если при этом /(— х) =/(xj
(т. е. функция f(x) четна), то интеграл C) равен нулю,
если же /(—х)=—f(x) (функция f(x) нечетна), то интег-
интеграл B) равен нулю. Кроме того, имеется очевидная связь
00 « 00
/ (х) eiax dx = \ / (х) cos axdx -\- i \ f (x) sin ax dx,
— 00 — 00
так что в случае вещественной /(х) интегралы B) и C)
представляют вещественную и мнимую части интегра-
интеграла A).
б. Общая теория ' интегралов Фурье будет рассмотрена
в гл. 15 (часть третья). Здесь мы ограничимся вычислением
интегралов Фурье для некоторых классов функций. Часто
бывают полезны методы контурного интегрирования.
Пусть f(x)= -q. . есть рациональная функция и поли-
полином Q(х) имеет степень по крайней мере на единицу выше
степени полинома Р(х) и не обращается в 0 при вещест-
вещественных х. В этом случае интегралы A) — C) сходятся A1.J7 б);
мы сейчас их вычислим.
Пусть сх, ... , ат — корни многочлена Q (х), лежащие
в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур L+,
состоящий из отрезка [ — /?, /?] вещественной оси и полу-
полуокружности Сд= {z=Re'4, О^ф^л}. Тогда согласно
10.43 A)
R
CR
D)
1=г
478 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 111.32
Покажем, что при о > О
lim ^4Йте'аг^=°- E)
Если.у>0, о>0, то |e'oz|= |eto*-w|=e-w < 1. Поэтому
если степень многочлена Q(z) по крайней мере на две еди-
единицы выше степени многочлена P(z), доказательство соот-
соотношения E) можно провести точно так же, как в 11.31.
в. Если степень многочлена Q(z) лишь на единицу выше
степени многочлена P(z), то рассуждение 11.31 не прохо-
проходит. Для. этого случая мы установим следующую лемму.
Лемма. При о>0 справедливо неравенство
e~Rc sin(P d<p^.-Q— (с — постоянная).
Доказательство. Так как sin (я—<р)= sin ф, то до-
достаточно рассмотреть интеграл
Я/2
С
С
составляющий ровно половину предыдущего. Мы имеем
при R~^\
Я/2 Я/в Я/2
J J J
О О Я/в
Я/в Я/2
/ /
( C0S<P е-Давтф^ф_^ I е-«ояпф^ф
J cos-p- J
.- Яс sta ф
Races
1
я/с
«а
я
Ф =—
Ra cos -g- \cos -g-
поскольку функция ие~" при м > 0 ограничена. Лемма доказана.
11.32]
§ 11.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
479
г. Следствие (лемма Жордана). Если функция
f(z) определена и аполитична в полуплоскости
и при этом
lim sup |/B)|=0,
« —» |z \ = R
то для о > О
lim
Доказательство. Применяя лемму в, находим
f(z)eiazdz
f(z)eiax е~°У Reifi> dq
\f(z)\-R- ^ e~ ^a sia ч> dtp ^~ sup
гесг
что и требуется.
д. Теперь завершим вычисление интеграла A) для
Р (г)
f(z)=Qi \- Так как эта функция прн достаточно больших
\z\ удовлетворяет неравенству
Р(г)
Q(z)
то из леммы Жордана следует выполнение равенства E).
Интеграл Фурье от функции f(z) получается теперь при
а > 0 из D) предельным переходом при R—* оо:
е. Если а < 0, то проведенное рассуждение теряет силу,
так как на дуге С% функция е1ох неограниченно возрастает.
В этом случае аналогичное построение мы проведем не в верх-
верхней, а в нижней полуплоскости. Обозначим через С^ полу-
полуокружность {z = Re'f, я^ф^2я} настолько большого ра-
радиуса, что все корни tlt ..., br многочлена Q (z) в нижней
480 гл. 11. несобственные интегралы [11.33
полуплоскости оказываются внутри нее; тогда
= 2га]Г( Выч [йт|еНг_6 •
Интеграл по полуокружности Сд допускает оценку
|2л
CR
\Р(г)
геС
R
0
и в силу леммы стремится к нулю при R—юо. Отсюда
od R
f РМе<°*Aх^ lira ( ?M
J Q(x) „_„ J Q(x)
что дает значение интеграла Фурье от функции ^у при
о<0.
ж. При о=0 интеграл Фурье A) становится интегралом
Р(х\
от рациональной функции ^-~ и при разнице степени числи-
теля и знаменателя на единицу не существует.
з. Пример (интеграл Лапласа):
же*
Заметим, что неопределенный интеграл от функции а . не
выражается в элементарных функциях.
11.33. Особые интегралы Фурье. Интегралы
Фурье 11.32 B) и C) иногда могут существовать и дли
11.33]
§ 11.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
481
функций f(x), имеющих особенности на самой оси х, если
эти особенности компенсируются соответствующими нулями
функций sin ax или cos ax. Для примера рассмотрим важный
в математической физике интеграл
I
sin ax
йх
(сходимость которого получается по признаку Лейбница
со
Р etax
11.16). Интеграл Фурье \ йх в данном случае не су-
— ю
ществует.
Рассмотрим контур L, образованный последовательно
отрезком [—/?, —е] вещественной оси, малой полуокруж-
полуокружностью
отрезком [е, /?] вещественной оси и большой полуокружностью
Г'л = {z~ Re'f, 0<<p < л)
(рис. 11.6). Ввиду отсутствия особенностей функции е1сг/г
-R
-е О
Рис. 11.6.
R х
внутри контура L и на самом этом контуре мы имеем
— Е R
jcz n Jax r Лаг л iax /» Jaz
—К С Е 1^
Применяя лемму Жордана, получаем при о>0
г».
482
Далее,
ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[11.33
— с R Г — е
1 -rdx+]irdx==\ 1
-Л е L_#
cos ах
С sin ax
е
sin ал;
* sin ал;
cos ал;
поскольку в силу нечетности функции ее интегралы
по отрезкам [—R, —е] и [е, Щ взаимно уничтожаются.
Наконец,
о
*-1*5?
*-1
ф=Я
где
|/?е|=
€ — 1
dz
С,
г— 1
г 6 С,
eloz~\
так как функция —:— непрерывна и тем самым ограничена
вблизи z=Q. Устремляя е к 0 и R к оо, получаем
sin ax
Если а < 0, то sin ах— — sin (—а) х, где —а > 0, поэтому
аз оо
Г sin ах , Г sin (— а) л; ,
\ dx = — \ i — dx = — п.
— ОС — СО
Как следствие получаем (Эйлер, 1781)
sin
¦j при а > О,
—2- при а<0.
11.41] § Ц.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР 483
Аналогичный метод позволяет вычислять более сложные
интегралы
Г P(x)sinx ,
3 Q(x) x dx>
— аи
где Q(x)=?0 (см. задачу 5).
§ 11.4. Несобственные интегралы,
содержащие параметр
11.41. Интеграл Фурье является примером несобственного
интеграла' с параметром. Рассмотрим любой несобственный
интеграл, для простоты 1-го рода, содержащий вещественный
параметр а:
»
\ A)
Мы предполагаем, что он сходится при каждом значении о
из некоторого промежутка а^а^Р; нас интересуют
свойства результата интегрирования 1(а) как функции от о.
А именно, мы желаем выяснить:
(а) Если функция y(t, а) непрерывна по а, будет ли 1(а)
непрерывной функцией от а?
(б) Справедлива ли формула интегрирования по параметру
${ ^y(t, o)dt\do=l j $
a U / а (а
(в) Если функция у (t, а) дифференцируема по о, спра-
справедлива ли формула дифференцирования
а а
Рассмотрим в качестве примера интеграл
484 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ {11.42
сходящийся при всех о и вычисленный в 11.33; мы име-
имели там
~ при о > О,
—у при а< 0.
Кроме того, очевидно, /@) = 0.
Таким образом, несмотря на непрерывность подынтег-
„ . sin to
ральной функции —т— по параметру о, результат интегри-
интегрирования /(о) в данном случае терпит разрыв при о=0.
Следовательно, ответ на вопрос (а) в общем случае отри-
отрицательный. Далее, в данном случае мы имеем -; ;— =
= cos to и формула дифференцирования (в) не имеет места
уже по той причине, что интеграл в правой части равенства
оказывается расходящимся. И хотя в данном примере фор-
формула интегрирования (б) оказывается справедливой, мы уже
понимаем, что это происходит из-за специальных свойств
. sin to г, „
функции —т—•. В задаче 6 указан пример, где ответ на
вопрос (б) также отрицателен. Общий положительный ответ
на вопросы (а)—(в) требует дальнейших условий на харак-
характер сходимости несобственного интеграла A).
Хотя мы проведем здесь необходимые построения для ин-
интегралов 1-го рода, соответствующие определения и теоре-
теоремы могут быть непосредственно перенесены и на интегралы
2-го и 3-го рода; проверку этого мы предоставляем чита-
читателю.
11.42. Определение. Несобственный интеграл с па-
параметром
00
/(о)=$.у(*, o)dt, A)
а
сходящийся при каждом значении а из некоторого мно-
множества S, называется равномерно сходящимся на S (или по
о ^ S), если для любого е > 0 существует такое N, что при
11.44] § Ц.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР 485
любом p^N и любом о € «S
со
V(t, c)dt
Р
Возьмем произвольно числа hn/oo и составим последова-
последовательность функций
°+hn
'„(<*)= J y{t,a)dt (л=1, 2, ...). B)
Если интеграл A) сходится равномерно на множестве S, то
последовательность B) в том же промежутке равномерно
сходится к своему пределу, которым служит интеграл A).
11.43. Теорема. Если S есть метрическое пространство,
функцияу (t, а) равномерно непрерывна на каждом произведе-
произведении Sx \а, а + А], 0 < h < оо, и интеграл 11.42 A) сходится
равномерно на S, то 1(а)—непрерывная функция от а на
множестве S.
