Г.Е.Шилов
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО)
часть 3
Первые две части книги были изданы ранее. Содержание третьей части: глава
12 «Основные структуры математического анализа» (линейные, метрические,
нормированные пространства, нормированные алгебры; гильбертовы
пространства), глава 13 «Дифференциальные уравнения» (для функций со
значениями в нормированием пространстве), глава 14 «Ортогональные
разложения» (геометрическая теория и вопросы сходимости рядов Фурье), глава
15 «Преобразование Фурье» с выходом в комплексную область, и, в частности, с
преобразованием Лапласа, и глава 16 «Пространственные кривые», где излагается
теория кривизны для многомерных кривых.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	6
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ	7
СОВРЕМЕННОГО АНАЛИЗА
Глава 12. Основные структуры	9
математического анализа
§ 12.1. Линейные пространства	10
§ 12.2. Метрические пространства 35
§ 12.3. Линейные нормированные 48
пространства
§ 12.4. Аппроксимации в	67
пространстве непрерывных
функций на компакте
§ 12.5. Дифференцированней	82
интегрирование функций со
значениями в нормированием
пространстве
§ 12.6. Непрерывные линейные	97
операторы
§ 12.7. Нормированные алгебры 122
§ 12.8. Спектральные свойства	130
линейных операторов
§ 12,9. Гильбертовы пространства 142
Задачи	156
Историческая справка.	159
Глава 13. Дифференциальные	161
уравнения
§ 13.1. Определения и примеры 161
§ 13.2. Теорема о неподвижной 175
точке
§ 13.3. Существование и	178
единственность решения
дифференциального уравнения в
нормированном пространстве
§ 13.4. Случай системы векторных 184
уравнений
§ 13.5. Случай векторного
уравнения высшего порядка
§ 13.6. Линейные уравнения и
системы
§ 13.7. Разрешающий оператор
линейного однородного уравнения
§ 13.8. Решение неоднородного 198
линейного уравнения
Задачи
Историческая справка
Глава 14. Ортогональные
разложения
§ 14.1. Ортогональные разложения 205
в гильбертовом пространстве
§ 14.2. Классические ряды Фурье
§ 14.3. Сходимость ряда Фурье в
точке и на множестве
§ 14.4. Вычисления с рядами
Фурье и приложения
§ 14.5. Расходимость рядов Фурье 245
и обобщенное суммирование
§ 14.6. Другие ортогональные	251
системы
Задачи	258
188
190
194
201
203
205
212
227

Историческая справка
Глава 15. Преобразование Фурье
§ 15.1. Интеграл Фурье и его
обращение
§ 15.2. Дальнейшие свойства
интеграла Фурье
§ 15.3. Примеры и приложения
§ 15.4. Преобразование Лапласа
§ 15.5. Квазианалитические
классы функций
Задачи
Историческая справка
Глава 16. Пространственные
259
261
261
269
284
287
297
308
310
311
кривые
§ 16.1. Основные определения
§ 16.2. Кривизна. Высшие
кривизны
§ 16.3. Вырождение
сопровождающего базиса
§ 16.4. Натуральные уравнения
§ 16.5. Винтовые линии
Задачи
Историческая справка
Указания и ответы к задачам
Алфавитный указатель
311
320
329
331
338
341
342
343
349
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно выпуклое множество 65
Алгебра 28
—гельфандовская 124
—коммутативная 29
—нормированная 9, 122
Альтернатива Фредгольма 138
Арцела 159
Асколн 159
Базис 13
—ортонормальный 149
Банах 159, 204
Банахово пространство 48
Бернулли Д. 259, 260
Бромвич 310
Бурбаки 7
Ван-дер-Поль 310
Вейерштрасс 159
Вектор ведущий 311
—кривизны 321
—собственный 21
Векторы 10
Вещественное пространство 11
Винер 159,342
Винтовая линия в бесконечномерном
пространстве 339
	в Яз 328
	в Rn337
Вольтерра 159
Вороной 160
Вполне непрерывный оператор 134
Вронский 204
Всюду плотность 38
Выпуклая оболочка 88
	замкнутая 89
Выпуклое множество 52
ГельфандИ. М. 160
Гильберт Д. 9, 159,260
Гильбертово пространство 9, 142
Гобсон 260 Гохберг И. Ц. 159
Грассман 159
Даламбер 259, 260
ДанжуаЗЮ
Двойственные функции 273
Дельта-образная последовательность
73
ДечЗЮ
Днии 159, 260
Дирак П. 77
Дирихле 260
Дифференциальное уравнение 161
	линейное неоднородное 198
	однородное 164
Длина дуги 318
Дю-Буа-Раймонд 260
Единица алгебры 29
Жордан 342
Жорданов базис 26
	вещественный 27

Жорданова клетка 26
—	матрица 26
	вещественная 27
Идеал 29
Изоморфизм 17
—	алгебры 29
Изопериметрическаязадача 232
Инвариантное подпространство 21
Интеграл Пуассона 287
—	Фурье 262
	, формула обращения 262
Карлеман 310
КарсонЗЮ
Касательная 313
Квазианалитические классы 298
Келдыш М. В. 159
Класс смежности 16
—S,281
—Wm 283
—Wn283
Колмогоров А. Н. 342
Комплексное пространство 11
Корпус 31
—симметричный 33
Коши160, 204, 260, 310
Коэффициенты Фурье 208
КрейнМ. Г. 159,342
Кривая в Rn 311
—Пеано 342
Кривизна 321
Кривизны высшие 325
Кручение 325
Лагранж 204
Лаплас 161, 260, 310
Лежандр 260
Лейбниц 203
Лемма о параллелограмме 146
Лившиц М. С. 159
Линейная зависимость 13
—сеть 67
Линейное пространство 9, 10
Линейный оператор 18
—функционал 19
Липшиц 204
Матрица Вронского 195
Мембрана 241
Метрическое пространство 9, 35
Многочлены Лагерра 257
—Лежандра 252
—Чебышева 257
—Эрмита 257
—Якоби 257
Мономорфизм 17
М орфизм 17
—алгебры 30
Мультипликативный интеграл 174
Натуральные уравнения 333
Нейман 260
Нейман Дж. фон 159, 342
Неподвижная точка 175
Неравенство Бесселя 207, 209
—Гельдера 158
—Юнга 273
Норма вектора 48
—линейного оператора 98
Нормированная алгебра 9, 122
Нормированное пространство 9, 48
Нормы эквивалентные 53
Нуль-вектор 10
Ньютон 203
Обобщенное собственное значение
130
Обобщенный делитель нуля 123
—предел 117
Обратный оператор 20
—элемент 29
Общее решение 161
Обыкновенная точка 312
Оператор Вольтерра 140
—линейный 18
	вполне непрерывный 134
	непрерывный 98
	ограниченный 98
—Фредгольма 22, 138
Определитель Вронского 195
Ортогонализация 147

Ортогональность 146
Ортонормальная система 148
Особая точка 312
Островский 310
Отображение 175
—сжимающее 178
Пеано 159,342
Перпендикуляр 207
Пикар 204
Подалгебра 29
Подпространство 15
Полупрямая Валирона 299
Пополнение гильбертова
пространства 152
—нормированного пространства 62
Последовательность операторов
сходящаяся 107
	сильно 107
Почта-решеине 202
Предгильбертово пространство 154
Предел обобщенный 117
	Вороного 120
	Теплица 120
	Чезаро 117
Преобразование Лапласа 288
	, формула обращения 290
—Меллина 310
—Фурье 262
	, формула обращения 262
Признак Абеля —Дирихле 60
—Вейерштрасса 60
—Коши 60
Принцип неподвижной точки 175
Проблема Ватсона 302
Проекция вектора на
подпространство 207
Произведение оператора на число 19
—операторов 19
Пространство гильбертово 9, 142
	комплексное 150
—линейное 9,10
	аффнииое 9
	бесконечномерное 13
	вещественное 11
	комплексное 11
	п-мерное 13
	нормированное 9, 48
	вещественное 48
	комплексное 64
—линейных операторов 25, 107
—метрическое 9, 35
	компактное 41
	предкомпактное 41
	сепарабельное 39
— О(М) 13
—	^п 12
—К(Е) 12
—К(Е) 12
-1Р51
—	1<а,ЪL6
—isP(a,b) 46
—PS(M) 38
—	R(E) 12
—R(E) 12
—ИЯМ) 13
Противоположный элемент 10
Прямая сумма. 15
Прямое произведение 18
Равенство Парсеваля 209
Радиус кривизны 323
Разложение вектора по базису 13
—по системе тригонометрических
функций 213
Разрешающий оператор 182
	линейного уравнения 194
Расстояние 35
Рисе Ф. 159
Родрнг 260
Ряд векторов 60
—Фурье 208
Ряд Фурье — Лежандра 255
Ряды Эйлера 258
Самосовместимая кривая 340
Свертка функций 285

Семейство, разделяющее точки 67
Серре 342
Сеть линейная 67
Соболев С. Л. 77
Собственное значение 21
	обобщенное 130
—подпространство 21
Собственный вектор 21
Соприкасающаяся окружность 323
—сфера 342
Соприкасающееся подпространство
316
Сопровождающий базис 324
Сопряженное пространство 108
Спектр 30
—линейного оператора 130
—симметричный 33
—элемента алгебры 124
Спираль Винера 340
Стоун 159
Струна 239
Сумма операторов 19
Сходящаяся последовательность 36
Теорема Арцела 41
—Банаха 103
—Банаха и Штейнгауза 109
—Брудно 121
—Вейерштрасса 71, 72
—Гельфанда — Мазура 125
—Джексона 82
—Карлемана — Островского 300
—Карлесона 246
—Никольского 249
—Пифагора 147
—Рисса 59
—Робинсона 122
—Стоуна 69
—Теплица 118
—Фейера 247
Теплиц 160
Тождество Кристоффеля — Дарбу
256
Томсон 205
Точка Валирона 298
Тэт 205
Умножение операторов 19
Уравнеине дифференциальное 161
	, его решение 161
Условие Дин и 222
	одностороннее 226
—Липшица 179
	порядка а 222
Фактор-алгебра 29
Фактор-пространство 16
Формула Тейлора 94
Формулы Френе 324
Форсайт 342
Фредгольм 159
Френе 342
Функционал линейный 19
Функция, разделяющая точки 67
—со значениями в нормированном
пространстве 82—84, 86, 88, 90,
91,93,96
Фурье 205, 260, 310
Хан 159 Характеристическое
уравнеине 172
Хевисайд261,310
Целая функция конечного
экспоненциального типа 275
Центр кривизны 323
Центрально-симметричное
множество 52
Частное решение 161
Чезаро 160
Шварц Л. 77
Шмндт 159
Эйлер 160, 204, 259, 260, 310
Энгельс 311
Эпиморфизм 17
—алгебры 30
Ядро Дирихле 225
—Пуассона 243
—Фейера 248
	для интеграла Фурье 268
—Фурье — Лежандра 256

ПРЕДИСЛОВИЕ
Третья часть книги «Функции одного переменного» сле-
следует тем принципам, которые легли в основу построения
первых двух частей, изданных ранее («Наука», 1969), и были
изложены в предисловии к этим двум частям. Нумерация
глав третьей части A2—16) продолжает нумерацию A—11)
глав первых двух частей.
В третьей части центральной является глава 12 «Основ-
«Основные структуры математического анализа», в которой речь
идет о линейных пространствах, о метрических простран-
пространствах (в отличие от главы 3 первой части здесь моделями
служат не точечные множества в конечномерном простран-
пространстве, а множества функций), о нормированных пространствах,
о нормированных алгебрах и, наконец, о гильбертовых про-
пространствах. Нормированные алгебры прилагаются к теории
линейных операторов в нормированном пространстве; в част-
частности, «операционное исчисление» аналитических функций
в нормированной алгебре, примененное к алгебре линейных
операторов, приводит к теоремам типа альтернативы Фред-
гольма. Изучение линейного нормированного пространства
ограниченных последовательностей и линейных функционалов
в нем связывается с основными понятиями об обобщенных
пределах и обобщенном суммировании рядов.
В главе 13 «Дифференциальные уравнения» устанавлива-
устанавливаются основные теоремы о решениях обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений для функций со значениями в норми-
нормированном пространстве. Решение линейного уравнения е по-
постоянным (операторным) коэффициентом пишется в общем
виде через экспоненту от оператора; раскрывая ее, мы

6	ПРЕДИСЛОВИЕ
получаем формулы для решений линейных уравнений с по-
постоянными коэффициентами, систем таких уравнений и урав-
уравнений высшего порядка. Для линейного уравнения с пере-
переменным (операторным) коэффициентом строится метод «ва-
«вариации постоянного».
Основную роль в главе 14 «Ортогональные разложения»
играют ряды Фурье; рассматриваются различные виды их
сходимости и суммируемости.
Глава 15 «Преобразование Фурье» наряду с обычной
вещественной теорией трактует и о проблемах, связанных
с выходом в комплексную область, в частности связанных
с преобразованием Лапласа.
В главе 16 «Пространственные кривые» излагается теория
кривизны кривых в многомерном пространстве.
Как и в первых двух частях, изложение сопровождается
рядом задач; ответы и указания к этим задачам даны в конце
книги.
Автор

Введя эти неизбежные поправки, можно лучше
понять внутреннюю жизнь математики, понять то,
что создает ее единство и вносит в. нее разнооб-
разнообразие, понять этот большой город, чьи предместья
не перестают разрастаться несколько хаотическим
образом на окружающем его пространстве, в то
время как центр периодически перестраивается,
следуя каждый раз все более и более ясному
плану и стремясь ко все более и более величест-
величественному расположению, в то время как старые
кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для
того, чтобы проложить к окраине улнцы все более
прямые, все более широкие, все более удобные.
Н. Бурбаки, Архитектура математики A938)
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ
СОВРЕМЕННОГО
АНАЛИЗА

ГЛАВА Щ
ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Гильберт. Ах, этот? Ну, конечно, я помню его —
он был когда-то моим учеником. Но потом он стал по-
этои—видимо, для занятий математикой у него не хва-
хватало фантазии.
Мы уже говорили о математических структурах (§ 2.5).
Скажем о них еще несколько слов применительно к струк-
структурам, появляющимся в анализе. Объектами математического
анализа являются числа, функции и действия над ними.
С самой общей точки зрения связи между этими объектами
описываются теорией множеств. В самом деле, числа, функ-
функции образуют разнообразные множества; отношения включе-
включения, операции объединения, пересечения, дополнения позво-
позволяют описывать некоторые общие свойства этих множеств.
Мы приходим к основным структурам анализа, налагая на
множества дополнительные условия, формулируемые в виде
тех или иных систем аксиом, соответствующих свойствам
или операциям, используемым в классическом математическом
анализе. Так появляются математические структуры: линей-
линейного пространства, где аксиоматизируются линейные опера-
операции— сложения объектов и умножения их на числа; метри-
метрического пространства, где с помощью понятия расстояния
аксиоматизируется операция предельного перехода; линейного
нормированного («банахова») пространства, где рассматрива-
рассматриваются и линейные операции, и предельный переход; нормиро-
нормированной алгебры, где к перечисленным операциям добавляется
операция умножения элементов друг на друга; гильбертова
пространства, где аксиоматизируется понятие скалярного
произведения, что позволяет оперировать не только с дли-
длинами векторов, но и с углами между ними; наконец, нало-
наложение условия конечности числа измерений приводит нас
к концепциям аффинного (т. е. не метризованного), норми-
нормированного и гильбертова (или евклидова) конечномерных
¦ линейных пространств. Между перечисленными основными
структурами имеется большое число промежуточных, о кото-
которых мы не говорим сейчас, хотя они очень существенны
(топологические пространства, полуупорядоченные простран-
пространства и др.).

10
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.11
Вот схема основных структур, которые мы теперь бу-
будем изучать более детально:
Линейные
пространства
Нормированные
алгебры
Множества
Линейные
нормированные
пространства
t
Метрические
пространства
Гильбертовы
пространства
Стрелки здесь означают дедукцию — переход от общего
к частному.
§ 12.1. Линейные пространства*)
12.11. Аксиоматику линейного пространства строят, ио
ходя из свойств вещественного я-мерного пространства /?„
B.61), но отвлекаясь от координатной записи элементов
и заменяя поле R вещественных чисел на произвольное
поле К A.22). Именно, линейное пространство К над полем К
есть совокупность объектов х, у, ..., называемых векто-
векторами, для которых установлены операции сложения и умно-
умножения на числа (из поля К) с выполнением следующих
аксиом:
а.	х-\-у=у-\-х для любых х и у из К.
б.	(х -f-у) -f- z — х -f- {у + z) для любых х, у, z из К.
в.	В К имеется вектор, обозначаемый 0 (нуль-вектор),
такой, что х + 0 = х для любого х g К.
г.	Для каждого х ? К имеется элемент у ? К, называемый
противоположным к х, такой, что х -\-у = 0.
д.	а(х-f-у) = ах-\-ау для любых х,у?Кп любого а?К
е.	(a-f-Р)х = ах-\-$х для любого х^К и любых а и Р
из К.
*) Подробное изложение теории линейных пространств имеется
в книге: Г. Е. Шилов, Математический анализ, Конечномерные
линейные пространства, «Наука», 1969. Далее эту книгу обозначаем
КЛП.

12.13]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	11
ж.	1 • х = х для любого х ? К-
з.	афх) = (а$)х для любого х?К и любых а и {3 из /С.
Если поле /С есть поле /? вещественных чисел, про-
пространство К называется вещественным линейным простран-
пространством и обозначается через R. Если поле К есть иоле С
комплексных чисел, пространство К называется комплексным
линейным пространством и обозначается через С.
12.12. Аксиомы сложения а — г—в точности те же аксиомы
сложения, которые были выписаны в 1.21 для вещественных
чисел. Поэтому во всяком линейном пространстве справед-»
ливы те следствия, которые мы вывели в § 1.3 из аксиом
сложения для вещественных чисел: единственность нуля,
единственность противоположного элемента для каждого x?Kf
однозначная разрешимость уравнения а-\-х = Ь, обеспечи-
обеспечивающая возможное^ корректного определения операции вы-
вычитания.
Операция умножения элементов линейного пространства
друг на друга не определена, аксиомы д—з умножения на
число лишь внешне похожи на некоторые из аксиом умно-
умножения вещественных чисел, приведенных в 1.22. Поэтому
лишь немногие из теорем § 1.4 можно перенести на линей-
линейные пространства. Допускают перенесение — почти без изме-
изменения в доказательствах — следующие предложения:
а (аналог 1.47а). Для любого х$К имеет место равен-
равенство 0-д: = 0 (здесь 0 справа есть нуль-вектор, а 0 слева —
число 0 из поля К).
б (аналог 1.476). Если ая = 0, то или а = 0, или х = 0.
Действительно, если а^О, то по 12.11 ж—з
х =.—ах = — -0 = 0.
о	о
в (аналог 1.49). Для любого лг^К имеет место равен-
равенство —х = (— 1)х.
12.13. Примеры линейных пространств. Ука-
Укажем четыре типа пространств над полем R вещественных
чисел:
а.	Сами вещественные числа с их обычными опера-
операциями.
б.	Вещественное л-мерное пространство R^ (§ 2.6).

12	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.13
в.	Пространство R (Е) всех функций (с вещественными
значениями), определенных на некотором множестве Е, с обыч-
обычными (для числовых функций) операциями сложения и умно-
умножения иа вещественные числа D.316).
г.	Пространство R(?) всех функций с векторными зна-
значениями (из вещественного пространства R) с естественными
для векторнозначных функций операциями сложения и умно-
умножения на вещественные числа:
Каждый последующий из приведенных примеров является
обобщением предыдущего.
Заменяя в этих примерах поле вещественных чисел на
произвольное поле К, получаем четыре примера пространств
над полем К:
д.	Само поле К.
е.	Координатное л-мерное пространство К„ над полем К,
состоящее из всех комплексов (аг, ..., ап) из п элементов
поля К с операциями сложения и умножения на число по
правилам
К, ..., og+(Pi, ¦••. PJ-te + p,. ..., ос„+Р„),
РК, ..., «„) = $«„ .... рос„).
ж.	Пространство К(Е) всех функций со значениями из
поля К, определенных на множестве Е, с обычными для
функций действиями сложения и умножения на число.
з.	Пространство К{Е) всех функций с векторными зна-
значениями (из пространства К), определенных на множестве Е,
с естественными для векторных функций действиями сложе-
сложения и умножения на число.
Следующий пример не входит в приведенный выше спи-
список пространств, но является одним из самых важных про-
пространств в анализе:
и. Пространство RS(M) всех вещественных непрерывных
функций, определенных на метрическом пространстве М*).
Этот пример не обобщается на функции со значениями в
произвольном поле К, так как для таких функций, вообще
говоря, не определено понятие непрерывности (непрерывность
функции требует метрики в пространстве, где она принимает
*) stetig—непрерывный (нем.).

J2-14J	§ 12.1 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	13
свои значения; в произвольном поле К мы не вводили мет-
метрику).
Пока мы можем обобщить пример и лишь на функции
со значениями в я-мерном вещественном пространстве Rn,
где имеются и линейные операции, и понятие непрерывности
E.81):
к. Пространство Rsn(M) всех непрерывных функций, опре-
определенных на метрическом пространстве М, со значениями
в л-мерном вещественном пространстве Rn.
л. Частным случаем примера к, заслуживающим быть
специально отмеченным, является пространство CS(M) всех
непрерывных функций на метрическом пространстве М с ком-
комплексными значениями.
Полезное сужение примера и мы рассмотрим в 12.236.
12.14.а. Векторы xt, ..., хп линейного пространства К
называются линейно зависимыми, если в поле К существуют
такие постоянные а1; ..., а„, среди которых есть отличные
от нуля, что
= 0.	A)
Если же из равенства A) следует, что о, = ... =а„ = 0,
то векторы хх, ..., хп называются линейно независимыми.
б.	Линейное пространство К называется п-мерным, если
в нем имеется п линейно независимых векторов, а всякие
п-\-\ векторов уже линейно зависимы. Если в пространстве К
при любом л=1, 2, ... имеется л линейно независимых
векторов, то пространство К называется бесконечномерным.
в.	Базисом «-мерного пространства К называется любая
совокупность из л его линейно независимых векторов. Если
/х, ...,/„ есть базис, а х — любой вектор пространства К,
то я-f 1 векторов х, /1г ..., /„ уже линейно зависимы,
поэтому существуют такие числа а0, а17 ..., а„ из К, не
все равные 0, что
При этом а0 Ф 0, иначе векторы /х, ..., /„ оказа-
оказались бы линейно зависимыми. Разделив на а0 и положив
Ру==—ау/а0 (У=1, ..., л), получаем разложение вектора
х по базису /х, ..., /„:

14	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.14
Такое разложение может быть лишь единственным (иначе
снова получилась бы линейная зависимость между векторами
/„ -.../„)•
г. й-мерное вещественное пространство Rn B.61) явля-
является й-мерным линейным пространством в смысле приведен-
приведенного определения. Именно, векторы
^ = A, 0, ..., 0), ..., е„ = {0, 0, .....1),
очевидно, линейно независимы. Всякие же й+1 векторов
У\	\Х1 I •••! *В )|
У„+\ — \xi
являются линейно зависимыми, как мы отмечали еще в 2.64,
Таким же образом пространство Кп {12.13 е) является
й-мерным в смысле приведенного определения.
д. Пусть Q — некоторое бесконечное множество на чис-
числовой оси —сю < х < сю. Обозначим через Р(Й) линейное
пространство всех многочленов р (х) ~ а0 -f- atx + .. • + а„хп
(всех степеней) с коэффициентами из произвольного поля К,
определенных на Q, с обычными операциями; пространство
Р(Й) есть линейное пространство над полем К. Покажем,
что при любом п~функции 1, х, ..., х" линейно незави-
независимы. Допустим, что на Q имеет место равенство
а0 + щх + ... + апх" s= 0.
Полагая здесь последовательно х равным (различным)
значениям х0, xlt x2, ...
нений относительно осо,
ao+atxo
»
+
+
х„ 1из
• » а«:
i Ы), 1
-ее х"
alx"
толу
= 0,
= 0,
а0 + atxn + ...+ а„х^ = 0
с определителем, отличным от нуля (определитель Вандер-
монда). Отсюда ao = a1= ... =а„ = 0, что и требовалось.
В соответствии с определением, приведенным в б, про-
пространство Р{$1) бесконечномерно.
е. Покажем, что пространство RS(M)(CS(M)) всех вещест-
вещественных (комплексных) непрерывных функций, определенных

12.14]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	15
на бесконечном метрическом пространстве М, бесконечно-
бесконечномерно.
Для каждого п—\, 2, ... мы укажем п линейно неза-
независимых функций в пространстве Rs(М). Пусть tx, ..., tn —
различные точки пространства М и й = min о (t-, tk). Рас-
/. k.
смотрим непрерывную функцию у =? ф (х) вещественного аргу-
аргумента х, равную 1 при х = О• и 0 при \x\^d. Функция
p(tj, t) есть непрерывная функция от t E.12 б), поэтому и
Xy(/) = <ip [p(t.-, t)\ есть непрерывная функция от t E.15).
Функция Xj (г) по построению равна 1 при t = tj и равна О
при t = tn, кф]. Пусть существует соотношение
(t) + ... + апхп (t) == 0 на М.
Полагая здесь t = tj, получаем, что ау.==0 (/=1, ..., п),
откуда следует линейная независимость функций Xj(t).
ж.	Подмножество Е а К называется подпространством
в пространстве К, если из х?Е, у?Е следует х-\-у?Е
и ах?Е при любом числе а?К.
В каждом линейном пространстве К имеются два три-
тривиальных подпространства: первое состоит из одного-едик-
ственного элемента 0 и называется нулевым подпростран-
подпространством, второе совпадает со всем пространством К- Все
остальные подпространства К называются истинными под-
подпространствами.
з.	Прямые сумм ы. Говорят, что пространство К
является прямой суммой своих подпространств Llt ..., Ln,
если для всякого дг^К существует разложение
и это разложение единственно, т. е. из
* = *!+. •. +xn=yt+... +уп, Xj?Lp yj?Lp B)
/= 1, ..., п,
вытекает, что xl=y1, ..., хп=уп.
Условие B) единственности разложения любого элемента
х можно заменить более простым условием единственности
разложения нуля: если имеется разложение
О = *!+...+*„,, X^LV ..., xm?Lm,	C)
то jt1=...=xe = O.

16	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.14
Так, пространство Rn есть прямая сумма п одномерных
подпространств, порожденных любыми п линейно независи-
независимыми векторами. Впрочем, пространство Rn можно пред-
представить также разными способами в форме прямой суммы и
неодномерных подпространств. Вообще, для любого подпро-
подпространства LcRn существует другое подпространство McRn,
которое в прямой сумме с L дает все пространство Rn.
Если некоторое линейное пространство К представлено
в виде прямой суммы подпространств Lv ..., Lm, то вся-
всякие два из них имеют лишь один общий вектор, именно,
нуль-вектор *)
и. Фактор-пространство. Два элемента х?К,
у ? К называются эквивалентными относительно подпрост-
подпространства LdK, если х—y?L. Соотношение эквивалент-
эквивалентности обозначается xh у, или, короче, х~у.
Совокупность X всех элементов у, эквивалентных дан-
данному элементу х, называется классом смежности относи-
относительно подпространства L, или просто классом. Класс X
содержит сам элемент х; всякие два элемента одного и
того же класса взаимно эквивалентны; наконец, если z (? X,
то z не эквивалентен никакому элементу _у?Х. Поэтому
два класса или не имеют общих элементов, или совпадают
полностью.
Все пространство К представляется в виде объединения не-
непересекающихся классов X, Y, ... Совокупность этих клас-
классов обозначается через K/L. В множестве K/Z. следующим
образом вводятся линейные операции. Пусть X и Y—классы,
а и р—числа; мы хотим определить класс Z = aX-fPY.
Для этого выберем произвольно элементы х?Х и у ?Y и
найдем класс Z, который содержит элемент г = ах-\-фу;
этот класс и обозначим aX-f-{5Y. Доказывается, что он
определен однозначно и что введенные операции удовлет-
удовлетворяют аксиомам 12.11. Нулем пространства K/L является
класс, содержащий 0 пространства К и совпадающий тем
самым с подпространством L. Противоположным классу X
является класс, состоящий из элементов, противоположных
элементам класса X. Доказательства всех этих предложе-
предложений имеются в КЛП, 2.48.
*) См. КЛП, 2.45.

'2.14]	§ 12.1. линейные пространства	17
Построенное пространство K/Z. называется фактор-прост-
фактор-пространством пространства К по подпространству L.
к. Морфизмы линейных пространств. Пусть
X и Y—два линейных пространства над одним и тем же
полем К. Отображение у = со (х) пространства X в простран-
пространство Y называется морфизмом (гомоморфизмом, линейным опе-
оператором) пространства X в пространство Y, если для двух
любых элементов х1У х2 пространства X и для любых двух
чисел at, az из К удовлетворяется равенство
со (а^ + а2д;г) = ахсо (хх) + а2со (xa).
Если морфизм со отображает пространство X на все
пространство Y, этот морфизм называется эпиморфизмом.
Если морфизм со отображает пространство X хотя и не на все
Y, но взаимно однозначно, так что из х1 ф х2 следует со (хг) Ф
Ф со (х2), он называется мономорфизмом. Морфизм со, который
является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, т. е.
взаимно однозначным отображением пространства X на все
пространство Y, сохраняющим линейные операции, называется
изоморфизмом (в соответствии с общим определением изо-
изоморфизма структур 2.52). Часто морфизм обозначают так:
со: X-*Y.
Если в пространстве Y выделено подпространство X, то
отображение со, которое ставит в соответствие каждому
элементу х ? X этот же самый элемент в пространстве Y,
есть мономорфизм со: X —> Y, а отображение со', кото-
которое каждому элементу х ? Y ставит в соответствие класс
U ? Y/X, содержащий этот элемент х, есть эпиморфизм
со': Y-+Y/X.
Теорема. Абстрактное п-мерное пространство К„ над
полем К изоморфно координатному п-мврному простран-
пространству Кп.
Доказательство. Пусть fv ..., /„ — система п
линейно независимых векторов пространства К„. Для любого
х ^ К„ существует (и единственно) представлениех = а|/1 + ...
...-\-ап/п (в). Поставим в соответствие вектору х вектор
у = {av ..., ап) ? Кп. Мы получим взаимно однозначное
отображение со: К„ —* Кп, которое, как легко проверить,
сохраняет линейные операции, т. е. является изоморфизмом,
что и требуется.

18	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.15
Пример. Rn/Rm{n> m) изоморфно Rn_m.
л. Прямые произведения. Если X и Y — два
линейных пространства, мы можем образовать их прямое
произведение Р(Х, Y) B.82) из всевозможных пар (х, у)
х ? X, у ? Y. В прямом произведении вводятся линейные опе-
операции «по координатам»
Легко проверяется справедливость аксиом 12.11. Очевид-
Очевидно, что пространство Р (X, Y) содержит два подпространства
X* = {(х, у): у = 0}, Y* = {(х, у): х = 0},
которые изоморфны (к) соответственно пространствам X и
Y. При этом для любого элемента (х, у) ? Р (X, Y)
(х, у) = (х
Последнее разложение элемента (х, у) на слагаемые, при-
принадлежащие X* и Y*, единственно (в силу определения сло-
сложения в Р (X, Y) и определения равенства элементов в
Р (X, Y). Таким образом, прямое произведение двух пространств
X и Y есть прямая сумма своих подпространств X* и Y*,
соответственно изоморфных X и Y.
12.15. Линейные операторы.
а. В аналитических рассмотрениях морфизмы линейных
пространств чаще называют линейными операторами. Таким
образом, линейный оператор, действующий из линейного
пространства X в линейное пространство Y, есть отобра-
отображение А: X —>- Y, удовлетворяющее условию
А
для любых хх и х2 из X и любых ах и а2 из К. Если
X=Y, линейный оператор А называется действующим в про-
пространстве X.
б.	Оператор, который каждому вектору х?Х ставит
в соответствие нуль-вектор пространства Y, является, оче-
очевидно, линейным оператором, действующим из X в Y; он
называется нулевым оператором.
в.	Оператор, который каждому вектору х?Х ставит
в соответствие этот же самый вектор х, является линейным
оператором, действующим в X; этот оператор называется

12.15]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	19
единичным, или тождественным, оператором и обозначается
через Е.
г.	Когда пространство Y одномерно, линейный оператор
А называется линейным функционалом. Преимущественно
это название употребляется в тех случаях, когда X—бес-
X—бесконечномерное пространство; в конечномерном случае чаще
говорят «линейная функция».
д.	Если даны два линейных оператора Ах и А2, дейст-
действующих из пространства X в пространство Y, мы можем
определить их сумму Ах -f- A2 и произведение оператора А1
на число а по правилам
в обоих случаях получаются также линейные операторы,
действующие из X в Y.
е.	Легко проверить, что для операций сложения опера-
операторов и умножения на числа удовлетворяются аксиомы 12.lt,
которым подчиняются операции в линейном Пространстве.
Таким образом, совокупность L (X, Y) всех линейных опе-
операторов, действующих из линейного пространства X в линей-
линейное пространство Y, сама образует линейное пространство.
Нулем пространства L(X, Y) служит нулевой оператор (б).
ж.	Умножение операторов. Если В—линейный
оператор, действующий из пространства X в пространство
Y, и А — линейный оператор, действующий из пространства
Y в пространство Z (все пространства над одним и тем же
полем К), то оператор Р = АВ определяется как оператор,
действующий из пространства X в пространство Z по формуле
(т. е. сначала на вектор х?Х действует оп°ратор В, а
затем на результат Вх, лежащий в пространстве Y, дей-
действует оператор А). Полученный оператор Р=АВ есть
линейный оператор, действующий из пространства X в про-
пространство Z. Имеют место равенства
А (ВС) = (АВ) С,

20	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	П2-15
выражающие ассоциативные и дистрибутивные законы для
произведения операторов. Здесь а?К—любое число; А,
Ах, А2 — операторы, действующие из пространства Y в про-
пространство Z; В, Вх, В2 — операторы, действующие из про-
пространства X в пространство Y; С — оператор, действующий
из пространства W в пространство X; результаты справа и
слева в первых трех равенствах суть операторы, действую-
действующие из X в Z, в последнем равенстве — из W в Z. Если
Ех (Еу) — единичный оператор в пространстве X(Y), то для
любого оператора В, действующего из X в Y, справедливо
также равенство
= В.
Операторы, действующие из X снова в X, можно в лю-
любом порядке умножать друг на друга; результатом в обоих
случаях будет оператор, также действующий в пространстве
X. Но это умножение, вообще говоря, некоммутативно, так
что для некоторых пар операторов А и В мы имеем АВ=^=ВА.
В этом же случае, когда оператор А действует из X в X,
определены его степени
А°=ЕХ) А1-А, А2х=А-А, ..., Aft+1=Aft-A, ...
з. Любому многочлену р (%) с коэффициентами из по-
поля К
p(l)= %ak%k	A)
и любому оператору А, действующему в пространстве X,
можно поставить в соответствие «многочлен от оператора»
p(A)=Se*A*.	B)
который снова является линейным оператором, действующим
в пространстве X; при этом сумме и произведению много-
многочленов вида A) соответствуют сумма и произведение мно-
многочленов вида B).
и. Пусть оператор А действует из пространства Y в про-
пространство X, а оператор В—из пространства X в простран-
пространство Y. Тогда, если АВ=Ех, оператор А называется левым
обратным к оператору В, а оператор В—правым обратным
к оператору А. Если оператор В действует из X в X, то

•2.15]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	21
среди всех операторов, действующих в X, у него могут быть
как левый, так и правый обратный. Если такой оператор
обладает и левым обратным А, и правым обратным С, то
эти обратные операторы совпадают:
Из написанного равенства следует, что в этом случае
любой левый (правый) обратный к оператору В совпадает
с А = С. Этот единственным образом определяемый оператор
А = С называется обратным оператором к оператору В и
обозначается В.
В бесконечномерных пространствах бывают операторы,
имеющие левые обратные (даже бесконечное множество раз-
различных левых обратных) и не имеющие ни одного правого
обратного, или наоборот.
к. Пусть оператор А действует в пространстве X. Под-
Подпространство Х'сХ называется инвариантным относительно
оператора А, если из #?Х' следует А#?Х'.
л. Вектор /?Х, отличный от нуля, называется собствен-
собственным вектором оператора А (действующего в пространстве
X), если
А/=Я/
число X называется собственным значением оператора А,
соответствующим собственному вектору /. Очевидно, собст-
собственный вектор / порождает одномерное инвариантное под-
подпространство, образованное всеми векторами а/, а g К.
Линейная комбинация собственных векторов оператора А,
отвечающих одному и тому же собственному значению Я-,
очевидно, также есть собственный вектор оператора А с тем
же собственным значением Я,. Отсюда следует, что совокуп-
совокупность всех собственных векторов оператора А, отвечающих
данному собственному значению X, есть подпространство
в пространстве X; оно называется собственным подпростран-
подпространством оператора А, отвечающим собственному значению К.
м. Собственные векторы fv ..., /„ оператора А, отве-
отвечающие различным собственным значениям Я^	%„,
линейно независимы. Доказательство основано на том, что
от предполагаемой линейной зависимости п собственных век-
векторов аг/г + ... + «„/„ = 0 применением оператора А и ис-
исключением одного из векторов мы можем перейти к линейной

22	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.16
зависимости меньшего числа собственных векторов, что
позволяет использовать метод индукции.
12.16. Примеры линейных операторов в
конкретных пространствах.
а. Пусть А = || ajk || есть т х я-матрица (т. е. матрица
с т строками и п столбцами), заполненная элементами
из поля К. Выберем в л-мерном пространстве К„ базис
elt ..., еп и в w-мерном пространстве Кет базис /х, ..., fm.
Каждому вектору х= 2|^Й€К„ поставим в соответствие
т
вектор у = 2 т^/у g Km по правилу
Тем самым мы получим линейный оператор, действующий
из пространства К„ в пространство Кст.
б.	Континуальным аналогом оператора из примера а явля-
является оператор
ь
\(s,t)x(t)dt. A)
Здесь х (t) есть элемент пространства Rs (a, b), A (s, t) —
вещественная функция двух переменных, определенная для
значений a^.t^.b, c^.s^.d; y(s) есть функция, опреде-
определенная на отрезке c^s^d. Можно легко проверить, что
функция y(s) непрерывна на [с, d], если функция A(s, t)
непрерывна в прямоугольнике a^.t^.b, c^.s^d. В этом
случае оператор А есть линейный оператор, действующий
из пространства Rs (a, b) в пространство Rs(c, d).
Оператор A) называется интегральным оператором Фред-
гольма. Более подробно операторы Фредгольма рассмотрены
в 12.88.
в.	Частным случаем оператора б является оператор ин-
интегрирования
\x(t)=\x(x)dx, a^t^b,
а
действующий из пространства Rs (a, b) в это же пространство.

12.17]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
г. Выражение
23
где (непрерывная) функция f(t) фиксирована, дает пример ли-
линейного функционала, определенного в пространстве R" (а, Ь).
12.17. Линейные операторы в конечномерных
пространствах.
а. Укажем общий вид линейного оператора А, действую-
действующего из л-мерного пространства Кп в /я-мерное простран-
пространство К„. Пусть elt .... еп — базис в пространстве К„ и
Л> • • •> fm — базис в пространстве К„. Применяя оператор А
к базисным векторам е1( ..., е„, находим
Aei
amlfm,
A)
где atj—некоторые числа из поля К.
Таким образом, при фиксированных базисах {е} и {/} в
пространствах К„ и К„ оператору А приводится в соответ-
соответствие /яХл-матрица
Gll G12 • • • а\п
агг а22 ... а2п
ат1 атг ••• атп
Здесь j-й столбец состоит из координат вектора Ае;. в базисе
/и • • •> Уrn-
Пусть теперь х —
Мы имеем
—любой вектор из К„ и
m	п	п	т
| V) . Ал: = 2 ^ Ае, = Д %, Д «

24	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.17
откуда
4y=Sa/*l» U=h ••., «)•	B)
Таким образом, в примере 12.16а был указан в действитель-
действительности общий вид линейного оператора, действующего из
пространства К„ в Кт.
Если линейный оператор А действует из К„ в К„, то
/я = я, и матрица А—квадратная.
Если линейный оператор А действует из К„ в Кх (одно-
(одномерное пространство), то т—\, и матрица А имеет вид
Л = [[й1 а, ... а„\\.
Оператор А в данном случае действует по формуле
Ах =2X1*
kzsl
(единственный базисный вектор пространства 1^ не выписан)
и представляет собой линейную функцию.
б. Действиям с линейными операторами, определенным
в 12,15д—е, отвечают аналогичные действия с их мат-
матрицами. Пусть снова ег, ..., еп — базис в пространстве
X и /х, ..., fm — базис в пространстве Y. Операторам
Aj и А2, отображающим X в Y, в этих базисах соответст-
соответствуют матрицы Ах = || а$' || и А, = || off ||, так что
т	tn
K*i=% в»'Л. А,ву = У eJ?'// (У = 1, ¦••.«).
(=1	«=1
Тогда при любых alt a2 из К
т
(ахА, + ааА2) еу = У (сца^ + o,off )/„
1=1
т. е. линейному оператору ajAj + ааА2 отвечает матрица
|| a1a^) + asO//' II* Таким образом, матрицы, отвечающие
сумме операторов и произведению оператора на число,
получаются путем поэлементного сложения матриц самих
операторов и умножения на это число.

12.17]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	25
в.	Отсюда, в частности, следует, что линейное прост-
пространство L (К„, К„) всех линейных операторов, действующих
из п-мерного пространства К„ в m-мерное пространство К„,
изоморфно nm-мерному пространству К„т-
г.	Построим матрицу, соответствующую произведению
двух операторов. Выберем в пространстве X базис ех, ..., еп,
в пространстве Y — базис ft, ..., fm и в пространстве Z —
базис glt . .., gg. Пусть оператор В, действующий из X
в Y, имеет тхл-матрицу ? = ||?>yft||, так что
/=1
а оператор А, действующий из Y в Z, имеет qX «-матрицу
^4 = (j «/y Ц, так что
Для произведения Р = АВ мы получаем
/ т	\ м
, = А(Веь) = А
Следовательно, элементы /9,-ft матрицы Р оператора Р = АВ
имеют вид
т
Pik^ ^S aiftjk (*' "" l' ••••?. fe = Ь • • •. Л)- C)
Матрица P»=||/?(.fc ||, которая получается из матриц
Л = || а,у || и B=«||&y.ft|| по формуле C), называется произве-
произведением первой матрицы на вторую.
Таким образом, мы можем умножить q X /я-матрицу
на /иХл-матрицу, и в результате получается ^Хл-матрица.
Если X = Y = Z, то Ли В — квадратные яХл-матрицы
и их произведение АВ—также лхл-матрица.
д. Пусть оператор А действует в л-мерном пространстве
К„. Если известна матрица || ajk || оператора А в каком-либо
базисе {е} = (е1, ..., еп), собственные значения оператора А

26
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.17
A2,15л) можно найти как ее характеристические корни, т. е.
корни уравнения
«11—'
«21
«„1
К а12
«22-
ап2
-К
... а1а
¦¦¦ «2П
... апп-1
= 0.
D)
Если Я,о— корень уравнения D), то координаты соответ-
п
ствующего собственного вектора /= JJ gfteft можно найти
как решения (нетривиально совместной) линейной однородной
системы
(«и — К) li
„1„ = 0,
. — К) Ъг + • •
Лг + ¦¦•+ {апп — К) In = 0.
E)
е. Приведем описание структуры любого линейного опе-
оператора А, действующего в комплексном или вещественном
пространстве К„ *).
Комплексное пространство С„ для любого действующего
в нем линейного оператора А допускает разложение в пря-
прямую сумму инвариантных подпространств, в каждом из кото-
которых при определенном выборе базиса матрица оператора А
имеет вид
F)
(«жорданова клетка»). Базис пространства С„, полученный
объединением базисов указанных инвариантных подпро-
подпространств, называется жордановым базисом оператора А,
а матрица оператора А в этом базисе (квазидиагональная
матрица с диагональными клетками вида F)) называется
жордановой матрицей оператора А. Числа % и размеры
Я,
0
0
0
1
%
0
0
0
1
0
0
... 0
... 0
... 1
... %
*) См. КЛП, гл. 6.

12.17]
§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
27
жордановых клеток F) являются инвариантами оператора А
(т. е. не зависят от выбора жорданова базиса); числа К суть
корни уравнения D), а размеры жордановых клеток могут
быть найдены по элементарным делителям оператора А.
Вещественное пространство Rn для любого действующего
в нем линейного оператора А допускает разложение в прямую
сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых
при определенном выборе базиса матрица оператора А имеет
или вид F), или вид
G)
а
— т
0
0
0
0
т
а
0
1
0
сг
0—т
0
0
0
0
0
1
т
а
0
0
0
0
1
0
0
0
0 ...
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
о
0
0
0
0
т
а
(«вещественная жорданова клетка»). Базис пространства Rn,
полученный объединением базисов указанных инвариантных
подпространств, называется вещественным жордановым ба-
базисом оператора А, а матрица оператора А в этом базисе
(квазидиагональная матрица с диагональными клетками вида
F) и G)) называется вещественной жордановой матрицей
оператора А. Числа %, a, t и размеры жордановых клеток
F) и G) не зависят от выбора вещественного жорданова
базиса; числа % и o + ix являются корнями уравнения D),
а размеры жордановых клеток F) и G) определяются по
вещественным элементарным делителям оператора А.
В частности, если все корни уравнения D) простые,
жорданова матрица оператора А в комплексном пространстве
С„ принимает вид (невыписанные элементы — нули):
К
к
(8)
В вещественном пространстве уравнение D) вместе с каж-
каждым невещественным корнем К — о-|- ix обладает и комплексно

28
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.18
сопряженным корнем Я = о — иг. Если все корни простые и,
положим, Oj ± /tj, ..., ok±ixk—невещественные, а
Я,яй+1, ..., Я,„— вещественные корни уравнения D), то веще-
вещественная жорданова матрица оператора А принимает вид
-т, а,
(9)
В комплексном пространстве имеет диагональную форму
также жорданова матрица любого оператора, матрица кото-
которого в каком-либо базисе эрмитово-симметрична (ajk = akj-,
j, k — 1, ..., л); при этом соответствующие числа Я,- ока-
оказываются вещественными. В вещественном пространстве имеет
диагональную форму вещественная жорданова форма любого
оператора, матрица которого в каком-либо базисе симмет-
симметрична (flyft = akj; j, k = 1, ..., л). Если же в каком-либо
базисе вещественного пространства матрица оператора А
антисимметрична («yft=—akj, j, k=\, ..., n), жорданова
вещественная матрица оператора А имеет вид (9), где все
числа av ..., ak, X2ft+1, ..., %„ равны 0.
12.18. Алгебры.
а. Линейное пространство U над полем К называется
алгеброй (точнее, алгеброй над К), если для элементов
х, у, ... из U установлена операция умножения, обозна-
обозначаемая х-у (или ху), удовлетворяющая следующим условиям:
A)	а (ху) = (сие)у = х (осу) для любых х и у из U и лю-
любого a g К;
B)	(ху) z = х (yz) для любых х, у, z из U;
C)	(x+y)z—xz-{-yz для любых х, у, z из U;
D)	х (у -f- z) = ху -f- xz для любых х, у, z из U.

12.18]	§ 12.1. линейные пространства	29
Условия A) и B) называются сочетательными (ассоциа-
(ассоциативными) законами, условия C) и D) называются распреде-
распределительными (дистрибутивными) законами.
б.	Вообще говоря, умножение может не быть коммута-
коммутативным, так что равенство ху=ух может не выполняться
для некоторых пар х, у из U. Если равенство ху=^ух вы-
выполняется для любых х и у из U, алгебра U называется
коммутативной.
в.	Элемент e?U называется единицей алгебры U, если
для любого х ? U имеют место равенства ех = хе = х. Эле-
Элемент у ? U называется обратным к элементу х, если выпол-
выполняются равенства ху=ух = е.
г.	Подпространство VcU называется подалгеброй алгебры
U, если из х € V, y^V следует ху (Е V.
д.	Подалгебра Jcz\J называется левым идеалом алгебры
U, если из x?U, y?J следует xygJ, и правым идеалом
алгебры U, если из y?J, z?U следует yzg J. Идеал, одно-
одновременно левый и правый, называется двусторонним идеалом.
В коммутативной алгебре, очевидно, нет различия между
левыми, правыми и двусторонними идеалами.
Во всякой алгебре U имеются два тривиальных двусто-
двусторонних идеала—один, состоящий из одного элемента О,
называемый нулевым идеалом, и второй, совпадающий со всей
алгеброй U. Все остальные идеалы называются истинными
идеалами.
е.	В фактор-пространстве V/J алгебры U по ее двусто-
двустороннему идеалу J можно ввести для классов X, Y, ... не
только линейные операции (как в 12.14и), но и умножение.
Именно, имея классы X, Y и выбрав произвольно элементы
* € X, у ? Y, определяют произведение XY как класс, содер-
содержащий произведение ху. Доказывается, что это определение
корректно (т. е. класс XY не зависит от выбора элементов
х € X, у ? Y) и введенная операция умножения превращает
пространство U/У снова в алгебру. Эта алгебра называется
фактор-алгеброй алгебры U по двустороннему идеалу J. Она
коммутативна, если коммутативна алгебра U.
ж.	Морфизмы алгебр. Пусть U и V—две алгебры
над одним и тем же полем К. Отображение со: U -—>¦ V алгебры
U в алгебру V называется морфизмом (гомоморфизмом)
алгебры U в алгебру V, если оно является морфизмом линей-
линейного пространства U в линейное пространство V A2.14к) и,

30	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.19
кроме того, для любых двух элементов хг, х2 алгебры U
удовлетворяется соотношение со (#jXE) = со (лгх) - со (х2).
Морфизм со называется изоморфизмом (эпиморфизмом,
мономорфизмом) алгебры U в алгебру V, если он является
изоморфизмом (эпиморфизмом, мономорфизмом) пространства
U в пространство V.
Так, отображение со: U —>¦ U/У, которое каждому элементу
х ? U ставит в соответствие содержащий его класс X ? U/У,
является эпиморфизмом алгебры U на алгебру U/У.
з. При всяком морфизме со: U —>- V совокупность тех
элементов х € U, для которых со (х) = 0, образует двусто-
двусторонний идеал У в алгебре U. Имея со, определим морфизм &
алгебры U/У в алгебру V, ставя в соответствие классу
X ? U/У элемент со (х) g V, где х есть любой элемент класса X.
Этот морфизм <5 является мономорфизмом. Если же морфизм
о был эпиморфизмом алгебры U в алгебру V, то морфизм <Ь
является изоморфизмом (КЛП, § 6.2).
12.19. Примеры алгебр и их морфизмов.
а. Совокупность Р всех многочленов (всех степеней) от К
с коэффициентами из поля К с обычными для многочленов
операциями сложения и умножения, есть, очевидно, алгебра.
Эта алгебра коммутативна и обладает единицей.
б. Совокупность U (О) всех аналитических функций /(к),
определенных в области О на комплексной плоскости, обра-
образует комплексную алгебру с обычными для функций опера-
операциями сложения и умножения D.72). Эта алгебра также
коммутативна и обладает единицей.
В алгебре U (О) определен оператор, который каждой
функции f(k)?U(G) ставит в соответствие ее производную
/' (К). Очевидно, что он линеен; отметим, что для него
выполняется формула Лейбница
/=о
в. Назовем спектром конечную совокупность чисел
..., Кт (из поля К), причем каждому числу ЯА приписано

12.18J	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	31
под названием кратности некоторое натуральное число
rk(k—\, ..., m). Назовем корпусом и обозначим через/
любой набор г — rr -j- ... + rm чисел из поля К, обозначаемых
/</) (^й) U — Oi • • •. rk~ 1. k=\, ..., m). Наконец, обозначим
через F(S) совокупность всех корпусов на данном спектре S.
Введем в F (S) операции сложения и умножения по сле-
следующим правилам:
(/-f g)<j> (К)=Лу) (К) + «л (Ч).
2
Для / = 0 последняя формула заменяется на следующую
(К) =/(
При этих операциях совокупность F (S) становится алгеброй
над К размерности г.
г. Пусть А—линейный оператор, действующий в л-мер-
ном комплексном пространстве С„. Совокупность всех много-
многочленов р(А) от оператора А A2.15з) с естественными опера-
операциями сложения и умножения операторов образует комплексную
алгебру, которую мы обозначим через Р(А). Оказывается,
что эта алгебра изоморфна алгебре корпусов F E"д) (при-
(пример в), где Sa есть спектр оператора А, т. е. совокупность
всех (различных) собственных значений А^, ...,А,га опера-
оператора А, причем значению А,л в качестве кратности приписано
натуральное число rh, равное максимальному из размеров
жордановых клеток оператора А A2.17е), несущих на диаго-
диагонали число \ь. Этот изоморфизм осуществляется следующим
образом: каждому корпусу
/={/(/) (**). У=0, ...,rk-\, k=\, ...,«},
определенному на Sa, ставится в соответствие оператор /(А),
матрица которого в жордановом базисе оператора А имеет
ту же квазидиагональнуго структуру, что и матрица самого

32
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.19
оператора А, но каждая квазидиагональная р X /э-клетка
оператора А
\ 1 0 ... О
О %h 1 ... О
О 0 0 ... L
(P<rh)
B)
заменена на клетку того же размера
/@) (К) /<1) (К) J]fB) (К) • • •
О /«о (К) Уш (**> • • •
О
0
0
/<в)(Я,)
C)
Этот оператор /(А) в действительности имеет вид р(А), где
многочлен р(А,) удовлетворяет условиям
причем р(Л (Я,) есть /-я производная от многочлена р (к).
Доказательство приведено в КЛП, 6.84.
д. Пусть снова А есть линейный оператор, действующий
в Л'мерном комплексном пространстве С„, и пусть все его
собственные значения A,lt ..., Хт лежат в области О на ком-
комплексной плоскости. Рассмотрим отображение а> алгебры ана-
аналитических функций U (О) в алгебру корпусов F (Sa ), кото-
которое каждой функции /^)€ЩО) ставит в соответствие кор-
корпус из чисел f{f)ih)=fU)(h) (У=°. • • -'гк~ Ь А=1. • ••»'»)»
где /G)(^) означает у-го производную /(X). В силу формулы
Лейбница A) отображение о есть морфизм алгебры U(O)
в алгебру F(Sa); этот морфизм является даже эпиморфизмом,
потому что для любого корпуса {f(J) Ckk)\ можно найти функ-
функцию /(А,) из алгебры U(G) (даже многочлен), для которой
Г*(К)=ЫК) (У=о, ...,rft-i, k = \, ...,«).
Так как в свою очередь алгебра FE"a) изоморфна алгебре
Р(А) линейных операторов (пример г), то тем самым суще-
существует эпиморфизм алгебры U(О) на алгебру Р(А); этот эпи-
эпиморфизм, в соответствии со сказанным в примере г, осущест-
осуществляется следующим образом: каждой функции A(G

12.19]	§ 12.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	33
ставится в соответствие линейный оператор /(А), матрица
которого в жордановом базисе оператора А имеет ту же
квазидиагональную структуру, что и матрица самого опера-
оператора А, но каждая квазидиагональная клетка B) заменена на
клетку того же размера:
ПК) ПК) т/
о ПК) ПК) •¦•¦&=
О 0	0	...	f{Kk)
Так, всегда имеют смысл операторы е^А, sin %A и т. п.
В силу того, что отображение о: /(Я,) —*-/(Л) есть морфизм,
из равенства f(k)-g(k) = h(k), где /(к), g(K), h(k)
принадлежат U(O), вытекает /(A)-g(A) == А (А). Например,
всегда справедливо равенство
А _ еаА
е.	Спектр S с комплексными Я,х, ..., %т (пример в) назы-
называется симметричным, если для любого невещественного
%k = ok-\-ixk в 5" содержится и комплексно сопряженное
число %k = ak—hk с той же кратностью rh. Корпус / =
— {/(/) (^*)} на симметричном спектре 5" называется симмет-
симметричным, если все числа /^ Скк) комплексно сопряжены соот-
соответствующим числам /ф (кк). Совокупность всех симметричных
корпусов на симметричном спектре 5" образует (с операциями,
указанными в в) вещественную алгебру, которую мы обозна-
обозначим через FR(S).
ж.	Пусть А — линейный оператор, действующий в я-мер-
ном вещественном пространстве Rn. Совокупность всех веще-
вещественных многочленов от оператора А образует вещественную
алгебру, которую мы обозначим через Р#(А). Оказывается,
что эта алгебра изоморфна алгебре симметричных корпусов (е)
на спектре оператора А (в комплексном расширении*) вещест-
вещественного пространства Rn); этот спектр всегда симметричен.
*) КЛП, 6.61.

84
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.19
Сам изоморфизм осуществляется следующим образом. Каждому
симметричному корпусу
/-{/yi(**). J—°> •••./*—I, *«I, .....да},
определенному на 5д, ставится в соответствие оператор /(А),
матрица которого в вещественном жордановом базисе опера-
оператора А имеет ту же квазидиагональную структуру, что и
вещественная жорданова матрица оператора А, но каждая
квазидиагональная клетка оператора А вида B) (с вещест-
вещественным "kh) заменена на клетку вида C), а каждая квазидиаго-
квазидиагональная клетка вида
D)
где блоки Ак,
Ак =
Е,
-Tft
0
т
а
\
0
0
Е 0 ..
Ак Е ..
0 (
имеют вид
к ||
h 1'
т
0
•
0
1
0
0
II
1-
ч
о о
о о
заменена на клетку того же размера
1 ^ ,» ч 1
••• (р-1)!у<Р
/(р-1) (•"*¦
1	f	1A
/<о) (•"»)
, E)
где
— 1ш /(<) (Jift)
На самом деле оператор /(А) имеет вид р(А), где много-
многочлен р{Х) имеет вещественные коэффициенты и удовлетво-
удовлетворяет условиям
U)
С/
= 1, ..., /и).
Доказательство приведено в КЛП, 5.5S.
з. Пусть снова А есть линейный оператор, действующий
в л-мерном вещественном пространстве Rn, и все собственные

12.21]	§ 12.2. метрические пространства	35
значения этого оператора в комплексном расширении С„
пространства Rn лежат в области G, симметричной относи-
относительно вещественной оси. Морфизм со, описанный в примере д,
каждой вещественной аналитической функции /(A,)(;U(G)
приводит в соответствие симметричный корпус /(/) (Kk) =*
= /(/)(W (/= 0, ¦ • •, гн~ 1, * = 1,...,«).
Так как алгебра ?r{Sa) всех симметричных корпусов
изоморфна алгебре РЛ (А) всех вещественных многочленов от
оператора А, то тем самым существует эпиморфизм алгебры
U#(Q) вещественных аналитических функций в алгебру
РЛ Eд); этот эпиморфизм, в соответствии со сказанным в при-
примере ж, осуществляется следующим образом: каждой функ-
функции f{%)?UR{G) ставится в соответствие линейный оператор
/(А), матрица которого в вещественном жордановом базисе
onepaTQpa А имеет ту же квазидиагональную структуру, что
и вещественная жордалова матрица оператора А, но каждая
квазидиагональная клетка вида B) (с вещественным Кк) заме-
заменена на клетку вида C), а каждая квазидиагональная клетка
вида D) заменена на клетку вида E), где
и. Линейное пространство всех линейных операторов, дей-
действующих в линейном пространстве К, образует алгебру
(с обычными для операторов операциями сложения и умноже-
умножения), которая, вообще говоря, не коммутативна.
§ 12.2. Метрические пространства
12.21. Метрические пространства играли уже большую
роль в нашем курсе, начиная с тл. 3; мы продолжим здесь
их изучение. Напомним аксиомы метрического пространства.
Множество М называется метрическим пространством, если
для каждой пары его точек я, у определено число р {х, у),
называемое расстоянием между л; и у и удовлетворяющее
следующим условиям:
а.	р {х, у) > 0, если х Фу, и р (х, х) — 0 для каждого х € М.
б.	р (х, у) = р{у, х) для любых х и у из М.
в.	р (х, г) <; р (х, у) + р{у, г) для каждых х, у, г из М
(аксиома треугольника).

36	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА A2.22
Последовательность хг, xit ... точек метрического про-
пространства М мы называли сходящейся к точке л;(ЕМ, если
lim p(x, хп) — 0.
12.22. В предыдущих главах в качестве примеров метри-
.ческих пространств рассматривались множества на оси, на
плоскости, в обычном (евклидовом) пространстве с обычным
понятием расстояния. Но весьма важно, что и многие мно-
множества, составленные из функций, можно считать метричес-
метрическими пространствами при определенном способе введения
метрики (т. е. функции р(х,у)).
Введение той или иной метрики в функциональных про-
пространствах зависит от требований задачи. Когда имеется
расстояние, то ясно, что близкими надо считать те элементы,
расстояние между которыми малб. В анализе по большей
части приходится начинать с обратного: по условиям задачи
видно, какие элементы естественно считать близкими, и со-
соответственно этому следует вводить определение расстояния.
Например, часто бывает естественным считать непрерыв-
непрерывные функции х(t) и у (t) (a^t^b) близкими, если мала
величина max \x{t)—y{t)\. Эту величину можно принять за
определение расстояния между функциями х (t) к у (t); оно,
очевидно, удовлетворяет аксиомам а — в, и поэтому любое
множество М непрерывных функций, определенных на отрезке
[а, Ь], с введением расстояния по формуле
p(*,jO= max | х (t) -y (t) |	A)
<<<6
становится метрическим пространством.
В некоторых случаях (например, в вариационном исчисле-
исчислении), когда речь идет о функциях, имеющих производные до
порядка т, естественно считать близкими такие элементы х (t)
и у (t), у которых при всех значениях t близки не только
значения самих функций, но и значения их производных до
порядка т. Этому отвечает формула расстояния
=тах {| х (t) -у (t) |, | х' (t)—y' (t)\,...,\ x™ (t)—y™ (t) |}. B)
<<<6

12.23J § 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	37
Если взять некоторое множество функций х (t), имеющих не-
непрерывные производные до порядка т, то с введением рас-
расстояния по формуле B) оно становится, очевидно, метричес-
метрическим пространством.
В других случаях (например, в теории интегральных урав-
уравнений) естественно считать функции х (t) и у (t) близкими,
если они близки в интегральном смысле, т. е. если мала вели-
величина
ь
\\x(t)-y{f)\dt.
Здесь естественно ввести расстояние по формуле
ь
C)
Очевидно, что аксиомы метрического пространства здесь
также удовлетворяются.
Иногда бывает нужно определять близость между функ-
функциями с помощью интеграла не от первой, а от какой-либо
другой, например p-Pi, степени разности между этими функ-
функциями; соответствующее расстояние может быть задано фор-
формулой
р
=у \\
x(t)-y(t)\Pdt.	D)
При р^1 это определение также удовлетворяет аксиомам
метрического пространства. Правда, проверка выполнения
аксиомы в (за исключением простых случаев р = 1 и />=2)
становится более сложной; мы ее приводить здесь не будем
(см. задачу 15).
Таким образом, определение метрического пространства
представляется достаточно гибким, чтобы удовлетворить са-
самым разнообразным конкретным запросам математического
анализа.
12.23. Пространство непрерывных функций
на метрическом пространстве.
а. Метрическое пространство всех непрерывных вещест-
вещественных функций на отрезке a^t^b с расстоянием, опре-

38	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	112.23
деленным по формуле 12.22 A), обозначается через R* [а, Ь]
(как и раньше в 12.13 и, где оно выступало в качестве
линейного пространства).
б.	Можно ли в этом определении заменить отрезок [а, Ь]
на любое метрическое пространство? На произвольном метри-
метрическом пространстве М непрерывные функции не обязаны
быть ограниченными, поэтому формула 12.22 A) для расстоя-
расстояния в таком пространстве функций не будет пригодна. Но
мы можем включить в пространство функций лишь ограни-
ограниченные непрерывные функции, и тогда формула 12.22 A)
сохранит смысл, если заменить в ией знак max на знак sup.
Итак, мы определяем /?*(М) как пространство всех ограни-
ограниченных вещественных непрерывных функций на метрическом
пространстве М, с расстоянием между функциями х (t) и у (t)
р(*, JO = sup |х(*)->(/)|.	A)
FМ
в.	Заменяя здесь в свою очередь вещественную ось (об-
(область значений рассматриваемых функций) на произвольное
метрическое пространство Р, получаем пространство Р*(М)
всех ограниченных непрерывных функций, определенных на
метрическом пространстве М, со значениями в метрическом про-
пространстве Р, с расстоянием между функциями x(t) и y(t),
определяемым по формуле
р (*, J») = sup p {*(*), УУ)}.	B)
В следующих пунктах этого параграфа мы рассмотрим
некоторые общие понятия теории метрических пространств
в применении к пространству Р* (М) и его частным случаям.
г.	В общем метрическом пространстве Р последователь-
последовательность точек xv x2, ... называлась сходящейся к точке
х 6 Pi если р (х, хп) —*• 0. Из определения B) вытекает, что
в пространстве Р*(М) сходимость последовательности xn(t)
к пределу х (t) означает равномерную на М E.93) сходимость
последовательности функций xn(t) к предельной функции x(t).
д.	Мы условились говорить, что множество Е в метриче-
метрическом пространстве Р располагается всюду плотно по отноше-
отношению к множеству FcP, если всякая точка x?F или сама
входит в Е, или является предельной точкой для Е C.61).
При этом, если EcF, говорят, что Е располагается всюду

12.23]	§ 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	Ш
плотно в F. Будем говорить, что метрическое пространство Р
сепарабельно, если имеется счетное множество EczP, всюду
плотное в Р. Покажем, что пространство Rs [а, Ь] сепара-
сепарабельно.
Счетное всюду плотное множество EcR1 [а, Ь] можно об-
образовать, например, из всех кусочно-линейных функций (лома-
(ломаных) с вершинами в точках (а,у0), (xt, yj, .... (лг„_1? у^),
(Ь,уп), где Xj?(a, b), причем Xj и у}- рациональны. Счет-
ность этого множества следует из 2.35. Покажем, что
множество Е плотно в №\д,Ь\. Пусть f {х) ? Rs \a, b\—про-
b\—произвольная функция, и задано е > 0. Найдем 6 > 0 так, чтобы
из \х'—х"\<Ь следовало \/(х')— /(*")|< е/5. Пусть
а = х0 < хг < ... <хп = Ь есть разбиение отрезка [а, Ь]
рациональными точками деления Xj{j=\, ...,п—1) и
Ахуш=х/+1—xf<b. Пусть, далее, у0, уг, ...,у„—такие ра-
рациональные числа, что \yj—f[Xj)\ < е/5, 7=0,1,..., я.
Рассмотрим кусочно-линейную функцию у {х) с последователь-
последовательными вершинами в точках (Хр yj). Мы утверждаем, что
р {у, /) < е. В самом деле, для любого х 6 [а, Ь\ мы можем
найти такое х, (у=1, ...,п—1), что \х—л|<6. Тогда
!/(*)-/(*,) |< е/5 и |/(х/±|)—/(жу)|<е/5. Отсюда сле-
следует, что
Поэтому при х € (*/_и xj+i) и \у(х)—У/\ < Зв/5. Оконча-
Окончательно,
max \у(х)-/(х)\<г,
<<6
что и требуется.
Можно показать, что пространство RS[Q, oo) всех огра-
ограниченных и непрерывных функций на полуоси 0 ^х < оо уже
не обладает счетным всюду плотным множеством (см. задачу 2).
е. Метрическое пространство Р мы называем полным
C.71г), если в нем выполняется критерий Коши: всякая

40	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.23
фундаментальная последовательность xlt хл, ... из Р име-
имеет в Р предел.
Теорема. Пространство Р3(Щ всех непрерывных огра-
ограниченных функций на метрическом пространстве М со значе-
значениями в полном метрическом пространстве Р (в) — пол-
полное пространство.
Доказательство. Обозначим через р расстояние
в пространстве Р и через
р(х, y)^supp{x(t),y(t)}
расстояние в пространстве Р5(М).
Пусть х1 (t), x2 (t), ..., х„ (t),...—фундаментальная по-
последовательность функций—элементов пространства Р4(М):
для любого 8 > 0 существует номер N, такой, что при n^N,
выполняется неравенство
р (*». *J == sup р К W, *. @} < е-	C)
Отсюда вытекает, что каждая последовательность
хп (t0) ^ Р, получающаяся при фиксированном t —10, является
фундаментальной последовательностью; в силу полноты про-
пространства Р существует значение
*(/„)= Ilm xn(t0)€P.
Изменяя t=t0 по всему М, получаем существование пре-
предельной функции
*(*)= lira xn(t).
П-»00
В неравенстве
p{xn{t), xm(f)}^B,
справедливом при каждом t и п, m~^ N, перейдем к пределу
при т —> оо, оставляя п фиксированным; мы получим
в силу 6.126
Р {*„(<),*(<)}<в	D)
при всех t и n^N. Это означает, что последовательность
функций хп (t) сходится к пределу х (t) равномерно на М.
В силу теорем 5.94 и 5.95 функция x(t) ограничена и не-
непрерывна и тем еамым является элементом пространства

12.24]	§ 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	41
). Неравенство D) можно записать в виде
р (л;„, х) < 8,
откуда следует, что х = х (t) есть предел последовательности
элементов х„. Теорема доказана.
12.24. Теорема Арцела. Мы назвали метрическое
пространство Р компактным C.91 а), если в нем из всякой по-
последовательности точек xv х2, ... можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность xmi, хтг, ..., и пред компакт ним
C.93а), если из всякой последовательности точек xv х2,...
можно выбрать фундаментальную подпоследовательность
Xm,' Xma> • • •
а. Пусть Q—компактное метрическое пространство, Р—¦
произвольное метрическое пространство и P*(Q) — метриче-
метрическое пространство всех непрерывных функций л; = л; (t), опре-
определенных на Q и принимающих значения в Р, метризованное
по формуле 12.23 B)
р (*, jO = sup p {*(*), y(t)}.
Пространство P*(Q), вообще говоря, не компактно. По-
Поставим вопрос, при каких условиях некоторое подмножество
EcPs(Q) является компактным?
Для ответа на этот вопрос введем следующие определения:
Определение 1. Множество Е функций х(t)?Vs(Q)
называется равномерно компакт позначным (предкомпакт по-
позначным), если существует компактное (предкомпактное) мно-
множество РосР, в котором содержатся все значения функций
x(t) для t?Q, x?E.
Определение 2. Множество Е функций х(t)€Р*(Q)
называется равностепенно непрерывным, если для каждого
е > 0 можно найти такое б > 0, что из р (f, t") < б следует
р {*(*'). x(f)\<B
для любой функции x(t)?E.
Теорема (Арцела). Множество Ec:Ps (Q) предкомпактно
тогда и только тогда, когда оно равномерно предкомпакт по-
позначно и равностепенно непрерывно.
Доказательство. Предположим, что EczVs(Q) пред-
предкомпактно. Тогда в силу критерия Хаусдорфа 3.93в для за-
заданного в>0 в I имеется конечная e/3-сеть, т. е. конечный

42	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.24
набор функций хг (t), ..., хт (t), такой, что для каждой функ-
функции х (t)€Е можно найти номер k, l^k^m, для которого
р[*@, **(')]<-§-•	A)
Для этого же г найдем теперь б > 0 так, чтобы при
р (f, t") < б выполнялись все неравенства
Тогда для тех же ? и *", любой х (t) ? Е и соответствую-
соответствующей xk(t)
p[x(t'), *(
т. е. семейство Е равностепенно непрерывно.
Множество Рь всех значений функции хк (f), непрерывной
на компакте Q, при каждом k= 1, ..., т компактно E.16а),
Объединение /? компактных множеств Plt ..., Рт, очевидно,
также компактно. Неравенство A) показывает, что множество/?
служит е/3-сетью для множества Ро < Р всех значений на Q
всех функций x(t)?E. В силу 3.95 множество Р9 предком-
пактно, и, следовательно, множество Е предкомпактнозначно.
Мы убедились, что условия теоремы Арцела необходимы;
докажем теперь их достаточность.
Пространство Ps (Q) изометрично вложено в пространство
Р (Q) всех ограниченных (непрерывных и разрывных) функций
x(t) на Q, заданных на Q с расстоянием, определяемым
по формуле
В силу критерия Хаусдорфа C.93в) теорема будет дока-
доказана, если, используя ее условия, мы построим в пространстве
P(Q) при любом в >0 конечную е-сеть для множества Е.
Пусть Ec:Ps(Q) равномерно предкомпактнозначно и равно-
равностепенно непрерывно.
Для заданного г > 0 найдем б > 0 из условия равно-
равностепенной непрерывности семейства Е. Теперь покроем ком-
компакт Q конечным числом шаров диаметра б. Отбрасывая лишние
точки, можно получить покрытие компакта Q конечным числом

12.24]	§ 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	43
множеств диаметра ^6, уже непересекающихся. Обозначим
эти множества через Qlt...,Qm. Пусть, далее, pv.-.,pk
есть конечная 8/2-сеть в Р для того предкомпакта Ро, в ко-
котором содержатся все значения функций jc (t) для t ? Q, х ? Е.
Рассмотрим совокупность G всех функций х (t) ? Р (Q), при-
принимающих на множествах Qlt...,Qm постоянные значения
из набора plt ...,ph. Таких функций, очевидно, конечное
число (не большее, чем ff), и мы утверждаем, что они обра-
образуют е-сеть для множества Е. Действительно, пусть xo(t)—
любая функция из Е. На множестве Qj, имеющем диаметр
^б, эта функция изменяется не более чем на 8/2 и суще-
существует точка pj из набораplt .. .,рт, которая отстоит от всех
значений л;0(t) для t?Qj не далее, чем на 8. Функция
* (t) € Р (Q)i принимающая на каждом Qj соответствующее
значение Pj, входит в совокупность G и, очевидно, в про-
пространстве P*(Q)
р (х0, х) = sup [х0 (t), х (t)] < 8,
что нам и требуется. Теорема доказана.
б.	Если Р—полное пространство, то и Р* (М) полно A2.23).
В полном пространстве замыкание любого предкомпактного
множества компактно C.966). Поэтому компактные подмно-
подмножества в Р*(М) в данном случае описываются следующим
образом: это замкнутые подмножества в Ps (M), которые
равномерно компактнозначны и равностепенно непрерывны.
в.	Для случая, когда Р есть л-мерное евклидово про-
пространство /?„, класс предкомпактных множеств совпадает
с классом ограниченных множеств C.936 и 3.94). Поэтому
равномерная предкомпактнозначность семейства Е функций
х (t) ^ RZ (М) в данном случае означает, что существует по-
постоянная В, такая, что sup | л; (t) \ ^ В для всех t g M и л; (t) g E.
Такое семейство функции называется равномерно ограничен-
ограниченным. Таким образом, в случае P = Rn теорема Арцела приобре-
приобретает следующую формулировку:
Множество Е функций х (t) ? R% (M) предкомпактно тогда
и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равно-
равностепенно непрерывно.
г.	Для числовых функций на отрезке числовой оси можно
сформулировать простое достаточное условие предком-
пактности:

44	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.2В
Теорема. Если для множества Е числовых функций
х (t), непрерывных и дифференцируемых на отрезке a^t^.b,
существуют такие постоянные а0, о1, что для всех x(t)?E
выполнены неравенства
то множество Е предкомпактно в пространстве Rs [a, b].
Доказательство. Применяя формулу Лагранжа 7.44,
мы получаем неравенство
которое показывает, что семейство Е равностепенно непре-
непрерывно, а так как по условию оно и равномерно ограничено,
то применение теоремы в завершает доказательство.
12.25. Пространство функций с непрерыв-
непрерывными производными до порядка т.
а. Метрическое пространство всех вещественных непре-
непрерывных функций x(t) на отрезке а ^ t ^ b, имеющих непре-
непрерывные производные до порядка т, с расстоянием, опреде-
определенным по формуле 12.22 B),
= max {\x(t)-y(t)\,\x'(t)-y'(t)\,...,\x™(t)-y™(t)\\,
обозначается через Dm (a, b); в частности, Ц, (с, b) = Rs (a, b).
В пространстве Dm (a, b) сходимость последовательности хп (t)
к пределу л; (t) означает равномерную сходимость т +1
последовательностей
*„ (t) — х (t), х'п (t) — х' (t), .... *Г {*) — хм @.
б. Покажем, что пространство Dm (с, Ь) полно. Пусть
xx(t), x2(t), ...—фундаментальная последовательность функ-
функций из пространства Dm {a, b). Из неравенства
max |*?> (О-*? @|<Р (*„.*,)
^t^ b
вытекает, что каждая из последовательностей \xn(t)},
Wn C)}i • • •> {ХТ} @} фундаментальна по метрике пространства
Rs (a, b). В силу полноты пространства Rs (a, b) A2.23е)
каждая последовательность xtf* (t) при л —»• оо равномерно схо-
сходится к некоторой непрерывной функции yk (t) (ft=0,1, ..., /и).