Доказательство. По теореме 9.81 функция 1п(о)
непрерывна при o?S. По теореме 5.96 функция /(с), как
предел равномерно сходящейся последовательности непрерыв-
непрерывных функций, также непрерывна при o?S. Теорема доказана.
11.44. Теорема. Если функция у(t, о) непрерывна по
совокупности (t, а) на каждом прямоугольнике
S = {{t, о): a^t^a + h, 0 < h < оо; а<с<Р}
и интеграл 11.42 A) сходится при а^а^р равномерно по
с, то функция
Р
а
обладает сходящимся несобственным интегралом по про-
промежутку а^^<оо и
y(t,o)dt\do:=\Hy(t,o)do\dt. A)
а <¦ а ' а ^ а
Доказательство. По теореме 9.72 из равномер-
равномерной сходимости непрерывных A1.43) функций 1п (о) к / (а)
486 ГЛ. П. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.45
следует, что
Р Р
[ I (a) do =lim [ln(a)da. B)
С другой стороны, по теореме 9.82
В Р
=U J y(t, a)dt\da= J [я^, o)do\dt.
а а У a > a V a ¦>
Поэтому равенство B) можно переписать в форме
Р a+hn , р ч
C/(o)Ay=lim f {U(rf, a)dc\dt. C)
Но существование предела справа для любых hn/ оо
означает существование несобственного интеграла
« ( p
a \ a
а у а >
Теорема доказана.
1
o)da\dt A1.126). Поэтому из C) получаем A).
11.45. а. Теорема. Если частная производная
y'o(t, о) непрерывна по совокупности (t, а) в любом пря-
прямоугольнике а^с^р, a^.t^ia-}-h, 0<A<oo, им-
имев
теграл j ya (tt о) dt сходится при а ^ о ^ Р равномерно по с
а
09
и сходится интеграл {y(t, a) dt, то функция
существует при а^с^Р, дифференцируема по а и
00
A)
11.45] § Ц.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР 487
Доказательство. В силу теоремы 9.84
a+hn a+hn
1 '°V> a)dt
По условию последовательность функций 1'п(с) сходится
равномерно на отрезке a^Ior^p, a последовательность
функций /„(о) сходится в точке с=а. В силу теоремы 9.77
последовательность 1п (а) сходится равномерно на отрезке
а^а^р, ее предел /(о) есть дифференцируемая функция
от с€[а, Р] и
Тем самым доказаны существование и дифференцируемость
по а интеграла
и равенство A).
б. Для аналитических функций теорема а приобретает
несколько измененную формулировку.
Предположим, что функция у (t, s) определена при t € (а, оо)
hs^G, где G—некоторая область в плоскости s = o-\-ix;
пусть, далее, у (t,s) аналитична по s?G при каждом t и
непрерывна по совокупности (t, s) в каждом «цилиндре»
вида a<f<a+/*> {s- \s — so\^.p}czG@ < h < оо). Будем
говорить, что интеграл
, s)dt, sgG, B)
сходится равномерно внутри G, если он сходится при каж-
каждом sgO и если для любого компакта QczG и любого е > О
существует такое N=N(e, Q), что
N
при любом s ? Q.
488 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.46
Теорема. Если интеграл B) сходится равномерно внут-
внутри G, то функция
I(s)=\y(t,s)dt
а
аполитична внутри G и
Доказательство. В силу теоремы 10.27 функция
п
аналитична по s, и при этом I'n(s)=\y's(t,s)dt. Далее,
а
функция /„ (s) при п -* оо равномерно внутри G сходится
к функции l(s); поэтому в силу теоремы 10.36 функция l(s)
аналитична в G. В силу той же теоремы 10.36 функции I'n{s)
сходятся в области G к функции /' (s); отсюда
hn a>
Г (s)= lim [ y's (t, s)dt=[ y's (t,s) dt,
что и требуется.
11.46. Критерий Кош и для равномерной схо-
сходимости интегралов. Несобственный интеграл
, G)dt A)
€ параметром <у, пробегающим некоторое множество S, схо-
сходится равномерно на S тогда и только тогда, когда для
любого г > 0 найдется такое число N, что при любых
B)
Н.47] § Ц.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
489
Доказательство. Пусть интеграл A) сходится рав-
равномерно на S. Для заданного е > 0 найдем число N так,
чтобы иметь
\y[t,
<i
при любом
что и
и любом a?S. Пусть, далее,
\y(t, a)dt
C)
, так
D)
Из неравенств C) и D) следует B), чем доказана не-
необходимость критерия Коши. Обратно, если выполнено не-
неравенство B), то интеграл A) при каждом o?S сходится
в силу 11.12 г. В неравенстве B) перейдем к пределу при
оо; мы получим
ос
t, a)dt
для всех p^N и всех а ? S, что и означает равномерную
сходимость интеграла A) на множестве S. Теорема доказана.
11.47. а. Критерий Коши в свою очередь служит осковой
для получения частных признаков равномерной сходимости.
Одним из простейших является «мажорантный признак».
Пусть имеется неотрицательная функция f(t) со схо-
сходящимся интегралом
[f(t)dt.
A)
Мы будем называть ее интегрируемой мажорантой для всякой
функции у (t), такой, что \у (t) | ^f{t).
Теорема. Если функция у (t, а) при всех o?S обла-
обладает одной и той же интегрируемой мажорантой f{t), то
интеграл
t, o)dt
сходится равномерно на
490
ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[11.47
Это утверждение выводится из неравенства
t, c)dt \\
путем применения критерия Коши 11.46.
б. Пример. Покажем, что несобственный интеграл
ар
B)
сходится равномерно по параметру о в промежутке 0 <: о <; 1. Для
этого установим справедливость неравенств
cos at—cos fit
f 2
I -p" ПРИ
I 2 при
при всех о и р в промежутке [0, 1].
Первое из приведенных неравенств очевидно. Для доказатель-
доказательства' второго применим формулу, вытекающую из формулы Тейлора
8.23 D):
«2*2
=l ^- + **G(a, t).
где при |ос|<1, |*|<
Отсюда при 0 < о < 1,
—cospjl
¦+P{G{o, O-C(P, 0)
<Т+'2'+Т<2'
что и требуется.
Функция
f(t)=
I при f3*1.
2 при
определяет, таким образом, интегрируемую мажоранту для всех
функций -z —, о, Р ?[0, 1]. Поэтому интеграл B) сходится
равномерно по о при о?[0, 1] и, следовательно, представляет собой
непрерывную функцию от о в этом промежутке. Мы найдем ее
явное выражение в 11.49 б.
11.48] § 11.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР 491
11.48. Свертка двух функций. Сверткой двух
комплексных функций g(t) и f{t), определенных при
— oo<tf<oo, называется интеграл 3-го рода
ос
h(t)= \f(a)g(t-a)do. A)
— 00
Эта функция определена не всегда. Далее указываются
условия ее существования и ее свойства.
Теорема. Если f(t) и g(t) непрерывны, ограничены
и абсолютно интегрируемы на оси —оо < t < oo, то h(t)
существует при каждом t, непрерывна, ограничена и абсо-
абсолютно интегрируема на оси —оо < t < оо, причем
00 СО 00
J h(t)dt = J f(t)dt J g(t)dt.
— 00 — ОО — ОО
Доказательство. Если |g(t)|<!С, подынтегральная
функция допускает оценку |/(о)g(t—о)|^С|/(^)|, откуда
следует, что интеграл A) сходится и притом равномерно по
параметру <т€( — оо, оо). Далее, функция h(t) A) ограничена,
поскольку
Покажем, что подынтегральная функция непрерывна по
совокупности аргументов в каждом конечном прямоугольнике
a^.t^b, a^cr^p. Пусть |#@|^С и |/@|^С. Для
заданного е > О найдем 6 > 0 так, чтобы из о' —о" | < 6,
с', о"?[а, Р] следовало |/(о')—/(о")|<е и из f — Г|<26,
?, f?[a — р, Ъ — а] следовало |^(^') —g'(^) | < е; тогда
при |о'—о"|<6, |^'—^"|<6 мы имеем
и при о', о*€[о, р], <', е е [а, ь]
что и означает непрерывность функции f(a)g(t—о) по
совокупности аргументов в указанном прямоугольнике. В силу
теоремы 11.43 функция h(t) непрерывна по t.
492 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.48
Теперь проверим абсолютную интегрируемость h (t). Для
этого заметим сначала, что функции |/(о)| и |^(^)| удов-
удовлетворяют тем же условиям, что и /(о) и g(t); следова-
следовательно, интеграл
также сходится равномерно по t, причем подынтегральная
функция непрерывна по совокупности t и о в любом прямо-
прямоугольнике a^Lt^b, a^c^jj. Применяя к этому интегралу
теорему 11.44, находим
» /О ¦>
J \ S \f(o)\\g(t-o)\do\dt =
-X ^-оо >
t t—О
l-T-
00 / О) \ 00 GO
S I/Ml{ S k(')l<«|do= $1^I* J
ОС
откуда следует существование интеграла \ | h (t) | dt. Ha-
— 00
конец, снова по теореме 11.44
r X ¦> 00 j- 1 —
И< 5^(^-o)df[da = S f(a)< J
V — X * —oo I —T
CO p CO -4
—eo L—go I t—a [ > x J
CO 00 00 r
- J g(t)dt S /(o)rfor- S f[a)l J
— OO —OO —00 Mf —Ol
4f-o|>t
11.48] § 11.4. ИНТЕГРАЛЫ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР
493
Мы докажем, что последний интеграл стремится к 0 при
т—»-оо, чем и будет доказано последнее утверждение тео-
теоремы. Для заданного е > 0 найдем р так, чтобы
J \f(o)\do<e,
\O\>Q
и затем т так, чтобы
J \g{t)\dt<B.
Тогда мы будем иметь
J /(С) \
— 00 *
5 g(t)dt
\t-o\>x
<
J /«
|O|>Q
"I
+
1С
<
-i
I
ко
g(t) dt\ do
f( )l [
V|<-o|>i
+
J
4
J |e-(/)|rf/|rfa+
+ J
\O\<
ОС СО ч
J kwi<«+ $ l/(o)l*r[,
откуда и следует утверждение. Теорема доказана.
Операция свертки, или свертывание, функций f(t) и g(t)
обозначается знаком *. Мы доказали, что
J \/{t)*g(t)]dt= J f(t)dt- J g(t)dt.
— 06 — OD — СЛ
Замечание. Если в собственном интеграле
494
ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[11.49
сделать подстановку t—o=r\, a — t—r\, мы получим
t+x
J
t-x
Переходя к пределу при т —»- оо, находим
ос
f(t)*g{t)=h(t) = 5 f(a)g(t-a)da =
— GO
СО
(* -rdg[i\)dn=g{t)*f(t),
так что свертка симметрична относительно функций f(t) и g(t).
11.49. Признак Абеля —Дирихле равномер-
равномерной сходимости интегралов.
а. Этот признак может быть использован в некоторых
случаях, когда мажорантный признак 11.47 а непригоден.
Рассмотрим интеграл
00
A)
Если (комплексная) функция u(t) обладает кусочно-непре-
кусочно-непрерывной абсолютно интегрируемой производной и стремится
т
к нулю при t—уоо, а
v(t, a)dt
, где С не зависит ни
от Т, ни от o?S, то интеграл A) сходится равномерно на S.
т
Для доказательства положим V(t, o)=\v(&, c)dQ
а
и воспользуемся интегрированием по частям:
Т> Т' Т-
l , о)| — $ «'(О V(t, a)dt.
т т т
Здесь мы имеем, как и в 11.17 а,
\u(T')V(T, a)-u(T)V(T, o)|<2Cmax{u(T), u(T')\;
т,
©(*, o)dt
т,
11.51] § П.5. ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 495
В силу наших предположений полученные величины стре-
стремятся к 0 при Т—юо, что и требуется.
00
б. Пример. Интеграл \ —-.— dt = -^- @ > 0) был вычислен
о
нами в 11.33. Покажем, что ои сходится равномерно в любом
отрезке 0 < <х<0 <р. Действительно, при t -»¦ 00 функция -?- стре-
стремится к 0 и имеет непрерывную и интегрируемую производную
sin to dt
cosTo—cos 001 2 2
0 0 а
так что признак Абеля—Дирихле можно применить. Интегрируя
по параметру о?[а, Р] и используя 11.44, получим значение рас-
рассмотренного в 11.47 интеграла
CD
Поскольку, как было там доказано, он сходится равномерно при
а€[0» U» мы можем перейти к пределу при а-*0в равенстве B).
Мы получим значение нового несобственного интеграла
§ 11.5. Гамма-функция и бета-функция Эйлера
11.51. Гамма-функция Эйлера Г (т) определяется фор-
формулой
се
r(T)=^T-1e-'d/. A)
о
Этот несобственный интеграл 3-го рода представляется
в виде суммы интеграла 1-го рода
496 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.52
и интеграла 2-го рода
первый сходится при любом вещественном т, второй сходится
при любом т > 0.
. Поэтому Г (t) определена равенством A) для всех т>0.
Если т^а>0, то подынтегральная функция tx~le~l обла-
обладает интегрируемой мажорантой ia~1e~t; поэтому на любом
отрезке [а, Р] интеграл A) сходится равномерно и по
теореме 11.43 представляет собой непрерывную функцию
от т. Таким образом, Г (т)—непрерывная функция от т на
(О, оо). Производная по т подынтегральной функции имеет
вид F^lnt-e * и обладает интегрируемой мажорантой
ta~4nt-e~t на любом отрезке 0<аг^т<;р, a так как
функция t1'1 In t-e~* непрерывна по ^€[0, сю) при каждом
т > 0 и непрерывна по t и т в любом прямоугольнике
0<^<1#, а<;т<;р, то согласно теореме 11.45 а функция
Г (т) имеет производную
кбторая непрерывна по тем же причинам, что и сама функ-
функция Г (т). Можно продолжать дифференцирование, каждый
раз применяя теорему 11.45 а; таким образом, Г(т) имеет
производные всех порядков.
11.52. Из определения 11.51 A) интегрированием по
частям получаем
00 00 00
Г(т)=Г Л-1е-*Л=-^-е-* +\
о /=о о
или
Г(т + 1) = тГ(т). A)
Равенство A) называется основным функциональным урав'
пением для гамма-функции. Применяя его несколько раз,
получаем
Г )тГ(т); B)
П.53] § Ц.5. гамма-функция и бета-функция эйлера 497
таким образом, если мы знаем значения гамма-функции- в ка-
каком-либо промежутке длины 1, мы сможем найти ее значения
в остальных точках полуоси т > 0. Поскольку
мы получаем, что
Г(л + 1) = и(и— 1). . Л=п\.
Отсюда видно, что гамма-функция является распростране-
распространением на все положительные числа функции я!, определенной
лишь для натуральных значений п. Далее, из непрерывно-
непрерывности Г (т) при т= 1 и из A) следует, что при т—»-0
11.53. Бета-функция и ее связь с гамма-
функцией. Интеграл
A)
являющийся функцией двух параметров р и q, называется
бета-функцией Эйлера. Он существует для всех положитель-
положительных значений р и q: при р, q^l как собственный, при
остальных значениях р и q как несобственный интеграл.
Подстановка х = утъ преобразует интеграл A) к виду
Покажем, что бета-функцию можно выразить через гамма-
функцию.
Сделав в выражении для гамма-функции
498 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.53
подстановку t = Qy, мы получим
о
Заменим здесь т на p-f ? и 8 на 1 + 6:
Умножим обе части этого равенства на б^ и проинтегри-
проинтегрируем от 0 до п:
C)
При п—*оо левая часть стремится к Г (/? + #)В(р, q).
Подынтегральная функция в правой части имеет инте-
интегрируемую мажоранту пР~1уР+д~1 е~У, поэтому согласно тео-
теореме 11.44 интегралы можно переставить:
dy
;
пу л
где функция
ПУ
при п —+ оо стремится к функции /^О»), равной 0 при у—О
и равной постоянной Г (/>) при _у > 0. На отрезке 0 <С_у ^ft
эта сходимость неравномерна (что видно хотя бы из разрыв-
разрывности предельной функции). Но на любом отрезке ^
11.53] § 11.5. гамма-функция и бета-функция эйлера 499
где Л>0, сходимость Fn (у) —>¦ F{y) уже равномерна, поскольку
пу nk
О < Г (р)— 5 tP-1 e~* dt < Г (р) — J tP-le-t dt.
Кроме того, поскольку Fn(y) стремится к F(y) возрастая,
у совокупности функций уч~хе~У Fn (у) имеется интегрируе-
интегрируемая мажоранта уд~г е~? Т {р); поэтому в силу теоремы //.43
Нт [уЧ~1 е'УFn(y)dy=T(p) [у*-1е~Уdy.
С другой стороны, при любом h > О
л л
O<Jj>*-Ie-J'FB(j>)dy<r(p)Jj^-irfy = r(p)^. D)
о о
Для заданного г > 0 выберем А > 0 так, чтобы иметь
Далее, при выбранном h найдем Af такое, чтобы при
иметь
~1e-J'dy — Jj»»-1 e-J'/=•„(jr)rfy < -f- ¦ F)
h
Наконец, заметим, что при выбранном h
r{p)?<±. G)
0
Из неравенств D), E), F), G) следует, что
Fn{y)dy
500 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ A1.54
откуда следует, что
ton
Теперь, переходя к пределу в C), получаем
Это и есть искомое выражение бета-функции через гам-
гамма-функцию.
11.54. Многие тригонометрические интегралы в свою
очередь выражаются через бета-функцию. Так, произведя
в интеграле
Я/2
о
подстановку sin2e=x, получим
1
I \ /О Л . ч /л _ 1 WO О?
= Г
J
2\гхA—х)
11.55. Формула дополнения для гамма-функ-
гамма-функции. Полагая q = \—р, из формулы 11.53 (8) получим
Т(р)ГA-р)=В(р, i_p)=J^i^. A)
Этот интеграл можно вычислить до конца. Рассмотрим вна-
вначале аналитическую функцию
в плоскости комплексного переменного z, разрезанной по
вещественной положительной полуоси. Эта функция опре-
11.55] § Ц.5. ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 501
делена однозначно, если на верхнем крае разреза положить
w(x + iO) = ^-x, B)
где хр~г берется в смысле 5.54. На нижнем крае разреза,
совершив обход в положительном направлении вокруг на-
начала координат, мы получаем
z = x — iO = xe2nt, У
[) C)
Рассмотрим замкнутый кон-
контур L (рис. 11.7), состоящий
из отрезка [0, R] (R > 1) оси
х на верхнем крае разреза, ок-
окружности С# радиуса R с цент-
центром в начале координат и отрез-
отрезка [R, 0] на нижнем крае разреза.
Внутри контура L имеется одна
особая точка функции w (z) —
полюс первого порядка при z= — 1. В силу 10.42 а
Рис. 11.7.
\ w (z) dz = 2га ¦ Выч w (z)
D)
z=-l
С другой стороны,
R
J w (z) dz = \ w (х + Ю)
L 0
w(z) dz + \<w{x^-iO)dx. E)
R P~*
При |^| = i? мы имеем | w (z) \ ^ . <I cRP'2, откуда при
w (z) dz
~2 2nR=2ncRP~1 -* 0.
F)
Переходя в равенстве E) к пределу при R —*- оо и исполь-
используя B)—E), находим
-1> = f
О
dx ¦ A —
502 ГЛ. 11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
и, следовательно,
CD
С хР~г их „ . е*я(/>-1> 2л/
[11.56
sinn(p— 1) sin яр'
Таким образом, мы получаем
Т(р)Т(\-р) =
sinpji
G)
Эта формула называется формулой дополнения для гамма-
функции. В частности, полагая в ней р—1/2, находим
(8)
Используя основное функциональное уравнение, получаем
r(l)-±.±
\2У~22
На рис. 11.8 дан график гамма-функции при
11.56. С помощью гамма-функции можно вычислить важ-
важные интегралы, встречающиеся в теории вероятностей:
xtdx (с>0,/я> —1). A)
Именно, подстановка ах2 = t, х= Л/ —, dx — -^- .