12.26] § 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	45
По теореме 9.77 о дифференцировании последовательности
функций мы имеем
у, @ = Jfon х'п (t) = flim хп (t))' = y'Q (t),
У* V) =Ух (t) =У'о @. • • • ,Ут W = Jim> @-
Таким образом, функция j/0 (^) принадлежит пространству
Z)ffl (с, ft). Снова в силу равномерной сходимости каждой по-
последовательности *{,*' @ при п —*- оо к ^ft (*)=_y<*> (?) функция
у0 (t) оказывается пределом после-
последовательности xH(t) по метрике
пространства Dm (a, b)r что и тре-
буется.
в. Покажем, что пространство
Dm (a, b) располагается в прост-
пространстве Rs {а, Ь) как всюду плот-	Рис. 12.1.
ное множество (разумеется, по
метрике Rs (a, b)). В силу транзитивности свойства всюду
плотности C.62) нам достаточно показать, что Dm (с, Ь) рас-
расположено всюду плотно относительно множества L всех
кусочно-линейных функций (мы в 12.23д видели, что L всюду
плотно в Rs (с, Ь)). Каждую кусочно-линейную функцию у (х)
можно «сгладить», заменив ее около вершины каждого уголка
функцией q(x), имеющей непрерывные производные до по-
порядка т, значения которых в точках смыкания с линейными
участками совпадают со значениями соответствующих произ-
производных у функции у (х) (рис. 12.1). Такую функцию q (x) можно
построить, например, в виде многочлена степени 2/я
(ср. 12.19г). Совершая преобразование подобия с центром
в вершине уголка и достаточно малым коэффициентом по-
подобия, можно добиться, чтобы отклонение #(>:) от у(х)
в метрике Rs (a, b) оказалось в заданных сколь угодно тес-
тесных границах.
12.26. Пространство непрерывных функций
с интегральной метрикой.
а. Метрическое пространство всех вещественных непре-
непрерывных функций x(t), определенных на отрезке [а, Ь],
с метрикой 12.22 C),
p(x,y)=\\x(t)-y(t)\dt,	A)

46
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.28
обозначим через Ls (a, b). Пространство этих же функций
с метрикой /2.22 D),
Р(рс,у) =
B)
обозначим через ?|(а, Ь).
В пространстве непрерывных функций у нас была еще
метрика
p(x,j/)= max \x(t)-y(t)\.	C)
<<<6
Метрики A)—C) порождают существенно разные типы
сходимости. Так, последовательность функций хп (t), изобра-
изображенных на рис. 12.2, не схо-
сходится к нулю в пространстве
1
Рис. 12.2.
/?*{0, 1), но в то же время сходится к нулю в любом из
пространств Lp(O, 1), так как
1	1/п
/
f
Последовательность функций уп (t), изображенная на
рис. 12.3, сходится к нулю в любом пространстве Lsp@, 1)
с р < q и не сходится к нулю в ?|@, 1), поскольку
-^0 при p<q,
-~ при P = q.

12.26]	§ 12.2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА	47
б. Пространство Lsp (a, b) не полно ни при каком
Для доказательства рассмотрим последовательность непре-
непрерывных функций yv(x), заключенных между 0 и 1 и при
v—*- оо равномерно стремящихся на каждом интервале (а, с—е)
к 0, а на каждом интервале (с -\- г, Ь) к \ {с—фиксированная
точка между а и Ь). Такая последовательность удовлетво-
удовлетворяет в пространстве L^a, b) критерию Коши. В самом деле,
6	с-е с+е Ь
Г	Г Г Г
а	а с-е с+е
для достаточно больших v и ц. Покажем, что последова-
последовательность yv (x) не сходится по метрике Lsp (a, b) ни к какой
непрерывной функции.
Для доказательства последнего утверждения заметим сле-
следующее. Если последовательность функций /v (x) (v = 1,2,...)
сходится по метрике L%,(a, b) на промежутке Д = {а^Сл:^?}
к непрерывной функции f(x), a в некотором промежутке
6 = {c^Ar^d}, внутреннем к промежутку Д, равномерно
сходится к функции ф (х), то в промежутке б имеет место
тождество ф (х)=/(х). Действительно, в пространстве Lsp (с, d)
мы имеем соотношения
d	Ь
рр (Л. /) = S1Л (*) -/ (*) |" Лс < S | а (х) -/ {х) I' dx -* 0>
с
й
РЯ(Л. Ф) = Sl/vW—Ф (*)|"dx<max |/v (*)—ф (x)\P(d—c)-»0.
с
В силу единственности пределаC.33а) мы имеем /(л:)=ф (х),
что и утверждалось,
Если мы предположим, что построенная выше последова-
последовательность уг(х), уг(х), .. .,уп (х), ... сходится по метрике
L^(a, b) к некоторой непрерывной функции f(x), то по до-
доказанному мы должны были бы иметь равенство /(л*) = 0 при
а^.х < с, /(*)— 1 ПРИ с <x^lb. Но очевидно, что в таком
случае, каково бы ни было аначение f(c)-, функция f(x) не
будет непрерывной функцией на отрезке а ^ х ^ Ь.
в. В силу общей теоремы о пополнении C.81) пространство
Lp(a, b) имеет пополнение Lsp(a,b). Естественно поставить
вопрос: можно ли элементам пространства Ц, (а, Ь), опреде-

48	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.31
ленным по теореме 3.81а абстрактным образом, приписать
конкретный смысл, истолковать их в виде каких-то функций?
Оказывается, что это возможно сделать, хотя и не очень
просто (см., например, Г. Е. Шилов и Б. Л. Гуревич,
Интеграл, мера и производная, М., 1967, гл. 2).
§ 12.3. Линейные нормированные пространства
12.31. Линейное пространство R мы желаем снабдить
метрикой; при этом естественно принять, что метрика и
линейные операции должны быть связаны друг с другом так,
что при сдвиге двух точек на один и тот же вектор рассто-
расстояние между ними не изменяется. Поэтому достаточно опре-
определить расстояния от каждой точки (вектора) до одной какой-
либо фиксированной точки, например, до нуля. Таким образом,
будет достаточно каждой точке xgR сопоставить число, даю-
дающее расстояние от л; до 0; это число называют нормой
вектора х.
Линейное вещественное пространство R называется нор-,
мированным вещественным пространством, если любому век-
вектору х € R поставлено в соответствие число | л; | (иногда обо-
обозначаемое ||х|| или даже |||х|||), называемое нормой вектора
х и удовлетворяющее условиям:
а.	\х\ > 0, если хфО, |0| = 0.
б.	| ccjc | = | ос 11 jc | для любого *€R и любого веще-
вещественного числа а.
в.	Ix-f^l^C\x\-\- \у\ для любых л; и у из R (аксиома
треугольника).
Положим, по определению р(х,у) = \х—j?|. Легко про-
проверить выполнение аксиом метрического пространства (эта
проверка предоставляется читателю), откуда следует, что
нормированное' пространство является метрическим. Таким
образом, в нормированном пространстве можно измерять рас-
расстояния между векторами и пользоваться предельным пере*
ходом. Нормированное полное пространство называется бана-
банаховым. Линейное пространство, не снабженное нормой (или
метрикой), будем называть аффинным.
12.32. а. Пространство Rs (M) всех непрерывных веще-
вещественных ограниченных числовых функций л; (i) на метрическом
пространстве М, рассмотренное нами в качестве примера

12.32] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	49
линейного A2.13и) пространства и метрического пространства
A2.236), является одновременно и важным источником по-
построения нормированных пространств. Норма в /?*(М) за-
задается формулой-
||*||=supl*(*)|.	A)
Мы здесь обозначили норму функции x(t) через ||х||,
а не через | л; |, чтобы подчеркнуть разницу между нормой
функции х (t), как элемента пространства Rs (M), и ее абсо-
абсолютной величиной, зависящей от точки t. Выполнение аксиом
нормы 12.31а—в в данном случае почти очевидно. В част-
частности, аксиома треугольника проверяется так:
переходя в левой части к максимуму, получаем требуемое
неравенство || х+у ||< || л; || +1| у II-
б. Мы желаем далее обобщить пример с, заменив в ием
поле вещественных чисел R на произвольное вещественное
нормированное пространство R. Таким образом, элементами
нового пространства Rs (M) будут непрерывные ограниченные
функции л; (t), определенные на метрическом пространстве М
со значениями в нормированном пространстве R.
Необходимо проверить, что линейные операции над такими
функциями снова приводят к таким же функциям. Если функ-
функции x(t) чу (t), принимающие значения в пространстве Ц,
ограничены, то пусть
тогда при любых вещественных а и f> ограничена и функция
g(f) = ax{t)-\-Py(t), поскольку при любом t
Покажем, что функция z (t) = ax (t) -\- f$y (t) непрерывна при
каждом t = t0 вместе с функциями x(t) и у (t). Можно счи-
считать, что a =,6:0 и Р^О. Зафиксируем число 8> 0 и найдем
б > 0 так, чтобы из неравенства р (t, t0) < 8 следовало

50	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.33
Тогда
что и доказывает непрерывность функции z (t) = ах (t) + §y (()
при / = /0.
В пространстве R*(M)< вводится норма по формуле A),
где, разумеется, \x(t) | нужно понимать как норму в про-
пространстве R.
Итак, пространство R*(My всех непрерывных ограниченных
функций x(t) на метрическом пространстве М со значениями
в нормированном пространстве R построено.
Заметим, что пространство R5 (М) полно, если полно про-
пространство R A2.23е).
12.33. Другие примеры нормированных про-
стра нств^
а. Метрическое пространство Вт (а, Ь) A2.25) можно пре-
превратить в нормированное: введением нормы
||*Ц =тя{|*ф|, \x'(t)\,...,\x^(i)\}.	A)
Аксиомы нормы 12.31а—е легко проверяются.
& Метрическне простряяства Щ (а,, Ь) A2.26) можно пре-
превратить в нормированные введением норм
р /
B)
Аксиомы нормы 12.81а—в легко проверяются при р=1;
в общем случае (р > 1) проверка аксиомы треугольника
требует некоторого терпения (см. задачу 15).
в. Нормированные пространства Lsp(a, b) nRs(a, b) имеют
любопытные конечномерные аналоги. Пусть Rn есть /z-мер-
ное пространство векторов x=(?lt ..., ?„). Введем в нем
следующие типы норм:
Mi= 2,-16*1.	О)
\*\,= V 2 IS*I' (/»>D. D)
ft = 1
\x\m= max- ||ft|.	E)
1 < k <n

12.33] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	51
Очевидно, известная нам из 8.14 евклидова норма
ft *. 1
есть ^частный случай нормы \х\р при р = 2. Нормы (В) и D)
аналогичны интегральным нормам в пространствах 1} {&, Ь)
и Lsp (а, Ь). Норма E) аналогична норме 12.32 A) 8 про-
пространстве Rs(a, b); обозначение |х|м мотивируется предель-
предельным соотношением
max \lk\=lim]f±\lk\r
I < * < П	р — во	fe •= I
(см. задачу 9 к гл. 4).
Аксиомы нормы в случае F) мы проверили еще в 8.14.
Для случаев C) и E) они проверяются легко. Для случая D)
проверка уже не столь .проста (см, задачу 17.)..
В отличие от норм в функциональном пространстве, все
нормы C)—F) с точки зрения порождаемой ими сходимости
эквивалентны: сходимость последовательности векторов хт =*
= (Sim), ••-. 1Т}) при т—-оо к вектору x«=(Ei, ..., |„)
по любой из норм C)—E) означает сходимость я числовых
последовательностей ^'-^-Ел, -.., ?im)~»-5n. Мы продол-
продолжим лзунение норм в конечномерных пространствах в 12.36.
г. Заменяя в предыдущих примерах и на оо, мы прихо-
приходим к интересной серии бесконечномерных пространств.
Именно, обозначим через //,A^:р<оо) совокупность всех
числовых последовательностей х = {4i> la> ¦ • •), обладающих
00
тем свойством, что ]? \lk\p <°°' Обозначим Ц*||?*=
= у 2 I ?* \р- Используя неравенство треугольника для
нормы |х[р в пространствеRn, длях^ \\h} € ip,у «= {г\к} € 1р.
мы можем написать
К
4NL+

52	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.34
Переходя здесь в левой части к пределу при я -->- оо,
03
получаем сходимость ряда 2 I ?* + Чн \р и выполнение не-
* = 1
равенства
Очевидно, что вместе с х = {|ft} в совокупность /
входит и ах — { а?к} при любом вещественном а и что
]| cejc Ujp = | об ] || jc Hjp. Таким образом, совокупность I при лю-
любом р~^\ есть нормированное линейное пространство. Можно
показать, что пространство 1р полно при любом р ^ 1 (за-
(задача 18).
12.34. В линейных нормированных пространствах, есте-
естественно, действуют все определения и теоремы, относящиеся
к аффинным линейным пространствам (без предположения о на-
наличии метрики) и к метрическим (без предположения о на-
наличии линейной структуры) простраиствам. Так, в линейном
нормированном пространстве можно ввести понятия централь-
центрально-симметричного множества и выпуклого множества, отно-
относящиеся к теории линейных аффинных пространств.
а.	Множество Е в линейном пространстве X называется
центрально-симметричным, если вместе со всякой точкой х
оно содержит и противоположную точку —#.
б.	Множество Ё в линейном пространстве X называют
выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками х, у
содержит все точки
или, геометрически выражаясь, содержит отрезок, концами
которого являются точки хну.
в. Следующая теорема использует уже и линейную струк-
структуру и норму, так что естественным полем ее действия
является линейное нормированное пространство.
Теорема. Шар S = {x: |*|^Ср} линейного нормиро-
нормированного пространства R есть центрально-симметричное вы-
выпуклое замкнутое множество.
Доказательство. Если | х \ <1 р, то и | —х \ = \х |^р,
что доказывает центральную симметричность шара. Замкну-

12.3S] § 12.8. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	53
тость его следует из 3.516. Выпуклость вытекает из аксио-
аксиомы треугольника: если | х \ ^ р, \у | <С р, то при а ^ О,
р1
что и требуется.
г. Свойство выпуклости единичного шара настолько су-
существенно в нормированном пространстве, что им можно
заменить в аксиоматике аксиому треугольника. Именно, до-
допустим, что в линейном пространстве X введена числовая
функция \х\, удовлетворяющая первым двум аксиомам нормы,
а вместо третьей аксиомы—следующей аксиоме:
Шар {х ? X: | х \ ^ 1} есть выпуклое множество.
Покажем, что из аксиом 12.31 а, б и данной аксиомы
вытекает неравенство треугольника 12.81в. Каковы бы ни
были векторы хфО, уф0, векторы ру и г-^г лежат
в единичном шаре; в силу новой аксиомы вектор ^г
Iх [
также лежит в единичном шаре при любых а^О,
.P_JL <t
Положим здесь а = . .', , , р = . ,'f ; вынося множи-
\х\~т~\У I	1*1 "г| У\
тель :—г—|—г за скобку и за знак нормы и умножая не-
Iх 1~гI У]
равенство на j jc | ~J— j_y j, получаем
что и требовалось. Если один или оба из векторов х, у
равны 0, неравенство треугольника очевидно непосредственно.
12.35. Зквива ле нт ные нормы.
а. Две нормы \x\t и |х|2 в одном и том же линейном
пространстве X называются эквивалентными (или гомеоморф-
ными), если гомеоморфны порожденные ими метрики C.34);
иначе говоря, если сходимость хп —»¦ х по одной из этих
норм равносильна сходимости хп —*-~х по другой норме. По-
Поэтому всякое замкнутое (открытое) множество в X относи-
относительно одной из этих норм является замкнутым (открытым)
и относительно другой нормы.

54	гл. 12. основные Структуры анализа	[12.35
б. Выясним, как отражается эквивалентность норм \x\t
и | jc [а на геометрических свойствах шаров
Эти шары, по доказанному, центрально-симметричны, выпуклы
и замкнуты относительно соответствующей нормы.
Лемма. Если нормы \x\t и \ х ]2 эквивалентны, то су-
существует постоянная сх > 0, такая, что всякий шар Sx (р)
содержит шар 52 (ctp), и постоянная с2 > О, такая, что вся-
всякий шар Si(p) содержит uitip S1(cip). Обратно, если су-
существуют постоянные сг и с2 с указанными свойствами, то
нормы \х\х и \х\2 эквивалентны.
Доказательство. Пусть сг и с2—постоянные, обла-
обладающие указанными свойствами. Пусть, далее, |д:—xn\i~
= е„—> 0. Так как шар S2[eJc2) содержит шар St(en), то
он содержит и элемент х—хп, так что \х—хп |2 <; е„/с2.
Это означает, что \х—хп\ъ—>0. По таким же причинам из
\х—х„|2—>0 вытекает, что \х—дг„|, -^-0.
С другой стороны, допустим, что нормы \xft и [ jc [а
эквивалентны, но искомой постоянной с± не существует. Тогда
для любого п=1, 2, ... мы найдем шары Sl(pn), S2(pjn)
такие, что первый не содержит второго, т. е. имеется точ-
точка х„, такая, что |л„|х > р„, \х„\л <р„/п. Пустьуп = хп/рп;
мы имеем J_yra fx > 1, |.уп|2<1/л. так что последова-
последовательность уп по второй норме стремится к 0, а по пер-
первой—не стремится к 0. Это противоречит предположению
об эквивалентности норм, и, следовательно, постоянная с1
существует. По таким же причинам существует и постоян-
постоянная с2, что и требуется.
в. Следствие. Нормы |х|г и |х[а эквивалентны тогда и
только тогда, когда существуют такие положительные постоян-
постоянные Cj и с2, что для любого х?Х выполняются неравенства
Действительно, если указанные неравенства выполнены,
то из \х— хЛ—>-0 следует \ x—xn\i^. — \x—xn\1—*0,
и обратно, так что нормы ) х |х и | х |2 эквивалентны. Пред-
Предположим теперь, что нормы \х\г и \х\г эквивалентны. Тогда

12.35] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	55
по лемме б существует постоянная с2, такая, что всякий
шар 52(р) содержит шар ^(с^р). Пусть [ д: |г = а, т. е.
x^St(a). Шар Sz{a/c2) содержит шар St[a), так что
| х |2^o/cs = | х \Jc2. Аналогично устанавливается второе
неравенство.
г. Теперь мы можем описать геометрически любую норму
| д; |2, эквивалентную данной норме | х \х.
Теорема. Пусть в нормированном пространстве R
с нормой | х \t дано центрально-симметричное выпуклое зам-
замкнутое множество S, которое содержит некоторый шар 5t(p)
и само содержится в некотором шаре St (r). Тогда сущест-
существует норма jx|2, эквивалентная норме \x\v такая, что
5,A)-= 5-
Доказательство. Возьмем произвольный вектор х «А О
и рассмотрим луч x/t, 0 < t < се. В силу наших предполо-
предположений на этом луче точки с достаточно большими t при-
принадлежат множеству S, а точки с достаточно малыми t не
f X	1
принадлежат множеству S. Положим | х ^ = inf < t '• -r <cS>
и 1012 = О. Проверим, что построенная таким образом норма
удовлетворяет аксиомам 12.31 а—в и требуемому условию
{х:|х|2<1} = 5.
При хфО мы имеем 0<|х|3<оо, так что первая
аксиома нормы выполнена. Далее, при а > О
Из центральной симметричности множества S очевидно
вытекает, что |—* |2 — | •* М отсюда при любом веществен-
вещественном а мы имеем |ах|а = [а||х|а.
Теперь проверим, что S — {x: |л:|2^1}. Если х € S, то,
очевидно, |x|2 = inf It: ~ g5>^ 1. Далее, заметим, что
выпуклость множества S влечет за собой- выпуклость мно-
множества Sx точек луча x/t, входящих в S; таким образом,
это множество Sx содержит все точки x/t с t > inf I т: ^ ? ^ ? ,
а так как S замкнуто, то и точка xjt с / = inf < т: ¦—

56	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.35
также входит в S. Поэтому если |х|г —inf <т: ~ ?S\ <: 1,
то х = х/\ входит в S, что и требуется.
Проверим выполнение для нормы \х\а неравенства трег
угольника. Так как по доказанному шар {jt:|jc|2^1} сов-
совпадает с множеством 5, а по условию S выпукло, то это
неравенство следует из 12.34 г. Осталось показать, что
норма |jcJ2 эквивалентна норме \х\г. Но теперь это вытекает
из леммы б. Действительно, из включения S1(p)czS =
= 5гA)с51(г) следует, что при любом р>0 имеет место
и включение St (pp)cS2 (p)cSl (rp), так что условие леммы б
удовлетворяется при cl = \/r и сг = г; применяя лемму, по-
получаем, что нормы |х|8 и \х\х эквивалентны, что и требуется.
д. Нормы в конечномерных пространствах.
Покажем, что в конечномерном линейном пространстве Rrt
все нормы эквивалентны.
Соотношение эквивалентности норм, очевидно, транзи-
тивно (две нормы, по отдельности эквивалентные третьей,
эквивалентны между собой). Поэтому достаточно показать,
что любая норма \x\t эквивалентна евклидовой норме
^, где |lf ...,|„—координаты вектора х в не-
некотором базисе elt ..., еп.
п
Положим c1==5]|eft|1; для любого х?Я„ выполняется
неравенство
Покажем, что существует и постоянная с2, такая, что для
любого х g Rn выполняется неравенство
l*li>e,|*|,-	B)
Допустим противное: существует последовательность век-
векторов хт (»*= 1, 2, ...), такая, что | хт |х < -1 хт |а. По-
ложим^. «= f^g - (ЧГ, .... "ПГ)• Имеем \ут |?
отсюда | г$"> | ^ 1 при любых k и т. Так как евклидов шар
есть компактное множество C.96д). то ив последователь-

12.36] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	§7
ности ут (т—1, 2, ...) можно выбрать сходящуюся под,
последовательность; отбрасывая лишние векторы и исправляя
нумерацию, можно считать, что сама последовательность
_уи = (т]5т), ..., т]й"') сходится к некоторому вектору
y=(%> ••¦> "Пи)- ПРИ этом согласно 3.32е имеем
%= lim Т]Г, .... Ч„= lim t|g"».	C)
fn -*¦ od	m -> оз
Переходя к пределу при те—к» в равенстве 2j(iim))s—1.
получаем |^[| = Jjift =Ь так что _у^0. На основании A)
можно написать, что \у—ym\i^c1\y—ут\3—»-0, т. е.
Ут -*У п0 норме | х \г. Но, с другой стороны, \ут\к = j^-j-1 —* О,
так что ут—>0. Полученные соотношения противоречат
единственности предела C.33а). Отсюда следует справедли-
справедливость неравенства B).
Теперь, применяя следствие в, убеждаемся в справедли-
справедливости нашего утверждения.
В частности, поскольку пространство Rn в евклидовой
норме |л;|2 полно C.72в), оно полно и в любой другой
норме \х\1ш
е. Как следствие, получаем:
В конечномерном пространстве Rn сходимость по любой
норме равносильна сходимости по координатам.
На рис. 12.4—12.8 показаны для случая п = 2 единичные
сферы норм | х |«,, | х |lt \x\p, рассмотренных в качестве при-
примеров в 12.33. Рис. 12.9 соответствует норме типа, отлич-
отличного от предыдущих. О случае р<1 см. задачу 20.
12.36. В л-мерном евклидовом пространстве JJ
компактен C.96д). В любом нормированном л-мерном про-
пространстве шар IJjcJj^Cl также компактен, поскольку по
12.35д любая норма эквивалентна евклидовой норме. Су-
Существуют ли бесконечномерные нормированные пространства
с компактным единичным шаром ||х||^ 1? Оказывается, нет,
и компактность шара есть свойство, отличающее конечно-
конечномерные пространства от бескоиечиомериых.
а. Лемма. Пусть Е—замкнутое подпространство линей-
линейного нормированного пространства R, отличное от всего R.

ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.36
Рис. 12.4.
Рис. 12.5.
Рис. 12.6.
Рис. 12.7.
р
Рис. 12.8.
Рис. 12.9.

12.37J § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	59
Существует вектор уgR, такой, что \у\ = \ и \у—х\
для всех х?Е.
Доказательство. Возьмем у0 ? R —Е; пусть d =
= inf j_у0—х\ для х?Е. Если бы было inf |_у0—jc| == 0, то
существовала бы последовательность хп ? Е, сходящаяся к у0;
но в силу замкнутости Е мы имели быу0 = limхп?Е вопреки
предположению. Поэтому d > 0. Найдем вектор х0 g E, та-
такой, что \у0—jco|<2d. Теперь положим у —,Уо~*0 . Мы
имеем |_у|=1; для любого х g Е также д:0 + х \у0—хо\?Е и

что и требуется.
б. Теор-ема (Ф. Рисе). Единичный шар бесконечномер-
бесконечномерного нормированного пространства R не является предком-
предкомпактным множеством.
Доказательство. Мы построим в единичном шаре
пространства R последовательность векторов xv x2, ...
..., хп, ... с взаимными расстояниями > 1/2. Так как из та-
такой последовательности, очевидно, нельзя выбрать фундамен-
фундаментальную подпоследовательность, то шар 5 = {лг: |лг[<С1}
не будет предкомпактным множеством. В качестве вектора xt
возьмем любой вектор xt g S, \ хх | = 1. Кратные Xxt образуют
замкнутое подпространство ?tcR. По лемме а существует
вектор x2?S, |x2| = l, такой, что |л:2—х|> 1/2 для всех
x?Ei, в частности, \хЛ—xt\~>l/2. Линейные комбинации
%гхх Ч-^г-^а образуют замкнутое подпространство ?2c:R.
По лемме а существует вектор xa g S, | х31 = 1, такой, что
*з—х\> V2 для всех х?Е2; в частности, \х3—xt \ > 1/2,
х3—ха| > 1/2. Продолжая так далее, мы построим расширя-
расширяющуюся цепочку конечномерных подпространств ?,с?гс...,
каждое из которых есть истинная часть всего R вследствие
бесконечномерности последнего, и последовательность векто-
векторов xlt хг, ... с взаимными расстояниями |хт—д;„|> 1/2.
Это, как уже было сказано, и решает задачу.
12.37. Ряды из векторов нормированного
пространства. В метрическом пространстве можно было
говорить о сходящихся последовательностях, но понятие

60 ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.37
сходящегося ряда не имело смысла. В линейном	нормиро-
линейном	нормированном пространстве понятие сходящегося ряда	векторов
имеет смысл.
а. Рассмотрим ряд из элементов нормированного прост-
пространства R:
... +*„+...	A)
Ряд A) называется сходящимся в R, если сходится в R
последовательность его частных сумм s1 = x1, s2 = xt-{-х2,. ..,
в этом случае предел частных сумм s= limsn по определе-
п-*а>
нию есть сумма ряда A). Если частные суммы sn не обра-
образуют сходящейся последовательности, ряд A) называется
расходящимся в R, и никакой суммы ему не приписывают.
Для сходимости ряда A) необходимо, а в случае полного
пространства R и достаточно, чтобы выполнялся критерий
Коши: для любого е > 0 существует номер N, такой, что
при любых m > N, я > m имеет место неравенство
I*» —*«l4*.+i+---+*nl<e-	B)
б. Если сходится числовой ряд из норм векторов х„,
то —в полном пространстве R — сходится и ряд A), так как
и можно использовать критерий Коши.
в. Признак Вейерштрасса. Ряд A) сходится, если
имеет место оценка норм |л;„|^а„ для всех п (начиная с
некоторого номера) и сходится числовой
Действительно, в указанных предположениях вместе с
рядом 2 ав сходится (по признаку сравнения) и ^]
1	1
г.	Признак Коши. Ряд A) сходится, еслиlim%/\xn\<l,
и расходится, если Нт^/|л;„|> 1.
Доказательство такое же, как для числового ряда в 6.146.
д.	Признак Абеля—Дирихле. Ряд
а1х1 + а2х2+...+а„х„+...,	C)
где xv х2, ... —векторы пространства R, av а2, ... —ве-
—вещественные числа, сходится в R, если числа ап, монотонно

12.37] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	61
убывая, стремятся к нулю, a sn — xt -f- ... -f- xn no норме
ограничены фиксированной постоянной.
Доказательство проводится по той же схеме, что и в
6.47, с применением преобразования Абеля и с заменой мо-
модулей на нормы.
е. Пример. Рассмотрим ряды
2 а„ cos nt,	D)
о
2 bn sin nt	E)
i
в пространстве Rs (a, b). Напомним, что R*(a, b)—полное
пространство A2.23е) и что сходимость по норме прост-
пространства Rs (а, Ь) есть равномерная сходимость на отрезке
[а, Ь]. Нормы функций cos nt и sin nt в пространстве Rs\a, b)
не превосходят единицы. Поэтому если 21 ап I < °° или
2|2>„|<°°. то соответствующий ряд D) или E) сходится
в пространстве Rs (а, Ь) (по признаку Вейерштрасса), т. е.
сходится равномерно на [а, Ь] при любых а и Ь.
В случае расходимости ряда из ап или Ьп, ио при усло-
условии ап\ 0 (или Ьп\ 0), можно использовать признак Абеля —
Дирихле. Для суммы синусов и косинусов мы имели в свое
время оценки F.47 (9))
" cos mt
2
ш=о
sin mt
1—cos t
F)
Если t изменяется в промежутке [е, 2я—e], где е>0,
то правая часть неравенства F) ограничена, и в левой части
мы можем перейти к максимуму:
¦^ cos mt
max Ssinmf
Это обеспечивает возможность применения признака Абеля —¦
Дирихле в пространстве Rs(b, 2я—е). Таким образом, ря-
ряды D) и E) при условиях с„\ О, Ь„\ 0 сходятся равномерно
на любом отрезке [е, 2я—е]. На отрезке [0, 2я] эти ряды
могут уже не сходиться равномерно (хотя ряд по синусам

62	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.38
сходится в каждой точке!). Далее {14.47) мы увидим, что
справедливы равенства
,	| 0 при *=0 и * = 2я,
л*<t	n^.^-o	G)
~ при 0< * < 2я,	1 '
=— In 2
@ < t < 2л).	(8)
Если бы ряд G) сходился равномерно на [0, 2л], т. е.
по норме пространства Rs{0, 2л), то и его сумма s(t) ле-
лежала бы в этом пространстве, т. е. была бы непрерывной
функцией на [0, 2я]. Но, как видно из G), функция s(t)
разрывна в точках 0 и 2я, поэтому равномерной сходимости
на всем промежутке [О, 2я] для ряда G) нет.
Сумма ряда {&) не ограничена в [0, 2я], поэтому он так-
также не является ^равномерно сходящимся на [0, 2а].
Оба ряда G) и (8) не сходятся „равномерно и в интер-
интервале @, 2п).
12.38. Пополнение нормированного прост-
пространства. Как и любое метрическое пространство, норми-
нормированное пространство R может быть полным или неполным.
В последнем случае пространство R можно пополнить, вклю-
включив в более широкое полное метрическое пространство R, как
это описано в § 3.8. При этом пополнение нормированного прост-
пространства будет не только метрическим, но и нормированным
пространством: мы введем в пополнении линейные операции
и проверим справедливость аксиом нормированного прост-
пространства.
Каждый элемент ^пополнения метрического пространства R
у нас был определен как символ, соответствующий классу
конфинальиых фундаментальных последовательностей про-
пространства Я. Предположим теперь, что R—линейное норми-
нормированное пространство. Тогда, складывая две фундаменталь-
фундаментальные последовательности xv х2, ... , хп, ... и у1г у2, ...
1 ¦ ¦. уп> • • • почленно, мы получим последовательность
которая также фундаментальна, поскольку
II < II хп-хт || + \\уп-ут

12.38] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	63
При этом, заменяя последовательность {хп} на конфиналь-
ную {х'п\ и последовательность {у„} на конфинальную {у'„},
мы придем к последовательности сумм {л;'„+.Уп}> конфи-
нальной с построенной {хп-\~уп\, поскольку
Этот факт позволяет следующим образом определить сло-
сложение элементов пространства R. Выберем в классе ^Г фунда-
фундаментальную последовательность {хп\ и в классе Y фундамен-
фундаментальную последовательность {у„}'; будем считать суммой X и Y
тот класс, который содержит фундаментальную последователь-
последовательность {хп+у„\.
Предыдущие рассуждения подтверждают корректность
этого определения и, в частности, независимость результата
от выбора- последовательностей \хп} и {уп\ в соответствую-
соответствующих классах.
Аналогично произведение класса X на число % определим
так: выберем фундаментальную последовательность {хп) в
классе X и под классом XX условимся понимать тот класс,
который содержит фундаментальную последовательность {Ял;п}.
Мы предоставляем читателю обосновать корректность этого
определения.
Легко проверить, что- аксиомы линейного пространства
12.11 здесь выполняются; в силу самого определения ли-
линейные операции над классами сводятся к соответствующим
операциям над элементами исходного пространства. В част-
частности, класс 0 состоит из всех последовательностей прост-
пространства R, сходящихся к нулю.
Нам остается ввести норму в пространстве R и проверить
выполнение аксиом 12.31а—в. Норма класса X определяется
по формуле
где р означает расстояние в пополненном метрическом про-
пространстве R C.52A))". Иными словами, ||Х|| = Нтр(л:п, 0),
где хп—любая фундаментальная последовательность из клас-
класса X. Если IJX || = 0, то lim || хп || = 0,. так что последова-
последовательность {хп\ кшфинальнах последовательностью {0, 0, ...},
определяющей класс G; поэтому, Х = 0 » выполнена аксиома
12.31а. Фиксируя в классах X, Y фундаментальные после-

64	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.39
довательности {хп}, {уп\, мы можем в классе Х-\- Y взять
фундаментальную последовательность {хп-\-уп\. Отсюда,
поскольку ||хп + уп||<||хп|| +1|уп||,
так что аксиома 12.31 в выполнена. Аналогично,
lim
так что выполнена и аксиома 12.316. Тем самым наше
утверждение полностью доказано.
12.39. Комплексные линейные нормирован-
нормированные пространства.
а. В 12.31—12.38 изложение велось для вещественных
нормированных пространств. Но нетрудно ввести в рассмотре-
рассмотрение и нормированные пространства над полем комплексных
чисел*). А именно, линейное комплексное пространство С
мы будем называть комплексным нормированным простран-
пространством, если любому вектору х ? С поставлено в соответствие
неотрицательное число [ х |, называемое нормой вектора х
и удовлетворяющее условиям
1)	*|>0, если х*j*О, |0| = 0;
2)	ад;| = |а||л;| для любого х^С и любого комплекс-
комплексного а;
3)	|#+.у|^1л;| + |>'1 для любых х и у из С (аксиома
треугольника).
Поскольку в комплексном пространстве допустимо умно-
умножение на любые комплексные числа, всякое комплексное
нормированное пространство одновременно является и веще-
вещественным нормированным пространством. Это позволяет
переносить факты, известные для вещественных нормиро-
нормированных пространств, на случай комплексных нормированных
пространств или непосредственно, или с небольшой моди-
модификацией. В частности, нормированное комплексное про-
пространство, как вещественное, является метрическим про-
*) Обобщить определение иа случай линейного пространства
над произвольным полем К ие представляется возможным, поскольку
для элементов а из произвольного поля К абсолютная величина
| ос | не определена.

12.39] § 12.3. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА	65
странством с расстоянием, определенным по формуле
\
у \
б. Пространство всех комплекснозначных ограниченных
непрерывных функций х (t) на метрическом пространстве М
с нормой
является комплексным нормированным пространством и обо-
обозначается CS(M). Это пространство полно A2.23е).
в. Пространство комплексных непрерывных функций x(t)
на отрезке [а, Ь], снабженное нормой
есть комплексное нормированное пространство; оно обозна-
обозначается через CLsp(a, b) (или просто Lsp{a, b), как и про-
пространство вещественных функций, если не возникает
путаницы).
г.	Пространство всех непрерывных ограниченных функ-
функций x(t), определенных на метрическом пространстве М,
со значениями в комплексном нормированном пространстве С,
снабженное нормой
||*|| = sup|*(/)|
(где | х (t) | есть норма в пространстве С), есть комплексное
нормированное пространство; оно обозначается по-прежнему
через CS(M). Оно полно, если полно С A2.23 е).
д.	Примеры конечномерных вещественных нормированных
пространств, приведенные в 12.33 в, после небольшого изме-
изменения приводят к аналогичным примерам комплексных ко-
конечномерных нормированных пространств: следует только
заменить вещественный вектор х = (|lf ... , ?„) на комп-
комплексный (т. е. считать координаты |х, ... , ?„ комплексными
числами) и в формулах 12.33 F) и D) вместо ?| и ?? писать
|?й|2 и \Ьк\р- Аналогично получаются комплексные аналоги
бесконечномерных пространств / A2.33 г).
е.	Множество Е в комплексном нормированном прост-
пространстве С называется абсолютно выпуклым, если вместе

66	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	J12.S9
с двумя любыми точками х, у оно содержит любую точку
вида алг + Ру. где комплексные числа а и В таковы, что
|al + |P|^!- Любой шар {х?С:|л;—#ol^p} B комплекс-
комплексном нормированном пространстве есть абсолютно выпуклое
множество-.
ж.	Условия эквивалентности норм в вещественном норми-
нормированном пространстве A2.35 а — е) остаются справедливыми
и для норм в комплексном пространстве. В частности,
в конечномерном комплексном пространстве любые две
нормы эквивалентны и сходимость, соответствующая любой
норме, есть сходимость по координатам. Все конечномерные
комплексные нормированные пространства, как и вещест-
вещественные, являются полными.
з.	Теорема Рисса о некомпактности шаров в бесконечно-
бесконечномерных нормированных пространствах A2.36 6), доказанная для
вещественных пространств, тем самым верна и для комплекс-
комплексных пространств.
и. Вся теория сходимости рядов из векторов нормиро-
нормированного пространства, описанная в 12.37 для вещественного
случая, без всяких изменений переносится на случай комплекс-
комплексных пространств.
Приведем здесь один специфический пример. Рассмотрим
степенной ряд
где z и zB—комплексные числа, а коэффициенты ak — эле-
элементы полного нормированного комплексного пространства С.
Утверждается, что этот ряд сходится внутри круга радиуса
г—.
Vх IK II
П -*¦ OD
с центром в точке z0 и расходится вне этого круга. Дока-
Доказательство—такое же, как доказательство формулы Коши —
Адамара в 6.62, с использованием признака Коши 12.37 г.
к. Пополнение комплексного нормированного пространст-
пространства С производится так же, как и в вещественном случае
A2.88); в результате пополнения получается полное комп-
комплексное нормированное пространство С.

12.41]	§ 12.4. аппроксимации на компакте	67
§ 12.4. Аппроксимации в пространстве непрерывных
функций на компакте
12.41. Пространство RS(Q) {CS(Q)) всех непрерывных
вещественных (комплексных) функций на компакте Q есть
линейное A2.13 и—^нормированное A2.32а,12.39г) полное
A2.23 е) пространство. Мы будем рассматривать различные
линейные семейства B(Q) непрерывных вещественных
(комплексных) функций, определенных на компакте Q. Нас
интересует вопрос, при каких условиях на семейство B(Q)
его замыкание по равномерной сходимости на компакте Q,
т. е. по норме пространства Rs (?>) (Cs (?>)),— будет содер~
жать все непрерывные функции на Q,
а.	Будем говорить, что семейство функций B(Q) разде-
разделяет точки г и у множества Q, если в семействе B(Q)
имеется функция <р (х), такая, что <р {z) Ф <р (у) (функция,
разделяющая точки г и у). Утверждение, что семейство
B{Q) не разделяет точки г и у, означает, что для всех
функций f(x)?B(Q) выполняется равенство f(z)=f{y).
Так как это равенство сохранится и после перехода к за-
замыканию семейства B(Q) по равномерной сходимости, то
на метрическом пространстве замыкание семейства B(Q)
в этом случае заведомо не содержит всех непрерывных
функций, например, не содержит функции р (х, у), равной О
при х=у и отличной от 0 при x — z. Итак, если мы желаем,
чтобы замыкание семейства В (Q) содержало все непрерыв-
непрерывные функции на компакте Q, мы должны предположить, что
оно разделяет любые две точки компакта Q.
б.	Линейную систему вещественных функций B(Q) на
множестве Q мы будем называть линейной сетью, если
вместе с каждой функцией f(x) к системе B(Q) принадлежит
и функция |/(х) |.
Для любых двух вещественных чисел аи Р справедливы
равенства
max {a, jJ} + min{a, P} = a-fP,
max {a, P}—min {а, Р} = |а—Р|.
Поэтому для любых двух вещественных функций f{x), g{x)
справедливы равенства
max {/(*), g(x)} + min{f(x), g(x)}^f(x) + g(x),
max{/(*), g(x)\~min{f(x), g(x)} = \f(x)-g{x)\.

68	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.41
Решая эти уравнения относительно max {/(x), g{x)\ и
min {/(х), g(x)\, мы приходим к выводу, что в линей-
линейную сеть вместе с функциями f(x) и g(x) входят также
функции-max {/(х), g(x)\ и mtn{/(x), g{x)\. Далее по
индукции легко получить, что в линейную сеть вместе
с функциями Д (х), ... , /„ (х) входят также функции
max {Д (x), ...,/„ (х)} и min {Д (х), ...,/„ (х)}.
в. Теорема. Линейная сеть B(Q) на компакте Q, раз-
разделяющая две любые точки этого компакта, всюду плотна
в пространстве Rs (Q) всех непрерывных функций на Q,
если она содержит функцию е (х) = 1.
Доказательство. Линейная сеть B(Q), содержащая
1 и разделяющая точки гну, содержит функцию, прини-
принимающую в точках z и у любые наперед заданные значения
р и q\ ее можно найти в форме сир (х)-{-b • \, где ер(х) —
функция из В (Q), разделяющая точки z и у, и где а и Ъ —
постоянные.
Пусть заданы е>0 и непрерывная функция f(x). Для
любых двух (не обязательно различных) точек z и у согласно
сказанному выше можно указать функцию (pzy (х) ? В (Q),
для которой (pzy(z)=f(z), (pzy{y)=fiy). Пусть
U2y = {х€ Q:<pzy (*) </(*) + г\.
Множество Uz открыто и содержит точки гну. Зафикси-
Зафиксируем z; тогда открытые множества Uzy, рассматриваемые
при всех у ? Q, образуют покрытие компакта Q. По лемме
3.97 из этого покрытия можно выделить конечное покрытие
UZyt, • • • , Uzym- Рассмотрим функцию
фг (X) = min {фг&1 (х), .... (ргУт (х)},
принадлежащую к линейной сети В (Q). Так как в каждой
точке х ? Q при фиксированном z выполняется хотя бы одно
из неравенств, определяющих области Uzyk, то при всех
x?Q мы имеем epz(x) = min<pz&fc </(x)-f e. В то же вре-
время Фг (z) = min (pZVk (z)=f{z).
it
Положим, далее,
V,= {*€Q:<P, (*)>/(*)—el-
Множество Vz открыто и содержит точку z. Множества Vz
при всех z ? Q образуют покрытие компакта Q. По лемме

12.421	§ 12.4. аппроксимации на компакте	69
3.97 можно выбрать из этого покрытия конечное покрытие
^	 ^n.
Положим
Ф (х) = max {ф2, (х)	фг„ (*)};
эта функция также принадлежит к линейной сети В (Q),
и по построению
Ф (х) = max ф2, (х) </'*) + е.
С другой стороны, в каждой точке x?Q выполняется
хотя бы одно из неравенств, определяющих область VZj,
и поэтому
Ф {х) = max ф2^ (х) > / (х)—е.
Таким образом, при всех x?Q
/(*)—в <<р (*)</(*) + в,
что и доказывает теорему.
(Без предположения е (х) == 1 ? В (Q) теорема иеверна:
линейная сеть всех непрерывных функций f(x), удовлетво-
удовлетворяющих для двух заданных точек z и у условию f(z) = 2/ (у),
не является всюду плотной в пространстве RS(Q).)
12.42. Теорема Стоуна.
а.	В соответствии с общим определением алгебры A2.18а)
линейная система В (Q), состоящая из (вещественных) функций
на компакте Q, называется алгеброй, если вместе с функ-
функциями f(x) и g(x) к системе B(Q) принадлежит функция
f(x)g(x).
б.	Лемма. Вещественная алгебра В (Q), содержащая
единицу и замкнутая относительно равномерной сходимости,
является линейной сетью.
Доказательство. Мы хотим доказать, что в алгебру
B(Q) вместе с функцией f(x) входит также |/(х)|. Без
ограничения общности можно считать, что max \f(x) |= 1.
Рассмотрим ряд Тейлора
т(|0(т)
•*•+	1-2-3 ... п	( У -г--..

70	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	fl2.43
Мы знаем из 9.52г (где надо положить а—1/2) и 6.65,
что ои сходится равномерно при 0^?й^1.
Поскольку на компакте Q выполняется неравенство
8, мы имеем по сказанному выше
|/()|1(/{))
-1—1A -f (х))~i(l-/2 (*))• + ...,
причем ряд справа сходится равномерно на Q. Так как
алгебра B(Q) замкнута относительно равномерной сходи-
сходимости, то |/(*)| € B(Q), что и требуется.
в. Теорема Стоуна (для вещественной алгебры).
Алгебра В (Q), состоящая из вещественных функций, раз-
разделяющая любые две точки компакта Q и содержащая еди-
единицу, всюду плотна в пространстве Rs (Q).
Доказательство. Обозначим через В(Q) замыкание
алгебры B(Q) относительно равномерной сходимости. Си-
Система В (Q), очевидно, также является алгеброй: если
/„(*)—*f{x) (равномерно на Q), gn(x)—*g(x) (равномерно
на Q), то /„ (х) gn (х) -+f(x)g(x) (равномерно на Q), так
что из / (х) ? В (Q), g(х) eBjQ) следует / (х) g(x)?B (Q).
По лемме б алгебра B(Q) есть линейная сеть, а по тео-
теореме 12.41 в B(Q) всюду плотна в пространстве Rs (Q). Так
как алгебра В (Q) замкнута, то В (Q) = Rs (Q), что и тре-
требуется.
12.43. а. Для алгебр, состоящих из комплекснозначных
функций, можно было бы ожидать, что такая алгебра, если
она разделяет любые две точки компакта Q и содержит
единицу, является всюду плотной в пространстве Cs (Q) всех
непрерывных комплексных функций на компакте Q. Однако
в такой форме теорема на самом деле неверна (см. задачу 5).
б. Но при одном дополнительном условии теорема Стоуна
переносится и на алгебры, состоящие из комплекснозначных
функций. Будем называть комплексную алгебру B(Q) сим-
симметричной, если вместе со всякой функцией q> (х) = и (х) + iv(x)
в эту алгебру входит комплексно сопряженная функция
{	()
Теорема Стоуна (для комплексной алгебры).
Алгебра B(Q), состоящая из комплекс позначных функций,

12-44)	§ 12.4. аппроксимации на компакте	71
разделяющая любые две точки компакта Q, содержащая
единицу и симметричная, всюду плотна в пространстве Cs (Q).
Доказательство. Алгебра В (Q) при указанных
условиях вместе со всякой функцией ф (х) = и {х) + iv (x)
содержит вещественные функции и (х) — -^ [<р (х) -f- ф~ (х)] и
»(*) = 2f[q>(*) — ф(х)]. Обозначим через BR(Q) подалгебру
вещественных функций h (x) g В (Q). Эта подалгебра разде-
разделяет любые две точки у и z компакта Q (если ф (у) ф ф (г),
то и(у)фи(г) или же v (у) Ф v (z)) и содержит единицу.
По теореме Стоуна 12.42в BR(Q) = Rs(Q), откуда и
l
12.44. Следствия из теорем Стоуна.
а.	Пусть компакт Q есть замкнутое ограниченное мно-
множество в /?„ и алгебра B(Q) состоит из всех вещественных
многочленов р (xlt ... , хп). Очевидно, здесь выполнены
все предпосылки теоремы Стоуна 12.42 в. Применяя ее,
получаем следующую теорему:
Теорема (Вейерштрасс). Каждая вещественная непре-
непрерывная функция f(x) на замкнутом ограниченном множестве
Q cz /?„ является пределом равномерно сходящейся на Q
последовательности многочленов от xt, ... , хп.
б.	Для алгебры B(Q) из комплексноэначных многочленов
р [xlt ... , х„) выполнены условия теоремы Стоуна 12.43 б;
поэтому каждая непрерывная комплекс позначная функция
f(x) на замкнутом ограниченном множестве Q с Rn является
пределом равномерно сходящейся последовательности (комп-
лекснозначных) многочленов от xt, ... , хп.
в.	В частности, каждая (вещественная или комплексная)
непрерывная функция на отрезке a^ix^b является пре-
пределом равномерно сходящейся последовательности много-
многочленов (соответственно вещественных или комплексных) от х.
г.	Пусть теперь компакт Q есть окружность Xй +У = 1
в плоскости х, у. Положение точки на этой окружности
определяется полярным углом ф. В качестве алгебры В (Q)
возьмем совокупность тригонометрических многочленов с ве-
вещественными коэффициентами
п
Р (ф) = 2 К cos ft(P + h sin k<f>)-	(!)
ft=0

72	гл. 12. основные структуры анализа	[12.44
Из формул умножения для тригонометрических функций
E.63), которые можно записать в виде
2 cos k<p cos тц> = cos (k—m) q> -f cos (k -f- /я) ср,
2cos% sin отф= sin (m—k) q>-\- sin (m-\-k)q>,
2 sin % sin m<p = cos(k—/я)ф—cos (k -f- /я) ф,
следует, что система функций A) вместе с любыми двумя
функциями содержит к их произведение, т. е. действительно
является алгеброй. Любые две точки фх и ф2 разделяются
функцией из алгебры В (Q), именно, функцией sin ф или
cos ф. Применяя теорему Стоуна 12.42 в, получаем новый
вариант теоремы а:
Теорема (Вейерштрасс). Каждая вещественная непре-
непрерывная функция /(ф) на окружности Q является пределом
равномерно сходящейся последовательности тригонометри-
тригонометрических многочленов A) с вещественными коэффициентами.
д.	Возьмем на вещественной оси вещественную непре-
непрерывную функцию g(t), периодическую с периодом 2я; оче-
очевидно, ей можно поставить в соответствие непрерывную
функцию на окружности Q, полагая / (ф) = g (ф -J- 2kn) при
любом k. Обратно, каждой непрерывной функции /(ф) на
окружности Q мы можем поставить в соответствие формулой
g(t-\-2kn)=f(t) непрерывную функцию g(t) на всей веще-
вещественной оси. Поэтому теорему г можно сформулировать
еще и так:
Теорема. Каждая вещественная непрерывная функция
g(t) на оси t, имеющая период 2я, является пределом равно-
равномерно сходящейся (на всей оси) последовательности триго-
тригонометрических многочленов.
е.	Комплексный вариант теорем and может быть сфор-
сформулирован в некотором отношении еще проще. Исходя из
формул Эйлера 8.63
cosk<p = ~(eikv + e-ikf),
sin k(p=^^{eikf—e~ikf),
мы можем заменить тригонометрические многочлены A) на
многочлены
Ь	B)

12.45]	§ 12.4. аппроксимации на компакте	73
Тот факт, что многочлены B) образуют алгебру, явствует
из правил умножения показательной функции. Симметричность
этой алгебры вытекает из равенства 2сле'Л<р= 2сле~'Л<р-
Две точки <plf фг окружности Q разделяются функцией е'<Р.
Теорема 12.436 приводит к следующему результату:
Теорема. Каждая комплекс позначная непрерывная
функция на окружности Q (или, что то же, непрерывная
функция на оси — оо < t < oo с периодом 2п) является
пределом равномерно сходящейся последовательности триго-
тригонометрических комплексных многочленов вида B).
12.45. Дельта-образные последовательности.
Теорема Стоуна, устанавливая принципиальную возможность
аппроксимации любой непрерывной функции функциями из
алгебры В (Q), не указывает, однако, правила построения
аппроксимирующей функции. Мы приведем здесь некоторые
способы получения конкретных аппроксимаций.
Поскольку в дальнейшем используется интегрирование,
будем предполагать, что компакт Q есть отрезок числовой
оси или же окружность радиуса 1 (отрезок [— п, п]
с отождествленными концами).
а.	Обозначим через U9(y) интервал длины 2р с центром
в точке у. Пусть для данной точки у ? Q имеется последо-
последовательность неотрицательных функций Dn (х; у) (я= 1, 2, 3,...),
обладающая свойствами:
1)	\ Dn(x;y)dx —> 1 при любом р > О,
и (ij)	<" -*• <*¦'
2)	j Dn (х; у) dx —> 0 при любом р > 0.
Q-UfW)	(n-»co)
Такая последовательность Dn (x; у) называется дельта*
образной последовательностью (для точки у). (О происхож-
происхождении такого названия будет сказано ниже.)
б.	Теорема. ПустьDn(х;у) — дельта-образная последо-
последовательность для точки у; если f(x) — кусочно-непрерывная
функция, непрерывная в точке у, то
Hm \Dn(x;y)f(x)dx=f(y).
\ Dn {x;
Q

74
ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
[12.45
Доказательство. Пусть /M = sup \/{x) |. Для задан-
заданного в > 0 найдем б > 0 так, чтобы из р {х, у)^& следо-
следовало \f(x)— /0>)|<в. Далее,
\\Dn(x;y)f{x)dx-f(y)
= К Dn (x; у) [/(x)-f(y)] dx+/(y) [ J ?>„ (х; у) dx-\J =
+ 2М J
A)
В силу свойств 1) и 2) дельта-образной последователь-
последовательности полученная величина при достаточно большом п будет
меньше 2е, что и требуется.
в. Теперь заметим, что если функция Dn (x; у) непре-
непрерывна по совокупности переменных x?Q, y€Q, a f(x)
по-прежнему кусочно-непрерывна, то
B)
/„(*)= $ ?>„ (х; y)f(y)dy
Q
есть непрерывная функция на Q. Действительно,
C)
и если для заданного е > 0 найти б >> 0 так, чтобы из не-
неравенства \х'—х" | < б следовало при любом

12.45]	§ 12.4. аппроксимации на компактв	75
то, как видно из B), при этих х' и х" также
!/„(*')-/„(*") К в,
что и требуется.
г.	Дополним теорему следующим замечанием о равномер-
равномерной сходимости. Заметим сначала, что если свойства 1) и
2) выполняются для каждой точки у из некоторого подмно-
подмножества EczQ и функция f(x) непрерывна в каждой точке
у ? Е, то, очевидно, и результат б справедлив для каждой
точки у ? Е.
Будем говорить, что соотношения 1) и 2) выполняются
равномерно на множестве EcQ, если при любом е > О
существует N, такое, что разность между правыми и левыми
частями соотношений 1) и 2) по модулю не превосходит в
при n~^N в любой точке у?Е.
Будем говорить, что функция f(x) равномерно непре-
непрерывна на Е относительно Q, если для любого 8 > 0 можно
найти 6>0 так, что из неравенства \х—у|^б, x?Q,
у?Е, следует |/(х)-/(,у)| <е.
Тогда из оценок C) немедленно вытекает теорема:
Теорема. Если соотношения 1.) и 2) при каждом р >• О
выполняются равномерно на множестве Е и функция f(x)
на Е равномерно непрерывна относительно Q, то функции
/п(х) B) стремятся к функции f(x) при л—»-оо равномерно
на множестве Е.
д.	Для применения теоремы г полезен следующий при-
признак равномерной непрерывности функции f(x) на мно-
множестве Е относительно Q.
Лемма. На всяком замкнутом множестве EczQ точек
непрерывности функции /(х) эта функция f(x) является
равномерно непрерывной относительно Q.
Доказательство. По теореме Гейне E.176) функ-
функция f(x) равномерно непрерывна на Е, и для каждого е > О
можно найти такое 60 > 0, что из \у — г|<б0, у?Е, z?E,
следует \f(y)— f{z)\ < е/2. Далее, найдем для каждой
точки у?Е интервал \х—у \ < б (у) ^бо/2, в котором вы-
выполняется неравенство |/(.v)—/(,у)|<Е/2; затем, пользуясь
5.97, из полученного покрытия множества Е выделим конеч-
конечное покрытие \х—jfx| <6г, ..., \х—,у„|<6„. Пусть
б = min Flt ..., б„). Тогда для любых хg Q,у <Е Е, \х—у | < 6,

76	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.45
найдя точку ук с \х—yk\<.&k, получим
что и требуется.
е.	Теорему б можно высказать в следующей, несколько
более сильной формулировке: если Dn(x; у)— дельта-образная
последовательность для точки у и f(x) непрерывна при
х=у, то для всякой последовательности уп—>- у
lim [Dn(x;yn)/(x)dx = f(y).
Доказательство получается той же выкладкой, с неболь-
небольшим уточнением оценки.
ж.	Рассмотрим еще случай, когда вместо дискретного
параметра я берется непрерывный параметр t. Пусть имеется
функция трех переменных D (t, x, у), где хну пробегают
компакт Q, a t — промежуток 0<t^.b; пусть при любом
р > 0 выполнены условия:
1)	lim J D(t,x,y)dx=l;
2)	lim J D{t,x,y)dx = 0.
'"'U-s|>P
Тогда, если для каждого t задать величину у (i), кото-
которая при t —>• 0 имеет пределом у, получим
lim \D(t,x,y(t))f(x)dx=f(y).
Это равенство доказывается той же выкладкой, что и тео-
теорема б (с учетом замечания е). Можно сказать, что функция
F(t,y)=\D(t,x,y)f(x)dx
Q
дополненная для ^ = 0 условием
F{0,y)=
непрерывна в замкнутой области О^^^й, y(tQ-

12.46]	§ 12.4. АППРОКСИМАЦИИ НА КОМПАКТЕ	77
з. Условие неотрицательности Dn (x; у) (или, для ж,
D(t,x,y)) можно снять, заменив его условием
[\Dn(x;y)\dx^c (или [\D(t,x,y)\d <
где с не зависит от п. Но условие D) уже весьма сущест-
существенно; без этого условия теорема становится неверной,
как мы убедимся далее в гл. 14.
и. Замечание. Название «дельта-образная последовательность»
ведет начало от «дельта-функции» Дирака. П. Дирак в книге «Прин-
«Принципы квантовой механики» A930) определил «дельта-функцию» 6(х)
как функцию на оси— оо < х < оо, всюду равную нулю, кроме точ-
точки л;=0, и обладающую свойством
b(x)dx=*\.	E)
После этого он «доказал» теорему: для любой функции f(x), не-
непрерывной при х = ?, имеет место равенство
ее
J b(x-l)f(l)dl=f[x).	F)
— со
(«Доказательство» простое: функция 6 (х—?) при \Ф х равна О,
и, следовательно, значения / (?) при \ Ф х не играют роли; заменяя
/(!) постоянной, равной / (*), и используя E), получаем F)). В клас-
классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами,
предписанными Дираком, и реальное содержание его теоремы при-
примерно соответствует приведенной теореме б. Лишь несколько лет спу-
спустя, в работах С. Л Соболева A935) и Л. Швариа A947) дельта-
функция получила свое математическое оформление, но не как обыч-
обычная, а как обобщенная функция (см., например, Г. Е. Шилов,
Математический анализ, Второй специальный курс, «Наука», М., 1965).
Дельта-функция Дирака представляет собой характерный пример без-
безошибочной математической интуиции физика, опередившей уровень
математики своего времени.
12.46. Применение дельта-образных после-
последовательностей к построению аппроксими-
аппроксимирующих функций.
а. Мы хотим аппроксимировать даяную функцию /(у)
функцией/п (у) из алгебры В (Q). Эта задача будет решена, ес-
если мы сможем подобрать дельта-образную последовательность

78	гл. 12. основные структуры анализа	[12.46
Dn(x;y) так, чтобы иметь
б. Пусть Q=[0, 1] и алгебра B(Q) есть алгебра всех
многочленов, определенных на [0,1]. Положим при п—\,2, ...
где
I— t4"dt
и покажем, что Dn(x;y) для любого у?@, 1) есть дельта-
образная последовательность. Поскольку функция
/I ii\ 	 f~* 111 	 j Y 1|\ 1" ~F iv\ /fY	l(?\
n \У> — л J I — V* — УI J / \xl ax>	\"l
0
очевидно, есть многочлен от у (степени ^ 2л), мы получаем
выражение конкретных многочленов, аппроксимирующих
функцию f(y).
в. Лемма. Для любого р g @, 1)
1
\ A — t2)"dt
lira ±	=0.
о
Доказательство вытекает из простых оценок
A —*•)» dt < A -р2)»A -р) < A -р2)",
р

12.46]	§ 12.4. АППРОКСИМАЦИИ НА КОМПАКТЕ	79
и предельного соотношения {5.58 D) и 4.37а)
lim (n 4-1)A— р2)" = 0.
Как следствие, получаем: при любом р ? @, 1)
р
lim 1	= 1.
г. Теперь проверим для функции Dn (х; у) выполнение
свойств дельта-образной последовательности A2.45а и г).
В силу леммы при любом р ? @, 1) мы имеем
J Dn{x;y)dx = Cn J [l-(*-yJ]nrf* =
\	1*-гМ>р
р
0 (л—оо).
чем доказано равномерное выполнение свойства 2) на мно-
множестве 0<у<1. Далее, для у€[р0, 1— р0]. 0<р<р0,
Dn(x;y)dx = Cn
-р
$«¦-
(я —оо),

80	гл. 12. основные структуры анализа	[12.47
чем доказано равномерное выполнение свойства 1) на мно-
множестве po^JJ^l—Ро-
В силу теоремы 12.456 и г многочлены B) образуют
последовательность, сходящуюся к непрерывной на @, 1)
функции /(у) всюду при З' € @,1), равномерно в любом про-
промежутке [р0, 1—ро], ро>0.
Между прочим, этим получено прямое доказательство
теоремы Вейерштрасса для отрезка [р0, 1—р0]. Растяже-
Растяжением отрезка [р0, 1—р0] можно перенести ее на любой от-
отрезок [а, Ь].
12.47. а. Совершенно аналогичное построение можно про-
провести для получения аппроксимирующих тригонометрических
многочленов. Пусть Q = {х2 -\-у2 = 1} — окружность, ц> — по-
полярный угол, определяющий положение точки на Q; В (Q)—
алгебра всех вещественных тригонометрических многочле-
многочленов. Положим
cos2" tdt
= 1,2,...), A)
и покажем, что Dn (ц>; г})) для любого яр есть дельта-образ-
дельта-образная последовательность. Поскольку функция
/„ № = С„ j cos2" S=l f (ф) Ар	B)
есть тригонометрический многочлен от гр (порядка г^ 2«),
мы получим выражения конкретных тригонометрических мно-
многочленов, аппроксимирующих функцию /((р).
б. Лемма. Для любого р g @, я/2)
Л/2
[ cos2" tdt
/I-»- 00
cos2" tdt
о

12.471	§ 12.4. аппроксимации на компакте	81
Доказательство. Так как функция cos t при
О ^ t ^ я/2 убывает, то
Я/2
Г cos2" tdt < (~ — р ) cos2" р < у cos2" pi
так как она в этом промежутке выпукла вверх, то
cos t ^ 1 — 2t/n и
Я/2
п
Поэтому при и-юо в силу 5.56
Л/2
С cos2" / dt
f COS2"/*»
о
Как следствие, получаем: при любом р g @, я/2)
р
и-* оо
COS
О
в. В силу леммы б при любом р ? @, р0), р0 > О,
Я/2
Г
= 2СП Г cos2"i^=^	„о (л —оо),

82	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.Я1
чем доказано свойство 2) дельта-образной последователь-
последовательности A2.45а). Далее, для любого р g @, р0), р0 > О,
1<р-*|<р
0/S
р/2	[ COS2" tut
Г
2С„ Г сое»» ** = ¦?-	— 1 (я—оо),
J COS2"<rf<
-р/2
чем доказано свойство 1). В силу теоремы 12А5г тригоно-
тригонометрические многочлены B) образуют последовательность,
равномерно сходящуюся к функции /(ф) на всяком множе-
множестве EcQ, на котором она равномерно непрерывна отно-
относительно Q, в частности A2.45д), на всяком замкнутом
множестве, на котором она непрерывна.
г. Замечание. В обоих рассмотренных случаях можно опе-
нять степень многочлена (алгебраического или тригонометрического),
который по формулам B) или 12.46 B) дает аппроксимацию функ-
функции' f(x) с точностью до заданного е. Хотя многочлены B) или
12.46 B) весьма просты по своей структуре, они, вообще говоря, не
самые лучшие среди всех многочленов давной степени. Доказывается,
что среди полиномов степени п существует такой, который отличается
от данной на отрезке [а, Ь] непрерывной функции f (x) не более,
чем на 12© (	] . Здесь
<вF)= max \f(x)—f{y)\
есть колебание функции f(x) на отрезке [а, Ь] E.17в). Для тригоно-
тригонометрических полиномов (на окружности Q) предыдущая оценка заме-
заменяется на 12ю A/tt) (теоремы Д. Джексона; см. И. П. Натансон,
Конструктивная теория функций, М.— Л., 1949).
§ 12.5. Дифференцирование и интегрирование функций
со значениями в нормированном пространстве
12.61. Производная.
а. Пусть дана функция x{t), определенная на отрезке
a^t^b, со значениями в линейном нормированном про-
пространстве X, вещественном или комплексном. Будем говорить,

12.51] § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ	83
что функция х(t) дифференцируема в точке 10?{а, Ь\, если
в пространстве X существует предел
* (*о)~ Iira	7—-*	»	I1)
t-t» l~fO
который называется производной от функции x(t) в точке
t = t0.
б.	Функция x(t) называется дифференцируемой на всем
отрезке [а, Ь], если ее производная существует в каждой
точке этого отрезка; производная х' {t) сама в этом случае
есть функция, определенная на отрезке [а, Ь] со значения-
значениями в X.
в.	Из определения A) следует, что если функция x(t)
дифференцируема в точке t0, то
x(t) —x{to)*=x'{to){t —to) + e(t, to){t-to),
где е (t, t0) стремится к нулю в пространстве X, когда t -*¦ t0.
г.	В частности, из дифференцируемое.™ функции х (t) в
точке t0 следует ее непрерывность в этой точке. Функция х (/),
дифференцируемая на отрезке [а, Ь], непрерывна на этом
отрезке.
Легко проверяются (как и в числовом случае) основные
правила дифференцирования:
д.	Если x(t)—xoectb постоянный элемент пространства X,
то л;'(*)==0.
е.	Если x(t) и^(^)—дифференцируемые функции со зна-
значениями в X, то x(t)-ry(t) также дифференцируема и
[x{t)+y{t)Y-x'(t)+y'{t).
ж.	Если x(t) — дифференцируемая функция со значениями
в X, a y(t)—числовая дифференцируемая функция, то произ-
произведение y(t)x(t) есть дифференцируемая функция со значе-
значениями в X и
[У V) х (/)]' = у' @x(t) + y Ц) х' (t). B)
В частности, для любой постоянной а
[ax(t)]'=ax'(t).
з.	Если функция х (t) (a ^ t ^ Ь) — дифференцируемая
функция от t со значениями в пространстве X, а / = t (т) —

84	гл. 12. основные структуры анализа	[12.51
дифференцируемая числовая функция со значениями в отрез-
отрезке [а, Ь], то у (т) = х (t (т))—дифференцируемая функция
от т и
и. Введем понятие дифференциала функции х (t) со зна-
значениями в нормированном пространстве. Вектор dx — x'(c)dt,
где dt — t^t есть произвольное приращение параметра t, на-
называется дифференциалом векторной функции х (t) при t = с.
Дифференциал функции, таким образом, есть главная линей-
линейная часть ее приращения, отвечающего приращению аргу-
аргумента t.
Как и раньше, имеет место теорема об инвариантности
дифференциала: дифференциал функции х (t) не зависит от
того, является ли t независимым переменным или функцией
от другого независимого переменного х (в последнем случае
dt есть главная линейная часть приращения функции t (т)).
В самом деле, если g(x) = x [t (т)] и dTx есть дифференциал
функции х по переменной т, то по ж
dTx = g' (т) dx = х' (с) Г (т) dx = х' (с) dt = dx,
что и утверждалось.
к. В дальнейшем (л) мы приведем предложение, обратное
к д: функция, производная которой тождественно равна нулю,
постоянна. В целях большей общности мы докажем эту тео-
теорему в предположении, что функция x(t) лишь кусочно-диф-
кусочно-дифференцируема. Введем точные определения. Функция x(t)
со значениями в пространстве X называется кусочно-непре-
кусочно-непрерывной на отрезке а ^ t ^ b, если существует разбиение
a = to<C tx<i... < tn — b, такое, чтолг(^) непрерывна в каждом
из интервалов (tk, tk+l) и имеет пределы x(tk-r0) и
x(tk+1 — 0) (k — 0, I, ... , п—1); как обычно, в самих точ-
точках tk функция х (t) может быть определенной как угодно
или вовсе не быть определенной. Функция x(t) называется
кусочно-гладкой на [а, Ь], если она непрерывна на [а, Ь],
имеет на [а, Ь] производную х' (t) всюду, кроме конечного
числа точек, и эта производная кусочно-непрерывна.
л. Теорема (обращение свойства д). Если х (t),
t € [«. Ь], — кусочно-гладкая функция со значениями в нор-
нормированном пространстве X и x'(t) = 0 всюду, где она су-
существует, то x(t)=x0 (постоянный элемент пространства X).