та г у at
11 .S7J § U.5. ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 503
приводит интеграл 1т к виду
00
. {tcdt
2 0(m+i)/a J Г е ЯГ~ 2а<т+1»/2
о
В частности,
/0= Je-*adx = -Ir(±)=ll/-n. B)
11.57. Асимптотическое выражение для гам-
гамма-функции. При больших значениях т величина гамма-
функции
Г(т)=
допускает простое асимптотическое представление.
а. Лемма. Пусть функция f(x)~^0 определена при
X > 0, равна 0 при х = 1, монотонно убывает при 0 < х < 1
а монотонно возрастает при х > 1, в окрестности точки х=\
допускает представление
6>0, |ф(х)|<Ж, а>0,
а при х "^ с > 1 удовлетворяет неравенству
Ьх, Ь>0. A)
Тогда
00
О
при s —> оо есть бесконечно малая, эквивалентная у — .
Доказательство. Сходимость интеграла B) при s>0
следует из оценки A). Мы имеем при 0< е < 1
/1-е 1+Е с ооч
I 0 1-е l+e с J
о
с
504 ГЛ. П. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.57
Далее, при достаточно малом е по условию
i a ,
e-sfMdx <• e-s/(l-e) < е * 2 Е , C)
о
?? * ИХ ^^ 1С ~-^~ 11с ^С (С "*~~ 1IC 1 ( * I
1+е
j e-*/«*> dx < ] e"rt* dx = t— . E)
с с
Переходя к вычислению интеграла от 1—е до 1+е, заме-
замечаем, что в этом промежутке
s (д:—1J+2в-ф (х) Ч-у*2 (* — 1JB+2в)
4
если только
Af*82+2e^-L. F)
Число е у иас пока произвольно; положим для s —»- оо
8=5
Тогда
2+26 e
0 (в_*оо)
и условие F) заведомо выполняется. С другой стороны, при
указанном выборе е
i 2 6
" - ' =S2+6.
Теперь при s —»-cxd и любом xg(l—е, 1 -fe) по построению
11.57] § Ц.5. ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 505
так что
где оA)—»-0 при s—>¦ оо. Поэтому
1-М 1+е
J e~sf«>dx= j e~sa*-&A +оA))dx =
1
J j
1-е 1-е
1+8 eVsa
Г e~sa«*-«• dx=[l + о(l)]y= f e-"*du.
V
+8
Г
Так как e |/ s —* oo, то последний интеграл при s —>- оо имеет
предел A1.66)
так что
где оA)—>¦ 0 при s—>-сю. Итак,
1+е
j
1-е
Что касается остальных слагаемых C), D), E), то в силу
равенства se2 = sM2+6) все они при s—»¦ сю стремятся к О
по экспоненциальному закону. Следовательно,
что и требуется.
б. Теперь преобразуем выражение гамма-функции к та-
такому виду, чтобы можно было использовать лемму. Мы имеем
506 ГЛ. П. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [11.58
при подстановке t=sx
0D CD
Г (s+ 1) = $ Ре~* dt= ss+1 $ xse~sx их =
о о
OD ОС
_5«+i \ g-sAr+s inxdx = ss+1e~s\ e~s (*~'nx~')dx =
о о
где
f(x)=x — In л; — 1.
Функция f(x), как нетрудно проверить, удовлетворяет усло-
условиям леммы. При этом /A)=/' A)=0, /"A)=1, /'"A) =
= —2; в окрестности точки х=\
1 6 х-»\
так что постоянная а равна 1/2. Применяя лемму, находим
"^ у ^
что и дает искомое асимптотическое выражение.
В частности, если s=n — натуральное число, то
Г(л-1-1) = л!, и мы получаем
(формула Стирлинга, 1730).
11.58. Гамма-функция в комплексной обла-
области. Формула, определяющая гамма-функцию,
Т (z)= ^ t2'^-1 dt = Jefe-oinfg-td/ A)
о о
пригодна не только для вещественных значений z > 0, но
и для некоторых комплексных z. А именно, если z — x-{-iy,
х > 0, то интеграл A) также сходится, поскольку подын-
11.58] § 11.5. ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 507
тегральная функция
e(x+iy-l) In t g-t __ e(x-\) In t e-tely In f_ fx-le-tgly\nt
лишь множителем eiylnt, по модулю равным 1, отличается
от функции tx~1e~t. Таким образом, формула A) непосред-
непосредственно позволяет определить Г (z) для всех z—x + iy
с х > 0, т. е. во всей (открытой) правой полуплоскости G
плоскости z. Интеграл A) сходится равномерно внутри О,
поскольку для любого компакта QcG величина d=inix
о
положительна и имеется интегрируемая мажоранта tA~le~f.
По 11.45 6 функция Г (z) аналитична в области G.
Исследуем возможность аналитического продолжения
функции Г (z) в левую полуплоскость. Для этого используем
уравнение 11.52 B)
T(z + n) = z(z + l)...(z + n-l)T(i). B)
Оно было доказано для вещественных значений z. Но так
как обе части равенства представляют собой, очевидно,
аналитические функции от 2 в области G, то из совпадения
их на вещественной оси следует в силу теоремы единствен-
единственности 10.39 б их совпадение во всей полуплоскости О.
Переписывая равенство B) в виде
П~\- Г(г+п)
Чг> C)
обратим внимание на то, что правая часть определена и ана-
аналитична при всех z с Rez >—л, за исключением значений
2 = 0, —1, ..., —л + 1. Используя теперь формулу C)
для определения гамма-функции, мы получаем аналитическое
продолжение ее -в область Gn= {z:Rez > —л}. При разных п
получаются формально различные определения, но в силу
единственности аналитического продолжения A0.39 в) раз-
различные определения дают для любого z одно и то же зна-
значение функции Г (z). Так как п можно взять произвольно
большим,' функция Г (z) оказывается определенной во всей
плоскости z, за исключением изолированных особенностей
в точках z = 0, 1, ..., —л+1, ...
Из формулы C) видно, что все эти особенности являются
полюсами первого порядка. Можно вычислить и вычет функ-
функции Г (z) в полюсе z= —л + 1, используя формулу 10.42 A);
508 ЗАДАЧИ
именно
— 2)\г=-п + 1
(-1)(-2)...(-п+1) (я-1I •
ЗАДАЧИ
1. Доказать формулу Дирихле
1 / 1-Х
JJ J х»-у-1A_х-й*-»/(х, y)dy\dx=
о \у=о '
1 ,1-У л
= 5П *l-1!f-1V-x-yr-4(x,y)dx\dy,
0 х=0 )
где 0<Я<1, 0<(г<1, 0<vsSl, f {x, у) непрерывна при
0*sSl, 0<j/<l.
2. Доказать формулу Фруллани
' w a
J х ' 'W"T
о
где а > 0, 6 > 0, если f(x) непрерывна при 0<jc < оо и интеграл
00
. — ¦ dx сходится.
J х
3. Используя интегрирование в комплексной плоскости, найти
о
где Rep5=0.
4. Найти интегралы Френеля
ш ш
f х = J sin (jc2) dx, F2 = J cos (л?) dx.
о о
5. Найти особый интеграл Фурье
GO
, С Р{х) sin x
1= \ тггт dx,
J Q{x) x
— 00
где Р{х) и Q(jc)—многочлены, причем степень Р (х) не превышает
степени Q (*) и Q (д;) не обращается в 0 при вещественных х.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА 509
6. Показать, что
Нет ли противоречия с теоремой 11.44?
7. Обозначим через L путь в плоскости комплексного перемен-
переменного s, состоящий из участка [е, +оо) вещественной оси, проходи-
проходимого справа налево, окружности | s [ = е, проходимой в положительном
направлении, и участка [е, -j- oo) вещественной оси, проходимого
слева направо. Показать, что справедлива формула
Г (г) = !— Г e-V-! ds,
дающая представление гамма-функции при любом комплексном z,
кроме ее полюсов.
Историческая справка
Многие конкретные несобственные интегралы были вычислены
в XVII и XVIII веках, еще до точного определения сходимости
несобственного интеграла, данного Коши лишь в 1821 г. Коши ука-
указал также снособ вычисления несобственных интегралов с помощью
аналитического продолжения и теории вычетов. Абсолютно сходя-
сходящиеся интегралы были выделены Дирихле A854), равномерно сходя-
сходящиеся—Валле-Пуссеиом A892). Гамма-функция и бета-функция были
введены и изучены Эйлером A730-е годы).
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
К главе 1
1. Указание. Имеем
\х—у\+\у\.
откуда
\х\—\у\<\х—у[.
Заменить здесь х на у и у на х.
2. Указание. Проверить для числа sup A + sup В выполнение
всех свойств точной верхней грани множества А-{-В.
3. Указание. Проверить для числа sup A -sup В выполнение всех
свойств точной верхней грани множества АВ.
4. Указание. Действовать аналогично тому, как в задачах 2 и 3.
5. Указание. Множество А ограничено сверху; у = sup A.
К главе 2
1. Указание. Использовать 2.35—2.36.
2. Указания, а) В каждом из имеющихся интервалов можно
выбрать по рациональной точке, б) Внутри каждой из двух половин
восьмерки выбрать по точке с рациональными координатами, в) Вне
любого отрезка [0, е] может лежать лишь конечное число точек М.
3. Указание. Обратить построение 2.33.
4. Указание. Братьев N было счетное множество.
5. Указание. Пусть С—счетное подмножество в А и D = A—С.
При этом A = D-\-C, A-\-B=D-\-C-\-B; использовать эквивалент-
эквивалентность множеств С и С-\-В.
6. Указание. Пусть В есть множество рациональных чисел; ис-
использовать задачу 5, полагая Л = /. Аналогично в случае множе-
множества Т.