21.51] § 12.5. дифференцирование и интегрирование	85
Доказательство. Предположим сначала, что х' (t) = О
всюду внутри отрезка [а, Ь]. Фиксируем точку с g (a, b) и
число е > 0. Так как х'(с) = 0, то существует окрестность
точки с, в которой выполняется неравенство
|||-с|.	C)
Обозначим через Тг (с) множество всех t > b и тех t ? [с, Ь], для
которых не выполняется неравенство C). Пусть t0 = inf Te (с).
Допустим, что t0 <C Ь. Поскольку функция х (t) непрерывна,
неравенство C), будучи справедливым вблизи точки t0, со-
сохраняется и в самой точке t0. Так как х' (t0) = 0, то суще-
существует окрестность точки t0, в которой выполняется неравен-
неравенство
Возьмем t > t0, для которого выполняется неравенство D).
Из C) и D) мы имеем
так что точка t также не принадлежит множеству 71, (с). Но
это противоречит равенству ^0 = inf Te (с). Таким образом,
to = b и, следовательно, для всех t ?[с, Ь]
Поскольку е можно было взять произвольным, мы имеем
для всех t ? [с, Ь]
и, следовательно, х (t) = x (с).
Мы видим, что функция x(t) постоянна на интервале (с, Ь).
Так как точку с можно было взять как угодно близко к точ-
точке а, то функция х (t) постоянна на всем отрезке [а, Ь].
Рассмотрим теперь общий случай: на отрезке [а, Ь] имеет-
имеется конечное число точек, положим, а = с0 < сх <... < сп = Ь,
где функция х (t) не имеет производной, в каждом же из

Б6	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.52
интервалов (cf, Cj+1) (у=0, ... , я—1) величина х'(t) су-
существует и равна нулю. Приведенное рассуждение показы-
показывает, что функция х {t) постоянна на каждом интервале (Cj, е,-+1)
{у=0, ... , п—1). Но так как функция x(t) непрерывна
на отрезке [а, Ь], ее значения в соседних интервалах (су-, cJ+1)
и (c/_i» cj) совпадают; отсюда следует, что x(t) постоянна
на всем отрезке [а, Ь]. Теорема доказана.
12.52. Интегрирование.
а. Пусть дана на отрезке [а, Ь] функция х (t) со значе-
значениями в банаховом (т. е. нормированном, полном) пространст-
зе X (вещественном или комплексном). Для данного разбие-
разбиения отрезка [а, Ь]
с отмеченными точками Ео, ... , |n_j и параметром d (П)=
¦=тахА^/- можно составить интегральную сумму Римана
$пМ = 2*(УД'*-	A)
ft=0
Эта сумма является, очевидно, также элементом прост-
пространства X. Мы утверждаем, что для кусочно-непрерывной
функции х (t) при неограниченном измельчении разбиения П,
т. е. при rf (П) —* 0, суммы A) имеют в пространстве X пре-
предел; мы будем называть его интегралом функции х (t) по
отрезку [а, Ь] и обозначать
\xA)dt.
б. Доказательство существования интеграла для кусочно-
непрерывной функции со значениями из X повторяет анало-
аналогичное доказательство для числовой функции-из 9.14—9.16.
Наметим основные этапы. Функция
«лF)= sup \\x(t')-x(f)\\
|<'-Г|<в
Г, Ге [а, 6]
называется колебанием функции x(t) на отрезке [а, Ь\, если
X (t) непрерывна, функция (ЛХ(Ь) стремится к нулю при 6 ->¦ 0.

12.52] § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 87
Так же как в 9.14 в — г, для интегральных сумм любой
функции x(t) имеют место следующие оценки: если разбие-
разбиение П' получается добавлением к разбиению П новых точек
деления, то при й(П)^6
Цел (*) —*п- (*)Н < ш* F) (Ь — а);	B)
если П и П'—любые два разбиения с й(П)
то
)—*гг (*)|| < 2о)х F) [Ь—а).	C)
Когда оценки B) и C) получены, нам остается восполь-
воспользоваться (для непрерывной функции х (t)) свойством
lim а>х F) = 0 и полнотой пространства X. Переход к кусочно-
в-*о
непрерывной функции производится так же, как в 9.16.
в. Как и в 9.15 в, можно доказать, что всякая интег-
интегрируемая на [с, Ь] функция x(t) ограничена (по норме),
так что
Легко проверить для интегрируемых функций основные свой-
свойства интеграла:
ь	ъ
1)	^ax(i)dt=*a.^x(t)dt (а—число);
а	а
Ь	Ь	Ь
2)	$ I* W +У С)] dt - J х (t) dt + J у (t) dt;
a	a
b	с	с
3) $*(/)Л+$х(/)Л=$ж(*)Л (a<b<c);
a
Ь
x(?)<ff^max ||x(rf)||(fc — a);
II л <" t *Гh
4)
a
6) II
Все они получаются предельным переходом из очевидных
аналогичных свойств, написанных для интегральных сумм.
г. Среднее значение функции. Для кусочно-
непрерывной функции x{t) со значениями в банаховом

88	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.52
пространстве X величина
как и для числовых функций (9.15з), называется средним
значением функции х (t) на отрезке [а, Ь]. Для вещественной
функции х (t) среднее заключено между ее наименьшим и наи-
наибольшим значениями в [а, Ь] и совпадает с некоторым зна-
значением x{t0), если x(t) непрерывна.
Для функции со значениями в банаховом пространстве,
даже для функции с комплексными значениями, среднее может
не быть ее значением ни в какой точке отрезка [а, Ь]. Так,
2л
хотя в промежутке интегрирования функция lelt нигде не
равна 0.
д. Пусть дано некоторое множество Е в линейном про-
пространстве L; будем называть выпуклой оболочкой множе-
множества Е совокупность V (Е) всех векторов вида
, 2 «*=!. »=1. 2, ...)• D)
Множество V (Е) выпукло A2.34 6): действительно, если
m	n
то вектор
m	n	m	и
a* + Py = a 2 «fe^fe + P 2 Pr)V= 2 а'«Л+ 2 P-
также принадлежит Vff1), поскольку

12.52) § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 89
С другой стороны, всякое выпуклое множество Р, содер-
содержащее данное множество Е, содержит и все векторы вида D).
Для m = 2 это следует из самого определения выпуклого
множества. Рассуждаем по индукции: допустим, что это
утверждение верно для любого набора m— 1 векторов, и по-
покажем, что тогда оно будет верным и для любого набора m
векторов хх, ..., хт?Е. Мы имеем
	«1*1+ • • ¦
= (а, + • • • + ага_,) гЛ + а„,хт.
Вектор zx принадлежит множеству Р по предположению
индукции; вектор z принадлежит Р как точка отрезка, сое-
соединяющего zx и хт.
Поэтому можно сказать, что построенное нами множество
V(Е) есть наименьшее выпуклое множество, содержащее
множество Е. Если Е само выпукло, то, очевидно, V(E)—E.
е. В банаховом пространстве X не всякое выпуклое мно-
множество замкнуто (пример — интервал на оси). Имея множество
ЕсХ, мы можем образовать выпуклую оболочку V (Е), а затем
ее замыкание V(E); это последнее множество называется
замкнутой выпуклой оболочкой множества Е. Множество
V (Е) снова выпукло; вообще, замыкание любого выпуклого
множества есть выпуклое множество, поскольку из
x = limxn, y — limyn, xn?V, yn?V,
следует
ах + р_у = lim (axn + |3.у„) 6 V.
Множество V (Е) есть наименьшее замкнутое выпуклое мно-
множество, содержащее данное множество Е.
ж. Теорема. Среднее (г) кусочно-непрерывной функции
х (t) со значениями в банаховом пространстве X содержится
в замкнутой выпуклой оболочке множества значений функ-
функции x(t) на отрезке [а, Ь].
Доказательство вытекает из определения среднего
a	s=i

90	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.52
поскольку интегральная сумма справа входит в выпуклую
оболочку значений функции I так как г— \ Atk = 1
В приведенном выше примере (г) среднее функции 1еа
на [0, 2я], равное 0, содержится в выпуклой оболочке всех
значений функции 1еа на [0, 2я]: все эти значения заполняют
окружность радиуса 1, а их выпуклая оболочка совпадает
со всем кругом, ограниченным этой окружностью.
з. Несобственные интегралы. Теория несобствен-
несобственных интегралов от функций со значениями в банаховом про-
пространстве может быть построена по образцу теории несоб-
несобственных интегралов от числовых функций (гл. 11). Наметим
основные этапы. Пусть функция x(t), принимающая значе-
значения в банаховом пространстве X, определена на полуоси
а ^ t < оо и интегрируема (например, кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывна) на каждом отрезке a^.t ^.b. Несобственный интеграл
первого рода
OD
E)
определяется как предел (по норме пространства X) интеграла
ь
$*(*)««	F)
а
лри Ь~* оо, если этот предел существует.
В частности, если конечен обычный несобственный ин-
интеграл
$	G)
то существует и несобственный интеграл E), который в этом
случае называется абсолютно сходящимся; при этом спра-
справедлива оценка
00
\x(t)dt
(8)

12.53] § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Существование интеграла E) при условии конечности
интеграла G) следует из критерия Кош и: интеграл E)
существует тогда и только тогда, когда для любого е > О
существует такое N, что при любых р~^ N, q~^N имеет
место неравенство
\x(t)dt
Аналогично обобщаются определения несобственных интег-
интегралов второго и третьего рода.
12.53. Интеграл и первообразная.
а. Пусть x(t) — кусочно-непрерывная функция на отрезке
[а, Ь] со значениями в банаховом пространстве X; покажем,
что функция
(D
имеет своей производной при t = t0 значение х (t0) в каждой
точке t0 € [а, Ь], в которой функция х (t) непрерывна.
Согласно правилам интегрирования 12.52в мы имеек
Далее, в силу непрерывности функции л:(?) в точке tB
шах
при ^ —»• ^0, откуда и вытекает требуемое.
б. Функция G(f) со значениями в банаховом простран-
пространстве X называется первообразной для кусочно-непрерывной

92	гл. 12. основные структуры анализа	[12.53
функции х (t), если G' (t) = д; (t) во всех точках непрерыв-
непрерывности x(t). Если имеются две первообразные для функции
x(t), скажем, O(t) и F(t), то
и в силу теоремы 12.51л функция G(t)— F(t) постоянна.
Мы видим, что две первообразные могут отличаться лишь
на постоянный элемент пространства X. Так как, по дока-
доказанному, одной из первообразных является функция A), то
любая первообразная имеет вид
G (*)=
где хв — фиксированный элемент пространства X. В частно-
частности, для любой первообразной справедлива формула
обобщающая формулу Ньютона — Лейбница.
в.	Обратно, пусть G(t)— дифференцируемая функция аргу-
аргумента t ? [а, Ь\ с кусочно-непрерывной производной; тогда
при любом t имеет место равенство
B)
Действительно, обозначим временно правую часть B)
через G*(t). Эта функция, согласно а, имеет своей произ-
производной функцию G' (t) в каждой точке ее непрерывности.
Тем же свойством обладает и функция G(t) и, поскольку
они обе непрерывны, по б мы имеем G*(t)—G (t) = c0 = const.
Но так как G*(a)=G(a), то со = 0, откуда и вытекает ра-
равенство B).
г.	Для числовых дифференцируемых функций мы вывели
в свое время G.44) формулу Лагранжа
G(b)—G(a) = (b — a)Q,
где Q есть число между наименьшим и наибольшим значе-
значениями функции G' (t) на [а, Ь], иными словами, некоторое
значение функции G' (t) в точке t = ta. Для дифференцируе-

>2.54] § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ	93
мой функции G(t) со значениями в банаховом пространстве X
эта формула также верна, но только с тем отличием, что
на этот раз точка Q берется из замкнутой выпуклой обо-
оболочки множества значений О' (t) иа [а, Ь]. Это вытекает
непосредственно из результатов 12.52ж и формулы B).
д.	Из формулы Ньютона — Лейбница, как и в 9.51 а, выво-
выводится формула интегрирования по частям:
ь	ь
S и (t) dv (t) = и (t) v (t) l-^v (t) du (t).
a	a
Здесь одна из функций u(t), v(t) — числовая, вторая —
векторная (со значениями в пространстве X) и обе — кусочно-
гладкие.
е.	Таким же образом, как в 9.54, получается и формула
интегрирования через подстановку
В	ь
$ X(t(T))t'(T)dT= 5 X(t)dt
при тех же условиях на фунции x(t) и t(r) и числа а, р, а, Ь.
12.54. Высшие производные, высшие диффе-
дифференциалы и формула Тейлора.
а.	Высшие производные от функции х (t) со значениями
в пространстве X определяются, как и для числовой функции,
индуктивным путем. Производная порядка п, по определению,
есть первая производная от производной порядка п—1, если
эта последняя есть дифференцируемая фуикция при а ^ t ^ Ь.
Все получающиеся производные снова — вектор-функции со
значениями в том же пространстве X, что и функция x(t).
Обозначения высших производных вектор-функции такие
же, как и для числовой функции:
(х' (t))' = x" (t), (x" (t))' = х'" (t), .... (х<"> (*))' э= д;("+1' (t).
б.	Высшие дифференциалы также определяются индук-
индуктивно:
d2x (t) = d [dx (t)] s= d [x' (t) dt] = x" (t) dt2,
dn+1x (t) = d [dnx (t)] ss d [*<"> (t) dtn] = xin+1) (t) dtn+1.

94	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.55
В отличие от первого дифференциала, высшие дифферен-
дифференциалы уже не инвариантны относительно перехода к новому не-
независимому переменному (за исключением только случая линей-
линейной замены переменного, когда инвариантность сохраняется).
в. Если при а<1<^?> существуют и непрерывны все
производные функции x(t) до порядка я+ 1, то имеет место
формула Тейлора
Ах (а) = х(Ь) — х (а) =
dx (a) +i- d*x (а) + ... +1 d"x (a),
с остаточным членом Qn, который может быть записан в форме
ь
Доказательство формулы Тейлора проводится тем же
методом, что в 9.52а, с использованием формулы интегриро-
интегрирования по частям 12.53 д. Из выражения остаточного члена
получаются Оценки
ь
max
- max \\x{n+1Ut)\\(b~a)
12.55. Последовательности и ряды функций
со значениями в X.
а. Пусть x^t), x%(t), ..., xn(t), ...—последователь-
...—последовательность функций аргумента t?[a, b] со значениями в банахо-
банаховом пространстве X. По определению, функция х (t) есть
предел последовательности xn(t) при и—»• оо, если при лю-
любом t?[a, b] выполняется соотношение
lim || *(*)-*„ @ || = 0.
Последовательность хп (t) называется равномерно сходящейся
к пределу х (t), если
limsup|l*(f)—xnit)\\=~O,
П-» 00 t

12.55] § 12.5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ	95
иначе говоря, если для любого е > 0 существует такой но-
номер N, что из л^ N следует \\x{t)—л;п@(|^8 при всех
t(t[a> b]. Уже в 5.96 мы видели, что предел равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций xn(t)
есть снова непрерывная функция. Имеют место аналоги теорем
9.72 и 9.77, доказанных там для функций с числовыми зна-
значениями, именно:
б.	Теорема. Если последовательность интегрируемых
функций хп (t) сходится к функции х (t) равномерно на [а, Ь],
то x(t) — также интегрируемая функция и
lira
"-» а	а
равномерно по т?[а, Ь]. В частности,
ь	ь
lim \ xn (t) dt=\x (t) dt.
я-» a	о
в.	Теорема. Если последовательность кусочно-гладких
функций хп (t) сходится хотя бы в одной точке t0 ^ [о, Ь],
а последовательность их производных х'п (t) сходится равно-
равномерно на [а, Ь] к кусочно-непрерывной функции g(t), то
последовательность хп (t) сходится равномерно на [а, Ь\
к некоторой кусочно-гладкой функции х (t), причем X (t) =
= lira x'n (t) = g(t) там, где g{t) непрерывна.
Доказательства этих двух теорем проводятся тем же
путем, что и доказательства теорем 9.72 и 9.77.
г.	Ряд функций со значениями в пространстве X
..	A)
называется сходящимся на отрезке [а, Ь], если при любом
t?[a, b] сходится последовательность его частичных сумм
предел последовательности sn(t) называется суммой ряда A).
Ряд A) называется равномерно сходящимся на [а, Ь], если
равномерно сходится последовательность sn{t). Из теорем
бив следуют достаточные условия почленной интегрируе-
интегрируемости и дифференцируемоети ряда функций; формулировка
этих условий предоставляется читателю.

96	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.56
12.56. Аналитические функции. Пусть х(?) —
функция со значениями в нормированном комплексном про-
пространстве X, определенная в области О на плоскости ком-
комплексного переменного ? = | + /т1. Эта функция называется
дифференцируемой в точке ?,, g О, если в пространстве X
существует элемент
называемый производной от функции х (?) по комплексному
переменному ? в точке ?0. Функция a:(Q называется анали-
аналитической в области G, если она дифференцируема по ?
в каждой точке ?0 € G.
Для аналитических функций со значениями в простран-
стье X остаются справедливыми предложения обычной теории
аналитических функций (гл. 10). Необходимое для обосно-
обоснования теории определение интеграла по линии в комплексной
плоскости формулируется следующим, также обычным, об-
образом. Пусть в области G дан кусочно-гладкий путь L:
? = ?@, где t пробегает отрезок a^.t^Zb. Пусть, далее
H={a = t0 < tt < ... < tn=b)—разбиение отрезка [a,b],
?у=?(?у.) (у'=0, 1, ..., и) — соответствующие точки пути L
и ДС, = ?/+1 — I/, полагаем
Существование этого интеграла для каждой кусочно-
непрерывной функции со значениями в полном нормирован-
нормированном пространстве X доказывается так же, как и для число-
числовой функции A0.21). Для аналитической функции *(?)
доказывается теорема Коши: если функция х (t) аналогична
в односвязной области О, то для всякого замкнутого кон-,
тура L, лежащего в области G,
Из теоремы Коши обычным образом выводится формула
Коши

12.61]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	97
а за ней и остальные предложения § 10.3. В частности,
аналитическая функция х (?) имеет в области О производные
всех порядков и в каждом круге Q={|?— ?01 < р}, лежа-
лежащем в области G, разлагается в ряд Тейлора
= 2 атA-1о)т,	A)
0
2
т=0
где affl = ^ *""•(?„) (я = 0, 1, 2,...).
Радиус сходимости этого ряда равен расстоянию от
точки ?0 до ближайшей особенности функции х (?) (т. е.
до точки, в которой функция х (?) перестает быть диффе-
дифференцируемой) и может быть найден по формуле Коши—Адамара
\l2.39u)
т ~* оо
Последовательные производные функции x(t.) могут быть
получены почлениым диффереицироваиием ряда A):
2
т—к
§ 12.6. Непрерывные линейные операторы
12.61. Определение линейного оператора было даио
в 12.15. Мы говорили, что отображение А линейного про-
пространства X в линейное пространство Y (над одним и тем
же полем К) называется линейным оператором, если выпол-
выполняются условия
для любых хг и х2 из пространства X и любых чисел ах, а8
из поля К. Если пространство Y одномерно, Y = K, то опе-
оператор А называется линейным функционалом.
Здесь мы будем рассматривать линейные операторы,
действующие из нормированного пространства X в иорми-

98	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.61
рованное пространство Y, оба, вначале, над полем вещест-
вещественных чисел R.
а.	В соответствии с общим определением непрерывной
функции 5.11а линейный оператор А, действующий из нор-
нормированного пространства X в нормированное пространство
Y, называется непрерывным при х=хо?Х, если для каж-
каждого е>0 существует такое 6 > 0, что из \х—Хо|^6
следует \Ах—Avo|^e. Как обычно, имеется эквивалентное
определение: оператор А непрерывен при х = х0, если из
хп —+ х0 (в X) всегда следует Ахп —> Ах0 (в Y).
б.	Линейный оператор Л, действующий 'из пространства
X в пространство Y, называется ограниченным, если он
ограничен в единичном шаре пространства X, так что из
|jc|<;i следует |Ах;|^с с фиксированной постоянной с.
В этом случае величина
||А||= sup \Ax\
Ш<1
называется нормой оператора А. Для любого вектора х ? X
имеем 1—Л =1, откуда \А-^-.Ь^ЦЛЦ и, следовательно,
II * II	I Ix II
|||*|.	A)
в.	Если линейный оператор А ограничен, то он непре-
непрерывен в любой точке х0 пространства X.
Доказательство. Пусть оператор А ограничен и
|| Л || — его норма. Тогда
| Ах- Ах0 | = | А (х-х0) |< || А || | х-х01< е
при заданном 8>0 и \х—х01 < е/|| А \\.
г.	Если линейный оператор А непрерывен хотя бы в од-
одной точке х*=х0, то он ограничен.
Доказательство. Найдем такое б, что из \х—х0 \ ^ б
следует | Ах—Ах01 ^ 1. Пусть | z) ^ 1 и х == х0 -f бг. Тогда
мы имеем
что и требуется.

12.61)	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	99
д.	Как следствие, получаем: линейный оператор, непре-
непрерывный хотя бы в одной точке пространства X, непрерывен
в каждой его точке.
Для непрерывного оператора А, действующего из бана-
банахова пространства X в банахово пространство Y, имеют
место также следующие три теоремы:
е.	Если ряд 2*n — s сходится в пространстве X, то
т. е. к сходящемуся ряду оператор А можно применять
почленно.
ж. Если x(t)— кусочно-непрерывная функция на отрезке
со значениями в пространстве X, то
з. Если x(t) — функция со значениями в пространстве X,
дифференцируемая при t0 —10, то
Доказательства всех трех теорем е—з проводятся по
одной и той же схеме. Сумма ряда, интеграл, производная
есть результаты некоторых линейных операций и предель-
предельных переходов, а линейный непрерывный оператор переста-
перестановочен и с линейными операциями, и с операцией предель-
предельного перехода; поэтому он перестановочен и с окончатель-
окончательными результатами.
и. Если операторы А, Л„ А2, действующие из линейного
нормированного пространства X в линейное нормированное
пространство Y, ограничены, то ограниченными являются и
операторы А1-\-А9, и аА A2.15д) при любом вещественном
а, поскольку для | х\<! 1

100	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.61
При этом, как видно из приведенных формул,
= suP K
UK 1
=: sup |аЛдг| = |а| sup |Лх| = |а|||А||.
UK I	UK1
Таким образом, пространство L(X, Y) линейных ограничен-
ограниченных операторов, действующих из X в Y, можно считать
нормированным пространством с нормой 12.616:
\\A\\ = sup \Ax\.
\х\< 1
к. Пусть В—ограниченный линейный оператор, дейст-
действующий из нормированного пространства X в нормированное
пространство Y, и А — ограниченный линейный оператор,
действующий из Y в нормированное пространство Z. Тогда
определен линейный оператор Я = ЛВ, действующий из X
в Z A2.15ж). Покажем, что оператор Р также ограничен.
Действительно, для любого х^Х мы имеем
откуда следует, что Р=АВ—ограниченный оператор и
1|лв|К1И1И11-	B)
л. В частности, для оператора А, действующего из X в X,
п, далее,
И» |] ___ II Л& Л II ^¦"* || Ал || М А || ^У || Л || 3
^1 || —— || г"\ г\ 11 -^^ II ^ [| И t~\ М ^^ И ** it I	I
C)
м. Для примера вычислим норму одного специального
линейного оператора, определенного в пространстве Rs[a, b]
вещественных непрерывных функций на отрезке a^itt^b.
Пусть D(t, Я) при каждом значении параметра Я из неко-
некоторого множества Л есть непрерывная вещественная функ-
функция от t? [a, b] и величина
ь
, k)\dt

12.61]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
101
конечна. Положим для x(t)?Rs[a, b]
ь
у (Я) = А [х] = $ D (t, Я) х (t) dt.
D)
Оператор А переводит каждую функцию x(t) в функцию
у (Я), определенную на множестве Л. Функция у (Я) ограни-
ограничена, поскольку
, l)x(t)dt
< max \x(f)\-l\D(t, k)\dt^D\\x\\.
o<<< b
E)
Таким образом, формула D) определяет оператор, дей-
действующий из пространства Rs[a, b] в пространство R{A)
вещественных ограниченных функций у (К). В этом прост-
пространстве /?(Л) имеется естественная норма
Hy||=sup|jr(A,)|.
^6Л
О
Рис. 12.10.
Оператор А, очевидно, является линейным; из неравен-
неравенства E) следует, что он ограничен, причем его норма не
превосходит величины D. Пока-
Покажем, что ||/4|| = D.
Рассмотрим функцию хп (t, Я) =
= ип [D (t, Я)], где ип (т) — непре-
рывная функция, равная —1 при
т^—1/я, + 1 прит]>-{- 1/яи ли-
нейная в промежутке [—1/я, 1/я]
(рис. 12.10). Функция хп (t, Я)
также непрерывна по t; произве-
произведение D(t, k)xn(t, Я) есть неотрицательная функция, равная
\D(t, Я)| прн \D(t, X)\~^l/n и не превосходящая \D{t, Я)|
в остальных точках. При фиксированном Я^Л функция
xn(t, Я) есть элемент пространства Rs(a, b). При этом
\D(t,
i d «Г м 15= Ип
ь

102	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.62
Так как \\xn(t, ^)||<1, то
ь
sup \\{\\^\[n{)}\
II х II <? 1	п, X	К
В соединении с неравенством E) мы получаем
ь
sup \\D{t,%)\dt,
хел
что и требовалось.
н. Пусть D(t) — непрерывная функция от t g [я, b\\
тогда формула
ь
F[x]=\D(t)x(t)dt	F)
а
определяет линейный функционал в пространстве Rs (a, b).
Можно считать этот функционал частным случаем оператора,
описанного в м, считая множество значений параметра к со-
состоящим из одной точки. Применяя результат м, получаем:
норма функционала F) равна
12.62. Теорема об открытом отображении.
а. Пусть у=/(х)—функция, определенная на некотором
множестве л и принимающая значения в множестве Y.
Совокупность всех точек у—/(х), где х пробегает некото-
некоторое подмножество Q с: X, называется образом подмноже-
подмножества Q и обозначается через f(Q). Совокупность всех точек
х?Х, для которых y=f(x) принимает значения в некото-
некотором подмножестве F cz Y, называется прообразом подмно-
подмножества F и обозначается f~1(F).
Если X и Y—метрические пространства и _у=/(дг)—.
непрерывная функция, то прообраз /~г(О) любого откры-
открытого подмножества GcY есть открытое подмножество
е X E.14а).
Однако образ /(О) открытого множества G а X вовсе
не обязан быть открытым множеством в Y. Например, если

12.62]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	103
X есть прямая —оо < х < оо и У есть прямая —оо <_у < оо,
а функция y=f(x) = const, то образом любого открытого
множества (и вообще любого множества G с: X) является
точка у, которая не является открытым множеством в У.
Можно было бы дополнительно потребовать, чтобы функ-
функция f(x) отображала пространство X на все У; но тогда
мы рассмотрели бы непрерывную функцию, равную (х—I)8
при х~^ 1, \x-\-1K при х^—1 и 0 при |х| < 1; эта функ-
функция, отображая всю ось X на всю ось У, переводила бы
открытое множество {|*|<1} снова в одну точку у = 0.
Исследуем предположение, что непрерывная функция
y=/(x) отображает пространство X в пространство У
взаимно однозначно. Пусть X означает пространство Dx (a, b)
функций x(t) с непрерывной производной на отрезке [а, Ь]
A2.25) с его естественной метрикой, а У есть подмножество
пространства Rs (a, b) всех непрерывных функций на [а, Ь]
(с его естественной метрикой), состоящее из функций с не-
непрерывной производной; это множество мы вправе рассмат-
рассматривать как самостоятельное метрическое пространство. Рас-
Рассмотрим отображение у=/(х), которое ставит в соответст-
соответствие каждой функции х = х (t) ? Dl (a, b) эту же функцию
y=y(t)s=x(t)?Rs {a, b). Это отображение непрерывно, так
как из сходимости xn(t)—*x(t) в Dl(a, b), разумеется,
следует сходимость уп (t) = хп \t) —* у (t) == х (t) в Rs (a, b).
Отображение y=fix), очевидно, взаимно однозначно. Тем
не менее, образ открытого множества в X, например откры-
открытого единичного шара V в D1 (a, b), не есть открытое мно-
множество в К, так как в любой окрестности точки у0 (t)€f(V),
определяемой лишь неравенством max|^@—>"о(^)!^е>
имеются функции с как угодно большой производной y'{t).
б. Теперь нам будет ясно, что условия следующей тео-
теоремы существенны:
Теорема об открытом отображении (Банах).
Пусть А есть линейный непрерывный оператор, отображаю-
отображающий полное нормированное пространство X взаимно одно-
однозначно на полное нормированное пространство У. Утверж-
Утверждается, что оператор А переводит любое открытое множество
G с X в открытое множество f(G) с. У.
Доказательство. Обозначим через Vruiap {x:|x|<r}.
Вначале мы покажем, что замыкание в У множества
содержит некоторый шар пространства У.

104	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.62
/ 00	\	од
По условию Y=A(X) = A\ U Vn)^\J A(Vn). Тем
\и=1 / п=1
00
более Y== U A (Vn). В силу теоремы Бэра C.75а) суще-
п=1
ствует номер n = N, такой, что множество A(VN) содер-
содержит некоторый шар {у: \у—ув \ < е}. Так как множество
A(VN), очевидно, центрально-симметрично, то оно содержит
и шар {у: 1>>4-.Уо| < »}• Так как множество A(VN), кроме
того, и выпукло (поскольку линейный оператор переводит
выпуклое множество в выпуклое, а замыкание выпуклого
множества есть выпуклое множество по 12.52 е), то оно
содержит и шар We={y:\y \ < е}, лежащий в выпуклой
оболочке двух указанных шаров.
Из соображений подобия ясно, что при любом р > О
имеет место включение Wp с: A (VNp/^. В частности,
U?E//v с: A (Vt), что и утверждалось.
Теперь мы покажем, что само множество /5A^) (без
замыкания) содержит шар №e/B/v)- Пусть у ? We/B/v). Так
как по доказанному We/i2N) ^/i (У^/г), то как угодно близко
к точке у найдется точка >>i €^ (V^i/z). Например, ее можно
взять так, чтобы иметь |j/—у1 \ < e/D7V). Поскольку
с: A(Vl/t), то таким же образом можно найти точку
Vi/*)> такую, что \у— уу— у2\ < e/(8N). Продолжая
этот процесс, мы для любого я=1, 2,... построим точку
€^(V), так что \у-у1—у2— ...-yn|<e/B"+W).
По построению имеем у= 2 >"«• С другой стороны, уп=Ахп,
где лг„? V1/2n, так что |лг„| < 1/2". Так как пространство К
полно, то ряд хх -\- х2 + ... сходится A2.37 6); пусть
: — 2 хп- Но так как оператор А непрерывен, то Ах—
=у. При этом | х I ^
2« ЪупУ
да	<я
^ 21 -^n I < 2 gH = * - Итак, шар We/BAr) содержится в образе
шара К1( что и утверждалось.

12.62]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	105
По соображениям подобия снова для любого р > 0 имеем
Wtl <= A(Vepn2N)). В частности, из \х—хо\<Ь следует
Ах—Ах01 = | А (х—х0) | < 6е/BЛГ), так что образ А( U)
шара U={x:\x—хо\ < 6} содержит шар {y:\y~ Ах01 <
< 6b/BN)\. Отсюда следует, что образ любого открытого
множества G d X есть открытое множество в К, и теорема
полностью доказана.
в.	Следствие. Если А — изоморфное A2.14k) непре-
непрерывное отображение нормированного полного пространства X
на нормированное полное пространство У, то обратное
отображение А'1 также непрерывно.
Доказательство. В данном случае обратный опера-
оператор А'1 определен однозначно и, очевидно, является линей-
линейным оператором вместе с оператором А. Для оператора А~1
в силу теоремы б прообразом любого открытого множества
G с X является открытое множество AG с К. В частности,
прообраз шара {х:|лг|<е} содержит некоторый шар
(у:|)М < 6}, что и означает непрерывность отображения А~г.
г.	Следствие. Если в линейном пространстве L вве-
введены две нормы |л:|j и \х\2 так, что пространство L полно
относительно обеих норм, то из существования постоянной с„
такой, что | х |2 ^ с1 | х |t для любого x?L, следует сущест-
существование постоянной с2, такой, что | х |j ^ с21 х |2 для любого
x?L; нормы \х\Л и |х|2 тем самым оказываются эквива-
эквивалентными A2.35).
Доказательство. Рассмотрим тождественное ото-
отображение А нормированного пространства X, получающегося
из линейного пространства L при введении в нем нормы | х |2,
на нормированное пространство Y, получающееся из L при
введении в нем нормы | х |,. В силу неравенства | х |2 ^ ct | x |t
это отображение непрерывно. В силу сделанных предполо-
предположений и следствия в непрерывно и обратное отображение,
откуда и следует нужный результат A2.61г).
д.	Пусть полное пространство X представлено в виде
прямой суммы двух замкнутых подпространств Xt и Х2, так
что для любого вектора х?Х имеет место единственное
представление
х — хх 4- xit
Оператор Р„ который каждому вектору л: ставит в соот-
соответствие составляющую хг, называется оператором проек-

106	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.62
тирования на подпространство Xt; аналогично, оператор Рг,
ставящий в соответствие вектору х составляющую х2, на-
называется оператором проектирования на подпространство Х2.
Очевидно, что эти операторы линейны, но вовсе не очевидно,
что они также и непрерывны. Мы убедимся, что операторы Рх
и Рг непрерывны, используя полноту пространства X, замк-
замкнутость подпространств Хх и Х2 и теорему об открытом
отображении.
Наряду с исходной нормой | х | s= | х |, введем в простран-
пространство X новую норму:
Очевидно, что для нормы | х |2 выполнены основные ак-
аксиомы нормы. Мы имеем также | х ]г ^ | х1 \х +1 х2 |t = х г.
Покажем, что пространство X полно относительно нормы х г.
Пусть {х<п)} — фундаментальная последовательность по нор-
норме | х |2; из равенства | х<">—хш |, = | х{">—х[т) |t -f1 xf>—x™ \х
вытекает, что последовательности {x[ni} н {xf>\ фундамен-
фундаментальны по норме | х \г. В силу полноты пространства X су-
существуют пределы хг= Hm x^\ х2 == limх(гл); а так как
п -* оо	п-* оо
подпространства Хх и Хг замкнуты, то xt ^ Xlt x& g Хг.
Положим х = хг + дг2. Мы имеем | л; — х(п) |а = I -^i — *i"' |i +
-J-|хг—л:^']!—»• 0, так что л: есть предел последователь-
последовательности {х<п)} по норме | х |г, что и доказывает полноту X по
норме |jc|2. Применяя теперь г, находим, что нормы \х\х и
|х|2 эквивалентны; в частности, существует такая постоян-
постоянная с, что для каждого х?Х имеет место неравенство
но тогда и
что и доказывает непрерывность операторов Р, и Р2.
е. Пусть снова X есть полное пространство, представ-
представленное в виде прямой суммы замкнутых подпространств Хг
и Xit и Рг и Рг — соответствующие операторы проектиро-
проектирования. Пусть задан непрерывный линейный оператор Аг
в подпространстве Хг и непрерывный линейный оператор А3
в подпространстве Х&. Образуем в пространстве X оператор А

12.63J	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	107
по формуле
Ах 35 А (#! -f хг) = Аххх + Агхг.
Оператор А, очевидно, линеен.
Утверждается, что оператор А, кроме того, и непрерывен
в пространстве X.
Действительно, мы имеем
Ах = At
а так как операторы Pt и Рг ограничены в пространстве X
согласно д, то
что и требуется.
12.63. Сходимость последовательности ли-
линейных операторов.
а. В 12.616 в пространстве L (X, У) линейных операторов,
действующих из нормированного пространства X в нормиро-
нормированное пространство Y, была введена норма
||Л||= sup \Ax\.
Последовательность операторов Л„ Лг, ... сходится по
этой норме к оператору А, если для любого е > 0 найдется
номер TV, такой, что для всех n~^N выполняется неравен-
неравенство
sup \Ах—Aj
б. Покажем, что пространство L(X, Y)—полное прост-
пространство, если полно Y. Пусть Аг, А2, ...—фундаменталь-
...—фундаментальная последовательность линейных операторов, действующих
из X в Y, так что для любого г > 0 найдется такой номер N,
что при п, m^N выполняется неравенство
II 4,-4,, II < *¦	A)
Для любого х?Х по неравенству 12.61 A) имеем
так что векторы Апх(?Ч образуют фундаментальную после-
последовательность в пространстве Y. Так как Y полно, то

108	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.63
существует вектор у?У, такой, что у = Нш А^с; положим
у = Ах и покажем, что А есть линейный ограниченный опе-
оператор, являющийся пределом (в пространстве L(X, Y)) после-
последовательности Ап. Равенство
= lim Ап(ах + Ру) = lim (aAnx + $А„у) =
П -* оо	п -*¦ <ю
= a lim А„х + Р Нт А„у — аЛх + РАу
показывает, что /4 есть линейный оператор. Далее, для
М<1
B)
при т~^N в силу A); отсюда следует, что /4 — /4СТ — огра-
ограниченный оператор, следовательно, и Л есть ограниченный
оператор. Наконец, неравенство B) показывает, что при
m~^N выполняется неравенство
так что А= lim Am по норме пространства L(X, Y),
т -* <ю
как и утверждалось.
Если У есть вещественная ось /?„ пространство L (X, Y)=
= L (X, 7?j) всегда полно. Это пространство (пространство
всех линейных непрерывных функционалов на пространстве X)
называется сопряженным к X пространством и обозначается
через X*.
в.	В частности, полным пространством является прост-
пространство L(X, X) ограниченных линейных операторов, дейст-
действующих из банахова пространства X в само X. Оно обозна-
обозначается в дальнейшем просто L(X).
г.	Бывают случаи, когда операторы А, Ах, А2, ... обла-
обладают тем свойством, что Апх —* Ах для каждого лг?Х, но
|] Ап — Л || не стремится к нулю. (Пример будет указан
в 12.65ж.) В дальнейшем будет использована следующая
лемма:
Лемма. Если нормы операторов Л,, Лг, ... ограничены
сверху общей постоянной с и предельное соотношение
Ах= lim Anx выполняется для всех элементов х из неко-

12.64J	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	109
торого множества Q, всюду плотного в X, то Ах = lim Anx
для всех
Доказательство. Пусть х= lim xk, где xkgQ. Для
заданного е > 0 найдем номер k так, чтобы иметь |л;—хк | <
< е/Cс), и затем номер N так, чтобы при n~^N выполня-
выполнялось неравенство \Axh — Anxk\<e/S. Тогда для n^N
а это и означает, что Ах= lim Anx.
п-чя
В дальнейшем будем называть последовательность опера-
операторов Ах, Л2, ..., обладающую тем свойством, что Апх —»• Лх
для любого х 6 X, сильно сходящейся к оператору А, а этот
последний будем называть сильным пределом последователь-
последовательности Ап.
12.64. Принцип равномерной ограниченно-
ограниченности.
а. Теорема (Банах и Штейнгауз). Если последователь-
последовательность линейных непрерывных операторов Ах, Az, .... дей-
действующих из банахова пространства X в нормированное про-
пространство Y, имеет неограниченную последовательность норм.
то в любом шаре Uf(x0) — {х(ЦX: \х—дго|<р} имеется та-
такая точка х, что
sup | А„ (х) | = оо.
п
Доказательство. Последовательность функций Аг (х),
А2(х), ... , каждая из которых ограничена в шаре |х|^1,
в совокупности не ограничена в этом шаре. По соображе-
соображениям подобия она не является ограниченной в совокупности
и в любом шаре |л:|^г. Более того, она не ограничена
в совокупности в любом шаре Ur(x0) = {х:\х—хо|^г}, так

ПО	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.64
как если бы для x?Ur (х0) векторы Ап (х) и Ап (х0) .были
ограничены, то были бы ограничены и векторы Ап(х — х0) =
= Ап(х) — Ап(х0), что уже невозможно, так как х—х0 про-
пробегает шар радиуса г с центром в 0. Заметив это, выберем
в шаре U9(xB) элемент xv \xl—хо\ < р, на котором какой-то
из операторов Ап (обозначим его сейчас через Аг) дает ре-
результат, превосходящий по норме 1:
Так как А1 — непрерывный оператор, то существует шар
Uft (Xj), который целиком содержится в исходном шаре Uf {x0)
и в котором выполняется неравенство
\А1(х)\>\.
Внутри этого шара найдем элемент х2 и оператор А2 (х)
так, чтобы иметь J А2 (х) \ > 2, и затем выберем новый шар
Uft (x2), заключенный в предыдущем, во всех точках кото-
которого выполняется неравенство
Продолжая таким образом, получим последовательность
вложенных друг в друга шаров с радиусами рх, р2, ... ,
стремящимися к нулю. В общей точке х всех этих шаров
(существующей в силу полноты пространства X и леммы
3.74г) имеют место неравенства
\А1(х)\>1, \А2(х)\>2, .... \Ап(х)\>п, ....
что и утверждалось.
б.	Следствие. Если Alt А2, ... — последовательность
линейных непрерывных операторов, действующих из банахова
пространства X в нормированное пространство Y, и для каж-
каждого вектора х из банахова пространства X последователь-
последовательность векторов АуХ, А^х, ... ограничена, то нормы опера-
операторов Ау, А%, ... ограничены сверху общей постоянной.
в.	Следствие. Если последовательность линейных
непрерывных операторов At, А2, ... , действующих из бана-
банахова пространства X в банахово пространство Y, такова,
что при каждом х?Х векторы уп = Апх имеют предел у ? Y,
то отображение А:{х—+\\т А^} есть линейный непрерывный
оператор, действующий из X в Y.

12.64]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	111
Доказательство. Пусть xt и xt—любые векторы
пространства X, а, и аг — любые постоянные. Переходя
к пределу при л-+оов равенстве Ап (а^ +-суе2) —а1А^с1 +
+ а2/4„д;21 получаем А{а1х,+а2х2) = а1Ах1+а^Аха, так что
отображение А линейно. Поскольку последовательность век-
векторов Апх сходится н, следовательно, ограничена при каж-
каждом х?Х, в силу б получаем, что ограничены нормы опе-
операторов Ап, || Ап || <; С. В таком случае для любого х, \ х | ^ 1,
имеем | А^с | ^ || Ап || <; С н, следовательно, | Ах | =
= litn | Лпх|^ С; оператор А, таким образом, ограничен
в единичном шаре, и, значит, непрерывен, что и требовалось.
При этом последовательность операторов Ап сильно схо-
сходится к оператору А A2.63г).
г. Для нормы оператора А предыдущее рассуждение дает
оценку
Ее можно уточнить. Пусть c = litn|| Л„|| и для заданного
е>0 выделена подпоследовательность Ank(k=l, 2, ...),
для которой || А„к || <; с + е. Так как, очевидно, для каждого
Л?Х мы имеем Ах= lim ^jc, то по предыдущему
ft
и так как в произвольно, то
1ИЦ<Ит|К||.
В конкретных случаях в этом неравенстве бывает и знак <
(пример будет приведен в 12.65ж).
д. Лемма. Пусть последовательность операторов Ап
сильно сходится к оператору А, а последовательность век-
векторов х„ сходится (по норме) к вектору х. Тогда Ах = lim А„хп.
Доказательство. В силу принципа равномерной ог-
ограниченности нормы операторов Ап ограничены некоторой
постоянной С. Поэтому
I Ах-Апхп | < | Ах-А„х | + \А„х - Апхп |
Оба члена в правой части при л —«• оо стремятся к нулю,
что и доказывает лемму.

112	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.65
е. Во всех рассмотрениях а—д можно заменить после-
последовательность операторов Ап на функцию A{t) с оператор-
операторными значениями, определенную на некотором множестве
T={t\, и сходимость при л—>• оо заменить на сходимость
по некоторому направлению 5, определенному на множестве
Т D.12).
В следующих параграфах мы укажем важные применения
принципа равномерной ограниченности.
12.65. Пространство ограниченных после-
последовательностей и его подпространства.
а. Обозначим через X линейное пространство всех веще-
вещественных ограниченных последовательностей х =(|1, ь2> •••)
с обычными (покоординатными) операциями и нормой, опре-
определяемой по формуле
Аксиомы линейного нормированного пространства здесь вы-
выполняются очевидным образом. Кроме того, пространство X —
полное; это легко доказать непосредственно, но можно и
сослаться на теорему о полноте пространства Rs (M) всех
вещественных ограниченных непрерывных функций на метри-
метрическом пространстве М A2.23е); в данном случае этим ме-
метрическим пространством является совокупность всех нату-
натуральных чисел с обычной метрикой числовой оси.
б. Пусть имеется последовательность вещественных чисел
СЮ
Л»Л» •¦¦ >2l/n I < °°- ТогДа ПРИ любом х = (Ъи..., |„,.. .) g X
определено выражение
Я*)=2/„Б„,	О)
причем справедливо неравенство
?|„|
Выражение A), очевидно, представляет собою линейный
функционал на пространстве X. Неравенство B) показывает,
что этот функционал ограничен на единичном шаре прост-

12.65]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	113
ранства X и, следовательно, непрерывен; при этом его норма
имеет оценку
ll/IKSl/J.	C)
Рассмотрим значение функционала / на векторе л:0 =
= A1,12, ...), rfle|ft = sgn/ft(ft=l,2, ...)• Заметим, что этот
вектор х0 лежит в единичном шаре пространства X. Мы
имеем
;= I	ft— I
откуда
= sup |/(*)|>|/(*0)|= S|/*|.	D)
| x|< 1	k=\
Сравнивая неравенства (З) и D), получаем, что
11/11= SI/-I-	E)
Функционалами вида A) не исчерпываются все линейные
непрерывные функционалы на пространстве X. Но для неко-
некоторых подпространств пространства X формула A) дает уже
общий вид линейного непрерывного функционала. Одно такое
подпространство рассматривается в следующем пункте.
в. Обозначим через Хо совокупность всех элементов
x = (?i, ?а, ...)?Х, для которых lim ?„ = 0. Очевидно,
п ее
что Хв есть подпространство в пространстве X. Проверим,
что это подпространство замкнуто. Пусть
»=1. 2, ...) и х={1„\= limx..
Для заданного е > 0 найдем номер /я, такой, что \\хт—х\\=
= sup | |$,m) —1„ | < е/2. Затем найдем номер р, такой, что при
п
выполняется неравенство | ?},"" | < е/2. Тогда для всех
также выполняется неравенство |g||
>|"<8> а ЭТ0 и значит> ЧГ0 lim ?п
п
Из замкнутости ЛГ0 в полном пространстве X следует,
что само Хо, рассматриваемое как самостоятельное норми-
нормированное пространство, полно.

114	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.65
г. Положим далее «„ = @, ... , 0, 1, 0, .. ,)i гДе 1 стоит
на я-м месте. Для любого х = EХ, ?„, ..,)?Х0 мы имеем
П2Ьа1|
п=1
= 11 (Si,....,?», 5»+i. ...)—(Si. •••»!». о, ...)|| =
= ||@, .... о, Бя+1, ?«+„... )||
и, если для заданного е > 0 число N выбрано так, чтобы
m
иметь HJ < е при т > N, мы получаем Цх— >]?„е„ II < »!
таким образом,
где ряд сходится по норме пространства Хо. В частности,
мы видим, что совокупность тех х = (!)[, ^2, ...), для кото-
которых все координаты |„, начиная с некоторой, равны 0, об-
образует в Хо всюду плотное множество.
д. Пусть известно, что последовательность {Д} такова,
«
что ряд 2Л?* сходится для каждого х— {?„} g ^Yo. Покажем,
00
что тогда сходится и ряд 2|Д|- Для этого рассмотрим ли-
линейные функционалы
Ф»(*)=2/|& («=1, 2, ...)•
Значения этих функционалов по условию имеют при л —»• оо
предел для каждого элемента л:^^0. Но тогда по 12.646
нормы функционалов q>n ограничены сверху общей постоян-
постоянной С. Используя E), находим, что при любом л выполнено
неравенство
во
откуда и следует сходимость ряда
е. Теперь покажем, что выражение A) дает нам общий
вид линейного непрерывного функционала на пространстве Хо.
Пусть f(x)—произвольный линейный непрерывный функционал

12.65]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	115
на пространстве Хо. Положим f(ek)=fk и образуем после-
последовательность линейных непрерывных функционалов <р„ (х) =
п
= 2 /*?* (л= 1» 2, ...). Так как для каждого х?Х0 имеет
се
место равенство х = 2 ?fce*> а функционал / непрерывен, то
для каждого х?Х0 мы имеем
/(*)=/(? 6л) = 2 ?*/(**)= 2 6*д.
Мы видим, что функционал / действует по формуле A).
ев
При этом ряд 21ЛI сходится в силу д, и наше утвержде-
утверждение доказано.
Заметим еще, что норма ||/||0 функционала / в прост-
<»
ранстве Хо равна его норме ||/|| = 21ЛI в0 всем ^- ^ самой
деле, очевидно, что ||/||0 ^ ||/||. С другой стороны, применяя
функционал/к вектору хп = {sgn/x, ..., sgn/n, 0,0, ...}
мы имеем/(Arn) = 2/ftSgn/ft = 2l/ft|, откуда ||/|
it
се
при любом и=1, 2, .... так что ||/||0^2lAl' Следова-
1
тельно, ||/||о = 21Л1 —Н/Н' что и утверждалось.
ж.	В частности, рассмотрим функционал gh{x)=^\k (рав-
(равный значению k-Pi координаты вектора х). Он получается
из A), если положить Д=1, /т = 0 при m^=k. Норма этого
функционала равна 1 при любом k=l, 2, ... При этом для
любого х = (llt Ъ„ ...) € ^о
lim gk(x)— lim 5ft = 0.
Таким образом, последовательность функционалов #ft при
Л -+ оо стремится сильно к нулю A2\63г), хотя нормы их
не стремятся к нулю.
з.	Обозначим через Х1 совокупность всех элементов
х = (?lf ?2, .. -) € ^> Для которых существует конечный предел
последовательности ?п при п -*¦ оо. Совокупность Хг обра-
образует, очевидно, подпространство в пространстве X, содер-

116	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.68
жащее подпространство Хв, а также одномерное пространство
{he\, состоящее из элементов вида Ке = {К, к, К, ...};
очевидно, Х1 является прямой суммой двух указанных под-
подпространств. Подпространство Хх замкнуто в пространстве X;
это легко доказать непосредственно, но можно и сослаться
на теорему 12.23е, заметив, что пространство Хх можно
считать пространством всех ограниченных непрерывных функ-
функций на метрическом пространстве, образованном из натураль-
натуральных чисел 1, 2, ... и символа оо, с метрикой, в которой
числа 1, 2, ... изолированы, а оо= lim л (ср. 3.35е).
п->оп
и. В подпространстве Хх есть уже линейный непрерывный
функционал, не представимый в форме A), а именно
Если бы его можно было представить в форме A) с неко-
некоторыми числами Д, Д, ..., так что
то, полагая х = ет, мы получили бы L (ет) = /т = О
(/я=1, 2, ...); но тогда для х = е — (\, 1, ...) было бы
00
L(e)= 2 Д-1 =0, в противоречие с тем, что L (e) = lim 1 = 1.
Таким образом, функционал L (х) не есть функционал
типа A). Но он на пространстве Х1 есть сильный предел
A2.63г) функционалов вида A): очевидно, для каждого
х?Хх имеет место равенство
М*)= Ит gk(x).
12.66. Суммирование ограниченных после-
последовательностей.
а. Мы знаем, что не всякая ограниченная последователь-
последовательность вещественных чисел alt о2, ... имеет предел. Поста-
Поставим себе задачу расширить понятие предела сходящейся
последовательности и на расходящиеся в обычном смысле
последовательности чисел. Иначе говоря, мы желаем каждой
последовательности х—\а„\ из некоторого замкнутого под-
подпространства Х*сХ, содержащего внутри себя подпрост-

12.66]	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	117
ранство Хг всех сходящихся последовательностей, поставить
в соответствие число Lim an, называемое обобщенным преде-
пределом и удовлетворяющее следующим естественным условиям:
1)	Lim (aan-\-fibn) = aLiman-\-fi Limbn для любых после-
последовательностей \ап) и, {Ьп\ из X* и любых вещественных
а и р;
2)	Liman=Iiman для любой сходящейся последова-
последовательности а„;
3)	Lim а„ есть ограниченный непрерывный функционал
на X*.
б. Примером обобщенного предела является так назы-
называемый предел в смысле Чезаро (Cesaro). По определению,
предел в смысле Чезаро последовательности \ап), обозна-
обозначаемый C-lim ап, равен обычному пределу (если таковой су-
существует) последовательности средних арифметических ве-
величин ап:
C-lim an= lim
П-* 00
Можно показать, что чезаровский предел на своей области
определения удовлетворяет условиям 1)—3); мы не будем на
этом останавливаться, так как скоро докажем более общую
теорему. Заметим, что чезаровский предел может существо-
существовать и в тех случаях, когда обычного предела не сущест-
существует. Например, очевидно, что
C-lim@, 1,0, 1, ...) = у.
в. Для построения обобщенного предела непригодны функ-
функционалы вида 12.65 A), так как, например, даже обычный
предел lim ?„ на подпространстве Х1 не представляется в
таком виде A2.65и). Обычный предел есть сильный предел
специальных функционалов вида 12.65 A), как мы видели
в 12.65и; поэтому следует рассмотреть возможности полу-
получения обобщенного предела в виде сильного предела функ-
функционалов 12.65 A). Чтобы иметь последовательность функ-
функционалов указанного вида, нужно задать бесконечную мат-
матрицу T=]\tkm\\, k, /я=1, 2, ..., строки которой будут
определять функционалы

118	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.66
Если при k ->- оо существует обычный предел последователь-
последовательности чисел Тк(х), мы будем называть его 7-пределом по-
последовательности {!;„} и обозначать
lim 7ft(jc)=r-lim ?„.
Какова должна быть матрица Т, чтобы область опреде-
определения функционала Т(х) содержала все сходящиеся после-
последовательности и чтобы были выполнены условия 1)—3) для
обобщенного предела? Ответ дает следующая теорема:
Теорема (Теплиц). Функционал Т(х) тогда и только
тогда есть обобщенный предел, когда выполнены условия:
со
2 Uftml^C' г^е С Нв заецС«Т ОТ k;	A)
ПтД^=1;	B)
lim tkm = 0 (k=\, 2, ...).	C)
Доказательство. Проверим необходимость условий
A)—C). Если функционал Т(х) определен, то определены
и все функционалы Тк(х) для любой сходящейся к нулю
последовательности х={Ъ,„\. Отсюда следует в силу 12.656,
что сходится каждый ряд V I hm I- Далее из сходимости
т=х
последовательности Тк(х) для каждого х?Х0 следует по
теореме Банаха — Штейнгауза 12.646, что ограничены нормы
функционалов Тк; записывая нормы этих функционалов по
12.656, получаем выполнение условия A). Применяя Т-предел
к последовательности х = A, 1, ...), получаем выполнение
условия B). Применяя Т-предел к вектору ек A2.65г), по-
получаем выполнение условия C).
Теперь докажем, что условия A)—C) достаточны для
того, чтобы функционал Т(х) был обобщенным пределом.
Если для некоторых последовательностей jc = {^„} и у =
= {т]„} определены значения Т(х) = lim Тк(х) и Т[у) =
к-* оо
«= lim Тк(у), то также определено значение T(ax-\-fiy) =*
— lim Тк (ах -f $y) = a lim Тк (х) + 0 lim Тк (у) для любых по-

12.67}	§ 12.6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	11S
стоянных а и р; таким образом, область определения Хт
функционала Т(х) линейна и он сам линеен на своей области
определения. Для последовательности е=A, 1, 1, . ..)имееи
Ты И = 2 hm> Т{е) = llm Th (е) = lim fj tkm = 1
в силу условия B). Поэтому для проверки равенства B)
в определении обобщенного предела достаточно ограничиться
элементами х?Х0. В силу условия A) функционалы Тк
в пространстве Хо ограничены по норме постоянной с. Далее,
на элементах х —(?х, ..., ?„, 0, 0, ...) имеем Iim7ft(jc)==
п
— lim 2'йяДт = 0 в СНЛУ условия C). Так как эти элементы
образуют в Хо всюду плотное множество A2.65г), то нужныГ.
результат следует из леммы 12.63г. Наконец, ограниченность
функционала Т(х) иа подпространстве Хт следует из 12.64в,
причем 12.64г дает оценку нормы
lim 2|*te|.
Так как 7е = 1, то имеется и оценка нормы снизу
Остается показать, что подпространство Хт замкнуто в
пространстве X. Пусть Хт есть замыкание подпространства
Хт. Множество Хт всюду плотно в Хт, функционалы Tk (x)
сходятся в каждой точке х?Хт, и нормы их ограничены;
отсюда и в силу 12.63г следует, что функционалы 7А (л:)
сходятся и на Хт. Мы видим, что область сходимости Хт
последовательности Tk содержит свое замыкание Хт; следо-
следовательно, ХТ = ХТ, и теорема полностью доказана.
12.67. Примеры.
а. Обычному пределу lim |„ (определенному только иа Хг)
отвечает матрица
10 0..
0 10..
0 0 1..

120
гл. 12. основные структуры анализа
[12.68
б. Чезаровский предел A2.666) задается матрицей
1 0 0...
1/2 1/2 0 ...
1/3 1/3 1/3 ...
для которой выполнены все условия теоремы Теплица, откуда
для чезаровского предела следуют все свойства обобщенного
предела.
в. В качестве третьего примера мы приведем целый класс
матриц, содержащий две предыдущие как частные случаи.
Пусть дана последовательность р0 > 0, рх ^ 0, рг ^ 0, ...
и пусть Р„ —
(л = 0, 1,2, ...); тогда матрица
1	О
PtlPi P0IP1
о
о
о
о
о
Рп/Рп Pn-JPn Pn-jPn
задает метод суммирования, называемый по имени автора
методом Вороного. Условия теоремы Теплица A) и B) вы-
выполнены здесь очевидным образом. Условие C) при т=\
равносильно условию рп/Р„ -* 0; но так как
Рп—т <-' Рп—
¦ р
то из выполнения условия рп/Рп —*¦ 0 следует C) при любом т.
Следовательно, условие рп/Рп —*¦ 0 необходимо и достаточно,
чтобы матрица Вороного была матрицей Теплица. Если р0 = 1,
Pj =р2= ... =0, получается обычное суммирование; если
ро=р1 =А>г= •.. = 1, получается суммирование по Чезаро.
12.68. Укажем еще некоторые дальнейшие свойства
Г-пределов.
а. Пространство Хт для некоторых Т-пределов может
совпадать с пространством Xlt как это имеет место для
обычного предела lim |„. Спрашивается, как отделить эти

12.68] § 12.6. непрерывные Линейные операторы
121
«неинтересные» случаи обобщенного предела. Существует
теорема А. Л. Брудно*), согласно которой ХТ = ХХ тогда
и только тогда, когда существует постоянная б0, такая, что
для каждого х — {?п\?Х выполняется неравенство
Однако это условие трудно проверять. Имеется условие
равенства }{Т = Х1 в терминах самих чисел tkn, но только
достаточное (Агныо): ХТ = ХХ, если выполняется неравен-
неравенство **)
б.	С другой стороны, возможно ли построить матрицу Т,
для которой ХТ = Х? Оказывается, это невозможно (см. за-
задачу 8). Тем не менее, нз некоторых общих соображений
следует существование обобщенного предела Lim |„, опреде-
определенного на всем пространстве X и обладающего вдобавок
тем свойством, что его значение не зависит от сдвига номера,
так что Lim |n= Lim ?и+1 ***); однако такой обобщенный
предел не задается явной формулой.
в.	Для некоторых матриц Т величина Т(х) может выхо-
выходить за границы отрезка Д (х)= [lim ?„, lim ?„], на котором
располагаются все предельные точки последовательности ?„.
Это имеет место, например, для матрицы
2—10 00 0 ...
0 0 2—10 0 ...
0 0 0 0 2—1...
и элемента х=A, 0, 1,0, 1,0, ...). Естественно поставить
вопрос, при каких условиях на матрицу Т все предельные
*) А. Л. Брудно, Суммирование ограниченных последова-
последовательностей матрицами, Матем. сб., т. 16, стр. 191—245 A945).
**) R. Agnew, Equivalence of methods for evaluation of sequ-
sequences, Proc. Amer. Math. Soc, т. 3, стр. 550—565 A952).
***) С. Банах, Курс функцюнального внализу, Киев, 1948,
стр. 28—29.