7. Указание. Рассматриваемое множество А есть объединение
двух множеств: множества последовательностей, содержащих лишь
конечное число нулей, и множества последовательностей, содержащих
бесконечное число нулей. Первое счетно, второе имеет мощность
континуума, поскольку находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с множеством точек отрезка, взятых в двоичной записи (см.
1.78, р = 2). Использовать задачу 5.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 511
8. Указание. Каждой последовательности A) поставить в соот-
соответствие последовательность нз нулей и единиц, с единицами на
местах с номерами kx, fc2, ... Использовать задачу 7.
9. Указание. Каждой последовательности B) поставить в соот-
соответствие возрастающую последовательность
k1=m1, kt=m1 + mt kn = m1+ ... +т„, ...
10. Указание. Используя задачу 9, каждому символу ? можно
поставить в соответствие таблицу
Пц т-а • ¦. Шщ ...
Ш
р„
элементы которой—натуральные числа. Эту таблицу можно записать
единой последовательностью, как в 2.33, после чего снова применить
задачу 9.
11. Указание. Соответственно упростить решение задачи 10.
12. Указание. Пусть каждому <?[0, 1] поставлена в соответствие
функция ft{x)?E. Набор WcE функций ft{x) не исчерпывает
всего ?, поскольку функция <р (х), значение которой в каждой точке
х отлично от значения функции fx (x), не входит в W.
13. Указание. Обобщить идею решения задачи 12, заменив [0, 1]
иа А и задав каждое подмножество ВсА с помощью функции,
равной 1 на в и 0 вне В.
К главе 3
1. Указание. Если Л = < 1, —, —, .. Л , то А'= {0}, А" пусто.
Построить итерацию.
2. Указание. Любая предельная точка множества А' является
предельной точкой множества А.
3. Указание. Достаточно рассмотреть п=1. Точка множества А,
не являющаяся предельной для А, может быть покрыта интервалом
с рациональными концами, не содержащим других точек множества А.
Использовать задачу 1 (а) к гл. 2.
4. Указание. Точку, не являющуюся точкой конденсации мно-
множества А, можно покрыть интервалом с рациональными концами,
содержащим самое большее счетное множество точек множества А.
5. Указание. Отметить те интервалы с рациональными концами,
которые входят в интервалы покрытия, и оставить по одному из
интервалов покрытия, содержащих любой отмеченный интервал.
8. Указание. Положить иг= U {у:р(х, i/)<-h-P(*. Ft)\;
xeF, \ I )
ана-
аналогично определить V%
10. Указание. Для п=3 построение производится с помощью
пары окружностей. Пространство М из четырех точек xlt хг, х3, xt
512 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
с расстояниями
уже не изометрично никакому подмножеству евклидова простран-
пространства R3.
11. Указание. Рассмотреть сферу Sncri?n+i радиуса 2 с центром
в точке @, 0, ..., О, 1). Отобразить в Sn пространство RnC Rn+1,
состоящее из точек (§ь ..., |„, 0), используя прямые, проходящие
через точку @, 0, ..., 0, 2). Поставить саму эту точку в соответ-
соответствие точке оо ? Rn. В качестве метрики г взять обычную метрику
пространства Rn+i для точек Sn («стереографическая проекция»).
12. Указание. Фиксируя точку а?М, для каждой пары точек
х, у найти в евклидовой плоскости R2 тройку точек А, X, Y с теми
же взаимными расстояниями (задача 10). Новое расстояние г (х, у)
определить путем стереографической проекции R^ на сферу S2, касаю-
касающуюся R2 в точке А.
13. Ответ. Два элемента на каждую прямую, проходящую
через начало координат.
К г лаве 4
1. Указание. См. задачу 1 к гл. 1. Рассмотреть последователь-
последовательность *„ = (— 1)" (п=1, 2, ...).
2. Указание. Пределы lim и lim являются пределами некоторых
последовательностей.
3. Ответ. Следует.
5. Указание. Если anfc -*¦ lim an < lim an, положить, например,
А -/ ° —
л~) Iiman—liman
при n = nft, k=l, 2, ,
при n ?i nft.
1 2
6. Ответ, lim xn = — а+-^- Ь.
о о
7. Указание. Для последовательности е„=—^=—1 получить
У а
уравнение и оценку
2 '
8. Указание. уп < уп+1 < хп+1 < хп.
9. Указание. Пусть Pi= ¦ ¦-=Pr > Pr+i^ • •-^ Рт'< тогда
IРъ\п
lim I — =0 при к > г.
п->-«> \PiJ
И. Указание. Использовать определение предела по направле-
направлению х -* а.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 513
12. Ответы на оба вопроса в общем случае отрицательны. При-
Примеры: пусть Х={1, 2 п, ...},S = {n-> оо}, F={0, 1, "/г. Vs. A,
Z = {0, 1}; пусть, далее, yx Bn)= l/2n, 1ЛBп+1) = 0, !/2(п)=0
(n=l, 2, ...), z@)=l, z({/) = 0 при {/5=0. Тогда z((/!(n)) не имеет
предела при п-*- оо, а г((/2(п)) имеет предел, равный 1 jc limz({/).
13. Указание, а) и б) устанавливаются непосредственно, в) сле-
следует из 4.16 в
К г лав е 5
1. Ответ. Нет.
2. Ответ. Нет.
3. Указание. Использовать задачу 1 к гл. 1.
4. Ответ. Обе функции разрывны при целых х и непрерывны
при всех остальных х.
7. Указание.
п
1
8. Указание. Использовать существование /(а + 0) и f(b—0).
9. Указание. Положить x = logct и применить 5.41.
10. Ответ: [—оо, —1—6]; J —1+6, 1—6]; [1+6, оо]; 6>0 —
любое.
11. Указание. Рассмотреть пары функций sin ал, совал; a^sinx,
ах cos х.
12. Указание. Рассмотреть для примера функцию
(sin — при х Ф О,
х
О при *=0.
13. Указание. Использовать формулы 5.61 A)—C).
14. Указание. У всякой точки с, обладающей свойством
> 0, существует окрестность, в которой ни одна
| lim х (t)
другая точка не обладает этим же свойством.
15. Ответ. Функция x(t) непрерывна всюду, кроме тех точек,
для которых все знаки <п,, <п2, ..., начиная с некоторого,—де-
некоторого,—девятки.
16. Указание. Если дуга ДосГ не содержит точек множества
М, то дуги A! = A — 1, Д2 = Д—2 и т. д. также не содержат его
точек. Дуги До, Дц Д2, ... равной длины, находясь на окруж-
окружности Г, не могут не пересекаться. Если, например, дуга Д^ пере-
пересекается с дугой Ак+т, то объединение дуг Дй, Дл+т, Afc+2m. ••¦
покрывает всю окружность Г.
17. Указание. Пусть q—любая точка множества М — Р и
Pi, р^, ...—последовательность точек Р, сходящаяся к q. Показать,
исходя из равномерной непрерывности функции f (x) на Р, что
последовательность значений }(рп) имеет предел, который не зависит
514 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
от выбора последовательности рг, р2, ..., сходящейся к точке q.
Положив f(q)= lim f(pn), проверить непрерывность этой функции
Я -»¦ Со
на всем М.
18. Указание. Интервалы (/(а—0), /(а+0)) не пересекаются
при разных а.
К главе 6
1. Указание. Применить 6.16, положив vn = —j—. Использо-
Использовать 5.59 F), A1) и A3).
2. Указание. Использовать признаки § 6.1 и задачу 1.
3. Указание. Для любых п и т < п
со
(п—т)ап<,ат+1+...+а„*е,гт= 2 ап>
m+l
откуда
4. Одно из решений. Пусть для каждого л=1, 2, ... найден
СО j
номер N = N(n), для которого У] Oj^-j; при N(n)<,m<
m=N П
< JV(n+l) положить Ьт = п.
5. Указание. Использовать неравенство k (п—*)<n2 (k= 1, 2,...
.... п— 1).
6. Указание. s2n<s^s2n+1==s2n+a2n+1.
7. Указание. Применить признак Даламбера 6.14 а.
8. Указание. Существование предела следует из неубывания / (t)
и ее ограниченности; при этом 1,э=Шп^(/)<2ап- С Другой сто-
<-*•! о
JV со
роиы, для любого е > 0 можно подобрать N так, что2ал>2а"—е*
и затем выбрать / так, что 2а«'п> 2 й"—е"
о о
9. Указание. Та же идея, что в задаче 8.
10. Указание. г„ = Р„+1/Р„.
п
И. Указание. logj,pn= У] logb.*:ft.
12. Указание. Использовать 5.59 е.
13. Указание. Вычислить A —х) р„.
14. Указание. Разложить j— в геометрическую прогрессию.
1
Рх
15. Указание. Тождество Эйлера справедливо и при х— 1; в этом
случае обе части равенства бесконечны.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 515
16. Указание. Количество чисел, заключенных между Ю1*—1
и 10т—1 и записываемых без цифры 9, равно 9т—9™-1. Поэтому
g j дг g 9* 92
искомаи сумма меньше, чем—= 1 ^—|—г^тг—1-...=80.
17. Указание. Длина вектора не меньше, чем длина любой его
проекции, и не превосходит суммы длин всех проекций на оси.
18. Указание. Использовать компактность сферы в Еп.
19. Указание. Использовать теорему 6.32 а F.46).
20. Указание. Пусть Vt Z) V2 Z)... —последовательность телесных
углов, содержащих вектор q, таких, что sup sin (х, e)=om\0,
xeVm, |x|=i
причем 2°я» < °°- Последовательно выбирать в ряде A) члены, содер-
1
жащиеся в Vlt V2, ..., сумма длин которых заключена между 1 и 2.
21. Указание. Для п=1 утверждение совпадает с утверждением
теоремы Римаиа 6.37. Пусть }?Еп—любой вектор и ?n_i—его
ортогональное дополнение. По индукции существует перестановка
ряда A), у которой сумма проекций на Еп_х равна заданному век-
вектору в ?„_!• Далее, выбрать часть ряда, для которой составляющие
по / образуют ряд, сходящийся к + °°> а ортогональные составля-
составляющие сходятся абсолютно (задача 20). Дополнительная часть ряда
имеет составляющие по вектору / с суммой —оо. Переставляя их,
получить заданную проекцию на вектор /. На величину суммы орто-
ортогональных проекций эта перестановка не повлияет (задача 19).