122	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.71
точки последовательности Tt(x), Т2(х), ... (для любого
х ? X) лежат в отрезке Д (х). Ответ дается следующей тео-
теоремой Робинсона (см. задачу 9): требуемое свойство имеет
место тогда и только тогда, когда lim ||У„|| = 1.
3 12.7. Нормированные алгебры
12.71. а. Нормированное пространство U, которое одно-
одновременно является алгеброй A2.18а), называется нормиро-
нормированной алгеброй, если из хп—*х (по норме U) следует
х„у —* ху для любого у ? U.
б. Так, совокупность L (X) всех ограниченных операторов,
действующих в банаховом пространстве X, есть полное нор-
нормированное пространство {12.636) и вместе с тем алгебра
A2.19и, J2.61k). В этой алгебре норма удовлетворяет не-
неравенству 12.61 B)
\\АВ\\^\\А\\\\В\\,	A)
откуда следует, что L (X) есть нормированная алгебра: имен-
именно, если Ап—*А и В—любой оператор из L(X), то
так что AJi —* АВ.
в. Оказывается, что выполнения неравенства типа A)
можно добиться во всякой полной нормированной алгебре
после некоторой перенормировки (мы убедимся в этом в 12.78).
Поэтому вместо условия непрерывности умножения в форме
«из хп —у х следует х^у —>¦ ху для любого у» можно принять
более сильное условие
1	B)
для каждых х и у из U.
г. В дальнейшем, кроме выполнения аксиомы B), будем
предполагать, что в рассматриваемой нормированной алгебре
имеется единица е A2.18в), причем |е| = 1. (Последнее
предположение автоматически выполняется для алгебры ли-
линейных операторов, действующих в нормированном пространст-
пространстве X, где единицей является тождественный оператор.)
12.72. а. Единица нормированной алгебры — как и всякой
алгебры — есть обратимый элемент, поскольку ее = е. Пока-

12.74J	§ 12.7. нормированные алгебры	123
жем, что в полной нормированной алгебре U весь шар
{х:\е—д;|< 1} состоит из обратимых элементов.
Для доказательства рассмотрим ряд
Так как в силу условия B) | (е—дг)"|^|е—х |", этот
ряд сходится по признаку Вейерштрасса 12.37в. Умножив
его над; = е — (е—х), получим
у[е —(е —дг)] =
— хJ+...] — [{е —
Следовательно, сумма ряда C) и есть элемент, обратный к х.
б. Из оценки
следует, что из х —*¦ е вытекает у —>¦ е. Можно сказать,
что оператор умножения на у = х~х (нелинейный) непрерывен
при х = е.
12.73.	а. Обозначим через О совокупность всех обратимых
элементов полной нормированной алгебры U. Покажем, что
О—открытое множество в U и оператор х~1 непрерывен на
всем О.
Так как хдг~1 = е, то в силу условия B) для всех h
с|А|< ЬЧлгЧимеемКх + А)*-1 — е|=[Лд;-1|<|АЦл;-1|< 1,
так что по 12.72а элемент (x-\-h)x~l обратим, т. е. су-
существует такой элемент z (А), что (х -J- A) x~lz (A) = е. Но тогда
и x-\-h обратим: ему обратным, очевидно, является элемент
x~1z{h). Если А—»-0, то (дг + А)х~1 —>хх~1 — е, так что
в силу 12.726 z (А) —»-е; отсюда и {x-\-h)~l = x~xz (A)—*-х~х,
что доказывает непрерывность оператора х~1 на множестве О.
б. Мы видели, что обратимый элемент х входит в мно-
множество О вместе с шаром радиуса г ^ "I/| jc x)_ Но sto озна-
означает, что \х~1\'^2*\/г; таким образом, при подходе х к гра-
границе множества О, причем, разумеется, г —»¦ 0, норма элемента
х'1 неограниченно возрастает.
12.74.	Необратимый элемент z, лежащий на границе об-
области О, является «обобщенным делителем нуля»; это озна-
означает, что существует такая последовательность элементов
.Ун У8, •••. что \у„\^с у-0, но zyn —¦ 0. Именно, мы

124	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.76
положим у„ — хг,}/\хг*\, гДе х„^О и xn—>-z. Тогда
|	| | Кк 11 |
||
(J 2,736),
что и требовалось.
Вообще всякий обобщенный делитель нуля z не обратим,
поскольку для обратимого z из zyn—»0 следует z~xzyn =
= I„-»0. Но необратимые элементы, не являющиеся пре-
пределами обратимых, могут не быть обобщенными делителями
нуля (задача 10).
12.75. а. Комплексную нормированную полную алгебру U
будем называть в дальнейшем гельфандовской алгеброй.
В гельфандовской алгебре для любого элемента х выра-
выражение е—Хх при любых достаточно малых комплексных К,
например, если хфО, при |^|< 1/|*|» есть обратимый эле-
элемент, и по 12.72а
()	+ + 2+...	A)
Истинный радиус сходимости ряда A) равен A2.56)
Р==
Ш
в случае, если р=оо, ряд сходится во всей плоскости "К.
Элемент х — \ie обратим при всех достаточно больших | \i |,
например, | ji | > | х |; это следует непосредственно из фор-
формулы х—це=—\л(е — |x~xx). Множество всех тех (х, для
которых элемент х — це не обратим, называется спектром
элемента х. На дополнении к спектру определена функция
(х—[ley1. По 12.73а дополнение к спектру есть открытое
множество G на плоскости ц, а спектр—замкнутое мно-
множество. Далее, из 12.73а следует, что (х—це) есть не-
непрерывная функция от (х (со значениями в U) в области О.
Покажем, что она, более того, является и аналитической
функцией A2.56) на G. Справедливо равенство
(х—(ц+/ре)-'—(х—це)
](* — (!*+ *)«)(¦*—И«) =
L	h
__ (x—це)—(х—(y.+h)e) _
—	h	—L. \-,
которое показывает, что элемент в квадратных скобках об-
обратим; обратный к нему элементу—([i + h)e)(x — \хе) имеет

12.76J	§ 12.7. НОРМИРОВАННЫЕ ЛЛГЕВРЫ	125
при А —»¦ 0 предел (х—цеJ, откуда следует, что сущест-
существует и
Игл (*	[(MJ	()
Существование предела D) означает, что (х— це)~1 есть
функция, аналитическая в области О, что и требуется.
б. Теорема. Спектр любого элемента х гельфандовской
алгебры U не пуст.
Доказательство. Пусть Г — окружность в плоско-
плоскости (X с центром в точке 0 и радиусом г>|д;|. Рассмотрим
интеграл
г
(существующий в силу непрерывности функции (х—|хе)~х
на линии Г). Вычислим его, совершая замену [i~1 = h, ис-
используя разложение A) и формулы 10.33а. Мы получим
Но если бы спектр элемента х был пустым, то функция
(х — (хе) была бы аналитической во всей плоскости \i, и
по теореме Коши интеграл E) был бы равен 0. Теорема
доказана.
в. Следствие (теорема Гельфанда — Мазура). Если
гельфандовская алгебра U есть поле, т. е. всякий элемент х,
отличный от нуля, обладает обратным, то алгебра U есть
поле комплексных чисел.
Действительно, пусть х—любой элемент алгебры U и
(х—число из его спектра, так что элемент х—\х,е не имеет
обратного. Но по условию единственный элемент, не имеющий
обратного, есть 0; поэтому х—(хе = 0, х = \хе, что и тре-
требуется.
12.76. а. Рассмотрим случай, когда алгебра U есть алгебра
U (С„) всех линейных операторов в конечномерном прост-
пространстве С„, нормированном при помощи какой-либо нормы

126	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.76
(как мы видели в 12-.35&, любая норма в С„ эквивалентна
любой другой). Всякий линейный оператор А в данном случае
непрерывен, так как координаты вектора Ах записываются
линейными (следовательно, непрерывными) функциями от ко-
координат вектора х. Таким образом, алгебра U (С„) совпадает
с алгеброй L(Cn) всех ограниченных операторов в прост-
пространстве Сп.
Спектром в смысле определения 12.75а элемента А яв-
является в данном случае совокупность всех собственных зна-
значений оператора А: действительно, оператор А — ц? не яв-
является обратимым тогда и только тогда, когда det||/4—(j,f||=0,
а этим уравнением и определяются собственные значения
оператора А. Мы видим, что определение спектра в 12.75а
совпадает для данного случая с определением спектра опе-
оператора А, данным в 12.19г. Спектр оператора А из 12.19г,
с его кратностями, позволил нам алгебру всех операторов
вида Р (А) представить изоморфно в виде алгебры корпусов
на спектре оператор^ А; он позволил также устроить эпи-
эпиморфизм алгебры U(G) аналитических функций в области G,
содержащей спектр, на алгебру Р (А).
б. Оказывается, что аналогичные морфизмы имеются и
в общем случае любой гельфандовской алгебры. Пусть 5 = Sx
есть спектр некоторого элемента х ? U; как мы знаем, 5 есть
непустое замкнутое и ограниченное множество в комплексной
плоскости. Пусть U {S) есть алгебра всех аналитических
функций f{K) на множестве 5 (каждая нз них аналитичпа
в некоторой области, содержащей множество S).
Теорема. Существует морфизм алгебры U (S) в ал-
алгебру U, при котором функция /(Х)=1 переходит в е,
функция / (Я) == Я в элемент х, и всякая последовательность
функций /п(Х)(п=\, 2, ...), сходящаяся равномерно в
области fi^>S к фунщии /(Я),— в последовательность эле-
элементов /„ g U, сходящуюся по норме к элементу /, соот-
соответствующему функции f(k).
Доказательство. Искомый морфизм мы зададим
формулой
§	A)
i-де Г есть замкнутый контур, лежащий в области аналитич-
аналитичности функции /(Я) и обходящий (однократно) вокруг мно-

12.76J	§ 12.7. нормированные алгебры	127
жества S. В силу георемы Коши интеграл A) не зависит
от специального выбора такого контура. То, что функция
/(Х) = 1 при отображении A) переходит в элемент е, мы
видели в 12.756; аналогично доказывается, что функция
/(Х)==Х переходит в элемент х. Формула A) определяет,
очевидно, линейное отображение U (S) в U; нам следует по-
показать, что произведение функций /(X) и g(k) переходит
в произведение соответствующих элементов / и g.
Исходим из равенства
[X Л
которое получается из 12.75 C) заменой Ц + Л на X. Рас-
Рассмотрим два замкнутых контура Tf и Г^, обходящих вокруг
множества 5 в общей области аналитичности функций f(k)
и g(k), причем контур Г^. охватывает целиком контур Г^,
не имея с ним общих точек. Интегрируя равенство B), умно-
умноженное на /(K)g([i)/{2ni)!i, сначала по контуру Г^, а затем по
контуру Tg и пользуясь возможностью перестановки поряд-
порядка интегрирования A0.24), находим
Так как Я есть внутренняя точка области, ограниченной
контуром Г^, то первый интеграл в фигурных скобках справа
равен g{%); а так как ц есть внешняя точка для области,
ограниченной контуром Г^, то второй интеграл в фигурных
скобках равен нулю. В итоге получается равенство

128	гл. 12. основные структуры анализа	A2.77
которое и показывает, что произведению функций f(K) и
g(k) формула A) ставит в соответствие произведение со-
соответствующих элементов / и g.
Нам остается доказать последнее утверждение теоремы.
Пусть последовательность функций/, (К) равномерно сходится
к функции f(K) в области G, содержащей множество S.
Возьмем контур Г в области О; тогда можно написать оценку
-/„ (Я-)] d
откуда и следует, что lim || /—/а || = 0. Теорема доказана.
Заметим, что отображение A), вообще говоря, не есть
мономорфизм и может переводить функцию ~/(А) ф 0 в ну-
нулевой элемент алгебры U.
в. В частности, для любого элемента x?U определены
функции etx, cos tx, sin tx; из свойств морфизма вытекает
равенство
Из последнего утверждения теоремы вытекает, что эти
же функции могут быть заданы и с помощью степенных рядов
t"X"
о
COstX = 1 —-дГ X2 -\- -j? X4— . . . ,
sin tx = tx—^x3 + ~x5~ ...
12.77. Мы можем указать и спектр каждого элемента f(x):
Теорема. Если f (К) — аналитическая функция на спект-
спектре Sx элемента х?Щ., то спектр Sfixi элемента f(x) A2.766)
совпадает с множеством значений f (К) при К € $х-
Доказательство. Пусть Коg Sx, (х0 =/(Я,0). Аналити-
Аналитическая функция f(K)—|х0 обращается в 0 при К = К0 и по-
поэтому допускает представление

12.78J	§ 12.7. НОРМИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ	129
где g(k) снова аналитическая функция в той же области,
где аналитична f{K). В силу свойств морфизма / мы имеем
И„е = (* — V
Но если f(x)— (хое обратим, то и х — Хое обратим (с обрат-
обратным g(x){f(x)— \ioe)~l), что противоречит предположению.
Отсюда JA0€•?/<*)¦ Обратно, пусть [io?S/(xy; утверждается,
что существует Ко g Sx, для которого f(h0) = ц0. Действи-
Действительно, если бы функция f(k) — |л0 не обращалась в 0 на Sx,
то функция g{K)= l/[f(k) — Цо] снова была бы аналитической
на множестве Sx и соответствующий элемент #(х)?31 был
бы обратным к f(x) — \ioe, что противоречило бы условию
ji0 € Sffxr Теорема доказана.
12.78. Вернемся теперь к вопросу о перенормировке
алгебры U с непрерывным умножением (т. е. таким, что из
хп-+х следует х„у->¦ ху) с тем, чтобы для новой нормы
было выполнено условие B).
Теорема. В каждой содержащей единицу полной нор-
нормированной алгебре U с нормой | х |t существует эквивалент-
эквивалентная норма \х\Л, для которой \ е \2 = 1, | ху |2 ^ | х \2 \у\2 при
любых х и у из U.
Доказательство. Каждый элемент х алгебры U порождает
оператор Ах умножения на х по формуле Аху = ху. Из свойств ал-
алгебры и нашего предположения следует, что Ах есть линейный не-
непрерывный оператор. В алгебре L (U) всех линейных непрерывных
операторов, действующих в U, операторы вида Ах образуют подал-
подалгебру V с единицей, которой служит единичный оператор Е—Ае.
В силу ассоциативности умножения имеем Ах (yz) — x (уг) = (ху) z=
= (АхУ)z- Нетрудно видеть, что это свойство характеризует опера-
операторы из подалгебры V. Действительно, если оператор А таков, что
для любых у и г из U имеет место равенство А(уг) = Ау-г, то, по-
полагая Ае*=х, имеем Ау= А (еу) — (Ае)у=ху, т. е. оператор А есть
оператор умножения на х.
Пользуясь этим свойством, покажем, что подалгебра V замкнута
в алгебре L (U). Пусть операторы Ль Л2, ... из V сходятся (по нор-
норме L (U)) к оператору А. Тогда Апх сходится к Ах для каждого
x?U. В силу непрерывности умножения имеем А (ху) = lim Ап {ху) —
= Мт(Апх-у) — \\тАпх-у = Ах-у, откуда, по доказанному, A?V.
Так как алгебра L (U) полна A2.636), то и подалгебра VdL (U),
рассматриваемая как самостоятельное нормированное пространство
с нормой, взятой из L (U), н замкнутая в L (U), также полна. Теперь
в алгебре U имеются две нормы: | х \L и
\х\г = \\Ах\\= sup \Аху\г= sup \xy\u
11<1	lf/l<l

130	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.81
причем по каждой из них алгебра U полна. Далее, мы имеем
откуда
По 12 ?2 г нормы [ х |t и [ х |а эквивалентны, что и требуется.
§ 12.8. Спектральные свойства линейных операторов
12.81.	Линейный ограниченный оператор А, действующий
в банаховом пространстве X, входит в алгебру L(X) всех
ограниченных линейных операторов, действующих в простран-
пространстве X. Как элемент этой алгебры, он имеет спектр SA
A2.75а)—совокупность всех тех комплексных чисел Я, для
которых А—%Е не имеет ограниченного обратного. В конечно-
конечномерном случае (Х = СП) спектр оператора А, как мы отметили
в 12.76а, есть конечное число, например т, различных то-
точек—собственных значений оператора А. И мы знаем, что
в этом случае пространство С„ можно разложить в прямую
сумму т инвариантных подпространств, в каждом из которых
оператор А имеет спектром уже только одну точку и далее
допускает полное описание A2.17е). В бесконечномерном
случае спектр оператора А есть непустое компактное мно-
множество на плоскости, лежащее в круге !Я [^ ||Л||, а более
точно—в круге [Я|^Шп (/||Л"|| A2.75а), ив общем случае
л-*да
уже больше ничего нельзя сказать (см. задачу 11, где
строится оператор, спектр которого—произвольно заданное
компактное множество на плоскости).
12.82.	а. Число Я, лежащее в спектре оператора А,
в бесконечномерном случае может уже не быть собственным
значением оператора А. Вообще для бесконечномерного случая
становится более естественным понятие не собственного,
а обобщенного собственного значения: так называется число Я,
для которого" существует такая последовательность векто-
векторов xv х2, ... , что |х„|^с>0 и Ах„—А,х„->-0. Всякое
собственное значение оператора, очевидно, является и обоб-
обобщенным собственным значением. Всякое обобщенное собствен-
собственное значение оператора А входит в его спектр; действи-

12.83] § 12.8. спектральные свойства операторов 131
тельно, если для некоторой последовательности х„ мы имеем
Ах„—%хп -*-0 и при этом оператор А—%Е имеет ограничен-
ограниченный обратный, то х„ = (А—%Е)~Х(А—%Е)хп-*О.
б. Покажем теперь, что всякая граничная точка спектра
оператора А является обобщенным собственным значением.
Пусть К—граничная точка спектра; так как А—%Е есть
предел обратимых операторов А—цЕ, где Ц.^5Л, то в силу
12.74 оператор А—КЕ есть обобщенный делитель нуля,
т. е. существует такая последовательность операторов Р„,
что ||Р„|| > с >0, но {А — %Е)Р„-*О в алгебре L(X). Для
каждого оператора Рп мы найдем вектор уп, такой, что !,у„|=1»
Р„у„ | ^ с/2. Если положить х„ = Р„у„, мы получим \х„\~^ с/2,
(А-Щхп\ = \(А-КЕ)Р^„ j< ||(Л-%Е)Рп\\ \Уп| - 0,что
и требуется.
Однако внутренние точки спектра оператора А могут
не быть и обобщенными собственными значениями (задача 10).
12.83. Следующая теорема позволяет в некоторых слу-
случаях упрощать исследование оператора:
Теорема. Пусть спектр SA оператора А есть объедине-
объединение двух замкнутых множеств 6^ и S2 без общих точек.
Тогда пространство X можно разложить в прямую сумму
двух замкнутых подпространств Xt и Х^, инвариантных от-
относительно оператора А, так что спектр оператора А в под-
подпространстве Хг совпадает с множеством Slt а в подпро-
подпространстве Хг — с множеством S2.
Доказательство. Мы используем морфизм алгеб-
алгебры 11EЛ) всех аналитических функций f(k) на множестве SA
в алгебру L(X), установленный в 12.766. Этот морфизм
осуществляется по формуле 12.76 A)
где Г есть замкнутый контур, обходящий вокруг множества SA
в области аналитичности функции /(Я). В случае, когда
множество SA разлагается на замкнутые подмножества без
общих точек, контур Г может представлять собой некоторое
число отдельных замкнутых частей. В данном случае мно-
множество SA разложено на два замкнутых множества, St и S2,
без общих точек, и контур Г можно составлять из двух

132	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.83
замкнутых контуров 1\ и Г2; первый обходит вокруг мно-
множества Siy второй — вокруг множества S2.
Функция ег(К), равная 1 на множестве S, и О на мно-
множестве S2, входит в алгебру U (SA); аналогично в алгеб-
алгебру U(S^) входит функция ег(Я), равная 0 на множестве St
и 1 на множестве 5а. Эти функции обладают очевидными
свойствами
е1(М + «,(Мэ1 (на SA), ёЦк) = е1(кI е\(к)~еш{Х),
e1[%)et(%) = e,{k)e1(Xi = O.
Обозначим через Е1 и ?2 линейные операторы соответствую-
соответствующие функциям ег (Я) и е2 (Я). В силу свойств морфизма
имеем
?, + ?, = ?, ?f = ?lf El = E2, ?,?, = ?,?^ = 0.
Пусть Хх есть совокупность решений (в пространстве X)
уравнения Etx = x и Х2—совокупность решений уравне-
уравнения Е2х~х. В частности, всякий вектор вида х = Еуу при
любом у?Х есть решение уравнения Е±х — х, посколь-
поскольку Е1(Е1у) = Е1у = Е1у. Очевидно, Хг и Х2 являются под-
подпространствами в пространстве X, притом замкнутыми в силу
непрерывности операторов Ег и ?2. Если z € Хх П Хг, то
z = Exz = E%z; но E1z = E1(Elz) = E1(Ezz) = 0, откуда и
2' = ?1г = 0. Таким образом, пересечение подпространств Хг
и АГ2 содержит только нуль-вектор. Применяя разложение
? = ?1+?а к любому вектору у, находим у-=Е^у-\-Е^у\
первое слагаемое лежит в Х1г второе — в АГ2. Мы видим,
что пространство X разложено в прямую сумму подпрост-
подпространств Xt и Х2.
Пусть х?Ху. Тогда Ах — A (Etx) = ?х (Ах) и, следова-
следовательно, Ах также входит в подпространство Хц значит,
подпространство Х1 инвариантно относительно оператора А.
Аналогично и подпространство Х2 инвариантно относительно
оператора А.
Нам остается доказать заключительное утверждение тео-
теоремы. Положим А1 = АЕ1; Ах совпадает с Л на подпрост-
подпространстве Хх и равен нулю на Х2. С другой стороны, можно
написать

12.83]	§ 12.8. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ	133
Контур Г можно здесь заменить контуром Г1? поскольку
функция ег (К) на контуре Г2 равна 0. После этого функ-
функцию ех (к) можно заменить на 1; в итоге
г,
Далее, для любого \i
г,
Пусть \i лежит снаружи контура 1\; построим оператор
По тем же соображениям, что и в 12.766, мы имеем
J
г,
Таким образом, оператор А — \\Е в подпространстве Xt
обратим. Следовательно, спектр оператора А в подпростран-
подпространстве Xt может состоять только из точек множества St.
Аналогично, спектр оператора А в подпространстве Х2 может
состоять только из точек множества 52. Покажем, что спектр
оператора А в подпространстве Х1 содержит все точки мно-
множества S%. Пусть kg^S^ По доказанному, оператор А — К0Е
обратим в подпространстве Х2, так что имеется оператор Q2,
такой, что (A — kBE)Q2y=y для всех у?Х2; если бы опе-
оператор А — \Е был обратим в подпространстве Xv то имел-
имелся бы оператор Qv такой, что (A—%eE)Q1x = x для всех
х ? Хг. Мы построили бы тогда оператор Q, совпадающий
с Qj в /Y, и с Q, в ^г и продолженный по линейности на
все X. В силу 12.62е он был бы ограниченным линейным
оператором в пространстве X. Но очевидно, что он вместе
с тем был бы обратным к А—h0E. Последнее невозможно,
так как ko?SA. Теорема доказана.

134	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.84
12.84.	Вполне непрерывные операторы. Среди
всех операторов, действующих в нормированном пространстве,
выделяется важный класс операторов, наиболее близких по
своим свойствам к операторам в конечномерных простран-
пространствах. .
а.	Определение. Линейный оператор А, действую-
действующий в нормированном пространстве X, называется вполне
непрерывным, если он переводит каждое ограниченное мно-
множество QcrX в предкомпактное множество C.93а).
б.	В конечномерном пространстве всякий линейный опе-
оператор вполне непрерывен.
в.	Примером вполне непрерывного оператора в простран-
пространстве (У (а, Ь) является оператор Фредгольма A2.88).
г.	Тождественный оператор Е в бесконечномерном прост-
пространстве не является вполне непрерывным, поскольку он пе-
переводит единичный шар в себя, т. е. не в предкомпактное
множество A2.366).
12.85.	Действия с вполне непрерывными
операторами.
а. Сумма A, -f- А2 вполне непрерывных операторов Ах и
Аг есть вполне непрерывный оператор.
Действительно, пусть Q6X—ограниченное множество и
{х„\—любая последовательность точек из Q. Так как опе-
оператор Ах вполне непрерывен, то из последовательности \х„\
можно выбрать подпоследовательность \х'п\ так, чтобы
•{.Л,*^} была фундаментальной, а затем—еще более редкую
подпоследовательность {х"п} так, чтобы {Л2х^ была фунда-
фундаментальной; тогда и {(/^-(-Д,)-*^} оказывается, очевидно,
фундаментальной, что нам и требуется.
б,- Произведение вполне непрерывного оператора А и
любого ограниченного оператора В (в любом порядке) есть
вполне непрерывный оператор.
Действительно, пусть Q?X—ограниченное множество;
тогда BQ—также ограниченное множество и, следовательно,
ABQ предкомпактно; таким образом, оператор АВ вполне не-
непрерывен. С другой стороны, оператор В переводит любую
фундаментальную последовательность снова в фундаменталь-
фундаментальную, и поэтому предкомпактное множество AQ переводит
в предкомпактное множество; поэтому и оператор ВА вполне
непрерывен.

12.86]	§ 12.8. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ	135
в.	В частности, если вполне непрерывный оператор А
обратим, то пространство X конечномерно.
Действительно, в этом случае по б вполне непрерывен и
оператор Е=АА~1, и можно применить 12.84г.
г.	Если для каждого л=1, 2, ... оператор Ап—вполне
непрерывен и оператор А таков, что lim || А — Ап || = О,
то и А — вполне непрерывный оператор.
Действительно, для заданного е > 0 множество AnQ (где
Q—произвольное ограниченное множество, расположенное
в шаре |х|^г, а '\А—Л„Л<е) есть предкомпактное мно-
множество, являющееся er-сетыо для множества AQ. Отсюда
следует, что AQ предкомпактно C.95), и оператор А вполне
непрерывен.
12.86. Спектр вполне непрерывного опера-
оператора.
а.	Лемма. Для вполне непрерывного оператора в бана-
банаховом пространстве X каждое обобщенное собственное зна-
значение, отличное от 0, является обычным собственным значе-
значением.
Доказательство. Пусть Я — обобщенное собственное
значение оператора А, так что существует последовательность
векторов х1У хг, ..., |х„|^С> 0, такая, что (А—%Е)хп =
= qn-^-0. В силу предкомпактностн множества {Ахп} су-
существует такая последовательность номеров nt, п2, ..., что
векторы АхПк имеют в пространстве X предел; положим z =
= lim АхПк. Тогда %хПк — Axn,t —qnk также имеет предел г;
в частности, | z \ — lim | %х„к | ^ | Я | С > 0. Далее, поскольку
К=ФО, имеем lim х„к =¦ z/K, z = limAx:nfc = AД.) Az\ мы полу-
чаем равенство Az = Kz, которое и доказывает нашу лемму.
б.	Лемма. Вне любого круга \к\^1с, с > 0, вполне
непрерывный оператор А может иметь лишь конечное число
различных собственных значений.
Доказательство. Пусть Kv \, ...—различные
собственные значения оператора А, причем | Я„ | ^ с. Пусть
elt е2, ... —соответствующие собственные векторы: Аеп—
—"Кпеп, л=1, 2, ... Собственные векторы, отвечающие
различным собственным значениям, линейно независимы
[12.15м); поэтому линейная оболочка Ln_x векторов ег, ...
..., eB-1 является истинным подпространством линейной

136	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.86
оболочки Ln векторов ех, ..., еп. По лемме 12.36а имеется
вектор hn?Ln, такой, что |ftni = l и | Ап—х| > 1/2 для
любого х€!„_,. Можно записать, что hn = x0-\~aen, где
xo€Ln-v Тогда
Ahn = А (дг0 + ае„) = Ах0 + акпеп = Ахо+Кп {hn—x0) =
= (Ах0—Knx0) + %nhn.
Отсюда, поскольку Ahn_1-{-Knx0 — Axo?Ln_t, мы имеем
— \К
и, таким образом, из последовательности Ahn нельзя вы-
выбрать сходящейся подпоследовательности. Это противоречит
предположению о том, что оператор А вполне непрерывен.
Лемма доказана.
в.	Лемма. Вне любого круга |?i|^c, c>0, вполне
непрерывный оператор А в банаховом пространстве X может
иметь лишь конечное число точек спектра, и притом эти
точки суть собственные значения оператора А.
Доказательство. Каждая граничная точка спектра
оператора А есть обобщенное собственное значение A2.826),
следовательно, по лемме а — обычное собственное значение;
из леммы б, таким образом, следует, что вне круга | "k \ <! с
у вполне непрерывного оператора А может быть лишь ко-
конечное число граничных точек спектра. Пусть Кх, ...,%П—
эти точки; по а они являются собственными значениями
оператора А. Мы утверждаем, что ими исчерпываются все
точки спектра оператора А вне круга | К \ ^ с. Если бы была
в спектре еще точка ?i0, | ?i01 ^ с, мы провели бы из нее
прямую, идущую в бесконечность и не проходящую ни через
КРУГ IM ^с. нн через точки /,,, ..., Кп; последняя точка
спектра на этой прямой была бы граничной точкой спектра
и не была бы ни одной из точек Klt ..., %„. Полученное
противоречие доказывает лемму.
г.	Поскольку по лемме в вне любого круга | Я | ^ с
имеется лишь конечное число точек спектра вполне непре-
непрерывного оператора, мы имеем возможность занумеровать все
точки спектра в порядке приближения к точке 0. Мы полу-
получаем, что спектр вполне непрерывного оператора в банахо-

12.87]	§ 12.8. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ	137
еом пространстве представляет собой не более чем счетное
множество изолированных собственных значений с единст-
единственной предельной точкой 0. Точка 0 для вполне непрерыв-
непрерывного оператора в бесконечномерном пространстве всегда есть
точка спектра A2.85в) (хотя уже не обязана быть собствен-
собственным значением); остальных точек спектра может быть счет-
счетное множество, конечное или даже ни одной точки, кроме 0.
В последнем случае выполняется равенство lim {^|| А" || =0
л->оо
A2.75а), и оператор А является обобщенным нильпотент-
ным. Конечномерным аналогом такого оператора является
нильпотентный оператор, для которого Am — Q при некото-
некотором т. В конечномерном пространстве структура нильпотент-
ного оператора может быть выяснена до конца (в некотором
базисе он задается жордановой матрицей, все диагональные
элементы которой равны 0). В бесконечномерном случае струк-
структура обобщенного нильпотентного оператора полностью не
выяснена *).
12.87. Спектральное разложение вполне
непрерывного оператора.
а.	Пусть А,=^=0 — точка спектра SA вполне непрерывного
оператора А; поскольку в силу 12.86в она изолирована,
можно применить теорему 12.83. Мы получаем: простран-
пространство X может быть разбито в прямую сумму двух замкну-
замкнутых подпространств Рх и Qx, инвариантных относительно
оператора А, так что оператор А в первом из них имеет
число К единственной точкой спектра, а во втором его спектр
получается удалением из SA точки К. В каждом из подпро-
подпространств Рх, Qx оператор А, разумеется, остается вполне
непрерывным, и так как в Рх точка 0 не принадлежит более
его спектру, то он обратим в Рх. Но это значит, что под-
подпространство Рх конечномерно A2.85в). Следовательно,
каждая точка К =??= 0 спектра оператора А определяет неко-
некоторое конечномерное инвариантное подпространство; в нем,
естественно, структура оператора А описывается уже извест-
известными способами.
б.	Из а вытекает важное свойство следующего вполне
непрерывного оператора.
*) См. М. С. Бродский, Треугольные и жор да новы пред-
представления линейных операторов, «Наука», 1969.

138	гл. 12. основные структуры анализа	J12.88
Альтернатива Фредгольма. При заданном ком-
комплексном ц возможны лишь два случая: либо уравнение
(Е—[iA)x=y разрешимо однозначно относительно х при
любом у?Х, либо однородное уравнение (Е—цЛ)хо = О
имеет ненулевое решение.
Доказательство. При \i¦= О очевидно осуществля-
осуществляется первая возможность альтернативы. Пусть \i ^= 0 и
Я=1/ц; тогда уравнение (Е—цА)х=у равносильно урав-
уравнению {А—%Е)х=—Яу. Если Я не принадлежит спектру
оператора А, то А—%Е обратим и осуществляется первая
возможность альтернативы; если к лежит в спектре А, то,
поскольку к Ф 0, число Я есть собственное значение опера-
оператора А A2.86е), и осуществляется вторая возможность, что
и доказывает альтернативу.
Таким образом, альтернатива Фредгольма эквивалентна
тому факту, что у оператора А всякое число Я ? SA, от-
отличное от нуля, есть собственное значение. Именно этим
свойством, как мы видели, обладают вполне непрерывные
операторы; но существует и более широкий класс операто-
операторов, также обладающих этим свойством (например, опера-
операторы, некоторая степень которых вполне непрерывна; см.
задачу 13).
12.88. Интегральный оператор Фредгольма.
Пусть q(s, t) — непрерывная комплексная функция двух ве-
вещественных переменных s и t, меняющихся в одном и том
же отрезке [а, Ь]. Интеграл
, t)x(s)ds	A)
при каждой непрерывной на [а, Ь] функции х (t) представ-
представляет некоторую функцию, определенную также на [а, Ь] и
непрерывную в силу 9.81. Очевидно, формула A) задает
линейный оператор у^=Ах, действующий в пространстве
Cs [а, Ь] всех комплексных непрерывных функций на [а, Ь]
с нормой || л: || = sup \x(t) | A2.396); он называется операто*
ром Фредгольма. Из неравенства
ь

12.88]	§ 12.8. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ	139
следует, что оператор А ограничен и его норма не превос-
превосходит числа
ь
sup \\q(s, t)\ds.
t j
Покажем, что А—вполне непрерывный оператор. Пусть
функция x(t) пробегает ограниченное множество Q?CS [a,b],
так что, например, || х || = sup | х (t) | ^ г.
Тогда при |Г—Г|б
s, t')-q(s, Г)
где
©,(в)= sup \q(s, t')—g{s, t")\.
Отсюда для колебания о» (б) функции у (t) получается оценка
(о (б)= sup \y(t')—y{f)\<rag{b){b—a),
не зависящая от выбора функции х (t) ^ Q; так как в силу
непрерывности функции q (s, t) мы имеем lim о». F) = 0, то
6-»0
и lim (о F) = 0. Таким образом, множество AQ(ZCs(a, b)
б-»о у
равномерно ограничено и равностепенно непрерывно; по тео-
теореме Арцела A2.24в) множество AQ предкомпактно при лю-
любом ограниченном Q?CS (a, b); тем самым оператор А вполне
непрерывен, что и утверждалось.
Как следствие, получаем, что для оператора Фредголь-
ма имеют место все утверждения 12.86—12.87. В частно-
частности, справедлива и альтернатива Фредгольма A2.876), кото-
которая в данном случае формулируется так:
При заданном (комплексном) ц возможно лишь одно из
двух: либо уравнение
t)x(s)ds=*y(t)

140	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.89
разрешимо относительно х (t) при любой у (t) ? Cs (a, b),
либо однородное уравнение
ь
х0 (t) — (А
имеет ненулевое решение.
12.89. Интегральный оператор Вольтерра.
Пусть снова q(s, t) — непрерывная функция переменных s
и t, изменяющихся на отрезке [а, Ь]. Интеграл
t)x(s)ds	A)
отличается от интеграла 12.88 A) тем, что вместо постоян-
постоянного предела b стоит переменный предел t. Функция у (t),
так же как и в 12.88 A), определена в [а, Ь] и непре-
непрерывна (9.86а). Линейный оператор V, задаваемый форму-
формулой A), называется оператором Вольтерра. Оператор Воль-
Вольтерра, как и оператор Фредгольма, вполне непрерывен; это
доказывается тем же путем, с небольшим уточнением вы-
выкладки. Но, в отличие от оператора Фредгольма, оператор
Вольтерра не может иметь ненулевых точек спектра (т. е.,
как мы знаем, собственных значений). Предположим против-
противное: для некоторого %=?0 существует функция х0 (t) ? Cs (a, b),
такая, что
t
Vx0 (t)^^q(s, t)x0 (s) ds = UQ (t).	B)
Полагая t—a, находим Ъсо(«) = О и, следовательно,
х0 (а) = 0. Можно принять без ограничения общности, что в лю-
любой окрестности точки а на отрезке [а, Ь] функция х0 (s) не обра-
обращается тождественно в нуль — иначе мы просто перенесли бы
нижний предел интеграла, не меняя величины самого интег-
интеграла, в ближайшую точку на [а, Ь], уже обладающую ука-
указанным свойством. Поэтому функция m (б) = sup | x (t) \
а < t < а+Ь
отлична от нуля при б > 0 и стремится к 0 при б —»• 0.

12.89] § 12.8. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ 141
Можно для каждого б > О указать точку tb g [a, a + 8]i
для которой |хо(^о)] = т (8). Теперь из B) получаем оценку
правой части:
|Яло(/,)| = |Я,|иFХ max |х0 (s) |• С |q(s,t)
a<s<a+6	J
где
с = sup |q(s, t)\.
t, s
Сокращая на тF), находим при любом 6>0
Это неравенство противоречит нашему предположению
Тем самым утверждение доказано.
Применяя 12.876 и 12.56, получаем, что решение урав-
уравнения Вольтерра
t
(t)^X(t)-n\q (s, t) x (s) ds =y (t)
существует и единственно при каждом у (t) и представляется
рядом
Можно показать, на чем мы уже не останавливаемся, что
оператор V" при любом п есть также оператор Вольтерра
с ядром qn (s, t), которое можно вычислить рекуррентно по
формулам
q1(s, t) = q{s, t),
t
1(a, t)da
(см., например, Г. Е. Шилов, Математический анализ,
Специальный курс, Физматгиз, М., 1961, стр. 262; в этой
же книге имеются примеры применения интегральных урав-
уравнений к задачам математической физики).

142	гл. 12. основные структуры анализа	[12.91
§ 12.9. Гильбертовы пространства
12.91.	В нормированном пространстве можно измерять
расстояния, но нельзя еще измерять углы, и это сужает воз-
возможности использования геометрической наглядности. В гиль-
гильбертовом пространстве по определению имеется скалярное
произведение векторов, через которое выражаются и длины
векторов, и углы между ними. Точное определение таково:
вещественное линейное пространство Н называется гильбер-
гильбертовым пространством, если для любых двух векторов х .и у
из Н определено вещественное число (х, у), называемое ска-
скалярным произведением векторов х и у и удовлетворяющее
следующим условиям:
а.	(х, х) > 0,	если хфО, @, 0) = 0.
б.	(у, л:) = (д;, у)	для любых х и у из Н.
в.	(ах, у) = а(х, у)
для любых х и у из Н и любого вещественного числа а.
г.	(х+у, z) — (x, z)-j- (у, z) для любых х, у, z из Н.
Из аксиом б—г можно вывести общую формулу (по ин-
индукции)
m n
!=2 2 «Аи./, уk)- 0)
Приведенная аксиоматика относится к вещественным гиль-
гильбертовым пространствам; аксиоматика для комплексных гиль-
гильбертовых пространств будет приведена позднее A2.94).
12.92.	Примеры.
а.	Всем высказанным условиям, в частности, удовлетво-
удовлетворяет л-мерное евклидово пространство /?„, введенное нами
в 8,14, со скалярным произведением, определенным по фор-
формуле
п
б.	Можно вводить в л-мерном пространстве Rn скаляр-
скалярное произведение и не по формуле A). Мы можем легко
описать все возможные скалярные произведения в Rn. Если

12.92]	§ 12.9. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА	143
(х, У)—иекоторое скалярное произведение в Rn и x=^fekk
У^^Ц^к есть разложение векторов л: и у по базису elt...
..., еп B.6В), то по формуле A)
(х, У) = (^ Ia, ]>] т}у*у) - 2 5*4/ («*. •/)•
Таким образом, достаточно знать значения скалярных про-
произведений для базисных векторов (ек, ej): по числам atjk —
— (еу, ек) скалярное произведение (я, у) однозначно опреде-
определяется для любой пары векторов х, у. Числа о»уй должны
удовлетворять условиям симметрии о>уй = (еу, ек) = (eft, ву) =
= сойу и неравенству
{X, ^) =
для любого хфО; это означает, что матрица ||o)yft|| должна
быть симметричной и положительно определенной. В алгебре
доказывается *), что необходимыми и достаточными условиями
положительной определенности данной симметричной матрицы
|| о)уй || служат неравенства
> о,
И1
>0
0)„ ... СО,
Обратно, всякая симметричная положительно определенная
матрица ||(OyJ| задает по формуле
скалярное произведение в пространстве Rn, удовлетворяющее
аксиомам 12.91а—г. Доказательство после всего сказанного
выше можно предоставить читателю.
в. В пространстве вещественных непрерывных функций
Rs(a, b) введем скалярное произведение, например, по фор-
формуле, представляющей собой континуальный аналог форму-
формулы A):
ь
\	B)
При этом определении выполнение аксиом гильбертова
пространства легко вытекает из обычных свойств интеграла.
•) См. КЛП, 7.96.

144 ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА A2.93
(В пространстве Rs{a, b) скалярное произведение можно
вводить и другими способами.)
г. Рассмотрим линейное пространство /2 A2.33г), состо-
состоящее из всех числовых последовательностей х = {%v |2,...},
для которых 2 In < 0. Определим для векторов х = {?„} € '»
п=1
и у = {?}„} ? /2 скалярное произведение (х, у) по формуле
(х,у)=ИЪл,-	C)
П=1
Сходимость ряда в правой части, даже абсолютная, сле-
следует из неравенства |а6|^^-(а24-62), справедливого для
любой пары вещественных чисел а и Ь. Аксиомы 12.91а—г
выполняются в данном случае очевидным образом.
Таким образом, пространство /2 становится гильбертовым
пространством. Норма, порождаемая скалярным произведе-
произведением C), совпадает с нормой в /2, введенной в 12.33г.
12.93. Геометрия в гильбертовом простран-
пространстве.
а. Еще в 3.14 мы фактически вывели из аксиом гиль-
гильбертова пространства Н неравенство Коши — Буняковского:
для любых векторов х и у из Н
, х)(у,у).	A)
Введем в гильбертовом пространстве Н норму по фор-
формуле
||*||= +VWx).	B)
Аксиомы 12.31 нормированного пространства легко прове-
проверяются: аксиома 12.31а вытекает из аксиомы 12.91а, акси-
аксиома 12.326 — из аксиомы 12.91в. Что касается аксиомы
треугольника 12.91в, ее вывод из аксиом гильбертова про-
пространства мы провели фактически также в 3.14, пользуясь
неравенством A).
Таким образом, все понятия н свойства, связанные с су-
существованием нормы, имеются в гильбертовом пространстве.
Но так как гильбертово пространство есть весьма специ-
специальный случай нормированного пространства, то имеются

12.93]	§ 12.9. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА	145
основания ожидать, что норма в гильбертовом пространстве
обладает и свойствами, специфическими лишь для гильбер-
гильбертовых пространств. Одно из таких свойств описывается
в следующей лемме:
Лемма о параллелограмме: Для любых двух век-
векторов х и у гильбертова пространства Н имеет место ра-
равенство
И*+Я|2 + 11*-.НГ = 2|И|2 + 2|Ь||2	C)
(«сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его сторон»).
Доказательство получается простой выкладкой:
IP+ II«-.УН" = (*+>. х+у) + (х-у, х-у) =
= 2(х, х) + 2(у, j/) = 2||x2
Можно доказать, что если норма в некотором нормиро-
нормированном пространстве удовлетворяет условию C), то эта
норма порождена некоторым скалярным произведением (за-
(задача 4).
Поставим вопрос: какую форму имеет сфера {||х||=1}
в Rn в случае, когда норма || х || получена из некоторого
скалярного произведения (х, у) по формуле }| х || = V{x, x)
(ср. 3.14а)?
Для этого случая мы получаем:
т. е. сфера ||jc||=1 есть центральная поверхность второго
порядка, а так как она ограничена, то эта поверхность яв-
является эллипсоидом.
б. Пусть в гильбертовом пространстве Н даны две сходя-
сходящиеся последовательности векторов хп—»• х и уп—>у. По-
Покажем, что тогда
(*«. Уп) ~* {х, У).
Действительно, мы имеем
(*. У) — (хп, Уп) = (х> У— Уп) + (х~х„, у„),

146	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	{12.93
и по неравенству A)
|(*. у)-(хп, уп)\<\\х[\\\у-у„\\ + \\х-хп\\\\уп\\;
здесь правая часть стремится к 0 при п —>¦ оо, так как
\\у— У„\\—> 0, Цл:—л:п||—»¦ 0, а сходящаяся последователь-
последовательность уп ограничена C.336).
в. В гильбертовом пространстве можно измерять не толь-
только длины векторов (нормы), но и углы между ними. Угол
между ненулевыми векторами х и у определяется по фор-
формуле
неравенство A) обеспечивает существование искомого угла
(в пределах от 0 до п).
г. Векторы х и у гильбертова пространства Н называ-
называются ортогональными, если (х, _у) = 0. При х*^0 и у ф О
это определение означает, что угол между векторами хну
. равен я/2. Нуль-вектор ортогонален к любому вектору.
В евклидовом пространстве Rn со скалярным произведе-
произведением 12.92 A) условие ортогональности векторов
* = (li, ••-. U. .У = Ob •••. Цп)
приобретает вид
В пространстве функций /?* (а, Ь) со скалярным произве-
произведением 12.92 B) условие ортогональности векторов x = x(t)
и j/a=j>(?) имеет вид
ь
д. Если вектор х ортогонален векторам ylt ..., ym, то
он Ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов:
aJi + • • • + «тоУй,- Действительно,
(х, а^Н- ... +amym) = a1(x, уг) + ... + ат (х, ут) = 0.
Отсюда следует, что совокупность всех векторов, орто-
ортогональных вектору х (или любому вектору из фиксирован-
фиксированного множества Л"€Н), образует подпространство в Н;

12.98]	§ 12.9. гильбертовы пространства	147
оно называется ортогональным дополнением вектора х (илн
множества X).
е. Теорема Пифагора и ее обобщение. Пусть
векторы х я у ортогональны; тогда по аналогии с элемен-
элементарной геометрией вектор х-\-у можно называть гипотену-
гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векто-
векторах хну. Умножая скалярно х-\-у на себя и используя
ортогональность векторов хну, получаем
(х, у) + (у, у) =
= \\*\\Ш+ЫШ-
Мы доказали в общем гильбертовом пространстве теорему
Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ка-
катетов. Нетрудно обобщить ' эту теорему на случай любого
конечного числа слагаемых. Именно, пусть векторы х1г ..., xh
взаимно ортогональны и у—хг-\- ... -\-хк; тогда
|Ы|а = (х1+ ... +xk, х,+ ... +xJk) = ||x11|2+ ... + ||**||".
ж. Метод ортогонализации. Для получения ор-
ортогональной системы векторов часто используется метод ор-
тогонализацни данной неортогональной системы. Этот метод
состоит в следующем. Пусть имеется последовательность век-
векторов х1г х2, ..., хп, ... гильбертова пространства Н, в
которой каждая конечная подсистема х„ ..., хп линейно
независима. Утверждается, что по формулам
у3 = а31хг + а32х2 + л:3,	}	D)
со специальным образом подобранными коэффициентами а^ь
можно получить систему векторов ух, ..., уп, ..., ненулевых
и взаимно ортогональных. Система формул D) с соответст-
соответствующими коэффициентами ajk называется формулами орто-
ортогонализации.
Существование решения этой системы, подчиненного тре-
требуемым условиям ортогональности, легко доказать по ин-
индукции. Действительно, предположим, что построены

14В	гл. 12. основные структуры анализа	[12.93
ненулевые и взаимно ортогональные векторы ylt ..., ^п-и
удовлетворяющие первым п—1 уравнениям системы D), и
покажем, что можно найти вектор упу удовлетворяющий
я-му уравнению системы D) и ортогональный векторам
Уп • • чУп-i- Будем искать вектор уп в форме линейной ком-
комбинации от хр ..., хп следующего специального вида:
,	E)
где yt, ..., _у„_1 —найденные векторы, а Ьп1, ..., bn>n_l
— коэффициенты, подлежащие определению. Умножая уравне-
уравнение E) скалярно на yk (k < n) и пользуясь предположен-
предположенной ортогональностью yk к ylt ...,ук-г, Уи+п •¦¦> Уп-и
получаем
(Уп, У к) = Кн (У*. У к) + (*п. Ук)-
Приравнивая правую часть нулю, получаем уравнение
относительно коэффициента bnk, которое разрешимо, по-
поскольку по предположению (ук, ук)ф0. Когда все коэффи-
коэффициенты Ьп1, ..., &„,„_! таким образом найдены, равенство
E) определяет вектор уп. По построению он будет орто-
ортогонален каждому из векторов j^i ..., jib.,; нам оста-
остается только показать, что уп=Ф0. Для этого вставим выра-
выражения з»1. ••чУп-i из первых п—1 уравнений D) в «-е
уравнение; мы получим линейное выражениеуп через л^, ..., хп,
причем коэффициент при х„ равен 1. Если бы уп был ну-
нулем, то мы получили бы линейную зависимость между
хх, .. .,хп_1,х„, что по предположению не имеет места. Отсю-
Отсюда yn=?zQ, и метод ортогонализации полностью обоснован.
Далее можно еще «улучшить» полученную ортогональ-
ортогональную систему 3*1. • • •, Уп, • • •' разделив каждый из векто-
векторов уп на его длину; получающаяся после этого система
векторов еп —. Уп . не только ортогональна, но и нормиро-
\\Уп II
вана, так что каждый из векторов еп имеет норму, равную 1.
Ортогональные и нормированные системы векторов будем
называть для краткости ортонормальными.
з. Изоморфизм между двумя л-м е р н ы м и
евклидовыми пространствами. В соответствии с
общим определением изоморфизма математических структур
B.52) два гильбертовых пространства Н' и Н" называются
изоморфными, если они изоморфны как линейные простран-

12.94]	§ 12.9. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА	149
ства A2.Пи) и при этом из соответствий х' -<—*х",
у'+—.уя[х', /€Н', х", У'€Н") следует
(*', /) = (*", /').
Докажем, что любые два гильбертовых пространства
одинаковой конечной размерности п изоморфны.
Для доказательства построим в заданном я-мерном про-
пространстве Н„ ортонормальный базис elt ..., еп, ортогона-
лизируя по методу ж произвольную линейно независимую
систему п векторов. Найдем скалярное произведение век-
п	п
торов x = ^theh и у = 2 4mem- Мь| имеем в силу ортонор-
1	1
мальности векторов е,, ..., еп
п п
Таким образом, произвольное «-мерное гильбертово про-
пространство Н„ можно представить как координатное прост-
п
ранство (приводя в соответствие каждому вектору х = ~S\ |fteft
i
набор (Hj, .. ., !„) его координат) со скалярным произве-
произведением по формуле F). Но это означает, что пространство
Н„ изоморфно пространству RnA2.92а). Любые два л-мерных
гильбертовых пространства Н'„ и Н'й, будучи изоморфны
одному и тому же пространству Rn, изоморфны между собой,
что и утверждалось.
Важная роль доказанного результата состоит в том, что
даже в бесконечномерном гильбертовом пространстве, опе-
оперируя в пределах конечномерного подпространства, и, тем
более, в пределах трехмерного или двумерного подпрост-
подпространства, мы можем опираться на обычные факты евклидовой
геометрии.
12.94. Поскольку в анализе приходится рассматривать
и функции с комплексными значениями, нужно соответст-
соответственно расширить понятие гильбертова пространства. В случае
комплексного линейного пространства значения скалярного
произведения, которое мы желаем ввести, можно считать
комплексными числами. Но сохранить требования 12.91а—с
в неизменном виде уже невозможно, так как выражение

150	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.95
(ix, ix) по свойству а должно быть положительным, в то
время как по свойствам бив
(ix, ix) = i (х, ix) = i (ix, x) = /* (x, x) < 0.
Для комплексного пространства мы примем следующее
определение.
Комплексное линейное пространство (т. е. линейное
пространство с умножением на комплексные числа) назы-
называется гильбертовым пространством, если для любых двух
векторов х и у из Н определено комплексное число (х, у),
называемое скалярным произведением х и у и удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям:
а.	(х, x)>0j__ если хфО; @, 0) = 0.
б.	(у, х) — (л;, у) (комплексно сопряженная величина)
для любых х и у из Н.
в.	(сие, у) = а (х, у) для любых хну из Ни любого
комплексного числа а.
г.	(х+у, z) — (x, z) + (у, z) для любых х, у, z из Н.
Из б и в вытекает, что при вынесении комплексного
числового множителя за знак скалярного произведения со вто-
второго места этот множитель заменяется сопряженным числом:
д.	(х, ау) = (ау, -х) = а(у, х) = а(х, у).
Из б—д легко получить общую формулу
т	п	\	т п
S ajXj, J] foyk) = 2 2J a fa {xJt у„).	A)
12.95. Примеры.
а. Простейшим примером комплексного гильбертова про-
пространства является л-мерное комплексное пространство С„.
Оно состоит из наборов по п комплексных чисел х = (|х, ..., |„)
с обычными (покоординатными) линейными операциями и
скалярным произведением, определяемым так: если х =
= (|i. • • •. 1„). .У == (»li. • • •. Ля). т0 (*> ^) = ^х + • • • +1и'Чп>
где T]ft — комплексное число, сопряженное к %. Выполнение
аксиом 12.94а — г очевидно.
В пространстве С„ можно вводить и другие скалярные
произведения *).
*) См. КЛП, § 9.1.

12.96]	§ 12.9. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВ*	151
б. Другим примером комплексного гильбертова простран-
пространства является пространство С* [с, Ь] непрерывных комплексно-
значных функций x(t) на отрезке c^^^ft со скалярным
произведением, определенным по формуле
ь
а
Выполнение аксиом 12.94а — г легко вытекает из обычных
свойств интеграла.
в. Вещественное пространство 12 A2.92г) имеет своим
комплексным аналогом пространство всех комплексных число.
со
вых последовательностей >: = {!•„}, для которых 2 |1п12<°°'
n=i
Скалярное произведение в этом пространстве задается по
формуле
j ({U ЫJ »ч«
п=\
Легко проверить в этом случае выполнение всех аксиом 12.94.
12.96. а. Пусть Н—комплексное гильбертово простран-
пространство. Положим, как и в вещественном случае,
||*||=+К(*. х).	A)
Докажем выполнение неравенства Коши — Буняковского —
Шварца
К*. JOKIMIIMI-	B)
При любом комплексном а имеет место неравенство
(сие— у, ах—
Раскрывая левую часть, получаем
сш{х, х)—а(х, у)—а(х,
Положим a=^te~lагв<*. у) (t вещественно); тогда а (х, у) =*
= 11 (х, у) |, и неравенство преобразуется к виду
t%(x, x)-2t\(x, y)\ + {y, y)>0.
Так как вещественный трехчлен слева не может иметь
различных вещественных корней (иначе он менял бы знак),

152	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.97
то его коэффициенты удовлетворяют неравенству |(лг, j>)|2^J
^ (х, х) (у, у), что и требовалось.
б. Из неравенства B), как и в вещественном случае,
получается выполнение для нормы A) неравенства треуголь-
треугольника:
в. Как и в вещественном случае, векторы х, у комплекс-
комплексного гильбертова пространства Н называются ортогональ-
ортогональными, если (х, у) — 0. Векторы х±, х2, ..., хп, ..., которые
в любом конечном числе линейно независимы, как и в 12.93ж,
можно ортогонализовать, т. е. можно построить по формулам
12.93ж D) систему ортогональных векторов, отличных от 0.
В частности, всякое п-мерное комплексное гильбертово про-
пространство Нл обладает ортонормальным базисом ех, ..., еп.
п
Скалярное произведение векторов я = 2?*ел и У — ^
получается по формуле
(X, y) = (jjtkek, irue^SVUefc. О = 2^*- C)
В частности, из формулы C) следует, как и в вещест-
вещественном случае, изоморфизм /г-мерного пространства Н„ с про-
пространством Сп A2.95а), и, следовательно, изоморфизм любых
двух /г-мерных комплексных гильбертовых пространств.
12.97. Пополнение гильбертова простран-
пространства. Как и любое нормированное пространство, гильбертово
пространство Н (вещественное или комплексное) может быть
полным или неполным. Так, конечномерные гильбертовы про-
пространства, вещественные и комплексные A2.92а, б, 12.95а) —
полные A2.35д, 12.39ж). Пространства функций с интеграль-
интегральным скалярным произведением A2.92в, 12.956) — не полны
(ср. 12.266). Пространство /2, вещественное A2.92г) и комп-
комплексное A2.95в) — полные (задача 18). Если некоторое
гильбертово пространство Н не полно, то его можно попол-
пополнить, включая в более широкое нормированное пространство,
как это мы делали в 12.38. Покажем, что пополнение
гильбертова пространства является не только нормированным,
но и гильбертовым пространством. Для доказательства мы

1.2.97]	§ 12.9. гильбертовы пространства	153
должны ввести в пополнении операцию скалярного произве-
произведения так, чтобы были выполнены аксиомы 12.91а—г
(в вещественном случае) или 12.94а — г (в комплексном
случае).
Каждый элемент X пополнения нормированного простран-
пространства R был определен как символ, отвечающий классу
конфинальных фундаментальных последовательностей про-
пространства R. Пусть X и Y—любые два элемента пополнения Н
гильбертова пространства Н, {хп\ и {уп\—две фундамен-
фундаментальные последовательности из соответствующих классов.
Покажем, что числа (хп, уп) имеют при п—> оо предел. Мы
имеем
\(х„, уп) — (хт, ут)\ = \{х„—хт, у
Так как фундаментальные последовательности \хп) и {уп}
ограничены C.71 в), то полученная величина при т—>¦ оо,
п —>оо стремится к 0, так что для числовой последователь-
последовательности (хп, уп) выполнен критерий Коши. Отсюда следует,
что она обладает пределом. Этот предел не зависит от выбора
последовательности {хп} в классе X и {уп} в классе Y; если
\х'п) и [у'п\—другие последовательности из этих же клас-
классов, то при п —>- оо
\(х'п, Уп)—(х„,у„)\ = \(х'п—хп, у'п) — (хп, у'п— ,у„I<
так что числовые последовательности (х'п, у'п) и (хп, уп) имеют
одинаковые пределы. Мы положим теперь
(X, У)= lim (xn,yn).
Как мы видели, число (X, Y) определяется только классами
X и Y и не зависит от выбора последовательностей \х„)
и {уп} в этих классах. В частности, число \^(Х, X) =
= lim V(xn, xn) = lim || xn || совпадает с нормой класса X
в нормированном пространстве Н. Это обеспечивает выпол-
выполнение аксиомы 12.91а в пространстве Н. Справедливость
в пространстве Н аксиом 12.916—г (или 12.946—г в ком-
комплексном случае) выводится предельным переходом из

154	гл. 12. основные структуры анализа	A2.98
справедливости этих же аксиом в пространстве Н. Например,
в вещественном случае
(Y, Л)=- lim (у», *„) = «и (*„, уп) = (Х, У);
Я ->¦ СО	П-* 00
аналогично устанавливается выполнение всех остальных ак-
аксиом.
12.98. Предгильбертово пространство.
а.	В некоторых случаях в линейном пространстве L, для
определенности, — вещественном, оказывается возможным
ввести функцию (х, у) так, что выполнены аксиомы 12.916 — г,
но аксиома 12.91а не выполнена: имеются элементы гфО,
для которых (z, z) = 0. Такое пространство L называется
предгильбертовым пространством. Оказывается возможным
перейти от пространства L к некоторому его фактор-про-
страиству L/E A2.14и), которое уже можно считать гиль-
гильбертовым пространством.
б.	В качестве Е мы возьмем совокупность всех элемен-
элементов z, для которых (z, z) = 0. Если {z, z) = 0 и у g L —
любой элемент, то в силу неравенства Коши—Буняковского
(вывод которого опирается только на аксиомы 12.916—г)
\(z, y)\^V(z, z)VJy7J) = 0,	A)
так что (z, у) = 0 для любого у g L.
Покажем, что Е есть подпространство в L. Если zx g E,
Zz?E, то по A)
(Z, + 2a. Z1 + Zi) = {Zlt Zl) + 2(Z1, Zt) + (Z2, 22) = 0,
т. е. гг-\-гг^Е. Очевидно также, что из (zlt zt)*=0 следует
так что агг € E, если г, ? ?. Поэтому совокупность Е есть
подпространство в L.
Образуем фактор-пространство H — L/E и введем в нем
скалярное произведение по формуле
(X, У)-(*.>),	B)
где х?Х, y?Y—произвольно выбранные элементы. Пока-
Покажем прежде всего, что определение скалярного произведения
не зависит от выбора элементов х и у в их классах. Пусть

12.98]	§ 12.9. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА	155
что x1 =
i	Уг У	1
Тогда по A)
и) = (л:, у),
что и требуется.
Проверим выполнение аксиом 12.91а—г для простран-
пространства Н. Если (X, Х) = 0, то (х, х) — 0 для любого х^Х,
и, следовательно, X совпадает с классом Е, который является
нулем пространства L/E A2.14и), так что аксиома 12.91а
теперь выполнена. Что же" касается остальных аксиом, то
их справедливость в пространстве L/E следует из их спра-
справедливости в пространстве L и определения B). Таким
образом, пространство H = L/E есть уже гильбертово про-
пространство.
в.	Совершенно аналогичное построение можно провести
для комплексного предгильбертова пространства L: если Е
есть совокупность тех z?L, для которых (z, z) = 0, то
L/E—H будет комплексным гильбертовым пространством.
г.	В качестве примера рассмотрим вещественное линейное
пространство G (а, Ь) всех кусочно-непрерывных функций
на отрезке [с, Ь] со скалярным произведением
ь
Здесь выполнены аксиомы 12.916—г, то аксиома 12.91а
не выполнена, поскольку для функции z (t) g G, отличной
от нуля лишь в конечном числе точек, согласно 9.16в
0,	C)
хотя z (t) не есть нуль пространства G. Таким образом,
G есть предгильбертово, но не гильбертово пространство.
Мы можем получить гильбертово пространство, перейдя от
пространства G к его фактор-пространству G/E, где Е есть
совокупность всех функций z (t) ? G, для которых выпол-
выполняется равенство C): это функции, отличные от 0 в конечном
числе точек (9.16г). Фактор-пространство G/E состоит из
классов функций х (t) g G; две функции принадлежат к одному
классу, если они отличаются лишь в конечном числе точек.

156	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА	[12.98
д. Совершенно аналогично производится переход от комп-
комплексного предгильбертова пространства О [а, Ь] всех
кусочно-непрерывных комплексных функций на отрезке [а, Ь\
со скалярным произведением
к комплексному гильбертову фактор-пространству G/E по
подпространству Е комплексных функций, отличных от нуля
лишь в конечном числе точек.
Дальнейшее изучение гильбертовых пространств, в связи
с их применениями в анализе, мы отложим до гл. 14.
ЗАДАЧИ
1.	Рассмотреть три пространства функций на прямой:
а)	всех ограниченных непрерывных функций;
б)	всех непрерывных функций, у которых lim /(x) = 0;
в)	всех непрерывных функций, каждая из которых равна нулю
вне некоторого интервала.
В этих пространствах вводится метрика по формуле
р(/, g) = sup\f(x)-g(x)\.
Будут ли указанные пространства полными?
2.	Указать в пространстве Rs (О, со) (всех ограниченных непре-
непрерывных функций на полуоси 0<л:<оо с нормой \\x(t) || = sup | x(t) |)
совокупность функций (ха (<)}, имеющую мощность континуума,
такую, что ||я:в (О 11 = 1, 1|*«@—*р@||^1 ПРИ а^Р'
Примечание. Отсюда следует, что в пространстве Rs @, с»)
нет счетного всюду плотного множества.
3.	Проверить, что функционал
1/2	1
F(«/)= ^y(x)dx— ^ y(x)dx
О	1/2
непрерывен в пространстве Rs@, 1); показать, что точная верхняя
грань его значений в замкнутом единичном шаре пространства
R-^O, 1) равна единице, но эта верхняя грань не достигается ни на
каком элементе единичного шара.
4.	Известно, что в некотором нормированном пространстве X
для любой пары векторов х, у справедлива лемма о параллелограм-
параллелограмме A2.93а). Доказать, что норма в пространстве X порождается
скалярным произведением
( )(\

ЗАДАЧИ	157
5.	Пусть Р—алгебра всех многочленов р(г) с комплексными
коэффициентами в круге Q = {z:|z|s?l} с нормой ||р(г)|| =
= max|p(z)|. Эта алгебра содержит 1 и разделяет любые две точки
компакта Q, однако теорема Стоуиа 12.42в для иее не выполнена,
алгебра Р не плотна в алгебре Cs (Q) всех (комплексных) непрерыв-
непрерывных функций в круге Q.
6.	В нормированной алгебре Rs (Q) (Q—метрическое пространст-
пространство) совокупность / (F) всех функций f(x)?Rs(Q), обращающихся в О
на некотором замкнутом множестве FcQ, образует замкнутый идеал
в Rs (Q). Показать, что если Q—компакт, то всякий замкнутый идеал
/ с Rs (Q) совпадает с идеалом / (F) для некоторого F CQ.
7.	Пусть равностепенно непрерывное семейство функций
EcPs(Q) (Р—метрическое пространство, Q—компакт) таково, что
при каждом t?Q значения всех функций x(t)?E принадлежат не-
некоторому предкомпакту Р\ а Р. Доказать, что существует предком-
пакт Ро с Р, такой, что в Ро лежат все значения всех функций
x(t)?E во всех точках t?Q.
8.	Дана матрица T = ||<fcm||, удовлетворяющая условиям теоре-
теоремы Теплица 12.66в. Построить последовательность ?п из чисел 1
и —1, для которой Т-предела не существует.
9.- Доказать, что отрезок [lim Tn (х), lim Tn (х)] A2.66) содер-
содержится в отрезке [lim x, lim x] для любой ограниченной последова-
последовательности хгг^, |2>...) тогда и только тогда, когда lim ||Т„|| = 1.
rt-»O0
10.	Пусть C=CS(Q) есть алгебра всех комплексных непрерыв-
непрерывных функций f (г) на окружности | г | = 1 (с обычной прямой) и Z
есть алгебра функций tp(z), аналитических в круге |г|<1 и непре-
непрерывных в круге |г|<1 с такой же нормой ||ф || = sup |ф(г) |. По-
Показать, что
а)	Отображение, ставящее в соответствие каждой функции q>(z)?Z
граничную функцию ф(е'*)?С, есть мономорфизм Z в С; благодаря
этому алгебру Z можно считать подалгеброй алгебры С.
б)	Z есть замкнутая подалгебра в С.
в)	Спектр оператора А умножения на г в пространстве С есть
окружность | г | = 1; спектр этого же оператора в пространстве Z есть
круг | г | < 1; при этом значения | г \ = 1 являются обобщенными соб-
собственными значениями оператора А в Z и только они.
г)	Элемент г обратим в алгебре С, не обратим в алгебре Z и на
яв ляется в Z обобщенным делителем нуля.
11.	Пусть Q—компактное множество иа плоскости г и С=Cs (Q)—
пространство всех комплексных непрерывных функций на множестве
Q. Показать, что оператор умножения на г имеет своим спектром
множество Q.
12.	Известно, что для некоторого оператора А в банаховом про-
пространстве X и некоторого многочлена р (Я) оператор р (А) вполне не-
непрерывен. Доказать, что все точки спектра оператора А (кроме, воз-
возможно, корней многочлена р (Я)) являются его собственными значе-
значениями.
13.	Показать, что альтернатива Фредгольма имеет место для опе-
оператора А, у которого некоторая степень вполне непрерывна.

158	ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
14. Пусть p^l.^1 и	1— = 1. Для любых двух (кусоч-
Р Я
но) непрерывных функций х (t) и у (t) на отрезке о <; t «g b проверить
выполнение неравенства Гёльдера
ь
v Гь	я Г
|/ l\x(t)\Pdt |/
I/ о	I/
15. Для тех же функций x(t) и {/(<) проверить выполнение не-
неравенства
|/
?
р Г ь	р Г
|/ J|*(*)|'itt+|/
Ш а	I/
при pSi 1-
16. Пусть
и	[	= 1. Для любых векторов
х= {li, ... , ?„} и y={r\i, .... т]п} проверить выполнение неравенства
Гёльдера
проверить при
17. Для тех же векторов x:=-{|ft} и
выполнение неравенства треугольника
18.	Доказать, что нормированное пространство /^ A2.33г) полно
при любом рЗ=1.
19.	Даиа последовательность функций xn(t)(n=\, 2, ...), опре-
определенных на отрезке a^t^zb и имеющих на нем производные любо-
любого порядка, причем существует такая последовательность постоянных
Ah(k=Q, 1, 2, ...), что
|x«,ft)(f)|sEi4ft (л=1, 2, ... ; А=0, 1, 2, ...).
Выделить подпоследовательность х„т (t) (m= I, 2, ...), которая, так же
как и последовательность х^ (t) производных любого порядка, сходит-
сходится равномерно на отрезке а«?/«?Ь при т—»• оо.
20.	Показать, что при р< 1 величина \\х*\р A2.33в) не удов-
удовлетворяет аксиоме треугольника 12.31в.
21.	Существует вариант теоремы Арцела 12.24, не требующий
непрерывности функций х (t) и компактности (даже метризуемости)
множества Q, на котором они определены. А именно, пусть Р (Q) —

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА	159
некоторая совокупность ограниченных функций x(t), определенных
на произвольном множестве Q, со значениями в метрическом простран-
пространстве Р, метризованная по формуле р (х, у) = sup р (х (t), у (<))• Совокуп-
Совокупность Е с P(Q) предкомпактна тогда и только тогда, когда для любого
е > 0 существует разложение Q на конечное число подмножеств
Qi» • • •» Qn> на каждом из которых любая функция из Е изменяется
не более чем на е.
Историческая справка
Основные структуры математического анализа были выделены
в конце XIX и начале XX века, когда в анализе уже накопилось
значительное количество фактов н стала настоятельно необходимой
задача их внутренней организации. Хотя линейная зависимость век»
торов, размерность (равная любому натуральному п) имелись еще
у Грассмана A846), абстрактные линейные пространства появились
впервые у Пеано A888).
Изучение пространств, состоящих из непрерывных функций, раз-
развивалось в Италии в 1870—80-е годы (Вольтерра, Асколи, Арцела,
Дйии). Теорема об условиях компактности множества непрерывных
функций, которую обычно называют теоремой Арцела, впервые до-
доказана Асколи в 1883 г. Теорема Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывных функций многочленами относится к 1870-м годам; ее
обобщение A2.42—12.43) найдено М. Стоуном в 1936 Г:
Следующим этапом явилось введение гильбертовых пространств.
Его началом было построение теории линейных интегральных урав-
уравнений Вольтерра A887) и Фредгольма A900). Д. Гильберт в 1906 г.
обнаружил замечательную аналогию задач о собственных значениях
интегральных операторов с задачами о приведении конечномерной
квадратичной формы к каноническому виду, причем успех в реше-
решении задач для интегральных операторов, как оказалось, был свя-
связан с их свойством полной непрерывности. В 1907 г. Э. Шмидт дал
новое изложение теории Гильберта, записывая интегральные опера-
операторы с помощью бесконечных матриц, действующих в «гильбертовом
пространстве» квадратично суммируемых последовательностей. Аксио-
Аксиоматическая теория гильбертовых пространств на основе понятия ска-
скалярного произведения была построена уже около 1930 г. М. Стоуном
и Дж. фон Нейманом.
Другое построение теории вполне непрерывных операторов, по
существу, для любого полного нормированного пространства (по
форме—для пространства непрерывных функций) было выполнено
в 1918 г. Ф. Риссом. Абстрактное определение линейных нормиро-
нормированных пространств появилось чуть позже, в 1920—22 гг. в рабо-
работах С. Банаха, Г. Хана и Н. Винера. В школе Банаха были на про-
протяжении 20-х гг. найдены основные прииципы линейного функции
нального анализа, в том числе теорема об открытом отображении
и теорема о равномерной ограниченности A2.64). Результаты этой
школы, с большим количеством применений, изложены в книге
С. Б а н а х а «Теория линейных операций» (Варшава, 1931; есть украин-
украинский перевод «Курс функционального анализа», Киев, 1948). Одна-
Однако основная задача о каноническом представлении любого линейного
оператора, аналогичном жордаиову представлению конечномерного

160 ГЛ. 12. ОСНОВНЫЕ СТРУКТУРЫ АНАЛИЗА
линейного оператора, осталась нерешенной (и остается нерешенной
и в настоящее время). В этом направлении имеется много интерес-
интересных и сильных результатов для операторов в гильбертовом про-
пространстве. Еще Гильберт A906—1911 гг.) получил аналог диагональ-
диагонального представления для симметричных (и эрмитовых) операторов
(не обязательно вполне непрерывных). Переход к несимметричным
операторам происходил медленно; первые существенные результаты
(связанные в основном с именами М. С. Лившица и М. В. Келдыша)
относятся к концу 40-х гг. Современное состояние теории описано
в монографиях И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна «Введение в
теорию линейных несамосопряженных операторов», М., 1965 и «Теория
вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее прило-
приложения», М., 1967.
Теория нормированных алгебр, из которой мы привели здесь
только самые начальные сведения, построена И. М. Гельфандом
в 1937—1939 гг.; ее изложение, с разнообразными примерами из
анализа, можно найти в книге И.М. Гельфанда, Д. А. Райкова
и Г. Е. Шилова «Коммутативные нормированные кольца»,
Физматгиз, М., 1960, а также в книге М. А. Наймарка «Нор-
«Нормированные кольца», изд. 2-е, «Наука», М., 1968.
Первый научный подход к теории суммирования расходящихся
последовательностей был указан Эйлером («Дифференциальное исчис-
исчисление», 1755). Конечно, в те времена еще рано было говорить о
возможности строгой теории; к тому же некритическое пользование
расходящимися рядами сильно подорвало к ним доверие. В резуль-
результате реформы Коши A821) расходящиеся последовательности и ря-
ряды были надолго изгнаны из анализа. Современная теория суммиро-
суммирования последовательностей сформировалась на рубеже XIX и XX ве-
веков (Чезаро, 1880; Вороной, 1902; Теплиц, 1911); с ее нынеш-
нынешним состоянием можно познакомиться по книге Р. Кука «Беско-
«Бесконечные матрицы и пространства последовательностей», Физматгиз, М.,
I960.

ГЛАВА 13
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разум, которому в данный момент были бы изве-
известны все движущие силы природы, и достаточно силь-
сильный р аналитической обработке этих данных, мог бы
выразить одним уравнением как движение самых боль-
больших тел мира, так и движение мельчайших атомов.
Ничто не осталось бы для него неизвестным, и единым
взглядом он мог бы обозреть как будущее, так и прошлое.
Некоторое представление о возможностях такого разу-
разума дает иам совершенство, которым обладает в насто-
настоящее время астрономия.
Пьер Симон Лаплас, Опыт философии теории веро-
вероятностей <1795)
Наполеон. Граф, я с большим интересом про-
прочитал вашу книгу. Однако почему же вы не упомяну-
упомянули в ней о творце-вседержителе?
Лаплас. Государь, у меня не было нужды в этой
гипотезе.
§ 13.1. Определения и примеры
13.11. а. Уравнение для неизвестной функции u = u(t),
a^Lt^Lb, в которое она входит под знаком производной
(первого или более высокого норядка), называют диффе-
дифференциальным уравнением. Саму функцию u(t) при этом,
смотря по условию задачи, можно искать среди числовых
функций или среди векторных функций со значениями в
/z-мерном пространстве, или, наконец, среди векторных функ-
функций со значениями в линейном нормированном пространстве.
Всякая функция u(t), которая удовлетворяет данному
дифференциальному уравнению, называется решением этого
уравнения. Совокупность всех решений называется общим
решением; отдельные решения называются также частными
решениями.
б. Так, простейшее дифференциальное уравнение
A)
имеет общее решение и (t) = const; это есть числовая по-
постоянная, если дано, что и (t) принимает числовые значения
G.45в); векторная постоянная, если дано, что и(^) прини-
принимает векторные значения; постоянный элемент нормирован-
нормированного пространства В, если известно, что функция и {i) дол-
должна принимать значения в пространстве В A2.51л). Общее
решение дифференциального уравнения

162	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.11
где g(t) — данная функция (числовая или векторная), можно
записать в форме интеграла
при условии, что 5^)— кусочно-непрерывна (9.32 и 12.53в).
Как мы видим на уравнениях A) и B), в решениях диффе-
дифференциальных уравнений существует определенный произвол,
так что выделение единственного решения требует дальней-
дальнейших условий. Обычно таким дополнительным условием яв-
является задание значения и(t) искомой функции при некотором
значении t = to?[a, Ь\. Если и(/0) задано, то для уравнений
A) и B) решение определяется уже однозначно.
в.	Более общее уравнение имеет вид
в'(*) = Ф (*,«(*)),	C)
где Ф (t, z)— некоторая функция от двух своих аргументов,
принимающая свои значения в том же нормированном про-
пространстве В, что и функция u(t). Здесь проблемой является
существование решения и (t) и единственность его при усло-
условии, что задано и(^).
г.	Общему уравнению C) полезно придать определенный
«кинематический» смысл в пространстве В. Представим себе,
что в пространстве В движется точка, занимая в каждый
момент времени t положение и = и (t). С изменением t точка
опишет в пространстве В некоторую кривую u==u(t)
(as^t^b). Будем говорить, что вектор u(t) есть ведущий
вектор, или закон движения, этой кривой. Вектор u'(t)
тогда можно истолковать как вектор скорости точки (предел
отношения пройденного пути Ди к затраченному времени Д^).
Правая часть уравнения C) вектору z?B приводит в соот-
соответствие при любом фиксированном t ? [а, Ь\ вектор Ф (t, z).
Решение и(^) можно истолковать как такой закон движения
точки в пространстве В, при котором ее скорость в момент
времени t и в положении и g R совпадает с предписанным
значением Ф (t, и), Таким образом, для каждого момента
времени функция Ф (/, и) задает нам поле векторов, каждый
из которых определяет скорость движения точки при ее
прохождении через соответствующую точку и пространства В.
Решения уравнения C) представляют собой возможные тра-

13.11]	§ 13.1. определения и примеры	163
ектории движения точки и называются в этом случае его
интегральными кривыми.
В пространстве RtxB уравнению C) можно приписать
чисто геометрический смысл. Каждой функции u = u(t) отве-
отвечает кривая в пространстве T^xB^gi?,, u?B). Диф-
Дифференциал u'(t) dt есть главная линейная часть приращения
функции и(^) при изменении аргумента от t до t-\-dt. Поэ-
Поэтому в вещественном случае (В — Rt) производная и'(^) интер-
интерпретируется как угловой коэффициент касательной, т. е. как
отнесенная к dt величина подъема кривой и {t) при переходе
от t к t -\- dt с точностью до малых выше первого порядка. В об-
общем случае, при произвольном В, производная имеет ана-
аналогичный смысл: прямая а—uo = u'(to)(t—/„) является каса-
касательной к кривой и = и (t) при t— t0, и величина u'(t0) может
быть названа ее угловым коэффициентом. Функция Ф(*, г)
задает в каждой точке (t0, z0) пространства RtxB прямую
в-*0=Ф(*в, *„)(/-g,	D)
и уравнение C) требует, чтобы при каждом t0 g [a, b] кри-
кривая u — u(t) имела касательную, совпадающую с заданной
для точки [t0, u(t0)] прямой D).
д. В качестве примера рассмотрим в пространстве В=/?2
уравнение
где v{u) означает для каждого u?R2 вектор, который полу-
получается при повороте вектора а в поло-
положительном направлении на прямой угол.
В кинематической интерпретации
точка в плоскости /?2 должна дви-
двигаться так, чтобы ее вектор скорости
совпадал с вектором v (и) в каждой точ-
точке а. Очевидно, что решением является
движение по окружности с центром в
начале координат с линейной скоростью,
численно равной радиусу окружности	Рис. 13.1.
(рис. 13.1).
В геометрической интерпретации разыскиваются кривые
в трехмерном пространстве RXY.RV касательные к которым
в каждой точке задаются уравнением
и—zo = v(zQ){t—10).

!64
гл. 13. дифференциальный уравнения
[13.12
Искомые кривые имеют вид винтовых линий, завивающихся
вокруг оси t (рис. 13.2).
е. Немного далее мы увидим, что к уравнению вида C)
приводится система уравнений
iczix
E)
Рис. 13.2.
а также уравнение я-го порядка
F)
ж. Вопросами существования реше-
решений дифференциальных уравнений и их
единственности при определенных до-
дополнительных условиях мы будем за-
заниматься на протяжении всей главы;
теперь же рассмотрим некоторые про-
простейшие случаи, когда решение может
быть получено в явной форме.
13.12. Рассмотрим уравнение вида
О)
Такое уравнение называется линейным однородным уравне-
уравнением. Пусть сначала искомая функция и (if) есть числовая
функция, а коэффициент A(t)—данная числовая непрерывная
функция. Будем считать также заданной величину и0 = и (t0).
Очевидным решением уравнения A) является функция и (/)===(),
но она при и0 Ф 0 не удовлетворяет требуемому начальному
условию. Будем искать другие решения. Если u(t) есть
решение, отличное от тождественного нуля, то имеется
интервал, на котором и (t) ф 0, например и (/) > 0. Разде-
Разделив A) на и (if), получаем
откуда

13.13]	§ 13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	165
Полагая t=t0, получаем С = 1пи0; окончательно, освобож-
освобождаясь от логарифмов, находим
t
J А (Т) Ах
u{t) = e<«	u0.	B)
Прямая проверка показывает, что B) действительно есть
решение уравнения A), причем уже независимо от знакаи(/).
Заметим, что решение B) определено при всех t ? [а, Ь]
(и всюду отлично от нуля, если «„=^0). Итак, уравнение A)
при начальном условии u(to) = u0 имеет решение B). Если
A{t)"s=A есть постоянная, решение B) принимает особенно
простой вид
и(<) = е«-<оМи0.	C)
13.13. Рассмотрим снова уравнение
u'(t)^A(t)u(t) («</<*>), A)
где функция и(^) на этот раз предполагается вектор-функ-
вектор-функцией со значениями в некотором банаховом пространстве В;
коэффициент A(t) будет предполагаться некоторым линей-
линейным непрерывным оператором, переводящим при каждом
t ? [а, Ь\ пространство В в себя и непрерывно зависящим
от t как от параметра. Здесь рассуждения 13.12 уже не
применимы, так как деление на и(^) не имеет смысла. Однако
оказывается, что окончательным результатам 13.12 B) или C)
можно придать точный смысл.
Пуеть сначала оператор A(t)^A не зависит от t; общий
случай мы рассмотрим в 13.19.
Будем понимать еС-'оМ как функцию от оператора А
в смысле 12.76в:
B)
Эта функция определена при всех вещественных t и при
нимает свои значения в пространстве L {В) линейных огра-
ограниченных операторов, переводящих В в В. Ряд B) можно
продифференцировать по t почленно A2.56), и мы получим
±elt-,e>A ..у n{t-У"-' А" _
at	i-*	n\
0

166	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.13
Отсюда видно, что и(<) = е<'~'»>ли(/„) действительно есть
решение уравнения A). При t = t0 это решение, очевидно,
обращается в вектор u = u(t0). Таким образом, имеется ре-
решение однородного уравнения A) при заданном u(t0), кото-
которое записывается в форме
C)
Для доказательства единственности полученного реше-
решения установим вначале следующую лемму:
Лемма. Если B(t)— сильно дифференцируемая опера-
операторная функция (т. е. для каждого х?Х выполняется
d'/^v I- B{t + M)—B{t) \
предельное соотношение В (t) х — hm —*—¦—-~	—' х , а
х (t) — дифференцируемая векторная функция, то векторная
функция у (t) = В (t) х (t) также дифференцируема и
y'(t) = B{t)x'(t) + B'(t)x{t).
Доказательство, Мы имеем
+	x{f)
Первое слагаемое справа при Д^ —>¦ 0 имеет предел B(t) x'(t)
A2.64д — е), второе слагаемое имеет по условию пре-
предел B'(t)x{t). Отсюда следует справедливость утверждения
леммы.
Теперь докажем, что решение C)—единственное реше-
решение уравнения A) с заданным значением u{t0). Пусть и(^) —
какое-либо решение уравнения A) с заданным u(t0). Опре-
Определим новую неизвестную функцию v{t) по формуле u(t) =
— e(t~t<;>Av(t) или, что то же, v(t)^=e-^-f^Au(t). Под-
Подставляя u(t) в уравнение A) и используя лемму, находим
и' (t) = Ле<'-'о> Av(t) + *<*-'•> Av (t) = Ael'-'J Av (t),
откуда
умножая на е~^*~*^А, получаем v(t) — 0. Отсюда следует,
что

13.14]
§ 18.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
167
и, следовательно, решение u(t) имеет вид C), что и требо-
требовалось.
13.14. Посмотрим, как выглядит решение 13.13 C)
в случае я-мерного вещественного пространства /?„. Для
простоты положим t0 — 0. Выберем в пространстве Rn базис
ех, ... , еп. Разложим вектор-функцию и (t) по этому базису;
пусть
Тогда
п
кг* 1
п
и векторное уравнение 13.12 A) запишется в форме системы
скалярных уравнений
¦=вц«1@+.-. +«!»«„ (О,
р	||у6|| Решение
задается оператором etA, примененным к начальному вектору
с постоянной вещественной матрицей
Оказывается, что искомое решение можно написать в достаточно
простом явном виде, если в качестве начальных векторов и9 брать
базисные векторы жорданова базиса матрицы А {12.17е). Для бтих
базисных векторов мы введем следующие обозначения.
а)	Базисный вектор, отвечающий одноэлементной жор да новой
клетке Xf, обозначим fj.
б)	Базисные векторы, отвечающие жордановой клетке размера
I
B)
(Xj—вещественное число), будем обозначать /},..., ff. Базисные
векторы, отвечающие 2х2-клетке

168
ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
A3.14
обозначим h/, gf, наконец, базисные векторы, отвечающие
2тх2т-клетке
D)
обозначим ft/, gv, .... ftf, gf. Напомним, что во всех рассмотренных
случаях числа к/ суть корни характеристического уравнения
oy - х/
X/ Oj
1
0
<V
У
0 ...
1 ...
-у •••
a, ...
а21
... а1п
2—X ... а2п
= 0;
числа Of и Xj суть вещественные и мнимые части комплексных кор-
корней этого уравнения A2J7e).
Каждая клетка жордановой матрицы определяет инвариантное
подпространство оператора А (соответственно размерностей 1, т,
2, 2т). Оператор е*л, примененный к вектору из этого подпростран-
подпространства, дает результат также в этом подпространстве. Решения, отве-
отвечающие начальным векторам /у, //, hj,gj,hSf, gSj (s=l, ... , т), будем
обозначать соответственно /,-(<), //@. ft/@. g/@. ft/@. g/ @-
В одномерном инвариантном подпространстве, порожденном векто-
вектором /у, оператор А сводится к умножению на Кр а оператор etA —
к умножению на etki. Отсюда
fj{t) = etkifj.	E)
Для m-мерного инвариантного пространства, отвечающего жордановой
клетке B), мы имеем A2.19д)
"•• (m—2)!
О О О ... e^'
Поэтому
. >F)

13.15]
§ 13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
169
в)	Для жордановой клетки C) размера 2x2 мы имеем A2.19з)
Jcos tx — sin tx
sin tx cos tx
поэтому
hj(t)=eat [cos tx ¦ hj A- sin tx gj], \
gy(O = ee'[—sin tx-h,+ cos txgj). j
г)	Для жордановой клетки D) размера 2m x 2m мы имеем {12.19з)
cos tx — sin tx t cos tx — t sin tx
sin tx cos /t t sin <т ? cos tx
cos /t —sin tx
sin <т	cos ?т
G)
cos tx
sin ?t
-sin tx
cos <г
так что
hj (t)=eat [cos T<-ftJ + siivrf-gj]t
g) (t) = eat [- sin Tf-A/ + COS xtg)],
+ cosxt-h'll+smxt-gf\ i
+cos
(S)
(— sin T<
13.15. Мы построили п различных частных решений уравнения
13.12 A) в пространстве Rn, отвечающих п базисным жордаиовым
векторам матрицы А в качестве начальных векторов. В исходном
базисе ех, ... , в„, в котбрбм уравнение 13.12 A) имеет вид системы
13.14 A), каждое из этих п решений представляется с помощью п
скалярных функций (координат). Пусть, например,
п
f,- (о =- 2 щ
2
ft=I
п
а,- (о = 2 »
_ у
n

170	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	{18.16
и, далее,
Мы имеем
откуда
ujtW-Wujb.	A)
Аналогично получаем
«/* @ - eV [(i5jr »/* + ¦•¦+ и%] •	B)
«У* @ ¦= eai* [cos т/< • n/ft+sin tjt ¦ wJk], \
«"/кV)^eOjtl— sintjt-Vjb + ccsXjt-wJh\, J
»J* @= ^ [(Й]Г (CC8	]
(cos xjt ¦ v)k+sin xjt ¦ wsjk)J . !
^ [(Й]Г (CC8 V-»)*+dn V-tt)/*)+ ¦ • • ]
... + (cos xjt ¦ v)k+sin xjt ¦ wsjk)J . !
...+(- sin xjt -v'b + cos xjt •
. J
13.16. Формулы 13.14 E)—(8) можно использовать для выясне-
выяснения картины интегральных кривых ы=ы(/) и их асимптотики при
t —>- оо. Удобно использовать кинематическую интерпретацию 13.lie.
а)	Для начального вектора типа fj A3.14а)) решение fj(t) есть
или постоянный вектор fj, если Я/=0, или экспоненциально уда-
удаляющийся (при t —> оо) по оси fj, если Kj > 0, или экспоненциально
стремящийся к 0 по этой же оси, если Яу < 0.
б)	Пусть начальный вектор щ есть вектор // — один из базисных
векторов инвариантного m-мерирго подпространства, которому отве-
отвечает жорданова клетка 13.14\2). Решение, написанное по соответ-
соответствующей формуле из группы 18.14F), имеет вид
Мы видим, что ведущий вектор соответствующей интегральной
кривой, в начальный момент совпадающий с вектором fj, приобре-
приобретает с течением времени составляющие по векторам // 1, .... //,
причем при больших t составляющая по вектору /^ становится пре-
преобладающей. Если %/ > 0, k > 1, то кривая при / —> оо удаляется
от начала координат и касательная к ней (как легко проверить диф-
дифференцированием) в пределе стеновитси параллельной вектору f).
Разница между случаями Я,/=0 й Kj > 0 состоит в том, что в первом

I8.I7J	§ 13.1. определения и примеры	171
случае удаление от начала координат происходит со степеннбй ско-
скоростью, а во втором случае—с экспоненциальной. Если же Kj < О,
то при t —*¦ оо кривая входит в начало координат; в силу преобла-
преобладающей роли составляющей по /у кривая при t —»- оо войдет в лю-
любой сколь угодно узкий коиус с вершиной в начале координат и
с осью по вектору f); это означает, что кривая при t —»¦ оо войдет
в начале координат, касаясь вектора fj.
в)	Пусть начальный вектор u(t0) есть вектор hj или gj в инва-
инвариантном двумерном подпространстве Я2, отвечающем жордановой
клетке размера 2x2, рассмотренной в 13.14в). Тогда, как видно из
формул 13.14 G), решение и (/) .в плоскости Нг:
если Су=О,—описывает эллипс с центром в начале координат;
если су > 0,—описывает разворачивающуюся спираль;
если с/ < 0, — описывает сворачивающуюся спираль, входящую
при t —*- оо в начало координат.
г)	Пусть начальный вектор u(t0) есть вектор hj или g^ в инва-
инвариантном 2/п-мерном пространстве Нгт, отвечающем жордаиовой
клетке размера 2/пх2/п, указанной в 13.14е). Тогда решение u{t)
в пространстве Я2В1:
если oyS=0,—описывает разворачивающуюся спираль, касатель-
касательная к которой в пределе при t —»• оо стремится расположиться
параллельно плоскости первой пары базисных векторов h), g);
еслиоу < 0,—описывает сворачивающуюся спираль, при t —> о»
входящую в начало координат, касаясь плоскости первой пары ба-
базисных векторов.
д)	В общем случае, когда вектор u(t0) имеет составляющие по
нескольким векторам жорданова базиса, соответствующее движение
есть геометрическая сумма движений описанных видов.
13.17. Скалярное линейное уравнение п-го порядка
/"> (t) = ai(i)y(t)+...+ an (t) У) (О	A)
можно переписать в форме системы первого порядка, полагая
y(t) = ul(t), /(*) = «,(*). ...,yut-li(t) = un(t). B)
При такой замене мы имеем
b'i @ = «.('),
и'п it) = «1 И) «i U) + в, (t) u2 (t) +...+an (t) un (t).
Обратно, всякое решение (uL (t), ... , к„ (t)) системы C)
позволяет определить по формулам B) функцию у it) = 1^ it)
и ее производные, причем последнее из уравнений C) пока-
показывает, что функция y(t) удовлетворяет уравнению A).

172
ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[13.17
Считая ох (/)=о1, ..., ап (<)=о„ постоянными, применим резуль-
результаты 13.14. Матрица оператора А имеет специальный вид
0
0
0
1
0
0
0
1
0
o3
... 0
... 0
... 0
... aH
0
0
1
-lO«
Пусть / = 2^;е/"—собственный вектор оператора А, отвечающий
/ = 1
собственному значению К. Мы имеем Af = \f или, в координатах
?i	\п>
Полагая ga = 1, последовательно находим
»-» = *.».	D)
Уравнение D) называется характеристическим для уравнения A).
Оно получается из уравнения A) заменой {/<*> на А.*(й = О, 1, ..., и).
Таким образом, характеристические корни матрицы Л суть корни
характеристического уравнения D). Собственный вектор с собствен-
собственным значением X ксллинеарен вектору A, А., А.2, ..., Х"~1)
и тем самым определен однозначно (с точностью до колли-
коллинеарности). Поэтому в случае, когда X есть кратный корень кратно-
кратности т, появляется вещественная или комплексная жордансва клетка
из т строк и т столбцов. (Иными словами, в данном случае степени
элементарных делителей равны кратнсстям корней, а минимальный
многочлен матрицы А совпадает с ее характеристическим многочле-
многочленом (КЛП, гл. 6).)
В соответствии с 13.14 мы можем написать п различных частных
решений системы C), соответствующих п жордансвым базисным век-
векторам в качестве начальных. Выпишем только первые компоненты
этих решений, учитывая, что в силу формул B) нам существенна
именно первая компонента u1(t) = y (t):
E)
для каждого простого вещественного корня
Uf (<) = <
5=1, -.., ttl
для каждого вещественного корня
кратности т;
>у-1 sin
Wj (t)=e°it[—Vfi sin
yty. \
COS X/t]	)
F)
G)

13.19)	§ 13.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	173
для каждого простого комплексного корня Ау = с
Г ^sj — 1
)=е°-> -	r-j- (vj cos xjt+Wj sin
(8)
[jSj- I
-.	г-; i—v) sin xt + w) cos xt)+...
(Sj— I)!
... + (—t;ysinx<+B!)/cosTO]i sy=l, ..., ray
для каждого комплексного корня Лу=О/ + пг/ кратности
13.18. Заменяя полученные решения некоторыми их линейными
комбинациями, мы можем указать следующие п решений:
а)	Для каждого простого вещественного корня Kj имеем решение
б)	Для каждого /п-кратного вещественного корня %j имеем т ре-
решений:
в)	Для каждой пары простых комплексных корней Л/=оу±Пу,
0, получаем два решении:
еа^' cos ту/, е°^' sin т/f.
г)	Для каждой пары 2/п-кратных комплексных корней Я/ = О/±it^,
Ту ?^ 0, имеем 2т решений:
e^'cost/t, eai*sin xjt, teci*cosyt, tecJ'sin xjt, ...
..., t^-hPi*cosX/t, ("'-le^'sinx^.
13.19. Теперь обратимся к общему случаю, когда в урав-
уравнении
u'(t) = A(t)u(t) (a^t^b) A)
оператор A (t) фактически зависит от параметра ^ ив одно-
одномерном случае действует формула 13.12 B):
t
f А (т) dx
в (/) = «'.	к0.	^ B)
Мы можем, конечно, составить оператор W (i) — ^ А (т)
и
и затем выражение
Л (т) rfx
к (*„) =

174	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.19
Однако оио, вообще говоря, уже не будет решением
уравнения A). Действительно, если попытаться провести
дифференцирование по t выражения ew <*>, то мы встретимся
с той трудностью, что для преобразования разности
eW(t+h) 	еМУЦ) _eW(<) + hA(t; t+h) 	gW(t)
где A (t; t-\- h) означает среднее из значений операторов
А(х) при tg(^; t + h), уже нельзя использовать равенство
eW {t)+hA {t; t+h) — eW (t) ?hA{t; t+h)
так как соотношение еА+в=еАев справедливо для комму-
коммутирующих операторов А и В, а для некоммутирующих оно,
вообще говоря, не имеет места. В общем случае операторы
W (t) и A (t; t + h) могут не коммутировать. Поэтому произ-
производная от ew <') не будет, вообще говоря, совпадать
()
Тем не менее выражению B) можно все же придать
смысл, как решению уравнения A).
Введем поиятие мультипликативного интеграла.
Пусть n={c=(o<io<'i^ii<- ¦<tn=t\—разбиение от-
отрезка с<т</ с отмеченными точками |0, ..., |n_i. Составим опе-
оператор
Если бы операторы А (!) при различных ? коммутировали, то этот
оператор можно было бы записать в форме
t
! А (т) dx
При d (П) = max Af j—>0 последнее выражение имеет предел е'о
Но этот оператор при иеперестаиовочных А (|), как мы уже говорили,
не дает решения уравнения A). Оказывается, что для неперестанс-
вочиых А (!) решение может быть задано оператором, получающимся
из оператора C) при d(EI) —*- 0 (см. задачу 16). Этот предельный
оператор обозначается через
t
J А (х)Л	D)
и называется мультипликативным интегралом.
С точностью до малых высшего порядка можно написать

13.21]
§ 13.2. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ
175
Мвжио доказать (см. задачу 14), что тот же предел D) получится,
если исходить из произведений
Поэтому иногда мультипликативный интеграл обозначают
Мультипликативные интегралы можно использовать для оценок ре-
решения. Однако область применения их, по сравнению с общей теоремой
существования, невелика; поэтому мы не будем приводить здесь до-
доказательств сформулированных утверждений.
§ 13.2. Теорема о неподвижной точке
Далее в этой главе мы рассмотрим основные теоремы
о существовании и единственности решений обыкновенных
дифференциальных уравнений. В основе всех этих теорем
лежит один важный геометрический принцип анализа, называ-
называемый принципом неподвижной точки.
13.21. Пусть дано множество М и отображение А этого
множества в себя, т. е. правило, по которому каждой точке
множества х?М ставится в со-
соответствие точка у = А(х) мно-
множества М.
Определение. Всякая
точка х?М, которая переводится
отображением А в себя, так что
А (х) = х, называется неподвижной
точкой отображения А.
Так, если речь идет об отоб-
отображении плоского круга М в себя
путем вращения вокруг центра
на 90°, неподвижной точкой
является центр круга. Если отоб-
отображение круга состоит в его
сжатии к центру в отношении 2:1, а затем в поступатель-
поступательном движении до внутреннего касания с исходной окруж-
окружностью (рис. 13.3.), то точка касания Р будет неподвижной
точкой полученного отображения (хотя она не является непо-
неподвижной точкой для каждого из отдельных отображений,
Рис. 13.3.

176	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.22
составинших данное; важен не путь, а результат). Если же
речь идет об отображении окружности в себя путем вра-
вращения на 90°, то здесь неподвижных точек нет.
Представляет интерес установление общих (достаточных)
условий существования неподвижных точек. Мы приведем
здесь одну из самых простых теорем, обеспечивающих су-
существование неподвижной точки, притом единственной, при
определенных предположениях относительно множества М и
отображения А.
13.22. Будем предполагать, что М есть метрическое
пространство.
Определение. Отображение А метрического простран-
пространства М в себя называется сжимающим, если существует
постоянная 6, 0^6 < 1, такая, что для любых двух точек
у, z пространства М имеет место неравенство
рИ(у), 4(*))<6р(у, z).
Теорема (принцип неподвижной точки Пикара — Банаха).
Сжимающее отображение А полного метрического простран-
пространства М в себя имеет неподвижную точку и притом единствен-
единственную.
Доказательство. Исходя из произвольной точки
х0 g M, построим последовательность точек
хг = А{х0), х2 = А (л:,) = А2 (лг0), ..., х„ = А (лг„_,) = А" (*„),...
Мы утверждаем, что эта последовательность фундаментальна
в М.
Действительно, для любого п ^ 1
и, следовательно,
Р(х„, хп+р)^р(хп, хп+1) + р{хп+1, хп+
+ ...)p(x0, x1)=T^?p(x0, Xly, (i)
при достаточно большом п эта величина становится как
угодно малой. Так как М полно, то существует предел
х = lim xn g M.
П -> №

13.23) § 13.2. ТЕОРЕМА О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ 177
Покажем, что х—неподвижная точка. Мы имеем при п~^\
р(А(х), хп) = р(А(х), Л(*„_!))<6р(лг, *„_,)—"О,
откуда следует, что
А(х)= lim xn — x,
так что х есть действительно неподвижная точка.
Допустим, что имеется другая неподвижная точка, у,
так что выполнены равенства А(х) = х и А(у) = у. Тогда
р(х, у) = р(А(х), А {у)) <вр(х, у).
Если р (х, у) ^= 0, то это равенство можно сократить на
р (х, у) и мы получим противоречие: 1 ^ 6 < 1. Поэтому
на самом деле р (х, у) = 0, х=у, т. е. второй неподвижной
точки, отличной от х, не существует. Теорема доказана.
13.23. Неподвижные точки двух сжимающих
отображений. Два отображения, А (у) и В (у), метриче-
метрического пространства М в себя называются в-близкими, если
для любого у ? М
р(А(у), В(у))<в.
Лемма. Пусть в полном метрическом пространстве М
заданы сжимающие отображения А(у) и В (у), так что
р (А (у), A (z)) ^вДр (у, z), р (В (у), В (z)) < 6В р (у, z),
где %А < 1, 6В< 1, и пусть 6= max F^, 6В). Если отобра-
отображения А и В в-близки, то их неподвижные точки находятся
друг от друга на расстоянии, не превосходящем в/(\ — 6).
Доказательство. Пусть у0 — неподвижная точка
отображения А. Неподвижную точку za преобразования В,
по построению 13.22, можно получить как предел последо-
последовательности у0, В (у0), В2 (у0), ... В силу неравенства 13.22A)
РСУо. В" ОМХ т^ё" РОъ.в Со)) =у4ё Р<А СУо). в (Уо)Х т=ё
переходя к пределу при п—>-оо, получаем
что и требуется.

178	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.31
§ 13.3. Существование и единственность решения
дифференциального уравнения в нормированном
пространстве
13.31.	Пусть В— банахово пространство, и пусть Ф(^, х)—•
отображение пространства В в себя, зависящее от вещест-
вещественного параметра t, a^t^b. Пусть к(^) — дифференци-
дифференцируемая векторная функция со значениями в пространстве В,
определенная на том же отрезке a<C*^fr. Мы знаем, что
производная и' (t) есть также векторная функция со значе-
значениями в том же пространстве В, определенная на том же
отрезке а ^ t ^ Ь. Если подставить в функцию Ф (t, х) на
место аргумента х ? В векторную функцию и (t), то мы по-
получим новую векторную функцию Q)[t, и(Щ со значениями
в пространстве В, определенную для t?[a, b].
Мы желаем решить дифференциальное уравнение
и'(О-Ф ['.«(*)]	A)
с начальным условием
и(д = и0, a<to<b, ко6Б.	B)
При. естественных предположениях непрерывности, ко-
которые будут дальше уточнены, отыскание решения уравне-
уравнения A) с начальным условием B) эквивалентно отысканию
решения интегрального уравнения
t
Ф[т, K(T)]dx,	C)
поскольку C) получается из A) и B) интегрированием от tB
до t, B) получается из C) подстановкой t — tv и A) полу-
получается из C) дифференцированием по t. Таким образом,
задача приводится' к задаче об отыскании неподвижной точки
преобразования
А [х @] = и0 + J Ф [т, х (т)] dx,	D)
to
действующего в пространстве векторных функций x{f).
13.32.	Мы, естественно, будем применять принцип не-
неподвижной точки Пикара — Банаха. Но для этого нужно

13.34]	§ 13.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ	179.
иметь полное метрическое пространство М и сжимающее
отображение А, соответствующие пашей задаче.
В качестве М мы возьмем пространство всех непрерывных
векторных функций х (t) со значениями в В, определенных
в некотором отрезке [^0 — A, to-\-h]; величину h укажем ниже.
Метрику в пространстве М введем по формуле
р [*, (t), xs (t)] = max j| xl <*)—*, (t) ||.
Получающееся метрическое пространство М полно A2.23е).
13.33. Отображение А пространства М в себя должно
быть задано формулой 13.31 D). Теперь уточним условия,
налагаемые на функцию Ф (/, х) и обеспечивающие коррект-
корректность определения отображения А. Именно, мы предположим,
что отображение Q>(t, х) непрерывно по совокупности аргу-
аргументов t и х; это означает, что для любых tlt xl и любого
е > 0 существует такое 6=6 (tv xv е), что из §хх —х21| < б,
I h—h I < fi следует || ф (tlt хх)—Ф (t2, x2) jj < e. При этом
предположении векторная функция Ф (t, x (t)) является не-
непрерывной от t, какова бы ни была непрерывная функция X(t).
Действительно, для заданных tt и е > 0 положим х (^) = х1
и найдем б>0 так, что при Цл^ — лг21| < б, |	|6
выполняется неравенство [[ Ф [tlt л:,)—
< е. Затем
найдем 6t > 0 так, что из \t1 —121 < б, следует неравенство
II x (tj—x (*,) || < б. Тогда при | <! —/, |< mln F, 6.) мы бу-
будем иметь || Ф(^, *(»i)) — Ф(^2» х ('«)) II < 8> что и утвержда-
утверждалось.
13.34. Далее, чтобы обеспечить условие теоремы о не-
неподвижной точке (А — сжимающее отображение), мы предпо-
предположим, что функция Ф (t, x) удовлетворяет условию Липшица:
существует постоянная С, такая, что
||а>(*, «л-Фр, *2)||<с|К-*Л	О)
для любых двух элементов хг и лгг пространства В.
Покажем, что при выполнении сформулированных условий
отображение 13.31 D) является сжимающим, по крайней
мере при достаточно малом А. Действительно, для любых
двух точек пространства М, т. е. для любых двух вектор-

180	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.35
функций x(t) и y(t), определенных на [t0— A, io-\-h\ и не-
непрерывных, мы имеем
p(A[x(t)], A\y{t)])= max \\A[х(t)]-A [у (<)] || =
I (-(о I < ft
= max
max
${Ф(т, дг(т))-Ф(т, y(r))}dr
<СА max || *(*)—у (<) || = САр (*, у),	B)
|<-<„1<л
и чтобы отображение было сжимающим, достаточно взять
13.35. Теперь мы вправе применить принцип неподвижной
точки, который дает существование и единственность реше-
решения уравнения 13.31 A) при начальном условии 13.31B). Это
решение определено еще только на отрезке [t0 — h, to-\-h],
но мы можем, последовательно применяя полученный ре-
результат, продолжить его на весь промежуток [а, Ь].
А именно, фиксируем значение h = 2/(ЗС). Применим теперь
доказанную теорему к тому же дифференциальному уравне-
уравнению 13.31 A), но с начальными данными
где к(^) — значение при t = tl построенного уже решения,
определенного на [tg — h, to-\-h]. Мы получим новое реше-
решение u*(t), определенное на отрезке [t1—h, ifx-(-A]. Но в силу
доказанной единственности решения функции u*(t) и u(t)
на общем участке их определения совпадают, u*(f) — u(t),
так что на самом деле перед нами единое решение уравне-
уравнения 13.31C), определенное на отрезке [tf0 — h, to-\-2h].
Продолжая этот процесс дальше, после конечного числа
шагов мы построим решение на всем отрезке [а, Ь].
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема. Если функция 0>(t, x) определена при
a^.t^.b и х?В и непрерывна по совокупности этих аргу-
аргументов и если она на всем отрезке a ^.t ^.b удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица 13.34A), то уравнение 13.31A)

13.37]	§ 13.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ	181
с условием 13.31B) обладает решением u=u(t), определен-
определенным на всем отрезке [а, Ь], и притом единственным среди
всех дифференцируемых вектор-функций x(t), t? [a, b], со
значениями в пространстве В.
13.36.	Отметим случай, когда векторная функция Ф (t, x)
при каждом / ? [а, Ь] отображает некоторое фиксированное
замкнутое подпространство В1 с: В в себя. Если при этом
и начальный вектор и0 взять из этого подпространства Blt
то соответствующее решение u(t) при всех t? [a, b] будет
находиться в подпространстве Вх. Действительно, в этом
случае мы можем с самого начала вместо всего простран-
пространства В рассматривать только подпространство 8, и в нем
производить все построения. Мы получим решение в под-
подпространстве В,; в силу теоремы единственности никакого
другого решения уравнения 13.31 A) с условием u(to) = uo?Bl
в пространстве В нет.
13.37.	Непрерывная зависимость решения
от начального вектора. Обозначим здесь решение
уравнения /5.5/A) с начальным условием /5.5/B) через
и (f; ^0, и0). Это функция, которая ставит в соответствие
вектору ио?В вектор и (t; t0, и0), зависящий от t0 и t как
от числовых параметров. Покажем, что в условиях теоремы
13.35 при фиксированных t0 и t вектор и (t; t0, u0) есть
непрерывная функция от и0.
Рассмотрим отображения
t
Ф[т, x(x))dx,
Ф[х, x(t)]dr,
to
неподвижными точками которых являются решения уравнения
/5.5/A) с начальными условиями соответственно и0 и иг.
В пространстве М вектор-функций x(t), определенных и
непрерывных на [?0 — Л, to +h], где h < 1/С, это сжимаю-
сжимающие отображения с одним и тем же значением 6 = Ch < 1.
Если |и0 — «x|<e, то эти отображения е-близки A3.23),
поэтому расстояние между их неподвижными точками не

182	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	{13.38
превосходит е/A—6). Иначе говоря,
max | и {t; t0, uo) — u{t; t0, иг) | < j-^ .
Таким образом, если при t — t0 решения отличаются менее
чем на е, то в отрезке |* — ^0|^^ они отличаются менее
чем на е/A—6). Перемещая начальную точку из t0
в tt = t0-\- h, мы, как в 13.35, получаем возможность про-
продолжить решение в отрезок ^0^^0 + Л^tf0-f-2A; повторяя
приведенное рассуждение, мы видим, что в этом отрезке
решения разойдутся не более чем на е/A—вJ. Продолжая
таким же образом далее, получаем оценку
max \u(t; t0, uo) — u{t; t0, иг)| < . e ,
a<f<6	I1 v>
где m = —j— +1; тем самым наше утверждение доказано.
13.38. Разрешающий оператор. Пусть о
произвольный вектор и u(t) — решение уравнения 13.31A)
с начальным условием и (t0) = и0. При фиксированном t ? [а, Ь]
однозначно определен вектор u = u(t). Он зависит от и0
и моментов времени tf0 и t. Запишем это в форме
вЮ = 0«.(«о)-
Здесь ii@ есть однозначно определенное отображение про-
пространства В в себя, которое мы будем называть разрешаю-
разрешающим оператором уравнения 13.31 (I).
Так, для линейного однородного уравнения
разрешающий оператор имеет вид A3.13)
а.	В силу 13.37 отображение Q<0 является непрерыв-
непрерывным: если последовательность и"'» Koz>> ¦ • • » ив"\ • • • век"
горов пространства В стремится к вектору и0, то соответ-
соответствующая последовательность u\m = Q<J («{,"') стремится к век-
вектору a1 = Qj«(«0).
б.	Очевидно, Q<° (и0) = ы0, так что Q< = Е есть тожде-
тождественное отображение.

18.39)	§ 13.3. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ	183
в.	Докажем, что для любых ^0, it, 1г (из [а, Ь]) спра-
справедливо равенство
o?«qJ;g{:.	A)
Действительно, пусть и, = Q^(a0) и wa = &?(«,). Вектор Uj
есть значение при t = tx того решения и (tf) уравнения 13.31 A),
которое обращается в и0 при / = t0. Вектор иа есть значе-
значение при t=tt того решения u(t) уравнения 18.31 A), кото-
которое обращается в их при t = tt. В силу единственности эти
два решения совпадают, что и доказывает A).
г.	Полагая в A) ta = t0, получаем ?*=Й<°?2<*, откуда сле-
следует, что преобразование Q'j является обратимым.
д.	Равенство " = A(t)u (t) можно написать в форме
wKD	B)
Можно написать также
^h^A(t)Ql,	C)
понимая под этим выполнение равенства B) для любого
элемента и0 € В.
13.39. Мы предполагали, что функция Ф(?, а;) опреде-
определена при всех t ? [а, Ъ\ и всех х g В. Можно доказать
существование и единственность решения уравнения 13.31 A)
в некоторой окрестности точки tf0 при условии 13.31B) и с
меньшими предположениями, а именно, что функция Ф(^, х)
определена при a^.t^.b, непрерывна и удовлетворяет
условию Липшица лишь в некотором шаре
При достаточно малом h оператор А в этом случае будет
переводить всякую непрерывную функцию x(t) со значениями
в шаре V снова в функцию из этого же шара. Поэтому
доказательство существования и единственности решения
можно будет провести, заменив метрическое пространство
М всех функций x(t), непрерывных на [t0 — h, to + h],
на метрическое пространство Му функций x(t) со зна-
значениями в шаре V. Однако получающееся решение уже

184	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.41
нельзя будет продолжить, вообще говоря, на весь отрезок
„ 	Л 	 U
Аналогичное же положение будет иметь место в случае,
когда функция Ф(^, х) определена и непрерывна при
a^ti^b во всем пространстве В, но постоянная С в усло-
условии Липшица зависит от удаления точек xt и х2 от начала
координат, так что условие Липшица пишется в форме
для любых хг и х2 из шара ЦхЦ^г. В этом случае, как
и выше, решение будет существовать и будет единственным
в некоторой окрестности значения t0 ? [а, Ь], однако оно
не будет, вообще говоря, продолжимым до границ
отрезка [а, Ь].
В качестве примера рассмотрим уравнение к' (t) — x2 (t) на отрезке
—1<<<1. Правая часть этого уравнения непрерывна при всех
x?Ri; далее мы имеем
X	*2 | ^а ЛГ J Х\	А2 |
для всех xi и х2 из отрезка | х | <; г. Решение рассматриваемого
уравнения, отвечающее начальному условию х@) = х0, имеет вид
и при [jtol^l не продолжается на весь отрезок —1^/=йЛ.
§ 13.4. Случай системы векторных уравнений
13.41. Пусть снова В есть банахово пространство и
пусть имеется п функций
Фх (t, xv ..., хп), ...,ФЯ(^, .... хп),
каждая из которых зависит от вещественного параметра
t? [а, Ь] и п аргументов хх, ..., хп — точек простран-
пространства В, причем значениями каждой функции Фк (t, хх, ... , х„)
являются снова векторы пространства В. Рассмотрим си-
систему дифференциальных уравнений
в! (9 = ОМ*, «х, .-. , и„),
и'Л*) = ФпУ, «I, .... и„)

13.42) § 13.4. система векторных уравнений 185
с начальными условиями
M'o)=Pi€B, ••-, н„ Со) =/>„€#, a^to^b. B)
Решением системы A) с условиями B) называется, есте-
естественно, система вектор-функций ul (t), ... , ип (t), опреде-
определенных при а <; t <; b, обращающих все уравнения си-
системы A) в тождества и удовлетворяющих условиям B).
Функция Фк (t, хх, ... , хп), по определению, непрерывна
по совокупности аргументов t, хх, ... , хп, если для любых
t0, хг, ... , хп и е > 0 существует такое 6 > 0, что из
|<-*„|<б, i^-xjke, .... |k-*j<e
следует
||фЛG, xlt ..., xn)~Ok(t, xlt .... жв)||<в.
Функция Фк (t, xlt ... , хп), по определению, удовлет-
удовлетворяет условию Липшица по аргументам хх, ... , хп, если
существует такая постоянная С, что
||Ф,(*, х\, .... xn)-Ok(t, xv .... хп)\\<С%\\Х/~Х/\\
для любых 2п элементов xlt ... , х„, хх, ... , хп про-
пространства В.
13.42. Имеет место следующая теорема:
Теорема. Если все функции Фк (t, xv ... , хп) не-
непрерывны по совокупности аргументов t, хх, ... , хп и
удовлетворяют условиям Липшица по аргументам xlt ... , хп,
то система 13.41 (I) с условиями 13.41 B) обладает решением
(иг (t), ... , ип (t)), единственным среди всех комплексов
(хг (t), ... , хп (t)), которые можно составить из дифферен-
дифференцируемых вектор-функций со значениями в пространстве В.
Доказательство. Построим новое линейное норми-
нормированное пространство В" из комплексов x = (xt, ..., хп)
по п элементов пространства В. Линейные операции в про-
пространстве В" вводятся по координатам: если х =
= (*i	хп)?Вп, у = {уг, ... , уп)^В", то
г	хп+уп),
==(ах1) ... , ахп).

186	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.42
Необходимые свойства введенных линейных операций
легко выводятся из соответствующих свойств линейных
операций в самом пространстве В. Принимаем, далее, за
норму в Вп величину
Необходимые свойства нормы в пространстве В" легко
выводятся из соответствующих свойств нормы в простран-
пространстве В. Сходимость в пространстве В", определяемая нор-
нормой A), есть сходимость в пространстве В по каждой
координате. Наконец, из полноты пространства В легко
вывести полноту пространства В".
Систему функций
Ot{t, xlt .... *„),
Фа(*. х1	хп),
n = Q>n(t, xt, .... хп)
можно рассматривать как одно отображение у «= Ф (t, x)
пространства В" в себя. Покажем, что при сделанных пред-
предположениях относительно функций Фк (t, xlt ... , хп) функ-
функция Ф(<, х) непрерывна по совокупности своих аргументов
и по аргументу х удовлетворяет условию Липшица. Для
заданных t, xlt ... , хп и в ]> 0 найдем число б из усло-
условия непрерывности всех функций Фк (t, xt, ... , хп) так,
что если \t—t\ <б и x=*(xlt ... , хп), таково, что
III *-*||| = .211^-^ If <e,
то мы имеем
|| Фу (t, Xlt .... Я,)-Фу(*. Xv . . . , *„) ||< ~ .
Отсюда

13.43]	§ 13.4. СИСТЕМА ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ	187
следовательно, функция <D(tf, x) непрерывна по совокупности
своих аргументов. Далее, из условия Липшица для функций
Фк (t, xv ..., хп) следует, что
х)-Ф(*. л;) ||| =
2 2; l|fc^П
/= l k— l
так что Ф(?, х) удовлетворяет по аргументу х условию
Липшица.
В силу теоремы 13.35 дифференциальное уравнение
и'(<) = Ф(<, *)	C)
для вектор-функции u(t) со значениями в пространстве В"
с начальным условием
e('o)=P = (Pi. -.., Р„)€В"	D)
обладает решением и (t), определенным при t g [a, b] и
единственным среди всех дифференцируемых вектор-функций
х (t) со значениями в пространстве В". Так как в соответ-
соответствии с определениями
то выполнение для функции и (t) уравнения C) с условиями
D) равносильно выполнению для функций их (t), ... , un(t)
системы уравнений 13.41 A) с условиями 13.41 B). Теорема
доказана.
13.43. Если существует замкнутое подпространство
Вх cz В, обладающее тем свойством, что при любом t<? [a, b]
и любых xv jcs, ... , хп ? Вх мы имеем Фк (t, xlt ... , X^^Bl
(ft=l, ..., n), и начальные векторы pt, ... , рп также
взяты из подпространства В1, то значения всех функций
и, (t), ... , ип (t), дающих решение системы 13.41 A) при
условиях 13.41 B), также лежат в пространстве Вг при
любом t? [a, b].

188	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.51
В самом деле, рассмотрим в пространстве В" подпро-
подпространство В1, состоящее из векторов x = (xt, ..., хп),
каждая координата которых лежит в подпространстве Вх а В.
Легко проверить, что В1 замкнуто в В". Отображение
13.42B) по условию переводит BJ в себя. Поэтому в силу
замечания 13.39, если вектор (р„ ... , рп) лежит в В", то
и решение (и, (t), ... , и„ (t)) лежит в В1 при всех t ? [а, Ь],
что и утверждалось.
§ 13.5. Случай векторного уравнения
высшего порядка
13.51. Пусть снова В есть банахово пространство и дана
функция Ф(^, х,, ... , хп) от вещественного параметра t,
ag^t^Lb, и от л точек xlt ... , хп пространства В, при-
принимающая свои значения также в пространстве В. Рассмот-
Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка т
u(t), .... u'm-^(t))	A)
с начальными условиями
в(*„) = />,€В. и'('о)=Р2€Я, ¦•-. H(m-l>(^0)=Pm€B- B)
Теорема. Если функция Ф (t, xlt ..., хп) непрерывна
по совокупности аргументов t, xlt ..., xm и удовлетворяет
условию Липшица по аргументам хг, . .., х,п, то уравнение A)
с условиями B) имеет решение и~и{t), единственное среди
всех m раз дифференцируемых функций x(t) со значения-
значениями в В.
Доказательство. Наряду с уравнением A) и усло-
условиями B) рассмотрим систему дифференциальных уравнений
=«,(').
b,U), .... um(t))
с начальными условиями
C)

13.52] § 13.5. ВЕКТОРНОЕ УРАВНКНИР ВЫСШЕГО ПОРЯДКА	189
Система C) есть частный случай системы 13.41 A), где
положено
E)
Ф (t x	x ) ^— CD (t x	x )
В данном случае все функции
ft \ * 1* • • • i д/ \ * • • ¦ > /
непрерывны по совокупности аргументов t, xlt ..., ха
и удовлетворяют условию Липшица по аргументам xv ..., д;я;
для первых т— 1 функций Фк это очевидно, для последней
дано в условии нашей теоремы.
Поэтому в силу теоремы 13.42 система C) с усло-
условиями D) обладает решением и, (t), ..., ит {t). Положим
и (t) =s иг (t). Из первого уравнения системы C) видно, что
и' (t) = аа (t), из следующего, что u"(t) = us(t) = u8(t),
и т. д.; из {т—1)-го уравнения видно, что
¦» и'т_х (t) = um (t), и из последнего, что
= O(t, и, и', .... и"»-1').
Таким образом, векторная функция u(t) удовлетворяет
уравнению A). Так как выполняются и условия D), эта
функция и (t) удовлетворяет условиям B). Таким образом,
уравнение A) с условиями B) имеет решение. Покажем, что
это решение — единственное. Если a(tf) есть какое-то реше-
решение уравнения A) при условиях B), то система функций
очевидно удовлетворяет системе C) при условиях D); а так
как по теореме 13.42 решение системы C) при условиях D)
единственно, то мы должны иметь, в частности, и (t) = ut (tf)=
== их (t) ese и (t), что и требуется.
13.52. Предположим, что существует замкнутое подпро-
подпространство Btc:B, обладающее тем свойством, что при каждом

190	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.61
t € [а, Ь] и любых хг € Вг, ..., хт g Вх функция Ф (/, х1г ..., хт)
принимает свои значения также* в подпространстве Bt.
Если при этом векторы pv ..., рт, участвующие в на-
начальных условиях для уравнения A), взяты из подпростран-
подпространства Bv то и соответствующее решение u(t) при всех
t g [a, b] лежит в подпространстве Вг.
Действительно, в указанных предположениях все функции
системы 13.51 E), если jc1gi51, ..., хп?Вх, имеют свои
значения в подпространстве Вг. В силу замечании 12.43 из
р^В1г ...,ртеВ1 следует at(t)^Blt ..., um{t)eB1 при
всех t?\a, b]. Поскольку a^^aif), мы приходим к тре-
требуемому.
§ 13.6. Линейные уравнения и системы
13.61. Рассмотрим ограниченный линейный оператор
A — A(t), действующий в линейном нормированном простран-
пространстве В, переводящий пространство В в себя и зависящий,
кроме того, от параметра t, а <[ t ^ b. Будем говорить, что
оператор A(f) непрерывно зависит от t, если для любого
е>0 существует такое 6 > 0, что из \t—tf|<6 следует
|| Л G)—A(t)\\ <e (здесь || || обозначает норму линейного опе-
оператора A2.616)).
Функция Ф (t, x) со значениями в пространстве В назы-
называется линейной функцией по аргументу х(-В, если
O(t, x) = A(t)x + b(t),	(I)
где A(t)—ограниченный линейный оператор, непрерывно за-
зависящий от параметра t, a b(t)—непрерывная функция со
значениями в пространстве В.
Покажем, что функция Ф(*, х) вида A) непрерывна по
совокупности аргументов t, x.
Оператор A (t) можно рассматривать как непрерывную
функцию от t со значениями в нормированном пространстве
L (В) всех линейных ограниченных операторов, действую-
действующих из В в В A2.63а). Такая функция ограничена на отрезке
ПОЭТОМУ
sup ЦЛ(*)||==Л<оо.

13.62)	§ 13.6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ Я СИСТЕМЫ	191
Для заданных е > О, t и х найдем б = б (е, t, x) так,
чтобы при \t—^|<б выполнялись неравенства
Тогда при тех же t, t и при \\х—л: || ^ е/C/4) мы имеем
", х)-Ф(*, х) || =
= || Л (Г) ж—
и требуемая непрерывность установлена.
Покажем, далее, что функция вида A) удовлетворяет по
аргументу х условию Липшица с постоянной С — А=
= sup \\A(t)\\.
<<<6
Действительно, по определению нормы оператора
||Ф(<, x)-O){t, x)\\ = \\A(t)x-A(t)x\\^
<\\A(t)\\\\x-x\\^A\\x-x\\t
что и требуется.
13.62. Применяя теорему 13.35, приходим к следующему
результату:
Т е о р е м а. Линейное дифференциальное уравнение
a'(t)^A(t)u(t) + b(t),	A)
где А = A (i) — ограниченный линейный оператор, действующий
в пространстве В и непрерывно зависящий от параметра
^€[о. ^]> а b(t) — непрерывная функция со значениями в В,
при начальном условии
и ('.) = «„	B)
имеет одно и только одно решение u = u(t), являющееся
дифференцируемой функцией со значениями в В.

192	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	A3.63
13.63. Системы линейных уравнений. Рассмот-
Рассмотрим теперь систему линейных уравнений
«1М = Ац W «1W + • • • + А„ @ «
где /4уЛ (t) (j, k—\, ..., п) — ограниченные линейные опе-
операторы, действующие в пространстве 23, непрерывно зави-
зависящие от параметра t?[a,b], а Ьг{(), .. .,bn(t) — непрерывные
векторные функции от t со значениями в fi. К системе A)
добавляется начальное условие
«1 Со) =Рх € В, .--,«„ (/0) =Р„ € 5, в < t0 < ft. B)
Теорема. Линейная система A) с начальным условием
B) шиеег обно ы только одно решение (иг (t), .... и„ (#)),
составленное из векторных функций от t ? [а, 6] со значе-
значениями в В.
Доказательство. Система A) есть частный случай
системы, рассмотренной в 13.41:
И»Ю = ФЖ «1. •••. И»).
где следует положить
ft=l, .... л.	C)
Чтобы иметь возможность применить теорему 13.42, нужно
проверить, что каждая функция C) непрерывна по совокуп-
совокупности аргументов t, xv .. ., хп и удовлетворяет по аргу-
аргументам х13 ..., хп условию Липшица. Но каждое слагаемое
Л4,(/)х„ и bk(t), как мы видели в 13.61, удовлетворяет
этим условиям; поэтому и их сумма C) удовлетворяет этим
условиям. Применяя теорему 13.42, приходим к утверждению
теоремы.
13.64. Если операторы AJb(j, k—\, ..., п) при каждом
i ? [а, Ь] отображают в себя некоторое фиксированное под-
подпространство BjC=B, и функции bj{t) при t ? [а, Ь] принимают
все свои значения в этом подпространстве Вг, то при любых

13.661	§ 13.6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ	193
начальных векторах pt, ..., рп из подпространства Вх все
функции «j (t), ..., un(t), дающие решение системы 13.68 A)
при условиях 13.63 B), также принимают свои значения
в подпространстве Вх.
Действительно, в указанных предположениях функции
Фу(/, х„ .... х„)зДл (t) xx +... -f- Л/п @а:„ (у= 1, ..., л)
при х, € Вх, ..., ж„ € Вх принимают свои значения в под-
подпространстве Вг и можно применить 13.43.
13.65. Линейное уравнение высшего порядка.
Рассмотрим линейное уравнение порядка п
«<«> (*) = A, (t) и @ + ... + Л„ @ и'»» (/) + 6 @ A)
для неизвестной функции и (t) со значениями в пространстве В
при начальных условиях
и (*.) =РХ € В	и'"'11 (/„) =р„ € 5.	B)
Здесь /4ft (t) при каждом ^ ^ [а, Ь] предполагается ограни-
ограниченным линейным оператором, действующим в пространстве В,
a b(t) — непрерывной функцией со значениями в том же про-
пространстве.
Теорема. Линейное уравнение A) с начальными усло-
условиями B) имеет решение иЩ, единственное среди всех п раз
дифференцируемых векторных функций со значениями в про-
пространстве В.
Доказательство. Уравнение A) есть частный случай
уравнения, рассмотренного в 13.51:
) = ф(*, и, и',
где следует положить
x
lt
Эта функция Ф, как мы видели в 13.63, непрерывна по
совокупности аргументов t, х1г ..., хп и удовлетворяет по
дгх, ..., хп условию Липшица. Поэтому здесь справедлива
теорема 13.51. Применяя ее, получаем требуемое.
13.66. Если операторы Ax(t), ..., Ап (t) при каждом
t g [о, Ь] отображают в себя некоторое фиксированное под-
подпространство Bj^cB, а функция b(t) все свои значения

194	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.71
принимает в этом пространстве, то при любых начальных век-
векторах рх, ..., р„ из подпространства В1 решение и (t) урав-
уравнения 13.65 A) с условиями 13.65 B) при всех t?[a, b]
также лежит в подпространстве Вх.
Действительно, в указанных предположениях справедливы
предпосылки замечания 13.64; применяя его, получаем, в част-
частности, что их (t) = a (t) при всех 1? [а, Ь] лежит в Bv что
и требуется.
§ 13.7. Разрешающий оператор линейного
однородного уравнения
13.71. Линейное уравнение 13.62 A) при b(t)ssO
'(t) A(t)(t)	A)
называется линейным однородным, уравнением.
Однородное уравнение обладает очевидным решением
и (t) = 0. Остальные решения однородного уравнения уже не
обращаются в нуль ни при каком t(t[a, b] в силу теоремы
единственности 13.62.
Решения однородного уравнения A) можно складывать
и умножать на числа, причем снова получаются решения
того же уравнения. Действительно, если иг (t) и U2(t) — реше-
решения уравнения A), то для любых чисел а% и аг
(аЛ (t) + а2и2 (/))' = ал (t) + а/»; (*) =
значит, а1и1 (f) -\- аак2 (t) также есть решение уравнения A).
Рассмотрим разрешающий оператор QJ0 A3.38) для линейного
однородного уравнения A). Мы утверждаем, что в данном
случае этот оператор линеен, т. е. для любых вектороз
uv u2 и чисел а1? а2
Действительно, правая часть при переменном t есть линей-
линейная комбинация решений уравнения A), обращающаяся при
t = t0 в oc1e1-f-аги8. По доказанному, она снова является
решением уравнения A). Левая часть по самому определению
есть решение уравнения A), равное а^ + оУг ПРИ ^ = V

13.72J
§ 13.7. РАЗРЕШАЮЩИЙ ОПЕРАТОР
195
В силу теоремы единственности эти решения совпадают при
любом t? [a, b], что и утверждалось.
Итак, для линейного однородного уравнения A) разре-
разрешающий -оператор Qj0 есть линейный оператор. Напомним,
что в силу 13.38 он является непрерывным и обратимым
оператором. В дальнейшем вместо Щ{и) будем писать Qfw.
13.72. Проанализируем структуру разрешающего опера-
оператора однородного уравнения 13.71 A) в «-мерном простран-
пространстве /?„ векторов * = &, .... У.
Выберем в пространстве /?„ произвольно п линейно неза-
независимых векторов /р ..., fn. Тогда векторному уравнению
13.71 A) с неизвестной вектор-функцией «0?) 2М
будет отвечать система скалярных уравнений
и\ (t) = au (t) eI
¦1лО«»Ю,
«п® = вщ W «i @ + • • • + «„» W и» (О-
Разрешающему оператору Q'o мы по общим правилам 12.17а
можем поставить в соответствие матрицу, А-й столбец которой
представляет набор координат вектора Q/e/fc(ft=l, ...,«)•
Иными словами, разрешающему оператору Q'o отвечает
матрица
W't =
/и(О Л.(О
/„(*> /„@
An (О
B)
где/lft/), ...,/„А(<)—координаты решения /ft (Oi обраща-
обращающегося при t = t0 в вектор /к. Матрица B) называется
матрицей Вронского системы A), ее определитель—опреде-
определитель—определителем Вронского, или вронскианом системы A). Для по-
постоянной матрицы А = || ujb || мы фактически выписали мат-
матрицу Вронского в 13.15.
Так как оператор Q/o обратим, то матрица B) при лю-
любом /? [а, Ь] не вырождена, и детерминант Вронского при
любом t С [а, Ь] не обращается в 0; таким образом, решения
Л (*)» • • ¦ i/в (<)i бУДУчи линейно независимыми при t — t0,
остаются линейно независимыми при всех t g [а, Ь].

196	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	[13.73
Решение уравнения 13.71 A) с произвольным начальным
п
(при t = tu) вектором и= 2 ahfk строится по общей формуле
k~ 1
k=l	к=1
таким образом, любое решение системы A) линейно выра-
выражается через п частных решений f1 (t), ..., fn(i).
Мы видим, что в данном случае пространство всех ре-
решений системы уравнений A) также л-мерно и вектор-функ-
вектор-функции /j (t), ...,/„ (t) составляют его базис. Совокупность
вектор-функций /х(t), ..., fn(t) называется фундаменталь-
фундаментальной системой решений системы уравнений A).
1ЛЮ, •..,/„(')] =
13.73. Вычисление определителя Вронско-
г о. Определитель Вронского
/и (О Л, @ .../i»(<)
	 A)
можно назвать, по аналогии с векторной алгеброй, «смешан-
«смешанным произведением» векторов /х (tf), ...,/„(<)¦ Он имеет
своими элементами дифференцируемые функции fyk (t), и по-
поэтому сам обладает производной. Дифференцируя его по
правилу 7.14е, находим
7Й" [Л @, •..,/„ @1 - [/1W, Л С), ...,/»(')] +
+[Aw./;(/), ....
. /,@, ....
В А-м слагаемом полученной суммы из всех составляющих
вектора A(t)fk(t) здесь существенна лишь составляющая
в направлении вектора fk{t), поскольку каждая из остальных
составляющих в смешанном произведении приводит к опре-
определителю с двумя одинаковыми столбцами, равному 0. Ука-
Указанная составляющая равна акк (t) /k (f). В итоге мы получаем
7S- [Л О, - . fn (Щ - (аи М + -. + а„„ (<)) [Л @. ...,/„ (О]- B)

13.74J
§ 13.7. РАЗРЕШАЮЩИЙ ОПЕРАТОР
197
Величина sp A (t) — аи (t) -f-... -f- ann (t) есть след матрицы
A(t). Интегрируя уравнение B), мы находим
t
I sp A (T) dx
[Л W, •.../» W] = [Л С),...,/»Со)]«<§	• C)
Напомним, что величина sp A (t) не зависит от выбора базиса
/1> • • • '/и )•
13.74. Уравнение л-го порядка. Уравнение
/«> @ = а„ С»011 @+ • • • +«х Ю>Ю+ »('), U)
как мы видели в 13.51, эквивалентно системе
«;w=e.w.
в; @ = ах @ и, @ -f- a2 W
где
и,[t) =>@, и2(t) =y (t)	an(i) =y«-1>@.
Таким образом, вектор-решение их (<), ..., и„ (^) отвечает
набору _у(<), /(<), . ..,У" u[t). В соответствии с 13.72 лю-
любое решение w (t) однородного уравнения
«><«> (t) = аи (/) и»'»-1) @ + . .. + ах @ Wl (t)	C)
можно однозначно представить в форме
где та>х (f), ...,wn(t) — решение, отвечающее невырожденной
матрице начальных данных
tf-»('o) ... «Г»('о>
Матрица решений (матрица Вронского)
*) См., например, КЛП| 5.53.

198	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	{13.81
остается при этом невырожденной при всех t?[a, b]. Ее
детерминант по формуле 13.73 C) с учетом специального
вида матрицы системы B) имеет значение
t
J'fl«(x)dx
det W К (t)	wn (t)] = det W К (g,..., wn (t0)] eu
§ 13.8. Решение неоднородного линейного уравнения
13.81. Уравнение
A)
при b (t) ф О называется линейным неоднородным уравнением.
Разность vt(t)—vt (t) двух решений v1 (t) и v2 (t) неоднород-
неоднородного уравнения есть, очевидно, решение однородного урав-
уравнения. Поэтому, имея одно частное решение vx (t) неоднород-
неоднородного уравнения (например, равное 0 при t — t0) и располагая
оператором Q't, можно получить любое решение неоднород-
неоднородного уравнения (например, равное v0 при t = t0) по формуле
Имея оператор Qf(, можно построить решение vt (t), поль-
пользуясь «методом вариации постоянного». Именно, будем искать
vt (t) в форме
где С (t) — неизвестный переменный вектор (если бы он не
зависел от t, мы получили бы решение однородного уравне-
уравнения; этим объясняется название метода). Желая иметь vx (tfo)=O,
мы будем вектор С (t) строить так, чтобы было С (t0) — 0.
В силу 13.38д и леммы 13.13 мы имеем
v[ (t) = №)' С (t) + Q'<o С @ = A (t) Qj; С (t) + Q*C (t). C)
С другой стороны,
A (t) v1 (t) + b{t) = A (t) Q'to C(t) + b (t).	D)
Приравнивая правые части C) и D), находим
E)

13.831 § 13.8. решение неоднородного уравнения	199
Применяя к обеим частям равенства оператор Sift, обратный
к О,\ A3.38г), получаем
откуда
именно в такой записи C(t0) будет равным 0.
В результате мы получаем формулу
t	t
v (t) = QJo J Qx°b (x) dx + Q^o = u\v0 + J Q'fc (x) dx. F)
Ее справедливость теперь можно подтвердить прямой провер-
проверкой с использованием правила дифференцирования 9.866 (ко-
(которое легко переносится на векторные функции).
13.82. Если B = R1 и A(t) есть числовая функция, мы
имеем A3.12)
J А (т) dx
и, следовательно,
t	t
t
X	b(x)dx.	A)
В частности, для постоянной A (t), A (t) s== А получается
формула
t
V (f) = e(t-U) Av<j+^ e«-T) А Ъ (T) dT-	B)
h
13.83. Формулы 13.81 F) и 13.82 A) справедливы и
в общем случае, когда и (t) есть вектор-функция со значе-
значениями в нормированном пространстве В, a A(t)—линейный
оператор в В. Символы, входящие в эти формулы, надо по-
понимать в смысле 13.13 и 13.19, соответственно для посто-
постоянного A(t)ssA и переменного A(t).

200
ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
A3.84
В частности, если оператор A (t) = А не зависит от t, a
функция b (t) имеет специальный вид
2k(k
где Pk(t) — многочлен, Qk—постоянный оператор, коммути-
коммутирующий с оператором А, Ьк—фиксированные векторы прост-
пространства В, то интеграл 13.82 B) можно вычислить в явной
форме. Структуру результата в данном случае можно пред-
предсказать заранее с точностью до неопределенных коэффициен-
коэффициентов; поэтому и разыскивать решение в данном случае можно
по методу неопределенных коэффициентов *).
13.84. Рассмотрим случай л-мерного пространства В = /?„.
Здесь разрешающий оператор Qf задается с помощью мат-
матрицы Вронского 13.72:
q; =
••• /,„@
• • • fnn '
Решение ищется в форме 13.81 B); при этом в данном слу-
случае можно написать
где Сх (г), ..., С„ (^) — неизвестные функции. Уравнение
13.81 E) приобретает форму системы
Разрешая ее относительно С^ (t) и затем интегрируя в пре-
пределах от t0 до t, находим искомые величины Ck(t).
13.85. Рассмотрим уравнение л-го порядка
*) См., например, В. В. Степанов, Курс дифференциальных
уравнений, Физматгиз, 1959.

ЗАДАЧИ
Разрешающий оператор эквивалентной системы
201
„ w «„ («,
где ut (t) =y (t), u2 (t) =/ @	«„ (t) zzz/»
вид (У3.74)
... да; (t)
имеет
да',"-" (t) ... да«-1) (t
причем w1(t), ...,wn(t) — решения с невырожденной матри-
матрицей начальных данных. Искомое решение ищется в форме
13.81 B), которая (для первой строки) имеет вид
()?kV)k()
Уравнения 13.81 E) имеют в данном случае следующий вид:
fc=l
k=l
Разрешая их относительно Q(^) и интегрируя от t0 до ^,
находим функции Cft (^), а с ними и искомое решение v (t).
ЗАДАЧИ
1. Для дифференциального уравнения -?=3у2/3 имеются два
различных решения уш*0 и у=х3, отвечающие одному и тому же
начальному условию #@) = 0. Не противоречит ли этот факт теореме
единственности 13.35?

202 ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
2.	Тяжелая точка Р скользит без трения по кривой. Какой формы
должна быть эта кривая, чтобы двигалась равномерно проекция точ-
точки Р (о) иа горизонтальную прямую, (б)—иа вертикальную прямую?
3.	Для линейного уравнения второго порядка и" (t)-\-a (t)u' (/)+
+Ь (<)«(/) = 0 известно частное решение иг (t). Как найти второе ре-
решение, линейно независимое с первым?
4.	Согласно 13.17 линейное уравнение и-го порядка с постоянными
коэффициентами эквивалентно системе 1-го порядка, у матрицы кото-
которой минимальный многочлен имеет степень п. Показать, что всякая
система п уравнений 1-го порядка с этим свойством эквивалентна од-
одному уравнению п-го порядка.
5.	Пусть и'(t)= A (t)u(t)—векторное уравнение {u(t)?Rn) и
A (t)—периодический оператор с периодом Г (т. е. A (t -\- Т) = A (t)).
Показать, что И@+Т = СО*01 где С—постоянный оператор.
в. Даиы n<N линейно независимых векторных функций ых (/), • • •
..., un(t) со значениями в пространстве Я;у, дифференцируемых при
каждом t(?[a, b\. Показать, что существует уравнение и' (/)== A (t) и (/)
с непрерывным оператором A (t), действующим из Rjy в R^, имеющее
эти векторные функции своими решениями.
7.	Даио п линейно независимых скалярных функций уг (t), ...,у„ @.
имеющих производные до порядка п. Возможно ли, чтобы нх детер-
детерминант Вронского обращался тождественно в нуль?
8.	Дано п линейно независимых скалярных функций yt (t), .,.
••¦>Уп @i имеющих производные порядка п, с отличным от 0 вронскиа-
вронскианом. Построить уравнение и-го порядка с решениями ух if), ..., уп (/).
9.	Если функции A (t) и b (t) имеют непрерывные производные
до порядка /п, то решение линейного уравнения
имеет непрерывные производные до порядка т-\-\.
10. Если #@) = 0 и при 0</<Г выполняется неравенство
у'(t)—ky(t)*uq>(t), то при 0<<<Г выполняется неравенство
I
о
11.	(Продолжение.) Если при 0</«5Г выполняется неравенство
t
"> @ < Ф @+* \а> («) ds.
о
то выполняется и неравенство
ю @ < Ф @+* J Ф (s) е w~ s) ds.
о
12.	(Продолжение.) Будем говорить, что функция у (<)?Хиа [О, Т)
есть е-почти-решеиие уравнения u'(t)~f(t, и), если иа [О, Т]
\\y'(t)-f(t, y(t))\\<e.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА	203
Показать, что для любого решения u(t) и любого е-почти-решения ^ (<)
справедливо неравенство
где k—постоянная в условии Липшица для функции /(/, и).
13. (Продолжение.) Рассмотрим уравнение
u'(t)=A(t)u(t), и@)=ы€, 0<?<<?Г,	A)
с заданным непрерывным оператором А (<)• Пусть
П = {0 = /€< <х< ...< tn = T}.
Определим непрерывную вектор-функцию {/п (t) по правилу :
пп	(*=0. 1. .... п—1);
линейна при tk*?,t *?,tk+1 (fc=0, 1, ..., п—1).
Для заданного е > 0 построить такое разбиение П, что функция
yn(t) станет е-почти-решением уравнения A).
14. (Продолжение.) Показать, что решение уравнения A) (задача 13)
дается выражением
= lim { П
rf<II)-0 U=n-l
й(П)-*0	d(n)-0 U=n-l	I
(порядок множителей существен!).
15. В условиях задачи 13 определить непрерывную вектор-функ-
вектор-функцию zn(t) по правилу
гп @) =у0;
1 <*J> А'Д м,, (* = 0. 1, ...,и-1);
Для заданного е > 0 построить такое разбиение П, что функ-
функция zn (<) станет е-почти-решением уравнения A).
16. Показать, что решение уравнения A) (задача 13) дается вы-
выражением
i о	\
«(Г)= lim гп(Г)= lim < ТТ e^'^'i и,
-fffi)-»o п	<»(П)-о (,¦=*!:!	j
(порядок множителей существен!).
Историческая справка
Отдельные дифференциальные уравнения возникали в матема-
математике со времени открытия дифференциального и интегрального исчи-
исчисления, т. е. со времен работ Ньютона и Лейбница. Однородное
линейное уравнение первого порядка интегрировал Лейбниц в 1693 г.

204	ГЛ. 13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Решение линейного однородного и неоднородного уравнения и-го
порядка с постоянными коэффициентами было найдено Эйлером A739).
Метод вариации постоянных разработан Лагранжем A775); впрочем,
Эйлер решал различные задачи этим же приемом, начиная с 1739 г.
На протяжении XVIII века теория дифференциальных уравнений
привела к решающим сдвигам в земной н небесной механике, в тео-
теории приливов, в метеорологии и в других областях физики.
Следствием успехов теории диффереициальных уравиений явился
философский вывод о всеобщей ее применимости, одна из формули-
формулировок которого приведена в первом эпиграфе к этой главе и кото-
который называют «принципом механического детерминизма». Подчерки-
Подчеркивая конечное торжество человеческого разума, этот вывод сыграл
в свое время большую роль в освобождении науки от теологии
н схоластики. Однако, успехи физики XX века показали ограничен-
ограниченность механического детерминизма и теперь, сохраняя свое значение
для проблем механики, в высших областях физики он уступил место
так называемому статистическому детерминизму.
Ю. Вронский, польский математик и философ, ввел свой опреде-
определитель из производных в 1812 г.
Постановка общей проблемы существования и единственности
решеиия дифференциального уравнения принадлежит XIX веку. Пер-
Первое доказательство существования решения было дано Коши A844);
затем Липшиц значительно его упростил и сформулировал «условие
Липшица». Метод последовательных приближений предложен Пика-
ром A890); абстрактная формулировка этого метода в метрическом
пространстве с явным использованием сжимающего оператора была
дана в 1922 г. Банахом.