22. Указание. Применить к ортогональному дополнению под-
подпространства А результат задачи 21.
К главе 7
1. Указание. ^(*)э0.
2. Указание. Использовать теорему Лагранжа 7.44.
3. Указание. Использовать теорему Лагранжа 7.44.
4. Указание. Мы имеем |/'@)=0, но у'(х) ие стремится к 0 при
х-+0.
5. Указание. Достаточно рассмотреть случай /' (а) < 0 < /' (Ь)
и доказать существование точки с?(а, Ь) с /' (с)=0. Точка, где / (х)
достигает наименьшего значения, является искомой.
6. Указание. От противного, с использованием теоремы Лаг-
Лагранжа 7.44.
7. Указание. Если искомое неравенство верно для точки
'К={К1, •¦¦» bp}?Rp и для точки |i={ni PP}(zRp' то оно
верно для всего отрезка в Цр, соединяющего эти две точки. Для
точек вида Z/={0, ..., 1, ..., 0} оно очевидно; отсюда перейти
к любому набору Я,={Я! Кр\.
8. Указание. Неравенство
эквивалентно определению выпуклой функции в задаче 7.
516 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
9. Указание. В неравенстве
при Р \ х получается существование /^р (х) и равенство f (х + 0) =
= / (х), а при о / х—существование /^ев (х) и равенство / (х—0) = f{x).
10. Указание. Следствие неравенства задачи 9.
11. Указание. Интервалы (fj,eB(x), fnp (х)), построенные для
каждой пары точек, в которых не существует /' (х), не пересекаются.
12. Указание. Из условия задачи следует, что кривая y=f(x)
имеет с каждой своей хордой общими точками лишь концы хорды и,
следовательно, располагается либо выше, либо ниже хорды. Перейти
по непрерывности от хорды с концами, имеющими абсциссы а, Ь,
к любой хорде.
13. Указание. Если на кривой y=f(x) при х > х0 есть точка
(хх, f (хх)), лежащая ниже полукасательной, то кривая должна про-
проходить ниже хорды, соединяющей точки с абсциссами х0 нхг. Исполь-
Использовать 7.22 B).
14. Указание. К пределам, указанным в задаче 10 к гл. 4, при-
применить правило Лопиталя.
15. Указание. К отношению h—-^- применить формулу
Лагранжа
16. Указание. Угловой коэффициент касательной в точке х„——
п
не превосходит углового коэффициента хорды, проведенной через
точки хп+1 и хп.
17. Указание. Фиксируя т для данного х0, возьмем приращение
Л=±— Тогда приращения всех q>m (x), начиная с/п-й, будут
равны нулю. Функция фга—i (jc) имеет интервалы без угловых точек
длины —; тот из них, который содержит точку х0, содержит вместе
с ней и один из интервалов f лс0, Хо + ж) или (хв, х0—— J . На
этом интервале и все предшествующие функции фд (х), k < т—1,
не имеют угловых точек; приращения их будут по модулю равны
приращению аргумента. В итоге мы получим
т— 1
Д/(ж) ^ Дфй (х) / четному числу при т четном,
Дх ^* Дх \ нечетному числу при т нечетном.
Поэтому . не имеет предела при Дх —»- 0.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
517
К главе 8
1. Указание. Все производные функции e-i/*1 при х=0 равны 0;
для доказательства использовать задачу 15 к гл. 7.
2. Указание. Найти и оценить главный член в формуле Лейбница.
3. Указание. Использовать должное число раз теорему Ролля.
4. Указание. Рассмотреть точку хв, в которой | /' (х0) | > Mt—е,
и учесть, что f (х)—/ (х0) ¦
5. Ответ.
•f'(xo)(x—xo)—M2-
' h-*o h
6. Указание. Если f" (xe) < 0, то кривая y=f(x) в окрестности
точки х=Хо лежит под своей касательной (8.32). Учесть задачу 13
к гл. 7.
7. Указание. Наличие хорды, лежащей хотя бы частично под
кривой, приводит к существованию точки (х0, f(x0)), в окрестности
которой кривая лежит под касательной; неравенство f (х) > 0 это
исключает.
8. Указание. Использовать формулы 8.73 E); оценить снизу
sin г по модулю, учитывая, что ch у > sh у.
9. Указание. Для | у | > 8 использовать оценку, вытекающую из
задачи 8. Для \у\ < е учесть, что |cosxl > 1—6.
10. Ответ, (а) ю < Ю; (б) Л < 1,03; (в) я5гЮ. В частности,
ошибка от замены числа е суммой 1+оГ
дит 10 ~7.
11. Ответ на рисунке:
Щ не пРевосх°-
п четно
л нечетно
f<n+»(xD)>0
12. Ответ. Нет. Можно построить пример, используя задачу 2.
518 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
18. Указание. Использовать неравенство
1 ' (*=!. 2, ...).
14. Указание. Если е рационально, то п\е при некотором п есть
целое число.
15. Указание. Использовать формулы 8.37 B') и E').
16. Указание. В некоторой окрестности 0 искомое неравенство
заведомо выполняется. Если во всем промежутке [—2я, 2я] оно на-
нарушается, то имеется точка jc0 ?^ 0. в которой неравенство обра-
обращается в равенство. К промежутку [0, х0] применить теорему
Лагранжа 7.44.
17. Указание. Положить х=я/2.
К главе 9
1. Указание. Угловой коэффициент линейной составляющей
равен
о
где Т—период функции f(x).
2. Указание. Рассмотреть правую часть как (непрерывную)
функцию от |, вначале считая f(x) сохраняющей знак.
3. Указание. Если ф(х), например, убывает, то <р(ж)—ф(а+0),
также убывает и неотрицательна.
4. Указание. Применить индукцию по п. Другой способ: заменить
Ь на х, продифференцировать по х и убедиться в совпадении резуль-
результатов. К исходной формуле вернуться интегрированием, убедившись,
что при ж=а обе части равенства совпадают.
5. Указание. Соответственно обобщить доказательство теоремы
9.14 д.
6. Указание. Применить критерий Римана (задача 5).
7. Указание. Учитывая неравенство
IIM*') 1-1/(*")П<1/(*')-/(*")!.
применить критерий Римана.
8. Указание. Использовать критерий Римана.
9. Указание. В критерии Дю-Буа-Раймона (задача 8) положить
,11 s 6 6 6
е= 1, -д- , -=-,... и вместо 6 писать соответственно "о" » "т • Г • • • •
10. Указание. Использовать критерий Лебега.
П. Указание. В неравенстве
Г B/Q1! 1» 1 я Г Bя)Н 1* 1
LB«— l)!lj 2ra+l^ 2 ^ LB«—l)l!j 2я
отношение крайних членов стремится к 1.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 519
12. Указание. По данному е > 0 найдем 6 (е) из условия равно-
равномерной вепрерывности фуикции f(x) на отрезке [А, В]. При<1(П)<6
имеем
i—*/) = J f(x)dx+?,\x/+1—xj\,
Xj
где 18/1 < e.
Л— 1
13. Указание. Если 2 |ду+1—x/\ не ограничивается, ошибки
/=о
от замены f (?/)(*/-ц—xj) на соответствующий интеграл B) могут
нарастать неограниченно при суммировании по /. Если f (х) имеет
хотя бы одну точку разрыва, ошибка от указанной замены не будет
малой.
14. Указание. Пользуясь 1)—4), проверить C) для любой кусоч-
но-постояниой функции / (х). Пользуясь 5) и аппроксимируя данную
кусочио-иепрерывную функцию кусочно-постоянной, получить C).
15. Указание. Подставить в 9.74 D) t =1/^37
К главе 10
1. Указание. Пусть г — 1 есть точка аналитичности фуикции / (г).
Имеем / (г) = 7 д ——-^ (г—1)*(| г—11 < р), где на основании зада-
о
чи В к гл. 6
/(l)-ltai Mz)=2aft /<»)(l) |
г-*1 о о
а на осйовании следствия из теоремы Абеля F.67) и задачи 15 к гл. 7
„ fin) (егв)
откуда видно, что ряд \ !—i—i (z—е")п сходится при | г—е" | < i>.
СР ф
2. Указание. Исходить из равенства у а.пгп =} Ьпгп,
_ о Z~Zo о
где lim ^/| Ьп | < 1.
8. Указание. Рассмотреть отображение вдэ=/('2) в окрестности
точки г0.
520 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
4. Указание. Применить принцип максимума к функции —-.
5. Указание. Требуется доказать соотношение (гх < г2 < г3)
Рассмотреть функцию zaf (г), где о—такое число, что г\М(гг) =
= г%М(г3).
6. Указание. Использовать метод 10.16.
7. Указание. Проверить отдельно для функций аг, г + Ь, —, ис-
использовать 10.55.
8. Указание. Оценить выражения ап в 10.38 B).
9. Указание. Подсчитать приращение аргумента при обходе
вокруг каждого нуля и полюса по малой окружности.
10. Указание. Использовать 10.44.
00
-—~—' (г—а)т; тогда
«> BI=
"> (а))(-
12. Ответы, а) Каждый лист римановой поверхности функции
и) (г)—вся плоскость с разрезом по линии, соединяющей точки +1
и —1 (например, по отрезку вещественной оси [ — 1, 1] или по до-
дополнительной части вещественной оси); риманова поверхность дву-
двулистна, листы склеиваются по краям разреза: нижний край первого
листа с верхним краем второго; точки разветвления — 1 и +1 на
плоскости w. На плоскости г области однолистности: внутренность
единичного круга и внешность его. б) На плоскости г области одно-
однолистности—полосы kn < х < (й + 1) я (fe = 0, ±1, ±2, ...); обрат-
обратная функция z= Arc cos w бесконечнозначна; для построения рима-
иовой поверхности следует на каждом листе плоскости w провести
разрез по вещественной оси от —оо до —1 и от +1 до +оо.