ГЛАВА 14
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Теорема Фурье не только представляет собой одни
из самых красивых результатов современного анализа.
Во диет необходимейшее орудие прн изучении почти
всех ведущих вопросов современной физики.
В. Томсон и П. Тэт,
Введение в натуральную философию A867)
§ 14.1. Ортогональные разложения в гильбертовом
пространстве
14.11. Постановка задачи. В § 12.4 в простран-
пространстве С (Q) непрерывных функций мы занимались аппрокси-
аппроксимациями в смысле равномерных приближений, отвечающих
норме
Ц/|| = тах|/(х)|.	A)
Во многих вопросах анализа существенны аппроксимации
в смысле интегрального среднего, отвечающего норме
B)
и в первую очередь в смысле среднего квадратичного, отве-
отвечающего норме
\f(x)\2dx.	C)
В этой главе, как правило, под Q мы будем понимать
отрезок вещественной оси.
Вопрос ставится так: при каких условиях на заданную
(линейную) систему В (Q) функций ф (х) для каждой (непре-
(непрерывной или хотя бы кусочно-непрерывиой—для обеспечения
существования интегралов) функции f(x) возможно указать
последовательность функций фх (х), ф2 (х), ... из В (Q), для

206	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.12
которой при п —*- оо
/'Sl*f —0.	D)
Если последовательность (рп(х) равномерно сходится
к f(x), то, очевидно, выполняется и соотношение D). Но
из выполнения D) ие следует равномерная сходимость <р„ (х)
к /(*); не следует даже сходимость в отдельных точках.
Поэтому можно сказать, что задача о среднеквадратичной
аппроксимации «более легкая», чем задача о равномерной
аппроксимации. Кроме того, построение среднеквадратичных
приближений можно облечь в прозрачную геометрическую
форму благодаря тому, что соответствующее пространство
функций с нормой C) — гильбертово пространство, в кото-
котором можно не только измерять длины векторов, как в нор-
нормированном пространстве, но и использовать свойства орто-
ортогональности.
14.12. Аппроксимации в гильбертовом про-
пространстве. Пусть Н—вещественное или комплексное
гильбертово пространство. Пусть ВсН есть л-мерное под-
подпространство, порожденное заданной ортогональной и нор-
нормированной (короче: ортоиормированной, или ортонормаль-
ной) системой ег, ..., еп (так что (еу-, ek)^\ при y'«Jfc
и (ej, eft) = 0 при j^=k). Поставим следующую задачу: для
П
заданного вектора /?// найти такой вектор у= 2 с*е*€^>
что величина ||/—у|| будет наименьшей. При решении за-
задачи будем считать, что пространство И комплексное; веще-
вещественный случай будет отличаться лишь некоторыми упро-
п
щениями в записи. Для любого х= 2 \kek мы имеем
n
= (/.л- 2 1п7Г^)- 21*(/. «*)+ 21^1а
2 \\{f,ek)?-lk(r^k)-ik(

14.13] § 14.1. РАЗЛОЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 207
п
	 If f\ I X1
У- 2 К/.
ft
2 К/.
-&*1а- 2 К/.
fe=l
A)
Очевидно, полученное выражение станет наименьшим,
п
если ?* = (/, eft) (*=1	л). Вектор у= 2 (/> eft) e* на"
зывается проекцией вектора f на подпространство В, а век-
вектор /—y*=h называется перпендикуляром, опущенным из
конца вектора / на подпространство В; эти определения
согласуются с геометрическими представлениями в вещест-
вещественном случае (рис. 14.1). Как видно
из A), квадрат длины вектора h
имеет величину
Отсюда, в частности,
чается неравенство Бесселя
f
полу-
B)
Рис. 14.1.
справедливое для любого вектора f?H и любой ортонор-
мальной системы et, ..., еп.
Итак, наилучшая «гильбертова» аппроксимация вектора /
векторами подпространства В получается тогда, когда в ка-
качестве аппроксимирующего вектора у мы берем проекцию
вектора / на подпространство В.
14.13. Пусть теперь имеется бесконечная ортонормаль-
ная система elt е2, ..., еп, ... Мы можем произвести опи-
описанное выше построение для любого конечного набора
elt ..., еп и получить соответствующую наилучшую гиль-
п
бертову аппроксимацию уп = 2 (/• е*) ен- Заметим, что
k

208	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.14
коэффициенты (/, ek) наилучшей аппроксимации ие зависят
от номера n~^k. Само отклонение А„ от у„, как мы ви-
видели, имеет величину
1 = 1/ (/./)- 2 К/, ек)\\
НМ = У (/>/)-2 I (/,**) I2-	(i)
*	k=i
Возникает вопрос: можно ли, взяв п достаточно боль-
большим, добиться, чтобы величина |] hn \\ стала как угодно ма-
малой? Вообще говоря, это не может быть справедливым
всегда: например, если система elt е2, ... «не полна»,
т. е. существует вектор /, отличный от 0 и ортогональный
ко всем векторам е1? е2, ..., то все числа (/, ек) равны О
и все числа ||Л„|| равны ||/||.
14.14. а. Однако, при определенных условиях все же
можно утверждать, что числа ||А„|| стремятся к 0 при
п —>¦ оо. Именно, это будет иметь место, если из каких-либо
других соображений (например, из теорем типа Стоуна A2.42)
в пространствах функций) известно, что из линейных комби-
комбинаций векторов elt e2, ... можно выбрать последователь-
последовательность, сходящуюся (по гильбертовой норме) к вектору /.
Действительно, если для какой-то линейной комбинации
2 \ьеь имеет место неравенство /—2 ?*е* ^= е> т0 для
ft=i	fc=i II
п
наилучшей гильбертовой аппроксимации 2 (/> ek) ен тем ^°"
лее будет иметь место неравенство
k=i
e. A)
б. В предположениях а при е —*• 0 в пределе получаем
равенство
/=Iim S(/.e*)e*=2! U,ek)ek.	B)
П-* со ft=l	k=l
Ряд справа называется рядом Фурье вектора / по орто-
нормальной системе е1У е2, ... Числа (/, ek) называются
коэффициентами Фурье вектора / по системе ек. Эти назва-

14.15] § 14.1. РАЗЛОЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 209
иия сохраняются независимо от сходимости или расходимо-
расходимости ряда; в случае расходимости мы рассматриваем ряд Фурье
пока формально.
в. В случае сходимости ряда B) к вектору /, переходя
к пределу слева в A), находим
1|/1Г=2К/.е*)Р.	C)
k=i
Это равенство, являющееся бесконечномерным аналогом
теоремы Пифагора, называется равенством Парсеваля. Если
о сходимости ряда Фурье к вектору / ничего не известно,
то остается неравенство
?|*|
ft—1
которое получается предельным переходом из неравенства
Бесселя 14.12 B), и также называется неравенством Бесселя.
г. Наконец, заметим, что если ряд Фурье вектора /
сходится к /,
/= 2 (/.«*)**.
то и при любой перестановке слагаемых, например, перево-
переводящей член с номером пк на место с номером k\k—\,2, ...),
будет также
со
/= 2 (/.«»*)«»*•
Действительно, по A)
/-2 (/.e»t)ej| = ЦУГ-2 К/. «»*>!'.
k—i	||	fc—1
а последняя величина стремится к нулю при N—>¦ оо в силу
(8) и допустимости перестановок в сходящемся знакополо-
знакоположительном ряде F.36).
14.15. Ряд Фурье с необходимостью появляется в зада-
задачах аппроксимации и в силу следующего свойства:
Лемма. Пусть известно, что для некоторого векто-
вектора f?H и ортонормальной системы {ek} в И справедливо

210	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.16
разложение
в том смысле, что хотя бы для некоторой последователь-
последовательности номеров пх < «2 < ... < пр < ...
lim
р-» ю
f-%
Тогда каждый коэффициент ст совпадает с соответствующим
коэффициентом Фурье (/, em)(m=l, 2, ...)> и Ряо* 0) сх°-
дится по норме в обычном смысле.
Доказательство. Умножая равенство A) скалярно
на ет и используя непрерывность скалярного произведения
A2.936) и ортонормальность системы {ек\, получаем
что и требовалось.
14.16. Лемма. Пусть справедливы разложения (в том
же смысле, что и в 14.15)
00
»дв {ек\—ортонормированная система; тогда ряд У^акЬк аб-
абсолютно сходится и
|«А-(/. в)-	A)
Доказательство. Из неравенства
в силу /4./4 D) следует абсолютная сходимость ряда
в левой части равенства A). Далее, пусть по норме

14.17] § 14.1. РАЗЛОЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 211
пространства Н
Шр	tip
/= 'J1 Se*e*» s= lim SVs
и /f = tnin (mp, np)\ тогда в силу непрерывности скалярного
произведения
= lim
/ тр	пр
( Hm %акек, lira 2
\p-* oo X	p-^co i
1
что и требуется.
14.17. Выпишем для дальнейшего ряд Фурье и равен-
равенство Парсеваля для ортогональной, но не нормированной
системы векторов gt, g%, ... Если при каждом п вектор gn
отличен от нуля, то система еп ¦= #n/|| gn || уже ортого-
ортогональна и нормирована. Ряд Фурье вектора / по системе еп
можно записать в форме
00
где
а==
Ряд справа в A) называется рядом Фурье вектора f no
системе gn, числа ak—коэффициентами Фурье вектора f по
системе gn. Если ряд A) сходится к /, то

212	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.21
это—равенство Парсеваля по системе gk. Равенство же
14.16 A) переходит в равенство
C)
П=1
в предположении, что выполнены соотношения
§ 14.2. Классические ряды Фурье
14.21. В вещественном гильбертовом пространстве
ц [—я, я] A2.98г) кусочно-непрерывных функций /(/)
на отрезке [—я, я] или, что то же, на окружности
Q = {(х, у): х — cos t, y=sint\, имеется бесконечная орто-
ортогональная система функций
1, cost, sint, совгг1, sin 2/, ..., cos nt, sin nt, ... A)
Ортогональность этой системы легко проверить, вычи-
вычислив интегралы от функций cos kt • cos mt, cos kt • sin mt,
sin kt- sin mt по промежутку [—я, я].
Для нормировки системы заметим, что
и по 9.55в
|| cos kt f = J cos2 ktdt = л,
-st
п
_ ,. . ill
Sin :
sin**H1 = J sin2ktdt = n.
—n
Поэтому для заданной функции /@€^«[—п> п] РЯД Фурье

14.22]
§ 14.2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
213
14.17 A) можно записать так:
~
sin
-l J /(T)COSTdT +
sin
-я
-i- С f(i)
.«о
Т'
cos л' + *» sin л')>
где
= -^- J/(T)cos/zxdT,
—я
л
= 0, 1, 2, ...).
C)
Числа ап и Ьп называются коэффициентами Фурье функ*
ции f(t) no системе тригонометрических функций A). Вопрос
о сходимости ряда Фурье B) мы рассмотрим ниже A4.24).
14.22. Перейдем теперь к комплексной форме тригоно-
тригонометрического ряда Фурье. Рассмотрим комплексное гиль-
гильбертово пространство Ис[—п, п] из комплексных кусочно-
непрерывных функций на отрезке —зт^/^я A2.983).
Здесь имеется бесконечная ортогональная система функций
е'»« (/z = 0, ±1, ±2, ...).	A)
Ортогональность следует нз очевидного равенства
л	п	.
р' (И — /Я) '
I einteimtdt=c \ eiin-
-л	-я
Вычислим норму функции еш:
=0

214	ГЛ.. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.23
Для заданной функции f(t)?Hc[—я, я] ряд Фурье
14.17 A) пишется в форме двустороннего ряда F.48)
2 спеш,	B)
п=-а
где
— коэффициенты Фурье функции /(/) по системе A).
14.23. Используя формулу Эйлера
eint = cos л? +' s>n
можно преобразовать ряд 14.22 B) к виду 14.21 B) (раньше
мы ряд 14.21 B) писали только для вещественных функций).
Положим
-л
-{сп + с_„) cosnt + i {сп—с_п) sin nt =
n	n
—	—\ f(x) cos nxdx- cosnt H	\ f(x) sin nxdx- sin nt—
-n	-n
—	an cos nt + bn sin nt.
n
При любом п частная сумма 2 РяДа 14.21 B) и сим-
о
п
нетричная частная сумма 2 14.22 B) совпадают. Поэтому
—л
сходимость ряда /4.2/ B) имеет место одновременно с сим-
симметричной суммируемостью ряда 14.22 B). Подчеркнем,
что, как мы заметили еще в 6.49, симметричная суммируе-
суммируемость ряда 14.22 B) может иметь место при всех /?/?!

14.24]	§ 14.2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ	215
без того, чтобы он был сходящимся ( в смысле существо-
п \
вания lim 2 ) •
m, n -> оо -т/
14.24. Теорема. Для всякой (комплексной) функции
f(t), кусочно-непрерывной на компакте Q«=[—я, я]=
= {л:а+У = 1}, ее ряд Фурье 14.22 B) сходится к f(t) no
норме пространства HC(Q) при любом порядке расположе-
расположения его членов.
Доказательство. Имея в виду результат 14.14а,
достаточно показать, что существует последовательность
тригонометрических многочленов Tn(t), сходящаяся к f(t)
по норме пространства HC(Q).
Рассмотрим тригонометрические многочлены
Ta{i)= $ ?>„(т; t)f{x)dx,
-п
где Dn(T, t) — дельта-образная последовательность, указан-
указанная в 12.47а. В силу теоремы 12.47в многочлены Tn(t)
сходятся к f(t) равномерно на любом замкнутом множестве
Е с Q точек непрерывности функции f(t). На всем Q они
остаются ограниченными по модулю числом М = sup |/(/) |.
Конечное множество точек разрыва функции /(/) для задан-
заданного е> 0 можно покрыть открытым множеством U—конеч-
U—конечным числом промежутков с суммой длин, меньшей е*. На
замкнутом множестве Q—U функция /(/) непрерывна. Най-
Найдем номер п так, чтобы иметь |/(tf) — Т„(?)|<е на Q—U.
Тогда
Тп @ ||2 = S [f(t)- Тн (t)]2 dt =
Q
Q-U
2+я!!),
откуда
lim
в HC(Q), что и требуется.

216	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.25
Согласно сказанному выше аналогичный факт справедлив
для любой вещественной кусочно-непрерывной функции /(/)
и ее ряда Фурье 14.21 B).
14.25. Одновременно мы получаем для любой кусочно-
непрерывной функции /(/) выполнение равенства Парсеваля:
в вещественном случае в силу формул 14.17 н 14.21
A)
в комплексном случае в силу формул 14.17 и 14.22
B)
Для двух кусочно-непрерывных функций f(t) и g(t) мы
получаем из 14.17 C), что в вещественном случае, когда
00
х+Е к cos nt+bn sin nt)>
g(t) = -y + 2 (cB cos я/ + dB sin «0.
имеет место равенство
П	CD
№ g (t) dt = я ^в+я 21 Кс«+М„);	О)
в комплексном случае, когда
00	СО
/@=2 «»«'"*. ^@=2 *»*"".
— on	— о»
имеет место равенство
п	А —
= 2я2«А-	D)

14.27J	§ 14.2. КЛАССИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ	217
14.26. Из теоремы 14.24 и равенств 14.25 A) —B),
в частности, вытекают следующие результаты:
а.	Следствие. Коэффициенты Фурье ап, Ьп кусочно-
непрерывной функции f(t) стремятся к 0 при п —»¦ 0, коэф-
коэффициенты сп стремятся к 0 при п—»-±оо.
б.	Следствие. Если все коэффициенты Фурье 14.21 C)
(или 14.22 C)) кусочно-непрерывной функции f(t) равны О,
то f(t) равна О всюду, кроме, возможно, конечного числа
точек (9.16д).
в.	Следствие. Две кусочно-непрерывные функции f(t),
g(t) с соответственно равными коэффициентами Фурье
14.21 C) или 14.22C) совпадают всюду, кроме, может быть,
конечного числа точек.
г.	Следствие. Ортогональная система тригонометри-
тригонометрических функций 14.21 A) — полная: кусочно-непрерывная
функция f(t), ортогональная ко всем функциям системы
14.21 A) есть нуль пространства HR(Q), т. е. равна О
всюду, кроме конечного числа точек. То же относится к
системе функций еш A4.22 A)) в пространстве HC(Q).
00
14.27: а. Лемма. Если тригонометрический ряд 2 cke'kt
сходится равномерно на [—я, я] к некоторой функции s (t)
в том смысле, что равномерно на [—я, я]
s (t) = lim
для каких-либо последовательностей тр—>-оо, пр-->-оо, то
числа сн совпадают с коэффициентами Фурье функции s (().
Это немедленно следует из очевидной непрерывности
функции s (t) и из 14.15, поскольку из равномерной сходи-
сходимости следует сходимость по норме HC(Q).
б. Следствие. Если сп(л = 0, ±1, ...)—коэффи-
...)—коэффициенты Фурье кусочно-непрерывной функции f(t) и ряд
2 cneint равномерно сходится к некоторой функции s{1)
— ос
в том же смысле, что и в а, то f(t)=*s(t) всюду, кроме,
возможно, конечного числа точек.
Действительно, функция s(t) очевидно непрерывна, и
в силу а величины сп являются ее коэффициентами Фурье;

218	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	114.31
но так как эти же числа по условию являются коэффици-
коэффициентами Фурье функции f(t), то мы можем применить след-
следствие 14.26в, которое и приводит к нужному результату.
§ 14.3. Сходимость ряда Фурье в точке и на множестве
14.31. Сходимость ряда Фурье в точке. Мы
знаем из 14.24, что ряд Фурье позволяет получить сколь
угодно точную средне-квадратичную аппроксимацию данной
кусочно-непрерывной функции /(/). Но нам желательно вы-
выяснить, позволяет ли ряд Фурье также получать и сколь угодно
точную аппроксимацию значения функции f(t) в какой-либо
данной точке t = tB; иными словами, сходится ли при t = t0
ряд Фурье в обычном смысле к числу f(t0).
Для выяснения этого вопроса будем рассматривать ряд
Фурье в комплексной форме 14.22 B). Пусть для какнх-то
/я>0, и>0
— частная сумма ряда Фурье для функции f{t). Мы имеем
я	п п
-m
П
f / w e~ikxdx-eiM
-я	-"'
Суммируя геометрическую прогрессию, получаем
e el (n+^) e "' (m+i) e
1-<Г'в	~~	?± -?-9
j ( « + —) в -i (m+ —
0^-	* / 	да V	2
2i sin -^-

14.32]
и, таким
п
1 1 fir)
Ш ) f (V
-st
§ 14.3.
образом,
? (п+±) и-
е \ s /
4nt J ^ v
—st
СХОДИМОСТЬ РЯДЛ ФУРЬЕ
-X) -i f «
— е ^
1+—) а-т)
2
?(n+-i-)ft -? ( т+— ) h
е V 2 / _ V S /
1 Щ
sin-g
219
dh. A).
Если положить /(/) = 1, то, очевидно, sm, „(О —/(О ПРИ
любом /я > 0 и л > 0. В этом случае формула 0) Дает
4mj
_-
. h
siny
Разность smn(t)—f(t) теперь можно привести к виду
—^	dh. B)
Мы хотим выяснить, при каких условиях smi n (t) стремится
к f(f), или, что то же, интеграл B) стремится к нулю.
14.32. Лемма. Если ф (А) — комплекснозначная функ-
функция в промежутке а <х^.Ь, ограниченная и кусочно-непре-
кусочно-непрерывная на любом отрезке [а+6, Ь], 6 > 0, и абсолютно
интегрируемая в несобственном смысле на [а, Ь], то инте-
интегралы
ь	ь	ь
Ф (A) sin vA d/г, \ q> (A) cos \h dh, J <p (A) ehh dh
a	a
стремятся к нулю при v —*¦ ± °о.
Доказательство. В силу формул sin vA=
= -—(е'1|Л — e~hh), cos уЛ = -^ (ehh-\-e~tvfl) достаточно дока-
зать лемму для множителя e'vft. Рассмотрим сначала случай

220
ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
[14.32
функции ф(й), непрерывной на отрезке [а, Ь]. При фикси-
фиксированном v на отрезке [а, Ь] имеется лишь конечное число
точек арифметической прогрессии
обозначим их ft0 = а < Ах < ... < hm. Положим функцию
g(h) равной ф(й0) в промежутке [ft0, ftj), ф(Ах) в проме-
промежутке [ftlf ft2) и т. д., ф(йт) в промежутке [hm, b). Оче-
Очевидно, что всюду на [а, Ь] выполняется неравенство
A)
где ш? F) — колебание функции ф (х) на отрезке [а, Ь]
E.17в). Поскольку промежуток [fty-, ft/+1] есть период функ-
функции eivh, имеем
поэтому
g (ft) eM dh
о
J ^ (да) e'vA rfft
B)
где Ж = тах|ф(й) |. Из A) и B) следует, что
ь	ь	| б
\ Ф (ft) eM dh < J | Ф (h)-g(h) | dft-f Г #(ft) e'
a	a	\i
C)
Так как при v —»- оо для непрерывной функции ф (А) вели-
величина со (—) стремится к нулю, то оценка C) доказывает
лемму в этом случае.
Пусть теперь ф(й) — любая функция, удовлетворяющая
условиям леммы. Для заданного е > 0 найдем 6 > 0 так,
чтобы иметь
о+е
\ | ф (А) | dh < -|-.	D)
а

14.33]	§ 14.3. сходимость ряда фурье	221
На отрезке [а + 6, Ь] функция ф (ft) ограничена по мо-
модулю, положим, числом М = М(е), и кусочно-непрерывна.
Отрезок [а+6, Ь] разлагается на, конечное число, поло-
положим, N=N(e), промежутков [аг, Ьг], ..., [aN, bN], на каж-
каждом из которых функция <p(ft) непрерывна. Применяя к каж-
каждому из них оценку C) и используя D), находим
а+6
N
2
$q>(ft)e<*"dft
*=1 ак
N
k=i
M (e) — . E)
Теперь остается по заданному е найти такое v, что
величины 0)9( — \(Ь—а) и N(b)M(b)— станут меньше,
чем е/3, и лемма доказана полностью.
14.33. Вернемся к равенству 14.31 B). Мы имеем те-
теперь возможность доказать следующую теорему:
Теорема. Если функция f(t) на отрезке [—зх, п]
кусочно-непрерывна и функция	1	абсолютно ин-
интегрируема по ft в несобственном смысле в окрестности
точки ft = 0, то частные суммы smn(t) ряда Фурье функ-
функции f\t) сходятся в точке t — t0 к значению f(t0) при т—+оо
и п —»¦ оо (независимо друг от друга).
Доказательство. Если функция ¦	1—~^ аб-
абсолютно интегрируема в несобственном смысле в окрест-
окрестности точки ft = 0, то и функция
f(to+h)-f(to)__f(to+h)-f(to) h
. h	h	. h
sin у	sin y
также абсолютно интегрируема в несобственном смыс-
смысле в окрестности точки ft = 0. Поэтому в силу леммы

222	гл. 14. ортогональные разложения	A4.34
интеграл 14.31 B)
4яЧ
sir4
,0	я
1-я 0 '
стремится к нулю при ft —»¦ оо. Теорема доказана.
' 14.34. Условие абсолютной интегрируемости отношения
fe	п0 * при * "^ ^ называется условием Дйни
для /(^). Оно выполняется, например, если функция
удовлетворяет условию Липшица порядка а > 0:
В частности, если функция f(t) имеет в точке t0 конеч-
конечную производную, то выполняется условие Липшица порядка 1,
и, следовательно, числа smn(t0) сходятся к числу /(/0).
14.35. Равномерная сходимость ряда Фурье
на множестве Е с Q. Анализируя приведенное доказа-
доказательство, можно на этом же пути получить и утверждение
о равномерной сходимости ряда Фурье на некотором мно-
множестве Е с Q.
Будем говорить, что условие Дйни для функции f(t)
выполняется равномерно на множестве Е cQ, если для лю-
любого е > 0 можно найти б > 0 так, что сразу для всех
t? Е выполняется неравенство
f(t+h)-f(t)
I Iг
ifti<e
dh<e.
Теорема. Если функция f(t) на отрезке [—л, я]= Q
(с отождествленными, как обычно, точками —л и л) огра-
ограничена и кусочно-непрерывна и если на множестве Е с Q
условие Дйни для f(t) выполняется равномерно, то ряд
Фурье для функции f(t) сходится к ней равномерно на
множестве Е.

14.35]	§ 14.3. сходимость ряда фурье	Ё23
Доказательство. Разность sm<n(t)—f(t) мы уже
привели к виду
я
dh.
5Ш 2"
Мы желаем доказать, что эта разность стремится к нулю
равномерно на множестве Е. Положим ф (t, ft) = ^ ^" Т -.
sin у
По условию теоремы для заданного е > 0 существует такое
60 > 0, не зависящее от /, что
И	И	о
sin -д-
Je	sin|	^
2
Вне промежутка |ft|^60 функция ф(^, ft) ограничена по
ОД*
модулю числом М (г) =	j-, где М = max | / (#) |; приве-
sin-y
денная оценка не зависит от t. Множество Zt точек раз-
разрыва функции ф (t, ft) уже зависит от t; именно, оно пред-
представляет собою смещение на —t множества точек разрыва
функции /(ft) (не считая возможной точки разрыва ft = 0,
которую мы уже отделили). Поэтому при всех t множество
Zt можно покрыть соответствующим сдвигом St фиксиро-
фиксированной конечной системы промежутков с суммой длин
<[ „д. . Вне St остается множество Gf, представляющее
собой объединение фиксированного числа Af(e) промежутков,
на которых функция ф (t, h) непрерывна (их число может
только уменьшиться за счет того, что некоторые из них
попадут в уже выделенный отрезок | ft | ^ б0).
Пусть

224	гл. 14. ортогональные разложения	[14.36
Колебание (о,рF) функции <р(г, А) согласно 5.17г можно
оценить так:
огF)+W/F) max
i>t F).
Теперь оценка 14.32 E) нам дает
2п + N (е) Ж (е)
При достаточно больших л и /я правая часть стано-
становится сразу при всех t?E меньше е, что нам и требуется.
Теорема доказана.
14.36. Следствие. Если для каждой точки t из мно-
множества Е с Q выполняется условие Липшица порядка а > О
с постоянной С, нс зависящей от точки t ?E, то ряд Фурье
функции f(t) сходится к ней равномерно на Е. В частности,
если на отрезке [с, d] с. Q функция f(t) имеет ограничен-
ограниченную производную (соответственно одностороннюю в точках
с и d), то для любого внутреннего отрезка [с+6, й — 6]
при всех | h | <16 выполняется условие Липшица порядка 1:
следовательно, ряд Фурье функции f(t) сходится к ней рав-
равномерно на любом отрезке [с+ 6, й—6].

14.37]	§ 14.3. сходимость ряда фурье	225
14.37. Если условие Дини не выполняется в какой-либо
точке, то теорема 14.33 уже не действует, и ряд Фурье
для функции f(t) может и не сходиться (мы убедимся в этом
в 14.51). Можно рассчитывать на выполнение соотношения
т->-оо
*„, „('„)=/Со)
лишь при каком-либо способе обобщенного предельного
перехода. Прежде всего естественно рассмотреть симметрич-
симметричные частные суммы
*„,„(')= ? v".
к= — П
Для симметричной частной суммы sn>n(t) (которую мы
в дальнейшем будем обозначать просто sn(f)) из 14.31 A)
получается следующее выражение:
>	я
sinY
—л
п
, A)
h
8inY
-Я	-Я
где
— так называемое ядро Дирихле. Если бы функции Dn (ft) обра-
образовывали дельта-образную последовательность для точки О,
мы могли бы применить теорему 12.456 и получить сразу
сходимость симметричных сумм ряда Фурье функции f(t)
к значению f(t0) в каждой точке tf0, где f(t) непрерывна.
Но функции Dn (А), на самом деле не образуют дельта-образ-
дельта-образной последовательности, как мы увидим в 14.51. Функция

226	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[И-38
Dn(h), очевидно, четна: Dn(—h) = Dn(h); кроме того, под-
подставляя в A) /(/)?=sl, находим sn(t)^E=\ и
я
$?>„(А)<*А=1.
-я
Пользуясь этими свойствами, мы рассмотрим сейчас вопрос
о сходимости симметричных сумм ряда Фурье для функции
f(t) в точках ее разрыва 1-го рода.
14.38. Поведение ряда Фурье в точках раз-
разрыва 1-го рода функции f{t). Пусть t0 есть точка
разрыва 1-го рода функции f(t), так что существуют значения
Предположим, что выполняются односторонние условия Дини,
т. е. при некотором 6 > 0 сходятся интегралы
Ушо-Д<о+0)	Г°
Величину sn (^0), как и раньше, можно записать в виде
Вводя предельные значения /(/0 + 0) и/(^0—0), преобразуем
полученное выражение:
о
-я
n
, (*)<» +
о	я
+/(/, -0) J DB (А)ЙА +/(/, + 0)J Dn (h) dh =
-я	о

14.41)	§ 14.4. вычисления о рядами фурье	227
где использована четность ядра Дирихле Dn(h). В силу
леммы 14.32 величины 1г и /г при п —* оо стремятся к нулю.
Последнее слагаемое не зависит от л и равно ¦	~|Г °—-.
Таким образом, в точке разрыва 1-го рода при выполнении
односторонних условий Дини, например, при наличии одно-
односторонних производных
ft\O	Л
Ги.у.
ft\0	П
симметричные частные суммы ряда Фурье функции/ (t) сходятся
к числу ±[/(to + 0)+f(to-0)].
Если записать ряд Фурье функции /(t) в форме
cos kt + h sin kt),	A)
то, как мы заметили еще в 14.23, л-я частная сумма этого ряда
sinft/)	B)
совпадает с л-й симметричной суммой ряда Фурье функции /(t)
в комплексной форме; поэтому для ряда A) формулировка
теоремы о сходимости одинакова для точек непрерывности,
где выполняется двустороннее условие Дини, и для точек
разрыва 1-го рода, где выполняются односторонние усло-
условия Дини.
Заметим еще, что, поскольку а„ —*¦ 0, Ьп —* 0 A4.26а),
группировка слагаемых в ряде A), указанная скобками, не
влияет на сходимость или расходимость этого ряда.
§ 14.4. Вычисления с рядами Фурье и приложения
14.41. О вычислении коэффициентов Фурье.
Отметим несколько простых свойств коэффициентов Фурье,
облегчающих их вычисление.

228	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.42
а. Если f(t)— четная функция, т. е. /(—t)=f(t), то
я
К=^ § f{t) sin ntdt = О,
-я
и/(/) разлагается в ряд Фурье по функциям cos nt. При этом
я	я
«„=4 If d)cosntdt^-^fit)cosntdt.	A)
-я	о
б. Если f(t) — нечетная функция, т. е. /(—1) =—f(t), то
я
я„ = ^- § f (t) cos ntdt = О,
-я
nf(t) разлагается в ряд Фурье по функциям sin nt. При этом
я	я
J/Wln*<tt !$/@ sin ntdt.	B)
-я
14.42.а. Пусть f(t) — кусочно-полиномиальная функция,
т. е. отрезок [—я, я] может быть разложен на конечное
число промежутков [tj, tJ+1], j=0, 1, ... , т—1, без об-
общих внутренних точек так, что на промежутке [tj, tj+1]
функция совпадает с некоторым многочленом ру- (t) = Sp/fc'*-
Тогда
1 р	1
с""= ш J ^w e-/nl«•= sj
-я	/=0
Каждое из слагаемых мы преобразуем, интегрируя по
частям:

14.42]	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	229
После конечного числа повторений этого преобразования
результат будет освобожден от интегралов и коэффициенты
Фурье получатся в форме некоторых многочленов от 1/л и
elnti. Аналогичное вычисление для коэффициентов ап и Ьп
показывает, что в рассматриваемом случае они являются
многочленами от l//z, cos ntf и sin ntj.
Из общих теорем § 14.3 следует, что ряд Фурье для
кусочно-полиномиальной функции f(t) сходится в каждой
точке непрерывности функции f(t) к значению f(t). Эта
сходимость равномерна на каждом промежутке, не содержа-
содержащем внутри и на границах точек разрыва функции f(t).
В каждой точке разрыва симметричные суммы ряда Фурье
сходятся к значению-g-[/(^ + 0)+/(^—0)]-
д
б. Пример. Рассмотрим функцию/^) =—2
продолженную нечетным образом на отрезок —зх<^<0 и
далее на всю ось — оо < t < оо периодически с периодом 2я
(рис. 14.2). Функция f(t) согласно 14.416 разлагается в ряд
Фурье по функциям sin л^, и при этом
я	о
п. Cn—t . . ,. л—<cosn/|° , 1 С cos nt .. n
-2 *>„
Таким образом, на @, 2я)
00
л—tv> sinn<
я=1
причем ряд сходится в каждой точке t € @, 2я) равномерно
в любом внутреннем отрезке [6, 2я—6], 6>0. В точках

230	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.43
t — 0 и t «= 2я сумма этого ряда равна О в соответствии
с 14.38.
в. В некоторых случаях, имея коэффициенты ап и Ь„
в форме многочленов от 1 /п, cos ntj и sin nt., можно про-
просуммировать ряд Фурье и указать явную формулу для кусоч-
кусочно-полиномиальной функции /(/)*). Однако даже простой ряд
(Л
V4 c°s nt	.
указанного вида, именно, 2^	> Уже не есть ряд Фурье
от кусочно-полиномиальной функции (см. 14.47).
14.43. Связь между гладкостью функции/^)
и порядком убывания ее коэффициентов
Фурье.
а. Пусть f(t) — функция, непрерывная на окружности
Q = [— я, п] и обладающая кусочно-непрерывной производной
/' (t). Пусть с„—коэффициенты Фурье функции/^) (относи-
(относительно системы ем) и с'п—коэффициенты Фурье функ-
функции /' (t). Мы имеем
—m -
Внеинтегральный член здесь обращается в нуль, так как
/(—я)=/(я) в силу предположения о непрерывности функ-
функции f(t) на всей окружности Q. Числа с'п, как коэффициенты
Фурье кусочно-непрерывной функции, стремятся к нулю; мы
видим, что у дифференцируемой функции f(t) коэффициенты
Фурье стремятся к нулю быстрее, чем \\п. Кроме того,
сходится ряд из чисел | с„ |, что следует из неравенства
и сходимости ряда из чисел | с'„ |а. (В силу признака Вейер-
штрасса 6.S3 это дает независимое от теоремы 14.36 дока-
*) См. Г. М. Фихтеигольц, т. ИГ, 1949, гл. XIX, § 5.

14.44]	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	231
зательство равномерной сходимости ряда Фурье для функции
/(/), удовлетворяющей приведенным здесь условиям.) Если
функция f(t) непрерывна, но не сделано предположений
о существовании ее производной, сходимость ряда из чисел
| сп |, как мы увидим дальше, вообще говоря, не имеет места
A4.53).
б. Если функция f(t) непрерывна и обладает непрерыв-
непрерывными производными до порядка т—1, a fim)(t) кусочно-не-
кусочно-непрерывна, то равенство A) можно продолжить, обозначая
через с<*> коэффициенты Фурье функции /№)(fy
C" ~ in ~~ (in)* 	(to)»»-1 — (in)m Iя — ± '• ± -*••••)•
B)
Коэффициенты cJJ"' в данном случае образуют абсо-
абсолютно сходящийся ряд (ср. а); поэтому наряду с равенствами B)
можно также записать коэффициент с„ в следующей форме:
±2,
00
где ряд2|8п| сходится.
14.44. а. Эти утверждения можно, хотя и неполным обра-
образом, обратить. Пусть известно, что коэффициенты Фурье с„
некоторой функции f(t) можно записать в виде
или же в форме
Тогда функция f (i) обладает непрерывными производными
до порядка m—2 включительно. Действительно, в данном
случае ряд Фурье функции f(t\ является равномерно сходя-
сходящимся (по признаку Вёйерштрасса), так же как и ряды,

232	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.46
полученные последовательным формальным дифференцирова-
дифференцированием до порядка т—2:
В силу 14.26в функция f(t) совпадает с sB(t). По теореме 9.78
о почленном дифференцировании последовательности функций
функция sB(t) дифференцируема и ее производная совпадает
с st (t); аналогичный факт имеет место для функции st (t),
и т. д.; в результате функция f(t) оказывается обладающей
непрерывными производными до порядка т — 2.
б. Если функция / (t) имеет непрерывные производные
любого порядка т = 1, 2, ... , то ее коэффициенты Фурье
удовлетворяют неравенствам
KKb "*=1. 2, ....	A)
1 " ¦ \n \'"
и убывают, следовательно, быстрее любой степени от 1/|я|.
Обратно, если коэффициенты Фурье некоторой функции/(О
удовлетворяют неравенствам A) при любом /в*=1, 2, ...,
то, по сказанному выше, функция f(t) непрерывна и имеет
непрерывные производные любого порядка. Таким образом,
класс бесконечно дифференцируемых функций полностью
характеризуется условиями A) на коэффициенты с„.
14.45*. Изопериметрическая задача. Это на-
название носит следующая классическая задача: среди всех
плоских замкнутых кусочно-гладких кривых данной длины
найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь. Реше-
Решением является окружность; для его обоснования мы, следуя
А. Гурвнцу, произведем следующее построение. Пусть z (s) =
= x(s) + iy(s) есть параметрическое представление плоской
кусочно-гладкой замкнутой линии L, причем параметром s

14.45]	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	233
служит длина дуги (9.63ж). Сначала предположим, что пол-
полная длина кривой L равна 2я, так что гBя) = г@). Пусть
00
sin ns),	A)
у (s) = -|- + V (с„ cos ns -f- dn sin ns)	B)
l
— разложения функций х (s) н ji(s) в ряды Фурье; по 14.43а
имеем
00
х' (s) = 2 (— пап sin ns -f- «Ь„ cos «s),
l
ею
з»' (s)=2 (— лсп s'n ns "Ь w^ncos л*)-
1
Поскольку [д:' (s)]a + [у' (s)f = 1 (9.63ж), используя /4.25 A),
находим
2л
C)
С другой стороны, применяя формулу 9.94 D) для площа-
площади G области, ограииченной замкнутой кривой, находим
с помощью 14.25 C)
G = \ J [xy' (s) -з»х' (s)] d5 = я ? я (aBdn - &„с„). D}
О	л=1
Используя равенства C) и D), получаем
«„-rfn)a + С*» + с„J + (я8-1) (ей + d*)\ > 0. E)

234	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	11*1.46
Таким образом, площадь О области, ограниченной любой
замкнутой линией длины 2я, не превосходит п. Допустим, что
в неравенстве E) имеет место знак равенства; тогда при
всех п — 1, 2, ...
В частности, при п > 1 мы должны иметь cn — dn = 0, откуда
при этих же й> 1 также и ап = Ь„ — О. Полагая л=1,
находим ап = й„, ?„ = — с„. Теперь из C) вытекает, что
al -f- Ь\ = 1, и мы можем положить сх = cos а, Ьг = sin а. Под-
Подставляя в A) и B), окончательно получаем
У («) = -§-+sin (s-a);
полученная кривая есть окружность радиуса 1 с центром
в точке (со/2, V2)-
Если полная длина кривой L равна не 2я, а числу / =^ 2я,
произведем преобразование подобия х' = 2пх,11, у' = 2яу//;
при этом кривая L перейдет в кривую V длины 2я (9.63д),
ограничивающую область площади О' = Bя//JО (9.61г, д).
По доказанному,
а в экстремальном случае, когда L' есть окружность радиуса
1, кривая L есть также окружность, радиуса //Bя).
14.46. Использование комплексного пере-
переменного. Будем обозначать точку единичной окружности
Q = \xa-\-y2= 1} с помощью комплексного переменного
z=дг + iy — e't, —я^С^^Гя. Положим, далее, f(t)z==F(z).
Ряд Фурье функции f(t) приобретает вид
f(t)=*F (z) - 2 с„«'"' = S v-	0)
— 00	— (Ю
Степенной ряд вида A) по положительным и отрицательным
степеням z (ряд Лорана) уже встречался нам в 10.45. Коэф-
Коэффициенты с„, выражаемые интегралами по t, можно выразить

14.47J	§ 14.4- вычисления с рядами фурье	235
и как интегралы по комплексному переменному г, испольауя
равенство
dz = ieadt~izdz.
Действительно,
*®е-шМ=± ф F(z)z-"~1dz. B)
Iz 1 = 1
Если функцию F(z) можно аналитически продолжить
внутрь единичного круга, то ряд Лорана, а вместе с ним
и ряд Фурье A), превращается в ряд Тейлора
о
оо
14.47. Пример. Вычислим сумму ряда
Можно написать
00
Ecos nt .
~7Г~ '
CD
С»
sin n< V eint
1	1	1
что приводит нашу задачу к задаче вычисления суммы
оо т	оо
^ -— или суммы 2^ — • Последний ряд получается почлен-
почленным интегрированием в пределах от 0 до z ряда
= 1~F-	<*>
о	ь
Известно A0.67), что
если взять в качестве пути интегрирования в ©-плоскости
линию, не пересекающую отрицательной вещественной полу-
полуоси, что.соответствует в ^-плоскости A — ? = о), линии, не
пересекающей участок вещественной положительной полуоси

236
ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
[14.47
1. Для наших целей будет достаточно интегрировать по
прямолинейным отрезкам [0, z] (что, в частности, обеспечит
однозначность функции — 1пA—-г)). Ряд A) сходится при
I ?| < 1, так что
— In A— z) = 2u- B)
i n
при \z\ < 1. Но ряд B)
сходится и при | z | = 1, z Ф \
F.63в); так как функция
1п A —z) остается непрерыв-
непрерывной в этих точках, то по тео-
теореме Абеля 6.67 равенство
B) сохраняется и для них.
Для любого w = | w |
мы имеем A0.57)
In w = In | w | -\-l arg w.
Рис. 14.3.
В частности, при z = en, Im z > 0 модуль и аргумент вели-
величины 1—z легко находятся из рис. 14.3. Именно,
далее,
In I 1 — 2| = l
In A —2Г) = 1П B Sin
откуда для t g @, 2я)
cosn?
1 /01 M V4 sin nf д—/
In B sin Tj. 2.—_=-_-
Последнее из приведенных равенств нам уже было известно
{14.426).

14.48]	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	237
14.48*. Задача о периодических решениях.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
(t) + a^-1' (*)+...+ amu (t) =g{t)	(I)
с постоянными коэффициентами и периодической правой
частью g(t) периода 2я. Спрашивается: существует ли у
этого уравнения решение u(t), также имеющее период 2я?
Будем искать решение в форме ряда Фурье
«й4«/И	B)
— 00
с неизвестными коэффициентами ик. Предполагая, что допу-
допустимо /в-кратное почленное дифференцирование ряда B), и
обозначая ав%т + al%m~1 -f-... + ат=/> (к), получаем
оо
2 ukP (Ik) е1ы = аои^ (t) + ... + ати (t).	C)
— 00
С другой стороны, пусть
есть разложение в ряд Фурье функции g(t). Сравнивая орто-
ортогональные разложения C) и D), находим для каждого k — 0,
±1, ±2,...
gk=p(tk)uk,
откуда при р (Ik) ф 0 получаем выражения для величин ик:
и тем самым вид решения
После этих наводящих соображений сформулируем сле-
следующие теоремы:
а. Пусть коэффициенты Фурье периодической функции g(t)
образуют абсолютно сходящийся ряд (например, ^{i)'—ку-
^{i)'—кусочно-гладкая функция). Если p(tk) не обращается в нуль

238	ТЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	A4.48
при ft = 0, ±1, ±2, ..., то уравнение A) имеет периодическое
решение, притом единственное.
Действительно, в указанном случае многочлен р (ik) сте-
степени m допускает оценку снизу
\Р(О)\>С, \p(ik)\>c\k\" (A»±l, ±2, ...)•
Отсюда
P(ik)
В силу 14.44а функция и(^), определяемая равенством E),
имеет непрерывные производные до порядка ш, и эти произ-
производные могут быть получены почленным дифференцированием
ряда E). Подставляя их в уравнение A), видим, что оно
удовлетворяется. Если, кроме найденного, есть еще одно
периодическое решение уравнения A), то их разность v(t)
есть периодическое решение уравнения
aBv™ (t) + a^-1' @ + .... + amv (t) = 0.	F)
Но мы знаем общее решение уравнения F): оно выра-
жается через функции вида ext, где р(%) — 0 A3.18). Эти
экспоненты могут привести к 2я-периодическим решениям,
лишь если k*=ik(k = O, ±1, ±2, ...). Так как по условию
ни одно из этих равенств не имеет места, то нет и перио-
периодических решений уравнения F), кроме тождественно равного
нулю. Отсюда вытекает единственность периодического реше-
решения уравнения A) в наших предположениях.
б. Если р (ik) = 0, при некоторых целых k = klt .. .,kr,
то уравнение A) имеет 2п-периодическое решение тогда и
только тогда, когда gk, = 0 (j = 1, ..., г) (в прежнем предполо-
предположении относительно абсолютной сходимости ряда из чисел gky,
это решение определено с точностью до слагаемого 2 с/е *»
где Cj—произвольные постоянные.
Действительно, если gk=O(j=\	г), то выражение
E), где в качестве коэффициентов ... % (в данном случае
имеющих вид 0/0) взяты произвольные постоянные су-, так же
как иве, является периодическим решением уравнения A).
Если же для некоторого k = q имеем р (iq) = 0, bq Ф 0, то,
подставляя предполагаемое решение в уравнение A) и ска-

H.49J	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	239
яярно умножая получающееся тождество на e~igt, получаем
p(iq) = bg==.O. Это означает, что в данном случае у урав-
уравнения A) нет периодических решений. Последнее утверж-
утверждение теоремы доказывается аналогично соответствующему
месту в а.
14.49*. Из многочисленных приложений рядов Фурье
в задачах математической физики мы приведем два, именно,
решение задачи о колебаниях однородной струны и решение
задачи о фигуре равновесия
круглой мембраны.
а. Предположим, что стру-
струна закреплена в точках 0 и я
оси х и в положении равнове- и
сия располагается по отрезку	Рис. 14.4.
[О, я] (рис. 14.4). Если придать
струне произвольную начальную форму, заданную, например,
функцией f{x), и затем отпустить, струна начнет колебатьсй.
Требуется найти функцию и (t, x), дающую форму струны
в момент времени t. Уравнение для функции и (t, x) выво-
выводится в математической физике; при некоторых упроща-
упрощающих предположениях оно имеет вид
u(t,
дх*
где а—постоянная. Уравнение A) требуется решить, учиты-
учитывая следующие начальные условия:
1)	и@, х)—/(х) (задана начальная форма);
2)	—L' = 0 (струна отпущена без начальной скорости).
Будем решать задачу с помощью ряда Фурье. Именно,
функцию и (t, x), определенную при каждом фиксированном
t~^0 на отрезке [0, я], разложим в ряд Фурье по функ-
функциям sin nx:
00
u{t, х) =%bn(t) sin пх.	B)
Коэффициенты bn (t) подлежат определению. Начальные усло-
условия 1)—2) во всяком случае будут удовлетворены, если
функции bn (t) таковы, что:
3)	bn(O) = bn—коэффициент Фурье функции /(х);
4)	«,@) = 0.

240	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.49
Теперь мы должны подчинить функцию B) уравнению A).
Формально,
00
^^ ^	C)
nx.	D)
Уравнение A) удовлетворится, если при каждом п = 1, 2, ...
Решение уравнения E) при начальных условиях 3) — 4)
имеет вид
bn(t) = bn cos ant,	F)
и решение B) окончательно записывается в виде
О)
и (t, x) = ^bncos ant sin nx.	G)
i
Произведенные нами формальные дифференцирования C) —D)
будут оправданы, если соответствующие ряды справа равно-
равномерно сходятся. Учитывая F), мы видим, что для этого
достаточно равномерной сходимости ряда
09
2 bnn2 cos a nt sin nx
i
на отрезке О^лс^зх; в свою очередь для этого достаточно,
се
чтобы сходился ряд 21 bn \ пг. Последний ряд сходится, если
функция f(x) непрерывна вместе с первой и второй произ-
производными и ее третья производная кусочно-непрерывна
A4.44а).
Впрочем, решению G) можно придать вид, в котором от
функции f(x) не требуется никакой гладкости. Именно,
мы имеем
u(t, x) = Y^Li bn [sin n(x+at) + sin n(x—at)] =*
= y[/(* +«*)+/(*-«')]•	(8)

14.49]	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	241
Здесь под f(x-\-at) и f(x—at) в случае, когда аргумент
x-\-at (или х—at) выходит за пределы исходной области
определения [0, п] функции f(x), понимается результат не-
нечетного продолжения функции f(x) на отрезок [—я, а]
и последующего 2зх-периодического продолжения на всю
ось — оо < х < оо.
При этом встает вопрос о том, в каком смысле функция
(8) удовлетворяет уравнению A), если функция f(x) не об-
обладает производными второго порядка. С такого рода вопро-
вопросами математическая физика справляется без особого труда
путем расширения самого определения «решения»; мы не
будем здесь на этом останавливаться*). На рис. 14.5 по-
показаны последовательные положения струны, определенные
по формуле (8), при начальном положении, помещенном под
номером 1.
©	©	©	©
А . /л .ал
Н \—> I ¦>	1 |-^ |-^	1 \J V \	1
©	©	©
\7	\7
©
Рис. 14.5.
б. Фигура равновесия круглой мембраны.
Предположим, что мембрана располагается над кругом
Q = jjc2+У ^ 1} и на окружности Т = {хг+у2 = 1\ закреп-
закреплена по профилю, заданному непрерывной функцией z=/(t)
от полярного, угла /. В положении равновесия (под действием
сил упругости) мембрана принимает форму, описываемую
некоторой функцией z = u(x,у) (рис. 14.6). Уравнение для
этой функции выводится в математической физике; прн
*) См., например, И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях
с частными производными, Физматгнз, 1961 C изд.), гл. II, § 9.

242
ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
[14.49
некоторых упрощающих предположениях это есть уравнение
Лапласа	&и д*и
Требуется найти решение и (х, у) уравнения (9), непре-
непрерывное во всем круге Q (такие функции называются гармо-
гармоническими; ср. 10.18) и на линии
Г совпадающее с заданной функ-
функцией /(*).
Чтобы найти такое решение,
напишем разложение функции/(I)
в ряд Фурье:
Рис. 14.6.
bn slant).
Знак ~ мы пишем здесь потому, что ряд Фурье данной
функции f(t) может к ней и не сходиться (как мы убе-
убедимся в 14.51). Положим в полярных координатах t, r
«(г, t) = f + Ц г» (ап cos nt + Ъ„ sin nt) (r < 1). A0)
Функция и (г, t) есть вещественная часть аналитической
функции	а
у
-^п)-2" (г=|*|<1)
(И)
и потому внутри круга Q удовлетворяет уравнению Лапласа
A0.18). Проверим, что выполняются и остальные условия.
Подставляя выражения коэффициентов Фурье, получаем
в> л
+—^ \ /(х) (cos nt cos nx + sin nt sin ят) ru dx
1

14.49J	§ 14.4. вычисления с рядами фурье	243
Здесь можно внести знак суммы под знак интеграла
ввиду равномерной по t сходимости ряда в фигурных скобках,
имеющей место при г < 1 в силу признака Вейерштрасса
6.53.
Согласно 6.47е мы имеем
l—2rcos6+r^ 2 2A—5
Отсюда
1
-я
A2)
где
эта функция называется ядром Пуассона.
Поскольку знаменатель ядра Пуассона можно записать
в виде
само ядро, очевидно, неотрицательно. Проверим, что оно
обладает свойствами дельта-образной функции от t при г —»¦ 1.
Полагая в A2) /(/)==1, получаем из A0) «(г, ?) = 1, и,
следовательно,
л
5 Pr{x)dx=*\.
-л
Далее, при любом 6 > 0 имеет место оценка
4rsinaT
Г Prw*<-»^ Г 	*	?
de	mieA-r)a+4rsinI1T

244	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
откуда следует, что
litn
'-ЧчХ*
Применяя теорему 12.45ж о дельта-образных функциях,
мы получаем, что функция и (г, t), дополненная значениями
f(t) на линии Г, является непрерывной в круге Q, что и
требуется.
В теории уравнений с частными производными доказы-
доказывается и единственность найденного решения в классе всех
гармонических функций *).
в. Задача о мембране приводит и к чисто математическим
результатам. Пусть и (г, t)—гармоническая функция внутри
круга {г^1}, принимающая на окружности г = 1 данные
непрерывные значения f(t). По доказанному в б, с учетом
замечания о единственности, она представляется при г < 1
интегралом Пуассона A2). Так как коэффициенты Фурье ап
н Ьп функции f(t) при п —»¦ оо стремятся к нулю, то ряд
Тейлора A1) также имеет радиус сходимости не меньше 1,
и, следовательно, представляет в круге г < 1 аналитическую
функцию, у которой функция A2) (т. е. заданная гармони-
гармоническая функция) есть вещественная часть. Мнимая же часть
ряда A1) дает нам гармоническую функцию v(r, t), сопря-
сопряженную к и (г, /). Таким образом, всякая гармоническая
функция обладает сопряженной гармонической функцией.
Явный вид функции v(r, t) получится, если и ядро Пуассона
Pr(t) в формуле A2) мы заменим на сопряженную гармони-
гармоническую функцию. Таковой служит сумма сопряженных функ-
функций к членам ряда A0), а именно,
GO
, . . 1	г sin/
F.47е). Итак, для искомой функции v(r, t) мы получаем
формулу
*) См., например, И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях
с частными производными, Физматгиз, 1961 C изд.), гл. III, § 28.

14.61]	§ 14.6. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ	245
§ 14.5. Расходимость рядов Фурье
и обобщенное суммирование
14.61. Если f(t) — непрерывная функция, то вопрос о
сходимости симметричных сумм ее ряда Фурье, без предпо-
предположения о выполнении условия Дини, остается у нас пока
открытым. Оказывается, что существуют непрерывные функ-
функций, у которых симметричные суммы ряда Фурье расходятся
(хотя бы в отдельных точках). Этот факт в конечном счете
вытекает из того обстоятельства, что ядра Дирихле не обра-
образуют дельта-образную последовательность, точнее, из того,
что
sup
" -л
как мы это сейчас увидим.
Как мы знаем, значение симметричной частной суммы
sn(t) ряда Фурье функции f(t) можно записать в форме
14.37 A)
я
*»(/. 0= S f(t + h)Dn(h)dh,
-л
где
sin
(л +-~) h
	М-
"n\">~2n . h
Sln"
Положим для простоты /==0, так что
я
*»</. 0)= \f(h)Dn(h)dh,
-л
Перед нами последовательность линейных функционалов
на банаховом пространстве CS(Q) всех комплекснозначных
непрерывных функций на [—зх, л]. Мы убедимся сейчас, что
нормы этих функционалов, т. е. числа
л
\\Dn{h)\dh,

246
ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
[14.51
A2.61н) стремятся к бесконечности. Отсюда на основании
теоремы Банаха — Штейнгауза A2.64а) будет следовать, что
существует элемент пространства С (Q),— т. е. непрерывная
функция /0(t),— для которой числа «п(/0, О) не ограничены.
Но это означает, что ряд Фурье функции fo(t) в точке ? = 0
не является (даже симметрично) сходящимся.
Итак, дело приводится к установлению соотношения
sup 5
и -л
Используя неравенство sin -5- =
написать
sin
), мы можем
sin •
dh.
Сделаем подстановку (л-{- 1/2) Л = г; тогда мы получим
Последняя величина неограниченно возрастает прн п —>¦ со
в силу расходимости несобственного интеграла от | sin / \/t в
промежутке @, оо) A1.16а).
Тем самым наше построение оправдано*).
Подчеркнем, что функция /0(t) с расходящимся рядом
Фурье существует в каждом шаре Up(g) = {f: ||/—й'Ц^р}
пространства CS(Q). Для каждой такой функции расходится
и ряд из модулей коэффициентов Фурье, поскольку из схо-
сходимости этого ряда по признаку Вейерштрасса вытекала бы
равномерная сходимость самого ряда Фурье.
*) В силу недавней теоремы Карлесона A966) для данной функции
f(t)?H(—я., л) точки расходимости ряда Фурье являются исключе-
исключением: при любом е > 0 все они могут быть покрыты счетиой системой
интервалов с суммой длин меньше е.

14.52]	§ 14.5. расходимость рядов фурьй	247
14.52. Возникает вопрос, нельзя ли исправить положение,
применив какие-либо методы суммирования расходящихся
рядов A2.66). Рассмотрим метод средних арифметических
(Чезаро), состоящий в переходе от исходной последователь-
последовательности Sj, Sj, ..., sn, ... к последовательности
°n=Sl+--n+Sn (я=1, 2, ...).
Здесь нас ожидает сразу же положительный результат:
Теорема (Л. Фейер, 1905). Для каждой функции f{t),
непрерывной на окружности Q={—я^^^зт}, последова-
последовательность симметричных частных сумм ряда Фурье sm(t) =
m
— 2 ckelkt равномерно сходится к f(t) на- Q в смысле
ft=—m
Чезаро, т. е. равномерно на Q
C-lim sm(/) = lim —
sm
-» со
Доказательство. Согласно 14.37
п
поэтому
п-1	л	п—1
ш—0	_Л	т=0
Далее,
( , 1\ , ¦
cos wft—cos (т-|-1) ft	 1 1—cosw&	 1	2

248	ГЛ. 14; ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	A4.53
Итак,
л	. , t—x
sin2 я ,
/(Т)	j~dX.	A)
sin»- x
Функция
sin * —
называется ядром Фейера. В отличие от ядра Дирихле, эта
функция неотрицательна. Далее, если /(^)^1, то sm(t)^\
и а„(/) = 1, и из A) следует, что
я
\Fn(h)dh=\.
-п
Наконец, при любом б > О
|Е|>6	|ft|>6	|h|>6Sm T
Таким образом, ядро Фейера обладает всеми свойствами
дельта-образной последовательности A2.45а). Применяя основ-
основную теорему 12.45г о дельта-образных последовательностях,
получаем, что а„ (t) —*f(i) равномерно по t^Q, что и тре-
требовалось.
14.53. Суммирование методом средних арифметических
есть частный случай суммирования с помощью матрицы
Теплица A2.66в). Естественно возникает вопрос, при каких
условиях на матрицу Теплица 71=||9„и|| она суммирует ряд
Фурье каждой непрерывной функции f(t) к значению самой
этой функции? Здесь нужно заметить, что матрицы Теплица
применялись нами к суммированию ограниченных последова-
последовательностей; но не всякая последовательность частных сумм
ряда Фурье для непрерывной функции ограничена A4.51);
поэтому мы рассмотрим только треугольные матрицы Теплица,
у которых в я-й строке не более п отличных от нуля эле-

14.53J	§ 14.5. расходимость рядов фурье	249
ментов и которые тем самым по любой числовой последова-
последовательности с = \сй, с1? с„, ...} позволяют строить функционалы
ж	п
m=fcO	mttO
По определению T-limcn = lim Tn(c), если последний суще-
существует.
Итак, пусть Т=»=||<7ПЯ>|| — треугольная матрица Теплица
и Q= supn 2j IQnm I • Пусть для некоторой функции f(t) мы
имеем
я
s(t)~{sm(t)\, «„(/)= \f(x)Dm(t-x)dx
•—последовательность симметричных частных сумм ряда
Фурье; через Dm(t) мы снова обозначаем ядро Дирнхле
sin(/n+—) t
\ t
sin —
Мы имеем
n	[ n
= S /Щ %QnnPm(t-
-n	\tn-l
где
Теорема (СМ. Никольский, 1948). Если существует
такая постоянная С >¦ 0, что для всех п = 0, 1,2, ...
A)

250
ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
A4.83
го lim Tn (s (t)) z= f (t) для всякой непрерывной функции f(t),
причем равномерно по tg[—я, я]. Если же такой постоян-
постоянной С не существует, то существует непрерывная функция
f(t), для которой величины Ta(s{t)) не имеют предела,
например, при t = 0.
Доказательство. При выполнении условия A) пока-
покажем, что ядра Qn{t) образуют дельта-образную последова-
последовательность.
Мы имеем, во-первых,
п	я
Qn (i) dt = Ji qnm J Dm (t) dt - f2i qnm -, 1 (л -^ oo)
в силу свойств ядра Дирихле и элементов матрицы Теплица.
Далее, при любом б > 0
J Qnit)dt = V qnm J Dn(i)dt
>в	ml	|<|>*
m=l
<
m=\
где
J
\
\t\>f>
При фиксированном б величина Dmi стремится к нулю,
когда т—*оо A4.32) и, следовательно, ограничена; положим
Dj = supZ)mg. Для заданного е>0 найдем номер т0 так,
m
чтобы при т^те иметь Dmi < e/{2Q). Найдя т0, выберем
число N так, чтобы при т^т0, п> N, иметь ^„„{^
^ е/B/яо?>8); это возможно в силу свойств элементов мат-
матрицы Теплица. Тогда при п > N
откуда следует, что
lim J
В соединении с A) получаем, что Qn(/) действительно
есть дельта-образная последовательность. Применяя основную
теорему о дельта-образных последовательностях 12.4Ьг, полу-

14.61]	§ 14.6. ДРУГИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	251
чаем равномерную сходимость последовательности Tn(s(t))
к f(t), и первая часть теоремы доказана. Вторая часть сле-
следует из теоремы Банаха — Штейнгауза тем же способом, каким
мы в 14.51 доказали существование непрерывной функции
с расходящимся в одной точке рядом Фурье.
Если получающееся ядро Qn(t) знакоположительно,
Qn(t)^Q, то условие A) всегда выполняется, как это видно
из первой строки нашего доказательства. В частности, именно
таково ядро Фейера A4.52).
14.54. Еще один вид обобщенного суммирования ряда
Фурье мы фактически применили в 14.496. А именно, как
мы там убедились, если
n slant)
есть ряд Фурье непрерывной функции f(t), то справедлива
формула
/(<) = liin fe + Z К cos nt + К sin nt) A .
Правую часть этого равенства можно трактовать как
некоторый прием для обобщенного суммирования ряда Фурье.
Этот прием рассматривают и для разрывных функций f(t),
хотя там получаются и не такие завершенные результаты.
Он называется обобщенным суммированием в смысле Пуас-
Пуассона.
§ 14.6. Другие ортогональные системы
14.61. Ортогонализация. Система тригонометри-
тригонометрических функций представляет собой сравнительно редкий
пример готовой ортогональной системы функций. Во многих
случаях ортогональные системы строятся из неортогональных
путем «процесса ортогоналнзации», описанного в 12.93ж.
Напомним его вкратце. Пусть в гильбертовом пространстве Н
(вещественном или комплексном) задана система векторов
Л> /»• ••¦> /«' •••> конечная или бесконечная, линейно
независимая в том смысле, что каждая конечная подсистема

252	гл. 14. ортогональные разложения	[14.62
Д	/„ линейно независима в обычном алгебраическом
смысле. Определяются векторы gv	, gn, ... с помощью
треугольной таблицы
& = a2lfl +Л.
Sn = O»i/i + О»«Л + «пз/з + • • • +/„,
Доказывается, что постоянные ujk в формулах A) можно
подобрать, и притом единственным образом, так, чтобы
векторы gv g2, ... были взаимно ортогональны.
14.62. Многочлены Лежандра. Рассмотрим в гиль-
гильбертовом пространстве Н (—1, 1) систему функций /0=е=1,
/j^= t, ..., fn = t", ... и применим к ней теорему
об ортогонализации. Так как функции 1, t, ..., tn,... ли-
линейно независимы, то условия этой теоремы выполнены. Под-
Подпространство Z.n = Z.(l, t, ..., t") есть совокупность всех
многочленов степени k^n. Функция gn(t) есть некоторый
многочлен степени п со старшим коэффициентом единица.
Оказывается, общая формула, дающая многочлен gn (t) при
любом п, следующая:
gn{f) = Cn[{P-\r]ln>.	A)
Для доказательства этого утверждения, учитывая ука-
указанную в 14.61 единственность, достаточно проверить, что
многочлен gn (t), очевидно, имеющий степень п, ортогонален
к функциям 1, t, ..., t"'1.
Лемма. Функция (t2—1)" равна 0 в точках 1 и —1
вместе с производными до порядка п—1 включительно; ее
производная порядка п в точках 1 и —1 отлична от 0.
Доказательство следует из представления (t2— 1)"=
= (t-\-l)n(t—1)" и формулы Лейбница 8.12 C) многократного
дифференцирования произведения. В частности,
[(/»_ l)»]o,i |/=] = [(/+1)" (/_ 1)»]<»> 1,_, =*2».я! B)
Теорема. Многочлен A) ортогонален в пространстве
Н(—1, 1) к функциям 1, t, ..., t" \

14.62]	§ 14.6. ДРУГИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
253
Доказательство. Интегрируя по частям, находим
при k < п
1
(tk, [(t2 — !)"]<">) = J tk[(t2 — l)n]<"> dt =
-l
1	1
—k
Внеинтегральный член по лемме обращается в нуль.
Оставшийся интеграл снова берем по частям и продолжаем
этот процесс, пока показатель при t не снизится до нуля:
—l) j tk~2[(t2 —
dt=..
- i
- I
= 0,
- I
что и требуется.
Для вычислительных целей удобнее заменить полученные
ортогональные функции им пропорциональными, принимаю-
принимающими при f=l значение единица. Чтобы достичь этого,
учитывая B), положим в A) Сп — \/Bпп\). Полученные после
этого многочлены
Рп @ = 2^1 [С2- 1)"]ы (л = 0, 1,2, ...)
и называются многочленами Лежандра.
В частности,
р0 (оя 1, Р1 @ = *, Р8 @=4
C)

254	гл. 14. ортогональные разложения	{14.63
14.63. Найдем норму полинома Лежандра Рп (t). Мы
имеем
1
-1
1 [С2- i)n]n+l[('2- DT
Внеинтегральный член по лемме обращается в нуль. Повто-
Повторяя интегрирование по частям до тех пор, пока порядок про-
производной во втором множителе подынтегрального выраже-
выражения не снизится до нуля, получаем:
I
-1
. Снова интегрируем по частям, снижая показатель степени
У *-1:
22n(n!J yv—ч п+х
- i
J
= 22" 2л+1 |
Итак,
1
J (t+\J«dt =

14.65]	§ 14.6. ДРУГИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	255
14.64. Р азложения по многочленам Ле-
Лежандра. Каждой функции f(t) ? Н(—1, 1) мы можем
сопоставить ее ряд Фурье—Лежандра:
00
п=0
Согласно 14.17 коэффициенты уп (коэффициенты Фурье—Ле-
Фурье—Лежандра) вычисляются по формулам
„ (Л Рп)_2п+1Г
Как и в 14.24 для классических рядов Фурье доказы-
доказывается, что ряд Фурье—Лежаидра A) сходится Kf(t) в сред-
среднем квадратичном:
П	1
= f l/W-S
f,	ft = 0
Имеет место равенство Парсеваля
14.65*. Приведем формулировку аналогов теорем § 14.3
о сходимости ряда Фурье — Лежандра в отдельных точках и
о равномерной его сходимости.
Частная сумма ряда Фурье—Лежандра приводится к виду
Функция
о
называется ядром Фурье—Лежандра. Оказывается, что здесь
можно произвести суммирование в явном виде; результатом

256	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ	[14.66
является тождество Кристоффеля — Дарбу (см. задачу 11)
Оперируя с ядром Фурье — Лежандра аналогично тому, как
мы оперировали с ядром Дирихле, можно доказать теорему:
если функция f(t) g H (— 1, 1) непрерывна при t = to?(—1,1)
и обладает конечной левой и конечной правой производными
f (te — 0) и /' (/0 + 0), то ряд Фурье—Лежандра 14.64 A)
сходится в точке t0 к значению f(t0). Эта сходимость рав-
равномерна на множестве Е с [— l-j-б, 1—б], на котором
/'('о — 0) и /'(^о + 0) ограничены. В точке разрыва 1-го рода
(по-прежнему с конечными значениями /' (t0 — 0) и /' (^0 + 0))
ряд 14.64 A) сходится к ^-[/('„-0)+/(*0 + 0)].
Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в книге Д. Джексона «Ряды Фурье и ортогональные
полиномы», ИЛ, М., 1948, гл. 2.
14.66. В качестве примера применения многочленов Ле-
Лежандра в математической физике укажем на следующую
задачу (ср. 14.496). Требуется решить уравнение Лапласа
д2и д*и д2и _
дх*^~ду* +дг2
в шаре г2 == *2-JO*2 + ?2 ^ 1, причем на границе шара, т. е.
при г=1, функция и должна принимать заданные значения
н=/@), зависящие только от угла 0 вектора \х, у, z\
с осью z. Оказывается, что решение получается так: сле-
следует функцию /@) разложить в ряд по многочленам Ле-
Лежандра от аргумента cos0:
о
тогда искомая функция и = и (г, 0) получается по формуле *)
u{r, 6) = 2d
0
т. III,
*) См.,.например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
"" часть 2, п. 136 (Гостехиздат, 1951).

I4.67J	§ 14.6. ДРУГИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	257
14.67. Другие ортогональные системы. В ма-
математической физике возникает много разных ортогональных
систем функций. Укажем наиболее часто встречающиеся
системы ортогональных многочленов. Все они получаются по
такому способу: в промежутке — оо^а^я^^^ + оо за-
задается неотрицательная функция р(х) («весовая функция»),
с помощью которой строится функциональное пространство
H [a> b] со скалярным произведением
Далее к функциям 1, х, л;2, ... применяется процесс орто-
гонализации, описанный общим образом в 14.61.
а.	При а — — 1, b=\, p(x)&sl получаются очевидно
многочлены Лежандра.
б.	При а = — 1,J> = 1, р{х)=* 1/jA—х2 получаются
многочлены Чебышева:
Тп (х) = cos (я arc cos х);
эти многочлены переходят в функции cos nt при замене пе-
переменного * = cosrf, причем пространство Hpix)(—1,1) ока-
оказывается изоморфным пространству Нг@, п).
в.	При й = 0, Ь=\, р(х) = л;9~1A —х)р~9 получаются
многочлены Якоби (гипергеометрические многочлены).
г.	Прий = — оо,Ь— оо, р(х) = е~** — многочлены Эрмита
д. При а —0, Ь—оо, р(х) — е~х—многочлены Лагерра
Существует также много ортогональных систем транс-
трансцендентных функций, возникающих в задачах о колебаниях
и в других задачах математической физики. См. книгу
Р. Курант—Д. Гильберт, «Методы математической
физики» т. 1, гл. 5. Общая теория ортогональных систем
функций рассмотрена в книгах С. Качмаж и Г. ШтеЙн-
гауз «Теория ортогональных рядов», Фнзматгиз, М., 1958,
и Г. Ллексич «Проблемы сходимости ортогональных
рядов», ИЛ, М., 1963.

258	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
ЗАДАЧИ
1. Разлагая в ряд Фурье нечетную функцию, равную я/4 при
О < х < я, получить равенства Эйлера
1+	+
J	1	1_ _1_ 1	___Я
5 ~ 7 "~11+13 + 17	7'
1.1 1.1
2. Разлагая в ряд Фурье четную функцию, равную х при 0 < х < я,
получить равенства Эйлера
4^9 16^~	12*
8. Просуммировать ряды Фурье
cos л; . cos 2х , , cos nx
а)
sin х , sin 2л: , , sinnx
4.	Если частные суммы ряда Фурье образуют в пространстве
С(—я, я) предкомпактное множество E.95а), то ряд Фурье равно-
равномерно сходится.
5.	Доказать сходимость симметричных сумм ряда Фурье в точке,
в окрестности которой разлагаемая функция / (л;) монотонна.
6.	(Продолжение.) Доказать, что симметричные суммы ряда Фурье
функции / (<) сходятся равномерно во всяком промежутке, внутреннем
по отношению к промежутку, на котором функция f(t) вепрерывна
и монотонна.
7.	Пусть функция f (t) удовлетворяет условиям
1 f(tf(t) /@) 0 /()/@ ft 2
) f()f(), /(
2)	/ (t) непрерывна;
3)	f @ при 0 < t < я/2 непрерывна и не возрастает;
4) lira fi-L/asO; иначе говоря, при <\0 отрезок, отсекаемый на
' \" / I"
оси ординат касательной к кривой y=f(t), эквивалентен ординате
в точке касания (рис. 14.7).
Показать, что в ряде Фурье функции f(t)

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
259
коэффициенты Ьп имеют вид
6„*=0 при п четном, 6
— 1 + е„ при п нечетном,
8.	Используя решение задачи 7, привести пример непрерывной
функции с не сходящимся абсолютно рядом из коэффициентов Фурье»
но с равномерно сходящимся на
[—it, it] рядом Фурье.
9.	Используя решение задачи 7,
привести пример функции / (<), для
которой ее ряд Фурье
равномерно сходится на [—я, я],
в то время как каждый из рядов
е„е"
о
2«-
Рис. 14.7.
имеет точки расходимости.
10. Пусть р (х) — весовая функция A4.67) и
—соответствующая последовательность ортонормированных многочле-
многочленов. Показать, что справедлива рекуррентная формула
Рп —Рп
11. (Продолжение.) Доказать тождество Кристоффеля—Дарбу
п
0)
12. (Продолжение.) Доказать, что многочлен Qn (t) (n > 1) имеет
нули в промежутке [а, Ь] и что число его нулей равно п.
Историческая справка
В споре о звучащей струне между Эйлером и Даламбером A750-е г.),
предметом которого был вопрос о том, что есть функция—аналити-
функция—аналитическое выражение, как полагал Даламбер, или произвольно начерчен-
начерченная линия, как считал Эйлер,—обсуждалось и предложение молодого
Д. Бернулли о возможности аналитического выражения любой ливии

260	ГЛ. 14. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
иа отрезке [0, 2л] рядом из синусов и косинусов кратных дуг. Эйлер
и Даламбер отвергли такую возможность, исходя из общих сообра-
соображений, каждый из своих (как оказалось впоследствии, при точном
определении функции, несправедливых), а со своей стороны Д. Бер-
нулли не имел правила для определения коэффициентов своего ряда.
Положение оставалось невыясненным до 1805 г., когда Ж. Б. Фурье
представил формулы для «коэффициентов Фурье» A4.21а).
Открытие Фурье произвело чрезвычайный эффект и на протяже-
протяжении всего XIX века считалось одной из самых замечательных теорем
анализа, хотя достигалось просто почленным интегрированием фор-
формально написанного тригонометрического ряда, умноженного на задан-
заданную тригонометрическую функцию. Не располагая точными определе-
определениями сходимости и интеграла, Фурье не смог доказать сходимость
ряда к разлагаемой функции. На основе соответствующих точных
определений (Коши, 1821) для кусочно-моиотонных функций, это
было сделано П. Дирихле A829). «Условие Диии» сформулировано
У. Дини в 1880 г. Первый пример расходимости ряда Фурье для
непрерывной функции был указан Дю-Буа-Раймондом A876). «Полино-
«Полиномы Лежандра» были введены Лежандром в 1785 г. в связи с реше-
решением уравнения Лапласа в сферических координатах. Однако
явная формула 14.62 C) была найдена лишь в 1815 г. Родригом.
Разложение по полиномам Лежандра дано Нейманом A862) для ана-
аналитических функций и Гобсоном A908) в общем случае. Со времени
появления работ Гильберта A906—1911) стало возможным, введя
понятие «гильбертова пространства», облечь теорию ортогональных
разложений в геометрическую форму.

ГЛАВА 15
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Стану ли я отказываться от своего обеда только по-
потому, что не полностью понимаю процесс пищеварения?
Оливер Хееисайд
§ 15.1. Интеграл Фурье и его обращение
15.11. Когда мы желаем представить периодическую
функцию ф (х) с периодом 2я в виде наложения чистых гар-
гармонических колебаний, мы обращаемся к ряду Фурье
00
— во
Если речь идет о функции с периодом 2nl, то соответст-
соответствующий ряд Фурье приобретает вид
B)
где коэффициенты ап определяются по формуле
1л	— <Я
я/
— <Я —у
-nl
_• JL
Формула (З) получается из B) умножением на с 'и ин-
интегрированием по а: в пределах от —я/ до я/.
Из B) и C) следует
-» -я/
Естественно попытаться совершить в формуле D) предель-
предельный переход при / —*¦ оо, с тем чтобы представить в виде
наложения гармонических колебаний по возможности любую
функцию q>(x), определенную на всей оси —оо < х < со.

262	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.12
Формальный переход к пределу приводит к формуле
E)
где символом а обозначен непрерывный аргумент, получаю-
получающийся из дискретного аргумента о„ = я//. Итак, искомая
формула разложения ф(л:) по гармоническим колебаниям
должна иметь вид
00
(p(x) = ~^(a)e^da,	F)
— СП
где
Jp(S «-**<$•	G)
формула G) встречалась нам уже раньше в главе о несоб-
несобственных интегралах A1.32); напомним, что функция т|з (а),
определенная по формуле G), называется преобразованием
Фурье (или интегралом Фурье) функции ф(л:). Формула F)
называется формулой обращения преобразования Фурье; го-
ворвд также; что она определяет обратное преобразование
Фурье. Обратное- преобразование Фурье F) отличается от
прямого G) по сути только знаком в показателе экспоненты
и коэффициентом 1/Bя).
15.12. Вместо того чтобы обосновывать законность пре-
предельного перехода к формуле 15.11 E), мы покажем непо-
непосредственно, что из 15.11 G) следует 15.11 E), в опреде-
определенных предположениях относительно функции <р (х).
Первое предположение состоит, естественно, в том, что
функция ф (л;) кусочно-непрерывна и абсолютно интегрируема
на всей оси —oo<^x<oo. Это обеспечивает существова-
существование интеграла 15.11 G) при любом значении а, — оо < о< оо.
Вот первое следствие указанного предположения: функ-
функция т|э(а) ограничена, непрерывна при всех о и при \а\ —»- оо
имеет пределом 0. Первое утверждение вытекает из оценки

15.13]
§ 15.1. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ЕГО ОБРАЩЕНИЕ
263
Из абсолютной интегрируемости функции ф (я) вытекает
равномерная сходимость интеграла Фурье 15.11 G) по па-
параметру о для всех а?( — оо, оо) на основании мажорант-
мажорантного признака A1.47а). Отсюда в силу теоремы 11.43 и не-
непрерывности функции е'л следует непрерывность функции т|з (a).
Для доказательства третьего утверждения для заданного
е > 0 найдем число А так, чтобы иметь
-А
Далее, для промежутка [—Л, А] применим лемму 14.32;
в силу этой леммы существует такое о0, что при |о|>-о0
имеет место неравенство
Отсюда при | о | > о0
S <р
-А
А
-А
что и требуется.
15.13. Прежде чем доказывать формулу 15.11 E), рас-
рассмотрим один специальный несобственный интеграл 3-го рода
eigt—e-ipt
i '
(P, q > 0).
Подынтегральная функция непрерывна на всей вещест-
вещественной оси (неопределенность при t — 0 легко раскрывается,
приводя к значению i(p-\-Q))- Сходимость интеграла 1рд

264	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
следует из 11.176. Вычислим его. Мы имеем
СО
С f cos gt—cos pt .sin^f .sinpf
[15.14
С
\
Т
cosgt-cos
di+ J jdt+i J	dt
— a>	—0>	—oo
Первый из интегралов обратился в нуль вследствие не-
нечетности подынтегральной функции, для вычисления второго
и третьего использована формула 11.33 A).
Аналогично можно написать равенство
-т	-т
Так как несобственный интеграл
at
-т
at.
Р sin
сходится равномерно по параметру a^a0 >0 A1.496), то
для любого е > 0 можно найти такое 7, что при всех/)^ 1,
~ и Т~^Тв справедливо неравенство
16.14. Переходя к доказательству формулы /5.// E),
сначала точно сформулируем доказываемое предложение:
Теорема. Пусть функция ,'ф(л;) кусочно-непрерывна,
абсолютно интегрируема на оси — оо < х < оо ы яры неко-
некотором значении х удовлетворяет условию Дини: существует
такое б > 0, что
A)
(х) == lim ^ J

15.14]	§ 16.1. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Н ЕГО ОБРАЩЕНИЕ	265
причем предел в правой части существует при р и q, стре-
стремящихся к бесконечности независимо друг от друга.
Доказательство. Для произвольных р > О, q > О
мы положим
Внутренний интеграл сходится равномерно по параметру
о, и в силу 11.44 порядок интегрирования по о и по | можно
изменить:
Последнее преобразование произведено путем замены пе-
переменного х—1 = /. Используя /5./5A), разность <рру g (x) —
— ф(л:) можно записать в виде
B)
Этот интеграл мы разобьем на две части:
со
ев 1-ет 1 +ая
Второе слагаемое можно представить в форме
Так как ф (>; + /) как функция от / абсолютно интегрируема,
etgt	f-ipt
а множитель	. при 11 \ ^ Т ^ 1 не превосходит по
модулю числа 2, уменьшаемое в D) стремится к нулю при
Т—*- оо независимо от значений р и q, например, ббльших 1.

266	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.15
Вычитаемое в D) также обладает этим свойством в силу
15.13 B).
Первое слагаемое в C) мы представим в форме
\t\<T
а так как функция	)~~*PW в промежутке 11 | ^ Т аб-
абсолютно интегрируема (условие Дини!), оно стремится к нулю
с возрастанием р и q по лемме 14.32. Отсюда
llm Ц>р,д(х) = ц>(х),	E)
q '-»¦ оо
что и требовалось.
Полученное доказательство дает и равномерную сходи-
сходимость интеграла A) по параметру х, пробегающему ограни-
ограниченное множество Е на оси—оо < х < оо, на котором
условие Дини выполняется равномерно A4.35); доказатель-
доказательство проводится тем же путем, что и доказательство соот-
соответствующей теоремы для рядов Фурье.
15.15. Если условие Дини в какой-либо точке х0 не вы-
выполняется, то теорема 15.14 уже не действует, и интеграл
Фурье для функции ф (я) может и не сходиться. Как и в слу-
случае ряда Фурье, можно рассчитывать на выполнение соот-
соотношения
<pW = llm<p,,e(xe)=- llm ± \ И «рфе'**^! do
лишь при каком-либо обобщении предельного перехода.
Прежде всего рассмотрим симметричный «частный интеграл»
dl\da-
-р V-«	)
Будем обозначать его в дальнейшем через <Рр (х). Из
15.14 B) для typ(x) получаем представление
A)

15.16]	§ 15.1. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ЕГО ОБРАЩЕНИЕ
267
Имеет место теорема, доказательство которой вполне
аналогично доказательству теоремы 14.38:
Теорема. Пусть х0 есть точка разрыва 1-го рода
функции ф(*), так что существуют значения ф(д;0—0) и
ф(хо-г0). Если выполняются односторонние условия Дини,
т. е. при некотором б > 0 сходятся интегралы
"f
ф(*)—ф(*о—0)
хЛ — б
dx,
ТО
15.16. Теперь рассмотрим вопрос о средних арифметиче-
арифметических интеграла Фурье, по аналогии с тем, как это было
сделано для средних арифметических ряда Фурье в 14.52,
не предполагая выполнения условия Дини. Вместо среднего
арифметического симметричных сумм ряда Фурье мы рассмо-
рассмотрим, естественно, среднее интегральное симметричных ин-
интегралов (рр(х) A5.15)
N
A)
Подставляя значение ф„(лг) из формулы 15.16 A), находим:
_ 1 Г ф(х+0 1 —cos Nt . _
3
sin* -s- f
dt.

268	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.16
Выражение
называется ядром Фейера для интеграла Фурье. Ядро Фейера
обладает следующими свойствами:
2)	) FN{t)dt=\;
— 00
3)	\ Fи (t) dt—>¦ 0 при N—- oo и любом фиксирован-
фиксированное
ном б > 0.
Неравенство 1) очевидно. Равенство 2) мы получили в 11.496.
Соотношение 3) следует из оценки
dt 4
Из равенства 2) вытекает соотношение
C)
Мы докажем следующую теорему:
Теорема. Если функция <р (д;) абсолютно интегрируема
и равномерно непрерывна на множестве Е с Rx *), то сред-
средние арифметические о# (х) ее интеграла Фурье равномерно
сходятся к ц>(х) на Е.
Доказательство. Для заданного е > 0 найдем б > О
так, чтобы из 111 < б, х g Е следовало | ф (х +1)—<р (д;) | < е/2.
*) Последнее означает: для любого е > 0 существует такое 6 > О,
что при любом х?Е и t?Rt из 111 < 6 следует
Подчеркнем, что в этом определении точка x-{-t не обязана лежать
в множестве Е.

I5.I7J § 15.2. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ	269
Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, находим:
СО
| \ FN(t)dt + 2 sup |Ф(х)| С FN(t)dt.
Первое слагаемое при любом N не превосходит е/2, вто-
второе становится < е/2 при достаточно большом N, скажем,
при N > No. В итоге при N > ЛГ0 получаем для любого х ^
чем теорема и доказана.
15.17. Как следствие, получается теорема о единствен-
единственности преобразования Фурье:
Если преобразование Фурье ijj (а) абсолютно интегрируем
мой и кусочно-непрерывной на оси — оо < х < оо функции
ф (х) равно нулю при всех а, то и ц> (х) = 0, за исключением,
возможно, множества, не имеющего конечных предельных
точек на оси х.
Действительно, в этом случае \|з(о) = 0, ф„(л:) = 0,
(ТдгДОгнО и, следовательно, ф(*)= lim aN(x)~0 внутри
N-+ оо
всякого конечного промежутка, где ф (я) непрерывна; по-
поскольку точки разрыва функции ф(д;) образуют на каждом
отрезке оси х самое большее конечное множество, это я
доказывает утверждение.
15.2. Дальнейшие свойства интеграла Фурье
Далее мы будем оператор Фурье обозначать символом F:

270	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.21
Обращение интеграла Фурье будем обозначать символом F~lm.
15.21. Связь между убыванием функции ф(д;)
при \х\—>¦ со и гладкостью ее преобразования
Фурье. Мы знаем, что преобразование Фурье г|э (о) абсо-
абсолютно интегрируемой функции ф(х) есть ограниченная не-
непрерывная функция от а, —оо < а < оо, стремящаяся к нулю
при | а | —>¦ оо. Предположим теперь, что не только ф (х), но
и хц>(х)—абсолютно интегрируемая функция на оси —оо <
< х ¦< оо. Тогда можно утверждать, что функция ф (а) диффе-
дифференцируема. Действительно, формальное дифференцирование
по параметру а интеграла Фурье
— СО
приводит к интегралу
со
— / $ X(p(x)e~lexdx,
— or
который является абсолютно сходящимся и равномерно схо-
сходящимся по параметру а. В силу теоремы 11.45а функция -ф (а)
дифференцируема и
\J/ (a) = — i ] хф (х) е-'°х dx.
— CO
Мы получаем выразительную формулу
A)
показывающую, что операция умножения на х переходит
после преобразования Фурье в операцию /-г-. Как преобра-
преобразование абсолютно интегрируемой функции, функция г]/ (о)
снова непрерывна, ограничена и стремится к 0 при | а | —* оо.
Если вместе с функцией ф (х) абсолютно интегрируемыми на
оси х являются и функции хц>{х), х\ (х), ..., хтц> (х), то
процесс дифференцирования можно продолжить; мы получим,
что функция ф (а) = F [ф] имеет производные до порядка т,

15.22] § 15.2. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ	271
непрерывные, ограниченные и стремящиеся к нулю при
|а| —>-оо, и имеет место формула
/*/*» [ф] - F [х*ф] (k = 0, 1	т).	B)
Если все произведения хтц>{х) абсолютно интегрируемы
(/я = 0, 1, ...), то функция F [ф] ¦= г]; (а) имеет производные
по а всех порядков и каждая из ее производных непрерывна
и стремится к нулю при | а | —>- оо.
Мы видим, что чем более сильные условия убывания на
бесконечности мы накладываем на функцию ф (х)у тем более
гладкой получается функция -ф (а).
15.22. Посмотрим, как будут улучшаться свойства глад-
гладкости функции г]; (а) при наложении дальнейших ограничений
на поведение функции ф(х) на бесконечности.
а. Пусть интегрируемым является произведение ф(х)е61*1,
где b > 0—фиксированная постоянная. Можно утверждать,
что в этом случае преобразование Фурьер (а) функции (р(х)—
не только бесконечно дифференцируемая функция, но и ана-
аналитическая. Действительно, интеграл Фурье
¦ф (а) = J ф (х) e~iax их
— 00
теперь определен не только для вещественных, но и для
некоторых комплексных а: если положить s*=o-\-ix (cf, т
вещественны), то мы получим
00	00
¦ф (а+ix) = \ ф (х) е-1°хе™йх^ \ ф (х) e~ls* dx, A)
— 00	—00
и интеграл сходится при | т | ^ Ь, т. е. в целой горизонталь-
горизонтальной полосе s-плоскости. Полученная функция комплексного
переменного s аналитична во всякой внутренней точке этой
полосы; действительно, интеграл равномерно сходится в не-
некоторой окрестности точки s (не выходящей за пределы ука-
указанной полосы), что дает возможность применить теорему
11.456. Функция г]; (s) ограничена во всей указанной полосе,
поскольку

272
ГЛ. 16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
fIB.22
Можно утверждать, что функция ч|з (s) = г|з (а + it) при
а —»¦ ± оо стремится к нулю равномерно по т, | т | ^ ft.
Доказательство требует небольшого уточнения рассужде-
рассуждений, приведенных в 15.12. А именно, так как функция
<p(x)e6l*l абсолютно интегрируема, мы можем для заданного
е > О найти число А так, чтобы иметь
-А	ф
Рассмотрим интеграл
-А	-А
По неравенству /4.32 E) он допускает оценку
А
Ф (х) е-"' их
J
< 2Л ш
[Ф (х) е**,
^, B)
где через ю (г];, 8) обозначено колебание функции -ф (х) на
ее промежутках непрерывности, NA — число таких промежут-
промежутков у функции ф (х) на отрезке [—А, А], а МА= sup | ф (х) | ezx.
\\<А
Первое слагаемое в правой части B) при
восходит {5.17г) величины
не пре-
пре, ^] ^ тад | Ф (х) |,
которая стремится к 0 при | о | —»¦ оо независимо от значе-
значения t, |т|^#. То же имеет место, очевидно, для второго
слагаемого в B). Мы можем найти а0 так, чтобы при | а \ > а0,
||^^ имело место неравенство
<p{x)e~lsxdx
-А
<*¦

15.23] § 15.2. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ	273
Отсюда при |сг|>о0, как и в 15.12, мы получаем
03
q>(x)e~is* dx
— 00
что и требуется.
б. Предположим, далее, что интегрируемо произведение
функции ф(х) на e6l-*l при любом Ь. Тогда функция i])(s)
определена и аналитична в любой полосе | т | ^ Ь, т. е. яв-
является целой аналитической функцией; эта целая функция
по доказанному в любой полосе | т | ^ b остается ограничен-
ограниченной (с оценкой, зависящей от Ь) и равномерно стремящейся
к нулю при а —»- ± оо.
15.23. Можно рассмотреть функции ф(х), еще более
сильно убывающие на бесконечности, именно такие, для ко-
которых интегрируемо произведение ц>(х)еим, где М(х) воз-
возрастает быстрее любой линейной функции. Удобно будет
взять функцию М(х) в виде
@<x<oo),	A)
где \i (|) — возрастающая непрерывная функция, причем
ji@) = 0, jx(oo) = oo, а для отрицательных х положить
М(х) — М{—х).
В этом случае для описания свойств преобразования
Фурье функции ф (х) можно использовать функцию Q (т),
двойственную по Юнгу по отношению к функции М(х).
Именно, двойственной по Юнгу по отношению к функции М (х)
называется функция Q(т), определяемая равенствами
@<т<оо), Q(_x) = fi(t), B)
где %{t) — функция, обратная к функции \i (|). Функции
двойственные по Юнгу, связаны неравенством Юнга (9.61з):
(x>0, т>0).	C)

274	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.23
Теорема. Если ф (х)—кусочно-непрерывная функция,
для которой конечен интеграл
(х) | ем <*> их,	D)
то преобразование Фурье -ф (s) функции ф (х) есть целая
аналитическая функция, удовлетворяющая неравенству
.	E)
Доказательство. То, что функция я|э (s) — целая
аналитическая, следует из 15.226. Далее, мы имеем
ф(х)е-/('+'т)*йл;
Применяя в показателе неравенство Юнга C), заменяя
в нем х на | х | и т на | т |, мы получим
откуда
чем теорема и доказана.
Например, беря функцию ф (х), удовлетворяющую условию
00	I
SI JP |Р
еР dx<oo, p>\,
находим, что соответствующая функция -ф (s) удовлетворяет
неравенству
U|9
поскольку функцией, двойственной по Юнгу к —л:^, являет-
является — хч (9.61з). Заметим, что числа р и q оба превос-

15.24] § 15.2. дальнейшие свойства интеграла фурье 275
ходят 1, но меняются в противоположных направлениях:
если р увеличивается, то q уменьшается, и если р —* оо,
то q —> 1.
15.24. Предположим, наконец, что интегрируемо произ-
произведение ф (х) на любую возрастающую функцию от | х |.
Этим свойством обладают финитные функции ф (х) (обра-
(обращающиеся почти всюду в нуль вне некоторого промежутка
|x|<Ia) и, как легко убедиться, то'лько такие функции.
Итак, допустим, что ф(х) обращается в нуль при \х\"^а.
Тогда преобразование Фурье
= J <f(x)e-'s*dx
есть целая аналитическая функция от s и в s-щюскости
ода допускает следующую оценку:
A)
г"де С= J |ф(х)|Ле. Аналитическая функция i|)(s), удов-
—а
летворяющая неравенству A), называется целой функцией
конечного экспоненциального типа <[ а.
Таким образом, чем быстрее убывает функция ф (х) на
бесконечности, тем «глаже» становится ее преобразование
Фурье г]; (а). Начиная от непрерывных функций г]; (а), мы
прошли через конечно дифференцируемые, бесконечно диф-
дифференцируемые, аналитические в полосе, в плоскости и
дошли до аналитических функций конечного экспоненциаль-
экспоненциального типа. Это—предел гладкости для функций, стремя-
стремящихся к нулю в обе стороны по вещественной оси (мы
знаем, что этим последним свойством всегда обладают пре-
преобразования Фурье интегрируемых функций); известно, что
не существует отличных от нуля целых аналитических функ-
функций конечного экспоненциального типа, стремящихся к нулю
по оси абсцисс и имеющих в плоскости более медленный
рост, чем ев|т' при любом а>0 (см. задачу 24 к гл. 10).

276	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	fI5.25
15.25. Теперь мы пойдем в нашем исследовании в ином
направлении: вместо того чтобы налагать на функцию ф (х)
условия все более сильного убывания, мы будем налагать
на нее условия все.более сильной гладкости. В свете ре-
результатов 15.21—15.24 мы вправе ожидать, что при этом
преобразование Фурье функции ф (х) будет подчиняться
условиям все более сильного убывания.
Предположим, что абсолютно интегрируемая функция
ф(х) непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную,
также абсолютно интегрируемую на оси — оо < х <С оо.
Отсюда прежде всего следует, что
ф(*)=ф@)+$ф'
имеет предел при х—*оо; этот предел может быть только
нулем, так как иначе ф (х) не была бы интегрируемой. То
же относится к случаю х—»•—оо. Далее, интегрируя по
частям, получаем:
'] = J <p'(x)e-lx°dx =
= ф (х) e~lx° |"e + /с J ф (х) е'1*"dx.
— OS
По доказанному, внеинтегральный член равен нулю; мы по-
получаем равенство
Иными словами, дифференцирование функции ф (х) отвечает
умножению функции ty(c) = F[<p] на множитель ia. Так как
^"[ф'С*)] как преобразование Фурье интегрируемой функции
есть ограниченная функция от а (и даже стремящаяся
к нулю при |сг|—*¦ оо), то для F[<p(x)] мы получаем оценку
Таким образом, в данном случае функция г]; (о") не просто
стремится к нулю при |а|—»-оо, но стремится к нулю
быстрее, чем 1/|<т|. Если у функции ф(дг) абсолютно интег-

15.26] § 15.2. дальнейшие свойства интеграла фурье 277
рируемы производные до порядка т, то, повторяя процесс,
получаем
F[q>«>(x)] = (io)kF[<f] (А = 0, 1, ...,»).	A)
Аналогично предыдущему, мы получаем оценку
Итак, чем больше функция ф (х) имеет интегрируемых произ-1
водных, тем быстрее ее преобразование Фурье стремится
к нулю на бесконечности.
В частности, при некоторой гладкости функции ф (х) ее
преобразование Фурье tf (а) становится также абсолютно
интегрируемой функцией. Из неравенства B) видно, что для
этого достаточно существования и абсолютной интегри-
интегрируемости ф, ф' И ф".
Если ф(й) (х) существует и абсолютно интегрируема при
каждом k = 0, 1, 2, ... , то функция г]; (а) убывает при
|о | —* оо быстрее любой фу нкции 1 /| о |й.
15.26.а. Теперь предположим, что функция ф (х) не
только бесконечно дифференцируема, но и аналитична в. не-
некоторой полосе |_y|^fr плоскости комплексного переменного
z = x-\-iy. Далее, предположим, что существует функция
Ф (х), такая, что
lim ф(х) = 0, [ O(x)dx<oo	A)
1*1-»	-«
и при любом у, | у | <! Ь,
B)
Мы увидим (в), что при этом преобразование Фурье
функции ф(х) окажется экспоненциально убывающей
функцией.
б. Вначале установим следующую лемму, относящуюся
к теории аналитических функций:
Лемма. Если функция f(z) аналитична в полосе
| у | < b и удовлетворяет в ней неравенству
C)

278
ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[15.26
(где Ф(х)—функция, удовлетворяющая условиям A)), то
интеграл
со
)dx	D)
не зависит от значения у, \у\ <.Ь.
Доказательство. Существование интеграла D) сле-
следует непосредственно из непрерывности функции f(x + ty) no
х и оценок A) и C). Пусть теперь ух <у2—любые два числа
в интервале (—b, b). Рассмотрим замкнутый контур L = ABCD,
показанный на рис. 15.1. По
теореме Коши 10.32
в
в
А
Уг
У1
Ь
-ь
С
В
Рис. 15.1.
= 0. E)
Пусть—R и R—абсциссы точек А и В. Тогда
\f(z)dz
эта величина стремится к 0 при R—>¦ оо, и точно так же
при R -*¦ оо стремится к 0 интеграл
\f(z)dz.
D
Оставшиеся два интеграла имеют при R -*¦ оо пределы
iyjdx и — J
dx.

284	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.31
§ 15.3. Примеры и приложения
Вначале, в 15.31—15.32, мы рассмотрим некоторые при-
примеры преобразований Фурье.
15.31. Преобразование Фурье дробно-рациональной
функции
4W- ьо+Ь1Х+...+Ь„х« '
где т < п—1, мы вычисляли в 11.326 методом контурного
интегрирования. Используя теорему 15.26в и аналитичность
функции Q(z) в некоторой полосе |_y|^Ift (свободной от
нулей знаменателя), можно было бы предсказать, что
F [Q (х)] при | а | —»¦ оо экспоненциально убывает; впрочем,
поскольку /^[QCx)] явно вычислено, в этом уже нет надоб-
надобности.
15.32. Найдем преобразование Фурье if (о) от функ-
функции ф(х) = е"й*2, а>0.
Эта функция аналитически продолжается во всю пло-
плоскость z — x-\-iy с оценкой
поэтому в силу 15.266 при вычислении преобразования
Фурье мы можем перейти в плоскости z с оси х на любую
параллельную прямую:
ф (а) = \ е~а 1*+1уРе-1' <*+<у> их =
— 00
00	00
?_ С g-axP+ajp+ey-iaixy-iax tfx== еауг+ау \ е~ахг-
— 00	— 00
Положим у — —а/Bа); тогда ау2-\-ау^—а2/Dа) и по фор-
формуле 11.56 B)
'о
= — e
В частности, для (^(х) = е~х^2 (а = 1/2) получаем

280	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.27
16.27. Пусть, далее, ц>(х) есть целая аналитическая
функция, допускающая в каждой полосе |у | ^ Ъ оценку
с некоторой функцией
у
GO0=$M4)Ai @<_у<оо), Q(—у) = п(у),
о
где Я, (г\) — возрастающая непрерывная функция, причем
М
Функция Фь (х) предполагается при каждом b удовлет-
удовлетворяющей в полосе |jf|<;& условиям 15.26 A).
Пусть М(а) есть функция, двойственная по Юнгу
к функции Q{y):
где fi (|)—функция, обратная к Я,(т]).
Теорема. При указанных условиях преобразование
Фурье яр (а) функции q> (лг) удовлетворяет неравенству
Доказательство. По 15.26 F) при любому
OD	OD
я])(а)= \ ц>(х)е-1'вхAх= J ff(x + iy)e-ia^x+^dx.
— OD	— CO
Отсюда вытекает оценка F>|-у|)
00
(а) К J ^^ФбМе^л^С^М+ад.	A)
Выберем для у знак так, чтобы иметь qy== — |0||.у|» а мо-
модуль—так, чтобы неравенство Юнга обратилось в равенство:
Из неравенства A) теперь следует, что
и теорема доказана.

15.29] § 15.2. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ	281
15.28.	Пусть, наконец, ф(лг) есть целая аналитическая
функция, удовлетворяющая неравенству
| Ф (* + (у) |<Ф (*)*"*',
где функция Ф(х) подчинена условиям /5.26A) (и не за-
зависит от у).
Теорема. При указанных условиях преобразование
Фурье я]) (а) функции ф (х) обращается 6 0 при | а | > а.
Доказательство. По 15.26 F) при любом у
. A)
00
фиксируем знак у так, чтобы иметь qy=» — lal|j>i* Из П)
получается оценка
со
$	B)
Пусть |а|> а. Тогда, устремляя в неравенстве B) |_у| к оо.
Получаем я]) (а) *=¦ 0, что и требуется.
15.29.	Как мы видим, теоремы 15.25—15.28 не являются
в точности обратными к теоремам 15.21—15.24 и требуют
некоторых добавочных условий (например, существования
функции Ф(лг), обладающей свойствами /5.25A), B)). Воз-
Возникает вопрос о построении классов функций ц>(х), для
которых можно дать точное описание класса соответствующих
преобразований Фурье if (а). Некоторые из таких классов
можно построить, комбинируя теоремы 15.21—15.28.
а. Класс S. Рассмотрим совокупность S всех бесконечно
дифференцируемых функций ф(лг)(—оо<л:<оо), которые
для каждых k, g = 6, 1, 2, ... удовлетворяют неравен-
неравенству вида
|*тМ|^	A)
где Ckq—постоянная (зависящая от выбора функции ф (х)).
Каждая из функций х\т(х) не только ограничена на
оси х, но и интегрируема на всей оси, поскольку вместе
с неравенством A) справедливо и неравенство

282	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	115.29
так что
где Clq — некоторая новая постоянная.
Любая функция лЛр(х) бесконечно дифференцируема
вместе с ц>(х), и все ее последовательные производные
также являются интегрируемыми на оси х, поскольку по
формуле Лейбница 8.12C) они линейно выражаются через
интегрируемые функции xJ<$w~J)(x).
Функция я?> (<т) = F [ф (х)] бесконечно дифференцируема
в силу 15.21. Используя формулы 15.21B) и 75.25A), мы
можем написать равенство
F [(х*ф (х))9] = (— /) Wy«»(<т);
при этом правая часть, как преобразование Фурье инте-
интегрируемой функции (лЛр (x))q, ограничена при каждых
k и q:
Итак, если ц> (х) &S, то и ty (a) g S. Обратно, пусть дана
функция i]) (a) ? S; покажем, что она является преобразо-
преобразованием Фурье некоторой функции ф (х) ? S. Положим
Функция 2яф (— х) есть прямое преобразование Фурье функ-
функции я]) (а) и поэтому входит в S. Но тогда, очевидно, и
<р (х) g S. По формуле обращения
ОС	00
= -^- С 2яф(— x)eiexdx= f
поэтому if (а) есть преобразование Фурье функции ф (х),
что и требовалось.
Таким образом, преобразование Фурье F отображает
класс S на весь класс S.
б. Пусть mkq(k, g = 0, 1, 2, ...)—двойная последовательность
постоянных. Класс S<mte>, no определению, состоит из всех беско-

15.29] § 15.2. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ 283
нечно дифференцируемых функций ф(х)(—оо < х < оо), которые
удовлетворяют неравенствам
|x*q>«>(х)|^СА^ВЧтщ (ft, 9=0, 1,2....),
где постоянные А, В и С могут зависеть от функции ф(х).
Оказывается, что при некоторых условиях на последователь-
последовательность гпщ справедлива формула
в. Классы WM и WQ. Пусть М(х) и й(т)—двойст-
й(т)—двойственные по Юнгу функции A5.23). Класс WM, по определе-
определению, состоит из всех бесконечно дифференцируемых функ-
функций ф(х)(—оо < х < оо), удовлетворяющих неравенствам
|ф№М1<С/"жм (9 = 0,1,2,...)-
Если if (s) есть преобразование Фурье функции ф(#),
то преобразованием Фурье функции (pW (х) является (is)? я]) (s)
A5.25). В силу 15.23 справедливы неравенства
№ (?==0,1,2,...).	B)
Обозначим через W° класс всех целых аналитических
функций ¦»]) (s), удовлетворяющих неравенствам вида B).
Мы видим, что F(WM) с 1^. Пусть теперь i])(s) —любая
функция из WQ. Из неравенства B) и того же B) с заме-
заменой q на q-\-2 мы получаем
¦ it) I < efi W min {C,f |*J2 } = Фч (о) efi w,
где
•^-интегрируемая функция. Мы можем применить теорему
15.27, которая приводит к выводу, что
т. е. F[Wq]=^Wm. Итак, преобразованием Фурье класса Wn
служит класс W® и преобразованием Фурье класса Wa
служит класс WM.
*) См. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов^ Пространства
основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, вып. 2),
Физматг^ М., 1958, гл. 4, § 6.

284	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.31
§ 15.3. Примеры и приложения
Вначале, в 15.31—15.32, мы рассмотрим некоторые при-
примеры преобразований Фурье.
15.31. Преобразование Фурье дробно-рациональной
функции
_ aB+aiX+...+amx'*
-
где т < п—1, мы вычисляли в 11.326 методом контурного
интегрирования. Используя теорему 15.26в и аналитичность
функции Q(z) в некоторой полосе |j>|<[& (свободной от
нулей знаменателя), можно было бы предсказать, что
F [Q (х)] при | а | —»¦ с» экспоненциально убывает; впрочем,
поскольку /^[Q^)] явно вычислено, в этом уже нет надоб-
надобности.
15.32. Найдем преобразование Фурье ij)(°) от функ-
функции ф (х) = е~ах", а > 0.
Эта функция аналитически продолжается во всю пло-
плоскость z = x-\-iy с оценкой
поэтому в силу 15.266 при вычислении преобразования
Фурье мы можем перейти в плоскости z с оси X на любую
параллельную прямую:
ф (а) = \ е
— OD
00	00
?_ V g-ai^+ay'+cy-iaixy-iex fjx== еауг+ау \
— oo	— oo
Положим у — —a IBa); тогда ауг~\-ау=^—o?2/Da) и по фор-
формуле 11.56 B)
— *r	Si *—
¦ф(<т) = е~4а \ e-a**dx = —e~ia "|/ -j.
— 00
В частности, для (f(x) = e~x''2 (a= 1/2) получаем

1Б.34]	§ 15.3. примеры и приложения	285
15.33. Преобразование Фурье и свертка. Мы
назвали в 11.48 сверткой функций f(x) и g(x), определен-
определенных при —с» < х < оо, функцию
Если f(x) и g(x) непрерывны, ограничены и абсолютно
интегрируемы на (—оо, с»), то h(x) существует при каж-
каждом х и также непрерывна, ограничена и абсолютно инте-
интегрируема на (—оо, оо), причем
J h(x)dx= J f(x)dx J g(x)dx.	B)
Применим теорему о свертке, заменив f(x) и g(x) на
f(x)e~hx и g(x) е~'вХ. Свертка этих функций равна
S /Й) e-l*g(x—l) e~1' l*-?> d\ == е~™ J
— 00
и равенство B) дает
СО	/ ОО
F[f*g]= S Г|в*{ S
¦"- 00	^ — 09
СО
= J f(x)e-iBXdx- $ g{pc)e~b*dx = F[f\.F\g\.
Иначе говоря, в указанных предположениях о функциях f(x)
и g(x) преобразование Фурье от их свертки равно произве-
произведению преобразований Фурье каждой из этих функций.
15.34. Решение уравнения теплопровод»
н о с т и. Найдем решение и (х, t) уравнения теплопровод-
теплопроводности (— оо<лг<оо,^^0)
ди(х,
dt

286	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[16.34
обращающееся в заданную функцию ив (х) при tf = 0. Физи-
Физический смысл указанной задачи состоит в определении тем-
температуры одномерного однородного континуума (бесконечного
стержня) в любой момент времени t > О по известной его
температуре в момент tf = 0. Сделаем следующие предполо-
предположения:
1)	функции и(х, t), ux(x,t), uxx(x,t) непрерывны и аб-
абсолютно интегрируемы по х при —оо < х < оо и любом фик-
фиксированном f^O;
2)	функция щ (х, t) имеет в каждом интервале 0 <! t ^ Т
интегрируемую мажоранту:
Перейдем в уравнении A) к преобразованию Фурье, умно-
умножив это уравнение на e~i<sX и проинтегрировав по х от О
до оо. В силу условия 2) иа основании 11.45а и 11.47а можно
написать, что
»	СО
J щ (х, t) е-"* их = ^ J и (х, t) е-"* их = щ (a, t),
— 00
где
"V (a, t) = \ и (х, t) e~iex их
— со
есть преобразование Фурье искомого решения и (х, t). В силу
условия 1) и формулы 15.25 A)
F [ихх (х, t)] - —a*F [и] = — a2v (a, t).
В результате мы получаем обыкновенное дифференциальное
уравнение
vt (a, t) = — c*v (a, t).
Нужно найти решение этого уравнения, обращающееся при
СО
«о (*) е~кх йх.
*0
— СС

•5.41]	§ 15.4. преобразование лапласа	287
Искомое решение, очевидно, имеет вид
v{a, <)««-«•*©„ (о).
Мы знаем (см. 15.32, где следует положить а = 1/D*)), что
[2
По формуле преобразования Фурье от свертки 15.33 B)
и так как v(a, t) = F[u(x, t)]t то окончательно
х*	т б2
Полученная формула для решения называется интегралом
Пуассона. В теории уравнений с частными производными
доказывается единственность найденного решения в широ*
ком классе функций*).
§ 15.4. Преобразование Лапласа
15.41. Пусть при —оо<д;<оо задана кусочно-ие-
прерывная функция ф (х), которая становится абсолютно
интегрируемой после умножения на e~VK с некоторым ве-
вещественным 7- Тогда преобразование Фурье от функции q> (x),
возможно, не существующее в нашем первоначальном смысле,
оказывается существующим для некоторых комплексных si
в частности,
существует на прямой т = —у. Как мы видим, на этой
прямой aj) (s) является преобразованием Фурье абсолютно
интегрируемой функции ц>(х)ехх.
*) См. И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными
производными, Фнзматгиз, 1961, гл. IV.

288	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	?16.42
Наиболее важный случай такого рода получается при
условиях
|Ф(*)|<С«™ при
Ф (х) = 0 при х <
0, )
0. J
Здесь преобразование Фурье
СП	СВ
¦ф (s) = ^ Ф (х) exz е-'хв их = \ ф (х) e~ixs их	B)
существует при всех т<—а, т. е. в полуплоскости ком-
комплексного переменного s=aa-{-rt, ограниченной сверху пря-
прямой т=—а. Сделаем в формуле B) замену переменного
is=p. Когда s пробегает полуплоскость Ims< — а, р про-
пробегает полуплоскость Rep > а. Функция
ф(р) = я]) (s) = 5 ф (х)
определена и аналитична в полуплоскости Rep > а; на
каждой вертикальной прямой в этой полуплоскости она
стремится к нулю, когда Imp —*¦ ± °°> причем это стремление
равномерно на любом конечном замкнутом промежутке зна-
значений Rep. Кроме того, в полуплоскости Rep > а для
функции Ф(р) справедлива оценка (p = S
откуда видно, что в любой полуплоскости p^p>
функция Ф (р) ограиичена и при ? —>- с» стремится к нулю.
Функция Ф(р) называется преобразованием Лапласа от
функции ф (х). Преобразование Лапласа, как мы видим,
отличается от преобразования Фурье (рассматриваемого
в комплексной области) лишь поворотом в области комплекс-
комплексного аргумента на 90°.
15.42. а. Следующая простая теорема дает общие доста-
достаточные (но далеко не необходимые) условия того, что дан-

15.42]	§ 15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	289
ная функция Ф{р) есть преобразование Лапласа некоторой
функции ф(А'), удовлетворяющей условиям 15.41 A).
Теорема. Пусть функция Ф(р) (р — | -+ Щ) удовлетво~
ряет следующим условиям:
1)	она аналитична в полуплоскости Rep >-уо^О:
2)	существует постоянная С и положительная интегри-.
руемая на оси —со < т] < с» функция В (г\), такие, что для
всех | > 7о выполняется оценка
Тогда Ф (р) есть преобразование Лапласа кусочно-непрерыв-
кусочно-непрерывной функции ф (х), равной нулю при х < 0, а при х > 0 не-
непрерывной и удовлетворяющей неравенству
Доказательство. Функция С/р есть, очевидно, пре-
преобразование Лапласа от функции ф0 (х), равной нулю при
х < 0 и С при х > 0. Эта функция ф0 (х) удовлетворяет
требованию теоремы. Поэтому, отделяя ее, мы можем пред-
предположить, что функция Ф (р) сама при ? > -у0 удовлетворяет
неравенству
В таком случае мы определим функцию ф (х) формулой
V+/00
1 Ф(Р)Рхйр G>7о)-	A)
Применяя рассуждение с формулой Коши (типа 15.266) и опи-
опираясь на свойства 1), 2), легко проверить, что интеграл A)
не зависит от у. С другой стороны, справедлива оценка
При х > 0, устремляя у к Yo> получаем оценку
|ф(*)|<С^о*;
при л;<0, устремляя | к -(-оо, получаем ф(л:)=0.

290	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.43
Если записать формулу A) в виде
с»	во
Ф (*) = g^ J Ф F + *Ч> «*+'ч> * Щ = -^ j Ф (Б
мы получим, что 2лф (—л;) е&* есть преобразование Фурье
по переменному г\ абсолютно интегрируемой функции
*'1П) (Б фиксировано). По формуле обращения
со
B)
так что Ф(Ц-''П) есть действительно преобразование Лап-
Лапласа функции ф (х).
Формула A) играет важную роль в теории преобразова-
преобразования Лапласа; она называется формулой обращения преобра-
преобразования Лапласа.
б. Интересно посмотреть, какими свойствами должна
обладать функция ф {х), чтобы ее преобразование Лапласа
удовлетворяло условиям теоремы а. Пусть ф (х) имеет не-
непрерывные производные до порядка т— 1 и кусочно-непре-
кусочно-непрерывную т-ю производную, удовлетворяющие условиям
15.41 A). Тогда, интегрируя равенство B) т раз по частям,
мы получаем при Б —RePs>Y > с
С
\Р\"
о
С
Мы видим, что условия теоремы а удовлетворяются при
т = 2. Таким образом, существование второй кусочно-непре-
кусочно-непрерывной производной у функции ф (х) обеспечивает выполне-
выполнение условий теоремы а.
15.43. Преобразование Лапласа часто используется для
решения дифференциальных уравнений, обыкновенных и
С частными производными, отвечающих нестационарным
системам; в таких задачах неизвестная функция / (t) при
t < 0 равна нулю, а при t > 0 должна быть решением не-
некоторого уравнения, удовлетворяющим при * = 0 некоторым
начальным условиям.

15.43]	§ 15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	291
Рассмотрим сначала обыкновенное линейное дифференци-
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
й(/«> (*) + ву»-ч (*) + ... + а„у @ - Ъ (t)	A)
с заданными значениями
причем b(t) удовлетворяет условиям 15.41 A). Умножим
уравнение A) на е~** и проинтегрируем по t от 0 до оо.
Обозначим через
о
преобразование Лапласа функции у (t). Тогда, интегрируя
по частям, находим
00	00
у' (t) e-# dt *=у (t) е-Р* " +р\у (t) e-P* dt -
о
= —Уо+рУ(Р),
у" {t)e-p* dt=*y' (t)e-Pt]^ +p
<=—У1+Р(—Уо-±
= —У1—РУо+Р*у(р),
(и) (t) e~Pf ^ = y(n~1) It) e~P* I" +
0
¦= —Уп-1 +Р (—Уп-2 —РУп-Ъ —
= —Уп-г-РУп-ъ	— Р"~У« +
>" Y(p).
а
C)

292	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.43
Умножая каждое из уравнений C) на соответствующий коэф-
коэффициент ак и складывая, получим уравнение вида
где /?0 (р) — многочлен не выше чем (л—1)-й степени от р,
R(p) — многочлен л-й степени от р, а В(р)—преобразование
Лапласа от функции b(t). Для неизвестной функции Y(p)
получается, таким образом, чисто алгебраическое уравнение.
Ревдая его, находим
B(p)-R0(p)
—WW~
Функция ° *.' удовлетворяет условию теоремы 15.42а;
именно, если положить
то
Rq(P) С
R (Р) Р	PR (Р)
есть рациональная функция от р, причем степень знамена-
знаменателя я+1 по крайней мере на две единицы превышает
степень числителя, так как в силу определения С члены
степени л в числителе исчезают.
Удовлетворяет ли условиям теоремы 15.42а, функция
•—Чг, разумеется, зависит от природы функции В(р). Если
степень многочлена R(p) больше 1, то в силу ограничен-
ограниченности В (р) это выполняется для любой функции b(t), удов-
удовлетворяющей условиям 15.41 A); если степень R(p) равна
единице, то, как показывает неравенство 15.42 C), доста-
достаточно, чтобы у функции b (t) была кусочно-непрерывная про-
производная, удовлетворяющая, вместе с самой b(t), условиям
15.41 A).
Если функция 7тт4 также удовлетворяет условиям тео-
теоремы 15.42а, то, применяя ее, мы можем представить иско-
искомое решение у (t) формулой
V+ioo
V—г»

15.44]	§ 15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	293
Если функция В (р) аналитически продолжается во всю плос-
плоскость р (с изолированными особенностями), то для вычис-
вычисления интеграла D) прибегают, как правило, к контурному
интегрированию и теории вычетов, как мы это делали при
вычислении интеграла Фурье от рациональных функций. За-
Заметим, что функция ept при ^>0 ограничена в левой полу-
полуплоскости (Rep<Y) и не ограничена в правой; поэтому полу-
полуокружности, входящие в состав контура, нужно строить в
левую сторону от прямой Rep = /y> а не в правую. В ка-
качестве числа у можно брать любое число, отвечающее тому
условию, что все особенности функции R(p) лежат слева
от прямой Rep = 7-
15.44. Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка
с комплексно сопряженными (невещественными) характерис-
характеристическими корнями A3.17) X = a-f/|3, Я, = а—/р, где а<0.
В электротехнике такое уравнение описывает вынужден-
вынужденные колебания в контуре с сопротивлением, индуктивностью
и емкостью под действием вынуждающей э. д. с. с часто-
частотой k. Переход к преобразованию Лапласа приводит к урав-
уравнению
КР2 + aj> + <g Y(p) = J* sin kte~* dt = ^
0
Решая это уравнение, находим:

{aoP*+al
По формуле обращения
V+'«
i
J (c0P2+OiP+o2)(fe2+Pa)'
y-ia>
Положим
ePt
Знаменатель имеет четыре простых корня в точках ±/ft и
а ± ф. В качестве у можно взять любое положительцоэ
число. Для вычисления интеграла дополняем прямую Rep —Y

294
ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[18.44
полуокружностью достаточно большого радиуса в левой
полуплоскости (рис. 15.2); тогда по теореме о вычетах 10.43
у (t)«bk {Выч/(р) |р_« + Выч/(р) |p=_ift +
+ Выч/(/>) \р=а+ф + Выч/(р) |р=а-гР}.
Вычет в каждой точке вычисляется по общей формуле
W.42 A) для простых полюсов:
В итоге получаем
Г
Результирующий процесс есть наложение периодического
колебания с частотой внешней силы и затухающего коле-
колебания с собственной частотой системы;
скорость затухания определяется вели-
величиной а, т. е. абсциссой характери-
характеристических корней.
При а = О, Р = k наступает явле-
ние резонанса. В этом случае исходное
_
|? уравнение имеет вид
= b sin kt
Рис. 15.2.
с формулой решения
~~2ni
y-ia»
eP*dp
Точки р — ± Ik являются полюсами
2-го порядка подынтегральной функции. Вычисляя вычеты
по формуле 10.42 B), находим
y{t)=bk
= g^ cos kt — g^j sin kt.
Получается колебание с неограниченно возрастающей ампли-
амплитудой.

15.45]	§ 15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	295
15.4Б. Те же методы применяются для уравнениях част-
частными производными.
Если обыкновенное уравнение после преобразования Лап-
Лапласа по t переходило в алгебраическое уравнение относительно
неизвестной функции, то в уравнении, содержащем производ-
производные не только по t, но и по переменным х, у, ..., после
преобразования Лапласа по t исчезнут производные по t и
останутся производные по х, у, ...
Рассмотрим для примера уравнение теплопроводности д/=-^-г
в конечном промежутке 0<х</ с граничными и начальными усло-
условиями ихф, t) = 0, ы (/, t)=ult и(х, 0) — и0. Физически эти условия
означают, что тепло не выходит через конец х=0, а на конце х=1
добавкой тепла извне поддерживается постоянная температура щ
(прн / > 0); в начальный момент температура постоянна и равна и0.
Применим для решения задачи преобразование Лапласа по tt т. е.
перейдем от функции и (х, t) к функции
v(x, р)=\е-Яи(х, t)dt.
о
Для функции v(x, p) мы получаем уравнение
dhi (х, р)
—ЪТ*	/»(*. р) = -«.
с условиями
vx@, р)=0, v(l, p) = —.
Это уравнение 2-го порядка имеет решение
% «!—ц0 chx Vp
У Р^ ch/'^"*
откуда
и(*.^)=«о+2!^? [ ePt^rV^f'	A)
Подынтегральная функция—однозначная функция от р с полюсами
ро=О и р„=— % (п—5") (и=1, 2, ...). Мы покажем, что интег-
рал равен (бесконечной) сумме вычетов соответствующей функции во
веех этих полюсах. Для этого рассмотрим в левой полуплоскости
полуокружность Г„ с центром в начале координат и радиусом л2л2/'*

296
ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[15.45
(рис. 15.3); она проходит между двумя соседними полюсами, и мы
chx Vp~
покажем, что отношение —¦¦- 'Л* на всей этой полуокружности огра-
chly p
иичено; тогда при п —>- оо интеграл по Г„ в силу леммы Жордаиа
11.32г стремится к нулю, и весь
интеграл A), как обычно, сведется
к сумме вычетов.
Рнс. 15.3.
-5 $
Рис. 15.4.
_	,	chx У р
Вместо того чтобы рассматривать отношение 	-~=т иа полуок-
ch/j/>
ружности Г„, где | р | «= п2я2//2, можно заменить У~р на ?, р на ??
chxC
н рассматривать отношение ".2 на четверти окружности Ln радиуса
пп/l с аргументом, меняющимся от п/4 до Зл/4 (рнс. 15.4). Положим
? = §+'*; мы имеем т > 0,111 < т и
\Ж
chx(l-{-ix) I2 _ I chxg cos xx + I sh xl sin xx
B)
I ch/gcos /т+j'sh/gsin Ix
ch2 xl cos* xx+sh2 xl sin2 xx
" Ch2 /| cos2 /т+sh2 II sin2 Ix "*" ch2 /? cos2 /т+sh2 /| sin2 /т "
Если 111 < б, то на окружности Ln прн достаточно большом п мы
имеем |t—пя//| < е и, следовательнб, tbs2Zr > 1— г\, где е, т] как
угодно малы; поэтому
chx?
ch/?
ли || | ^ б, то у
sh^ /| н тогда получим
I
ch2/|
1
C)
Если 111 > б, то мы заменим в знаменателе справа в B) ch2 1% на
ih2/| н
D)

16.61] § 15.5. КВА8ЙАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ	297
ограничено
Из неравенств C) и D) следует, что отношение
eh/
фиксированной постоянной на указанных окружностях. Поэтому, нак
мы уже говорили, интеграл сводится к сумме вычетов. Вычет отно-
относительно полюса р = 0 равен единице. Вычет относительно полюса
сительно полюса р =
я* / 1 \2
Рп = ~~Ti[ п—"о") •
как легко подсчитать, равен
cos и—-
В конце концов мы получаем решение в виде суммы ряда
§ 15.Б*. Квазианалитические классы функций
15.51. Метод преобразования Лапласа с успехом приме-
применяется и при решении теоретических проблем. В качестве
одного из таких применений мы изложим здесь основную
теорему теории квазианалитических классов функций*).
Известно, что функция f(x) вещественного переменного х,
если она бесконечно дифференцируема в окрестности точки х0,
не обязана еще быть аналитической, т. е. разлагаться
в окрестности этой точки в ряд Тейлора. Но если последо-
последовательные производные функции f(x) не слишком быстро
растут, именно, так, что выполняются условия
max |/<п»(л:)|<СЛ1"я!,	A)
||<б
то аналитичность функции f(x) в окрестности точки хь, как
мы видели в 8.52, уже будет иметь место.
Применяя формулу Коши 10.34 A) для производных ана-
аналитической функции, легко проверить, что и обратно, анали-
аналитичность функции f(x) в окрестности точки х„ влечет за
собой выполнение условия A). Пусть m0, mt, .«,,/»„, ...—
произвольная последовательность пол&жйтельиых чисел.
*) По книге С. Мандельбройта, Квазнаналитическив классы
функций, М.—Л., Гостехиздат, 1936.

298	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[16.Б2
Образуем класс C<mn> функций f(x), определенных на оси
— оо < х < оо и удовлетворяющих неравенствам
!/<»>(*) |< СЛ1»т„ (л-=0, 1, 2, ...),
где постоянные С и М могут зависеть от выбора функции /(я).
Если числа /я„ растут быстрее, чем я!, то класс C<mn, может
включать и неаналитические функции. Однако, как показал
А. Данжуа в 1921 г., имеются классы C<mn>, содержащие
и неаналитические функции, но обладающие тем не менее
свойством единственности: если две функции, f(x) и g(x),
входящие в класс С<ГПп), совпадают в некоторой точке х0
вместе со всеми производными, то они тождественно совпа-
совпадают при всех значениях х. Для аналитических функций это
свойство хорошо известно (следует из 10.39д).
15.52. Классы C<mn,, в которых из совпадения двух функ-
функций вместе со всеми производными в одной точке вытекает
совпадение этих функций всюду, были названы квазианали-
квазианалитическими классами. В 1926 г. Т. Карлеман дал полное
описание квазианалитических классов; несколько более про-
простую формулировку предложил в 1930 г. А. Островский.
Чтобы понять формули-ровку теоремы Карлемана—Остров-
Карлемана—Островского, нам придется выполнить некоторые предварительные
построения. Мы будем предполагать, что последовательность
тпп возрастает при л —>¦ оо быстрее любой функции вида г",
где т > 0 (немного далее мы покажем, что если это не
так, то задача решается весьма просто). В силу этого усло-
условия последовательность r"/mn при любом г > 0 стремится
к 0 при л —>¦ оо и поэтому ограничена сверху. В дальнейшем
основную роль будет играть функция
Функция Т (г) допускает полезную геометрическую интер-
интерпретацию. Рассмотрим в правой полуплоскости плоскости х, у
последовательность точек с координатами х„ = п, уп= — Inmn
(точки Валирона). Так как rn/mn—>-0 при л—>¦ оо, то
я In г—lnma—¦»¦ — оо, так что для любого г и любого ft>0
лишь конечное число точек Валирона удовлетворяет нера-
неравенству
л1пг — \птп~^Ъ.	A)

15.52] § 15.5. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 299
Уравнению xlnr+y = b, или
у— —xlnr + b,
отвечает полупрямая в правой полуплоскости х, у с угловым
коэффициентом—1п г, от-
отсекающая отрезок b на
оси ординат. Неравенст-
Неравенство A) показывает, что
выше любой такой по-
полупрямой может быть рас-
расположено лишь конечное
число точек Валирона. По-
Поэтому для любого г можно
найти такое b = b (r),
что выше прямой
у= —xlnr + b (г)
У\
\
\
\
\]
-Vnm,
vS. '
М
уже не будет ни одной
точки Валирона, а на са-
самой этой прямой будет	Рис. 15.5.
находиться хотя бы одна
точка Валирона (рис. 15.5). Такую полупрямую мы будем
называть полупрямой Валирона.
Для b — b (г) и любого я мы по построению имеем
так что
г"
т„
B)
Но так как по крайней мере для одного номера л не-
неравенство B) превращается в равенство, то на самом деле
и, следовательно,
b (r) = sup In r—
п. тп
b(r) = In T (r).
C)
Геометрическое представление функции In T(r) поможет
нам установить некоторые ее свойства. Во-первых, из опре-
определения b (г) следует, что Ь(г) есть возрастающая функция
от г: если бы при г2 > гг мы имели b (га) < Ъ (гх), то вся

300	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.52
полупрямая у— —x\nr2-]-b(r2) лежала бы ниже полупрямой
у=—x\nrx-\-b(r^), что было бы несовместимо с тем фак-
фактом, что на второй полупрямой имеются точки Валирона.
Далее, полупрямую Валирона всегда можно построить по
наперед заданной величине ?>(> inf b(r)), рассматривая семей-
семейство всех полупрямых, отсекающих на оси ординат отрезок Ь,
и используя аргументацию, аналогичную приведенной выше.
Это означает, что возрастающая функция Ъ (г) = In T (г) при-
принимает все значения (> inf ft (г)) и, следовательно, непре-
непрерывна E.36). (Можно было бы показать, далее, что она
является кусочно-линейной функцией от In r, но это не по-
понадобится.)
Теперь мы можем привести теорему Карлемана в форму-
формулировке Островского:
Теорема. Положим
T(r)=sup^.	D)
Тогда класс С(Шп> будет квазианалитическим в том и только
в том случае, если
E)
Пусть, например, mn — (nl)a, где а фиксировано. Тогда,
как легко вычислить, используя формулу Стирлинга 11.576,
Т(г)~г1~а-,
интеграл E) сходится при а> 1 и расходится при а^С1.
Из теоремы Карлемана следует, таким образом, что класс
^<(ni)B> квазианалитичен при a^l (как мы видели выше,
он состоит даже из аналитических функций) и не квазиана-
квазианалитичен при а> 1.
Существуют квазианалитические классы, состоящие не
только из аналитических функций. Можно проверить, что
функция f{x) = 2 Т~г(п) cosnx входит в класс C<mn> и не
является аналитической, если ym^ln —»¦ оо; поэтому, напри-
например, при /и„ = л!1п"л в квазианалитнческом классе, С<Шп>
имеются неаналитические функции.

15.53] § 15.5. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ 301
15.53. В дальнейшем {15.53—15.56) будет доказана тео-
теорема Карлемана — Островского, сформулированная в 15.52.
В этом пункте, пользуясь преобразованием Лапласа, мы
сведем задачу описания квазианалитических классов к неко-
некоторой другой задаче, относящейся к аналитическим функциям
в полуплоскости.
Допустим, что класс C(mn> не квазианалитичен. Это озна-
означает, что в классе C<mn> существуют функции f(x) и g(x),
совпадающие при х = х0 вместе со всеми производными, но
не совпадающие всюду. Без ограничения общности можно
считать *0 = 0 н f(x)^=g{x) при д;>0; выполнения этих
условий всегда можно добиться сдвигом и заменой х на — дг,
т. е. операциями, очевидно, выполнимыми в пределах класса
С<т„>. Рассмотрим, далее, функцию ц>{х), равную f{x)—g(x)
при х^О и равную нулю при *<0; очевидно, что она
также принадлежит классу С<тп>. Эта функция равна нулю
при д: < 0 и ограничена при х > 0 н, следовательно, обла-
обладает преобразованием Лапласа
A)
аналитическим в полуплоскости Rep>0.
Посмотрим, какими дальнейшими свойствами обладает
функция Ф(р). Производя в A) л раз интегрирование по час-
частям, получим
р"Ф (р) = } ф(п) (х) е'Р* dx,
о
откуда вытекает оценка
ОС
|р"Ф (р) | < СМптп С e-^d>; = CMnmn -pL 5
ПРИ | РI > Y > 0. Обратно, пусть имеется в какой-нибудь
полуплоскости Rep > Yo > 0 аналитическая функция
Ф (Р) Ф 0,
удовлетворяющая неравенствам вида
|р"Ф (р) | < СМ»/»„ (л = 0, 1,2,...).

302	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.64
Очевидно, что Ф(рIр2 удовлетворяет условиям теоремы
15.42а; в качестве интегрируемой мажоранты, требуемой усло-
условием 2), можно, например, взять Ст0-.— 2. В силу этой
теоремы функция ц>{х), определенная равенством (<y>'Vo)
V+ioo
i
V-io»
равна нулю при л: < 0. Поскольку Ф (р) ф. 0, мы имеем также
Ф (х) ф. 0 при д: > 0. Далее, <р (х) имеет производные всех
порядков и
V+»oo
V—»oo
2л
V—ice
Мы видим, что <р(лг)е""то* принадлежит классу Ста>. Так как
Ф (х) = 0 при л: < 0 и ф (л:) ^ 0, то класс С<Шп> не квазиана-
квазианалитический. Итак, вопрос о том, является ли данный класс
От„> квазианалитическим, эквивалентен проблеме («проблеме
Ватсона») существования функции Ф (р) ф 0, аналитической
в полуплоскости Re p > у0 и удоелетворящей неравенствам
\р"Ф (р) К СМ"шп (п = 0, 1, 2, .. .)•
15.54. Преобразованием инверсии р = 2уjs полуплоскость
Rep > у переводится в круг js — 1 | < 1, а проблема Ватсона
приводится к следующей: при каких условиях, наложенных
на последовательность /я„, в круге \s — 11 < 1 существует
аналитическая функция F(s) ф 0, удовлетворяющая неравен-
неравенствам
\F{s) К CM"mn\s\	A)
Например, если mn ^ Сгг^ для некоторой последователь-
последовательности номеров лх, пг, ..., то такой функции F(s) заведомо
ие существует. Действительно, если
JF(s)|<САРС,?»|s|" = ССХ(Л*г01s|)" (л = я,, л„ ...),

15-54] § 15.5. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ	303
то, беря | s | < 11{Мгй) и переходя к пределу при пк —*¦ <х>,
получаем, что F{s)^0, вопреки предположению. Таким об-
образом, при указанных свойствах последовательности тп
класс Стп> квазианалитичен. С другой стороны, в данном
случае
T(r) = sup	= оо при г^>гп
п тп
и условие A) выполняется очевидным образом. Как мы и
говорили в 15.52, если т„к ^ C^g* \k = 1, 2, ...), то
вопрос решается весьма просто.
Возвращаясь к общему случаю, предположим, что функ-
функция F(s), удовлетворяющая требуемым условиям, имеется.
Можно найти такое р, что Р{р)Ф0, \F{р-\-ре'ь)\ <. \ при
всех вещественных 0, причем на окружности s = p + pe'e
функция F(s) имеет единственный нуль при s = 0. Все даль-
дальнейшие построения будут проходить в пределах круга
\s—р|за^р. В силу неравенств A)
| F{p + ре'ь) | < СМптпрп 11 + *"> |" = СМпт„ 12p cos— I".
Переходя в правой части к минимуму по л, получим
„	С
5	1	'
max	;—
" М"тп 2р cos ^ Г
и согласно определению функции Т{г)
С
1
2Мр cos-5-
откуда
1п[F(р + ре1'6)|< 1п С—In T(
I 2Л1р
I в V
|cosT )
В теории аналитических функций имеется следующая
теорема (доказательство ее мы дадим в 15.56): если функ-
функция Ф(г) аналитична внутри круга \z—zo[<A, отлична от

304	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.55
нуля при z*=z0, не превосходит по модулю 1, в замкнутом
круге \z—го|^/г непрерывна и на окружности \z—-го| = А
имеет единственный нуль, то интеграл
2л
— \\п\Ф {ze+heib)\d&
о
имеет конечное значение.
Применяя эту теорему к функции Ф{г) = F{z), находим,
что и функция
\пТ[-
\2Мр
COS-
обладает конечным интегралом по 6 в пределах от нуля
до 2я. Если сделать подстановку
2Жр |cos-|-| = y,
то. мы получим, что сходится интеграл
"¦ In T (/-)	1
dr,
а с ним и интеграл
Итак, если класс C<mn> не квазианалитичен, то интеграл B)
сходится. Этим установлена достаточность условия Карлемана
в 15.52.
15.55. Переходя к доказательству необходимости условия
Карлемана, допустим, что интеграл 15.54 B) сходится. Вместе
с ним сходится и интеграл
2я

15.55] § 15.5. квазианалитические классы функций 305
поэтому можно построить интеграл Пуассона
2я
который представляет собой функцию, гармоническую в круге
г < 1. Положим G{s—\) = P(s) и обозначим через Q(s) сопря-
сопряженную гармоническую функцию A4.49в) в круге \s —1|<1.
Пусть, далее,
Мы утверждаем, что для функции F{s) выполняются нера-
неравенства
|F(s)Кmn\s\n (л = 0, 1, 2, ...).	A)
Действительно, неравенства A) эквивалентны неравенствам
с * 5^ тп [ i |	\п — \J, I, л, . . .)
ИЛИ
— G(s) = —P{s-\- 1)^1п/ии + л1п (s-f-1).	B)
Оба слагаемых справа можно представить в форме интегра-
интегралов Пуассона:
2л
1п/п„A-'-2) JO
J
о
nln|e'8
Р nli
F—
и поэтому неравенство B), подлежащее доказательству,
можно записать в виде
2Я
Но 11 + е'ь | = 2
C)
cos -j- ; так как
7(r)= sup-^-,

806	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
то для каждого отдельного л
[15,56
?, 7(г)»„/-»> I,
и, следовательно, под знаком интеграла в C) стоит неотри-
неотрицательная функция. Отсюда следует, что неравенство C)
справедливо; вместе с ним выполняется и неравенство A),
и класс С<т„> согласно 15.53 оказывается не квазианалити-
квазианалитическим. Этим теорема Карлемана доказана полностью.
15.56. В этом пункте мы докажем теорему, которую мы
использовали в 15.54.
Теорема. Если функция f{z) аналитична в круге
\z—zo\<h, отлична от нуля при z = z0, no модулю не
превосходит 1, непрерывна в замкнутом круге \z — 20|за^/г
и имеет на окружности
\z—z01 = h единственный
нуль в точке z*, то интеграл
2Л
,+*«'•)! л
конечен.
Рис. 15.6.
Доказательство.
Без ограничения общности
можно положить z0 = 0,
А=1, z*=l. В круге
| z | ^ г < 1 функция / (z)
аналитична и может иметь
лишь конечное число нулей
гг, ..., zm; можно считать,
что на окружности |.г| = г
нули отсутствуют. Рассмотрим замкнутый контур С, показан-
показанный на рис. 15.6, состоящий из дуг окружности |г|=г,
проходимой в положительном направлении, окружностей
Cft(A=l,2, ...,/я) весьма малого радиуса е, проходимых
в отрицательном направлении, и линий Lk = \z"k, zQ, соеди-
соединяющих указанные дуги и проходимых дважды в противо-
противоположных направлениях. Функция ltif(z) аналитична внутри
контура С, и значение 1п/@) может быть представлено

15.56J	§ 15.5. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ФУНКЦИЙ	307
формулой Кошн:
:-	A)
Рассмотрим часть контура С, образованную окружностью Cj
радиуса е с центром в точке Zj, проходимую в отрицатель-
отрицательном направлении. Та часть интеграла A), которая берется
по этой окружности Cj, имеет вид
Если k,—кратность корня г., то f(z) = (z—z№fAz), где
/,Ъ)ФО, и
| If! f(z) | - | If! (Z-z/ifj {Z)\ = \ kj ltl (Z-Zj) + In/, (Z) I <
||
В силу этой оценки подынтегральное выражение в B) ста-
становится при е —*¦ 0 как угоднЬ малым, и, следовательно, все
интегралы по окружностям С, стремятся к нулю при е—>-0.
При обходе в отрицательном направлении вокруг точки Zj
функция \nf(z) = ln\f(z)\-\-iargf(z) приобретает слагае-
слагаемое — 2nkji, поэтому интеграл по части контура, образо-
образованной отрезком Lj, пройденным дважды в противоположных
направлениях, равен
М1п*
Ч
На каждом следующем участке окружности |г| = г функция
\nf(z) по сравнению с предыдущим приобретает слагаемое
— 2nkJ, что дает во всем интеграле A) добавку вида
idQ,
очевидно, чисто мнимую. Имея все это в виду, отделим вещест-
вещественную часть в равенстве A) при е —> 0; мы получим:
/=1

308	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	[15.56
а так как | z) | < 1, In | z) | < 0, то
о
или, что то же,
2я
На окружности | z | = 1 по условию имеется единствен-
единственный нуль в точке z* = 1. Выберем произвольно 6 > 0; оче-
очевидно, что
ая-б
—,^ J In |
i
f In
Оставляя б фиксированным, перейдем в этом неравенстве
к пределу при г —*¦ 1. Получим
2Я-6
-¦к
Это неравенство справедливо при любом 6 > 0. Переходя
к пределу при 6 —*¦ 0, получаем, что существует и интеграл
Теорема доказана.
ЗАДАЧИ
1. Доказать сходимость интеграла Фурье
в точке х, в окрестности которой функция <p(Jt) иепрерывна и моно-
тоииа, и равномерную сходимость во всяком замкнутом промежутке,
внутреннем по отношению к промежутку монотонности и непрерыв-
непрерывности <p(jt).

ЗАДАЧИ	309
2. Привести пример непрерывной функции <р(х) с равномерно
сходящимся интегралом Фурье, для которой
= С <p(x)eix°dx
не является абсолютно интегрируемой на —оо < о < оо.
3. Привести пример функции <р (х), для которой интеграл Фурье
р «
lim -L Г <p(x+t)sinptdt= lim-i- Г Гф(|)е'а<
p-*co Jl J	t	p-ra,2n J J
— oo	-p -«
равномерно сходится на оси —оо < х < оо, но каждый из интегралов
р , в	о , со
lim П Г ч>(|) «*¦<*-6> «Л I, Mm И Г фA)е'0^-
р-« J I J	p-x»J I J
(I y-CO	J	—D v —CO
имеет точки расходимости.
4. Доказать «равенство Парсеваля»
|g@)|2d0=2n J
где g (о) есть преобразование Фурье функции Jf (x), удовлетворяющей
условиям теоремы 15.13 и интегрируемой в квадрате на всей оси
— оо < х < оо (Планшерель).
5. Доказать «соотношение неопределенности»
— се	—со
в предположении, что функции х f (x) и f (x) удовлетворяют условиям
00
задачи 4и ( | f (x) \2dx= 1.
— 00
6. Пусть F (р)—преобразование Лапласа функции fit). Найти
преобразования Лапласа функций fx(t) = eatf (t), h(t)—f'(t),
о
7. Найти преобразования Лапласа для функций

310	ГЛ. 15. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
8. Доказать формулу обращения для преобразования Меллина:
если
00
(x)xs-1dx,
го
с+(оо
J_
c—ico
Историческая справка
Интеграл Фурье появился впервые в книге Фурье «Аналитичес-
«Аналитическая теория теплоты» A822), где он был применен ко многим задачам
математической физики. Нн у Фурье, ни у Коши, который пользо-
пользовался интегралом Фурье в работах по распространению волн A842),
еще не было доказательства сходимости; строгие доказательства, при
разных предположениях, появлялись на протяжении всего XIX Еека,
представляя собой видоизменения соответствующих доказательств для
сходимости рядов Фурье. «Преобразование Лапласа» было развито
Лапласом в 1812 г. в «Аналитической теории вероятностей»; правда,
Эйлер много раньше A737) уже рассматривал интегралы от e~Pxf (х)
для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Во вре-
времена Эйлера и Лапласа еще не могло быть речи об использовании
преобразования Лапласа в комплексной области. С 1892 г. начали
появляться работы английского инженера Хевнсайда, где он, интер-
интерпретируя по введенным им самим правилам функции от P = -^i (за
пределами класса рациональных функцнй), сумел найти решения для
ряда электротехнических задач, приводящихся к уравнениям с частными
производными. Некоторое время «операционное исчисление» Хевн-
Хевнсайда оставалось математически необоснованным. С 1910 г. Бромвич,
а затем Карсон, Ван-дер-Поль, Дёч, применяя преобразование Лап-
Лапласа в комплексной области, дали обоснование правилам Хевисайда.
Работы Данжуа, Карлемана, Островского по квазианалитическим
классам функций относятся к 1920—1930 гг.
Дальнейший прогресс в теории преобразования Фурье связан,
с одной стороны, с использованием интеграла Лебега (и интеграла
Лебега—Стилтьеса), с другой стороны,—с внедрением теории обоб-
обобщенных функций; в частности обобщенные функции позволили опре-
определить преобразование Фурье и для неограниченно возрастающих
(при | х | —»¦ оо) функций. Этот факт в свою очередь оказался сущест-
существенным для решения основных проблем теории линейных уравне-
уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. См.
Г. Е. Шилов, Математический анализ, Специальный курс, М.,
Физматгиз, 1961; Второй специальный курс, М., «Наука», 1965;
В. П. Паламодов, Линейные дифференциальные операторы с пос-
постоянными коэффициентами, М„ «Наука», 1967.