Верхний край левой половины разреза на ft-м листе склеивается
с нижним краем левой половины разреза на (ft-f- 1)-м листе, верхний
край правой половины разреза на k-u листе—с нижним краем пра-
правой половины разреза на (k—1)-м листе.
13. Указание. Использовать представление cos г через экспо-
экспоненту.
14. Указание. Рассмотреть функцию с^х (г) + ... -\-cnfn (г), где
числа Ck выбраны так, что |cfc| = l и в точке г0 максимума
I h (z) I + • • • +1 fn (z) I имеет место равенство
Cifi (г0) +...+cJn (г„) = | h (г„) | +... +1 fn (г0)|.
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ 621
15. Указание, Использовать 10.49.
16 Указание. Рассмотреть р . . .
17. Указание. _ '= Ь^У . где g(z) ограничена при г—> оо.
и (г) г г
Проинтегрировать это соотношение по окружности достаточно боль-
большого радиуса.
18. Указание. Если Р (г) не обращается в нуль, то jw— дости-
достигает максимума в конечной точке.
19. Указание.
— г'
где суммирование распространяется на все полюсы f (z) внутри кон-
контура Гп. С другой стороны,
1 Cf(l)dl_ I Cfq)dl г С ?&<%_
2nlJ Б-г 2n«J | +2я0 |(|-г)-
Г Г Г
последний интеграл стремится к 0 при п —* оо.
20. Указание. О бесконечных произведениях см. задачу 10 к
гл. 6. Разложение на простейшие дроби, данное в задаче 19, проин-
проинтегрировать и пропотенцировать.
21. Указание. Использовать задачу 9 к гл. 8. Для первого раз-
„ /» sin г
ложения в задаче 20 положить g (z) = .
22. Указание. Рассмотреть функцию
в секторе | arg г | < а, | z | < г и применить принцип максимума.
23. Указание. Применить задачу 22 к функции / (г) е'Тг (у > 0)
в каждой из четвертей, составляющих верхнюю полуплоскость, и
получить оценку
| / (г) е°г К max \c, m^}, mT = maxaee'e-"r.
Если тт > с, то функция | f (г) | достигает максимума в некоторой
точке мнимой оси, что при Нг)щк const невозможно (задача 3).
Поэтому т^^с, | f(z) |<с|е~'Тг|; устремить здесь у к нулю.
24. Указание. Применить задачу 23 и теорему Лиувилля.
522 УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
К главе 11
1. Указание. Доказать формулу для внутреннего треугольника,
где подынтегральная функция непрерывна, и перейти к пределу.
2. Указание.
\dxJdxdx dx
J X J X J X J X J X
a a a aa ba
aa op
aa<l< ba, a$ < r\< bp.
8. Ответ. 1{р) = -^ у — с подходящим значением Y~P- Ис-
Использовать в качестве контура сектор, образованный отрезком оси х,
отрезком луча ф=ф0 и дугой окружности с центром в начале
координат.
4. Указание. Использовать задачу 3.
Ответ. Fr
5. Ответ.
"^ Выч
где сумма распространяется на все корни многочлена Q (х) в верхней
полуплоскости.
6. Ответ. Интеграл с бесконечным пределом не является равно-
равномерно сходящимся по параметру у.
7. Указание. Сраввить значения s2 на участке [е, +°°]i про-
проходимом в одном и в другом направлениях.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 122, 210
Абсолютная величина вещественного
числа 23
Автоморфизм n-мерного пространства
58
тождественный 59
— структуры 51
Адамар 70, 451
Аналитическая функция 398
вещественная 427
целая 424
Аналитическое продолжение 288, 426
Аргаи 69
Аргумент комплексного числа 189
— функции 65
Ариабхата 210
Арифметико-геометрическое среднее
152
Арифметическая степень множе-
множества 40
— сумма множества 39
Арифметическое произведение мно-
множеств 39
Архимед 13, 29, 246. 349, 350. 395
Архимеда принцип 29
Асимптотическая единица 138
— принадлежность 131
Базис 57
Барроу 273
Бернулли И. 273, 453
Бериулли Я. 273
Бесконечно удаленная точка 436
Бесконечность 36
Бета-функция 497
Больцано0, 121, 209, 210, 246, 273
Больцано -г Вейерштрасса принцип 94
Бомбелли 69
Борель 121
Брус замкнутый 157
— открытый 157
Бурбаки 50, 68, 121, 273
Бюрги 210
Валле-Пуссеи 509
Вейерштрасс 40, 209, 210, 273, 454
Вектор 55
— единичный 73
— нормированный 73
Верхний предел 139, 147
Верхняя грань 17
точная 18
Вессель 69
Вещественная часть 62
Взаимно однозначное соответствие 44
Включение 14
Вложенных промежутков система 35
Внутренняя точка 72
Высшие дифференциалы 285
Вычет 429
— логарифмический 431
Гамма-функция 495
—, асимптотическое выражение 503
— в комплексной области 506
—, формула дополнения 500
Гармоническая функция 405
Гаусс 40, 69, 210, 246, 453
Гёдель 40
Гейне 20.9
Геитцеи 40
Гильберт 11, 40
Гиперболические функции 294
обратные 333
Гипергеометрический ряд 243
Гомеоморфизм 85
Гомеоморфные метрики 86
Гранди 211, 246
Граница множества 318
Грассман 69
График функции 66
Грегори 299
Группировка, членов ряда 223
Грушин В. В. 67
Даламбер 211, 453
Дарбу 396
Двоичная система 34
Дедёкинд 40, 210
Десятичные знаки 32
Диаметр 72
Дирихле 69, 509
Дифференциал сложной функции 262
— функции 261, 401
высшего порядка 285
Дифференцирование интеграла по
параметру 381
— несобственного интеграла по пара-
параметру 486
— последовательности функций 377
Длина вектора 73
— дуги 320, 356
как функция параметра Э61
эллипса 359
— окружности 359
Дополнение множества 42
Дробная часть 30
Дю-Буа-Раймои 396
524
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Евдокс 40
Евклид 40
Единица 17
— асимптотическая 138
Единичный вектор 73
Зависимое переменное 65
Замкнутый контур 388
Замыкание 98
Зейдель 210
Знаки включения 14
Значение функции 65
Изолированная точка 106
Изоморфизм структур 51
Индукции математической метод 20
Интеграл криволинейный 385
— Лапласа 480
— неопределенный 323
— несобственный абсолютно сходя-
сходящийся 462
второго рода 468
первого рода 455
расходящийся 4 56
сходящийся 456
третьего рода 470
условно сходящийся 462
определенный 323
— по замкнутому контуру 388
— Римана 301
, его пределы 302
на брусе 318
на компакте 316
— Стилтьеса 346
криволинейный 385
— типа Коши 414
— Френеля 508
— Фурье 476
особый 481
Интегральная сумма 301
Интегрирование по параметру 379,
485
— по частям 326, 338, 467
многократное 394
— последовательности функций 373
— через подстановку 326, 343, 467
Интегрируемая мажоранта 489
— функция 302
Интервал 28
— смежный 96
— составляющий 80
Интреаок 29
Иррациональные числа 20
Казорати 454
Кантор 40, 41. 49, 68, 121, 210
Кантора принцип вложенных отрез-
отрезков 35, 37
Картан А. 153
Касательная 249
Катеноид 366
Кеплер 349
Клеро 396
Колебание функции 160
в точке 3S4
Компакт 111
— нагруженный 317
Компактное метрическое простран-
пространство 111
Комплексно сопряженные числа 62
Комплексные числа 60
Конечные точки 436
— числа 37
Континуум 49
Конфинальные последовательности
107
Координаты вектора 55, 57
Корень аналитической функции 423
кратности k 423
— л-й степени 26
Коши 40, 121 122, 153, 154, 209,
210, 246, 273, 299. 396, 453, 455
509
Коэн П. 68
Коэффициенты Лорана 434
— Тейлора 421
Кратность корня 201
Кривая кусочно-сладкая 356
Крнволинейныйинчеграл 385
Критерий Дю-Ёуа-Раймона 394
— Лебега 394
— Кошн для векторного ряда 229
для предела векторной функции
151
— —для предела по направлению
130
для равномерной сходимости
206. 488
сходимости несобственного
интеграла 457
числового ряда 212
числовой последователь-
последовательности 101, 145
— Римана 394
— Хаусдорфа 114
Круговые функции 297
Крылов А. Н. 292
Кэли 69
Лагранж 453
Лебег 121, 396
Лейбниц 273, 298, 299, 302, 343,
396, 453, 455
Лемма Жордана 479
— о замкнутых шарах 105
— о конечном покрытии 118
Линейная зависимость 56
Линейно упорядоченное множество 51
Лобачевский 16, 69
Логарифм 169
— натуральный 179
Логарифмирование 174
Лопиталь 273
Лузин Н. Н. 455
Люилье 273
Люстериик Л. А. 115
Максимальное из двух чисел 23
Максимум локальный 260
Менголн 246
Мера Жордана 318
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
525
Метод математической индукции 20
Метрика 70
Метрическое пространство 70
компактное 111
локально компактное 111
полное 101
предкомпактное 113
Минимальное нз двух чисел 23
Минимум локальный 260
Миимая часть 62
Многочлен Тейлора 277
Множества геометрически равные 78
Множество 13
— бесконечное 13
— вещественных чисел 16
— всюду плотное 97
— жорданово 318
— замкнутое 95
— конечное 13
— линейно упорядоченное 51
— мощности континуума 50
— несчетное 49
— ограниченное 28
в метрическом пространстве 71
сверху 17
снизу 25
— открытое 78
— пустое 13
— счетное 46
Модуль вещественного числа 23
— комплексного числа 189
Мощность множества 45
Мур 153
Направление 122
Натуральные числа 19
Невозрастающая последовательность
145
Независимое переменное 65
Немировский А. С. 243
Неограниченное множество 72
Неопределенный интеграл 323
Неотрицательное число 23
Непер 210
Неположительное число 23
Непрерывность односторонняя 164
—равномерная 159
Неравенство Кошн 75
— Кошн — Буияковского 75
— треугольника 70
— четырехугольника 71
— Юнга 354
Несобственный интеграл второго
рода 468
первого рода 455
третьего рода 470
Несчетное множество 49
Неубывающая последовательность
145
Нижний предел 139, 147
Нижняя грань 25
точная 25
Новиков П. С. 40
Норма вектора 73
Нормированный вектор 73
Нуль 16
— аналитической функции 423
Нуль аналитической функции крат-
кратности k 423
Ньютон 246, 273. 298, 299, 300.