ГЛАВА 16
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
Чистая математика имеет своим объектом простран-
пространственные формы н количественные отношения действитель-
ибго мира, стало быть, — весьма реальный материал. Тот
факт, что stot материал принимает чрезвычайно абстракт-
абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхожде-
происхождение из внешнего мира.
Ф. Энгельс
§ 16.1. Основные определения
16.11. Кривая L в /г-мерном пространстве Rn, по опре-
определению, есть геометрическое место точек, описываемое
системой параметрических уравнений
A)
или, что то же, одним векторным уравнением
x = x(t) (а<*<6).	B)
Вектор x(t) называется ведущим вектором кривой L.
Функции Xj(t) предполагаются непрерывными и удов-
удовлетворяющими некоторым условиям гладкости, что будет
уточнено в дальнейшем. Одной только непрерывности функ-
функций Xj(t) недостаточно для того, чтобы геометрическое
место A) имело привычный нам вид кривой: существуют
системы A) с непрерывными правыми частями, для которых
соответствующим геометрическим местом является все прост-
пространство /?„ (ср. задачу 5). Далее, заметим, что одна и та
же кривая (т. е. одно и то же геометрическое место точек)
может быть задана многими различными системами уравне-
уравнений вида A); например, при — оо < t < оо системы
х = r cos t, у = г sin t
и
определяют одно и то же геометрическое место точек на
плоскости (х, у)—окружность радиуса 1 с центром в начале
координат. Как мы далее увидим, во многих случаях выбор
надлежащего параметрического представления среди разных
возможных будет способствовать выявлению геометрических
свойств данной кривой.

312	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	A6.12
16.12. Мы рассматривали и более общий случай, когда
в уравнении 16.11 B) x(t) означало точку некоторого мет-
метрического пространства, зависящую от параметра t; это
были кривая в метрическом пространстве. В 12.51 для слу-
случая, когда значения функции х (t) лежат в линейном норми-
нормированном пространстве В, мы определили производную от
векторной функции х (t) в точке t = c:
(	f
д<-»о	&t
если предел правой части существует в смысле метрики
пространства В. При его наличии функция x(t) была наз-
названа дифференцируемой в точке t = c. Если предел A)
существует при всех с ? [а, Ъ\, то функцию х (t) мы усло-
условились называть дифференцируемой на отрезке [а, Ь].
Мы будем здесь изучать дифференцируемые функции со
значениями в /я-мерном пространстве, но многое будет спра-
справедливо и для функций со значениями в нормированном (бес-
(бесконечномерном) пространстве.
16.13. Заметим прежде всего, что, поскольку предель-
предельный переход в /я-мерном пространстве равносилен предель-
предельному переходу по каждой координате, дифференцируемость
при t = с вектор-функции х (t) — (xt (t), ..., xm (t)) в смысле
16.12 A) равносильна дифференцируемости m числовых функ-
функций хг (t), ..., xm(t) при t = с, и при этом
x'(c) = (xi(c), ...,xm(c))?Rm.	A)
Выясним геометрический смысл дифференцируемости век-
вектор-функции. Кое-что по этому поводу было сказано в начале
гл. 13; здесь мы рассмотрим этот вопрос независимо и под-
подробнее.
Определение производной 16.12 A) можно записать в эк-
эквивалентной форме
(t)At,	B)
где вектор е (t) стремится к нулю при Д^ —*- 0. Равенство
B) показывает, что приращение функции х (t) при измене-
изменении t от с до c-\-At содержит главную линейную часть
x'(c)kt. Будем называть точку со значением t — c обыкно-
обыкновенной, если х' (с) у= 0, и особой, если х' (с) = 0 (ср. 9.63ж).

16.15]	§ 16.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	313
В обыкновенной точке геометрический образ, отвечающий
линейному уравнению х — х (с) -\-х' (с) (t—с), есть прямая
Л, проходящая через точку М = х (с) по направлению век-
вектора х' (с) (рис. 16.1). Таким образом, отклонение точки
кривой от соответствующей (т. е.
взятой при том же значении t) точки
прямой Л имеет высший порядок
малости по сравнению с Д*. Это
дает основание называть прямую Л -Л,
касательной к кривой L в точке М.
Таким образом, существование про-
производной х' (с), отличной от 0, рав-
равносильно существованию касательной к кривой L в точке М;
вектор х' (с) есть направляющий вектор этой касательной.
16.14.	Посмотрим, что. происходит с направляющим век-
вектором касательной, если мы переходим на кривой L к новому
параметру т, так что t = t{x) есть некоторая дифференци-
дифференцируемая функция т. Пусть, в частности, e = ^(i>) и t'(y)>^0.
Тогда мы положим x(t (т))зз?"(т) и по правилу дифферен-
дифференцирования сложной функции A2,51з) получим
g'{x) = lim fi= lim ^ lim ~*=x'(t)f (x).	A)
Дт-о ах Д*-*о ЛГ Дт->0 ах
Таким образом, новый направляющий вектор g' (т) |х=^
имеет то же направление, что и старый направляющий век-
вектор х' (t), но отличается от старого множителем f (т). Та-
Таким образом, длина направляющего вектора касательной не
имеет прямого геометрического смысла. Как мы видели
в 13.11 г, вектору х' (t) можно придать кинематический смысл;
если t интерпретировать как время, то х' (с) есть скорость
движения точки х = х (t) по кривой L в момент t =*= с.
16.15.	Наконец, введем понятие дифференциала вектор-
векторной функции x(t). Вектор dx — x'(c)dt, где dt — At есть
произвольное приращение параметра t, называется диффе-
дифференциалом векторной функции x(t) при t=*c. Дифференциал
функции, таким образом, есть главная линейная часть ее
приращения, отвечающего приращению аргумента t.
Как и раньше, имеет место теорема об инвариантности
дифференциала: дифференциал функции не зависит от того.

314	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[1в.1«
является ли t независимым переменным или функцией от
другого независимого переменного (в последнем случае dt
есть главная линейная часть приращения функции t (%)).
В самом деле, если g(t) = x[t(x)], то
= g' (у) dt = х' (с) Г (у) d% = х' (с) dt = dinx,
что и утверждалось.
16.16. Интегрирование векторной функции.
Эта операция для вектор-функций со значениями в норми-
нормированном пространстве В была определена нами в 12.52.
Интегралом от векторной функции x(t), a^.t^.b, со зна-
значениями в полном пространстве В, — в частности, в прост-
пространстве Rm, называется величина
Ь	п—1
= Иш
где предел вычисляется по норме пространства Б при не-
неограниченном измельчении разбиения П, т. е. при
d (П) = max Д*„ -* 0.
Для кусочно-непрерывной функции x(t) было доказано
существование интеграла. Основные свойства интеграла были
указаны в 12.52в:
ь	ь
1)	\ ax(t)dt — a \ x(t)dt для любого вещественного а;
а	а
е>	ь	ь
2)	J [х (t) + y(t)] Л = J * (t) dt + J
3)
а	а
с	*	6
6
4) || \ х (t) dt || < max || x (t) || (Ь - а).
Добавим к ним еще формулу интегрирования по частям
ь	ь
5) J и (t) dv (t) = u(t)v (t) fa - J v (t) du (t).

M.17J	§ 16.1. основные определения	315
Здесь и (rf)—дифференцируемая функция со значениями
в пространстве В, a v(t)—дифференцируемая числовая
функция. Доказательство формулы 5) проводится тем же
путем, что и для числовых функций (9.51а).
16.17. Высшие производные.
а.	Высшие производные от векторной функции х (t) были
определены в 12.54. Производная порядка п, по определе-
определению, есть первая производная от производной порядка
п—1, если эта последняя есть дифференцируемая функция
при а<;*^6.
В дальнейшем существование этих производных предпо-
предполагается без специальных оговорок.
б.	Посмотрим, как изменяются вектор-функции xt, xtt,...
при замене независимого переменного t на новое независи-
независимое переменное т, t~t(x), где ^(т) — достаточно гладкая
функция от т.
Мы уже видели A6.14), что первые производные по t
и по т отличаются лишь множителем:
Дифференцируя по т это равенство и снова используя
формулу дифференцирования сложной функции, мы находим
*хх = (*т)т - (*А)т = (*«)* '* + хАх = xtA + Xttxz.
Мы видим, что вектор ххх, не будучи, вообще говоря,
коллииеарным с вектором! Хцл находится в одной плоскости
с векторами xt и х^. Таким образом, плоскость, опреде-
определяемая векторами xt, xw уже не зависит от выбора пара-
параметра, хотя положение вектора хп в ней может измениться
с переходом к новому параметру.
В общем случае мы утверждаем, что при любом п век-
вектор Хт"' лежит в п-мерном подпространстве, порожденном
векторами xt, xu, ..., х\п\ Доказательство проводится по
индукции: предполагая справедливым соотношение
дифференцируем его еще раз по т; мы получим
2ХфЛ+21
ft=l	fe=l

316	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16*18
так что х[п+1) выражается линейно через векторы xt, xtt, ...
..., хf"+1\ что нам и требовалось.
Можно сказать, что геометрический смысл имеют не сами
векторы xt, xtt, ..., x(t"\ ..., а порождаемые ими линей-
линейные многообразия. Они называются соприкасающимися под-
подпространствами размерности, соответственно 1, 2, ...
..., п, ... (в случае линейной независимости xt, %, ...).
в. При наличии у функции x(t) на отрезке [а, Ь] про-
производных до порядка п -f-1 справедлива формула Тейлора
A2.54в)
Ax(t) = x(t + At) —x {t) =
Полагая здесь п=\, 2, ... и используя оценку Qn
из 12.54в, получаем ряд все более точных формул:
А* (/) = *'(О Д' +МОД',	A)
B)
Ax(t) = x' (t)At+x" {t)^ + x'"(t)^ + Ba(t)(At)\ C)
16.18. Строение кривой в окрестности обык-
обыкновенной и особой точки. Равенство 16.17 A) пока-
показывает, что кривая L с уравнением x = x(t) с точностью
до малых первого порядка относительно Д^ совпадает при
x'(f)=?=O со своей касательной. Равенство 16.17 B) показы-
показывает, что с точностью до малых второго порядка кривая L
лежит в плоскости, определяемой векторами х' (t) и х" (t);
эта плоскость (в случае, когда х' (t) и х" (t) линейно неза-
независимы) в соответствии с определением 16.176 называется
соприкасающейся плоскостью для кривой в точке М.
Если ?, rj—координаты в соприкасающейся плоскости
в базисе х' (t), x" (t)/2, то из выражения 16.17 B) мы полу-
получаем следующее параметрическое представление кривой L
с точностью до малых второго порядка:

16.18]
§ 16.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
317
Таким образом, с указанной точностью кривая L есть
парабола, лежащая в соприкасающейся плоскости, с урав-
уравнением Т) = ?2.
Подпространство, определяемое векторами х' (t), x" {t)/2,
x'"(t)/6 (в случае, если они линейно независимы), называ-
называется трехмерным соприкасающимся подпространством для
кривой L в точке М A6.176). Из равенства 16.17 C) видно,
что кривая L с точностью до
малых третьего порядка лежит
в трехмерном соприкасающемся
подпространстве. Если ?, т),
?— координаты в этом подпро-
подпространстве относительно базиса
x'(t), x"(t)/2, x'"(t)/6, то из
того же равенства 16.17 C)
можно вывести параметриче-
параметрическое представление кривой L:
Рис. 16.2.
с точностью до малых третье-
третьего порядка.
Мы получаем пространст-
венную кривую, изображенную
на рис. 16.2. Ее проекция на плоскость ?, т) есть уже
рассмотренная парабола т) = ?2. Ее проекция на плоскость ?, ?
есть кривая третьего порядка ? = ?8 (вид с вершины век-
вектора ~^xf(t)). Ее проекция на плоскость т), ? есть полу-
полукубическая парабола ? = т)8/2 (вид с вершины вектора х' (t)).
Рассмотрим теперь расположение кривой в окрестности
особой точки с, где х' (с) = 0, но х" (с)фО и х"'(с)*?0.
Формула Тейлора дает нам
Ах (с) = у х" (с) At2 + ^ х"'(с) At* + e3 (t) At\
Таким образом, с точностью до малых третьего порядка
кривая L лежит в плоскости, определяемой векторами х" (с)/2
и х'"(с)/6, и имеет там уравнение ? = т)*/2. Если привлечь
и малые четвертого порядка, то при xlv(c)^0 добавится
член ^rXlv(c) At*, который обнаруживает отклонение кривой

318
ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
[16.16
от плоскости х" (с), х'"(с) в сторону вектора xlv(c) (рис. 16.3).
Заметим, что ввиду постоянства знака у Д^4 обе ветви
острия загибаются в одну и ту же сторону.
Итак, в случае особой точки с, где х' (с) = 0, при
отсутствии дальнейшего вырождения особая точка М есть
точка заострения.
Ас)
Рис. 16.3.
16.19. Длина дуги. Определение длины дуги кри-
кривой x(t) было дано в 9.63. Мы повторим сейчас это опре-
определение и приведем вывод соответствующей формулы в при-
применении к случаю кривой в любом нормированном пространстве.
Длина дуги определяется как предел длин вписанных
ломаных при неограниченном уменьшении длины каждого
звена. Точнее, пусть
— разбиение отрезка [а, Ь], иа котором определена вектор-
функция х (t). Каждой точке t{ соответствует на кривой
точка M[ = x(tt). Соединяя точки Ж,- отрезками, получим
п-г
ломаную Lu, длина которой равна 2 I А*/ !• Будем предпо-
лагать, что функция х (t) имеет на отрезке [а, Ь] непрерыв-
непрерывную производную. Тогда
'4 + 1
Ах,- = J х' @ Ot = х' (tt) Mt + е,-
где
1 ci
= Ж- J
=_max \x'{t) _*'(
\t-'t\<d(U)

16.19]	§ lfr.l. основные определения	319
В силу равномерной непрерывности функции х' (i) эта вели-
величина стремится к нулю при неограниченном измельчении
разбиения П. Поэтому мы можем написать оценку
= 0	1 = 0
Л-1
Но сумма 2 I *' (h) I А'/ ПРИ неограниченном измельчении
разбиения П имеет пределом
а
поскольку числовая функция |х'(^)| непрерывна вместе
с векторной функцией х' (t). Отсюда следует, что предел
длин вписанных ломаных существует и при указанных пред-
предположениях равен интегралу A). Заметим, что в простран-
/~т
стве /?„ мы имеем \х' (t)\ = 1/ У\ Ix'tlt)]2. что соответст-
63 5
V i
вует известной нам формуле 9.63 E). В отличие от этой
формулы, выражение A) действует в любом нормированном
пространстве.
Если заменить b на t, a t на т, мы получим выражение
дуги кривой L, соответствующей отрезку [a, t] изменения
параметра г:
t
Мы видим, что s(t) есть неубывающая функция от t,
непрерывная и дифференцируемая, причем согласно 9.31
s'(t) = \x'(t)\.
Если на кривой L нет особых точек, т. е. х' (t) нигде
не обращается в нуль, то можно применить теорему
об обратной функции; в этом случае существует обратная
функция t = t(s), также непрерывная, возрастающая и обла-
обладающая непрерывной производной. А тогда и функцию х (t)
можно записать в форме функции от s, причем снова непре-
непрерывной и обладающей непрерывной производной. Дугу s

320	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.21
будем называть дальше натуральным параметром. Если
кривая L задана функцией x = x(s) с натуральным парамет-
параметром s, то в силу A)
Таким образом, вектор х' (s) в каждой неособой точке
кривой L имеет длину 1. (Кинематически это понятно: если
параметр s есть длина пройденного пути и вместе с тем
затраченное на этот путь время, то скорость движения равна
единице.)
§ 16.2. Кривизна. Высшие кривизны
16.21. В дальнейших рассмотрениях мы будем иметь
дело не только с длинами векторов, но и с углами между
ними. Поэтому естественным местом действия будет не общее
нормированное пространство, а гильбертово пространство
A2.91).
Лемма. Пусть x(t) uy(t) (a^.t^.b) —дифференцируе-
—дифференцируемые функции со значениями в гильбертовом пространстве Н;
тогда числовая функция ф (t) = (x (t), у (t)) также дифферен-
дифференцируема, и
(t), y'V)).	О)
Доказа т ельство. Мы имеем
АФ = (х (t + At), у (t + At)) - (х (t), y (t)) =
= С* (t) + x' (t) At + El Д/, у (t) + / @ A^ + e4 At) —
где e3 = e3 (t, At) —* 0 при А^ —s- 0. Таким образом, вели-
величина Аф допускает выделение главной линейной части.
Выписывая ее, получаем формулу A).
Следствие. Если при изменении t длина вектора x(t)
остается постоянной, то вектор х' (t) ортогонален к x(t).
Действительно, применяя к функции (x(t), x(t)) формулу
дифференцирования A), получаем
0 = (*(*), x(t))'~2(x(t), x'(t)),
что и требуется.

16.23]	§ 16.2. КРИВИЗНА. ВЫСШИЕ КРИВИЗНЫ	321
16.22. Рассмотрим кривую L — \x = x(s)}, где парамет-
параметром уже служит длина дуги, отсчитываемая от некоторой
фиксированной точки. Вектор ег (s) = х' (s), как мы видели
в 16.19, имеет постоянную длину 1.
Если х' (s) и х" (s) линейно независимы, то существует
соприкасающаяся плоскость. Вектор е\ (s) — x" (s), лежащий
в соприкасающейся плоскости, по доказанному ортогонален
к ех (s). Он называется вектором кривизны кривой L в точке s.
Положим
e't{s) = K(s)e2(s),	A)
где е2 (s) — единичный вектор, ортогональный к ех (s), а коэф-
коэффициент и (s) положителен. Мы имеем
Разность единичных векторов et (s -\- Д$) и ех (s), взятая
по модулю, есть хорда единичного круга и представляет
собой бесконечно малую величину, эквивалентную углу
между этими векторами, иными словами, углу между каса-
касательными к кривой L в точках, отвечающих значениям
дуги s и s + As. Таким образом, коэффициент k(s) показы-
показывает скорость поворота касательной по отношению к изме-
изменению длины дуги; чем быстрее поворачивается касательная
на единицу дуги, тем больше коэффициент k(s). Число k(s)
называется кривизной кривой L в точке s.
Заметим, что формула B) дает несколько более общее
определение кривизны, чем формула A), поскольку в B)
не требуется, чтобы было e't ($)=??= О, и достаточно лишь
существования e[(s). В случае, когда e\(s) = 0, формула B)
дает для кривизны в соответствующей точке значе-
значение нуль.
16.23. Выведем формулу для кривизны в случае задания
кривой L уравнением x = x(t) с произвольным параметром t.
Так как st — \xt\ = \f(xt, xt) A6.19), то в силу леммы 16.21

822	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	{46.24
Далее, мы имеем
±_ xtt_	3-?tL-
I 12	а
\*А* Ut\
и, окончательно,
ь xtt)
1**1" I**1*
A)
Вывод этой формулы использует определение 16.22 B),
поэтому она годится и в случае и (s) Ф 0, и в случае и (s) = 0.
Вводя величину кривизны в формулу Тейлора 16.17 B)
(при ei (s) Ф 0), мы можем записать эту формулу в виде
Лд; (s) = x'{s)As + x" (s) ~ + ег (в) As2 =
= ег (s) As + у и (s) e2 {s) ks* + e2 (s) As*.	B)
16.24. Найдем кривизну окружности. В координатах,
связанных с ее плоскостью, уравнение окружности имеет вид
Дифференцируя, получаем
xt = { — Rsmt, Rcost\, \xt\ = R,
Ktt = { — ^ cos t, —R sin t\, (xt, .%) = 0.
Отсюда
значит, кривизна окружности равна величине, обратной к ее
радиусу.
16.25. Пусть теперь L = {д; = х {s)\—пространственная
кривая. Если в соприкасающейся плоскости проводить раз-
различные касательные окружности к кривой L, то отклонение
между соответствующими точками кривой L и каждой такой

16.26]
§ 16.2. КРИВИЗНА. ВЫСШИЕ КРИВИЗНЫ
323
окружности Q, вообще говоря, имеет второй порядок мало-
малости по сравнению с Д$. Попробуем, выбрав должным -обра-
-образом радиус касательной окружности, получить отклонение
не второго, а третьего порядка. Пусть z = z{s)—уравнение
касательной окружности с натуральным параметром s и
с тем же направлением вектора кривизны (рис. 16.4}. Тогда
по формуле 16.23 B)
Дл: (s) = ех (s) Д5 + y и (s) et (s) As*
Д* (s) = ex {s)
^ ег (s)
где еа, е2—бесконечно малые при д$ —
задача решается, если положить /? =
¦О;
1
значит, наша
. Касательная
Рис. 16.4.
окружность, расположенная в соприкасающейся плоскости
к кривой L в точке s, с тем же направлением вектора кри-
кривизны и радиусом /?==—7-г называется соприкасающейся ок-
ружностью, а ее центр называется центром кривизны кри-
кривой L в точке s. Число jR — —^ называется радиусом кри-
Y. (S)
визны L в точке s. Если кривая L — окружность, ее радиус
кривизны вследствие 16.24 совпадает с радиусом этой
окружности.
16.26. Сопровождающий базис. Предположим,
что в данной точке М кривой L существуют и линейно

324	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.27
независимы векторы х' (s), x" (s), ..., х(п) (s). Тогда в этой
Точке существуют соприкасающиеся подпространства Ег а
с^?,е • • • ез/:„ соответственно размерностей 1, 2, ..., п.
Построим в подпространстве Еп ортогональный и нормиро-
нормированный базис следующим образом. В качестве первых двух
векторов возьмем уже построенные нами ех (s) «= x' (s) и
е2 (s) = ¦.¦•'«/Л • Третий вектор ей (s) выберем в подпростран-
стве Е3 ортогонально к плоскости с,ив сторону того полу-
полупространства, в которое направлен вектор х'" (s). Аналогично,
после того как в подпространстве Ет построены первые т—1
векторов el (s), ..., ет_1 (s), вектор ет (s) выберем в Ет орто-
ортогонально к подпространству Ет_1 и в сторону того полу-
полупространства, в которое направлен вектор х{т) (s). Этими
условиями базис ех (s), ..., en(s) определен однозначно. По
построению, каждый вектор ет (s) есть линейная комбинация
векторов х'(s), ..., x{m)(s):
ет (s) = Фх (s) *'(*)+¦..+ ф. (s) х™ (s),	A)
причем заведомо фт (s) > 0.
Базис из векторов е1 (s)	еп (s) называется сопро-
сопровождающим базисом кривой L в точке М. Разумеется, он
изменяет свое положение в пространстве вместе с точкой М.
16.27. Формулы Френе. Выведем формулы для диф-
дифференцирования векторов сопровождающего базиса кривой
LcRn по параметру s. Дифференцируя равенство 16.26 A)
и используя правило 12.51ж, находим
Ф/ (s) ** (s) + ? ф, (s) хЧ+ »> (s),	A)
/=1	/>=1
следовательно, при т < п вектор e'm(s) заведомо входит в
подпространство Ет+1; поэтому можно написать
е'т (s) = ат1 (s) ex (s) + ... + атт (s) em (s) + ая> т+1 (s) em+1 (s).
При т = п формула B) верна, если заменить еп+1 на 0.
Как легко вывести из A), B) и 16.26 A), а|„1Я1+1 = ф|В(«) > 0.
Что касается остальных коэффициентов в B), то их также
можно легко подсчитать. Прежде всего мы имеем атт (s) == 0,
так как производная единичного вектора ет(s) ортогональна

16.27}	§ 16.2. КРИВИЗНА. ВЫСШИЕ КРИВИЗНЫ	325
к нему A6.21). Далее, дифференцируя очевидное равенство
(ej(s), em(s)) = 0 [j<m), получаем
(e,{s), em{s))+ {€,{*), em(s)) = 0,
откуда
(e'm(s), ey (*))=—(в/(*), em(s));	C)
это выражение заведомо равно нулю при / < т—^посколь-
т—^поскольку ej(s)?Ej+l. Таким образом, равенство B) приводится
к виду
е'т («) = в», m-l (*) ет-1 (*) + в., т+1 (s) ет^ (s).	D)
Из C) при j—m—1 следует, что
Обозначим, далее, их == их (s) = (е; (s), еа (s)) = а12; эта
величина была раньше обозначена через к (s). Далее, полагаем
иг = к2 (s) = (е'а, е3), и3 = и3 (s) = (e's, е4) и т. д. Мы полу-
получаем цепь формул
е\ (s) = у.1ег (s),
E)
которые называются формулами Френе в Rn. Величины
называются второй, третьей и т. д. кривизнами кривой ?
в точке М; все эти величины, по построению, положи-
положительны. Вторая кривизна иа называется также кручением
кривой в точке М.
Выясним геометрический смысл коэффициентов к2, ...
• • •• **„_,. Равенство
(s)
показывает, что скорость поворота вектора ет (s) разлагается
на две составляющие: первая—по направлению вектора
em_1(s); она дает нам вращение подпространства Ет в са-
самом себе; вторая—в направлении вектора em+1(s), она от-
отвечает вращению в направлении, ортогональном к Ет;

326	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.28
коэффициент ит и есть скорость этого последнего вращения
(угол поворота, отнесенный к пройденной дуге). Так, кручение
есть скорость вращения соприкасающейся плоскости в на-
направлении от вектора е% к вектору е3.
Таким образом, число кт можно истолковать как ско-
скорость вращения подпространства Ет в ортогональном к себе
направлении, аналогично геометрическому определению кри-
кривизны itj как скорости вращения касательной A6.22 B)).
Так же как и это последнее, геометрическое определение
кт имеет несколько более общий характер, чем определе-
определение, связанное с формулами Френе и требующее невырож-
невырожденности пространства Ет+1: геометрическое определение
требует лишь невырожденности пространства Ет и сущест-
существования производной xlm+1)(s). Если x{m+1)(s) — О, простран-
пространство Ет имеет в данной точке нулевую скорость вращения,
и геометрическое определение дает для величины кт зна-
значение 0.
16.28. Вычисление высших кривизн. В алгебре
смешанным произведением п векторов а1, ..., ап евклидова
пространства называют число [а1, ..., а„], равное объему
л-мерного параллелепипеда, построенного на этих векторах;
если выразить векторы а1У ..., ап через их координаты
в каком-либо ортогональном нормированном базисе, то число
[alt ..., ап] равно детерминанту л-го порядка, в столбцах
которого выписаны координаты этих векторов *).
Вычислим смешанное произведение векторов xs, xss, ...
..., х^п). Для этого, с одной стороны, используем формулы
xs.= xtts,
xss= . . .+xtfi,
выражающие производные по s через производные по лю-
любому другому параметру t; многоточия заменяют векторы,
линейно зависящие от уже выписанных в предыдущих стро-
строках. Из свойств детерминантов следует, что
[*„ .... *<«>] = [*,	хГ]П+- *.	A)
•) См. Г. Е. Шилов, КЛП, 8.74.

16.28J	§ 16.2. кривизна, высшие кривизны	927
С другой стороны, мы знаем, что имеют место формулы
XSS = ^1^21
— • • • -г
Xs —
Xs —
где многоточия также заменяют векторы, линейно завися-
зависящие от выписанных в предыдущих строках. Аналогично по-
получаем
Сравнивая A) и B), получаем равенство
которое позволяет найти и„_1, если известны хх, ...,»{„_а.
При л = 2 получается формула для кривизны
по внешнему виду более простая, чем выведенная в 16.23.
В действительности же новая формула D) более выгодна,
чем прежняя, лишь в случае плоской кривой, когда вели-
величину [xt, xtt] можно вычислить в форме одного определи-
определителя второго порядка. Напомним, что в общем случае
квадрат объема /и-мерного параллелепипеда, построенного на
векторах хк = {хк1, ..., xkn\ (k = 1, .... т) л-мерного про-
пространства, равен сумме квадратов всех миноров /я-го по-
порядка матрицы координат векторов хк*).
При л > 2, разделив обе части формулы C) на соответ-
соответствующие части аналогичной формулы
ИП-2И«-3 t и	__ |*t» <¦ • • 1 *», J
*) См. КЛП, 8.73.

328
получаем
ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
[16.28
(б)
Далее, разделив обе части этой формулы на соответст-
соответствующие части аналогичной формулы
находим окончательно
U, ...,х
fo, ....
Геометрически это означает, что кривизна
И/,_1 с точностью до множителя \xt\ равна
отношению высоты л-мерного параллелепи-
Рис. 16.5. педа, построенного на векторах xt, ..., x{tn\
к высоте (я—1)-мерного параллелепипеда,
построенного на векторах xt, ..., xf~l).
Пример. Найдем кривизну и кручение винтовой линии
в трехмерном пространстве. Винтовая линия (рис. 16.5) опре-
определяется уравнениями
х (t) = {a cos t, a sin t, bt).
Дифференцируя, получаем
xt={ — a sin t, a cost, b\, \ xt \ = ]/aa -\- Ьг,
xtt = { — a cos t, —a sin t, 0}, (xt, xtt) = 0,
xttt={asmt, —acost, 0}, [xt, xtt, xttt] = a*b.
Отсюда по формуле D) имеем
и, = -
Наконец, по формуле C) получаем

16.32] § 16.3. ВЫРОЖДЕНИЕ СОПРОВОЖДАЮЩЕГО БАЗИСА	329
§ 16.3. Вырождение сопровождающего базиса
16.31.	Мы определили в 16.17 соприкасающиеся про-
пространства fjCEsC ..., с?„ для кривой x — x(t) в случае,
когда векторы х' (t), ..., лг(п) (t) существуют и линейно
независимы. Рассмотрим случай, когда последнее условие
нарушается.
Если в какой-либо точке t векторы х'(t),
становятся линейно зависимыми (а векторы х' (t), .
все еще линейно независимы), то про-
пространство Еп уже не существует, хотя	е,(Е
En-i продолжает существовать. Вели-
чина и„ (t) теряет смысл; вектор еп (t)
также теряет смысл. Можно было бы
пытаться построить вектор en(t) по
непрерывности, переходя от известного
вектора еп (t) к пределу при t —*¦ t (для
линейно независимых х' (t), ..., х{п) (F)),
но при этом может оказаться, что
переходы к пределу по возрастающим
t/t и по убывающим ^\? приведут
к разным значениям. Пусть, например,
С есть точка перегиба плоской кривой
(рис. 16.6); тогда при переходе через эту точку вектор et{t)
меняет направление скачком на 180°. Условно мы доопреде-
доопределяем функции и, @, .-., v.n(f) в тех точках, где они пере-
перестают существовать, полагая их равными нулю; это оправ-
оправдывается соображениями, приведенными в 16.27.
16.32.	Пример. Прямая линия представляется уравне-
уравнением
Из уравнения A) следует
0,	B)
значит, соприкасающейся плоскости не существует; поэтому
в силу нашего соглашения кривизна прямой линии равна
нулю.
Обратно, пусть для некоторой линии х=х (t) кривизна всю-
всюду равна нулю, т. е. векторы х' (t) и х" (t) линейно зависимы

830	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.33
(причем х' {t) Ф 0). Покажем, что эта линия—прямая.
Линейная зависимость векторов х' {t) и х" (t) означает, что
x"(s) = 0, поскольку х" {s) линейно выражается через х'(t)
и х" (t) и ортогонален к х' {t). Но тогда х' (s) есть постоян-
постоянный вектор (на основании теоремы, доказанной в 12.51л:
если производная векторной функции тождественно равна
нулю, то сама эта функция постоянна), причем, как и всякий
вектор вида х'(s), по длине равный 1. Обозначим его через
xv l*il=l- Интегрируя уравнение x'{s) = xl и пользуясь
единственностью решения (вытекающей из той же теоремы
12.51л), получаем
x{s) = xo + sx1,
что и требовалось.
16.33. Несколько более сложный случай представляет
кривая, целиком расположенная в л-мерной гиперплоскости.
В этой гиперплоскости располагаются все векторы х' (t),
х" (t), ..., и, следовательно, векторы х' (t), ..., хы+1) (t)
линейно зависимы. Поэтому кривизна и„ (/) и все последующие
тождественно обращаются в нуль. Покажем, что верно и
обратное: если л-я кривизна кривой L тождественно обра-
обращается в нуль, то вся кривая L лежит в л-мерной гипер-
гиперплоскости.
Наше предположение означает, что при каждом t,
a^.t^.b, векторы х' (t), ..., xin+1)(i) линейно зависимы:
x»+»{t) = a0{t)x'V)+...+an_1Wtf*>[t).	A)
Будем считать, что векторы х' (t), ..., xw(t) на всем
участке а ^ / ^ b остаются линейно независимыми. В этом
предположении можно показать, что все коэффициенты ak(t)
в равенстве A) непрерывны, если непрерывна функция хш+1) (t).
Действительно, умножая равенство A) скалярно на х' (t),
..., xtn) (t), получаем систему линейных уравнений относи-
относительно коэффициентов
х' (t)) = а0 (t) (xt, xt)+...+ a^ (t) (x^, xt),
*'«>(')) = a0 (t) (xt, хП + • • • + eB_i W W1"
Все коэффициенты этой системы непрерывны (как скалярные
произведения непрерывных функций), а ее детерминант, как

16.41]	§ 16.4. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	331
детерминант Грама системы независимых векторов, отличен
от нуля *). Поэтому из формул Крамера для решений ao{t), ...
• ••> an-i (О следует, что все эти решения сами непрерывны
на [а, Ь].
В силу 13.65 существует решение y(t) уравнения
!><»> {t) = а0 (t)y (/)+...+ ав.1 (i)/»-» (t),	B)
которое по 13.66 целиком располагается в подпространстве,
порожденном векторами уо=у (а), ..., уп_1=у{п~1)(а). Мы
положим здесь уе = х'(а), ..., уп_1 = хм(а). Так как век-
векторная функция х' {t) удовлетворяет уравнению B) (которое
при подстановке х' (t) = y(t) превращается в A)) и указанным
начальным данным, то по 13.66 вектор х' (t) при всех /
остается в подпространстве, порожденном векторами х'(а),...
..., xin)(а). Вектор
при всех / g [а, Ь] лежит в гиперплоскости, проходящей через
точку х(а) параллельно найденному подпространству. Мы
доказали теорему:
Теорема. Если для кривой L — {х = х{Щ, расположен-
расположенной в гильбертовом пространстве Н, при всех t ? [а, Ь\
векторы х' (t), ..., xw {t) линейно независимы, а векторы
х' (t),	, xin+1) (t) линейно зависимы, то кривая L лежит
в гиперплоскости, проходящей через точку х (а) и определя-
определяемой векторами х' (а),	, лг(п)(я).
В частности, если кручение >с2(/) кривой L тождественно
равно нулю, а кривизна не обращается в нуль, то кривая L
плоская.
§ 16.4. Натуральные уравнения
16.41. На кривой L с натуральным параметром в все ее
кривизны можно считать функциями от s:
и, = и, (s), xt
При этом мы допускаем обращение кривизн в нуль, пони-
понимая под этим описанное в 16.31 вырождение.
*) См. КЛП, Ь.71.

33,2	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.41
Если кривая L получается из кривой L изометричным
(сохраняющим все расстояния) линейным преобразованием
пространства Н, то, поскольку все функции -лт (s), tn = 1,
2, ..., определяются только метрикой, для кривой L они
будут теми же самыми, что и для кривой L. Покажем, что
для конечномерных кривых справедливо и обратное:
Теорема. Если для двух кривых L и L, расположенных
в п-мерном пространстве Rn (и описываемых п раз диффе-
дифференцируемыми векторными функциями), кривизны щ (s), ...
..., JCn_! (s) непрерывны, положительны и выражаются соот-
соответственно одинаковыми функциями от s, то существует
изометрическое преобразование (движение, возможно с отраже-
отражением) пространства Rn в себя, при котором кривая L полностью
совмещается с кривой L.
Доказательство. Пусть е, (s), ..., еп(s) — сопро-
сопровождающий базис кривой i и е,(s), ..., en(s) — сопровож-
сопровождающий базис кривой L. Рассмотрим движение (возможно, с
отражением) пространства /?„, которое переводит начальное
положение сопровождающего базиса ег @), ..., еп @) кривой
L в начальное положение ^@), ..., еп@) сопровождающего
базиса кривой L, так что ег @) переходит в ех @), ...
..., е„@) — в е„@). Покажем, что при этом преобразовании
пространства Rn кривая L полностью совмещается с кривой L.
Функции *Cj (s), ..., >cn_l(s) согласно нашим условиям
непрерывны. Поэтому в силу теоремы 13.63 существует
единственное решение системы
с начальными условиями
МО)-МО). •¦•, у„(О) = вв(О).	B)
Но так как в силу формул Френе_/5.27 E) и векторы
ех {s), ..., еп (s), и векторы ег (s)	en(s) удовлетворяют
системе A) с начальными условиями B) (после произведен-

16.42)	§ 16.4. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	833
иого движения), то согласно теореме 13.63
Обозначим через x=*x{s) веющий вектор кривой L и
через x(s) ведущий вектор кривой L (после ее перемещения).
Так как теперь кривые L и L начинаются в одной и той же
точке х{0), то
S	S
х (s) = х @) + J 7, (I) а% = х @) + J e, ffi) а% = х (s).
о	о
Таким образом, кривая L полностью совпадает с кривой
L, что и требовалось; этим теорема полностью доказана.
Уравнения
называются натуральными уравнениями кривой L; как мы
видели, они определяют кривую L в л-мерном пространстве
с точностью до линейного изометрического преобразования
этого пространства.
16.42. Кривые с наперед заданными кривиз-
кривизнами.
а. Теорема. По п—1 произвольно заданным непре-
непрерывным функциям ф! (s) > 0, ..., ф„_! (s) > 0 @^s^so)
всегда можно построить такую векторную функцию x = x(s)
со значениями в /?„, имеющую непрерывные производные до
порядка п, что для кривой LczRn, определяемой уравнением
х = х (s), функции фА (s) будут давать значения ее кривизн
в зависимости от дуги s:
б. Сначала установим следующую общую лемму:
Лемма. Рассмотрим векторное уравнение в Rn
где A (t) — антисимметричный оператор (т. е. операция транспо-
транспонирования матрицы A (t) —1| ajh (t) || меняет знак всех ее эле-
элементов: afh(t)=—ahj(t)). Утверждается, что разрешающая

834	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.48
матрица fl'e ортогональна (т. е. транспонированная мат-
матрица по отношению к Q'o совпадает с обратной к fi'o).
Доказательство. Оператор fi/e, как мы видели в
13.386, удовлетворяет уравнению
A)
с начальным условием Q^ = /. С другой стороны, по 13.38г
дифференцируя это равенство по t, находим
или
откуда
Переходя к сопряженным операторам, находим (КЛП, 7.64)
Теперь используем условие А' (/) = — A (i); мы получаем
Сравнивая это уравнение с A) и замечая, что оператор (QJ0)'
удовлетворяет тому же начальному условию (?2$' = /' = /,
что и оператор Q{0, получаем в силу единственности реше-
решения
(Qh'-Q'fc-	B)
Но QJ°== (fije)~r. Поэтому равенство B) показывает, что
Q{0 есть ортогональный оператор, что и утверждалось.

16.42]	§ 16.4. НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ	83S
в. Теперь рассмотрим векторную систему уравнений
y'i(s)^V1{s)y1(s),
У* (s) = — <Pi (s) У! {s) + Ф, (s) ya (s), x
\6)
при начальных данных
3'i@) = e1	У„{0) = еп,
где et, ..., е„ — какие-нибудь я ортогональных и нормиро-
нормированных векторов пространства /?„.
Покажем, что векторные функции yl(s), ..., у„ (s)—ре-
(s)—решения системы C), существующие в Rn согласно теореме
13.63, — ортогональный нормированы при каждом s?[Q,so\.
В силу леммы б матрица || Wyft (s) || разрешающего опера-
оператора Ql системы C) ортогональна, так что
»	| 1 при у=А
Мы имеем
Поскольку базис ?j, ..., еп ортонормален,
^	при
что и требуется.
Таким образом, векторы y^{s) оказываются ортогональ-
ортогональными и нермированными при всех s € [0, s0].
г. Положим, далее,
Мы получим кривую L в л-мерном пространстве /?„. При
этом |x'(s)| = |y,(s)| = l, так что параметр s для кривой L
служит длиной дуги. Далее, при каждом m = 1, 2, ..., л
векторы ух (s), .... ym (s) ортогональны и нормированы, н
хш (s) = yf1-™ (s) в силу уравнений системы C) линейно вы-
выражается через уг (а), ..., ym (s), причем коэффициент при

336	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	[16.51
ут (s) положителен (равен <pm_, (s)); поэтому векторы ух (s), ...
• • • 1 Уп (s) ПРИ каждом s являются векторами сопровождаю-
сопровождающего базиса кривой L. Но для векторов сопровождаю-
сопровождающего базиса справедливы формулы Френе 16.27 E)
(s),
У* («) = — *, (s) У! (s) + з<2 (s)y3 (s),
Сравнивая эти формулы с уравнениями C), последова-
последовательно убеждаемся в справедливости равенств
<Pi (s) = кг (s), ф2 (s) 3E щ (s), ..., (pn-1(s)^Kn_l(s).
Теорема доказана.
§ 16.5. Винтовые линии
16.51.а. Оп редел е ние. Кривая, все кривизны которой
постоянны, называется винтовой линией.
б.	Очевидно, этому определению удовлетворяет прямая
линия (все ее кривизны равны нулю). На плоскости окруж-
окружность Q радиуса R, как мы видели в 16.24, имеет постоян-
постоянную кривизну и = 1 //?; высшие же ее кривизны равны нулю.
Таким образом, окружность также удовлетворяет определе-
определению винтовой линии. Покажем, что на плоскости нет ника-
никаких иных винтовых линий. Если L есть плоская кривая
постоянной кривизны к > 0, то мы можем рассмотреть на-
наряду с кривой L окружность Q радиуса /?=1/»с, которая
также имеет постоянную кривизну и. Но тогда в силу тео-
теоремы 16.41 кривая L можег быть совмещена движением с
окружностью Q, так что и сама L является окружностью.
в.	В трехмерном пространстве «классическая» винтовая
линия Q
хг = а sini, X3 = bt,	A)
как мы видели в 16.28, имеет постоянную кривизну и посто-
постоянное кручение, которые вычисляются по формулам
B)

16.52]
§ 16.5. ВИНТОВЫЕ ЛИНИИ
337
Поэтому Q есть винтовая линия в смысле нашего опре-
определения. Покажем, что никаких иных винтовых линий в /?„
не существует. Пусть L есть винтовая линия в R3, причем
и, > 0, и2 > 0. По данным к2 и и2 определим параметры
а и Ь из уравнений B); легко подсчитать, что
а =
По полученным а и b построим винтовую линию A). Ее
кривизна равна числу
а кручение — числу и2. В силу
теоремы 16.41 кривую L движением в пространстве R3 можно
совместить с винтовой линией A), что и требуется.
16.52. Найдем винтовые линии в п-мерном пространстве. Винто-
Винтовая линия в Rn есть линия, для которой щ (s)=x1,..., у.п_1 (s)=xn_1
постоянны и отличны от нуля. Векторы et (s)	 е„ (s) удовлетво-
удовлетворяют системе уравнений Френе 16.27 E)
е\
) = — У.гех (s)+к2е3 (s)
C)
с постоянной матрицей коэффициентов
О у.у
— Щ О	3<2
—х„_1 О
Вычислим ранг матрицы К. Вычеркивая строку и столбец, содержа-
содержащие элемент Xj., мы понижаем ранг на 1; вычеркивая, далее, строку
и столбец, содержащие элемент—щ, понижаем ранг еще на единицу;
в результате получается матрица
О Из
-я, 0 у.л
—Х„ 2 ° *В-1
-Х„_! О
той же структуры, что и исходная, причем ранг понизился на две
единицы. Продолжая этот процесс, мы приходим к одной из двух
возможностей: если п = 2т четно, мы получаем, что ранг равен п;

338
ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
[16.52
если л=2т+1 нечетно, то на последнем шаге мы приходим к одномер-
одномерной матрице с элементом нуль, и, следовательно, ранг исходной мат-
матрицы равен 2т=п—1.
Матрица К, очевидно, антисимметрична, лри транспонировании
она меняет знак. Воспользуемся известной теоремой о структуре ан-
антисимметричного оператора*). Если п = 2т четно, в пространстве Rn
существует канонический ортонормальный базис xlt уг, .... хт, ут,
такой, что
= — xmxm.
При n==2m+l имеется еще одни базисный вектор г„, для которого
Кгп=0.
Поскольку ранг матрицы К равен 2т, в данном случае все числа
То ¦ • ¦, тт отличны от нуля.
Наряду с векторной системой C) рассмотрим скалярную систему
u'i(s)=x,us(s),
«!(s)=-Xi«i(s)+*ft(s). I	D)
Эта система обладает п линейно независимыми векторными решениями,
направленными прн s = 0 по каноническим векторам матрицы К-
Построим матрицу разрешающего оператора etK-. В силу 13.14в
(и 13.14а) мы имеем в базисе xlt ylt x2, yt, .... хт, ут(г„)
cos <Т| —sin tz, ...
sin <ti cos txx ...
Если положить
cos txm —sin txm
sin txm cos txm
Уг — (У/i	У/п),
, y/(s)=(yfl(s), ...,y/n
n,
), .... znn(s)),
то по формулам 13.15в (и 13.15а)
Xfk(s) = cosys-xjk+smxjsy/k, (k—l, .... n,
У/k (s)= —sin т/s-x/ft+cos x/s-yJk,
E)
m)
*) См. КЛП, 9.46.

16.53]	§ 16.5. винтовые линии
Пусть теперь ex(s), ...» «„(s)—некоторое решение системы E) и
при этом
()(e/i(s)	e/n(s)>.
При фиксированном р функции ejp(s) (/=1, ..., п) удовлетворяют
системе C). Решение {^(s)} подчиним начальным условиям
«и @)=хи, .... еп1 @) = х1т
ew @) = Уа, • • •, е„4 @)=уг„,
г„1	е,ш@)=г„„ (n=2m+l).
Векторы et @), ..., еп @) нормированы и ортогональны (что не-
необходимо для восстановления кривой по данным кривизнам, 16.42в).
В частности, мы получаем
ex(s)=(Cu(s), ..., eln(s)) = (xn(s), j/u(s), xal(s), {/2i (s), ....
= (cost,s->;u+sinTiS-i/u, — sin t,s
Величина znl рассматривается лишь при n=2m+l.
Интегрируя по s, получаем (постоянные интегрирования, дающие
сдвиг по каждой оси, положены равными нулю)
nxiS costiS cost.iS , sint.s	. Л
xu	~Уи, -~-хи-\	—i-j/ц, .... (znls)j.
"l	*1	Tl	Tj	J
Более коротко эти формулы можно записать так:
г (s) = (A1 cos tl(s—s1), /4j sin т, (s—sj, /4S cos т2 (s—Sj),
A2 sin т2 (s— s2)	(Cns)).	F)
При л четном, п — 2т, вся кривая L располагается, очевидно,
на сфере
x\+xl+x\+xl+ ...+x?m-1+xim= А\+ А\+... 1
кривая является замкнутой, если все числа хи ..., гт соизмеримы *),
и не является замкнутой (и не имеег точек самопересечения), если
хотя бы одна пара чисел %j, %ь несоизмерима. При п = 2т+1 кри-
кривая F) не является ограниченной; по координате х2т+1 она уходит
при t —»• + оо на бесконечность.
16.53. Винтовые линии в бесконечномерном про-
пространстве. Отметим сначала следующее обстоятельство. Пусть
L—кривая в Rn. Предположим, что для заданной (начальной) точки
А этой кривой н любой другой ее точки Р существует движение
пространства (возможно, с отражением), совмещающее кривую L
с самой собой, сохраняющее направление роста параметра и перево-
переводящее точку А в точку Р. Тогда, поскольку движение пространства
сохраняет метрику, в точках А и Р значения всех кривизн кривой L
*) То есть являются рациональными кратными одиого из них.

840	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ	A6.53
(если она достаточно гладкая) соответственно совпадают. Так как
точка Р произвольна, то все кривизны вдоль всей кривой L по-
постоянны; следовательно, в данном случае перед нами винтовая линия.
Обратно, в силу 16.41 для любых двух точек А и Р заданной винто-
винтовой линии L в /?„ существует движеиие пространства /?„ (возможно,
с отражением), совмещающее винтовую линию L с самой собой, сох-
сохраняющее направление роста параметра и переводящее точку А
в точку Р.
Таким образом, у нас намечается еще одно определение винтовой
линии как кривой L, которую можно совместить с самой собой при
некотором движении пространства (возможно, с отражением), причем
сохраняется направление роста параметра и заданная точка А на кри-
кривой L переходит в заданную точку Р на этой кривой. Заметим, что
это определение не требует от кривой L никакой гладкости. Будем
называть кривую L, обладающую указанным свойством, самосовмес-
самосовместимой. Можно доказать, что в Rn класс винтовых линий совпадает
с классом самосовместимых линий (см. задачу 2).
В бесконечномерном пространстве, оказывается, существуют са-
самосовместимые линии, непрерывные, но не имеющие касательной. Мы
ограничимся здесь только одним, ио весьма- характерным примером
самосовместимой линии в гильбертовом пространстве.
Пример («спираль Вннера»). Рассмотрим пространство Я2 @, со),
состоящее из кусочно-непрерывных вещественных функций д:(т) на
полуоси 0 «S т < со, каждая из которых обращается в нуль вне неко-
некоторого отрезка [0, о] (для каждой функции х(т) своего). В этом
пространстве вводим скалярное произведение и норму по формулам
00	№
(*(т), у (г)) = J х (т) у (т) dx, II х (т) ||2 = 5 х* (т) dr.
о	о
интегралы написаны с верхним пределом со, но в действительности
они берутся по конечному промежутку. Для каждого t?[0, oo) рас-
рассмотрим элемент пространства Я2@, со)
Когда t меняется от 0 до со, точка Z{t) описывает в простран-
пространстве Н2 @, со) некоторую кривую L, которая и называется спиралью
Винера. Эта кривая непрерывна, даже равномерно непрерывна, так
как
Покажем, что кривая L самосовместима. Пусть задано /0,
0<<0<оо. Рассмотрим преобразование U пространства Я2@, со)
в себя по формуле
х (т) -ч. Ux (т) = г (<0, х)+х (т
(прн т < t0 полагаем х(х—to)*=0).

ЗАДАЧИ	341
Это преобразование нзометрнчно, так как
|| Ux (т)-Vy (т) ||2= || х (r-to)-y (т-*
00
о
j [* (т)-{/ (т)]2 dx = || х (t)-j/ (т) |р.
о
Начальная точка кривой Z @) совпадает с нулем простран-
пространства #2 @, со). Преобразование U переводит ее в точку Z (<„). Всикая
точка Z(t) кривой L преобразованием U переводится в точку Z (<+<0)
этой же кривой. Следовательно, кривая L самосовместима.
Теперь покажем, что функция Z{t) не имеет производной в про-
пространстве #2 @, оо). Действительно, вектор
Z(t+h)-Z(t) __ г(т, f+A)z(x. О
h	—	h	{Z>
соответствует функции от т, равной нулю при т<?[<, <+Л] и рав-
равной 1/Л при т?[<, t-\-h]. Его норма равна \l\Th, так что отноше-
отношение B) не имеет предела прн h -* 0.
Кривая L обладает еще следующим интересным свойством: любые
две ее хорды, отвечающие непересекающимся, промежуткам изменения
параметра, взаимно ортогональны. Действительно,
(Z{t+h)-Z(t), 2
00
$Л, x)-z{t, r)][z(s+k, т)-гE,
если интервалы (<, t-\-h) н (s, s+Л) не пересекаютси.
Можно построить и гладкие аналоги спирали Винера, заменяя
функцию г(т, 0 из A) на сдвиг (вдоль оси т на число 0 какой-
нибудь фиксированной гладкой функции фо(т).
У таких гладких кривых можно будет вычислять кривизны по
нашим обычным правилам; разумеется, все эти кривизны будут вдоль
всей кривой постоянными.
ЗАДАЧИ
1.	Доказать, что геометрическое место центров кривизны винтовой
линии в R9 есть также винтовая линия, с той же осью; геометричес-
геометрическое место ее центров кривизны есть исходная винтовая линия.
2.	Доказать, что всякая самосовместнмая кривая в Rn есть винто-
винтовая линия (без предположения гладкости).
3.	Между точками кривых в пространстве /?„ установлено взаимно
однозначное соответствие так, что в соответствующих точках векторы

342	ГЛ. 16. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРИВЫЕ
сопровождающих базисов соответственно параллельны. Пусть Х/^.и/2'
(/=1, 2, ... , п—1) суть кривизны этих кривых; показать, что
4.	Соприкасающаяся m-мерная сфера Sm для пространственной
кривой L есть сфера в (т-\-1)-шрноы пространстве, определенном
первыми m+l векторами сопровождающего базиса, такая, что откло-
отклонение точки кривой L от этой сферы имеет порядок малости Asm+%.
Показать, что радиус гт соприкасающейся m-мерной сферы с возрас-
возрастанием т не уменьшается.
5.	(«кривая Пеано»). Пусть < = 0, tt <2 ••• 'sn-i 'гл •¦•—троич-
•¦•—троичное разложение некоторого числа <?[0, 1), состоящее из зна-
знаков 0 и 2. Показать, что функции х(/)=0, tx ta... t2n-t ••• и
{/(<) = 0, t2 tt	tin ¦•• определены на множестве всех таких t одно-
однозначно и допускают непрерывное продолжение со своей области опре-
определения на отрезок [0, 1]. Показать, что кривая г (t) = {к (t), y{t)}
проходит через все точки квадрата 0 <; х < 1, (К {/ < 1.
Историческая справка
В трехмерном пространстве основные уравнения теории кривых
были даны Серре A851) и Френе A852); Жордан обобщил эти урав-
уравнения на n-мерный случай A874). Винтовые линии в Rn описал
Форсайт A930). Винтовые самосовместимые кривые в гильбертовом
пространстве играют большую роль в современной теории вероят-
вероятностей, где они называются «случайными процессами со стационарными
приращениями» (и описывают некоторые явления действительности,
например, броуновское движение молекул, турбулентное движение
жидкости и др.; см. по этому поводу А. М. Яглом, Случайные
процессы со стационарными приращениими. Успехи матем. наук,
1952, т. 7, Кв 5, и А. С. М о н и н и А. М. Яглом, Статистичес-
Статистическая гидромеханика, «Наука», 1967, т. 2, гл. 8). Многие крупные
математики нашего времени—Н. Винер, Дж. фон Неймаи, А. Н. Кол-
Колмогоров, М. Г. Крейн—изучали различные свойства этих кривых.
А. Н. Колмогоров указал канонический вид самосовместимой линии
в гильбертовом пространстве, М. Г Крейи обнаружил, что «винтовая
дуга»^конечный участок самосовместимой линии — может продол-
жатьси до полной самосовместимой линии различным образом, и опи-
описал все возможные продолжения. Работы указанных авторов по
самосовместимым линиям в гильбертовом пространстве относятся
к 1939—1943 годам.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
К главе 12
1.	Ответ. В случаях а) и б)—да, в случае в)—нет.
2.	Указание. Множество всех возрастающих последовательностей
натуральных чисел имеет мощность континуума (гл. 2, задача 8).
Для каждой такой последовательности пх < щ <... взять функцию
к (/)€#*@, оо), равную единице в точках nlt л2, ... и нулю в осталь-
остальных целых точках.
3.	Указание. Экстремальней функция, если бы она существовала,
должна была бы принимать значение 1 при 0 < х < 1/2 и —1 при
1/2<х<1.
4.	Указание. Нужно проверить, что для (х, у) выполнены аксиомы
скалярного произведения 12.91. Для проверки аксиомы 12.91 4)
применить лемму о параллелограмме к параллелограммам, построен-
построенным на векторах x+z, у; х—г, у; у+г, х; у—г, х. Аксиому 12.91 3)
проверить сначала для целых а, затем для дробных, затем предель-
предельным переходом для любых а.
5.	Указание. По теореме Коши \ P(z)dz=0, это равенство
1*1=1
сохранится после перехода к пределу.
6.	Указание. Положить F=TT {*?Q: /(x) = 0}. Показать, что
Hi
всякая функция g{x)?Rs{Q), равная нулю в окрестности множества F,
принадлежит идеалу /. Далее, любая функция f (х) ? Rs (Q), равная
нулю на F, есть предел функций вида g(x).
7.	Указание. Пусть число б > 0 соответствует числу е > 0 из
условия равностепенной непрерывности семейства Е; тогда значения
функций x(t)?E в точках конечной б-сети компакта Q образуют
предкомпактную 2е-сеть дли множества Е.
8.	Указание. Без ограничения общности можно считать, что
2	<*> ПРИ любом k=l, 2, ... Определить последова-
. /п=1
тельности чисел Nlt Nit ... и чисел klt k2, ... так, чтобы
m=l	N,

344	УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
положить 1п=1 ПРИ Ntp-\<n < N^p и —1 при N2p<.n < N^p+1,
р—\, 2, ...
9.	Указание. Достаточно рассмотреть последовательности х*= {?„),
для которых sup?n=lini?n=—JUm|n=—mf?n.
10.	Указание. Использовать теорему единственности и принцип
максимума для аналитических функций.
11.	Указание. Для оператора умножения на г—А обратным
может служить лишь оператор умножения на 1/(г—А).
12.	Указание. Из 12.77 можно вывести, что спектр оператора А
состоит лишь из обобщенных собственных значений. Далее нужно
из соотношения (А—ХЕ)хп->-0, |х„|=1 получить (р(Л)—р(К)Е)хп->0,
и использовать полную непрерывность р(А) н условие р (К) Ф 0.
13.	Указание. Использовать задачу 12.
14.	Указание. Достаточно рассмотреть случай
.. . . . ?d<=*l-
а	а
Проинтегрировать неравенство Юнга (9.61з)
15. Указание. Проинтегрировать неравенство
< I/ W I (I / (*) l + l glxW~l + \ g{x) I (I / (x)+g(X) IK"'
и применить в правой части неравенство Гёльдера (задача 14).
16.	Указание. Использовать метод решения задачи 14, заменив
интегрирование на суммирование.
17.	Указание. Аналогично по отиошеиию к задаче 15.
18.	Указание. Если х„ = {|П1, ..., ?„*, .,.} ? 1р фундаментальна,
то при любом /г= 1,2,... числовая последовательность |„? (я= 1,2,...)
также фундаментальна; пусть %k = lim |nft. При любом е > 0 суще-
ствует такое N, что прн всех п, m^sN выполняется неравенство
се
2 I ?"*—?"* I "*е- Заменить 3Десь °° на Pi перейти к пределу по
т —»• оо и затем по р—> оо.
19.	Указание. Используя теорему Арцела A2.24г), получить под-
подпоследовательность, сходящуюся равномерно; еще раз используя
теорему Арцела, получить более редкую подпоследовательность, у ко-
которой и производные сходятся равномерно и т. д.: затем выделить
диагональную подпоследовательность.
20.	Указание. Множество \х? Rn: ||x||psSl} не является выпук-
выпуклым.
21.	Указание. Для множества EcP(Q), состоящего из одной функ-
функции x(t), можно положить Qn = {tGQ: ft в < x(t) <(fe-f-l)e|. В об-
общем случае использовать критерий Хаусдорфа 3.93 в.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ	ОД)
К главе 13
1.	Указание. Проверить выполнеине условия Липшица.
2.	Ответ, (а)—парабола; (б)—полукубическая парабола.
3.	Указание. Использовать выражение вронскиана A3.74).
4.	Указание. В жордановом базисе система распадается на неко-
некоторое число не связанных между собой систем по числу характе-
характеристических корней. Каждая из них эквивалентна одному уравнению
вида (-л—А.) ы(9 = 0. Вся система эквивалентна уравнению
~-KkYku(t)^O.
5.	Указание. Операторы ?10 н Qj. удовлетворяют одному и
тому же уравнению и одному и тому же начальному условию.
6.	Указание. На подпространстве Xj, порожденном векторами
нх(9	wn(9. оператор A(t) определить из условий ui,(t)—
= A(t)tib(t)(k=l	п), а на ортогональном дополнении к Xf
положить А (9 равным нулю. Проверить непрерывность A (t) no t.
7.	Ответ. Возможно. Для примера при и = 2 можно взять
функции
8. Ответ. Например,
j/(")(9 j/("-u(9 ... y(t)
y\m(t) y'i")(9 ... {/,(9
=0
9.	Указание. Для т = 0 результат следует из теоремы существо-
существования. Далее действовать по индукции.
10.	Указание Замена y{t) = ektz(f).
t
11.	Указание. Замена у(t) — k\w(s)ds.
о
12.	Указание, е-почти-решение удовлетворяет и неравенству
)-y(O) — ^f (s, у (s)) ds
Использовать решение задачи 11.

346	УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
13. Указание. При tk*?t<tk+x
уп @ = hE+(t-tk) A (tk)) Д №+ A (t/) At А Ум
{	?[
[ l=k-i
= A (tk) lE+(t-th) А
= A (tk) IE+Bk (О] ?п (О Л @ f/п @+C* (О 0П (/),
где операторы fift (f) и Сл (/) стремятся к нулю при неограниченном
измельчении разбиения П.
14.	Указание. Использовать решения задач 13 и 12.
15.	Указание. Действовать по методу решения задачи 13.
16.	Указание. Использовать решения задач 15 и 12.
К главе 14
1.	Указание. Подставить в найденные ряды определенные число-
числовые значения аргумента.
2.	Указание. То же.
3.	Ответ, (a) s (х) = ecos *cos {x sin x),
(б) s (х)=ecos * sin (x sin x).
4.	Указание. У этого предкомпактного множества имеется един-
единственная предельная точка.
5.	Указание. Использовать вторую теорему о среднем (задача 3
к гл. 9).
6.	Укамние. Соответственно уточнить решение задачи 5.
7.	Указание. Jlfln n нечетных
Я/2	Я/п	Я/2
¦^¦Ь„= Г f(t)sinntdt= f f (t) sin ntdt+ f f(t)sinntdt,
0	0	я/л
и достаточно доказать, что
я/л
^ (?)	2,
Я/2
я/л
Первое—с помощью замены nt на т; второе—интегрированием по
частям, применением теоремы о среднем и задачи 16 к гл. 7.

00
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ	347
8.	Указание. К условиям 1)—4) задачи 7 добавить
7 . — / [ — } = со. Использовать задачу 6.
, п \«/
9.	Указание. Записать в комплексной форме ряд Фурье для
функции / @ из задачи 8.
10.	Указание. (xQn, Qft) = (Qn, xQk) и xQk при ft < п— 1 есть
многочлен степени, меньшей п, поэтому имеет место представление
iQn-i (*)	О)
с некоторыми постоянными Yn+i. Yn> Yb-i- Сравнить коэффициенты
при х"*1, хя и вычислить (xQn, Qn-i).
11.	Указание. Умножить A) на Qn(t) и вычесть аналогичное
тождество с заменой t на х и х на <• Просуммировать по п.
12.	Указание. Первое следует из ортогональности к 1. Второе —
m
из ортогональности к многочлену JJ (х—х^) в предположении, что
ft = i
*i> •••> хт—есе нули многочлена Qn(t) и m < п.
К главе 15
1.	Указание. Использовать метод решения задач 5 и 6 к гл. 14.
2.	Указание. Использовать идею решения задачи 8 к гл. 14.
3.	Указание. Использовать идею решения задачи 9 к гл. 14.
4.	Указание. Проверить утверждение для функций класса S
A5.29а); затем для функции /дг (х), равной f (х) при | х \ «5 N и нулю
при \х\ > N, аппроксимируя ее функциями класса S; затем совер-
совершить предельный переход N—»• со.
да
5.	Указание. Рассмотреть интеграл \ | <хф(д;)+ф'
— 00
как квадратный трехчлен от параметра t.
6.	Ответ. F1(p)=:F(p—a), F2(p)
>-jF(P), F4(P)=-F'
где интеграл берется по любому пути, уходящему в бесконечность
на плоскости Re р > у0.
7. Ответ.
Сдля р > 0).
8. Указание. Положить х=е.

348	УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
К главе 16
1.	Указание. Для винтовой линии r = {ocos*, osinf, bt) винто-
винтовая линия центров кривизны имеет радиус проекции на горизон-
горизонтальную плоскость, равный 62/о.
2.	Указание. Ортогональные преобразования самосовмещения
коммутируют, и, следовательно, обладают общим каноническим
базисом.
3.	Указание. Все указанные отношения равны dsA)/ds<2).
4.	Указание. Sm^tCzSm.
5.	Указание. Использовать десятичные разложения обеих коор-
координат данной точки квадрата.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно выпуклое множество
65
Алгебра 28
—гельфандовская 124
—	коммутативная 29
—	нормированная 9, 122
Альтернатива Фредгольма 138
Арцела 159
Асколи 159
Базис 13
—ортонормальный 149
Банах 159, 204
Банахово пространство 48
Бернулли Д. 259, 260
Бромвич 310
Бурбаки 7
Ван-дер-Поль ЗШ
Вейерштрасс 159
Вектор ведущий 311
—кривизны 321
—собственный 21
Векторы 10
Вещественное пространство 11
Винер 159, 342
Винтовая линия в бесконечно-
бесконечномерном пространстве 339
	в Rs 328
	в Rn 337
Вольтерра 159
Вороной 160
Вполне непрерывный оператор
Вронский 204
Всюду плотность 38
Выпуклая оболочка 88
—	—замкнутая 89
Выпуклое множество 52
Гельфанд И. М. 160
Гильберт Д. 9, 159, 260
Гильбертово пространство 9, 142
Гобсон 260
Гохберг И. Ц. 159
Грассман 159
Даламбер 259, 260
Данжуа 310
Двойственные функции 273
Дельта-образная последователь-
последовательность 73
Деч 310
Дйни 159, 260
Дирак П. 77
Дирихле 260
Дифференциальное уравнение 161
—	—линейное неоднородное 198
—	— —однородное 164
Длина дуги 318
Дю-Буа-Раймонд 260
Единица алгебры 29
Жордан 342
Жорданов базис 26
—	—вещественный 27
Жорданова клетка 26
—	матрица 26
—	—вещественная 27
Идеал 29
Изоморфизм 17
—	алгебры 29
Изопериметрическая задача 232
Инвариантное подпространство 21
Интеграл Пуассона 287
—	Фурье 262
—	—, формула обращения 262
Карлеман 310
Карсон 310
Касательная 313
Квазианалитические классы 298
Келдыш М. В. 159
Класс смежности 16
—S 281
—	WM 283
—	WQ 283
Колмогоров А. Н. 342
Комплексное пространство II

350
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Корпус 31
—симметричный 33
Коши 160, 204, 260, 310
Коэффициенты Фурье 208
Крейн М. Г. 159, 342
Кривая в /?„ 311
—Пеаио 342
Кривизна 321
Кривизны высшие 325
Кручение 325
Лагранж 204
Лаплас 161, 260, 310
Лежандр 260
Лейбниц 203
Лемма о параллелограмме 146
Лившиц М. С. 159
Линейная зависимость 13
—сеть 67
Линейное пространство 9, 10
Линейный оператор 18
—функционал 19
Липшиц 204
Матрица Вронского 195
Мембрана 241
Метрическое пространство 9, 35
Многочлены Лагерра 257
—Лежандра 252
—	Чебышева 257
—Эрмита 257
—	Якобн 257
Мономорфизм 17
Морфизм 17
—алгебры 30
Мультипликативный интеграл 174
Натуральные уравнения 333
Нейман 260
Нейман Дж. фон 159, 342
Неподвижная точка 175
Неравенство Бесселя 207, 209
—Гельдера 158
—	Юнга 273
Норма вектора 48
—линейного оператора 98
Нормированная алгебра 9, 122
Нормированное пространство 9, 48
Нормы эквивалентные 53
Нуль-вектор 10
Ньютон 203
Обобщенное собственное значение
130
Обобщенный делитель нуля 123
—предел 117
Обратный оператор 20
—элемент 29
Общее решение 161
Обыкновенная точка 312
Оператор Вольтерра 140
—линейный 18
—	—вполне непрерывный 134
—	—непрерывный 98
—	—ограниченный 98
—Фредгольма 22, 138
Определитель Вронского 195
Ортогонализация 147
Ортогональность 146
Ортонормальиая система 148
Особая точка 312
Островский 310
Отображение 175
—сжимающее 178
Пеано 159, 342
Перпендикуляр 207
Пикар 204
Подалгебра 29
Подпространство 15
Полупрямая Валирона 299
Пополнение гильбертова простран-
пространства 152
—нормированного пространства 62
Последовательность операторов
сходящаяся 107
—	— —сильно 107
Почта-решение 202
Предгильбертово пространство 154
Предел обобщенный 117
—	—Вороного 120
—	—Теплица 120
—	—Чезаро 117
Преобразование Лапласа 288
—	—, формула обращения 290
—Меллина 310
—Фурье 262
—	—, формула обращения 262
Признак Абеля — Дирихле 60
—	Вейерштрасса 60
—	Коши 60
Принцип неподвижной точки 175
Проблема Ватсона 302

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
да
Проекция вектора на подпро-
подпространство 207
Произведение оператора на число
19
—операторов 19
Пространство гильбертово 9, 142
—	—комплексное 150
—линейное 9, 10
—	—аффинное 9
—	—бесконечномерное 13
—	—вещественное 11
—	—комплексное 11
—	—п-мерное 13
—	—нормированное 9, 48
—	— —вещественное 48
	комплексное 64
—линейных операторов 25, 107
—метрическое 9, 35
	компактное 41
	предкомпактное 41
	сепарабельное 39
—С*(МI3
-?<«, „44
-К(Е) 12
-К (Б) 12
-/„51
—Ls(a, fcL6
—L% la, b) 46
—РЦМK8
—R (E) 12
—R (E) 12
—	RS(MI2, 38
-RUM) 13
Противоположный элемент 10
Прямая сумма. 15
Прямое произведение \Ь
Равенство Парсеваля 209
Радиус кривизны 323
Разложение вектора по базису
13
—по оистеме тригонометрических
функций 213
Разрешающий оператор 182
	линейного уравнения 194
Расстояние 35
Рисе Ф. 1Б9
Родриг 260
Ряд векторов 60
—Фурье 208
Ряд Фурье — Лежандра 255
Ряды Эйлера 258
Самосовместимая кривая 340
Свертка функций 285
Семейство, разделяющее точки 67
Серре 342
Сеть линейная 67
Соболев С. Л. 77
Собственное значение 21
	обобщенное 130
—подпространство 21
Собственный вектор 21
Соприкасающаяся окружность 323
—сфера 342
Соприкасающееся подпростран-
подпространство 316
Сопровождающий базис 324
Сопряженное пространство 108
Спектр 30
—линейного оператора 130
—симметричный 33
—элемента алгебры 124
Спираль Винера 340
Стоун 159
Струна 239
Сумма операторов 19
Сходящаяся последовательность
36
Теорема Арцела 41
—Банаха 103
—Банаха и Штейнгауза 109
—Брудно 121
—Вейерштрасса 71, 72
—Гельфанда— Мазура 125
—Джексона 82
—Карлемана — Островского 300
—Карлесона 246
—Никольского 249
—Пифагора 147
—Рисса 59
—Робинсона 122
—Стоуна 69
—Теплица 118
—Фейера 247
Теплиц 160
Тождества Кристоффеля—Дарбу
256
Томсон 205

352
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точка Валирона 298
Тэт 205
Умножение операторов 19
Уравнение дифференциальное
161
	, его решение 161
Условие Дини 222
	одностороннее 226
—Липшица 179
	порядка а 222
Фактор-алгебра 29
Фактор-пространство 16
Формула Тейлора 94
Формулы Френе 324
Форсайт 342
Фредгольм 159
Френе 342
Функционал линейный 19
Функция, разделяющая точки
67
—со значениями в нормирован-
нормированном пространстве 82—84, 86,
88, 90, 91, 93, 96
Фурье 205, 260, 310
Хан 159
Характеристическое уравнение
172
Хевисайд 261, 310
Целая функция конечного экспо-
экспоненциального типа 275
Центр кривизны 323
Центрально-симметричное мно-
множество 52
Частное решение 161
Чезаро 160
Шварц Л. 77
Шмидт 159
Эйлер 160, 204, 259, 260, ЗЮ
Энгельс 311
Эпиморфизм 17
—алгебры 30
Ядро Дирихле 225
—Пуассона 243
—Фейера 248
	для интеграла Фурье 268
—Фурье — Лежандра 256