396, 455
Область 78
— одиосвязная 414
— связная 398
Обратная функция 167
Обратное вещественное число 17
Обратные гиперболические функции
333
— тригонометрические функции 186
Объединение множеств 14, 41
Объем множества 318
— шара 372
Ограниченная последовательность 145
— сверху последовательность 145
— снизу последовательность 145
Односторонняя непрерывность 164
Окрестность точки 72
Определенный интеграл 323
Ортогональные векторы 192
Особая точка изолированная 435
устранимая 435
Особые точки кривой 361
Остаточный член формулы Тейлора
в интегральной форме 339
в форме Лагранжа 279
Отображение 195
— конформное 440
— непрерывное 195
Отражение 78
Отрезок 28
Отрицательное число 23
Оттервал 29
Паламодов В. П. 67
Пеано 40
Первообразная 322
Пересечение множеств 15, 41
Перестановка членов ряда 224
Периодическая функция 185, 292
Период функции 185. 292
Пикар 439
Площадь криволинейной трапеции
314, 348
— круга 350
— плоской фигуры 315, 389
в полярных координатах 355
— поверхности вращения 365
— эллипса 352
Поверхность сферы 366
Поворот 192
Подмножество 14
— истинное 14
Позиционная запись вещественных
чисел 32
Показатель степени 21
Поле комплексных чисел 61
— числовое 17
Полна 397, 451
Полнота системы аксиом 51
Положнт-льное число 23
Полукасательиая левая 257
526
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Полукасательиая правая 257
Полюс п-го порядка 435
Полярные координаты 188
в пространстве 194
Полярный радиус 189
— угол 189
Пополнение 107
Последовательности конфииальные
107
Последовательность 65
— невозрастающая 145
— неубывающая 145
— ограниченная 145
сверху 145
снизу 145
— расходящаяся 81
— сходящаяся 81, 123
— фундаментальная 100
— функций 203
Постоянная Эйлера 462
Потенцирование 174
Правила Лопиталя 268
Предел по направлению 122
на подмножестве 125
Предельная точка подмножества 93
последовательности точек 91
чисел 147
функции 140
верхняя 139
нижняя 139
Предкомпактное метрическое прост-
пространство 113
Преобразование Абеля 230
— подобия 60
Признак Абеля — Дирихле для рядов
230
для несобственных интегра-
интегралов 465
— — — — равномерной сходимости
интегралов 494
— Вейерштрасса 239
— Даламбера 214
— Коши 214
— Лейбница 220
для интегралов 462
— Раабе 218
— сравнения 213, 458
—г сходимости интегральный 459
Пример Ван-дер-Вардеиа 271
Принцип аргумента 451
— максимума 450
Произведение бесконечное 244
— вещественных чисел 17
— множеств 41
прямое 65
— ряда на число 221
— рядов 222
Производная 249
— вторая 274
— левая 257
— логарифма 254
— обратной функции 253
— односторонняя 257
— по множеству 397
— порядка п 274
— правая 257
— сложной функции 252
— степенной функции 255
Производная тригонометрических
функций 255
— частная 402
Промежуток 29
Пространство вещественное л-мериое
55, 73
— евклидово п-мерное 74
Противоположное число 17
Птолемей -210
Путь 385
Равномерная непрерывность 159
— сходимость 204
Равномощиость множеств 45
Радиус сходимости 211
Разбиение 300
—, его параметр 300
— последующее 302
— с отмеченными точками 300
Разложение рациональной функции
на простейшие дроби 202
— целой функции иа простейшие дро-
дроби 452
Расстояние 70
— между подмножествами 120
— от точки до множества 120
Расходящаяся последовательность 81
Рациональные числа 20
Региомонтаи 210
Рефлексивность 45
Римаи 396
Римаиова поверхность 447
Ролль 273
Ряд абсолютно сходящийся 220
векторный 229
— векторов 227
— гармонический 217
— гипергеометрический 243
— двусторонний 233
, симметричное суммирование 235
— знаконеотрнцательный 211
— зиаконеположительный 211
— знакоотрицательный 211
— знакоположительный 2 11
— Лорана 434
, главная часть 434
, правильная часть 434
— сгруппированный 223
— степенной 240
, радиус сходимости 241
— Тейлора 287, 421
— условно сходящийся 220
— функций 236
, равномерная сходимость 239
, сумма 237
— числовой 211
, отрезок 211
, расходимость 211
, сходимость 211
, частные суммы 211
Свертка 491
Свертывание 493
Сдвиг 78
Сеге 397
Симметричность 45
Система двоичная 34
— троичная 34
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
527
Скалярное произведение 73
Сложная функция 157
Слой 66
Смежный интервал 96
Соприкасающаяся парабола 281
Составляющий интервал 80
Сохоцкий Ю. В. 454
Среднее интегральное 307
Средняя ордината 307
Стевин 13
Степенная функция 174
Степень арифметическая множества 40
— вещественного числа 20
Стилтьес 396
Стоке 210
Структура математическая 50
Сумма арифметическая множеств 39
— вещественных чисел 16
— множеств 41
— рядов 221
Сфера 72
Сходимость равномерная 204
внутри области 421
Сходящаяся последовательность 81,
123
, предел 81
Счетное множество 46
Тейлор 299
Теорема Абеля 241
— Абеля — Лиувилля 335
— Больцано 163
— Бэра 105
— Вейерштрасса 158
— Гейне 159
— Дирихле 225
— единственности аналитической
функции 425
— Кошн 262, 414
— Коши — Адамара 237
— Лагранжа 263
— Лиувнлля 427
— о вычетах 431
— о среднем 307, 409
— Римана 226
— Ролля 262
— существования корня многочлена
197, 452
— Фрагмеиа — Линделёфа 453
— Хаусдорфа 107
— Штейница 245
— Эрмита 146
Тождество Эйлера 245
Торричелли 273
Точка выпуклости вверх 265
вниз 265
— изолированная 106
— конденсации 119
— непрерывности 154
— перегиба 265
— разрыва 154
— существенно особая 436
Транзитивность 45
Трансцендентные числа 50
Тригонометрические функции 181
в комплексной области 290
обратные 186
Троичйач система 34
Угол между векторами 191
Уравнение Лапласа 405
Условия Коши — Римаиа 403
Успенский В. Ai 16
Ферми 249, 272
Флюента 396
Флюксия 300, 396
Формула Валлиса 394
— Дирихле 508
— Коши 417
— Лейбница 274
— Ньютона — Лейбница 323, 342, 409
— Тейлора 277
, остаточный член 279, 339
— Фруллани 508
Формулы Эйлера 291
Фреше 121
Фробениус 64, 69
Фундаментальная последовательность
100
Функции, эквивалентные по направ-
направлению 137
Функция 65
— аналитическая 398
вещественная 427
в точке 398
целая 424
— бесконечно большая 133
—по сравнению 137
дифференцируемая 286
малая 133
по сравнению 137
— векторная 65
— вещественного переменного 65
— возрастающая 165
— выпуклая вверх 265, 271
вниз 265, 271
— гармоническая 405
— гладкая 274
л-го порядка 274
— Дирихле 312
— дифференцируемая в точке 249
по множеству 398
— дробио-лииейная 442
— кусочно-гладкая 326
— кусочио-непрерывиая 310
— кусочно-постоянная 311
— многозначная 66
— монотонная 165
— иевозрастающая 165
по направлению 143
— неотрицательная по направлению
133
— непрерывная в точке 154
на множестве 155
слева 165
справа 165
— неубывающая 165
по направлению 141
— л-кратно-диффереицируемая 274
по множеству 400
—, область значений 65
—, — определения 65
— обратная 167
— ограниченная 132, 133, 149
по модулю 132
сверху 132
528
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция ограниченная снизу 132
— однозначная 66
— однолистная 442
— отрицательная бесконечно большая
133
— положительная бесконечно боль-
большая 133
— положительная по направлению
133
— равномерно непрерывная 159
— Римана 208
— сложная 157
— степенная 174, 443, 445
— убывающая 165
— характеристическая 318
Харди 337
Хаусдорф 41, 121
Целая аналитическая функция
424
— часть 30
Целое кратное 29
1 Целые числа 20
Частная производная 402
Частное вещественных чисел
Чеботарев Н. Г. 335
Числа иррациональные 20
— комплексные 60
— конечные 37
— натуральные 19
— рациональные 20
19
Числа трансцендентные 50
— целые 20
Число е 146
— неотрицательное 23
— неположительное 23
— отрицательное 23
— п 184
— положительное 23
Числовая ось 25
Числовое поле 17
Числовой ряд 211
, отрезок 211
— —, расходимость 211
, сумма 211
, сходимость 211
, частные суммы 211
Шар 72
— замкнутый 72
— открытый 72
Шварц Г. 450
Штифель 209
Эйлер 69, 210, 299, 453, 509
Эквивалентные множества 44
Экспонента 172, 444
— в комплексной области 289
Экстремум локальный 260
Эллиптические интегралы 335
Энгельс 247
Ячейка 316
—, ее мера 317
Ниже приводится содержание третьей части, которая выйдет
отдельным изданием в 1970 году.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА
Глава 12. Основные структуры современного анализа.
Глава 13. Дифференциальные уравнения.
Глава 14. Ортогональные разложения.
Глава 15. Преобразование Фурье.
Глава 16. Пространственные кривые